-- Mathlib/CategoryTheory/Triangulated/Adjunction.lean
/--
The right adjoint of a triangulated functor is triangulated.
-/
lemma isTriangulated_rightAdjoint [F.IsTriangulated] : G.IsTriangulated where
  map_distinguished T hT

Proof state:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹⁴ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝¹³ : HasZeroObject C
inst✝¹² : HasZeroObject D
inst✝¹¹ : Preadditive C
inst✝¹⁰ : Preadditive D
inst✝⁹ : HasShift C ℤ
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated C
inst✝⁴ : Pretriangulated D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
inst✝³ : F.CommShift ℤ
inst✝² : G.CommShift ℤ
inst✝¹ : adj.CommShift ℤ
inst✝ : F.IsTriangulated
T : Triangle D
hT : T ∈ distinguishedTriangles
this✝ : G.Additive
Z : C
f : G.obj T.obj₂ ⟶ Z
g : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj (G.obj T.obj₁)
mem : Triangle.mk (G.map T.mor₁) f g ∈ distinguishedTriangles
h : F.obj Z ⟶ T.obj₃
h₁ : F.map f ≫ h = adj.counit.app T.obj₂ ≫ T.mor₂
h₂ : F.map g ≫ (F.commShiftIso 1).hom.app (G.obj T.obj₁) ≫ (shiftFunctor D 1).map (adj.counit.app T.obj₁) = h ≫ T.mor₃
h₁' : f ≫ adj.unit.app Z ≫ G.map h = G.map T.mor₂
h₂' : g ≫ (G.commShiftIso 1).inv.app T.obj₁ = (adj.homEquiv Z T.obj₃) h ≫ G.map T.mor₃
this : Mono ((adj.homEquiv Z T.obj₃) h)
Y : C
φ : Y ⟶ G.obj T.obj₃
ψ : Y ⟶ Z
hψ : φ ≫ G.map T.mor₃ ≫ (G.commShiftIso 1).hom.app T.obj₁ = ψ ≫ g
α : Y ⟶ G.obj T.obj₃
hα : α = φ - ψ ≫ (adj.homEquiv Z T.obj₃) h
⊢ α ≫ G.map T.mor₃ = 0

Tactic:
rw [hα, sub_comp, ← cancel_mono ((Functor.commShiftIso G (1 : ℤ)).hom.app T.obj₁),
  assoc, sub_comp, assoc, assoc, hψ, zero_comp, sub_eq_zero,
  ← cancel_mono ((Functor.commShiftIso G (1 : ℤ)).inv.app T.obj₁), assoc,
  assoc, assoc, assoc, h₂', Iso.hom_inv_id_app, comp_id]

Result:
no goals

Proof state:
case intro
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹⁴ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝¹³ : HasZeroObject C
inst✝¹² : HasZeroObject D
inst✝¹¹ : Preadditive C
inst✝¹⁰ : Preadditive D
inst✝⁹ : HasShift C ℤ
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated C
inst✝⁴ : Pretriangulated D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
inst✝³ : F.CommShift ℤ
inst✝² : G.CommShift ℤ
inst✝¹ : adj.CommShift ℤ
inst✝ : F.IsTriangulated
T : Triangle D
hT : T ∈ distinguishedTriangles
this✝ : G.Additive
Z : C
f : G.obj T.obj₂ ⟶ Z
g : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj (G.obj T.obj₁)
mem : Triangle.mk (G.map T.mor₁) f g ∈ distinguishedTriangles
h : F.obj Z ⟶ T.obj₃
h₁ : F.map f ≫ h = adj.counit.app T.obj₂ ≫ T.mor₂
h₂ : F.map g ≫ (F.commShiftIso 1).hom.app (G.obj T.obj₁) ≫ (shiftFunctor D 1).map (adj.counit.app T.obj₁) = h ≫ T.mor₃
h₁' : f ≫ adj.unit.app Z ≫ G.map h = G.map T.mor₂
h₂' : g ≫ (G.commShiftIso 1).inv.app T.obj₁ = (adj.homEquiv Z T.obj₃) h ≫ G.map T.mor₃
this : Mono ((adj.homEquiv Z T.obj₃) h)
Y : C
φ : Y ⟶ G.obj T.obj₃
ψ : Y ⟶ Z
hψ : φ ≫ G.map T.mor₃ ≫ (G.commShiftIso 1).hom.app T.obj₁ = ψ ≫ g
α : Y ⟶ G.obj T.obj₃
hα : α = φ - ψ ≫ (adj.homEquiv Z T.obj₃) h
hα₀ : α ≫ G.map T.mor₃ = 0
β : Y ⟶ Z
hβ : β ≫ (adj.homEquiv Z T.obj₃) h = α
⊢ ∃ a, (fun x => x ≫ (adj.homEquiv Z T.obj₃) h) a = φ

