사각형

기하학에서 사각형(四角形, )은 평면 위 4개의 선분으로 둘러싸인 도형이다. 이 선분들을 사각형의 변이라고 하고, 두 선분의 공통 끝점을 사각형의 꼭짓점이라고 한다. 사각형은 다각형에서 변과 꼭짓점이 각각 4개인 경우이며, 다른 다각형과 같이, 네 선분으로 구성된 닫힌 꺾은선으로 정의되거나, 이들을 경계로 하는 닫힌 영역으로 정의된다. (여기서 닫힌 꺾은선은 꺾은선의 양 끝점을 이어 끝점의 구분이 없어졌다는 뜻이며, 닫힌 영역은 이 집합이 경계를 포함한다는 뜻이다.) 꼭짓점이 아닌 교점을 갖는 두 변이 존재하지 않는 사각형을 단순 사각형이라고 부른다. 단순 사각형은 모든 내각이 180도보다 작은 경우와 180도보다 큰 내각을 갖는 경우로 분류된다. 전자를 볼록 사각형이라고 하고, 후자를 오목 사각형이라고 한다. 볼록 사각형의 경계 위 두 점 사이의 선분은 항상 사각형 내부에 포함되며, 오목 사각형은 이러한 성질을 만족시키지 않는다. 사각형이라는 용어는 흔히 볼록 사각형만을 가리킨다. 사각형의 네 꼭짓점이 한 평면 위의 점이 아닐 수 있도록 허용하면 꼬인사변형의 개념을 얻는다. 꼬인 사각형은 일반적으로 사각형에 포함시키지 않는다.
단순 사각형의 4개의 내각의 합은 항상 360도이다. 이는 단순 formula_1각형의 내각의 합이 항상 formula_2도라는 사실의 특수한 경우이다. 사다리꼴과 평행 사변형, 직사각형, 마름모, 정사각형은 볼록 사각형의 일부 기초적인 종류이다. 예를 들어, 평행 사변형은 마주보는 두 쌍의 변이 각각 평행하는 사각형이며, 직사각형은 모든 내각이 직각인 사각형이다. 앞에 나온 종류는 뒤에 나온 종류에 포함된다. 예를 들어, 모든 직사각형은 평행 사변형이다. 이는 모든 내각이 직각인 사각형의 각 쌍의 대변은 평행한다는 말과 같다. 단순 사각형의 넓이는 일상적인 의미와 일치한다. 예를 들어, 직사각형의 넓이는 가로변과 세로변의 길이의 곱이며, 보다 일반적으로 평행 사변형의 넓이는 밑변의 길이와 높이의 길이의 곱이다. 그 밖에도 사각형의 많은 성질들이 발견되었다. 바리뇽 정리에 따르면, 사각형의 네 변의 중점을 연결하면 평행 사변형을 얻는다. 이는 삼각형에 대한 중점 연결 정리를 통해 증명할 수 있으며, 볼록 사각형이나 단순 사각형에 국한되지 않고 심지어 꼬인 사각형에서도 성립한다.
사변형(四邊形)이라는 용어는 사각형을 대신할 수 있으나, 사영 기하학에서는 사각형과 관련된 다른 의미로 쓰인다.
정의.
사각형은 변이 4개인 (따라서 꼭짓점도 4개인) 다각형으로 정의된다. 구체적으로, 평면 위 네 점 formula_3, formula_4, formula_5, formula_6가 공선점인 세 점을 포함하지 않는다고 하자. 그렇다면 사각형 formula_7는 선분 formula_8, formula_9, formula_10, formula_11으로 둘러싸인 도형으로 정의된다.
이 네 점 formula_3, formula_4, formula_5, formula_6를 사각형 formula_7의 꼭짓점이라고 하고, 이 네 선분 formula_8, formula_9, formula_10, formula_11를 사각형 formula_7의 변이라고 한다. 사각형의 두 변이 같은 꼭짓점을 끝점으로 한다면 이웃변이라고 하고, 반대로 공통 꼭짓점을 갖지 않을 경우 대변이라고 한다. 즉, 사각형 formula_7의 네 쌍의 이웃변은 formula_8와 formula_9, formula_9와 formula_10, formula_10와 formula_11, formula_11와 formula_30이고, 두 쌍의 대변은 formula_8와 formula_10, formula_30와 formula_9이다. 사각형의 두 꼭짓점을 잇는 선분 가운데 변이 아닌 것들을 사각형의 대각선이라고 한다. 즉, 사각형 formula_7의 두 대각선은 선분 formula_36와 formula_37이다. 이것은 또한 사각형의 종류와 성질을 이용하여 특정 조건을 만족하면 ○, 그렇지 않으면 ×로 나타낼 수 있다. 이에 따라 나타내어보면 각각 다음과 같다.
