아핀 리 대수

리 대수 이론에서, 아핀 리 대수(affine Lie代數, )는 유한 차원 단순 리 대수 계수를 가진 로랑 다항식 대수에 중심 원소를 더하여 얻는 무한 차원 복소 리 대수다. 물리학의 등각 장론에서 중요한 역할을 한다. 카츠-무디 대수의 특별한 경우다.
정의.
아핀 리 대수의 개념은 다양한 방법으로 정의될 수 있다.
이 정의들은 서로 동치이다.
카츠-무디 대수로서의 정의.
아핀 리 대수는 카츠-무디 대수 가운데, 카르탕 행렬 formula_1가 양의 준정부호 행렬이지만 양의 정부호 행렬이 아닌 것들이다. 즉, 만약 아핀 리 대수 formula_2가 formula_3개의 단순근을 갖는다면, 그 카르탕 행렬은 formula_4 정사각 행렬이며 그 계수는 formula_5이다.
대수적 구성.
다음이 주어졌다고 하자.
그렇다면, 아핀 리 대수 formula_9는 formula_10-벡터 공간으로서 다음과 같다.
즉, formula_7의 계수를 가진 로랑 다항식 formula_13에 중심 확대 formula_14를 더한 것이다. 물리학적으로 formula_15는 대칭의 보존류들을 나타내고, formula_14는 대칭의 변칙을 나타낸다.
formula_9 위에는 다음과 같은 리 괄호를 정의한다. formula_18라고 하면,
formula_14는 중심 원소이므로, 리 대수의 짧은 완전열
이 존재한다.
형식적 변수 formula_23 대신, formula_24의 정규 직교 기저 formula_25를 잡아, 직접
를 적을 수 있다. 이 경우 리 괄호는 다음과 같다.
여기서 formula_29는 formula_24의 구조 상수이다.
실수 형태.
formula_7가 실수 이차 리 대수 formula_32의 복소화라고 하자. 그렇다면,
복소수 아핀 리 대수 formula_7는 실수 리 대수로서 다음과 같은 자기 동형을 갖는다.
즉, 이는 두 복소수 벡터 공간 사이의 반선형() 사상이다. 이 반선형 사상의 고정점
은 실수 리 대수를 이룬다.
미분 연산의 추가.
복소수 벡터 공간
위에 다음과 같은 리 괄호를 정의할 수 있다.
즉,
이다. 만약 형식적으로 formula_43로 놓는다면,
가 된다.
또한,
이므로, 이 미분 연산은 실수 형태 formula_47에도 잘 정의된다.
뒤틀린 아핀 리 대수.
formula_48를 원 위의 푸리에 급수로 해석할 수 있다. 즉, formula_49로 놓으면, formula_48를 주기적 함수 formula_51로 해석할 수 있다. 즉, formula_52의 주기적 경계 조건을 놓은 경우다.
만약 formula_24가 자명하지 않은 자기 동형 formula_54를 가진다면, 다음과 같은 경계 조건을 생각할 수 있다.
이와 같은 경우를 뒤틀린 아핀 리 대수()라고 한다. 마찬가지로 뒤틀린 카츠-무디 대수()를 정의할 수 있다.
아핀 리 대수의 기하학적 정의.
아핀 리 대수는 기하학적으로 리 대수 값의 주기 함수를 통해 구성될 수 있다.
구체적으로, 킬링 형식이 음의 정부호인 실수 단순 리 대수 formula_24가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 실수 프레셰 공간
을 정의할 수 있다. 이는 formula_24값의 매끄러운 주기 함수로 구성된다. 그 위의 실수 벡터 공간 구조는 점별 덧셈이며, 점별 리 괄호를 부여하면 이는 리 대수를 이룬다. 그 복소화는 (푸리에 급수로서) 다음과 같은 부분 벡터 공간을 갖는다.
이 경우, 우변을 좌변의 (프레셰 공간으로의) 완비화로 여길 수 있다. 실수 계수로는, 이는
이다.
고리 리 대수 formula_62의 리 대수 코호몰로지에서, 다음과 같은 2차 공사슬이 존재한다.
여기서
이 2차 공사슬은 리 대수의 짧은 완전열
을 정의한다. 이 경우, formula_2에 대응하는 뒤틀리지 않은 아핀 리 대수 formula_76는 자연스럽게 다음과 같이 formula_77의 부분 리 대수가 된다.
리 군의 기하학적 정의.
실수 계수 아핀 리 대수의 프레셰 공간 완비화는 어떤 프레셰 다양체인 리 군의 리 대수이다.
구체적으로, 단일 연결 콤팩트 단순 리 군 formula_79와 그 실수 리 대수 formula_24가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 고리군을 정의할 수 있다.
즉, 이는 formula_79값의 매끄러운 주기 함수의 공간이다. 이는 프레셰 다양체를 이루며, 점별 곱셈을 통하여 위상군을 이룬다.
