군 코호몰로지

군론에서 군 코호몰로지(群cohomology, )와 군 호몰로지(群homology, )는 군 위에 정의되는 코호몰로지 · 호몰로지 이론이다.
정의.
다음이 주어졌다고 하자.
임의의 자연수 formula_5에 대하여, formula_1의 formula_7계수 formula_8차 군 호몰로지 formula_9 및 formula_1의 formula_7계수 formula_8차 군 코호몰로지 formula_13는 각각 아벨 군이다. 이들은 다음과 같이 여러가지로 정의될 수 있지만, 이 정의들은 서로 동치이다.
유도 함자를 통한 정의.
군 코호몰로지는 불변량 함자의 왼쪽 유도 함자로, 군 호몰로지는 쌍대 불변량 함자의 오른쪽 유도 함자로 정의될 수 있다.
구체적으로, 군 formula_1가 주어졌다고 하자. formula_2의 왼쪽 가군들의 범주 formula_16는 단사 대상을 충분히 가지는 아벨 범주이다.
다음과 같은 함자를 정의하자.
즉, 이는 가군을 그 불변량으로 구성된 아벨 군으로 대응시킨다.
formula_19는 왼쪽 완전 함자이다. 그 formula_8번째 오른쪽 유도 함자를 formula_1의 formula_8차 군 코호몰로지라고 한다.
마찬가지로, 다음과 같은 함자를 정의하자.
여기서
이다. 즉, formula_27는 formula_7의 쌍대 불변량()으로 구성된다.
formula_29는 오른쪽 완전 함자이다. 그 formula_8번째 왼쪽 유도 함자를 formula_1의 formula_8차 군 호몰로지라고 한다.
Ext와 Tor를 통한 정의.
군 코호몰로지는 군환에 대한 Ext 함자의 특별한 경우이며, 군 호몰로지는 군환에 대한 Tor 함자의 특별한 경우이다.
구체적으로, 군 formula_1 및 formula_2-왼쪽 가군 formula_4이 주어졌다고 하자. 그렇다면, formula_37를 자명한 formula_2-왼쪽 가군으로 여길 수 있다. (즉, 임의의 formula_39 및 formula_40에 대하여 formula_41이다.) 그렇다면, formula_2-왼쪽 가군의 범주 formula_43에서 Ext 함자를 취할 수 있다. formula_1의 formula_7 계수의 군 코호몰로지는 다음과 같은 Ext 함자이다.
마찬가지로, formula_37를 자명한 formula_2-오른쪽 가군으로 여길 수 있다. (즉, 임의의 formula_39 및 formula_40에 대하여 formula_51이다.) 그렇다면, 오른쪽 가군 formula_52와 왼쪽 가군 formula_4 사이의 Tor 함자를 취할 수 있다.
formula_1의 formula_7 계수의 군 호몰로지는 다음과 같은 Tor 함자이다.
군 코호몰로지의 구체적 정의.
formula_1가 군이고 formula_7이 formula_2-가군이라고 하자. 양의 정수 formula_8에 대하여, formula_8차 공사슬(共사슬, )을 formula_62 함수로 정의하고, formula_8차 공사슬의 집합을 formula_64으로 쓰자. 이는 덧셈에 대하여 아벨 군을 이룬다. (여기서 formula_65은 군의 직접곱 formula_66이다.)
공경계 준동형(共境界準同形, ) formula_67을 다음과 같이 정의하자.
이렇게 정의하면
임을 알 수 있다. 따라서 formula_72은 공사슬 복합체를 이루며, 이에 따라
과 같이 코호몰로지 군 formula_13을 정의할 수 있다. 이를 formula_7계수를 가진 formula_1의 formula_8차 군 코호몰로지라고 한다.
군 호몰로지의 구체적 정의.
formula_1가 군이고 formula_7이 formula_2-왼쪽 가군이라고 하자.
양의 정수 formula_8에 대하여, formula_8차 사슬()의 집합은
formula_83
이다.
그 사이에 다음과 같은 경계 준동형(境界準同形, )을 정의하자.
그렇다면, 다음과 같은 사슬 복합체를 얻는다.
그 호몰로지 군
을 formula_7계수를 가진 formula_1의 formula_8차 군 호몰로지라고 한다.
