-- Mathlib/Topology/Category/CompHaus/Basic.lean
theorem epi_iff_surjective {X Y : CompHaus.{u}} (f : X ⟶ Y) : Epi f ↔ Function.Surjective f

Proof state:
case mp.intro.intro.intro.intro
X Y : CompHaus
f : X ⟶ Y
y : ↑Y.toTop
hy : ∀ (a : ↑X.toTop), (ConcreteCategory.hom f) a ≠ y
hf : Epi f
C : Set ((fun X => ↑X.toTop) Y) := Set.range ⇑(ConcreteCategory.hom f)
hC : IsClosed C
D : Set ↑Y.toTop := {y}
hD : IsClosed D
hCD : Disjoint C D
φ : C((fun X => ↑X.toTop) Y, ℝ)
hφ0 : Set.EqOn (⇑φ) 0 C
hφ1 : Set.EqOn (⇑φ) 1 D
hφ01 : ∀ (x : (fun X => ↑X.toTop) Y), φ x ∈ Set.Icc 0 1
this✝ : CompactSpace (ULift.{u, 0} ↑(Set.Icc 0 1))
this : T2Space (ULift.{u, 0} ↑(Set.Icc 0 1))
Z : CompHaus := of (ULift.{u, 0} ↑(Set.Icc 0 1))
g : Y ⟶ Z := ofHom (fun x => True) { toFun := fun y' => { down := ⟨φ y', ⋯⟩ }, continuous_toFun := ⋯ }
⊢ False

Tactic:
let h : Y ⟶ Z := ofHom _
  ⟨fun _ => ⟨⟨0, Set.left_mem_Icc.mpr zero_le_one⟩⟩, continuous_const⟩

Result:
case mp.intro.intro.intro.intro
X Y : CompHaus
f : X ⟶ Y
y : ↑Y.toTop
hy : ∀ (a : ↑X.toTop), (ConcreteCategory.hom f) a ≠ y
hf : Epi f
C : Set ((fun X => ↑X.toTop) Y) := Set.range ⇑(ConcreteCategory.hom f)
hC : IsClosed C
D : Set ↑Y.toTop := {y}
hD : IsClosed D
hCD : Disjoint C D
φ : C((fun X => ↑X.toTop) Y, ℝ)
hφ0 : Set.EqOn (⇑φ) 0 C
hφ1 : Set.EqOn (⇑φ) 1 D
hφ01 : ∀ (x : (fun X => ↑X.toTop) Y), φ x ∈ Set.Icc 0 1
this✝ : CompactSpace (ULift.{u, 0} ↑(Set.Icc 0 1))
this : T2Space (ULift.{u, 0} ↑(Set.Icc 0 1))
Z : CompHaus := of (ULift.{u, 0} ↑(Set.Icc 0 1))
g : Y ⟶ Z := ofHom (fun x => True) { toFun := fun y' => { down := ⟨φ y', ⋯⟩ }, continuous_toFun := ⋯ }
h : Y ⟶ Z := ofHom (fun x => True) { toFun := fun x => { down := ⟨0, ⋯⟩ }, continuous_toFun := ⋯ }
⊢ False

Proof state:
case mp.intro
X Y : CompHaus
f : X ⟶ Y
y : ↑Y.toTop
hy : ∀ (a : ↑X.toTop), (ConcreteCategory.hom f) a ≠ y
hf : Epi f
C : Set ((fun X => ↑X.toTop) Y) := Set.range ⇑(ConcreteCategory.hom f)
hC : IsClosed C
D : Set ↑Y.toTop := {y}
hD : IsClosed D
hCD : Disjoint C D
⊢ False

Tactic:
obtain ⟨φ, hφ0, hφ1, hφ01⟩ := exists_continuous_zero_one_of_isClosed hC hD hCD

Result:
case mp.intro.intro.intro.intro
X Y : CompHaus
f : X ⟶ Y
y : ↑Y.toTop
hy : ∀ (a : ↑X.toTop), (ConcreteCategory.hom f) a ≠ y
hf : Epi f
C : Set ((fun X => ↑X.toTop) Y) := Set.range ⇑(ConcreteCategory.hom f)
hC : IsClosed C
D : Set ↑Y.toTop := {y}
hD : IsClosed D
hCD : Disjoint C D
φ : C((fun X => ↑X.toTop) Y, ℝ)
hφ0 : Set.EqOn (⇑φ) 0 C
hφ1 : Set.EqOn (⇑φ) 1 D
hφ01 : ∀ (x : (fun X => ↑X.toTop) Y), φ x ∈ Set.Icc 0 1
⊢ False

