연결합

위상수학에서 연결합(連結合, )은 두 다양체 또는 매끄러운 다양체가 주어졌을 때, 각각에서 작은 공을 도려낸 뒤 그 경계를 따라 이어붙여 더 큰 (매끄러운) 다양체를 만드는 연산이다.
정의.
연결합은 같은 차원의 두 (위상) 다양체 또는 두 매끄러운 다양체에 대하여 정의할 수 있다.
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
그렇다면, 다음과 같은 데이터를 임의로 고를 수 있다.
그렇다면, 다음과 같은 위상 공간을 정의할 수 있다.
여기서 formula_30는 붙임 공간이다. 즉, 두 다양체에서 작은 열린 공을 도려낸 뒤, 그 경계에 따라 (유향 다양체인 경우 방향을 바꾸는 방향으로) 붙인 것이다. 이를 formula_3과 formula_4의 연결합()이라고 한다. 연결합은 임의로 선택한 데이터 (formula_15, formula_20, formula_19, formula_24, formula_37)에 의존하지 않음을 보일 수 있다. 즉, 서로 다른 임의의 데이터를 선택하더라도 얻어지는 연결합은 서로 (비표준적으로) 위상 동형이다. 또한, 두 다양체의 연결합은 항상 다양체임을 보일 수 있다.
매끄러운 다양체의 연결합.
만약 formula_3과 formula_4이 매끄러운 다양체일 경우, 연결합 formula_40 위에는 추가로 자연스러운 매끄러움 구조가 존재하여, 매끄러운 다양체를 이룬다.
성질.
다양체 또는 매끄러운 다양체의 연결합은 (위상 동형 아래) 교환 법칙을 만족시킨다.
2차원 이상의 다양체의 경우, 두 연결 비가향 또는 유향 다양체의 연결합은 연결 공간이다. (1차원에서, 두 연결 다양체의 연결합은 연결되지 않을 수 있다.) 이 경우, 연결 비가향 또는 유향 다양체의 연결합은 (위상 동형 아래) 결합 법칙을 만족시키며, 매끄러운 다양체의 경우도 마찬가지이다. 따라서, 2차원 이상에서 연결 비가향 또는 유향 다양체들은 가환 모노이드를 이룬다.
연결합 모노이드의 항등원은 초구 formula_42이다. (초구의 경우, 방향을 뒤집는 자기 동형이 존재하므로 방향을 어떻게 잡든 상관없다.) 즉, 임의의 formula_2차원 연결 비가향 또는 유향 다양체에 대하여, 다음이 성립한다.
예.
임의의 차원 formula_45에서, 두 유클리드 공간의 연결합은 다음과 같은 기둥이다.
보다 일반적으로, 임의의 차원 formula_45에서, 구멍이 formula_48개 뚫린 초구와 formula_49개 뚫린 초구의 연결합은 구멍이 formula_50개 뚫린 초구이다. (유클리드 공간은 구멍이 1개 뚫린 초구와 위상 동형이며, 기둥 formula_51은 구멍이 2개 뚫린 초구와 위상 동형이다.)
1차원 다양체.
1차원 (하우스도르프 파라콤팩트) 연결 다양체는 모두 원 formula_53 또는 실직선 formula_54와 위상 동형이다. 둘 다 유향 다양체이며, 둘 다 방향을 뒤집는 자기 동형을 갖는다. 이 경우, 가능한 연결합들은 다음과 같다.
특히, formula_58의 경우 연결 공간이 아님을 알 수 있다. 이는 0차원 초구 formula_59가 연결 공간이 아니기 때문에 가능하다.
2차원 다양체.
2차원 콤팩트 연결 다양체의 경우, 모두 원환면 formula_60과 사영 평면 formula_61들의 연결합으로 나타낼 수 있다. (원환면은 가향 다양체이며, 방향을 뒤집는 자기 동형을 갖는다. 사영 평면은 비가향 다양체이다.) 2차원 콤팩트 연결 유향 또는 비가향 다양체들의 연결합 가환 모노이드는 다음과 같은 표시를 갖는다.
모든 2차원 콤팩트 연결 다양체는 다각형 표시를 갖는다. 이는 모든 2차원 콤팩트 연결 다양체가 삼각 분할될 수 있다는 사실로부터 유도할 수 있으며, 이 사실은 러도 티보르가 1925년에 증명하였다. 아래 증명에서는 임의로 취한 다각형 표시로부터 표준적인 다각형 표시를 유도한 뒤, 유향 다양체의 표준적인 다각형 표시에 대응하는 몫공간이 원환면들의 연결합 formula_63과 위상 동형이며, 비가향 다양체의 표준적인 다각형 표시에 대응하는 몫공간이 사영 평면들의 연결합 formula_64과 위상 동형임을 보인다.
