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theorem map_sum_finset_aux [DecidableEq ι] [Fintype ι] {n : ℕ} (h : (∑ i, #(A i)) = n) :
    (f fun i => ∑ j ∈ A i, g i j) = ∑ r ∈ piFinset A, f fun i => g i (r i)

Proof state:
case neg.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝² : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
α : ι → Type u_1
g : (i : ι) → α i → M₁ i
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
this : (i : ι) → DecidableEq (α i) := fun i => Classical.decEq (α i)
n : ℕ
IH :
  ∀ m < n,
    ∀ (A : (i : ι) → Finset (α i)),
      ∑ i : ι, #(A i) = m → (f fun i => ∑ j ∈ A i, g i j) = ∑ r ∈ piFinset A, f fun i => g i (r i)
A : (i : ι) → Finset (α i)
h : ∑ i : ι, #(A i) = n
Ai_empty : ∀ (i : ι), A i ≠ ∅
i₀ : ι
hi₀ : 1 < #(A i₀)
j₁ j₂ : α i₀
left✝ : j₁ ∈ A i₀
hj₂ : j₂ ∈ A i₀
right✝ : j₁ ≠ j₂
B : (a : ι) → Finset (α a) := update A i₀ (A i₀ \ {j₂})
⊢ (f fun i => ∑ j ∈ A i, g i j) = ∑ r ∈ piFinset A, f fun i => g i (r i)

Tactic:
let C := Function.update A i₀ {j₂}

Result:
case neg.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝² : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
α : ι → Type u_1
g : (i : ι) → α i → M₁ i
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
this : (i : ι) → DecidableEq (α i) := fun i => Classical.decEq (α i)
n : ℕ
IH :
  ∀ m < n,
    ∀ (A : (i : ι) → Finset (α i)),
      ∑ i : ι, #(A i) = m → (f fun i => ∑ j ∈ A i, g i j) = ∑ r ∈ piFinset A, f fun i => g i (r i)
A : (i : ι) → Finset (α i)
h : ∑ i : ι, #(A i) = n
Ai_empty : ∀ (i : ι), A i ≠ ∅
i₀ : ι
hi₀ : 1 < #(A i₀)
j₁ j₂ : α i₀
left✝ : j₁ ∈ A i₀
hj₂ : j₂ ∈ A i₀
right✝ : j₁ ≠ j₂
B : (a : ι) → Finset (α a) := update A i₀ (A i₀ \ {j₂})
C : (a : ι) → Finset (α a) := update A i₀ {j₂}
⊢ (f fun i => ∑ j ∈ A i, g i j) = ∑ r ∈ piFinset A, f fun i => g i (r i)

Proof state:
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝² : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
α : ι → Type u_1
g : (i : ι) → α i → M₁ i
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
this : (i : ι) → DecidableEq (α i) := fun i => Classical.decEq (α i)
n : ℕ
IH :
  ∀ m < n,
    ∀ (A : (i : ι) → Finset (α i)),
      ∑ i : ι, #(A i) = m → (f fun i => ∑ j ∈ A i, g i j) = ∑ r ∈ piFinset A, f fun i => g i (r i)
A : (i : ι) → Finset (α i)
h : ∑ i : ι, #(A i) = n
Ai_empty : ∀ (i : ι), A i ≠ ∅
i₀ : ι
hi₀ : 1 < #(A i₀)
j₁ j₂ : α i₀
left✝ : j₁ ∈ A i₀
hj₂ : j₂ ∈ A i₀
right✝ : j₁ ≠ j₂
B : (a : ι) → Finset (α a) := update A i₀ (A i₀ \ {j₂})
C : (a : ι) → Finset (α a) := update A i₀ {j₂}
B_subset_A : ∀ (i : ι), B i ⊆ A i
C_subset_A : ∀ (i : ι), C i ⊆ A i
A_eq_BC : (fun i => ∑ j ∈ A i, g i j) = update (fun i => ∑ j ∈ A i, g i j) i₀ (∑ j ∈ B i₀, g i₀ j + ∑ j ∈ C i₀, g i₀ j)
Beq : update (fun i => ∑ j ∈ A i, g i j) i₀ (∑ j ∈ B i₀, g i₀ j) = fun i => ∑ j ∈ B i, g i j
Ceq : update (fun i => ∑ j ∈ A i, g i j) i₀ (∑ j ∈ C i₀, g i₀ j) = fun i => ∑ j ∈ C i, g i j
Brec : (f fun i => ∑ j ∈ B i, g i j) = ∑ r ∈ piFinset B, f fun i => g i (r i)
⊢ (f fun i => ∑ j ∈ C i, g i j) = ∑ r ∈ piFinset C, f fun i => g i (r i)

Tactic:
have : (∑ i, #(C i)) < ∑ i, #(A i) :=
  Finset.sum_lt_sum (fun i _ => Finset.card_le_card (C_subset_A i))
    ⟨i₀, Finset.mem_univ _, by simp [C, hi₀]⟩

