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theorem split_imp_of_iso {X X' : C} (φ : X ≅ X') (p : X ⟶ X) (p' : X' ⟶ X')
    (hpp' : p ≫ φ.hom = φ.hom ≫ p')
    (h : ∃ (Y : C) (i : Y ⟶ X) (e : X ⟶ Y), i ≫ e = 𝟙 Y ∧ e ≫ i = p) :
    ∃ (Y' : C) (i' : Y' ⟶ X') (e' : X' ⟶ Y'), i' ≫ e' = 𝟙 Y' ∧ e' ≫ i' = p'

Proof state:
case h.left
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
X X' : C
φ : X ≅ X'
p : X ⟶ X
p' : X' ⟶ X'
hpp' : p ≫ φ.hom = φ.hom ≫ p'
Y : C
i : Y ⟶ X
e : X ⟶ Y
h₁ : i ≫ e = 𝟙 Y
h₂ : e ≫ i = p
⊢ i ≫ 𝟙 X ≫ e = 𝟙 Y

Tactic:
rw [id_comp, h₁]

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro.intro.intro
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
X X' : C
φ : X ≅ X'
p : X ⟶ X
p' : X' ⟶ X'
hpp' : p ≫ φ.hom = φ.hom ≫ p'
Y : C
i : Y ⟶ X
e : X ⟶ Y
h₁ : i ≫ e = 𝟙 Y
h₂ : e ≫ i = p
⊢ ∃ Y' i' e', i' ≫ e' = 𝟙 Y' ∧ e' ≫ i' = p'

Tactic:
use Y, i ≫ φ.hom, φ.inv ≫ e

Result:
case h
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
X X' : C
φ : X ≅ X'
p : X ⟶ X
p' : X' ⟶ X'
hpp' : p ≫ φ.hom = φ.hom ≫ p'
Y : C
i : Y ⟶ X
e : X ⟶ Y
h₁ : i ≫ e = 𝟙 Y
h₂ : e ≫ i = p
⊢ (i ≫ φ.hom) ≫ φ.inv ≫ e = 𝟙 Y ∧ (φ.inv ≫ e) ≫ i ≫ φ.hom = p'

Proof state:
case h.right
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
X X' : C
φ : X ≅ X'
p : X ⟶ X
p' : X' ⟶ X'
hpp' : p ≫ φ.hom = φ.hom ≫ p'
Y : C
i : Y ⟶ X
e : X ⟶ Y
h₁ : i ≫ e = 𝟙 Y
h₂ : e ≫ i = p
⊢ φ.inv ≫ p ≫ φ.hom = p'

Tactic:
rw [hpp', ← assoc, φ.inv_hom_id, id_comp]

Result:
no goals

Proof state:
case h.left
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
X X' : C
φ : X ≅ X'
p : X ⟶ X
p' : X' ⟶ X'
hpp' : p ≫ φ.hom = φ.hom ≫ p'
Y : C
i : Y ⟶ X
e : X ⟶ Y
h₁ : i ≫ e = 𝟙 Y
h₂ : e ≫ i = p
⊢ (i ≫ φ.hom) ≫ φ.inv ≫ e = 𝟙 Y

Tactic:
slice_lhs 2 3 => rw [φ.hom_inv_id]

Result:
case h.left
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
X X' : C
φ : X ≅ X'
p : X ⟶ X
p' : X' ⟶ X'
hpp' : p ≫ φ.hom = φ.hom ≫ p'
Y : C
i : Y ⟶ X
e : X ⟶ Y
h₁ : i ≫ e = 𝟙 Y
h₂ : e ≫ i = p
⊢ i ≫ 𝟙 X ≫ e = 𝟙 Y

Proof state:
case h
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
X X' : C
φ : X ≅ X'
p : X ⟶ X
p' : X' ⟶ X'
hpp' : p ≫ φ.hom = φ.hom ≫ p'
Y : C
i : Y ⟶ X
e : X ⟶ Y
h₁ : i ≫ e = 𝟙 Y
h₂ : e ≫ i = p
⊢ (i ≫ φ.hom) ≫ φ.inv ≫ e = 𝟙 Y ∧ (φ.inv ≫ e) ≫ i ≫ φ.hom = p'

Tactic:
constructor

Result:
case h.left
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
X X' : C
φ : X ≅ X'
p : X ⟶ X
p' : X' ⟶ X'
hpp' : p ≫ φ.hom = φ.hom ≫ p'
Y : C
i : Y ⟶ X
e : X ⟶ Y
h₁ : i ≫ e = 𝟙 Y
h₂ : e ≫ i = p
⊢ (i ≫ φ.hom) ≫ φ.inv ≫ e = 𝟙 Y

case h.right
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
X X' : C
φ : X ≅ X'
p : X ⟶ X
p' : X' ⟶ X'
hpp' : p ≫ φ.hom = φ.hom ≫ p'
Y : C
i : Y ⟶ X
e : X ⟶ Y
h₁ : i ≫ e = 𝟙 Y
h₂ : e ≫ i = p
⊢ (φ.inv ≫ e) ≫ i ≫ φ.hom = p'

Proof state:
case h.right
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
X X' : C
φ : X ≅ X'
p : X ⟶ X
p' : X' ⟶ X'
hpp' : p ≫ φ.hom = φ.hom ≫ p'
Y : C
i : Y ⟶ X
e : X ⟶ Y
h₁ : i ≫ e = 𝟙 Y
h₂ : e ≫ i = p
⊢ (φ.inv ≫ e) ≫ i ≫ φ.hom = p'

Tactic:
slice_lhs 2 3 => rw [h₂]

Result:
case h.right
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
X X' : C
φ : X ≅ X'
p : X ⟶ X
p' : X' ⟶ X'
hpp' : p ≫ φ.hom = φ.hom ≫ p'
Y : C
i : Y ⟶ X
e : X ⟶ Y
h₁ : i ≫ e = 𝟙 Y
h₂ : e ≫ i = p
⊢ φ.inv ≫ p ≫ φ.hom = p'

Proof state:
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
X X' : C
φ : X ≅ X'
p : X ⟶ X
p' : X' ⟶ X'
hpp' : p ≫ φ.hom = φ.hom ≫ p'
h : ∃ Y i e, i ≫ e = 𝟙 Y ∧ e ≫ i = p
⊢ ∃ Y' i' e', i' ≫ e' = 𝟙 Y' ∧ e' ≫ i' = p'

Tactic:
rcases h with ⟨Y, i, e, ⟨h₁, h₂⟩⟩

Result:
case intro.intro.intro.intro
C : Type u_1
inst✝ : Category.{u_2, u_1} C
X X' : C
φ : X ≅ X'
p : X ⟶ X
p' : X' ⟶ X'
hpp' : p ≫ φ.hom = φ.hom ≫ p'
Y : C
i : Y ⟶ X
e : X ⟶ Y
h₁ : i ≫ e = 𝟙 Y
h₂ : e ≫ i = p
⊢ ∃ Y' i' e', i' ≫ e' = 𝟙 Y' ∧ e' ≫ i' = p'