Tactic:
refine ⟨ψ + β, ?_⟩

Result:
case intro
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹⁴ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝¹³ : HasZeroObject C
inst✝¹² : HasZeroObject D
inst✝¹¹ : Preadditive C
inst✝¹⁰ : Preadditive D
inst✝⁹ : HasShift C ℤ
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated C
inst✝⁴ : Pretriangulated D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
inst✝³ : F.CommShift ℤ
inst✝² : G.CommShift ℤ
inst✝¹ : adj.CommShift ℤ
inst✝ : F.IsTriangulated
T : Triangle D
hT : T ∈ distinguishedTriangles
this✝ : G.Additive
Z : C
f : G.obj T.obj₂ ⟶ Z
g : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj (G.obj T.obj₁)
mem : Triangle.mk (G.map T.mor₁) f g ∈ distinguishedTriangles
h : F.obj Z ⟶ T.obj₃
h₁ : F.map f ≫ h = adj.counit.app T.obj₂ ≫ T.mor₂
h₂ : F.map g ≫ (F.commShiftIso 1).hom.app (G.obj T.obj₁) ≫ (shiftFunctor D 1).map (adj.counit.app T.obj₁) = h ≫ T.mor₃
h₁' : f ≫ adj.unit.app Z ≫ G.map h = G.map T.mor₂
h₂' : g ≫ (G.commShiftIso 1).inv.app T.obj₁ = (adj.homEquiv Z T.obj₃) h ≫ G.map T.mor₃
this : Mono ((adj.homEquiv Z T.obj₃) h)
Y : C
φ : Y ⟶ G.obj T.obj₃
ψ : Y ⟶ Z
hψ : φ ≫ G.map T.mor₃ ≫ (G.commShiftIso 1).hom.app T.obj₁ = ψ ≫ g
α : Y ⟶ G.obj T.obj₃
hα : α = φ - ψ ≫ (adj.homEquiv Z T.obj₃) h
hα₀ : α ≫ G.map T.mor₃ = 0
β : Y ⟶ Z
hβ : β ≫ (adj.homEquiv Z T.obj₃) h = α
⊢ (fun x => x ≫ (adj.homEquiv Z T.obj₃) h) (ψ + β) = φ

Proof state:
case intro.intro
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹⁴ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝¹³ : HasZeroObject C
inst✝¹² : HasZeroObject D
inst✝¹¹ : Preadditive C
inst✝¹⁰ : Preadditive D
inst✝⁹ : HasShift C ℤ
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated C
inst✝⁴ : Pretriangulated D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
inst✝³ : F.CommShift ℤ
inst✝² : G.CommShift ℤ
inst✝¹ : adj.CommShift ℤ
inst✝ : F.IsTriangulated
T : Triangle D
hT : T ∈ distinguishedTriangles
this : G.Additive
Z : C
f : G.obj T.obj₂ ⟶ Z
g : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj (G.obj T.obj₁)
mem : Triangle.mk (G.map T.mor₁) f g ∈ distinguishedTriangles
h : F.obj Z ⟶ T.obj₃
h₁ : F.map f ≫ h = adj.counit.app T.obj₂ ≫ T.mor₂
h₂ : F.map g ≫ (F.commShiftIso 1).hom.app (G.obj T.obj₁) ≫ (shiftFunctor D 1).map (adj.counit.app T.obj₁) = h ≫ T.mor₃
h₁' : f ≫ adj.unit.app Z ≫ G.map h = G.map T.mor₂
h₂' : g ≫ (G.commShiftIso 1).inv.app T.obj₁ = (adj.homEquiv Z T.obj₃) h ≫ G.map T.mor₃
P✝ : C
ψ : P✝ ⟶ G.obj T.obj₂
hφ : (ψ ≫ f) ≫ (adj.homEquiv Z T.obj₃) h = 0
α : F.obj P✝ ⟶ T.obj₁
hα : (adj.homEquiv P✝ T.obj₂).symm ψ = α ≫ T.mor₁
eq : ψ = adj.unit.app P✝ ≫ G.map α ≫ G.map T.mor₁
⊢ ψ ≫ f = 0

Tactic:
have eq' := comp_distTriang_mor_zero₁₂ _ mem

Result:
case intro.intro
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹⁵ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹⁴ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝¹³ : HasZeroObject C
inst✝¹² : HasZeroObject D
inst✝¹¹ : Preadditive C
inst✝¹⁰ : Preadditive D
inst✝⁹ : HasShift C ℤ
inst✝⁸ : HasShift D ℤ
inst✝⁷ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive
inst✝⁵ : Pretriangulated C
inst✝⁴ : Pretriangulated D
F : C ⥤ D
G : D ⥤ C
adj : F ⊣ G
inst✝³ : F.CommShift ℤ
inst✝² : G.CommShift ℤ
inst✝¹ : adj.CommShift ℤ
inst✝ : F.IsTriangulated
T : Triangle D
hT : T ∈ distinguishedTriangles
this : G.Additive
Z : C
f : G.obj T.obj₂ ⟶ Z
g : Z ⟶ (shiftFunctor C 1).obj (G.obj T.obj₁)
mem : Triangle.mk (G.map T.mor₁) f g ∈ distinguishedTriangles
h : F.obj Z ⟶ T.obj₃
h₁ : F.map f ≫ h = adj.counit.app T.obj₂ ≫ T.mor₂
h₂ : F.map g ≫ (F.commShiftIso 1).hom.app (G.obj T.obj₁) ≫ (shiftFunctor D 1).map (adj.counit.app T.obj₁) = h ≫ T.mor₃
h₁' : f ≫ adj.unit.app Z ≫ G.map h = G.map T.mor₂
h₂' : g ≫ (G.commShiftIso 1).inv.app T.obj₁ = (adj.homEquiv Z T.obj₃) h ≫ G.map T.mor₃
P✝ : C
ψ : P✝ ⟶ G.obj T.obj₂
hφ : (ψ ≫ f) ≫ (adj.homEquiv Z T.obj₃) h = 0
α : F.obj P✝ ⟶ T.obj₁
hα : (adj.homEquiv P✝ T.obj₂).symm ψ = α ≫ T.mor₁
eq : ψ = adj.unit.app P✝ ≫ G.map α ≫ G.map T.mor₁
eq' : (Triangle.mk (G.map T.mor₁) f g).mor₁ ≫ (Triangle.mk (G.map T.mor₁) f g).mor₂ = 0
⊢ ψ ≫ f = 0