유클리드 호제법

유클리드 호제법(-互除法, Euclidean algorithm) 또는 유클리드 알고리즘은 2개의 자연수 또는 정식(整式)의 최대공약수를 구하는 알고리즘의 하나이다. 호제법이란 말은 두 수가 서로(互) 상대방 수를 나누어(除)서 결국 원하는 수를 얻는 알고리즘을 나타낸다. 2개의 자연수(또는 정식) a, b에 대해서 a를 b로 나눈 나머지를 r이라 하면(단, a&gt;b), a와 b의 최대공약수는 b와 r의 최대공약수와 같다. 이 성질에 따라, b를 r로 나눈 나머지 r'를 구하고, 다시 r을 r'로 나눈 나머지를 구하는 과정을 반복하여 나머지가 0이 되었을 때 나누는 수가 a와 b의 최대공약수이다. 이는 명시적으로 기술된 가장 오래된 알고리즘으로서도 알려져 있으며, 기원전 300년경에 쓰인 《원론》 제7권, 명제 1부터 3까지에 해당한다. 최소공배수, 최대공약수를 구하기 위해서는 다음과 같은 표를 쓴다.
예시.
1071과 1029의 최대공약수를 구하면,
따라서, 최대공약수는 21이다.
78696과 19332의 최대공약수를 구하면,
 78696 ＝ 19332×4 ＋ 1368
 19332 ＝ 1368×14 ＋ 180
 1368 ＝ 180×7 ＋ 108
 180 ＝ 108×1 ＋ 72
 108 ＝ 72×1 ＋ 36
 72 ＝ 36×2 ＋ 0
따라서, 최대공약수는 36이다.
정수에 대한 유클리드 호제법.
본문에 있는 내용을 다시 한 번 상기해 보면, 다음 정리를 이용하여 유클리드 호제법이 성립하게 된다.
정리.
formula_1이고, formula_2를 formula_3로 나눈 나머지가 formula_4이라고 하자. (여기서 formula_5이고, formula_4은 formula_7인 정수.)
formula_2와 formula_3의 최대공약수를 formula_10라고 하면, 다음이 성립한다.
상기한 1071과 1029에 대한 예시를 위와 같은 표현으로 적어보면,
처럼 쓸 수 있다.
증명.
formula_1이고, formula_5라고 하자.
그러면, formula_15을 만족하는 유일한 정수 formula_16이 존재한다. 이때, formula_7이다.
formula_18라고 하자. 즉, formula_19와 formula_20는 서로소이다.
이제, formula_24라고 하자.
만약 formula_25라면, formula_26으로 두었을 때,
이 되므로, formula_30이다. (즉, α는 d'의 배수 )
즉, formula_31가 되어 formula_19와 formula_20는 서로소라는 것에 모순이다.
이는 formula_25 라는 가정에서 나타나는 모순이므로 formula_35이다.
따라서 곧 formula_36라는 것이다.
다항식에 대한 유클리드 호제법.
임의의 두 다항식에 대해서도 유클리드 호제법과 같은 원리를 사용하여, 두 다항식의 최대차수공약다항식을 구할 수 있다. 즉, 다음과 같은 정리가 성립한다.
정리.
formula_37이고, formula_38를 formula_39로 나눈 나머지가 formula_40이라고 하자. (여기서 formula_41이고, formula_4은 formula_43인 다항식, formula_44는 formula_38의 차수를 뜻한다.)
formula_38와 formula_39의 최대차수공약다항식을 formula_48라고 하면, 다음이 성립한다.
다항식의 경우의 예시.
formula_50을 예로 들어 보자.
위 식으로부터, formula_53이다.
증명.
formula_55이고, formula_41라고 하자.
그러면, formula_54는 유클리드 정역이므로, formula_58을 만족하는 유일한 다항식 formula_16이 존재한다. 이때, formula_60이거나 formula_61이다.
formula_62라고 하자. 즉, formula_63이다.
이제, formula_67라고 하자.
만약 formula_68이 상수가 아니라면, formula_69으로 두었을 때,
이 되므로, formula_73이다.
즉, formula_74이 되어 formula_63이라는 것에 모순이다.
그러므로 formula_76이고, 그것은 곧 formula_77라는 것이다.
알고리즘.
