\alpha,\betaを\alpha<\betaを満たす定数とする。\alpha \le x \le \betaを満たすxに対し、
と定める。このとき、
を満たすので、このf(x)は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、一様分布という。
期待値E(X)は、
E(X) &= \int_\alpha^\beta \frac{1}{\beta-\alpha} x dx \\
&= \left[\frac{1}{2(\beta-\alpha)} x^2 \right]_\alpha^\beta \\
&= \frac{\beta^2-\alpha^2}{2(\beta-\alpha)} \\
&= \frac{(\beta-\alpha)(\beta+\alpha)}{2(\beta-\alpha)} \\
&= \frac{\beta+\alpha}{2} \\
\end{align}
である。
分散V(X)は、
V(X) &= \int_\alpha^\beta \frac{1}{\beta-\alpha} x^2 dx - \left(\frac{\beta+\alpha}{2}\right)^2 \\
&= \left[\frac{1}{3(\beta-\alpha)} x^3\right]_\alpha^\beta - \left(\frac{\beta+\alpha}{2}\right)^2 \\
&= \frac{\beta^2+\beta\alpha+\alpha^2}{3} - \frac{\beta^2+2\beta\alpha+\alpha^2}{4} \\
&= \frac{\beta^2-2\beta\alpha+\alpha^2}{12} \\
&= \frac{(\beta-\alpha)^2}{12}
\end{align}
である。
実数xに対し、
と定める。このとき
とすると
 dxdy
であり、x=r\cos\theta,y=r\sin\thetaと極座標変換するとdxdy=\begin{vmatrix}\cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{vmatrix}drd\theta=rdrd\thetaなので、
rdr\right)d\theta \\
\right]_0^\infty\right) d\theta \\
&= \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} d\theta \\
&= 1
\end{align}
である。I>0であることと併せて、I=1であることがわかる。すなわち、このf(x)は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、（標準）正規分布という。
期待値E(X)は、
 dx \\
\right]_{-\infty}^\infty \\
&= 0
\end{align}
である。
分散V(X)は、
 dx \\
 dx \\
&= 1
\end{align}
である。
k,\lambdaを正の定数とする。正の数xに対し、
と定める。ただし、\Gamma(k)はガンマ関数である。このとき、
であるから、このf(x)は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、ガンマ分布という。
期待値E(X)は、
E(X)&= \int_0^\infty \frac{\lambda^k}{\Gamma(k)} x^k e^{-\lambda x}dx \\
{\Gamma(k)} x^k e^{-\lambda x} \right]_0^\infty +\frac{k}{\lambda \Gamma(k)}\int_0^\infty (\lambda x)^{k-1} e^{-\lambda x} \lambda dx \\
&= \frac{k}{\lambda}
\end{align}
である。
分散V(X)は、
V(X)&= \int_0^\infty \frac{\lambda^k}{\Gamma(k)} x^{k+1} e^{-\lambda x}dx -\left(\frac{k}{\lambda}\right)^2 \\
{\Gamma(k)} \int_0^\infty x^k e^{-\lambda x} dx - \frac{k^2}{\lambda^2} \\
{\Gamma(k)} x^k e^{-\lambda x} \right]_0^\infty + \frac{k(k+1)}{\lambda^2 \Gamma(k)} \int_0^\infty (\lambda x)^{k-1} e^{-\lambda x} \lambda dx - \frac{k^2}{\lambda^2} \\
&= \frac{k(k+1)}{\lambda^2} - \frac{k^2}{\lambda^2} \\
&= \frac{k}{\lambda^2}
\end{align}
である。
a.bを正の定数とする。0 \le x \le 1を満たすxに対し、
{\Beta(a,b)}
と定める。ただし、\Beta(a,b)はベータ関数である。このとき、
{\Beta(a,b)} dx = \frac{\Beta(a,b)}{\Beta(a,b)} = 1
であるから、このf(x)は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、ベータ分布という。
