베르 공간

일반위상수학에서 베르 공간(Baire空間, )은 가산 개의 조밀 열린집합들의 교집합이 조밀할 수 있도록, ‘충분한 수의’ 점들을 갖는 위상 공간이다.
정의.
쇼케 게임.
공집합이 아닌 위상 공간 formula_1가 주어졌을 때, 다음과 같은 2인(人) 게임을 생각하자.
이를 쇼케 게임() formula_8이라고 한다.
공집합이 아닌 위상 공간 formula_1가 주어졌을 때, 다음과 같은 2인(人) 게임을 생각하자.
이를 강한 쇼케 게임() formula_17이라고 한다.
베르 공간과 쇼케 공간.
위상 공간 formula_1에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 베르 공간이라고 한다.
조건 ㈀ ⇒ 조건 ㈂: formula_1가 조건 ㈀을 만족시키며, formula_21가 제1 범주 열린집합이라고 하자. formula_22이며, formula_23가 조밀한 곳이 없는 집합이라고 하자. 그렇다면 formula_24이다.
조건 ㈂ ⇒ 조건 ㈃: formula_1가 조건 ㈀을 만족시키며, formula_21가 제1 범주 집합이라고 하자. 그렇다면, formula_27는 제1 범주 열린집합이다. 따라서, formula_28이다. 따라서 formula_29는 조밀 집합이다.
조건 ㈃ ⇒ 조건 ㈁: formula_1가 조건 ㈃을 만족시키며, formula_31가 조밀 열린집합들의 열이라고 하자. 그렇다면, formula_32는 제1 범주 집합이다. 따라서, formula_33는 조밀 집합이다.
조건 ㈁ ⇒ 조건 ㈄: 쇼케 게임 formula_8의 합법적인 수들로 구성된 나무를 formula_35로 쓰자. formula_8에서 갑의 필승 전략 formula_37가 주어졌다고 하자. 즉, formula_37는 함수이며, 다음 두 조건을 만족시킨다.
그렇다면, formula_44에서 조건 ㈁이 거짓임을 보이면 족하다.
라고 쓰자. 초른 보조정리에 따라, 임의의 formula_46에 대하여, formula_47가 다음 두 조건을 만족시키는 극대 집합족이라고 하자.
그렇다면, formula_51은 formula_52의 조밀 집합이다. (만약 formula_53가 formula_52의 공집합이 아닌 열린집합이며, formula_51와 서로소라면, formula_56가 위 두 조건을 만족시키므로, 모순이다.) 이제,
라고 하자. 그렇다면, 각 formula_59는 formula_60의 조밀 집합이다. 따라서, 각 formula_59는 formula_62의 조밀 열린집합이다. 따라서, formula_63을 보이면 족하다. 귀류법을 사용하여, formula_64라고 가정하자. 그렇다면, 나무 formula_65에서, 각 formula_66에 대하여 formula_67인 극대 사슬 formula_68을 취할 수 있다. 이 경우 formula_69이며, 이는 formula_37가 갑의 필승 전략인 것과 모순이다.
조건 ㈄ ⇒ 조건 ㈀: formula_71가 내부가 공집합인, formula_1의 닫힌집합들의 열이지만, formula_73의 내부가 공집합이 아니라고 하자. 그렇다면, 쇼케 게임 formula_8에서 갑의 필승 전략을 찾으면 족하다. 지금까지 둔 수가 formula_75일 때, 갑이 formula_76를 두는 갑의 전략을 생각하자. (formula_77의 내부가 공집합이므로, 반드시 formula_78이다.) 그렇다면, formula_79이므로, formula_80이다. 즉, 이는 갑의 필승 전략이다.
위상 공간 formula_1가 공집합이거나, 또는 그 쇼케 게임에서 을이 필승 전략을 갖는다면, formula_1를 쇼케 공간(Choquet空間, )이라고 한다. 위상 공간 formula_1가 공집합이거나, 또는 그 강한 쇼케 게임에서 을이 필승 전략을 갖는다면, formula_1를 강한 쇼케 공간(Choquet空間, )이라고 한다. 따라서, 모든 쇼케 공간은 베르 공간이며, 모든 강한 쇼케 공간은 쇼케 공간이나, 그 역은 성립하지 않는다. 즉, 공집합이 아닌 위상 공간들은 그 쇼케 게임의 성질에 따라서 다음과 같이 세 종류로 분류된다.
성질.
베르 공간의 공집합이 아닌 열린집합은 제1 범주 집합이 아니다. 특히, 공집합이 아닌 베르 공간의 제1 범주 집합의 여집합은 공집합이 아니다.
함의 관계.
베르 범주 정리(Baire範疇定理, )는 어떤 위상 공간이 베르 공간이 될 충분조건을 제시하는 두 개의 정리를 일컫는다.
제1 베르 범주 정리의 증명:
완비 거리 공간 formula_85 속의 조밀 열린집합들의 열 formula_31 및 임의의 점 formula_87 및 양의 실수 formula_88가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
인 formula_90가 존재함을 보이면 족하다.
이제, formula_91는 모두 조밀 열린집합이므로
인 점렬 formula_94 및 양의 실수열 formula_95을 고를 수 있다.
