바나흐 공간

함수해석학에서 바나흐 공간(Banach空間, )은 완비 노름 공간이다. 함수해석학의 주요 연구 대상 가운데 하나다. 스테판 바나흐의 이름을 땄다.
정의.
formula_1가 실수체 또는 복소수체라고 하자.
formula_2-노름 공간 formula_3에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 formula_2-노름 공간을 formula_2-바나흐 공간이라고 한다.
체 formula_2를 실수체 또는 복소수체로 국한하는 이유는 노름 공간에 완비성을 가정하려면 그 체가 완비되어야 하기 때문이다. (예를 들어, 유리수체는 완비되지 못한다.)
부분 공간.
formula_2-바나흐 공간 formula_11의 부분 벡터 공간 formula_12가 주어졌다고 하자. 만약 formula_13가 닫힌집합이라면 formula_13는 역시 바나흐 공간을 이룬다.
만약 다음 조건을 만족시키는 선형 변환 formula_15가 존재한다면, formula_13를 여공간을 가지는 부분 공간()라고 한다.
여분 부분 공간은 (연속 함수의 상이므로) 항상 닫힌집합이다. 즉, 바나흐 공간의 부분 벡터 공간에 대하여 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.
여분 부분 공간 formula_22가 주어졌을 때, 바나흐 공간 formula_11를 다음과 같이 분해할 수 있다.
그러나 이러한 formula_25는 유일하지 않을 수 있다.
연산.
완비화.
formula_2-노름 공간 formula_11가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음 조건을 만족시키는 formula_2-바나흐 공간 formula_29 및 등거리 선형 변환 formula_30가 존재한다.
또한, 이는 다음과 같은 보편 성질을 만족시킨다.
formula_29는 거리 공간으로서 formula_11의 거리 공간 완비화와 같다. 만약 formula_11가 이미 바나흐 공간이라면 formula_42는 바나흐 공간 동형 사상이다.
부분 공간과 몫공간.
formula_2-바나흐 공간 formula_44의 formula_2-부분 벡터 공간 formula_46에 제한 노름 formula_47를 부여하면, 이는 노름 공간을 이룬다. 이 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
또한, 닫힌 부분 벡터 공간 formula_46에 대한 몫공간 formula_52 위에
으로 노름을 주자. 그렇다면 formula_52 역시 formula_2-바나흐 공간을 이룬다.
상.
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
그렇다면, formula_62는 formula_2-바나흐 공간이다.
직합.
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
그렇다면, 직합
위에 다음과 같은 노름을 정의하자.
그렇다면, formula_69는 formula_2-내적 공간을 이룬다.
만약 formula_71가 유한 집합이라면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
이 경우, formula_69의 (formula_76-노름으로 정의되는) 위상은 formula_76에 의존하지 않는다.
그러나 만약 formula_71가 무한 집합이라면, formula_73가 모두 바나흐 공간이라도 formula_80가 바나흐 공간이 아닐 수 있다. 이 경우 formula_69의 완비화 formula_11를 취해야 하며, 그 결과는 일반적으로 formula_83에 따라 다르다.
텐서곱.
힐베르트 공간의 경우 간단하고 유일한 텐서곱이 존재하지만, 바나흐 공간의 텐서곱 이론은 유일하지 않으며 복잡하다. 특히, 대략 "최대" 텐서곱인 사영 위상 텐서곱()과 "최소" 텐서곱인 단사 위상 텐서곱()이 존재한다. 이 둘은 일반적으로 서로 다르며, 또한 (힐베르트 공간의 경우) 힐베르트 텐서곱과도 다르다.
성질.
바나흐 공간 사이의 선형 변환.
