균등 비압축성 오일러 방정식

유체 동역학에서, 균등 비압축성 오일러 방정식(均等非壓縮性Euler方程式, )은 비압축성 비점성 유체를 다루는 편미분 방정식이다. 보다 일반적인 오일러 방정식에서, 유체의 밀도가 상수 함수인 경우이다.
정의.
리만 계량을 갖춘 경계다양체 formula_1이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위의 균등 비압축성 오일러 방정식은 어떤 시간 의존 스칼라장
과 시간 의존 벡터장
에 대한, 다음과 같은 1차 편미분 방정식이다.
여기서
formula_11는 보통 변수가 아니라 주어진 배경장으로 취급한다. 오일러 방정식에는 formula_11의 도함수만이 등장하므로, 만약 어떤 상수 formula_31에 대하여 formula_32와 같이 치환하더라도 formula_33의 해는 바뀌지 않는다. 또한, 만약 둘째 및 셋째 방정식을 만족시키는 (즉, 경계에 평행한 무발산 벡터장 formula_33가 주어지면), formula_11는 상수항을 무시하면 유일하게 결정된다.
물리학적 해석.
이 방정식은 물리학적으로 다음과 같이 해석된다.
물리학에서는 보통 압력 formula_36를 중력 퍼텐셜 formula_37와 질량당 일 formula_38로 구분한다.
즉,
이다. 여기서 formula_41는 중력 퍼텐셜 formula_37에 대응하는 중력장이다.
측지선 방정식으로의 형태.
오일러 방정식은 어떤 무한 차원 다양체 위의 측지선 방정식으로 표현될 수 있다.
구체적으로, formula_1이 콤팩트 리만 경계다양체라고 하고, formula_14의 자기 미분 동형
들의 공간
을 생각하자. 이는 프레셰 다양체를 이루는 리 군이다. 그 실수 리 대수는 formula_14 위의 벡터장의 리 대수
이다. 이는 리만 계량으로부터 양의 정부호 이차 리 대수를 이룬다. 따라서, 이로부터 formula_50 위에 오른쪽 평행 이동 불변 리만 계량을 부여할 수 있다.
formula_51 가운데, 부피를 보존하는 미분 동형들로 구성된 부분군
이다. 여기서 formula_54은 리만 계량 formula_13로 주어지는 부피 밀도이다. 이에 대응되는 실수 리 대수는
이며, 이는 발산이 0인 벡터장들의 부분 리 대수이다. 그 연속 쌍대 공간의 매끄러운 부분 공간은 다음 공간과 표준적으로 동형이다.
여기서 formula_58는 미분 형식의 공간이다. 사실, 리만 계량의 음악 동형을 사용하면, 동치류 공간 formula_59의 각 동치류에서 표준적인 대표원을 고를 수 있다.
이제, formula_60 위에 다음과 같은 불변 양의 정부호 이차 형식을 부여할 수 있다.
이는 유체의 (밀도당) 운동 에너지로 해석될 수 있다. 이는 프레셰 리 군 formula_62 위의 리만 계량을 정의한다.
이 경우, 오일러 방정식은 formula_62 위의 측지선 방정식과 같다. 구체적으로, 오일러 방정식의 해 formula_17가 주어졌을 때,
를 정의하자. (물리학적으로, 이는 초기 위치가 formula_67였던 유체 입자의, 시각 formula_68에서의 위치를 뜻한다.) 그렇다면,
이며, 둘째 및 셋째 오일러 방정식에 따라서
이므로
이다. 첫째 오일러 방정식은
인데, 항상 부분 적분에 따라
이다. 다시 말하여, 첫째 오일러 방정식은
을 함의한다. 여기서 formula_75는 프레셰 다양체 formula_62 위의, formula_17 방향의 공변 미분이다.
해밀턴 방정식으로의 형태.
