-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
theorem HasFPowerSeriesWithinOnBall.tendsto_partialSum_prod {y : E}
    (hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r) (hy : y ∈ EMetric.ball (0 : E) r)
    (h'y : x + y ∈ insert x s) :
    Tendsto (fun (z : ℕ × E) ↦ p.partialSum z.1 z.2) (atTop ×ˢ 𝓝 y) (𝓝 (f (x + y)))

Proof state:
case h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
y : E
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
hy : y ∈ EMetric.ball 0 r
h'y : x + y ∈ insert x s
A✝ : Tendsto (fun z => p.partialSum z.1 y) (atTop ×ˢ 𝓝 y) (𝓝 (f (x + y)))
ε : ℝ
εpos : ε > 0
r' : ℝ≥0
yr' : ‖y‖₊ < r'
r'r : ↑r' < r
yr'_2 : ‖y‖ < ↑r'
S : Summable fun n => ‖p n‖ * ↑r' ^ n
k : ℕ
hk : ∑' (n : ℕ), ‖p (n + k)‖ * ↑r' ^ (n + k) < ε / 4
A : ∀ᶠ (z : ℕ × E) in atTop ×ˢ 𝓝 y, dist (p.partialSum k z.2) (p.partialSum k y) < ε / 4
B : ∀ᶠ (z : ℕ × E) in atTop ×ˢ 𝓝 y, ‖z.2‖₊ < r'
C : ∀ᶠ (z : ℕ × E) in atTop ×ˢ 𝓝 y, k ≤ z.1
⊢ ∀ (a : ℕ × E),
    dist (p.partialSum k a.2) (p.partialSum k y) < ε / 4 →
      ‖a.2‖₊ < r' → k ≤ a.1 → dist (p.partialSum a.1 a.2 - p.partialSum a.1 y) 0 < ε

Tactic:
rintro ⟨n, z⟩ hz h'z hkn

Result:
case h.mk
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
y : E
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
hy : y ∈ EMetric.ball 0 r
h'y : x + y ∈ insert x s
A✝ : Tendsto (fun z => p.partialSum z.1 y) (atTop ×ˢ 𝓝 y) (𝓝 (f (x + y)))
ε : ℝ
εpos : ε > 0
r' : ℝ≥0
yr' : ‖y‖₊ < r'
r'r : ↑r' < r
yr'_2 : ‖y‖ < ↑r'
S : Summable fun n => ‖p n‖ * ↑r' ^ n
k : ℕ
hk : ∑' (n : ℕ), ‖p (n + k)‖ * ↑r' ^ (n + k) < ε / 4
A : ∀ᶠ (z : ℕ × E) in atTop ×ˢ 𝓝 y, dist (p.partialSum k z.2) (p.partialSum k y) < ε / 4
B : ∀ᶠ (z : ℕ × E) in atTop ×ˢ 𝓝 y, ‖z.2‖₊ < r'
C : ∀ᶠ (z : ℕ × E) in atTop ×ˢ 𝓝 y, k ≤ z.1
n : ℕ
z : E
hz : dist (p.partialSum k (n, z).2) (p.partialSum k y) < ε / 4
h'z : ‖(n, z).2‖₊ < r'
hkn : k ≤ (n, z).1
⊢ dist (p.partialSum (n, z).1 (n, z).2 - p.partialSum (n, z).1 y) 0 < ε

Proof state:
case intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
y : E
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
hy : y ∈ EMetric.ball 0 r
h'y : x + y ∈ insert x s
A : Tendsto (fun z => p.partialSum z.1 y) (atTop ×ˢ 𝓝 y) (𝓝 (f (x + y)))
ε : ℝ
εpos : ε > 0
r' : ℝ≥0
yr' : ‖y‖₊ < r'
r'r : ↑r' < r
yr'_2 : ‖y‖ < ↑r'
S : Summable fun n => ‖p n‖ * ↑r' ^ n
⊢ ∀ᶠ (x : ℕ × E) in atTop ×ˢ 𝓝 y, dist (p.partialSum x.1 x.2 - p.partialSum x.1 y) 0 < ε

Tactic:
obtain ⟨k, hk⟩ : ∃ k, ∑' (n : ℕ), ‖p (n + k)‖ * ↑r' ^ (n + k) < ε / 4 := by
  have : Tendsto (fun k ↦ ∑' n, ‖p (n + k)‖ * ↑r' ^ (n + k)) atTop (𝓝 0) := by
    apply _root_.tendsto_sum_nat_add (f := fun n ↦ ‖p n‖ * ↑r' ^ n)
  exact ((tendsto_order.1 this).2 _ (by linarith)).exists

Result:
case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
y : E
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
hy : y ∈ EMetric.ball 0 r
h'y : x + y ∈ insert x s
A : Tendsto (fun z => p.partialSum z.1 y) (atTop ×ˢ 𝓝 y) (𝓝 (f (x + y)))
ε : ℝ
εpos : ε > 0
r' : ℝ≥0
yr' : ‖y‖₊ < r'
r'r : ↑r' < r
yr'_2 : ‖y‖ < ↑r'
S : Summable fun n => ‖p n‖ * ↑r' ^ n
k : ℕ
hk : ∑' (n : ℕ), ‖p (n + k)‖ * ↑r' ^ (n + k) < ε / 4
⊢ ∀ᶠ (x : ℕ × E) in atTop ×ˢ 𝓝 y, dist (p.partialSum x.1 x.2 - p.partialSum x.1 y) 0 < ε

