Wikipediaの方にも詳細な記述があるが、百科事典という性格上、個々の例について深い解説を与えることはできない。
ここでは、初学者でもわかりやすいよう、個々の例について深い解説を与えながら見ていこうと思う。
集合''A''と写像*:A \times A \to Aがあるとき、*をA上の二項演算という。a,b\in Aに対して、通常*(a,b)をa*bとかく。*が写像であるとは、任意のa,b\in Aに対してa*b\in Aが定まるということである。このことを強調した表現として、''A''は演算*について閉じているということがある。
任意の2つの整数の足し算は、整数になる。つまり、足し算は、整数の集合上の二項演算である。一方、整数の割り算は二項演算ではない。1÷2=1/2は整数ではないから、整数は割り算について閉じていない。
集合Gに演算\cdotが定まっているとき、(G,\cdot)とかく。集合と演算の組を代数系あるいは代数構造という。
定義は大げさだが、既に我々は代数構造の例を十分すぎるほど知っている。いくつか挙げてみる。
整数の集合\mathbb{Z}において通常の足し算+は演算であり、(\mathbb{Z},+)は代数構造である。
実数の集合\mathbb{R}において通常の掛け算\cdotは演算であり、(\mathbb{R},\cdot)は代数構造である。
これから我々はこのようなよく知っている代数構造の抽象的な性質だけを抜き出して調べることで、同じ抽象的性質を持つより複雑な代数構造も含めて統一的に性質を調べていこうとしている。
さて、ここからは、代数構造にルールを付け加えていくと、どうなるかを考えてみよう。
代数構造(''G'',·)があるとする。このとき、結合則とは、次のルールのことをいう。
∀ ''a'',''b'',''c'' ∈ ''G''について、
''a'' · (''b'' · ''c'') = (''a'' · ''b'') · c
結合則が成り立つ代数構造のことを、半群（semi group）という。
半群とは集合 ''S'' と二項演算 "•" の組 (''S'', •) であって、二項演算 • が以下の条件
演算が閉じている: ''S'' の各元 ''a'', ''b'' に対して、演算結果 ''a'' • ''b'' は再び ''S'' に属する。
結合律: ''S'' の各元 ''a'', ''b'', ''c'' に対して、等式 (''a'' • ''b'') • ''c'' = ''a'' • (''b'' • ''c'') が満たされる。
がともに成立するものを言う。
結合則は、成り立つ場合もあるし、成り立たない場合ももちろんある。やはり、例を考えてみよう。
自然数の集合をN、足し算を + とする。
代数構造(N,+)について、結合則が成り立つことは、直感的に明らかだろう。
例えば、6 + ( 3 + 2 ) = ( 6 + 3 ) + 2 = 11
である。
これを、あえて証明したいと思った場合は、まず、すべての自然数が、1+1+1+...+1 の形に書けることを示し、次に、1+1+...+1 の列に対して、結合則が成り立つことを示せばよい。
自然数の集合をN、引き算を − とする。
代数構造(N,−)について、結合則は成り立たない。
なぜなら、6 − ( 3 − 2 ) = 6 − 1 = 5 であるのに対し、( 6 − 3 ) − 2 = 3 − 2 = 1 であるから、6 − ( 3 − 2 ) ≠ ( 6 − 3 ) − 2
となる。
もう一つ、単位元というものを考えてみよう。
代数構造(''G'',·)があるとする。このとき、単位元とは、次のような元をいう。
∃ ''e'' ∈ ''G''があって、∀ ''x'' ∈ ''G''について、
''e'' · ''x'' = ''x'' · ''e'' = ''x''
となるとき、''e''を単位元（identity element）という。
結合則が成り立ち、単位元が存在する代数構造(''G'',·)を、モノイド（monoid）という。
例えば、足し算の単位元は、0である。掛け算の単位元は、1である。
単位元も、必ずしも存在するとは限らない。
自然数の集合をN、足し算を+とする。
自然数の集合ということは、1以上の整数であるから、0は含まないので、この場合、代数構造(N,+)には、単位元がないことになる。
自然数の集合N、足し算を+とする。
先ほどは、0がなかったので、次の性質を満たす、0という数を考える。
