''P'', ''Q'', ''D'' を D=P^2-4Q\neq 0 となる整数とし、\alpha, \beta を2次方程式 x^2-Px+Q=0 の解とする（''D'' ≠ 0 より この2次方程式は2つの相異なる解をもつ）。
このとき
が成り立つ。
線形回帰数列 で述べたように、数列 a_n (n=0, 1, \ldots) について、
漸化式
を満足することと、一般項が
の形に表されることは同値である。
特に、線形回帰数列でも例にあげたフィボナッチ数のように、
により定まる数列 U_n, V_n はいずれも上記の漸化式を満足し、初項は
により与えられる。逆に、これらの初項と漸化式で与えられる数列の一般項は (*) であらわされる。
このようにして定まる数列 U_n, V_n を (P, Q) に関するルーカス数列と呼ぶ。
また、数列 U_n のみを単にルーカス数列といい、V_n を同伴ルーカス数列と呼ぶこともある。
フィボナッチ数列 F_0=0, F_1=1, F_{n+2}=F_{n+1}+F_n は
(1, -1) に関するルーカス数列である。また、この同伴数列は L_0=2, L_1=1, L_{n+2}=L_{n+1}+L_n により定まり、
2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, ... で始まる。
そして、これらの数列の一般項は
{2}\right)^n
により与えられる。F_n の要素をフィボナッチ数と呼ぶのに対し、L_nの要素をルーカス数という。
(2, -1) に関するルーカス数列は 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, ... および 2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, ... で始まる。一般項は
, V_n=(1+\sqrt{2})^n+(1-\sqrt{2})^n
により与えられる。これらの数列はペル数列と呼ばれる（後に議論するが、ペル方程式と呼ばれる不定方程式の解としてあらわれる）。
ルーカス数列には重要な関係式が多数存在するが、証明まで記載すると長大になるので、証明は別に記す。
まず、次の関係式が成立する。
関係式 1
\begin{align}
V_n^2-DU_n^2= & 4Q^n, \\
U_n^2-U_{n-1}U_{n+1}= & -Q^{n-1}.
\end{align}
特に、Q=\pm 1 のとき、 U_n, V_n はペル方程式の解となっていることがわかる。例えばペル数列に対し、X=V_n/2, Y=U_n とおくとペル方程式 X^2-2Y^2=\pm 1 の解が得られる。
次に、添字の加法に関して、次のような、三角関数の加法定理に類似した関係式が成り立つ。
関係式 2
\begin{align}
2U_{m+n} = & U_m V_n+U_n V_m, \\
2Q^n U_{m-n} = & U_m V_n-U_n V_m, \\
U_{m+n} = & U_m U_{n+1}-QU_{m-1} U_n, \\
2V_{m+n} = & V_m V_n + DU_m U_n.
\end{align}
関係式 3
\begin{align}
U_{m+n}= & U_m V_n-Q^n U_{m-n}, \\
V_{m+n}= & V_m V_n-Q^n V_{m-n}=DU_m U_n+Q^n V_{m-n}.
\end{align}
次のような関係式も成り立つ。
関係式 4
\begin{align}
DU_n= & V_{n+1}-QV_{n-1},\\
V_n= & U_{n+1}-QU_{n-1}.
\end{align}
関係式 2, 3 の特殊な場合として、添字を2倍, 3倍したとき、次のような関係が成り立つ。
関係式 5
\begin{align}
U_{2n}= & U_n V_n,\\
V_{2n}= & V_n^2 - 2Q^n.
\end{align}
関係式 6
\begin{align}
U_{3n}= & U_n(V_n^2-Q^n)=U_n(DU_n^2+3Q^n),\\
V_{3n}= & V_n(V_n^2-3Q^n).
\end{align}
より一般的な、添字の乗法について考えたい。そのために、まず、次の等式が成り立つことを見る。
''m'' が偶数のとき
\begin{align}
(X+Y)^m= & \sum_{r=0}^m \binom{m}{r}X^r Y^{m-r} \\
 \\
,
\end{align}
''m'' が奇数のとき
\begin{align}
(X+Y)^m= & \sum_{r=0}^m \binom{m}{r}X^r Y^{m-r} \\
 \binom{m}{r}(X^r Y^{m-r}+X^{m-r}Y^r) \\
 \binom{m}{r}(XY)^r(X^{m-2r}+Y^{m-2r}).
