-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
theorem circumradius_pos {n : ℕ} (s : Simplex ℝ P (n + 1)) : 0 < s.circumradius

Proof state:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 1)
h : 0 = s.circumradius
hr : ∀ (i : Fin (n + 1 + 1)), s.points i = s.circumcenter
⊢ 0 ≠ 1

Tactic:
simp

Result:
no goals

Proof state:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 1)
h : 0 = s.circumradius
hr : ∀ (i : Fin (n + 1 + 1)), dist (s.points i) s.circumcenter = s.circumradius
⊢ False

Tactic:
simp_rw [← h, dist_eq_zero] at hr

Result:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 1)
h : 0 = s.circumradius
hr : ∀ (i : Fin (n + 1 + 1)), s.points i = s.circumcenter
⊢ False

Proof state:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 1)
⊢ 0 < s.circumradius

Tactic:
refine lt_of_le_of_ne s.circumradius_nonneg ?_

Result:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 1)
⊢ 0 ≠ s.circumradius

Proof state:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 1)
h : 0 = s.circumradius
hr : ∀ (i : Fin (n + 1 + 1)), s.points i = s.circumcenter
⊢ False

Tactic:
have h01 := s.independent.injective.ne (by simp : (0 : Fin (n + 2)) ≠ 1)

Result:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 1)
h : 0 = s.circumradius
hr : ∀ (i : Fin (n + 1 + 1)), s.points i = s.circumcenter
h01 : s.points 0 ≠ s.points 1
⊢ False

Proof state:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 1)
⊢ 0 ≠ s.circumradius

Tactic:
intro h

Result:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 1)
h : 0 = s.circumradius
⊢ False

Proof state:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 1)
h : 0 = s.circumradius
⊢ False

Tactic:
have hr := s.dist_circumcenter_eq_circumradius

Result:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 1)
h : 0 = s.circumradius
hr : ∀ (i : Fin (n + 1 + 1)), dist (s.points i) s.circumcenter = s.circumradius
⊢ False

Proof state:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P (n + 1)
h : 0 = s.circumradius
hr : ∀ (i : Fin (n + 1 + 1)), s.points i = s.circumcenter
h01 : s.points 0 ≠ s.points 1
⊢ False

Tactic:
simp [hr] at h01

Result:
no goals