완비 거리 공간

기하학에서 완비 거리 공간(完備距離空間, )은 그 안이나 경계에 "빠진 점"이 없는 거리 공간이다. 완비 거리 공간의 정의는 코시 열(Cauchy列, )이라는 개념을 사용한다. 코시 열은 점들 사이의 거리가 서로 점점 가까워지는 수열이다. 즉, 코시 열에서는 충분한 수의 처음 유한 개의 점들을 제외하면, 남은 점들 사이의 거리가 임의로 작아진다. 완비 거리 공간은 이렇게 "수렴하는 것처럼 보이는" 점렬들이 모두 실제로 수렴하는 점을 갖는 거리 공간이다. 완비 균등 공간의 특수한 경우이다.
정의.
코시 열.
거리 공간 formula_1 위의 수열 formula_2이 있다고 하자. 만약 임의의 양의 실수 formula_3에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 자연수 formula_4가 존재한다고 하자.
그렇다면 수열 formula_2를 코시 열이라고 한다. 임의의 거리 공간 속에서, 모든 수렴하는 수열은 코시 열을 이루며, 모든 코시 열은 유계 집합을 이룬다. 즉, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
확대 상수.
거리 공간 formula_1 및 실수 formula_8에 대하여, 다음 조건이 성립하는지 여부를 물을 수 있다.
거리 공간 formula_1의 확대 상수(擴大常數, )
는 위 조건을 만족시키는 모든 실수 formula_15들의 하한이다.
임의의 거리 공간에 대하여, formula_16이다.
카리스티 사상과 칸난 사상.
거리 공간 formula_1 위의 카리스티 사상()은 다음 조건을 만족시키는 하반연속 함수 formula_18가 존재하는 함수 formula_19이다.
거리 공간 formula_1 위의 칸난 사상()은 다음 조건을 만족시키는 formula_22가 존재하는 함수 함수 formula_19이다.
모든 칸난 사상은 카리스티 사상이다.
완비 거리 공간.
거리 공간 formula_1에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 거리 공간을 완비 거리 공간이라고 한다.
성질.
완비 거리 공간 속의 닫힌집합은 완비 거리 공간을 이룬다. 반대로, 거리 공간의 부분 집합이 완비 거리 공간을 이룬다면, 이는 닫힌집합이다.
완비화.
거리 공간 formula_1의 완비화(完備化, )는 다음과 같다. formula_35의 모든 코시 점렬의 집합 formula_36에 다음과 같은 유사 거리 함수를 주자.
코시 점렬의 정의에 따라 이 극한은 항상 존재한다. 이를 부여하면, formula_36는 유사 거리 공간을 이루지만, 거리가 0인 서로 다른 코시 점렬이 존재하므로 거리 공간이 아니다. 이 경우, 거리가 0인 코시 점렬들을 서로 동치로 간주하는 동치 관계를 정의하자.
즉, 무한히 가까워지는 두 코시 점렬들을 같은 동치류에 넣는다. 이렇게 하면, 몫집합 formula_40 위에 거리가 유일하게 정의되며, 이는 거리 공간을 이루며 또한 완비 거리 공간이 된다. 이를 formula_35의 완비화 formula_42라고 한다.
거리 공간 formula_35에서 그 완비화 formula_42로 가는 표준적인 함수
가 존재한다. 이 함수는 formula_35의 각 점을 (자명하게 코시 점렬을 이루는) 상수 점렬의 동치류로 대응시킨다. 이는 단사 등거리변환이며, 만약 formula_35가 완비 거리 공간이라면 이는 거리 공간의 동형이다. formula_35는 formula_42의 부분 집합으로서, 조밀 집합이다.
임의의 formula_51에 대하여, 점렬
은 formula_53으로 수렴한다.
임의의 코시 점렬 formula_54가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 formula_55에 대하여,
인 formula_57가 존재한다. 이 경우, formula_58는 코시 점렬이며, 점렬
은 formula_60으로 수렴한다. 즉, formula_61은 formula_62으로 수렴한다.
하이네-보렐 정리.
모든 콤팩트 거리 공간은 완비 거리 공간이다. 사실, 하이네-보렐 정리에 따르면, 거리 공간에 대하여, 콤팩트 공간인 것은 완비 완전 유계 공간인 것과 동치이다.
베르 범주 정리.
베르 범주 정리에 따르면, 모든 완비 거리 공간은 베르 공간이다.
바나흐 고정점 정리.
