비라소로 대수

리 군론과 이론물리학에서 비라소로 대수(Virasoro代數, )는 원의 미분 동형 자기 동형군의 리 대수의 (유일하게 자명하지 않은) 중심 확대인 무한 차원 리 대수이다. 물리학에서, 2차원 등각 장론의 대칭으로 사용된다.
정의.
대수적 구성.
비라소로 대수 formula_1는 formula_2 (formula_3)과 formula_4로 인하여 생성되는 복소수 리 대수이며, 다음과 같은 리 괄호를 가진다.
중심 원소 formula_4가 0인 대수를 비트 대수() formula_8라고 하며, 이는 비라소로 대수의 고전적 형태로 볼 수 있다.
이에 따라, 복소수 리 대수의 짧은 완전열
이 존재한다.
비라소로 대수는 실수 리 대수로서 다음과 같은 자기 동형을 갖는다. (이는 복소수 벡터 공간 위의 반선형() 사상이다.)
이는 formula_13을 원 위의 벡터장
으로 간주하여 유도한 것이다. 그렇다면, 이에 대한 고정점
을 생각하자. 이는 실수 리 대수
를 생성하며, 마찬가지로 실수 리 대수의 짧은 완전열
을 구성한다. 정의에 따라 자연스러운 포함 관계
가 존재한다.
원을 통한 리 대수의 구성.
1차원 매끄러운 다양체인 원 formula_21 위의 (매끄러운) 벡터장들의 리 대수
를 생각하자. 이는 실수 프레셰 공간이다. 그 속에는 푸리에 급수로 인하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
이는 다음과 같은 리 대수 코호몰로지 2차 공사슬을 갖는다.
이를 겔판트-푹스 공사슬()이라고 한다. 이에 대한 중심 확장
을 생각할 수 있다. formula_29 역시 프레셰 공간이다.
formula_30 속에서, formula_31과 formula_32로 생성되는 부분 리 대수를 비라소로 대수라고 한다.
원을 통한 리 군의 구성.
1차원 매끄러운 다양체인 원 formula_21을 생각하자. 그 (매끄러운) 자기 미분 동형 사상들의 군
을 생각하자. 이는 프레셰 다양체를 이룬다. 이는 두 개의 연결 성분을 가지는데, 만약 원에 임의의 방향을 부여하여 유향 다양체로 만든다면, 한 연결 성분은 방향을 보존하지만, 다른 한 연결 성분은 방향을 뒤집는다. 물론, 항등 함수는 전자에 속한다. 그 연결 부분군을 formula_36이라고 하자.
이 경우, 그 실수 리 대수를 취할 수 있으며, 이는 실수 프레셰 공간이 된다. 구체적으로, 이는 원 위의 (매끄러운) 벡터장들의 리 대수 formula_22이다.
프레셰 리 군 formula_36은 특별한 1차원 중심 확대를 가지며, 기하학적으로 이는 리 군의 U(1) 주다발을 이룬다. 이는 다음과 같이 구성된다.
우선, 르베그 복소수 힐베르트 공간
을 생각하자. 여기서 동형 사상은 푸리에 급수에 의한 것이다. 이 가운데, 다음과 같은 부분 복소수 힐베르트 공간을 생각할 수 있다.
(여기서 formula_43은 자연수의 집합이다.) 즉, 이는 각각 음이 운동량 성분을 갖지 않는 파동 함수와 음의 운동량만을 갖는 파동 함수의 부분 공간들이다.
이제, formula_35은 formula_45 위에 다음과 같은 유니터리 표현을 갖는다.
그렇다면, 이제 다음과 같은 유니터리 작용소들의 부분 공간을 정의할 수 있다.
여기서
이제, formula_45를 어떤 양자장론의 위상 공간으로 삼고, formula_52를 그 심플렉틱 구조로 삼자. 그렇다면, 기하학적 양자화에 따라, 다음과 같은 페르미온 포크 공간을 얻는다.
