-- Mathlib/Analysis/Normed/Ring/SmoothingSeminorm.lean
theorem tendsto_smoothingFun_of_ne_zero (hμ1 : μ 1 ≤ 1) {x : R} (hx : μ x ≠ 0) :
    Tendsto (smoothingSeminormSeq μ x) atTop (𝓝 (smoothingFun μ x))

Proof state:
case pos
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
μ : RingSeminorm R
hμ1 : μ 1 ≤ 1
x : R
hx : μ x ≠ 0
L : ℝ := ⨅ n, μ (x ^ ↑n) ^ (1 / ↑↑n)
hL0 : 0 ≤ L
ε : ℝ
hε : ε > 0
m1 : ℕ+
hm1 : μ (x ^ ↑m1) ^ (1 / ↑↑m1) < (⨅ n, μ (x ^ ↑n) ^ (1 / ↑↑n)) + ε / 2
m2 : ℕ
hm2 : ∀ n ≥ m2, (L + ε / 2) ^ (-(↑(n % ↑m1) / ↑n)) * (μ x ^ (n % ↑m1)) ^ (1 / ↑n) - 1 ≤ ε / (2 * (L + ε / 2))
n : ℕ
hn : n ≥ ↑m1 ⊔ m2
hn0 : 0 < n
hL_le : L ≤ smoothingSeminormSeq μ x n
hxn : μ (x ^ (n % ↑m1)) = 0
⊢ μ (x ^ (↑m1 * (n / ↑m1) + n % ↑m1)) ^ (1 / ↑n) < L + ε

Tactic:
have hLε : 0 < L + ε := add_pos_of_nonneg_of_pos hL0 hε

Result:
case pos
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
μ : RingSeminorm R
hμ1 : μ 1 ≤ 1
x : R
hx : μ x ≠ 0
L : ℝ := ⨅ n, μ (x ^ ↑n) ^ (1 / ↑↑n)
hL0 : 0 ≤ L
ε : ℝ
hε : ε > 0
m1 : ℕ+
hm1 : μ (x ^ ↑m1) ^ (1 / ↑↑m1) < (⨅ n, μ (x ^ ↑n) ^ (1 / ↑↑n)) + ε / 2
m2 : ℕ
hm2 : ∀ n ≥ m2, (L + ε / 2) ^ (-(↑(n % ↑m1) / ↑n)) * (μ x ^ (n % ↑m1)) ^ (1 / ↑n) - 1 ≤ ε / (2 * (L + ε / 2))
n : ℕ
hn : n ≥ ↑m1 ⊔ m2
hn0 : 0 < n
hL_le : L ≤ smoothingSeminormSeq μ x n
hxn : μ (x ^ (n % ↑m1)) = 0
hLε : 0 < L + ε
⊢ μ (x ^ (↑m1 * (n / ↑m1) + n % ↑m1)) ^ (1 / ↑n) < L + ε

Proof state:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
μ : RingSeminorm R
hμ1 : μ 1 ≤ 1
x : R
hx : μ x ≠ 0
L : ℝ := ⨅ n, μ (x ^ ↑n) ^ (1 / ↑↑n)
hL0 : 0 ≤ L
ε : ℝ
hε : ε > 0
m1 : ℕ+
hm1 : μ (x ^ ↑m1) < (L + ε / 2) ^ ↑↑m1
m2 : ℕ
hm2 : ∀ n ≥ m2, (L + ε / 2) ^ (-(↑(n % ↑m1) / ↑n)) * (μ x ^ (n % ↑m1)) ^ (1 / ↑n) - 1 ≤ ε / (2 * (L + ε / 2))
n : ℕ
hn : n ≥ ↑m1 ⊔ m2
hn0 : 0 < n
hL_le : L ≤ smoothingSeminormSeq μ x n
hxn : ¬μ (x ^ (n % ↑m1)) = 0
hxn' : 0 < μ (x ^ (n % ↑m1))
h : μ (x ^ (↑m1 * (n / ↑m1))) ^ (1 / ↑n) ≤ (μ (x ^ ↑m1) ^ (n / ↑m1)) ^ (1 / ↑n)
hL0' : 0 < L + ε / 2
hm10 : ↑↑m1 ≠ 0
this : ↑n / ↑n = 1
⊢ (μ (x ^ ↑m1) ^ (n / ↑m1)) ^ (1 / ↑n) < (L + ε / 2) ^ (↑n / ↑n) * (L + ε / 2) ^ (-(↑(n % ↑m1) / ↑n))

