数をならべたものを数列(すうれつ)といいます。中学受験では、とくにある決まりにしたがって数をならべる問題がでます。
50番目の数は何でしょうか。
2014番目の数は何でしょうか。
この数の和が500より大きくなるときの数は何番目の数でしょうか。また、そのときの数を答えなさい。
まず、この数列が「9,8,7」をくりかえしていることがわかりますね。そして、7は3の倍数番目に来ることが考えられます。
1から解いていきましょう。「7」は3の倍数番目に来ることから、50÷3の計算をします。こうすると「16あまり2」がでます。この計算ではあまりが大切です。なぜなら、3で割り切れる(あまりが0)なら、N番目の数は3の倍数となるからです。しかし、この計算で2あまりました。このことは「7」から2進んだ数が50番目の数であることをしめしています。ですから、「7」から2進んだ数、つまり「8」が答えとなります。
2も同じようにときます。「2014÷3=671あまり1」となるので、「7」から1進んだ数「9」が2014番目の数です。
3はどうでしょうか。「9,8,7」をくりかえしていますから、この和をもとめます。すると、24となります。つまり、「9,8,7,9,8,7,……」は「24,24,24,……」と書き直せるのです。ここで、「500÷24」の計算をします。すると、「500÷24=20あまり20」です。ここで、500からあまりを引いた480を考えます。商から20番目の「24」であることがわかるので、3×20=60で、60番目の数でここは「7」です。そして20×24=480となります。問題では「500より大きくなるとき」とありますから、480+9+8+7=504となる「7」が正解です。また、この「7」は63番目にあります。したがって答えは「63番目で、数は「7」」となります。
まず3つの数列を見てみましょう
1の数列は3ずつ増えていることがわかります。このような数列を等差数列(とうさすうれつ)といいます。2の数列は次に行くたびに×2していることがわかります。この数列を等比数列(とうひすうれつ)といいます。3は一見、不規則なようですが、増え方をみると、「+1,+2,+3,+4,+5,……」となっています。このような増え方の数列を階差数列(かいさすうれつ)といいます。3の数列は、階差数列が等差数列である数列です。
問題と解説に入る前に、少しむずかしいのですが、数列についての言葉を説明します。まず、数列のそれぞれの数を項(こう)といいます。そして最初の数を初項(しょこう)といいます(第1項といってもかまいませんが、「初項」の方がよく使われます)。それ以降の2番目・3番目・4番目……のことを第2項・第3項・第4項……といいます。また、項の数を項数(こうすう)といい、最後の項を末項(まっこう)といいます。
また、等差数列のときの増え方を公差(こうさ)といい、等比数列のときの増え方を公比(こうひ)といいます。公差は「後の数－前の数」で、公比は「後の数÷前の数」で求められます。となり同士の数であれば、どこで計算しても公差と公比は求められます。
では、確認しましょう。
等差数列「3,7,11,15,19,23」の、初項・末項・項数・公差を答えなさい。
等比数列「2,8,32,128」の、初項・末項・項数・公比を答えなさい。
等差数列「1,3,5,7,9,11,13」において、第3項・第5項・第7項の数を答えなさい。
それぞれの言葉の意味を確認しておけばやさしい問題です。
1は初項3・末項23・項数6・公差4です。
2は初項2・末項128・項数4・公比4です。
3について。「第3項・第5項・第7項」は「3番目・5番目・7番目」と同じ意味です。ですから、第3項が5・第5項が9・第7項が13です。
「7,13,19,25,…」と続く数列があります。(1)この20番目の数を答えなさい。(2)159は何番目に来ますか。
1について。(1)は公差7の等差数列ですね。したがって、26のつぎは33です。(2)は公差が5です。したがって、12の前は5を引いた7となります。(3)は公差が4ですから、同じように41-4で出ます。答えは37です。
2について。(1)第20項ですから書いて求めることもできます。しかし、それは大変ですし、計算ミスしそうです。ここで、植木算の考えを使ってみましょう。数を木と同じように考えると間が19あることがわかります。そして、間の分だけ増えるのですから、初項7に19回4を足すのと同じです。よって、7+19×4=83となり、答えは83です。(2)先ほどの式「7+19×4=83」をもう一度見てみましょう。初項の7を引いてしまえば増え方だけがわかりそうです。増え方はまだわからないので、ここでは□(四角)としましょう。すると、「□×4=152」となります。ですから、これを逆算すると、「152÷4=□」となりますので、□は38となります。しかし、これは増え方(=植木算の間)でしたから、これに1を足さなければなりません。したがって、答えは38+1=39で、39番目(第39項)が答えです。