바나흐-샤우데르 정리(-定理, ) 또는 열린 사상 정리(-寫像定理, )에 따르면, 임의의 두 formula_2-바나흐 공간 formula_11, formula_13 사이의 전사 유계 작용소 formula_87는 열린 함수이다. 특히, 두 바나흐 공간 사이의 전단사 선형 변환은 항상 위상 벡터 공간의 동형 사상이다. (그러나 이는 등거리 변환이 아닐 수 있다.)
이 정의는 베르 범주 정리를 사용하여 다음과 같이 증명될 수 있다.
증명:
formula_11 속의 단위 열린 공의 상
이 formula_90의 근방임을 증명하면 족하다.
우선, formula_11는 다음과 같은 열린 공들의 합집합이다.
formula_93가 전사 함수이므로
이다.
베르 범주 정리에 따라서, 바나흐 공간 formula_13는 가산 개의 조밀한 곳이 없는 집합들의 합집합으로 표현될 수 없다. 따라서,
인 양의 정수 formula_97 및 formula_98 및 양의 실수 formula_99가 존재한다. (formula_100는 열린 공을 뜻한다.) 즉,
이다.
이제,
를 증명하자. 우선,
이므로, 임의의 formula_104에 대하여,
이며, formula_106는 볼록 집합이므로
이다.
이제
를 증명하면 족하다. 즉, 임의의 formula_109에 대하여, formula_110인 formula_111를 찾으면 족하다.
다음 두 조건을 만족시키는 벡터열 formula_112을 재귀적으로 고를 수 있다.
(이는 formula_115의 정의에 따라 가능하다.) 그렇다면, 바나흐 공간에서 절대 수렴 급수는 수렴하므로,
를 정의할 수 있다. formula_93가 연속 함수이므로
이다.
특히, 이에 따라 두 바나흐 공간 사이의 전단사 유계 작용소는 위상 벡터 공간의 동형이다. 또한, 바나흐 공간의 닫힌 그래프 정리()에 따르면, 두 formula_2-바나흐 공간 formula_11, formula_13 사이의 formula_2-선형 변환 formula_87에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.
증명:
연속 함수 ⇔ 유계 작용소는 임의의 노름 공간에서 성립한다. 연속 함수 ⇒ 닫힌 그래프는 위상수학에서의 닫힌 그래프 정리로부터 함의된다. 따라서, 닫힌 그래프 ⇒ 연속 함수만을 보이면 된다.
formula_126가 닫힌집합이라 가정하자. 이에 따라 formula_127는 (임의의 formula_83에 대한 노름을 주면) 바나흐 공간을 이룬다. 두 사영 함수
는 정의에 따라 연속 함수이다. formula_131는 전단사 함수이므로, 바나흐-샤우데르 정리에 의하여 formula_131는 위상 동형 사상이다. 따라서
역시 연속 함수이다.
즉, 두 바나흐 공간 사이의 유계 작용소에 대하여 다음 함의 관계가 성립한다.
이 밖에도, 두 바나흐 공간 사이의 유계 작용소의 열에 대하여 균등 유계성 원리가 성립한다.
함의 관계.
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
샤우데르 기저.
벡터 공간의 (하멜) 기저나 힐베르트 공간의 정규 직교 기저와 달리, 바나흐 공간 이론에서 기저의 개념은 복잡하다. 바나흐 공간의 경우 샤우데르 기저라는 개념을 정의할 수 있지만, 샤우데르 기저를 갖지 않는 바나흐 공간이 존재하며, 또한 샤우데르 기저의 원소들의 순서가 중요하다.
바나흐 공간 위의 미적분학.
바나흐 공간 속의 열린집합 위에 정의된 함수의 경우, 프레셰 도함수라는 일종의 도함수를 정의할 수 있다. 이를 통해, 바나흐 공간 위의 (비선형) 미적분학을 전개할 수 있다.
분류.
분해 가능 바나흐 공간에 대하여 다음과 같은 분류 정리가 존재한다.
L1의 몫공간으로의 표현.
