qe_forwards_helper: fixes a :: "(real \<times> real \<times> real) list"   and b :: "(real \<times> real \<times> real) list"   and c :: "(real \<times> real \<times> real) list"   and d :: "(real \<times> real \<times> real) list" assumes "\<forall>x. \<forall>(d, e, f)\<in>set a. d * x\<^sup>2 + e * x + f = 0"   and "\<not> ((\<forall>(a, b, c)\<in>set a. a = 0 \<and> b = 0 \<and> c = 0) \<and> (\<forall>(a, b, c)\<in>set b. \<exists>x. \<forall>y<x. a * y\<^sup>2 + b * y + c < 0) \<and> (\<forall>(a, b, c)\<in>set c. \<exists>x. \<forall>y<x. a * y\<^sup>2 + b * y + c \<le> 0) \<and> (\<forall>(a, b, c)\<in>set d. \<exists>x. \<forall>y<x. a * y\<^sup>2 + b * y + c \<noteq> 0))"   and "\<not> (\<exists>(a', b', c')\<in>set b. (a' = 0 \<and> b' \<noteq> 0) \<and> (\<forall>(d, e, f)\<in>set a. \<exists>y'>- c' / b'. \<forall>x\<in>{- c' / b'<..y'}. d * x\<^sup>2 + e * x + f = 0) \<and> (\<forall>(d, e, f)\<in>set b. \<exists>y'>- c' / b'. \<forall>x\<in>{- c' / b'<..y'}. d * x\<^sup>2 + e * x + f < 0) \<and> (\<forall>(d, e, f)\<in>set c. \<exists>y'>- c' / b'. \<forall>x\<in>{- c' / b'<..y'}. d * x\<^sup>2 + e * x + f \<le> 0) \<and> (\<forall>(d, e, f)\<in>set d. \<exists>y'>- c' / b'. \<forall>x\<in>{- c' / b'<..y'}. d * x\<^sup>2 + e * x + f \<noteq> 0))"   and "\<not> (\<exists>(a', b', c')\<in>set b. a' \<noteq> 0 \<and> - b'\<^sup>2 + 4 * a' * c' \<le> 0 \<and> (\<forall>(d, e, f)\<in>set a. \<exists>y'>(- b' + 1 * sqrt (b'\<^sup>2 - 4 * a' * c')) / (2 * a'). \<forall>x\<in>{(- b' + 1 * sqrt (b'\<^sup>2 - 4 * a' * c')) / (2 * a')<..y'}. d * x\<^sup>2 + e * x + f = 0) \<and> (\<forall>(d, e, f)\<in>set b. \<exists>y'>(- b' + 1 * sqrt (b'\<^sup>2 - 4 * a' * c')) / (2 * a'). \<forall>x\<in>{(- b' + 1 * sqrt (b'\<^sup>2 - 4 * a' * c')) / (2 * a')<..y'}. d * x\<^sup>2 + e * x + f < 0) \<and> (\<forall>(d, e, f)\<in>set c. \<exists>y'>(- b' + 1 * sqrt (b'\<^sup>2 - 4 * a' * c')) / (2 * a'). \<forall>x\<in>{(- b' + 1 * sqrt (b'\<^sup>2 - 4 * a' * c')) / (2 * a')<..y'}. d * x\<^sup>2 + e * x + f \<le> 0) \<and> (\<forall>(d, e, f)\<in>set d. \<exists>y'>(- b' + 1 * sqrt (b'\<^sup>2 - 4 * a' * c')) / (2 * a'). \<forall>x\<in>{(- b' + 1 * sqrt (b'\<^sup>2 - 4 * a' * c')) / (2 * a')<..y'}. d * x\<^sup>2 + e * x + f \<noteq> 0))"   and "\<not> (\<exists>(a', b', c')\<in>set b. a' \<noteq> 0 \<and> - b'\<^sup>2 + 4 * a' * c' \<le> 0 \<and> (\<forall>(d, e, f)\<in>set a. \<exists>y'>(- b' + - 1 * sqrt (b'\<^sup>2 - 4 * a' * c')) / (2 * a'). \<forall>x\<in>{(- b' + - 1 * sqrt (b'\<^sup>2 - 4 * a' * c')) / (2 * a')<..y'}. d * x\<^sup>2 + e * x + f = 0) \<and> (\<forall>(d, e, f)\<in>set b. \<exists>y'>(- b' + - 1 * sqrt (b'\<^sup>2 - 4 * a' * c')) / (2 * a'). \<forall>x\<in>{(- b' + - 1 * sqrt (b'\<^sup>2 - 4 * a' * c')) / (2 * a')<..y'}. d * x\<^sup>2 + e * x + f < 0) \<and> (\<forall>(d, e, f)\<in>set c. \<exists>y'>(- b' + - 1 * sqrt (b'\<^sup>2 - 4 * a' * c')) / (2 * a'). \<forall>x\<in>{(- b' + - 1 * sqrt (b'\<^sup>2 - 4 * a' * c')) / (2 * a')<..y'}. d * x\<^sup>2 + e * x + f \<le> 0) \<and> (\<forall>(d, e, f)\<in>set d. \<exists>y'>(- b' + - 1 * sqrt (b'\<^sup>2 - 4 * a' * c')) / (2 * a'). \<forall>x\<in>{(- b' + - 1 * sqrt (b'\<^sup>2 - 4 * a' * c')) / (2 * a')<..y'}. d * x\<^sup>2 + e * x + f \<noteq> 0))"   and "\<not> (\<exists>(a', b', c')\<in>set c. (a' = 0 \<and> b' \<noteq> 0) \<and> (\<forall>(d, e, f)\<in>set a. d * (- c' / b')\<^sup>2 + e * (- c' / b') + f = 0) \<and> (\<forall>(d, e, f)\<in>set b. d * (- c' / b')\<^sup>2 + e * (- c' / b') + f < 0) \<and> (\<forall>(d, e, f)\<in>set c. d * (- c' / b')\<^sup>2 + e * (- c' / b') + f \<le> 0) \<and> (\<forall>(d, e, f)\<in>set d. d * (- c' / b')\<^sup>2 + e * (- c' / b') + f \<noteq> 0))"   and "\<not> (\<exists>(a', b', c')\<in>set c. a' \<noteq> 0 \<and> - b'\<^sup>2 + 4 * a' * c' \<le> 0 \<and> (\<forall>(d, e, f)\<in>set a. d * ((- b' + 1 * sqrt (b'\<^sup>2 - 4 * a' * c')) / (2 * a'))\<^sup>2 + e * ((- b' + 1 * sqrt (b'\<^sup>2 - 4 * a' * c')) / (2 * a')) + f = 0) \<and> (\<forall>(d, e, f)\<in>set b. d * ((- b' + 1 * sqrt (b'\<^sup>2 - 4 * a' * c')) / (2 * a'))\<^sup>2 + e * ((- b' + 1 * sqrt (b'\<^sup>2 - 4 * a' * c')) / (2 * a')) + f < 0) \<and> (\<forall>(d, e, f)\<in>set c. d * ((- b' + 1 * sqrt (b'\<^sup>2 - 4 * a' * c')) / (2 * a'))\<^sup>2 + e * ((- b' + 1 * sqrt (b'\<^sup>2 - 4 * a' * c')) / (2 * a')) + f \<le> 0) \<and> (\<forall>(d, e, f)\<in>set d. d * ((- b' + 1 * sqrt (b'\<^sup>2 - 4 * a' * c')) / (2 * a'))\<^sup>2 + e * ((- b' + 1 * sqrt (b'\<^sup>2 - 4 * a' * c')) / (2 * a')) + f \<noteq> 0))"   and "\<not> (\<exists>(a', b', c')\<in>set c. a' \<noteq> 0 \<and> - b'\<^sup>2 + 4 * a' * c' \<le> 0 \<and> (\<forall>(d, e, f)\<in>set a. d * ((- b' + - 1 * sqrt (b'\<^sup>2 - 4 * a' * c')) / (2 * a'))\<^sup>2 + e * ((- b' + - 1 * sqrt (b'\<^sup>2 - 4 * a' * c')) / (2 * a')) + f = 0) \<and> (\<forall>(d, e, f)\<in>set b. d * ((- b' + - 1 * sqrt (b'\<^sup>2 - 4 * a' * c')) / (2 * a'))\<^sup>2 + e * ((- b' + - 1 * sqrt (b'\<^sup>2 - 4 * a' * c')) / (2 * a')) + f < 0) \<and> (\<forall>(d, e, f)\<in>set c. d * ((- b' + - 1 * sqrt (b'\<^sup>2 - 4 * a' * c')) / (2 * a'))\<^sup>2 + e * ((- b' + - 1 * sqrt (b'\<^sup>2 - 4 * a' * c')) / (2 * a')) + f \<le> 0) \<and> (\<forall>(d, e, f)\<in>set d. d * ((- b' + - 1 * sqrt (b'\<^sup>2 - 4 * a' * c')) / (2 * a'))\<^sup>2 + e * ((- b' + - 1 * sqrt (b'\<^sup>2 - 4 * a' * c')) / (2 * a')) + f \<noteq> 0))"   and "\<not> (\<exists>(a', b', c')\<in>set d. (a' = 0 \<and> b' \<noteq> 