∀ ''x'' ∈ Nに対して、
''x'' + 0 = 0 + ''x'' = ''x''
そして、Nに{0}を加えた集合、N ∪ {0}を考える。
このとき、ようやく、足し算に単位元ができて、代数構造(N ∪ {0},+)には、単位元があることになる。
いわゆる、インドにおける0の発見とは、まさしくこのことである。それまでの、単位元のなかった足し算に、0という単位元を導入する作業が、0の発見であったといえる。
さて、ようやく群の話題にうつろう。群とは、モノイドにさらにもう一つ逆元というものを導入した代数構造である。
今、代数構造(''G'',·)があり、''G''には単位元''e'' ∈ ''G''が定義されているとする。
ある''x'' ∈ ''G''に対する逆元''x''−1とは、
''x'' · ''x''−1 = ''x''−1 · ''x'' = ''e''
となるような''x''−1 ∈ ''G''のことである。
逆元は常にあるとは限らない。逆元が存在する元と存在しない元がともに混在している代数構造も考えられる。
自然数の集合をN、足し算を+とする。自然数の集合に単位元0を加えた代数構造 (N ∪ {0} , +) について考える。
このとき、どのような''k'' ∈ Nをとってきたとしても、
''k'' + ''x'' = ''x'' + ''k'' = 0
となるような''x''は負の数になってしまうため、''x'' ∉ N ∪ {0}であり、 0 以外のすべての元について逆元は存在しない。
さて、群とは、任意の元について逆元の定義されたモノイドだった。すなわち、まとめると、次の1から3を満たす代数構造(''G'',·)を群と呼ぶ。
1.単位元の存在
ある''e'' ∈ ''G''があって、∀ x ∈ ''G''に対して、
''e'' · ''x'' = ''x'' · ''e'' = ''x''
が成り立つ。
2.逆元の存在
∀ ''x'' ∈ ''G''に対して、∃ ''x''−1 ∈ ''G''が存在して、
''x'' · ''x''−1 = ''x''−1 · ''x''=''e''
である。
3.結合則
∀ ''a'',''b'',''c'' ∈ ''G''に対して、
''a'' · (''b'' · ''c'') = (''a'' · ''b'') · ''c''
が成り立つ。
これらに加えてさらに
4.交換法則
∀ ''a'',''b'' ∈ ''G'' に対して''a'' · ''b''=''b'' · a
が成り立つ群を特に可換群（commutative group）またはアーベル群（abelian group）という。
これだけからいくつかの基本的な定理を見出すことができる。
単位元が存在すれば、それは代数構造(''G'',·)の中にただ一つ存在する。
証明：
''e'',''e''’ ∈ ''G''を単位元とし、''e'' ≠ ''e''’とする。
単位元の定義より、
∀ ''x'' ∈ ''G''に対して、''x'' · ''e'' = ''e'' · ''x'' = ''x''
∀ ''y'' ∈ ''G''に対して、''y'' · ''e''’ = ''e''’ · ''y'' = ''y''
''x''は任意だから、''x''=''e''’,''y''=''e''とおいてもよいので、そうおけば、
''e''’ · ''e'' = ''e'' = ''e''’
これは、''e'' ≠ ''e''’に反する。
故に、単位元''e''∈ ''G''は、存在すれば、ただ一つ存在する。
群(''G'',·)について考える。
元''x''∈ ''G''に対する逆元''x''−1もまた、存在すれば''G''の中にただ一つ存在する。
証明
群''x''∈''G''の逆元が二つあったと仮定し、それらを''a''と''b''とおく。
''a'',''b''∈ ''G''かつ''a'' ≠ ''b''である。逆元の定義から
が成り立つ。このとき、''G''は群だから、結合則が成り立つことに注意すると
     ''a'' = ''a'' · ''e''
       = ''a'' · ( ''x'' · ''b'' )
       = ( ''a'' · ''x'' ) · ''b''
       = ''e'' · ''b''
       = ''b''
よって、''a''=''b''。これは、''a'' ≠ ''b''に反す。矛盾。
