최소 모형 (등각 장론)

이론물리학에서 최소 모형(最小模型, )은 중심 전하가 1 미만인 유리 2차원 등각 장론(rational conformal field theory, 일차장이 유한개인 등각 장론)이다.
비초대칭 최소 모형.
유니터리 최소 모형은 하나의 정수
으로 정의된다. 이는
잉여류로 정의되며, 이 경우 중심 전하는
이 된다.
최소 모형은 다음과 같은 무게의 일차장들을 가진다.
여기서
이다.
최소 모형은 여러 격자 모형의 임계 현상을 나타낸다. 처음 몇 개의 최소 모형은 다음과 같다. (1차장들의 목록에서, 진공 formula_7은 생략하였다.)
𝒩=1 초등각 최소 모형.
formula_8 초등각 장론의 유니터리 최소 모형들은 잉여류
에 의하여 정의된다. formula_10의 중심 전하는 formula_11이므로, formula_8 최소 모형의 중심 전하는 다음과 같다.
이들은 다음과 같은 무게의 1차장들을 갖는다.
여기서 formula_15이며, formula_16에 대한 조건은 다음과 같다.
이에 따라, 진공을 포함해 총 formula_21 개의 초1차장이 존재하며, 그 가운데 절반은 느뵈-슈워츠 경계 조건에, 나머지 절반은 라몽 경계 조건에 속한다. 또한, 짝수 formula_22의 경우 라몽 바닥 상태(formula_23인 상태)가 하나 존재한다.
처음 몇 개의 formula_8 최소 모형은 다음과 같다. NS 비라소로 1차장 가운데, 진공 (formula_7) 및 formula_26를 가하여 얻을 수 있는 것들은 생략하였다.
𝒩=2 초등각 최소 모형.
formula_27 초등각 장론의 경우, 유니터리 최소 모형들은 다음과 같다.
이들은
잉여류로 정의할 수 있다. 이 경우 formula_10의 중심 전하는 formula_11이며 formula_32의 중심 전하가 formula_33이므로, 올바른 중심 전하를 얻는다.
장들의 목록.
formula_27 최소 모형에 포함되는 비라소로 1차장들은 세 개의 수 formula_35로 정해지며,
여기서
이며,
이면 같은 등각장을 나타낸다. formula_16가 짝수인 경우는 느뵈-슈워츠 (NS) 경계 조건에, 홀수인 경우는 라몽 (R) 경계 조건에 속한다. 만약
이라면, 이에 대응하는 R대칭 전하 formula_43 및 등각 무게 formula_44는 다음과 같다.
스펙트럼 흐름에 따라, 장들은 다음과 같이 변환한다.
이에 따라
이 된다.
NS 장.
NS 경계 조건의 초1차장들은
에 대응하며, 총 formula_53개가 있다.
formula_27 최소 모형의 장 가운데, 손지기장(, formula_55인 장)은 formula_56, formula_52인 것들이며, 반손지기장(, formula_58인 장)은 formula_59, formula_52인 것들이다. 이들은 (진공을 제외하고) 각각 formula_22개가 있다. 라몽 바닥 상태(formula_23인 장)는 formula_63인 것들이며, 이 경우 formula_64이다. 이들은 총 formula_65개가 있으며, 이들은 진공을 포함한 손지기장과 대응한다.
손지기장들의 경우, formula_66 코호몰로지를 취하여 환으로 만들 수 있다. 이 손지기환은 다항식환의 몫환
이다. 여기서 formula_68은 formula_69에 대응한다.
R 장.
R 경계 조건의 초1차장들은
에 대응하며, 이 가운데 formula_73인 경우는 라몽 바닥 상태이다. NS장과 마찬가지로 총 formula_53개의 라몽 초1차장이 존재하며, 이 가운데 formula_65개는 라몽 바닥 상태, formula_76개는 바닥 상태가 아닌 다른 라몽 초1차장이다.
예.
처음 몇 개의 formula_27 최소 모형들은 다음과 같다. NS 1차장 가운데, 진공 및 수록된 것들에 formula_78 또는 formula_79를 가하여 얻을 수 있는 것은 생략하였다.
예.
"c"=½ 최소 모형.
formula_80 최소 모형은 다음과 같이 두 가지로 정의할 수 있다. 하나는 이징 모형의 임계점이며, 다른 하나는 자유 마요라나-바일 페르미온 이론이다.
이징 모형 표현.
(외부 자기장이 없는) 2차원 이징 모형은 formula_81 대칭을 가지며, 낮은 온도에서는 모든 스핀이 위 또는 아래로 정렬돼 있는 상을 보이지만 높은 온도에서는 무질서 상을 보인다. 이 두 상 사이에는 2차 상전이가 존재하며, 이 임계 온도에서 이징 모형은 formula_80 최소 모형으로 나타내어진다.
