이차 형식

수론과 선형대수학에서 이차 형식(二次形式, )은 다변수 2차 동차다항식이다.
정의.
가환환 formula_1 위의 가군 formula_2 위의 이차 형식 formula_3는 다음 두 조건을 만족시키는 함수 formula_4이다.
이 경우, formula_10를 formula_3의 연관 쌍선형 형식()이라고 한다. 연관 쌍선형 형식은 항상 대칭 쌍선형 형식이며, 만약 formula_19라면 이는 추가로 교대 쌍선형 형식이다.
흔히 다루어지는 경우는 formula_1는 체이거나 대수적 정수환이며, formula_2는 자유 가군인 경우다.
같은 가환환 formula_1 위에 두 가군 formula_2, formula_24이 존재하고, 그 위에 각각 이차 형식 formula_3, formula_26이 존재한다고 하자. formula_3와 formula_26 사이의 동치() formula_29는 다음 조건을 만족시키는 함수 formula_30이다.
두 이차 형식 사이에 동치가 존재한다면, 두 이차 형식이 서로 동치()라고 한다.
비퇴화 이차 형식.
가환환 formula_1 위의 가군 formula_2 위의 이차 형식 formula_3의 formula_3의 연관 쌍선형 형식이 formula_10라고 하자. formula_3의 등방성 벡터(等方性vector, )는 formula_39인 원소 formula_6이다. formula_3의 근기() formula_42는 formula_10의 근기
에 속하는 등방성 벡터의 집합이다.
이는 formula_2의 부분 가군이자 formula_47의 부분 가군이다. 이는 임의의 formula_48에 대하여
이기 때문이다.
가환환 formula_1 위의 가군 formula_2 위의 이차 형식 formula_3가 다음 조건을 만족시킨다면, 비퇴화 이차 형식이라고 한다.
formula_1가 체이고, formula_2가 그 위의 유한 차원 벡터 공간이라고 하자. 그렇다면
의 여차원은 0 또는 1이다. 만약 formula_1의 표수가 2가 아니라면, 항상 formula_61이다. 즉, 여차원이 1인 경우는 formula_19인 경우에만 가능하다.
만약 formula_3의 근기가 formula_64이라면, formula_3를 비특이 이차 형식(非特異二次形式, )이라고 한다. 만약 formula_3의 연관 쌍선형 형식 formula_10가 비퇴화 쌍선형 형식이라면 (즉, formula_10의 근기가 formula_64이라면), formula_3를 비퇴화 이차 형식(非退化二次形式, )이라고 한다. 만약 formula_71라면 비특이 이차 형식의 개념과 비퇴화 이차 형식의 개념이 일치하지만, formula_19일 경우 퇴화 비특이 이차 형식이 존재한다. 이 경우는
인 경우이다.
정부호성.
순서체 formula_1 위의 벡터 공간 formula_2 위의 이차 형식 formula_3에 대하여, 다음과 같은 용어들을 정의한다.
이차 공간.
가환환 formula_86 위의 이차 공간(二次空間, ) formula_87은 formula_86 위의 가군 formula_89과 그 위의 이차 형식 formula_90의 순서쌍이다.
formula_86 위의 두 이차 공간 formula_87, formula_93 사이의 사상()은 다음 조건을 만족시키는 함수 formula_94이다.
단사 함수인 이차 공간 사상을 이차 공간의 매장()이라고 한다. 이차 공간의 매장 formula_98이 주어졌을 때, 만약 formula_99이 자유 가군이라면, formula_100를 원시 매장()이라고 한다.
성질.
비트 소거 정리.
임의의 표수의 체 formula_1 위의 이차 공간 formula_102, formula_103, formula_104이 주어졌다고 하자.
비트 소거 정리()에 따르면, 만약 formula_105이라면, formula_106이다.
쌍선형 형식과의 관계.
가환환 formula_1에서 2가 가역원일 경우 (예를 들어, formula_1가 표수가 2가 아닌 체일 경우), formula_1-가군 formula_2 위의 이차 형식은 formula_2 위의 대칭 쌍선형 형식과 표준적으로 일대일 대응한다. 구체적으로, 이차 형식 formula_3의 연관 쌍선형 형식
이 주어졌다면, 이로부터 원래 이차 형식을 다음과 같이 되찾을 수 있다.
그러나 만약 formula_1에서 2가 가역원이 아니라면 이는 일반적으로 성립하지 않는다.
보다 일반적으로, 임의의 가환환 formula_1 위의 가군 formula_2 및 formula_118에 대하여, 2차 순환군 formula_119이 쌍선형 형식의 공간 formula_120 위에 다음과 같이 작용한다.
