-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
theorem mem_list_cycles_iff {α : Type*} [Finite α] {l : List (Perm α)}
    (h1 : ∀ σ : Perm α, σ ∈ l → σ.IsCycle) (h2 : l.Pairwise Disjoint) {σ : Perm α} :
    σ ∈ l ↔ σ.IsCycle ∧ ∀ a, σ a ≠ a → σ a = l.prod a

Proof state:
case h.e'_5
α : Type u_4
inst✝ : Finite α
l : List (Perm α)
h1 : ∀ σ ∈ l, σ.IsCycle
h2 : List.Pairwise Disjoint l
σ : Perm α
h3 : σ.IsCycle
val✝ : Fintype α
h : ∀ (a : α), σ a ≠ a → σ a = l.prod a
hσl : σ.support ⊆ l.prod.support
a : α
ha : a ∈ σ.support
τ : Perm α
hτ : τ ∈ l
hτa : a ∈ τ.support
hτl : ∀ x ∈ τ.support, τ x = l.prod x
key : ∀ x ∈ σ.support ∩ τ.support, σ x = τ x
⊢ σ = τ

Tactic:
refine h3.eq_on_support_inter_nonempty_congr (h1 _ hτ) key ?_ ha

Result:
case h.e'_5
α : Type u_4
inst✝ : Finite α
l : List (Perm α)
h1 : ∀ σ ∈ l, σ.IsCycle
h2 : List.Pairwise Disjoint l
σ : Perm α
h3 : σ.IsCycle
val✝ : Fintype α
h : ∀ (a : α), σ a ≠ a → σ a = l.prod a
hσl : σ.support ⊆ l.prod.support
a : α
ha : a ∈ σ.support
τ : Perm α
hτ : τ ∈ l
hτa : a ∈ τ.support
hτl : ∀ x ∈ τ.support, τ x = l.prod x
key : ∀ x ∈ σ.support ∩ τ.support, σ x = τ x
⊢ σ a = τ a

Proof state:
case intro.mpr
α : Type u_4
inst✝ : Finite α
l : List (Perm α)
h1 : ∀ σ ∈ l, σ.IsCycle
h2 : List.Pairwise Disjoint l
σ : Perm α
h3 : σ.IsCycle
val✝ : Fintype α
h : ∀ (a : α), σ a ≠ a → σ a = l.prod a
⊢ σ ∈ l

Tactic:
have hσl : σ.support ⊆ l.prod.support := by
  intro x hx
  rw [mem_support] at hx
  rwa [mem_support, ← h _ hx]

Result:
case intro.mpr
α : Type u_4
inst✝ : Finite α
l : List (Perm α)
h1 : ∀ σ ∈ l, σ.IsCycle
h2 : List.Pairwise Disjoint l
σ : Perm α
h3 : σ.IsCycle
val✝ : Fintype α
h : ∀ (a : α), σ a ≠ a → σ a = l.prod a
hσl : σ.support ⊆ l.prod.support
⊢ σ ∈ l

Proof state:
α : Type u_4
inst✝ : Finite α
l : List (Perm α)
h1 : ∀ σ ∈ l, σ.IsCycle
h2 : List.Pairwise Disjoint l
σ : Perm α
⊢ σ ∈ l ↔ σ.IsCycle ∧ ∀ (a : α), σ a ≠ a → σ a = l.prod a

Tactic:
suffices σ.IsCycle → (σ ∈ l ↔ ∀ a, σ a ≠ a → σ a = l.prod a) by
  exact ⟨fun hσ => ⟨h1 σ hσ, (this (h1 σ hσ)).mp hσ⟩, fun hσ => (this hσ.1).mpr hσ.2⟩

Result:
α : Type u_4
inst✝ : Finite α
l : List (Perm α)
h1 : ∀ σ ∈ l, σ.IsCycle
h2 : List.Pairwise Disjoint l
σ : Perm α
⊢ σ.IsCycle → (σ ∈ l ↔ ∀ (a : α), σ a ≠ a → σ a = l.prod a)

Proof state:
α : Type u_4
inst✝ : Finite α
l : List (Perm α)
h1 : ∀ σ ∈ l, σ.IsCycle
h2 : List.Pairwise Disjoint l
σ : Perm α
h3 : σ.IsCycle
val✝ : Fintype α
h : ∀ (a : α), σ a ≠ a → σ a = l.prod a
hσl : σ.support ⊆ l.prod.support
a : α
ha : a ∈ σ.support
τ : Perm α
hτ : τ ∈ l
hτa : a ∈ τ.support
hτl : ∀ x ∈ τ.support, τ x = l.prod x
⊢ ∀ x ∈ σ.support ∩ τ.support, σ x = τ x

