heegyu/kowiki-sentences huggingface dataset:
이 관점은 그래프 모형에 대해 이야기할 때 제일 흔하게 접할 수 있다.
이 두 관점은 대체로 같다고 볼 수 있다.
두 경우 모두 이 망 구조에 대해 각각의 층의 구성 요소는 서로 독립적이다 (formula_14의 요소들은 formula_13로부터의 입력이 주어졌을 때 서로 독립이다). 이것은 구현할 때 어느 정도의 병렬화를 가능하게 해 준다.
앞의 예와 같은 신경망은 의존 관계를 나타내는 화살표가 한 방향으로만 나아가는 유향 비순환 그래프이기 때문에 전향 신경망이라고 불린다.
순환이 있는 망은 재귀 신경망이라고 불린다.
재귀 신경망은 그림 위쪽과 같이 formula_11가 자기 자신에 의존적인 것으로 나타내어지지만, 시간적 의존 관계는 보이지 않는다.
신경망이 관심을 받는 제일 큰 요소는 바로 "학습"이 가능하다는 것이다.
해결해야 되는 주어진 과제와 함수 formula_23들의 모임이 주어졌을 때, 학습을 한다는 것은 과제를 어떤 최적화된 방법으로 푸는 formula_24를 관측값들을 이용해 푼다는 것이다.
다시 말해, 정의된 함수 formula_29에 대해, 최적해의 비용보다 더 적은 비용을 필요로 하는 해답은 존재하지 않는다는 것이다. (수학적 최적화 참고.)
비용 함수 formula_29는 특정한 해답이 해결할 문제의 최적해에 대해 얼마나 떨어져 있는지에 대한 측도이기 때문에 학습에 있어 중요한 개념이다.
학습 알고리즘은 해답들의 모임 formula_23에서 최소 비용을 필요로 하는 함수를 찾아나가는 식으로 작동한다.
해답이 어떤 데이터에 의존적인 경우, 비용은 "관측값에 대한 함수"가 되어야 하며, 그렇지 않을 경우에는 데이터와 관련된 어떤 것도 모델링할 수 없게 된다.
많은 경우 비용은 근사될수만 있는 통계로 주어진다.
실용적으로는 분포 formula_32에서 유한한 formula_37개의 샘플만을 뽑아낼 수 있으므로, 이 예의 경우 formula_38, 즉 전체 데이터 집합이 아니라 데이터의 샘플에 대한 비용만 최소화될 수 있을 것이다.
formula_37이 매우 크거나 무한하다면, 새 예제가 주어질 때마다 비용이 부분적으로 최소화되는 온라인 알고리즘을 사용해야 한다.
formula_32가 고정되어 있을 때 직결 기계 학습을 종종 사용하기는 하지만, 분포가 시간에 따라 서서히 변할 때 사용하는 것이 더 유용하다.
신경망을 사용할 때에는, 직결 기계 학습을 유한한 자료 집합에 대해 자주 사용하기도 한다.
임의의 비용 함수를 그때그때 정의할 수도 있지만, 일반적인 경우 (볼록성과 같은) 원하는 성질을 가지거나 (확률론적 공식화에서 모델의 사후 확률을 비용의 역으로 생각하는 것과 같이) 문제의 특정한 공식화에서 자연스레 나타난다던지 하는 이유로 특정한 비용 함수를 사용한다.
결과적으로 비용 함수는 원하는 과제에 따라 달라진다.
학습 과제는 학습 패러다임에 따라 아래와 같이 세 분류로 묶을 수 있다.
학습 패러다임에는 크게 지도 학습, 자율 학습, 준 지도 학습이 있으며, 각각이 특정한 추상적인 학습 과제에 대응된다.
지도 학습에서는 예제 formula_41들의 집합이 주어졌을 때, 가능한 함수 formula_42들의 목록 중 예제에 제일 적합한 함수를 고르는 것을 목표로 한다.
즉, 주어진 데이터로부터 함수를 "추론"하는 것이다.
이 때 비용 함수는 주어진 데이터가 추론한 함수와 얼마나 어긋나느냐에 따라 달려 있고, 문제에 대한 사전 지식을 암시적으로 포함하고 있다.
흔히 모든 예제쌍에 대한 망의 출력 formula_5과 목표값 formula_44의 평균 제곱 오차를 최소화하는 평균 제곱 오차를 비용 함수로 사용한다.
이 비용을 최소화하기 위해 다층 퍼셉트론이라 불리는 신경망의 한 분류에 경사 하강법을 이용한다면, 이것은 신경망을 학습하기 위해 널리 쓰이는 오차역전파법이 된다.
지도 학습 패러다임에 해당하는 과제에는 패턴 인식 (또는 분류)와 회귀분석 (또는 함수 근사)가 있다.
지도 학습은 음성인식이나 모션 인식 분야에 나타나는 순차적 데이터에도 적용시킬 수 있다.
이것은 현재까지 얻어진 답의 품질에 대해 계속해서 피드백을 주는 함수의 형태로서의 "선생님"과 같이 배우는 것으로 생각할 수 있다.
비용 함수는 할 과제(모델링할 것)와 선험적 가정(모델, 모델의 변수와 관측된 변수에 대한 암시적인 성질)에 따라 결정된다.
비용을 최소화하면 데이터의 평균인 formula_49 값이 나올 것이다.
비용 함수는 이것보다 훨씬 더 복잡해질 수 있고, 그 꼴은 어디에 사용되느냐에 따라 달려 있다.
예를 들어, 압축과 관련된 과제에서는 formula_12와 formula_5 사이의 상호 정보량과 관련이 있는 비용 함수를 사용할 수 있고, 통계 모델링에서는 데이터가 주어졌을 때 모델의 사후 확률과 관련지을 수 있을 것이다. (참고로 두 경우 모두 이 값을 최소화하는 게 아니라 최대화해야 된다.
이론적으로는 이 값의 역수를 비용 함수로 사용하면 될 것이다.)
자율 학습 패러다임에 속하는 과제는 일반적으로 근사와 관련된 문제들이다.
클러스터링, 확률 분포의 예측, 데이터 압축, 베이지언 스팸 필터링 등에 이것을 응용할 수 있다.
준 지도 학습에서 데이터 formula_12는 주어지지 않고, 대신 행위자가 환경과 상호 작용을 함으로써 생성된다.
이 때 목표는 예상되는 장기적 (누적) 비용을 최소화하는 특정한 행동을 고르는 "정책"을 찾는 것이다.
환경의 법칙과 각각의 정책에 따른 장기적 비용은 보통 모르지만, 예측할 수는 있다.
이 두가지는 함께 마르코프 연쇄를 이룬다.
목표는 비용을 최소화하는 정책, 즉, 비용이 최소인 마르코프 연쇄를 찾는 것이다.
인공신경망은 전체적인 알고리즘의 일부로서 준 지도 학습에 자주 이용된다.
동적 계획법은 베르트세카스(Bertsekas)와 치치클리스(Tsitsiklis)에 의해 인공신경망과 결부되었으며, 차량 경로 설정 문제, 천연 자원 관리, 의학 등에 관련된 다차원 비선형적 문제에 적용되었는데, 원래 제어 문제의 해답을 수치적으로 근사하기 위한 이산화 격자의 간격을 넓혀서 생기는 정확도 감소 문제를 인공신경망이 완화시킬수 있기 때문이다.
준 지도 학습 패러다임에 속하는 과제에는 제어 문제, 게임, 순차적 결정 문제 등이 있다.
실질적으로 인공신경망을 학습시키는 것은 비용을 최소화하는 모델을 허용된 모델의 집합에서 고르는 것이다. (베이즈 확률론에서는 허용된 모델의 집합 상에서 모델의 분포를 결정짓는 것이다.) 인공신경망을 학습시키는 데에는 많은 알고리즘이 존재하고, 그 중 대부분은 최적화 이론과 추정 이론을 접목해 응용한 것으로 볼 수 있다.
