균등 공간

일반위상수학에서 균등 공간(均等空間, )은 두 점이 서로 "가까운지" 여부가 주어진 집합이다. 균등 공간 위에는 균등 연속 함수 · 코시 그물 · 완비화 등의 개념을 정의할 수 있다.
균등 공간의 개념은 위상 공간과 거리 공간의 가운데에 있다. 즉, 임의의 거리 공간 위에는 표준적인 균등 공간 구조가 주어지며, 임의의 균등 공간 위에는 표준적인 위상이 주어진다. 거리 공간이 아닌 균등 공간의 대표적인 예로는 위상군과 콤팩트 하우스도르프 공간이 있다.
정의.
균등 공간의 개념은 측근(側近, )의 개념을 사용하여 정의할 수 있으며, 또는 균등 덮개(均等-, )의 개념을 사용하여 정의할 수도 있다. 두 정의는 서로 동치이다. 대략, 측근은 위상 공간의 열린집합과 유사한 개념이며, 균등 덮개는 위상 공간의 열린 덮개와 유사한 개념이다.
측근을 통한 정의.
집합 formula_1가 주어졌다고 하자. 그렇다면, formula_1 위의 두 이항 관계 formula_3의 합성 formula_4은 다음과 같다.
formula_1 위의 이항 관계 formula_7의 반대 관계() formula_8는 다음과 같다.
집합 formula_1 위의 균등 공간 구조는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
formula_13는 포함 관계에 따라서 부분 순서 집합을 이루며, 이는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.
균등 공간 구조가 주어진 집합을 균등 공간이라고 한다. 주어진 집합 formula_1 위의 균등 공간 구조들은 포함 관계에 따라서 부분 순서 집합을 이룬다. 위상의 비교와 마찬가지로, 두 균등 공간 구조 formula_31에 대하여, 만약 formula_32이라면 formula_13를 formula_34보다 더 엉성한 균등 공간 구조()라고 하고, formula_34을 formula_13보다 더 섬세한 균등 공간 구조()라고 한다.
균등 덮개를 통한 정의.
집합 formula_1의 덮개 formula_38는 formula_39가 되는 부분 집합들의 족이다. formula_1의 덮개들의 집합을 formula_41로 표기하자. formula_1 위의 두 덮개 formula_43가 주어졌을 때, formula_44이 formula_45의 세분인 것을 formula_46로 표기하고, formula_44이 formula_45의 성형 세분인 것을 formula_49로 표기하자. 세분 관계는 원순서이며, 따라서 formula_50는 원순서 집합을 이룬다.
균등 공간 formula_51은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.
균등 덮개를 통한 정의는 측근을 통한 정의와 동치이다. 구체적으로, 측근을 사용한 정의의 균등 공간 formula_69가 주어졌을 때, 균등 덮개의 집합 formula_55는 다음과 같다.
여기서
는 덮개 집합의 세분 관계에 대한 상폐포이다. 즉, 균등 덮개는 측근 formula_74에 대한 formula_75 꼴의 덮개에 의하여 세분될 수 있는 덮개이다.
반대로, 균등 덮개의 집합 formula_55가 주어졌을 때, 측근의 집합 formula_13는 다음과 같다.
여기서
는 부분 집합 관계에 대한 상폐포이다.
기본계.
균등 공간 formula_69에서, 만약 측근 집합 formula_81가 다음 조건을 만족시킨다면, formula_82는 균등 공간 구조 formula_13의 기본계(基本系, )라고 한다.
균등 공간 구조의 기본계는 위상의 기저와 유사한 개념이다.
균등 연속 함수.
두 균등 공간 formula_69, formula_86 사이의 균등 연속 함수()는 다음 조건을 만족시키는 함수 formula_87이다.
균등 공간들과 균등 연속 함수들은 범주를 이루며, 이를 formula_90라고 표기한다.
성질.
위상수학적 성질.
균등 공간 formula_69 위에 각 점 formula_92에 대하여 다음과 같은 국소 기저를 주어 표준적인 위상을 정의할 수 있으며, 이를 균등 위상()이라고 한다.
모든 균등 공간은 (균등 위상을 부여할 때) 완비 정칙 공간이다.
균등 공간 formula_69에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 균등 공간을 하우스도르프 균등 공간이라고 한다.
