결합 도식

조합론에서 결합 도식(結合圖式, ) 또는 일관 구조(一貫構造, )는 어떤 특별한 조건을 만족시키는 일련의 이항 관계들이 주어진 유한 집합이며, 변 색칠이 주어진 완전 그래프로도 간주될 수 있다. 주어진 결합 도식으로부터 그 구조를 나타내는 결합 대수인 보스-메스너 대수(बसु-Mesner代數, )가 존재한다.
정의.
결합 도식의 개념은 여러 가지로 정의될 수 있으나, 이 정의들은 모두 서로 동치이다.
조합론적 정의.
결합 도식 formula_1은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
이는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.
여기서
흔히, formula_5의 원소는 formula_28으로 표기되며, 이 경우 formula_29이다. 또한,
는 결합 도식의 구조 상수(構造常數, )라고 한다.
행렬을 통한 정의.
결합 도식 formula_31은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
이는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.
이 두 정의는 서로 동치이다. 즉, 두 정의 사이를 번역하려면, 각 이항 관계 formula_50를 대신 정사각 행렬
로 치환하면 된다.
기하학적 정의.
결합 도식의 개념은 거리 공간과 유사하게 정의될 수도 있다.
결합 도식 formula_52은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
이는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.
이 정의 역시 나머지 두 정의와 서로 동치이다. 즉, 각 formula_68에 대하여 이항 관계
를 대응시키면 된다.
부분 결합 도식.
같은 집합 formula_2 위의 두 결합 도식 formula_1 및 formula_72에 대하여, 만약 formula_73이라면, formula_1를 formula_72의 부분 결합 도식(部分結合圖式, )이라고 한다.
결합 도식 준동형.
다음이 주어졌다고 하자.
그렇다면, 결합 도식 사상() formula_80은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
이는 사실 이항 관계가 주어진 구조 사이의 준동형의 특수한 경우이다.
종류.
결합 도식 formula_2에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 결합 도식을 대칭 결합 도식(對稱結合圖式, )이라고 한다.
결합 도식 formula_1에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 결합 도식을 가환 결합 도식(可換結合圖式,)이라고 한다.
결합 도식 formula_1이 다음 조건을 만족시킨다면, 균등 결합 도식(均等結合圖式, )이라고 한다.
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
연산.
올.
결합 도식 formula_94이 주어졌을 때, formula_2 위에 다음과 같은 동치 관계를 정의할 수 있다.
이 동치 관계에 대한 동치류를 formula_2의 올()이라고 하자. 올들로 구성된 집합의 분할을 formula_119로 표기할 때, 다음이 성립한다.
증명:
임의의 formula_121가 주어졌으며, 귀류법을 사용하여
이라고 가정하자. 그렇다면,
이므로, 이는 결합 도식의 정의와 모순된다.
이에 따라, 결합 도식 formula_94의 임의의 올 formula_127이 주어졌을 때,
는 균등 결합 도식을 이룬다.
직접곱.
유한 개의 결합 도식
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 곱집합
위에 이항 관계
를 줄 수 있다. 그렇다면, formula_1는 결합 도식을 이루며, 이를 formula_135의 직접곱(直接곱, )이라고 한다.
이는 군의 직접곱의 개념의 일반화이다.
성질.
구조 상수.
임의의 결합 도식 formula_2의 구조 상수들 formula_137은 다음을 만족시킨다.
만약
일 때, 다음이 성립한다.
균등 결합 도식 formula_1의 구조 상수들 formula_137은 다음을 만족시킨다.
대칭 결합 도식에 대응되는 변 색칠.
대칭 결합 도식 formula_1이 주어졌다고 하자. 그렇다면, formula_2의 원소를 꼭짓점들로 하는 완전 그래프 formula_151 위에, formula_152의 원소를 색으로 하는 변 색칠 formula_153을 정의할 수 있다.
이에 따라, 대칭 결합 도식은 특별한 변 색칠이 주어진 유한 완전 그래프로 여겨질 수 있다.
보스-메스너 대수.
(행렬을 통한 정의의) 결합 도식 formula_92이 주어졌을 때, formula_46의 선형 생성
은 정수 계수 결합 대수를 이룬다. 이를 formula_2에 대응하는 보스-메스너 대수라고 한다 (흔히, 정수 계수 대신 실수나 복소수 계수가 사용된다).
에르미트 수반에 대하여 닫혀 있는 복소수 행렬 결합 대수이므로, 복소수 계수 보스-메스너 대수는 항상 반단순 대수이다.
아르틴-웨더번 정리에 따라서, 복소수 계수 보스-메스너 계수는 다음과 같은 꼴로 유일하게 표현된다.
이에 따라, 위 분해에 등장하는 멱등원
들을 정의할 수 있으며, 이들은
를 만족시킨다 (formula_162는 크로네커 델타). 또한, 편의상
로 놓는다. 여기서 formula_164는 모든 성분이 1인 formula_165 정사각 행렬(즉, 아다마르 곱의 항등원)이다. 이는 결합 도식의 공리에 따라 보스-메스너 대수의 원소이며, 0이 아닌 고윳값이 1개 밖에 없는 멱영원이므로 위 분해에 항상 등장한다.
