트위스터 공간

수학에서 트위스터 공간(twistor空間, )은 트위스터 방정식 formula_1의 해들로 이뤄진 복소선형공간이다. 1960년대에 로저 펜로즈와 말콤 맥콜럼(Malcolm MacCallum)이 묘사하였다.
민코프스키 공간에 대해 트위스터 방정식의 해들은 다음과 같은 형태이다:
여기서 formula_3 와 formula_4는 두 상수 바일 스피너들이고 formula_5는 민코프스키 공간의 한 점이다. 트위스터 공간은 4차원 민코프스키 공간의 등각 대칭을 자명하게 드러내는 한 방법이기도 하다.
엔드류 호지스에 따르면, 트위스터 공간은 복소수 4개를 가지고 광자의 움직임을 개념화 하는데 유용하다고 한다. 또한 트위스터 공간은 약한 상호작용의 비대칭성을 이해하는데 도움을 줄지 모른다고 한다.
정의.
트위스터 공간은 다양한 시공간 차원에 대하여 정의될 수 있다.
4차원 트위스터 공간.
다음이 주어졌다고 하자.
그렇다면, 4차원 formula_6-벡터 공간
을 정의할 수 있다. (물리학적으로, 이는 [복소화한] 시공간에 해당한다.) 그 위에는 비퇴화 이차 형식
이 존재한다. (formula_17인 경우 이는 부호수 (2,2)를 가진다.) formula_18 위에는 formula_19가 작용하며, 이 가운데 formula_20의 작용은 formula_21를 보존한다. 즉, 이는 동형 사상
을 정의한다. 사실, 4차원 벡터 공간 formula_18를 이렇게 2차원 벡터 공간의 텐서곱으로 나타내는 구조는 formula_18 위의 선형 등각 구조와 동치이다.
설명:
구체적으로, formula_25에 임의의 심플렉틱 벡터 공간 구조 formula_26를 주었을 때 비퇴화 쌍선형 형식
을 정의할 수 있다. formula_25 위의 심플렉틱 벡터 공간 구조들은 모두 서로 비례하며, 이에 따라 등각 계량 동치류 formula_30는 잘 정의된다.
반대로, formula_18 위에 등각 계량이 주어졌을 때, 이를 사용하여 직교군 formula_32을 정의할 수 있다. 리 군 표현론에 의하여 formula_32의 4차원 표현 formula_18는 두 바일 스피너 표현의 텐서곱으로 주어지며, 이 두 공간이 formula_25에 해당한다.
이제, 다음과 같은 공간을 생각하자.
이 5차원 비특이 대수다양체 formula_37를 대응 공간(對應空間, )이라고 한다. 그 국소 좌표는
로 쓸 수 있다. 여기서 formula_39는 formula_10의 지표이며, formula_41는 formula_11의 지표이다.
그렇다면, formula_10와 그 쌍대 공간 formula_44 사이의 쌍대성으로 인하여 다음과 같은 사영 사상이 유도된다.
이 함수는 전사 함수가 아니며, 그 상은 다음과 같다.
이는 3차원 복소수 사영 공간 속의 열린 부분 스킴을 이루며, 그 여집합은 formula_48이다. 즉, formula_49는 3차원 준사영 대수다양체를 이룬다. 이를 트위스터 공간이라고 하며, 그 속의 임의의 원소 formula_50를 트위스터()라고 한다.
이는 사영 사상
을 가지며, 이 사영 아래 formula_49는 formula_54 위의 2차원 벡터 다발
의 전체 공간과 동형이다.
즉, 대응 공간 formula_37는 (복소화) 시공간과 트위스터 공간 둘 다 위의 올다발을 이룬다.
앰비트위스터.
왼쪽·오른쪽 바일 스피너를 고르는 대신, 둘 다 사용할 수 있다. 이 경우 더 큰 트위스터 공간을 얻으며, 이를 앰비트위스터 공간()이라고 한다.
구체적으로, 대응 공간
을 생각하자. 그렇다면, 이는 사상
을 정의한다. 그 상은
를 따른다. 즉, 이는 두 3차원 사영 공간의 곱공간 속의 이차 초곡면이다. 이 5차원 초곡면 formula_64를 앰비트위스터 공간이라고 한다. 앰비트위스터 공간은 물론 왼쪽 또는 오른쪽 트위스터 공간 formula_65으로의 사영 사상
을 갖는다.
또한, 이로부터 다음과 같은 사영 사상이 존재한다.
그 상은 4차원 사영 공간 formula_69 속에서
으로 정의되는 3차원 이차 초곡면이다. 이 formula_71는 초평면 트위스터 공간()이라고 한다. 이는 세그레 사상
을 통하여, 사실 formula_73 위의 선다발
의 전체 공간과 같다.
6차원 트위스터 공간.
다른 차원에서도 유사하게 트위스터 공간을 구성할 수 있다. 예를 들어, 6차원을 생각하자. 즉, 다음이 주어졌다고 하자.
