-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Affine.lean
theorem _root_.Collinear.oangle_sign_of_sameRay_vsub {p₁ p₂ p₃ p₄ : P} (p₅ : P) (hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂)
    (hp₃p₄ : p₃ ≠ p₄) (hc : Collinear ℝ ({p₁, p₂, p₃, p₄} : Set P))
    (hr : SameRay ℝ (p₂ -ᵥ p₁) (p₄ -ᵥ p₃)) : (∡ p₁ p₅ p₂).sign = (∡ p₃ p₅ p₄).sign

Proof state:
case mk.mk.intro.mk.mk.intro.intro.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ : P
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
hp₃p₄ : p₃ ≠ p₄
hc : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃, p₄}
hr : SameRay ℝ (p₂ -ᵥ p₁) (p₄ -ᵥ p₃)
hc₅₁₂ : ¬Collinear ℝ {p₅, p₁, p₂}
s : Set (P × P × P) := (fun x => (↑x.1, p₅, x.2 +ᵥ ↑x.1)) '' Set.univ ×ˢ {v | SameRay ℝ (p₂ -ᵥ p₁) v ∧ v ≠ 0}
hco : IsConnected s
hf : ContinuousOn (fun p => ∡ p.1 p.2.1 p.2.2) s
v : V
q : P
hq : q ∈ affineSpan ℝ {p₁, p₂}
hv : SameRay ℝ (p₂ -ᵥ p₁) v ∧ v ≠ 0
⊢ ∡ q p₅ (v +ᵥ q) ≠ 0 ∧ ∡ q p₅ (v +ᵥ q) ≠ ↑π

Tactic:
obtain ⟨hvr, hv0⟩ := hv

Result:
case mk.mk.intro.mk.mk.intro.intro.intro.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ : P
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
hp₃p₄ : p₃ ≠ p₄
hc : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃, p₄}
hr : SameRay ℝ (p₂ -ᵥ p₁) (p₄ -ᵥ p₃)
hc₅₁₂ : ¬Collinear ℝ {p₅, p₁, p₂}
s : Set (P × P × P) := (fun x => (↑x.1, p₅, x.2 +ᵥ ↑x.1)) '' Set.univ ×ˢ {v | SameRay ℝ (p₂ -ᵥ p₁) v ∧ v ≠ 0}
hco : IsConnected s
hf : ContinuousOn (fun p => ∡ p.1 p.2.1 p.2.2) s
v : V
q : P
hq : q ∈ affineSpan ℝ {p₁, p₂}
hvr : SameRay ℝ (p₂ -ᵥ p₁) v
hv0 : v ≠ 0
⊢ ∡ q p₅ (v +ᵥ q) ≠ 0 ∧ ∡ q p₅ (v +ᵥ q) ≠ ↑π

Proof state:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ : P
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
hp₃p₄ : p₃ ≠ p₄
hc : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃, p₄}
hr : SameRay ℝ (p₂ -ᵥ p₁) (p₄ -ᵥ p₃)
⊢ (∡ p₁ p₅ p₂).sign = (∡ p₃ p₅ p₄).sign

Tactic:
by_cases hc₅₁₂ : Collinear ℝ ({p₅, p₁, p₂} : Set P)

Result:
case pos
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ : P
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
hp₃p₄ : p₃ ≠ p₄
hc : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃, p₄}
hr : SameRay ℝ (p₂ -ᵥ p₁) (p₄ -ᵥ p₃)
hc₅₁₂ : Collinear ℝ {p₅, p₁, p₂}
⊢ (∡ p₁ p₅ p₂).sign = (∡ p₃ p₅ p₄).sign

case neg
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ : P
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
hp₃p₄ : p₃ ≠ p₄
hc : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃, p₄}
hr : SameRay ℝ (p₂ -ᵥ p₁) (p₄ -ᵥ p₃)
hc₅₁₂ : ¬Collinear ℝ {p₅, p₁, p₂}
⊢ (∡ p₁ p₅ p₂).sign = (∡ p₃ p₅ p₄).sign

Proof state:
case refine_2.mk.mk.intro.mk.mk.intro.intro.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ : P
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
hp₃p₄ : p₃ ≠ p₄
hc : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃, p₄}
hr : SameRay ℝ (p₂ -ᵥ p₁) (p₄ -ᵥ p₃)
hc₅₁₂ : ¬Collinear ℝ {p₅, p₁, p₂}
s : Set (P × P × P) := (fun x => (↑x.1, p₅, x.2 +ᵥ ↑x.1)) '' Set.univ ×ˢ {v | SameRay ℝ (p₂ -ᵥ p₁) v ∧ v ≠ 0}
hco : IsConnected s
v : V
q : P
hq : q ∈ affineSpan ℝ {p₁, p₂}
hv : (⟨q, hq⟩, v).2 ∈ {v | SameRay ℝ (p₂ -ᵥ p₁) v ∧ v ≠ 0}
⊢ (⟨q, hq⟩, v).2 +ᵥ ↑(⟨q, hq⟩, v).1 ≠ p₅

