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지미 카터

제임스 얼 카터 주니어(, 1924년 10월 1일 ~ )는 민주당 출신 미국 39대 대통령 (1977년 ~ 1981년)이다.
생애.
어린 시절.
지미 카터는 조지아주 섬터 카운티 플레인스 마을에서 태어났다.
조지아 공과대학교를 졸업하였다. 그 후 해군에 들어가 전함·원자력·잠수함의 승무원으로 일하였다. 1953년 미국 해군 대위로 예편하였고 이후 땅콩·면화 등을 가꿔 많은 돈을 벌었다. 그의 별명이 "땅콩 농부" (Peanut Farmer)로 알려졌다.
정계 입문.
1962년 조지아주 상원 의원 선거에서 낙선하나 그 선거가 부정선거 였음을 입증하게 되어 당선되고, 1966년 조지아 주지사 선거에 낙선하지만, 1970년 조지아 주지사를 역임했다. 대통령이 되기 전 조지아주 상원의원을 두번 연임했으며, 1971년부터 1975년까지 조지아 지사로 근무했다. 조지아 주지사로 지내면서, 미국에 사는 흑인 등용법을 내세웠다.
대통령 재임.
1976년 미합중국 제39대 대통령 선거에 민주당 후보로 출마하여 도덕주의 정책으로 내세워서, 많은 지지를 받고 제럴드 포드 대통령을 누르고 당선되었다.
카터 대통령은 에너지 개발을 촉구했으나 공화당의 반대로 무산되었다.
외교 정책.
카터는 이집트와 이스라엘을 조정하여 캠프 데이비드에서 안와르 사다트 대통령과 메나헴 베긴 수상과 함께 중동 평화를 위한 캠프데이비드 협정을 체결했다. 이것은 공화당과 미국의 유대인 단체의 반발을 일으켰다. 그러나 1979년, 양국 간의 평화조약이 백악관에서 이루어졌다.
소련과 제2차 전략 무기 제한 협상(SALT II)에 조인했다.
카터는 1970년대 후반 당시 대한민국 등 인권 후진국의 국민들의 인권을 지키기 위해 노력했으며, 취임 이후 계속해서 도덕정치를 내세웠다.
임기 말, 소련의 아프가니스탄 침공 사건으로 인해 1980년 하계 올림픽에 반공국가들의 보이콧을 하였다.
그는 주이란 미국 대사관 인질 사건의 인질 구출 실패로 인한 원인으로, 1980년 제40대 대통령 선거에서 공화당의 로널드 레이건에게 패하며 재선에 실패하였다.
대한민국과의 관계
지미 카터는 대한민국과의 관계에서도 중요한 영향을 미쳤던 대통령 중 하나다. 인권 문제와 주한미군 철수 문제로 한때 한미 관계가 불편하기도 했다. [1978년 대한민국에 대한 북한의 위협에 대비해 한미연합사를 창설하면서, 1982년까지 3단계에 걸쳐 주한미군을 철수하기로 했다. 그러나 주한미군사령부와 정보기관·의회의 반대에 부딪혀 주한미군은 완전철수 대신 6,000명을 감축하는 데 그쳤다. 또한 박정희 정권의 인권 문제 등과의 논란으로 불협화음을 냈으나, 1979년 6월 하순, 대한민국을 방문하여 관계가 다소 회복되었다.
1979년 ~ 1980년 대한민국의 정치적 격변기 당시의 대통령이었던 그는 이에 대해 애매한 태도를 보였고, 이는 후에 대한민국 내에서 고조되는 반미 운동의 한 원인이 됐다. 10월 26일, 박정희 대통령이 김재규 중앙정보부장에 의해 살해된 것에 대해 그는 이 사건으로 큰 충격을 받았으며, 사이러스 밴스 국무장관을 조문사절로 파견했다. 12·12 군사 반란과 5.17 쿠데타에 대해 초기에는 강하게 비난했으나, 미국 정부가 신군부를 설득하는데, 한계가 있었고 결국 묵인하는 듯한 태도를 보이게 됐다.
퇴임 이후.
퇴임 이후 민간 자원을 적극 활용한 비영리 기구인 카터 재단을 설립한 뒤 민주주의 실현을 위해 제 3세계의 선거 감시 활동 및 기니 벌레에 의한 드라쿤쿠르스 질병 방재를 위해 힘썼다. 미국의 빈곤층 지원 활동, 사랑의 집짓기 운동, 국제 분쟁 중재 등의 활동도 했다.
카터는 카터 행정부 이후 미국이 북핵 위기, 코소보 전쟁, 이라크 전쟁과 같이 미국이 군사적 행동을 최후로 선택하는 전통적 사고를 버리고 군사적 행동을 선행하는 행위에 대해 깊은 유감을 표시 하며 미국의 군사적 활동에 강한 반대 입장을 보이고 있다.
특히 국제 분쟁 조정을 위해 북한의 김일성, 아이티의 세드라스 장군, 팔레인스타인의 하마스, 보스니아의 세르비아계 정권 같이 미국 정부에 대해 협상을 거부하면서 사태의 위기를 초래한 인물 및 단체를 직접 만나 분쟁의 원인을 근본적으로 해결하기 위해 힘썼다. 이 과정에서 미국 행정부와 갈등을 보이기도 했지만, 전직 대통령의 권한과 재야 유명 인사들의 활약으로 해결해 나갔다.
1978년에 채결된 캠프데이비드 협정의 이행이 지지부진 하자 중동 분쟁 분제를 해결하기 위해 1993년 퇴임 후 직접 이스라엘과 팔레인스타인의 오슬로 협정을 이끌어 내는 데도 성공했다.
1993년 1차 북핵 위기 당시 북한에 대한 미국의 군사적 행동이 임박했으나, 미국 전직 대통령으로는 처음으로 북한을 방문하고 미국과 북 양국의 중재에 큰 기여를 해 위기를 해결했다는 평가를 받았다. 또한 이 때 김영삼 대통령과 김일성 주석의 만남을 주선했다. 하지만 그로부터 수주일 후 김일성이 갑자기 사망하여 김일성과 김영삼의 정상회담은 이루어지지 못했다.
미국의 관타나모 수용소 문제, 세계의 인권문제에서도 관심이 깊어 유엔에 유엔인권고등판무관의 제도를 시행하도록 노력하여 독재자들의 인권 유린에 대해 제약을 하고, 국제형사재판소를 만드는 데 기여하여 독재자들 같은 인권유린범죄자를 재판소로 회부하여 국제적인 처벌을 받게 하는 등 인권 신장에 크나 큰 기여를 했다.
2011년 4월 26일부터 29일까지 북한을 3일간 방문했다.
평가.
경제문제를 해결하지 못하고 주 이란 미국 대사관 인질 사건에 발목이 잡혀 실패한 대통령으로 평가를 받지만 이란 사태는 미국 내 이란 재산을 풀어주겠다는 조건을 내세워서 사실상 카터가 해결한 것이었고, 사랑의 집짓기 운동 등으로 퇴임 후에 훨씬 더 존경받는 미국 대통령 중에 특이한 인물로 남았다.
그는 2002년 말 인권과 중재 역할에 대한 공로를 인정받아 노벨 평화상을 받게 되었다.
이외에도, 그는 대통령 재임 시절은 물론 퇴임 후에도 지속적으로 여러 장기 집권중인 독재자들을 만나왔는데, 그와 만난 독재자들 중 절대 다수가 얼마 되지 않아 최후를 맞이하게 되며 '독재자의 사신'이라는 별명이 붙기도 했다.
수학 상수

수학에서 상수란 그 값이 변하지 않는 불변량으로, 변수의 반대말이다. 물리 상수와는 달리, 수학 상수는 물리적 측정과는 상관없이 정의된다.
수학 상수는 대개 실수체나 복소수체의 원소이다. 우리가 이야기할 수 있는 상수는 (거의 대부분 계산 가능한) 정의가능한 수이다.
특정 수학 상수, 예를 들면 골롬-딕맨 상수, 프랑세즈-로빈슨 상수, formula_1, 레비 상수와 같은 상수는 다른 수학상수 또는 함수와 약한 상관관계 또는 강한 상관관계를 갖는다.
문학

문학(文學, )은 언어를 예술적 표현의 제재로 삼아 새로운 의미를 창출하여, 인간과 사회를 진실되게 묘사하는 예술의 하위분야이다. 간단하게 설명하면, 언어를 통해 인간의 삶을 미적(美的)으로 형상화한 것이라고 볼 수 있다. 문학은 원래 문예(文藝)라고 부르는 것이 옳으며, 문학을 학문의 대상으로서 탐구하는 학문의 명칭 역시 문예학이다. 문예학은 음악사학, 미술사학 등과 함께 예술학의 핵심분야로서 인문학의 하위범주에 포함된다.
일반적으로 문학의 정의는 텍스트들의 집합이다. 각각의 국가들은 고유한 문학을 가질 수 있으며, 이는 기업이나 철학 조류, 어떤 특정한 역사적 시대도 마찬가지이다. 흔히 한 국가의 문학을 묶어서 분류한다. 예를 들어 고대 그리스어, 성서, 베오울프, 일리아드, 그리고 미국 헌법 등이 그러한 분류의 범주에 들어간다. 좀 더 일반적으로는 문학은 특정한 주제를 가진 이야기, 시, 희곡의 모음이라 할 수 있다. 이 경우, 이야기, 시, 그리고 희곡은 민족주의적인 색채를 띨 수도 아닐 수도 있다. 문학의 한 부분으로서 특정한 아이템을 구분 짓는 일은 매우 어려운 일이다. 어떤 사람들에게 "문학"은 어떠한 상징적인 기록의 형태로도 나타날 수 있는 것이다. (이를테면 이미지나 조각, 또는 문자로도 나타날 수 있다.) 그러나 또다른 사람들에게 있어 문학은 오직 문자로 이루어진 텍스트로 구성된 것만을 포함한다. 좀 더 보수적인 사람들은 그 개념이 꼭 물리적인 형태를 가진 텍스트여야 하고, 대개 그러한 형태는 종이 등의 눈에 보이는 매체에서 디지털 미디어까지 다양할 수 있다.
더 나아가 보면, "문학"과 몇몇 인기있는 기록형태의 작업들, 소위 "대중문학" 사이에는 인식가능한 차이점이 존재한다. 이때 "문학적인 허구성"과 "문학적인 재능"이 종종 개별적인 작품들을 구별하는 데에 사용된다. 예를 들어, 찰스 디킨즈의 작품들은 대부분의 사람들에게 "문학적인 것"으로 받아들여지지만, 제프리 아처의 작품들은 영문학이라는 일반적인 범주 아래 두기에는 다소 가치가 떨어지는 것으로 생각된다. 또한 예를 들어 문법과 어법에 서투르거나, 이야기가 혼란스러워 신뢰성을 주지 않거나, 인물들의 성격에 일관성이 없을 경우에도 문학에서 제외될 수 있다. 로맨스, 범죄소설, 과학소설 등의 장르 소설도 때로 "문학"이 아닌 것으로 간주되는 경우도 있다. 이들은 대부분 "대중문학"의 범주에 포함된다.
일반적인 문학의 분류.
문학은 분류하는 방법에 따라 다음과 같이 구분한다.
이 외에도 편의에 따라 발생적으로 대별하기도 한다.
문학은 처음은 유일한 종류, 즉 노래하고, 말하고, 춤춘다는 것이 분화되지 않은 것이었다. 이 춤추는 것을 중심으로 발달한 것이 연극(演劇)이며, 노래하는 것이 발달하여 시(詩), 말하는 것이 발달하여 산문(散文)의 이야기가 되었다. 시는 정형시·자유시·산문시로, 또한 서사시와 서정시로 나뉜다. 산문은 사건을 중심으로 그려진 이야기, 근대 리얼리즘의 수법 이후 인물의 성격을 묘사하는 것을 중심으로 한 소설이 있다. 이야기나 소설과 같이 특별한 구상에 의하지 않고, 작자의 흥미에 의해서 씌어지는 것이 잡문(雜文) 또는 수필이며, 이것이 날짜에 따라 씌어지는 것이 일기, 여행의 과정에 따라 씌어지는 것이 기행문이다. 일기와 마찬가지로 발표의 의도가 작은 것에 서간(書簡)이 있다. 이 밖에 사건의 경험에 따른 회고록, 사건 등의 특정시(特定時)에 한정되지 않는 자서전, 제삼자에 의해서 씌어지는 전기(傳記)가 있다. 또한 이것들을 포함하는 예술작품의 가치평가를 시도하는 것이 평론(評論)이다.
대중문학의 분류.
대중문학이란 상업성을 띠며 대중을 겨냥하여 그들의 통속적인 흥미와 욕구를 채워주는 문학을 말한다. 대중문학의 하위장르에는 여러가지가 있다.
문학과 관련된 직업.
문학을 창작하는 예술가를 문예가라고 부른다. 문예학을 연구하는 사람을 문예학자라고 부른다. 문학을 창작하는 사람을 따로 저술가라고 한다. 문예학자와 언어학자를 합쳐 어문학자로 칭하기도 한다. 그러나 언어와 언어를 사용한 예술인 문학은 차이가 있다.
문학의 감상.
반영론적 관점에 의한 감상은 작품을 창작된 당시 시대 정황과 연결시켜 감상하는 입장이고, 내재적 관점의 감상은 작품의 형식, 내용에 국한하여 감상하는 것이다. 표현론적 관점의 감상은 작가의 전기적 사실과 작품을 연결시켜 감상하는 것이고, 수용론적 관점의 감상은 독자와 작품을 연결시켜 감상하는 것을 말한다.
나라 목록

이 목록에 실린 국가 기준은 1933년 몬테비데오 협약 1장을 참고로 하였다. 협정에 따르면, 국가는 다음의 조건을 만족해야 한다.
특히, 마지막 조건은 국제 공동체의 참여 용인을 내포하고 있기 때문에, 다른 나라의 승인이 매우 중요한 역할을 할 수 있다. 이 목록에 포함된 모든 국가는 보통 이 기준을 만족하는 것으로 보이는 자주적이고 독립적인 국가이다. 하지만 몬테비데오 협약 기준을 만족하는지의 여부는 많은 국가가 논쟁이 되고 있는 실정이다. 또한, 몬테비데오 협약 기준만이 국가 지위의 충분한 자격이든 아니든, 국제법의 견해 차이는 존재할 수 있다. 이 물음에 대한 다른 이론에 대한 고리는 아래에서 볼 수 있다.
기준.
위 기준에 논거하여 이 목록은 다음 206개 국가를 포함하고 있다.
남오세티야, 니우에, 북키프로스, 서사하라, 압하지야, 대만, 코소보, 쿡 제도,
다음 국가는 몬테비데오 협약의 모든 조건을 만족하지 못하거나, 자주적이고 독립적임을 주장하지 않는 국가이다.
국제적으로 승인 받은 나라.
기타 국가.
이 목록은 주권을 주장하고 점유한 영토를 실제로 관리하고 있으나, 많은 국가와 외교관계를 맺지 못한 나라를 설명하고 있다. 극소형 국가는 이 목록에 포함하지 않는다.
체첸 공화국

