-- Mathlib/GroupTheory/CosetCover.lean
theorem leftCoset_cover_filter_FiniteIndex_aux
    [DecidablePred (FiniteIndex : Subgroup G → Prop)] :
    (⋃ k ∈ s.filter (fun i => (H i).FiniteIndex), g k • (H k : Set G) = Set.univ) ∧
      (1 ≤ ∑ i ∈ s, ((H i).index : ℚ)⁻¹) ∧
      (∑ i ∈ s, ((H i).index : ℚ)⁻¹ = 1 → Set.PairwiseDisjoint
        (s.filter (fun i => (H i).FiniteIndex)) (fun i ↦ g i • (H i : Set G)))

Proof state:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
ι : Type u_2
H : ι → Subgroup G
g : ι → G
s : Finset ι
hcovers : ⋃ i ∈ s, g i • ↑(H i) = Set.univ
inst✝ : DecidablePred FiniteIndex
D : Subgroup G := ⨅ k ∈ Finset.filter (fun i => (H i).FiniteIndex) s, H k
hD : D.FiniteIndex
hD_le : ∀ {i : ι}, i ∈ s → (H i).FiniteIndex → D ≤ H i
t : (i : ι) → i ∈ s → (H i).FiniteIndex → Finset ↥(H i)
ht :
  ∀ (i : ι) (hi : i ∈ s) (hfi : (H i).FiniteIndex),
    IsComplement ↑(t i hi hfi) ↑(D.subgroupOf (H i)) ∧ ⋃ g ∈ t i hi hfi, ↑g • ↑D = ↑(H i)
κ : Type (max u_2 u_1) := (i : { x // x ∈ s }) × { x // x ∈ if h : (H ↑i).FiniteIndex then t ↑i ⋯ h else {1} }
f : κ → G := fun k => g ↑k.fst * ↑↑k.snd
K : κ → Subgroup G := fun k => if (H ↑k.fst).FiniteIndex then D else H ↑k.fst
k : κ
hkfi : (H ↑k.fst).FiniteIndex
hk : K k = D
hcovers' : ⋃ i ∈ Finset.filter (fun x => K x = D) Finset.univ, f i • ↑D = Set.univ
hHD : ∀ (i : ι), ¬(H i).FiniteIndex → H i ≠ D
hdensity : ∑ i ∈ s, (↑(H i).index)⁻¹ = ↑(Finset.filter (fun x => K x = D) Finset.univ).card * (↑D.index)⁻¹
⊢ ⋃ k ∈ Finset.filter (fun i => (H i).FiniteIndex) s, g k • ↑(H k) = Set.univ ∧
    1 ≤ ∑ i ∈ s, (↑(H i).index)⁻¹ ∧
      (∑ i ∈ s, (↑(H i).index)⁻¹ = 1 →
        (↑(Finset.filter (fun i => (H i).FiniteIndex) s)).PairwiseDisjoint fun i => g i • ↑(H i))

Tactic:
refine ⟨?_, ?_, ?_⟩

Result:
case refine_1
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
ι : Type u_2
H : ι → Subgroup G
g : ι → G
s : Finset ι
hcovers : ⋃ i ∈ s, g i • ↑(H i) = Set.univ
inst✝ : DecidablePred FiniteIndex
D : Subgroup G := ⨅ k ∈ Finset.filter (fun i => (H i).FiniteIndex) s, H k
hD : D.FiniteIndex
hD_le : ∀ {i : ι}, i ∈ s → (H i).FiniteIndex → D ≤ H i
t : (i : ι) → i ∈ s → (H i).FiniteIndex → Finset ↥(H i)
ht :
  ∀ (i : ι) (hi : i ∈ s) (hfi : (H i).FiniteIndex),
    IsComplement ↑(t i hi hfi) ↑(D.subgroupOf (H i)) ∧ ⋃ g ∈ t i hi hfi, ↑g • ↑D = ↑(H i)
κ : Type (max u_2 u_1) := (i : { x // x ∈ s }) × { x // x ∈ if h : (H ↑i).FiniteIndex then t ↑i ⋯ h else {1} }
f : κ → G := fun k => g ↑k.fst * ↑↑k.snd
K : κ → Subgroup G := fun k => if (H ↑k.fst).FiniteIndex then D else H ↑k.fst
k : κ
hkfi : (H ↑k.fst).FiniteIndex
hk : K k = D
hcovers' : ⋃ i ∈ Finset.filter (fun x => K x = D) Finset.univ, f i • ↑D = Set.univ
hHD : ∀ (i : ι), ¬(H i).FiniteIndex → H i ≠ D
hdensity : ∑ i ∈ s, (↑(H i).index)⁻¹ = ↑(Finset.filter (fun x => K x = D) Finset.univ).card * (↑D.index)⁻¹
⊢ ⋃ k ∈ Finset.filter (fun i => (H i).FiniteIndex) s, g k • ↑(H k) = Set.univ

