자유 가군

환론에서 자유 가군(自由加群, )은 기저를 가지는 가군이며, 가군의 대수 구조 다양체에서의 자유 대수이다. 어떤 자유 가군의 기저(基底, )는 그 가군을 선형생성하는, 선형 독립인 부분 집합이다. 달리 말해, 자유 가군의 임의의 원소에 선형 결합으로서 유일한 표현을 부여하는 가군의 부분 집합이다.
정의.
모든 환은 곱셈 항등원을 가지며, 모든 가군에 항등원이 항등 함수로 작용한다고 하자.
기저.
환 formula_1 위의 왼쪽 가군 formula_2의 기저() 또는 하멜 기저()는 다음 두 조건을 만족시키는 부분 집합 formula_3이다.
오른쪽 가군의 경우도 마찬가지로 정의된다. "하멜 기저"는 특히 바나흐 공간의 샤우데르 기저나 힐베르트 공간의 정규 직교 기저와 구분하기 위하여 사용된다.
이에 따라, 만약 왼쪽 가군 formula_12의 기저 formula_13가 존재한다면, 가군의 모든 원소 formula_14을 다음과 같은 꼴로 (항의 순서를 무시하면) 유일하게 나타낼 수 있다.
순서 기저(順序基底, )는 임의의 전순서를 부여한 기저이다. 유한 순서 기저 formula_18를 가진 자유 가군 formula_2의 임의의 원소 formula_4는 다음과 같이 표준적으로 유일하게 표시할 수 있다.
이 경우, formula_22를 formula_14의 formula_24번째 좌표()라고 한다. 행렬 표기법을 사용할 경우, 흔히 이는
로 표기한다.
자유 가군.
(곱셈 항등원을 갖춘) 환 formula_1 위의 자유 왼쪽 가군()은 적어도 하나의 기저를 가질 수 있는 formula_1 위의 왼쪽 가군이다. 오른쪽 가군에 대해서도 기저 및 자유 오른쪽 가군()을 마찬가지로 정의할 수 있다.
성질.
모든 자유 가군은 사영 가군이다. 반대로, (가환) 국소환 또는 주 아이디얼 정역에 대한 사영 가군은 자유 가군이다. 이들은 다음과 같은 함의 관계의 일부이다.
나눗셈환 위의 모든 왼쪽 가군은 자유 왼쪽 가군이며, 나눗셈환 위의 모든 오른쪽 가군은 자유 오른쪽 가군이다. (이 사실을 증명하기 위해서는 일반적으로 선택 공리가 필요하다.) 특히, 체 위의 가군은 벡터 공간이라고 하며, 벡터 공간은 항상 자유 가군이다. (체는 가환환이므로 왼쪽·오른쪽 가군을 구별할 필요가 없다.)
불변 기저 수 성질.
환 formula_1가 주어졌을 때, 임의의 두 양의 정수 formula_29에 대하여 formula_30이라면 (즉, formula_1-왼쪽 가군으로서 서로 동형일 경우) formula_32이 성립할 경우, formula_1가 왼쪽 불변 기저 수 성질(不變基底數性質, , 약자 IBN)을 만족시킨다고 한다. 불변 기저 수 성질을 만족시키는 환 위의 자유 가군의 경우, 그 계수를 유일하게 정의할 수 있다.
다음과 같은 환들은 왼쪽 가군에 대한 불변 기저 수 성질을 만족시킨다.
특히, 모든 나눗셈환은 왼쪽·오른쪽 불변 기저 수 성질을 만족시킨다.
불변 기수 성질은 유한 집합에서만 의미가 있는데, 이는 무한 기저의 경우 그 크기가 항상 불변이기 때문이다. 구체적으로, 환 formula_1 위의 왼쪽 가군 formula_35의 두 기저 formula_36가 주어졌다고 하자. 또한, formula_13가 무한 집합이라고 하자. 그렇다면 항상 formula_38이다.
증명:
편의상
로 표기하자. 기저의 정의에 따라서
인 formula_42를 (유일하게) 찾을 수 있다. 또한,
는 항상 유한 집합이다.