Tactic:
clear this

Result:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
μ : RingSeminorm R
hμ1 : μ 1 ≤ 1
x : R
hx : μ x ≠ 0
L : ℝ := ⨅ n, μ (x ^ ↑n) ^ (1 / ↑↑n)
hL0 : 0 ≤ L
ε : ℝ
hε : ε > 0
m1 : ℕ+
hm1 : μ (x ^ ↑m1) < (L + ε / 2) ^ ↑↑m1
m2 : ℕ
hm2 : ∀ n ≥ m2, (L + ε / 2) ^ (-(↑(n % ↑m1) / ↑n)) * (μ x ^ (n % ↑m1)) ^ (1 / ↑n) - 1 ≤ ε / (2 * (L + ε / 2))
n : ℕ
hn : n ≥ ↑m1 ⊔ m2
hn0 : 0 < n
hL_le : L ≤ smoothingSeminormSeq μ x n
hxn : ¬μ (x ^ (n % ↑m1)) = 0
hxn' : 0 < μ (x ^ (n % ↑m1))
h : μ (x ^ (↑m1 * (n / ↑m1))) ^ (1 / ↑n) ≤ (μ (x ^ ↑m1) ^ (n / ↑m1)) ^ (1 / ↑n)
hL0' : 0 < L + ε / 2
hm10 : ↑↑m1 ≠ 0
⊢ (μ (x ^ ↑m1) ^ (n / ↑m1)) ^ (1 / ↑n) < (L + ε / 2) ^ (↑n / ↑n) * (L + ε / 2) ^ (-(↑(n % ↑m1) / ↑n))

Proof state:
case neg
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
μ : RingSeminorm R
hμ1 : μ 1 ≤ 1
x : R
hx : μ x ≠ 0
L : ℝ := ⨅ n, μ (x ^ ↑n) ^ (1 / ↑↑n)
hL0 : 0 ≤ L
ε : ℝ
hε : ε > 0
m1 : ℕ+
hm1 : μ (x ^ ↑m1) ^ (1 / ↑↑m1) < (⨅ n, μ (x ^ ↑n) ^ (1 / ↑↑n)) + ε / 2
m2 : ℕ
hm2 : ∀ n ≥ m2, (L + ε / 2) ^ (-(↑(n % ↑m1) / ↑n)) * (μ x ^ (n % ↑m1)) ^ (1 / ↑n) - 1 ≤ ε / (2 * (L + ε / 2))
n : ℕ
hn : n ≥ ↑m1 ⊔ m2
hn0 : 0 < n
hL_le : L ≤ smoothingSeminormSeq μ x n
hxn : ¬μ (x ^ (n % ↑m1)) = 0
⊢ smoothingSeminormSeq μ x n < L + ε

Tactic:
have hxn' : 0 < μ (x ^ (n % ↑m1)) := lt_of_le_of_ne (apply_nonneg _ _) (Ne.symm hxn)

Result:
case neg
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
μ : RingSeminorm R
hμ1 : μ 1 ≤ 1
x : R
hx : μ x ≠ 0
L : ℝ := ⨅ n, μ (x ^ ↑n) ^ (1 / ↑↑n)
hL0 : 0 ≤ L
ε : ℝ
hε : ε > 0
m1 : ℕ+
hm1 : μ (x ^ ↑m1) ^ (1 / ↑↑m1) < (⨅ n, μ (x ^ ↑n) ^ (1 / ↑↑n)) + ε / 2
m2 : ℕ
hm2 : ∀ n ≥ m2, (L + ε / 2) ^ (-(↑(n % ↑m1) / ↑n)) * (μ x ^ (n % ↑m1)) ^ (1 / ↑n) - 1 ≤ ε / (2 * (L + ε / 2))
n : ℕ
hn : n ≥ ↑m1 ⊔ m2
hn0 : 0 < n
hL_le : L ≤ smoothingSeminormSeq μ x n
hxn : ¬μ (x ^ (n % ↑m1)) = 0
hxn' : 0 < μ (x ^ (n % ↑m1))
⊢ smoothingSeminormSeq μ x n < L + ε

