정규 공간

일반위상수학에서 정규 공간(正規空間, )은 서로소 닫힌집합들을 서로소 근방 또는 연속 실함수로 분리할 수 있는 위상 공간이다. 정규 공간에는 "충분한 수의" 연속 실함수가 존재하여, 닫힌집합에 정의된 실함수를 공간 전체로 연장할 수 있다 (티체 확장 정리, Tietze擴張定理, ).
정의.
위상 공간 formula_1에 대하여 다음 네 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 정규 공간이라고 한다.
즉, 두 닫힌집합을 근방으로 분리하는 것은 실함수로서 분리하는 것과 동치이다.
위상 공간 formula_1의 임의의 두 서로소 닫힌집합이 서로소 근방으로 분리되며, formula_2가 서로소 닫힌집합이라고 가정하자. 우선, 다음 조건을 만족시키는 열린집합들의 집합 formula_21를 구성하자.
이를 위해, formula_23 속의 유리수 전체의 열
을 취하자. 수학적 귀납법을 사용하여, formula_25개의 열린집합 formula_26이 위 두 조건을 만족시킨다고 하자. formula_27인, formula_28과 가장 가까운 formula_29을 취하자. formula_30이므로, formula_31와 formula_32는 서로소 닫힌집합이며, 따라서 서로소 열린 근방으로 분리된다. 즉,따라서
인 열린집합 formula_34가 존재한다. 따라서, formula_35개의 열린집합 formula_36은 위 두 조건을 만족시킨다.
이제, 다음 함수를 생각하자.
이 함수가 formula_7, formula_8을 만족시킴을 쉽게 확인할 수 있다. 따라서 formula_41가 연속 함수임을 증명하는 일만 남았다. 임의의 formula_42에 대하여, formula_43 및 formula_44가 열린집합임을 증명하는 것으로 충분하다. formula_45라고 하자. formula_46인 유리수 formula_47를 취하자. 그렇다면 formula_48는 formula_49의 열린 근방이며,
이다. 즉, formula_43는 열린집합이다. 이제 formula_52라고 하자. 유리수 formula_53를 취하자. 그렇다면 formula_54이며, formula_55이므로 formula_56이다. 따라서, formula_57는 formula_49의 열린 근방이며,
이다. 즉, formula_44은 열린집합이다.
반대로, 임의의 서로소 닫힌집합 formula_2에 대하여, formula_7, formula_8인 연속 함수 formula_64가 존재한다고 가정하자. 그렇다면
는 서로소 열린집합이며, formula_67, formula_68이다.
위상 공간 formula_1의 임의의 서로소 닫힌집합이 서로소 근방을 통해 분리되며, 임의의 닫힌집합 formula_10 및 연속 함수 formula_71가 주어졌다고 가정하자. 그렇다면,
은 formula_74의 닫힌집합이므로, formula_1의 서로소 닫힌집합이다. 우리손 보조정리에 따라, formula_76, formula_77인 연속 함수 formula_78가 존재한다. 이 경우
이다. 마찬가지로, 연속 함수 formula_80 및
에 대하여, formula_83, formula_84인 연속 함수 formula_85가 존재하며, 이는
를 만족시킨다. 위 과정을 반복하면 다음 조건을 만족시키는 연속 함수의 열 formula_87을 얻는다.
이제,
라고 하자. 그렇다면, formula_90는 균등 수렴하므로 연속 함수이며, formula_12이다.
이제, 위상 공간 formula_1의 임의의 서로소 닫힌집합이 서로소 근방을 통해 분리되며, 임의의 닫힌집합 formula_10 및 (유계 함수일 필요가 없는) 연속 함수 formula_11가 주어졌다고 가정하자. 위상동형사상 formula_95을 취하자. 그렇다면, formula_96은 연속 함수이므로, formula_97인 연속 함수 formula_98이 존재한다.
이라고 하자. 그렇다면, formula_100는 닫힌집합이며, formula_101이므로, formula_102, formula_103인 연속 함수 formula_104이 존재한다. 이 경우 formula_105은 연속 함수이며, formula_106이다. 따라서,
는 formula_41의 연속 확장이다.