모든 분해 가능 formula_2-바나흐 공간은 르베그 공간 formula_135의 몫공간이다. 즉, formula_135에 닫힌 formula_2-부분 벡터 공간 formula_138이 존재하여, formula_139이다.
formula_140의 부분 공간으로의 표현.
바나흐-마주르 정리(Banach-Mazur定理, )에 따르면, 임의의 formula_2-바나흐 공간 formula_11에 대하여 다음이 성립한다.
여기서 formula_149는 formula_150값의 연속 함수들의 바나흐 대수이며, 그 위의 노름은
이다.
이는 구체적으로 다음과 같이 구성할 수 있다. 분해 가능 실수 바나흐 공간 formula_11가 주어졌을 때, 그 연속 쌍대 공간 formula_153의 단위 닫힌 공 formula_154을 생각하고, 그 위에 약한-* 위상을 부여하자. 이는 바나흐-앨러오글루 정리에 의하여 콤팩트 하우스도르프 공간이다. 약한-* 위상의 정의에 따라, 임의의 formula_111에 대하여 연속 함수
는 연속 함수이다. 즉, 이는 연속 함수
를 정의한다. 이는 등거리 선형 변환임을 쉽게 보일 수 있다.
만약 formula_11가 추가로 분해 가능 공간이라면, formula_161는 formula_162의 부분 공간으로 등거리 매장할 수 있음을 보일 수 있다.
바나흐-마주르 거리.
바나흐-마주르 콤팩트 공간()이라는, 유한 차원 바나흐 공간의 일종의 모듈라이 공간이 존재한다.
자연수 formula_163 및 formula_1 및 두 formula_163차원 실수 바나흐 공간 formula_11, formula_13가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 사이의 전단사 formula_2-선형 변환들의 공간 formula_169을 생각할 수 있다. 이 경우, formula_11와 formula_13 사이의 바나흐-마주르 거리()는 다음과 같다.
여기서 formula_173는 작용소 노름이다.
이는 삼각 부등식을 만족시킨다. formula_163차원 formula_2-바나흐 공간들의 (등거리) 동형류들의 공간은 이 거리 함수를 통해 콤팩트 거리 공간을 이룬다. 이를 바나흐-마주르 콤팩트 공간이라고 한다.
예.
유클리드 공간.
자연수 formula_176에 대하여, 유한 차원 formula_2-벡터 공간 formula_178 위에 노름
를 부여하면, 이는 formula_2-바나흐 공간을 이룬다.
르베그 공간.
임의의 측도 공간 formula_181 및 확장된 실수 formula_66에 대하여, 르베그 공간 formula_183는 formula_2-바나흐 공간을 이룬다.
수렴 수열 공간.
수렴 수열 공간 formula_185과 영 수렴 수열 공간 formula_186은 둘 다 formula_2-바나흐 공간을 이룬다.
힐베르트 공간.
임의의 formula_2-힐베르트 공간 formula_189에 대하여,
로 노름을 정의하면 이는 formula_2-바나흐 공간을 이룬다.
연속 함수 공간.
콤팩트 하우스도르프 공간 formula_44가 주어졌다고 하자. 그렇다면, formula_44 위의, formula_150값의 연속 함수들의 formula_2-벡터 공간
에 다음과 같은 노름을 줄 수 있다.
이는 formula_2-바나흐 공간을 이룬다. 사실, 점별 곱셈을 통해 이는 추가로 formula_2-바나흐 대수를 이룬다.
역사.
스테판 바나흐가 1922년부터 연구하였다. 이 밖에도, 한스 한과 에두아르트 헬리가 바나흐 공간 이론의 초기 연구에 기여하였다.
바나흐-마주르 정리는 스테판 바나흐와 스타니스와프 마주르가 증명하였다. 바나흐-샤우데르 정리와 그 따름정리인 닫힌 그래프 정리는 스테판 바나흐가 1929년에 발표하였고, 이듬해 율리우시 샤우데르가 개량하였다.