설리번 대수

호모토피 이론에서 설리번 대수(Sullivan代數, )는 특별한 형태의 유리수 계수 가환 미분 등급 대수이다. 이를 통하여, 위상 공간의 호모토피 군에서, 꼬임 부분군을 제외한 나머지 부분(즉, 유리수와의 텐서곱)을 계산할 수 있으며, 이 이론을 유리수 호모토피 이론(有理數homotopy理論, )이라고 한다.
정의.
체 formula_1 위의 설리번 대수 formula_2는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
이는 두 다음 조건을 만족시켜야 한다.
설리번 대수 formula_2가 다음 조건을 만족시킨다면, 최소 설리번 대수(最少Sullivan代數, )라고 한다.
상대 설리번 대수.
보다 일반적으로, 설리번 대수의 개념을 다음과 같이 상대화할 수 있다.
체 formula_1 위의 가환 미분 등급 대수 formula_21 위의 상대 설리번 대수(相對Sullivan代數, )는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
이는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.
이 정의에서, 만약 formula_35가 증가 함수라면, 이를 최소 상대 설리번 대수(最小相對Sullivan代數, )라고 한다.
설리번 대수는 formula_36 위의 상대 설리번 대수와 같으며, 최소 설리번 대수는 formula_36 위의 최소 상대 설리번 대수와 같다.
연산.
가환 미분 등급 대수 formula_21에 대한 임의의 상대 설리번 대수 formula_2에 대하여, 임의의 formula_40에 대하여, formula_41를 정의하면, formula_42 역시 formula_21 위의 상대 설리번 대수를 이룬다. (여기서 formula_44은 함수의 제한을 뜻한다.)
또한, 만약 formula_45가 최소 상대 설리번 대수라면 formula_46 역시 최소 상대 설리번 대수이다.
성질.
낮은 차수가 자명한 설리번 대수.
집합 formula_45 및 함수
및 임의의 함수
가 주어졌다고 하자. 이는 곱 규칙을 사용하여
로 연장시킬 수 있다. formula_51가 미분 등급 대수를 이룬다고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
또한, 만약 formula_63일 때, 주어진 설리번 대수와 유사동형인 최소 설리번 대수는 (동형을 무시하면) 유일하다. 즉, 최소 설리번 대수들은 설리번 대수들의 유사동형(의 지그재그)에 대한 동치류들과 전단사로 대응한다.
위상 공간의 설리번 대수.
임의의 단체 복합체(와 호모토피 동치인 위상 공간) formula_64에 대하여, 유리수 계수 다항식 미분 형식의 설리번 대수 formula_65를 정의할 수 있다. 이는 일반적으로 매우 큰 설리번 대수이지만, 이에 대한 최소 설리번 대수는 쉽게 계산하고 다룰 수 있다. 형식적 공간()은 그 유리수 계수 다항식 미분 형식의 설리번 대수가 형식적인 단체 복합체와 호모토피 동치인 위상 공간이다.
위상 공간의 설리번 대수들의 유사동형(의 지그재그) 동치류들은 위상 공간의 유리수 호모토피 동치()와 같다. 즉, 위상 공간의 유리수 호모토피 동치류는 최소 설리번 대수들로 구별할 수 있다.
위상 공간의 호모토피 군.
단체 복합체와 호모토피 동치인 위상 공간 formula_64의 유리수 계수 다항식 미분 형식 대수가 설리번 대수 formula_2와 유사동형이라고 하자. 또한, formula_64가 멱영 공간이라고 하자.
그렇다면, 다음이 성립한다.
즉, formula_64의 formula_71차 호모토피 군의 계수는 차수 formula_72를 갖는 기저 벡터의 수와 같다.
이분율.
코호몰로지
의 차원이 유한한 연결 단일 연결 최소 설리번 대수 formula_64는 다음과 같이 두 종류로 분류될 수 있다.
타원형 최소 설리번 대수 formula_64에 대하여, 그 생성원의 차수들이
및
라고 하자. 즉, formula_80개의 짝수 차수 생성원과 formula_81개의 홀수 차수 생성원이 존재한다. 그렇다면, 다음이 성립한다.
여기서
은 formula_87의 형식적 차원()이다.
쌍곡형 최소 설리번 대수에 대하여, 다음이 성립한다.
예.
자명한 설리번 대수.
임의의 정렬 집합 formula_3 및 임의의 증가 함수
에 대하여, 자명한 미분
을 부여하자. 그렇다면, formula_99은 최소 설리번 대수를 이룬다.
특히, formula_100일 때, formula_36은 formula_1 위의 최소 설리번 대수를 이룬다.
홀수 차원 초구.
formula_103차원 초구 formula_104의 유리수 계수 코호몰로지는 다음과 같다.
따라서, 홀수 차원의 초구의 경우, 최소 설리번 모형은 차수 formula_103의 생성원 formula_107 하나만을 가지며, 이 경우 formula_108이다. 즉,
이다.
짝수 차원 초구.
짝수 차원의 초구의 경우, 최소 설리번 모형은 차수 formula_103의 생성원 formula_107를 가지지만, formula_107가 짝수 차수를 가지므로 formula_115이다. 따라서, formula_116가 코호몰로지류를 이루는 것을 막기 위해, formula_117차의 생성원 formula_118를 추가해야 한다. 즉, 최소 설리번 대수는 다음과 같다.
이에 따라, 초구의 호모토피 군의 계수를 계산할 수 있다. (그러나 초구의 호모토피 군의 꼬임 부분군을 계산하는 것은 매우 어려운 문제이다.)
복소수 사영 공간.
복소수 사영 공간 formula_124의 유리수 계수 코호몰로지는
이다. 따라서, 이 경우 최소 설리번 모형은 다음과 같다.
무한 차원 복소수 사영 공간 formula_131의 경우, 최소 설리번 모형은 다음과 같이 생성원 formula_118가 없어져 더 간단하다.
비형식적 최소 설리번 대수.
형식적이지 않은 최소 설리번 대수의 예로는 다음을 들 수 있다.
이 설리번 대수의 코호몰로지는 formula_138, formula_139, formula_140로 구성된다. 최소 설리번 대수에서 그 코호몰로지로 가는 등급 대수 준동형 formula_141는 차수의 제약에 따라
가 되는데, 따라서
이 된다. 따라서, formula_141는 유사동형이 될 수 없다.
설리번 대수가 아닌, 외대수 위의 미분 등급 대수 구조.
다음과 같은 구성을 생각하자.
이는 가환 미분 등급 대수를 이루며, formula_154는 formula_45로 생성되는 외대수이지만, formula_45 위에는 formula_2가 설리번 대수가 되게 하는 전순서 formula_158를 줄 수 없으며, formula_159의 다른 기저를 잡더라도 이를 설리번 대수로 만들 수 없다.
역사.
데니스 설리번이 1970년대에 제창하였다.