그로텐디크 위상

대수기하학과 범주론에서 그로텐디크 위상(Grothendieck位相, )은 열린 덮개의 개념을 공리적으로 추상화한 개념이다. 이를 사용하여 위상 공간의 개념을 위치(位置, )로 일반화할 수 있다.
그로텐디크 위상의 개념은 대수기하학에서 사용되는, 에탈 코호몰로지 · fppf 코호몰로지 · 결정 코호몰로지()와 같은 각종 코호몰로지 이론을 정의하는 데 필요하다.
정의.
그로텐디크 위상은 주어진 대상 위의 "덮개"가 무엇인지의 데이터를 담고 있다. 그로텐디크 위상은 두 가지로 정의할 수 있다.
두 정의 모두, 그로텐디크 위상은 세 개의 공리들로 정의된다. 이들은 대략 다음과 같다.
그러나 이 세 공리는 덮개의 개념을 어떻게 형식화하느냐에 따라 달리 표현된다.
그로텐디크 위상을 갖춘 범주를 위치라고 한다. 작은 위치 위의 층의 범주와 동치인 범주를 그로텐디크 토포스라고 한다.
집합 위의 위상을 더 섬세함·엉성함에 따라 비교할 수 있는 것처럼,
주어진 범주 위의 그로텐디크 위상들의 모임 위에는 부분 순서가 존재한다. 즉, 같은 범주 위의 두 그로텐디크 위상에 대하여, 첫째가 둘째보다 더 섬세()하다고 할 수 있다. (이는 둘째가 첫째보다 더 엉성()하다는 것과 같다.) 더 섬세한 위상에서는
반대로, 더 엉성한 위상에서는
체를 통한 정의.
국소적으로 작은 범주 formula_11 위의 그로텐디크 위상()은 다음과 같은 데이터로 정의된다.
이들은 다음과 같은 공리들을 따라야 한다. 임의의 formula_12에 대하여,
formula_11 위의 두 그로텐디크 위상 formula_32, formula_33에 대하여, 만약 모든 formula_12에 대하여 formula_35라고 한다면, formula_32가 formula_33보다 더 엉성하며, 반대로 formula_33이 formula_32보다 더 섬세하다고 한다.
사상 집합을 통한 정의.
체는 함자 조건에 의하여, 매우 많은 수의 사상들을 포함한다. 이를 대신하여, 주어진 체를 생성하는 더 적은 수의 사상만으로 그로텐디크 위상을 정의할 수 있다. 이러한 데이터를 그로텐디크 준위상이라고 한다. (그러나 서로 다른 두 그로텐디크 준위상이 같은 그로텐디크 위상을 생성할 수 있다.)
국소적으로 작은 범주 formula_11 위의 그로텐디크 준위상(Grothendieck準位相, )은 다음과 같은 데이터로 정의된다.
이 데이터 또한 일련의 공리들을 만족시켜야 한다.
국소적으로 작은 범주 formula_11 위의 그로텐디크 준위상 formula_64가 주어졌다면, 이에 대응하는 그로텐디크 위상 formula_65를 정의할 수 있다. formula_65에서 formula_12의 덮개체들은 적어도 하나의 덮개를 포함하는 체들이다.
로비어-티어니 위상.
로비어-티어니 위상()의 개념은 그로텐디크 위상의 개념의 일반화이다. 로비어-티어니 위상은 임의의 토포스 위에 정의된다. 작은 범주 formula_11 위의 준층의 범주 formula_70는 토포스를 이루며, 그 위의 로비어-티어니 위상은 formula_11 위의 그로텐디크 위상과 동치이다.
토포스 formula_72 위의 부분 대상 분류자 formula_73가 주어졌다고 하자. formula_72 위의 로비어-티어니 위상 formula_75은 다음 조건들을 만족시키는 사상이다.
부분 대상 분류자의 정의에 의하여, 로비어-티어니 위상 formula_75을 고르는 것은 formula_80의 부분 대상 formula_81을 고르는 것과 같다.
