Ext 함자

호몰로지 대수학에서 Ext 함자(Ext函子, )는 아벨 범주의 두 대상 사이를 잇는 완전열들을 분류하는 함자이다. 사상군 함자의 유도 함자와 같다.
정의.
Ext 함자는 세 가지로 정의할 수 있다.
대수학에서 가장 중요한 경우인 환 위의 가군 범주의 경우 단사 대상을 충분히 가지는 범주이자 사영 대상을 충분히 가지는 범주이므로, 유도 함자 정의를 사용할 수 있다.
완전열을 통한 정의.
0차 Ext.
임의의 아벨 범주 formula_1에 대하여, 0차 Ext 함자는 다음과 같은 사상군 함자이다.
1차 Ext.
임의 아벨 범주 formula_1의 대상 formula_4에 대하여, formula_5의 formula_6에 대한 확대()는 다음과 같은 짧은 완전열이다.
두 확대 사이에 다음 그림을 가환하게 만드는 사상 formula_8이 존재한다면, 두 확대가 서로 동치라고 한다.
(이 사상 formula_8은 짧은 5항 보조정리에 따라서 항상 동형 사상이다.) 이는 확대에 대한 동치 관계를 이룬다.
확대의 동치류들은 베어 합()이라는 연산 아래 아벨 군을 이룬다.
두 확대 formula_11, formula_12가 주어졌을 때, formula_13를 formula_14와 formula_15의 formula_5에 대한 당김이라고 하자. 미첼 매장 정리를 사용하면, 이는 다음과 같다.
즉, formula_13는 formula_6를 두 번 부분 대상으로 포함한다.
대각 사상 formula_20사용하여, formula_13의 몫대상
을 정의할 수 있다. 이는 formula_13 속에 존재하는 두 개의 formula_6를 하나로 합치는 것이다. 그렇다면
는 짧은 완전열을 이룬다. formula_26의 동치류를 formula_11, formula_12의 동치류의 베어 합()이라고 한다. 확대의 동치류들은 베어 합 아래 아벨 군을 이룬다. 베어 합의 항등원은 분할 완전열 formula_29이며, 확대 formula_11의 베어 합에 대한 역원은 formula_31 또는 formula_32이다. (이 둘은 서로 동치이다.)
formula_1 속의 대상 formula_4에 대하여, 1차 Ext 함자 formula_35는 formula_5의 formula_6에 대한 확대들의 동치류 집합이다. 이는 베어 합 아래 아벨 군을 이루며, 함자
를 정의한다. 또한, 각 formula_39에 대하여
는 둘 다 가법 함자를 이룬다.
위 정의에서, 집합론적 문제를 무시하였다. 사실, (국소적으로 작은) 아벨 범주의 경우 1차 Ext 함자의 값이 고유 모임일 수 있다. 물론, 작은 아벨 범주에 대해서는 이러한 문제가 생기지 않는다. 또한, 단사 대상을 충분히 가지는 범주나 사영 대상을 충분히 가지는 범주에서는 유도 함자를 통한 정의를 사용할 수 있으며, 이 경우 집합론적 문제가 발생하지 않는다.
고차 Ext.
2차 이상의 Ext 함자는 임의의 아벨 범주에 대하여 다음과 같이 정의할 수 있다.
아벨 범주 formula_1가 주어졌다고 하자. formula_1 속의 대상 formula_5, formula_6에 대하여, formula_5의 formula_6에 대한 formula_48차 확대()는 다음과 같은 완전열이다.
두 formula_48차 확대 formula_51, formula_52 사이에 다음과 같은 가환 그림이 존재한다면, formula_51가 formula_52의 닮은 확대()라고 한다.
닮음 관계를 formula_56로 표기하자.
닮음 관계는 추이적 관계이지만 대칭 관계가 아니다. 닮음 관계로 생성되는 동치 관계를 생각하자. 즉, 두 formula_48차 확대 formula_51, formula_52 사이에 다음과 같은 formula_48차 확대들의 열
이 존재하며, 이 열이 다음 조건을 만족시킨다면, formula_51와 formula_52가 서로 동치라고 하자.
사실, 이 동치는 두 단계로 족하다. 즉, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
그렇다면, formula_48차 Ext 함자 formula_76는 formula_5의 formula_6에 대한 formula_48차 확대들의 동치류 집합이다.
두 formula_48차 확대 formula_51, formula_52가 주어졌을 때, formula_83를 다음과 같이 정의하자.
그렇다면 formula_98는 formula_48차 확대를 이룬다.
formula_51의 동치류와 formula_52의 동치류의 합을 formula_98의 동치류로 정의하자.
그렇다면, 이 합에 대하여 formula_76는 아벨 군을 이룬다. 또한, 이는 함자
를 이루며, 각 formula_106에 대하여
둘 다 가법 함자를 이룬다.
요네다 합성.
Ext는 가법 함자를 이루므로, 아벨 범주 formula_1의 대상 formula_110에 대하여 다음과 같은 두 군 준동형이 존재한다. (여기서 formula_111는 아벨 군의 텐서곱이다.)
이는 formula_114와 formula_115를 곱하는 것으로 볼 수 있다.
보다 일반적으로, 임의의 자연수 formula_116에 대하여 다음과 같은, 요네다 합성()이라는 군 준동형들이 존재한다.
이는 구체적으로 다음과 같다. 두 완전열
이 주어졌을 때, 이들을 이어 다음과 같은 더 긴 완전열을 정의할 수 있다.