3について。(1)一つ一つ計算しては非常に大変です。ここで、いくつかのことに注目しましょう。まず、この式から+を取り除くと等差数列になるということです。そして、初項と末項、第2項と第19項、第3項と第18項を足していくと、すべて21となります。これをくりかえすと10(第10項)+11(第11項)まで同じ計算ができ、その和が21となることがわかります。そして、21は10個あるのですから、21×10=210となります。(2)も同じようにします。すると、44ができていきます。しかし、今度は20(第10項)と24(第12項)の間に22(第11項)があります。ですから先の式と似ていますが、22を足さねばなりません。よって、44×10+22=462となります。
最後に等差数列の公式をのせます。実は先ほどの計算はこの公式を使えば簡単にとけます。しかし、中学受験では考え方が非常に重視されます。公式の丸暗記と当てはめだけではとけないものも多いのです。ですから、あえてここでは公式を使いませんでした。また、公式を忘れそうになったら、先ほどの考え方を使ってみるのも大切です。
まず、等比数列の基本的な問題を見ていきましょう。
カッコに入る数をこたえなさい。
①3, 12, 48, ()
②8, 4, 2, 1, ()
「3, 6, 12, 24,……」という数列があります。192は第何項ですか。
それぞれの問題を見ていきましょう。
1の1はそれぞれの項に4をかけ算していることから、初項3・公比4の等比数列であることがわかります。ですから、48×4=196がカッコの答えです。
1の2は減っているので少しわかりにくいのですが、よく見るとそれぞれの項に1/2をかけていることがわかりますね。そのため、1×1/2=1/2が答えです。
2は初項3公比2であることはわかります。しかし、192が第何項になるかはわかりませんね。ここで、等比数列の性質を考えてみましょう。等比数列は初項に次々と公比の数をかけたものです。ですから、こんどは逆に192を公比でわっていきましょう。
公比でわっていくと、6回目に初項の3が出てきました。これから、3に2を6回かけたものであることがわかります。初項の分まで入れると、1＋6=7で、第7項となります。
この節の最後に等比数列の公式を紹介します。等差数列の公式よりも難しいですが、ぜひ身につけておくようにしてください。
ここで、少し等比数列の和の公式について説明します。解説内容には中学・高校内容もふくまれます。とても難しいので、具体例の所だけを見てもかまいません。
公比をr(rは1ではない)とする等比数列a_1 , a_2 , \cdots , a_nがあるとします。この等比数列の和はわからないので、かりに和をSとします。すると、S = a_1 + a_2 + \cdots + a_nという式を作れます。ここで、n+1番目の数a_{n+1}を登場させます。このとき、第2項からn+1番目の数までの和はr×Sとなります。ですから、r \times S = a_2 + a_3 + \cdots + a_n + a_{n+1}という式が作れます。
ここで、r×S-Sの計算をします。r \times S - S =( a_2 + a_3 + \cdots + a_n + a_{n+1} ) - ( a_1 + a_2 + \cdots + a_n )
こうすると、a_2 + a_3 + \cdots + a_nが消えて、(r-1) \times S = a_{n+1} - a_1となります。等比数列の場合、n+1番目の数は、末項a_nに公比rをかけたものですから、a_{n+1}はa_n \times r とできます。また、両辺を(r-1)でわると、Sが出てきます。したがって、S = (a_n \times r - a_1) \div (r-1)となり、これを日本語にすると、等比数列の和=(末項×公比－初項)÷(公比－1)となおせます。
正確な証明は以上の通りですが、中学・高校内容をふくむので、とても難しかったでしょう。以下では、具体的な例を紹介します。
例1.3+9+27+81+243+729の計算。
S=3+9+27+81+243+729とする。公比は3なので、3×S=9+27+81+243+729+2187とできる。3×S-Sの計算をすると、3×S-S=(9+27+81+243+729+2187) - (3+9+27+81+243+729)となる。27+81+243+729の部分はひき算で消えるので、3×S-S=2187-3に整理できる。また、Sは1×Sとできるので、計算の決まりから、3×S-1×S=(3-1)×Sとできる。よって、2×S=2184となる。両辺を2でわると、S=1092となる。だから、3+9+27+81+243+729=1092
