heegyu/kowiki-sentences huggingface dataset:
유카와는 전자의 200배의 질량을 갖는 중간자를 힘의 매개 입자(보스 입자)를 가정해서 핵력인 강한 힘을 끌어내는 데 성공했다.
게다가 강한 힘으로부터 페르미의 약한 힘을 이끌었다.
중간자론은 약한 힘, 강한 힘, 양쪽 모두를 포함하는 이론으로서 당시에는 가장 기본적인 장의 이론인 것으로 간주됐다.
또한 힘을 입자가 매개하는 것도 명료하게 보여주면서 장을 창출할 입자라는 생각을 정착시켰다.
단, 전자가 강한 힘을 전달한다는 생각을 하이젠베르크가 유카와 이전에 제시하고 있다. 하지만 전자는 이전부터 존재가 알려지면서 이론으로서도 실패한 것이기 때문에 장을 창출할 입자라는 생각은 확립돼 있지 않았다.
하이젠베르크나 보어는 관찰되지 않은 소립자로 장을 설명하는 유카와에게 부정적인 시각을 드러냈다.
보어는 유카와에게, 하이젠베르크는 도모나가에게 이것을 알리기도 했다.
이상과 같은 이유로 유카와의 강한 힘을 낳는 중간자론은 소립자론의 길을 열었다고 당시에는 높이 평가했다.
유카와는 강한 힘의 중간자론으로 노벨상을 받았는데 이후의 일을 장의 양자론에서 스스로 찾아낸 문제 해결에 힘을 쏟았다.
그러나 이 연구는 성공하지 못했다.
초다시간이론과 비국소장 - 유카와의 원.
민코프스키 공간상에서 폐곡면에서의 확률 진폭을 정의하면 인과율이 파괴된다는 문제를 유카와가 제기하면서 이 문제에 생애를 걸었다(이 문제를 ‘유카와의 원()’이라고 말한다.
유카와가 이 문제를 제기한 후 폴 디랙도 같은 문제를 제기하고 있다).
도모나가의 기여는 있었지만 이 문제는 아직 해결되지 않았다고 초대칭성을 세계 최초로 제기한 미야자와 히로나리는 주장하고 있다.
물리학은 유카와의 기본 문제를 회피하여 현상론에 치우쳤다고 한다.
유카와 이전에는 일정한 시간으로 확률 진폭이 정의돼 있었다.
은사·제자·동료 및 관계자.
※이 항목에서는 일본 국내에서의 저명한 인물을 둔다.
제자의 제자에는 현재 활약하는 수많은 이론물리·물성물리·우주물리·천문·수리생물학자가 포함돼 있다.
1975년 11월 현대중공업에 입사, 현대전자 대표이사 사장과 회장, 현대그룹 부회장, 현대건설 대표이사 회장 등을 역임했다.
그는 현대전자(하이닉스의 전신)의 설립자이기도 하다.
2002년 9월부터 대북 불법송금 사건 관련 조사를 받던 도중 2003년 8월 4일 현대계동사옥 12층에서 갑자기 투신자살하였다.
그의 유서 1장이 사라진 점, 타살 현장에 지문이 없는 점, 진술 후 갑작스럽게 사망한 점, 고층에서 투신했으나 시신에 상처가 별로 없는 점 등 의혹이 존재하며, 일설에는 타살설 의혹이 있다.
정몽헌은 현대그룹 창업주인 정주영의 다섯 번째 아들로 서울 성북구 성북동에서 태어났다.
1962년 ~ 1965년 송파구의 보성중학교, 1965년 ~ 1968년 보성고등학교를 거쳐 연세대학교 국어국문과를 졸업했다.
미국 페어레이디킨스대학교 경영대학원에서 석사 학위를 받았다.
그는 1975년 11월 현대중공업에 입사하여 현대그룹에서 활동했다.
1977년 2월 현대건설 이사가 되고, 1981년 2월부터 1988년 2월 현대상선 대표이사 사장, 1984년부터 1991년 현대전자산업 대표이사 사장, 1992년 1월부터 2000년 5월까지 현대전자산업 대표이사 회장이었다.
1996년 현대전자 대표이사 회장으로 현대그룹 부회장이 되었다.
같은 해 현대건설 대표이사 회장, 현대상선 대표이사 회장직을 겸했다.
1983년 현대전자(하이닉스의 전신)을 설립하였다.
그러나 경영권 갈등 이후 현대그룹이 쪼개지면서 투자금을 감당하지 못하고, 2001년 채권단에 매각, 하이닉스에 흡수된다.
1998년 현대그룹 부회장에서 공동회장으로 임명됐다가, 아버지 정주영이 명예 회장이 되면서 현대그룹 회장에 취임하였다.
정주영 사후 금강산 관광 개발 사업을 주관하였다.
2000년, 정주영 명예회장의 차남인 정몽구 당시 현대그룹 공동 회장과 5남인 정몽헌 당시 현대그룹 공동 회장이 그룹의 패권을 놓고 다투게 된다.
정몽구 회장은 정몽헌 회장이 해외 출장을 간 사이 3월 14일 밤 기습적으로 이익치 현대증권 회장을 고려산업개발로 전보시킨다.
이익치 회장은 정주영 명예회장과 정몽헌 회장의 최측근이었다.
이 일을 계기로 현대그룹의 경영권 계승을 둘러싸고 정주영 회장의 차남 정몽구와 갈등, 분쟁이 발생했다.
당시 대한민국 언론에서는 조선시대 이방원과 이방석 사이의 대립에 빗대 현대그룹 왕자의 난이라 불렀다.
2000년 3월 24일 귀국한 정몽헌 회장은 자신과 아버지의 측근인 이익치 현대증권회장, 김윤규 현대건설 사장, 김재수 현대그룹 구조조정본부장 등을 모아 이익치 회장의 인사 발령을 무효화하고 정몽구 회장의 현대그룹 공동회장직을 박탈한다.
정몽구 회장은 26일 아버지인 정주영 명예회장을 만나 회장직 복귀 명령을 받아내지만 몇 시간 뒤 정몽헌 회장과 그의 측근들이 정주영 명예회장을 만나 다시 그 명령을 무효화시킨다.
2000년 3월 27일 정주영 명예회장이 직접 현대경영자협의회에서 ‘정몽헌 단독 회장 체제’를 공식 승인하면서 왕자의 난은 정몽헌의 승리로 마무리되고 정몽구 회장은 8월 현대자동차와 기타 자동차 관련 계열사들을 가지고 현대그룹으로부터 계열 분리를 실시해 현대자동차그룹을 만든다.
현대가의 ‘왕자의 난’을 거치면서 형제들 사이에서 외톨이가 되었는데, 이후 2002년 9월에 5억 달러 대북 불법송금 사건이 터지면서 2003년에 검찰 조사를 받았고, 추진하던 대북사업의 차질과 현대그룹의 경영 악재로 힘든 시기를 보냈다.
2003년 8월 4일, 서울시 종로구 계동 현대 사옥 12층 회장실에서 유서를 남기고 투신자살했으나 타살 의혹이 있다.
재계 인사들은 '부친의 숙원 사업이었던 대북 사업 등 가업을 제대로 잇지 못한 것이 자살을 선택하게 된 동기'로 추측했다.
그밖에 그의 유서는 5장인데 4장만 발견된 것 등에 대한 의혹도 있다.
정몽헌의 사망 후 배우자 현정은이 현대그룹 회장에 취임하였다.
시신은 경기도 하남시 창우동 검단산 정주영의 묘소 100m 지점 아래에 안장되었다.
창우동 검단산 선영에는 그의 아버지 정주영의 묘, 조부모의 가묘, 정인영 한라그룹 회장, 어머니 변중석, 형 정몽구의 처 이정화 등이 안장되어 있다.
