AdS/CFT 대응성

반 더 시터르 공간/등각 장론 대응성(, 약자 AdS/CFT) 또는 말다세나 이중성()은 반 더 시터르 공간(AdS)을 남기고 축소화한 끈 이론과, 그보다 낮은 차원에서의 등각 장론(CFT)이 반 더 시터르 공간의 등각 경계에서 동등하다는 가설이다. 축소화한 공간은 구, 오비폴드, 코니폴드, 혹은 비가환 공간 등이 쓰인다.
전개.
formula_1차원의 반 더 시터르 공간에 다음과 같은 좌표를 부여하자.
여기서 formula_3인 경계에서는 나머지 좌표가 formula_4차원 민코프스키 계량 텐서를 지니게 된다. 이를 등각경계라고 부른다.
formula_4차원 등각 장론에 샘(source) formula_6을 추가하자. 여기서 formula_7는 샘, formula_8는 게이지 불변 국소적 연산자다.
또한, AdS 공간에 마당 formula_9를 도입하고, 여기에 다음과 같은 경계조건을 부여하자.
여기서 formula_11는 formula_8의 등각차원이고, formula_13는 formula_8의 공변지수의 수와 반변지수의 수의 차다. 이 경우 AdS/CFT 대응성은 이 두 이론이 다음과 같이 서로 대응한다고 예측한다.
좌변은 시간순서를 가한 연산자 지수의 진공 기댓값이고, 우변은 등각 경계 조건을 가한 양자 중력 이론의 생성범함수다. 우변은 경계조건을 만족하는 유효 작용의 고전적 해를 구하여 계산한다.
이 경우, 양변은 대개 각각 발산하게 된다. 우변의 경우, 이 발산은 반 더 시터르 공간의 부피가 무한하기 때문이다. 이 경우 자연스러운 조절자는 formula_16이다. 즉, formula_16를 매우 작지만 유한한 값 formula_18으로 남겨 두고 우변을 계산한다. 이는 우변에서 적외 조절자에 해당하는데, 좌변에서는 이는 formula_19 꼴의 자외 조절자에 대응한다.
일반적으로 다음과 같은 꼴의 대응 관계가 존재한다.
진동 모드의 대응.
스칼라장.
일반적으로, formula_20에서 등각 차원이 formula_11인 스칼라 등각 1차장은 formula_22에서 질량이
인 스칼라장과 대응한다. 예를 들어, 만약 경계 이론이 국소 라그랑지언 formula_24을 갖는다면, 라그랑지언의 차원은 항상 formula_25이므로 이는 formula_22에서 무질량 스칼라장에 대응하게 된다. 이러한 무질량 스칼라장은 통상적으로 딜라톤이라고 불린다.
유니터리 등각 장론에서, 스칼라 1차장의 등각 차원은 유니터리 하한()에 따라 다음과 같이 제약된다.
마찬가지로, formula_1차원 반 더 시터르 공간에서 스칼라장의 제곱 질량은 다음과 같은 브라이텐로너-프리드먼 하한()을 따른다.
이들 하한들은 서로 일관적임을 알 수 있다.
AdS에서 제곱 질량 formula_30의 스칼라장은 다음과 같은 진동 모드를 가진다.
표준 양자화()에서는, 보통 첫 번째 항을 0으로 놓는다.
그렇다면 두 번째 항의 계수 formula_34는 formula_35에 대응하는 연산자 formula_36의 진공 기댓값에 비례한다.
표준 양자화에서, 첫 번째 항을 0이 아닌 다른 값으로 놓으면, 이는 formula_38는 경계 등각 장론의 작용에, formula_35에 대응하는 연산자 formula_36에 대한 고전적 배경장
을 추가하는 것에 대응한다.
첫 번째 항은 경계 formula_3에서 발산한다. 만약
즉
이라면 작용에서의 발산을 규격화해 상쇄시킬 수 있다. 이 경우, 대체 양자화()가 가능하다. 이 경우, formula_38와 formula_34의 해석이 표준 양자화에 비해 반대가 된다. 즉,
가 된다. 반면, 만약
즉
인 경우에는 작용의 발산을 해결할 수 없으며, 대체 양자화가 불가능하고, 오직 표준 양자화만이 가능하다.
무질량 고차 스핀.
formula_22에서, 무질량 스핀 formula_51 입자(완전 대칭 완전 무대각합 formula_52차 텐서장)는 경계 formula_20에서 다음과 같은 등각 차원 formula_11를 갖는 1차장과 대응한다.
