허용 관계

보편 대수학과 격자 이론에서 허용 관계()는 대수 구조의 연산과 호환되는 반사 대칭 관계이다. 합동 관계에서 추이성 조건을 없애 얻는 개념이다.
정의.
대수 구조 formula_1 위의 허용 관계는 통상적으로 모든 연산들과 호환되는 반사 대칭 관계로 정의되며, 특별한 조건을 만족시키는 덮개로 정의할 수도 있다. 이 두 정의는 서로 동치이다. 대수 구조 formula_1 위의 허용 관계들은 함의에 따라 대수적 격자 formula_3를 이룬다. 모든 합동 관계는 허용 관계이므로, 합동 관계 격자 formula_4는 허용 관계 격자 formula_3의 부분 집합이지만, formula_4가 formula_3의 부분 격자일 필요는 없다.
이항 관계를 통한 정의.
대수 구조 formula_1 위의 허용 관계는 다음 조건을 만족시키는 formula_9 위의 이항 관계 formula_10이다.
합동 관계는 추이적 허용 관계이다.
덮개를 통한 정의.
대수 구조 formula_1 위의 허용 관계는 다음 조건들을 만족시키는 formula_9의 덮개 formula_27이다.
집합의 분할은 정의의 처음 두 조건을 만족시키지만, 그 역은 성립하지 않는다. 합동 관계는 집합의 분할을 이루는 허용 관계이다.
두 정의의 동치.
이항 관계로서의 허용 관계와 덮개로서의 허용 관계의 정의는 서로 동치이다. 구체적으로, 대수 구조 formula_1 위의 이항 관계 formula_10가 허용 관계라고 하자. formula_47이 다음 조건을 만족시키는 극대 부분 집합 formula_48들의 집합이라고 하자.
그래프 이론의 용어를 사용하면, formula_47은 그래프 formula_52의 극대 클릭들의 집합이다. 합동 관계의 경우 이는 단순히 동치류들의 몫집합이다. 그렇다면, formula_47는 formula_9의 덮개이며, 덮개 정의의 조건들을 만족시킨다. (마지막 조건은 초른 보조정리를 사용하여 보일 수 있다.) 반대로, 허용 관계를 이루는 formula_1의 덮개 formula_32가 주어졌을 때, formula_9 위에 다음과 같은 이항 관계 formula_58를 정의하자.
그렇다면, formula_58는 formula_1 위의 허용 관계이다. formula_62과 formula_63는 이항 관계로서의 허용 관계들과 덮개로서의 허용 관계들 사이의 일대일 대응이며, 서로 역함수이다. 따라서 두 정의는 서로 동치이다. 허용 관계가 이항 관계로서 동치 관계인 것은 덮개로서 집합의 분할인 것과 동치이다. 즉, 합동 관계의 두 가지 정의도 서로 일치한다.
허용 관계에 대한 몫 대수.
대수 구조 formula_1 위에 허용 관계 formula_10이 주어졌다고 하자. 만약 임의의 formula_19항 연산 formula_20 및 formula_68에 대하여,
인 formula_70이 유일하게 존재한다면, 이는 자연스럽게 formula_1의 formula_10에 대한 몫 대수
를 정의한다. 합동 관계의 경우, 이러한 유일성 조건은 항상 만족되며, 정의된 몫 대수는 통상적인 몫 대수와 일치한다.
합동 관계와 달리, 허용 관계에 대한 유일성 조건은 성립하지 못할 수 있으며, 성립하더라도 몫 대수 formula_73가 formula_1가 속하는 대수 구조 다양체를 정의하는 항등식들을 물려받지 못할 수 있다. 따라서, 대수 구조 다양체 formula_76에 대하여, 다음 두 조건을 생각할 수 있다.
후자는 전자를 함의하지만, 전자는 후자를 함의하지 않는다.
성질.
만약 formula_1가 멱등 대수 구조라면 (formula_84), 임의의 허용 관계 formula_10 및 formula_86에 대하여, formula_87는 formula_9의 부분 대수이다.
임의의 formula_19항 연산 formula_20 및 formula_91에 대하여, formula_92를 보이면 된다. 임의의 formula_93에 대하여, formula_94(formula_22)이므로,
이다. formula_87의 극대성에 따라, formula_92이다.
대수 구조 formula_1에 대하여, 만약 formula_100이며, formula_1의 연산의 값이 될 수 없는 원소 formula_11가 존재한다면, formula_1 위에는 합동 관계가 아닌 허용 관계가 존재한다.
임의의 같은 부호수의 대수 구조 formula_104, formula_105 및 전사 준동형 formula_106가 주어졌다고 하자. formula_9 위에 합동 관계 formula_108가 주어졌을 때, formula_109 위에 다음 이항 관계 formula_110를 정의하자.
그렇다면, formula_110는 formula_109 위의 허용 관계이다.
조건 (STF)를 만족시키는 대수 구조 다양체 formula_76에서, 모든 허용 관계는 합동 관계의 준동형에 대한 상이다.
예.