정몽헌 회장은 3000만 달러 해외송금 진술 열흘 후인 8월 4일 사망했다.
정 회장의 죽음은 자살로 알려졌지만 그의 죽음을 둘러싼 많은 의문이 아직도 풀리지 않은 상태다.
평소와 다를 바 없었던 鄭회장의 모습」과 對北 비밀송금 사건, 現代 비자금 사건 등은 鄭회장의 죽음과 관련 여러 가지 의혹들을 낳았다.
혹시 타살된 것은 아니냐는 의혹들이었다.
특히 12층 높이에서 떨어졌는 데도 시신 발견 당시 외부로 드러난 상처가 심하지 않았다는 점도 의혹의 대상이었다.
사건 수사를 맡았던 당시 종로경찰서 곽영진 형사계장(現 202경비대 副대장)은 『사건에 대한 국민의 관심이 워낙 높았기 때문에 수사를 오픈하다시피 했던 사건이라면서 『정 회장이 타살됐을 가능성은 제로라고 했다.
현장에서 두 차례의 현장감식에 정몽헌의 지문이 발견되지 않았다.
키 174cm에 70kg이 넘는 정 회장이 성인이 통과하기 어려운 반 개폐식 창문틀을 통과하면서 지문을 남기지 않았다.
두 차례에 걸쳐 현장 지문감식을 실시한 경찰도 그의 지문을 확보하지 못했다.
창문틀에는 산 자의 지문만 남았을 뿐, 죽은 자의 지문은 없었다.
정회장의 지문이 사라진 것도 의혹의 대상이 되고 있다.
정몽헌의 측근은 경찰이 신고를 받고 현장에 도착하기 전 정 회장 주변 인물이 정 회장 사무실에 먼저 다녀갔다.
그 과정에서 유서 1장이 없어졌다고 밝혔다.
월간조선의 기자가 취재 도중 기자는 익명을 요구한 정몽헌 회장의 최측근으로부터 사라진 유서에 대한 증언을 들을 수 있었다.
최초 鄭회장의 사무실에는 경찰이 발표한 것과 달리 유서 5장이 정 회장의 책상 위에 놓여 있었다는 내용이다.
이 대목은 월간조선 2월호의 검찰관계자 증언과 일치하는 부분이다.
정 회장의 최측근으로 일했던 한 인사는 애초 정 회장이 투신한 사무실의 책상에는 월간조선 2월호에서 검찰관계자가 증언한 대로 유서가 4장이 아니라 5장이 놓여 있었다며 유서 1장은 정 회장 주변 인물이 경찰이 현장에 도착하기 전 없앤 걸로 안다고 했다.
정몽헌의 유서 중 1장은 누가 가져갔으며, 언제 어디에서 사라졌는지, 숨기고 있다면 누가 보관하고 있는지 여부가 확인된 것이 없다.
1999년 1월 금강산 개발 관련 전담법인의 이름을 아산으로 제안했다 한다.
현대는 당초 전담법인의 이름을 '금강산개발주식회사'로 추진했으나, 정몽헌 회장이 '아산'을 제안한 것으로 알려졌다.
아산은 그의 아버지 정주영의 고향 마을 이름이자 아호였다.
정몽헌은 보성고등학교 58기 졸업생이고, 그의 삼촌 정세영은 보성고등학교 39기 졸업생이다.
한국(), 조선(), 남북한(), 또는 코리아()는 동아시아의 한반도에 위치한 지역 또는 한민족의 나라를 지칭하는 말로, 오늘날에는 한반도와 그 부속 도서를 이르는 말이다.
넓은 의미로 한국은 고조선 건국 이후 한반도에서 설립된 한민족 국가를 통칭하는 말이다.
한국의 영토는 현재 한반도와 그 부속 도서들이 해당되나, 역사적으로 만주와 연해주의 일부를 포함하기도 하였다.
한국의 역사를 한국사 라고 한다.
오늘날 한반도와 부속도서의 면적은 약 22만 km2이며, 북쪽과 남쪽을 합한 총인구는 2019년을 기준으로 약 7,700만 명에 달한다.
한국은 동아시아의 한반도에 위치하고 있다.
북서쪽으로는 압록강을 경계로 중국과 경계를 이루고, 북동쪽으로는 두만강을 경계로 중국 및 러시아와 마주하고 있다.
삼면이 바다인 한국에는 서쪽으로 서해( 황해), 동쪽으로 동해, 남쪽으로 남해에 의해 둘러싸여 있다.
한반도 및 부속도서의 최북단은 함경북도의 온성, 최서단은 평안북도의 마안도, 최동단은 경상북도 울릉군에 속한 섬 독도, 최남단은 마라도이다.
한반도의 동부 및 북부는 비교적 높은 산들로 이루어진 산지 지형을 특징으로 하고, 서쪽으로 갈수록 대체로 완만한 경사를 이루어 서해로 흘러드는 하천에 의해 형성된 여러 충적평야와 구릉지들이 나타난다.
한국 북부의 개마고원은 '한국의 지붕'이라고 불리는 고지대이며, 반도의 동해안을 따라 달리는 산맥인 태백산맥은 백두대간이라고도 불린다.
한국의 주요한 섬으로는 면적순으로 제주도, 거제도, 진도, 강화도 등이 있는데, 대부분의 섬이 서해와 남해의 근해에 형성되어 있는 한편 제주도와 울릉도는 화산 활동에 의해 형성되어 비교적 고립되어 있다.
한국의 서해안과 남해안은 리아스식 해안이 발달되어 있으며, 조수 간만의 차가 크다.
한반도 전체의 극지역은 다음과 같다.
대한민국의 극지역은 다음과 같다.
조선민주주의인민공화국의 극지역은 다음과 같다.
한국 문화는 시베리아, 중앙아시아의 북방계와 남아시아, 동남아시아의 남방계가 혼합된 바탕에 지리적으로 가까운 이웃들과의 교류에서 영향을 받았으나 독자적인 문화로 발전했다.
전통 음악은 풍물놀이, 아리랑 등이 있다.
조선시대의 인구 조사에 따르면 조선의 인구는 대체로 700만 명을 넘지 못했다.
조세와 부역 등을 피하려고 호구조사를 기피하는 등 여러 가지 요인으로 40% 가까이 누락되었을 것으로 추측되고 실제 인구는 조선 시대 중기에 와서 1천만 명 내외, 후기에는 약 1,300만 명이었을 것으로 추측된다.
1910년 조사에 따르면 대한제국의 인구는 약 1,312여만 명으로 나타난다.
그러나, 학계에서는 1910년 무렵에는 1,742만 명 정도였을 것으로 추정한다.
1980년~90년도 사이에는 여아낙태가 증가하여 1888년에 113.2로 남성이 크게 증가 하였다.
2017년 12월 말 기준으로 외국인을 제외한 대한민국의 총인구는 5천177만8544 명 이고, 2016년 12월 말 기준으로 조선민주주의인민공화국의 인구는 약 2천537만 명으로 추산된다.
약 700만 명인 해외 거주 한인(韓人) 중 400여만 명인 외국국적자를 제외한 전체 한국인 수는 약 8천만 명이다.
반도 전체의 공용어는 한국어이다.
다만 대한민국의 경우 한국 수화를 추가 공용어로 두고 있다.
한국어는 교착어로 분류되기도 하며, 또 우랄알타이어족에 속한다는 주장도 제기되어 왔다.
한국어를 표기하는 글자는 한글이다.
한글은 기본적으로 말소리를 기호로 표시하는 표음 문자이고, 자음과 모음을 구분하는 음소 문자이며, 발음의 유사성에 따라 형태의 규칙성을 띠는 매우 정교한 자질 문자(예. ㄱ·ㅋ·ㄲ, ㅏ·ㅑ·ㅐ·ㅒ)이다.