위상 공간에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
완비 정칙 공간 ⇒ 균등화 가능 공간: 완비 정칙 공간 formula_1가 주어졌다고 하자. 모든 연속 함수 formula_97을 균등 연속 함수로 만드는 가장 엉성한 균등 공간 구조 formula_13를 생각하자. 즉, 이는 다음과 같은 기본계 formula_82를 갖는다.
그렇다면 formula_69의 균등 위상이 원래의 위상과 일치함을 보이는 것으로 충분하다. 우선, 임의의 연속 함수 formula_103 및 양의 실수 formula_104 및 formula_92에 대하여,
은 연속 함수에 대한 열린집합의 원상이므로 원래의 위상에서 열린집합이다. 즉, 균등 위상은 원래의 위상보다 엉성하다. 반대로, 원래의 위상에 대한 열린집합 formula_107가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 임의의 formula_108에 대하여, formula_109이며 formula_110인 연속 함수 formula_111이 존재하며,
이다. 즉, formula_113는 균등 위상에 대하여 열린집합이다. 즉, 균등 위상은 원래의 위상보다 섬세하다.
균등화 가능 공간 ⇒ 완비 정칙 공간: (균등 위상을 갖춘) 균등 공간 formula_69가 주어졌다고 하자. 임의의 닫힌집합 formula_115 및 formula_116가 주어졌다고 하자. 다음과 같은 측근의 열 formula_117를 취하자.
formula_120 속의 이진 유리수의 집합을 formula_121라고 하자. 다음과 같은 측근 집합 formula_122을 정의하자. 임의의 formula_123에 대하여, formula_124의 이진법 전개가
로 정의한다. 이 경우 만약 formula_127이며 formula_128이라면 formula_129이다. 이는 만약
일 경우
이기 때문이다.
이제, 다음과 같은 함수를 정의하자.
그렇다면, 임의의 formula_123에 대하여 formula_137이므로 formula_109이며, 임의의 formula_139 및 formula_123에 대하여 formula_141이므로 formula_142이다. 이제 formula_143가 연속 함수임을 보이면 된다. 이는 균등 연속 함수임을 보이는 것으로 충분하다. 임의의 양의 정수 formula_144에 대하여, 만약 formula_145이라면 formula_146임을 보이는 것으로 충분하다. 귀류법을 사용하여, formula_147이라고 가정하자. 편의상 formula_148라고 하자. 그렇다면 부분 구간
을 취할 수 있다. 하지만 formula_151일 경우 formula_152이므로
이다. 즉, formula_154이며, 이는 모순이다.
즉, 균등화 가능 공간에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
범주론적 성질.
균등 공간과 균등 연속 함수의 범주 formula_90는 구체적 범주이며, 다음과 같은 성질을 갖는다.
극한과 쌍대극한.
formula_90는 위상 범주()이다. 따라서 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이며, 망각 함자
는 왼쪽 수반 함자와 오른쪽 수반 함자를 갖는다. 그러나 formula_90는 데카르트 닫힌 범주가 아니다.
formula_90의 끝 대상은 한원소 집합 위의 유일한 균등 공간 구조이며, 시작 대상은 공집합 위의 유일한 균등 공간 구조이다.
균등 공간의 범주 formula_90는 모든 (집합 크기의) 곱을 갖는다. 구체적으로, 균등 공간들의 족 formula_161의 곱 균등 공간()은 집합으로서 곱집합 formula_162이며, 그 위의 균등 공간 구조는 다음과 같은 기본계로 생성된다.
함자.
균등 공간의 범주에서, 균등 공간 구조를 잊어 완비 정칙 공간 formula_164의 범주로 가는 망각 함자
가 존재하며, 이는 왼쪽 수반 함자
를 갖는다. 즉, formula_167는 formula_90에 존재하는 모든 극한을 보존하며, 반대로 formula_169는 formula_164에 존재하는 모든 쌍대극한을 보존한다.
특히, 임의의 균등 공간들의 족 formula_171의 범주론적 곱의 균등 위상은 formula_171의 균등 위상들의 곱위상과 일치한다. 즉, 함자 formula_167는 모든 곱을 보존한다.
