heegyu/kowiki-sentences huggingface dataset:
그리고 장음계와 마찬가지로 음계의 Ⅰ을 으뜸음, Ⅳ를 버금딸림음, Ⅴ를 딸림음이라고 한다. Ⅶ은 임시표에 의해서 반음 높아진다.(으뜸음과 단2도의 관계에 있을 때만 이끔음이라고 한다.)
화성 단음계는 자연 단음계의 Ⅶ을 임시표로 반음 높여서 이끔음으로 한 것이다.
주로 화성에서 쓰이므로 이렇게 부른다.
화성 단음계의 Ⅵ과 Ⅶ(이끔음)은 증2도, Ⅶ과 Ⅰ(이끔음과 으뜸음)은 단2도로 되고, 다른 음계 각 음의 음정관계는 자연단음계와 같다.
가락 단음계는 자연 단음계의 제6음과 제7음을 올라갈 때에는 반음씩 올리고, 내려갈 때에는 자연단음계의 형태를 갖는 것이다.
이것은 화성단음계에서 제6음과 제7음의 사이가 증2도이므로 가락으로서는 자연스럽지 않기 때문에 제6음도 반음을 높이고, 또 올라갈 때에는 마침(終止)의 느낌을 얻기 위해서 제7음과 제8음 사이를 반음으로 할 필요가 있어 생겼다.
아래로 내려갈 때에는 그렇게 할 필요가 없으므로 자연단음계를 그대로 쓴다.
반음계(半音階)는 모든 음이 반음간격으로 진행되는 음계로, 12개의 반음정으로 구성되어 있다.
오음음계는 다섯 개의 음으로 이루어진 음계이다.
화음(和音) 또는 코드(chord)란 높이가 다른 2개 이상의 음이 동시에 울렸을 때의 합성음을 말한다.
코드들로 이루어진 하나의 시퀀스는 코드의 진행, 또는 화성의 진행이라고 한다.
이러한 진행은 서양 음악에서 자주 쓰인다.
하나의 코드의 진행은 음높이, 근음, 또는 토닉 코드에 기초한 조성(tonality)을 만드는 것을 목표로 한다.
화성에 대한 연구는 코드와 코드의 진행, 그리고 이를 지배하는 연결 법칙을 다룬다.
코드는 다양한 방법으로 표현될 수 있다.
가장 일반적인 표기법은 다음과 같다:
화음은 음을 겹치는 방법에 따라 자유롭게 만들 수 있으나, 유럽의 음악사상(音樂史上) 조직적으로 써온 것은 음을 3도로 겹친 '3도화음'이다.
이것은 보통 3개의 음을 3도로 겹친 것을 기초로 하여 기능화성법에서 쓰는 화음의 바탕이 되었다.
그리고 이와 같은 3개의 다른 음으로 된 3도화음을 '3화음'이라고 하며, 그 위에 다시 3도음을 더한 4개의 음으로 이루어지는 화음을 '4화음' 또는 '7화음'이라 한다.
3화음은 3도를 겹치는 방법에 따라 4종의 화음이 된다.
즉, 밑에서부터 장3도－단3도와 겹친 '장3화음', 마찬가지로 단3도－장3도와 겹친 '단3화음', 장3도－장3도를 겹친 '증3화음', 단3도－단3도를 겹친 '감3화음'이다.
4화음 또는 7화음은 꾸미는 종류가 다양하기 때문에 가장 많이 쓰이는 것만을 고유한 명칭으로 부르는 경우가 많다. '장7화음'(장3화음 위에 장3도음을 더한 것), '딸림7화음'(장3화음 위에 단3도음), '단7화음'(단3화음 위에 단3도음), '감7화음'(감3화음 위에 단3도음), '반감7화음'(감3화음 위에 장3도음) 등이 있다.
또 이상의 화음은 장3화음과 단3화음을 어울림화음(協和和音), 그 밖의 화음을 모두 안어울림화음(不協和和音)으로 크게 나누어 부르기도 한다.
3도화음을 구성하는 각 음은 그 바탕이 되는 음을 밑음(根音)이라 부르고, 그 음으로부터 위로 차례차례 제3음, 제5음, 제7음이라 부른다. 4화음이 7화음으로 불리는 것은 이런 까닭에서이다.
3도화음 외에 같은 음정을 겹치는 화음으로 '4도화음'이 있다.
이것은 4도음정을 겹친 것으로, 20세기 초 무렵에 드뷔시나 쇤베르크에 의하여 기능화성의 틀에서 벗어나 새로운 화음의 색채감을 얻기 위해 때때로 시도되었다.
이 밖에 4도화음의 변종(變種)으로 스크랴빈의 신비화음이 있다.
스크랴빈은 교향곡 제5번 &lt;프로메테우스(Prometheus) - 불의 시(詩)&gt;(작품 60, 1910)의 화음 전부를 이 신비화음만으로 하려고 시도했다. 하지만 이것은 본래 악곡 구성의 한 요소인 화음이 악곡 전체에까지 부연(敷衍)된 한 예이다.
3도 또는 4도의 구성으로 하지 않고 자유로운 음정 구성에 의하는 화음은 20세기 이후의 음악에 많이 쓰이고 있으나, 아직 체계적인 연구가 없이 특별한 이름도 없다.
네 개의 기본적인 3화음을 아래에 나타내었다.
기능화성의 기초가 되는 화음은 장음계, 단음계 위에서 만들어지는 3도의 퇴적(堆積)으로 된 3화음이며, 이 3화음은 편의상 각각 음도(音度)가 붙어 있다.
특히 주요 3화음에 대해선 Ⅰ을 으뜸화음, Ⅳ를 버금딸림화음, Ⅴ를 딸림화음이라고 한다.
으뜸화음은 중심이 되는 화음으로서, 한 조(調) 속에서 정지감·안정감을 가장 강하게 갖고 있다.
딸림화음은 으뜸화음으로 가려고 하는 강한 지향성을 갖는 화음이다.
음계 중에서 으뜸음으로 가려 하는 힘을 가장 강하게 갖는 것은 이끎음(導音)이며, 또 자연배음렬(自然倍音列)에선 으뜸음과 완전5도, 4도의 음정이 매우 근친관계가 깊다.
딸림화음은 이 양쪽을 겸비하고 있으므로 가장 강하게 으뜸화음으로 가려고 하는 힘을 가지고 있다.
버금딸림화음은 이 가운데서 완전5도, 4도의 관계를 가지고 있을 뿐 딸림화음에 비하여 으뜸화음을 지향하는 힘은 약하나 으뜸화음과 딸림화음의 기능을 보조하는 작용을 가진다.
따라서 이 3개의 화음은 기능화성에서 가장 기본적인 화음이며, 그 기능은 T(으뜸화음), D(딸림화음), S(버금딸림화음)로 표시되는 것이 통례로 되어 있다.
버금3화음은 이 주요 3화음의 대리로서의 기능을 가진다.
즉 T를 Ⅵ, S를 Ⅱ, D를 Ⅶ이 대리하고, Ⅲ은 장조일 때는 놓인 위치에 따라 T 또는 D를 대리로 하고, 단조일 때는 전적으로 D를 대리한다.
7화음(七和音)이란 3화음에 다시 밑음(根音)에서 7도음정이 되는 1음을 더하여 4화음으로 한 화음의 총칭이다.
장3화음과 단3화음이 어울림화음인 데 대하여, 이 밖의 화음은 모두 안어울림화음이다(화음 항목 참조). 따라서 7화음은 모두 안어울림화음인데, 이 화음은 울림이 생경(生硬)하고 불안정하기 때문에 울림을 안정된 화음(어울림화음)으로 진행시킴으로써 비로소 충족감을 얻게 된다.
이와 같이 불안정한 울림은 어떠한 종류의 긴장감을 자아내며, 안정된 울림으로 진행함으로써 이 긴장감이 풀리므로 안어울림을 어울림으로 진행시키는 것을 안어울림음의 해결(긴장의 이완)이라 한다. 7화음의 해결은 보통 제7음을 2도 낮추어 한다.
