heegyu/kowiki-sentences huggingface dataset:
물론 이 경우는 FPU를 사용하는 경우보다 연산 속도가 훨씬 느리다.
인텔의 x86계열의 경우 i386은 정수형 ALU만을 가지고 있어서, i387이라는 칩을 별도로 PCB 상에서 연결하여 사용하였다.
이를 사용할 경우 별도의 기계어 명령어 집합을 가지고 있어 두개의 연산장치를 구별하였다.
i486에서 한개의 칩에 통합되었다.
그러나 마이크로프로세서 입장에서 ALU가 일반적인 레지스터(EAX, EBX...)와 연결되어 있다면, FPU는 별도의 FPU-레지스터 버퍼를 가지고 있어 메모리의 실수 데이터를 FPU-레지스터에 전송하고 수학계산 명령어를 실행하면 계산된다.
계산된 FPU-레지스터 값을 다시 메모리에 전송하여 처리한다.
임베디드 시스템에 많이 사용하는 ARM의 경우 많은 경우 FPU가 존재하지 않는다.
수학계산이 많다면 FPU가 존재하는 응용분야의 ARM 계열을 사용해야 한다.
수치 연산을 할 때 보조 프로세서로 사용하며 컴퓨터가 사용하는 기본 마이크로프로세서보다 숫자를 다룰 때 더 빠르게 사용할 수 있다.
FPU는 전적으로 대형 수학적 연산을 강조하는 명령 집합이 있어서 계산이 빨라질 수 있다.
현재의 대부분의 PC 에서는 FPU를 채택하고 있으며, 평상시에는 수행하지 않다가, 그래픽 이미지 처리나 표현 등과 같은 특별할 일을 수행할 때에만 FPU가 작동하게 된다.
그래픽 처리를 위한 GPU는 부동소수점 전용의 병렬구조를 갖고 있고 빠른 계산을 행한다.
주로 그래픽 카드에 사용하여 3D 처리를 위한 계산을 담당한다. 3D 게임이나 복잡한 수학계산을 실행할 때 사용하며 PC에 사용하는 CPU와 한 칩에 결합하는 경향이 있다.
슈퍼컴퓨터(supercomputer)는 많은량의 실수계산이 요구되므로 GPU와 CPU의 복합 결합 구조를 갖는 구조로 발전하고 있다.
보통 낱말 사이에 있는 띄어쓰기나 문장 부호는 무시한다.
한국어의 회문에서는 음절 단위로 모아쓰는 한글의 특성 상 음소 단위가 아닌 음절 단위의 회문이 대부분이다.
고려시대 문필가 이규보는 미인원(美人怨)이라는 제목의 회문시(回文詩)를 지었다.
이 시는 끝에서부터 거꾸로 읽어도 뜻이 통한다.
세 개의 기둥과 이 기둥에 꽂을 수 있는 크기가 다양한 원판들이 있고, 퍼즐을 시작하기 전에는 한 기둥에 원판들이 작은 것이 위에 있도록 순서대로 쌓여 있다.
게임의 목적은 다음 두 가지 조건을 만족시키면서, 한 기둥에 꽂힌 원판들을 그 순서 그대로 다른 기둥으로 옮겨서 다시 쌓는 것이다.
하노이의 탑 문제는 재귀 호출을 이용하여 풀 수 있는 가장 유명한 예제 중의 하나이다.
그렇기 때문에 프로그래밍 수업에서 알고리즘 예제로 많이 사용한다.
일반적으로 원판이 "n"개 일 때, 2"n" -1번의 이동으로 원판을 모두 옮길 수 있다(2"n" − 1는 메르센 수라고 부른다).
이는 우주의 나이인 138억 년의 42.4배이다.
이후 라우즈 볼, 가드너 등이 하노이의 탑을 소개하면서 널리 알려졌다.
이것은 각각의 수를 구하는 컴퓨터 프로그램 등의 실행어에 대한 것이다.
하라레()는 짐바브웨의 수도이다.
행정상으로, 하라레는 주와 동등한 지위를 가진 독립적인 도시이다.
짐바브웨의 가장 큰 도시이자 행정, 상업, 통신의 중심이다. 하라레는 담배, 옥수수, 목화, 귤속 열매를 위한 무역 중심이다.
제조업은 직물, 강철, 화학을 포함하며 금이 하라레 내에서 채굴된다. 하라레는 1,483m의 고도에 위치하며 기후는 열대 기후에 속한다.
하라레는 도시의 대략 5km 북쪽에 위치한, 짐바브웨에서 가장 크고 가장 완벽한 고등 교육 시설인 짐바브웨 대학교의 소재지이다.
세실 로즈에 의해 창설된 정착자들을 위한 군대 모병제, 파이오니어 칼럼 (pioneer column)이 요새로서 1890년에 도시를 설립했다.
그들은 원래 도시를 당시 영국의 총리를 역임하고 있던 제3대 솔즈베리 후작 로버트 개스코인세실의 이름을 따서 솔즈베리 요새라 이름지었었고 그곳은 그 후 간단히 솔즈베리로서 알려지게 되었다.
1897년에 자치제로 공표되었고 1935년에 도시가 되었다.
솔즈베리는 1953년에서 1963년까지 로디지아 니아살랜드 연방의 수도였다.
그 후, 남로디지아의 수도였다.
이언 스미스 (Ian Smith)의 로디지아 정부는 1965년 11월 11일에 로디지아의 독립을 선언했고 1970년 로디지아 공화국을 공표하였다.
그 후에 그 나라는 짐바브웨 로디지아의 단수명의 국가가 되었다. '하라레'라는 이름은 짐바브웨 로디지아가 짐바브웨 공화국으로서 국제적으로 독립을 인정받았던 1980년 4월 18일까지 이 도시의 공식 명칭이 아니었다.
1982년까지 이름을 솔즈베리로 보유했었다.
도시의 이름은 쇼나인들의 추장 네하라와로부터 이름을 받아들이면서, 짐바브웨인의 두 번째 독립 기념일인, 1982년 4월 18일에 하라레로 바뀌었다.
또한 다른 설에 의하면, 도시의 이름은 ("Koppie"로 발음되는) Kopje로서 오늘날 알려진 그 지역 안에 위치했었던 요새를 소유했었던 추장의 별명, "Haarari" ("그는 잠을 자지 않는다")가 유럽인에 의해 와전된 것에서 그 이름이 비롯되었다고 한다.
하라레는 상쾌하고 기운찬 기후를 가지고 있다.
이것은 높은 고도 위치와 시원한 남동 기류가 흐르기 때문이다.
대부분 해에 돌발성의 소나기가 발생할지라도 매우 적은 비가 대개 5월에서 9월까지 내린다. 1890년 10월에 기록이 시작한지만 전체 3개의 하라레 스테이션이 2004년 초에 보고하는 것을 멈추게 된다.
기후는 공개된 삼림지의 천연 식물의 생장을 지탱한다.
원문은 라틴어로 된 오컴의 저서에 등장하는 말이다.
간단하게 오컴의 면도날을 설명하자면, 어떤 현상을 설명할 때 불필요한 가정을 해서는 안 된다는 것이다.
여기서 면도날은 필요하지 않은 가설을 잘라내 버린다는 비유로, 필연성 없는 개념을 배제하려 한 "사고 절약의 원리"(Principle of Parsimony)라고도 불리는 이 명제는 현대에도 과학 이론을 구성하는 기본적 지침으로 지지받고 있다.
예를 들어, 새까맣게 그을린 나무가 있다고 가정하자.
이는 나무가 벼락에 맞았기 때문이거나, 아니면 누군가가 어떤 장치를 이용해서 나무가 완전히 잿더미로 변하지 않도록 적절히 그을린 다음 자신이 그을렸다는 흔적을 완전히 없앤 것일 수도 있다.