case refine_2
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
ι : Type u_2
H : ι → Subgroup G
g : ι → G
s : Finset ι
hcovers : ⋃ i ∈ s, g i • ↑(H i) = Set.univ
inst✝ : DecidablePred FiniteIndex
D : Subgroup G := ⨅ k ∈ Finset.filter (fun i => (H i).FiniteIndex) s, H k
hD : D.FiniteIndex
hD_le : ∀ {i : ι}, i ∈ s → (H i).FiniteIndex → D ≤ H i
t : (i : ι) → i ∈ s → (H i).FiniteIndex → Finset ↥(H i)
ht :
  ∀ (i : ι) (hi : i ∈ s) (hfi : (H i).FiniteIndex),
    IsComplement ↑(t i hi hfi) ↑(D.subgroupOf (H i)) ∧ ⋃ g ∈ t i hi hfi, ↑g • ↑D = ↑(H i)
κ : Type (max u_2 u_1) := (i : { x // x ∈ s }) × { x // x ∈ if h : (H ↑i).FiniteIndex then t ↑i ⋯ h else {1} }
f : κ → G := fun k => g ↑k.fst * ↑↑k.snd
K : κ → Subgroup G := fun k => if (H ↑k.fst).FiniteIndex then D else H ↑k.fst
k : κ
hkfi : (H ↑k.fst).FiniteIndex
hk : K k = D
hcovers' : ⋃ i ∈ Finset.filter (fun x => K x = D) Finset.univ, f i • ↑D = Set.univ
hHD : ∀ (i : ι), ¬(H i).FiniteIndex → H i ≠ D
hdensity : ∑ i ∈ s, (↑(H i).index)⁻¹ = ↑(Finset.filter (fun x => K x = D) Finset.univ).card * (↑D.index)⁻¹
⊢ 1 ≤ ∑ i ∈ s, (↑(H i).index)⁻¹

case refine_3
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
ι : Type u_2
H : ι → Subgroup G
g : ι → G
s : Finset ι
hcovers : ⋃ i ∈ s, g i • ↑(H i) = Set.univ
inst✝ : DecidablePred FiniteIndex
D : Subgroup G := ⨅ k ∈ Finset.filter (fun i => (H i).FiniteIndex) s, H k
hD : D.FiniteIndex
hD_le : ∀ {i : ι}, i ∈ s → (H i).FiniteIndex → D ≤ H i
t : (i : ι) → i ∈ s → (H i).FiniteIndex → Finset ↥(H i)
ht :
  ∀ (i : ι) (hi : i ∈ s) (hfi : (H i).FiniteIndex),
    IsComplement ↑(t i hi hfi) ↑(D.subgroupOf (H i)) ∧ ⋃ g ∈ t i hi hfi, ↑g • ↑D = ↑(H i)
κ : Type (max u_2 u_1) := (i : { x // x ∈ s }) × { x // x ∈ if h : (H ↑i).FiniteIndex then t ↑i ⋯ h else {1} }
f : κ → G := fun k => g ↑k.fst * ↑↑k.snd
K : κ → Subgroup G := fun k => if (H ↑k.fst).FiniteIndex then D else H ↑k.fst
k : κ
hkfi : (H ↑k.fst).FiniteIndex
hk : K k = D
hcovers' : ⋃ i ∈ Finset.filter (fun x => K x = D) Finset.univ, f i • ↑D = Set.univ
hHD : ∀ (i : ι), ¬(H i).FiniteIndex → H i ≠ D
hdensity : ∑ i ∈ s, (↑(H i).index)⁻¹ = ↑(Finset.filter (fun x => K x = D) Finset.univ).card * (↑D.index)⁻¹
⊢ ∑ i ∈ s, (↑(H i).index)⁻¹ = 1 →
    (↑(Finset.filter (fun i => (H i).FiniteIndex) s)).PairwiseDisjoint fun i => g i • ↑(H i)

