절단점

일반위상수학에서 절단점(切斷點, )은 연결 공간을 연결되지 않은 둘 이상의 부분들로 분리하는 점이다.
정의.
연결 공간 formula_1의 점 formula_2의 절단점 차수(切斷點次數, )는 formula_3의 연결 성분들의 수이다. 연결 공간 formula_1의 점 formula_2의 절단점 차수가 2 이상이라면 (다시 말해, formula_3가 비연결 공간이라면), formula_7를 formula_1의 절단점이라고 한다. 절단점 공간(切斷點空間, )은 모든 점이 절단점인 연결 공간이다.
연결 공간 formula_1가 다음 조건을 만족시키면, 연결 순서 위상 공간(連結順序位相空間, ) 또는 COTS라고 한다.
위상 공간 formula_1에 대하여, 만약 다음 조건을 만족시키는 두 점 formula_15가 존재한다면, formula_1를 끝점 공간(-連結空間, )이라고 한다.
성질.
연결 공간의 모든 절단점은 한원소 집합으로서 열린집합이거나 닫힌집합이다. 즉, 고립점이거나 ‘닫힌 점’이다.
연결 공간 formula_1의 절단점 formula_2가 주어졌다고 하자. 그렇다면 formula_3의 열린닫힌집합 formula_24가 존재하며, 이에 대하여
인 formula_1의 열린집합 formula_27 및 닫힌집합 formula_28가 존재한다. formula_1가 연결 공간이므로 formula_30일 수밖에 없다. 따라서 formula_31이거나 formula_32이다. 만약 formula_31가 참이라면 formula_34는 열린집합이다. 만약 formula_32가 참이라면 formula_34는 닫힌집합이다.
크기 2 이상의 절단점 공간은 다음 성질들을 만족시킨다.
크기 2 이상의 절단점 공간 formula_1가 주어졌다고 하자. 서로 다른 닫힌 점 formula_38를 구성하면 족하다. 수학적 귀납법을 사용하여, formula_39개의 열린집합 formula_40 및 formula_39개의 열린집합 formula_42 및 서로 다른 formula_39개의 닫힌 점 formula_44가 주어졌으며, 또한
이라고 하자. 그렇다면, 다음 명제들을 차례로 증명하면 족하다.
formula_49은 연결 공간. 귀류법을 사용하여, 열린닫힌집합 formula_50이 주어졌다고 하자. 편의상 formula_51라고 하자. (만약 formula_52라면 formula_53를 그 여집합 formula_54로 대체한다.) formula_53가 formula_56의 열린집합이며, formula_56는 formula_1의 열린집합이므로, formula_53는 formula_1의 열린집합이다. 마찬가지로, formula_53가 formula_49의 닫힌집합이며, formula_63가 formula_1의 닫힌집합이므로, formula_53는 formula_1의 닫힌집합이다. 이는 formula_1의 연결성과 모순이다.
닫힌 점 formula_68이 존재. 귀류법을 사용하여, formula_69 속에 닫힌 점이 없다고 하자. 임의의 formula_70에 대하여, formula_34가 닫힌집합이 아니며, formula_72이 닫힌집합이며, formula_69은 고립점들로 이루어지므로, formula_74이다. 따라서 formula_75은 연결 공간이다. formula_49 역시 연결 공간이므로, formula_77에 대하여,
은 연결 공간이다. 즉, formula_79은 절단점이 아니며, 이는 모순이다.
formula_80이며 formula_81이며 formula_82인 formula_1의 열린집합 formula_84가 존재. 이는 formula_85이 닫힌 절단점이며, formula_86이기 때문이다. 만약 formula_87이라면 formula_88과 formula_89을 교환한다.
formula_90. formula_91이 연결 공간이며, formula_92이므로, formula_93이거나 formula_94인데, formula_68이다. 따라서 formula_93이다.
formula_97. 임의의 formula_98에 대하여, formula_99이므로 formula_100이며, 또한 formula_68이다. 따라서 formula_102이다.