이 상황을 판단할 다른 증거가 없는 경우 오컴의 면도날을 적용해 본다면, 나무가 그을린 것은 벼락에 맞았기 때문이라고 추론하는 것이 옳다.
왜냐하면, 나무가 벼락에 맞아서 그을린 것이라고 설명하는 것이 더 적은 수의 가정을 필요로 하기 때문이다.
중세의 철학자들과 신학자들의 복잡하고 광범위한 논쟁속에서, 오컴은 1324년의 어느 날 무의미한 진술들을 토론에서 배제시켜야겠다고 결심한다.
그는 지나친 논리비약이나 불필요한 전제를 진술에서 잘라내는 면도날을 토론에 도입하자고 제안했다.
오컴은 "쓸데없는 다수를 가정해서는 안 된다"고 말한다.
이를 좀 더 알아듣기 쉽게 바꾸면 "무언가를 다양한 방법으로 설명할 수 있다면 우리는 그중에서 가장 적은 수의 가정을 사용하여 설명해야 한다"고 표현할 수 있다.
더 짧게 말하면, 설명은 간단할수록 좋다.
오컴의 면도날은 다음과 같이 일종의 계율처럼 말해지기도 한다. "가정은 가능한 적어야 하며, 피할 수만 있다면 절대로 하지 말아야 한다."
이는 논리학에서의 "추론의 건전성" 개념과도 비슷한 면이 있다.
논리학에서는 추론이 타당한 것으로 밝혀지면 추론의 건전성을 검사하는데, 타당한 추론이라면 결론이 정당화될 수 있는 정도는 그 추론에서 가장 정당하지 못한 전제가 정당화되는 정도를 넘지 못한다.
따라서 논리의 형식상으로는 타당한 논증이라고 해도, 논증에 가정이 많이 들어가면 들어갈수록 그 논증이 건전하지 못한 논증이 될 가능성도 높아지는 것이고, 이를 바꿔 말하면 가능한 한 가정이 적게 포함된 논증일수록 더욱더 건전할 가능성이 높다고 할 수 있는 것이다.
알렉산드리아의 디오판토스(, 200년 또는 214년 ~ 298년 또는 330년)는 알렉산드리아에서 활동한 고대 그리스의 수학자이다.
정수를 계수로 가지는 방정식(디오판토스 방정식)에 대한 연구로 유명하다.
이와 같은 연구 내용을 《산학》(算學, , )이라는 책에 정리했다.
1637년에 피에르 드 페르마는 《산학》을 읽다가 유명한 페르마의 마지막 정리를 그 페이지의 여백에 적어 놓았다.
디오판토스가 정확히 언제 태어나고 언제 죽었는지는 명확하지 않지만, 그가 죽었을 때의 나이는 정확히 알 수 있다.
디오판토스는 자신의 묘비에 다음과 같이 새겨 놓았다고 한다.
이것을 방정식을 세워 풀어보면
이므로, 디오판토스는 84세에 사망하였음을 알 수 있다.
정수론(整數論)에 공헌이 컸으며, 대수학에서 미지수를 문자로 쓰기 시작했다.
디오판토스 해석이라는 일종의 부정방정식 해법을 연구하고《산수론》13권에서는 수사(數詞)·미지수 계산 기호 등을 사용하여 대수식을 만들었다.
1차·2차 방정식 또는 연립 방정식에 대한 문제와 해법이 다루어져 있다.
부정 방정식 중의 ‘주어진 제곱수를 2개의 제곱 수로 나누어라’하는 문제는 후에 페르마에게 큰 영향을 주어 페르마 정리의 기초가 되었다.
박사학위 논문에서 힐베르트의 열번째 문제가 해결 불가능함을 증명하였다.
블룸 필터(Bloom filter)는 원소가 집합에 속하는지 여부를 검사하는데 사용되는 확률적 자료 구조이다.
블룸 필터에 의해 어떤 원소가 집합에 속한다고 판단된 경우 실제로는 원소가 집합에 속하지 않는 긍정 오류가 발생하는 것이 가능하지만, 반대로 원소가 집합에 속하지 않는 것으로 판단되었는데 실제로는 원소가 집합에 속하는 부정 오류는 절대로 발생하지 않는다는 특성이 있다.
집합에 원소를 추가하는 것은 가능하나, 집합에서 원소를 삭제하는 것은 불가능하다.
집합 내 원소의 숫자가 증가할수록 긍정 오류 발생 확률도 증가한다.
블룸 필터는 formula_1비트 크기의 비트 배열 구조를 가진다.
또한 블룸 필터에서는 formula_2가지의 서로 다른 해시 함수를 사용하며, 각 해시 함수는 입력된 원소에 대해 formula_1가지의 값을 균등한 확률로 출력해야 한다.
블룸 필터는 집합에 원소를 추가하는 명령어와 원소가 속하는지를 검사하는 명령어를 지원한다. (원소를 삭제하는 명령어는 존재하지 않는다.)
블룸 필터의 원소 추가와 원소 검사에 걸리는 시간은 formula_6으로, 집합에 포함되어 있는 원소 수와 무관하다.
블룸 필터에서 원소를 검사할 때 없는 원소가 있다고 판단될 확률은 다음과 같이 구할 수 있다.
비트 크기가 같은 두 블룸 필터의 합집합이나 교집합을 구하려면, 각 비트의 OR 연산이나 AND 연산을 구하면 된다.
이렇게 계산되는 새로운 블룸 필터는 원래의 합집합이나 교집합을 직접 계산한 것과 동일한 값을 가진다.
카운팅 필터(Counting filter)는 블룸 필터에서 필터를 재생성하지 않고도 원소의 삭제가 가능하도록 변형된 것이다.
블룸 필터에서 배열 내 각 버켓의 크기가 1 비트였던 것을 카운팅 필터에서는 formula_7비트로 확장하여 카운터로 사용한다.
따라서 블룸 필터는 배열의 버켓 크기가 1 비트인 카운팅 필터라 할 수 있다.
카운팅 필터에서 원소를 추가하면 해당되는 버켓의 값을 1씩 증가시킨다.
원소 검색시에는 해당 위치가 0이 아닌지를 확인하여 판단하게 되며,
원소의 삭제시에는 버켓의 값을 1씩 감소시킨다.
카운팅 필터에서는 버켓 변수의 오버플로우가 발생할 수 있으므로, 버켓 변수는 이를 감안하여 충분히 큰 자료형이 사용되어야 한다.
오버플로우 상황이 발생한 경우, 블룸 필터의 성질을 유지하기 위해 원소의 추가 및 삭제시 해당 버켓의 값은 최댓값으로 설정하여야 한다.
카운터의 크기는 일반적으로 3 또는 4 비트이다.
따라서 카운팅 블룸 필터는 기존의 정적 블룸 필터보다 3~4배 더 많은 메모리 공간을 사용하게 된다.
이론적으로 카운팅 블룸 필터와 동일한 수준으로 최적화 된 자료 구조는 정적 블룸 필터가 사용하는 것과 같거나 혹은 그보다 더 적은 메모리 공간을
카운팅 필터의 또 다른 약점은 낮은 확장성이다.
테이블의 크기가 고정되어 있으므로, 필터가 수용할 수 있는 최대 키 개수가 미리 알려져 있어야 한다.
테이블이 수용할 수 있는 범위를 넘어 키가 추가되기 시작하면, 긍정 오류 발생 확률이 빠르게 증가하게 된다.
이진 분류에서 거짓 양성과 거짓 음성은 통계적으로 거짓된 결과가 나오는 경우를 말한다.
예를 들어, 어떤 메일이 스팸 메일인지 검사하는 프로그램이 있다고 하자.
이때 어떤 메일이 실제로는 스팸 메일이 아니지만 프로그램 검사 결과 스팸 메일이라고 판정한다면, 이것이 거짓 양성이다.
실제로 검사 알고리즘을 개발한다면, 거짓 양성과 거짓 음성 사이에 trade-off(어느 한편을 늘리면 다른 한편은 그 만큼 줄어드는 것)가 필연적으로 생기게 된다.
