frame|right|円周角と中心角
中心がOである円を円Oと呼ぶ。円Oにおいて、円周上の2点A , Bをとったとき、AからBまでの円周の部分を 弧AB （こAB）といい、\begin{array}{c}\frown\\[-9pt] \scriptstyle \rm AB\end{array}と書く。\angle AOB を弧ABに対する 中心角（ちゅうしんかく、英：central angle） という。また、弧ABを中心角 \angle AOB に対する弧（こ、英：arc）という。
円Oの周上の点で、弧AB上にはない点Pをとったとき、\angle APB を弧ABに対する 円周角（えんしゅうかく、英：inscribed angle） という。また、弧ABを円周角 \angle APB に対する弧という。
右の図のように、弧ABに対する円周角は \angle APB\  ,\  \angle AP'B\  ,\  \angle AP''B のようにいくつもできる。しかし、弧ABに対する中心角 \angle AOB は1つに決まる
中心角と円周角には次の性質がある。
この定理を証明するためには、円Oの弧ABに対する円周角の1つを \angle APB として、\angle APB = \frac{1}{2} \angle AOB を示せばよい。
frame|right|中心Oが \angle APB の辺上にある場合
Oが直線PB上にある場合について示せば十分である。\angle AOB は \triangle AOP の外角であるから、三角形の1つの外角はそれととなり合わない2つの内角の和に等しいので
\angle AOB = \angle APO + \angle PAO \cdots \cdots (1)
\triangle AOP の辺OP , OAは等しいから
\angle APO = \angle PAO \cdots \cdots (2)
(1)、(2)より
\angle AOB = 2 \angle APO
したがって
\angle APB = \frac{1}{2} \angle AOB
よって、中心Oが 直線PB上にある場合、\angle APB = \frac{1}{2} \angle AOB が成り立つ。
frame|right|中心Oが \angle APB の内部にある場合
直線POと円Oとの交点のうちPでない方をCとすると、\angle AOC は \triangle AOP の外角であるから
\angle AOC = \angle APO + \angle PAO
\triangle AOP の辺OP , OAは等しいから
\angle APO = \angle PAO 
したがって
\angle AOC = 2 \angle APO \cdots \cdots (1)
\angle BOC は \triangle BOP の外角であるから
\angle BOC = \angle BPO + \angle PBO
\triangle BOP の辺OP , OBは等しいから
\angle BPO = \angle PBO 
したがって
\angle BOC = 2 \angle BPO \cdots \cdots (2)
(1)と(2)の左辺どうしと右辺どうしをそれぞれ加えると
\angle AOC + \angle BOC = 2 (\angle APO + \angle BPO)
したがって
\angle AOB = 2 \angle APB
すなわち
\angle APB = \frac{1}{2} \angle AOB
よって、中心Oが \angle APB の内部にある場合、\angle APB = \frac{1}{2} \angle AOB が成り立つ。
frame|right|中心Oが \angle APB の外部にある場合
直線POと円Oとの交点のうちPでない方をCとすると、\angle AOC は \triangle AOP の外角であるから
\angle AOC = \angle APO + \angle PAO
\triangle AOP の辺OP , OAは等しいから
\angle APO = \angle PAO 
したがって
\angle AOC = 2 \angle APO \cdots \cdots (1)
\angle BOC は \triangle BOP の外角であるから
\angle BOC = \angle BPO + \angle PBO
\triangle BOP の辺OP , OBは等しいから
\angle BPO = \angle PBO 
したがって
\angle BOC = 2 \angle BPO \cdots \cdots (2)
(1)と(2)の左辺どうしと右辺どうしをそれぞれひくと
\angle AOC - \angle BOC = 2 (\angle APO - \angle BPO)
したがって
\angle AOB = 2 \angle APB
すなわち
\angle APB = \frac{1}{2} \angle AOB
よって、中心Oが \angle APB の外部にある場合、\angle APB = \frac{1}{2} \angle AOB が成り立つ。
以上で考えられるすべてのPの位置について証明されたので、「1つの弧に対する円周角の大きさはすべて等しい」ことが成り立つことがわかった。
