필터 (수학)

순서론에서 필터()는 어떤 원순서 집합의 하향 상집합이며, 반대로 순서 아이디얼(順序ideal, )은 어떤 원순서 집합의 상향 하집합이다.
일반위상수학에서 필터의 개념은 점렬의 일반화로 사용되며, 수리논리학에서 필터는 초곱을 정의하는 데 쓰인다. 예를 들어, 초실수의 집합은 자연수 집합 위의 극대 필터를 사용하여 정의된다.
정의.
필터와 순서 아이디얼.
원순서 집합 formula_1의 부분 집합 formula_2 가운데 다음 두 조건을 만족시키는 것을 필터라고 한다.
원순서 집합 formula_1의 부분 집합 formula_2 가운데 다음 두 조건을 만족시키는 것을 순서 아이디얼이라고 한다.
소 필터와 소 순서 아이디얼.
원순서 집합 formula_9의 필터 formula_2에 대하여, 만약 formula_11가 아이디얼이라면, formula_3를 소 필터(), formula_11를 소 순서 아이디얼()이라고 한다.
극대 필터와 극대 순서 아이디얼.
원순서 집합 formula_9의 필터들은 부분 집합 관계에 대하여 부분 순서 집합 formula_15을 이루며, 만약 formula_16가 하향 원순서 집합이라면 그 최대 원소는 formula_17 자체이다. 이 경우, formula_18의 극대 원소를 극대 필터(極大filter, ) 또는 초필터(超filter, )라고 한다.
마찬가지로, 원순서 집합 formula_9의 순서 아이디얼들은 부분 집합 관계에 대하여 부분 순서 집합 formula_20을 이루며, 만약 formula_16가 상향 원순서 집합이라면 그 최대 원소는 formula_22 자체이다. 이 경우 formula_23의 극대 원소를 극대 순서 아이디얼(極大順序ideal, )라고 한다.
성질.
합집합과 교집합.
같은 원순서 집합 속의 두 필터의 합집합이나 교집합은 일반적으로 필터가 아니며, 순서 아이디얼의 경우도 마찬가지다. 다만, 원순서 집합 formula_9 속의 필터들의 사슬 formula_26에 대하여, 합집합 formula_27은 필터를 이룬다. 그러나 교집합 formula_28는 여전히 필터가 아닐 수 있다. 마찬가지로, 순서 아이디얼들의 사슬의 합집합은 순서 아이디얼이지만, 교집합은 순서 아이디얼이 아닐 수 있다.
예를 들어, 자연수 집합 formula_29에 서로 비교 불가능한 두 개의 무한대 formula_30, formula_31를 추가하였을 때,
는 필터이지만,
는 하향 원순서 집합이 아니므로 필터가 아니다.
극대 필터 정리.
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
극대 필터 정리(極大filter定理, )에 따르면, formula_39를 포함하는 극대 필터가 항상 적어도 하나 이상 존재한다. 이는 초른 보조정리로 쉽게 증명된다.
증명:
부분 순서 집합
를 생각하자. 초른 보조정리에 따라, formula_41 속의 모든 사슬이 상계를 가지는 것을 보이면 족하다.
formula_41 속의 임의의 사슬 formula_43에 대하여, formula_27는 formula_45의 상계이다. 이제 formula_46임을 보이면 족하다.
귀류법을 사용하여, formula_47라고 가정하자. 그렇다면
인 formula_49를 찾을 수 있다. 그렇다면 formula_50인데, 이는 모순이다.
마찬가지로, 최대 원소를 갖는 상향 원순서 집합 formula_9에서, formula_16 전체가 아닌 모든 순서 아이디얼은 극대 순서 아이디얼에 포함된다.
격자.
격자 formula_53의 부분 집합 formula_54에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.
격자 formula_53의 부분 집합 formula_64에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.
격자 formula_53의 부분 집합 formula_54에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.
필터 격자와 순서 아이디얼 격자.
