고윳값과 고유 벡터

선형대수학에서, 선형 변환의 고유벡터(固有vector, )는 그 선형 변환이 일어난 후에도 방향이 변하지 않는, 0이 아닌 벡터이다. 고유 벡터의 길이가 변하는 배수를 선형 변환의 그 고유 벡터에 대응하는 고윳값(固有값, )이라고 한다. 선형 변환은 대개 고유 벡터와 그 고윳값만으로 완전히 설명할 수 있다.
고유 벡터와 고유값의 개념은 여러 응용수학 분야에서 중요한 위치를 차지하며, 특히 선형대수학, 함수해석학, 그리고 여러 가지 비선형 분야에서도 자주 사용된다.
역사와 어원.
오늘날 선형대수학에 속하는 고윳값과 고유 벡터의 개념은 원래 19세기에 이차 형식 및 미분 방정식 이론으로부터 발달하였다. 19세기에 오귀스탱 루이 코시는 고전역학에서 관성 모멘트의 주축의 개념을 추상화하여 이차 곡면을 분류하였고, 고윳값의 개념을 도입하였다. 코시는 오늘날 고윳값에 해당하는 개념을 "특성근"()이라고 불렀다. 또한, 코시는 대칭행렬이 실수 고윳값들을 가진다는 사실을 발견하였다. 1885년 샤를 에르미트는 이를 확장하여, 일반적으로 에르미트 행렬이 실수 고윳값들을 가진다는 것을 보였다.
20세기 초에 다비트 힐베르트가 오늘날 쓰이는 용어인 "고유 벡터"()와 "고윳값"()을 도입하였다. (그러나 수학 외의 분야에서 헤르만 폰 헬름홀츠가 유사한 의미로 쓴 적이 있다.) "아이겐"()은 "고유한", "특징적인" 등의 의미로 번역할 수 있다.
정의.
체 formula_1에 대한 벡터 공간 formula_2 위의 선형 변환 formula_3가 주어졌다고 하자. 만약 어떤 formula_4와 formula_5가
를 만족시키면, formula_8를 formula_9의 고유 벡터라고 하고, formula_10를 formula_9의 (formula_8에 대응하는) 고윳값이라고 한다. formula_2가 일종의 함수 공간인 경우, 고유 벡터 대신 고유 함수(固有函數, )라는 용어를 사용하기도 한다.
고유 공간.
고윳값 formula_10의 고유 공간(固有空間, )은 그 고유 벡터들과 0으로 구성되는 부분 벡터 공간이다. 즉 선형 변환 formula_15의 핵이다.
유한 차원 벡터 공간 위의 선형 변환 formula_9의 고유 다항식(固有多項式, )은 formula_1 위의 formula_19차 다항식 formula_20이다.
고윳값 formula_10의 기하적 중복도(幾何的重複度, )는 그 고유 공간의 차원이다. formula_10의 대수적 중복도(代數的重複度, )는 고유 다항식의 근 formula_23의 중복도이다.
선형 변환 formula_9의 스펙트럼() formula_25는 그 고윳값들의 대수적 중복도를 감안한 중복 집합이다.
고유 기저.
선형 변환 formula_9의 고유 기저(固有基底, )는 formula_9의 고유 벡터들로 구성된 formula_2의 기저이다. 고유 기저는 항상 존재하지는 않으나, (예를 들어) formula_2가 유한 차원 복소수 벡터 공간이고 formula_9가 에르미트 연산자인 경우 존재한다. 고유 기저가 존재하는 선형 변환을 대각화 가능 선형 변환(對角化可能線型變換, )이라고 한다. 이는 선형 변환의 어떤 (모든) 행렬이 대각화 가능 행렬인 것과 동치이다.
행렬.
정사각 행렬을 선형 변환으로 볼 수 있으므로, 위의 개념들은 정사각 행렬에게도 적용되며, 닮음 불변이다.
성질.
선형 변환 formula_3에 대하여 다음 조건들이 동치이다.
