스킴 (수학)

대수기하학에서 스킴(, )은 국소적으로 가환환의 스펙트럼과 동형인 공간이다. 대수다양체와 대수적 정수환들의 공통적인 일반화이다.
정의.
아핀 스킴()은 (1이 있는) 어떤 가환환의 스펙트럼과 동형인 국소환 달린 공간이다.
스킴은 국소적으로 아핀 스킴과 동형인 "공간"이다. 이 개념은 다음과 같은 방법으로 엄밀하게 정의할 수 있다.
국소환 달린 공간을 통한 정의.
스킴은 국소적으로 아핀 스킴과 동형인 국소환 달린 공간이며, 스킴의 범주 formula_1는 스킴으로 구성된, 국소환 달린 공간의 범주 formula_2의 충만한 부분 범주이다. 즉, 국소환 달린 공간 formula_3가 열린 덮개 formula_4를 가져, 각 formula_5가 아핀 스킴을 이루는 경우 formula_3를 스킴이라고 한다.
점함자를 통한 정의.
스킴의 개념은 다음과 같이 더 추상적으로 정의할 수도 있다.
아핀 스킴의 범주 formula_7 위에, 자리스키 위상에 대한 그로텐디크 위상을 주면 formula_8는 위치를 이룬다. 이 위치 위의 (집합 값을 갖는) 층의 범주 formula_9를 생각하자. 이는 토포스를 이룬다. 이 그로텐디크 위상은 준표준 위상이다. 즉, 임의의 가환환 formula_10에 대하여, 준층
은 층을 이룬다. 이를 통해 포함 함자
를 정의할 수 있으며, 가환환을 층으로 여길 수 있다.
가환환 formula_10와 그 속의 아이디얼 formula_15이 주어졌을 때, 층 formula_16의 다음과 같은 부분층을 정의할 수 있다.
준층 formula_18의 열린 부분층은 다음 조건을 만족시키는 부분층 formula_19이다.
층 formula_26가 다음 조건을 갖는 표현 가능 열린 부분층 formula_27들을 갖는다고 하자.
그렇다면 이 조건들을 만족시키는, formula_9의 충만한 부분 범주를 정의할 수 있다. 이 범주를 스킴의 범주 formula_1로 정의하며, 스킴은 이 범주의 원소이다.
이 두 정의는 서로 동치이다. 구체적으로, 국소환 달린 공간으로서의 스킴 formula_3가 주어지면, 다음과 같은 준층을 정의할 수 있다.
즉, 이는 formula_35에 대하여, formula_3의 formula_35-점들의 집합을 대응시킨다. 이를 점함자()라고 한다. 이 준층은 자리스키 위상에 대하여 층을 이루며, 위 조건에 따라 스킴이 되는 것을 보일 수 있다.
스킴의 사상의 해석.
스킴 사상 formula_38가 주어졌을 때, 이를 다음과 같이 세 가지로 해석할 수 있으며, 이에 따라 스킴 사상을 서로 다른 용어로 부른다.
"S" 위의 스킴.
스킴 formula_51가 주어졌을 때, formula_51 위의 스킴의 범주 formula_53는 formula_51에 대한 조각 범주이며, formula_51 위의 스킴( 또는 )은 그 대상이다. 즉, "S" 위의 스킴 formula_56은 스킴 formula_3와 스킴 사상 formula_58의 순서쌍이다. formula_59가 체나 가환환이라면, formula_59 위의 스킴은 formula_61 위의 스킴과 같다. formula_62는 스킴의 범주의 끝 대상이므로, "formula_63 위의 스킴"은 "스킴"과 같은 뜻이다.
점.
스킴 formula_3는 위상 공간이므로, 위상 공간으로서의 점을 정의할 수 있다. 스킴은 일반적으로 T1 공간이 아니므로, 닫힌 점과 닫히지 않은 점을 구분할 수 있다. 스킴의 닫히지 않은 점은 일반점이라고 한다. 닫힌 점은 대수다양체의 실제 "점"에 대응하며, 닫히지 않은 점은 (그 폐포를 취하면) 닫힌 부분 스킴에 대응한다.
