가군의 근기

환론에서, 가군의 근기(根基, )는 모든 극대 부분 가군에 포함되는 가장 큰 부분 가군이다. 반대로, 가군의 주각(柱脚, )은 모든 극소 부분 가군을 포함하는 가장 작은 부분 가군이다.
환을 스스로 위의 가군으로 여겼을 때의 근기를 제이컵슨 근기(Jacobson根基, )라고 한다. 이는 대략 단순 가군으로서 관찰할 수 없을 정도로 "나쁜" 원소들로 구성된 아이디얼이다.
정의.
환 formula_1 위의 왼쪽 가군 formula_2이 주어졌다고 하자. formula_3의 진부분 가군 가운데 극대 원소를 극대 부분 가군이라고 하자. (즉, 극대 부분 가군 formula_4은 formula_5이 단순 가군이 되는 것이다.) 마찬가지로, formula_3의, 영가군이 아닌 부분 가군 가운데 극소 원소(즉, 부분 가군 가운데 단순 가군인 것)를 극소 부분 가군()이라고 하자.
환 formula_1 위의 왼쪽 가군 formula_2이 주어졌을 때, 그 특별한 부분 가군인 근기(根基, ) formula_9와 주각(柱脚, ) formula_10을 정의할 수 있으며, 이 둘은 서로 쌍대 개념이다.
왼쪽 가군 formula_3의 모든 극대 부분 가군들의 교집합은 formula_3의 잉여적 부분 가군들의 합과 일치하며, 이를 formula_3의 근기 formula_14라고 한다. (만약 극대 부분 가군이 존재하지 않는다면 이는 formula_3과 같다.) 왼쪽 가군 formula_3의 모든 극소 부분 가군들의 합은 formula_3의 본질적 부분 가군들의 교집합과 일치하며, 이를 formula_3의 주각 formula_19이라고 한다. (만약 극소 부분 가군이 존재하지 않는다면 이는 영가군이다.) 오른쪽 가군의 근기 및 주각 역시 마찬가지로 정의된다.
환의 근기와 주각.
환 formula_1를 스스로 위의 왼쪽 가군 formula_21 또는 오른쪽 가군 formula_22으로 생각할 수 있다. 이 경우, formula_21와 formula_22의 근기 및 주각을 생각할 수 있다.
formula_21와 formula_22의 근기는 formula_1의 동일한 부분 집합을 정의한다.
이는 (왼쪽 아이디얼이자 오른쪽 아이디얼이므로) 양쪽 아이디얼을 이루며, formula_1의 제이컵슨 근기()라고 한다.
근기의 경우와 달리, 일반적으로 formula_30(=모든 단순 왼쪽 아이디얼의 합)과 formula_31(=모든 단순 오른쪽 아이디얼의 합)은 일반적으로 서로 다르며, 이를 formula_1의 왼쪽 주각() 및 오른쪽 주각()이라고 한다.
성질.
임의의 formula_1-가군 준동형 formula_34에 대하여, 다음이 성립한다.
모든 유한 생성 가군은 (초른 보조정리에 따라) 적어도 하나 이상의 극대 부분 가군을 가지므로, 영가군이 아닌 가군 formula_2의 경우 formula_38이다.
가군의 (유한 또는 무한) 직합
에 대하여, 다음이 성립한다.
모든 왼쪽 가군 formula_2에 대하여, 다음이 성립한다.
환·가군 성질의 필요충분조건.
왼쪽 가군 formula_2에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
환 formula_1에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.
환 formula_1에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
아이디얼성.
제이컵슨 근기는 양쪽 아이디얼이다. 모든 환은 (초른 보조정리에 따라) 적어도 하나 이상의 극대 아이디얼을 가지므로, 자명환이 아닌 환 formula_1의 경우 formula_57이다.
환 formula_1의 왼쪽 주각 및 오른쪽 주각은 둘 다 양쪽 아이디얼이다.
나카야마 보조정리.
