블록 설계

조합론에서 블록 설계(block設計, )는 같은 크기의 일련의 부분 집합들이 주어져 있는 유한 집합이다. 이 경우, 이러한 부분 집합을 블록()이라고 하며, 블록 설계는 (예를 들어) “formula_1개의 원소들을 포함하는 블록의 수는 원소의 선택에 상관없이 formula_2개”와 같은 꼴의 조건을 만족시켜야 한다.
정의.
존슨 결합 도식 속의 블록 설계.
세 자연수 formula_3가 주어졌다고 하자. formula_4-블록 설계 formula_5는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
두 formula_4-블록 설계 formula_5, formula_19가 주어졌다고 하자. 만약 이 둘 사이에 전단사 함수
가 존재하여
라면, formula_5와 formula_19가 서로 동형이라고 한다.
formula_24인 formula_4-블록 설계는 formula_4-슈타이너 계(Steiner系, )라고 한다. 보통, formula_24인 formula_4-블록 설계 formula_5는 formula_30로 표기된다.
일반적 결합 도식 속의 블록 설계.
위 정의는 결합 도식의 개념을 통해 일반화된다.
구체적으로, 결합 도식 formula_31이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 복소수 계수 보스-메스너 대수
는 반단순 대수이며, 따라서 그 최소 멱등원들의 집합
를 정의할 수 있다. 특히,
는 항상 최소 멱등원이다. (formula_37는 모든 성분이 1인 formula_38 정사각 행렬이다.)
이제, 계수
들을 정의할 수 있다. formula_7의 부분 집합(즉, formula_7 속의 블록 부호) formula_42가 주어졌을 때, 내부 분포
및 쌍대 내부 분포
를 정의할 수 있다.
만약 어떤 부분 집합 formula_45가 주어졌을 때, 만약 formula_7의 부분 집합 formula_42가 다음 조건을 만족시킬 경우, formula_48-블록 설계()라고 한다.
만약 formula_7가 존슨 결합 대수일 때, 이는 첫째 정의로 귀결된다.
연산.
유도 블록 설계.
임의의 formula_4-블록 설계 formula_5 및 점 formula_54가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
는 formula_57-블록 설계를 이루며,
이다. 이를 formula_5의 유도 블록 설계(誘導block設計, )이라고 한다. (서로 다른 점에서 취한 유도 블록 설계는 서로 동형이지 못할 수 있다.)
특히, 슈타이너 계의 유도 블록 설계는 항상 슈타이너 계이다.
결합 행렬.
formula_4-블록 설계 formula_5에서, formula_62와 formula_63 위에 각각 임의로 전순서를 주자. 그렇다면, formula_5의 결합 행렬()은 다음과 같은 formula_65 행렬
이다.
정사각 블록 설계의 경우 결합 행렬은 정사각 행렬이다.
성질.
임의의 formula_4-블록 설계 formula_5가 주어졌을 때, 다음 정수들을 정의하자.
그렇다면, 다음이 성립한다.
특히, formula_74일 경우,
이에 따라, 모든 formula_4-블록 설계는 임의의 formula_77에 대하여 formula_78-블록 설계이다.
존재의 필요 조건.
피셔 부등식(Fisher不等式, )에 따르면, 임의의 formula_79-블록 설계 formula_5에 대하여, 다음이 성립한다.
(formula_83이므로, 두 조건은 사실 동치이다.) 이 부등식을 포화시키는 블록 설계, 즉 점의 수가 블록의 수와 같은 2-블록 설계를 정사각 블록 설계(正四角block設計, ) 또는 대칭 블록 설계(對稱block設計, )라고 한다.
보다 일반적으로, 임의의 formula_4-블록 설계 formula_5에 대하여, 다음이 성립한다.
브룩-라이저-차울라 정리(Bruck-Ryser-चावला定理, )에 따르면, 임의의 formula_4-블록 설계 formula_5에 대하여, 만약 formula_89라면,
개수.
작은 크기의 formula_95-슈타이너 계의 동형류들의 수들은 다음과 같다. 
작은 크기의 formula_96-슈타이너 계의 동형류들의 수들은 다음과 같다. 
예.
다음과 같은 (2,4,8)-블록 설계를 생각하자.
그렇다면,
파노 평면.
파노 평면 (유한체 formula_104 위의 사영 평면) formula_105을 생각하자.
여기서, 각 선을 블록으로 생각하자. 즉, 다음과 같은 블록 설계를 생각하자.
이는 formula_108-슈타이너 계를 이룬다.
이진 골레 부호.
이진 골레 부호 formula_114는 759개의 옥타드(값이 1인 성분이 8개인 벡터)를 가지며, 각 옥타드를 formula_115의, 크기 8의 부분 집합으로 여길 수 있다. 이에 따라, 이진 골레 부호의 옥타드의 집합은 (5,8,24)-슈타이너 계를 이룬다. 이는 비트 설계(Witt設計, )라고 불린다.
아다마르 설계.
formula_116 아다마르 행렬이 주어졌으며, 그 첫 열과 첫 행이 모두 1로 구성돼 있다고 하자. 그렇다면, 첫 열과 첫 행을 제거하고, 나머지 성분 가운데 −1을 0으로 치환한 뒤, 이를 어떤 정사각 블록 설계의 결합 행렬로 해석할 수 있다. 이를 아다마르 설계라고 하며, 이는 formula_117인 formula_118-블록 설계이다.
자명한 블록 설계.
임의의 유한 집합 formula_7 및 formula_120에 대하여, formula_5는 formula_122인 formula_123-블록 설계를 이룬다.
임의의 유한 집합 formula_7 및 양의 정수 formula_125에 대하여, formula_126는 formula_127-블록 설계를 이루며, 이 경우
이다. 이는 formula_129이므로 정사각 블록 설계이며, formula_24이므로 슈타이너 계이다.
역사.
1844년에 영국의 보험계리인 웨슬리 스토커 바커 울하우스(, 1809~1893)가 자신이 편집자로 있던 잡지 《레이디즈 앤드 젠틀먼즈 다이어리》()에서 블록 설계에 대한 퍼즐을 제시하였다. 그 전문(全文)은 다음과 같다.
이는 현대적 용어로는 formula_131-슈타이너 계를 다루는 것이다.
이후 이 문제는 1847년에 영국의 잉글랜드 성공회 사제 토머스 페닝턴 커크먼(, 1806~1895)이 해결하였다. 그러나 이들의 논문은 크게 관심을 불러일으키지 못했다.
이후 울하우스와 커크먼과 독자적으로 야코프 슈타이너가 1853년에 블록 설계에 대한 논문을 출판하였다. 이후 그의 이름을 따 formula_24인 formula_14-블록 설계는 “슈타이너 계”로 불리게 되었다.
비트 설계는 1931년에 로버트 대니얼 카마이클이 최초로 발견하였으며, 에른스트 비트가 1938년에 마티외 군을 연구하던 도중 재발견하였다.
피셔 부등식은 로널드 피셔가 1940년에 증명하였다.