よって、群''G''について、''x''の逆元があれば、''x''の逆元は一意。
群(''G'',·)について考える。
''x'' ∈ ''G''の逆元''x''−1があるとき、''x''の逆元の逆元、すなわち、(''x''−1)−1=''x''である。
証明：
''x'' · ''x''−1
= ''x''−1 · ''x''=''e''
である。これは''x''の逆元が''x''−1であることを示しているが、同時に''x''−1の逆元が''x''であることを示しているとも取ることができる。
(''x''−1)−1を考えると、(''x''−1)−1は''x''−1の逆元であるから、
''x''−1 · (''x''−1)−1 =''e''
が成り立つ。先ほど示したように、逆元の一意性より、''x''−1の逆元は存在すればただ一つである。(''x''−1)−1も''x''も、''x''−1の逆元であるということは、
(''x''−1)−1=''x''
でなければならない。
群の公理だけからわかることについてみてきたが、その公理を満たすような対象として具体的にどのようなものがあるかということも重要である。ここではそのような例を挙げてみる。
まず、代数構造の例として述べた2つの例についてみてみよう。ここで挙げた2つのうち、(\mathbb{Z},+)は群である。一方で、(\mathbb{R},\cdot)は群ではない。0の逆元が存在しないからである。一方、\mathbb{R}^\times :=\mathbb{R} \setminus \{0\}は積を演算として群である。これらの群はアーベル群である。
一方、次のような群の例もある。集合''X''上の全単射f:X \to Xをすべて集めた集合をSym(''X'')とする。Sym(''X'')は写像の合成を演算として群になる。単位元は恒等写像、逆元は逆写像である。これは一般にアーベル群にはならない。
特にX=\{1,2,3,\cdots,n\}のとき、Sym(''X'')を\mathfrak{S}_nと書き、これを''n''次の対称群（symmetric group）という。
対称群の元のうち、i_l(1 \le l \le m-1)をi_{l+1}に、i_mをi_1に写し、他の元は動かさない写像を、(i_1 \ i_2 \ i_3 \ \cdots \ i_m)と表記する。このような元を巡回置換（permutation）と呼ぶ。対称群の元はいくつかの巡回置換の積として表される。特にm=2の巡回置換を互換（transposition）と呼ぶ。巡回置換はいくつかの互換の積として表されるので、結局対称群の元はいくつかの互換の積として表される。群の言葉を使わずに言えば、すべての並べ替えはあみだくじを使って実現することができる。
たとえば、(1324)は1を3に、3を2に、2を4に、4を1に写す巡回置換である。(53)は5を3に、3を5に写す互換である。
群''G''が与えられたとき、群''G''の部分群''H'' ⊂ ''G''とは、集合として、''H'' ⊂ ''G''であり、なおかつ、''H''が群であるものを指す。
すなわち、
''a'' ∈ ''H'' , ''b'' ∈ ''H'' ⇒ ''a'' · ''b'' ∈ ''H''
''a'' ∈ ''H'' ⇒ ''a''-1 ∈ ''H''
''e'' ∈ ''H''
ただし、''e''は、''H''の単位元である。
簡単に証明できる事柄として、''G''の単位元と''H''の単位元は一致する。なぜなら、''G''の単位元を''e''Gとすれば、∀ ''a'' ∈ ''H''に対して、
''e''G · ''a'' = ''a'' · ''e''G = ''a''
が成り立つ。これは、''e''Gが''H''の単位元であることも示しており、''H''は群だから、単位元を含むので、''e''G ∈ ''H''。
群の部分集合が部分群であることを判定するには、定義に戻ってもよいが、下のような簡便な判定法がある。
群''G''の空でない部分集合''H''が部分群あるための必要十分条件は
''a'' ∈ ''H'' , ''b'' ∈ ''H'' ⇒ ''a'' · ''b''-1 ∈ ''H''
