프로베니우스 사상

가환대수학과 체론에서 프로베니우스 사상(Frobenius寫像, )은 양의 소수 표수에서 정의되는 가환환 또는 체의 자기 사상이다.
정의.
가환환 formula_1의 환의 표수가 formula_2이며, formula_3가 소수라고 하자. 그렇다면 formula_1의 프로베니우스 사상 formula_5은 다음과 같다.
이는 환 준동형을 이룬다. 이는
이기 때문이다. 위 항등식은 신입생의 꿈(新入生-, ) 또는 1학년의 꿈이라고 한다. 이름과 같이 이 항등식은 복소수체 위에서 성립하지 않는다 (예를 들어, formula_8이다).
스킴의 프로베니우스 사상.
소수 formula_3가 주어졌을 때, 유한체 formula_10 위의 스킴 formula_11가 주어졌다고 하자. formula_12의 임의 아핀 부분 스킴 formula_13에 대하여, formula_14는 formula_15-단위 결합 대수이며, 따라서 프로베니우스 사상을 갖는다. 프로베니우스 사상은 자연 변환이므로, 이 아핀 부분 스킴들의 프로베니우스 사상들을 서로 짜깁기할 수 있다. 이 formula_10-스킴 사상 formula_17을 formula_12의 절대 프로베니우스 사상이라고 한다. 절대 프로베니우스 사상은 다음과 같은 자연 변환을 이룬다.
여기서 formula_20는 formula_10-스킴의 범주 formula_22의 항등 함자이다.
산술·기하 프로베니우스 사상.
formula_10-스킴 formula_24 위의 스킴 formula_25가 주어졌다고 하자. 그렇다면, formula_24의 절대 프로베니우스 사상 formula_27와의 올곱을 취하면
를 정의할 수 있다. 이는 함자
를 이루며, 프로베니우스 스칼라 확대()라고 한다. 이 경우 표준적으로 존재하는 사영 사상
을 산술 프로베니우스 사상()이라고 한다.
만약 formula_24의 절대 프로베니우스 사상 formula_27이 자기 동형 사상이라면 (예를 들어, formula_24가 완전체의 스펙트럼이라면), 역사상 formula_35에 대한 올곱
을 생각할 수 있다. 이 경우 표준적으로 존재하는 사영 사상
을 기하 프로베니우스 사상()이라고 한다.
상대 프로베니우스 사상.
formula_10-스킴 formula_24 위의 스킴 formula_25가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 올곱의 보편 성질에 의하여 다음 그림을 가환 그림으로 만드는 유일한 스킴 사상 formula_42이 존재한다.
이를 상대 프로베니우스 사상()이라고 한다. 이는 자연 변환
을 이룬다.
물론, formula_45라면 (또는 보다 일반적으로 formula_46라면) 상대 프로베니우스 사상은 절대 프로베니우스 사상과 같다.
성질.
소수 표수의 가환환 formula_1 위의 프로베니우스 사상이 단사 함수일 필요충분조건은 formula_1가 축소환인 것이다. 특히, 양의 표수의 체 위의 프로베니우스 사상은 단사 함수이다.
양의 표수의 체 formula_15에 대하여 프로베니우스 사상이 전단사 함수(즉, 자기 동형)가 될 필요충분조건은 formula_15가 완전체인 것이다.
고정점.
유한체 formula_10 위의 프로베니우스 사상은 항등 함수이다 (페르마 소정리).
양의 표수 formula_2의 체 formula_54 위의 프로베니우스 사상의 고정점은 다항식 formula_55의 근을 이룬다. 대수학의 기본 정리에 따라 formula_3차 다항식의 근의 수는 formula_3개 이하이며, formula_58는 이미 formula_3개의 근을 이루므로, formula_15 위의 프로베니우스 사상의 고정점 집합은 formula_10이다.