체첸 공화국(, , ), 또는 줄여서 체첸(, , )은 연방국가인 러시아를 이루는 러시아의 공화국이다. 북캅카스 지역에 위치하여 있으며, 인구 다수는 체첸인으로 구성되어 있다.
언어와 주민.
거의 대부분이 체첸인이다. 일부는 러시아인, 인구시인과 기타 북코카서스계 민족도 섞여있다. 체첸에서는 체첸인들의 토착 언어인 체첸어와 러시아어가 모두 사용된다. 체첸어는 캅카스 제어 중 북동 캅카스어족으로 불리는 그룹에 속하는데 인근의 인구시인들이 쓰는 인구시어와 밀접한 관계에 있다.
1989년에 행해진 체첸-인구시 자치공화국의 통계에서는 체첸인이 956,879명, 인구시인이 237,438명으로, 269,000명의 러시아인은 인구의 약 23%로 상당한 수의 소수 민족이 있었다. 그 후 서부가 인구시 공화국으로 분리되었기 때문에 인구시인들의 수가 절반 가까이 감소하고, 내전과 사회불안, 민족 대립으로 거의 대부분의 러시아인은 체첸 공화국에서 떠나며 현재 체첸인이 인구 대다수를 차지하게 된 것이다. 1990년대 기준 체첸 공화국에 남아 있던 러시아인은 약 6만 명이었다.
체첸 공화국은 일반적으로 러시아 연방 중에서도 젊은 층이 가장 많은 인구 구성을 가진다. 1990년대에는 몇몇 지방에서 인구증가가 있었다.
종교.
16세기에서 19세기를 기점으로 다게스탄 지역을 통해 이슬람교가 전해져, 체첸인들은 절대다수가 수니파 이슬람교를 믿는데 러시아 정교회 신자도 소수 존재한다.
역사.
크게 체첸인과 인구시인으로 구분되는 바이나흐족은 오래 전부터 캅카스 지역에 거주하던 토착 민족으로, 그 기원에 관해서는 다양한 학설이 있으나 다게스탄의 민족들과 언어가 가깝다는 것 외에 확실히 밝혀진 바가 없다.
중세에 몽골 제국의 침략으로 이들이 속해있던 알라니야 연맹체는 크게 파괴되었으나 일부 부족들은 계속해서 저항하였는데 그 중에 체첸인들이 있었다. 이후 저지대의 일부 부족들은 몽골 제국에 복속하였으나 다른 체첸 부족들은 고지대에서 성과 벽을 쌓고 농성하며 끝까지 침략에 저항하였다. 티무르와 토흐타미시 등 몽골-타타르 세력과의 빈번한 충돌은 15세기까지도 이어졌다. 러시아와의 접촉은 16세기에 시작되었으며 17세기에는 카바르디인과 아바르인의 침략에 대항하였는데 이 시기에 이슬람교로의 대대적인 개종이 이루어졌다.
1722년에서 1723년 표트르 1세가 카스피해와 캅카스 지역의 지배권을 확립하기 위해 페르시아와 전쟁을 일으켰고, 이때 캅카스와 다게스탄 지역을 점령하게 되면서 체첸인들과 본격적인 충돌이 시작되었다. 1830년에서 1859년에 이르는 동안, 러시아 제국은 오스만 제국과의 접경지역 안보를 이유로 체첸에 진주했고, 캅카스 전쟁이 일어나 체첸인은 주변 민족들과 함께 이에 맞서싸웠으나 1859년 러시아군에 항복하며 완전히 병합되었다.
1917년 러시아의 혼란기에 인근 민족들과 함께 북캅카스 산악 공화국을 선포하였으나 1921년 소련에 의해 병합되었고, 이후 체첸인과 인구시인의 자치 정부인 체첸-인구시 자치 소비에트 사회주의 공화국이 수립되었다. 제2차 세계 대전 말기인 1944년 스탈린은 체첸인들이 전쟁 중에 나치군과 협력하여 반란을 꾀했다는 구실을 들어 체첸과 인구셰티야 국민 전체에게 중앙아시아로의 강제이주를 명령했다. 그러나 전쟁과 강제이주를 거치며 바이나흐족 인구는 수십만 명이 사망하였다. 스탈린이 사망한지 4년이 지난 1956년에 이르러서야 흐루쇼프의 탈스탈린 정책 하에 이들의 귀환이 허용되었다. 그러나 체첸-인구시 공화국의 영토가 변화하였을 뿐 아니라 이들의 버려진 고향에 러시아인들이 들어와 살면서 민족구성도 상당히 달라졌다.
체첸 전쟁.
소련 붕괴 이후 체첸인들의 분리주의 운동이 벌어져 조하르 두다예프를 지도자로 하여 이치케리야 체첸 공화국이 수립되었다. 제1차 체첸 전쟁에서 분리주의 반군이 승리하며 사실상 독립을 얻었으나 전쟁의 여파로 치안이 악화되고 심각한 경제난과 난민 문제가 발생하여 사회 혼란이 이어졌으며 여러 군벌 조직이 난립하였다. 대선을 거쳐 아슬란 마스하도프 대통령이 취임하였으나 이러한 내부적 혼란을 잠재우지 못하였다. 1999년 통제를 벗어난 샤밀 바사예프 치하 이슬람주의 군벌이 다게스탄을 침공하고 곧 모스크바 등지에서 일어난 러시아 아파트 폭탄 테러의 사건의 배후로 체첸 세력이 지목되면서 다시 러시아가 체첸을 침공, 제2차 체첸 전쟁이 벌어졌다. 이 때 블라디미르 푸틴 대통령의 강경 대응 명령 하에 러시아군의 엄청난 공세로 체첸 전역은 초토화되었으며, 2000년 그로즈니가 함락되고 반군은 산악 지대로 패퇴하였다.
전후.
이치케리야 정부가 무너진 이후에도 반군의 러시아군에 대한 공격과 테러 공격이 계속되었다. 2002년 10월에는 수십 명의 체첸 반군이 모스크바 극장 인질극을 일으켰고, 진압 과정에서 러시아 특수부대가 살포한 독가스 등으로 117명의 민간인이 사망하는 결과를 내었다. 2003년 러시아는 친러 정권을 수립하고 체첸을 안정화시키기 위해 친러파 군벌을 이끌던 아흐마트 카디로프를 정부수반으로 하여 러시아 연방 소속의 체첸 공화국을 수립시켰다.
2004년 9월 분리주의 반군이 북오세티야 베슬란의 한 학교를 점령하고 777명의 아동을 포함한 1100명을 인질로 삼은 채 체첸의 독립 승인과 러시아군 철수를 요구하며 농성을 벌인 베슬란 학교 인질사건이 발생하였다. 이는 3일 동안 이어져 최소 331명의 사망자를 내었으며 그 중 과반수가 어린이였다. 이후 푸틴은 반군에 대한 완전한 소탕을 명령하였고 2005년 아슬란 마스하도프, 2006년 샤밀 바사예프가 암살당하며 점차 반군은 세력이 와해되어 갔다.
2007년부터 아흐마트 카디로프의 아들로서 마찬가지 친러 군벌 출신인 람잔 카디로프가 2대 대통령으로 취임하였다. 카디로프 정부 하의 체첸은 연방으로부터 연 수백억 루블에 달하는 원조금을 받으며 빠른 정치적 안정과 경제 발전을 이루었으나, 한편으로 인권 탄압과 독재정치가 강화되었다.
2009년 러시아 정부는 반테러 작전의 종결을 선포하고 군대를 철수하였다. 이후로도 이슬람 지하드주의 무장단체들에 의한 북캅카스 반란이 발생하였으나 2013년 지도자 도카 우마로프가 사살당하고 2017년 사실상 진압되었다.
초월수

초월수(超越數, )는 수학에서 대수학적이지 않은 수를 의미한다. 어떤 다항 방정식의 해도 될 수 없는 복소수이자 유리수인 계수를 가진 유한한 0이 아닌 근을 의미한다. 가장 잘 알려진 초월수는 (원주율)과 (자연로그의 밑)이다.
현재까지는 적은 양의 초월수들만 알려져 있다. 이는 어떤 주어진 수가 초월수인지 보여주는 것은 극히 어려울 수 있기 때문이다. 그러나 초월수들은 드물지 않다. 실제로 대수적 수들이 가산 집합을 구성하는 반면 실수의 집합, 복소수의 집합은 모두 비가산 집합이므로 거의 모든 실수들과 복소수들은 초월적이다. 또한 모든 유리수가 대수학적이기 때문에 모든 초월실수("실제 초월수" 또는 "초월무리수"라고도 함)는 무리수이다. 그러나 모든 무리수가 초월적인 것은 아니다. 따라서 실수의 집합은 겹치지 않는 유리수, 대수적인 무리수, 초월적인 실수로 구성된다. 예를 들어 제곱근 2는 무리수이지만 다항식 의 근인 만큼 초월수는 아니다. 황금비(formula_1 또는 formula_2로 표시됨)은 다항식 의 근으로서 초월적이지 않은 또다른 무리수이다.
역사.
"초월적"이라는 이름은 라틴어로 "넘어오거나 넘어서거나"를 뜻하는 '트란스켄데레'(transcendĕre)에서 유래되었다. 고트프리트 빌헬름 라이프니츠는 1682년에 발표한 자신의 논문에서 수학적 개념을 처음 사용했는데 가 의 대수함수가 아니라는 것을 증명했다. 레온하르트 오일러는 18세기에 "초월수"를 현대적 의미로 정의한 최초의 수학자로 여겨지고 있다.
요한 람베르트는 1768년에 발표한 자신의 논문에서 (자연로그의 밑)와 (원주율) 둘 다 초월수라고 추측했고 무리수인 의 초월수 증명에 대한 대략적인 구성을 제안했다. 조제프 리우빌은 1844년에 초월수의 존재를 처음으로 증명했고 1851년에 리우빌 수와 같은 초월수의 사례를 제시했다.
이 ( 계승)인 경우에는 소수점 뒤의 번째 자리가 이고 그렇지 않은 경우에는 이다. 즉 이 숫자 등일 경우에만 이 숫자의 번째 자릿수가 이다. 리우빌은 이 숫자가 특정한 무리수인 대수적 수보다 유리수에 의해 보다 가깝게 근사할 수 있는 초월수의 종류에 속한다는 것을 보여주었고 이 종류의 숫자는 그의 이름을 따서 리우빌 수라고 불린다. 리우빌은 모든 리우빌 수가 초월수라는 것을 증명했다. 1873년에는 샤를 에르미트가 초월수의 존재를 증명하기 위해 가 특별히 구성되지 않은 초월수임을 증명했다.
1874년에는 게오르크 칸토어가 대수적 수들은 셀 수 있고 실수는 셀 수 없다는 사실을 증명했다. 그는 또한 초월수를 구성하는 새로운 방법을 제시했다. 비록 이것이 대수적 수의 계산 가능성에 대한 그의 증명에 의해 이미 암시되었지만 칸토어는 실수들만큼 초월적인 숫자들이 있다는 것을 증명하는 구성을 공개했다. 칸토어의 연구는 초월수의 보편성을 확립했다.
1882년에는 페르디난트 폰 린데만이 의 초월성에 대한 최초의 증명을 담은 책을 출판했다. 그는 먼저 가 0이 아닌 대수적 수일 경우 가 초월수라는 것을 증명했다. 그렇다면 은 대수적이므로(오일러의 항등식 참조), 는 초월수이어야 한다. 그러나 가 대수적 수이기 때문에 는 초월수이어야 한다. 이러한 접근 방식은 카를 바이어슈트라스에 의해 일반화되었는데 오늘날에는 린데만-바이어슈트라스 정리로 알려져 있다. 의 초월은 원적문제와 같이 가장 유명한 것을 포함하여 컴퍼스와 자 작도를 포함한 여러 고대 기하학 구조들이 갖고 있던 불가능성의 증거를 가능하게 했다.
1900년에는 다비트 힐베르트가 힐베르트의 7번째 문제인 초월수에 대해 영향력 있는 질문을 던졌다. "가 0이나 1이 아닌 대수적 수이고 가 무리수인 대수적 수라면 반드시 은 초월수인가?" 이에 대한 해답은 1934년에 겔폰트-슈나이더 정리를 통해 제공되었다. 이 연구는 1960년대에 앨런 베이커가 진행한 (대수 수) 로그에서 선형 형태의 하한에 대한 연구를 통해 확장되었다.
특성.
초월수의 집합은 셀 수 없이 무한하다. 유리수인 계수를 갖는 다항식은 셀 수 있고 각각의 다항식은 유한한 근을 가지기 때문에 대수적 수도 셀 수 있어야 한다. 그러나 칸토어는 대각선 논법을 통해 실수가 (그리고 복소수또한) 셀 수 없다는 것을 증명했다. 그리고 실수 집합은 대수적 수 집합과 초월수 집합의 합집합이기 때문에, 초월수 집합은 셀 수 없다.
어떠한 유리수도 초월적이지 않고 모든 초월실수는 무리수이다. 무리수는 2차 무리수 및 그 외의 형태를 가진 대수적 무리수를 포함하여 모든 실제 초월수와 대수적 수의 부분집합을 포함한다. 단일 변수의 일정하지 않은 대수함수는 초월 인수에 적용될 때 초월 값을 산출한다.
단일 변수의 대수함수에서 초월수는 다른 초월수에 대응된다. 예를 들어 가 초월적이라는 것을 아는 것으로부터 과 같은 숫자들이 초월수임을 수 있다. 도 초월수이다.
그러나 여러 변수의 대수함수는 초월수에 적용될 때 대수적 수를 산출할 수 있다. 예를 들어 와 는 둘 다 초월적이지만 은 그렇지 않다. 예를 들어 가 초월적인지는 알 수 없지만, 와 가운데 적어도 하나는 초월적인 것이어야 한다. 보다 일반적으로 어떤 2가지 초월수 와 의 경우 적어도 와 가운데 하나는 초월수여야 한다. 그 이유는 다항식 을 고려해보면 알 수 있다. 만약 와 가 둘 다 대수적이라면 이것은 대수적 계수를 갖는 다항식이 될 것이다. 대수적 수는 대수적으로 닫힌 체를 형성하기 때문에 다항식인 와 의 근은 대수적이어야 한다는 것을 의미한다. 하지만 이때 모순이 생긴다. 따라서 적어도 하나의 계수가 초월적이라는 것을 알 수 있다.
계산 불가능한 수는 초월수의 진부분집합이다. 모든 리우빌 수는 초월적이지만 그 반대는 아니다. 모든 리우빌 수는 지속적인 연분수에서 제한 없는 부분적인 몫을 가져야 한다. 계산 인수를 사용하면 제한된 부분적인 몫을 가진 초월수가 존재하므로 리우빌 수가 아니라는 것을 증명할 수 있다.
의 지속적인 연분수를 사용하여 가 리우빌 수가 아니라는 것을 보여줄 수 있다(비록 지속적인 분수의 부분적인 몫은 무한대이다). 쿠르트 말러는 1953년에 또한 리우빌 수가 아니라는 것을 증명했다. 결국 주기적이지 않은 경계 항을 갖는 모든 무한 연분수는 초월적(결국 주기적인 연분수는 2차 무리수에 해당함)이라고 추측된다.
초월수로 입증된 수.
초월수로 입증된 수:
초월수일 가능성이 있는 수.
초월수 또는 대수적 수로 아직 입증되지 않은 수:
음계