보다 일반적으로, 임의의 스킴 formula_51에 대하여, formula_3의 formula_51-점()은 스킴 사상 formula_68를 뜻한다. 고전적으로는 formula_51가 어떤 체 formula_59의 스펙트럼인 경우를 다루며, 이 경우 formula_71는 formula_3를 체 formula_59 위에서 정의하였을 때의 점에 대응한다.
formula_3의 기하학적 점(幾何學的點, )은 어떤 대수적으로 닫힌 체 formula_59에 대한 formula_61-점이다.
족.
스킴 formula_51로 매개화되는 스킴의 족(族, )은 스킴의 사상 formula_78이다. 스킴의 족 formula_58의, 점 formula_80에서의 올()은 formula_81에서의 줄기인 국소환 formula_82의 잉여류체 formula_83에 대한 올곱
이다. formula_85는 위상 공간으로서 원상 formula_86와 위상 동형이다. 따라서, 스킴 사상 formula_78은 체 위의 스킴들의 족으로 해석할 수 있다. 예를 들어, 정수환 formula_63 위의 스킴 formula_89이 주어졌을 때, 이는 각 소수 formula_90에 대한 스킴 formula_91 및 유리수체 위의 스킴 formula_92의 족으로 해석할 수 있다.
스킴의 족은 매우 일반적인 개념이므로, 보통 평탄 사상을 이루는 평탄한 족(), 매끄러운 사상을 이루는 매끄러운 족() 등이 쓰인다.
몰입과 부분 스킴.
두 국소환 달린 공간 formula_93, formula_94 사이의 사상 formula_95가 다음 두 조건을 만족시킨다면, 열린 몰입()이라고 한다.
두 국소환 달린 공간 formula_93, formula_94 사이의 사상 formula_95가 다음 두 조건을 만족시킨다면, 닫힌 몰입()이라고 한다.
스킴 formula_94의 열린 부분 스킴()은 위상 공간으로서 formula_3의 열린집합 formula_109이며, formula_110 위의 구조층은 층의 역상 formula_111이다. 이에 따라, 열린 몰입 formula_112가 존재한다.
스킴 formula_94 위에, 준연접층인 아이디얼 층 formula_114가 주어졌을 때, formula_114에 대응하는 닫힌 부분 스킴()은 집합으로서 닫힌집합 formula_116이며, 그 위의 구조층은 formula_117이다. 이에 따라, 닫힌 몰입 formula_118가 존재한다. 스킴의 열린 부분 집합이 주어지면 이에 대응하는 열린 부분 스킴이 유일하게 결정되지만, 스킴의 닫힌 부분 집합이 주어지면 이에 대응하는 닫힌 부분 스킴은 유일하지 않을 수 있다.
스킴 formula_3의 부분 스킴(部分scheme, , )은 열린 부분 스킴의 닫힌 부분 스킴이다. formula_3의 부분 스킴 formula_40의 부분 스킴 formula_122가 주어졌을 때, formula_122는 formula_3의 부분 스킴이다.
성질.
위상수학적 성질.
모든 스킴은 위상 공간으로서 차분한 공간이며 따라서 콜모고로프 공간이다. 또한, 모든 스킴은 국소 콤팩트 공간이다. 그러나 스킴은 일반적으로 T1 공간이지 않을 수 있다.
구체적으로, 위상 공간 formula_3에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 스펙트럼 공간()이라고 한다.
그렇다면 임의의 위상 공간 formula_3에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
또한, 임의의 위상 공간 formula_3에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
범주론적 성질.
스킴의 범주 formula_1는 유한 완비 범주이지만, 완비 범주도, 쌍대 완비 범주도, 심지어 유한 쌍대 완비 범주도 아니다. 구체적으로, 스킴의 범주는 다음과 같은 (쌍대) 극한을 갖는다.
하지만 스킴의 범주에서는 다음과 같은 (쌍대) 극한들이 존재하지 않는다.
아핀 스킴과의 관계.
아핀 스킴의 범주 formula_8는 (대수 구조 다양체의 범주인 가환환 범주 formula_149의 반대 범주이므로) 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다.
아핀 스킴의 범주 formula_8는 스킴의 범주 formula_1의 반사 부분 범주이다. 포함 함자 formula_173의 왼쪽 수반 함자는 구조층의 대역적 단면환의 스펙트럼이다.
