브로카르 점

기하학에서 브로카르 점()은 주어진 삼각형으로 결정되는 한 쌍의 등각 켤레점이다.
정의.
(유향) 평면 위의 삼각형 formula_1가 주어졌다고 하자. 편의상 꼭짓점이 시계 반대 방향 순서로 쓰였다고 하자. 그렇다면 다음 조건을 만족시키는 점 formula_2가 유일하게 존재하며, 이 점을 삼각형 formula_1의 제1 브로카르 점() formula_2라고 한다.
(유향) 평면 위의 삼각형 formula_1가 주어졌다고 하자. 편의상 꼭짓점이 시계 반대 방향 순서로 쓰였다고 하자. 그렇다면 다음 조건을 만족시키는 점 formula_7이 유일하게 존재하며, 이 점을 삼각형 formula_1의 제2 브로카르 점() formula_7이라고 한다.
제1·제2 브로카르 점을 통틀어 브로카르 점이라고 한다.
등식 formula_11는 formula_2가 점 formula_13를 지나며 점 formula_14에서 변 formula_15에 접하는 원 위의 (점 formula_13 또는 formula_14가 아닌) 점인 것과 동치이며, 등식 formula_18는 formula_2가 점 formula_20를 지나며 점 formula_13에서 변 formula_22에 접하는 원 위의 (점 formula_20 또는 formula_13가 아닌) 점인 것과 동치이다. 변 formula_22는 각각 두 원의 현과 접선이므로, 두 원은 교점 formula_14에서 접하지 않으며, 두 원은 다른 한 교점을 갖는다. 이는 제1 브로카르 점의 정의를 만족시키는 유일한 점이다.
이는 미켈 정리에 극한을 취한 경우와 같다.
성질.
브로카르 각.
삼각형 formula_1의 제1·제2 브로카르 점 formula_2, formula_7은 등각 켤레점이다. 즉, 위 6개의 각의 크기는 일치한다. 이 각의 크기를 삼각형 formula_1의 브로카르 각() formula_31라고 한다. 삼각형 formula_1의 꼭짓점 formula_13, formula_14, formula_20의 대변의 길이를 formula_36, formula_37, formula_38, 넓이를 formula_39라고 하자. 그렇다면 다음 항등식들이 성립한다.
유향 선분 formula_43의 연장선과 점 formula_20를 지나며 점 formula_13에서 변 formula_22에 접하는 원의 교점을 formula_47라고 하자. 그렇다면 원주각의 성질에 따라
이므로 formula_49와 formula_15는 평행한다. 점 formula_13, formula_47를 지나는 변 formula_15의 수선의 발을 formula_54, formula_55라고 하자. 그렇다면 접현각의 성질에 따라
이다. 따라서 다음이 성립한다.
또한
이므로
이다.
그 밖의 항등식들은 이 두 항등식과 삼각법을 사용하여 증명할 수 있다.
모든 삼각형의 브로카르 각은 formula_62 이하이며, 정확히 formula_62일 필요 충분 조건은 정삼각형이다 (바이첸뵈크 부등식).
보다 일반적으로, 볼록 다각형 formula_65 (formula_66) 및 그 내부에 속하는 점 formula_47가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음 부등식이 성립하며, 등식이 성립할 필요 충분 조건은 정다각형과 그 중심이다.
모든 formula_69에 대하여 formula_70이라고 가정하자. 그렇다면 모든 formula_69에 대하여, formula_72인 선분 formula_73 위의 점 formula_74가 존재한다. 사인 법칙에 따라 다음이 성립한다.
또한 산술-기하 평균 부등식과 옌센 부등식에 따라 다음이 성립한다.
따라서 위 두 부등식에서 등식이 성립한다. 등식이 성립할 조건에 따라 모든 formula_69에 대하여 formula_78이며,
이다. 또한
이다. 따라서 볼록 다각형 formula_65은 정다각형이며 formula_47는 그 중심이다.
삼각형 formula_1의 제1·제2 브로카르 점을 formula_2, formula_7, 외심을 formula_86라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.