음계(音階)는 음악에서 음높이(pitch) 순서로 된 음의 집합을 말한다. 악곡을 주로 구성하는 음을 나타낸 것이며 음계의 종류에 따라 곡의 분위기가 달라진다.
음계의 각각의 음에는 위치에 따라 도수가 붙는다.
음계의 종류.
음계는, 음계가 포함하고 있는 음정(interval)에 따라서 이름을 붙일 수 있다.
또는 음계가 포함하고 있는 서로 다른 피치 클래스의 수에 따라서 이름을 붙일 수 있다.
"음계의 음정(interval) 뿐만 아니라 음계를 만드는 음(note)의 수가, 한 문화권의 음악에 독특한 음악적 특징을 지니게 한다" "어떤 음계의 음의 수보다, 음의 거리(interval, pitch distance)가 음악의 소리에 대해서 더 많은 것을 알려준다."
온음계와 반음계.
온음계와 반음계(半音階)는 서양 음악에서 쓰이는 용어이다. 자체로는 음계에 관한 말이지만, 온음계적·반음계적인 선율, 화음, 화성 진행 등의 표현으로도 쓰인다. 대부분의 경우 온음계는 7개 음으로 이루어진 장음계를 말한다. 20세기 음악론에서는 반음계가 아닌 모든 음계(이를테면 팔음음계)를 말할 때 쓰이기도 한다.
반음계는 12개의 반음으로 이루어진 음계를 말한다.
계이름.
계이름은 음계를 기준으로 한 음의 이름이다. 장음계를 이루는 음의 계이름은 으뜸음부터 위로 올라가면서 각각 도, 레, 미, 파, 솔(), 라, 시(), 도가 된다.
한국과 중국의 전통 음계.
서양 음악에서는 도·레·미·파·솔·라·시로 된 7음계가 많이 쓰이지만 한국 전통 음악에는 황종(黃鍾)-미♭·태주(太蔟)-파·중려(仲呂)-라♭·임종(林鍾)-시♭·무역(無射)-레♭으로 된 5음계가 많이 쓰이고, 중국 전통 음악에는 궁-도·상-레·각-미·변치(變徵)-올림화(Fa )·치-솔·우-라·변궁(變宮)-시로 7음계를 많이 쓴다.
한국 전통 음악에서는 5음계 외에도 3음계 또는 악계통에서는 7음계 등이 쓰인다.
2002년

2002년은 화요일로 시작하는 평년이며, 이 해는 21세기의 첫 대규모 행사의 해이다.
12월 19일

12월 19일은 그레고리력으로 353번째(윤년일 경우 354번째) 날에 해당한다.
5월 31일

5월 31일은 그레고리력으로 151번째(윤년일 경우 152번째) 날에 해당한다.
6월 30일

6월 30일은 그레고리력으로 181번째(윤년일 경우 182번째) 날에 해당하며, 6월의 마지막 날이다.
우크라이나

우크라이나()는 동유럽 국가다. 남쪽과 남동쪽으로는 흑해와 아조프해, 동쪽과 북동쪽으로는 러시아, 북쪽과 북서쪽으로는 벨라루스, 서쪽으로는 폴란드, 슬로바키아, 헝가리, 남서쪽으로는 루마니아, 몰도바와 접한다. 키이우가 수도이며 가장 큰 도시다. 동유럽 평원과 이어져 있으며 기후는 비교적 온화한 편이다. 법적 공용어는 우크라이나어이고, 인구 대부분은 우크라이나어를 사용하지만, 대부분 동부 인구(주로 동부 지역과 동남부 지역, 오데사 지역)는 러시아어 사용자이기도 하다. 주요 도시로는 키이우, 도네츠크, 드니프로, 하르키우, 르비우, 오데사, 자포리자가 있다. 2014년 러시아가 크림반도를 합병함에 따라 행정력이 크림반도에 미치지 못하지만, 국제사회는 대체로 크림반도를 우크라이나의 일부라는 태도를 견지하고 있다.
중세 초 루스 카간국으로부터 키예프 루스로 이어진 우크라이나는 오랫동안 투르크족·몽골족 등 지배를 받았다. 19세기까지 대다수 우크라이나 영토가 러시아 제국에 통합되었고, 나머지 부분은 오스트리아-헝가리 통제 아래 있었다. 우크라이나는 러시아 혁명 후 혼란과 끊임 없는 전쟁 속에서 여러 차례 독립을 시도하여 1917년에 민족국가를 건설했으나, 1922년에 소비에트 연방에 강제 합병되었다. 1923년 소비에트 연방 헌법 적용을 받으며 우크라이나 소비에트 사회주의 공화국이란 이름의 구성국으로 존재했다, 1991년 소련 해체와 함께 독립하였다. 
지하 자원이 풍부하여 도네츠 탄전의 석탄, 크리보이로그의 철광석, 카르파티아 유전과 천연가스, 그 밖에 망간, 우라늄, 식염, 칼리염, 석회석 등을 산출한다. 산업으로는 석탄·철광·선철 생산에서 중요성 있다. 풍부한 수력 전기를 이용하여 기계 제조 공업·화학 공업이 크게 발달했으며 유수 공업 지대를 이루고 있다. 석탄업, 철강업, 기계 제조업, 화학 공업 중심은 돈바스·드니프로 주이며, 드니프로 강 하구에서 키이우 사이 6개 수력 발전소가 단계상(段階狀)으로 건설되어 있다. 우크라이나 경지율은 약 70%에 이르고 있어, 겨울밀·옥수수·보리·사탕무·해바라기·포도의 재배, 가축 사양 등에서는 구소련 시절 매우 중요한 지위를 차지하고 있었다. 온난한 크림 반도 남단과 광천이 솟는 카르파트 지방은 중요한 관광·보양지다. 러시아 작가 니콜라이 고골의 작품 〈타라스 부리바〉 배경으로도 알려졌다. 공용어는 우크라이나어를 쓰고, 우크라이나 국민 절대 다수가 믿는 종교는 우크라이나 정교회다.
자연 환경.
지리.
국토 면적 603,700km2에 576,700km2 (크림 공화국과 세바스토폴 제외시) 해안선 길이는 2,782km로, 우크라이나는 세계에서 44번째로 큰 국가(중앙아프리카 공화국보다는 작고, 마다가스카르보다는 크다.)이다. 또한, 유럽에서는 두 번째로 큰 나라이다. 어떤 사람들은 유럽의 중심이 우크라이나 서쪽의 라키브 마을 인근이라고 한다. 하지만 여전히 유럽의 지리적 중심을 보는 관점에 대해 논쟁이 있다.
우크라이나는 비옥한 평원, 스텝, 고원이 있으며, 그들을 지나가는 강이 흑해로 흘러들어간다. 거의 남쪽 만으로 강이 빠져나가고 남동부 지방에는 다뉴브 삼각지가 루마니아와 국경을 접하고 있다. 우크라이나의 대표적인 산은 카르파티아 산맥으로서 우크라이나 서부에 위치한다. 우크라이나에서 가장 높은 산은 호베를라 산으로 높이는 2,061m이다. 크림 반도를 따라서 넓은 해안선이 펼쳐진다.
우크라이나에 분포하고 있는 초르노젬(흑토) 지대는 비옥한 토양으로 유명하다. 그 밖에 아스팔트, 무연탄, 철, 망가니즈, 크롬, 타이타늄, 납, 아연, 알루미늄, 수은, 니켈, 천연 가스, 석유 등 70여 가지의 종류에 달하는 천연 자원이 매장되어 있다.
기후.
대개 온화한 대륙성 기후를 보이는데 남쪽의 크림 반도 인근에서는 온난 습윤 기후가 나타나기도 한다. 비는 북서부 지방에 가장 많이 내리고 동부와 남동부 지역은 덜 오는 편이다. 겨울은 흑해 인근 지방이라면 따뜻하지만 내륙으로 들어갈수록 대체로 추워진다. 여름에는 전반적으로 따뜻하지만 남쪽 지방은 무덥다.
역사.
기원.
우크라이나 역사는 중앙아시아에서부터 건너와 동유럽을 정복한 튀르크 민족들의 관계를 빼 놓을 수 없다. 3세기부터 시작한 중앙아시아 투르크 민족들의 유럽 침공과 동슬라브족 정복 그리고 이주는 5세기부터 10세기까지 사바르 카간국에 이어 아바르 카간국 그리고 하자르 카간국까지 이어진다. 동유럽 동슬라브 원주민들은 사바르 카간국에 정복당해 프랑크족들과 대립하기도 하였고 하자르 카간국의 우크라이나 초원 정복으로 인해 동슬라브 문화는 서유럽의 문화와는 조금 이질적인 특징을 가지게 되었다. 하자르 카간국의 영향에 따라 동슬라브족으로서의 정체성이 생기기 시작하였고 8세기에서 9세기에 루스 카간국이라는 고대 투르크어인 군주 칭호인 카간을 자칭하는 북게르만족 루스인의 첫 국가가 등장하였다. 그 전까지는 벨라루스와 우크라이나를 지배했던 중앙아시아 투르크 민족들이 카간을 자칭하였으나 그 지배 아래 동슬라브인들도 완전히 종속과 동화되어 동슬라브인의 정체성이 확립되었고 그 후 동슬라브인들이 카간을 자칭하였다. 
키예프 루스는 10세기까지 중앙아시아 투르크 민족의 영향을 받았고 이에 따라 류리크 왕조의 시조인 류리크 또한 위대한 카간이자 왕으로 불렸다는 기록이 존재한다. 862년경 전까지는 확실히 카간이라 칭한 루스인들이 페르시아 사서와 동, 서 로마 기록에 남아 있다. 여기에 원초연대기의 기록에서는 루스인들의 카간으로 알려진 류리크가 동슬라브족 지역에 정착하면서 류리크 왕조와 키예프 루스가 나타나며 카간이라는 호칭보다는 크냐지 또는 벨리키 크냐지라는 호칭이 자주 쓰이게 된다.&lt;ref&gt;&lt;дека името Украина доаѓа од старословенскиот поим "украина" што значи „гранична област“ или „крајина“
가위

가위()는 손으로 잡아 종이 등을 쉽게 자를 수 있게 하는 도구이다. 두 장의 얇은 금속 날을 결리지 않도록 엇갈리게 나사로 엮어, 그 두 날이 지레의 원리로 움직이면서 서로 부딪치면 절단력이 발생한다. 플라스틱 판, 얇은 철판, 머리카락, 끈, 종이, 옷감, 강삭 등을 자를 때 쓰인다.
종류.
핑킹가위.
핑킹가위는 무늬를 내며 자를 때 사용하는 가위이다. 무늬의 종류는 여러가지이며 물결무늬 지그재그 톱니모양 등이 있다.
쪽가위.
쪽가위는 실 따위를 자를 때 사용하는 가위이다. 발견된 가위 중 가장 오래된 가위가 쪽가위 형태로 제작되었다. 16세기까지 유럽에서 사용되었으며, 오늘날에도 쪽가위의 형태를 변형한 가위를 찾을 수 있다.
X자형 가위.
X자 형태의 날을 지닌 가위이다. 서기 100년경 고대 로마에서 쪽가위 디자인을 각색하면서 발명되었다.
지렛대의 원리로 구분.
지렛대의 원리에 바탕을 둔 것으로 지레의 작용점 · 받침점 · 힘점의 상호관계에 의하여, 힘점이 작용점과 받침점 사이에 있는 원지점식(元支點式), 지레의 받침점이 힘점과 작용점의 사이에 있는 중간지점식, 작용점이 힘점과 받침점 사이에 있는 선(先)지점식의 3가지로 구별된다.
따라서 이것을 응용한 가위도 3종으로 대별된다. 원지점식에 속하는 것으로서 손자수용 가위 · 잎따기가위 · 망(綱)베기가위 등이 있고, 중간지점식에 속하는 것으로는 재단가위 · 꽃가위 · 전정가위 · 전지가위 · 잔디가위 · 양철가위 · 버튼홀가위 · 의료가위 · 이용(理容)가위 등이 있다. 선지점식에 속하는 것은 눌러서 자르는 가위와 과일따기 가위 등이 있다.
유래와 역사.
지금까지 발견된 세상에서 가장 오래된 가위는 기원전 1000년경 메소포타미아에서 만들어진 가위다. 특히 로마 시대의 유물로 가위가 많이 발견되었으며, 이 시대 가위는 라틴 문화 중기에 중부 및 북유럽 등으로 전해졌다. 라틴 문화의 가위는 남자의 무덤에 부장되어 있는 것으로 보아, 알려져있던 양모를 깎기 위한 것이 아니고 수염을 깎는 데 쓰인 것으로 추측된다. 그리고 로마 시대의 유물에서 발견된 날이 짧고 튼튼하게 만들어진 가위는 철사나 튼튼한 실, 얇은 철판등을 자르는 데 사용된 것으로 보인다.
한국에서 발견된 가장 오래된 가위는 경주 분황사 모전석탑에서 발견된 가위이며, 모양이나 쓰임새가 중국에서 발견된 것과 같은 걸로 보아 중국에서 건너왔을 것이라고 학자들은 말한다. 전 세계에서 발견된 유물을 비교해볼 때 가위는 서양에서 처음 만들어져 사용되다가 중국에 전해졌을 거라고 추측할 수 있다.
지구과학

지구과학(地球科學, )은 행성인 지구와 그 주위의 천체를 연구하는 학문들을 묶어 부르는 이름이다. 지구의 환경은 크게 육지, 바다, 대기로 나누어지며, 이러한 환경들은 각각 지구과학의 주요 분야라고 할 수 있는 지질과학, 수문과학, 대기과학 분야의 주요연구대상이 된다. 일반적으로 지구과학으로 불리는 학문들은 대기에서 일어나는 현상을 대상으로 하는 기상학, 지구 표면의 물질을 주로 대상으로 하는 지질학, 바다 현상을 대상으로 하는 해양학, 지구의 깊은 속에서 일어나는 현상을 대상으로 하는 지구물리학과 실용적인 응용분야로서 환경공학 등이 있다.
지구과학에는 많은 전문 분야가 포괄되지만 대체로 여섯 가지로 나뉜다.
아오조라 문고