期待値E(X)は、
E(X) &= \frac{1}{\Beta(a,b)} \int_0^1 x^a (1-x)^{b-1} dx \\
&= \left[ -\frac{1}{b\Beta(a,b)} x^a (1-x)^b \right]_0^1 + \frac{a}{b\Beta(a,b)} \int_0^1 x^{a-1} (1-x)^b dx \\
&= \frac{a}{b\Beta(a,b)} \int_0^1 \left(x^{a-1} (1-x)^{b-1}-x^a (1-x)^{b-1} \right) dx \\
&= \frac{a}{b\Beta(a,b)} \left(\Beta(a,b)-\Beta(a,b)E(X)\right) \\
&= \frac{a}{b} \left(1-E(X)\right)
\end{align}
であるから、これを整理すると
が得られる。
分散V(X)は、
V(X) &= \frac{1}{\Beta(a,b)} \int_0^1 x^{a+1} (1-x)^{b-1} dx - \left(\frac{a}{a+b}\right)^2 \\
&= \left[ -\frac{1}{b\Beta(a,b)} x^{a+1} (1-x)^b \right]_0^1 + \frac{a+1}{b\Beta(a,b)} \int_0^1 x^a (1-x)^b dx - \frac{a^2}{(a+b)^2} \\
&= \frac{a+1}{b\Beta(a,b)} \int_0^1 \left(x^a (1-x)^{b-1}-x^{a+1}(1-x)^{b-1} \right) dx - \frac{a^2}{(a+b)^2} \\
&= \frac{a+1}{b\Beta(a,b)} \left(\frac{a\Beta(a,b)}{a+b}-\Beta(a,b)\left(V(X)+\frac{a^2}{(a+b)^2}\right)\right) - \frac{a^2}{(a+b)^2} \\
&= \frac{a(a+1)(a+b)-a^2(a+1)-a^2 b}{b(a+b)^2} - \frac{a+1}{b} V(X) \\
&= \frac{a}{(a+b)^2} - \frac{a+1}{b} V(X) \\
\end{align}
であるから、これを整理すると
が得られる。
\lambdaを正の定数とする。正の数xに対し、
と定めると、
なので、このf(x)は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、指数分布という。
期待値E(X)は、
E(X) &= \int_0^\infty \lambda xe^{-\lambda x} dx \\
&= \left[-xe^{-\lambda x}\right]_0^\infty + \int_0^\infty e^{-\lambda x} dx \\
&= \left[-\frac{1}{\lambda} e^{-\lambda x} \right]_0^\infty \\
&= \frac{1}{\lambda}
\end{align}
である。
分散V(X)は、
V(X) &= \int_0^\infty \lambda x^2e^{-\lambda x} dx-\frac{1}{\lambda^2} \\
&= \left[-x^2 e^{-\lambda x}\right]_0^\infty + \int_0^\infty 2xe^{-\lambda x} dx -\frac{1}{\lambda^2} \\
&= \frac{2}{\lambda}\frac{1}{\lambda}-\frac{1}{\lambda^2} \\
&= \frac{1}{\lambda^2}
\end{align}
である。
kを正整数の定数とする。正の数xに対し、
}{2^\frac{k}{2} \Gamma\left(\frac{k}{2}\right)}
と定める。ただし、\Gamma\left(\frac{k}{2}\right)はガンマ関数である。このとき、
 \frac{1}{2} dx = \frac{\Gamma\left(\frac{k}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{k}{2}\right)} = 1
なので、このf(x)は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、カイ二乗分布という。
期待値E(X)は、
}{2^\frac{k}{2} \Gamma\left(\frac{k}{2}\right)} dx \\
 dx \\
 \frac{1}{2} dx \\
&= \frac{k\Gamma\left(\frac{k}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{k}{2}\right)} \\
&= k
\end{align}
である。
分散V(X)は、
}{2^\frac{k}{2} \Gamma\left(\frac{k}{2}\right)} dx - k^2 \\
 dx - k^2 \\
&= (k+2)E(X)-k^2 \\
&= (k+2)k-k^2 \\
&= 2k
\end{align}
である。
nを4以上の自然数とする。実数xに対して、
{\cos^2\theta}d\thetaなので、
 dx 
{\cos^2\theta}d\theta \\
