토포스

범주론, 논리학과 대수기하학에서 토포스(, 복수 )는 어떤 공간 위의 층들의 범주와 유사한 성질을 갖는 범주이다. 토포스는 대수기하학에서는 위상 공간의 개념의 일반화로서 등장하며, 반면 논리학에서는 토포스는 집합의 범주의 일반화로서 등장한다. 이러한 다른 토포스에서도 집합의 범주와 유사한 내부 언어()를 사용할 수 있다.
정의.
토포스()는 다음 조건들을 만족시키는 범주이다.
부분 분류 대상 분류자 대신, 멱대상()의 개념을 도입하여 둘째 및 셋째 조건을 "모든 대상은 멱대상을 갖는다"로 대체할 수 있다.
그로텐디크 토포스.
그로텐디크 토포스()는 위치 위의 (집합 값을 갖는) 층들의 범주와 동치인 범주이다. 이는 지로 정리()를 사용하여 공리적으로도 정의할 수 있다. 모든 그로텐디크 토포스는 토포스임을 보일 수 있다.
구체적으로, 지로 정리에 의하면 다음 두 조건이 서로 동치이다.
여기서 임의의 범주에서의 동치 관계는 다음 조건을 만족시키는 사상 formula_8이다.
동치 관계에 대하여, 두 사영 사상에 대한 쌍대동등자 formula_12를 정의할 수 있다. 표준적 사상 formula_13이 동형 사상이라면, formula_10를 유효 동치 관계라고 한다.
준토포스.
범주 formula_2가 다음 조건들을 만족시킨다면, 준토포스(準topos, )라고 한다.
모든 토포스는 준토포스이다. 준토포스는 토포스의 정의에서 부분 대상 분류자의 존재를 강한 부분 대상 분류자의 존재로 약화시킨 것이다.
위치 formula_2 위의 층 범주 formula_18가 토포스를 이루는 것처럼,
위치 formula_2 위의 분리 준층 범주 formula_20는 준토포스를 이룬다. 보다 일반적으로, 작은 범주 formula_2 위에 두 개의 그로텐디크 위상 formula_22 및 formula_23가 주어졌으며, formula_22가 formula_23보다 더 엉성할 때 (formula_26), formula_22-층인 formula_23-분리 준층들의 범주 formula_29는 준토포스를 이룬다. 이와 같이 나타낼 수 있는 준토포스를 그로텐디크 준토포스()라고 한다. 그로텐디크 토포스에 대한 지로 정리와 마찬가지로, 그로텐디크 준토포스에 대해서도 지로 정리가 존재한다.
공간으로서의 토포스.
토포스를 위상 공간의 일반화로 생각하여, 위상 공간 위의 여러 개념들을 토포스에 대하여 다음과 같이 정의할 수 있다.
기하학적 사상.
두 토포스 formula_30, formula_31 사이의 기하학적 사상() formula_32는 다음 조건을 만족시키는 수반 함자쌍
이다.
기하학적 사상 formula_37에서, 만약 formula_36가 추가로 왼쪽 수반 함자
를 갖는다면, 이를 본질적 기하학적 사상()이라고 한다.
만약 formula_40와 formula_41가 위상 공간 위의 그로텐디크 토포스이며, 연속 함수 formula_42가 주어졌다면, 층의 직상 formula_43 및 역상 formula_44은 기하학적 사상을 이룬다.
점.
집합의 범주 formula_45는 한원소 공간 위의 그로텐디크 토포스 formula_46이다. 즉, 이는 한원소 토포스로 생각할 수 있다. 토포스와 기하학적 사상의 범주에서, 이는 끝 대상을 이룬다. 그로텐디크 토포스 formula_30에서 한원소 토포스 formula_45로 가는 유일한 기하학적 사상 formula_49은 다음과 같이 해석할 수 있다.
토포스 formula_30의 점(點, )은 집합의 범주에서 formula_30로 가는 기하학적 사상 formula_61이다.
공집합이 아닌 위상 공간은 하나 이상의 점을 갖지만, 점을 갖지 않는 자명하지 않는 토포스가 존재한다.
국소 연결 토포스.
국소적으로 작은 토포스 formula_30 속의 연결 대상()은 사상 집합 함자
가 모든 유한 쌍대극한을 보존시키는 대상 formula_64이다.
그로텐디크 토포스 formula_30에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 그로텐디크 토포스를 국소 연결 토포스()라고 한다.
국소 연결 토포스 formula_30에서 한원소 토포스 formula_45로 가는 (유일한) 본질적 기하학적 사상 formula_49에서 formula_72은 다음과 같이 해석할 수 있다.
위상 공간 formula_76에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
연결 토포스.
연결 토포스() formula_30는 그 상수층 함자 formula_68가 충실충만한 함자인 토포스이다. 국소 연결 토포스 formula_30에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
위상 공간 formula_76에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
기본군.
그로텐디크 토포스에 대하여, 기본군의 개념을 정의할 수 있다. 이는 위상 공간의 기본군의 사유한 완비나, 스킴의 에탈 기본군을 일반화한다.
그로텐디크 토포스 formula_87가 주어졌을 때, 그 속에 국소 상수층들의 부분 범주 formula_88를 정의할 수 있다.
그로텐디크 토포스 formula_87의 밑점()은 특정한 조건들을 만족시키는, 유한 집합의 범주로 가는 함자 formula_90이다. (구체적으로, 이는 "사표현 가능 함자"()이어야 한다.)
