쉴로브 정리

군론에서 쉴로브 정리() 또는 실로우 정리는 유한군의 특정한 크기의 부분군의 구조에 대한 일련의 정리들이다. 라그랑주 정리의 부분적 역이며, 코시 정리를 일반화한다. 유한군의 이론에서 중요한 역할을 한다.
정의.
소수 formula_1가 주어졌을 때, "p"-군은 모든 원소의 위수가 formula_1의 거듭제곱인 군이다. 쉴로브 "p"-부분군()은 극대 "p"-부분군이다. 즉, 군 formula_3의 "p"-부분군 formula_4가 다음 조건을 만족시키면, 쉴로브 "p"-부분군이라고 한다.
쉴로브 "p"-부분군의 집합을 formula_9로 표기하자.
유한군 formula_3와 소수 formula_1가 주어졌고, 어떤 음이 아닌 정수 formula_12와 양의 정수 formula_13에 대하여
이며 formula_1와 formula_16이 서로소라고 하자. 그렇다면, 임의의 formula_17에 대하여, 다음 세 개의 정리가 성립한다.
증명.
다음은 formula_36인 경우에 대한 증명들이며, 일부 증명은 임의의 formula_37에 대한 경우에도 적용 가능하다.
제1 정리.
켤레 작용을 통한 증명.
크기가 formula_25인 formula_3의 부분군을 찾는 것으로 족하다. 군의 크기 formula_40에 대한 수학적 귀납법을 사용하자. formula_41가 한원소 집합이 아닌 formula_3의 켤레류들의 대표원이라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 켤레류 방정식이 성립한다.
이 경우 각 formula_44에 대하여 formula_45는 formula_3의 진부분군이다.
만약 formula_25이 formula_48의 약수가 되는 formula_44가 존재한다면, 수학적 귀납법의 가정에 의하여 formula_45는 formula_51인 부분군 formula_4를 가지며, 이는 자명하게 formula_3의 부분군이다.
이제, 임의의 formula_44에 대하여, formula_25이 formula_48의 약수가 아니라고 하자. formula_57인 경우는 자명하다. 만약 formula_58이라면, formula_1는 formula_60의 소인수다. 코시의 정리에 의하여 formula_61는 formula_62인 부분군 formula_63를 가지며, 이는 formula_3의 정규 부분군이다. 수학적 귀납법의 가정에 의하여, 몫군 formula_65는 크기가 formula_66인 쉴로브 "p"-부분군 formula_67를 가지며, 이 경우 formula_4는 크기가 formula_25인 formula_3의 부분군이다.
빌런트의 증명.
헬무트 빌런트()의 증명은 대략 다음과 같다. 편의상 formula_58이라고 하자. 다음과 같은 집합을 생각하자.
이 위에 formula_3는 왼쪽 곱셈을 통해 다음과 같이 작용한다.
이 작용의 궤도들의 대표원을 formula_76라고 하자. 그렇다면 이 작용에 대한 류의 방정식은 다음과 같다.
또한
은 formula_1와 서로소이므로 (이는 각 formula_80에 대하여 formula_81와 formula_82의 소인수 formula_1의 중복도가 formula_37의 소인수 formula_1의 중복도와 같기 때문이다), 궤도의 크기 formula_86가 formula_1와 서로소인 formula_44가 존재한다. formula_89의 안정자군을 formula_90라고 하자. 그렇다면, formula_4는 formula_3의 부분군이며, 궤도-안정자군 정리에 의하여 formula_93는 formula_25을 약수로 갖는다. 또한 formula_95에 대하여,
는 단사 함수이므로, formula_51이다.
정규화 부분군을 통한 증명.
임의의 쉴로브 "p"-부분군(즉, 극대 "p"-부분군) formula_20에 대하여 formula_51임을 보이는 것으로 족하다. formula_4의 정규화 부분군 formula_102를 생각하자. 그렇다면 formula_4는 formula_102의 정규 부분군이므로, 몫군 formula_105를 취할 수 있다.
우선, formula_1가 formula_86의 소인수가 아님을 증명하자. 귀류법을 사용하여 formula_1가 formula_86의 소인수라고 가정하자. 그렇다면, 코시의 정리에 의하여 formula_110인 부분군 formula_111가 존재한다. 이 경우 부분군 formula_112는 formula_3의 부분군이며, formula_114를 만족시킨다. 이는 formula_4가 쉴로브 "p"-부분군인 데 모순이다.
