区間I \subset \mathbb{R}で定義される関数列\{f_n(x)\}の極限\lim_{n \to \infty}f_n(x)を考えます。自然に考えられるのは、次のような定義でしょう。
定義1.1 各点x \in Iにおいて、極限\lim_{n \to \infty}f_n(x)が収束するとき、f(x):=\lim_{n \to \infty}f_n(x)で定まる関数fを\lim_{n \to \infty}f_nとする。
この定義で何の問題もないように思えますが、実はこの定義はある意味では不十分です。この定義を満たしていても、もとの関数f_n(x)たちの性質がf(x)に引き継がれないことがあるのです。たとえば、任意の''n''についてf_n(x)が連続であっても、f(x)が連続とは限りません。
例1.2 閉区間I=[0,1]で定義される関数列f_n(x)=x^nを考える。任意の''n''についてf_n(x)は連続だが、
は連続ではない。
そこで、定義1.1のようなただの収束（各点収束といいます）よりも強い条件を満たす収束を考えます。
定義1.3 \lim_{n \to \infty}\sup_{x \in I}|f_n(x)-f(x)|=0を満たすとき、関数列\{f_n(x)\}はf(x)に一様収束するという。
一様収束は各点収束よりも強い条件です。すなわち、次が成り立ちます。
命題1.4 \{f_n(x)\}がf(x)に一様収束するならば、\{f_n(x)\}はf(x)に各点収束する。
（証明）
一様収束の仮定より、\varepsilon >0を任意にとると、ある自然数''N''が存在して、n>Nならば\sup_{x \in I}|f_n(x)-f(x)|<\varepsilonである。
一方、x \in Iを任意にとると、|f_n(x)-f(x)| \le \sup_{x \in I}|f_n(x)-f(x)|である。よって、n>Nならば|f_n(x)-f(x)|<\varepsilonである。つまり、\lim_{n \to \infty}|f_n(x)-f(x)|=0、すなわち\lim_{n \to \infty}f_n(x)=f(x)である。//
各点収束と一様収束の例を挙げます。
例1.5 例1.2の\{f_n(x)\}は一様収束ではない。なぜならば、\sup_{x \in I}|f_n(x)-f(x)|=1である。一方、同じ区間I=[0,1]においてf_n(x)=\frac{x}{n}とすると、\lim_{n \to \infty}f_n(x)=0であり、\lim_{n \to \infty}\sup_{x \in I}|f_n(x)-0|=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n} = 0なので、この収束は一様収束である。 
一様収束するならば、例1.2のようなことは起きません。すなわち、次が成り立ちます。
定理1.6 連続関数の列\{f_n(x)\}がf(x)に一様収束するならば、f(x)は連続である。
（証明）
a \in Iと\varepsilon>0を任意にとる。f_nは連続なので、ある\delta>0が存在し、|x-a|<\deltaならば|f_n(x)-f_n(a)|<\frac{\varepsilon}{3}である。
一様収束の仮定より、ある自然数''N''が存在して、n>Nならば|f_n(a)-f(a)|<\frac{\varepsilon}{3},|f(x)-f_n(x)|<\frac{\varepsilon}{3}である。よって、
である。すなわち''f''は連続である。
//
定理1.6の逆は成り立ちません。一様収束でなくても、連続関数に収束することはあります。
f_n(x)は存在しない。つまり、一様収束ではない。
関数列が一様収束するための十分条件をひとつ紹介しておきます。
定理1.8（ディニの定理）
有界閉区間I=[a,b]上で定義される連続関数の列\{f_n(x)\}が、任意のx \in Iと任意の自然数''n''についてf_n(x) \ge f_{n+1}(x)を満たし、f(x):=\lim_{n \to \infty}f_n(x)も連続ならば、\{f_n(x)\}はf(x)に一様収束する。
（証明）
F_n(x):=f_n(x)-f(x)とする。f_nが一様収束しないと仮定すると、ある\varepsilon>0を取れば、任意の自然数''n''に対してF_m(c_n) \ge \varepsilonを満たすようなm>n,c_n \in Iが存在する。仮定よりF_n(c_n) \ge F_m(c_n)なので、F_n(c_n) \ge \varepsilonである。
