근축

기하학에서 근축(根軸, )은 동심원이 아닌 두 원에 대한 방멱이 같은 점들의 자취이다. 근축은 두 원의 중심을 잇는 직선의 수선을 이룬다. 서로 다른 두 점에서 만나는 두 원의 근축은 두 교점을 지나는 공통 할선이고, 서로 접하는 두 원의 근축은 접점을 지나는 공통 접선이며, 서로 만나지 않는 두 원의 근축은 두 원의 외부에 있다. 근축의 두 원의 외부에 놓인 부분은 두 원에 대한 접선의 길이가 같은 점들의 자취이자, 두 원 모두에 직교하는 원의 중심들의 자취이다. 어떤 점이 근축의 두 원의 내부에 놓인 부분에 속하는 것은 이 점을 지나는 두 원의 현의 최소 길이가 같은 것과 동치이다. 서로 다른 두 동심원의 근축을 두 원이 놓인 평면 위의 무한원 직선으로 정의하기도 하며, 서로 같은 두 원의 근축은 정의되지 않는다.
중심이 공선점이 아닌 세 원에 의한 세 근축은 유일한 교점을 가지며, 이를 근심(根心, )이라고 한다. 중심이 서로 다른 공선점인 세 원에 의한 세 근축은 서로 평행하는데, 이 경우 세 근축이 지나는 유일한 무한원점을 근심으로 삼으면 편리하다. 임의의 두 원의 근축이 같은 원들의 집합을 동축원 다발이라고 한다. 동축원 다발 속 원의 중심들은 공선점을 이루며, 임의의 두 원의 교점은 같다. 즉, 동축원 다발 속에서 어떤 두 원이 두 점에서 만날 경우 모든 두 원은 같은 두 점에서 만나며, 어떤 두 원이 접할 경우 모든 두 원은 같은 점에서 접하며, 어떤 두 원이 만나지 않을 경우 모든 두 원은 만나지 않는다.
근축을 고차원으로 일반화하면 3차원 구의 근평면(根平面, )의 개념과 formula_1차원 초구의 근초평면(根超平面, )의 개념을 얻는다.
정의.
평면 위에서, 중심이 서로 다른 두 점 formula_2인 두 원 formula_3의 방정식이
라고 하자. 그렇다면, formula_3에 대한 점 formula_7의 방멱은 각각 두 방정식의 좌변에 이 점을 대입한 결과와 같다. 따라서, formula_3에 대한 방멱이 같은 점의 자취 formula_9의 방정식은
이다. 이는 중심 formula_2을 잇는 직선의 수선이다. 이 직선 formula_9을 두 원 formula_3의 근축이라고 한다.
한 중심 formula_14이 다른 중심 formula_15에 무한히 가까워질 때, 근축 formula_9은 formula_3이 놓인 평면 위의 무한원 직선에 수렴한다. 따라서 서로 다른 두 동심원의 근축은 무한원 직선으로 정의된다. 즉, 근축은 사영 직선으로서 모든 서로 다른 두 원에 대하여 정의된다. 서로 같은 두 원의 근축은 정의되지 않는다.
위 정의는 formula_3 가운데 적어도 하나가 점원이거나 허원인 경우에도 적용된다. 즉, 반지름의 제곱 formula_19이 0이거나 음수이더라도 근축은 정의된다.
근심.
평면 위에서, 중심이 공선점이 아닌 세 점 formula_20인 세 원 formula_21을 생각하자. 그렇다면, 총 세 쌍의 원의 근축 formula_22은 각각 삼각형을 이루는 중심선 formula_23의 수선이므로, 서로 평행하지 않는다. 다시 말해 임의의 두 근축은 유일한 교점을 갖는다. 또한 근축 formula_24의 교점 formula_25는 formula_21에 대하여 같은 방멱을 가지므로, 근축 formula_27 위의 점이다. 따라서 세 근축 formula_22은 공점선을 이룬다. 이들의 공통점 formula_25를 세 원 formula_21의 근심이라고 한다.
세 원의 중심 formula_20이 공선점이고, 세 쌍의 원의 근축 formula_22 가운데 적어도 한 쌍이 서로 다르다고 하자. 그렇다면, 이들은 모두 직선 formula_33의 수선이므로 서로 평행한다. 즉, 세 근축은 이들 직선의 방향에 대한 무한원점에서 만난다. 이 경우 이 무한원점을 세 원 formula_21의 근심으로 삼을 수 있다. 특히, 세 원 가운데 둘이 동심원일 경우, 편의상 formula_3이 동심원이고 formula_36은 이들과 동심원이 아니라고 하자. 그렇다면, formula_37은 무한원 직선이고 formula_38은 평행하므로, 세 근축은 formula_38의 방향에 대한 무한원점에서 만난다. 이 경우 마찬가지로 이 무한원점을 세 원 formula_21의 근심으로 삼을 수 있다. 즉, 근심은 사영 평면 위의 점으로서 동축원이 아닌 모든 세 원에 대하여 정의된다.
위와 같은 정의는 formula_21 가운데 적어도 하나가 점원이나 허원인 경우에도 적용된다.
성질.
동심원이 아닌 두 원의 근축은 두 원의 중심선의 수선이다. 두 원 formula_3이 서로 다른 두 점 formula_43에서 만날 경우, formula_3의 근축은 공통 할선 formula_45이다. 또한, 두 원 formula_3이 점 formula_47에서 접할 경우, formula_3의 근축은 formula_47를 지나는 공통 접선이다.
원의 중심과의 거리.
중심이 formula_50이고 반지름이 formula_51인 동심원이 아닌 두 원 formula_3의 중심 formula_50과 근축 formula_9 사이의 거리는
이다.
직교원과의 관계.