이제, formula_1가 formula_86의 소인수가 아님을 증명하자. 왼쪽 잉여류의 집합 formula_118 위에서 formula_4가 다음과 같이 작용한다고 하자.
그렇다면, 이 작용에 대한 류의 방정식을 생각하면 다음과 같은 합동식을 얻는다.
따라서, formula_102가 이 작용의 유일한 불변 원소임을 보이면 된다. 만약 formula_23가 임의의 formula_125에 대하여
를 만족시킨다면, formula_127이며, formula_4는 "p"-군이므로 formula_129의 위수는 formula_1의 거듭제곱이다. 따라서 formula_131의 (formula_105에서의) 위수 역시 formula_1의 거듭제곱이며, 또한 이는 formula_86의 약수이므로, formula_131의 위수는 1이다. 즉, formula_136이며, formula_137이다. 즉, formula_138가 성립한다.
이 두 가지 사실을 종합하면 formula_51을 얻는다. 이는
때문이다.
제2 정리.
왼쪽 곱셈 작용을 통한 증명.
크기가 formula_51인 쉴로브 "p"-부분군 formula_20를 취하자. 임의의 "p"-부분군 formula_5에 대하여, formula_22인 formula_23의 존재를 보이면 된다. 왼쪽 잉여류의 집합 formula_146 위에서 formula_63가 다음과 같이 작용한다고 하자.
또한, formula_146의 크기는 formula_1와 서로소이므로, 궤도의 크기가 formula_1와 서로소인 원소 formula_153를 가지며, 이에 대한 안정자군은 formula_63 전체와 같다. 즉, 다음이 성립한다.
이중 잉여류를 통한 증명.
크기가 formula_51인 쉴로브 "p"-부분군 formula_20를 취하자. 임의의 "p"-부분군 formula_5에 대하여, formula_22인 formula_23의 존재를 보이면 된다. 이중 잉여류들의 집합
는 formula_3의 분할을 이루므로, 다음이 성립한다.
즉,
이다. 또한 formula_86는 formula_1와 서로소이므로, formula_86가 formula_1와 서로소가 되는 formula_23가 존재한다. 즉, 이 formula_170에 대하여
이다. 따라서,
이 성립한다.
제3 정리.
켤레 작용을 통한 증명.
쉴로브 "p"-부분군의 집합을 formula_9라고 하고, 이 위의 켤레 작용
를 생각하자. 그렇다면, 제2 쉴로브 정리에 의하여, 이는 추이적 작용이며, 임의의 formula_176에 대하여, 그 안정자군은 정규화 부분군 formula_102이다. 따라서
이며, 이는
의 약수이다.
이제, 임의의 formula_176에 제한된 켤레 작용
를 생각하자. 이에 대한 류의 방정식에 의하여 합동식
가 성립한다. 이제 formula_4가 이 작용의 유일한 불변 원소임을 보이자. 만약 formula_185가 임의의 formula_125에 대하여 formula_187를 만족시킨다면, formula_188이며, 제2 쉴로브 정리에 의하여 다음을 만족시키는 formula_189가 존재한다.
따라서, 합동식
가 성립한다.
빌런트의 증명.
집합
을 생각하자. 그렇다면, formula_193는 정확히 다음과 같은 집합이다.
여기서 formula_195는 formula_4의 오른쪽 잉여류들의 집합이다. (이는 모든 쉴로브 "p"-부분군이 자신의 오른쪽 잉여류의 안정자군이기 때문이다.) 따라서,
이다.
임의의 formula_198의 안정자군 formula_199은 "p"-부분군이다. 이는 임의의 formula_95에 대하여, formula_201이므로, formula_202가 formula_199의 일부 오른쪽 잉여류들로 분할되기 때문이다. 특히, formula_204의 원소들의 안정자군은 "p"-부분군이다. 또한, formula_204는 formula_3의 작용에 대하여 닫혀있으므로, formula_204 속 궤도들의 대표원 formula_208를 취할 수 있으며, 이 경우
가 성립한다.