이때 어떤 메일이 실제로는 스팸 메일임에도 불구하고 프로그램 검사 결과 스팸 메일이 아니라고 판정한다면, 이것이 거짓 음성이다.
이러한 현상은 암 진단이나 보안 진단과 같은 분야에서는 거짓 양성에 비해 오 탐지에 대한 비용이 커서 그것을 잘 고려하여 검사 알고리즘을 개발해야 한다.
1964년, 영국-중국계 아버지와 폴란드-오스트리아계의 어머니 밑에서 태어나 유복하게 자랐다.
초중고 교육을 홍콩에서 마치고 오스트리아와 일본, 영국 등을 유학하여 유능한 은행인으로 근무했다.
2004년 9월, 요아킴 왕자와의 이혼 의사를 밝혔으며 2005년 4월, 결국 법적 절차를 마친 이후 기존에 가지고 있던 왕자빈(HRH Princess)의 지위 대신 재혼하기 전까지라는 조건 하에 방계급 공주(HH Princess) 지위를 얻게 되었다.
이후 전前 시어머니였던 마르가레테 2세로부터 재혼 후에도 유지되며 세습되지 않는 프레데릭스보르 여백작 지위를 얻었다.
2007년 2월, 15살 연하의 사진가 마틴 이외르겐센(Martin Jørgensen)과의 결혼을 발표함으로써 면세 특권과 저하의 경칭 및 덴마크 공주의 지위마저 포기, 프레데릭스보르 여백작의 지위만을 유지하게 되었으며, 저하보다 한 단계 낮은 각하(HE)의 경칭을 사용하고 있다.
한때 획기적인 연구결과를 연이어 발표하여 물리학의 총아로까지 여겨졌으나, 곧 그가 발표한 다수의 연구논문 데이터가 조작되었다는 것이 밝혀져 물의를 일으켰다.
이 쇤 사건은 과학계에 논문의 공동저자와 과학 잡지의 리뷰어들의 책임이 어디까지인지에 대한 논란을 불러왔다. 《네이처》를 비롯한 권위 있는 과학 잡지의 피어 리뷰 과정에서 쇤의 조작이 밝혀지지 않았다는 것에 대해 비판의 의견이 있었으나 한편에선 피어 리뷰의 역할이 의도된 사기를 밝혀내는 것이 아니라 논문자체의 논리적 오류를 찾는 데에 초점이 맞춰져 있다고 변호하는 의견도 있다.
쇤은 응집물질물리와 나노기술 분야에서 연구를 했다.
1997년 독일 콘스탄츠 대학교에서 박사학위를 받았으며, 2000년 12월 벨 연구소에 들어간다.
2001년에 그는 자신의 이름이 올라간 논문을 8일에 하나 꼴로 발표한다.
같은 해 《네이처》에 분자규모의 트랜지스터를 만들었다는 논문을 발표한다.
이 논문은 얇은 유기 색소 분자 층을 이용하여 전자회로를 구성할 수 있으며, 이 회로에 전류를 가하면 트랜지스터의 특성을 나타낸다고 설명하고 있다.
이 연구는 반도체가 현재의 실리콘 기반에서 앞으로는 유기물 기반으로 교체되리라 예견하는 것이었다.
더 나아가, 실리콘으로는 도저히 불가능한 크기보다 작은 크기에서 유기물 트랜지스터를 만드는 것이 가능하기 때문에 현재 예측되는 한계 이하로 무어의 법칙을 이어갈 수 있다는 것을 말한다.
또한 이것이 가능하다면 전자부품 제조가격도 매우 싸지게 된다.
그의 업적이 출판된 직후 물리학계에서 쇤의 데이터가 수상하다는 소문이 돌았다.
특히 그의 데이터가 너무나 정확하게 맞아 떨어지며 이것은 물리학적으로 모순이라는 것이었다.
버클리 대학의 리디아 손(Lydia Sohn) 교수는 쇤이 발표한 온도가 상이한 조건에서 실시한 두 가지 실험이 정확히 같은 노이즈 데이터를 갖고 있다는 사실을 발견했다.
네이쳐의 편집자가 이 사실을 쇤에게 알렸을 때 쇤은 실수로 같은 그래프를 보냈다고 발뺌했다.
코넬 대학의 폴 맥코인(Paul McEuen) 교수가 또 다른 실험에 대한 논문에서 이 그래프를 다시 찾아냈으며, 결국 쇤의 25개의 논문과 쇤이 공동저자로 올라간 20개에서 수상한 점이 발견되었다.
2002년 5월 벨 연구소는 스탠퍼드 대학의 말콤 비즐리 교수에게 이 사건의 조사를 맡겼다.
조사 위원회는 쇤이 쓴 논문의 공저자에게 질문지를 보냈으며, 주로 공동 작업을 하던 3명의 공저자를 직접 인터뷰했다.
논란이 된 논문의 데이터 수치 분석이 들어있던 논문 초고를 조사했다.
위원회는 원 데이터의 복사 본을 요구했으나 그는 실험실 노트를 보관하고 있지 않았다.
그의 원본 데이터 파일도 그의 컴퓨터에서 지워진 상태였다.
쇤에 따르면 하드 디스크 공간이 모자라 파일들을 지웠다고 한다.
또한 그의 실험 샘플은 모두 복원할 수 없도록 훼손되거나 버려졌다.
2002년 9월 25일 위원회는 보고서를 발표했다.
보고서는 24개 의심사례의 세부사항을 담고 있다.
위원회는 최소한 16개에서 부정이 있었다고 결론 내렸다.
한 가지 데이터는 여러 실험의 결과로 재사용된 것을 발견했다.
또한 그래프 중 몇몇은 실제 데이터를 사용하지 않고 수학함수를 사용하여 그린 것을 밝혀냈다.
보고서에 따르면 모든 조작은 쇤 혼자서 저지른 것이며, 공동저자들은 모두 이 부정행위와 무관한 것으로 보고하고 있다.
그러나 공동저자들이 쇤의 데이터를 책임감 있게 검토했는지에 대해서는 명확하지 않다.
연구에 깊숙이 관여하지 않은 저자들인 경우에는 그들의 책임을 다한 듯 보이지만, 쇤이 일하던 그룹의 책임자인 버트램 배트록에 대해서는 그가 충분히 쇤의 연구결과를 검토하지 않았다는 의문이 제기되기도 했다.
물론 사건이 터진 이후에 그는 적절히 대응하였으나, 연구 책임자로서 이와 같은 획기적인 연구결과에 대해 미리 충분히 검증했어야 했을 것이다.
조사 위원회는 공동저자의 책임에 대해 어떤 명시적인 규율 같은 것이 존재하지 않기 때문에 위원회 자체가 이 문제에 대해서는 해결할 수 없다고 결론지었다.
배트록에게 가해진 공식적인 제제는 없었다.
벨 연구소는 보고서를 받은 당일 쇤을 해고했다.
쇤 사건은 이 연구소에서 발생한 첫 번째 사기사건이었다.
2002년 10월 31일 《사이언스》는 쇤이 쓴 8개의 논문을 거둬들였으며, 2003년 3월 5일 《네이처》또한 그의 논문 7개를 거둬들였다.
쇤은 다수의 논문에서 데이터가 부정확하다는 걸 인정했다.
그러나 자료가 바뀐 것은 순전한 실수였다고 주장했다.
또한 데이터를 변조한 것은 사실이지만 그것은 자신이 관찰한 결과를 좀 더 믿음직스럽게 만들기 위한 것이었다고 밝혔다.
계속 그는 자신의 실험이 실제로 가능했으며, 그가 제시한 기술을 사용하여 분자규모의 트랜지스터가 가능하다고 주장하고 있다.
델프트 공과 대학교와 토머스 왓슨 연구소에서 쇤이 했다는 실험과 유사한 실험을 계속했지만, 결과는 얻어지지 않았다.
