호지 추측

호지 추측(Hodge推測, )은 대수기하학에서 복소수체 위의 비특이 사영 대수다양체의 코호몰로지에 대한 주요 미해결 문제이다. 이 추측의 개요는 특정 드람 코호몰로지류, 즉 임의의 X의 호지 류들은 항상 X의 부분 대수다양체들의 코호몰로지 류들의 유리수에서의 선형 결합으로 표현 가능, 즉 대수적이라는 것이다. 즉, 이러한 코호몰로지류들은 부분 대수다양체들로 나타낼 수 있는 호몰로지류들의 푸앵카레 쌍대들로 나타낼 수 있다는 것이다.
정의.
복소 "n"차원의 콤팩트 연결 복소 대수다양체 "X"가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이 위에는 코호몰로지를 다음과 같은 위상수학·해석학·대수기하학을 사용하여 세 가지 방법으로 정의할 수 있다.
호지 코호몰로지와 특이 코호몰로지 사이의 관계는 이미 잘 알려져 있다. 호지 추측은 이들과 대수기하학적 코호몰로지 사이의 관계에 대한 추측이다.
호지 이론.
임의의 콤팩트 formula_3차원 복소다양체 formula_4가 주어졌다고 하자. 이는 실수 formula_5차원 유향 매끄러운 다양체이므로, 대수적 위상수학을 통해 특이 코호몰로지 군 formula_6를 정의할 수 있다.
만약 formula_4가 추가로 켈러 다양체의 구조가 주어졌다면, 호지 이론을 사용하여 특이 코호몰로지의 꼬임 부분군에 대한 몫군을 다음과 같이 돌보 코호몰로지 군으로 추가로 분해할 수 있다.
여기서 formula_2는 formula_10차 조화 형식으로 표현되는 코호몰로지류들로 구성되는 부분군이다. 호지 이론에 따라, 특정 복소좌표계 formula_11에서, (p,q)차 코호몰로지류들은 다음과 같은 꼴의 복소 미분 형식들의 합으로 표현된다.
코호몰로지 상의 합곱에 상응하는 조화형식의 쐐기곱을 취하면 합곱은 다음과 같이 호지 분해로 변환된다.
대수적 코호몰로지.
formula_4가 표수가 0인 체 위의 formula_3차원 비특이 사영 대수다양체라고 하자.
"X"의 대수적 순환은 "X" 다양체의 형식적 선형 결합으로, 다음과 같은 꼴이 된다.
여기서 계수 formula_17는 정수이거나 유리수일 수 있다. 여기서 대수적 순환의 코호몰로지류를 이것을 구성하는 코호몰로지류들의 합으로 정의할 수 있으며, 이렇게 나타낼 수 있는 코호몰로지류를 대수적 코호몰로지류라고 한다.
호지 이론과 대수적 코호몰로지의 비교.
formula_4가 복소수체 위의 임의의 formula_3차원 비특이 사영 대수다양체라고 하자. 그렇다면 가가 정리에 따라 이에 대응되는 사영 공간에 매장될 수 있는 복소다양체 formula_20을 정의할 수 있으며, formula_4의 임의의 formula_22차원 부분 대수다양체 formula_23에 대하여 이에 대응하는 복소다양체의 부분 복소다양체
가 존재한다. 그렇다면 formula_20 위의 임의의 formula_10차 복소 미분 형식 formula_27에 대하여, 다음과 같은 적분을 정의할 수 있다.
formula_29의 기본류는 formula_30이므로, 만약 formula_31라면 이 적분은 0이다. 보다 추상적으로, 이 적분은 부분 복소다양체 formula_32로 나타내어지는 호몰로지류 formula_33와 formula_34로 표현되는 코호몰로지류 formula_35에 대한 교곱
으로 생각할 수 있다. 푸앵카레 쌍대성에 의해, formula_32의 호몰로지류의 짝이 되는 코호몰로지류 formula_38를 정의할 수 있다. 이 교곱은 formula_39와 formula_34의 합곱에 formula_20의 기본류 formula_42를 교곱하여 계산할 수 있다. 코호몰로지 formula_39는 호지 분해되기 때문이다. 이상과 같이 이 코호몰로지류에 차수가 formula_44가 아닌 임의의 호몰로지류를 합곱할 경우 0이 된다. 따라서 formula_45이기 때문에
이다.
이에 따라, 유리수 계수 대수적 순환군 formula_47에서 특이 코호몰로지로 가는 자연스러운 사상
이 존재한다. 여기서
를 호지 류()의 군이라고 한다.
그렇다면 호지 추측은 다음과 같은 문제이다.
증명.
