횔더 부등식

해석학에서 횔더 부등식()은 르베그 적분과 L"p" 공간을 연구하기 위해 사용하는 매우 중요한 부등식이다. 부등식의 이름은 오토 횔더의 이름을 따서 지은 것이다.
정의.
"S","Σ","μ"가 측도 공간이고, "p", "q" ∈ R가 1 ≤ "p", "q" ≤ ∞ 이고 1/"p" + 1/"q" = 1 을 만족한다고 하자. 이때 모든 실함수, 복소함수 가운데 "S"에서 가측 함수 "f", "g"에 대하여 다음과 같은 관계가 성립한다.
부등식은 ||"fg"||1의 값이 무한일 때에도 성립하며, 우변의 값이 무한인 경우에도 성립한다. 또, 만약 "f" ∈ L"p"("μ") , "g" ∈ L"q"("μ")일 때, "fg" ∈ L1("μ")가 성립한다.
1 &lt; "p", "q" &lt; ∞ and "f" ∈ L"p"("μ") and "g" ∈ L"q"("μ")일 때, 횔더 부등식의 등호가 성립할 필요충분조건은 |"f"|"p" 과 |"g"|"q"이 L1에서 일차 종속일 때 만족한다. 즉, "α", "β" ≥ 0 인 "α", "β" 가 존재하여, 측도가 0인 집합을 제외한 모든 점에서 "α"|"f"|"p" = "β"|"g"|"q"가 성립할 때 필요충분조건이 성립한다.
이때 "p"와 "q"는 횔더 켤레(Hölder conjugates)이다. "p" = "q" = 2인 경우, 이 부등식은 코시-슈바르츠 부등식이 된다.
횔더 부등식은 L"p"("μ")에서 삼각 부등식과 민코프스키 부등식을 증명하기 위해 사용하며, L"p"("μ")의 쌍대공간 L"q"("μ")를 구성하기 위해 사용한다. (1 ≤ "q" &lt; ∞)
횔더 부등식은 여러 규약(convention)에 많이 사용된다.
일반화 횔더 부등식.
"r" ∈ (0,∞) 이고 "p"1, …, "pn" ∈ (0,∞]이고 다음의 부등식을 만족한다고 가정하자.
이때, "S"에서 정의된 측정 가능한 모든 실함수, 복소함수 "f"1, …, "fn"에 대하여,
가 성립한다.
또한, 다음도 성립한다.
주의: "r" ∈ (0,1)에 대해, ||.||"r"는 일반적으로 삼각 부등식이 성립하지 않기 때문에 노름이 아니다.
역 횔더 부등식.
"p" ∈ (1,∞)이고, 측도 공간 ("S","Σ","μ")이 "μ"("S") &gt; 0를 만족한다고 가정하자. 이때, "S"에서 측정 가능한 모든 실함수, 복소함수 "f", "g" (이때, "g"("s") ≠ 0 측도 "μ"값이 0이 되는 집합을 제외한 거의 모든 "s" ∈ "S")에 대하여 다음이 성립한다.
만약, ||"fg"||1 &lt; ∞ 이고 ||"g"||−1/("p"−1) &gt; 0 이면, 역 횔더 부등식에서 등호가 성립할 필요충분조건은 "α" ≥ 0 에 대해
이 측도 "μ"값이 0이 되는 집합을 제외한 거의 모든 집합에서 성립할 때이다.
주의: ||"f"||1/"p" 와 ||"g"||−1/("p"−1)는 노름이 아니고, 다음의 식을 간단히 나타낸다.
조건부 횔더 부등식.
formula_11를 확률 공간이라 하고, formula_12를 부분 시그마 대수라 하고, 횔더 켤레 "p", "q" ∈ (1,∞)라 하면, 모든 실수, 복소수 값을 갖는 Ω에서의 확률 변수 "X", "Y"에 대하여 다음이 성립한다.
특이 사항:
예.
"p"와 "q"가 (1,∞) 열린구간에 속한다고 가정하자.
증명.
횔더 부등식의 증명.
횔더 부등식을 증명하는 방법에는 여러 개가 있으나, 영 부등식을 사용하여 증명하겠다.
