라틴 방진

조합론에서 라틴 방진(Latin方陣, )은 각 행과 열이 각각 주어진 알파벳의 문자를 모두 중복되지 않게 포함하는 정사각 행렬이다.
정의.
라틴 방진의 개념은 다음과 같이 두 가지로 정의될 수 있으며, 이 두 정의는 서로 동치이다.
행렬을 통한 정의.
다음이 주어졌다고 하자.
그렇다면, 알파벳 formula_3에 대한 라틴 방진은 다음 조건을 만족시키는, formula_3의 원소를 성분으로 하는, formula_6 정사각 행렬
이다.
순서쌍을 통한 정의.
알파벳 formula_14를 생각하자.
크기 formula_2의 라틴 방진은 다음 두 조건들을 만족시키는 부분 집합
이다.
이 정의는 행렬을 통한 정의와 동치이다. 구체적으로, 행렬 formula_24이 주어졌을 때, 이에 대응하는 순서쌍 집합은
이다.
대수적 정의.
크기 formula_2의 라틴 방진은 집합 formula_27 위에 정의된, 다음 두 조건을 따르는 이항 연산
이다.
즉, 라틴 방진의 개념은 유한 유사군의 개념과 사실상 동치이다.
이 경우, formula_35에 대응되는 행렬은
이며, 마찬가지로 formula_35에 대응되는 순서쌍 집합은
이다.
연산.
동위 라틴 방진.
임의의 라틴 방진 formula_24이 주어졌다고 하자.
만약 같은 알파벳 위의 두 라틴 방진을 위와 같은 연산들을 가하여 같게 만들 수 있다면, 이 두 라틴 방진이 서로 동위(同位, )라고 한다.
이에 따라, 알파벳 formula_50가 전순서 집합일 때, 임의의 formula_3-라틴 방진에 순열을 가해 첫 행과 첫 열이 둘 다 순서대로 배열되게 놓을 수 있다. 즉, 다음과 같은 꼴이다.
이를 표준형 라틴 방진(標準型Latin方陣, )이라고 한다.
켤레 라틴 방진.
(순서쌍으로 표현된) 라틴 방진 formula_24이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 크기 3의 집합 위의 순열 formula_54에 대하여, 순서쌍 집합
역시 라틴 방진을 이루며, 이 경우 formula_56과 formula_24이 서로 켤레()라고 한다.
특히, 예를 들어 formula_58일 경우 이는 행렬 표현에서 정사각 행렬의 전치 행렬을 취하는 것에 해당한다.
직교성.
같은 크기의 두 라틴 방진 formula_24, formula_60이 주어졌다고 하자. 만약 각 칸에서 두 라틴 방진의 성분이 각각 다른 순서쌍을 이룬다면, 즉 만약
라면, formula_24과 formula_60이 서로 직교(直交, )라고 하며,
으로 표기한다.
같은 크기의 라틴 방진의 집합 formula_65에 대하여, 만약 임의의 formula_66에 대하여 formula_67일 경우 formula_64일 때, formula_65을 상호 직교 라틴 방진 집합(, 약자 MOLS)이라고 한다. 특히, 크기가 2인 상호 직교 라틴 방진 집합, 즉 직교하는 두 라틴 방진의 순서쌍 formula_70을 직교 라틴 방진 (쌍)(直交Latin方陣順序雙, ) 또는 그레코라틴 방진(Greco-Latin方陣, )이라고 한다.
성질.
라틴 방진의 수.
라틴 방진의 수는 다음과 같다. 여기서, 주어진 크기 formula_2의 라틴 방진의 수(즉, 넷째 열)는 표준형 라틴 방진의 수(즉, 셋째 열) × formula_72이다.
크기 formula_2의 라틴 방진의 수를 formula_74이라고 하면, 다음이 성립한다.
물론, 크기 formula_2의 표준형 라틴 방진의 수는 formula_77이다. (formula_78일 경우, 좌변에서 formula_79로 놓으며, 우변에서 0개의 항의 곱은 1이다.)
또한, 다음과 같은 formula_74에 대한 공식이 존재한다.