즉, 아핀 스킴의 극한은 스킴의 극한과 일치한다. 반대로, 스킴의 쌍대극한은 (만약 존재한다면) 아핀 스킴의 쌍대극한과 일반적으로 일치하지 않지만, 스킴의 쌍대극한에 formula_10 함자를 가하면 이는 아핀 스킴의 쌍대극한과 일치한다.
국소환 달린 공간과의 관계.
모든 국소환 달린 공간의 범주 formula_178는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다.
포함 함자
에 따라, 스킴의 범주는 국소환 달린 공간의 범주의 충만한 부분 범주를 이룬다.
이 포함 함자는 쌍대극한을 보존하지 않으며, 일반적 극한도 보존하지 않는다. 그러나 이는 유한 극한을 보존한다.
그로텐디크 위상.
스킴의 범주 formula_1 위에는 다양한 그로텐디크 준위상들이 존재한다. 이들은 공통적으로 다음과 같은 형태로 정의된다.
이에 따라, 다음과 같은 위상들을 정의할 수 있다.
이 밖에도, 다음과 같은 위상들이 존재한다.
이 위상들은 다음과 같이, 섬세함에 대하여 전순서 집합을 이룬다. (여기서 오른쪽으로 갈 수록 더 섬세한 위상이다.)
fpqc 위상은 흔히 사용되는 가장 섬세한 그로텐디크 위상이므로, 흔히 사용되는 모든 그로텐디크 위상들은 준표준 위상이다 (즉, 표현 가능 준층은 항상 층을 이룬다).
종류.
스킴 이론에서는 수많은 기술적인 용어들이 사용된다. 우선, 위상 공간의 성질을 스킴에 적용할 수 있다.
또한, 가환환의 성질을 스킴으로 일반화할 수 있다.
이 밖에도, 다음과 같은 용어가 사용된다.
일반적으로, 체 formula_59가 주어졌을 때, formula_59 위의 스킴의 성질 formula_192가 다음 조건을 만족시킨다면, formula_192를 기하학적 성질(幾何學的性質, )이라고 한다.
스킴의 성질 formula_192가 다음 조건을 만족시킨다면, formula_192를 국소적 성질(局所的性質, )이라고 한다.
대수다양체.
대수적으로 닫힌 체 formula_59 위의 대수다양체의 범주를 formula_210라고 하자.formula_211는 formula_59 위의 스킴의 범주라고 하자. 그렇다면 다음과 같은 함자 formula_213가 존재하며, 이에 따라 formula_210는 formula_211의 충만한 부분 범주를 이룬다.
대수다양체 formula_216에 대하여, formula_217를 formula_216의 자리스키 위상 아래 닫힌 집합들의 집합이라고 하자. formula_217 위에 위상을, 닫힌 집합의 formula_220에 대한 상들이 닫힌 것으로 정의하자. 그렇다면 함수 formula_221는 연속 함수이다. formula_222가 formula_216 위의 다항식함수들의 층이라고 하자. 그렇다면 층의 상() formula_224는 formula_217 위의 환의 층 구조를 이룬다. 이에 따라 formula_217는 국소환 달린 공간의 구조를 갖춘다. 이 사상에 따라, 아핀 다양체의 상이 아핀 스킴임을 보일 수 있다. 대수다양체는 국소적으로 아핀 대수다양체인 공간이고, 스킴은 국소적으로 아핀 스킴인 공간이므로, formula_220가 대수다양체에서 스킴으로의 함자임을 보일 수 있다. 또한, 이 스킴 formula_217의 경우, 상수함수로 인하여 정의되는 사상 formula_229가 존재한다. 따라서 formula_217는 formula_59 위의 스킴이다. 이 함자는 충실충만한 함자이다. 이 함자의 상은 유한형 정역 분리 스킴이다.
관련된 용어로서, 대수적 스킴(代數的scheme, )은 체 위의 유한형 분리 스킴이다. 즉, 대수다양체는 정역 대수적 스킴이다.
사상의 종류.
