-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Closure.lean
theorem closure_cycle_adjacent_swap {σ : Perm α} (h1 : IsCycle σ) (h2 : σ.support = univ) (x : α) :
    closure ({σ, swap x (σ x)} : Set (Perm α)) = ⊤

Proof state:
α : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ : Perm α
h1 : σ.IsCycle
h2 : σ.support = univ
x : α
H : Subgroup (Perm α) := closure {σ, swap x (σ x)}
h3 : σ ∈ H
h4 : swap x (σ x) ∈ H
step1 : ∀ (n : ℕ), swap ((σ ^ n) x) ((σ ^ (n + 1)) x) ∈ H
step2 : ∀ (n : ℕ), swap x ((σ ^ n) x) ∈ H
y : α
hx : σ x ≠ x
⊢ swap x y ∈ H

Tactic:
have hy : y ∈ univ := Finset.mem_univ y

Result:
α : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ : Perm α
h1 : σ.IsCycle
h2 : σ.support = univ
x : α
H : Subgroup (Perm α) := closure {σ, swap x (σ x)}
h3 : σ ∈ H
h4 : swap x (σ x) ∈ H
step1 : ∀ (n : ℕ), swap ((σ ^ n) x) ((σ ^ (n + 1)) x) ∈ H
step2 : ∀ (n : ℕ), swap x ((σ ^ n) x) ∈ H
y : α
hx : σ x ≠ x
hy : y ∈ univ
⊢ swap x y ∈ H

Proof state:
case succ
α : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ : Perm α
h1 : σ.IsCycle
h2 : σ.support = univ
x : α
H : Subgroup (Perm α) := closure {σ, swap x (σ x)}
h3 : σ ∈ H
h4 : swap x (σ x) ∈ H
step1 : ∀ (n : ℕ), swap ((σ ^ n) x) ((σ ^ (n + 1)) x) ∈ H
n : ℕ
ih : swap x ((σ ^ n) x) ∈ H
⊢ swap x ((σ ^ (n + 1)) x) ∈ H

Tactic:
by_cases h5 : x = (σ ^ n) x

Result:
case pos
α : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ : Perm α
h1 : σ.IsCycle
h2 : σ.support = univ
x : α
H : Subgroup (Perm α) := closure {σ, swap x (σ x)}
h3 : σ ∈ H
h4 : swap x (σ x) ∈ H
step1 : ∀ (n : ℕ), swap ((σ ^ n) x) ((σ ^ (n + 1)) x) ∈ H
n : ℕ
ih : swap x ((σ ^ n) x) ∈ H
h5 : x = (σ ^ n) x
⊢ swap x ((σ ^ (n + 1)) x) ∈ H

case neg
α : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ : Perm α
h1 : σ.IsCycle
h2 : σ.support = univ
x : α
H : Subgroup (Perm α) := closure {σ, swap x (σ x)}
h3 : σ ∈ H
h4 : swap x (σ x) ∈ H
step1 : ∀ (n : ℕ), swap ((σ ^ n) x) ((σ ^ (n + 1)) x) ∈ H
n : ℕ
ih : swap x ((σ ^ n) x) ∈ H
h5 : ¬x = (σ ^ n) x
⊢ swap x ((σ ^ (n + 1)) x) ∈ H

Proof state:
α : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ : Perm α
h1 : σ.IsCycle
h2 : σ.support = univ
x : α
H : Subgroup (Perm α) := closure {σ, swap x (σ x)}
h3 : σ ∈ H
h4 : swap x (σ x) ∈ H
step1 : ∀ (n : ℕ), swap ((σ ^ n) x) ((σ ^ (n + 1)) x) ∈ H
step2 : ∀ (n : ℕ), swap x ((σ ^ n) x) ∈ H
step3 : ∀ (y : α), swap x y ∈ H
y z : α
⊢ swap y z ∈ H

