기하학적 양자화

수리물리학에서 기하학적 양자화(幾何學的量子化, )는 해밀턴 역학으로 나타내어지는 고전적 계를 주로 심플렉틱 기하학을 통해 양자화하는 체계적인 방법이다. 1970년대에 수학자 베르트람 콘스탄트(Bertram Kostant)과 장-마리 수리오(Jean-Marie Souriau)가 정립했다.
정의.
대부분의 고전적 계는 해밀턴 역학으로 나타낼 수 있다. 해밀턴 계는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
고전적 관측가능량들은 formula_3 위의 함수로 나타내어진다.
기하학적 양자화는 해밀턴 계에 일련의 추가 데이터를 통해 대응하는 힐베르트 공간을 정의한다. 이는 다음과 같다.
준양자화.
심플렉틱 형식 formula_4가 다음과 같은 준양자화 조건(準量子化條件, )을 만족시킨다고 하자.
즉, formula_6의 코호몰로지류는 정수 계수 코호몰로지 원소를 정의한다고 하자. (일반적으로, 드람 코호몰로지는 물론 실수 계수이다.)
매끄러운 다양체 formula_1 위의 준양자 구조(準量子構造, )는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
준양자화 조건을 만족시키는 심플렉틱 다양체 formula_1에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 표준적인 준양자 구조가 존재한다.
여기서 formula_15은 1차 천 특성류이다. (사실, 둘째 조건은 첫째 조건을 함의한다.)
formula_1의 준양자 구조 formula_17가 주어졌다면, formula_18은 formula_19의 준양자 구조를 이룬다. 일반화 위치 formula_20를 고정시킨다면 일반화 운동량이
이므로, 이는
와 같다. 라그랑주 역학이 성립한다면, 작용 formula_23는 일반화 운동량에 비례하므로, 이는
이다. 양자역학의 파인만 경로 적분은 formula_25에만 의존하므로, 이는 플랑크 상수의 재정의
으로 생각할 수 있다. 따라서, formula_27 극한은 formula_28, 즉 반고전적() 극한이다. 따라서, 고전 역학으로의 극한은 준양자 구조로 이해할 수 있다.
양자화.
다양체 formula_3 위의 극성화(極性化, )는 다음과 같은 성질을 만족시키는, 접다발의 복소화 formula_30의 부분 벡터 다발 formula_31이다.
극성화와 준양자 구조가 주어진 다양체 formula_39에 대하여, formula_40는 formula_10의 제곱 적분 가능 단면 가운데, formula_35의 방향으로 일정한 단면들이다.
이는 내적을 통해 힐베르트 공간을 이룬다. 이 공간의 사영화()가 양자역학의 상태 공간이다.
여기서 ‘제곱 적분 가능 단면’이라는 것은 구체적으로 다음과 같다. formula_35는 적분 가능하므로, 프로베니우스 정리에 따라서 엽층을 정의하며, 그 엽공간() formula_45를 정의할 수 있다. 엽공간 위에는 formula_3으로부터 유도된 측도가 존재한다. formula_47을 만족시키는 단면의 경우 formula_45 위에 정의할 수 있다. 단면의 제곱 적분 가능성이란 formula_45 위에 유도된 측도에 대한 것이다.
메타플렉틱 보정.
양자화 과정에서, 준고전적 상태를 양자 상태(힐베르트 공간의 벡터)에 대응시키려면 메타플렉틱 구조()를 정의해야 한다.
심플렉틱 다양체 formula_1의 접다발 formula_51은 심플렉틱 구조로 인해 formula_52 구조를 갖는다. 메타플렉틱 군 formula_53는 formula_54의 연결 두 겹 피복군이다. (formula_55이므로, 이러한 연결 두 겹 피복군은 유일하다.) 심플렉틱 다양체 formula_1의 메타플렉틱 구조는 접다발의 formula_52 구조를 메타플렉틱 구조 formula_58로의 올림(lift)이다. (이는 스핀 구조의 정의와 유사하다.)
준고전적 상태는 라그랑주 부분 다양체 formula_59과 그 위에 정의된 formula_10의 단면 formula_61이다. formula_62는 formula_63 위에 주어진 밀도 분포를 나타낸다. 이 경우, 메타플렉틱 구조를 사용하여 이를 formula_40의 원소 formula_65로 확장시킬 수 있다. 마찬가지로, 해밀토니언을 비롯한 일부 고전적 관측가능량 formula_66 또한 메타플렉틱 구조를 사용해 양자역학적 관측가능량에 대응시킬 수 있다.
특히, 이 경우 자주 선다발 formula_10을 formula_68로 대체한다. 여기서 formula_69이다. 만약 formula_35가 정칙 극성화라면 formula_71는 복소다양체의 표준 인자에 대응되는 정칙 선다발이며, 만약 formula_72가 실수 극성화라면 formula_71는 일반화 좌표의 매끄러운 다양체 위의 최고차 미분 형식의 선다발이다. 예를 들어, formula_74의 실수 극성화의 경우, 상태는 formula_63 위의 함수 formula_76 대신 formula_77의 꼴이게 되며, 그 제곱 formula_78은 자연스럽게 formula_63 위에서 적분될 수 있다. 이러한 보정을 가하면, 조화 진동자의 에너지가 formula_80 대신 formula_81가 된다.
극성화의 종류.