인공신경망을 학습할 때 사용하는 대부분의 알고리즘은 역전파 기법을 이용해 실제 기울기를 계산하는 경사 하강법을 사용한다.
이는 간단하게 비용 함수를 망의 인자에 대해 미분한 다음 인자를 기울기 방향으로 조금씩 바꾸는 식으로 할 수 있다.
유전 알고리즘, 유전자 수식 프로그래밍, 담금질 기법, 기댓값 최대화 알고리즘, 비모수 통계, 군집 최적화와 같은 방법들이 신경망을 학습시키는데 주로 이용된다.
인공신경망의 사용 방법.
인공신경망의 가장 큰 장점은 관찰된 데이터로부터 학습하여 원하는 근사 함수를 만들 수 있다는 것이다.
그러나 사용하려는 신경망의 기본 이론과 예측하려는 데이터의 근본적인 이해가 매우 중요하다.
인공신경망의 사용함에 있어서 세가지 큰 부분으로 나눌 수 있다.
인공신경망의경우 자연스럽게 많은 데이터를 가지고 online learning 방식을 사용한다.
이 방식은 병렬화가 쉽게 가능하도록 주로 지역적 의존성만 가지고 있다.
인공신경망의 활용은 데이터 관찰로부터 원하는 함수를 추론 하는데 사용할 수 있다.
이것은 매우 복잡한 데이터를 사용하거나 사람의 주관적인 판단이 필요한 부분에 매우 유용하게 사용될 수 있다.
인공 신경망은 다음과 같은 몇가지 종류로 사용될 수 있다.
또한 인공신경망은 여러 가지 암 진단에도 사용되었다.
HLDN이라는 인공 신경망 기반 폐암 검출 시스템은 암 진단의 정확성과 속도 향상을 이루었고 전립선 암에도 사용되었다.
이 시스템은 많은 환자의 데이터로부터 특정한 모델을 만들어서 모델과 환자 한명과 비교를 통해서 진단한다.
모델은 다른 변수의 상관관계나 가정에 의존하지 않는다.
인공 신경망 모델은 임상 실험 방법보다 더 정확하게 동작하였고 한 기관에서 훈련된 모델이 다른 기관에서도 결과를 예측 할 수 있었다.
신경 네트워크와 신경 과학.
이론 및 계산 신경과학은 이론적 분석과 생물학적 신경 시스템의 컴퓨터 모델링과 관련된 분야이다.
인공 신경망이 인식 과정이나 행동에 상당히 관련이 되어있는 것과 같이 신경 과학 분야도 밀접하다.
이 분야의 목적은 생물학적 신경 시스템 모델을 사용해서 생물학적 시스템이 어떻게 동작하는지 이해 하는 것이다.
이 분야를 이해하기 위해서 신경과학자들은 관측된 생물학적 프로세스와 생물학적 메카니즘 사이의 링크를 만들기 위해서 신경 학습과 이론을 적용하고 있다.
다양한 모델이 추상화 단계에서 시스템의 특성에 따라 다르게 적용이 된다.
다양한 모델들 각각 신경 세포와 신경 회로의 관계가 최종 시스템이 추상적 신경 모델에서 발생 할 수 있는 상호작용과 단기 행동 모델까지 다양한 모델들이 있다.
이러한 신경 시스템모델들은 각각 신경 세포와 시스템 간의 상호 관계에 따라 달라진다.
경영학에서의 인공신경망.
인공신경망을 경영학에 응용하고자 하는 연구는 재무, 회계, 마케팅, 생산 등의 분야에서 다양하게 진행되어 왔다.
특히, 재무분야에 대한 응용연구는 매우 활발하게 진행되고 있는데 주가지수예측, 기업신용평가, 환율예측 등의 연구가 진행되고 있다.
인공 신경망 소프트웨어.
인공 신경망 소프트웨어는 시뮬레이션, 연구, 개발 분야에 많이 사용된다.
인공 신경망 소프트웨어는 생물학적 신경망 개념을 가져와서 여러 가지 시스템에 적용되고 있다.
인공 신경망 시뮬레이터는 대부분 생물학적 신경망이나 인공 신경망을 구현하는 프로그램으로 사용된다.
보통 한가지 이상의 신경망 종류를 제공 한다.
대부분 시뮬레이터들은 학습 방법을 데이터 시각화 하는 기능을 제공한다.
인공 신경망 개발 환경은 대부분 강력한 기능을 제공한다.
알고리즘 수정이 쉽고 다른 프로그램과 같이 사용하기 편하다.
어떤 프로그램은 좋은 전처리 알고리즘과 시각화 알고리즘도 제공한다.
사용자 개발 인공 신경망.
인공 신경망의 가장 많은 형태는 사용자가 직접 다양한 환경에서 구현한 경우이다.
높은 유연성을 가지고 있지만 개발하기 힘들다는 단점이 있다.
연구분야 뿐만 아니라 실제 서비스등 많은 분야에서 사용된다.
인공 신경망 유형은 복잡한 다중 입력과 방향성 피드백 루프와 단방향 또는 양방향 그리고 다양한 계층등 여러 가지 종류가 있다.
전반적으로 이들 시스템의 알고리즘은 각각 함수의 제어와 연결을 결정하게 된다.
대부분의 시스템은 "가중치"와 다양한 신경들의 연결을 시스템의 매개 변수를 수정하는데 사용된다.
인공 신경망은 자동적으로 외부의 훈련으로부터 자동적으로 학습을 하거나 스스로 데이터를 사용해서 발전 될 수 있다.
다층 퍼셉트론(MLP)은 시벤코 정리(일반 근사 이론)로 증명된 일반적인 함수 근사자이다. 하지만, 이 증명은 인공신경망에 필요한 신경의 수나 가중치의 설정에 직접적으로 관여하지 않는다.
는 유한개의 수로 이루어진 신경들과 일반 선형 연결을 사용한 어떤 합리적인 가중치의 값(정확한 실수 값의 가중치가 아니라)을 가진 어떤 반복되는 구조는 일반적인 튜링 기계와 동일하게 완벽한 성능(full power of a Universal Turing Machine)을 가진다는 것을 증명했다.
게다가, 비합리적인 값의 가중치 설정은 기계로 하여금 튜링 기계이상의 성능(super-Turing power)을 발휘하게 한다는 것도 이미 증명되었다.
인공신경망 모델은 수용력이라고 불리는 특성을 가지고 있으며, 그것은 신경망에서 주어진 함수 모델의 능력에 상당히 연관된다.
또한 신경망에 저장될 수 있는 어떤 정보의 총량과 정보 개념의 복잡도와 크게 연관된다.
인공신경망을 계산할 때는 항상 근사에 대한 몇가지 문제에 직면하게 된다.
첫번째로, 국지적 최솟값이 존재할 수 있다는 것이다.
이것은 신경망의 비용(Cost)함수와 모델에 좌우된다.
두번째로, 알려진 최적화 방법은 국지적 최솟값과 멀리 떨어져 있을 때 적당한 근사를 보장하지 않을 수 있다는 점이다.
세번째로, 상당히 큰 양의 데이터나 변수들에 대해서 일부 이미 알려진 알고리즘들은 비현실적일 수 있다.
일반적으로, 근사에 대한 이론적 보장은 실생활 데이터의 적용에서는 신뢰할 만 하지 않을 수 있다고 알려져 있다.
실제 적용에서의 목표는 신경망에 학습 되지 않은 숨겨진 예시에 대해서도 정확한 추측을 가능하게 되는 것이지만, 이를 위한 과도한 트레이닝은 문제를 일으킬 수 있다.