Tactic:
intro x hx

Result:
α : Type u_4
inst✝ : Finite α
l : List (Perm α)
h1 : ∀ σ ∈ l, σ.IsCycle
h2 : List.Pairwise Disjoint l
σ : Perm α
h3 : σ.IsCycle
val✝ : Fintype α
h : ∀ (a : α), σ a ≠ a → σ a = l.prod a
hσl : σ.support ⊆ l.prod.support
a : α
ha : a ∈ σ.support
τ : Perm α
hτ : τ ∈ l
hτa : a ∈ τ.support
hτl : ∀ x ∈ τ.support, τ x = l.prod x
x : α
hx : x ∈ σ.support ∩ τ.support
⊢ σ x = τ x

Proof state:
case intro.mp
α : Type u_4
inst✝ : Finite α
l : List (Perm α)
h1 : ∀ σ ∈ l, σ.IsCycle
h2 : List.Pairwise Disjoint l
σ : Perm α
h3 : σ.IsCycle
val✝ : Fintype α
h : σ ∈ l
a : α
ha : σ a ≠ a
⊢ σ a = l.prod a

Tactic:
exact eq_on_support_mem_disjoint h h2 _ (mem_support.mpr ha)

Result:
no goals

Proof state:
case intro.mp
α : Type u_4
inst✝ : Finite α
l : List (Perm α)
h1 : ∀ σ ∈ l, σ.IsCycle
h2 : List.Pairwise Disjoint l
σ : Perm α
h3 : σ.IsCycle
val✝ : Fintype α
⊢ σ ∈ l → ∀ (a : α), σ a ≠ a → σ a = l.prod a

Tactic:
intro h a ha

Result:
case intro.mp
α : Type u_4
inst✝ : Finite α
l : List (Perm α)
h1 : ∀ σ ∈ l, σ.IsCycle
h2 : List.Pairwise Disjoint l
σ : Perm α
h3 : σ.IsCycle
val✝ : Fintype α
h : σ ∈ l
a : α
ha : σ a ≠ a
⊢ σ a = l.prod a

Proof state:
α : Type u_4
inst✝ : Finite α
l : List (Perm α)
h1 : ∀ σ ∈ l, σ.IsCycle
h2 : List.Pairwise Disjoint l
σ : Perm α
⊢ σ.IsCycle → (σ ∈ l ↔ ∀ (a : α), σ a ≠ a → σ a = l.prod a)

Tactic:
intro h3

Result:
α : Type u_4
inst✝ : Finite α
l : List (Perm α)
h1 : ∀ σ ∈ l, σ.IsCycle
h2 : List.Pairwise Disjoint l
σ : Perm α
h3 : σ.IsCycle
⊢ σ ∈ l ↔ ∀ (a : α), σ a ≠ a → σ a = l.prod a

Proof state:
case intro.mpr
α : Type u_4
inst✝ : Finite α
l : List (Perm α)
h1 : ∀ σ ∈ l, σ.IsCycle
h2 : List.Pairwise Disjoint l
σ : Perm α
h3 : σ.IsCycle
val✝ : Fintype α
h : ∀ (a : α), σ a ≠ a → σ a = l.prod a
hσl : σ.support ⊆ l.prod.support
⊢ σ ∈ l

Tactic:
obtain ⟨a, ha, -⟩ := id h3

Result:
case intro.mpr.intro.intro
α : Type u_4
inst✝ : Finite α
l : List (Perm α)
h1 : ∀ σ ∈ l, σ.IsCycle
h2 : List.Pairwise Disjoint l
σ : Perm α
h3 : σ.IsCycle
val✝ : Fintype α
h : ∀ (a : α), σ a ≠ a → σ a = l.prod a
hσl : σ.support ⊆ l.prod.support
a : α
ha : σ a ≠ a
⊢ σ ∈ l

Proof state:
α : Type u_4
inst✝ : Finite α
l : List (Perm α)
h1 : ∀ σ ∈ l, σ.IsCycle
h2 : List.Pairwise Disjoint l
σ : Perm α
h3 : σ.IsCycle
val✝ : Fintype α
h : ∀ (a : α), σ a ≠ a → σ a = l.prod a
x : α
hx : σ x ≠ x
⊢ x ∈ l.prod.support

Tactic:
rwa [mem_support, ← h _ hx]

