M이론

이론물리학에서 M이론(-理論, )은 11차원의 시공간에서 (즉 so(10,1)) 존재하는 물리 이론이다. 끈 이론과 달리, M이론은 기본적인 1차원 막을 포함하지 않으며, 대신 2차원 또는 5차원 막을 포함한다. 초끈 이론은 M이론의 축소화로 얻어질 수 있다.
정의.
아직 M이론을 일반적으로 어떻게 비섭동적으로 정의할 수 있는지는 알려져 있지 않지만, 다양한 극한을 취하면 이미 알려져 있는 이론들과 다음과 같이 연관돼 있다.
또한, M이론에 존재하는 M-막()이라는 개체들과 그 다양한 성질들이 알려져 있다.
성질.
M이론은 로런츠 계량 부호수를 가진 (10,1)차원 시공간에 존재하며, formula_3 초대칭(32개의 초전하)을 갖는다. 축소화하지 않은 M이론의 낮은 에너지 유효 작용은 11차원 초중력이다.
M이론에서 다루는 대상은 2차원의 막인 M2-막()과 5차원의 막인 M5-막()이다. M이론은 끈(1차원 막)을 포함하지 않으므로, 엄밀히 말해서 끈 이론이 아니다. (다만, M이론을 축소화하여 다양한 끈 이론을 얻을 수 있다.) 축소화하지 않은 M이론은 아무런 스칼라장을 포함하지 않으므로, 끈 이론과 달리 모듈라이를 갖지 않는다. 즉, 축소화하지 않고서는 어떤 결합 상수를 작게 만들어 섭동 이론을 전개할 수 없다. (물론, 축소화를 하면 축소화 공간의 모양에 따라서 모듈라이가 존재한다.)
축소화.
M이론을 축소화하여 ⅡA종 초끈 이론과 E8×E8 잡종 끈 이론을 얻을 수 있다. ⅡA종 초끈 이론과 E8×E8 잡종 끈 이론에서 닫힌 끈 결합 상수 formula_4가 매우 큰 극한을 취하면, 이는 축소화한 M이론에 대응되게 된다. 여기서 원래 결합 상수 formula_4는 대략 축소화한 차원의 크기에 비례하게 된다. 다른 초끈 이론들(ⅡB종, Ⅰ종, SO(32) 잡종)은 이들로부터 S-이중성과 T-이중성을 가하여 얻을 수 있다.
ⅡA종 끈 이론.
11차원 초중력을 원 (formula_6) 위에 축소화하면 10차원 ⅡA형 초중력을 얻는다. 이에 따라, M이론을 원 위에 축소화하면 ⅡA형 초끈 이론을 얻을 것이라고 예상할 수 있다. ⅡA종 끈 이론과 M이론은 다음과 같이 대응한다. 특히, ⅡA종 초끈 이론에 존재하는 여러 안정한(BPS) 물체들은 M이론에서 M2-막과 M5-막으로 자연스럽게 설명된다.
여기서 formula_7은 끈 길이()이며, formula_8는 닫힌 끈 결합 상수다. 위 표에서, 끈 이론에서의 장력들은 끈 틀()의 계량 텐서를 사용한다. 즉, 끈 틀로 계산한 단위 초부피당 작용이다.
여기서, D6-막에 해당하는 ‘칼루차-클라인 자기 홀극’이란 다음과 같다. M이론을 formula_9 위에 축소화할 때, formula_10의 등각 무한인 formula_11 위에서 formula_6이 자명하지 않은 원다발을 이룬다고 하자. 이러한 원다발은 천 특성류의 적분인 정수에 따라서 분류되며, 이는 D6-막의 수와 같다. (하나의 D6-막이 존재할 때, 이는 토브-너트 공간에 해당한다. 일반적으로, 이러한 꼴의 공간은 점근 국소 평탄 공간이라고 한다.)
D8-막의 해석은 다음과 같다. D8-막은 여차원이 1인데, 이는 D9-막에 T-이중성을 가하여 얻을 수 있다. ⅡB종 초끈 이론에는 D9-막을 임의로 추가할 수 없으며, 가능한 경우는 (O9-평면과 함께) 32개의 ½ D9-막을 갖는 Ⅰ종 초끈 이론이다. 이에 T-이중성을 가하면, Ⅰ′ 초끈 이론을 얻는다. 이는 선분 위에 ⅡA를 축소화한 것으로, 선분의 양끝(O8-평면)에 각각 16개의 ½ D8-막이 존재한다 (즉, formula_13 게이지 대칭을 갖는다). 이는 M이론을 원기둥 formula_14 위에 축소화한 것에 해당하며, 이때 D8-막 + O8-평면 위에 존재하는 SO(16) 양-밀스 이론은 M-이론의 경계 9-막에 존재하는 E₈ 양-밀스 이론의 게이지 군이 부분군
으로 깨진 것이다.
