이징 모형

통계역학에서 이징 모형(Ising模型, )은 자석의 간단한 격자 모형이다. 이징 모형은 강자성체를 위치가 고정되어 있는 자기 쌍극자의 격자로 나타낸다. 각 쌍극자는 +1 또는 −1 두 개의 상태를 가질 수 있고, 격자 위에서 바로 옆에 있는 쌍극자와 상호 작용한다.
정의.
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
그렇다면, 그래프 formula_1 위의, 자기장 formula_9에 대한 이징 모형은 다음과 같은 분배 함수로 정의된다.
여기서 합은 모든 함수
에 대한 것이다.
보통, formula_13 및 formula_9는 상수 함수로 놓는다.
성질.
이징 모형은 다음과 같은 대칭을 갖는다.
여기서 formula_18은 그래프의 분리합집합이다.
평면 그래프 쌍대성.
평면 그래프 formula_1 위의 이징 모형은 그 쌍대 그래프 formula_20 위의 이징 모형과 동치이다. 이 경우, formula_1의 고온 이징 모형은 formula_20의 저온 이징 모형에 대응한다.
특히, 평면 정사각형 격자 그래프 formula_23는 스스로와 쌍대이며, 이를 통해 평면 정사각형 격자 그래프의 상전이 온도를 알 수 있다. 마찬가지로, 평면 정육각형 격자 그래프는 평면 정삼각형 격자 그래프와 쌍대이다.
특별한 경우.
특수한 그래프의 경우, 이징 모형의 해를 해석적으로 구할 수 있다.
무변 그래프 (고온 극한).
만약 formula_24가 formula_25개의 꼭짓점을 갖는 무변 그래프라고 하자. 그렇다면,
이다. 이 경우 헬름홀츠 자유 에너지는
이다.
즉,
이다.
임의의 그래프 위의 이징 모형에서, formula_29일 때 (즉, 고온 극한) 이는 무변 그래프로 수렴한다.
완전 그래프 (평균장 근사).
만약 formula_30가 formula_25개의 꼭짓점을 갖는 완전 그래프라고 하자. (이 경우를 만약 다른 그래프의 근사로 여길 때 평균장 근사 平均場近似, 라고 한다.)
편의상, formula_13와 formula_33가 상수 함수라고 가정하자. 이 경우, +값의 스핀의 수를
으로 적으면,
가 된다. 즉,
이다.
열역학적 극한은
이다. 이 경우, 변수
를 정의하면, 분배 함수는 다음과 같다.
만약 formula_45가 하나의 최댓값을 가지는 경우, 이는 라플라스 방법으로 근사할 수 있다. formula_45의 최댓값의 위치는
이므로
이다. formula_45의 최댓값 근처의 폭은
에 의하여 주어진다. 따라서 분배 함수는
가 된다.
이 경우 평균 스핀은 다음과 같다.
첫째 항만을 남기고, formula_9에 대하여 풀면 상태 방정식
을 얻는다.
이 근사가 잘 성립하려면 (즉, formula_45가 한 점에서 최댓값을 갖는다면), 함수
가 치역의 값 formula_9 근처에서 단사 함수이어야 한다. 이것이 항상 성립할 필요 충분 조건은
이다. 만약 formula_60일 경우, formula_61가 충분히 작다면 이 함수는 세 개의 원상을 갖는다. 이 경우, formula_45의 세 개의 임계점 가운데 formula_45의 값이 가장 큰 것을 골라야 한다. 물리학적으로, 이는 formula_64에서 일어나는 2차 상전이를 나타낸다. 완전 그래프를 강자성체의 평균장 근사로 여길 경우, 이는 퀴리 온도 formula_65에 해당한다.
순환 그래프 (1차원 이징 모형).
만약 formula_66가 formula_25개의 꼭짓점을 갖는 순환 그래프라고 하자. 이 경우
이다. 이는 2×2 대칭 행렬
로 표현될 수 있다. 그렇다면
이다.
만약 formula_13와 formula_9가 상수 함수라면, 모든 formula_74들이 같아지며, 이 경우
이 된다. 여기서 formula_76, formula_77는 formula_78의 두 (실수) 고윳값이다.
나무 그래프.
유한 나무 그래프 formula_79가 주어졌다고 하자. 이 경우, 어떤 임의의 꼭짓점 formula_80을 고르자. 그렇다면 모든 꼭짓점 formula_81에 대하여, formula_82까지의 최단 경로의 길이 formula_83를 정의할 수 있다. 모든 꼭짓점 formula_84에 대하여, 만약 formula_85라면,
인 formula_88가 유일하게 존재한다.