또, 한글은 자음과 모음의 글자를 결합해 하나의 음절을 독립적으로 표시하는 글자를 만드는 형태로 표기한다는 점에서 다른 문자와 두드러지게 구분되는 특징을 가지고 있다.
한국어 표기에 쓰이는 문자인 한글은 조선의 세종대왕이 백성들을 위해 직접 만든 문자 체계이다.
세종대왕은 한글 창제 후 정인지·신숙주·성삼문·박팽년 등 집현전 학사들과 함께 해설서인 《훈민정음 해례본》를 만들어 훈민정음(訓民正音)이란 이름으로 1446년에 반포하였다.
한글 창제 이전에는 한자(漢字)로 문서가 작성되었으나, 표의 문자인 한자로 한국어를 표기하는 데에는 한계가 있어서 향찰, 구결, 이두 등 차자 표기가 사용되기도 하였다.
훈민정음 창제 이후에도 지배층인 양반(兩班)층과 관공서에서는 한자를 계속 사용하였으며, 한글은 19세기까지 주로 편지글·시조·가사·한글소설 등에 사용되었다.
1894년 갑오개혁 이후에야 비로소 공문서에 한글이 쓰이기 시작했다.
1945년 이후 본격적으로 널리 쓰여져 한국문화 발달의 기틀이 되었다.
최근에는 동음이의어(同音異意語)나 약어(略語)의 구별 등을 위한 경우를 제외하고는 한자의 사용이 크게 줄어들었다.
한글은 처음 만들었을 때는 스물여덟 글자였으나, 지금은 ㅿ(반시옷), ㆆ(여린히읗), ㆁ(옛이응), ㆍ(아래아) 네 글자가 사라져서 스물네 글자가 되었다.
한국은 현재 대한민국과 조선민주주의인민공화국으로 분단되어 있으므로 해당 지역이 관할하고 있는 행정구역의 체계와 형식적으로 통치를 주장하는 지역의 행정구역 체계가 다를 수밖에 없다.
대한민국은 현재 1특별시, 6광역시, 1특별자치시, 8도, 1특별자치도로 편제되어 있다.
3단계 행정체계로 도/특별시/광역시 &gt; 시/군/구 &gt; 읍/면/동으로 구분된다.
다만, 서울특별시와 광역시를 제외한 인구 50만 이상 대도시에는 시 아래에 행정구를 둘 수 있다.
이들 중 도와 동급의 행정구역은 광역시, 특별시, 특별자치시, 특별자치도이다.
조선민주주의인민공화국의 지역 구분.
조선민주주의인민공화국은 현재 1직할시, 3특별시, 3지구, 9도로 편제되어 있다.
이는 광복 직후와는 다른 것으로 면은 통합하여 군으로 승격하고, 읍은 군의 중심지역을 이르는 명칭으로 변경하였다.
이 외에 로동자구와 직할시에 소속된 구역 등이 있다.
이들 중 도와 동급의 행정구역은 직할시,특별시이며, 지구와 함께 행정상의 특혜를 받게 되어 있다.
다만, 대한민국에서는 이 같은 행정구역 구분을 인정하지 않고, 1945년 당시의 행정구역만을 인정한다(이북5도위원회).
미분 방정식(微分方程式, differential equation)은 미지의 함수와 그 도함수, 그리고 이 함수들의 함수값에 관계된 여러 개의 변수들에 대한 수학적 방정식이다.
미분방정식의 계수(order)는 미분 횟수가 가장 많은 독립 변수의 계수가 결정짓고, 차수(degree)는 계수를 결정 지은 독립 변수의 미분꼴이 거듭제곱된 횟수에 따라 결정된다.
응용 수학에서 한 매개 변수가 다른 매개 변수에 대한 의존성을 알 수 없는 문제가 종종 발생하지만 한 매개 변수가 다른 매개 변수 (미분)에 대한 변화율에 대한 표현을 작성할 수 있다.
이 경우 문제는 다른 표현과 관련된 도함수로 함수를 찾는 것으로 축소된다.
미분 방정식은 엔지니어링, 물리학, 경제학 등 수학 외의 학문에서도 중요한 역할을 차지하고, 유체역학, 천체역학 등의 물리적 현상의 수학적 모델을 만들 때에도 사용된다.
따라서 미분 방정식은 순수수학과 응용수학의 여러 분야에 걸쳐있는 넓은 학문이다.
물체의 운동이 물체의 위치와 시간값의 변화에 따른 속도로 표현되는 고전역학이 그 대표적인 예다.
뉴턴의 운동 법칙은 물체의 미지의 위치를 시간에 대한 함수로 표현하고, 물체의 위치·속도·가속도·그리고 물체에 작용하는 힘 등을 그 함수에 대한 미분 방정식으로 나타냄으로써 이 변량들을 역학적으로 표현할 수 있었다.
흔히 운동방정식이라고 부르는 이 미분 방정식은 아주 쉽게 풀리는 경우도 있다.
미분 방정식을 사용하여 실세계를 표현한 예로는, 중력과 공기저항만 고려하여 공중에서 떨어지는 공의 속도를 결정하는 것이 있다.
땅을 향한 공의 가속도는 중력에 의한 가속도 마이너스 공기저항에 의한 가속도이다.
중력은 일정하다고 치고, 공기저항은 공의 속도에 비례한다고 하자.
이것은 공의 가속도, 즉 공의 속도의 도함수가 공의 속도에 따라 결정된다는 것을 의미한다.
속도를 시간에 대한 함수로 나타내면 이 미분 방정식을 풀 수 있다.
수학에서 미분 방정식은 여러 가지 다른 관점에서 연구되고 있는데, 대개 그 해―방정식을 만족시키는 함수의 집합―에 대한 연구가 흔하다.
명쾌한 함수의 형태로 해가 구해지는 것은 가장 간단한 미분 방정식들 뿐으로, 어떤 미분 방정식은 명확한 해를 구하지 않고, 그 특징만 밝혀지는 경우도 있다.
만약 해를 독립적으로 구하는 것이 불가능하다면, 컴퓨터를 이용해 수적 근사값을 구할 수도 있다.
동역학계 이론에서는 미분 방정식으로 표현되는 계의 질적 분석을 중요하게 여기는데, 주어진 정확도 안에서 해를 구하기 위한 많은 수치 해석 방법이 개발되고 있다.
미분 방정식의 목표는 다음 세가지이다.
미분 방정식에 대해 해가 있어야만 하는지, 아니면 해가 유일한지 등의 문제도 중요한 관심사이다.
그러나 응용수학자, 물리학자, 엔지니어들은 대개 주어진 미분 방정식을 푸는 데에 관심을 두기 마련이고, 여기서 얻어진 해는 전기회로, 다리, 자동차, 비행기, 하수도 등을 만드는 데에 이용되고 있다.
미분 방정식 이론은 잘 발전되어 왔으며, 학습을 위해 방정식의 형태에 따라 그것을 의미있게 분류시키기도 한다.
상미분 방정식과 편미분 방정식.
상미분 방정식은 미지 함수와 종속변수가 하나의 독립변수를 가지는 함수인 미분 방정식을 말한다.
간단한 형태로 미지함수가 실수 또는 복소수 함수 형태를 가진다.
미지 함수의 독립 변수가 둘 이상인 미분 방정식이다.
선형 미분 방정식은 y도함수 앞의 계수가 변수가 아닌 경우이고 y도함수가 모두 1승인 것을 말한다.
비선형 미분 방정식은 선형 미분 방정식과 다르게 y도함수 앞의 계수가 변수이며, 대표적 예시인 나비에-스톡스 방정식에서는 y도함수 앞의 계수가 유체의 성질을 나타내는 매개변수이다.
비선형 미분 방정식은 매개변수의 테일러 급수로 근사해를 구하는 방식이 있다.
