국소화 (환론)

환론에서 국소화(局所化, )는 환의 일부 원소에 역원을 추가하여 가역원으로 만드는 방법이다. 대수기하학에서 이 과정은 스펙트럼 함자를 통해 대수다양체 또는 스킴의 부분으로 국한시키는 기하학적 과정으로 해석된다. 가환환의 경우에는 국소화는 항상 잘 작동하지만, 비가환환의 경우 국소화가 잘 작동하려면 오레 조건()이라고 불리는 조건이 성립해야 한다.
가환환의 국소화.
보편 성질.
formula_1가 가환환이고, formula_2가 곱셈에 대한 모노이드라고 하자. 그렇다면, formula_1의 formula_4에 대한 국소화 formula_5는 다음 보편 성질을 만족시키는 가환환 formula_6 및 환 준동형 formula_7으로 구성된다.
국소화는 항상 존재하며, 보편 성질의 성질에 따라서 유일한 동형 아래 유일하다.
위 보편 성질은 formula_4가 곱셈 모노이드가 아닌 경우에도 정의할 수 있다. 그러나 두 가역원의 곱은 항상 가역원이 되어야 하므로 일반성을 잃지 않고 formula_4를 곱셈 모노이드로 놓을 수 있다. 즉, 만약 formula_4가 곱셈 모노이드가 아니고, formula_18가 이를 포함하는 가장 작은 곱셈 모노이드라면, 항상 formula_19가 된다.
구성.
위 보편 성질을 만족시키는 국소화를 구체적으로 다음과 같이 구성할 수 있다.
formula_20 위에 다음과 같은 동치 관계를 정의하자. 만약 formula_21, formula_22이고 formula_23인 formula_24가 있다면
으로 정의한다. 그렇다면 formula_26로 놓자. 이는 대략 formula_27를 formula_28와 같은 비로 해석하는 것이다. 앞으로 formula_27를 formula_28로 쓰자.
formula_6 위에 다음과 같은 가환환 구조를 정의한다.
또한, formula_34로 가는 다음과 같은 환 준동형이 존재한다.
이는 일반적으로 단사 함수도, 전사 함수도 아니다.
비가환환의 국소화.
가환환이 아닐 수 있는 임의의 환 formula_1 및 부분 모노이드 formula_2에 대하여, 국소화 formula_7를 생각할 수 있다. 이는 환의 범주 formula_39에서 마찬가지 보편 성질을 만족시키는 환이다. 비가환환의 국소화는 항상 존재하지만, 이 경우 일반적으로 다음 성질들이 모두 성립하지 않는다.
이 때문에 일반적인 비가환 국소화는 "국소화" 대신 보편 formula_4-가역화 환(普遍formula_4-可逆化環, )이라고 불리기도 한다.
비가환환의 국소화의 존재는 범주론적으로 다음과 같이 보일 수 있다. 표현 가능 함자 formula_59 속의, formula_4를 가역원으로 대응시키는 환 준동형으로 구성된 부분 함자
를 생각하자. 이는 프레이드 수반 함자 정리에 따라서 왼쪽 수반 함자 formula_63를 가지며, 따라서 formula_64는 표현 가능 함자이다. 즉,
로 생각할 수 있으며, formula_66는 국소화 formula_6를 이룬다.
만약 formula_1가 가환환일 경우, 비가환환으로서의 국소화 formula_6는 가환환이며, 이는 가환환으로서의 국소화와 일치한다. (이 경우, 비가환환으로서의 국소화는 오레 국소화이며, 이 경우 오레 국소화가 가환환임을 쉽게 알 수 있다.)
구성.
비가환환의 국소화는 다음과 같이 구체적으로 구성할 수 있다. 환 formula_1의 표시
를 고르자. 즉, 생성원 formula_72와 관계 formula_73로 나타내자. 그렇다면, 각 formula_43에 대하여 생성원 formula_75를 추가하고, 또 관계
를 추가하자. 그렇다면
는 국소화의 보편 성질을 만족시킨다.
이 구성에서, formula_6의 모든 원소는 다음과 같은 꼴로 나타내어진다.
오레 국소화.
