유도 함자

호몰로지 대수학에서 왼쪽 유도 함자(-誘導函子, )와 오른쪽 유도 함자(-誘導函子, )는 각각 오른쪽 완전 함자 또는 왼쪽 완전 함자가 왼쪽 또는 오른쪽에서 완전하지 못한 정도를 측정하는 함자이다.
정의.
유도 함자의 개념은 원래 단사 또는 사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주의 대상에 대하여 정의되었다. 이 정의는 아벨 범주의 대상 대신 그 속의 사슬 복합체에 대하여 일반화할 수 있으며, 하나의 대상에 대한 유도 함자는 하나의 성분만을 가지는 사슬 복합체에 대한 특수한 경우이다. 사슬 복합체에 대하여 정의된 유도 함자는 초유도 함자(超誘導函子, ) 또는 초코호몰로지(超cohomology, )라고 한다. 초유도 함자의 값은 사슬 복합체의 유사동형에 의존하지 않으며, 따라서 자연스럽게 유도 범주 위에 정의된다.
사슬 복합체의 범주는 자연스럽게 모형 범주를 이루며, 초유도 함자의 개념을 임의의 모형 범주에 대하여 일반화할 수 있다.
단사 · 사영 분해를 통한 정의.
단사 분해.
단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 formula_1에서, 임의의 대상 formula_2에 대하여 단사 분해, 즉 다음과 같은 꼴의 긴 완전열이 존재한다.
여기서 formula_4는 단사 대상으로 구성된 자연수 차수 공사슬 복합체이다. 이러한 긴 완전열을 대상 formula_5의 단사 분해()이라고 한다. 단사 분해는 유일하지 않을 수 있다. 단사 분해는 다음과 같은 꼴의, 단사 대상으로 구성된 자연수 차수 공사슬 복합체의 유사동형과 같다.
단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 formula_1와 아벨 범주 formula_8 및 그 사이의 왼쪽 완전 함자 formula_9가 주어졌다고 하자. 그렇다면, formula_1의 대상 formula_2에 대하여, 그 (임의의) 단사 분해의 formula_12에 대한 상을 생각하자.
formula_12는 두 행의 유사동형을 보존하지 않는다. 즉, formula_15는 완전열이었지만, formula_16은 더 이상 완전열이 아니다. formula_16의 코호몰로지를 formula_12의 오른쪽 유도 함자의 값으로 정의한다.
특히, formula_21이다.
보다 일반적으로, 단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 formula_1 속의 자연수 차수 공사슬 복합체 formula_23가 주어졌을 때, 항상 단사 대상으로 구성된 유사동형 공사슬 복합체를 찾을 수 있다.
이를 공사슬 복합체 formula_25의 단사 분해라고 한다. 하나의 대상의 단사 분해는 0차 성분만을 가진 공사슬 복합체에 대한 특수한 경우이다. 임의의 공사슬 복합체 formula_26에 대하여, 왼쪽 완전 함자 formula_9는 두 행의 유사동형을 일반적으로 보존하지 않는다.
formula_12의 오른쪽 초유도 함자()의 값은 formula_25의 단사 분해 formula_15의 상 formula_31의 코호몰로지이다.
서로 다른 단사 분해를 사용하면, 자연 동형 오른쪽 유도 함자를 얻으며, 따라서 오른쪽 유도 함자는 단사 분해의 선택에 의존하지 않는다. 또한, 오른쪽 유도 함자 formula_34는 가법 함자임을 보일 수 있다.
사영 분해.
단사 대상 대신, 사영 대상을 사용해 오른쪽 완전 함자 formula_35의 왼쪽 유도 함자() formula_36도 유사하게 정의할 수 있다.
사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 formula_1에서, 대상 formula_2의 사영 분해() formula_39를 생각하자.
사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 formula_1와 아벨 범주 formula_8 및 그 사이의 오른쪽 완전 함자 formula_9의 왼쪽 유도 함자 formula_44는 formula_5의 사영 분해의 상의 호몰로지이다.
보다 일반적으로, 사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 formula_1 속의 자연수 차수 사슬 복합체 formula_49가 주어졌을 때, 항상 사영 대상으로 구성된 유사동형 사슬 복합체를 찾을 수 있다.
이를 사슬 복합체 formula_51의 사영 분해라고 한다. 하나의 대상의 사영 분해는 0차 성분만을 가진 사슬 복합체에 대한 특수한 경우이다.
사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 formula_1와 아벨 범주 formula_8 및 그 사이의 오른쪽 완전 함자 formula_9의 왼쪽 초유도 함자()
는 formula_51의 사영 분해의 상의 호몰로지이다.
모형 범주를 통한 정의.
