-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
theorem pentagon_bimod {V W X Y Z : Mon_ C} (M : Bimod V W) (N : Bimod W X) (P : Bimod X Y)
    (Q : Bimod Y Z) :
    whiskerRight (associatorBimod M N P).hom Q ≫
      (associatorBimod M (N.tensorBimod P) Q).hom ≫
        whiskerLeft M (associatorBimod N P Q).hom =
      (associatorBimod (M.tensorBimod N) P Q).hom ≫
        (associatorBimod M N (P.tensorBimod Q)).hom

Proof state:
case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
V W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod V W
N : Bimod W X
P : Bimod X Y
Q : Bimod Y Z
⊢ (α_ M.X N.X P.X).hom ▷ Q.X ≫
      (M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ▷ Q.X ≫
        ((α_ M.X (TensorBimod.X N P) Q.X).hom ≫
            M.X ◁
                coequalizer.π (TensorBimod.actRight N P ▷ Q.X)
                  ((α_ (TensorBimod.X N P) Y.X Q.X).hom ≫ TensorBimod.X N P ◁ Q.actLeft) ≫
              coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q)
                ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q)).hom ≫
                  M.X ◁ TensorBimod.actLeft (N.tensorBimod P) Q)) ≫
          colimMap
            (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q)
              ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft (N.tensorBimod P) Q)
              (M.actRight ▷ TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q))
              ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q))
              ((M.X ⊗ W.X) ◁
                coequalizer.desc
                  ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight Q.X) (N.actRight ▷ P.X)
                        ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)).inv ≫
                    coequalizer.desc
                      ((α_ N.X P.X Q.X).hom ≫
                        N.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫
                          coequalizer.π (N.actRight ▷ TensorBimod.X P Q)
                            ((α_ N.X X.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q))
                      ⋯)
                  ⋯)
              (M.X ◁
                coequalizer.desc
                  ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight Q.X) (N.actRight ▷ P.X)
                        ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)).inv ≫
                    coequalizer.desc
                      ((α_ N.X P.X Q.X).hom ≫
                        N.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫
                          coequalizer.π (N.actRight ▷ TensorBimod.X P Q)
                            ((α_ N.X X.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q))
                      ⋯)
                  ⋯)
              ⋯ ⋯) =
    coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P.X ▷ Q.X ≫
      (α_ (TensorBimod.X M N) P.X Q.X).hom ≫
        TensorBimod.X M N ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫
          (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight (TensorBimod.X P Q)) (M.actRight ▷ N.X)
                ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)).inv ≫
            coequalizer.desc
              ((α_ M.X N.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫
                M.X ◁
                    coequalizer.π (N.actRight ▷ TensorBimod.X P Q)
                      ((α_ N.X X.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q) ≫
                  coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q))
                    ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q))).hom ≫
                      M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q)))
              ⋯

Tactic:
dsimp only [TensorBimod.X]

Result:
case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
V W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod V W
N : Bimod W X
P : Bimod X Y
Q : Bimod Y Z
⊢ (α_ M.X N.X P.X).hom ▷ Q.X ≫
      (M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ▷ Q.X ≫
        ((α_ M.X (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) Q.X).hom ≫
            M.X ◁
                coequalizer.π (TensorBimod.actRight N P ▷ Q.X)
                  ((α_ (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) Y.X Q.X).hom ≫
                    coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ◁ Q.actLeft) ≫
              coequalizer.π
                (M.actRight ▷
                  coequalizer ((N.tensorBimod P).actRight ▷ Q.X)
                    ((α_ (N.tensorBimod P).X Y.X Q.X).hom ≫ (N.tensorBimod P).X ◁ Q.actLeft))
                ((α_ M.X W.X
                      (coequalizer ((N.tensorBimod P).actRight ▷ Q.X)
                        ((α_ (N.tensorBimod P).X Y.X Q.X).hom ≫ (N.tensorBimod P).X ◁ Q.actLeft))).hom ≫
                  M.X ◁ TensorBimod.actLeft (N.tensorBimod P) Q)) ≫
          colimMap
            (parallelPairHom
              (M.actRight ▷
                coequalizer ((N.tensorBimod P).actRight ▷ Q.X)
                  ((α_ (N.tensorBimod P).X Y.X Q.X).hom ≫ (N.tensorBimod P).X ◁ Q.actLeft))
              ((α_ M.X W.X
                    (coequalizer ((N.tensorBimod P).actRight ▷ Q.X)
                      ((α_ (N.tensorBimod P).X Y.X Q.X).hom ≫ (N.tensorBimod P).X ◁ Q.actLeft))).hom ≫
                M.X ◁ TensorBimod.actLeft (N.tensorBimod P) Q)
              (M.actRight ▷
                coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X)
                  ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft))
              ((α_ M.X W.X
                    (coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X)
                      ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft))).hom ≫
                M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q))
              ((M.X ⊗ W.X) ◁
                coequalizer.desc
                  ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight Q.X) (N.actRight ▷ P.X)
                        ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)).inv ≫
                    coequalizer.desc
                      ((α_ N.X P.X Q.X).hom ≫
                        N.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫
                          coequalizer.π
                            (N.actRight ▷ coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))
                            ((α_ N.X X.X
                                  (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom ≫
                              N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q))
                      ⋯)
                  ⋯)
              (M.X ◁
                coequalizer.desc
                  ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight Q.X) (N.actRight ▷ P.X)
                        ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)).inv ≫
                    coequalizer.desc
                      ((α_ N.X P.X Q.X).hom ≫
                        N.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫
                          coequalizer.π
                            (N.actRight ▷ coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))
                            ((α_ N.X X.X
                                  (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom ≫
                              N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q))
                      ⋯)
                  ⋯)
              ⋯ ⋯) =
    coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P.X ▷ Q.X ≫
      (α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) P.X Q.X).hom ≫
        coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁
            coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫
          (PreservesCoequalizer.iso
                (tensorRight (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)))
                (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)).inv ≫
            coequalizer.desc
              ((α_ M.X N.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom ≫
                M.X ◁
                    coequalizer.π (N.actRight ▷ coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))
                      ((α_ N.X X.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft))).hom ≫
                        N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q) ≫
                  coequalizer.π
                    (M.actRight ▷
                      coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X)
                        ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft))
                    ((α_ M.X W.X
                          (coequalizer (N.actRight ▷ (P.tensorBimod Q).X)
                            ((α_ N.X X.X (P.tensorBimod Q).X).hom ≫ N.X ◁ (P.tensorBimod Q).actLeft))).hom ≫
                      M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q)))
              ⋯