2004년 6월 콘스탄츠 대학교는 그의 박사학위를 박탈했다.
칼리닌그라드 주의 큰 도시들:
칼리닌그라드 주의 작은 도시들:
요일(曜日)은 한 주의 각 날짜별로 이름을 붙인 것을 말한다.
많은 언어권에서 쓰는 요일 이름은 고대 로마인들이 고대의 7행성인 태양·달·화성·수성·목성·금성·토성에 따라 이름을 붙인 것이다.
요일의 이름을 천체에서 따온 것은 베티우스 발렌스의 170년경의 저서 《명문집》(Anthologiarum)에서 처음 발견된다.
1세기에서 3세기 사이 로마 제국이 8일 주기였던 달력을 7일 주기로 고치면서, 각 날짜마다 천체의 이름을 따서 태양·달·아레스·헤르메스·제우스·아프로디테·크로노스로 이름붙였다.
후에 게르만족이 이를 차용하면서 게르만 신화의 신으로 이름을 바꾸었다.
일본에서는 헤이안 시대의 홍법대사(弘法大師)가 《숙요경》(宿曜經)에서 전래를 하였고, 이것에 사용된 개념이 칠요(七曜)이며, 칠요에는 일월(日月)과 오성(五星)이라고 표기되어 있다.
오성은 춘추전국시대 후기 오행설과 결합된 목성, 화성, 토성, 금성, 수성이나, 또는 고대 천문학에서 다섯 행성으로 꼽던 세성(歲星), 형혹(熒惑), 진성(鎭星), 태백(太白), 진성(辰星)을 일컫는 말이다.
조선은 음력(대통력과 시헌력)이 기준이었고, 달과 절기를 중심으로 달력을 구성했으며, 요일의 개념은 존재하지 않았다.
1895년 을미사변을 통해 집권한 김홍집 내각이 주도한 〈제3차 갑오개혁〉(을미개혁)을 통해 1896년 태양력을 도입하였으며, 요일의 명칭도 일본의 것을 그대로 따랐다.
외교문서에 태양력을 쓴 것은 1888년부터 요일의 개념을 사용하였다.
한 주의 시작을 월요일로 보느냐, 일요일로 보느냐는 나라마다 달라서 계속적으로 논쟁이 되고 있는 사안이다.
한편, 국제표준화기구인 ISO에서 제정한 《국제표준 ISO 8601》(날짜 및 시각의 표기)에서는 월요일을 한 주의 시작으로 규정하여 세계 공통으로 삼았다.
대한민국도 국가기술표준원의 《주간 수 결정법》에서 “1주의 첫 날은 월요일”로 정의하였고, 일본도 일본 산업 규격(JIS)에서 월요일을 첫째날로 지정했다.
그리고 사전적으로 봤을 때 영국도 월요일을 첫째 날로 정의하였지만, 미국은 월요일을 둘째 날로 정의하고 있다.
유대교, 기독교 국가에서 토요일은 휴식을 취하고 예배를 보는 한 주의 마지막 날이라는 문화적 배경을 안고 있다.
별자리를 28星宿으로 파악하고 동서남북 7개씩 배열하는 방식이며 바로 이런 七日一周(칠일일주)를 '七曜(칠요)'로 칭하게 된 것이다.
중국인들이 曜日(요일)이라는 말 대신 星期(싱치)라는 말을 사용하게 된 까닭은, 우리에게도 잘 알려진 음력 7월 7일 칠석(七夕)의 견우성(牽牛星)하고 직녀성(織女星)의 전설(傳說)에서 유래된 표현으로, 曜日(요일)이란 표현은 원래 미신쪽이 강해서 예전에는 중국에서도 사용했었다.
서양의 역법이 7일이 일주가 된다는 것과 유사하긴 하지만 20세기 초인 청나라 말기 당시 황제의 명으로 학자들이 새로이 언어들을 규범화시키는 교재를 편찬하면서 원가곡이라는 학자가 星期(싱치)라는 말을 만들어내고 보다 기억하고 말하기 쉽게 1(월), 2(화), 3(수), 4(목), 5(금), 6(토) 순으로 숫자를 넣었다.
말기에 단지 한주의 첫 시작이 되는 일요일의 경우 그 기운이 하늘에서 시작된다 하여 星期日(싱치리)라는 말 대신 星期天(싱치티엔)이라는 말을 사용하게 된 것이다.
여기에서 日은 태양을 나타내는 일이 아니고, 하루를 나타내는 뜻으로 天(하늘 천이 아니고 하루를 지칭하는 천)과 동일하게 사용하고 있는 것이다.
수론에서 디오판토스 방정식()은 정수로 된 해만을 허용하는 부정 다항 방정식이다.
디오판토스 문제는 미지의 변수와 변수의 수 보다 적은 방정식을 제시하고, 주어진 모든 방정식을 만족하는 정수해들을 찾도록 한다.
좀더 기술적인 용어로서 설명하면, 디오판토스 문제는 부정 다항식으로 표현되는 대수 곡선이나 대수 곡면, 또는 보다 일반적인 대수다양체에 대하여 정수로 표현될 수 있는 모든 격자 점을 나타내라는 것과 같다..
이러한 방정식을 디오판토스 방정식이라 부르는 것은 헬레니즘 시기인 3세기 무렵 알렉산드리아의 수학자였던 디오판토스가 이런 유형의 부정 다항 방정식을 만들고 연구하여 정리하였기 때문이다.
디오판토스는 자신이 연구한 문제들을 정리하여 《산학》(算學, , )을 저술하였다.
디오판토스는 수학 기호를 대수학에 도입한 최초의 수학자들 가운데 한 명이기도 하다.
개별적인 디오판토스 방정식은 오래전부터 퍼즐이나 문제의 형태로 알려져 왔다.
1637년 피에르 드 페르마는 디오판토스의 저서 《산학》의 여백에 "n이 2보다 더 큰 정수일 때, formula_1를 만족하는 정수 x, y, z 은 존재하지 않는다"라고 적었다.
페르마의 마지막 정리로 불리게 된 이 문제는 1994년이 되어서야 영국의 수학자 앤드루 와일스에 의해 증명되었다.
1657년 페르마는 formula_2의 해를 구하였는데, 사실 이 문제는 그 보다 천년전 인도의 브라흐마굽타에 의해 해결된 바 있다. 18세기 들어 레온하르트 오일러도 동일한 방정식의 해를 구하였다.
디오판토스 방정식의 일반형인 이차 형식은 20세기가 되어서야 정리되었다.
디오판토스 방정식을 연구하는 분야는 오늘날 "디오판토스 해석학"이라고 불린다.
디오판토스 방정식의 예.
다음의 예제에서 formula_3는 미지의 정수, 나머지 문자는 주어진 정수이다.
디오판토스 해석학에서는 디오판토스 방정식에 대한 다음과 같은 질문들을 다룬다.
수학자들은 이러한 질문들로 짜인 퍼즐이나 방정식을 두고 많은 문제를 풀어왔다.
그중에 어떤 것은 해답을 얻기까지 많은 시간이 걸리기도 하는데, 페르마의 마지막 정리의 경우 해결하는데 300년이 넘는 시간이 걸렸다.
A와 B가 0 ~ 9의 아라비아 숫자라고 할 때, 아버지는 AB세이고 아들은 BA세이다.
아들의 나이에 두배를 하면 아버지의 나이보다 한 살 더 많다.
아버지와 아들의 나이는 몇 세인가? (단, AB는 10A+B를 나타내며 A와 B의 곱을 의미하지 않는다.)
아버지와 아들의 나이를 십진기수법으로 나타내면, 아버지의 나이는 10A + B이고 아들의 나이는 10B + A가 된다.
