체바 정리

기하학에서 체바 정리(定理, )는 삼각형의 각 꼭짓점을 지나는 직선이 한 점에서 만날 필요충분조건을 제시하는 정리이다.
정의.
점 formula_1, formula_2, formula_3가 삼각형 formula_4의 각 변 formula_5, formula_6, formula_7의 직선 위의 점이라고 하자. 체바 정리에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
두 번째 조건의 세 개의 비율은 단순비를 나타낸다. 즉, 두 유향 선분의 방향이 같을 경우 양의 부호를 취하고, 방향이 반대일 경우 음의 부호를 취한다. 따라서 두 번째 조건을 만족시키려면 formula_1, formula_2, formula_3 가운데 삼각형의 변의 외분점의 수는 짝수이어야 한다. 체바 정리는 세 점 가운데 하나가 무한원점인 경우에도 성립한다. 이 경우 각 꼭짓점과 대변 위의 무한원점을 잇는 직선은 각 꼭짓점을 지나는 대변의 평행선으로 정의되며, 무한원점의 단순비 값은 −1로 정의된다.
증명.
넓이를 통한 증명.
우선 formula_8, formula_9, formula_10가 한 점 formula_18에서 만난다고 가정하자. 유향 삼각형 formula_19의 유향 넓이를 formula_20로 표기하자. 즉, 이는 세 꼭짓점을 시계 반대 방향으로 열거할 경우 양의 부호를 취하고, 시계 방향으로 열거할 경우 음의 부호를 취한다. 그렇다면, 높이가 같은 삼각형의 넓이는 밑변에 비례한다는 사실을 이용하면
를 얻으며, 따라서
이다. 마찬가지로
가 성립한다. 이 세 등식을 곱하면
를 얻는다.
이제 formula_8, formula_9, formula_10가 평행선이라고 가정하자. 그렇다면 삼각형 formula_28와 formula_29는 닮음이며, 삼각형 formula_30와 formula_31 역시 닮음이므로,
이다. (여기서 모든 비율은 유향 선분의 비율인 데 주의하자.) 따라서
이다.
반대로
가 성립하고 formula_8, formula_9, formula_10 가운데 적어도 한 쌍이 평행하지 않는다고 가정하자. 편의상 formula_8와 formula_9가 평행하지 않는다고 하자. 이들의 교점을 formula_18라고 하고, formula_41와 formula_7의 교점을 formula_43이라고 하자. 그렇다면 이미 증명한 바에 의하여
이며, 따라서
이다. 선분을 주어진 비율로 분할하는 점은 유일하게 결정된다는 사실에 의하여 formula_46가 성립한다. 따라서 formula_8, formula_9, formula_10는 한 점 formula_18에서 만난다.
무게 중심을 통한 증명.
체바 정리는 질점의 무게 중심을 사용하여 증명할 수 있다. 외분점을 고려하기 위해서는 음의 질량을 허용해야 한다. 편의상 삼각형의 각 변의 직선 위의 유향 선분의 유향 길이가 삼각형을 기준으로 시계 반대 방향일 경우 양의 부호를 취하고, 시계 방향일 경우 음의 부호를 취한다고 하자. 예를 들어 formula_51와 formula_52의 길이는 formula_3가 내분점일 경우 각각 양과 음의 부호를, 외분점일 경우 각각 음과 양의 부호를 취한다. 이렇게 하면 삼각형의 각 변의 직선 위의 모든 유향 선분에 유일한 유향 길이가 부여된다. 점 formula_54, formula_55, formula_56에 각각 질량 formula_57, formula_58, formula_59를 부여하여 질점 formula_60, formula_61, formula_62를 만들자. 그렇다면 formula_1에서 formula_60와 formula_62의 돌림힘이 일치하며, formula_2에서 formula_61와 formula_62의 돌림힘이 일치한다. 즉, formula_1는 formula_60와 formula_62의 무게 중심이며, formula_2는 formula_61와 formula_62의 무게 중심이다.
우선 formula_8, formula_9, formula_10가 한 점 formula_18에서 만난다고 가정하자. 이 경우 세 질점의 무게 중심은 formula_8 위의 점이자 formula_9 위의 점이어야 하므로 이는 두 직선의 교점 formula_18와 같다. formula_60와 formula_61의 무게 중심을 formula_43이라고 하자. 그렇다면 formula_43는 선분 formula_7 위의 점이며, 세 질점의 무게 중심 formula_18는 formula_88 위의 점이다. 따라서 formula_46이며, formula_3는 formula_60와 formula_61의 무게 중심이다. 즉, formula_3에서 formula_60와 formula_61의 돌림힘
은 일치한다. 즉,
이 성립한다. 또한 이러한 세 비율의 곱은 유향 선분의 부호의 정의와 무관하다.
