-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent/Basic.lean
theorem LinearIndependent.map_of_surjective_injectiveₛ {R' M' : Type*}
    [Semiring R'] [AddCommMonoid M'] [Module R' M'] (hv : LinearIndependent R v)
    (i : R → R') (j : M →+ M') (hi : Surjective i) (hj : Injective j)
    (hc : ∀ (r : R) (m : M), j (r • m) = i r • j m) : LinearIndependent R' (j ∘ v)

Proof state:
case intro.refine_1
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
R' : Type u_6
M' : Type u_7
inst✝² : Semiring R'
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R' M'
hv : LinearIndependent R v
i : R → R'
j : M →+ M'
hi : Surjective i
hj : Injective ⇑j
hc : ∀ (r : R) (m : M), j (r • m) = i r • j m
i' : R' → R
hi' : RightInverse i' i
x✝¹ x✝ : R'
h : i (i' x✝¹) = i (i' x✝)
⊢ x✝¹ = x✝

Tactic:
rwa [hi', hi'] at h

Result:
no goals

Proof state:
case intro
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
R' : Type u_6
M' : Type u_7
inst✝² : Semiring R'
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R' M'
hv : LinearIndependent R v
i : R → R'
j : M →+ M'
hi : Surjective i
hj : Injective ⇑j
hc : ∀ (r : R) (m : M), j (r • m) = i r • j m
i' : R' → R
hi' : RightInverse i' i
⊢ LinearIndependent R' (⇑j ∘ v)

Tactic:
refine hv.map_of_injective_injectiveₛ i' j (fun _ _ h ↦ ?_) hj fun r m ↦ ?_

Result:
case intro.refine_1
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
R' : Type u_6
M' : Type u_7
inst✝² : Semiring R'
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R' M'
hv : LinearIndependent R v
i : R → R'
j : M →+ M'
hi : Surjective i
hj : Injective ⇑j
hc : ∀ (r : R) (m : M), j (r • m) = i r • j m
i' : R' → R
hi' : RightInverse i' i
x✝¹ x✝ : R'
h : i' x✝¹ = i' x✝
⊢ x✝¹ = x✝

case intro.refine_2
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
R' : Type u_6
M' : Type u_7
inst✝² : Semiring R'
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R' M'
hv : LinearIndependent R v
i : R → R'
j : M →+ M'
hi : Surjective i
hj : Injective ⇑j
hc : ∀ (r : R) (m : M), j (r • m) = i r • j m
i' : R' → R
hi' : RightInverse i' i
r : R'
m : M
⊢ j (i' r • m) = r • j m

Proof state:
case intro.refine_1
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
R' : Type u_6
M' : Type u_7
inst✝² : Semiring R'
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R' M'
hv : LinearIndependent R v
i : R → R'
j : M →+ M'
hi : Surjective i
hj : Injective ⇑j
hc : ∀ (r : R) (m : M), j (r • m) = i r • j m
i' : R' → R
hi' : RightInverse i' i
x✝¹ x✝ : R'
h : i' x✝¹ = i' x✝
⊢ x✝¹ = x✝

Tactic:
apply_fun i at h

Result:
case intro.refine_1
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
R' : Type u_6
M' : Type u_7
inst✝² : Semiring R'
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R' M'
hv : LinearIndependent R v
i : R → R'
j : M →+ M'
hi : Surjective i
hj : Injective ⇑j
hc : ∀ (r : R) (m : M), j (r • m) = i r • j m
i' : R' → R
hi' : RightInverse i' i
x✝¹ x✝ : R'
h : i (i' x✝¹) = i (i' x✝)
⊢ x✝¹ = x✝

Proof state:
case intro.refine_2
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
R' : Type u_6
M' : Type u_7
inst✝² : Semiring R'
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R' M'
hv : LinearIndependent R v
i : R → R'
j : M →+ M'
hi : Surjective i
hj : Injective ⇑j
hc : ∀ (r : R) (m : M), j (r • m) = i r • j m
i' : R' → R
hi' : RightInverse i' i
r : R'
m : M
⊢ j (i' r • m) = r • j m

Tactic:
rw [hc (i' r) m, hi']

Result:
no goals

Proof state:
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
R' : Type u_6
M' : Type u_7
inst✝² : Semiring R'
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R' M'
hv : LinearIndependent R v
i : R → R'
j : M →+ M'
hi : Surjective i
hj : Injective ⇑j
hc : ∀ (r : R) (m : M), j (r • m) = i r • j m
⊢ LinearIndependent R' (⇑j ∘ v)

Tactic:
obtain ⟨i', hi'⟩ := hi.hasRightInverse

Result:
case intro
ι : Type u'
R : Type u_2
M : Type u_4
v : ι → M
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
R' : Type u_6
M' : Type u_7
inst✝² : Semiring R'
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R' M'
hv : LinearIndependent R v
i : R → R'
j : M →+ M'
hi : Surjective i
hj : Injective ⇑j
hc : ∀ (r : R) (m : M), j (r • m) = i r • j m
i' : R' → R
hi' : RightInverse i' i
⊢ LinearIndependent R' (⇑j ∘ v)