半円の弧に対する中心角は 180{}^\circ であるから、円周角は 90{}^\circ である。半円の弧に対する弦は直径であるから、次の定理が得られる。
frame|right|円周角と弧
右の図の円Oで、円周角 \angle APB\  ,\  \angle CQD が等しい場合、円周角の定理により
\angle AOB = 2 \angle APB \cdots \cdots (1)
\angle COD = 2 \angle CQD  \cdots \cdots (2)
となる。
\angle APB = \angle CQD であるから、(1)、(2)より
\angle AOB = \angle COD
 
となる。
1つの円において等しい中心角に対する弧の長さは等しいので、
が成り立つ。
また、右の図の円Oで、\begin{array}{c}\frown\\[-9pt] \scriptstyle \rm AB\end{array}\  ,\  \begin{array}{c}\frown\\[-9pt] \scriptstyle \rm CD\end{array}が等しい場合、1つの円において等しい長さの弧に対する中心角は等しいので
\angle AOB = \angle COD
となる。
よって、円周角の定理により
\angle APB = \angle CQD
が成り立つ。
円Oの周上の点をA,B,Cとし、\angle ACB = \angle a とする。また、直線ABについて点Cと同じ側に点Pをとる。このとき、Pが円Oの周上、内部、外部にある場合について、\angle APB と \angle a との大きさを比べる。
frame|right|点Pが円Oの周上にある場合
円周角の定理により
\angle APB = \angle a
frame|right|点Pが円Oの内部にある場合
APの延長と円周の交点をQとする。\angle APB は \triangle PBQ における \angle P の外角であるから
\angle APB = \angle PQB + \angle PBQ
となる。
円周角の定理により、\angle AQB = \angle ACB = \angle a であるから、
\angle APB = \angle a + \angle PBQ
よって
\angle APB > \angle a
frame|right|点Pが円Oの外部にある場合
APと円周の交点をQとする。\angle AQB は \triangle QBP における \angle Q の外角であるから
\angle AQB = \angle QPB + \angle PBQ
となる。
円周角の定理により、\angle AQB = \angle ACB = \angle a であるから、
\angle a = \angle APB + \angle PBQ
式を変形すると
\angle APB = \angle a - \angle PBQ
よって
\angle APB < \angle a
上で調べたことから、点Pを直線ABについて点Cと同じ側にとったとき
\angle APB = \angle a
ならば、点Pは円Oの周上にあることがわかった。したがって、円周角の定理の逆として次のようにまとめられる。
まずは1年生で学んだ円の接線について復習する。
直線が円とただ1点で出あうとき、この直線は円に接する（せっする）といい、この直線を円の 接線（せっせん、英：tangent） といい、出あう1点を 接点（せってん、英：point of contact） という。
frame|right|円外の点からの接線
円O外の点Aから円Oにひけたとし、その接点をP,P'とする。
AP,AP'は円Oの接線であるから、
\angle APO = 90{}^\circ
\angle AP'O = 90{}^\circ
であるから、点P,P'はAOを直径上とする円周上にあることがわかる。
このことをふまえて、円O外の点Aから円Oに接線をひくには、次のようにすればよい。
frame|right|円外の点からの接線のひき方
点AとOを結ぶ。
線分AOの垂直二等分線をひき、AOとの交点をO'とする。
点O'を中心として半径OO'の円を書き、円Oとの交点をP,P'とする。
直線AP,AP'をひく。
frame|right|接線の長さの証明
\triangle APO と \triangle AP'O において
AP,AP'は接線だから
\angle APO = \angle AP'O = 90{}^\circ \cdots \cdots (1)
共通な辺だから
AO = AO = \cdots \cdots (2)
円Oの半径だから
OP = OP' \cdots \cdots (3)
(1)、(2)、(3)より斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいから
\triangle APO \equiv \triangle AP'O
したがって、AP = AP'
線分APまたはAP'の長さを、Aから円Oにひいた接線の長さという。
上で調べたことから、次のようにまとめられる。
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※ 検定教科書では、辺の両端の2つの頂点から等距離にある点を結んだ線分が垂直二等分線である事は、証明の不要な事実として扱っている。この性質を利用して、下記の定理が証明される。