이 가운데서 가장 중요한 화음은 딸림화음에 제7음을 더한 화음으로 '딸림7화음'이라 불린다.
딸림화음(속화음:屬和音)은 으뜸화음으로 진행하려는 긴장력을 가장 강하게 가지고 있는 화음이다.
딸림7화음(속칠화음,屬七和音: Ⅴ7)은 이러한 딸림화음의 성질에 다시 제7음을 더하여 강화한 것이라고 할 수 있다. .
감7화음(減七和音:Ⅶ07)은 밑음과 제7음이 감7도가 되므로 이렇게 부른다.
이 화음은 엔하모닉하여 바꾸어 읽기가 매우 쉬워서 여러 가지 조의 Ⅶ07로 해석이 되므로, 많은 작곡가에 의해서 조성을 애매하게 한다든가 조바꿈(전조:轉調)한다든가 할 때 많이 쓰이고 있다.
감7화음은 이와 같은 성질로, 특히 낭만파의 작품 속에서 크게 활용되었다.
도미난테의 기능을 갖는 화음 이외의 7음을 총칭하여 버금7화음(부칠화음:副七和音)이라 부른다.
버금7화음 가운데 가장 많이 쓰이는 화음은 Ⅱm7 및 ⅣM7의 화음으로서, 특히 Ⅱm7은 Ⅱ와 같은 정도로 쓰이고 있다.
제7음은 2도 낮추어 해결하는 것이 보통이지만, 장조의 ⅣM7의 제7음은 때때로 반음 올려서 해결하는 수가 있다.
그 밖의 화음은 안어울림의 정도가 높아 잘 쓰이지 않는다.
어떤 조의 화음이 그 조의 바탕이 되는 음계의 고유(固有)한 음이 아닌 음을 가지고 있을 때, 이 화음을 그 조의 변화화음(變化和音)이라 한다.
예를 들면 다장조의 화성에 '라－올림바－가'의 화음이 있으면 이것은 사장조에서는 Ⅴ이나, 다장조의 음계에는 올림바의 음이 없으므로 이 화음은 다장조에서는 변화화음으로 된다.
변화화음의 가장 일반적인 것은 장조에 같은 으뜸단조의 Ⅳ나 Ⅱ를 쓰는 경우이다.
이것은 보통 화성장조(Molldur)의 화음이라 하며, 이와 같은 Ⅳ, Ⅱ를 준고유화음(準固有和音)이라고 하는 경우도 있다.
변화화음의 본질은 화음 내의 음의 반음계적 변화(임시표를 붙여 그 음을 반음 높게, 또는 낮게 하는 일)에 의해서 다음 화음과 보다 효과적으로 직결하는 데 있다.
이끎음(導音)이 으뜸음에 가장 강한 긴장력(緊張力)을 가지고 진행하는 것은 그 반음계적 진행에 유래하듯이 다른 음도 반음계적 변화를 가하면 다음 음에 이끎음과 같은 성질을 가지고 진행한다.
예를 들면 바음에서 사음으로 진행하는 경우, 바음을 올림바음으로 하면 사음으로 한층 더 진행하기 쉽게 된다.
변화화음은 이 원리를 응용한 것이라 하겠다.
따라서 보표예 14의 Ⅳ, Ⅱ7의 내림가음은 Ⅴ7의 사음으로 하행하는 이끎음과 같은 작용으로 진행한다.
변화화음의 대표적인 것에는 이 밖에 '#나폴리의 6화음', '#부속화음(副屬和音)', '#증6화음' 등이 있다.
이 변화화음은 한 조 안에서 그 조에 속하지 않는 다른 조의 음도 자유롭게 구사할 수 있게 하였기 때문에 참으로 다채로운 울림을 내는 결과가 되었다.
위의 변화화음은 특별히 이름이 붙는 대표적인 것이나, 본래 이 화음은 화음 중의 한 음을 반음계적으로 변화시킴으로써 자유롭게 만들 수 있으므로 실제의 용법은 극히 많다.
또 변화화음인지 화음밖의음의 반음계적 변화인지의 판단이 어려울 때도 있다.
이와 같은 변화화음을 많이 쓰면 원래 그 조의 고유음(固有音) 아닌 음을 쓰기 때문에 조성감(調性感)이 약해지는 경향을 띤다.
후기 낭만파로부터 20세기 초에 걸쳐 조성이 붕괴해간 과정은 이 끊임없는 변화화음의 사용과 빈번한 조바꿈으로 촉진되었다.
거기서는 화성의 기능성보다도 음향의 색채성이 더 중요시되었다.
나폴리 6화음이라는 명칭은 이 화음이 A. 스카를라티 등의 나폴리 악파에게 특히 많이 쓰였기 때문이며, 보통 6화음의 형태로 쓰인 데서 연유한다.
일반적으로 부속화음(副屬和音)이라 하는 화음은 어떤 조의 으뜸화음 외의 화음 Ⅱ, Ⅳ, Ⅴ 등을 으뜸화음으로 하는 조의 딸림화음이다.
예를 들면 다장조의 Ⅴ(사－나－라)를 으뜸화음으로 하는 조는 사장조이므로 다장조의 Ⅴ의 부속화음은 사장조의 Ⅴ(라－올림바－가)의 화음과 같은 형태가 된다.
이 화음은 각 화음 사이에 자유롭게 삽입할 수 있으나, 이 경우 전체적으로는 다장조임에도 불구하고 Ⅵ은 가단조로, Ⅳ는 바장조로 일시적으로 조바꿈한 것같이 울린다.
이것은 딸림7화음의 으뜸화음을 명시하는 힘과 마찬가지로 부속화음이 놓인 화음이 으뜸화음적인 의미를 가져오기 때문이다.
이러한 부속화음 중에 Ⅴ로 진행하는 것만은 특히 도펠도미난테(Doppeldominante)라 한다.
'증6화음(增六和音)이란 S기능의 화음의 각 음에 반음계적 변화를 더한 것으로, 그 화음 속에 증6도 음정을 가지기 때문에 이렇게 부른다 (보표예 17). 대표적으로 이탈리아 6화음, 프랑스 6화음, 독일 6화음 등이 있다.
화음은 그 실제 사용에서 항상 밑음이 최저(最低音)일 수는 없으며, 밑음 이외의 제3음, 제5음, 제7음 등이 최저음이 되기도 한다.
이와 같이 밑음 이외의 음이 최저음으로 되어 있는 화음을 자리바꿈(轉回)된 화음이라 하며, 어느 음이 최저음으로 되었는가로 그 형태, 즉 자리바꿈꼴(轉回形)이 정해진다.
밑음이 최저음으로 되어 있는 화음을 기본형이라고 한다.
#3화음의 자리바꿈꼴은 제3음이 최저음으로 돼 있는 것을 '#6화음'이라 하고, 제5음이 최저음으로 돼 있는 것을 '4·6화음'이라 한다.
이와 같은 자리바꿈꼴의 명칭은 그 최저음이 되는 음과 밑음과의 음정에서 유래하였다.
#7화음(4화음)의 자리바꿈꼴은 제3자가 최저음으로 되어 있는 것을 '5·6화음', 제5음이 최저음으로 되어 있는 것을 '3·4화음'이라 한다. 7의 화음에서는 다시 제7음이 최저음이 되는 경우가 있고, 이것을 '2화음'이라 한다.
화음은 이와 같이 자리바꿈하여도 기능은 변하지 않는다.
따라서 자리바꿈꼴에도 마침꼴의 규칙이 적용된다.
그러나 화음은 자리바꿈으로 그 색채감이 변화하기 때문에 음악작품 속에서는 자리바꿈꼴이 다양하게 쓰인다.
실제의 음악작품 속에서는 멜로디가 화성진행에서 쓰는 화음의 음만으로 구성되는 예는 적다.
화음에 포함되지 않는 음을 총칭하여 화음 밖의 음(비화성음:非和聲音)이라 한다.
