원환 다양체

대수기하학에서 원환 다양체(圓環多樣體, )는 대수적 원환면 formula_1을 조밀하게 포함하여, 그 작용을 다양체 전체에 정의할 수 있는 대수다양체이다.
정의.
체 formula_2가 주어졌다고 하자.
formula_2 위의 원환 다양체 formula_4는 다음과 같은 데이터로 이루어진다.
이들은 다음과 같은 성질을 만족하여야 한다.
부채.
많은 경우, 복소수체 위의 원환 다양체는 부채()라는 데이터로 표현될 수 있다.
강볼록 유리 다면뿔(強볼록有理多面뿔, ) formula_15은 다음 성질을 만족하는 부분 집합이다.
다면뿔 formula_20의 면()들은 다음과 같은 꼴의 부분 집합들이다.
부채 formula_29는 다음 성질을 만족하는 강볼록 유리 다면뿔들의 집합이다.
강볼록 유리 다면뿔에 대응하는 원환 다양체는 다음과 같다. 다면뿔 formula_20의 격자점 formula_40들은 덧셈에 대하여 유한 생성 모노이드를 이룬다. (여기서 formula_41는 다면뿔 formula_20의 변의 수이다.) 마찬가지로, 다면뿔 formula_20의 쌍대뿔 formula_44 또한 유한 생성 모노이드를 이룬다. 쌍대뿔의 기저 formula_45를 잡고, 다음과 같은 사상을 정의하자.
다면뿔 formula_20에 대응하는 아핀 원환 다앙체는 formula_49의 상을 포함하는 최소 대수다양체 (자리스키 위상에 대한 닫힘)이다.
부채 formula_29에 대응하는 원환 다양체는 부채에 속한 다면뿔들에 대응하는 아핀 원환 다양체들을 짜깁기하여 얻는다. 여기서, 같은 면(부분뿔)을 공유하는 두 뿔에 대응하는 두 아핀 원환 다양체들의 경우, 면에 대응하는 자리스키 열린집합을 서로 이어붙인다.
다면체에 대응하는 원환 다양체.
꼭짓점이 격자점 formula_51인 볼록 고차 다면체가 주어졌다고 하자. 이 경우, 각 formula_52차원 면에 대응하는, 안쪽을 향하는 수직 벡터를 생각할 수 있다. 그렇다면, 각 formula_52차원 면은 이 수직 벡터로 생성되는 1차원 뿔, 두 formula_52차원 면이 공유하는 formula_55차원 변은 두 수직 벡터로 생성되는 2차원 뿔 등등을 정의할 수 있다. 이는 부채를 이룬다. 볼록 다면체에 대응되는 원환 다양체는 다면체에 대응하는 부채에 대응하는 원환 다양체다.
즉, 다면체 formula_56에 대응되는 원환 다양체 formula_57에 대하여, 표준적인 전사 함수
가 존재한다. 이 사상에서, 임의의 점 formula_59에 대응되는 올은 (만약 formula_60가 formula_41차원 면에 속한다면) formula_62의 꼴이다. formula_56의 (유일한) 내부는 formula_57의 자리스키 조밀 열린집합 formula_65에 해당하며, 따라서 formula_66이다. 이는 운동량 사상의 특수한 경우이다.
연산.
두 원환 다양체의 곱공간 역시 원환 다양체이다.
원환 다양체의 특이점 해소() 역시 원환 다양체이며, 이는 원래 원환 다양체에서 일부 뿔들을 더 작은 뿔들로 분할하여 얻어진다.
성질.
formula_67 속의 부채 formula_29로 정의되는 원환 다양체에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
formula_67 속의 부채 formula_29로 정의되는 원환 다양체에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
formula_67 속의 부채 formula_29로 정의되는 원환 다양체에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
formula_67 속의 부채 formula_29로 정의되는 원환 다양체에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
특히, 만약 formula_90이라면, 칼라비-야우 원환 다양체의 복소수 위상은 콤팩트 공간일 수 없다.
예.
편의상 유클리드 공간 formula_67의 표준 기저를 formula_92으로 표기하자. 여기서 formula_2는 임의의 체이다.
원환면.
formula_94은 자명하게 원환 다양체를 이룬다. 이는 다음과 같은 0차원 뿔에 대응된다.
formula_97의 쌍대뿔은 formula_98이며, 이는
에 의하여 생성된다. 따라서 이에 대응되는 아핀 원환 다양체는
이다.
아핀 공간.
다음과 같은, 하나의 뿔만으로 구성되는 부채를 생각하자.
즉, 이는 formula_67의 “2"n"분면”이다.
이는 스스로의 쌍대뿔과 같으며, 표준 기저
에 의하여 생성된다. 이에 대응하는 원환 다양체는 formula_104차원 아핀 공간
이다.
