heegyu/kowiki-sentences huggingface dataset:
위키백과가 시작된 지 2년 후인 2003년 6월 20일 플로리다주 법인으로 설립되었으며 2007년 본부를 샌프란시코로 이전하였다.
2013년 귀속분 국세청 신고서에 따르면 재단의 기금 수익은 3천9백7십만 달러이고 지출된 경비는 2천9백만 달러이다.
또한 총 자산은 3천7백2십만 달러로 이 가운데 부채는 230만 달러이다.
2014년 5월 위키미디어 재단은 초대 사무국장 슈 가드너가 퇴임하고 2대 사무국장으로 라일라 트레티코프를 지명하였다. 《월스트리트 저널》은 2014년 5월 1일자 보도를 통해 새로운 사무국장의 취임을 소개하면서 트레티코프의 “정보는 공기와 같이 자유를 좋아한다.”는 말을 인용하였다.
2016년 6월 3대 사무국장으로 캐서린 마허가 취임하였다.
마허는 위키미디어 프로젝트의 운영 방향에 대해 커뮤니티 내에서 상호 공감을 형성하는 것이 무엇보다 중요하다는 입장을 밝혔다.
위키백과의 운영 프로그램은 미디어위키이다.
오픈 소스로 배포되는 자유 소프트웨어인 미디어위키는 PHP 기반의 위키 소프트웨어로 MySQL 데이터베이스를 이용한다.
위키백과 초기에는 펄로 작성된 유스모드위키를 사용하였으나 2002년 1월에 마그누스 만스커가 개발한 PHP와 MySQL 기반의 위키가 도입되었고, 다시 2002년 7월 리 다니엘 크로커가 개발한 미디어위키를 3세대 소프트웨어로 도입하였다.
미디어위키는 이후로도 여러차례 업데이트되어 위키백과를 비롯한 여러 위키미디어 프로젝트를 운영하는 소프트웨어가 되었다.
위키백과는 낮 시간을 기준으로 1초에 25,000~60,000페이지 요청을 수신한다.
페이지 요청은 먼저 스퀴드 캐시 서버의 프론트엔드 계층으로 내보낸다.
스퀴드 캐시가 처리할 수 없는 요청은 리눅스 가상 서버 소프트웨어를 실행하고 있는 부하 제어 서버로 내보낸다.
즉, 데이터베이스로부터 렌더링한 페이지를 보여 주기 위해 아파치 웹 서버들 가운데 하나로 요청을 내보낸다는 뜻이다.
웹 서버는 요청한 페이지를 전달하여 모든 언어판의 위키백과에 대한 페이지 렌더링을 수행한다.
속도를 더 빠르게 하기 위해 렌더링 된 페이지는 만료될 때까지 분산 메모리 캐시에 캐시 처리되며 이로써 대부분의 동일한 페이지 접근을 위해 페이지 렌더링을 완전히 생략할 수 있다.
현재 사용되고 있는 위키백과의 서버는 주로 우분투로 이루어진 리눅스 서버들의 컴퓨터 클러스터로 운영되고 있다.
2009년을 기준으로 위키미디어 재단은 미국 플로리다주에 300대, 네덜란드 암스테르담에 44대의 서버를 운영하였다.
2013년 1월 22일 위키백과는 중요 데이터를 미국의 데이터 센터 공기업인 에퀴닉스로 이전하였다.
위키백과에서는 단순 반복적인 활동을 위해 봇이라고 불리는 프로그램이 운영된다.
봇은 자주 혼동되는 오탈자를 바로잡거나 자동으로 생성될 수 있는 반복적인 문구의 삽입과 같은 일을 담당한다.
봇 역시 위키백과 커뮤니티의 사용자들이 작성하여 운영하며 잘못된 사용을 막기 위해 별도의 등록 절차를 거친다.
2005년에 영국의 네이처 지는 브리태니커 백과사전과 위키백과의 42가지 난해한 과학 기사를 비교한 평가 리뷰를 발표하였다.
그 결과는 위키백과의 정확도 수준이 브리태니커 백과사전에 근접한다는 것이었다.
다만, 비평가들은 모든 범위의 기사에 대한 무작위 표본 추출을 하였거나, 사회과학 또는 논쟁적인 사회 문제에 중점을 둔 유사한 연구의 경우에서는 그렇게 긍정적인 결과가 나오지 못하였을 수도 있다고 여겼다.
또 2006년 기사에서 타임 지는 위키백과는 누구나 편집할 수 있는 개방 정책을 갖고 있으며, 이로써 위키백과가 세계에서 가장 큰 백과사전으로 만들어질 수 있도록 하고, 지미 웨일즈의 비전을 실현한다고 밝혔다.
위키백과는 누구나 참여할 수 있기 때문에 편집자의 시각에 따라 누군가가 악의적인 의도등으로 잘못된 정보를 입력할 수 있고, 이에 따라 잘못된 정보가 퍼져나갈 수 있다는 문제점이 제기되어 왔다.
예를 들어 2005년 영어 위키백과에서는 존 시겐설러라는 미국의 전직 언론인이 존 F. 케네디 대통령의 암살에 관여했다는 잘못된 정보가 올려져 있었다는 점이 밝혀졌으며, 한 익명 사용자가 신바드라는 미국의 코미디언이 사망했다는 거짓 정보를 올려 인터넷 전반에 잘못된 소문이 퍼지기도 했다.
또한 위키백과는 미국 내의 보수주의자들로부터 자유주의적이라는 비판을 받아왔다.
이로 인해 컨서버피디아가 2006년에 개설되었다.
미 연구팀에 의하면, 영어판 위키백과에 등록된 문서 중 회사 관련 내용의 약 60% 정도가 잘못된 사실을 담고 있다는 연구결과가 나왔다.
연구팀의 교수는 이를 특정 회사들이 이미지를 긍정적으로 만들기 위해 위키백과에 회사에 유리한 내용을 삽입하기 때문인 것으로 추정하고 있다.
다음은 고대 그리스 신화와 고대 그리스 종교에 등장하는 신, 반신으로 구성된 가계도이다.
광자(光子, photon) 또는 빛알은 기본입자의 일종으로, 가시광선을 포함한 모든 전자기파를 구성하는 양자이자 전자기력의 매개입자이다.
전자기력의 효과는 미시적, 거시적인 수준에서 쉽게 관찰할 수 있는데, 광자가 질량을 가지지 않기 때문에 장거리에서의 상호작용이 가능하다.
다른 기본입자들과 같이 광자는 양자역학과 입자-파동 이중성 이론을 통해 가장 잘 설명된다.
하나의 현상임에도 파동과 양자라는 두 가지 관측 가능한 모습을 가진 광자의 진짜 성질은 어떤 역학적 모델로도 설명할 수 없다.
이러한 빛의 이중성의 묘사, 전자기파에서의 에너지의 위상을 파악하는 것 또한 불가능하다.
전자기파의 양자의 위치는 공간적으로 국한되지 않기 때문이다.
아이작 뉴턴은 빛이 입자로 이뤄져 있다고 주장하였다.
그러나 고전적인 입자론은 빛의 파동적인 성질, 특히 간섭을 설명하지 못한다.
따라서 18세기에 와서는 이중 슬릿 실험을 설명할 수 있는 토머스 영의 파동설이 우세하였고, 제임스 맥스웰의 고전전자기학의 완성으로 파동설은 정설로 인정되었다.
그러나 20세기 초에 와서 고전적인 파동설로 설명할 수 없는 현상이 발견되기 시작하였다.
자외선 파탄이 그중 한 예인데, 이에 따르면 열적 평형에 있고 유한한 온도를 가진 고전적 흑체는 무한한 양의 전자기파를 방출하여야 한다.
