측지선

측지선(測地線, ) 또는 지름길이란 직선의 개념을 굽은 공간으로 일반화한 것이다.
정의.
로비어 공간 formula_1과 닫힌구간 formula_2가 주어졌다고 하자.
만약 함수
에 대하여, 다음 조건이 성립하게 하는 상수 formula_4가 존재한다면, formula_5를 (대역적) 측지선((大域的)測地線, )이라고 한다.
이는 항상 길이를 갖는 곡선이며, 그 길이는 물론 formula_7이다. formula_8를 측지선 formula_5의 속력(速力, )이라고 한다.
만약 닫힌구간 formula_2 위에 정의된 함수
가 다음 조건을 만족시킨다면, 국소 측지선(局所測地線, )이라고 한다.
사실 formula_15가 콤팩트 공간이므로, 위 조건은 다음을 만족시키는 음이 아닌 실수 formula_4 및 양의 실수 formula_17의 존재와 동치이다.
이 역시 길이를 갖는 곡선이며, 그 길이는 역시 formula_7이다.
로비어 공간 formula_20에 대하여, 다음 조건들을 정의하자.
모든 측지선 로비어 공간은 길이 로비어 공간이다.
다양체의 측지선.
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
이 경우, formula_31 위의 에너지 측지선은 다음 조건을 만족시키는, 매끄러운 곡선
이다. 우선, formula_5의 상을 포함하는 임의의 열린집합 formula_38 위에, 다음 조건을 만족시키는 임의의 벡터장을 고르자.
그렇다면, formula_41는 다음 조건을 만족시켜야 하며, 이를 측지선 방정식(測地線方程式, )이라고 한다.
측지선 방정식은 대략 접벡터가 측지선을 따라 이동할 때 평행을 유지한다는 것을 의미한다.
이 조건이 성립하는지 여부는 사실 formula_41의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다. 사실, 위 조건은 국소 좌표계로 적으면 다음과 같다.
여기서 formula_45는 formula_33의 크리스토펠 기호이다.
성질.
기초적 성질.
임의의 로비어 공간 formula_20 및 임의의 양의 실수 formula_48가 주어졌을 때, formula_49 역시 로비어 공간을 이룬다. 이 경우, formula_50의 (국소) 측지선은 다음과 같다.
마찬가지로, 반대 로비어 공간 formula_59 위의 측지선은 다음과 같다.
임의의 매끄러운 다양체 및 아핀 접속 formula_70에 대하여, 그 위의 에너지 측지선은 매개 변수의 아핀 변환에 의존하지 않는다.
위상수학적 성질.
임의 확장 유사 거리 공간(즉, 대칭 계량을 갖는 로비어 공간)에서, (상수 formula_8에 대하여 성립하는) 측지선은 항상 (같은 상수 formula_72에 대한) 립시츠 연속 함수이며, 특히 균등 연속 함수이자 연속 함수이다.
일반적 로비어 공간의 경우 측지선이 (열린 공 위상에서) 연속 함수일 필요는 없다. 그러나 닫힌구간 formula_15 위에 다음과 같은 기저를 갖는 조르겐프라이 위상
을 부여할 때, 측지선 formula_75는 formula_41의 열린 공 위상에 대하여 연속 함수이다. (조르겐프라이 위상은 표준적 위상보다 더 섬세한 위상이다.)
길이 공간.
길이 로비어 공간 formula_20의 경우, 함수 formula_3가 속력 1의 측지선이 될 필요 충분 조건은 formula_5가 두 점 formula_80, formula_81를 잇는 최단의 거리를 갖는 곡선인 것이다.
리만 다양체.
준 리만 다양체 formula_82 위의 매끄러운 함수
에 대하여, 다음과 같은 두 범함수를 정의할 수 있다.
