-- Mathlib/RingTheory/Kaehler/Basic.lean
theorem Derivation.liftKaehlerDifferential_unique (f f' : Ω[S⁄R] →ₗ[S] M)
    (hf : f.compDer (KaehlerDifferential.D R S) = f'.compDer (KaehlerDifferential.D R S)) :
    f = f'

Proof state:
case h.refine_4
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f f' : Ω[S⁄R] →ₗ[S] M
hf : f.compDer (KaehlerDifferential.D R S) = f'.compDer (KaehlerDifferential.D R S)
x : Ω[S⁄R]
this : x ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(KaehlerDifferential.D R S))
⊢ ∀ (a : S), ∀ x ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(KaehlerDifferential.D R S)), f x = f' x → f (a • x) = f' (a • x)

Tactic:
intro a x _ e

Result:
case h.refine_4
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f f' : Ω[S⁄R] →ₗ[S] M
hf : f.compDer (KaehlerDifferential.D R S) = f'.compDer (KaehlerDifferential.D R S)
x✝ : Ω[S⁄R]
this : x✝ ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(KaehlerDifferential.D R S))
a : S
x : Ω[S⁄R]
hx✝ : x ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(KaehlerDifferential.D R S))
e : f x = f' x
⊢ f (a • x) = f' (a • x)

Proof state:
case h.refine_1.intro
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f f' : Ω[S⁄R] →ₗ[S] M
hf : f.compDer (KaehlerDifferential.D R S) = f'.compDer (KaehlerDifferential.D R S)
x✝ : Ω[S⁄R]
this : x✝ ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(KaehlerDifferential.D R S))
x : S
⊢ f ((KaehlerDifferential.D R S) x) = f' ((KaehlerDifferential.D R S) x)

Tactic:
exact congr_arg (fun D : Derivation R S M => D x) hf

Result:
no goals

Proof state:
case h.refine_3
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f f' : Ω[S⁄R] →ₗ[S] M
hf : f.compDer (KaehlerDifferential.D R S) = f'.compDer (KaehlerDifferential.D R S)
x✝ : Ω[S⁄R]
this : x✝ ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(KaehlerDifferential.D R S))
x y : Ω[S⁄R]
hx✝ : x ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(KaehlerDifferential.D R S))
hy✝ : y ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(KaehlerDifferential.D R S))
hx : f x = f' x
hy : f y = f' y
⊢ f (x + y) = f' (x + y)

Tactic:
rw [map_add, map_add, hx, hy]

Result:
no goals

Proof state:
case h.refine_3
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f f' : Ω[S⁄R] →ₗ[S] M
hf : f.compDer (KaehlerDifferential.D R S) = f'.compDer (KaehlerDifferential.D R S)
x : Ω[S⁄R]
this : x ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(KaehlerDifferential.D R S))
⊢ ∀ (x y : Ω[S⁄R]),
    x ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(KaehlerDifferential.D R S)) →
      y ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(KaehlerDifferential.D R S)) → f x = f' x → f y = f' y → f (x + y) = f' (x + y)

Tactic:
intro x y _ _ hx hy

Result:
case h.refine_3
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f f' : Ω[S⁄R] →ₗ[S] M
hf : f.compDer (KaehlerDifferential.D R S) = f'.compDer (KaehlerDifferential.D R S)
x✝ : Ω[S⁄R]
this : x✝ ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(KaehlerDifferential.D R S))
x y : Ω[S⁄R]
hx✝ : x ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(KaehlerDifferential.D R S))
hy✝ : y ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(KaehlerDifferential.D R S))
hx : f x = f' x
hy : f y = f' y
⊢ f (x + y) = f' (x + y)

Proof state:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f f' : Ω[S⁄R] →ₗ[S] M
hf : f.compDer (KaehlerDifferential.D R S) = f'.compDer (KaehlerDifferential.D R S)
x : Ω[S⁄R]
⊢ x ∈ ⊤

Tactic:
trivial

Result:
no goals

Proof state:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f f' : Ω[S⁄R] →ₗ[S] M
hf : f.compDer (KaehlerDifferential.D R S) = f'.compDer (KaehlerDifferential.D R S)
x : Ω[S⁄R]
⊢ x ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(KaehlerDifferential.D R S))

Tactic:
rw [KaehlerDifferential.span_range_derivation]

Result:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f f' : Ω[S⁄R] →ₗ[S] M
hf : f.compDer (KaehlerDifferential.D R S) = f'.compDer (KaehlerDifferential.D R S)
x : Ω[S⁄R]
⊢ x ∈ ⊤

Proof state:
case h.refine_4
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f f' : Ω[S⁄R] →ₗ[S] M
hf : f.compDer (KaehlerDifferential.D R S) = f'.compDer (KaehlerDifferential.D R S)
x✝ : Ω[S⁄R]
this : x✝ ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(KaehlerDifferential.D R S))
a : S
x : Ω[S⁄R]
hx✝ : x ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(KaehlerDifferential.D R S))
e : f x = f' x
⊢ f (a • x) = f' (a • x)

Tactic:
simp [e]

Result:
no goals

Proof state:
case h
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f f' : Ω[S⁄R] →ₗ[S] M
hf : f.compDer (KaehlerDifferential.D R S) = f'.compDer (KaehlerDifferential.D R S)
x : Ω[S⁄R]
this : x ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(KaehlerDifferential.D R S))
⊢ f x = f' x

Tactic:
refine Submodule.span_induction ?_ ?_ ?_ ?_ this

Result:
case h.refine_1
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f f' : Ω[S⁄R] →ₗ[S] M
hf : f.compDer (KaehlerDifferential.D R S) = f'.compDer (KaehlerDifferential.D R S)
x : Ω[S⁄R]
this : x ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(KaehlerDifferential.D R S))
⊢ ∀ x ∈ Set.range ⇑(KaehlerDifferential.D R S), f x = f' x

case h.refine_2
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f f' : Ω[S⁄R] →ₗ[S] M
hf : f.compDer (KaehlerDifferential.D R S) = f'.compDer (KaehlerDifferential.D R S)
x : Ω[S⁄R]
this : x ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(KaehlerDifferential.D R S))
⊢ f 0 = f' 0

case h.refine_3
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f f' : Ω[S⁄R] →ₗ[S] M
hf : f.compDer (KaehlerDifferential.D R S) = f'.compDer (KaehlerDifferential.D R S)
x : Ω[S⁄R]
this : x ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(KaehlerDifferential.D R S))
⊢ ∀ (x y : Ω[S⁄R]),
    x ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(KaehlerDifferential.D R S)) →
      y ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(KaehlerDifferential.D R S)) → f x = f' x → f y = f' y → f (x + y) = f' (x + y)

case h.refine_4
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
M : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module S M
inst✝ : IsScalarTower R S M
f f' : Ω[S⁄R] →ₗ[S] M
hf : f.compDer (KaehlerDifferential.D R S) = f'.compDer (KaehlerDifferential.D R S)
x : Ω[S⁄R]
this : x ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(KaehlerDifferential.D R S))
⊢ ∀ (a : S), ∀ x ∈ Submodule.span S (Set.range ⇑(KaehlerDifferential.D R S)), f x = f' x → f (a • x) = f' (a • x)