요르단 대수

추상대수학에서 요르단 대수(Jordan代數, )는 교환 법칙을 따르지만 결합 법칙을 따르지 않을 수 있는 쌍선형 이항 연산을 갖춘 대수 구조의 일종이다.
정의.
쌍선형 형식을 통한 정의.
2가 가역원인 가환환 formula_1 위의 요르단 대수 formula_2는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
이차 형식을 통한 정의.
가환환 formula_8 위의 요르단 대수 formula_2는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
이는 다음 공리들을 만족시켜야 한다.
또한, 이 공리들은 formula_1의 임의의 스칼라 확장 formula_21에 대하여 성립하여야 한다.
만약 2가 가역원일 때, 이 정의는 첫째 정의와 동치이다. 그러나 이 정의는 만약 2가 가역원이 아닐 경우에도 잘 정의된다. 이 경우, 두 정의는 다음과 같이 대응된다.
그러나 이 두 정의가 서로 동치임을 증명하는 것은 전혀 자명하지 않다.
연산.
직합.
같은 가환환 formula_1 위의 두 요르단 대수 formula_2, formula_24가 주어졌을 때, 그 직합 formula_25을 정의할 수 있다. formula_1-벡터 공간으로서 이는 벡터 공간의 직합이며, 그 위의 연산은 다음과 같이 성분별로 정의된다.
두 요르단 대수의 직합으로 표현될 수 없는 요르단 대수를 기약 요르단 대수()라고 한다. 모든 유한 차원 요르단 대수는 기약 요르단 대수의 직합으로 분해되며, 이러한 분해는 (순서를 제외하면) 유일하다.
몫.
가환환 formula_1 위의 요르단 대수 formula_2의 요르단 아이디얼()은 다음과 같은 formula_1-부분 가군 formula_31이다.
formula_33로서, 이 조건은 마찬가지로 다음과 같다.
요르단 아이디얼이 주어졌을 때, 요르단 대수의 몫 요르단 대수()
를 취할 수 있다. 반대로, 임의의 전사 요르단 대수 준동형 formula_36이 주어졌을 때, 그 핵 formula_37은 요르단 아이디얼을 이룬다.
요르단 아이디얼은 (formula_38라면) 1을 포함하지 않으므로, 부분 요르단 대수를 이루지 않는다.
정확하게 두 개의 아이디얼(formula_39)을 갖는 요르단 대수를 단순 요르단 대수(單純Jordan代數, )라고 한다.
동위 연산.
가환환 formula_1 위의 요르단 대수 formula_41의 임의의 원소 formula_42에 대하여, formula_43가 전단사 함수라고 하자 (즉, formula_44). 그렇다면, formula_2 위에 다음과 같은 새 요르단 대수 구조를 정의할 수 있다.
만약 formula_47라면, 새 이항 연산 formula_48은 다음과 같다.
이 요르단 대수 구조를 formula_50라고 하며, 이를 formula_2의 동위(同位, )라고 한다. (formula_52가 가역원이라는 조건은 formula_50의 항등원이 존재하기 위해 필요하다.)
동위 연산은 다음 조건들을 만족시킨다.
이에 따라, 동위성은 동치 관계를 이룬다.
피어스 분해.
요르단 대수 formula_41에서, 만약 어떤 원소 formula_57가 formula_58를 만족시킨다면, 다음 항등식이 성립한다.
이에 따라서, 만약 formula_60이며 formula_2가 유한 차원이라면, formula_62에 의한 왼쪽 곱셈 사상 formula_63의 고윳값은 0, 1, 또는 ½이며, formula_2는 다음과 같이 고유 공간으로 분해된다.
이를 피어스 분해()라고 한다.
구조 리 대수.
formula_1가 2의 가역원이 존재하는 가환환이며, formula_41가 그 위의 요르단 대수라고 하자. 이룬다고 하자. 그렇다면, 이 경우 요르단 항등식에 따라서
이 성립함을 보일 수 있다. 여기서
이며, 리 괄호는 formula_70의 것이며, formula_71은 formula_2의 미분 리 대수이다.