^\frac{\pi}{2} \cos^{n-2}\theta d\theta \\
&= \frac{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)} 2 \int_0^\frac{\pi}{2} \cos^{n-2}\theta d\theta \\
&= \frac{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)} \frac{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \\
&=1
\end{align}
である。ただし、途中補遺で導いた式
でa=\frac{1}{2},b=\frac{n-1}{2}とした式を用いた。この計算より、このf(x)は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、t分布という。
期待値E(X)は、
 dx \\
 \right]_{-\infty}^\infty \\
&=0
\end{align}
である。
分散V(X)は、
 dx \\
 dx
\end{align}
 duである。また、u|_{x=0}=1,\lim_{x \to \infty} u=0である。よって、
 du \\
 du \\
&= \frac{(n-1)\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)} \Beta\left(\frac{n-3}{2},\frac{3}{2}\right) \\
&= (n-1) \frac{\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}\frac{\Gamma\left(\frac{n-3}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n-1}{2}\right)} \\
&= (n-1) \frac{1}{2} \frac{2}{n-3} \\
&= \frac{n-1}{n-3} \\
\end{align}
である。ただし、途中補遺で導いた式
でa=\frac{n-3}{2},b=\frac{3}{2}とした式を用いた。
d_1,d_2を正整数の定数とし、特にd_2は4より大きいとする。正の数xに対し、
と定める。ただし、\Beta\left(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2}\right)はベータ関数である。
このとき、t=\frac{d_1x}{d_1x+d_2}と置くと、t|_{x=0}=0,\lim_{x \to \infty}t=1であり、dt=\frac{d_1d_2}{(d_1x+d_2)^2}dx= \frac{t(1-t)}{x} dxであることに注意すると、
& \int_0^\infty \frac{1}{x \Beta\left(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2}\right)}\left(\frac{d_1x}{d_1x+d_2}\right)^\frac{d_1}{2} \left(1-\frac{d_1x}{d_1x+d_2}\right)^\frac{d_2}{2} dx \\
&= \frac{1}{\Beta\left(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2}\right)} \int_0^1 t^{\frac{d_1}{2}-1}(1-t)^{\frac{d_2}{2}-1} dt \\
&= \frac{\Beta\left(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2}\right)}{\Beta\left(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2}\right)} \\
&= 1
\end{align}
なので、このf(x)は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、F分布という。
期待値E(X)は、
である。ここで、先ほどの置換をすると
であることに注意すると、
E(X)&= \frac{d_2}{d_1\Beta\left(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2}\right)} \int_0^1 t^\frac{d_1}{2} (1-t)^{\frac{d_2}{2}-2} dt \\
&= -\frac{d_2}{d_1\left(\frac{d_2}{2}-1\right)\Beta\left(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2}\right)} \left[ t^\frac{d_1}{2} (1-t)^{\frac{d_2}{2}-1} \right]_0^1 + \frac{d_2}{(d_2-2)\Beta\left(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2}\right)} \int_0^1 t^{\frac{d_1}{2}-1} (1-t)^{\frac{d_2}{2}-1} dt \\
