모형 범주

호모토피 이론에서 모형 범주(模型範疇, )는 호모토피 이론을 전개할 수 있기에 충분한 구조가 갖추어져 있는 추상적인 범주이다. 위상 공간의 범주와 단체 집합의 범주, 아벨 군의 사슬 복합체의 범주 따위의 일반화이다.
정의.
모형 범주 formula_1는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
이들은 다음 두 공리들을 만족시켜야 한다.
쌍대올 생성 모형 범주.
쌍대완비 범주 formula_2의 사상들의 모임 formula_47에 대한 상대적 세포 복합체() formula_48는 다음 연산들에 대하여 닫힌 가장 작은 사상들의 모임이다.
formula_65는 formula_48의 원소들의 (화살표 범주 formula_67에서의) 수축들의 모임이라고 하자.
모형 범주 formula_68가 다음 조건을 만족시킨다면, formula_2를 쌍대올 생성 모형 범주()라고 한다.
연산.
반대 범주.
임의의 모형 범주 formula_1에 대하여, 그 반대 범주 formula_77에 모형 구조 formula_78를 주면, 이 역시 모형 범주를 이룬다.
조각 범주.
임의의 모형 범주 formula_1 및 대상 formula_50이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 조각 범주 formula_81 및 쌍대 조각 범주 formula_82를 정의할 수 있으며, 망각 함자
가 존재한다.
이제, formula_81 위에 다음과 같은 모형 범주 구조를 줄 수 있다.
그렇다면, 조각 범주 formula_81는 모형 범주를 이룬다. 마찬가지로, 쌍대 조각 범주 formula_93 역시 모형 범주를 이룬다.
호모토피 범주.
모형 범주 formula_1에서, 모형 범주 구조를 사용하여 두 사상 사이의 왼쪽 호모토피() 및 오른쪽 호모토피()를 정의할 수 있다. 정의역이 쌍대올대상이며 공역이 올대상일 경우 왼쪽 호모토픽 관계와 오른쪽 호모토픽 관계는 서로 일치하며, 동치 관계를 이루어 그 호모토피류를 정의할 수 있다.
모형 범주 formula_1에 대응하는 호모토피 범주를 정의할 수 있다. 호모토피 범주의 대상은 올대상이자 쌍대올대상인 대상들이며, 사상은 원래 모형 범주의 호모토피류이며, 호모토피 범주에서 원래 모형 범주의 약한 동치는 실제 동형 사상이 된다.
성질.
데이터의 중복.
약분해계의 일반적인 이론에 따라서, 모형 범주의 구조의 데이터는 중복된다. 구체적으로, 모형 범주의 다음과 같은 데이터만으로 모형 범주 구조를 재구성할 수 있다.
구체적으로, 임의의 범주 formula_2의 사상 모임 formula_97이 주어졌을 때, formula_97에 대하여 오른쪽 올림 성질을 만족시키는 사상 모임을 formula_99으로, formula_97에 대하여 왼쪽 올림 성질을 만족시키는 사상 모임을 formula_101으로 표기하자.
그렇다면, 모형 범주에서 약한 동치의 모임 formula_3 · 쌍대올뭉치의 모임 formula_10 · 올뭉치의 모임 formula_6 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.
따라서, 약한 동치 · 쌍대올뭉치 · 올뭉치 가운데 2개가 주어지면 나머지 하나를 재구성할 수 있다.
수축에 대한 닫힘.
모든 모형 범주 formula_1에서, formula_3 · formula_6 · formula_10는 모두 수축에 대하여 닫혀 있다. 즉, 구체적으로 다음과 같은 성질을 만족시킨다.
일부 문헌에서 이는 모형 범주의 정의의 일부로 등장하지만, 이는 사실 다른 공리들로부터 함의된다.
예.
자명한 모형 구조.
임의의 완비 쌍대 완비 범주 formula_2가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위에 다음과 같은 자명한 세 가지의 모형 구조를 줄 수 있다.
보다 일반적으로, formula_2 위에 약분해계 formula_135이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 모든 사상을 약한 동치로 삼고, formula_136의 원소를 올뭉치로, formula_137의 원소를 쌍대올뭉치로 삼으면 이는 모형 구조를 이룬다. 이 경우 역시 호모토피 범주는 formula_2로부터 생성되는 준군이다.
위상 공간의 범주.
위상 공간과 연속 함수의 범주 formula_139 위에는 다음과 같은 세 개의 모형 범주 구조가 흔히 쓰인다.
이들을 구별하기 위하여, 간혹 q-올대상() · h-올대상 · m-올대상 따위의 용어를 사용하기도 한다. 여기서 q · h · m은 대응하는 모형 구조의 영어명의 머릿글자이다.
단체 집합.
단체 집합의 범주 formula_140에는 역시 표준적인 모형 구조가 존재한다. 또한, 이 모형 구조는 위상 공간의 범주의 퀼런 모형 구조와 퀼런 동치이며, 따라서 동치인 호모토피 범주를 갖는다. 단체 집합의 범주에서 모든 대상은 쌍대올대상이며, 올대상은 칸 복합체이다.
사슬 복합체의 범주.
아벨 범주 formula_118 위에서, 자연수 (음이 아닌 정수) 등급의 사슬 복합체의 범주 formula_142와 자연수 등급의 공사슬 복합체의 범주 formula_143를 생각하자.
만약 formula_118가 단사 대상을 충분히 가지는 범주라면, 공사슬 복합체 범주 formula_143 위에는 약한 동치가 공사슬 복합체의 유사동형이며, 쌍대올뭉치가 양수 성분이 모두 단사 사상인 공사슬 사상으로 구성되는 모형 범주 구조가 존재한다. 이 모형 범주에서 모든 공사슬 복합체가 쌍대올대상이며, 올대상은 단사 대상으로 구성된 공사슬 복합체이며, 올대상 분해는 공사슬 복합체의 단사 분해이다.
반대로, 만약 formula_118가 사영 대상을 충분히 가지는 범주라면, 사슬 복합체 범주 formula_142 위에는 약한 동치가 사슬 복합체의 유사동형이며, 올뭉치가 양수 성분이 모두 전사 사상인 사슬 사상으로 구성되는 모형 범주 구조가 존재한다. 이 모형 범주에서 모든 사슬 복합체가 올대상이며, 쌍대올대상은 사영 대상으로 구성된 사슬 복합체이며, 쌍대올대상 분해는 사슬 복합체의 사영 분해이다.
집합의 범주.
집합과 함수의 범주 formula_148 위에는 정확히 9개의 모형 범주 구조가 존재한다.
이에 따른 호모토피 범주는 다음과 같다.
미분 등급 대수.
표수 0인 체 formula_149 위에서, 다음과 같은 범주들을 생각하자.
이 네 범주 위에는 각각 자연스러운 모형 범주 구조를 줄 수 있으며, 모든 경우 약한 동치는 유사동형(코호몰로지의 동형)이다.
작은 범주의 범주.
작은 범주와 함자의 범주 formula_154 위에서, 호모토피 동치가 범주의 동치가 되는 모형 범주 구조는 유일하다. 이 모형 범주 구조는 다음과 같다.
동치 관계.
동치 관계의 범주에 흥미로운 모형 범주 구조를 부여할 수 있다.
역사.
대니얼 퀼런이 1967년에 도입하였다.