위상 함자

범주론과 일반위상수학에서 위상 함자(位相函子, )는 위상 공간의 범주에서 집합 범주로 가는 망각 함자와 여러 유사한 성질을 보이는 함자이다. 구체적으로, 주어진 집합을 정의역으로 하는 함수들로 유도되는 "가장 엉성한 구조" 및 주어진 집합을 공역으로 하는 함수들로 유도되는 "가장 섬세한 구조"가 유일하게 존재한다. 올범주의 개념에서, 사상을 임의의 원천으로 일반화하여 강화시킨 개념이다.
정의.
원천과 흡입.
범주 formula_1의 원천(源泉, ) formula_2은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
마찬가지로, formula_1의 흡입(吸入, ) formula_9은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
만약 formula_15가 공집합이라면, 원천 formula_6은 단순히 대상 formula_17이며, 만약 formula_15가 한원소 집합이라면 원천은 단순히 사상 formula_19이다.
시작 원천과 끝 흡입.
범주 formula_1의 원천 formula_6 및 함자 formula_22가 주어졌다고 하자. 만약 formula_6가 다음 보편 성질을 만족시킨다면, formula_24를 formula_25-시작 원천(始作源泉, )이라고 한다.
마찬가지로, 그 쌍대 개념인 formula_25-끝 흡입(-吸入, )을 정의할 수 있다.
만약 formula_15가 한원소 집합이라면, 시작 원천은 데카르트 사상이라고 한다.
올림.
두 범주 formula_1, formula_37 사이의 함자 formula_22가 주어졌다고 하자. formula_37의 원천 formula_40에서, 만약 formula_41인 formula_42가 존재한다면, 원천 formula_40를 formula_25-구조 원천(構造源泉, )이라고 한다. 마찬가지로 formula_25-구조 흡입(構造吸入, )을 정의한다.
formula_25-구조 원천 formula_47의 올림은 formula_48이자 formula_49인 formula_1-원천 formula_51이다.
formula_25-구조 흡입의 올림 역시 마찬가지로 정의된다.
시작 올림 또는 끝 올림은 보편 성질에 의하여 정의되므로, 이들은 만약 존재한다면 유일한 동형 사상 아래 유일하다.
임의의 formula_25-구조 원천 formula_55이 만약 시작 원천 formula_56을 갖는다면, formula_17를 원천 formula_55에 대한 formula_59의 시작 formula_1-구조(始作構造, )라고 한다. 마찬가지로, formula_25-구조 흡입에 대한 끝 formula_1-구조(-構造, )를 정의할 수 있다.
위상 함자.
함자 formula_22에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함자를 위상 함자()라고 한다.
위와 같은 원천의 올림 대신, 풍성한 범주 이론을 사용하여 위상 함자의 개념을 다르게 정의할 수도 있다.
성질.
모든 위상 함자는 충실한 함자이다.
formula_66가 다음 네 성질 가운데 하나라고 하자.
위상 함자 formula_22에 대하여, 만약 formula_37가 formula_66라면, formula_1 역시 formula_66이다.
예.
다음과 같은 구체적 범주들의 망각 함자는 위상 함자이다.
다음과 같은 구체적 범주들의 망각 함자는 위상 함자가 아니다.
위상 공간.
위상 공간의 경우, 시작 구조와 끝 구조는 각각 시작 위상(始作位相, )과 끝 위상(-位相, )이라고 불린다.
즉, 집합 formula_17와 위상 공간들의 족 formula_90 및 함수족 formula_6가 주어졌다고 하자. (formula_15는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면, formula_17 위의 시작 위상은 formula_94들을 모두 연속 함수로 만드는 가장 엉성한 위상이다. 구체적으로, formula_17의 시작 위상은 다음과 같은 부분 기저로 정의된다.
여기서 formula_97는 formula_98의 위상(열린집합들의 족)이다.
마찬가지로, 집합 formula_17와 위상 공간들의 족 formula_90 및 함수족 formula_13가 주어졌다고 하자. (formula_15는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면, formula_17 위의 끝 위상은 formula_94들을 모두 연속 함수로 만드는 가장 섬세한 위상이다. 구체적으로, formula_17의 끝 위상은 다음과 같다.
가측 공간.
집합 formula_17와 가측 공간들의 족 formula_108 및 함수족 formula_6가 주어졌다고 하자. (formula_15는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면 formula_17 위의 시작 시그마 대수()는 formula_94들을 모두 가측 함수로 만드는 가장 엉성한 시그마 대수이다. 구체적으로, formula_17의 시작 시그마 대수는
로 생성된다.
마찬가지로, 집합 formula_17와 가측 공간들의 족 formula_108 및 함수족 formula_13가 주어졌다고 하자. (formula_15는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면 formula_17 위의 끝 시그마 대수()는 formula_94들을 모두 가측 함수로 만드는 가장 섬세한 시그마 대수이다. 구체적으로, formula_17의 끝 시그마 대수 formula_122는 다음과 같다.
균등 공간.
집합 formula_17와 균등 공간들의 족 formula_125 및 함수족 formula_6가 주어졌다고 하자. (formula_15는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면 formula_17 위의 시작 균등 구조()는 formula_94들을 모두 균등 연속 함수로 만드는 가장 엉성한 균등 공간 구조이다. 구체적으로, formula_17의 시작 균등 구조는
로 생성된다.
마찬가지로, 집합 formula_17와 균등 공간들의 족 formula_125 및 함수족 formula_13가 주어졌다고 하자. (formula_15는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면 formula_17 위의 끝 균등 구조()는 formula_94들을 모두 균등 연속 함수로 만드는 가장 섬세한 균등 공간 구조이다. 구체적으로, formula_17의 끝 균등 구조 formula_1는 다음과 같다.
유계형 집합.
집합 formula_17와 유계형 집합들의 족 formula_142 및 함수족 formula_6가 주어졌다고 하자. (formula_15는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면 formula_17 위의 시작 유계형()은 formula_94들을 모두 유계형 함수로 만드는 가장 엉성한 유계형이다. 구체적으로, formula_17의 시작 유계형은 다음과 같다.
마찬가지로, 집합 formula_17와 유계형 집합들의 족 formula_142 및 함수족 formula_13가 주어졌다고 하자. (formula_15는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면 formula_17 위의 끝 유계형()은 formula_94들을 모두 유계형 함수로 만드는 가장 섬세한 유계형이다. 구체적으로, formula_17의 끝 유계형은
로 생성된다.
원순서 집합.
집합 formula_17와 원순서 집합들의 족 formula_158 및 함수족 formula_6가 주어졌다고 하자. (formula_15는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면 formula_17 위의 시작 원순서()는 formula_94들을 모두 순서 보존 함수로 만드는 가장 엉성한 원순서이다. 구체적으로, formula_17의 시작 원순서는 다음과 같다.
마찬가지로, 집합 formula_17와 원순서 집합들의 족 formula_158 및 함수족 formula_13가 주어졌다고 하자. (formula_15는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면 formula_17 위의 끝 원순서()는 formula_94들을 모두 순서 보존 함수로 만드는 가장 섬세한 원순서이다. 구체적으로, formula_17의 끝 원순서 formula_172는
로 생성된다.
역사.
1974년에 호르스트 헤를리히(, 1937~2015)가 도입하였다.