이에 대하여, formula_120는 군환 formula_123 위의 가군을 이룬다. 이 계수에 대하여 군 호몰로지 및 군 코호몰로지를 정의할 수 있다. 0차 군 코호몰로지는 군의 작용의 불변량으로 구성되며, 만약 formula_124이라면 이는 대칭 쌍선형 형식의 공간과 같다.
0차 군 호몰로지는 군의 작용의 쌍대불변량으로 구성된다.
만약 formula_127일 경우, 이는 formula_89 위의 이차 형식의 공간 formula_129과 다음과 같이 동형이다.
다시 말해, 다음과 같은 formula_1-가군의 완전열이 존재한다.
클리퍼드 대수와의 관계.
가환환 formula_1 위의 가군 formula_2 위의 이차 형식 formula_3가 주어졌을 때, 이 데이터로부터 클리퍼드 대수 formula_136를 정의할 수 있다. 이는 formula_1-단위 결합 대수이다.
클리퍼드 대수는 표준적인 단사 formula_1-선형 변환
를 갖는다.
이차 형식의 클리퍼드 대수는 이차 형식의 불변량을 이룬다. 비퇴화 이차 형식의 클리퍼드 대수는 항상 등급 아즈마야 대수를 이루며, 따라서 브라우어-월 군 formula_141의 원소를 정의한다. 이 역시 비퇴화 이차 형식의 불변량으로 생각할 수 있다.
대각화와 비트 분해 정리.
체 formula_1 위의 유한 차원 벡터 공간 formula_143 위의 이차 형식 formula_3가
의 꼴의 이차 형식과 동치라면, formula_3를 대각화 가능 이차 형식(對角化可能二次形式, )이라고 한다.
표수가 2가 아닌 체 위의 유한 차원 벡터 공간 위의 모든 이차 형식은 대각화 가능 이차 형식이다. 그러나 이는 표수 2의 경우 성립하지 않는다. 구체적으로, 대각화 알고리즘은 다음과 같은 그람-슈미트 과정의 일종이다. 표수가 2가 아닌 체 formula_1 위의 유한 차원 벡터 공간 formula_2 위의 이차 형식 formula_3가 주어졌을 때, formula_150일 경우 이미 대각화돼 있으므로 formula_151를 가정할 수 있다. 이 경우 formula_152인 formula_6를 고를 수 있으며, 이 경우
이다. 따라서, 마찬가지로 formula_156인 formula_157를 골라 위 과정을 재귀적으로 반복할 수 있다.
비트 분해 정리(Witt分解定理, )에 따르면, 표수가 2가 아닌 체 formula_1 위의 이차 공간 formula_159는 다음과 같은 꼴로 표준적으로 분해된다.
여기서 각 성분은 다음과 같다.
이 경우 formula_102을 formula_159의 핵심()이라고 한다. 또한, formula_171를 formula_3의 계수()라고 하며, formula_173를 formula_3의 비트 지표()라고 한다. 비트 정리에 따라, formula_175이 되는 부분 벡터 공간들의 포함 관계에 대한 부분 순서 집합에서, 극대 원소들의 차원은 항상 비트 지표와 같다.
분류.
이차 형식의 동치에 대한 분류는 수론과 선형대수학에서 매우 중요한 문제이다.
복소수 이차 형식의 분류.
formula_1가 표수가 2가 아닌 이차 폐체(, 모든 원소가 제곱근을 갖는 체)라고 하자. (예를 들어, formula_1가 복소수체이거나, 표수가 2가 아닌 체의 대수적 폐포인 경우 이에 해당된다.) 그렇다면, 유한 차원 복소수 벡터 공간 formula_178 위의 이차 형식은 그 계수 formula_179에 따라서 완전히 분류된다. 즉, 모든 이차 형식 formula_3은 다음과 같은 꼴의 이차 형식과 동치이다.
이 경우, 이차 형식은 계수 formula_179에 의하여 완전히 분류된다.
실수 이차 형식의 분류.
formula_183가 에우클레이데스 체(, 모든 양수가 제곱근을 갖는 순서체)라고 하자. (예를 들어, formula_1가 실수체 formula_185이거나 보다 일반적으로 실폐체일 경우 이에 해당된다.)
유한 차원 실수 벡터 공간 formula_178 위의 이차 형식은 그 계수 및 부호수 formula_187에 따라서 완전히 분류된다 (formula_188). 즉, 모든 이차 형식 formula_3은 다음과 같은 꼴의 이차 형식과 동치이다.
