임펄스벡터

임펄스벡터(impulse vector)는 잔류진동(residual )을 제거하는 를 도해적으로 설계하거나 해석할 때 사용할 수 있는 수학적 도구이다. 임펄스벡터는 비감쇠시스템( system)과 부족감쇠시스템( system) 모두에 대해 사용할 수 있을 뿐 아니라, 양의 임펄스(positive )와 음의 임펄스(negative impulse)에 대해 동일한 방법으로 적용할 수 있다. 임펄스벡터를 사용하면 입력성형기의 임펄스시간(impulse time)과 임펄스크기(impulse magnitude)를 도해적으로 쉽게 구할 수 있다.
입력성형에 대한 벡터 개념은 양의 임펄스를 가진 비감쇠시스템에 대해 W. Singhose가 처음 제안하였다. 강철구(C.-G. Kang)는 이 Singhose의 벡터 개념을 일반화하여, 비감쇠시스템과 부족감쇠시스템, 그리고 양의 임펄스와 음의 임펄스에 적용할 수 있는 임펄스벡터를 제안하였다.
임펄스벡터의 정의.
비감쇠 고유진동수(undamped )가 formula_1, 감쇠비()가 formula_2인 이차시스템에 대해, formula_3에 해당하는 임펄스벡터 formula_4의 크기 formula_5와 각도 formula_6는 2차원 에서 다음과 같이 정의된다.
formula_7
formula_8
여기서 formula_9는 임펄스함수의 크기를, formula_10는 임펄스함수의 시간위치를 나타내고, formula_11는 감쇠고유진동수(damped natural frequency) formula_12을 의미한다. formula_13인 양의 임펄스에 대한 임펄스벡터는 시점이 극좌표계의 원점에 위치하고, 반면에 formula_14인 음의 임펄스에 대한 임펄스벡터는 종점이 극좌표계의 원점에 위치한다. □
formula_15
이 정의에서 임펄스벡터의 크기 formula_5는 formula_9에 시간 formula_10동안 감쇠영향을 곱한 것으로서, 감쇠되기 전 formula_9의 크기를 나타낸다. 각도 formula_6는 임펄스시간 formula_10에 감쇠고유진동수 formula_11를 곱한 값이다. formula_23는 시간 formula_10에 작용하는 디락델타함수() 를 나타낸다. 참고로, 임펄스함수는 순수한 수학적 양인데 비해, 임펄스벡터는 수학적 임펄스함수에 추가적으로 물리량인 formula_1과 formula_2를 내포하고 있다. 두개 이상의 임펄스벡터를 하나의 극좌표계에 표시한 것을 임펄스벡터선도(impulse vector diagram)라고 한다. 임펄스벡터선도는 임펄스열(impulse sequence)을 도해적으로 나타낸 것이라고 볼 수 있다.
오른쪽 그림과 같은 두 임펄스벡터 formula_27과 formula_28를 고려해보자. 임펄스벡터 formula_27은 양의 임펄스 formula_30에 해당하는 크기 formula_31과 각도 formula_32을 가지고 있고, 임펄스벡터 formula_28는 음의 임펄스 formula_34에 해당하는 크기 formula_35과 각도 formula_36를 가지고 있을 때, formula_27과 formula_28에 상응하는 두 시간응답은 마지막 임펄스시간 formula_39이후에 정확히 일치하므로, 벡터 더하기나 빼기에서 두 임펄스벡터 formula_27과 formula_28는 동일한 로 간주된다. 임펄스벡터는 교환법칙, 결합법칙, 스칼라곱에 대한 분배법칙을 만족한다.
임펄스벡터의 크기는 임펄스크기를 결정하고, 임펄스벡터의 각도는 임펄스시간을 결정한다. 임펄스벡터선도에서 1회전에 해당하는 각도 formula_42는 상응하는 임펄스응답의 1(감쇠주기)에 해당한다.
비감쇠시스템(formula_43)이면 임펄스벡터의 크기와 각도는 formula_44와 formula_45로 표현된다.
임펄스벡터의 성질.
