체의 확대

체론에서 체의 확대(體의 擴大, )는 주어진 체에 원소를 추가하여 얻는 더 큰 체이다.
정의.
두 체 formula_1와 formula_2이 주어졌을 때, formula_1에서 formula_2로 가는 확대는 formula_1에서 formula_2로 가는 환 준동형이다. (여기서 환 준동형은 항상 곱셈 항등원을 보존시켜야 한다. 즉, 유사환의 준동형보다 더 강한 조건이다.)
체의 확대는 항상 단사 함수이며, 따라서 formula_1를 formula_2의 부분 집합으로 볼 수 있으며, 이 경우 formula_1를 formula_2의 부분체(部分體, ), 반대로 formula_2을 formula_1의 확대체(擴大體, )라고 한다. formula_2이 formula_1의 확대체라는 것은 기호로 formula_15로 쓴다.
일련의 체 formula_16들이 서로 체의 확대
를 이룰 때, formula_18를 체의 탑(體의 塔, )이라고 한다.
차수.
체의 확대 formula_15가 주어졌을 때, formula_2은 formula_1 위의 가환 단위 결합 대수를 이루며, 특히 벡터 공간을 이룬다. 체의 확대 formula_15의 차수(次數, )는 formula_2의 formula_1-벡터 공간으로서의 차원이며, formula_25로 표기한다.
차수가 유한한 확대를 유한 확대(無限擴大, )라고 한다. 차수가 1인 확대는 전단사 함수이며, 이는 체의 자기 동형에 해당한다. 차수가 2인 확대는 이차 확대(二次擴大, ), 차수가 3인 확대는 삼차 확대(三次擴大, )라고 한다. 모든 유한 확대는 대수적 확대이다.
초월 차수.
체의 확대 formula_15 및 formula_2의 부분 집합 formula_28이 주어졌을 때, 만약 모든 다항식 formula_29에 대하여, formula_30인 다항식은 formula_31밖에 없다면, formula_32를 대수적 독립 집합()이라고 한다. formula_15의 초월 차수()는 formula_2에 포함된 최대 대수적 독립 집합의 크기이며, formula_35와 같이 표기한다. 초월 차수가 0인 체의 확대는 대수적 확대(代數的擴大, )라고 하고, 초월 차수가 0이 아닌 확대는 초월 확대(超越擴大, )라고 한다.
formula_15의 초월 기저(超越基底, ) formula_32는 formula_38가 대수적인 대수적 독립 집합 formula_28이다. 모든 체의 확대는 초월 기저를 가지며, 초월 기저의 크기는 초월 차수와 같다. 만약 formula_40라면, formula_15를 순수 초월 확대(純粹超越擴大, )라고 한다.
생성원으로 정의되는 확대.
체의 확대 formula_15 및 formula_2의 부분 집합 formula_28이 주어졌다고 하자. 그렇다면, formula_2속에서 formula_32로 생성되는 formula_1의 확대 formula_48는 formula_49를 부분 집합으로 포함하며 체를 이루는 formula_2의 가장 작은 부분 집합이다. 이는 항상 유일하게 존재하며, 구체적으로 다음과 같이 구성된다. formula_51가, formula_32의 원소들에 대한 formula_1 계수의 다항식들로 구성된 환이라고 하자. 그렇다면 formula_48는 formula_55의 분수체와 동형이다.
또한, 만약 formula_32가 유한 집합이며, formula_2이 대수적 확대라면 formula_59는 유한 확대이다.
체의 확대 formula_60 속에서 두 부분체
가 주어졌을 때, 이 두 확대체의 합성체(合成體, )는 formula_63이다.
체 노름과 체 대각합.
유한 확대 formula_15가 주어졌다고 하자. 그렇다면 formula_2은 유한 차원 formula_1-벡터 공간이며, 임의의 원소 formula_67에 대하여 formula_68은 formula_1-벡터 공간의 선형 변환이다. 따라서 그 행렬식과 대각합을 취할 수 있으며, 이를 각각 체 노름(體norm, ) formula_70과 체 대각합(體對角合, ) formula_71이라고 한다.
보다 일반적으로, formula_76의 고유 다항식을 취할 수 있으며, 이는 formula_1 계수의 일계수 다항식이다.
이는 체 노름과 체 대각합을 계수로 포함한다.
체 노름과 체 대각합은 최소 다항식으로도 정의할 수 있다. 임의의 formula_67에 대하여, 그 최소 다항식이 formula_81라고 하고, 그 근들의 중복집합이 formula_82라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.
만약 formula_15가 분해 가능 확대라면, 근들의 중복집합은 집합이 된다.
만약 formula_15가 갈루아 확대라면, 위 공식은 다음과 같이 간단해진다.
여기서 formula_89는 갈루아 군이다.
성질.
체의 확대는 항상 단사 함수이다. (전단사 함수인 체의 확대는 체의 자기 동형()이라고 한다.) 체의 확대 formula_15가 존재한다면, formula_1와 formula_2의 표수는 서로 일치한다.
차수와 초월 차수.
확대의 합성에 따라 차수는 곱해지며, 초월 차수는 더해진다. 즉, 체의 확대 formula_15 및 formula_95이 주어졌을 때, 합성 확대 formula_60의 차수 및 초월 차수는 다음과 같다.
여기서 좌변은 일반적으로 기수의 곱 또는 합이다.
초월 차수가 1 이상이라면, 차수는 항상 무한 기수이다.
체 노름과 체 대각합.
노름은 체의 가역원군의 군 준동형을 이룬다. 즉, 임의의 formula_99에 대하여
이며, 만약 formula_101이라면
이다. 또한, 만약 체의 확대 formula_15 및 formula_95이 주어졌다면, 체 노름은 체의 확대의 합성을 따른다.
