mとnを自然数とする。mn個の数a_{11}, a_{21}, \cdots, a_{m1}, \cdots, a_{mn}を、括弧で囲んだ中に次のように縦にm個、横にn個、表のように並べて書いたものを、m行n列の行列(matrix)と言う。(m×n)-行列とも言う。
a_{11} & a_{12} & a_{13} & \dots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & \dots & a_{2n}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & \dots & a_{3n}\\
\vdots  & \vdots  & \vdots  & \ddots& \vdots\\
a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \dots & a_{mn}\\
\end{pmatrix}
この行列を構成するa_{ij}を行列の成分(element)と言う。横に並んだ一列を行(row)、縦に並んだ一列を列(column)と言う。上からi番目の行を第i行といい、左からj番目の列を第j列と言う。行列内の第i行、第j列に位置する成分を、この行列の(i,j)-成分と言う。行列Aの(i,j)成分が、a_{ij}である行列AをA=(a_{ij})と書く。
行列の第k列の列ベクトルを\mathbf a_k = \begin{pmatrix} a_{1k} \\ a_{2k} \\ \vdots \\ a_{mk} \end{pmatrix} とする。
行列は、この列ベクトルを用いて、行列は、A = ( \mathbf a_1, \mathbf a_2, \cdots, \mathbf a_n)と表すこともできる。
同じように、行列の第k行の行ベクトルを\mathbf a_k = ( a_{k1}, a_{k2}, \cdots, a_{km})としたとき。
行列は、この行ベクトルを用いて、行列は、A = \begin{pmatrix} \mathbf a_1 \\ \mathbf a_2 \\ \vdots \\ \mathbf a_n \end{pmatrix}と表すこともできる。
成分が全て実数の行列を実行列と言い、成分が全て複素数の行列を複素行列という。また、m=nの場合、(n×n)-行列を特にn次正方行列と呼ぶ。
2つの(m×n)-行列A,Bに関し、AとBが等しいとは、2つの行列の対応する成分が全て等しいことを言う。すなわち、
2個のm行n列行列AとBについて、行列の和 A+B を次のように定義する。
A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots  & \vdots  & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\\
\end{pmatrix}, B=\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n}\\
b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n}\\
\vdots  & \vdots  & \ddots & \vdots \\
b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn}\\
\end{pmatrix} のとき、
a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \cdots & a_{1n}+b_{1n}\\
a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \cdots & a_{2n}+b_{2n}\\
\vdots          & \vdots          & \ddots & \vdots\\
a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & \cdots & a_{mn}+b_{mn}\\
\end{pmatrix}
A=(a_{ij}),B=(b_{ij})のとき、A+B=(a_{ij} + b_{ij})と表現することもできる。
また、行列Aと定数\lambdaについて、行列の定数倍 \lambda A を次のように定義する。
A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots  & \vdots  & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\\
\end{pmatrix} のとき、
\lambda a_{11} & \lambda a_{12} & \cdots & \lambda a_{1n}\\
\lambda a_{21} & \lambda a_{22} & \cdots & \lambda a_{2n}\\
\vdots         & \vdots         & \ddots & \vdots \\
\lambda a_{m1} & \lambda a_{m2} & \cdots & \lambda a_{mn}\\
\end{pmatrix}
特に、\lambda=-1のとき、(-1)Aを-Aと書く。
また、A+(-B)をA-Bと書く。
right|300px|300px|thumb|行列の積の計算過程の図示。行列''A''の第''i'' 行と行列''B''の第''j'' 列の各成分の積を実線部分のように取り、続いて点線のように加えていくことにより、積''AB''の''ij''成分を得る。
thumb|行列の積では、行列''A''の列数と行列''B''の行数が同じでなくてはいけない。行列''C''の行数は行列''A''の行数であり、行列''C''の列数は行列''B''の列数である。
２個の行列AとBについて、Aの列数とBの行数が同じでA, Bの場合に、行列の積ABを次のように定義する。
A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots  & \vdots  & \ddots & \vdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\\
\end{pmatrix} ,
B=\begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1l}\\
b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2l}\\
\vdots  & \vdots  & \ddots & \vdots\\
b_{n1} & b_{n2} & \cdots & b_{nl}\\
\end{pmatrix} のとき、AとBの積ABを
c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1l}\\
c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2l}\\
\vdots  & \vdots  & \ddots & \vdots\\
c_{m1} & c_{m2} & \cdots & c_{ml}\\
\end{pmatrix}
と定める。
この定義は難しく見えるが、行列Aのi行目の行ベクトルと、行列Bのj列目の列ベクトルの内積が行列ABの(i,j)成分になっているだけである。