&= \frac{d_2 \Beta\left(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2}\right)}{(d_2-2)\Beta\left(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2}\right)} \\
&= \frac{d_2}{d_2-2}
\end{align}
である。
分散V(X)は、
である。同様に、先ほどの置換をすると
V(X)&= \frac{d_2^2}{d_1^2\Beta\left(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2}\right)} \int_0^1 t^{\frac{d_1}{2}+1} (1-t)^{\frac{d_2}{2}-3} dt - \left( \frac{d_2}{d_2-2} \right)^2 \\
&= -\frac{d_2^2}{d_1^2\left(\frac{d_2}{2}-2\right)\Beta\left(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2}\right)}\left[ t^{\frac{d_1}{2}+1} (1-t)^{\frac{d_2}{2}-2} \right]_0^1 + \frac{d_2^2 \left(\frac{d_1}{2}+1\right)}{d_1^2\left(\frac{d_2}{2}-2\right)\Beta\left(\frac{d_1}{2},\frac{d_2}{2}\right)} \int_0^1  t^\frac{d_1}{2} (1-t)^{\frac{d_2}{2}-2}dt - \left( \frac{d_2}{d_2-2} \right)^2 \\
&= \frac{d_2(d_1+2)}{d_1(d_2-4)}\frac{d_2}{d_2-2} - \left( \frac{d_2}{d_2-2} \right)^2 \\
&= \frac{d_2^2}{d_2-2} \left( \frac{d_1+2}{d_1(d_2-4)}-\frac{1}{d_2-2} \right) \\
&= \frac{2 d_2^2(d_1+d_2-2)}{d_1(d_2-2)^2(d_2-4)}
\end{align}
である。
a,bをa>2,b>0の定数とする。x \ge bを満たす実数xに対し、
と定めると、
 dx = \left[-\frac{b^a}{x^a} \right]_b^\infty = 1
なので、このf(x)は確率密度関数である。この確率密度関数によって定まる確率分布を、パレート分布という。 
期待値E(X)は、
E(X)&= \int_b^\infty \frac{ab^a}{x^a} dx \\
 \right]_b^\infty \\
&= \frac{ab}{a-1}
\end{align}
である。
分散V(X)は、
 dx - \left( \frac{ab}{a-1} \right)^2 \\
 \right]_b^\infty - \frac{a^2b^2}{(a-1)^2} \\
&= \frac{ab^2}{a-2} - \frac{a^2b^2}{(a-1)^2} \\
&= \frac{ab^2}{(a-2)(a-1)^2}
\end{align}
である。
正の数kに対して、積分
をガンマ関数という。
であるから、I_1は収束する。
ガンマ関数について、
\Gamma(k+1)&= \int_0^\infty x^k e^{-x} dx \\
&= \left[ - x^k e^{-x} \right]_0^\infty +k \int_0^\infty x^{k-1} e^{-x} dx \\
&= k\Gamma(k)
\end{align}
が成り立つ。このことと、
であることを合わせると、自然数nに対しては
であることがわかる。
正の数a,bに対して、積分
をベータ関数という。
この積分は一見すると通常の積分であるが、0または0のときは端点での値が発散するので広義積分である。収束性を確認しておこう。I_0=\int_0^\frac{1}{2} x^{a-1} (1-x)^{b-1} dx,\ I_1=\int_\frac{1}{2}^1 x^{a-1} (1-x)^{b-1} dxのそれぞれが収束することを示せばよい。I_0については、0 < x \le \frac{1}{2}において(1-x)^{b-1} < 2よりx^{a-1} (1-x)^{b-1} < 2x^{a-1}であり、\int_0^\frac{1}{2} 2x^{a-1} dx = \frac{1}{2^{a-1} a}であるから、I_0は収束する。I_1については、\frac{1}{2} \le x < 1においてx^{a-1} < 2よりx^{a-1} (1-x)^{b-1} < 2(1-x)^{b-1}であり、\int_\frac{1}{2}^1 2(1-x)^{b-1} dx = \frac{1}{2^{b-1} b}であるから、I_1は収束する。
ガンマ関数とベータ関数の間には、
という関係式が成り立つ。
という積分と等しくなることを示す。
である。
ここで、得られた関係式にa=2,b=2を代入してみよう。すると、左辺、右辺はそれぞれ
であり、これは大学受験数学でおなじみの1/6公式そのものである。他にも、
なども、大学受験対策の公式として暗記した人もいるかもしれない。本節で示した関係式は、これらの公式を一般化したものといえるものである。