-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/Defs.lean
theorem IsBigOWith.mul {f₁ f₂ : α → R} {g₁ g₂ : α → 𝕜} {c₁ c₂ : ℝ} (h₁ : IsBigOWith c₁ l f₁ g₁)
    (h₂ : IsBigOWith c₂ l f₂ g₂) :
    IsBigOWith (c₁ * c₂) l (fun x => f₁ x * f₂ x) fun x => g₁ x * g₂ x

Proof state:
case h.e'_4
α : Type u_1
R : Type u_13
𝕜 : Type u_15
inst✝¹ : SeminormedRing R
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜
l : Filter α
f₁ f₂ : α → R
g₁ g₂ : α → 𝕜
c₁ c₂ : ℝ
h₁ : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f₁ x‖ ≤ c₁ * ‖g₁ x‖
h₂ : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f₂ x‖ ≤ c₂ * ‖g₂ x‖
a✝ : α
hx₁ : ‖f₁ a✝‖ ≤ c₁ * ‖g₁ a✝‖
hx₂ : ‖f₂ a✝‖ ≤ c₂ * ‖g₂ a✝‖
⊢ c₁ * c₂ * ‖g₁ a✝ * g₂ a✝‖ = c₁ * ‖g₁ a✝‖ * (c₂ * ‖g₂ a✝‖)

Tactic:
rw [norm_mul, mul_mul_mul_comm]

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_1
R : Type u_13
𝕜 : Type u_15
inst✝¹ : SeminormedRing R
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜
l : Filter α
f₁ f₂ : α → R
g₁ g₂ : α → 𝕜
c₁ c₂ : ℝ
h₁ : IsBigOWith c₁ l f₁ g₁
h₂ : IsBigOWith c₂ l f₂ g₂
⊢ IsBigOWith (c₁ * c₂) l (fun x => f₁ x * f₂ x) fun x => g₁ x * g₂ x

Tactic:
simp only [IsBigOWith_def] at *

Result:
α : Type u_1
R : Type u_13
𝕜 : Type u_15
inst✝¹ : SeminormedRing R
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜
l : Filter α
f₁ f₂ : α → R
g₁ g₂ : α → 𝕜
c₁ c₂ : ℝ
h₁ : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f₁ x‖ ≤ c₁ * ‖g₁ x‖
h₂ : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f₂ x‖ ≤ c₂ * ‖g₂ x‖
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f₁ x * f₂ x‖ ≤ c₁ * c₂ * ‖g₁ x * g₂ x‖

Proof state:
α : Type u_1
R : Type u_13
𝕜 : Type u_15
inst✝¹ : SeminormedRing R
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜
l : Filter α
f₁ f₂ : α → R
g₁ g₂ : α → 𝕜
c₁ c₂ : ℝ
h₁ : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f₁ x‖ ≤ c₁ * ‖g₁ x‖
h₂ : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f₂ x‖ ≤ c₂ * ‖g₂ x‖
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f₁ x * f₂ x‖ ≤ c₁ * c₂ * ‖g₁ x * g₂ x‖

Tactic:
filter_upwards [h₁, h₂] with _ hx₁ hx₂

Result:
case h
α : Type u_1
R : Type u_13
𝕜 : Type u_15
inst✝¹ : SeminormedRing R
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜
l : Filter α
f₁ f₂ : α → R
g₁ g₂ : α → 𝕜
c₁ c₂ : ℝ
h₁ : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f₁ x‖ ≤ c₁ * ‖g₁ x‖
h₂ : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f₂ x‖ ≤ c₂ * ‖g₂ x‖
a✝ : α
hx₁ : ‖f₁ a✝‖ ≤ c₁ * ‖g₁ a✝‖
hx₂ : ‖f₂ a✝‖ ≤ c₂ * ‖g₂ a✝‖
⊢ ‖f₁ a✝ * f₂ a✝‖ ≤ c₁ * c₂ * ‖g₁ a✝ * g₂ a✝‖

Proof state:
case h
α : Type u_1
R : Type u_13
𝕜 : Type u_15
inst✝¹ : SeminormedRing R
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜
l : Filter α
f₁ f₂ : α → R
g₁ g₂ : α → 𝕜
c₁ c₂ : ℝ
h₁ : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f₁ x‖ ≤ c₁ * ‖g₁ x‖
h₂ : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f₂ x‖ ≤ c₂ * ‖g₂ x‖
a✝ : α
hx₁ : ‖f₁ a✝‖ ≤ c₁ * ‖g₁ a✝‖
hx₂ : ‖f₂ a✝‖ ≤ c₂ * ‖g₂ a✝‖
⊢ ‖f₁ a✝‖ * ‖f₂ a✝‖ ≤ c₁ * c₂ * ‖g₁ a✝ * g₂ a✝‖

Tactic:
convert mul_le_mul hx₁ hx₂ (norm_nonneg _) (le_trans (norm_nonneg _) hx₁) using 1

Result:
case h.e'_4
α : Type u_1
R : Type u_13
𝕜 : Type u_15
inst✝¹ : SeminormedRing R
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜
l : Filter α
f₁ f₂ : α → R
g₁ g₂ : α → 𝕜
c₁ c₂ : ℝ
h₁ : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f₁ x‖ ≤ c₁ * ‖g₁ x‖
h₂ : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f₂ x‖ ≤ c₂ * ‖g₂ x‖
a✝ : α
hx₁ : ‖f₁ a✝‖ ≤ c₁ * ‖g₁ a✝‖
hx₂ : ‖f₂ a✝‖ ≤ c₂ * ‖g₂ a✝‖
⊢ c₁ * c₂ * ‖g₁ a✝ * g₂ a✝‖ = c₁ * ‖g₁ a✝‖ * (c₂ * ‖g₂ a✝‖)

Proof state:
case h
α : Type u_1
R : Type u_13
𝕜 : Type u_15
inst✝¹ : SeminormedRing R
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜
l : Filter α
f₁ f₂ : α → R
g₁ g₂ : α → 𝕜
c₁ c₂ : ℝ
h₁ : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f₁ x‖ ≤ c₁ * ‖g₁ x‖
h₂ : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f₂ x‖ ≤ c₂ * ‖g₂ x‖
a✝ : α
hx₁ : ‖f₁ a✝‖ ≤ c₁ * ‖g₁ a✝‖
hx₂ : ‖f₂ a✝‖ ≤ c₂ * ‖g₂ a✝‖
⊢ ‖f₁ a✝ * f₂ a✝‖ ≤ c₁ * c₂ * ‖g₁ a✝ * g₂ a✝‖

Tactic:
apply le_trans (norm_mul_le _ _)

Result:
case h
α : Type u_1
R : Type u_13
𝕜 : Type u_15
inst✝¹ : SeminormedRing R
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜
l : Filter α
f₁ f₂ : α → R
g₁ g₂ : α → 𝕜
c₁ c₂ : ℝ
h₁ : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f₁ x‖ ≤ c₁ * ‖g₁ x‖
h₂ : ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f₂ x‖ ≤ c₂ * ‖g₂ x‖
a✝ : α
hx₁ : ‖f₁ a✝‖ ≤ c₁ * ‖g₁ a✝‖
hx₂ : ‖f₂ a✝‖ ≤ c₂ * ‖g₂ a✝‖
⊢ ‖f₁ a✝‖ * ‖f₂ a✝‖ ≤ c₁ * c₂ * ‖g₁ a✝ * g₂ a✝‖