보스 기체

통계역학에서 보스 기체(Bose氣體, )는 서로 상호작용하지 않는, 같은 종류의 보손으로 이루어진 기체다. 고전적 이상 기체에 대응하는 두 가지 양자역학적 이상 기체 가운데 하나다. 보스 기체는 보스-아인슈타인 통계를 따르며, 매우 낮은 온도에서는 상전이를 거쳐 보스-아인슈타인 응축 상태가 된다.
정의.
콤팩트 리만 다양체 formula_1가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 로런츠 다양체 formula_2 위의, 질량 formula_3의 자유 보손 장 formula_4를 생각하자. 이는 다음과 같은 작용에 의하여 나타내어진다.
여기서 윗점은 시간 좌표 formula_6에 대한 미분이며, formula_7는 공간 좌표에 대한 미분이다. 이에 대한 해밀토니언은 다음과 같다.
여기서 formula_9는 formula_10에 대한 운동량장이다. 이를 양자화하면, 그 힐베르트 공간은 포크 공간을 구성하게 된다. 구체적으로, 1입자 힐베르트 공간과 그 위의 1입자 해밀토니언 formula_11을 다음과 같이 정의할 수 있다.
그렇다면, 다입자 힐베르트 공간과 해밀토니언 formula_14은 그 위의 포크 공간으로 주어진다.
이 위의 해밀토니언 연산자 formula_16는 1입자 해밀토니언들의 합으로 구성된다. 또한, 입자수 연산자
를 정의할 수 있다. 이는 등급 벡터 공간의 등급에 해당하며, 그 고윳값들은 자연수이다.
이제, 이 계의 큰 분배 함수
를 정의할 수 있다. 이는 큰 바른틀 앙상블에 해당한다. 여기서
는 절대 온도의 역수이며,
는 퓨가시티이며, formula_21는 화학 퍼텐셜이다. 이 큰 분배 함수로 나타내어지는 통계역학적 계를 이상 보스 기체라고 한다. ‘이상 기체’라는 것은 포크 공간 위의 해밀토니언 연산자에 입자 사이의 상호 작용을 나타내는 항을 추가하지 않았기 때문이다 (즉, 입자 사이의 상호 작용이 없어, 입자들은 자유 입자이다).
큰 분배 함수는 다음과 같이 표현된다. (중복수를 고려한) formula_22의 고윳값들의 중복집합을 formula_23라고 하면, 큰 분배 함수는 다음과 같이 분해된다.
큰 분배 함수의 로그 × −1인 큰 퍼텐셜 formula_25는 다음과 같다.
열역학적 극한.
편의상, 진공 에너지를 0으로 놓자.
formula_1 위의 라플라스-벨트라미 연산자
의 스펙트럼은 다음 조건을 만족시킨다.
여기서 formula_30는 formula_22의 formula_32 이하의 고윳값들의 (중복수를 고려한) 수이다. formula_33는 formula_34의 차원이며, formula_35는 formula_34의 formula_37차원 부피이며,
는 formula_37차원 단위 공의 부피이다. 편의상 비례 상수를
라고 적자. 즉,
이다. 이 표현을 통하여, 디랙 델타로 구성된 측도
를
로 근사할 수 있다. 이는 formula_32가 매우 클 때 유효하다. 이 조건을 만족시키기 위하여, 임의의 고정된 formula_45의 값에 대하여 formula_46,
와 같은 극한을 취할 수 있다. 이는 formula_49의 등각 다양체 구조를 바꾸지 않지만, 그 부피는
이므로 부피가 무한대가 되는 열역학적 극한에 해당한다.
다만, formula_51일 경우, 큰 퍼텐셜의 정의에서 formula_52가 formula_53에서 무한대로 발산하게 된다. 즉, 이 경우 formula_54인 경우는 따로 고려해야 한다.
즉, 이를 통하여, 다음과 같은 근사를 취할 수 있다. (물리학에서 이와 같은 꼴의 근사는 토머스-페르미 근사라고 한다.)
이 적분은 일반적으로 기초 함수로 계산될 수 없다. 다만, 비상대론적인 극한
및 상대론적인 극한
의 경우 이는 다중로그라는 특수 함수로 계산될 수 있다. 비상대론적 극한에서
이다. 따라서, 이 경우 처음 두 항만을 취하면
이 된다. 여기서, 첫 항 formula_3은 입자의 정지 에너지이므로, 이는 퓨가시티가 흡수할 수 있다. 즉, 이 경우
를 정의하면,
이다. 이를 계산하면 다음과 같다.
formula_64
여기서
는 다중로그 함수이며, formula_66는 감마 함수이다.
적분의 계산:
formula_67으로 놓자.
여기서
와 같은 치환을 사용하였으며, 테일러 급수
를 사용하였다.
이 표현은 다음과 같은 문제를 갖는다.
이 문제를 교정하면, 다음과 같은 표현을 얻는다.
