heegyu/kowiki-sentences huggingface dataset:
1827년에 식물학자 로버트 브라운은 현미경을 통해 물 위에 뜬 티끌들이 변덕스럽게 움직이는 현상을 발견하고, 브라운 운동이라 이름붙인다.
사람들은 여기 원자론을 적용하여 물 분자들이 티끌과 무작위적으로 충돌함으로써 이러한 현상이 발생한다고 추측했다.
이후 1905년에 알버트 아인슈타인이 통계물리학을 통해 브라운 운동의 원인이 실제로 분자의 자발적 운동이라는 것을 밝힌다.
프랑스의 물리학자 장 페랭은 아인슈타인의 이론을 실험으로 검증하여 1926년 노벨 물리학상을 받는다.
1897년 영국의 과학자 조지프 존 톰슨은 음극선이 전자기파의 일종이 아닌, 수소보다 1,800배나 가벼운 입자로 이루어진 빔이라는 사실을 발견한다.
이는 즉 원자보다 가벼운 입자가 존재함을 시사한다.
이 입자는 처음으로 발견된 아원자 입자로 처음에는 소체(小體)라는 의미의 "corpuscle"라 불렸으나, 이후 전자로 다시 명명된다.
톰슨은 전자가 방사성 물질에서 방출된다는 사실을 밝혔고, 이후 광전 효과에서 튀어나오는 입자도 전자임을 보였다.
금속 내부에서 흐르는 전류의 원인이 전자라는 사실도 곧 밝혀졌다.
원자로 이루어진 음극 판에서 음극선이 방출되므로, 원자가 쪼개질 수 있다는 사실이 너무나 분명하게 드러난 것이다.
이를 바탕으로 1907년에 톰슨은 양전하를 가지는 물체에 음전하를 가지는 전자가 빵 속의 건포도처럼 박혀있는 원자모형을 제시한다.
러더퍼드의 원자핵 발견.
위의 음극선 실험으로 톰슨은 음전하를 띄는 전자라는 입자가 양전하를 띄는 푸딩 안에 박혀있는 형태의 원자를 제안하게 된다.
이 모형은 푸딩 모형이라고도 불린다.
영국의 과학자 어니스트 러더퍼드와 그 제자인 한스 가이거, 어니스트 마즈든은 알파 입자의 비전하를 측정하는 실험을 하고 있었다.
그러나 입자가 측정기구 내부의 공기중에서 산란되는 현상이 계속 발생하고, 결국 실험을 진행하기 어려울 정도로 오차가 쌓인다.
톰슨도 음극선을 사용해 실험을 계속 진행하며 같은 현상을 마주했는데, 톰슨은 실험기구 내부를 진공으로 만들어 이를 해결했다.
그러나 러더퍼드는 전자보다 수천배 이상 더 무거운 알파 입자를 가지고 실험을 하고 있었기 때문에, 톰슨처럼 간단하게 생각할 문제가 아니었다.
톰슨의 원자 모형에 의하면, 양전하는 원자 내부 어딘가에 뭉쳐있는 것이 아니라 원자 전체에 균질하게 퍼져 있어야 했다.
그러므로 충분한 크기의 전기장을 형성하지 못할 텐데, 알파 입자가 산란되는 현상이 계속 발생하는 것이었다.
이에 따라 러더퍼드와 제자들은 이 산란을 주제로 연구를 시작한다.
러더퍼드는 1908년부터 1913년까지 무려 5년의 시간동안 알파입자를 얇은 금박에 쏘는 실험을 진행한다.
대부분의 알파입자는 금박을 통과했지만, 90° 이상 산란되어 튕겨 나오는 알파입자도 관측되었다.
이러한 현상을 설명하기 위해 러더퍼드는 원자 내에 양전하가 한 군데 모여있으며, 그 위치는 원자의 중심이 되어야만 한다는 것을 논증한다.
이 때 제안된 원자모형은 행성모형이라고도 불린다.
하지만 러더퍼드의 원자모형은 원자의 흡수 방출 스펙트럼을 설명할 수 없었고, 전자가 가속운동할 때 전자기파를 방사하는 싱크로트론 방사로 인해 운동에너지를 잃어버려야 하지만, 실제 원자가 물리적으로 안정한 이유를 설명할 수 없었다.
이를 보완하기 위해 1913년 덴마크의 과학자 닐스 보어는 전자가 각기 다른 에너지를 가지는 층에 존재한다는 양자화된 궤도 개념을 도입하여 가설을 세우고 이에 근거한 원자모형을 제시했다.
이 모형에서 전자는 광자를 흡수 또는 방출하면서 각 궤도 사이를 오갈 수 있다.
이처럼 양자화된 궤도 개념을 통해 전자궤도의 안정성, 불연속적인 흡수 방출 스펙트럼을 설명할 수 있었다.
같은 해 말엽, 헨리 모즐리는 보어 모형의 가능성을 보장하는 실험 결과를 얻는다.
또한 이 실험은 어니스트 러더포드와 안토니우스 반 덴 브룩의 가설, 즉 원자는 원자번호 갯수만큼의 핵전하를 띌 것이라는 가설을 검증한다.
이로써 원자 번호가 물리적 의미를 가진다는 사실이 밝혀진다.
원자간 화학 결합은 1916년에 길버트 뉴턴 루이스에 의해 설명된다.
루이스는 이 원자들이 전자를 공유함으로써 화학 결합이 형성된다고 주장했다.
또 1919년에는 미국의 화학자 어빙 랭뮤어는 원소의 화학적 성질이 주기율표를 따라 주기적으로 반복되는 이유는 한 원자 안에 있는 전자들이 물리적으로 긴밀하게 상호작용하여 하나의 집단을 이루기 때문임을 논증한다.
보어의 모형은 전자껍질이라는 개념을 통해 랭뮤어의 전자집단론이 맞았음을 보이고 있다.
이후 슈뢰딩거에 의해 더 완벽하고 정확한 원자모형이 제시되긴 하지만, 보어 모형은 당시까지 밝혀진 원자의 성질들을 성공적으로 설명할 수 있는 최초의 완전한 원자모형이었다.
다만 수소가 아닌 다른 원자들의 선스펙트럼을 설명하지 못하고, 등속 원운동을 할 때 라모 공식을 따르자면 광자가 방출되어야 한다는 오류를 검증되지 않는 가정으로 해결하고자 하는 등의 문제가 남아있었기 때문에 물리학자들은 더 나은 모형을 탐구하기 시작했다.
1922년 슈테른-게를라흐 실험을 통해 원자의 속성들이 양자화되어있다는 것이 밝혀졌다.
은 원자 빔이 불균질한 자기장 내부를 통과하면서 경로가 두 갈래로 갈라지는데, 이러한 현상을 설명하기 위해서는 원자의 자기 모멘트가 두 개로 양자화되어있어야만 했다.
스핀의 방향은 처음에는 무작위하게 분포되어 있다가, 빔이 자기장을 통과하면서 위 혹은 아래로 정렬되기 때문에 빔이 두 가닥으로 갈라지는 것이다.
1925년 베르너 하이젠베르크는 양자화된 성질을 다루는데 유용한 행렬 역학을 처음으로 제안한다.
그 작년인 1924년에는 루이 드 브로이가 모든 입자는 파동의 성질을 가진다는 가설인 물질파를 제안했다.
에르빈 슈뢰딩거는 드브로이의 이 가설을 정식으로 채택해 슈뢰딩거 방정식을 유도한다.
여기서 원자는 기존에는 입자로만 해석되었던 것과는 달리, 삼차원 파형을 가진 파동으로 해석된다.
이처럼 입자를 파동으로 해석함으로써 위치와 운동량을 동시에 정밀하게 측정하는 것이 불가능하다는 베르너 하이젠베르크의 불확정성 원리가 자연스레 유도되었다.
