-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
theorem right_inverse_eq (I J : FractionalIdeal R₁⁰ K) (h : I * J = 1) : J = I⁻¹

Proof state:
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : IsDomain R₁
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1
hI : I ≠ 0
⊢ ∀ x ∈ J, ∀ y ∈ I, x * y ∈ I * J

Tactic:
intro y hy x hx

Result:
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : IsDomain R₁
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1
hI : I ≠ 0
y : K
hy : y ∈ J
x : K
hx : x ∈ I
⊢ y * x ∈ I * J

Proof state:
case a
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : IsDomain R₁
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1
hI : I ≠ 0
⊢ I * (1 / I) ≤ 1

Tactic:
apply mul_le.mpr _

Result:
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : IsDomain R₁
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1
hI : I ≠ 0
⊢ ∀ i ∈ I, ∀ j ∈ 1 / I, i * j ∈ 1

Proof state:
case a
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : IsDomain R₁
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1
hI : I ≠ 0
⊢ 1 ≤ I * (1 / I)

Tactic:
rw [← h]

Result:
case a
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : IsDomain R₁
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1
hI : I ≠ 0
⊢ I * J ≤ I * (I * J / I)

Proof state:
case a
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : IsDomain R₁
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1
hI : I ≠ 0
⊢ I * J ≤ I * (I * J / I)

Tactic:
apply mul_left_mono I

Result:
case a.a
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : IsDomain R₁
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1
hI : I ≠ 0
⊢ J ≤ I * J / I

Proof state:
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : IsDomain R₁
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1
hI : I ≠ 0
⊢ ∀ i ∈ I, ∀ j ∈ 1 / I, i * j ∈ 1

Tactic:
intro x hx y hy

Result:
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : IsDomain R₁
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1
hI : I ≠ 0
x : K
hx : x ∈ I
y : K
hy : y ∈ 1 / I
⊢ x * y ∈ 1

Proof state:
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : IsDomain R₁
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1
hI : I ≠ 0
x : K
hx : x ∈ I
y : K
hy : y ∈ 1 / I
⊢ y * x ∈ 1

Tactic:
exact (mem_div_iff_of_nonzero hI).mp hy x hx

Result:
no goals

Proof state:
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : IsDomain R₁
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1
hI : I ≠ 0
⊢ J = I⁻¹

Tactic:
suffices h' : I * (1 / I) = 1 from
  congr_arg Units.inv <| @Units.ext _ _ (Units.mkOfMulEqOne _ _ h) (Units.mkOfMulEqOne _ _ h') rfl

Result:
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : IsDomain R₁
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1
hI : I ≠ 0
⊢ I * (1 / I) = 1

Proof state:
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : IsDomain R₁
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1
hI : I ≠ 0
y : K
hy : y ∈ J
x : K
hx : x ∈ I
⊢ y * x ∈ I * J

Tactic:
rw [mul_comm]

Result:
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : IsDomain R₁
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1
hI : I ≠ 0
y : K
hy : y ∈ J
x : K
hx : x ∈ I
⊢ y * x ∈ J * I

Proof state:
case a.a
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : IsDomain R₁
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1
hI : I ≠ 0
⊢ J ≤ I * J / I

Tactic:
apply (le_div_iff_of_nonzero hI).mpr _

Result:
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : IsDomain R₁
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1
hI : I ≠ 0
⊢ ∀ x ∈ J, ∀ y ∈ I, x * y ∈ I * J

Proof state:
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : IsDomain R₁
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1
hI : I ≠ 0
⊢ I * (1 / I) = 1

Tactic:
apply le_antisymm

Result:
case a
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : IsDomain R₁
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1
hI : I ≠ 0
⊢ I * (1 / I) ≤ 1

case a
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : IsDomain R₁
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1
hI : I ≠ 0
⊢ 1 ≤ I * (1 / I)

Proof state:
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : IsDomain R₁
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1
hI : I ≠ 0
x : K
hx : x ∈ I
y : K
hy : y ∈ 1 / I
⊢ x * y ∈ 1

Tactic:
rw [mul_comm]

Result:
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : IsDomain R₁
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1
hI : I ≠ 0
x : K
hx : x ∈ I
y : K
hy : y ∈ 1 / I
⊢ y * x ∈ 1

Proof state:
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : IsDomain R₁
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1
hI : I ≠ 0
y : K
hy : y ∈ J
x : K
hx : x ∈ I
⊢ y * x ∈ J * I

Tactic:
exact mul_mem_mul hy hx

Result:
no goals

Proof state:
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : IsDomain R₁
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1
⊢ J = I⁻¹

Tactic:
have hI : I ≠ 0 := ne_zero_of_mul_eq_one I J h

Result:
K : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : IsDomain R₁
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
h : I * J = 1
hI : I ≠ 0
⊢ J = I⁻¹