이중 사슬 복합체

호몰로지 대수학에서 이중 사슬 복합체(二重사슬複合體, )는 사슬 복합체와 유사하지만, 1차원 대신 2차원인 구조이다. 즉, 모든 항들은 두 개의 첨자를 달고 있으며, 각 항 위에는 수직 및 수평 방향의 두 개의 경계 사상이 정의되며, 이들은 서로 교환 법칙을 만족시켜야 한다. 이중 사슬 복합체 위에는 도롱뇽 정리(도롱[龍]定理, ) 및 그 특수한 경우인 3×3 정리(三×三定理, ) · 뱀 정리와 같은 정리들이 성립한다.
정의.
아벨 범주 formula_1 위의 사슬 복합체의 범주 formula_2 역시 아벨 범주이므로, 그 위의 사슬 복합체를 취할 수 있다. 이를 이중 사슬 복합체라고 한다.
구체적으로, 이중 사슬 복합체 formula_3는 다음과 같은 꼴이다.
즉, 이는 수평 경계 사상(水平境界寫像, )
및 수직 경계 사상(垂直境界寫像, )
을 가지며, 이들은 다음과 같은 관계를 만족시킨다.
전체 사슬 복합체.
formula_1에서 가산 무한 직합이 존재한다고 할 때 (또는 정의에 등장하는 직합에서 오직 유한 개의 항들이 0이 아니라고 할 때),
이중 사슬 복합체 formula_11의 전체 사슬 복합체(全體사슬複合體, ) formula_12는 다음과 같은 사슬 복합체이다.
이는 사슬 복합체를 이루므로, 마찬가지로 호몰로지를 취할 수 있다. 이를 전체 호몰로지()라고 한다.
이중 사슬 복합체의 다른 부호 규칙.
문헌에 따라서, 이중 사슬 복합체를 표기할 때 위와 다른 부호 규칙을 사용하는 경우가 있다. 이 부호 규칙으로 전환하려면, 다음과 같은 변환을 가하자.
즉, 홀수 번째 열들의 수직 경계 사상에 음부호를 붙인다. (물론, 대신 홀수 번째 행들의 수평 경계 사상에 음부호를 붙여도 비슷하다.)
그렇다면, 이들은 다음을 만족시킨다.
즉, 수평 경계 사상과 수직 경계 사상이 서로 교환 법칙 대신 반교환 법칙을 따르게 된다.
이렇게 하면, 전체 사슬 복합체의 정의가 다음과 같이 더 간단해진다.
수직 · 수평 호몰로지.
아벨 범주 formula_1 위의 이중 사슬 복합체 formula_22가 주어졌다고 하자.
그렇다면, 수평 호몰로지(垂直homology, )
및 수직 호몰로지(水平homology, )
를 정의할 수 있다.
교내 사상과 교외 사상.
임의의 대상 formula_25에 대하여, 다음 사상들이 존재한다.
위 그림에서, formula_27는 수직 경계 사상과 수평 경계 사상을 합성한 것이다. 편의상, 다음과 같은 기호들을 정의하자.
이들의 기호를 위와 같이 이상하게 정의하는 이유는 다음 때문이다. 우선, formula_28 · formula_29 · formula_30 · formula_31는 모두 formula_32의 부분 대상들의 몫 대상이므로, 이들 사이에는 다음과 같은 사상들이 존재한다.
이는 다음과 같이 적을 수 있다.
이 사상들을 교내 사상(校內寫像, )이라고 하자.
또한, 수평 경계 사상
이 주어졌으면, 다음과 같이 기증자에서 수령자로 가는 사상이 자연스럽게 유도된다.
이는 다음과 같이 그릴 수 있다.
마찬가지로, 수직 경계 사상
이 주어졌으면, 다음과 같이 기증자에서 수령자로 가는 사상이 자연스럽게 유도된다.
이는 다음과 같이 그릴 수 있다.
이 사상들을 교외 사상(校外寫像, )이라고 하자.
성질.
도롱뇽 정리.
