페르마 두 제곱수 정리

수론에서 페르마 두 제곱수 정리(-數定理, )는 홀수 소수가 두 개의 제곱수의 합일 필요 충분 조건이 4에 대한 나머지가 1이라는 것이라는 정리이다.
정의.
홀수 소수 formula_1가 주어졌다고 하자. 페르마 두 제곱수 정리에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
사실, 4에 대한 나머지가 1인 소수는 무한히 많이 존재하며, 이에 대한 두 제곱수로의 표현은 (더하는 순서를 무시하면) 유일하다. 작은 소수의 경우는 다음과 같다.
증명.
전자가 후자를 함의하는 것은 자명하다. 이는 제곱수의 4에 대한 나머지는 0이거나 1이므로, 두 제곱수의 합의 4에 대한 나머지는 0, 1, 2이기 때문이다. 반대 방향에 대한 몇 가지 증명은 아래와 같다.
오일러의 증명.
처음 출판된 증명은 레온하르트 오일러가 제시하였다. 이 증명은 무한 강하법을 사용하며, 이후에 제시된 증명들에 비하면 복잡하다. 이는 대략 다음과 같다.
우선, 다음과 같은 명제를 증명하자.
가정에 의하여, 다음이 성립한다.
즉, formula_9이거나, formula_10이다. 편의상 전자를 가정하자. 그렇다면, 브라마굽타-피보나치 항등식
에 의하여, formula_9이므로, 두 수의 몫은 다음과 같이 두 제곱수의 합이다.
이제, 다음과 같은 명제를 증명하자.
귀류법을 사용하여, formula_16의 모든 약수가 두 제곱수의 합이라고 하자. 그렇다면, 특히 formula_16의 한 소인수 formula_19는 두 제곱수의 합이며, 이전의 명제에 따라, formula_20는 두 제곱수의 합이다. 이를 formula_16의 (중복도를 감안한) 모든 소인수에 대하여 반복하면, formula_1가 두 제곱수의 합이라는 결론을 얻으며, 이는 모순이다.
이제, 다음과 같은 명제를 증명하자.
다음과 같은 정수 formula_29을 취하자.
그렇다면, formula_24이므로 formula_34이고, 또한
이다. formula_36을 다음과 같이 정의하자.
그렇다면, formula_38이다. 또한, formula_24이므로, formula_40이며, formula_41이다. 따라서, 다음이 성립한다.
즉, formula_44는 명제의 조건을 만족시킨다.
이제, 다음과 같은 명제를 증명하자.
귀류법을 사용하여, formula_25가 두 제곱수의 합이 아니라고 가정하자. 이전의 명제에 따라, 다음을 만족시키는 정수 formula_29를 취하자.
그렇다면, formula_51는 두 제곱수의 합이 아닌 약수 formula_52를 갖는다. 또한 formula_53이다. 이를 formula_19와 formula_6에 대하여 반복할 수 있다. 즉, 다음을 만족시키는 정수 formula_56를 취하자.
그렇다면, formula_58는 두 제곱수의 합이 아닌 약수 formula_59를 가지며, formula_60이다. 이와 같이 반복하면, 양의 정수의 순감소 무한 수열
를 얻으며, 이는 모순이다.
이제, 두 제곱수 정리를 증명하자. 소수 formula_1가 어떤 정수 formula_14에 대하여 formula_64라고 하자. 다음과 같은 정수 formula_45가 존재한다고 가정하자.
그렇다면, 페르마 소정리에 따라,
이다. 따라서
이며, 이전의 명제에 따라 formula_1는 두 제곱수의 합이다. 즉, 두 제곱수 정리를 증명하려면 위와 같은 formula_45를 찾으면 된다.
이를 위해, 수열
의 1계 유한 차분
을 생각하자. 귀류법을 사용하여, 1계 유한 차분의 모든 항이 formula_1를 약수로 가진다고 가정하자. 그렇다면, 2계 유한 차분의 모든 항 역시 formula_1를 약수로 가지며, 마찬가지로 3계, 4계, …, formula_76계 유한 차분의 모든 항 역시 formula_1를 약수로 가진다. 그러나 수열 formula_78의 formula_76계 유한 차분은 모든 항이 formula_80이며, formula_1는 formula_80의 약수가 아니다. 이는 모순이므로, 어떤 formula_83에 대하여
이 성립한다. 즉, formula_85와 formula_86은 위와 같은 조건을 만족시킨다.
투에 보조정리를 통한 증명.
만약 formula_4라고 하자. 그렇다면, −1은 formula_1에 대한 제곱 잉여이므로,
인 정수 formula_90가 존재한다. 또한 formula_91이므로, 투에 보조정리에 따라,
를 만족시키는 정수 formula_3가 존재한다. 따라서,
이며, formula_96이다. 또한, formula_97이므로,
이다.
한 문장 증명.
유한 집합
위의 대합
는 유일한 고정점 formula_101를 가지므로, formula_102는 홀수이다. 따라서 또 하나의 대합
역시 적어도 하나의 고정점 formula_104을 가지며, 이는
를 만족시킨다.
일반화.
formula_106.
임의의 양의 정수 formula_14에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
충분 조건은 어떤 두 제곱수의 합으로 표현되는 수의 곱도 두 제곱수의 합임을 이용하면 자명하다. 필요 조건의 증명에는 제곱 잉여의 이론을 이용하면 쉽게 증명할 수 있다.
formula_111.
홀수 소수 formula_1에 대하여, 다음 두 조건 역시 서로 동치이다.
증명.
우선, formula_111인 정수 formula_3가 존재한다고 가정하자. 그렇다면,
이므로, 어떤 정수 formula_119에 대하여
가 성립한다. 따라서,
이므로,
이다. 즉, −2는 formula_1에 대한 제곱 잉여이며, 이는
와 동치이다.
반대로,
라고 가정하자. 이는 −2가 formula_1에 대한 제곱 잉여인 것과 동치이므로, 어떤 정수 formula_119에 대하여
가 성립한다. 다음과 같은 집합을 생각하자.
여기서 formula_130는 formula_1에 대한 나머지를 구하는 함수이다. 이 집합의 원소는 많아야 formula_1개여야 하므로, 다음을 만족시키는 formula_133가 존재한다.
사실, 다음과 같은 동치 관계에 따라, formula_136이며 formula_137이다.
이제, 정수 formula_3를 다음과 같이 정의하자.
그렇다면,
이며,
이다. 즉, 다음을 만족시키는 정수 formula_144이 존재한다.
또한, formula_146이므로, formula_147이다. 만약 formula_148이라면, formula_1는 어떤 제곱수와 다른 어떤 제곱수의 2배의 합이다. 만약 formula_150이라면, formula_151이며,
이므로, 역시 어떤 제곱수와 다른 어떤 제곱수의 2배의 합이다.
formula_153.
양의 정수 formula_14에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
역사.
프랑스의 알베르 지라르가 1632년 처음 착상하고 역시 프랑스 수학자인 피에르 드 페르마가 1640년 마랭 메르센에게 보내는 편지에서 처음 증명을 제시하였으나 완전하지 못했다. 이 정리가 처음 증명된 것은 1749년 스위스 수학자 레온하르트 오일러가 크리스티안 골트바흐에게 보내는 편지에서였다.