E8×E8 잡종 끈 이론.
M이론을 선분 (formula_16) 위에 축소화하면 E8×E8 잡종 끈 이론을 얻는다. 이는 T-이중성과 S-이중성을 사용하여 다음과 같이 해석할 수 있다.
따라서, E8×E8 잡종 끈 이론은 (T-이중 변환을 짝수번 가하였으므로) M이론을 축소화하여 얻을 수 있음을 알 수 있다. formula_17 오비폴드는 Ⅰ종 끈 이론을 얻기 위하여 가한 오리엔티폴드 사영에 의한 것이다. 즉, Ⅰ종 끈 이론의 T-이중 이론(Ⅰ′종 이론)은 ⅡA종 이론을 formula_16 위에 축소화한 이론이기 때문이다.
오비폴드에 의하여, 선분 formula_16의 양끝에는 세계끝 9-막()이 존재하고, 각각 E8 게이지 전하를 가진다.
이 축소화는 페트르 호르자바()와 에드워드 위튼이 1996년 발견하였다. 따라서 이를 호르자바-위튼 이론()라고도 하고, 세계끈 9-막을 호르자바-위튼 벽()이라고 한다.
이 경우,
9차원으로의 축소화.
M이론을 2차원 원환면 formula_20 위에 축소화시키자. 원환면의 두 반지름을 formula_21과 formula_22이라고 할 때, T-이중성으로 인하여 모듈라이 공간의 모양은 다음과 같다.
이는 대각선을 따른 반사 formula_23에 대하여 불변이다. 사실, 원환면의 formula_24 사상류군이 이 모듈라이 공간 위에 작용하는데, 이는 ⅡB 끈 이론의 S-이중성에 해당한다.
마찬가지로, M이론을 formula_25 위에 축소화하면, 다음과 같은 모듈라이 공간을 얻는다. (여기서 선분의 길이는 formula_26이며, 원의 반지름은 formula_21이다.)
여기서 “Ⅰ′ 끈 이론”이란 ⅠA 끈 이론을 선분 위에 축소화한 것으로, Ⅰ 끈 이론에 T-이중성을 가한 것이다. 이는 게이지 군 SO(16)×SO(16)을 갖는다. formula_28 극한에서는 결합 상수의 값에 따라 Spin(32)/(ℤ/2) 잡종 끈 이론 또는 Ⅰ 끈 이론을 얻는다.
유질량 ⅡA 끈 이론.
ⅡA종 초끈 이론에서, 0차 장세기 formula_29을 켜면, 유질량 ⅡA 초끈 이론() 또는 로만스 끈 이론()이라는 이론을 얻는다. 원 위에 축소화된 유질량 ⅡA 초끈 이론은 셰르크-슈워츠 메커니즘으로 원 위에 SL(2;ℤ) S-이중성을 사용하여 뒤틀리게 축소화된 ⅡB 초끈 이론과 T-이중성 아래 동치이다.
이는 M이론으로부터 다음과 같이 구성될 수 있다. 우선, 원 위의 원환면 올다발
을 생각하자. 이는 원환면의 사상류군 formula_24에 의하여 분류되는데, 여기에 T변환
을 사용하자. (이는 3차원 영다양체에 해당한다.) 이는 원의 반지름 formula_33와 원환면의 넓이 formula_34 및 복소구조 formula_35에 의존하는데, formula_35를 고정시키고 formula_37 극한을 취하면 유질량 ⅡA 끈 이론을 얻는다.
K3 위의 축소화.
M이론을 K3 곡면 위에 축소화하여 7차원 이론을 얻을 수 있다. 이 경우, 이는 S-이중성 아래 3차원 원환면 위에 축소화된 잡종 끈 이론과 동치이다.
이 밖에도, M이론을 G2 홀로노미의 7차원 다양체 위에 축소화할 수 있다. 이 경우, 4차원에서 formula_3 초대칭을 갖는 이론을 얻는다.
M-막.
11차원 초중력은 오직 3차 미분형식 게이지 퍼텐셜 formula_39만을 포함한다. 따라서, formula_39에 대한 전기 홀극인 M2-막()과 자기 홀극인 M5-막()이 존재한다.
