대수적 수체

대수적 수론에서 대수적 수체(代數的數體, ), 줄여서 수체(數體, )는 유리수체 formula_1의 유한 확대이다. 즉, 유리수체에, 어떤 유리수 계수 다항식의 근으로 적을 수 있는 유한 개의 원소들을 첨가하여 얻는 체이다.
정의.
대수적 수체 formula_2는 유리수체 formula_1의 유한 확대이다. 이는 대역체의 한 종류이다.
자리.
오스트롭스키 정리(Островский定理, )에 따르면, 수체 formula_2 위의 자명하지 않은 자리들은 다음과 같다.
예를 들어, 유리수체의 자리의 목록은 다음과 같다.
수체 formula_2에서, 실수 자리의 수를 formula_28, 복소수 자리의 수를 formula_29라고 한다. 이 경우, 다음이 성립한다.
이는 formula_2에서 복소수체로 가는 체의 확대의 수와 같다. (각 복소수 자리는 복소켤레를 취할 수 있으므로, 두 번 중복해서 센다.)
대수적 수체 formula_2는 대역체이므로, 다음과 같은 곱 공식()이 성립한다.
여기서 formula_34는 formula_2의 모든 자리에 대한 곱이며, formula_36는 주어진 자리에 대응하는 정규화 절댓값이다. 또한, 위 곱에서 오직 유한 개의 항을 제외한 나머지는 모두 1이어서 곱이 잘 정의된다. 예를 들어, 유리수
의 경우
이므로
이다.
수체의 대수적 성질.
가산 무한 체의 유한 확대이므로, 모든 대수적 수체는 가산 무한 집합이다.
모든 대수적 수체는 유리수체의 확대로서 다음 조건을 만족시킨다.
그러나 정규 확대(즉, 갈루아 확대)가 아닌 수체가 존재한다.
대수적 수체 formula_2에 이산 위상을 주면, 그 덧셈군은 위상군을 이룬다. 이 경우, 그 폰트랴긴 쌍대군 formula_45는 다음과 같은 아델 환의 몫이다.
대수적 정수환의 덧셈 구조.
대수적 수체 formula_2의 대수적 정수환(代數的整數環, ) formula_14는 formula_49의, formula_2 속에서의 정수적 원소들의 환이다. 즉, 다음과 같다.
이는 formula_2의 부분환을 이룬다.
대수적 수체 formula_2의 대수적 정수환은 모든 비아르키메데스 절댓값들에 대한 완비화들의 정수환(절댓값이 1 이하인 원소들의 집합)들의 교집합과 같다.
모든 대수적 수체 formula_2의 대수적 정수환 formula_14은 크룰 차원이 1인 데데킨트 정역이다. 즉, 다음이 성립한다.
대수기하학적 관점에서는 그 스펙트럼을 취해 1차원 아핀 스킴으로 여길 수 있다.
모든 대수적 수체 formula_2에서, 다음이 성립한다.
여기서 formula_61은 분수체를 뜻한다.
정수 기저.
대수적 수체의 대수적 정수환 formula_14의 덧셈군은 유한 생성 자유 아벨 군이며, 그 계수는 formula_63의 차수와 같다.
차수 "n"의 수체 formula_2의 정수 기저()는 formula_14의 (자유 아벨 군으로서의) 기저 formula_67이다. 따라서 formula_2의 모든 대수적 정수들을
로 유일하게 나타낼 수 있고, formula_2의 모든 원소들을
의 꼴로 유일하게 나타낼 수 있다.
일부 수체의 경우, 정수 기저가
가 되게 잡을 수 있다. 이러한 정수 기저를 거듭제곱 정수 기저()라고 하고, 거듭제곱 정수 기저를 갖는 수체를 단일생성체()라고 한다. 모든 이차 수체와 원분체는 단일생성체이지만, 3차 수체 가운데는 단일생성체가 아닌 체가 존재한다.
정칙 표현.
formula_75차 수체 formula_2의 정수 기저 formula_77가 주어졌다고 하자. 그렇다면 K의 임의의 원소 x를 다음과 같이 나타낼 수 있다.
따라서 x를 곱하는 연산을 유리수 계수 정사각 행렬
로 나타낼 수 있으며, 이를 x의 기저 v1, ..., vn에 대한 정칙 표현(正則表現, )이라 한다. 행렬의 대각합이나 행렬식 및 고유 다항식 등의 불변량은 formula_80가 무엇인지에 따라 결정되며, 기저에는 의존하지 않는다.
formula_81의 고유 다항식
은 formula_80를 근으로 갖는 일계수 다항식이다. 이 경우, formula_81의 대각합과 행렬식은 다음과 같다.