必要性は明らかだろう。十分性は以下のように示される。''a'' ∈ ''H''とすると、条件より、''a'' · ''a''-1 = ''e'' ∈ ''H''である。 よって''a'' ∈ ''H''かつ''e'' ∈ ''H''なので、 条件より''e'' · ''a''-1 = ''a''-1 ∈ ''H''である。最後に、''a'' ∈ ''H'' , ''b'' ∈ ''H''とすると、''b'' ∈ ''H''より''b''-1∈ ''H''なので、''a'' · ( ''b''-1 ) -1 = ''a'' · ''b'' ∈ ''H''。よって''H''は''G''の部分群である。
群''G''の部分集合''S''は、一般に部分群になるとは限らない。しかし、''S''の元とその逆元をいくつか掛け合わせた元全体、すなわち
は''G''の部分群になる。これを''S''が生成する部分群という。特に\langle S \rangle = Gのとき''S''を''G''の生成系といい、''S''の元を''G''の生成元という。
ただ一つの元からなる生成系を持つ群を巡回群（cyclic group）という。巡回群は明らかにアーベル群である。
例互換の全体は対称群の生成系である。
群''G''の部分群''H''がさらに下の条件を満たすとき、''H''は正規部分群（normal subgroup）であるといい、G \vartriangleright Hと書く。
''g'' ∈ ''G'' , ''h'' ∈ ''H'' ⇒ ''g'' · ''h'' ·  ''g''-1 ∈ ''H''
明らかにアーベル群の部分群は必ず正規部分群であるが、アーベル群でない群の部分群は、一般に正規部分群になるとは限らない。そのほかに、次のような例がある。
例上でみたように、''n''次対称群の任意の元はいくつかの互換の積として表せる。その表し方は一意ではないが、積として表すときに用いる互換の個数が偶数か奇数かは表し方によらず元のみによってきまることが知られており、偶数個で表せる元を偶置換（even permutation）と呼び、奇数個で表せる元を奇置換（odd permutation）と呼ぶ。偶置換の全体は明らかに正規部分群となる。これを''n''次交代群（alternating group）といい、A_nと書く。
''G''を群、''H''をその部分群とする。''G''に次のような同値関係を与える。
a,b \in Gに対し、a \sim b \Leftrightarrow a^{-1}b \in H
これが同値関係であることの確認は容易なので読者に任せる。
aの同値類は、C(a) = \{ x \in G | a^{-1} x \in H\}である。h \in Hとすれば、x = ahとなるので、C(a) = \{ ah | h \in H \}となる。これを、aHと書く。
''G''をこの同値関係で割った商集合\{ aH | a \in G \}を G/Hと書き、''G''の''H''による左剰余類と呼ぶ。
さて、せっかく群を群で割った商集合を考えているのだから、その商集合にも群の構造が入れば便利である。実はこの商集合には、''H''が''G''の正規部分群ならば、次のような自然な演算によって群の構造を入れることができる。
aH \cdot bH = abH
このようにして定義した群を、''G''を''H''で割った商群とか、剰余群という。剰余群の単位元はe_G H、aHの逆元は(a^{-1})Hである。
これが群であることを示さなくてはならないが、その前に正規部分群ならばこの演算がwell-definedであることを示さなくてはならない。つまり、a \sim a',b \sim b'\Rightarrow ab \sim a'b'を示す必要がある。a \sim a',b \sim b'、すなわちa^{-1}a',b^{-1}b' \in Hを仮定すると、(ab)^{-1}a'b'=b^{-1}a^{-1}a'b'=(b^{-1}b')(b'^{-1}a^{-1}a'b') \in Hなので、ab \sim a'b'である。これでwell-defined性を確かめることができた。あとは群になることを確かめることになるが、これはほとんど自明なので読者自ら試みるとよい。
ここで紹介する準同型定理は、群の基本的な定理である。群論を学ぶからには、よく理解し、使いこなせるようになるべきである。
これまではひとつの群についてばかり考えてきたが、ここでは2つの群の間の写像について考えよう。
''G''と'' G' ''を群とする。写像f:G \to G'が準同型写像である（あるいは単に準同型である）とは、次の条件を満たすことである。
f(x \cdot y) = f(x) \cdot f(y) , \forall x,y \in G