작은 범주 formula_11 위의 준층 범주 formula_70에서 부분 대상 분류자 formula_84는 대상 formula_12에 대하여 그 위의 모든 체들의 집합 formula_86를 대응시킨다. 따라서 부분 대상 분류자 formula_84의 부분 대상 formula_88는 각 대상 formula_12에 대하여, 그 위의 체들의 집합 formula_90을 대응시키는 준층이다. 이것이 준층을 이룬다는 것은 덮개체의 집합이 당김에 대하여 닫혀 있다는 조건이며, 이는 그로텐디크 위상의 세 공리 가운데 하나이다. 그로텐디크 위상의 나머지 두 공리는 로비어-티어니 위상의 공리들과 동치이다.
예.
이산 위상과 비이산 위상.
범주 formula_11 위의 이산 위상()은 모든 체가 덮개체를 이루는 위상이다. 그로텐디크 준위상을 사용한다면, 이는 (같은 공역을 갖는) 임의의 사상들의 모임이 덮개를 이루는 것과 같다. 이는 주어진 범주 위의 가장 섬세한 위상이다.
범주 formula_11 위의 비이산 위상()은 덮개체가 formula_93인 위상이다. 그로텐디크 준위상을 사용한다면, 이는 덮개가 formula_94인 것과 같다. 이는 주어진 범주 위의 가장 엉성한 위상이다. 비이산 위상을 부여한 위치 위에서 모든 준층은 층을 이룬다.
표준 위상.
임의의 국소적으로 작은 범주 formula_11 위의 준층들의 모임 formula_96가 주어졌다고 하자. 그렇다면, formula_96들이 모두 층을 이루는, 가장 섬세한 그로텐디크 위상이 존재한다.
표현 가능 준층은 임의의 대상 formula_12에 대하여 formula_30의 꼴의 준층이다. 모든 표현 가능 준층이 층을 이루는 가장 섬세한 그로텐디크 위상을 표준 위상()이라고 한다. 표준 위상보다 더 엉성한 위상을 준표준 위상()이라고 한다. 즉, 준표준 위상은 모든 요네다 준층이 층을 이루는 위상이다.
그로텐디크 토포스 formula_72 위에 표준 위상을 부여한다면, formula_72 위의 모든 층은 표현 가능하다. 즉, 이 경우 formula_72와 formula_103는 서로 동치이다.
조각 범주.
국소적으로 작은 범주 formula_11 및 대상 formula_105가 주어졌다고 하자.
formula_11 속의 임의의 사상 formula_107 및 체 formula_17가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 조각 범주 formula_109의 대상 formula_110 위에 체 formula_111를 다음과 같이 정의할 수 있다.
formula_11 위의 그로텐디크 위상 formula_32가 주어졌을 때, 각 formula_115에 대하여
로 정의하면, formula_117는 formula_109 위의 그로텐디크 위상을 이룬다. 이를 조각 범주 formula_109 위의 유도 위상()이라고 한다.
위상 공간의 작은 위치.
위상 공간 formula_120의 열린집합들의 범주 formula_121를 생각하자. 이 경우, 대상은 열린집합들이고, 사상은 포함 관계 formula_122들이다. 즉, 임의의 formula_123에 대하여, formula_124는 공집합이거나 아니면 formula_122 하나의 원소만을 포함한다.
열린집합 범주에서의 체.
formula_121에서 열린집합 formula_127 위의 체는 다음 조건을 만족시키는 열린집합들의 집합 formula_128으로 주어진다.
구체적으로, 요네다 함자의 부분 함자 formula_135가 주어진다면,
이다. 즉, 열린집합의 범주에서 formula_1 위의 체는 하향으로 닫힌 formula_1의 부분 집합들의 모임과 같다.
formula_139이며, formula_1 위의 체 formula_141가 주어졌다고 하자. 포함 관계 formula_142에 따른 체의 당김 formula_143는 다음과 같은 체이다.
열린집합 범주에서의 그로텐디크 준위상.
formula_121에서는 모든 당김이 존재하며, 열린집합의 교집합과 같다. 즉, formula_146일 때, formula_147이다. 따라서, 사상 집합을 통한 정의를 사용할 수 있다.
즉, 이는 일반적인 열린 덮개의 성질을 공리화한 것이다.
열린집합 범주에서의 그로텐디크 위상.
formula_121에서 그로텐디크 위상의 공리들을 번역하면 다음과 같다.
formula_121 위에, 덮개체들을 열린 덮개의 하향 폐포들로 고른다면, 이는 위치를 이룬다. 이 위치를 formula_120의 작은 위치()라고 한다. 이 위치는 그로텐디크 준위상으로도 정의할 수 있으며, 이 경우 덮개들은 열린 덮개와 같다.
