-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/LocallyInjective.lean
@[simp]
lemma equalizerSieve_eq_top_iff {F : Cᵒᵖ ⥤ D} {X : Cᵒᵖ} (x y : ToType (F.obj X)) :
    equalizerSieve x y = ⊤ ↔ x = y

Proof state:
case mpr
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
FD : D → D → Type u_1
CD : D → Type w
inst✝¹ : (X Y : D) → FunLike (FD X Y) (CD X) (CD Y)
inst✝ : ConcreteCategory D FD
F : Cᵒᵖ ⥤ D
X : Cᵒᵖ
x : ToType (F.obj X)
⊢ equalizerSieve x x = ⊤

Tactic:
apply equalizerSieve_self_eq_top

Result:
no goals

Proof state:
case mpr
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
FD : D → D → Type u_1
CD : D → Type w
inst✝¹ : (X Y : D) → FunLike (FD X Y) (CD X) (CD Y)
inst✝ : ConcreteCategory D FD
F : Cᵒᵖ ⥤ D
X : Cᵒᵖ
x y : ToType (F.obj X)
⊢ x = y → equalizerSieve x y = ⊤

Tactic:
rintro rfl

Result:
case mpr
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
FD : D → D → Type u_1
CD : D → Type w
inst✝¹ : (X Y : D) → FunLike (FD X Y) (CD X) (CD Y)
inst✝ : ConcreteCategory D FD
F : Cᵒᵖ ⥤ D
X : Cᵒᵖ
x : ToType (F.obj X)
⊢ equalizerSieve x x = ⊤

Proof state:
case mp
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
FD : D → D → Type u_1
CD : D → Type w
inst✝¹ : (X Y : D) → FunLike (FD X Y) (CD X) (CD Y)
inst✝ : ConcreteCategory D FD
F : Cᵒᵖ ⥤ D
X : Cᵒᵖ
x y : ToType (F.obj X)
⊢ equalizerSieve x y = ⊤ → x = y

Tactic:
intro h

Result:
case mp
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
FD : D → D → Type u_1
CD : D → Type w
inst✝¹ : (X Y : D) → FunLike (FD X Y) (CD X) (CD Y)
inst✝ : ConcreteCategory D FD
F : Cᵒᵖ ⥤ D
X : Cᵒᵖ
x y : ToType (F.obj X)
h : equalizerSieve x y = ⊤
⊢ x = y

Proof state:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
FD : D → D → Type u_1
CD : D → Type w
inst✝¹ : (X Y : D) → FunLike (FD X Y) (CD X) (CD Y)
inst✝ : ConcreteCategory D FD
F : Cᵒᵖ ⥤ D
X : Cᵒᵖ
x y : ToType (F.obj X)
⊢ equalizerSieve x y = ⊤ ↔ x = y

Tactic:
constructor

Result:
case mp
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
FD : D → D → Type u_1
CD : D → Type w
inst✝¹ : (X Y : D) → FunLike (FD X Y) (CD X) (CD Y)
inst✝ : ConcreteCategory D FD
F : Cᵒᵖ ⥤ D
X : Cᵒᵖ
x y : ToType (F.obj X)
⊢ equalizerSieve x y = ⊤ → x = y

case mpr
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
FD : D → D → Type u_1
CD : D → Type w
inst✝¹ : (X Y : D) → FunLike (FD X Y) (CD X) (CD Y)
inst✝ : ConcreteCategory D FD
F : Cᵒᵖ ⥤ D
X : Cᵒᵖ
x y : ToType (F.obj X)
⊢ x = y → equalizerSieve x y = ⊤

Proof state:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
FD : D → D → Type u_1
CD : D → Type w
inst✝¹ : (X Y : D) → FunLike (FD X Y) (CD X) (CD Y)
inst✝ : ConcreteCategory D FD
F : Cᵒᵖ ⥤ D
X : Cᵒᵖ
x y : ToType (F.obj X)
h : equalizerSieve x y = ⊤
⊢ (equalizerSieve x y).arrows (𝟙 (unop X))

Tactic:
simp [h]

Result:
no goals

Proof state:
case mp
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝² : Category.{v', u'} D
FD : D → D → Type u_1
CD : D → Type w
inst✝¹ : (X Y : D) → FunLike (FD X Y) (CD X) (CD Y)
inst✝ : ConcreteCategory D FD
F : Cᵒᵖ ⥤ D
X : Cᵒᵖ
x y : ToType (F.obj X)
h : equalizerSieve x y = ⊤
⊢ x = y

Tactic:
simpa using (show equalizerSieve x y (𝟙 _) by simp [h])

Result:
no goals