화음 밖의 음은 멜로디의 진행을 원활하게 하는 데 없어서는 안 되는 것으로, 실제 작품 속에서 화음 밖의 음이 없는 음악은 한 곡도 없다고 하여도 과언이 아니다.
화음 밖의 음은 그 용법에 따라 6종으로 분류되지만 대표적인 것 4종만 들겠다.
이것들은 가락을 원활하게 하는 데 없어서는 안 되는 방법이다.
걸림음(掛留音)은 앞의 화음 중에서 한 음이 연장되어 다음의 화음 밖의 음으로 되는 것을 말한다.
이때 앞의 화음이 가지고 있는 음으로서 연장되어 다음 화음의 화음밖의음이 되는 음을 걸림음의 예비(豫備)라고 한다.
바꿔지남음(轉過音, 倚音)은 '예비가 없는 걸림음'이라고 할 만한 것이다.
도움음(補助音)은 2개의 화성음간에 2도음으로 인접하는 화음 밖의 음을 말한다.
이것은 1개의 경우와 복수개(複數個)의 경우가 있다.
지남음(經過音)이란 2개의 화성음 사이를 순차적으로 진행하면서 지나는 화음밖의음이다.
끎음(持續音·保續音)은 멜로디 진행상 화음 밖의 음은 아니지만 화음 밖의 음의 일종이다.
이것은 화음 상호간의 화음 밖의 음이라고 할 수 있는 것으로 베이스에 으뜸음 또는 딸림음이 그 위의 화성진행과는 독립하여 길게 연장되는 것이다.
이때 베이스에 연장되어 높이는 음을 끎음(持續音)이라고 하며, 이 음의 처음과 끝에는 이 음을 밑음으로 한 화음, 즉 으뜸화음 또는 딸림화음이 놓인다.
이 수법은 주로 곡의 마침부에 쓰인다.
베이스는 화음의 기능을 지속하는 힘이 가장 강하므로, 베이스에 밑음을 지속하여 기능적 안정을 도모하며 그 위에서 다채로운 화성진행을 함으로써 같은 기능의 색채적 변화를 다하고 곡의 끝을 장식한다.
존 네이피어(, , 1550년 2월 1일 ~ 1617년 4월 4일)는 로그를 발명한 것으로 유명한 영국 스코틀랜드 출신의 수학자이다.
세인트앤드루스 대학교를 졸업했다.
또한, '네이피어의 막대'라는 도구를 발명한 것으로도 유명하다.
1617년 4월 4일 영국 에든버러에서 사망했다.
네이피어의 막대란 길고 가느다란 동물 뼈나 나무 조각에 곱셈표를 새겨 넣은 것을 말한다.
빌헬름 시카드는 네이피어의 막대를 바탕으로 하여, 최초의 계산 기계를 조립하였다.
이 장치는 덧셈, 뺄셈뿐만 아니라 곱셈이나 나눗셈까지 사칙연산을 모두 할 수 있었다고 한다.
조제프루이 라그랑주(, , 1736년 1월 25일 ~ 1813년 4월 10일) 은 토리노, 피에몬테에서 태어난 이탈리아 태생, 프랑스와 프로이센에서 활동한 프랑스 수학자이자 천문학자이다.
그는 해석학, 정수론, 고전역학과 천체역학 전반에 걸쳐 중대한 기여를 했다.
특히 물리학분야에서 기존의 고전역학을 일반화된 새로운 수학적 방식으로 표현한 해석역학은 이론 물리학의 새로운 지평을 열었다.
그는 레온하르트 오일러와 장 르 롱 달랑베르의 추천으로 1766년 베를린에 있는 프로이센 과학 학사원의 수학 부장이 되어 20년 이상 머무르면서 많은 작업을 했으며 프랑스 과학 아카데미로부터 여러 상을 받았다.
라그랑주의 증조부는 프랑스인이었지만 그의 부모는 이탈리아인이었다.
1787년, 그가 51세였을 때, 베를린에서 프랑스로 이사해 프랑스 아카데미의 회원이 되었다.
그는 생을 마감할 때까지 프랑스에 머물렀다.
그래서 라그랑주는 프랑스 과학자이자 이탈리아 과학자로 여겨진다.
라그랑주는 프랑스혁명에서 살아남아 에콜 폴리테크니크에서 1794년 개교와 동시에 해석학의 첫 번째 교수가 되었다.
라그랑주는 1799년 상원위원으로 선출되었고 나폴레옹은 1803년에 그에게 레지옹 도뇌르 훈장을 수여하고 1808년 그를 제국의 백작으로 임명했다.
그는 팡테옹에 묻혔으며 그의 이름은 에펠탑에 새겨진 72개의 이름 중 하나로 남아있다.
라그랑주는 범함수의 극값에 대한 오일러-라그랑주 방정식을 유도함으로써 변분법의 창시자 중 한 사람이 되었다.
그는 또한 방법을 확장시켜 가능한 제한조건들을 고려함으로써 라그랑주 승수법에 도달했다.
라그랑주는 매개변수변환법으로 알려진 미분방정식의 해법을 발명했으며 이것은 미분법을 확률론에 적용시켜 방정식의 해에 관하여 중요한 기여를 했다.
그는 모든 자연수는 네 제곱수의 합이라는 것을 증명했다.
그의 논문 《해석함수론》()은 에바리스트 갈루아에 앞서 군론의 기초를 놓았다.
미적분학에서, 라그랑주는 보간법과 테일러 급수에 대한 새로운 접근을 개발했다.
지구, 태양 그리고 달에 대한 삼체 문제(1764), 목성의 위성들의 움직임(1766)에 대해 연구했으며 1772년에 이 문제의 특수한 경우에 대한 해를 찾았으며 그것은 현재 라그랑주 점이라고 알려져 있는 것이 되었다. 하지만 무엇보다도 그는 뉴턴 역학을 현재 라그랑주 역학이라고 불리는 해석학의 한 영역으로 바꾸었으며, 역학의 “원리”들이 변분법의 단순한 결과라는 것들을 보였다.
라그랑주의 삶은 자연스럽게 세 부분으로 나눌 수 있다.
첫 번째는 그가 그의 고향 토리노에서 보낸 기간이다(1736~1766). 두 번째는 그가 베를린 아카데미에서 많은 업적을 남기던 때이다(1766~1787). 세 번째는 그가 파리에서 죽기 전까지 보낸 시간이다(1787~1813). 처음 두 기간이 그가 활발히 연구하고 수많은 과학적 업적을 남기던 때이다.
1754년 변분법의 발견을 시작으로하여 1756년에 변분법을 역학에 응용했고, 1764년과 1766년에 파리 과학 아카데미가 주최한 대회에 자극을 받아 천체역학의 업적을 남겼다.
베를린에 있던 시기는 그가 미적분학뿐만 아니라 역학의 발전에도 많은 공헌을 하던 때이다.
라그랑주는 프랑스인과 이탈리아인의 혈통을 물려받아(증조 할아버지는 토리노로 이주한 프랑스 육군 장교였다) 토리노에서 주세페 로도비코 라그란치아()의 이름으로 태어났다.
그의 아버지는 사르데냐 왕국의 군자금을 맡고 있었는데, 좋은 사회적 지위와 부를 누렸다.
라그랑주의 어머니, 테레사 그로스(Teresa Gros)는 토리노 주변의 작은 마을 캄비아노에 있던 외과의사의 외동딸이었다.
라그랑주는 11명의 어린 형제자녀 중 첫째였다.
라그랑주의 가족은 매우 정직하게 살았다.
그러나 라그랑주가 어릴 때 그의 아버지는 투기로 대부분의 재산을 잃었으며 어린 라그랑주는 그의 지위에 대한 스스로의 능력에 의존해야만 했다(후에 라그랑주는 그 때의 가난이 아니였다면 자신은 수학을 직업으로 삼지 않았을 것이라고 회고하였다). 라그랑주는 1766년 베를린으로 떠나기 전까지 그의 가족들과 함께 살았다.