c_nは有界閉区間''I''に値をとる数列なので、ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理より収束する部分列\{c_{n_j}\}を持つ。\lim_{j \to \infty}c_{n_j}=cとすると、F_nが連続であることからF_n(c)=\lim_{j \to \infty}F_n(c_{n_j}) \ge \varepsilonとなるが、これはF_nが0に各点収束することに矛盾する。//
以下、積分を考えますので、簡単のためf_n(x),f(x):=\lim_{n \to \infty}f_n(x)はすべて連続関数という状況で考えることにします。
関数列の極限と積分の順序を交換することはできるでしょうか。つまり、
は成り立つでしょうか。結論からいうと、一般にはこれは成り立ちません。
例2.1 f_n(x)=\begin{cases}-n^3x\left(x-\frac{1}{n}\right) & \left(0 < x < \frac{1}{n}\right) \\ 0 & (\text{otherwise}) \end{cases}とすると、\lim_{n \to \infty}f_n(x)=0だが、\int_0^1 f_n(x) dx=\frac{1}{6}である。
しかし、\{f_n(x)\}にさらに条件を付けると、この順序交換ができる場合もあります。
まず、一様収束する場合は極限と積分の順序を交換できます。
定理2.2 関数列\{f_n(x)\}が閉区間[a,b]でf(x)に一様収束するとき、
である。
（証明）一様収束の仮定より、任意の\varepsilon>0に対してある''N''が存在して、n>Nならば|f_n(x)-f(x)|<\frac{\varepsilon}{b-a}なので、
\left|\int_a^b f_n(x) dx-\int_a^b f(x) dx\right| & \le \int_a^b |f_n(x)-f(x)| dx \\
& < \int_a^b \frac{\varepsilon}{b-a} dx \\
&=\varepsilon \\
\end{align}
である。つまり、\lim_{n \to \infty}\left(\int_a^b f_n(x) dx-\int_a^b f(x) dx \right)=0、すなわち\lim_{n \to \infty}\int_a^b f_n(x) dx = \int_a^b f(x) dxである。//
一様収束の代わりに別の条件を仮定しても極限と積分の順序交換ができることがあります。ここでは、一様有界という条件を考えてみます。
定義2.3 区間I \subset \mathbb{R}で定義される関数列\{f_n(x)\}に対して定数''M''が存在し、任意の自然数''n''と任意のx \in Iについて|f_n(x)| \le Mとなるとき、関数列\{f_n(x)\}は一様有界であるという。
一様有界な関数列が収束するならば極限f(x):=\lim_{n \to \infty}f_n(x)も有界で、関数F_n(x):=f_n(x)-f(x)も一様有界です。また、次も成り立ちます。
命題2.4 区間I \subset \mathbb{R}で定義される有界な関数の列\{f_n(x)\}が一様収束するならば一様有界である。
（証明）一様収束の仮定より、ある自然数''N''が存在して、n>Nならば任意のx \in Iに対して|f_n(x)-f(x)|<1である。よって、
とすれば、任意の自然数''n''と任意のx \in Iについて|f_n(x)| \le Mとなる。//
実はこの一様有界性が成り立てば、極限と積分の順序交換ができます。
定理2.5 （アルツェラの定理）
関数列\{f_n(x)\}が閉区間[a,b]で一様有界のとき、
である。
（証明）
自然数''n''に対してs_n(x)=\sup_{m \ge n} |f_m(x)-f(x)|とし、
S_n=\sup_{\forall x \ g(x) \le s_n(x)} \int_a^b g(x) dxとする。f_n(x)-f(x)は一様有界なので、ある''M''が存在して
である。よって、\lim_{n \to \infty}S_n=0を示せば、はさみうちの原理より定理が従う。
\varepsilon >0と自然数''n''を任意に取ると、
\forall x \ g_n(x) \le s_n(x)を満たす連続関数g_n(x)で、
