사영 스펙트럼

대수기하학에서 사영 스펙트럼(射影spectrum, )은 등급환으로부터 스킴을 만드는 한 방법이다. 이를 다항식들의 등급환에 적용하면 통상적인 사영 공간을 얻는다. 기호는 Proj("R").
정의.
가환환 formula_1 위에 자연수 등급이 주어져 등급환
을 이룬다고 하자. (즉, 등급 가환이 아니라 가환이다.) 이 등급환의 무관 아이디얼 formula_3을 생각하자. 그렇다면, formula_1의 사영 스펙트럼 formula_5는 집합으로서 다음 조건들을 만족시키는 formula_1의 소 아이디얼 formula_7들의 집합이다.
여기서 두 번째 조건은 (고전적) 사영 공간에서 무관 아이디얼을 포함하는 아이디얼의 영점의 집합은 공집합이기 때문이다.
자리스키 위상.
formula_5에 다음과 같은 자리스키 위상을 주어, 위상 공간으로 만든다. formula_5의 열린집합들은 다음과 같은 꼴의 부분 집합들로 이루어진다. formula_1의 임의의 동급 아이디얼 formula_7에 대하여,
이다. 이들은 위상 공간의 공리들을 만족시킴을 쉽게 확인할 수 있다.
구조층.
formula_5에 다음과 같은 가환환 값의 층 formula_18를 주어, 환 달린 공간으로 만들 수 있다. 임의의 열린 집합 formula_19에 대하여, formula_20는 다음과 같은 두 성질들을 만족시키는 함수들
이 이루는 가환환이다. 여기서 formula_22를 formula_23의 원소가 아닌 모든 동급 원소들의 부분 집합이라고 하면, formula_24는 formula_1의 formula_26에서의 국소화이다. 모든 formula_27에 대하여,
이렇게 층을 주면, formula_5는 스킴의 구조를 이루는 것을 보일 수 있다.
사영 스펙트럼 위의 가군층.
등급환 formula_1 위에 등급 가군 formula_41이 주어졌다고 하자. 그렇다면 사영 스펙트럼의 정의와 유사하게, formula_5 위의 가군층 formula_43을 정의할 수 있다. 구체적으로, 임의의 열린집합 formula_19에 대하여, formula_45는 다음과 같은 두 성질들을 만족시키는 함수들
이 이루는 가환환이다. 여기서 formula_22를 formula_23의 원소가 아닌 모든 동급 원소들의 부분 집합이라고 하면, formula_49는 formula_41의 formula_26에서의 국소화이다. 모든 formula_27에 대하여,
특히, formula_1 자체를 formula_1의 등급 가군으로 간주하면, formula_68는 formula_5의 구조층이다.
임의의 등급 가군 formula_70가 주어지면, 임의의 정수 formula_71에 대하여 그 뒤틀림(twist) formula_72은
인 등급 가군이다. 즉, 등급을 단순히 formula_74만큼 이동시킨 것이다. 이 연산을 층에 정의하면, 층 formula_43의 뒤틀림 formula_76을 정의할 수 있다. 구조층 formula_77의 뒤틀림 formula_78은 세르 뒤틀림 층()이라고 한다. 이는 항상 가역층이며, 장피에르 세르의 이름을 딴 것이다.
대역적 사영 스펙트럼.
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
그렇다면, 각 아핀 열린집합 formula_87에 대하여 다음과 같은 스킴을 정의하자.
이제, 자연스러운 스킴 사상
이 존재한다. (이는 formula_90가 formula_86-등급 대수이기 때문이다.) 이에 따라, 위 스킴 사상들을 통해 formula_92들을 짜깁기할 수 있다. 이렇게 하여 얻는 스킴을 대역적 사영 스펙트럼(大譯的射影spectrum) 또는 상대 사영 스펙트럼(相對射影spectrum, ) formula_93라고 한다. (이 단계에서 준연접층 조건이 필요하다.)
성질.
formula_5의 구조층 formula_18의 formula_96에서의 줄기 formula_97이다. 여기서 formula_24는 formula_23의 원소가 아닌 동급 원소들에 대한 국소화다. 이러한 환은 항상 국소환이다.
함자성의 실패.
아핀 스펙트럼은 가환환의 범주의 반대 범주에서 스킴의 범주로 가는 함자를 이룬다. 반면, 사영 스펙트럼은 함자를 이루지 않는다. 즉, 등급환 사이의 등급 준동형은 일반적으로 그 사영 스펙트럼 사이의 스킴 사상을 정의할 필요가 없다.
다만, 가환 등급환 formula_1의 동차 아이디얼 formula_101이 주어졌을 때, 몫 사상 formula_102는 사영 스펙트럼 사이의 닫힌 몰입
을 정의한다.
아핀 스펙트럼의 경우 서로 다른 아이디얼은 서로 다른 닫힌 부분 스킴에 대응하지만, 사영 스펙트럼의 경우 서로 다른 동차 아이디얼이 같은 닫힌 부분 스킴에 대응될 수 있다. 예를 들어, 체 formula_104에 대한 사영 공간 formula_105에 대하여, 임의의 동차 아이디얼 formula_101가 주어졌을 때, formula_101와 formula_108은 같은 닫힌 부분 스킴을 정의한다 (formula_109은 임의의 자연수).
예.
자명한 사영 스펙트럼.
임의의 (단위원을 가진) 가환환 formula_1이 주어지면, 여기에 모든 등급을 0으로 매겨 이를 자명한 등급환으로 취급할 수 있다. 이는 0개의 변수를 가지는 다항식환 formula_111이다. 이 등급환의 사영 스펙트럼(즉, 0차원 사영 공간 formula_112)은 공집합이다. 이는 무관 아이디얼이 영 아이디얼 formula_113이며, 이는 모든 아이디얼의 부분 아이디얼이기 때문이다.
보다 일반적으로, 등급환 formula_114에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
사영 공간.
formula_104가 (단위원을 가진) 가환환이라고 하자. 그렇다면 formula_104에 대한 "n"차원 사영 공간 formula_120은 등급환 formula_121의 사영 스펙트럼이다.
사영 공간 formula_122의 경우, 세르 뒤틀림 층 formula_78의 단면은 1차 동차다항식
의 꼴의 함수들이다. 즉, 세르 뒤틀림 층은 일종의 좌표들의 층으로 볼 수 있다. 이 경우, 세르 뒤틀림 층은 가역층이고, 그 역은 사영 공간의 표준 선다발이다.
특히, 0차원 사영 공간은 아핀 스펙트럼과 같다. 즉, 임의의 가환환 formula_104에 대하여
이다.
준연접층에 대응되는 대역적 사영 스펙트럼.
다음이 주어졌다고 하자.
그렇다면, 대칭 대수의 층
및 이에 대응하는 대역적 사영 스펙트럼
를 정의할 수 있다.
특히, 만약 추가로 formula_129가 유한 생성 가군층일 때, 만약 어떤 닫힌 몰입 formula_133에 대하여
의 꼴로 분해될 수 있는 스킴 사상 formula_135를 사영 사상(射影寫像, )이라고 한다.