비가환환 formula_1의 국소화는 항상 존재하지만, 일반적으로 구체적으로 다루기 어렵다. 그러나 만약 환 formula_1와 부분 모노이드 formula_2가 오레 조건()이라는 조건을 만족시킨다면, 국소화를 구체적으로 정의할 수 있다. 이 경우 존재하는 오레 국소화는 위 성질 (A), (B), (C) (또는 (A′), (B′), (C))를 만족시킨다.
구체적으로, formula_1와 부분 모노이드 formula_2가 다음 두 조건을 만족시킨다면, 왼쪽 오레 조건()이 성립한다고 한다.
마찬가지로, formula_1와 부분 모노이드 formula_2가 다음 조건을 만족시킨다면, 오른쪽 오레 조건()이 성립한다고 한다.
formula_91가 왼쪽 오레 조건을 만족시킨다고 하자. 그렇다면, 곱집합 formula_20 위에 다음과 같은 동치 관계를 주자.
그렇다면 formula_6는 집합으로서 몫집합 formula_95이다. formula_27의 동치류를 formula_97로 표기하자. formula_6 위의 곱셈은 다음과 같다.
여기서 formula_100인 formula_101는 왼쪽 오레 조건에 의하여 존재하며, 이는
로 생각할 수 있다. (물론 이는 아직 엄밀히 정의되지 않는다.) 마찬가지로, formula_6 위의 덧셈은 다음과 같다.
여기서 formula_105인 formula_101는 왼쪽 오레 조건에 의하여 존재하며, 이는
로 생각할 수 있다. 덧셈의 정의는
로 생각할 수 있다.
마찬가지로, 오른쪽 오레 조건의 경우에도 마찬가지로 국소화 formula_6를 구성할 수 있다.
이렇게 구성한 국소화를 오레 국소화()라고 한다. 왼쪽·오른쪽 오레 국소화는 (보편 성질에 따른) 국소화의 특수한 경우이다.
가환환의 경우 왼쪽·오른쪽 오레 조건이 자명하게 성립하며, 이 경우 오레 국소화는 가환환으로서의 국소화와 일치한다.
가군의 국소화.
환 formula_1의 곱셈에 대한 부분 모노이드 formula_2 및 formula_1 위의 왼쪽 가군 formula_113이 주어졌다고 하자. 그렇다면, formula_113의 formula_4에서의 국소화 formula_116은 formula_6 위의 왼쪽 가군이며, 다음과 같다.
또한, 표준적인 formula_1-왼쪽 가군 사상 formula_120가 존재한다.
이는 함자
를 정의하며, 환 준동형 formula_34에 의한 망각 함자
의 왼쪽 수반 함자이다. 즉, 이는 다음과 같은 수반 함자 보편 성질을 만족시킨다. 임의의 formula_1-왼쪽 가군의 준동형 formula_125에 대하여, 만약 임의의 formula_43에 대하여 formula_127이 전단사 함수라면, formula_128인 formula_1-왼쪽 가군 준동형 formula_130이 존재한다.
구성.
formula_1가 가환환일 때, 가군의 국소화 formula_133는 다음과 같이 매우 구체적으로 구성할 수 있다.
formula_134 위에 다음과 같은 동치 관계를 부여하자.
formula_116은 집합으로서 위 동치 관계에 대한 몫집합이다. formula_137의 동치류를 formula_138로 표기하자. 그렇다면, formula_116 위의 덧셈과 스칼라 곱셈은 다음과 같다.
성질.
소 아이디얼.
가환환 formula_1 및 곱셈 모노이드 formula_2에 대하여, 국소화 formula_7의 소 아이디얼들은 formula_1의 소 아이디얼 가운데 formula_4와 서로소인 것들과 일대일 대응한다. 즉, 다음과 같은 전단사 함수가 존재한다.
여기서 formula_7는 표준적으로 존재하는 환 준동형이다.
특히, formula_1의 소 아이디얼 formula_151에 대하여, formula_152는 국소환이며, 유일한 극대 아이디얼은 formula_151에 대응한다.
국소화의 단사성과 전사성.
