-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/RieszMarkovKakutani/Basic.lean
lemma le_rieszMeasure_of_isCompact_tsupport_subset {f : C_c(X, ℝ≥0)} (hf : ∀ x, f x ≤ 1)
    {K : Set X} (hK : IsCompact K) (h : tsupport f ⊆ K) : .ofNNReal (Λ f) ≤ rieszMeasure Λ K

Proof state:
X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
Λ : (X →C_c ℝ≥0) →ₗ[ℝ≥0] ℝ≥0
inst✝³ : T2Space X
inst✝² : LocallyCompactSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
f : X →C_c ℝ≥0
hf : ∀ (x : X), f x ≤ 1
K : Set X
hK : IsCompact K
h : tsupport ⇑f ⊆ K
⊢ ∀ (ε : ℝ≥0), 0 < ε → Λ f ≤ rieszContentAux Λ { carrier := K, isCompact' := hK } + ε

Tactic:
intro ε hε

Result:
X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
Λ : (X →C_c ℝ≥0) →ₗ[ℝ≥0] ℝ≥0
inst✝³ : T2Space X
inst✝² : LocallyCompactSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
f : X →C_c ℝ≥0
hf : ∀ (x : X), f x ≤ 1
K : Set X
hK : IsCompact K
h : tsupport ⇑f ⊆ K
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε
⊢ Λ f ≤ rieszContentAux Λ { carrier := K, isCompact' := hK } + ε

Proof state:
X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
Λ : (X →C_c ℝ≥0) →ₗ[ℝ≥0] ℝ≥0
inst✝³ : T2Space X
inst✝² : LocallyCompactSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
f : X →C_c ℝ≥0
hf : ∀ (x : X), f x ≤ 1
K : Set X
hK : IsCompact K
h : tsupport ⇑f ⊆ K
⊢ ↑(Λ f) ≤ (rieszContent Λ) { carrier := K, isCompact' := hK }

Tactic:
simp only [rieszContent, ENNReal.ofReal_coe_nnreal, ENNReal.coe_le_coe, Content.mk_apply]

Result:
X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
Λ : (X →C_c ℝ≥0) →ₗ[ℝ≥0] ℝ≥0
inst✝³ : T2Space X
inst✝² : LocallyCompactSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
f : X →C_c ℝ≥0
hf : ∀ (x : X), f x ≤ 1
K : Set X
hK : IsCompact K
h : tsupport ⇑f ⊆ K
⊢ Λ f ≤ rieszContentAux Λ { carrier := K, isCompact' := hK }

Proof state:
X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
Λ : (X →C_c ℝ≥0) →ₗ[ℝ≥0] ℝ≥0
inst✝³ : T2Space X
inst✝² : LocallyCompactSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
f : X →C_c ℝ≥0
hf : ∀ (x : X), f x ≤ 1
K : Set X
hK : IsCompact K
h : tsupport ⇑f ⊆ K
⊢ Λ f ≤ rieszContentAux Λ { carrier := K, isCompact' := hK }

Tactic:
apply le_iff_forall_pos_le_add.mpr

Result:
X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
Λ : (X →C_c ℝ≥0) →ₗ[ℝ≥0] ℝ≥0
inst✝³ : T2Space X
inst✝² : LocallyCompactSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
f : X →C_c ℝ≥0
hf : ∀ (x : X), f x ≤ 1
K : Set X
hK : IsCompact K
h : tsupport ⇑f ⊆ K
⊢ ∀ (ε : ℝ≥0), 0 < ε → Λ f ≤ rieszContentAux Λ { carrier := K, isCompact' := hK } + ε

Proof state:
X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
Λ : (X →C_c ℝ≥0) →ₗ[ℝ≥0] ℝ≥0
inst✝³ : T2Space X
inst✝² : LocallyCompactSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
f : X →C_c ℝ≥0
hf : ∀ (x : X), f x ≤ 1
K : Set X
hK : IsCompact K
h : tsupport ⇑f ⊆ K
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε
g : X →C_c ℝ≥0
hg :
  (∀ x ∈ { carrier := K, isCompact' := hK }, 1 ≤ g x) ∧ Λ g < rieszContentAux Λ { carrier := K, isCompact' := hK } + ε
⊢ Λ f ≤ Λ g

Tactic:
apply monotone_of_nnreal Λ

Result:
case a
X : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
Λ : (X →C_c ℝ≥0) →ₗ[ℝ≥0] ℝ≥0
inst✝³ : T2Space X
inst✝² : LocallyCompactSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
f : X →C_c ℝ≥0
hf : ∀ (x : X), f x ≤ 1
K : Set X
hK : IsCompact K
h : tsupport ⇑f ⊆ K
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ε
g : X →C_c ℝ≥0
hg :
  (∀ x ∈ { carrier := K, isCompact' := hK }, 1 ≤ g x) ∧ Λ g < rieszContentAux Λ { carrier := K, isCompact' := hK } + ε
⊢ f ≤ g