-- Mathlib/CategoryTheory/MorphismProperty/Limits.lean
/-- If `P` is multiplicative and stable under base change, having the of-postcomp property
wrt. `Q` is equivalent to `Q` implying `P` on the diagonal. -/
lemma hasOfPostcompProperty_iff_le_diagonal [P.IsStableUnderBaseChange]
    [P.IsMultiplicative] {Q : MorphismProperty C} [Q.IsStableUnderBaseChange] :
    P.HasOfPostcompProperty Q ↔ Q ≤ P.diagonal

Proof state:
case refine_2.hf
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasPullbacks C
P : MorphismProperty C
inst✝² : P.IsStableUnderBaseChange
inst✝¹ : P.IsMultiplicative
Q : MorphismProperty C
inst✝ : Q.IsStableUnderBaseChange
hP : Q ≤ P.diagonal
Y X S : C
g : Y ⟶ X
f : X ⟶ S
hf : Q f
hcomp : P (g ≫ f)
gr : Y ⟶ pullback (g ≫ f) f := pullback.lift (𝟙 Y) g ⋯
this : g = gr ≫ pullback.snd (g ≫ f) f
⊢ P gr

Tactic:
exact P.of_isPullback (pullback_lift_diagonal_isPullback g f) (hP _ hf)

Result:
no goals

Proof state:
case refine_2
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasPullbacks C
P : MorphismProperty C
inst✝² : P.IsStableUnderBaseChange
inst✝¹ : P.IsMultiplicative
Q : MorphismProperty C
inst✝ : Q.IsStableUnderBaseChange
hP : Q ≤ P.diagonal
Y X S : C
g : Y ⟶ X
f : X ⟶ S
hf : Q f
hcomp : P (g ≫ f)
⊢ P g

Tactic:
set gr : Y ⟶ pullback (g ≫ f) f := pullback.lift (𝟙 Y) g (by simp)

Result:
case refine_2
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasPullbacks C
P : MorphismProperty C
inst✝² : P.IsStableUnderBaseChange
inst✝¹ : P.IsMultiplicative
Q : MorphismProperty C
inst✝ : Q.IsStableUnderBaseChange
hP : Q ≤ P.diagonal
Y X S : C
g : Y ⟶ X
f : X ⟶ S
hf : Q f
hcomp : P (g ≫ f)
gr : Y ⟶ pullback (g ≫ f) f := pullback.lift (𝟙 Y) g ⋯
⊢ P g

Proof state:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasPullbacks C
P : MorphismProperty C
inst✝² : P.IsStableUnderBaseChange
inst✝¹ : P.IsMultiplicative
Q : MorphismProperty C
inst✝ : Q.IsStableUnderBaseChange
hP : P.HasOfPostcompProperty Q
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : Q f
⊢ P (pullback.diagonal f ≫ pullback.fst f f)

Tactic:
simpa using P.id_mem X

Result:
no goals

Proof state:
case refine_2
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasPullbacks C
P : MorphismProperty C
inst✝² : P.IsStableUnderBaseChange
inst✝¹ : P.IsMultiplicative
Q : MorphismProperty C
inst✝ : Q.IsStableUnderBaseChange
hP : Q ≤ P.diagonal
Y X S : C
g : Y ⟶ X
f : X ⟶ S
hf : Q f
hcomp : P (g ≫ f)
gr : Y ⟶ pullback (g ≫ f) f := pullback.lift (𝟙 Y) g ⋯
this : g = gr ≫ pullback.snd (g ≫ f) f
⊢ P g

Tactic:
rw [this]

Result:
case refine_2
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasPullbacks C
P : MorphismProperty C
inst✝² : P.IsStableUnderBaseChange
inst✝¹ : P.IsMultiplicative
Q : MorphismProperty C
inst✝ : Q.IsStableUnderBaseChange
hP : Q ≤ P.diagonal
Y X S : C
g : Y ⟶ X
f : X ⟶ S
hf : Q f
hcomp : P (g ≫ f)
gr : Y ⟶ pullback (g ≫ f) f := pullback.lift (𝟙 Y) g ⋯
this : g = gr ≫ pullback.snd (g ≫ f) f
⊢ P (gr ≫ pullback.snd (g ≫ f) f)

Proof state:
case refine_2
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasPullbacks C
P : MorphismProperty C
inst✝² : P.IsStableUnderBaseChange
inst✝¹ : P.IsMultiplicative
Q : MorphismProperty C
inst✝ : Q.IsStableUnderBaseChange
hP : Q ≤ P.diagonal
Y X S : C
g : Y ⟶ X
f : X ⟶ S
hf : Q f
hcomp : P (g ≫ f)
gr : Y ⟶ pullback (g ≫ f) f := pullback.lift (𝟙 Y) g ⋯
⊢ P g

Tactic:
have : g = gr ≫ pullback.snd _ _ := by simp [gr]

Result:
case refine_2
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasPullbacks C
P : MorphismProperty C
inst✝² : P.IsStableUnderBaseChange
inst✝¹ : P.IsMultiplicative
Q : MorphismProperty C
inst✝ : Q.IsStableUnderBaseChange
hP : Q ≤ P.diagonal
Y X S : C
g : Y ⟶ X
f : X ⟶ S
hf : Q f
hcomp : P (g ≫ f)
gr : Y ⟶ pullback (g ≫ f) f := pullback.lift (𝟙 Y) g ⋯
this : g = gr ≫ pullback.snd (g ≫ f) f
⊢ P g

