스펙트럼 열

호몰로지 대수학에서 스펙트럼 열(spectrum列, )은 어떤 호몰로지 또는 코호몰로지에 대한 일련의 근사들을 나타내는 수학적 대상이다.
정의.
어떤 아벨 범주 formula_1의 대상들이 두 개의 정수 등급(grading) formula_2을 가진다고 하자. 이 경우, (코호몰로지) 스펙트럼 열 formula_3는 다음과 같은 대상들로 이루어진다.
이들은 다음을 만족시킨다.
호몰로지 스펙트럼 열의 경우 대신 formula_13로 쓰고, 이 경우 공경계 사상 대신 경계 사상
을 사용한다.
그림과 같이, 보통 스펙트럼 열은 주어진 formula_15에 대한 일련의 2차원 행렬들로 형상화한다. 즉, 스펙트럼 열은 "쪽"이 formula_16인 "책"을 이루며, 책의 formula_5번째 쪽에는 formula_18에 의하여 지표화된 2차원 행렬이 수록되어 있다.
수렴과 퇴화.
스펙트럼 열 formula_7이 주어졌다고 하자. 만약 각 formula_18에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 정수 formula_21가 존재한다고 하자.
그렇다면, 주어진 formula_18에 대하여 formula_3는 충분히 큰 formula_15에 대하여 같아진다. 이를 formula_27라고 하고, formula_7가 여과 지표(濾過指標, ) formula_29에 대하여 formula_27로 수렴(收斂, , )한다고 한다. 이는 기호로 다음과 같이 적는다.
보통 formula_27는 여과 formula_33가 갖추어져 있는 대상 formula_34으로부터 다음과 같이 얻어진다.
이 경우 마찬가지로
로 표기한다.
스펙트럼 열 formula_7이 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건을 만족시키는 정수 formula_38가 존재한다면, formula_7가 formula_38에서 퇴화(退化, )한다고 한다.
스펙트럼 열이 퇴화하는 것은 스펙트럼 열이 수렴하는 것보다 더 강한 조건이다.
제1 사분면 스펙트럼 열.
제1 사분면 스펙트럼 열(第一四分面spectrum列, )는 다음 조건을 만족시키는 스펙트럼 열이다.
즉, 모든 쪽에서 성분이 오직 제1 사분면에서만 영 대상이 아닌 스펙트럼 열이다. 사실, formula_15번째 쪽에서 성분이 제1 사분면에만 존재한다면 그 다음에 오는 모든 쪽에서 성분들은 제1 사분면에서만 존재하게 된다. 따라서, 이 조건은 첫 번째 쪽에서만 확인하면 된다.
제1 사분면 스펙트럼 열은 항상 수렴한다. 구체적으로, 제1 사분면 코호몰로지 스펙트럼 열의 경우
이며, 호몰로지 스펙트럼 열의 경우 역시
이다.
코호몰로지 제1 사분면 스펙트럼 열.
제1 사분면 코호몰로지 스펙트럼 열
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 셋째 쪽의 처음 몇 성분들은 다음과 같다.
넷째 쪽의 처음 몇 성분들은 다음과 같다.
즉, 이 스펙트럼 열은 다음과 같은 성분들로 수렴한다.
수렴한 성분들이 formula_52의 여과에 의하여 주어진다고 하자.
그렇다면 다음이 성립한다.
따라서, 다음과 같은 열을 적을 수 있다.
여기서 formula_58와 formula_59을 생략하면, 다음과 같은 완전열을 얻는다.
이를 5항 완전열(五項完全列, )이라고 한다.
호몰로지 제1 사분면 스펙트럼 열.
마찬가지로, 수렴하는 제1 사분면 호몰로지 스펙트럼 열
이 주어졌다고 하고, 수렴한 성분들이 formula_62의 여과에 의하여 주어진다고 하자.
그렇다면, 스펙트럼 열의 처음 몇 성분은 다음과 같다.
이따라서, 다음과 같은 열을 적을 수 있다.
여기서 formula_68와 formula_69을 생략하면, 다음과 같은 5항 완전열을 얻는다.
구성.
스펙트럼 열은 보통 완전쌍이나 사슬 복합체의 여과로부터 발생한다.
완전쌍.
어떤 아벨 범주 속에서의 완전쌍(完全雙, ) formula_71은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
이들은
를 만족시켜야 한다. 즉, 다음 그림이 완전열을 이룬다.
완전쌍 formula_71의 유도 완전쌍(誘導完全雙, ) formula_80은 다음과 같은 완전쌍이다.
이를 반복하여, formula_95차 유도 완전쌍 formula_96을 정의할 수 있다. 그렇다면,
는 스펙트럼 열을 이룬다. (보통, formula_72 및 formula_99는 두 개의 등급을 갖는다.) 알려진 대부분의 스펙트럼 열은 이와 같이 완전쌍으로부터 유도된다.
여과 복합체의 스펙트럼 열.
사슬 복합체 formula_100에 증가하는 여과 formula_101가 주어졌다고 하자. 즉,
라고 하자. 또한, 경계 formula_103가 여과와 호환된다고 하자. 즉,
이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 완전 그림이 존재한다.
여기에
를 정의한다면,
를 정의할 수 있다. 이는 완전쌍을 이루며, 이로부터 스펙트럼 열을 정의할 수 있다.
예.
formula_111가 CW 복합체이며, formula_112가 그 formula_29차원 뼈대라고 하자. 그렇다면 다음과 같은 완전 도형이 존재한다.
이에 따라,
로 놓으면,
를 정의할 수 있다. 이는 완전쌍을 이루며, 이로부터 유도되는 스펙트럼 열은 formula_120에서 끝난다. 이를 통해, 세포 코호몰로지가 특이 코호몰로지와 동형임을 보일 수 있다.
역사.
장 르레가 1946년 층 코호몰로지를 계산하기 위하여 도입하였다. 이는 오늘날 르레 스펙트럼 열로 불리며, 유도 함자에 대한 그로텐디크 스펙트럼 열의 특수한 경우다. 1951년에 장피에르 세르는 르레 스펙트럼 열 가운데, 층 코호몰로지가 특이 코호몰로지가 되는 특수한 경우인 세르 스펙트럼 열에 대하여 연구하였다.
르레는 원래 "스펙트럼 열"이라는 용어를 사용하지 않았으나, 1949년 논문에서 최초로 "스펙트럼 환"()라는 용어를 사용하였고, 이듬해 장피에르 세르가 이를 "스펙트럼 열"()으로 개량하였다. 존 매클리어리()에 따르면, 아마 이 이름은 스펙트럼 열의 각 성분을 어떤 미분 연산자의 스펙트럼을 구성하는 고윳값에 비유하여 붙인 것이라고 한다. 라비 바킬()은 스펙트럼 열()이 이런 이름이 붙은 것은 마치 귀신()처럼 "무시무시하고 사악하고 위험한"() 대상이기 때문이라고 농으로 비유하였다.
1952년에 윌리엄 슈마허 매시()는 스펙트럼 열을 정의하는 완전쌍의 개념을 발견하였다. 1957년에 알렉산더 그로텐디크는 층 코호몰로지의 르레 스펙트럼 열과 군 코호몰로지의 린던-호흐실트-세르 스펙트럼 열을 그로텐디크 스펙트럼 열로 일반화하였다.
곧 애덤스 스펙트럼 열(), 아티야-히르체브루흐 스펙트럼 열(Atiyah–Hirzebruch spectral sequence), 복시테인 스펙트럼 열 등 스펙트럼 열의 수많은 예들이 발견되었다.