Proof state:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
μ : RingSeminorm R
hμ1 : μ 1 ≤ 1
x : R
hx : μ x ≠ 0
L : ℝ := ⨅ n, μ (x ^ ↑n) ^ (1 / ↑↑n)
hL0 : 0 ≤ L
ε : ℝ
hε : ε > 0
m1 : ℕ+
hm1 : μ (x ^ ↑m1) ^ (1 / ↑↑m1) < (⨅ n, μ (x ^ ↑n) ^ (1 / ↑↑n)) + ε / 2
m2 : ℕ
hm2 : ∀ n ≥ m2, (L + ε / 2) ^ (-(↑(n % ↑m1) / ↑n)) * (μ x ^ (n % ↑m1)) ^ (1 / ↑n) - 1 ≤ ε / (2 * (L + ε / 2))
n : ℕ
hn : n ≥ ↑m1 ⊔ m2
hn0 : 0 < n
hL_le : L ≤ smoothingSeminormSeq μ x n
hxn : ¬μ (x ^ (n % ↑m1)) = 0
hxn' : 0 < μ (x ^ (n % ↑m1))
h : μ (x ^ (↑m1 * (n / ↑m1))) ^ (1 / ↑n) ≤ (μ (x ^ ↑m1) ^ (n / ↑m1)) ^ (1 / ↑n)
hL0' : 0 < L + ε / 2
h1 : (μ (x ^ ↑m1) ^ (n / ↑m1)) ^ (1 / ↑n) < (L + ε / 2) * (L + ε / 2) ^ (-(↑(n % ↑m1) / ↑n))
⊢ μ (x ^ (n % ↑m1)) ^ (1 / ↑n) ≤ (μ x ^ (n % ↑m1)) ^ (1 / ↑n)

Tactic:
by_cases hnm1 : n % m1 = 0

Result:
case pos
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
μ : RingSeminorm R
hμ1 : μ 1 ≤ 1
x : R
hx : μ x ≠ 0
L : ℝ := ⨅ n, μ (x ^ ↑n) ^ (1 / ↑↑n)
hL0 : 0 ≤ L
ε : ℝ
hε : ε > 0
m1 : ℕ+
hm1 : μ (x ^ ↑m1) ^ (1 / ↑↑m1) < (⨅ n, μ (x ^ ↑n) ^ (1 / ↑↑n)) + ε / 2
m2 : ℕ
hm2 : ∀ n ≥ m2, (L + ε / 2) ^ (-(↑(n % ↑m1) / ↑n)) * (μ x ^ (n % ↑m1)) ^ (1 / ↑n) - 1 ≤ ε / (2 * (L + ε / 2))
n : ℕ
hn : n ≥ ↑m1 ⊔ m2
hn0 : 0 < n
hL_le : L ≤ smoothingSeminormSeq μ x n
hxn : ¬μ (x ^ (n % ↑m1)) = 0
hxn' : 0 < μ (x ^ (n % ↑m1))
h : μ (x ^ (↑m1 * (n / ↑m1))) ^ (1 / ↑n) ≤ (μ (x ^ ↑m1) ^ (n / ↑m1)) ^ (1 / ↑n)
hL0' : 0 < L + ε / 2
h1 : (μ (x ^ ↑m1) ^ (n / ↑m1)) ^ (1 / ↑n) < (L + ε / 2) * (L + ε / 2) ^ (-(↑(n % ↑m1) / ↑n))
hnm1 : n % ↑m1 = 0
⊢ μ (x ^ (n % ↑m1)) ^ (1 / ↑n) ≤ (μ x ^ (n % ↑m1)) ^ (1 / ↑n)

