-- Mathlib/CategoryTheory/GlueData.lean
theorem t'_iij (i j : D.J) : D.t' i i j = (pullbackSymmetry _ _).hom

Proof state:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
D : GlueData C
i j : D.J
⊢ D.t' i i j = (pullbackSymmetry (D.f i i) (D.f i j)).hom

Tactic:
have eq₁ := D.t_fac i i j

Result:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
D : GlueData C
i j : D.J
eq₁ : D.t' i i j ≫ pullback.snd (D.f i j) (D.f i i) = pullback.fst (D.f i i) (D.f i j) ≫ D.t i i
⊢ D.t' i i j = (pullbackSymmetry (D.f i i) (D.f i j)).hom

Proof state:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
D : GlueData C
i j : D.J
eq₁ : D.t' i i j ≫ pullback.snd (D.f i j) (D.f i i) = (pullback.snd (D.f i i) (D.f i j) ≫ D.f i j) ≫ inv (D.f i i)
eq₂ : pullback.fst (D.f i i) (D.f i j) = (pullback.snd (D.f i i) (D.f i j) ≫ D.f i j) ≫ inv (D.f i i)
eq₃ : (D.t' i i j ≫ pullback.fst (D.f i j) (D.f i i)) ≫ D.f i j = pullback.snd (D.f i i) (D.f i j) ≫ D.f i j
⊢ D.t' i i j = (pullbackSymmetry (D.f i i) (D.f i j)).hom

Tactic:
exact
  Mono.right_cancellation _ _
    ((Mono.right_cancellation _ _ eq₃).trans (pullbackSymmetry_hom_comp_fst _ _).symm)

Result:
no goals

Proof state:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
D : GlueData C
i j : D.J
eq₁ : D.t' i i j ≫ pullback.snd (D.f i j) (D.f i i) = pullback.fst (D.f i i) (D.f i j) ≫ D.t i i
⊢ D.t' i i j = (pullbackSymmetry (D.f i i) (D.f i j)).hom

Tactic:
have eq₂ := (IsIso.eq_comp_inv (D.f i i)).mpr (@pullback.condition _ _ _ _ _ _ (D.f i j) _)

Result:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
D : GlueData C
i j : D.J
eq₁ : D.t' i i j ≫ pullback.snd (D.f i j) (D.f i i) = pullback.fst (D.f i i) (D.f i j) ≫ D.t i i
eq₂ : pullback.fst (D.f i i) (D.f i j) = (pullback.snd (D.f i i) (D.f i j) ≫ D.f i j) ≫ inv (D.f i i)
⊢ D.t' i i j = (pullbackSymmetry (D.f i i) (D.f i j)).hom

Proof state:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
D : GlueData C
i j : D.J
eq₁ : D.t' i i j ≫ pullback.snd (D.f i j) (D.f i i) = (pullback.snd (D.f i i) (D.f i j) ≫ D.f i j) ≫ inv (D.f i i)
eq₂ : pullback.fst (D.f i i) (D.f i j) = (pullback.snd (D.f i i) (D.f i j) ≫ D.f i j) ≫ inv (D.f i i)
eq₃ : (D.t' i i j ≫ pullback.snd (D.f i j) (D.f i i)) ≫ D.f i i = pullback.snd (D.f i i) (D.f i j) ≫ D.f i j
⊢ D.t' i i j = (pullbackSymmetry (D.f i i) (D.f i j)).hom

Tactic:
rw [Category.assoc, ← pullback.condition, ← Category.assoc] at eq₃

Result:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
D : GlueData C
i j : D.J
eq₁ : D.t' i i j ≫ pullback.snd (D.f i j) (D.f i i) = (pullback.snd (D.f i i) (D.f i j) ≫ D.f i j) ≫ inv (D.f i i)
eq₂ : pullback.fst (D.f i i) (D.f i j) = (pullback.snd (D.f i i) (D.f i j) ≫ D.f i j) ≫ inv (D.f i i)
eq₃ : (D.t' i i j ≫ pullback.fst (D.f i j) (D.f i i)) ≫ D.f i j = pullback.snd (D.f i i) (D.f i j) ≫ D.f i j
⊢ D.t' i i j = (pullbackSymmetry (D.f i i) (D.f i j)).hom

Proof state:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
D : GlueData C
i j : D.J
eq₁ : D.t' i i j ≫ pullback.snd (D.f i j) (D.f i i) = (pullback.snd (D.f i i) (D.f i j) ≫ D.f i j) ≫ inv (D.f i i)
eq₂ : pullback.fst (D.f i i) (D.f i j) = (pullback.snd (D.f i i) (D.f i j) ≫ D.f i j) ≫ inv (D.f i i)
⊢ D.t' i i j = (pullbackSymmetry (D.f i i) (D.f i j)).hom

Tactic:
have eq₃ := (IsIso.eq_comp_inv (D.f i i)).mp eq₁

Result:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
D : GlueData C
i j : D.J
eq₁ : D.t' i i j ≫ pullback.snd (D.f i j) (D.f i i) = (pullback.snd (D.f i i) (D.f i j) ≫ D.f i j) ≫ inv (D.f i i)
eq₂ : pullback.fst (D.f i i) (D.f i j) = (pullback.snd (D.f i i) (D.f i j) ≫ D.f i j) ≫ inv (D.f i i)
eq₃ : (D.t' i i j ≫ pullback.snd (D.f i j) (D.f i i)) ≫ D.f i i = pullback.snd (D.f i i) (D.f i j) ≫ D.f i j
⊢ D.t' i i j = (pullbackSymmetry (D.f i i) (D.f i j)).hom

Proof state:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
D : GlueData C
i j : D.J
eq₁ : D.t' i i j ≫ pullback.snd (D.f i j) (D.f i i) = pullback.fst (D.f i i) (D.f i j) ≫ D.t i i
eq₂ : pullback.fst (D.f i i) (D.f i j) = (pullback.snd (D.f i i) (D.f i j) ≫ D.f i j) ≫ inv (D.f i i)
⊢ D.t' i i j = (pullbackSymmetry (D.f i i) (D.f i j)).hom

Tactic:
rw [D.t_id, Category.comp_id, eq₂] at eq₁

Result:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
D : GlueData C
i j : D.J
eq₁ : D.t' i i j ≫ pullback.snd (D.f i j) (D.f i i) = (pullback.snd (D.f i i) (D.f i j) ≫ D.f i j) ≫ inv (D.f i i)
eq₂ : pullback.fst (D.f i i) (D.f i j) = (pullback.snd (D.f i i) (D.f i j) ≫ D.f i j) ≫ inv (D.f i i)
⊢ D.t' i i j = (pullbackSymmetry (D.f i i) (D.f i j)).hom