내접원

내접원(內接圓, )은 기하학에서 주어진 다각형의 모든 변에 접하는 원이다. 내심(內心, )은 내접원의 중심을 일컫는다. 일반적인 다각형은 내접원을 갖지 않는다. 그러나 삼각형 또는 정다각형의 내접원은 항상 존재한다. 내심은 흔히 formula_1로 표기하며, 내접원의 반지름은 흔히 formula_2로 표기한다.
정의.
다각형의 모든 변에 접하는 원을 이 다각형의 내접원이라고 한다. 내접원의 중심을 내심이라고 한다. 내접원을 갖는 다각형을 외접 다각형(外接多角形, )이라고 한다.
성질.
(내접원을 갖는) 다각형의 내접원은 그 내부에 포함되는 가장 큰 원이다. (내접원을 갖는) 다각형의 내심은 모든 내각 이등분선의 교점이다. (내접원을 갖는) 다각형의 내심과 모든 변 사이의 거리는 같다. 이는 내접원의 반지름이다.
모든 삼각형과 정다각형은 내접원을 갖는다. 정삼각형의 내심은 외심, 무게 중심, 수심과 일치한다. 삼각형의 내심은 방심 삼각형의 수심이다. 포이어바흐 정리에 따르면, 삼각형의 내접원 및 세 방접원은 구점원과 접한다.
반지름.
(내접원을 갖는) 다각형의 내접원의 반지름 formula_2은 넓이 formula_4와 반둘레 formula_5를 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다.
삼각형의 세 변의 길이가 formula_7, formula_8, formula_9, 반둘레가 formula_5, 넓이가 formula_4, 외접원의 반지름이 formula_12, 방접원의 반지름이 formula_13, formula_14, formula_15라고 할 때, 내접원의 반지름은 다음과 같다.
첫 등호는 헤론의 공식에 의한다.
접점과 중심각.
삼각형 formula_17의 내심을 formula_1라고 하고, 내접원과 두 변 formula_19, formula_20의 접점을 각각 formula_21, formula_22라고 하고, 직선 formula_23와 formula_24의 교점을 formula_25라고 할 때, formula_26는 formula_23의 수선이다.
삼각형 formula_17의 내접원의 formula_29, formula_30, formula_31의 대변에서의 접점을 각각 formula_32, formula_21, formula_22라고 하고, 반둘레를 formula_5, formula_29, formula_30, formula_31의 대변의 길이를 각각 formula_7, formula_8, formula_9라고 할 때, 다음이 성립한다.
삼각형 formula_17의 내심 formula_1와 꼭짓점들이 이루는 각의 크기는 다음과 같다.
외접원과의 관계.
삼각형의 외접원과 내접원의 반지름을 formula_12, formula_2라고 할 때, 내심 formula_1와 외심 formula_53 사이의 거리는 다음과 같다 (오일러 삼각형 정리).
특히 다음과 같은 부등식이 성립한다 (오일러의 부등식).
삼각형 formula_17의 내심을 formula_1, 외접원의 호 formula_20의 중점 formula_59이라고 할 때, 다음이 성립한다 (맨션 정리).
내심 삼각형.
삼각형 formula_17의 내각 이등분선 formula_62, formula_63, formula_64의 발 formula_65, formula_66, formula_67를 꼭짓점으로 하는 삼각형을 삼각형 formula_17의 내심 삼각형(內心三角形, ) formula_69라고 한다. 즉, 내심 삼각형은 내심의 체바 삼각형이다.
제르곤 점과 제르곤 삼각형.
삼각형 formula_17의 내접원과 꼭짓점 formula_29, formula_30, formula_31의 대변의 접점을 각각 formula_32, formula_21, formula_22라고 하자. 그렇다면 체바 정리에 따라 선분 formula_77, formula_78, formula_79는 한 점에서 만난다. 이 점을 삼각형 formula_17의 제르곤 점() formula_81이라고 한다. 삼각형 formula_17의 내접원의 세 접점 formula_32, formula_21, formula_22를 꼭짓점으로 하는 삼각형을 삼각형 formula_17의 제르곤 삼각형() 또는 내촉 삼각형() 또는 접촉 삼각형() formula_87라고 한다. 즉, 제르곤 삼각형은 내심의 수족 삼각형이자 제르곤 점의 체바 삼각형이다.
