まず，ベクトルによって平面上の直線を表す方法を確認する．
定義3
直線の方程式（パラメータ表示）
平面上の点 \mathrm{A}(\vec{a}) を通り，\vec{u} に平行な直線を l とする．
 = \vec{x} とする．
 = t\vec{u} を満たす実数 t があって，
\vec{x} = \vec{a} + t \vec{u}
)
と表される．
これを直線 l のベクトル方程式という．
t は媒介変数，または パラメータ と呼ばれる．
これは平面上の直線を表しているが，空間内の直線を表す場合でも同じ要領であらわすことができる．
上で「平面上の」を「空間内の」に読み替えれば済むからである．
演習2.\quad
座標平面上の点 \mathrm{A}(-4, 5) を通り，\vec{u} = (-1, 3) に平行な直線 l を、
ax + by + c = 0 の形で表せ．
解答例1
l 上の点 \mathrm{P} について，ある実数 t があって，
\left(
    \begin{array}{c}
       -4 \\
       5
    \end{array}
  \right)
+ t
\left(
    \begin{array}{c}
       -1 \\
       3
    \end{array}
  \right)
\left(
    \begin{array}{c}
       -t - 3 \\
       3t + 5
    \end{array}
  \right)
\mathrm{P} の座標を (x, y) とすれば，
x = -t -4, y = 3t + 5．
これから t を消去する．3x + y を考えると t が消えることが容易に予想されるので，このまま 3x + y を計算すると，
すなわち
\blacksquare
解答例2
パラメータ t を用いない方法を示す．
問題の直線 l は \vec{u} = 
\left(
    \begin{array}{c}
       -1\\
       3
    \end{array}
  \right)
に平行であったが，これに垂直なベクトル \vec{h} =
\left(
    \begin{array}{c}
       3\\
       1
    \end{array}
  \right)
（成分を逆さにして片方にマイナスをつけた．すると \vec{u}\cdot\vec{h} = 0
ベクトル \vec{a} =
\left(
    \begin{array}{c}
       x\\
       y
    \end{array}
  \right)
に対してベクトル \vec{b} を，\vec{b} = 
\left(
    \begin{array}{c}
       y\\
       -x
    \end{array}
  \right)
とすると \vec{a}\cdot \vec{b} = 
\cdot
\left(
    \begin{array}{c}
       x\\
       y
    \end{array}
  \right)
\cdot
\left(
    \begin{array}{c}
       y\\
       -x
    \end{array}
  \right)
= xy + y(-x) = 0．
あるいは
\vec{b} = 
\left(
    \begin{array}{c}
       -y\\
       x
    \end{array}
  \right)
としても
\vec{a}\cdot \vec{b} = 
\cdot
\left(
    \begin{array}{c}
       x\\
       y
    \end{array}
  \right)
\cdot
\left(
    \begin{array}{c}
       -y\\
       x
    \end{array}
  \right)
= x(-y) + yx = 0で同様となる．
．）
を用いれば次のように表現できる．
l は \mathrm{A}(\vec{a}) を通り h に垂直だから，この l 上に \mathrm{P} をとり，
 = \vec{x} とすると，\mathrm{P} が l 上にある．
 \bot \vec{h}
\Leftrightarrow (\vec{x} - \vec{a})\cdot \vec{h} = 0 …①
\mathrm{P} の座標を (x, y) とすれば，\vec{x} = 
\left(
    \begin{array}{c}
       x\\
       y
    \end{array}
  \right)
, \vec{a} = 
\left(
    \begin{array}{c}
       -4\\
       5
    \end{array}
  \right)
, \vec{h} = 
\left(
    \begin{array}{c}
       3\\
       1
    \end{array}
  \right)
なので，①より
\left(
    \begin{array}{c}
       x\\
       y
    \end{array}
  \right)
-
\left(
    \begin{array}{c}
       -4\\
       5
    \end{array}
  \right)
\right \}
\cdot
\left(
    \begin{array}{c}
       3\\
       1
    \end{array}
  \right)
= 0
\therefore
\left(
    \begin{array}{c}
       x + 4\\
       y - 5
    \end{array}
  \right)
\cdot
\left(
    \begin{array}{c}
       3\\
       1
    \end{array}
  \right)
= 0
\therefore
3(x + 4) + y - 5 = 0
\therefore
3x + y + 7 = 0
となり，同じ直線の式が得られた．
\blacksquare
①のように、平面上の直線をベクトルで表す方法にはパラメータを用いない方法もある．
定義4
直線の方程式（ax + by + c = 0）
平面上の点 \mathrm{A}(\vec{a}) を通り，\vec{h} に垂直な直線を l とする．
