로비어 공간

기하학에서 로비어 공간(Lawvere空間) 또는 일반화 거리 공간(一般化距離空間, ) 또는 반거리 공간(半距離空間, ) 또는 확장 준 유사 거리 공간(擴張準類似距離空間, , 약자 ∞qp-거리 공간 )은 거리 공간 및 유사 거리 공간 및 확장 유사 거리 공간의 개념의 일반화이다. 위 경우와 달리, “거리 함수”가 대칭적이지 못할 수 있다.
정의.
로비어 공간의 개념은 다음과 같이 여러 가지로 정의될 수 있다.
두 정의는 서로 동치이다. 그러나 범주론적 정의를 사용하면, 기초적 정의에서 일일이 정의해야 하는 개념들이 범주론적 구성들의 특별한 경우로 자동적으로 얻어진다.
기초적 정의.
집합 formula_1 위의 로비어 계량()은 다음 두 조건을 만족시키는, 확장된 실수 값 함수
이다.
다만, 위 정의에서 formula_7일 필요는 없다. 이 조건을 추가로 만족시키는 로비어 공간을 확장 유사 거리 공간이라고 한다. 만약 formula_8의 값이 항상 추가로 유한하다면 이는 유사 거리 공간이 된다.
로비어 공간들과 상수 1의 립시츠 연속 함수들, 즉 함수 formula_9 가운데
를 만족시키는 것들은 구체적 범주를 이룬다. 이를 formula_11라고 표기하자.
접근 구조를 통한 정의.
집합 formula_1 위의 접근 구조(接近構造, ) formula_13는 다음 네 조건을 만족시키는 함수
이다.
접근 구조를 갖춘 집합을 접근 공간(接近空間, )이라고 하자. 그렇다면, 접근 공간 formula_19에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.
이에 따라, 서로 동치인 위 조건들을 만족시키는 접근 공간을 로비어 공간이라고 한다. 다시 말해, 로비어 공간은 그 접근 구조를 한원소 집합만으로부터 재구성할 수 있는 접근 공간이다.
반대로, 로비어 공간 formula_28이 주어졌을 때, 그 위의 접근 구조는
가 된다.
범주론적 정의.
다음과 같은 작은 범주 formula_30를 생각하자.
이 범주는 완비 범주이며, 텐서곱
에 대하여 닫힌 모노이드 범주를 이룬다. 이에 따라 formula_31에 대한 풍성한 범주의 개념을 정의할 수 있다. 이 경우, formula_31-풍성한 작은 범주 formula_1를 로비어 공간이라고 하며, 이 경우 풍성한 함자의 개념은 상수 1의 립시츠 연속 함수의 개념과 일치한다.
두 정의 사이의 관계는 다음과 같다.
위상.
유사 거리 공간의 경우와 달리, 로비어 공간 formula_28 위에는 다양한 위상이 사용된다.
로비어 공간 formula_28 위의, 중심 formula_41의, 반지름 formula_42의 열린 공()은 다음과 같다.
열린 공들의 집합족
은 위상의 기저를 이루며, 이들로 생성되는 위상을 일반화 알렉산드로프 위상() 또는 열린 공 위상()이라고 한다.
증명:
다음 두 조건을 보이면 족하다.
일반화 스콧 위상.
로비어 공간 formula_28 속의 점렬 formula_54이 다음 조건을 만족시키면 코시 열이라고 하자.
여기서 formula_56이어야 하는 것에 주의하자. (마찬가지로 그 반대 개념을 정의할 수 있다. 즉, formula_1의 코시 열과 formula_58의 코시 열은 일반적으로 다르다.) 코시 열 formula_54에 대하여, 만약
이라면, formula_61가 formula_62로 수렴한다고 하자.
로비어 공간 formula_28 위의 일반화 스콧 위상()에서, 부분 집합 formula_64가 열린집합일 필요 충분 조건은 다음과 같다.
