위너 공간

확률론에서 위너 공간(Wiener空間, ) 또는 추상 위너 공간(抽象Wiener空間, )은 일종의 “정규 분포”에 해당하는 확률 측도를 갖춘, 무한 차원일 수 있는 바나흐 공간이다. 일반적으로, 르베그 측도의 일반화는 무한 차원에서 존재하지 않으며, 또한 힐베르트 공간 위의 가우스 분포 역시 무한 차원에서는 존재하지 않는다. (이러한 “측도”는 유한 가법 측도로 구성할 수 있으나, 가산 무한 가법성이 일반적으로 성립하지 않는다.) 그러나 힐베르트 공간을 내적과 다른 어떤 특별한 노름으로 완비화하면, 이렇게 하여 얻는 바나흐 공간 위에 가우스 분포의 확률 측도를 정의할 수 있으며, 위너 공간은 이러한 구성이 가능한 바나흐 공간을 일컫는다.
정의.
위너 공간의 개념은 두 가지로 정의될 수 있다.
이 두 정의는 서로 동치이다.
푸리에 변환을 통한 정의.
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
그렇다면, formula_6이므로
이며, formula_8는 formula_9의 조밀 집합을 이룬다. (여기서 formula_10는 연속 쌍대 공간을 뜻한다.)
만약
라면, formula_12가 위너 공간이라고 한다.
구체적 정의.
위너 공간의 개념은 힐베르트 공간으로부터 보다 구체적으로 정의될 수 있다.
분해 가능 실수 힐베르트 공간 formula_9 위의 기둥 집합의 족 formula_14 위에, 다음과 같은 유한 가법 측도를 정의할 수 있다.
특히,
이다. 그러나 이는 가산 무한 가법성을 충족시키지 못해, 측도를 이루지 못한다. 즉, 이는 formula_19 위의 (가산 가법) 측도의 제한이 아니다. 이를 formula_9 위의 기둥 집합 측도()라고 한다.
formula_9 위의 (내적 노름과 다를 수 있는) 노름 formula_22이 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건을 만족시키는 유한 차원 부분 공간들의 열
이 존재한다면, 이를 가측 노름()이라고 한다.
formula_9의, 어떤 가측 노름 formula_28에 대한 완비화인 바나흐 공간
가 주어졌다고 하자. formula_30이므로,
이다.
그렇다면, formula_1의 기둥 집합의 족 formula_33 위에 다음과 같은 측도를 정의할 수 있다.
이는 formula_33로 생성되는 시그마 대수
위에 가산 가법으로 유일하게 확장될 수 있다. 즉, 이는 가측 공간 formula_38 위의 확률 측도를 이룬다. 그렇다면, formula_39를 위너 공간이라고 한다.
성질.
위너 공간 formula_12가 주어졌다고 하자. 임의의 유계 범함수 formula_41에 대하여, formula_42 위의 측도 formula_43의 분포 함수는 평균이 0인 formula_42 위의 정규 분포에 비례한다. 즉, 다음과 같은 꼴이다.
또한, 만약 formula_46라면, formula_47이다.
존재.
임의의 분해 가능 바나흐 공간 formula_1에 대하여, 그 위의 위너 공간 구조 formula_49가 적어도 하나 이상 존재한다.
페일리-위너 적분.
위너 공간 formula_12이 주어졌다고 하자. 그렇다면,
가 성립한다. 또한,
임을 보일 수 있으며, 다음이 성립한다.
다시 말해, 등거리 변환인 선형 변환
이 존재한다. formula_8는 formula_9의 조밀 집합이므로, 이를 formula_9 전체로 확장할 수 있다. 즉, 등거리 변환인 단사 선형 변환
이 존재한다. 이를 페일리-위너 사상()이라고 한다. 이에 따라서, 임의의 formula_59 및 formula_60에 대하여
를 정의할 수 있다. 이를 페일리-위너 적분()이라고 한다.
캐머런-마틴 정리.
위너 공간 formula_12 및 formula_59에 대하여, 다음을 정의하자.
그렇다면, formula_1 위의 보렐 확률 측도
를 정의할 수 있다. 이 경우, 라돈-니코딤 도함수
는 다음과 같다.
여기서 formula_70는 페일리-위너 적분이다. 이를 캐머런-마틴 정리()라고 한다.
연산.
두 위너 공간 formula_12, formula_72가 주어졌을 때,
formula_73 위에 다음 조건으로 결정되는 위너 공간 구조가 존재한다.
예.
만약 formula_9가 유클리드 공간(즉, 유한 차원 힐베르트 공간)이며, formula_76라고 하자. 이 경우, formula_9 위의 위너 공간 구조의 개념은 formula_9 위의, 평균이 0인 정규 분포와 같다.
고전 위너 공간.
다음과 같은 바나흐 공간을 생각하자.
그렇다면, 그 속에 다음과 같은 부분 공간을 정의할 수 있다.
여기서 formula_82는 소볼레프 공간이다. 즉, 이 부분 공간의 원소는 거의 어디서나 1차 도함수를 가지며, 그 1차 도함수는 르베그 공간 formula_83의 원소이다. (도함수의 L2 노름의 제곱은 에너지라고 하며, 따라서 formula_84의 원소는 유한 에너지 경로()라고 한다.)
이는 조밀 집합이며, 그 위에 다음과 같은 힐베르트 공간 구조를 줄 수 있다.
이제, 임의의 확률 공간 formula_86 및 위너 과정
을 생각하자. formula_88의 궤적은 거의 확실하게 연속 함수이므로, 그 궤적들의 확률 분포는 formula_89 위의 측도를 정의한다. 즉, 임의의 보렐 집합 formula_90에 대하여,
로 놓는다.
그렇다면, formula_92는 위너 공간을 이룬다. 이를 고전 위너 공간(古典Wiener空間, )이라고 한다.
브라운 다리.
원을
로 정의하자.
L∞ 노름을 가진, 초가 값이 주어진 주기 함수들의 바나흐 공간
을 생각하자. 이 위에, 부분 공간
을 생각하자. 이는 내적
에 의하여 힐베르트 공간을 이룬다.
formula_1 위에, 확률 과정
의 법칙으로 주어지는 확률 측도를 부여하자. 여기서 formula_99는 위너 과정이다. 그렇다면, formula_100는 위너 공간을 이룬다.
힐베르트 공간 위의 위너 공간 구조.
분해 가능 힐베르트 공간 formula_9 및 에르미트 양의 정부호 힐베르트-슈미트 작용소 formula_102가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 노름
을 정의할 수 있다. 이는 가측 노름임을 보일 수 있으며, 이렇게 하여 정의된 위너 공간 formula_12에서 formula_1 역시 힐베르트 공간을 이룬다. 반대로, 임의의 위너 공간 formula_12에서 formula_1가 힐베르트 공간이라면, 이는 항상 위와 같은 꼴로 표현된다.
역사.
고전 위너 공간은 노버트 위너가 최초로 구성하였다. 이후 레너드 그로스()가 (추상적) 위너 공간의 개념을 도입하였다.
페일리-위너 적분은 레이먼드 에드워드 앨런 크리스토퍼 페일리(, 1907〜1933)와 노버트 위너의 이름을 땄다.
캐머런-마틴 정리는 로버트 호턴 캐머런(, 1908〜1989)과 윌리엄 테드 마틴(, 1911〜2004)이 증명하였다.