극점 (기하학)

기하학에서 극점(極點, )은 어떤 볼록 집합 속의 점 가운데, 다른 두 점의 볼록 선형 결합으로 나타낼 수 없는 것이다. 즉, 볼록 집합의 일종의 ‘귀퉁이’에 해당한다. 크레인-밀만 정리(Крейн-Мильман定理, )에 따르면, 실수 국소 볼록 공간의 콤팩트 볼록 집합은 그 극점들의 볼록 폐포와 같다. 쇼케 정리(Choquet定理, )에 따르면, 거리화 가능 콤팩트 볼록 집합 속의 임의의 점은 그 극점 집합 위에 정의된 확률 측도의 무게 중심으로 나타내어진다.
정의.
실수 벡터 공간 formula_1 속의 볼록 집합 formula_2의 부분 집합 formula_3가 다음 두 조건을 만족시킨다면, 면(面, )이라고 한다.
실수 벡터 공간 formula_1 속의 볼록 집합 formula_2 속의 점 formula_10에 대하여, 만약 formula_11가 formula_2의 면이라면, formula_13를 formula_2의 극점이라고 한다.
formula_2의 극점의 집합을 formula_16로 표기하자.
극점 계수.
보다 일반적으로, 실수 벡터 공간 formula_1 속의 볼록 집합 formula_2 속의 점 formula_10의 극점 계수()는 다음과 같은 자연수이다.
여기서, 임의의 양의 정수 formula_21에 대하여
는 formula_24차원 단체의 내부이다. 특히, formula_25이며, 임의의 formula_10는 formula_27로 나타내어지므로 항상 formula_28이다.
이 경우, 만약 formula_29이라면 formula_13를 formula_31-극점이라고 하자. 즉, 극점의 개념은 0-극점의 개념과 같다.
성질.
임의의 실수 벡터 공간 formula_1의 볼록 집합 formula_33의 면들의 족 formula_34에 대하여, 그 교집합 formula_35는 공집합이 아니라면 항상 면이다.
증명:
임의의 formula_36 및 formula_37에 대하여,
라고 하자. 그렇다면, 면의 정의에 따라서 formula_39이며, 따라서 formula_40이다.
존재.
임의의 하우스도르프 실수 국소 볼록 공간 formula_41 속의, 공집합이 아닌 콤팩트 볼록 집합 formula_42의 닫힌 면 formula_43에 대하여, formula_44에 속하는 formula_45의 극점이 (적어도 하나 이상) 존재한다.
증명:
formula_45의 닫힌 면들의 (부분 집합 관계의 반대 관계에 대한) 부분 순서 집합 formula_47을 생각하자. 초른 보조정리를 사용할 경우, 다음 두 명제를 보이면 족하다.
극점의 볼록 폐포.
임의의 실수 벡터 공간 formula_1 속의 볼록 집합 formula_2 속의 두 점 formula_4 및 formula_37에 대하여, 다음이 성립한다.
크레인-밀만 정리에 따르면, 임의의 하우스도르프 실수 국소 볼록 공간 formula_1 속의 콤팩트 볼록 집합 formula_33은 그 극점들의 볼록 폐포와 일치한다.
증명:
formula_74은 자명하므로 formula_75이라고 가정하자. formula_45의 극점 집합 formula_77를 생각하자. 자명하게 formula_78이다. (여기서 formula_79는 볼록 폐포이다.) 따라서 formula_80를 보이면 족하다.
귀류법을 사용하여, formula_81라고 하자. 한-바나흐 정리에 의하여, formula_11와 formula_83를 분리하는, 즉
가 성립하는 실수 값 선형 범함수
가 존재한다. formula_45가 콤팩트 볼록 집합이므로 그 상 formula_87 역시 콤팩트 볼록 집합, 즉 닫힌구간 formula_88이며, formula_89이다. 즉, formula_90는 formula_45의 닫힌 면이며, 정의에 따라 formula_92이다. 그런데 formula_44에 속하는 formula_45의 극점이 존재한다. 즉, formula_95이며, 이는 모순이다.
체르멜로-프렝켈 집합론과 불 대수 소 아이디얼 정리를 가정할 때, 하우스도르프 국소 볼록 공간에 대한 크레인-밀만 정리는 선택 공리와 동치이다.
또한, 에드거 정리()에 따르면, 반사 바나흐 공간 formula_1 속의 임의의 유계 볼록 닫힌집합 formula_45는 스스로의 극점의 볼록 폐포와 일치한다. (일반적으로, 유계 닫힌집합인 것은 콤팩트 집합인 것보다 더 약한 조건이다.)
밀만 정리()에 따르면, 하우스도르프 실수 국소 볼록 공간 formula_1 속의 콤팩트 볼록 집합 formula_33의 부분 집합 formula_100에 대하여, 만약 formula_101를 포함하는 최소의 볼록 닫힌집합이 formula_45라면, formula_45의 모든 극점은 formula_101의 폐포에 속한다.
극점 위의 측도.
임의의 실수 위상 벡터 공간 formula_1 속의 콤팩트 집합 formula_33 속의 베르 집합 formula_107 및 측도 formula_108 및 formula_109가 주어졌을 때, 만약
가 성립한다면, formula_111를 formula_112의 무게 중심(-中心, )이라고 하자. (여기서 formula_113는 연속 쌍대 공간이다.)
다음이 주어졌다고 하자.
그렇다면, 쇼케 정리()에 따르면 다음이 성립한다.
예.
한원소 집합의 유일한 점은 0-극점이다.
유클리드 공간 formula_123 속에서, 닫힌 공
의 0-극점들은 초구
이며, 나머지 모든 점(열린 공)은 1-극점이다.
비(非)유계 집합에 대한 크레인-밀만 정리의 반례.
실수선 formula_126 속의 닫힌 반직선
은 닫힌집합이며 볼록 집합이지만 유계 집합이 아니다. 그 속의 0-극점들은 formula_128 밖에 없으며, 나머지 점들은 모두 1-극점들이다. 이 경우 formula_129의 볼록 폐포는 formula_130이므로, 크레인-밀만 정리가 실패한다.
보다 일반적으로, formula_31차원 유클리드 공간 속의 닫힌 반공간
은 formula_133일 경우 formula_24-극점을 갖지 않는다. 구체적으로, 경계의 점
은 formula_136-극점이며, 나머지 점들은 formula_31-극점이다.
비(非) 국소 볼록 공간에 대한 크레인-밀만 정리의 반례.
크레인-밀만 정리가 성립하지 않는 콤팩트 볼록 집합을 가지는, 완비 거리화 가능 실수 위상 벡터 공간이 존재한다.
역사.
유클리드 공간에 대한 크레인-밀만 정리는 헤르만 민코프스키가 20세기 초에 증명하였다.
바나흐 공간에 대한 크레인-밀만 정리는 마르크 크레인과 다비트 핀후소비치 밀만(, &lt;bdi&gt;&lt;/bdi&gt;, 1912~1982)이 1940년에 증명하였다.
밀만 정리는 밀만이 1947년에 증명하였다.
쇼케 정리는 귀스타브 쇼케(, 1915~2006)가 증명하였다.