準同型であって特に全単射なものを同型という。少し紛らわしい表現だが、''G''から'' G' ''への同型写像があるときこの2つの群は同型であるといい、G \cong G'と書く。
明らかに準同型となる例として、部分群からもとの群への包含写像は単射な準同型であり、特に群の恒等写像は同型である。また、準同型の合成は準同型であり、同型の逆写像は同型である。以上から、2つの群が同型であるという関係は同値関係であることがわかる。
f:G \to G'を準同型とするとき、\mathrm{Im} f = \{f(x) \in G'|x \in G \}をfの像(image)といい、\ker f = \{ x \in G | f(x) = e_{G'} \}をfの核(kernel)という。imageはG'の、kernelはGの部分群であることはすぐわかる。特にkernelは正規部分群でもあることがわかる。
準同型は必ず単位元を単位元にうつす。すなわち、e_G \in \ker fである。また、準同型が単射であることは、\ker f = \{ e_G \}と同値である。この事実は準同型の単射性の判定を簡便にするためにしばしば役立つ。
群''G''から''G''自身への同型写像を''G''の自己同型という。任意の群に対して自己同型は必ず存在する（恒等写像）。また、''G''の自己同型全体をAut''G''と書くことにすると、この集合は写像の合成を演算として群となることがわかる（確かめよ）。これを''G''の自己同型群という。
次に述べるのが、準同型定理といわれるものである。
定理''G''と''H''を群、f:G \to Hを全射な群の準同型とするとき、G/\ker f \cong H
この定理は、何か得体の知れない群に接したときの対処法としてとても有用である。すなわち、得体の知れない群が現れたときには、とりあえずよく知っている群からの全射を構成することさえできれば、よく知っている群の商群として理解できるということである。
（証明）
\ker f = Kとする。\bar{f}:G/\ker f \to Hを\bar{f} (aK) = f(a)で定める。まず、これがwell-definedであることを示す。
aK=bKとすると、a^{-1} \cdot b \in Kなので、f(a^{-1} \cdot b)=f(a)^{-1} \cdot f(b) = e_H。よってf(a)=f(b)なので\bar{f}はwell-defined。
\bar{f}が準同型であること・全射であることは、fが準同型・全射であることから明らか。単射性を示す。\ker \bar{f} =\{ e_G H \}を示せばよい。
\bar{f}(aK)=e_Hであるとすると、f(a)=e_Hなので、a \in \ker f。よってa～e_Gなので、aH = e_G H。すなわち\ker \bar{f} =\{ e_G H \}である。 //
準同型定理の応用例として、同型定理と呼ばれる以下の命題たちを証明してみよう。
定理群''G'',''G' ''に対し、''H''は''G''の部分群、''N''は''G''の正規部分群、''H' ''は''G' ''の正規部分群とする。
（証明）
(1)''f''と標準全射\pi:G' \to G'/H'とを合成した全射準同型\pi \circ f:G \to G'/H'に準同型定理を用いればよい。
(2)''HN''が''G''の部分群、''N''が''HN''の正規部分群であることは明らかなので、包含写像i:H \to HNと標準全射\pi:HN \to HN/Nを合成した全射準同型\pi \circ i:H \to HN/Nに準同型定理を用いればよい。
準同型定理は一般の群について成り立つ重要な定理であったが、特に群の位数が有限である場合に限ると、さらに興味深い結果が表れてくる。次は、そのような結果の代表的なものであるSylowの定理について述べる。
さきほど商群を定義するときに、群をその部分群で割った商集合を考え、商集合の各元を剰余類と呼んだ。ここで、当たり前であるが、剰余類をすべて直和するともとの群になる、ということに注意しよう。すなわち、各剰余類の元をすべて集めると、もとの群の元をすべて（重複なく）集めることができているのである。この事実から、さらに考察を進めると、次の命題が成り立つことがわかる。ここで、「#」は、集合の濃度をあらわすものとする。