さらに\int_a^b g_n(x) dx > S_n-\frac{\varepsilon}{2^n}を満たすものが存在する。
h_n(x)=\min\{g_1(x),\cdots,g_n(x)\}とする。h_n(x)は連続で、また
h_n(x)=\min\{h_{n-1}(x),g_n(x)\}を満たす。
よって、\mu_n(x)=\max\{h_{n-1}(x),g_n(x)\}とすると、
h_n(x)+\mu_n(x)=h_{n-1}(x)+g_n(x)である。
また、h_{n-1}(x) \le s_{n-1}(x),\ g_n(x) \le s_n(x) \le s_{n-1}(x)なので、
\mu_n(x) \le s_{n-1}(x)である。
よって、\int_a^b \mu_n(x) dx \le S_{n-1}である。
以上より、
\int_a^b h_n(x) dx &=\int_a^b (h_{n-1}(x)+g_n(x)-\mu_n(x))dx \\
&> \int_a^b h_{n-1}(x) dx+S_n-\frac{\varepsilon}{2^n}-S_{n-1} \\
-S_{n-2}+S_n-\frac{\varepsilon}{2^n}-S_{n-1} \\
-\frac{\varepsilon}{2^n}-S_{n-2} \\
&>\cdots \\
&>\int_a^b h_1(x) dx+S_n-\sum_{k=2}^n \frac{\varepsilon}{2^k}-S_1 \\
&=S_n-\sum_{k=2}^n \frac{\varepsilon}{2^k}+\int_a^b g_1(x) dx-S_1 \\
&>S_n-\sum_{k=1}^n \frac{\varepsilon}{2^k} \\
&=S_n-\varepsilon \\
\end{align}
である。
0 \le h_n(x) \le s_n(x)であり、\lim_{n \to \infty}s_n(x)=0なので、
\lim_{n \to \infty}h_n(x)=0であり、
h_n(x)は定理1.8の仮定を満たすのでこれは一様収束。
よって\lim_{n \to \infty}\int_a^b h_n(x) dx=0なので、\lim_{n \to \infty}S_n=0である。//
定理2.5は区間が開区間でも成り立ちます。
定理2.6 関数列\{f_n(x)\}が開区間(a,b)で一様有界のとき、
である。
（証明） 開区間(a,b)で|f_n(x)-f(x)| \le Mとしてよい。任意の\varepsilon >0に対し\delta=\min\left\{\frac{\varepsilon}{3M},\frac{b-a}{2}\right\}とする。\{f_n(x)\}は閉区間[a+\delta,b-\delta]において定理2.5の仮定を満たすので、
である。すなわち、ある自然数''N''が存在して、n>Nならば\left|\int_{a+\delta}^{b-\delta} \left(f_n(x)-f(x)\right) dx\right|<\frac{\varepsilon}{3}である。また、
である。以上より、n>Nならば
である。すなわち、
である。//
微分も極限ですので、前節の結果を使って微分と極限の順序交換についての定理が示されます。ただし、微分はこれまで扱ってきた数列の極限とは違い、関数の極限ですので、そこをつなぐ補題を用意しておきます。
補題2.7 有界閉区間I=[a,b]と任意の区間J \subset \mathbb{R}の直積集合I \times Jで定義される有界な2変数関数f(x,t)が変数''x''について連続ならば、\alpha \in Jについて
（証明）f(x):=\lim_{t \to \alpha} f(x,t)とする。この補題が成り立たないとすると、ある\varepsilon>0が存在して、任意の自然数''n''に対して\left|\int_a^b\left(f(x,t_n)-f(x)\right) dx \right| \ge \varepsilon, \ 0<|t_n-\alpha|<\frac{1}{n}を満たすようなt_nが存在する。ところがこのとき、''x''についての関数の列f_n(x):=f(x,t_n)は一様有界なので、定理2.5より\lim_{n \to \infty}\left|\int_a^b\left(f_n(x)-f(x)\right) dx \right|=0となり、矛盾する。//
示したい主定理は次です。