이 문제를 해결하기 위해, 막스 플랑크는 전자기파가 양자화되었다는 가설을 도입하였다 (1901). 그러나 그는 실제로 빛이 입자로 구성되었다기보다는, 어떤 알 수 없는 현상에 의해 파동의 에너지가 양자화되었다고 해석하였다.
알베르트 아인슈타인은 힐베르트의 가설에서 시작하여, 빛이 실제로 입자로 구성되었다고 가정하면서 광전효과를 설명할 수 있다는 사실을 보였다 (1905). 이후 양자역학의 발전과 양자전기역학의 도입으로, 빛이 양자화되었다는 사실을 이론적으로 설명할 수 있게 되었다.
따라서 단위물질량당 광자에너지는
보손()는 스핀이 정수고, 보스-아인슈타인 통계를 따르는 매개 입자다.
인도의 물리학자 사티엔드라 나트 보스의 이름을 땄다.
페르미온의 반대말이다.
모든 입자는 스핀이 정수이거나 반정수이다.
스핀-통계 법칙에 따라 (유령입자나 애니온 따위의 예외적 경우를 제외하고) 전자(前者)의 경우는 보스-아인슈타인 통계를 따르고, 후자는 페르미-디랙 통계를 따른다.
전자를 보손, 후자를 "페르미온"이라고 부른다.
보손은 보스-아인슈타인 통계를 따르므로, 파울리 배타 원리를 따르지 않는다.
즉, 여러 입자가 동일한 상태에 있을 수 있다.
예를 들면, 광자는 스핀이 1인 보손이다.
따라서, 들어온 빛을 완전히 흡수하는 흑체가 복사하는 전자기파의 파장 분포는 보스 통계를 따른다.
또 응집물질물리에 나오는 준입자 포논도 보스 통계를 따른다.
현재 알려진 기본 입자 가운데 보손은 다음과 같다.
초대칭이나 각종 대통일 이론 등, 표준 모형을 확장하는 모형들은 대부분 추가 보손을 예측하나, 이들은 아직 발견되지 않았다.
짝수개의 페르미온으로 구성된 합성 보손이 구성될 수 있다.
예를 들어, 중간자는 쿼크와 반쿼크로 구성된 합성 보손이다.
이 밖에도, 보손들로도 합성 보손이 구성될 수 있다.
양자장론의 스핀-통계 정리에 따라, 로런츠 대칭이 깨지지 않는 이상 모든 보손은 항상 정수의 스핀을 갖는다.
기본 보손의 경우, 와인버그-위튼 정리에 따라 보통 0, 1, 2만이 가능하다고 여겨지며, 스핀 2인 입자는 중력자, 스핀 1인 입자는 벡터 보손, 스핀 0인 입자는 스칼라 보손으로 불린다.
페르미온과 달리, 보손은 파울리 배타 원리를 따르지 않는다.
즉, 한 양자 상태에 임의의 수의 보손이 존재할 수 있다.
따라서 보손은 낮은 온도에서 보스-아인슈타인 응축 등의 특이한 성질을 보인다.
독일 수학자 르죈 디리클레의 이름에서 유래하였다.
여기서 덧셈은 "n"의 모든 양의 약수 "d"에 대해 이루어진다.
이 연산의 일반적인 성질을 몇가지 나열해 보면:
덧셈과 디리클레 포갬으로 수론적 함수의 전체집합은 ε을 곱셈에 대한 항등원으로 하는 가환환(commutative ring)을 이루고, 이를 디리클레 환(dirichlet ring)이라 부른다.
나아가, 곱셈적 함수의 집합은 디리클레 포갬과 ε을 항등원으로 하는 가환군(abelian group)을 이룬다.
곱셈적 함수에서 몇가지 중요한 곱셈적 함수들간의 포갬에의한 관계식의 예를 찾아볼 수 있다.
주어진 수론적 함수 formula_2에 대해 디리클레 합성곱을 연산으로 하는 역원 formula_3이 존재한다.
이 역원을 계산하는 계산식은 다음과 같다.
맨 첫 번째 항은 다음과 같다.
예를 들어, 모든 formula_7에 대해 1 인 수론적 함수의 역원은 뫼비우스 함수가 된다.
더 일반적인 관계는 뫼비우스 반전 공식에 의해 유도된다.
디리클레 급수와의 관계.
급수가 수렴하는 복소수 s에 대해,
L-급수의 곱은 디리클레 포갬과 다음 관계가 있다.
좌변이 존재하는 모든 s에 대해,
수론적 함수의 미분과의 관계.
물론 수론적 함수는 연속함수가 아니므로 통상적인 의미로서의 미분은 불가능하다.
그러나 산술함수에서 따로 미분을 정의하여 디리클레 합성과 연계하여 사용한다.
주어진 산술함수 formula_2의 미분은 다음과 같이 정의한다.
위와 같이 미분을 정의할 경우 다음과 같은 성질들이 성립한다.
수학에서 동치관계(同値關係, )는 논리적 동치와 비슷한 성질들을 만족시키는 이항관계이다.
집합 formula_1 위의 동치관계 formula_2는 반사관계이자 대칭관계이자 추이관계인 이항관계이다.
즉, 다음 조건들이 성립하여야 한다.
집합 위의 동치관계로부터, 표준사상을 구성할 수 있다.
를 표준사상이라고 한다.
는 동치관계이며, 그 상집합은
집합 위의 동치관계와 그 집합의 분할 사이에는 자연적인 일대일 대응이 존재한다.
《자연철학의 수학적 원리》(自然哲學- 數學的原理, )는 서양의 과학 혁명을 집대성한 책의 하나이다.
줄여서 '프린키피아'()라고 불리기도 한다. 1687년에 나온 아이작 뉴턴의 세 권짜리 저작으로, 라틴어로 썼다.
이 책에서 뉴턴은 고전 역학의 바탕을 이루는 뉴턴의 운동 법칙과 만유인력의 법칙을 기술하고 있다.
당시 요하네스 케플러가 천체의 운동에 대한 자료를 바탕으로 알아낸 케플러의 행성운동법칙을 뉴턴은 자신의 위 두 법칙들로써 증명해 낸다.
그는 이러한 일련의 작업을 통해서 코페르니쿠스에서 시작되어 케플러, 갈릴레오를 거치면서 이루어져 온 천문학의 혁명을 완성하는 한편, 갈릴레오 이후 데카르트, 하위헌스 등을 통해서 이루어져 온 근대 역학의 성공을 눈부시게 보여주고 있다.
에드먼드 핼리도 이 책을 바탕으로 1530년, 1607년, 1682년에 나타났던 혜성들의 궤도를 계산해, 이 혜성 모두가 동일한 하나의 천체일 가능성이 높다는 사실을 발견했고 일정한 주기에 따라 1750년대 말에 다시 나타나리라고 예견했다.
뉴턴도 핼리도 죽은 뒤인 1758년에 수수께끼 같은 천체가 발견되었는데 그것이 다름
제1편은 운동에 관한 일반적 명제를 논술하였고, 제2편은 매질 속에서의 물체의 운동을 다루고, 마지막 제3편은 코페르니쿠스의 지동설, 케플러의 행성의 타원궤도 등의 행성의 운동을 증명하였다.
뉴턴은 그의 이론을 기술하기 위해 미적분학을 역학에 적용하였지만, 이 책에서는 주로 기하학적인 증명 방법을 사용하고 미적분을 거의 사용하지 않고 있는데, 이는 당시의 사람들의 이해를 고려해서라고 한다.
저항이 있는 공간 속에서 물질의 입자가 어떻게 운동하는지에 대한 문제를 취급하고 있다.
이 내용은 오늘날의 소위 「유체역학」에 해당한다.
이것은 주로 당시에 널리 퍼져 있던 데카르트의 「소용돌이」우주관에 케플러의 행성 운동 법칙과 어울리지 않는다는 사실을 밝히기 위한 목적에 맞추어져 있다.
가장 성과가 많은 부분이다.