단사 또는 사영 대상을 충분히 가지는 아벨 범주 위의 (공)사슬 복합체의 범주는 모형 범주를 이루며, 그 위의 유도 함자의 정의는 임의의 모형 범주에 대하여 일반화할 수 있다. 이 경우 단사·사영 분해는 (적절한 모형 범주 구조에 대한) (쌍대)올 분해에 대응한다.
모형 범주 formula_58이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 호모토피 범주로 가는 충실한 함자
가 존재한다. 이 함자는 모형 범주 formula_58의 약한 동치 사상을 호모토피 범주 formula_61의 동형 사상으로 대응시킨다.
모형 범주에서 올뭉치를 formula_62, 쌍대올뭉치를 formula_63, 약한 동치를 formula_64로 표기하자. 시작 대상은 formula_65이며, 끝 대상은 formula_66로 표기하자.
올 분해.
모형 범주 formula_58에서 범주 formula_68로 가는 함자 formula_69가 formula_58의 올대상 사이의 약한 동치를 formula_8의 동형 사상으로 보낸다고 하자.
임의의 대상 formula_72에 대하여, 그 올분해()
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, formula_12의 오른쪽 초유도 함자 formula_75는 다음과 같다.
이 함자는 약한 동치를 동형 사상으로 대응시키므로, 자연스럽게 호모토피 범주 formula_61위에 정의된다.
쌍대올 분해.
모형 범주 formula_58이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 호모토피 범주로 가는 충실한 함자
가 존재한다.
모형 범주 formula_58에서 범주 formula_68로 가는 함자 formula_69가 formula_58의 쌍대올대상 사이의 약한 동치를 formula_8의 동형 사상으로 보낸다고 하자.
임의의 대상 formula_72에 대하여, 그 쌍대올분해
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, formula_12의 왼쪽 초유도 함자 formula_89는 다음과 같다.
칸 확대를 통한 정의.
모형 범주에서는 약한 동치의 모임이 주어진다. 모형 범주에 존재하는 추가 구조 (올뭉치 · 쌍대올뭉치)는 유도 함자를 구체적으로 구성하는 데 간편하지만, 유도 함자를 정의하는 데 필요하지 않다. 따라서, 약한 동치가 주어진 범주에 대하여 유도 함자를 칸 확대의 개념을 사용하여 일반적으로 정의할 수 있다.
약한 동치의 모임이 주어진 범주 formula_92 및 함자 formula_93가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 약한 동치들에 대한 국소화를 가하여 (범주론적인 문제를 무시하면) 호모토피 범주 formula_94 및 포함 함자 formula_95를 정의할 수 있다. 그렇다면, formula_12의 왼쪽 유도 함자 formula_97는 (만약 존재한다면) formula_12의 formula_99에 대한 오른쪽 칸 확대이다.
오른쪽 칸 확대의 보편 성질에 따라서, 임의의 대상 formula_101에 대하여 자연 변환의 성분 formula_102이 존재한다. 모형 범주의 경우, 이 사상은 formula_103의 쌍대올 분해 formula_104의 상 formula_105이다.
마찬가지로, formula_12의 오른쪽 유도 함자 formula_107는 (만약 존재한다면) formula_12의 formula_99에 대한 왼쪽 칸 확대이다. 왼쪽 칸 확대의 보편 성질에 따라서, 임의의 대상 formula_101에 대하여 자연 변환의 성분 formula_111이 존재한다. 모형 범주의 경우, 이 사상은 formula_103의 올 분해 formula_113의 상 formula_114이다.
성질.
원래 함자 formula_12는 왼쪽 완전 함자라고 가정하였으므로, 단사 분해의 처음 부분
의 상
은 완전열이다. 따라서, formula_119은 단사 사상이며,
이다. 따라서, 0차 유도 함자는 원래 함자와 자연 동형이다. 즉, formula_121이다.
만약 formula_103가 단사 대상이라면, 단사 분해를
으로 취할 수 있다. 이 경우, 단사 분해의 상
의 호몰로지는 자명하다. 즉, 모든 formula_125에 대하여 formula_126이고, 단사 대상의 유도 함자에 대한 상은 항상 0이다.
긴 완전열.
왼쪽 완전 함자 formula_93 및 formula_92의 짧은 완전열
이 주어졌을 때, 뱀 보조정리에 따라서 다음과 같은 긴 완전열이 발생한다.
마찬가지로, 오른쪽 완전 함자 formula_93 및 formula_92의 짧은 완전열
이 주어졌을 때, 뱀 보조정리에 따라서 다음과 같은 긴 완전열이 발생한다.
예.
흔히 쓰이는 많은 호몰로지 및 코호몰로지 이론들은 유도 함자로서 정의할 수 있다.