류스테르니크-시니렐만 범주

대수적 위상수학에서 류스테르니크-시니렐만 범주(Люстерник-Шнирельман範疇, ) 또는 LS 범주()는 위상 공간에 대한 자연수 값의 호모토피 불변량이다. 거칠게 말하면 공간이 얼마나 복잡한지를 나타내는 척도 중 하나라고 할 수 있다.
정의.
류스테르니크-시니렐만 범주의 개념은 여러 가지로 정의될 수 있으며, 이 정의들은 CW 복합체와 호모토피 동치인 위상 공간에 대해서는 서로 일치한다.
열린 덮개를 통한 정의.
점을 가진 공간 formula_1가 주어졌으며, formula_2가 CW 복합체와 호모토피 동치이며, formula_3가 쌍대올뭉치라고 하자.
formula_4의 류스테르니크-시니렐만 범주 formula_5를 다음 조건을 만족시키는 최소의 자연수 formula_6로 정의한다.
만약 위와 같은 자연수가 존재하지 않는다면, formula_10로 놓는다.
일부 문헌에서는 류스테르니크-시니렐만 범주를 formula_6 대신 formula_12로 정의한다.
화이트헤드의 정의.
영 대상(시작 대상이자 끝 대상인 대상)을 갖는 모형 범주 formula_13가 주어졌다고 하자. 이 모형 범주에서, 다음과 같은 성질을 생각할 수 있다.
이러한 모형 범주에서, 올대상이자 쌍대올대상인 대상 formula_2의 formula_18차 부케가르니() 또는 뚱뚱한 쐐기합() formula_19은 다음과 같이 재귀적으로 정의되는 대상이다.
특히, 다음이 성립한다.
점을 가진 공간의 범주에서, 부케가르니는 구체적으로 다음과 같은 꼴로 주어진다.
즉, 이는 formula_27은 곱공간 formula_28에서, 적어도 한 좌표가 밑점 formula_29이 되는 점들로 구성된 부분 공간이다.
formula_4의 류스테르니크-시니렐만 범주는 다음 그림을 호모토피 가환 그림으로 만드는 연속 함수 formula_31가 존재하는 최소의 자연수 formula_18이다.
여기서 formula_34은 대각 사상이다.
가네아의 정의.
영 대상을 가지며 육면체 공리를 따르는 모형 범주 formula_13를 생각하자.
올대상이자 쌍대올대상인 대상 formula_2에 대하여, 가네아 구성은 다음과 같은 올뭉치들의 가환 그림이다.
여기서
이를 가네아 올뭉치()라고 한다. 이제, formula_2의 류스테르니크-시니렐만 범주 formula_5는
이 호모토피 범주에서 오른쪽 역사상(즉, 단면) formula_47을 가질 수 있는 최소의 자연수 formula_18이다.
점을 가진 공간의 범주에서, formula_49은 경로 공간 formula_50으로 잡을 수 있으며, 그 호모토피 올은 고리 공간 formula_51이다. 이 경우
으로 잡을 수 있다. (여기서 formula_53는 두 위상 공간의 이음이다.) 또한, 이 경우
로 잡을 수 있다. 여기서 formula_55는 축소 현수이다.
정의 사이의 관계.
영대상을 가지며 육면체 공리를 따르는 모형 범주가 주어질 경우, 올대상이자 쌍대올대상인 대상에 대하여 류스테르니크-시니렐만 범주의 화이트헤드 정의와 가네아 정의는 서로 일치한다. 또한 그 범주가 formula_14일 경우, CW 복합체와 호모토피 동치인 위상 공간에 대하여 열린 덮개를 통한 정의와 일치한다.
성질.
류스테르니크-시니렐만 범주는 호모토피 불변량이다. 즉, 서로 호모토피 동치인 두 위상 공간은 같은 류스테르니크-시니렐만 범주를 갖는다.
연산에 대한 호환.
다음이 성립한다. (여기서 formula_57는 점을 가진 공간의 쐐기합이다.)
만약 사상 formula_60가 호모토피 오른쪽 역사상을 갖는다면, formula_61이다.
올뭉치
에 대하여,
이다.
임의의 점을 가진 공간 formula_64의, 크기 2의 열린 덮개
가 주어졌다고 하면, 다음이 성립한다.
차원과의 관계.
위상 공간 formula_2가 formula_70-연결 공간이라고 하자. 즉,
라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
여기서 formula_73는 formula_2의 르베그 덮개 차원이다. (다양체의 경우 이는 물론 다양체 차원과 일치한다.)