이 경우, formula_81의 대각합은 formula_88로 쓰고, formula_80의 대각합이라고 한다. 마찬가지로, formula_81의 행렬식은 formula_91로 쓰고, formula_80의 노름이라 한다.
대각합과 노름은 다음의 성질들을 따른다.
판별식.
수체의 판별식(判別式, )은 그 대수적 정수가 얼마나 빽빽히 존재하는지를 측정하는 불변량이다. 즉, 가역원 기준이 작을수록 수체는 더 많은 대수적 정수들을 갖는다. 구체적인 정의는 다음과 같다.
수체 formula_2의 대수적 정수환 formula_14의 정수 기저 formula_97를 고르자 (formula_98). formula_2의 실수 자리와 복소수 자리들이 다음과 같다고 하자.
그렇다면 다음과 같은 formula_102 정사각 행렬을 정의할 수 있다.
이 행렬의 행렬식의 제곱은 정수 기저나 자리들의 순서에 의존하지 않으며, 이를 formula_2의 판별식 formula_105라고 한다.
수체의 판별식 formula_105는 다음과 같은 성질을 가진다.
대수적 정수환의 곱셈 구조.
디리클레 가역원 정리.
formula_2에 속한 1의 거듭제곱근들로 구성된 근은 대수적 정수환의 꼬임 부분군이며, formula_114라고 하자. 이는 항상 유한 순환군이다. 즉, formula_2에 속한 1의 거듭제곱근들의 수가 formula_116라고 하면
디리클레 가역원 정리(Dirichlet可逆元定理, )에 따르면, formula_2의 대수적 정수환 formula_14의 가역원군 formula_120은 유한 생성 아벨 군이며, 다음과 같은 꼴이다.
즉, 가역원군의 꼬임 부분군에 대한 몫군은 유한 생성 자유 아벨 군이며, 그 계수는 formula_122이다. 예를 들어, 다음과 같다.
가역원 기준.
수체의 가역원 기준(可逆元基準, )은 수체의 가역원이 얼마나 빽빽히 존재하는지를 측정하는 불변량이다. 즉, 가역원 기준이 작을수록 수체는 더 많은 가역원들을 가진다. 가역원 기준은 유수 공식에 등장한다. 구체적인 정의는 다음과 같다.
대수적 정수환 formula_14의 가역원군 formula_120이 주어졌다고 하자. formula_2에 속하는 1의 거듭제곱근들의 순환군 formula_126에 대한 몫군
을 생각하자. 이 군의 생성원
을 고르자. 디리클레 가역원 정리에 따라서, formula_129이다 (formula_130은 실수 자리의 수, formula_131는 복소수 자리의 수).
formula_2의 실수 자리 및 복소수 자리들이 다음과 같다고 하자.
그렇다면 다음과 같은 formula_135행렬을 생각하자.
formula_137의 임의의 행의 원소들의 합은 (가역원의 체 노름의 절댓값은 항상 1이므로) 0이다.
formula_137에서 임의의 한 열 formula_140을 제거한 formula_102 정사각 행렬을 formula_142라고 하자. 각 행의 합이 0이므로, 행렬식 formula_143는 formula_144에 의존하지 않으며, 또한 이는 생성원 formula_145의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다. 이를 formula_2의 가역원 기준 formula_147라고 한다.
유일 인수 분해의 실패.
대수적 수체의 정수환은 유일 인수 분해 정역이 아닐 수 있다. 대수적 수체는 데데킨트 정역이므로, 유일 인수 분해 정역인 수체는 항상 주 아이디얼 정역이다.
유일 인수 분해가 실패하는 수체의 경우, 아이디얼 유군 formula_149 및 그 크기인 유수(類數) formula_150를 정의할 수 있다. 대수적 수체의 아이디얼 유군은 항상 유한군이며, 유수는 데데킨트 제타 함수의 유수(留數)로부터 유수 공식을 통해 계산할 수 있다.
분기화.
대수기하학적으로, 포함 관계 formula_151는 반대로 스킴 사상 formula_152을 정의한다. 즉, 대수적 수체의 대수적 정수환은 정수환의 스펙트럼의 (분기) 피복 공간으로 볼 수 있다. 이 경우, 분기화()가 나타날 수 있다. 즉, 유리정수환에서의 소수로 생성되는 주 아이디얼이 대수적 정수환에서는 소 아이디얼이 아니어 인수 분해가 존재할 수 있다.
