비트 환

이차 형식 이론에서, 비트 환(Witt環, )은 비퇴화 이차 형식의 동치류로 구성된 가환환이다.
정의.
비트 분해.
비트 분해 정리(Witt分解定理, )에 따르면, 표수가 2가 아닌 체 formula_1 위의 유한 차원 벡터 공간 formula_2 위의 이차 형식 formula_3는 다음과 같은 꼴로 표준적으로 분해된다.
여기서 각 성분은 다음과 같다.
이 경우 formula_6을 formula_14의 핵심(核心, )이라고 한다. 또한, formula_15를 formula_3의 계수(階數, )라고 하며, formula_17를 formula_3의 비트 지표()라고 한다. 비트 정리에 따라, formula_19이 되는 부분 벡터 공간들의 포함 관계에 대한 부분 순서 집합에서, 극대 원소들의 차원은 항상 비트 지표와 같다.
비트 환.
같은 체 위의 두 이차 공간 formula_14, formula_21의 핵심이 서로 동형이라면, 두 이차 공간이 서로 비트 동치()라고 한다. 표수가 2가 아닌 체 formula_1 위의 비퇴화 유한 차원 이차 공간들의 비트 동치류들의 집합 formula_23을 생각하자. 여기에 다음과 같은 연산을 부여하면, 이는 가환환을 이룬다.
이 가환환을 formula_1의 비트 환이라고 한다.
성질.
계수와 행렬식.
같은 비트 동치류에 속하는 이차 공간들의 계수들은 모두 짝수이거나 모두 홀수이므로, 비트 환은 자연스러운 환 준동형
을 갖는다. (곱셈 항등원은 홀수 계수이므로, 이는 formula_35-등급환을 이루지 않는다.) 이 준동형의 핵 formula_36을 비트 환의 기본 아이디얼()이라고 한다.
표수가 2가 아닌 체 위의 비퇴화 이차 형식 formula_3의 행렬식() 또는 판별식() formula_38은 formula_3를 나타내는 대칭 행렬 formula_40의 행렬식 formula_41의 formula_42에서의 동치류이다. 이 경우, 사용하는 기저를 가역 행렬 formula_43를 통해 바꾼다면
가 되므로, 비퇴화 이차 형식의 행렬식은 formula_42의 원소로서 잘 정의된다.
표수가 2가 아닌 체 formula_1에 대하여, 다음과 같은 가환환 formula_48를 정의하자.
즉, formula_48의 원소는 formula_1의 formula_54-등급 이차 확대의 동치류로 구성된다고 생각할 수 있다.
그렇다면, 다음과 같은 자연스러운 환 준동형이 존재한다.
이는 전사 함수이며, 그 핵은 기본 아이디얼의 제곱이다.
하세-비트 불변량.
표수가 2가 아닌 체 formula_1 위의 formula_11차원 벡터 공간 formula_2 위의 대각화된 비퇴화 이차 형식 formula_60가 주어졌을 때, 사원수형 대수 (2차원 벡터 공간 위의 클리퍼드 대수) formula_61들은 (짝수 차원이므로) 중심 단순 대수를 이루며, 따라서 브라우어 군 formula_62의 원소들의 대표원들을 이룬다. formula_3의 하세-비트 불변량()은 이 브라우어 군 원소들의 합이다.
이는 formula_3의 대각화에 의존하지 않으며, 따라서 체 위의 유한 차원 벡터 공간 위의 이차 형식의 불변량을 이룬다. 또한, 이는 비트 동치류 위의 유함수를 이루며, 따라서 비트 동치류의 불변량을 이룬다.
밀너 환과의 관계.
표수가 2가 아닌 체 formula_1의 비트 환 formula_23의 기본 아이디얼 formula_68의 거듭제곱들은 하강 여과를 이룬다.
이에 대응되는 formula_70-등급환
을 정의할 수 있다.
체 formula_1 위의 피스터 이차 형식()은 다음과 같은 꼴의, formula_74차원 벡터 공간 위의 이차 형식이다.
formula_76의 원소들은 모두 유한 개의 formula_74차원 피스터 이차 형식들의 직합으로 나타낼 수 있다.
