연속 쌍대 공간

함수해석학에서 연속 쌍대 공간(連續雙對空間, )은 주어진 위상 벡터 공간 위의 연속 선형 범함수들로 구성된 벡터 공간이다. 그 위에 다양한 위상을 부여할 수 있다. 이는 유한 차원의 경우 (대수적) 쌍대 공간과 일치하나, 무한 차원일 경우 대수적 쌍대 공간의 부분 집합이다.
정의.
위상환 formula_1 위의 위상 왼쪽 가군 formula_2가 주어졌다고 하자. 그렇다면, formula_3의 연속 쌍대 가군(連續雙對加群, ) formula_4는 쌍대 가군
가운데, 연속 함수 formula_6를 이루는 것들의 부분 집합이다. 이는 자연스럽게 formula_1-위상 오른쪽 가군을 이룬다. 마찬가지로 위상 오른쪽 가군의 연속 쌍대 가군을 정의할 수 있으며, 이는 위상 왼쪽 가군을 이룬다.
만약 formula_1가 위상체라면, 그 위의 위상 벡터 공간의 연속 쌍대 가군은 연속 쌍대 공간이라고 한다.
연속 쌍대 공간 위에는 흔히 강한 위상과 약한-* 위상이라는 두 위상이 사용된다.
보통, 특별한 부가 설명이 없다면 강한 위상을 의미한다.
만약 어떤 위상 벡터 공간 formula_3가 어떤 위상 벡터 공간 formula_10의 (강한 위상을 부여한) 연속 쌍대 공간 formula_11과 동형이라면, formula_10를 formula_3의 원쌍대 공간(原雙對空間, )이라고 한다. 원쌍대 공간은 유일하지 않을 수 있으며, 존재하지 않을 수도 있다.
강한 위상.
위상환 formula_1은 (덧셈에 대하여 아벨 위상군이므로) 자연스럽게 균등 공간을 이룬다.
formula_3의 유계 집합은 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 formula_16이다.
formula_3의 유계 집합들의 족 formula_22은 formula_3의 덮개를 이룬다.
그렇다면, 덮개 formula_22에 대한, 함수 공간 formula_25 위의 균등 수렴 위상을 정의할 수 있다. 연속 쌍대 가군 formula_26 위의 강한 위상은 유계 집합에 대한 균등 수렴 위상이다. 즉, 유계 집합 formula_16에 제한하였을 때 그 원소들 formula_28이 모두 균등 연속 함수가 되게 하는 가장 엉성한 위상이다.
만약 formula_29이며 formula_3가 노름 공간이라면, formula_4 위의 강한 위상은 쌍대 노름으로 정의되는 거리 위상과 같다.
약한-* 위상.
연속 쌍대 공간 위에는 강한 위상 대신 약한-* 위상(弱한-* 位相, , "약한-스타 위상"으로 읽음)을 부여할 수 있다. (이 이름은 원래 위상 가군 위의 약한 위상과 구별하기 위한 것이다.)
구체적으로, 위상환 formula_1 위의 위상 왼쪽 가군 formula_2이 주어졌다고 하자. 이중 연속 쌍대 가군으로의 자연스러운 포함 사상
을 생각하자. 그렇다면, 연속 쌍대 공간 formula_4 위의 약한-* 위상은 범함수족 formula_37로 생성되는 시작 위상이다. 즉, 구체적으로 모든 열린집합 formula_38와 모든 formula_39에 대하여
꼴의 집합들을 부분 기저로 한다.
약한-* 위상은 강한 위상보다 더 섬세한 위상이다.
쌍대 노름.
만약 formula_41이며, formula_42가 formula_43-노름 공간이라고 하자. 그렇다면, formula_4 위에는 다음과 같은 노름이 존재한다.
이를 쌍대 노름(雙對norm, )이라고 하며, 이는 작용소 노름의 특수한 경우이다.
이에 따라, formula_46은 항상 바나흐 공간을 이룬다.
성질.
대수적 쌍대 공간과의 관계.
일반적으로 위상환 위의 연속 쌍대 가군은 (대수적) 쌍대 가군의 부분 가군을 이룬다.
즉, 임의의 위상환 formula_1 위의 위상 왼쪽 가군 formula_2에 대하여, 연속 쌍대 가군에서 (대수적) 쌍대 가군 formula_49으로 가는, 다음과 같은 표준적 단사 formula_1-선형 변환이 존재한다.
