피타고라스 정리

기하학에서 피타고라스 정리(, )는 직각 삼각형의 빗변을 변으로 하는 정사각형의 넓이는 두 직각변을 각각 한 변으로 하는 정사각형 넓이의 합과 같다는 정리이다. 또한, 피타고라스 정리는 유클리드 기하학에서 직각삼각형을 이루는 세 변의 길이의 비에 대한 기본적인 관계이다. 이 정리는 피타고라스 방정식이라고 불리는 다리 a, b와 빗변 c의 길이에 관련된 방정식으로 쓰여질 수 있다.
이 정리는 기원전 570년경에 태어난 그리스 철학자 피타고라스의 이름을 따서 붙여졌다. 고전 고대에 그에게서 기인되었음에도 불구하고, 그 정리의 양상이 초기 문화에 알려졌다는 증거가 있어 현대의 학계에서는 피타고라스 자신이 그것을 알고 있었는지에 대해서도 의문을 제기해왔다. 그 정리는 많은 다른 방법들에 의해 수없이 증명되었다. 증명은 기하학적 증명과 대수적 증명 모두를 포함하여 다양하며, 일부는 수천 년 전으로 거슬러 올라간다.
이 정리는 차원, 유클리드 공간이 아닌 공간, 직각 삼각형이 아닌 객체, 그리고 전혀 삼각형이 아닌 n차원 입체 객체 등 다양한 방법으로 일반화될 수 있다. 피타고라스의 정리는 수학적 난해함, 신비성, 또는 지적 힘의 상징으로서 문학, 연극, 뮤지컬, 노래, 우표, 그리고 만화 등 수학 외의 관심을 끌었다.
정의.
직각 삼각형의 두 직각변 formula_2를 각각 한 변으로 하는 정사각형 면적의 합은 빗변 formula_3를 한 변으로 하는 정사각형의 면적과 같다.
즉, formula_3의 제곱은 formula_6와 formula_7의 제곱의 합이다. 다시 말해, formula_3를 변으로 하는 정사각형의 넓이는 formula_6를 변으로 하는 정사각형의 넓이와 formula_7를 변으로 하는 정사각형의 넓이의 합이다.
다른 형식.
피타고라스 정리는 직각 삼각형의 직각변 formula_2와 빗변 formula_3 가운데 둘을 알 때 남은 하나를 구하는 형식으로 쓸 수 있다.
직각 삼각형의 다리 길이만 알고 빗변은 알고 있지 않다면 빗변의 길이는 다음 방정식으로 계산할 수 있다.
빗변과 한쪽 다리의 길이가 알려진 경우, 다른 쪽 다리의 길이는 다음과 같이 계산될 수 있다.
또는
여기서 formula_16가 음이 아닌 실수일 때, formula_17는 formula_16의 음이 아닌 제곱근을 나타낸다.
이 정리의 일반화는 코사인 법칙으로, 다른 두 변의 길이와 그들 사이의 각도를 고려할 때, 삼각형의 어느 변의 길이를 계산할 수 있다. 다른 변 사이의 각도가 직각이라면 코사인 법칙은 피타고라스 방정식으로 감소한다.
피타고라스 삼조.
피타고라스 정리의 관계를 만족시키는 세 양의 정수의 쌍을 피타고라스 삼조라고 한다. 예를 들어, formula_19는 피타고라스 수이다.
증명.
피타고라스 정리를 증명하는 방법은 여러 가지가 있다.
유클리드의 증명.
유클리드는 원론에서 피타고라스 정리를 다음과 같이 증명하였다.
그림에서, formula_20와 formula_21, formula_22는 모두 정사각형이다. formula_23를 지나는 formula_24의 수선은 정사각형 formula_20를 직사각형 formula_26과 formula_27으로 나눈다.
삼각형의 넓이는 '1/2 × 밑변 × 높이'이므로, 삼각형 formula_28의 넓이는 정사각형 formula_21의 넓이의 절반이다. 마찬가지로, 삼각형 formula_30의 넓이는 직사각형 formula_26의 빨간색 부분의 넓이의 절반이다.
삼각형 formula_28를 formula_33를 중심으로 시계 방향으로 90도 회전하면 삼각형 formula_30를 얻으므로, SAS에 따라 삼각형 formula_28와 formula_30는 합동이다. 서로 합동인 삼각형의 넓이는 같으므로, 삼각형 formula_28와 formula_30의 넓이는 같다.
따라서, 정사각형 formula_21의 넓이는 직사각형 formula_26의 넓이와 같다. 마찬가지로, 정사각형 formula_22의 넓이는 정사각형 formula_27의 넓이와 같다. 따라서, 정사각형 formula_21와 formula_22의 넓이의 합은 정사각형 formula_20의 넓이와 같다.
삼각형의 닮음을 통한 증명.
피타고라스 정리는 삼각형의 닮음을 사용하여 다음과 같이 증명할 수 있다.
그림에서, formula_46는 formula_23를 지나는 빗변 formula_24의 수선이다.
삼각형 formula_49와 formula_50는 각 formula_33를 공유하는 직각 삼각형이므로, AA에 따라 서로 닮음이다. 마찬가지로, 삼각형 formula_52와 formula_50는 서로 닮음이다. 따라서, 대응변에 대한 비례식이 다음과 같이 성립한다.
즉, 다음이 성립한다.
이 두 식을 합하면 피타고라스 정리를 얻는다.
대수적 증명.