그는 로마 가톨릭교회의 신자가 되는 방향으로 자랐으나, 후에 불가지론자가 되었다.
처음에 라그랑주의 아버지는 그가 법을 공부하기를 바랐다. 하지만 17세때 우연히 발견한 에드먼드 핼리의 논문을 읽고 수학에 흥미를 가지게 되기 전까지는 그가 다니던 토리노 대학교에서 수학에 대해 아무 관심도 보이지 않았다.
그는 아무한테도 도움 받지 못하는 상황에서 혼자서 수학공부를 하였으며, 그 해의 끊임없는 노력을 통해 결국 완성된 수학자가 되었고, 포병학교의 교사가 될 수 있었다.
또 그가 토리노 대학교에서 베카리아 아래에서 물리학을, 필리포 안토니오 레벨리()로부터 기하학을 배우기 시작하자 즉시 자신의 재능을 알게 되었다.
기하학에 끌려 수학을 공부하던 라그랑주는 17세에 해석학으로 방향을 바꿨으며 그 후 그 분야를 빠르게 발전시킨다. 1754년 라그랑주는 자신의 짧은 에세이를 기하학자 줄리오 데 파냐노()에게 편지로 보냈다.
그 에세이는 그가 뉴턴의 이항정리와 두 함수의 곱에 대한 연속적인 미분 사이에서 발견한 유사성을 기반으로 발전시킨 미적분학에 대한 내용을 담고 있다.
그는 또한 그의 발견들이 이탈리아어로 번역되기 전에 레온하르트 오일러에게 라틴어로 서신을 교환하기도 했다. 하지만 1754년 8월 라그랑주는 고트프리트 라이프니츠와 요한 베르누이의 과학적 발견의 동일성을 보았으며 그는 사실 "발견"이 그들의 재산이었다는 것을 깨달았다.
그는 자신이 다른 사람의 발견을 배낀 것처럼 보이는 것에 대해 두려움에 떨었다. 하지만 이러한 불행도 그를 낙담시키지는 못했다.
그는 1754년 10월 31일 등시곡선문제에 대해 연구한 내용을 파냐노에게 보냈다.
그 첫 에세이는 현재 사라졌지만 후에 같은 주제에 대해 쓰여진 두 개의 회고록이 남아있다.
1755년 12월 말, 파냐노에게 보내는 편지에서 그는 1744년 로잔와 제네바에서 출판된 오일러의 논문 〈최대화 또는 최소화 곡선을 찾는 법〉()에 대해서 썼다.
라그랑주는 이 분야의 결과에 대해서 굉장히 흥미를 갖고 있었으며 결국 변분법으로 발전시키게 된다(‘변분법’이라는 용어는 오일러가 1766년 만들었다). 1755년 8월 12일 오일러에게 어떤 문제에 대해서 순수하게 해석학적으로 접근한 것에 대해 라틴어로 쓰여진 요약을 보냈다.
이것은 그가 19세 밖에 되지 않았을 때 발견한 것이지만 그의 수학적 업적 중에서 가장 우수한 것으로 간주된다 (라그랑주 스스로도 그렇게 생각했다).
라그랑주는 변분법의 창시자 중 하나이다.
1754년부터 그는 등시곡선 문제를 연구하였고 함수의 극값을 찾는 것과 비슷한 방식으로 함수를 최대화하거나 최소화하는 방법을 발견했다.
라그랑주는 1754년과 1756년 사이에 레온하르트 오일러에게 그의 결과들을 설명하는 여러 편지들을 썼다.
그는 그의 “δ-알고리즘”의 윤곽을 밝혔고, 이것은 변분법의 오일러-라그랑주 방정식으로 이어졌으며 오일러의 초기 해석학을 상당히 간소화하였다.
라그랑주는 그의 생각들을 고전역학의 문제들에 적용시켜 오일러와 피에르루이 모페르튀의 결과들을 일반화하였다.
오일러는 라그랑주의 결과들에 깊이 감명받았다. "라그랑주는 특유의 공손함으로 그가 이전에 쓴 같은 분야를 다루는 논문을 보류하고 있다.
젊은 이탈리아인은 그의 작업을 끝낼 시간을 가지고 반박의 여지가 없는 새로운 미적분학의 발명을 주장하려는 모양이다.”라고 오일러가 말했다고 전해진다. 하지만 이 기사도적인 관점은 논쟁의 대상이 되었다.
라그랑주는 1762년과 1773년에 토리노 사회에서의 두 번의 회고에서 그의 방법을 출판했다.
《토리노에서의 기타 연구》.
1758년, 라그랑주는 제자들의 도움으로, 결국 토리노 과학 아카데미라는 법인조직이 된 단체를 설립한다.
그의 대부분의 초기 저작들은 《토리노에서의 기타 연구》()로 알려진 5권의 결과물에서 찾아볼 수 있다.
이들 중 많은 부분이 정성들인 논문이었다.
첫 번째 책은 소리의 전달 이론에 대한 논문을 포함하고 있다.
이것에서 그는 뉴턴의 실수를 지적하고 있으며, 운동에 대한 일반적인 미분방정식을 얻었고, 그것을 직선 운동에 대해 적분했다.
이 책은 또한 가로로 진동하는 끈 문제의 완벽한 해답을 포함하고 있다.
이 논문에서 그는 브룩 테일러(Brook Taylor), 장 르 롱 달랑베르, 그리고 레온하르트 오일러가 기존에 제시한 해답에 일반성이 결여되어 있다는 점을 지적하고, 임의의 시간 "t"에서 곡선의 형태가 방정식 formula_1으로 주어진다고 결론에 도달했다.
그 논문은 메아리, 맥놀이, 그리고 소리의 혼합에 대한 대가다운 논의를 포함하고 있다.
이 책의 다른 논문들은 점화수열, 확률, 그리고 변분법에 대해 다룬다.
두 번째 책은 첫 번째 책의 변분법에 대한 몇몇 논문의 결과들과 표기법을 구체화하는 긴 논문을 포함하고 있다.
그는 최소작용의 원리를 추론해내고 동역학의 다양한 문제의 해답을 제시함으로써 그 유용성을 설명했다.
세 번째 책은 변분법을 이용한 몇몇 동역학 문제의 해답을 포함하고 있다.
몇몇 논문들은 적분에 대한 것이다.
위에서 언급된 페르마의 문제: 완전제곱수가 아닌 정수 "n"이 주어질 때 x2 n + 1 이 완전제곱수인 "x"를 찾는 것; 그리고 상호 인력이 작용하는 세 물체의 운동에 대한 일반적인 미분방정식에 관한 논문들도 포함되어 있다.
다음으로 그가 한 일은 1764년에 달의 칭동에 대한 것이었고, 또 그는 가상일을 이용해 왜 항상 달의 한쪽 면만이 지구를 바라보는지 설명했다.
그의 해답은 그가 결국 공식적으로 1780년에 보이게 되는 일반화된 운동방정식의 근원을 포함하고 있다는 점에서 특히 흥미롭다.
1756년에 이미 피에르루이 모페르튀의 도움을 받아서 레온하르트 오일러는 라그랑주를 베를린 아카데미로 데려오려고 하였다.
후에 달랑베르는 프로이센의 프리드리히 2세에게 라그랑주를 추천했으며, 라그랑주에게 편지를 써서 베를린의 명성이 있는 자리를 위해 라그랑주가 토리노를 떠나오기를 요청했다.
라그랑주는 두 제안을 모두 거절했으며, 1765년에 다음과 같이 답했다.
1766년 오일러는 베를린을 떠나 상트페테르부르크로 가자 프리드리히는 라그랑주에게 “유럽에서 가장 위대한 왕”이 “유럽에서 가장 위대한 수학자”를 그의 왕궁으로 모시기를 바란다는 편지를 썼다.
라그랑주는 마침내 설득당하여 다음 20년을 프로이센에서 보냈다.