일반화 스콧 위상은 일반화 알렉산드로프 위상보다 더 섬세한 위상이며, 사실 이는 일반화 알렉산드로프 위상보다 더 섬세한 위상들 가운데 코시 열의 (위의 정의에 따른) 극한이 (일반위상수학의 정의에 따른) 극한이 되는 가장 엉성한 위상이다.
만약 formula_28가 확장 유사 거리 공간이라면, 일반화 알렉산드로프 위상과 일반화 스콧 위상은 formula_1의 일반적인 위상과 같다. 만약 formula_28가 원순서 집합이라면 (즉, formula_8의 치역이 formula_72라면), formula_28의 일반화 알렉산드로프 위상은 알렉산드로프 위상과 같다.
연산.
반대 공간.
임의의 로비어 공간 formula_28에 대하여, 그 반대 로비어 공간(反對Lawvere空間, ) formula_75을 다음과 같이 정의할 수 있다.
이는 반대 범주의 개념의 특수한 경우이다.
대칭화.
로비어 공간 formula_77에 대하여, 그 거리 함수를 다음과 같이 두 가지로 대칭화할 수 있다.
그렇다면, formula_80와 formula_81 둘 다 확장 유사 거리 공간을 이룬다.
만약 formula_28가 이미 확장 유사 거리 공간이라면 formula_83이다.
상수배.
로비어 공간 formula_28 및 음이 아닌 확장된 실수 formula_85에 대하여, formula_86 역시 로비어 공간이다. (만약 formula_87일 경우, 이는 비이산 공간이다. 만약 formula_88일 경우, formula_89으로 정의하며, 이는 원순서 집합이다.)
로비어 계량의 합성.
집합 formula_1 위에 로비어 계량들의 족
이 주어졌다고 하자. 그렇다면,
역시 로비어 계량을 이룬다. 이는 사실 항등 함수에 대한 시작 구조의 특수한 경우이다.
마찬가지로, 가산 개의 로비어 계량의 족
이 주어졌을 때,
역시 로비어 계량을 이룬다. (특히, 만약 formula_98가 유한 집합이라면, 평균 계량 formula_99 역시 로비어 계량이다.)
주어진 함수를 상계로 하는 최대 로비어 계량.
임의의 집합 formula_1 및 임의의 함수
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 함수 집합
가
를 만족시키는 로비어 계량 formula_8들의 집합이라고 하자. (formula_105이 로비어 계량이므로, 이는 항상 공집합이 아니다.) 그렇다면, 이는 최대 원소
를 가지며, 이는 formula_108를 상계로 하는 최대의 로비어 계량이다.
구체적으로, 임의의 집합 formula_109 및 함수
가 주어졌을 때, 다음을 정의하자.
그렇다면, formula_108에 의하여 생성되는 로비어 계량은 다음과 같다.
몫공간.
로비어 공간 formula_28에 대하여 다음과 같은 동치 관계를 정의할 수 있다.
이에 대하여 몫집합
위에 자연스럽게 로비어 공간의 구조를 부여할 수 있다. 만약 formula_1가 유사 거리 공간이라면, formula_118는 거리 공간을 이룬다.
마찬가지로, 로비어 공간 formula_28에 대하여 다음과 같은 동치 관계를 정의할 수 있다.
이에 대한 몫집합
은 대략 formula_1의 “연결 성분”들의 집합으로 생각할 수 있다. formula_125 위에는 자연스럽게 원순서
를 취할 수 있다. 만약 formula_1가 원순서 집합이라면, formula_128이다.
분리합.
임의의 로비어 공간들의 (유한 또는 무한) 족 formula_129의 분리합()은 집합으로서 분리합집합
이다. 그 위의 로비어 계량은 다음과 같다.
이 연산은 로비어 공간의 범주 formula_11의 범주론적 쌍대곱을 이룬다.
곱.