함자 formula_166는 주어진 완비 정칙 공간에 이와 호환되는 가장 섬세한 균등 공간 구조를 부여한다.
예.
자명한 균등 공간.
집합 formula_1 위에 다음과 같은 균등 공간 구조를 부여할 수 있으며, 이를 이산 균등 공간이라고 한다.
이로부터 유도되는 위상은 이산 위상이다. 이는 formula_1 위에 존재하는 가장 섬세한 균등 공간 구조이다.
집합 formula_1 위에 다음과 같은, 하나의 측근만을 갖는 균등 공간 구조를 부여할 수 있으며, 이를 비이산 균등 공간()이라고 한다.
이로부터 유도되는 위상은 비이산 위상이다. 이는 formula_1 위에 존재하는 가장 엉성한 균등 공간 구조이다.
거리 함수로부터 정의되는 균등 공간 구조.
집합 formula_1가 주어졌다고 하고, 함수
가 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.
(그러나 formula_186일 필요는 없다.) 이는 거리 공간의 거리 함수의 개념의 일반화이다. 그렇다면, 다음과 같은 기본계를 사용하여 formula_1 위의 균등 공간 구조를 정의할 수 있다.
위상군.
위상군 formula_167 위의 오른쪽 균등 공간 구조()는 다음과 같은 기본계로서 정의되는 균등 공간 구조이다.
여기서 formula_113는 항등원 formula_192의 임의의 근방이다. 마찬가지로, 위상군 formula_167 위의 왼쪽 균등 공간 구조()는 다음과 같은 기본계로서 정의되는 균등 공간 구조이다.
임의의 원소 formula_195에 대하여, 오른쪽의 곱셈 formula_196는 오른쪽 균등 공간 구조 아래 균등 연속 함수이며, 왼쪽의 곱셈 formula_197는 왼쪽 균등 공간 구조 아래 균등 연속 함수이다.
위상군은 항상 균등화 가능 공간이다. 오른쪽 균등 위상과 왼쪽 균등 위상은 위상군의 원래 위상과 일치한다.
잉여류 공간.
위상군 formula_167의 부분군 formula_199에 대하여, 왼쪽 잉여류 공간 formula_200 위에 다음과 같은 기본계를 통해 균등 공간 구조를 부여할 수 있다.
여기서 formula_113는 항등원 formula_192의 임의의 근방이다. 이로부터 정의되는 균등 위상은 몫공간 위상과 일치한다.
콤팩트 하우스도르프 공간.
콤팩트 하우스도르프 공간 formula_1가 주어졌다고 하자. 그렇다면, formula_1의 위상과 같은 위상을 유도하는 유일한 균등 공간 구조가 존재하며, 이 경우 측근은 곱공간 formula_11에서 대각 부분 집합 formula_207의 근방으로 주어진다.
기본계의 예.
균등 공간 formula_69의 기본계 formula_82에 대하여,
은 기본계를 이룬다 (여기서 formula_213와 formula_214는 곱공간 formula_11에서의 내부와 폐포이다). 
대칭 측근: 임의의 formula_216에 대하여, formula_217는 대칭 측근이다.
측근의 내부: formula_218가 기본계임을 보이는 것으로 충분하다. 임의의 측근 formula_16에 대하여, formula_213 역시 측근임을 보이는 것으로 충분하다. formula_221인 대칭 측근 formula_22 (formula_223)를 취하자. 그렇다면
가 formula_169의 근방이므로,
이며, 따라서 formula_227이다.
측근의 폐포: formula_228가 기본계임을 보이는 것으로 충분하다. 임의의 측근 formula_16에 대하여, formula_230인 측근 formula_22을 찾는 것으로 충분하다. 마찬가지로 formula_221인 대칭 측근 formula_22 (formula_223)를 취하자. 그렇다면, 임의의 formula_235에 대하여,
은 formula_237의 국소 기저를 이루며, 이에 따라
임을 보일 수 있다. 따라서
이다.
역사.
거리 공간의 개념을 추상화하기 위하여 앙드레 베유가 1937년에 도입하였다. 이후 니콜라 부르바키가 측근을 사용한 정의를 도입하였다.
균등 공간의 개념의 필요성에 대하여 수학자 게르하르트 프로이스(, 1940~2011)는 다음과 같이 적었다.