-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Maps.lean
theorem mem_annihilator_span (s : Set M) (r : R) :
    r ∈ (Submodule.span R s).annihilator ↔ ∀ n : s, r • (n : M) = 0

Proof state:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set M
r : R
⊢ (∀ n ∈ span R s, r • n = 0) ↔ ∀ (n : ↑s), r • ↑n = 0

Tactic:
constructor

Result:
case mp
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set M
r : R
⊢ (∀ n ∈ span R s, r • n = 0) → ∀ (n : ↑s), r • ↑n = 0

case mpr
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set M
r : R
⊢ (∀ (n : ↑s), r • ↑n = 0) → ∀ n ∈ span R s, r • n = 0

Proof state:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set M
r : R
⊢ r ∈ (span R s).annihilator ↔ ∀ (n : ↑s), r • ↑n = 0

Tactic:
rw [Submodule.mem_annihilator]

Result:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set M
r : R
⊢ (∀ n ∈ span R s, r • n = 0) ↔ ∀ (n : ↑s), r • ↑n = 0

Proof state:
case mpr.refine_2
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set M
r : R
h : ∀ (n : ↑s), r • ↑n = 0
n : M
hn : n ∈ span R s
⊢ r • 0 = 0

Tactic:
exact smul_zero _

Result:
no goals

Proof state:
case mpr.refine_1
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set M
r : R
h : ∀ (n : ↑s), r • ↑n = 0
n : M
hn : n ∈ span R s
x : M
hx : x ∈ s
⊢ r • x = 0

Tactic:
exact h ⟨x, hx⟩

Result:
no goals

Proof state:
case mpr
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set M
r : R
h : ∀ (n : ↑s), r • ↑n = 0
n : M
hn : n ∈ span R s
⊢ r • n = 0

Tactic:
refine Submodule.span_induction ?_ ?_ ?_ ?_ hn

Result:
case mpr.refine_1
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set M
r : R
h : ∀ (n : ↑s), r • ↑n = 0
n : M
hn : n ∈ span R s
⊢ ∀ x ∈ s, r • x = 0

case mpr.refine_2
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set M
r : R
h : ∀ (n : ↑s), r • ↑n = 0
n : M
hn : n ∈ span R s
⊢ r • 0 = 0

case mpr.refine_3
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set M
r : R
h : ∀ (n : ↑s), r • ↑n = 0
n : M
hn : n ∈ span R s
⊢ ∀ (x y : M), x ∈ span R s → y ∈ span R s → r • x = 0 → r • y = 0 → r • (x + y) = 0

case mpr.refine_4
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set M
r : R
h : ∀ (n : ↑s), r • ↑n = 0
n : M
hn : n ∈ span R s
⊢ ∀ (a : R), ∀ x ∈ span R s, r • x = 0 → r • a • x = 0

Proof state:
case mpr.refine_4
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set M
r : R
h : ∀ (n : ↑s), r • ↑n = 0
n : M
hn : n ∈ span R s
a : R
x : M
hx✝ : x ∈ span R s
hx : r • x = 0
⊢ r • a • x = 0

Tactic:
rw [smul_comm, hx, smul_zero]

Result:
no goals

Proof state:
case mp
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set M
r : R
⊢ (∀ n ∈ span R s, r • n = 0) → ∀ (n : ↑s), r • ↑n = 0

Tactic:
intro h n

Result:
case mp
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set M
r : R
h : ∀ n ∈ span R s, r • n = 0
n : ↑s
⊢ r • ↑n = 0

Proof state:
case mpr.refine_3
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set M
r : R
h : ∀ (n : ↑s), r • ↑n = 0
n : M
hn : n ∈ span R s
x y : M
hx✝ : x ∈ span R s
hy✝ : y ∈ span R s
hx : r • x = 0
hy : r • y = 0
⊢ r • (x + y) = 0

Tactic:
rw [smul_add, hx, hy, zero_add]

Result:
no goals

Proof state:
case mpr.refine_1
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set M
r : R
h : ∀ (n : ↑s), r • ↑n = 0
n : M
hn : n ∈ span R s
⊢ ∀ x ∈ s, r • x = 0

Tactic:
intro x hx

Result:
case mpr.refine_1
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set M
r : R
h : ∀ (n : ↑s), r • ↑n = 0
n : M
hn : n ∈ span R s
x : M
hx : x ∈ s
⊢ r • x = 0

Proof state:
case mp
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set M
r : R
h : ∀ n ∈ span R s, r • n = 0
n : ↑s
⊢ r • ↑n = 0

Tactic:
exact h _ (Submodule.subset_span n.prop)

Result:
no goals

Proof state:
case mpr
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set M
r : R
⊢ (∀ (n : ↑s), r • ↑n = 0) → ∀ n ∈ span R s, r • n = 0

Tactic:
intro h n hn

Result:
case mpr
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set M
r : R
h : ∀ (n : ↑s), r • ↑n = 0
n : M
hn : n ∈ span R s
⊢ r • n = 0

Proof state:
case mpr.refine_4
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set M
r : R
h : ∀ (n : ↑s), r • ↑n = 0
n : M
hn : n ∈ span R s
⊢ ∀ (a : R), ∀ x ∈ span R s, r • x = 0 → r • a • x = 0

Tactic:
intro a x _ hx

Result:
case mpr.refine_4
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set M
r : R
h : ∀ (n : ↑s), r • ↑n = 0
n : M
hn : n ∈ span R s
a : R
x : M
hx✝ : x ∈ span R s
hx : r • x = 0
⊢ r • a • x = 0

Proof state:
case mpr.refine_3
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set M
r : R
h : ∀ (n : ↑s), r • ↑n = 0
n : M
hn : n ∈ span R s
⊢ ∀ (x y : M), x ∈ span R s → y ∈ span R s → r • x = 0 → r • y = 0 → r • (x + y) = 0

Tactic:
intro x y _ _ hx hy

Result:
case mpr.refine_3
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
s : Set M
r : R
h : ∀ (n : ↑s), r • ↑n = 0
n : M
hn : n ∈ span R s
x y : M
hx✝ : x ∈ span R s
hy✝ : y ∈ span R s
hx : r • x = 0
hy : r • y = 0
⊢ r • (x + y) = 0