분기화

대수적 수론에서 분기화(分岐化, )는 어떤 체의 확대에서, 원래 체의 대수적 정수환에서의 소 아이디얼이 확대체의 정수환에서 제곱 인자를 갖는 것을 뜻한다.
분기화는 두 가지의 방법으로 다룰 수 있다.
데데킨트 정역의 분기화.
데데킨트 정역 formula_1의 분수체 formula_2의 유한 확대 formula_3가 주어졌으며, formula_1의 formula_5 속에서의 정수적 폐포가 formula_6라고 하자. 그렇다면 formula_6 역시 데데킨트 정역이다.
formula_1 속의 0이 아닌 소 아이디얼 formula_10에 대하여, 포함 준동형 formula_11에 대한 상의 소인수 분해가 다음과 같다고 하자.
그렇다면 formula_13를 formula_14의 분기 지표(分岐指標, )라고 한다.
또한, 잉여류체에 대한 자연스러운 체의 확대가 존재한다.
이 확대의 차수 formula_16를 formula_17의 관성 차수(慣性次數, )라고 한다.
그렇다면 다음과 같은 기본 항등식()이 성립한다.
힐베르트 이론.
만약 확대 formula_3가 갈루아 확대라면, 이에 대한 힐베르트 이론(Hilbert理論, )이라는 자세한 묘사가 존재한다. 이 경우, 갈루아 군 formula_21는 formula_22 위에 추이적으로 작용하며, 따라서 모든 formula_23에 대하여 formula_24 및 formula_25가 일치한다. 즉,
이다.
분해군.
임의의 formula_27의 분해군(分解群, ) formula_28는 formula_21의 작용에 대한 formula_17의 안정자군이다. formula_27의 분해체(分解體, ) formula_32는 분해군에 의해 고정되는 formula_5의 원소들로 구성되는 체이다.
궤도-안정자군 정리에 따라서, 모든 formula_35에 대하여 안정자군의 크기는 같다.
관성군.
formula_27가 주어졌고, formula_38는 formula_39인 유일한 소 아이디얼이라고 하자. 그렇다면 자연스러운 전사 군 준동형
이 존재한다. 그 핵을 formula_17의 관성군(慣性群, ) formula_42이라고 하며, 이는 분해군의 부분군이다. 관성군의 크기는 항상 formula_43와 같으며, 갈루아 군 formula_21의 작용에 불변이다.
마찬가지로, formula_17의 관성체(慣性體, ) formula_47는 관성군의 작용에 불변인 부분체이다.
즉, 다음과 같은 체들의 탑이 존재한다.
또한, 다음과 같은 군의 짧은 완전열이 존재한다.
formula_51는 갈루아 확대이며, 그 갈루아 군은 formula_52와 같다.
수체의 분기화.
데데킨트 정역 formula_1의 분수체 formula_2가 대수적 수체일 경우를 생각하자. (formula_55인 경우가 대표적이지만, 대수적 정수환이 아닐 수 있다.) 이 경우, 상대 판별식() formula_56는 formula_6의 특별한 아이디얼이다.
그렇다면, 임의의 formula_38에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
특히, 이 경우 분기화하는 소 아이디얼들의 수는 유한하다.
헨젤 값매김환의 분기화.
분기화는 국소적인 현상이며, 헨젤 값매김환의 분기화 이론은 국소적인 분기화 정보를 담는다. 즉, 주어진 자리에 대하여 헨젤화를 가하면, 이 자리에서의 분기화에 대한 이론을 전개할 수 있으며, 이렇게 얻는 분기화의 국소적 이론은 분기화의 대역적 이론보다 매우 간단하다.
헨젤 값매김환 formula_61의 분수체 formula_2의 유한 확대 formula_3가 주어졌다고 하자. 그렇다면, formula_64의 값매김 formula_65는 formula_5 위에 다음과 같이 값매김 formula_67를 유도한다.
여기서 formula_69는 체 노름이다. 이에 대한 값매김환을 formula_70라고 하고, 그 극대 아이디얼을 formula_71이라고 하자.
이에 따라, 다음과 같은 값군의 포함 관계가 존재한다.
그렇다면, formula_3의 분기 지표 formula_74는 두 값군 사이의 몫군의 크기이다.
마찬가지로, 잉여류체들의 다음과 같은 확대가 존재한다.
그렇다면, formula_3의 관성 차수 formula_78는 두 잉여류체 사이의 확대의 차수이다.
이 경우, 일반적으로 다음이 성립한다.
또한, 만약 다음 두 조건 가운데 적어도 하나가 성립한다면, 위 부등식은 등식이 되며, 이를 기본 항등식()이라고 한다.
값매김환의 분기화.
데데킨트 정역의 분기화 이론은 값매김환의 분기화 이론으로 일반화된다. 이 경우, 데데킨트 정역 속의 소 아이디얼 formula_59 대신, formula_59로 정의되는 formula_59진 값매김에 대한 분기화를 다루게 된다.
절댓값 formula_89이 주어진 체 formula_64의 확대 formula_3가 주어졌다고 하자. 이 경우 formula_65를 formula_5 전체로 다양한 방법으로 확장할 수 있으며, 각 확장은 formula_5 위의 절댓값을 정의한다. 이는 절댓값의 동치에 대하여 불변이며, 따라서 자리를 정의한다. formula_67가 formula_65의 확장이라는 것은 (소 아이디얼의 인수 분해에 비유하여) formula_97로 쓴다.
만약 formula_65가 비아르키메데스 자리인 경우, 분기 지표와 상대 차수를 정의할 수 있다. 구체적으로, 비아르키메데스 자리에 대한 formula_64와 formula_5의 값매김환이 formula_101 및 formula_102라고 하자. 그렇다면, 분기 지표는 다음과 같은 부분군의 지표이다.
formula_67의 상대 차수()는 다음과 같은, 잉여류체의 확대의 차수이다.
만약 formula_65가 이산 값매김을 정의하며, formula_3가 분해 가능 확대라면, 다음과 같은 기본 항등식()이 성립한다.
값매김 힐베르트 이론.
formula_3가 갈루아 확대라고 하자. 그렇다면 다음과 같이 힐베르트 이론을 값매김으로서 서술할 수 있다.
(아르키메데스 또는 비아르키메데스) 자리 formula_65의 확장 formula_67이 주어졌을 때, formula_67의 분해군 formula_113은 갈루아 군 formula_21의 작용에 대한 안정자군이다.
이는 formula_116에 대하여 연속 함수가 되는 자기 동형들로 구성된다. 이에 대한 고정점들로 구성된 부분체를 분해체 formula_117라고 한다.
만약 formula_67가 비아르키메데스 자리인 경우, 관성군과 분기군을 추가로 정의할 수 있다. 값매김환 formula_101 및 formula_121을 정의한다면, 체의 확대
는 갈루아 확대임을 보일 수 있다. 또한, 분해군은 이 확대의 갈루아 군으로 가는 자연스러운 전사 군 준동형을 가지며, 그 핵을 비아르키메데스 자리 formula_67의 관성군 formula_124이라고 한다.
이에 대한 고정점으로 구성되는 부분체를 관성체 formula_126라고 한다.