만약 ||"f"||"p" = 0 이라면, "f"는 측도 "μ"값이 0인 집합을 제외한 거의 모든 곳에서 0이고, 따라서 "fg"도 "μ"값이 0인 집합을 제외한 거의 모든 곳에서 0이다. 즉, 횔더 부등식의 좌변의 값이 0이다. ||"g"||"q" = 0일 때도 같은 결론을 얻을 수 있다. 따라서, ||"f"||"p" &gt; 0 , ||"g"||"q" &gt; 0 이라고 가정할 수 있다.
만약 ||"f"||"p" = ∞ 또는 ||"g"||"q" = ∞ 일 때, 횔더 부등식의 우변은 무한대가 된다. 따라서 ||"f"||"p" , ||"g"||"q" 이 (0,∞) 사이의 값을 갖는다고 생각할 수 있다.
만약 "p" = ∞ , "q" = 1이면, 거의 모든 점에서 |"fg"| ≤ ||"f"||∞ |g| 가 성립한다. 르베그 적분의 단조성에 의해 횔더 부등식을 증명할 수 있다. 마찬가지로, "p" = 1 and "q" = ∞ 일 때도 이 방법으로 증명할 수 있다. 따라서 "p", "q" ∈ (1,∞)라고 가정할 수 있다.
아래의 영 부등식을 사용한다. 이 부등식에서 등호가 성립할 필요충분조건은 모든 음이 아닌 수 "a", "b"에 대하여 "ap" = "bq"일 때이다.
이를 적용하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.
formula_24를 대입하면
주어진 양변을 적분하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다. 이때 ||"f"||"p" 와 ||"g"||"q"는 상수 취급을 받는다.
이때, 가정에서 "p" ,"q"∈ (1,∞) 이라 가정했으므로 , ||"f"||"p" and ||"g"||"q" 의 정의에 의해,
formula_27이므로,
formula_28
그리고, 양변에 ||"f"||"p"||"g"||"q" 을 곱하면 증명이 끝난다.
등호가 성립할 필요충분조건은 거의 모든 점에서 formula_29가 성립할 때이다.
일반화된 횔더 부등식의 증명.
횔더 부등식과 수학적 귀납법을 사용하여 이를 증명할 수 있다. "n" = 1일 때 성립한다는 사실을 쉽게 알 수 있다. "n" − 1에서 성립한다고 가정하자. 이때, 일반성을 잃지 않게 "p"1 ≤ … ≤ "pn라 가정할 수 있다.
1 : "pn" = ∞ 일 때,
가정과 |"fn"|의 본질적 상한을 사용하면,
을 얻을 수 있다.
2 : "pn" &lt; ∞ 일 때,
는 (1,∞)사이의 값을 갖는 횔더 켤레이다. 이에 대해 횔더 부등식을 적용하면,
이를 다시 쓰면, 다음 식이 성립한다.
"qr" = "pn"이고,
이므로, 가정을 사용하면 원하는 부등식을 얻어낼 수 있다.
역 횔더 부등식의 증명.
"p"와
가 횔더 켤레라 하자. 횔더 부등식을 적용하면,
양변을 "p"제곱하여, ||"fg"||1에 대해 식을 쓰면 역 횔더 부등식을 얻을 수 있다.
"g"가 거의 모든 점에서 0이 아니므로, 거의 모든 점에서 |"fg"| = "α"|"g"|−"q"/"p"를 만족하는 상수 "α" ≥ 0가 존재할 때 등호가 성립하고 그 역도 성립한다.
조건부 횔더 부등식의 증명.
확률변수를 다음과 같이 정의하자.
이때, 이들은 부분 시그마 대수에서 측정 가능하다. 이때
집합 {"U" = 0}에서, 거의 확실하게(Almost Surely) |"X"| = 0이다. 마찬가지로, 집합 {"V" = 0}에서 거의 확실하게 |"Y"| = 0이다. 따라서,
이고, 조건부 횔더 부등식은 이 집합에서 성립한다.
우변이 무한대라도 조건부 횔더 부등식은 성립한다. 양변을 우변의 값으로 나누면, 다음과 같이 된다.
에서 적분을 한 후에도 부등식이 성립하는지를 확인하면 된다.
"U", "V", 1"G"가 부분 시그마 대수에서 측정 가능하므로, 조건부평균의 성질과 횔더 부등식을 이용하여 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.
역사.
횔더 부등식은 L.J 로저스가 1888년에 처음 찾아내었고, 이와는 독립적으로 횔더가 1889년에 발견하였다.