성질 1. 두 임펄스벡터의 합벡터.
두 임펄스벡터의 합벡터에 상응하는 이차시스템의 임펄스응답()은 비감쇠시스템이든 부족감쇠시스템이든 관계없이, 두 임펄스벡터에 상응하는 두 임펄스입력을 가진 이차시스템의 응답과 최종 임펄스시간 이후에 동일하다. □
성질 2. 임펄스벡터의 합이 0인 경우.
임펄스벡터들의 합벡터가 0이면, 상응하는 임펄스열을 입력으로 가진 이차시스템의 시간응답은, 비감쇠시스템이든 부족감쇠시스템이든 관계없이, 마지막 임펄스시간 이후에 0이다. □
formula_15
전달함수()가 formula_47인 부족감쇠 이차시스템을 생각해보자. 이 시스템의 고유진동수는 formula_48 rad/s이고 감쇠비는 formula_49이다. 그림과 같은 두 임펄스벡터 formula_27과 formula_28에 대해 합벡터는 formula_52과 formula_53의 두가지로 표현될 수 있다. 합벡터 formula_52은 크기가 formula_55이고 시간이 formula_56인 음의 임펄스에 해당하는 임펄스벡터이고, formula_53는 크기가 formula_58이고 시간이 formula_59인 양의 임펄스에 해당하는 임펄스벡터이다.
합벡터 formula_52과 formula_53는 다음과 구해질 수 있다.
formula_62
formula_63
formula_64
참고로 formula_65이다. formula_52과 formula_53에 상응하는 임펄스응답 formula_68과 formula_69는, 오른쪽 그림 (b)의 녹색선에서 보듯이, 각각의 임펄스시간 이후에 formula_70와 정확히 일치한다.
이제 합벡터를 0으로 만들기 위해 formula_71에 세번째 임펄스벡터 formula_72을 그림과 같이 추가해보자. 임펄스벡터 formula_72은 다음과 같이 구해질 수 있다.
formula_74
임펄스벡터 formula_75에 상응하는 임펄스열을 이차시스템에 입력으로 가하면, 오른쪽 시간응답 (b)의 빨간선에서 보듯이, 마지막 임펄스시간 formula_76 이후에 잔류진동이 사라진다. 물론 합벡터를 0으로 만드는 임펄스벡터 formula_77도 존재할 수 있다. formula_77은 formula_72과 크기는 같으나 각도가 formula_80 만큼 더 커서, 상응하는 시간응답은 반주기 더 지나서 잔류진동을 제거한다.
적용: 임펄스벡터를 이용한 입력성형기 설계.
ZVD"n" 성형기.
임펄스벡터를 사용하면, 잘 알려진 기존의 ZV 성형기(zero vibration shaper), ZVD 성형기(zero vibration and derivative shaper), ZVD"n" 성형기 등을 쉽게 재설계할 수 있다.
ZV 성형기는 두개의 임펄스벡터로 구성된다. 임펄스벡터선도에서 첫번째 임펄스벡터는 0°에, 두번째 임펄스벡터는, 합벡터 formula_81이 되도록, 180°에 위치시킨다. 그러면 다음 식이 성립한다.
formula_82
formula_83
그리고  정규화조건 formula_84이 만족되어야 하므로 다음과 같이 쓸 수 있다.
formula_85
따라서 ZV 성형기 formula_86는 다음과 같이 주어진다.
formula_87
ZVD 성형기는 세개의 임펄스벡터로 구성된다. 임펄스벡터선도에서 벡터합이 formula_88이 되도록 첫번째 임펄스벡터는 0 rad에, 두번째 임펄스벡터는 formula_80 rad에, 세번째 임펄스벡터는 formula_42 rad에 두되, 크기비를 formula_91로 둔다. 그러면 다음과 같이 쓸 수 있다.
formula_92
formula_93
그리고 formula_94이어야 하므로, 다음과 같이 쓸 수 있다.
formula_95
따라서 ZVD 성형기 formula_96는 다음과 같이 주어진다.
