-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/RightAngle.lean
theorem angle_add_eq_arcsin_of_inner_eq_zero {x y : V} (h : ⟪x, y⟫ = 0) (h0 : x ≠ 0 ∨ y ≠ 0) :
    angle x (x + y) = Real.arcsin (‖y‖ / ‖x + y‖)

Proof state:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : inner x y = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ y ≠ 0
⊢ ‖x + y‖ ^ 2 ≠ 0

Tactic:
rw [pow_two, norm_add_sq_eq_norm_sq_add_norm_sq_real h, ne_comm]

Result:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : inner x y = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ y ≠ 0
⊢ 0 ≠ ‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖

Proof state:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : inner x y = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ y ≠ 0
hxy : ‖x + y‖ ^ 2 ≠ 0
⊢ angle x (x + y) = Real.arcsin (‖y‖ / ‖x + y‖)

Tactic:
rw [angle_add_eq_arccos_of_inner_eq_zero h,
  Real.arccos_eq_arcsin (div_nonneg (norm_nonneg _) (norm_nonneg _)), div_pow, one_sub_div hxy]

Result:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : inner x y = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ y ≠ 0
hxy : ‖x + y‖ ^ 2 ≠ 0
⊢ Real.arcsin √((‖x + y‖ ^ 2 - ‖x‖ ^ 2) / ‖x + y‖ ^ 2) = Real.arcsin (‖y‖ / ‖x + y‖)

Proof state:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : inner x y = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ y ≠ 0
hxy : ‖x + y‖ ^ 2 ≠ 0
⊢ Real.arcsin √((‖x + y‖ ^ 2 - ‖x‖ ^ 2) / ‖x + y‖ ^ 2) = Real.arcsin (‖y‖ / ‖x + y‖)

Tactic:
nth_rw 1 [pow_two]

Result:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : inner x y = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ y ≠ 0
hxy : ‖x + y‖ ^ 2 ≠ 0
⊢ Real.arcsin √((‖x + y‖ * ‖x + y‖ - ‖x‖ ^ 2) / ‖x + y‖ ^ 2) = Real.arcsin (‖y‖ / ‖x + y‖)

Proof state:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : inner x y = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ y ≠ 0
hxy : ‖x + y‖ ^ 2 ≠ 0
⊢ Real.arcsin √((‖x + y‖ * ‖x + y‖ - ‖x‖ ^ 2) / ‖x + y‖ ^ 2) = Real.arcsin (‖y‖ / ‖x + y‖)

Tactic:
rw [norm_add_sq_eq_norm_sq_add_norm_sq_real h, pow_two, add_sub_cancel_left, ← pow_two, ← div_pow,
  Real.sqrt_sq (div_nonneg (norm_nonneg _) (norm_nonneg _))]

Result:
no goals

Proof state:
case inl
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : inner x y = 0
h0 : x ≠ 0
⊢ 0 < ‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖

Tactic:
exact
  Left.add_pos_of_pos_of_nonneg (mul_self_pos.2 (norm_ne_zero_iff.2 h0)) (mul_self_nonneg _)

Result:
no goals

Proof state:
case inr
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : inner x y = 0
h0 : y ≠ 0
⊢ 0 < ‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖

Tactic:
exact
  Left.add_pos_of_nonneg_of_pos (mul_self_nonneg _) (mul_self_pos.2 (norm_ne_zero_iff.2 h0))

Result:
no goals

Proof state:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : inner x y = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ y ≠ 0
⊢ 0 < ‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖

Tactic:
rcases h0 with (h0 | h0)

Result:
case inl
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : inner x y = 0
h0 : x ≠ 0
⊢ 0 < ‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖

case inr
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : inner x y = 0
h0 : y ≠ 0
⊢ 0 < ‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖

Proof state:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : inner x y = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ y ≠ 0
⊢ 0 ≠ ‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖

Tactic:
refine ne_of_lt ?_

Result:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : inner x y = 0
h0 : x ≠ 0 ∨ y ≠ 0
⊢ 0 < ‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