-- Mathlib/LinearAlgebra/QuadraticForm/Basic.lean
theorem basisRepr_eq_of_iIsOrtho {R M} [CommRing R] [AddCommGroup M] [Module R M]
    [Invertible (2 : R)] (Q : QuadraticForm R M) (v : Basis ι R M)
    (hv₂ : (associated (R := R) Q).IsOrthoᵢ v) :
    Q.basisRepr v = weightedSumSquares _ fun i => Q (v i)

Proof state:
case H
ι : Type u_8
inst✝⁴ : Fintype ι
R : Type u_9
M : Type u_10
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticForm R M
v : Basis ι R M
hv₂ : LinearMap.IsOrthoᵢ (associated Q) ⇑v
w : ι → R
j : ι
hj : j ∈ univ
⊢ ∀ b ∈ univ, b ≠ j → (((associatedHom R) Q) (w b • v b)) (w j • v j) = 0

Tactic:
intro i _ hij

Result:
case H
ι : Type u_8
inst✝⁴ : Fintype ι
R : Type u_9
M : Type u_10
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticForm R M
v : Basis ι R M
hv₂ : LinearMap.IsOrthoᵢ (associated Q) ⇑v
w : ι → R
j : ι
hj : j ∈ univ
i : ι
a✝ : i ∈ univ
hij : i ≠ j
⊢ (((associatedHom R) Q) (w i • v i)) (w j • v j) = 0

Proof state:
case H
ι : Type u_8
inst✝⁴ : Fintype ι
R : Type u_9
M : Type u_10
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticForm R M
v : Basis ι R M
hv₂ : LinearMap.IsOrthoᵢ (associated Q) ⇑v
w : ι → R
j : ι
hj : j ∈ univ
⊢ (((associatedHom R) Q) (∑ i : ι, w i • v i)) (w j • v j) = Q (v j) • (w j * w j)

Tactic:
rw [← @associated_eq_self_apply R, LinearMap.map_sum₂, sum_eq_single_of_mem j hj]

Result:
case H
ι : Type u_8
inst✝⁴ : Fintype ι
R : Type u_9
M : Type u_10
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticForm R M
v : Basis ι R M
hv₂ : LinearMap.IsOrthoᵢ (associated Q) ⇑v
w : ι → R
j : ι
hj : j ∈ univ
⊢ (((associatedHom R) Q) (w j • v j)) (w j • v j) = (((associatedHom R) Q) (v j)) (v j) • (w j * w j)

case H
ι : Type u_8
inst✝⁴ : Fintype ι
R : Type u_9
M : Type u_10
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticForm R M
v : Basis ι R M
hv₂ : LinearMap.IsOrthoᵢ (associated Q) ⇑v
w : ι → R
j : ι
hj : j ∈ univ
⊢ ∀ b ∈ univ, b ≠ j → (((associatedHom R) Q) (w b • v b)) (w j • v j) = 0

Proof state:
case H
ι : Type u_8
inst✝⁴ : Fintype ι
R : Type u_9
M : Type u_10
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticForm R M
v : Basis ι R M
hv₂ : LinearMap.IsOrthoᵢ (associated Q) ⇑v
w : ι → R
j : ι
hj : j ∈ univ
i : ι
a✝ : i ∈ univ
hij : i ≠ j
⊢ (((associatedHom R) Q) (w i • v i)) (w j • v j) = 0

Tactic:
rw [LinearMap.map_smul, LinearMap.map_smul₂, hv₂ hij]

Result:
case H
ι : Type u_8
inst✝⁴ : Fintype ι
R : Type u_9
M : Type u_10
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticForm R M
v : Basis ι R M
hv₂ : LinearMap.IsOrthoᵢ (associated Q) ⇑v
w : ι → R
j : ι
hj : j ∈ univ
i : ι
a✝ : i ∈ univ
hij : i ≠ j
⊢ w j • w i • 0 = 0

Proof state:
case H
ι : Type u_8
inst✝⁴ : Fintype ι
R : Type u_9
M : Type u_10
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticForm R M
v : Basis ι R M
hv₂ : LinearMap.IsOrthoᵢ (associated Q) ⇑v
w : ι → R
j : ι
hj : j ∈ univ
i : ι
a✝ : i ∈ univ
hij : i ≠ j
⊢ w j • w i • 0 = 0

