대칭 중선

기하학에서 대칭 중선(對稱中線, )은 주어진 삼각형의 각 꼭짓점을 지나는 중선을 같은 꼭짓점에서의 내각 이등분선에 대하여 반사시켜 얻는 직선이다. 즉, 대칭 중선은 중선의 등각 켤레선이다. 대칭 중점(對稱中點, ) 또는 르무안 점() 또는 그레베 점()은 주어진 삼각형의 세 대칭 중선이 공통으로 지나는 점이다. 즉, 대칭 중점은 무게 중심의 등각 켤레점이다.
정의.
삼각형 formula_1의 대칭 중선은 중선의 등각 켤레선이다. 즉, 각 꼭짓점 formula_2, formula_3, formula_4을 지나는 중선의, 내각 formula_5, formula_6, formula_7의 이등분선에 대한 반사상이다. 삼각형 formula_1의 대칭 중점 formula_9은 무게 중심의 등각 켤레점이다. 즉, 세 대칭 중선의 교점이다.
성질.
직각 삼각형의 대칭 중점은 직각 꼭짓점을 지나는 빗변의 수선의 중점이다.
대칭 중점은 삼각형의 세 변과의 거리의 제곱의 합이 가장 작은 점이다. 삼각형 formula_1의 세 변의 길이를 formula_11, formula_12, formula_13라고 하고, 넓이를 formula_14라고 하고, 브로카르 각을 formula_15라고 하자. 그렇다면 대칭 중점 formula_9와 세 변 formula_17, formula_18, formula_19 사이의 거리는 다음과 같다.
삼각형 formula_1의 대칭 중선 formula_24, formula_25, formula_26의 발을 formula_27, formula_28, formula_29라고 하고, 대칭 중점을 formula_9라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.
삼각형 formula_1의 각 꼭짓점 formula_2, formula_3, formula_4을 지나는 대변의 수선의 발을 formula_38, formula_39, formula_40라고 하자. 그렇다면 formula_2, formula_3, formula_4을 지나는 대칭 중선은 각각 수심 삼각형의 변 formula_44, formula_45, formula_46를 이등분한다.
삼각형 formula_1의 한 꼭짓점 formula_2를 지나는 대칭 중선은 남은 두 꼭짓점 formula_3, formula_4에서의 외접원의 접선의 교점을 지난다. 제르곤 삼각형의 대칭 중점은 제르곤 점이다. 이는 위 명제의 따름정리이다.
외접원의 formula_3, formula_4에서의 접선의 교점을 formula_53라고 하자. formula_53를 중심으로 하고 formula_55를 반지름으로 하는 원이 formula_19, formula_18의 연장선과 각각 formula_58, formula_59에서 만난다고 하자. 접현각의 크기는 원주각과 같으므로
이다. 또한 사각형 formula_62에서
이므로 formula_58, formula_53, formula_59는 공선점이다. 따라서 삼각형 formula_67는 삼각형 formula_68와 닮음이다. 구체적으로, 삼각형 formula_67를 formula_5의 이등분선에 대하여 반사시킨 뒤 다시 formula_2를 중심으로 적절한 중심 닮음 변환을 가하면 삼각형 formula_68를 얻는다. 이러한 변환은 닮음 변환이며, 특히 아핀 변환이므로 중점을 보존한다. formula_2를 지나는 직선은 formula_2를 중심으로 하는 중심 닮음 변환에 대하여 불변이므로 formula_75의 상은 자신의 등각 켤레선이다. formula_75는 삼각형 formula_67의 중선이므로 formula_75의 등각 켤레선은 삼각형 formula_68의 중선이다. 즉, formula_75는 삼각형 formula_68의 대칭 중선이다.
삼각형 formula_1의 내접원과 꼭짓점 formula_2, formula_3, formula_4의 대변의 접점을 각각 formula_86, formula_87, formula_88라고 하자. 그렇다면 삼각형 formula_1의 내접원은 제르곤 삼각형 formula_90의 외접원이다. 삼각형 formula_1의 각 변은 삼각형 formula_90의 외접원의 각 꼭짓점 formula_86, formula_87, formula_88에서의 접선이며, 점 formula_2, formula_3, formula_4는 접선들의 교점이다. 따라서 직선 formula_99, formula_100, formula_101는 삼각형 formula_90의 대칭 중선이며, 그 교점인 제르곤 점은 대칭 중점이다.
삼각형 formula_1의 한 꼭짓점 formula_2를 지나는 대변의 수선의 중점 formula_105과 대변의 중점 formula_106를 잇는 직선은 대칭 중점 formula_9를 지난다.
대칭 중점 formula_9를 지나는 외접원의 꼭짓점 formula_3에서의 접선의 평행선 formula_110와 변 formula_19, formula_17의 교점을 각각 formula_113, formula_114라고 하자. 대칭 중점 formula_9를 지나는 외접원의 꼭짓점 formula_4에서의 접선의 평행선 formula_117와 변 formula_18, formula_17의 교점을 각각 formula_120, formula_14라고 하자. 그렇다면 선분 formula_110, formula_117는 제2 르무안 원의 두 지름이므로 사각형 formula_124는 직사각형이다. 직사각형의 변 formula_125, formula_126의 중점을 각각 formula_53, formula_58라고 하자. 그렇다면 formula_105이 꼭짓점 formula_2에서 내린 대변의 수선 formula_131의 중점이므로 formula_3, formula_53, formula_105은 한 직선 위의 점이며, formula_4, formula_58, formula_105 역시 한 직선 위의 점이다. 대칭 중점 formula_9는 선분 formula_139의 중점이며 formula_106는 선분 formula_17의 중점이므로 formula_105, formula_9, formula_106는 한 직선 위의 점이다.
대칭 중점은 자기 자신의 수족 삼각형의 무게 중심이다.
르무안 원.
삼각형 formula_1의 대칭 중점 formula_9를 지나는 각 변 formula_17, formula_148, formula_19의 평행선 formula_150, formula_151, formula_126와 남은 두 변의 교점을 각각 formula_14와 formula_154, formula_155와 formula_113, formula_114와 formula_120라고 하자. 그렇다면 6개의 점 formula_113, formula_114, formula_120, formula_14, formula_154, formula_155는 한 원 위의 점이며, 그 중심은 대칭 중점 formula_9와 외심 formula_166를 잇는 선분 formula_167의 중점이다. 이 원을 삼각형 formula_1의 제1 르무안 원()이라고 한다.
마찬가지로, 삼각형 formula_1의 대칭 중점 formula_9를 지나는 각 변 formula_17, formula_148, formula_19의 평행선 formula_150, formula_151, formula_126와 남은 두 변의 교점을 각각 formula_14와 formula_154, formula_155와 formula_113, formula_114와 formula_120라고 하자. 그렇다면 6개의 점 formula_113, formula_114, formula_120, formula_14, formula_154, formula_155는 한 원 위의 점이며, 그 중심은 대칭 중점 formula_9이다. 이 원을 삼각형 formula_1의 제2 르무안 원()이라고 한다.
대칭 중선은 반평행선을 이등분하므로
이다. 반평행선의 성질에 따라
이므로
이다.
제1·제2 르무안 원은 터커 원의 특수한 경우이다.