-- Mathlib/Computability/TuringMachine.lean
theorem tr_eval (k) (L : List (Γ k)) {L₁ L₂} (H₁ : L₁ ∈ TM1.eval (tr M) (trInit k L))
    (H₂ : L₂ ∈ TM2.eval M k L) :
    ∃ (S : ∀ k, List (Γ k)) (L' : ListBlank (∀ k, Option (Γ k))),
      addBottom L' = L₁ ∧
        (∀ k, L'.map (proj k) = ListBlank.mk ((S k).map some).reverse) ∧ S k = L₂

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.mk.refl
K : Type u_1
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq K
M : Λ → TM2.Stmt Γ Λ σ
inst✝¹ : Inhabited Λ
inst✝ : Inhabited σ
k : K
L : List (Γ k)
q✝ : Option Λ
v✝ : σ
S✝ : (k : K) → List (Γ k)
L' : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
hT : ∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) L' = ListBlank.mk (List.map some (S✝ k)).reverse
h₂ : { l := q✝, var := v✝, stk := S✝ } ∈ eval (TM2.step M) (TM2.init k L)
H₂ : { l := q✝, var := v✝, stk := S✝ }.stk k ∈ TM2.eval M k L
h₃ :
  { l := Option.map normal q✝, var := v✝, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom L') } ∈
    eval (TM1.step (tr M)) (TM1.init (trInit k L))
h₁ :
  { l := Option.map normal q✝, var := v✝, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom L') } ∈
    eval (TM1.step (tr M)) (TM1.init (trInit k L))
H₁ :
  { l := Option.map normal q✝, var := v✝, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom L') }.Tape.right₀ ∈ TM1.eval (tr M) (trInit k L)
⊢ ∃ S L'_1,
    addBottom L'_1 = { l := Option.map normal q✝, var := v✝, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom L') }.Tape.right₀ ∧
      (∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) L'_1 = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse) ∧
        S k = { l := q✝, var := v✝, stk := S✝ }.stk k

Tactic:
exact ⟨_, L', by simp only [Tape.mk'_right₀], hT, rfl⟩

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.mk
K : Type u_1
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq K
M : Λ → TM2.Stmt Γ Λ σ
inst✝¹ : Inhabited Λ
inst✝ : Inhabited σ
k : K
L : List (Γ k)
c₁ : TM1.Cfg (Γ' K Γ) (Λ' K Γ Λ σ) σ
h₁ : c₁ ∈ eval (TM1.step (tr M)) (TM1.init (trInit k L))
H₁ : c₁.Tape.right₀ ∈ TM1.eval (tr M) (trInit k L)
q✝ : Option Λ
v✝ : σ
S✝ : (k : K) → List (Γ k)
L' : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
hT : ∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) L' = ListBlank.mk (List.map some (S✝ k)).reverse
h₂ : { l := q✝, var := v✝, stk := S✝ } ∈ eval (TM2.step M) (TM2.init k L)
H₂ : { l := q✝, var := v✝, stk := S✝ }.stk k ∈ TM2.eval M k L
h₃ :
  { l := Option.map normal q✝, var := v✝, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom L') } ∈
    eval (TM1.step (tr M)) (TM1.init (trInit k L))
⊢ ∃ S L',
    addBottom L' = c₁.Tape.right₀ ∧
      (∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) L' = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse) ∧
        S k = { l := q✝, var := v✝, stk := S✝ }.stk k

Tactic:
cases Part.mem_unique h₁ h₃

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.mk.refl
K : Type u_1
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq K
M : Λ → TM2.Stmt Γ Λ σ
inst✝¹ : Inhabited Λ
inst✝ : Inhabited σ
k : K
L : List (Γ k)
q✝ : Option Λ
v✝ : σ
S✝ : (k : K) → List (Γ k)
L' : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
hT : ∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) L' = ListBlank.mk (List.map some (S✝ k)).reverse
h₂ : { l := q✝, var := v✝, stk := S✝ } ∈ eval (TM2.step M) (TM2.init k L)
H₂ : { l := q✝, var := v✝, stk := S✝ }.stk k ∈ TM2.eval M k L
h₃ :
  { l := Option.map normal q✝, var := v✝, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom L') } ∈
    eval (TM1.step (tr M)) (TM1.init (trInit k L))
h₁ :
  { l := Option.map normal q✝, var := v✝, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom L') } ∈
    eval (TM1.step (tr M)) (TM1.init (trInit k L))
H₁ :
  { l := Option.map normal q✝, var := v✝, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom L') }.Tape.right₀ ∈ TM1.eval (tr M) (trInit k L)
⊢ ∃ S L'_1,
    addBottom L'_1 = { l := Option.map normal q✝, var := v✝, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom L') }.Tape.right₀ ∧
      (∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) L'_1 = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse) ∧
        S k = { l := q✝, var := v✝, stk := S✝ }.stk k

