-- Mathlib/.lake/packages/lean4/src/lean/Std/Tactic/BVDecide/Bitblast/BVExpr/Circuit/Lemmas/Operations/ShiftRight.lean
theorem go_denote_eq (aig : AIG α) (distance : Nat) (input : AIG.RefVec aig w)
    (assign : α → Bool) (curr : Nat) (hcurr : curr ≤ w) (s : AIG.RefVec aig curr) :
    ∀ (idx : Nat) (hidx1 : idx < w),
        curr ≤ idx
          →
        ⟦
          aig,
          (go input distance curr hcurr s).get idx hidx1,
          assign
        ⟧
          =
        if hidx : (distance + idx) < w then
          ⟦aig, input.get (distance + idx) (by omega), assign⟧
        else
          ⟦aig, input.get (w - 1) (by omega), assign⟧

Proof state:
case isTrue.inr.isFalse
α : Type
inst✝¹ : Hashable α
inst✝ : DecidableEq α
w : Nat
aig : AIG α
distance : Nat
input : aig.RefVec w
assign : α → Bool
curr : Nat
hcurr : curr ≤ w
s : aig.RefVec curr
idx : Nat
hidx1 : idx < w
hidx2 : curr ≤ idx
res : aig.RefVec w
h✝² : curr < w
h✝¹ : curr < idx
h✝ : ¬distance + curr < w
hgo :
  (let s := s.push (input.get (w - 1) ⋯);
    go input distance (curr + 1) ⋯ s) =
    res
⊢ ⟦assign, { aig := aig, ref := res.get idx hidx1 }⟧ =
    if hidx : distance + idx < w then ⟦assign, { aig := aig, ref := input.get (distance + idx) ⋯ }⟧
    else ⟦assign, { aig := aig, ref := input.get (w - 1) ⋯ }⟧

Tactic:
split

Result:
case isTrue.inr.isFalse.isTrue
α : Type
inst✝¹ : Hashable α
inst✝ : DecidableEq α
w : Nat
aig : AIG α
distance : Nat
input : aig.RefVec w
assign : α → Bool
curr : Nat
hcurr : curr ≤ w
s : aig.RefVec curr
idx : Nat
hidx1 : idx < w
hidx2 : curr ≤ idx
res : aig.RefVec w
h✝³ : curr < w
h✝² : curr < idx
h✝¹ : ¬distance + curr < w
hgo :
  (let s := s.push (input.get (w - 1) ⋯);
    go input distance (curr + 1) ⋯ s) =
    res
h✝ : distance + idx < w
⊢ ⟦assign, { aig := aig, ref := res.get idx hidx1 }⟧ = ⟦assign, { aig := aig, ref := input.get (distance + idx) ⋯ }⟧

case isTrue.inr.isFalse.isFalse
α : Type
inst✝¹ : Hashable α
inst✝ : DecidableEq α
w : Nat
aig : AIG α
distance : Nat
input : aig.RefVec w
assign : α → Bool
curr : Nat
hcurr : curr ≤ w
s : aig.RefVec curr
idx : Nat
hidx1 : idx < w
hidx2 : curr ≤ idx
res : aig.RefVec w
h✝³ : curr < w
h✝² : curr < idx
h✝¹ : ¬distance + curr < w
hgo :
  (let s := s.push (input.get (w - 1) ⋯);
    go input distance (curr + 1) ⋯ s) =
    res
h✝ : ¬distance + idx < w
⊢ ⟦assign, { aig := aig, ref := res.get idx hidx1 }⟧ = ⟦assign, { aig := aig, ref := input.get (w - 1) ⋯ }⟧