그렇다면, 스핀 formula_89 대신 다음과 같은 새 변수들을 정의할 수 있다.
또한, 임의의
에 대하여,
그렇다면,
변환 아래 다음이 성립한다.
특히, 만약
인 경우 formula_101이므로 다음과 같다.
베테 그래프.
나무 그래프 formula_79에서 원점 formula_104을 골랐을 때, 다음과 같은 꼴이라고 하자.
원점에서 거리 formula_113의 꼭짓점 formula_81의 높이가
이라고 하자.
예를 들어, 베테 그래프의 경우 formula_116이며 formula_117의 꼴이다.
이제, 같은 높이에서 균등한 함수
를 생각하자. 즉,
이 존재한다.
이제, 이 그래프 위의 이징 모형의 분배 함수
를 생각하자. 그렇다면, 다음과 같은 재귀적 관계가 성립한다.
편의상 다음과 같은 함수를 정의하자.
그렇다면 이 재귀 관계는 다음과 같다.
만약 formula_129, formula_130, formula_131가 상수 함수라면, 이는 formula_132에 대한 이산 시간 동역학계
로 여길 수 있다. formula_134 극한은 (만약 존재한다면) 이 함수의 고정점에 해당한다.
특히, 만약 formula_135일 때 (경로 그래프), 이는 선형 변환에 불과하며, 이 경우 유한한 formula_136의 경우에도 풀 수 있다.
연산자 표현.
유한 그래프 formula_1가 주어졌으며, 그래프 데카르트 곱
위의 이징 모형을 생각하자. (여기서 formula_139은 크기 formula_140의 순환 그래프이다.) 이 경우, 실수 힐베르트 공간
을 정의할 수 있다. 이는 formula_142차원 실수 힐베르트 공간이다. 임의의 함수
에 대하여, 기저 벡터
를 정의할 수 있으며, 이러한 꼴의 벡터들은 formula_145의 정규 직교 기저를 이룬다.
각 두 꼭짓점 formula_146에 대하여, 연산자
를 정의할 수 있다. 즉, formula_151는 formula_139 방향(“시간 방향”)의 변을 생성하며, formula_153는 formula_1 방향(“공간 방향”)의 변을 생성한다. 이들은 둘 다 에르미트 연산자를 이룬다.
그렇다면, 그래프 formula_1 위에서, formula_13와 formula_9가 상수 함수인 경우, 이징 모형은 다음과 같이 연산자로 나타낼 수 있다.
여기서
이다. 즉,
이다. 이에 따라, 이러한 그래프 위의 이징 모형은 연산자
의 고윳값을 구하는 것으로 귀결된다.
2차원 격자 그래프.
1차원에서는 양의 온도에서 상전이 현상이 일어나지 않는다. (다만, 절대 영도 formula_162에서 상전이가 발생하는 것으로 간주할 수 있다.) 하지만 이징 모형은 2차원 이상에서는 상전이가 일어나며, 특히 2차원 이징 모형은 해석적인 해를 구할 수 있다. 그 열역학적 극한은 2차원 등각 장론으로 주어진다.
구체적으로, 다음과 같은 대각선 모양의 격자를 생각하자.
편의상 꼭짓점을 두 색으로 칠하였다. 이 경우, 두 종류의 행들이 있게 된다. 총 formula_163개의 행이 있다고 하자. (즉, formula_140개의 ○행과 formula_140개의 ●행이 있다.) 각 행의 길이가 formula_25이라고 하고, ○행의 꼭짓점을
이라고 하고, ●행의 꼭짓점을
라고 하자.
두 종류의 행에 대응하는 실수 힐베르트 공간을 각각
라고 하자.
이제, 다음과 같은 연산자들을 정의할 수 있다.
이들을 전이 행렬(轉移行列, )이라고 한다. 이를 사용하여 이징 모형의 분배 함수를 다음과 같이 적을 수 있다.
여기서 formula_176는 formula_177의 고윳값들이다. (다만 이는 일반적으로 대칭 행렬이 아니다.) 즉, 분배 함수의 계산은 formula_178의 고윳값들을 계산하는 것으로 귀결된다.
두 힐베르트 공간 사이에 다음과 같은 두 동형 사상을 정의할 수 있다.
물론
이다.
또한, 다음과 같은 연산자를 정의할 수 있다.
