나폴레옹 정리

기하학에서 나폴레옹 정리(定理, )는 주어진 삼각형의 각 변 위에 모두 외부를 향하거나 모두 내부를 향하도록 덧그린 정삼각형의 중심을 이어 만든 삼각형은 정삼각형이라는 정리이다.
정의.
삼각형 formula_1의 외측에서 삼각형 formula_2, formula_3, formula_4가 정삼각형이 되게 만드는 점 formula_5, formula_6, formula_7를 잡고 (예를 들어 formula_5는 formula_9에 대하여 formula_10의 반대쪽에 위치한다), 정삼각형 formula_2, formula_3, formula_4의 무게 중심을 각각 formula_14, formula_15, formula_16라고 하자. 마찬가지로, 삼각형 formula_1의 내측에서 삼각형 formula_18, formula_19, formula_20가 정삼각형이 되게 만드는 점 formula_21, formula_22, formula_23를 잡고 (예를 들어 formula_21는 formula_9에 대하여 formula_10와 같은 쪽에 위치한다), 정삼각형 formula_18, formula_19, formula_20의 무게 중심을 각각 formula_30, formula_31, formula_32라고 하자. 나폴레옹 정리에 따르면, 삼각형 formula_33와 formula_34은 모두 정삼각형이다.
삼각형 formula_33를 삼각형 formula_1의 외측 나폴레옹 삼각형(外側三角形, )이라고 하고, 삼각형 formula_34를 삼각형 formula_1의 내측 나폴레옹 삼각형(內側三角形, )이라고 한다. 즉, 나폴레옹 정리는 임의의 삼각형의 내측 및 외측 나폴레옹 삼각형은 정삼각형이라는 내용이다.
역사.
1825년에 영국의 수학자 윌리엄 러더퍼드()가 《레이디스 다이어리》()의 〈새로운 수학 문제〉()란에 기고한 글에서 처음 공개되었다.
프랑스의 황제 나폴레옹 보나파르트의 이름이 붙었으나, 나폴레옹이 제시한 결과라는 증거는 존재하지 않는다.
증명.
다음은 외측 나폴레옹 삼각형에 대한 증명들이다. 일부는 내측 나폴레옹 삼각형에 대해서도 적용 가능하다.
닮음을 통한 증명.
외측 나폴레옹 삼각형 formula_33의 세 변의 길이가 같다는 사실을 보이자. formula_40와 formula_41에 대해서만 보이면 족하다. 정삼각형의 무게 중심과 내심은 일치하므로, formula_14, formula_15, formula_16는 각각 정삼각형 formula_2, formula_3, formula_4의 세 내각의 이등분선의 교점이다. 특히
이며, 양변에 formula_49를 더하면
를 얻는다. 또한
이므로, 삼각형 formula_52와 formula_53는 서로 닮음이다. 다시 말해, 삼각형 formula_52를 formula_55를 중심으로 30도 회전한 뒤 formula_55를 중심으로 하고 formula_57를 비로 하는 중심 닮음 변환을 가하면 삼각형 formula_53를 얻으므로, 두 삼각형은 서로 닮음이다. 마찬가지로, 삼각형 formula_59와 formula_60 역시 서로 닮음이며, 이에 대한 닮음비 역시 formula_57이다. 따라서
가 성립한다.
외접원을 통한 증명.
우선 삼각형 formula_2, formula_3, formula_4의 외접원이 같은 점을 지난다는 사실을 보이자. 편의상 삼각형 formula_2, formula_3의 외접원의 formula_55가 아닌 교점을 formula_69라고 하자. 편의상 formula_69가 formula_9, formula_72에 대하여 각각 formula_10, formula_74와 같은 쪽에 위치한다고 하자. 그렇다면
이므로
이며, formula_69는 삼각형 formula_4의 외접원 위의 점이다. 즉, 세 외접원은 모두 이 점을 지난다.
