수심 (기하학)

기하학에서 수심(垂心, )은 삼각형의 각 꼭짓점을 지나는 대변의 수선이 공통으로 지나는 점이다.
정의.
삼각형 formula_1의 꼭짓점 formula_2, formula_3, formula_4를 지나는 대변 formula_5, formula_6, formula_7의 수선은 한 점에서 만난다. 이 점을 삼각형 formula_1의 수심 formula_9라고 한다.
꼭짓점 formula_3, formula_4를 지나는 대변의 수선의 발을 formula_12, formula_13라고 하고, 두 수선 formula_14, formula_15의 교점을 formula_9라고 하자. 그렇다면
이므로 formula_12, formula_13는 선분 formula_20를 지름으로 하는 원 위의 점이자 선분 formula_5를 지름으로 하는 원 위의 점이다. 특히 formula_2, formula_12, formula_9, formula_13는 한 원 위의 점이며, 점 formula_3, formula_4, formula_12, formula_13 역시 한 원 위의 점이다. 원주각의 성질에 따라
이다. 따라서
이며, formula_20는 formula_5의 수선이다.
정삼각형의 각 꼭짓점을 지나는 대변의 수선은 대변의 수직 이등분선과 일치하며, 삼각형의 세 변의 수직 이등분선은 외심에서 만나므로, 정삼각형의 각 꼭짓점을 지나는 대변의 수선은 한 점에서 만난다. 정삼각형이 아닌 삼각형 formula_1의 외심을 formula_35, 무게 중심을 formula_36, 변 formula_5의 중점을 formula_38라고 하자. 그렇다면 formula_39이다. 유향 선분 formula_40의 연장선 위에서 formula_41인 점 formula_9를 잡자. 그렇다면 formula_36는 선분 formula_44 위의 점이며 formula_45, formula_46이므로, 삼각형 formula_47와 formula_48는 닮음이다. 특히 formula_49이므로 formula_20와 formula_51는 평행하며, formula_51는 formula_5의 수선이므로 formula_20 역시 변 formula_5의 수선이다. 마찬가지로 formula_56, formula_57는 각각 변 formula_6, formula_7의 수선이다.
꼭짓점 formula_2, formula_3, formula_4를 지나는 대변의 수선의 발을 formula_63, formula_12, formula_13라고 하자. 그렇다면 변 formula_7, formula_6를 지름으로 하는 두 원은 두 점 formula_2, formula_63에서 만나므로 두 원의 근축은 직선 formula_70이다. 마찬가지로, 변 formula_7와 formula_5를 지름으로 하는 두 원의 근축은 직선 formula_14이며, 변 formula_6, formula_5를 지름으로 하는 두 원의 근축은 직선 formula_15이다. 따라서 세 직선 formula_70, formula_14, formula_15는 세 원의 근심에서 만난다.
꼭짓점 formula_2, formula_3, formula_4를 지나는 대변의 수선의 발을 formula_63, formula_12, formula_13라고 하자. 그렇다면
이므로 체바 정리에 따라 직선 formula_70, formula_14, formula_15는 한 점에서 만난다.
성질.
예각 삼각형의 수심은 삼각형의 내부에 속한다. 직각 삼각형의 수심은 직각의 꼭짓점이다. 둔각 삼각형의 수심은 삼각형의 외부에 속한다.
외접원과의 관계.
삼각형의 수심과 한 꼭짓점 사이의 거리는 외심과 대변 사이의 거리의 2배이다.
삼각형 formula_1의 수심 formula_9를 각 변에 대하여 반사시킨 상은 외접원 위의 점이다. 즉, 각 꼭짓점 formula_2, formula_3, formula_4를 지나는 대변의 수선의 발을 formula_63, formula_12, formula_13라고 하고, 수선 formula_70, formula_14, formula_15의 연장선과 외접원의 교점을 formula_101, formula_102, formula_103이라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.
원주각의 성질에 따라
이므로 formula_108이다. formula_109는 formula_110의 수선이므로 formula_63는 선분 formula_110의 중점이다.
삼각형의 외심은 중점 삼각형의 수심이다.
삼각형의 수심과 외심은 등각 켤레점이다. 삼각형 formula_1의 수심을 formula_9, 외심을 formula_35라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.
점 formula_2를 지나는 외접원의 지름을 formula_120이라고 하자. 그렇다면 원주각의 성질에 따라
이다. 따라서
이다.
