불 대수

순서론과 추상대수학, 논리학에서 불 대수(Boole代數, )는 고전 명제 논리의 명제의 격자와 같은 성질을 갖는 격자이다. 즉, 논리적 공리들을 만족시키는 논리합과 논리곱 및 부정의 연산이 정의된 대수 구조이다.
정의.
불 대수의 개념은 다양하게 정의할 수 있으며, 이 정의들은 서로 동치이다.
직교 여원 격자를 통한 정의.
직교 여원 격자에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 직교 여원 격자를 불 대수라고 한다.
불 대수의 준동형은 여원과 formula_16 및 formula_17을 보존시키는 격자 준동형이다. 불 대수의 정의는 대수적이므로, 불 대수의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다.
유계 격자를 통한 정의.
유계 격자 formula_18에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 격자를 불 대수라고 한다.
여기서 formula_33는 부분 순서 집합 formula_34의 극소 원소들의 집합이다.
헤이팅 대수를 통한 정의.
헤이팅 대수 formula_35에 대하여,
를 정의하자. 그렇다면 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 헤이팅 대수를 불 대수라고 한다.
이 경우, formula_42은 직교 여원 격자를 이룬다.
환론적 정의.
(단위원을 갖는) 환 formula_43에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 환을 불 대수라고 한다.
특히, 자명환은 불 대수이다. (둘째 정의에서 이는 formula_50에 해당한다.)
불 대수 준동형은 두 불 대수 사이의 환 준동형이다.
위상수학적 정의.
스톤 공간()은 콤팩트 완전 분리 하우스도르프 공간이다. 스톤 공간과 연속 함수의 범주를 formula_51이라고 쓰자.
스톤 공간의 열린닫힌집합들의 족은 유계 격자를 이룬다. 스톤 공간의 열린닫힌집합들의 족과 동형인 유계 격자를 불 대수라고 한다.
열린닫힌집합의 연속 함수 아래의 원상은 열린닫힌집합이다. 따라서, 두 불 대수 formula_52, formula_53에 대응하는 스톤 공간 formula_54, formula_55가 주어졌을 때, 연속 함수 formula_56는 함수
를 유도한다. 두 불 대수 사이의 불 대수 준동형은 이와 같이 스톤 공간 사이의 연속 함수로 유도될 수 있는 함수이다.
이에 따라, 다음과 같은 범주의 동치가 존재한다.
이 정의가 불 대수의 다른 정의들과 동치라는 사실은 스톤 표현 정리()라고 한다.
특히, 이 정의는 환론적 정의와 다음과 같은 관계를 갖는다. 모든 가환환에 대하여, 스펙트럼이라는 위상 공간을 대응시킬 수 있으며, 이는 가환환의 범주 formula_59의 반대 범주에서 위상 공간의 범주 formula_60로 가는 함자
를 정의한다. 만약 이 가환환이 불 대수를 이룬다면 그 스펙트럼은 스톤 공간을 이룸을 보일 수 있으며, 이는 열린닫힌집합족 함자의 역함자이다. 즉, 다음과 같은 두 함자가 존재하며, 이는 범주의 동치를 이룬다.
불 대수의 스펙트럼은 다음과 같이 직접적으로 묘사할 수 있다. 불 대수의 극대 아이디얼은 극대 순서 아이디얼과 일치하며, 불 대수의 쌍대성에 따라 이는 극대 필터와 일대일 대응한다. 따라서, formula_64가 두 개의 원소의 불 대수라면, 극대 필터들의 집합은 formula_65이다. 이 위에 다음과 같은 기저로 생성되는 위상을 부여하면, 스톤 공간을 이룬다.
이는 formula_64에 이산 위상을 부여하고, 멱집합 formula_68에 곱위상을 부여한 뒤, formula_69에 부분 공간 위상을 부여한 것과 같다.
범주론적 정의.
모든 원순서 집합은 작은 얇은 범주로 간주할 수 있다. 이 경우, 부분 순서 집합은 서로 동형인 두 대상이 항상 같은 원순서 집합이며, 헤이팅 대수는 유한 완비 범주이자 유한 쌍대 완비 범주이자 데카르트 닫힌 범주인 부분 순서 집합이다.
불 대수는 다음 조건을 만족시키는 작은 얇은 범주이다.
여기서 formula_73는 범주론적 곱이며, formula_74는 쌍대곱이며, formula_75은 시작 대상이며, formula_76는 지수 대상이다.
서로 다른 정의들의 비교.
불 대수의 서로 다른 정의들은 다음과 같이 대응된다.
성질.
순서론적 성질.
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
불 대수를 가환환으로 여겼을 때, 그 아이디얼은 순서 아이디얼과 일치한다.
환론적 성질.
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
임의의 불 대수 formula_52는 가환환이고 표수가 2이며 (즉 모든 원소는 자신의 덧셈 역원이다) 따라서 유한체 formula_47 위의 결합 대수이다.