대수적 수체 formula_106에서, 모든 대수적 정수 formula_107의 체 노름은 (유리수) 정수이다.
또한, 다음이 성립한다.
여기서 좌변은 체 노름의 절댓값이고, 우변은 주 아이디얼에 대한 몫환의 크기이다. 이를 일반화하여, formula_110의 임의의 아이디얼 formula_111에 대하여
로 정의한다.
분류.
체의 확대 formula_15가 주어졌다고 하고, 그 초월 기저 formula_114가 주어졌다고 하자. 그렇다면 formula_59는 순수 초월 확대이며, formula_38는 대수적 확대이다. 따라서, 체의 확대의 분류는 순수 초월 확대의 분류와 대수적 확대의 분류로 나뉜다.
체 formula_1의 순수 초월 확대는 모두 유리 함수체 formula_48와 동형이며, 이는 formula_32의 집합의 크기 formula_120에 따라 완전히 분류된다.
체 formula_48의 대수적 확대의 분류는 formula_1 위의 formula_120차원의 (무한 차원일 수 있는) 대수다양체의 쌍유리 동치에 대한 분류와 같으며, 따라서 일반적으로 불가능하다고 여겨진다. 다만 일부 특수한 경우는 대수기하학적 기법으로 분류할 수 있다. 예를 들어, 만약 formula_1가 대수적으로 닫힌 체이며 formula_125인 경우, 이는 formula_1 위의 대수 곡선들의 쌍유리 분류에 해당한다.
종류.
위에 정의된 용어 밖에, 특별한 종류의 체의 확대로는 다음이 있다.
예.
대수적 폐포.
임의의 체 formula_1에 대하여, 대수적 폐포 formula_128 및 분해 가능 폐포 formula_129를 정의할 수 있으며, 또한 formula_1의 표수에 따라서 formula_131를 다음과 같이 정의하자.
여기서 formula_133는 크기 formula_134의 유한체이다. 그렇다면 이들은 다음과 같은 체의 탑을 이룬다.
formula_136는 항상 대수적 확대를 이루며, 따라서 초월 차수는 0이다.
유리 함수 · 형식적 로랑 급수.
임의의 체 formula_1에 대하여, 유리 함수체 formula_138 및 형식적 로랑 급수체 formula_139를 정의할 수 있다. 이들은 다음과 같은 체의 탑을 이룬다.
이 경우 차수 및 초월 차수는 다음과 같다.
유리수 · 실수 · 복소수.
유리수체 formula_144, 실수체 formula_145, 복소수체 formula_146는 다음과 같은 체의 탑을 이룬다.
이 경우 차수 및 초월 차수는 다음과 같다.
체의 확대 formula_152에서의 체 노름은 다음과 같다.
이다.
유리수체의 확대.
유리수체의 유한 확대는 수체라고 하며, formula_154나 formula_155 등이 있다. 이들은 대수적 확대이므로, 초월 차수는 0이며, 두 예 다 차수는 2이다.
원주율 formula_156 및 자연 로그의 밑 formula_157는 초월수이므로, formula_158와 formula_159는 초월 차수가 1인 확대이다. 그러나 formula_160가 대수적 독립 집합인지는 알려지지 않았다. 즉, formula_161는 초월 차수가 1 또는 2이지만, 둘 중 어느 것인지는 알려지지 않았다.
이차 수체 formula_165에서의 체 노름은 다음과 같다.
이다.
"p"진수체.
소수 formula_134가 주어졌을 때, 유리수체의 다른 확대로 p진수체 formula_168를 정의할 수 있다. 이 경우, 다음과 같은 체의 탑이 존재한다.
여기서 formula_168는 p진수체이며, formula_171는 그 대수적 폐포이며, formula_172는 그 완비화이다. formula_172는 복소수체 formula_146와 체로서 동형이다. 이 경우 차수는 다음과 같다.
유한체.
소수 formula_134가 주어졌을 때, 표수 formula_134의 유한체들은 다음과 같은 체의 탑을 이룬다.
여기서 formula_179는 유한체의 대수적 폐포이며, 이는 유한체들의 귀납적 극한을 이룬다. 이 탑에서 차수는 다음과 같다.
대수다양체의 유리 함수체.
대수적으로 닫힌 체 formula_1 위의 대수다양체 formula_183가 주어졌을 때, formula_183 위의 유리 함수체
는 formula_1의 확대이다. 이 경우, formula_183의 쌍유리 동치류는 확대 formula_15로부터 완전히 결정된다. 특히, formula_183의 크룰 차원은 formula_15의 초월 차수와 같다.
이를 사용하여, 유한 초월 차수의 확대는 대수기하학적으로 분류할 수 있다.
formula_192차원 유리 다양체의 유리 함수체는 순수 초월 확대 formula_193이다. 다른 예로, 다음과 같은 방정식으로 주어지는, 사영 평면 속의 초타원 곡선을 생각하자.
여기서 formula_195는 근들이 중복되지 않는 다항식이다. 이는 기하학적으로 formula_196 좌표로 나타내어지는 사영 곡선의 2겹 분기 피복을 이루며, formula_196 위의 올은 formula_198이다. formula_199개의 분기점들은 formula_134의 근 및 (만약 formula_201인 경우) 무한대 formula_202에 위치한다. 체론적으로, 이는 초월 확대
로 주어진다. 사영 직선 위의 분기 피복은 대수적 확대 formula_204에 해당되며, 이것이 2차 유한 확대인 것은 분기 피복이 2겹인 것에 대응한다. 특히, 타원 곡선의 경우 이 함수체 (타원 함수체)는 바이어슈트라스 타원 함수로 다음과 같이 주어진다.
이는 바이어슈트라스 타원 함수가 formula_206를 만족시키기 때문이다.