-- Mathlib/NumberTheory/SumFourSquares.lean
theorem exists_sq_add_sq_add_one_eq_mul (p : ℕ) [hp : Fact p.Prime] :
    ∃ (a b k : ℕ), 0 < k ∧ k < p ∧ a ^ 2 + b ^ 2 + 1 = k * p

Proof state:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hodd : Odd p
a b : ℕ
ha : a ≤ p / 2
hb : b ≤ p / 2
hab : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 ≡ -1 [ZMOD ↑p]
k : ℤ
hk : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 + 1 = k * ↑p
⊢ 0 < k

Tactic:
refine pos_of_mul_pos_left ?_ (Nat.cast_nonneg p)

Result:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hodd : Odd p
a b : ℕ
ha : a ≤ p / 2
hb : b ≤ p / 2
hab : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 ≡ -1 [ZMOD ↑p]
k : ℤ
hk : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 + 1 = k * ↑p
⊢ 0 < k * ↑p

Proof state:
case inl
hp : Fact (Nat.Prime 2)
⊢ ∃ a b k, 0 < k ∧ k < 2 ∧ a ^ 2 + b ^ 2 + 1 = k * 2

Tactic:
use 1, 0, 1

Result:
case h
hp : Fact (Nat.Prime 2)
⊢ 0 < 1 ∧ 1 < 2 ∧ 1 ^ 2 + 0 ^ 2 + 1 = 1 * 2

Proof state:
case inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hodd : Odd p
a b : ℕ
ha : a ≤ p / 2
hb : b ≤ p / 2
hab : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 ≡ -1 [ZMOD ↑p]
k : ℕ
hk : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 + 1 = ↑k * ↑p
hk₀ : 0 < ↑k
⊢ ∃ a b k, 0 < k ∧ k < p ∧ a ^ 2 + b ^ 2 + 1 = k * p

Tactic:
refine ⟨a, b, k, Nat.cast_pos.1 hk₀, ?_, mod_cast hk⟩

Result:
case inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hodd : Odd p
a b : ℕ
ha : a ≤ p / 2
hb : b ≤ p / 2
hab : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 ≡ -1 [ZMOD ↑p]
k : ℕ
hk : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 + 1 = ↑k * ↑p
hk₀ : 0 < ↑k
⊢ k < p

Proof state:
case inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hodd : Odd p
a b : ℕ
ha : a ≤ p / 2
hb : b ≤ p / 2
hab : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 ≡ -1 [ZMOD ↑p]
k : ℕ
hk₀ : 0 < ↑k
hk : a ^ 2 + b ^ 2 + 1 ^ 2 + 0 ^ 2 = k * p
⊢ 2 * b < p

Tactic:
exact (mul_le_mul' le_rfl hb).trans_lt (Nat.mul_div_lt_iff_not_dvd.2 hodd.not_two_dvd_nat)

Result:
no goals

Proof state:
case inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hodd : Odd p
a b : ℕ
ha : a ≤ p / 2
hb : b ≤ p / 2
hab : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 ≡ -1 [ZMOD ↑p]
k : ℕ
hk₀ : 0 < ↑k
hk : a ^ 2 + b ^ 2 + 1 ^ 2 + 0 ^ 2 = k * p
⊢ 2 * a < p

Tactic:
exact (mul_le_mul' le_rfl ha).trans_lt (Nat.mul_div_lt_iff_not_dvd.2 hodd.not_two_dvd_nat)

Result:
no goals

Proof state:
case inr.intro.intro.intro.intro
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hodd : Odd p
a b : ℕ
ha : a ≤ p / 2
hb : b ≤ p / 2
hab : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 ≡ -1 [ZMOD ↑p]
⊢ ∃ a b k, 0 < k ∧ k < p ∧ a ^ 2 + b ^ 2 + 1 = k * p

Tactic:
rcases Int.modEq_iff_dvd.1 hab.symm with ⟨k, hk⟩

Result:
case inr.intro.intro.intro.intro.intro
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hodd : Odd p
a b : ℕ
ha : a ≤ p / 2
hb : b ≤ p / 2
hab : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 ≡ -1 [ZMOD ↑p]
k : ℤ
hk : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 - -1 = ↑p * k
⊢ ∃ a b k, 0 < k ∧ k < p ∧ a ^ 2 + b ^ 2 + 1 = k * p