구체적으로, "n" 변수의 formula_1 계수 이차 형식 formula_192은 formula_193 대칭 행렬 formula_89으로 나타낼 수 있다.
formula_3의 부호수() formula_197는 formula_89의 양의 고윳값의 수 formula_199, 고윳값 0의 중복도 formula_200, 음의 고윳값의 수 formula_201의 순서쌍이다. 물론
이다. 여기서, formula_203 등은 고윳값의 중복도를 고려하여 센다. 그렇다면 formula_197는 실수 계수 이차 형식의 완전한 불변량이다. 즉, 두 실수 계수 이차 형식이 서로 동치일 필요충분조건은 두 이차 형식의 부호수가 같은 것이다. 이를 실베스터 관성 법칙(Sylvester慣性法則, )이라고 한다.
국소체 위의 이차 형식의 분류.
p진수체 위의 이차 형식은 그 계수와 하세-비트 불변량에 따라 완전히 분류된다. 마찬가지로 다른 국소체 위의 이차 형식도 완전히 분류되었다.
대역체 위의 이차 형식의 분류.
하세-민코프스키 정리에 따르면, 대역체 formula_1 위의 두 이차 형식 formula_3, formula_26이 동치일 필요충분조건은 다음과 같다.
홀수 표수의 유한체 위의 이차 형식의 분류.
표수가 2가 아닌 유한체 formula_216 위의 벡터 공간 formula_217 위의 이차 형식의 동치류는 총 formula_218개가 있으며, 이들 가운데 비퇴화 이차 형식인 것은 두 개이다.
이들은 구체적으로 다음과 같다. formula_219가 제곱수가 아닌 임의의 수라고 하자.
이러한 수는 항상 존재한다. 그렇다면, 모든 비퇴화 이차 형식(의 연관 대칭 쌍선형 형식)은 다음 두 대각 행렬 가운데 정확히 하나와 서로 동치이다.
즉, 다음과 같은 꼴이다.
만약 formula_167이 홀수라면, formula_226는 formula_227과 동치이다. 이 경우 비트 지표는 formula_228, formula_226 둘 다 formula_230이다.
만약 formula_167이 짝수라면, formula_228은 formula_227과 동치이며, 비트 지표는 다음과 같다.
이 경우, 비트 지표가 formula_239인 경우를 플러스형(), formula_237인 경우를 마이너스형()이라고 한다.
비트 분해 정리에 의하여, 모든 (퇴화 또는 비퇴화) 이차 형식은 비퇴화 이차 형식과 0의 직합과 동치이다. 즉, 다음 두 꼴 가운데 하나와 동치이다.
홀수 차수 유한체 formula_216의 비트 환의 크기는 4이며, 이는 formula_251에 따라 구체적으로 다음과 같다.
이 동형은 구체적으로 다음과 같다.
짝수 표수의 유한체 위의 이차 형식의 분류.
표수가 2가 아닌 유한체 formula_216 위의 벡터 공간 formula_217 위의 이차 형식의 동치류는 총 formula_255개가 있으며, 이들 가운데 비특이 이차 형식인 것은 formula_167이 양의 짝수일 경우 2개, 홀수이거나 0일 경우 1개이다. formula_167이 홀수라면 비특이 이차 형식은 퇴화 이차 형식이지만, formula_167이 짝수라면 비특이 이차 형식은 모두 비퇴화 이차 형식이다.
구체적으로, formula_167이 홀수일 경우, 모든 비특이 이차 형식은 다음과 같은 블록 대각 행렬과 동치이다.
즉, 다음과 같은 꼴이다.
이 경우 formula_3의 연관 대칭 쌍선형 형식은
이다. 즉, formula_264이다.
formula_219가 formula_266의 해가 존재하지 않는 임의의 수라고 하자. (이러한 수는 항상 적어도 하나 이상 존재한다.) formula_167이 양의 짝수일 경우, 모든 비특이 이차 형식은 다음과 같은 두 블록 대각 행렬 가운데 정확히 하나와 동치이다.
즉, 각각 다음과 같은 꼴이다.
이 경우 formula_272를 플러스형(), formula_273를 마이너스형()이라고 한다. formula_272의 비트 지표는 formula_239이며, formula_273의 비트 지표는 formula_237이다.
비트 분해 정리에 따라, 모든 이차 형식은 비특이 이차 형식과 0의 직합으로 나타내어진다.
정수환 위의 이차 형식의 분류.
정수환 formula_278이나 다른 대수적 정수환 위의 유한 차원 자유 가군 (=유한 생성 자유 아벨 군) 위의 이차 형식의 경우 하세-민코프스키 정리가 성립하지 않으며, 이들의 분류는 일반적으로 어렵다.