2차원 콤팩트 연결 다양체 formula_65가 주어졌다고 하자. formula_65의 다각형 표시 formula_67에 대하여, formula_68가 formula_69의 변의 수라고 하고, formula_70가 formula_69의 꼭짓점의 동치류의 수라고 하자. 다각형 표시의 붙여지는 두 변은 다각형의 경계에 방향을 부여했을 때 같은 방향의 두 변과 반대 방향의 두 변으로 나눌 수 있다. 다음 두 가지 방법을 통해 formula_65의 다각형 표시로부터 새로운 formula_65의 다각형 표시를 유도할 수 있다.
이제, 임의의 formula_65의 다각형 표시 formula_69를 취하자. formula_76이라고 가정하자. 임의의 꼭짓점 동치류 formula_77를 취하자. 만약 formula_77가 유일한 꼭짓점을 갖는다면, 이는 이웃하는 반대 방향의 두 변의 공통 꼭짓점이며, 방법 ㈀을 사용하여 두 변을 붙여 formula_77를 없앨 수 있다. 만약 formula_77가 둘 이상의 꼭짓점을 갖는다면, 그 원소가 아닌 점 formula_81와 이웃하는 점 formula_82를 취할 수 있다. 변 formula_83는 formula_84를 지나는 다른 한 변 formula_85와 붙지 않는다. 이는 이 두 변이 붙는다고 가정하면 formula_83와 formula_85의 방향이 달라 formula_84가 formula_77의 유일한 꼭짓점이 되기 때문이다. 따라서, 방법 ㈁을 사용하여 formula_69를 대각선 formula_85을 따라 절단하고 변 formula_85와 이에 대응하는 변을 접착할 수 있다. 이렇게 하면 동치류 formula_77의 꼭짓점 수는 정확히 하나 줄어든다. 위 두 과정을 적절하게 거듭하면 formula_94인 formula_65의 다각형 표시 formula_96를 얻을 수 있다.
다각형 표시가 붙여지는 같은 방향의 두 변을 갖는지 여부는 방법 ㈀와 방법 ㈁을 통한 변환에 대하여 불변이다. 방법 ㈀의 경우 변들의 방향이 바뀌지 않으므로 같은 방향의 두 변의 유무가 변하지 않는다. 방법 ㈁에서 formula_97가 반대 방향인 경우, 평행 이동만이 필요하므로 역시 변들의 방향이 바뀌지 않는다. 방법 ㈁에서 formula_97가 같은 방향인 경우, 다각형을 절단한 두 부분 가운데 하나를 뒤집어야 하므로 대각선 formula_99은 반대 방향의 두 변이 된다.
꼭짓점의 동치류가 하나뿐인 다각형 표시에서, 반대 방향의 두 변은 서로 이웃하지 않으며, 또한 적어도 한 쌍의 두 변이 이들과 번갈아가며 나타난다. 만약 번갈아가며 나타나는 다른 한 쌍의 변이 존재하지 않는다면, 반대 방향의 두 변을 제외하고 남은 두 꺾은선의 꼭짓점들이 서로 동치일 수 없으며, 이는 모순이다.
위에서 얻은 formula_94인 formula_65의 다각형 표시 formula_96를 생각하자. 우선 formula_96의 모든 붙여지는 두 변이 반대 방향이라고 가정하자. 반대 방향의 두 변 formula_97를 취하자. 이와 번갈아가며 나타나는 두 변 formula_105를 취하자. 그렇다면 formula_105 역시 반대 방향이다. 방법 ㈁을 통한 적절한 변환을 몇 차례 가하여 두 쌍의 변 formula_97와 formula_105를 번갈아가며 나타나는 연이은 두 쌍의 변 formula_99와 formula_110으로 대체할 수 있다. 원래 번갈아가며 나타나던 연이은 두 쌍의 변은 변환 후에도 번갈아가며 나타나며 이어져 있다. 따라서 위 과정을 반복하면 결국 다음과 같은 꼴의 표준적인 다각형 표시를 얻는다.