태양과 다른 행성들의 질량이 추론되고, 순전히 수량적인 방식을 이용해서 지구의 평평한 모습이 설명되며, 조수의 이론 등이 상세히 제시되고 있다.
슈뢰딩거 방정식(-方程式, )은 비상대론적 양자역학적 계의 시간에 따른 진화를 나타내는 선형 편미분 방정식이다.
오스트리아의 물리학자 에르빈 슈뢰딩거가 도입하였고, 그가 발명한 파동역학의 기본 방정식이다.
파동 함수 formula_1에 대한 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.
해밀토니언 연산자 formula_3는 고전적 해밀토니언에 해당하는 연산자로, 후자를 양자화하여 얻는다.
formula_4는 폴 디랙의 브라-켓 표기를 사용해 나타낸, 슈뢰딩거 묘사에서의 힐베르트 공간의 상태 벡터이다.
이를 파동 함수 formula_5로 나타낼 수 있다. (파동 함수에 대한 해석은 코펜하겐 해석을 참조하라.)
해밀토니언 연산자 formula_6는 보통 미분 연산자이다.
예를 들어, 퍼텐셜 formula_7 속에 있는, 질량이 formula_8인 비상대론적 입자의 경우 해밀토니언은 다음과 같은 2차 미분 연산자이다.
즉, 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같은 2차 편미분 방정식이 된다.
라그랑지언과 이차 양자화.
슈뢰딩거 방정식은 다음과 같은 라그랑지언으로부터 유도할 수 있다.
예를 들어, 퍼텐셜 formula_7 속에 있는, 질량이 formula_8인 비상대론적 입자의 경우 슈뢰딩거 라그랑지언은 다음과 같다.
이 라그랑지언을 고전적 가환 또는 반가환 장의 라그랑지언으로 여겨, 양자장론으로 이차 양자화시킬 수 있다.
이 경우, 외부 배경장 속에서 움직이는, 임의의 수의 비상대론적 보손 또는 페르미온을 나타내는 양자장론을 얻는다.
또한, 이 경우 비선형 상호작용항을 추가할 수 있다.
예를 들어, 그로스-피타옙스키 방정식이 이러한 꼴이다.
1905년, 알베르트 아인슈타인은 광전 효과를 설명하기 위해서 광자의 에너지 E와 진동수 ν 및 플랑크 상수 h 사이의 관계를
1924년 루이 드 브로이는 광자 뿐만 아니라 모든 입자가 대응되는 파동함수 formula_16를 가진다는 드 브로이 가설을 발표하고, 파동의 파장 λ와 입자의 운동량 p에 대해
의 관계식을 제안했으며, 이 관계식이 특수상대론 및 위의 아인슈타인이 제안한 식과 일관됨을 보였다.
즉, E = hν는 광자 뿐만 아니라 모든 입자에 대해 성립한다는 것이다.
에르빈 슈뢰딩거는 슈뢰딩거 방정식을 1925년 발표하였다.
슈뢰딩거는 평면파의 위상을 복소 위상인자로 나타내었다.
및 각 방향의 부분들을 더하면
이제 이를 총 에너지 E와 질량 m 및 위치에너지에 대한 고전역학적 공식
에 대입하여, 당시에 슈뢰딩거가 얻었던 위치에너지가 주어진 3차원 공간 상의 단일입자에 대한 공식에 도달한다.
슈뢰딩거 방정식은 비상대론적이므로, 특수상대론과 불합한다.
슈뢰딩거 방정식을 상대론적으로 일반화하면 스핀에 따라 클라인 고든 방정식이나 디랙 방정식 따위를 얻는다.
이들은 비상대론적인 극한에서 슈뢰딩거 방정식으로 수렴한다.
또한, 슈뢰딩거 방정식에 비인 항을 추가할 수도 있다.
예를 들어, 응집물질물리학에서 보스-아인슈타인 응축을 나타내기 위해 사용하는 그로스-피타옙스키 방정식은 슈뢰딩거 방정식에 사승 상호작용을 추가한 것이다.
엔트로피(, )는 열역학적 계의 유용하지 않은 (일로 변환할 수 없는) 에너지의 흐름을 설명할 때 이용되는 상태 함수다.
통계역학적으로, 주어진 거시적 상태에 대응하는 미시적 상태의 수의 로그로 생각할 수 있다.
엔트로피는 일반적으로 보존되지 않고, 열역학 제2법칙에 따라 시간에 따라 증가한다.
독일의 물리학자 루돌프 클라우지우스가 1850년대 초에 도입하였다.
대개 기호로 라틴 대문자 "S"를 쓴다.
엔트로피에는 열역학적 정의와 통계학적인 정의, 두 가지의 관련된 정의가 있다.
역사적으로, 고전 열역학적 정의가 먼저 발전하였다.
고전 열역학적인 관점에서, 그 이론은 원자나 분자 같은 수많은 성분들로 이루어져 있고, 학설의 안정성은 그러한 성분들의 평균적인 열특성으로 설명된다.
이론을 구성하는 성분의 세부적인 성분들은 직접적으로 보이지 않는다.
그러나 그 특성은 온도, 압력, 엔트로피, 열용량과 같은 눈으로 볼 수 있는 평균적인 지표들에 의해 설명된다.
그 이론의 특성에 관한 고전적인 정의는 평형 상태임을 가정하였다.
엔트로피의 고전 열역학적 정의는 최근 비평형 열역학의 영역으로까지 확대되었다.
이후 엔트로피를 포함한 열특성은 눈으로 볼 수 없는 미시세계에서의 움직임에 대한 정역학적인 관점에서 새롭게 정의되었다.
그 예로 처음에는 기체로 여겨졌지만 시간이 지난 후에 광자, 음자, 스핀과 같은 양자 역학적으로 생각되는 뉴턴 입자가 있다.
이 이론의 특성에 대한 통계학적 설명은 고전적인 열역학을 사용하여 이론의 특성을 정의하는 것이 몇몇 변수의 영향을 받는 이론의 최종적인 상태를 예측하는데 있어서 점점 신뢰할 수 없는 예측 기술이 되어감으로 인하여 필수적인 것이 되었다.
고전적 열역학에서는 엔트로피 "S"의 절대적 값은 정의할 수 없고, 대신 그 상대적 변화만 정의한다.
이 경우 엔트로피의 증가는 다음과 같이 정의한다.
이 식을 적분하여 유한한 엔트로피 차이를 정의한다.
엔트로피는 온도의 함수로써, 주어진 열이 일로 전환될 수 있는 가능성을 나타낸다.
예를 들어 같은 크기의 열량이라도 고온의 계에 더해졌을 때보다 저온의 계에 더해졌을 경우에 계의 엔트로피가 크게 증가한다.
따라서 엔트로피가 최대일 때 열에너지가 일로 전환될 수 있는 가능성은 최소이고, 반대로 엔트로피가 최소일 때 열에너지가 일로 전환될 수 있는 가능성이 최대가 된다.
실제로 외부적인 일을 할 수 있는 에너지를 "유용한 에너지", 존재하지만 외부적인 일을 하는 데에 쓰일 수 없는 에너지를 "사용불가능한 에너지"라고 한다.
계의 총 에너지를 "유용한 에너지"와 "사용불가능한 에너지"의 합으로 정의 할 때, 엔트로피는 전체 에너지에서 차지하는 비율이 주어진 계의 절대 온도에 반비례하는 "사용불가능한 에너지"의 일종으로 볼 수 있다.
깁스 자유 에너지 또는 헬름홀츠 자유 에너지와의 관계식에서 "TS" 로 나타나는 것을 생각해 보라.
엔트로피는 계의 자유 에너지를 결정짓는 요소 가운데 하나이다.
온도는 평형 상태에 있는 계에서만 정의되는 값이므로, 이와 같은 엔트로피의 열역학적인 정의는 오직 평형 상태에 있는 계에서만 성립한다.
