-- Mathlib/Topology/Order/IntermediateValue.lean
theorem isPreconnected_Icc_aux (x y : α) (s t : Set α) (hxy : x ≤ y) (hs : IsClosed s)
    (ht : IsClosed t) (hab : Icc a b ⊆ s ∪ t) (hx : x ∈ Icc a b ∩ s) (hy : y ∈ Icc a b ∩ t) :
    (Icc a b ∩ (s ∩ t)).Nonempty

Proof state:
case intro
α : Type u
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b x y : α
s t : Set α
hxy : x ≤ y
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hab : Icc a b ⊆ s ∪ t
hx : x ∈ Icc a b ∩ s
hy : y ∈ Icc a b ∩ t
xyab : Icc x y ⊆ Icc a b
hst : ¬(Icc a b ∩ (s ∩ t)).Nonempty
z : α
zs : z ∈ s
hz : z ∈ Ico x y
zt : z ∈ tᶜ
this : tᶜ ∩ Ioc z y ∈ 𝓝[>] z
⊢ s ∈ 𝓝[>] z

Tactic:
apply mem_of_superset this

Result:
case intro
α : Type u
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b x y : α
s t : Set α
hxy : x ≤ y
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hab : Icc a b ⊆ s ∪ t
hx : x ∈ Icc a b ∩ s
hy : y ∈ Icc a b ∩ t
xyab : Icc x y ⊆ Icc a b
hst : ¬(Icc a b ∩ (s ∩ t)).Nonempty
z : α
zs : z ∈ s
hz : z ∈ Ico x y
zt : z ∈ tᶜ
this : tᶜ ∩ Ioc z y ∈ 𝓝[>] z
⊢ tᶜ ∩ Ioc z y ⊆ s

Proof state:
α : Type u
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b x y : α
s t : Set α
hxy : x ≤ y
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hab : Icc a b ⊆ s ∪ t
hx : x ∈ Icc a b ∩ s
hy : y ∈ Icc a b ∩ t
xyab : Icc x y ⊆ Icc a b
hst : ¬(Icc a b ∩ (s ∩ t)).Nonempty
⊢ Icc x y ⊆ s

Tactic:
apply (IsClosed.inter hs isClosed_Icc).Icc_subset_of_forall_mem_nhdsWithin hx.2

Result:
α : Type u
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b x y : α
s t : Set α
hxy : x ≤ y
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hab : Icc a b ⊆ s ∪ t
hx : x ∈ Icc a b ∩ s
hy : y ∈ Icc a b ∩ t
xyab : Icc x y ⊆ Icc a b
hst : ¬(Icc a b ∩ (s ∩ t)).Nonempty
⊢ ∀ x_1 ∈ s ∩ Ico x y, s ∈ 𝓝[>] x_1

Proof state:
α : Type u
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b x y : α
s t : Set α
hxy : x ≤ y
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hab : Icc a b ⊆ s ∪ t
hx : x ∈ Icc a b ∩ s
hy : y ∈ Icc a b ∩ t
xyab : Icc x y ⊆ Icc a b
hst : ¬(Icc a b ∩ (s ∩ t)).Nonempty
⊢ ∀ x_1 ∈ s ∩ Ico x y, s ∈ 𝓝[>] x_1

Tactic:
rintro z ⟨zs, hz⟩

Result:
case intro
α : Type u
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b x y : α
s t : Set α
hxy : x ≤ y
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hab : Icc a b ⊆ s ∪ t
hx : x ∈ Icc a b ∩ s
hy : y ∈ Icc a b ∩ t
xyab : Icc x y ⊆ Icc a b
hst : ¬(Icc a b ∩ (s ∩ t)).Nonempty
z : α
zs : z ∈ s
hz : z ∈ Ico x y
⊢ s ∈ 𝓝[>] z

Proof state:
α : Type u
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b x y : α
s t : Set α
hxy : x ≤ y
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hab : Icc a b ⊆ s ∪ t
hx : x ∈ Icc a b ∩ s
hy : y ∈ Icc a b ∩ t
xyab : Icc x y ⊆ Icc a b
hst : ¬(Icc a b ∩ (s ∩ t)).Nonempty
z : α
zs : z ∈ s
hz : z ∈ Ico x y
zt : z ∈ tᶜ
⊢ tᶜ ∩ Ioc z y ∈ 𝓝[>] z

Tactic:
rw [← nhdsWithin_Ioc_eq_nhdsGT hz.2]

Result:
α : Type u
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b x y : α
s t : Set α
hxy : x ≤ y
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hab : Icc a b ⊆ s ∪ t
hx : x ∈ Icc a b ∩ s
hy : y ∈ Icc a b ∩ t
xyab : Icc x y ⊆ Icc a b
hst : ¬(Icc a b ∩ (s ∩ t)).Nonempty
z : α
zs : z ∈ s
hz : z ∈ Ico x y
zt : z ∈ tᶜ
⊢ tᶜ ∩ Ioc z y ∈ 𝓝[Ioc z y] z

Proof state:
α : Type u
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b x y : α
s t : Set α
hxy : x ≤ y
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hab : Icc a b ⊆ s ∪ t
hx : x ∈ Icc a b ∩ s
hy : y ∈ Icc a b ∩ t
xyab : Icc x y ⊆ Icc a b
⊢ (Icc a b ∩ (s ∩ t)).Nonempty