예를 들어, 아핀 평면 formula_106는 다음과 같은 부채에 대응된다.
사영 공간.
모든 사영 공간은 원환 다양체이며, formula_104차원 사영 공간에 대응되는 다면체는 formula_104차원 단체이다.
구체적으로, formula_67의 표준 기저 formula_111가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
을 정의하고, 다음과 같은 formula_113개의 뿔들로 생성되는 부채를 생각하자.
즉, 이 부채는 formula_115의 formula_116개의 진부분 집합에 대응되는 뿔들로 구성된다. 이 가운데 formula_104차원의 뿔들은 formula_113개가 있으며, 이는 사영 공간의 크기 formula_113의 아핀 열린 덮개에 해당한다. 구체적으로, formula_104차원 뿔의 쌍대뿔들은 다음과 같다.
즉, 사영 공간의 동차 좌표를
이라고 한다면, 이는
에 해당한다. 각 formula_132는 아핀 공간 formula_133에 대응되며, 이들을 짜깁기하면 사영 공간 formula_134을 얻는다.
사영 직선.
다음과 같은 formula_135 속의 부채를 생각하자.
즉, 그 뿔들은 다음과 같다.
이 경우, formula_140의 쌍대뿔은 formula_141 자신이며, 그 모노이드 대수는
이다. 마찬가지로
formula_143의 경우
이다. 또한, formula_145의 모노이드 대수는 로랑 다항식환
이다. 환 준동형
에 대응하는 자리스키 열린집합은 아핀 공간 formula_148의 부분 집합 formula_149
이다. 따라서, 이는 formula_150와 formula_151를 이어붙인 대수다양체, 즉 사영 직선 formula_152을 정의한다.
사영 평면.
예를 들어, 사영 평면 formula_153는 다음과 같은 부채에 대응된다.
이 부채는 다음과 같은 직각 이등변 삼각형에 대응된다.
부채로 정의되는 사영 평면의 구체적 아핀 덮개
구체적으로, 이는 세 개의 2차원 뿔로 구성되므로, 다음과 같은 세 개의 아핀 열린집합으로 덮여진다. 이 뿔은 ("x"축부터 시계 반대 방향으로) 다음과 같다.
여기서 아랫첨자는 해당 원소로 생성되는 곱셈 모노이드에 대한 국소화이다. 이는 아핀 스킴 사이의 열린 몰입을 정의하며, 이는 아핀 열린 덮개의 짜깁기 사상이다.
코니폴드.
코니폴드는 다음과 같은 formula_162 속의 3차원 뿔에 의하여 정의되는 아핀 원환 다양체이다.
이를 정의하는 네 벡터들은 모두 평면 formula_164 위에 속하므로, 이는 칼라비-야우 다양체이다.
이 뿔에 대응되는 쌍대뿔은
이다. 따라서, 이를 생성하는 격자점은
이다. 이들 사이의 유일한 관계는
이다. 따라서, 이에 대응되는 아핀 스킴(코니폴드)은
이다. formula_2의 표수가 2가 아니라면,
를 정의하여, 이를
로 적을 수 있다.
오비폴드.
다음과 같은 2차원 부채는 오비폴드 formula_173를 나타낸다. (2차 순환군 formula_174은 formula_175와 같이 작용한다.)
이 2차원 뿔 formula_177는 스스로의 쌍대뿔이며, formula_178과 formula_179과 formula_180에 의하여 생성된다.
이므로, 이는 아핀 대수다양체
를 정의한다. 기하학적으로, 이는 2차 초곡면인 뿔이다.
사실, 아핀 공간 formula_183 위에 2차 순환군의 작용
의 작용에 대한 몫은 기하 불변량 이론 몫으로서 다음과 같은 가환환의 스펙트럼이다.
여기서 formula_186는 formula_174의 작용에 대하여 불변인 원소로 구성된 부분환이다. 이는
로 생성되며, 이 사이의 관계는
밖에 없다. 따라서, 이는 스킴의 동형 사상
을 갖는다.
델 페초 곡면.
다음과 같은 2차원 부채는 델 페초 곡면 formula_192을 나타낸다.
구체적으로, 이는 사영 평면에서, 세 2차원 뿔 가운데 하나를 세분한 것이다. 이는 이 점에서의 부풀리기에 해당한다.
다음과 같은 2차원 부채는 델 페초 곡면 formula_194을 나타낸다.
다음과 같은 2차원 부채는 델 페초 곡면 formula_196을 나타낸다.
이것이 두 사영 직선의 곱임은 부채로부터 쉽게 확인할 수 있다.
응용.
원환 다양체의 구성은 끈 이론에서 콤팩트화에 사용되는 칼라비-야우 다양체를 구성할 때 자주 사용된다. 특히, 거울 대칭은 원환 다양체의 부채에 대한 연산으로 깔끔하게 표현될 수 있다.