증명:
가환성: 임의의 formula_79에 대하여 formula_80이다.
표수 2: 위에서 formula_81이라면 formula_82이다.
아이디얼.
불 대수의 임의의 몫환은 불 대수이다. 불 대수의 임의의 부분환은 불 대수이다.
불 대수의 스펙트럼은 스톤 공간이다. 특히, 불 대수의 모든 소 아이디얼은 극대 아이디얼이다. 불 대수 formula_52의 임의의 극대 아이디얼 formula_86에 대한 몫환은 크기 2의 유한체이다.
불 대수는 폰 노이만 정칙환이며, 따라서 그 위의 모든 가군은 평탄 가군이다.
불 대수의 모든 유한 생성 아이디얼은 주 아이디얼이다. 구체적으로
이다.
범주론적 성질.
불 대수의 모임은 대수 구조 다양체를 이루며, 따라서 그 범주는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이며 자유 대상을 갖는다.
예.
멱집합.
임의의 집합 formula_89의 멱집합 formula_90은 크기가 formula_91인 불 대수를 이룬다. 반대로, 모든 유한 불 대수는 어떤 유한 집합의 멱집합의 불 대수와 동형이다. 특히, 공집합의 멱집합 formula_92은 가장 작은 불 대수이며, 또한 formula_93인 유일한 불 대수이다.
집합 formula_89에 대하여, 멱집합 formula_90에 대응하는 스톤 공간은 formula_89의 스톤-체흐 콤팩트화이다.
멱집합과 동형이 아닌 무한 불 대수 또한 존재한다. 예를 들어, 집합 formula_89 및 기수 formula_49가 주어졌을 때,
로 정의하자. 만약 formula_50이거나 formula_101이라면, 이는 둘 다 불 대수를 이룬다. 예를 들어, formula_102일 경우, formula_103는 크기가 formula_104인 불 대수이며, 따라서 멱집합과 동형일 수 없다.
자유 불 대수.
불 대수는 대수 구조 다양체를 이루므로, 임의의 생성원의 집합에 대응하는 자유 불 대수가 존재한다.
스톤 표현 정리에 따라서, 임의의 기수 formula_49에 대하여, formula_49개의 생성원으로부터 생성되는 자유 불 대수에 대응하는 스톤 공간은
이다. 여기서 formula_108은 2개의 점을 가진 이산 공간이며, formula_107에는 곱 위상을 준다. 이 경우, formula_110번째 생성원은 튜플의 formula_110번째 성분이 1인 모든 원소들로 구성된 열린닫힌집합에 대응한다.
만약 formula_49가 유한할 경우, 자유 불 대수의 크기는 formula_113이며, 만약 formula_49가 무한할 경우 자유 불 대수의 크기는 formula_49이다.
사유한군.
스톤 공간을 이루는 위상군은 사유한군이라고 한다.
응용.
논리학.
논리학에서, 불 대수는 고전 명제 논리의 모형을 제공한다. 만약 고전 명제 논리를 직관 논리로 약화시키면, 불 대수 대신 헤이팅 대수를 사용하여야 한다.
컴퓨터 과학.
불 대수는 디지털 회로 설계에 응용된다. 디지털 회로는 전압의 H(High), L(Low)만으로 정보를 연산하기 때문에, 기본적으로 조합 회로는 불 대수에 있는 논리식을 써서 나타낼 수 있다. (하지만, 플립플롭 등 순차 회로는 단순하게 하나의 논리식으로 나타낼 수 없다.) 높은 전압(H)를 1로, 낮은 전압(L)을 0으로 하는 논리 형식을 정논리, 낮은 전압 (L)을 1로, 높은 전압(H)를 0으로 하는 논리 형식을 부논리라고 한다.
역사.
불 대수의 개념은 1847년에 조지 불이 논리학을 형식화하기 위하여 도입하였다. 이후 불은 1854년의 저서에서 이 개념을 추가로 설명하였다. 불은 논리곱과 배타적 논리합을 기초적 연산으로 삼았는데, 이는 오늘날에 불 대수를 가환환의 일종으로 여기는 것과 같다.
이후 윌리엄 스탠리 제번스(, 1835~1882) · 찰스 샌더스 퍼스(1839~1914) · 에른스트 슈뢰더(, 1841~1902) 등이 불의 논리 대수의 연구를 계속하였다. 제번스는 1864년의 저서에서 불이 사용한 배타적 논리합 대신 (배타적이지 않은) 논리합을 최초로 사용하였다. 이 책에서 제번스는 다음과 같이 적었다.
1913년 논문에서 미국의 헨리 모리스 셰퍼(, 1882~1964)가 "불 대수"()라는 용어를 최초로 사용하였다. 이 논문에서 셰퍼는 불 대수의 모든 연산을 부정논리곱으로서 정의할 수 있음을 보였다.
스톤 표현 정리는 마셜 하비 스톤이 1936년에 증명하였다.