実数全体からなる集合は、さまざまな数学を考えるための舞台として基本的なものである。しかし、それにもかかわらず「実数とは何か」という問いに答えるのは案外難しい。たとえば、手近な高等学校の教科書数研出版「改訂版 高等学校 数学Ⅰ」（平成28年2月15日検定済）を紐解くと、次のような記述が見つかる。
自然数1,2,3,\cdotsに、0と-1,-2,-3,\cdotsとを合わせて整数という。また、整数''m''と0でない整数''n''を用いて分数\frac{m}{n}の形に表される数を有理数という。
整数と、有限小数または無限小数で表される数とを合わせて実数という。実数のうち、有理数でない数を無理数という。
間違ったことは含んでいないようだが、「実数とは何か」という問いの答えとして期待する答えには程遠く感じられないだろうか。「無限小数で表される数」とはどのような数か。ぼんやりとしたイメージを描くことはできなくはないが、「無限」を正しく理解するのは簡単ではない。それゆえに、この表現だけでは数学を展開する確固たる土台とするには心もとない。しかし、ではどうすればよいのだろうか。
この本では、上で提起した「実数とは何か」という問いに、次のような形で答えていきたい。
まず、我々がナイーブに想像する「実数全体の集合」が満たすべき性質としてどのようなものがあるかを列挙していく。その中で、たとえば有理数全体の集合は満たさない、実数ならではといえる性質に注目し、それらの性質が実は同値であることを示す。同値であることが確認できれば、それらのうち好みの1つを公理として採用することで、理論を展開する土台ができたことになる。
その後、公理から簡単に導かれるいくつかの定理を証明し、実数全体の集合や、実数上の実数値関数の性質を理解する。そして最後に、有理数全体の集合をもとにして、公理を満たす実数全体の集合を集合論的に構成してみる。以上をもって、「実数とは何か」という問いに対するある一定の答えを与えるのが、この本の目標である。
まず、我々の知っている実数について成り立つことが期待される性質を順に挙げていく。この節で挙げる性質をまとめると、実数全体の集合はアルキメデス順序体である、という言葉で表すことができる。
我々の知っている実数には四則演算が定義されていて、常識的な計算法則が成り立つ。つまり、次にあげる体の公理を満たす。
命題2.1.1実数全体の集合\mathbb{R}には加法と乗法という二つの演算が定義されていて、次が成り立つ。
この10個の公理を満たす集合を一般に体という。公理(F3)のx_oはふつう-xと書く。公理(F7)のx_rはふつうx^{-1}と書く。実数の集合は体である。他に、有理数全体の集合\mathbb{Q}や、複素数全体の集合\mathbb{C}も体である。
我々の知っている実数は、大小を比較することができる。すなわち、次が成り立つ。
命題2.2.1実数全体の集合\mathbb{R}には\leという二項関係が定義されていて、次が成り立つ。
(O3) 任意の元x,y \in \mathbb{R}に対し、x \le yまたはy \le xの少なくとも一方が必ず成り立つ。
この3つの公理を満たす集合を一般に全順序集合という。実数全体の集合は全順序集合である。のみならず、この順序と加法・乗法が以下のような形で両立する。
命題2.2.2実数全体の集合\mathbb{R}において、次が成り立つ。
体である全順序集合がさらにこの2つの公理を満たすとき、一般にこの集合を順序体という。実数全体の集合は順序体である。有理数全体の集合も順序体である。順序体の公理を用いて、順序体で一般に成り立つ命題をひとつ証明してみる。
補題2.2.3順序体において、0 \le 1である。
この補題を用いると、複素数全体の集合には順序体になるような順序を考えることはできないことがわかる。本筋からはそれるが、証明してみよう。
もうひとつ、アルキメデスの性質と呼ばれる次の性質も重要である。
命題2.3.1実数全体の集合\mathbb{R}において、次が成り立つ。
(A) x,y \in \mathbb{R}がx>0かつy>0を満たすならば、ある自然数''N''が存在して、Nx>yである。
この性質を満たす順序体をアルキメデス順序体という。実数全体の集合はアルキメデス順序体である。有理数全体の集合もアルキメデス順序体である。
アルキメデスの性質は、数列の極限と関係がある。ここで、数列の極限が収束するとは、下の意味である。
定義2.3.2数列\{a_n\}が次の条件を満たすとき、\{a_n\}は\alphaに収束するといい、\lim_{n \to \infty}a_n=\alphaと書く。
