-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sheaf.lean
theorem isSheaf_iff_isSheaf' : IsSheaf J P' ↔ IsSheaf' J P'

Proof state:
case mpr
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A' : Type u₂
inst✝² : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
J : GrothendieckTopology C
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
inst✝¹ : HasProducts A'
inst✝ : HasPullbacks C
h : IsSheaf' J P'
U : A'
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J X
this : PreservesLimitsOfSize.{0, 0, max u₁ v₁, max u₁ v₁, u₂, (max u₁ v₁) + 1} (coyoneda.obj (op U)) :=
  preservesSmallestLimits_of_preservesLimits (coyoneda.obj (op U))
⊢ IsLimit ((coyoneda.obj (op U)).mapCone (Fork.ofι (forkMap S.arrows P') ⋯))

Tactic:
apply isLimitOfPreserves

Result:
case mpr.t
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A' : Type u₂
inst✝² : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
J : GrothendieckTopology C
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
inst✝¹ : HasProducts A'
inst✝ : HasPullbacks C
h : IsSheaf' J P'
U : A'
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J X
this : PreservesLimitsOfSize.{0, 0, max u₁ v₁, max u₁ v₁, u₂, (max u₁ v₁) + 1} (coyoneda.obj (op U)) :=
  preservesSmallestLimits_of_preservesLimits (coyoneda.obj (op U))
⊢ IsLimit (Fork.ofι (forkMap S.arrows P') ⋯)

Proof state:
case mp
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A' : Type u₂
inst✝² : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
J : GrothendieckTopology C
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
inst✝¹ : HasProducts A'
inst✝ : HasPullbacks C
h : IsSheaf J P'
U : C
R : Presieve U
hR : generate R ∈ J U
⊢ Nonempty (IsLimit (Fork.ofι (forkMap R P') ⋯))

Tactic:
refine ⟨?_⟩

Result:
case mp
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A' : Type u₂
inst✝² : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
J : GrothendieckTopology C
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
inst✝¹ : HasProducts A'
inst✝ : HasPullbacks C
h : IsSheaf J P'
U : C
R : Presieve U
hR : generate R ∈ J U
⊢ IsLimit (Fork.ofι (forkMap R P') ⋯)

Proof state:
case mp.hc
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A' : Type u₂
inst✝² : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
J : GrothendieckTopology C
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
inst✝¹ : HasProducts A'
inst✝ : HasPullbacks C
h : IsSheaf J P'
U : C
R : Presieve U
hR : generate R ∈ J U
X : A'ᵒᵖ
q : Presieve.IsSheafFor (P' ⋙ coyoneda.obj X) R
⊢ IsLimit ((coyoneda.obj X).mapCone (Fork.ofι (forkMap R P') ⋯))

Tactic:
rw [Equalizer.Presieve.sheaf_condition] at q

Result:
case mp.hc
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A' : Type u₂
inst✝² : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
J : GrothendieckTopology C
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
inst✝¹ : HasProducts A'
inst✝ : HasPullbacks C
h : IsSheaf J P'
U : C
R : Presieve U
hR : generate R ∈ J U
X : A'ᵒᵖ
q : Nonempty (IsLimit (Fork.ofι (Equalizer.forkMap (P' ⋙ coyoneda.obj X) R) ⋯))
⊢ IsLimit ((coyoneda.obj X).mapCone (Fork.ofι (forkMap R P') ⋯))

Proof state:
case mp.hc
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A' : Type u₂
inst✝² : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
J : GrothendieckTopology C
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
inst✝¹ : HasProducts A'
inst✝ : HasPullbacks C
h : IsSheaf J P'
U : C
R : Presieve U
hR : generate R ∈ J U
⊢ (X : A'ᵒᵖ) → IsLimit ((coyoneda.obj X).mapCone (Fork.ofι (forkMap R P') ⋯))

Tactic:
intro X

Result:
case mp.hc
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A' : Type u₂
inst✝² : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
J : GrothendieckTopology C
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
inst✝¹ : HasProducts A'
inst✝ : HasPullbacks C
h : IsSheaf J P'
U : C
R : Presieve U
hR : generate R ∈ J U
X : A'ᵒᵖ
⊢ IsLimit ((coyoneda.obj X).mapCone (Fork.ofι (forkMap R P') ⋯))

Proof state:
case mp.hc
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A' : Type u₂
inst✝² : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
J : GrothendieckTopology C
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
inst✝¹ : HasProducts A'
inst✝ : HasPullbacks C
h : IsSheaf J P'
U : C
R : Presieve U
hR : generate R ∈ J U
X : A'ᵒᵖ
q : Nonempty (IsLimit (Fork.ofι (Equalizer.forkMap (P' ⋙ coyoneda.obj X) R) ⋯))
⊢ IsLimit ((coyoneda.obj X).mapCone (Fork.ofι (forkMap R P') ⋯))

