감쇠장

감쇠장(減衰場, ) 또는 소산장(消散場)이란 전자파(빛),가 특정한 조건 하에서 금속 같은 반사성이 있는 매질 내부에서 야기하는 전자장의 변동을 말한다. 감쇠장에서 방출(반사)되는 전자파인 소멸파(消滅波, )는 지수함수적으로 세기가 감소하는 전자기파로 근접장파의 일종이다.
도체 속에서의 전자기파.
일반적으로 도체 내에서는 전하의 움직임을 조절할 수 없고, 또한 formula_1이다. 옴의 법칙에 따르면, formula_2이다. 따라서 맥스웰 방정식은 다음과 같이 정리된다.
formula_3
formula_4
formula_5
formula_6
이 때, 자유전하에 대한 연속방정식은 다음을 만족한다.
formula_7
따라서 이를 만족하는 해는 다음과 같이 지수함수적으로 감소하는 형태의 자유전하를 보인다.
formula_8
이 때, 고유시간 formula_9는 초기 자유전하가 흩어지는데 소모되는 characteristic time으로, 완벽한 도체에서는 formula_10이므로 formula_11이다. 따라서 우리는 도체의 자유전하를 0으로 둘 수 있고, 맥스웰 방정식은 다음과 같이 고쳐진다.
formula_12
formula_4
formula_5
formula_6
이를 정리하면 다음과 같이 전기장과 자기장에 대한 미분방정식을 각각 얻을 수 있다.
formula_16
formula_17
이 미분방정식을 만족하는 해는 다음과 같다.
formula_18
formula_19
이 때, formula_20이므로, formula_21는 복소수이고, formula_22라고 할 때,
formula_23
formula_24
로 정리된다. 따라서 전자기장의 편광과 위상, 실수 부분을 고려하여 실질적인 전자기장은 다음과 같이 나타난다.
formula_25
formula_26
이 때, 지수함수적으로(e^{-\kappa z}) 감쇠하는 부분에 의해 이는 소멸파로 분류되는 현상 중 하나이다.
이방성(anisotropic) 매질에서의 전자기파.
소개.
 평면파가 소멸파라는 것은 평면파의 slowness vector의 성분 중 적어도 하나가 복소수라는 것이다. 이 복소수의 허수 부분은 공간상에서의 진폭 감쇠 효과를 낳는다.
소멸파에 대한 Christoffel equation.
조화 평면파가 homogeneous, arbitrarily한 이방성 매질을 통과한다고 가정하자. 이 때, 평면파는 다음과 같이 표현된다.
formula_27
이제 slowness 벡터의 성분 중 적어도 하나가 복소수라고 가정하자.
formula_33
formula_34
이 평면파는 파동 방정식을 만족해야 하므로 다음의 식이 유도된다.
formula_35
소멸파의 조건에 의해서 slowness 벡터와 변위 벡터는 일반적으로 모두 복소수이다. 따라서 위 식의 좌변은 실수부와 허수부로 나뉠 수 있고, 이는 formula_39에 대한 coupled equation을 준다.
지금 우리는 non-attenuative, 즉 purely elastic model에 대해 다루고 있다고 할 때, 매질이 elastic하고, isotropic 하다면 slowness 벡터의 실수부와 허수부가 서로에 대해 수직하다. 게다가 purely isotropic tensor formula_40는 방정식을 다음의 두 관계식으로 나타내준다.
formula_41
formula_42
(이 때, V는 P- 또는 S- wave의 속도이고, formula_43에 의해 결정되는 진폭의 감쇠 방향과 formula_44에 의해 결정되는 파동의 진행방향이 서로 수직하다.
formula_43의 크기는 소멸파의 frequency-normalized 진폭 감쇠 요인을 나타내고, 소멸파의 속도(formula_46)는 formula_47의 증가에 의해 매질의 속도 V부터 0까지 감소하게 된다.