반면 통계역학적인 엔트로피의 정의는 모든 계에 적용된다 (아래 참고). 따라서 엔트로피의 보다 근본적인 정의로는 통계역학적인 정의를 꼽을 수 있다.
엔트로피의 증가는 흔히 분자들의 무질서도의 증가로 정의되어 왔으며, 최근들어 엔트로피는 에너지의 "분산"으로 해석되고 있다.
통계역학에서는 엔트로피의 차 뿐만 아니라 엔트로피의 절대적 값을 정의할 수 있다.
확률적 상태 분포를 가지는 어떤 계의 앙상블을 생각하자.
이 경우, 앙상블의 엔트로피는 다음과 같이 정의한다.
고립된 계의 경우, 통상적으로 모든 미시적 상태의 확률이 같다고 가정한다.
다. 여기서 "k"B는 볼츠만 상수다.
이 식은 루트비히 볼츠만이 처음 발견하였다.
열저장고와 열적 평형을 이룬 계의 미시상태는 볼츠만 분포 formula_11를 따른다.
이 경우 엔트로피는 다음과 같다.
양자역학적 앙상블은 밀도행렬 formula_16로 나타내어진다.
이 경우, 폰노이만 엔트로피()를 다음과 같이 정의한다.
밀도행렬을 대각화하면 그 각 원소는 확률 formula_6가 되므로, 이는 위의 통계역학적 정의와 동등하다.
이 정의는 존 폰 노이만이 발견하였다.
블랙홀은 고전적으로 털없음
정리에 의하여 미시상태가 없다.
그러나 반고전으로 마치 어떤 유한한 엔트로피를 가진 것처럼 행동한다.
이를 베켄슈타인-호킹 엔트로피()라고 부른다.
이는 야콥 베켄슈타인(, )이 가설을 세웠고, 스티븐 호킹이 반고전적으로 유도하였다.
또한, 특수한 경우 끈 이론이나 루프 양자 중력 등으로 미시적으로 유도할 수도 있다.
블랙홀을 포함하는 계의 경우, 베켄슈타인-호킹 엔트로피를 무시하고 계산하면 일반적으로 열역학 제2법칙이 성립하지 않고, 이를 포함하여 계산하여야만 성립한다.
따라서 전체 에너지에서 formula_21을 뺀 양이 자유 에너지가 된다.
열 엔트로피와 위치 엔트로피.
엔트로피란 우주 내부 어떤 시스템에서 생기는 유용한 에너지가 무용한 에너지로 변화하는 량의 척도이다.
엔트로피를 계를 구성하는 성분들의 배열의 관점에서 바라보게 된다면, 위치 엔트로피와 열 엔트로피로 분류할 수 있다.
여기서 열 엔트로피는 분자들 사이에서의 에너지 양자의 분포들에 의한 구별가능한 배열을 기준으로 하여 계산된 엔트로피를 말한다.
위와 같이 분류한 엔트로피를 계의 관점에서 본 알짜엔트로피 변화를 나타낼 때 이용할 수 있다.
계와 주위가 갖는 엔트로피는 다음과 같이 표현할 수 있다
여기서 열 엔트로피는 계와 주위 모두에 존재하지만, 계를 제외한 모든 곳을 지칭하는 주위에서 위치 엔트로피의 변화는 너무 광범위하게 이루어지므로 그 변화를 무시할 수 있고, 주위가 갖는 엔트로피 변화에 가장 큰 영향을 미치는 것은 온도, 즉 열 엔트로피이다.
이 때문에 주위의 엔트로피 변화를 열 엔트로피 변화라고 할 수 있다.
그리고 이와 같은 관점에서 계에서 열 엔트로피변화는 분명 존재하긴 하지만 위치 엔트로피의 변화가 더욱 계의 엔트로피변화에 큰 영향을 주기 때문에 계의 엔트로피 변화를 위치 엔트로피의 변화라 할 수 있다.
라플라스 방정식(Laplace's equation)은 2차 편미분 방정식의 하나로, 고윳값이 0인 라플라스 연산자의 고유함수가 만족시키는 방정식이다.
전자기학, 천문학 등에서 전위 및 중력 퍼텐셜을 다룰 때 쓰인다.
피에르시몽 라플라스의 이름을 땄다.
라플라스 방정식의 해를 조화함수라고 한다.
그렇다면 라플라스 방정식은 다음과 같은 2차 편미분방정식이다.
3차원 유클리드 공간에서는
는 푸아송 방정식이라고 한다.
즉, 라플라스 방정식은 formula_8인 푸아송 방정식의 특수한 경우다.
우변을 다음과 같이 바꾸면
헬름홀츠 방정식을 얻는다.
코시-리만 방정식의 해의 두 성분 모두 각각 라플라스 방정식을 만족한다. (즉, 정칙함수의 실수 또는 허수 성분은 조화함수다.)
라플라스 방정식의 디리클레 문제란 어떤 영역 formula_11의 경계에서의 φ가 특정 함수로 주어졌을 때, 영역 formula_11위의 해 φ를 구하는 것이다.
열전도에서 등장하는 라플라스 방정식을 빗대어 보면, 이 문제는 다음과 같이 해석할 수 있다.
경계면의 온도를 특정한 온도로 일정하게 유지하고 내부의 온도가 더 이상 변화하지 않을 때까지 기다린 후 내부의 온도 분포를 찾는 것이 디리클레 문제에 해당한다.
라플라스 방정식의 노이만 경계 조건은 경계 D에서 함수 formula_13 자신이 아니라 법선 도함수를 조건으로 가진다.
물리학에서는 경계에서만 벡터장의 효과를 알고 있을 때 그 벡터장의 퍼텐셜을 구하는 데 사용한다.
라플라스 방정식의 해를 조화 함수라고 한다.
조화 함수는 방정식의 해가 되는 영역에서는 항상 해석적이다.
만일 두 함수가 각각 라플라스 방정식(또는 선형 동차 미분방정식)의 해라면, 두 함수의 선형 결합도 해이다.
이 성질을 중첩의 원리라고 하며 복잡한 문제의 해를 간단한 해들로 나타낼 수 있기 때문에 유용하게 쓰인다.
2차원에서 라플라스 방정식은 두 개의 의존변수
2차원 라플라스 방정식의 차분방정식.
푸아송 방정식의 차분방정식은 다음과 같다.
복소 범위의 해석적 함수 formula_18의 실수부와 허수부는 모두 라플라스 방정식을 만족한다.
를 만족해야 한다(코시-리만 방정식). 여기서
따라서 formula_24는 라플라스 방정식을 만족한다.
formula_25도 비슷한 방법으로 라플라스 방정식을 만족함을 보일 수 있다.
2차원 라플라스 방정식과 푸리에 급수.
극좌표계 formula_26에서 라플라스 연산자는 다음과 같다.
따라서 그 일반해는 변수분리법으로 구할 수 있고, 다음과 같다.
즉, 푸리에 급수의 계수는 로랑 급수의 계수와 같다.
3차원 공간에서, 구면좌표계 formula_31에서 변수분리법을 적용하면 라플라스 방정식의 일반해는 다음과 같다.
적분은 미적분학의 두 기본연산 중의 하나이다.
적분은 미분처럼 복잡한 함수를 보다 간단한 함수들로 분해하여 계산할 수는 없기 때문에, 여러 함수에 대한 적분을 모아 놓은 적분표는 유용하게 사용된다.
아래의 식들에서 "C"는 적분 상수이다.
아래 문서들에서 다양한 적분 공식들을 찾아볼 수 있다.
어떤 함수의 적분은 원시 함수로 나타낼 수 없지만, 특정 구간에서의 적분값을 계산할 수는 있다.
다음은 그들 중 유용한 몇 정적분이다.
수학에서 삼각함수(三角函數, )는 각의 크기를 삼각비로 나타내는 함수이다.