Tactic:
by_cases h5 : z = x

Result:
case pos
α : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ : Perm α
h1 : σ.IsCycle
h2 : σ.support = univ
x : α
H : Subgroup (Perm α) := closure {σ, swap x (σ x)}
h3 : σ ∈ H
h4 : swap x (σ x) ∈ H
step1 : ∀ (n : ℕ), swap ((σ ^ n) x) ((σ ^ (n + 1)) x) ∈ H
step2 : ∀ (n : ℕ), swap x ((σ ^ n) x) ∈ H
step3 : ∀ (y : α), swap x y ∈ H
y z : α
h5 : z = x
⊢ swap y z ∈ H

case neg
α : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ : Perm α
h1 : σ.IsCycle
h2 : σ.support = univ
x : α
H : Subgroup (Perm α) := closure {σ, swap x (σ x)}
h3 : σ ∈ H
h4 : swap x (σ x) ∈ H
step1 : ∀ (n : ℕ), swap ((σ ^ n) x) ((σ ^ (n + 1)) x) ∈ H
step2 : ∀ (n : ℕ), swap x ((σ ^ n) x) ∈ H
step3 : ∀ (y : α), swap x y ∈ H
y z : α
h5 : ¬z = x
⊢ swap y z ∈ H

Proof state:
case neg
α : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ : Perm α
h1 : σ.IsCycle
h2 : σ.support = univ
x : α
H : Subgroup (Perm α) := closure {σ, swap x (σ x)}
h3 : σ ∈ H
h4 : swap x (σ x) ∈ H
step1 : ∀ (n : ℕ), swap ((σ ^ n) x) ((σ ^ (n + 1)) x) ∈ H
step2 : ∀ (n : ℕ), swap x ((σ ^ n) x) ∈ H
step3 : ∀ (y : α), swap x y ∈ H
y z : α
h5 : ¬z = x
⊢ swap y z ∈ H

Tactic:
by_cases h6 : z = y

Result:
case pos
α : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ : Perm α
h1 : σ.IsCycle
h2 : σ.support = univ
x : α
H : Subgroup (Perm α) := closure {σ, swap x (σ x)}
h3 : σ ∈ H
h4 : swap x (σ x) ∈ H
step1 : ∀ (n : ℕ), swap ((σ ^ n) x) ((σ ^ (n + 1)) x) ∈ H
step2 : ∀ (n : ℕ), swap x ((σ ^ n) x) ∈ H
step3 : ∀ (y : α), swap x y ∈ H
y z : α
h5 : ¬z = x
h6 : z = y
⊢ swap y z ∈ H

case neg
α : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ : Perm α
h1 : σ.IsCycle
h2 : σ.support = univ
x : α
H : Subgroup (Perm α) := closure {σ, swap x (σ x)}
h3 : σ ∈ H
h4 : swap x (σ x) ∈ H
step1 : ∀ (n : ℕ), swap ((σ ^ n) x) ((σ ^ (n + 1)) x) ∈ H
step2 : ∀ (n : ℕ), swap x ((σ ^ n) x) ∈ H
step3 : ∀ (y : α), swap x y ∈ H
y z : α
h5 : ¬z = x
h6 : ¬z = y
⊢ swap y z ∈ H

Proof state:
α : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ : Perm α
h1 : σ.IsCycle
h2 : σ.support = univ
x : α
H : Subgroup (Perm α) := closure {σ, swap x (σ x)}
h3 : σ ∈ H
h4 : swap x (σ x) ∈ H
⊢ ∀ (n : ℕ), swap ((σ ^ n) x) ((σ ^ (n + 1)) x) ∈ H

Tactic:
intro n

Result:
α : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ : Perm α
h1 : σ.IsCycle
h2 : σ.support = univ
x : α
H : Subgroup (Perm α) := closure {σ, swap x (σ x)}
h3 : σ ∈ H
h4 : swap x (σ x) ∈ H
n : ℕ
⊢ swap ((σ ^ n) x) ((σ ^ (n + 1)) x) ∈ H

Proof state:
case zero
α : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ : Perm α
h1 : σ.IsCycle
h2 : σ.support = univ
x : α
H : Subgroup (Perm α) := closure {σ, swap x (σ x)}
h3 : σ ∈ H
h4 : swap x (σ x) ∈ H
step1 : ∀ (n : ℕ), swap ((σ ^ n) x) ((σ ^ (n + 1)) x) ∈ H
⊢ swap x ((σ ^ 0) x) ∈ H

Tactic:
simp only [pow_zero, coe_one, id_eq, swap_self, Set.mem_singleton_iff]