다음 등식 및 체바 정리에 따라 선분 formula_77, formula_78, formula_79는 한 점에서 만난다.
제르곤 점은 제르곤 삼각형의 대칭 중점이다.
삼각형 formula_17의 내접원과 꼭짓점 formula_29, formula_30, formula_31의 대변의 접점을 각각 formula_32, formula_21, formula_22라고 하고, 제르곤 점을 formula_81라고 하자. 제르곤 점 formula_81을 지나는, 제르곤 삼각형의 각 변 formula_101, formula_24, formula_103의 평행선 formula_104, formula_105, formula_106와 원래 삼각형 formula_17의 두 변 formula_20와 formula_109, formula_109와 formula_111, formula_111와 formula_20의 교점을 각각 formula_25와 formula_4, formula_12와 formula_117, formula_118와 formula_119라고 하자. 그렇다면 이 6개의 교점은 한 원 위에 있다. 이 원을 삼각형 formula_17의 애덤스 원()이라고 한다. 애덤스 원은 내접원과 동심원이다.
6개의 점 formula_25, formula_119, formula_12, formula_4, formula_118, formula_117와 내심 formula_1사이의 거리가 같음을 증명하는 것으로 충분하다. 이는 직각 삼각형 formula_128, formula_129, formula_130, formula_131, formula_132, formula_133의 빗변이다. formula_134는 내접원의 반지름이므로
를 보이는 것으로 충분하며, 대칭성에 따라 formula_136를 보이는 것으로 충분하다.
같은 점을 지나는 원의 두 접선의 길이는 같으므로 formula_137이다. 직선 formula_104와 formula_101는 평행하므로 formula_140이다. 따라서 formula_141이다.
선분 formula_101, formula_143의 연장선과 점 formula_29를 지나는 직선 formula_20의 평행선의 교점을 각각 formula_146, formula_147라고 하자. 그렇다면 직선 formula_148와 formula_20는 평행하며 삼각형 formula_150, formula_151는 이등변 삼각형이므로
이며, 선분 formula_153는 삼각형 formula_154의 중선이다. 직선 formula_148, formula_104, formula_157는 각각 직선 formula_20, formula_101, formula_143와 평행하므로, 삼각형 formula_154와 선분 formula_153의 합집합은 삼각형 formula_163와 선분 formula_164의 합집합과 닮음이다. 따라서 선분 formula_164 역시 삼각형 formula_163의 중선이다. 즉, formula_167이다.
삼각형 formula_17의 내접원과 꼭짓점 formula_29, formula_30, formula_31의 대변의 접점을 각각 formula_32, formula_21, formula_22라고 하고, 제르곤 점을 formula_81라고 하자. 제르곤 점 formula_81을 지나는, 제르곤 삼각형의 각 변 formula_101, formula_24, formula_103의 평행선 formula_104, formula_105, formula_106와 원래 삼각형 formula_17의 두 변 formula_20와 formula_109, formula_109와 formula_111, formula_111와 formula_20의 교점을 각각 formula_25와 formula_4, formula_12와 formula_117, formula_118와 formula_119라고 하자. 직선 formula_196와 formula_197, formula_197와 formula_199, formula_199와 formula_196의 교점을 각각 formula_202, formula_203, formula_204라고 하자. 그렇다면 삼각형 formula_17의 제르곤 점 formula_81은 삼각형 formula_207의 대칭 중점이며, 삼각형 formula_17의 애덤스 원은 삼각형 formula_207의 제1 르무안 원이다.
역사.
제르곤 점 및 제르곤 삼각형은 프랑스의 수학자 조제프 디에즈 제르곤()의 이름을 땄다.
애덤스 원 관련 결과들은 1843년에 C. 애덤스()가 제시하였다.