호모토피

대수적 위상수학에서 호모토피() 또는 연속 변형 함수(連續變形函數)는 어떤 위상 공간을 공역으로 하는 특정한 연속 함수이다. 직관적으로 말해서, 호모토피는 주어진 위상 공간 위에서 어떤 두 점을 잇는 수많은 가능한 경로가 연속적으로 변형되는 것을 나타낸다.
정의.
고전적 정의.
위상 공간 formula_1, formula_2 사이의 두 연속 함수
사이의 호모토피는 다음과 같은 성질을 만족시키는 연속 함수 formula_5이다.
두 연속 함수 사이에 호모토피가 존재할 경우, 두 함수가 서로 호모토픽() 또는 연속 변형적(連續變形的)이라 하며 formula_8와 같이 쓴다. 호모토픽 관계는 동치 관계를 이루며, 이에 대한 동치류를 호모토피류(homotopy類, )라고 한다. 연속 함수 formula_9의 호모토피류는 보통 formula_10라고 쓴다.
상수 함수에 호모토픽한 함수를 널호모토픽(null-homotopic) 또는 영연속 변형적(零連續變形的)이라고 한다. 상수 함수로의 호모토피를 널호모토피(null-homotopy) 또는 영연속 변형 함수(零連續變形函數)라 한다.
모든 위상 공간의 범주 formula_11는 데카르트 닫힌 범주가 아니다. 그러나 흔히 사용되는 대부분의 위상 공간을 포함하는 데카르트 닫힌 범주를 정의할 수 있다. (예를 들어, 콤팩트 생성 공간의 범주 formula_12나 콤팩트 생성 약한 하우스도르프 공간 formula_13가 있다.)
formula_12에서는 지수 대상의 법칙
이 성립한다. 여기서 formula_16는 콤팩트 생성 공간의 범주론적 곱이다. formula_17는 콤팩트 생성 공간에서의 지수 대상이며, 집합으로서 이는 연속 함수의 집합이다. 따라서, formula_12에서는 호모토피를 다음과 같이 세 가지로 정의할 수 있으며, 이들은 모두 서로 동치이다.
풍성한 범주에서의 정의.
위상 공간의 범주 formula_11는 데카르트 모노이드 범주를 이룬다. 그 위의 풍성한 범주 formula_34가 주어졌다고 하자. 즉, 임의의 두 대상 formula_35에 대하여, 그 사이의 사상 집합 formula_36는 사실 단순한 집합이 아니라, 위상 공간의 구조가 갖추어져 있다고 하자.
같은 정의역과 공역을 갖는 두 사상 formula_37이 주어졌다고 하자. 이는 formula_36 속의 두 점
을 이룬다. 이 경우, formula_9와 formula_41 사이의 호모토피는 formula_9와 formula_41를 잇는, formula_36 속의 경로이다. 이는 formula_36 위의 동치 관계를 이룬다. 호모토피류는 formula_36의 경로 연결 성분이다.
고전적으로, 모든 위상 공간의 범주 formula_11는 데카르트 닫힌 범주를 이루지 않는다. 그러나
formula_12 등 위상 공간으로 구성된 데카르트 닫힌 범주를 사용하면, 이는 스스로 위의 풍성한 범주를 이루며, 이 경우 고전적인 정의는 풍성한 범주에서의 정의의 특수한 경우가 된다.
보다 일반적으로, 위상 공간 대신 "연결 성분"의 개념을 정의할 수 있는 다른 범주, 예를 들어 단체 집합의 범주 formula_49를 사용할 수도 있다.
모형 범주에서의 정의.
호모토피 이론은 추상적으로 임의의 모형 범주 위에서 전개될 수 있다. 위상 공간의 범주(또는 콤팩트 생성 공간의 범주 등)는 모형 범주의 구조를 가지며, 호모토피의 개념을 임의의 모형 범주에 대하여 일반화할 수 있다. 이 경우, 왼쪽 호모토피()와 오른쪽 호모토피()라는, 서로 쌍대적인 두 개념이 존재하며, 이 두 개념은 적절한 경우 (정의역이 쌍대올대상이며 공역이 올대상인 경우) 서로 동치이다.
편의상, 올뭉치는 formula_50로, 쌍대올뭉치는 formula_51로, 약한 동치는 formula_52로 표기하자.
왼쪽 호모토피.
임의의 유한 쌍대 완비 범주에서, 다음과 같은 쌍대 대각 사상이 존재한다.
여기서 formula_54은 쌍대곱이다 (즉, 위상 공간의 경우 분리합집합이다).
모형 범주 formula_55에서, 대상 formula_1의 기둥 대상() formula_57는 쌍대 대각 사상 formula_53의 다음과 같은 분해이다.
이는 위상 공간의 범주에서의 "기둥" formula_21의 일반화이다. 기둥 대상은 다음과 같은 추가 조건을 만족시킬 수 있다.
모형 범주의 정의에 따라 매우 좋은 기둥 대상이 항상 존재하지만, 실제로 위상 공간에 퀼런 모형 구조()를 준 경우 formula_21는 일반적으로 좋지 않다. 하지만 후레비치 모형 구조()에서 formula_21는 매우 좋은 기둥 대상이다.
두 사상 formula_37 사이의 왼쪽 호모토피()는 어떤 기둥 대상 formula_57에 대하여 다음 그림을 가환 그림으로 만드는 사상 formula_68이다.
이 기둥 대상을 (매우) 좋은 기둥 대상으로 잡을 수 있다면, 이를 (매우) 좋은 왼쪽 호모토피()라고 한다.