任意の正の数\varepsilonに対してある自然数''N''が存在し、n>Nならば|a_n-\alpha|<\varepsilonである。
このように定義するとき、次が成り立つ。
定理2.3.3アルキメデス順序体において、\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}=0,\ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n}=0である。
以上、この節の内容をまとめると、実数全体の集合はアルキメデス順序体である、ということが言える。だが、それは有理数全体の集合も同じことである。そもそも我々は、実数全体の集合とはどのようなものかはよく知らず、有理数全体の集合における演算や大小関係のことならば知っているという状態なのであった。その状態の我々が、有理数についての知っていることをもとに実数全体の集合をとらえようとしている段階なのだから、有理数全体の集合でも成り立つ性質ばかりが挙がるのは当然のことである。有理数全体の集合は満たさず実数全体の集合ならば満たす性質にはどのようなものがあるかは、次節で見ていきたい。
本節では、いよいよ実数ならではといえる性質を扱う。それらはいずれも、実数が「ぎっしりたくさん」存在することを主張する命題たちであり、実はすべて同値な命題である。これらの命題によって表現される実数の性質を、「実数の連続性」と呼ぶ。
まず、実数からなる集合A \subset \mathbb{R}に対して、いくつかの概念を定義しよう。
定義3.1.1ある実数a \in \mathbb{R}が、集合''A''の任意の元x \in Aに対してx \le aを満たすとき、''a''は''A''の上界であるという。同様に、ある実数a \in \mathbb{R}が、集合''A''の任意の元x \in Aに対してa \le xを満たすとき、''a''は''A''の下界であるという。
一般に、実数からなる集合に対して上界・下界が存在するとは限らない。上界が存在する集合を上に有界であるといい、下界が存在する集合を下に有界であるという。上に有界かつ下に有界な集合は有界であるという。
定義3.1.2集合''A''の上界''a''がa \in Aを満たすとき、''a''を''A''の最大元という。同様に、集合''A''の下界''a''がa \in Aを満たすとき、''a''を''A''の最小元という。
上界・下界が存在するとは限らないので、最大元・最小元も存在するとは限らない。ただし、最大元・最小元は存在すればただ一つであることは、順序の公理(O1)からわかる。
定義3.1.3集合''A''の上界の集合が最小元を持つとき、その元を''A''の上限と呼ぶ。同様に、集合''A''の下界の集合が最大元を持つとき、その元を''A''の下限と呼ぶ。
用語の意味を整理するために、例をいくつか挙げよう。
例3.1.4
閉区間[0,1]=\{x \in \mathbb{R} | 0 \le x \le 1\}について、1以上の任意の実数は上界であり、0以下の任意の実数は下界である。最大元は1であり、最小元は0である。上限は1であり、下限は0である。
集合A= \{x \in \mathbb{R} | x^2<2 \}について、\sqrt{2}以上の任意の実数は上界であり、-\sqrt{2}以下の任意の実数は下界である。最大元・最小元は存在しない。上限は\sqrt{2}であり、下限は-\sqrt{2}である。
自然数の集合\mathbb{N}=\{0,1,2,\cdots\}について、0以下の任意の実数は下界であるが、上界は存在しない。最小元は0であるが、最大元は存在しない。下限は0であり、上限は存在しない。
''n''を正の整数とするとき、''n''個の実数からなる集合A_n=\{a_1,a_2,\cdots,a_n\}について、ある実数M_n,m_nが存在し、M_n以上の任意の実数は上界であり、m_n以下の任意の実数は下界である。最大元はM_nであり、最小元はm_nである。上限はM_nであり、下限はm_nである。これは数学的帰納法を用いて以下のように示される。最大元について、A_1=\{a_1\}に対してM_1=a_1が条件を満たすことはすぐわかる。M_n=a_kのとき、a_k \le a_{n+1}ならばM_{n+1}=a_{n+1}としそうでなければM_{n+1}=a_kとすれば、このM_{n+1}は集合A_{n+1}に対し条件を満たす。最小元についても同様。
空集合\emptysetについて、任意の実数は上界であり、任意の実数は下界である。最大元は存在せず、最小元も存在しない。上限は存在せず、下限も存在しない。