즉, 필요한 자유 매개변수에 대해 네트워크의 용량이 이를 엄청나게 초과했을 때에는 시스템에 복잡한 문제가 발생될 수 있다.
이러한 문제를 피하기 위한 두가지 해결책이 제시되었다.
첫 번째는 교차타당화(cross-validation)와 비슷한 방법으로, 현재 신경망이 과도한 트레이닝이 되었는지 지속적으로 확인하고 에러를 최소화하며, 신경망 학습을 최적화 하기 위해 특수한 매개변수(Hyperparameters)를 선택하는 방법이다.
이 개념은 확률적(베이지안) 프레임워크에서 자연적으로 드러난다.
즉, 정칙화는 쉬운 신경망 모델들 중에서 더 큰 우선순위를 가지는 확률을 선택함으로써 수행될 수 있다. 하지만 통계적 학습이론에서도, 궁극적인 목표는 경험에 의한 위험성(Empirical risk)과, 구조적 위험성(Structural risk)의 두가지 값을 최소화하는 것이다.
이것들은 훈련집합 자체의 오류 및 과도한 훈련 및 학습으로 인해 숨겨졌던 자료에 대한 예고되는 오류와 크게 상관있는 것으로 알려져 있다.
평균제곱오차 비용함수를 사용하는 교사 학습된 신경망은 학습된 모델의 신뢰도를 결정하기 위해 이미 알려진 여러 가지 통계 방법을 사용할 수 있다.
예를 들어, 검증집합의 평균제곱오차는 분산을 측정할 때 사용될 수 있다.
또한 이 값이 정규분포를 따른다고 가정하면, 네트워크의 출력 값의 신뢰 구간을 계산하는데 사용될 수 있다.
출력 확률 분포는 동일하게 유지하고 네트워크가 수정되지 않기 때문에 이렇게 만든 신뢰도 분석은 통계적으로 유효하다.
범주 대상 변수를 위한 신경망 (또는 컴포넌트 기반 뉴럴 네트워크에서 softmax 성분)의 출력층에 softmax 활성화 함수, 즉 로지스틱 방정식의 일반화를 할당하여, 출력은 사후 확률로 해석 될 수 있다.
이것은 분류할 때 확실한 측정값을 주기 때문에 이에 매우 유용하다.
softmax 활성화 함수는 일반적으로 아래와 같이 나타내어진다.
인공신경망의 시뮬레이션을 할때, Softmax 함수는 신경망 마지막층의 분류계산을 하기 위해 구현된다.
함수 지도 벡터와 특수 인덱스 i를 실수 값으로 보면, 도함수(Derivative) 식은 아래와 같이 인덱스를 고려해야 한다.
여기서, 크로네커 델타는 단순화를 위해 사용된다.(이것은 함수 그 자체로 표현되는 시그모이드 함수의 도함수(Derivative)와 비교될 수있다.)
인공신경망에 대한 논란.
인공신경망 중에서도 로보틱스 분야는 많은 비평가들에게 비판을 받는다.
왜냐하면 실제 상황에 정확히 부합하는 작동을 학습하기 위해 수많은 경우에 대한 엄청난 다양성을 가진 자료의 수집을 필요로 하기 때문이다. 하지만 이것은 그리 놀랄 일이 아니다.
어떠한 학습 기계(Learning machine)라도 여러 가지 새로운 케이스에 정확히 동작하는 근본적인 구조를 잡기위해 수 많은 훈련 예시들을 필요로 하기 때문이다.
딘 포말리우(Dean Pomerleau)의 최근 논문 “자동 로봇 운전을 위한 인공신경망의 지식기반 학습 방법”에서는 여러 가지 종류의 길을 갈 수 있는 로봇 자동차를 훈련하기 위해 인공신경망이 사용된다.
그의 연구의 대부분은 하나의 학습 경험으로부터 여러개의 학습 시나리오를 추정하는 것과 과거 학습의 다양성을 유지하여 시스템이 과도하게 학습하는 것을 막는 것, 이 두가지에 기울여져 있다.(예를 들어, 이 연구에서는 과거에 학습된 우회전을 잊지 않고, 비슷한 상황에서 언제나 우회전을 하게 학습하는 것을 막게 할 수 있다.) 실제 상황의 넓고 다양한 반응에 대해서 어떤 것을 훈련하고 선택할 것인지와 같은 문제는 인공신경망에서는 상당히 일반적이다.
미국인 과학 칼럼니스트 알렉산더 듀드니(A. K. Dewdney)는 1997년 쓴 글에서, "비록 신경망이 매우 적은 장난감과 같은 문제를 풀지라도, 그 계산 능력은 일반적인 문제 해결 기법들을 가뿐히 뛰어넘을 정도의 수준을 가질 수 있다." 라고 적었다.
크고 효과적인 인공신경망 소프트웨어를 구현하기 위해서는 상당한 프로세싱 기법과 저장 자원이 필요하다.
우리의 뇌는 신경 그래프를 통한 신경전달 프로세싱 임무에 최적화된 하드웨어를 가지고 있다.
우리가 가장 간단하게 시뮬레이션 할 수 있는 폰 노이만 기술 조차도 신경망 디자이너로 하여금 뇌와 같은 신경 그래프를 구축하기 위해 수백, 수천만 개의 데이터베이스 행을 채우도록 하고 있다.
이는 엄청난 양의 컴퓨터 메모리와 하드디스크 공간을 소비하게 한다.
게다가, 신경망 시스템의 디자이너는 이런 엄청난 신경 연결과 뉴런들을 통해 뇌와 같은 신호 전달을 시뮬레이션 할 수 있어야 한다.
이것은 일반적인 CPU의 처리능력과 시간으로는 불가능한 양일 정도이다. 하지만, 신경망은 가끔 효과적인 프로그램을 만들어 낼 수 있게 해주고 비용적 측면에서도 효율적이고 고려할만한 정도의 효과를 내 줄 때가 있다.
게다가 컴퓨터의 계산능력은 무어의 법칙에 따라 지속적으로 크게 증가하고 있으며, 이는 새로운 임무를 효과적으로 달성하는데 기여하고 있다.
또한 신경모방 공학에서는 처음부터 신경망을 구현하기 위해 설계된 회로(비 폰 - 노이만 칩)를 구성하여, 직접적으로 하드웨어적 어려움을 해결하기 위해 노력하고 있다.
알렉산더 듀드니(A.K.Dewdney)의 또다른 주장은 신경망은 비행기의 자동운전모드 또는 신용카드 사기 탐지 같은 여러 가지 복잡하고 다양한 문제를 효과적이고 성공적으로 해결해왔다는 것이다.
하지만, 기술 집필자 로저 브리드만(Roger Bridgman)은 듀드니의 신경망에 대한 주장에 대해 이러한 말을 남겼다.
"신경망은 예를 들면, 그것은 더 높은 목적을 달성할 수 있다고 과장된 광고를 하고 있을 뿐만 아니라 이것이 어떻게 동작하는지 이해도 하지 않고도 성공적인 네트워크를 만들어 낼 수 있다고 말하는데, 이것은 불투명하고 이해할 수 없는 것일 뿐만 아니라 과학적 측면에서 가치가 없는 것이다."
그의 이러한 과학(인공신경망)은 기술이 아니라는 강한 발표에도, 듀드니는 "이것은 단지 남들이 보는 앞에서 그들이 이것을 이해하지 못하더라도 훌륭한 기술자들인 것처럼 보이기 위해 신경망을 안 좋은 학문이라고 비판하는 것"이라고 했다.
불투명하고 이해할 수 없는 것이라도 유용한 기계가 될 수있다면 그것은 여전히 우리에게 가치있는 것이고 필요한 것일 것이다.