모스 이론과의 관계.
연결 콤팩트 매끄러운 다양체 formula_75 위의 연속 미분 가능 함수 formula_76의 임계점의 집합
의 크기 − 1은 류스테르니크-시니렐만 범주의 상계를 이룬다.
증명 개략:
formula_79일 경우엔 부등식이 자명하게 성립하므로 formula_80가 유한 개의 임계점만을 가질 경우만 확인하면 충분하다.
formula_75에 임의의 리만 다양체 구조를 주고, formula_80의 기울기 흐름
을 생각하자. 그렇다면, 각 임계점 formula_84에 대하여
를 정의하자. formula_75이 콤팩트 공간이며 임계점들이 유한 개 밖에 없기 때문에, 이들은 formula_75의 덮개를 정의한다. 그 원소들은 닫힌집합이며, 또한 기울기 흐름의 존재에 의하여 formula_88은 모두 상수 함수 formula_89와 호모토피 동치이다.
이제, 각 formula_90에 대하여, formula_91이며, 호모토피 성질을 보존하는 열린 근방 formula_92을 찾을 수 있음을 보일 수 있다. 즉, formula_93는 류스테르니크-시니렐만 범주의 정의에 등장하는 조건을 만족시키는 열린 덮개이다.
예를 들어, 초구 formula_94을 유클리드 공간 formula_95 위의 단위구로 놓았을 때, 높이 함수는 두 개의 임계점(북극과 남극)을 갖는다. 초구의 류스테르니크-시니렐만 범주는 1이므로, 등호가 성립한다.
이 성질은 모스 이론과 유사하다. 그러나 모스 이론은 모스 함수의 임계점의 수의 하한에 대한 것이지만, 류스테르니크-시니렐만 범주는 모든 연속 미분 가능 함수의 임계점의 수에 대한 것이다.
코호몰로지 길이와의 관계.
일반적으로, 위상 공간 formula_2의, formula_18개의 축소 특이 코호몰로지류들의 합곱이 0이 아니라고 하자.
그렇다면,
이다.
유리수 류스테르니크-시니렐만 범주.
유리수체 위의 가환 미분 등급 대수의 모형 범주 formula_102를 생각하자. 그렇다면, 조각 범주
는 영 대상을 가지는 모형 범주이며, 육면체 공리를 따른다. 따라서, 이 범주 위에서 류스테르니크-시니렐만 범주를 정의할 수 있다. (CW-복합체와 호모토피 동치이며, 점 포함 사상이 쌍대올뭉치인) 점을 가진 공간 formula_104에 대하여, 이에 대응되는 가환 미분 등급 대수 formula_105의 류스테르니크-시니렐만 범주를
라고 표기하자. 이는 사실 formula_2와 유리수 호모토피 동치인 점을 가진 공간의 류스테르니크-시니렐만 범주의 최솟값이다. 특히, 다음이 항상 성립한다.
또한, 만약 formula_2와 formula_110가 단일 연결 공간이며, 그 최소 설리번 대수들이 등급별 유한 차원이라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
예.
콤팩트 단일 연결 심플렉틱 다양체 formula_112에 대하여 formula_113의 증명:
심플렉틱 형식 formula_114의 드람 코호몰로지류
를 생각하자. 그렇다면,
이다. (이는 부피 형식을 이룬다.) 따라서 formula_75의 코호몰로지 길이는 formula_118 이상이며,
이다. 반면, formula_75이 단일 연결 공간이므로 formula_121이다.
역사.
라자리 류스테르니크와 레프 시니렐만이 도입하였다. 두 명의 공동 논문은 시니렐만의 사후인 1947년에 처음 출판되었다. 그들은 위상 공간의 LS 범주와 그 공간 위의 연속 함수의 임계점의 수의 관계를 밝힘으로써 위상수학과 미분기하학 사이에 관계가 있음을 알아냈다. 그들은 공간의 성질을 나타내는 이 불변량에 ‘범주’(, )라는 이름을 붙였는데, 이는 범주론의 범주와는 관련이 없고 당시는 아직 범주론이 정립되기 전이었다.
부케가르니를 통한 류스테르니크-시니렐만 범주의 정의는 가 도입하였다. 가네아 구성을 통한 류스테르니크-시니렐만 범주의 정의는 가 도입하였다.
1971년 가네아는 LS 범주에 관한 명제인 가네아 추측을 제안했다. 하지만 1998년에 이와세 노리오()가 이 추측에 대한 반례를 발견하였다.