이처럼 원자를 파동으로 해석함으로써 기존의 보어 모형으로서는 설명될 수 없었던 원소들의 선 스펙트럼을 완벽하게 설명할 수 있었다.
또한 실제 관측결과도 잘 부합하는 터라 행성모형은 폐기되고, 원자 오비탈의 개념이 채택되었다.
하지만 같은 해 10월에 독일의 과학자 보른은 슈뢰딩거 방정식이 전자의 파동함수가 아니라 전자가 존재할 확률함수라고 해석하였다.
이러한 확률적 해석을 바탕으로 원자 주위에서 전자를 발견할 확률을 계산하여 확률의 분포를 점으로 찍어 구름처럼 표시하는 현대의 원자모형이 탄생하였다.
질량 분석기의 발달로 인해 원자의 질량을 더욱 정밀하게 측정할 수 있게 되었다.
프랜시스 윌리엄 애스턴은 이 기구를 통해 동위원소들이 서로 다른 질량을 가지며, 원자 질량이 일정 정수비를 가진다는 정수율을 발견했다.
이러한 현상은 1932년에 제임스 채드윅이 양성자와 비슷한 질량을 가지지만 전하를 띄지 않는 입자인 중성자를 발견함으로써 해결되었다.
이로써 동위원소란 같은 수의 양성자를 가지나 다른 수의 중성자를 가지는 종류의 입자라는 사실이 밝혀졌다.
핵분열, 고에너지 및 응집물리학.
러더퍼드의 제자이자 독일의 화학자인 오토 한은 초우라늄 원소를 만들고자 중성자를 우라늄 원자에 충돌시켰으나, 예상과는 다르게 우라늄보다 더 가벼운 원소인 바륨이 생성되었다.
이듬해 리제 마이트너와 그녀의 조카인 오토 프리슈는 한이 수행한 실험이 핵분열을 일으켰다는 것을 알아낸다. 1944년, 한은 노벨 화학상을 수상한다.
한은 마이트너와 프리슈에게도 공을 돌리고자 했으나 아쉽게도 오직 한만이 노벨상을 수상하였다.
1950년대에 고성능의 입자 가속기와 입자 검출기가 만들어짐에 따라 과학자들은 고에너지 상태에서의 원자의 행동을 연구하기 시작했다.
이후 연구결과가 이어지며 중성자와 양성자가 강입자에 속하며, 쿼크라는 더 작은 입자들로 구성된다는 사실이 밝혀졌다.
아원자 입자들로 구성된 원자핵의 성질, 아원자 입자들의 상호작용 등을 설명하기 위해 표준 모형도 만들어졌다.
"더 이상 나누어지지 않는 것"이라는 원자의 어원이 무색하게, 현대 물리학에서는 원자도 전자, 양성자, 중성자 등의 아원자 입자들로 구성되었다고 말한다.
전자는 음의 전하를 띄며, 매우 작아 현대의 기술로 형태를 관측하는 것이 불가능하다.
로 위의 세 아원자 입자들 중 가장 가벼워서 모든 입자들 중 가장 가벼울 것으로 여겨졌으나, 더 가벼운 중성미자가 발견되었다.
일반적으로 양의 전하를 띄는 원자핵 주변에 전자기력으로 포착되어 존재한다.
만일 원자가 가지고 있는 전자의 갯수가 원자번호와 다르다면 원자 자체가 전하를 띄게 되는데 이를 이온이라고 부른다.
조지프 존 톰슨이 1897년에 처음을 발견하였다.
양성자는 양의 전하를 띄며, 전자보다 1,836배 더 무거운 의 질량을 가진다.
원자가 가지고 있는 양성자의 갯수는 원자 번호와 동일하다.
어니스트 러더퍼드가 1919년에 질소 원자를 알파 입자와 충돌시키는 실험에서 처음으로 관측하였다.
1886년에 수소의 원자핵으로 처음 발견되었으나 이 실험으로 인해 원자의 일반적인 구성성분임이 널리 인정받아 러더퍼드가 양성자라는 이름을 새로 붙이게 된다.
중성자는 전하를 띄지 않고 전자보다 1,839배 더 무거운의 질량을 가진다.
이 세 종류의 입자들 중 가장 무겁지만 핵결합에너지 때문에 실제 질량은 이보다 작다.
양성자와 함께 핵자라고도 불리는데, 둘 다 의 비슷한 크기를 가지지만 둘 다 어떤 특정한 형태로 존재하지는 않는다.
1932년에 제임스 채드윅에 의해 처음으로 발견되었다.
표준 모형에서는 전자를 기본 입자로 보는 반면, 양성자와 중성자는 쿼크로 이루어진 합성 입자로 본다.
원자에는 두 종류의 쿼크가 있는데, 양성자는 + 전하를 가지는 위 쿼크 2개와 − 전하를 가지는 아래 쿼크로 한 개로 이루어진다.
중성자는 두 개의 아래 쿼크와 하나의 위 쿼크로 이루어진다.
이러한 차이로 인해 전하와 질량에서 차이가 발생하는 것이다.
쿼크들은 글루온이 매개하는 강한 상호작용으로 서로 묶여있다.
양성자와 중성자는 서로 핵력으로 붙잡고 있는 형태이다.
글루온은 게이지 보손중 하나로 쿼크와 마찬가지로 기본 입자이고, 힘의 매개자로 작용한다.
원자핵은 양성자와 중성자가 강한 상호작용으로 결합해 있다.
이들 양성자와 중성자의 개수에 따라 원자를 주기율표로 분류할 수 있으며 화학적인 성질이 결정된다.
이 결합을 바꾸면 아주 강한 힘이 나온다.
원자 내의 양성자와 중성자들은 결합하여 원자핵을 만들고, 이러한 성질로 인해 핵자라는 명칭으로 따로 구분되기도 한다.
원자핵의 반지름은 formula_1를 원자의 핵자 수라고 했을 때 대략 formula_2 펨토미터로 근사된다.
핵자들은 굉장히 짧은 거리에 작용하는 힘인 핵력으로 서로 결합되어있는데, 2.5 펨토미터까지는 이 힘이 정전기력보다 강하기 때문에 양성자들이 서로 밀어내는 힘보다 끌어당기는 힘이 더 강하여 서로 결합될 수 있다.
같은 원소에 속하는 원자들은 같은 갯수의 양성자를 가지는데, 이 갯수를 원자 번호라 한다.
양성자와는 달리 같은 종류의 원자끼리도 서로 다른 갯수의 중성자를 지닐 수 있다.
이처럼 양성자의 수는 같으나 중성자의 수는 다른 원자들의 관계를 동위원소라 하고, 더 세분화하여 핵종을 여러 가지로 나누기도 한다.
양성자 수와 중성자 수가 다른 원자들은 쉽게 방사성 붕괴를 일으킨다.
그러나 원자 번호가 커져서 양성자의 갯수가 많아질수록 원자핵의 안정에 필요한 중성자의 갯수가 늘어나게 된다.
따라서 양성자 수에 대한 중성자 수의 비율은 방사성 동위 원소 원자핵의 안정성을 나타내는 지표가 되기도 한다.
전자, 양성자, 중성자는 모두 파울리 배타 원리를 따르는 페르미온이다.
그러므로 양자적으로 동일한 상태의 입자가 동시에 두 개 이상 존재할 수 없다.
매우 높은 에너지를 통해 원자핵의 양성자나 중성자 갯수를 변화시킬 수 있다.
이런 기술로 여러개의 원자를 강하게 충돌시켜 무거운 원자핵을 합성하는 핵융합이 가장 대표적이다.
핵융합을 위해서는 쿨롱 장벽을 뛰어넘을 만큼 높은 에너지가 필요한데, 태양의 중심에서 충분한 에너지의 공급을 통해 핵융합이 꾸준히 이루어지고 있음이 알려져 있다.
이와는 반대로 큰 원자핵을 두 개 이상의 작은 원자핵으로 나누는 과정인 핵분열도 있다.
