-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
theorem mem_domain_iff {f : E →ₗ.[R] F} {x : E} : x ∈ f.domain ↔ ∃ y : F, (x, y) ∈ f.graph

Proof state:
R : Type u_1
inst✝⁴ : Ring R
E : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module R F
f : E →ₗ.[R] F
x : E
⊢ x ∈ f.domain ↔ ∃ y, (x, y) ∈ f.graph

Tactic:
constructor <;> intro h

Result:
case mp
R : Type u_1
inst✝⁴ : Ring R
E : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module R F
f : E →ₗ.[R] F
x : E
h : x ∈ f.domain
⊢ ∃ y, (x, y) ∈ f.graph

case mpr
R : Type u_1
inst✝⁴ : Ring R
E : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module R F
f : E →ₗ.[R] F
x : E
h : ∃ y, (x, y) ∈ f.graph
⊢ x ∈ f.domain

Proof state:
case h
R : Type u_1
inst✝⁴ : Ring R
E : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module R F
f : E →ₗ.[R] F
x : E
h : x ∈ f.domain
⊢ (x, ↑f ⟨x, h⟩) ∈ f.graph

Tactic:
exact f.mem_graph ⟨x, h⟩

Result:
no goals

Proof state:
case mpr.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁴ : Ring R
E : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module R F
f : E →ₗ.[R] F
x : E
y : F
x' : ↥f.domain
h : ↑x' = x ∧ ↑f x' = y
⊢ x ∈ f.domain

Tactic:
rw [← h.1]

Result:
case mpr.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁴ : Ring R
E : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module R F
f : E →ₗ.[R] F
x : E
y : F
x' : ↥f.domain
h : ↑x' = x ∧ ↑f x' = y
⊢ ↑x' ∈ f.domain

Proof state:
case mpr.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁴ : Ring R
E : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module R F
f : E →ₗ.[R] F
x : E
y : F
x' : ↥f.domain
h : ↑x' = x ∧ ↑f x' = y
⊢ ↑x' ∈ f.domain

Tactic:
simp

Result:
no goals

Proof state:
case mpr.intro
R : Type u_1
inst✝⁴ : Ring R
E : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module R F
f : E →ₗ.[R] F
x : E
y : F
h : ∃ y_1, ↑y_1 = (x, y).1 ∧ ↑f y_1 = (x, y).2
⊢ x ∈ f.domain

Tactic:
obtain ⟨x', h⟩ := h

Result:
case mpr.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁴ : Ring R
E : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module R F
f : E →ₗ.[R] F
x : E
y : F
x' : ↥f.domain
h : ↑x' = (x, y).1 ∧ ↑f x' = (x, y).2
⊢ x ∈ f.domain

Proof state:
case mp
R : Type u_1
inst✝⁴ : Ring R
E : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module R F
f : E →ₗ.[R] F
x : E
h : x ∈ f.domain
⊢ ∃ y, (x, y) ∈ f.graph

Tactic:
use f ⟨x, h⟩

Result:
case h
R : Type u_1
inst✝⁴ : Ring R
E : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module R F
f : E →ₗ.[R] F
x : E
h : x ∈ f.domain
⊢ (x, ↑f ⟨x, h⟩) ∈ f.graph

Proof state:
case mpr.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁴ : Ring R
E : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module R F
f : E →ₗ.[R] F
x : E
y : F
x' : ↥f.domain
h : ↑x' = (x, y).1 ∧ ↑f x' = (x, y).2
⊢ x ∈ f.domain

Tactic:
simp only at h

Result:
case mpr.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁴ : Ring R
E : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module R F
f : E →ₗ.[R] F
x : E
y : F
x' : ↥f.domain
h : ↑x' = x ∧ ↑f x' = y
⊢ x ∈ f.domain

Proof state:
case mpr.intro
R : Type u_1
inst✝⁴ : Ring R
E : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module R F
f : E →ₗ.[R] F
x : E
y : F
h : (x, y) ∈ f.graph
⊢ x ∈ f.domain

Tactic:
rw [mem_graph_iff] at h

Result:
case mpr.intro
R : Type u_1
inst✝⁴ : Ring R
E : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module R F
f : E →ₗ.[R] F
x : E
y : F
h : ∃ y_1, ↑y_1 = (x, y).1 ∧ ↑f y_1 = (x, y).2
⊢ x ∈ f.domain

Proof state:
case mpr
R : Type u_1
inst✝⁴ : Ring R
E : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module R F
f : E →ₗ.[R] F
x : E
h : ∃ y, (x, y) ∈ f.graph
⊢ x ∈ f.domain

Tactic:
obtain ⟨y, h⟩ := h

Result:
case mpr.intro
R : Type u_1
inst✝⁴ : Ring R
E : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module R F
f : E →ₗ.[R] F
x : E
y : F
h : (x, y) ∈ f.graph
⊢ x ∈ f.domain