변수 (수학)

변수(變數)는 변하는 값을 나타내는 문자다. 다양한 값이나 양을 넣을 수 있는 빈 자리를 나타내는 기호로 종종 주어진 집합에 있는 임의의 원소를 나타낼 때 쓴다. 변수는 수뿐만 아니라 벡터, 행렬과 함수를 나타낼 때도 쓴다.
말뿌리.
"Variable" 은 라틴어 "variābilis"에서 왔다. "vari(us)"'는 "다양한 various"이고 "-ābilis"'는 "가능한 -able"이므로 "여러 값을 가질 수 있는"을 뜻한다.
시작과 발전.
7세기, 브라마굽타는 저서 "Brāhmasphuṭasiddhānta"에 있는 "몇몇 색깔의 방정식" 부분에서 대수 방정식에 있는 미지수를 다른 색을 써서 구분하였다. 16세기 말, 비에테는 방정식에서 알려진 수는 자음으로 알려지지 않은 수는 모음으로 나타냈다. 1637, 데카르트는 방정식에서 미지수는 formula_1로 쓰고 알려진 수는 formula_2로 나타냈다.
1660년대부터 뉴턴과 라이프니츠는 무한소를 이용한 미적분을 개발했는데, 이들이 개발한 미적분은 무한히 작아지는 변량과 이 변량에 따라 달라지는 또 다른 변량 사이의 함수 관계를 연구하는 것이다. 거의 100년 후 오일러는 극소 미적분학의 용어를 새롭게 정리하고 함수 formula_3, 변수 formula_4에 대한 표기법formula_5를 도입했다. 19세기 말까지 변수는 주로 독립변수와 함숫값을 다룰 때 쓰였다.
변수의 갈래.
흔히 알려진 수는 상수로 알려지지 않은 미지수는 변수로 생각한다. 하지만 정확하게는 방정식에 들어 있는 문자는 모두 변수이다. 이들이 하는 역할이 다르므로 구별하는 다른 이름으로 부른다.
보기를 들면 삼차방정식
formula_6
에는 모두 다섯 개의 변수가 있다. a,b,c,d는 정해진 숫자를 나타내고 x는 정해지지 않은 수를 나타낸다. 이들을 구별하기 위해 x는 미지수(unknown number)로 나머지는 매개변수(parameters) 또는 계수(coefficients)로 때로는 상수(constants)로 부른다. 마지막 상수로 부르는 것은 엄밀하게 따지면 정확하지 않은 표현이다.
2차 방정식
formula_7
에서 formula_8는 상수로 formula_9는 변수로 생각하는 것이 보통이다. 하지만 근을 구하는 공식을 적는다면
formula_10
변수 formula_8에 따라 변수 formula_9가 정해진다고 생각할 수 있다.
수학책에서 괄호 안에 (단, formula_13는 0이 아닌 상수)처럼 어떤 문자가 상수임을 밝혀 적는 까닭이다.
함수를 나타내는 문장에서 "실수인 변수의 함수", "x는 함수 f: x↦ f(x)의 변수", "함수 formula_3는 변수 formula_9의 함수이다."와 같이 변수는 함수의 인수(argument)를 언급할 때 쓴다. (함수 formula_3는 formula_9에 따라 정해진다는 뜻이다.)
formula_18
위에서 formula_19는 적분 변수 formula_9와 상관없다. 이때 그냥 '적분 상수'로 부른다. 엄밀하게 말하면 '변수 formula_9에 대하여 상수 함수'라고 말해야 한다. 이와 같이 상수 함수를 나타내는 문자를 줄여서 '상수(constant)'로 부를 때는 formula_19는 상수와 같이 옆에 밝혀 적는다.
'상수'라는 용어는 종종 다항식에서 상수 함수로 결정된 계수를 나타낼 때도 사용한다. 부르는 이름은 같아도 '상수 함수'를 줄여서 '상수'로 부를 때와 수학적 상수 0,1,formula_23나 군의 항등원과 같이 단 하나의 수를 부를 때를 구별해야 한다.
변수는 아래와 같이 쓰인다;
변수를 부르는 이름은 뜻에 따라 조금씩 다르지만 똑같은 방식으로 다루어진다.
종속변수와 독립변수.
미적분과 물리학에서 변수 formula_9에 따라서 결정되는 변수 formula_25를 구별할 때 독립변수와 종속변수로 부른다. 수학에서 formula_25가 formula_9에 종속되어 있다면 formula_25는 formula_9의 함수라고 한다. formula_30로 표현했다면 formula_31는 독립변수이고 formula_32는 종속변수이다.
보기.
실수 집합에서 실수 집합으로의 함수 formula_33
formula_34
x는 함수를 결정하는 인수인 독립변수이다.
항등식
formula_35
자연수의 합을 구하는 공식에서 변수 formula_36는 자연수 formula_37 가 들어갈 수 있고 변수 formula_38은 정해지면 변하지 않는 매개변수이다.
표기.
대체로 변수는 문자 하나로 나타내지만 때로는 첨자를 넣어서 formula_39로 쓰기도 하고 여러 개의 문자로 나타내기도 한다. 위에서 말했던 대로 17세기 데카르트는 알파벳 앞에 있는 문자 "a","b", "c"는 알고 있는 수를 뒤에 있는 문자 "x","y", "z","t"는 미지수를 나타내는 데 사용했다. 인쇄할 때는 이탤릭체로 표현한다
formula_40
formula_8는 매개변수 (또는 formula_9와 상관없이 결정되는 상수 함수이므로 상수로도 부른다.) formula_9는 변수로 부른다. 이것이 더 잘 드러나는 표현은 아래와 같다.
formula_44
특정 갈래나 응용 프로그램에서는 특별한 규칙에 변수 이름을 붙인다. 비슷한 역할이나 의미를 가진 변수는 연속된 문자로 나타낸다. 보기를 들면, 3차원 공간을 나누는 좌표축은 "x","y", "z" 축으로 부른다. 물리학에서는 물리량에 따라 변수 이름이 정해지는 다양한 규칙이 존재한다. 확률과 통계에서 확률변수는 대문자로 "X","Y","Z" 쓰고 실제 값은 소문자로 쓴다. (예 formula_45)
일반적인 용도는 아래와 같다.
문제.
주어진 곡선 모임에 수직인 궤적(orthogonal trajectory)을 구하여라.
    *orthogonal trajectory: 주어진 곡선 모임과 만나는 점에서 접선이 서로 수직인 곡선 모임
1. formula_49
먼저 주어진 곡선의 접선의 기울기는 formula_50이므로 수직인 궤적의 접선의 기울기는  formula_51이다. 이 미분방정식은 변수분리형이므로 아래와 같이 풀면 된다.
formula_52
따라서 수직인 궤적은 formula_53이다.
매개변수인 formula_54을 단순한 상수로 생각해서 formula_55와 같이 풀면 안 된다.
2. formula_56
formula_57
formula_58
formula_59
이제 수직인 궤적의 접선 기울기를 구하면
formula_60
formula_61
미분방정식을 풀면 수직인 궤적은 아래와 같다.
formula_62