Proof state:
case refine_1
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasPullbacks C
P : MorphismProperty C
inst✝² : P.IsStableUnderBaseChange
inst✝¹ : P.IsMultiplicative
Q : MorphismProperty C
inst✝ : Q.IsStableUnderBaseChange
hP : P.HasOfPostcompProperty Q
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : Q f
⊢ P.diagonal f

Tactic:
exact hP.of_postcomp _ _ (Q.pullback_fst _ _ hf) (by simpa using P.id_mem X)

Result:
no goals

Proof state:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasPullbacks C
P : MorphismProperty C
inst✝² : P.IsStableUnderBaseChange
inst✝¹ : P.IsMultiplicative
Q : MorphismProperty C
inst✝ : Q.IsStableUnderBaseChange
hP : Q ≤ P.diagonal
Y X S : C
g : Y ⟶ X
f : X ⟶ S
hf : Q f
hcomp : P (g ≫ f)
gr : Y ⟶ pullback (g ≫ f) f := pullback.lift (𝟙 Y) g ⋯
⊢ g = gr ≫ pullback.snd (g ≫ f) f

Tactic:
simp [gr]

Result:
no goals

Proof state:
case refine_2
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasPullbacks C
P : MorphismProperty C
inst✝² : P.IsStableUnderBaseChange
inst✝¹ : P.IsMultiplicative
Q : MorphismProperty C
inst✝ : Q.IsStableUnderBaseChange
hP : Q ≤ P.diagonal
Y X S : C
g : Y ⟶ X
f : X ⟶ S
hf : Q f
hcomp : P (g ≫ f)
gr : Y ⟶ pullback (g ≫ f) f := pullback.lift (𝟙 Y) g ⋯
this : g = gr ≫ pullback.snd (g ≫ f) f
⊢ P (gr ≫ pullback.snd (g ≫ f) f)

Tactic:
apply P.comp_mem

Result:
case refine_2.hf
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasPullbacks C
P : MorphismProperty C
inst✝² : P.IsStableUnderBaseChange
inst✝¹ : P.IsMultiplicative
Q : MorphismProperty C
inst✝ : Q.IsStableUnderBaseChange
hP : Q ≤ P.diagonal
Y X S : C
g : Y ⟶ X
f : X ⟶ S
hf : Q f
hcomp : P (g ≫ f)
gr : Y ⟶ pullback (g ≫ f) f := pullback.lift (𝟙 Y) g ⋯
this : g = gr ≫ pullback.snd (g ≫ f) f
⊢ P gr

case refine_2.hg
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasPullbacks C
P : MorphismProperty C
inst✝² : P.IsStableUnderBaseChange
inst✝¹ : P.IsMultiplicative
Q : MorphismProperty C
inst✝ : Q.IsStableUnderBaseChange
hP : Q ≤ P.diagonal
Y X S : C
g : Y ⟶ X
f : X ⟶ S
hf : Q f
hcomp : P (g ≫ f)
gr : Y ⟶ pullback (g ≫ f) f := pullback.lift (𝟙 Y) g ⋯
this : g = gr ≫ pullback.snd (g ≫ f) f
⊢ P (pullback.snd (g ≫ f) f)

Proof state:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasPullbacks C
P : MorphismProperty C
inst✝² : P.IsStableUnderBaseChange
inst✝¹ : P.IsMultiplicative
Q : MorphismProperty C
inst✝ : Q.IsStableUnderBaseChange
hP : Q ≤ P.diagonal
Y X S : C
g : Y ⟶ X
f : X ⟶ S
hf : Q f
hcomp : P (g ≫ f)
⊢ 𝟙 Y ≫ g ≫ f = g ≫ f

Tactic:
simp

Result:
no goals

Proof state:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasPullbacks C
P : MorphismProperty C
inst✝² : P.IsStableUnderBaseChange
inst✝¹ : P.IsMultiplicative
Q : MorphismProperty C
inst✝ : Q.IsStableUnderBaseChange
⊢ P.HasOfPostcompProperty Q ↔ Q ≤ P.diagonal

Tactic:
refine ⟨fun hP X Y f hf ↦ ?_, fun hP ↦ ⟨fun {Y X S} g f hf hcomp ↦ ?_⟩⟩

Result:
case refine_1
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasPullbacks C
P : MorphismProperty C
inst✝² : P.IsStableUnderBaseChange
inst✝¹ : P.IsMultiplicative
Q : MorphismProperty C
inst✝ : Q.IsStableUnderBaseChange
hP : P.HasOfPostcompProperty Q
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : Q f
⊢ P.diagonal f

case refine_2
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasPullbacks C
P : MorphismProperty C
inst✝² : P.IsStableUnderBaseChange
inst✝¹ : P.IsMultiplicative
Q : MorphismProperty C
inst✝ : Q.IsStableUnderBaseChange
hP : Q ≤ P.diagonal
Y X S : C
g : Y ⟶ X
f : X ⟶ S
hf : Q f
hcomp : P (g ≫ f)
⊢ P g

Proof state:
case refine_2.hg
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasPullbacks C
P : MorphismProperty C
inst✝² : P.IsStableUnderBaseChange
inst✝¹ : P.IsMultiplicative
Q : MorphismProperty C
inst✝ : Q.IsStableUnderBaseChange
hP : Q ≤ P.diagonal
Y X S : C
g : Y ⟶ X
f : X ⟶ S
hf : Q f
hcomp : P (g ≫ f)
gr : Y ⟶ pullback (g ≫ f) f := pullback.lift (𝟙 Y) g ⋯
this : g = gr ≫ pullback.snd (g ≫ f) f
⊢ P (pullback.snd (g ≫ f) f)

Tactic:
exact P.pullback_snd _ _ hcomp

Result:
no goals