체 formula_1의 밀너 환
의 원소를 formula_80로 표기하자. 그렇다면, 피스터 형식을 통해 밀너 환에서 위 등급환으로 가는 등급환 준동형을 정의할 수 있다.
이차 형식에 대한 밀너 추측()에 따르면, 이 준동형은 등급환의 동형을 이룬다. 이는 존 밀너가 추측하였으며, 2007년에 드미트리 오를로프() · 알렉산드르 비시크() · 블라디미르 보예보츠키가 증명하였다.
예.
복소수체.
formula_1가 표수가 2가 아닌 이차 폐체(, 모든 원소가 제곱근을 갖는 체)라고 하자. (예를 들어, formula_1가 복소수체이거나, 표수가 2가 아닌 체의 대수적 폐포인 경우 이에 해당된다.) 그렇다면, 유한 차원 복소수 벡터 공간 formula_85 위의 이차 형식은 그 계수 formula_86에 따라서 완전히 분류된다.
formula_1 위의 계수가 2 이상인 이차 형식은 항상 등방성 벡터를 갖는다. 따라서, formula_1 위의 이차 형식의 핵심은 항상 0차원이거나 1차원이다. 이에 따라, formula_1의 비트 환은 formula_54이다.
대수적으로 닫힌 체의 브라우어 군은 자명하므로, 이 경우 하세-비트 불변량 역시 자명하다.
실수체.
formula_91가 에우클레이데스 체(, 모든 양수가 제곱근을 갖는 순서체)라고 하자. (예를 들어, formula_1가 실수체 formula_93이거나 보다 일반적으로 실폐체일 경우 이에 해당된다.)
formula_1의 비트 환은 formula_95와 동형이다.
이 동형은 구체적으로 다음과 같다.
실수체의 브라우어 군은 실수체와 사원수환 formula_102로 구성되며, 2차 순환군이다.
이 경우 힐베르트 기호가
이므로, 유한 차원 실수 벡터 공간 위의 부호수 formula_105의 비퇴화 이차 형식 formula_3의 하세-비트 불변량은
이다.
국소체.
비아르키메데스 국소체 formula_1의 대수적 정수환의 잉여류체의 크기가 formula_109라고 하고, formula_109가 홀수라고 하자. 그렇다면, formula_1의 비트 환은 다음과 같다.
여기서 formula_113는 2차 순환군이며, formula_114는 군환을 뜻한다.
유리수체.
유리수체 formula_115의 비트 환의 크기는 32이며, 다음과 같다.
홀수 표수의 유한체.
표수가 2가 아닌 유한체 formula_117 위의 벡터 공간 formula_118 위의 이차 형식의 동치류는 총 formula_119개가 있으며, 이들 가운데 비퇴화 이차 형식인 것은 두 개이다.
이들은 구체적으로 다음과 같다. formula_120가 제곱수가 아닌 임의의 수라고 하자.
이러한 수는 항상 존재한다. 그렇다면, 모든 비퇴화 이차 형식(의 연관 대칭 쌍선형 형식)은 다음 두 대각 행렬 가운데 정확히 하나와 서로 동치이다.
즉, 다음과 같은 꼴이다.
만약 formula_11이 홀수라면, formula_127는 formula_128과 동치이다. 이 경우 비트 지표는 formula_129, formula_127 둘 다 formula_131이다.
만약 formula_11이 짝수라면, formula_129은 formula_128과 동치이며, 비트 지표는 다음과 같다.
이 경우, 비트 지표가 formula_140인 경우를 플러스형(), formula_138인 경우를 마이너스형()이라고 한다.
비트 분해 정리에 의하여, 모든 (퇴화 또는 비퇴화) 이차 형식은 비퇴화 이차 형식과 0의 직합과 동치이다. 즉, 다음 두 꼴 가운데 하나와 동치이다.
홀수 차수 유한체 formula_117의 비트 환의 크기는 4이며, 이는 formula_109에 따라 구체적으로 다음과 같다.
이 동형은 구체적으로 다음과 같다.
역사.
에른스트 비트(1911~1991)는 1937년 하빌리타치온 논문에서 비트 소거 정리와 비트 분해 정리 및 비트 환의 개념을 도입하였다.