行列同士の積は全ての二行列に対して定義されているわけではない。(m×n)-行列と(n×l)-行列の間にのみ定義されているのである。
例題
次の計算をせよ。
-7 & -6 & -5\\
-4 & -3 & -2\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-1 & 0 &1\\
2 & 3 & 4\\
5 & 6 & 7\\
\end{pmatrix}
解答
\begin{pmatrix}
-7 & -6 & -5\\
-4 & -3 & -2\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-1 & 0 &1\\
2 & 3 & 4\\
5 & 6 & 7\\
\end{pmatrix} &=
\begin{pmatrix}
(-7)(-1)+(-6)\times 2+(-5)\times 5 & (-7)\times 0+(-6)\times 3+(-5)\times 6
& (-7)\times 1+(-6)\times 4+(-5)\times 7\\
(-4)(-1)+(-3)\times 2+(-2)\times 5 & (-4)\times 0+(-3)\times 3+(-2)\times 6
& (-4)\times 1+(-3)\times 4+(-2)\times 7\\
\end{pmatrix} \\
&=\begin{pmatrix}
-30 & -48 & -66\\
-12 & -21 & -30\\
\end{pmatrix}
\end{align}
例題
m\times n 行列 A、n\times p 行列 B、p\times q 行列 C について、 A(BC)=(AB)C を証明せよ。
解答
ここでは、行列 X の (i,j) 成分を [X]_{ij} と表すことにする。
\begin{align}
 &= \sum_{k=1}^n[A]_{ik}[BC]_{kj} \\
&= \sum_{k=1}^n\left([A]_{ik} \sum_{l=1}^p[B]_{kl}[C]_{lj}\right)\\
&= \sum_{k=1}^n\sum_{l=1}^p[A]_{ik}[B]_{kl}[C]_{lj} \\
&= \sum_{l=1}^p\left([C]_{lj}\sum_{k=1}^n[A]_{ik}[B]_{kl}\right)\\
&= \sum_{l=1}^p [AB]_{il}[C]_{lj}\\
&= [(AB)C]_{ij}
\end{align}  
よって、(AB)C=A(BC)
と書く。
任意の行列に、適当な零行列をかけると、常に零行列が得られる。零行列は、実数における0に似ている。
A=(a_{ij}) に対して、成分a_{kk}, ~k=1,\cdots,nを、n次正方行列Aの対角成分（diagonal element）という。
行列の対角成分がすべて1で、その他の成分がすべて0であるような正方行列
I =\begin{pmatrix}
1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1
\end{pmatrix}を単位行列（elementarymatrix、あるいはidentity matrix）といい、E_nやI_nと表す。nが明らかである場合にはしばしば省略して、EやIと表すこともある。クロネッカーのデルタを使うとI = (\delta _{ij}).
A,B,Cを任意の(m,n)行列 、\lambda, \muを任意の定数、0を零行列、Iを単位行列とすると、以下の関係が成り立つ。
A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots  & \vdots  & \ddots & \vdots\\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix} に対して
a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{m1}\\
a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{m2}\\
\vdots  & \vdots  & \ddots & \vdots\\
a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{mn}\\
\end{pmatrix}
をAの転置行列（transposed matrix）と言い、A^\mathsf T や^tAと表す。
つまりA^\mathsf Tとは、Aの縦横をひっくり返した行列である。
以下のような性質が成り立つ。
証明
A=(a_{ij}),B=(b_{ij})とする。
転置行列とは、行と列を入れ替えた行列なので、2回行と列を入れ替えれば、もとの行列に戻る。
(A+B)^\mathsf Tの(i,j)成分はa_{ji}+b_{ji}であり、A ^\mathsf T +B ^\mathsf T の(i,j)成分はa_{ji}+b_{ji}である。
(\lambda A)^\mathsf T の(i,j)成分は \lambda a_{ji}であり、\lambda(A ^\mathsf T) の(i,j)成分は \lambda a_{ji}であるから。
AB の(i,j)成分は = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}なので、(AB) ^\mathsf T の(i,j)成分は \sum_{k=1}^{n} a_{jk} b_{ki}である。次に、A ^\mathsf T の(i,j)成分は a_{ji}, B ^\mathsf T の(i,j)成分は b_{ji}であるので、A ^\mathsf T B ^\mathsf T の(i,j)成分は \sum_{k=1}^{n} a_{jk} b_{ki}であるから。
ただし、nをAの列数とする。
ある行列Aのすべての成分の複素共役を取った行列\overline A= \begin{pmatrix} \overline a_{1,1} & \cdots & \overline a_{1,m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \overline a_{n,1} & \cdots & \overline a_{m,n} \end{pmatrix}
を、複素共役行列（complex conjugate matrix）という。
以下のような性質がある。
=A
一番最後の式には注意せよ。とりあえず、ここで一休みして、演習をやろう。
演習
1 & -2 & 3\\
2 & 1 & 0\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-2 & -1 & 1\\
1 & 2 & -3\\
2 & 0 & 3\\
\end{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2\\
3\\
4\\
\end{pmatrix}
1 & i\\
-i & 1\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1-i & 0\\
0 & 1+i\\
\end{pmatrix}
2 & 1+i & 3i\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2\\
1+i\\
-3i\\
\end{pmatrix}
3.
