호지 구조

대수기하학에서 호지 구조(Hodge構造, )는 켈러 다양체 위에 호지 이론으로 주어지는 코호몰로지의 분해와 같은 성질들을 만족시키는 벡터 공간의 분해이다.
정의.
순수 호지 구조.
무게가 formula_1인 순수 호지 구조(純粹Hodge構造, ) formula_2는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
이는 다음 성질을 만족시켜야 한다.
순수 호지 구조 formula_2에 대하여, 다음과 같은 벡터 공간들을 정의한다.
그렇다면 다음이 성립한다.
무게 formula_1의 순수 호지 구조 formula_2의 호지 수(Hodge數, ) formula_14는 다음과 같다.
순수 호지 구조는 복소수 벡터 공간 formula_16 위의, 복소수 곱셈군 formula_17의 표현으로도 정의할 수 있다. 이 경우, formula_18는 formula_19의 작용이 formula_20의 꼴인 성분이다.
같은 무게의 두 순수 호지 구조 사이의 사상(寫像, ) formula_21은 다음과 같은 성질을 만족시키는 아벨 군 준동형이다.
무게 formula_23의 두 개의 순수 호지 구조 formula_3, formula_25이 주어졌을 때, 직합 formula_26 역시 무게 formula_23의 순수 호지 구조를 이룬다.
무게 formula_23의 순수 호지 구조 formula_3와 무게 formula_30의 순수 호지 구조 formula_25이 주어졌을 때, 텐서곱 formula_32은 무게 formula_33의 순수 호지 구조를 이룬다.
무게 formula_23의 순수 호지 구조 formula_3 위의 극성화(極性化, ) formula_36는 다음 조건들을 만족시키는, formula_3 위의 정수 이차 형식이다.
혼합 호지 구조.
혼합 호지 구조(混合Hodge構造, ) formula_41는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
이는 다음을 만족시켜야 한다.
혼합 호지 구조 위의 극성화는 무게 여과의 각 등급 성분에 주어지는 극성화로 구성된다.
혼합 호지 구조 formula_41의 호지 수(Hodge數, ) formula_52는 다음과 같다.
두 혼합 호지 구조 formula_54, formula_55 사이의 사상(寫像, ) formula_21은 다음과 같은 성질을 만족시키는, 아벨 군의 준동형이다.
혼합 호지 구조와 그 사상들의 범주는 아벨 범주를 이룬다. 이 범주에서의 핵과 여핵은 (망각 함자를 통해) 복소수 벡터 공간에서의 핵 · 여핵과 일치한다. 또한, 이 범주는 텐서곱을 가지며, 텐서곱을 통하여 단나카 범주()를 이룬다.
다양체의 호지 구조.
켈러 다양체.
콤팩트 켈러 다양체 (또는 복소수체 위의 비특이 완비 사영 대수다양체) formula_59의 복소수 계수 특이 코호몰로지 formula_60는 호지 이론에 의하여 다음과 같이 분해된다.
이는 무게 formula_1의 순수 호지 구조를 이룬다. 또한, 모든 차수의 코호몰로지들의 직합
은 혼합 호지 구조를 이룬다. 여기서 무게 여과는
이며, 호지 여과는
이다.
두 콤팩트 켈러 다양체 사이의 정칙 사상 formula_66은 순수 호지 구조의 사상
을 유도한다.
비완비 비특이 대수다양체.
(완비 대수다양체가 아닐 수 있는) 복소수 비특이 대수다양체 formula_59의 formula_23차 특이 코호몰로지 formula_70 위에는 자연스럽게 혼합 호지 구조가 존재하며, 무게 여과에 따라 formula_70 위에 존재하는 무게는 formula_72이다.
또한, 이는 함자적이다. 즉, 이는 복소수 비특이 대수다양체의 범주의 반대 범주에서, 혼합 호지 구조의 범주로 가는 함자를 이룬다.
