연속 원순서 집합

순서론에서 연속 원순서 집합(連續原順序集合, )은 모든 원소가 그 원소를 ‘제한적으로 근사’하는 원소들로도 충분히 잘 근사되는 원순서 집합이다. 연속 완비 격자는 흔히 연속 격자(連續格子, )로 불린다.
정의.
원순서 집합 formula_1의 두 원소 formula_2에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
이 경우, formula_10가 formula_11를 근사한다() 또는 formula_10가 formula_11보다 훨씬 아래()라고 하며, 이를
로 적는다.
근사 관계 formula_15는 추이적 관계이며, formula_16가 부분 순서 집합인 경우 반대칭 관계이지만, 원순서가 아닐 수 있다. formula_15가 원순서인 것은 formula_1의 오름 사슬 조건과 동치이다.
원순서 집합 formula_1의 임의의 원소 formula_20에 대하여,
라고 하자. 이는 각각 formula_16의 상집합과 하집합을 이룬다. 만약 formula_16가 이음 반격자라면, formula_25는 상향 집합이다. 그러나 formula_16가 만남 반격자이더라도 formula_27는 하향 집합이 아닐 수 있다.
원순서 집합 formula_1가 다음 조건을 만족시키면, 연속 원순서 집합이라고 한다.
성질.
순서론적 성질.
연속 원순서 집합 formula_1의 두 원소 formula_2에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
둘째 조건은 첫째 조건을 자명하게 함의한다. 이제, formula_14이며, formula_3가 상향 집합이며, formula_4라고 하자.
를 생각하자. formula_16가 연속 원순서 집합이므로, formula_44는 순서 아이디얼들의 상향 집합의 합집합이다. 따라서 formula_44 역시 순서 아이디얼이다. 또한,
이다. 따라서, formula_9이다. 즉, formula_37인 formula_6가 존재한다.
이를 사용하여, 연속 원순서 집합 formula_1의 근사 관계 formula_15가 다음과 같은 보간 성질을 만족시킴을 보일 수 있다.
위 명제에서, formula_53를 취한다.
dcpo.
dcpo formula_54의 두 원소 formula_2에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
따라서, 만약 formula_16가 연속 dcpo라면, 다음과 같은 더 강한 보간 성질이 성립한다.
dcpo formula_54에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
구체적으로, 연속 dcpo formula_54에 대하여, formula_66의 왼쪽 수반 함자는
이다.
임의의 연속 dcpo formula_54가 주어졌다고 하자. 다음 두 명제를 보이면 족하다.
이 두 명제는 연속 원순서 집합의 정의에 따라 자명하다.
반대로, formula_54가 dcpo이며, formula_78가 formula_66의 왼쪽 수반 함자이며, formula_29라고 하자. 그렇다면, formula_81는
인 최소의 formula_16의 순서 아이디얼이다. 근사 순서 formula_15의 정의에 따라,
이다. 따라서, formula_16는 연속 원순서 집합이다.
완비 격자.
완비 격자 formula_87의 두 원소 formula_88에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
완비 격자 formula_87에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
연속 완비 격자 formula_87이 주어졌다고 하자. formula_103이 임의의 순서 아이디얼들의 집합이라고 하자.
를 보이면 족하다. formula_105은 자명하다. formula_71이므로, 반대 방향의 부등식은
를 보이면 족하다. 이는 임의의 formula_108에 대하여
이므로 참이다.
반대로, formula_87이 완비 격자이며, formula_95이 임의의 하한을 보존한다고 하자. formula_95의 왼쪽 수반 함자 formula_113를 찾으면 족하다. 다음과 같은 함수를 생각하자.
이는 자명하게 순서 보존 함수이다. 따라서, 다음 두 부등식을 보이면 족하다.
연속 완비 격자 formula_87이 주어졌다고 하자. formula_97가 임의의 formula_87의 상향 집합들의 집합이라고 하자. formula_125
은 자명하다. 따라서, 임의의 formula_126에 대하여, formula_127임을 보이면 족하다. 임의의 formula_128에 대하여, formula_129이므로, formula_130인 formula_131가 존재한다. 따라서,
이다.
반대로, formula_87이 완비 격자이며, 또한 임의의 상향 집합들의 집합 formula_97에 대하여, formula_98라고 하자. 임의의 formula_20에 대하여, 자명하게 formula_137이다. 따라서 formula_138임을 보이면 족하다. formula_139를 다음 두 조건을 만족시키는 부분 집합 formula_140들의 집합으로 취하자.
그렇다면, formula_139의 정의에 따라, 임의의 formula_144에 대하여,
이다. 따라서,
이다.