이 핵분열은 고에너지의 아원자 입자나 광자를 원자핵에 충돌시킴으로써 유도할 수 있다.
핵융합 후의 원자핵은 그 재료들의 원자핵의 질량의 합보다 더 작은 질량을 가진다.
이 질량의 차이만큼의 에너지는 감마선과 베타 입자로 빠져나가게 되는데, 이는 알베르트 아인슈타인의 질량-에너지 등가 공식 formula_3를 따라 감소한 질량 formula_4이 빛의 속력 formula_5를 두 번 곱한 만큼의 에너지가 방출된다.
원자 내의 전자들은 핵의 양성자에 의해 전자기력으로 포섭되어 있다.
에너지의 관점에서 보자면, 전자는 원자핵을 둘러싼 정전기적 퍼텐셜 우물에 둘러쌓여 있어서, 이를 탈출하려면 일정 수준 이상의 에너지가 추가로 필요한 상태이다.
핵에 더 가까이 위치한 전자일수록 더 강한 인력이 작용하게 되고, 결국 원자 중심에 가까울 수록 전자가 탈출하기 위해 필요한 에너지가 더 많이 필요한 것이다.
전자는 다른 입자들과 마찬가지로 파동-입자 이중성을 가진다.
전자 구름이란 퍼텐셜 우물 내에 형성된 정상파로서 전자가 분포하고 있다는 것을 의미한다.
이 형태는 전자가 각 위치에 존재할 확률을 계산함으로써 유추할 수 있는데, 이를 원자 궤도 또는 오비탈이라고 부른다.
오비탈들은 크기나 형태, 방향에 있어서 같은 것이 하나도 없다.
또한 각각 다른 에너지 준위를 가지고 있고 양자화되어있어서, 충분한 에너지를 가진 광자를 흡수한다면 더 높은 에너지 준위의 오비탈로 전자가 이동할 수 있다.
이와 유사하게 너무 높은 에너지의 광자가 조사된다면 자연방출을 통해 광자를 방출하면서 오히려 더 낮은 에너지의 오비탈로 전자가 이동할 수도 있다.
각 오비탈간 에너지 차이는 선스펙트럼을 관찰하여 알아낼 수 있다.
전자를 떼기 위해 필요한 에너지인 이온화 에너지는 핵자를 뗄 때 필요한 에너지보다 많이 작다.
일례로, 정상상태의 수소 원자에서 전자를 떼어내려면 13.6 eV가 필요하지만, 중수소의 원자핵을 쪼개기 위해서는 2.23 MeV가 필요하다.
원자핵에서 멀리 떨어져 있는 전자는 근처의 원자로 이동하거나, 아니면 여러 개의 원자핵에 동시에 포섭될 수 있다.
분자가 바로 이러한 형태의 화학 결합으로 형성된다.
공유 결합으로 형성된 결정이나 이온 결정같은 경우는 이처럼 단순하게 분석할 수 없다.
원자론의 과학자와 현대 원자와 관련된 이론.
원자 단위의 물리학은 원자 광학과 나노 과학에서 이루어진다.
이들 실험은 원자를 옮기고 운동 속도를 조정하며 이루어진다.
원자보다 더 작은 원자핵의 물리학은 핵물리학과 입자물리학의 주제가 된다.
극좌표계(極座標系, )는 평면 위의 위치를 각도와 거리를 써서 나타내는 2차원 좌표계이다.
극좌표계는 두 점 사이의 관계가 각이나 거리로 쉽게 표현되는 경우에 가장 유용하다.
직교 좌표계에서는 삼각함수로 복잡하게 나타나는 관계가 극좌표계에서는 간단하게 표현되는 경우가 많다. 2차원 좌표계이기 때문에 극좌표는 반지름 성분과 각 성분의 두 성분으로 결정되며 주로 formula_1로 나타내는 반지름 성분은 극(데카르트 좌표에서 원점)에서의 거리를 나타낸다.
주로 formula_2로 나타내는 각 성분은 0°(직교 좌표계에서 x축의 양의 방향에 해당)에서 반시계 방향으로 잰 각의 크기를 나타낸다.
각과 반지름의 개념은 이미 기원전에 사용되었다.
고대 그리스의 천문학자 히파르코스(기원전 190 ~ 120년)가 여러 각마다 현의 길이를 나타내는 표를 만들었는데, 그가 항성의 위치를 나타내기 위해 극좌표를 사용하였다는 주장도 있다.
아르키메데스가 묘사한 아르키메데스 나선은 반지름 성분이 각에 따라 변하는 함수로 주어진다. 하지만 이들의 작업은 완성된 좌표계로 발전하지는 못하였다.
극좌표를 정식 좌표계로 도입한 예는 여러 번 있었다.
이에 대한 역사는 하버드 대학교 교수인 줄리언 로웰 쿨리지의 《극좌표의 근원》에 서술되어 있다.
17세기 중반에 그레구아르 생뱅상과 보나벤투라 카발리에리는 독립적으로 극좌표의 개념을 발표하였다.
생뱅상은 1625년에 작성해 1647년에 출판하였으며, 카발리에리는 1635년에 출판하였으며, 개정판은 1653년에 나왔다.
카발리에리는 아르키메데스 나선의 넓이를 구하는 문제를 풀기 위해 극좌표를 처음으로 사용하였다.
이에 따라 블레즈 파스칼은 포물선의 길이를 계산하기 위해 극좌표를 사용하였다.
아이작 뉴턴은 《유율법》(Method of Fluxions, 1671년 작성, 1736년 출판)에서 “일곱 번째 방법: 나선에 대하여”로 표현한 극좌표와 다른 아홉 가지 좌표계 사이의 변환을 분석하였다.
야코프 베르누이는 학술지 《"Acta Eruditorum"》(1691년)에서 점과 선을 이용한 좌표계를 사용하고 각각을 극과 극축이라 불렀다.
좌표는 극에서의 거리와 극축에서의 각으로 정의하였다.
베르누이의 연구는 곡선의 곡률반지름을 찾는 데까지 확장되었다.
“극좌표”라는 용어는 이탈리아의 그레고리오 폰타나가 처음 정하였으며, 18세기의 이탈리아 학자들이 사용하였다.
알렉시 클로드 클레로는 극좌표를 처음으로 3차원으로 확장하였으며, 오일러가 이를 더욱 발전시켰다.
극좌표를 이용한 점의 표시.
극좌표계의 점은 반지름("r")과 각("θ")로 표현된다. "r"은 극에서의 거리를 의미하고, "θ"는 0°(직교 좌표계의 x축 양의 방향에 해당)에서의 각도를 의미한다.
만약 "r"이 음의 값을 갖는다면, "θ"가 가리키는 방향과 반대방향으로 거리 |"r"|만큼 떨어진 점을 뜻한다.
예를 들어, 극좌표 (3, 60°)는 극에서 60° 방향으로 3단위만큼 떨어진 곳을 나타낸다.
데카르트 좌표와는 달리 극좌표에서는 하나의 점을 나타내는 방법이 무한히 많다.
여러 바퀴를 돌아 제자리에 돌아와도 위치는 변하지 않기 때문이다.
로 표현될 수 있다(n은 임의의 정수).
(0, "θ")는 일반적으로 극을 뜻하며, 반지름이 0이기 때문에 어떠한 각이든 상관이 없다.
극좌표의 각은 라디안을 이용한 호도법으로도 표현할 수 있으며(2π rad = 360°), 이는 상황에 따라 다르다.
항행에서는 60분법으로 각을 나타내며, 물리 분야(특히 회전 역학)와 거의 모든 미적분에서는 호도법이 쓰인다.
극좌표와 데카르트 좌표 사이의 변환.
"r"와 "θ"는 삼각함수를 이용해 데카르트 좌표의 "x"와 "y"로 변환할 수 있다.