또한,
가 성립한다. 이는 임의의 formula_80에 대하여, formula_37의 소인수 formula_1의 중복도가 formula_214라고 할 때,
이기 때문이다.
이들 결론을 종합하면
을 얻으며, formula_217이므로
가 성립한다.
쉴로브 부분군의 성질.
유한군 formula_3와 소수 formula_1가 주어졌다고 하자.
연산에 대한 닫힘.
만약 formula_4가 formula_3의 쉴로브 "p"-부분군이며, formula_223이 formula_3의 정규 부분군이라면, 다음이 성립한다.
formula_63가 formula_223의 쉴로브 "p"-부분군이라고 하자. 그렇다면 formula_22인 formula_23가 존재한다. 따라서
이며,
이다. formula_225은 formula_223의 "p"-부분군이므로,
이며, formula_225은 formula_223의 쉴로브 "p"-부분군이다.
두 번째 명제는 첫 번째 명제와
으로부터 유도된다.
충분 조건.
만약 formula_4가 formula_3의 "p"-부분군이며, formula_243라면, formula_4는 formula_3의 쉴로브 "p"-부분군이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.
formula_4가 formula_4의 켤레 부분군의 집합
위에서 다음과 같이 작용한다고 하자.
그렇다면, 각 궤도의 크기는 formula_93의 약수이며, 특히 formula_1의 거듭제곱이다.
이제, formula_4가 이 작용의 유일한 불변 원소임을 보이자. 만약 formula_254가 임의의 formula_125에 대하여 formula_187를 만족시킨다면, formula_257인 formula_23를 취하면
이므로, formula_8이다.
따라서, 류의 방정식과 궤도-안정자군 정리에 의하여
이며, 특히 formula_4는 formula_3의 쉴로브 "p"-부분군이다.
교집합.
만약 formula_264가 formula_3의 모든 쉴로브 "p"-부분군의 교집합이라고 하면, formula_264는 formula_3의 특성 부분군이자 유일한 극대 정규 "p"-부분군이다. 만약 formula_4가 formula_3의 정규 쉴로브 "p"-부분군이라면, formula_270이며, formula_271는 formula_3의 유일한 쉴로브 "p"-부분군이다.
우선, formula_264가 formula_3의 정규 부분군임을 보이자. 이는 쉴로브 "p"-부분군 formula_20에 대하여,
가 formula_4의 정규핵이기 때문이다.
이제, formula_264가 formula_3의 모든 정규 "p"-부분군을 포함함을 보이자. 임의의 정규 "p"-부분군 formula_280 및 쉴로브 "p"-부분군 formula_20에 대하여, formula_282임을 보이면 된다. formula_283이 formula_3의 부분군이며,
이므로 이는 "p"-부분군이다. 따라서 formula_286이며, 특히 formula_282이다.
이에 따라 formula_264는 formula_3의 유일한 극대 정규 "p"-부분군이다. 극대 정규 "p"-부분군은 자기 동형 사상에 대하여 불변인 성질이다. 즉, 임의의 자기 동형 사상 formula_290에 대하여, formula_291 역시 formula_3의 극대 정규 "p"-부분군이며, 따라서 formula_293이다. 즉, formula_264는 formula_3의 특성 부분군이다.
만약 formula_4가 formula_3의 정규 쉴로브 "p"-부분군이라면, formula_298이므로,
이며, 따라서 formula_271이다.
다음과 같은 조건을 생각하자.
이 조건의 일부 충분 조건들은 다음과 같다.
프라티니 논증.
만약 formula_223이 formula_3의 정규 부분군이며, formula_4가 formula_223의 쉴로브 "p"-부분군이라면, formula_311이다. 이를 프라티니 논증이라고 한다. 이를 통해 다음과 같은 사실을 증명할 수 있다. 만약 formula_4가 formula_3의 쉴로브 "p"-부분군, formula_63가 formula_3의 부분군이며, formula_316라면, formula_317이다. 특히, formula_318가 성립한다.
응용.
실로우의 정리는 많은 응용 사례를 갖는다. 몇 가지 대표적인 것들은 다음과 같다. formula_1와 formula_320가 소수이며, formula_321라고 하자.
역사.
노르웨이의 수학자 페테르 루드비 메이델 쉴로브가 증명하였고, 1872년에 정식으로 출판하였다.