퍼펙토이드

퍼펙토이드(perfectoid)란 독일인 수학자 페터 숄체(Peter Scholze)가 도입한 개념이다.
정의.
formula_1가 표수 formula_2의 완전 비아르키메데스적 체라고 하자. 그리고 다음을 정의하자.
formula_3
그렇다면 formula_1가 퍼펙토이드 체란 것은 formula_5가 이산 국소환이 아니고 프로베니우스 사상이 formula_6에서 전사인 것을 뜻한다.
formula_1가 퍼펙토이드 체라고 하자. 그러면 바나흐 formula_1-대수 formula_9가 퍼펙토이드 formula_1-대수란 것은 formula_9의 원소들
formula_12
들이 열린 집합이고 유계인 데다가 적당한 위상수학적 멱영원 formula_13가 있어서formula_14가 전사인 것이다.
이 정의에서 이산 국소환이 아니라는 조건은 안 좋은 것 같지만 정말로 중요한 역할을 하는데, 퍼펙토이드 체에서 거의 수학을 할 수 있게끔 만들어주기 때문이다.
perfectoid field란 많이 대충 말해서 그 위에 분기 확장체가 거의 없는 체라고 보면 된다. 예를 들면 formula_15의 완전화를 들 수 있는데, 이 체 위의 모든 확장은 그 켈러 미분들이 거의 수학으로 formula_16이 된다. (Tate)
젖히기(tilting).
다음을 생각하자.
formula_17
여기에서 formula_18는 formula_19를 만족하는 어떤 한 원소다. 이는 formula_20를 만족하도록 formula_21를 잡고
formula_22
로 선택하면 된다. 그렇다면 다음 곱셈적 준동형사상이 존재한다.
formula_23
이는 formula_24를 formula_25로 정의하는 걸로 (이는 잘 정의된다.) 먼저
formula_26
를 정의할 수 있고, 이것으로 사상을 확장할 수 있다.
formula_27의 의미는 formula_1의 표수를 formula_16에서 formula_2로 바꾸었다는 것이다. 그리고 perfectoid field에서 표수 바꾸기는 정말로 잘 작동한다.
formula_31 둘은 formula_32에선 완전히 같다.
다음은 퍼펙토이드 체에 대한 가장 중요한 성질들 중 하나다.
Theorem. 두 perfectoid formula_1-algebra formula_34가 있을 때 이 둘 사이의 cotangent complex는 formula_35이 된다.
이것의 증명은 cotangent complex의 base change theorem을 이용하는데, 이 과정에서 perfect formula_36-algebra의 cotangent complex는 formula_16란 사실을 이용히게 된다.
이것하고 almost mathematics의 deformation theory를 이용해서 다음을 증명할 수 있다.
formula_38
여기에서 formula_39표시는 almost sense를 말하는 것이고 formula_40는 그 위의 perfectoid algebra를 모아놨다는 것이다. 좀 더 정확하겐 이렇게 정의한다.
Definition. perfectoid formula_41-algera란 formula_42-adically complete flat formula_41-algebra formula_44에다가 Frobenius가 formula_45를 만드는 것이다.
Definition perfectoid formula_46-algebra란 flat formula_46-algebra formula_48에 Frobenius가 formula_49를 만드는 것을 말한다.
그렇다면 formula_50를 생각하면 다음을 얻을 수 있다.
Theorem. perfectoid formula_1-algebra들과 perfectoid formula_27-algebra들의 category는 서로 동치가 된다.
여기에서 이 동치가 되게 만드는 functor는 formula_9를 하나 잡으면
formula_54
으로 구성할 수 있다. 이는
formula_55
를 따라서 구성한 것이다. 그렇다면 다음이 성립한다.
formula_56
이렇게, formula_57를 formula_9의 tilt라고 한다.
폰테인-윈텐버저(Fontaine-Wintenberger).
다음이 성립한다.
formula_59
이는 좀 더 분석해보자면 formula_60의 completion을 formula_1라고 한다고 할 때 formula_27는 formula_63의 completion이 되며, 저 갈루아 군의 동형사상을 구성하는 것은 다음을 증명하는 것이 된다.
formula_64
그리고 이것 역시 tilt를 구성할 때 증명했던 것과 거의 같은 방법으로 구성한다. formula_9을 perfectoid formula_1-algebra라고 할 때
formula_67
를 생각한다. 여기에서 가장 중앙에 있는 것은 당연하고, 바로 주위에 있는 둘은 tilt 정의할 때 소개했던 cotangent complex를 쓰면 된다. 그러면 가장 문제는 가장 바깥쪽에 있는 둘인데, 이 둘도 equivalence다. 다만 이 둘의 증명은 어렵다.