ここで用意した用語を用いると、実数の連続性、すなわち実数が「ぎっしりたくさん」存在するという主張は、次のように表現できる。
命題3.1.5実数からなる空集合でない集合''A''が上に有界ならば、''A''の上限が\mathbb{R}の中に存在する。
例3.1.4の1,2,4がこのような例になっていることが容易に確認できる。3,5は上限が存在しないが、3は上に有界ではなく、5は空集合である。
命題3.1.5は、実数ならではの、実数が「たくさん」存在することからいえる性質である。これは、実数よりもずっと「少ない」元しか存在しない有理数の集合について考えてみるとわかる。
定理3.1.6「有理数からなる空集合でない集合''A''が上に有界ならば、''A''の上限が\mathbb{Q}の中に存在する」という主張は偽である。
この節では、数列が収束するための十分条件を考えたい。そのために、概念をいくつか定義しよう。
定義3.2.1実数からなる数列\{a_n\}の値域\{a_n|n \in \mathbb{N}\}が有界であるとき、\{a_n\}は有界な数列であるという。上に有界、下に有界も同様に定義する。
定義3.2.2実数からなる数列\{a_n\}が、任意の自然数''n''に対してa_n \le a_{n+1}を満たすとき、\{a_n\}は単調増加であるという。また、任意の自然数''n''に対してa_n \ge a_{n+1}を満たすとき、\{a_n\}は単調減少であるという。
このとき、次が成り立つ。この命題も、実は実数の連続性のひとつの表現である。
命題3.2.3実数からなる上に有界な単調増加数列は、ある実数に収束する。また、実数からなる下に有界な単調減少数列は、ある実数に収束する。
命題3.2.3を用いて、いくつかの数列の極限を考えてみよう。
例3.2.4数列\{a_n\}を次の漸化式で定義する。
漸化式より任意の自然数''n''に対してa_n>0なので、\{a_n\}は下に有界である。相加平均・相乗平均の関係を用いると、さらに任意の自然数''n''に対してa_n \ge \sqrt{2}であることがわかる。よって、
であるから\{a_n\}は単調減少数列である。以上から、命題3.2.3によりこの数列は収束する。極限値\lim_{n \to \infty}a_nを\alphaとおくと、\lim_{n \to \infty}a_{n+1}=\alphaでもあることに注意すると、
整理すると、
すなわち、\lim_{n \to \infty}a_n=\sqrt{2}である。
この例は、実数からなる具体的な数列に命題3.2.3を適用した例となっているだけでなく、有理数からなる数列について命題3.2.3は成り立たないことの反例にもなっている。すなわち、
定理3.2.5「有理数からなる上に有界な単調増加数列は、ある有理数に収束する」や「有理数からなる下に有界な単調減少数列は、ある有理数に収束する」という主張は偽である。
が既に示されたことになる。
もうひとつ、別の例に命題3.2.3を適用してみよう。
例3.2.6数列\{a_n\}をa_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^nで定めると、この数列\{a_n\}は収束する。
a_n&= \sum_{k=0}^n \frac{n!}{n^k (n-k)! k!} \\
&\le \sum_{k=0}^n \frac{n^k (n-k)!}{n^k (n-k)! k!} \\
&= 1+\sum_{k=1}^n \frac{1}{k!} \\
 \\
&= 1+2\left(1-\frac{1}{2^n}\right) \\
&\le 3
\end{align}
a_{n+1}-a_n&= \sum_{k=0}^{n+1} \frac{(n+1)!}{(n+1)^k (n+1-k)! k!}-\sum_{k=0}^n \frac{n!}{n^k (n-k)! k!} \\
+\sum_{k=0}^n \left(\frac{(n+1)!}{(n+1)^k (n+1-k)! k!}-\frac{n!}{n^k (n-k)! k!} \right) \\
&> \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!}\left(\left(1-\frac{1}{n+1}\right)\left(1-\frac{2}{n+1}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n+1}\right)-\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right)\cdots\left(1-\frac{k-1}{n}\right)\right) \\
