유도 범주

호몰로지 대수학에서 유도 범주(誘導範疇, )는 사슬 복합체의 범주에서, 호몰로지들이 같은 사슬 복합체들을 서로 동형으로 간주하도록 변형한 범주이다.
정의.
사슬 호모토피.
아벨 범주 formula_1 속의 두 (공)사슬 복합체 formula_2, formula_3 사이의 두 (공)사슬 사상 formula_4 사이의 (공)사슬 호모토피()는 다음과 같이 여러 가지로 정의될 수 있으나, 이 정의들은 서로 동치이다.
같은 정의역과 공역을 갖는 두 (공)사슬 사상 사이에 (공)사슬 호모토피가 존재한다면, 이를 서로 호모토픽한 (공)사슬 사상이라고 한다. 호모토픽 관계는 동치 관계이다. 모든 원소를 0으로 대응시키는 상수 (공)사슬 사상 formula_5과 호모토픽한 (공)사슬 사상은 널호모토픽 (공)사슬 사상이라고 한다.
호모토픽 관계는 사슬 사상 집합의 아벨 군 구조와 호환되며, 특히 널호모토픽한 사슬 사상들의 부분 집합은 부분군을 이룬다. 두 사슬 사상 formula_4이 서로 호모토픽하다는 것은 두 사슬 사상의 차 formula_7가 널호모토픽하다는 것과 동치이다. 사슬 사상 집합의 호모토픽 관계에 대한 동치류들은 모든 사슬 사상들로 구성된 아벨 군의, 널호모토픽 사슬 사상으로 구성된 부분군에 대한 몫군이다.
사슬 복합체를 대상으로 하고, 사슬 사상의 호모토피류를 사상으로 하는 범주를 사슬 복합체 호모토피 범주() formula_8라고 한다. 이 범주에서 약한 동치를 국소화하면 유도 범주 formula_9를 얻는다.
사슬 호모토피의 구체적 정의.
아벨 범주 formula_1 속의 두 사슬 복합체 formula_2, formula_3 사이의 두 사슬 사상 formula_4 사이의 사슬 호모토피 formula_14는 다음과 같은 같은 데이터로 주어진다.
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
이를 공사슬 복합체의 언어로 번역하면 다음과 같다. 아벨 범주 formula_1 속의 두 공사슬 복합체 formula_21, formula_22 사이의 두 공사슬 사상 formula_23 사이의 공사슬 호모토피는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
사슬 호모토피의 추상적 정의 (왼쪽 호모토피).
아벨 범주 formula_1 속의 사슬 복합체 formula_2가 주어졌을 때, 다음과 같은 기둥 사슬 복합체()를 정의하자.
여기에는 자연스러운 포함 사상
이 주어진다.
임의의 두 사슬 복합체 formula_2, formula_3 사이의 두 사슬 사상 formula_4 사이의 사슬 호모토피는 다음과 같은 그림을 가환 그림으로 만드는 사슬 사상 formula_44이다.
사슬 호모토피의 추상적 정의 (오른쪽 호모토피).
아벨 범주 formula_1 속의 사슬 복합체 formula_3가 주어졌을 때, 다음과 같은 경로 사슬 복합체(經路사슬複合體, )를 정의하자.
여기에는 자연스러운 사상
이 존재한다.
임의의 두 사슬 복합체 formula_2, formula_3 사이의 두 사슬 사상 formula_4 사이의 사슬 호모토피는 다음과 같은 그림을 가환 그림으로 만드는 사슬 사상 formula_56이다.
구간 사슬 복합체를 통한 사슬 호모토피의 정의.
가군 범주에서, 위 정의는 다음과 같이 더 깔끔하게 표현될 수 있다. formula_58가 어떤 가환환 formula_59 위의 결합 대수 formula_60 위의 formula_61-쌍가군들의 아벨 범주라고 하자. 이제, 다음과 같은 구간 사슬 복합체() formula_62를 정의할 수 있다.
또한, 자명한 사슬 복합체
을 정의하자. (이는 텐서곱의 항등원이다.) 그렇다면, 두 개의 자명한 사슬 사상
이 존재한다. (기호 formula_68와 formula_69는 등급 0의 성분의 2×1행렬 표현이다.) 이제,
임을 쉽게 확인할 수 있다.