정수 계수 부정부호 형식의 경우, 마르틴 아이클러()는 스피너 종수()를 사용하여 완전히 분류하였다. 정수 계수 정부호 형식의 경우는 유클리드 공간 속의 격자에 대응하며, 이는 낮은 차원(대략 24차원 이하)에서는 에른스트 비트와 마르틴 크네저(), 한스폴커 니마이어()가 개발한 접착법()을 사용하여 분류할 수 있다. 이보다 더 큰 차원에서의 정부호 형식의 분류는 불가능하다고 추측된다.
정수 계수 이차 형식의 경우, 동치보다 더 거친 종수(種數, )라는 동치 관계가 존재한다. formula_279 위의 두 이차 형식 formula_3, formula_26이 다음 두 조건을 만족시키면, 같은 종수에 속한다고 한다.
즉, 이는 하세-민코프스키 정리와 유사하게, 각 유한 · 무한 소수에서의 "정수환"에서 동치인 것이다. 그러나 유리수 계수의 경우와 달리 같은 종수에 속하는 두 정수 계수 이차 형식이 서로 동치이지 않을 수 있다.
주어진 종수에 속한 모든 이차 형식들의 (적절한 무게를 부여한) 수는 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식에 의하여 주어진다.
응용.
이차 형식의 이론은 다른 여러 수학 분야와 밀접한 관계를 가진다.
대수기하학.
임의의 0이 아닌 n변수 이차 형식은 사영 공간에 n-2차원 이차 초곡면을 정의한다. 이런 관점에서, 3변수 2차형식은 원뿔 곡선에 대응된다.
모듈러 형식.
임의의 이차 형식에 대하여 세타 함수를 정의할 수 있으며, 이는 모듈러 형식을 이룬다. 이를 일반화하여 힐베르트 모듈러 형식 · 지겔 모듈러 형식 · 야코비 형식 등의 이론이 이차 형식 이론과 깊은 관계를 가진다.
격자 이론.
정수 계수의 이차 형식은 유클리드 공간 속의 격자의 이론과 밀접한 관계를 가진다. 이를 통해 이차 형식 이론은 민코프스키의 수 기하학()이나 코드 이론(), 암호학 등에 응용된다.
역사.
고대 수학에서의 이차 형식.
특수한 정수 계수 이차 형식의 연구는 고대 수학에서 이미 등장한다. 한 예는 정수 계수 2변수 이차 형식 formula_289의 상을 계산하는 문제로, 이는 피타고라스 수에 관련된다. 이 문제는 1640년에 피에르 드 페르마가 페르마 두 제곱수 정리로서 해결하였다.
기원후 7세기에 인도의 수학자 브라마굽타는 펠 방정식의 해를 제시하였다. 이 역시 특수한 2변수 이차 형식 formula_290을 연구하는 문제이다.
19세기 이차 형식 이론.
1801년에 카를 프리드리히 가우스는 《산술 연구》()에서 정수 계수 2변수 이차 형식을 체계적으로 연구하였다.
1852년에 제임스 조지프 실베스터는 실수 계수 이차 형식을 실베스터 관성 법칙을 통해 완전히 분류하였다. 이 정리의 어원은 실베스터가 오늘날 부호수로 불리는 개념을 "관성"()이라고 불렀기 때문이다.
1867년에 헨리 존 스티븐 스미스는 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식을 최초로 발견하였으나, 널리 알려지지 않았다. 1885년에 헤르만 민코프스키는 박사 학위 논문에서 이차 형식의 종수()의 개념을 도입하였고, 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식을 재발견하였다.
20세기~21세기 이차 형식 이론.
헬무트 하세(1898~1979)는 쿠르트 헨젤의 p진수를 유리수 계수 이차 형식의 분류에 도입하여, 하세-민코프스키 정리를 완성하였다. 카를 루트비히 지겔(1896~1982)은 1935년에 민코프스키가 제시한 질량 공식의 오류를 교정하여 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식을 완성하였고, 이를 비롯한 세 편의 논문에서 이차 형식의 해석적 이론을 제창하였다.
에른스트 비트(1911~1991)는 1937년 하빌리타치온 논문에서 비트 소거 정리와 비트 분해 정리 및 비트 환의 개념을 도입하였고, 이로서 이차 형식의 대수적 이론을 제창하였다.
마르틴 아이클러(, 1912~1992)는 스피너 종수()를 사용하여 부정부호 정수 계수 이차 형식을 분류하였으며, 마르틴 크네저(, 1928~2004), 한스폴커 니마이어(, 1940~)는 접착법()을 사용하여 낮은 차원의 정부호 정수 계수 이차 형식의 분류를 완성하였다. 현대의 이차 형식 이론은 이차 수체와 모듈러 형식의 이론과 밀접한 관계를 가지며, 현대 수론의 주요 분야로 성장하게 되었다.