このページでは、2、3次元の数ベクトルの長さや内積を拡張し、一般の線型空間のベクトルについても、長さ（ノルム）や内積を定義する。
2、3次元の数ベクトルの場合は、高等学校数学B ベクトルを参照のこと。
ベクトルには大きさも定義される。ふつうそれは||a||で表され、
と定義される。これをaのノルム （norm）と言う。
例
\begin{pmatrix}
 3\\
 5\\
 6\\
 2\\
 4\\
\end{pmatrix}
演習
\begin{pmatrix}
 2\\
 4\\
 8\\
 6\\
 3\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 a\\
 \sqrt a\\
 3a\\
 \sqrt 3a\\
\end{pmatrix}
ここでは実ベクトルの場合に関して述べる。
をaとbの''内積'' （inner product）という。
特に2,3次元空間ベクトルaとbとの内積は、aとbのなす角をθとすると、
と表される。逆に、一般のn次元実ベクトルのなす角という概念を、この関係式によって定義することができる。
内積については、次の性質が成り立つ。いずれも証明は易しい。
aとbが直交する⇔(a,b)=0なす角について上で述べたのと同様に、これは二次元・三次元の実ベクトルについては「性質」である。逆に、それ以外のベクトルではこれは直交の「定義」である。
演習
空間ベクトル
\begin{pmatrix}
 1\\
 1\\
 1\\
\end{pmatrix}
とのなす角が\pi\over6であり、かつ
\begin{pmatrix}
 1\\
 1\\
 4\\
\end{pmatrix}
とのなす角が\pi\over4であるようなノルムが1のベクトルを求めよ。
注）そのようなベクトルはただひとつではない。
次に、上で書いたような数ベクトルのノルム・内積の概念をさらに拡張しよう。
\ Vを\R または\Complex上の線型空間とする。（以下、\mathbf K は一般の体ではなく、実数体 \R または複素数体 \Complexを指すことにする ）
 \mathbf x,\mathbf y \in \ V  に対して、 \mathbf K  の元をかえすような演算 (\mathbf x, \mathbf y)が次の（Ⅰ）～（Ⅳ）の性質をみたすとき、 (\mathbf x, \mathbf y)を内積という。
（Ⅰ）(\mathbf x,\mathbf y_1 + \mathbf y_2) = (\mathbf x,\mathbf y_1) + (\mathbf x,\mathbf y_2)  :(\mathbf x_1 +\mathbf x_2, \mathbf y) = (\mathbf x_1,\mathbf y) + (\mathbf x_2,\mathbf y) 
（Ⅱ）(c\mathbf x,\mathbf y) = c(\mathbf x,\mathbf y)  ,(\mathbf x,c\mathbf y) = \bar c(\mathbf x,\mathbf y)  :（\bar c は\ c の複素共役）
（Ⅲ）(\mathbf x,\mathbf y) = \overline {(\mathbf y,\mathbf x)} 
（Ⅳ）(\mathbf x, \mathbf x) \geq 0  :(\mathbf x,\mathbf x) = 0  が成り立つのは、\mathbf x = \mathbf 0  のときに限る。
また、
で定義される量をxのノルムという。
このように、内積が定義された線型空間を計量ベクトル空間（計量線型空間）という。
１． \ V = \Complex^n ,\mathbf x,\mathbf y \in \Complex^n のとき、
とすれば、これは内積になっている。
２．\ V = \ M(m,n;\R) ,\ A,\ B \in \ M(m,n;\R)のとき、
とすれば、これは内積になっている。（Trについては行列概論を参照）
３．\ V = {0 \leq x \leq 1 上連続な関数} ,\ f(x),\ g(x) は0 \leq x \leq 1 上連続な関数のとき、
とすれば、これは内積になっている。
ここで定義した内積・ノルムに関しても数ベクトルの場合と同様に三角不等式・シュワルツの不等式が成り立つ。
''定理''\forall \mathbf x,\forall \mathbf y \in \ V  に対して、次の（１）,（２）の不等式が成り立つ。
（１） |(\mathbf x,\mathbf y)| \leq ||\mathbf x|| \cdot ||\mathbf y|| （シュワルツの不等式）
等号が成り立つのは、\mathbf x = \alpha \mathbf yと書ける場合のみ。
（２）|| \mathbf x + \mathbf y || \leq || \mathbf x || + || \mathbf y || 
等号が成り立つのは、実数\beta \geq 0  を用いて、\mathbf y = \beta \mathbf x  と書ける場合のみ。
（証明）（１）\ a,b \in \mathbf K とすると
ここで、\ a = ||\mathbf y||^2 ,\ b = -(\mathbf x,\mathbf y) とおけば、
