대수기하학

대수기하학(代數幾何學, )은 대수적 방정식들로 정의될 수 있는 도형들 및 이들 사이의 관계를 연구하는 수학 분야이며, 현재 수학 분야들 중 가장 세분화된 분야 중 하나다.
전개.
다항식의 영점.
고전적인 대수기하학에서 주 관심사는 여러 다항식들을 모은 집합이 있을 때 거기에 속하는 모든 다항식들의 값이 0이 되는 집합이 기하학적으로 어떤 성질을 갖는가 하는 것이었다. 예를 들어, 2차원 구는 3차원 유클리드 공간 formula_1에서
을 만족시키는 점 formula_3들의 집합으로 정의될 수 있다. 비슷하게, formula_1에서 다음의 두 식
을 둘 다 만족시키는 점들의 집합은 원이 된다.
아핀 대수다양체.
먼저 formula_6가 체라 하자. 고전적 대수기하학에서는 언제나 formula_6를 복소수체 formula_8로 놓았으나, 실제로는 formula_6가 대수적으로 닫혀있다는 가정만 하면 대부분의 결과가 동일하게 성립한다. 이때 formula_10를 formula_11으로 정의하여 formula_6상의 formula_13차원 아핀 공간이라 하고, formula_6가 문맥에서 명확한 경우에는 단순히 formula_15이라고 쓴다. 이는 쓸데없는 정의로 보일 수도 있지만, formula_16이 갖는 벡터 공간으로서의 구조를 '무시하기' 위한 것으로 볼 수 있다. 즉, formula_15을 단순한 점집합으로 보자는 것이다.
함수 formula_18가 다항식으로 표현될 수 있을 경우, 이를 정칙 함수(regular function)라 한다. 구체적으로는, formula_19에 속하는 적당한 다항식 formula_20가 있어서 formula_15에 속하는 임의의 점 formula_22에 대해 formula_23이 성립하는 경우를 말한다.
따라서 formula_13차원 아핀 공간 상의 정칙 함수는 formula_6상의 formula_13변수 다항식과 동일한 것이며, 이를 formula_27로 쓴다.
다항식의 값이 0이 되는 점을 그 다항식의 영점이라고 한다. formula_28가 formula_27의 부분집합일 때, formula_28에 속하는 모든 다항식들이 0이 되는 점을 formula_31로 쓰고, 'formula_28의 영점'이라고 한다. 기호로 쓰면 다음과 같다:
formula_15의 부분 집합이 적당한 formula_28에 대해 formula_31와 일치할 경우, 이를 대수적 집합이라 한다. 여기에서 formula_37는 아래에서 설명할 특수한 종류의 대수적 집합인 대수다양체()의 첫 글자를 딴 것이다.
역으로, 대수적 집합 formula_38가 주어졌을 때 이로부터 formula_39가 되는 집합 formula_28를 찾아내는 문제를 생각해 보자. formula_38가 임의의 formula_15의 부분집합일 때, formula_43를 영점이 formula_38를 포함하는 다항식들의 집합으로 정의한다. 여기에서 formula_45는 ideal(아이디얼)의 첫 글자이다. 다항식 formula_46와 formula_47가 formula_38에서 0이 될 경우, formula_49도 formula_38에서 0이 되며, 임의의 다항식 formula_51에 대해 formula_52도 formula_38에서 0이 되므로, formula_43는 언제나 formula_27의 아이디얼이 되기 때문이다.
이제 다음과 같은 두 질문을 제기할 수 있다.
첫 번째 질문에 대한 대답은 자리스키 위상을 도입함으로써 얻을 수 있다. 자리스키 위상은 formula_15 상에 정의되는, formula_27의 대수적 구조가 반영된 위상이다. 이때 formula_58가 성립할 필요충분조건은 formula_38가 자리스키 위상에서 닫힌 집합이라는 것이다. 두 번째 질문에 대한 대답은 힐베르트 영점 정리이다. 이 정리의 한 형태에 따르면, formula_65는 formula_28에 의해 생성되는 소근기이다. 보다 추상적인 언어로 말하자면, formula_45와 formula_37 사이에는 갈루아 대응(Galois connection)이 있으며, 둘을 합성하면 폐포 연산자가 된다는 것이다.
힐베르트 기저 정리(Hilbert's basis theorem)에 따르면 formula_27의 모든 아이디얼은 유한 생성된다. 따라서 아이디얼 전체가 아닌 유한개의 다항식만을 대상으로 논리를 전개해서 정리를 증명할 수도 있으며, 이는 기초적인 대수기하학에서 중요한 도구가 된다.
그보다 작은 두 대수 집합의 합집합으로 나타낼 수 없는 대수 집합을 기약 대수 집합(irreducible algebraic set)이라 하며, 이를 또한 대수다양체라고도 부른다. 대수 집합이 대수다양체가 될 필요충분조건은 그 집합을 정의하는 다항식들의 집합이 다항식환 내에서 소 아이디얼을 생성한다는 것이다.
즉, 대수적으로 닫힌 체 "k"의 경우, 다음과 같은 대응 관계가 성립한다.
즉, 아이디얼들의 곱과 합은 위상 공간에서 닫힌 집합들의 공리(유한개의 닫힌 집합의 합집합 또는 임의의 개수의 닫힌 집합의 교집합 역시 닫힌 집합)를 만족한다. 따라서, 아이디얼들을 어떤 위상의 닫힌 집합으로 볼 수 있다. 이를 자리스키 위상이라고 한다.
정칙 함수.