데카르트 좌표의 "x"와 "y"는 극좌표의 "r"로 변환할 수 있다.
"θ"를 정의할 때는 다음과 같은 사항을 고려해야 한다.
(−π, π]에 한정할 때는 다음과 같은 함수가 사용된다.
극좌표를 이용하여 곡선을 나타내는 방정식을 극좌표 방정식 또는 극방정식이라고 한다.
극좌표 방정식 "r"("θ")의 형태로부터 대칭성을 추론할 수 있다.
극좌표계의 성질 덕에 많은 곡선이 간단한 극좌표 방정식으로 표현될 수 있으며, 이에 반해 데카르트 좌표로 표현되려면 난해한 곡선이 많이 있다.
극좌표 방정식으로 표현될 수 있는 곡선은 극좌 장미 곡선, 아르키메데스 나선, 달팽이꼴 곡선, 심장형 등이 있다.
아래에 서술된 내용에는 정의역과 치역의 범위의 제한은 없다.
원의 중심이 ("r "0, "φ")이며 반지름이 "a"인 원의 일반적인 방정식은 다음과 같다.
위의 방정식은 상황에 따라 여러 방법으로 단순화될 수 있다.
극을 통과하는 선은 다음과 같은 방정식으로 표현된다.
위의 방정식에서 "φ"는 극을 통과하는 선의 기울기를 각도로 표현한 것이며("φ" = arctan "m"), "m"은 데카르트 좌표에서의 기울기이다.
수학에서 장미 곡선은 꽃잎을 지닌 꽃처럼 보이는 유명한 곡선이며, 다음과 같은 간단한 극좌표 방정식으로 표현될 수 있다.
"k"가 홀수일 때는 "k"개의 꽃잎을 지니며, "k"가 짝수일 때는 2"k"개의 꽃잎을 지닌다. "k"가 정수가 아닐 때에는 꽃과 비슷한 모양이지만 이때는 꽃잎이 겹쳐 보이게 된다.
즉, 4"n" + 2개의 꽃잎을 지닌 장미 곡선을 그릴 수는 없다.
변수 "a"는 꽃잎의 길이를 의미한다.
아르키메데스 나선은 아르키메데스가 발견한 나선이며, 다음과 같은 간단한 극좌표 방정식으로 표현될 수 있다.
매개변수 "a"는 나선의 위치를 돌려 놓으며, "b"는 나선 사이의 폭을 조정한다. "r"("θ") = "bθ"일 경우, 각이 "θ" &gt; 0일 때와 "θ" &lt; 0일 때, 각각의 아르키메데스 소용돌이는 두 가지의 곡선을 그리며 이들은 극에서 매끄럽게 만난다. 90°/270°선(직교 좌표계의 y축과 같음)을 기준으로 좌우대칭상을 그리면 다른 쪽 곡선이 나온다.
이 곡선은 수학 관련 저술에서 원뿔 곡선 다음으로 등장하는 곡선이며 극좌표로 가장 잘 표현되는 예로 거론된다.
초점 중 하나가 극에 있으며 다른 하나는 0°의 어딘가에 있는(원뿔 곡선의 주축이 극축에 있도록) 원뿔 곡선은 다음과 같이 정의된다.
모든 복소수는 복소평면 위의 점으로 표현될 수 있으며, 직교 좌표계와 극좌표계의 방식으로 모두 표현 가능하다.
복소수 "z"는 다음과 같이 직교 좌표계의 형태로 표현될 수 있다.
이 식은 아래와 같이 극좌표계로 나타낼 수 있다.
이를 복소수의 극형식이라 한다.
자연로그의 밑 e를 이용하면 다음처럼 나타낼 수 있다.
이는 오일러의 공식으로 표현된 것과 같다(이러한 공식은 각 "θ"의 단위가 라디안일 때에만 성립된다). 복소수의 직교 형식과 극형식 사이의 변환은 위에서 서술한 변환 공식을 사용하면 된다.
복소수의 곱셈, 나눗셈, 거듭제곱 연산을 할 때에는 직교 좌표계보다는 극좌표계로 표현하는 것이 계산이 더 간편하다.
지수 법칙에 따라 다음과 같은 성질이 성립한다.
극좌표 공식은 미적분에도 적용할 수 있다.
각 "θ"의 측정 단위로는 라디안을 사용한다.
극좌표계와 직교좌표계 사이에는 다음과 같은 미분 공식이 성립한다.
극좌표 곡선인 "r"("θ")의 직교 좌표계에서의 기울기를 찾기 위해서는 먼저 곡선을 매개변수 연립방정식으로 나타내어야 한다.
두개의 등식을 "θ"에 대하여 미분하면
두 번째 등식을 첫 번째 등식으로 나누면 ("r", "θ")에 접하는 접선의 기울기가 된다.
다음과 같은 과정을 통해 이를 유도할 수 있다.
따라서 총 넓이는 다음과 같은 리만 합으로 나타낼 수 있다.
구간의 개수 "n"이 증가함에 따라 그 극한값은 "R "의 넓이에 가까워진다.
데카르트 좌표를 이용해서 무한소 넓이는 formula_35와 같이 계산된다.
치환 적분법으로 좌표계를 바꾸어 중적분할 때에는 야코비 행렬식을 이용해야 한다.
따라서 극좌표계의 좌표에 따른 넓이는 다음과 같이 주어진다.
이제 극좌표계로 주어진 함수는 다음과 같이 적분할 수 있다.
야코비 행렬식을 이용한 놀라운 결과 가운데 하나는 다음과 같은 가우스 적분이다.
벡터 미적분은 극좌표에도 적용할 수 있다.
이때 "r"의 1계 미분, 2계 미분은 다음과 같다.
극좌표계는 원통좌표계와 구면좌표계로 확장할 수 있으며, 이 두 가지는 2차원의 극좌표계를 포함한다.
원통좌표계는 거리 좌표를 더해 극좌표계를 확장시키며, 구면좌표계는 각 좌표를 더해 확장한다.
원통 좌표계는 평면 극좌표로 (0,0)을 제외한 "xy" 평면 전체를 일대일 대응시킬 수 있으므로, 여기에 "z"축을 더하여, 3차원 공간을 표현할 수 있다.
평면 극좌표계의 "r, θ," 그리고 "z"로 이루어지는 이 좌표계를 원통 좌표계라고 한다.
원통 좌표계란 이름이 붙은 이유는, 세 좌표 중 "r"이 고정되고, "θ, z"가 임의의 값을 취할 수 있을 때의 자취가 원통이기 때문이다.
원통 좌표계의 특이점은 "z"축 위의 점들이다.
세 가지 원통 좌표계의 좌표들은 다음과 같은 공식을 써서 데카르트 좌표로 변환할 수 있다.
구면좌표계는 원점에서의 거리 "r", "z"축 양의 방향과 이루는 각 'θ', "xy" 평면으로의 사영이 "x"축 양의 방향과 이루는 각 "φ," 이 세 가지 변수 "r,θ,φ"로 이루어지는 좌표계이다.
구면 좌표계는 "r"을 고정시켰을 때의 자취가 원점을 중심으로 하는 구이기 때문에 붙여진 이름이다.
구면좌표계의 "r"은 원점과의 거리인 반면 원통 좌표계의 "r"은 "z"축과의 거리이다.
따라서 이를 구분하기 위해 원통 좌표계의 반지름을 "r"대신 "ρ"를 써서 표기하기도 한다.
원통 좌표계의 "θ"는 구면좌표계의 "θ"가 아닌, "φ"와 일치한다.
또한 이 좌표계는 지구의 지도에 사용되는 위도, 경도와 비슷하다.
세 가지 구면좌표계의 좌표들은 다음과 같은 공식으로 직교 좌표로 변환될 수 있다.
극좌표계는 2차원이기 때문에 점이 2차원 면에 있을 때에만 사용할 수 있다.