그렇다면 formula_121의 동치류와 formula_122의 동치류의 요네다 합성은 formula_123의 동치류이다.
요네다 합성을 사용하여, 자연수 등급 아벨 군의 범주 formula_124 위의 풍성한 범주 formula_125를 다음과 같이 정의할 수 있다.
formula_125에서, 각 사상군에서 양의 정수 등급 성분을 망각한다면, formula_114만 남으므로 원래 범주 formula_1를 얻는다.
특히, 대상 formula_39에 대하여, formula_125에서의 자기 사상 등급 아벨 군
은 자연수 등급환을 이룬다.
유도 함자를 통한 정의.
아벨 범주 formula_1 속의 대상 formula_39에 대하여,
는 왼쪽 완전 함자이며,
는 오른쪽 완전 함자이다. 따라서, 만약 formula_1가 단사 대상을 충분히 가지는 범주라면 formula_144의 오른쪽 유도 함자를 Ext 함자라고 한다.
만약 formula_1가 사영 대상을 충분히 가지는 범주라면 formula_147의 왼쪽 유도 함자를 Ext 함자라고 한다.
이 정의들은 (만약 존재한다면) 위의 일반적인 정의와 일치한다. 그러나 아벨 범주는 단사 대상이나 사영 대상을 충분히 가지지 않을 수 있으므로, 이 정의는 덜 일반적이다.
특히, 환 formula_149 위의 왼쪽 가군들의 아벨 범주 formula_150는 단사 대상을 충분히 가지는 범주이자 사영 대상을 충분히 가지는 범주이다. 이 경우 Ext 함자를 formula_151로 표기한다.
유도 범주를 통한 정의.
Ext 함자는 유도 범주의 개념을 사용하여 간단하게 정의할 수 있다.
아벨 범주 formula_1가 주어졌다고 하자. formula_1의 대상을 하나의 성분만이 영 대상이 아닌 사슬 복합체로 간주한다면, formula_1는 사슬 복합체 범주 formula_155의 충만한 부분 범주를 이룬다.
formula_1 속의 사슬 복합체 formula_5에 대하여,
로 정의하자. (여기서 모든 사슬 복합체의 경계 사상의 차수는 formula_160이다.) 또한, formula_1의 유도 범주가 국소적으로 작은 범주라고 하자. 그렇다면, formula_1의 두 대상 formula_4에 대한 formula_48차 Ext 함자는 유도 범주 formula_165의 다음과 같은 사상군이다.
성질.
만약 formula_167이 사영 가군이거나 formula_168이 단사 가군이라면,
이다. 또한, 다음이 성립한다.
예.
벡터 공간.
체 formula_171 위의 가군의 범주에서의 Ext 함자를 생각해 보자. 체 위의 가군은 벡터 공간이며, 모든 벡터 공간은 사영 가군이자 단사 가군이다. 즉, 벡터 공간 formula_172의 단사 분해 및 사영 분해는 자명하다.
따라서, formula_171 위의 벡터 공간 formula_172, formula_177가 주어졌을 때, Ext 함자는 다음과 같다.
아벨 군.
정수환 formula_180 위의 가군의 범주에서의 Ext 함자를 생각해 보자. 정수환 위의 가군은 아벨 군이며, 사영 가군은 자유 아벨 군이며, 단사 가군은 나눗셈군이다. 모든 아벨 군은 길이가 1 이하인 단사 분해 및 사영 분해를 갖는다. 즉, 임의의 아벨 군 formula_181는 자유 아벨 군 formula_182의 몫군 formula_183으로 나타낼 수 있으며, 자유 아벨 군의 모든 부분군은 자유 아벨 군이므로 다음은 사영 분해이다.
마찬가지로, 임의의 아벨 군 formula_181는 나눗셈군 formula_186의 부분군으로 나타낼 수 있으며, 나눗셈군의 모든 몫군은 나눗셈군이므로 다음은 단사 분해를 이룬다.
아벨 군 formula_181, formula_189가 주어졌을 때, Ext 함자는 다음과 같다. formula_181의 사영 분해가 formula_191이라면, Ext 함자는 다음 사슬 복합체의 호몰로지 군이다.
여기서 formula_193은 포함 사상 formula_194으로부터 유도된다. 즉, 군 준동형을 부분군에 제약한 것이다.
따라서,
이며,
는 군의 확대
들의 동형류와 일대일 대응한다.
나머지 고차 Ext 함자는 모두 0이다.
또한, 임의의 나눗셈군 formula_189에 대하여
이다. 특히, 유리수의 군 formula_201나 그 몫군 formula_202은 나눗셈군이므로
이다.
리 대수 코호몰로지.
리 대수 코호몰로지는 리 대수의 보편 포락 대수의 Ext 함자와 같다. 이를 통해 리 군의 드람 코호몰로지를 계산할 수 있다.
층 코호몰로지.
위상 공간 formula_14 위의 아벨 군층 formula_205의 층 코호몰로지는 다음과 같이 Ext 함자의 특수한 경우이다.
여기서
스킴 formula_14 위의 구조층의 코호몰로지에 대하여 다음이 성립한다.
어원.
‘Ext’는 (확대)의 약자다. 이는 Ext 함자가 군의 확대와 관련있기 때문이다. 아벨 군 formula_181를 다른 아벨 군 formula_189로 확대한다면, 가능한 확대들은 formula_213와 일대일 대응한다.