예각 삼각함수는 직각 삼각형의 예각에 직각 삼각형의 두 변의 길이의 비를 대응시킨다.
임의의 각의 삼각함수 역시 정의할 수 있다.
삼각함수는 복소수의 지수 함수의 실수 · 허수 부분이며, 따라서 복소수를 다룰 때 핵심적인 역할을 한다.
가장 근본적인 주기 함수이며, 각종 주기적 현상을 다룰 때 푸리에 급수의 형태로 등장한다.
직각 삼각형을 통한 정의.
또한, 코시컨트, 시컨트, 코탄젠트는 위 세 함수의 역수가 되며, 다음과 같이 정의한다.
좌표평면에서 원점을 중심으로 하고 반지름 r의 길이가 1인 원을 단위원이라고 한다.
연립하여 풀면, 쌍곡선함수,
탄젠트 · 코탄젠트는 주기가 formula_37인 주기함수이다.
사인과 코사인은 실수선 위에서 해석함수이며, 복소 평면 위에서 정칙함수이다.
이들은 복소 무한대 formula_41에서 본질적 특이점을 갖는다.
특별한 각에서의 삼각 함수의 값은 다음과 같다.
각 사분면에 따른 삼각함수의 부호는 다음과 같다.
삼각함수 사이에는 많은 항등식이 존재한다.
그중 가장 자주 쓰이는 것은 피타고라스 항등식으로, 어떤 각에 대해서도 사인의 제곱과 코사인의 제곱의 합은 1이다.
이를 삼각함수로 나타내면 다음과 같다.
따라서, 이것은 또한 단위원에서 다음과 같다.
서로 다른 삼각함수의 관계는 삼각함수의 덧셈정리이다.
두 각의 합과 차의 사인과 코사인은 x, y에 대한 사인과 코사인으로 구할 수 있다.
이는 제2 코사인 법칙과 두 점 사이의 거리 공식을 연립해 유도할 수 있고, 제1 코사인 법칙과 사인 법칙을 연립해 유도할 수 있고, 오일러의 공식을 이용해 유도할 수도 있다.
두 각의 크기가 같을 경우에는 덧셈정리를 간단하게 배각공식을 이용할 수 있다.
모든 삼각 함수는 다른 삼각 함수를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
다음은 6개의 기본 삼각함수에 대한 도함수와 부정적분이다.
여기서 "R"은 삼각형의 외접원의 반지름의 길이를 나타낸다.
코사인 법칙에는 총 두 가지의 법칙이 있다.
코사인 제 1 법칙에 따르면,
양변의 길이와 알고자 하는 변 사이의 두 각의 크기를 알 경우, 다른 한 변의 길이를 알아낼 때 사용할 수 있다.
코사인 제 2 법칙은 피타고라스의 정리를 확장한 것이다.
가 성립하고, 위의 식을 변형하면
코사인법칙은 두 변의 길이와 끼인각의 크기를 알 때 삼각형의 나머지 한 변의 길이를 구할 때 유용하게 쓸 수 있다.
또한 모든 변의 길이를 알고 있을 때 각의 코사인값을 구할 때에도 사용할 수 있다.
탄젠트법칙은 임의의 삼각형 ABC에서 각 A, B의 대변 "a", "b"에 다음과 같은 식을 만족시킨다.
기원전 2~1세기 그리스의 히파르코스와 프톨레마이오스 등은 각도에 대해 달라지는 현의 길이를 다룬 적이 있다.
현재 쓰는 것과 같은 삼각함수의 원형은 굽타 시대 인도 천문학에서 찾아볼 수 있다.
기원후 4~5세기 인도의 천문학 책이 산스크리트어에서 아랍어를 통해 라틴어로 번역되면서 유럽에 전해졌다.
5세기 초 발간된 인도의 천문학 서적 『수우르야 싯단타(Sūrya Siddhānt, 태양에 관한 지식)』에는 세계 최초로 삼각함수에 관해 정확하고 자세하게 표현된 설명이 기록되어 있다.
삼각함수가 동아시아에 전해진 것은 16~17세기 때이다.
영어 ‘사인()’은 라틴어 에서 왔는데, 이는 12세기의 유럽 번역가들이 아랍어 ()를 ‘옷의 목부분, 옷깃’으로 보고 라틴어로 번역한 것이다. 하지만 이 단어는 실제로는 ‘활시위’를 뜻하는 산스크리트어 (, 베다 )를 음차한 것이다.
‘탄젠트()’는 ‘접한다’는 뜻의 라틴어 에서 왔고, ‘시컨트()’는 ‘자른다’는 뜻의 라틴어 에서 왔다.
각각 원에 접하는 선과 자르는 선에 빗대어 붙인 이름이다.
코사인, 코탄젠트, 코시컨트의 ‘코(co-)’가 처음 쓰인 책으로는 의 (1620년)이 있는데, ‘여각의 사인’()을 ‘코사인()’으로 줄여 부른 것이다.
한자 문화권에서는 독일의 선교사·과학자인 이 명나라에서 저술한 《대측(大測)》(1631) 등의 책에서 사인·코사인·탄젠트를 각각 정현(正弦)·여현(餘弦)·정절(正切)이라고 번역했다.
코탄젠트·시컨트·코시컨트는 각각 여절(餘切)·정할(正割)·여할(餘割)이라 한다.
이 이름은 근대화되기 전의 조선·일본에서 쓰였고, 지금도 중국에서 쓰인다.
르장드르 다항식() formula_1는 르장드르 미분 방정식()이라고 불리는 다음 미분 방정식의 해가 되는 함수들이다.
스튀름-리우빌 형식으로 쓰면,
이 함수와 미분 방정식의 이름은 프랑스의 수학자 아드리앵마리 르장드르의 이름을 따 명명되었다.
이 상미분 방정식은 물리와 공학의 여러 분야에서 자주 등장한다.
특히, 구면좌표계에서 라플라스 방정식을 풀 때 등장한다.
구체적인 몇몇 르장드르 다항식의 형태는 다음과 같다.
formula_4인 경우의 구간 [-1,1]사이에서의 르장드르 다항식의 그래프는 다음과 같다.
르장드르 다항식에는 다음과 같은 몇몇 간단한 성질이 있다.
르장드르 다항식 끼리 구간 [-1,1]에서 formula_13 내적을 취하면 다음과 같은 결과를 얻는다.
따라서, 르장드르 다항식은 구간 [-1,1]에서 서로 수직함을 알 수 있다.
이는 르장드르 방정식이 스튀름-리우빌 문제에 속하기 때문이다.
즉, 르장드르 미분 방정식을 다음과 같이 스튀름-리우빌 형식으로 놓을 수 있다.
스튀름-리우빌 문제의 해의 집합은 일반적으로 함수 공간의 정규 직교 기저를 이루므로, 르장드르 다항식도 마찬가지로 직교 기저를 이룬다. (다만, 통상적으로 그 노름이 1이 아니게 정의한다.)
르장드르 다항식의 계산 및 표현.
르장드르 다항식은 점화식이나 선적분, 생성 함수 등 여러 방법으로 표현할 수 있다.
로드리게스 공식()은 르장드르 다항식의 일반식이며, 다음과 같다.
르장드르 다항식은 다음과 같은 점화식을 만족한다.
르장드르 다항식은 다음과 같은 생성 함수를 가진다.
르장드르 다항식은 유수적분을 통해 다음과 같은 적분 형태로 표현될 수 있다.
여기서 적분 경로는 원점을 중심으로 하는 임의의 반시계방향의 폐곡선이다.
소수에는 다음과 같은 뜻이 있다.
로봇(, )은 어떠한 작업이나 조작을 자동적으로 수행하는 기계장치다.
또한 제조공장에서 조립, 용접, 핸들링(handling) 등을 수행하는 자동화된 로봇을 산업용 로봇이라 하고, 환경을 인식해 스스로 판단하는 기능을 가진 로봇을 '지능형 로봇'이라 부른다.
