바나흐 고정점 정리

수학에서 바나흐 고정점 정리(-固定點定理, ) 또는 축약 사상 정리(縮約寫像定理, )는 완비 거리 공간 위의 축약 사상이 유일한 고정점을 갖는다는 정리이다.
정의.
거리 공간 formula_1 위의 축약 사상(縮約寫像, )은 1 미만의 상수에 대한 립시츠 연속 함수이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 formula_2이 존재하는 함수 formula_3이다.
바나흐 고정점 정리에 따르면, 완비 거리 공간 formula_1 위의 축약 사상 formula_3은 유일한 고정점을 갖는다. 즉, formula_8인 formula_9가 존재하며, 이는 유일하다.
사실, 임의의 formula_10에 대하여, 반복 점렬 formula_11은 formula_12로 수렴한다. (여기서 formula_13은 formula_14의 formula_15번 합성이다.) 그 오차의 한 상계는 다음과 같다.
우선, 임의의 formula_17에 대하여, 다음이 성립한다.
따라서, 임의의 formula_19에 대하여,
이다. 즉, formula_21는 코시 열이며, 어떤 점 formula_9로 수렴한다. 그렇다면, formula_14가 연속 함수이므로
이며, formula_12는 formula_14의 고정점이다.
반대로, formula_27가 formula_14의 고정점이라고 하자. 그렇다면,
이므로
이다. 즉, formula_31이다.
우선, 임의의 formula_4에 대하여,
이므로
이다. 특히, formula_35가 모두 formula_14의 고정점일 경우 formula_37이다.
이제, 임의의 formula_38에 대하여
이다. 즉, formula_21는 코시 열이며, 어떤 점 formula_12으로 수렴한다. 그렇다면, formula_42이며, 또한 다음이 성립한다.
응용.
바나흐 고정점 정리는 다음과 같은 명제들의 증명에서 사용할 수 있다.
역.
Bessaga (1959).
집합 formula_44 및 함수 formula_3 및 formula_46이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
Hitzler; Seda (2001).
T1 공간 formula_44 위의 함수 formula_3가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.
그렇다면, formula_14가 1/2에 대한 축약 사상이 되는, formula_44 위의 완비 초거리 함수 formula_52가 존재한다.
일반화.
다양한 방향의 수많은 변형과 일반화가 존재한다.
축약 조건의 약화.
"n"번 합성이 축약 사상인 경우.
완비 거리 공간 formula_1 위의 함수 formula_3에 대하여, formula_13이 축약 사상인 formula_47가 존재한다고 하자. 그렇다면, formula_14는 유일한 고정점을 갖는다.
존재: 바나흐 고정점 정리에 따라, formula_13은 유일한 고정점 formula_9을 갖는다.
이므로, formula_76 역시 formula_13의 고정점이다. 따라서 formula_8이다.
유일성: formula_14의 고정점은 formula_13의 고정점이므로 formula_12로 유일하다.
"n"번 합성에 대한 상수의 급수가 수렴하는 경우.
완비 거리 공간 formula_1 위의 함수 formula_3에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 수열 formula_84이 존재한다고 하자.
그렇다면, formula_14는 유일한 고정점을 갖는다.
바나흐 고정점 정리의 증명을 조금 수정한다.
콤팩트 공간에서의 약화.
축약 사상의 정의에서 상수 1을 취하고 부등식을 엄격한 부등식으로 대체할 경우, 보다 더 약한 조건을 얻는다. 바나흐 고정점 정리는 축약 조건을 이 조건으로 약화할 경우 거짓이 된다. 그러나 콤팩트 공간 조건을 추가할 경우 다시 참이다. (모든 콤팩트 거리 공간은 자동적으로 완비 거리 공간이다.)
구체적으로, 콤팩트 거리 공간 formula_1 위의 함수 formula_3가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.
그렇다면, formula_14는 유일한 고정점을 갖는다.
함수
가 연속 함수이므로, 콤팩트 조건에 따라 이 함수는 어떤 점 formula_9에서 최솟값을 갖는다. 특히
이며, 따라서 formula_99이다.
준축약 사상.
거리 공간 formula_1 위의 준축약 사상()은 다음 조건을 만족시키는 formula_2이 존재하는 함수 formula_3이다.
완비 거리 공간 formula_1 위의 준축약 사상 formula_3은 유일한 고정점을 갖는다.
약축약 사상.
거리 공간 formula_1 위의 약축약 사상()은 다음 조건을 만족시키는 함수 formula_108가 존재하는 함수 formula_3이다.
완비 거리 공간 formula_1 위의 약축약 사상 formula_3은 유일한 고정점을 갖는다.
거리 공간의 일반화.
유사 거리 공간 또는 직사각 거리 공간() 또는 뿔 거리 공간() 따위에서의 일반화가 존재한다.
예.
비(非)완비 거리 공간에 대한 반례.
(표준적인 거리 공간 구조를 갖춘) 구간 formula_116은 완비 거리 공간이 아니다. 그 위의 함수
는 축약 사상이지만, 고정점을 가지지 않는다.
비(非)콤팩트 공간에 대한, 축약 조건의 약화의 반례.
(표준적인 거리 공간 구조를 갖춘) 실수 집합 formula_118은 완비 거리 공간이지만 콤팩트 공간이 아니다. 그 위의 함수
를 생각하자. 임의의 formula_93에 대하여, 평균값 정리에 따라
이다. 그러나 formula_14는 고정점을 가지지 않는다.
모든 축약 사상이 유일한 고정점을 가지는 비(非)완비 거리 공간.
(표준적인 거리 공간 구조를 갖춘) 집합
을 생각하자. 이는 formula_126의 닫힌집합이 아니므로 (formula_127) 완비 거리 공간이 아니지만, 모든 축약 사상이 유일한 고정점을 갖는다. 임의의 연속 함수 formula_128에 대하여, formula_14의 고정점의 존재를 보이는 것으로 족하다. (이는 모든 축약 사상이 연속 함수이며, 축약 사상의 고정점은 많아야 하나이기 때문이다.) 만약 formula_130이라면, 0은 formula_14의 고정점이다. 이제 formula_47에 대하여 formula_133이라고 가정하자. 다음과 같이 정의하자.
그렇다면, formula_136는 연속 함수이다. formula_137이 콤팩트 볼록 집합이므로, formula_136는 고정점 formula_139을 가진다. 또한, formula_140이며 formula_8임을 보일 수 있다. (만약 formula_142이라면,
이므로 formula_144이 되어 모순이다. 그렇다면,
이므로, formula_146이며, 따라서
이다.)
역사.
스테판 바나흐가 1922년에 처음 서술하였다.