아들의 나이에 두 배를 하면 아버지의 나이보다 한 살 많으므로,
다른 방법으로 A, B의 양의 정수 순서쌍을 얻기 위해, 유클리드 알고리즘을 생각할 수 있다. 19와 8에 대하여 유클리드 알고리즘을 적용하면 다음을 얻는다.
힐베르트의 열 번째 문제.
1900년 다비트 힐베르트는 20세기에 해결하여야 할 23개의 수학 문제를 제시하였다.
힐베르트의 문제들로 불리는 이 문제들 가운데 제10항목은 "임의로 주어진 디오판토스 방정식이 정수해를 갖는지 여부를 판별할 수 있는 알고리즘을 제시하라"는 것이었다.
1970년 마티야세비치 정리에 따라 그러한 알고리즘을 만들 수 없다는 것이 증명되었다.
선형 디오판토스 방정식.
formula_21와 같은 형식의 방정식을 선형 디오판토스 방정식이라고 한다.
특히 c 가 a 와 b 의 최대공약수일 때 이를 베주 항등식이라고 한다.
베주 항등식의 해는 무한히 많으며, 확장된 유클리드 알고리즘으로 구할 수 있다.
자명한 경우는 항상 무시한다.
예를 들어 페르마의 마지막 정리에서 formula_22는 n=0일 때 항상 성립하지만 이 경우는 무시하고 푼다.
흉노()는 기원전 4세기부터 5세기까지 북아시아 스텝지역에 존재한 유목제국이다.
기원전 3세기 무렵 알타이-샤안 산맥 지역에서부터 동부로 진출하여 세력을 확대하기 시작했고, 전성기에는 시베리아 남부, 만주 서부, 중화인민공화국의 내몽골 자치구(內蒙古自治區), 간쑤성(甘肅省), 신장 위구르 자치구(新疆維吾爾自治區)까지 지배하였다.
한나라와 군사적 충돌을 겪기도 하였고, 때로는 조공무역이나 결혼동맹을 하는 등 복잡한 관계를 맺었으며 전한의 공격으로 급격하게 쇠퇴하였다.
고고학계와 사학계에선 흉노족은 몽골계가 아닌 튀르크계라는 학설이 지배적이다.
일부 제한된 자료에서도 체계적인 연구의 결과, 흉노는 알타이계 언어를 사용하는 투르크족이라는 견해에 동의하고 있으며 흉노족의 구성이 흉노의 동진으로 인해 몽골, 퉁구스 등 기타 북방민족들의 혼합으로 이루어져 있어도 지배계층과 민족 구성원 본체가 투르크족임에는 의심의 여지가 없다.
흉노와 훈족을 같은 민족으로 간주하기도 한다.
흉노가 최초로 등장하는 기록은 기원전 4세기 말 중국의 전국시대의 기록이다.
이후 조의 효성왕(孝成王, 재위: 기원전 265년 - 기원전 245년)의 시대에 장군(將軍) 이목(李牧)이 대(代)의 안문(雁門)에서 흉노를 막아 싸워서 흉노 선우(單于)의 군을 격파하였다. (선우는 흉노를 이끄는 황제의 호칭으로, 하늘의 아들이라는 뜻을 가지고 있다.
효성왕과 싸운 선우의 이름은 알려져 있지 않다.)
중국을 통일한 진시황제는 기원전 215년, 장군 몽염(蒙恬)을 보내 융적(戎狄) 즉 흉노를 토벌하여 하남의 땅(오르도스)을 점령하고 흉노를 축출한 뒤, 감숙(甘肅)에서 요동(遼東)까지 장성을 쌓아 북방 기마민족들의 침공을 막았다.
당시 흉노의 두만(頭曼, )은 여러 차례 중국을 공격하다 화평을 맺었는데, 두만은 기원전 210년에 사망하기 직전에 황하(黄河)를 넘어서 화평의 걸림돌이 되는 자신의 태자인 묵돌(冒頓)을 인질로서 서쪽의 월지국(月氏國)에 보냈다.
보낸 직후 월지를 공격하여 아들을 죽이려 했고, 가까스로 월지를 빠져나온 묵돌은 귀국해 자신을 따르는 자들을 모아 자신을 죽이려는 아버지 두만 선우를 시해하고, 스스로 선우가 되었다.
묵돌이 선우가 된 기원전 209년에는 진시황이 사망한 직후였으며 이로 인해 진나라가 큰 혼란에 빠져 중국은 초한전쟁이라는 내전을 치르고 있었다.
진나라의 쇠퇴를 기회로 삼아 묵돌은 군사를 강화시켜 동쪽의 만주 서부지역에 위치해 있던 동호(東胡)의 부족장을 죽이면서 동호를 멸망시키고, 나아가 서쪽의 천산산맥과 감숙 지방에 자리잡은 월지국(月氏國)을 중앙 아시아 지역으로 몰아냈으며 남쪽으로 누란(樓蘭), 백양하남왕을 병합해 북방 최대의 유목민족국가를 수립하였다.
묵돌이 북쪽으로 혼유(渾庾), 굴야(屈射), 정령(丁零) 등의 여러 부족을 복속시켜 몽골 초원 부족들의 추장이 된다.
한편 그 시기 중국에서는 전한(前漢)의 유방(劉邦)에 의해 내란이 수습되었다.
기원전 200년에 흉노는 마읍성(馬邑城)을 쳐서 그곳을 지키고 있던 한왕 신(韓王信)의 항복을 받아내고 태원(太原)으로 진격, 진양(晋陽)으로 나아갔다.
그곳에 흉노를 정벌하기 위해 유방이 친히 이끌고 온 한군이 도착했으나, 큰 눈과 추위로 더 나아가지도 못하고 많은 병사가 추위로 곤욕을 치렀다.
묵돌은 한군을 북쪽으로 유인하고자 거짓으로 물러났고, 백등산(白登山)에서 7일간 포위된 유방은 진평(陳平)의 헌책에 따라 묵돌의 알지(閼氏, 역대 선우의 어머니)를 움직여 공격이 잠시 느슨해진 사이에 가까스로 달아났다.
이후, 전한은 흉노와 굴욕적인 화친을 맺었다.
화친의 결과 전한과 흉노는 형제 관계를 맺었으며, 유방은 "흉노와 전쟁하지 말라"는 유언을 남겼다.
당시 흉노와 한이 맺은 화친 조약의 내용은 다음과 같다.
이 합의는 기원전 198년 가을, 중국 종실의 공주가 흉노에 도착함으로써 발효되었다.
특기할 사항은 양 조정(朝廷)에 왕위 변동이 있을 때마다 새로운 혼인으로 동맹을 갱신했다는 점이다.
또 중국이 흉노에 내는 조공 액수도 한과 흉노 사이의 역학 관계에 따라 수시로 바뀌었는데, 대체로 한의 조공액은 매년 늘어났다.
기원전 192년부터 135년까지 적어도 아홉 차례에 걸쳐 한이 흉노에 대한 조공액을 인상했다는 기록을 근거로 이 시기 전한이 흉노의 속국과 같은 존재였다고 해석하기도 한다.
이 시기의 영토는 동쪽으로 동호와 예맥(濊貊), 북쪽으로 예니세이 강 상류, 서쪽으로 동 투르케스탄, 남쪽으로 중국의 오르도스 지방과 칭하이성(靑海省)의 북부에 이르렀다.
기원전 177년, 흉노의 우현왕(右賢王)이 하남 땅을 침략해 상군(上郡)을 약탈했다.
한의 문제(文帝, 재위: 기원전 180년 ~ 기원전 157년)는 승상 관영(灌嬰)에게 우현왕을 치게 했는데, 백등산 전투 이후 한이 흉노에 대해 처음으로 손을 쓴 사례였지만, 이 무렵 서방 공략에 주력하던 묵돌 선우는 곧장 흉노측의 책임을 인정했다.