아오조라 문고()는 ‘일본어판 구텐베르크 프로젝트’로 불리는 일본의 인터넷 전자도서관으로, 저작권이 풀린 문학작품을 수집, 전자문서화해서 인터넷에 공개하고 있다. 저자 사후 50년이 지난 메이지, 쇼와 시대 초기의 일본 문학 작품이 그 대부분을 차지하고 있고, 일본어 외 문학 작품의 일본어 번역 작품도 다수 있다. 1997년 2월 도미타 미치오, 노구치 에이치, 야마키 미에, 란무로 사테이 등 4명이 창설하여 시작되었다. 2016년 연간 방문객수는 940만 건 이상이다.
아오조라 문고에 수록된 작품은 JIS X 0208에 해당되는 한자 범위 내에서 자원봉사자에 의해 아오조라 문고 형식 텍스트파일이나 HTML 파일로 전자화된다. 또 아오조라 문고 수록파일 취급기준에 따라 자유롭게 이용할 수 있기 때문에, 수록된 작품을 PC는 물론 PDA와 휴대전화로도 볼 수 있다. 텍스트 파일을 큰 글자로 인쇄하거나 전용 소프트웨어에 불러들여 시각장애인용으로 이용하는 방안도 기대되고 있다. 아오조라 문고의 열람 소프트웨어는 따로 개발 및 제공되고 있는 것은 없지만, 전자사전이나 아이폰용 어플리케이션 등은 타사에서 개발하여 출시되어 있다.
개요.
저자 사망 이후 50년이 지나 저작권이 소멸한 메이지 시대부터 쇼와 시대 초기까지의 서적 대부분이 존재한다. 외국 번역작품이나 저자가 무료보기를 인정한 현대작품도 포함된다. 장르는 정치부터 취미까지 다양하지만, 비교적 문학작품(시대소설, 추리소설등의 오락작품 포함)이 많다. 유명작가의 작품이 모두 갖춰져있진 않지만 그래도 일본어작품에 관련해서는 충실하게 갖춰진 편이다. (번역작품의 경우 번역저작권을 문제로 수가 많지 않다.)
잘 알려지지 않은 작품을 보존, 소개하는 장점도 있다. 작품 텍스트화는 지금도 현재진행형이며 2011년 3월 15일 현재 등록작품수가 1만권이 넘었다.
고전작가인 모리 오가이, 나츠메 소세키, 아쿠타가와 류노스케, 최근의 작가로는 나카지마 아츠시, 다자이 오사무, 하야시 후미코, 미야모토 유리코, 호리 다쓰오, 사카구치 안고, 다카무라 고타로, 나가이 가후, 요시카와 에이지 등 인물의 작품이 있다.
운영.
아오조라 문고는 자원봉사로 운영되며 열람 역시 무료이다. 서비스 개시 초반에는 보이저 사에서 서버를 제공하였다. 1998년부터 1999년까지는 토미타가 작업 수칙과 매뉴얼을 만들었다.
자원봉사로 운영되기 때문에 작품의 입력과 교정 역시 자원봉사자가 한다. 입력은 원본을 보면서 타자입력이나 스캐너로 입력하는 방법으로 이뤄진다. 또 작품을 입력하는 '입력자'와 입력된 작품을 교정하는 '교정자'는 별도의 자원봉사자가 담당한다. 따라서 작품이 공개되기 전까지는 작품을 입력한 뒤 교정자가 교정을 예약할 때까지 '교정대기' (校正待ち)가 되고, 작업을 멈추게 된다. 즉, 입력하는 자원봉사자가 작품을 입력해 교정을 맡은 자원봉사자가 교정예약을 해서, 교정작업을 완료하기 전까지는 작품을 공개할 수 없다. 때문에 입력이 완료되어도 작업 상태가 '교정대기' 상태인 작품이 증가하고
있다. 이는 입력에 비해 교정 작업이 부족하기 때문으로, 아오조라 문고 출범 당시부터 안고 있는 문제점이기도 하다. 이 문제에 대해서는 작품의 교정작업을 하지 않고 공개하는 방안과 입력자가 교정한 것도 인정하자는 방안이 제기된 적이 있지만 현재까지도 이 방안은 채택되지 못하고 있다. 대신 2011년 12월 16일 공개분부터는 기부금을 재원으로 삼은 '유상교정' 서비스가 진행되고 있다.
2013년 8월 아오조라 문고의 설립자인 토미타가 사망한 것을 계기로, 아오조라 문고에 지속적인 지원을 해줄 '책의 미래 기금' (本の未来基金)이 설립됐다. 하지만 2015년부터는 엔지니어가 없는 상태로 서버를 강제로 돌리고 있으며, 서버 자체도 노후화되고 있다는 점이 문제되고 있다. 이 때문에 2015년 5월 "'Code for 아오조라 문고' 아이디어 송"이 개최되어 향후 시스템 운용에 대한 의견 교환이 이뤄졌다. 그 이후에는 해당 모임을 바탕으로 시스템 관리와 코드수정 등을 맡는 'aozorahack' 프로젝트가 진행되고 있다.
형식.
텍스트 파일을 아오조라 문고에 수록할 때, 텍스트 파일이 갖추어야 할 서식을 '아오조라 문고' 형식이라 부른다.
아오조라 문고 형식은 텍스트 파일로서 많은 환경에서 읽을 수 있도록 규격화되어있다. 때문에 가능한 한 원본의 충실한 재현을 목표로 삼고 있지만, 줄 바꿈이나 삽화 등의 정보는 원칙적으로 포함되지 않는다.
아오조라 문고 형식에 대응하는 텍스트 뷰어와 텍스트 편집기도 존재하며, 올림문자와 방점 등도 재현할 수 있다. 또 이러한 텍스트 뷰어에서는 본래 아오조라 문고 형식에 포함되지 않았던 삽화 정보를 삽입하거나 세로쓰기로 표시할 수 있으며, 텍스트를 읽기 쉽도록 만드는 다양한 기능이 포함되어 있다. 이러한 소프트웨어는 유료와 무료를 불문하고 종류가 다양하다.
올림문자.
일본어 표기에 많이 쓰이는 올림문자 (후리가나)는 그대로 올려쓰지 않고 '｜'나 '《》'로 표시한다. 올림문자를 《》 로 묶거나 ｜로 올릴 문자열을 특정하는 방식은 일본 시각장애인 독서지원협회 (BBA)의 원문입력 수칙에 따른 것이다.
이 같은 방식을 예시로 들자면 다음과 같다.
라고 표기했다면 'ぶんこ' (분코)라는 올림표기가 '文庫' 부분에 걸려 있는 것이다. 다만,
처럼 올림표기를 쓸 한자가 가나로 충분히 구분된다면 ｜를 써서 분리할 필요가 없으므로 쓰지 않는다. 또한,
처럼 가나에 올림표기를 강제로 쓰는 것도 가능하다.
프로젝트 구텐베르크

프로젝트 구텐베르크(Project Gutenberg,PG)는 인류의 자료를 모아서 전자정보로 저장하고 배포하는 프로젝트로, 1971년 미국인 마이클 하트(Michael Hart)가 시작했다.
인쇄술을 대중화(인쇄술 방명은 직지 최)도로 확장시킨 요하네스 구텐베르크의 이름에서 따온 것으로, 인터넷에 전자화된 문서(e-text)를 저장해 놓고 누구나 무료로 책을 받아 읽을 수 있는 가상 도서관을 만드는 것을 목표로 한다. 수많은 자원봉사자들이 인터넷을 이용해 기여하여 만들어지는 프로젝트로 수많은 고전의 원문이 모여 있다.
2006년 3월 프로젝트 구텐베르크 발표에 따르면, 프로젝트는 18,000개 항목 이상의 전자문서를 보유하고 있으며, 매주 50여개의 새로운 전자책이 새롭게 등록되고 있다고 한다.
프로젝트에 등록된 전자책은 대부분이 서구의 문학작품으로 이루어져 있다. 소설, 시, 단편소설, 드라마 등의 문학작품 외에 요리책, 사전류, 정기간행물이 포함되어 있다. 또한 일부 오디오 파일과 음악 악보 파일도 갖고 있다.
대부분은 영문 서적이지만, 독일어, 프랑스어, 이탈리아어, 에스파냐어, 네덜란드어, 핀란드어, 중국어, 포르투갈어, 라틴어, 스웨덴어, 라틴어, 에스페란토로 된 책도 있으며, 여타 언어 문서도 꾸준히 증가하고 있다.
문서는 주로 아스키 문자 집합, 때때로 ISO-8859-1 문자 집합으로 인코딩된 텍스트문서를 언제나 내려받을 수 있으며, HTML등의 다른 형식의 문서도 받을 수 있다. 편집이 어려운 PDF 등의 문서형식은 프로젝트가 지향하는 바와 맞지 않는 것으로 여겨지지만, PDF형식을 이용할 수 있는 문서도 있다. 최근 수년동안 XML형식을 도입할지에 대한 토론이 있었지만, 토론은 지지부진하다.
기술의 발전.
1990년대 들어 스캐닝과 OCR기술에 힘입어 마이클 하트는 컴퓨터 제조회사에서 스캐닝장비를 기증받아 문서를 스캐닝한후 OCR소프트웨어로 이를 텍스트화하는 작업을 구축하였다. 이러한 형태의 발전된 프로세스는 현재 주요한 작업기술이다. 한편 PG는 다중원본제공을 지원하며 또한 사용자 제공 콘텐츠 절차를 지원한다. 이는 셀프 출판을 의미한다.
라이선스.
프로젝트 구텐베르크 라이선스(The Project Gutenberg License,PGL)는 아래와 같은 2개의 큰 맥락을 갖는다.
이러한 프로젝트 구텐베르크 라이선스는 이후 몇몇 추가된 라이선스를 도입했으며 이전의 라이선스와 추가변형된 라이선스는 '프로젝트 구텐베르크'의 공식웹사이트에서 전문을 확인할 수 있다.
겐지모노가타리

《겐지모노가타리》()는 일본 헤이안 시대 중기에 성립한 일본의 장편이야기이자 소설이다. 문헌 처음으로 나온 것은 1008년 (간코 5년)이다. 작가는 무라사키 시키부로, 그녀 생애 유일한 모노가타리 작품이다. 주인공인 히카루 겐지를 통해, 연애, 영광과 몰락, 정치적 욕망과 권력투쟁 등 헤이안 시대의 귀족사회를 그렸다. 
하급 귀족 출신인 무라사키 시키부는 20대 후반에 후지와라노 노부타카와 결혼해 1녀를 두었으나, 결혼 후 3년만에 남편과 사별하면서 현실을 잊기 위해 이야기를 쓰기 시작했다. 이것이 《겐지모노가타리》의 시작이다. 당시에는 종이가 귀했기 때문에, 종이 제공자가 있으면, 그때마다 쓰고, 동료들끼리 서로 비평하는 등 즐거워했는데, 그 이야기의 평판에 후지와라노 미치나가의 딸인 중궁 후지와라노 쇼시(아키코)의 가정교사로 무라사키 시키부를 불렀다. 이를 계기로 궁중에 들어간 무라사키 시키부는 궁에서 근무하면서, 후지와라노 미치나가의 지원 아래에 이야기를 계속 써, 54첩으로 구성된 《겐지모노가타리》가 완성됐다.
또한, 겐지모노가타리는 문헌이 처음 나온지 약 150년 만인 헤이안 시대 말기에, 〈겐지모노가타리 에마키〉로 회화화되었다. 현존하는 에마키 중, 도쿠가와 미술관과 고토 미술관 소장품은 국보로 지정되어있다. 또, 현재 《겐지모노가타리》는 일본 뿐아니라, 20개 언어 이상의 번역을 통해, 세계 각국에서 읽히고 있다.
제목.
고사본은 제목이 적혀 있지 않은 것도 많고, 기록되어 있는 경우에도 내용은 다양하다. 《겐지모노가타리》의 경우에는 책자의 표제로써 《겐지모노가타리》 내지 그에 해당하는 이야기 전체의 표제가 적혀 있는 경우보다 각각의 첩명이 적혀 있는 경우가 적지 않다. 이러한 경위로 보아, 현재 일반적으로 《겐지모노가타리》라고 불리는 이 이야기가 쓰여질 당시의 제목이 무엇이었는지는 분명치 않다. 옛 사본이나 주석서 등의 문헌에 나와 있는 명칭은 크게 다음과 같은 계통으로 나뉜다.
이들은 모두 겐지(源氏 (光源氏) 또는 무라사키노우에(紫の上)라는 주인공의 이름을 그대로 이야기 제목으로 한 것이어서 이야기의 고유한 명칭이라고 보기는 어렵다. 또한, 집필 시 저자가 명명했다면 이처럼 다양한 제목이 생겨날 것으로 보기 어렵기 때문에, 이들이 작자에 의한 것이 아닐 가능성이 높다고 본다.
『무라사키 시키부 일기』, 『사라시나 일기』, 『미즈가카미』 등, 이 이야기의 성립 시기에 가까운 주요 문헌에 《겐지모노가타리》라고 되어 있는 점 등으로 말미암아, 이야기의 성립 초기부터 이 이름으로 불렸다고 생각되지만, 작가의 일반적인 통칭인 「무라사키 시키부」가 《겐지모노가타리》 (=《무라사키노모노가타리》)의 작자라는 데서 유래한다면, 그 바탕이 된 《무라사키노모노가타리》나 《무라사키노유카리노모노가타리》라는 명칭은 상당히 이른 시기부터 존재했을 것으로 보이며, 「겐지(源氏)」를 표제로 내세운 제목보다 오래되었다는 견해도 있다. 《무라사키노모노가타리》라고 부르는 경우에는, 현재의 《겐지모노가타리》 54첩 전체를 가리키는 것이 아니라, 「와카무라사키(若紫)」를 비롯한 무라사키노우에가 등장하는 권 (이른바 《무라사키노우에모노가타리》)만을 지칭한다는 설도 있다.
『카카이쇼(河海抄)』 등의 고전승에는 「源氏の物語」라고 불리는 이야기가 여러 개 존재하고, 그 중에서 가장 뛰어난 것이 「光源氏物語」라고 하는 것이 있다. 그러나, 현재 《겐지모노가타리》라고 불리는 이야기 이외의 《겐지모노가타리》의 존재를 확인할 수 없기 때문에, 이케다 키칸 등은 이 전승을 다루기에 부족한 기괴한 설에 불과하다며, 사실이 아니라고 밝혔다. 이에 대해 와츠지 테츠로는 현재의 《겐지모노가타리》에는 독자들에게 현재 알려지지 않은 히카루 겐지에 대한 모종의 주지의 이야기가 존재하는 것을 전제로 처음 이해할 수 있는 부분이 존재한다며, "이것은 갑자기 척척 해야할 설이 아닐라고 생각한다"고 말했다.
이 밖에, 「원어 (源語/げんご)」, 「자문 (紫文/しぶん)」, 「자사 (紫史/しし)」 등의 한자어풍 명칭으로 불리기도 하지만, 이들은 한어의 영향을 받은 것으로, 그다지 오래된 것은 아닌 것으로 보인다. 이케다에 의하면, 그 사용은 에도 시대를 거슬러 올라가지 않는다고 여겼다.
평가.
헤이안 시대 중기 11세기 초에 성립된 장편 소설(모노가타리, 物語)이다. ≪겐지 모노가타리(源氏物語)≫는 오랫동안 특정한 명칭 없이 ≪源氏の物語≫, ≪光源氏物語≫, ≪紫の物語≫, ≪光源氏≫, ≪源氏≫, ≪源語≫, ≪紫文≫ 등으로 불려 오다가, 오늘날에는 일반적으로 ≪源氏物語≫라는 서명으로 불리게 되었다. 전체 54권으로 나뉘어 있으며 200자 원고지 5000매가 넘는 세계 최고(最古), 최장(最長)의 고전 소설로 치밀한 구성과 인간의 심리 묘사, 표현의 정교함과 미의식 등으로 일본 문학사상 최고 걸작으로 평가된다.
당시의 전형적인 이야기가 보통 ‘옛날에 남자가 있었다’라고 시작되는 것과는 달리, ≪겐지 모노가타리≫는 ‘어느 천황의 치세 때였는지’라는 독창적인 서두로 시작된다. 작품 전체는 400여 명의 등장인물과 기리쓰보(桐壷), 스자쿠(朱雀), 레이제이(冷泉), 금상(今上)에 이르는 4대 천황에 걸친 70여 년간의 이야기로, 히카루겐지(光源氏, 이하 겐지)라고 하는 주인공의 비현실적이라 할 만큼 이상적인 일생과 그 후손인 가오루(薫)와 니오미야(匂宮) 등의 인간관계를 그리고 있다. 또한 본문은 수많은 전기(伝奇)적 화형(話型)과 함께 795수의 와카(和歌)가 산재되어 있어 긴장감 있는 문체를 이루고 있다.
귄터 그라스