formula_97
ZVD2 성형기는 4개의 임펄스벡터로 구성된다. 벡터합이 formula_98이 되도록, formula_99은 0 rad에, formula_100는 formula_101 rad에, formula_102은 formula_42 rad에, formula_104는 formula_105 rad에 두되, 크기비를 formula_106로 둔다. 그러면 다음과 같이 쓸 수 있다.
formula_107
formula_108
그리고 formula_109이어야 하므로, 다음과 같이 쓸 수 있다.
formula_110
따라서 ZVD2 성형기 formula_111는 다음과 같이 주어진다.
formula_112
같은 방법으로, ZVD3 성형기는 5개의 임펄스벡터로 구성되는데, 이 임펄스벡터를 0, formula_113, formula_114, formula_105, formula_116 rad에 배치하고, 크기비를 formula_117로 둠으로써 구할 수 있다.
일반적으로, ZVD"n" 성형기는 formula_118개의 임펄스벡터로 구성되는데, formula_119번째 임펄스벡터를 formula_120 rad에 배치하고, 크기비를 formula_121로 둠으로써 구할 수 있다. 여기서 "formula_122"는 수학의 조합을 의미한다.
ETM 성형기.
이제 임펄스벡터의 크기는 같고 임펄스벡터의 각도는 formula_42 rad을 등간격으로 나눈 ETM 성형기(Equal shaping-Time and Magnitudes shaper)를 생각해보자. ETM"n" 성형기는 다음 조건을 만족한다.formula_124
formula_125
formula_126
그러면 formula_127에 대해 ETM"n" 성형기의 임펄스벡터합은 항상 0이다. ETM"n" 성형기의 한 장점은, ZVD"n" 성형기나 EI 성형기(extra insensitive shaper)와 달리,  formula_128이 아무리 늘어나더라도 성형시간(shaping time)은 항상 한 주기(감쇠주기)라는 것이다.
4개의 임펄스벡터로 구성된 ETM4 성형기는 위 조건과 임펄스벡터의 정의로부터 다음과 같이 구해진다.
formula_129
formula_130
5개의 임펄스벡터로 구성된 ETM5 성형기는 위 조건과 임펄스벡터의 정의로부터 다음과 같이 얻어진다.
formula_131
formula_132
같은 방법으로, formula_133에 대한 ETM"n" 성형기를 쉽게 구할 수 있다. 일반적으로 ETM 성형기는 양의 큰 모델링오차에 대해 ZVD"n" 성형기보다 더 큰 견실성()을 갖는 이점이 있다.
참고로, ZVD 성형기는 formula_134인 ETM3 성형기이다.
NMe 성형기.
임펄스벡터는 음의 임펄스를 가진 입력성형기를 설계할 때도 사용될 수 있다. 세 임펄스벡터의 크기가 formula_135이고 각도가 formula_136인 NMe 성형기(Negative equal-Magnitude shaper)를 생각해보자. 이 세 임펄스벡터의 합은 0이므로 잔류진동은 제거된다. NMe 성형기의 임펄스시간은 formula_137로 주어지고, 임펄스크기 formula_9는 다음 연립방정식으로부터 얻어진다.
formula_139
formula_140
얻어진 NMe 성형기 formula_141은 다음과 같다.
formula_142
formula_143
NMe 성형기는 ZVD 성형기보다 더 짧은 성형시간을 갖는 장점이 있지만, 모델링오차에 대해 더 나쁜 견실성을 갖는 단점이 있다. 참고로, 비감쇠시스템(formula_144)이면 NMe 성형기는 기존에 알려진 UM성형기(unity-magnitude shaper)가 된다.
아래 그림 (a)는 전형적인 입력성형 제어시스템의 블록선도를 보여주고 있고, 그림 (b)는 여러가지 입력성형기의 잔류진동 제거성능을 나타내는 계단응답을 보여주고 있다.
입력성형기에서 formula_1과 formula_2의 모델링오차에 대한 견실성은 민감도곡선(sensitivity curve)으로 표현된다. 위 여러가지 입력성형기에 대한 민감도곡선은 참고문헌을 참고하기 바란다.