묵돌 선우는 한과의 조약을 깬 우현왕을 시켜 돈황(敦煌) 부근에 있던 월지국을 축출하게 하는 동시에, 누란(楼蘭), 오손(烏孫), 호갈(呼揭) 및 서역 26국을 흉노의 지배하에 두었다.
묵돌이 죽은 뒤 선우가 된 노상(老上, 재위: 기원전 174년 ~ 기원전 161년)에게 한 문제는 화친 조약에 따라 공주를 출가시켰는데, 이때 공주를 수행하는 임무를 맡게 된 환관 중항열(中行說)은 흉노의 땅에 가고 싶지 않다고 수십 번이나 고사했지만 강제로 보내지게 되었고, 이 사건을 계기로 한나라에 원한이 생긴 중항열이 흉노에 붙어 노상 선우의 상담역으로서 선우가 한을 침공하도록 부추겨 한동한 한나라의 골칫거리가 되기도 했다.
기원전 141년에 즉위한 전한 무제(武帝)는 흉노와 맺은 조약을 파기하고 흉노와 전면적인 전쟁을 시작하였다.
무제는 기원전 129년부터 위청(衛靑), 곽거병(霍去病) 등을 파견, 흉노를 공격하고 황하 서쪽 지역에 처음으로 진출해 '하서사군'(장액·주천·돈황·무위)을 설치했으며, 나아가 서역(西域 : 간쑤성 및 신장 자치구 일대)을 정벌하였다.
한군이 서역을 정벌하고 비단길을 통제하게 되자 흉노는 경제적으로 약화되었다.
한과 흉노의 전쟁으로 전한은 막대한 손실을 입었으며, 흉노의 피해는 더 커서 흉노의 세력은 크게 위축되었다.
기원전 60년경 흉노에서는 선우 자리를 놓고 수십개의 부족으로 분열되어 내전이 일어났으며 호한야
선우(呼韓邪 單于)는 기원전 51년 한나라의 지원을 얻었다.
한나라의 지원을 받은 호한야에 의해 흉노는 재통일되었으며 전한과 화친을 맺었고, 이는 전한이 멸망할 때까지 지속되었다.
이때 질지(郅支) 선우는 서흉노를 이끌었는데, 후에 동흉노에 패하여 다시 흡수되었지만, 일부 집단은 서쪽으로 이동하였다.
이 시기 흉노의 내분과 약화의 원인으로는 당시 몽골 고원이 한랭화되었던 것을 지목하기도 한다.
왕망(王莽)이 신(新)을 건국한 직후 흉노와 중국의 관계는 크게 악화되어 이 시기에 흉노가 신나라를 침공하기도 했다.
그러나 후한이 건국된 시점에서는 흉노는 수십개 부족으로 다시 분열된 상태였으며 그 수도 많지 않았는데 이중 남흉노는 후한에 복속되어 오르도스 및 산시 성(山西省) 일대에 거주했으며, 북흉노는 몽골 고원에 남았다.
89년에 후한과 남흉노의 연합군은 북흉노를 공격하여 멸망시켰으며 북흉노의 일파는 서방으로 피신하였다.
이때 서방으로 향한 북흉노를 훈족으로 보기도 한다.
북흉노의 멸망 직후 몽골 고원에는 선비(鮮卑)·오환(烏桓) 등의 다른 유목 부족들이 성립되었다.
남흉노는 중국의 번병(番兵) 역할을 하며 오르도스 및 산서 일대에서 북방을 방어하였다.
후한은 남흉노의 군대를 용병으로 활용하였고 선비, 오환, 강(羌) 등을 토벌하기도 하였다.
중국의 명령을 충실하게 이행하는 선우에 대해서 흉노의 여러 유력자들은 많은 불만을 가졌으며 이로 인해 선우와 흉노의 유력자들 간에는 끊임없는 알력이 존재하였다.
또한 후한 말기에 오면 남흉노에게도 간섭하여 선우의 직위는 크게 실추되고 위태로워졌다.
삼국 시대에는 조조(曹操)에 의해 흉노의 선우는 유명무실하게 되고 흉노는 5부로 재편되어 중국의 실질적인 통제를 받게 되었다.
후한 말기에 오면서 남흉노는 모두 남하하여 대다수가 한족과 동화되었다.
후한의 유표는 고대 흉노 모계 조상 가운데 한나라 공주 유(劉)씨가 있었기 때문에 유(劉)씨로 창성하였다.
그의 후손 서진(西晉) 말기, 흉노의 좌부수(左部帥) 유연(劉淵)은 중국이 혼란스러운 틈을 타 산서 일대에서 한(漢)을 건국하였다.
이는 흉노가 과거 한나라와 형제의 맹약을 맺은 것을 근거로 한 것으로, 유연은 형인 한나라를 대신하여 한나라를 계승할 것을 천명하였다.
흉노의 한나라는 서진을 멸망시키고 화북 지역을 초토화하여 지배권을 얻었다.
이후 흉노의 일파인 갈족(羯族)의 석륵(石勒)이 후조(後趙)를 건국하자 국호를 조(趙 : 후조와의 구분을 위해 보통 前趙라고 부른다.)로 고치고 화북을 양분하여 서로 물고 물리는 전쟁으로 대립하였다.
329년에 후조에 의해 전조는 멸망하였으며, 후조 역시 351년에 멸망하였다.
407년에는 흉노 철불부(鐵弗部)의 혁련발발(赫連勃勃)이 산시 성(陝西省) 일대에서 하(夏)를 건국하여 선우를 자칭하였으나 431년에 멸망하였다.
이로써 흉노는 영원히 역사속으로 사라진다.
흉노의 군주는 선우라고 불렀다.
흉노의 선우는 흉노의 중앙집권화를 이룩한 묵돌 선우 이래 부자세습제를 통해 자리를 이어갔다.
선우의 아래에는 좌도기왕과 우도기왕의 작위가 있었다.
흉노의 신앙 체계는 천신사상이 강하게 나타나는데, 통치자 선우(單于)는 천신(天神)의 아들로서 하늘의 뜻을 이 땅에서 이루는 제사장으로 표현되고 있다.
흉노는 군주를 선우(單于)라고 불렀고, 수하 제후를 왕으로 지칭하였다.
흉노열전의 곤야왕 (昆邪王), 절란왕, 휴도왕 등은 군주가 아니고 한나라 접경 지역에서 활동하는 제후(작위)를 가리켰다.
국가를 구성하는 5부족 족장은 1년에 세 번, 선우의 본거지에 모여 무속적(巫俗的)인 제사를 거행하고 국사를 의론하였다.
흉노의 지배 계층은 험윤에서 이어져 온 몽골계이며, 흉노는 다민족 국가로서 중앙아시아의 투르크계와 아리아계가 흉노에 포함되었다.
한나라 시대 연제 씨족이 왕통을 이어 갔고 황후는 다른 4개의 부족에서 나왔다.
남흉노 "류" (劉)씨는 연제 부족에서 나왔으며, 구림은 북위 무렵에 남하하여 "림"(林)으로 성을 가졌다.
셀렝가 강에서 기원한 "설연타"의 일파인 사토족이 후당을 건국했을 때 흉노족이 "리"(李)를 성으로 취했다.
4세기 이후, 오르도스와 중앙아시아 등지의 유목 왕조들의 군주들은 선우라는 명칭은 거의 쓰지 않았고, 한이나 가한이라는 명칭을 사용하였다.
또한 선우를 보좌하는 좌현왕, 우현왕이라는 직책도 있었다.
흉노 선우의 시각은 중원 왕들과 반대로 남방을 정면으로 삼았기 때문에, 좌현왕은 동부, 우현왕은 서부를 관장했다.
당시 중국 왕조인 한나라 식으로 하면, 선우는 황제, 좌우현왕은 황제가 봉해주는 왕에 해당한다.
또한 좌우현왕과 유사한 두 왕(좌곡려왕, 우곡려왕)이 더 있어 선우와 함께 유목민족 특유의 5부 체제를 이끌었다.
