외접원

기하학에서 외접원(外接圓, )은 주어진 다각형의 모든 꼭짓점을 지나는 원이다. 외심(外心, )은 외접원의 중심을 일컫는다. 모든 삼각형과 정다각형은 외접원을 갖는다. 그러나 모든 다각형에 외접원이 존재하는 것은 아니다.
정의.
다각형의 모든 꼭짓점을 지나는 원이 존재한다면, 이 원을 이 다각형의 외접원이라고 한다. 다각형의 외접원의 중심을 이 다각형의 외심이라고 한다. 외접원을 갖는 (볼록) 다각형을 내접 다각형(內接多角形, )이라고 한다. 특히 외접원을 갖는 (볼록) 사각형을 내접 사각형이라고 한다.
성질.
다각형이 외접원을 갖는다면, 그 외심은 모든 변의 수직 이등분선의 교점이며, 외심과 다각형의 각 꼭짓점 사이의 거리는 외접원의 반지름이므로 모두 같다.
모든 삼각형과 정다각형은 외접원을 갖는다. 즉, 모든 삼각형과 정다각형은 내접 다각형이다.
예각·직각·둔각 삼각형의 외심.
예각 삼각형의 외심은 삼각형의 내부에 속한다. 직각 삼각형의 외심은 빗변의 중점이다. 둔각 삼각형의 외심은 삼각형의 외부에 속한다.
반지름.
삼각형 formula_1의 외접원의 반지름을 formula_2라고 하고, 세 변의 길이를 formula_3, formula_4, formula_5라고 하자. 그렇다면 다음 등식들이 성립한다 (사인 법칙).
삼각형의 넓이를 formula_7라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.
삼각형의 넓이는 한 변의 길이 formula_9와 그 변 위의 높이 formula_10의 곱의 1/2이므로, 사인 법칙에 따라
이다. 
삼각형의 내접원의 반지름을 formula_12라고 하자. 그렇다면 외심 formula_13와 내심 formula_14 사이의 거리는 다음과 같다 (오일러 삼각형 정리).
특히 다음 부등식이 성립한다 (오일러 부등식).
오일러 직선.
삼각형의 외심, 무게 중심, 수심, 구점원의 중심은 한 직선 위의 점이며, 정삼각형이 아닐 경우 이 네 중심을 지나는 직선은 유일하게 존재한다. 이를 주어진 삼각형의 오일러 직선이라고 한다.
사각형.
(볼록) 사각형 formula_17에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.
미켈 정리.
삼각형 formula_1 및 직선 formula_27, formula_28, formula_29 위의 점 formula_30, formula_23, formula_32가 주어졌다고 하자. 미켈 정리()에 따르면, 삼각형 formula_33, formula_34, formula_35의 외접원은 한 점 formula_36에서 만난다. 이 경우 점 formula_36를 삼각형 formula_1에 대한 점 formula_30, formula_23, formula_32의 미켈 점()이라고 한다. 만약 formula_30, formula_23, formula_32가 한 직선 위의 점이 아닐 경우, 삼각형 formula_45를 삼각형 formula_1에 대한 점 formula_36의 한 미켈 삼각형()이라고 한다.
편의상 formula_30, formula_23, formula_32가 변 formula_27, formula_28, formula_29 위의 점이며, 삼각형 formula_33, formula_34의 외접원의 다른 한 교점 formula_36가 삼각형 formula_1의 내부에 속한다고 하자 (그 밖의 경우의 증명은 유사하다). 그렇다면 사각형 formula_58, formula_59는 내접 사각형이므로
이다. 따라서 사각형 formula_61 역시 내접 사각형이다.
네 직선으로 구성된 네 삼각형의 외접원은 한 점에서 만난다. 이는 미켈 정리에서 formula_30, formula_23, formula_32가 한 직선 위의 점인 특수한 경우이다.
삼각형 formula_1 및 직선 formula_27, formula_28, formula_29 위의 점 formula_30, formula_23, formula_32 및 점 formula_36에 대하여, 삼각형 formula_45가 점 formula_36의 미켈 삼각형일 필요 충분 조건은 유향각 formula_75, formula_76, formula_77의 크기가 같은 것이다. 이에 따라, 주어진 점의 미켈 삼각형은 무한히 많이 존재한다. 수족 삼각형은 미켈 삼각형의 특수한 경우이다.
삼각형 formula_1 및 직선 formula_27, formula_28, formula_29 위의 점 formula_30, formula_23, formula_32 및 미켈 점 formula_36가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.
여기서 모든 각도는 유향각이다.
편의상 formula_30, formula_23, formula_32가 변 formula_27, formula_28, formula_29 위의 점이며, 삼각형 formula_33, formula_34의 외접원의 다른 한 교점 formula_36가 삼각형 formula_1의 내부에 속한다고 하자 (그 밖의 경우의 증명은 유사하다). 그렇다면 사각형 formula_59, formula_61는 내접 사각형이므로
이다.
주어진 점의 모든 미켈 삼각형은 닮음이다. 구체적으로, 삼각형 formula_1에 대한 점 formula_36의 모든 미켈 삼각형은 formula_36를 고정점으로 하는 방향 보존 닮음 변환에 대하여 닮음이다.
위 등식에 따라 삼각형 formula_1에 대한 점 formula_36의 미켈 삼각형 formula_45의 세 내각의 크기
는 미켈 삼각형 formula_45의 선택과 무관하므로, 모든 미켈 삼각형은 (방향 보존 닮음 변환에 대하여) 닮음이다. 또한
역시 미켈 삼각형의 선택과 무관하므로, 닮음 변환은 formula_36를 고정점으로 갖는다.
키페르트 포물선과의 관계.
삼각형의 모든 내접 포물선의 초점은 외접원 위의 점이다. 특히 삼각형의 키페르트 포물선()의 초점은 외접원 위의 점이다. 이는 종합 기하학의 방법을 통해 다음과 같이 증명할 수 있다.
내접 포물선의 초점 formula_32가 외접원 위의 점이라는 조건은 초점 formula_32를 지나는 삼각형의 세 변의 수선의 발이 한 직선 위의 점인 것과 동치이다 (심슨 직선). 따라서 초점 formula_32를 지나는, 포물선 위 임의의 점 formula_36에서의 접선의 수선의 발이 항상 포물선의 꼭짓점 formula_120에서의 접선 위의 점임을 보이는 것으로 충분하다.
점 formula_36 또는 초점 formula_32를 지나는 준선의 수선의 발을 formula_30, formula_23라고 하고, 꼭짓점 formula_120에서의 접선과 formula_126의 교점을 formula_127이라고 하자. 그렇다면 포물선의 꼭짓점 formula_120는 선분 formula_129의 중점이며, formula_130과 formula_131는 평행하므로 formula_127은 선분 formula_126의 중점이다. formula_134이므로 formula_135은 formula_126의 수선이자 formula_137의 이등분선이다. 이에 따라 광선 formula_138가 직선 formula_135에 반사된 광선은 formula_140의 연장선이다. 포물선의 성질에 따라 초점을 지나는 광선 formula_138가 포물선에 반사된 광선은 formula_140의 연장선이므로, formula_135은 포물선의 formula_36에서의 접선이다.