귄터 그라스(, 1927년 10월 16일 ~ 2015년 4월 13일)는 독일의 소설가이자 극작가다.
생애.
독일 단치히 자유시(오늘날 폴란드의 그단스크)에서 식료품 상인이었던 독일계 아버지와 슬라브계 어머니 사이에서 태어났다. 하버드 대학에서 명예박사학위를 받았다. 1999년에 노벨 문학상을 수상하였다.
제2차 세계 대전과 그라스.
제2차 세계 대전 당시 독일 제국노동봉사대(RAD)에서 근무하던 중, 1944년에 무장친위대에 입대하여 10 SS기갑사단 프른즈베르크로 발령받아 참전했다. 징집당한 것이라는 얘기도 있으나, 당시 친위대의 독일인 대원들은 징집 대상이 아니라 자원 입대가 기본이었다(국방군 육군은 징병제였다). 종전후 부상당한 채 미군 포로로 잡혀 1946년까지 포로 수용소에 수감되었다. 이런 사실은 그라스 자신이 최근 발간한 자서전에서 인정했다.
전쟁 후의 그라스.
전후 1947~48년에는 광산에서 일하며 석공 기술 과정을 마친다. 이어 1948년부터 1952년까지는 뒤셀도르프 미술대학에서 그래픽과 조각을, 1953년부터 1956년까지는 베를린 예술대학에서 조각을 배웠다.
작품 활동.
1955년 슈투트가르트 방송국의 서정시 경연대회에 입상하고, 1956~57년에 예술 작품 전시와 별도로 작가 활동을 시작했다. 1958년까지 단문, 시, 희곡 등을 발표한다. 1954년에 결혼을 하고, 1960년부터 계속 베를린에 산다. 1959년에 매우 묘사적인 언어로 나중에 영화화 되기까지 한 《양철북》을 발표했다. 이 작품으로 그는 제2차 세계 대전 후 처음으로 세계 문학계에 이름을 날린 독일 작가가 된다. 이어 &lt;고양이와 쥐&gt; &lt;개의 해&gt;에서도 전쟁 전과 전쟁 후에 걸친 시대의 과오와 대결하고 있으며, 무대는 다같이 단치히이다. 이밖의 작품에 &lt;달팽이의 일기에서&gt; &lt;넙치&gt; 등이 있다. 1996년 유럽문화공로상을 받았다.
희곡.
그는 소설가로 활약하는 한편, 부조리극적인 소품(小品)인 &lt;요리사&gt; &lt;홍수&gt; &lt;버팔로까지 앞으로 10분&gt; 등을 발표한 바 있는데, 현대정치에도 직접 행동으로 참가하여 동·서 독일의 분열이라는 가장 현실적인 문제에 대담하게 도전한 &lt;천민의 폭동연습&gt;(1965)을 발표했다. 1953년 동독의 폭동 당시 브레히트를 모델로 하여 예술과 정치의 관련을 추구한 작품으로 &lt;독일의 비극&gt;이 있다.
사회 활동.
그라스는 전후 독일 사회민주당의 주요 지지자가 되어 외국인 혐오증, 신나치주의 등에 반대하는 사회활동에 적극 참여하였다.
일반 상대성이론

일반 상대성이론(一般相對性理論, , ) 또는 일반상대론(一般相對論, )은 마르셀 그로스만, 다비드 힐베르트, 알베르트 아인슈타인 등에 의해 발전되고 아인슈타인이 1915년에 발표한, 중력을 상대론적으로 다루는 물리 이론이다. 핀란드의 이론물리학자 노르드스트룀도 일반 상대론의 많은 부분을 논문으로 발표했었다. 일반 상대론은 현재까지 알려진, 중력을 다루는 이론 가운데 가장 정확하게 실험적으로 검증되었다.
특수 상대성 이론에서 수학자 헤르만 민코프스키가 민코프스키 공간을 도입하여 평평한 시공간을 기하학적으로 다루었다. 일반 상대성 이론은 중력의 영향을 시공간의 휘어짐으로 기술한다. 일반상대론에서 시공간의 수학적 구조는 특별한 종류의 준 리만 다양체이며 국소적(locally)으로 민코프스키 공간이다. 시공간의 휘어짐은 수학적으로 준 리만 다양체의 곡률에 해당한다(더 정확히는 준 리만 다양체 중에서도 특수한 로런츠 다양체의 곡률). 즉, 일반상대론은 1850년대에 만들어진 수학인 리만 기하학으로 기술된다. 시공의 곡률(아인슈타인 텐서)은 (우주 상수를 무시하면) 4차원 운동량 밀도에 비례하는데, 이를 아인슈타인 방정식이라고 한다. 일반 상대성 이론에서는 관성계뿐만 아니라 비관성계를 포함한 임의의 좌표계에 대해 물리 법칙이 동등한 형태를 유지하여야 한다.
중력 시간지연.
중력 적색편이.
자유낙하하는 승강기와 승강기 바닥에서 승강기 천장으로 쏘여진 빛을 떠올려보면, 승강기 안에서 승강기와 같이 자유낙하하는 관찰자는 빛에서 어떠한 도플러 효과도 보지 못할 것이다. 왜냐하면 등가원리를 따르면, 중력장 내에서 자유낙하하는 관찰자는 중력장이 없는 관성계의 관찰자와 같으며, 중력장이 없는 관성계에서는 빛에 어떠한 변형도 일어나지 않기 때문이다. 따라서 자유낙하하는 관찰자는 승강기 천장에 설치된 빛 감지기에서 어떠한 도플러 효과도 나타나지 않을 것이라고 결론짓는다. 하지만 승강기 밖에서 땅 위에 서있는 관찰자는 빛에서 도플러 효과를 기대한다. 왜냐하면, 승강기가 자유낙하를 시작할 때 빛이 출발했다고 가정하면, 빛이 승강기 바닥에서 승강기 천장으로 가는 시간 formula_1 동안 승강기 천장은 formula_2만큼 빠르게 되고, 이 속도에 따라 빛에 대한 청색편이를 감지해야 하기 때문이다. 여기서 청색편이는 느린 속도 근사식 formula_3만큼 일어났다고 가정한다.
감지기가 어떤 관찰자에게는 도플러 효과가 없다고 감지하고, 어떤 관찰자에게는 청색편이의 도플러 효과가 있다고 감지할 수는 없으므로, 우리는 청색편이의 결과를 상쇄시켜 자유낙하하는 관찰자의 결과와 일치시킬 어떤 것을 필요로 한다. 다행히, 중력장이란 존재가 있으므로, 중력장이 청색편이를 상쇄시키는 적색편이를 일으켰다고 할 수 있다. 중력 적색편이는 formula_4만큼 일어나며, 여기에 빛이 감지되었을 때의 승강기 천장의 속도와, 빛이 승강기 천장으로 가는 시간을 대입하면 formula_5라는, 중력 퍼텐셜의 차이 formula_6에 따른 적색편이의 식을 얻을 수 있다. 그러므로 승강기에서처럼 빛 방출기와 빛 감지기가 서로 상대적인 운동에 있는 상황이 아니라, 서로에 대해서 정지해있는 상황이라면, 빛의 감지기는 청색편이로 상쇄되지 않는 중력 적색편이를 감지할 것이다.
중력 시간지연.
빛의 감지기가 빛의 방출기에 대해서 정적인 상황에서, 어떻게 서로 다른 진동수를 얻을 수 있을까? 다시 말해, 빛의 감지기와 빛의 방출기가 단위 시간 당 서로 다른 개수의 파면을 받아들일까? 아인슈타인은 여기에 대해서 파면의 개수는 동일하지만, 빛의 감지기와 빛의 방출기가 서로 다른 시간 단위를 갖는다고 지적했다. 즉, 서로 다른 중력 퍼텐셜에 위치한 시계에서는 서로 다른 빠르기로 시침이 움직인다는 뜻이다. 진동수는 그 곳의 고유 시간에 반비례 하므로, formula_7이며, 이를 중력 적색편이 식에 집어넣으면, formula_8의 식을 얻을 수 있다.
전개.
일반 상대성 이론에서는 시공을 특수 상대성 이론의 민코프스키 공간에서 임의의 (로런츠 계량 부호수 −+++를 가진) 준 리만 다양체로 확장한다. 다양체의 계량 텐서 formula_9로서 시공간의 곡률을 정의하고, 이 곡률을 중력으로 재해석한다. 뉴턴 역학에서 중력은 (중력적) 질량의 밀도에 의하여 결정된다. 질량의 밀도를 자연스럽게 상대화하면 에너지-운동량 텐서를 얻는다. 아인슈타인과 다비트 힐베르트는 아인슈타인-힐베르트 작용을 통해 다음과 같은 장 방정식을 얻었으며, 이는 오늘날 아인슈타인 방정식으로 알려져 있다.
여기서 기호는 다음과 같다.
이 식으로부터, 중력장이 약하다고 가정하면 뉴턴의 역제곱 법칙을 비상대론적 극한으로 얻는다.
공간 좌표를 formula_17으로 하고 시간 좌표를 formula_18로 하면, 세계선의 선소 formula_19는 formula_20 로 표시된다.
formula_21와 formula_22는 시간과 공간의 좌표를 나타내는 인덱스로 0은 시간, 1,2,3은 공간 성분을 표시한다. formula_9는 시공간 사이의 변환을 나타내는 계량 텐서이다. 예를 들어 가장 평탄한 시공간을 나타내는 민코프스키 계량 텐서의 경우
이다.
일반 상대성 이론에서, 중력 밖의 다른 힘이 작용하지 않고, 그 무게가 무시할 만큼 작은 입자는 시공간의 측지선을 따라 움직인다. 측지선은 시공에서 고유 시간을 극대화하는 경로이다. 즉, formula_25이다.
일반적으로 중력에 의해 시공간이 휘어지는 것을 알 수 있다. 질량이 큰 물체는 시공간을 휘게 할 수 있고 그것이 중력을 제공하는 역할을 한다
관련 이론.
일반 상대성 이론은 실험적으로 성공적이나, 이를 주로 양자장론과 관련하여 여러 가지로 확장할 수 있다. 일반상대론에 비틀림을 더한 이론은 아인슈타인-카르탕 이론이고, 중력상수를 스칼라장으로 승진시키면 브랜스-딕 이론을 얻는다. 일반 상대성 이론에 추가 차원을 도입하여 다른 상호작용을 포함시키는 이론은 칼루차-클라인 이론이며, 초대칭을 도입하면 초중력 이론을 얻는다. 또한 초끈이론에서는 아인슈타인-힐베르트 작용을 자연스럽게 얻을 수 있으며, 고리 양자 중력에서는 아인슈타인-힐베르트 작용을 가지고 이를 양자화 한다는 것에서 시작한다.
데니스 리치

데니스 매캘리스터 리치(, 1941년 9월 9일~2011년 10월 12일)는 미국의 저명한 전산학자이자 현대 컴퓨터의 선구자이다. C와 유닉스의 개발자로 알려져 있다.
생애.
미국의 뉴욕주 브롱크스빌(Bronxville)에서 태어났으며, 1967년 하버드 대학교에서 물리학과 응용수학 학위를 얻었다. 1968년부터 벨 연구소 컴퓨터 연구 센터에서 일했다. 2007년 루슨트 테크놀로지의 시스템 소프트웨어 연구부장으로 은퇴했다. 홀로 살고 있던 그는 미국 시각으로 2011년 10월 12일 뉴저지주 버클리 헤이츠의 자택에서 사망한 채로 발견되었다 (향년 71세).
업적.
켄 톰슨(Ken Thompson) 등과 함께 최초의 유닉스(Unix) 시스템을 개발했고, 1971년 최초의 〈Unix Programmer's Manual〉을 썼다. 또한 C 언어를 개발한 후 브라이언 커니핸과 함께 〈C 프로그래밍 언어〉(The C Programming Language)를 기술했다. 커니핸과 〈C 프로그래밍 언어〉책을 썼기에 커니핸이 C 언어 개발에 참여한 것으로 종종 오해받으나 커니핸의 말에 따르면 자신은 C언어 개발에 참여하지 않았다고 한다.
ALTRAN, B언어, BCPL, Multics 등의 개발에도 영향을 끼친 것으로도 알려져 있다.
1983년에 켄 톰프슨과 "범용 운영체제 이론개발, 특히 유닉스 운영체제의 구현에 대한 공로"로 튜링상을 수상했다.
미국의 경제 전문지 '비즈니스 인사이더'에서는 '현재의 애플 컴퓨터는 거의 모두 데니스 리치의 업적에 기반하고 있다'이라며 그의 업적을 평가했다. 현재 애플 매킨토시의 macOS와 아이폰의 iOS는 모두 유닉스 운영체제를 기반으로 만들어져 있다.
주기율표

