-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Killing.lean
/-- Elements of the `α` root space which are Killing-orthogonal to the `-α` root space are
Killing-orthogonal to all of `L`. -/
lemma mem_ker_killingForm_of_mem_rootSpace_of_forall_rootSpace_neg
    {α : H → K} {x : L} (hx : x ∈ rootSpace H α)
    (hx' : ∀ y ∈ rootSpace H (-α), killingForm K L x y = 0) :
    x ∈ LinearMap.ker (killingForm K L)

Proof state:
case neg
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : ↥H → K
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
hx' : ∀ y ∈ rootSpace H (-α), ((killingForm K L) x) y = 0
y✝ : L
β : ↥H → K
y : L
hy : y ∈ rootSpace H β
hαβ : ¬α + β = 0
⊢ ((killingForm K L) x) y = 0 y

Tactic:
exact killingForm_apply_eq_zero_of_mem_rootSpace_of_add_ne_zero K L H hx hy hαβ

Result:
no goals

Proof state:
case pos
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : ↥H → K
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
hx' : ∀ y ∈ rootSpace H (-α), ((killingForm K L) x) y = 0
y✝ : L
β : ↥H → K
y : L
hy : y ∈ rootSpace H β
hαβ : α + β = 0
⊢ ((killingForm K L) x) y = 0 y

Tactic:
exact hx' _ (add_eq_zero_iff_neg_eq.mp hαβ ▸ hy)

Result:
no goals

Proof state:
case h
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : ↥H → K
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
hx' : ∀ y ∈ rootSpace H (-α), ((killingForm K L) x) y = 0
y : L
⊢ ((killingForm K L) x) y = 0 y

Tactic:
have hy : y ∈ ⨆ β, rootSpace H β := by simp [iSup_genWeightSpace_eq_top K H L]

Result:
case h
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : ↥H → K
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
hx' : ∀ y ∈ rootSpace H (-α), ((killingForm K L) x) y = 0
y : L
hy : y ∈ ⨆ β, rootSpace H β
⊢ ((killingForm K L) x) y = 0 y

Proof state:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : ↥H → K
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
hx' : ∀ y ∈ rootSpace H (-α), ((killingForm K L) x) y = 0
⊢ (killingForm K L) x = 0

Tactic:
ext y

Result:
case h
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : ↥H → K
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
hx' : ∀ y ∈ rootSpace H (-α), ((killingForm K L) x) y = 0
y : L
⊢ ((killingForm K L) x) y = 0 y

Proof state:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : ↥H → K
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
hx' : ∀ y ∈ rootSpace H (-α), ((killingForm K L) x) y = 0
y : L
⊢ y ∈ ⨆ β, rootSpace H β

Tactic:
simp [iSup_genWeightSpace_eq_top K H L]

Result:
no goals

Proof state:
case h.hN
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : ↥H → K
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
hx' : ∀ y ∈ rootSpace H (-α), ((killingForm K L) x) y = 0
y✝ : L
β : ↥H → K
y : L
hy : y ∈ rootSpace H β
⊢ ((killingForm K L) x) y = 0 y

Tactic:
by_cases hαβ : α + β = 0

Result:
case pos
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : ↥H → K
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
hx' : ∀ y ∈ rootSpace H (-α), ((killingForm K L) x) y = 0
y✝ : L
β : ↥H → K
y : L
hy : y ∈ rootSpace H β
hαβ : α + β = 0
⊢ ((killingForm K L) x) y = 0 y

case neg
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : ↥H → K
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
hx' : ∀ y ∈ rootSpace H (-α), ((killingForm K L) x) y = 0
y✝ : L
β : ↥H → K
y : L
hy : y ∈ rootSpace H β
hαβ : ¬α + β = 0
⊢ ((killingForm K L) x) y = 0 y

Proof state:
case h.h0
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : ↥H → K
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
hx' : ∀ y ∈ rootSpace H (-α), ((killingForm K L) x) y = 0
y : L
⊢ ((killingForm K L) x) 0 = 0 0

Tactic:
simp

Result:
no goals

Proof state:
case h.hadd
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : ↥H → K
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
hx' : ∀ y ∈ rootSpace H (-α), ((killingForm K L) x) y = 0
y x✝ y✝ : L
hx✝ : x✝ ∈ ⨆ i, rootSpace H i
hy✝ : y✝ ∈ ⨆ i, rootSpace H i
a✝¹ : ((killingForm K L) x) x✝ = 0 x✝
a✝ : ((killingForm K L) x) y✝ = 0 y✝
⊢ ((killingForm K L) x) (x✝ + y✝) = 0 (x✝ + y✝)

Tactic:
simp_all

Result:
no goals

Proof state:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : ↥H → K
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
hx' : ∀ y ∈ rootSpace H (-α), ((killingForm K L) x) y = 0
⊢ x ∈ LinearMap.ker (killingForm K L)

Tactic:
rw [LinearMap.mem_ker]

Result:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : ↥H → K
x : L
hx : x ∈ rootSpace H α
hx' : ∀ y ∈ rootSpace H (-α), ((killingForm K L) x) y = 0
⊢ (killingForm K L) x = 0