프로이센은 그가 베를린과 토리노에서 출판한 수많은 일련의 논문들을 쓴 곳일 뿐만 아니라 그의 기념비적인 작품인 라그랑주 역학을 만든 곳이다.
베를린에서의 그의 삶은 불운한 실수에서부터 시작했다.
동료들 대부분이 결혼한 것을 알게 되고 그들의 부인들로부터 결혼하는 것이 행복하기 위한 유일한 방법이라는 것을 확신하고 나서 그는 결혼했다.
그러나 곧 그의 부인이 죽어 결혼 생활은 행복하지 않았다.
프리드리히 2세는 자주 라그랑주와 완벽히 규칙적인 삶의 장점에 대해 토론하곤 하였고, 라그랑주는 프리드리히에게 총애를 받았다.
여기서 얻은 교훈을 집해서 실천하기도 했는데, 그 후부터 라그랑주는 그의 마음과 몸을 기계로 보아 연구했으며 실험을 통해서 그가 죽지 않고 해낼 수 있는 정확한 양의 일을 계산해냈다.
매일저녁 그는 다음날 할 정확한 일들을 정했으며, 일이 끝나면 그의 증명법이나 관심사에 대해 어떤 점을 개선할 수 있는지에 대해 간단한 분석을 하였다.
그는 언제나 그의 논문을 작성하기 전에 그 주제들에 대해 깊이 생각했으며 글을 쓸 때에는 하나도 고치지 않고 바로 써내려갔다.
그렇지만 베를린에서 지내는 동안 라그랑주의 건강은 여러모로 좋지 않았으며 그의 부인 비토리아의 건강은 훨씬 좋지 않았다.
수년간의 병치레 후 1783년 비토리아가 죽자 라그랑주는 의기소침해졌다.
1786년에는 프리드리히 2세가 죽고, 라그랑주에게 베를린의 날씨는 견디기 힘들었다.
1786년에 프리드리히 2세가 사망하자 스페인과 나폴리 등 여러나라로부터 초청을 받았지만 루이 16세의 요청을 흔쾌히 받아들여 파리로 이동하였다.
그는 프랑스에서 그의 방문을 대비하여 루부르에 만들어놓은 특별한 저택과 여러 구별되는 특전들을 전부다 받았으며, 또한 프랑스 과학 학술원의 회원이 되었는데 이곳은 나중에 프랑스 학사원이 된다.
그의 파리생활의 초반에는 그는 우울함에 사로잡혔으며, 심지어는 25년 넘게 작업한 《해석역학》의 복사본을 책상위에 열지 않은 상태로 그대로 놓았었다.
그의 프랑스 혁명에 대한 호기심은 그가 무기력증으로부터 나오게 되는 계기가 되었으며, 이 호기심은 점점 혁명이 발달해 가면서 위기감으로 변하게 되었다.
1792년에는 인생에 대한 헤아릴 수 없는 슬픔과 소심함에 빠져있다가 24살의 아델라이드(Renée-Françoise-Adélaïde Le Monnier)를 향한 열정으로 옮겨 갔는데 그녀는 그의 친구이며 천문학자인 모니에의 딸이었다.
그녀는 라그랑주와 결혼을 고집했고 헌신적인 부인이 되었으며 라그랑주와 사이가 좋았다.
1793년 9월에 공포정치가 시작되었다.
1793년 10월의 포고령에서 모든 외국인들은 프랑스를 떠나야 했지만 그 당시 많은 다른 학자들과 함께 이미 학술원에서 쫓겨난 앙투안 라부아지에가 개입하여 라그랑주는 특별 면제되었다.
1794년 5월 4일, 라부아지에를 비롯한 27명의 세무사가 체포되어, 재판에서 사형을 선고를 받고 그날 오후 길로틴에서 처형되었다.
라그랑주는 라부아지에의 죽음에 대해 이렇게 말했다.
"이 머리가 떨어지는 것은 순식간이지만 이를 키우는데는 백년도 충분치 않을 것이다."
라그랑주는 프랑스에서 탈출할 준비를 하고 있었지만 위험에 처하지는 않았다. (나중에 나폴레옹 정부와 같은) 다른 혁명 정부들은 그에게 명예와 특별대우를 해주었다.
이러한 행운이나 안전은 그가 여러 해 전에 표명했던 그의 삶의 태도 때문일 것이다: "일반적으로 모든 현자의 제일 원리중 하나는 그것이 아무리 비합리적일지라도 그가 살고 있는 나라의 법을 엄격하게 따르는 것이라고 나는 믿는다." 그가 가진 관점에 대한 놀라운 증언은 1796년 이탈리아 주재 프랑스 공관이 라그랑주 아버지에게 아들의 업적에 대해 다음과 같이 프랑스 공화국을 대신해 축하할 때 나타났다. "그의 천재성은 모든 인류를 명예롭게 하였고, 이런 사람을 낳은 피에몬트의 특별한 영광이다." 나폴레옹이 권력을 얻었을 때 프랑스의 과학 연구를 열렬히 장려했고, 그에 대한 자유주의적인 후원자였다는 사실은 주목할 만하다.
1799년 상원의원으로 임명된 그는 1802년 그의 조국인 피에몬테를 프랑스 땅으로 합병하는 Sénatus-consulte에 서명하는 첫 번째 사람이 되었다.
따라서 라그랑주는 프랑스 국적을 얻게 되었다.
프랑스인들은 그가 프랑스의 수학자라고 하지만 이탈리아인들은 그가 이탈리아인이라고 계속 주장한다.
1790년대에 라그랑주는 새로운 표준 측정 단위를 만드는 과정에 상당히 관여했다.
1794년 라부아지에가 죽은 뒤로는 미터와 킬로그램을 표준 단위로 최종 선택하고 마침내 십집법 세분화가 1799년의 위원회에 의해 받아들여진 것은 라그랑주의 영향력에 힘입은 바가 컸다.
라그랑주는 또한 1795년에 경도국의 창립 멤버 중 한 명이었다.
에콜 노르말 쉬페리외르.
1795년에 라그랑주는 새로이 세워진 에콜 노르말 쉬페리외르에 수학과 학과장으로써 4개월이라는 짧은 기간 동안 임명되었다.
그가 그곳에서 한 강의는 매우 기본적이었고 특별한 점이 없었지만 이것들을 책으로 묶어 출판되었는데 이는 교수들이 "서로 책을 읽거나 기억을 되세기지 않기로 국민대표들에게 서약해야" 했기 때문었고, 교수들이 무죄임을 조사관들이 알 수 있도록 그들의 대화를 간단히 요약하라는 명령을 받았다.
라그랑주는 에콜 폴리테크니크의 교수로써 1794년에 임명되었다.
그의 강의에 참석하는 행운을 누렸던 수학자들에 의하면 그의 강의는 형태나 내용 면에서 모두 완벽하였다.
매우 하찮은 요소들로부터 시작하여 그는 그의 청취자들이 모르는 문제의 범위까지 그들의 사고의 경계를 넓혔다.
그는 학생들에게 항상 대칭적인 기호로 표현된 일반적인 방법의 장점을 강조하였다.
그렇지만 라그랑주는 교사로서 성공적이지는 못하였다.
1795년에 그의 수업을 들은 조제프 푸리에는 다음과 같이 썼다.
그가 죽기 이틀 전에 나폴레옹은 그에게 화합의 제국 훈장 대십자장을 수여하였다.
파리의 판테온에 묻혔으며, 그의 묘비에 프랑스어로 다음과 같이 새겨져 있다:
라그랑주는 그가 베를린에서 보낸 20년간 과학 분야에서 굉장히 활발하게 활동했다.
그는 《해석역학》의 집필 뿐만 아니라 100에서 200편 사이의 논문들을 토리노 아카데미, 베를린 아카데미, 그리고 프랑스 아카데미에 기고했다.
이들 중 몇몇은 정식 논문들이며 모두 굉장히 훌륭한 것들이었다.