1차 제차 상미분 방정식의 일반형은 다음과 같다.
여기서 formula_2는 우리가 알고 있는 함수이며, 이 방정식은 간단히 변수를 다음과 같이 양변으로 분리하여 놓아서 풀 수 있다.
위 식을 적분하여 다음의 결과를 얻는다.
양변에 e를 취하면 다음의 결과를 얻는다.
formula_8는 임의의 상수이다. (이 결과가 맞는지 확인하려면, 이 식을 원래의 방정식에 대입해 보면 된다.)
formula_2가 상수가 아닌 함수이고, 어떤 함수의 경우에는 (우리가 잘 알고 있더라 하더라도) 그 적분이 불가능 할 수도 있기 때문에, 실제적인 풀이는 매우 어려울 수 있다.
1차 비제차 상미분 방정식.
1차 선형 상미분 방정식 중 일부는 위의 예처럼 분리가 불가능하다.
이와 같은 1차 비제차 상미분 방정식을 풀기 위해선 적분인자를 알아야 한다.
이 방법을 아래에 설명하고 있다.
1차 상미분 방정식의 일반적인 형태를 생각해 보자.
우리가 선택한 특별한 formula_11의 성질에 의해 위 식은 다음과 같이 간단한 모양으로 변형된다.
미분에 대한 곱의 법칙에 의해 위 식은 다시 다음과 같이 변형된다.
각운동량(角運動量)은 물리학에서 어떤 원점에 대해 선운동량이 돌고 있는 정도를 나타내는 물리량이다.
각운동량은 좌표의 원점을 어떻게 잡느냐에 따라 달라지기 때문에, 여러 각운동량을 다룰 때에는 둘을 합하거나 그에 관련한 연산을 하는 것이 물리학적으로 올바른 것인지 신중히 고려하며 사용해야 한다.
각운동량은 물리학뿐만 아니라 여러 공학 분야에서도 매우 중요한 개념이고, 응용분야 또한 매우 다양하다.
이렇게 각운동량이 중요하게 다루어지는 이유는 돌림힘이 작용하지 않으면 각운동량은 보존되는 양이 되기 때문이다.
뇌터의 정리에 의하면 각운동량의 보존은 공간의 회전대칭성 때문이다.
이러한 각운동량의 보존은 공학뿐만 아니라 여러 자연현상을 기술하는 데에도 유용하게 사용된다.
어떤 원점에 대한 입자의 각운동량을 수학적으로 정의하면 다음과 같다.:
물리계가 여러 입자로 구성되어 있을 때에는, 한 원점에 대한 총 각운동량은 각각의 각운동량을 더해서 구하거나,
좀 더 복잡한 부피를 가지는 물체의 각운동량은 미소질량에 대해 각운동량을 적분하여 얻을 수 있다.
많은 경우, 고정된 특정한 한 축에 대한 각운동량만을 고려하기 때문에 각운동량을 3차원 벡터로 취급하지 않고 단순히 반시계방향의 회전은 양으로, 시계방향의 회전은 음으로 취급하여 스칼라로 놓기도 한다.
이렇게 할 때에는 벡터곱의 크기로 각운동량을 표기하게 된다.
각운동량을 시간에 대해 미분하면 돌림힘 formula_13
이를 각운동량 보존 법칙 또는 간단히 각운동량 보존()이라고 부른다.
각운동량 보존 법칙은 특히 중심력이 작용하는 운동을 분석하는 데 유용하게 쓰일 수 있다.
중심력이 작용하는 입자들의 운동에서 두 입자는 외부로부터의 영향에서 고립된 계를 이루고, 원점은 두 입자를 잇는 선 위의 한 점으로 잡는다.
서로 작용하는 힘의 방향이 언제나 원점에서 입자들까지의 위치벡터와 같은 방향이 되므로, 앞에서 잡은 원점을 기준으로 한 알짜 토크는 언제나 0이 된다.
따라서, 각운동량은 보존된다.
일정한 각운동량을 갖는 이와 같은 경우는 행성, 위성, 보어의 원자모형등의 분석에 유용하게 사용된다.
관성 모멘트와 각운동량.
관성 모멘트와 각운동량 사이에는 질량과 운동량사이의 관계
회전축이 변하지 않는 경우.
회전축이 변하지 않는 경우에 각운동량은 간단히 스칼라 관성모멘트 formula_19와 각속도 formula_22의 곱으로 쓰일 수 있다.
위 식은 스칼라 관성 모멘트의 정의
을 사용하여 각운동량의 정의로부터 간단히 유도할 수 있다.
여기서는 입자 하나에 대해서만 유도를 하였지만, 일반적인 경우에도 관성모멘트와 각운동량 사이에는 이와 같은 관계가 성립한다.
회전축도 변하는 일반적인 회전의 경우, 각운동량과 각속도벡터는 평행하지 않다.
때문에 스칼라 관성모멘트를 사용한 식이 성립하지 않고, 좀 더 일반적인 식인 관성텐서 formula_20를 사용한 아래의 식을 사용한다.
관성텐서의 각 성분 formula_31은 다음과 같이 정의된다.
이와 속도와 각속도의 일반적 관계
를 사용하면 각운동량과 관성텐서 사이의 관계를 유도할 수 있다.
각운동량의 정의에 이를 대입하면,
를 얻고, 여기서 삼중곱을 전개하면 아래와 같은 식을 얻는다.
관성텐서의 정의를 대입하면,
가 되어 맨 처음 식이 성립함을 확인할 수 있다.
양자역학에서의 각운동량.
고전적인 각운동량에 대응하는 양자역학적 관측 가능량은 궤도 각운동량 formula_41이다.
다른 양자역학적 관측 가능량과 마찬가지로, 궤도 각운동량의 값은 디랙 상수 formula_42의 정수 또는 반정수()배로 양자화된다.
뿐만 아니라, 양자역학에는 고전적으로 존재할 수 없는 각운동량 항이 존재하는데, 이를 스핀 formula_43라고 한다.
원주율(圓周率, )은 원둘레와 지름의 비 즉, 원의 지름에 대한 둘레의 비율을 나타내는 수학 상수이다.
수학과 물리학의 여러 분야에 두루 쓰인다.
그리스 문자 π로 표기하고, 파이(π)라고 읽는다.
원주율은 수학에서 다루는 가장 중요한 상수 가운데 하나이다.
무리수인 동시에 초월수이다.
아르키메데스의 계산이 널리 알려져 있어 아르키메데스 상수라고 부르기도 하며, 독일에서는 1600년대 뤼돌프 판 쾰런이 소수점 이하 35자리까지 원주율을 계산한 이후 뤼돌프 수라고 부르기도 한다.
유클리드 평면에서 원은 크기와 관계없이 언제나 닮은 도형이다.
따라서 원의 지름에 대한 둘레의 비는 언제나 일정하며, 이를 원주율이라 한다.
즉, 원의 지름을 d, 둘레를 C라 하면 원주율 π는 다음의 식으로 나타낼 수 있다.
원주율을 나타내는 기호 π는 1706년 영국의 수학자 윌리엄 존스가 최초로 사용했다.
윌리엄 존스는 “특정 도형의 길이나 넓이를 구하는 계산에 매우 유용한 방법이 여러 가지 있다.
원을 예로 들면 지름이 1인 원의 둘레를 약 3.14159…= π로 표기하는 것이다.”라고 기호 π의 사용을 제안하였다.
원주율은 소수점 아래 어느 자리에서도 끝나지 않고, 순환마디도 없이 무한히 계속되는 비순환소수이다.
원주율이 무리수라는 것은 1761년 요한 하인리히 람베르트가 증명했다.
원주율의 소수점 이하에서 나타나는 수열은 무작위 표집을 통해 만드는 난수표와 성질이 같다.