또한 흉노가 강성하여 서역 지방을 다스렸을 때 서역 지방 제후를 일축왕에 봉했다.
골도후라는 직책도 있는데, 정확히 무엇을 칭하는 것인지는 정확히 밝혀지지 않았다.
골도후에도 좌, 우의 개념이 있어 각각 선우의 보좌직이라는 설이 있다.
좌우현왕 밑에는 각각 지방관 등으로 여겨지는 각종 직위들이 있었으며, 여기서 흉노의 지역 체제가 군사 체제와 일치했다는 사실을 알 수 있다.
흉노어 및 흉노인들이 사용한 문자에 대해서는 아직 정확히 밝혀지지 않았다.
그러나, 노인울라 16호 고분을 비롯한 흉노 유적지에서 발굴된 출토품에 흉노 문자로 추정되는 기호들이 새겨져 있다.
흉노는 유목민족으로써, 경제의 유지를 위해 농경을 영위하는 정주민에게 필요한 물자를 획득해야 했다.
이를 위해 흉노는 때로는 중국을 침략·약탈하고 때로는 조공이나 세폐를 통해 평화적으로 물자를 확보하였다.
흉노의 침입을 막기 위해 중국은 국력을 기울여 장성을 쌓고 막대한 세폐를 바치기도 하였다.
중국측 역사 교과서에 의하면, 일방적으로 피해를 당하던 중국이 전한 무제 때 대대적으로 흉노를 토벌하여 세력을 약화시켰으며 흉노 부족의 일부가 한나라에 화친을 청하며 신하라고 자칭했었다고 한다.
전한의 원제는 궁녀 왕소군을 공주로 만들어 흉노에게 시집보냄으로써 비교적 장기간 국경이 안정되었다고 한다.
이는 결혼 동맹을 통해서 양국과 우호관계를 담보하기 위한 행위였다.
전한 무제가 흉노와 전쟁을 시작한 이후 경제적인 중심지였던 서역을 상실한 흉노는 세력이 약화되었으며 이후 흉노에서 내분이 일어나자 더욱 약화되어 일부는 중국에 복속되어 번병이 되기도 하였다.
서흉노 또는 북흉노가 훈족의 원류라는 주장이 있으나 명확한 관계는 밝혀지지 않았다.
신라의 일부 금석문에는 흉노 출신의 김일제가 신라 김씨 왕실의 조상이라 기록되어 있다.
이를 근거로 재야사학자 및 소수의 역사학자들은 신라 왕실이 흉노의 후예라고 주장하기도 한다.
그러나 이러한 내용은 고대 신라인들이 왕가의 혈통을 미화하기 위해 중국 역사 속의 위인을 시조로 꾸며낸 것으로 해석하는 것이 역사학계의 일반적인 견해이다.
선형대수학과 컴퓨터 과학에서 해밍 부호(해밍符號, )는 이진 선형 부호의 일종이다.
거리가 3이므로, 1개 이하의 오류를 교정할 수 있으며, 2개 이하의 오류의 존재를 발견할 수 있다.
해밍 부호는 임의의 (소수 거듭제곱) 진법에 대하여 정의되는, 거리 3의 선형 부호이다.
이 가운데 이진 해밍 부호는 정의하기가 특별히 간단하다.
이제, formula_4를 패리티 확인 행렬로 갖는 이진 선형 부호
임의의 진법의 해밍 부호.
보다 일반적으로, 다음이 주어졌다고 하자.
다시 말해, 사영화 몫 함수
는 집합 formula_24 위에 동치 관계를 정의하며, 그 동치류의 수는 다음과 같다.
이제, 각 동치류에서 임의의 대표원을 고를 수 있으며, 이 대표원들을 열벡터로 삼아 formula_18 성분의 formula_27 행렬
이 행렬을 패리티 확인 행렬로 갖는 선형 부호
다른 모든 선형 부호와 마찬가지로,
해밍 부호에 모든 성분에 대응되는 (즉 일반적인) 패리티 성분을 하나 더 추가할 수 있으며, 이는 formula_32-선형 부호이다.
해밍 부호의 거리는 3이다.
특히, 거리가 3이므로, 해밍 부호는 각 부호어마다
소수 거듭제곱 formula_30에 대하여, formula_30진 해밍 부호를 구성하려면 동치류의 대표원을 임의로 골라야 한다.
물론, 서로 다른 패리티 확인 행렬이 같은 선형 부호를 정의할 수 있다.
formula_44일 경우, 각 동치류가 한원소 집합이므로 해밍 부호는 유일하며, 대표원을 임의로 고를 필요가 없다.
formula_15-해밍 부호는 같은 길이 및 거리의 선형 부호 가운데, 가장 효율적이다.
생성 행렬과 표준형 패리티 확인 행렬은 다음과 같다.
가장 흔히 사용되는 해밍 부호는 formula_9 이진 해밍 부호이다.
이 경우, formula_9 이진 해밍 부호의 생성 행렬과 표준형 패리티 확인 행렬은 각각 다음과 같다.
이에 따라, 예를 들어 첫째 대표원들을 고르면, 삼진 2-해밍 부호의 표준형 패리티 확인 행렬은 다음과 같다.
그 표준형 생성 행렬은 다음과 같다.
리처드 해밍이 1950년에 도입하였다.
1940년대 벨 연구소에서 벨 모델 V()라는 컴퓨터를 이용해서 작업을 했다.
이 컴퓨터는 확실히 여러 면에서 오늘날의 컴퓨터와는 거리가 멀었다.
릴레이 회로로 만들어졌으며 입력도 천공 카드를 이용했다.
천공 카드를 이용했으므로 컴퓨터에 입력되는 자료들은 필연적으로 언제나 오류의 가능성이 있었다.
주중에는 컴퓨터의 관리자가 있으면서 입력에 오류가 발생했다는 경고등이 켜지면 직접 수정할 수 있었으나, 관리자가 없는 주말에는 에러가 발생한 채 프로그램이 실행되지 않고 다음 작업으로 넘어가기 일쑤였다.
해밍은 이런 문제로 인해 여러 차례 고생을 한 후에, 이 문제를 근본적으로 해결하기 위해 노력했다.
그 후 몇 년 동안 오류를 수정하는 방법에 대해서 연구하면서 이와 관련된 여러가지의 효율적인 알고리즘을 만들어냈고 마침내 1950년에 해밍 부호를 발표했다.
이는 선형 부호 이론의 시초로 여겨진다.
해밍 부호, 특히 formula_9 이진 해밍 부호는 오늘날에도 널리 사용되고 있다.
주는 다음과 같은 뜻이 있다.
주(周, 기원전 1046년 ~ 기원전 256년)는 상나라를 이어 중국에 존재했던 나라이다.
중국 역사에서 가장 오래 존속한 나라이며, 790년간 왕조를 이어갔다.
주나라는 기원전 11세기 중엽에 서쪽의 웨이허 강 분지에서 세력을 확대하여, 은나라를 무너뜨리고 중화의 천자로서 중원(中原)을 지배했다.
최근 조사에 따르면, 주나라 청동기 문화권 영향력은 중원에서 더욱 남쪽 지방인 장쑤(江蘇), 안후이(安徽), 후베이(湖北) 등 양쯔강 유역까지 미친 것으로 추정된다.
주나라 시기에 넓은 영역을 효율적으로 통치하기 위하여 처음으로 봉건제의 개념이 등장하였다.
주 왕조는 농업을 장려하였고, 농지 개척을 진척하였으며, 농기구는 목재나 석재로 만들었다.
학계는 주나라 시기부터 중국에서 철이 사용되었던 것으로 추정하고 있다.
기원전 771년 견융이 주나라를 침략하여 유왕을 살해하여, 제후들이 그의 뒤를 이어 평왕을 옹립했고, 곧 이어 호경(鎬京, 현재의 시안시 부근)에서 부도(副都) 낙읍(洛邑, 현재의 뤄양 시)으로 수도를 옮겼다.
