측도

수학에서 측도(測度, )는 특정 부분 집합에 대해 일종의 ‘크기’를 부여하며, 그 크기를 가산개로 쪼개어 계산할 수 있게 하는 함수이다. 측도의 개념은 유한 집합의 원소의 수 · 실수 구간의 길이 · 평면 도형의 넓이 · 3차원 입체의 부피의 개념을 공통적으로 일반화한다. 측도가 부여된 집합을 측도 공간(測度空間, )이라고 한다. 이와 같이 측도와 측도 공간을 연구하는 수학 분야를 측도론(測度論, )이라고 한다.
정의.
측도.
불 대수의 두 원소 formula_1에 대하여, formula_2라면 두 원소가 서로소(-素, )라고 한다.
임의의 음이 아닌 확장된 실수들의 (비가산일 수 있는) 집합 formula_3의 합을 다음과 같이 정의하자.
임의의 기수 formula_5가 주어졌다고 하자. formula_5-완비 불 대수 formula_7 위의 함수 formula_8가 다음 조건을 만족시킨다면, formula_9가 formula_5-가법 측도(-加法測度, )라고 한다.
여기서 formula_21는 음이 아닌 확장된 실수의 전순서 집합이며, formula_22는 상한을 뜻하며, formula_23은 시그마 대수의 최소 원소이다.
만약 formula_24일 경우, formula_9를 유한 가법 측도(有限加法測度, )라고 한다. 만약 formula_26인 경우, formula_27-완비 불 대수를 시그마 대수라고 하며, formula_9를 가산 가법 측도(加算加法測度, ) 또는 시그마 가법 측도(σ加法測度, ) 또는 단순히 측도라고 한다.
불 대수 formula_29 위의 함수 formula_30에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
유한 측도.
formula_5-완비 불 대수 formula_7 위의 formula_5-가법 측도 formula_9에 대하여, 만약 formula_41라면 formula_9를 유한 측도(有限測度, )라고 한다. 만약 formula_43이라면 formula_9를 확률 측도라고 한다. 사실, 임의의 formula_45에 대하여, formula_5-가법 유한 측도는 가산 가법 유한 측도와 동치이다. 이는 유한 가법 유한 측도를 갖는 불 대수는 가산 사슬 조건(즉, 서로소 원소들의 비가산 집합을 갖지 않음)을 만족시키기 때문이다.
증명:
불 대수 formula_29가 유한 가법 유한 측도 formula_30를 갖는다고 하자. 귀류법을 사용하여, formula_29가 서로소 원소들의 비가산 집합 formula_50를 갖는다고 하자.
라고 하자. 그렇다면 formula_52이므로 formula_53인 formula_54가 존재한다. 따라서,
이며, 이는 모순이다.
시그마 대수 formula_7 위의 가산 가법 측도 formula_9에 대하여, 만약
를 만족시키는 부분 집합 formula_11가 존재한다면, formula_9를 시그마 유한 측도(σ有限測度, )라고 한다.
불 대수 위의 유한 가법 측도 formula_8에 대하여, 만약 다음 조건이 성립한다면, formula_9를 준유한 측도(準有限測度, )라고 한다.
완비 불 대수 위의 준유한 가산 가법 측도를 마하람 측도() 또는 국소화 가능 측도()라고 한다.
영집합의 순서 아이디얼.
formula_5-완비 불 대수 formula_7 위의 측도 formula_9가 주어졌을 때, 그 영원소(零元素, )는 측도가 0인 원소이다. 그 집합을 다음과 같이 표기하자.
이는 formula_5-완비 순서 아이디얼을 이루며, 따라서 몫 대수 formula_74를 정의할 수 있고, formula_9는 그 위에 잘 정의된다. 이 경우, 추가로 다음 성질이 성립한다.
즉, 이 경우 자명하지 않은 영원소들을 없앨 수 있다.
측도 공간.
측도 대수(測度代數, )는 시그마 대수 formula_7와 그 위의 측도 formula_9의 순서쌍 formula_79이다.
가측 공간 formula_80에서, 가측 집합들의 집합족 formula_81는 시그마 대수를 이룬다. 측도 공간 formula_82은 가측 공간 formula_80과 formula_7 위의 측도 formula_9의 순서쌍이다. 만약 formula_9가 확률 측도라면, formula_82를 확률 공간이라고 한다.
연산.
합측도.
임의의 측도 공간들의 족 formula_88이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 분리합집합
위에 시그마 대수
를 부여하고, 그 위에 측도
를 부여할 수 있다.
곱측도.
두 측도 공간 formula_82, formula_93가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 곱집합 formula_94 위에 시그마 대수
를 부여하자. (여기서 formula_96는 주어진 집합족으로 생성되는 최소의 시그마 대수를 뜻한다.) 이제, 추가로 formula_9와 formula_98이 시그마 유한 측도라면, formula_99 위에 다음과 같은 측도를 부여할 수 있다.
시그마 유한 조건 아래, 이는 다음 항등식을 만족시키는, formula_99 위의 유일한 측도이다.
그러나 만약 시그마 유한 조건이 성립하지 않는다면 위 등식이 성립하지 못할 수 있다.
성질.
임의의 측도 공간 formula_82에서 다음 명제들이 성립한다.
거리 구조.