그렇다면
를 정의하면, formula_18 위에는 formula_80가 작용한다. formula_18 위에는 비퇴화 이차 형식
이 작용하며, 이에 대하여 불변이다. (여기서 formula_83은 레비치비타 기호이다. formula_7일 때 이는 부호수 (3,3)를 가진다.) 이는 동형 사상
에서 유래한다.
이 경우, 마찬가지로 공간
은 다음과 같은 사영 사상을 갖는다.
이는 마찬가지로 formula_89의 부분 집합이다. 그런데
이므로, 그 상은
이다. 이는 6차원 준사영 대수다양체이다. 이 공간 formula_49를 6차원 공간의 트위스터 공간이라고 하며, 그 원소 formula_93를 트위스터라고 한다. formula_49는 3차원 사영 공간 formula_95 위의 3차원 벡터 다발을 이룬다. 이는 4차원 벡터 다발
의 부분 다발이며, 짧은 완전열
을 따른다.
3차원 트위스터 공간.
3차원에서도 마찬가지로 트위스터 공간을 정의할 수 있다. 이 경우의 트위스터 공간은 간혹 미니트위스터 공간()라고 한다.
다음이 주어졌다고 하자.
그렇다면 3차원 벡터 공간
를 정의할 수 있다.
formula_103이므로, formula_77 위의 심플렉틱 벡터 공간 구조는 모두 서로 비례한다. 임의의 심플렉틱 벡터 공간 구조 formula_105를 고른다면, formula_18는 딸림표현 formula_107와 동형이며, 이는 킬링 형식을 갖춘다. 이는 2×2 행렬의 행렬식에 비례한다. (formula_7일 때, formula_18 위의 이차 형식의 부호수는 (2,1)이므로, 이는 3차원 민코프스키 공간이다.) 즉, 이는 동형 사상
을 실현한다. 물론, 사용한 심플렉틱 벡터 공간 구조를 formula_111와 같이 바꾸더라도, 우변에서 이는 이차 형식을 스칼라배 재정의하는 것에 불과하므로, 우변은 사용한 심플렉틱 벡터 공간 구조에 불변이다.
이 경우, 대응 공간
으로부터, 다음과 같은 사상을 정의할 수 있다.
여기서 formula_115는 1등급 성분이 formula_116이며 2등급 성분이 formula_6인 등급 벡터 공간이며, 이에 대하여 가중 사영 공간을 취할 수 있다. 이 사상의 상을 트위스터 공간 formula_49라고 한다. 이는 2차원 준사영 대수다양체이다.
즉, 이는 가중 사영 공간의 열린집합을 정의한다. 사실, 사영 사상
에 대하여, 이는 선다발을 이룬다. 그 단면 formula_121는 formula_122에 대한 2차 함수이므로, 이는 선다발 formula_123에 해당한다. 이는 사실 사영 직선 위의 접다발에 해당한다. 즉, formula_124이다.
가중 사영 공간은 물론 다음과 같이 4차원 사영 공간으로 매장된다.
즉, formula_49는 4차원 사영 공간 속의 2차원 준사영 대수다양체이다.
성질.
시공간과 트위스터 공간 사이의 관계.
4차원.
4차원 트위스터 공간
을 생각하자.
이 경우, 시공간 formula_18와 트위스터 공간 formula_49 사이에 다음과 같은 대응이 존재한다.
위 표에서 영평면(零平面, )이란 (원점을 지나지 않을 수 있는) 2차원 평면 formula_132 가운데, 임의의 두 점 formula_133에 대하여 formula_134인 것이다.
사실, 이는 근본적으로 다음과 같은 성질에서 기인한다. 우선, 4차원 벡터 공간 속의 2차원 그라스만 다양체
를 생각하자. 그 속의 닫힌점은 사영 공간 formula_136 속의 사영 직선에 대응한다. 즉, formula_135는 formula_136 속의 사영 직선의 모듈라이 공간이다.
이제, 계수를 복소수체로 잡으면, 복소다양체 formula_135에 적절한 ‘실수 형식’을 주면, 이는 4차원 초구 formula_140가 된다. 즉, formula_141의 점은 트위스터 공간 속의 직선을 정의한다. 여기서 포함 사상은 formula_142의 선택에 의하여 유도되는 포함 관계 formula_143이다. (여기서 formula_144는 사원수 대수이다.)
3차원.
3차원 트위스터 공간
을 생각하자. 복소화 시공간의 임의의 점 formula_146에 대응하는 트위스터 공간의 부분 공간 formula_147는 다음과 같다.
이는 트위스터 공간의 한 사영 직선 formula_149에 해당한다. 또한, 이는 사영 사상 formula_150 아래 각 formula_151에 대하여 정확히 하나의 점을 포함하므로, 이는 formula_152의 단면을 이룬다. 즉, 다음과 같은 표준적인 동형 사상이 존재한다.
물론, 우변은 리만-로흐 정리를 통해 3차원임을 쉽게 계산할 수 있다.
임의의 두 점
에 대응되는 단면
이 주어졌을 때, 이를 formula_152의 전체 공간의 부분 공간으로 간주할 때, 이는 정확히 두 개의 점에서 교차한다. 이것이 formula_157 위에 있다고 하자. 그렇다면
이 된다. 이것이 가능할 필요 충분 조건은
이다. 즉, (4차원과 달리) 3차원에서는 임의의 벡터는 스피너의 대칭화 텐서곱으로 표현될 수 있다. 특히, formula_160일 필요 충분 조건은 formula_134인 것이다.
