-- Mathlib/FieldTheory/RatFunc/AsPolynomial.lean
theorem eval_add {x y : RatFunc K} (hx : Polynomial.eval₂ f a (denom x) ≠ 0)
    (hy : Polynomial.eval₂ f a (denom y) ≠ 0) : eval f a (x + y) = eval f a x + eval f a y

Proof state:
case neg.e_p
K : Type u
inst✝¹ : Field K
L : Type u
inst✝ : Field L
f : K →+* L
a : L
x y : RatFunc K
hx : Polynomial.eval₂ f a x.denom ≠ 0
hy : Polynomial.eval₂ f a y.denom ≠ 0
hxy : ¬Polynomial.eval₂ f a (x + y).denom = 0
⊢ (x + y).num * (x.denom * y.denom) = (x.num * y.denom + x.denom * y.num) * (x + y).denom

Tactic:
apply num_denom_add

Result:
no goals

Proof state:
case pos
K : Type u
inst✝¹ : Field K
L : Type u
inst✝ : Field L
f : K →+* L
a : L
x y : RatFunc K
hx : Polynomial.eval₂ f a x.denom ≠ 0
hy : Polynomial.eval₂ f a y.denom ≠ 0
hxy : Polynomial.eval₂ f a (x + y).denom = 0
this : Polynomial.eval₂ f a (x.denom * y.denom) = 0
⊢ Polynomial.eval₂ f a (x + y).num / Polynomial.eval₂ f a (x + y).denom =
    Polynomial.eval₂ f a x.num / Polynomial.eval₂ f a x.denom +
      Polynomial.eval₂ f a y.num / Polynomial.eval₂ f a y.denom

Tactic:
rw [Polynomial.eval₂_mul] at this

Result:
case pos
K : Type u
inst✝¹ : Field K
L : Type u
inst✝ : Field L
f : K →+* L
a : L
x y : RatFunc K
hx : Polynomial.eval₂ f a x.denom ≠ 0
hy : Polynomial.eval₂ f a y.denom ≠ 0
hxy : Polynomial.eval₂ f a (x + y).denom = 0
this : Polynomial.eval₂ f a x.denom * Polynomial.eval₂ f a y.denom = 0
⊢ Polynomial.eval₂ f a (x + y).num / Polynomial.eval₂ f a (x + y).denom =
    Polynomial.eval₂ f a x.num / Polynomial.eval₂ f a x.denom +
      Polynomial.eval₂ f a y.num / Polynomial.eval₂ f a y.denom

Proof state:
K : Type u
inst✝¹ : Field K
L : Type u
inst✝ : Field L
f : K →+* L
a : L
x y : RatFunc K
hx : Polynomial.eval₂ f a x.denom ≠ 0
hy : Polynomial.eval₂ f a y.denom ≠ 0
⊢ eval f a (x + y) = eval f a x + eval f a y

Tactic:
unfold eval

Result:
K : Type u
inst✝¹ : Field K
L : Type u
inst✝ : Field L
f : K →+* L
a : L
x y : RatFunc K
hx : Polynomial.eval₂ f a x.denom ≠ 0
hy : Polynomial.eval₂ f a y.denom ≠ 0
⊢ Polynomial.eval₂ f a (x + y).num / Polynomial.eval₂ f a (x + y).denom =
    Polynomial.eval₂ f a x.num / Polynomial.eval₂ f a x.denom +
      Polynomial.eval₂ f a y.num / Polynomial.eval₂ f a y.denom

Proof state:
K : Type u
inst✝¹ : Field K
L : Type u
inst✝ : Field L
f : K →+* L
a : L
x y : RatFunc K
hx : Polynomial.eval₂ f a x.denom ≠ 0
hy : Polynomial.eval₂ f a y.denom ≠ 0
⊢ Polynomial.eval₂ f a (x + y).num / Polynomial.eval₂ f a (x + y).denom =
    Polynomial.eval₂ f a x.num / Polynomial.eval₂ f a x.denom +
      Polynomial.eval₂ f a y.num / Polynomial.eval₂ f a y.denom

