-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CDFToKernel.lean
lemma setLIntegral_stieltjesOfMeasurableRat [IsFiniteKernel κ] (hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν)
    (a : α) (x : ℝ) {s : Set β} (hs : MeasurableSet s) :
    ∫⁻ b in s, ENNReal.ofReal (stieltjesOfMeasurableRat f hf.measurable (a, b) x) ∂(ν a)
      = κ a (s ×ˢ Iic x)

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬(ν a).restrict s = 0
⊢ ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x) ∂ν a =
    ∫⁻ (b : β) in s, ⨅ r, ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) ↑↑r) ∂ν a

Tactic:
congr with b : 1

Result:
case e_f.h
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬(ν a).restrict s = 0
b : β
⊢ ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x) =
    ⨅ r, ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) ↑↑r)

Proof state:
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : (ν a).restrict s = 0
q : ℚ
hq : x < ↑q
⊢ ((κ a) (s ×ˢ Iic ↑q)).toReal = 0

Tactic:
rw [← hf.setIntegral a hs q]

Result:
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : (ν a).restrict s = 0
q : ℚ
hq : x < ↑q
⊢ ∫ (b : β) in s, f (a, b) q ∂ν a = 0

Proof state:
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : (ν a).restrict s = 0
⊢ ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x) ∂ν a = (κ a) (s ×ˢ Iic x)

Tactic:
rw [hρ_zero, lintegral_zero_measure]

Result:
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : (ν a).restrict s = 0
⊢ 0 = (κ a) (s ×ˢ Iic x)

Proof state:
case e_f.h.h.e_6.h.h
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬(ν a).restrict s = 0
b : β
y : ℝ
⊢ y ∈ Iic x ↔ y ∈ ⋂ i, Iic ↑↑i

Tactic:
simp only [mem_Iic, mem_iInter, Subtype.forall]

Result:
case e_f.h.h.e_6.h.h
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬(ν a).restrict s = 0
b : β
y : ℝ
⊢ y ≤ x ↔ ∀ (a : ℚ), x < ↑a → y ≤ ↑a

Proof state:
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : (ν a).restrict s = 0
q : ℚ
hq : x < ↑q
⊢ (κ a) (s ×ˢ Iic ↑q) = 0

Tactic:
suffices (κ a (s ×ˢ Iic (q : ℝ))).toReal = 0 by
  rw [ENNReal.toReal_eq_zero_iff] at this
  simpa [measure_ne_top] using this

Result:
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : (ν a).restrict s = 0
q : ℚ
hq : x < ↑q
⊢ ((κ a) (s ×ˢ Iic ↑q)).toReal = 0

Proof state:
case e_f.h.h.e_6.h.h.refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬(ν a).restrict s = 0
b : β
y : ℝ
h : ∀ (a : ℚ), x < ↑a → y ≤ ↑a
q : ℚ
hq : x < ↑q
⊢ x < ↑q

Tactic:
exact mod_cast hq

Result:
no goals

Proof state:
case e_f.h.h.e_6.h.h
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬(ν a).restrict s = 0
b : β
y : ℝ
⊢ y ≤ x ↔ ∀ (a : ℚ), x < ↑a → y ≤ ↑a

Tactic:
refine ⟨fun h a ha ↦ h.trans ?_, fun h ↦ ?_⟩

Result:
case e_f.h.h.e_6.h.h.refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a✝ : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬(ν a✝).restrict s = 0
b : β
y : ℝ
h : y ≤ x
a : ℚ
ha : x < ↑a
⊢ x ≤ ↑a

case e_f.h.h.e_6.h.h.refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬(ν a).restrict s = 0
b : β
y : ℝ
h : ∀ (a : ℚ), x < ↑a → y ≤ ↑a
⊢ y ≤ x

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : (ν a).restrict s = 0
q : ℚ
hq : x < ↑q
this : (κ a) (s ×ˢ Iic ↑q) = 0
⊢ (κ a) (s ×ˢ Iic x) = 0

Tactic:
refine measure_mono_null (fun p ↦ ?_) this

Result:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : (ν a).restrict s = 0
q : ℚ
hq : x < ↑q
this : (κ a) (s ×ˢ Iic ↑q) = 0
p : β × ℝ
⊢ p ∈ s ×ˢ Iic x → p ∈ s ×ˢ Iic ↑q

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : (ν a).restrict s = 0
q : ℚ
hq : x < ↑q
this : ((κ a) (s ×ˢ Iic ↑q)).toReal = 0
⊢ (κ a) (s ×ˢ Iic ↑q) = 0

Tactic:
rw [ENNReal.toReal_eq_zero_iff] at this

Result:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : (ν a).restrict s = 0
q : ℚ
hq : x < ↑q
this : (κ a) (s ×ˢ Iic ↑q) = 0 ∨ (κ a) (s ×ˢ Iic ↑q) = ⊤
⊢ (κ a) (s ×ˢ Iic ↑q) = 0

Proof state:
case neg.hs
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
hρ_zero : ¬(ν a).restrict s = 0
h :
  ∫⁻ (b : β) in s, ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x) ∂ν a =
    ∫⁻ (b : β) in s, ⨅ r, ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) ↑↑r) ∂ν a
h_nonempty : Nonempty { r' // x < ↑r' }
⊢ Monotone fun b => s ×ˢ Iic ↑↑b

Tactic:
exact fun i j hij ↦ prod_mono_right (by gcongr)

Result:
no goals