즉, 이들은 모든 스핀을 뒤집는 연산자이다. 물론
이다.
이제, 이 연산자들은 다음과 같은 성질을 가진다.
만약
라면,
이다. 또한, 다음이 성립한다.
이다.
formula_25이 짝수일 때, 행렬 formula_200의 formula_201개의 고윳값들은 다음과 같다. (대칭 행렬이 아니므로, 일부 고윳값들은 복소수이다.)
여기서
이다. formula_207는 formula_208의 고윳값에 해당한다.
해석.
이징 모형은 다음과 같이 여러 가지로 해석될 수 있다.
강자성체.
formula_25개의 자기 쌍극자 formula_210를 포함하는 강자성체에 (상수 함수가 아닐 수 있는) 외부 자기장 formula_211가 걸려 있다고 하자. 쌍극자는 자기장에 평행한 방향 formula_212 또는 반평행한 방향 formula_213 둘 중 하나를 가리킨다고 하자. 또한, 쌍극자 사이의 상호작용은 격자 위에서 바로 옆에 있는 경우를 제외하고는 무시할 수 있고, 바로 옆에 있는 경우에는 서로 같은 방향을 가리킬 때 위치 에너지 formula_214을, 서로 반대 방향을 가리킬 때 위치 에너지 formula_215을 가진다고 하자. 그렇다면, 강자성체의 해밀토니언은 다음과 같다.
여기서 formula_217은 격자의 각 위치에서의 쌍극자의 방향을 나타내는 매개변수이고, formula_218은 격자 위에서 서로 옆에 있는 위치 formula_81와 formula_220를 나타낸다.
이 경우 볼츠만 분포는
이다.
따라서, 이는
인 이징 모형에 해당한다.
반강자성체.
formula_25개의 자기 쌍극자 formula_210를 포함하는 반강자성체가 주어졌다고 하자. 즉, 서로 이웃하는 스핀이 같은 방향을 가리킬 때 에너지가 formula_226이며, 반대 방향을 가리킬 때 에너지가 formula_214이라고 하자. 또한, 외부 자기장이 formula_211라고 하자. 이 경우, 에너지는
가 된다. 즉, 볼츠만 분포는
가 된다.
이는
가 되는 이징 모형에 해당한다.
기체.
기체를 구성하는 분자 사이의 퍼텐셜 formula_233은 일반적으로 다음과 같은 특성을 갖는다.
물론, formula_239일 경우는 이상 기체에 해당한다. formula_145의 퍼텐셜 우물은 기체-액체 상전이를 가능하게 한다.
이제, 그래프 formula_1 위에 기체 분자들이 놓여 있다고 하자. 이 경우,
즉, 총 분자 수는
이다. 두 분자 사이의 퍼텐셜 우물의 깊이가 formula_251이라고 하자. 그렇다면, 총 에너지는
이다. 즉, 큰 바른틀 앙상블의 성분은
이다. 이는
가 되는 이징 모형에 해당한다. 여기서 formula_210는 화학 퍼텐셜이며, formula_257는 꼭짓점 formula_81에 연결된 변의 수이다. 특히, 만약 formula_1가 정규 그래프일 경우, formula_9 역시 상수 함수가 된다.
크기 formula_261를 다양하게 조절할 수 있는 그래프의 족에서, 분배 함수
가 그래프의 크기 formula_261에 대한 매끄러운 함수로 주어진다고 하자. 이제, 한 꼭짓점이 나타내는 부피가 formula_264라고 할 때, 기체의 압력은
에 해당한다. (여기서 formula_266는 대략 퍼텐셜 우물의 위치 formula_267의, 그래프 차원 formula_268에 대한 거듭제곱이다.) 열역학적 극한 formula_269이 잘 정의된다면, 자유 에너지 formula_270가
이어야 한다. 즉, 이 경우
가 된다.
이합체 모형.
2차원 정사각형 격자를 비롯하여, 4차 정규 그래프 위의 이징 모형은 이합체 모형으로 해석될 수 있다.
역사.
빌헬름 렌츠(, 1888〜1957)가 제자 에른스트 이징(, 1900〜1998)에게 연습 문제로 제안하였다. 이징은 1925년 박사 학위 논문에서 1차원 이징 모형에는 상전이가 없다는 사실을 증명하였고, 이를 근거로 임의의 차원의 이징 모형에서 상전이가 없다고 추측하였다. 그러나 1944년에 라르스 온사게르가 2차원 이징 모형에서 상전이가 존재함을 증명하였다.