등각 켤레점

기하학에서 등각 켤레점(等角-點, )은 주어진 점과 주어진 삼각형의 각 꼭짓점을 잇는 직선을 삼각형의 각 내각 이등분선에 대하여 반사시켜 얻는 직선들의 교점이다.
정의.
삼각형 formula_1의 한 꼭짓점 formula_2 (또는 formula_3 또는 formula_4)를 지나는 직선의 등각 켤레선(等角-線, )은 그 직선을 내각 formula_5 (또는 formula_6 또는 formula_7)의 이등분선에 대하여 반사시켜 얻는 직선이다. 등각 켤레선의 등각 켤레선은 자기 자신이므로, 두 직선이 서로 등각 켤레선이라고 하기도 한다. 즉, 삼각형 formula_1의 한 꼭짓점 formula_2를 지나는 등각 켤레선은 다음 두 조건을 만족시키는 두 직선 formula_10와 formula_11를 뜻한다.
삼각형 formula_1 및 같은 평면 위의 점 formula_15가 주어졌다고 하자. 그렇다면 세 직선 formula_10, formula_17, formula_18의 등각 켤레선은 한 점 formula_19에서 만난다. 이 점을 삼각형 formula_1에 대한 점 formula_15의 등각 켤레점이라고 한다. 등각 켤레점의 등각 켤레점은 자기 자신이므로, 두 점 formula_15와 formula_19이 서로 등각 켤레점이라고 하기도 한다.
AP, BP, CP와 BC, CA, AB의 교점을 D, E, F라 하고, AP, BP, CP를 각각 각 A, B, C에 대해 각대칭시킨 세 직선과 BC, CA, AB의 교점을 D', E' F'이라 하자. 삼각형 ABC와 점 P에 대해 각체바 정리를 쓰면,
AD, BE, CF와 AD', BE', CF'은 각대칭이므로 다음이 성립한다.
따라서 각체바 정리의 역에 의해 AD', BE', CF'은 한 점 Q에서 만난다.
성질.
삼각형 formula_1에 대한 등각 켤레점 formula_15와 formula_19이 주어졌다고 하자. 점 formula_15를 삼각형의 각 변 formula_30, formula_31, formula_32에 반사시켜 얻는 점을 formula_33, formula_34, formula_35라고 하자. 그렇다면 삼각형 formula_36의 외심은 formula_19이다.
등각 켤레점의 수족 삼각형의 외접원은 일치하며, 그 중심은 두 등각 켤레점의 중점이다. 즉, 삼각형 formula_1 및 등각 켤레점 formula_15와 formula_19가 주어졌다고 하자. 점 formula_15에서 세 변 formula_30, formula_31, formula_32에 내린 수선의 발을 각각 formula_45, formula_46, formula_47라고 하고, 점 formula_19에서 세 변 formula_30, formula_31, formula_32에 내린 수선의 발을 각각 formula_52, formula_53, formula_54라고 하자. 그렇다면 두 수족 삼각형의 6개의 꼭짓점 formula_45, formula_46, formula_47, formula_52, formula_53, formula_54은 formula_15와 formula_19의 중점 formula_63을 중심으로 하는 원 위의 점이다.
대칭성에 따라 formula_54, formula_47, formula_46, formula_53이 formula_63을 중심으로 하는 원 위의 점임을 증명하는 것으로 충분하다. 직선 formula_10와 formula_70의 교점을 formula_71라고 하자. formula_2, formula_53, formula_19, formula_54은 한 원 위의 점이므로
이다. 따라서 직선 formula_11는 formula_70의 수선이며, 삼각형 formula_79와 formula_80, 삼각형 formula_81와 formula_82은 닮음이다. 따라서
이며, 방멱의 성질에 따라 formula_54, formula_47, formula_46, formula_53은 한 원 위의 점이다. formula_63은 선분 formula_89의 중점이며 직선 formula_90와 formula_91, 직선 formula_92와 formula_93은 평행하므로 formula_63은 선분 formula_95과 formula_96의 수직 이등분선의 교점이다. 즉, formula_63은 네 점 formula_54, formula_47, formula_46, formula_53을 지나는 원의 중심이다.
드로츠파르니 원.
삼각형 formula_1 및 등각 켤레점 formula_15와 formula_19가 주어졌다고 하자. 점 formula_15를 지나는 변 formula_30, formula_31, formula_32의 수선의 발을 formula_45, formula_46, formula_47라고 하고, 점 formula_19을 지나는 변 formula_30, formula_31, formula_32의 수선의 발을 formula_52, formula_53, formula_54라고 하자. 점 formula_45, formula_46, formula_47를 중심으로 하고 점 formula_19을 지나는 원이 변 formula_30, formula_31, formula_32와 각각 두 점 formula_126와 formula_127, formula_128과 formula_33, formula_34과 formula_35에서 만난다고 하자. 마찬가지로 점 formula_52, formula_53, formula_54를 중심으로 하고 점 formula_15을 지나는 원이 변 formula_30, formula_31, formula_32와 각각 두 점 formula_139와 formula_140, formula_141과 formula_142, formula_143과 formula_144에서 만난다고 하자. 그렇다면 6개의 점 formula_126, formula_127, formula_128, formula_33, formula_34, formula_35는 점 formula_15를 중심으로 하는 한 원 위의 점이며, 다른 6개의 점 formula_139, formula_140, formula_141, formula_142, formula_143, formula_144은 점 formula_19을 중심으로 하는 한 원 위의 점이다. 또한 이 두 원의 반지름은 같다. 이 두 원을 등각 켤레점 formula_15와 formula_19의 드로츠파르니 원()이라고 한다.
점 formula_15와 formula_19의 중점을 formula_63이라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.
첫째 등호는 피타고라스 정리, 둘째 등호는 점 formula_126의 정의, 셋째 등호는 코사인 법칙에 따른다. formula_166은 점 formula_15와 formula_19의 수족 삼각형의 공통 외접원의 반지름이므로, 점 formula_15와 formula_19에만 의존한다. 따라서 formula_171는 점 formula_15와 formula_19에만 의존하며, formula_126를 남은 5개의 점 가운데 하나로 대체하여도 결과는 같다.
예.
다음과 같은 두 점의 쌍들은 등각 켤레점이다.