그러나 위 사상은 일반적으로 전단사 함수가 아니다.
분해 가능성.
formula_41에 대하여, formula_43-노름 공간 formula_3가 주어졌다고 하자. 만약 formula_4이 (쌍대 노름 위상에 대하여) 분해 가능 공간이라면, formula_3 역시 (노름 위상에 대하여) 분해 가능 공간이다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다. 예를 들어, 르베그 공간 formula_57는 분해 가능 formula_43-바나흐 공간이지만, 그 연속 쌍대 공간 formula_59는 분해 가능 공간이 아닌 formula_43-바나흐 공간이다.
제한 사상.
formula_41에 대하여, formula_43-위상 벡터 공간 formula_3와 그 부분 벡터 공간 formula_64가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 자연스러운 제한 사상
이 존재한다. 이는 선형 변환이다.
만약 formula_3가 추가로 formula_43-국소 볼록 공간이라면, formula_69는 전사 함수이다.
이중 연속 쌍대 공간.
임의의 위상환 formula_1 위의 위상 왼쪽 가군 formula_2에 대하여, 다음과 같은 자연스러운 연속 선형 변환이 존재한다.
만약 formula_3가 하우스도르프 국소 볼록 공간이라면, 이 사상은 단사 함수이다.
만약 formula_3가 노름 공간이라면, 이 사상은 한-바나흐 정리에 따라서 등거리 변환이다 (그러나 전단사 함수가 아닐 수 있다). 만약 이 사상이 전단사 함수라면, formula_3를 반사 바나흐 공간(反射Banach空間, )이라고 한다. (이러한 노름 공간은 물론 항상 바나흐 공간이어야 한다.)
바나흐-앨러오글루 정리.
바나흐-앨러오글루 정리(-定理, )에 따르면, 노름 공간의 연속 쌍대 공간의 닫힌 공은 약한-* 위상 아래 콤팩트 집합이다.
구체적으로, 다음 데이터가 주어졌다고 하자.
그렇다면, 다음을 구성할 수 있다.
바나흐-앨러오글루-부르바키 정리(-定理, )에 따르면, 다음이 성립한다.
증명:
다음 위상 공간을 정의하자.
절댓값이 1 이하인 스칼라들의 공간 formula_89은 콤팩트 공간이다. 티호노프 정리에 따라서, 그 곱공간 formula_90 역시 콤팩트 공간이다.
이제, formula_87는 다음과 같이 formula_90의 부분 집합으로 여겨질 수 있다.
즉,
이제, formula_95의 치역이 닫힌집합임을 보이면 족하다. 즉, 임의의 그물
의 formula_95에 대한 상이 극한
을 갖는다면, 이는 (곱위상의 정의에 따라) 대하여 점별 수렴
인 것과 동치이며, 이 경우
는 formula_43-선형 변환이며, (약한-* 위상의 정의에 따라) 그물 formula_108의 약한-* 위상에 대한 극한이다.
그 특수한 경우로, 만약 formula_3가 formula_43-노름 공간이며,
이 그 속의 단위 닫힌 공이라고 할 때,
은 formula_4의 단위 닫힌 공이다. 이에 따라, 노름 공간의 쌍대 노름 공간의 닫힌 공은 약한-* 위상에서 콤팩트 공간을 이룬다. 이 특수한 경우를 바나흐-앨러오글루 정리라고 한다.
바나흐-앨러오글루(-부르바키) 정리의 증명은 티호노프 정리, 즉 선택 공리의 한 형태를 필요로 한다.
골드스틴 정리.
임의의 formula_43-노름 공간 formula_42가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 이중 연속 쌍대 공간으로 가는 표준적 사상
을 생각하자. 이는 단사 함수이자 등거리 변환이므로, 이 경우, formula_3의 단위 닫힌 공
의 상은 formula_119의 단위 닫힌 공
의 부분 집합이다. 이제, formula_119에 약한-* 위상을 부여했을 때, formula_118는 formula_120의 조밀 집합이다 (골드스틴 정리 -定理, ).
그러나 골드스틴 정리는 노름 위상에서는 성립하지 않는다.
반례:
formula_41라고 하자. formula_43계수 영 수렴 수열 공간 formula_126의 연속 쌍대 공간은 formula_43-계수 1-르베그 공간 formula_57이며, formula_57의 연속 쌍대 공간은 formula_43계수 ∞-르베그 공간 formula_59이다.