삼각형 formula_1의 세 변의 길이를 formula_124, formula_125, formula_126, 반둘레를 formula_127, 외접원의 반지름을 formula_128, 내접원의 반지름을 formula_129라고 하자. 그렇다면, 이 삼각형의 외심 formula_35, 내심 formula_131, 수심 formula_9를 잇는 삼각형 formula_133의 넓이는 다음과 같다.
수선.
삼각형 formula_1의 수심을 formula_9라고 하고, 꼭짓점 formula_2, formula_3, formula_4를 지나는 대변의 수선의 발을 formula_63, formula_12, formula_13라고 하고, 외접원의 반지름을 formula_128라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.
삼각형 formula_1의 수심을 formula_9라고 하고, 꼭짓점 formula_2, formula_3, formula_4를 지나는 대변의 수선의 발을 formula_63, formula_12, formula_13라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.
수선 formula_70의 연장선과 외접원의 교점을 formula_101이라고 하자. 그렇다면 점 formula_63를 지나는 외접원의 두 현 formula_162, formula_5에 대한 방멱 정리에 따라
이다.
점 formula_2, formula_3, formula_63, formula_12는 한 원 위의 점이므로, 점 formula_9를 지나는 두 현 formula_70와 formula_14에 대한 방멱 정리에 따라
이다.
마지막 등식에 따라, 삼각형 formula_1의 두 체바 선분을 지름으로 하는 비(非)동심원의 근축은 수심 formula_9를 지난다. 삼각형 formula_1의 세 체바 선분을 지름으로 하는 비(非)동축원의 근심은 수심 formula_9이다. 삼각형 formula_1 및 직선 formula_5, formula_6, formula_7 위의 점 formula_181, formula_182, formula_183가 주어졌다고 하자. 만약 formula_181, formula_182, formula_183가 한 직선 위의 점이라면, 4개의 삼각형 formula_1, formula_188, formula_189, formula_190의 수심은 한 직선 위의 점이며, 체바 선분 formula_191, formula_192, formula_193를 지름으로 하는 세 원은 4개의 수심을 지나는 직선을 근축으로 하는 동축원이다.
오일러 직선과 구점원.
삼각형 formula_1의 수심 formula_9, 무게 중심 formula_36, 외심 formula_35는 한 직선 위의 점이며, 다음이 성립한다.
만약 삼각형 formula_1가 정삼각형이라면, formula_200이다. 만약 삼각형 formula_1가 정삼각형이 아니라면, 수심 formula_9, 무게 중심 formula_36, 외심 formula_35를 지나는 직선은 유일하게 존재하며, 이 직선을 삼각형 formula_1의 오일러 직선이라고 한다.
삼각형 formula_1의 꼭짓점 formula_2, formula_3, formula_4를 지나는 대변의 수선의 발 formula_63, formula_12, formula_13, 변 formula_5, formula_6, formula_7의 중점 formula_38, formula_217, formula_218, 각 꼭짓점과 수심을 잇는 선분 formula_70, formula_14, formula_15의 중점은 한 원 위의 점이며, 이들 9개의 점을 지나는 이 원을 구점원이라고 한다. 특히 구점원은 수심 삼각형과 중점 삼각형의 공통 외접원이다.
삼각형 formula_1의 구점원의 중심 formula_223은 무게 중심과 외심을 잇는 선분 formula_40의 중점이다. 특히 삼각형 formula_1가 정삼각형이 아닐 경우 구점원의 중심 formula_223은 오일러 직선 위의 점이다. 구점원은 수심과 외접원 위의 점을 잇는 선분의 중점의 자취이다.
삼각형 formula_1 및 외접원 위의 점 formula_228가 주어졌다고 하자. 점 formula_228와 수심 formula_9를 잇는 선분 formula_231의 중점은 삼각형 formula_1에 대한 점 formula_228의 심슨 직선 위의 점이자 구점원 위의 점이다. 특히 점 formula_228를 각 변 formula_5, formula_6, formula_7에 대하여 반사시킨 상을 지나는 직선은 수심 formula_9를 지난다.
꼭짓점 formula_2를 지나는 외접원의 지름을 formula_120이라고 하자. 편의상 삼각형 formula_1가 예각 삼각형이며 formula_228가 호 formula_243 위의 점이라고 가정하자. 점 formula_228를 지나는 변 formula_5, formula_6, formula_7의 수선의 발을 formula_181, formula_182, formula_183라고 하고, 점 formula_228를 변 formula_5, formula_6, formula_7에 대하여 반사시킨 상을 formula_255, formula_256, formula_257이라고 하자.
