프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량

프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량(Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker metric) 또는 FLRW 계량(FLRW metric)은 일반 상대성 이론의 아인슈타인 방정식의 하나의 정확한 해이다. 경로로 연결되어 있지만 반드시 단순하게 연결되어 있지는 않은 균질하고 등방성이며 팽창하는(또는 수축하는) 우주를 설명한다. 계량-계량 텐서(metric tensor, metric)-의 일반적인 형태는 균질성과 등방성의 기하학적 속성에서 비롯된다. 아인슈타인 장 방정식은 우주의 척도인자를 시간의 함수로 도출하는 데만 필요하다. 지리적 또는 역사적 선호도에 따라 알렉산더 프리드만, 조르주 르메트르, 하워드 P. 로버트슨과 아서 지오프리 워커의 네 명의 과학자들의 집합은 일반적으로 프리드만 또는 프리드만-로버트슨-워커(FRW) 또는 로버트슨-워커(RW)로 또는 프리드만-르메트르(FL) 등으로 그룹화된다. 이 모형은 때때로 현대 우주론의 "표준 모형" 이라고 불리기도 하는데, 이러한 설명은 더욱 발전된 ΛCDM 모형과도 관련이 있다. FLRW 모형은 1920년대와 1930년대에 앞에 명명된 저자들에 의해 독자적으로 개발되었다.
일반 계량.
FLRW 계량은 공간의 균질성과 등방성을 가정하는 것으로 시작한다. 또한 계량의 공간 구성 요소가 시간 종속적일 수 있다고 가정한다. 이러한 조건을 충족하는 일반 계량(generic metric)은
여기서 formula_2는 균일한 곡률의 3차원 공간, 즉 타원 공간, 유클리드 공간 또는 쌍곡 공간에 걸쳐 있다. 이것은 보통 세 개의 공간 좌표의 함수로 쓰여지지만, 이를 위한 몇 가지 규칙이 있으며 아래에 자세히 설명되어 있다. formula_3는 "t"에 의존하지 않는다 - 모든 시간 의존성은 "척도인자"로 알려진 함수 "a"("t")에 있다.
축소 원주 극좌표.
축소 원주 극좌표에서 공간 계량은 다음과 같은 형식을 갖는다.
"k"는 공간의 곡률을 나타내는 상수이다. 두 가지 일반적인 단위 규칙이 있으니:
감소된 원주 좌표의 단점은 양의 곡률의 경우 3차원 초구3-sphere의 절반만을 덮는다는 것이다. (공간이 타원형인 경우, 즉 반대 점이 식별된 3차원 초구에는 문제가 되지 않는다.)
초구면 좌표계.
초구형 또는 곡률 정규화 좌표내에서 "r" 대신에 사용된 "𝜒"는 반경 거리에 비례하며; 이것이 주는
여기에서 formula_7는 전과 동일하며, 함수 formula_8는 주어지기를
여기에는 이전과 마찬가지로 두 가지 일반적인 단위 규칙이 있으니:
는 종종 현재 우주론적 시대에 1과 같도록 선택된다.
일반적으로 위와 같이 구분적으로 정의되지만, "S"는 "k" 와 "𝜒"의 해석 함수이다. 그것은 또한 거듭제곱 급수로도 쓸 수 있다.
혹은
여기서 sinc는 비정규화된 싱크함수이고 formula_13는 "k"의 허수, 0 또는 실수 제곱근 중 하나이다. 이러한 정의는 모든 "k"에 대해 유효하다.
데카르트 좌표계.
"k" = 0 일 때는 간단하게 쓰기를
이것은 다음을 정의하여 "k" ≠ 0 로 확장될 수 있으며
여기서 "r" 은 위에서 정의한 반지름 좌표축들 중 하나이지만 드문 경우이다.
일반 상대성의 곡률.
시공간 기하학의 "동역학" 은 전적으로 척도인자 "a(t)"에 의해서 특성화한다. 우리가 함수 "a(t)"를 결정하기 위해서는 물질이 있을 때의 아인슈타인 방정식 formula_18 (formula_19) 을 풀어야 한다. (일반 상대성 원리의 해설 저자마다 계량 부호수, 리만 곡률 텐서 및 아인슈타인 텐서에 다른 부호 규약을 사용하므로 우측변 부호와 formula_20 항 부호가 다를 수 있음에 유의해야 한다.)