구체적 정의의 유도.
구체적 정의는 Ext · Tor를 사용한 정의로부터 다음과 같이 유도된다.
우선, 아벨 군의 아벨 범주 formula_91에서, formula_92-결합 대수 (즉, 환) formula_2의 왼쪽 가군 formula_94 및
오른쪽 가군 formula_95를 생각하자. 그렇다면, 물론
이다. 이를 사용하여, 다음과 같은 막대 복합체를 생각하자.
그렇다면,
는 formula_37의 분해를 이룬다.
막대 복합체의 모든 성분들은 formula_2-사영 가군이므로, 막대 복합체 formula_101는 formula_37의 사영 분해를 정의한다. 이에 따라서, Ext 함자 formula_103은 다음과 같은 공사슬 복합체의 코호몰로지로 얻어진다.
그런데 formula_105은 formula_2-자유 가군이므로, 다음과 같은 표준적인 전단사 함수가 존재한다.
여기서 formula_108은 모든 함수 formula_62의 집합이며, 이는 군 코호몰로지를 정의하는 formula_8차 공사슬의 집합과 같다.
마찬가지로, Tor 함자 formula_111은 formula_52의 사영 분해 formula_113를 사용하면 다음과 같은 사슬 복합체
의 호몰로지로 계산된다.
그런데
이다. 이는 군 호몰로지를 정의하는 formula_8차 사슬의 집합과 같다.
성질.
낮은 차수의 군 (코)호몰로지.
군 코호몰로지의 공사슬 복합체는 다음과 같이 시작한다.
마찬가지로, 군 호몰로지의 사슬 복합체는 다음과 같이 시작한다.
이에 따라, 낮은 차수의 군 (코)호몰로지는 다음과 같이 해석된다. (마지막 열은 formula_1의 formula_7 위의 작용이 자명할 경우에 대한 특별한 해석이다.)
특히, 만약 formula_1의 formula_7 위의 작용이 자명할 때, 다음이 성립한다.
위상 코호몰로지와의 관계.
만약 formula_1의 formula_7 위의 작용이 자명하다면, 군 호몰로지와 군 코호몰로지는 각각 (이산 위상을 부여한 위상군으로서의) 분류 공간 formula_141의 특이 호몰로지 및 특이 코호몰로지와 동형이다.
증명:
formula_1의 분류 공간은 단체 집합 formula_145이다. 그 정수 계수 단체 호몰로지는 사슬 복합체
로 주어지며, formula_7계수 단체 호몰로지는 사슬 복합체
으로 주어진다. 그런데 이는 군 호몰로지를 정의하는 사슬 복합체와 같다.
마찬가지로, 분류 공간 formula_149의 formula_7계수 단체 코호몰로지는 공사슬 복합체
로 주어진다. 그런데 이는 formula_1의 formula_7계수 군 코호몰로지와 같다.
보다 일반적으로, 만약 formula_1의 작용이 자명하지 않다면, formula_7은 formula_141 위의 일종의 층 formula_157을 정의하며, 이 층의 층 (코)호몰로지는 formula_1의 formula_7계수 군 (코)호몰로지와 같다.
예.
자유군.
formula_162개의 원소로 생성되는 자유군 formula_163을 생각하자. 자명한 작용을 가진 아벨 군 formula_7에 대하여, 군 (코)호몰로지는 다음과 같다.
순환군.
formula_162차 순환군 formula_167을 생각하자. 자명한 작용을 가진 아벨 군 formula_7에 대하여, 군 (코)호몰로지는 다음과 같다.
여기서 formula_170은 formula_7의 formula_8-꼬임 부분군이다.
이는 순환군의 분류 공간인 formula_173의 특이 호몰로지와 같다. 특히, formula_174일 경우 이는 무한 차원 실수 사영 공간 formula_175의 특이 호몰로지이다.
자유 아벨 군.
formula_162차 자유 아벨 군 formula_177을 생각하자. 자명한 작용을 가진 아벨 군 formula_7에 대하여, 군 (코)호몰로지는 다음과 같다.
여기서 formula_180은 이항 계수이다. 이는 자유 아벨 군의 분류 공간인 원환면 formula_181의 특이 호몰로지와 같다.