여기서 formula_75은 바닥 상태의 고윳값의 formula_76의 중복수이며, formula_77를 비롯한 다른 비례 상수들을 formula_78에 흡수하였다. 또한 변수
를 정의하였다. 이 표현은 formula_80가 라플라스-벨트라미 연산자일 때, 즉 비상대론적 입자에 대하여 유효하다.
상대론적 입자.
반대로, formula_81 극한을 생각하자. 이 경우
가 된다. 이 경우, 첫 항만을 취하면,
이다. 이 경우 변수 formula_32를
로 치환하면,
가 된다. 즉, 이 경우
이 된다.
성질.
바닥 상태와 상전이.
만약 formula_89일 경우, 보스 기체는 어떤 유한한 온도에서 보스-아인슈타인 응집이라는 상전이를 겪는다. 이는 큰 분배 함수의 표현에 등장하는 다중로그의 발산으로 나타난다. (반면, formula_90일 경우 상전이가 발생하지 않는다. 이는 2차원 이하에서는 입자들이 장거리 상호 작용을 갖기 때문이다.)
총 입자의 수는 큰 퍼텐셜에서 다음과 같이 얻어진다.
이 식에서 다중로그 부분은 양의 실수이어야 하고, formula_92이면 리만 제타 함수 ζ(α)와 같아지게 되는, 최댓값을 얻을 수도 있다. 고정된 "N "에 대하여 가장 큰 값은 β가 임계값 βc 을 가질 수 있을 때 다음 식과 같이 얻게 된다.
이 식은 임계온도 Tc=1/kβc 아래에서 토머스-페르미 근사가 적용되지 않는 것에 부합한다. 위의 방정식을 정리하여 임계온도에 대한 식을 얻을 수 있다.
예를 들어, formula_95이고, 위에서 언급되었던 formula_96를 대입하면 다음과 같은 식을 얻는다.
다시 임계 온도에 대한 결과를 계산할 수 없게 되었다. 그 이유는 위의 방정식을 이용하여 계산한 입자의 수는 음수가 되기 때문이다. 이 문제는 토머스-페르미 근사가 바닥 상태에서의 겹침을 0으로 설정했기 때문이고, 이 설정을 잘못되었다. 응축을 받아들인다면 바닥 상태는 없고 이에 따라 방정식은 틀리게 된다. 그러나 결과적으로 위의 방정식은 들뜬 상태에서의 입자수는 정확하게 예측하고, 단순히 바닥 상태 항을 따로 구분하면 나쁜 근사는 아니다.
"N0 "는 바닥상태의 응축 입자수이고, 그 값은 다음과 같다.
이 식은 절대 영도에서도 계산할 수 있게 되었다. 표준화된 온도 τ를 다음과 같이 정의하자.
이 변수들은 낮은 온도의 극한에서 τα에 선형적이고, 화학 퍼텐셜을 제외하면, 높은 온도의 극한에서 1/τα에 선형적인 것을 볼 수 있다. 입자수가 증가하면 응축과 들뜸의 비율은 임계 온도에서 불연속적으로 도달한다.
입자수에 대한 식은 다음과 같이 표준화된 온도를 이용하여 표현할 수 있다.
"N"과 τ이 주어지면, 이 식은 τα에 대하여 정리가 되고, "z "에 대한 급수해는 τα의 급수 또는 τα의 급수에 대한 역수의 점근확장을 이용한 역 급수의 방법으로 찾을 수 있다. 이 확장에서 우리는 "T =0"근처인 맥스웰-볼츠만 분포에서 온도는 무한에 접근하는 것을 볼 수 있다.
열역학.
다음과 같은 값들을 계산할 수 있다.
입자수에 대한 식에서 바닥상태에 해당하는 부분을 더하는 것은 큰 퍼텐셜에 바닥 상태에 해당하는 항을 더하는 것과 같다.
모든 열역학적 성질은 큰 퍼텐셜에서부터 계산될 수 있다. 아래의 표는 낮은 온도와 높은 온도의 극한, 그리고 무한 극한의 입자수에서 계산된 다양한 열역학적 값들을 나타낸 것이다. 등호(=)는 정확한 결과를 나타내주고 근사 기호는 formula_105의 급수 중 앞의 몇 항만 있는 경우에 해당하는 결과를 나타낸 것이다.
표에서 보듯이 모든 값들은 높은 온도의 극한에서 고전 이상 기체에 근접하는 것을 볼 수 있다. 위에서 나타난 값들은 다른 열역학적 값들을 구하는 데 쓰일 수 있다. 예를 들어, 모든 온도에서의 고전 이상기체에서 내부에너지와 압력, 부피의 곱은 비례하다.
비슷한 경우로, 일정한 부피에서 견줌열은 다음과 같다.
엔트로피는 다음의 식으로 표현된다.
주의할 점은 높은 온도의 극한에서는
의 식을 얻게 되며, α=3/2에 대하여 이면 자쿠어-테트로더 방정식()으로 재기술된다.
역사.
보스-아인슈타인 통계를 제창한 사티엔드라 나트 보스의 이름을 땄다.