定理2.8 有界閉区間I=[a,b]と任意の区間J \subset \mathbb{R}の直積集合I \times Jで定義される2変数関数f(x,t)が''t''について偏微分可能で、偏導関数f_t(x,t)は有界かつ''x''について連続な関数とする。F(t)=\int_a^b f(x,t) dxとすると、
（証明）\alpha \in Jを任意に取る。2変数関数q(x,t)=\frac{f(x,t)-f(x,\alpha)}{t-\alpha}はt \ne \alphaで連続である。f(x,t)に平均値の定理を用いると、
を満たす0<\theta<1が存在する。よって、補題2.7より
F'(\alpha)&=\lim_{t \to \alpha}\frac{F(t)-F(\alpha)}{t-\alpha} \\
&=\lim_{t \to \alpha}\frac{\int_a^b \left(f(x,t)-f(x,\alpha)\right) dx}{t-\alpha} \\
&=\lim_{t \to \alpha} \int_a^b q(x,t) dx \\
&=\lim_{t \to \alpha} \int_a^b f_t(x,\alpha+\theta(t-\alpha)) dx \\
&=\int_a^b \lim_{t \to \alpha} f_t(x,\alpha+\theta(t-\alpha)) dx \\
&=\int_a^b f_t(x,\alpha) dx
\end{align}
である。//
前節と類似の結果は広義積分でも成り立ちます。しかし、次の例を見ればわかるように、広義積分の場合は一様収束だけでは不十分で、若干の修正が必要です。
例3.1 f_n(x)=\begin{cases}-\frac{1}{n^3}x\left(x-n\right) & \left(0 \le x \le n \right) \\ 0 & (\text{otherwise}) \end{cases}とすると、\lim_{n \to \infty}\sup_{x \ge 0} |f_n(x)|=\lim_{n \to \infty}\frac{1}{4n}=0なので\{f_n(x)\}は0に一様収束するが、\int_0^\infty f_n(x) dx=\frac{1}{6}である。
ここでは、f_n(x)たちがよい関数で上から押さえられている状況を考えます。
定義3.2 \int_a^\infty g(x) dx < \inftyであるようなg(x)が、任意の自然数''n''と''a''以上の任意の数''x''について|f_n(x)|\le g(x)を満たすとき、g(x)をf_n(x)の区間[a,\infty)における（可積分な）優関数と呼ぶことにする。
（可積分な）優関数が存在すれば、各f_n(x)も可積分である（すなわち、広義積分が収束する）ことは、解析学基礎/広義積分#優関数の原理で示しました。ここではさらに、このとき極限と広義積分の順序が交換できることを示します。
定理3.3 関数列\{f_n(x)\}が区間[a,\infty)において（可積分な）優関数g(x)を持つとき、
である。
（証明）
c \in [a,\infty)を任意にとり、\psi(x)=\int_c^x g(x) dxとする。
\psi(x)は有界な単調増加関数なので、
\alpha=\lim_{x \to a+0}\psi(x),\beta=\lim_{x \to \infty}\psi(x)、
それに逆関数\varphiが存在する。よって置換積分の公式より、
である。仮定より\left|\frac{f_n(\varphi(\psi))}{g(\varphi(\psi))}\right| \le 1なので、
\frac{f_n(\varphi(\psi))}{g(\varphi(\psi))}は開区間(\alpha,\beta)で一様有界である。よって、定理2.6より
\lim_{n \to \infty}\int_a^\infty f_n(x) dx&=\lim_{n \to \infty}\int_\alpha^\beta \frac{f_n(\varphi(\psi))}{g(\varphi(\psi))} d\psi \\
&=\int_\alpha^\beta \frac{f(\varphi(\psi))}{g(\varphi(\psi))} d\psi \\
&=\int_a^\infty f(x) dx
\end{align}
である。//
定理2.5から定理2.8が導かれるのとまったく同様に、定理3.3から微分と広義積分の順序交換に関する定理が導かれます。まず、補題2.7にあたるものを示します。