Proof state:
X Y : CompHaus
f : X ⟶ Y
y : ↑Y.toTop
hy : ∀ (a : ↑X.toTop), (ConcreteCategory.hom f) a ≠ y
hf : Epi f
C : Set ((fun X => ↑X.toTop) Y) := Set.range ⇑(ConcreteCategory.hom f)
hC : IsClosed C
D : Set ↑Y.toTop := {y}
hD : IsClosed D
hCD : Disjoint C D
φ : C((fun X => ↑X.toTop) Y, ℝ)
hφ0 : Set.EqOn (⇑φ) 0 C
hφ1 : Set.EqOn (⇑φ) 1 D
hφ01 : ∀ (x : (fun X => ↑X.toTop) Y), φ x ∈ Set.Icc 0 1
this✝ : CompactSpace (ULift.{u, 0} ↑(Set.Icc 0 1))
this : T2Space (ULift.{u, 0} ↑(Set.Icc 0 1))
Z : CompHaus := of (ULift.{u, 0} ↑(Set.Icc 0 1))
g : Y ⟶ Z := ofHom (fun x => True) { toFun := fun y' => { down := ⟨φ y', ⋯⟩ }, continuous_toFun := ⋯ }
h : Y ⟶ Z := ofHom (fun x => True) { toFun := fun x => { down := ⟨0, ⋯⟩ }, continuous_toFun := ⋯ }
⊢ f ≫ h = f ≫ g

Tactic:
ext x : 4

Result:
case h.h.h.a
X Y : CompHaus
f : X ⟶ Y
y : ↑Y.toTop
hy : ∀ (a : ↑X.toTop), (ConcreteCategory.hom f) a ≠ y
hf : Epi f
C : Set ((fun X => ↑X.toTop) Y) := Set.range ⇑(ConcreteCategory.hom f)
hC : IsClosed C
D : Set ↑Y.toTop := {y}
hD : IsClosed D
hCD : Disjoint C D
φ : C((fun X => ↑X.toTop) Y, ℝ)
hφ0 : Set.EqOn (⇑φ) 0 C
hφ1 : Set.EqOn (⇑φ) 1 D
hφ01 : ∀ (x : (fun X => ↑X.toTop) Y), φ x ∈ Set.Icc 0 1
this✝ : CompactSpace (ULift.{u, 0} ↑(Set.Icc 0 1))
this : T2Space (ULift.{u, 0} ↑(Set.Icc 0 1))
Z : CompHaus := of (ULift.{u, 0} ↑(Set.Icc 0 1))
g : Y ⟶ Z := ofHom (fun x => True) { toFun := fun y' => { down := ⟨φ y', ⋯⟩ }, continuous_toFun := ⋯ }
h : Y ⟶ Z := ofHom (fun x => True) { toFun := fun x => { down := ⟨0, ⋯⟩ }, continuous_toFun := ⋯ }
x : ↑X.toTop
⊢ ↑((ConcreteCategory.hom (f ≫ h)) x).down = ↑((ConcreteCategory.hom (f ≫ g)) x).down

Proof state:
case mp.intro.intro.intro.intro
X Y : CompHaus
f : X ⟶ Y
y : ↑Y.toTop
hy : ∀ (a : ↑X.toTop), (ConcreteCategory.hom f) a ≠ y
hf : Epi f
C : Set ((fun X => ↑X.toTop) Y) := Set.range ⇑(ConcreteCategory.hom f)
hC : IsClosed C
D : Set ↑Y.toTop := {y}
hD : IsClosed D
hCD : Disjoint C D
φ : C((fun X => ↑X.toTop) Y, ℝ)
hφ0 : Set.EqOn (⇑φ) 0 C
hφ1 : Set.EqOn (⇑φ) 1 D
hφ01 : ∀ (x : (fun X => ↑X.toTop) Y), φ x ∈ Set.Icc 0 1
this✝ : CompactSpace (ULift.{u, 0} ↑(Set.Icc 0 1))
this : T2Space (ULift.{u, 0} ↑(Set.Icc 0 1))
Z : CompHaus := of (ULift.{u, 0} ↑(Set.Icc 0 1))
⊢ False

Tactic:
let g : Y ⟶ Z := ofHom _
  ⟨fun y' => ⟨⟨φ y', hφ01 y'⟩⟩,
    continuous_uliftUp.comp (φ.continuous.subtype_mk fun y' => hφ01 y')⟩