Tactic:
module

Result:
no goals

Proof state:
ι : Type u_8
inst✝⁴ : Fintype ι
R : Type u_9
M : Type u_10
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticForm R M
v : Basis ι R M
hv₂ : LinearMap.IsOrthoᵢ (associated Q) ⇑v
⊢ basisRepr Q v = weightedSumSquares R fun i => Q (v i)

Tactic:
ext w

Result:
case H
ι : Type u_8
inst✝⁴ : Fintype ι
R : Type u_9
M : Type u_10
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticForm R M
v : Basis ι R M
hv₂ : LinearMap.IsOrthoᵢ (associated Q) ⇑v
w : ι → R
⊢ (basisRepr Q v) w = (weightedSumSquares R fun i => Q (v i)) w

Proof state:
case H
ι : Type u_8
inst✝⁴ : Fintype ι
R : Type u_9
M : Type u_10
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticForm R M
v : Basis ι R M
hv₂ : LinearMap.IsOrthoᵢ (associated Q) ⇑v
w : ι → R
⊢ ∑ x : ι, (((associatedHom R) Q) (∑ i : ι, w i • v i)) (w x • v x) = ∑ i : ι, Q (v i) • (w i * w i)

Tactic:
refine sum_congr rfl fun j hj => ?_

Result:
case H
ι : Type u_8
inst✝⁴ : Fintype ι
R : Type u_9
M : Type u_10
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticForm R M
v : Basis ι R M
hv₂ : LinearMap.IsOrthoᵢ (associated Q) ⇑v
w : ι → R
j : ι
hj : j ∈ univ
⊢ (((associatedHom R) Q) (∑ i : ι, w i • v i)) (w j • v j) = Q (v j) • (w j * w j)

Proof state:
case H
ι : Type u_8
inst✝⁴ : Fintype ι
R : Type u_9
M : Type u_10
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticForm R M
v : Basis ι R M
hv₂ : LinearMap.IsOrthoᵢ (associated Q) ⇑v
w : ι → R
⊢ (basisRepr Q v) w = (weightedSumSquares R fun i => Q (v i)) w

Tactic:
rw [basisRepr_apply, ← @associated_eq_self_apply R, map_sum, weightedSumSquares_apply]

Result:
case H
ι : Type u_8
inst✝⁴ : Fintype ι
R : Type u_9
M : Type u_10
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticForm R M
v : Basis ι R M
hv₂ : LinearMap.IsOrthoᵢ (associated Q) ⇑v
w : ι → R
⊢ ∑ x : ι, (((associatedHom R) Q) (∑ i : ι, w i • v i)) (w x • v x) = ∑ i : ι, Q (v i) • (w i * w i)

Proof state:
case H
ι : Type u_8
inst✝⁴ : Fintype ι
R : Type u_9
M : Type u_10
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticForm R M
v : Basis ι R M
hv₂ : LinearMap.IsOrthoᵢ (associated Q) ⇑v
w : ι → R
j : ι
hj : j ∈ univ
⊢ w j * (w j * ⅟2 • (Q (v j + v j) - Q (v j) - Q (v j))) = ⅟2 • (Q (v j + v j) - Q (v j) - Q (v j)) * (w j * w j)

Tactic:
ring_nf

Result:
no goals

Proof state:
case H
ι : Type u_8
inst✝⁴ : Fintype ι
R : Type u_9
M : Type u_10
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticForm R M
v : Basis ι R M
hv₂ : LinearMap.IsOrthoᵢ (associated Q) ⇑v
w : ι → R
j : ι
hj : j ∈ univ
⊢ (((associatedHom R) Q) (w j • v j)) (w j • v j) = (((associatedHom R) Q) (v j)) (v j) • (w j * w j)

Tactic:
rw [LinearMap.map_smul, LinearMap.map_smul₂, smul_eq_mul, associated_apply, smul_eq_mul,
  smul_eq_mul, LinearMap.smul_def, half_moduleEnd_apply_eq_half_smul]

Result:
case H
ι : Type u_8
inst✝⁴ : Fintype ι
R : Type u_9
M : Type u_10
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticForm R M
v : Basis ι R M
hv₂ : LinearMap.IsOrthoᵢ (associated Q) ⇑v
w : ι → R
j : ι
hj : j ∈ univ
⊢ w j * (w j * ⅟2 • (Q (v j + v j) - Q (v j) - Q (v j))) = ⅟2 • (Q (v j + v j) - Q (v j) - Q (v j)) * (w j * w j)