線型代数学 > 固有値と固有ベクトル
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ある線型変換 \ f に対して、\ f(\mathbf v) = \alpha \mathbf v のような元\mathbf v が見つかれば、この線型変換は扱いやすくなる。このページでは、このような\ \alpha ,\mathbf v（固有値・固有ベクトル）について議論をする。
サムネイル|せん断写像と言う種類の線形写像でモナリザの絵を変換した。このとき赤のベクトルは方向を変えたが、青のベクトルは変換後も方向を変えていない。この青のベクトルが固有ベクトルである。
注意
ここから先の議論は全て複素数体 \Complex  上の議論である。
本題に入る前にまず次の定理を認めてもらいたい。
定理（代数学の基本定理）
複素数係数の任意のn次多項式
は重複度も含めてn個の複素数の根を持つ。
証明は複素解析学#リウヴィルの定理を参照のこと。
まず、このページの初めに書いたことを正確に定義しよう。
定義  
\ V : \Complex  上の線型空間、\ f \in \ End(V)  とする。
このとき、 \mathbf v \in \ V (\mathbf v \neq \mathbf 0), \alpha \in \Complex  が
の関係をみたすとき、\ \alpha  を''固有値'' （eigen value）、 \mathbf v  を''固有ベクトル'' （eigen vector）という。
では、どのようにして固有値や固有ベクトルを求めたらよいだろうか？
まずは、\Complex^n の線型変換である行列について考えてみよう。
まず、固有多項式を次のように定義する。
定義
A \in \ M(n,\mathbf K)に対して
を\ A の''固有多項式'' （eigen polynomial）という。また、\nu_i (1 \leq i \leq r) を\alpha_i \in \Complex  の''重複度'' （multiplicity）という。
2番目の等式は代数学の基本定理より成り立つ。 
すると、次の定理が成り立つ。
''定理''
\ \alpha  が固有値 \Leftrightarrow \ \alpha  は固有多項式の根
（証明）
\ A \in \ M(n;\mathbf K)  に対して、\ \alpha \in \Complex  が固有値であるとする。このとき、 
をみたす、\mathbf x \neq \mathbf 0 が存在する。
上の式を書き直すと、 (\ A - \alpha I_n)\mathbf x = \mathbf 0   であるから、(\ A - \alpha I_n) の階数がｎより小さいということと同値である。
つまり、\ \det(\ A - \alpha I_n) = 0  でなければならない。
以上をまとめると、
\ \alpha  が固有値 \Longleftrightarrow (A - \alpha I_n)\mathbf x = \mathbf 0  が非自明な解をもつ。  \Longleftrightarrow \ rank(\ A - \alpha I_n) < n \Longleftrightarrow \det(A - \alpha I_n) = 0 □
サムネイル|行列Aによって引き起こされる線形変換。
行列A = \bigl( \begin{smallmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{smallmatrix} \bigr)の固有値と固有ベクトルを求める。右の図はこの行列によって引き起こされる変換を示している。この行列Aの固有値と固有ベクトルを求める。
|A-\lambda I| = \begin{vmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{vmatrix}
=\lambda^2 -4\lambda + 3 = (\lambda-1)(\lambda-3)
なので、方程式(\lambda-1)(\lambda-3)=0を解いて、行列Aの固有値は1と3である。
次に固有ベクトルを求める。固有ベクトルを求めるには、(A-\lambda I)\mathbb x = 0を満たすベクトル\mathbb xを求めれば良い。
\lambda = 1に対応する固有ベクトルは、A-I=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}であることから、\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\mathbb x = 0を満たすベクトルである。すなわち、固有ベクトルは\mathbb x = \binom{1}{-1}及び、これを任意の定数倍したものである。
\lambda = 3に対応する固有ベクトルは、A-3I= \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}であることから、\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\mathbb x = 0を満たすベクトルである。すなわち、固有ベクトルは\mathbb x = \binom{1}{1}及び、これを任意の定数倍したものである。
右の図では、紫のベクトルは、固有値1に対応する固有ベクトル\binom{1}{-1}に平行なベクトルである。青のベクトルは、固有値3に対応する固有ベクトル\binom{1}{1}に平行なベクトルである。紫のベクトルは、変換された後も、方向は変らず、長さも変わっていない。青のベクトルは、変換された後も、方向は変らず、長さは3倍になっている。固有ベクトルではない赤のベクトルは、変換された後、方向を変えている。
次に、固有空間を以下のように定義する。
定義
\ A \in \ M(n;\mathbf K)  の\alpha \in \Complex  に対する''固有空間'' （eigen space）とは
で表わされる部分空間のことである。
この定義から明らかなように、
\ \alpha  が固有値 \Longleftrightarrow \ E(\alpha)  は\mathbf 0 でない元を持ち、それらはすべて固有ベクトル
である。
\ V : \Complex  上の線型空間、<\mathbf e_1,\cdots ,\mathbf e_n>  を\ V  の基底、\ f \in End(V)  に対して\ \alpha は固有値であるとする。
また、<\mathbf e_1,\cdots ,\mathbf e_n>  に対する\ f の表現行列を  \ A \in \ M(n;\mathbf K)  とする。 
このとき、行列の場合と同様に、
を充たす \mathbf v \neq \mathbf 0  が存在する。\ V  の恒等変換（identity transformation）を \ I_V  とすると、
と変形できる。これは、 \ rank(f - \alpha I_V) < n と同値である。 \ (f - \alpha I_V) の表現行列は\ A - \alpha I_n であるから、 \ rank (\ A - \alpha I_n) < n 
以上より、\ f  の固有値は \ A  の固有多項式の根であることがわかる。
また、正則行列 \ P \in \ M(n;\mathbf K)  に対して
より、固有多項式は\ V の基底の取り方によらない。
固有空間も行列の場合と同様に定義される。
定義
\ f \in \ End(V)  の\alpha \in \Complex  に対する''固有空間''とは
で表わされる部分空間のことである。
最後に、次の命題を証明しておく。
''命題''
\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_r  は \ A \in \ M(n;\mathbf K)  の相異なる固有値とする。このとき、
（証明）
\mathbf x_i \in \ E(\alpha_i) (1 \leq i \leq r) は \mathbf x_1 + \mathbf x_2 + \cdots +\mathbf x_r = \mathbf 0 をみたすとする。
この等式に、\ f, \ f^2, \cdots ,\ f^{r-1}   を作用させると、
\begin{pmatrix}\mathbf x_1 \\ \mathbf x_2 \\ \vdots \\ \mathbf x_r \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\mathbf 0 \\ \mathbf 0 \\ \vdots \\ \mathbf 0 \\ \end{pmatrix} 
左辺の行列の行列式はVanDermondの行列式なので、
 = \prod_{i < j} (\alpha_i - \alpha_j) \neq 0 
したがって、この行列は正則。
よって、\mathbf x_1 = \mathbf x_2 = \cdots = \mathbf x_r = \mathbf 0  □