Proof state:
case a
α : Type
inst✝¹ : Hashable α
inst✝ : DecidableEq α
w : Nat
aig : AIG α
distance : Nat
input : aig.RefVec w
assign : α → Bool
curr : Nat
hcurr : curr ≤ w
s : aig.RefVec curr
idx : Nat
hidx1 : idx < w
hidx2 : curr ≤ idx
res : aig.RefVec w
h✝² : curr < w
h✝¹ : curr < idx
h✝ : ¬distance + curr < w
hgo :
  (let s := s.push (input.get (w - 1) ⋯);
    go input distance (curr + 1) ⋯ s) =
    res
hidx : ¬distance + idx < w
⊢ curr + 1 ≤ idx

Tactic:
omega

Result:
no goals

Proof state:
α : Type
inst✝¹ : Hashable α
inst✝ : DecidableEq α
w : Nat
aig : AIG α
distance : Nat
input : aig.RefVec w
assign : α → Bool
curr : Nat
hcurr : curr ≤ w
s : aig.RefVec curr
idx : Nat
hidx1 : idx < w
hidx2 : curr ≤ idx
res : aig.RefVec w
h✝ : curr < w
heq : curr = idx
hlt : ¬distance + idx < w
hgo : go input distance (curr + 1) ⋯ (s.push (input.get (w - 1) ⋯)) = res
⊢ ⟦assign, { aig := aig, ref := (go input distance (curr + 1) ⋯ (s.push (input.get (w - 1) ⋯))).get idx hidx1 }⟧ =
    ⟦assign, { aig := aig, ref := input.get (w - 1) ⋯ }⟧

Tactic:
rw [go_get]

Result:
α : Type
inst✝¹ : Hashable α
inst✝ : DecidableEq α
w : Nat
aig : AIG α
distance : Nat
input : aig.RefVec w
assign : α → Bool
curr : Nat
hcurr : curr ≤ w
s : aig.RefVec curr
idx : Nat
hidx1 : idx < w
hidx2 : curr ≤ idx
res : aig.RefVec w
h✝ : curr < w
heq : curr = idx
hlt : ¬distance + idx < w
hgo : go input distance (curr + 1) ⋯ (s.push (input.get (w - 1) ⋯)) = res
⊢ ⟦assign, { aig := aig, ref := (s.push (input.get (w - 1) ⋯)).get idx ?hidx }⟧ =
    ⟦assign, { aig := aig, ref := input.get (w - 1) ⋯ }⟧

case hidx
α : Type
inst✝¹ : Hashable α
inst✝ : DecidableEq α
w : Nat
aig : AIG α
distance : Nat
input : aig.RefVec w
assign : α → Bool
curr : Nat
hcurr : curr ≤ w
s : aig.RefVec curr
idx : Nat
hidx1 : idx < w
hidx2 : curr ≤ idx
res : aig.RefVec w
h✝ : curr < w
heq : curr = idx
hlt : ¬distance + idx < w
hgo : go input distance (curr + 1) ⋯ (s.push (input.get (w - 1) ⋯)) = res
⊢ idx < curr + 1

Proof state:
case isTrue.inr
α : Type
inst✝¹ : Hashable α
inst✝ : DecidableEq α
w : Nat
aig : AIG α
distance : Nat
input : aig.RefVec w
assign : α → Bool
curr : Nat
hcurr : curr ≤ w
s : aig.RefVec curr
idx : Nat
hidx1 : idx < w
hidx2 : curr ≤ idx
res : aig.RefVec w
h✝¹ : curr < w
hgo :
  (if hdist : distance + curr < w then
      let s := s.push (input.get (distance + curr) ⋯);
      go input distance (curr + 1) ⋯ s
    else
      let s := s.push (input.get (w - 1) ⋯);
      go input distance (curr + 1) ⋯ s) =
    res
h✝ : curr < idx
⊢ ⟦assign, { aig := aig, ref := res.get idx hidx1 }⟧ =
    if hidx : distance + idx < w then ⟦assign, { aig := aig, ref := input.get (distance + idx) ⋯ }⟧
    else ⟦assign, { aig := aig, ref := input.get (w - 1) ⋯ }⟧