両辺を ||\mathbf y||^2  で割り、正の平方根をとれば、
 |(\mathbf x,\mathbf y)| \leq ||\mathbf x|| \cdot ||\mathbf y|| となる。
等号が成り立つのは、 0 = ||a\mathbf x + b\mathbf y||^2   すなわち、\mathbf 0 = a\mathbf x + b\mathbf y  となるときだから、\mathbf x = \alpha \mathbf yと書ける。
逆にこれが成り立つとき、不等号は等号になる□
（２）\begin{align} ||\mathbf x + \mathbf y||^2  = (\mathbf x + \mathbf y,\mathbf x + \mathbf y) & = ||\mathbf x||^2 + (\mathbf x, \mathbf y) + (\mathbf y,\mathbf x) + ||\mathbf y||^2\\  &  \leq  ||\mathbf x||^2 + 2|(\mathbf x, \mathbf y)|+ ||\mathbf y||^2 \\
                                                                               & \leq ||\mathbf x||^2 + 2||\mathbf x|| ||\mathbf y|| + ||\mathbf y||^2 \\&= (||\mathbf x + \mathbf y||)^2\\ \end{align}
したがって、正の平方根をとれば|| \mathbf x + \mathbf y || \leq || \mathbf x || + || \mathbf y || となる。
1つ目の等号は  (\mathbf x, \mathbf y)  が非負の実数となるときに成り立ち、2つ目の等号は\mathbf x = \alpha \mathbf yと書けるとき成り立つ。この２つの条件から、実数\beta \geq 0  を用いて、\mathbf y = \beta \mathbf x  と書けるときのみ等号が成立する□
計量ベクトル空間Vのベクトルx_1,x_2,\cdots,x_nが互いに直交し、ノルムが1であるとき、つまり、(x_i,x_j) = \begin{cases} 1& (i=j) \\0 & (i\neq j) \end{cases}であるとき、ベクトルx_1,x_2,\cdots,x_nは正規直交系(orthonormal system)であるという。ONSとも表される。
計量ベクトル空間Vの正規直交系x_1,x_2,\cdots,x_nが、\left \langle x_1,x_2,\cdots,x_n \right \rangle = Vであるとき、x_1,x_2,\cdots,x_nは、正規直交基底(orthonormal basis)または、完全正規直交系(complete orthonormal system)であるという。CONSとも表される。
サムネイル|グラム・シュミットの直交化法のイメージ
計量ベクトル空間Vの線形独立なベクトルv_1,v_2,\cdots,v_nを使って正規直交系を作ることができる。
\begin{align}
\boldsymbol u_1 &= \boldsymbol v_1
\\
\boldsymbol u_2 &= \boldsymbol v_2 - \frac{(\boldsymbol u_1, \boldsymbol v_2)}{(\boldsymbol u_1, \boldsymbol u_1)} \boldsymbol u_1
\\
\boldsymbol u_3 &= \boldsymbol v_3 - \frac{(\boldsymbol u_1, \boldsymbol v_3)}{(\boldsymbol u_1, \boldsymbol u_1)}\boldsymbol u_1 - \frac{(\boldsymbol u_2, \boldsymbol v_3)}{(\boldsymbol u_2, \boldsymbol u_2)} \boldsymbol u_2
\\
&\vdots
\\
\boldsymbol u_n &= \boldsymbol v_n - \frac{(\boldsymbol u_1, \boldsymbol v_n)}{(\boldsymbol u_1, \boldsymbol u_1)} \boldsymbol u_1
- \frac{(\boldsymbol u_2, \boldsymbol v_n)}{(\boldsymbol u_2, \boldsymbol u_2)} \boldsymbol u_2
- \dotsb - \frac{(\boldsymbol u_{n-1}, \boldsymbol v_n)}{(\boldsymbol u_{n-1}, \boldsymbol u_{n-1})} \boldsymbol u_{n-1}\\
\end{align}
とすると、u_1,u_2,\cdots,u_nは互いに直行するベクトルとなる。
e_i = \frac{u_i}とすると、e_1,e_2,\cdots,e_nは正規直交系となる。
これをグラム・シュミットの直交化法(Gram–Schmidt orthonormalization)という。