1개 이하의 비절단점을 갖는, 크기 2 이상의 연결 공간 formula_1가 콤팩트 공간이 아님을 보이면 족하다. formula_1의 절단점의 집합은 formula_1 전체이거나, 어떤 한 비절단점의 여집합이므로, 연결 공간이다. 따라서, 닫힌 절단점 formula_106가 존재한다. formula_107가 열린집합이며, 또한 formula_108이며 formula_109이며 formula_110이라고 하자. 그렇다면, formula_27와 formula_53 가운데 적어도 한 집합은 절단점으로 이루어진다. 편의상 formula_27의 모든 점이 절단점이라고 하자. 이제,
라고 하고, formula_115 위에 다음 부분 순서를 주자.
그렇다면, 다음 명제들을 차례로 보이는 것으로 족하다.
formula_115는 극대 사슬 formula_118를 가짐. formula_1가 연결 공간이므로 formula_53는 닫힌집합이 아니며, formula_27가 열린집합이므로 formula_122은 닫힌집합이다. 따라서 formula_123이며, formula_124이다. 하우스도르프 극대 원리에 따라 극대 사슬 formula_125가 존재한다.
formula_115는 극대 원소를 갖지 않음. 임의의 formula_127가 주어졌다고 하고, formula_128라고 하자. 그렇다면, 닫힌 점 formula_129가 존재한다고 단언한다. formula_130의 모든 점이 닫힌 점이 아니라고 가정하자. 임의의 formula_131에 대하여, formula_132은 닫힌집합이 아니며 formula_133는 닫힌집합이며 formula_130의 모든 점은 고립점이므로, formula_135이며, 따라서 formula_136는 연결 공간이다. 임의의 formula_137에 대하여, formula_138는 formula_1의 열린닫힌집합이 아니며, formula_140와 formula_141는 각각 formula_1의 열린집합과 닫힌집합이므로, formula_138와 formula_144 가운데 formula_140에 속하는 한 집합은 formula_141의 열린닫힌집합이 아니다. 즉, formula_141는 연결 공간이다. 따라서, 임의의 formula_148를 취했을 때,
는 연결 공간이다. 즉, formula_150은 절단점이다. 이는 formula_151인 것과 모순이다. 이제, formula_152가 닫힌 절단점이므로, formula_153이 formula_1의 열린집합이며, formula_155이며 formula_156이라고 하자. formula_157가 연결 공간이므로, formula_158이거나 formula_159이다. 편의상 전자가 참이라고 하자. 그렇다면, formula_160이며 formula_161이므로, formula_162이다. 즉, formula_163이며, formula_140는 극대 원소가 아니다.
formula_165는 콤팩트 공간이 아님. 열린 덮개 formula_166가 유한 부분 덮개를 갖지 않음을 보이면 족하다. formula_166가 극대 원소를 갖지 않음을 보이면 족하다. 귀류법을 사용하여, formula_168가 formula_166의 극대 원소라고 하자. 그렇다면, formula_163인 formula_162가 존재한다. 그렇다면 formula_172은 새로운 사슬이며, formula_166는 그 진부분집합이다. 이는 formula_166의 극대성과 모순이다.
formula_175. 귀류법을 사용하여, formula_176가 공집합이 아니라고 하자. formula_177이므로, formula_176의 모든 점은 절단점이며, 따라서 고립점이거나 닫힌 점이다. formula_176는 닫힌집합이므로, 열린집합일 수 없으며, 따라서 닫힌 절단점 formula_180가 존재한다. formula_181가 formula_1의 열린집합이며, formula_183이며, formula_184라고 하자. 임의의 formula_168는 formula_166의 극대 원소가 아니므로, formula_158인 formula_188가 존재한다. 따라서,
이다. 각 formula_141는 연결 공간이며, formula_191이므로, formula_165는 연결 공간이다. 따라서, formula_193이거나 formula_194이다. 편의상 전자가 참이라고 하면, formula_195이며 formula_196이므로, formula_197이다. formula_166가 극대 원소를 갖지 않으므로, formula_199이다. 이는 formula_166의 극대성과 모순이다.