이 둘은 formula_5에 대한 작용을 이루며, 이 둘에 대한 오일러-라그랑주 방정식을 정의할 수 있다. formula_87는 곡선의 길이이며, formula_88는 단위 질량의 입자의 (비(非)상대론적) 운동 에너지이다. 길이 범함수는 매개 변수의 변환에 대하여 불변이지만, 에너지 범함수의 경우 그렇지 않다.
임의의 준 리만 다양체에서, 에너지 범함수 formula_89의 오일러-라그랑주 방정식은 측지선 방정식과 같다.
유도:
편의상 아인슈타인 표기법을 사용하자.
에너지 범함수는 다음과 같은 라그랑지언의 적분이다.
일반화 운동량은 다음과 같다.
마찬가지로, 일반화 힘은 다음과 같다.
따라서 오일러-라그랑주 방정식은 다음에 formula_95, formula_96, formula_97를 대입하여 얻는다.
즉, 다음과 같다.
즉, 이를 재정리하면 다음과 같다.
리만 다양체 formula_82는 매끄러운 다양체이며, 또한 항상 길이 로비어 공간을 이룬다. 이에 따라, 측지선의 개념과 다양체 측지선의 개념을 동시에 적용할 수 있다. 리만 다양체 위의 에너지 측지선
의 경우, formula_103가 국소 측지선을 이루는 증가 전단사 연속 함수 formula_104가 존재한다. 반대로, 매끄러운 국소 측지선 formula_36의 경우, formula_106가 에너지 측지선을 이루는 증가 전단사 연속 함수 formula_107이 존재한다.
예.
임의의 로비어 공간 또는 매끄러운 다양체 formula_41 위의 상수 곡선
는 자명하게 측지선을 이룬다.
이산 공간과 비이산 공간.
임의의 기수 formula_111에 대하여, 크기 formula_111의 집합 formula_41 위에 유사 거리 함수
를 부여하자. (이는 이산 공간에 해당한다.) 이 경우, 측지선은 상수 곡선 밖에 없다.
크기 formula_111의 집합 formula_41 위에 로비어 공간 구조
를 주자. (이는 비이산 공간에 해당한다.) 이 경우, 임의의 곡선
은 측지선이다.
노름 공간.
노름 공간 formula_119가 주어졌다고 하자. 만약 거리 함수
를 부여하였을 때, 이는 유일 측지선 공간이며, 임의의 서로 다른 두 벡터 formula_121 사이의 측지선은 다음과 같은 꼴의 선분이다.
특히, 유클리드 공간의 거리는 위와 같이 노름으로 주어지므로, 유클리드 공간의 측지선은 선분이다.
유클리드 공간을 리만 다양체로 여겼을 때, (직교좌표계에서) 크리스토펠 기호가 0이다.
따라서 측지선 방정식은 단순히 가속도가 0인 것이 된다.
초구.
초구 위의 측지선은 대원이라고 한다.
직선 위의 리만 계량.
실수선 formula_126 위에 다음과 같은 리만 계량을 주자.
그렇다면, 이 경우 크리스토펠 기호는 다음과 같다.
측지선 방정식은 다음과 같다.
이는 2차 상미분 방정식이다. 이는 위치 및 속도 의존 힘
의 영향을 받는 입자의 운동이다.
예를 들어, 크리스토펠 기호가 상수인 경우, 즉
인 경우, 이 방정식은
이며, 그 해는
이다.
역사와 어원.
‘측지선’이라는 용어는 지구상의 두 점 사이의 최단 경로(대원의 일부) 따위를 연구하는 측지학에서 온 것이다. 한국어의 경우, 대한수학회 용어집에서는 "측지선", 한국물리학회 용어집에서는 "지름길"을 쓴다.
응용.
일반 상대성 이론에서, 시공간은 준 리만 다양체를 이룬다. 이 경우, 시험 입자((에너지와 운동량이 매우 작아, 시공간에 거의 영향을 끼치지 않는 입자)는 시공간의 측지선을 따라 움직인다.