위상 공간에서 자연스러운 사상은 연속 함수이고 매끄러운 다양체에서 자연스러운 사상이 매끄러운 함수인 것처럼, 대수 집합에서도 소위 정칙 함수(regular functions)라고 부르는 자연스러운 함수 부류가 있다. 아핀 공간 formula_15에 속해있는 대수 집합 formula_37 상의 정칙 함수란, 앞서 우리가 정의한 의미로, formula_15 상의 정칙 함수에 제한 함수(restriction)로써 정의된다.
정칙 함수가 임의의 공간으로 항상 확장되기를 요구하는 것은 부자연스러운 제약처럼 보이며, 매우 비슷한 상황이 정규 (위상) 공간에도 있다. 이때는 티체 확장정리에 의하여, 닫힌 집합 위에 정의된 연속 함수는 반드시 임의의 위상 공간으로 확장 가능하다는 것이 보장된다.
아핀 공간 상의 정칙 함수에서도, formula_37 상의 정칙 함수들은 환을 이루며, formula_74로 표시한다. 이 환을 formula_37의 좌표환(坐標環,)이라고 한다.
formula_37 상의 정칙 함수들은 formula_15 상의 정칙 함수에서 나오므로, 이들의 좌표환들 사이에는 관련성이 있다. 특히, formula_74 안의 함수를 얻기 위하여 formula_79 의 함수를 잡자. 만약 이것이 formula_37에서도 값을 가질 때에, 그 값이 같게 나온다면, 우리는 그것이 다른 함수(formula_74안의 함수들)들과 같은 것이라고 말한다. 이것은 formula_37 상에서 그(함수)들의 차가 0이라는 것과 같다. 이것으로부터, formula_74는 formula_84으로 볼 수도 있다.
분야.
대수기하학의 주된 분야로는 다음이 있다.
역사.
대수기하학은 초기에는 직교 좌표계 위에 유한개의 대수방정식들을 만족하는 해들의 자취로 표현되는 대상, 이른바 대수다양체를 연구하는 기하학 분야였다. 그러나 시간이 지날수록 급격한 발달을 거치면서, 그 연구 대상이 점점 확대되다가 20세기 중반 이후 알렉산더 그로텐디크에 의해서 굉장히 일반화 된 스킴이 탄생하면서부터 전통적인 복소대수기하학에서부터 정수론까지 폭넓은 분야를 연구하는 기본적인 도구로 사용되고 있다.
19세기 이전.
고대 그리스의 수학자들은 원뿔 곡선 및 이차 곡면과 같은, 간단한 실수 대수다양체들을 연구하였다. 또한, 고대의 수학은 대수학 대신 기하학에 중점을 두었으므로, 대수적인 문제들을 기하학적인 문제로 변환시켜 푸는 경우가 많았다. 예를 들어, 10세기 수학자 이븐 알 하이삼 및 11세기 수학자 오마르 하이얌은 3차 방정식을 곡선의 교차점을 사용하여 풀었다.
프랑수아 비에트와 르네 데카르트는 좌표계를 사용하여, 기하학적인 문제들을 대수적인 문제로 어떻게 변환시킬 수 있는지 발견하였다. 동시대의 블레즈 파스칼과 지라르 데자르그는 순수하게 기하학적인 방법으로 사영기하학을 개발하였다. 그러나 18세기에 들어 미적분학의 발견과 함께 해석적인 방법들이 도입되면서, 기하학의 대수적 접근에 대한 관심이 수그러들었다.
19세기~20세기 초.
19세기에는 비유클리드 기하학과 아벨 함수의 발견으로 인하여, 잊혀졌던 대수적 기법들이 다시 중요해졌다. 아서 케일리는 사영 공간 위의 이차 형식을 연구하였고, 펠릭스 클라인은 에를랑겐 프로그램의 일환으로 사영기하학을 체계적으로 연구하였고, 쌍유리 변환의 개념을 정의하였다. 또한, 아벨 적분의 발견으로 베른하르트 리만은 리만 곡면을 정의하였고, 리만-로흐 정리를 증명하였다.
이 동안, 대수기하학의 기반이 되는 가환대수학이 발전하게 되었다. 다비트 힐베르트는 힐베르트 영점 정리 및 힐베르트 기저 정리를 증명하였고, 프랜시스 매콜리()는 소거 이론()을 개발하였다. 이는 오랫동안 잊혀져 있다가, 이후 최근 특이점 이론의 기반으로 부활하게 되었다.
귀도 카스텔누오보, 페데리고 엔리퀘스, 자코모 알바네세, 파스콸레 델 페초, 프란체스코 세베리, 주세페 베로네세 등으로 구성된 이탈리아 학파는 대수다양체들을 쌍유리 동치 아래 분류하는 것을 목표로 삼았고, 이들은 모든 대수 곡면들을 분류하는 데 성공하였다 (엔리퀘스-고다이라 분류). 그러나 이들의 업적은 공리적으로 엄밀하지 못했고, 상당 부분은 훗날 오류로 밝혀졌으나 다른 부분들은 후대에 엄밀하게 재증명되었다.
20세기 중반 이후.
바르털 레인더르트 판데르바르던과 오스카 자리스키, 앙드레 베유는 당시 존재하는 가환대수학을 사용하여, 이탈리아 학파의 결과들을 엄밀한 기반으로 재증명하였다.
1950~1960년대 동안에 장피에르 세르와 알렉산더 그로텐디크는 층 이론을 사용하여 대수기하학의 기초를 재정의하였다. 1960년대 동안에 그로텐디크는 스킴의 개념을 도입하였고, 스킴 이론과 호몰로지 대수학을 사용하여 대수적 수론을 대수기하학의 일부로 흡수하였다.
20세기 말에 와서는 컴퓨터의 발달로 계산 대수기하학이 발달하였다. 그뢰브너 기저는 1956년에 도입되었고, 대수기하학적 알고리즘들의 기반을 이룬다. 또한, 타원 곡선의 이론은 타원곡선 암호로 응용되었다.