우선 선분 formula_231의 중점이 formula_228의 심슨 직선 위의 점임을 증명하자. formula_260과 formula_261가 평행함을 보이는 것으로 충분하다. 유향 선분 formula_56의 연장선과 formula_6 및 외접원의 교점을 formula_12, formula_102이라고 하자. 그렇다면 수심의 성질에 따라 formula_105이다. 선분 formula_267과 formula_6의 교점을 formula_269라고 하자. 그렇다면 점 formula_228, formula_269, formula_102을 직선 formula_6에 대하여 반사시킨 상은 각각 formula_9, formula_269, formula_256이므로, formula_269는 선분 formula_260 위의 점이다. formula_279과 formula_280은 평행하며, formula_4, formula_182, formula_181, formula_228는 한 원 위의 점이므로, 엇각 및 원주각의 성질에 따라
이다. 따라서 formula_260과 formula_261는 평행한다.
이제 선분 formula_231의 중점이 구점원 위의 점임을 증명하자. 수심 formula_9를 닮음 중심으로 하고 1/2를 닮음비로 하는 중심 닮음 변환을 생각하자. 꼭짓점 formula_2, formula_3, formula_4에 이 변환을 가한 상은 각각 선분 formula_20, formula_56, formula_57의 중점이며, 이는 구점원 위의 세 점이므로, 외접원에 이 변환을 가한 상은 구점원이다. 선분 formula_231의 중점은 외접원 위의 점 formula_228에 이 변환을 가한 상이므로 구점원 위의 점이다.
삼각형의 키페르트 포물선()의 준선은 오일러 직선이다. 삼각형의 모든 내접 포물선의 준선은 수심을 지난다.
수심 삼각형.
직각 삼각형이 아닌 삼각형 formula_1의 각 꼭짓점 formula_2, formula_3, formula_4를 지나는 대변의 수선의 발 formula_63, formula_12, formula_13를 꼭짓점으로 하는 삼각형을 삼각형 formula_1의 수심 삼각형(垂心三角形, ) formula_306라고 한다. 즉, 수심 삼각형은 수심의 수족 삼각형이자 수심의 체바 삼각형이다. 직각 삼각형의 수심은 빗변의 꼭짓점이며, 특히 이는 외접원 위의 점이므로, 수심 삼각형이 정의되지 않는다.
예각 삼각형의 수심은 수심 삼각형의 내심이며, 둔각 삼각형의 수심은 수심 삼각형의 방심이다. 즉, 직각 삼각형이 아닌 삼각형의 각 꼭짓점을 지나는 수선과 각 변은 수심 삼각형의 내각 또는 외각 이등분선이다. 즉, 수심계 속 네 점은 수심 삼각형의 내심과 세 방심이며, 수심계 속 두 점을 잇는 6개의 직선은 수심 삼각형의 3개의 내각 이등분선 및 3개의 외각 이등분선이다.
편의상 삼각형 formula_1가 예각 삼각형이라고 하자. 꼭짓점 formula_2, formula_3, formula_4에서 대변에 내린 수선의 발을 formula_63, formula_12, formula_13라고 하고, 수심을 formula_9라고 하자. 그렇다면 사각형 formula_315, formula_316, formula_317는 모두 내접 사각형이므로
이다. 따라서, formula_70는 삼각형 formula_306의 formula_63에서의 내각 이등분선이며, formula_5는 삼각형 formula_306의 formula_63에서의 외각 이등분선이다.
파냐노 문제.
삼각형 formula_1의 각 꼭짓점 formula_2, formula_3, formula_4를 지나는 대변의 수선의 발을 formula_63, formula_12, formula_13라고 하자. 만약 삼각형 formula_1가 예각 삼각형이라면, 최소 둘레의 내접 삼각형은 수심 삼각형 formula_306이다. 이를 파냐노 문제()라고 한다. 만약 삼각형 formula_1가 직각 삼각형 또는 둔각 삼각형이며, 직각 또는 둔각의 꼭짓점이 formula_2라면, 최소 둘레의 내접 삼각형은 퇴화 삼각형 formula_336이다 (두 꼭짓점이 같은 삼각형을 허용하지 않을 경우 존재하지 않는다).
편의상 formula_337와 formula_338가 예각이라고 하자. formula_181가 변 formula_5 위의 고정된 점이라고 하고, formula_255, formula_342이 각각 점 formula_228를 변 formula_7, formula_6에 대하여 반사시킨 상이라고 하자. 그렇다면
이며, 변 formula_7, formula_6 위의 점 formula_182, formula_183에 대하여, 삼각형 formula_351의 둘레는
이다.