유향 선분 formula_89, formula_43, formula_91의 연장선과 외접원의 교점을 formula_92, formula_93, formula_94이라고 하자. 그렇다면 원주각의 성질에 따라
이다. 따라서 삼각형 formula_1는 삼각형 formula_100을 외심 formula_86에 대하여 formula_102만큼 회전한 상이며, formula_2는 삼각형 formula_100의 제2 브로카르 점이다. 따라서 점 formula_2를 외심 formula_86에 대하여 formula_102만큼 회전한 상은 원래 삼각형 formula_1의 제2 브로카르 점 formula_7과 같다.
삼각형 formula_1의 제1 브로카르 점 formula_2를 지나는 변 formula_15, formula_113, formula_22의 수선의 발을 formula_54, formula_55, formula_117라고 하고, 제2 브로카르 점 formula_7을 지나는 변 formula_15, formula_113, formula_22의 수선의 발을 formula_122, formula_123, formula_124라고 하자. 그렇다면 두 브로카르 점의 수족 삼각형 formula_125와 formula_126은 합동이며, 둘 모두 원래 삼각형 formula_1와 닮음이다.
사각형 formula_128, formula_129, formula_130는 내접 사각형이므로 원주각의 성질에 따라
이다. 따라서 formula_2는 삼각형 formula_125의 제1 브로카르 점이다. 또한
이므로 삼각형 formula_125와 formula_1는 닮음이다. 닮음비는
이며, 이는 제2 브로카르 점의 경우도 마찬가지다.
삼각형 formula_1의 꼭짓점이 시계 반대 방향 순서로 쓰였다고 하자. 그렇다면 한 꼭짓점 formula_13와 제1 브로카르 점 formula_2를 지나는 직선 formula_89, 시계 반대 방향에 대한 다음 꼭짓점 formula_14를 지나는 대칭 중선 formula_147, 남은 꼭짓점 formula_20를 지나는 중선 formula_149는 한 점에서 만난다. 반대로, 한 꼭짓점 formula_13와 제2 브로카르 점 formula_7을 지나는 직선 formula_152, 시계 방향에 대한 다음 꼭짓점 formula_20를 지나는 대칭 중선 formula_154, 남은 꼭짓점 formula_14를 지나는 중선 formula_156는 한 점에서 만난다.
각 꼭짓점을 지나는 직선 formula_89, formula_147, formula_149의 발을 formula_54, formula_55, formula_117라고 하자. 그렇다면 대칭 중선과 중선의 성질에 따라
이다. 체바 정리에 따라 다음을 보이는 것으로 충분하다.
제1 브로카르 점 formula_2의 정의에 따라
이다. 사인 법칙에 따라 다음이 성립한다.
삼각형 formula_171와 formula_172가 닮음이므로
이다.
제1 브로카르 삼각형과 브로카르 원.
삼각형 formula_1의 각각 제1·제2 브로카르 점 formula_2와 formula_7을 지나는 두 체바 직선 formula_43와 formula_178, formula_91와 formula_152, formula_89와 formula_182의 교점 formula_183, formula_184, formula_185를 꼭짓점으로 하는 삼각형을 삼각형 formula_1의 제1 브로카르 삼각형() formula_187라고 한다. 제1 브로카르 삼각형의 꼭짓점 formula_183, formula_184, formula_185는 각각 삼각형의 변 formula_15, formula_113, formula_22의 수직 이등분선 위의 점이다.
이는 제1 브로카르 삼각형의 꼭짓점 formula_183, formula_184, formula_185가 각각 브로카르 각을 밑각으로 하는 이등변 삼각형 formula_197, formula_198, formula_199의 꼭짓점이기 때문이다.
삼각형 formula_1의 대칭 중점 formula_201와 외심 formula_86 사이의 선분 formula_203를 지름으로 하는 원을 삼각형 formula_1의 브로카르 원()이라고 한다. 브로카르 원은 제1 르무안 원과 동심원이다. 삼각형 formula_1의 제1·제2 브로카르 점 formula_2, formula_7은 모두 브로카르 원 위의 점이다. 브로카르 원은 제1 브로카르 삼각형 formula_187의 외접원이다.