 = \vec{x} とすると，
\vec{x} は 
(\vec{x} - \vec{a}) \cdot\vec{h} = 0 
を満たす．\mathrm{P} の座標を (x, y) として成分を計算すると．
ax + by + c = 0
の形をしている．
次に，問題を解きながら空間内の平面の表し方を解説してゆく．
演習3.\quad
座標空間の点 \mathrm{A}(0, 2, 1) を通り，
\left(
    \begin{array}{c}
       1\\
       -2\\
       1
    \end{array}
  \right)
，
\left(
    \begin{array}{c}
       2\\
       -1\\
       3
    \end{array}
  \right)
に平行な平面を \pi とする．
\pi 上の点 \mathrm{P} について，
 をパラメータ s, t を用いて表せ．
また，\mathrm{P} の座標を (x, y, z) をするとき，
x, y, z が満たす等式を求めよ．
解答
\vec{u} = 
\left(
    \begin{array}{c}
       1\\
       -2\\
       1
    \end{array}
  \right)
, \vec{v} = 
\left(
    \begin{array}{c}
       2\\
       -1\\
       3
    \end{array}
  \right)
 = s\vec{u} + t\vec{v} と表すことができるただし \vec{u}, \vec{v} が線形独立である必要がある．ここでは \vec{u}, \vec{v} の向きは平行ではなく，これを満たす．
 + s\vec{u} + t\vec{v}
\left(
    \begin{array}{c}
       0\\
       2\\
       1
    \end{array}
  \right)
+s
\left(
    \begin{array}{c}
       1\\
       -2\\
       1
    \end{array}
  \right)
+t
\left(
    \begin{array}{c}
       2\\
       -1\\
       3
    \end{array}
  \right)
すなわち \mathrm{P} (x, y, z) として
\begin{cases}
x = s + 2t \\
y = 2 -2s -t \\
z = 1 + s + 3t
\end{cases}
これらからパラメータ s, t を消去する．
x+2y = s+2t+2(2-2s-t)= -3s+4
\therefore s = \frac{4-x-2y}{3}
2x+y=s(s + 2t) + 2-2s-t = 3t + 2
\therefore t = \frac{2x+y-2}{3}
これを z = 1 + s + 3t に代入して
z = 1 + \frac{4-x-2y}{3} + 3\cdot \frac{2x+y-2}{3}
3z=3+4-x-2y + 3(2x+y-2)
\therefore 5x+y-3z = -1
次に \pi に垂直なベクトル（法線ベクトルという）を用いて，関係式を求める．
\pi に垂直なベクトル \vec{h} は \vec{u}, \vec{v} のそれぞれに垂直だから，\vec{h} は \vec{u} \times \vec{v} に平行である
定理5 (1) \vec {a} \times \vec {b} は， \vec {a}，\vec {b} の両方と直交する．
．
だから，
\vec{h} = \vec{u} \times \vec{v} =
\left(
    \begin{array}{c}
       1\\
       -2\\
       1
    \end{array}
  \right)
\times
\left(
    \begin{array}{c}
       2\\
       -1\\
       3
    \end{array}
  \right)
\left(
    \begin{array}{c}
       -5\\
       -1\\
       3
    \end{array}
  \right)
とおくことができる．
 = \vec{a} とする．すると，
 \bot \vec{h}
 
\mathrm{P} の座標を (x, y, z) とすれば，
\vec{x} =
\left(
    \begin{array}{c}
       x\\
       y\\
       z
    \end{array}
  \right)
, \vec{a} = 
\left(
    \begin{array}{c}
       0\\
       2\\
       1
    \end{array}
  \right)
，
\left(
    \begin{array}{c}
       x - 0\\
       y - 2\\
       z - 1
    \end{array}
  \right)
\left(
    \begin{array}{c}
       -5\\
       -1\\
       3
    \end{array}
  \right)
= -5x -(y - 2) + 3(z - 1) = 0
\therefore 5x + y -3z = -1
これが平面 \pi の方程式である．平面の方程式の係数 (5, 1, -3) を並べると平面の法線ベクトルになっている．
一般の形でまとめておく．
定義5
平面の方程式（パラメータ表示）
空間内の点 \mathrm{A}(\vec{a}) を通り，\vec{u}, \vec{v} に平行な平面を \pi とする．
=\vec{x} とすると，
 = s\vec{u}+t\vec{u} を満たす実数 s, t があって，
\vec{x} は，
)
と表される．
定義6
平面の方程式（ax+by+cz+d=0）
空間上の点 \mathrm{A}(\vec{a}) を通り，\vec{h} に垂直な平面を \pi とする．
=\vec{x} とする．
\vec{x} は，
 \bot \vec{h})
を満たす．\mathrm{P} の座標を (x, y, z) として，成分を計算すると
の形になり，ベクトル (a, b, c) は \vec{h} に平行である．