벡터의 공변성 및 반변성

다중 선형 대수학 및 텐서 해석에서, 공변성 및 반변성은 어떤 기하학적 또는 물리적 대상에 대한 정량적 기술이 기저(basis)의 변화에 따라 어떻게 변하는지를 기술한다.
물리학에서, 기저는 기준 축의 집합(a set of reference axes)으로 생각한다. 기준 축에 대해 이루어지는 스케일의 변화는 해당 문제에서 주어진 단위의 변화에 해당한다. 예를 들면, 미터에서 센티미터로 스케일을 변경하면(즉, 각 기준 축의 스케일을 100으로 나누면), 측정된 속도 벡터의 각 성분은 100 만큼 곱해져야 할 것이다. 벡터는 기준 축에 대한 스케일에서의 변화에 대해 반대로 스케일을 변화시키는, 거동을 보인다. 즉, 벡터는 반변적(contravariant)이다. 그 결과, 벡터는 종종 거리 또는 속도와 같이 거리에 어떤 다른 단위의 곱에 해당하는 단위를 갖는다.
이와 달리, 코벡터(covector, 또는 "쌍대 벡터(dual vector)"라고 불림)는 일반적으로 거리의 역수 또는 거리의 역수와 어떤 다른 단위의 곱에 해당하는 단위를 갖는다. 이러한 코벡터의 예는, 공간 도함수(spatial derivative)의 단위를 갖거나 거리의 역수의 단위를 갖는, 기울기(gradient)이다. 코벡터의 성분은 기준 축에서의 스케일 변화와 동일한 방식으로 변한다. 즉, 코벡터는 공변적(covariant)이다.
보다 일반적인 기저 변화 아래에서:
여기에서, 기저 f'에서의 벡터 Yj 각각은, 아래와 같이, 기저 f에서의 벡터 Xi 의 선형 조합이다.formula_8
formula_9는, 아래와 같이, 기저 f에 대한 원소의 선형 조합으로 일의적으로 표현되며, formula_10는 S 에서의 스칼라로서 기저 f에서의 formula_11의 성분이다. formula_11의 성분의 열 벡터는, 아래와 같이, v[f]로 표기하자:
그래서, 식 ()는 행렬 곱으로서 아래와 같이 다시 쓰여질 수 있다:
마찬가지로, 벡터 formula_11는 기저 f′를 통해서도, 아래와 같이, 표현될 수 있다:
하지만, 벡터 formula_11그 자체는 기저의 선택에 대해 불변적이다. 즉,
f 와 f′ 사이의 관계 ()를 통해 결합된 formula_11의 불변성은 아래의 결과를 함축하며
이 결과로부터, 우리는 아래의 변환 규칙을 얻을 수 있다성분을 통해 표현하면,
여기서, 계수 formula_22은 A의 역행렬의 원소이다.
벡터 formula_11의 성분이 행렬 A의 역행렬을 통해 변환하기 때문에, 이러한 성분은 기저의 변화 아래에서 반변적으로 변환한다고 말하여진다.
A를 상기 두 쌍과 연관시키는 방법은 화살표를 사용하는 아래의 도식에 표현되었다. 반대 방향의 화살표는 반변적 변화를 나타낸다.
formula_24
공변 변환
V 상에서 선형 범함수(linear functional) α는 기저 f에서 (S에서 스칼라인) 그 성분을 통해 아래와 같이 일의적으로 표현된다.
그러면, 식 ()은 아래와 같이 행렬 곱으로서 다시 쓰여질 수 있다:
선형 범함수 α의 성분은 행렬 A를 통해 변환하기 때문에, 이러한 성분은 기저의 변화 아래에서 공변적으로 변환한다고 말하여진다. A를 상기 두 쌍과 연관시키는 방법이 화살표를 사용하는 아래의 도식에 표현되었다. 화살표이 같은 방향이므로, 아래는 공변적 관계를 표현한다. 
열 벡터가 대신 사용되었다면, 변환 법칙은 아래와 같이 전치()일 것이다.
formula_29
벡터 공간 V 상에서의 좌표는, 아래의 관계에 의해 반변적이다.
거꾸로 말해, V 상에서 좌표 xi처럼 변환하는 n개의 양 vi 의 시스템은 반변 벡터를 정의한다.
