스펙트럼 (함수해석학)

함수해석학에서, 유계 작용소 또는 바나흐 대수의 원소의 스펙트럼()은 그 고윳값의 집합을 일반화한 개념이다.
정의.
가환환 formula_1 위의 (항등원을 갖는) 결합 대수 formula_2의 원소 formula_3의 분해 집합(分解集合, )은 다음과 같은 집합이다.
여기서 formula_5는 formula_2의 가역원군이다. 즉, formula_7가 가역원이 되는 스칼라 formula_8들의 집합이다. 분해 집합의 여집합을 formula_9의 스펙트럼 formula_10라고 한다.
이 경우, 원소 formula_12를 formula_9의 formula_8에서의 분해식(分解式, )이라고 한다.
formula_15가 실수체 또는 복소수체이며, formula_2가 formula_17-결합 대수라고 하자. 이 경우, 원소 formula_3의 스펙트럼 반지름(spectrum半지름, )은 그 스펙트럼의 절댓값의 상한이다.
만약 formula_2가 formula_17-바나흐 대수라면, 그 원소의 스펙트럼은 항상 콤팩트 집합이므로, 이 경우 상한은 최댓값이 된다.
유계 작용소의 스펙트럼.
formula_15가 실수체 또는 복소수체라고 하자. formula_17-바나흐 공간 formula_24 위의 유계 작용소의 집합 formula_25는 formula_17-바나흐 대수를 이루며, 이에 대하여 분해 집합과 스펙트럼의 개념을 정의할 수 있다. 일반적으로, 열린 사상 정리에 따라서 바나흐 공간 사이의 전단사 유계 작용소의 역함수는 유계 작용소이다. 즉, formula_25의 원소가 가역원인 것은 전단사 함수인 것과 동치이다.
바나흐 공간 위의 유계 작용소의 스펙트럼은 추상적인 바나흐 대수의 원소의 스펙트럼보다 더 구체적으로 분석될 수 있다. 즉, formula_17-바나흐 공간 formula_24 위의 유계 작용소 formula_30의 스펙트럼 formula_31는 다음과 같은 분리합집합으로 분해된다.
이 성분들은 각각
이며, 다음과 같다.
어떤 수 formula_36에 대하여 formula_37이려면 formula_38가 전단사 함수이지 않아야 한다. 즉, 다음 "문제" 가운데 적어도 하나가 발생해야 한다.
성질.
복소수 바나흐 대수의 원소의 스펙트럼은 공집합이 아니다.
증명:
복소수 바나흐 대수 formula_2의 원소 formula_3가 주어졌다고 하고, 귀류법을 사용하여 formula_58이라고 하자. 또한, 연속 쌍대 공간 formula_59의 임의의 원소 formula_60를 고르자.
그렇다면, 이제 함수
를 정의하자. 그렇다면,
이다. (이는 피적분 함수가 formula_64이므로 가능하다.) 즉, formula_65는 상수 함수이며, 그 값은
이다.
이제, 임의의 formula_67에 대하여
가 되므로, 사실 formula_69이어야만 한다. 즉, 임의의 formula_60에 대하여 formula_69이어야만 한다. 그런데 formula_72이므로 이는 참일 수 없으며, 모순이다.
복소수 바나흐 대수 formula_2의 원소 formula_3의 스펙트럼 반지름은 다음과 같은 겔판트 공식()에 의하여 주어진다.
formula_15에 대하여, formula_17-바나흐 공간 위의 유계 작용소 formula_43의 스펙트럼은 항상 formula_17 속의 콤팩트 집합이다. 특히
이다. 여기서 formula_81는 작용소 노름이다.
유한 차원.
formula_82가 유한 차원 formula_17-바나흐 공간이라고 하자. 그렇다면, formula_17-선형 변환 formula_85가 단사 함수이거나 전사 함수인 것은 전단사 함수인 것과 동치이다 (차원 정리). 이에 따라, 유한 차원 formula_17-바나흐 공간 위의 작용소의 경우 오직 점 스펙트럼만이 존재하고, 잔여·연속 스펙트럼은 존재하지 않는다.
특히, 선형 변환 formula_30(즉, 행렬)의 스펙트럼 반지름은 그 고윳값들의 절댓값 가운데 가장 큰 것이다.
콤팩트 작용소.
복소수 바나흐 공간 formula_24 위의 콤팩트 작용소 formula_30의 경우, 다음이 성립한다.
즉, 스펙트럼은 0을 제외하고는 모두 점 스펙트럼(고윳값)으로 구성된다.
정규 작용소.
복소수 힐베르트 공간 위의 정규 작용소의 잔여 스펙트럼은 공집합이다.
복소수 힐베르트 공간 formula_24 위의 정규 작용소 formula_30의 스펙트럼 반지름은 다음과 같다.
보다 일반적으로, 위 등식의 우변을 유계 작용소의 수치 반지름(數値半지름, )이라고 하며, 스펙트럼 반지름이 수치 반지름과 일치하는 유계 작용소를 스펙트럼형 작용소(spectrum型作用素, )라고 한다.
