-- Mathlib/RingTheory/Discriminant.lean
theorem discr_powerBasis_eq_prod'' [Algebra.IsSeparable K L] (e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)) :
    algebraMap K E (discr K pb.basis) =
      (-1) ^ (n * (n - 1) / 2) *
        ∏ i : Fin pb.dim, ∏ j ∈ Ioi i, (e j pb.gen - e i pb.gen) * (e i pb.gen - e j pb.gen)

Proof state:
case e_a.e_a
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E
pb : PowerBasis K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)
this : ∀ (x : Fin pb.dim), ↑x + 1 ≤ pb.dim
⊢ ↑pb.dim * ↑pb.dim - (∑ x : Fin pb.dim, ↑↑x + ↑pb.dim) = ↑(n * (n - 1) / 2)

Tactic:
rw [← Nat.cast_sum, ← @Finset.sum_range ℕ _ pb.dim fun i => i, sum_range_id]

Result:
case e_a.e_a
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E
pb : PowerBasis K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)
this : ∀ (x : Fin pb.dim), ↑x + 1 ≤ pb.dim
⊢ ↑pb.dim * ↑pb.dim - (↑(pb.dim * (pb.dim - 1) / 2) + ↑pb.dim) = ↑(n * (n - 1) / 2)

Proof state:
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E
pb : PowerBasis K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)
⊢ (algebraMap K E) (discr K ⇑pb.basis) =
    (-1) ^ (n * (n - 1) / 2) *
      ∏ i : Fin pb.dim, ∏ j ∈ Ioi i, ((e j) pb.gen - (e i) pb.gen) * ((e i) pb.gen - (e j) pb.gen)

Tactic:
rw [discr_powerBasis_eq_prod' _ _ _ e]

Result:
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E
pb : PowerBasis K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)
⊢ ∏ i : Fin pb.dim, ∏ j ∈ Ioi i, -(((e j) pb.gen - (e i) pb.gen) * ((e i) pb.gen - (e j) pb.gen)) =
    (-1) ^ (n * (n - 1) / 2) *
      ∏ i : Fin pb.dim, ∏ j ∈ Ioi i, ((e j) pb.gen - (e i) pb.gen) * ((e i) pb.gen - (e j) pb.gen)

Proof state:
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E
pb : PowerBasis K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)
this : ∀ (x : Fin pb.dim), ↑x + 1 ≤ pb.dim
hn : n = pb.dim
h₂ : 2 ∣ pb.dim * (pb.dim - 1)
hne : ↑2 ≠ 0
⊢ Nontrivial L

Tactic:
infer_instance

Result:
no goals

Proof state:
case e_a
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E
pb : PowerBasis K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)
⊢ (-1) ^ ∑ i : Fin pb.dim, #(Ioi i) = (-1) ^ (n * (n - 1) / 2)

Tactic:
congr

Result:
case e_a.e_a
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E
pb : PowerBasis K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)
⊢ ∑ i : Fin pb.dim, #(Ioi i) = n * (n - 1) / 2

Proof state:
case e_a.e_a
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E
pb : PowerBasis K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)
⊢ ∑ i : Fin pb.dim, #(Ioi i) = n * (n - 1) / 2

Tactic:
rw [← @Nat.cast_inj ℚ, Nat.cast_sum]

Result:
case e_a.e_a
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E
pb : PowerBasis K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)
⊢ ∑ x : Fin pb.dim, ↑(#(Ioi x)) = ↑(n * (n - 1) / 2)

Proof state:
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E
pb : PowerBasis K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)
this : ∀ (x : Fin pb.dim), ↑x + 1 ≤ pb.dim
⊢ Fintype.card (L →ₐ[K] E) = Fintype.card (Fin pb.dim)

Tactic:
exact Fintype.card_congr e.symm

Result:
no goals

Proof state:
case e_a.e_a
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E
pb : PowerBasis K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)
this : ∀ (x : Fin pb.dim), ↑x + 1 ≤ pb.dim
⊢ ↑pb.dim * ↑pb.dim - (↑(pb.dim * (pb.dim - 1) / 2) + ↑pb.dim) = ↑(n * (n - 1) / 2)

Tactic:
have hn : n = pb.dim := by
  rw [← AlgHom.card K L E, ← Fintype.card_fin pb.dim]
  exact Fintype.card_congr e.symm

Result:
case e_a.e_a
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E
pb : PowerBasis K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)
this : ∀ (x : Fin pb.dim), ↑x + 1 ≤ pb.dim
hn : n = pb.dim
⊢ ↑pb.dim * ↑pb.dim - (↑(pb.dim * (pb.dim - 1) / 2) + ↑pb.dim) = ↑(n * (n - 1) / 2)

Proof state:
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E
pb : PowerBasis K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)
⊢ ∏ i : Fin pb.dim, ∏ j ∈ Ioi i, -(((e j) pb.gen - (e i) pb.gen) * ((e i) pb.gen - (e j) pb.gen)) =
    (-1) ^ (n * (n - 1) / 2) *
      ∏ i : Fin pb.dim, ∏ j ∈ Ioi i, ((e j) pb.gen - (e i) pb.gen) * ((e i) pb.gen - (e j) pb.gen)

Tactic:
simp_rw [fun i j => neg_eq_neg_one_mul ((e j pb.gen - e i pb.gen) * (e i pb.gen - e j pb.gen)),
  prod_mul_distrib]

Result:
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E
pb : PowerBasis K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)
⊢ (∏ x : Fin pb.dim, ∏ x ∈ Ioi x, -1) *
      ((∏ x : Fin pb.dim, ∏ x_1 ∈ Ioi x, ((e x_1) pb.gen - (e x) pb.gen)) *
        ∏ x : Fin pb.dim, ∏ x_1 ∈ Ioi x, ((e x) pb.gen - (e x_1) pb.gen)) =
    (-1) ^ (n * (n - 1) / 2) *
      ((∏ x : Fin pb.dim, ∏ x_1 ∈ Ioi x, ((e x_1) pb.gen - (e x) pb.gen)) *
        ∏ x : Fin pb.dim, ∏ x_1 ∈ Ioi x, ((e x) pb.gen - (e x_1) pb.gen))

Proof state:
case e_a.e_a
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E
pb : PowerBasis K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)
this : ∀ (x : Fin pb.dim), ↑x + 1 ≤ pb.dim
hn : n = pb.dim
⊢ ↑pb.dim * ↑pb.dim - (↑(pb.dim * (pb.dim - 1) / 2) + ↑pb.dim) = ↑(n * (n - 1) / 2)

Tactic:
have h₂ : 2 ∣ pb.dim * (pb.dim - 1) := pb.dim.even_mul_pred_self.two_dvd

Result:
case e_a.e_a
K : Type u
L : Type v
E : Type z
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : Field L
inst✝⁵ : Field E
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : Algebra K E
inst✝² : Module.Finite K L
inst✝¹ : IsAlgClosed E
pb : PowerBasis K L
inst✝ : Algebra.IsSeparable K L
e : Fin pb.dim ≃ (L →ₐ[K] E)
this : ∀ (x : Fin pb.dim), ↑x + 1 ≤ pb.dim
hn : n = pb.dim
h₂ : 2 ∣ pb.dim * (pb.dim - 1)
⊢ ↑pb.dim * ↑pb.dim - (↑(pb.dim * (pb.dim - 1) / 2) + ↑pb.dim) = ↑(n * (n - 1) / 2)