유계 이음 반격자 formula_3의 순서 아이디얼들의 부분 순서 집합 formula_80은 대수적 격자를 이룬다. (이는 모든 순서 아이디얼은 그 속의 주 순서 아이디얼들의 상한이며, 모든 주 순서 아이디얼은 순서 아이디얼 격자의 콤팩트 원소이기 때문이다.) 순서 아이디얼들의 집합 formula_81의 상한과 하한은 다음과 같다.
쌍대적으로, 유계 만남 반격자 formula_3의 필터들의 부분 순서 집합 formula_85은 대수적 격자를 이룬다. (이는 모든 필터는 그 속의 주 필터들의 상한이며, 모든 주 필터는 필터 격자의 콤팩트 원소이기 때문이다.) 필터들의 집합 formula_86의 상한과 하한은 다음과 같다.
반대로 모든 대수적 격자는 어떤 유계 이음 반격자의 순서 아이디얼 격자와 동형이며, 마찬가지로 어떤 유계 만남 반격자의 필터 격자와 동형이다.
격자 formula_53에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.
볼록 부분 격자.
원순서 집합 formula_9의 부분 집합 formula_2가 다음 두 조건을 만족시키면, (순서) 볼록 집합()이라고 한다.
격자 formula_53의 순서 아이디얼 formula_55와 필터 formula_39의 교집합 formula_103는 항상 formula_53의 볼록 부분 격자이다. 반대로, 모든 공집합이 아닌 볼록 부분 격자는 순서 아이디얼과 필터의 교집합으로 유일하게 나타낼 수 있다.
격자 formula_53의 순서 아이디얼 formula_55와 필터 formula_39가 주어졌다고 하자. formula_55와 formula_39가 부분 격자이므로, 교집합 역시 부분 격자이다. formula_110 및 formula_111이 주어졌고, formula_112라고 하자. 그렇다면 formula_55가 하집합이므로 formula_114이며, formula_39가 상집합이므로 formula_116이다. 따라서, formula_103는 formula_53의 볼록 부분 격자이다.
반대로, formula_53의 볼록 부분 격자 formula_3가 주어졌다고 하자. 그렇다면, formula_3는 상향 집합이자 하향 집합이다. formula_3를 포함하는 최소의 순서 아이디얼 formula_123 및 필터 formula_124를 생각하자. 그렇다면, 자명하게 formula_125이다. 또한, formula_3가 볼록 부분 격자이므로 formula_127이다. 따라서 formula_3는 순서 아이디얼 formula_123와 필터 formula_124의 교집합이다.
이제, formula_53의 볼록 부분 격자 formula_132가 순서 아이디얼 formula_55와 필터 formula_39의 교집합이라고 하자. 쌍대성에 따라, formula_135를 보이면 족하다. formula_136이므로 formula_137이다. 반대로 formula_58라고 하자. 임의의 formula_139를 취하자. 그렇다면, formula_140이므로 formula_141이며, formula_142이므로 formula_143이다. 즉, formula_144이다. formula_145이므로, formula_146이다.
불 대수.
불 대수 formula_147는 다음과 같이 표준적으로 가환환으로 여길 수 있다.
또한, 불 대수 formula_147는 다음과 같이 표준적으로 부분 순서 집합으로 여길 수 있다.
그렇다면, formula_152의 순서 아이디얼의 개념은 가환환으로서의 아이디얼의 개념과 일치한다.
불 대수 formula_152 위의 필터 formula_154에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.
그물의 유도 필터.
집합 formula_16와 상향 원순서 집합 formula_161 및 그물 formula_162가 주어졌다고 하자. 그렇다면, formula_163의 꼬리들의 집합
은 하향 원순서 집합을 이루며, 이로부터 생성되는 필터
를 그물 formula_166의 유도 필터()라고 한다.
마찬가지로, 집합 formula_167와 하향 원순서 집합 formula_168 및 함수 formula_169가 주어졌다고 하자. 그렇다면, formula_170의 머리들의 집합
은 상향 원순서 집합을 이루며, 이로부터 생성되는 아이디얼
를 formula_173의 유도 순서 아이디얼()라고 한다.
수열은 그물의 특수한 경우이므로, 마찬가지로 유도 필터를 정의할 수 있다.
