극값

해석학에서, 함수의 극대점(極大點, )은 주위의 모든 점의 함숫값 이상의 함숫값을 갖는 점이다. 극댓값(極大값, )은 극대점이 갖는 함숫값이다. 마찬가지로, 함수의 극소점(極小點, )은 주위의 모든 점의 함숫값 이하의 함숫값을 갖는 점이며, 극솟값(極小값, )은 극소점이 갖는 함숫값이다. 극대점과 극소점을 통틀어 극점(極點, )이라고 하며, 극댓값과 극솟값을 통틀어 극값()이라고 한다. 기하학적으로, 함수의 그래프는 극대점에서 위로 우뚝 솟아있으며, 극소점에서 아래로 움푹 꺼져있다.
함수의 최대점(最大點, )과 최소점(最小點, )은 각각 정의역의 모든 점의 함숫값 이상의 함숫값을 갖는 점이다. 최댓값(最大값, )과 최솟값(最小값, )은 각각 최대점과 최소점이 갖는 함숫값이다. 최댓값과 최솟값은 극댓값과 극솟값보다 더 강한 개념이다. 즉, 최댓값은 항상 극댓값이며, 최솟값은 항상 극솟값이지만, 그 역은 성립하지 않는다.
극댓값·극솟값·최댓값·최솟값은 최적화 문제 등에서 응용된다.
정의.
다음이 주어졌다고 하자.
그렇다면, 다음 조건을 만족시키는, formula_3의 근방 formula_4가 존재한다면, formula_5를 formula_6의 극대점이라고 하며, formula_7를 formula_6의 극댓값이라고 한다.
마찬가지로, 다음 조건을 만족시키는, formula_3의 근방 formula_4가 존재한다면, formula_5를 formula_6의 극소점이라고 하며, formula_7를 formula_6의 극솟값이라고 한다.
또한, formula_3가 다음 조건을 만족시키면, formula_5를 formula_6의 최대점이라고 하며, formula_7를 formula_6의 최댓값이라고 한다.
마찬가지로, formula_3가 다음 조건을 만족시키면, formula_5를 formula_6의 최소점이라고 하며, formula_7를 formula_6의 최솟값이라고 한다.
또한, 위의 극댓값/극솟값/최댓값/최솟값의 정의에서 formula_33인 경우에 한하여 부등호 formula_34와 formula_35를 formula_36와 formula_37로 대신하면, 엄격한 극댓값/극솟값/최댓값/최솟값(嚴格한..., )의 정의를 얻는다.
이들 정의에 따라, 최대점은 항상 극대점이며, 최댓값은 항상 극댓값이다. 마찬가지로 최소점은 항상 극소점이며, 최솟값은 항상 극솟값이다. 극대점·극소점·최대점·최소점은 존재할 필요가 없으며, 존재하는 경우 유일할 필요가 없다. 그러나 최댓값·최솟값은 여럿 존재할 수 없다.
일계 도함수 판정법.
공역에 부분순서가 존재하는 모든 함수가 극대, 극소를 판정할 수 있지만 여기서는 편의상 공역이 실수집합 formula_38인 함수 formula_39를 생각하자.(여기서 formula_40는 열린집합이다.) 만약 이 함수가 미분가능하고 formula_41에서 극값을 가진다면 formula_42이다. 즉, formula_41는 함수 formula_6의 임계점이다. 이렇게 임계점을 통해 극값을 찾는 방법을 일계 도함수 판정법이라고 한다. 이때 미분 계수가 0이기 위해서는 formula_45부터 formula_46까지의 모든 formula_47에대해 formula_48임을 알 수 있다. 다만, 극값을 가지기 위해서는 임계점이어야 하지만 임계점이라고 모두 극값을 가지는 것은 아니다. 예를 들어, 위 그래프의 점 I나 점 K의 경우 임계점이긴 하지만 극솟값이나 극댓값은 아니다.
증명.
n=1일 때
모든 n에 대해
이계 도함수 판정법.
함수 formula_39이 formula_80 함수이고 formula_81가 함수 formula_6의 임계점일 때, formula_83가 양의 정부호이면, 즉 모든 formula_69에 대하여 0 이상이고 formula_85일때만 0이라면 formula_41에서 극소이다. 반대로 formula_83가 음의 정부호이면, 즉 모든 formula_69에 대하여 0 이하이고 formula_85일때만 0이라면 formula_41에서 극대이다. 이를 이용하여 극대, 극소를 판별하는 방법을 이계 도함수 판정법이라고 한다.
여기서 formula_91이라는 조금 특별하고 조금 더 익숙한 경우를 생각해보자. formula_91이라면 formula_93이므로 formula_94일때만 양의 정부호이고 formula_95일때만 음의 정부호이다. 즉, 일변수 함수의 이차 도함수 판정법은 단순히 formula_96의 부호를 알아보는 것이다.
증명.
보조정리: 어떤 formula_97 실수행렬 formula_98가 있을 때 이차 함수 formula_99를 정의하자. 만약 formula_100가 양의 정부호라면 모든 formula_69가 formula_102을 만족하는 양의 실수 formula_103이 존재한다.
formula_42이므로 테일러 정리에 의하여 formula_116이다. 여기서 formula_117이다. 만약 formula_83가 양의 정부호라면 보조 정리에 의하여 formula_119를 만족하는 양의 실수 formula_103이 존재하며 극한의 정의에 의하여 formula_121을 만족하는 양의 실수 formula_122가 존재한다. 따라서 formula_123일 때 formula_124, 즉 formula_125이다. 그러므로 formula_41에서 극소이다. 비슷한 방식으로 formula_83가 음의 정부호이면 formula_41에서 극대이다.
헤세 행렬식과의 관계.
헤세 행렬에서 그림과 같이 대각선상에 위치한 부분행렬들의 행렬식들이 모두 양일 경우 formula_83가 양의 정부호이고 음과 양이 번갈아서 나올 경우 음의 정부호이다. 즉, 이차 도함수 판정법에 따라서 부분 행렬들의 행렬식들이 모두 양일 경우 formula_41에서 극소이고 부분행렬들의 행렬식이 음과 양이 반복될 경우 formula_41에서 극대이다. 만약 두 경우 모두 아니라면 임계점 formula_41는 안장점으로 극대이지도 극소이지도 않다.
예를 들어, 이변수 함수 formula_133이고 formula_80함수일 경우 만약 formula_135에서 극소라면 다음과 같은 조건들을 만족시킨다.
마찬가지로 formula_135에서 극대라면 다음과 같은 조건들을 만족시킨다.
그리고 formula_135가 이 조건들을 만족시키지 않는 임계점이라면, 즉, formula_135에서 formula_149라면 formula_135는 안장점이다.
만약 formula_151이라면 이차 도함수 판정법만으로는 극대와 극소를 판별할 수 없는데, 이때 formula_151인 임계점을 퇴화 극점 또는 변질 극점이라고 말한다. 반대로 이차 도함수 판정법으로 극대, 극소, 안장점인지의 여부를 판별할 수 있는 formula_153인 임계점을 정상적인 임계점 또는 비퇴화 임계점이라고 한다.