일반화 페테르센 그래프

그래프 이론에서 일반화 페테르센 그래프(一般化Petersen graph, )는 같은 수의 꼭짓점을 갖는 정다각형과 별 모양에서 대응하는 꼭짓점들을 이어 얻는 그래프이다. 특히, 오각형과 오각 별을 이어 얻는 그래프를 페테르센 그래프()라고 한다.
정의.
3 이상의 정수 formula_1과, formula_2의 배수가 아닌 정수 formula_3, formula_4가 주어졌다고 하자. 또한, 만약 formula_2이 짝수라면 formula_6라고 하자.
일반화 페테르센 그래프 formula_7는 다음과 같은 그래프이다.
여기서 첨자는 법 formula_2으로 계산한다. 즉, formula_11 및 formula_12로 간주한다.
일반화 페테르센 그래프의 변 가운데, formula_13 꼴의 변을 바큇살()이라고 한다.
당연히
이므로, 보통
를 가정한다.
성질.
기초적 성질.
일반화 페테르센 그래프 formula_7는 formula_17개의 꼭짓점과 formula_18개의 변을 가지는 삼차 그래프이며, 완벽 부합을 갖는다. 구체적으로, 위와 같은 표기에서, formula_19은 완벽 부합을 이룬다.
동형.
임의의 정수 formula_1 및 정수 formula_21에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
예를 들어, formula_24이다.
안둘레.
일반화 페테르센 그래프 formula_7의 안둘레는 항상 formula_26 이하이다.
증명:
일반화 페테르센 그래프의 꼭짓점 및 변은
이다. 그 속에서
는 길이 8의 순환이며,
는 길이 formula_31의 순환이며,
는 길이 formula_33의 순환이다.
또한, 다음이 성립한다.
증명:
일반화 페테르센 그래프의 꼭짓점 및 변은
이다. 그 속에서
은 길이 formula_38의 순환이다 (복부호 동순).
위 상계 가운데 적어도 하나가 포화된다. 즉, 만약 formula_39이며,
일 때, 일반화 페테르센 그래프 formula_7의 안둘레는 다음 표에서, 위에서부터 가장 먼저 해당하는 행에 의해 주어진다.
증명:
일반화 페테르센 그래프의 꼭짓점 및 변은
이다. 일반화 페테르센 그래프 속의 모든 순환은 당연히 짝수 개의 바큇살 formula_13을 포함한다.
모든 일반화 페테르센 그래프는 4개의 바큇살을 갖는 길이 8의 순환
을 가지며, 바큇살 6개 이상의 순환의 길이는 항상 12 이상이다. 따라서, 2개의 바큇살 및 0개의 바큇살을 갖는 순환들만 고려하면 된다.
2개의 바큇살을 갖는 순환은 (편의상 첫 변을 formula_46로 잡으면) 항상 다음과 같은 꼴이다.
이것이 존재하기 위해서는 formula_48이어야 하며, 이 경우 순환의 길이는 formula_38이다.
0개의 바큇살을 갖는 순환은 formula_65 또는 formula_66로만 구성된다. formula_65만으로 구성되는 유일한 순환의 길이는 formula_2이며, formula_69만으로 구성되는 순환의 길이는 formula_33이다.
케일리 그래프.
일반화 페테르센 그래프 formula_7에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
예를 들어, 나우루 그래프 formula_74의 경우 formula_75이며, 이는 대칭군 formula_76의 케일리 그래프이다. 마찬가지로, 각기둥 그래프 formula_77는 크기 formula_17의 정이면체군 formula_79의 케일리 그래프이다. 반면, 페테르센 그래프 formula_80는 케일리 그래프가 아니다.
꼭짓점 색칠.
일반화 페테르센 그래프는 삼차 그래프이므로, 브룩스 정리()에 의하여 그 색칠수는 2 또는 3이다.
일반화 페테르센 그래프 formula_7에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
다시 말해, 일반화 페테르센 그래프 formula_7의 색칠수는 다음과 같다.
여기서 formula_86는 논리곱(AND), formula_87는 논리합(OR)이다. 예를 들어, 페테르센 그래프 formula_80의 색칠수는 3이다.
변 색칠.
페테르센 그래프의 변 색칠수는 4이다. 페테르센 그래프는 변 색칠수가 4 이상인 가장 작은 삼차 그래프이다. 반면, 페테르센 그래프가 아닌 다른 모든 일반화 페테르센 그래프의 변 색칠수는 3이다.
일반화 페테르센 그래프 formula_89는 (색들의 순열을 무시하면) 유일한 3색 변 색칠을 갖는다.
해밀턴 경로.
임의의 일반화 페테르센 그래프 formula_7 (formula_91, formula_39)에 대하여, 다음 두 가지 가운데 정확히 하나가 성립한다.
또한, (나)의 경우, 임의의 꼭짓점을 제거하면 이는 해밀턴 순환을 갖는다. (특히, 모든 일반화 페테르센 그래프는 항상 해밀턴 경로를 갖는다.)
예를 들어, 페테르센 그래프 formula_80는 해밀턴 경로를 가지지만, (나)의 경우에 해당하므로 해밀턴 순환을 가지지 못한다.
교차수.
각기둥 그래프인 일반화 페테르센 그래프 formula_77은 평면 그래프이다. 즉, 그래프 교차수가 0이다.
페테르센 그래프 formula_80의 그래프 교차수는 2이다. 나우루 그래프 formula_74의 그래프 교차수는 8이다. 특히, 이 두 그래프 둘 다 평면 그래프가 아니다.
평면 그래프가 아닌 모든 그래프는 완전 그래프 formula_99 또는 완전 이분 그래프 formula_100를 그래프 마이너로 가지는데, 페테르센 그래프 formula_80는 이 둘 다를 그래프 마이너로 갖는다.
예.
일부 일반화 페테르센 그래프는 다음과 같은 특별한 이름을 갖는다.
역사.
독일의 판화가 알브레히트 뒤러의 1514년 판화 《멜란콜리아 1》()에는 다면체가 등장하는데, 그 꼭짓점과 변으로 구성된 그래프는 뒤러 그래프이다.
1898년에 덴마크의 수학자 율리우스 페테르센이 이 그래프를 다룬 3쪽의 논문을 출판하였으며, 이로부터 명명되었다. 페테르센은 이 그래프를 다음과 같은 (잘못된) 추측에 대한 반례로 제시하였다.
“데자르그 그래프”라는 이름은 프랑스의 수학자 지라르 데자르그의 이름을 딴 것이다. 데자르그가 연구한 사영기하학의 한 정리에서 등장하는 작도에서, 각 직선과 각 점에 그래프 꼭짓점을 대응시키며, 서로 인접하는 점과 직선(에 대응하는 두 꼭짓점) 사이를 변으로 이으면, 이는 데자르그 그래프가 된다.
해럴드 스콧 맥도널드 콕서터는 1950년에 일반화 페테르센 그래프를 도입하였다. 콕서터는 일반화 페테르센 그래프 formula_7를 formula_110로 표기하였으며, 이에 특별한 이름을 부여하지 않았다.
1969년에 마크 왓킨스()가 이 그래프 족을 “일반화 페테르센 그래프”()라고 명명하였다.
“나우루 그래프”()라는 이름은 데이비드 아서 엡스타인()이 도입하였으며, 이 그래프의 구성에 등장하는 12각 별 모양이 나우루의 국기에 등장하는 별과 흡사하기 때문에 붙여졌다.