0) \<and> (\<forall>(d, e, f)\<in>set a. \<exists>y'>- c' / b'. \<forall>x\<in>{- c' / b'<..y'}. d * x\<^sup>2 + e * x + f = 0) \<and> (\<forall>(d, e, f)\<in>set b. \<exists>y'>- c' / b'. \<forall>x\<in>{- c' / b'<..y'}. d * x\<^sup>2 + e * x + f < 0) \<and> (\<forall>(d, e, f)\<in>set c. \<exists>y'>- c' / b'. \<forall>x\<in>{- c' / b'<..y'}. d * x\<^sup>2 + e * x + f \<le> 0) \<and> (\<forall>(d, e, f)\<in>set d. \<exists>y'>- c' / b'. \<forall>x\<in>{- c' / b'<..y'}. d * x\<^sup>2 + e * x + f \<noteq> 0))"   and "\<not> (\<exists>(a', b', c')\<in>set d. a' \<noteq> 0 \<and> - b'\<^sup>2 + 4 * a' * c' \<le> 0 \<and> (\<forall>(d, e, f)\<in>set a. \<exists>y'>(- b' + 1 * sqrt (b'\<^sup>2 - 4 * a' * c')) / (2 * a'). \<forall>x\<in>{(- b' + 1 * sqrt (b'\<^sup>2 - 4 * a' * c')) / (2 * a')<..y'}. d * x\<^sup>2 + e * x + f = 0) \<and> (\<forall>(d, e, f)\<in>set b. \<exists>y'>(- b' + 1 * sqrt (b'\<^sup>2 - 4 * a' * c')) / (2 * a'). \<forall>x\<in>{(- b' + 1 * sqrt (b'\<^sup>2 - 4 * a' * c')) / (2 * a')<..y'}. d * x\<^sup>2 + e * x + f < 0) \<and> (\<forall>(d, e, f)\<in>set c. \<exists>y'>(- b' + 1 * sqrt (b'\<^sup>2 - 4 * a' * c')) / (2 * a'). \<forall>x\<in>{(- b' + 1 * sqrt (b'\<^sup>2 - 4 * a' * c')) / (2 * a')<..y'}. d * x\<^sup>2 + e * x + f \<le> 0) \<and> (\<forall>(d, e, f)\<in>set d. \<exists>y'>(- b' + 1 * sqrt (b'\<^sup>2 - 4 * a' * c')) / (2 * a'). \<forall>x\<in>{(- b' + 1 * sqrt (b'\<^sup>2 - 4 * a' * c')) / (2 * a')<..y'}. d * x\<^sup>2 + e * x + f \<noteq> 0))"   and "\<not> (\<exists>(a', b', c')\<in>set d. a' \<noteq> 0 \<and> - b'\<^sup>2 + 4 * a' * c' \<le> 0 \<and> (\<forall>(d, e, f)\<in>set a. \<exists>y'>(- b' + - 1 * sqrt (b'\<^sup>2 - 4 * a' * c')) / (2 * a'). \<forall>x\<in>{(- b' + - 1 * sqrt (b'\<^sup>2 - 4 * a' * c')) / (2 * a')<..y'}. d * x\<^sup>2 + e * x + f = 0) \<and> (\<forall>(d, e, f)\<in>set b. \<exists>y'>(- b' + - 1 * sqrt (b'\<^sup>2 - 4 * a' * c')) / (2 * a'). \<forall>x\<in>{(- b' + - 1 * sqrt (b'\<^sup>2 - 4 * a' * c')) / (2 * a')<..y'}. d * x\<^sup>2 + e * x + f < 0) \<and> (\<forall>(d, e, f)\<in>set c. \<exists>y'>(- b' + - 1 * sqrt (b'\<^sup>2 - 4 * a' * c')) / (2 * a'). \<forall>x\<in>{(- b' + - 1 * sqrt (b'\<^sup>2 - 4 * a' * c')) / (2 * a')<..y'}. d * x\<^sup>2 + e * x + f \<le> 0) \<and> (\<forall>(d, e, f)\<in>set d. \<exists>y'>(- b' + - 1 * sqrt (b'\<^sup>2 - 4 * a' * c')) / (2 * a'). \<forall>x\<in>{(- b' + - 1 * sqrt (b'\<^sup>2 - 4 * a' * c')) / (2 * a')<..y'}. d * x\<^sup>2 + e * x + f \<noteq> 0))" shows "\<nexists>x. (\<forall>(a, b, c)\<in>set b. a * x\<^sup>2 + b * x + c < 0) \<and> (\<forall>(a, b, c)\<in>set c. a * x\<^sup>2 + b * x + c \<le> 0) \<and> (\<forall>(a, b, c)\<in>set d. a * x\<^sup>2 + b * x + c \<noteq> 0)"