주기율표(週期律表, , ) 또는 주기표(週期表)는 원소를 구분하기 쉽게 성질에 따라 배열한 표로, 러시아의 드미트리 멘델레예프가 처음 제안했다. 1915년 헨리 모즐리는 멘델레예프의 주기율표를 개량시켜서 원자번호순으로 배열했는데, 이는 현대의 원소 주기율표와 유사하다.
주로 사용되는 주기율표는 단주기형과 장주기형이다. 단주기형 주기율표는 1주기와 3주기를 기준으로 하고, 4주기 아래로는 전형원소와 전이원소가 같은 칸에 있다. 이 단주기형 주기율표는 초기에 쓴 모델로 원자가 많이 알려지지 않았을 때 많이 사용하였다. 장주기형 주기율표는 현재 가장 많이 쓰고 있는 주기율표이다. 
역사.
되베라이너의 세 쌍 원소.
주기율표의 역사는 요한 볼프강 되베라이너의 "세 쌍 원소"로부터 시작된다. 그는 실험을 통해 세 개의 원소로 이루어진 무리 중 어떤 원소들은 첫 번째 원소와 세 번째 원소의 물리량 평균이 두 번째 원소의 물리량과 같음을 확인했다. 그 구체적인 예로는 '칼슘(Ca), 스트론튬(Sr), 바륨(Ba)'의 세 원소가 있다 여기서 스트론튬(Sr)의 물리량은 칼슘(Ca)과 바륨(Ba) 원소의 물리량을 합하여 2로 나눈 평균값과 비슷하거나 같다. 되베라이너는 이들을 세 쌍의 원소라고 불렀다. 이러한 세 쌍 원소 관계를 만족하는 원소들은 칼슘-스트론튬-바륨, 염소-브로민-아이오딘, 그리고 리튬-나트륨-칼륨이 대표적인데 이를 만족하는 원소수가 적어 인정받지 못하였다. 세 쌍 원소는 현대 주기율표에서 같은 족에 해당된다.
뉴랜즈의 옥타브 설.
영국의 과학자 존 뉴랜즈는 원소들을 원자량의 순으로 배열하면 8번째 원소마다 비슷한 성질의 원소가 나타나는 것을 발견하였고, 이를 피아노의 개념에 대입하였지만 이 대응성은 3번째 줄에서부터 어긋나기 시작했고, 처음 이 이론이 발표되었을 때만 해도 그는 웃음거리가 되었으나 이후 여러 가지 실험이 뉴랜즈의 법칙의 중요성을 보였다. 현대 주기율표에서 주기개념의 시초가 되었다.
멘델레예프(1834~1907).
드미트리 멘델레예프는 화학 교수였다. 멘델레예프는 원소의 규칙을 밝히기 위해 이런저런 시도를 하다가 결국 원소들을 원자량순으로 나열하면 되베라이너의 세쌍원소, 뉴랜즈의 옥타브 법칙을 만족하게 된다는 것을 알게 되었다. 그는 원소가 어떤 함수의 결과라는 것을 확실히 믿었지만 비활성 기체가 발견되면서 그의 주기율표는 바뀌기 시작했다. 멘델레예프가 만든 주기율표에는 빈자리가 있었다. 그리고 그 빈자리에 언젠가는 빈 칸을 채울 원소가 발견될 것이라고 주장했다.
모즐리의 법칙.
멘델레예프의 문제는 영국의 모즐리에 의해 풀렸다. 그는 음극선관을 이용하여 생성되는 X선의 파장을 연구하여 양성자 수에 따라 화학적 성질이 달라진다는 것을 밝혀냈다. 이를 모즐리의 법칙이라하며, 이것을 기본으로 현대적 의미의 주기율표가 탄생하였다.
수소 위치 논란.
수소와 헬륨의 위치에 대한 논쟁이 이어지고 있다. 현재의 주기율표에서는 수소를 알칼리 금속과 마찬가지로 가장 바깥쪽 껍질에 전자를 하나 가진 리튬 위에 배열한다. 그러나 일부에서는 수소는 금속 원소가 아니며 수소가 전자의 구조 면에서는 알칼리 금속이 아닌 할로겐에게 가깝고 할로젠 원소와 성질이 비슷하다고 주장하며, 수소의 위치를 17족 원소로 옮겨야 한다고 주장한다.
마찬가지로 생각해서, 수소가 1족 원소라면 헬륨도 베릴륨 위에 2족 원소로 배치해야 한다는 설이 있다. 그러나 헬륨은 비활성 기체이므로 현재처럼 네온 위인 18족 원소가 가장 적당하다고 한다.
주기율표 원소 이름.
비활성 기체.
주기율표의 가장 오른쪽에 있는 이 원소들은 대단히 드물게 화학 반응을 하며, 기체상태로 존재한다. 그래서 비활성 기체라는 이름을 갖게 되었다.
할로젠.
할로젠은 17족의 원소들로 구성되어있다. 전자를 가져오려는 성질이 강하다. 수소와 반응한다.
준금속.
준금속은 금속과 비금속 사이에 있어 금속과 비금속의 성질을 모두 갖고 있다. 특히 규소나 저마늄은 반도체의 주 원료이다.
알칼리 금속.
알칼리 금속은 수소를 제외한 1족 원소들이다. 칼로 잘릴 정도로 무른 금속이며, 물과 격렬하게 반응을 하여 때론 폭발을 하기도 한다.
알칼리 토금속.
알칼리 토금속은 2족 원소들이다. 알칼리 금속과 희토류 원소의 중간 성질을 띤다.
란타넘족.
란타넘족은 란타넘 (57번, La)에서 루테튬 (71번, Lu)까지의 희토류 원소이다. 란타넘족은 원자번호가 늘어나면서 4f 오비탈을 채운다.
악티늄족.
악티늄족은 악티늄 (89번, Ac)에서 로렌슘 (103번, Lr)까지인 족이다. 악티늄족은 원자번호가 늘어나면서 5f 오비탈을 채운다.
전이 금속.
전이금속은 주기율표에서 4~7주기, 3~12족 까지의 원소들을 말한다. 원자번호가 늘어나면서 d 오비탈이 채워진다.
전이후 금속.
전이후 금속은 주기율표의 p-구역에 있는 금속 원소를 말한다. 전이 금속에 비해 녹는 점과 끓는 점이 낮고, 무르다.
아미노산

아미노산()은 생물의 몸을 구성하는 단백질의 기본 구성 단위로, 단백질을 완전히 가수분해하면 암모니아와 함께 생성된다. 화학적으로 아미노기와 카복시기를 포함한 모든 분자를 지칭하며 화학식은 NH2CHRnCOOH(n=1~20)이다.
생화학에서는 흔히 α(알파)-아미노산을 간단히 아미노산이라 부른다. α-아미노산은 아미노기와 카복시기가 하나의 탄소(알파 탄소라고 부른다)에 붙어있다. 아미노산의 일종인 프롤린(proline)은 실제로는 아미노기 대신 이차 아미노기를 포함한 2차 아민인데 생화학적으로 보통의 아미노산과 비슷한 기능을 수행하기 때문에 2차 아미노기를 가진 프롤린도 아미노산으로 분류한다.
구조.
일반적인 α-아미노산의 구조는 오른쪽 그림과 같다.
아미노기와 카복실기를 모두 포함하고 있어, 아미노산은 중성에서 양쪽성 이온으로 존재하며, 카복실기가 공명 상태로 안정화를 취한다. 오른쪽의 구조에서 R은 나머지라는 뜻의 "Residue" 혹은 "Remainder"의 머릿글자로 곁사슬(Side chain)을 나타내고, 곁사슬에 무엇이 붙느냐에 따라 아미노산의 종류가 결정된다. 아미노산은 곁사슬의 성질에 따라 산성, 염기성, 친수성(극성), 소수성(무극성)의 네 가지 종류로 구분된다. 곁사슬이 수소 원자뿐인 글라이신(glycine)을 제외하고, 다른 아미노산은 모두 두가지 광학 활성을 가져, D형과 L형으로 구분된다. 단백질(protein)을 구성하는 아미노산의 거의 대부분은 L-아미노산 형태로 존재한다. 청자고둥(cone snail)같은 일부 특이한 바다생물에서 D-아미노산이 발견되기도 했다. 단백질은 아미노산의 탈수반응이자 펩타이드 결합(peptide bond)인 축합 중합을 통해 만들어진다.
종류.
A(염기성),B(산성),C(비전하성)는 친수성이며 D는 소수성이다. 21개의 주요 아미노산중에서 파란색은 비필수 아미노산(non-essential amino acid)이며 빨간색은 필수아미노산(essential amino acid)이다.
히라가나

히라가나(, )는 일본어에서 사용하는 두 가지 가나 가운데 하나다. 가타카나는 주로 외래어 표기 등에 쓰고, 히라가나는 다음과 같은 용도로 쓴다.
히라가나는 여성이 많이 썼다고 한다. 그래서 온나데(; )라고 불린 적도 있다. 이런 이유로 히라가나는 여자들만 쓰는 글이라 하여, 오랫동안 일본의 공용 문서에선 가타카나와 한자(칸지)만이 사용되었다. 현재 일본 철도의 역명판에는 히라가나와 칸지가 적혀 있다. 히라가나는 헤이안 시대부터 쓰인 것으로 알려져 있다. 일본의 유아들도 가나를 배울 때는 히라가나를 먼저 배우고 가타카나를 나중에 배우기 때문에 유아용 그림책 등에는 가타카나로 쓰인 단어 위에 히라가나를 후리가나로 덧붙이기도 한다. 음절문자이다.
한영 자판 상태에서 히라가나를 입력할 경우 ㄸ+한자 키를 누르면 된다. 가타카나의 경우 장음 등 일부 문자를 제외하면, 꼭 ㅃ+한자 조합을 해야 한다.
역사.
히라가나는 만요가나에서 왔다.
메이지 시대 이전에는 히라가나의 모양이 확실히 정해지지 않고, 여러 형태의 문자가 사용되었다. 메이지 시대의 학제 시행 후에야 위와 같은 자형이 표준화되어 쓰이기 시작했다. 위 이외의 구식 자형은 헨타이가나(変体仮名)라고 부른다.
토마스 만

토마스 만(, 1875년 6월 6일 ~ 1955년 8월 12일)은 독일의 평론가이자 소설가이다. 사상적인 깊이, 높은 식견, 연마된 언어 표현, 짜임새 있는 구성 등에 있어서 20세기 독일 제일의 작가로 알려져 있다. 1929년 노벨 문학상을 비롯, 괴테 상 등 많은 상을 받았다.
토마스 만의 형은 급진적인 작가 하인리히 만이다. 그리고 6명의 자식 중 3명인 Erika Mann, 클라우스 만, Golo Mann들도 또한 독일의 중요한 작가로 성장했다.
생애.
문학입문.
토마스 만은 평의원이며 곡물 상인이었던 토마스 요한 하인리히 만과 율리아 다 실바 브룬스 부부 사이에서 두 번째 아들로 독일의 뤼베크에서 태어났다. 어머니 율리아는 7살 때 독일로 망명한 부분적 독일계 브라질리안이다. 토마스 만의 아버지가 1891년에 돌아가시면서 회사는 청산되었다. 1893년 뮌헨으로 이주하여 보험 회사의 견습 사원이 되었다. 이때 첫 작품 &lt;호의&gt;가 잡지에 실리면서 문단에 데뷔하였다.
첫 번째 소설.
토마스 만은 뤼베크 체육관 기술 분야에 참가하면서, 뮌헨 대학과 기술대학에서 시간을 보내게 된다. 그 당시 그는 역사, 경제학, 미술역사, 문학등을 공부하게 되면서 언론계로 커리어를 준비하게 된다. 그는 이탈리아 팔레스트리나에서 살았던 1년을 제외하면 1891년부터 1933년까지 형이자 소설가인 하인리히와 함께 뮌헨에 거주하게 된다. 토마스 만은 보험회사에서 1894년에서 1895년까지 일을 하게 된다. 그가 Simplicissimus에서 글을 쓰기 시작하면서 작가로서의 커리어를 시작하게 된다. 토마스 만의 첫 번째 소설은 1898년에 출판된 "꼬마 프리데만 씨"이다.
1901년 부유한 상인의 집안이 4대에 걸쳐 몰락하는 과정을 그린 장편 &lt;부덴브로크스 가의 사람들&gt;을 발표하여 문단에서의 자리를 굳혔다.
그가 동성애 관계를 가졌다는 여러 정황이 있으나 종국에는 카티아 프링스하임과 사랑에 빠졌다. 1905년, 그는 그녀와 결혼을 하며, 6명의 아이들을 낳았다.
제1차 세계대전.
제1차 세계 대전이 일어나자 &lt;프리드리히와 대동맹&gt; &lt;비정치적 인간의 고찰&gt; &lt;독일 공화국에 대하여&gt; 등 정치적 논설을 발표하고, 점차 구낭만주의적인 반지성주의를 벗어나, 새로운 휴머니즘을 품기 시작하였다. 1924년 12년간의 노력의 결정인 장편소설 &lt;마의 산&gt;을 발표하였는데, 이 소설은 손꼽히는 발전 소설로서 독일 문학사상 중요한 위치를 차지하고 있다.
요셉과 그 형제들.
1929년 토마스 만은 Nidden(, 리투아니아)에 있는 어촌에 오두막을 가진다. 그 곳에는 독일 예술 공동체가 있었으며, 1930년에서 1932년 여름에는 "요셉과 그의 형제들("Joseph and his Brothers")"을 집필한다. 현재 이 오두막은 소규모 전시를 하면서 토마스 만에 대한 문화적인 중심이 됐다.
나치의 박해.
1933년 나치스 정권 성립으로 조국을 떠나, 남프랑스·스위스 등을 거쳐, 1938년 미국에 이르렀다. 그 곳에서 프린스턴 대학에서 수업을 한다. 제2차 세계 대전 때는 높은 휴머니즘의 입장에서 민주주의 옹호를 위해 싸웠다.
스위스.
1942년 그의 가족들은 캘리포니아 로스엔젤레스에 있는 로 이사를 한다. 그 곳에서 제2차 세계 대전이 끝날 때까지 살게 된다. 1944년 6월 23일, 토마스 만은 미국 시민권을 받게 된다. 1952년에 스위스, 취리히 근처에 있는 에서 살게 된다.
그는 독일을 규칙적으로 여행하긴 했지만, 그 후로 살지 않았다. 가장 유명한 독일 방문은 1949년 요한 볼프강 폰 괴테의 200주년이다.
별세.
1955년 취리히에 있는 한 병원에서 아테롬선 동맥 경화증으로 죽고, Kilchberg에 묻힌다. 많은 협회들이 그의 이름을 기린다.
토마스 만의 작품은 처음으로 H. T. Lowe-Porter가 번역했다. 그녀는 토마스 만의 작품을 영어권 사회에 크게 전파시켰다.
정치적인 관점.
제1차 세계 대전 동안, 토마스 만은 카이저의 (독일의 빌헬름 2세) 보수주의를 지지하고 진보주의를 공격한다.
1930년 토마스 만은 베를린에서 "An Appeal to Reason"라는 연설을 한다. 그는 강하게 나치중심 사회주의를 비난하고 운동권들에 의한 반대를 격려한다. 이것은 그가 집필한 수많은 평론과 문학에서 나치를 공격한 것에서 알 수 있다. 동시에 그는 사회주의자들의 생각에 대해서 늘어나는 동정을 표현했다. 1933년 나치가 집권을 했을 당시, 토마스 만과 아내는 스위스에서 주말을 보냈다. 나치 정책에 대한 그의 매우 강력한 비난 때문에, 아들 클라우스는 돌아가지 말자고 권했다. 하지만 토마스 만의 책은 하인리히나 클라우스의 책들과는 달리, 히틀러 정권에 의해서 태워지지 않았다. 물론 그것은 그가 1929년 노벨상을 받았기 때문이다. 결국 1936년 나치 정권이 공식적으로 토마스 만의 독일 시민권을 빼앗아간다. 몇 달 후, 그는 캘리포니아로 이사를 가게 된다.
그러나 1933년 8월 26일이라고 기록된 개인적인 편지(그러나 2007년 8월 30일에 공개됐다)에서, 이미, 토마스 만은 나치즘에 대한 견해를 표현하고 있었고, 이것은 후에 "파우스투스 박사(Doktor Faustus)"와 일치한다. 이 소설에서, 토마스 만은 2차 대전에서 모든 잔인함에 대한 독일 국민에 대한 역사적인 책임감을 가진 몇몇 지역들을 언급한다.
전쟁 동안, 토마스 만은 반-나치 라디오 연설 시리즈()를 만든다. 이것은 미국에서 녹음돼서 영국에 전해지고, BBC가 방송을 하게 되면서 독일 청취자들이 듣기를 원한다.
사회 비판가 의 컬렉션 "The Accidental Century"에 있는 "Images of Disorder"는 토마스 만의 정치적 성형이 바뀌는 것을 설명한다.
하인리히 뵐