불 대수 formula_7 위의 유한 가법 측도 formula_8가 주어졌다고 하자. 그렇다면, formula_7 위에 다음과 같은 확장된 유사 거리 함수() formula_119를 정의할 수 있다.
여기서 formula_121은 대칭차이다.
증명:
자명하지 않은 유일한 조건은 삼각 부등식이다. 임의의 formula_122에 대하여,
이므로 (벤 다이어그램 참고)
이다.
만약 formula_9가 유한 측도라면, 이는 유사 거리 공간을 이루며, 측도 대수 formula_126는 거리 공간을 이룬다.
원자.
불 대수 formula_7 위의 유한 가법 측도 formula_8가 주어졌을 때, 영원소들의 순서 아이디얼
을 생각하자. formula_9의 원자(原子, )는 formula_131의 극소 원소이다. (다시 말해, 몫대수 formula_126의 순서론적 원자이다.) 즉, 다음 두 조건을 만족시키는 원소 formula_65이다.
원자를 갖지 않는 측도를 비원자적 측도(非原子的測度, )라고 한다.
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
그렇다면, 비원자적 측도에 대한 중간값 정리()에 따르면, 다음 두 조건을 만족시키는 함수 formula_139가 존재한다.
증명:
증명은 다음과 같다.
① 부분 정의 함수들의 집합
이 정의에 등장하는 두 조건을 만족시키는 (즉, 증가 함수이며 formula_9의 오른쪽 역함수인) 부분 정의 함수들로 구성되었다고 하자. 이 위에 통상적인 부분 순서
를 주자. 그렇다면, formula_147는 닫힌 부분 순서 집합임을 쉽게 확인할 수 있으며, 초른 보조정리에 의하여 극대 원소 formula_155를 갖는다.
② 귀류법을 사용하여, 임의의 formula_156에 대하여, formula_157라고 하자. 그렇다면, formula_158는 formula_9의 원자가 되어 가정에 모순된다.
③ 귀류법을 사용하여, formula_160이라고 하자. formula_161 속에 포함되는 열린구간들의 족은 초른의 보조 정리에 의하여 극대 원소 formula_162를 갖는다. 극대 원소의 정의에 따라, formula_163로 수렴하는 증가 수열
과 formula_165로 수렴하는 감소 수열
가 존재한다. 이제,
를 정의하면,
가 되므로, formula_170이며, ②에 따라 formula_171가 존재하는데, 이는 모순이다.
따라서, 이러한 formula_7의 크기는 formula_173 이상이며, 만약 어떤 집합 formula_174에 대하여 formula_175라면 formula_174의 크기 역시 formula_173 이상이다.
분류.
가산 가법 측도 대수 formula_8가 다음 조건을 만족시킨다면 동질 측도 대수(同質測度代數, )라고 한다.
여기서 formula_182는 (유사 거리 공간으로서의) 무게이며, formula_183는 하집합을 뜻하며, formula_184은 하집합에 제한하여 얻는 측도 대수를 뜻한다.
마하람 정리()에 따르면, 다음이 성립한다.
여기서, formula_186는 곱공간 formula_188의 측도 대수이다. 즉, 닫힌구간 formula_189 위에 르베그 측도를 부여한 뒤, formula_5개의 곱측도를 취하고, 영집합 시그마 아이디얼에 대한 몫을 취하여 얻는 측도 대수이다.
예.
집합 위의 측도.
임의의 불 대수 formula_29 위에서, 값 0을 갖는 상수 함수는 항상 유한 가법 측도를 이루며, 만약 formula_29가 formula_5-완비 불 대수라면 이는 formula_194-가법 측도이다.
셈측도는 집합의 원소 개수를 의미하는 측도이다. 이는 유한 집합 위에 사용되는 통상적인 측도이다.
디랙 측도()는 집합에 특정 원소가 포함되는지에만 값이 결정된다. 어떠한 원소 formula_195에 대해, 디랙 측도 formula_196는 formula_197에 formula_163가 포함되면 1, 그렇지 않으면 0의 값을 가진다. 즉, 지시 함수 formula_199로 표현할 수 있다. 디랙 측도는 디랙 델타 함수를 측도로 표현한 것으로 볼 수 있다.
집합론에서는 측정 측도가 존재할 수 있는 기수를 가측 기수라고 한다.
불 대수 formula_29 위의 극대 필터 formula_201가 주어졌을 때, 다음과 같은 유한 가법 확률 측도를 정의할 수 있다.
위상 공간.
임의의 거리 공간 위에는 하우스도르프 측도라는 측도가 존재한다.
유클리드 공간 위에는 통상적으로 르베그 측도가 사용된다.
위상군 위에는 하르 측도라는 측도가 존재한다.
역사.
1898년 저서에서 에밀 보렐은 구간의 길이의 개념을 가산 가법성을 사용하여 실수선의 보렐 집합에 대하여 일반화하였다. 즉, 현대적인 용어로 보렐은 실수선의 보렐 집합의 르베그 측도를 정의하였다.
이후 1902년 박사 학위 논문에서 앙리 르베그는 보렐의 이론을 간략화·일반화하였으며, 고차원 유클리드 공간의 르베그 측도를 정의하였고, 이를 통하여 함수의 적분 이론을 전개하였다.