-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineMap.lean
theorem ext_linear {f g : P1 →ᵃ[k] P2} (h₁ : f.linear = g.linear) {p : P1} (h₂ : f p = g p) :
    f = g

Proof state:
case h
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V1
inst✝⁴ : Module k V1
inst✝³ : AffineSpace V1 P1
inst✝² : AddCommGroup V2
inst✝¹ : Module k V2
inst✝ : AffineSpace V2 P2
f g : P1 →ᵃ[k] P2
h₁ : f.linear = g.linear
p : P1
h₂ : f p = g p
q : P1
hgl : g.linear (q -ᵥ p) = g.toFun ((q -ᵥ p) +ᵥ q) -ᵥ g.toFun q
⊢ f q = g q

Tactic:
have := f.map_vadd' q (q -ᵥ p)

Result:
case h
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V1
inst✝⁴ : Module k V1
inst✝³ : AffineSpace V1 P1
inst✝² : AddCommGroup V2
inst✝¹ : Module k V2
inst✝ : AffineSpace V2 P2
f g : P1 →ᵃ[k] P2
h₁ : f.linear = g.linear
p : P1
h₂ : f p = g p
q : P1
hgl : g.linear (q -ᵥ p) = g.toFun ((q -ᵥ p) +ᵥ q) -ᵥ g.toFun q
this : f.toFun ((q -ᵥ p) +ᵥ q) = f.linear (q -ᵥ p) +ᵥ f.toFun q
⊢ f q = g q

Proof state:
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V1
inst✝⁴ : Module k V1
inst✝³ : AffineSpace V1 P1
inst✝² : AddCommGroup V2
inst✝¹ : Module k V2
inst✝ : AffineSpace V2 P2
f g : P1 →ᵃ[k] P2
h₁ : f.linear = g.linear
p : P1
h₂ : f p = g p
q : P1
⊢ g.linear (q -ᵥ p) = g.toFun ((q -ᵥ p) +ᵥ q) -ᵥ g.toFun q

Tactic:
simp

Result:
no goals

Proof state:
case h
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V1
inst✝⁴ : Module k V1
inst✝³ : AffineSpace V1 P1
inst✝² : AddCommGroup V2
inst✝¹ : Module k V2
inst✝ : AffineSpace V2 P2
f g : P1 →ᵃ[k] P2
h₁ : f.linear = g.linear
p : P1
h₂ : f p = g p
q : P1
hgl : g.linear (q -ᵥ p) = g.toFun ((q -ᵥ p) +ᵥ q) -ᵥ g.toFun q
this : f.toFun ((q -ᵥ p) +ᵥ q) = f.linear (q -ᵥ p) +ᵥ f.toFun q
⊢ f q = g q

Tactic:
rw [h₁, hgl, toFun_eq_coe, map_vadd, linearMap_vsub, h₂] at this

Result:
case h
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V1
inst✝⁴ : Module k V1
inst✝³ : AffineSpace V1 P1
inst✝² : AddCommGroup V2
inst✝¹ : Module k V2
inst✝ : AffineSpace V2 P2
f g : P1 →ᵃ[k] P2
h₁ : f.linear = g.linear
p : P1
h₂ : f p = g p
q : P1
hgl : g.linear (q -ᵥ p) = g.toFun ((q -ᵥ p) +ᵥ q) -ᵥ g.toFun q
this : (f q -ᵥ g p) +ᵥ f q = (g.toFun ((q -ᵥ p) +ᵥ q) -ᵥ g.toFun q) +ᵥ f q
⊢ f q = g q

Proof state:
case h
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V1
inst✝⁴ : Module k V1
inst✝³ : AffineSpace V1 P1
inst✝² : AddCommGroup V2
inst✝¹ : Module k V2
inst✝ : AffineSpace V2 P2
f g : P1 →ᵃ[k] P2
h₁ : f.linear = g.linear
p : P1
h₂ : f p = g p
q : P1
hgl : g.linear (q -ᵥ p) = g.toFun ((q -ᵥ p) +ᵥ q) -ᵥ g.toFun q
this : (f q -ᵥ g p) +ᵥ f q = (g.toFun ((q -ᵥ p) +ᵥ q) -ᵥ g.toFun q) +ᵥ f q
⊢ f q = g q

Tactic:
simpa

Result:
no goals

Proof state:
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V1
inst✝⁴ : Module k V1
inst✝³ : AffineSpace V1 P1
inst✝² : AddCommGroup V2
inst✝¹ : Module k V2
inst✝ : AffineSpace V2 P2
f g : P1 →ᵃ[k] P2
h₁ : f.linear = g.linear
p : P1
h₂ : f p = g p
⊢ f = g

Tactic:
ext q

Result:
case h
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V1
inst✝⁴ : Module k V1
inst✝³ : AffineSpace V1 P1
inst✝² : AddCommGroup V2
inst✝¹ : Module k V2
inst✝ : AffineSpace V2 P2
f g : P1 →ᵃ[k] P2
h₁ : f.linear = g.linear
p : P1
h₂ : f p = g p
q : P1
⊢ f q = g q

Proof state:
case h
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V1
inst✝⁴ : Module k V1
inst✝³ : AffineSpace V1 P1
inst✝² : AddCommGroup V2
inst✝¹ : Module k V2
inst✝ : AffineSpace V2 P2
f g : P1 →ᵃ[k] P2
h₁ : f.linear = g.linear
p : P1
h₂ : f p = g p
q : P1
⊢ f q = g q

Tactic:
have hgl : g.linear (q -ᵥ p) = toFun g ((q -ᵥ p) +ᵥ q) -ᵥ toFun g q := by simp

Result:
case h
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V1
inst✝⁴ : Module k V1
inst✝³ : AffineSpace V1 P1
inst✝² : AddCommGroup V2
inst✝¹ : Module k V2
inst✝ : AffineSpace V2 P2
f g : P1 →ᵃ[k] P2
h₁ : f.linear = g.linear
p : P1
h₂ : f p = g p
q : P1
hgl : g.linear (q -ᵥ p) = g.toFun ((q -ᵥ p) +ᵥ q) -ᵥ g.toFun q
⊢ f q = g q