또한 그 외에도 사각형의 다른 조건을 만족하는지 아닌지에 대한 경우는 다음과 같다.
변의 길이가 모두 같다 : 정사각형 ○, 직사각형 ×, 마름모 ○, 평행사변형 ×, 등변사다리꼴 ×, 사다리꼴 ×, 연꼴 ×
각의 크기가 모두 같다 : 정사각형 ○, 직사각형 ○, 마름모 ×, 평행사변형 ×, 등변사다리꼴 ×, 사다리꼴 ×, 연꼴 ×
한 쌍의 대변이 평행 : 정사각형 ○, 직사각형 ○, 마름모 ○, 평행사변형 ○, 등변사다리꼴 ○, 사다리꼴 ○, 연꼴 ×
두 쌍의 대변이 각각 평행 : 정사각형 ○, 직사각형 ○, 마름모 ○, 평행사변형 ○, 등변사다리꼴 ×, 사다리꼴 ×, 연꼴 ×
한 쌍의 대변이 같다 : 정사각형 ○, 직사각형 ○, 마름모 ○, 평행사변형 ○, 등변사다리꼴 ○, 사다리꼴 ×, 연꼴 ×
한 쌍의 대각이 같다 : 정사각형 ○, 직사각형 ○, 마름모 ○, 평행사변형 ○, 등변사다리꼴 ×, 사다리꼴 ×, 연꼴 ○
두 쌍의 대변이 각각 같다 : 정사각형 ○, 직사각형 ○, 마름모 ○, 평행사변형 ○, 등변사다리꼴 ×, 사다리꼴 ×, 연꼴 ×
두 쌍의 대각이 각각 같다 : 정사각형 ○, 직사각형 ○, 마름모 ○, 평행사변형 ○, 등변사다리꼴 ×, 사다리꼴 ×, 연꼴 ×
밑변의 두 밑각이 같다 : 정사각형 ○, 직사각형 ○, 마름모 ×, 평행사변형 ×, 등변사다리꼴 ○, 사다리꼴 ×, 연꼴 ×
꼭지각의 두 변이 같다 : 정사각형 ○, 직사각형 ×, 마름모 ○, 평행사변형 ×, 등변사다리꼴 ×, 사다리꼴 ×, 연꼴 ○
두 대각선이 항상 중점에서 교차하는 것 : 정사각형 ○, 직사각형 ○, 마름모 ○, 평행사변형 ○, 등변사다리꼴 ×, 사다리꼴 ×, 연꼴 ×
두 대각선이 항상 수직으로 교차하는 것 : 정사각형 ○, 직사각형 ×, 마름모 ○, 평행사변형 ×, 등변사다리꼴 ×, 사다리꼴 ×, 연꼴 ○
두 대각선의 길이가 항상 같다 : 정사각형 ○, 직사각형 ○, 마름모 ×, 평행사변형 ×, 등변사다리꼴 ○, 사다리꼴 ×, 연꼴 ×
두 대각선이 서로를 이등분 : 정사각형 ○, 직사각형 ○, 마름모 ○, 평행사변형 ○, 등변사다리꼴 ×, 사다리꼴 ×, 연꼴 ×
두 대각선 중 다른 대각선을 이등분할 수 있는 것이 적어도 하나 : 정사각형 ○, 직사각형 ○, 마름모 ○, 평행사변형 ○, 등변사다리꼴 ×, 사다리꼴 ×, 연꼴 ○
한 대각선이 도형을 이등분 : 정사각형 ○, 직사각형 ○, 마름모 ○, 평행사변형 ○, 등변사다리꼴 ×, 사다리꼴 ×, 연꼴 ○
두 대각선이 도형을 사등분 : 정사각형 ○, 직사각형 ×, 마름모 ○, 평행사변형 ×, 등변사다리꼴 ×, 사다리꼴 ×, 연꼴 ×
한 쌍의 대변의 중점을 연결한 직선이 도형을 이등분 : 정사각형 ○, 직사각형 ○, 마름모 ○, 평행사변형 ○, 등변사다리꼴 ○, 사다리꼴 ×, 연꼴 ×
합동인 두 도형으로 등분하는 방법이 무수히 많다 : 정사각형 ○, 직사각형 ○, 마름모 ○, 평행사변형 ○, 등변사다리꼴 ×, 사다리꼴 ×, 연꼴 ×
두 대각선 중 적어도 하나에 대하여 대칭 : 정사각형 ○, 직사각형 ×, 마름모 ○, 평행사변형 ×, 등변사다리꼴 ×, 사다리꼴 ×, 연꼴 ○
한 쌍의 대변의 중점을 연결한 두 직선 중 적어도 하나에 대하여 대칭 : 정사각형 ○, 직사각형 ○, 마름모 ×, 평행사변형 ×, 등변사다리꼴 ○, 사다리꼴 ×, 연꼴 ×
이웃한 두 내각의 합이 180° : 정사각형 ○, 직사각형 ○, 마름모 ○, 평행사변형 ○, 등변사다리꼴 ×, 사다리꼴 ×, 연꼴 ×
이웃한 두 변의 길이의 합이 각각 같다 : 정사각형 ○, 직사각형 ○, 마름모 ○, 평행사변형 ○, 등변사다리꼴 ×, 사다리꼴 ×, 연꼴 ×