보다 일반적으로, 양의 표수 formula_2의 정역 formula_63에 대해서, 항상 분수체 formula_64를 취할 수 있으므로, 표수 formula_3의 정역 위의 프로베니우스 사상의 고정점 집합 역시 formula_10이다.
갈루아 군.
유한체 formula_10의 유한 확대 formula_69의 갈루아 군은 순환군이다.
프로베니우스 자기 동형
은 이 갈루아 군의 생성원을 이룬다.
마찬가지로, 유한체 formula_72의 유한 확대 formula_73의 갈루아 군은 순환군
이며, 프로베니우스 자기 동형의 formula_75제곱
은 그 생성원을 이룬다.
스킴 위의 갈루아 군의 작용.
유한체 formula_77 위의 스킴 formula_78가 주어졌다고 하자.
유한체 formula_77은 완전체이므로 formula_77의 프로베니우스 사상은 자기 동형 사상이며, formula_81 및 formula_82은 formula_12와 동형이다. 즉, 산술·기하 프로베니우스 사상은 formula_12 위의 자기 사상으로 생각할 수 있다.
이제, formula_12의 formula_77-점들의 집합 formula_87 위에는 갈루아 군 formula_70(의 생성원인 프로베니우스 자기 동형)이 다음과 같이 자연스럽게 작용한다.
또한, formula_87 위에는 산술 프로베니우스 사상으로 생성되는 순환군이 자연스럽게 작용한다.
이 두 작용은 서로 일치한다.
따라서, 산술 프로베니우스 사상 formula_92은 formula_77-점의 집합 위의 갈루아 군 formula_94의 작용을 나타낸다.
에탈 코호몰로지 위의 프로베니우스 사상.
유한체 formula_10 위의 스킴 formula_96가 주어졌다고 하자. formula_97 위의 작은 에탈 위치 formula_98를 생각하자. 그렇다면, formula_12 위의 상대 프로베니우스 사상
과 기하 프로베니우스 사상
은 토포스 formula_98 위의 같은 기하학적 사상
특히, formula_98 위의 아벨 군 값의 층 formula_105이 주어졌다고 하면, 상대 프로베니우스 사상과 기하 프로베니우스 사상은 formula_105의 에탈 코호몰로지 위에 똑같이 작용한다.
수론적 성질.
대수적 수론에서, 국소체 또는 대역체의 비분기 확대에 대하여 프로베니우스 원소()라는, 잉여류체 갈루아 군의 특별한 원소를 정의할 수 있다. 이는 유체론에서 아르틴 기호를 정의하는 데 사용된다.
국소체.
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
대수적 정수환 formula_111의 유일한 극대 아이디얼을 formula_112라고 하고, formula_113의 유일한 극대 아이디얼을 formula_114라고 하자.
그렇다면, 잉여류체 formula_115와 formula_116는 둘 다 유한체이며,
이다. (여기서 formula_118는 체의 확대의 차수이다.) 그렇다면, 다음 조건을 만족시키는 유일한 원소
가 존재하며, 이를 formula_110의 프로베니우스 원소라고 한다.
대역체.
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
formula_129가 비분기 자리이므로, 갈루아 군 formula_130은 formula_129를 고정시킨다. 즉, formula_129에서의 분해군()
은 갈루아 군 formula_130 전체이다.
이 경우,
를 만족시키는 유일한 원소
가 존재한다. (여기서 formula_137는 formula_129진 자리에 대한 완비체이며, 이는 잉여류체가 formula_10인 이산 값매김환의 분수체이다.) 이를 formula_129의 프로베니우스 원소 formula_141라고 한다.
예.
유한체 계수의 유리 함수체 formula_142의 프로베니우스 사상은 전사 함수가 아니다. 예를 들어, formula_143는 프로베니우스 사상의 상에 포함되지 않는다. 따라서 formula_142는 완전체가 아니다.
역사.
페르디난트 게오르크 프로베니우스가 1896년에 도입하였다.