비록 인공 신경망을 배우고 이해하고 분석하는 것이 매우 힘든 일이라는 것은 사실이지만, 실제 생물에서의 신경망을 배우고 이해하여 분석해서 적용하는 것보다는 훨씬 쉬운 일일 것이다.
게다가, 신경망을 구현하는 학습 알고리즘을 연구하는 연구자들은 점진적으로 기계학습을 성공적으로 하게 할 수 있는 신경 유전적 원리를 발견해 내는데 성공하고 있다.
일부 다른 분석가들은 신경망과 다른 분야에 대한 혼합적 모델을 지지한다.(예를 들면 기호적 접근과 인공신경망의 결합)
이러한 두 가지 접근방식의 내부 혼합은 사람의 내적 동작에 대한 메커니즘을 조금 더 잘 잡아 낼 수 있을 것이라 생각하기 때문이다.
《이스》(, )는 니혼 팔콤이 제작한 액션 롤플레잉 게임 시리즈이다.
전설의 모험가 아돌 크리스틴이 전세계의 각지를 방문하면서 고대왕국 이스에서 비롯된 문명의 수수께끼를 파헤치는 내용이다.
1987년 PC-8801로 첫작품 《》이 발매된 후, 아돌 크리스틴의 모험기를 그린 총 8개의 게임과 외전들로 구성돼있다.
《이스 오리진》은 이스 I,II의 배경이 되는 &lt;사라진 고대의 왕국 ~ 이스&gt;에서 약 700여 년 전의 이야기를 담고 있다.
이스 시리즈 중 유일하게 아돌이 주인공이 아니며, 플레이 캐릭터로는 유니카 토바, 휴고 팩트, 크로우 총 3명이 등장한다.
《이스 온라인》은 대한민국의 게임 개발사인 CJ 인터넷에서 개발하고 넷마블에서 서비스되는 MMORPG 게임이다.
개발은 전적으로 CJ 인터넷에서 진행 중이며, 팔콤에서는 설정상의 자문만을 하고 있으며 개발에는 참여하지 않고 있다.
게임 내용은 원본 이스 시리즈와 아무 관계가 없다.
《이스 II 스페셜》은 대한민국의 게임 회사인 만트라에서 이스의 라이선스를 획득하여 만든 게임이다.
전체적인 설정은 원본 이스 II와는 다른 부분이 많으며 OVA판 ‘천공의 신전’과 비슷하다.
원본과 많은 부분에서 다르며 팔콤 공식 시리즈로 취급되지는 않는다.
버그가 게임 도중 곳곳에 있어 유저들의 불만이 많았다.
만트라가 팻치를 내보냈으나 모든 버그를 고치지는 못 했다.
이스에는 2개의 OVA 시리즈가 있으며 첫 번째 OVA는 최초 게임의 사건을 다루는 7개의 에피소드를 담고 있으며 2번째 OVA는 두 번째 게임의 사건을 다루는 4개의 에피소드를 담고 있다.
집합론에서 모임 또는 클래스()는 특정한 성질을 만족하는 집합(혹은 그 외의 수학적 대상)을 모은 것이다.
모임은 지나치게 커서 집합이 아닐 수 있으며, 이렇게 집합이 아닌 모임을 고유 모임(固有모임, )이라고 한다.
체르멜로-프렝켈 집합론에서의 정의.
모임의 정의는 표준적인 집합론(체르멜로-프렝켈 집합론의 확장)에서는 형식적으로 다룰 수 없고, 비형식적으로만 다루어진다.
그러나 집합으로 간주할 수 없는 모임은 고유 모임이라고 한다.
마찬가지로, 두 모임의 합모임·교모임·차모임 등을 정의할 수 있다.
폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론이나 모스-켈리 이론 등에서는 다루는 대상이 기본적으로 집합이 아니라 모임이다.
이 경우, 이론에서 다루는 모든 대상은 모임이며, 모임 formula_16 가운데 이를 원소로 포함하는 다른 모임이 있을 경우 집합이라고 한다.
집합이 아닌 모임, 즉 다른 모임의 원소가 될 수 없는 모임은 고유 모임이라고 한다.
기타 집합론에서의 정의.
새 기초()와 같은 이론의 경우에도 집합이 아닌 모임이 존재하나, 이 경우 집합은 고유 모임인 부분 모임을 가질 수 있다.
체르멜로-프렝켈 집합론이나 폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론, 모스-켈리 이론 등에서는 다음이 성립한다. (이들 가운데 일부는 새 기초 등에서 성립하지 않는다.) 모임 formula_16에 대하여, 다음 조건들이 동치이다.
폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론, 모스-켈리 이론 등, 대역적 선택 공리()를 포함하는 이론에서는 다음 조건들이 위 조건들과 추가로 동치이다.
고유 모임의 예로는 다음을 들 수 있다.
이들 가운데 여럿의 경우, 이들이 집합이 아니라는 정리는 역설로 불린다.
이는 집합론의 초기에는 집합과 고유 모임의 차이가 명확하지 않았기 때문에 이들이 모순적으로 여겨졌기 때문이다.
대통령배 전국고교야구대회(大統領杯全國高校野球大會)는 중앙일보사에서 주최하는 전국 규모의 고교야구대회이다.
1969년 첫 대회가 열린 후, 2009년 대회까지 총 41회의 대회가 동대문운동장에서 열렸으나 1990년 대회는 동대문운동장 야구장의 인조잔디 공사로 인해 목동야구장에서 개최했고 16강부터는 인천구장으로 옮겨 개최됐다.
그 뒤, 동대문운동장이 철거됨에 따라 2010년에 열린 제42회 대회는 목동 야구장에서 열렸으며 2011년부터 2012년까지는 수원야구장, 2014년에는 춘천 의암야구장, 2019년에는 청주야구장에서 개최됐다.
전국 16개 시/도에 소속되어 있는 야구팀 중 지역예선전을 거쳐 총 27개팀이 본선 대회에 출전하게 된다. (2007년 기준)
시정촌()은 일본의 지방 자치 제도의 기초자치단체인 시(), 정(), 촌()을 묶어 이르는 말이다.
《일본 지방자치법》 제2조 제3항에서는 ‘기초적인 지방공공단체’라고 규정하고 있는데, 1889년부터 시 제도와 정촌 제도가 시행되었다.
도쿄도에는 기초자치단체인 특별구가 있는데, 이를 포함해 시구정촌()이라고 부르기도 한다.
정·촌보다 상위의 행정 구역인 군(郡)은 대한민국에서는 시(市)와 동급인 기초지자체이지만, 일본에서는 1920년대에 조직을 폐지하고 주소 표기 등 명목상의 구역으로만 존재한다.
정·촌이 시로 승격하거나 시와 합병하면 행정 구역상 군에서 제외되며, 군에 속하는 정·촌이 없게 되면 군은 자연히 폐지된다.
시(市)는 인구 5만 명 이상으로, 중심 시가지에 전 인구의 6할 이상이 거주하며, 상공업과 기타 도시적인 업종에 종사하는 사람 및 그와 동일한 세대에 속한 사람이 전 인구의 6할 이상으로, 해당 도도부현이 조례로 정하는 도시적인 시설과 요건을 갖춘 행정구역을 말한다.
정(町)과 촌(村)도 기초자치단체이다.
정의 인구기준은 도도부현에 따라 다른데, 대체로 1만명 이상이다.
대한민국의 인구 기준에서 정은 읍(邑)에, 촌은 면(面)에 해당한다고 할 수 있지만, 1960년대 이후 꾸준히 시정촌의 합병을 유도해 군(郡)에 속하는 정·촌의 수가 한두개에 불과한 예가 많으며, 정·촌 자체도 합병한 곳이 많아 대한민국의 읍·면에 비해 보통 2배 이상 면적이 넓은 편이다.