Proof state:
case inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_4
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hodd : Odd p
a b : ℕ
ha : a ≤ p / 2
hb : b ≤ p / 2
hab : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 ≡ -1 [ZMOD ↑p]
k : ℕ
hk₀ : 0 < ↑k
hk : a ^ 2 + b ^ 2 + 1 ^ 2 + 0 ^ 2 = k * p
⊢ 2 * 0 < p

Tactic:
exact hp.1.pos

Result:
no goals

Proof state:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hodd : Odd p
a b : ℕ
ha : a ≤ p / 2
hb : b ≤ p / 2
hab : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 ≡ -1 [ZMOD ↑p]
k : ℤ
hk : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 + 1 = k * ↑p
⊢ 0 < k * ↑p

Tactic:
rw [← hk]

Result:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hodd : Odd p
a b : ℕ
ha : a ≤ p / 2
hb : b ≤ p / 2
hab : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 ≡ -1 [ZMOD ↑p]
k : ℤ
hk : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 + 1 = k * ↑p
⊢ 0 < ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 + 1

Proof state:
case inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hodd : Odd p
a b : ℕ
ha : a ≤ p / 2
hb : b ≤ p / 2
hab : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 ≡ -1 [ZMOD ↑p]
k : ℕ
hk₀ : 0 < ↑k
hk : a ^ 2 + b ^ 2 + 1 ^ 2 + 0 ^ 2 = k * p
⊢ k < p

Tactic:
refine lt_of_sum_four_squares_eq_mul hk ?_ ?_ ?_ ?_

Result:
case inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hodd : Odd p
a b : ℕ
ha : a ≤ p / 2
hb : b ≤ p / 2
hab : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 ≡ -1 [ZMOD ↑p]
k : ℕ
hk₀ : 0 < ↑k
hk : a ^ 2 + b ^ 2 + 1 ^ 2 + 0 ^ 2 = k * p
⊢ 2 * a < p

case inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hodd : Odd p
a b : ℕ
ha : a ≤ p / 2
hb : b ≤ p / 2
hab : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 ≡ -1 [ZMOD ↑p]
k : ℕ
hk₀ : 0 < ↑k
hk : a ^ 2 + b ^ 2 + 1 ^ 2 + 0 ^ 2 = k * p
⊢ 2 * b < p

case inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_3
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hodd : Odd p
a b : ℕ
ha : a ≤ p / 2
hb : b ≤ p / 2
hab : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 ≡ -1 [ZMOD ↑p]
k : ℕ
hk₀ : 0 < ↑k
hk : a ^ 2 + b ^ 2 + 1 ^ 2 + 0 ^ 2 = k * p
⊢ 2 * 1 < p

case inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_4
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hodd : Odd p
a b : ℕ
ha : a ≤ p / 2
hb : b ≤ p / 2
hab : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 ≡ -1 [ZMOD ↑p]
k : ℕ
hk₀ : 0 < ↑k
hk : a ^ 2 + b ^ 2 + 1 ^ 2 + 0 ^ 2 = k * p
⊢ 2 * 0 < p

Proof state:
case inr.intro.intro.intro.intro.intro
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hodd : Odd p
a b : ℕ
ha : a ≤ p / 2
hb : b ≤ p / 2
hab : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 ≡ -1 [ZMOD ↑p]
k : ℤ
hk : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 + 1 = k * ↑p
hk₀ : 0 < k
⊢ ∃ a b k, 0 < k ∧ k < p ∧ a ^ 2 + b ^ 2 + 1 = k * p

Tactic:
lift k to ℕ using hk₀.le

Result:
case inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hodd : Odd p
a b : ℕ
ha : a ≤ p / 2
hb : b ≤ p / 2
hab : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 ≡ -1 [ZMOD ↑p]
k : ℕ
hk : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 + 1 = ↑k * ↑p
hk₀ : 0 < ↑k
⊢ ∃ a b k, 0 < k ∧ k < p ∧ a ^ 2 + b ^ 2 + 1 = k * p

