구면 삼각형

수학에서 구면 삼각형(球面三角形, )은 구 위의 세 대원호에 둘러싸인 구면 위 도형이다. 유클리드 기하학의 평면 삼각형의 구면 기하학 버전이다. 구면 삼각형을 연구하는 수학 분야를 구면 삼각법(球面三角法, )이라고 한다.
정의.
원점을 중심으로 하며, 1을 반지름으로 하는 (2차원) 구 formula_1의 볼록 구면 다각형(-球面多角形, )은 다음을 만족시키는 부분 집합 formula_2이다.
각 반구 formula_11에 대응하는 formula_12의 반공간 formula_13들의 교집합 formula_14은 볼록추를 이루는데, 이 formula_15의 모서리와 formula_4의 교점을 formula_3의 꼭짓점(-點, )이라고 하며, formula_15의 면과 formula_4의 교선을 formula_3의 변(邊, )이라고 한다. 꼭짓점의 수가 3일 경우 formula_3를 (볼록) 구면 삼각형((-)球面三角形, )이라고 한다.
성질.
구 formula_4 위의 세 점 formula_23에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치다.
변의 길이와 각의 크기.
구면 삼각형 formula_27의 변의 길이 formula_28는 두 꼭짓점 사이에 놓인 대원호의 길이로 정의되며, 이는 그 두 꼭짓점을 지나는 반지름 사이의 각도와 같다.
구면 삼각형 formula_27의 각의 크기 formula_33는 한 꼭짓점에서 남은 두 꼭짓점을 향하는 두 접선 사이의 각도로 정의되며, 이는 그 한 꼭짓점을 지나는 두 변과 원점이 결정하는 두 평면 사이의 이면각과 같다.
극삼각형.
구 위의 (대원이 아닐 수 있는) 원의 극(極, )은 그 원이 놓인 평면과 수직인 지름의 두 끝점이다.
구면 삼각형 formula_27가 주어졌다고 하자. formula_38는 formula_39의 대원의 두 극 가운데 formula_40와 같은 쪽에 있는 하나이며, formula_41는 formula_42의 대원의 두 극 가운데 formula_43와 같은 쪽에 놓인 하나이며, formula_44는 formula_45의 대원의 두 극 가운데 formula_46와 같은 쪽에 있는 하나라고 하자. 그렇다면 formula_47는 구면 삼각형을 이루며, 이를 formula_27의 극삼각형(極三角形, )이라고 한다. 즉, 이는 다음을 만족시키는 삼각형이다.
극삼각형의 극삼각형은 자기 자신이다. 이는 다음과 같이 증명할 수 있다. 구면 삼각형 formula_27의 극삼각형이 formula_47라고 하자. 그렇다면, formula_55가 각각 변 formula_56의 극이므로, formula_57는 모두 4분원호다. 따라서, formula_40는 변 formula_59의 극이다. 또한, formula_60가 formula_39의 같은 쪽에 있으므로, formula_62는 4분원호보다 작으며, 따라서 formula_60는 formula_59의 같은 쪽에 있다. 이로써 원하는 명제를 얻는다.
구면 삼각형 formula_27의 극삼각형 formula_47의 변 formula_67 및 각 formula_68은 원래의 삼각형과 다음과 같은 관계를 갖는다.
이는 다음과 같이 증명할 수 있다. formula_59와 formula_45의 교점을 formula_72, formula_59와 formula_74의 교점을 formula_75라고 하자. 그렇다면, 각 formula_40는 대원호 formula_77와 같다. 또한, formula_78는 모두 4분원호이므로, formula_79는 반원호와 같다. 이로써 원하는 명제를 얻는다.
사인 법칙과 코사인 법칙.
구면 삼각형에 대한 사인 법칙은 다음과 같다.
구면 삼각형 formula_27에 대한 제1 코사인 법칙은 다음과 같다.
구면 삼각형 formula_27에 대한 제2 코사인 법칙은 극삼각형에 제1 법칙을 적용한 결과이며, 이는 다음과 같다.
다음과 같은 항등식은 코사인 법칙 및 사인 법칙을 사용하여 증명할 수 있다.
기타 항등식.
반각과 반변.
구면 삼각형의 반각 및 반변의 삼각 함수들은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
여기서 formula_101이다.
이에 따라 구면 삼각형의 각과 변의 삼각 함수를 다음과 같이 나타낼 수 있다.
네이피어 동류식.
다음과 같은 4개의 항등식을 네이피어 동류식(-同類式, )이라고 한다.
들랑브르 동류식.
다음과 같은 4개의 항등식을 들랑브르 동류식(-同類式, ) 또는 가우스 정리(-定理, )이라고 한다.
넓이와 구과량.
구면 다각형 formula_112의 구과량(球過量, ) 또는 구면 과잉(球面過剩)은 다음과 같다.
특히, 구면 삼각형 formula_27의 구과량은 다음과 같다.
구면 다각형 formula_116의 넓이는 그 구과량과 같다.
특히, 구면 삼각형 formula_27의 넓이는 다음과 같으며, 이에 따라 구면 삼각형의 내각합은 항상 180도보다 크다.
이는 다음과 같이 증명할 수 있다. 구면 다각형은 여러 개의 구면 삼각형으로 쪼갤 수 있으므로, 구면 삼각형에 대하여 증명하는 것을 족하다. formula_120변이 놓인 대원호를 경계로 하며 formula_40를 한 점으로 포함하는 반구를 생각하자. 이는 네 가지 구역으로 나뉘는데, 첫째는 구면 삼각형 formula_27, 둘째는 각 formula_43만큼 벌어진 구면 이각형에서 구면 삼각형 formula_27를 제외한 부분, 셋째는 각 formula_46만큼 벌어진 구면 이각형에서 구면 삼각형 formula_27를 제외한 부분, 마지막 넷째는 각 formula_40만큼 벌어진 구면 이각형에서 formula_33의 대척점 formula_129이 이루는 구면 삼각형을 제외한 부분이다. 구의 넓이가 formula_130이며, 구면 이각형의 넓이는 벌어진 각에 비례하며, 구면 삼각형 formula_129의 넓이가 formula_27와 같다는 사실에 주의하면, 반구의 넓이를 다음과 같은 두 가지 방법으로 나타낼 수 있으며, 이를 정리하면 증명하려던 공식을 얻는다.
다음 항등식은 시몽 륄리에가 제시하였다.
여기서 formula_135이다.
응용.
구면 삼각법은 천문학, 측지학 및 항법에서 계산에 매우 중요하다.
역사.
그리스 수학에서 구면 삼각법의 기원과 이슬람 수학의 주요 발전은 중세 이슬람의 삼각법과 수학의 역사에서 논의된바있다. 이 주제는 존 네이피어(John Napier) , 장 밥티스트 조제프 델람브레(Delambre) 및 다른 사람들의 중요한 발전으로 초기 근대에 실현되었으며 19세기 말 토드헌터(Todhunter)가 저술한 전문서적인 대학 및 학생을 위한 구면 삼각법의 출판으로 본질적으로 완전한 형태를 갖추었다. 이 책은 현재 웹에서 쉽게 퍼블릭 도메인인 구텐베르크 프로젝트로부터 사용할 수 있다. 그 이후로 중요한 발달로는 정리의 도출과 복잡한 계산을 수행하기위한 컴퓨터의 사용을 위한 벡터 방법의 적용이 있어왔다.