例104\quad
{{制御と振動の数学/equation|\begin{cases}
\frac{dx}{dt}=-y \\
\frac{dy}{dt}=x
\end{cases}\quad\begin{cases}
x(0)=\alpha \\
y(0)=\beta
を解け．
これは普通に解けばよい．x\sqsupset X, y\sqsupset Y とおいて式 (5.1) をLaplace 変換すれば
{{制御と振動の数学/equation|\begin{cases}
sX - \alpha &= -Y \\
sY - \beta  &= X
}
{{制御と振動の数学/equation|
\begin{pmatrix}
s &  1 \\
-1 & s
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
X \\
Y
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
\alpha \\
\beta
\end{pmatrix}
X \\
Y
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
Y \\
-X
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\alpha \\
\beta
\end{pmatrix}
s & 0 \\
0 & s
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
X \\
Y
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
0  & 1 \\
-1 & 0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
X \\
Y
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\alpha \\
\beta
\end{pmatrix}
\therefore\begin{pmatrix}
s  & 1 \\
-1 & s
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
X \\
Y
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\alpha \\
\beta
\end{pmatrix}
{{制御と振動の数学/equation|\therefore
\begin{pmatrix}
X \\
Y
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
s &  1 \\
-1 & s
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}
\alpha \\
\beta
\end{pmatrix}=
\frac{1}{s^2+1}
\begin{pmatrix}
s & -1 \\
1 & s
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\alpha \\
\beta
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
\frac{\alpha s}{s^2+1} + \frac{-\beta}{s^2+1} \\
\frac{\alpha}{s^2+1}   + \frac{\beta s}{s^2+1}
}
この原像を求めると，
{{制御と振動の数学/equation|
\begin{cases}
x(t)=\alpha\cos t - \beta\sin t \\
y(t)=\alpha\sin t + \beta\cos t
を得る．
\diamondsuit
例105\quad
次の連立微分方程式を解け．
{{制御と振動の数学/equation|
\begin{cases}
x' = -x + 3y \\
y' = -2x + 4y
\end{cases}
\quad
\begin{cases}
x(0) = \alpha \\
y(0) = \beta
}
解答例
X \sqsubset x, Y \sqsubset y とおいて，与方程式を Laplace 変換すると，
\begin{pmatrix}
s+1 & -3  \\
2   & s-4
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
X \\
Y
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
\alpha \\
\beta
\end{pmatrix}
\therefore
\begin{pmatrix}
X \\
Y
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
s+1 & -3  \\
2   & s-4
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}
\alpha \\
\beta
\end{pmatrix}
\frac{1}{s^2-3s+2}
\begin{pmatrix}
s-4 & 3   \\
-2  & s+1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\alpha \\
\beta
\end{pmatrix}
\frac{1}{(s-1)(s-2)}
\begin{pmatrix}
\alpha(s-4) + 3\beta  \\
-2\alpha + \beta(s+1)
\end{pmatrix}
\frac{\alpha s - 4\alpha}{(s-1)(s-2)} = \frac{3\alpha}{s-1} - \frac{2\alpha}{s-2}…①
\frac{3\beta}{(s-1)(s-2)} = \frac{-3\beta}{s-1} + \frac{3\beta}{s-2}…②
①②の原像は，
x = 3\alpha e^{t} - 2\alpha e^{2t} - 3\beta e^{t} + 3\beta e^{2t}
\therefore x = \alpha(3e^{t}-2e^{2t}) + 3(-e^{t}+e^{2t})\beta.
同様に
\frac{-2\alpha}{(s-1)(s-2)} = 2\alpha\left(\frac{1}{s-1} - \frac{1}{s-2}\right)…③
\frac{\beta(s+1)}{(s-1)(s-2)} = \frac{-2\beta}{s-1} + \frac{3\beta}{s-2}…④
③④の原像は，
y = 2\alpha e^t - 2\alpha e^{2t} - 2\beta e^t + 3\beta e^{2t}
\therefore y = 2(e^t-e^{2t})\alpha + (-2e^t+3e^{2t})\beta
\diamondsuit
例106\quad
次の連立微分方程式を解け．
{{制御と振動の数学/equation|
\begin{cases}
x' -\alpha x -\beta y  &= \beta e^{\alpha t} \\
y' + \beta x -\alpha y &= 0
\end{cases}
\quad
\begin{cases}
x(0) = 0 \\
y(0) = 1
}
解答例
X \sqsubset x, Y \sqsubset y とおいて，与方程式を Laplace 変換すると，
\begin{cases}
sX -\alpha X -\beta Y = \frac{\beta}{s-\alpha} \\
sY - 1 +\beta X - \alpha Y = 0
\end{cases}
\therefore
\begin{pmatrix}
s-\alpha & -\beta   \\
\beta   & s-\alpha 
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
X \\
Y
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{\beta}{s-\alpha} \\
1
\end{pmatrix}
\therefore
\begin{pmatrix}
X \\
Y
\end{pmatrix}=
\frac{1}{(s-\alpha)^2+\beta^2}
\begin{pmatrix}
s-\alpha & \beta    \\
-\beta   & s-\alpha
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{\beta}{s-\alpha} \\
1
\end{pmatrix}
\frac{1}{(s-\alpha)^2+\beta^2}
\begin{pmatrix}
2\beta \\
\frac{-\beta^2}{s-\alpha} + (s - \alpha)
\end{pmatrix}
= \mathcal{L}^{-1}[e^{\alpha t}]
この書き方は…厳密にはおかしいというべきかもしれない．
\cdot \frac{1}{s^2+\beta^2} \begin{pmatrix}
2\beta \\
\frac{-\beta}{s} + s
\end{pmatrix}
X = \mathcal{L}^{-1}[e^{\alpha t}]\cdot\frac{2\beta}{s^2+\beta^2}
この原像は，
x = e^{\alpha t}\cdot 2\sin\beta t
また，
Y = \mathcal{L}^{-1}[e^{\alpha t}]\frac{1}{s^2+\beta^2}\left(\frac{-\beta^2}{s} + s\right)
= \mathcal{L}^{-1}[e^{\alpha t}] \frac{1}{s^2+\beta^2} \frac{s^2-\beta^2}{s}
これを部分分数展開すると，
Y = \mathcal{L}^{-1}[e^{\alpha t}] \left( \frac{2s}{s^2 + \beta^2} - \frac{1}{s}\right)
この原像は，
y = e^{\alpha t} (2\cos\beta t - 1)
\diamondsuit
例107\quad
次の連立微分方程式を解け．
{{制御と振動の数学/equation|
\begin{cases}
x' + m(y - z) &= 1\\
y' + m(z - x) &= 1\\
z' + m(x - y) &= 1
\end{cases}
\quad
\begin{cases}
x(0) = \alpha \\
y(0) = \beta \\
z(0) = \gamma
}
解答例
\diamondsuit