정과 촌은 시와 마찬가지로 자치단체이므로 의회를 통해 자체 규칙인 조례를 제정할 수 있다.
일본 지방자치법은 정과 촌의 경우 조례를 통해 의회 대신 선거권자의 총회인 정촌총회를 둘 수 있다고 규정하고 있다.
2006년 나가노현 기소군의 오타키 촌 의회에서 이에 대한 논의가 있었으나 부결되었고, 실제 설치된 예는 없다.
일본의 행정 구역은 광역 자치 단체인 도도부현과 기초 자치 단체인 시정촌(특별구를 포함)으로 구성되어 있다.
시의 일부는 행정상의 정령지정도시나 특례시, 중핵시 등으로 지정되어 있다.
시정촌()은 기초 자치 단체인 시(), 정(), 촌()을 묶어 이르는 말이다. 《일본 지방자치법》 2조 3항에서는 ‘기초적인 지방공공단체’라고 규정하고 있다.
도쿄도에는 시정촌에 해당하는 특별구가 있는데, 이를 포함해 시구정촌()이라고 부르기도 한다.
정령지정도시()는 《일본 지방자치법》 제12장 제1절 제252조의19 제1항의 규정에 기하여 정령으로 지정된 시이다. 《지방자치법》에서는 지정도시라고 표현하고 있지만, 정령으로 지정된다는 의미에서 일반적으로 ‘정령지정도시’라고 부른다.
줄여서 정령시 또는 지정시라고 부르기도 한다.
자세한 것은 정령지정도시를 참조.
중핵시()는 《일본 지방자치법》 제12장 제1절 제252조의22 제1항의 규정에 기하여 정령으로 지정된 시이다.
자세한 것은 중핵시를 참조.
특례시()는 《일본 지방자치법》 제12장 제1절 제252조의 26의 3 제1항의 규정에 기하여 정령으로 지정된 시이다.
자세한 것은 특례시를 참조.
다리우스 3세(기원전 380년 ~ 기원전 330년, 페르시아어 "다리우슈")는 페르시아 제국 아케메네스 왕조의 마지막 왕으로 기원전 336년부터 기원전 330년까지 재위했다.
그는 알렉산드로스 대왕의 원정으로 폐위되었고 페르시아 제국은 멸망했다.
어머니는 시시감비스, 아내는 스타테이라 1세, 딸은 나중에 알렉산더 3세의 왕비가 된 스타테이라 2세와 헤파이스티온의 아내가 된 드리페티스가 있다.
다리우스 3세의 화상으로 유명한 이 참고 사진은 화산 폭발로 매몰된 폼페이에서 출토된 것이다.
기원전 338년에 페르시아 제국 아케메네스 왕조의 환관이자 재상인 바고아스는 쿠데타를 일으켜 아르타크세르크세스 3세를 처형하고, 2년 후에는 유배된 그의 아들 아르세스마저 처형했다.
바고아스는 자신이 마음대로 조정할 수 있는 자를 왕에 앉히려고 왕가에서 갈라져나온 먼 친척인 코도만누스를 지정하여 왕에 임명했는데 그가 바로 다리우스 3세이다.
다리우스 3세의 아버지는 아르타크세르크세스의 조카였고 어머니는 아르타크세르크세스 2세의 딸인 시시감비스였다.
다리우스 3세는 왕위에 오르자마자, 야심많은 환관인 바고아스의 영향에서 벗어나겠다고 선언했고 쿠데타를 획책했다.
이 말을 들은 바고아스는 독배를 왕에게 주어 죽이고 자신이 왕위에 오르려 했으나, 다리우스는 그 잔을 도리어 바고아스에게 주어 죽였다.
다리우스 3세가 즉위했을 때 제국은 불안정하고 많은 땅을 지배하고 있는 속주 태수들은 질투심이 많고 믿을 수 없는 상태였다.
기원전 337년에 마케도니아의 필리포스 2세는 페르시아 지배 아래에 있는 그리스 도시들의 해방을 위해 코린토스 동맹을 결성하고, 이듬해 소아시아에 선발대를 보냈다.
그러나 그해 7월에, 그는 배후가 정확히 밝혀지지 않은 채 암살당했고 아들인 알렉산드로스 대왕이 뒤를 이었다.
기원전 334년 봄에, 알렉산드로스는 군대를 이끌고 다르다넬스 해협을 건넜다.
전쟁에 대한 준비가 전혀 되어있지 않은 채, 이들을 맞은 페르시아의 군대는 속주총독들이 맞서 싸웠으나 그라니코스강 전투에서 패배했다.
다음 해 알렉산드로스는 소아시아의 대부분을 점령한 후, 킬리키아까지 진격했다.
기원전 333년에 다리우스는 직접 페르시아 내륙에서 대군을 모아 출전했으나 11월 이수스 전투에서 패배해 도망쳤다.
그때 그의 어머니인 시시감비스와 처자식들이 알렉산드로스의 포로가 되었다.
그 후 알렉산드로스에게 강화하자는 편지를 2번이나 보냈고 마케도니아와 페르시아가 동맹을 맺는 조건으로 막대한 재물을 주고, 유프라테스강 서쪽에 있는 페르시아 영토를 마케도니아에게 모두 넘겨주겠으며, 자기 딸과 결혼하라고 했다.
알렉산드로스는 이러한 강화의 제의를 다 거절하고 메소포타미아로 진격했다.
이에 다리우스는 마케도니아 군이 유프라테스강과 티그리스강을 건너게 하고 기원전 331년 10월 1일에 지금의 이라크 모술의 동쪽에 있는 가우가멜라에서 전투를 벌였으나 크게 패해서, 엑바타나로 피난하였고 알렉산드로스가 추격하자 다시 동쪽으로 박트리아까지 피난하였지만 자신의 부하이자 바고아스의 친척이었던 베소스 일파에게 잡혀 처형되었다.
시시감비스(Sisygambis)는 페르시아 제국의 아케메네스 왕조의 마지막 왕 다리우스 3세의 어머니이다.
이수스 전투에서 자신의 아들 다리우스가 어머니인 자신과 처자식을 버리고 도망치고, 자신과 다리우스의 처자식들이 알렉산더 대왕에게 포로가 되었을 때 알렉산더가 자신과 다리우스의 아내와 딸들을 극진히 대접하자 알렉산더를 아들처럼 사랑하고 다리우스를 미워했다고 한다.
알렉산더는 그녀를 ‘어머니’로 칭했다.
그녀는 아르타크세르크세스 2세 멤논 또는 그의 형제 오스타네스의 딸로 추정된다.
후자라면 그녀는 (고대 아케메네스 왕조의 전통에 따라) 오빠 아르사메스와 결혼을 했다.
그녀는 다리우스와, 옥시아트레스, 그리고 스타테이라 1세를 낳았다.
기원전 333년 이소스 전투에서, 다리우스의 군대는 공략을 당했고, 페르시아의 왕은 그의 가족들(아내, 모친, 딸)을 내버려두고 야전에서 도망을 쳤다.
남겨진 가족들은 알렉산더의 자비를 구해야 할 처지에 빠졌다.
알렉산더는 그들을 포로로 잡았지만, 극진히 대우했다.
알렉산더가 친한 친구였던 헤파이스티온과 함께 그들이 포로로 사로잡힌 천막으로 갔다.
시시감비스는 헤파이스티온이 더 풍채가 좋고, 비슷한 옷을 입었기 때문에 헤파이스티온을 알렉산더로 오인하고 무릎을 꿇고 그에게 자비를 구했다.