1(i=j)\\
0(i\neq j)
\end{cases}
このδi,jを、クロネッカーのデルタ（Kronecker delta）と言う、またはクロネッカーの記号と言う。この時、次のことを示せ。
-1 & -2\\
-2 & -4\\
\end{pmatrix}のとき、AX=E2を満たすXは存在しない
-1 & -2\\
0 & 0\\
\end{pmatrix}の時、(1)の定義で、BX=AとなるXが存在しない。
また、YB=Aを満たすYが無数に存在する。
(3)n次行列(n次正方行列)Aのある列が全て0なら、AX=Eを満たすXは存在しない。
A=\begin{pmatrix}
1 & 3 & -1 & 0\\
2 & 1 & 3 & 2\\
1 & 2 & 3 & 4\\
\end{pmatrix}は、
A_1=\begin{pmatrix}
1 & 3 & -1\\
2 & 1 & 3\\
\end{pmatrix},
A_2=\begin{pmatrix}
0\\
2\\
\end{pmatrix}
A_3=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
\end{pmatrix},
A_4=\begin{pmatrix}
4\\
\end{pmatrix}
とすることで、
A=\begin{pmatrix}
A_1 & A_2\\
A_3 & A_4\\
\end{pmatrix}
一般に、
定義(2.1)行列の区分け
(l,m)型行列A=(ai,j)をp-1本の横線とq-1本の縦線でp×qの島に分けて、上からs番目、左からt番目の行列をAs,tとおいて、
A=\begin{pmatrix}
A_{1,1} & A_{1,2} & A_{1,3} & \cdots & A_{1,q}\\
A_{2,1} & A_{2,2} & A_{2,3} & \cdots & A_{2,q}\\
A_{3,1} & A_{3,2} & A_{3,3} & \cdots & A_{3,q}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
A_{p,1} & A_{p,2} & A_{p,3} & \cdots & A_{p,q}\\
\end{pmatrix}
とすることを、行列の''区分け''と言う。
定理(2.2)
同様に区画された同じ型の、
A=\begin{pmatrix}
A_{1,1} & A_{1,2} & A_{1,3} & \cdots & A_{1,q}\\
A_{2,1} & A_{2,2} & A_{2,3} & \cdots & A_{2,q}\\
A_{3,1} & A_{3,2} & A_{3,3} & \cdots & A_{3,q}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \cdots\\
A_{p,1} & A_{p,2} & A_{p,3} & \cdots & A_{p,q}\\
\end{pmatrix},
B=\begin{pmatrix}
B_{1,1} & B_{1,2} & B_{1,3} & \cdots & B_{1,r}\\
B_{2,1} & B_{2,2} & B_{2,3} & \cdots & B_{2,r}\\
B_{3,1} & B_{3,2} & B_{3,3} & \cdots & B_{3,r}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
B_{q,1} & B_{q,2} & B_{q,3} & \cdots & B_{q,r}\\
\end{pmatrix}
C=AB=\begin{pmatrix}
C_{1,1} & C_{1,2} & C_{1,3} & \cdots & C_{1,r}\\
C_{2,1} & C_{2,2} & C_{2,3} & \cdots & C_{2,r}\\
C_{3,1} & C_{3,2} & C_{3,3} & \cdots & C_{3,r}\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
C_{p,1} & C_{p,2} & C_{p,3} & \cdots & C_{p,r}\\
\end{pmatrix}
がある。この時、
C_{s,u}=\sum_{t=1}^q A_{s,t}B_{t,u}=A_{s,1}B_{1,u}+A_{s,2}B_{2,u}+...+A_{s,q}B_{q,u}(2.3)
(s=1,2,...,p;u=1,2,...,r)
(証明)
As,tを(ls,mt),Bt,uを(mt,nu)とすると、As,tBt,uは、tと関係なく、(ls,mt)型行列であるから、それらの和Cs,uも(ls,mt)型行列である。よって、(2.3)は意味を成す。
(i),(ii)より、定理(2.2)は証明された。
例
A_{1,1} & A_{1,2}\\
A_{2,1} & A_{2,2}\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
B_{1,1} & B_{1,2}\\