비특이 사영 대수다양체 formula_59의 닫힌 비특이 부분다양체 formula_75가 주어진다면, 대수적 위상수학에 따라서 다음과 같은 (상대) 특이 코호몰로지의 (아벨 군으로서의) 긴 완전열이 존재한다.
혼합 호지 구조 함자에 따라서, 이는 혼합 호지 구조의 긴 완전열을 이룬다. 이 경우 formula_77는 순수 호지 구조이지만, formula_78 및 formula_79는 순수 호지 구조가 아닐 수 있다.
특이 대수다양체.
보다 일반적으로, (특이점을 가질 수 있는) 임의의 복소수 준사영 대수다양체에 대해서도 혼합 호지 구조를 자연스럽게 정의할 수 있다. 일부 경우 이는 미분 형식으로 계산할 수 있다.
관련 개념.
호지 구조의 변동(Hodge構造의變動, )은 대략 어떤 복소다양체로 매개변수화된 호지 구조들의 족이다. 필립 오거스터스 그리피스가 도입하였다.
호지 가군(Hodge加群, )은 대략 "호지 구조들의 층"으로 생각할 수 있다. 사이토 모리히코()가 도입하였다.
예.
무게 0 또는 1의 호지 구조.
임의의 아벨 군 formula_3에, 다음과 같이 자명하게 무게 0의 순수 호지 구조를 줄 수 있다.
만약 호지 구조의 차수 formula_83가 둘 다 음이 아닌 정수라면 이는 무게 0의 유일한 순수 호지 구조이다.
아벨 군 formula_3 위의, 무게 1의 순수 호지 구조는 (만약 차수 formula_83가 모두 음이 아닌 정수라면) 실수 벡터 공간formula_86 위의 복소구조
와 같다. 이 경우,
이다. 여기서
는 formula_93의 복소수체로의 선형 확대이다.
보다 일반적으로, 임의의 아벨 군 formula_3 위에, 짝수 무게 formula_95의 자명한 순수 호지 구조를 다음과 같이 줄 수 있다.
테이트 호지 구조() formula_97는 formula_98 위에 정의되는, 무게 formula_99의 순수 호지 구조이다. 이의 텐서곱을 취하여 얻는, 자명한 무게 formula_100의 호지 구조는 formula_101으로 쓴다.
테이트 뒤틂.
무게 formula_23의 순수 호지 구조 formula_2 및 정수 formula_104가 주어졌을 때, 테이트 뒤틂() formula_105는 다음과 같은, 무게 formula_106의 순수 호지 구조이다.
구멍을 뚫은 타원 곡선.
복소수 타원 곡선 formula_109에 서로 다른 닫힌 점 formula_110가 주어졌다고 하자. 이 경우, 점을 제거한 타원 곡선의 혼합 호지 구조는 다음과 같다. 우선, 특이 코호몰로지는 다음과 같다.
상대 코호몰로지 긴 완전열을 사용하면 다음과 같다.
즉, 이는 다음과 같이 분해된다.
긴 완전열의 사상은 혼합 호지 구조의 사상을 이루므로, 이를 무게에 따라 분해하면 다음과 같다.
즉,
이며, 구멍이 뚫린 타원 곡선의 1차 코호몰로지의 혼합 호지 구조는 무게 1 및 2를 가진다.
횡단 교차.
대수다양체 formula_59가 두 개의 비특이 사영 대수다양체 formula_123과 formula_124의 합집합이며, formula_123과 formula_124는 횡단적으로 교차한다면, 그 호지 구조를 다음과 같이 계산할 수 있다. 대수적 위상수학에 따르면, 특이 코호몰로지 위에 마이어-피토리스 완전열이 존재한다.
이는 혼합 호지 구조의 완전열을 이룬다. 이 완전열에서 formula_128와 formula_129는 무게 formula_130의 순수 호지 구조를 가지지만, formula_131는 일반적으로 무게 formula_130 및 formula_133을 갖는 혼합 호지 구조이며, 구체적으로 다음과 같다.