환 formula_1 위의 왼쪽 가군 formula_2이 주어졌다고 하자. formula_61는 아이디얼이므로,
는 formula_2의 부분 가군을 이룬다. 나카야마 보조정리()에 따르면, 다음 세 명제 가운데 적어도 하나가 성립한다.
증명:
formula_2이 영가군이 아닌 유한 생성 왼쪽 가군이라고 하자. formula_68가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.
formula_3이 영가군이 아니므로 formula_73이다.
귀류법을 사용하여, formula_74이라고 가정하자. 그렇다면,
가 되는 formula_76 및 formula_77가 존재한다. 제이컵슨 근기의 성질에 의하여, 모든 formula_70에 대하여 formula_79는 가역원이다. 따라서,
가 되며, 이는 formula_81의 극소성과 모순된다.
제이컵슨 근기의 원소의 성질.
환 formula_1의 원소 formula_83에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.
즉, 제이컵슨 근기는 모든 (왼쪽 또는 오른쪽) 극대 아이디얼들의 교집합이자 모든 (왼쪽 또는 오른쪽) 단순 가군들의 소멸자들의 교집합이다. (이는 가환환의 영근기가 모든 소 아이디얼들의 교집합인 것과 유사하다.)
가환환 formula_1의 제이컵슨 근기는 영근기를 부분 아이디얼로 갖는다.
만약 가환환 formula_1가 정수환 위의 유한 생성 단위 결합 대수이거나, 아니면 체 위의 유한 생성 단위 결합 대수라면, 제이컵슨 근기는 영근기와 같다.
예.
환의 근기와 주각.
체 formula_102는 영 아이디얼와 전체 아이디얼 밖의 아이디얼을 갖지 않는다. 따라서 체의 근기는 영 아이디얼이며, 체의 주각은 전체 아이디얼이다.
보다 일반적으로, 모든 원시환의 근기는 영 아이디얼이다. 정수환 formula_105의 근기는 영 아이디얼이다.
국소환 formula_106의 근기는 (극대 아이디얼이 하나밖에 없으므로) 유일한 극대 아이디얼 formula_89이다.
정수환의 몫환 formula_108의 극대 아이디얼들은 formula_109의 소인수들의 주 아이디얼이다. 따라서, formula_110의 소인수 분해가
라면, formula_108의 제이컵슨 근기는 다음과 같은 주 아이디얼이다. 이는 영근기와 같으며, 만약 formula_110이 제곱 인수가 없는 정수라면 이는 영 아이디얼과 같다.
아벨 군의 근기와 주각.
아벨 군은 정수환 formula_105 위의 가군과 같으며, 따라서 아벨 군의 근기와 주각을 정의할 수 있다.
순환군.
무한 순환군 formula_105은 극소 부분군을 갖지 않으며, 극대 부분군은 소수 formula_117에 대하여 formula_118의 꼴이다. 따라서, 근기와 주각 둘 다 자명군이다.
임의의 자연수 formula_110의 소인수 분해
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 자연수의 근기
를 정의할 수 있다. formula_110차 순환군 formula_124의 극소 부분군은 formula_110의 소인수 formula_126 크기의 순환군 formula_127이며, 극대 부분군은 formula_128 크기의 순환군 formula_129에 대응한다. 따라서, 이 경우
이다.
나눗셈군.
나눗셈군(예를 들어, 유리수체의 덧셈군이나 프뤼퍼 군)은 극대 부분군을 갖지 않으므로, 나눗셈군은 스스로의 근기와 같다. 유리수체의 덧셈군은 극소 부분군 또한 갖지 않으므로, 주각은 자명군이다.
프뤼퍼 군의 부분군들은
이므로, 그 유일한 극소 부분군은 formula_135이며, 이는 그 주각과 같다.
역사.
환의 주각의 개념은 장 디외도네가 1942년에 도입하였다.
제이컵슨 근기의 개념은 네이선 제이컵슨이 1945년에 도입하였다.
나카야마 보조정리는 나카야마 다다시가 1951년에 도입하였다.