이를 기준으로 이전을 서주(기원전 1046년~기원전 771년), 이후를 동주(기원전 770년 ~ 기원전 256년)로 구분한다.
주나라는 본격적인 봉건제도를 실시한 국가로 알려져 있다.
무왕은 개국 초부터 자신의 친족들과 태공망 등의 개국공신들에게 영토를 나눠주고 봉지에 파견하여 다스리게 하였고 주(周) 왕실을 지키게 했다.
봉건 제도의 기틀은 대략 다음과 같다.
중앙에는 최고 통치자인 왕이 존재하고, 순서에 따라 공, 후, 백, 자, 남으로 이루어진 오등작을 유력 세력들과 왕 사이의 친밀도, 전략적인 중요성, 군공 등을 고려하여 왕이 직접 그들을 수순에 맞게 책봉했다.
이 중 후작이 가장 많았는데, 이 때문에 귀족들을 지칭하는 말로 여러 후들, 즉 제후(諸侯)라는 말이 통용되게 되었다.
이들은 국(國)을 수여받았다.
이후 제후들도 내부의 공신들을 책봉하였는데, 이들은 경(卿) 혹은 대부(大夫)로 불렸으며, 가(家)를 수여받았다.
다시 가 내부에서 공신 책봉이 이루어져서 사(士) 계층이 생겨났고(다만 사 계층은 최하위 계층이었던 만큼 다양한 경로를 통하여 형성되었다.), 이들은 단순하게 식읍 정도를 수여받았는데, 기본적으로 주 대에는 읍(邑)이 행정의 최소 단위였으므로 더이상의 분봉은 없었다.
주나라의 분봉은 주왕실 일족(동성제후)가 약 56개 국, 그렇지 않은 귀족(이성제후)가 약 70여개국으로 추측된다.
각 제후국은 중심지인 도성을 거점으로 가까운 지역에 영향력을 미치는 정도의 성읍 국가였으며 후대와 같은 영역 국가가 아니었다.
전체 제후국은 약 130~180개국이었다고 추산된다.
한편, '封建(봉건)'이라는 용어는 고대 중국에서 유래했으나 근대 일본의 영향으로 'feudal'을 번역하는 말이 되었는데, 현재 역사학계에서는 동양의 봉건제도와 유럽의 'feudalism'이 명확한 유사성 없이 오히려 실제를 오도시키는 경향이 크다고 보고 있다.
양자 간의 어의적, 역사학적 유사성에 대해서 동질성보단 차이가 크므로 'feudal'을 '봉건'으로 번역함은 현재 역사학계에서 지양하는 것이 중론이다.
실제로 케임브리지 중국사 시리즈에서는 주나라의 봉건제를 번역할 때 'feudal'이라는 용어를 아예 피하고 있다.
시간이 지나 이것이 제후의 영토가 제후국으로서 독립적인 국가를 이루는 봉건체제가 되었다.
다시 말하자면, 봉건제 하에서 제후국의 제후들은 왕으로부터 분봉받은 직할지를 다스리고, 분봉지를 동맹 세력이나 일족에게 세습하였다.
왕은 그에 대한 대가로 제후국으로부터 군사적 지원과 공납을 받았다.
주나라나 제후의 나라는 읍(邑：도시국가)이었고, 그 구조는 씨족적 결합으로 구성되어 있었다.
이러한 씨족에 의해 이루어진 결합은 종법(宗法)에 의하여 규제되어 있었다.
부계 혈통의 종족 구성에서는 "대종"(大宗)과 "소종(小宗)"의 엄격한 구분이 있었다.
이는 곧 천자의 적장자만이 천자가 될 수 있었음을 의미하는데, 황제의 자식들은 대종이고 왕의 자식들은 소종이라 하여 신분의 차이가 있었다.
이러한 원칙은 제후·대부·사에게도 동일하게 적용되었으며, 전국적인 통치 제도에 이용되었다.
춘추 시대의 봉건 국가들은 주나라 왕실의 정통성을 인정하였고 그러한 틀안에서 자신들의 패권을 다투었으나, 전국 시대에 접어들면서 주나라 왕실의 정통성은 유명무실화되었다.
급기야 주나라 왕실이 권위가 유명무실화 되고 전국 칠웅의 국가들이 스스로 완전히 독립적인 존재임을 내세우게 되었다.
원래 주나라는 상나라의 서부 제후국으로, 황하가 굽어 올라가는 지역인 오르도스 지방에 자리를 잡고 있었다.
오르도스에서 유목민 농작물 약탈에 시달리는 것을 피해, 고공단보 대에 상나라의 서쪽(지금의 산시성 서북쪽 기산(岐山))에 정착했고, 주 문왕 시대에 국(國)으로서 주나라의 정체성이 확립된다.
주나라는 상나라에 조공을 바치면서 우호적으로 지내다가도 때때로 상과 전쟁을 벌였다.
그러던 중 상나라의 주왕이 미녀 달기에 미혹되어 국정을 제대로 돌보지 않고 주지육림을 즐기며 패악을 부리자, 주나라 내부에서 점차 무너져가는 상나라를 몰아내고 새로운 통치 왕조를 열자는 주장이 나오기 시작했다.
전통적으로 두 국가 사이 대대적인 전쟁은 BC 1122년에 주나라가 시작하였다고 역사가들은 생각하지만, 결정적인 전쟁은 BC 1111년경에 벌어졌던 것으로 추측한다.
결국 문왕의 아들 무왕이 45,000여 명의 군대와 300여 개의 전차를 이끌고 황하를 건너 목야 전투에서 상나라 왕 주왕을 몰아내고 중국 전역을 차지했으며, 무왕이 죽은 이후 주공 단(周公旦)과 성왕의 시대에 통치 체계가 완성되었다.
그러나 주나라가 상나라를 멸망시켰을 때는 주와 연합한 여러 세력이 함께 행동하였으므로 주만의 우위를 주장하기 어려웠는데, 이는 성읍 국가 단계에 머문 채로 단순히 타 국가의 상위에 서 있던 상과 달리 갑작스레 통치 범위가 넓어진 주로서는 주위의 독자적인 세력들과 정치적으로 타협할 필요성이 매우 높아졌기 때문이었다.
주나라가 상나라를 몰아낸 뒤 주나라는 결코 만만치 않았던 상나라의 잔존 세력을 달래야 했다.
주나라는 상나라의 잔존 세력들을 한데 모아 주나라에 협조적이었던 상나라의 왕족인 미자계에게 공작의 작위를 주어 송나라를 이루게 하였고, 송나라를 형식상으로 주나라의 복속하에 넣었다.
나아가 상의 세력이 강력했던 낙읍은 주나라 대에도 제2의 수도로 남았다.
BC1122년 반란을 일으킨 주나라가 상나라의 모든 옛 영역에 대한 통치권을 확립하기 전에 반란이 일어나 이를 진압하는 데 3년이나 걸렸지만, 결국 주나라가 BC1046년 중국 전역에 대한 통치권을 76년만에 확립했다.
주는 영역 내 질서를 유지하고 모든 지역에 대한 군주의 지배권을 보장하기 위한 방편으로 지역의 유력자들과 공신들에게 영토를 나누었고, 각지에 봉건 제후국을 설치했다.
이때부터 중국의 봉건제가 본격적으로 시작된 것이다.
주 무왕은 급작스레 사망했고, 이에 그의 뒤를 이어 성왕이 즉위했다.
허나 성왕은 친정하기에는 너무 어린 나이었기에, 숙부였던 주공 단이 섭정으로 대리 통치했다.
주공 단이 권력을 잡는 것을 우려한 3명의 왕자들은 이에 반발하여 반란을 일으켰고, 독립적인 제후들, 일부 옛 상나라의 후예들의 도움을 받아 세를 키웠다.
이를 3감의 난이라고 한다.