-- Mathlib/Topology/ShrinkingLemma.lean
theorem exists_subset_iUnion_compact_subset_t2space (hs : IsCompact s) (uo : ∀ i, IsOpen (u i))
    (uf : ∀ x ∈ s, { i | x ∈ u i }.Finite) (us : s ⊆ ⋃ i, u i) :
    ∃ v : ι → Set X, s ⊆ iUnion v ∧ (∀ i, IsClosed (v i)) ∧ (∀ i, v i ⊆ u i)
      ∧ ∀ i, IsCompact (v i)

Proof state:
case h.refine_3
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
hs : IsCompact s
uo : ∀ (i : ι), IsOpen (u i)
uf : ∀ x ∈ s, {i | x ∈ u i}.Finite
us : s ⊆ ⋃ i, u i
v : ι → Set X
hsv : s ⊆ iUnion v
left✝ : ∀ (i : ι), IsOpen (v i)
hv : (∀ (i : ι), closure (v i) ⊆ u i) ∧ ∀ (i : ι), IsCompact (closure (v i))
⊢ (∀ (i : ι), (fun i => closure (v i)) i ⊆ u i) ∧ ∀ (i : ι), IsCompact ((fun i => closure (v i)) i)

Tactic:
simp only

Result:
case h.refine_3
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
hs : IsCompact s
uo : ∀ (i : ι), IsOpen (u i)
uf : ∀ x ∈ s, {i | x ∈ u i}.Finite
us : s ⊆ ⋃ i, u i
v : ι → Set X
hsv : s ⊆ iUnion v
left✝ : ∀ (i : ι), IsOpen (v i)
hv : (∀ (i : ι), closure (v i) ⊆ u i) ∧ ∀ (i : ι), IsCompact (closure (v i))
⊢ (∀ (i : ι), closure (v i) ⊆ u i) ∧ ∀ (i : ι), IsCompact (closure (v i))

Proof state:
case h.refine_1
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
hs : IsCompact s
uo : ∀ (i : ι), IsOpen (u i)
uf : ∀ x ∈ s, {i | x ∈ u i}.Finite
us : s ⊆ ⋃ i, u i
v : ι → Set X
hsv : s ⊆ iUnion v
left✝ : ∀ (i : ι), IsOpen (v i)
hv : (∀ (i : ι), closure (v i) ⊆ u i) ∧ ∀ (i : ι), IsCompact (closure (v i))
⊢ s ⊆ ⋃ i, closure (v i)

Tactic:
exact Subset.trans hsv (iUnion_mono fun _ => subset_closure)

Result:
no goals

Proof state:
case h.refine_3
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
hs : IsCompact s
uo : ∀ (i : ι), IsOpen (u i)
uf : ∀ x ∈ s, {i | x ∈ u i}.Finite
us : s ⊆ ⋃ i, u i
v : ι → Set X
hsv : s ⊆ iUnion v
left✝ : ∀ (i : ι), IsOpen (v i)
hv : (∀ (i : ι), closure (v i) ⊆ u i) ∧ ∀ (i : ι), IsCompact (closure (v i))
⊢ (∀ (i : ι), closure (v i) ⊆ u i) ∧ ∀ (i : ι), IsCompact (closure (v i))

Tactic:
exact And.intro (fun i => hv.1 i) (fun i => hv.2 i)

Result:
no goals

Proof state:
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
hs : IsCompact s
uo : ∀ (i : ι), IsOpen (u i)
uf : ∀ x ∈ s, {i | x ∈ u i}.Finite
us : s ⊆ ⋃ i, u i
v : ι → Set X
hsv : s ⊆ iUnion v
left✝ : ∀ (i : ι), IsOpen (v i)
hv : (∀ (i : ι), closure (v i) ⊆ u i) ∧ ∀ (i : ι), IsCompact (closure (v i))
⊢ ∃ v, s ⊆ iUnion v ∧ (∀ (i : ι), IsClosed (v i)) ∧ (∀ (i : ι), v i ⊆ u i) ∧ ∀ (i : ι), IsCompact (v i)

Tactic:
use fun i => closure (v i)

Result:
case h
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
hs : IsCompact s
uo : ∀ (i : ι), IsOpen (u i)
uf : ∀ x ∈ s, {i | x ∈ u i}.Finite
us : s ⊆ ⋃ i, u i
v : ι → Set X
hsv : s ⊆ iUnion v
left✝ : ∀ (i : ι), IsOpen (v i)
hv : (∀ (i : ι), closure (v i) ⊆ u i) ∧ ∀ (i : ι), IsCompact (closure (v i))
⊢ s ⊆ ⋃ i, closure (v i) ∧
    (∀ (i : ι), IsClosed ((fun i => closure (v i)) i)) ∧
      (∀ (i : ι), (fun i => closure (v i)) i ⊆ u i) ∧ ∀ (i : ι), IsCompact ((fun i => closure (v i)) i)