오일러 방정식은 또한 무한 차원 선형 푸아송 다양체 위의 해밀턴 방정식으로 간주할 수 있다.
formula_14이 (경계가 없는) 콤팩트 매끄러운 다양체라고 하자. formula_60의 연속 쌍대 공간(의 매끄러운 부분 공간)
이 주어졌다고 하자. 이는 리 대수의 연속 쌍대 공간(의 부분 공간)이므로, 자연스럽게 선형 푸아송 다양체를 이루며, 그 푸아송 괄호는 다음과 같다.
그렇다면, 여기에는 formula_60 위의 양의 정부호 쌍선형 형식
으로부터 자연스러운 이차 형식
을 정의할 수 있다. 이를 푸아송 다양체 위의 해밀토니언으로 삼아, 다음과 같은 해밀턴 방정식을 적을 수 있다.
여기서
구체적으로, 이 방정식은 formula_95에 정의된다. 이를 formula_96 위에 제약()을 가한 계로 생각할 수 있다. 이 경우, formula_97인 임의의 1차 미분 형식 formula_89에 대하여, 해밀턴 방정식은 다음과 같다.
여기서 formula_100은 formula_17의 제약을 위한 보정항이다.
이 방정식은 오일러 방정식과 동치이다. 즉, 속도장 formula_70에 대하여 음악 동형으로
로 놓으면,
가 되어, 오일러 방정식을 얻는다.
성질.
formula_14이 (경계가 없는) 콤팩트 유향 매끄러운 다양체라고 하자.
만약 formula_14이 홀수 차원이라고 하자. 그렇다면, 임의의 원소 formula_107에 대하여, 다음과 같은 값을 정의할 수 있다.
그렇다면, 임의의 formula_109에 대하여
이므로, 이는 사실 formula_95 위의 실수 값 함수를 정의한다.
마찬가지로, 만약 formula_14이 짝수 차원이라고 하고, 그 위에 부피 형식 formula_114이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 원소 formula_107 및 임의의 다항식 formula_116에 대하여, 다음과 같은 값을 정의할 수 있다.
이 역시 마찬가지로 실수 값 함수
를 정의한다.
공간
은 리 대수의 쌍대 공간이므로, 이를 선형 푸아송 다양체로 여길 수 있으며, 특히 리 군 formula_62의 쌍대딸림표현을 갖는다. formula_121와 formula_122는 formula_62의 작용에 대하여 불변량이며, 따라서 이 위의 해밀턴 방정식인 오일러 방정식의 운동 상수이다. 특히, 홀수 차원의 경우, formula_121는 formula_14 위의 리만 계량이나 부피 형식에 의존하지 않으므로, 이는 임의의 리만 계량에 대한 오일러 방정식의 운동 상수를 이룬다. 짝수 차원의 경우, formula_122는 formula_14의 부피 형식에만 의존하므로, 이는 같은 부피 형식을 정의하는 서로 다른 리만 계량에 대한 오일러 방정식의 무한히 많은 운동 상수들을 이룬다.
예.
실수선 위의 1차원 균등 비압축성 오일러 방정식을 생각하자. 이 경우, 오일러 방정식은 버거스 방정식()이라고 하며, 다음과 같다.
이는 특성곡선법으로 간단히 풀 수 있다. 특성 곡선의 방정식은
이다. 둘째 방정식에 의하여, 어떤 한 특성 곡선 위에서 속도 formula_17는 상수이며, 첫째 방정식에 의하여 특성 곡선은 다음과 같은 꼴이다.
즉, 일반해는 다음과 같이 주어진다.
여기서 formula_134는 formula_17의 초기 조건인 임의의 formula_136 함수이다.
만약 formula_137일 때, 그 해는 다음과 같다.
역사.
오일러 방정식은 레온하르트 오일러가 1757년에 발표하였으며, 최초로 연구된 편미분 방정식 가운데 하나이다. 버거스 방정식은 얀 버거스()의 이름을 땄다.