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証明
△ABCを取り、辺AB,AC のそれぞれに対して垂直二等分線を取り、2直線の交点をOとする。このとき、点OがAB,ACのそれぞれに対する垂直2等分線上にあることから
であるので、
が成り立つ。
よって点Oは辺BCの垂直二等分線上にある。（証明 おわり）
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上の証明から、OA = OB = OC であるので、この点は三角形の3つの頂点から等距離にあることが分かるので、この点Oを中心として円を書くと、三角形ABCの頂点3つを通る円を書くことができる。
このように、三角形の3つの頂点を通る円（右図では赤線の部分）のことを外接円(がいせつえん、 英：circumscribed circle)という。
そして、外接円の中心（右図の点Oの部分）のことを、その三角形の 外心（がいしん）という。
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△ABCを取り、角A,Bについて角の2等分線を取り2直線の交点をIと呼ぶ。
さらに、点Iから辺BC,CA,ABに下ろした垂線とそれぞれの辺の交点をそれぞれ D,E,F と呼ぶとする。このとき、角Aの二等分線の性質から
IE=IF
が成り立ち、同様に角Bの2等分線の性質から
IF=ID
が成り立つので、
よって
ID=IE
である。
したがって、点Iは角Cの二等分線上にある。（証明 おわり）
thumb|300px
ID＝IE＝IF  なので、図のように三角形の三辺に接する円を書くことができ。この円を △ABCの内接円 （ないせつえん、英：inscribed circle）といい、その中心Iを内心（ないしん）という。
なお、三角形の内接円の半径を''r''とすると、面積''S''と三辺の長さ''a'',''b'',''c''との間に
の関係式が成り立つ（△ABI、△BCI、△CAIの3つの三角形の面積を考えてみよ）。面積''S''はヘロンの公式を用いれば三辺の長さから計算できるので、結局三辺の長さがわかっていれば内接円の半径は計算できることがわかる。
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外心の性質を利用して、次の定理が証明できる。
証明
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点Aを通り辺BCに平行な直線、点Bを通り辺CAに平行な直線、点Cを通り辺ABに平行な直線をかき、これらの直線の交点を図のようにP,Q,Rとする。
すると、四角形RBCA は平行四辺形なので、 RA ＝ BC である。
同様に、四角形ABCQ も平行四辺形なので BC＝AQ である。  
よって RA＝BC かつ BC＝AQ なので、 RA ＝ AQ である。
次に、点Aから対辺BCまたはその延長上に垂線ADを引く。
すると、 RQ // BC の仮定により、平行な2直線の同位角が等しい事を利用して、
が導かれる。したがって、この線分ADは、△RQPの辺RQの垂直二等分線である。
同様に考えると、頂点Bから辺ACまたはその延長上に降ろした垂線BEは辺RPの垂直二等分線であり、頂点Cから辺ABまたはその延長上に降ろした垂線CFは辺PQの垂直二等分線であることがわかる。
この3本の垂直二等分線は、△RQPの外心で交わる。すなわち△ABCの各頂点から対辺に引いた3本の垂線 AD,BE,CF は一点で交わる。
三角形の角の二等分線に関して、次のことが成り立つ。
\angle A の2等分線と辺BCとの交点がDだから
Cを通りADに平行な直線とBAの延長との交点をEとする。
ADとECは平行であるから
上の3つの式から
よって
また、ADとECは平行であるから
(1)と(2)より
三角形の外角の2等分線に関して、次のことが成り立つ。
Cを通りADに平行な直線とABの延長との交点をEとすると、上の定理と同様に
円周上に3点A,B,Cがある。直線ABについて点Cと同じ側に点Pをとり、\angle APB と \angle ACB の大きさを比べる。
点Pについては、
のいずれかである。
(2)の場合、三角形の外角と内角の間の大小関係より
\angle APB > \angle ACB  
(3)の場合も、三角形の外角と内角の間の大小関係より
\angle APB < \angle ACB  
この結果、次のことがいえる。
このことから、次のようなことがいえる。
上の議論から三角形に外接する円はどのような三角形を取ったとしても常に存在
することが分かった。しかし、四角形に関してはそれに対して外接するような
円は常に存在するわけではない。
一般に円に内接するような四角形に関しては以下の性質が成り立つ。
内接する四角形の頂点を反時計回りにA,B,C,Dとする。
このとき、角A,角Cはそれぞれ点B,Dを対応する端点とする円弧に対する円周角となっている。ただし、角Aと角Cは互いに逆の円弧を対応する弧としているため、2つの弧を合わせるとそれらの弧はちょうど円周をおおうことになる。
このため、これらの2つの弧に対応する中心角の和は360^\circに対応し、同じ弧に対応する円周角の和は
180^\circに対応するのである。
また、円に内接する四角形に関して以下の性質も成り立つ。
円に内接する四角形ABCDにおいて、上の定理より