여기서
기하학적 양자화에 따라, 자연스럽게 유계 작용소로의 표현
가 존재한다. (formula_60는 formula_61 유계 작용소의 공간이다.) 이에 따라서, formula_62 위의 유니터리 작용소 formula_63가 다음과 같이 formula_64 위에 formula_65로 표현될 수 있는지를 따질 수 있다.
이 경우, 위 조건을 만족시키는 formula_67가 존재할 필요 충분 조건은 formula_68인 것이다. 이러한 formula_67는 노름 1의 복소수 스칼라 곱셈을 무시하면 유일하다. 따라서, 이와 같은 유니터리 연산자의 공간
을 정의할 수 있다. 이는 군의 짧은 완전열
을 이룬다.
이제, 단사 군 준동형
을 통해 formula_73 속에 부분군
을 정의할 수 있다. 이는 군의 짧은 완전열
을 이룬다. 이 짧은 완전열의 모든 항들은 프레셰 다양체이다.
이에 대한 실수 리 대수의 짧은 완전열을 취할 수 있다.
이 짧은 완전열의 각 항은 프레셰 공간이다.
특히, 복소수 리 대수 formula_77 속에 다음과 같은 부분 집합
으로 생성되는 (대수적) 부분 리 대수
를 비라소로 대수라고 한다. formula_77는 비라소로 대수의 (프레셰 공간으로의) 완비화이며, formula_81는 그 실수 형태에 대응되는 프레셰 리 군이다.
성질.
유니터리 표현.
비라소로 대수의 복소수 힐베르트 공간 formula_45 위의 표현
가운데, 만약 다음이 성립한다면, 이를 비라소로 대수의 유니터리 표현이라고 한다.
비라소로 대수의 유니터리 표현은 모두 기약 표현들의 직합으로 분해된다.
비라소로 대수의 아벨 부분 리 대수
를 생각하자. 각 기약 표현 formula_86에서
이게 되며, 반대로 주어진 두 실수 formula_89에 대응되는 기약 유니터리 표현은 (동형 아래) 유일하다. 주어진 formula_90에 대응되는 기약 표현은 베르마 가군의 몫으로 구성될 수 있다.
비라소로 대수의 기약 유니터리 표현들의 목록은 다음과 같다.
formula_94의 경우는 2차원 등각 장론의 일종인 최소 모형의 구성에 등장한다. 함수 formula_101는 다음과 같은 대칭을 가진다.
특히, formula_103인 경우 formula_104이며, 이는 2차원 등각 장론의 진공 또는 대칭류()에 해당한다. (2차원 등각 장론은 두 개의 비라소로 대수 대칭을 갖는데, 진공의 경우 formula_105가 둘 다 0이지만, 대칭류의 경우 둘 가운데 하나만이 0이다.) formula_106인 경우는 formula_107이며, 이는 1차원 자명한 표현에 해당한다.
비라소로 대수의 모든 기약 유니터리 표현은 formula_108을 제외하면 무한 차원 표현이다. (formula_108인 자명한 표현은 물론 1차원이다.)
복소수 비라소로 군의 부재.
비라소로 대수의 실수 형태 formula_110의 실수 프레셰 공간으로의 완비화는 어떤 프레셰 리 군의 리 대수이다. 그러나 이 리 군은 복소화될 수 없으며, 복소수 비트 대수와 복소수 비라소로 대수는 복소수 리 군의 리 대수가 될 수 없다.
리 지수 사상의 비(非)전사성.
비트 대수의 지수 사상
을 생각하자. 이는 존재하지만, 프레셰 다양체 formula_35에서 항등 함수의 임의의 근방에서, formula_113의 치역에 포함되지 않는 원소가 존재한다.
역사.
엘리 카르탕이 1909년에 비트 대수를 발견하였고, 에른스트 비트가 이를 유한체의 경우에 대하여 1930년대에 연구하였다.
비트 대수의 중심 확장은 리처드 얼 블록()과 이즈라일 겔판트, 드미트리 푹스() (1968)가 발견하였다.
아르헨티나의 물리학자 미겔 안헬 비라소로()가 1970년에 끈 이론에서 비트 대수 (중심확장을 제외한 비라소로 대수)를 도입하였다. 이후 그 중심 확장은 와이스 ()가 도입하였다.