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theorem exists_maximal_linearIndepOn (v : ι → M) :
    ∃ s : Set ι, (LinearIndepOn R v s) ∧ ∀ i ∉ s, ∃ a : R, a ≠ 0 ∧ a • v i ∈ span R (v '' s)

Proof state:
case right
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
v : ι → M
I : Set ι
hIlinind : LinearIndepOn R v I
i : ι
hi : i ∉ I
J : Set ι := I ∪ {i}
hImaximal : LinearIndepOn R v J → I = J
hJ : J = I ∪ {i}
memJ : ∀ {x : ι}, x ∈ J ↔ x = i ∨ x ∈ I
hiJ : i ∈ J
h : ¬LinearIndepOn R v J
⊢ ∃ a, a ≠ 0 ∧ a • v i ∈ span R (v '' I)

Tactic:
obtain ⟨f, supp_f, sum_f, f_ne⟩ := linearDepOn_iff.mp h

Result:
case right.intro.intro.intro
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
v : ι → M
I : Set ι
hIlinind : LinearIndepOn R v I
i : ι
hi : i ∉ I
J : Set ι := I ∪ {i}
hImaximal : LinearIndepOn R v J → I = J
hJ : J = I ∪ {i}
memJ : ∀ {x : ι}, x ∈ J ↔ x = i ∨ x ∈ I
hiJ : i ∈ J
h : ¬LinearIndepOn R v J
f : ι →₀ R
supp_f : f ∈ Finsupp.supported R R J
sum_f : ∑ i ∈ f.support, f i • v i = 0
f_ne : f ≠ 0
⊢ ∃ a, a ≠ 0 ∧ a • v i ∈ span R (v '' I)

Proof state:
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
v : ι → M
⊢ ∃ s, LinearIndepOn R v s ∧ ∀ i ∉ s, ∃ a, a ≠ 0 ∧ a • v i ∈ span R (v '' s)

Tactic:
rcases exists_maximal_linearIndepOn' R v with ⟨I, hIlinind, hImaximal⟩

Result:
case intro.intro
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
v : ι → M
I : Set ι
hIlinind : LinearIndepOn R v I
hImaximal : ∀ (t : Set ι), I ⊆ t → LinearIndepOn R v t → I = t
⊢ ∃ s, LinearIndepOn R v s ∧ ∀ i ∉ s, ∃ a, a ≠ 0 ∧ a • v i ∈ span R (v '' s)

Proof state:
case right
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
v : ι → M
I : Set ι
hIlinind : LinearIndepOn R v I
i : ι
hi : i ∉ I
J : Set ι := I ∪ {i}
hImaximal : LinearIndepOn R v J → I = J
hJ : J = I ∪ {i}
memJ : ∀ {x : ι}, x ∈ J ↔ x = i ∨ x ∈ I
hiJ : i ∈ J
h : ¬LinearIndepOn R v J
f : ι →₀ R
supp_f : f ∈ Finsupp.supported R R J
sum_f : f i • v i = -∑ x ∈ f.support.erase i, f x • v x
f_ne : f ≠ 0
hfi : f i ≠ 0
hfi' : i ∈ f.support
⊢ f i • v i ∈ span R (v '' I)

Tactic:
rw [sum_f]

Result:
case right
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
v : ι → M
I : Set ι
hIlinind : LinearIndepOn R v I
i : ι
hi : i ∉ I
J : Set ι := I ∪ {i}
hImaximal : LinearIndepOn R v J → I = J
hJ : J = I ∪ {i}
memJ : ∀ {x : ι}, x ∈ J ↔ x = i ∨ x ∈ I
hiJ : i ∈ J
h : ¬LinearIndepOn R v J
f : ι →₀ R
supp_f : f ∈ Finsupp.supported R R J
sum_f : f i • v i = -∑ x ∈ f.support.erase i, f x • v x
f_ne : f ≠ 0
hfi : f i ≠ 0
hfi' : i ∈ f.support
⊢ -∑ x ∈ f.support.erase i, f x • v x ∈ span R (v '' I)

Proof state:
case right
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
v : ι → M
I : Set ι
hIlinind : LinearIndepOn R v I
hImaximal : ∀ (t : Set ι), I ⊆ t → LinearIndepOn R v t → I = t
⊢ ∀ i ∉ I, ∃ a, a ≠ 0 ∧ a • v i ∈ span R (v '' I)

Tactic:
intro i hi

Result:
case right
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
v : ι → M
I : Set ι
hIlinind : LinearIndepOn R v I
hImaximal : ∀ (t : Set ι), I ⊆ t → LinearIndepOn R v t → I = t
i : ι
hi : i ∉ I
⊢ ∃ a, a ≠ 0 ∧ a • v i ∈ span R (v '' I)

Proof state:
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
v : ι → M
I : Set ι
hIlinind : LinearIndepOn R v I
i : ι
hi : i ∉ I
J : Set ι := I ∪ {i}
hImaximal : LinearIndepOn R v J → I = J
hJ : J = I ∪ {i}
memJ : ∀ {x : ι}, x ∈ J ↔ x = i ∨ x ∈ I
hiJ : i ∈ J
⊢ ?m.191108

Tactic:
refine mt hImaximal ?_

Result:
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
v : ι → M
I : Set ι
hIlinind : LinearIndepOn R v I
i : ι
hi : i ∉ I
J : Set ι := I ∪ {i}
hImaximal : LinearIndepOn R v J → I = J
hJ : J = I ∪ {i}
memJ : ∀ {x : ι}, x ∈ J ↔ x = i ∨ x ∈ I
hiJ : i ∈ J
⊢ ¬I = J