필터에 대응되는 그물.
모든 그물에 필터가 대응되는 것처럼, 모든 필터에도 그물을 대응시킬 수 있다. 따라서, 위상 수학에서 그물 이론과 필터 이론은 사실상 동치이다.
집합 formula_16의 멱집합 formula_175의 부분 집합 formula_176가 주어졌을 때, 집합
에 다음과 같은 원순서를 줄 수 있다.
만약 formula_179가 상향 원순서 집합이며 formula_180이라면 formula_55 역시 상향 원순서 집합이며,
는 그물을 이룬다.
반대로, formula_179가 하향 원순서 집합이며 formula_185라면 formula_55 역시 하향 원순서 집합이며,
는 그물을 이룬다.
멱집합 위의 필터.
집합 formula_16의 멱집합 formula_175 위의 필터 formula_154에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이이다.
따라서, 집합 formula_16의 멱집합 formula_175 위의 극대 필터 formula_204는 대략 "대부분"의 개념의 추상화로 여길 수 있다. 즉, 어떤 집합의 부분 집합 formula_199는 "대부분"이거나 (formula_196), 아니면 그 여집합이 "대부분"이다 (formula_201).
한원소 부분 집합에 대한 주 필터
는 극대 필터이다. 유한 집합의 멱집합 위의 극대 필터는 모두 위와 같은 꼴이다.
완비 극대 필터.
기수 formula_209에 대하여, formula_209-완비 극대 필터()는 다음 성질을 만족시키는, 집합 위의 극대 필터 formula_154이다.
정의에 따라, 모든 극대 필터는 formula_215-완비 극대 필터이다.
집합 formula_16 위의 극대 필터 formula_154의 완비성 formula_209는 다음 조건을 만족시키는 가장 작은 기수이다.
만약 완비성이 존재한다면, 완비성은 정의에 따라 항상 formula_215 이상이다. 주 극대 필터의 경우, 완비성이 존재하지 않는다.
예.
자명한 필터.
임의의 하향 원순서 집합 formula_9 속에서, formula_16 자체는 필터를 이룬다. 마찬가지로, 임의의 상향 원순서 집합 formula_9 속에서, formula_16 자체는 순서 아이디얼을 이룬다.
주 필터와 주 아이디얼.
어떤 원소 formula_227를 포함하는 가장 작은 필터를 주 필터()로 부르며,
로 표기한다. 어떤 원소 formula_227를 포함하는 가장 작은 아이디얼을 주 순서 아이디얼()로 부르며,
로 표기한다.
원순서 집합 formula_9의 극소 필터는 그 극대 원소로 생성되는 주 필터이다. 마찬가지로, 원순서 집합의 극소 순서 아이디얼은 그 극소 원소로 생성되는 주 순서 아이디얼이다.
프레셰 필터.
집합 formula_3 및 무한 기수 formula_233에 대하여,
는 formula_3위의 필터를 이룬다. 만약 formula_236이라면, 이는 쌍대유한집합들의 집합이며, 이를 프레셰 필터()라고 한다.
근방 필터.
위상 공간에서, 주어진 점의 모든 근방들은 근방 필터라는 필터를 이룬다. 필터가 주어진 점에 수렴한다는 것은 근방 필터를 포함하는 것을 의미한다.
역사.
순서 아이디얼의 개념은 불 대수에 대하여 1934년에 마셜 하비 스톤이 도입하였다. "순서 아이디얼"이라는 이름은 불 대수의 순서 아이디얼은 가환환으로서의 아이디얼과 일치하기 때문에 사용되었다. 1937년에 스톤은 순서 아이디얼을 격자에 대하여 "μ-아이디얼"()이라는 이름으로 일반화하였다. 마찬가지로, 스톤은 격자 속의 필터를 "α-아이디얼"()이라고 명명하였다.
이와 독자적으로, 앙리 카르탕은 1937년에 점렬의 개념을 일반화하여 "필터"()와 "초필터"()라는 용어를 도입하였다. 이후 니콜라 부르바키가 이 개념을 널리 사용하여 대중화하였다.