만약 formula_353라면, formula_354이므로 선분 formula_355은 변 formula_7, formula_6와 교점 formula_358, formula_359를 갖는다. 고정된 점 formula_181에 대하여, 이 두 점 formula_358, formula_359는 삼각형 formula_351의 둘레를 최소로 만들며, 그 최소 둘레는
이다. 따라서 최소 둘레 formula_365를 가장 작게 만드는 점 formula_181는 선분 formula_191의 길이를 가장 작게 만드는 점 formula_63이다.
만약 formula_369라면, formula_370이므로 선분 formula_355은 변 formula_7, formula_6와 교점을 갖지 않는다. 변 formula_7, formula_6 위의 점 formula_182, formula_183에 대하여, 유향 선분 formula_378의 연장선과 선분 formula_379의 교점을 formula_380이라고 하자. 그렇다면
이다. 따라서 고정된 점 formula_181에 대하여, 둘레 formula_383를 가장 작게 만드는 두 점 formula_182, formula_183는 formula_2, formula_2이다. 이 경우 최소 둘레는
이며, 이를 가장 작게 만드는 점 formula_181는 점 formula_63이다.
예각 삼각형 formula_1와 내접 삼각형 formula_351가 주어졌다고 하자 (formula_181, formula_182, formula_183는 변 formula_5, formula_6, formula_7 위의 점이다). 이를 차례로 직선 formula_6, formula_400, formula_401, formula_402, formula_403에 대하여 반사시켜 삼각형 formula_404와 내접 삼각형 formula_405, 삼각형 formula_406와 내접 삼각형 formula_407, 삼각형 formula_408와 내접 삼각형 formula_409, 삼각형 formula_410와 내접 삼각형 formula_411, 삼각형 formula_412와 내접 삼각형 formula_413를 얻는다고 하자. 그렇다면 선분 formula_414는 선분 formula_7를 평행 이동시킨 상이다. 벡터 formula_416는 이에 대응하는 평행 이동 벡터이므로 내접 삼각형 formula_351의 선택과 무관하다. 꺾인 선 formula_418는 내접 삼각형 formula_351의 둘레의 2배를 길이로 하며, 이 꺾인 선이 직선이 될 필요 충분 조건은 삼각형 formula_351가 수심 삼각형 formula_306라는 것이다. 따라서 예각 삼각형 formula_1의 최소 둘레의 내접 삼각형은 수심 삼각형 formula_306이다.
수심축.
삼각형 formula_1의 꼭짓점 formula_2, formula_3, formula_4에서 대변에 내린 수선의 발을 formula_63, formula_12, formula_13라고 하고, 직선 formula_431와 formula_5의 교점을 formula_181, 직선 formula_434와 formula_6의 교점을 formula_182, 직선 formula_437와 formula_7의 교점을 formula_183라고 하자. 그렇다면 formula_181, formula_182, formula_183는 한 직선 위의 점이다. 이 직선을 삼각형 formula_1의 수심축()이라고 한다.
편의상 삼각형 formula_1가 예각 삼각형이라고 하자. 그렇다면 각 변 formula_5, formula_6, formula_7는 수심 삼각형 formula_306의 외각 이등분선이다. 따라서
이며, 메넬라오스 정리에 따라 점 formula_181, formula_182, formula_183는 공선점이다.
수심계.
평면 위의 세 점 formula_2, formula_3, formula_4가 주어졌다고 하자. 만약 세 점이 한 직선 위의 점이라면, 세 점을 꼭짓점으로 하는 삼각형은 존재하지 않는다. 만약 세 점이 한 직선 위의 점이 아니며 삼각형 formula_1가 직각 삼각형이라면, 수심 formula_9는 직각의 꼭짓점과 일치한다. 만약 세 점이 한 직선 위의 점이 아니며 삼각형 formula_1가 직각 삼각형이 아니라면, formula_2, formula_3, formula_4와 수심 formula_9는 어느 세 점도 한 직선 위에 있지 않으며, formula_2, formula_3, formula_4 역시 각각 삼각형 formula_466, formula_467, formula_468의 수심이다. 이 경우 네 점 formula_2, formula_3, formula_4, formula_9가 수심계(垂心系, )를 이룬다고 한다. 수심계 속 네 점의 지위는 동등하다. 즉, 네 점이 수심계를 이루는지 여부는 네 점의 순서와 무관하다.
