위상 K이론

대수적 위상수학에서 위상 K이론(位相K理論, )은 위상 공간 위의 벡터 다발을 연구하는 분야이다. 보다 일반적인 K이론의 특수한 경우다.
정의.
벡터 다발을 통한 정의.
0차 K군.
다음이 주어졌다고 하자.
그렇다면, formula_1 위의 formula_12-벡터 다발
들의 동형류들의 집합을 생각할 수 있다. 이는 직합을 통하여 가환 모노이드를 이루며, formula_14인 경우 텐서곱을 통하여 가환 반환을 이룬다. (직합에 대한 항등원은 자명한 0차원 벡터 다발이며, 텐서곱에 대한 항등원은 자명한 1차원 실수 또는 복소수 벡터 다발이다.)
formula_1의 formula_12에 대한 K군() formula_17는 formula_1 위의 formula_12-벡터 다발들의 그로텐디크 군이다. 만약 formula_14라면, 이는 가환환을 이룬다.
흔히, 만약 formula_12를 생략하였다면, formula_22를 뜻한다.
축소 K군.
formula_23가 점을 가진 공간이라고 하자. 그렇다면 축소 K군(縮小K群, ) formula_24는 다음과 같다. 다음과 같은 준동형이 존재한다.
그렇다면
이다.
벡터 다발의 차원에 해당하는, 다음과 같은 군 준동형이 존재한다.
여기서 formula_28는 정수 계수를 가지는 체흐 코호몰로지다. 만약 formula_1가 연결 공간이라면 formula_30이다. 이 경우 formula_31이며, 벡터 공간 formula_32은 formula_33차원 벡터 다발들이 이루는 그로텐디크 군이다.
상대 K군()은 상대 호몰로지와 유사한 개념으로, 다음과 같다. formula_34가 부분 공간이라고 하자. 그렇다면 formula_1의 formula_36에 대한 상대 K군 formula_37는 다음과 같다.
여기서 formula_39의 점은 물론 formula_40이다.
formula_1가 (콤팩트하지 않을 수 있는) 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이라고 하자. 그렇다면, 콤팩트 지지 K군() formula_42는 그 알렉산드로프 콤팩트화 formula_43의 축소 K군이다.
물론, 만약 formula_1가 콤팩트 하우스도르프 공간이라면,
이다.
고차 K군.
−n차 축소 K군 formula_47는 다음과 같다.
여기서 formula_49는 위상 공간의 분쇄곱이고, formula_50은 formula_33차원 초구다. 여기서 formula_52이므로, formula_53의 정의는 일관적이다. 또한 formula_54이므로, formula_55이다.
−n차 (비축소) K군 formula_47는 그 알렉산드로프 콤팩트화 formula_57의 축소 K군이다.
고차 축소 K군들은 주기적이다. 즉, 다음이 성립한다.
이를 보트 주기성()이라고 한다. 보트 주기성을 사용하여 양의 정수차 K군 formula_61, formula_62 등을 정의할 수 있다.
안정 벡터 다발을 통한 정의.
콤팩트 하우스도르프 공간 formula_1가 주어졌다고 하자. formula_1 위의 두 (유한 차원, 연속) 복소수 벡터 다발 formula_65, formula_66 사이에 다음과 같은 동치 관계를 정의하자.
여기서 formula_68은 formula_33차원 자명한 복소수 벡터 다발이며, 우변의 formula_70은 연속 복소수 벡터 다발의 동형이다.
이 동치 관계에 대한 동치류를 안정 벡터 다발(安定vector다발, )이라고 한다. 안정 벡터 다발들은 직합에 대하여 가환 모노이드를 이루며, 이는 사실 아벨 군이다. 이를 formula_1의 0차 축소 K군 formula_72이라고 한다.
분류 공간을 통한 정의.