Tactic:
dsimp only [Subtype.coe_mk, Set.mem_setOf] at hv ⊢

Result:
case refine_2.mk.mk.intro.mk.mk.intro.intro.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ : P
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
hp₃p₄ : p₃ ≠ p₄
hc : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃, p₄}
hr : SameRay ℝ (p₂ -ᵥ p₁) (p₄ -ᵥ p₃)
hc₅₁₂ : ¬Collinear ℝ {p₅, p₁, p₂}
s : Set (P × P × P) := (fun x => (↑x.1, p₅, x.2 +ᵥ ↑x.1)) '' Set.univ ×ˢ {v | SameRay ℝ (p₂ -ᵥ p₁) v ∧ v ≠ 0}
hco : IsConnected s
v : V
q : P
hq : q ∈ affineSpan ℝ {p₁, p₂}
hv : v ∈ {v | SameRay ℝ (p₂ -ᵥ p₁) v ∧ v ≠ 0}
⊢ v +ᵥ q ≠ p₅

Proof state:
case refine_2
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ : P
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
hp₃p₄ : p₃ ≠ p₄
hc : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃, p₄}
hr : SameRay ℝ (p₂ -ᵥ p₁) (p₄ -ᵥ p₃)
hc₅₁₂ : ¬Collinear ℝ {p₅, p₁, p₂}
s : Set (P × P × P) := (fun x => (↑x.1, p₅, x.2 +ᵥ ↑x.1)) '' Set.univ ×ˢ {v | SameRay ℝ (p₂ -ᵥ p₁) v ∧ v ≠ 0}
hco : IsConnected s
p : P × P × P
hp : ∃ x, x.2 ∈ {v | SameRay ℝ (p₂ -ᵥ p₁) v ∧ v ≠ 0} ∧ ↑x.1 = p.1 ∧ p₅ = p.2.1 ∧ x.2 +ᵥ ↑x.1 = p.2.2
⊢ p.2.2 ≠ p.2.1

Tactic:
obtain ⟨q₁, q₅, q₂⟩ := p

Result:
case refine_2.mk.mk
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ : P
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
hp₃p₄ : p₃ ≠ p₄
hc : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃, p₄}
hr : SameRay ℝ (p₂ -ᵥ p₁) (p₄ -ᵥ p₃)
hc₅₁₂ : ¬Collinear ℝ {p₅, p₁, p₂}
s : Set (P × P × P) := (fun x => (↑x.1, p₅, x.2 +ᵥ ↑x.1)) '' Set.univ ×ˢ {v | SameRay ℝ (p₂ -ᵥ p₁) v ∧ v ≠ 0}
hco : IsConnected s
q₁ q₅ q₂ : P
hp :
  ∃ x,
    x.2 ∈ {v | SameRay ℝ (p₂ -ᵥ p₁) v ∧ v ≠ 0} ∧
      ↑x.1 = (q₁, q₅, q₂).1 ∧ p₅ = (q₁, q₅, q₂).2.1 ∧ x.2 +ᵥ ↑x.1 = (q₁, q₅, q₂).2.2
⊢ (q₁, q₅, q₂).2.2 ≠ (q₁, q₅, q₂).2.1

Proof state:
case pos
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ : P
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
hp₃p₄ : p₃ ≠ p₄
hc : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃, p₄}
hr : SameRay ℝ (p₂ -ᵥ p₁) (p₄ -ᵥ p₃)
hc₅₁₂ : Collinear ℝ {p₁, p₅, p₂}
hc₅₁₂₃₄ : Collinear ℝ {p₅, p₁, p₂, p₃, p₄}
hc₅₃₄ : Collinear ℝ {p₃, p₅, p₄}
⊢ (∡ p₁ p₅ p₂).sign = (∡ p₃ p₅ p₄).sign

Tactic:
have hs₁₅₂ := oangle_eq_zero_or_eq_pi_iff_collinear.2 hc₅₁₂

Result:
case pos
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ p₄ p₅ : P
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
hp₃p₄ : p₃ ≠ p₄
hc : Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃, p₄}
hr : SameRay ℝ (p₂ -ᵥ p₁) (p₄ -ᵥ p₃)
hc₅₁₂ : Collinear ℝ {p₁, p₅, p₂}
hc₅₁₂₃₄ : Collinear ℝ {p₅, p₁, p₂, p₃, p₄}
hc₅₃₄ : Collinear ℝ {p₃, p₅, p₄}
hs₁₅₂ : ∡ p₁ p₅ p₂ = 0 ∨ ∡ p₁ p₅ p₂ = ↑π
⊢ (∡ p₁ p₅ p₂).sign = (∡ p₃ p₅ p₄).sign