사람과 닮은 모습을 한 로봇을 '안드로이드'라 부르기도 한다.
다른 뜻은 형태가 있으며, 자신이 생각할 수 있는 능력을 가진 기계라고도 한다.
인공의 동력을 사용하는 로봇은 사람 대신 또는 사람과 함께 일을 하기도 한다.
통상 로봇은 제작자가 계획한 일을 하도록 설계된다.
로봇'이란 용어는 체코슬로바키아의 극작가 카렐 차페크(Karel Čapek)가 1920년에 발표한 희곡 "R.U.R"에 쓴 것이 퍼져 일반적으로 사용되게 되었다.
또한 로봇의 어원은 체코어로 "노동", "노예", "힘들고 단조로운 일"을 의미하는 "robota"이다.
로봇의 어원은 체코어의 노동을 의미하는 단어 'robota'에서 나왔다고 알려지고 있다.
차페크는 R.U.R.에서 모든 작업능력에서 인간과 동등하거나 그 이상이면서 인간적 “감정”이나 “혼”을 가지고 있지 않은 로봇이라고 불리는 인조인간을 등장시키고 있다.
로봇은 언젠가 쇠조각으로 변하여 반항하는 정신을 발달시킴으로써 자신들의 창조주인 인간을 전부 죽여 버린다고 하는 비극을 인상적으로 나타내고 있다.
로보틱스(Robotics)라는 말은 로봇의 활용과 로봇 공학을 의미한다.
명사로서 로봇(robot)은 다음의 의미를 지닌다.
일할 수 있는 능력은 있어도 생각할 수 있는 능력이 없는 인간을 닮은 것.
아이작 아시모프가 1950년 발간한 소설인 'I'Robot'에서 제안된 로봇의 행동에 관한 3가지 원칙이다.
군사용 로봇이 공격의 기능을 갖출 경우, 첫 번째 원칙에 위배되게 된다. 하지만 3원칙만 듣게되면 만약 예시로 로봇에게 지구에 있는 나무를 다 없애주라고 할 때 나무를 없애는 것이기 때문에 실행을 할 수가 있어 인간에게 위험할 수 있다.
그래서 몇몇 사람들은 이를 바꾸려고 한다.
그동안 인간이 해 오던 많은 일들을 지금은 로봇이 대신하고 있다.
산업 현장에는 단조로운 반복 작업이나 따분한 작업, 불쾌한 작업들이 많은데, 이와 같은 작업은 특히 로봇에게 맡기기에 적합하다.
조립 공장에서 리벳 박는 일, 용접, 자동차 차체를 칠하는 일 등은 그 좋은 예이다.
이런 종류의 작업은 로봇 쪽이 인간보다 더 잘 해낼 수 있다.
왜냐하면 로봇은 언제나 일정한 수준의 정밀도와 정확도로 작업을 계속할 수 있으며, 결코 지칠 줄 모르기 때문이다.
따라서 제품의 품질은 항상 일정하며 게다가 휴식을 취할 필요가 없기 때문에 많은 양의 제품을 만들 수 있다.
또한 로봇은 위험한 작업을 대신할 수가 있다.
방호복을 입지 않고 원자력 공장에서 방사성 물질을 취급하거나, 유독 화학 물질을 취급할 수가 있으며, 인간에게는 너무 덥거나 추운 환경에서도 일할 수가 있다.
인간의 생명이 위험에 노출될 수 있는 곳에서도 로봇을 사용할 수 있다.
예를 들면 폭발물을 수색하거나 폭탄의 뇌관을 제거하는 일, 그리고 우주 공간에서의 작업도 그중의 하나이다.
로봇은 우주 공간에서의 작업에 특히 이상적이다.
지구를 돌고 있는 인공위성을 수리하거나 유지하는 데 사용되기도 하고, 보이저호와 같이 탐사와 발견을 목적으로 먼 천체까지 비행하는 데도 로봇이 사용된다.
한편 가정에서도 점점 많은 로봇이 가사를 돕기 위해 사용되고 있다.
그리고 육체적인 장애를 가진 사람들을 돌보는 일에도 많이 이용될 것으로 기대된다.
로봇 간호보조자는 장애자나 노령으로 인해 체력이 약해진 사람들이 가족들에게서 독립하여 혼자서도 살 수 있도록 해주며, 병원에 입원하지 않아도 될 수 있도록 도와 주게 될 것이다.
로봇이 사용되는 분야의 예를 들면 다음과 같다.
주로 힘이나 정밀도를 요하는 작업 담당
공장에서 제품을 생산할 때 컴퓨터를 이용하면, 제품의 생산 계획이나 설계·제조·보관·출고에 이르기까지 거의 모든 일을 처리할 수 있다.
기계 공업에서 가장 많이 사용하는 공작 기계는 금속 등을 가공할 때 사용된다.
과거에는 이 기계를 사용하기 위해 고도의 숙련된 기술이 필요했다.
그러나 최근에는 수치 제어 공작 기계가 개발되어 기술이 없어도 금속을 가공할 수 있게 되었다.
수치 제어 공작 기계는 가공하는 작업의 순서와 내용을 수치 정보로 만들어 기계에 입력시키면 기계가 자동적으로 가공 작업을 하는 것이다.
이 수치 제어 공작 기계와 자료의 입력 관리를 맡는 컴퓨터가 결합하여 만들어진 것이 컴퓨터 수치 제어 공작 기계이다.
이 수치 제어 기계에서 더 발전하여 복잡한 가공을 할 수 있도록 만든 장치가 공작 로봇이다.
주로 인내심을 요하는 작업 담당
주로 위험한 환경에서의 작업 담당
미국에서는 로봇이 생활에 도움을 주는 기계라기보다 앞으로 인류를 위협할지도 모른다는 생각이 있어서 주로 터미네이터 등 영화에서 로봇이 인류를 위협하는 존재로 나와 있다.
또 무인 조종 비행기 등 군사에서 쓰는 군사 로봇이 가장 잘 발달되어 있다.
한은 사람과 대화를 할 수 있는 건 물론, 사람의 표정, 성, 나이 등을 캐치할 수 있다.
한의 가장 놀라운 점은 인간같은 표정을 지을 수 있다는 것이다.
일본 에도 시대에는 가라쿠리 인형 같은 로봇이 있었다.
일본은 아시모 등과 같은 휴머노이드형 로봇이나 소니의 AIBO와 같은 애완용 로봇 그리고 산업용 로봇 외에도 인간의 모습에 가까운 로봇 개발에 힘쓰고 있다.
아톰, 건담 같은 로봇 애니메이션이 대중적인 인기를 얻고 있다.
중국에서는 로봇을 산업이나 가정에 도움을 주는 기계라보다는 사람이 조종하는 꼭두각시라고 생각한다.
그러나 중국은 미국과 일본, 심지어는 대한민국까지도 로봇공학에 힘을 쏟고 있다는 것을 인식하자 이들에게 뒤떨어지지 않기 위해 2000년에 선행자(先行者)라는 이름의 직립보행형 로봇을 개발하기도 했으나 선행자의 양 다리 사이에 설치된 파이프 모양의 부속으로 인하여 일본에서 '최종중화병기 선행자'라는 애니메이션이 발표되는 등 개그캐릭터로서 폭발적인 인기를 끌기도 했다.
중국에서는 최근 중국 로봇산업의 발전을 위해 많은 노력을 기울이고 있다.
조선시대에 물의 힘으로 여러 인형이 작동하는 물시계 자격루와 옥루를 제작하였다.
한국은 초기에는 산업과 경제에 필요한 기계를 제작하였고, 근래에 들어서는 휴머노이드형 로봇 개발에 힘쓰고 있다.
로봇은 산업 뿐만 아니라 대회에서 인간을 대신하여 겨루는 용도로도 제작되고 있다.