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_4
inst✝ : Finite α
l : List (Perm α)
h1 : ∀ σ ∈ l, σ.IsCycle
h2 : List.Pairwise Disjoint l
σ : Perm α
h3 : σ.IsCycle
val✝ : Fintype α
h : ∀ (a : α), σ a ≠ a → σ a = l.prod a
x : α
hx : x ∈ σ.support
⊢ x ∈ l.prod.support

Tactic:
rw [mem_support] at hx

Result:
α : Type u_4
inst✝ : Finite α
l : List (Perm α)
h1 : ∀ σ ∈ l, σ.IsCycle
h2 : List.Pairwise Disjoint l
σ : Perm α
h3 : σ.IsCycle
val✝ : Fintype α
h : ∀ (a : α), σ a ≠ a → σ a = l.prod a
x : α
hx : σ x ≠ x
⊢ x ∈ l.prod.support

Proof state:
α : Type u_4
inst✝ : Finite α
l : List (Perm α)
h1 : ∀ σ ∈ l, σ.IsCycle
h2 : List.Pairwise Disjoint l
σ : Perm α
this : σ.IsCycle → (σ ∈ l ↔ ∀ (a : α), σ a ≠ a → σ a = l.prod a)
⊢ σ ∈ l ↔ σ.IsCycle ∧ ∀ (a : α), σ a ≠ a → σ a = l.prod a

Tactic:
exact ⟨fun hσ => ⟨h1 σ hσ, (this (h1 σ hσ)).mp hσ⟩, fun hσ => (this hσ.1).mpr hσ.2⟩

Result:
no goals

Proof state:
case intro.mpr
α : Type u_4
inst✝ : Finite α
l : List (Perm α)
h1 : ∀ σ ∈ l, σ.IsCycle
h2 : List.Pairwise Disjoint l
σ : Perm α
h3 : σ.IsCycle
val✝ : Fintype α
⊢ (∀ (a : α), σ a ≠ a → σ a = l.prod a) → σ ∈ l

Tactic:
intro h

Result:
case intro.mpr
α : Type u_4
inst✝ : Finite α
l : List (Perm α)
h1 : ∀ σ ∈ l, σ.IsCycle
h2 : List.Pairwise Disjoint l
σ : Perm α
h3 : σ.IsCycle
val✝ : Fintype α
h : ∀ (a : α), σ a ≠ a → σ a = l.prod a
⊢ σ ∈ l

Proof state:
case intro.mpr.intro.intro
α : Type u_4
inst✝ : Finite α
l : List (Perm α)
h1 : ∀ σ ∈ l, σ.IsCycle
h2 : List.Pairwise Disjoint l
σ : Perm α
h3 : σ.IsCycle
val✝ : Fintype α
h : ∀ (a : α), σ a ≠ a → σ a = l.prod a
hσl : σ.support ⊆ l.prod.support
a : α
ha : σ a ≠ a
⊢ σ ∈ l

Tactic:
rw [← mem_support] at ha

Result:
case intro.mpr.intro.intro
α : Type u_4
inst✝ : Finite α
l : List (Perm α)
h1 : ∀ σ ∈ l, σ.IsCycle
h2 : List.Pairwise Disjoint l
σ : Perm α
h3 : σ.IsCycle
val✝ : Fintype α
h : ∀ (a : α), σ a ≠ a → σ a = l.prod a
hσl : σ.support ⊆ l.prod.support
a : α
ha : a ∈ σ.support
⊢ σ ∈ l

Proof state:
case intro
α : Type u_4
inst✝ : Finite α
l : List (Perm α)
h1 : ∀ σ ∈ l, σ.IsCycle
h2 : List.Pairwise Disjoint l
σ : Perm α
h3 : σ.IsCycle
val✝ : Fintype α
⊢ σ ∈ l ↔ ∀ (a : α), σ a ≠ a → σ a = l.prod a

Tactic:
constructor

Result:
case intro.mp
α : Type u_4
inst✝ : Finite α
l : List (Perm α)
h1 : ∀ σ ∈ l, σ.IsCycle
h2 : List.Pairwise Disjoint l
σ : Perm α
h3 : σ.IsCycle
val✝ : Fintype α
⊢ σ ∈ l → ∀ (a : α), σ a ≠ a → σ a = l.prod a

case intro.mpr
α : Type u_4
inst✝ : Finite α
l : List (Perm α)
h1 : ∀ σ ∈ l, σ.IsCycle
h2 : List.Pairwise Disjoint l
σ : Perm α
h3 : σ.IsCycle
val✝ : Fintype α
⊢ (∀ (a : α), σ a ≠ a → σ a = l.prod a) → σ ∈ l