&> 0
\end{align}
であることから、\{a_n\}は単調増加数列である。よって、命題3.2.3より数列\{a_n\}は収束する。//
例3.2.6の数列\{a_n\}について、\lim_{n \to \infty} a_nを自然対数の底といい、記号eで表す。
次の命題も、実数の連続性のひとつの表現である。
命題3.3.12つの数列\{a_n\},\{b_n\}が次の条件を満たすならば、\{a_n\},\{b_n\}はともに収束し、\lim_{n \to \infty}a_n=\lim_{n \to \infty}b_n
任意の自然数''n''に対してa_n \le a_{n+1} \le b_{n+1} \le b_nであり、かつ\lim_{n \to \infty}(b_n-a_n)=0である。
数列に対して、たとえばその奇数番目の項だけを取り出すなどのように、その一部分を順番を変えずに取り出してできる新しい数列を、元の数列の部分列という。このとき、次の命題が成り立つ。この命題は、ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理と呼ばれ、これも実数の連続性のひとつの表現である。
命題3.4.1実数からなる数列\{a_n\}が有界ならば、\{a_n\}はある実数に収束するような部分列を持つ。
数列が収束する条件を別の形で言い換えることはできるだろうか。ここで、コーシー列という概念を定義する。
定義3.5.1数列\{a_n\}が次の条件を満たすとき、コーシー列であるという。
任意の正の数\varepsilonに対してある自然数''N''が存在し、m,n \ge Nならば|a_m-a_n|<\varepsilonである。
収束する数列が必ずコーシー列であることは、次に示すように容易にわかる。
定理3.5.2数列\{a_n\}がある値\alphaに収束するならば、\{a_n\}はコーシー列である。
では、逆は成り立つだろうか。実は、定理3.5.2の逆は成り立つのだが、これもやはり実数の連続性を表す命題なのである。
命題3.5.3数列\{a_n\}がコーシー列ならば、\{a_n\}はある値\alphaに収束する。
本節では、実数の連続性を表現するものとして前節で挙げた5つの命題、命題3.1.5・命題3.2.3・命題3.3.1・命題3.4.1・命題3.5.3が、すべて同値であることを証明する。
定理4.1.1命題3.1.5が成り立つならば、命題3.2.3が成り立つ。
\{a_n\}を実数からなる上に有界な単調増加数列とし、集合''A''をA=\{a_n|n \in \mathbb{N}\}と定める。この集合''A''は実数からなる空集合でない集合であり、上に有界なので、命題3.1.5より上限''s''を持つ。
定理4.2.1命題3.2.3が成り立つならば、命題3.3.1が成り立つ。
定理4.3.1命題3.3.1が成り立つならば、命題3.4.1が成り立つ。
この定理の証明には、高校数学でもおなじみの「はさみうちの原理」を用いる。この本では数列の極限を定義2.3.2で定義するので、まずはこの定義に従ってはさみうちの原理を証明しておこう。
補題4.3.2数列\{a_n\},\{b_n\},\{c_n\}が、すべての自然数''n''に対してa_n \le b_n \le c_nを満たし、かつ\lim_{n \to \infty}a_n=\lim_{n \to \infty}c_n=\alphaを満たすならば、\lim_{n \to \infty}b_n=\alphaである。
この補題を用いて、定理4.3.1を示す。
数列\{a_n\}が有界であるとすると、ある実数''b'',''c''が存在して、任意の自然数''n''に対してb \le a_n \le cである。この''b'',''c''を用いて、次のようにして数列\{b_n\},\{c_n\}を定める。
b_1=b,c_1=cとする。
\frac{b_n+c_n}{2} \le a_m \le c_nを満たす''m''が有限個しか存在しないならば、b_{n+1}=b_n,c_{n+1}=\frac{b_n+c_n}{2}とする。そうでないならば、b_{n+1}=\frac{b_n+c_n}{2},c_{n+1}=c_nとする。
このように定めた数列\{b_n\},\{c_n\}を用いて、\{a_n\}の部分列\{a_{n_k}\}を次のように定める。