즉, 게이지 보손의 경우 (formula_56) 다음과 같은 차원의 보존 1차장에 대응한다.
중력자의 경우 (formula_58) 항상 에너지-운동량 텐서 formula_59에 대응하며, 그 등각 차원은 항상 공식에 따라
이다.
내부 게이지 이론.
일반적으로, 양-밀스 게이지 군 formula_61를 갖는 AdS 양자 중력은 대역 대칭 formula_61를 갖는 등각 장론과 대응된다.
경계 게이지 이론/끈 이론.
만약 경계의 등각 장론이 양-밀스 이론이라면, 이 경우 AdS 중력 이론은 끈 이론이 된다.
1/"N" 전개.
많은 경우, 등각 장론은 어떤 변화시킬 수 있는 양의 정수 매개변수 formula_63이 존재한다. 예를 들어, 게이지 군이 고전적 리 군인 게이지 이론의 경우, formula_63은 게이지군의 계수 (formula_65, formula_66, formula_67)이며, 시그마 모형의 경우 과녁 공간의 차원이 된다 (formula_68 벡터 모형, formula_69 벡터 모형 등). 이 경우, 큰 formula_63 극한의 등각 장론은 작은 결합 상수를 갖는 양자 중력 이론과 대응되며, 따라서 이 경우 1입자 상태를 정의할 수 있다.
여기서 1대각합 연산자라는 것은 게이지 이론의 경우
와 같이, 게이지 군 딸림표현의 (행렬로서의) 대각합을 오직 한 번만 사용하는 게이지 불변 연산자이다. 반면, 다중대각합 연산자는 딸림표현 대각합을 여러 번 사용하여 정의된 국소 연산자이다. formula_72 (또는 formula_73) 벡터 모형의 경우, 1대각합 연산자는 크로네커 델타 formula_74(또는 formula_75)를 한 번만 사용한, formula_72 (또는 formula_73) 불변 국소 연산자이다. 예를 들어, formula_72 벡터장이 formula_79라고 할 때,
는 1대각합 연산자이다.
AdS3/CFT2.
2차원 등각 장론은 고차원 등각 장론과 다른, 특수한 현상들을 보인다. 이들은 AdS3 양자 중력의 특별한 성질들과 대응된다.
AdS3의 등각 대칭군은 formula_81이다. 이는 2차원 등각 장론의 좌·우 대역등각군에 대응한다. 이들은 formula_82에 의해서 생성된다. 2차원 등각 장론의 비라소로 대수의 나머지 연산자들은 진공을 다른 상태로 바꾸므로, 이는 AdS3에서 점근적 무한대를 고정시키는 변환에 해당한다.
예.
이미 서로 대응된다고 알려진 양자 중력/등각 장론 쌍들의 예로는 다음을 들 수 있다. 이들 가운데 상당수는 초끈 이론에서 유도되었지만 (𝒩=4 초대칭 양-밀스 이론 등), 일부는 아직 끈 이론과의 관계가 명확하지 않는 경우도 있다 (바실리예프 중력 등).
AdS5×S5 IIB 끈 이론 / 𝒩=4 초대칭 양-밀스 이론.
AdS/CFT 대응성에 따라, AdS5×"S"5 공간(5차원 AdS 공간과 5차원 구의 곱) 위의 IIB형 끈 이론과 AdS5의 4차원 경계 위에서의 등각 장론인 SU("N") formula_83 양-밀스 이론이 서로 대응한다. formula_83 양-밀스 이론은 formula_63개의 겹친 D3-막들의 세계면 위에 존재하는 초대칭 등각 장론이다. 이 이론의 R대칭군은 SU(4)인데, 이는 SU(4)=Spin(5)이 스핀 구조를 지닌 formula_86의 자기동형사상군이기 때문이다. formula_63은 formula_86에 감긴 C4 라몽-라몽 장 전하량에 해당한다. (전하의 양자화에 따라 formula_63은 항상 정수다.) 즉, 다음이 성립한다.
이 예는 최초로 알려진 AdS/CFT 대응성이었으며, 현재까지도 가장 잘 알려진 예이다.
이 식의 양변에 대응하는 값들은 다음과 같다.
여기서 엇호프트 결합 상수()는 게이지 이론의 1/"N" 전개()에 쓰이는 결합 상수다.
좌변에서의 국소적 연산자()는 우변에서의 양자장(입자)에 대응하게 된다. 즉, 등각 장론을 외부 연산자로 변형시키는 것은 끈 이론에서 배경장()을 켜는 것과 같다. 또한, 등각 장론에서의 비국소적 연산자(윌슨 고리 따위)들은 끈 이론에서의 끈 또는 D-막 따위를 켜는 것과 같다.