상당수의 형용사는 두 스킴 사이의 사상에 적용된다. 스킴 사이의 사상은 보통 계수체/환이 주어져 있는 스킴으로 여길 수 있으므로, 이러한 형용사는 스킴에도 적용될 수 있다. 예를 들어, 유한형 "k" 위의 스킴 formula_3는 그 사상 formula_233이 유한형인 스킴이다.
이 밖에도, 일반위상수학에서 사용되는 연속 함수의 다음과 같은 성질들이 사용된다.
스킴의 사상의 성질 formula_192가 다음 조건을 만족시킨다면, 밑 변환에 대하여 안정적인 성질()이라고 한다.
예를 들어, 유한형 사상은 밑 변환에 대하여 안정적이다. 밑 변환에 대하여 안정적이지 않은 성질 formula_192에 대하여, 보편 formula_192 사상()은 다음과 같은 사상 formula_58이다.
예.
위상 공간으로서 동형이지만 스킴으로서 동형이 아닌 두 스킴.
가장 간단한 예로, 서로 동형이 아닌 체 formula_59, formula_200를 생각하자. 모든 체의 스펙트럼은 한원소 공간이지만, 서로 동형이 아닌 체에 대응하는 아핀 스킴은 스킴으로서 서로 동형이 아니다.
위상 공간으로서의 곱과 다른 스킴의 곱.
스킴의 곱은 거의 항상 집합(또는 위상 공간)으로서의 곱과 일치하지 않으며, 후자보다 점이 더 많을 수도, 적을 수도 있다.
예를 들어, formula_59가 체라고 하자. 그렇다면 formula_61는 한원소 공간이며, 따라서 위상 공간으로서의 곱을 취한다면 여전히 한원소 공간을 얻는다.
그러나
의 경우, formula_253는 체가 아닌 축소환이므로 2개 이상의 소 아이디얼을 가지며, 따라서 한원소 공간이 아니다. 이 스킴의 점들은 구체적으로 formula_254 (또는 formula_255인 경우 formula_256) 위의 갈루아 군 formula_257에 대응한다.
다른 예로, formula_3와 formula_40가 서로 다른 표수의 체 위에 정의된 스킴이라면, formula_260는 아무 점을 갖지 않는다.
체 위의 스킴의 경우, 체에 대한 올곱 역시 위상 공간으로서의 곱공간과 다르다. 예를 들어, 체 formula_59에 대한 아핀 스킴 formula_262을 생각하자. 그렇다면
이다. 이 경우, formula_264의 점들의 집합은 formula_265의 점들의 집합의 제곱과 일반적으로 다르다. 이는 아핀 평면 속에는 곱으로 나타낼 수 없는 대수 곡선들이 존재하기 때문이다. 다만, 닫힌 점들로 국한할 경우, formula_266의 닫힌 점들은 formula_267와 표준적으로 대응하므로, formula_266의 닫힌 점들은 formula_265의 닫힌 점들의 집합의 제곱과 같다.
역사.
대수기하학의 이탈리아 학파는 대수다양체의 일반점의 개념을 도입하였으며, 바르털 레인더르트 판데르바르던은 1926년 책에서 일반점의 개념을 엄밀히 정의하였다. 이후 볼프강 크룰은 파리에서의 강의에서 임의의 가환환의 스펙트럼 및 그 위의 자리스키 위상을 정의하였으나 관중들은 크룰의 정의를 비웃었고, 크룰은 이 이론을 출판하지 않았다.
피에르 카르티에 역시 박사 학위 논문을 집필하던 중 그로텐디크의 스킴와 동치인 개념을 독자적으로 제안하였으나, 논문이 서론부터 지나치게 길어지는 것을 피하기 위하여 논문에 수록하지 않았다.
스킴의 개념은 알렉산더 그로텐디크가 그의 저서 《대수기하학 원론》 1권에서 처음으로 정의하였다. 원래 그로텐디크는 《대수기하학 원론》 초판에서 오늘날 "스킴"이라고 불리는 개념을 "준스킴"(, )라고 불렀고, 오직 분리 "준스킴"만을 "스킴"이라고 불렀다. 그러나 2판에서는 제약 없이 모든 준스킴을 스킴이라고 불렀고, 현재는 이 용어가 통용되고 있다.
그로텐디크는 스킴의 개념에 대하여 회고록에 다음과 같이 적었다.