위상 공간의 큰 위치.
위상 공간과 연속 함수들의 범주 formula_181를 생각하자. 이 위에 다음과 같은 그로텐디크 위상이 존재한다. 위상 공간 formula_182의 덮개 formula_183는 다음 조건을 만족시키는 연속 함수들의 집합이다.
이는 준표준 위상을 이룬다.
위상 공간 formula_182가 주어졌을 때, formula_186는 formula_120로 가는 사상(연속 함수)들을 대상으로 하는 범주이다. 이 경우, formula_186의 두 대상 (연속 함수)
사이의 사상은 다음 성질을 만족시키는 연속 함수 formula_191이다.
이 경우, formula_186는 formula_181로부터 그로텐디크 위상을 물려받는다. 이 그로텐디크 위상을 갖춘 formula_186를 formula_120의 큰 위치()라고 한다.
스킴의 범주의 그로텐디크 위상.
스킴들의 범주 formula_197 위에는 다음과 같은 특별한 그로텐디크 위상들이 존재한다.
이들은 섬세함에 따라 다음과 같이 전순서를 이룬다. (즉, 왼쪽으로 갈 수록 더 엉성한 위상이며, 오른쪽으로 갈수록 더 섬세한 위상이다.)
이들 모두 준표준 위상이다.
스킴 formula_120에 대하여, 그 위의 조각 범주 formula_201 위에는 이 위상들의 유도 위상들을 부여할 수 있다.
각 표수 formula_202에 대하여, 유한체 formula_203 또는 formula_204 위의 분리 거듭제곱 농화(-濃化, )들의 범주 위에, formula_197 위의 위상 가운데 하나를 사용하여 위상을 줄 수 있다. 이러한 위치들을 무한소 위치()라고 하며, 결정 코호몰로지()를 정의하는 데 쓰인다.
역사.
1949년에 앙드레 베유는 유한체 위의 대수다양체에 대한 베유 추측을 제시하였고, 이들을 증명하려면 베유 코호몰로지라는 새로운 코호몰로지 이론이 필요하다고 제안하였다. 그러나 베유 자신은 베유 코호몰로지를 정의하는 데 실패하였다.
1958년에 장피에르 세르는 베유 코호몰로지를 정의하기 위하여 등자명 피복()의 개념을 도입하였다. (이는 오늘날 에탈 사상의 개념과 관련돼 있다.) 세르는 이 개념을 1958년 4월 28일 세미나에서 강의하였고, 이를 청강하던 알렉산더 그로텐디크는 이를 사용하여 베유 코호몰로지를 성공적으로 정의할 수 있다고 확신하였다. 그러나 세르는 그로텐디크와 달리 이에 대하여 회의적이었다고 한다.
1960년대 초에 그로텐디크는 에탈 사상을 사용하여, 베유 코호몰로지의 최초의 예인 에탈 코호몰로지 및 에탈 기본군 등을 정의하였다. 이를 정의하기 위하여 그로텐디크는 고전적 위상 공간의 개념을 버리고 대신 위치(그로텐디크 위상을 갖춘 범주)의 개념을 도입하였다. 1961년 가을에 그로텐디크는 하버드 대학교를 방문하여 마이클 아틴 · 오스카 자리스키 · 데이비드 멈퍼드와 토론하였고, 아틴은 이듬해 봄에 위치에 대하여 강의하였다. 아틴의 강의록은 곧 출판되었으며, 이것이 그로텐디크 위상을 다루는 최초의 문헌이다. 이후 위치와 그로텐디크 위상의 이론은 《마리 숲 대수기하학 세미나》() 3권(1970년) ·4권(1972년)에서 자세하게 다뤄졌다.
그로텐디크는 위치와 그로텐디크 위상의 개념으로부터, 그로텐디크 토포스(위치 위의 층 범주와 동치인 범주)의 개념을 정의하였다. 훗날 그로텐디크는 자신의 회고록에서 위치의 개념이 단지 "토포스라는 핵심적인 개념의 기술적, 임시적 형태"()에 불과하다고 평했다.
1970년 세계 수학자 대회에서 프랜시스 윌리엄 로비어()와 마일스 티어니()는 그로텐디크 위상의 개념을 일반화한 로비어-티어니 위상의 개념을 발표하였다.