하인리히 뵐(Heinrich Böll , 쾰른, 1917년 12월 21일 - 랑엔브로이히(Langenbroich) 1985년 7월 16일)은 독일의 남성 소설가다.
삶.
1917년 쾰른에서 목공예 가문의 여섯 번째 아들로 태어났다. 전후 가장 먼저 두각을 나타낸 독일작가들 중 하나. 청소년기 나치 하에서 히틀러 유겐트의 유혹을 뿌리치고, 참여하지 않는다. 서점의 견습공으로 있다가, 카이저 빌헬름 김나지움을 졸업하고 1939년 쾰른대학교 독문학과에 입학하나 곧 제2차 세계대전에 징집되었다. 프랑스, 루마니아, 헝가리, 러시아 등지에서 복무한다. 4차례 부상당한 후 1945년 4월 미군에게 포로로 잡혀 2년이 지나 그의 나이 30에 전업작가가 된다. 전후 귀향하여 ‘전쟁에서 본 것’과 전후의 ‘폐허’에 대해서 쓰기 시작했다.
1949년 병사들의 절망적인 삶을 묘사한 『열차는 정확했다』를 시작으로, 참혹한 참전 경험과 전후 독일의 참상을 그린 작품들을 주로 발표했다. 1951년 '47그룹 문학상'을 받으면서 문인으로서의 위치를 다졌고, 1953년에 출간한 로 비평가와 독자들 모두로부터 찬사를 받으며 작가로서의 대성공을 거두었다. 이외에도 사회적으로 엄청난 반향을 일으킨 문제작 『카타리나 블룸의 잃어버린 명예』를 비롯해 『9시 반의 당구』, 『어느 광대의 견해』, 『신변 보호』 등의 작품을 집필했다. 1967년에는 독일 최고 권위의 문학상인 "을 수상했다.
1970년대에는 사회 참여가 더욱 적극적이 되었고 이에 따라 독일 사회와의 갈등도 심화되었다. 특히 1969년과 1972년 뵐은 귄터 그라스와 함께 사회민주당으로의 정권교체를 위해 선거 유세에 직접 참여하며 빌리 브란트를 적극 지지했다. 또한 1971년 독일인으로서는 최초로 국제 펜클럽 회장으로 선출되어 세계 곳곳에서 탄압받고 있는 작가와 지식인들의 석방을 위해 노력했다. 1971년에는 성취 지향 사회에 대한 저항을 담은 ≪여인과 군상≫을 발표하고 이듬해 노벨문학상을 수상했다. 1929년의 토마스 만 이후 독일이 이 상을 받은 것은 43년 만이었다. 그의 작품은 30개 이상의 언어로 번역되었고, 그는 아직까지 독일에서 가장 많이 읽히는 작가로 알려져 있다. 문학 작품뿐만 아니라 행동으로도 보다 나은 사회를 위한 활동에 진력했던 뵐은 1985년 동맥경화로 세상을 떠났다.
그의 죽음 이후 독일 녹색당은 그의 저항적 삶을 기리기 위하여 당의 정책 연구소 이름을 '하인리히 뵐 연구소'라고 짓기로 결정하였다.
방정식

방정식(方程式, )은 미지수가 포함된 식에서 그 미지수에 특정한 값을 주었을 때만 성립하는 등식이다. 이때, 방정식을 참이 되게 하는(성립하게 하는) 특정 문자의 값을 해 또는 근이라 한다. 방정식의 해는 없을 수도 있고, 여러 개일 수도 있고, 모든 값일 수도 있다. 전자의 경우는 불능이라고 하고, 중자의 경우는 방정식, 후자의 경우는 항등식(부정)이라 한다. 
예를 들어
은 문자 formula_2가 어떤 값이든 항상 등호가 성립하므로 항등식인 반면,
은 방정식이고, 그 해는 formula_4와 formula_5이다. 또한,
방정식의 방정(方程)은 고대 중국의 산학서인 구장산술의 여덟 번째 장의 제목인 方程에서 유래하였다. 여기서 方은 연립방정식의 계수를 직사각형 모양으로 배열한다는 뜻이고, 程은 이렇게 배열한 계수를 조작하여 해를 구하는 과정을 뜻한다. 이 해법은 약 1500년 뒤에 등장하는 가우스 소거법에 해당한다. 고대 중국의 수학자들은 이 과정에서 음수의 계산도 자유자재로 할 수 있었다.
방정식에서 해를 구하려는 문자, 즉 미지수로는 보통 formula_2를 사용한다. 미지수로 알파벳의 뒤쪽 문자 formula_9를 사용하는 것은 프랑스의 수학자겸 철학자인 데카르트로부터 비롯되었다.
유리방정식.
무리 방정식.
방정식의 항에 무리식(루트)을 포함하는 다항식으로 이루어진 방정식을 무리 방정식이라 한다.
인수분해하면,
그러니, 무리방정식은 해에 대해서 무연근 검사로 마무리검산을 해야하므로,
위의 두 근인 formula_21을
원래의 식인 formula_10에 대입해보면,
우선 양변으로 놓으면, formula_24
이어서, formula_25일때,formula_26
따라서, formula_10 방정식의 근은 formula_25이다.
그러나, 무리방정식은 해에 대해서 무연근 검사로 마무리검산을 해야하므로,
위의 두 근인 formula_42는 1보다 작지 않으므로 무연근이다.
기타.
formula_43
연립 방정식은 서로 다른 2개의 미지수가 주어진 방정식들에 모두 적합할 때 이 방정식의 쌍을 의미한다. 연립 방정식도 미지수의 차수에 따라 연립 일차 방정식, 연립 이차 방정식 등으로 나뉜다. 연립 일차 방정식에선 y=ax+b와 같이 한 미지수를 어떠한 값으로 나타내어 이 값을 그 미지수에 대입하는 방법인 대입법과 미지수의 계수를 같게 곱하여 둘을 더하거나 빼서 그 미지수를 없애는 가감법, 그리고 행렬을 이용한 가우스 소거법이 주로 사용된다.
방정식은 2x+3=0과 같이 x(미지수)의 값에 따라 등식이 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 한다. 방정식은 중국의 구장산술이라는 산학서에서부터 유래되었다고 한다. 이 방정식에도 원 방정식, 직선의 방정식, 미분 방정식 등 여러가지가 있고, 또, 미지수의 차수에 따라 일차 방정식, 이차 방정식, 삼차 방정식, 고차 방정식... 등으로 나뉜다. 특히 이차 방정식에는 미지수의 값을 구하는 근의 공식이라는 식이 있다. 이차방정식 ax^2+bx+c=0(a≠0)의 근의 공식은 -b±√b^2-4ac/2a 이고, ax^2+2b'x+c=0(a≠0)의 근의 공식은 -b'±√b'^2-ac/a이다. 삼차 방정식과 사차 방정식은 특수한 경우에 성립하는 근의 공식이 있다. 오차 방정식부턴 근의 공식이 존재하지 않는다. (아벨이 증명) 갈루아 이론을 이용하면 아벨과는 다른 방법으로 증명 이 가능하다.
삼각함수 항등식

수학에서 삼각함수 항등식(三角函數恒等式, )은 삼각함수가 나오는 항등식을 말한다. 이 공식들은 삼각함수가 나오는 복잡한 식을 간단히 정리하는 데 유용하며, 특히 치환적분에서 매우 자주 쓰이기 때문에 중요하다.
참고로 아래에서 formula_1, formula_2 등의 함수는 formula_3와 같이 정의된다.
주기성, 대칭성, 이동(Shifts).
다음 관계는 단위원을 사용하면 쉽게 보일 수 있다.
다음 식은 삼각함수의 주기성을 나타낸다.
다음 식은 삼각함수의 대칭성을 나타낸다.
다음은 삼각함수의 이동 성질을 나타낸다.
또한, 주기가 같지만, 상(phase)이 다른 사인파들의 선형결합은 또 다른 상의 동일주기의 사인파가 된다. 즉, 다음과 같다.
여기서
피타고라스 정리.
다음 식들은 삼각함수의 정의와 피타고라스 정리를 이용하면 쉽게 보일 수 있다.
덧셈 정리.
다음의 삼각함수의 덧셈정리를 증명하는 가장 쉬운 방법은 오일러의 공식을 이용하는 것이다. 탄젠트 공식은 위의 둘을 결합하여 얻는다.
여기서
두배각 공식.
다음 공식은 바로 위 덧셈 공식에서 formula_22로 놓으면 바로 얻어진다. 피타고라스의 식을 쓰면 변형을 얻는다. 또한 드무아브르의 공식에서 formula_23로 놓아도 된다.
세배각 공식.
아래 공식들은 덧셈정리에서 한 각을 2x, 다른 한 각을 x로 놓고 전개하면 얻을 수 있다.
네배각 공식.
아래 공식들은 배각의 공식에서 x를 2x로 두고 전개하여 풀면 얻을 수 있다.
n배각 공식.
formula_40이 formula_41번째 체비쇼프 다항식일 때,
드무아브르의 공식:
디리클레 핵formula_44 은 다음의 항등식의 양변에서 도출되는 함수이다. :
디리클레 핵을 갖는 2n차의 어떤 제곱적분 가능함수의 합성곱(convolution)은 함수의 n차 푸리에 근사와 함께 동시에 일어난다.
차수 줄이기.
n차 제곱한 삼각함수를 일차식의 삼각함수 식으로 바꾼다.
이차식 공식.
두배각 공식의 코사인 공식을 formula_46 과 formula_47으로 푼다.
반각 공식.
차수 줄이기 이차식 공식에서 formula_58에 formula_59을 대입하고, formula_60 과 formula_61으로 푼다.
또한, formula_65는 formula_66과 같고, 여기에 분자 분모에 같은 formula_67을 곱한다. 그러면, 분자는 사인의 두배각 공식에 의해 formula_68이 되고, 분모는 formula_69 이므로 코사인 두배각 공식을 쓰면 formula_70 이 된다. 두 번째 식은 분자와 분모에 다시 formula_68를 곱하고, 피타고라스 공식으로 간단히 하면 얻어진다.
곱을 합으로 바꾸는 공식.
우변을 덧셈정리로 전개하면 증명된다.
합을 곱으로 바꾸는 공식.
위 식의 formula_58를 formula_78로, formula_79를 formula_80 로 바꾼다.
그리고 또 다른 식들로 다음과 같이 있다.
다음 식들은 아마 변수가 있는 일반화된 식을 찾기가 위 보다 어려울 것이다.
21을 택해서 각을 나누면, 도로 표현한 각이 더이상 깔끔하지 않다. 다음 식을 보자.
1, 2, 4, 5, 8, 10 이란 인자를 보면 차츰 답이 드러난다. 이 수들은 모두 보다 작고, 21과의 공약수가 1인 수 들이다. 사실 위 세 가지 예는 더 인수분해되지 않는 원분다항식(cyclotomic polynomial)에 대한 기본정리의 따름정리이다. 코사인값은 다항식의 영(zero)들의 실수부이고, 그들의 합은 21(가장 마지막 예)의 뫼비우스 함수값이다. (식에선 값의 반만이 나타난다.)
미적분학.
미적분학의 삼각함수에선 각을 라디안(radian)으로 써야 한다. 그렇지 않으면, 다음 관계식들은 성립하지 않는다. 우선 삼각함수가 기하학적으로 정의된 후에 함수들의 미분을 구하기 위해선 우선:
과
을 증명한다. 그리고, 미분의 극한 정의와 덧셈정리를 이용한다. 삼각함수가 테일러 급수로 정의되었다면, 각 항을 미분하여 알아낼 수 있다.
(참고 formula_92
나머지 삼각함수의 미분은 위 항등식과 미분법칙으로 얻어진다.
적분식은 적분표를 참고하라.
곱셈적 함수

수론에서 곱셈적 함수(-的函數, ) 또는 곱산술 함수(-算術函數)는 서로소인 두 정수의 곱셈을 보존하는 수론적 함수이다.
정의.
함수 formula_1가 다음 조건을 만족시키면, 곱셈적 함수라고 한다.
함수 formula_1가 다음 조건을 만족시키면, 완전 곱셈적 함수(完全-的函數, )라고 한다.
(완전) 곱셈적 함수의 정의역은 formula_8의 곱셈에 대하여 닫혀있는 부분 집합일 수도 있다.
성질.
연산에 대한 닫힘.
곱셈적 함수 formula_1에 대하여, 다음과 같은 함수들 역시 곱셈적 함수이다.
항등식.
곱셈적 함수 formula_1에 대하여, 만약 formula_13의 소인수 분해가
일 경우, 다음이 성립한다.
만약 추가로 formula_16가 완전 곱셈적 함수일 경우, 다음이 성립한다.
즉, 곱셈적 함수는 소수의 거듭제곱의 상에 의하여 결정되며, 완전 곱셈적 함수는 소수의 상에 의하여 결정된다.
곱셈적 함수 formula_18에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.
여기서 formula_23는 뫼비우스 함수이다.
곱셈적 함수 formula_24의 정의역 formula_25이 formula_26를 만족한다면,
이다.
디리클레 합성곱.
곱셈적 함수는 디리클레 합성곱에 대하여 아벨 군을 이룬다. 즉, 곱셈적 함수 formula_18의 디리클레 합성곱
와 디리클레 역원
은 곱셈적 함수이다.
곱셈적 함수 formula_1에 대하여, 만약 formula_13의 소인수 분해가
일 경우, 다음이 성립한다.
만약 추가로 formula_16가 완전 곱셈적 함수일 경우, 다음이 성립한다.
예.
다음과 같은 수론적 함수들은 완전 곱셈적 함수이다.
다음과 같은 수론적 함수들은 곱셈적 함수이나, 완전 곱셈적 함수가 아니다.
양의 정수를 두 정수의 제곱의 합으로 나타내는 방법의 (더하는 순서를 고려한) 가짓수를 구하는 함수
는 곱셈적 함수가 아니다. 예를 들어, 1을 제곱수로 나타내는 방법은 다음과 같이 4가지가 있다.
즉,
이다.
폰 망골트 함수
는 formula_46이 어떤 소수 formula_48의 양의 정수 제곱일 경우 formula_75를, 소수의 거듭제곱이 아닐 경우 0을 값으로 취한다.
이므로, 이는 곱셈적 함수가 아니다.
체비쇼프 다항식

