모스 이론

미분위상수학에서 모스 이론(Morse理論, )은 다양체의 위상수학을 그 위에 정의된 매끄러운 함수로 분석하는 분야이다. 이 경우 함수의 임계점을 통해 콤팩트 매끄러운 다양체 formula_1의 호몰로지를 모스 이론으로 구성할 수 있다. 이 구성을 모스 호몰로지라고 한다.
정의.
모스 지표.
formula_1이 매끄러운 다양체라고 하고, 그 위에 매끄러운 함수 formula_3이 있다고 하자. formula_4의 임계점들은 formula_4의 기울기가 0인 formula_1의 부분 집합이다. 이를
로 표기하자.
formula_8에 속하는 formula_1의 부분 다양체
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, formula_1의 접다발을 어떤 임의의 리만 계량을 사용하여 formula_12 위에서 접다발과 법다발로 분해할 수 있다.
이 경우, formula_17 및 그 근방의 국소 좌표계에 대하여, 헤세 행렬
을 정의할 수 있으며, 이를 formula_19에 제한할 수 있다. 이 경우, formula_4의 formula_12에 대한 모스-보트 지표(Morse-Bott指標, ) formula_22는 formula_23의 음의 고윳값의 수이다. (이는 사용한 국소 좌표계 및 formula_17의 선택 및 리만 계량에 의존하지 않는다.) 특히, 만약 formula_14인 경우, formula_26는 단순히 헤세 행렬 formula_27의 음의 고윳값의 수이다. 이를 formula_28라고 쓰며, formula_4의 formula_30에서의 모스 지표(Morse指標, )라고 한다.
모스 함수와 모스-보트 함수.
매끄러운 함수 formula_3가 다음 조건들을 만족시킨다면, formula_4를 모스-보트 함수(Morse-Bott函數, )라고 한다.
이 경우, 각 formula_43를 formula_4의 임계 부분 다양체(臨界部分多樣體, )라고 한다.
또한, 매끄러운 함수 formula_3에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 모스 함수라고 한다.
성질.
모스 함수의 조밀성.
매끄러운 함수 formula_47의 공간 formula_48 위에 임의의 리만 계량을 가해, 다음과 같은 일련의 노름들로 프레셰 공간의 구조를 줄 수 있다.
이 프레셰 위상을 formula_50 위상이라고 하고, 이는 사실 사용된 리만 계량에 의존하지 않는다.
이 위상에서, 모스 함수들의 부분 공간은 formula_48의 조밀 집합을 이룬다.
모스 세포 구조.
다음이 주어졌다고 하자.
그렇다면, 각 formula_55에 대하여 부분 공간
을 정의할 수 있다. 이는 사실 경계다양체를 이룬다.
그렇다면, 임의의 formula_57, formula_58이 formula_4의 임계점을 포함하지 않는다면, formula_60와 formula_61는 서로 미분 동형이다.
따라서, 만약 서로 다른 두 임계점에 대하여 formula_4의 값이 항상 서로 다르다면, formula_4는 모스 함수 formula_4는 다양체 formula_1와 호모토피 동치인 세포 복합체를 결정짓는다. 이 세포 복합체에서 지표가 formula_74인 특이점은 formula_74차 세포에 대응된다. 또한, 모든 매끄러운 다양체에 대하여 이와 같은 꼴의 모스 함수를 찾을 수 있음을 보일 수 있다.
모스 부등식.
매끄러운 다양체 formula_1 위의 모스-보트 함수 formula_4가 주어졌다고 하면, 다음과 같은 모스-보트 다항식()을 정의할 수 있다.
이는 물론 모스 다항식의 일반화이다. 만약 formula_4가 모스 함수일 경우, 이를 모스 다항식()이라고 한다.
이제, formula_1이 콤팩트 가향 다양체이며, 각 formula_81 또한 모두 가향 다양체라고 하자. (만약 formula_4가 모스 함수라면, 둘째 조건은 자명하게 성립한다.) 그렇다면, 모스-보트 부등식에 따르면,
가 되는, 자연수(음이 아닌 정수) 계수의 다항식
이 존재한다.