Tactic:
by_cases hxy : Polynomial.eval₂ f a (denom (x + y)) = 0

Result:
case pos
K : Type u
inst✝¹ : Field K
L : Type u
inst✝ : Field L
f : K →+* L
a : L
x y : RatFunc K
hx : Polynomial.eval₂ f a x.denom ≠ 0
hy : Polynomial.eval₂ f a y.denom ≠ 0
hxy : Polynomial.eval₂ f a (x + y).denom = 0
⊢ Polynomial.eval₂ f a (x + y).num / Polynomial.eval₂ f a (x + y).denom =
    Polynomial.eval₂ f a x.num / Polynomial.eval₂ f a x.denom +
      Polynomial.eval₂ f a y.num / Polynomial.eval₂ f a y.denom

case neg
K : Type u
inst✝¹ : Field K
L : Type u
inst✝ : Field L
f : K →+* L
a : L
x y : RatFunc K
hx : Polynomial.eval₂ f a x.denom ≠ 0
hy : Polynomial.eval₂ f a y.denom ≠ 0
hxy : ¬Polynomial.eval₂ f a (x + y).denom = 0
⊢ Polynomial.eval₂ f a (x + y).num / Polynomial.eval₂ f a (x + y).denom =
    Polynomial.eval₂ f a x.num / Polynomial.eval₂ f a x.denom +
      Polynomial.eval₂ f a y.num / Polynomial.eval₂ f a y.denom

Proof state:
case neg
K : Type u
inst✝¹ : Field K
L : Type u
inst✝ : Field L
f : K →+* L
a : L
x y : RatFunc K
hx : Polynomial.eval₂ f a x.denom ≠ 0
hy : Polynomial.eval₂ f a y.denom ≠ 0
hxy : ¬Polynomial.eval₂ f a (x + y).denom = 0
⊢ Polynomial.eval₂ f a (x + y).num * (Polynomial.eval₂ f a x.denom * Polynomial.eval₂ f a y.denom) =
    (Polynomial.eval₂ f a x.num * Polynomial.eval₂ f a y.denom +
        Polynomial.eval₂ f a x.denom * Polynomial.eval₂ f a y.num) *
      Polynomial.eval₂ f a (x + y).denom

Tactic:
simp only [← Polynomial.eval₂_mul, ← Polynomial.eval₂_add]

Result:
case neg
K : Type u
inst✝¹ : Field K
L : Type u
inst✝ : Field L
f : K →+* L
a : L
x y : RatFunc K
hx : Polynomial.eval₂ f a x.denom ≠ 0
hy : Polynomial.eval₂ f a y.denom ≠ 0
hxy : ¬Polynomial.eval₂ f a (x + y).denom = 0
⊢ Polynomial.eval₂ f a ((x + y).num * (x.denom * y.denom)) =
    Polynomial.eval₂ f a ((x.num * y.denom + x.denom * y.num) * (x + y).denom)

Proof state:
case neg
K : Type u
inst✝¹ : Field K
L : Type u
inst✝ : Field L
f : K →+* L
a : L
x y : RatFunc K
hx : Polynomial.eval₂ f a x.denom ≠ 0
hy : Polynomial.eval₂ f a y.denom ≠ 0
hxy : ¬Polynomial.eval₂ f a (x + y).denom = 0
⊢ Polynomial.eval₂ f a (x + y).num / Polynomial.eval₂ f a (x + y).denom =
    Polynomial.eval₂ f a x.num / Polynomial.eval₂ f a x.denom +
      Polynomial.eval₂ f a y.num / Polynomial.eval₂ f a y.denom

Tactic:
rw [div_add_div _ _ hx hy, eq_div_iff (mul_ne_zero hx hy), div_eq_mul_inv, mul_right_comm, ←
  div_eq_mul_inv, div_eq_iff hxy]