극좌표계가 가장 널리 쓰이는 곳은 어떤 현상이 중앙에서의 거리와 방향에 밀접한 관계가 있는 경우이다.
위의 예시는 기본적인 극좌표를 사용한 식이 곡선을 정의하기에 충분하다는 것을 보여준다(아르키메데스 소용돌이처럼 직교 좌표계로는 표현했을 때 복잡한 식이 한 예이다). 또한, 물체가 중심에서 돌거나 중심을 두고 발생하는 현상이 자주 관찰되는 물리 체계에서는 극좌표계를 적용하는 것이 보다 간단하고 직관적으로도 이해하기 쉽다.
극좌표계를 도입하고자 한 계기는 등속 원운동이나 궤도 운동을 연구하기 위한 것이었다.
극좌표계는 항행에 자주 쓰이며, 각과 거리로 목적지나 여행 방향을 정해준다.
예를 들어 항공기는 항행을 위해 약간 변형된 극좌표를 사용한다. 0°는 주로 360°로 주로 일컬어지며, 각도는 반시계 방향이 아닌 시계 방향으로 돈다. 360°는 자북극을 가리키며, 90°, 180°, 270°는 각각 동쪽, 남쪽, 서쪽을 일컫는다.
따라서 동향으로 5해리를 이동하는 항공기는 90°로 5단위를 이동하는 것이 된다(항공 교통 관제에서는 90(niner-zero)라고 읽는다).
중앙점이 대칭의 기준이 되는 시스템이면 자연스럽게 극좌표계를 사용할 수 있다.
가장 대표적인 예는 지하수 공식이며, 방사적으로 대칭되는 우물에 곧잘 쓰인다.
또한 중심력이 있는 시스템도 극좌표가 사용될 수 있다.
이러한 시스템은 중력장(거꿀제곱법칙을 따른다), 안테나와 같이 점광원이 쓰이는 체계 등이다.
방사적으로 비대칭되는 시스템에도 극좌표계가 쓰일 수 있다.
예를 들어 마이크로폰의 지향특성은 음원의 방향에 따라 비례적인 반응을 보이며, 이러한 패턴은 극좌표 곡선으로 표현될 수 있다.
가장 흔하게 사용되는 마이크인 카디오이드 마이크의 곡선은 다음과 같은 공식으로 표현된다.
패턴은 낮은 주파수에 전방향성으로 바뀐다.
확성기의 출력을 3차원으로 모형화한 것은 확성기의 성능을 측정하기 위해 사용할 수 있다.
패턴이 주파수에 따라 많이 변하기 때문에 여러 주파수에서 그린 그래프가 필요하다.
극좌표계 그래프는 많은 확성기가 낮은 주파수에서 전방향성으로 향하는지를 알려준다.
1978년부터 1983년까지는 중국인민정치협상회의 주석, 1981년부터 1989년까지는 중화인민공화국 중앙군사위원회 주석을 역임했다.
소위 중국공산당 당료 2세대의 가장 중요한 인물이다.
중국공산당에 입당한 이래 1929년 제7군 정치위원이 되었고, 1934년 대장정에 참여하였다.
1945년 공산당 중앙위원이 된 후, 정무원 부총리, 재정 부장, 당 정치국 상무위원 겸 중앙서기처 총서기, 중소 회담 중공측 대표단장 등을 역임했다.
1968년 문화 대혁명 때 박해를 받기 시작한 이래, 여러 번 마오쩌둥의 박해를 받기도 했지만 기적적으로 복귀, 중화인민지원군 총참모장, 중화인민공화국 국무원 부총리 등을 지냈고 1981년 6월 28일부터 1989년 11월 7일까지 중화인민공화국 최고권력자로 군림하는 한편, 1982년 6월 28일부터 1983년 3월 15일까지는 중공 과도정부 국가원수 권한대행직에 있었으며 1983년 3월 15일부터 1983년 6월 18일까지 후야오방(胡耀邦)이 마지막 후임 중공 과도정부 국가원수 권한대행직(당시 중공 국가부주석: 우란푸)을 수행하였고 1983년 6월 18일을 기하여 8년 5개월 남짓의 중공 과도정부 체제(1975년 1월 17일~1983년 6월 18일)가 종식되었으며 1983년 6월 18일, 리셴녠(李先念)이 정식 중화인민공화국 국가주석 취임하였다.
1983년 이후 국가원수직과 인민정치협상회의 주석직에서 물러났지만 군사위원회 주석직에 머무르며 실권을 쥐었다.
1989년 천안문 사태의 강경 진압을 주관하는 한편, 한때 국가 주석직의 교체에 관여하고, 군부 내에 세력을 형성한 양상쿤을 몰락시키고 장쩌민을 후계자로 내정하는 등의 막후 실력을 행사하였다.
오랜 정치 경력을 거치며, 권력을 다졌으며, 1970년대에서 1990년대에 이르기까지 중국에서 실질적인 지배력을 행사했다.
경제정책은 을 통한 실용주의 노선을 추진하고, 정치는 기존의 사회주의 체제를 유지하는 정경분리의 정책을 통해 덩샤오핑은 중국 특색 사회주의인 덩샤오핑 이론을 창시했다.
1904년(광서 30년) 청나라 쓰촨성 광안의 한 마을에서 덩원밍의 첫 아들로 태어났다.
덩원밍은 아들의 이름을 공자보다 나은 사람이 되라는 뜻의 선성(先聖)으로 지어주었고, 다섯 살때에 서당 훈장이 희현으로 고쳐주었다.
덩샤오핑은 중국공산당 당원이 된 후에 만들어낸 별명이다.
아버지가 지주였기 때문에 먹고 살 걱정이 없었으므로, 덩샤오핑은 낙관주의 곧 모든 일을 좋게 생각하기와 사람들과 잘 어울리는 원만한 성정을 가지고 있었다.
낙관주의는 정치가로서의 어려움을 이겨내도록 해주었고, 원만한 성격덕분에 공산당에서 적이 없었다.
덩샤오핑은 고향에서 초등교육을 받았으며 충칭에서 공부하였다.
그러다 근공검학(근면하게 일하고 검약해서 공부한다) 곧 해외유학을 만난다.
제1차 세계대전으로 노동력이 부족해진 프랑스와 서구문물을 배우려는 중국의 이해관계가 맞아떨어져 1,500명의 중국사람들이 프랑스에서 공부하였다.
이들은 중국 혁명의 지도자가 되었다.
덩샤오핑도 1920년 상하이에서 마르세유로 가는 배를 타고 프랑스에 갔다.
유학생일 때에 덩샤오핑은 파리의 르노자동차 노동자로 일하면서 노동운동과 사회주의를 배웠다.
1924년 중국 공산주의 청년동맹 유럽지부에 들어갔으며, 기관지인 적광(赤光,붉은 태양)을 만들었다.
저우언라이를 만난 때이기도 한데, 저우언라이는 자신보다 여섯살 어린 덩샤오핑을 아꼈으며, 덩샤오핑도 저우언라이를 큰형님으로 따랐다.
1926년 소비에트 연방 모스크바 중산(中山) 대학교에서 수학하였다.
이는 프랑스의 공산주의 청년동맹 탄압때문이었다.
소련 유학시절 중국공산당 당원이 되었으며, 1927년 중국에 돌아왔다.
덩샤오핑은 유학을 마치고 중국공산당 당원으로서 혁명에 참여했다.
1933년 중국공산당에서는 소련파와 마오파의 당권경쟁이 치열했는데, 마오쩌둥이 지면서 덩샤오핑도 실각했다. 하지만 소련파의 이론은 중국에 맞지않았다.
소련파는 도시 노동자계급이 혁명의 중심이라면서 도시 무장투쟁을 시도했으나, 도시 노동자 계급이 없는 중국에서는 실천할 수 없는 것이었다. 하지만 마오쩌둥은 중국 인민의 대부분이 농민이라며 농민소비에트를 만들어야 한다고 보았다.
