-- Mathlib/Combinatorics/Colex.lean
/-- If `s ≤ t` in colex and `#s ≤ #t`, then `s \ {a} ≤ t \ {min t}` for any `a ∈ s`. -/
lemma erase_le_erase_min' (hst : toColex s ≤ toColex t) (hcard : #s ≤ #t) (ha : a ∈ s) :
    toColex (s.erase a) ≤
      toColex (t.erase <| min' t <| card_pos.1 <| (card_pos.2 ⟨a, ha⟩).trans_le hcard)

Proof state:
case inr.intro.intro.intro.inr.inr.inr
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Finset α
a : α
hcard : #s ≤ #t
ha : a ∈ s
ht : t.Nonempty
m : α := t.min' ht
h' : s ≠ t
w : α
hwt : w ∈ t
hws : w ∉ s
hw : ∀ ⦃a : α⦄, w < a → (a ∈ s ↔ a ∈ t)
haw : a < w
hmw : m < w
b : α
hbs : b ∈ { ofColex := { val := s.val.erase a, nodup := ⋯ } }.ofColex
hbt : b ∉ t
hwb : w ≤ b
⊢ False

Tactic:
exact hbt <| (hw <| hwb.lt_of_ne <| ne_of_mem_of_not_mem hwt hbt).1 <| mem_of_mem_erase hbs

Result:
no goals

Proof state:
case inr.intro.intro.intro.inl
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Finset α
a : α
hcard : #s ≤ #t
ha : a ∈ s
ht : t.Nonempty
m : α := t.min' ht
h' : s ≠ t
w : α
hwt : w ∈ t
hws : w ∉ s
hw : ∀ ⦃a : α⦄, w < a → (a ∈ s ↔ a ∈ t)
hwa : w < a
hma : m < a
b : α
hbs : b ∈ { ofColex := { val := s.val.erase a, nodup := ⋯ } }.ofColex
hbt : b ∉ t.erase m
⊢ b < a

Tactic:
rw [mem_erase, not_and_or, not_ne_iff] at hbt

Result:
case inr.intro.intro.intro.inl
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Finset α
a : α
hcard : #s ≤ #t
ha : a ∈ s
ht : t.Nonempty
m : α := t.min' ht
h' : s ≠ t
w : α
hwt : w ∈ t
hws : w ∉ s
hw : ∀ ⦃a : α⦄, w < a → (a ∈ s ↔ a ∈ t)
hwa : w < a
hma : m < a
b : α
hbs : b ∈ { ofColex := { val := s.val.erase a, nodup := ⋯ } }.ofColex
hbt : b = m ∨ b ∉ t
⊢ b < a

Proof state:
case inr.intro.intro.intro.inr.inr.inr
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Finset α
a : α
hcard : #s ≤ #t
ha : a ∈ s
ht : t.Nonempty
m : α := t.min' ht
h' : s ≠ t
w : α
hwt : w ∈ t
hws : w ∉ s
hw : ∀ ⦃a : α⦄, w < a → (a ∈ s ↔ a ∈ t)
haw : a < w
hmw : m < w
b : α
hbs : b ∈ { ofColex := { val := s.val.erase a, nodup := ⋯ } }.ofColex
hbt : b ∉ t
⊢ b < w

Tactic:
by_contra! hwb

Result:
case inr.intro.intro.intro.inr.inr.inr
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Finset α
a : α
hcard : #s ≤ #t
ha : a ∈ s
ht : t.Nonempty
m : α := t.min' ht
h' : s ≠ t
w : α
hwt : w ∈ t
hws : w ∉ s
hw : ∀ ⦃a : α⦄, w < a → (a ∈ s ↔ a ∈ t)
haw : a < w
hmw : m < w
b : α
hbs : b ∈ { ofColex := { val := s.val.erase a, nodup := ⋯ } }.ofColex
hbt : b ∉ t
hwb : w ≤ b
⊢ False

Proof state:
case inr.intro.intro.intro.inr.inr
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Finset α
a : α
hcard : #s ≤ #t
ha : a ∈ s
ht : t.Nonempty
m : α := t.min' ht
h' : s ≠ t
w : α
hwt : w ∈ t
hws : w ∉ s
hw : ∀ ⦃a : α⦄, w < a → (a ∈ s ↔ a ∈ t)
haw : a < w
hmw : m < w
⊢ { ofColex := s.erase a } ≤ { ofColex := t.erase m }

Tactic:
refine (lt_iff_exists_forall_lt.2 ⟨w, mem_erase.2 ⟨hmw.ne', hwt⟩, mt mem_of_mem_erase hws,
  fun b hbs hbt ↦ ?_⟩).le

Result:
case inr.intro.intro.intro.inr.inr
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Finset α
a : α
hcard : #s ≤ #t
ha : a ∈ s
ht : t.Nonempty
m : α := t.min' ht
h' : s ≠ t
w : α
hwt : w ∈ t
hws : w ∉ s
hw : ∀ ⦃a : α⦄, w < a → (a ∈ s ↔ a ∈ t)
haw : a < w
hmw : m < w
b : α
hbs : b ∈ { ofColex := { val := s.val.erase a, nodup := ⋯ } }.ofColex
hbt : b ∉ { ofColex := { val := t.val.erase m, nodup := ⋯ } }.ofColex
⊢ b < w