여기서
직교 라틴 방진의 존재.
임의의 양의 정수 formula_90에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
다시 말해, 2×2 및 6×6을 제외한 다른 모든 크기에서는 직교 라틴 방진 쌍이 존재한다.
보아 일반적으로, formula_90일 때, 크기 formula_6의 상호 직교 라틴 방진 집합의 크기는 항상 formula_95 이하이다. 또한, 만약 formula_2이 소수의 거듭제곱일 때 (즉, 만약 크기 formula_2의 유한체가 존재할 때) 이 상계는 포화된다. 구체적으로, 크기 formula_95의 formula_6 상호 직교 라틴 방진 집합은 크기 formula_2의 유한 사영 평면의 존재와 동치이다.
각 formula_2에 대하여, 상호 직교 라틴 방진 집합의 최대 크기는 다음과 같다. 
예.
크기 3 이하의 (유일한) 표준형 라틴 방진들은 각각 다음과 같다.
응용.
통계학에서, 라틴 방진은 실험 설계에 사용된다.
역사.
최석정(1646~1715)은 1710년~1715년 경 출판된 것으로 여겨지는 수학서 《구수략》에서 서로 직교인 9×9 라틴 방진 쌍 및 (서로 직교가 아닌) 두 개의 10×10 라틴 방진을 수록하였다. 최석정은 두 10×10 라틴 방진을 각각 백자자수음양착종도(白子子數陰陽錯綜圖) · 백자모수음양착종도(白子母數陰陽錯綜圖)라고 명명하였으며, 9×9 직교 라틴 방진을 구구모수변궁양도(九九母數變宮陽圖)라고 명명하였다.
프랑스의 수학자 자크 오자낭(, 1640~1718)은 1694년에 각종 수학 퍼즐이 수록된 책을 출판하였다. 이후 오자낭의 사후 1778년에 장에티엔 몽튀클라(, 1725~1799)가 이를 편집하고 새 퍼즐들을 추가하여 재출판하였으며, 이 개정판에는 (제1판에 수록되지 않았던) 4×4 직교 라틴 방진에 해당하는 퍼즐이 수록되어 있다. 개정판 4권에 수록된 산수 퍼즐 29번은 플레잉카드의 4개의 슈트(◆, ♥, ♠, ♣)에 속하는, 숫자 대신 라틴 문자가 달린 카드(킹 K, 퀸 Q, 잭 J, 에이스 A)를 사용하여 직교 라틴 방진을 구성하는 것이었으며, 책에 수록된 해는 다음과 같다.
레온하르트 오일러는 1779년에 집필되고 1782년에 출판된 논문에서, 만약 formula_106일 경우 서로 직교하는 formula_6 라틴 방진의 쌍이 존재함을 증명하였으며, 또한 이것이 직교하는 라틴 방진의 쌍이 존재할 필요 충분 조건일 것이라고 추측하였다.
“라틴 방진”이라는 용어는 레온하르트 오일러가 논문에서 이러한 조합론적 구조를 다룰 때, 알파벳의 원소를 (그리스 문자 대신) 라틴 문자로 표기한 것에서 유래하였다. 예를 들어 다음과 같은 꼴이다.
마찬가지로, “그레코라틴 방진”이라는 용어는 오일러가 두 라틴 방진의 원소를 각각 라틴 문자와 그리스 문자로 표기한 것에서 유래하였다. 예를 들어, 다음과 같은 꼴이다.
이 논문에서 오일러는 다음과 같이 적었다.
1901년에 프랑스의 수학자 가스통 타리(, 1843~1913)는 서로 직교하는 두 6×6 라틴 방진이 존재할 수 없음을 엄밀히 증명하여, 오일러의 추측의 일부를 확인하였다.
그러나 1959년에 라지 찬드라 보스와 샤라드찬드라 샨카르 슈리칸데(, )는 서로 직교하는 22×22 라틴 방진의 존재를 증명하였다. 곧 보스와 슈리칸데와 어니스트 틸던 파커(, 1926~1991)는 1960년에 10 이상의 모든 수에 대하여 오일러의 추측이 거짓임을 증명하였다.