코쥘 접속

미분기하학에서 코쥘 접속(Koszul接續, )은 벡터 다발의 각 올들을 이어붙여, 벡터장의 미분을 정의할 수 있게 하는 구조이다.
정의.
매끄러운 다양체 formula_1 위의 매끄러운 벡터 다발 formula_2이 주어졌다고 하자. formula_3의 매끄러운 단면들의 실수 벡터 공간을 formula_4라고 하자.
formula_3 위의 코쥘 접속은 다양하게 정의될 수 있다.
formula_1 위의 아핀 접속(affine接續, )은 그 접다발 formula_7 위의 코쥘 접속이다. 아핀 접속을 갖춘 매끄러운 다양체를 아핀 다양체(affine多樣體, )라고 한다.
단면 위의 작용을 통한 정의.
formula_3 위의 (코쥘) 접속 또는 공변 미분(共變微分, )
은 다음과 같은 곱 규칙을 만족시키는 실수 선형 변환이다.
여기서 formula_11은 formula_1의 공변접다발이며, formula_13은 formula_14의 외미분으로 얻은 1차 미분 형식이다.
이는 formula_15 1차 미분 연산자를 이룬다.
임의의 벡터장 formula_16에 대하여,
를 정의할 수 있다. 이를 formula_3의 단면의 formula_20방향의 공변 미분이라고 한다.
formula_21는 1차 미분 연산자이므로, 국소 좌표계에서 다음과 같은 꼴로 전개할 수 있다.
여기서 formula_23는 접다발의 첨자이며 formula_24는 formula_3의 첨자이다. 코쥘 접속을 정의하는 성분 formula_26을 크리스토펠 기호라고 한다.
에레스만 접속을 통한 정의.
벡터 다발 formula_3의 수직 벡터 다발은 formula_28이다. 이제, 실수 formula_29에 대한 곱셈
의 미분
을 생각하자. 또한, 합
의 미분
를 생각하자.
formula_3 위의 에레스만 접속 formula_35가 다음 조건을 만족시킨다면, 코쥘 접속이라고 한다.
여기서 formula_38이다.
에레스만 접속을 통한 정의와 단면 위의 작용을 통한 정의 사이의 관계는 다음과 같다. 우선,
가 formula_40를 사용한, 수직 벡터 다발 formula_41 위로의 사영이라고 하자 (즉, formula_42). 임의의 단면 formula_43에 대하여, 미분
를 생각하자. 그렇다면, 다음을 정의하자.
그렇다면, 이는 적절한 곱 규칙을 만족시켜, 후자의 정의에 해당한다.
미분 형식 위의 작용을 통한 정의.
매끄러운 다양체 formula_1 위의 매끄러운 벡터 다발 formula_3 위의 코쥘 접속
은 다음과 같은 곱 규칙을 만족시키는 실수 선형 변환이다.
이러한 연산자를 공변 외미분(共變外微分, )이라고 한다.
단면 위의 작용을 통한 정의와 미분 형식 위의 작용을 통한 정의 사이의 관계는 다음과 같다. 임의의 공변 외미분 formula_49가 주어졌을 때,
이므로,
는 단면 위에 적절한 곱 규칙을 만족시킨다. 반대로, 단면 위의 작용소 formula_9가 주어졌을 때, 미분 형식에 대한 곱 규칙을 만족시키게 유일하게 확장할 수 있다.
일반적 외미분과 달리, 공변 외미분은 일반적으로 formula_57을 만족시키지 못한다.
코쥘 초접속: 단면 위의 작용을 통한 정의.
코쥘 접속의 개념을 formula_58-등급 벡터 공간(초벡터 공간)에 대하여 일반화하여, 코쥘 초접속(Koszul初接續, )의 개념을 정의할 수 있다.
구체적으로, 다음 데이터가 주어졌다고 하자.
그렇다면, formula_3 위의 코쥘 초접속은 다음 조건을 만족시키는 선형 변환
이다.
코쥘 초접속: 미분 형식 위의 작용을 통한 정의.
공변 외미분을 통한 정의 역시 코쥘 초접속에 대하여 적용할 수 있다.
구체적으로, 다음 데이터가 주어졌다고 하자.
그렇다면, 다음을 정의할 수 있다. formula_68값 미분 형식들의 공간 formula_69으로부터,
즉, 아래 표에서, 흰색 바탕은 formula_72에, 회색 바탕은 formula_73에 속한다.
그렇다면, formula_68 위의 코쥘 초접속
은 다음과 같은 곱 규칙을 만족시키는 실수 선형 변환이다.
코쥘 초접속: 구체적 정의.
매우 구체적으로, 매끄러운 다양체 formula_1 위의 두 매끄러운 벡터 다발 formula_60 위의 코쥘 초접속은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
이 데이터는 formula_85 위에 다음과 같이 작용한다.
이 데이터는 formula_51 위에 다음과 같이 작용한다.
이러한 성분들은 초접속의 "크리스토펠 기호"에 해당한다.
성질.
당김.
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
그렇다면, formula_14를 통해 formula_1위의 당김 다발 formula_98를 정의할 수 있다. 이 위에 당김 접속
은 다음 조건을 만족시키는 유일한 코쥘 접속이다.
여기서 formula_101는 formula_16의 formula_90으로의 밂()이다.
마찬가지로, 만약 formula_90 위에 두 매끄러운 벡터 다발 formula_105이 주어졌을 때, formula_68 위의 코쥘 초접속을 당김 다발 formula_107 위로 당길 수 있다.
