-- Mathlib/Analysis/Asymptotics/TVS.lean
lemma isLittleOTVS_iff_isLittleO {f : α → E} {g : α → F} {l : Filter α} :
    f =o[𝕜;l] g ↔ f =o[l] g

Proof state:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖₊
hc₀ : 0 < ‖c‖₊
h :
  ∀ (i : ℝ),
    0 < i →
      ∃ j, 0 < j ∧ ∀ (ε : ℝ≥0), ε ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, egauge 𝕜 (ball 0 i) (f x) ≤ ↑ε * egauge 𝕜 (ball 0 j) (g x)
ε δ : ℝ≥0
hδ : ∀ (ε_1 : ℝ≥0), ε_1 ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, egauge 𝕜 (ball 0 ↑ε) (f x) ≤ ↑ε_1 * egauge 𝕜 (ball 0 ↑δ) (g x)
hε : 0 < ε
hδ₀ : 0 < δ
x : α
hx : egauge 𝕜 (ball 0 ↑ε) (f x) ≤ ↑(δ / ‖c‖₊) * egauge 𝕜 (ball 0 ↑δ) (g x)
this : ↑(‖f x‖₊ / ε) ≤ ↑‖g x‖₊
⊢ ‖f x‖ ≤ ↑ε * ‖g x‖

Tactic:
rw [← div_le_iff₀' (NNReal.coe_pos.2 hε)]

Result:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖₊
hc₀ : 0 < ‖c‖₊
h :
  ∀ (i : ℝ),
    0 < i →
      ∃ j, 0 < j ∧ ∀ (ε : ℝ≥0), ε ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, egauge 𝕜 (ball 0 i) (f x) ≤ ↑ε * egauge 𝕜 (ball 0 j) (g x)
ε δ : ℝ≥0
hδ : ∀ (ε_1 : ℝ≥0), ε_1 ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, egauge 𝕜 (ball 0 ↑ε) (f x) ≤ ↑ε_1 * egauge 𝕜 (ball 0 ↑δ) (g x)
hε : 0 < ε
hδ₀ : 0 < δ
x : α
hx : egauge 𝕜 (ball 0 ↑ε) (f x) ≤ ↑(δ / ‖c‖₊) * egauge 𝕜 (ball 0 ↑δ) (g x)
this : ↑(‖f x‖₊ / ε) ≤ ↑‖g x‖₊
⊢ ‖f x‖ / ↑ε ≤ ‖g x‖

Proof state:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖₊
hc₀ : 0 < ‖c‖₊
h : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
ε : ℝ
hε : 0 < ε
δ : ℝ≥0
hδ : δ ≠ 0
⊢ 0 < ε * ↑δ / ↑‖c‖₊

Tactic:
positivity

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖₊
hc₀ : 0 < ‖c‖₊
h : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
δ : ℝ≥0
hδ : δ ≠ 0
x : α
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ↑ε
hx : ↑‖f x‖₊ ≤ ↑ε * ↑δ / ↑‖c‖₊ * ↑‖g x‖₊
⊢ ↑δ * ↑‖g x‖₊ ≤ ↑δ * egauge 𝕜 (ball 0 1) (g x)

Tactic:
gcongr

Result:
case bc
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖₊
hc₀ : 0 < ‖c‖₊
h : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ c * ‖g x‖
δ : ℝ≥0
hδ : δ ≠ 0
x : α
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ↑ε
hx : ↑‖f x‖₊ ≤ ↑ε * ↑δ / ↑‖c‖₊ * ↑‖g x‖₊
⊢ ↑‖g x‖₊ ≤ egauge 𝕜 (ball 0 1) (g x)

Proof state:
case intro.refine_1
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖₊
hc₀ : 0 < ‖c‖₊
h :
  ∀ (i : ℝ),
    0 < i →
      ∃ j, 0 < j ∧ ∀ (ε : ℝ≥0), ε ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, egauge 𝕜 (ball 0 i) (f x) ≤ ↑ε * egauge 𝕜 (ball 0 j) (g x)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ ε * ‖g x‖