데카르트 좌표계.
데카르트 좌표를 사용하는 평평한 formula_21 FLRW 공간에서 리치 곡률 텐서(Ricci tensor) formula_22의 남아있는 구성 요소는 다음과 같다.
그리고, 스칼라 곡률(Ricci scalar) formula_24 은
구면좌표계.
구면 좌표를 사용하는 보다 일반적인 FLRW 공간(위에서 "축소된 원주 극좌표"라고 한)에서 리치 곡률 텐서의 남아있는 구성 요소는 다음과 같다.
그리고 스칼라 곡률은
해.
아인슈타인 장 방정식은 계량-메트릭의 일반 형식을 유도하는 데 사용되지 않으며: 이는 균질성과 등방성의 기하학적 속성에서 따른다. 그러나 시간의 진화를 결정하는 formula_31는 상태 방정식 (우주론)과 같은 밀도 formula_32를 계산하는 방법과 함께 아인슈타인 장 방정식이 필요하다.
이 계량은 에너지-운동량 텐서 formula_33 가 등방성 및 균질성으로 유사하게 가정될 때 프리드만 방정식을 제공하는 아인슈타인 장 방정식 formula_34 그 결과적인 방정식은:
이 방정식은 현재 ΛCDM 모형을 포함하는 표준 대폭발 우주론 모형의 기초이다. FLRW 모형은 균질성을 가정하기 때문에 일부 인기 있는 설명은 대폭발 모형이 관측된 우주의 덩어리를 설명할 수 없다고 잘못 주장한다. 엄밀하게는 FLRW 모형에서는 은하단, 별 또는 사람이 없다. 이는 우주의 일반적인 부분보다 훨씬 더 밀도가 높은 물체들이기 때문이다. 그럼에도 불구하고 FLRW 모형은 계산이 간단하기 때문에 실제 덩어리진 우주의 진화에 대한 첫 번째 근사값으로 사용되며 우주의 덩어리를 계산하는 모형이 FLRW 모형에 확장으로 추가된다. 대부분의 우주론자들은 관측 가능한 우주가 거의 FLRW 모형, 즉 초기 우주의 양자요동과는 별도로 FLRW 측정법을 따르는 모형에 의해 잘 근사화된다는 데 동의한다. 2003년 기준으로 FLRW 모형에 대한 다양한 확장의 이론적 의미는 잘 이해된 것으로 보이며 목표는 COBE 및 WMAP의 관찰과 일치하도록 만드는 것이다.
만일 시공간이 다중으로 연결되면, 각 이벤트는 둘 이상의 좌표 튜플로 표시된다.
해석.
위에 주어진 방정식 쌍은 첫 번째 방정식에 대한 적분상수 역할을 하는 공간 곡률 지수 formula_37와 함께 다음 방정식 쌍과 동일하여
첫 번째 방정식은 열역학적인 고려로부터도 도출될 수 있으며, 우주의 팽창이 단열 과정(프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량의 도출에서 암시적으로 가정되는)이라고 가정하면 열역학 제1법칙과 동등하다.
두 번째 방정식은 에너지 밀도와 압력이 모두 우주의 팽창 속도 formula_40 가 감소를 유발하는, 즉 둘 다 우주의 팽창을 감속시킨다. 이것은 일반 상대성 이론에 따라 에너지(또는 질량) 밀도와 유사한 역할을 하는 압력과 함께 중력의 결과이다. 반면에 우주상수는 우주의 팽창의 가속시킨다.
우주상수.
만일 다음과 같이 대치하면 우주상수 formula_20 항을 생략할 수 있다.
따라서 우주상수는 (양의) 에너지 밀도와 크기가 동일한 음압을 갖는 에너지 형태에서 발생하는 것으로 해석될 수 있어서:
이러한 형태의 에너지(우주상수 개념의 일반화)는 암흑 에너지로 알려져 있다.
사실 우주팽창을 가속시키는 항을 얻기 위해서는 다음을 만족하는 스칼라장이 있으면 충분하다.
그러한 장은 때때로 제5원-퀸트에센스(quintessence)라고 불린다.
뉴턴 해석.
이것은 맥크레아McCrea와 밀네Milne에 의한 것이지만 때때로 프리드만으로 잘못 귀속되기도 한다. 프리드만 방정식은 다음 방정식 쌍에 해당하니: