次の2つの2次元ベクトルを、R2の単位ベクトル（unit vector）という。
\mathbf{e}_1=
\begin{pmatrix}
 1\\
 0\\
\end{pmatrix},
\mathbf{e}_2=
\begin{pmatrix}
 0\\
 1\\
\end{pmatrix}
また、次の3つの3次元ベクトルをR3の単位ベクトルという。
\mathbf{e}_1=
\begin{pmatrix}
 1\\
 0\\
 0\\
\end{pmatrix},
\mathbf{e}_2=
\begin{pmatrix}
 0\\
 1\\
 0\\
\end{pmatrix},
\mathbf{e}_2=
\begin{pmatrix}
 0\\
 0\\
 1\\
\end{pmatrix}
平面上の任意の点の位置ベクトルは、二次元の単位ベクトルを適当にスカラー倍して足し合わせることで表現できる。
三次元の空間上の点についても同様に、三次元の単位ベクトルで表現できる。また、この表現の仕方は一意的である。
このような性質を指して、単位ベクトルの組はR2(R3)の基底（basis）であるという。
行列とは、4個の実数を正方形に並べた表、
A=\begin{pmatrix}
 a & b\\
 c & d\\
\end{pmatrix}(6.1)
のことである。同時に行列
B=\begin{pmatrix}
 p & q\\
 r & d\\
\end{pmatrix}との掛け算を
BA=
\begin{pmatrix}
 ap+cq & bp+dq\\
 ar+cs & br+ds\\
\end{pmatrix}
対してベクトル
\mathbf{x}=
\begin{pmatrix}
 x\\
 y\\
\end{pmatrix}
との掛け算は、
\mathbf{x}'=A\mathbf{x}=
\begin{pmatrix}
 a & b\\
 c & d\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 x\\
 y\\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
 ax+by\\
 cx+dy\\
\end{pmatrix}
と、定義する。さて、行列とベクトルとの積は、位置ベクトルxの点Pが、行列Aをかけることによって
位置ベクトルx'の点P'に変換されたと見ることができる。
例えば、
\begin{pmatrix}
 1& 0\\
 0& -1\\
\end{pmatrix}
は、点Pを、x軸に関して線対称な点P'への変換である。これをx軸に関する折り返しと言う。
次に、行列Aによって点Pを変換したあと、さらに行列Bで変換することよって点Pを点P''(位置ベクトルx'')に移そう。
\mathbf{x}''=B(A\mathbf{x})=B\mathbf{x}'=
\begin{pmatrix}
 p & q\\
 r & s\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 ax+by\\
 cx+dy\\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
 (ap+cq)x+(bp+dq)y\\
 (ar+cs)x+(br+ds)y\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 ap+cq & bp+dq\\
 ar+cs & br+ds\\
\end{pmatrix}\mathbf{x}
よって、x''=B(Ax)=(BA)x
行列A,B,C,ベクトルx,y,数cに関して次の性質が成り立つ。
A(BC)=(AB)C
\begin{cases}
 A(\mathbf{x}+\mathbf{y})=A\mathbf{x}+A\mathbf{y})\\
 A(c\mathbf{x})=(Ac)\mathbf{x}
\end{cases}(6.2)
特に、(6.2)は重要で、これを行列Aによって引き起こされるR2の変換TA:x→Ax(「TAはxのAxへの変換」と言う意味）の線型性（linearity）と言う。一般にR2変換Tが、次の性質を満たすとき、TをR2の線型変換（linear transformation）という。
\begin{cases}
 T(\mathbf{x}+\mathbf{y})=T\mathbf{x}+T\mathbf{y}\\
 T(c\mathbf{x})=c(T\mathbf{x})
\end{cases}
一般に次の定理が成り立つ。
定理(6.1)
TをR2上の変換とするとき、
Tが線型変換⇔あるAに対してTx=Ax
(証明)
\Leftarrowは既に示した。\Rightarrowを示す。
単位ベクトルの行き先だけ調べれば十分である。（その理由は別のところで述べる）
T\mathbf{e}_1=
\begin{pmatrix}
 a\\
 c\\
\end{pmatrix}
T\mathbf{e}_2=
\begin{pmatrix}
 b\\
 d\\
\end{pmatrix}とする。
任意の\mathbf{x}=x\mathbf{e}_1+y\mathbf{e}_2
Tは線型変換なので、
T\mathbf{x}=T(x\mathbf{e}_1+y\mathbf{e}_2)=xT\mathbf{e}_1+yT\mathbf{e}_2
=x\begin{pmatrix}
 a\\
 c\\
\end{pmatrix}+y
\begin{pmatrix}
 b\\
 d\\
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
 ax+by\\
 cx+dy\\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
 a & b\\
 c & d\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 x\\
 y\\
\end{pmatrix}
A=
\begin{pmatrix}
 a & b\\
 c & d\\
\end{pmatrix}とすれば、
Tx=Ax♯
Aによって引き起こされる変換をTAと書くこともある。
行列の成分a、b、c、dの値が全て0の行列は、全てのベクトルをoに移す変換であり、対応する行列を零行列（ぜろぎょうれつ、れいぎょうれつ、zero matrix, null matrix）といい、特にOと書く。
例
全ての点を反時計回りにα回転させる変換は線型変換であり、回転行列（rotation matrix）と呼ばれる。対応する行列は
\begin{pmatrix}
 \cos \alpha & -\sin \alpha\\
 \sin \alpha & \cos \alpha\\
\end{pmatrix}である。
演習
1.原点に対する対象変換は線型変換である。この変換に対応する行列を求めよ
2.TBTA=TBAを示せ。
3.
Txをxのaへの正射影とする。この時Tを射影子と言う。射影子は線型変換である。この時
\mathbf{a}=\begin{pmatrix}
 a\\
 b\\
\end{pmatrix}
a^2+b^2=1
とすると、Tに対応する行列を求めよ
4.
(a,b)=0,a,b≠o
S:aへの射影子,T:bへの射影子
とする。この時次の三つを証明せよ。
(1)T^2=S(2)TS=ST=O(3)任意のxに対して、Tx+Sx=x
前部で定義した行列の概念を広げよう。すなわち、9個の実数の表
A=
\begin{pmatrix}
 a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3}\\
 a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3}\\
 a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}\\
\end{pmatrix}
も行列と言う事にして、前部で定義した行列を二次の行列と、今ほど定義した行列を三次の行列といって区別することにする。
ベクトルとの積、行列同士の積も同様に定義される。したがって、
\mathbf{x}=\begin{pmatrix}
 x\\
 y\\
 z\\
\end{pmatrix}に対しては、
A\mathbf{x}=\begin{pmatrix}
a_{1,1}x + a_{1,2}y + a_{1,3}z\\
a_{2,1}x + a_{2,2}y + a_{2,3}z\\
a_{3,1}x + a_{3,2}y + a_{3,3}z\\
\end{pmatrix}が、
B=
\begin{pmatrix}
 b_{1,1} & b_{1,2} & b_{1,3}\\
 b_{2,1} & b_{2,2} & b_{2,3}\\
 b_{3,1} & b_{3,2} & b_{3,3}\\
\end{pmatrix}と
AB=
\begin{pmatrix}
 c_{1,1} & c_{1,2} & c_{1,3}\\
 c_{2,1} & c_{2,2} & c_{2,3}\\
 c_{3,1} & c_{3,2} & c_{3,3}\\
\end{pmatrix}にたいしては、
c_{k,j}=\sum_{i=1}^{3}a_{k,i}b_{i,j}(i,j=1,2,3)
が定義されている。次のような性質がある。
(AB)x=A(Bx),(AB)C=A(BC)
A(x+y)=Ax+By,A(cx)=(Ac)x(6.3)
R3における線形変換Tは次の性質を持つ変換である。
T(x+y)=T(x)+T(y)
T(cx)=c(Tx)
前部とまったく同様に次の定理が導ける
定理(6.2)
R3においてTが線型変換⇔あるAに対してTx=Ax
Aによって引き起こされる変換をTAと書くことがある。行列の成分が全て0の行列は、すべてのベクトルをoに線形変換する行列であり、これを零行列（ぜろぎょうれつ、れいぎょうれつ、zero matrix, null matrix）といい、Oと書く。
例
y軸を中心にα回転させる変換に対応する変換は
\begin{pmatrix}
 \cos \alpha & 0 & -\sin \alpha\\
 0 & 1 & 0\\
 \sin \alpha & 0 & \cos \alpha\\
\end{pmatrix}
演習
1.定理(6.2)を証明せよ
2.次の行列が引き起こす変換はどんな変換か
(1)\begin{pmatrix}
 -1 & 0 & 0\\
 0 & 1 & 0\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}
(2)\begin{pmatrix}
 \cos \alpha & -\sin \alpha & 0\\
 \sin \alpha & \cos \alpha & 0\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}
(3)\begin{pmatrix}
 0 & 1 & 0\\
 1 & 0 & 0\\
 0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}
3.
\mathbf{a}=\begin{pmatrix}
 a\\
 b\\
 c\\
\end{pmatrix},a^2+b^2+c^2=1
この時、aへの射影子に対応する行列を求めよ。
4.
bとcの張る平面に、その平面上に無い点P(位置ベクトルx)から垂線を下ろす。その足をP'（位置ベクトルx')とするとき、x'をxの正射影、Tx:x→x'をb,cの張る平面への射影子と言う。さて、今a,b,cが直交しているとしよう。xのaへの射影子をS,xのb,cの張る平面への射影子をTとするとき、次の事柄を証明せよ
(1)T2=T(2)TS=ST=O(3)任意のxにたいし、Tx+Sx=x