연속 완비 격자에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
모든 완비 헤이팅 대수는 자명하게 분배 격자이다. 반대로, formula_87이 연속 완비 격자이자, 분배 격자라고 하자. 임의의 원소 formula_20 및 부분 집합 formula_149에 대하여,
임을 보이면 족하다. 연속 완비 격자의 세 번째 조건에서,
을 취하자. (두 번째 집합이 상향 집합임은 쉽게 보일 수 있다.) 그렇다면, formula_87이 연속 완비 격자이자 분배 격자이므로, 다음이 성립한다.
모든 연속 완비 분배 격자는 국소 콤팩트 공간의 열린집합 격자와 순서 동형이다.
연산에 대한 닫힘.
유한 개의 연속 dcpo들의 직접곱은 연속 dcpo이며, 그 위의 근사 관계는 성분별 근사 관계와 동치이다. 유한 또는 무한 개의 최소 원소를 갖는 연속 dcpo formula_154들의 직접곱 formula_155
는 연속 dcpo이며, 직접곱의 두 원소 formula_156에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
연속 dcpo의 스콧 닫힌집합은 연속 dcpo이며, 그 위의 근사 관계는 원래 근사 관계를 제한한 것이다.
범주론적 성질.
연속 완비 격자와 스콧 연속 함수의 범주는 데카르트 닫힌 범주를 이룬다.
예.
모든 유한 원순서 집합은 연속 원순서 집합이다. 보다 일반적으로, 오름 사슬 조건을 만족시키는 모든 원순서 집합은 연속 원순서 집합이다.
폐구간.
실수 폐구간 formula_161은 표준적인 순서에 의하여 완비 격자를 이룬다. 또한, 임의의 formula_162에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
따라서, 항상
이며, formula_167은 연속 완비 격자를 이룬다.
보다 일반적으로, 전순서 완비 격자 formula_87의 임의의 두 원소 formula_88에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
따라서, 모든 전순서 완비 격자는 연속 완비 격자이다.
멱집합.
임의의 집합 formula_176에 대하여, 멱집합 formula_177는 완비 격자를 이룬다. 이 경우 formula_178는 formula_179가 formula_180의 유한 부분 집합인 것과 동치이다. 모든 집합은 그 유한 부분 집합들의 합집합이므로, formula_177는 연속 완비 격자를 이룬다.
열린집합 격자.
위상 공간 formula_176의 열린집합들은 포함 관계에 의하여 완비 헤이팅 대수 formula_183를 이룬다. 임의의 두 열린집합 formula_184에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
formula_183가 완비 격자이므로 첫째 조건과 둘째 조건은 서로 동치이다. 이제, formula_185이며, formula_194가 formula_176위의 극대 필터이며, formula_196라고 하자. 귀류법을 사용하여, 임의의 formula_197가 formula_194의 극한이 아니라고 가정하자. 즉, formula_199인 formula_200의 근방 formula_201가 존재한다. formula_194가 극대 필터이므로, formula_203인 formula_204가 존재한다. 그렇다면, formula_205는 formula_186-덮개이므로, 유한 부분 formula_187-덮개 formula_208을 갖는다. 따라서,
이며, 이는 모순이다.
이제, formula_188이며, formula_187를 원소로 갖는 formula_176 위의 임의의 극대 필터는 formula_186 속의 점으로 수렴한다고 하자. formula_214가 열린집합들의 상향 집합이며, formula_215라고 하자. 귀류법을 사용하여, 임의의 formula_128에 대하여, formula_217라고 하자. 그렇다면, formula_218는 하향 집합을 이룬다. 이를 포함하는 최소의 필터
를 생각하자. formula_220인 formula_176 위의 극대 필터 formula_194를 취하자. formula_223를 고정하자. 그렇다면, 임의의 formula_224에 대하여,
이다. 따라서 formula_196이며, formula_194는 어떤 formula_197로 수렴한다. formula_229인 formula_128를 취하자. 그렇다면, formula_231이므로,
이다. 이는 모순이다.
만약 formula_176가 국소 콤팩트 공간(즉, 모든 점이 콤팩트 국소 기저를 갖는 위상 공간)이라면, 추가로 다음 조건이 동치이다.
따라서, 임의의 국소 콤팩트 공간 formula_176의 열린집합 격자 formula_183는 연속 완비 격자를 이룬다. 보다 일반적으로, 위상 공간 formula_176에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 formula_176를 핵콤팩트 공간()이라고 한다.
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
반례.
다음과 같은 부분 순서 집합 formula_245을 생각하자.
가 상향 집합이므로, formula_248임을 알 수 있다. 따라서
이며, 이 완비 격자는 연속 완비 격자가 아니다.
모든 원자 없는 완비 불 대수는 연속 완비 격자가 아니다. 원자 없는 완비 불 대수 formula_180의 두 원소 formula_251에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
합동 관계 격자.
환 formula_254의 아이디얼들은 포함 관계에 의하여 완비 격자 formula_255를 이룬다. 임의의 두 아이디얼 formula_256에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
모든 아이디얼은 그 유한 생성 부분 아이디얼들의 합집합이므로, formula_255는 연속 완비 격자를 이룬다.