바나흐 대수

함수해석학에서 바나흐 대수(Banach代數, )는 바나흐 공간과 결합 대수의 구조를 서로 호환되게 갖춘 집합이다. 대표적인 예로 콤팩트 하우스도르프 공간 위의 연속 함수 공간이나 바나흐 공간 위의 유계 작용소 공간이 있다.
정의.
formula_1가 실수체 또는 복소수체 가운데 하나라고 하자. formula_2-노름 대수() formula_3는 다음과 같은 구조가 주어진 집합이다.
또한, 노름 공간 구조와 결합 대수 구조 사이에 다음과 같은 두 호환 조건이 주어져야 한다.
만약 formula_10가 사실 바나흐 공간이라면 (즉, 완비 거리 공간이라면), formula_2-바나흐 대수()라고 한다.
유니터리 원소.
formula_2-노름 대수 formula_13가 주어졌다고 하자. 이는 환을 이루므로, 가역원의 개념을 정의할 수 있다. 가역원 formula_14 가운데 노름이 1인 것을 유니터리 원소(unitary元素, )라고 한다.
연산.
반대 대수.
formula_2-노름 대수 formula_16에 대하여, 그 반대환 formula_17, 즉
에 같은 노름을 부여하면, formula_19 역시 formula_2-노름 대수를 이룬다. 또한, 환 연산은 노름 공간 구조와 상관이 없으므로, 만약 formula_13가 바나흐 대수라면 formula_19 역시 바나흐 대수이다.
직합.
유한 또는 무한 개의 formula_2-바나흐 대수들 formula_24이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 직접곱의 부분 공간
위에 L1 노름
및 성분별 곱
을 부여하면, 이 역시 formula_2-바나흐 대수를 이룬다. 이 경우 formula_13의 항등원은
이다.
몫.
formula_2-바나흐 대수 formula_13의 양쪽 아이디얼 formula_33가 주어졌으며, formula_34가 닫힌집합이며, formula_35라고 하자. 그렇다면, 몫환 formula_36 위에는 자연스러운 노름
을 줄 수 있다. 그렇다면, formula_36 역시 formula_2-바나흐 대수를 이루며, 그 항등원은 formula_40이다.
복소화.
실수 바나흐 대수 formula_13가 주어졌을 때, 그 복소화
위에 노름
과 곱셈
을 부여하면, 이는 복소수 바나흐 대수를 이룬다.
완비화.
formula_2-노름 대수 formula_13가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 완비화 formula_47는 다음과 같이 자연스럽게 formula_2-바나흐 공간을 이룬다.
(여기서 formula_50는 formula_51로 수렴하는, formula_13 속의 임의의 코시 열이다.) 그 위에 곱셈
을 정의하면, formula_47는 formula_2-바나흐 대수를 이룬다. (여기서 formula_50와 formula_57는 각각 formula_58로 수렴하는, formula_13 속의 임의의 두 코시 열이다.) 이를 formula_13의 완비화(完備化, )라고 한다.
무게 부여.
formula_2-바나흐 대수 formula_13의 원소 formula_63가 주어졌으며, formula_64이라고 하자. 또한, formula_65가 가역원이며, 중심에 속한다고 하자.
이 경우, formula_67 위에 새 이항 연산 formula_68를 다음과 같이 부여하자.
그렇다면 formula_70 역시 formula_2-바나흐 대수를 이루며, formula_68에 대한 항등원은 formula_73이다.
아렌스 곱.
formula_2-노름 대수 formula_13의 이중 연속 쌍대 공간 formula_76 위에 (이중) 쌍대 노름 및 곱셈
을 정의하자. 그렇다면, formula_78는 항상 formula_2-바나흐 대수를 이룬다. (만약 formula_13가 바나흐 대수가 아닌 노름 대수이더라도 formula_78은 항상 바나흐 대수이다.) 이 연산을 아렌스 곱()이라고 한다.
성질.
환론적 성질.
겔판트-마주르 정리(Гельфанд-Mazur定理, )에 따르면, 실수 바나흐 대수에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.
또한, 복소수 바나흐 대수 가운데 나눗셈환인 것은 formula_83 밖에 없다.
증명 (복소수 바나흐 대수 가운데 나눗셈환인 것은 formula_83 밖에 없다):
단위원을 갖는 복소수 바나흐 대수의 모든 원소는 공집합이 아닌 스펙트럼을 가진다. (이는 실수 바나흐 대수에 대해서는 성립하지 않는다.) formula_13가 복소수 바나흐 대수라고 하고, formula_13의 0이 아닌 모든 원소가 가역원이라고 하자. 임의의 원소 formula_89에 대하여, formula_90가 formula_91의 스펙트럼의 원소라고 하자. 즉, formula_92는 가역원이 아니다. 가정에 따라서 formula_93이다. 즉, formula_91의 스펙트럼은 하나의 원소만을 가진다. 이에 따라 formula_95는 동형 사상 formula_96를 이룬다.
