호모토피 군

대수적 위상수학에서 호모토피 군(homotopy群, )은 위상 공간의 위상적 불변량의 하나로, 공간 위에 존재하는 고차원 고리들의 호모토피 동치 불변 성질을 나타낸다. 기본군의 고차 일반화이다. 기호는 formula_1.
정의.
두 위상 공간 formula_2, formula_3에 대하여, formula_4는 formula_5 연속 함수들의 호모토피류들의 집합이다. 마찬가지로, 점을 가진 공간 formula_6, formula_7에 대하여, formula_8는 점을 보존하는 formula_5 연속 함수들의 호모토피류들의 집합이다.
임의의 점을 가진 공간 formula_6의 formula_11차 호모토피 군() formula_12은 다음과 같다.
여기서 formula_14은 (임의로 밑점을 준) formula_11차원 초구이다.
formula_16일 경우 군 안에서의 연산은 다음과 같이 정의한다. 먼저 초구 formula_14을 하이퍼큐브 formula_18의 경계를 한 점으로 이어붙인 공간으로 본다.
그렇다면 호모토피 군에 속하는 두 연속 함수 formula_21는 하이퍼큐브를 정의역으로 하는 함수들의 호모토피류 formula_22로 나타낼 수 있다. 호모토피 군에서의 연산은 다음과 같은 연산으로부터 정의할 수 있다.
이 연산은 호모토피 불변이며, 또한 군의 구조를 만족한다는 사실을 보일 수 있다.
정수 계수의 1차 호모토피 군을 특별히 ‘기본군’이라고 부른다.
계수가 있는 호모토피.
아벨 군 formula_24 및 양의 정수 formula_25에 대하여,
피터슨 공간 formula_26은 n차원에서만 유일하게 축소 코호몰로지 G를 갖는 위상 공간이다.
formula_28에 임의로 밑점을 잡았을 때, formula_24 계수의 formula_11차 호모토피 군() formula_31는 다음과 같다.
formula_33일 경우 초구 formula_14은 피터슨 공간 formula_35이므로, formula_36이다. 따라서 이 정의는 위의 정의의 일반화라고 할 수 있다.
성질.
곱공간과 쐐기합.
위상 공간 formula_2와 formula_3가 주어지면, 다음이 성립한다.
특이 호몰로지는 쐐기합과 같은 당김에 대하여 간단하지만, 밂에 대해서는 복잡하다. 반면 호모토피 군은 밂에 대하여 간단하지만 당김에 대하여 복잡하다. 특히, 공간들의 쐐기합의 호모토피 군은 일반적으로 복잡하다. 다만, 기본군의 경우, 쐐기합의 기본군은 군의 자유곱이다. 초구의 쐐기합의 기본군은 힐튼 정리()에 의하여 주어진다.
보다 일반적으로, 존 밀너는 힐튼 정리를 다음과 같이 힐튼-밀너 정리()로 일반화하였다. 이에 따르면, 연결 CW 복합체 formula_52이 주어졌을 때, 그 쐐기합 formula_53의 현수 formula_54의 고리 공간
은 formula_56들의 분쇄곱의 고리 공간들의 특정한 무한 곱공간과 호모토피 동치이다.
리 군.
연결 매끄러운 다양체 formula_24에 리 군의 구조를 줄 수 있다면, 그 호모토피 군은 항상 다음과 같은 성질을 보인다.
또한, formula_24의 짝수 차수 호모토피 군은 모두 꼬임 성분밖에 없다. (즉, 짝수 차수 유리수 계수 호모토피 군은 0차원이다.) 이는 유리수 호모토피 이론을 사용하여 보일 수 있다.
리 군 formula_24의 극대 콤팩트 부분군 formula_63가 주어졌을 때, formula_24는 formula_65로의 변형 수축을 가지며 (이와사와 겐키치 증명), 따라서 서로 호모토피 동치이다. (리 군은 여러 개의 극대 콤팩트 부분군을 가질 수 있지만, 이들은 모두 서로 호모토피 동치이다.) 따라서, 리 군의 호모토피 군의 계산은 콤팩트 리 군의 경우로 귀결된다.