Proof state:
case inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hodd : Odd p
a b : ℕ
ha : a ≤ p / 2
hb : b ≤ p / 2
hab : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 ≡ -1 [ZMOD ↑p]
k : ℕ
hk : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 + 1 = ↑k * ↑p
hk₀ : 0 < ↑k
⊢ k < p

Tactic:
replace hk : a ^ 2 + b ^ 2 + 1 ^ 2 + 0 ^ 2 = k * p := mod_cast hk

Result:
case inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hodd : Odd p
a b : ℕ
ha : a ≤ p / 2
hb : b ≤ p / 2
hab : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 ≡ -1 [ZMOD ↑p]
k : ℕ
hk₀ : 0 < ↑k
hk : a ^ 2 + b ^ 2 + 1 ^ 2 + 0 ^ 2 = k * p
⊢ k < p

Proof state:
case inr.intro.intro.intro.intro.intro
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hodd : Odd p
a b : ℕ
ha : a ≤ p / 2
hb : b ≤ p / 2
hab : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 ≡ -1 [ZMOD ↑p]
k : ℤ
hk : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 - -1 = ↑p * k
⊢ ∃ a b k, 0 < k ∧ k < p ∧ a ^ 2 + b ^ 2 + 1 = k * p

Tactic:
rw [sub_neg_eq_add, mul_comm] at hk

Result:
case inr.intro.intro.intro.intro.intro
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hodd : Odd p
a b : ℕ
ha : a ≤ p / 2
hb : b ≤ p / 2
hab : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 ≡ -1 [ZMOD ↑p]
k : ℤ
hk : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 + 1 = k * ↑p
⊢ ∃ a b k, 0 < k ∧ k < p ∧ a ^ 2 + b ^ 2 + 1 = k * p

Proof state:
case inr.intro.intro.intro.intro.intro
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hodd : Odd p
a b : ℕ
ha : a ≤ p / 2
hb : b ≤ p / 2
hab : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 ≡ -1 [ZMOD ↑p]
k : ℤ
hk : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 + 1 = k * ↑p
⊢ ∃ a b k, 0 < k ∧ k < p ∧ a ^ 2 + b ^ 2 + 1 = k * p

Tactic:
have hk₀ : 0 < k := by
  refine pos_of_mul_pos_left ?_ (Nat.cast_nonneg p)
  rw [← hk]
  positivity

Result:
case inr.intro.intro.intro.intro.intro
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hodd : Odd p
a b : ℕ
ha : a ≤ p / 2
hb : b ≤ p / 2
hab : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 ≡ -1 [ZMOD ↑p]
k : ℤ
hk : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 + 1 = k * ↑p
hk₀ : 0 < k
⊢ ∃ a b k, 0 < k ∧ k < p ∧ a ^ 2 + b ^ 2 + 1 = k * p

Proof state:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
⊢ ∃ a b k, 0 < k ∧ k < p ∧ a ^ 2 + b ^ 2 + 1 = k * p

Tactic:
rcases hp.1.eq_two_or_odd' with (rfl | hodd)

Result:
case inl
hp : Fact (Nat.Prime 2)
⊢ ∃ a b k, 0 < k ∧ k < 2 ∧ a ^ 2 + b ^ 2 + 1 = k * 2

case inr
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hodd : Odd p
⊢ ∃ a b k, 0 < k ∧ k < p ∧ a ^ 2 + b ^ 2 + 1 = k * p

Proof state:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hodd : Odd p
a b : ℕ
ha : a ≤ p / 2
hb : b ≤ p / 2
hab : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 ≡ -1 [ZMOD ↑p]
k : ℤ
hk : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 + 1 = k * ↑p
⊢ 0 < ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 + 1

Tactic:
positivity

Result:
no goals

Proof state:
case inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_3
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hodd : Odd p
a b : ℕ
ha : a ≤ p / 2
hb : b ≤ p / 2
hab : ↑a ^ 2 + ↑b ^ 2 ≡ -1 [ZMOD ↑p]
k : ℕ
hk₀ : 0 < ↑k
hk : a ^ 2 + b ^ 2 + 1 ^ 2 + 0 ^ 2 = k * p
⊢ 2 * 1 < p

Tactic:
exact lt_of_le_of_ne hp.1.two_le (hodd.ne_two_of_dvd_nat (dvd_refl _)).symm

Result:
no goals