\end{align}
この等式を使って、次のような関係式が得られる。
関係式 7 
''m'' が奇数のとき
\begin{align}
U_k^m
 \binom{m}{r} (-1)^r Q^{kr} U_{k(m-2r)} \\
= & U_{km}-\binom{m}{1}Q^k U_{k(m-2)}
+\binom{m}{2}Q^{2k} U_{k(m-4)}-\cdots
 \binom{m}{(m-1)/2}Q^{\frac{m-1}{2}k}U_k
\end{align}
および
\begin{align}
V_k^m
 \binom{m}{r} Q^{kr} V_{k(m-2r)} \\
= & U_{km}+\binom{m}{1}Q^k V_{k(m-2)}
+\binom{m}{2}Q^{2k} V_{k(m-4)}+\cdots
+\binom{m}{(m-1)/2}Q^{\frac{m-1}{2}k}V_k.
\end{align}
関係式 8 
''m'' が偶数で ''k'' が正の整数のとき
\begin{align}
U_k^m
 \\
= & V_{km}-\binom{m}{1}Q^k V_{k(m-2)}
+\binom{m}{2}Q^{2k} V_{k(m-4)}-\cdots
+(-1)^{\frac{m}{2}-1} \binom{m}{m/2-1}Q^{\left(\frac{m}{2}-1\right)k} V_{2k}
,
\end{align}
および
\begin{align}
V_k^m
 \\
= & V_{km}+\binom{m}{1}Q^k V_{k(m-2)}
+\binom{m}{2}Q^{2k} V_{k(m-4)}+\cdots
+\binom{m}{m/2-1}Q^{\left(\frac{m}{2}-1\right)k} V_{2k}
.
\end{align}
成り立つ。
また、添字を ''k'' 倍したときには、次のような関係式が成り立つ。
関係式 9
''k'' が偶数のとき
U_{km}=U_m\sum_{r=0}^{\frac{k}{2}-1}Q^{mr} V_{m(k-1-2r)}=U_m(V_{m(k-1)}+Q^m V_{m(k-3)}+\cdots ),
''k'' が奇数のとき
Q^{mr} V_{m(k-1-2r)}\right)
および
(-1)^r Q^{mr} V_{m(k-1-2r)}\right)
が成り立つ。
このほか、次のような展開もできる。
関係式 10
関係式 11
''m'' が偶数のとき
,
''m'' が奇数のとき
 \binom{m}{r}Q^rV_{m-2r}=V_m+mQV_{m-2}+\binom{m}{2}Q^2 V_{m-4}+\cdots .
上に挙げた関係式を用いて、ルーカス数列の整除性および合同に関する重要な性質が導かれる。
まず、関係式 9 から次のことがわかる。
定理 1
''k'' が整数のとき、 U_m は U_{km} を割り切る。
また ''k'' が奇数のとき、 V_m は V_{km} を割り切る。
また、添字が素数のときは次の合同式が成り立つ。
定理 2
''p'' が素数のとき
が成り立ち、さらに ''p'' が奇素数のとき
特に
が成り立つ。
証明
関係式 11 で、特に ''p'' が素数のとき
が成り立つ。また、''p'' が奇素数のとき関係式 7 より
U_k^p\equiv \left(\frac{D}{p}\right)U_k\pmod{p},
特に ''k'' =1 とおくと
となる。
このほか、次の合同式も成り立つ。
定理 3
証明
関係式 11 から V_k\equiv P^k\pmod{Q} はすぐわかる。
また、関係式 9 で ''m''=1 とおくと
が成り立つ。
合同式における位数の類似概念として、 ''n'' の倍数となる U_r (r>0) が存在するとき、
そのような ''r'' の中で最小のものを \rho(n) とかく。
\rho(n) は合同式における位数と類似した性質をもっている。
定理 4
\gcd(n, 2Q)=1 かつ ''n'' の倍数となる U_r が存在するとき、
n | U_r \iff \rho(n) | r が成り立つ。