임의의 로비어 공간들의 (유한 또는 무한) 족 formula_129의 곱은 집합으로서 곱집합
이며, 그 위의 로비어 계량은 다음과 같다.
이 연산은 로비어 공간의 범주 formula_11의 범주론적 곱을 이룬다.
시작 계량과 끝 계량.
로비어 공간의 범주의 망각 함자 formula_137는 위상 함자이므로, 시작 구조와 끝 구조를 정의할 수 있다.
구체적으로, 임의의 집합 formula_1 및 로비어 공간들의 족 formula_139 및 함수의 족 formula_140가 주어졌을 때, formula_141로 유도되는, formula_1 위의 시작 로비어 계량()은 다음과 같다.
마찬가지로, 임의의 집합 formula_1 및 로비어 공간들의 족 formula_139 및 함수의 족 formula_146가 주어졌을 때, formula_141로 유도되는, formula_1 위의 끝 로비어 계량()은 함수
를 상계로 하는 최대 로비어 계량이다.
성질.
함의 관계.
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
범주론적 성질.
로비어 공간의 범주 formula_11가 주어졌을 때, 망각 함자
는 위상 함자이다. 특히, 만약 집합 formula_109 위의 임의의 함수족
이 주어졌으며 formula_155들이 모두 로비어 공간의 구조를 가진다면, 이로부터 시작 로비어 계량()을 정의할 수 있다. 이는 위상 공간의 시작 위상과 유사하다. 마찬가지로, 집합 formula_1로 가는 임의의 함수족
이 주어졌으며 formula_155들이 모두 로비어 공간의 구조를 가진다면, 이로부터 끝 로비어 계량()을 항상 정의할 수 있다. 이는 위상 공간의 끝 위상과 유사하다.
또한, 위상 공간과 연속 함수의 범주로 가는 망각 함자
가 존재하며, 이는 로비어 공간에 열린 공 위상을 대응시킨다.
위상 공간의 로비어 계량을 통한 표현.
임의의 위상은 일련의 로비어 계량들로 표현될 수 있다. 구체적으로, 임의의 위상 공간 formula_160에 대하여, 다음 조건을 만족시키는, formula_1 위의 로비어 계량들의 집합 formula_162이 존재한다.
구성:
위상 공간 formula_1의 임의의 열린집합 formula_64에 대하여, 다음을 정의하자.
이는 로비어 계량을 이루며, 이 로비어 계량으로 생성되는 위상은 한원소 집합 formula_170를 기저로 하는 위상, 즉
이다.
이에 따라, 로비어 계량들의 집합 formula_172은 위 조건을 자명하게 만족시킨다.
역사와 어원.
프랜시스 윌리엄 로비어가 도입하였다.
이 개념은 거리 공간의 개념을 일반화하는데, 이에 대하여 로비어는 다음과 같이 적었다.
즉, 로비어 공간의 개념에서, 이 "거리" formula_173는 사실 어떤 "상태" 또는 "위치" formula_62에서 formula_175로 전이하는 데 드는 "에너지" 또는 "비용"이라고 여길 수 있다. 이 경우 로비어 공간의 공리들은 다음과 같이 해석된다.
간혹 사용되는 용어 ‘확장 준 유사 거리 공간’()에서, 각 성분은 고전적 거리 공간의 개념의 다음과 같은 일반화를 의미한다.
예.
모든 확장 유사 거리 공간은 로비어 공간이다.
시작 대상과 끝 대상.
공집합 formula_191 위에는 유일한 (자명한) 로비어 계량이 존재한다. 이는 로비어 공간의 범주의 시작 대상이다.
한원소 공간 formula_192 위에는 유일한 (자명한) 로비어 계량(formula_193)이 존재한다. 이는 로비어 공간의 범주의 끝 대상이다.
원순서 집합.
임의의 원순서 집합 formula_194에 대하여, 다음과 같은 거리 함수를 주자.
그렇다면 formula_28는 로비어 공간을 이룬다.