例2.1+4+16+64+256+1024+4096の計算。
S=1+4+16+64+256+1024+4096とする。公比は4なので、4×S=4+16+64+256+1024+4096+16384とできる。4×S-Sの計算をすると、4×S-S=(4+16+64+256+1024+4096+16384) - (1+4+16+64+256+1024+4096)となる。4+16+64+256+1024+4096はひき算できえるので、4×S-S=16384-1に整理される。計算の決まりから、4×S-S=3×Sなので、3×S=16383。両辺を3でわって、S=5461。よって、1+4+16+64+256+1024+4096=5461
はじめに見たように、増え方の数列を階差数列と言います。さっそく、階差数列の基本問題を見ていきましょう。
カッコに入る数をこたえなさい。
どれも、階差数列を見ればごく普通の等差数列です。1の数列では最初に2、その後は4,6と増え方が変化していますね。増える数は2ずつ足されていますから、1のカッコに入るときには8増えているはずですから、16+8=24です。2は最初に3増え、その後は8、13、18と増え方が変わっています。このことから、増える数は5ずつ足されていることがわかります。2のカッコに入るときには23を足せばいいので、49+23=72となります。
3はあたえられた数列を見ると、26―+11―37―+13―50―+15―65と、やはり増え方が等差数列になっています。2ずつ増えていますから、カッコに入るとき7増えているはずです。よって、10+7=17で、カッコに入るのは17です。
では、次は階差数列の応用問題です。
1, 5, 11, 19, 29, ……と続く数列があります。
第30項の数をこたえなさい。
この数列の階差数列が等差数列であることはわかるでしょう。しかし、第30項まで計算するのは難しそうです。ここでは、増え方に注目します。植木算の考え方を使うと、第30項ですから、29回増えますね。そして、増え方の方は、初項4、公差2の等差数列です。第29項は公式を使うと、4+(29-1)×2=60です。さらに等差数列の和の公式を使うと、29×(4+60)÷2=928となります。最後に、もとの数列の初項1と928を足します。答えは929です。
次にちょっと変わった数列を見ていきましょう。
これまで見てきた等差数列・等比数列・階差数列が等差数列のどれにも当てはまりませんね。しかし、よく見ると何か規則性がありそうです。この数列をカッコでくぎってみましょう。
このようにすると、初項から第3項、第4項から第6項、第7項から第9項、第10項から第12項までが公差1の等差数列でグループ分けできました。また、第4、7、10項は初項、第4、第7項の数に2をかけたものであることがわかります。このように、グループ分けすることで解ける数列の問題を群数列(ぐんすうれつ)の問題と言います。群数列の問題には次のようなものもあります。
これもくぎってみましょう。
これは最初のグループが2のみ、第二のグループが2と4、第三のグループが2、4、6……というように、グループの順番と偶数の個数が同じになりますから、群数列の考え方を使うことができます。
最後にもう一つ数列を見てみましょう。
さきほどの数列のどれにも当てはまりませんね。でも、よく見ると何か規則性が見つかりませんか。そうです。つぎの数に行くときに前の数を足していることがわかりますね。このように「前の数+今の数=つぎの数」となるような数列をフィボナッチ数列といいます。フィボナッチ数列はとてもむずかしいので、それほど中学入試ででるわけではありませんが、この考え方を知っておくと便利です。なお、「場合の数」で、フィボナッチ数列やそれに似た数列が出てくることがあります。
受験の問題として出題されるような数列は、たいていの場合ある規則性にしたがって、数がならんでいます。その規則性をみやぶることができるかどうかが問われています。数列の問題を解くためのポイントは次の通りです。
項同士の差を求める。
項同士をわってみる。
同じ数がどこかで出てこないか。出てきたのは何番目か。
分数の数列は約分できるか、分子と分母を入れかえてみる(逆数)などをためしてみる。
あとで紹介する素数など、特別な数列は覚えておく。
)の知識を説明します。
4月・6月・9月・11月は30日です。
2月は28日(うるう年は29日)です。
それ以外は31日です。
365日ある年を平年といいます。
2月29日がある、1年が366日ある年をうるう年といいます。
西暦が4の倍数である年は、うるう年とする(それ以外は平年)。
西暦が100の倍数である年は、平年とする。
さらに、西暦が400の倍数である年はうるう年とする。
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