-- Mathlib/Topology/Order/Compact.lean
theorem ContinuousOn.exists_isMinOn' [ClosedIicTopology α] {s : Set β} {f : β → α}
    (hf : ContinuousOn f s) (hsc : IsClosed s) {x₀ : β} (h₀ : x₀ ∈ s)
    (hc : ∀ᶠ x in cocompact β ⊓ 𝓟 s, f x₀ ≤ f x) : ∃ x ∈ s, IsMinOn f s x

Proof state:
case intro.intro
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : ClosedIicTopology α
s : Set β
f : β → α
hf : ContinuousOn f s
hsc : IsClosed s
x₀ : β
h₀ : x₀ ∈ s
hc : ∀ᶠ (x : β) in cocompact β ⊓ 𝓟 s, f x₀ ≤ f x
K : Set β
hK : IsCompact K
hKf : ∀ ⦃x : β⦄, x ∈ Kᶜ ∩ s → f x₀ ≤ f x
hsub : insert x₀ (K ∩ s) ⊆ s
⊢ ∃ x ∈ s, IsMinOn f s x

Tactic:
obtain ⟨x, hx, hxf⟩ : ∃ x ∈ insert x₀ (K ∩ s), ∀ y ∈ insert x₀ (K ∩ s), f x ≤ f y :=
  ((hK.inter_right hsc).insert x₀).exists_isMinOn (insert_nonempty _ _) (hf.mono hsub)

Result:
case intro.intro.intro.intro
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : ClosedIicTopology α
s : Set β
f : β → α
hf : ContinuousOn f s
hsc : IsClosed s
x₀ : β
h₀ : x₀ ∈ s
hc : ∀ᶠ (x : β) in cocompact β ⊓ 𝓟 s, f x₀ ≤ f x
K : Set β
hK : IsCompact K
hKf : ∀ ⦃x : β⦄, x ∈ Kᶜ ∩ s → f x₀ ≤ f x
hsub : insert x₀ (K ∩ s) ⊆ s
x : β
hx : x ∈ insert x₀ (K ∩ s)
hxf : ∀ y ∈ insert x₀ (K ∩ s), f x ≤ f y
⊢ ∃ x ∈ s, IsMinOn f s x

Proof state:
case intro.intro.intro.intro
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : ClosedIicTopology α
s : Set β
f : β → α
hf : ContinuousOn f s
hsc : IsClosed s
x₀ : β
h₀ : x₀ ∈ s
hc : ∀ᶠ (x : β) in cocompact β ⊓ 𝓟 s, f x₀ ≤ f x
K : Set β
hK : IsCompact K
hKf : ∀ ⦃x : β⦄, x ∈ Kᶜ ∩ s → f x₀ ≤ f x
hsub : insert x₀ (K ∩ s) ⊆ s
x : β
hx : x ∈ insert x₀ (K ∩ s)
hxf : ∀ y ∈ insert x₀ (K ∩ s), f x ≤ f y
y : β
hy : y ∈ s
⊢ y ∈ {x_1 | (fun x_2 => f x ≤ f x_2) x_1}

Tactic:
by_cases hyK : y ∈ K

Result:
case pos
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : ClosedIicTopology α
s : Set β
f : β → α
hf : ContinuousOn f s
hsc : IsClosed s
x₀ : β
h₀ : x₀ ∈ s
hc : ∀ᶠ (x : β) in cocompact β ⊓ 𝓟 s, f x₀ ≤ f x
K : Set β
hK : IsCompact K
hKf : ∀ ⦃x : β⦄, x ∈ Kᶜ ∩ s → f x₀ ≤ f x
hsub : insert x₀ (K ∩ s) ⊆ s
x : β
hx : x ∈ insert x₀ (K ∩ s)
hxf : ∀ y ∈ insert x₀ (K ∩ s), f x ≤ f y
y : β
hy : y ∈ s
hyK : y ∈ K
⊢ y ∈ {x_1 | (fun x_2 => f x ≤ f x_2) x_1}

case neg
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : ClosedIicTopology α
s : Set β
f : β → α
hf : ContinuousOn f s
hsc : IsClosed s
x₀ : β
h₀ : x₀ ∈ s
hc : ∀ᶠ (x : β) in cocompact β ⊓ 𝓟 s, f x₀ ≤ f x
K : Set β
hK : IsCompact K
hKf : ∀ ⦃x : β⦄, x ∈ Kᶜ ∩ s → f x₀ ≤ f x
hsub : insert x₀ (K ∩ s) ⊆ s
x : β
hx : x ∈ insert x₀ (K ∩ s)
hxf : ∀ y ∈ insert x₀ (K ∩ s), f x ≤ f y
y : β
hy : y ∈ s
hyK : y ∉ K
⊢ y ∈ {x_1 | (fun x_2 => f x ≤ f x_2) x_1}

Proof state:
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : ClosedIicTopology α
s : Set β
f : β → α
hf : ContinuousOn f s
hsc : IsClosed s
x₀ : β
h₀ : x₀ ∈ s
hc : ∀ᶠ (x : β) in cocompact β ⊓ 𝓟 s, f x₀ ≤ f x
⊢ ∃ x ∈ s, IsMinOn f s x

Tactic:
rcases (hasBasis_cocompact.inf_principal _).eventually_iff.1 hc with ⟨K, hK, hKf⟩