트위스터 공간의 한 점 formula_162에 대응되는 두 시공간의 점 formula_163에 대하여,
이다. 즉
이다. 이는 3개의 변수에 대하여 하나의 방정식이므로, 3차원 시공간 속의 어떤 평면을 정의한다. 또한, formula_167는 formula_116 위의 계량을 정의하는 것으로 여기면, formula_169는 그 영벡터를 이루며, 따라서 formula_170를 포함하는 formula_171의 어떤 기저에 대하여
의 꼴이다. 즉, 이 평면을 정의하는 두 선형 독립 접벡터는 다음과 같다.
여기서 첫 벡터는 노름이 0이며, 둘째 벡터는 첫째 벡터와 직교한다(즉, 첫째 벡터와의 내적이 0이다). 이러한 평면을 영평면()이라고 한다. 물리학적으로, 이는 빛원뿔과 접하는 평면으로 해석할 수 있다.
펜로즈 변환.
formula_174라고 하자. formula_175 위에서, 매끄러운 함수
에 대하여 다음과 같은 선형 편미분 방정식을 정의할 수 있다.
이 선형 1차 편미분 방정식의 해를 나선도 formula_178의 영질량장()이라고 한다. 마찬가지로, 매끄러운 함수
에 대하여 선형 1차 편미분 방정식
의 해를 나선도 formula_181의 영질량장()이라고 한다. formula_182일 때는, 우선 formula_25에 각각 심플렉틱 벡터 공간 구조 formula_184, formula_185를 부여하자. 그렇다면 2차 미분 연산자
를 정의할 수 있다. 그렇다면, 나선도 0의 영질량장은 매끄러운 함수
가운데
을 따르는 것이다. 2차원 벡터 공간 위의 심플렉틱 벡터 공간 구조는 모두 서로 비례하므로, 만약 다른 심플렉틱 벡터 공간 구조를 사용하더라도 나선도 0의 영질량장의 개념은 잘 정의된다. 나선도 formula_189의 영질량장의 formula_6-벡터 공간을
라고 하자.
이제, 4차원 트위스터 공간
을 생각하자. 임의의 열린집합
에 대하여,
라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 표준적인 동형 사상이 존재한다.
즉, 트위스터 공간 위의 formula_196차 선다발의 정칙 단면은 시공간 위의, 나선도 formula_189의 영질량장과 일대일 대응한다. 이를 펜로즈 변환()이라고 한다.
순간자 모듈러스 공간.
임의의 콤팩트 반단순 리 군 formula_198에 대하여,
4차원 유클리드 공간 formula_199 위의 formula_198-양-밀스 이론의 순간자
를 생각하자. 이 경우, 유클리드 공간을 복소화하여 4차원 복소수 벡터 공간 formula_202을 취할 수 있다. 이 경우에도 자기 쌍대성 조건은 여전히 유효하다. 이 경우, formula_18 위의 순간자의 모듈라이 공간은 순간자 공간 formula_49 위의 정칙 formula_198-주다발 가운데 ① 위상적으로 자명하며 ② 임의의 포함 사상 formula_206에 제한하였을 때 정칙적으로 자명한 것들의 모듈라이 공간과 표준적으로 동형이다. 이 대응을 펜로즈-워드 변환()이라고 한다.
구체적으로, 사영 직선 formula_207는 두 개의 아핀 직선으로 구성된 열린 덮개를 가지며, 따라서 그 위의 벡터 다발 formula_49는 두 개의 3차원 아핀 공간 formula_209, formula_18로 구성된 열린 덮개를 갖는다. 위의 조건들을 따르는 formula_198-주다발 formula_212는 따라서 전이 함수
로 주어진다.
사영 사상 formula_214 아래, formula_215와 formula_216는 formula_217의 열린 덮개를 이룬다. formula_218가 formula_37의 열린 덮개를 이루므로, 항상
으로 표현될 수 있다. formula_223 위에는 표준적인 벡터장
이 존재하며, 이에 따라
는
를 따른다. 즉,
이다. 이를 짜깁기하여 formula_229를 다음과 같이 정의할 수 있다.
formula_231는 formula_132에 비례하며, formula_132는 formula_169에 비례하므로, formula_18 위의 formula_236값의 1차 미분 형식
을 정의할 수 있다. 그렇다면 이는 formula_18 위의 순간자를 정의하는 주접속을 이룬다.
역사.
1967년에 로저 펜로즈가 4차원 시공간의 트위스터 공간을 최초로 도입하였다. 이후 펜로즈는 파동 방정식의 해와 트위스터 공간 위의 선다발의 층 코호몰로지 사의 펜로즈 변환을 발견하였다. 1977년에 리처드 새뮤얼 워드(, 1951〜)가 양-밀스 이론의 순간자를 트위스터 공간으로 나타내는 펜로즈-워드 변환을 발견하였다.