군의 작용

군론에서 군의 작용(群의作用, )은 어떤 군으로부터, 어떤 집합의 대칭군으로 가는 군 준동형이다. 대략, 어떤 공간 위에 대칭군의 원소가 정의하는 대칭 변환의 개념을 추상화한 것이다.
정의.
모노이드 formula_1의, 집합 formula_2 위의 왼쪽 작용()은 여러 가지로 정의할 수 있다. 가장 기초적으로 모노이드 작용은 특정한 함수 formula_3로 정의할 수 있으며, 또 특정한 모노이드 준동형으로, 또는 함자로도 생각할 수 있다. 모노이드 formula_1의 작용을 갖춘 집합을 formula_1-집합()이라고 한다. 두 formula_1-집합 사이의 함수 가운데, 작용과 호환되는 것을 등변 함수(等變函數, )라고 한다. formula_1-집합을 대상으로 하고, 등변 함수를 사상으로 하는 범주가 존재하며, 이를 formula_8 또는 formula_9으로 쓴다.
모든 군은 모노이드를 이루며, 군의 작용()은 모노이드로서의 작용과 같다. (마찬가지로, 반군의 작용을 정의할 수 있다. 그러나 군과 모노이드 사이의 관계와 달리, 모노이드 formula_1의 반군 작용 가운데, 모노이드 작용이 아닌 것이 존재할 수 있다. 즉, 모노이드의 반군 작용에서는 항등원이 항등 함수가 아니게 작용할 수 있다.)
함수를 통한 정의.
모노이드 formula_1의, 집합 formula_2 위의 왼쪽 작용()은 다음 조건들을 만족시키는 함수 formula_13이다.
모노이드 formula_1의, 집합 formula_2 위의 오른쪽 작용()은 다음 조건들을 만족시키는 함수 formula_23이다.
모노이드 formula_1의 작용을 갖춘 두 집합 formula_2, formula_33이 주어졌다고 하자. 그 사이의 등변 함수 formula_34는 다음 조건을 만족시키는 함수이다.
여기서 좌변은 formula_33 위의 작용이고, 우변은 formula_2 위의 작용이다. 즉, 다음 그림이 가환하여야 한다.
준동형을 통한 정의.
추상적으로, 모노이드 formula_1의, 집합 formula_2 위의 왼쪽 작용은 formula_1에서 formula_2 위의 자기 함수들의 모노이드 formula_43로 가는 모노이드 준동형
이며, formula_1의 formula_2 위의 오른쪽 작용은 반대 모노이드 formula_47에서 formula_43로 가는 모노이드 준동형
이다. 만약 formula_50가 군일 경우, 왼쪽 작용은 formula_2의 대칭군 (=자기 동형군) formula_52으로 가는 군 준동형
을 이루며, 오른쪽 작용은 반대군에서의 군 준동형
을 이룬다.
모노이드 formula_1의 작용을 갖춘 두 집합
이 주어졌다고 하자. 그 사이의 등변 함수 formula_34는 다음 그림을 가환하게 만드는 함수 formula_34이다.
범주론적 정의.
범주론적으로, formula_1의 작용은 formula_1을 하나의 대상을 갖는 작은 범주로 간주하였을 때, 함자
와 동치이다. 이 경우, formula_1이 작용하는 집합은 범주 formula_1의 유일한 대상 formula_66의 formula_67에 대한 상 formula_68이며, formula_69의 작용은 formula_67에 대한 상 formula_71이다.
두 formula_1-집합
사이의 등변 함수 formula_75는 두 함자 사이의 자연 변환과 동치이다. 구체적으로, 자연 변환 formula_76에 대응하는 등변 함수는 formula_77의 성분
이다.
따라서, formula_1-집합의 범주 formula_9은 사실 (작은 범주로 간주한) formula_1에서 formula_82로 가는 함자 범주와 동치이다.
궤도와 안정자군.
군 formula_50가 집합 formula_2에 (왼쪽에서) 작용한다고 하자. formula_14의 궤도(軌道, ) formula_86는 다음과 같다.
궤도는 formula_50 위의 동치 관계
의 동치류와 같으며, formula_2는 궤도들로 분할된다.
임의의 formula_14의 안정자군(安定子群, ) formula_92는 다음과 같다.
즉, 안정자군 formula_92는 formula_50의 원소 중 formula_96를 고정점으로 가지는 모든 원소들의 집합이다.
작용 준군.
모노이드 formula_1이 집합 formula_2 위에 (왼쪽에서) 작용한다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 작은 범주 formula_99를 정의할 수 있다.
이를 작용 범주(作用範疇, , )라고 한다. 만약 formula_1이 군이라면, formula_2 위의 작용 범주는 준군을 이룬다. 이를 작용 준군(作用準群, , )이라고 한다.
