분포 (해석학)

함수해석학에서 분포(分布, , )는 함수와 확률 분포 등을, 디랙 델타 분포와 같이 특이점을 가질 수 있게 일반화한 것이다.
정의.
유클리드 공간 formula_1 속의 열린집합 formula_2이 주어졌다고 하자. formula_3 위의 실수 값 콤팩트 지지 매끄러운 함수들의 실수 벡터 공간을 formula_4 또는 formula_5라고 쓰고, 그 원소를 formula_3 위의 시험 함수(試驗函數, )라고 한다.
여기에 다음과 같은 위상을 주자. 함수열 formula_7이 formula_8로 수렴할 필요충분조건은 다음 두 조건이 모두 성립하는 것과 동치이다.
여기서 formula_13은 지지 집합을 뜻하며, formula_14은 균등 수렴을 뜻한다.
이 위상에 따라, 시험 함수 공간 formula_5는 완비 거리화 가능 국소 볼록 공간을 이룬다.
formula_5의 연속 쌍대 공간 formula_17를 분포 공간(分布空間, )이라고 하고, 그 원소를 분포(分布, )라고 한다. 분포 formula_18 및 시험 함수 formula_8에 대하여, formula_20는 보통 다음과 같이 표기한다.
물론 formula_22에 대하여 formula_23라는 대상은 엄밀히 정의되지 않으므로 우변의 표기법은 단순히 표기법에 불과하다.
연산.
지지 집합.
분포 formula_24의 지지 집합(支持集合, ) formula_25은 다음과 같이 정의된다. formula_26라는 것은 다음 조건과 일치한다.
분포의 지지 집합은 (열린집합들의 합집합의 여집합이므로) 항상 formula_3 속의 닫힌집합이다.
분포 formula_24의 특이 지지 집합(特異支持集合, ) formula_32은 다음과 같이 정의된다. formula_33라는 것은 다음 조건과 동치이다.
분포의 특이 지지 집합 역시 formula_3 속의 닫힌집합이다.
특이 지지 집합과 관련된 개념으로 파면 집합이 있다. 이는 특이 지지 집합과 달리, 특이성이 발생하는 방향에 대한 정보를 담고 있다.
국소화.
열린집합 formula_3 위에 정의된 분포 formula_41와 열린 부분 집합 formula_42가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 시험 함수에 대하여 다음과 같은 자연스러운 포함 관계가 존재한다.
formula_18의 formula_46에 대한 제한()은 다음과 같다.
이에 따라, 분포 공간은 실수 벡터 공간의 층을 이룬다.
일반적으로, 분포 formula_24 및 점 formula_22가 주어졌을 때, 분포의 formula_27에서의 값 formula_23는 정의할 수 없다. 다만, 만약 formula_33일 경우, formula_23를 해당하는 매끄러운 함수의 값으로 정의할 수 있다. 또한, 다른 층과 마찬가지로, formula_18의 formula_27에서의 싹을 정의할 수 있다.
미분.
부분 적분 공식에 따라, 분포의 미분은 다음과 같이 정의된다.
이를 일반화하여, 임의의 다중지표 formula_11에 대하여 분포 formula_18의 미분 formula_60를 정의할 수 있다.
곱셈.
두 분포의 곱셈은 일반적으로 정의할 수 없다. 구체적으로, 다음 조건들을 만족시키는 분포의 곱셈을 정의할 수 없다.
예를 들어, 실수선 위의 단위 계단 함수
를 생각하자. 그렇다면 함수의 곱셈으로서 임의의 양의 정수 formula_63에 대하여
가 성립한다. 양변에 곱 규칙을 적용하고, formula_65이라면
가 된다 (formula_67는 디랙 델타 분포). 이는 임의의 formula_65에 대하여 성립하므로, formula_69이 되어 모순이다.
다만, 두 분포의 파면 집합이 적절한 조건을 만족시킨다면 그 곱셈을 정의할 수 있다. 특히, 두 분포 가운데 하나가 매끄러운 함수라면, 분포와 함수의 곱셈을 다음과 같이 정의할 수 있다. 임의의 formula_24 및 formula_71에 대하여,
이에 따라, formula_17는 가환환 formula_74 위의 가군을 이루며, 나아가 가환환층 formula_74 위의 가군층을 이룬다.
푸리에 변환.
시험 함수의 푸리에 변환은 일반적으로 시험 함수가 아니므로, 분포 공간 전체에 푸리에 변환을 정의할 수 없다. 그러나 시험 함수 대신 푸리에 변환에 대하여 닫힌 더 큰 공간인 슈바르츠 함수를 사용하면, 조절 분포라는, 푸리에 변환에 대하여 닫혀 있는 분포 공간의 부분 공간을 얻는다.