Result:
case mp.intro.intro.intro.intro
X Y : CompHaus
f : X ⟶ Y
y : ↑Y.toTop
hy : ∀ (a : ↑X.toTop), (ConcreteCategory.hom f) a ≠ y
hf : Epi f
C : Set ((fun X => ↑X.toTop) Y) := Set.range ⇑(ConcreteCategory.hom f)
hC : IsClosed C
D : Set ↑Y.toTop := {y}
hD : IsClosed D
hCD : Disjoint C D
φ : C((fun X => ↑X.toTop) Y, ℝ)
hφ0 : Set.EqOn (⇑φ) 0 C
hφ1 : Set.EqOn (⇑φ) 1 D
hφ01 : ∀ (x : (fun X => ↑X.toTop) Y), φ x ∈ Set.Icc 0 1
this✝ : CompactSpace (ULift.{u, 0} ↑(Set.Icc 0 1))
this : T2Space (ULift.{u, 0} ↑(Set.Icc 0 1))
Z : CompHaus := of (ULift.{u, 0} ↑(Set.Icc 0 1))
g : Y ⟶ Z := ofHom (fun x => True) { toFun := fun y' => { down := ⟨φ y', ⋯⟩ }, continuous_toFun := ⋯ }
⊢ False

Proof state:
case mp.intro
X Y : CompHaus
f : X ⟶ Y
y : ↑Y.toTop
hy : ∀ (a : ↑X.toTop), (ConcreteCategory.hom f) a ≠ y
hf : Epi f
C : Set ((fun X => ↑X.toTop) Y) := Set.range ⇑(ConcreteCategory.hom f)
⊢ False

Tactic:
have hC : IsClosed C := (isCompact_range f.hom.continuous).isClosed

Result:
case mp.intro
X Y : CompHaus
f : X ⟶ Y
y : ↑Y.toTop
hy : ∀ (a : ↑X.toTop), (ConcreteCategory.hom f) a ≠ y
hf : Epi f
C : Set ((fun X => ↑X.toTop) Y) := Set.range ⇑(ConcreteCategory.hom f)
hC : IsClosed C
⊢ False

Proof state:
case mp.intro
X Y : CompHaus
f : X ⟶ Y
y : ↑Y.toTop
hy : ∀ (a : ↑X.toTop), (ConcreteCategory.hom f) a ≠ y
hf : Epi f
⊢ False

Tactic:
let C := Set.range f

Result:
case mp.intro
X Y : CompHaus
f : X ⟶ Y
y : ↑Y.toTop
hy : ∀ (a : ↑X.toTop), (ConcreteCategory.hom f) a ≠ y
hf : Epi f
C : Set ((fun X => ↑X.toTop) Y) := Set.range ⇑(ConcreteCategory.hom f)
⊢ False

Proof state:
X Y : CompHaus
f : X ⟶ Y
y : ↑Y.toTop
hy : ∀ (a : ↑X.toTop), (ConcreteCategory.hom f) a ≠ y
hf : Epi f
C : Set ((fun X => ↑X.toTop) Y) := Set.range ⇑(ConcreteCategory.hom f)
hC : IsClosed C
D : Set ↑Y.toTop := {y}
hD : IsClosed D
⊢ Disjoint C D

Tactic:
rw [Set.disjoint_singleton_right]

Result:
X Y : CompHaus
f : X ⟶ Y
y : ↑Y.toTop
hy : ∀ (a : ↑X.toTop), (ConcreteCategory.hom f) a ≠ y
hf : Epi f
C : Set ((fun X => ↑X.toTop) Y) := Set.range ⇑(ConcreteCategory.hom f)
hC : IsClosed C
D : Set ↑Y.toTop := {y}
hD : IsClosed D
⊢ y ∉ C

Proof state:
X Y : CompHaus
f : X ⟶ Y
y : ↑Y.toTop
hy : ∀ (a : ↑X.toTop), (ConcreteCategory.hom f) a ≠ y
hf : Epi f
C : Set ((fun X => ↑X.toTop) Y) := Set.range ⇑(ConcreteCategory.hom f)
hC : IsClosed C
D : Set ↑Y.toTop := {y}
hD : IsClosed D
⊢ y ∉ C

Tactic:
rintro ⟨y', hy'⟩

Result:
case intro
X Y : CompHaus
f : X ⟶ Y
y : ↑Y.toTop
hy : ∀ (a : ↑X.toTop), (ConcreteCategory.hom f) a ≠ y
hf : Epi f
C : Set ((fun X => ↑X.toTop) Y) := Set.range ⇑(ConcreteCategory.hom f)
hC : IsClosed C
D : Set ↑Y.toTop := {y}
hD : IsClosed D
y' : (fun X => ↑X.toTop) X
hy' : (ConcreteCategory.hom f) y' = y
⊢ False