case neg
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
μ : RingSeminorm R
hμ1 : μ 1 ≤ 1
x : R
hx : μ x ≠ 0
L : ℝ := ⨅ n, μ (x ^ ↑n) ^ (1 / ↑↑n)
hL0 : 0 ≤ L
ε : ℝ
hε : ε > 0
m1 : ℕ+
hm1 : μ (x ^ ↑m1) ^ (1 / ↑↑m1) < (⨅ n, μ (x ^ ↑n) ^ (1 / ↑↑n)) + ε / 2
m2 : ℕ
hm2 : ∀ n ≥ m2, (L + ε / 2) ^ (-(↑(n % ↑m1) / ↑n)) * (μ x ^ (n % ↑m1)) ^ (1 / ↑n) - 1 ≤ ε / (2 * (L + ε / 2))
n : ℕ
hn : n ≥ ↑m1 ⊔ m2
hn0 : 0 < n
hL_le : L ≤ smoothingSeminormSeq μ x n
hxn : ¬μ (x ^ (n % ↑m1)) = 0
hxn' : 0 < μ (x ^ (n % ↑m1))
h : μ (x ^ (↑m1 * (n / ↑m1))) ^ (1 / ↑n) ≤ (μ (x ^ ↑m1) ^ (n / ↑m1)) ^ (1 / ↑n)
hL0' : 0 < L + ε / 2
h1 : (μ (x ^ ↑m1) ^ (n / ↑m1)) ^ (1 / ↑n) < (L + ε / 2) * (L + ε / 2) ^ (-(↑(n % ↑m1) / ↑n))
hnm1 : ¬n % ↑m1 = 0
⊢ μ (x ^ (n % ↑m1)) ^ (1 / ↑n) ≤ (μ x ^ (n % ↑m1)) ^ (1 / ↑n)

Proof state:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
μ : RingSeminorm R
hμ1 : μ 1 ≤ 1
x : R
hx : μ x ≠ 0
L : ℝ := ⨅ n, μ (x ^ ↑n) ^ (1 / ↑↑n)
hL0 : 0 ≤ L
ε : ℝ
hε : ε > 0
m1 : ℕ+
hm1 : μ (x ^ ↑m1) ^ (1 / ↑↑m1) < (⨅ n, μ (x ^ ↑n) ^ (1 / ↑↑n)) + ε / 2
hε2 : 0 < ε / 2
hL2 : Tendsto (fun n => (L + ε / 2) ^ (-(↑(n % ↑m1) / ↑n)) * (μ x ^ (n % ↑m1)) ^ (1 / ↑n)) atTop (𝓝 1)
⊢ ∃ m, ∀ n ≥ m, (L + ε / 2) ^ (-(↑(n % ↑m1) / ↑n)) * (μ x ^ (n % ↑m1)) ^ (1 / ↑n) - 1 ≤ ε / (2 * (L + ε / 2))

Tactic:
rw [Metric.tendsto_atTop] at hL2

Result:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
μ : RingSeminorm R
hμ1 : μ 1 ≤ 1
x : R
hx : μ x ≠ 0
L : ℝ := ⨅ n, μ (x ^ ↑n) ^ (1 / ↑↑n)
hL0 : 0 ≤ L
ε : ℝ
hε : ε > 0
m1 : ℕ+
hm1 : μ (x ^ ↑m1) ^ (1 / ↑↑m1) < (⨅ n, μ (x ^ ↑n) ^ (1 / ↑↑n)) + ε / 2
hε2 : 0 < ε / 2
hL2 : ∀ ε_1 > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, dist ((L + ε / 2) ^ (-(↑(n % ↑m1) / ↑n)) * (μ x ^ (n % ↑m1)) ^ (1 / ↑n)) 1 < ε_1
⊢ ∃ m, ∀ n ≥ m, (L + ε / 2) ^ (-(↑(n % ↑m1) / ↑n)) * (μ x ^ (n % ↑m1)) ^ (1 / ↑n) - 1 ≤ ε / (2 * (L + ε / 2))