M2-막.
1995년 폴 킹즐리 타운젠드()가 M2-막이 ⅡA종 초끈 이론의 기본 끈과 관련되어 있다고 제안하였다.
2007년 조너선 배거()와 닐 램버트(), 안드레아스 구스타브손()이 M2-막 세계부피 이론의 작용을 발견하였다. 이를 발견자의 머릿글자를 따 BLG 모형()이라고 한다. 이 모형은 리 괄호를 일반화한 "3-대수" formula_41라는 수학적 구조를 사용하는데, BLG 모형과 동등하지만 특수한 수학적 구조를 사용하지 않는 ABJM 모형 도 알려져 있다.
정적 게이지()에서, 하나의 M2-막에 존재하는 장들은 formula_42 초등각 대칭에 따라 결정되며, 다음과 같다.
여기서 formula_43는 M2-막의 3차원 세계부피에 수직인 formula_44개의 방향들과 대응한다.
M2-막의 장력은
이다. 여기서 formula_46는 11차원 시공간의 플랑크 길이다.
M5-막.
M5-막은 M2-막보다 덜 알려져 있다. M5-막의 세계부피 이론은 formula_47 초대칭을 가지는 등각 장론이다. M5-막이 겹치지 않은 경우에는 그 세계부피 작용이 일려져 있지만, 여러 M5-막이 겹친 경우에는 알려져 있지 않고, 아마 국소적인 라그랑지언이 존재하지 않는 이론일 것이라 추측된다.
정적 게이지()에서, 하나의 M5-막에 존재하는 장들은 formula_47 초등각대칭에 따라 결정되며, 다음과 같다.
여기서 formula_43는 M5-막의 6차원 세계부피에 수직인 formula_50개의 방향들과 대응한다.
M5-막의 장력은 다음과 같다.
이는 ⅡA종 끈 이론으로 환산하면 NS5-막의 장력과 같은데, 이는 NS5-막이 감기지 않은 M5-막이기 때문이다.
M2-막의 1+1차원 경계는 M5-막에 붙어 있을 수 있다. 이는 ⅡA 끈 이론에서, D2-막(또는 기본 끈)이 D4-막에 붙어 있는 것에 해당한다. 사실, 끈 이론에서 기본 끈이 D-막에 붙어 있는 것은 사실 D-막이 깔때기 모양으로 늘어져 있는 것이라는 사실과 마찬가지로, 이는 M5-막이 깔때기 모양으로 늘어져 있는 것에 해당한다.
역사.
1990년대 초기에는 총 5개의 초끈 이론들이 알려져 있었다. 이들은 10차원에 존재하는, 끈을 포함하는 이론이며, 이들 사이에는 T-이중성과 S-이중성 등 여러 관계가 존재한다. 1995년에 에드워드 위튼은 이들 5개의 초끈 이론들을 끈을 포함하지 않고, 11차원에 존재하는 어떤 "M이론"을 통해 얻을 수 있다는 증거를 제시하였다. 즉, 5개의 초끈 이론은 하나의 M이론의 다양한 극한(모듈러스 공간의 귀퉁이)에 해당한다. 이 사건을 제2차 초끈 혁명()이라고 한다.
위튼에 따르면, M이론의 ‘M’은 , , 또는 의 머릿자라고 한다. 은 막을 뜻하는 단어인데, 이는 M이론이 끈을 포함하지 않고, 대신 2차원 및 5차원 막을 포함하기 때문이다.
1996년에 톰 뱅크스()와 빌리 피스흘러르(), 스티븐 하트 솅커()와 레너드 서스킨드가 축소화하지 않은 M이론을 행렬 변수에 대한 양자역학의 특정한 극한으로 정의하였다. 이를 행렬 이론()이라고 한다. 영어명 ""는 행렬을 뜻하는 의 머릿글자가 M이론과 같은 "M"임을 농으로 딴 것이다.
1997년에 후안 말다세나는 AdS/CFT 대응성을 발표하면서, AdS4×S7 또는 AdS7×S4에 축소화한 M이론을, 겹친 M2-막 또는 M5-막의 세계부피 이론으로 비섭동적으로 정의할 수 있음을 보였다. 그러나 보다 더 잘 알려진 D3-막의 경우와 달리 M-막의 세계부피 이론은 오랫동안 알려지지 않았다. M2-막의 세계부피 이론은 2008년에 발견되었으나, 아직 M5-막의 세계부피 이론은 알려지지 않고 있다.