음함수 정리

다변수 미적분학에서 음함수 정리(陰函數定理, )는 변수들에 대한 방정식이 국소적으로 충분히 매끄러운 함수 관계를 나타낼 충분 조건을 제시하는 정리이다.
도입.
2차원 유클리드 공간 formula_1 위에서 원점 formula_2을 중심으로 하며 1을 반지름으로 하는 원의 방정식
을 생각하자. 이 방정식은 formula_4에서 다음과 같은 유일한 함수와 동치이다.
또한 이 방정식은 formula_6에서 다음과 같은 유일한 함수와 동치이다.
이 방정식을 만족시키는 연속 함수는 formula_8에서 위와 같은 두 가지가 있으므로 유일하지 않다. 그러나 formula_9을 지나는 연속 함수는 첫 번째 함수로 유일하다. 이 사실에 대한 기하학적 의미를 알아보기 위해, 다음과 같은 함수를 정의하자.
이렇게 정의한 formula_11의 그래프는 formula_12에 놓인 곡면이며, 위와 같은 원은 이 곡면과 평면 formula_13의 교선이다. formula_9 주변에서 formula_15인 점 formula_16을 임의로 취하자. 여기에는 특히 formula_17 역시 포함된다. formula_18가 고정되었을 때, formula_19는 formula_20 주변에서 formula_21에 대한 순증가 함수이기 때문에, 국소적으로 formula_22에 대하여 formula_23이 성립하며, formula_24에 대하여 formula_25이 성립한다. 따라서 formula_26의 영점 집합은 formula_9에서 국소적으로 어떤 함수 formula_28의 그래프와 일치한다. formula_29가 formula_21에 대한 순단조 함수가 되기 위한 한 가지 충분 조건은 formula_31이다. 이를 만족시키지 않는 점을 지나는 연속 함수는 국소적으로 유일할 필요가 없다. 예를 들어, 방정식을 만족시키며 formula_32을 지나는 연속 함수는 대역적으로나 국소적으로나 유일하지 않다. 음함수 정리에서는 이 조건을 가정으로 삼아 국소적으로 유일한 음함수의 존재를 결론으로 제시한다. 사실 formula_31은 비퇴화 조건의 가장 간단한 경우이다. 여러 개의 방정식의 연립
에서 formula_37가 국소적으로 formula_38의 함수인지를 다루려면 다음과 같은 비퇴화 조건을 사용하여야 한다.
이 부등식의 좌변은 함수 formula_40의 변수 formula_41에 대한 야코비 행렬식이다. 특히, 만약
일 경우, 위에서 정의한 야코비 행렬식은 formula_45을 상수로 간주하여 얻는 연립 일차 방정식의 계수 행렬의 행렬식 formula_46이다.
정의.
열린 근방 formula_47와 formula_48 및 연속 함수 formula_49, formula_50 (formula_51, formula_52)가 다음을 만족시킨다고 하자.
그렇다면, 다음을 만족시키는 열린 근방 formula_57 및 유일한 연속 함수 formula_58가 존재한다.
또한, formula_63에 대하여, 만약 formula_64가 formula_65 함수라면, formula_66 역시 formula_65 함수이며, formula_66의 도함수 formula_69는 다음과 같다.
여기서 formula_71이다. 이를 음함수 정리라고 한다. formula_64가 formula_65 함수임을 가정하지 않을 경우, formula_66의 미분 가능성은 일반적으로 성립하지 않는다.
가장 간단한 경우.
두 열린구간 formula_75와 formula_76 및 연속 함수 formula_77가 다음을 만족시킨다고 하자.
그렇다면, 다음을 만족시키는 열린구간 formula_81 및 유일한 연속 함수 formula_82가 존재한다.
또한, formula_63에 대하여, 만약 formula_88가 formula_65 함수라면, formula_90 역시 formula_65 함수이며, formula_90의 도함수 formula_93는 다음과 같다.
이는 음함수 정리에서 formula_95을 취한 가장 간단한 경우이다.
증명.
수학적 귀납법을 통한 증명.
수학적 귀납법을 사용하자.
m=1.
먼저 formula_96일 경우를 증명하자. 편의상 formula_97라고 가정하자. 그러면 formula_78에 연속성에 의하여, 다음을 만족시키는 formula_99가 존재한다.
이에 따라 formula_105가 formula_106에서 순증가 함수이며, 또한 formula_107이므로, formula_108이다. 따라서 다음을 만족시키는 formula_109가 존재한다.
따라서, 임의의 formula_112에 대하여, formula_113는 formula_106에서 순증가 함수이자 연속 함수이므로, 중간값 정리에 따라 formula_115인 유일한 formula_116가 존재한다. 이렇게 정의한 함수 formula_117는 임의의 formula_110에 대하여 formula_119를 만족시키며, 특히 formula_120이다. 이제 formula_90의 연속성을 증명하자. 임의의 formula_112 및 충분히 작은 formula_123에 대하여, formula_124이므로, 다음을 만족시키는 formula_125가 존재한다.
따라서, 임의의 formula_129에 대하여, formula_130이다. 이제 formula_90의 유일성을 증명하자. 연속 함수 formula_132가 다음을 만족시킨다고 가정하자.