그의 주장이 맞다는 것이 입증되자, 1935년 대장정 도중에 열린 회의에서 마오쩌둥의 이론(마오이즘)이 인정되었다.
1949년 중화인민공화국 정부가 수립되기 전까지 덩샤오핑은 류보청이 사단장인 팔로군 129사단 정치위원으로 일했다.
화이하이 대전에서 덩샤오핑이 이끈 60만명의 군대는 100만명의 국민당 군대를 크게 이겼다.
1946년부터 1949년 국공내전시기에 화중, 화남, 서남지방이 정복됐으며 서남지방(쓰촨,꾸이저우,윈난,티베트)등 서남지방 4개성을 다스리는 제1서기가 됐다.
그는 세 번의 결혼을 했다.
첫 번째 아내는 장 시유안으로 소비에트 연방 모스크바에 있을 때 함께 공부한 동료 중의 하나였다.
그녀는 그의 첫아이를 낳고 며칠 뒤인 24살 때 죽었다.
그 아이 또한 아기 때에 죽었다.
두 번째 아내인 진웨이잉은 그가 1933년에 정치적인 공격을 받게 된 직후 그를 떠났다.
세 번째 아내인 줘린은 윈난성의 한 실업가의 딸이었다.
그녀는 1938년에 공산당의 당원이 되었고, 그 이듬해 야난에 있는 마오쩌둥의 동굴 앞에서 덩과 결혼식을 올렸다.
그들은 5명의 자식을 두었다(2남 3녀).
덩샤오핑 서기장은 젊은 시절에 프랑스에서 유학을 했으며, 르노에서 트랙터를 만드는 금속 노동자로 살았다.
자본주의 국가에서의 금속 노동 경험은 자본주의가 어떻게 유지되는지 이해하는 중요한 계기가 되었다.
학생시절 중국공산당(CCP)에 가입한다.
그는 장정의 베테랑이었으며 마오쩌둥(모택동)의 오랜 전우였다.
마오쩌둥은 혁명 직후 그를 공산당의 비서장으로 임명한다.
공산당 입당과 대약진 운동.
1945년 공산당 중앙위원이 되었으며, 1949년 중국 정부 수립 후 정무원 부총리·재정 부장·당 정치국 상무위원 겸 중앙서기처 총서기·중소 회담 중공측 대표단장 등을 역임하였다.
1954년 부총리, 1966년 문화대혁명 때 실권하였으나, 1973년 부총리로 다시 복권되었다.
1957년의 반우파투쟁에서 마오쩌둥을 공식적으로 지원한 이후, 덩샤오핑은 중국공산당의 비서장이 되어 나라의 일상 업무를 수행하게 된다.
대약진 운동의 실패로 인한 아사사태로 마오쩌둥에게 비판의 화살이 쏟아지자, 덩샤오핑은 좀 더 큰 권력을 장악할 수 있게 되었다.
류사오치와 그는 최종적으로 권력을 장악하고 마오쩌둥을 명목상의 지도자로 앉히려는 계획을 세웠다.
류사오치와 덩샤오핑이 실질적인 권력을 쥐고 있을 때, 공산주의 사상을 존중하되 중국의 현실에 맞게 해석하는 합리적인 생각에 근거한 경제개혁이 시작되었고, 이로 인해 당 조직과 전체 인민들 사이에서 세력을 키울 수 있었다.
이 당시 마오쩌둥은 자신이 권력에서 소외될까 염려하고 있었다.
권력의 누수를 걱정한 마오쩌둥은 문화대혁명을 유발시켰고, 이 시기에 덩샤오핑은 실각하여 당직에서 은퇴한다. 1974년 복귀하고 1975년에는 중화인민지원군의 총참모장에 내정되지만 재차 1976년에 고초를 겪었다.
당시 그가 겪은 가장 큰 슬픔은 홍위병에 쫓겨다니던 큰아들 덩푸팡(1944년-)이 베이징대학교에서의 추락사고로 하반신이 마비된 지체장애인이 된 것이었다.
덩푸팡은 1984년 장애인복지기금,1988년 장애인연합회,1999년엔 지적장애인의 자활을 돕는 단체등의 장애인 인권단체들을 만드는 등 장애인 인권 운동을 하고 있다.
그 해 마오쩌둥의 사망으로 복직한다.
여러번 숙청당했다가 기적적으로 복귀를 반복하여 그에게는 오뚜기 또는 부도옹이라는 별명이 붙여지기도 했다.
이후 마오쩌둥에게 사적인 원한을 품지 않고 그에게는 '공이 7이요 과는 3이다'라고 냉정한 평가를 하여 화제가 되기도 했다.
그러나 1976년 마오쩌둥과 저우언라이가 사망하자, 마오쩌둥의 직계는 물론 자신에게 잠재적인 정적이 될 만한 세력의 숙청을 감행한다.
의지가 굳고 매우 지적이었던 농부출신의 공산주의 혁명가, 체구가 극히 작고 늙어가는 그는 세계에서 가장 인구가 많은 나라의 지도자로서 비공식적이긴 했지만 거대한 인물로 부상하였다.
사실 그는 중국을 이끈 농부 출신의 몇 안되는 혁명가 중의 하나였다.
그 몇 중에는 마오쩌둥과 한나라의 고조와 명나라의 태조가 있다.
그는 자신의 이러한 점을 유난히 강조하였다.
중국공산당 내에 있는 그의 지지자들을 조심스럽게 선동하여, 덩샤오핑은 마오쩌둥의 후계자로 지목되었던 화궈펑을 교묘하게 따돌릴 수 있었다.
덩샤오핑 자신을 사면해 준 화궈펑을 권력으로부터 축출하였다.
그러나 이전의 권력 변동 때와는 달리, 아직도 화궈펑 그는 여전히 살아 있었고 고위직으로부터 물러나있었지만 신체적으로는 해를 당하지 않았다.
이 시기부터 그는 두 가지 결정으로 인하여 대중적인 인기를 얻고 있었다.
한 가지는 문화혁명에 대한 재평가였다.
그는 그 시기에 벌여졌던 극단적인 행위와 이로 인한 고통에 대해서 자유롭게 비판할 수 있도록 허용했다.
또 하나는 출신성분제도를 혁파한 것이었다.
그 출신성분제도는 공산 혁명시기에 있었던 조상의 행위를 근거로 전 중국을 두 개의 계급으로 나누어 버렸다.
이 제도 아래에서는 지주 계급은 제도적으로 차별대우를 받아야 했다.
대부분의 역사가들은 이 두 행동은 그가 그의 정적을 따돌리기 위한 주요 전략 중의 일부였다고 믿고 있다.
문화혁명에 대한 대중의 비판이 일어나게 함으로써 그 사건에 정치적 책임을 지고 있던 사람들의 입지를 약화시키고, 그 시기에 고통받았던 자신과 같은 사람들의 입지를 강화시켰다.
그가 중국공산당에 대한 통제력을 서서히 재장악하면서 화궈펑은 수상에서 물러나고 자오쯔양(조자양)이 그 자리에 교체되었고, 후야오방(호요방)이 당의장이 되었다.
그의 공식 직함은 비록 공산당 중앙 군사위원회 의장이었지만, 1990년대 중반까지 그는 중국의 지도자중에 가장 영향력있는 사람이었다.
본래 실제 권력은 중화인민공화국의 수상과 중국공산당 총서기의 손에 있지만, 주석은 국가를 대표하는 역할을 감당하도록 되어 있었다.
그리고 중화인민공화국의 수상과 중국공산당 총서기는 별도의 사람이 맡기로 되어 있었다.
본래의 계획에는 당에서는 정책을 개발하고 정부에서는 수행하도록 하여, 마오쩌둥이 했던 것처럼 권력이 개인의 취향에 영향을 받지 않도록 분립되도록 했다.
1975년 당 부주석 겸 정치국 상무위원이 되었다.
