-- Mathlib/NumberTheory/Padics/MahlerBasis.lean
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Second step in Bojanić's proof of Mahler's theorem (equation (11) of [bojanic74]): show that values
`Δ_[1]^[n + p ^ t] f 0` for large enough `n` are bounded by the max of `(‖f‖ / p ^ s)` and `1 / p`
times a sup over values for smaller `n`.

We use `nnnorm`s on the RHS since `Finset.sup` requires an order with a bottom element.
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private lemma bojanic_mahler_step2 {f : C(ℤ_[p], E)} {s t : ℕ}
    (hst : ∀ x y : ℤ_[p], ‖x - y‖ ≤ p ^ (-t : ℤ) → ‖f x - f y‖ ≤ ‖f‖ / p ^ s) (n : ℕ) :
    ‖Δ_[1]^[n + p ^ t] f 0‖ ≤ max ↑((Finset.range (p ^ t - 1)).sup
      fun j ↦ ‖Δ_[1]^[n + (j + 1)] f 0‖₊ / p) (‖f‖ / p ^ s)

Proof state:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℚ_[p] E
inst✝ : IsUltrametricDist E
f : C(ℤ_[p], E)
s t : ℕ
hst : ∀ (x y : ℤ_[p]), ‖x - y‖ ≤ ↑p ^ (-↑t) → ‖f x - f y‖ ≤ ‖f‖ / ↑p ^ s
n : ℕ
⊢ ‖Δ_[1]^[n + p ^ t] (⇑f) 0‖ ≤ ↑((range (p ^ t - 1)).sup fun j => ‖Δ_[1]^[n + (j + 1)] (⇑f) 0‖₊ / ↑p) ⊔ ‖f‖ / ↑p ^ s

Tactic:
rw [bojanic_mahler_step1 _ _ (one_le_pow₀ hp.out.one_le)]

Result:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℚ_[p] E
inst✝ : IsUltrametricDist E
f : C(ℤ_[p], E)
s t : ℕ
hst : ∀ (x y : ℤ_[p]), ‖x - y‖ ≤ ↑p ^ (-↑t) → ‖f x - f y‖ ≤ ‖f‖ / ↑p ^ s
n : ℕ
⊢ ‖-∑ j ∈ range (p ^ t - 1), (p ^ t).choose (j + 1) • Δ_[1]^[n + (j + 1)] (⇑f) 0 +
        ∑ k ∈ range (n + 1), ((-1) ^ (n - k) * ↑(n.choose k)) • (f (↑k + ↑(p ^ t)) - f ↑k)‖ ≤
    ↑((range (p ^ t - 1)).sup fun j => ‖Δ_[1]^[n + (j + 1)] (⇑f) 0‖₊ / ↑p) ⊔ ‖f‖ / ↑p ^ s

Proof state:
case a
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℚ_[p] E
inst✝ : IsUltrametricDist E
f : C(ℤ_[p], E)
s t : ℕ
hst : ∀ (x y : ℤ_[p]), ‖x - y‖ ≤ ↑p ^ (-↑t) → ‖f x - f y‖ ≤ ‖f‖ / ↑p ^ s
n i : ℕ
x✝ : i ∈ range (n + 1)
⊢ ‖↑i + ↑(p ^ t) - ↑i‖ ≤ ↑p ^ (-↑t)

Tactic:
rw [Nat.cast_pow, add_sub_cancel_left, norm_pow, norm_p, inv_pow, zpow_neg, zpow_natCast]

Result:
no goals

Proof state:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℚ_[p] E
inst✝ : IsUltrametricDist E
f : C(ℤ_[p], E)
s t : ℕ
hst : ∀ (x y : ℤ_[p]), ‖x - y‖ ≤ ↑p ^ (-↑t) → ‖f x - f y‖ ≤ ‖f‖ / ↑p ^ s
n i : ℕ
x✝ : i ∈ range (n + 1)
⊢ ‖f (↑i + ↑(p ^ t)) - f ↑i‖ ≤ ‖f‖ / ↑p ^ s