위 과정은 “n, m에 대해서 나머지 연산을 실시할 수 있다”라는 조건에만 의존하므로, 정수환뿐 아니라, 임의의 유클리드 정역에 대해도 똑같은 과정을 거치면 공약인자가 구해진다.
소스 코드.
int gcd(int a, int b)
 return b ? gcd(b, a%b) : a;
int gcd(int a, int b)
 int c;
 while(b)
 c = a % b;
 a = b;
 b = c;
 return a;
def gcd(m,n):
 if m &lt; n:
 m, n = n, m
 if n == 0:
 return m
 if m % n == 0:
 return n
 else:
 return gcd(n, m%n)
def gcd(m,n):
 while n != 0:
 t = m%n
 (m,n) = (n,t)
 return abs(m)
def gcd(m,n):
 while n! = 0:
 if m &lt; n:
 m, n = n, m
 if n == 0:
 return m
 if m % n == 0:
 return n
def gcd(m,n):
 if n == 0:
 return m
 mod = m % n
 if mod != 0:
 m, n = n, mod
 return gcd(m, n)
 else:
 return n
 public static int gcd(int p, int q)
 if (q == 0) return p;
 return gcd(q, p%q);
let rec gcd m n =
 match n with
 | 0 -&gt; m
 | _ -&gt; gcd n (m % n)
gcd(A, 0, D) :- A &gt;= 0, D is A, !.
gcd(A, 0, D) :- A &lt; 0, D is -1 * A, !.
gcd(A, B, D) :- A &lt; 0, B &gt; 0, !, gcd(-1 * A, B, D).
gcd(A, B, D) :- A &gt;= 0, B &lt; 0, !, gcd(A, -1 * B, D).
gcd(A, B, D) :- A &lt; 0, B &lt; 0, !, gcd(-1 * A, -1 * B, D).
gcd(A, B, D) :- A &gt;= 0, B &gt; 0, A &gt;= B, R is A mod B, !, gcd(B, R, D).
gcd(A, B, D) :- A &gt;= 0, B &gt; 0, B &gt; A, !, gcd(B, A, D).
호제법의 확장.
정수의 경우.
정수 m, n 의 최대공약수(Greatest Common Divisor)를 gcd(m,n)와 나타낼 때, 확장된 유클리드 호제법을 이용하여, am + bn = gcd(m,n)의 해가 되는 정수 a, b 짝을 찾아낼 수 있다.(a, b 중 한개는 보통 음수가 된다.) 이 식은 베주의 정의라고 한다. 위에서 든 예의 경우,
 1071 = 1 * 1029 + 42
 1029 = 24 * 42 + 21
 42 = 2 * 21
특히, m, n이 서로소(gcd(m,n) = 1)인 경우 유용한데, 그럼 위의 식은 am + bn = 1이 되고, 여기서 a는 모듈로 연산의 곱의 역원(modular multiplicative inverse)이 되기 때문이다.
다항식의 경우.
formula_37의 최대차수공약다항식을 formula_48라고 하면, formula_80인 formula_81를 찾아낼 수 있다. 위에서 든 예의 경우,
formula_50
이므로
가 된다.
특히, formula_86인 경우 formula_87인 formula_81를 찾아낼 수 있다.
계산량.
유클리드 호제법을 이용하여 나머지를 취하는 조작을, 최악의 경우라도 작은 수를 십진법으로 표시한 자리수의 5배를 반복하기 전에 최대공약수에 이른다(라메의 정리).
최대공약수를 구할 때, 소인수 분해를 하는 것이 더 쉽다고 생각하는 사람이 있을지도 모르지만, 위 정리는 소인수 분해를 이용하는 것보다도 유클리드 호제법을 실시하여 구하는 것이 훨씬 빠르다는 것을 말한다.
실제로 계산량 이론에서 최대공약수를 요구하는 것은 “쉬운 문제”로서 알려져 있고, 소인수 분해는 “어려운 문제”로 여겨지고 있다. 입력된 2개의 정수의 비트수를 n이라고 하면, 유클리드 알고리즘은 Θ(n) 회의 나눗셈으로 최대공약수를 구할 수 있다.
연분수.
위에 든 예에서 나온 1071과 1029의 최대공약수를 구하는 과정은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
즉,
따라서,
이와 같이, n와 m(n&gt;m)의 최대공약수를 구할 때의 유클리드 호제법의 나눗셈의 모양은 유리수 n/m 의 연분수 전개와 같다.