Result:
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝² : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
α : ι → Type u_1
g : (i : ι) → α i → M₁ i
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
this✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i) := fun i => Classical.decEq (α i)
n : ℕ
IH :
  ∀ m < n,
    ∀ (A : (i : ι) → Finset (α i)),
      ∑ i : ι, #(A i) = m → (f fun i => ∑ j ∈ A i, g i j) = ∑ r ∈ piFinset A, f fun i => g i (r i)
A : (i : ι) → Finset (α i)
h : ∑ i : ι, #(A i) = n
Ai_empty : ∀ (i : ι), A i ≠ ∅
i₀ : ι
hi₀ : 1 < #(A i₀)
j₁ j₂ : α i₀
left✝ : j₁ ∈ A i₀
hj₂ : j₂ ∈ A i₀
right✝ : j₁ ≠ j₂
B : (a : ι) → Finset (α a) := update A i₀ (A i₀ \ {j₂})
C : (a : ι) → Finset (α a) := update A i₀ {j₂}
B_subset_A : ∀ (i : ι), B i ⊆ A i
C_subset_A : ∀ (i : ι), C i ⊆ A i
A_eq_BC : (fun i => ∑ j ∈ A i, g i j) = update (fun i => ∑ j ∈ A i, g i j) i₀ (∑ j ∈ B i₀, g i₀ j + ∑ j ∈ C i₀, g i₀ j)
Beq : update (fun i => ∑ j ∈ A i, g i j) i₀ (∑ j ∈ B i₀, g i₀ j) = fun i => ∑ j ∈ B i, g i j
Ceq : update (fun i => ∑ j ∈ A i, g i j) i₀ (∑ j ∈ C i₀, g i₀ j) = fun i => ∑ j ∈ C i, g i j
Brec : (f fun i => ∑ j ∈ B i, g i j) = ∑ r ∈ piFinset B, f fun i => g i (r i)
this : ∑ i : ι, #(C i) < ∑ i : ι, #(A i)
⊢ (f fun i => ∑ j ∈ C i, g i j) = ∑ r ∈ piFinset C, f fun i => g i (r i)

Proof state:
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝² : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
α : ι → Type u_1
g : (i : ι) → α i → M₁ i
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
this✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i) := fun i => Classical.decEq (α i)
n : ℕ
IH :
  ∀ m < n,
    ∀ (A : (i : ι) → Finset (α i)),
      ∑ i : ι, #(A i) = m → (f fun i => ∑ j ∈ A i, g i j) = ∑ r ∈ piFinset A, f fun i => g i (r i)
A : (i : ι) → Finset (α i)
h : ∑ i : ι, #(A i) = n
Ai_empty : ∀ (i : ι), A i ≠ ∅
i₀ : ι
hi₀ : 1 < #(A i₀)
j₁ j₂ : α i₀
left✝ : j₁ ∈ A i₀
hj₂ : j₂ ∈ A i₀
right✝ : j₁ ≠ j₂
B : (a : ι) → Finset (α a) := update A i₀ (A i₀ \ {j₂})
C : (a : ι) → Finset (α a) := update A i₀ {j₂}
B_subset_A : ∀ (i : ι), B i ⊆ A i
C_subset_A : ∀ (i : ι), C i ⊆ A i
A_eq_BC : (fun i => ∑ j ∈ A i, g i j) = update (fun i => ∑ j ∈ A i, g i j) i₀ (∑ j ∈ B i₀, g i₀ j + ∑ j ∈ C i₀, g i₀ j)
Beq : update (fun i => ∑ j ∈ A i, g i j) i₀ (∑ j ∈ B i₀, g i₀ j) = fun i => ∑ j ∈ B i, g i j
Ceq : update (fun i => ∑ j ∈ A i, g i j) i₀ (∑ j ∈ C i₀, g i₀ j) = fun i => ∑ j ∈ C i, g i j
this : {j₂} ⊆ A i₀
⊢ #(B i₀) < #(A i₀)

Tactic:
simp only [B, Finset.card_sdiff this, Function.update_self, Finset.card_singleton]

Result:
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝² : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
α : ι → Type u_1
g : (i : ι) → α i → M₁ i
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
this✝ : (i : ι) → DecidableEq (α i) := fun i => Classical.decEq (α i)
n : ℕ
IH :
  ∀ m < n,
    ∀ (A : (i : ι) → Finset (α i)),
      ∑ i : ι, #(A i) = m → (f fun i => ∑ j ∈ A i, g i j) = ∑ r ∈ piFinset A, f fun i => g i (r i)
A : (i : ι) → Finset (α i)
h : ∑ i : ι, #(A i) = n
Ai_empty : ∀ (i : ι), A i ≠ ∅
i₀ : ι
hi₀ : 1 < #(A i₀)
j₁ j₂ : α i₀
left✝ : j₁ ∈ A i₀
hj₂ : j₂ ∈ A i₀
right✝ : j₁ ≠ j₂
B : (a : ι) → Finset (α a) := update A i₀ (A i₀ \ {j₂})
C : (a : ι) → Finset (α a) := update A i₀ {j₂}
B_subset_A : ∀ (i : ι), B i ⊆ A i
C_subset_A : ∀ (i : ι), C i ⊆ A i
A_eq_BC : (fun i => ∑ j ∈ A i, g i j) = update (fun i => ∑ j ∈ A i, g i j) i₀ (∑ j ∈ B i₀, g i₀ j + ∑ j ∈ C i₀, g i₀ j)
Beq : update (fun i => ∑ j ∈ A i, g i j) i₀ (∑ j ∈ B i₀, g i₀ j) = fun i => ∑ j ∈ B i, g i j
Ceq : update (fun i => ∑ j ∈ A i, g i j) i₀ (∑ j ∈ C i₀, g i₀ j) = fun i => ∑ j ∈ C i, g i j
this : {j₂} ⊆ A i₀
⊢ #(A i₀) - 1 < #(A i₀)