-- Mathlib/Order/Monotone/Union.lean
theorem StrictMonoOn.union {s t : Set α} {c : α} (h₁ : StrictMonoOn f s)
    (h₂ : StrictMonoOn f t) (hs : IsGreatest s c) (ht : IsLeast t c) : StrictMonoOn f (s ∪ t)

Proof state:
case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
s t : Set α
c : α
h₁ : StrictMonoOn f s
h₂ : StrictMonoOn f t
hs : IsGreatest s c
ht : IsLeast t c
x : α
hxc : x ≤ c
h✝ : x ∈ s
⊢ x ∈ s

Tactic:
assumption

Result:
no goals

Proof state:
case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
s t : Set α
c : α
h₁ : StrictMonoOn f s
h₂ : StrictMonoOn f t
hs : IsGreatest s c
ht : IsLeast t c
A : ∀ x ∈ s ∪ t, x ≤ c → x ∈ s
B : ∀ x ∈ s ∪ t, c ≤ x → x ∈ t
x : α
hx : x ∈ s ∪ t
y : α
hy : y ∈ s ∪ t
hxy : x < y
hxc : x < c
⊢ f x < f y

Tactic:
have xs : x ∈ s := A _ hx hxc.le

Result:
case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
s t : Set α
c : α
h₁ : StrictMonoOn f s
h₂ : StrictMonoOn f t
hs : IsGreatest s c
ht : IsLeast t c
A : ∀ x ∈ s ∪ t, x ≤ c → x ∈ s
B : ∀ x ∈ s ∪ t, c ≤ x → x ∈ t
x : α
hx : x ∈ s ∪ t
y : α
hy : y ∈ s ∪ t
hxy : x < y
hxc : x < c
xs : x ∈ s
⊢ f x < f y

Proof state:
case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
s t : Set α
c : α
h₁ : StrictMonoOn f s
h₂ : StrictMonoOn f t
hs : IsGreatest s c
ht : IsLeast t c
A : ∀ x ∈ s ∪ t, x ≤ c → x ∈ s
hx✝ : c ∈ s ∪ t
hxc : c ≤ c
hx : c ∈ s
⊢ c ∈ t

Tactic:
exact ht.1

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
s t : Set α
c : α
h₁ : StrictMonoOn f s
h₂ : StrictMonoOn f t
hs : IsGreatest s c
ht : IsLeast t c
A : ∀ x ∈ s ∪ t, x ≤ c → x ∈ s
B : ∀ x ∈ s ∪ t, c ≤ x → x ∈ t
x : α
hx : x ∈ s ∪ t
y : α
hy : y ∈ s ∪ t
hxy : x < y
⊢ f x < f y

Tactic:
rcases lt_or_le x c with (hxc | hcx)

Result:
case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
s t : Set α
c : α
h₁ : StrictMonoOn f s
h₂ : StrictMonoOn f t
hs : IsGreatest s c
ht : IsLeast t c
A : ∀ x ∈ s ∪ t, x ≤ c → x ∈ s
B : ∀ x ∈ s ∪ t, c ≤ x → x ∈ t
x : α
hx : x ∈ s ∪ t
y : α
hy : y ∈ s ∪ t
hxy : x < y
hxc : x < c
⊢ f x < f y

case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
s t : Set α
c : α
h₁ : StrictMonoOn f s
h₂ : StrictMonoOn f t
hs : IsGreatest s c
ht : IsLeast t c
A : ∀ x ∈ s ∪ t, x ≤ c → x ∈ s
B : ∀ x ∈ s ∪ t, c ≤ x → x ∈ t
x : α
hx : x ∈ s ∪ t
y : α
hy : y ∈ s ∪ t
hxy : x < y
hcx : c ≤ x
⊢ f x < f y

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
s t : Set α
c : α
h₁ : StrictMonoOn f s
h₂ : StrictMonoOn f t
hs : IsGreatest s c
ht : IsLeast t c
⊢ ∀ x ∈ s ∪ t, x ≤ c → x ∈ s

Tactic:
intro x hx hxc

Result:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
s t : Set α
c : α
h₁ : StrictMonoOn f s
h₂ : StrictMonoOn f t
hs : IsGreatest s c
ht : IsLeast t c
x : α
hx : x ∈ s ∪ t
hxc : x ≤ c
⊢ x ∈ s

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
s t : Set α
c : α
h₁ : StrictMonoOn f s
h₂ : StrictMonoOn f t
hs : IsGreatest s c
ht : IsLeast t c
x : α
hxc : x ≤ c
h✝ : x ∈ t
h'x : x < c
⊢ x ∈ t

Tactic:
assumption

Result:
no goals

Proof state:
case inr.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
s t : Set α
c : α
h₁ : StrictMonoOn f s
h₂ : StrictMonoOn f t
hs : IsGreatest s c
ht : IsLeast t c
x : α
hxc : x ≤ c
h✝ : x ∈ t
h'x : x < c
⊢ x ∈ s

Tactic:
exact (lt_irrefl _ (h'x.trans_le (ht.2 (by assumption)))).elim

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
s t : Set α
c : α
h₁ : StrictMonoOn f s
h₂ : StrictMonoOn f t
hs : IsGreatest s c
ht : IsLeast t c
A : ∀ x ∈ s ∪ t, x ≤ c → x ∈ s
⊢ ∀ x ∈ s ∪ t, c ≤ x → x ∈ t

Tactic:
intro x hx hxc

Result:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
s t : Set α
c : α
h₁ : StrictMonoOn f s
h₂ : StrictMonoOn f t
hs : IsGreatest s c
ht : IsLeast t c
A : ∀ x ∈ s ∪ t, x ≤ c → x ∈ s
x : α
hx : x ∈ s ∪ t
hxc : c ≤ x
⊢ x ∈ t