이제 formula_96이 같은 방향의 두 변을 갖는다고 가정하자. 그렇다면 같은 방향의 두 변 formula_97는 적절한 변환 ㈁을 가하여 이웃하는 같은 방향의 두 변 formula_99으로 대체할 수 있다. 원래 이웃하던 같은 방향의 두 변은 변환 후에도 유지된다. 이와 같은 과정을 반복하면 모든 같은 방향의 두 변이 이웃하는 다각형 표시를 얻는다. 이 표시가 반대 방향의 두 변 formula_97를 갖는다고 가정하자. formula_97와 번갈아가며 나타나는 두 변 formula_105를 취하자. 그렇다면 formula_105는 이웃하지 않으므로 반대 방향의 두 변이다. 같은 방향의 두 변 formula_119를 취하자. 그렇다면, 몇 차례 변환 ㈁을 통해 formula_97, formula_105, formula_119를 세 그룹의 이웃하는 같은 방향의 두 변 formula_99, formula_110, formula_125으로 대체할 수 있으며, 원래 이웃하던 같은 방향의 두 변은 유지된다. 이를 반복하여 반대 방향의 두 변들을 모두 없애면, 이웃하는 같은 방향의 두 변들로 구성된 formula_65의 표준적인 다각형 표시
를 얻는다.
위 유도 과정에서, 다각형의 변의 수는 꼭짓점 동치류의 수를 줄일 때마다 둘씩 줄어든다. 따라서 마지막 다각형 표시의 변의 수 formula_128 또는 formula_129은
이다.
다각형 표시
에서, 각 formula_132에 대응하는 오각형을 붙여 만든 공간은 열린 공을 도려낸 원환면이며, 남은 formula_2각형을 붙여 만든 공간은 formula_2개의 열린 공을 도려낸 구이다. 따라서 이 표시에 대응하는 몫공간은 formula_2개의 원환면의 연결합 formula_63이며, 이는 가향 다양체이다.
다각형 표시
에서, 각 formula_138에 대응하는 삼각형을 붙여 만든 공간은 뫼비우스의 띠이며, 남은 formula_139각형은 formula_139개의 열린 공을 도려낸 구이다. 따라서 이 표시에 대응하는 몫공간은 formula_139개의 사영 평면의 연결합 formula_64이며, 이는 비가향 다양체이다.
3차원 다양체.
3차원에서, 모든 (위상) 다양체는 유일한 매끄러움 구조를 가지므로, 다양체와 매끄러운 다양체를 구별하지 않아도 된다.
둘 다 3차원 초구가 아닌 두 개의 다양체의 연결합으로 나타낼 수 없는 3차원 연결 콤팩트 유향 다양체를 소다양체(素多樣體, )라고 하자. 모든 3차원 콤팩트 유향 다양체는 유한 개의 소다양체들의 연결합으로 나타낼 수 있으며, 이러한 표현은 유일하다. 이를 3차원 다양체의 소분해(素分解, )라고 한다. 따라서, 3차원 콤팩트 연결 유향 다양체들의 연결합 모노이드는 자유 가환 모노이드이다.
4차원 이상.
4차원 이상에서는 다양체 · 조각적 선형 다양체 · 매끄러운 다양체가 각각 다르다.
3차원 이하에서는 연결합 모노이드에는 역원이 존재하지 않는다. 즉, formula_143이라면 formula_144이어야 한다 (formula_145). 그러나 이는 5차원 이상의 매끄러운 다양체에서 성립하지 않는다. 5차원 이상에서는 자명하지 않는 매끄러운 호모토피 초구(초구와 호모토피 동치인 매끄러운 다양체)가 존재하며, 매끄러운 다양체에 대하여 호모토피 초구인 것은 연결합 모노이드에서 역원을 갖는 것과 동치이다.
역사.
연결합의 유일성 (즉, 서로 다른 점 및 구형 근방을 잡아도 연결합이 서로 미분 동형 · 위상 동형이라는 것)은 자명하지 않다. 매끄러운 다양체의 경우, 연결합의 유일성은 미셸 케르베르와 존 밀너가 1963년에 증명하였다. (위상) 다양체의 경우, 연결합의 유일성은 원환 정리()로부터 유도된다. 원환 정리의 증명은 복잡하며, 2차원에서는 러도 티보르()가 1924년에 증명하였고, 3차원에서는 에드윈 에바리스트 모이즈()가 1952년에 증명하였고, 4차원에서는 프랭크 퀸()이 1982년에 증명하였고, 5차원 이상에서는 로비언 크롬웰 커비()가 1969년에 증명하였다.
3차원 다양체의 소분해의 존재는 1929년에 헬무트 크네저()가 증명하였고, 그 유일성은 존 밀너가 증명하였다.