-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
theorem contDiffWithinAt_succ_iff_hasFDerivWithinAt (hn : n ≠ ∞) :
    ContDiffWithinAt 𝕜 (n + 1) f s x ↔ ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x, (n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u) ∧
      ∃ f' : E → E →L[𝕜] F,
      (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n f' u x

Proof state:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : WithTop ℕ∞
hn : n ≠ ∞
h'n : n + 1 ≠ ∞
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 (n + 1) f s x ↔
    ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x,
      (n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u) ∧ ∃ f', (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n f' u x

Tactic:
constructor

Result:
case mp
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : WithTop ℕ∞
hn : n ≠ ∞
h'n : n + 1 ≠ ∞
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 (n + 1) f s x →
    ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x,
      (n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u) ∧ ∃ f', (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n f' u x

case mpr
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : WithTop ℕ∞
hn : n ≠ ∞
h'n : n + 1 ≠ ∞
⊢ (∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x,
      (n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u) ∧ ∃ f', (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n f' u x) →
    ContDiffWithinAt 𝕜 (n + 1) f s x

Proof state:
case h.e'_10.h.h
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x✝ : E
n : WithTop ℕ∞
hn : n ≠ ∞
h'n : n + 1 ≠ ∞
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x✝ s] x✝
hf : n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u
f' : E → E →L[𝕜] F
f'_eq_deriv : ∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
Hf' : ContDiffWithinAt 𝕜 n f' u x✝
v : Set E
hv : v ∈ 𝓝[insert x✝ u] x✝
p' : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E (E →L[𝕜] F)
Hp' : HasFTaylorSeriesUpToOn n f' p' v
p'_an : n = ω → ∀ (i : ℕ), AnalyticOn 𝕜 (fun x => p' x i) v
x y : E
⊢ ((continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) ((p' x).unshift (f x) 1)) y = (p' x 0).curry0 y

Tactic:
change p' x 0 (init (@snoc 0 (fun _ : Fin 1 => E) 0 y)) y = p' x 0 0 y

Result:
case h.e'_10.h.h
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x✝ : E
n : WithTop ℕ∞
hn : n ≠ ∞
h'n : n + 1 ≠ ∞
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x✝ s] x✝
hf : n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u
f' : E → E →L[𝕜] F
f'_eq_deriv : ∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
Hf' : ContDiffWithinAt 𝕜 n f' u x✝
v : Set E
hv : v ∈ 𝓝[insert x✝ u] x✝
p' : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E (E →L[𝕜] F)
Hp' : HasFTaylorSeriesUpToOn n f' p' v
p'_an : n = ω → ∀ (i : ℕ), AnalyticOn 𝕜 (fun x => p' x i) v
x y : E
⊢ ((p' x 0) (init (snoc 0 y))) y = ((p' x 0) 0) y

Proof state:
case mpr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2.refine_1
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : WithTop ℕ∞
hn : n ≠ ∞
h'n : n + 1 ≠ ∞
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
hf : n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u
f' : E → E →L[𝕜] F
f'_eq_deriv : ∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
Hf' : ContDiffWithinAt 𝕜 n f' u x
v : Set E
hv : v ∈ 𝓝[insert x u] x
p' : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E (E →L[𝕜] F)
Hp' : HasFTaylorSeriesUpToOn n f' p' v
p'_an : n = ω → ∀ (i : ℕ), AnalyticOn 𝕜 (fun x => p' x i) v
y : E
hy : y ∈ v ∩ u
⊢ HasFDerivWithinAt (fun z => (continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F).symm (f z)) ((p' y).unshift (f y) 1).curryLeft
    (v ∩ u) y

Tactic:
rw [← Function.comp_def _ f, LinearIsometryEquiv.comp_hasFDerivWithinAt_iff']

Result:
case mpr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2.refine_1
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : WithTop ℕ∞
hn : n ≠ ∞
h'n : n + 1 ≠ ∞
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
hf : n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u
f' : E → E →L[𝕜] F
f'_eq_deriv : ∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
Hf' : ContDiffWithinAt 𝕜 n f' u x
v : Set E
hv : v ∈ 𝓝[insert x u] x
p' : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E (E →L[𝕜] F)
Hp' : HasFTaylorSeriesUpToOn n f' p' v
p'_an : n = ω → ∀ (i : ℕ), AnalyticOn 𝕜 (fun x => p' x i) v
y : E
hy : y ∈ v ∩ u
⊢ HasFDerivWithinAt f
    ((↑{ toLinearEquiv := (continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F).symm.symm.toLinearEquiv, continuous_toFun := ⋯,
            continuous_invFun := ⋯ }).comp
      ((p' y).unshift (f y) 1).curryLeft)
    (v ∩ u) y

Proof state:
case mp
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : WithTop ℕ∞
hn : n ≠ ∞
h'n : n + 1 ≠ ∞
h : ContDiffWithinAt 𝕜 (n + 1) f s x
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x,
    (n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u) ∧ ∃ f', (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n f' u x

Tactic:
rcases (contDiffWithinAt_iff_of_ne_infty h'n).1 h with ⟨u, hu, p, Hp, H'p⟩

Result:
case mp.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : WithTop ℕ∞
hn : n ≠ ∞
h'n : n + 1 ≠ ∞
h : ContDiffWithinAt 𝕜 (n + 1) f s x
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
Hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (n + 1) f p u
H'p : n + 1 = ω → ∀ (i : ℕ), AnalyticOn 𝕜 (fun x => p x i) u
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x,
    (n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u) ∧ ∃ f', (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n f' u x

Proof state:
case mp.intro.intro.intro.intro.refine_2
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : WithTop ℕ∞
hn : n ≠ ∞
h'n : n + 1 ≠ ∞
h : ContDiffWithinAt 𝕜 (n + 1) f s x
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
Hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (n + 1) f p u
H'p : n + 1 = ω → ∀ (i : ℕ), AnalyticOn 𝕜 (fun x => p x i) u
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun y => (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p y 1)) u x

Tactic:
apply (contDiffWithinAt_iff_of_ne_infty hn).2

Result:
case mp.intro.intro.intro.intro.refine_2
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : WithTop ℕ∞
hn : n ≠ ∞
h'n : n + 1 ≠ ∞
h : ContDiffWithinAt 𝕜 (n + 1) f s x
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
Hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (n + 1) f p u
H'p : n + 1 = ω → ∀ (i : ℕ), AnalyticOn 𝕜 (fun x => p x i) u
⊢ ∃ u_1 ∈ 𝓝[insert x u] x,
    ∃ p_1,
      HasFTaylorSeriesUpToOn n (fun y => (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p y 1)) p_1 u_1 ∧
        (n = ω → ∀ (i : ℕ), AnalyticOn 𝕜 (fun x => p_1 x i) u_1)