그로텐디크 토포스 formula_87의 밑점 formula_92가 대상 formula_93으로 표현된다고 하자. 그렇다면 그로텐디크 토포스 formula_87의, 밑점 formula_92에서의 기본군 formula_96는 formula_97의 자기 동형군 formula_98이다. 이는 항상 사유한군이며, 또한 범주의 동치
가 존재한다. (우변은 사유한군 formula_96의 작용을 갖는 유한군들로 구성된 범주이다.)
논리학으로서의 토포스.
논리적 사상.
두 토포스 formula_30, formula_31 사이의 논리적 사상() formula_32는 유한 극한과 멱대상을 보존하는 함자이다.
미첼-베나부 언어.
임의의 고차 논리 (형 이론) 명제를 토포스 formula_30 속에서 해석할 수 있다. 이를 formula_30의 미첼-베나부 언어()라고 하며, 이 언어 가운데 참인 명제들의 집합을 formula_30의 내적 논리()이라고 한다. 이 경우, 직관 논리의 모든 공리들이 성립하지만, 고전적 논리는 성립하지 않는다. 또한, 선택 공리(=모든 전사 사상은 분할 전사 사상) 역시 성립하지 않을 수 있다.
고전적 집합론은 집합의 토포스 formula_45의 논리학이다. 일반적으로, 그로텐디크 토포스 formula_18의 내적 논리에서 정의한 어떤 구조 formula_52는 (외적 논리에서) "formula_52값의 층"에 대응한다. 예를 들어, formula_18 속에서 정의한 국소환은 사실 국소환 달린 공간을 정의한다. 만약 formula_52가 대수 구조 다양체를 이룬다면 이렇게 내적 논리를 사용하지 않아도 된다 (즉, formula_52의 범주 formula_114가 주어졌을 때, formula_52값의 층은 층 조건을 만족시키는 준층 formula_116와 같다). 그러나 formula_52의 정의가 대수적이지 않을 때, "formula_52값의 층"은 "층 조건을 만족시키는 준층 formula_116"과 다르며, 전자가 옳은 정의이다 (즉, 수학적으로 더 유용하다). 예를 들어, 국소환의 경우, 극대 아이디얼이 유일하다는 조건은 존재 기호 또는 전칭 기호를 필요로 하므로, 국소환의 개념은 대수 구조 다양체를 이루지 않는다.
형 이론.
토포스 formula_30에서, 각 대상 formula_64은 형()을 정의한다. 명제의 형은 부분 대상 분류자 formula_122이다. 토포스 속의 사상 formula_42는 형 formula_76를 형 formula_9로 대응시키는 변환이다. 즉, 형 formula_76의 매개변수를 갖는 형 formula_9의 대상이다. 특히, 형 formula_76의 매개변수 formula_129를 갖는 명제 formula_130는 사상 formula_131에 대응한다. 부분 대상 분류자의 성질에 의하여, 이는 formula_76의 부분 대상 formula_133에 대응한다.
명제의 형 formula_122 (또는 formula_135)가 존재한다는 것은, 명제에 대하여 존재 기호 · 전칭 기호를 씌울 수 있음을 뜻한다. 즉, 토포스의 내적 논리는 고차 논리를 이룬다.
명제 논리.
토포스 formula_30에서, 임의의 대상 formula_64의 부분 대상 부분 순서 집합 formula_138는 헤이팅 대수를 이룬다. (주어진 부분 순서 집합 위의 헤이팅 대수는 만약 존재한다면 유일하다. 부분 대상 분류자 formula_122의 존재에 의하여, 부분 대상 formula_140는 사상 formula_141와 동치이다.)
1차 논리.
토포스에서, 임의의 사상 formula_42에 대하여, 이로부터 유도되는 증가 함수
를 생각하자. 부분 순서 집합을 작은 범주로 생각한다면, 토포스에서 이는 항상 왼쪽 수반 함자 및 오른쪽 수반 함자를 갖는다.
이 경우, formula_145는 존재 기호, formula_146는 전칭 기호에 해당한다.
formula_147
대상 formula_76 속의 부분 대상 formula_149
이 주어졌으며, 그 만남
이 주어졌을 때, 헤이팅 대수 formula_138에서의 헤이팅 함의 관계 formula_154는 다음과 같이 정의된다.
여기서 formula_156는 부분 대상 formula_157에 대응하는 단사 사상이며, formula_158는 formula_159의 최대 원소이다.
크립키-주아얄 의미론.
토포스 위의 미첼-베나부 언어에 대하여, 크립키-주아얄 의미론()이라는 의미론이 존재한다. 이는 솔 크립키와 앙드레 주아얄이 도입하였다.
성질.
토포스의 공리들로부터, 다음과 같은 추가 성질들을 유도할 수 있다.
그로텐디크 토포스는 토포스이며, 또한 다음과 같은 추가 성질을 가진다.
예.
토포스의 예는 다음을 들 수 있다.
역사.
토포스의 개념은 알렉산더 그로텐디크가 대수기하학과 층 이론의 관점에서 1960년대에 도입하였다. 그로텐디크가 창안한 단어 (복수 )는 (장소, 복수 )에서 유래하였다.
프랜시스 윌리엄 로비어와 마일스 티어니()는 수리논리학에 토포스의 개념을 응용하였고, 그로텐디크 토포스의 개념을 (기초적) 토포스로 일반화하였다. 지로 정리는 장 지로()가 증명하였다.