命題Gを群、H,KをGの部分群でK \subset Hとすると、\sharp(G/H) \cdot \sharp(H/K) = \sharp(G/K)
系Gを群、HをGの部分群とすると、\sharp(G/H) \cdot \sharp H = \sharp G。特に、Gが有限群のとき、その部分群の位数はGの位数の約数。
部分群の位数はもとの群の位数の約数、という事実はLagrangeの定理と呼ばれる。もっとも、Lagrangeの時代にはまだ人類は群という概念を知らなかったので、Lagrangeはこのような近代的な形の命題を考えたわけではない。
Sylowの定理について述べる前に、まずはいくつか言葉の定義をしておく。
定義Gを群、HとH'をGの部分群とする。あるg \in Gが存在してgHg^{-1}=H'となるとき、HとH'は共役であるという。
この言葉を使うと、部分群が正規部分群であるとは、自らと共役な群は自分自身しかない、ということである。
定義位数がある素数pの冪である群を、p群という。
定義Gを有限群とする。Gの位数が\sharp G=p_1^{r_1} \cdot ... \cdot p_n^{r_n}と素因数分解されるとき、位数がp_i^{r_i}の部分群のことを、pi-Sylow部分群（Sylow-pi部分群とも）という。
以上の準備のもとで、Sylowの定理のステートメントを述べることができる。
定理(Sylow)
有限群Gは、任意の素数pに対してp-Sylow部分群を持つ。
Gのp部分群はあるp-Sylow部分群に含まれる。
p-Sylow部分群は互いに共役である。
Sylow-p部分群の数をpで割った余りは1である。
2つの群''G'',''H''があるとき、これをもとにして新たな群を作ることを考えよう。
最も単純なのは、''G''と''H''の集合としての直積G \times Hに次のようにして演算を与えることであろう。
このように定めると確かにこの集合は群になる（確かめよ）。これを''G''と''H''の直積（direct product）といい、G \times Hで表す。
上記のようにして直積集合に群の構造が入ることがわかったが、これに加えて群準同型
があるときには、これとは別の方法で群構造を入れることができる。具体的には、演算を次のように定める。
このようにして定めると、確かにこの集合は群になる（確かめよ）。これを''G''と''H''の半直積といい、G \rtimes Hと書く。特に\sigmaを、任意の''h''に対して\sigma(h)は恒等写像、と定めると、この作用に関する半直積は直積と一致する。すなわち半直積は直積をより一般化した概念であり、これを考えることにより、直積だけを考えるよりもより多くの構造を考える余地ができる、といえる。
例''G''を位数''n''の巡回群、''H''を位数2の巡回群（生成元を''i''とする）とし、\sigma:H \to \operatorname{Aut} Gを\sigma(i)(x)=x^{-1} \ (x \in G)で定めるとき、半直積G \rtimes Hを正2面体群という。これは正''n''角形の回転と裏返しによって自分自身に写す写し方全体からなる群になっている。
群と準同型からなる列
 G_{i+1} \to \cdots
があり、
が満たされるとき、この列は完全系列であるという。
最初と最後が単位元のみの群\{e\}であるような完全系列で、考える意味のある最も「短い」列はどのような列だろうか。
が完全であるとする。このとき、G=\mathrm{Ker} f_2=\mathrm{Im} f_1=\{e\}であるから、''G''は単位元のみからなる群である。一方、
が完全であるとすると、\mathrm{Ker} f_2=\mathrm{Im} f_1=\{e\}なのでf_2は単射、\mathrm{Im} f_2=\mathrm{Ker} f_3=G_2なのでf_2は全射、よってG_1 \cong G_2である。
以上の例は自明であり、考えても面白くない。よって、非自明な完全系列で最も短いものは、5個の群からなる列
であろう。この5個の群からなる列が完全であるのは、fは単射、gは全射、\mathrm{Im} f=\mathrm{Ker} gが満たされるときである。このとき、この列を短完全系列という。短完全系列が存在するとき、群G_2をG_3のG_1による拡大という。短完全系列に対してさらに、g \circ iが恒等写像になるような単射i:G_3 \to G_2があるとき、この短完全系列は分裂するという。