Tactic:
apply hst

Result:
case a
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℚ_[p] E
inst✝ : IsUltrametricDist E
f : C(ℤ_[p], E)
s t : ℕ
hst : ∀ (x y : ℤ_[p]), ‖x - y‖ ≤ ↑p ^ (-↑t) → ‖f x - f y‖ ≤ ‖f‖ / ↑p ^ s
n i : ℕ
x✝ : i ∈ range (n + 1)
⊢ ‖↑i + ↑(p ^ t) - ↑i‖ ≤ ↑p ^ (-↑t)

Proof state:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℚ_[p] E
inst✝ : IsUltrametricDist E
f : C(ℤ_[p], E)
s t : ℕ
hst : ∀ (x y : ℤ_[p]), ‖x - y‖ ≤ ↑p ^ (-↑t) → ‖f x - f y‖ ≤ ‖f‖ / ↑p ^ s
n : ℕ
⊢ ‖-∑ j ∈ range (p ^ t - 1), (p ^ t).choose (j + 1) • Δ_[1]^[n + (j + 1)] (⇑f) 0 +
        ∑ k ∈ range (n + 1), ((-1) ^ (n - k) * ↑(n.choose k)) • (f (↑k + ↑(p ^ t)) - f ↑k)‖ ≤
    ↑((range (p ^ t - 1)).sup fun j => ‖Δ_[1]^[n + (j + 1)] (⇑f) 0‖₊ / ↑p) ⊔ ‖f‖ / ↑p ^ s

Tactic:
refine (norm_add_le_max _ _).trans (max_le_max ?_ ?_)

Result:
case refine_1
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℚ_[p] E
inst✝ : IsUltrametricDist E
f : C(ℤ_[p], E)
s t : ℕ
hst : ∀ (x y : ℤ_[p]), ‖x - y‖ ≤ ↑p ^ (-↑t) → ‖f x - f y‖ ≤ ‖f‖ / ↑p ^ s
n : ℕ
⊢ ‖-∑ j ∈ range (p ^ t - 1), (p ^ t).choose (j + 1) • Δ_[1]^[n + (j + 1)] (⇑f) 0‖ ≤
    ↑((range (p ^ t - 1)).sup fun j => ‖Δ_[1]^[n + (j + 1)] (⇑f) 0‖₊ / ↑p)

case refine_2
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℚ_[p] E
inst✝ : IsUltrametricDist E
f : C(ℤ_[p], E)
s t : ℕ
hst : ∀ (x y : ℤ_[p]), ‖x - y‖ ≤ ↑p ^ (-↑t) → ‖f x - f y‖ ≤ ‖f‖ / ↑p ^ s
n : ℕ
⊢ ‖∑ k ∈ range (n + 1), ((-1) ^ (n - k) * ↑(n.choose k)) • (f (↑k + ↑(p ^ t)) - f ↑k)‖ ≤ ‖f‖ / ↑p ^ s

Proof state:
case refine_2
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℚ_[p] E
inst✝ : IsUltrametricDist E
f : C(ℤ_[p], E)
s t : ℕ
hst : ∀ (x y : ℤ_[p]), ‖x - y‖ ≤ ↑p ^ (-↑t) → ‖f x - f y‖ ≤ ‖f‖ / ↑p ^ s
n : ℕ
⊢ ‖∑ k ∈ range (n + 1), ((-1) ^ (n - k) * ↑(n.choose k)) • (f (↑k + ↑(p ^ t)) - f ↑k)‖ ≤ ‖f‖ / ↑p ^ s

Tactic:
refine norm_sum_le_of_forall_le_of_nonempty nonempty_range_succ (fun i _ ↦ ?_)

Result:
case refine_2
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℚ_[p] E
inst✝ : IsUltrametricDist E
f : C(ℤ_[p], E)
s t : ℕ
hst : ∀ (x y : ℤ_[p]), ‖x - y‖ ≤ ↑p ^ (-↑t) → ‖f x - f y‖ ≤ ‖f‖ / ↑p ^ s
n i : ℕ
x✝ : i ∈ range (n + 1)
⊢ ‖((-1) ^ (n - i) * ↑(n.choose i)) • (f (↑i + ↑(p ^ t)) - f ↑i)‖ ≤ ‖f‖ / ↑p ^ s

