풍부한 가역층

대수기하학에서 풍부한 가역층(豐富한可逆層, )은 그 거듭제곱의 단면들을 사영 공간의 동차 좌표로 간주하여 대수다양체를 사영 공간에 매장시킬 수 있는 가역층이다. 복소수체 위에서, 이는 가역층의 천 특성류가 켈러 구조로 표현됨을 뜻한다.
정의.
매우 풍부한 가역층.
스킴 사상 formula_1 및 formula_2 위의 가역층 formula_3이 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건을 만족시키는
가 존재한다면, formula_3이 formula_9에 대하여 매우 풍부한 가역층(, )이라고 한다.
formula_11의 단면들은 대략 사영 공간의 동차좌표(의 선형결합)에 해당하므로, formula_12의 단면들은 사영 공간의 동차좌표를 이룬다.
매우 풍부한 인자()는 매우 풍부한 가역층에 대응하는 카르티에 인자이다.
로빈 하츠혼과 류칭이 사용하는 “매우 풍부한 가역층”의 정의는 알렉산더 그로텐디크의 정의와 약간 다르며, 이를 편의상 H-매우 풍부한 가역층이라고 하자. 이 정의는 다음과 같다.
스킴 사상 formula_1 및 formula_2 위의 가역층 formula_3이 주어졌다고 하자. 만약 어떤 (충분히 큰) 양의 정수 formula_16에 대하여 formula_4-스킴의 몰입
이 존재한다면, formula_3이 formula_9에 대하여 H-매우 풍부한 가역층이라고 한다.
즉, H-매우 풍부한 가역층의 정의에서 준연접층 formula_5는 자명한 (뒤틀리지 않은) (준)연접층, 즉 사영 공간 formula_22의 꼴이어야 한다. 모든 H-매우 풍부한 가역층은 매우 풍부한 가역층이지만, 그 역은 성립하지 않는다.
풍부한 가역층.
콤팩트 분리 스킴 formula_23 위의 가역층 formula_3이 다음 조건을 만족시킨다면, 풍부한 가역층(, )이라고 한다.
풍부한 인자(豊富한因子, )는 풍부한 가역층에 대응하는 카르티에 인자이다.
풍부한 가역층의 개념은 매우 풍부한 가역층의 개념과 달리 절대적인 조건이다. 즉, 스킴의 사상 대신, 스킴 자체에 대하여 정의된다.
대역적 단면으로 생성되는 층.
국소환 달린 공간 formula_2 위의 아벨 군 층 formula_26가 다음 조건을 만족시킨다면, 대역적 단면으로 생성되는 층()이라고 한다.
여기서 formula_43는 제약 사상이며, formula_44는 주어진 열린집합 위의 단면들의 아벨 군이다.
성질.
뇌터 환 formula_45 위의 사영 스킴 formula_46가 주어졌을 때, formula_47에 대하여 H-매우 풍부한 가역층은 풍부한 가역층이다. 뇌터 환 formula_45 위의 유한형 스킴 formula_46 및 formula_2 위의 가역층 formula_3이 주어졌을 때, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
모든 풍부한 가역층은 네프 가역층이다. 그러나 그 역은 거짓일 수 있다.
풍부함의 필요 충분 조건.
주어진 가역층이 풍부한지를 결정하려면 다양한 (필요) 충분 조건들이 존재한다.
대수적으로 닫힌 체 formula_56 위의 고유 스킴 formula_57 위에 카르티에 인자 formula_58가 주어졌다고 하자. 나카이-모이셰존 조건([中井]-Мойшезон條件, )에 의하면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
클라이먼 조건(Kleiman條件, )에 따르면, 임의의 사영 대수다양체 "X" 위의 카르티에 인자 "D"에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
클라이만 조건에서 곡선뿔의 폐포를 취하는 것은 나카이-모이셰존 조건에서 formula_67인 것과 대응한다.
카르탕-세르-그로텐디크 정리()에 따르면, 대수다양체 위의 가역층 formula_12에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.
해석기하학에서의 풍부.
복소수 formula_27차원 복소다양체 formula_75 위의 (1,1)차 복소수 미분 형식
에 대하여 다음 세 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 형식을 양의 (1,1)-미분 형식()이라고 한다.
즉, 양의 (1,1)-미분 형식을 갖춘 복소다양체는 에르미트 다양체와 동치이다.
복소다양체 formula_75 위의 해석적 선다발 formula_89에 대하여, formula_90인 표준적인 접속이 존재하는데, 이를 천 접속()이라고 한다. 천 접속의 곡률 formula_91는 항상
이며, 천 특성류를 표현한다. 만약 formula_93가 양의 (1,1)-미분 형식이라면 (즉, 천 특성류가 에르미트 다양체 구조를 정의한다면), formula_12을 양의 선다발()이라고 한다. formula_91는 항상 닫힌 미분 형식이므로, 이는 켈러 다양체의 구조를 정의한다.
복소수체 위의 완비 대수다양체 formula_96 위의 가역층 formula_3이 주어졌다고 하자. 그렇다면 그 해석화 formula_98는 콤팩트 복소다양체를 이루며, formula_99은 그 위의 해석적 선다발을 이룬다. 이 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
예.
아핀 스킴 위의 가역층.
뇌터 아핀 스킴 위의 모든 가역층은 풍부한 가역층이다.
사영 공간 위의 가역층.
체 formula_56 위의 사영 공간 formula_103 및 정수 formula_104에 대하여, 가역층
을 정의할 수 있다. 여기서 formula_106은 보편 가역층이다. 이 경우, 다음 조건들이 서로 동치이다.
대수 곡선.
대수적으로 닫힌 체 위의 대수 곡선의 경우, 어떤 인자 formula_58에 대응하는 가역층이 풍부한 가역층일 필요 충분 조건은 formula_112인 것이다. 이는 나카이-모이셰존 조건의 특수한 경우이다.
마찬가지로, 종수 formula_113의 대수 곡선의 경우, 인자 formula_58에 대응하는 가역층이 풍부한 가역층일 필요 충분 조건은
인 것이다.
예를 들어, 사영 직선(formula_116)의 경우 모든 선다발은 보편 선다발의 정수차 텐서곱 formula_117이다 (버코프-그로텐디크 정리 ). 이 경우 formula_118인 경우는 매우 풍부한 가역층이며, formula_119인 경우는 풍부한 가역층이 아니다. 예를 들어, 사영 직선 formula_120 위의 가역층 formula_121을 생각하자. formula_120의 동차 좌표계 formula_123에 대하여, 그 단면의 공간은
이다. 즉, 사상
는 매장 formula_126을 정의하며, 그 상은 대수 곡선
이다.
사영 직선의 경우와 달리, 종수가 1 이상일 경우, 풍부한 가역층이지만 매우 풍부한 가역층이 아닌 가역층이 존재한다.
대수 곡면.
나카이-모이셰존 조건에 따라서, 대수 곡면의 경우 풍부한 인자 formula_58는 다음 두 조건을 만족시키는 인자이다.
자기 교차수가 양수라는 조건은 생략할 수 없다. 나가타 마사요시는 임의의 기약 곡선에 대한 교차수가 양수이지만, 자기 교차수가 양수가 아닌 인자를 제시하였다.
역사.
나카이-모이셰존 조건은 나카이 요시카즈()와 보리스 게르셰비치 모이셰존() 이 1963년~1964년에 독자적으로 도입하였다.
클라이먼 조건은 스티븐 로런스 클라이먼()이 1966년에 도입하였다.