수학에서 체비쇼프 다항식(Чебышёв多項式, )은 삼각 함수의 항등식에 등장하는 직교 다항식열이다.
정의.
실수 formula_1차 다항식 formula_4에 대하여, 다음 네 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 formula_5을 formula_1차 체비쇼프 다항식이라고 한다.
드무아브르의 공식의 실수부를 비교하면 formula_17가 formula_18의 formula_1차 다항식으로 표현된다는 것을 알 수 있다. 좌변의 실수부는 formula_17, 우변의 실수부는, formula_18와 formula_22의 다항식이다.
성질.
직교성.
체비쇼프 다항식들은 다음의 무게 함수에 대해, 구간 formula_14에서 직교한다.
즉, 다음이 성립한다.
대칭.
짝수 차수의 체비쇼프 다항식은 짝함수이며, 홀수 차수의 체비쇼프 다항식은 홀함수이다.
근.
formula_1차 체비쇼프 다항식 formula_5은 닫힌구간 formula_14 속에서 formula_1개의 서로 다른 근을 가지며, 이들은 다음과 같다.
분지점.
체비쇼프 다항식을 복소수 함수
로 여길 때, formula_33의 경우 다음이 성립한다.
예를 들어,
의 경우, 이는 분지 지표 2의 두 분지점 formula_39를 가지며, 그 값은 formula_40 및 formula_41이다. 마찬가지로,
의 경우, 분지 지표 2의 두 분지점 formula_43 및 분지 지표 3의 분지점 formula_44를 가지며, 그 값은 각각 formula_45 및 formula_46이다.
이에 따라, formula_32는 벨리 사상을 이루며, 이에 대응하는 데생당팡은 formula_15개의 꼭짓점을 갖는 선형 그래프이다.
예.
낮은 차수의 체비쇼프 다항식들은 다음과 같다. 
역사.
파프누티 체비쇼프가 1854년에 도입하였다.
체비쇼프 다항식의 통상적인 기호 T"n"는 체비쇼프의 이름의 프랑스어 표기 () 또는 독일어 표기 ()에서 딴 것이다.
파이의 날

파이의 날(Pi Day)은 원주율을 기념하는 날이다. 파이의 날은 원주율의 근삿값이 3.14이어서 3월 14일에 치러진다. 보통 3.14159에 맞추기 위해 오후 1시 59분에 기념하는데, 오후 1시 59분은 엄밀히 말하면 13시 59분이기 때문에 오전 1시 59분 혹은 15시 9분(오후 3시 9분)에 치러야 한다고 주장하는 사람도 있다. 세계 각국의 수학과에서 기념행사를 연다.
3월 14일은 알베르트 아인슈타인의 생일이면서 스티븐 호킹의 기일이기도 하다. 이 날은 여러 방법으로 기념된다. 사람들이 모여서 원주율이 생활에서 어떤 역할을 했는지 이야기하고 원주율이 없는 세상을 상상해 본다. 모임에서는 보통 파이를 먹는다. 또한 많은 행사에서 원주율을 소수점 아래의 숫자를 얼마나 많이 외우는지 겨루는 대회가 열린다.
분수 3과 7분의 1을 가분수로 나타내면 7분의 22가 되는데, 이를 무한소수로 나타내면 3.142857...로 π의 근삿값이 되므로 7월 22일을 파이 근삿값 날로 부르기도 한다.
사인 법칙

기하학에서 사인 법칙(-法則, ) 혹은 라미의 정리는 삼각형의 변의 길이와 각의 사인 사이의 관계를 나타내는 정리이다. 이에 따라 삼각형의 두 각의 크기와 한 변의 길이를 알 때 남은 두 변의 길이를 구할 수 있다.
정의.
삼각형 formula_1의 각 formula_2을 마주보는 변을 formula_3라고 하자. 사인 법칙에 따르면 다음이 성립한다.
여기서 formula_5은 삼각형 formula_1의 외접원의 반지름이다.
증명.
삼각형의 넓이를 통한 증명.
삼각형 formula_1의 변 formula_8 위의 높이를 formula_9라고 하자. 삼각법에 따라 formula_10이므로, 삼각형 formula_1의 넓이 formula_12는 다음과 같다.
자모를 치환하면 다음과 같은 등식을 얻는다.
양변에 formula_15를 나누면 사인 법칙을 얻는다.
외접원을 통한 증명.
삼각형 formula_1의 외접원을 그리자. formula_18를 지나는 지름을 formula_19라고 하자. 따라서 formula_20는 직각 삼각형이며, 빗변은 formula_21이다. 삼각법에 따라 다음이 성립한다.
만약 formula_23가 예각일 경우, formula_23와 formula_25는 같은 호의 원주각이므로 formula_26이다. 따라서 다음이 성립한다.
만약 formula_23가 직각일 경우, formula_29와 formula_25는 같은 점이므로, formula_31이며 formula_32이다. 따라서 역시 위와 같은 식이 성립한다. 만약 formula_23가 둔각일 경우, formula_23와 formula_25는 내접 사각형의 두 마주보는 각이므로, formula_36이다. 따라서 역시 위와 같은 식이 성립한다. 남은 두 각 formula_37에 대한 식 역시 마찬가지로 증명할 수 있다.
코사인 법칙을 통한 증명.
코사인 법칙에 따라 다음이 성립한다.
결과가 formula_3에 대하여 대칭적이므로, 변의 선택에 의존하지 않는다. 또한, 세 변과 세 각의 사인은 모두 양수이므로, 사인 법칙이 성립한다.
구면 사인 법칙.
단위 구면 위의 구면 삼각형 formula_1의 각 formula_2가 마주보는 변을 formula_3라고 하자. 구면 사인 법칙(球面-法則, )에 따르면 다음이 성립한다.
구면 사인 법칙의 증명.
순수 기하 증명.
구의 중심을 formula_44라고 하자. formula_45에서 아무 점 formula_46를 취하자. formula_46를 지나는 평면 formula_48의 수선을 formula_49라고 하자. formula_25를 지나는 직선 formula_51의 수선을 각각 formula_52라고 하자. 삼수선 정리에 따라 formula_53는 각각 formula_51와 수직이다. 삼각법에 따라 다음이 성립한다.
두 식에서 formula_57를 소거하면 다음을 얻는다.
남은 한 등식 역시 같은 방법으로 증명하면 구면 사인 법칙을 얻는다.
벡터를 통한 증명.
구의 중심과 세 꼭짓점 formula_2를 잇는 벡터를 각각 formula_60라고 하자. 삼중곱의 정의에 따라 다음이 성립한다.
따라서 다음이 성립한다.
여기에 다음을 대입하면 구면 사인 법칙을 얻는다.
구면 코사인 법칙을 통한 증명.
제1 구면 코사인 법칙을 사용하여 구면 사인 법칙을 다음과 같이 증명할 수 있다.
쌍곡 사인 법칙.
가우스 곡률이 -1인 쌍곡면 위의 쌍곡 삼각형 formula_1의 각 formula_2가 마주보는 변을 formula_3라고 하자. 쌍곡 사인 법칙(雙曲-法則, )에 따르면 다음이 성립한다.
여기서 formula_73는 쌍곡 사인이다.
쌍곡 사인 법칙의 증명.
쌍곡 코사인 법칙을 통한 증명.
제1 쌍곡 코사인 법칙을 사용하여 쌍곡 사인 법칙을 다음과 같이 증명할 수 있다.
벡터 공간

선형대수학에서 벡터 공간(vector空間, , ) 또는 선형 공간(線型空間, )은 원소를 서로 더하거나 주어진 배수로 늘이거나 줄일 수 있는 공간이다. 체에 대한, 가군의 특수한 경우다. 벡터 공간의 원소를 벡터(, )라고 하며, 이는 직관적으로 방향 및 길이의 비가 정의된 대상을 나타낸다. 그러나 노름이 주어지지 않은 일반적인 벡터 공간에서는 벡터의 길이 자체는 정의되지 않는다.
정의.
체 formula_1 위의 벡터 공간 formula_2은 formula_1에 대한 가군이다. 즉, 다음과 같은 튜플이다.
이 데이터는 다음과 같은 공리들을 만족시켜야 한다.
실수체 formula_30에 대한 벡터 공간을 실수 벡터 공간(實數vector空間, )이라고 하며, 복소수체 formula_31에 대한 벡터 공간을 복소수 벡터 공간(複素數vector空間, )이라고 한다.
부분 공간과 기저.
체 formula_1 위의 벡터 공간 formula_4의 부분 집합 formula_34가 다음 조건을 만족시키면, formula_35가 formula_4의 부분 벡터 공간(部分vector空間, )이라고 한다.
즉, 부분 벡터 공간은 formula_4의 연산들을 제한시켜 새로운 더 작은 벡터 공간을 이룰 수 있는 부분 집합이다.
벡터 공간 formula_4의 부분 집합 formula_45에 대하여, formula_45의 생성() formula_47는 formula_45를 포함하는 모든 부분 공간들의 교집합이다. 만약 formula_45에서, formula_50인 원소 formula_51가 존재하지 않는다면, formula_45가 선형 독립 집합이라고 한다. 생성이 벡터 공간 전체인 선형 독립 집합을 기저라고 한다.
선택 공리를 가정하면, 모든 벡터 공간은 하나 이상의 기저를 가지며, 모든 기저들은 항상 같은 크기를 갖는다. 벡터 공간 formula_4의 기저의 크기를 벡터 공간의 차원(次元, ) formula_54이라고 한다.
선형 변환.
두 벡터 공간 사이의 선형 변환은 벡터 덧셈과 스칼라 곱셈을 보존하는 사상이다. 만약 두 벡터 공간 사이에 가역 선형 변환이 존재한다면, 그 두 벡터 공간이 서로 동형이라고 한다. 주어진 두 벡터 공간 사이의 선형 변환의 집합은 점별 벡터 덧셈과 점별 스칼라 곱셈에 의하여 벡터 공간을 이룬다. 두 유한 차원 벡터 공간 사이의 선형 변환은 주어진 기저에 대한 행렬로 나타낼 수 있다.
분류.
선택 공리를 가정하자. 체 formula_1에 대한 벡터 공간 formula_4에 대하여 다음이 성립한다.
즉, 주어진 체에 대한 벡터 공간은 그 차원에 따라서 완전히 분류된다. 이는 선택 공리를 필요로 하며, 선택 공리가 없으면 모든 벡터 공간이 차원을 갖는다는 것을 보일 수 없다. 여기서 formula_58는 formula_1의 formula_60개의 직합이며, formula_61인 경우 이는 곱집합과 다르다.
연산.
같은 체 formula_1 위의 벡터 공간들이 주어졌을 때, 다음과 같은 연산들을 정의할 수 있다.
몫공간.
체 formula_1 위의 벡터 공간 formula_4와 그 임의의 부분 공간 formula_35가 주어졌다고 하자. 그렇다면 formula_4 위에 다음과 같은 동치 관계를 정의할 수 있다.
이 동치 관계에 대한 동치류는 다음과 같다.
몫공간(몫空間, ) formula_69는 집합으로서 이 동치 관계에 대한 몫집합(=동치류들의 집합)이다.
그 위의 벡터 공간 연산은 다음과 같다.
이 정의는 동치류의 대표원을 선택하는 방식과 무관하다. 또한, 이들 연산은 집합으로서의 연산과 일치하지 않는다.
직접곱.
formula_1 위의 벡터 공간들의 집합 formula_74이 주어졌을 때, 이들의 직접곱
은 집합으로서 formula_76들의 곱집합이다. 이 위에는 자연스러운 formula_1-벡터 공간의 구조가 존재한다. 즉,
이는 벡터 공간의 범주에서의 곱이며, 대수 구조로서의 직접곱이다. 즉, 자연스러운 사영 사상
이 존재하며, 이는 선형 변환을 이룬다.
직합.
formula_1 위의 벡터 공간들의 집합 formula_74이 주어졌을 때, 이들의 직합은 다음과 같다.
즉, 직접곱에서, 오직 유한 개의 성분만 0이 아닌 원소들로 구성된 부분 집합이다. 이는 벡터 공간의 범주에서의 쌍대곱이며, 가군의 직합의 특수한 경우이다. 즉, 자연스러운 포함 사상
가 존재하며, 따라서 각 formula_76는 formula_86의 부분 공간을 이룬다.
유한 직합은 직접곱과 같으나, 무한 직합은 일반적으로 직접곱의 부분 공간이다. 만약 formula_87가 formula_76의 기저라면,
는 formula_86의 기저를 이룬다. 따라서,
이다. 여기서 우변은 기수의 합이다.
텐서곱.
formula_1 위의 벡터 공간들의 집합 formula_74이 주어졌을 때, 이들의 텐서곱
이 존재한다. 이는 자연스러운 다중 선형 사상
을 가지며, 또한 임의의 다른 다중 선형 사상
이 주어졌을 때, 유일한 선형 사상
가 존재한다. 텐서곱은 이 보편 성질로부터 유일하게 정의되며, 또 항상 존재한다. 그러나 무한 개의 벡터 공간들의 텐서곱은 직접 정의하기 힘들다.
임의의 두 벡터 공간 formula_4, formula_35에 대하여, 다음이 성립한다.
여기서 formula_102은 기수의 곱셈이다.
성질.
체 formula_1 위의 벡터 공간 formula_1는 다음 성질들을 만족시킨다.
즉, 체 위에서는 모든 가군이 자유 가군이 된다.
집합론적 성질.
체 formula_1 위의 벡터 공간 formula_4의 집합의 크기는 다음과 같다.
관련 개념.
벡터 공간에 성질을 추가하여 만든 구조로는 거리의 개념을 준 노름 공간 · 바나흐 공간, 각의 개념을 준 내적 공간 · 힐베르트 공간, 위상적 성질을 가진 위상 벡터 공간 · 국소 볼록 공간 · 프레셰 공간, 벡터 곱을 준 체 위의 대수 등이 있다.
벡터 공간은 임의의 환 위의 가군의 개념의 특수한 경우이다. 그러나 일반적인 환 위의 일반적인 가군은 벡터 공간과 매우 다른 성질을 보인다. 벡터 공간과 비슷한 성질을 보이는 가군을 자유 가군이라고 한다.