기호 formula_2가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 리 군의 포함 관계
에 대한 분류 공간의 포함 관계
가 존재한다. 구체적으로, 이는 어떤 위상 공간 formula_1 위의 formula_77-벡터 다발 formula_78가 주어졌을 때, formula_79-벡터 다발 formula_80를 취하는 것이다 (formula_81는 자명한 1차원 또는 2차원 벡터 다발). 이에 따라서, 귀납적 극한
를 취할 수 있다.
이들은 구체적으로 다음과 같이 표현된다. 직교군 formula_83의 분류 공간 formula_84은 무한 차원 실수 벡터 공간에서 원점을 지나는 formula_33차원 부분 공간들의 공간(그라스만 다양체)이며, 유니터리 군 formula_86의 분류 공간 formula_87은 무한 차원 복소수 벡터 공간에서 원점을 지나는 복소수 formula_33차원 부분 공간들의 공간이다.
formula_1가 CW 복합체와 호모토피 동치인 위상 공간이라고 하자. 그렇다면, formula_1의 K군은 다음과 같다.
여기서 formula_92는 formula_93 호모토피류들의 집합이다.
만약, formula_1가 formula_33차원 연결 공간이고 formula_96일 때,
이 성립한다.
성질.
함자성.
formula_99가 적절한 위상 공간의 범주(예를 들어, 콤팩트 생성 약한 하우스도르프 공간의 범주)라고 하자. 그렇다면, 위상 K이론은 다음과 같은 함자를 정의한다.
여기서
즉, 연속 함수 formula_93가 주어지면, 이에 따라 환 준동형 formula_108가 존재한다.
또한, 축소 위상 K이론은 다음과 같이 점을 가진 공간의 범주 위의 함자를 정의한다.
특히, 위상 K이론은 호모토피 불변량이다. 즉, 서로 호모토피 동치인 공간들의 K군들은 동형이다.
보트 주기성.
다음이 성립한다.
분류 공간으로서, 이는 다음과 같은 호모토피 동치에서 기인한다.
코호몰로지.
위상 K이론은 코호몰로지에 대한 에일렌베르크-스틴로드 공리들을 차원 공리를 제외하고 모두 만족시킨다. 따라서, 위상 K이론은 특수(extraordinary) 코호몰로지 이론을 이룬다. (차원 공리에 따르면 formula_118이어야 하지만, K이론에서는 formula_119이다.)
천 지표.
천 지표 formula_120는 formula_1 위의 벡터 다발들의 가환 모노이드 formula_122로부터 짝수 차수 유리수 코호몰로지 formula_123로 가는 모노이드 준동형이다. 이는 그로텐디크 군 연산을 통해, 다음과 같은 환 준동형 formula_124로 확장된다. 즉, formula_125라고 하면,
이다. 다시 말해, 천 지표는 K이론에서 코호몰로지로 가는 준동형이다. 마찬가지로, 축소 K이론에서 축소 코호몰로지로 가는 준동형 formula_130 또한 존재한다.
고차 K이론의 경우에도 천 지표를 정의할 수 있다.
이므로, 이를 사용하여 천 지표를
로 확장시킬 수 있다. 대부분(유한 CW 복합체)의 경우, 천 지표는 formula_134와 formula_135 사이의 동형 사상이다. 즉, 다음과 같은 동형 사상이 성립한다.
마찬가지로, 실수 K군의 경우 다음이 성립한다.
예.
축약 가능 공간.
하나의 점을 포함하는 공간 formula_139의 K군들은 다음과 같다.
K이론은 호모토피 불변량이므로, 모든 콤팩트 하우스도르프 축약 가능 공간의 K군은 1점 공간 formula_139의 K군과 같다.
이에 따라, 축소 K군의 경우
임을 알 수 있다.
초구.
초구 formula_146의 (비축소) 복소수 K군들은 다음과 같다.
초구의 축소 복소수 K군들은 다음과 같다.
초구의 축소 실수 K군들은 다음과 같다.
기타 공간.
복소수 사영 공간 formula_154의 K군들은 다음과 같다.
원환면 formula_157의 K군들은 다음과 같다.
역사.
마이클 아티야와 프리드리히 히르체브루흐가 1950년대 말에 창시하였다.