특히, formula_166를 formula_167로 전개하였을 때의 계수
를 정의할 수 있다.
가환 결합 도식의 쌍대성.
가환 결합 도식 formula_2의 경우, 최소 멱등원의 수는 formula_170와 같으며, 멱영원들 formula_171은 보스-메스너 대수 formula_46의 기저를 이룬다. 이에 따라, 다음을 정의할 수 있다.
또한, formula_167들은 모두 아다마르 곱에 대하여 닫혀 있으므로, formula_166들의 아다마르 곱에 대한 구조 상수
를 정의할 수 있다. (아다마르 곱은 교환 법칙을 따르므로 formula_177이다.)
이에 따라, 다음과 같은 쌍대성이 존재한다.
이 표에서, 배경색이 노란 칸은 가환 결합 도식일 경우에만 정의되는 것이다.
이에 따라, 만약 두 결합 도식 formula_2, formula_179의 복소수 계수 보스-메스너 대수 formula_180, formula_181가 각각
라면, 서로 쌍대()라고 한다. 즉, 반선형 변환()
를 만족시킬 경우, 이들이 서로 쌍대라고 한다.
아다마르 곱은 항상 교환 법칙을 따르므로, 쌍대성은 오직 두 가환 결합 도식 사이에만 존재할 수 있다.
특히, 해밍 결합 도식은 스스로의 쌍대이다.
예.
다음은 formula_187인 대칭 결합 도식의 한 예이다. 여기서 formula_188이다.
그 구조 상수는 다음과 같다.
여기서 formula_191가 수록되었다면 formula_192는 생략하였으며, 수록되지 않은 구조 상수는 모두 0이다.
자명한 결합 도식.
크기가 2 이상인 임의의 유한 집합 formula_2 위에
을 정의하면, formula_197는 결합 도식을 이루며, 이를 자명한 결합 도식(自明-結合圖式, )이라고 한다. 그 구조 상수는 다음과 같다.
이는 사실 formula_202인 해밍 결합 도식과 같다.
이산 결합 도식.
임의의 유한 집합 formula_2 위에,
를 정의하면, formula_1 역시 결합 도식을 이룬다. 이를 이산 결합 도식(離散結合圖式, )이라고 한다. 그러나 formula_206일 경우 이는 균등 결합 도식이 아니다.
작은 결합 도식.
크기 1의 결합 도식은 유일하며, 이는 대칭 결합 도식이다.
크기 2의 결합 도식은 다음 두 가지가 있다.
(가)는 자명한 결합 도식이며, (나)는 이산 결합 도식이다. (가)는 대칭 결합 도식이지만, (나)는 균등 결합 도식이 아니다.
주어진 집합 formula_207 위의, 특별한 조건을 만족시키는 결합 도식의 수는 다음과 같다.
해밍 결합 도식과 존슨 결합 도식.
임의의 곱집합 formula_208 위에, 두 벡터 사이의 해밍 거리가 formula_209인 것을 각각 이항 관계로 삼으면, 이는 결합 도식을 이룬다. 이를 해밍 결합 도식이라고 한다.
특히, formula_210일 때, 주어진 해밍 무게의 벡터들만을 취한 부분 결합 도식을 존슨 결합 도식이라고 한다.
정추이적 작용.
유한군 formula_211의, 유한 집합 formula_2 위의 왼쪽 정추이적 작용이 주어졌다고 하자. (특히, formula_213이다.) 그렇다면,
를 정의하면, formula_216는 결합 도식을 이루며, 그 구조 상수는
이다.
이에 대응하는 보스-메스너 대수는 군환
과 동형이다.
또한, formula_211에 대응하는 결합 도식이 가환 결합 도식일 필요 충분 조건은 formula_211가 아벨 군인 것이다.
일반적 군 작용.
유한군 formula_211의, 유한 집합 formula_2 위의 왼쪽 작용이 주어졌다고 하자. 그렇다면, formula_211는 formula_224 위에 다음과 같이 작용한다.
그렇다면, formula_211의 작용에 대한 궤도들은 formula_227의 분할 formula_228을 정의한다.
이 경우, formula_229는 결합 도식을 이룬다. 또한, 이 결합 도식이 각종 조건을 만족시킬 필요 충분 조건은 다음과 같다.
역사.
1952년에 라지 찬드라 보스와 시마모토(T. Shimamoto)가 블록 설계의 이론에 대한 응용을 위해 결합 도식의 개념 및 용어를 도입하였다. 보스와 시마모토의 논문에서, “결합 도식”()이라는 용어는 대칭 결합 대수를 뜻했다.
1959년에 라지 찬드라 보스와 데일 마시 메스너()는 보스-메스너 대수를 도입하였다.
이후 도널드 고든 히그먼(, 1928~2006)이 1970년에 군론에서의 응용을 위하여 본 문서의 결합 도식과 동치인 개념을 도입하였으며, 히그먼은 이 개념을 “일관 구조”()라고 불렀다.