-- Mathlib/Analysis/Analytic/Inverse.lean
theorem radius_rightInv_pos_of_radius_pos
    {p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F} {i : E ≃L[𝕜] F} {x : E}
    (hp : 0 < p.radius) : 0 < (p.rightInv i x).radius

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
x : E
hp : 0 < p.radius
C r : ℝ
Cpos : 0 < C
rpos : 0 < r
ple : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
this : Tendsto (fun a => 2 * I * C * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * a) (𝓝 0) (𝓝 (2 * I * C * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * 0))
⊢ ∀ᶠ (a : ℝ) in 𝓝 0, 2 * I * C * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * a < 1

Tactic:
apply (tendsto_order.1 this).2

Result:
case a
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
x : E
hp : 0 < p.radius
C r : ℝ
Cpos : 0 < C
rpos : 0 < r
ple : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
this : Tendsto (fun a => 2 * I * C * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * a) (𝓝 0) (𝓝 (2 * I * C * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * 0))
⊢ 1 > 2 * I * C * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * 0

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
x : E
hp : 0 < p.radius
C r : ℝ
Cpos : 0 < C
rpos : 0 < r
ple : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
a : ℝ
apos : 0 < a
ha1 : 2 * I * C * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * a ≤ 1
ha2 : r * (I + 1) * a ≤ 1 / 2
S : ℕ → ℝ := fun n => ∑ k ∈ Ico 1 n, a ^ k * ‖p.rightInv i x k‖
IRec : ∀ (n : ℕ), 1 ≤ n → S n ≤ (I + 1) * a
a' : NNReal := ⟨a, ⋯⟩
⊢ 0 < (p.rightInv i x).radius

Tactic:
suffices H : (a' : ENNReal) ≤ (p.rightInv i x).radius by
  apply lt_of_lt_of_le _ H
  simpa only [ENNReal.coe_pos]

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
x : E
hp : 0 < p.radius
C r : ℝ
Cpos : 0 < C
rpos : 0 < r
ple : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
a : ℝ
apos : 0 < a
ha1 : 2 * I * C * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * a ≤ 1
ha2 : r * (I + 1) * a ≤ 1 / 2
S : ℕ → ℝ := fun n => ∑ k ∈ Ico 1 n, a ^ k * ‖p.rightInv i x k‖
IRec : ∀ (n : ℕ), 1 ≤ n → S n ≤ (I + 1) * a
a' : NNReal := ⟨a, ⋯⟩
⊢ ↑a' ≤ (p.rightInv i x).radius

Proof state:
case a
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
x : E
hp : 0 < p.radius
C r : ℝ
Cpos : 0 < C
rpos : 0 < r
ple : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
this✝ : Tendsto (fun a => 2 * I * C * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * a) (𝓝 0) (𝓝 (2 * I * C * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * 0))
A : ∀ᶠ (a : ℝ) in 𝓝 0, 2 * I * C * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * a < 1
this : Tendsto (fun a => r * (I + 1) * a) (𝓝 0) (𝓝 (r * (I + 1) * 0))
⊢ 1 / 2 > r * (I + 1) * 0

Tactic:
simp [zero_lt_one]

Result:
no goals

Proof state:
case succ
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
x : E
hp : 0 < p.radius
C r : ℝ
Cpos : 0 < C
rpos : 0 < r
ple : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
a : ℝ
apos : 0 < a
ha1 : 2 * I * C * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * a ≤ 1
ha2 : r * (I + 1) * a ≤ 1 / 2
S : ℕ → ℝ := fun n => ∑ k ∈ Ico 1 n, a ^ k * ‖p.rightInv i x k‖
n : ℕ
one_le_n : 1 ≤ n
hn : S n ≤ (I + 1) * a
⊢ S (n + 1) ≤ (I + 1) * a

Tactic:
have In : 2 ≤ n + 1 := by omega

Result:
case succ
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
x : E
hp : 0 < p.radius
C r : ℝ
Cpos : 0 < C
rpos : 0 < r
ple : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
a : ℝ
apos : 0 < a
ha1 : 2 * I * C * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * a ≤ 1
ha2 : r * (I + 1) * a ≤ 1 / 2
S : ℕ → ℝ := fun n => ∑ k ∈ Ico 1 n, a ^ k * ‖p.rightInv i x k‖
n : ℕ
one_le_n : 1 ≤ n
hn : S n ≤ (I + 1) * a
In : 2 ≤ n + 1
⊢ S (n + 1) ≤ (I + 1) * a

Proof state:
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
x : E
hp : 0 < p.radius
C r : ℝ
Cpos : 0 < C
rpos : 0 < r
ple : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
a : ℝ
apos : 0 < a
ha1 : 2 * I * C * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * a ≤ 1
ha2 : r * (I + 1) * a ≤ 1 / 2
S : ℕ → ℝ := fun n => ∑ k ∈ Ico 1 n, a ^ k * ‖p.rightInv i x k‖
IRec : ∀ (n : ℕ), 1 ≤ n → S n ≤ (I + 1) * a
a' : NNReal := ⟨a, ⋯⟩
n : ℕ
hn : 1 ≤ n
⊢ ‖p.rightInv i x n‖ * ↑a' ^ n ≤ (I + 1) * a

Tactic:
calc
  ‖p.rightInv i x n‖ * (a' : ℝ) ^ n = a ^ n * ‖p.rightInv i x n‖ := mul_comm _ _
  _ ≤ ∑ k ∈ Ico 1 (n + 1), a ^ k * ‖p.rightInv i x k‖ :=
    (haveI : ∀ k ∈ Ico 1 (n + 1), 0 ≤ a ^ k * ‖p.rightInv i x k‖ := fun k _ => by positivity
    single_le_sum this (by simp [hn]))
  _ ≤ (I + 1) * a := IRec (n + 1) (by norm_num)

Result:
no goals

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
x : E
hp : 0 < p.radius
C r : ℝ
Cpos : 0 < C
rpos : 0 < r
ple : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
a : ℝ
apos : 0 < a
ha1 : 2 * I * C * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * a ≤ 1
ha2 : r * (I + 1) * a ≤ 1 / 2
S : ℕ → ℝ := fun n => ∑ k ∈ Ico 1 n, a ^ k * ‖p.rightInv i x k‖
n : ℕ
one_le_n : 1 ≤ n
hn : S n ≤ (I + 1) * a
⊢ 2 ≤ n + 1

Tactic:
omega

Result:
no goals

Proof state:
case intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
x : E
hp : 0 < p.radius
C✝ r : ℝ
Cpos : 0 < C✝
rpos : 0 < r
ple : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C✝ * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
this✝ : Tendsto (fun a => 2 * I * C✝ * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * a) (𝓝 0) (𝓝 (2 * I * C✝ * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * 0))
A : ∀ᶠ (a : ℝ) in 𝓝 0, 2 * I * C✝ * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * a < 1
this : Tendsto (fun a => r * (I + 1) * a) (𝓝 0) (𝓝 (r * (I + 1) * 0))
B : ∀ᶠ (a : ℝ) in 𝓝 0, r * (I + 1) * a < 1 / 2
C : ∀ᶠ (a : ℝ) in 𝓝[>] 0, 0 < a
a : ℝ
ha : 0 < a ∧ 2 * I * C✝ * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * a < 1 ∧ r * (I + 1) * a < 1 / 2
⊢ ∃ a, ∃ (_ : 0 < a), 2 * I * C✝ * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * a ≤ 1 ∧ r * (I + 1) * a ≤ 1 / 2

Tactic:
exact ⟨a, ha.1, ha.2.1.le, ha.2.2.le⟩

Result:
no goals