제트 (수학)

미분기하학에서 제트()는 어떤 매끄러운 함수 또는 단면의 테일러 급수를 유한 차수로 절단한 것이다. 제트는 제트 다발()이라는 올다발의 단면을 이룬다. (그러나 제트가 아닌 제트 다발의 단면이 존재한다.)
정의.
formula_1차원 매끄러운 다양체 formula_2 위의 올다발 formula_3이 주어졌다고 하자. 또한, formula_4의 올 역시 formula_5차원의 매끄러운 다양체라고 하자.
점 formula_6의 근방에 정의되는, formula_4의 매끄러운 단면의 공간을 formula_8라고 표기하자.
제트.
formula_4의 두 매끄러운 국소 단면 formula_10이 formula_6에서 같은 formula_12차 제트()를 갖는다는 것은 다음과 동치이다.
즉, formula_6에서의 formula_12차 제트는 위 동치 관계에 대한 동치류이다. 매끄러운 국소 단면 formula_20의 formula_6에서의 formula_12차 제트를 formula_23로 표기한다.
제트 공간.
임의의 formula_6에 대하여, formula_12차 제트들의 집합 formula_26에는 다음과 같이
차원의 매끄러운 다양체의 구조를 줄 수 있다. formula_2의 formula_29에서의 국소 좌표계 formula_30 및 이를 확장하는 formula_4의 formula_32에서의 국소 좌표계 formula_33가 주어졌다면,
는 formula_26의 국소 좌표계를 정의한다. formula_26를 formula_4의 formula_12차 제트 공간(formula_12次jet空間, )이라고 한다.
formula_12차 제트 공간에서 formula_41차 제트 공간으로 가는 자연스러운 사영 사상이 존재한다.
그러나 formula_43차 제트 공간에서 formula_44차 제트 공간으로 가는 포함 사상은 국소 좌표계에 의존하므로 자연스럽지 않다.
제트 다발.
formula_2 위에, formula_12차 제트 공간 formula_26을 올로 하는 자연스러운 올다발을 정의할 수 있다. 이를 formula_12차 제트 다발 formula_49이라고 한다. 즉, 제트 다발 formula_50의 전체 공간은 formula_51차원이다.
자연스러운 사영 formula_52이 존재하므로, 이는 formula_4 위의 올다발로도 여길 수 있다. 또한, 자연스러운 사상
이 존재한다. formula_56를 formula_43의 formula_12차 제트 연장(formula_12次jet延長, )이라고 한다.
제트 연장 사상은 일반적으로 전사 함수가 아니다. 즉, 모든 제트는 제트 다발의 단면이지만, 제트가 아닌 제트 다발의 단면이 존재한다.
무한 제트 다발.
제트 다발 사이에는 사영 사상
이 존재한다. 이에 대한 역극한
을 무한 제트 다발()이라고 한다. 이는 무한 차원이므로 매끄러운 다양체가 아니지만, 자연스럽게 미분학적 공간()의 구조를 줄 수 있다.
편미분 방정식.
매끄러운 다양체 위의 편미분 방정식의 개념은 제트 다발로 엄밀하게 다룰 수 있다. 구체적으로, 매끄러운 다양체 formula_2 위의, 올다발 formula_4의 단면에 대한 formula_12차 편미분 방정식은 formula_12차 제트 다발 formula_50의 매끄럽게 매장된 부분 다양체 formula_67이다. 편미분 방정식 formula_68의 해(解, )는 제트 연장 formula_69의 상 formula_70이 formula_68에 속하는, formula_4의 매끄러운 단면 formula_73이다.
변분 이중 복합체.
무한 제트 다발 formula_75은 미분학적 공간()의 구조를 가지므로, 그 위에 미분 형식을 정의할 수 있다. formula_75 위의 미분 형식 공간 formula_77에서, 차수 formula_78은 다음과 같은 두 성분으로 분해된다.