그녀가 실수를 깨닫게 되었을 때 적잖게 당황했지만, 알렉산더는 그녀에게 다음과 같은 말로 위로했다.
가우가멜라 전투에서, 시시감비스와 가족들은 알렉산더 부대의 보급대에 있었다.
다리우스의 스키타이 기병대가 제일 먼저 마케도니아군의 진영을 뚫고 들어와 구출하려했으나 페르시아로 돌아가길 거절하였다고 전해진다.
나중에 다리우스가 죽었다는 소식에도 전혀 동요하지 않고 “나의 아들은 단 한명, 알렉산드로스, 페르시아의 왕이다.”라고 말했으며 후에 알렉산드로스가 죽자 그 자신도 방에 들어가 곡기를 끊고 울다가 죽었다고 한다.
제주 초등학생 성추행 살해 사건(濟州初等學生性醜行殺害事件)은 2007년 3월 16일에 대한민국 제주특별자치도 서귀포시 서홍동에서 일어난 초등학생 유괴 성추행 살해 사건이다.
피해자 양지승 학생은 당시 서귀북초등학교 3학년이었다.
사건 당일 2007년 3월 16일, 서귀포시 서홍동 피아노학원차에서 내린 후 실종됐다가 40여일 만인 2007년 4월 24일, 서귀포경찰서가 수색한 결과 불과 100여m 밖에 떨어지지 않은 한 길 옆 과수원의 허스름한 관리사 옆 돌담 밑에 버려진 채로 발견됐다.
그 날 밤, 서귀포경찰서는 유력 용의자 송영칠(당시 48세)로부터 범행 일체를 자백받았다고 밝혔다.
그는 피해자를 납치살해하고 시신을 유기한 것은 인정했지만, 성폭행은 하지 않았다고 진술하였다.
그리고 송영칠은 1992년에도 유아를 납치하려다 미수에 그치는 등 전과 23범이다.
광주고등법원 제주지부 정갑주 판사는, 살인 및 미성년자 약취 유인죄로 피의자 송영칠에게 무기징역이라는 최종 판결을 내렸다.
필리포스 2세(, 기원전 382년 - 기원전 336년)는 기원전 359년부터 기원전 336년 암살당할 때까지 마케도니아 왕국의 왕이었다.
그는 알렉산드로스 대왕의 아버지로 치세 동안 그리스에 대한 마케도니아의 지배권을 강화하고 국력을 키워서 아들 알렉산드로스가 대제국 건설할 토대를 마련하였다.
필리포스는 마케도니아의 아민타스 3세의 막내아들로 태어나 어린 시절 테베에 볼모로 잡혀있었다.
테베에서 그는 당시 그리스 최고의 전략가이자 장군이었던 에파미논다스에게서 군사와 외교기술을 배웠고 기원전 364년 마케도니아로 돌아왔다.
기원전 359년 형 페르디카스 3세가 일리리아의 침입에 맞서 싸우다 전사하자 뒤를 이어 마케도니아의 왕위를 물려받았다.
집권 초기 마케도니아는 위협하는 파이오니아와 트라키아의 침입을 받았고 아테나이는 마케도니아의 왕권을 주장하는 아르게우스의 도움을 주면서 마케도니아를 위협하고 있었다.
일단 필리포스는 외교적으로 파이오니아와 트라키아와는 협정을 맺어 물러나게 한 다음, 아테네의 중장보병 3,000명을 격파함으로써 잠시 숨을 돌렸다.
그 사이 그는 내부적으로 힘을 강화하는 데 힘썼는데 특히 마케도니아의 군사력 강화에 전력하였다.
그는 마케도니아의 노예 수를 대폭 줄여서 국가 재정을 안정시킨 후 채리엇 제도를 폐지하고 마케도니아 보병에 팔랑크스를 새로이 도입하여 기병대를 더욱 강화시키고 보병은 사리사라는 창과 방패로 무장시켰는데 사리사는 당시 주변 그리스 국가들의 군사들이 사용하는 것보다 훨씬 더 긴 창으로 기병을 상대하는 데 효과적이었다.
기원전 357년 필리포스는 일리리아로 진격해 들어갔고 여기서 그의 군사적 재능은 유감없이 발휘되었다.
한편 외교적으로 아테나이와 협정을 맺어 아테나이 대신 암피폴리스를 점령하여 양도하고 그 대신 예전에 빼앗겼던 핀드나를 교환하자고 하였다.
그러나 암피폴리스를 점령한 이후 필리포스는 협정을 깨고 두 도시를 모두 지배했으며 아테나이는 전쟁을 선포했다.
이듬해 그는 금광이 있는 크레니데스를 점령하고 필리피로 개명했으며 금광을 지키기 위해 강력한 요새를 지었는데 이 금광에서 나오는 금으로 그는 군자금을 확보할 수 있었다.
기원전 354년 그는 아테나이에 속한 도시인 메톤을 공격하다가 한쪽 눈을 잃었지만 결국 함락시켰다.
기원전 353년 그는 테살리아로 진격해 그곳 일대를 점령했으며 테살리아 동맹의 맹주가 되었다.
아테나이는 이에 위협을 느끼고 테르모필라이를 점령했고 필리포스는 더 이상 남쪽으로 진격할 수 없었다.
그 후 6년간 그는 발칸반도 및 마케도니아 북쪽, 서쪽 변방을 강화하는데 전념했고 남쪽 그리스로는 침범하지 않았다.
기원전 348년에는 올린토스를 점령하고 할키디키반도를 합병하였다.
그는 신성전쟁에 개입하여 그리스에 대한 영향력을 강화했고 대체로 아테나이와의 사소한 문제는 다투지 않으려고 하였으나 아테나이에서는 데모스테네스와 같은 사람들이 계속 마케도니아에 반대하는 선동을 하였다.
그러나 기원전 346년 아테나이와 마케도니아는 테살리아에서 평화협정을 맺었다.
이로써 스파르타를 제외하고 모든 주요 그리스 국가들이 모두 굴복했고 필리포스는 다시 북쪽으로 눈을 돌려 트라키아와 스키타이인들을 공격했고 그 과정에서 등을 돌린 페린투스와 뷔잔티온에 대한 공성전을 시작했으나 쉽게 정복할 수 없었다.
때마침 기원전 340년 아테나이가 선전포고를 하자 그는 두 도시의 포위를 풀고 남쪽으로 진격했다.
이 과정에서 테바이의 도움을 받기를 원했지만 테바이는 아테나이의 편에 가담했고 필리포스는 기원전 338년 카이로네아 전투에서 승리함으로써 테바이와 아테나이에 대한 지배권을 다시 확립하였다.
그는 테바이에 군대를 주둔시키고 친마케도니아 정권을 세웠다.
그러나 아테나이는 장차 페르시아 제국에 대항하기 위하여 해군이 필요했기 때문에 무력으로 점령하지 않고 적극적인 협력을 하도록 두었다.
이듬해 기원전 337년 필리포스는 코린토스 동맹을 조직하고 그 자신이 동맹의 맹주("헤게몬")가 되었다.
동맹의 국가들은 반란의 진압을 제외하고는 서로에 대해 전쟁을 벌일 수 없도록 되었다.
이듬해 이 동맹을 바탕으로 그는 그리스 세계의 오랜 숙원이었던 페르시아에 대한 원정을 발표하고 메케도니아 군으로 이루어진 소규모의 원정대를 파견하였다.
페르시아 원정 준비가 한창인 기원전 336년 필리포스는 딸 클레오파트라와 그의 네 번째 부인 올림피아스의 동생 알렉산드로스 1세의 혼인잔치 자리에서 오레스티스의 파우사니아스에게 죽임을 당했다.
파우사니아스는 말을 준비하고 기다리고 있는 동료에게로 도망가다가 추격해온 필리포스의 경호대에게 죽임을 당했다.
