연접층

대수기하학과 복소기하학에서 연접 가군층(連接加群層, , ) 또는 단순히 연접층(連接層)은 유한 계수 벡터 다발(국소 자유층)의 핵 · 여핵으로 구성할 수 있는 가군층이다. 연접 가군층은 벡터 다발과 마찬가지로 공간의 기하학적 성질과 밀접하게 연관된 좋은 성질을 가지며, 카르탕 정리나 가가 정리 등 대수기하학과 복소해석기하학에서의 여러 정리가 성립한다.
벡터 다발은 수학의 여러 분야에서 매우 중요한 개념이다. 대수기하학에서 세르-스완 정리에 따라 (유한 차원) "벡터 다발"은 (유한 계수) 국소 자유 가군층에 대응한다. 그러나 주어진 위상 공간 formula_1 위에 주어진 벡터 다발과 선형 다발 사상의 범주 formula_2는 아벨 범주를 이루지 않는다. 구체적으로, 벡터 다발의 핵과 여핵은 항상 층으로서 존재하지만 벡터 다발을 이루지 않을 수 있다. 예를 들어, formula_3가 formula_1 위의 formula_5차원 실수 벡터 다발이고, formula_6가 연속 함수라고 하자. 그렇다면 formula_7, formula_8는 선형 다발 사상이다. 만약 formula_9가 어느 곳에서도 0이 아니라면, 핵 formula_10는 0차원의 자명한 벡터 다발이고, 공핵 formula_11 또한 formula_5차원 벡터 다발이다. 그러나 formula_9가 formula_14에서 0이라면, 이 점에서 formula_15의 핵 formula_10는 0차원이 아니라 formula_5차원이며, 반대로 formula_18는 0차원이다. 벡터 다발의 모든 올들은 차원이 같아야 하므로, 이 경우 formula_15의 핵과 여핵은 formula_1 벡터 다발을 이루지 않는다.
이 경우, formula_10는 부분 공간 formula_22 위에만 존재하는 "벡터 다발"이며, formula_18는 부분 공간 formula_24 위에만 존재하는 "벡터 다발"이다. 이와 같이 "부분 공간 위의 벡터 다발"을 허용하여 유한 차원 벡터 다발의 범주를 더 확장시켜 얻는 아벨 범주를 생각해 볼 수 있다. 이러한 아벨 범주는 존재하며, 그 원소를 연접 가군층이라고 한다.
정의.
연접 가군층.
환 formula_25 위의 왼쪽 가군 formula_26이 다음 조건을 만족시킨다면, 연접 왼쪽 가군(連接-加群, )이라고 한다.
마찬가지로 연접 오른쪽 가군(連接-加群, )의 개념을 정의할 수 있다.
연접 가군의 개념을 국소화하면, 연접 가군층의 개념을 얻는다. 즉, 국소환 달린 공간 formula_32 위에서, 다음 조건들을 만족시키는 formula_33-가군층 formula_34를 연접 가군층이라고 한다.
위 정의는 장피에르 세르나 알렉산더 그로텐디크가 사용하는 정의다. 로빈 하츠혼이 사용하는 정의는 조금 다르지만, 뇌터 스킴의 경우에는 위 정의와 동치이다.
연접환과 연접 공간.
환 formula_25에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 왼쪽 연접환(-連接環, )이라고 한다.
오른쪽 연접환(-連接環, )도 마찬가지로 정의된다. 물론, 가환환의 경우 왼쪽·오른쪽을 구별할 필요가 없다.
보다 일반적으로, 국소환 달린 공간 formula_32에서, 만약 formula_33가 (스스로 위의 가군층으로서) 연접 가군층이라면, formula_32를 연접 공간(連接空間, )이라고 한다.
성질.
함의 관계.
임의의 환 달린 공간 위에서, 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
국소 뇌터 스킴 위에서는 구조층이 연접 가군층이므로, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
동치 조건.
국소 뇌터 스킴 formula_32 위의 준연접층 formula_34에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.
밂과 당김.
스킴 사상에 대하여, 준연접층의 밂은 “거의 항상” 준연접층이다. 즉, 매우 약한 조건 아래 준연접성이 보존된다. 그러나 연접성을 보존하려면 이는 매우 강한 조건(유한 사상)이 필요하다.
즉, 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
만약 formula_9에 대한 가군층의 밂 formula_69 또는 당김 formula_15이 가군층의 특정 성질을 보존하기 위한 충분 조건은 다음과 같다.
연접 가군층의 아벨 범주.
임의의 왼쪽 연접환 formula_25 위의 연접 왼쪽 가군들의 범주 formula_72는 아벨 범주이다. 보다 일반적으로, 임의의 환 달린 공간 formula_32 위의 연접 가군층들의 범주 formula_74는 아벨 범주이다. 즉, 핵과 여핵 등이 존재하며, 호몰로지 대수학을 할 수 있다. 그러나 이는 (거의 항상) 완비 범주나 쌍대 완비 범주가 아닌데, 이는 유한 계수 국소 자유 가군층들의 무한 직합 또는 직접곱은 유한 계수가 아니어서 연접 가군층이 아니기 때문이다.
아핀 스킴 위의 연접층.
뇌터 가환환 formula_25에 대하여 다음 세 개념이 일치한다.
또한, formula_25 위의 유한 생성 가군들의 범주 formula_81와 연접 가군층의 범주formula_74는 서로 동치이다.
구체적으로, formula_83라면, 이에 대응하여 formula_84는 formula_85의 유한 생성 가군이다.
예.
대수기하학.
모든 왼쪽 뇌터 환은 왼쪽 연접환이며, 오른쪽 뇌터 환은 오른쪽 연접환이다. 국소 뇌터 스킴은 연접 공간이다. 즉, 그 구조층은 연접 가군층을 이룬다. (에는 모든 스킴의 구조층이 연접 가군층이라고 서술돼 있다. 그러나 하츠혼의 연접 가군층의 정의는 여기서 정의된 연접 가군층의 정의와 다르다. 두 정의는 뇌터 스킴의 경우 동치이다.)
국소 뇌터 스킴 formula_1의 아이디얼 층은 (연접층 formula_33의 부분 가군층이므로) 연접층이다. 특히, 국소 뇌터 스킴의 닫힌 부분 스킴 formula_88에 대응하는 아이디얼 층은 연접층이다.
복소기하학.
오카 연접성 정리()에 따르면, 복소다양체 formula_89 위의 정칙 함수의 층은 연접 가군층이다. 보다 일반적으로, formula_89 위의 해석적 벡터 다발 formula_91이 주어졌을 때, formula_3의 단면층은 연접 가군층이다.
뇌터 환이 아닌 연접환.
formula_25가 왼쪽 뇌터 환일 경우, 임의의 집합 formula_94에 대하여 다항식환 formula_95는 항상 왼쪽 연접환이지만, 만약 formula_94가 무한 집합이라면 이는 왼쪽 뇌터 환이 아니다.
역사.
연접 가군층의 개념은 원래 앙리 카르탕이 1944년 경에 다변수 복소해석학에서 도입하였다. 1946년에 오카 기요시는 오카 연접성 정리를 증명하였다.
1955년에 장피에르 세르는 유명한 논문 〈대수적 연접층〉에서 연접층의 개념을 대수기하학에 응용하였다.