B_{2,1} & B_{2,2}\\
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
A_{1,1}B_{1,1}+A_{1,2}B_{2,1} & A_{1,1}B_{1,2}+A_{1,2}B_{2,2}\\
A_{2,1}B_{1,1}+A_{2,2}B_{2,1} & A_{2,1}B_{1,2}+A_{2,2}B_{2,2}\\
\end{pmatrix}(2.4)
A_{1,1}B_{1,1} & A_{1,1}B_{1,2}+A_{1,2}B_{2,2}\\
O & +A_{2,2}B_{2,2}\\
\end{pmatrix}
と、区分けはこの時威力を発揮する。A1,2,B1,2=Oならさらに威力を発揮する。
A_{1,1}B_{1,1} & O\\
O & +A_{2,2}B_{2,2}\\
\end{pmatrix}
例
この事実は、定理(2.2)の特殊化である。
縦ベクトルx=(xi)は、
x=x1e1+x2e2+...+xkek
と表す事が出来るが、一般に
x1a1+x2a2+...+xkak
をa1,a2,...,akの''線型結合''と言う。
演習
計算せよ
(1)\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0\\
0 & -2 & 0 & 0\\
0 & 0 & -2 & 3\\
0 & 0 & 1 & 1\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 1\\
0 & 0 & -2 & 3\\
\end{pmatrix}
(2)\begin{pmatrix}
2i & 0 & 0\\
0 & -i & 0\\
0 & 0 & 3i\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}(i=\sqrt{-1})
AX=XA=Iとなる行列Xが存在すれば、XをAの逆行列といい、A^{-1}と表す。
また、Aに逆行列が存在すれば、Aを正則行列といい、逆行列はただ一通りに決まる。
証明
Aに逆行列X,Yが存在すると仮定すると。
X=XI=X(AY)=(XA)Y=IY=YよってX=Yとなるので、逆行列が存在すれば、ただ一通りに決まる。
逆行列については、以下の性質が成り立つ。
証明
A^{-1}の逆行列は、定義から、A^{-1}X=X A^{-1} = IとなるXであるが、XにAを代入すると成り立っているので、(A^{-1})^{-1}=Aである。
となり、式が成り立っているので(AB)^{-1}=B^{-1} A^{-1}である。
定義(3.2.4)対称区分け
正方行列を一辺が等しい正方形の島に区分けするとき、この区分けを''対称区分け''と言う。
簡単な証明で
「定理(3.2.5)
対称区分けで、
A=\begin{pmatrix}
A_{1,1} & A_{1,2}\\
O & A_{2,2}\\
\end{pmatrix}
において、A1,1とA2,2が正則ならば、Aも正則である。」
及び次のことが言える。
「対称区分けで、
A=(Ai,j)で、(i,j=1,2,...n)A_{i,j}=\begin{cases}
A_i(i=j)\\
O
\end{cases}ならば、Aが正則である必要十分条件は、Aiがすべて正則である事である」
その逆行列は、次のように与えられる。
A^{-1}=\begin{cases}
A_i^{-1}(i=j)\\
O
\end{cases}
また、(3.2.5)の逆行列A-1は、
A^{-1}=\begin{pmatrix}
A_{1,1}^{-1} & -A_{1,1}^{-1}A_{1,2}A^{-1}_{2,2}\\
O & A_{2,2}^{-1}
\end{pmatrix}である。
行列の累乗は、Aを正則行列、nを自然数とし、次のように定義される。
_n
行列の累乗には以下の性質がある。
AB=BAのとき(AB)^k=A^k B^k            ただし:Aを正則行列、k,lを自然数とする。
証明(AB)^k = ABABAB \cdots ABAB
ABABAB \cdots ABAB=AABABA \cdots BABB
これを続けると、\underbrace{AA \cdots A}_k \underbrace{BB \cdots B}_kとなる。
正方行列(ai,j)において、ai,iを対角成分と言う。また、対角成分以外が全て0である正方行列のことを''対角行列''（diagonal matrix）と言う。対角行列が正則であるための、必要十分条件は、対角成分が全て0でないということである。4章で示される。対角行列の中でも更にスカラー行列と呼ばれるものがある。それはcE(c≠0)の事である。勿論Eはc=1の時のスカラー行列で、対角行列である。また、スカラー行列cEを任意行列Aに掛けると、CAとでる。対角行列が定義されたので、固有和が定義できる。
定義(3.2.6)固有和または跡（trace）
とは、対角成分の総和である。
次のような性質がある
Tr(cA)=cTrA,Tr(A+B)=TrA+TrB,  Tr(AB)=Tr(BA)