단체 집합

호모토피 이론에서 단체 집합(單體集合, )은 위상 공간의 조합론적인 표현의 일종이다. 위상 공간이나 단체 복합체 등과 달리, 단체 집합의 범주는 토포스를 이루므로, 그 속에서 호모토피 이론을 전개하기가 용이하다.
정의.
단체 집합은 집합과 함수의 범주 formula_1 속의 단체 대상, 즉 함자
이다. 마찬가지로, 첨가 단체 집합(添加單體集合, )은 formula_1 속의 첨가 단체 대상, 즉 함자
이다.
여기서 formula_5은 단체 범주이며, formula_6는 첨가 단체 범주이다.
다시 말해, formula_7인 첨가 단체 집합 formula_8은 조각 범주 formula_9 위의 단체 대상과 같다.
연산.
범주론적 연산.
단체 집합의 범주는 토포스이므로, 이 속에서 정의되는 모든 연산을 취할 수 있다. 특히, 곱 · 쌍대곱 · 밂 등이 모두 존재한다.
단체 집합의 범주에서, 시작 대상은 공집합
이며, 끝 대상은 한원소 공간
이다. (여기서 formula_14은 한원소 집합이다.) 즉, 이는 각 차원에서 하나의 단체만을 가지며, 모든 단체가 퇴화 단체인 단체 집합이다.
기하학적 실현과 특이 단체.
단체 집합의 범주 formula_15와 위상 공간의 범주 formula_16 사이에 다음과 같은 두 개의 함자들이 존재하며, 이들은 수반 함자를 이룬다.
여기서 formula_19을 특이 단체 함자(特異單體函子, ), formula_20을 기하학적 실현 함자(幾何學的實現函子, )라고 한다.
특이 단체.
위상 공간 formula_21가 주어졌을 때, 이에 대응하는 특이 단체 집합() formula_22는 다음과 같다.
여기서 formula_24은 formula_25차원 단체이다. 즉, 함자 formula_22의 formula_25차 성분은 formula_21의 formula_25차원 특이 단체들의 집합이다. 이는 특이 호몰로지에서 사용되는 특이 단체와 같다.
기하학적 실현.
단체 집합 formula_30에 대응하는 기하학적 실현 formula_31는 다음과 같은 위상 공간이다.
여기서 formula_24은 formula_25차원 표준 단체이며, formula_35은
로부터 생성되는 동치 관계이다. 여기서
는 상이 formula_39인 유일한 증가 단사 함수이며,
는 formula_41를 제외하고는 단사 함수인 유일한 증가 전사 함수이다. formula_42 및 formula_43는 이와 유사하지만, 표준 단체에 작용하는 연속 함수들이다.
단체 호몰로지.
단체 집합 formula_8이 주어졌을 때, 각 차수에 대하여 자유 아벨 군을 취하자.
그렇다면, 이 위에 formula_46 및 formula_47를 선형으로 연장할 수 있다. 그렇다면, formula_48은 단체 아벨 군을 이룬다. 그 표준 사슬 복합체
의 호몰로지를 단체 집합 formula_30의 단체 호몰로지(單體homology, )라고 한다. 이는 그 기하학적 실현의 특이 호몰로지와 같다. (단체 호몰로지의 계산에서, 퇴화 사상은 사용되지 않는다.)
유리수 계수 다항식 미분 형식.
표준 단체
위의 유리수 계수 다항식 미분 형식()은 다음과 같은 꼴의 항들의 (유한, 유리수 계수) 선형 결합이다.
이들의 유리수 벡터 공간을 formula_54으로 표기하자. 이는 외미분 및 쐐기곱을 통해 자연수 등급 가환 미분 등급 대수를 이룬다.
이제, 함자
를 다음과 같이 정의할 수 있다.
그렇다면, 이 함자의 왼쪽 칸 확대를 통해 함자
를 얻을 수 있다. 이를 단체 집합 위의 유리수 계수 다항식 미분 형식들의 유리수 계수 자연수 등급 가환 미분 등급 대수라고 한다.
이는 오른쪽 수반 함자
를 가지며, 이는 퀼런 수반 함자
를 이룬다.
성질.
범주론적 성질.
단체 집합의 범주 formula_15는 집합 값을 갖는 준층의 범주이므로, 그로텐디크 토포스를 이룬다. 특히, 이는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이며 데카르트 닫힌 범주이다.
위상수학적 성질.
기하학적 실현 함자 formula_64는 오른쪽 수반 함자를 가지므로 쌍대 극한을 보존하지만 유한 극한은 보존하지 않는다. 이때, 기하학적 실현 함자의 공역을 콤팩트 생성 하우스도르프 공간의 범주 formula_65 따위의 범주로 바꾸면 이 함자는 유한 극한을 보존하게 된다.
또한, 단체 집합 formula_30의 기하학적 실현 formula_31는 언제나 CW 복합체이며, 특히 하우스도르프 공간이다.
모형 범주 구조.
단체 집합의 범주 formula_15는 표준적으로 모형 범주의 구조를 갖는다.
칸 올뭉치.
단체 집합 formula_69, formula_70 사이의 사상 formula_71가 다음 조건을 만족시킨다면, 칸 올뭉치()라고 한다.
이는 (위상 공간의) 올뭉치의 정의와 매우 유사하다. 칸 올뭉치의 기하학적 실현은 항상 세르 올뭉치를 이룬다.
formula_81이 하나의 점만을 갖는 단체 집합일 경우, 칸 복합체(Kan複合體, )는 formula_81으로 가는 유일한 사상이 칸 올뭉치를 이루는 단체 집합이다.
예.
표준 단체와 뿔.
자연수 formula_83에 대하여, 단체 집합의 범주에서 표준 formula_25차원 단체() formula_24는 formula_86로 정의되며, 요네다 보조정리에 의해
가 성립한다.
표준 formula_25차원 단체 formula_24가 주어졌을 때, formula_90에 대하여, formula_91가 formula_92에서 formula_93번째 면들을 제거한 formula_94차원 단체라고 하자. 이러한 단체 집합을 뿔()이라고 한다.
구체적 범주 속의 단체 대상.
만약 formula_95가 구체적 범주일 경우, formula_96 속의 모든 단체 대상은 망각 함자를 통해 단체 집합을 이룬다.
단체 복합체.
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
그렇다면, 다음을 정의하자.
그렇다면, formula_120는 단체 집합을 이루며, 그 기하학적 실현은 원래 단체 복합체 formula_97의 기하학적 실현과 위상 동형이다. 위 구성에서 꼭짓점 집합의 전순서를 (임의로) 고른 이유는 단체 집합은 단체 복합체와 달리, 각 단체의 꼭짓점들의 순서를 기억하기 때문이다. 물론, 기하학적 실현은 이 전순서에 의존하지 않는다.
신경.
작은 범주 formula_122가 주어졌을 때, 이에 대응하는 표준적인 단체 집합 formula_123가 존재하며, 이를 formula_122의 신경이라고 한다. 신경은 2-범주의 함자
를 정의한다.
역사.
단체 집합은 특이 코호몰로지 등을 정의하기 위하여 오랫동안 알려져 있었으나, 대니얼 퀼런이 이를 사용하여 대수적 K이론을 정의하면서 그 중요함이 알려졌다. 칸 올뭉치는 다니얼 칸이 도입하였다.