집합

수학에서 집합(集合, )은 특정한 조건에 맞는 별개의 원소들의 모임(a collection of distinct elements)이며, 명확한 기준(표준)에 의하여 주어진 서로 다른 대상들이 모여 이루는 새로운 대상이다. 어떤 대상이 집합에 속하는지 여부는 명확해야 하며, 집합 위에는 순서나 연산 따위의 구조가 주어지지 않는다. 집합은 수학에서 가장 기본적인 개념이다. 집합론은 19세기 말에 개발되어 다른 수학 이론들에 비해 젊은 편이나, 거의 모든 수학 이론을 전개하는 토대로 삼을 수 있다.
엄밀하지 않게 정의할 때, 집합은 주어진 성질을 만족시키는 대상들의 모임이다. 이러한 대상들을 집합의 원소라고 한다. (퍼지 집합이나 고유 모임과 달리,) 대상이 집합의 원소인지는 항상 애매하지 않고 명확해야 하며, 속하거나 속하지 않거나 둘 중 정확히 하나여야 한다. (중복집합과 달리,) 집합의 원소들은 서로 다르며, 같은 원소가 여러 개 있을 수는 없다. (수학에서 연구되는 여러 종류의 구조와 달리,) 집합의 원소들 사이에는 대소 관계나 선후 관계와 같은, 순서에 따른 구분이 없으며, 덧셈이나 곱셈과 같은 연산이 주어지지 않는다.
소박한 집합론은 위와 같은 엄밀하지 않은 전제에 기초하는 집합론이며, 러셀의 역설을 비롯한 여러 가지 역설을 함의한다. 공리적 집합론은 이를 해결하기 위해 등장한 집합론이다. 공리적 집합론에서는 집합을 무정의 용어로 두거나, 단순히 집합을 구별하는 단항 조건 기호를 사용한다. 이 경우, 집합 자체의 정의를 시도하기 보다는 전체 집합론이 가지고 있는 공리들이 집합의 성질을 설명한다. 예를 들어, 확장 공리는 원소가 같은 두 집합은 같아야 한다는 뜻을 지닌다.
대개 집합은 대문자 formula_1로 표기하며, 원소는 소문자 formula_2로 표기한다. formula_3가 formula_4의 원소임을 formula_5와 같이 표기하며, formula_3가 formula_4의 원소가 아님을 formula_8와 같이 표기한다.
표현.
집합을 표현하는 방법에는 여러 가지가 있다. 하나는 집합에 속하는 원소들을 일일이 나열하는 것이다. 또 하나는 집합에 속하는 원소들이 만족하여야 하는 조건을 제시하는 것이다. 문자를 쓰는 대신 도형을 그려 나타낼 수도 있다.
원소 나열법.
원소 나열법은 말 그대로 집합의 원소를 나열하여 집합을 표현하는 방법이다. 중괄호 '{}' 속에 쉼표 ','로 구별하여 나열한다. 예를 들어, 다음과 같다.
무한 개의 원소가 있거나 유한 개더라도 나열하기에 너무 많은 경우, 그 중의 몇 개를 나열하여 남은 원소들을 유추할 수 있게끔 한 뒤 줄임표 '...'를 쓴다. 예를 들어, 다음과 같다.
집합의 원소들 사이에 눈에 띄는 규칙이 없을 경우, 원소 나열법으로 표현하기 힘들다. 또한, 모든 실수의 집합을 비롯한 비가산 집합은 이러한 표현이 불가능하다.
조건 제시법.
조건 제시법도 말 그대로 집합의 원소인지를 판단하는 조건을 제시하여 집합을 표현하는 방법이다. 중괄호 '{}' 속을 수직선 '|'이나 쌍점 ':'을 써서 두 구역으로 나눈 뒤, 왼쪽 구역에 집합의 원소를 나타내는 식을 적고, 오른쪽 구역에 원소가 만족시킬 조건을 적는다. 예를 들어, 다음과 같다.
오일러 다이어그램.
오일러 다이어그램은 집합을 나타내는 원을 그려 집합을 표현하는 방법이다. 어떤 원의 안쪽은 그 원이 나타내는 집합에 속하는 부분, 바깥쪽은 그 집합에 속하지 않는 부분을 의미한다. 두 원이 겹치는 부분은 두 집합에 공통으로 속하는 부분을 나타낸다. 어떤 원이 다른 원의 안쪽에 놓인다면, 집합의 모든 원소가 다른 집합의 원소라는 의미인데, 이때 첫째 집합이 둘째 집합의 부분 집합이라고 한다. 원이 서로 겹치는 두 집합은 공통 원소가 있는 집합을 의미하며, 원이 서로 겹치지 않는 두 집합은 공통 원소가 없는 집합, 즉 서로소 집합을 의미한다.