기하학적 양자화에서는 크게 두 종류의 극성화를 사용한다.
공변접다발.
공변접다발
의 경우, 심플렉틱 미분 형식 formula_87에 대한 리우빌 미분 형식
이 대역적(global)으로 존재한다. 즉, formula_89는 완전 형식이고, 그 코호몰로지류는 0이다. 즉, 복소수 선다발
은 자명하고, 그 위에 formula_91를 성분으로 가지는 코쥘 접속을 정의할 수 있다.
이 경우, 표준적으로
이므로, 다음과 같은 자연스러운 극성화가 존재한다.
이는 파동 함수가 일반화 위치의 함수이며, 일반화 운동량에 의존하지 않는 것에 해당한다.
따라서 복소수 힐베르트 공간은 formula_63 위의 르베그 공간
과 동형이다. 이 위에 위치 및 운동량 연산자들은
으로 대응된다.
켈러 다양체.
그 심플렉틱 형식이 정수 계수의 코호몰로지(의 formula_99배)인 켈러 다양체 formula_3을 생각하자. 이 경우, formula_6에 대응하는 정칙 선다발 formula_9이 존재하며, 그 위에 곡률이 formula_103인 접속을 정의할 수 있다.
켈러 다양체의 복소구조를 사용하여, 복소화 접다발 formula_30를 다음과 같이 분해할 수 있다.
여기서 formula_106는 정칙 벡터장들의 다발이고, formula_107는 반정칙(antiholomorphic) 벡터장들의 다발이다. 이 경우 극성화를
로 잡을 수 있다. 이에 따라서,
은 formula_10의 (제곱 적분 가능) 정칙 단면들의 공간이다. 이 경우, 관측가능량들은
에 의하여 생성되고, 이들은 정준 교환 관계를 만족시킨다.
예.
유클리드 공간의 공변접다발 극성화.
구체적으로, 위상 공간이 formula_113차원 유클리드 공간 formula_114
인 계를 생각하자. 이를 공변접다발
으로 여긴다면, 심플렉틱 퍼텐셜
에 대응하는 접속은 다음과 같다.
극성화
에 대한 힐베르트 공간은 따라서 다음과 같다.
반대로, 운동량 방향의 극성화
에 대한 힐베르트 공간은 다음과 같다.
즉,
의 꼴의 함수들로 구성된다. 이는 위치 방향의 극성화의 푸리에 변환임을 알 수 있다.
유클리드 공간의 켈러 극성화.
평탄한 복소공간에 켈러 양자화를 부여하면, 조화 진동자의 힐베르트 공간을 얻는다.
구체적으로, 위상 공간이 formula_113차원 유클리드 공간 formula_114인 계를 생각하자. 이 위의 준위상 선다발은 자명한 선다발이지만, 그 위의 접속은 다음과 같다.
여기에 복소구조를 주어
으로 생각하고, 켈러 극성화
를 적용하자. 그렇다면 힐베르트 공간은 L2 함수 formula_132가운데
인 것들로 구성된다. 이 조건을 만족시키는 함수는
의 꼴이며, 여기서 formula_135는 다음 조건을 만족시키는 정칙 함수이다.
이 힐베르트 공간에는 다음과 같이 다중지표를 사용한 힐베르트 기저를 줄 수 있다.
이들은 formula_138차원 조화 진동자의 formula_139번째 에너지 준위로 해석할 수 있다. 이러한 힐베르트 공간을 시걸-바르그만-포크 공간()이라고 한다.
리만 구의 양자화.
리만 구 formula_140 위에 켈러 양자화를 가하면, 스피너를 얻으며, 이는 비가환 기하학적으로 퍼지 구로 이해할 수 있다. 구체적으로, 준양자 선다발을 차수 formula_141의 인자 formula_142에 대응하는 선다발 formula_143로 고르자. 그렇다면, 켈러 양자화 힐베르트 공간은 다음과 같다.
이 힐베르트 공간의 차원은 리만-로흐 정리에 의하여
이다. 이는 스핀 formula_146의 스피너의 힐베르트 공간의 차원과 같다. (사실 메타플렉틱 보정을 고려할 경우, formula_141를 formula_148로 치환하여야 한다.)
보다 일반적으로, 콤팩트 리만 곡면 formula_149 위에 켈러 양자화를 가하자. 이 경우, 준양자 선다발을 인자 formula_142에 대응하는 선다발로 잡고 켈러 양자화를 가하면 층 코호몰로지 공간
을 얻으며, 그 차원은 리만-로흐 정리에 의하여 계산할 수 있다.
콤팩트 켈러 다양체의 양자화.
보다 일반적으로, 콤팩트 켈러 다양체 formula_3 위에, 양의 정수 formula_153에 대하여 곡률이 formula_154가 되는 복소수 정칙 선다발 formula_155이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이를 준양자 선다발로 삼아 켈러 양자화를 가하면 힐베르트 공간은 층 코호몰로지
가 된다. 이 코호몰로지의 차원은 충분히 큰 formula_141에 대하여 히르체브루흐-리만-로흐 정리로 계산할 수 있다.
여기서 formula_159은 토드 특성류이다.
특히, formula_3이 복소수 formula_138차원이라면
이 되므로, 고전 극한 formula_163에서는 힐베르트 공간의 차원이 위상 공간의 부피 formula_164에 수렴하는 것을 알 수 있다.