귀류법을 사용하여, formula_44이라고 가정하자. formula_45은 유한 집합이거나 무한 집합이며, 두 경우 모두
가 성립한다.
따라서,
를 고를 수 있다. 그렇다면
라고 하면,
가 되어, formula_55를 formula_56의 유한 선형 결합으로 나타낼 수 있다. 따라서 formula_13는 기저가 될 수 없으며, 이는 모순이다.
따라서, 불변 기저 수 성질을 만족시키는 환 위의 자유 가군의 경우, 그 기저의 크기는 불변량을 이룬다. 이를 자유 가군의 계수() 또는 (특히 나눗셈환 위의 가군의 경우) 차원() 또는 하멜 차원()이라고 한다.
불변 기저 수 성질의 강화.
환 formula_1 위의 다음과 같은 세 성질을 생각하자.
조건 2는 조건 1을 함의하며, 조건 3은 조건 2를 함의한다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다. 즉, 조건 1을 만족시키지만 조건 2를 만족시키지 않는 환이 존재하며, 조건 2를 만족시키지만 조건 3을 만족시키지 않는 환이 존재한다.
이들에 대한 충분 조건은 다음과 같다.
예.
임의의 기수 formula_69에 대하여, formula_1를 스스로에 대한 왼쪽 가군으로 보았을 때, formula_69개의 가군의 직합 formula_72은 자유 가군을 이룬다. 반대로, 모든 자유 가군은 이러한 꼴로 나타낼 수 있다.
자유 아벨 군은 정수환 formula_73의 가군으로서 자유 가군인 아벨 군이다.
유클리드 공간.
유클리드 공간 formula_74의 세 벡터
는 formula_74의 기저를 이룬다. 보다 일반적으로, 이를테면 formula_60차 단위 행렬 formula_80을 구성하는 열벡터의 집합 formula_81은 유클리드 공간 formula_82의 정규 직교 기저이다. 이를 유클리드 공간 formula_83의 표준 기저(標準基底, standard basis)라고 한다.
임의의 formula_60차 가역 행렬 formula_85를 구성하는 열벡터의 집합 formula_86은 유클리드 공간 formula_82의 기저이다. 따라서 formula_88은 표준 기저 외에도 무수히 많은 기저들을 보유한다. 임의의 formula_60차 비가역행렬 formula_13의 추축열인 열벡터들의 집합 formula_91은 formula_13의 열공간을 생성하는 기저이다. 또한 formula_13의 추축행인 행벡터들의 집합 formula_94은 formula_13의 행공간을 생성하는 기저이다.
영가군.
임의의 환 위의 임의의 왼쪽 가군에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
불변 기저 수 성질의 실패.
자명환 formula_96은 (자명하게) 불변 기저 수 성질을 만족시키지 않는다. 사실, 임의의 (유한 또는 무한) 기수 formula_69에 대하여 formula_98는 (한원소 집합이므로) 자명환 위의 영가군이다.
임의의 환 formula_1에 대하여, 열 유한 행렬환() formula_100가 다음과 같은 꼴의 "행렬"로 구성된 환이라고 하자.
둘째 조건 때문에 두 행렬의 곱은 무한한 합을 필요로 하지 않아 잘 정의된다. 이 경우, 다음과 같은 왼쪽 가군 동형 사상이 존재하므로, 불변 기저 수 성질이 성립하지 않는다.
즉, 이 가군 동형 사상은 짝수 번째 열과 홀수 번째 열을 분리하는 것이다.
역사.
기저의 개념은 게오르크 프로베니우스의 1844년 저서에 등장하지만, 프로베니우스는 이에 대한 용어를 도입하지 않았다. 이후 리하르트 데데킨트는 1894년에 대수적 수론을 다루는 과정에서 기저()라는 용어를 (오늘날과 같은 뜻으로) 도입하여 사용하였다.
"하멜 기저"라는 용어는 게오르크 카를 빌헬름 하멜(, 1877~1954)의 이름을 딴 것이다. 1905년에 하멜은 선택 공리를 사용하여, 실수 집합 formula_88가 유리수 벡터 공간으로서 (하멜) 기저를 가짐을 증명하였다.