1976년 문화대혁명으로 실각하였으나 1978년 복권되었고 1982년까지 당 부주석·총참모장·부총리·당 중앙 군사위원회 부주석 등을 지냈다.
1978년부터는 중국 중앙인민협상회의 주석직을 겸하였으며, 인민정치협상회의 주석직은 1983년까지 유지하였다.
1982년 이후 중국공산당 중앙 군사위원회 주석·정치국 상무위원·공산당 중앙 고문위원회 주임을 겸직하여 중공의 최고 정치 실력자로 군림했으나, 1993년 사실상 은퇴하여 노환과 숙환에 시달리다 사망하였다.
덩샤오핑이 권력에 있을 때, 서방과의 관계가 확연히 증진되었다.
덩샤오핑은 해외순방을 했고, 서방 지도자들과 우호적인 만남을 가졌다.
1979년에는 미국을 방문하여 백악관에서 지미 카터 대통령과 만났다.
카터 대통령은 마침내 UN의 안전보장이사회에서 한 자리를 차지하고 있는 중화민국을 대신하여 중화인민공화국을 중국의 유일한 합법 정부로 정식 공인했다.
그 뒤 1983년 국가 주석직이 부활하여 리셴녠에게 중화인민공화국 국가주석 직책을 본격적으로 넘겼지만 중화인민공화국의 군사위원회와 당 군사위원회의 주석직을 그가 차지하므로써 1983년 6월 18일을 기하여 실권을 회복하는 등 아직도 실권은 그가 쥐고 있었다.
덩샤오핑이 이루어 낸 것들 중의 또 하나는 1984년 12월 19일 영국과 중국 간에 체결한 중영 공동 선언이다.
이 조약에 따라서 홍콩이 1997년 7월 1일에 중화인민공화국에 반환되었다.
99년 동안의 조차를 마치는 홍콩에 대하여 덩샤오핑은 향후 50년 간 홍콩의 자본주의 체제를 간섭하지 않겠다고 약속했다.
이것은 1국 2체제라고 불리며 이러한 접근방법은 중국 재통일의 근거로 대두되고 있다.
그러나 덩샤오핑은 소비에트 연방과의 관계를 개선하는데 노력을 기울이지는 않았다.
덩샤오핑의 개혁의 목표는 4대 현대화에 요약되어 있는데, 농업의 현대화, 공업의 현대화, 국방의 현대화, 과학기술의 현대화이다.
현대화되고 산업화된 국가가 되는 목표를 성취하려는 이 전략이 공산주의 시장경제다.
덩샤오핑은 중국은 공산주의의 초기단계에 있고 당의 의무는 중국식 사회주의를 완성하는 것이라고 주장했다.
이러한 중국식 마르크스주의의 해석은 경제 정책 결정에 있어서 이데올로기의 역할을 감소시켰다.
마르크스-레닌주의뿐만 아니라 공산주의 가치관의 우선 순위를 하향 조정하여 덩샤오핑은 어떤 정책이 단순히 마오쩌둥이나 더 보수적인 진연과 관계가 없다고 해서 거부되어서는 안 된다는 점을 강조했다.
덩사오핑은 자본주의 국가의 정책과 비슷하다고 해서 어떤 정책을 반대하지 않았다.
덩샤오핑이 경제 개혁이 일어나도록 하는 이론적인 배경과 정치적 지원을 제공했지만, 덩샤오핑 본인으로부터 나온 경제 개혁은 거의 없었다.
일반적으로 개혁은 지역 지도자들로부터 들여왔는데, 이러한 것들은 종종 중앙 정부의 지도방향과 충돌하곤 하였다.
이러한 개혁이 성공적이었고 유망하다고 밝혀지면 대규모로 여러 분야에 채택되었고 종국에는 국가 전체에 도입되었다.
많은 개혁들이 동아시아의 호랑이들이 경험한 것들이었다.
이것은 미하일 고르바초프에 의한 페레스트로이카의 패턴과는 아주 대조적이다.
미하일 고르바초프에 의한 페레스트로이카는 대부분의 개혁들이 고르바초프 자신에 의하여 제안되었다.
많은 경제학자들은 페레스트로이카의 하향식 접근과 대조되는 덩샤오핑의 개혁은 상향식 개혁이 성공의 열쇠였다고 이야기한다.
널리 알려진 바와는 달리, 덩샤오핑의 개혁은 기술적으로 숙련된 관료들에 의하여 계획된 중앙 집중적 대규모 경제 제도를 소개하였다.
이것은 마오쩌둥의 대중 선동적인 경제 건설 방식을 버린 것이다.
소비에트 연방의 모델이나 마오쩌둥의 모델과 다르게 시장 경제를 통한 간접적인 관리 방식이었고, 이 방법은 대부분 서구 국가의 경제 계획과 조정 매커니즘을 본 딴 것이었다.
경제를 개혁하고 개방하면서, 덩샤오핑은 그 절차를 정형화하여 공산당의 힘을 강화하려는 시도를 하였다.
덩샤오핑의 후속 행보는 지도부가 본래 의도했던 것보다 더 큰 권력을 갖도록 야기했다.
1989년에 양상쿤 주석은 당시 중국공산당 중앙군사위원회의 의장인 덩샤오핑과 협력하여 주석의 명의로 1989년 천안문 사태를 진압하도록 베이징에 계엄령을 선포할 수 있었다.
장쩌민은 덩샤오핑과 당의 다른 원로들에게 발탁된 촉망받는 후계자였고, 당 서기 자오쯔양을 대신할 인물로 뽑혔다.
장쩌민은 학생 시위대에게 온건하다고 평가되었다.
톈안먼 사건과는 직접적으로는 관련되지 않았지만, 장쩌민은 텐안문 사건 이후에 상하이에서 비슷한 시위를 예방하기 위한 업무를 맡았기 때문에 중앙위원으로 승진되었다.
덩샤오핑은 1997년 2월 19일 장쩌민을 권력의 중심에 올려 놓은 후 중화인민공화국 베이징에서 사망했다.
언론인 짐 로워는 덩샤오핑의 1979년에서부터 1994년의 개혁은 어디에서도 볼 수 없는 인류 복지 향상의 가장 큰 향상을 가져왔다고 말했다.
언급한 것과 같이 덩샤오핑의 정책은 공산주의 틀안에서 외국 자본에 경제를 개방하였고 시장을 개방하였다.
그는 저우언라이의 유언과 같이 자신의 시신을 화장하라고 유언하였으며, 실제로 그의 유해는 홍콩 앞바다에 뿌려졌다.
화장 정책을 추진한 중국 정부답게, 시민들에게 솔선수범을 보이기 위하여 그렇게 유언했다.
죽고 난 뒤 장쩌민의 지도아래 중국은 연평균 8%의 GDP 성장을 계속 했고, 세계에서 가장 높은 1인당 국민소득 성장률을 기록했다.
천안문 사태를 불러 일으켰던 인플레이션이 발생했다.
그의 통치기간 동안 개혁 절차가 제도화되고 농민혁명가에서 교육을 잘 받은 전문기술인으로 세대 교체가 이루어져서 정치 제도는 안정되었다.
사회문제도 중국본토가 매년 빠르게 현대화되고 번영하게 됨에 따라 개선이 되었다.
하지만 덩샤오핑의 개혁은 몇 가지의 남겨진 과제를 가지고 있다.
시장개혁의 결과로 1990년대 중반에는 중앙정부소유의 국영기업들이 부실화되었고, 그들이 이윤을 내지 못하고 경제에 악영향을 끼치고 있다면 그들은 정리될 필요가 있다.
마침내, 공산당의 지배를 유지하면서도 마오쩌둥의 공산주의적 가치보다 실용주의가 더 낫다는 것을 확증시키는 덩샤오핑주의는 서양에 많은 질문들을 생겨나게 했다.