분해식.
formula_17-바나흐 대수 formula_2의 원소 formula_3 및 formula_98에 대하여, 만약 formula_99라면, 분해식의 다음과 같은 노이만 급수(Neumann級數, )가 (노름으로 정의되는 거리 위상에서) 수렴한다.
증명:
위 급수는 당연히 코시 열이며, formula_2가 바나흐 대수(즉, 완비 거리 공간)이므로 이는 수렴한다.
예.
행렬.
실수 행렬
는 formula_103 위의 작용소로서 스펙트럼이 공집합이다. 그러나 이는 formula_104 위의 작용소로서 점 스펙트럼 formula_105를 갖는다.
시프트.
복소수 힐베르트 공간 formula_106를 생각하자. 그렇다면 사상
은 유계 작용소이며, 사실 콤팩트 작용소이다. formula_43는 고윳값을 가지지 않지만, formula_43는 전사 함수가 아니므로 formula_43의 스펙트럼은 formula_90이다. 이 경우, formula_43의 상은 사실 조밀 집합조차 아니므로, 이 0은 잔여 스펙트럼에 속한다.
곱셈.
임의의 formula_113에 대하여, 측도 공간 formula_114 위의 르베그 공간
는 formula_17-바나흐 공간을 이룬다. 그 위의 가측 함수
의 상이 유계 집합이라고 하자. (물론, 어떤 영집합 formula_118에 대하여 formula_119의 상이 유계 집합인 것만으로도 족하다.) 여기서 formula_120는 보렐 시그마 대수이다. 그렇다면, 점별 곱셈으로 정의되는 작용소
는 formula_17-유계 작용소이다.
이제, 집합
를 다음과 같이 정의하자.
그렇다면, formula_126이다.
증명 (formula_127):
임의의 formula_128가 주어졌다고 하자. 즉, 정의에 따라
인 양의 실수 formula_130이 존재한다.
그렇다면, 가측 함수
를 생각하자. 그렇다면,
이다. 따라서 formula_134이다.
증명 (formula_135, formula_136):
임의의 formula_137가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 가측 함수의 열
을 정의하자. (여기서 formula_139는 지시 함수이다.)
그렇다면,
이므로, 특히
이다. 이에 따라, formula_142의 역함수는 유계 작용소일 수 없다.
증명 (formula_135, formula_144):
임의의 formula_137가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 가측 함수의 열
을 정의하자. (여기서 formula_139는 지시 함수이다.)
그렇다면,
이므로, 특히
이다. 이에 따라, formula_142의 역함수는 유계 작용소일 수 없다.
그 스펙트럼의 분해는 다음과 같다.
증명 (formula_156):
지시 함수 formula_157는 formula_8의 고유 벡터이다.
증명 (formula_159):
임의의
에 대하여, 다음과 같은 가측 함수의 열을 정의하자.
여기서 formula_139는 지시 함수이다.
그렇다면, 지배 수렴 정리에 따라
이다. 즉, formula_142의 상은 항상 조밀 집합이다.
결합 대수.
가환환 formula_1를 스스로 위의 결합 대수로 간주하였을 때, 원소 formula_166의 스펙트럼은
이다. (여기서 formula_168는 가역원군이다.)
사원수 대수 formula_169는 실수 바나흐 대수를 이루며, 사원수 formula_170의 스펙트럼은 다음과 같다.
마찬가지로, 복소수체 formula_174를 실수 바나흐 대수로 간주하였을 때, formula_175의 스펙트럼은 다음과 같다.
(특히, 만약 formula_177이라면 formula_178이다.) 물론, formula_179를 복소수 바나흐 대수로 간주하였을 때, formula_180이다.
연속 함수 대수.
콤팩트 하우스도르프 공간 formula_181 위의 formula_17-바나흐 대수 formula_183의 원소 formula_184의 스펙트럼은 그 상이다.
역사.
유계 작용소의 분해식의 노이만 급수는 에리크 이바르 프레드홀름이 1903년에 최초로 사용하였다.
"스펙트럼"()과 "분해식"()이라는 용어는 다비트 힐베르트가 도입하였다. "스펙트럼"이라는 용어는 작용소의 스펙트럼을 물리학의 원자 스펙트럼 등에 비유한 것이다.
응용.
양자역학에서, 복소수 힐베르트 공간
위에 매끄러운 함수인 퍼텐셜
이 주어졌으며,
이라고 하자. 이 경우, 해밀토니언 연산자
를 formula_190의 조밀 집합 위에 정의할 수 있으며, 이에 따라 임의의 양이 아닌 실수 성분을 갖는 복소수
에 대하여 유계 작용소
를 정의할 수 있다. 이는 정규 작용소이며, 따라서 잔여 스펙트럼을 갖지 않는다. 또한, 그 스펙트럼은 항상
의 꼴이다. 이에 따라, formula_194를 formula_195의 스펙트럼으로 여길 수 있다.
formula_196의 경우, formula_197의 점 스펙트럼은 대략 퍼텐셜에 대한 속박 상태를 나타내고, 연속 스펙트럼은 자유 상태를 나타낸다.