만약 formula_9가 유한 차원 벡터 공간 formula_2 위의 선형 변환이라면, 그 고유 공간들은 선형 독립이다. 즉,
대각화 가능 선형 변환.
유한 차원 벡터 공간 formula_2 위의 선형 변환 formula_3에 대하여, 다음 조건들은 동치이다.
행렬.
실수 또는 복소수 (유한) formula_47 정사각 행렬 formula_48이 formula_49이라고 하자. 그렇다면 다음 성질들이 성립한다.
예.
행렬.
실수 formula_67 행렬
의 유일한 고윳값은 formula_69이며, 이에 대응하는 고유 벡터는 모든 0이 아닌 벡터이다.
행렬.
실수 formula_70 행렬
의 고유 다항식은 다음과 같다.
따라서 판별식은 다음과 같다.
이에 따라, formula_74를 실수 행렬로 보는 경우,
유클리드 공간.
3차원 회전 변환의 고유 벡터는 그 회전축에 놓인 벡터들이다. 회전한 후에도 이들의 길이와 방향은 변하지 않으므로 그들의 고윳값은 formula_78이다. 이에 대한 고유 공간은 회전축에 평행한 모든 벡터의 집합이므로, 1차원이다. 그밖의 고윳값 및 고유 벡터는 존재하지 않는다.
지구가 주어진 시간 동안의 자전을 선형 변환으로 볼 때에도 이와 같이 분석된다. 지구가 자전하면 지구의 중심에서 바깥을 향하는 화살표 중, 자전축 위에 놓이지 않은 화살표는 회전하며 방향이 변하고, 자전축을 향하거나 길이가 없는 화살표는 그 길이와 방향이 변하지 않는다.
얇은 종이를 가운데를 중심으로 하여 모든 방향으로 2배 확대시키자. 이때 중심을 시작점으로 하는 벡터들은 모두 방향의 변화 없이 길이가 2배가 된다. 따라서 이 변환의 유일한 고윳값은 2이고, 대응하는 고유 벡터는 모든 0이 아닌 벡터이다.
계산 실례.
정사각 행렬의 고윳값과 고유 벡터는, 보통 (특히 행렬의 크기가 작은 경우) 고유 다항식을 통해 계산된다. 구체적으로, 고유 다항식을 구하고, 근을 구하고, 각 근에 대응하는 선형 방정식을 풀이한다. 큰 행렬에 대해서는 고유 다항식이 복잡해지므로 수치적 방법을 통해 근사적으로 구하기도 한다.
예를 들어, 실수 행렬
의 고윳값과 고유 벡터를 구하는 과정은 다음과 같다. 우선 formula_74의 고유 다항식을 구한다.
근 formula_82가 곧 formula_74의 고윳값이다. 고윳값 formula_84에 대한 선형 방정식의 계수 행렬을 구한다.
이에 대한 해공간은 다음과 같은 기저로 선형 생성됨을 알 수 있다.
비슷하게, 고윳값 formula_88에 대한 선형 방정식의 계수 행렬은
이고, 해공간의 기저는
이다. formula_74의 고윳값과 고유 벡터는 이로써 명백해진다.
고윳값 없음.
고윳값을 갖지 않는 실수 행렬의 예로는 (시계 방향) 90도 회전 변환의 행렬
이 있다. formula_74의 고유 다항식은
이므로, 실수 행렬로서는 고윳값을 갖지 않는다. 다만, 복소수 행렬로서는 한 쌍의 켤레 복소수 formula_95를 고윳값으로 갖는다. 이들에 대응하는 고유 벡터는 물론 허수 벡터(즉 formula_96)이다.
고유 함수.
실수 무한번 미분 가능 함수들의 벡터 공간 formula_97 위의 미분 연산자
은 선형 변환이다. formula_99의 고유 함수 및 고윳값의 튜플 formula_100는 다음을 만족시켜야 한다.
이 경우 모든 formula_102이 고윳값이며, formula_10에 대응하는 (유일한 유형의) 고유 함수는 지수 함수
이다. (formula_105인 경우, 이는 0이 아닌 상수 함수이다.)