티호노프 공간

일반위상수학에서 티호노프 공간(Тихонов空間, ) 또는 T3½ 공간()은 점과 닫힌집합을 연속 함수로 분리할 수 있는 하우스도르프 공간이며, 이는 콤팩트 하우스도르프 공간의 부분 공간인 조건과 동치이다.
정의.
위상 공간 formula_1에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 완비 정칙 공간(完備正則空間, )이라고 한다.
위상 공간 formula_1에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 티호노프 공간이라고 한다.
성질.
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
완비 정칙 공간의 부분 공간은 완비 정칙 공간이다. 완비 정칙 공간의 임의 개수 곱공간은 완비 정칙 공간이다. 하우스도르프 공간의 부분 공간과 곱공간은 하우스도르프 공간이므로, 티호노프 공간의 부분 공간과 임의 개수 곱공간 역시 티호노프 공간이다.
완비 정칙 공간 formula_1와 그 부분 공간 formula_34가 주어졌다고 하자. 닫힌집합 formula_35 및 formula_36가 주어졌다고 하자. 그렇다면 formula_37인 닫힌집합 formula_38가 존재하며, 이에 대하여 formula_39, formula_40인 연속 함수 formula_6이 존재한다. formula_42라고 하자. 그렇다면 formula_43는 연속 함수이며, formula_44 및 formula_45을 만족시킨다.
완비 정칙 공간들의 집합 formula_46가 주어졌다고 하자. 곱공간 formula_47의 닫힌집합 formula_48 및 formula_3가 주어졌다고 하자. 다음과 같은 formula_50의 열린 근방 formula_51를 취하자.
그렇다면 각 formula_55에 대하여, formula_56, formula_57인 연속 함수 formula_58이 존재한다.
라고 하자. 그렇다면 formula_43는 연속 함수이며, formula_62 및 formula_45을 만족시킨다.
예.
티호노프 공간이 아닌 정칙 완비 하우스도르프 공간.
티호노프 공간이 아닌 정칙 (완비) 하우스도르프 공간의 구성은 복잡한 편이다. 한 가지 간단한 구성은 다음과 같다. 집합
위에 각 점이 다음과 같은 국소 기저를 갖는 위상을 주자.
그렇다면, formula_1는 하우스도르프 공간이며, 완비 하우스도르프 공간이며, 정칙 공간이지만, 티호노프 공간이 아니다.
formula_1가 하우스도르프 공간임은 정의에 따라 쉽게 확인할 수 있다. 완비 하우스도르프 조건을 확인하기 위해, 서로 다른 두 점 formula_77가 주어졌다고 하자. 편의상 formula_78이라고 하자. 하우스도르프 조건에 따라, formula_79와 formula_80가 formula_67와 formula_82의 서로소 국소 기저 원소라고 하자. 그렇다면, formula_79는 열린닫힌집합이다. 따라서, 지시 함수 formula_84은 연속 함수이며, formula_67와 formula_82을 분리한다.
이제, formula_1의 정칙성을 확인하자. formula_88의 국소 기저 원소들은 열린닫힌집합이므로, 임의의 formula_88는 이를 포함하지 않는 닫힌집합과 서로소 근방을 통해 분리된다. 따라서, formula_74과 formula_91인 임의의 닫힌집합 formula_69를 서로소 근방으로 분리하는 것으로 충분하다.
인 formula_72을 취하자. 그렇다면
는 각각 formula_74와 formula_69의 열린 근방이며, formula_99이다.
이제, formula_1가 티호노프 공간이 아님을 보이자. formula_101은 닫힌집합이며, formula_102이다. formula_103인 연속 함수 formula_104가 항상 formula_105을 만족시킴을 보이는 것으로 충분하다. 각 formula_72에 대하여 formula_107이 무한 집합임을 보이는 것으로 충분하다. 수학적 귀납법을 사용하여, 가산 무한 집합 formula_108이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 formula_109에 대하여,
는 가산 개의 유한 집합의 합집합이므로 가산 집합이다. formula_48가 가산 집합이므로,
은 가산 집합이며, formula_113는 무한 집합이다. 임의의 formula_114 및 formula_109에 대하여, formula_116와 formula_117의 교점은 formula_118에 속한다. formula_48가 무한 집합이므로, formula_71의 모든 근방은 formula_118의 점을 포함한다. formula_122의 formula_71에서의 연속성에 따라 formula_124이다. 즉, formula_125이며, formula_126은 무한 집합이다.
정규 공간이 아닌 티호노프 공간.
니미츠키 평면()은 닫힌 상반평면 formula_127 위에, 그 통상적인 열린집합들과 다음과 같은 꼴의 집합들을 기저로 하는 위상을 부여한 위상 공간이다.
즉, 추가된 열린집합들은 상반평면의 경계선에 접하는 (통상적인 거리 함수에 대한) 열린 원판과 그 접점의 합집합들이다.
니미츠키 평면은 티호노프 공간이며, 모든 닫힌집합이 Gδ 집합이지만, 정규 공간이 아니다.
니미츠키 평면이 하우스도르프 공간임은 쉽게 확인할 수 있다. 완비 정칙 조건을 확인하자. 위상 공간의 부분 기저 formula_129가 주어졌을 때, 완비 정칙 조건은 임의의 formula_130와 formula_131에 대하여, formula_132와 formula_133의 여집합이 실함수를 통해 분리되는 것과 동치이다. formula_127는 통상적인 위상을 주었을 때 티호노프 공간이며, 니미츠키 평면의 위상은 통상적인 위상보다 섬세하므로, 모든 통상적인 열린집합의 점과 그 여집합은 실함수를 통해 분리된다. 임의의 formula_135 및 formula_136에 대하여, formula_137과 formula_138이 실함수를 통해 분리되므로, formula_139와 formula_140 역시 같은 실함수를 통해 분리된다. 따라서, 임의의 formula_135 및 formula_136에 대하여,
인 연속 함수
를 찾으면 충분하다. 편의상 formula_146이라고 하자. 그렇다면,
는 원하는 조건을 만족시킨다.
이제, 니미츠키 평면의 열린집합 formula_148가 주어졌다고 하자. 그렇다면, formula_149는 formula_150의 열린집합이며, 따라서 가산 개의 (통상적 거리 함수에 대한) 열린 공들의 합집합이다. 각 열린 공은 가산 개의 닫힌 공들의 합집합이며, 닫힌 공은 니미츠키 평면의 닫힌집합이므로, formula_149는 Fσ 집합이다. formula_152의 모든 부분 집합은 니미츠키 평면의 닫힌집합이며, 특히 formula_153은 닫힌집합이다. 따라서 formula_79는 Fσ 집합이다.
이제, 니미츠키 평면이 정규 공간이 아님을 증명하자. 귀류법을 사용하여, 니미츠키 평면이 정규 공간이 아니라고 가정하자. 임의의 formula_155가 주어졌다고 하자. formula_156와 formula_157는 모두 닫힌집합이므로, 서로소 열린 근방 formula_158와 formula_159를 갖는다. 함수
를 생각하자. formula_162이며 formula_163이라고 하자. 그렇다면, formula_164이며, formula_165가 조밀 집합이므로,
이다. 이에 따라, 위 함수는 단사 함수이며,
이다. 이는 모순이다.
역사.
안드레이 니콜라예비치 티호노프의 이름이 붙어 있다.