가장 왼쪽에서 formula_9가 field일 때만 증명하자면 다음을 증명하자.
Proposition. perfectoid field formula_27이 algebraically closed라면 formula_1는 algebralically closed다.
Proof monic irreducible polynomial formula_71을 하나 잡자. 그러면 이것이 zero가 있음을 증명해야 하는데 formula_72의 Newton polygon은 line이고 이제 formula_73에서 보자. formula_74를 formula_75에서 봤을 때 formula_72하고 모든 계수가 같은 다항식이라고 하고 그 zero를 formula_77라고 하자. 그러면 다항식 formula_78를 생각하고 이것의 상수항이 formula_42에 의해서 나누어지므로, 그러니까 formula_80가 대충 formula_72의 근사해가 되므로 formula_82인 formula_83에 대해서 formula_84 또한 Newton polygon이 line이고 irreducible이다. 이걸 반복하면
formula_85
라고 정의하면 formula_86가 된다.
이 성질을 이용해서 젖히기의 반대인 untilt를 하는데, 그 젖히기의 반대를 formula_87라고 쓰자. 그러면 formula_87의 대수적 폐포의 completion을 formula_89라고 한다면 formula_90는 위의 proposition으로 algebraically closed field에 적당한 norm을 주는 것으로 perfectoid formula_1-algebra라고 할 수 있다. 따라서 모든 perfectoid formula_87-algebra formula_93에 대해서 formula_94는 formula_90의 subfield가 되고, formula_96는 formula_97에서 dense이므로 Krasner's lemma로 그 union을 formula_98라고 하면 formula_98도 algebraically closed field고 따라서 모든 finite extension formula_100에 대해서 formula_100는 적당한 formula_27의 finite field extension formula_93가 있어서 formula_94는 formula_100를 포함하고, 체일 때의 증명이 끝난다.
퍼펙토이드 공간(perfectoid space).
먼저 아피노이드 대수(affinoid algebra)를 정의하자. formula_106가 체일 때 formula_9가 테이트 formula_106-대수(Tate k-algebra)란 것은 어떤 부분환 formula_109가 있어서 formula_110가 formula_111들에 대해서 formula_16의 열린 근방들의 기저를 이룰 때를 말한다. 그리고 쌍 formula_113가 아피노이드 formula_106-대수란 것은 그 자체의 환과 정폐정역 formula_115의 쌍이다.
formula_1가 퍼펙토이드 체라고 하자. 그러면 아피노이드 formula_1-대수 formula_113가 퍼펙토이드 아피노이드 formula_1-대수란 것은 formula_120이 퍼펙토이드 formula_1-대수인 것을 뜻한다.
퍼펙토이드 아피노이드 formula_1-대수 formula_113가 있을 때 다음을 정의할 수 있다.
formula_124
그리고 여기에 위상을 하나 주는데, formula_125를 주고, formula_126가 formula_9를 생성한다고 할 때
formula_128
를 기저로 하는 것으로 준다. 그리고 이런 꼴 열린 집합을 유리형 집합이라고 하자. 이는 환의 스펙트럼과 거기에 주는 formula_129라는 열린 집합들을 따라한 것이다.
formula_113가 아피노이드 formula_106-대수라고 하자. 그리고 여기에 formula_132의 열린 집합 formula_133를 주자. 그러면
formula_134
꼴들을 formula_16의 기저로 가지는 다음 아피노이드 formula_106-대수를 생각하자.
formula_137
여기에서 formula_138는 formula_139 안에서 formula_140의 정수적 폐포다. 그러면 이것의 완전화를 formula_141라고 하자. 이는 시프를 정의하기 위해서다. 그렇다면 일반적으로 열린 집합 formula_142에 대해서
formula_143
라고 정의하자. 그렇다면 formula_144 위의 준시프 formula_145를 정의할 수 있다.
다시 퍼펙토이드 아피노이드 formula_1-대수 formula_113로 돌아오면 formula_148가 시프라는 결과가 있다. (퍼펙토이드가 아니면 일반적으로 준시프만 되고 시프가 되지 않을 수도 있다.)
팔팅스의 거의 순수성 정리(Faltings' almost purity theorem).
유한 에탈 덮개 formula_149에 대해서 formula_9가 퍼펙토이드 formula_1-대수라면 formula_152는 formula_153위의 유한 에탈 대수가 된다. 특히 formula_152는 formula_153 위의 균등 거의 유한표현 formula_153-모듈이 된다.