같은 정의역과 공역을 갖는 임의의 두 사상 formula_37에 대하여, 다음이 성립한다.
왼쪽 호모토피가 존재하는지 여부는 일반적으로 동치 관계를 이루지 않는다. 그러나 만약 정의역 formula_1가 쌍대올대상일 경우, 사상 formula_37에 대하여 사이에 왼쪽 호모토피가 존재하는지 여부는 동치 관계를 이루며, 이 경우 두 사상이 서로 왼쪽 호모토픽()하다고 한다.
오른쪽 호모토피.
임의의 유한 완비 범주에서, 다음과 같은 대각 사상이 존재한다.
여기서 formula_16은 범주론적 곱이다 (즉, 위상 공간의 경우 곱공간이며, 콤팩트 생성 공간의 경우 곱공간의 콤팩트 생성화이다). 모형 범주 formula_55에서, 대상 formula_1의 경로 공간 대상() formula_86는 대각 사상 formula_82의 다음과 같은 분해이다.
이는 위상 공간의 범주에서의 경로 공간 formula_89의 일반화이다. 경로 공간 대상은 다음과 같은 추가 조건을 만족시킬 수 있다.
모형 범주의 정의에 따라 매우 좋은 경로 공간 대상이 항상 존재한다.
두 사상 formula_37 사이의 오른쪽 호모토피()는 어떤 경로 공간 대상 formula_86에 대하여 다음 그림을 가환 그림으로 만드는 사상 formula_95이다.
이 경로 공간 대상을 (매우) 좋은 경로 공간 대상으로 잡을 수 있다면, 이를 (매우) 좋은 오른쪽 호모토피()라고 한다.
같은 정의역과 공역을 갖는 임의의 두 사상 formula_37에 대하여, 다음이 성립한다.
마찬가지로, 오른쪽 호모토피의 존재는 일반적으로 동치 관계를 이루지 않는다. 그러나 만약 공역 formula_2가 올대상이라면, 오른쪽 호모토피의 존재는 동치 관계를 이루며, 이 경우 두 사상이 서로 오른쪽 호모토픽()하다고 한다.
왼쪽 호모토피와 오른쪽 호모토피의 관계.
왼쪽 호모토피와 오른쪽 호모토피는 다음과 같이 호환된다. 임의의 두 사상 formula_37에 대하여, 다음이 성립한다.
따라서, 정의역이 쌍대올대상이고 공역이 올대상인 경우, 왼쪽 호모토피 · 좋은 왼쪽 호모토피 · 매우 좋은 왼쪽 호모토피 · 오른쪽 호모토피 · 좋은 오른쪽 호모토피 · 매우 좋은 오른쪽 호모토피는 서로 동일한 동치 관계를 정의한다. 이 경우 두 사상이 단순히 서로 호모토픽하다고 한다.
또한, 주어진 쌍대올대상 formula_1에 대하여, 임의의 올대상 formula_2으로 가는 임의의 두 호모토픽 사상 사이의 호모토피는 항상 동일한 (즉, formula_2에 의존하지 않는) 좋은 기둥 대상에 대한 왼쪽 호모토피로 나타낼 수 있다. 마찬가지로, 주어진 올대상 formula_2에 대하여, 임의의 쌍대올대상 formula_1에서 formula_2로 가는 임의의 두 호모토픽 사상 사이의 호모토피는 항상 동일한 (즉, formula_1에 의존하지 않는) 좋은 경로 공간 대상 formula_122에 대한 오른쪽 호모토피로 나타낼 수 있다.
고전적 정의와의 관계.
위상 공간의 범주 또는 콤팩트 생성 공간의 범주에 퀼런 모형 구조를 주자. 이 경우, 모든 위상 공간은 올대상이며, 모든 CW 복합체는 쌍대올대상이다.
또한, 이 경우 고전적 기둥 formula_21은 (만약 formula_1가 쌍대올대상이라면) 좋은 기둥 대상을 이루며, 만약 콤팩트 생성 공간을 사용한다면 고전적 경로 공간 formula_89은 (모든 공간이 올대상이므로) 좋은 경로 공간 대상을 이룬다. 따라서, 공역이 CW 복합체인 경우 모형 범주 이론에서의 호모토피류는 고전적 호모토피류와 일치한다.
종류.
다음과 같은 특별한 호모토피(류)의 개념이 존재한다.
부분 공간을 고정한 호모토피.
위상 공간 formula_1, formula_2 및 formula_1의 부분 공간 formula_129이 주어졌을 때, 두 연속 함수 formula_37 사이의 호모토피 formula_5가 다음 조건을 만족시킨다면, formula_132를 formula_129에서 고정된 호모토피()라고 한다.
formula_9와 formula_41가 formula_129을 고정하여 호모토픽하다는 것은 기호로 다음과 같이 적는다.
부분 공간을 고정한 호모토피 역시 동치 관계를 이루며, 이에 대한 동치류 역시 정의할 수 있다.
이 정의의 특수한 경우로, 위상 공간 formula_2 위의 경로 formula_141에 대하여, formula_142을 고정한 호모토피를 경로 호모토피()라고 한다. 경로 호모토픽 관계는 보통 formula_143로 쓴다.
아이소토피.
두 위상 공간 formula_1, formula_2 사이의 두 매장 formula_37 사이의 호모토피 formula_5가 다음 조건을 만족시킬 경우, formula_132를 아이소토피() 또는 동위(同位)라고 한다.