-- Mathlib/Data/Finset/Card.lean
lemma surj_on_of_inj_on_of_card_le (f : ∀ a ∈ s, β) (hf : ∀ a ha, f a ha ∈ t)
    (hinj : ∀ a₁ a₂ ha₁ ha₂, f a₁ ha₁ = f a₂ ha₂ → a₁ = a₂) (hst : #t ≤ #s) :
    ∀ b ∈ t, ∃ a ha, b = f a ha

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β
f : (a : α) → a ∈ s → β
hf : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t
hinj : ∀ (a₁ a₂ : α) (ha₁ : a₁ ∈ s) (ha₂ : a₂ ∈ s), f a₁ ha₁ = f a₂ ha₂ → a₁ = a₂
hst : #t ≤ #s
f' : { x // x ∈ s } → β := fun a => f ↑a ⋯
hinj' : Set.InjOn f' ↑s.attach
hmapsto' : Set.MapsTo f' ↑s.attach ↑t
⊢ ∀ b ∈ t, ∃ a, ∃ (ha : a ∈ s), b = f a ha

Tactic:
intro b hb

Result:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β
f : (a : α) → a ∈ s → β
hf : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t
hinj : ∀ (a₁ a₂ : α) (ha₁ : a₁ ∈ s) (ha₂ : a₂ ∈ s), f a₁ ha₁ = f a₂ ha₂ → a₁ = a₂
hst : #t ≤ #s
f' : { x // x ∈ s } → β := fun a => f ↑a ⋯
hinj' : Set.InjOn f' ↑s.attach
hmapsto' : Set.MapsTo f' ↑s.attach ↑t
b : β
hb : b ∈ t
⊢ ∃ a, ∃ (ha : a ∈ s), b = f a ha

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β
f : (a : α) → a ∈ s → β
hf : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t
hinj : ∀ (a₁ a₂ : α) (ha₁ : a₁ ∈ s) (ha₂ : a₂ ∈ s), f a₁ ha₁ = f a₂ ha₂ → a₁ = a₂
hst : #t ≤ #s
f' : { x // x ∈ s } → β := fun a => f ↑a ⋯
⊢ ∀ b ∈ t, ∃ a, ∃ (ha : a ∈ s), b = f a ha

Tactic:
have hinj' : Set.InjOn f' s.attach := fun x hx y hy hxy ↦ Subtype.ext (hinj _ _ x.2 y.2 hxy)

Result:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β
f : (a : α) → a ∈ s → β
hf : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t
hinj : ∀ (a₁ a₂ : α) (ha₁ : a₁ ∈ s) (ha₂ : a₂ ∈ s), f a₁ ha₁ = f a₂ ha₂ → a₁ = a₂
hst : #t ≤ #s
f' : { x // x ∈ s } → β := fun a => f ↑a ⋯
hinj' : Set.InjOn f' ↑s.attach
⊢ ∀ b ∈ t, ∃ a, ∃ (ha : a ∈ s), b = f a ha

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β
f : (a : α) → a ∈ s → β
hf : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t
hinj : ∀ (a₁ a₂ : α) (ha₁ : a₁ ∈ s) (ha₂ : a₂ ∈ s), f a₁ ha₁ = f a₂ ha₂ → a₁ = a₂
hst : #t ≤ #s
f' : { x // x ∈ s } → β := fun a => f ↑a ⋯
hinj' : Set.InjOn f' ↑s.attach
hmapsto' : Set.MapsTo f' ↑s.attach ↑t
b : β
hb : b ∈ t
⊢ #t ≤ #s.attach

Tactic:
rwa [card_attach]

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β
f : (a : α) → a ∈ s → β
hf : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t
hinj : ∀ (a₁ a₂ : α) (ha₁ : a₁ ∈ s) (ha₂ : a₂ ∈ s), f a₁ ha₁ = f a₂ ha₂ → a₁ = a₂
hst : #t ≤ #s
f' : { x // x ∈ s } → β := fun a => f ↑a ⋯
hinj' : Set.InjOn f' ↑s.attach
hmapsto' : Set.MapsTo f' ↑s.attach ↑t
a : { x // x ∈ s }
ha : a ∈ ↑s.attach
hb : f' a ∈ t
⊢ ∃ a_1, ∃ (ha : a_1 ∈ s), f' a = f a_1 ha