또한 물리적인 움직임 없이 사람과 의사소통하며 감정을 교류하는 소셜 로봇도 있다.
예를 들면, 2015년 5월 글로벌 크라우드 펀딩 사이트인 인디고고(Indiegogo)를 통해 처음으로 세상에 소개된 뮤지오가 있다.
깊은 생각()은 더글러스 애덤스의 과학소설 《은하수를 여행하는 히치하이커를 위한 안내서》에 등장하는 상상의 컴퓨터이다.
소설 속에서 깊은 생각은 '삶과 우주, 그리고 모든 것에 대한 궁극적인 답'을 찾기 위해 만들어졌다.
결국 컴퓨터는 750만 년 동안 계산을 한 결과 42라는 답을 계산해 내지만, 깊은 생각의 제작자들은 정작 이 답에 대한 질문이 무엇인지 모르고 있었다는 것을 깨닫는다.
깊은 생각 자신도 궁극의 질문이 무엇인지에 대한 대답은 내놓지 못한 채, 결국 42라는 답에 대한 질문이 무엇인지를 계산하기 위해 더욱 강력한 컴퓨터(지구)를 제작할 것을 제안한다.
천만 년 동안 계산을 하고 결과를 내어 놓기 5분을 남겨놓고 지구는 보곤 공병함대에 의해 파괴된다.
체스 세계 챔피언 개리 카스파로프를 꺾었던 컴퓨터 딥 블루의 이전 모델도 이 소설 속의 컴퓨터의 이름을 따라 딥 소트(Deep Thought)라 명명되었다.
이후 세대 체스 컴퓨터들의 이름은 딥 프리츠, 딥 주니어 등으로 이어진다.
소립자 물리학의 표준 모형(標準模型, )은 자연계의 기본 입자와, 중력을 제외한 그 상호작용 (강한 상호작용, 약한 상호작용, 전자기 상호작용)을 다루는 게이지 이론이다.
강력을 다루는 양자 색역학과, 약력과 전자기력을 다루는 와인버그-살람 이론으로 이루어진다.
표준 모형에 따르면, 전자와 중성미자 및 기타 렙톤은 기본 입자이나, 강입자는 쿼크로 이루어진다.
이들은 게이지 보손에 의하여 상호작용한다.
게이지 보손은 이론의 대칭을 나타낸다.
표준 모형의 대칭 가운데 강한 상호작용의 대칭은 색가둠으로 인하여 간접적으로만 관찰할 수 있고, 약한 상호작용의 대칭은 힉스 메커니즘으로 인하여 깨진다.
따라서 거시적으로는 전자기 상호작용의 대칭만 쉽게 관찰할 수 있다.
표준 모형은 실험적으로 힉스 메커니즘을 제외하고 1980년대에 완성되었다.
힉스 메커니즘은 2010년대 초에 실험적인 증거가 발견되었다.
표준 모형에서는 중성미자와 게이지 보손, 힉스 보손을 제외한 모든 입자를 디랙 입자로 나타낸다.
이들 입자는 스핀 ½(즉 페르미온)을 가지며, 질량과 전하를 가지고, 그 반입자와 서로 다르다.
표준 모형은 이들 입자의 질량을 예측하지 못하나, 대체로 세대가 높을 수록 더 무겁다.
표준 모형의 디랙 입자 중, 강하게 상호작용하는 입자는 쿼크, 그렇지 않는 입자는 중성미자와 함께 렙톤으로 분류한다.
쿼크는 ±⅓ 혹은 ±⅔의 전하를 가지고, 중성미자가 아닌 렙톤은 ±1의 전하를 가진다.
이들 입자는 힉스 메커니즘으로 질량을 얻는다.
중성미자는 바일 입자(손지기 페르미온)으로 나타낸다.
즉 스핀 ½(즉 페르미온)을 가지며, 질량과 전하가 없고, 그 반입자와 다른 손지기(chirality)를 가진다.
6종의 쿼크 맛깔은 시간이 지나면서 서로 다른 맛깔의 쿼크로 변할 수 있는데, 이를 쿼크 섞임이라고 한다.
쿼크가 섞이는 정도는 CKM행렬이라는 수학적 개체로 나타낸다.
이는 이탈리아의 니콜라 카비보(Nicola Cabbibo)와 일본의 고바야시 마코토와 마스카와 도시히데가 도입하였다.
예를 들어, 중성자는 양성자로 붕괴할 수 있다 (베타 붕괴). 이 과정에서 아래 쿼크는 위 쿼크로 바뀐다.
때문에 표준 모형은 CP 대칭을 보존하지 않는다.
렙톤의 경우, 표준 모형에서는 렙톤이 섞이지 않는다.
즉, 표준모형은 세 종류의 렙톤 수 (전자 수, 뮤온 수, 타우온 수)를 개별적으로 보존한다.
표준모형의 페르미온은 다음과 같이 세 세대로 나뉜다.
각 세대의 서로 대응되는 입자는 질량을 제외하고는 정확히 같은 성질을 지닌다.
표준 모형은 왜 세대 구조가 존재하는지 설명하지 못한다.
표준 모형의 게이지 보손.
낮은 에너지에서, 약전자기력의 대칭은 힉스 메커니즘에 의해 자발적으로 깨져 전자기력의 U(1)EM만 남고, 나머지는 약력을 이룬다.
이 과정으로 인해 힉스 보손과 약력의 게이지 보손은 질량을 얻는다. (여기서 U(1)Y와 U(1)EM은 서로 다른 군이다.)
강력의 게이지 보손은 글루온이다.
SU(3)가 8차원이므로, 글루온은 총 여덟가지의 색을 지닌다.
강력은 오직 쿼크에만 작용하고, 렙톤에는 작용하지 않는다.
쿼크는 세가지의 색을 지닌다.
이를 가시광선의 삼원색을 따서 통상적으로 빨강, 초록, 파랑으로 부른다.
이 때문에 강한 상호작용을 기술하는 양자장론을 양자 색역학이라고 일컫는다.
글루온을 통하여 쿼크의 색이 바뀔 수 있다.
따라서 글루온의 색을 3가지의 색을 다른 색으로 바꾸는 조합 (초록→빨강, 빨강→파랑 등)으로 볼 수 있다. 3가지의 색을 다른 3가지로 바꾸는 조합은 총 3×3=9가지이나, 그중 모든 색을 그대로 두는 (빨강→빨강, 초록→초록, 파랑→파랑) 변환을 제외하여 8가지의 색이 남는다.
전약력의 게이지 보손은 SU(2)×U(1)이 4차원이므로 4종인데, 이는
대칭 깨짐 이후, W0과 B는 광자와 Z보손으로 섞인다.
전약력의 게이지 군 가운데 SU(2)의 전하는 약한 아이소스핀, U(1)의 전하는 약한 초전하이다.
대칭이 깨지면서, 약한 아이소스핀의 한 성분과 약한 초전하가 섞여 양자전기역학의 대칭군 U(1)을 이룬다.
표준 모형의 이론적 구성.
표준 모형은 대부분의 양자장론처럼 많은 수의 대칭을 지닌다.
대칭은 다음과 같이 분류할 수 있다.
자연계에서 약력은 C 대칭과 P 대칭을 최대로 깬다.
따라서 표준 모형은 이들을 따르지 않는다.
강력의 경우 이론적으로 C 대칭을 깰 수 있으나 (강력 CP 문제), 이는 관측 불가능할 정도로 작다.
약력은 2세대 이하에서는 CP 대칭을 보존하지만 3세대 이상으로는 CP 대칭을 깬다 (CP 위반). 표준 모형은 다른 모든 특수상대론적 이론과 같이 푸앵카레 대칭을 따르므로 CPT 정리에 따라 CPT 대칭을 따른다.
CPT는 이산대칭이기 때문에 뇌터 정리에 해당하지 않고,연관된 보존량도 없다.