이중 사슬 복합체 속의 임의의 부분
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 도롱뇽 정리에 따르면, 다음과 같은 6항 도롱뇽 완전열(도롱[龍]完全列, )이 존재한다.
여기서 삼각형들은 가환 삼각형이며, 위의 모든 사상들은 교내 사상 또는 교외 사상 또는 (완전열의 양끝의 경우) 교내 사상과 교외 사상의 합성이다.
이 완전열은 다음과 같이 그려질 수 있다.
특히, 만약 formula_44이라면, 교외 사상 formula_45는 동형 사상이다.
마찬가지로, 이중 사슬 복합체 속의 임의의 부분
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 6항 도롱뇽 완전열이 존재한다.
이 완전열은 다음과 같이 그려질 수 있다.
특히, 만약 formula_49이라면, 교외 사상 formula_45는 동형 사상이다.
"n"×"n" 정리.
아벨 범주에서, 다음과 같은 이중 사슬 복합체가 주어졌다고 하자.
또한, 다음 조건들이 주어졌다고 하자.
3×3 정리에 따르면, 첫째 열 또한 완전열이다.
도롱뇽 완전열을 통한 증명:
formula_52임을 보이면 족하다.
가정에 따라서, 모든 열이 완전열이므로
이다. 또한, 둘째 · 셋째 행이 완전열이므로
이다. 도롱뇽 정리에 따라서, 다음과 같은 교외 사상들은 모두 동형 사상이다.
물론, formula_56이므로, 이를 따라서 교외 사상의 지그재그로 연결된 formula_57 등이 모두 0임을 알 수 있다.
이제, formula_58이므로, 다음과 같은 도롱뇽 완전열으로부터 formula_59임을 알 수 있다.
뱀 완전열을 통한 증명:
처음 두 행에 대하여 뱀 정리를 적용한다. 모든 열이 짧은 완전열이므로, 핵들은 모두 0이 된다.
보다 일반적으로, formula_61 정리에 따르면, 임의의 자연수 formula_62에 대하여, formula_61개의 대상을 갖는 이중 사슬 복합체
가 주어졌을 때, 만약
첫째 행 또한 완전열이다.
증명:
그 증명은 3×3의 경우와 동일하다. 즉, 대략
예.
사슬 복합체의 텐서곱.
가환환 formula_66 위의 결합 대수 formula_32 위의 formula_68-쌍가군들의 아벨 범주 formula_69
를 생각하자. 이 속에서, 두 사슬 복합체
가 주어졌다고 하자.
그렇다면, 각 성분별 텐서곱을 통해, 다음과 같은 이중 사슬 복합체 formula_71를 정의할 수 있다.
이 이중 사슬 복합체의 전체 사슬 복합체는 두 사슬 복합체의 텐서곱
과 같다.
순환 호몰로지.
순환 호몰로지는 어떤 특별한 이중 복합체의 전체 호몰로지로서 정의된다.
역사.
3×3 정리는 9개의 대상이 3×3 행렬로 배열되어 있으므로 이러한 이름이 붙었다. 데이비드 북스바움은 1955년 논문에서 아벨 범주의 개념을 도입하였는데, 이 논문에서 이미 3×3 정리가 등장한다.
1971년에 칼 에릭 린더홀름()은 농으로 3×3 정리의 (올바른) 증명을 다음과 같이 묘사하였다.
도롱뇽 정리 및 “교내 사상” · “교외 사상”이라는 용어는 조지 마크 버그먼(, 1943~)이 1970년대에 도입하였다. “도롱뇽 정리”라는 이름은 이에 등장하는, S자 또는 갈지자 (之) 모양의 사상들의 열을 몸을 굽히며 움직이는 도룡뇽에 비유한 것이다. “교내 사상” · “교외 사상”이라는 용어는 이는 같은 기호 formula_32의 각 첨자 formula_79를 “학교”로 여길 경우, 교내 사상
은 같은 “학교” 안의 대상들을 잇지만, 교외 사상
은 서로 다른 “학교”에 속하는 대상들을 잇기 때문이다.