Proof state:
K : Type u_1
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq K
M : Λ → TM2.Stmt Γ Λ σ
inst✝¹ : Inhabited Λ
inst✝ : Inhabited σ
k : K
L : List (Γ k)
q✝ : Option Λ
v✝ : σ
S✝ : (k : K) → List (Γ k)
L' : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
hT : ∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) L' = ListBlank.mk (List.map some (S✝ k)).reverse
h₂ : { l := q✝, var := v✝, stk := S✝ } ∈ eval (TM2.step M) (TM2.init k L)
H₂ : { l := q✝, var := v✝, stk := S✝ }.stk k ∈ TM2.eval M k L
h₃ :
  { l := Option.map normal q✝, var := v✝, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom L') } ∈
    eval (TM1.step (tr M)) (TM1.init (trInit k L))
h₁ :
  { l := Option.map normal q✝, var := v✝, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom L') } ∈
    eval (TM1.step (tr M)) (TM1.init (trInit k L))
H₁ :
  { l := Option.map normal q✝, var := v✝, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom L') }.Tape.right₀ ∈ TM1.eval (tr M) (trInit k L)
⊢ addBottom L' = { l := Option.map normal q✝, var := v✝, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom L') }.Tape.right₀

Tactic:
simp only [Tape.mk'_right₀]

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro
K : Type u_1
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq K
M : Λ → TM2.Stmt Γ Λ σ
inst✝¹ : Inhabited Λ
inst✝ : Inhabited σ
k : K
L L₂ : List (Γ k)
H₂ : L₂ ∈ TM2.eval M k L
c₁ : TM1.Cfg (Γ' K Γ) (Λ' K Γ Λ σ) σ
h₁ : c₁ ∈ eval (TM1.step (tr M)) (TM1.init (trInit k L))
H₁ : c₁.Tape.right₀ ∈ TM1.eval (tr M) (trInit k L)
⊢ ∃ S L',
    addBottom L' = c₁.Tape.right₀ ∧
      (∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) L' = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse) ∧ S k = L₂

Tactic:
obtain ⟨c₂, h₂, rfl⟩ := (Part.mem_map_iff _).1 H₂

Result:
case intro.intro.intro.intro
K : Type u_1
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq K
M : Λ → TM2.Stmt Γ Λ σ
inst✝¹ : Inhabited Λ
inst✝ : Inhabited σ
k : K
L : List (Γ k)
c₁ : TM1.Cfg (Γ' K Γ) (Λ' K Γ Λ σ) σ
h₁ : c₁ ∈ eval (TM1.step (tr M)) (TM1.init (trInit k L))
H₁ : c₁.Tape.right₀ ∈ TM1.eval (tr M) (trInit k L)
c₂ : TM2.Cfg Γ Λ σ
h₂ : c₂ ∈ eval (TM2.step M) (TM2.init k L)
H₂ : c₂.stk k ∈ TM2.eval M k L
⊢ ∃ S L',
    addBottom L' = c₁.Tape.right₀ ∧
      (∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) L' = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse) ∧ S k = c₂.stk k

Proof state:
K : Type u_1
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq K
M : Λ → TM2.Stmt Γ Λ σ
inst✝¹ : Inhabited Λ
inst✝ : Inhabited σ
k : K
L : List (Γ k)
L₁ : ListBlank (Γ' K Γ)
L₂ : List (Γ k)
H₁ : L₁ ∈ TM1.eval (tr M) (trInit k L)
H₂ : L₂ ∈ TM2.eval M k L
⊢ ∃ S L',
    addBottom L' = L₁ ∧ (∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) L' = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse) ∧ S k = L₂

Tactic:
obtain ⟨c₁, h₁, rfl⟩ := (Part.mem_map_iff _).1 H₁

Result:
case intro.intro
K : Type u_1
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝² : DecidableEq K
M : Λ → TM2.Stmt Γ Λ σ
inst✝¹ : Inhabited Λ
inst✝ : Inhabited σ
k : K
L L₂ : List (Γ k)
H₂ : L₂ ∈ TM2.eval M k L
c₁ : TM1.Cfg (Γ' K Γ) (Λ' K Γ Λ σ) σ
h₁ : c₁ ∈ eval (TM1.step (tr M)) (TM1.init (trInit k L))
H₁ : c₁.Tape.right₀ ∈ TM1.eval (tr M) (trInit k L)
⊢ ∃ S L',
    addBottom L' = c₁.Tape.right₀ ∧
      (∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) L' = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse) ∧ S k = L₂