삼각형 formula_1의 변 formula_15, formula_113, formula_22의 중점을 각각 formula_213, formula_214, formula_215라고 하자. 그렇다면 formula_183와 변 formula_15 사이의 거리는
이다. 이는 대칭 중점 formula_201와 변 formula_15 사이의 거리와 같으므로 formula_221와 formula_15는 평행한다. formula_223는 formula_15의 수선이므로 formula_221의 수선이다. 즉, 제1 브로카르 삼각형의 꼭짓점 formula_183는 브로카르 원 위의 점이다.
마찬가지로 formula_227와 변 formula_113는 평행하며 formula_184는 브로카르 원 위의 점이다. 따라서
이다. 즉, 제1 브로카르 점 formula_2는 브로카르 원 위의 점이다.
제1 브로카르 삼각형 formula_187는 방향 비(非)보존 닮음 변환에 대하여 원래 삼각형 formula_1와 닮음이다.
이는 원주각의 성질을 사용하여 다음과 같이 증명할 수 있다.
제1 브로카르 삼각형 formula_187와 원래 삼각형 formula_1의 무게 중심은 일치한다. 이에 따라, 제1 브로카르 삼각형의 각 변 formula_238, formula_239, formula_240의 중점 formula_54, formula_55, formula_117를 지나는 원래 삼각형의 변 formula_15, formula_113, formula_22의 수선은 원래 삼각형의 구점원의 중심 formula_247에서 만난다.
점 formula_183를 변 formula_15에 대하여 반사시킨 상을 formula_250이라고 하자. 그렇다면
이므로 삼각형 formula_1와 formula_254은 닮음이다. 마찬가지로
이므로 삼각형 formula_1와 formula_258는 닮음이다. 또한 formula_259이므로 삼각형 formula_254와 formula_258는 합동이다. 따라서
이다. 선분 formula_263, formula_264을 각각 점 formula_13, formula_20에 대하여 시계 방향 formula_31만큼 회전시킨 상은 모두 변 formula_22와 평행하므로, formula_263와 formula_264은 평행한다. 따라서 사각형 formula_271는 평행 사변형이며, 대각선 formula_272와 formula_273는 그 교점 formula_47에서 서로를 이등분한다. 선분 formula_275는 삼각형 formula_187와 formula_277의 공통 꼭짓점 formula_183를 지나는 공통 중선이므로, 삼각형 formula_187와 formula_277의 무게 중심은 일치한다. 선분 formula_15와 formula_282의 공통 중점을 formula_213라고 하자. 그렇다면 선분 formula_284는 삼각형 formula_1와 formula_277의 공통 꼭짓점 formula_13를 지나는 공통 중선이므로, 삼각형 formula_1와 formula_277의 무게 중심 역시 일치한다. 따라서 삼각형 formula_1와 formula_187의 무게 중심은 일치한다.
삼각형 formula_1의 외심 formula_86와 제1 브로카르 삼각형의 꼭짓점 formula_183, formula_184, formula_185에 무게 중심 formula_297를 닮음 중심으로 하고 formula_298을 닮음비로 하는 중심 닮음 변환을 가한 상은 각각 구점원의 중심 formula_247과 점 formula_54, formula_55, formula_117이다. formula_303, formula_304, formula_305는 각각 삼각형의 변 formula_15, formula_113, formula_22의 수직 이등분선이다. 위 변환은 직선의 방향을 보존하므로 formula_309과 formula_303, formula_311과 formula_304, formula_313과 formula_305는 평행한다. 따라서 formula_309, formula_311, formula_313은 각각 삼각형의 변 formula_15, formula_113, formula_22의 수선이다.
제2 브로카르 삼각형.
삼각형 formula_1의 꼭짓점 formula_14 또는 formula_20를 지나며 꼭짓점 formula_13에서 각각 변 formula_113 또는 formula_22에 접하는 두 원의 교점 formula_327, 꼭짓점 formula_20 또는 formula_13를 지나며 꼭짓점 formula_14에서 각각 변 formula_22 또는 formula_15에 접하는 두 원의 교점 formula_333, 꼭짓점 formula_13 또는 formula_14를 지나며 꼭짓점 formula_20에서 각각 변 formula_15 또는 formula_113에 접하는 두 원의 교점 formula_339를 꼭짓점으로 하는 삼각형을 삼각형 formula_1의 제2 브로카르 삼각형() formula_341라고 한다. 제2 브로카르 삼각형의 꼭짓점 formula_327, formula_333, formula_339는 각각 대칭 중선 formula_345, formula_147, formula_154 위의 점이다.