이 때, 소멸파는 [formula_48, formula_49] plane으로 진행하며, formula_50 방향으로 감쇠한다고 가정하자. 또한 매질은 수직축에 대해 transversely isotropic하므로, VTI 모델은 azimuthally isotropic하며, 모든 수직 평면은 동일하므로 slowness 벡터를 좌표평면 [formula_48 , formula_50]에서 다루기에 충분하다. 따라서 formula_53이다.
formula_54
따라서 평면파는 다음과 같이 표현된다.
formula_55
그리고 VTI 모델의 stiffness tensor와 위의 단순화된 slowness 벡터를 formula_56에 대입하면, 다음의 세가지 식을 얻는다.
formula_57
formula_58
formula_59
여기서 SH-wave는 두 번째 식으로부터 유도되는 소멸파이고, P-wave와 SV-wave는 각각 첫 번째, 세 번째 식에서 유도되는 소멸파이다.
SH-wave에 대한 정확한 해.
SH-wave의 편광 벡터는 파동의 진행 평면인 [formula_60, formula_61]에 수직하고, slowness 벡터의 수평성분과 수직성분은 위에 주어진 두 번째 식에 의해 연관되어 있다.
formula_62
이 때, slowness 벡터의 수평성분은 다음과 같이 표현할 수 있다.
formula_63
formula_64
등방성 매질에 대해서 SH-소멸파의 속도는 formula_69 보다 formula_71만큼 작았다. 일반적으로 formula_65는 0보다 크기 때문에 이는 주어진 formula_73 값에 대해 formula_74값을 증가시킨다. 따라서 진폭 감쇠 요인을 증가시킨다.
P-wave와 SV-wave의 정확한 해.
P-wave와 SV-wave는 각각
formula_57
formula_59
에 의해서 유도되는 소멸파인데, 이 두 방정식은 실수 변위 벡터 formula_29에 대해 일반적으로 동시에 풀 수 없다. 이는 물리학적으로 수직축과 수평축의 편광 성분 사이의 위상 변화가 발생하고, 소멸파의 편광이 비선형적이라는 것을 의미한다.
등방성 매질에 대한 문제에서는 이 위상 변화가 90도임을 보였는데, 이방성 매질에 대해서도 이를 적용하고 단순화를 위해 formula_78를 각각 실수, 허수로 정하였다.
만일 formula_80이 실수이고, formula_81라고 하면, 위의 두 식은 다음과 같이 정리된다.
formula_82
formula_83
위 방정식에 대해서 non-trivial한 해를 얻기 위해서는 formula_80과 formula_85에 대한 선형 방정식의 판별식이 0이 되어야 하므로,
formula_86
P-wave에 대한 약한 이방성 근사.
formula_73과 formula_88에 대한 정확한 표현은 간단하지 않다.하지만 P-wave에서 formula_89이 formula_71보다 약간 작은 것을 도입하면 다음과 같이 표현할 수 있다.
formula_91
만일 formula_93이라면 formula_94이므로,
formula_73은 formula_88가 증가함에 따라 단조증가 하게 되고, 이는 소멸파의 진폭이 수직 방향에 대해서 더 빠르게 감쇠한다는 것을 의미한다.
만일 formula_97과 formula_98가 formula_99과 formula_74항에 대해 큰 변화를 주고, formula_101항이 순수하게 이방성을 띤다면, 식은 다음과 같이 정리할 수 있다.
formula_102
formula_103의 값이 작은 소멸파에 대해선 (즉 작은 진폭 감쇠에 대해) 위 식의 이방성 성분이 주로 formula_97에 의해서 조정된다.
일반적인 TI 모델은 formula_105인 성질을 갖고 있으므로, 이방성 부분은 주어진 formula_88에 대해 formula_73를 줄이게 된다. 이는 주어진 수평 slowness vector인 formula_73에 대해서 이방성 성분이 formula_88을 증가시키는 것을 뜻하므로 진폭의 감쇠가 일어난다.
SV-wave에 대한 약한 이방성 근사.
P-wave와 마찬가지의 과정에 따라 SV-wave에 대한 방정식은 다음과 같이 정리된다.
formula_110
그리고 formula_111 이므로,
formula_112
이방성은 homogeneous SV-wave의 수평 속도를 변화시키지 않으므로, 수평속도는 수직속도 formula_67와 같다.
일반적으로 formula_114는 0보다 크기 때문에 이는 formula_88를 줄이기 때문에, 고정된 formula_73 에 대해서 진폭 감쇠 효과가 일어난다.