\angle A + \angle C = 180^\circ 
また、頂点Cにおける外角を \angle DCE とすると、\angle DCE + \angle C = 180^\circ であるから
\angle A = \angle DCE 
円に内接する四角形の性質の逆について考えてみよう。
(1)の証明
四角形ABCDで、
とする。
\triangle ABCの外接円Oを書き、円Oに内接する四角形ABCD'を作ると
(1),(2)より
\angle D = \angle D'
したがって、円周角の定理の逆から、点Dはこの円Oの周上にある。
よって、四角形ABCDは円に内接する。
(2)の証明
四角形ABCDで、頂点Cにおける外角を \angle DCE として、
\angle A = \angle DCE 
とする。
\angle DCE + \angle C = 180^\circ
であるから
\angle A + \angle C = 180^\circ 
四角形が円に内接する条件(1)より、向かい合う内角の和が180^\circであるから、四角形ABCDは円に内接する。
円Oの外の点Aからその円に2本の接線を引ける。その接点をP,Qとするとき、線分AP,AQの長さを、円Oの外の点Aから円Oに引いた接線の長さという。
2つの接線の長さについて、次のことがいえる。
直角三角形APO,AQOにおいて
(I),(II)より
\triangle APO \equiv \triangle AQO
よって、対応する辺APとAQは等しい。
円周上の点Aを通る接線ATがあって、円周上に2点B,Cをとるとき、\angle TAB  と円周角 \angle ACB  の大きさには、次のような関係がある。
\angle TAB  が鋭角の場合について考える。
直径ADを引くと、\angle TAD = 90^\circ であるから、
また、ADは直径であるから
\angle BAD と \angle BCD は弧BDに対する円周角であるから
(1),(2),(3)より
\angle TAB = \angle ACB
\angle TAB  が直角、鈍角の場合についても同様に証明できる。
中心Oとする円について次の定理が成り立つ。
まず、点Eが円の外部にある場合を考える。このとき、直線AB上で点Eに近い点を点B,
直線CD上で点Eに近い点を点Cとおいたとき、三角形ECBと三角形EADが相似であることを
示す。
まず、四角形ABCDは円に内接していることから、
\angle DAE, \angle BCE
について、
\angle DAE= \angle BCE
が成立する。これは円に内接する四角形の相対する角の和が180^\circになることに
よっている。同様にして
\angle ADE= \angle CBE
が成立し、2角が等しいことから三角形ECBと三角形EADは相似となる。
このことから、
EC : EA = EB : ED
となるが、このことは
EA \times EB = EC \times ED
に等しい。
次に、点Eが円の内部にある場合を考える。
このとき三角形EADと三角形EBCが互いに相似であることを示す。
最初に
\angle AED,\angle CEB
についてこれらが互いの対頂角であることから
\angle AED= \angle CEB
が成り立つ。次に、
\angle EAD,\angle ECB
についてこれらが円周BDの円周角であることから
\angle EAD=\angle ECB
が成り立つ。よって、2角が等しいことから三角形EADと三角形EBCは
互いに相似である。このことから
EC : EA = EB : ED
となるが、このことは
EA \times EB = EC \times ED
に等しい。
よって、どちらの場合にも方べきの定理が示された。
また、中心Oとする円の弦と接線について次の定理が成り立つ。
\triangle PAT と \triangle PTB において
接弦定理より
だから、\triangle PAT と \triangle PTB は相似
よって、
PA:PT=PT:PB
したがって、
PA \times PB = PT^2
2つの円を取ったときこれらはいくつかの仕方で関係する。2つの円の関係は2つの円の中心間の距離と、2円の半径によって定まる。
2円の距離をそれぞれr _1,r _2(r _1>r _2),中心間の距離をlとすると、2円の位置関係として
l < r _1 - r _2 のとき、円2は円1に含まれている。
r _1 - r _2 = lのとき、2つの円は内接している。
r _1 - r _2 < l < r _1 + r _2のとき、円2と円1は互いに交わっている。
r _1 + r _2 = lのとき、2つの円は外接している。
r _1 + r _2 < lのとき、2円は離れている。
がある。
2つの円がただ1つの共有点をもつとき、この2つの円は接するといい、この共有点を接点（せってん、英：point of contact）という。
1つの直線が、2つの円に接しているとき、この直線を、2つの円の共通接線という。
l < r _1 - r _2 のとき、共通接線はない。
r _1 - r _2 = lのとき、共通接線は1本。
r _1 - r _2 < l < r _1 + r _2のとき、共通接線は2本。
r _1 + r _2 = lのとき、共通接線は3本。
r _1 + r _2 < lのとき、共通接線は4本。