근계

리 군 이론에서, 근계(根系, )는 일련의 기하학적 성질을 만족하는 유한 차원 벡터의 집합이다. 근계의 원소인 벡터는 근(根, )이라고 부른다. 주어진 근계에 대하여 특정 성질을 만족하는 부분집합인 단순근(單純根, )의 집합을 고를 수 있고, 이를 딘킨 도표()로 나타내어 분류할 수 있다. 반단순 리 군에 근계를 대응시킬 수 있으며, 이를 통해 반단순 리 군들을 분류할 수 있다.
모든 근계는 기약 근계(旣約根系, )의 합으로 나타낼 수 있다. 기약 근계(의 동형류)는 복소수체 위의 단순 리 대수(의 동형류)와 일대일로 대응한다.
정의.
유한 차원 실수 내적 공간 formula_1 속의 부분 집합 formula_2가 다음 다섯 조건들을 모두 만족시킨다면, 근계라고 한다.
근계의 원소는 근이라고 부른다. 근계의 계수(階數, )는 formula_4의 차원이다.
두 실수 내적 공간 formula_4, formula_20 및 그 속의 근계 formula_2, formula_22에 대하여, 만약 formula_23가 되는 전단사 실수 선형 변환 formula_24이 존재하며, 또한
라면, formula_26와 formula_27를 서로 동형이라고 한다.
특히, 동형이 등거리 변환일 필요는 없다. 예를 들어, 항등 함수 formula_28 역시 허용된다. 이 때문에, 통상적으로, 근계에서 가장 긴 근의 노름을 formula_29로 놓는다. (이에 따라, 더 짧은 근의 노름은 formula_30 또는 formula_31이다.)
통상적으로, 다음과 같은 표기를 사용한다.
양근과 단순근.
근계 formula_5의 양근의 집합(陽根의 集合, ) formula_34는 다음을 만족하는 부분집합이다.
양근의 집합의 원소를 양근(陽根, )이라고 한다. 양근의 집합 formula_42이 주어졌을 때, 격자
위에 다음과 같은 부분 순서를 줄 수 있다.
이 구성은 리 대수의 표현론에 등장하며, 이 경우 위의 격자는 정수 무게의 격자에 해당한다.
단순근.
어떤 양근의 집합이 주어졌을 때, 단순근(單純根, )은 두 양근의 합으로 나타낼 수 없는 근이다. 단순근들의 집합은 formula_4의 기저를 이룬다.
카르탕 행렬.
근계 formula_5와 그 위의 순서를 매긴 단순근의 열 formula_47이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이에 대응하는 카르탕 행렬() formula_48은 다음과 같은 formula_49 정사각 행렬이다.
정의에 따라, 카르탕 행렬의 대각선 성분의 값은 모두 2이다.
카르탕 행렬이 주어지면, 이에 대응하는 근계 (및 복소수 반단순 리 대수)를 재구성할 수 있다.
딘킨 도표.
각 근계 formula_26에 대하여, 딘킨 도표(Дынкин圖表, )라는, 일종의 유향 그래프를 대응시킬 수 있다. 우선, 임의로 formula_26의 양근의 집합 formula_42를 고르자.
딘킨 도표는 단순근의 선택에 관계없이 동일하다.
기약 근계의 딘킨 도표는 연결되어 있다. 딘킨 도표의 연결 성분 분해는 근계의 (기약 근계들로의) 직합 분해와 같다.
성질.
근계의 정수성은 두 근 사이의 각들을 제한한다. 정수성 공리에 따라, 두 근 사이의 각의 코사인은 정수의 제곱근의 반이어야 한다.
formula_56이므로,
이다. 즉, formula_58는 90°, 60° 또는 120°, 45° 또는 135°, 30° 또는 150°, 0° 또는 180°이다.
연산.
스칼라배.
근계 formula_26 및 임의의 실수 formula_60 및 임의의 직교 행렬 formula_61에 대하여, formula_62 역시 근계를 이루며, 이는 원래 근계 formula_26와 동형이다.