그렇다면, 사슬 사상 formula_72 사이의 사슬 호모토피는 다음 그림을 가환 그림으로 만드는 사슬 사상
이다.
유도 범주의 일반적 정의.
아벨 범주 formula_75가 있다고 하자. 그렇다면, 그 유도 범주 formula_76는 다음과 같은 범주이다.
이 정의는 다음과 같은, 집합론적인 문제를 야기한다.
유도 범주의 모형 범주 이론을 통한 정의.
일부 아벨 범주의 경우, 모형 범주의 이론을 통해 집합론적인 문제를 피할 수 있다. 구체적으로, 만약 아벨 범주 formula_1 위의 사슬 복합체 범주 formula_103 위에, 다음 조건을 만족시키는 모형 범주 구조가 존재한다면, 그 호모토피 범주로서 유도 범주를 구성할 수 있다.
사영 모형 구조를 통한 정의.
사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 formula_1 위의, 음이 아닌 차수의 사슬 복합체 범주 formula_105에는 다음과 같은 모형 범주 구조가 존재한다.
아벨 범주 formula_1의 음이 아닌 차수 유도 범주 formula_107는 formula_103의 위 모형 범주 구조에 대한 호모토피 범주이다. 즉, 다음과 같다.
이 경우, 다음과 같은 함자를 정의할 수 있다.
이는 구체적으로 다음과 같다.
단사 모형 구조를 통한 정의.
마찬가지로, 단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 formula_1 위의, 음이 아닌 차수의 공사슬 복합체 범주 formula_123에는 다음과 같은 모형 범주 구조가 존재한다.
아벨 범주 formula_1의 유도 범주 formula_125는 formula_126의 위 모형 범주 구조에 대한 호모토피 범주이다. 즉, 다음과 같다.
이 경우, 다음과 같은 함자를 정의할 수 있다.
이는 구체적으로 다음과 같다.
비(非)유계 차수 유도 범주.
위의 두 구성은 유도 범주 formula_9의 특별한 부분 범주 formula_141, formula_107들을 정의한다. 만약 모든 정수 등급을 가질 수 있는 유도 범주 formula_143를 정의하려면, 다음과 같은 경우들이 알려져 있다.
연산.
두 아벨 범주 formula_154 사이의 함자 formula_155의 오른쪽 유도 함자 formula_156는 어떤 대상 formula_157를 그 단사 분해
의 상
의 코호몰로지
로 대응시킨다. 이는 formula_1에서 formula_162로 가는 “함자”의 코호몰로지로 생각할 수 있는데, 사실 이러한 함자는 (단사 분해가 유일하지 않으므로) 존재하지 않는다. 이에 반해, 유도 함자 사이에는 다음 성질을 만족시키는 전체 유도 함자(全體誘導函子, ) formula_163가 존재한다.
즉, formula_165번째 유도 함자는 전체 유도 함자의 formula_165번째 코호몰로지가 된다.
성질.
아벨 범주의 유도 범주는 일반적으로 아벨 범주가 아니지만, 삼각 분할 범주이며 따라서 가법 범주이다.
모든 유사동형은 호모토피이므로, 사슬 복합체의 범주 formula_79에서 유도 범주 formula_168로 가는 표준적(canonical) 함자 formula_169가 존재한다.
삼각 분할 범주 구조.
유도 범주 formula_170는 자연스럽게 삼각 분할 범주를 이룬다.
사슬 사상 formula_171의 사상뿔() formula_172을 다음과 같이 정의하자.
여기서, 사상뿔의 경계 사상은 열벡터 formula_175 위에 작용하는 2×2 행렬이다.
그렇다면, 현수 formula_176를 자기 동치로, 사상뿔을 특별 삼각형으로 삼으면 formula_177는 삼각 분할 범주를 이룬다.
역사.
유도 범주의 개념은 1960년대에 알렉산더 그로텐디크와 그 제자 장루이 베르디에가 도입하였다. 베르디에는 박사 학위 논문에서 유도 범주의 이론을 집대성하였다. (같은 논문에서 베르디에는 삼각 분할 범주의 개념을 함께 도입하였다.) 이 박사 학위 논문은 오랫동안 출판이 지연되다가, 1996년에 출판되었다.