Proof state:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℚ_[p] E
inst✝ : IsUltrametricDist E
f : C(ℤ_[p], E)
s t : ℕ
hst : ∀ (x y : ℤ_[p]), ‖x - y‖ ≤ ↑p ^ (-↑t) → ‖f x - f y‖ ≤ ‖f‖ / ↑p ^ s
n i : ℕ
x✝ : i ∈ range (n + 1)
⊢ ‖↑((-1) ^ (n - i) * ↑(n.choose i))‖ ≤ 1

Tactic:
simpa only [← coe_intCast] using norm_le_one _

Result:
no goals

Proof state:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℚ_[p] E
inst✝ : IsUltrametricDist E
f : C(ℤ_[p], E)
s t : ℕ
hst : ∀ (x y : ℤ_[p]), ‖x - y‖ ≤ ↑p ^ (-↑t) → ‖f x - f y‖ ≤ ‖f‖ / ↑p ^ s
n i : ℕ
x✝ : i ∈ range (n + 1)
⊢ ‖((-1) ^ (n - i) * ↑(n.choose i)) • (f (↑i + ↑(p ^ t)) - f ↑i)‖ ≤ ‖f (↑i + ↑(p ^ t)) - f ↑i‖

Tactic:
rw [← Int.cast_smul_eq_zsmul ℚ_[p], norm_smul]

Result:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℚ_[p] E
inst✝ : IsUltrametricDist E
f : C(ℤ_[p], E)
s t : ℕ
hst : ∀ (x y : ℤ_[p]), ‖x - y‖ ≤ ↑p ^ (-↑t) → ‖f x - f y‖ ≤ ‖f‖ / ↑p ^ s
n i : ℕ
x✝ : i ∈ range (n + 1)
⊢ ‖↑((-1) ^ (n - i) * ↑(n.choose i))‖ * ‖f (↑i + ↑(p ^ t)) - f ↑i‖ ≤ ‖f (↑i + ↑(p ^ t)) - f ↑i‖

Proof state:
case refine_1
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℚ_[p] E
inst✝ : IsUltrametricDist E
f : C(ℤ_[p], E)
s t : ℕ
hst : ∀ (x y : ℤ_[p]), ‖x - y‖ ≤ ↑p ^ (-↑t) → ‖f x - f y‖ ≤ ‖f‖ / ↑p ^ s
n : ℕ
⊢ ‖-∑ j ∈ range (p ^ t - 1), (p ^ t).choose (j + 1) • Δ_[1]^[n + (j + 1)] (⇑f) 0‖ ≤
    ↑((range (p ^ t - 1)).sup fun j => ‖Δ_[1]^[n + (j + 1)] (⇑f) 0‖₊ / ↑p)

Tactic:
rw [norm_neg, ← coe_nnnorm, coe_le_coe]

Result:
case refine_1
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℚ_[p] E
inst✝ : IsUltrametricDist E
f : C(ℤ_[p], E)
s t : ℕ
hst : ∀ (x y : ℤ_[p]), ‖x - y‖ ≤ ↑p ^ (-↑t) → ‖f x - f y‖ ≤ ‖f‖ / ↑p ^ s
n : ℕ
⊢ ‖∑ j ∈ range (p ^ t - 1), (p ^ t).choose (j + 1) • Δ_[1]^[n + (j + 1)] (⇑f) 0‖₊ ≤
    (range (p ^ t - 1)).sup fun j => ‖Δ_[1]^[n + (j + 1)] (⇑f) 0‖₊ / ↑p

Proof state:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℚ_[p] E
inst✝ : IsUltrametricDist E
f : C(ℤ_[p], E)
s t : ℕ
hst : ∀ (x y : ℤ_[p]), ‖x - y‖ ≤ ↑p ^ (-↑t) → ‖f x - f y‖ ≤ ‖f‖ / ↑p ^ s
n i : ℕ
hi : i < p ^ t - 1
this : 0 < (p ^ t).choose (i + 1)
⊢ i + 1 ≠ p ^ t

Tactic:
omega

Result:
no goals