예.
유클리드 평면 formula_201 속의 formula_202개의 직선이 절단점 공간일 필요충분조건은, 공점선이거나, formula_39개의 직선이 평행하며 남은 한 직선과 교차하는 것이다.
실수.
실수선 formula_204는 절단점 공간이며, 모든 점의 절단점 차수는 2이다. 반대로, 다음 결과들이 성립한다.
2차원 이상의 유클리드 공간 formula_207 (formula_208)은 연결 공간이지만, 절단점을 갖지 않는다.
기약 절단점 공간.
정수 집합 formula_209 위에 다음과 같은 위상을 부여한 위상 공간을 칼림스키 직선(-直線, )이라고 한다.
즉, 칼림스키 직선의 위상은 다음과 같은 기저로 생성된다.
기약 절단점 공간(旣約切斷點空間, )은 모든 진부분집합이 절단점 공간이 아닌 절단점 공간이다. 칼림스키 직선은 기약 절단점 공간이며, 반대로 기약 절단점 공간은 칼림스키 직선과 위상동형이다. 즉, 칼림스키 직선은 위상동형 아래 유일한 기약 절단점 공간이다.
칼림스키 직선 formula_209는 연결 공간. 짝수 formula_214에 대하여, formula_211은 formula_202의 최소 근방이므로, formula_217과 formula_218은 연결 공간이다. 수학적 귀납법에 따라, formula_219에 대하여,
은 연결 공간이며, 따라서 칼림스키 직선
은 연결 공간이다.
모든 formula_214는 절단점. 이는 formula_223과 formula_224이 모두 formula_225의 열린집합이기 때문이다.
모든 진부분집합 formula_226는 연결 공간이 아니거나, 비절단점을 가짐. 칼림스키 직선 formula_209의 연결 진부분공간은 다음 세 가지 꼴 가운데 하나이다 (formula_228).
formula_138가 연결 공간이라고 하자. 즉, formula_138는 어떤 formula_228에 대하여 위 세 집합 가운데 하나라고 하자. 그렇다면, formula_235 역시 위 세 가지 꼴 가운데 하나이며, 따라서 연결 공간이다. 즉, formula_202은 formula_138의 비절단점이다.
기약 절단점 공간 formula_1가 주어졌다고 하자. 기약성에 따라, 칼림스키 직선 formula_209에서 formula_1로 가는 매장 formula_241를 구성하면 족하다. 우선, 모든 점 formula_2의 절단점 차수는 2라고 단언한다. formula_24가 formula_3의 열린닫힌집합이라고 하자. formula_138와 formula_144가 연결 공간임을 보이면 족하다. 전자만을 증명한다. 귀류법을 사용하여, formula_138가 연결 공간이 아니라고 하자. 그렇다면, formula_7는 formula_249의 절단점이다. 임의의 formula_250에 대하여,
는 연결 공간이 아니며, formula_252이므로, formula_253와 formula_254 가운데 하나 이상은 연결 공간이 아니다. 그런데 formula_254가 연결 공간임은 쉽게 확인할 수 있다. 따라서 formula_253는 연결 공간이 아니며, formula_257 역시 formula_249의 절단점이다. 즉, formula_249는 절단점 공간이다. 이는 기약 절단점 공간 조건과 모순이다.