특히, 끈과 D-막과 같은 비섭동적 끈 이론 대상 또한 등각 장론에서 대응하는 연산자들이 존재한다. 즉, AdS/CFT 대응성은 섭동적 초중력뿐만 아니라 비섭동적 끈 이론 전체를 포함한다는 것을 알 수 있다.
"S"5를 감는 D5-막의 경우, 전하 보존에 의하여 "N"개의 끈들이 붙어 있어야 한다. 이 끈들의 다른 끝은 (다른 D-막이 없으므로) AdS5 등각 경계에 붙어 있다. 따라서, 이들은 "N"개의 외부 쿼크로 이루어진 외부 중입자에 해당한다. ("N"개의 색이 존재하므로, 중입자를 이루려면 "N"개의 쿼크가 필요하다.)
변종.
"N"개의 D3-막의 사건 지평선 근처 기하를 고려하면 AdS5×"S"5를 얻는다. 대신, "N"개의 D3-막과 O3-평면을 생각하자. 그렇다면 그 지평선 근처 기하는 AdS5×ℝP5가 된다. 여기서 ℝP5는 5차원 실수 사영 공간이다. "N"개의 D3-막은 오리엔티폴드에 의한 반사로 2"N"개처럼 보이게 된다. 이 경우, 게이지 군은 O3+-평면을 사용하면 USp(2"N"), O3−-평면을 사용하면 SO(2"N")을 얻는다. 또한, “½개”의 D3-막이 O3-막과 겹쳐 있다. 이 경우, 게이지 군이 SO(2"N"+1)이 된다.
지평선 근처에서, 오리엔티폴드 평면의 존재는 2차 미분형식 게이지장의 장세기로 나타난다. IIB종 끈 이론은 두 개의 2차 미분형식 게이지장을 포함하는데, 이는 "B"2(캘브-라몽 장)와 "C"2(2차 라몽-라몽 장)이다. 진공에서는 이들은 장세기가 0이어야만 하므로, 이들은 축소화 공간 formula_90의 2차 (정수 계수) 코호몰로지의 원소다. 실수사영 공간의 호몰로지 군은 (초구와 달리) 꼬임 부분군을 가진다. 즉,
이다. 따라서 "B"2와 "C"2는 각각 두 가지 값을 가질 수 있다. 이에 따라 다음과 같은 게이지 군을 얻는다.
이 경우, 3차 호몰로지 군이 formula_92이므로, D5-막 말고 D3-막을 감을 수 있다. 이 경우 막이 안정하려면 formula_93이어야 한다. 이 경우, 게이지 군이 SO(2"N")인데, 이 때는 파피안 중입자 연산자
이 존재한다. 즉, D3-막은 이 파피안 연산자와 대응된다.
AdS4×S7 M이론 / ABJM 이론.
11차원 초중력을 formula_95에 프로인드-루빈 콤팩트화하여, 초대칭을 하나도 깨지 않고 formula_96 초중력을 얻을 수 있다. 이는 M2-막 또는 M5-막의 사건 지평선 근처 기하에 해당한다. 즉, 다음이 성립한다.
겹친 M2-막 위의 3차원 등각장론은 BLG 이론 또는 이를 일반화한 ABJM 이론이다. ABJM 이론은 formula_97 천-사이먼스 이론이다. 여기서 formula_63은 겹친 M2-막의 수, formula_13는 formula_100 오비폴드에서 몫을 취하는 순환군의 크기다. 이 오비폴드는 호프 올뭉치 formula_101에서 formula_102에 formula_103 몫을 취하여 얻는다. M이론은 일반적으로 결합 상수가 없어 섭동 이론이 존재하지 않지만, formula_13가 클 경우, formula_105의 크기가 작아져 M이론을 IIA종 끈 이론으로서 섭동 이론을 취할 수 있다. 즉, 여기서는 formula_106가 일종의 엇호프트 결합 상수 역할을 한다.
AdS7×S4 M이론 / 𝒩=(2,0) 6차원 초등각 장론.
11차원 초중력을 formula_107에 축소화하여도 초대칭을 하나도 깨지 않는다. 이는 M5-막의 사건 지평선 근처 기하에 해당한다. 따라서 다음이 성립한다.
겹친 M5-막 위에 존재하는 6차원 등각 장론은 아직 잘 알려져 있지 않다. 이 이론은 6차원 (2,0) 초등각 장론라고 불리는데, 이는 두 개의 같은 손지기 초전하를 가지기 때문이다.