n_1=1とする。
k \ge 2のとき、b_k \le a_m \le c_kを満たす''m''は無限に存在する。そのような''m''であってn_{k-1}より大きいものの中で最小のものをn_kとする。
定理4.4.1命題3.4.1が成り立つならば、命題3.5.3が成り立つ。
定理を示す前に、まずコーシー列の性質をひとつ示しておこう。
補題4.4.2数列\{a_n\}がコーシー列ならば、\{a_n\}は有界である。
であるが、定理2.3.3より任意の\varepsilon>0に対してある''N''が存在して\frac{2|b-c|}{2^N}<\varepsilonなので、\{b_n\}はコーシー列である。よって、命題3.5.3より\{b_n\}はある値\alphaに収束する。\{c_n\}についても同様にコーシー列であるから収束し、また\lim_{n \to \infty}|b_n-c_n|=0であることもわかるので、\lim_{n \to \infty}c_n=\alphaでもある。
以上により、5つの命題が同値であることが示された。
前節では、実数の連続性を表す5つの命題が同値であることを証明した。その中では、アルキメデスの性質から導かれる定理2.3.3を用いていることに注意しよう。すなわちこれまでに示されたのは、この5つの命題はアルキメデスの性質を仮定したうえでは同値、ということである。アルキメデスの性質を仮定しない場合、5つの命題は、それ自身がアルキメデスの性質を含意する命題と、アルキメデスの性質とは独立な命題とに分かれており、つまり同値ではない。本節ではこのことについて詳しくみていく。
まず、命題3.1.5と命題3.2.3は、それ自身がアルキメデス性を含意していることを示す。
定理5.1.1命題3.2.3が成り立つならば、命題2.3.1が成り立つ。
が成り立つと仮定する。このとき、数列\{n\}を考えると、これは単調増加数列であり、また\frac{y}{x}が上界なので上に有界であるから、命題3.2.3より\{n\}は収束する。\lim_{n \to \infty}n=\alphaとする。
系5.1.2命題3.1.5が成り立つならば、命題2.3.1が成り立つ。
ほぼ同様に、命題3.4.1もそれ自身がアルキメデス性を含意していることが示される。
定理5.2.1命題3.4.1が成り立つならば、命題2.3.1が成り立つ。
が成り立つと仮定する。このとき数列\{n\}を考えると、この数列は有界なので、命題3.4.1よりある実数に収束するような部分列を持つ。その部分列を\{n_i\}とし、\lim_{i \to \infty}n_i=\alphaとする。
残る2つの命題、命題3.3.1と命題3.5.3については、この命題からアルキメデスの性質を導き出すことはできないことが知られている。そのことを示すには反例を挙げればよいのだが、その反例は当然実数体ではない別の順序体ということになり、実数を理解するという本筋からは外れることになるので、ひとまずここでは触れないことにしておく。
この節では、実数の連続性を用いて、実数上の実数値関数に関する種々の性質を証明していく。以下、この節では実数の連続性を表す命題たちは成り立つものとして議論を進める。
まず、関数の極限と連続性を定義しておこう。
定義6.1.1関数f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}が次の条件を満たすとき、''x''を''a''に近づけたときf(x)は\alphaに収束するといい、\lim_{x \to a}f(x)=\alphaと書く。
任意の正の数\varepsilonに対しある正の数\deltaが存在し、0<|x-a|<\deltaならば|f(x)-\alpha|<\varepsilonである。
定義6.1.2関数f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}が
を満たすとき、''f''はx=aで連続であるという。区間''I''に属する任意の数''a''について''f''がx=aで連続のとき、''f''は区間''I''で連続であるという。
連続関数について、次のことが成り立つことは定義よりすぐわかる。
補題6.1.3関数f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}がx=aで連続であり、数列\{a_n\}が\lim_{n \to \infty}a_n=aをみたすならば、\lim_{n \to \infty}f(a_n)=f(a)
この補題と実数の連続性を用いて、中間値の定理と呼ばれるおなじみの定理を証明してみよう。