아핀 리 대수는 formula_83의 중심 확대이다. 위상군으로서, 이는 짧은 완전열
에 해당한다. 위상수학적으로, 이는 U(1) 주다발을 이룬다.
구체적으로, 원판 formula_85를 생각하자. 이제,
이다. 여기서 formula_89는 일종의 게이지 변환군으로 여길 수 있다. 이제, formula_90 위의 다음과 같은 함수를 생각하자.
여기서
그렇다면,
는 (자명한 계수의) formula_100의 군 코호몰로지의 2차 공사슬을 이루며, 이는 formula_90의 중심 확대
를 정의한다. 
이제, 임의의 formula_103에 대하여,
를 정의할 수 있다. 여기서
는 formula_108의, 3차원 공 formula_109으로의 임의의 확장이다. 이 경우, 위 표현이 formula_110의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다. 이 사상은 사실상 베스-추미노-위튼 모형의 작용의 항에 해당한다.
이 사상은 단사 함수이자 군 준동형이며, formula_111는 formula_112의 정규 부분군이다. 따라서, 몫군
을 정의할 수 있다. 이는 짧은 완전열
을 구성한다. (정수 formula_115은 formula_76의 표현의 준위에 해당한다.) 정의에 따라, formula_117의 리 대수는 (formula_118일 경우, formula_5의 값에 상관없이) formula_76이다.
성질.
아핀 리 대수는 항상 대칭화 가능 카츠-무디 대수이다. 카르탕 행렬의 대칭 성분은 중복수 1의 고윳값 0을 가지며, 나머지 고윳값들은 모두 양수이다. 따라서, 아핀 리 대수의 카르탕 행렬식은 항상 0이다. 카르탕 행렬의 대칭 성분의 나머지 고윳값들은 그 기본 단순 리 대수의 것들과 같다.
콕서터 수와 쌍대 콕서터 수.
아핀 리 대수 formula_2의 단순근들이 formula_122이며, 단순 쌍대근들이 formula_123라고 하자. 콕서터 라벨() formula_124와 쌍대 콕서터 라벨() formula_125는 카르탕 행렬 formula_1에 대하여
를 만족시키는 벡터이다. 이 경우, formula_128 및 formula_129의 모든 성분들이 양의 정수이며 최대 공약수가 1이게 정의한다.
아핀 리 대수의 콕서터 수() formula_130와 쌍대 콕서터 수() formula_131는 각각 (쌍대) 콕서터 라벨의 성분들의 합이다.
아핀 리 대수 formula_2의 표준 중심 원소(標準中心元素, ) formula_135는 다음과 같이 정의되는, 카르탕 부분 대수 formula_136의 원소이다.
그렇다면, formula_2의 중심은 1차원 부분 대수
이다. 마찬가지로,
를 정의하자.
근계의 구조.
아핀 리 대수 formula_2의 기본 단순 리 대수가 formula_24라고 하자. formula_143가 아핀 리 대수를 구성할 때 사용한 자기 동형의 차수라고 하자. 예를 들어, formula_144의 경우, formula_145이다. 그렇다면, formula_2의 실근들의 집합 formula_147는 구체적으로 다음과 같다.
formula_2의 허근들의 집합 formula_150는 다음과 같다.
(영벡터는 정의에 따라 근이 아니다.) 또한, formula_152는 항상 양근이다. 즉, 양의 허근들의 집합은 다음과 같다.
기본 단순 리 대수.
단순근들의 순서를 임의로 잡았을 때, formula_2의 축척 원소() formula_155는 다음 성질을 만족시키는, 카르탕 부분 대수의 원소이다.
축척 원소를 선택하였다면, formula_2와 그 카르탕 부분 대수 formula_136는 다음과 같은 구체적인 기저로 나타낼 수 있다.
formula_161에서, formula_162 및 formula_163에 수직이 되는 부분 공간을 formula_164라고 하자.
아핀 리 대수 formula_2의 슈발레 생성원을
이라고 하자. 그렇다면, 아핀 리 대수 formula_2의 기본 단순 리 대수() formula_169는 formula_164 및 formula_171로 생성되는 리 부분 대수이다. 이는 항상 유한 차원 단순 리 대수이며, 기본 단순 리 대수 formula_24의 카르탕 부분 대수는 formula_164이며, 그 근계 및 쌍대 근계는
이며, 그 단순근 및 단순 쌍대근들은 각각
이다.
바일 군.
아핀 리 대수 formula_2의 바일 군 formula_179은 아핀 콕서터 군이며, 그 기본 단순 리 대수 formula_24의 바일 군 formula_181과 어떤 자유 아벨 군의 반직접곱이다.
여기서
는 formula_164 속의 격자(의 병진 이동군)이다. 여기서, 단순 리 대수의 근계에 주어진 내적을 사용하여 동형 formula_185를 암묵적으로 사용하였다.