따라서,
가 된다. 이를 formula_84의 변분 이중 복합체(變分二重複合體, )라고 한다. 또한, 미분 형식의 외미분 formula_85 역시 수평 방향 formula_86와 수직 방향 formula_87로 분해할 수 있다.
이 구조는 변분법에서 핵심적인 역할을 한다.
예를 들어, formula_1차원 시공간 formula_2 위의 라그랑주 고전 장론을 변분 이중 복합체의 언어로 서술하면 다음과 같다. 우선, 장은 어떤 올다발 formula_84의 단면 formula_94이 되고, 라그랑지언 밀도는 미분 형식 formula_95이다. 이를 시공간 위에 적분하면 작용
을 얻으며, 오일러-라그랑주 방정식은
가 된다.
성질.
올다발 formula_84 위의 변분 이중 복합체를 사용하여, 다음과 같은 오일러-라그랑주 복합체()를 정의할 수 있다.
여기서
는 formula_102을 0번째 쪽으로 하는 스펙트럼 열의 1번째 쪽의 성분이며, 자연스럽게 포함 관계
가 존재한다.
오일러-라그랑주 복합체는 공사슬 복합체를 이루며, 그 코호몰로지는 올다발의 전체 공간 formula_4의 드람 코호몰로지와 동형이다.
예.
0차 제트.
임의의 올다발
의 0차 제트 다발은 formula_4이다.
즉, 0차 제트 연장은 항등 함수이다.
자명한 올다발의 1차 제트.
자명한 올다발
의 1차 제트 다발을 생각하자. 자명한 올다발의 매끄러운 단면은 매끄러운 함수와 같다.
매끄러운 함수 formula_111의 1차 제트는 함수의 미분이다.
여기서 formula_113 및 formula_114은 각각 공변접다발과 접다발이다.
따라서, 자명한 올다발의 1차 제트 다발은
이다. 여기서
는 곱공간의 자연스러운 사영 사상이며, formula_118은 이러한 사영 사상에 대한 벡터 다발의 당김이다.
특히, formula_119일 경우
이며, 반대로 formula_121일 경우
이다. 후자에서 formula_123인 경우는 자연스럽게 접촉다양체를 이룬다. 구체적으로, formula_124의 국소 좌표계 formula_125를 잡는다면, 접촉 형식은 다음과 같다.
일반적 올다발의 1차 제트.
올과 밑공간이 매끄러운 다양체인 올다발
을 생각하자. 이 경우, 올다발의 접다발 formula_130의 자연스러운 부분 다발인 수직 다발() formula_131를 다음과 같이 정의할 수 있다.
즉, 올다발 formula_4의 수직 다발 formula_131의 올 formula_135는 formula_4의 올의 접공간이다.
formula_131는 formula_4 위의 formula_5차원 벡터 다발을 이룬다.
그렇다면, formula_84 위의 1차 제트 다발은 (formula_4 위의 올다발로서) 다음과 같다.
formula_144의 단면 formula_145는 (formula_146이므로) formula_4 위의 formula_131값의 1차 미분 형식을 정의한다. 또한, formula_145를 다발 사상 formula_150로 생각할 수 있다. 만약 이 다발 사상이 (각 올에서) 사영작용소를 이룰 경우, 그 핵 formula_151는 formula_4 위의 에레스만 접속을 이룬다. 즉,
가 되어, formula_154를 수평 다발로 여길 수 있다.
피복 공간의 제트.
formula_155겹 피복 공간
은 올이 formula_1개의 점의 이산 공간인 올다발이다. 이 경우, formula_84의 (충분히 작은) 매끄러운 국소 단면은 올의 한 점을 고르는 것과 같으며, 국소 자명화 아래 국소 단면은 국소 상수 함수가 되므로 임의의 formula_12에 대하여 formula_12차 제트는 0차 제트와 같은 정보를 담는다. 다시 말해,
가 된다.
역사.
제트의 개념은 샤를 에레스만이 도입하였다.