수체 formula_63 및 소수 formula_154가 주어졌을 때, formula_23로 생성되는 주 아이디얼은 formula_14에서 다음과 같이 소 아이디얼들의 곱으로 인수 분해된다.
여기서 formula_158를 formula_2의 formula_160에서의 분기 지표()라고 한다.
이 경우, formula_23는 다음과 같이 세 가지로 분류된다.
수체 formula_63에서, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
판별식의 소인수의 수는 유한하므로, 따라서 오직 유한 개의 소수만이 분기화된다.
대수기하학적으로, 포함 관계 formula_151는 반대로 스킴 사상 formula_152을 정의한다. 즉, 대수적 수체의 대수적 정수환은 정수환의 스펙트럼의 (분기) 피복 공간으로 볼 수 있다. 이 경우, 분기화()가 나타날 수 있다. 즉, 유리정수환에서의 소수로 생성되는 주 아이디얼이 대수적 정수환에서는 소 아이디얼이 아니어 인수 분해가 존재할 수 있다.
수체의 기타 불변량.
위에 정의된 불변량 (차수, 실수 및 복소수 자리의 수, 판별식, 가역원 기준, 아이디얼 유군 등) 밖에도, 수체 formula_2에 대응되는 주요 불변량들은 다음이 있다.
예.
다음과 같은 예들이 있다.
유리수체.
유리수체 formula_1는 자명한 대수적 수체이다. 이는 차수가 1인 유일한 수체이다.
오스트롭스키 정리()에 따르면, 유리수체 formula_1는 다음과 같은 자리들을 가진다.
특히, formula_1는 실수 자리 1개와 복소수 자리 0개를 갖는다.
유리수체의 대수적 정수환은 정수환 formula_205이며, 이는 주 아이디얼 정역이다. 다시 말해, 유리수체의 대수적 정수환에서는 유일 인수 분해가 성립하며, 그 아이디얼 유군은 자명군이며, 그 유수는 1이다.
유리수체에서 체 대각합과 체 노름은 항등 함수이다.
유리수체의 대수적 정수환 formula_205의 정수 기저는 formula_208을 고를 수 있다. 이는 자명하게 거듭제곱 정수 기저를 이루며, 따라서 유리수체는 자명하게 단일생성체를 이룬다. 유리수체의 판별식은 다음과 같이 자명하게 1이며, 민코프스키 하한에 따라서 판별식이 1인 유일한 수체이다.
유리수체의 대수적 정수환의 가역원군은 formula_210이며, 이는 1의 거듭제곱근으로만 구성된다. 즉, 디리클레 가역원 정리가 자명하게 성립한다. 유리수체의 가역원 기준은 (0×0 행렬의 행렬식이므로) 1이다.
유리수체의 데데킨트 제타 함수는 리만 제타 함수 formula_212이다. 리만 제타 함수의 formula_213에서의 유수는 1이며, 이 경우 유수 공식은 다음과 같이 성립한다.
이차 수체.
제곱 인수가 없는 정수 formula_215에 대하여, 이차 수체
를 정의할 수 있다. 이는 유리수체의 2차 확대이다. 이 경우, formula_215가 양수일 경우 실수 이차 수체, 음수일 경우 허수 이차 수체라고 한다. 특수한 예로, 가우스 유리수체 formula_218가 있다. 다른 예로, formula_219는 그 대수적 정수환이 유일 인수 분해 정역이 아닌 이차 수체이다. 예를 들어, formula_220이다.
기저를 formula_221로 잡으면, 각 원소
는 다음과 같은 2×2 정사각 행렬로 적을 수 있다.
이 경우 대각합과 노름은 다음과 같다.
이차 수체의 판별식은 다음과 같다. 제곱 없는 정수 formula_215에 대하여,
이다. 이차 수체의 판별식과 같은 정수를 기본 판별식()이라고 한다. 양의 기본 판별식들은 다음과 같다.
음의 기본 판별식들은 다음과 같다.
원분체.
원분체는 유리수체에 1의 거듭제곱근 formula_228을 추가하여 정의한다.
특수한 예로, 아이젠슈타인 유리수 formula_230가 있다.
formula_231일 때, 원분체 formula_232의 판별식은 다음과 같다.
여기서
대수적 수체가 아닌 확대.
다음과 같은 체의 확대들은 대수적 수체가 아니다.