이제 formula_8, formula_9, formula_10가 평행선이라고 가정하자. 이 경우 특히 formula_8와 formula_9가 평행하므로, 세 질점의 무게 중심은 존재하지 않는다. 즉, 세 질점의 질량의 합은 0이다. 즉,
이며, 이를 정리하면
를 얻는다. 새로운 세 질점 formula_105, formula_106, formula_107를 생각하면 마찬가지로
를 얻는다. 따라서
이다.
반대로
가 성립하고 formula_8, formula_9, formula_10가 평행선이 아니라고 가정하자. 편의상 formula_8와 formula_9가 어떤 점 formula_18에서 만난다고 가정하자. 그렇다면 formula_18는 세 질점의 무게 중심이다. 또한 세 비율의 곱이 1이라는 등식을 정리하면
을 얻으며, 이는 formula_3에서 formula_60와 formula_61의 돌림힘이 일치한다는 말과 같다. 즉, formula_3는 formula_60와 formula_61의 무게 중심이다. 따라서 formula_10 역시 formula_18를 지난다.
따름정리.
각체바 정리.
점 formula_1, formula_2, formula_3가 삼각형 formula_4의 각 변 formula_5, formula_6, formula_7의 직선 위의 점이라고 하자. 각체바 정리(角定理)에 따르면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
두 번째 조건의 여섯 개의 각의 크기는 유향각의 유향 크기를 나타낸다. 즉, 유향각이 시계 반대 방향일 경우 양의 부호를 취하고, 시계 방향일 경우 음의 부호를 취한다. 예를 들어, 만약 formula_3가 변 formula_7의 내분점이라면, formula_6에서 formula_10로 (180도 이내의 각도로) 회전하는 방향은 시계 반대 방향이며, formula_10에서 formula_143로 회전하는 방향 역시 시계 반대 방향이므로, formula_144와 formula_145는 모두 양의 부호를 취한다. 따라서 이들의 사인 값은 모두 양수이다. 만약 formula_3가 formula_55에 더 가까운 외분점이라면, formula_6에서 formula_10로 회전하는 방향은 시계 반대 방향이나, formula_10에서 formula_143로 회전하는 방향은 시계 방향이므로, formula_144와 formula_145는 각각 양과 음의 부호를 취한다. 따라서 이들의 사인 값은 각각 양수와 음수이다. 만약 formula_3가 formula_54에 더 가까운 외분점이라면, formula_144와 formula_145는 각각 음과 양의 부호를 취하며, 이들의 사인 값은 각각 음수와 양수이다. 따라서, 두 번째 조건이 만족되려면 점 formula_1, formula_2, formula_3 가운데 정확히 짝수 개가 외분점이어야 한다.
각 변의 중점에 대한 반사의 성질.
점 formula_1와 formula_162, formula_2와 formula_164, formula_3와 formula_43이 삼각형 formula_4의 각 변 formula_5, formula_6, formula_7의 직선 위의 점이며, 서로 각 변 formula_5, formula_6, formula_7의 중점에 대한 반사상이라고 하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
이는 각 변의 직선 위 두 점의 단순비가 서로 역수이기 때문이다.
공원점의 성질.
점 formula_1와 formula_162, formula_2와 formula_164, formula_3와 formula_43이 삼각형 formula_4의 각 변 formula_5, formula_6, formula_7의 직선 위의 점이며, 이 6개의 점이 공원점을 이룬다고 하자. (즉, 삼각형 formula_190와 formula_191의 외접원은 같다고 하자.) 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
이는 방멱 정리를 통해 증명할 수 있다.
중선의 성질.
삼각형의 세 중선은 공점선이며, 삼각형의 무게 중심에서 만난다. 이는 세 중점의 단순비가 모두 1이기 때문이다.
각의 이등분선의 성질.
삼각형의 세 내각의 이등분선은 공점선이며, 삼각형의 내심에서 만난다. 삼각형의 두 외각의 이등분선과 남은 한 내각의 이등분선 역시 공점선이며, 이들은 삼각형의 한 방심에서 만난다. 이는 각의 이등분선 정리에 의하여 내각 또는 외각의 이등분선과 대변의 교점의 단순비의 절댓값이 각의 두 이웃변의 길이의 비율과 같기 때문이다.
역사.
1678년에 이탈리아의 수학자 조반니 체바가 처음 제시한 것으로 알려졌으나, 11세기 사라고사 타이파의 왕 유수프 알무타만 이븐 후드가 먼저 발견하였다.