Tactic:
split at hgo

Result:
case isTrue.inr.isTrue
α : Type
inst✝¹ : Hashable α
inst✝ : DecidableEq α
w : Nat
aig : AIG α
distance : Nat
input : aig.RefVec w
assign : α → Bool
curr : Nat
hcurr : curr ≤ w
s : aig.RefVec curr
idx : Nat
hidx1 : idx < w
hidx2 : curr ≤ idx
res : aig.RefVec w
h✝² : curr < w
h✝¹ : curr < idx
h✝ : distance + curr < w
hgo :
  (let s := s.push (input.get (distance + curr) ⋯);
    go input distance (curr + 1) ⋯ s) =
    res
⊢ ⟦assign, { aig := aig, ref := res.get idx hidx1 }⟧ =
    if hidx : distance + idx < w then ⟦assign, { aig := aig, ref := input.get (distance + idx) ⋯ }⟧
    else ⟦assign, { aig := aig, ref := input.get (w - 1) ⋯ }⟧

case isTrue.inr.isFalse
α : Type
inst✝¹ : Hashable α
inst✝ : DecidableEq α
w : Nat
aig : AIG α
distance : Nat
input : aig.RefVec w
assign : α → Bool
curr : Nat
hcurr : curr ≤ w
s : aig.RefVec curr
idx : Nat
hidx1 : idx < w
hidx2 : curr ≤ idx
res : aig.RefVec w
h✝² : curr < w
h✝¹ : curr < idx
h✝ : ¬distance + curr < w
hgo :
  (let s := s.push (input.get (w - 1) ⋯);
    go input distance (curr + 1) ⋯ s) =
    res
⊢ ⟦assign, { aig := aig, ref := res.get idx hidx1 }⟧ =
    if hidx : distance + idx < w then ⟦assign, { aig := aig, ref := input.get (distance + idx) ⋯ }⟧
    else ⟦assign, { aig := aig, ref := input.get (w - 1) ⋯ }⟧

Proof state:
α : Type
inst✝¹ : Hashable α
inst✝ : DecidableEq α
w : Nat
aig : AIG α
distance : Nat
input : aig.RefVec w
assign : α → Bool
curr : Nat
hcurr : curr ≤ w
s : aig.RefVec curr
idx : Nat
hidx1 : idx < w
hidx2 : curr ≤ idx
res : aig.RefVec w
h✝ : curr < w
heq : curr = idx
hlt : ¬distance + curr < w
hgo :
  (let s := s.push (input.get (w - 1) ⋯);
    go input distance (curr + 1) ⋯ s) =
    res
⊢ ⟦assign, { aig := aig, ref := res.get idx hidx1 }⟧ =
    if hidx : distance + idx < w then ⟦assign, { aig := aig, ref := input.get (distance + idx) ⋯ }⟧
    else ⟦assign, { aig := aig, ref := input.get (w - 1) ⋯ }⟧

Tactic:
rw [heq] at hlt

Result:
α : Type
inst✝¹ : Hashable α
inst✝ : DecidableEq α
w : Nat
aig : AIG α
distance : Nat
input : aig.RefVec w
assign : α → Bool
curr : Nat
hcurr : curr ≤ w
s : aig.RefVec curr
idx : Nat
hidx1 : idx < w
hidx2 : curr ≤ idx
res : aig.RefVec w
h✝ : curr < w
heq : curr = idx
hlt : ¬distance + idx < w
hgo :
  (let s := s.push (input.get (w - 1) ⋯);
    go input distance (curr + 1) ⋯ s) =
    res
⊢ ⟦assign, { aig := aig, ref := res.get idx hidx1 }⟧ =
    if hidx : distance + idx < w then ⟦assign, { aig := aig, ref := input.get (distance + idx) ⋯ }⟧
    else ⟦assign, { aig := aig, ref := input.get (w - 1) ⋯ }⟧