Proof state:
case h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
y : E
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
hy : y ∈ EMetric.ball 0 r
h'y : x + y ∈ insert x s
A✝ : Tendsto (fun z => p.partialSum z.1 y) (atTop ×ˢ 𝓝 y) (𝓝 (f (x + y)))
ε : ℝ
εpos : ε > 0
r' : ℝ≥0
yr' : ‖y‖₊ < r'
r'r : ↑r' < r
yr'_2 : ‖y‖ < ↑r'
S : Summable fun n => ‖p n‖ * ↑r' ^ n
k : ℕ
hk : ∑' (n : ℕ), ‖p (n + k)‖ * ↑r' ^ (n + k) < ε / 4
A : ∀ᶠ (z : ℕ × E) in atTop ×ˢ 𝓝 y, dist (p.partialSum k z.2) (p.partialSum k y) < ε / 4
B : ∀ᶠ (z : ℕ × E) in atTop ×ˢ 𝓝 y, ‖z.2‖₊ < r'
C : ∀ᶠ (z : ℕ × E) in atTop ×ˢ 𝓝 y, k ≤ z.1
n : ℕ
z : E
h'z : ‖(n, z).2‖₊ < r'
hkn : k ≤ (n, z).1
hz : ‖p.partialSum k z - p.partialSum k y‖ < ε / 4
w : E
hw : ‖w‖₊ < r'
i : ℕ
_hi : i ∈ Finset.range (n - k)
⊢ ‖(p (i + k)) fun x => w‖ ≤ ‖p (i + k)‖ * ‖w‖ ^ (i + k)

Tactic:
exact ((p (i + k)).le_opNorm _).trans_eq (by simp)

Result:
no goals

Proof state:
case h.mk
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
y : E
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
hy : y ∈ EMetric.ball 0 r
h'y : x + y ∈ insert x s
A✝ : Tendsto (fun z => p.partialSum z.1 y) (atTop ×ˢ 𝓝 y) (𝓝 (f (x + y)))
ε : ℝ
εpos : ε > 0
r' : ℝ≥0
yr' : ‖y‖₊ < r'
r'r : ↑r' < r
yr'_2 : ‖y‖ < ↑r'
S : Summable fun n => ‖p n‖ * ↑r' ^ n
k : ℕ
hk : ∑' (n : ℕ), ‖p (n + k)‖ * ↑r' ^ (n + k) < ε / 4
A : ∀ᶠ (z : ℕ × E) in atTop ×ˢ 𝓝 y, dist (p.partialSum k z.2) (p.partialSum k y) < ε / 4
B : ∀ᶠ (z : ℕ × E) in atTop ×ˢ 𝓝 y, ‖z.2‖₊ < r'
C : ∀ᶠ (z : ℕ × E) in atTop ×ˢ 𝓝 y, k ≤ z.1
n : ℕ
z : E
h'z : ‖(n, z).2‖₊ < r'
hkn : k ≤ (n, z).1
hz : ‖p.partialSum k z - p.partialSum k y‖ < ε / 4
⊢ ‖p.partialSum n z - p.partialSum n y‖ < ε

Tactic:
have I (w : E) (hw : ‖w‖₊ < r') : ‖∑ i ∈ Ico k n, p i (fun _ ↦ w)‖ ≤ ε / 4 := calc
  ‖∑ i ∈ Ico k n, p i (fun _ ↦ w)‖
  _ = ‖∑ i ∈ range (n - k), p (i + k) (fun _ ↦ w)‖ := by
      rw [sum_Ico_eq_sum_range]
      congr with i
      rw [add_comm k]
  _ ≤ ∑ i ∈ range (n - k), ‖p (i + k) (fun _ ↦ w)‖ := norm_sum_le _ _
  _ ≤ ∑ i ∈ range (n - k), ‖p (i + k)‖ * ‖w‖ ^ (i + k) := by
      gcongr with i _hi; exact ((p (i + k)).le_opNorm _).trans_eq (by simp)
  _ ≤ ∑ i ∈ range (n - k), ‖p (i + k)‖ * ↑r' ^ (i + k) := by
      gcongr with i _hi; simpa [← coe_nnnorm] using hw.le
  _ ≤ ∑' i, ‖p (i + k)‖ * ↑r' ^ (i + k) := by
      apply sum_le_tsum _ (fun i _hi ↦ by positivity)
      apply ((_root_.summable_nat_add_iff k).2 S)
  _ ≤ ε / 4 := hk.le

Result:
case h.mk
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
y : E
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
hy : y ∈ EMetric.ball 0 r
h'y : x + y ∈ insert x s
A✝ : Tendsto (fun z => p.partialSum z.1 y) (atTop ×ˢ 𝓝 y) (𝓝 (f (x + y)))
ε : ℝ
εpos : ε > 0
r' : ℝ≥0
yr' : ‖y‖₊ < r'
r'r : ↑r' < r
yr'_2 : ‖y‖ < ↑r'
S : Summable fun n => ‖p n‖ * ↑r' ^ n
k : ℕ
hk : ∑' (n : ℕ), ‖p (n + k)‖ * ↑r' ^ (n + k) < ε / 4
A : ∀ᶠ (z : ℕ × E) in atTop ×ˢ 𝓝 y, dist (p.partialSum k z.2) (p.partialSum k y) < ε / 4
B : ∀ᶠ (z : ℕ × E) in atTop ×ˢ 𝓝 y, ‖z.2‖₊ < r'
C : ∀ᶠ (z : ℕ × E) in atTop ×ˢ 𝓝 y, k ≤ z.1
n : ℕ
z : E
h'z : ‖(n, z).2‖₊ < r'
hkn : k ≤ (n, z).1
hz : ‖p.partialSum k z - p.partialSum k y‖ < ε / 4
I : ∀ (w : E), ‖w‖₊ < r' → ‖∑ i ∈ Finset.Ico k n, (p i) fun x => w‖ ≤ ε / 4
⊢ ‖p.partialSum n z - p.partialSum n y‖ < ε