이제, 닫힌 점 formula_106을 취하자. formula_261와 formula_262이 formula_263의 두 연결 성분이라고 하자. 수학적 귀납법을 사용하여,
가 주어졌으며, 또한 각 formula_265가 연결 공간이라고 하자. 또한, 각 formula_266의 두 연결 성분이 formula_267와 formula_268라고 하고, formula_269인 경우 formula_270이며, formula_271라고 하자. 그렇다면, formula_272과 formula_273이 연결 공간인 formula_274 및 formula_275이 존재한다고 단언한다. 후자를 증명한다. formula_276의 극한점 formula_275을 찾으면 족하다. 만약 formula_278이 닫힌 점이라면, formula_279이 연결 공간이며, formula_1가 기약 절단점 공간이므로, formula_279은 비절단점 formula_275을 갖는다. 즉, formula_283은 연결 공간이다. formula_279은 열린집합이므로, 닫힌집합이 아니며, formula_285은 닫힌집합이므로, formula_278은 formula_279의 극한점이다. 하지만 formula_288이 연결 공간이 아니므로, formula_278은 formula_283의 극한점일 수 없다. 따라서, formula_278은 formula_292의 극한점이다. 만약 formula_278이 고립점이라면, formula_279은 닫힌집합이므로, 열린집합이 아니며, formula_285은 열린집합이므로, formula_296은 formula_276의 극한점이다. 수학적 귀납법의 마지막으로, formula_298과 formula_299이 formula_300의 두 연결 성분이며, formula_301과 formula_302이 formula_303의 두 연결 성분이며, formula_304이며 formula_305이라고 정의한다.
이제, 수학적 귀납법에 따라 구성된 부분집합
및 각 formula_303의 두 연결 성분 formula_301과 formula_302을 생각하자. 정의에 따라 formula_310인 경우 formula_311이며, formula_312인 경우 formula_305이다. 이제, 다음 명제들을 차례로 증명하면 족하다.
formula_314, formula_315. 편의상 formula_312이라고 하자. 그렇다면,
은 둘 다 연결 공간이며, formula_305이며 formula_320이므로, formula_321이며 formula_322이다.
각 formula_85은 formula_202이 짝수인 경우 닫힌 점, formula_202이 홀수인 경우 고립점. 정의에 따라 formula_326은 닫힌 점이다. 만약 formula_292이 닫힌집합이라면, formula_273와 formula_329이 연결 공간이므로, formula_276과 formula_331은 닫힌집합이 아니며, 따라서 열린집합이다. 마찬가지로, 만약 formula_292이 열린집합이라면, formula_276과 formula_331은 닫힌집합이다.
부분집합 formula_335은 기저
를 가짐. 홀수 formula_202에 대하여, formula_85이 고립점임은 이미 증명하였다. 짝수 formula_202에 대하여, formula_85은 formula_276과 formula_331의 극한점임을 증명하였으므로, formula_85의 모든 열린 근방은 formula_278과 formula_345을 원소로 포함한다. 반대로, formula_301과 formula_302이 열린집합이므로,
은 열린집합이다. 따라서, formula_349은 formula_85의 최소 열린 근방이다.
모든 점의 차수가 3인 절단점 공간.
모든 점의 차수가 3인 절단점 공간이 존재한다. 그러나, 모든 점의 차수가 3 이상인 절단점 공간은 분해 가능 거리화 가능 공간일 수 없으며, 특히 유클리드 공간에 매장될 수 없다. 구체적으로, 모든 점의 차수가 3인 절단점 공간 formula_1는 다음과 같이 구성할 수 있다. 우선, 다음과 같은 집합 formula_352을 만들자.
그렇다면, formula_358의 모든 이진 유리점의 절단점 차수는 3이며, 그 밖의 점들의 절단점 차수는 2이다. 이들의 집합을 각각 formula_359과 formula_360이라고 하자. 이제,
라고 하자 (formula_362는 클레이니 스타). 또한, formula_363 및 formula_364에 대하여, 다음 집합을 정의하자.
그렇다면,
은 formula_1 위의 기저를 이루며, 이 기저로 생성되는 위상을 부여한 위상 공간 formula_1은 다음 성질들을 만족시킨다.