평탄 가군

환론에서 평탄 가군(平坦加群, )은 단사 가군 준동형에 텐서곱을 하여도 단사성이 보존되는 가군이다. 대수기하학에서 평탄 사상(平坦寫像, )은 공역의 줄기가 정의역의 줄기의 평탄 가군이 되도록 하는 스킴 사상이다. 기하학적으로, 평탄 사상은 그 올들이 "연속적으로" 변한다는 것을 뜻한다. 임의의 스킴 사상에서는 올의 크룰 차원이나 힐베르트 다항식 등이 임의로 변할 수 있지만, 평탄성을 가정하면 이러한 성질들이 일정하다는 것을 보일 수 있다.
정의.
평탄 가군.
(곱셈 항등원을 가진) 환 formula_1 위의 임의의 왼쪽 가군 formula_2에 대하여, formula_2과의 formula_1-텐서곱으로 정의되는 가법 함자
는 일반적으로 오른쪽 완전 함자이지만, (양쪽) 완전 함자가 아닐 수 있다. (여기서 formula_7는 formula_1-오른쪽 가군들의 범주이며, formula_9는 아벨 군들의 범주이다.)
(곱셈 항등원을 가진) 환 formula_1 위의 왼쪽 가군 formula_2에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 왼쪽 가군을 평탄 왼쪽 가군()이라고 한다.
여기서
이며, 꼬임 없는 왼쪽 가군 formula_2은 임의의 formula_71에 대하여 formula_72인 것이다.
마찬가지로 평탄 오른쪽 가군()의 개념을 정의할 수 있다. 그 정의는 평탄 왼쪽 가군의 정의에서 "오른쪽 완전 함자"를 제외한 나머지에서 왼쪽·오른쪽을 바뀌어 얻는다. (완전 함자에서 왼쪽·오른쪽은 짧은 완전열의 왼쪽·오른쪽에 대한 것이므로, 왼쪽 가군·오른쪽 가군의 관계와 무관하다.)
위의 서로 동치인 조건들 가운데, "아이디얼 formula_73에 대하여 formula_74"인 것은 (가환환의 경우) 다음과 같이 대수기하학적으로 해석할 수 있다.
위의 서로 동치인 조건들 가운데, 평탄성의 방정식적 조건은 대략 다음과 같이 생각할 수 있다.
평탄 가군층.
평탄 가군의 개념은 평탄 가군층(, 平坦加群層)으로 일반화된다. 환 달린 공간 formula_93 위의 가군층의 아벨 범주를 formula_94라고 하자. formula_93-가군층 formula_96가 주어졌을 때, 만약 가법 함자
가 완전 함자라면, formula_54을 평탄 가군층이라고 한다.
평탄 사상.
두 가환환 formula_1, formula_101 사이의 평탄 준동형() formula_102는 이로 인하여 formula_101가 formula_1의 평탄 가군이 되게 만드는 환 준동형이다.
두 스킴 formula_78, formula_106 사이의 평탄 스킴 사상() formula_107는 임의의 formula_108에 대하여 구조층의 줄기인 국소환의 준동형
이 평탄 준동형인 스킴 사상이다.
성질.
formula_1가 (곱셈 항등원을 가진) 가환환이며, formula_54이 formula_1-가군이라고 하자. 그렇다면, 다음 두 조건들이 서로 동치이다.
함의 관계.
다음이 성립한다.
평탄 사상.
평탄 사상들의 합성은 평탄 사상이다.
평탄 사상은 밑 변환에 대하여 불변이다. 즉, 평탄 사상 formula_107 및 formula_119가 주어졌을 때, 올곱 formula_120은 평탄 사상이다.
함의 관계.
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
평탄성의 일반성.
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
그렇다면 다음이 성립한다.
이를 평탄성의 일반성()이라고 하며, 평탄성의 가장 중요한 성질 가운데 하나이다. 이는 알렉산더 그로텐디크가 데비사주()를 통하여 증명하였다.
올의 차원과 힐베르트 다항식의 일정성.
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
그렇다면, 다음이 성립한다.
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
따라서, 평탄성은 올의 차원이 국소적으로 일정하다는 것과 (적절한 조건 아래) 동치이다.
정역 뇌터 스킴 formula_101에 의하여 매개화되는 사영 스킴의 족 formula_78를 생각하자. 즉, 사영 공간 formula_137의 닫힌 부분 스킴
를 생각하자. 여기에 구조 사상 formula_139을 합성하여,
를 정의할 수 있다. 그렇다면 formula_141에 대하여 formula_142는 formula_143 속의 닫힌 부분 스킴을 이룬다. 이 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
예.
(곱셈 항등원을 가진) 가환환 formula_1의, 임의의 곱셈에 대하여 닫힌 부분집합 formula_147에 대한 국소화 formula_148는 formula_1-평탄 가군이다.
정수환은 데데킨트 환이므로, 아벨 군이 formula_150-평탄 가군인 것은 꼬임 부분군이 자명군인 것과 동치이다. 따라서, 순환군 formula_151은 평탄 formula_150-가군이 아니다. 예를 들어, formula_153는 단사 함수이지만, formula_151과의 텐서곱을 취하면 formula_155은 더 이상 단사 함수가 아니다.
매끄럽지 않은 평탄 사상.
체 formula_156 위의 스킴의 족
를 생각하자. 이 경우, formula_158에서는 올이 아핀 타원 곡선 formula_159이지만, formula_160에서 올은 두 아핀 직선(x축과 y축)의 합집합으로 퇴화하게 된다. 따라서 이는 매끄러운 사상이 아니지만, 이는 평탄 사상을 이룬다.
평탄 사상이 아닌 사상.
체 formula_156 위의 스킴의 족
를 생각하자. 이 경우, formula_158에서 올은 한 점으로 구성되지만, formula_160에서 올은 아핀 직선을 이룬다. 이에 따라 이는 평탄 사상이 아니다.
다른 예로, 결절점을 가진 삼차 대수 곡선 formula_165을 생각하자. 대수 곡선의 특이점은 정규화로 해소되며, 그 정규화를 formula_166라고 하자. 그렇다면 표준적인 사상 formula_167가 존재한다. 이는 비분기 사상이지만 평탄 사상이 아니며, 따라서 에탈 사상이 아니다. 평탄성의 실패는 결절점 밖에서는 올이 한 점으로 구성되지만, 결절점에서는 올이 갑자기 ("불연속적으로") 두 개의 점으로 바뀌기 때문이다.
역사.
평탄성의 개념은 장피에르 세르가 1956년 논문에서 도입하였다. 이 논문에서 세르는 복소수체 위의 대수다양체 formula_78의 해석화 formula_169가 주어졌을 때, formula_169의 구조층의 줄기는 formula_78의 구조층의 줄기 위의 평탄 가군을 이룸을 보였다. 이후 알렉산더 그로텐디크는 평탄성이 대수기하학에서 매우 중요함을 알아차렸고, 이를 《대수기하학 원론》에서 널리 사용하였다.
데이비드 멈퍼드는 평탄성에 대하여 다음과 같이 적었다.
마찬가지로, 로빈 하츠혼은 평탄성에 대하여 다음과 같이 적었다.