C* 대수

함수해석학에서 C* 대수(시스타 대수, )는 대합 대수와 복소수 바나흐 대수의 구조를 서로 호환되게 갖춘 수학 구조이다.
정의.
C* 대수의 개념은 다양한 방법으로 정의될 수 있다.
이 정의들은 모두 서로 동치이다.
추상적 정의.
복소수 벡터 공간 formula_1 위에 다음과 같은 두 구조가 주어졌다고 하자.
그렇다면, formula_7에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 만약 formula_7가 이를 만족시킨다면 C* 대수라고 한다.
일부 문헌에서는 C* 대수의 정의에서 항등원의 존재를 생략하기도 한다.
대수적 정의.
(복소수 켤레를 부여한) 복소수체 위의 (항등원을 갖는) 대합 대수 formula_2가 다음 조건을 만족시킨다면, C* 대수라고 한다.
이 대수적 정의는 위의 정의와 동치이다. 구체적으로, C* 항등식으로부터 노름이 항상 formula_22임을 보일 수 있으며, 반대로 임의의 복소수 바나흐 대수에서 formula_23이므로 이는 B* 항등식을 함의한다.
구체적 정의.
복소수 대합 대수 formula_1의 *-표현()은 다음과 같은 데이터로 구성된다.
만약 복소수 대합 대수가 그 상이 (작용소 노름으로 정의되는 거리 위상에 대하여) 닫힌집합인 *-표현을 갖는다면, 이를 C* 대수라고 한다.
겔판트-나이마르크 정리(Гельфанд-Наймарк定理, )에 따르면, 임의의 (추상적 정의에 따른) C* 대수 formula_1의 경우, 어떤 복소수 힐베르트 공간 formula_25 위의 작용
가 존재하며, 또한 이는 단사 함수이자 복소수 선형 변환이자 등거리 변환이며, 또한 수반 연산 formula_34에 대한 준동형이며, 그 상은 C* 대수의 구체적 정의에 부합한다.
C* 대수의 원소.
formula_1가 C* 대수라고 하고, formula_36라고 하자.
연산.
직합.
유한 또는 무한 개의 C* 대수 formula_53가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 복소수 벡터 공간
위에 균등 노름
및 성분별 곱셈
을 부여하면, 이는 C* 대수를 이룬다. 이 경우 항등원은
formula_58
이다.
물론, 만약 formula_59가 유한 집합이라면, 이는 단순히 직합 formula_60과 같다.
몫대수.
다음이 주어졌다고 하자.
그렇다면, 그 몫환 formula_65 역시 C* 대수를 이룬다.
행렬 대수.
C* 대수 formula_1 및 자연수 formula_67에 대하여, 행렬 대수 formula_68는 formula_1 성분의 formula_70 정사각 행렬들로 구성되며, 이 역시 C* 대수를 이룬다. 만약 어떤 복소수 힐베르트 공간 formula_71에 대하여 formula_72라면, formula_73으로 여길 수 있다.
만약 formula_74일 경우, 이는 자명환이다.
성질.
C* 대수 사이의 사상.
다음이 주어졌다고 하자.
그렇다면, formula_78는 작용소 노름이 1 이하인 유계 작용소이다.
증명:
임의의 formula_3에 대하여, C* 항등식에 따라
이다. formula_83는 음이 아닌 원소이므로, 그 노름은 스펙트럼 반지름과 같다.
formula_1의 가역원의 상은 formula_76의 가역원이므로 다음이 성립한다.
여기서 formula_88는 스펙트럼이다. 특히
이다. 이에 따라
이며, 즉 formula_91이다.
또한, 만약 formula_78가 추가로 단사 함수라면, 이는 등거리 변환이다. 즉, formula_93이다.
이에 따라, C* 대수와 복소수 대합 대수 준동형들은 구체적 범주 formula_94를 이룬다.
스펙트럼.
C* 대수의 원소의 스펙트럼은 항상 공집합이 아니다. 또한, 임의의 C* 대수 formula_1의 원소 formula_3에 대하여
이다.
C* 대수의 자기 수반 원소의 스펙트럼은 실수의 부분 집합이다. C* 대수의 유니터리 원소의 스펙트럼은 formula_98의 부분 집합이다.
분류.
모든 C* 대수는 겔판트-나이마르크 정리에 의하여 어떤 복소수 힐베르트 공간 속의 유계 작용소 C* 대수의 부분 대수로 나타내어진다. 특히, 이 C* 대수를 포함하는 최소의 폰 노이만 대수를 정의할 수 있으며, 원래 C* 대수는 이 폰 노이만 대수의 강한 연산자 위상에서의 조밀 집합을 이룬다. 폰 노이만 대수의 경우 자세한 구조 이론이 알려져 있다.
예.
자명한 C* 대수.
한원소 집합 formula_99 위의 유일한 환 구조인 자명환은 C* 대수를 이룬다. 이는 유일한 0차원 C* 대수이다.
유한 차원 C* 대수.
임의의 유한 차원 C* 대수 formula_1는 다음과 같은 꼴이다.
여기서 formula_102는 작용소 노름이 부여된, formula_70 복소수 정사각 행렬들의 C* 대수이다.
가환 C* 대수.
즉, formula_106 *-준동형들의 집합이다. *-준동형의 작용소 노름은 1 이하이므로,
이다. (여기서 우변은 연속 쌍대 공간 formula_108의 닫힌 단위 공이다.)
우변에 약한-* 위상을 주고, 좌변을 그 부분 공간으로 간주하면, 바나흐-앨러오글루 정리에 의하여 formula_109는 콤팩트 하우스도르프 공간을 이룬다. 이 연산은 함자
를 정의한다. 여기서
반대로, 다음과 같은 함자
를 정의할 수 있다.
겔판트 표현 정리(Гельфанд表現定理, )에 따르면, formula_113와 formula_122 함자는 사실 두 범주 formula_123와 formula_124 사이의 범주의 동치를 정의한다.
특히, 모든 (항등원을 갖는) 가환 C* 대수 formula_1에 대하여
이며, 모든 (항등원을 갖는) 가환 C* 대수 formula_1는 위와 같은 꼴로 (유일하게) 표현된다.
유계 작용소 대수.
임의의 복소수 힐베르트 공간 formula_71 위의 모든 유계 작용소들의 집합 formula_129은 함수의 합성을 곱셈으로 삼을 때 C* 대수를 이룬다. (이는 특히 I종 인자 대수이다.) 특히, 만약 formula_130가 유한 차원이라면, 이는 formula_70 복소수 행렬들로 구성된다.
콤팩트 작용소 대수.
임의의 복소수 힐베르트 공간 formula_71 위의 모든 콤팩트 작용소들의 집합 formula_133은 formula_129의 닫힌 양쪽 아이디얼을 이루며, 이에 대한 몫환
은 C* 대수를 이룬다. 이를 콜킨 대수()라고 한다.
응용.
C* 대수의 이론은 양자장론을 수학적으로 엄밀하게 정의하려는 시도에 사용된다.
겔판트 표현에 의하여, 가환 C* 대수는 콤팩트 하우스도르프 공간에 대응되며, 만약 항등원을 가져야 하는 조건을 생략한다면, 이는 국소 콤팩트 하우스도르프 공간에 대응된다. 이에 대하여, 일반적 (비가환일 수 있는) C* 대수 역시 일종의 ‘공간’으로 여길 수 있다. 이러한 수학적 분야를 비가환 기하학이라고 한다.