바나흐 고정점 정리에 따르면, 완비 거리 공간 formula_35 위의 축약 사상 formula_19은 유일한 고정점을 갖는다. 모든 축약 사상은 카리스티 사상이므로, 이는 카리스티 고정점 정리의 특수한 경우이다. 하지만 바나흐 고정점 정리는 완비 거리 공간의 정의로 삼을 수 없다.
예.
실직선 속의 코시 수열.
유리수 전체의 집합 formula_65와 실수 전체의 집합 formula_66에 절댓값으로 정의되는 일반적인 거리 함수 formula_67로 정의된 거리 공간 formula_68, formula_69가 있을 때, 수열 formula_70은 코시 수열이다. formula_66, formula_65 모두에서 수렴하며, 수렴하는 값은 0이다.
유리수의 거리 공간 formula_73는 완비 거리 공간이 아닌데, 이는 그 안에서 무리수인 formula_74로 가까워지는 코시 수열을 만들 수 있기 때문이다. 구체적으로, formula_75 로 정의된 수열 formula_76은 코시 수열이다. formula_66에서는 formula_78로 수렴하지만, formula_78는 유리수가 아니므로 formula_65에서는 수렴하지 않는다. 유리수 공간의 완비화는 실수의 거리 공간 formula_81이다.
이산 공간.
이산 공간 formula_35 위에 이산 거리 함수
를 준다면, 그 속의 점렬 formula_2에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.
따라서 이산 공간은 완비 거리 공간을 이룬다.
완비 공간 값의 유계 함수.
임의의 집합 formula_87 및 완비 거리 공간 formula_88에 대하여, formula_89가 유계 함수 formula_90들의 집합이라고 하자. 이 위에 다음과 같은 상한 거리 함수를 주자.
그렇다면 formula_89는 완비 거리 공간을 이룬다.
임의의 코시 점렬 formula_93이 수렴함을 보이는 것으로 충분하다. 각 formula_94에 대하여, formula_95는 formula_35 위의 코시 점렬이므로 어떤 formula_97로 수렴하며, 이 경우 formula_98는 유계 함수이다. formula_99가 formula_100로 수렴함은 다음과 같이 보일 수 있다. 임의의 양의 실수 formula_3에 대하여, formula_99가 코시 점렬이므로 다음 조건을 만족시키는 자연수 formula_4가 존재한다.
위 조건에서 formula_105를 취하면
을 얻는다. 즉,
이다.
위상 공간 formula_87 및 완비 거리 공간 formula_88에 대하여, formula_110가 연속 유계 함수 formula_90들의 집합이라고 하자. 이는 상한 거리 함수에 대하여 닫힌집합을 이루며, 따라서 formula_112 역시 완비 거리 공간을 이룬다.
바나흐 공간.
노름 공간 가운데 완비 거리 공간을 이루는 것을 바나흐 공간이라고 한다. 마찬가지로, 내적 공간 가운데 완비 거리 공간을 이루는 것을 힐베르트 공간이라고 한다.
역사.
역사적으로, 코시 점렬의 개념은 수열의 극한과 급수의 개념을 엄밀하게 정의하려는 시도에서 비롯되었다. 1817년에 베르나르트 볼차노는 중간값 정리에 대한 논문에서 코시 점렬의 개념을 사용하였으나, 서유럽에서 멀리 떨어진 프라하에서 살던 볼차노의 업적은 당시 널리 주목받지 못했다. 이후 오귀스탱 루이 코시가 1921년에 유명한 저서 《에콜 폴리테크니크 해석학 교재》()에서 급수의 수렴에 대한 조건을 정의하기 위하여 같은 개념을 사용하였다.
카리스티 고정점 정리는 제임스 카리스티()가 1976년 논문에서 제시하였다. 카리스티는 증명에서 초한 귀납법을 사용하였으며, 이는 선택 공리에 의존한다. 이후 더 약한 조건인 의존적 선택 공리에 의존하는 방법들로 재증명되었다. 로만 만카()가 1988년 논문에서 어떠한 꼴의 선택 공리도 필요 없는 증명을 제시하였다. 카리스티 고정점 정리를 완비 거리 공간의 정의로 삼을 수 있다는 사실은 카리스티의 지도 교수였던 윌리엄 아서 커크()가 1976년 논문에서 증명하였다.
칸난 고정점 정리는 라빈드란 칸난(, )이 1968년 논문에서 증명하였다. 수브라마냠()과 시오지 나오키(), 스즈키 도모나리(), 다카하시 와타루()가 칸난 고정점 정리를 완비 거리 공간의 정의로 삼을 수 있음을 독자적으로 증명하였다.