당시의 공식적인 발표로는 마케도니아의 젊은 귀족 파우사니아스가 자신의 진가를 인정해주지 않는 필리포스와 아탈루스에게 깊은 원한을 품고 있었고 암살의 배후에는 페르시아가 있다고 했으나 끝내 그 배후는 밝혀지지 않았다.
필리포스의 암살로 가장 큰 이득을 보게 된 것은 올림피아스와 아들 알렉산드로스였으며 이 때문에 알렉산드로스가 아버지 암살의 배후로 의심되었다.
그러자 필리포스의 장군들과 군대는 알렉산드로스를 마케도니아의 왕으로 세웠다.
워싱턴 대학교(,줄여서 UW)는 미국 워싱턴주 시애틀에 있는 미국 서부 최상위권 연구 중심 대학이다.
워싱턴 대학교는 미국 북서부 지방에서 가장 큰 규모의 대학이며 public 아이비리그의 일원이다.
캠퍼스의 크기는 약 2.845km2이며 그 안에 기숙사를 포함한 213개 동의 건물이 있다.
현재 마이크로소프트, 아마존의 본거지인만큼 세계 내 IT계열로 강한 대학으로 손꼽힌다.
특히 시애틀 출신인 빌 게이츠는 지금까지 매년 워싱턴 대학교에 기부 중이다.
학생들의 학교 만족도는 높다.
페이지에 기재된 워싱턴 대학교의 순위는 시애틀 캠퍼스 기준이다.
임상의학대학원, 약리학에 대해 세계 3위를 차지하였다.
지금까지 총 12명의 노벨상 수상자, 13명의 퓰리처상 수상자, 1명의 필즈상 수상자를 배출했다.
1861년에 워싱턴지방대학으로 설립되었다.
개교 당시에는 단 1명의 교수가 라틴어·그리스어·영어·역사·수학·생리학 등 모든 과목을 강의했다.
초기에는 재정난으로 몇 차례 휴교를 하기도 했으나, 1889년 이 곳이 워싱턴 주로 승격하면서 이 대학도 고등교육기관으로서 확고한 기반을 마련하였다.
1895년 교명이 워싱턴 대학교가 되었고, 현재의 캠퍼스로 이전했다.
2022년에는 한 단계 순위가 올라, 세계대학 순위에서 7위에 랭크되었다.
2012년에는 영국 타임스 지가 선정한 세계대학랭킹 중 25위를 차지하였다.
유명한 대학원 프로그램으로 의치대, 간호대, 공대 등이 있다.
또한 2016년 기준 컴퓨터과학 (6위), 인공지능학 (5위), 통계학 (3위), 그리고 정보학 (3위)등 IT분야에서도 선두를 달리고 있다
큰 연구기금과 갈수록 높아지는 학문적 수준 덕분에 매년 크게 성장하고 있는 주립대학이다.
워싱턴 대학교는 다음 단과대학들을 통해 165개 전공의 학사, 석사, 박사학위를 수여한다.
금병산은 다음을 가리키는 말이다.
순서론과 집합론에서 정렬 원순서 집합(整列原順序集合, )은 모든 부분 집합이 양의 정수 개의 극소 원소 동치류를 갖는 원순서 집합이다.
정렬 원순서 집합 위에서는 초한 귀납법이 가능하다.
정렬 원순서 집합 가운데 전순서 집합인 것 (즉, 모든 부분 집합이 최소 원소를 갖는 전순서 집합)을 정렬 전순서 집합(整列全順序集合, ) 또는 단순히 정렬 집합(整列集合)이라고 한다.
이들의 동형류는 순서수를 이룬다.
원순서 집합 formula_1에 대하여 다음 다섯 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 원순서 집합을 정렬 원순서 집합(整列原順序集合, )이라고 한다.
정렬 원순서 집합인 부분 순서 집합을 정렬 부분 순서 집합(整列部分順序集合, )이라고 한다.
정렬 원순서 집합인 전순서 집합을 정렬 전순서 집합(整列全順序集合, ) 또는 정렬 집합()이라고 한다.
즉, 전순서 집합 formula_25에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 전순서 집합을 정렬 전순서 집합이라고 한다.
정렬 전순서 집합과 시뮬레이션들의 범주는 순서수의 얇은 범주와 동치이다.
정렬 전순서의 동형은 정렬 전순서와 시뮬레이션의 범주에서의 동형이다.
이 동형에 대한 동치류를 순서형(順序型, )이라고 한다.
순서수는 각 순서형의 표준적인 대표원을 제공한다.
서로 동형인 두 정렬 전순서 집합은 같은 집합의 크기를 갖는다.
반대로, 집합의 크기가 같은 두 유한 정렬 전순서 집합은 서로 동형이다.
반면, 집합의 크기가 같지만 서로 다른 무한 정렬 전순서 집합이 존재한다.
예를 들어, 순서수 formula_54에 대응하는 정렬 전순서 집합과 순서수 formula_55에 대응하는 정렬 전순서 집합은 서로 동형이지 않다.
정렬 원순서 집합들의 유한 족 formula_56이 주어졌다고 하자.
이 역시 정렬 원순서 집합이다.
정렬 정리(整列定理, )에 따르면, 모든 집합은 적어도 하나 이상의 정렬 전순서를 갖는다. (다만, 이 정렬 전순서는 구체적으로 명시하지 못할 수 있다.) 다시 말해, 임의의 크기를 갖는 순서수가 존재한다.
이를 통해, 임의의 집합 위에 초한 귀납법을 적용할 수 있다.
사실, 1차 논리의 체르멜로-프렝켈 집합론에서, 정렬 정리는 선택 공리 및 초른 보조정리와 서로 동치이다.
즉, 체르멜로-프렝켈 집합론의 공리들로, 이 셋 가운데 하나가 주어지면 나머지 둘을 증명할 수 있다.
증명 (초른 보조정리 ⇒ 정렬 정리):
여기에 다음과 같은 부분 순서를 주자.
이 정렬 전순서를 주었을 때,
증명 (정렬 정리 ⇒ 선택 공리):
공집합이 아닌 집합들의 집합족 formula_97가 주어졌다고 하자.
폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론이나 모스-켈리 집합론과 같은, 모임을 다루는 이론에서는 모든 모임이 정렬 전순서를 갖는지에 대하여 생각할 수 있다. (선택 공리를 제외한) 이들 체계에서는 다음 두 조건이 서로 동치이다.
모든 유한 원순서 집합은 (자명하게) 정렬 원순서 집합을 이룬다.
특히, 자연수 집합의 표준적인 전순서는 정렬 전순서이다.
보다 일반적으로, 임의의 순서수 formula_102보다 작은 순서수들의 집합
는 정렬 전순서 집합이다.
모든 순서수의 고유 모임 formula_104 (또는 그 임의의 부분 모임)의 표준적인 전순서는 정렬 전순서이다.
선택 공리를 가정할 경우, 기수의 고유 모임의 표준적인 전순서 역시 정렬 전순서이며, 이 사실은 알레프 수의 정의의 기반을 이룬다.
이는 원순서이며, 만약 formula_112가 부분 순서라면 부분 문자열 관계는 부분 순서이다.
(무향) 유한 그래프들의 가산 무한 집합은 그래프 마이너 관계에 대하여 원순서 집합을 이룬다.
로버트슨-시모어 정리()에 따르면, 이는 정렬 원순서 집합이다.
순서체 formula_114(예를 들어, 유리수체나 실수체)는 정렬 전순서 집합이 될 수 없다.
마찬가지로, 자명환이 아닌 순서환은 항상 정렬 전순서 집합이 될 수 없다.