그렇다면, formula_96는 코시 열이므로 극한 formula_97를 가지며, 정의에 따라
이다.
제2 베르 범주 정리의 증명:
국소 콤팩트 하우스도르프 공간 formula_1의 조밀 열린집합들의 열 formula_31 및 임의의 공집합이 아닌, 그 폐포가 콤팩트 집합인 열린집합 formula_101가 주어졌다고 하자. 그렇다면, formula_102가 공집합이 아님을 보이면 족하다.
이제, 국소 콤팩트 하우스도르프 공간에서 모든 점은 상대 콤팩트 근방들로 구성된 국소 기저를 가지므로, 다음 조건들을 만족시키는 열린집합들의 열 formula_103을 다음과 같이 고를 수 있다.
이제 칸토어 교점 정리에 의하여
는 공집합이 아니다.
제1 베르 범주 정리를 증명하기 위해서는 의존적 선택 공리가 필요하다.
사실, 모든 완비 거리화 가능 공간과 모든 국소 콤팩트 차분한 공간은 강한 쇼케 공간이다. (“국소 콤팩트 차분한 공간”에서, “국소 콤팩트”는 모든 점이 콤팩트 국소 기저를 갖는 조건을 일컫는다.) 즉, 다음이 성립한다.
국소 콤팩트 차분한 공간 formula_1의 쇼케 게임을 생각하자. 갑이 둔 수가 formula_10일 때,
인 콤팩트 포화 집합 formula_111와 열린집합 formula_53를 찾을 수 있다. 이 경우 을이 formula_113를 수로 둔다고 하자. 을이 이러한 전략을 취했을 때, 갑과 을이 둔 수들의 교집합은 어떤 콤팩트 포화 집합의 하강 열의 교집합과 같다. 차분한 공간에 대한 칸토어 교점 정리에 의하여, 이는 공집합이 아니다. 즉, 이 전략은 을의 필승 전략이다.
연산에 대한 닫힘.
베르 공간의 임의의 열린집합은 베르 공간이다. 마찬가지로, 쇼케 공간의 열린집합은 쇼케 공간이다. 그러나 베르 공간의 닫힌집합은 베르 공간이 아닐 수 있다.
formula_1가 베르 공간이며 formula_2가 열린집합이며, formula_116이 formula_117의 조밀 열린집합의 열이라고 하자. 그 교집합이 formula_117의 조밀 집합임을 보이면 족하다.
formula_119은 formula_1의 조밀 열린집합의 열이다. (이는
이기 때문이다.) 따라서 그 교집합
은 formula_1의 조밀 집합이다. 따라서
는 formula_117의 조밀 집합이다 (formula_126).
베르 공간 조건은 국소적이다. 즉, 위상 공간 X의 모든 점들이 베르 근방을 가질 때 X도 베르 공간이 된다.
베르 공간들의 곱공간은 베르 공간이 아닐 수 있다. 그러나 쇼케 공간들의 곱공간은 항상 쇼케 공간이다.
formula_1가 베르 공간, formula_128가 거리화 가능 공간이라 하자. 이때 연속 함수들의 열 formula_129(formula_66)이 어떤 함수 formula_131로 점별 수렴한다면, formula_132가 연속 함수인 점들의 집합은 formula_1의 조밀 집합이다.
예.
공집합은 (자명하게) 베르 공간이다.
무리수 집합은 베르 공간이다.
모든 하우스도르프 국소 유클리드 공간은 (국소 콤팩트 공간이므로) 베르 공간이다.
모든 폴란드 공간은 (완비 거리화 가능 공간이므로) 베르 공간이다.
연속 함수 공간.
연속 함수의 집합 formula_134 위에 거리 함수 formula_135를 주면, 이는 완비 거리 공간이며, 따라서 베르 공간이다.
적어도 한 점에서 미분 가능한 formula_136 연속 함수의 집합은 formula_137 안에서 제1 범주 집합임을 보일 수 있다. 따라서, 그 여집합은 공집합이 아니다. 이는 어떤 점에서도 미분 가능하지 않은 함수의 예이다.
유리수에서만 연속인 함수의 부재.
실수선 formula_138는 완비 거리 공간이자 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이며, 따라서 베르 공간이다.
formula_139가 조밀 집합이며, 함수 formula_140가 formula_141에서 연속 함수라고 하자. 이 경우, formula_132가 연속이 아닌 실수들의 집합은 제1 범주 집합이다. 무리수의 집합은 제1 범주 집합이 아니므로, 유리수에서만 연속인 함수는 존재하지 않는다.
극대 원소 집합.
연속 dcpo formula_143 위에 스콧 위상을 부여하였을 때, 그 극대 원소의 집합 formula_144는 강한 쇼케 공간이며, 특히 베르 공간이다.
역사.
실수선 위의 베르 범주 정리는 미국의 수학자 윌리엄 포그 오스굿(, 1864~1943)이 1896년 8월에 최초로 발표하였다.
이후 이와 독자적으로 프랑스의 수학자 르네루이 베르가 1899년 박사 학위 논문에서 유클리드 공간에서의 베르 범주 정리와 제1 범주 집합의 개념을 도입하였다.
쇼케 게임은 귀스타브 쇼케(, 1915~2006)가 1958년에 도입하였다.