동심원이 아닌 두 원 formula_3의 공통 직교원의 중심은 formula_3의 근축 위의 점이다. 원 formula_59의 직교원의 중심이 두 원 formula_3의 근축 위의 점이라면, 이는 formula_61의 직교원이다. 점 formula_25가 동심원이 아닌 두 원 formula_3의 근축 위의 점이고, formula_3의 외부점이라면, 중심이 formula_25인 formula_3의 공통 직교원은 (유일하게) 존재한다. 점 formula_25가 동심원이 아닌 두 원 formula_3의 근축 위의 점이고, formula_3의 내부점이라면, 중심이 formula_25이고 formula_59와의 공통 할선과 formula_61와의 공통 할선을 두 지름으로 갖는 원은 (유일하게) 존재한다.
중심이 공선점이 아닌 세 원 formula_21의 근심이 formula_21의 외부점이라면, formula_21의 공통 직교원은 (유일하게) 존재하며, 이 원의 중심은 formula_21의 근심이다. 중심이 공선점이 아닌 세 원 formula_21의 근심이 formula_21의 내부점이라면, formula_59와의 공통 할선과 formula_61와의 공통 할선 그리고 formula_36와의 공통 할선을 세 지름으로 갖는 원은 (유일하게) 존재하며, 이 원의 중심은 formula_21의 근심이다.
동축원 다발.
평면 위에서, 서로 다른 두 점 formula_2을 중심으로 갖는 두 원 formula_3의 방정식이
이고, formula_3의 근축이 formula_9이라고 하자. 그렇다면, 임의의 원 formula_36에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
'동축원 다발'이라는 이름은 이러한 사실 때문이다. 동축원 다발 속의 원의 중심들은 공선점이다. 동심원이 아닌 두 원 formula_3으로 생성된 동축원 다발을 formula_106라고 하면, formula_106 속의 임의의 서로 다른 두 원 formula_108에 대하여, formula_109으로 생성되는 동축원 다발 역시 formula_106이다.
분류.
동심원이 아닌 두 원으로 생성된 공축 원다발 formula_106가 주어졌다고 하자. formula_106의 근축은 formula_106의 유일한 직선 원소이다. 적절한 직교 좌표계를 취하여 formula_106의 중심선을 formula_115축으로 삼고 근축을 formula_116축으로 삼았을 때, formula_106의 원소는 (근축인 formula_116축을 제외하면) 다음과 같은 꼴의 방정식을 갖는 원들로 구성된다.
여기서 formula_120는 고정된 상수이며, formula_121는 매개변수이다. 만약 formula_122이라면 formula_106를 타원형 동축원 다발이라고 하고, 만약 formula_124이라면 formula_106를 포물형 동축원 다발이라고 하며, 만약 formula_126이라면 formula_106를 쌍곡형 동축원 다발이라고 한다.
직교 동축원 다발.
동심원이 아닌 두 원 formula_3의 공통 직교원은 formula_3으로 생성된 동축원 다발 속 모든 원의 공통 직교원이다. 동심원이 아닌 두 원으로 생성된 동축원 다발 formula_106의 모든 원의 공통 직교원은 중심선이 formula_106의 근축이고 근축이 formula_106의 중심선인 동축원 다발을 이룬다. 이를 동축원 다발 formula_106의 직교 동축원 다발 formula_134이라고 한다. 동축원 다발의 직교는 대칭 관계이다. 즉, formula_135가 성립한다. 위와 같은 꼴의 방정식을 갖는 원들로 이루어진 동축원 다발의 직교 동축원 다발은 다음과 같은 꼴의 방정식을 갖는 원들로 이루어진다.
여기서 formula_137는 매개변수이다. 특히, 타원형·포물형·쌍곡형 동축원 다발의 직교 동축원 다발은 각각 쌍곡형·포물형·타원형 동축원 다발이다.
작도.
적어도 하나의 교점을 갖는 동심원이 아닌 두 원의 근축의 작도는 자명하다.
중심이 서로 다른 두 점 formula_50인 교점 없는 두 원 formula_3이 주어졌다고 하자. 중심이 직선 formula_140 위의 점이 아니고, 원 formula_59와 두 점 formula_142에서 만나고, 원 formula_61과 두 점 formula_144에서 만나는 원 formula_36을 작도하자. 그렇다면, 직선 formula_146와 formula_147은 평행하지 않는다. 직선 formula_146와 formula_147의 교점을 formula_25라고 하자. 그렇다면, formula_25는 formula_3의 근축 위의 점이다. 점 formula_25를 지나는 직선 formula_140의 수선 formula_9을 작도하자. 그렇다면, 직선 formula_9은 두 원 formula_3의 근축이다.
고차원의 경우.
근초평면.
formula_1차원 유클리드 공간 formula_159 위에서, 서로 다른 두 점 formula_160을 중심으로 하고, formula_161을 반지름으로 갖는 두 초구 formula_162를 생각하자. 그렇다면, 집합
은 중심 formula_164를 잇는 직선에 직교하는 초평면을 이룬다. (여기서 등식의 좌변과 우변은 각각 formula_115의 formula_162에 대한 방멱에 대응하며, formula_167는 formula_159의 표준적인 노름을 나타낸다.) 이를 두 초구 formula_162의 근초평면이라고 한다. 특히 formula_170일 경우 각각 두 원의 근축 또는 두 구의 근평면이라고 부른다.
formula_1차원 유클리드 공간 formula_159 위에서, 같은 초평면 위에 있지 않은 점 formula_173을 중심으로 하는 formula_174개의 초구 formula_175을 생각하자. 그렇다면, 각 쌍의 초구의 근초평면은 유일한 교점을 가진다. 이를 formula_174개의 formula_1차원 초구 formula_175의 근심이라고 한다.