集合とは，「数学的に明確に定義された対象の集まり」をいう．
「数学的に明確に定義された」ということは，一つの対象を持ってきたときに，その集合に属しているか，それとも属していないかが明確に示されることをいう．
例えば「実数空間上に定義された滑らかな関数全体」は集合でない．
なぜなら，どのような関数を「滑らか」というかがはっきりしていないからである．
しかし「実数空間上に定義された各点で微分可能な関数全体」は集合である．
集合を構成する対象を要素または元という．
以下 M, N, A, B, \Omega 等の記号は集合を表すものとする．
定義1.\quad
a が集合 M に属する元であることを a \in Mと記す．
定義2.\quad
a が集合 M に属する元でないことを a \notin Mと記す．
定義3.\quad
集合 M が集合 N に含まれるとは
をいい，M \subset N または N \supset M と記す．
定義4.\quad
集合 M と集合 N が一致するとは
をいい，M = N と記す．
定義5.\quad
集合 M と集合 N の和集合 M \cup N とは
をいう．
定義6.\quad
集合 M と集合 N の共通集合 M \cap N とは
をいう．
定義7.\quad
同様に集合列 A_1, A_2, A_3, \cdots に対して，どれかの A_n に属する元全体の集合を
\bigcup_{n = 1}^\infty A_n と表す．
定義8.\quad
集合列 A_1, A_2, A_3, \cdots に対して，すべての A_n に属する元全体の集合を
\bigcap_{n = 1}^\infty A_n と表す．
定義9.\quad
また「元を持たない集合」を空集合 といい \emptyset で表す．
任意の集合 M について \emptyset \subset M, \quad M \cup \emptyset = M, \quad M \cap \emptyset = \emptyset である．
定理1.\quad
A, B, C を集合とするとき
(1) (A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)
(2) (A \cap B) \cup C = (A \cup C) \cap (B \cup C)
証明\quad
(1) x を (A \cup B) \cap C に属する任意の元とする．
x \in A \cup B かつ x \in C．
すなわち (x \in A または x \in B)かつ x \in C．
これは x \in A \cap C または x \in B \cap C となり，
x \in (A \cap C) \cup (B \cap C) すなわち (A \cup B) \cap C \subset (A \cap C) \cup (B \cap C)．…①
逆に A \subset A \cup B，B \subset A \cup B より
A \cap C \subset (A \cup B) \cap C，B \cap C \subset (A \cup B) \cap C．
（X \subset Z かつ Y \subset Z ならば X \cup Y \subset Zだから）
(A \cap C) \cup (B \cap C) \subset (A \cup B) \cap C．…②
①②より (A \cup B) \cap C = (A \cap C) \cup (B \cap C)．
(2)(1)に対して定理3を先取りして適用する．
((A \cup B) \cap C)^C = ((A \cap C) \cup (B \cap C))^C．
\therefore (A \cup B)^C \cup C^C = (A \cap C)^C \cap (B \cap C)^C．
\therefore (A^C \cap B^C) \cup C^C = (A^C \cup C^C) \cap (B^C \cup C^C)．（証明終）
定理2.\quad
A, A_n, n \in N を集合とするとき
(1)\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right) \cap A = \bigcup_{n=1}^\infty\left(A_n \cap A\right)
(2)\left(\bigcap_{n=1}^\infty A_n\right) \cup A = \bigcap_{n=1}^\infty\left(A_n \cup A\right)
証明\quad
(1)の証明．x \in \left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right) \cap A とすると，x \in \bigcup_{n=1}^\infty A_n かつ x \in A，
したがって，ある（少なくとも一つの）n_0 \in \mathbf{N} について x \in A_{n_0} かつ x \in A．
すなわち x \in A_{n_0} \cap A \subset \cup_{n=1}^\infty (A_n \cap A) であり，
これにより \left( \bigcup_{n=1}^\infty A_n \right) \cap A \subset \bigcup_{n=1}^\infty (A_n \cap A)．…①
逆に任意の m \in N について A_m \subset \bigcup_{n=1}^\infty A_n であるから A_m \cap A \subset \left( \bigcup_{n=1}^\infty A_n \right) \cap A
となり （A \subset Z, B \subset Z, C \subset Z ならば A \cup B \cup C \subset Z と同じ理由で，）
\bigcup_{n=1}^\infty\left(A_n \cap A \right) \subset \left( \bigcup_{n=1}^\infty A_n \right) \cap A．
さらにパラフレーズする．
任意の m についてA_m \cap A \subset \left( \bigcup_{n=1}^\infty A_n \right) \cap A
すなわち，
A_1 \cap A \subset \left( \bigcup_{n=1}^\infty A_n \right) \cap A…①
A_2 \cap A \subset \left( \bigcup_{n=1}^\infty A_n \right) \cap A…②
