-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ContinuousMapDense.lean
theorem MemLp.exists_boundedContinuous_eLpNorm_sub_le [μ.WeaklyRegular] (hp : p ≠ ∞) {f : α → E}
    (hf : MemLp f p μ) {ε : ℝ≥0∞} (hε : ε ≠ 0) :
    ∃ g : α →ᵇ E, eLpNorm (f - (g : α → E)) p μ ≤ ε ∧ MemLp g p μ

Proof state:
α : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : NormalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
hp : p ≠ ⊤
f✝ : α → E
hf : MemLp f✝ p μ
ε✝ : ℝ≥0∞
hε✝ : ε✝ ≠ 0
c : E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
htμ : μ t < ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ :
  ∀ (f g : α → E),
    AEStronglyMeasurable f μ →
      AEStronglyMeasurable g μ → eLpNorm f p μ ≤ δ → eLpNorm g p μ ≤ δ → eLpNorm (f + g) p μ < ε
η : ℝ≥0
ηpos : 0 < η
hη : ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun _x => c) p μ ≤ δ
hη_pos' : 0 < ↑η
s : Set α
st : s ⊆ t
s_closed : IsClosed s
μs : μ (t \ s) < ↑η
hsμ : μ s < ⊤
I1 : eLpNorm ((s.indicator fun _y => c) - t.indicator fun _y => c) p μ ≤ δ
f : α → E
f_cont : Continuous f
I2 : eLpNorm (fun x => f x - s.indicator (fun _y => c) x) p μ ≤ δ
f_bound : ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖
f_mem : MemLp f p μ
⊢ eLpNorm (f - t.indicator fun _y => c) p μ ≤ ε

Tactic:
convert
  (hδ _ _
      (f_mem.aestronglyMeasurable.sub
        (aestronglyMeasurable_const.indicator s_closed.measurableSet))
      ((aestronglyMeasurable_const.indicator s_closed.measurableSet).sub
        (aestronglyMeasurable_const.indicator ht))
      I2 I1).le using 2

Result:
case h.e'_3.h.e'_5
α : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : NormalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
hp : p ≠ ⊤
f✝ : α → E
hf : MemLp f✝ p μ
ε✝ : ℝ≥0∞
hε✝ : ε✝ ≠ 0
c : E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
htμ : μ t < ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ :
  ∀ (f g : α → E),
    AEStronglyMeasurable f μ →
      AEStronglyMeasurable g μ → eLpNorm f p μ ≤ δ → eLpNorm g p μ ≤ δ → eLpNorm (f + g) p μ < ε
η : ℝ≥0
ηpos : 0 < η
hη : ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun _x => c) p μ ≤ δ
hη_pos' : 0 < ↑η
s : Set α
st : s ⊆ t
s_closed : IsClosed s
μs : μ (t \ s) < ↑η
hsμ : μ s < ⊤
I1 : eLpNorm ((s.indicator fun _y => c) - t.indicator fun _y => c) p μ ≤ δ
f : α → E
f_cont : Continuous f
I2 : eLpNorm (fun x => f x - s.indicator (fun _y => c) x) p μ ≤ δ
f_bound : ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖
f_mem : MemLp f p μ
⊢ (f - t.indicator fun _y => c) = (f - s.indicator fun x => c) + ((s.indicator fun x => c) - t.indicator fun x => c)

Proof state:
α : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : NormalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
hp : p ≠ ⊤
f : α → E
hf : MemLp f p μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
⊢ ∃ g, eLpNorm (f - g) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ MemLp g p μ ∧ IsBounded (range g)

Tactic:
apply hf.induction_dense hp _ _ _ _ hε

Result:
α : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : NormalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
hp : p ≠ ⊤
f : α → E
hf : MemLp f p μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
⊢ ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄,
    MeasurableSet s →
      μ s < ⊤ →
        ∀ {ε : ℝ≥0∞},
          ε ≠ 0 → ∃ g, eLpNorm (g - s.indicator fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ MemLp g p μ ∧ IsBounded (range g)

α : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : NormalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
hp : p ≠ ⊤
f : α → E
hf : MemLp f p μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
⊢ ∀ (f g : α → E),
    Continuous f ∧ MemLp f p μ ∧ IsBounded (range f) →
      Continuous g ∧ MemLp g p μ ∧ IsBounded (range g) →
        Continuous (f + g) ∧ MemLp (f + g) p μ ∧ IsBounded (range (f + g))

α : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : NormalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
hp : p ≠ ⊤
f : α → E
hf : MemLp f p μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
⊢ ∀ (f : α → E), Continuous f ∧ MemLp f p μ ∧ IsBounded (range f) → AEStronglyMeasurable f μ

Proof state:
α : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : NormalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
hp : p ≠ ⊤
f : α → E
hf : MemLp f p μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
⊢ ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄,
    MeasurableSet s →
      μ s < ⊤ →
        ∀ {ε : ℝ≥0∞},
          ε ≠ 0 → ∃ g, eLpNorm (g - s.indicator fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ MemLp g p μ ∧ IsBounded (range g)

Tactic:
intro c t ht htμ ε hε

Result:
α : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : NormalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
hp : p ≠ ⊤
f : α → E
hf : MemLp f p μ
ε✝ : ℝ≥0∞
hε✝ : ε✝ ≠ 0
c : E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
htμ : μ t < ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
⊢ ∃ g, eLpNorm (g - t.indicator fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ MemLp g p μ ∧ IsBounded (range g)

Proof state:
case h.e'_3.h.e'_5
α : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : NormalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
hp : p ≠ ⊤
f✝ : α → E
hf : MemLp f✝ p μ
ε✝ : ℝ≥0∞
hε✝ : ε✝ ≠ 0
c : E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
htμ : μ t < ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ :
  ∀ (f g : α → E),
    AEStronglyMeasurable f μ →
      AEStronglyMeasurable g μ → eLpNorm f p μ ≤ δ → eLpNorm g p μ ≤ δ → eLpNorm (f + g) p μ < ε
η : ℝ≥0
ηpos : 0 < η
hη : ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun _x => c) p μ ≤ δ
hη_pos' : 0 < ↑η
s : Set α
st : s ⊆ t
s_closed : IsClosed s
μs : μ (t \ s) < ↑η
hsμ : μ s < ⊤
I1 : eLpNorm ((s.indicator fun _y => c) - t.indicator fun _y => c) p μ ≤ δ
f : α → E
f_cont : Continuous f
I2 : eLpNorm (fun x => f x - s.indicator (fun _y => c) x) p μ ≤ δ
f_bound : ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖
f_mem : MemLp f p μ
⊢ (f - t.indicator fun _y => c) = (f - s.indicator fun x => c) + ((s.indicator fun x => c) - t.indicator fun x => c)

Tactic:
simp only [sub_add_sub_cancel]

Result:
no goals