이제, formula_132의 닫힌 단위 공 formula_133은 집합으로서 곱집합 formula_134 (즉, 모든 성분의 절댓값이 1 이하인 formula_43-수열)이며, formula_126의 닫힌 단위 공 formula_137은 그 속에서 0으로 수렴하는 formula_43-수열들로 구성된 부분 집합이다. 이 경우, (예를 들어) 0이 아닌 다른 값 formula_139로 수렴하는 수열
에 대하여, 반지름 formula_139의 열린 공
는 formula_137와 겹치지 않는다.
예.
유클리드 공간.
formula_41이고, formula_145이 (곱위상을 갖춘) 유한 차원 위상 벡터 공간이라면, formula_3의 연속 쌍대 공간은 (대수적) 쌍대 공간과 formula_1-벡터 공간으로서 같다.
그러나 예를 들어 formula_3가 무한 차원 힐베르트 공간이라면 formula_3의 대수적 쌍대 공간은 연속 쌍대 공간보다 훨씬 더 크다.
수열 공간.
다음과 같은 르베그 공간을 생각하자.
이 경우, 노름
을 부여하면 이는 formula_152이라면, formula_153의 연속 쌍대 공간은 formula_154이다.
또한, formula_155의 연속 쌍대 공간은 유계 수열 공간
이다.
수렴 수열 공간.
formula_41라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 두 formula_43-바나흐 공간을 정의할 수 있다.
두 경우 다 부여되는 노름은 ∞-노름 formula_163이다.
이 경우, formula_159의 연속 쌍대 공간과 formula_126의 연속 쌍대 공간 둘 다 1-르베그 공간 formula_57이다. 그러나 formula_159와 formula_126는 서로 (formula_43-바나흐 공간으로서) 동형이 아니다.
쌍대 내적 공간.
내적 공간의 연속 쌍대 공간은 힐베르트 공간이며, 원래 내적 공간은 그 연속 쌍대 공간의 조밀 집합을 이룬다. 특히, 힐베르트 공간은 스스로의 연속 쌍대 공간과 (반)동형이다 (리스 표현 정리 Riesz表現定理, ).
구체적으로, 다음이 주어졌다고 하자.
그렇다면, formula_3의 연속 쌍대 공간 formula_4은 formula_43-노름 공간이다. 이 경우, formula_4은 항상 formula_43-바나흐 공간이다. 또한, 다음과 같은 함수를 정의할 수 있다.
리스 표현 정리에 따르면, 다음이 성립한다.
특히, formula_43-힐베르트 공간은 항상 formula_43-반사 바나흐 공간이다.
연속 쌍대 공간이 자명한 위상 벡터 공간.
만약 formula_3가 국소 볼록 공간이라면, 이중 연속 쌍대 공간으로의 표준적 사상 formula_72은 단사 함수이며, 따라서 만약 formula_202라면 formula_203이다. 그러나 국소 볼록 공간 조건을 가정하지 않으면, formula_202이지만 formula_205일 수 있다.
구체적으로, formula_206-르베그 공간 formula_207의 연속 쌍대 공간은 자명하다.
증명:
실수 선형 변환
가 formula_210이라고 하자. formula_211가 연속 함수가 아님을 보이면 족하다. 특히,
이 되는 코시 함수열
을 찾으면,
이므로 족하다. 이러한 함수열을 다음과 같이 재귀적으로 정의하자.
우선, formula_210이므로 정의에 따라 formula_218인 formula_219를 찾을 수 있다.
이제, 만약 formula_220가 주어졌으면, 다음과 같은 함수를 생각하자.
이는 연속 함수이다. 따라서, 중간값 정리에 따라
인 formula_224이 존재한다. 이제,
를 정의하자 (formula_227는 지시 함수). 이제
를 정의하자. 그렇다면, 삼각 부등식에 따라
이다. 또한 (편의상 formula_230라고 하면)
이다. (formula_232인 경우도 마찬가지다.)
따라서 함수열 formula_233는 필요한 조건들을 만족시킨다.
콤팩트 공간 위의 함수.
콤팩트 하우스도르프 공간과 연속 함수의 범주를 formula_234라고 표기하고, 실수 바나흐 공간과 유계 작용소의 범주를 formula_235로 표기하자.
그렇다면, 다음과 같은 함자들이 존재한다.
여기서 연속 쌍대 공간 formula_242에는 강한 위상을 부여한다.
이 밖에도, 다음과 같은 함자를 정의할 수 있다.