평면파 극한.
AdS"n"×S10−"n" 프로인드-루빈 콤팩트화를 변형시켜, 평면파() 극한을 취할 수 있다. 이 경우 끈 이론의 세계면 작용은 자유 이론이 된다. 이러한 극한은 초대칭 양-밀스 이론에서, R전하 formula_9가 무한대로 가는 특정한 극한에 해당한다.
이 극한은 2002년에 데이비드 베렌스틴()과 후안 말다세나, 호라치우 너스타세()가 2002년에 도입하였다.
바실리예프 중력 / 벡터 모형.
3차원 및 4차원 반 더 시터르 공간에는 고차 스핀 이론() 또는 바실리예프 중력()이라는 이론이 존재한다. 이 이론은 무한한 수의 임의의 고차 스핀 무질량 게이지장을 포함한다. (일반적인 이론은 콜먼-맨듈라 정리에 따라 스핀 2를 초과하는 게이지장을 가지지 못한다.) 이 이론은 2차원 또는 3차원 O("N") 등각 장론 ("N"개의 실수 스칼라장을 가지는, O("N") 대칭을 가지는 자유 이론)과 대응한다고 추측된다. 이는 이고리 로마노비치 클레바노프()와 알렉산드르 마르코비치 폴랴코프가 2002년에 제안하였고, 클레바노프-폴랴코프 대응성()이라고 한다. 2009년에 시모네 좀비()와 인시()가 3입자 상관 함수를 계산하여, 양쪽이 서로 같음을 보였다. 이는 이 대응성의 주요한 증거로 여겨진다.
역사.
AdS/CFT 대응성은 후안 말다세나가 1997년 말에 처음으로 제안하였다. 말다세나는 IIB종 초끈 이론에서 formula_63개의 겹친 D3-막을 고려하였다. 결합 상수가 작은 경우 이는 통상적인 끈 이론 섭동 이론으로 다룰 수 있고, 결합 상수가 큰 경우에는 이를 초중력에서 검은 막으로 근사화할 수 있다. 검은 막의 사건 지평선 근처는 formula_110 꼴의 계량 텐서를 가진다. 이제 끈 길이 formula_111가 0으로 가게 되는 극한을 취하면, 결합 상수가 작은 경우에는 모든 유질량 입자는 유효 이론에서 사라지고, 또한 닫힌 끈에 의하여 매개되는 중력 또한 재규격화군 흐름에 의하여 사라지게 되어, D3-막에 붙어 있는 열린 끈의 무질량 모드에 의한 SU(N) formula_83 초대칭 게이지 이론만 남게 된다. 반면, 결합 상수가 큰 경우에는 검은 막의 사건 지평선 근처에 있는 닫힌 끈 모드들만 살아남는다. (이 경우, 유질량 모드도 사건 지평선에 매우 가까운 경우 살아남게 된다.) 따라서 formula_110에 프로인드-루빈 콤팩트화한 IIB형 초끈 이론과 formula_83 SU(N) 초대칭 게이지 이론이 서로 동등하다는 사실을 알 수 있다.
곧 스티븐 겁서, 이고리 로마노비치 클레바노프(), 알렉산드르 마르코비치 폴랴코프, 에드워드 위튼 등이 대응성을 뒷받침하는 중요한 성질 및 증거들을 발견하였다. 이 대응성은 다른 여러 가지 (비 AdS) 배경들과 그들의 짝(비 등각) 이론들에 대해서 까지도 일반화되었다. 발표된 이후 약 10년 동안 말다세나의 논문은 6000회 이상 인용되며 따라서 1990년대 이론물리학의 가장 중요한 개념적인 발전이 되었고, 양자 중력과 양자 색역학의 여러 영역들의 연관된 논리 전개에 큰 영향을 주고 있다.
관련 개념.
AdS/CFT 대응성은 홀로그래피 원리의 가장 성공적인 구현이다. 이는 헤라르뒤스 엇호프트가 제안하고 레너드 서스킨드에 의해 발전되고 널리 전파된 양자중력의 한 가지 이론적인 착상이다.
AdS/CFT 대응성은 대수적 홀로그래피혹은 "레렌 이중성"(Rehren duality)과 혼동되어서는 안된다. 끈이론가들은 어떤 경우에 이것이 AdS/CFT와 동일해 질 수 있더라도 둘은 서로 다르다고 말한다.
응용.
AdS/CFT 대응성은 끈 이론과 양자장론 (특히 양자 색역학), 응집물질물리학 등에서 널리 쓰인다.