점 formula_9가 삼각형 formula_1의 수심인 것은 직선 formula_20, formula_56, formula_57는 각각 직선 formula_5, formula_6, formula_7의 수선인 것과 동치이다. 이는 점 formula_2, formula_3, formula_4, formula_9 가운데 임의의 두 점을 잇는 직선이 남은 두 점을 잇는 직선의 수선인 것과 동치이며, 따라서 이 조건에서 네 점 formula_2, formula_3, formula_4, formula_9의 순서를 바꿔도 이 조건은 변하지 않는다. 즉, 점 formula_9 대신 남은 세 점 formula_2, formula_3, formula_4 가운데 하나를 수심으로 삼아도 원래 조건과 동치이다.
수심계 formula_2, formula_3, formula_4, formula_9 속 네 삼각형 formula_1, formula_468, formula_467, formula_466의 수심 삼각형과 구점원은 일치하며, 외접원의 반지름은 같다. 또한 네 삼각형 가운데 정삼각형이 아닌 것들의 오일러 직선은 한 점에서 만난다.
네 점 formula_2, formula_3, formula_4, formula_9가 각각 3가지 방식으로 둘씩 짝을 지어 만든 두 직선 formula_20와 formula_5, formula_56와 formula_6, formula_57와 formula_7의 교점을 formula_63, formula_12, formula_13라고 하자. 그렇다면 삼각형 formula_306는 네 삼각형의 공통 수심 삼각형이다. 따라서 수심계 속 네 삼각형의 공통 수심 삼각형의 외접원은 네 삼각형의 공통 구점원이다. 네 삼각형의 외접원의 반지름은 공통 구점원의 반지름의 2배이며, 네 삼각형 가운데 정삼각형이 아닌 것들의 오일러 직선은 공통 구점원의 중심을 지난다.
드로츠파르니 직선.
삼각형 formula_1의 수심 formula_9에서 직교하는 두 직선이 직선 formula_517와 점 formula_518, formula_519에서, 직선 formula_6와 점 formula_521, formula_522에서, 직선 formula_7와 점 formula_524, formula_525에서 만난다고 하자. 그렇다면 선분 formula_526, formula_527, formula_528의 중점 formula_181, formula_182, formula_183는 한 직선 위의 점이다. 이 직선을 삼각형 formula_1의 드로츠파르니 직선()이라고 한다.
테일러 원.
삼각형 formula_1의 각 꼭짓점 formula_2, formula_3, formula_4를 지나는 대변의 수선의 발을 formula_63, formula_12, formula_13라고 하고, 발 formula_63, formula_12, formula_13을 지나는 변 formula_7와 formula_6, formula_5와 formula_7, formula_6와 formula_5의 수선의 발을 각각 formula_228와 formula_269, formula_128와 formula_552, formula_553와 formula_554라고 하자. 그렇다면 6개의 점 formula_228와 formula_269, formula_128, formula_552, formula_553, formula_554는 한 원 위의 점이다. 이 원을 삼각형 formula_1의 테일러 원()이라고 한다. 테일러 원은 터커 원의 특수한 경우이다.
편의상 삼각형 formula_1가 예각 삼각형이라고 하자. 삼각형 formula_1의 내접 비단순 육각형 formula_564가 터커 원의 조건을 만족시킴을 보이는 것으로 충분하다. 대칭성에 따라 formula_565와 formula_566가 각각 formula_5의 반평행선과 평행선임을 보이면 된다.
우선 formula_565와 formula_5가 반평행함을 증명하자. 사각형 formula_570가 내접 사각형이므로 원주각의 성질에 따라
이므로 formula_565는 반평행선이다.
이제 formula_566가 formula_5와 평행함을 증명하자. formula_575와 formula_576가 반평행선이므로
이다. 따라서 formula_578임을 보이는 것으로 충분하며, 이는 formula_579를 보이면 된다. 삼각법에 따라
이다. 여기서 formula_583은 삼각형 formula_1의 외접원의 반지름이다. 사인 법칙에 따라 세 내각의 크기가 formula_585, formula_586, formula_587인 삼각형의 세 변의 길이의 비는 formula_588이므로, 코사인 법칙에 따라
이다. 이제 삼각형 formula_590에 코사인 법칙을 적용하면 다음을 얻는다.
이는 3개의 반평행선에서 formula_565를 선택한 것과 무관하다.