피타고라스 정리는 대수학의 방법을 사용하여 다음과 같이 증명할 수 있다.
그림과 같이, 직각변이 formula_2, 빗변이 formula_3인 4개의 직각 삼각형을 적절히 배열하여 큰 정사각형을 만들 수 있다.
이 큰 정사각형은 formula_61를 변으로 하므로 그 넓이는 formula_62이다. 또한, 이는 formula_3를 변으로 하는 작은 정사각형의 넓이 formula_64와 직각 삼각형의 넓이 formula_65의 4배의 합과 같다.
이를 정리하면 피타고라스 정리를 얻는다.
가필드의 증명.
미국의 20대 대통령 제임스 가필드는 다음과 같은 방법으로 피타고라스 정리를 증명했다.
두 평행한 변의 길이가 각각 formula_2이고 이 두 변과 수직인 변의 길이가 formula_69인 사다리꼴의 넓이는 다음 공식을 따른다.
formula_70
그림에서 삼각형 1, 2의 면적은 각각 formula_71이고, 두 삼각형의 면적의 합은 formula_72이다.
삼각형 3의 면적은 formula_73이므로
이를 정리하면 피타고라스 정리를 얻는다.
formula_1
역.
피타고라스 정리의 역 또한 성립한다. 즉, 만약 삼각형의 세 변 formula_75가 formula_1를 만족시킨다면, 이 삼각형은 반드시 formula_3를 빗변으로 하는 직각 삼각형이다.
역의 증명.
피타고라스 정리의 역은 다음과 같이 증명할 수 있다.
삼각형 formula_50에서, 각 formula_79의 대변 formula_75가 formula_1를 만족시킨다고 하자.
임의의 점 formula_82을 취하자. formula_82를 꼭짓점으로 하는 직각을 그리자. 직각의 두 변에서 각각 적절한 formula_84를 취하여, formula_85이며, formula_86이도록 만들자.
그렇다면, formula_87는 formula_2를 직각변으로 하는 직각 삼각형이다. 피타고라스 정리에 따라 그 빗변은 formula_3이다. SSS에 따라 삼각형 formula_50와 formula_87는 서로 합동이다. 따라서 각 formula_23는 각 formula_82와 같이 직각이다. 즉, formula_50는 formula_3를 빗변으로 하는 직각 삼각형이다.
일반화.
코사인 법칙.
임의의 삼각형의 세 변 formula_75 사이에 다음과 같은 관계가 성립하며, 이를 코사인 법칙이라고 한다.
여기서
코사인 법칙에 formula_101를 취하면 피타고라스 정리를 얻는다.
유클리드 거리.
직교 좌표계의 두 점 formula_102 사이의 거리는 다음과 같다.
보다 일반적으로, formula_104차원 유클리드 공간 formula_105의 두 점 formula_106 사이의 거리는 다음과 같다.
노름 공간.
내적 공간 formula_108의 두 벡터 formula_109가 직교한다고 하자. (즉, formula_110이라고 하자.) 그렇다면, 이 두 원소의 노름과 둘의 합의 노름 사이에 다음과 같은 관계가 성립하며, 이를 노름 공간 위의 피타고라스 정리라고 한다.
보다 일반적으로, formula_104개의 벡터 formula_113가 쌍마다 직교한다고 하자. (즉, formula_114가 대각 행렬을 이룬다고 하자.) 그렇다면, 이들의 노름과 합의 노름 사이에 다음과 같은 관계가 성립한다.
역사.
바빌론인은 많은 쌍의 피타고라스 삼조를 알고 있었다.
검증되지 않은 일화에 따르면, 이집트인은 밧줄을 formula_116비율로 매듭내어 직각삼각형을 만들었다.
피타고라스 학파는 피타고라스 삼조를 구하는 방법을 고안하였다. 즉, 홀수 formula_117에 대하여, formula_118는 피타고라스 삼조이다. 또한, 피타고라스 학파의 히파소스는 이 과정에서 통약 불가능 비율을 발견하였다고 여겨진다.
에우클레이데스는 원론에서 피타고라스 정리를 서술 및 증명하였으며, 이는 발견된 최초의 증명이다.
인도인 역시 피타고라스 정리를 "직사각형의 대각선의 제곱은 두 이웃변의 제곱합과 같다"는 내용으로서 알고 있었다. 이는 적절한 모양의 제단을 만드는 데 응용되었다.
유휘는 《구장산술주》에서 원주율을 계산하는 데 피타고라스 정리를 사용하였다.
피타고라스 학파가 피타고라스 정리를 발견 및 증명하였는지는 확실하지 않다. 프로클로는 원론의 주해를 쓸 때, 정리의 발견과 최초 증명에 대한 공로를 피타고라스에게 돌렸다. 이에 대하여, 모리스 클라인은 다음과 같이 적었다.
피타고라스 정리를 이용한 삼각형의 종류의 판별.
만약, formula_1라면, 그 삼각형은 formula_120가 직각인 직각삼각형이다.
만약, formula_121라면, 그 삼각형은 formula_120가 둔각인 둔각삼각형이다.
만약, formula_123라면, 그 삼각형은 formula_120가 예각인 예각삼각형이다.
여기서, formula_3는 빗변, formula_126는 직각을 낀 빗변이 아닌 나머지 두 변이고, 삼각형이 될 필요충분조건인 formula_127를 만족한다.(여기서, formula_120는 변 formula_3의 대각을 뜻한다.)