그가 아팠던 짧은 기간 외에는 그는 평균적으로 한 달에 한 개의 저술을 했다.
이 중 가장 중요한 것들을 뽑자면 다음과 같은 논문들이 있다.
첫째로 1766-1773년의 《토리노에서의 기타 연구》의 4권과 5권에서 그의 가장 중요한 논문은 1771년에 있었다.
그것에서 라그랑주는 어떻게 수많은 천체관측결과들이 가장 그럴듯한 결과를 주도록 연결되어야 하는지에 관하여 논하였다.
그 후 1784-1785년 투린 학회 회보의 첫 두 판들에서 많은 논문을 기고했다.
첫째로 그는 움직이는 유체에 의해 생기는 압력에 대한 논문을 기고했고, 둘째로 무한급수에 의한 적분과 그것이 들어맞는 종류의 문제들에 대한 글을 썼다.
파리로 보내진 대부분의 논문들은 천문학 문제들에 관한 것이었고 그들 중에 1766년의 목성의 체계에 대한 그의 서술과 1773년 삼체문제에 대한 그의 에세이, 1778년 혜성에 의한 섭동에 대한 그의 논문들은 특히 짚고 지나가야 한다.
이들은 모두 아카데미 프랑세즈가 공표한 주제들에 대해 쓰였으며 각각의 경우마다 상은 그에게 수상되었다.
1772년과 1788년 사이에 라그랑주는 고전적인 뉴턴 역학을 간략화 시킨 식과 쉬운 계산들로 재구성했고 이러한 역학은 현재 라그랑주 역학이라 불린다.
이 시기에 그의 많은 논문들은 프로이센 과학 아카데미에 기여했는데, 그것들 중 여럿은 대수학의 문제들에 대한 것이었다.
그의 초기 저술들 중 여럿은 또한 정수론의 문제들에 대한 것이다.
해석기하학의 여러 사항들에 대한 수많은 그의 전문들이 있다.
그것들 중 조금 뒤인 1792년과 1793년에 쓰인 2편은 그는 2차 곡면의 방정식들을 표준 형식 (수학)으로 축소시켰다.
1772년부터 1785년에 그는 편미분 방정식들의 과학을 만들어낸 일련의 긴 저술들을 기고했다.
이들의 한 거대한 부분은 1794년에 출판된 오일러의 적분학의 2판에 정리되었다.
그는 연분수의 정리에도 기여했다.
마지막으로, 라그랑주가 베를린에서 저작한 저서들 중에는 천문학에 대한 여러 문제를 다룬 것 들이 있다.
그 중에서 중요한 문제들은 다음과도 같은 것들이 있다.
이러한 다양한 논문들뿐만 아니라 라그랑주는 그의 위대한 논문 《해석역학》()을 저술했다.
이 논문에서 그는 가상일의 법칙을 정립했으며, 그것으로부터, 변분법의 도움으로, 하나의 기본 원리가 고체와 유체에 동시에 적용되는 모든 역학을 유도해 낼 수 있다.
이 책의 목적은 모든 대상은 내재적으로 하나의 원리에 포함된다는 것을 보이고 어떤 특정한 결과도 얻어낼 수 있는 일반화된 방정식을 제시하는 것이다.
그의 일반화 좌표를 사용하는 방법은 아마 그의 해석의 가장 기발한 결과일 것이다.
장 르 롱 달랑베르나 레온하르트 오일러가 했던 것처럼 물질계의 각 부분의 운동을 따라가는 것이 아니라 그는 만약 우리가 계의 자유도와 동일한 충분한 수의 변수들로 그 구성을 알 수 있다면 계의 운동 에너지와 위치 에너지는 그 변수들로 표현될 수 있고, 운동에 대한 미분방정식들도 따라서 간단한 미분으로 유도될 수 있다는 것을 보였다.
예를 들면, 강체의 동역학에서 그는 개별 문제에 관심을 두는 것 대신 일반적으로 다음과 같은 방정식으로 표현할 수 있다는 것을 보였다.
여기서 "T"는 계의 운동 에너지, "V"는 계의 위치 에너지를 뜻한다.
그는 그리고 우리가 현재 라그랑주 승수법이라고 알고 있는 것을 이 방정식을 풀기 위한 방법으로 제시했다, 비록 이것이 이 방법이 처음으로 출판된 것이 아니지만 말이다.
여기서 주어진 다른 사소한 정리들 가운데 주어진 제약 조건 하에서 물질계에 주어진 충격량에 의해 전해지는 운동에너지가 최대가 된다는 가정과 최소작용의 원리는 언급할만하다.
이러한 모든 해석은 너무나 우아해서 윌리엄 로언 해밀턴은 이 작업들이 오직 과학적인 시로써밖에 표현될 수 없다고 말하기도 하였다.
라그랑주는 역학이 실제로 사차원 기하학과 유사한 순수 수학의 한 분야라고 표현한 것은 흥미로워 주목할 만하다.
또한 그 스스로가 그의 작업의 시작부터 끝까지가 단순히 하나의 개형으로 이루어진 것이 아니라는 것에 자부심을 느꼈다고 한다.
처음에는 그 누구도 어떤 사람이 이 책을 인쇄 할지 알 수 없었으나, 아드리앵마리 르장드르가 결국 파리 공장으로부터 그 권리를 내려 받도록 설득되었으며 그의 관리 하에 1788년에 《해석역학》을 출간하게 된다.
에콜 폴리테크니크에서의 라그랑주의 변분법에 관한 강의는 그의 1797년에 출판된 논문인 《해석함수론》의 기초가 되었다.
그것의 목적은 대수학의 일반성 원리에 의존하고, 수열에서의 대수함수에 발전을 기반으로 하여 미분학을 여러 정리들로 대체하는 것이었다.
라그랑주는 결론적으로 그가 무한히 크거나 작은 양들에 관련된 문제점들을 제거할 수 있다고 생각했는데, 이 양들은 철학자들이 미분학에서 일반적으로 다루기를 거부한 것이었다.
책은 세 부분으로 나뉘어 있는데, 첫 부분은 함수의 일반적인 이론을 다루고 있다.
또한, 테일러 정리의 대수적인 증명을 보여주고 있지만, 이에 대한 유효성은 의심의 여지가 있다.
두 번째는 기하학에의 적용을 다루고 있다.
마지막으로 세 번째는 역학에의 응용을 다루고 있다.
같은 계열의 또다른 논문으로는 1804년에 출판되고 1806년에 두 번째 판이 출간된 《함수의 미분적분법》()이 있다.
그의 유명한 방식인 라그랑주 승수법을 만든 것이 바로 이 책, 적분 제한조건에서의 변분법에 대한 문제를 다룬 내용에서이다.
이 미분학과 변분법에 대한 연구는, 오귀스탱 루이 코시, 카를 구스타프 야코프 야코비, 그리고 카를 바이어슈트라스의 연구의 시작점으로 생각되었다.
후기에 라그랑주는 대수적인 형태의 연구로 변성법정립하는 것보다는 무한소의 사용에 대한 연구로 되돌아왔다.
그리고 1811년에 출판된 《해석역학》의 두 번째 판의 서문에서 그는 무한소의 사용을 정당화하고 있으며, 다음과 같이 결론을 내리고 있다.
1798년에 출판된 그의 《수치 방정식 해법》() 또한 에콜 폴리테크니크에서의 그가 강의에서 얻은 성과이다.
여기에서 그는 연분수를 이용하여 방정식의 실근을 근사하는 방법을 보였고, 다른 여러 정리들을 발표하였다.
마지막 부분에서 그는 페르마 소정리(페르마 소정리는 p가 소수이고 정수 a와 p가 서로소일 때, 합동식 "ap-1" - 1 ≡ 0(mod "p")가 성립한다는 것이다)가 어떻게 임의의 이항방정식에서 완전한 대수적인 해를 구할 때 적용될 수 있는지를 보여주고 있다.