補題3.4 区間I=[a,\infty)と任意の区間J \subset \mathbb{R}の直積集合I \times Jで定義される有界な2変数関数f(x,t)が変数''x''について連続で、（可積分な）優関数g(x)を持つならば、\alpha \in Jについて
（証明）f(x):=\lim_{t \to \alpha} f(x,t)とする。この補題が成り立たないとすると、ある\varepsilon>0が存在して、任意の自然数''n''に対して\left|\int_a^\infty\left(f(x,t_n)-f(x)\right) dx \right| \ge \varepsilon, \ 0<|t_n-\alpha|<\frac{1}{n}を満たすようなt_nが存在する。ところがこのとき、''x''についての関数の列f_n(x):=f(x,t_n)は区間[a,\infty)において（可積分な）優関数g(x)を持つので、定理3.3より\lim_{n \to \infty}\left|\int_a^\infty\left(f_n(x)-f(x)\right) dx \right|=0となり、矛盾する。//
示したい主定理は次です。
定理3.5 区間I=[a,\infty)と任意の区間J \subset \mathbb{R}の直積集合I \times Jで定義される2変数関数f(x,t)が（可積分な）優関数g(x)を持ち、''t''について偏微分可能で、偏導関数f_t(x,t)は有界かつ''x''について連続で（可積分な）優関数g_1(x)を持つとする。F(t)=\int_a^\infty f(x,t) dxとすると、
（証明）\alpha \in Jを任意に取る。2変数関数q(x,t)=\frac{f(x,t)-f(x,\alpha)}{t-\alpha}はt \ne \alphaで連続である。f(x,t)に平均値の定理を用いると、
を満たす0<\theta<1が存在する。よって、補題3.4より
F'(\alpha)&=\lim_{t \to \alpha}\frac{F(t)-F(\alpha)}{t-\alpha} \\
&=\lim_{t \to \alpha}\frac{\int_a^\infty \left(f(x,t)-f(x,\alpha)\right) dx}{t-\alpha} \\
&=\lim_{t \to \alpha} \int_a^\infty q(x,t) dx \\
&=\lim_{t \to \alpha} \int_a^\infty f_t(x,\alpha+\theta(t-\alpha)) dx \\
&=\int_a^\infty \lim_{t \to \alpha} f_t(x,\alpha+\theta(t-\alpha)) dx \\
&=\int_a^\infty f_t(x,\alpha) dx
\end{align}
である。//
一様有界（定義2.3）な関数列に対し、さらに同程度連続という条件を付すと、一様収束する部分列が存在することがわかります。まず、同程度連続性を定義します。
定義4.1
区間I \subset \mathbb{R}で定義される関数列\{f_n(x)\}について、任意の\varepsilon>0に対してある\delta>0が存在し、|x_1-x_2|<\deltaならば任意の自然数''n''に対して|f_n(x_1)-f_n(x_2)|<\varepsilonとなるとき、\{f_n(x)\}は同程度連続であるという。
''n''にはよらない\deltaを選ぶことができる、ということがポイントです。一様有界かつ同程度連続であれば、次が成り立ちます。
定理4.2 （アスコリ＝アルツェラの定理）
有界閉区間''I''上の関数列\{f_n(x)\}が一様有界かつ同程度連続ならば、\{f_n(x)\}の部分列\{f_{n_j}(x)\}で、ある関数に一様収束するものが存在する。
（証明）
(x)\}とすると、この関数列 \{f_{n_j}(x)\}は\{f_n(x)\}の部分列であり、任意の有理数''r''に対して\lim_{j \to \infty} f_{n_j}(r)は収束する。
(r)|<\frac{\varepsilon}{3}となる。よって、
(x)| < \frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}+\frac{\varepsilon}{3}=\varepsilon
である。よって\{f_{n_j}(x)\}は一様収束する。//