가환환 formula_1 및 곱셈 모노이드 formula_2에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
그러나 이는 비가환한에 대하여 일반적으로 성립하지 않는다.
뇌터 가환환 formula_1 위의 단사 가군 formula_159 및 임의의 원소 formula_44에 대하여, formula_161는 전사 함수이다.
오레 조건의 필요충분성.
환 formula_1 및 곱셈 모노이드 formula_2에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
또한, 이러한 조건을 만족시키는 formula_165는 유일한 동형 아래 유일하며, (오레) 국소화와 일치한다.
마찬가지로, 환 formula_1 및 곱셈 모노이드 formula_2에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
특히, 만약 formula_1가 가환환이라면 왼쪽·오른쪽 오레 조건이 자명하게 성립하므로 위 세 조건들이 성립한다.
예.
(비가환일 수 있는) 환 formula_1 및 곱셈 모노이드 formula_2가 주어졌다고 하자.
분수체.
(곱셈 항등원을 갖는) 환 formula_1에 대하여,
가 정칙원(오른쪽 영인자 또는 왼쪽 영인자가 아닌 원소)들의 집합이라고 하자. 또한, formula_91가 왼쪽 오레 조건 또는 오른쪽 오레 조건을 만족시킨다고 하자. 그렇다면, 국소화 formula_6를 formula_1의 전분수환 formula_190라고 한다.
특히, 만약 formula_1가 (가환) 정역이라면 formula_192이며, formula_190는 체를 이룬다. 이 경우, formula_190는 분수체라고 한다. 보다 일반적으로, 정역의 0을 포함하지 않는 부분 모노이드 formula_195가 주어졌을 때, 경우, 국소화 준동형 formula_34은 다음과 같이 formula_197의 일부분을 이룬다.
이에 따라 formula_6는 항상 분수체 formula_190의 부분환을 이룬다.
정수환.
정수환 formula_201의 소 아이디얼은 소수의 주 아이디얼 formula_202 또는 영 아이디얼 formula_203이다.
정수환 formula_201를 소 아이디얼에서 국소화하면 다음과 같다.
즉, 분모가 formula_207의 배수가 아닌 유리수들의 환이다. 이들은 정역의 소 아이디얼에서의 국소화이므로 국소환이다. 특히, formula_208는 이산 값매김환이며, formula_206는 체이다.
정수환의 formula_201를 원소 formula_211에서 국소화하면 다음과 같다.
즉, 분모가 formula_214의 거듭제곱인 유리수들의 환이다. (이는 흔히 formula_215로 표기되는 p진 정수의 환과 다른 환이다. p진 정수는 정수환을 국소화 대신 완비화하여 얻는다.)
정수환의 몫환.
정수환의 몫환 formula_216을 생각해 보자. formula_217이 소수의 거듭제곱이라면 formula_183이거나 formula_180이다. 만약 formula_220이고, formula_221와 formula_222가 1보다 큰 서로소 자연수라면 중국인의 나머지 정리에 의하여 formula_223이다. 그렇다면 formula_224이 가능한데, 이 경우 formula_225이다.
비가환환의 자명한 국소화.
체 formula_226 및 정수 formula_227에 대하여, 행렬환 formula_228을 생각하자. formula_229가 formula_230에서 성분 formula_231을 가지며, 나머지 성분이 모두 formula_232인 행렬이라고 하자. 그렇다면, formula_233일 때, 국소화 formula_234는 자명환이다.
응용.
대수기하학에서는 크게 두 종류의 국소화가 사용된다.
역사.
1927년에 하인리히 그렐(, 1903~1974)이 정역의 분수체를 도입하였다.
에미 뇌터는 오레 조건의 기본 개념을 이해하고 있었지만, 이에 대하여 출판하지 않았다. 오레 국소화는 외위스테인 오레(1899~1968)가 1937년에 도입하였다. (람짓윈은 이 사실과 관련하여 "NOETHER"(뇌터)가 "THEN ORE"(영어로, "그 뒤 오레")의 어구전철이 된다는 사실을 지적하였다.)
임의의 가환환의 국소화는 클로드 슈발레와 알렉산드르 일라리오노비치 우스코프()가 도입하였다.