벤 다이어그램은 더 강한 조건을 만족시키는 오일러 다이어그램이다. 즉, formula_9개의 원으로 이루어진 벤 다이어그램은 총 formula_10개의 영역으로 나뉘어야 한다. 예를 들어, 세 집합으로 이루어진 벤 다이어그램은 총 8개의 영역으로 나뉘며, 이들은 각각 다음과 같다.
수학 교육에서, 벤 다이어그램은 오일러 다이어그램의 동의어로 쓰이기도 한다.
연산.
둘 또는 더 많은 집합들로부터 새로운 집합을 만드는 연산은 여러 가지가 있다.
합집합과 교집합과 곱집합.
일련의 집합들 formula_11 (formula_12)이 주어졌다고 하자. 여기서 formula_13는 집합이며, 각 formula_12는 formula_11를 식별하는 데 쓰이는 첨수이다.
집합들 formula_11 (formula_12)의 합집합은 이들 가운데 적어도 하나에 속하는 원소의 집합이다. 합집합을 나타내는 기호는 formula_18이다.
특히, 두 집합 formula_4와 formula_21의 합집합을 나타내는 기호는 formula_22이다.
예를 들어, 모든 오각형의 집합과 모든 정다각형의 집합의 합집합은, 정오각형이 아닌 오각형, 오각형이 아닌 정다각형, 그리고 정오각형으로 이루어진 집합이다. 또 한 가지 예를 들어, 두 집합
의 합집합은
이다.
집합들 formula_11 (formula_12)의 교집합은 이들 모두에 속하는 원소의 집합이다. 교집합을 나타내는 기호는 formula_29이다.
특히, 두 집합 formula_4와 formula_21의 교집합을 나타내는 기호는 formula_33이다.
예를 들어, 모든 오각형의 집합과 모든 정다각형의 집합의 교집합은, 모든 정오각형의 집합이다. 또한, 두 집합
의 교집합은
이다.
집합들 formula_11 (formula_12)의 곱집합은 각 formula_40-좌표를 formula_11에서 취하는 튜플의 집합이다. 곱집합을 나타내는 기호는 formula_42이다.
특히, 두 집합 formula_4와 formula_21의 곱집합을 나타내는 기호는 formula_46이다.
예를 들어, 두 집합
의 곱집합은
이다. 또한, 실수의 집합 formula_51과 자기 자신의 곱집합은 2차원 유클리드 공간
이다. 이 집합과 formula_51의 곱집합은 3차원 유클리드 공간
이다.
차집합과 대칭차.
집합 formula_4와 집합 formula_21의 차집합은 formula_4에 속하지만 formula_21에는 속하지 않는 원소의 집합이다. 차집합을 나타내는 기호는 formula_59나 formula_60이다.
예를 들어, 두 집합
의 차집합은
이다.
만약 formula_4가 formula_21의 모든 원소를 포함한다면, (즉, formula_21가 formula_4의 부분 집합이라면,) formula_4와 formula_21의 차집합을 formula_21의 여집합이라고 한다. 여집합을 나타내는 기호는 formula_72나 formula_73이다.
집합 formula_4와 집합 formula_21의 대칭차는 formula_4에 속하거나 formula_21에 속하지만, 동시에 둘 다에 속하지는 않는 원소의 집합이다. 대칭차를 나타내는 기호는 formula_78이다.
예를 들어, 두 집합
의 대칭차는
이다.
항등식.
집합의 연산에 대한 여러 가지 항등식이 성립한다.
관계.
두 집합은 두 가지 방면에서 비교할 수 있다. 첫째는 혹여 한 집합의 모든 원소가 다른 한 집합의 원소이기도 한지, 즉 한 집합이 다른 한 집합에 완전히 포함되는지 살펴보는 것이고, 하나는 어느 집합의 원소가 더 많은지, 즉 어느 집합의 규모가 더 큰지를 비교하는 것이다.
부분 집합.
만약 집합 formula_4에 속하는 모든 원소가 집합 formula_21의 원소이기도 하다면, formula_4를 formula_21의 부분 집합이라고 한다. 이를 나타내는 기호는 formula_89이다.
