-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Triangle/Removal.lean
private lemma triangle_removal_aux (hε : 0 < ε) (hP₁ : P.IsEquipartition)
    (hP₃ : #P.parts ≤ bound (ε / 8) ⌈4/ε⌉₊)
    (ht : t ∈ (G.regularityReduced P (ε/8) (ε/4)).cliqueFinset 3) :
    triangleRemovalBound ε * card α ^ 3 ≤ #(G.cliqueFinset 3)

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refl.refl.refl
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₃ : #P.parts ≤ bound (ε / 8) ⌈4 / ε⌉₊
x y z : α
s : Finset α
hX : s ∈ P.parts
Y : Finset α
hY : Y ∈ P.parts
xX : x ∈ s
yY : y ∈ Y
nXY : s ≠ Y
uXY : G.IsUniform (ε / 8) s Y
dXY✝ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Y)
Z : Finset α
hZ : Z ∈ P.parts
zZ : z ∈ Z
hX' : s ∈ P.parts
xX' : x ∈ s
nXZ : s ≠ Z
uXZ : G.IsUniform (ε / 8) s Z
dXZ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Z)
hY' : Y ∈ P.parts
yY' : y ∈ Y
hZ' : Z ∈ P.parts
zZ' : z ∈ Z
nYZ : Y ≠ Z
uYZ : G.IsUniform (ε / 8) Y Z
dYZ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity Y Z)
dXY : Function.onFun Disjoint id s Y
⊢ triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3 ≤ ↑(#(G.cliqueFinset 3))

Tactic:
have dXZ := P.disjoint hX hZ nXZ

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refl.refl.refl
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₃ : #P.parts ≤ bound (ε / 8) ⌈4 / ε⌉₊
x y z : α
s : Finset α
hX : s ∈ P.parts
Y : Finset α
hY : Y ∈ P.parts
xX : x ∈ s
yY : y ∈ Y
nXY : s ≠ Y
uXY : G.IsUniform (ε / 8) s Y
dXY✝ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Y)
Z : Finset α
hZ : Z ∈ P.parts
zZ : z ∈ Z
hX' : s ∈ P.parts
xX' : x ∈ s
nXZ : s ≠ Z
uXZ : G.IsUniform (ε / 8) s Z
dXZ✝ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Z)
hY' : Y ∈ P.parts
yY' : y ∈ Y
hZ' : Z ∈ P.parts
zZ' : z ∈ Z
nYZ : Y ≠ Z
uYZ : G.IsUniform (ε / 8) Y Z
dYZ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity Y Z)
dXY : Function.onFun Disjoint id s Y
dXZ : Function.onFun Disjoint id s Z
⊢ triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3 ≤ ↑(#(G.cliqueFinset 3))

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refl.refl
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₃ : #P.parts ≤ bound (ε / 8) ⌈4 / ε⌉₊
x y z : α
s : Finset α
hX : s ∈ P.parts
Y : Finset α
hY : Y ∈ P.parts
xX : x ∈ s
yY : y ∈ Y
nXY : s ≠ Y
uXY : G.IsUniform (ε / 8) s Y
dXY : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Y)
Z : Finset α
hZ : Z ∈ P.parts
zZ : z ∈ Z
Z' : Finset α
hZ' : Z' ∈ P.parts
zZ' : z ∈ Z'
hX' : s ∈ P.parts
xX' : x ∈ s
nXZ : s ≠ Z
uXZ : G.IsUniform (ε / 8) s Z
dXZ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Z)
hY' : Y ∈ P.parts
yY' : y ∈ Y
nYZ : Y ≠ Z'
uYZ : G.IsUniform (ε / 8) Y Z'
dYZ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity Y Z')
⊢ triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3 ≤ ↑(#(G.cliqueFinset 3))

Tactic:
cases P.disjoint.elim hZ hZ' (not_disjoint_iff.2 ⟨z, zZ, zZ'⟩)

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refl.refl.refl
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₃ : #P.parts ≤ bound (ε / 8) ⌈4 / ε⌉₊
x y z : α
s : Finset α
hX : s ∈ P.parts
Y : Finset α
hY : Y ∈ P.parts
xX : x ∈ s
yY : y ∈ Y
nXY : s ≠ Y
uXY : G.IsUniform (ε / 8) s Y
dXY : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Y)
Z : Finset α
hZ : Z ∈ P.parts
zZ : z ∈ Z
hX' : s ∈ P.parts
xX' : x ∈ s
nXZ : s ≠ Z
uXZ : G.IsUniform (ε / 8) s Z
dXZ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Z)
hY' : Y ∈ P.parts
yY' : y ∈ Y
hZ' : Z ∈ P.parts
zZ' : z ∈ Z
nYZ : Y ≠ Z
uYZ : G.IsUniform (ε / 8) Y Z
dYZ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity Y Z)
⊢ triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3 ≤ ↑(#(G.cliqueFinset 3))