이에 따라서, formula_1-벡터 공간
위에 다음과 같은 리 괄호를 주어 formula_1-리 대수로 만들 수 있다.
이를 요르단 대수 formula_2의 구조 리 대수(構造Lie代數, )라고 한다.
물론, formula_2의 항등원 formula_6은 자명하게 작용하므로, 이를 제거하여 1차원 더 작은 formula_1-리 대수
를 정의할 수 있다.
성질.
일반적으로, 요르단 대수는 결합 법칙을 따르지 않는다. 다만, 요르단 항등식에 따라, 요르단 대수 formula_41에서 다음이 성립한다.
두 명제의 증명:
편의상, 결합자
를 정의하자.
우선, 교환 법칙에 의하여, 다음이 항상 성립한다.
요르단 항등식에 의하여,
를 전개하고, formula_94에 비례하는 항만을 추출하면, 다음을 얻는다.
수학적 귀납법을 사용하여, formula_96에 대하여 formula_87이 잘 정의된다고 하자. 이제,
임을 보이면 족하다. 그런데 위 항등식을 통해
이므로, 이를 통해
이다. 그런데 formula_101로 놓으면
이 되어, 즉 formula_103이 된다.
맥도널드 원리.
3개의 (비가환, 비결합) 변수에 대한 다항식 formula_104이 주어졌다고 하자. 만약
formula_107는 모든 요르단 대수에 대하여 성립한다. 이를 맥도널드 원리()라고 한다. 이는 자유 요르단 대수를 통해 증명될 수 있다.
형식적 실수 요르단 대수.
형식적 실수 요르단 대수()는 다음 조건을 만족시키는 요르단 대수 formula_2다.
분류.
실수에 대한 유한 차원 형식적 실수 요르단 대수는 모두 분류되었다. 이러한 요르단 대수들은 단순 요르단 대수()의 직합으로 나타낼 수 있다.
단순 요르단 대수들의 목록은 다음과 같다.
여기서, 다음과 같은 동형이 성립한다.
구체적으로,
로 잡으면,
임을 알 수 있다 (formula_129는 크로네커 델타).
예.
자명한 요르단 대수.
임의의 가환환 formula_1에 대하여, 0차원 또는 1차원 formula_1-자유 가군 위에는 유일한 (항등원을 갖는) 요르단 대수 구조가 존재한다. 이들은 물론 결합 법칙 및 교환 법칙을 따른다.
결합 대수에 대응되는 요르단 대수.
표수가 2가 아닌 체 formula_1 위의 임의의 결합 대수 formula_2가 주어졌을 때,
를 정의하면, 이는 요르단 대수를 이룬다.
증명:
요르단 항등식을 증명하면 족하다.
이는 formula_1-결합 대수의 범주에서 formula_1-요르단 대수의 범주로 가는 함자
를 정의한다.
자유 요르단 대수.
주어진 체 formula_1위의 요르단 대수의 개념은 대수 구조 다양체를 이루며, 따라서 자유 요르단 대수()의 개념이 존재한다. 즉, 망각 함자
의 왼쪽 수반 함자가 존재한다.
0개의 원소로 생성되는 (항등원을 갖는) 자유 요르단 대수는 1차원 formula_1-벡터 공간이다.
하나의 원소 formula_86로 생성되는 자유 요르단 대수는 단순히 다항식환 formula_144이다.
응용.
요르단 대수의 개념은 이론물리학에 사용된다.
역사.
파스쿠알 요르단이 1933년에 도입하였다. 요르단은 원래 양자역학의 관측 가능량의 대수를 다루기 위하여 도입하였다. formula_145가 에르미트 관측 가능량이라면 formula_146 또한 관측 가능량이고, 이들은 단순 요르단 대수를 이룬다.
이후 케빈 맥크리먼()이 표수 2에 대한 요르단 대수의 “올바른” 정의를 발견하였다. 이에 대하여 맥크리먼은 다음과 같이 적었다.