前節でみた半直積は群の拡大の例であり、その短完全系列は分裂する。すなわち、次が成り立つ。
命題
群と準同型の列
は完全系列であり、この完全系列は分裂する。ただし、\varphi(g)=(g,e),\pi(g,h)=h,i(h)=(e,h)とする。
証明は定義を確認するだけである。
群''G''の元x,y \in Gに対し、
を''x''と''y''の交換子（commutator）という。
''G''の部分群''H'',''K''に対し、部分群[H,K]を
と定める。これを''H''と''K''の交換子群（commutator group）という。
この交換子群を用いて、部分群の列D_i(G)が次のように帰納的に定義される。
このように定めたD_i(G)について、ある''k''が存在してD_k(G)=\{e\}となるとき、''G''は可解群であるという。
また、次のようにして部分群の列R_i(G)が定まる。
このように定めたR_i(G)について、ある''k''が存在してR_k(G)=\{e\}となるとき、''G''は冪零群であるという。
定義より明らかに、D_i(G) \subset R_i(G)であることがわかる。すなわちR_k(G)=\{e\} \Rightarrow D_k(G)=\{e\}なので、冪零群は可解群である。
また、H \subset Gが部分群のとき、D_i(H) \subset D_i(G),R_i(H) \subset R_i(G)なのも明らかである。つまり、冪零群の部分群は冪零群、可解群の部分群は可解群である。
アーベル群の交換子は必ず単位元になるので、アーベル群は可解群でも冪零群でもある。
対称群がいつ可解になるか、詳しく調べてみよう。まず、次の命題が成り立つ。
補題n \ge 3のとき、A_n=\langle (i \ j \ k) | i,j,kは''n''以下の相異なる自然数\rangleである。
命題D_1(\mathfrak{S}_n)=A_n
n=2のとき、D_1(\mathfrak{S}_2)=A_2=\{e\}である。以下n \ge 3とする。
交換子の定義より、D_1(\mathfrak{S}_n) \subset A_nは明らかなので、逆向きの包含関係を示す。
系\mathfrak{S}_nが可解\Leftrightarrow A_nが可解。
つまり、対称群が可解かどうかを調べるには、交代群が可解かどうかを調べればよい。ここからは、具体的な''n''について調べてみよう。まず、n=4の場合を考える。
命題V=\{e,(1 \ 2)(3 \ 4),(1 \ 3)(2 \ 4),(1 \ 4)(2 \ 3)\}はA_4の部分群であり、
証明は具体的に交換子を計算するだけである。対称群の計算練習としてちょうどよいので省略する。なお、この''V''のことをクラインの四元群という。
系\mathfrak{S}_4は可解群。
系\mathfrak{S}_n \ (n \le 4)は可解群。
ではn=5の場合はどうなのだろうか？結論から言えば、次のことが成り立つ。
命題D_2(\mathfrak{S}_5)=D_1(A_5)=A_5
系\mathfrak{S}_5は可解群ではない。
系\mathfrak{S}_n \ (n \ge 5)は可解群ではない。
つまり、対称群\mathfrak{S}_nはn \le 4のとき可解群、n \ge 5のとき非可解群となることがわかった。
具体的な群について長々と考察してきたのを訝しく思う読者がいるかもしれないので、この事実の背景についても少し説明しておく。二次方程式
の解は
{2a}
となることはよく知っているだろう（現行の日本の教育課程では中学校3年生で学習することになっている）。日本の初等中等教育では学習しないが、実は三次方程式や四次方程式にも、このような（平方根、立方根などの冪根と四則演算だけを用いた）公式を作ることが可能である。しかし、実は五次以上の方程式の解は一般には冪根のみでは表すことはできない。このことと、四次以下の対称群は可解だが五次以上の対称群は非可解であるということは、密接なかかわりがあり、このことの研究が群論自体が生まれるきっかけともなっている（そもそも「可解群」という名の由来はこの事実である）。このあたりの詳しい事情については群論の範疇ではなくなるので、興味のある読者は体論およびガロア理論の項目を参照のこと。これらの項目にも今は記述が無いが、いずれ書かれるだろう。