성질.
분포 공간의 위상.
분포 공간 formula_17는 연속 쌍대 공간이므로, 그 위에 다양한 위상이 존재한다. 흔히 사용되는 위상은 다음과 같다.
함수 공간의 매장.
formula_3 위의 국소 적분 가능 함수()란 다음 조건을 만족시키는 함수 formula_80를 말한다.
모든 연속 함수와 임의의 formula_83에 대하여 Lp 함수는 국소 적분 가능 함수이다. 국소 적분 가능 함수의 공간을 formula_84로 쓰자. Lp 공간과 마찬가지로, 임의의 formula_85에 대하여 formula_86가 거의 어디서나 0인 경우 formula_87로 정의하고,
으로 정의하자.
국소 적분 가능 함수 formula_89에 대하여, 대응하는 분포 formula_90를 다음과 같이 정의할 수 있다.
(이는 항상 연속 함수라는 것을 보일 수 있다.) 따라서, 이는 실수 벡터 공간의 단사 선형 변환
을 정의한다.
측도 공간의 매장.
formula_3 위의 임의의 라돈 측도 formula_95에 대하여, 대응하는 분포 formula_96를 다음과 같이 정의할 수 있다.
반대로, 분포 formula_24가 다음 성질을 만족시킨다고 하자.
그렇다면, formula_101가 되는 라돈 측도 formula_95가 존재한다. 이는 리스 표현 정리와 유사하다.
하지만 위 조건이 성립하지 않을 경우, 일반적인 분포는 (부호 붙은) 측도로 나타낼 수 없다. 예를 들어, 실수선 위의, 디랙 델타 분포의 미분 formula_103은 부호 붙은 측도로 나타낼 수 없다.
연속 함수로의 표현.
열린집합 formula_104 위의 임의의 분포 formula_24는 유한 개의 다중지표와 연속 함수들 formula_106로부터 다음과 같이 나타낼 수 있다.
다시 말해, 분포 공간은 연속 함수들의 모든 유한차 미분을 포함하는 최소의 벡터 공간이다.
예.
함수와 측도.
모든 국소 적분 가능 함수는 분포를 이룬다. 마찬가지로, 모든 라돈 측도 역시 분포를 이룬다. 보다 일반적으로, 부호 붙은 라돈 측도, 즉 두 라돈 측도의 차 formula_108 역시 분포를 이룬다.
디랙 델타 함수와 그 도함수.
실수선 위에 다음과 같은 연속 함수를 생각하자.
이 함수에 도함수를 취하면, 다음과 같은 분포들을 얻는다.
코시 주요값.
실수선 위에, formula_116는 연속 함수를 이룬다. 이 함수의 도함수들은 다음과 같다.
관련 개념.
사토 초함수()는 분포와 유사하지만, 정칙 함수를 기반으로 하는 이론이다.
콜롱보 대수()는 분포와 달리 곱셈이 정의되는 일반화 함수 이론이다. 콜롱보 대수의 원소는 분포로 수렴하는 함수열로 구성되는데, 콜롱보 대수에서의 곱셈은 일반적으로 함수열에 의존한다.
흐름()은 분포의 개념을 미분 형식으로 일반화한 것이며, 조르주 드 람이 도입하였다. formula_63차원 유클리드 공간에서 formula_63차 흐름과 분포는 일치하지만, 임의의 매끄러운 다양체에서는 이는 성립하지 않는다.
응용.
모든 적분 가능한 함수는 분포들의 공간에서 미분을 가지며, 이를 이용해 편미분 방정식의 해를 구할 수 있다. 물리학이나 공학에서 나타나는 비연속적인 문제들을 미분 방정식으로 나타나면 이는 분포를 해로 갖는 경우가 많으며, 대표적인 예로 디랙 델타 분포가 있다.
역사.
편미분 방정식의 이론이 발달하면서, 1830년대에 발명된 그린 함수와 같은 개념을 엄밀히 정의할 필요가 대두되었다. 세르게이 리보비치 소볼레프는 1936년에 2차 쌍곡 편미분 방정식을 다루는 데 분포의 개념을 사용하였다. 이후 1950년에 로랑 슈바르츠는 분포의 이론을 체계적으로 엄밀히 개발하였고, 또 "분포"()라는 용어를 고안하였다. 1954년에 슈바르츠는 일반적으로 두 분포의 곱을 정의할 수 없음을 증명하였다.