定理6.1.4関数''f''は閉区間[a,b]で連続で、f(a)<0,f(b)>0とすると、
を満たす数''c''が存在する。
次のようにして数列\{a_n\},\{b_n\}を定める。
a_1=a,b_1=bとする。
f\left(\frac{a_n+b_n}{2}\right) \le 0ならば、a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2},b_{n+1}=b_nとする。そうでないならば、a_{n+1}=a_n,b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}とする。
このように定めると、この数列\{a_n\},\{b_n\}は命題3.3.1の条件を満たすので、命題3.3.1よりどちらも収束し、\lim_{n \to \infty}a_n=\lim_{n \to \infty}b_nである。この極限値を''c''とする。a \le c \le bである。
このとき、''f''の連続性と補題6.1.3より、\lim_{n \to \infty}f(a_n)=f(c),\lim_{n \to \infty}f(b_n)=f(c)である。ところで、\{a_n\},\{b_n\}の定義からすべての自然数''n''に対してf(a_n) \le 0,f(b_n)>0であるから、\lim_{n \to \infty}f(a_n) \le 0,\lim_{n \to \infty}f(b_n) \ge 0である。よってf(c) \le 0かつf(c) \ge 0なので、f(c)=0である。
関数の最大値・最小値とは、その値域の最大元・最小元のことである。すなわち、次のように定義される。
定義6.2.1集合A \subset \mathbb{R}で定義される関数''f''について、実数''M''が集合f(A):=\{ f(x)|x \in A\}の上界であり、かつM \in f(A)であるとき、この''M''を''f''の最大値という。また、''m''が集合f(A)の下界であり、かつm \in f(A)であるとき、この''m''を''f''の最小値という。
このように定義するとき、次の定理もよく知られている定理であり、高校の教科書では中間値の定理と並んで証明抜きで紹介されている連続関数についての定理である。この定理の証明も、下に示すように実数の連続性を用いてなされる。
定理6.2.2閉区間[a,b]で定義される関数''f''が連続ならば、最大値・最小値を持つ。
まず、集合f([a,b])が上に有界であることを背理法で示す。そのため、集合f([a,b])が上に有界でないと仮定する。このとき、任意の自然数''n''に対して、f(a_n) \ge nを満たす実数a_n \in [a,b]が存在する。このa_nたちを並べた数列\{a_n\}を考える。数列\{a_n\}は有界なので、ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理（命題3.4.1）より収束する部分列\{a_{n_k}\}を持つ。\lim_{k \to \infty}a_{n_k}=\alphaとおくと\alpha \in [a,b]であり、したがって''f''はx=\alphaで連続なので、補題6.1.3より\lim_{k \to \infty}f(a_{n_k})=f(\alpha)となるはずである。ところが、任意の自然数''k''に対してf(a_{n_k}) \ge n_k \ge kであるから、数列\{f(a_{n_k})\}はある実数に収束することはない。これは矛盾。したがって、集合f([a,b])は上に有界である。
であるから、はさみうちの原理（補題4.3.2）より\lim_{k \to \infty}f(b_{n_k})=Mである。よって、M=f(\beta) \in f([a,b])である。
次に、微分可能な関数についての重要な定理である平均値の定理を証明しよう。平均値の定理の証明には前節で述べた最大値・最小値の存在定理を用いるので、これもまた実数の連続性から得られる帰結なのである。まず、微分を定義することから始める。
定義6.3.1関数f(x)について、極限
がある値に収束するとき、f(x)はx=aで微分可能であるという。その極限値をf(x)のx=aにおける微分係数といい、f'(a)と書く。区間''I''に属する任意の数''a''について''f''がx=aで微分可能のとき、''f''は区間''I''で微分可能であるという。