작용 범주는 모노이드 작용의 모든 정보를 담고 있다. 즉, 작용 범주를 알면 모노이드 작용을 재구성할 수 있다.
성질.
군의 왼쪽 작용 formula_108이 주어졌을 때,
왼쪽 작용과 오른쪽 작용의 관계.
임의의 모노이드 formula_1에 대하여, 왼쪽 formula_1-작용은 오른쪽 formula_47-작용과 같다. 여기서 formula_47은 formula_1의 반대 모노이드이다. 특히, 가환 모노이드는 스스로의 반대 모노이드와 표준적으로 동형이므로, 가환 모노이드의 경우 왼쪽 작용과 오른쪽 작용을 구별할 필요가 없다.
모든 군 formula_50는 그 반대군과 역원 함수를 통해 표준적으로 동형이다. 즉, 군의 동형
이 존재한다. 따라서, 이를 사용하여 임의의 오른쪽 formula_50-작용을 왼쪽 formula_50-작용으로 쓸 수 있다. 임의의 오른쪽 formula_50-작용 formula_124에 대하여,
로 정의한다면, formula_127은 왼쪽 formula_50-작용을 이룬다. 마찬가지로 왼쪽 formula_50-작용 formula_125가 주어졌을 때
는 오른쪽 formula_50-작용을 이룬다. 따라서, 군의 왼쪽 작용의 개념과 오른쪽 작용의 개념은 서로 동치이며, 필요에 따라 서로 변환할 수 있다. (그러나 이는 모노이드 작용에 대하여 성립하지 않는다.)
궤도-안정자군 정리.
안정자군 formula_92는 G의 부분군이므로 그 왼쪽 잉여류를 생각할 수 있다. 궤도-안정자군 정리(軌道-安定子群定理, )에 따르면, 다음 두 명제가 성립한다.
특히, 만약 formula_50가 유한군이면, 라그랑주 정리에 의해 다음이 성립한다.
보편대수학적 성질.
모노이드 formula_1에 대하여, formula_1-집합은 formula_1의 각 원소 formula_69에 대하여 1항 연산 formula_150을 가지며, 대수적 관계
를 만족시키는 대수 구조이다. 이 관계들은 모두 대수적이므로, formula_1-집합들은 대수 구조 다양체를 이룬다.
집합 formula_2 위의 자유 formula_1-집합은 곱집합 formula_156이며, 그 위의 작용은
이다.
범주론적 성질.
모노이드 formula_1에 대하여, formula_1-집합의 범주 formula_9은 (작은 범주에서 집합의 범주로 가는 함자 범주이므로) 그로텐디크 토포스를 이룬다. 특히, 이는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이며 데카르트 닫힌 범주이다.
formula_9의 시작 대상은 (유일한 작용을 갖춘) 공집합이다.
formula_9의 끝 대상은 (유일한 작용을 갖춘) 한원소 집합이다. formula_9의 formula_9의 부분 대상 분류자 formula_165은 formula_1 위의 오른쪽 모노이드 아이디얼들의 집합
이다. 이 위의 formula_1의 (왼쪽) 작용은 다음과 같다.
망각 함자
가 존재한다. 이는 왼쪽 수반 함자 formula_67와 오른쪽 수반 함자 formula_50를 갖는다.
왼쪽 수반 함자 formula_67는 자유 대수 함자이다. 즉, 집합 formula_2를 formula_156로 대응시킨다. 오른쪽 수반 함자 formula_50는 집합 formula_2를 함수들의 집합 formula_180으로 대응시킨다. formula_1의 formula_180 위의 작용은 다음과 같다.
종류.
군 formula_50가 집합 formula_2 위에 왼쪽에서 작용한다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 작용의 성질들을 정의할 수 있다.
추이적 작용.
군의 작용이 다음 조건을 만족시키면, 이를 "n"-추이적 작용("n"-推移的作用, )이라 한다.
만약 여기서 이러한 formula_191가 유일하다면, 이를 "n"-정추이적 작용("n"-正推移的作用, )이라 한다. 즉, 군의 작용이 다음 조건을 만족시키면, 이를 "n"-정추이적 작용이라고 한다.
1-추이적 작용은 단순히 추이적 작용(推移的作用, )이라 한다. 1-정추이적 작용은 단순히 정추이적 작용(正推移的作用, ) 또는 정칙 작용(正則作用, )이라고 한다. 이는 자유 추이적 작용과 동치이며, 아벨 군의 작용의 경우 이는 충실한 추이적 작용과 동치이다.
충실한 작용과 자유 작용.
군의 작용에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 군의 작용을 충실한 작용(忠實-作用, ) 또는 효과적 작용(效果的作用, )이라고 한다.
군의 작용에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 군의 작용을 자유 작용(自由作用, ) 또는 반정칙 작용(半正則作用, )이라고 한다.