-- Mathlib/Analysis/Analytic/Uniqueness.lean
theorem eqOn_zero_of_preconnected_of_eventuallyEq_zero_aux [CompleteSpace F] {f : E → F} {U : Set E}
    (hf : AnalyticOnNhd 𝕜 f U) (hU : IsPreconnected U)
    {z₀ : E} (h₀ : z₀ ∈ U) (hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0) :
    EqOn f 0 U

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
U : Set E
hf : AnalyticOnNhd 𝕜 f U
hU : IsPreconnected U
z₀ : E
h₀ : z₀ ∈ U
hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0
u : Set E := {x | f =ᶠ[𝓝 x] 0}
x : E
xu : x ∈ closure u
xU : x ∈ U
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
hp : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
y : E
yu : y ∈ u
hxy : edist x y < r / 2
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F := p.changeOrigin (y - x)
⊢ HasFPowerSeriesOnBall f q y (r / 2)

Tactic:
have A : (‖y - x‖₊ : ℝ≥0∞) < r / 2 := by rwa [edist_comm, edist_eq_enorm_sub] at hxy

Result:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
U : Set E
hf : AnalyticOnNhd 𝕜 f U
hU : IsPreconnected U
z₀ : E
h₀ : z₀ ∈ U
hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0
u : Set E := {x | f =ᶠ[𝓝 x] 0}
x : E
xu : x ∈ closure u
xU : x ∈ U
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
hp : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
y : E
yu : y ∈ u
hxy : edist x y < r / 2
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F := p.changeOrigin (y - x)
A : ↑‖y - x‖₊ < r / 2
⊢ HasFPowerSeriesOnBall f q y (r / 2)

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
U : Set E
hf : AnalyticOnNhd 𝕜 f U
hU : IsPreconnected U
z₀ : E
h₀ : z₀ ∈ U
hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0
u : Set E := {x | f =ᶠ[𝓝 x] 0}
main : closure u ∩ U ⊆ u
Uu : U ⊆ u
z : E
hz : z ∈ U
⊢ f z = 0 z

Tactic:
simpa using mem_of_mem_nhds (Uu hz)

Result:
no goals

Proof state:
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
U : Set E
hf : AnalyticOnNhd 𝕜 f U
hU : IsPreconnected U
z₀ : E
h₀ : z₀ ∈ U
hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0
u : Set E := {x | f =ᶠ[𝓝 x] 0}
x : E
xu : x ∈ closure u
xU : x ∈ U
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
hp : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
y : E
yu : y ∈ u
hxy : edist x y < r / 2
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F := p.changeOrigin (y - x)
has_series : HasFPowerSeriesOnBall f q y (r / 2)
M : EMetric.ball y (r / 2) ∈ 𝓝 x
z : E
hz : z ∈ EMetric.ball y (r / 2)
A : HasSum (fun n => (q n) fun x => z - y) (f z)
B : HasSum (fun n => (q n) fun x => z - y) 0
⊢ f z = 0 z

Tactic:
exact HasSum.unique A B

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
U : Set E
hf : AnalyticOnNhd 𝕜 f U
hU : IsPreconnected U
z₀ : E
h₀ : z₀ ∈ U
hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0
u : Set E := {x | f =ᶠ[𝓝 x] 0}
x : E
xu : x ∈ closure u
xU : x ∈ U
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
hp : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
y : E
yu : y ∈ u
hxy : edist x y < r / 2
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F := p.changeOrigin (y - x)
⊢ x ∈ u

Tactic:
have has_series : HasFPowerSeriesOnBall f q y (r / 2) := by
  have A : (‖y - x‖₊ : ℝ≥0∞) < r / 2 := by rwa [edist_comm, edist_eq_enorm_sub] at hxy
  have := hp.changeOrigin (A.trans_le ENNReal.half_le_self)
  simp only [add_sub_cancel] at this
  apply this.mono (ENNReal.half_pos hp.r_pos.ne')
  apply ENNReal.le_sub_of_add_le_left ENNReal.coe_ne_top
  apply (add_le_add A.le (le_refl (r / 2))).trans (le_of_eq _)
  exact ENNReal.add_halves _

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
U : Set E
hf : AnalyticOnNhd 𝕜 f U
hU : IsPreconnected U
z₀ : E
h₀ : z₀ ∈ U
hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0
u : Set E := {x | f =ᶠ[𝓝 x] 0}
x : E
xu : x ∈ closure u
xU : x ∈ U
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
hp : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
y : E
yu : y ∈ u
hxy : edist x y < r / 2
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F := p.changeOrigin (y - x)
has_series : HasFPowerSeriesOnBall f q y (r / 2)
⊢ x ∈ u

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
U : Set E
hf : AnalyticOnNhd 𝕜 f U
hU : IsPreconnected U
z₀ : E
h₀ : z₀ ∈ U
hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0
u : Set E := {x | f =ᶠ[𝓝 x] 0}
main : closure u ∩ U ⊆ u
⊢ EqOn f 0 U

Tactic:
have Uu : U ⊆ u :=
  hU.subset_of_closure_inter_subset isOpen_setOf_eventually_nhds ⟨z₀, h₀, hfz₀⟩ main

Result:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
U : Set E
hf : AnalyticOnNhd 𝕜 f U
hU : IsPreconnected U
z₀ : E
h₀ : z₀ ∈ U
hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0
u : Set E := {x | f =ᶠ[𝓝 x] 0}
main : closure u ∩ U ⊆ u
Uu : U ⊆ u
⊢ EqOn f 0 U

Proof state:
case h.e.h.e'_5
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
U : Set E
hf : AnalyticOnNhd 𝕜 f U
hU : IsPreconnected U
z₀ : E
h₀ : z₀ ∈ U
hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0
u : Set E := {x | f =ᶠ[𝓝 x] 0}
x : E
xu : x ∈ closure u
xU : x ∈ U
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
hp : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
y : E
yu : y ∈ u
hxy : edist x y < r / 2
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F := p.changeOrigin (y - x)
has_series : HasFPowerSeriesOnBall f q y (r / 2)
M : EMetric.ball y (r / 2) ∈ 𝓝 x
z : E
hz : z ∈ EMetric.ball y (r / 2)
A : HasSum (fun n => (q n) fun x => z - y) (f z)
this : HasFPowerSeriesAt 0 q y
⊢ (fun n => (q n) fun x => z - y) = fun x => 0

Tactic:
ext n

Result:
case h.e.h.e'_5.h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
U : Set E
hf : AnalyticOnNhd 𝕜 f U
hU : IsPreconnected U
z₀ : E
h₀ : z₀ ∈ U
hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0
u : Set E := {x | f =ᶠ[𝓝 x] 0}
x : E
xu : x ∈ closure u
xU : x ∈ U
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
hp : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
y : E
yu : y ∈ u
hxy : edist x y < r / 2
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F := p.changeOrigin (y - x)
has_series : HasFPowerSeriesOnBall f q y (r / 2)
M : EMetric.ball y (r / 2) ∈ 𝓝 x
z : E
hz : z ∈ EMetric.ball y (r / 2)
A : HasSum (fun n => (q n) fun x => z - y) (f z)
this : HasFPowerSeriesAt 0 q y
n : ℕ
⊢ ((q n) fun x => z - y) = 0