직합.
두 근계 formula_26, formula_27가 주어졌을 때, 그 직합 formula_66은 다음과 같은 근계이다.
여기서 formula_69와 formula_70은 직합의 정의에 등장하는 표준 포함 사상이다.
기약 근계(旣約根系, )는 두 (자명하지 않은) 근계의 합이 아닌, 자명하지 않은 근계다. 모든 근계는 기약 근계의 합으로 유일하게 나타낼 수 있다.
기약 근계의 근은 모두 길이가 같거나, 길이가 두 가지가 있다. 길이가 두 가지가 있을 경우는 긴 것은 긴 근(), 짧은 것은 짧은 근()으로 분류한다. (만약 길이가 모두 같다면, 모든 근이 긴 근이다.) 이 경우, 긴 근과 짧은 근의 노름의 비는 formula_29이다. (통상적으로, 긴 근의 노름은 formula_29로, 짧은 근의 노름은 (만약 존재한다면) formula_30로 잡는다.)
쌍대 근계.
근계 formula_26의 쌍대 근계(雙對根系, )는 다음과 같다.
그렇다면 formula_82 역시 근계를 이룬다.
임의의 근계 formula_26는 그 이중 쌍대 근계 formula_84와 표준적으로 동형이다.
단순 근계 가운데, formula_85의 쌍대 근계는 formula_86이다. 다른 단순 근계들(formula_87, formula_88, formula_89)은 스스로의 쌍대 근계이다.
분류.
기약 근계의 목록.
기약 근계는 다음과 같이 분류한다. 고전 근계()는 네 개의 족 formula_87, formula_85, formula_86, formula_88으로 나뉘고, 나머지로 다섯 개의 예외 근계() formula_94이 있다. 그 아래첨자는 근계의 계수다. 고전 근계는 고전군(직교군, 특수 유니터리 군, 심플렉틱 군)의 리 대수(의 복소화)의 근계이나, 예외 근계는 그렇지 않다. 아래 표에서는 관례를 따라 긴 근의 길이가 formula_29가 되도록 정규화하였다.
고전적 기약 근계.
formula_87형 근계의 단순근은 다음과 같다. (편의상 formula_97의 원소로 표기하였다.)
formula_85형 근계의 단순근은 다음과 같다.
formula_86형 근계의 단순근은 다음과 같다.
formula_88형 근계의 단순근은 다음과 같다.
예외적 기약 근계.
예외적 기약 근계는 E₆, E₇, E₈, F₄, G₂ 총 5개가 있다. 이들의 단순근들은 다음과 같다.
예.
낮은 차원의 근계.
0차원 근계는 (자명하게) 하나 밖에 없다.
1차원 근계는 하나 밖에 없으며, formula_120이다.
2차원 근계는 총 4개가 있으며, 이들 가운데 3개는 기약 근계이다. (아래 표에서, formula_121와 formula_122는 서로 동형이며, formula_123과 formula_124 역시 서로 동형이다.)
3차원 기약 근계는 세 가지가 있으며, 이들은 정육면체·정팔면체의 모양을 가진다.
반단순 리 대수에 대응되는 근계.
복소수체 위의 반단순 리 대수 formula_125 및 그 카르탕 부분 대수 formula_126가 주어졌다고 하자. formula_127는 formula_125의 킬링 형식을 통해 자연스럽게 유한 차원 실수 내적 공간을 이룬다.
그렇다면, formula_125의 딸림표현에 대응하는 formula_127-무게들
을 생각하자. 그렇다면, formula_132는 근계를 이룬다. 또한, 다음이 성립한다.
역사.
근계의 이론은 복소수 반단순 리 대수의 표현론에서 비롯하였다. 각 반단순 리 대수에는 근계를 대응시킬 수 있으며, 단순 리 대수에 대응되는 근계는 기약 근계이다.
카르탕 행렬의 개념은 엘리 카르탕이 도입하였다. 딘킨 도표의 개념은 예브게니 딘킨이 도입하였다.