원주율은 십진법으로는 값을 정확하게 표기할 수 없기 때문에 실제 계산에서는 근삿값을 이용한다.
한편, 원주율은 계수가 유리수인 유한 차수 다항식의 해가 될 수 없다.
이러한 종류의 수를 초월수라 부른다.
이 사실은 1882년 페르디난트 폰 린데만이 증명하였다.
여기에서 원주율은 어떤 정수에 적당한 유리수를 곱하고 제곱근을 씌우는 등의 연산을 조합하여 얻어낼 수 없다는 사실을 알 수 있다.
또한 원주율이 초월수라는 사실을 통해, 그리스 3대 난제 중 하나였던 “자와 컴퍼스만을 사용하여 원과 넓이가 같은 정사각형을 작도하는 원적문제”가 유한한 대수적 방법으로는 불가능하다는 것을 증명할 수 있다.
유클리드 기하학에서 원과 원주율의 관계를 살펴보면 다음과 같은 사실을 확인할 수 있다.
원주율이 보이는 복잡한 수열에 비해 이를 계산하는 방법은 의외로 단순하다.
라이프니츠가 정리한 다음 계산식이 널리 알려져 있다.
고대의 여러 문화에서 원주율의 값으로 3이 쓰였다.
고대 메소포타미아에서도 원주율을 3으로 계산하였고, 구약성경 열왕기상 7장 23절과 역대하 4장 2절에는 직경과 둘레의 길이를 기술하여 원주율이 3정도 임을 알고 있었다고 추측된다.
고대 중국의 수학책인 《구장산술》에서도 3을 원주율로 제시하였다. 《구장산술》에는 다음과 같은 문제가 실려 있다.
구장산술의 계산은 평균값으로 이루어져있다. (1) 원둘레가 30보인 경우 반지름은 30=2r*3.14 r=4.78 이경우의 면적은 71.74 (2) 지름이 10보인 경우 면적은 78.5. (1)과 (2)의 평균은 75보. 그러므로 구장산술의 계산이 부정확하다는 것은 잘못되었다.
구장산술에 실린 계산이 매우 부정확하다는 것은 왼쪽 그림을 보면 쉽게 알 수 있다.
지름이 1인 원에 내접하는 정육각형의 둘레는 3이고 실제 원의 둘레는 그것과는 차이가 상당하기 때문이다.
이는 고대에서부터 이미 널리 알려진 문제였고 값을 보다 정확하게 구하기 위한 노력이 계속되었다.
고대 이집트에서는 원통형 바퀴를 굴려 직접 측정해 원주율을 계산하였는데 =3.16049……를 사용하였다.
한편 기원전 3세기의 고대 그리스 수학자 아르키메데스는 근대 적분이 없었던 당시에 무한소라는 개념을 사용하였다.
그는 소거법을 사용하여 formula_3의 근삿값을 계산하였다.
이 방법은 임의 차원의 미지항에 대해 극한을 취하는 것으로, 귀류법을 사용하여 동일한 계산을 반복하는 과정을 통해 해답을 얻는 것이다.
아르키메데스는 변이 매우 많은 다각형이 임의의 원에 내접하는 경우와 외접하는 경우를 비교하여 원주율을 계산하였다.
즉, 임의의 원의 둘레는 그것에 외접하는 다각형의 둘레보다 짧고 내접하는 다각형보다 길다.
이때 다각형의 변이 많아질수록 외접하는 경우와 내접하는 경우의 둘레 차는 작아지므로 원의 둘레에 근사한다.
즉, 지름이 d인 원에 내접하는 변의 개수가 n인 정다각형의 둘레 Pn에 대해 다음과 같이 함수의 극한을 취하면 원주율을 얻을 수 있다.
아르키메데스는 정구십육각형을 이용하여 formula_3의 값을 다음과 같이 계산하였다.
아르키메데스는 이 결과에 따라 formula_3의 근삿값으로 3.1416을 제시하였다.
또한, 아르키메데스는 원의 면적이 formula_8임을 증명하였다.
아르키메데스는 자신의 저서 《구와 원기둥》에서 어떠한 크기가 주어지더라도 임의의 크기에 적당한 수를 곱하여 주어진 크기를 초과할 수 있다고 가정하였다.
이를 실수에서의 아르키메데스 성질이라고 한다.
중국의 삼국시대 위나라 수학자 유휘는 《구장산술》에 주해를 달아 다시 출판하였는데, 아르키메데스와 같은 방법을 사용하여 원주율을 =3.14 로 계산하였다.
유휘가 계산한 원주율 근삿값은 오늘날에도 일상생활에서 사용한다.
2세기에 들어 중국의 장형은 원주율을 3.1623으로 계산하였고 5세기 중국 남북조 시대 송나라의 조충지는 3.141592로 계산하였다.
독일에서는 1600년대 뤼돌프 판 쾰런이 소수점 이하 35자리까지 계산하였다.
컴퓨터를 도입하기 이전에 가장 긴 자리수의 원주율을 계산한 사람은 영국의 수학자 샹크스였다.
그는 15년이나 걸려 1873년까지 소수점 이하 707자리까지 원주율 값을 계산해냈다. 하지만 후에 그 계산은 528자리까지만 정확한 것으로 밝혀졌다.
컴퓨터를 통한 원주율 계산.
1949년 9월 최초로 컴퓨터를 이용하여 70시간에 걸쳐 소수점 아래 2,037자리까지 계산하였다.
원주율 계산에 컴퓨터를 도입한 이후 원주율 계산은 단순 알고리즘의 무한 반복에 불과한 작업이 되어 수학적 의미를 잃었다.
이 계산은 종종 컴퓨터의 성능을 시험하기 위한 방법으로 사용한다. 2005년 일본 도쿄 대학의 가네다 야스마사 교수는 컴퓨터를 601시간 56분 동안 사용하여 원주율을 소수점 1,241,100,000,000자리까지 구하였다.
2009년 〈도쿄신문〉에 따르면, 일본 쓰쿠바 대학 계산과학연구센터는 17일, 슈퍼컴퓨터를 사용한 원주율 계산에서, 2조 5769억 8037만 자리수의 세계기록을 수립했다고 한다. (73시간 59분 소요) 그 이후 프랑스에서는 2조 7천억 자리까지 계산하였다.
또는 다른 웹사이트 에서도 확인할 수 있다.
원주율은 두 정수의 비로 나타낼 수 없는 무리수이다.
또한, 계수가 유리수인 다항식의 근이 될 수 없는 초월수이다.
원주율이 무리수라는 것은 1761년에 요한 하인리히 람베르트가 증명했다.
람베르트는 다음과 같이 탄젠트 함수의 연분수 전개식을 이용하여 이를 증명하였다.
formula_13가 formula_14이 아닌 유리수일 때 위에 전개된 연분수를 십진기수법으로 나타내면 언제나 순환하지 않는 소수이므로 항상 무리수이다.
오일러 등식은 기초 수학의 여러 개념에서 빈번하게 등장한다.
원주율이 초월수임은 오일러 등식을 이용하여 다음과 같이 증명할 수 있다.
이제 y=iπ라 하면 π=-iy 이고 -π=iy 이므로, iπ는 다음 식으로 나타낼 수 있는 정계수 대수방정식을 만족시켜야 한다.
그런데 이러한 관계를 만족하는 대수방정식의 근이 유리수라고 가정하면 무한히 약분할 수 있어서, 이를 기약분수로 표현할 수 없는 모순이 생긴다.
유리수를 기약분수로 표현할 수 없다는 것은 유리수의 정의에 어긋나므로 π가 정계수 대수방정식 formula_20의 근이라는 최초의 가정이 잘못되었다고 볼 수밖에 없다.
즉, 원주율은 초월수이다.
자세한 증명은 링크한 주석을 참고하기 바란다.
