인자 (대수기하학)

대수기하학에서 인자(因子, ) 또는 베유 인자(Weil因子, )는 여차원이 1인 부분 대수다양체들의 정수 계수 형식적 선형 결합이다. 특별한 경우, 이를 함수의 영점 또는 특이점으로 여겨 이에 카르티에 인자 및 가역층을 대응시킬 수 있다.
정의.
국소 뇌터 정역 스킴 formula_1의 소인자(素因子, ) formula_2는 다음 조건을 만족시키는 formula_1의 닫힌 부분 스킴이다.
이는 가환환의 높이가 1인 소 아이디얼의 개념의 일반화이다.
formula_1의 소인자들의 집합을 formula_8라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 아벨 군의 직접곱을 생각하자.
(이는 자유 아벨 군보다 더 큰 군이다.) 그 원소 formula_10 가운데 다음 조건을 만족시키는 것을 베유 인자라고 한다.
베유 인자들은 formula_9의 부분군을 이루며, 이를 formula_1의 베유 인자군(Weil因子群, ) formula_16라고 한다.
물론, 만약 formula_1가 유한한 열린 덮개를 갖는다면, 베유 인자군은 이는 formula_1의 소인자들로 생성되는 자유 아벨 군과 같다. 특히, 만약 formula_1가 뇌터 스킴일 경우 이 조건이 성립한다.
효과적 인자.
국소 뇌터 정역 스킴 formula_1의 효과적 베유 인자(效果的Weil因子, )는 모든 계수가 음이 아닌 정수인 베유 인자이다. 이는 덧셈에 대하여 모노이드를 이룬다.
정규 스킴의 베유 인자 유군.
뇌터 정역 스킴 formula_21가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.
이는 정칙 스킴의 조건을 여차원 1에 대하여 제한시킨 것이다. 즉, 만약 formula_1가 정역 정칙 스킴이라면 위 조건이 성립한다.
formula_1의 유리 함수체
를 생각하자. 임의의 유리 함수 formula_29에 대응하는 베유 주인자(Weil主因子, )는 다음과 같은 베유 인자이다.
여기서 기호는 다음과 같다.
그렇다면, 유리 함수를 그 주인자에 대응시키는 함수
는 두 아벨 군 사이의 군 준동형을 이룬다. 그 여핵을 베유 인자 유군(Weil因子類群, )이라고 한다. 즉, 다음과 같은 아벨 군의 완전열이 존재한다.
일반적 스킴의 베유 인자 유군.
국소 뇌터 정역 스킴 formula_21가 주어졌다고 하자. 임의의 유리 함수
및 점 formula_11에 대하여, formula_43의 formula_23에서의 차수() formula_45는 다음과 같은 군 준동형이다.
여기거 formula_48는 가군의 길이를 뜻한다.
유리 함수 formula_41에 대응하는 주인자는 다음과 같다.
여기서 formula_51는 formula_4의 일반점이다. 이는 군 준동형
을 정의하며, 그 여핵을 베유 인자 유군 formula_54이라고 한다. 즉, 다음과 같은 아벨 군의 완전열이 존재한다.
성질.
카르티에 인자와의 관계.
임의의 뇌터 분리 정규 스킴 formula_1에 대하여, 카르티에 인자군에서 베유 인자군으로 가는 표준적인 단사 군 준동형이 존재한다.
이에 따라, 카르티에 인자군은 베유 인자군의 부분군이며, 이 부분군은 구체적으로 다음 조건을 만족시키는 베유 인자 formula_58로 구성된다.
즉, 카르티에 인자는 국소적으로 베유 주인자가 되는 베유 인자이다. 이 준동형이 동형을 이룰 필요 충분 조건은 formula_1의 구조층의 모든 줄기가 유일 인수 분해 정역인 것이다. 특히, 비특이 대수다양체의 경우에는 카르티에 인자군과 베유 인자군이 서로 동형이다.
구체적으로, 주어진 카르티에 인자에 대응하는 베유 인자는 다음과 같다.
formula_1가 정역 스킴이므로, 그 유리 함수층은 어떤 체 formula_65에 대한 상수층이다.
formula_1 위의 모든 베유 소인자 formula_69에 대하여, 그 일반점에서의 줄기 formula_70는 이산 값매김환이며, 그 값매김을
라고 하자. 또한, formula_72의 모든 단면군이 formula_73가 될 정도로 섬세한 formula_1의 열린 덮개 formula_60를 고르자.
formula_1위의 카르티에 인자 formula_79
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 formula_80에 대하여, 만약 formula_81이라면 formula_82이다. 그렇다면 다음과 같은 베유 인자를 정의할 수 있다.
formula_1가 뇌터 스킴이므로, 이 합은 유한하다.
함자성.
다음이 주어졌다고 하자.
그렇다면, 닫힌 기약 부분 스킴 formula_91을 정의할 수 있다. 이는 일반적으로 베유 소인자가 아닐 수 있으며, 아닐 경우 이를 0으로 놓자.
이는 베유 인자군 사이의 군 준동형
을 정의한다. 이를 베유 인자의 밂()이라고 한다. (콤팩트성을 가정하지 않으면 밂의 상이 국소 유한성을 충족하지 못할 수 있다.)
예.
카르티에 인자가 아닌 베유 인자.