집합.
집합은 formula_115인 대수 구조이다. 집합 위의 허용 관계는 단순히 반사 대칭 관계가 된다. 집합의 다양체는 자명하게 조건 (TF)와 (STF)를 만족시킨다.
군.
군 위에서, 모든 허용 관계는 합동 관계이다. 특히, 환, 벡터 공간, 가군, 불 대수 등의, 군 위에 추가 구조를 준 대수 구조들 위에서도 마찬가지다. 따라서, 이들의 다양체 역시 조건 (TF)와 (STF)를 자명하게 만족시킨다.
격자.
격자 formula_116 위에 허용 관계 formula_10이 주어졌을 때, formula_118의 모든 원소는 formula_116의 볼록 부분 격자를 이룬다. 따라서, 임의의 formula_120에 대하여,
이다. 특히,
만약 formula_14라면,
이다. 반대로, 만약 formula_123라면,
이며, 마찬가지로
이다. 따라서,
이다.
만약 formula_14이며, formula_125라면,
이며, 마찬가지로
이다. 따라서,
이다.
모든 격자는 멱등 대수 구조이므로, 임의의 formula_120은 formula_116의 부분 격자이다. 이제, formula_13, formula_141이며, formula_142라고 하자. formula_9의 극대성에 따라, formula_144를 보이려면, 임의의 formula_145에 대하여 formula_50임을 보이는 것으로 족하다.
이므로,
를 보이면 족하다. formula_9가 부분 격자이므로, formula_150이며, 따라서 formula_148이다.
격자의 다양체는 조건 (TF) 및 (STF)를 만족시킨다. 즉, 격자 formula_152 위에 허용 관계 formula_10이 주어졌을 때, 임의의 formula_154에 대하여,
인 유일한 formula_157이 존재하며, 또한 몫 대수
는 다시 격자를 이룬다.
임의의 formula_159에 대하여 다음 네 명제를 보이는 것으로 족하다. (첫 번째와 두 번째, 세 번째와 네 번째 명제는 서로 쌍대이므로, 첫 번째와 세 번째만을 증명한다.)
첫 번째 명제의 증명. formula_168라고 하자 (formula_169는 순서 아이디얼 격자에서의 상한). formula_121, formula_171이므로, formula_172, formula_173이다. formula_9와 formula_109의 극대성에 따라, 임의의 formula_176에 대하여 formula_177임을 보이면 족하다. formula_178, formula_179, formula_180, formula_181이며, formula_182라고 하자. formula_183이므로, formula_184를 보이면 족하다. formula_185이므로 formula_186이다. 또한, formula_187, formula_188, formula_160이므로 formula_190이다. 따라서, formula_191이다. formula_192, formula_193이므로 formula_194, formula_195이며, 따라서 formula_184이다.
세 번째 명제의 증명. 우선, formula_197이다. 이제, 임의의 formula_93에 대하여 formula_199임을 보이면 족하다. formula_200라고 가정하자. 임의의 formula_11와 formula_202를 취하자. 임의의 formula_203에 대하여, formula_204이므로 formula_205이며, formula_206이므로 formula_207이다. 따라서, formula_208이다. formula_209이므로, formula_210이다. formula_9의 극대성에 따라, formula_212이며, 따라서 formula_213이다. 이는 모순이다.
위 증명에 따라, 필터 격자와 순서 아이디얼 격자로 가는 자연스러운 단사 함수
가 존재하며, 항상
가 성립한다. 따라서, formula_218과 formula_219은 각각 가환 반군 formula_220 및 formula_221의 부분 반군과 동형이다 (격자로서의 동형일 필요는 없다). 이제, 흡수 법칙을 보이는 일만 남았다. 쌍대성에 따라 두 흡수 법칙 가운데 하나
만을 보여도 좋다. formula_223의 정의에 따라
이므로,
이다. 따라서 위 흡수 법칙은 참이다.
특히, 분배 격자와 모듈러 격자는 임의의 허용 관계에 대하여 몫 격자를 취할 수 있다. 그러나, 이러한 몫 격자가 다시 분배 격자나 모듈러 격자가 될 필요는 없다. 즉, 분배 격자의 다양체와 모듈러 격자의 다양체는 조건 (TF)를 만족시키지만, 조건 (STF)를 만족하지 않는다. 사실, 격자 다양체의 모든 부분 다양체는 (TF) 다양체이지만, 격자 다양체의 (STF) 부분 다양체는 격자 다양체 전체와 자명한 (한 원소 격자로 구성된) 부분 다양체밖에 없다. 이는 모든 격자는 두 원소 격자들의 직접곱의 부분 격자의 허용 관계에 대한 몫 격자의 부분 격자와 동형이기 때문이다.
상대 여원 격자 위의 모든 허용 관계는 합동 관계이다. 반대로, 모든 허용 관계가 합동 관계인 분배 격자는 상대 여원 격자이다.
모든 크기 3 이상의 격자는, 합동 관계가 아닌 허용 관계가 존재하는 부분 격자를 갖는다.