SU(2)를 약한 아이소스핀, U(1)을 약한 초전하라고 부른다.
여기서 깨진 후 남은 U(1)은 전자기 대칭으로, 약한 초전하의 U(1)과는 다르다.
이에 따라 표준 모형은 색전하, 약한 아이소스핀, 약한 초전하를 보존한다.
이는 쿼크 위상 회전, 전자 위상 회전, 뮤온 위상 회전, 타우온 위상 회전이다.
이에 따라, 표준 모형은 바리온 수, 전자 수, 뮤온 수, 타우온 수를 보존한다.
이들은 우연대칭이기 때문에, 대통일 이론에서 깨질 수 있다.
실제로 전자 수, 뮤온 수, 타우온 수의 개별적인 보존은 중성미자 진동에 의하여 반증되었다.
또한, 우연대칭은 건드림이론에서는 성립하지만 비(非)건드림적인 효과로 인해 깨질 수 있다.
실제로 표준 모형에서는 비건드림적 효과로 인하여 바리온 수와 렙톤 수가 개별적으로 보존되지 않는다.
그러나 "B−L"은 비건드림적으로도 보존된다.
물론 모든 비건드림이론적 효과는 대부분의 경우 극히 미미하고, 빅뱅 초기 (바리온 생성 및 렙톤 생성)를 제외하고는 관측하기 힘들다.
이 밖에도, 표준 모형은 각종 근사적인 맛깔 대칭을 지닌다.
가장 기본적으로 아이소스핀의 SU(2)와 이를 초전하로 확장한 SU(3)이 있고, 이를 다른 쿼크를 도입하여 더 확장할 수 있다.
맛깔 대칭은 쿼크의 질량에 의하여 깨진다.
질량이 클 수록 깨지는 정도도 더 심하다.
아래의 표는 표준 모형에 등장하는 모든 마당을 정리한 것이다.
이 가운데 페르미온 장 (스핀 ½)은 질량을 제외하고 모든 성질이 같은 두 개의 세대가 더 존재하지만, 생략하였다.
이 표는 왼손 바일 스피너 대신에 오른손 바일 스피너로 적을 수도 있다.
그렇게 하면, 모든 쿼크를 반쿼크로 바꾸어야 한다.
이는 약력은 전반성 (P) 대칭을 최대로 불복하기 때문이다.
또한, 표준 모형에서 중성미자는 오직 왼손만 존재한다.
즉 모든 중성미자는 왼손잡이며, 반중성미자는 오른손잡이다.
표준 모형은 19개의 상수를 포함한다.
표준 모형은 이론적으로 여러가지의 결함을 가지고 있고, 또 현상론적으로 관측된 일부 현상을 설명하지 못한다.
이 때문에 학자들은 표준모형이 더 기본적인 이론을 근사하는 유효 이론이며, 더 높은 에너지에서는 표준모형이 다루지 않는 새 현상이 나타나리라고 기대한다.
거대 하드론 충돌기에서 행해지는 여러 실험은 표준모형의 한계를 드러낼 것이다.
표준 모형은 이론적으로 여러 자연스러움 (naturality) 문제를 안고 있다.
이는 표준 모형에 등장하는 몇몇 상수가 너무나 큰 값 또는 작은 값을 가지는 것이다.
이런 문제를 해결하려면 대개 더 강력한 대칭을 도입하여 상수가 왜 그렇게 크거나 작은 값을 가지는지 설명해야한다.
이런 종류의 이론은 대통일 이론이나 초대칭 따위가 있다.
또한, 표준 모형은 여러가지로 임의적인 면이 있다.
표준 모형은 3세대로 구성되어 있지만, 왜 3세대로 구성되었는지 설명하지 않는다.
2세대가 발견되었을 때, 이지도어 아이작 라비는 "누가 그걸 주문했어?"라고 외칠 정도로, 세대의 존재와 그 수는 언뜻 보면 불필요한 구조다.
표준 모형은 전하의 양자화를 설명하지 않는다.
폴 디랙은 전하의 양자화를 설명하려면 자기 홀극이 필요하다는 사실을 보였으나 표준 모형은 자기 홀극을 포함하지 않는다.
또한 표준 모형은 19개의 자유 변수를 가진다.
이 자유 변수의 수는 기본 이론이라고 보기에는 너무 많다.
표준 모형은 입자 물리학의 거의 모든 실험 결과를 오차 범위 안으로 설명한다.
그러나 표준모형은 중력을 다루지 않는다.
또 표준 모형은 중성미자를 무질량 입자로 다루지만, 실제로 중성미자는 아주 작지만 영이 아닌 질량을 가진다 (중성미자 진동). 이 질량이 어떤 종류인지 (즉 중성미자가 디랙 입자인지 마요라나 입자인지) 아직 확실하지 않다.
또한 표준 모형은 아무런 암흑 물질 입자를 포함하지 않는다.
표준 모형에서 암흑 물질로 간주할 수 있는 입자는 중성미자밖에 없는데, 중성미자는 이론적으로 전체 암흑 물질 양의 소량만을 차지한다.
쿼크()는 경입자와 더불어 물질을 이루는 가장 근본적인 입자다.
경입자가 아닌, 색전하를 띤 기본 페르미 입자이다.
중입자와 중간자를 이룬다.
이론 물리학자 머리 겔만은 자신이 발견한 우주의 기본 미립자를 '쿼크'(quark)로 명명했는데 이것은 제임스 조이스의 소설 《피네간의 경야》 12장 '신부선(新婦船)과 갈매기'에서 갈매기가 외치는 무의미한 조롱의 울음소리에서 따온 것이다.
우연의 일치로, 우주 속의 입자들을 구성하는 쿼크는 세 개씩 같이 다닌다.
쿼크는 총 6가지의 종류가 있으며, 다음과 같다.
각 쿼크에는 이에 대응되는 반입자인 반쿼크()가 존재한다.
반쿼크는 대응하는 쿼크와 질량이 같지만 전하와 색전하가 반대다.
각 쿼크는 빨강, 초록, 파랑 세 개의 색깔을 가질 수 있다.
쿼크는 기본 전하의 −⅓ 또는 +⅔의 전하를 갖는다.
기본 전하의 정수배가 아닌 전하를 가진 입자는 쿼크가 유일하다.
전하량 외에도 쿼크는 색전하(色電荷, )란 물리량을 갖는데, 이 양은 '빨강', '초록', 혹은 '파랑'으로 나타낸다.
이 물리량에 대한 보존법칙은 합쳐진 입자는 언제나 '무색'이어야 한다고 말한다.
반쿼크는 '반빨강', '반초록', '반파랑'의 색전하를 갖는다.(색전하는 가시광선의 색과는 아무런 관련이 없고, 단지 양자 색역학의 대칭군인 SU(3)의 3차원 표현의 기저를 나타내는 통상적인 용어일 뿐이다.)
현상에 의하여, 일상적인 에너지에서 쿼크는 홀로 존재하지 않고 언제나 중간자나 중입자를 이룬다.
중간자는 쿼크와 반쿼크로 이루어진 입자이고, 중입자는 세 개의 쿼크로 이루어진 입자다.
중간자와 중입자를 통틀어 강입자라고 부른다.
이에 따라, 홑 쿼크는 관측할 수 없으며, 관측 가능한 강입자는 항상 기본 전하의 정수배의 전하를 가지고, 항상 무색이다.
쿼크를 따로 관측할 수 없으므로, 위 표의 쿼크 질량은 정확한 값이 아니라 참값이 놓여 있을 것으로 여겨지는 범위다.
"쿼크"라는 이름은 제임스 조이스의 소설 《피네간의 경야()》에 나오는 다음 구절에서 인용한 것이다.
여기서 "쿼크"()는 액체의 단위인 쿼트를 변형한 것으로, 등장 인물인 마크에게 술을 권하는 대목이다.