두 인자가 일치하지 않는 대표적인 경우는 하나의 특이점이 존재하는 이차 곡면 뿔 formula_94이다. 이 경우, formula_23축
은 이차 뿔의 1차원 부분 다양체이므로, 베유 인자를 이룬다. 그러나 이는 국소 주인자가 아니므로, 카르티에 인자가 아니다.
리만 곡면에서의 인자.
리만 곡면(1차원 복소수 비특이 대수다양체)의 경우에는 베유 인자와 카르티에 인자가 서로 일치하며, 곡면의 모든 점들로 생성되는 자유 아벨 군이다. 예를 들어, 리만 곡면 formula_97에서 formula_98이라고 하자. 그렇다면 formula_99 (formula_100)는 (베유) 인자로 여길 수 있다. 카르티에 인자로는, 이를 (국소 복소좌표계에서 정의된) 함수 formula_101으로 정의한다.
보다 일반적으로, formula_102 위에 정의된 유리형 함수 formula_103가 주어지면, 이에 대응하는 주인자 formula_104를 정의할 수 있다. 이는 formula_43의 극점들과 영점들의 선형 결합이며, 선형 결합에서 formula_106차 영점(formula_107의 꼴의 영점)의 계수는 formula_106으로, formula_106차 극점(formula_110의 꼴의 극점)의 계수는 formula_111으로 한다.
이 경우, 리만 곡면 formula_97의 인자
에 대응하는 가역층(정칙 선다발) formula_114의, (매끄러운 다양체 위상에서) 열린집합 formula_115에서의 단면의 공간은 유리형 함수 formula_116 가운데, formula_117가 효과적 인자인 것들로 구성된다. 다시 말해, 그 단면은 유리형 함수 가운데 formula_118에서, formula_119차의 영점을 갖는 것이다. (음의 차수의 영점은 극점으로 간주한다.)
반대로, 가역층 formula_120이 주어졌으며, 이 가역층이 유한 개의 영점만을 갖는 대역적 단면
을 갖는다면, 이에 대응되는 인자는
가 된다. (formula_124는 formula_125의 formula_51에서의 영점의 차수이다.) 서로 다른 대역적 단면을 사용하였을 경우, 이는 일반적으로 서로 다른 인자를 정의하지만, 그 인자의 차는 항상 주인자이며, 이는 항상 같은 인자류를 정의한다.
리만 곡면 위의 모든 가역층은 유한 개의 영점을 갖는 대역적 단면을 갖은 가역층들과 이러한 가역층의 역원들의 텐서곱으로 표현될 수 있다. (다시 말해, 유효 인자의 가환 모노이드는 인자 유군 전체를 생성한다.) 또는, 이러한 대역적 단면을 갖지 않은 가역층의 경우, ‘유리형’ 단면의 개념을 도입하여, 유한 개의 극점과 영점을 갖는 유리형 단면으로써 그 인자를 정의할 수 있다.
크룰 정역에서의 인자.
뇌터 크룰 정역 formula_58의 스펙트럼 formula_128를 생각하자. 이 경우, 다음과 같은 대응이 존재한다.
데데킨트 정역에서의 인자.
데데킨트 정역은 크룰 차원이 1 이하인 크룰 정역이다. 이 경우 모든 소 아이디얼의 높이는 1 이하이므로, 인자 아이디얼과 가역 분수 아이디얼의 개념이 일치한다. 따라서, 이 경우 베유 인자 유군(=인자 아이디얼/가역 주 분수 아이디얼)과 피카르 군(=가역 분수 아이디얼/가역 주 분수 아이디얼)이 같다.
즉, 데데킨트 정역 formula_58의 스펙트럼 formula_128를 생각하자. 이 경우, 다음과 같은 대응이 존재한다.
구체적으로, 베유 소인자들은 formula_58의 소 아이디얼들에 대응한다.
데데킨트 정역에서는 아이디얼의 소인수 분해가 존재하므로, formula_58의 아이디얼
는 베유 효과적 인자
와 대응한다. 이 경우, formula_58의 임의의 베유 인자는 formula_58의 인자 아이디얼
에 대응한다.
formula_58의 분수체의 원소 formula_140로 생성되는 주 분수 아이디얼 formula_141은 formula_142의 베유 주인자에 대응한다. 따라서, formula_58의 베유 인자 유군은 formula_58의 아이디얼 유군과 같다.
예를 들어, 정수환의 스펙트럼 formula_145에서, 베유 인자들은 양의 유리수와 일대일 대응하며, 이 경우 유리수
는 베유 인자
에 대응한다. 모든 인자 아이디얼을 어떤 유리수에 대응하는 주 분수 아이디얼로 나타낼 수 있으므로, 정수환의 베유 인자 유군은 자명하다. 즉, 정수환은 주 아이디얼 정역이다.
역사.
이름에서도 알 수 있듯, 인자의 개념은 수론에서 유래하였다. 인자의 개념의 역사는 레오폴트 크로네커의 인자 이론()에서부터 시작되었다. 이는 오늘날 환론에서 쓰이는 리하르트 데데킨트의 아이디얼 이론을 일반화하는 이론이었다. 에른스트 쿠머는 크로네커의 이론을 추상화하여 데데킨트 정역의 인자 아이디얼의 개념을 도입하였다.
앙드레 베유는 데데킨트 정역의 인자 아이디얼의 개념을 대수다양체에 일반화하여, 베유 인자를 도입하였다.