A_3 \cap A \subset \left( \bigcup_{n=1}^\infty A_n \right) \cap A…③
\cdots
各式の左辺の変化している部分に着目する．それは A_1, A_2, A_3, \cdots であり，今，左辺の和集合を考えると
(A_1 \cap A) \cup (A_2\cap A) \cup (A_3\cap A) \cup \cdots であるが，
①②③…，により A_1\cap A はある集合 Z に対して A_1\cap A \subset Z だといっている．
同様に A_2 \cap A\subset Z, A_3 \cap A\subset Z, \cdots だといっている．
したがって (A_1 \cap A) \cup (A_2 \cap A) \cup (A_3 \cap A) \cup \cdots \subset Z = \left( \bigcup_{n=1}^\infty A_n \right) \cap A といえることになるであろう．
…②
①②より(1)は証明された．
(2)の証明．(1) に定理3を先取りではあるが適用する。
(1)より
\left( \left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n \right) \cap A \right)^C = \left( \bigcup_{n=1}^\infty \left( A_n \cap A \right) \right)^C．
\therefore \left( \bigcup_{n=1}^\infty A_n \right)^C \cup A^C = \bigcap_{n=1}^\infty \left( A_n \cap A \right)^C． 
\therefore \left( \bigcap_{n=1}^\infty A_n^C \right) \cup A^C = \bigcap_{n=1}^\infty ( A_n^C \cup A^C)． 
（証明終）
定義9.\quad
ある集合 \Omega の部分集合全体をなす集合を \wp(\Omega) と記す．したがって A \in \wp(\Omega) は A \subset \Omega を意味している．
特に \emptyset \in \wp(\Omega),\quad \Omega \in \wp(\Omega) である．
定義10.\quad
また 1 点 \omega \in \Omega だけからなる \Omega の部分集合を
\{\omega \}，あるいは簡単のため \omega とも書く．
定義11.\quad
A \in \wp(\Omega) に対して
を A の補集合という．明らかに (A^C)^C = A である．
定義12.\quad
A, B \in \wp(\Omega) に対して
を集合 A と集合 B の差，また
を集合 A と集合 B の対称差という．
演習1.\quad
\Omega \equiv (0, 1] \times (0, 1](\subset \mathbf{R}^2), A \equiv (0, 1] \times (0, \frac{1}{2}], B \equiv (0, \frac{1}{2}] \times (0, 1]
とするとき，A \cup B, A \cap B, A \setminus B, A \bigtriangleup B を図示せよ．
(解答)
略
定理3.\quad
A, B \in \wp(\Omega) とするとき，次の命題が成り立つ．
(1) ( A \cup B)^C = A^C \cap B^C
(2) ( A \cap B)^C = A^C \cup B^C
証明\quad
(1)を証明する．x \in (A \cup B)^C とすると
x \not\in A \cup B すなわち x \not\in A かつ x \not\in B である．
ゆえに x \in A^C \cap B^C したがって (A \cup B)^C \subset A^C \cap B^C が示された．
逆に x \in A^C \cap B^C であれば X \not\in A かつ X \not\in B
したがって x \in (A \cup B)^C
となり A^C \cap B^C \subset (A \cup B)^C が示された．
(2)を証明する．
(1)に (A^C)^C = A を適用する．
(1) より ((A \cup B)^C)^C = (A^C \cap B^C)^C
すなわち A \cup B = (A^C \cap B^C)^C．
A = (A^C)^C, B = (B^C)^C だから
(A^C)^C \cup (B^C)^C = (A^C \cap B^C)^C．
A^C をあらためて A，B^C を B と書き直せば
A^C \cup B^C = (A \cap B)^C．（証明終）
定理3 はつぎのように一般化される．
定理4.\quad
A_n \in \wp(\Omega), n = 1, 2, 3, \cdots,  とするとき，次の命題が成り立つ．
(1)\left( \bigcup_{n=1}^\infty A_n \right)^C = \bigcap_{n=1}^\infty A_n^C
(2)\left( \bigcap_{n=1}^\infty A_n \right)^C = \bigcup_{n=1}^\infty A_n^C
証明\quad
(1)\left( \bigcup_{n=1}^m A_n \right)^C = \left( \bigcup_{n=1}^{m-1} A_n \cup A_m \right)^C = \left( \bigcup_{n=1}^{m-1} A_n \right)^C \cap A_m^C
= \left( \bigcup_{n=1}^{m-2} A_n \right)^C \cap A_{m-1}^C \cap A_m^C
= A_1^C \cap A_2^C \cap A_3^C \cap \cdots A_m^C
= \bigcap_{n=1}^m A_n^C
(2)\left( \bigcap_{n=1}^m A_n \right)^C = \left( \bigcap_{n=1}^{m-1} A_n \cap A_m \right)^C = \left( \bigcap_{n=1}^{m-1} A_n \right)^C \cup A_m^C
= \left( \bigcap_{n=1}^{m-2} A_n \right)^C \cup A_{m-1}^C \cup A_m^C
= A_1^C \cup A_2^C \cup A_3^C \cup \cdots A_m^C
= \bigcup_{n=1}^m A_n^C
(証明終）