Proof state:
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₃ : #P.parts ≤ bound (ε / 8) ⌈4 / ε⌉₊
x y z : α
s : Finset α
hX : s ∈ P.parts
Y : Finset α
hY : Y ∈ P.parts
xX : x ∈ s
yY : y ∈ Y
nXY : s ≠ Y
uXY : G.IsUniform (ε / 8) s Y
dXY✝ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Y)
Z : Finset α
hZ : Z ∈ P.parts
zZ : z ∈ Z
hX' : s ∈ P.parts
xX' : x ∈ s
nXZ : s ≠ Z
uXZ : G.IsUniform (ε / 8) s Z
dXZ✝ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Z)
hY' : Y ∈ P.parts
yY' : y ∈ Y
hZ' : Z ∈ P.parts
zZ' : z ∈ Z
nYZ : Y ≠ Z
uYZ : G.IsUniform (ε / 8) Y Z
dYZ✝ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity Y Z)
dXY : Function.onFun Disjoint id s Y
dXZ : Function.onFun Disjoint id s Z
dYZ : Function.onFun Disjoint id Y Z
that : 2 * (ε / 8) = ε / 4
this : 0 ≤ 1 - 2 * (ε / 8)
⊢ 2 * (ε / 8) ≤ ↑(G.edgeDensity Y Z)

Tactic:
rwa [that]

Result:
no goals

Proof state:
case h
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₃ : #P.parts ≤ bound (ε / 8) ⌈4 / ε⌉₊
x y z : α
s : Finset α
hX : s ∈ P.parts
Y : Finset α
hY : Y ∈ P.parts
xX : x ∈ s
yY : y ∈ Y
nXY : s ≠ Y
uXY : G.IsUniform (ε / 8) s Y
dXY✝ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Y)
Z : Finset α
hZ : Z ∈ P.parts
zZ : z ∈ Z
hX' : s ∈ P.parts
xX' : x ∈ s
nXZ : s ≠ Z
uXZ : G.IsUniform (ε / 8) s Z
dXZ✝ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Z)
hY' : Y ∈ P.parts
yY' : y ∈ Y
hZ' : Z ∈ P.parts
zZ' : z ∈ Z
nYZ : Y ≠ Z
uYZ : G.IsUniform (ε / 8) Y Z
dYZ✝ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity Y Z)
dXY : Function.onFun Disjoint id s Y
dXZ : Function.onFun Disjoint id s Z
dYZ : Function.onFun Disjoint id Y Z
that : 2 * (ε / 8) = ε / 4
this : 0 ≤ 1 - 2 * (ε / 8)
⊢ triangleRemovalBound ε ≤ (1 - ε / 4) * (ε / (16 * ↑(bound (ε / 8) ⌈4 / ε⌉₊))) ^ 3

Tactic:
exact min_le_right _ _

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
t : Finset α
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₃ : #P.parts ≤ bound (ε / 8) ⌈4 / ε⌉₊
ht :
  ∃ a b c,
    (regularityReduced P G (ε / 8) (ε / 4)).Adj a b ∧
      (regularityReduced P G (ε / 8) (ε / 4)).Adj a c ∧ (regularityReduced P G (ε / 8) (ε / 4)).Adj b c ∧ t = {a, b, c}
⊢ triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3 ≤ ↑(#(G.cliqueFinset 3))

Tactic:
obtain ⟨x, y, z, ⟨-, s, hX, Y, hY, xX, yY, nXY, uXY, dXY⟩,
                 ⟨-, X', hX', Z, hZ, xX', zZ, nXZ, uXZ, dXZ⟩,
                 ⟨-, Y', hY', Z', hZ', yY', zZ', nYZ, uYZ, dYZ⟩, rfl⟩ := ht

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
P : Finpartition univ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hP₁ : P.IsEquipartition
hP₃ : #P.parts ≤ bound (ε / 8) ⌈4 / ε⌉₊
x y z : α
s : Finset α
hX : s ∈ P.parts
Y : Finset α
hY : Y ∈ P.parts
xX : x ∈ s
yY : y ∈ Y
nXY : s ≠ Y
uXY : G.IsUniform (ε / 8) s Y
dXY : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity s Y)
X' : Finset α
hX' : X' ∈ P.parts
Z : Finset α
hZ : Z ∈ P.parts
xX' : x ∈ X'
zZ : z ∈ Z
nXZ : X' ≠ Z
uXZ : G.IsUniform (ε / 8) X' Z
dXZ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity X' Z)
Y' : Finset α
hY' : Y' ∈ P.parts
Z' : Finset α
hZ' : Z' ∈ P.parts
yY' : y ∈ Y'
zZ' : z ∈ Z'
nYZ : Y' ≠ Z'
uYZ : G.IsUniform (ε / 8) Y' Z'
dYZ : ε / 4 ≤ ↑(G.edgeDensity Y' Z')
⊢ triangleRemovalBound ε * ↑(Fintype.card α) ^ 3 ≤ ↑(#(G.cliqueFinset 3))