2021년 기준 현재 호지 추측은 아직 미해결 문제이다. 그러나 호지 추측의 다양한 부분적인 경우들이 증명되었다. 여기서 formula_3은 사영 다양체의 복소수 차원, formula_54는 호지 류의 차수(=부분다양체의 여차원)이다.
(여)차원이 1 이하인 경우.
솔로몬 렙셰츠는 1924년에 다음을 증명하였다.
이는 지수열로 쉽게 증명할 수 있다.
또한, 어려운 렙셰츠 정리를 사용하여 다음을 보일 수 있다.
따라서 호지 추측은 formula_59차 호지 류에 대해서도 성립한다. 즉, formula_60이라면 호지 추측은 참이다.
아벨 다양체.
대부분의 아벨 다양체의 경우, 호지 류의 대수는 1차 호지 류로부터 생성되며, 1차 호지 류의 경우 호지 추측이 성립하므로, 모든 차수에 대하여 호지 추측이 성립한다.
그러나 특수한 경우, 호지 류가 1차 호지 류로부터 생성되지 않는 아벨 다양체가 존재한다. 이러한 현상은 아벨 다양체가 허수 이차 수체에 대한 복소 곱셈을 가질 때 발생하며, 반대로 5차원 이하에서는 아벨 다양체가 허수 이차 수체에 대한 복소 곱셈을 갖지 않는다면 모든 호지 류가 1차류로부터 생성됨이 증명되었다. 즉, 호지 추측은 허수 이차 수체에 대한 복소 곱셈을 갖지 않는 5차원 이하의 아벨 다양체에 대하여 성립한다.
호지 자취의 대수성.
복소수체 위의 사영 대수다양체의 복소 구조를 변화시킨다면, 돌보 코호몰로지로의 호지 분해 또한 바뀌게 된다. 만약 호지 추측이 옳다면, 복소 구조의 모듈라이 공간 속에서, 어떤 주어진 올이 호지 류를 이루는 점들의 집합은 모듈러스 공간의 대수 집합을 이루어야 한다. 이러한 집합을 호지 자취()라고 한다. 호지 자취가 대수적이라는 사실은 1995년에 증명되었으며, 이는 호지 추측이 참이라는 중요한 증거로 꼽힌다.
일반화.
호지 추측을 여러 방향으로 일반화하려 할 수 있지만, 이러한 일반화 호지 추측들은 대부분 거짓임이 증명되었다.
정수 계수.
호지 추측은 정수 계수에서는 성립하지 않는다. 즉, 자연스러운 사상
은 전사 함수가 아닐 수 있다. 이러한 정수 계수 호지 류는 꼬임 부분군에 속할 수 있으며, 꼬임 호지 류는 대수적 순환으로 나타내어질 수 없다.
꼬임을 무시하여도, 정수 계수 호지 추측은 거짓이다. 즉, 자연스러운 사상
역시 전사 함수가 아닐 수 있다.
켈러 다양체.
복소수체 위의 사영 대수다양체라는 조건은 일반적인 콤팩트 켈러 다양체로 약화시킬 수 없다. 1977년, 스티븐 저커()는 (p,p)차 해석적 유리수 계수 코호몰로지가 대수적이지 않은, 사영 대수다양체가 아닌 복소 원환면이 존재함을 보였다.
켈러 다양체의 경우, 다음과 같은 더 약화된 호지 추측을 제시할 수도 있다.
그러나 이 또한 거짓임이 2002년 증명되었다.
일반화 호지 추측.
호지 추측을 단순히 어떤 함수의 전사성 대신, 호지 구조의 개념을 사용하여 더 추상적으로 일반화시킬 수 있다. 이를 일반화 호지 추측()라고 한다. 원래 호지가 제시한 형태의 일반화 호지 추측인 formula_66에 대해서는 알렉산더 그로텐디크가 거짓이라고 지적하였지만, 그로텐디크가 수정한 형태의 일반화 호지 추측인 "Nc" "Hk"("X", Q)은 formula_67에 포함된 가장 큰 "Hk"("X", Z)의 하위 호지 구조인가에 대한 물음은 아직 미해결 문제이다.
역사.
1930년대에 스코틀랜드의 기하학자인 윌리엄 밸런스 더글러스 호지는 호지 이론을 개발하였고, 이 이론을 집대성한 1941년 저서 《조화 적분의 이론과 응용》에서 이 추측을 처음으로 발표하였다. 호지가 1950년 세계 수학자 대회 강의에 이 문제를 언급하면서 호지 추측은 수학계의 주요 미해결 문제로 부상하였다.
2000년 클레이 수학연구소는 호지 추측을 밀레니엄 문제의 하나로 선정하였고, 이 문제의 증명이나 반증에 대하여 100만 미국 달러의 상금을 걸었다.