証明
定理 1 より ''r'' が m=\rho(n) の倍数ならば ''n'' は U_r を割り切る。
U_r が ''n'' の倍数と仮定する。
r=qm+s, 0\leq s\leq m-1 とおくと、関係式 2 より
となるが、先の仮定より U_r が ''n'' の倍数で、定理 1 より U_{qm} も ''n'' の倍数だから右辺は
''n'' の倍数、よって 2Q^n U_s も ''n'' の倍数である。定理の仮定より \gcd(n, 2Q)=1 だから U_s 
も ''n'' の倍数。しかし 0\leq s\leq m-1 だから ''s'' =0 つまり ''r'' は ''m'' の倍数である。
重要な事実は、特殊な素数を除いて、フェルマーの小定理の類似の定理が成り立つことである。ただしフェルマーの小定理に比べ、幾分状況は複雑である。
定理 5
''p'' を奇素数とする。
''p'' が ''P'' , ''Q'' , ''D'' のいずれも割り切らないとき
とおくと ''p'' は U_{\psi(p)} を割り切る。
証明
\left(\frac{D}{p}\right)=1 のとき関係式 10 から、
であるが、
より
)\pmod{p}
であるが、G_n(X, Y)=X^{n-1}+X^{n-2}Y+\cdots +Y^{n-1}=(X^n-Y^n)/(X-Y) とおくと、右辺は
}{P^2-D}
となる。
\left(\frac{D}{p}\right)=1 より C^2\equiv D\pmod{p} となる C\pmod{p} が存在する。
フェルマーの小定理より P^{p-1}\equiv C^{p-1}\equiv 1\pmod{p} なので
{P^2-C^2}\equiv 0\pmod{p}
となる。 ''p'' は奇素数なので
がわかる。
\left(\frac{D}{p}\right)=-1 のとき再び関係式 10 から、
であるが、1 のとき
の分母は ''p'' で割り切れないから、結局 \binom{p+1}{k} は ''p'' で割り切れなければならない。よって
となる。フェルマーの小定理より P^p\equiv P\pmod{p} で、オイラーの規準より
\equiv \left(\frac{D}{p}\right)=-1
だから
)\equiv 0\pmod{p}
である。
U_n の偶奇は次の定理から導かれる。
定理 6
''n'' ≥ 0 とする。
''P'' , ''Q'' が共に偶数ならば U_n, V_n は U_1=1 を除いてすべて偶数である。
''P'' が偶数で ''Q'' が奇数ならば V_n はつねに偶数で、 U_n の偶奇は ''n'' の偶奇と一致する。
''P'' が奇数で ''Q'' が偶数ならば U_n, V_n (n\geq 1) はつねに奇数である。
''P'' , ''Q'' が共に奇数ならば U_n, V_n は ''n'' が 3 の倍数のとき偶数、それ以外のとき奇数である。
証明
''P'', ''Q'' が共に偶数のとき漸化式
より U_2, U_3, \ldots, V_2, V_3, \ldots はすべて偶数である。
U_0=0, V_0=2, V_1=P より U_1=1 を除いて U_n, V_n はすべて偶数である。
''P'' が偶数で ''Q'' が奇数のとき
であるが、U_0=0, U_1=1, V_0=2, V_1=P\equiv 0\pmod{2} より
V_n はつねに偶数で、 U_n の偶奇は ''n'' の偶奇と一致する。
''P'' が奇数で ''Q'' が偶数のとき
であるが、U_0=0, U_1=1, V_0=2, V_1=P\equiv 1\pmod{2} より
U_n, V_n (n\geq 1) はつねに奇数である。
''P'' , ''Q'' が共に奇数のとき
であるが、U_0=0, U_1=1, V_0=2, V_1=P\equiv 1\pmod{2} より
U_n, V_n は共に \equiv 0, 1, 1, 0, 1, 1, \ldots \pmod{2} となる。
つまり U_n, V_n は ''n'' が 3 の倍数のとき偶数、それ以外のとき奇数である。