접현각의 성질에 따라
이므로 삼각형 formula_350와 formula_351는 닮음이다. 따라서 formula_327와 삼각형의 두 변 formula_22, formula_113 사이의 거리의 비는 formula_355이다. 즉, formula_327는 대칭 중선 formula_345 위의 점이다.
브로카르 원은 제2 브로카르 삼각형 formula_341의 외접원이다. 제2 브로카르 삼각형의 꼭짓점 formula_327, formula_333, formula_339는 각각 선분 formula_345, formula_147, formula_154를 연장한 외접원의 현의 중점이다.
편의상 삼각형 formula_1가 예각 삼각형이며 대칭 중점 formula_201가 선분 formula_367 위의 점이며 외심 formula_86가 삼각형 formula_369의 내부에 속한다고 가정하자 (그 밖의 경우의 증명은 유사하다). 그렇다면
이므로 formula_14, formula_327, formula_86, formula_20는 한 원 위의 점이다. 따라서 다음이 성립한다.
즉, 제2 브로카르 삼각형의 꼭짓점 formula_327는 브로카르 원 위의 점이다.
유향 선분 formula_345의 연장선과 외접원의 교점을 formula_54라고 하자. 그렇다면 formula_379가 현 formula_380의 수선이므로 formula_327는 현 formula_380의 중점이다.
슈타이너 점과 타리 점.
삼각형 formula_1의 각 꼭짓점 formula_13, formula_14, formula_20를 지나는 제1 브로카르 삼각형의 변 formula_238, formula_239, formula_240의 평행선은 한 점에서 만난다. 이 점을 삼각형 formula_1의 슈타이너 점() formula_39라고 한다 (야코프 슈타이너). 삼각형 formula_1의 각 꼭짓점 formula_13, formula_14, formula_20를 지나는 제1 브로카르 삼각형의 변 formula_238, formula_239, formula_240의 수선은 한 점에서 만난다. 이 점을 삼각형 formula_1의 타리 점() formula_400라고 한다 (가스통 타리, ). 슈타이너 점과 타리 점은 외접원 위의 한 쌍의 대척점이다.
꼭짓점 formula_13, formula_14를 지나는 변 formula_238, formula_239의 평행선의 교점을 formula_39라고 하자. 그렇다면 삼각형 formula_1와 formula_187가 닮음이므로
이다. 따라서 formula_39는 외접원 위의 점이다. 원주각의 성질에 따라
이다. formula_411와 formula_239가 평행하므로 formula_413는 formula_240와 평행한다.
점 formula_39의 대척점을 formula_400라고 하자. 그렇다면 선분 formula_417가 외접원의 지름이므로 formula_418, formula_419, formula_420는 각각 formula_421, formula_411, formula_413의 수선이다. 따라서 formula_418, formula_419, formula_420는 formula_238, formula_239, formula_240의 수선이다.
슈타이너 점은 삼각형의 각 꼭짓점에 외각의 크기를 질량으로 부여한 질점의 무게 중심이다.
삼각형 formula_1의 대칭 중점 formula_201는 제1 브로카르 삼각형 formula_187의 슈타이너 점이다.
우선, 제1 브로카르 삼각형 formula_187의 제1 브로카르 삼각형 formula_434의 각 변 formula_435, formula_436, formula_437가 원래 삼각형 formula_1와 중심 닮음임을 증명하자. 대칭성에 따라 formula_437와 formula_22가 평행함을 증명하면 충분하다. 삼각형 formula_1와 제1 브로카르 삼각형 formula_187를 조합한 도형은 제1 브로카르 삼각형 formula_187와 그 제1 브로카르 삼각형 formula_434를 조합한 도형과 방향 비(非)보존 닮음 변환에 대하여 닮음이다. 따라서 formula_15에서 formula_240로 회전한 각의 크기와 formula_238에서 formula_437로 회전한 각의 크기는 덧셈 역원이다. formula_240에서 formula_238로 회전한 각의 크기는 formula_15에서 formula_22로 회전한 각의 크기와 같으므로 (절댓값은 formula_453), formula_15에서 formula_437로 회전한 각의 크기는 formula_15에서 formula_22로 회전한 각의 크기와 같다. 따라서 formula_437와 formula_22는 평행한다.