Result:
case zero
α : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ : Perm α
h1 : σ.IsCycle
h2 : σ.support = univ
x : α
H : Subgroup (Perm α) := closure {σ, swap x (σ x)}
h3 : σ ∈ H
h4 : swap x (σ x) ∈ H
step1 : ∀ (n : ℕ), swap ((σ ^ n) x) ((σ ^ (n + 1)) x) ∈ H
⊢ Equiv.refl α ∈ H

Proof state:
case pos
α : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ : Perm α
h1 : σ.IsCycle
h2 : σ.support = univ
x : α
H : Subgroup (Perm α) := closure {σ, swap x (σ x)}
h3 : σ ∈ H
h4 : swap x (σ x) ∈ H
step1 : ∀ (n : ℕ), swap ((σ ^ n) x) ((σ ^ (n + 1)) x) ∈ H
step2 : ∀ (n : ℕ), swap x ((σ ^ n) x) ∈ H
step3 : ∀ (y : α), swap x y ∈ H
y z : α
h5 : ¬z = x
h6 : z = y
⊢ swap y z ∈ H

Tactic:
rw [h6, swap_self]

Result:
case pos
α : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ : Perm α
h1 : σ.IsCycle
h2 : σ.support = univ
x : α
H : Subgroup (Perm α) := closure {σ, swap x (σ x)}
h3 : σ ∈ H
h4 : swap x (σ x) ∈ H
step1 : ∀ (n : ℕ), swap ((σ ^ n) x) ((σ ^ (n + 1)) x) ∈ H
step2 : ∀ (n : ℕ), swap x ((σ ^ n) x) ∈ H
step3 : ∀ (y : α), swap x y ∈ H
y z : α
h5 : ¬z = x
h6 : z = y
⊢ Equiv.refl α ∈ H

Proof state:
α : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ : Perm α
h1 : σ.IsCycle
h2 : σ.support = univ
x : α
H : Subgroup (Perm α) := closure {σ, swap x (σ x)}
h3 : σ ∈ H
h4 : swap x (σ x) ∈ H
step1 : ∀ (n : ℕ), swap ((σ ^ n) x) ((σ ^ (n + 1)) x) ∈ H
step2 : ∀ (n : ℕ), swap x ((σ ^ n) x) ∈ H
⊢ ∀ (y : α), swap x y ∈ H

Tactic:
intro y

Result:
α : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ : Perm α
h1 : σ.IsCycle
h2 : σ.support = univ
x : α
H : Subgroup (Perm α) := closure {σ, swap x (σ x)}
h3 : σ ∈ H
h4 : swap x (σ x) ∈ H
step1 : ∀ (n : ℕ), swap ((σ ^ n) x) ((σ ^ (n + 1)) x) ∈ H
step2 : ∀ (n : ℕ), swap x ((σ ^ n) x) ∈ H
y : α
⊢ swap x y ∈ H

Proof state:
α : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ : Perm α
h1 : σ.IsCycle
h2 : σ.support = univ
x : α
H : Subgroup (Perm α) := closure {σ, swap x (σ x)}
h3 : σ ∈ H
h4 : swap x (σ x) ∈ H
n : ℕ
⊢ swap ((σ ^ n) x) ((σ ^ (n + 1)) x) ∈ H

Tactic:
induction n with
| zero => exact subset_closure (Set.mem_insert_of_mem _ (Set.mem_singleton _))
| succ n ih =>
  convert H.mul_mem (H.mul_mem h3 ih) (H.inv_mem h3)
  simp_rw [mul_swap_eq_swap_mul, mul_inv_cancel_right, pow_succ', coe_mul, comp_apply]

Result:
no goals

Proof state:
case h.e'_5
α : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
σ : Perm α
h1 : σ.IsCycle
h2 : σ.support = univ
x : α
H : Subgroup (Perm α) := closure {σ, swap x (σ x)}
h3 : σ ∈ H
h4 : swap x (σ x) ∈ H
n : ℕ
ih : swap ((σ ^ n) x) ((σ ^ (n + 1)) x) ∈ H
⊢ swap ((σ ^ (n + 1)) x) ((σ ^ (n + 1 + 1)) x) = σ * swap ((σ ^ n) x) ((σ ^ (n + 1)) x) * σ⁻¹

Tactic:
simp_rw [mul_swap_eq_swap_mul, mul_inv_cancel_right, pow_succ', coe_mul, comp_apply]

Result:
no goals