곡률.
매끄러운 벡터 다발 formula_108 위의 코쥘 접속 formula_21에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 텐서장 formula_110가 유일하게 존재한다.
이를 formula_21의 곡률(曲率, )이라고 하며, 이는 formula_113값의 2차 미분 형식이다.
여기서 formula_114는 벡터장의 리 미분이다. 이는 일반적 올다발 위의 에레스만 접속의 곡률의 특수한 경우이다.
곡률이 0인 코쥘 접속을 평탄 코쥘 접속(平坦Koszul接續, )이라고 한다.
아핀 접속의 곡률은 리만 곡률이라고 하며, 이는 (3,1)-텐서장으로 여길 수 있다. 또한, 아핀 접속 formula_21의 경우, 곡률과 더불어 비틀림을 정의할 수 있다. 비틀림 formula_116은 다음과 같다.
(여기서 formula_118은 접다발 값 2차 미분 형식의 공간이다.) 비틀림은 (2,1)-텐서장으로 여길 수 있다.
마찬가지로, 매끄러운 다양체 formula_1 위의 두 매끄러운 벡터 다발 formula_68 위의 코쥘 초접속 formula_21가 주어졌을 때,
는 항상 다음과 같은 꼴이다.
이를 초접속의 곡률이라고 한다. 곡률이 0인 코쥘 초접속을 평탄 코쥘 초접속(平坦Koszul超接續,)이라고 한다.
평행 운송.
코쥘 접속은 에레스만 접속의 특수한 경우이므로, 평행 운송()을 정의할 수 있다. 구체적으로, 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
만약
이 성립한다면, formula_3를 평행 단면(平行斷面, )이라고 한다. 이는 단면의 당김 formula_132의, 당겨진 접속 formula_133에 대한 공변 미분이 0이라는 것과 동치이다.
이 경우, formula_134를 formula_135의, 곡선 formula_136를 따른 평행 운송이라고 한다. 평행 운송은 선형 변환
으로 생각할 수 있으며, 이는 벡터 공간의 동형을 이룬다. 이와 같이, 코쥘 접속은 formula_3의 각 올공간들을 (주어진 경로에 따라) "이어붙이는" 것을 알 수 있다.
마찬가지로, 코쥘 초접속 역시 일종의 평행 운송을 정의한다.
분류.
공변 미분 formula_139의, formula_140에서의 값은 formula_141의 formula_142 근방의 값에만 의존한다.
매끄러운 벡터 다발 formula_108 위의 두 코쥘 접속 formula_144, formula_145이 주어졌다고 하자. 그렇다면,
는 매끄러운 다발 사상을 이룬다. 즉, formula_147의 formula_140에서의 값은 formula_149에만 의존한다.
이에 따라, formula_3 위의 코쥘 접속들의 모듈라이 공간은 formula_152의 꼴의 아핀 공간이다.
마찬가지로, 두 매끄러운 벡터 다발 formula_60 위의 두 코쥘 초접속 formula_144, formula_145이 주어졌을 때,
이며, formula_157 위의 코쥘 초접속들의 모듈라이 공간은 formula_158의 꼴의 아핀 공간이다.
예.
자명한 벡터 다발 위의 접속.
매끄러운 다양체 formula_1 위에 자명한 벡터 다발 formula_160이 주어졌다고 하자. formula_161의 기저를 formula_162라고 하자. 그렇다면, formula_3의 단면은 매끄러운 함수로 생각할 수 있다.
이 경우, formula_3 위의 모든 코쥘 접속은 다음과 같은 꼴이다.
여기서
는 1차 미분 형식의 formula_168 정사각 행렬이며,
는 formula_170의 각 벡터 성분에 대한 외미분이다. 이 경우,
를 formula_21의 접속 형식(接續形式, )이라고 한다. 만약 접속 형식이 0이라면, 코쥘 접속은 평탄 코쥘 접속을 이룬다.
보다 일반적으로, 임의의 벡터 다발의 경우 국소적 자명화를 (비표준적으로) 잡을 수 있으며, 위와 같이 접속 형식을 정의할 수 있다. 물론 이는 선택한 국소적 자명화에 의존하며, 또 일반적으로 대역적으로 정의될 수 없다.
레비치비타 접속.
준 리만 다양체 formula_173 위에는 리만 계량으로부터 레비치비타 접속이라는 아핀 접속을 표준적으로 정의할 수 있다.
스핀 접속.
리만 계량을 갖춘 스핀 다양체 formula_173 위의 스피너 다발 formula_175 위에, 리만 계량으로 유도되는 표준적인 코쥘 (초)접속인 스핀 접속이 존재한다.
역사.
아핀 접속의 개념은 19세기의 기하학 및 텐서 미적분학 등에서 유래하였다. 1920년대 초에 엘리 카르탕은 카르탕 접속 이론의 일부로서 아핀 접속의 개념을 체계적으로 개발하였고, 이와 동시에 헤르만 바일은 일반 상대성 이론의 수학적 기초를 위하여 접속 이론을 개발하였다. "접속"이라는 용어 역시 카르탕이 도입하였다.
1950년에 장루이 코쥘은 접다발 위의 아핀 접속의 개념을 일반화하여, 임의의 벡터 다발 위의 코쥘 접속의 현대적인 정의를 제시하였다.
초접속의 개념은 1985년에 대니얼 퀼런이 천 특성류를 연구하기 위해 도입하였다.