Proof state:
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
v : ι → M
I : Set ι
i : ι
hi : i ∉ I
J : Set ι := I ∪ {i}
hImaximal : LinearIndepOn R v J → I = J
hJ : J = I ∪ {i}
memJ : ∀ {x : ι}, x ∈ J ↔ x = i ∨ x ∈ I
hiJ : i ∈ J
h : ¬LinearIndepOn R v J
f : ι →₀ R
sum_f : ∑ i ∈ f.support, f i • v i = 0
f_ne : f ≠ 0
hIlinind : ¬f i ≠ 0
supp_f : ↑f.support ⊆ I ∪ {i}
x : ι
hx : x ∈ ↑f.support
⊢ x ∈ I

Tactic:
refine (memJ.mp (supp_f hx)).resolve_left ?_

Result:
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
v : ι → M
I : Set ι
i : ι
hi : i ∉ I
J : Set ι := I ∪ {i}
hImaximal : LinearIndepOn R v J → I = J
hJ : J = I ∪ {i}
memJ : ∀ {x : ι}, x ∈ J ↔ x = i ∨ x ∈ I
hiJ : i ∈ J
h : ¬LinearIndepOn R v J
f : ι →₀ R
sum_f : ∑ i ∈ f.support, f i • v i = 0
f_ne : f ≠ 0
hIlinind : ¬f i ≠ 0
supp_f : ↑f.support ⊆ I ∪ {i}
x : ι
hx : x ∈ ↑f.support
⊢ ¬x = i

Proof state:
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
v : ι → M
I : Set ι
hIlinind : LinearIndepOn R v I
i : ι
hi : i ∉ I
J : Set ι := I ∪ {i}
hImaximal : LinearIndepOn R v J → I = J
hJ : J = I ∪ {i}
memJ : ∀ {x : ι}, x ∈ J ↔ x = i ∨ x ∈ I
⊢ i ∈ J

Tactic:
simp [J]

Result:
no goals

Proof state:
case right
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
v : ι → M
I : Set ι
hIlinind : LinearIndepOn R v I
i : ι
hi : i ∉ I
J : Set ι := I ∪ {i}
hImaximal : LinearIndepOn R v J → I = J
hJ : J = I ∪ {i}
memJ : ∀ {x : ι}, x ∈ J ↔ x = i ∨ x ∈ I
hiJ : i ∈ J
h : ¬LinearIndepOn R v J
f : ι →₀ R
supp_f : f ∈ Finsupp.supported R R J
sum_f : ∑ i ∈ f.support, f i • v i = 0
f_ne : f ≠ 0
hfi : f i ≠ 0
⊢ f i • v i ∈ span R (v '' I)

Tactic:
have hfi' : i ∈ f.support := Finsupp.mem_support_iff.mpr hfi

Result:
case right
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
v : ι → M
I : Set ι
hIlinind : LinearIndepOn R v I
i : ι
hi : i ∉ I
J : Set ι := I ∪ {i}
hImaximal : LinearIndepOn R v J → I = J
hJ : J = I ∪ {i}
memJ : ∀ {x : ι}, x ∈ J ↔ x = i ∨ x ∈ I
hiJ : i ∈ J
h : ¬LinearIndepOn R v J
f : ι →₀ R
supp_f : f ∈ Finsupp.supported R R J
sum_f : ∑ i ∈ f.support, f i • v i = 0
f_ne : f ≠ 0
hfi : f i ≠ 0
hfi' : i ∈ f.support
⊢ f i • v i ∈ span R (v '' I)

Proof state:
case right
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
v : ι → M
I : Set ι
hIlinind : LinearIndepOn R v I
i : ι
hi : i ∉ I
J : Set ι := I ∪ {i}
hImaximal : LinearIndepOn R v J → I = J
hJ : J = I ∪ {i}
memJ : ∀ {x : ι}, x ∈ J ↔ x = i ∨ x ∈ I
hiJ : i ∈ J
h : ¬LinearIndepOn R v J
f : ι →₀ R
supp_f : f ∈ Finsupp.supported R R J
sum_f : f i • v i = -∑ x ∈ f.support.erase i, f x • v x
f_ne : f ≠ 0
hfi : f i ≠ 0
hfi' : i ∈ f.support
⊢ -∑ x ∈ f.support.erase i, f x • v x ∈ span R (v '' I)

Tactic:
refine neg_mem (sum_mem fun c hc => smul_mem _ _ (subset_span ⟨c, ?_, rfl⟩))

Result:
case right
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝² : Ring R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
v : ι → M
I : Set ι
hIlinind : LinearIndepOn R v I
i : ι
hi : i ∉ I
J : Set ι := I ∪ {i}
hImaximal : LinearIndepOn R v J → I = J
hJ : J = I ∪ {i}
memJ : ∀ {x : ι}, x ∈ J ↔ x = i ∨ x ∈ I
hiJ : i ∈ J
h : ¬LinearIndepOn R v J
f : ι →₀ R
supp_f : f ∈ Finsupp.supported R R J
sum_f : f i • v i = -∑ x ∈ f.support.erase i, f x • v x
f_ne : f ≠ 0
hfi : f i ≠ 0
hfi' : i ∈ f.support
c : ι
hc : c ∈ f.support.erase i
⊢ c ∈ I