数学演習 中学校2年生
中学校数学 2年生-数量/確率
問題はこちらにあります。
(1)略
(2)[1,2][1,3][1,4][2,1][2,3][2,4][3,1][3,2][3,4][4,1][4,2][4,3]の12通り
(3)[1,2][1,3][1,4][2,3][2,4][3,4]の6通り
全ての場合を書き出してみる。表＝100ないし50、裏＝Nとする。左の2枚は100円玉、右の2枚は50円玉である。
(1)上を見ると全て表の出方は1通り。全ての出方は16通りなので、\frac{1}{16}となる。
(2)同様に3枚表の出方は4通り。\frac{4}{16} = \frac{1}{4}となる。
(3)200円以上となる条件は3枚以上表であるか[100,100,N,N]の場合。\frac{6}{16} = \frac{3}{8}となる。
(4)100円玉と50円玉がちょうど1枚ずつ表である条件は2枚表の部分で[100,100,N,N][N,N,50,50]以外の場合である。\frac{4}{16} = \frac{1}{4}となる。
(5)上の出方を見るよりは、全体から50円玉が全く表にならなかった確率を引いたほうがよい。50円玉が全く表にならない場合は[100,100,N,N][100,N,N,N][N,100,N,N][N,N,N,N]の4通り。1 - \frac{4}{16} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}となる。
(1)乱数賽に10の目はないので、確率は0である。
(2)素数は2・3・5・7の4通りがそれぞれ2面あるので\frac{8}{20} = \frac{2}{5}である。
(3)一見では分かりにくいので、表にまとめてみる。GCDは最大公約数の英語の略称である。
GCD
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
×
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
3
3
1
1
3
1
1
3
1
1
3
4
4
1
2
1
4
1
2
1
4
1
5
5
1
1
1
1
5
1
1
1
1
6
6
1
2
3
2
1
6
1
2
3
7
7
1
1
1
1
1
1
7
1
1
8
8
1
2
1
4
1
2
1
8
1
9
9
1
1
3
1
1
3
1
1
9
以上の表より、\frac{228}{400} = \frac{57}{100}である。
(4)(3)に同じく表にまとめてみる。SUMは和を英語で表したものである。
SUM
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
3
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
5
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
6
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
9
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
この表を見れば、右上から左下にのびる「9」が最も出やすい(と期待される)ことが分かる。逆に最も出にくい(と期待される)数は「0」と「18」である。
(5)得であるとは言えない
このゲーム1回で貰える賞金の平均を計算してみよう。
0円・10円・20円・30円・40円・50円・60円・70円・80円・90円が等率で出ると期待されるから、以下のように計算できる。
\frac{1}{10} \times 0 +\frac{1}{10} \times 10 +\frac{1}{10} \times 20 + \cdots + \frac{1}{10} \times 90 = 45
計算結果は、このゲーム1回あたりの賞金の平均が45円であることを意味している。
このゲームの参加費が50円であることから、1ゲームにつき平均5円分損をしているだろうと考えることができる。
確率の分野では平均と言わずに、期待値という言葉を用いる。期待値(きたいち)とは、1試行で出る値の平均を示す指標で、この問題の場合は「それぞれの目の数値×その目の出る確率」の総和で求められる。(期待値について詳しくは、高校で学習する。)
例えばサイコロは1〜6の面が均等に出る(と期待される)から、その期待値は
\frac 1 6 \times 1 +\frac 1 6 \times 2+\frac 1 6 \times 3+\frac 1 6 \times 4+\frac 1 6 \times 5+\frac 1 6 \times 6 = 3.5
となる。詳しくはここでは説明しないが、n回振った時の目の総和の平均が3.5nになることも意味している。
(1)Aが当たる確率は\frac{3}{10}である。
(2)Aが当たった場合とAが外れた場合を分けて考える必要がある。以前の人が引いたらくじの本数が減っていることに注意。
\frac{3}{10}（A当たり）\times \frac{2}{9}（B当たり） = \frac{6}{90} = \frac{1}{15}
\frac{7}{10}（A外れ）\times \frac{3}{9}（B当たり） = \frac{21}{90} = \frac{7}{30}
これら2つの確率はAが当たりと外れが同時に起こらないことから足してよいので、\frac{1}{15} + \frac{7}{30} = \frac{9}{30} = \frac{3}{10}
(3)結論から言うと、Cの当たる確率も\frac{3}{10}なのである。
\frac{3}{10}（A当たり）\times \frac{2}{9}（B当たり） \times \frac{1}{8}（C当たり） = \frac{6}{720} = \frac{1}{120}
\frac{3}{10}（A当たり）\times \frac{7}{9}（B外れ） \times \frac{2}{8}（C当たり） = \frac{42}{720} = \frac{7}{120}
\frac{7}{10}（A外れ）\times \frac{3}{9}（B当たり） \times \frac{2}{8}（C当たり） = \frac{42}{720} = \frac{7}{120}
\frac{7}{10}（A外れ）\times \frac{6}{9}（B外れ） \times \frac{3}{8}（C当たり） = \frac{126}{720} = \frac{21}{120}
同様に確率の和は\frac{1}{120} + \frac{7}{120} + \frac{7}{120} + \frac{21}{120} = \frac{36}{120} = \frac{3}{10}
以上の結果から分かる通り、当たる確率はくじを引く順番によらないのである。
(4)少なくとも誰か1人当たる確率は「1-全員外れる確率」で求められる。全員外れる確率は\frac{7}{10} \times \frac{6}{9} \times \frac{5}{8} = \frac{210}{720} = \frac{7}{24}。よって1- \frac{7}{24} = \frac{17}{24}
(1)トランプ52枚の中にハートは13枚あるから、\frac{13}{52} = \frac{1}{4}である。
(2)「1枚目が絵札になる確率×(カードの総数が1枚減って)2枚目が絵札にならない確率」で求められるから、\frac{12}{52} \times \frac{40}{51}となる。
(3) 2枚目を引くときに1枚目と同じ数字、さらに3枚目のときにも同じ数字、さらに4枚目のときも同じ数字を引けばよいので、\frac{3}{51}\times\frac{2}{50}\times\frac{1}{49}となる。