Tactic:
exact ⟨a, a.2, rfl⟩

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β
f : (a : α) → a ∈ s → β
hf : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t
hinj : ∀ (a₁ a₂ : α) (ha₁ : a₁ ∈ s) (ha₂ : a₂ ∈ s), f a₁ ha₁ = f a₂ ha₂ → a₁ = a₂
hst : #t ≤ #s
f' : { x // x ∈ s } → β := fun a => f ↑a ⋯
hinj' : Set.InjOn f' ↑s.attach
hmapsto' : Set.MapsTo f' ↑s.attach ↑t
b : β
hb : b ∈ t
⊢ ∃ a, ∃ (ha : a ∈ s), b = f a ha

Tactic:
obtain ⟨a, ha, rfl⟩ := surjOn_of_injOn_of_card_le _ hmapsto' hinj' (by rwa [card_attach]) hb

Result:
case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β
f : (a : α) → a ∈ s → β
hf : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t
hinj : ∀ (a₁ a₂ : α) (ha₁ : a₁ ∈ s) (ha₂ : a₂ ∈ s), f a₁ ha₁ = f a₂ ha₂ → a₁ = a₂
hst : #t ≤ #s
f' : { x // x ∈ s } → β := fun a => f ↑a ⋯
hinj' : Set.InjOn f' ↑s.attach
hmapsto' : Set.MapsTo f' ↑s.attach ↑t
a : { x // x ∈ s }
ha : a ∈ ↑s.attach
hb : f' a ∈ t
⊢ ∃ a_1, ∃ (ha : a_1 ∈ s), f' a = f a_1 ha

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β
f : (a : α) → a ∈ s → β
hf : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t
hinj : ∀ (a₁ a₂ : α) (ha₁ : a₁ ∈ s) (ha₂ : a₂ ∈ s), f a₁ ha₁ = f a₂ ha₂ → a₁ = a₂
hst : #t ≤ #s
⊢ ∀ b ∈ t, ∃ a, ∃ (ha : a ∈ s), b = f a ha

Tactic:
let f' : s → β := fun a ↦ f a a.2

Result:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β
f : (a : α) → a ∈ s → β
hf : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t
hinj : ∀ (a₁ a₂ : α) (ha₁ : a₁ ∈ s) (ha₂ : a₂ ∈ s), f a₁ ha₁ = f a₂ ha₂ → a₁ = a₂
hst : #t ≤ #s
f' : { x // x ∈ s } → β := fun a => f ↑a ⋯
⊢ ∀ b ∈ t, ∃ a, ∃ (ha : a ∈ s), b = f a ha

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β
f : (a : α) → a ∈ s → β
hf : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t
hinj : ∀ (a₁ a₂ : α) (ha₁ : a₁ ∈ s) (ha₂ : a₂ ∈ s), f a₁ ha₁ = f a₂ ha₂ → a₁ = a₂
hst : #t ≤ #s
f' : { x // x ∈ s } → β := fun a => f ↑a ⋯
hinj' : Set.InjOn f' ↑s.attach
⊢ ∀ b ∈ t, ∃ a, ∃ (ha : a ∈ s), b = f a ha

Tactic:
have hmapsto' : Set.MapsTo f' s.attach t := fun x hx ↦ hf _ _

Result:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β
f : (a : α) → a ∈ s → β
hf : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t
hinj : ∀ (a₁ a₂ : α) (ha₁ : a₁ ∈ s) (ha₂ : a₂ ∈ s), f a₁ ha₁ = f a₂ ha₂ → a₁ = a₂
hst : #t ≤ #s
f' : { x // x ∈ s } → β := fun a => f ↑a ⋯
hinj' : Set.InjOn f' ↑s.attach
hmapsto' : Set.MapsTo f' ↑s.attach ↑t
⊢ ∀ b ∈ t, ∃ a, ∃ (ha : a ∈ s), b = f a ha