개요에서 밝혔듯이 원주율은 반복되지 않고 무한히 계속되는 수열을 이룬다.
네덜란드 수학자 라위트전 브라우어르는 다음과 같은 질문을 제기하였다.
브라우어르는 이 수열이 무한히 계속되기 때문에 이 수열을 어느 정도까지만 확인한 결과만으로는 위 질문에 답할 수 없다는 점을 지적하였다.
실제 소수점 이하 762번째에서부터 수열 999999 가 출현한다.
이 수열은 파인만 포인트로 알려져 있으며 원주율의 소수점 이하 수열에서 확률 0.08%로 발견할 수 있는 것으로 알려져 있다.
따라서 경험적 방법으로는 위 문제에 답할 수 없다.
브라우어르는 이러한 논의를 바탕으로 아리스토텔레스의 배중률 은 유한한 개수를 대상으로 한 것에만 적용 수 있을 뿐 무한한 것에 적용할 수 없다고 결론지었다.
원주율에서 나타나는 수열은 무작위 표집을 사용해 만든 난수표의 성질을 보인다. 하지만, 실제 원주율의 수열이 완전한 무작위성을 보이는지는 증명되지 않았다.
원주율은 무리수이기 때문에 그 값은 근삿값으로밖에 알 수 없다.
대부분의 계산에는 3.14나 22/7 라는 근삿값을 사용해도 충분하다.
기상 예보나 인공 위성 등의 계산에는 소수점 아래 30자리까지 나아간 근삿값을 사용하고 있다.
이렇게 불규칙적인 패턴을 가지는 원주율은 다음과 같이 규칙적인 수식을 이용하여 계산할 수 있다.
더 정확한 값을 얻으려면 수식을 연장하기만 하면 된다.
위 식은 고트프리트 빌헬름 라이프니츠가 전개한 것으로 흔히 라이프니츠의 공식이라고 부른다.
이 식 외에도 원주율을 계산하는 공식으로는 다음과 같은 것이 있다.
17세기의 프랑스 수학자 프랑수아 비에트는 다음과 같은 무한급수로 원주율을 계산하였다.
또한, 스털링 근사를 사용해 원주율을 유도할 수도 있다.
원주율은 다음과 같이 연분수로 표현할 수 있다.
1996년 데이빗 베일리는 피터 보어와인, 시몽 플루프와 공동으로 π에 관련된 새로운 무한급수를 발견했다.
이 식을 이용하면 2진수 그리고 16진수로 표기한 π값의 소수점 아래 "n"자리 값을 "n"-1째 자리까지 구하지 않고 바로 계산해 낼 수 있다.
베일리의 홈페이지 에선 다양한 프로그래밍 언어를 이용해 구현한 실제 예를 볼 수 있다.
원주율은 수학과 물리학 등 여러 분야에서 다양하게 적용한다.
아르키메데스는 원과 구의 다음과 같은 성질을 증명하였다.
한편, 원은 이심률이 0인 타원으로 간주할 수 있으며 이에 따라 타원 방정식은 일반적으로 다음과 같이 표현한다.
이 때 타원의 넓이를 A라 하면 다음과 같이 계산할 수 있다.
각의 크기를 나타내는 무차원 단위인 라디안은 오른쪽 그림과 같이 정의하여 반지름과 호의 길이가 같을 때 1라디안이 된다.
따라서, 원 전체는 2π라디안이고 이를 도로 환산하면 다음과 같다.
1687년 스위스의 바젤의 수학 교수였던 야코프 베르누이와 요한 베르누이 형제는 조화급수가 발산한다는 사실을 증명하였다.
그러나, 조화급수의 각 분모를 제곱한 다음 식을 닫힌 형식으로 나타내는 것에는 실패하였으며 논문의 끝에 이 문제를 해결하였다면 알려주기 바란다고 적었다.
당대의 유명한 수학자들이 이 문제를 풀기 위해 시도하였으나 결국 실패하였고, 이 문제는 바젤 문제로 알려지며 해석학자의 악몽으로까지 불리게 되었다.
이를 해결한 사람은 레온하르트 오일러로 1735년에 이 급수의 값이 다음과 같다는 것을 증명하였다.
후일 이 급수는 다음과 같은 일반식으로 표현되었는데 이것이 리만 제타 함수이다.
리만 제타 함수는 s가 짝수일 때 위 식을 이용하여 그 값을 쉽게 계산할 수 있으나 홀수일 때는 자명하지 않다.
1978년 s가 3일 때 무리수로 수렴하는 것이 증명되었다.
이 수렴값은 아페리 상수라고 한다.
복소수 formula_43는 극좌표계를 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
복소해석학에서 π는 복소수 변수가 지수 함수에서 보이는 행동과 연관이 있으며 오일러의 공식에 따라 다음과 같이 표현할 수 있다.
"i"는 허수 단위이기 때문에 "i"2 = −1 이므로 이를 π라디안(=180°)과 함께 자연로그의 밑 "e"의 지수로 표현하면 다음과 같은 오일러 등식을 얻는다.
따라서 "n" 번째 단위근은 다음과 같다.
이제 가우스 적분으로 나타내면,
이 결과는 반정수의 감마 함수가 √π의 유리수 곱임을 뜻한다.
확률과 통계에서 원주율이 등장하는 정리들은 다음과 같은 것들이 있다.
조르주루이 르클레르 드 뷔퐁이 제기한 뷔퐁의 바늘 문제는 원주율의 근삿값을 구하는 경험주의적인 방법으로 거론된다.
길이가 L인 바늘을 일정 간격으로 그린 평행선에 떨어뜨린다고 가정해 보자.
이 때 평행선의 간격 S가 바늘의 길이보다 크다고 하면, 바늘을 떨어뜨린 횟수 n번에 대해 바늘이 평행선 밖으로 나간 횟수 x번(단, x&gt;0)에는 몬테카를로 방법에 의해 다음과 같은 관계가 있다.
즉, 뷔퐁의 바늘 문제에서 바늘을 떨어뜨리는 횟수가 매우 많아지면 바늘이 평행선을 벗어나는 횟수에 대한 바늘을 떨어뜨린 전체 횟수의 비는 원주율에 근사한다.
원주율 자체는 물리 상수가 아니지만 물리학의 여러 분야에서 두루 사용한다.
이는 자연 현상의 상당수가 원과 관계가 있기 때문이다.
예를 들어 회전수를 일정하게 유지하는 등속원운동에서 각속도와 원주속도는 다음과 같이 계산할 수 있다.
이 외에 물리학에서 원주율을 사용하는 경우는 다음과 같다.
일리야 로마노비치 프리고진(, , 1917년 1월 25일 - 2003년 3월 28일)은 러시아 모스크바 태생의 벨기에의 화학자이다.
1977년 비평형 열역학, 특히 소산 구조론의 연구에 공헌한 점을 인정받아 노벨 화학상을 수상했다.
1989년에는 벨기에의 보두앵 1세 국왕으로부터 자작 작위를 받았다.
엔탈피(, )는 열역학계의 성질로, 계의 내부 에너지에 압력 곱하기 부피를 더한 값으로 정의된다.
대기압이나 수압과 같이 일정한 압력에 둘러싸인 계를 다룰 때 유용하게 사용되는 상태함수이다.
기호는 대개 라틴 대문자 "H"이다.
국제단위계상에서 줄이, 영국 열량 단위에서 칼로리가 엔탈피를 나타내기 위한 단위로 사용된다.
열역학 제 1법칙에 의하면 계의 내부에너지 변화량을 구하기 위해서는 가한 열량과 해준 일을 모두 알고 있어야 한다.
등압과정에서는 계가 받은 열량이 계의 엔탈피 변화량과 같게 된다.
따라서 일의 양을 매번 계산하기 번거롭다는 등의 실용적인 이유로 등압과정에서 측정된 엔탈피 변화량()이 주로 사용된다.
