-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basis.lean
@[simp]
lemma add_toBilin (bm : Basis ι R M) (Q₁ Q₂ : QuadraticMap R M N) :
    (Q₁ + Q₂).toBilin bm = Q₁.toBilin bm + Q₂.toBilin bm

Proof state:
case inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder ι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
bm : Basis ι R M
Q₁ Q₂ : QuadraticMap R M N
i : ι
⊢ (((Q₁ + Q₂).toBilin bm) (bm i)) (bm i) = ((Q₁.toBilin bm + Q₂.toBilin bm) (bm i)) (bm i)

Tactic:
simp [toBilin_apply]

Result:
no goals

Proof state:
case inr.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder ι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
bm : Basis ι R M
Q₁ Q₂ : QuadraticMap R M N
i j : ι
h : j < i
⊢ (((Q₁ + Q₂).toBilin bm) (bm i)) (bm j) = ((Q₁.toBilin bm + Q₂.toBilin bm) (bm i)) (bm j)

Tactic:
simp [h.ne', h.not_lt, toBilin_apply, polar_add]

Result:
no goals

Proof state:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder ι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
bm : Basis ι R M
Q₁ Q₂ : QuadraticMap R M N
⊢ (Q₁ + Q₂).toBilin bm = Q₁.toBilin bm + Q₂.toBilin bm

Tactic:
refine bm.ext fun i => bm.ext fun j => ?_

Result:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder ι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
bm : Basis ι R M
Q₁ Q₂ : QuadraticMap R M N
i j : ι
⊢ (((Q₁ + Q₂).toBilin bm) (bm i)) (bm j) = ((Q₁.toBilin bm + Q₂.toBilin bm) (bm i)) (bm j)

Proof state:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder ι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
bm : Basis ι R M
Q₁ Q₂ : QuadraticMap R M N
i j : ι
⊢ (((Q₁ + Q₂).toBilin bm) (bm i)) (bm j) = ((Q₁.toBilin bm + Q₂.toBilin bm) (bm i)) (bm j)

Tactic:
obtain h | rfl | h := lt_trichotomy i j

Result:
case inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder ι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
bm : Basis ι R M
Q₁ Q₂ : QuadraticMap R M N
i j : ι
h : i < j
⊢ (((Q₁ + Q₂).toBilin bm) (bm i)) (bm j) = ((Q₁.toBilin bm + Q₂.toBilin bm) (bm i)) (bm j)

case inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder ι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
bm : Basis ι R M
Q₁ Q₂ : QuadraticMap R M N
i : ι
⊢ (((Q₁ + Q₂).toBilin bm) (bm i)) (bm i) = ((Q₁.toBilin bm + Q₂.toBilin bm) (bm i)) (bm i)

case inr.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder ι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
bm : Basis ι R M
Q₁ Q₂ : QuadraticMap R M N
i j : ι
h : j < i
⊢ (((Q₁ + Q₂).toBilin bm) (bm i)) (bm j) = ((Q₁.toBilin bm + Q₂.toBilin bm) (bm i)) (bm j)

Proof state:
case inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁵ : LinearOrder ι
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
bm : Basis ι R M
Q₁ Q₂ : QuadraticMap R M N
i j : ι
h : i < j
⊢ (((Q₁ + Q₂).toBilin bm) (bm i)) (bm j) = ((Q₁.toBilin bm + Q₂.toBilin bm) (bm i)) (bm j)

Tactic:
simp [h.ne, h, toBilin_apply, polar_add]

Result:
no goals