오일러 다이어그램에서, 두 집합 가운데 하나가 다른 하나의 부분 집합이라면, 이 부분 집합을 나타내는 원은 다른 한 집합을 나타내는 원의 안쪽에 놓인다.
예를 들어, formula_4가 모든 삼각형의 집합, formula_21가 모든 다각형의 집합이라면, formula_4는 formula_21의 부분 집합이다. 이는 모든 삼각형이 다각형이기 때문이다. 그러나, formula_4가 모든 사각형의 집합, formula_21가 모든 정다각형의 집합이라면, formula_4는 formula_21의 부분 집합이 아니다. 이는 가로 길이가 2, 세로 길이가 3인 사각형은 정사각형이 아니기 때문이다. 즉, 이러한 사각형은 formula_4의 원소이지만, formula_21의 원소가 아니다. 만약 formula_100, formula_101라면, formula_89이다. 만약 formula_100, formula_104라면, formula_105인데, 이는 3이 formula_4의 원소이지만 formula_21의 원소가 아니기 때문이다.
만약 formula_4가 formula_21의 부분 집합이면서, formula_21가 formula_4의 부분 집합이라면, formula_4와 formula_21의 원소는 완전히 같아진다. 이때 formula_4와 formula_21가 서로 같다고 하며, 이를 나타내는 기호는 formula_116이다. 만약 formula_4가 formula_21의 부분 집합이면서, formula_4와 formula_21가 서로 같지는 않다면, formula_4를 formula_21의 진부분 집합이라고 한다. 이를 나타내는 기호는 formula_123이다.
집합 formula_4의 모든 부분 집합을 모은 집합을 생각할 수 있다. 이를 formula_4의 멱집합이라고 한다. 멱집합을 나타내는 기호는 formula_126나 formula_127이다. 예를 들어, formula_128의 멱집합은
이다.
크기 비교.
두 집합 formula_130가 모두 유한 개의 원소만을 가진다고 하자. 만약 formula_4의 원소 개수가 formula_21의 원소 개수보다 많다면, formula_4가 formula_21보다 크다고 한다. 반대로 만약 formula_4의 원소 개수가 formula_21의 원소 개수보다 적다면, formula_4가 formula_21보다 작다고 한다. 만약 formula_4의 원소 개수가 formula_21의 원소 개수와 같다면, formula_4가 formula_21와 크기가 같다고 한다.
예를 들어, formula_4가 1부터 20까지의 자연수의 집합, formula_21가 21부터 30까지의 자연수의 집합이라면, formula_4의 원소 개수는 20, formula_21의 원소 개수는 10이다. 20이 10보다 크므로, formula_4의 크기는 formula_21의 크기보다 크다.
두 집합 formula_130 가운데 적어도 하나가 무한 개의 원소를 갖는다고 하여도, 이 두 집합의 크기를 비교할 수 있다. 만약 formula_4의 서로 다른 원소와 formula_21의 서로 다른 원소가 남김 없이 짝지어질 수 있다면, 다시 말해 formula_4와 formula_21 사이에 전단사 함수가 존재한다면, formula_4와 formula_21의 크기가 같다고 한다. 만약 formula_4가 formula_21의 어떤 진부분 집합과 크기가 같지만, formula_21와 크기가 같지 않다면, formula_4가 formula_21보다 크기가 작다고 한다. 만약 formula_21가 formula_4의 어떤 진부분 집합과 크기가 같지만, formula_4와 크기가 같지 않다면, formula_4가 formula_21보다 크기가 크다고 한다.
예를 들어, formula_166이고, formula_167라면, formula_21는 formula_4의 진부분 집합이지만,formula_4와 formula_21의 크기는 같다. 이는 formula_4의 원소 formula_9을 formula_21의 원소 formula_175에 대응시키는 함수가 전단사 함수이기 때문이다. 이 예가 보여주듯, 진부분 집합은 원래의 집합과 크기가 같을 수 있다.
집합의 크기는 기수로 양화될 수 있다. 집합 formula_4의 크기를 나타내는 기호는 formula_177 또는 formula_178이다. 집합 formula_4의 크기가 formula_21의 크기보다 큼을 나타내는 기호는 formula_181 또는 formula_182이다.
예.
집합족.
집합 역시 또 다른 집합의 원소가 될 수 있으므로, 일정한 조건을 만족시키는 집합들을 모은 집합을 생각할 수 있다. 한 가지 예는 어떤 집합의 멱집합이다. 예를 들어, formula_191와 formula_192이 집합이므로,
는 집합족이다.