화학 물질에 대해 엔탈피라는 용어를 사용할 때에는 대부분 표준상태, 즉 부근의 압력과 부근의 온도를 상정한다.
엔탈피 변화량은 흡열 과정에서 양의 값을, 발열 과정에서는 음의 값을 가진다.
엔탈피는 다음 식으로 정의된다.
여기서 는 계의 엔탈피를, 는 계의 내부 에너지를, 는 계의 압력을, 는 계의 부피를 의미한다.
엔탈피는 크기 성질로, 성분이 동일하다면 계의 크기와 비례하여 값이 달라진다.
세기 성질로 사용하고 싶다면 비엔탈피 나, 몰엔탈피 를 정의해 사용할 수 있다.
이 때 은 질량을, 은 몰수를 의미한다.
불균질한 계의 경우 총 엔탈피 값은 각 부분의 엔탈피의 총합으로 구할 수 있는데, 식으로 나타내면 다음과 같다.
여기서 는 총 엔탈피 값을, 는 각 부분계를, 는 그 부분계의 엔탈피를 의미한다.
중력장 내에 놓인 닫힌 계를 고려해보자.
이 경우 압력 는 고도에 반비례하여 즉각적으로 달라지지만, 온도 는 평행이 완전히 이루어지기까지는 특별히 달라지지 않는다.
이 경우 엔탈피는 다음과 같이 적분을 사용해 나타낸다.
여기서 (로)는 밀도를, 는 비엔탈피를 나타내며 따라서 는 엔탈피 밀도를 나타낸다.
는 무한히 작은 부피를 나타낸다.
따라서 이 적분은 모든 부피를 무한히 작은 부분으로 나누어서 각 부분의 엔탈피를 더한 것과 같다.
위의 엔탈피의 정의는 그 값이 기준을 어떤 점으로 잡느냐에 따라 변하기 때문에 그 자체로 쓰이는 것 보다는 계의 어떤 상태와 다른 상태 간의 엔탈피 차이(ΔH)를 표현하는 방식으로 쓰인다.
어떠한 과정에서 압력의 변화가 0인 경우엔(ΔP=0), 엔탈피의 변화량은 계가 주변과 열교환의 형태로 주고받은 에너지인 열량을 나타낸다.
따라서 주변의 압력이 일정하게 유지되는 반응의 전후 열량 출입을 나타내는 데에 많이 쓰인다.
계의 엔탈피는 직접 측정할 수 없으며, 계의 엔탈피 변화로 대신 측정된다.
엔탈피 변화는 다음 방정식으로 정의된다.
엔탈피는 온도와 압력에 따라 달라지므로 온도와 압력을 표시한다.
온도와 압력이 표시되어 있지 않으면 25도씨, 1기압 상태이다.
엔탈피 변화는 화학 반응을 일으킬 때 열역적 계 또는 주위에서 관찰된 엔탈피의 변화를 설명한다.
화학반응이 완료된 후 엔탈피 값은 달라진다.
이는 생성물과 반응물간의 엔탈피 차이로 나타나는 현상으로, 엔탈피 변화값 (ΔH)은 (생성물의 엔탈피 값의 총합) - (반응물의 엔탈피 값의 총합)으로
일반적인 엔탈피 변화의 예로서는 표준 생성엔탈피가 있다.
이러한 엔탈피의 측정은 표준화된 환경 또는 표준 조건에서 측정하는 것이 매우 일반적이다.
물질 1몰이 완전 연소하여 가장 안정한 생성물이 될 때 방출하는 열량
보통 연소 엔탈피(ΔH)는 음수이다.
물질 1몰이 가장 안정한 원소로부터 생성될 때 방출하거나 흡수하는 열량
일부 표준 형성의 열은 아래 표에 열거되어 있다.
물질 1몰이 가장 안정한 원소로 분해될 때 방출하거나 흡수하는 열량
물질 1몰이 다량의 물에 용해될 때 방출하거나 흡수하는 열량
간이 열량계에 의한 연소열 측정.
원리 : 연료가 연소할 때 방출한 열 = 물이 흡수한 열
연소열(kJ/mol) = 물이 흡수한 열량/연소한 물질의 수 = (물의 (비열 X 질량 X 온도변화)) / ((연소한 연료질량/연료의 화학식량))
통 열량계에 의한 연소열 측정.
원리 : 연료가 연소할 때 방출한 열 = 물과 열량계가 흡수한 열
운동 에너지()는 운동하고 있는 물체 또는 입자가 갖는 에너지이다.
주어진 물체의 어떤 속도에서의 운동에너지는 그 물체를 정지 상태에서 그 속도까지 가속시키는데 필요한 일의 양으로 정의된다.
가속이 되어 운동 에너지를 얻게 되면 속도의 크기가 변하지 않는 한 그 운동에너지를 유지한다.
또한, 그 운동 상태에서 정지 상태까지 감속시키는데 필요한 에너지 또한 원래 그 물체의 운동 에너지와 같다.
고전 역학에서 질량이 m인 비회전체의 속도의 크기가 v일 때 물체의 운동 에너지는 formula_1이다.
고전역학에서 "E ∝ mv2"라는 원리는 처음 고트프리트 라이프니츠와 요한 베르누이에 의해 고안되었는데, 이 때 운동 에너지를 "살아있는 힘()"라고 묘사하였다.
네덜란드의 는 이 관계의 실험적인 증거를 제시하였다.
물체를 점토 블럭에 떨어뜨리면서 그라브산드는 그들의 관통 깊이가 충돌 속도 크기의 제곱에 비례하는 것을 발견하였다.
브르퇴유는 실험 결과가 암시하는 바를 인지하였고 자신의 설명을 발표하였다.
"운동 에너지" 와 "일"이라는 용어의 현대의 과학적 의미는 19세기 중반으로 거슬러 올라간다.
에너지는 화학 에너지, 열 에너지, 전자기 복사, 중력 에너지, 전기 에너지, 탄성 에너지, 핵 에너지, 정지 에너지 등과 같이 많은 형태로 존재한다.
이것들은 크게 두 가지로 분류 할 수 있는데 바로 위치 에너지와 운동 에너지이다.
운동 에너지는 다른 형태의 에너지로 어떻게 전환이 되는지 살펴본다면 쉽게 이해될 수 있을 것이다.
예를 들면, 사이클리스트는 음식에서 제공되는 화학 에너지를 자전거를 가속 시키는데 사용한다.
평평한 표면에서 이 속도를 유지하기 위해서는 공기 저항과 마찰을 이겨내는 데 필요한 것을 빼면 더 이상 필요한 일이 없다.
이 과정에서 화학 에너지는 운동 에너지로 변환되지만 그 과정은 완전히 효율적인 것이 아니고 열을 부가적으로 생산하게 된다.
운동하는 사이클리스트와 자전거의 운동 에너지는 다른 형태의 에너지로 변환될 수 있다.
예를 들면, 사이클리스트가 충분히 높은 언덕을 만나 페달을 밟지 않은 채로 언덕 정상에서 멈추게 되었다고 하자.
그럼 운동 에너지는 완전히 중력 위치 에너지로 변환되게 되고 이것은 언덕을 다시 내려오면서 운동 에너지로 바뀌게 된다.
마찰 때문에 에너지의 손실이 생기므로 추가적으로 페달을 밟지 않는 한 원래의 속력을 가지지 못한다.
그 과정에서 에너지는 사라진 것이 아니고 마찰 때문에 다른 형태의 에너지로 전환된 것이다.
이번엔 싸이클리스트가 바퀴 하나에 발전기를 연결했다고 가정해보자.
그럼 하강하는 과정에서 전기 에너지를 생산하게 된다.
그럼 발전기가 없었을 때보다 싸이클리스트는 언덕 아래에서 더 적은 속력을 가지게 될 것이다.
