-- Mathlib/Data/Finset/Lattice/Lemmas.lean
theorem induction_on_union (P : Finset α → Finset α → Prop) (symm : ∀ {a b}, P a b → P b a)
    (empty_right : ∀ {a}, P a ∅) (singletons : ∀ {a b}, P {a} {b})
    (union_of : ∀ {a b c}, P a c → P b c → P (a ∪ b) c) : ∀ a b, P a b

Proof state:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
P : Finset α → Finset α → Prop
symm : ∀ {a b : Finset α}, P a b → P b a
empty_right : ∀ {a : Finset α}, P a ∅
singletons : ∀ {a b : α}, P {a} {b}
union_of : ∀ {a b c : Finset α}, P a c → P b c → P (a ∪ b) c
a b : Finset α
x : α
s : Finset α
_xs : x ∉ s
hi : P a s
⊢ P (insert x s) a

Tactic:
rw [Finset.insert_eq]

Result:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
P : Finset α → Finset α → Prop
symm : ∀ {a b : Finset α}, P a b → P b a
empty_right : ∀ {a : Finset α}, P a ∅
singletons : ∀ {a b : α}, P {a} {b}
union_of : ∀ {a b c : Finset α}, P a c → P b c → P (a ∪ b) c
a b : Finset α
x : α
s : Finset α
_xs : x ∉ s
hi : P a s
⊢ P ({x} ∪ s) a

Proof state:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
P : Finset α → Finset α → Prop
symm : ∀ {a b : Finset α}, P a b → P b a
empty_right : ∀ {a : Finset α}, P a ∅
singletons : ∀ {a b : α}, P {a} {b}
union_of : ∀ {a b c : Finset α}, P a c → P b c → P (a ∪ b) c
a b : Finset α
⊢ P a b

Tactic:
refine Finset.induction_on b empty_right fun x s _xs hi => symm ?_

Result:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
P : Finset α → Finset α → Prop
symm : ∀ {a b : Finset α}, P a b → P b a
empty_right : ∀ {a : Finset α}, P a ∅
singletons : ∀ {a b : α}, P {a} {b}
union_of : ∀ {a b c : Finset α}, P a c → P b c → P (a ∪ b) c
a b : Finset α
x : α
s : Finset α
_xs : x ∉ s
hi : P a s
⊢ P (insert x s) a

Proof state:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
P : Finset α → Finset α → Prop
symm : ∀ {a b : Finset α}, P a b → P b a
empty_right : ∀ {a : Finset α}, P a ∅
singletons : ∀ {a b : α}, P {a} {b}
union_of : ∀ {a b c : Finset α}, P a c → P b c → P (a ∪ b) c
a b : Finset α
x : α
s : Finset α
_xs : x ∉ s
hi : P a s
⊢ P {x} a

Tactic:
refine Finset.induction_on a empty_right fun a t _ta hi => symm ?_

Result:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
P : Finset α → Finset α → Prop
symm : ∀ {a b : Finset α}, P a b → P b a
empty_right : ∀ {a : Finset α}, P a ∅
singletons : ∀ {a b : α}, P {a} {b}
union_of : ∀ {a b c : Finset α}, P a c → P b c → P (a ∪ b) c
a✝ b : Finset α
x : α
s : Finset α
_xs : x ∉ s
hi✝ : P a✝ s
a : α
t : Finset α
_ta : a ∉ t
hi : P {x} t
⊢ P (insert a t) {x}

Proof state:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
P : Finset α → Finset α → Prop
symm : ∀ {a b : Finset α}, P a b → P b a
empty_right : ∀ {a : Finset α}, P a ∅
singletons : ∀ {a b : α}, P {a} {b}
union_of : ∀ {a b c : Finset α}, P a c → P b c → P (a ∪ b) c
⊢ ∀ (a b : Finset α), P a b

Tactic:
intro a b

Result:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
P : Finset α → Finset α → Prop
symm : ∀ {a b : Finset α}, P a b → P b a
empty_right : ∀ {a : Finset α}, P a ∅
singletons : ∀ {a b : α}, P {a} {b}
union_of : ∀ {a b c : Finset α}, P a c → P b c → P (a ∪ b) c
a b : Finset α
⊢ P a b

Proof state:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
P : Finset α → Finset α → Prop
symm : ∀ {a b : Finset α}, P a b → P b a
empty_right : ∀ {a : Finset α}, P a ∅
singletons : ∀ {a b : α}, P {a} {b}
union_of : ∀ {a b c : Finset α}, P a c → P b c → P (a ∪ b) c
a b : Finset α
x : α
s : Finset α
_xs : x ∉ s
hi : P a s
⊢ P ({x} ∪ s) a

Tactic:
apply union_of _ (symm hi)

Result:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
P : Finset α → Finset α → Prop
symm : ∀ {a b : Finset α}, P a b → P b a
empty_right : ∀ {a : Finset α}, P a ∅
singletons : ∀ {a b : α}, P {a} {b}
union_of : ∀ {a b c : Finset α}, P a c → P b c → P (a ∪ b) c
a b : Finset α
x : α
s : Finset α
_xs : x ∉ s
hi : P a s
⊢ P {x} a

Proof state:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
P : Finset α → Finset α → Prop
symm : ∀ {a b : Finset α}, P a b → P b a
empty_right : ∀ {a : Finset α}, P a ∅
singletons : ∀ {a b : α}, P {a} {b}
union_of : ∀ {a b c : Finset α}, P a c → P b c → P (a ∪ b) c
a✝ b : Finset α
x : α
s : Finset α
_xs : x ∉ s
hi✝ : P a✝ s
a : α
t : Finset α
_ta : a ∉ t
hi : P {x} t
⊢ P ({a} ∪ t) {x}

Tactic:
exact union_of singletons (symm hi)

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
P : Finset α → Finset α → Prop
symm : ∀ {a b : Finset α}, P a b → P b a
empty_right : ∀ {a : Finset α}, P a ∅
singletons : ∀ {a b : α}, P {a} {b}
union_of : ∀ {a b c : Finset α}, P a c → P b c → P (a ∪ b) c
a✝ b : Finset α
x : α
s : Finset α
_xs : x ∉ s
hi✝ : P a✝ s
a : α
t : Finset α
_ta : a ∉ t
hi : P {x} t
⊢ P (insert a t) {x}

Tactic:
rw [Finset.insert_eq]

Result:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
P : Finset α → Finset α → Prop
symm : ∀ {a b : Finset α}, P a b → P b a
empty_right : ∀ {a : Finset α}, P a ∅
singletons : ∀ {a b : α}, P {a} {b}
union_of : ∀ {a b c : Finset α}, P a c → P b c → P (a ∪ b) c
a✝ b : Finset α
x : α
s : Finset α
_xs : x ∉ s
hi✝ : P a✝ s
a : α
t : Finset α
_ta : a ∉ t
hi : P {x} t
⊢ P ({a} ∪ t) {x}