또한 그는 여기서 어떻게 원래의 방정식의 근들의 차의 제곱을 근으로 가지는 방정식이 그 근들의 위치와 성질의 중요한 정보를 얻는데 사용될 수 있는지를 설명하였다.
레온하르트 오일러는 베를린 아카데미의 회원을 선출하는 선거에서 라그랑주를 지지하였고 그는 1756년 9월 2일에 선정되었다.
또한, 1790년에 에든버러 왕립 협회의 일원으로 선정되었고, 1806년에는 왕립 협회의 일원, 스위스 왕립 과학 아카데미의 외국 회원으로 뽑혔다.
1808년, 나폴레옹은 라그랑주를 레지옹 도뇌르 훈장의 세훈자로 선정하고 제국의 백작지위를 수여하였다.
라그랑주는 프랑스 과학 아카데미에서 그의 달의 칭동에 관한 논문으로 1764년 상을 받았다.
1766년에 학회는 목성의 위성의 운동에 관한 문제를 제안하였고, 그는 다시 상을 받았다.
라그랑주는 에펠탑이 처음으로 열렸을 때, 1층에 있는 명판에 기념되고 있는 72명의 저명한 프랑스 과학자 중 한명이다.
또 그의 업적을 기리기 위해서 그의 이름을 따서 지어진 거리나 지역의 이름이 몇몇 있다.
파리 5구에는 라그랑주 가(街)()가 있으며, 토리노에 있는 그의 생가가 있는 거리 역시 라그랑주 가()이다.
또한, 달의 라그랑주 분화구도 그의 이름을 포함하고 있다.
육상 경기(陸上競技, )는 인간이 취할 수 있는 가장 기본적인 동작들인 달리기, 뛰기, 던지기 등을 활용해서 만든 스포츠 경기이다.
육상 경기의 원형이 되는 달리기, 뛰기 던지기 등은 인류가 생겨나는 동시에 생겼다고 할 수 있다.
즉 이는 인류의 생존 수단이었으며 이것들이 점점 스포츠화되어 새로운 종목과 그 규칙들을 만들어냈을 것이다.
초기의 육상 경기는 신에 대한 의식의 일부였으며, 이들은 밀접한 관계를 갖고 있었다.
기원전 10세기경 그리스에서는 신의 제전의 일부로서 육상 경기를 하였으며, 달리기·창던지기·철구던지기 등의 종목을 실시해 우수한 자에게는 가축 등의 상품을 주었다.
기록에 남은 최초의 경기는 그리스에서 기원전 776년에 처음 개최된 고대올림픽이다.
이후 4년마다 정기적으로 시행되었지만 그리스가 로마의 지배를 받으면서 점점 타락했다.
고대올림픽의 폐지는 393년 293회째를 시행한 후, 394년 로마의 황제 테오도시우스에 의해 이루어졌다
육상 경기는 올림픽과 그 운명을 함께 하였는데 고대올림픽이 사라진 후 중세시대까지는 육상 경기에 대한 장려가 없었고 뿐만 아니라 이렇다 할 경기도 치러지지 않았다.
그 이후 1896년 쿠베르탱 남작이 근대 올림픽을 부활시킴으로 인해 육상 경기 또한 다시 시행되었다.
육상 경기의 강국들은 에티오피아, 케냐, 우간다, 미국, 바하마 등 아프리카 대륙과 북아메리카 대륙이 주를 이룬다.
단거리 달리기·중거리 달리기·장거리 달리기·이어달리기 등 여러 가지가 있다.
짧은 거리를 전속력으로 단숨에 달리는 경기로서 아주 짧은 시간에 최고 속력을 최대한으로 발휘하다가 골인하는 경기이므로, 다리의 강한 근력·순발력·민첩성·근지구력 등이 요구된다.
단거리 달리기에서는 스트라이드(달리는 보폭)를 넓게 하고, 피치(발을 번갈아 움직이는 것)를 빠르게 할수록 유리하다.
한쪽 발로는 최대한 뒤쪽을 딛고 몸을 앞으로 전진시킬 때, 다른 한쪽 다리를 올리는 식으로 달려야 한다.
상체는 앞으로 기울이고, 팔은 직각으로 구부려 앞뒤로 힘차게 움직인다.
스타트, 스타트 대시, 전력 달리기, 피니시 등을 단계적으로 조화시켜야만 좋은 기록이 나온다.
단거리 달리기의 기록을 단축시키기 위한 매우 중요한 기술로서, 스타트가 좋고 나쁨에 따라 승부가 결정된다고 할 수 있다.
스타트 방법에는 선 채로 하는 스탠딩 스타트와, 양손을 어깨 너비로 벌려 손가락 끝으로 땅을 약간 짚고, 양다리는 앞뒤로 벌려 한쪽 무릎은 땅에 대고 다른 쪽 무릎은 약간 들어 허리를 굽힌 채 양발로 땅을 박차면서 뛰어나가는 크라우칭 스타트가 있다.
일단 스타트하여 전력으로 달리기 전까지 달리는 기술이다.
스타트를 한 다음 차츰 걸음속도를 빠르게 하다가 골인을 15-20m 앞둔 지점에서 전력 달리기에 들어간다.
스타트 대시로 가속화된 스피드를 전력 달리기로 연속시키기 위해서는 먼저 몸을 앞으로 20도 가량 굽혀 중심을 앞에 두고 달린다.
또한 앞발의 대퇴부가 수평이 되도록 다리를 들어올리며, 뒷발의 무릎을 완전히 펴고, 팔을 앞뒤로 힘차게 흔든다.
달리는 폼 그대로 골인하는 러닝 피니시법, 가슴을 앞으로 내미는 런지 피니시법, 어깨를 틀면서 들어가는 슈러그 피니시법 등이 있다.
초보자들의 경우에는 대체로 러닝 피니시를 많이 쓰는 편이다.
'육상 경기의 꽃'이라 불리는 100m 달리기에서는 스타트 후 약 15m 지점부터 전력으로 달리기 시작한다.
결승선에 육박하면 상체를 약간 앞으로 기울이면서 달려가던 속도로 골인하는 것이 좋다.
단거리 달리기에서는 가장 짧은 거리를 달리는 것이 좋으므로 출발선에서 결승선까지 직선을 그었을 때 발자국이 이 직선을 따라 좌우로 남겨지도록 달려야 한다.
올림픽이나 세계 육상 선수권 대회에서 관객 수, 시청자 수, 광고 수익 등 상업적 가치가 가장 높은 축에 속하는 종목이다.
커브를 달려야 한다는 점만이 100m 달리기와 다르다.
커브를 달릴 때에는 원심력에 의하여 바깥쪽으로 멀어지지 않도록 상체를 약간 앞으로 기울이고, 안쪽 팔은 작게, 바깥쪽 팔은 크게 흔든다. 출발을 계단식으로 하기 때문에, 안쪽 코스의 선수는 앞사람을 보면서 달리므로 다소 유리하지만, 바깥쪽 코스의 선수는 상대가 보이지 않아 비교적 불리하다.
속력과 지구력을 최대로 조화시키는 경기이므로, 신체의 각 부분이 완전히 발달하지 못한, 중학교 이하의 학생들에게는 부적합하다. 200m 달리기와 마찬가지로 커브를 달려야 하므로, 상대 선수를 전반에 앞지를 것이냐, 후반에 앞지를 것이냐 하는 것을 출발 전에 미리 염두에 두어야 한다.
中距離－ 800m 달리기와 1500m 달리기가 여기에 속하는데, 스피드와 지구력을 필요로 한다.
스타트 요령을 잘 익히고 주법과 페이스 유지, 라스트 스퍼트 등을 잘 해내는 일이 중요하다.
일단 스타트하면 몸을 앞으로 기울이고, 속력을 내어 커브를 돈다. 출발 후 50-60m 되는 곳에서 유리한 위치를 잡고, 그 위치를 지키면서 마지막 직선 코스에서 승부를 걸도록 한다.
상대 선수를 뒤쫓을 때에는 약간 비스듬한 위치에서 달리는 것이 유리하다.