이는 원래 가지고 있던 에너지 일부가 전기 에너지로 변환 되었기 때문이다.
만약 브레이크를 밟게 될 경우 운동 에너지는 마찰에 의해서 열로 빠르게 전환 될 것이다.
다른 속도의 함수인 물리량과 같이 물체의 운동 에너지 또한 물체와 관찰자의 기준계 사이의 관계에 의존한다.
그러므로 물체의 운동 에너지가 불변량인 것은 아니다.
우주선은 공전 속도에 도달하기 위해 필요한 운동 에너지를 화학 에너지로부터 얻는다.
완벽한 원 궤도의 경우 지구 근방의 우주 공간은 마찰이 거의 없기 때문에 이 운동 에너지는 일정하게 유지된다. 하지만 다시 우주선이 지구로 돌아올 경우 운동 에너지는 열로 전환된다.
만약 궤도가 타원형이거나 쌍곡선의 형태라면 공전하는 동안 운동 에너지와 위치 에너지는 지속적으로 교환된다.
근일점에서 운동 에너지는 최대, 위치 에너지는 최소가 되고 원일점에서는 운동 에너지는 최소, 위치 에너지는 최대가 된다.
그렇지만 운동 에너지와 위치 에너지의 합은 보존된다.(역학적 에너지 보존 법칙)
운동 에너지는 한 물체에서 다른 물체로 전달될 수 있다.
당구에서 플레이어가 당구공을 큐로 치게 되면 그 공에게 운동 에너지를 전달하게 된다.
만약 그 공이 다른 공과 충돌한다면 에너지가 전달 되기 때문에 멈춰 있던 공은 가속되고 다른 공은 급격하게 느려진다.
당구에서의 충돌은 탄성 충돌에 가깝다.
따라서 운동 에너지는 보존된다.
비탄성 충돌의 경우 운동 에너지는 다양한 형태의 에너지(열, 소리 등)로 분산된다.
플라이휠은 에너지를 저장하기 위해 개발되었다.
이는 운동 에너지가 회전 운동의 형태로 저장된 것이라고 볼 수 있다.
어떤 물리적 상황에서 운동 에너지를 수학적으로 기술하는 방법이 몇 가지 있다.
일상생활에서는 보통 뉴턴 역학(고전 역학)에서의 ½mv² 공식이 가장 적합하다. 하지만 물체의 속력이 빛의 속력에 가까워지면 상대론적인 효과가 나타나며 상대성 이론이 필요하게 된다.
만약 물체가 원자나 아원자 수준의 크기라면 양자 역학적인 효과가 두드러지며 양자 역학이 필요하게 된다.
고전 역학에서 점 입자(너무 작아서 질량이 한 점에 집중해 있다고 봐도 되는 물체) 혹은 비회전 강체의 운동 에너지는 그것의 속력과 질량에 의존한다.
운동 에너지는 속력의 제곱과 질량의 곱에 1/2을 곱한 것과 같다.
SI 단위에서 질량은 킬로그램, 속도는 m/s로 측정된다.
그리고 운동 에너지의 단위는 [[줄 (단위)그냥 줄 중에는 영어로 j라고 한다!]이다.
예를 들어, 어떤 사람이 80kg의 물체가 18m/s로 운동할 때 운동에너지를 계산하려고 한다면
만약 당신이 공을 던진다면 당신은 공을 가속시키기 위해 [[일 (물리학)|일]]을 가할 것이고, 그 공이 어떤 물체에 부딪히고 그 물체를 움직이게 한다면 부딪힐 때 공이 그 물체에게 일을 해 준 것이다.
그런데, 운동 에너지는 정지 상태에서 어떤 속력까지 가속시키는데 필요한 일이므로 알짜힘 x 변위 = 운동 에너지인 것이다.
운동 에너지는 속력의 제곱에 비례하기 때문에 물체의 속력이 두 배가 된다면 운동 에너지는 네 배가 된다.
예를 들어, 어떤 차가 다른 동일한 질량의 차보다 두 배의 속력으로 달리고 있다고 하자.
두 차가 브레이크를 밟을 때 마찰력이 동일하다고 하면 속력이 두 배 빠른 차가 네 배더 많은 거리를 브레이크를 밟아야 완전히 멈출 수 있다.
이는 감속하는데 걸리는 시간이 네 배인 것을 의미한다.
물체의 운동에너지는 또한 [[운동량]]과도 관계가 있는데, 이는 다음을 만족한다.
[[평행 이동|병진]]식 운동 에너지, [[강체]]의 선형 운동에서의 운동 에너지 또한
물체의 운동 에너지는 그것이 측정되는 기준계에 의존한다.
하지만 에너지가 나가거나 들어올 수 없는 고립계에서의 전체 에너지는 시간이 지나도 그것이 측정되는 기준계 안에서는 변하지 않는다.
그러므로 로켓 엔진에서 운동 에너지로 변환되는 화학 에너지는 기준계에 따라 우주선체와 배기 가스에 다른게 나뉜다.
이를 오베르트 효과라고 부른다.
하지만 어떤 기준계를 선택하든지 운동 에너지, 연료의 화학 에너지 등을 포함한 전체 에너지는 시간에 따라 변하지 않는다.
하지만 다른 기준계를 따라 움직이는 서로 다른 관측자들이 관측한 전체 에너지는 서로 다를 수 있다.
기준계에 따라 계의 운동 에너지는 달라지는데 운동량 중심을 따라 움직이는 기준계에서 측정할 때 운동 에너지는 최소값을 가진다.
이는 이 기준계에서 계의 총 운동량이 0이기 때문이다.
극소 시간 "dt" 동안 입자를 가속시키는데 필요한 일은 "힘" 과 "변위"의 [[스칼라곱|내적]]과 같다.
내적의 성질을 이용하면,
이므로, 질량이 일정하다고 가정하면 다음과 같다.
따라서 이것은 전미분이므로 우리는 이것을 [[적분]]하여 운동 에너지를 구할 수 있게 된다.
물체가 0초 일 때 정지해있다고 가정하고 0부터 t까지 시간에 대해 적분하면
이 식은 운동 에너지("Ek")가 [[속도]](v)와 운동량(p)의 [[무한소|미소]] 변화의 [[스칼라곱|내적]]과 같음을 의미한다.
또한 물체는 처음에 운동 에너지를 가지고 있지 않았다고 가정한다.
강제 Q가 질량 중심을 통과하는 어떤 선을 중심으로 회전한다면 회전 운동 에너지(formula_18)가 존재하게 된다.
이는 움직이는 부분들의 운동 에너지 합과 같다.
이 식에서 [[관성]] 모멘트는 질량 중심을 통과하는 회전축에 대해 측정되어야 하며 각속도 또한 그 회전축에 대해 측정되어야 한다.
물체의 편심된 모양때문에 생기는 떨림 운동이 있는 물체의 관한 좀더 일반적인 식도 존재한다.
계에서의 물체는 계와의 상대적인 운동에 의해 생기는 내적인 운동 에너지를 가지고 있다.
예를 들어, [[태양계]]에서는 행성과 미행성들이 태양을 중심으로 공전하고 있다.
가스 탱크 안에서는 분자들이 거의 모든 방향으로 움직이고 있다.
이 때 계의 운동에너지는 계가 포함하는 모든 물체의 운동 에너지의 합이다.
정지한 거시적인 물체(즉, 물체의 운동량 중심을 따라 이동하는 기준계)는 원자 또는 분자 수준에서 분자의 병진, 회전, 진동이나 전자의 병진과 스핀 또는 핵 스핀 등 때문에 운동 에너지 형태의 다양한 내적 에너지를 가지고 있다.
특수 상대성이론에서 이들 모두는 물체 질량을 구성하게 된다.