이제 대칭 중점 formula_201가 제1 브로카르 삼각형 formula_187의 슈타이너 점임을 증명하자. 삼각형 formula_1의 외심을 formula_86라고 하자. 대칭성에 따라 formula_464와 formula_435가 평행함을 증명하면 충분하다. 이는 formula_464와 formula_303가 수직이며 formula_303와 formula_15가 수직이며 또한 formula_15와 formula_435가 평행하므로 성립한다.
노이베르크 원.
삼각형 formula_1의 브로카르 각을 formula_31라고 하자. 그렇다면 각각 선분 formula_15, formula_113, formula_22를 한 변으로 하는 삼각형 formula_477, formula_478, formula_479의 브로카르 각이 formula_31가 되게 만드는 점 formula_47, formula_482, formula_483의 자취는 각각 꼭짓점 formula_13, formula_14, formula_20를 지나는 원과 이를 각각 변 formula_15, formula_113, formula_22에 대하여 반사한 상이다. 총 6개의 원 가운데 각각 꼭짓점 formula_13, formula_14, formula_20를 지나는 3개의 원을 삼각형 formula_1의 노이베르크 원()이라고 한다 (요제프 노이베르크, ).
삼각형 formula_1와 음이 아닌 실수 formula_495이 주어졌다고 하자. 삼각형의 변 formula_15의 중점을 formula_213라고 하자. 변 formula_15의 수직 이등분선에서 변 formula_15에 대하여 formula_13와 같은 쪽이며
인 점 formula_502를 취하자. 아폴로니오스 정리에 따라
이다. 또한 삼각형 formula_1의 넓이는 다음과 같다.
코사인 법칙에 따라 다음이 성립한다.
만약 삼각형 formula_1의 브로카르 각이 formula_31라면,
이다. 즉, formula_13는 중심이 formula_502, 반지름이
인 원 위의 점이다. 반대로, 만약
이라면,
이므로 삼각형 formula_1의 브로카르 각은 formula_31이다.
꼭짓점 formula_13, formula_14, formula_20를 지나는 노이베르크 원의 중심 formula_502, formula_521, formula_522는 각각 삼각형의 변 formula_15, formula_113, formula_22의 수직 이등분선 위의 점이다. 노이베르크 원의 중심 formula_502, formula_521, formula_522와 삼각형의 변 formula_15, formula_113, formula_22 사이의 거리는 각각 다음과 같다.
노이베르크 원의 반지름은 각각 다음과 같다.
꼭짓점 formula_13를 지나는 노이베르크 원은 꼭짓점 formula_14, formula_20를 중심으로 하며 선분 formula_15를 반지름으로 하는 두 원과 직교한다. 마찬가지로, 꼭짓점 formula_14를 지나는 노이베르크 원은 꼭짓점 formula_20, formula_13를 중심으로 하며 선분 formula_113를 반지름으로 하는 두 원과 직교하며, 꼭짓점 formula_20를 지나는 노이베르크 원은 꼭짓점 formula_13, formula_14를 중심으로 하며 선분 formula_22를 반지름으로 하는 두 원과 직교한다. 이에 따라, 고정된 선분 formula_15 및 변화하는 점 formula_13에 대한 (꼭짓점 formula_13를 지나는) 노이베르크 원들은 동축원 다발을 이루며, 그 두 극한점 formula_553, formula_554과 선분 formula_15는 두 정삼각형 formula_556, formula_557를 이룬다.
역사.
오늘날 브로카르 점이라고 불리는 개념은 아우구스트 레오폴트 크렐레()가 1816년에 도입하였다. 그 후 카를 프리드리히 안드레아스 야코비()를 비롯한 수학자들도 이를 연구하였다. 앙리 브로카르()가 1875년에 재발견하였다.