2차원 이징 모형에서, 각 스핀이 formula_83이라고 하자. 그렇다면 평균 스핀 장formula_84을 생각할 수 있다. 그 2점 함수는
의 꼴을 갖는다. 여기서 formula_86는 두 점 사이의 거리이다. 또한, 평균 에너지 장
를 생각하자. 여기서 formula_88는 formula_89와 근접한 모든 formula_90에 대한 합이다. 그렇다면 2점 함수
를 정의할 수 있다. 이 경우, 임계 지수 formula_89와 formula_93는 formula_80 최소 모형에 포함된, 진공이 아닌 나머지 두 장의 등각 무게를 정의한다. 즉, 평균 스핀 장은 무게가 formula_95인 스칼라장에, 평균 에너지 장은 formula_96인 스칼라장에 대응한다.
자유 페르미온.
2차원 마요라나-바일 스피너장 formula_97는 하나의 반가환수 성분을 갖는다. 이 장은 운동 방정식에 따라서
와 같은 꼴로, 정칙 성분과 반정칙 성분의 합으로 분해된다. 이 경우, formula_99는 무게가 formula_100인 장이며, formula_101는 무게가 formula_102인 장이다.
스피너장의 경우, 느뵈-슈워츠(NS) 경계 조건과 라몽(R) 경계 조건을 줄 수 있다. 이 두 경계 조건 사이를 전환하는 연산자가 존재하며, 뒤틀림장()이라고 한다. 정칙 성분의 뒤틀림장은 formula_103, 반정칙 성분의 뒤틀림장은 formula_104이다.
정칙 자유 페르미온의 이론은 formula_80 정칙 최소 모형을 이룬다. 비정칙 자유 페르미온의 이론에서, 보손장들만으로 구성된 부분 이론을 취하면 이는 임계 이징 모형과 같게 된다. 즉, 이 경우 formula_106는 무게 formula_95인 스칼라장이 되며, 뒤틀림장도 마찬가지다. 이는 보손화의 기초적인 예이다.
"c"=7/10 최소 모형.
formula_108 최소 모형은 삼중 임계 이징 모형()의 임계점 근처 현상을 나타낸다. 삼중 임계 이징 모형에서 각 스핀은 formula_109의 값을 가지며, 이 경우 해밀토니언은
이다. 이 이론에서는 온도 formula_111 및 (입자수 formula_112에 대응하는) 퓨가시티 formula_113를 조절할 수 있다. 만약 퓨가시티가 formula_114이라면, 이는 이징 모형과 같으며, 일정한 온도 formula_115에서 2차 상전이가 존재한다. 반대로, formula_116이며 formula_117인 경우 어떤 formula_118에서 1차 상전이가 존재한다. (formula_114이라면 두 개의 독립된 바닥 상태가 존재하지만, formula_120라면 입자수 밀도가 0으로 가 하나의 바닥 상태가 존재하기 때문이다.) 따라서, formula_111와 formula_122를 둘 다 조절한다면, 1차 상전이가 2차 상전이로 바뀌는 시점이 존재한다. 이를 삼중 임계 이징 모형의 삼중점()이라고 하며, 삼중점에서의 임계 현상은 formula_108 최소 모형으로 나타내어진다.
이 경우, 각 등각 1차장들은 다음과 같이 대응한다.
"c"=1 초대칭 최소 모형.
formula_33 formula_27 초대칭 최소 모형은 반지름이 formula_126인 원 위의 시그마 모형으로 나타낼 수 있다. 이 경우, 주기 경계 조건과 호환되는 스칼라장 formula_127의 지수들은 다음과 같다.
이 경우, formula_131과 formula_132이 짝수라면 느뵈-슈워츠 경계 조건, 홀수라면 라몽 경계 조건에 해당한다.
이 이론에서 formula_27 초등각 대수의 표현은 다음과 같다.
이 경우, NS 및 R 장들은 다음과 같이 대응된다. 아래 표에서 항상 formula_138, formula_139이다.
이 밖의 다른 상태들은 위 상태들에 formula_78를 가하여 얻어진다. 예를 들어, formula_141는 formula_142에 formula_143를 가하여 얻는다.
이 모형에, formula_144와 같은 오비폴드를 취하자. 그렇다면 R대칭 전하가 부호만 다른 장들이 서로 같은 장이 되고, 또 오비폴드로 인하여 뒤틀린 장들이 추가된다. 이렇게 하면, formula_33 formula_8 초대칭 최소 모형을 얻는다.