이제 외측 나폴레옹 삼각형 formula_33의 세 내각이 60도라는 사실을 보이자. 편의상 formula_81에 대해서만 보이면 족하다. 삼각형 formula_2와 formula_3의 외접원의 중심선 formula_40는 공통현 formula_85의 수직 이등분선이다. 마찬가지로 삼각형 formula_2와 formula_4의 외접원의 중심선 formula_41 역시 공통현 formula_89의 수직 이등분선이다. 따라서
이다.
삼각법적 증명.
외측 나폴레옹 삼각형 formula_33의 변 formula_40의 길이를 원래 삼각형 formula_1의 세 변의 길이 formula_94, formula_95, formula_96에 대한 함수로 나타내자. 이 함수가 대칭 함수라면 남은 두 변 formula_97, formula_98의 길이 역시 같은 함수로 표현되므로 증명이 완성된다. 삼각형 formula_52에서
이므로, 코사인 법칙을 적용하면 다음을 얻는다.
여기서 formula_103는 삼각형 formula_1의 넓이이다. 마지막 함수는 formula_105, formula_106, formula_107의 순열에 대하여 불변이므로 대칭 함수가 맞다.
나폴레옹 삼각형의 성질.
변의 길이와 넓이.
삼각형 formula_1의 꼭짓점 formula_10, formula_74, formula_55의 대변의 길이를 formula_105, formula_106, formula_107라고 하고, 넓이를 formula_103라고 할 경우, 외측 및 내측 나폴레옹 삼각형 formula_33, formula_34의 변의 길이는
이며, 넓이는
이다. 특히, 외측 및 내측 나폴레옹 삼각형의 넓이의 차는 원래 삼각형의 넓이와 같다.
무게 중심.
삼각형의 외측 및 내측 나폴레옹 삼각형의 무게 중심은 같다. 또한 이는 원래 삼각형의 무게 중심과 일치한다. 다음은 외측 나폴레옹 삼각형의 무게 중심이 원래 삼각형의 무게 중심과 같다는 사실을 벡터에 대한 선형 변환을 사용하여 증명한다. 내측 나폴레옹 삼각형 역시 같은 방법으로 증명할 수 있다.
삼각형 formula_1의 무게 중심을 formula_123라고 하자. 편의상 삼각형 formula_1의 꼭짓점이 시개 반대 방향으로 열거되었다고 하자. 삼각형 formula_1의 평면 위의 벡터들에 대한 변환 formula_126가 모든 벡터를 시계 반대 방향으로 60도 회전시킨다고 하자. 즉, 평면 위 임의의 점 formula_127, formula_128에 대하여
와
사이의 유향각은 시계 반대 방향 60도이다. 그렇다면 formula_126는 선형 변환이다. 삼각형 formula_2는 정삼각형이고 꼭짓점이 시계 방향으로 열거되었으므로
이며, 또한 formula_14은 삼각형 formula_2의 무게 중심이므로 
이다. 마찬가지로,
가 성립한다. 세 등식의 양변을 서로 더하면
를 얻는다. 즉, formula_123는 외측 나폴레옹 삼각형 formula_33의 무게 중심이다.
일반화.
삼각형 formula_1의 외측에서
를 만족시키는 점 formula_69, formula_145, formula_146를 잡자. 그렇다면, 삼각형 formula_147, formula_148, formula_149의 외접원은 같은 점을 지난다. 특히, 삼각형 formula_147, formula_148, formula_149가 정삼각형일 경우 전제 조건이 만족되며, 세 외접원이 공통으로 지나는 점은 제1 나폴레옹 점이 된다.
삼각형 formula_1의 외측에서 삼각형 formula_147, formula_148, formula_149가 닮음이고 같은 위치에 오는 점들끼리 대응점이게 하는 점 formula_69, formula_145, formula_146를 잡고, 삼각형 formula_147, formula_148, formula_149의 무게 중심을 각각 formula_163, formula_164, formula_165라고 하자. 그렇다면, 삼각형 formula_166는 이 세 삼각형과 닮음이다. 특히, 나폴레옹 정리는 삼각형 formula_147, formula_148, formula_149가 정삼각형인 특수한 경우이다.