Tactic:
by_contra hst

Result:
α : Type u
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b x y : α
s t : Set α
hxy : x ≤ y
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hab : Icc a b ⊆ s ∪ t
hx : x ∈ Icc a b ∩ s
hy : y ∈ Icc a b ∩ t
xyab : Icc x y ⊆ Icc a b
hst : ¬(Icc a b ∩ (s ∩ t)).Nonempty
⊢ False

Proof state:
case intro
α : Type u
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b x y : α
s t : Set α
hxy : x ≤ y
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hab : Icc a b ⊆ s ∪ t
hx : x ∈ Icc a b ∩ s
hy : y ∈ Icc a b ∩ t
xyab : Icc x y ⊆ Icc a b
hst : ¬(Icc a b ∩ (s ∩ t)).Nonempty
z : α
zs : z ∈ s
hz : z ∈ Ico x y
zt : z ∈ tᶜ
⊢ s ∈ 𝓝[>] z

Tactic:
have : tᶜ ∩ Ioc z y ∈ 𝓝[>] z := by
  rw [← nhdsWithin_Ioc_eq_nhdsGT hz.2]
  exact mem_nhdsWithin.2 ⟨tᶜ, ht.isOpen_compl, zt, Subset.rfl⟩

Result:
case intro
α : Type u
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b x y : α
s t : Set α
hxy : x ≤ y
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hab : Icc a b ⊆ s ∪ t
hx : x ∈ Icc a b ∩ s
hy : y ∈ Icc a b ∩ t
xyab : Icc x y ⊆ Icc a b
hst : ¬(Icc a b ∩ (s ∩ t)).Nonempty
z : α
zs : z ∈ s
hz : z ∈ Ico x y
zt : z ∈ tᶜ
this : tᶜ ∩ Ioc z y ∈ 𝓝[>] z
⊢ s ∈ 𝓝[>] z

Proof state:
α : Type u
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b x y : α
s t : Set α
hxy : x ≤ y
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hab : Icc a b ⊆ s ∪ t
hx : x ∈ Icc a b ∩ s
hy : y ∈ Icc a b ∩ t
xyab : Icc x y ⊆ Icc a b
hst : ¬(Icc a b ∩ (s ∩ t)).Nonempty
⊢ False

Tactic:
suffices Icc x y ⊆ s from
  hst ⟨y, xyab <| right_mem_Icc.2 hxy, this <| right_mem_Icc.2 hxy, hy.2⟩

Result:
α : Type u
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b x y : α
s t : Set α
hxy : x ≤ y
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hab : Icc a b ⊆ s ∪ t
hx : x ∈ Icc a b ∩ s
hy : y ∈ Icc a b ∩ t
xyab : Icc x y ⊆ Icc a b
hst : ¬(Icc a b ∩ (s ∩ t)).Nonempty
⊢ Icc x y ⊆ s

Proof state:
case intro
α : Type u
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b x y : α
s t : Set α
hxy : x ≤ y
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hab : Icc a b ⊆ s ∪ t
hx : x ∈ Icc a b ∩ s
hy : y ∈ Icc a b ∩ t
xyab : Icc x y ⊆ Icc a b
hst : ¬(Icc a b ∩ (s ∩ t)).Nonempty
z : α
zs : z ∈ s
hz : z ∈ Ico x y
zt : z ∈ tᶜ
this : tᶜ ∩ Ioc z y ∈ 𝓝[>] z
⊢ tᶜ ∩ Ioc z y ⊆ s

Tactic:
have : Ioc z y ⊆ s ∪ t := fun w hw => hab (xyab ⟨le_trans hz.1 (le_of_lt hw.1), hw.2⟩)

Result:
case intro
α : Type u
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b x y : α
s t : Set α
hxy : x ≤ y
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hab : Icc a b ⊆ s ∪ t
hx : x ∈ Icc a b ∩ s
hy : y ∈ Icc a b ∩ t
xyab : Icc x y ⊆ Icc a b
hst : ¬(Icc a b ∩ (s ∩ t)).Nonempty
z : α
zs : z ∈ s
hz : z ∈ Ico x y
zt : z ∈ tᶜ
this✝ : tᶜ ∩ Ioc z y ∈ 𝓝[>] z
this : Ioc z y ⊆ s ∪ t
⊢ tᶜ ∩ Ioc z y ⊆ s

Proof state:
α : Type u
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b x y : α
s t : Set α
hxy : x ≤ y
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hab : Icc a b ⊆ s ∪ t
hx : x ∈ Icc a b ∩ s
hy : y ∈ Icc a b ∩ t
⊢ (Icc a b ∩ (s ∩ t)).Nonempty

Tactic:
have xyab : Icc x y ⊆ Icc a b := Icc_subset_Icc hx.1.1 hy.1.2

Result:
α : Type u
inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b x y : α
s t : Set α
hxy : x ≤ y
hs : IsClosed s
ht : IsClosed t
hab : Icc a b ⊆ s ∪ t
hx : x ∈ Icc a b ∩ s
hy : y ∈ Icc a b ∩ t
xyab : Icc x y ⊆ Icc a b
⊢ (Icc a b ∩ (s ∩ t)).Nonempty