これで我々の所期の目的は達成された．
しかし，念のため，
{{制御と振動の数学/equation|
\boldsymbol{x} = \mathit{\Phi}(t)\boldsymbol{\xi}
式 (5.14b) において，
とおいた．
が，
}
の解であることを確認しておこう．そのため若干の準備をする．
定理 5.3 (初期値定理）\quad
F(s) を真の分数とするとき，
ならば
が成立する．
証明
既述のように
制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/Laplace 変換/微分方程式の解法, 特に 式 (4.12) を参照せよ．
，F(s) の分母の根を \alpha_i\quad (i = 1, \cdots \mu) とすれば，
}
と書けるから，
{{制御と振動の数学/equation|\lim_{s\to\infty}sF(s) = \sum_{i=1}^{\mu} A_{i1} = f(0)
{dt}=A\boldsymbol{x} の行列 A ではなく，特性方程式の i 番目の根 \alpha_i についての部分分数展開に現れる係数としての 2 引数の定数 A_{ij} である． 
 \right\}
において，\sum の中の第二項以降，\frac{A_{in}s}{(s-\alpha_i)^n},\ n \geqq 2 は s\to\infty のとき 0 に収束する．
第一項 \frac{A_{i1}s}{s-\alpha_i} については，
よって s \to \infty のとき \sum_i \frac{A_{i1}s}{s-\alpha_i} \to \sum_i A_{i1} + 0 \ \big( \because \frac{\alpha_i}{s-\alpha_i} \to 0 \big)．
{(l_i - 1)!} \right\}e^{\alpha_i t} だから
\diamondsuit
この初期値定理を用いると，
であることが分かる
p_i(s) は 定理5.2 のもの．
p_i(s) はこれを定義する逐次多項式の定義から s の最高次数は i であり s^i の係数は 1。
．この結果から次の事実を示すことができる．
[補題 5.1]
定理 5.2の系の \alpha_i(t) に対して，
すなわち，
{{制御と振動の数学/equation|\frac{d}{dt}\begin{pmatrix}
\alpha_0 \\
\alpha_1 \\
\alpha_2 \\
\cdots \\
\alpha_{n-1}
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-a_1   & 1 &        &   & \\
-a_2   &   & \ddots &   & \\
\vdots &   &        & 1 & \\
-a_n   &   & \cdots & 0 &
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
\alpha_0 \\
\alpha_1 \\
\alpha_2 \\
\cdots \\
\alpha_{n-1}
}
が成立する．ただし，\alpha_n = 0 とする．
証明
と \alpha_i(0) = 0, \quad (i = 0, \cdots, n-2) より，
}
が得られる．その原像が，
である．
式 (5.24) の両辺を p(s) で割って移項を施す．
{p(s)} = s\frac{p_i}{p(s)}
\alpha_i(0) = 0 より
{p(s)} = s\frac{p_i}{p(s)} - \alpha_i(0)…①
定理 5.2 系 中の定義より，
また \alpha_0 \sqsupset \frac{p_0}{p(s)} = \frac{1}{p(s)} \ \ \because p_0 = 1 より①の原像は，
i = n - 1 のときは，p_n(s) = p(s) を念頭におけば 式 (5.24) から，
}
\alpha_{n-1}(0) = 1 であったから，
を得る．式 (5.24) より，
両辺を p(s) で割って，
移項して
p_n(s) = p(s) であるから，
式 (5.23) より
よって，
また \alpha_0 \sqsupset \frac{p_0}{p(s)} = \frac{1}{p(s)} \ \ \because p_0 = 1 より②の原像は，
\diamondsuit
以上の準備の下に，次の結論を得る．
[補題 5.2]
とおけば，
が成立する．
証明
に  Cayley-Hamilton の定理，
を用いると，
となる．ここで補題 5.1を考慮すれば，さらに
}
であることが分かる．また，
は 式 5.23 より明らか．
\diamondsuit
定理 5.4 \quad
}
は，
}
の解である\mathit{\Phi}(t) は定理 5.2, 補題 5.2 でも定義されていたもの．．
証明
}
また
{{制御と振動の数学/equation|\boldsymbol{x}(0) = \mathit{\Phi}(0)\boldsymbol{\xi} = \boldsymbol{\xi}
\because \mathit{\Phi}(0) = I
\diamondsuit
例117\quad
{{制御と振動の数学/equation|A = \begin{pmatrix}
0 & -1 \\
1 &  0
}
のとき，
{{制御と振動の数学/equation|\det (sI-A) = s^2 + 1
\because sI - A = \begin{pmatrix}
s  & 1 \\
-1 & s
\end{pmatrix}
したがって，
{{制御と振動の数学/equation|p_1(s) = s
p(s) = s^2 + a_1s + a_2 において，この場合は a_1 = 0, \ \ a_2 = 1．
漸化式の初期値より p_0(s) = 1, \ \ p_1(s) = sp_0(s) + a_1 = s + 0 = s．
よって，
となり，以前の結果（元々の問題は例 104）と一致する．
\diamondsuit
例118\quad
\diamondsuit
{{制御と振動の数学/equation|A=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 0
}
のとき，
{{制御と振動の数学/equation|\det(sI-A) = (s-1)^2(s+1) = s^3-s^2-s+1
s  & 0   & -1 \\
0  & s-1 & -1 \\
-1 & 0   & s
\end{pmatrix}
より，第一列を縦にみて
s-1 & -1 \\
0   & s
\end{pmatrix} - 0 \cdot \det\begin{pmatrix}
0 & -1 \\
0 & s
\end{pmatrix} + (-1)\det\begin{pmatrix}
0   & -1 \\
s-1 & -1 
\end{pmatrix}
 = s^2(s-1)-(s-1) = (s+1)(s-1)^2
{{制御と振動の数学/equation|p_2(s) = s^2-s-1
p(s) = s^3 + a_1s^2 + a_2s + a_3 において，この場合は a_1 = -1, \ \ a_2 = -1．
p_0(s) = 1, \ \ p_1(s) = sp_0 + a_1 = s - 1
p_2(s) = sp_1 + a_2 = s^2 - s - 1
であるから，
}
ところで，
{s+1}
よってその原像は \frac{1}{4}\left\{e^{-t} - e^t + 2te^t\right\}
{{制御と振動の数学/equation|\frac{s-1}{(s-1)^2(s+1)}\sqsubset \alpha_1(t) = \frac{1}{2}\left(e^t-e^{-t}\right)
{s+1}
よってその原像は \frac{1}{2}\left(e^t-e^{-t}\right)
{{制御と振動の数学/equation|\frac{s^2-s-1}{(s-1)^2(s+1)}\sqsubset \alpha_2(t) = \frac{1}{4}\left\{e^{-t}+(3-2t)e^t\right\}
{s+1}
よってその原像は \frac{1}{4}\left\{e^{-t} + 3e^t - 2te^t\right\}
よって，
{{制御と振動の数学/equation|=\frac{1}{4}\left\{[e^{-t}+(-1+2t)e^t]\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}+[-2e^{-t}+2e^t]\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&1\\1&0&0\end{pmatrix}+[e^{-t}+(3-2t)e^t]\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\right\}
}