Result:
case neg
K : Type u
inst✝¹ : Field K
L : Type u
inst✝ : Field L
f : K →+* L
a : L
x y : RatFunc K
hx : Polynomial.eval₂ f a x.denom ≠ 0
hy : Polynomial.eval₂ f a y.denom ≠ 0
hxy : ¬Polynomial.eval₂ f a (x + y).denom = 0
⊢ Polynomial.eval₂ f a (x + y).num * (Polynomial.eval₂ f a x.denom * Polynomial.eval₂ f a y.denom) =
    (Polynomial.eval₂ f a x.num * Polynomial.eval₂ f a y.denom +
        Polynomial.eval₂ f a x.denom * Polynomial.eval₂ f a y.num) *
      Polynomial.eval₂ f a (x + y).denom

Proof state:
case neg
K : Type u
inst✝¹ : Field K
L : Type u
inst✝ : Field L
f : K →+* L
a : L
x y : RatFunc K
hx : Polynomial.eval₂ f a x.denom ≠ 0
hy : Polynomial.eval₂ f a y.denom ≠ 0
hxy : ¬Polynomial.eval₂ f a (x + y).denom = 0
⊢ Polynomial.eval₂ f a ((x + y).num * (x.denom * y.denom)) =
    Polynomial.eval₂ f a ((x.num * y.denom + x.denom * y.num) * (x + y).denom)

Tactic:
congr 1

Result:
case neg.e_p
K : Type u
inst✝¹ : Field K
L : Type u
inst✝ : Field L
f : K →+* L
a : L
x y : RatFunc K
hx : Polynomial.eval₂ f a x.denom ≠ 0
hy : Polynomial.eval₂ f a y.denom ≠ 0
hxy : ¬Polynomial.eval₂ f a (x + y).denom = 0
⊢ (x + y).num * (x.denom * y.denom) = (x.num * y.denom + x.denom * y.num) * (x + y).denom

Proof state:
case pos
K : Type u
inst✝¹ : Field K
L : Type u
inst✝ : Field L
f : K →+* L
a : L
x y : RatFunc K
hx : Polynomial.eval₂ f a x.denom ≠ 0
hy : Polynomial.eval₂ f a y.denom ≠ 0
hxy : Polynomial.eval₂ f a (x + y).denom = 0
⊢ Polynomial.eval₂ f a (x + y).num / Polynomial.eval₂ f a (x + y).denom =
    Polynomial.eval₂ f a x.num / Polynomial.eval₂ f a x.denom +
      Polynomial.eval₂ f a y.num / Polynomial.eval₂ f a y.denom

Tactic:
have := Polynomial.eval₂_eq_zero_of_dvd_of_eval₂_eq_zero f a (denom_add_dvd x y) hxy

Result:
case pos
K : Type u
inst✝¹ : Field K
L : Type u
inst✝ : Field L
f : K →+* L
a : L
x y : RatFunc K
hx : Polynomial.eval₂ f a x.denom ≠ 0
hy : Polynomial.eval₂ f a y.denom ≠ 0
hxy : Polynomial.eval₂ f a (x + y).denom = 0
this : Polynomial.eval₂ f a (x.denom * y.denom) = 0
⊢ Polynomial.eval₂ f a (x + y).num / Polynomial.eval₂ f a (x + y).denom =
    Polynomial.eval₂ f a x.num / Polynomial.eval₂ f a x.denom +
      Polynomial.eval₂ f a y.num / Polynomial.eval₂ f a y.denom

Proof state:
case pos
K : Type u
inst✝¹ : Field K
L : Type u
inst✝ : Field L
f : K →+* L
a : L
x y : RatFunc K
hx : Polynomial.eval₂ f a x.denom ≠ 0
hy : Polynomial.eval₂ f a y.denom ≠ 0
hxy : Polynomial.eval₂ f a (x + y).denom = 0
this : Polynomial.eval₂ f a x.denom * Polynomial.eval₂ f a y.denom = 0
⊢ Polynomial.eval₂ f a (x + y).num / Polynomial.eval₂ f a (x + y).denom =
    Polynomial.eval₂ f a x.num / Polynomial.eval₂ f a x.denom +
      Polynomial.eval₂ f a y.num / Polynomial.eval₂ f a y.denom

Tactic:
cases mul_eq_zero.mp this <;> contradiction

Result:
no goals