경기 자체에 변화가 많고, 속력과 스릴을 느낄 수 있어 중거리 경기 중에서 가장 인기가 높은 경기라고 말할 수 있다.
단거리 달리기에서와 같이 전력으로 질주할 필요는 없으므로 달리는 방법 자체를 속력 유지에 중점을 둔다.
단거리 달리기에서와 같이 스타트의 좋고 나쁨에 따라 승부가 좌우되지 않고 오랜 시간을 달릴 수 있는 체력의 유지와 마지막 코스에서의 속력이 승부에 커다란 영향을 미친다.
단, 마라톤 경기는 도로를 이용하므로 별도 항목에서 다루기로 한다.
장거리 달리기는 강인한 체력과 지구력을 요구하므로, 달리는 페이스를 잘 조정할 줄 알아야 한다.
상체를 5-10°가량 수그리고 호흡하는 데 방해가 되지 않도록 팔을 가볍게 흔들되, 산소를 충분히 들이마셔야 한다.
또한 발뒤꿈치는 땅에 살짝 닿는 정도로 달린다.
전체 거리를 최대 능력으로 달릴 수 있도록, 달리는 페이스를 조정하여 일정한 랩 타임을 유지하는 일이 중요하다.
여기서부터 케냐, 에티오피아 등 아프리카 선수들의 강세가 나타난다.
障碍物－(hurdle) 장애물달리기는 정해진 거리에 똑같은 간격으로 배치해 놓은 허들(나무로 만든 장애물)을 넘으면서 달리는 경기이다.
100m(여)·110m(남)·200m·400m 장애물경기와 물웅덩이까지 넘어야 하는 3000m 장애물경기(steeplechase)가 있는데, 스피드, 뛰어오르는 힘, 리듬 감각을 바탕으로 발구르기의 타이밍·뛰어넘기·착지 등을 조화롭게 해야 한다.
허들을 넘어뜨려도 실격이 되지 않고 기록으로 인정되지만, 발이나 다리가 허들의 바깥쪽으로 나가면 반칙이다.
106.7cm 높이의 허들을 9.14m 간격으로 설치하며, 첫 번째 허들은 출발점에서 13.7m 떨어진 지점에 설치되어 있다.
출발점에서 제1허들까지는 8보로, 각 허들 사이는 3보로 달린다.
84cm 높이의 허들을 8.5m 간격으로 10개 설치하며, 출발점에서 13m 떨어진 지점에 제1허들이 있다.
출발점에서 45m 떨어진 지점에 높이 91.4cm인 첫 번째 허들이 설치되어 있으며, 허들 사이의 간격은 35m이다.
이어달리기는 각 개인의 속력을 합리적으로 연결시킨 단체 운동으로, 계주(繼走)라고도 한다.
선수 개개인보다 4명의 협동심과 단결심이 요구되며, 400m·800m·1500m 이어달리기가 있다.
가장 빠른 선수를 마지막 주자로, 그 다음 빠른 주자를 첫 번째 주자로 하고, 두 번째·세 번째 주자는 적당히 배치한다.
처음 주자가 거리를 벌린 다음, 두 번째·세 번째 주자가 리드를 당하더라도 마지막 주자가 만회를 할 수 있기 때문이다.
다음에는 배턴을 주고 받는 법이 중요하다.
배턴은 다음 주자가 받기 쉽도록 전체 길이의 2/3를 남기고 그 아랫부분을 잡는다.
배턴을 받을 주자가 준비 동작을 할 수 있는 거리는 10m의 준비 지역을 포함하여 30m이지만 배턴을 주고 받는 동작은 반드시 20m 배턴 터치 존에서 해야 한다.
배턴을 주는 주자와 받는 주자의 속도가 일치하는 지점에서 배턴을 주고 받는 것이 가장 효과적이다.
달리기의 주요 경기 규칙.
－主要競技規則① 코스 경기 때 다른 코스로 들어가거나, 다른 주자를 방해했을 경우에는 실격된다.
② 배턴을 떨어뜨린 경우에는 배턴을 넘겨 주는 주자가 주워서 넘겨 주어야 한다.
③ 배턴을 넘겨 준 다음 다른 주자를 방해했을 경우에는 실격 처리된다.
④ 장애물달리기에서 고의로 허들을 넘어뜨리거나, 한쪽 또는 양쪽 발이 허들 밖으로 나가면 실격된다.
⑤ 주자의 머리·팔·어깨·손·발의 내민 부분이 결승선에 닿아야만 골인으로 인정된다.
⑥ 이어달리기의 결승에서는 예선 때 뛰었던 선수가 참가하여야 한다.
스피드와 점프력을 조화롭게 이용하는 운동이므로 스피드와 순발력이 가장 많이 요구된다.
뜀뛰기 운동에는 멀리뛰기·높이뛰기·3단뛰기·장대높이뛰기 등이 있는데 내용과 방법이 각각 다르지만, 공통적인 기술은 도움닫기·발구르기·공중동작·착지의 네 가지이다 뜀뛰기운동.
멀리뛰기는 도움닫기의 속력과 발구르기·공중 동작에 의하여 최대한 멀리 뛰어야 한다.
멀리뛰기는 도움닫기→발구르기→공중 동작→착지의 순서가 자연스럽게 연결되어야 하므로, 몸의 유연성이 요구된다.
도움닫기의 거리는 약 30m로 잡고 최대한 빠른 속력으로 구름판에 도달하도록 한다.
멀리뛰기는 도움닫기에 의해 크게 좌우되며, 거리의 제한은 없지만 반드시 너비 20cm의 구름판을 딛고 뛰어야 한다.
스피드를 상승력으로 바꾸기 위해 얼마나 힘차게 발구르기를 할 수 있느냐 하는 것이 중요하다.
도움닫기의 스피드를 이용하여 구름판을 굴러 약 30 방향으로 뛰어오른다.
이때 뒤에 있는 반대편 다리의 허벅다리를 힘있게 앞으로 끌어올리고, 두 팔은 위로 흔들어 올리면서 윗몸을 일으켜 뛰어오르도록 한다.
도움닫기의 스피드를 그대로 유지하여 공중을 날아서 착지 동작으로 연결시킨다.
연습에 따라서 20–30cm 정도는 더 뛸 수 있는, 멀리뛰기의 마지막 단계 기술이다.
두 팔과 어깨를 앞으로 흔들며 상체를 앞으로 굽히되, 착지할 때 공중에서 유지된 몸의 균형이 흐트러지지 않도록 한다.
모래바닥에 남은 자국을 재는데, 발구름선에서 가장 가까이에 남아 있는 몸 자국에서 발구름선까지 직선으로 재어 멀리 뛴 거리를 계측해 낸다.
사람이 지니고 있는 탄력을 최고도로 발휘하여 얼마나 높이 뛰어오를 수 있는가를 겨루는 경기로서 높이를 재는 데에 사용되는 장대를 '바'라고 한다.
높이뛰기는 도움닫기에 의하여 수평 운동을 하다가 갑자기 수직 운동으로 바꾸어야 하기 때문에, 순발력과 유연성이 가장 많이 요구된다.
도움닫기 방향은 공중 동작의 종류에 따라 달리 잡으며, 상체를 앞으로 굽히고 스타트하여 마지막 한 걸음은 넓게 밟는다.
수평 속력이 뛰어오르는 힘으로 바뀌도록 발바닥 전체로 힘차게 구르며, 반대편 발을 들어올린다.
정면에서 바를 향하여 도움닫기를 하여 구른 다리가 거의 다 올라왔을 때, 디디고 있던 다리를 올라가게 하는 방법이다.
바를 향해 비켜 서서 도움닫기를 하며 바에서 가까운 발로 굴러, 가슴과 배 부분을 아래로 하여 바를 넘어 손이 먼저 바닥에 닿게 한다.
발구름을 한 후 상체와 허리를 회전시켜 바를 등지고 넘어서 어깨와 등으로 착지한다.