표현론.
formula_186의 유한 차원 유니터리 표현
이 주어졌으며, 자연수 formula_188가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 아핀 리 대수 formula_76에서, 포함 관계 formula_190에 대하여
이며
가 되는, 무한 차원 분해 가능 복소수 힐베르트 공간으로 가는 기약 표현
이 유일하게 존재한다.
스가와라 구성.
단순 리 대수 formula_186에 대응되는 (뒤틀리지 않은) 복소수 아핀 리 대수 formula_195의 표현 formula_196가 주어졌다고 하자.
이 경우, formula_196에 다음과 같은 비라소로 대수의 표현이 존재한다.
이를 스가와라 구성([菅原]構成, )이라고 한다. 여기서
보다 일반적으로, 반단순 리 대수 formula_24의 표현 formula_196 및 부분 단순 리 대수 formula_210가 주어졌다고 하자. 그렇다면, formula_76에 대응하는 스가와라 구성
및 formula_213에 대응하는 스가와라 구성
이 주어진다. 이 경우,
를 정의하면, 이는 비라소로 대수의 유니터리 표현을 이룬다. 이를 공액류 구성() 또는 고더드-켄트-올리브 구성() 또는 GKO 구성()이라고 한다.
이를 통하여 비라소로 대수의 모든 formula_217 유니터리 표현을 구현할 수 있다. 구체적으로, formula_218 유니터리 표현을 구현하려면,
를 취하면 된다. 여기서 formula_221는 formula_222의 대각 성분이다. 이 경우
이므로,
임을 계산할 수 있다.
분류.
단순 아핀 리 대수들 및 그 딘킨 도표들은 다음과 같다. 아래 표에서, "긴 실근의 동치류 수"는 근 formula_226에서, formula_152를 더한 것을 무시한 동치류들의 수 가운 데, 긴 근 및 짧은 근들의 수이다. (formula_228의 경우 근의 길이가 세 종류가 있으며, 이 경우 중간 길이 및 가장 짧은 길이의 근들의 수를 "짧은 근"에 표기하였다.) 이 경우 긴 근의 길이는 항상 formula_229로 규격화하였고, 짧은 근의 길이는 이에 비례하여 측정하였다.
딘킨 그림에서, 4중 화살표 (즉, 카르탕 행렬에서 formula_230인 경우)는 formula_231 및 formula_232로 표기하였다. 이 경우 formula_233인 경우는 formula_232이며, formula_235인 경우는 formula_231이다.
아핀 리 대수의 카르탕 행렬은 딘킨 도표에서 하나의 꼭짓점을 제거하여 얻는 단순 리 대수의 카르탕 행렬 및 콕서터 라벨 · 쌍대 콕서터 라벨로 재구성할 수 있다.
Ã"n".
formula_237일 경우, formula_238의 카르탕 행렬은 다음과 같은 formula_4 대칭 정사각 행렬이다.
formula_241의 카르탕 행렬은 다음과 같다.
formula_238의 딘킨 도표는 formula_237일 경우 formula_3개의 꼭짓점을 갖는 순환 그래프이다.
Ã2"n"(2).
formula_237일 때, formula_228의 카르탕 행렬은 다음과 같은 formula_4 비대칭 정사각 행렬이다.
여기서 행·열 formula_250의 순서는 다음과 같다.
formula_252의 카르탕 행렬은 다음과 같다.
여기서 행·열 0, 1의 순서는 다음과 같다.
G̃2와 D̃4(3).
formula_255의 카르탕 행렬은 다음과 같다.
여기서 행·열 0, 1, 2의 순서는
이다.
formula_144의 카르탕 행렬은 다음과 같다.
여기서 행·열 0, 1, 2의 순서는
이다.
예.
formula_261가 1차원 아벨 리 대수라고 하자. 그렇다면, 그 로랑 다항식 대수
역시 아벨 리 대수이다. 이 경우, 중심 확대
에서
이 된다. 이 경우,
로 놓으면,
가 되어, 이는 무한 차원 하이젠베르크 리 대수와 (formula_270으로 생성되는) 1차원 아벨 리 대수의 직합이 된다. 특히, 이는 무한 차원 보손 포크 공간 formula_271 위에 표준적으로 작용한다.
이 경우, 스가와라 구성은 다음과 같다.
물리학적으로, 이는 자유 보손에 대한 2차원 등각 장론에 해당한다.
역사.
아핀 리 대수는 (다른 카츠-무디 대수와 함께) 빅토르 카츠와 로버트 무디()가 발견하였다. ‘아핀’이라는 이름은 그 바일 군이 근계에 아핀 변환으로 작용하기 때문이다.
스가와라 구성은 스가와라 히로타카()가 1968년에 발견하였다. 공액 구성은 피터 고더드(, 1945〜) · 에이드리언 켄트() · 데이비드 올리브(, 1937〜2012)가 1985년에 발견하였다.