Proof state:
case inl.inl
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
s t : Set α
c : α
h₁ : StrictMonoOn f s
h₂ : StrictMonoOn f t
hs : IsGreatest s c
ht : IsLeast t c
A : ∀ x ∈ s ∪ t, x ≤ c → x ∈ s
B : ∀ x ∈ s ∪ t, c ≤ x → x ∈ t
x : α
hx : x ∈ s ∪ t
y : α
hy : y ∈ s ∪ t
hxy : x < y
hxc : x < c
xs : x ∈ s
hyc : y < c
⊢ f x < f y

Tactic:
exact h₁ xs (A _ hy hyc.le) hxy

Result:
no goals

Proof state:
case inl
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
s t : Set α
c : α
h₁ : StrictMonoOn f s
h₂ : StrictMonoOn f t
hs : IsGreatest s c
ht : IsLeast t c
A : ∀ x ∈ s ∪ t, x ≤ c → x ∈ s
B : ∀ x ∈ s ∪ t, c ≤ x → x ∈ t
x : α
hx : x ∈ s ∪ t
y : α
hy : y ∈ s ∪ t
hxy : x < y
hxc : x < c
xs : x ∈ s
⊢ f x < f y

Tactic:
rcases lt_or_le y c with (hyc | hcy)

Result:
case inl.inl
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
s t : Set α
c : α
h₁ : StrictMonoOn f s
h₂ : StrictMonoOn f t
hs : IsGreatest s c
ht : IsLeast t c
A : ∀ x ∈ s ∪ t, x ≤ c → x ∈ s
B : ∀ x ∈ s ∪ t, c ≤ x → x ∈ t
x : α
hx : x ∈ s ∪ t
y : α
hy : y ∈ s ∪ t
hxy : x < y
hxc : x < c
xs : x ∈ s
hyc : y < c
⊢ f x < f y

case inl.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
s t : Set α
c : α
h₁ : StrictMonoOn f s
h₂ : StrictMonoOn f t
hs : IsGreatest s c
ht : IsLeast t c
A : ∀ x ∈ s ∪ t, x ≤ c → x ∈ s
B : ∀ x ∈ s ∪ t, c ≤ x → x ∈ t
x : α
hx : x ∈ s ∪ t
y : α
hy : y ∈ s ∪ t
hxy : x < y
hxc : x < c
xs : x ∈ s
hcy : c ≤ y
⊢ f x < f y

Proof state:
case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
s t : Set α
c : α
h₁ : StrictMonoOn f s
h₂ : StrictMonoOn f t
hs : IsGreatest s c
ht : IsLeast t c
A : ∀ x ∈ s ∪ t, x ≤ c → x ∈ s
B : ∀ x ∈ s ∪ t, c ≤ x → x ∈ t
x : α
hx : x ∈ s ∪ t
y : α
hy : y ∈ s ∪ t
hxy : x < y
hcx : c ≤ x
xt : x ∈ t
yt : y ∈ t
⊢ f x < f y

Tactic:
exact h₂ xt yt hxy

Result:
no goals

Proof state:
case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
s t : Set α
c : α
h₁ : StrictMonoOn f s
h₂ : StrictMonoOn f t
hs : IsGreatest s c
ht : IsLeast t c
A : ∀ x ∈ s ∪ t, x ≤ c → x ∈ s
x : α
hx✝ : x ∈ s ∪ t
hxc : c ≤ x
hx : x ∈ s
h'x : c < x
⊢ x ∈ t

Tactic:
exact (lt_irrefl _ (h'x.trans_le (hs.2 hx))).elim

Result:
no goals

Proof state:
case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
s t : Set α
c : α
h₁ : StrictMonoOn f s
h₂ : StrictMonoOn f t
hs : IsGreatest s c
ht : IsLeast t c
A : ∀ x ∈ s ∪ t, x ≤ c → x ∈ s
B : ∀ x ∈ s ∪ t, c ≤ x → x ∈ t
x : α
hx : x ∈ s ∪ t
y : α
hy : y ∈ s ∪ t
hxy : x < y
hcx : c ≤ x
xt : x ∈ t
⊢ f x < f y

Tactic:
have yt : y ∈ t := B _ hy (hcx.trans hxy.le)

Result:
case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
s t : Set α
c : α
h₁ : StrictMonoOn f s
h₂ : StrictMonoOn f t
hs : IsGreatest s c
ht : IsLeast t c
A : ∀ x ∈ s ∪ t, x ≤ c → x ∈ s
B : ∀ x ∈ s ∪ t, c ≤ x → x ∈ t
x : α
hx : x ∈ s ∪ t
y : α
hy : y ∈ s ∪ t
hxy : x < y
hcx : c ≤ x
xt : x ∈ t
yt : y ∈ t
⊢ f x < f y

Proof state:
case inr.inl
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
s t : Set α
h₁ : StrictMonoOn f s
h₂ : StrictMonoOn f t
x : α
h✝ : x ∈ t
hs : IsGreatest s x
ht : IsLeast t x
hxc : x ≤ x
⊢ x ∈ s

Tactic:
exact hs.1

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Preorder β
f : α → β
s t : Set α
c : α
h₁ : StrictMonoOn f s
h₂ : StrictMonoOn f t
hs : IsGreatest s c
ht : IsLeast t c
A : ∀ x ∈ s ∪ t, x ≤ c → x ∈ s
x : α
hx✝ : x ∈ s ∪ t
hxc : c ≤ x
hx : x ∈ t
⊢ x ∈ t

Tactic:
exact hx

Result:
no goals