외접원이 항상 존재하는 사각형 : 정사각형 ○, 직사각형 ○, 마름모 ×, 평행사변형 ×, 등변사다리꼴 ○, 사다리꼴 ×, 연꼴 ×
내접원이 항상 존재하는 사각형 : 정사각형 ○, 직사각형 ×, 마름모 ○, 평행사변형 ×, 등변사다리꼴 ×, 사다리꼴 ×, 연꼴 ◇ (볼록 연꼴은 내접원이 존재하지만, 오목 연꼴은 내접원이 존재하지 않는다)
자기 쌍대가 되는 사각형 : 정사각형 ○, 직사각형 ×, 마름모 ×, 평행사변형 ○, 등변사다리꼴 ×, 사다리꼴 ×, 연꼴 ×
항상 서로 닮음 관계인 사각형 : 정사각형 ○, 직사각형 ×, 마름모 ×, 평행사변형 ×, 등변사다리꼴 ×, 사다리꼴 ×, 연꼴 ×
이렇게 되며, 정사각형만이 유일하게 사각형의 모든 조건을 만족할 수 있다. 뿐만아니라 2차원 이상의 도형 중에서는 유일하게 초입방체이면서 정축체이고, 사각형의 종류를 가장 적게 포함하지만, 가장 많은 이름을 가지므로 가장 특별한 사각형이다. 반면에 사다리꼴은 평행사변형도, 등변 사다리꼴도 아닌 그냥 일반적인 경우 한 쌍의 대변이 평행하다는 정의를 제외하고는 특별한 성질이 전혀 없다.
분류.
사각형은 다음과 같이 분류된다.
즉, 임의의 사각형은 볼록 사각형과 오목 사각형, 교차 사각형 가운데 정확히 하나에 속한다.
단순 사각형의 일부 종류는 다음과 같다.
명칭이 따로 붙어있는 사각형 중에선 연꼴이 오목 사각형일 수 있는 점을 제외하면 모두 볼록 사각형이다. 이들 종류 사이의 함의 관계는 다음과 같다.
성질.
대각선.
볼록 사각형의 두 대각선은 사각형 내부에 포함된다. 오목 사각형의 두 대각선 가운데 하나는 사각형 내부에 포함되고 하나는 사각형 외부에 포함된다. 교차 사각형의 두 대각선은 사각형 외부에 포함된다.
넓이.
사각형의 두 대각선의 길이를 formula_38, formula_39라고 하고 두 대각선 사이의 각의 크기를 formula_40라고 할 경우, 넓이는
이다.
사각형의 두 대각선의 중점과 한 쌍의 대변의 교점을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 생각하자. 이 삼각형의 넓이는 원래 사각형이 단순 사각형일 경우 원래 사각형의 넓이의 1/4이고, 교차 사각형일 경우 나비 모양을 이루는 두 삼각형의 넓이의 차의 절댓값의 1/4이다.
사각형 formula_7의 네 변 formula_8, formula_9, formula_10, formula_11의 중점을 각각 formula_47, formula_48, formula_49, formula_50라고 하자. 바리뇽 정리에 따르면, 사각형 formula_51는 평행 사변형이다. 또한, 이 평행 사변형의 넓이는 원래 사각형이 단순 사각형일 경우 원래 사각형의 넓이의 1/2이고, 교차 사각형일 경우 나비 모양을 이루는 두 삼각형의 넓이의 차의 절댓값의 1/2이다.
평행사변형의 넓이.
평행사변형의 넓이는 밑변과 높이의 곱이다.
평행사변형의 이웃한 두 변의 길이를 formula_52, formula_53라 하고, 그 끼인각을 formula_40라 하면, 넓이는
이다. 이는 밑변을 formula_53라고 하면, 높이는 formula_57이기 때문이다.
무게 중심.
사각형의 각 쌍의 대변의 중점을 잇는 직선과 두 대각선의 중점을 잇는 직선은 공점선이며, 서로가 서로를 이등분한다. 이들의 교점은 사각형의 네 꼭짓점의 무게 중심이다. 볼록 사각형일 경우 이 점을 이 사각형의 무게 중심으로 정의하나, 이는 일반적으로 사각형의 내부의 무게 중심과 일치하지 않는다.