콤팩트 리 군에 대하여, 이와 유리수 호모토피 동치인 초구들의 곱공간이 존재한다. 즉, 계수 formula_66의 콤팩트 리 군 formula_24에 대하여, 어떤 연속 함수
가 존재하여, formula_69는 유리수 계수 호모토피 군의 동형을 유도한다.
따라서, 리 군의 호모토피 군의 계산은 초구의 호모토피 군의 계산으로 귀결된다. 후자는 일반적으로 매우 어렵다.
후레비치 준동형.
호모토피 군은 특이 호몰로지 formula_71과 관련이 있다. 후레비치 정리()에 의하여, 후레비치 준동형()이라는 자연스러운 함수
가 존재하며, formula_33일 경우 이는 군 준동형을 이룬다.
후레비치 준동형은 함자
사이의 자연 변환
을 이룬다. (만약 formula_77일 경우, 함자의 공역을 아벨 군의 범주 formula_78 대신 집합의 범주 formula_79로 놓아야 한다.) 따라서 축소 현수 formula_80에 대하여
가 가환한다.
호모토피 긴 완전열.
세르 올뭉치 formula_82에서, 밑점 formula_83을 고르자. 또한, formula_84가 경로 연결 공간이라고 하자. 그렇다면, 호모토피 군들에 대한 다음과 같은 긴 완전열이 존재한다.
여기서 formula_86에 대한 사상들은 군 준동형이 아니라 단순히 함수이지만, 이는 여전히 완전열을 이룬다 (즉, 상이 핵과 일치한다).
화이트헤드 괄호.
경로 연결 공간 formula_2의 호모토피 군들 위에는 화이트헤드 괄호()라는 다음과 같은 연산이 존재한다.
이는 다음과 같이 정의된다. 임의의 연속 함수
가 주어졌다고 하자. 초구의 곱공간 formula_91은 쐐기합 formula_92에 formula_93-세포룰 붙여 얻을 수 있다. 이 붙임 사상을
라고 하자. 만약 formula_95이라면 formula_96는 밑점을 보존하게 잡을 수 있다. 이를 formula_69와 formula_98의 쐐기합
과 합성하여
를 정의할 수 있다.
그렇다면, formula_101와 formula_102의 화이트헤드 괄호는 다음과 같다.
화이트헤드 괄호는 반대칭이며, formula_105-쌍선형이며, [[야코비 항등식]]을 만족시킨다. 그러나 화이트헤드 괄호는 일반적으로 교대 연산이 아니므로 (즉, formula_106일 수 있다) 정수환 위의 [[리 대수]]를 이루지 않는다. 다만, [[꼬임 부분군]]에 대하여 몫을 취하면 이는 [[정수환]] 위의 [[등급 리 대수]]를 이룬다. 이때, formula_107의 등급을 formula_108로 잡아야 한다.
기본군의 작용.
[[점을 가진 공간]] formula_6의 [[기본군]] formula_110은 고차 호모토피 군 formula_12 (formula_33) 위에 자연스럽게 [[군의 작용|작용]]하며, 따라서 고차 호모토피 군은 [[기본군]]의 [[군의 가군|가군]]을 이룬다.
구체적으로, formula_2 속의 두 점 formula_114 및 이를 잇는 곡선
이 주어졌다고 하자. 구의 밑점의 포함 함수 formula_118는 닫힌 [[상 (수학)|상]]을 가진 포함 함수이므로 공변올뭉치()를 이룬다. 즉, 호모토피 확대 성질을 만족시킨다. 따라서, formula_119와 formula_120 사이의 [[호모토피]] formula_115를 formula_122에서 formula_123 사이의 [[호모토피]]로 유일하게 확대할 수 있다. 이에 따라, formula_96는 서로 다른 밑점에 대한 호모토피 군 사이의 [[동형]]
을 정의하며, 이는 formula_96의 [[호모토피류]]에만 의존한다. 특히, formula_127일 경우, formula_128가 되며, 따라서 formula_110는 formula_12 위에 작용한다.
formula_131일 경우, [[기본군]]의 스스로 위의 [[군의 작용|작용]]은 [[켤레류|켤레]] 작용 formula_132이다. (기본군의 formula_86 위의 작용은 자명하다.)