Result:
case intro.intro
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : ClosedIicTopology α
s : Set β
f : β → α
hf : ContinuousOn f s
hsc : IsClosed s
x₀ : β
h₀ : x₀ ∈ s
hc : ∀ᶠ (x : β) in cocompact β ⊓ 𝓟 s, f x₀ ≤ f x
K : Set β
hK : IsCompact K
hKf : ∀ ⦃x : β⦄, x ∈ Kᶜ ∩ s → f x₀ ≤ f x
⊢ ∃ x ∈ s, IsMinOn f s x

Proof state:
case intro.intro
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : ClosedIicTopology α
s : Set β
f : β → α
hf : ContinuousOn f s
hsc : IsClosed s
x₀ : β
h₀ : x₀ ∈ s
hc : ∀ᶠ (x : β) in cocompact β ⊓ 𝓟 s, f x₀ ≤ f x
K : Set β
hK : IsCompact K
hKf : ∀ ⦃x : β⦄, x ∈ Kᶜ ∩ s → f x₀ ≤ f x
⊢ ∃ x ∈ s, IsMinOn f s x

Tactic:
have hsub : insert x₀ (K ∩ s) ⊆ s := insert_subset_iff.2 ⟨h₀, inter_subset_right⟩

Result:
case intro.intro
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : ClosedIicTopology α
s : Set β
f : β → α
hf : ContinuousOn f s
hsc : IsClosed s
x₀ : β
h₀ : x₀ ∈ s
hc : ∀ᶠ (x : β) in cocompact β ⊓ 𝓟 s, f x₀ ≤ f x
K : Set β
hK : IsCompact K
hKf : ∀ ⦃x : β⦄, x ∈ Kᶜ ∩ s → f x₀ ≤ f x
hsub : insert x₀ (K ∩ s) ⊆ s
⊢ ∃ x ∈ s, IsMinOn f s x

Proof state:
case intro.intro.intro.intro
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : ClosedIicTopology α
s : Set β
f : β → α
hf : ContinuousOn f s
hsc : IsClosed s
x₀ : β
h₀ : x₀ ∈ s
hc : ∀ᶠ (x : β) in cocompact β ⊓ 𝓟 s, f x₀ ≤ f x
K : Set β
hK : IsCompact K
hKf : ∀ ⦃x : β⦄, x ∈ Kᶜ ∩ s → f x₀ ≤ f x
hsub : insert x₀ (K ∩ s) ⊆ s
x : β
hx : x ∈ insert x₀ (K ∩ s)
hxf : ∀ y ∈ insert x₀ (K ∩ s), f x ≤ f y
⊢ ∃ x ∈ s, IsMinOn f s x

Tactic:
refine ⟨x, hsub hx, fun y hy => ?_⟩

Result:
case intro.intro.intro.intro
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : ClosedIicTopology α
s : Set β
f : β → α
hf : ContinuousOn f s
hsc : IsClosed s
x₀ : β
h₀ : x₀ ∈ s
hc : ∀ᶠ (x : β) in cocompact β ⊓ 𝓟 s, f x₀ ≤ f x
K : Set β
hK : IsCompact K
hKf : ∀ ⦃x : β⦄, x ∈ Kᶜ ∩ s → f x₀ ≤ f x
hsub : insert x₀ (K ∩ s) ⊆ s
x : β
hx : x ∈ insert x₀ (K ∩ s)
hxf : ∀ y ∈ insert x₀ (K ∩ s), f x ≤ f y
y : β
hy : y ∈ s
⊢ y ∈ {x_1 | (fun x_2 => f x ≤ f x_2) x_1}

Proof state:
case pos
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : ClosedIicTopology α
s : Set β
f : β → α
hf : ContinuousOn f s
hsc : IsClosed s
x₀ : β
h₀ : x₀ ∈ s
hc : ∀ᶠ (x : β) in cocompact β ⊓ 𝓟 s, f x₀ ≤ f x
K : Set β
hK : IsCompact K
hKf : ∀ ⦃x : β⦄, x ∈ Kᶜ ∩ s → f x₀ ≤ f x
hsub : insert x₀ (K ∩ s) ⊆ s
x : β
hx : x ∈ insert x₀ (K ∩ s)
hxf : ∀ y ∈ insert x₀ (K ∩ s), f x ≤ f y
y : β
hy : y ∈ s
hyK : y ∈ K
⊢ y ∈ {x_1 | (fun x_2 => f x ≤ f x_2) x_1}

case neg
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : ClosedIicTopology α
s : Set β
f : β → α
hf : ContinuousOn f s
hsc : IsClosed s
x₀ : β
h₀ : x₀ ∈ s
hc : ∀ᶠ (x : β) in cocompact β ⊓ 𝓟 s, f x₀ ≤ f x
K : Set β
hK : IsCompact K
hKf : ∀ ⦃x : β⦄, x ∈ Kᶜ ∩ s → f x₀ ≤ f x
hsub : insert x₀ (K ∩ s) ⊆ s
x : β
hx : x ∈ insert x₀ (K ∩ s)
hxf : ∀ y ∈ insert x₀ (K ∩ s), f x ≤ f y
y : β
hy : y ∈ s
hyK : y ∉ K
⊢ y ∈ {x_1 | (fun x_2 => f x ≤ f x_2) x_1}

Tactic:
exacts [hxf _ (Or.inr ⟨hyK, hy⟩), (hxf _ (Or.inl rfl)).trans (hKf ⟨hyK, hy⟩)]

Result:
no goals