-- Mathlib/Algebra/Order/Rearrangement.lean
theorem MonovaryOn.sum_smul_comp_perm_le_sum_smul (hfg : MonovaryOn f g s)
    (hσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ s) : ∑ i ∈ s, f i • g (σ i) ≤ ∑ i ∈ s, f i • g i

Proof state:
case step.inr
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedSemiring α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : LinearOrderedCancelAddCommMonoid β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulMono α β
s✝ : Finset ι
f : ι → α
g : ι → β
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
hamax : ∀ x ∈ s, toLex (g x, f x) ≤ toLex (g a, f a)
σ : Perm ι
hfg : MonovaryOn f g ↑(insert a s)
hσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑(insert a s)
τ : Perm ι := Equiv.trans σ (Equiv.swap a (σ a))
hτ : τ = Equiv.trans σ (Equiv.swap a (σ a))
hτs : {x | τ x ≠ x} ⊆ ↑s
hind : ∑ i ∈ s, f i • g (τ i) ≤ ∑ i ∈ s, f i • g i
hσa : a ≠ σ a
h1s : σ⁻¹ a ∈ s
⊢ f a • g (σ a) + f (σ⁻¹ a) • g (σ (σ⁻¹ a)) + ∑ i ∈ s.erase (σ⁻¹ a), f i • g (σ i) ≤
    f a • g a + f (σ⁻¹ a) • g (τ (σ⁻¹ a)) + ∑ i ∈ s.erase (σ⁻¹ a), f i • g (τ i)

Tactic:
simp only [hτ, swap_apply_left, Function.comp_apply, Equiv.coe_trans, apply_inv_self]

Result:
case step.inr
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedSemiring α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : LinearOrderedCancelAddCommMonoid β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulMono α β
s✝ : Finset ι
f : ι → α
g : ι → β
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
hamax : ∀ x ∈ s, toLex (g x, f x) ≤ toLex (g a, f a)
σ : Perm ι
hfg : MonovaryOn f g ↑(insert a s)
hσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑(insert a s)
τ : Perm ι := Equiv.trans σ (Equiv.swap a (σ a))
hτ : τ = Equiv.trans σ (Equiv.swap a (σ a))
hτs : {x | τ x ≠ x} ⊆ ↑s
hind : ∑ i ∈ s, f i • g (τ i) ≤ ∑ i ∈ s, f i • g i
hσa : a ≠ σ a
h1s : σ⁻¹ a ∈ s
⊢ f a • g (σ a) + f (σ⁻¹ a) • g a + ∑ i ∈ s.erase (σ⁻¹ a), f i • g (σ i) ≤
    f a • g a + f (σ⁻¹ a) • g (σ a) + ∑ x ∈ s.erase (σ⁻¹ a), f x • g ((Equiv.swap a (σ a)) (σ x))

Proof state:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedSemiring α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : LinearOrderedCancelAddCommMonoid β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulMono α β
s✝ : Finset ι
f : ι → α
g : ι → β
s : Finset ι
σ : Perm ι
x : ι
has : x ∉ s
hamax : ∀ x_1 ∈ s, toLex (g x_1, f x_1) ≤ toLex (g x, f x)
hfg : MonovaryOn f g ↑(insert x s)
hσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑(insert x s)
τ : Perm ι := Equiv.trans σ (Equiv.swap x (σ x))
hτ : τ = Equiv.trans σ (Equiv.swap x (σ x))
hτs : {x | τ x ≠ x} ⊆ ↑s
hind : ∑ i ∈ s, f i • g (τ i) ≤ ∑ i ∈ s, f i • g i
hσa : x ≠ σ x
h1s : σ⁻¹ x ∈ s
hx : ¬σ x = x ∧ x ∈ s
⊢ False

Tactic:
exact has hx.2

Result:
no goals

Proof state:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedSemiring α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : LinearOrderedCancelAddCommMonoid β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulMono α β
s✝ : Finset ι
f : ι → α
g : ι → β
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
hamax : ∀ x ∈ s, toLex (g x, f x) ≤ toLex (g a, f a)
σ : Perm ι
hfg : MonovaryOn f g ↑(insert a s)
hσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑(insert a s)
τ : Perm ι := Equiv.trans σ (Equiv.swap a (σ a))
hτ : τ = Equiv.trans σ (Equiv.swap a (σ a))
hτs : {x | τ x ≠ x} ⊆ ↑s
hind : ∑ i ∈ s, f i • g (τ i) ≤ ∑ i ∈ s, f i • g i
hσa : ¬σ⁻¹ a = a
⊢ σ⁻¹ a ∈ s

Tactic:
refine mem_of_mem_insert_of_ne (hσ fun h ↦ hσa ?_) hσa

Result:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedSemiring α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : LinearOrderedCancelAddCommMonoid β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulMono α β
s✝ : Finset ι
f : ι → α
g : ι → β
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
hamax : ∀ x ∈ s, toLex (g x, f x) ≤ toLex (g a, f a)
σ : Perm ι
hfg : MonovaryOn f g ↑(insert a s)
hσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑(insert a s)
τ : Perm ι := Equiv.trans σ (Equiv.swap a (σ a))
hτ : τ = Equiv.trans σ (Equiv.swap a (σ a))
hτs : {x | τ x ≠ x} ⊆ ↑s
hind : ∑ i ∈ s, f i • g (τ i) ≤ ∑ i ∈ s, f i • g i
hσa : ¬σ⁻¹ a = a
h : σ (σ⁻¹ a) = σ⁻¹ a
⊢ σ⁻¹ a = a