기본군의 모든 차수 호모토피 군에 대한 작용이 자명한 [[점을 가진 공간]]을 단순 공간()이라고 한다. 특히, 단순 공간의 기본군은 (켤레 작용이 자명하므로) [[아벨 군]]이어야 한다.
예.
[[기본군]]은 [[자이페르트-판 캄펀 정리]]를 사용하여 쉽게 계산할 수 있는 반면, 고차 호모토피 군의 계산은 (심지어 [[초구]]와 같은 간단한 경우에도) 일반적으로 매우 어렵다.
한원소 공간.
[[한원소 공간]] formula_134의 경우, 모든 호모토피 군은 [[자명군]]이다. (즉, 0차 호모토피 군은 [[한원소 집합]]이다.)
보다 일반적으로, [[비이산 공간]] formula_136에서 임의의 점을 밑점으로 잡자. 비이산 공간을 [[공역]]으로 하는 모든 함수는 [[연속 함수]]이며, 따라서 비이산 공간을 [[공역]]으로 하는, 같은 정의역을 갖는 모든 함수들은 같은 [[호모토피류]]에 속한다. 따라서, [[비이산 공간]]의 호모토피 군은 모두 [[자명군]]이다.
[[축약 가능 공간]]은 한원소 공간과 호모토피 동치이므로 마찬가지로 호모토피 군이 자명군이다.
이산 공간.
[[이산 공간]] formula_136에서 임의의 점 formula_138을 밑점으로 잡자. 이산 공간을 [[공역]]으로 하는 [[연속 함수]]는 [[국소 상수 함수]] 밖에 없다. [[하이퍼큐브]] formula_18은 [[연결 공간]]이므로, [[이산 공간]]formula_136 위의 호모토피 군 formula_141은 다음과 같다.
즉, formula_144는 formula_136와 표준적인 [[일대일 대응]]을 가지며, 고차 호모토피 군은 모두 [[자명군]]이다.
원환면.
[[원환면]] formula_146의 호모토피 군은 다음과 같다.
이와 같이, 2차 이상 호모토피 군이 자명한 공간을 비구면 공간()이라고 한다.
초구.
[[초구]] formula_150의 호모토피 군들은 매우 복잡하며, 심지어 2차원 [[구 (기하학)|구]]의 경우도 아직 완전히 알려져 있지 않다.
리 군.
일반적으로, [[연결 공간|연결]] [[리 군]] formula_24의 호모토피 군은 다음과 같다.
흔히 쓰이는 [[리 군]]의 호모토피 군은 다음과 같다. 굵은 선 아래는 [[보트 주기성]]에 의하여 일정하지만, 굵은 선 위에는 불규칙하다.
역사.
1차 호모토피 군인 [[기본군]]은 [[앙리 푸앵카레]]가 1895년에 정의하였다.
[[에두아르트 체흐]]는 1932년 [[취리히]] [[국제 수학자 대회]]에서 최초로 고차 호모토피 군을 정의하였으나, 고차 호모토피 군이 [[기본군]]과 달리 모두 [[아벨 군]]이라는 사실이 밝혀지면서 체흐는 이 개념의 연구를 포기하였다.
이후 [[폴란드]]의 [[비톨트 후레비치]]()가 1935년에 고차 호모토피 군의 개념을 재발견하였고, [[후레비치 준동형]]을 정의하였다. 1941년에 [[존 헨리 콘스턴틴 화이트헤드]]는 호모토피 군 위의 화이트헤드 괄호를 정의하였다.
[[아벨 군]] 계수를 가진 호모토피 군은 프랭클린 폴 피터슨(, 1930~2000)이 1956년 박사 학위 논문에서 도입하였다.
외부 링크.
[[분류:호모토피 이론]]