반대로, 임의의 닫힌집합 formula_10 위의 연속 함수 formula_110(또는 formula_111)가 연속 확장 formula_112(또는 formula_113)를 가지며, formula_2가 서로소 닫힌집합이라고 가정하자. 그렇다면, formula_115는 닫힌집합이며,
는 연속 함수이다. 따라서, 이는 연속 확장 formula_64를 갖는다. 이 경우,
는 formula_74와 formula_100의 서로소 열린 근방이다.
T4 공간(T4空間, )은 정규 하우스도르프 공간이다.
정규 공간의 (첫째) 정의는 점을 언급하지 않고 열린집합 및 닫힌집합 만으로 정의되므로, 장소에 대하여 쉽게 일반화할 수 있다. 즉, 장소 formula_123가 다음 조건을 만족시킨다면, 정규 장소(正規場所, )라고 한다.
완전 정규 공간.
위상 공간 formula_1에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 완전 정규 공간(完全正規空間, )이라고 한다.
완전 정규 하우스도르프 공간을 T6 공간(T6空間, )이라고 한다.
성질.
정규 공간의 개념은 다음과 같은 일련의 분리공리들 가운데 하나이다.
그러나 점-점 또는 점-닫힌집합의 경우와 달리, 닫힌집합-닫힌집합의 경우 근방으로 분리하는 것과 실함수로 분리하는 것이 서로 동치이다 (우리손 보조정리).
함의 관계.
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
모든 파라콤팩트 하우스도르프 공간은 정규 공간이다.
정칙성과의 관계.
정규 공간이 정칙 공간일 필요는 없다. 그러나 정규 공간에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
즉, 정규성에 R0 공간이라는 아주 약한 조건을 추가하면 (완비) 정칙성을 함의한다.
모든 파라콤팩트 정칙 공간은 정규 공간이다.
연산에 대한 닫힘.
정규 공간의 닫힌집합은 정규 공간이다. 그러나 이는 임의의 부분 집합에 대하여 성립하지 않을 수 있다. 모든 부분 공간이 정규 공간인 위상 공간을 완비 정규 공간(完備正規空間, ) 또는 유전 정규 공간(遺傳正規空間, )이라고 하며, 완비 정규 하우스도르프 공간을 T5 공간(T5空間, )이라고 한다.
정규 공간 formula_1와 연속 함수 formula_144가 주어졌을 때, 만약 formula_41의 치역 formula_146가 formula_147의 닫힌집합이라면 formula_146는 정규 공간이다.
정규 공간들의 곱공간은 정규 공간이 아닐 수 있다. 심지어, 정규 공간 formula_1에 대하여, formula_150이 정규 공간이 아닐 수도 있다.
예.
대수기하학이나 일반위상수학을 제외하고, 수학에 흔히 등장하는 대부분의 위상 공간은 정규 공간이다.
비가산 개의 비(非)콤팩트 거리화 가능 공간들의 곱공간은 항상 정규 공간이 아니다.
크기 2 이상의 비이산 공간은 (완전) 정규 공간이지만, 콜모고로프 공간이 아니다. 시에르핀스키 공간은 (완비) 정규 공간이며, 콜모고로프 공간이지만, T1 공간이 아니다.
역사.
정규 공간의 개념은 1923년에 오스트리아의 수학자 하인리히 프란츠 프리드리히 티체(, 1880~1964)가 도입하였다.
티체 확장 정리는 원래 라위트전 브라우어르와 앙리 르베그가 유클리드 공간에 대하여 증명하였고, 이후 티체가 이를 임의의 거리화 가능 공간에 대하여 일반화하였다. 이후 파벨 사무일로비치 우리손이 1925년에 우리손 보조정리를 사용하여 이를 임의의 정규 공간에 대하여 증명하였다.
1951년에 클리퍼드 휴 다우커()는 정규 공간 formula_1에 대하여, formula_150이 정규 공간이 아니라면, formula_1가 여러 특수한 성질들을 갖는다는 것을 보였다. 다우커는 이러한 공간들이 존재하지 않는다고 추측하였으나, 1971년에 메리 엘런 루딘이 이러한 공간들이 실재함을 증명하였다.
정규 공간과 티체 확장 정리에 대하여 니콜라 부르바키는 다음과 같이 적었다.