Proof state:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Finset α
a : α
hcard : #s ≤ #t
ha : a ∈ s
ht : t.Nonempty
m : α := t.min' ht
h' : s ≠ t
hwt : m ∈ t
hws : m ∉ s
hw : ∀ ⦃a : α⦄, m < a → (a ∈ s ↔ a ∈ t)
haw : a < m
b : α
hb : b ∈ t.erase m
⊢ b ∈ s.erase a

Tactic:
rw [mem_erase] at hb ⊢

Result:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Finset α
a : α
hcard : #s ≤ #t
ha : a ∈ s
ht : t.Nonempty
m : α := t.min' ht
h' : s ≠ t
hwt : m ∈ t
hws : m ∉ s
hw : ∀ ⦃a : α⦄, m < a → (a ∈ s ↔ a ∈ t)
haw : a < m
b : α
hb : b ≠ m ∧ b ∈ t
⊢ b ≠ a ∧ b ∈ s

Proof state:
case inr.intro.intro.intro.inl
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Finset α
a : α
hcard : #s ≤ #t
ha : a ∈ s
ht : t.Nonempty
m : α := t.min' ht
h' : s ≠ t
w : α
hwt : w ∈ t
hws : w ∉ s
hw : ∀ ⦃a : α⦄, w < a → (a ∈ s ↔ a ∈ t)
hwa : w < a
hma : m < a
b : α
hbs : b ∈ { ofColex := { val := s.val.erase a, nodup := ⋯ } }.ofColex
hbt : b = m ∨ b ∉ t
⊢ b < a

Tactic:
obtain rfl | hbt := hbt

Result:
case inr.intro.intro.intro.inl.inl
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Finset α
a : α
hcard : #s ≤ #t
ha : a ∈ s
ht : t.Nonempty
m : α := t.min' ht
h' : s ≠ t
w : α
hwt : w ∈ t
hws : w ∉ s
hw : ∀ ⦃a : α⦄, w < a → (a ∈ s ↔ a ∈ t)
hwa : w < a
hma : m < a
hbs : m ∈ { ofColex := { val := s.val.erase a, nodup := ⋯ } }.ofColex
⊢ m < a

case inr.intro.intro.intro.inl.inr
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Finset α
a : α
hcard : #s ≤ #t
ha : a ∈ s
ht : t.Nonempty
m : α := t.min' ht
h' : s ≠ t
w : α
hwt : w ∈ t
hws : w ∉ s
hw : ∀ ⦃a : α⦄, w < a → (a ∈ s ↔ a ∈ t)
hwa : w < a
hma : m < a
b : α
hbs : b ∈ { ofColex := { val := s.val.erase a, nodup := ⋯ } }.ofColex
hbt : b ∉ t
⊢ b < a

Proof state:
case inr.intro.intro.intro.inl.inl
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Finset α
a : α
hcard : #s ≤ #t
ha : a ∈ s
ht : t.Nonempty
m : α := t.min' ht
h' : s ≠ t
w : α
hwt : w ∈ t
hws : w ∉ s
hw : ∀ ⦃a : α⦄, w < a → (a ∈ s ↔ a ∈ t)
hwa : w < a
hma : m < a
hbs : m ∈ { ofColex := { val := s.val.erase a, nodup := ⋯ } }.ofColex
⊢ m < a

Tactic:
assumption

Result:
no goals

Proof state:
case inr.intro.intro.intro.inl
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Finset α
a : α
hcard : #s ≤ #t
ha : a ∈ s
ht : t.Nonempty
m : α := t.min' ht
h' : s ≠ t
w : α
hwt : w ∈ t
hws : w ∉ s
hw : ∀ ⦃a : α⦄, w < a → (a ∈ s ↔ a ∈ t)
hwa : w < a
hma : m < a
⊢ { ofColex := s.erase a } ≤ { ofColex := t.erase m }

Tactic:
refine (lt_iff_exists_forall_lt.2 ⟨a, mem_erase.2 ⟨hma.ne', (hw hwa).1 ha⟩,
  not_mem_erase _ _, fun b hbs hbt ↦ ?_⟩).le

Result:
case inr.intro.intro.intro.inl
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Finset α
a : α
hcard : #s ≤ #t
ha : a ∈ s
ht : t.Nonempty
m : α := t.min' ht
h' : s ≠ t
w : α
hwt : w ∈ t
hws : w ∉ s
hw : ∀ ⦃a : α⦄, w < a → (a ∈ s ↔ a ∈ t)
hwa : w < a
hma : m < a
b : α
hbs : b ∈ { ofColex := { val := s.val.erase a, nodup := ⋯ } }.ofColex
hbt : b ∉ { ofColex := { val := t.val.erase m, nodup := ⋯ } }.ofColex
⊢ b < a

Proof state:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Finset α
a : α
hst : { ofColex := s } ≤ { ofColex := t }
hcard : #s ≤ #t
ha : a ∈ s
ht : t.Nonempty
m : α := t.min' ht
⊢ { ofColex := s.erase a } ≤ { ofColex := t.erase m }

Tactic:
obtain rfl | h' := eq_or_ne s t

Result:
case inl
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset α
a : α
ha : a ∈ s
hst : { ofColex := s } ≤ { ofColex := s }
hcard : #s ≤ #s
ht : s.Nonempty
m : α := s.min' ht
⊢ { ofColex := s.erase a } ≤ { ofColex := s.erase m }

case inr
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrder α
s t : Finset α
a : α
hst : { ofColex := s } ≤ { ofColex := t }
hcard : #s ≤ #t
ha : a ∈ s
ht : t.Nonempty
m : α := t.min' ht
h' : s ≠ t
⊢ { ofColex := s.erase a } ≤ { ofColex := t.erase m }