몫공간

일반위상수학에서 몫공간(-空間, )은 어떤 위상 공간의 몫집합 위에 표준적으로 존재하는 위상 공간이다.
정의.
몫위상.
위상 공간 formula_1 및 그 위의 동치 관계 formula_2가 주어졌을 때, 몫집합 formula_3 위의 몫위상(-位相, )은 다음 두 가지 방법을 통해 정의할 수 있으며, 이렇게 정의한 두 위상은 서로 같다.
이 위상은 표준 사영
을 연속 함수로 만드는 가장 섬세한 위상이다. 또한, 이는 임의의 위상 공간 formula_14 및 함수 formula_15에 대하여 다음 두 조건을 동치로 만드는, 유일한 formula_3 위의 위상이다.
몫사상.
두 위상 공간 formula_1, formula_14 사이의 전사 함수 formula_21에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 formula_22를 몫사상(-寫像, )이라고 한다.
몫위상과 몫사상의 개념은 서로 동치이다. 구체적으로, 몫공간 formula_3에 대하여, 표준 사영 formula_9은 몫사상이다. 반대로, 몫사상 formula_21가 주어졌을 때, formula_1 위에 다음과 같은 동치 관계 formula_39을 정의하자.
그렇다면 formula_14는 몫공간 formula_42과 위상 동형이다.
성질.
함의 관계.
모든 몫사상은 전사 연속 함수이며, 모든 열린 전사 연속 함수와 닫힌 전사 연속 함수는 몫사상이다. 몫사상이 단사 함수일 필요충분조건은 위상 동형 사상이다. 콤팩트 공간 formula_1에서 하우스도르프 공간 formula_14로 가는 함수 formula_45의 경우, 전사 연속 함수, 몫사상, 닫힌 전사 연속 함수의 개념이 서로 동치이다. (이는 모든 연속 함수 formula_45가 닫힌 함수이기 때문이다.)
연산에 대한 닫힘.
두 몫사상 formula_47와 formula_48의 합성 formula_49는 몫사상이다. 반대로, 만약 formula_47와 formula_48가 연속 함수이며 formula_52가 몫사상이라면, formula_17 역시 몫사상이다.
몫사상 formula_47 및 연속 함수 formula_55에 대하여, 만약 formula_56, formula_57가 항상 formula_58을 함의한다면, formula_17와 formula_60를 통해 유일하게 정의되는 함수
는 연속 함수이다.
몫사상 formula_21 및 부분 집합 formula_64에 대하여, 만약 다음 네 조건 가운데 하나가 성립한다면, 제한
는 몫사상이다.
반대로, 만약 formula_21가 전사 연속 함수이며, 임의의 formula_71가 formula_72을 몫사상으로 만드는 근방 formula_73를 갖는다면, formula_22는 몫사상이다.
몫사상 formula_47, formula_76에 대하여, 자연스럽게 정의되는 함수
를 생각하자. 이는 전사 연속 함수이지만, (정의역과 공역의 곱위상에 대하여) 몫사상이 아닐 수 있다. 그러나 임의의 몫사상 formula_47 및 국소 콤팩트 공간 formula_31에 대하여,
는 (곱위상에 대하여) 몫사상이다. 또한, 임의의 콤팩트 생성 공간 formula_1, formula_31 및 몫사상 formula_47에 대하여,
는 (콤팩트 생성 곱위상에 대하여) 몫사상이다.
끝 위상과의 관계.
몫위상은 표준 사영에 대한 끝 위상이다. 반대로, 위상 공간 formula_14가 위상 공간들의 집합 formula_87 및 함수들의 집합 formula_88에 대한 끝 위상을 갖는다고 하자. 이는 위상합
위에 자연스럽게 유도되는 하나의 함수
에 대한 끝 위상과 같다. 이 경우, formula_91는 몫사상이다. 따라서 formula_92는 열린닫힌집합이며, formula_1의 몫공간과 위상 동형이다. 또한 formula_94은 이산 공간이다. 즉, formula_14는 formula_87의 위상합의 몫공간과 이산 공간의 위상합이다.
예.
다각형의 몫공간.
직사각형의 한 쌍의 대변을 직사각형의 둘레를 따라 회전하는 방향을 기준으로 반대 방향을 따라 붙여 몫공간을 취하면 원기둥을 얻으며, 같은 방향을 따라 붙이면 뫼비우스의 띠를 얻는다.
만약 어떤 위상 공간이 변의 수가 짝수인 다각형의 변을 둘씩 짝을 지어 붙여 만든 몫공간과 위상 동형이라면, 이 다각형과 동치 관계의 순서쌍을 위상 공간의 다각형 표시(多角形表示, )이라고 한다. 변의 수가 formula_97인 다각형 표현은 길이 formula_97의 문자열 formula_99로 나타낼 수 있다. 각 formula_100에 대하여, formula_101 속에는 formula_102가 정확히 두 번 등장하거나 formula_102와 formula_104가 정확히 한 번씩 등장해야 한다. 만약 formula_105라면, 다각형의 formula_106번째 변과 formula_107번째 변을 같은 방향으로 붙인다. 만약 formula_108라면, formula_106번째 변과 formula_107번째 변을 반대 방향으로 붙인다.
부분 집합을 한 점으로 합친 공간.
위상 공간 formula_1의 부분 집합 formula_112을 한 점으로 합쳐 만든 몫공간은
로 표기한다.
하우스도르프 공간 formula_1 및 콤팩트 집합 formula_115에 대하여, formula_113는 항상 하우스도르프 공간이다.
예를 들어,
이다. 여기서 formula_119은 formula_120차원 유클리드 공간의 닫힌 공이며, formula_121은 formula_120차원 초구이다.
뿔.
위상 공간 formula_1 위의 뿔은 다음과 같다.
하우스도르프 공간 위의 뿔은 하우스도르프 공간이다.
유클리드 공간 formula_125의 콤팩트 집합 formula_1 위의 뿔은 다음과 같은 공간과 위상 동형이다.
임의의 연속 함수 formula_47에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
붙임 공간.
두 위상 공간 formula_1, formula_14 및 부분 집합 formula_115 및 연속 함수 formula_136가 주어졌다고 하자. 위상합 formula_137 위에 다음과 같은 동치 관계를 정의하자.
그렇다면, formula_17의 붙임 공간은 다음과 같은 몫공간이다.
예를 들어,
이다. 여기서 formula_144와 formula_145은 포함 함수이며, formula_146는 두 경계 사이의 위상동형사상이다.
열린 함수나 닫힌 함수가 아닌 몫사상.
몫공간 formula_147으로의 표준 사영 formula_148은 몫사상이지만, 열린 함수가 아니며 닫힌 함수도 아니다. 예를 들어, formula_149는 열린집합이지만, formula_150은 열린집합이 아니다. 이는
가 열린집합이 아니기 때문이다. 또한 formula_152는 닫힌집합이지만, formula_153은 닫힌집합이 아니다. 이는
가 닫힌집합이 아니기 때문이다.
곱이 몫사상이 아닌 두 몫사상.
몫공간 formula_155로의 표준 사영 formula_156과 항등 함수 formula_157의 곱
는 (곱위상에 대하여) 몫사상이 아니다. 예를 들어, 임의의 formula_159에 대하여 formula_160이라고 하자. 또한 formula_161가 formula_162, formula_163, formula_164을 꼭짓점으로 하는 열린 삼각형 영역이라고 하고,
라고 하자. 그렇다면,
는 닫힌집합이지만, formula_167는 닫힌집합이 아니다. 이는
이기 때문이다.