Proof state:
case pos.inl
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedSemiring α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : LinearOrderedCancelAddCommMonoid β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulMono α β
s✝ : Finset ι
f : ι → α
g : ι → β
s : Finset ι
hind : ∀ {σ : Perm ι}, MonovaryOn f g ↑s → {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s → ∑ i ∈ s, f i • g (σ i) ≤ ∑ i ∈ s, f i • g i
σ : Perm ι
x : ι
has : x ∉ s
hamax : ∀ x_1 ∈ s, toLex (g x_1, f x_1) ≤ toLex (g x, f x)
hfg : MonovaryOn f g ↑(insert x s)
hσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑(insert x s)
τ : Perm ι := Equiv.trans σ (Equiv.swap x (σ x))
hτ : τ = Equiv.trans σ (Equiv.swap x (σ x))
h₁ : σ x = x
hx : ¬σ x = x
⊢ x ∈ ↑s

Tactic:
contradiction

Result:
no goals

Proof state:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedSemiring α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : LinearOrderedCancelAddCommMonoid β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulMono α β
s✝ : Finset ι
f : ι → α
g : ι → β
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
hamax : ∀ x ∈ s, toLex (g x, f x) ≤ toLex (g a, f a)
hind : ∀ {σ : Perm ι}, MonovaryOn f g ↑s → {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s → ∑ i ∈ s, f i • g (σ i) ≤ ∑ i ∈ s, f i • g i
σ : Perm ι
hfg : MonovaryOn f g ↑(insert a s)
hσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑(insert a s)
τ : Perm ι := Equiv.trans σ (Equiv.swap a (σ a))
hτ : τ = Equiv.trans σ (Equiv.swap a (σ a))
x : ι
hx : ¬(if σ x = a then σ a else if σ x = σ a then a else σ x) = x
⊢ x ∈ ↑s

Tactic:
split_ifs at hx with h₁ h₂

Result:
case pos
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedSemiring α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : LinearOrderedCancelAddCommMonoid β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulMono α β
s✝ : Finset ι
f : ι → α
g : ι → β
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
hamax : ∀ x ∈ s, toLex (g x, f x) ≤ toLex (g a, f a)
hind : ∀ {σ : Perm ι}, MonovaryOn f g ↑s → {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s → ∑ i ∈ s, f i • g (σ i) ≤ ∑ i ∈ s, f i • g i
σ : Perm ι
hfg : MonovaryOn f g ↑(insert a s)
hσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑(insert a s)
τ : Perm ι := Equiv.trans σ (Equiv.swap a (σ a))
hτ : τ = Equiv.trans σ (Equiv.swap a (σ a))
x : ι
h₁ : σ x = a
hx : ¬σ a = x
⊢ x ∈ ↑s

case pos
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedSemiring α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : LinearOrderedCancelAddCommMonoid β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulMono α β
s✝ : Finset ι
f : ι → α
g : ι → β
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
hamax : ∀ x ∈ s, toLex (g x, f x) ≤ toLex (g a, f a)
hind : ∀ {σ : Perm ι}, MonovaryOn f g ↑s → {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s → ∑ i ∈ s, f i • g (σ i) ≤ ∑ i ∈ s, f i • g i
σ : Perm ι
hfg : MonovaryOn f g ↑(insert a s)
hσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑(insert a s)
τ : Perm ι := Equiv.trans σ (Equiv.swap a (σ a))
hτ : τ = Equiv.trans σ (Equiv.swap a (σ a))
x : ι
h₁ : ¬σ x = a
h₂ : σ x = σ a
hx : ¬a = x
⊢ x ∈ ↑s

case neg
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedSemiring α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : LinearOrderedCancelAddCommMonoid β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulMono α β
s✝ : Finset ι
f : ι → α
g : ι → β
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
hamax : ∀ x ∈ s, toLex (g x, f x) ≤ toLex (g a, f a)
hind : ∀ {σ : Perm ι}, MonovaryOn f g ↑s → {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s → ∑ i ∈ s, f i • g (σ i) ≤ ∑ i ∈ s, f i • g i
σ : Perm ι
hfg : MonovaryOn f g ↑(insert a s)
hσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑(insert a s)
τ : Perm ι := Equiv.trans σ (Equiv.swap a (σ a))
hτ : τ = Equiv.trans σ (Equiv.swap a (σ a))
x : ι
h₁ : ¬σ x = a
h₂ : ¬σ x = σ a
hx : ¬σ x = x
⊢ x ∈ ↑s

Proof state:
case step.inr.refine_2.inl
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : LinearOrderedSemiring α
inst✝³ : ExistsAddOfLE α
inst✝² : LinearOrderedCancelAddCommMonoid β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulMono α β
s✝ : Finset ι
f : ι → α
g : ι → β
a : ι
s : Finset ι
has : a ∉ s
σ : Perm ι
hfg : MonovaryOn f g ↑(insert a s)
hσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑(insert a s)
τ : Perm ι := Equiv.trans σ (Equiv.swap a (σ a))
hτ : τ = Equiv.trans σ (Equiv.swap a (σ a))
hτs : {x | τ x ≠ x} ⊆ ↑s
hind : ∑ i ∈ s, f i • g (τ i) ≤ ∑ i ∈ s, f i • g i
hσa : a ≠ σ a
h1s : σ⁻¹ a ∈ s
hamax : (g (σ a), f (σ a)).1 < (g a, f a).1
⊢ g (σ a) ≤ g a

Tactic:
exact hamax.le

Result:
no goals