반변성과 공변성에 대한 이러한 수식화는, 벡터가 접벡터(tangent vector) 또는 여접벡터(cotangent vector)로 존재하는 좌표 공간(다양체)과 같이 응용된 상황에서 보다 자연스럽다. 다양체 상의 국소 좌표계 xi 가 주어질 때, 그 좌표계를 위한 기준 축은 아래의 벡터장이다.
이는 좌표 조각(coordinate patch)의 모든 점에서 좌표계 을 발생시킨다.
만일 yi 가 다른 좌표계라면 그리고,
이라면, 좌표계 f' 은, 아래의, 좌표 전이의 야코비 행렬의 역을 통해 좌표계 f 와 연관되게 된다:지표로 표현하면,
접벡터는, 정의에 의해, 좌표 편미분 formula_34의 선형 조합이다. 따라서, 접벡터는 아래와 같이 정의된다:
그러한 벡터는 좌표계의 변화에 대해 반변적이다. 좌표계에서의 변화 아래에서, 아래와 같다.
따라서, 접벡터의 성분은 아래의 식을 통해 변환한다.
이에 따라, 한 좌표계에서 다른 좌표계로 넘어갈 때 이러한 방식으로 변환하는 좌표에 의존적인, n개의 양 vi 의 시스템은 반변 벡터라고 불린다.
메트릭이 주어진 벡터의 공변 및 반변 성분.
(메트릭 텐서로 언급될) 대칭적 쌍선형 형식을 갖는 장 K () 상에서의 유한-차원 벡터 공간에서는, 공변 및 반변 벡터는 거의 구별되지 않는다. 왜냐하면, 쌍선형 형식에 의해, 코벡터는 벡터와 동일하기 때문이다. 즉, 벡터 v는, 아래의 식을 통해, 모든 벡터 w에 대해 일의적으로 코벡터를 결정한다.
formula_37.
바꿔 말하자면, 각 코벡터 α는 위 방정식을 통해 유일한 하나의 벡터 v를 결정한다. 벡터와 코벡터 사이의 이러한 일치성 때문에, 사람들은 한 벡터의 공변 성분 또는 반변 성분을 말할 수 있다. 즉, 이는 그저 역 기저(reciprocal basis, 또는 "쌍대 기저")를 사용하는 동일한 벡터의 서로 다른 표현일 뿐이다. formula_38
이러한 기저를 통해 표현하면, 임의의 벡터 v는 아래의 두가지 방식으로 쓰여질 수 있다:
성분 vi[f]는 기저 f에서의 벡터 v의 반변 성분이고, 성분 vi[f]은 기저 f에서의 벡터 v의 공변 성분이다. 이러한 용어법은 기저의 변화 아래에서, 아래와 같기 때문에, 정당화된다.
따라서, e1 과 e2는 서로 수직하고, e2 과 e1는 서로 수직하고, e1 과 e2 의 길이는 각각 e1 및 e2에 대해 정규화된다.
예.
예를 들어, 서로에 대해 45° 각도를 이루는 한 쌍의 벡터로 구성되는, 기저 e1, e2가 주어지되, e1 은 길이 2를 갖고, e2는 길이 1을 갖는다고 하자. 그러면, 쌍대 기저 벡터는 아래와 같이 주어진다:
이러한 규칙을 적용하면, 아래를 얻을 수 있다. 그리고
따라서, 원래 기저에서 역 기저로 가는 기저 변환 행렬은 아래와 같다.왜냐하면,
예를 들어, 벡터
는 아래의 반변 성분을 갖는 벡터이다:
공변 성분은 상기 벡터 v에 대한 두 표현을 같다고 놓음으로써 얻어진다.
그래서,
일반적인 유클리드 공간.
보다 일반적으로, n-차원의 유클리드 공간 V에서, 기저가 아래와 같다면,
역 기저는 아래의 식으로 주어진다(여기서 반복된 지표는 합한다),
위 식에서, 계수 gij 은 아래의 역행렬의 원소이다.
따라서 다음이 성립한다.
임의의 벡터의 공변 및 반변 성분
은 아래의 두 식으로 연관지을 수 있다:
및
formula_55처럼 변환하는 것이다(여기서 formula_56는 고유 시간 formula_57에 입자의 좌표이다). 공변 벡터는 formula_58처럼 변환하는 것이다(여기서, formula_59는 스칼라 장이다).&lt;math /&gt;&lt;math /&gt;&lt;math /&gt;&lt;math /&gt;&lt;math /&gt;