실수 바나흐 대수 가운데 뇌터 가환환인 것은 유한 차원이다. 특히, 실수 바나흐 대수 가운데 뇌터 가환환이며 정역인 것은 formula_82와 formula_83 밖에 없다.
복소수 바나흐 대수 formula_99의 임의의 두 원소 formula_100에 대하여, formula_101이다. (이는 formula_102와 formula_103의 스펙트럼이 0을 제외하고 서로 같기 때문이다.)
위상수학적 성질.
formula_2-바나흐 대수는 위상환을 이룬다. 즉, 덧셈과 곱셈은 연속 함수를 이룬다.
formula_2-바나흐 대수의 가역원군은 위상군을 이룬다. 구체적으로, formula_2-바나흐 대수 formula_107의 가역원군 formula_108는 formula_99의 열린집합이며, 역원 함수
는 연속 함수이다.
스펙트럼.
임의의 formula_2-바나흐 대수 formula_99의 원소 formula_113의 스펙트럼은 다음과 같다.
이는 바나흐 공간 위의 유계 작용소의 스펙트럼의 개념의 일반화이다.
겔판트 표현.
가환 복소수 바나흐 대수 formula_99가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음 두 집합 사이에 표준적인 전단사 함수가 존재한다.
구체적으로, 이는 다음과 같이 정의된다.
이 때문에, formula_99의 극대 아이디얼은 지표(指標, )라고도 한다.
임의의 지표 formula_125는 항상 연속 함수이다. (이는 그 핵 formula_120는 항상 닫힌집합이기 때문이다.) 또한, 그 작용소 노름은 항상 1이다. 이에 따라, formula_119 위에 점별 수렴 위상을 부여하면, formula_119는 콤팩트 하우스도르프 공간을 이룬다. 특히, 복소수 바나흐 대수 formula_129를 정의할 수 있다.
이 경우, formula_99의 겔판트 표현(Гельфанд表現, )은 다음과 같다.
이는 결합 대수 준동형을 이루며, 또한 스펙트럼을 보존한다. 즉, 다음이 성립한다.
여기서 우변은 복소수 바나흐 대수 formula_129에서 취한 스펙트럼이다.
예.
연속 함수 공간.
공집합이 아닌 콤팩트 하우스도르프 공간 formula_10 위에 정의된 연속 함수의 공간 formula_136은 (균등 노름 및 점별 합과 곱에 대하여) formula_2-바나흐 대수를 이룬다.
나눗셈 대수.
실수체 formula_82 · 복소수체 formula_83 · 사원수 대수 formula_140는 모두 실수 바나흐 대수를 이룬다. 이 가운데 formula_83는 추가로 복소수 바나흐 대수를 이룬다. (formula_82와 formula_140는 복소수 바나흐 대수를 이루지 못한다.)
유클리드 공간.
자연수 formula_144에 대하여, 유한 차원 formula_2-벡터 공간 formula_146 위에 1-노름
및 성분별 곱
을 부여하면, 이는 가환 formula_2-바나흐 대수를 이룬다. 그 가역원군은
이다.
유계 작용소.
1차원 이상의 formula_2-노름 공간 formula_152 위의 formula_153 유계 작용소들의 집합 formula_154는 작용소 노름과 함수의 합성에 의하여 formula_2-노름 대수를 이룬다. 만약 formula_152가 formula_2-바나흐 공간이라면, formula_154는 formula_2-바나흐 대수를 이룬다.
C* 대수.
모든 C* 대수는 복소수 바나흐 대수를 이룬다. 구체적으로, C* 대수 formula_160가 주어졌을 때, 그 위에 노름
을 부여하면 이는 바나흐 대수를 이룬다.
위상군 위의 함수.
콤팩트 하우스도르프 위상군 formula_162 위의 (왼쪽 하르 측도에 대한) 르베그 공간 formula_163은 formula_2-바나흐 대수이다. 그 위에 합성곱
을 부여하면, 이는 formula_2-바나흐 대수를 이룬다.
역사.
‘바나흐 대수’라는 이름은 스테판 바나흐를 딴 것이다. 그러나 바나흐 대수의 이론은 스테판 바나흐와 큰 관계가 없으며, 다만 바나흐가 연구한 바나흐 공간을 이루기 때문에 이러한 이름이 붙었다.
바나흐 대수의 개념은 나구모 미치오(, 1905~1995)가 1936년에 ‘선형 계량환’()이라는 이름으로 도입하였다. 이후 이즈라일 겔판트가 이를 ‘노름환’()이라는 이름으로 재도입하였고, 이에 대하여 자세히 연구하였다. 1945년에 워런 앰브로즈(, 1914~1995)가 ‘바나흐 대수’()라는 용어를 도입하였다.
아렌스 곱은 리하르트 프리드리히 아렌스(, 1919~2000)가 1951년에 도입하였다.
겔판트-마주르 정리는 이즈라일 겔판트와 스타니스와프 마주르의 이름을 땄다. 마주르가 1938년에 증명하였는데, 저널에 페이지가 모자라 증명을 싣지 못하고 정리 자체만 출판하였다. 1941년에 이즈라일 겔판트가 독자적으로 증명하였다.