Proof state:
case intro.intro
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
ι : Type u_2
H : ι → Subgroup G
g : ι → G
s : Finset ι
hcovers : ⋃ i ∈ s, g i • ↑(H i) = Set.univ
inst✝ : DecidablePred FiniteIndex
D : Subgroup G := ⨅ k ∈ Finset.filter (fun i => (H i).FiniteIndex) s, H k
hD : D.FiniteIndex
hD_le : ∀ {i : ι}, i ∈ s → (H i).FiniteIndex → D ≤ H i
t : (i : ι) → i ∈ s → (H i).FiniteIndex → Finset ↥(H i)
ht :
  ∀ (i : ι) (hi : i ∈ s) (hfi : (H i).FiniteIndex),
    IsComplement ↑(t i hi hfi) ↑(D.subgroupOf (H i)) ∧ ⋃ g ∈ t i hi hfi, ↑g • ↑D = ↑(H i)
κ : Type (max u_2 u_1) := (i : { x // x ∈ s }) × { x // x ∈ if h : (H ↑i).FiniteIndex then t ↑i ⋯ h else {1} }
f : κ → G := fun k => g ↑k.fst * ↑↑k.snd
K : κ → Subgroup G := fun k => if (H ↑k.fst).FiniteIndex then D else H ↑k.fst
hcovers' : ⋃ k ∈ Finset.univ, f k • ↑(K k) = Set.univ
k : κ
hkfi : (H ↑k.fst).FiniteIndex
hk : K k = D
h : ⋃ i ∈ Finset.filter (fun x => K x = K k) Finset.univ, f i • ↑(K i) ≠ Set.univ
i : κ
hi : K i ≠ K k ∧ (K i).FiniteIndex
⊢ False

Tactic:
by_cases hfi : (H i.1.1).FiniteIndex <;> simp [K, hfi, hkfi] at hi

Result:
no goals

Proof state:
case pos
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
ι : Type u_2
H : ι → Subgroup G
g : ι → G
s : Finset ι
hcovers : ⋃ i ∈ s, g i • ↑(H i) = Set.univ
inst✝ : DecidablePred FiniteIndex
D : Subgroup G := ⨅ k ∈ Finset.filter (fun i => (H i).FiniteIndex) s, H k
hD : D.FiniteIndex
hD_le : ∀ {i : ι}, i ∈ s → (H i).FiniteIndex → D ≤ H i
t : (i : ι) → i ∈ s → (H i).FiniteIndex → Finset ↥(H i)
ht :
  ∀ (i : ι) (hi : i ∈ s) (hfi : (H i).FiniteIndex),
    IsComplement ↑(t i hi hfi) ↑(D.subgroupOf (H i)) ∧ ⋃ g ∈ t i hi hfi, ↑g • ↑D = ↑(H i)
κ : Type (max u_2 u_1) := (i : { x // x ∈ s }) × { x // x ∈ if h : (H ↑i).FiniteIndex then t ↑i ⋯ h else {1} }
f : κ → G := fun k => g ↑k.fst * ↑↑k.snd
K : κ → Subgroup G := fun k => if (H ↑k.fst).FiniteIndex then D else H ↑k.fst
k : κ
hkfi : (H ↑k.fst).FiniteIndex
hk : K k = D
hcovers' : ⋃ i ∈ Finset.filter (fun x => K x = D) Finset.univ, f i • ↑D = Set.univ
hHD : ∀ (i : ι), ¬(H i).FiniteIndex → H i ≠ D
i : { x // x ∈ s }
x✝ : i ∈ s.attach
hfi : (H ↑i).FiniteIndex
⊢ ∑ s_1 : { x // x ∈ if h : (H ↑i).FiniteIndex then t ↑i ⋯ h else {1} }, ↑(if K ⟨i, s_1⟩ = D then 1 else 0) =
    ↑(D.relindex (H ↑i))

Tactic:
simpa [K, hfi] using (ht i.1 i.2 hfi).1.card_left

Result:
no goals