Tactic:
rcases h ε hε with ⟨δ, hδ₀, hδ⟩

Result:
case intro.refine_1.intro.intro
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖₊
hc₀ : 0 < ‖c‖₊
h :
  ∀ (i : ℝ),
    0 < i →
      ∃ j, 0 < j ∧ ∀ (ε : ℝ≥0), ε ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, egauge 𝕜 (ball 0 i) (f x) ≤ ↑ε * egauge 𝕜 (ball 0 j) (g x)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ₀ : 0 < δ
hδ : ∀ (ε_1 : ℝ≥0), ε_1 ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, egauge 𝕜 (ball 0 ε) (f x) ≤ ↑ε_1 * egauge 𝕜 (ball 0 δ) (g x)
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ ε * ‖g x‖

Proof state:
case h
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖₊
hc₀ : 0 < ‖c‖₊
h :
  ∀ (i : ℝ),
    0 < i →
      ∃ j, 0 < j ∧ ∀ (ε : ℝ≥0), ε ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, egauge 𝕜 (ball 0 i) (f x) ≤ ↑ε * egauge 𝕜 (ball 0 j) (g x)
ε δ : ℝ≥0
hδ : ∀ (ε_1 : ℝ≥0), ε_1 ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, egauge 𝕜 (ball 0 ↑ε) (f x) ≤ ↑ε_1 * egauge 𝕜 (ball 0 ↑δ) (g x)
hε : 0 < ε
hδ₀ : 0 < δ
x : α
hx : egauge 𝕜 (ball 0 ↑ε) (f x) ≤ ↑(δ / ‖c‖₊) * egauge 𝕜 (ball 0 ↑δ) (g x)
⊢ ‖f x‖ ≤ ↑ε * ‖g x‖

Tactic:
suffices (‖f x‖₊ / ε : ℝ≥0∞) ≤ ‖g x‖₊ by
  rw [← ENNReal.coe_div hε.ne'] at this
  rw [← div_le_iff₀' (NNReal.coe_pos.2 hε)]
  exact_mod_cast this

Result:
case h
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖₊
hc₀ : 0 < ‖c‖₊
h :
  ∀ (i : ℝ),
    0 < i →
      ∃ j, 0 < j ∧ ∀ (ε : ℝ≥0), ε ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, egauge 𝕜 (ball 0 i) (f x) ≤ ↑ε * egauge 𝕜 (ball 0 j) (g x)
ε δ : ℝ≥0
hδ : ∀ (ε_1 : ℝ≥0), ε_1 ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, egauge 𝕜 (ball 0 ↑ε) (f x) ≤ ↑ε_1 * egauge 𝕜 (ball 0 ↑δ) (g x)
hε : 0 < ε
hδ₀ : 0 < δ
x : α
hx : egauge 𝕜 (ball 0 ↑ε) (f x) ≤ ↑(δ / ‖c‖₊) * egauge 𝕜 (ball 0 ↑δ) (g x)
⊢ ↑‖f x‖₊ / ↑ε ≤ ↑‖g x‖₊

Proof state:
case intro.refine_1.intro.intro
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖₊
hc₀ : 0 < ‖c‖₊
h :
  ∀ (i : ℝ),
    0 < i →
      ∃ j, 0 < j ∧ ∀ (ε : ℝ≥0), ε ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, egauge 𝕜 (ball 0 i) (f x) ≤ ↑ε * egauge 𝕜 (ball 0 j) (g x)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ₀ : 0 < δ
hδ : ∀ (ε_1 : ℝ≥0), ε_1 ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, egauge 𝕜 (ball 0 ε) (f x) ≤ ↑ε_1 * egauge 𝕜 (ball 0 δ) (g x)
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ ε * ‖g x‖

Tactic:
lift ε to ℝ≥0 using hε.le

Result:
case intro.refine_1.intro.intro.intro
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : SeminormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E
g : α → F
l : Filter α
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖₊
hc₀ : 0 < ‖c‖₊
h :
  ∀ (i : ℝ),
    0 < i →
      ∃ j, 0 < j ∧ ∀ (ε : ℝ≥0), ε ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, egauge 𝕜 (ball 0 i) (f x) ≤ ↑ε * egauge 𝕜 (ball 0 j) (g x)
δ : ℝ
hδ₀ : 0 < δ
ε : ℝ≥0
hε : 0 < ↑ε
hδ : ∀ (ε_1 : ℝ≥0), ε_1 ≠ 0 → ∀ᶠ (x : α) in l, egauge 𝕜 (ball 0 ↑ε) (f x) ≤ ↑ε_1 * egauge 𝕜 (ball 0 δ) (g x)
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ ↑ε * ‖g x‖