Proof state:
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
hs : IsCompact s
uo : ∀ (i : ι), IsOpen (u i)
uf : ∀ x ∈ s, {i | x ∈ u i}.Finite
us : s ⊆ ⋃ i, u i
⊢ ∃ v, s ⊆ iUnion v ∧ (∀ (i : ι), IsClosed (v i)) ∧ (∀ (i : ι), v i ⊆ u i) ∧ ∀ (i : ι), IsCompact (v i)

Tactic:
let ⟨v, hsv, _, hv⟩ := exists_subset_iUnion_closure_subset_t2space hs uo uf us

Result:
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
hs : IsCompact s
uo : ∀ (i : ι), IsOpen (u i)
uf : ∀ x ∈ s, {i | x ∈ u i}.Finite
us : s ⊆ ⋃ i, u i
v : ι → Set X
hsv : s ⊆ iUnion v
left✝ : ∀ (i : ι), IsOpen (v i)
hv : (∀ (i : ι), closure (v i) ⊆ u i) ∧ ∀ (i : ι), IsCompact (closure (v i))
⊢ ∃ v, s ⊆ iUnion v ∧ (∀ (i : ι), IsClosed (v i)) ∧ (∀ (i : ι), v i ⊆ u i) ∧ ∀ (i : ι), IsCompact (v i)

Proof state:
case h
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
hs : IsCompact s
uo : ∀ (i : ι), IsOpen (u i)
uf : ∀ x ∈ s, {i | x ∈ u i}.Finite
us : s ⊆ ⋃ i, u i
v : ι → Set X
hsv : s ⊆ iUnion v
left✝ : ∀ (i : ι), IsOpen (v i)
hv : (∀ (i : ι), closure (v i) ⊆ u i) ∧ ∀ (i : ι), IsCompact (closure (v i))
⊢ s ⊆ ⋃ i, closure (v i) ∧
    (∀ (i : ι), IsClosed ((fun i => closure (v i)) i)) ∧
      (∀ (i : ι), (fun i => closure (v i)) i ⊆ u i) ∧ ∀ (i : ι), IsCompact ((fun i => closure (v i)) i)

Tactic:
refine ⟨?_, ?_, ?_⟩

Result:
case h.refine_1
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
hs : IsCompact s
uo : ∀ (i : ι), IsOpen (u i)
uf : ∀ x ∈ s, {i | x ∈ u i}.Finite
us : s ⊆ ⋃ i, u i
v : ι → Set X
hsv : s ⊆ iUnion v
left✝ : ∀ (i : ι), IsOpen (v i)
hv : (∀ (i : ι), closure (v i) ⊆ u i) ∧ ∀ (i : ι), IsCompact (closure (v i))
⊢ s ⊆ ⋃ i, closure (v i)

case h.refine_2
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
hs : IsCompact s
uo : ∀ (i : ι), IsOpen (u i)
uf : ∀ x ∈ s, {i | x ∈ u i}.Finite
us : s ⊆ ⋃ i, u i
v : ι → Set X
hsv : s ⊆ iUnion v
left✝ : ∀ (i : ι), IsOpen (v i)
hv : (∀ (i : ι), closure (v i) ⊆ u i) ∧ ∀ (i : ι), IsCompact (closure (v i))
⊢ ∀ (i : ι), IsClosed ((fun i => closure (v i)) i)

case h.refine_3
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
hs : IsCompact s
uo : ∀ (i : ι), IsOpen (u i)
uf : ∀ x ∈ s, {i | x ∈ u i}.Finite
us : s ⊆ ⋃ i, u i
v : ι → Set X
hsv : s ⊆ iUnion v
left✝ : ∀ (i : ι), IsOpen (v i)
hv : (∀ (i : ι), closure (v i) ⊆ u i) ∧ ∀ (i : ι), IsCompact (closure (v i))
⊢ (∀ (i : ι), (fun i => closure (v i)) i ⊆ u i) ∧ ∀ (i : ι), IsCompact ((fun i => closure (v i)) i)

Proof state:
case h.refine_2
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : LocallyCompactSpace X
hs : IsCompact s
uo : ∀ (i : ι), IsOpen (u i)
uf : ∀ x ∈ s, {i | x ∈ u i}.Finite
us : s ⊆ ⋃ i, u i
v : ι → Set X
hsv : s ⊆ iUnion v
left✝ : ∀ (i : ι), IsOpen (v i)
hv : (∀ (i : ι), closure (v i) ⊆ u i) ∧ ∀ (i : ι), IsCompact (closure (v i))
⊢ ∀ (i : ι), IsClosed ((fun i => closure (v i)) i)

Tactic:
simp only [isClosed_closure, implies_true]

Result:
no goals