중국과 그 밖의 여러 관찰자들은 더 역동적이고 풍성해지는 중국 사회를 하나의 당이 어느 정도까지 통제할 수 있을지에 대해 질문을 던진다.
연분수(連分數)는 다음과 같은 꼴의 분수를 말한다.
같은 방법으로 일반적인 연분수를 formula_5 로 쓴다.
이를 유한에만 한정하지 않고, 무한까지 확장하여, 무한 연분수를 다음과 같이 극한을 이용하여 정의할 수도 있다.
위 극한은 어떤 양의 정수 formula_7 들에 대해서도 존재한다.
모든 유한 연분수는 유리수이며, 모든 유리수는 formula_8의 경우와 같이 정확히 두 가지 유한 연분수로 나타내어진다.
모든 무한 연분수는 무리수이며, 모든 무리수는 무한 연분수로 표현가능하며 그 표현은 유일하다.
무한 연분수 중 꼬리들이 반복되어 나타나는 것을 순환 연분수라고 한다.
어떤 무리수가 순환 연분수로 표현가능할 필요충분조건은 그것이 어떤 이차방정식의 해가 되는 것이다.
즉, 이차 무리수()인 것이다.
무리수를 무한 연분수로 나타내는 방법은, 처음 몇 항까지의 연분수가 좋은 유리수 근삿값을 주기 때문에 특히 유용하다.
짝수 근사분수는 실제값보다 작은데 비하여, 홀수 근사분수는 실제값보다 크다.
예를 들어, 원주율 파이(formula_9)의 근사분수들을 계산해 보자.
이런 식으로 계속 나간다.
이를 반복하면, 무한 연분수
어떤 무리수의 formula_17번째 근사분수는, 그것을 분모와 분자가 서로소인 분수로 나타내었을 때의 분모보다 작은 분모를 가진 어떠한 유리수보다 주어진 무리수에 가까이 근접해 있다.
평년인 경우 이 달과 그 해의 1월은 같은 요일로 시작하고 같은 요일로 끝나며 2월하고도 항상 같은 요일로 끝난다.
그 다음 해가 평년일 경우에는 그 다음 해 4월과 7월과 같은 요일로 시작한다.
다만, 다음 해가 윤년이면 다음 해 9월과 12월과 같은 요일로 시작된다.
400년 동안 이 달은 월요일, 목요일, 토요일에 58번, 화요일과 수요일에 57번, 금요일과 일요일에는 56번 시작한다.
경우에 따라서는 추석이 있는 해도 있다.
북한은 수요일로 시작하는 윤년, 목요일로 시작하는 평년/윤년과 금요일로 시작하는 평년에는 노동당 창건일이 주말과 겹쳐 10월에 공휴일이 사실상 없는 해가 된다.
윤달일 경우는 윤8월이나 윤9월이 양력 10월에 낀다.
또는, 라틴어와 그리스어로 eight(8)을 의미하는 octo에서 유래되었다.
1월(一月, January)은 율리우스력과 그레고리력에서 한 해의 첫 번째 달이며, 31일까지 있는 7개의 달 중 하나다.
1월의 첫 번째 날은 중국에서 원단이라고 하며 대한민국의 양력설이다.
이 달과 작년의 5월은 항상 같은 요일로 시작하고 같은 요일로 끝난다.
평년인 경우 이 달과 그 해의 10월은 같은 요일로 시작하고 같은 요일로 끝나며, 윤년일 경우에는 이 달과 그 해의 4월, 7월과 같은 요일로 시작한다.
북반구의 대부분 지역은 1월에 가장 추우며(겨울의 두 번째 달이다.), 남반구의 대부분 지역은 1월에 가장 덥다(여름의 두 번째 달이다.). 북반구에서 1월은 남반구의 7월과 기후적으로 동일하며, 반대로 남반구의 1월은 북반구의 7월 기후와 동일하다.
대한민국에서 생일이 가장 많은 달이며, 400년 동안 이 달은 화요일, 금요일, 일요일에 58번, 수요일과 목요일에 57번, 월요일과 토요일에는 56번 시작한다.
문의 신인 야누스(Janus)에서 따왔으며, 야누스는 하늘의 문지기로서 한해를 여는 신이기도 하다.
앞뒤로 두 개의 얼굴을 가지고 있으며, 문은 시작과 전환(beginnings and transitions)을 나타내는 데서 모든 사물의 출발점의 신이라고 생각되었다.
원래 고대 로마 달력은 10개월 (304일)로 구성되어 있었고, 겨울은 달로서 생각되지 않았었다.
기원전 713년경, 로물루스의 계승자였던 누마 폼필리우스가 1월과 2월을 추가해 태음년(354일)과 같은 길이가 되었다고 여겨진다.
비록 원래의 고대 로마 달력에서는 3월이 한 해의 시작이었지만, 누마 통치기, 혹은 기원전 450년경 데켐비리에 의해 1월이 한 해의 첫 달이 되었다고 한다.
그럼에도 불구하고 중세 유럽에서는 3월 25일(성모 영보), 12월 25일(크리스마스) 등을 포함한 다양한 기독교적 축일들이 새해의 첫 날들로 사용되었다.
그러다 16세기 초에 공식적으로 다시 1월 1일을 새해의 첫날로 사용하기로 했는데, 이는 1월 1일이 그리스도 할례축일이기 때문이었다.
2월(二月, February)은 그레고리력에서 한 해의 두 번째 달이며, 평년일 때에는 28일, 윤년일 때에는 29일까지 있다.
이 달과 그 해의 10월은 항상 같은 요일로 끝나며, 이 달과 작년의 6월은 항상 같은 요일로 시작한다.
또한, 평년인 경우 이 달과 그 해의 3월 및 11월은 같은 요일로 시작하며, 윤년인 경우 이 달과 그 해의 8월은 같은 요일로 시작한다.
올해의 2월 28일과 작년의 3월 1일은 요일이 항상 같다.
400년 동안 이 달은 월요일, 수요일, 금요일에 58번, 토요일과 일요일에 57번, 화요일과 목요일에는 56번 시작한다.
그리고 북반구에서는 겨울의 마지막 달이며 남반구에서는 여름의 마지막 달이다.
2월은 한중일월 모두 공휴일이 있을 수도 있고 일본에만 공휴일이 있을 수도 있는 달이다.
대한민국에서 2월의 공휴일은 설날이 2월이거나 설 당일이 1월 31일인 경우에만 있다.
그마저도 1980년대 초반까지는 음력설이 공휴일이 아니었기 때문에 아예 없었다.
반면 조선민주주의인민공화국은 광명성절이 기본적으로 공휴일이며 정월 대보름도 공휴일이기 때문에 2월에 최대 3개의 공휴일이 잡히기도 한다.
880년의 2월에 리베몽에서 독일의 루트비히 3세와 프랑스의 루이 3세, 샤를로망 3세 간에 로렌의 영유권을 독일의 루트비히 3세에게 양도하는 리베몽 조약을 체결하였다.
1월과 2월은 로마 달력에 추가된 마지막 두 달이었는데, 로마인은 원래 겨울을 달력에 없는 기간(monthless period)으로 간주했기 때문이다.
북반구에서는 3월이 되면서 날씨가 풀리기 때문에, 대체로 이 달을 봄의 시작으로 본다.
이 달과 그 해의 6월은 항상 같은 요일로 끝난다.
또한, 이 달과 그 해의 11월은 항상 같은 요일로 시작하며, 평년인 경우 그 해의 2월과도 같은 요일로 시작한다.
윤년의 경우에는 작년 12월과 같은 요일로 시작하고 끝난다.
올해의 3월 1일과 내년의 2월 28일은 요일이 항상 같다.
400년 동안 이 달은 화요일, 목요일, 일요일에 58번, 금요일과 토요일에 57번, 월요일과 수요일에는 56번 시작한다.
북한의 경우 정월 대보름이 3월 초가 아닌 경우에는 3월에 공휴일이 없다.