여기서
는 formula_1의 푸앵카레 다항식이다.
특히, 만약 formula_87일 경우
이 된다. 여기서 formula_89은 오일러 지표이다. (만약 formula_4가 모스 함수일 때, 이 사실은 세포 복합체의 세포 호몰로지로부터 간단하게 알 수 있다.)
formula_4가 모스 함수일 때, 위 다항식을 차수별로 분해하면,
이다. 즉, formula_74차 임계점의 수는 formula_74차 베티 수의 상계를 이룬다. (이 역시 세포 복합체의 세포 호몰로지로부터 간단하게 알 수 있다.)
예.
초구.
formula_95차원 유클리드 공간 속의 표준적 (반지름 1의) formula_96차원 초구
를 생각하자. 이 경우, 높이 formula_98는 모스 함수를 이루며, 이는 두 개의 임계점
을 가지며, formula_100는 북극, formula_101는 남극에 해당한다. 이 경우, formula_100의 모스 지표는 formula_96이며, formula_101의 모스 지표는 0이다. 이로부터 정의되는 세포 복합체 구조는 하나의 0차원 세포(남극) 및 하나의 formula_96차원 세포(남극을 제외한 모든 점)으로 구성된다.
수직 원환면.
2차원 원환면 formula_106을 3차원 유클리드 공간에 다음과 같이 매장하였을 때, 높이 함수는 모스 함수를 이룬다.
이는 네 개의 임계점을 가지며, 그 지표는 (아래서부터) 각각 0, 1, 1, 2이다. 이는 원환면의 다음과 같은 세포 복합체 구조를 정의한다. 우선,
이다. 임의의 두 점 formula_108을 골랐을 때,
는 원환면의 세포 복합체를 정의하며, 이는 위의 모스 함수를 통하여 얻은 것과 동치이다.
보다 일반적으로, 종수 formula_113의 콤팩트 가향 곡면 formula_114를 위와 같이 배치하자. 그렇다면, 높이 함수는 모스 함수이며, 이는 formula_115개의 임계점을 갖는다. 이를 각각 순서대로 formula_116라고 할 때,
이다. 이것이 정의하는 세포 복합체 구조에서, formula_120는 formula_121의 표준적 기저에 해당한다.
수평 원환면.
반대로, 2차원 원환면을 3차원 유클리드 공간 속에서, xy 평면에 회전 대칭을 갖도록 매장하자. 이 경우, z방향 높이는 모스 함수를 이루지 못하지만, 모스-보트 함수를 이룬다. 이 경우 두 개의 임계 부분 다양체 formula_122가 존재한다. 이 경우
원의 푸앵카레 대항식은
이므로, 이 모스-보트 함수의 모스-보트 다항식은
이다. 원환면의 푸앵카레 다항식은
이므로, 이 경우 모스-보트 부등식이 포화된다 (즉, formula_128이다).
모스 함수가 아닌 함수.
1차원 이상의 매끄러운 다양체 위에서, 상수 함수를 생각하자. 이 경우 모든 점이 임계점이며, 모든 임계점의 헤세 행렬은 0이다. 그러므로 이는 모스 함수가 되지 못한다. (그러나 0차원 다양체(즉, 이산 공간)의 경우 이는 모스 함수를 이룬다.)
임의의 다양체 formula_1, formula_130 및 formula_1 위의 함수 formula_4에 대하여, formula_133 위에 formula_134를 정의할 수 있다. 만약 formula_130이 1차원 이상이라면, 이는 항상 모스 함수가 아니다. 그러나 만약 formula_4가 모스 함수라면 formula_137는 모스-보트 함수를 이룬다.
역사와 어원.
마스턴 모스 이전에도 이미 아서 케일리와 제임스 클러크 맥스웰 등이 측량학에 관련하여, 곡면 위에 정의된 높이 함수의 특이점들을 고려하였다.
마스턴 모스가 변분법을 연구하면서 모스 이론을 1934년 도입하였다. 이후 모스는 평생을 주로 모스 이론을 연구하는 데 바쳤다.
이후 스티븐 스메일 · 라울 보트 · 에드워드 위튼 등이 모스 이론에 공헌하였다.