그렇다면, 다음과 같은 집합이 formula_137의 열린닫힌집합임을 보이는 것으로 족하다.
우선 임의의 formula_139에 대하여, 다음을 만족시키는 formula_140가 존재한다.
따라서, 임의의 formula_142에 대하여, formula_145이다. 즉, formula_146는 formula_137의 열린집합이다. 또한 임의의 formula_148에 대하여, formula_149의 연속성에 의하여 formula_139이다. 즉, formula_146는 formula_137의 닫힌집합이다. formula_137는 연결 집합이며, 또한 formula_154이므로, formula_155이다. 즉, 임의의 formula_110에 대하여, formula_157이다. 이제 formula_88가 formula_65 함수일 때 formula_90의 formula_65성을 보이고 도함수를 구하자. 임의의 formula_162 및 formula_163에 대하여, 다음과 같이 표기하자.
그러면 평균값 정리에 따라 다음을 만족시키는 formula_165가 존재한다.
따라서, 다음이 성립한다.
또한 formula_168와 formula_169가 연속 함수이므로, formula_90는 연속 미분 가능 함수이다.
m&gt;1.
이제 formula_171일 경우를 증명하자. formula_172의 원소를 formula_173로 쓰고, formula_174와 같이 표기하자. 또한 편의상 formula_175이라고 가정하자. 그렇다면, 수학적 귀납법 가정에 의하여, 다음을 만족시키는 유일한 연속 함수 formula_176가 존재하게 되는 formula_99가 존재한다.
다음과 같은 함수 formula_185를 정의하자.
그렇다면, 수학적 귀납법 가정에 의하여, 임의의 formula_102 및 formula_182에 대하여 다음이 성립한다.
따라서 formula_190이다. 수학적 귀납법 가정에 의하여, 다음을 만족시키는 유일한 연속 함수 formula_191가 존재하게 되는 formula_109가 존재한다.
이제 formula_197를 다음과 같이 정의하자.
그렇다면, formula_66는 연속 함수이며, 다음이 성립한다.
이러한 formula_66의 유일성은 formula_96의 경우와 똑같은 방법으로 보일 수 있다. 만약 formula_64가 formula_65 함수라면, 각 formula_208 및 formula_162에 대하여, formula_210의 양변에 formula_211를 취하면, 연쇄 법칙에 따라 다음을 얻는다.
이를 행렬로 표기하면 formula_69의 공식을 얻으며, 따라서 formula_66 역시 formula_65 함수이다.
바나흐 고정점 정리를 통한 증명.
다음과 같은 함수 formula_216를 정의하자.
그러면 다음이 성립한다.
따라서 formula_219이다. 또한 formula_56이므로, formula_221를 취하였을 때, 다음을 만족시키는 formula_99가 존재한다.
또한, formula_229이므로, 다음을 만족시키는 formula_109가 존재한다.
이제 임의의 formula_112에 대하여, formula_234가 formula_235 위의 formula_236-립시츠 연속 함수임을 증명하자. 우선 임의의 formula_226에 대하여, 다음을 만족시키는 formula_238가 존재한다.
따라서 formula_240이다. 또한, 임의의 formula_241에 대하여, 다음을 만족시키는 formula_242가 존재한다.
즉, formula_234는 formula_235 위의 formula_236-립시츠 연속 함수이다. 또한 formula_247는 바나흐 공간이므로, 바나흐 고정점 정리에 따라 formula_234는 formula_235에서 유일한 고정점 formula_250를 가진다. 즉, 다음이 성립한다.
이제 이렇게 정의한 formula_252가 연속 함수임을 증명하자. 임의의 formula_253에 대하여, 다음이 성립한다.
즉, 다음이 성립한다.
따라서 formula_66는 연속 함수가 맞다. formula_66의 유일성은 고정점의 유일성에 따라 성립한다. 이제 formula_64가 formula_65 함수일 때 formula_66의 formula_65성을 보이고 도함수를 구하자. 임의의 formula_253에 대하여, 다음과 같이 표기하자.
그러면 다음이 성립한다.
마지막 등호는 formula_266 때문이다. 즉,
가 성립하며, formula_66는 formula_65 함수이다.
예.
닫힌 형식으로 나타낼 수 없는 함수.
어떤 formula_270에 대하여, 케플러 방정식
을 생각하자. 다음과 같은 함수 formula_272를 정의하자.
그렇다면, 임의의 formula_274에 대하여,
이므로, formula_86인 유일한 formula_278가 존재한다. 음함수 정리에 따라, 이러한 함수 formula_279는 formula_280 함수이다. 다시 말해, 케플러 방정식은 어떤 유일한 (formula_280) 함수와 동치이다. 그러나 이러한 함수 formula_90는 닫힌 형식으로 나타낼 수 없다.
충분 조건의 비필요성.
다음과 같은 연속 함수 formula_283 및 formula_284를 생각하자.
그러면 formula_288에 대하여 다음 세 가지가 동치이다.
즉, formula_292는 formula_88 또는 formula_90가 유도하는 음함수이다. 그러나 formula_295는 존재하지 않으며, formula_296이다.