Tactic:
replace q := Classical.choice q

Result:
case mp.hc
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A' : Type u₂
inst✝² : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
J : GrothendieckTopology C
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
inst✝¹ : HasProducts A'
inst✝ : HasPullbacks C
h : IsSheaf J P'
U : C
R : Presieve U
hR : generate R ∈ J U
X : A'ᵒᵖ
q : IsLimit (Fork.ofι (Equalizer.forkMap (P' ⋙ coyoneda.obj X) R) ⋯)
⊢ IsLimit ((coyoneda.obj X).mapCone (Fork.ofι (forkMap R P') ⋯))

Proof state:
case mp.hc
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A' : Type u₂
inst✝² : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
J : GrothendieckTopology C
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
inst✝¹ : HasProducts A'
inst✝ : HasPullbacks C
h : IsSheaf J P'
U : C
R : Presieve U
hR : generate R ∈ J U
X : A'ᵒᵖ
q : Presieve.IsSheafFor (P' ⋙ coyoneda.obj X) (generate R).arrows
⊢ IsLimit ((coyoneda.obj X).mapCone (Fork.ofι (forkMap R P') ⋯))

Tactic:
rw [← Presieve.isSheafFor_iff_generate] at q

Result:
case mp.hc
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A' : Type u₂
inst✝² : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
J : GrothendieckTopology C
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
inst✝¹ : HasProducts A'
inst✝ : HasPullbacks C
h : IsSheaf J P'
U : C
R : Presieve U
hR : generate R ∈ J U
X : A'ᵒᵖ
q : Presieve.IsSheafFor (P' ⋙ coyoneda.obj X) R
⊢ IsLimit ((coyoneda.obj X).mapCone (Fork.ofι (forkMap R P') ⋯))

Proof state:
case mpr
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A' : Type u₂
inst✝² : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
J : GrothendieckTopology C
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
inst✝¹ : HasProducts A'
inst✝ : HasPullbacks C
h : IsSheaf' J P'
U : A'
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J X
⊢ IsLimit (Fork.ofι (Equalizer.forkMap (P' ⋙ coyoneda.obj (op U)) S.arrows) ⋯)

Tactic:
refine isSheafForIsSheafFor' _ _ _ _ ?_

Result:
case mpr
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A' : Type u₂
inst✝² : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
J : GrothendieckTopology C
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
inst✝¹ : HasProducts A'
inst✝ : HasPullbacks C
h : IsSheaf' J P'
U : A'
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J X
⊢ IsLimit ((coyoneda.obj (op U)).mapCone (Fork.ofι (forkMap S.arrows P') ⋯))

Proof state:
case mpr
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A' : Type u₂
inst✝² : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
J : GrothendieckTopology C
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
inst✝¹ : HasProducts A'
inst✝ : HasPullbacks C
h : IsSheaf' J P'
U : A'
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J X
⊢ Nonempty (IsLimit (Fork.ofι (Equalizer.forkMap (P' ⋙ coyoneda.obj (op U)) S.arrows) ⋯))

Tactic:
refine ⟨?_⟩

Result:
case mpr
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A' : Type u₂
inst✝² : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
J : GrothendieckTopology C
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
inst✝¹ : HasProducts A'
inst✝ : HasPullbacks C
h : IsSheaf' J P'
U : A'
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J X
⊢ IsLimit (Fork.ofι (Equalizer.forkMap (P' ⋙ coyoneda.obj (op U)) S.arrows) ⋯)

Proof state:
case mpr
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A' : Type u₂
inst✝² : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
J : GrothendieckTopology C
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
inst✝¹ : HasProducts A'
inst✝ : HasPullbacks C
⊢ IsSheaf' J P' → IsSheaf J P'

Tactic:
intro h U X S hS

Result:
case mpr
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A' : Type u₂
inst✝² : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
J : GrothendieckTopology C
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
inst✝¹ : HasProducts A'
inst✝ : HasPullbacks C
h : IsSheaf' J P'
U : A'
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J X
⊢ Presieve.IsSheafFor (P' ⋙ coyoneda.obj (op U)) S.arrows

Proof state:
case mpr
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A' : Type u₂
inst✝² : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
J : GrothendieckTopology C
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
inst✝¹ : HasProducts A'
inst✝ : HasPullbacks C
h : IsSheaf' J P'
U : A'
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J X
⊢ Presieve.IsSheafFor (P' ⋙ coyoneda.obj (op U)) S.arrows

Tactic:
rw [Equalizer.Presieve.sheaf_condition]

Result:
case mpr
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
A' : Type u₂
inst✝² : Category.{max v₁ u₁, u₂} A'
J : GrothendieckTopology C
P' : Cᵒᵖ ⥤ A'
inst✝¹ : HasProducts A'
inst✝ : HasPullbacks C
h : IsSheaf' J P'
U : A'
X : C
S : Sieve X
hS : S ∈ J X
⊢ Nonempty (IsLimit (Fork.ofι (Equalizer.forkMap (P' ⋙ coyoneda.obj (op U)) S.arrows) ⋯))