-- Mathlib/Analysis/Meromorphic/Basic.lean
theorem eventually_codiscreteWithin_analyticAt
    [CompleteSpace E] (f : 𝕜 → E) (h : MeromorphicOn f U) :
    ∀ᶠ (y : 𝕜) in codiscreteWithin U, AnalyticAt 𝕜 f y

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
U : Set 𝕜
inst✝ : CompleteSpace E
f : 𝕜 → E
h : MeromorphicOn f U
⊢ ∀ᶠ (y : 𝕜) in codiscreteWithin U, AnalyticAt 𝕜 f y

Tactic:
rw [eventually_iff, mem_codiscreteWithin]

Result:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
U : Set 𝕜
inst✝ : CompleteSpace E
f : 𝕜 → E
h : MeromorphicOn f U
⊢ ∀ x ∈ U, Disjoint (𝓝[≠] x) (𝓟 (U \ {x | AnalyticAt 𝕜 f x}))

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
U : Set 𝕜
inst✝ : CompleteSpace E
f : 𝕜 → E
h : MeromorphicOn f U
x : 𝕜
hx : x ∈ U
⊢ (U \ {x | AnalyticAt 𝕜 f x})ᶜ ∈ 𝓝[≠] x

Tactic:
apply Filter.mem_of_superset ((h x hx).eventually_analyticAt)

Result:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
U : Set 𝕜
inst✝ : CompleteSpace E
f : 𝕜 → E
h : MeromorphicOn f U
x : 𝕜
hx : x ∈ U
⊢ {x | (fun y => AnalyticAt 𝕜 f y) x} ⊆ (U \ {x | AnalyticAt 𝕜 f x})ᶜ

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
U : Set 𝕜
inst✝ : CompleteSpace E
f : 𝕜 → E
h : MeromorphicOn f U
x : 𝕜
hx : x ∈ U
⊢ Disjoint (𝓝[≠] x) (𝓟 (U \ {x | AnalyticAt 𝕜 f x}))

Tactic:
rw [disjoint_principal_right]

Result:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
U : Set 𝕜
inst✝ : CompleteSpace E
f : 𝕜 → E
h : MeromorphicOn f U
x : 𝕜
hx : x ∈ U
⊢ (U \ {x | AnalyticAt 𝕜 f x})ᶜ ∈ 𝓝[≠] x

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
U : Set 𝕜
inst✝ : CompleteSpace E
f : 𝕜 → E
h : MeromorphicOn f U
⊢ ∀ x ∈ U, Disjoint (𝓝[≠] x) (𝓟 (U \ {x | AnalyticAt 𝕜 f x}))

Tactic:
intro x hx

Result:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
U : Set 𝕜
inst✝ : CompleteSpace E
f : 𝕜 → E
h : MeromorphicOn f U
x : 𝕜
hx : x ∈ U
⊢ Disjoint (𝓝[≠] x) (𝓟 (U \ {x | AnalyticAt 𝕜 f x}))

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
U : Set 𝕜
inst✝ : CompleteSpace E
f : 𝕜 → E
h : MeromorphicOn f U
x✝ : 𝕜
hx✝ : x✝ ∈ U
x : 𝕜
hx : x ∈ {x | (fun y => AnalyticAt 𝕜 f y) x}
⊢ x ∈ (U \ {x | AnalyticAt 𝕜 f x})ᶜ

Tactic:
simp [hx]

Result:
no goals

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
U : Set 𝕜
inst✝ : CompleteSpace E
f : 𝕜 → E
h : MeromorphicOn f U
x : 𝕜
hx : x ∈ U
⊢ {x | (fun y => AnalyticAt 𝕜 f y) x} ⊆ (U \ {x | AnalyticAt 𝕜 f x})ᶜ

Tactic:
intro x hx

Result:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
U : Set 𝕜
inst✝ : CompleteSpace E
f : 𝕜 → E
h : MeromorphicOn f U
x✝ : 𝕜
hx✝ : x✝ ∈ U
x : 𝕜
hx : x ∈ {x | (fun y => AnalyticAt 𝕜 f y) x}
⊢ x ∈ (U \ {x | AnalyticAt 𝕜 f x})ᶜ