この定義に従って、ロルの定理と呼ばれる次の定理が成り立つことを証明しよう。これは、後で述べる平均値の定理の特別な場合である。
定理6.3.2関数f(x)は閉区間[a,b]=\{x \in \mathbb{R}|a \le x \le b\}で連続で、開区間(a,b)=\{x \in \mathbb{R}|a < x < b\}で微分可能であるとする。さらに、f(a)=f(b)であるとする。このとき、f'(c)=0を満たす実数c \in (a,b)が存在する。
f(x)が定数関数のとき成り立つことは明らかであるから、以下f(x)が定数関数でない場合を考える。f(x)は閉区間[a,b]で連続なので定理6.2.2より最大値・最小値を持つが、f(x)が定数関数でないならば最大値・最小値の少なくともいずれかはf(a)と異なる値である。最大値がf(a)ではないときを考え、x=cで最大値をとるとする。c \in (a,b)である。
ロルの定理を用いれば、下に挙げる平均値の定理はすぐに証明できる。
定理6.3.3関数f(x)は閉区間[a,b]で連続で、開区間(a,b)で微分可能であるとする。このとき、
を満たす実数c \in (a,b)が存在する。
次にあげる定理もこれらの定理の亜種で、コーシーの平均値の定理と呼ばれる。
定理6.3.4関数f(x),g(x)は閉区間[a,b]で連続で、開区間(a,b)で微分可能であるとする。また、g(a) \ne g(b)であり、g'(x)=0となるx \in (a,b)は存在しないとする。このとき、
を満たす実数c \in (a,b)が存在する。
なお、コーシーの平均値の定理との対比を強調するために、定理6.3.3をラグランジュの平均値の定理と呼ぶこともある。
最後に、本書で挙げた性質を満たすような実数の集合を、有理数の集合をもとにして集合論的に構成してみよう。ここでは、有理数からなるコーシー列の集合をある同値関係で割った商集合の元として、実数を定義してみることにする。
定義7.1.1集合''A''を、有理数からなる数列でコーシー列であるものの集合とする。すなわち、
とする。この集合''A''上の関係\simを
で定義する。
補題7.1.2定義7.1.1の関係\simは同値関係である。
（反射律）\lim_{n \to \infty}(a_n-a_n)=0である。
（対称律）\lim_{n \to \infty}(a_n-b_n)=0ならば、\lim_{n \to \infty}(b_n-a_n)=\lim_{n \to \infty}(-(a_n-b_n))=0である。
定義7.1.3定義7.1.1の集合''A''と同値関係\simに対して、
と定義する。\{a_n\}を代表元とする同値類を[a_n]と書くことにする。この集合\mathbb{R}上の加法・乗法・順序を
と定義する。
補題7.1.4定義7.1.3はwell-definedである。
（加法）\lim_{n \to \infty}(a_n-a'_n)=0, \lim_{n \to \infty}(b_n-b'_n)=0とするとき、\lim_{n \to \infty}((a_n+b_n)-(a'_n+b'_n))=\lim_{n \to \infty}((a_n-a'_n)+(b_n-b'_n))=0である。
補題7.1.2により集合\mathbb{R}が定義できることが、補題7.1.4により集合\mathbb{R}上に加法・乗法・順序が定義できることがわかった。この構成法のことを完備化と呼ぶ。次節では、このように構成された実数の集合\mathbb{R}が、実際に実数の公理を満たすことを確認しよう。
定理7.2.1前節で定義した\mathbb{R}について、命題2.1.1が成り立つ。
定理7.2.2前節で定義した\mathbb{R}について、命題2.2.1が成り立つ。
定理7.2.3前節で定義した\mathbb{R}について、命題2.2.2が成り立つ。
(O4) [a_n] < [b_n]とすると、ある自然数''N''とある正の数\varepsilonが存在して、n>Nならばa_n+\varepsilonである。よって、a_n+c_n+\varepsilonである。これは、[a_n]+[c_n]<[b_n]+[c_n]であることを示している。
定理7.2.4前節で定義した\mathbb{R}について、命題2.3.1が成り立つ。
定理7.2.5前節で定義した\mathbb{R}について、命題3.5.3が成り立つ。
であるが、これは\lim_{n \to \infty}a_n=[c_k]=\alphaであることを示している。//
以上により、前節で定義した\mathbb{R}は我々の期待する実数の集合であることが示された。