콤팩트 하우스도르프 공간 formula_244에 대하여, formula_245는 formula_244 위의 부호를 갖는 실수 유한 보렐 측도들의 집합이다. 즉, formula_244 위의 베르 시그마 대수 formula_248 위의 두 측도 formula_249의 차들의 동치류 집합이다. formula_250 위에서 측도의 전변동은 노름을 정의하며, 이에 따라 formula_245는 실수 바나흐 공간을 이룬다.
임의의 연속 함수 formula_252에 대하여, formula_253는 다음과 같다.
그렇다면, 리스-마르코프-가쿠타니 표현 정리(Riesz-Марков-[角谷]表現定理, )에 따르면, 다음과 같은 자연 동형 formula_255이 존재한다.
즉, 다음과 같은 가환 그림이 성립한다.
국소 콤팩트 공간 위의 함수.
리스-마르코프-가쿠타니 정리는 콤팩트 하우스도르프 공간에서 국소 콤팩트 하우스도르프 공간으로 쉽게 일반화할 수 있다. 이 경우, 임의의 연속 함수를 콤팩트 지지 연속 함수로 대체하여야 한다.
formula_244가 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이라고 하자. 그렇다면, formula_245를 formula_244 위의 국소 유한 베르 측도의 집합(즉, 모든 콤팩트 집합이 유한 측도를 갖는 측도)이라고 하자. 이에 전변동을 노름으로 삼으면 이는 바나흐 공간을 이룬다.
또한, formula_262가 무한에서 0이 되는 실수 값 연속 함수 formula_263의 집합이라고 하자. 이 역시 실수 바나흐 공간을 이룬다. 그렇다면, 다음과 같은 자연 동형이 존재한다.
즉, 다음과 같은 가환 그림이 성립한다.
여기서
특히,
따라서, 임의의 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 formula_244에 대하여, 다음과 같은 실수 위상 벡터 공간들의 동형이 존재한다.
여기서
리스-마르코프-가쿠타니 표현 정리에 따라, 다음 위상 벡터 공간들이 서로 동형이다.
여기서
대각합류 작용소.
복소수 힐베르트 공간 formula_284가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 위의 모든 formula_285 유계 작용소들의 폰 노이만 대수 formula_286 및 그 부분 집합인, 대각합류 작용소들의 복소수 바나흐 공간 formula_287을 정의할 수 있다. 이 경우, formula_288의 연속 쌍대 공간은 formula_286와 동형이다. 구체적으로, 임의의 formula_290 및 formula_291에 대하여,
이다. (다시 말해, 대각합류 작용소와 유계 작용소의 합성은 항상 대각합류 작용소이다.)
특히, 이에 따라 formula_293 위에 약한-* 위상을 정의할 수 있다. 이를 초약 위상(超弱位相, )이라고 한다.
폰 노이만 대수.
C* 대수 formula_294에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
이 경우, formula_294의 원쌍대 공간 formula_298은 동형 사상 아래 유일하다.
구체적으로, 만약 어떤 복소수 힐베르트 공간 formula_284에 대하여 formula_300이라고 하자. 그렇다면, formula_294의 원쌍대 공간 formula_298는 복소수 선형 변환 formula_303 가운데, formula_294에 초약 위상을 부여했을 때 연속 함수가 되는 것들로 구성된 집합이다.
역사.
1907년에 리스 프리제시와 모리스 르네 프레셰가 각각 독자적으로 1907년에 힐베르트 공간의 리스 표현 정리를 증명하였다.
1909년에 리스 프리제시는 리스-마르코프-가쿠타니 표현 정리를 실수 폐구간의 경우에 대하여 증명하였다. 이후 안드레이 마르코프와 가쿠타니 시즈오가 이를 일반화하였다.
스테판 바나흐가 1932년에 바나흐-앨러오글루 정리의 특수한 경우를 증명하였고, 1940년에 리오니더스 앨러오글루가 이를 임의의 노름 공간에 대하여 일반화하였다. 니콜라 부르바키는 같은 해에 이를 임의의 위상 벡터 공간에 대하여 일반화하였다.
국소 볼록 공간의 쌍대성 이론은 고트프리트 쾨테() · 장 디외도네 · 조지 매키() 등이 1930년대에 제창하였다. 이후 로랑 슈와르츠와 알렉산더 그로텐디크 등이 그 이론에 공헌하였고, 이후 니콜라 부르바키가 그 이론을 1950년대에 집대성하였다.