양의 정수의 집합에 약수 관계 formula_121를 부여하면, 이는 부분 순서 집합이지만 정렬 부분 순서 집합이 아니다.
이는 소수의 집합은 무한 반사슬을 이루기 때문이다.
정렬 전순서 집합()의 용어 및 개념은 1883년에 게오르크 칸토어가 순서수를 도입하기 위하여 정의하였다.
게오르크 칸토어는 정렬 정리가 증명이 필요없을 정도로 자명한 "사고 법칙"()이라고 간주했지만, 이를 증명하지 않고 공리로 가정하였다. (칸토어는 선택 공리를 직접적으로 사용하지 않았다.) 그러나 다른 수학자들은 이 "사고 법칙"에 대하여 회의적이었다.
1904년 8월의 하이델베르크 세계 수학자 대회에서 헝가리의 수학자 쾨니그 줄러()는 정렬 정리를 반증하였다고 발표하였다.
1904년에 에른스트 체르멜로는 선택 공리를 도입하였고, 이를 통해 정렬 정리를 증명하였다.
1937년에 주로 쿠레파가 "부분 정렬 순서 집합"()이라는 용어를 사용하였으나, 쿠레파는 무한 반사슬의 부재를 가정하지 않았다.
1952년에 그레이엄 히그먼()은 정렬 부분 순서와 동치인 개념을 "유한 기저 성질"()이라는 이름으로 도입하였고, 히그먼 보조 정리를 증명하였다.
같은 해에 에르되시 팔과 리하르트 라도() 역시 한 논문에서 "부분 정렬 순서 집합"()이라는 용어를 도입하였다.
현재까지도, 많은 수학자들은 정렬 정리가 직관적이지 않다고 여긴다.
그러나 이와 동치인 선택 공리는 대체로 더 직관적이라고 여겨진다.
CCA의 다른 뜻은 다음과 같다.
LAR의 다른 뜻은 다음과 같다.
CEP의 다른 뜻은 다음과 같다.
사리사()는 고대 마케도니아 왕국의 군대가 사용하던 긴 창의 이름이다.
당시 고대 그리스와 인근 지역에서 사용되던 장창보다 두 배 이상 길게 만들어졌다.
사리사를 처음 도입한 것은 마케도니아의 필리포스 2세이다.
그는 마케도니아 군대에 팔랑크스를 처음 도입하고 기병을 유기적으로 활용하는 한편, 창의 길이를 보통보다 더욱 길게 만들었다.
당시의 창은 보통 3m를 넘지 않았는데 사리사는 길이를 최대 6.3m까지 늘렸는데 긴 길이 때문에 휴대하기 어렵고 종종 다른 나라의 비웃음을 사기도 했다.
사리사는 길이 4∼6m, 무게 4∼5kg으로 쇠로 나뭇잎 모양의 창끝을 만들었고 아랫쪽 끝에는 구리로 감싸서 필요시에 땅에 고정시켜 사용할 수 있었다.
사리사로 무장한 마케도니아 군대는 전진하는 적을 완전히 꼼짝 못하게 만들 수 있었고 주로 중앙에 정예부대에 배치하여 전선 중앙에서 적의 전진을 완전히 봉쇄할 수 있었기 때문에 양측면의 마케도니아 기병대는 원활한 기동력을 확보 할 수 있었다.
이러한 마케도니아군의 전술은 바로 알렉산드로스 대왕의 장기인 “계획된 밀집방어에 이은 신속하고 대담한 기병의 포위공격의 토대”가 되었다.
당시 이 사리사로 무장한 잘 훈련된 마케도니아 군대에 맞서 감히 대항할 군대는 아무도 없었고 심지어 인도의 전투 코끼리도 사리사의 위력에 무릎을 꿇었다.
특히 가우가멜라 전투에서 다리우스 3세가 전차를 이용해 공격했으나 이 기다란 사리사로 무장한 마케도니아의 팔랑크스 앞에서 전차도 무력해졌다.
사리사는 알렉산드로스 대왕의 죽음 이후에도 계속 헬레니즘 제국 군대에 주력으로 남았으나 지나치게 사리사를 이용한 팔랑크스 전술에만 의존한 나머지 혼합병력을 유기적으로 구사하는 새로운 전술에 의해 차츰 사라지게 되었다.
카이로네이아 전투(기원전 338년)는 보이오티아의 카이로네이아 근교에서 벌어진 전투로 마케도니아 왕국의 필리포스 2세가 이끄는 마케도니아군이 아테나이-테바이 연합군을 상대로 싸워 압도적으로 승리한 전투이다.
이 전투에서 필리포스는 테살리아, 에페이로스, 아이톨리아, 북부 포키스, 에피네미디아 로크리스 등과 동맹을 맺어 아테나이와 테바이의 연합군을 물리쳐 그리스에서 마케도니아의 주도권을 잡는 데 결정적인 도움을 받았다.
아테나이군과 테바이군은 전열의 중앙에 배치되었다.
필리포스는 마케도니아군의 우익을 지휘하고, 당시 18살의 알렉산드로스 대왕은 좌익을 지휘하였다.
유명한 기병대 헤타이로이는 마케도니아군 후위에 배치되었다.
고대의 사료에 따르면 양측은 오랜 기간 동안 치열한 전투를 벌였다고 한다.
교착 상태를 해소하기 위해 필리포스는 고의로 우익의 병사를 뒤로 물려 아직 전투에 참여하지 않은 적군의 호플리테스(장갑보병)을 끌어내 이들의 전열을 붕괴시키려 하였다.
대부분의 사료들은 알렉산드로스가 최초로 테바이군의 전열을 붕괴시켰고 이에 뒤따라 용감한 무리들(필리포스의 가장 노련한 장수들) 뒤따랐다고 한다.
이 광경을 보고 필리포스는 휘하의 병사들에게 맹렬히 공격할 것을 명했고 애국심은 충만하였으나 훈련을 제대로 받지 못한 아테나이인들은 필리포스 휘하의 숙련된 군사들을 당해내지 못했다고 한다.
아테나이인들이 패주하자 테바이인 들은 전장에 홀로 남았고, 승기를 탄 마케도니아 군에게 포위당해 결국 완패했다고 한다. 300명으로 이루어진 유명한 테바이 신성대 중 254명이 이 전투에서 전사하고 나머지 46명은 부상을 당하거나 포로로 잡혔다고 한다.
디오도로스 시켈로스에 따르면 이 전투는 알렉산드로스 휘하의 군대가 최종적으로 적의 전열을 돌파하여 궤주시키기 전까지 상당히 장기간동안 치열하게 전개되었다고 한다.
천 명이 넘는 아테나이인들이 전장에서 쓰러졌고 적어도 2천은 되는 사람들이 포로로 잡혔다고 한다.
마찬가지로 많은 수의 보이오티아 사람들이 전사했고 상당히 많은 이들이 포로로 잡혔다.
이 전투에서 알렉산드로스의 진격에 관하여 훗날 널리 퍼진 속설이 되는 또 다른 해석이 역사가 니콜라스 G.L 헤몬드(Nicholas G. L. Hammond)로부터 나왔다.
그는 그 자신이 컴파니언 기병대의 사령관이기도 했던 알렉산드로스가 직접 필립포스의 기동으로 인해 생긴 공간으로 진격하여 적 전열의 측면을 공격했다고 한다.
그러나 플루타르코스, 프론티누스, 디오도로스와 같은 오늘날까지 남은 고대의 사료 중 이에 대하여 언급하는 것은 없다.
우리는 헤몬드가 이러한 해석은 그저 사색의 결과 이상의 것이 아니라고 했던 데 주목해야 한다.
그러나 이 이야기는 이후에 많은 역사 서적과 웹 사이트에서는 마치 역사적 사실인 것처럼 서술되었다.