-- Mathlib/NumberTheory/DiophantineApproximation/Basic.lean
theorem aux₃ :
    |(fract ξ)⁻¹ - v / (u - ⌊ξ⌋ * v)| < (((u : ℝ) - ⌊ξ⌋ * v) * (2 * (u - ⌊ξ⌋ * v) - 1))⁻¹

Proof state:
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hξ₀ : 0 < fract ξ
u' : ℤ := u - ⌊ξ⌋ * v
hu₀ : 0 < u'
huv : u' < v
hu' : u' = u - ⌊ξ⌋ * v
hu'ℝ : ↑u = ↑u' + ↑⌊ξ⌋ * ↑v
Hu : 0 < ↑u'
Hu' : 0 < 2 * ↑u' - 1
Hv : 0 < ↑v
Hv' : 0 < 2 * ↑v - 1
H₁ : 0 < ↑v / ↑u' / fract ξ
h' : |fract ξ - ↑u' / ↑v| < (↑v * (2 * ↑v - 1))⁻¹
h : 2 * ↑u' - (1 + ↑u') / ↑v < (2 * ↑v - 1) * fract ξ
this : (2 * ↑v - 1) * (-(↑v * (2 * ↑v - 1))⁻¹ + ↑u' / ↑v) = 2 * ↑u' - (1 + ↑u') / ↑v
⊢ 2 * ↑u' - 1 ≤ (2 * ↑v - 1) * fract ξ

Tactic:
refine LE.le.trans ?_ h.le

Result:
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hξ₀ : 0 < fract ξ
u' : ℤ := u - ⌊ξ⌋ * v
hu₀ : 0 < u'
huv : u' < v
hu' : u' = u - ⌊ξ⌋ * v
hu'ℝ : ↑u = ↑u' + ↑⌊ξ⌋ * ↑v
Hu : 0 < ↑u'
Hu' : 0 < 2 * ↑u' - 1
Hv : 0 < ↑v
Hv' : 0 < 2 * ↑v - 1
H₁ : 0 < ↑v / ↑u' / fract ξ
h' : |fract ξ - ↑u' / ↑v| < (↑v * (2 * ↑v - 1))⁻¹
h : 2 * ↑u' - (1 + ↑u') / ↑v < (2 * ↑v - 1) * fract ξ
this : (2 * ↑v - 1) * (-(↑v * (2 * ↑v - 1))⁻¹ + ↑u' / ↑v) = 2 * ↑u' - (1 + ↑u') / ↑v
⊢ 2 * ↑u' - 1 ≤ 2 * ↑u' - (1 + ↑u') / ↑v

Proof state:
case intro
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
h : ContfracLegendre.Ass ξ u v
hξ₀ : 0 < fract ξ
u' : ℤ := u - ⌊ξ⌋ * v
hu₀ : 0 < u'
huv : u' < v
hu' : u' = u - ⌊ξ⌋ * v
⊢ |(fract ξ)⁻¹ - ↑v / (↑u - ↑⌊ξ⌋ * ↑v)| < ((↑u - ↑⌊ξ⌋ * ↑v) * (2 * (↑u - ↑⌊ξ⌋ * ↑v) - 1))⁻¹

Tactic:
have hu'ℝ : (u' : ℝ) = u - ⌊ξ⌋ * v := mod_cast hu'

Result:
case intro
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
h : ContfracLegendre.Ass ξ u v
hξ₀ : 0 < fract ξ
u' : ℤ := u - ⌊ξ⌋ * v
hu₀ : 0 < u'
huv : u' < v
hu' : u' = u - ⌊ξ⌋ * v
hu'ℝ : ↑u' = ↑u - ↑⌊ξ⌋ * ↑v
⊢ |(fract ξ)⁻¹ - ↑v / (↑u - ↑⌊ξ⌋ * ↑v)| < ((↑u - ↑⌊ξ⌋ * ↑v) * (2 * (↑u - ↑⌊ξ⌋ * ↑v) - 1))⁻¹

Proof state:
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hξ₀ : 0 < fract ξ
u' : ℤ := u - ⌊ξ⌋ * v
hu₀ : 0 < u'
huv : u' < v
hu' : u' = u - ⌊ξ⌋ * v
hu'ℝ : ↑u = ↑u' + ↑⌊ξ⌋ * ↑v
Hu : 0 < ↑u'
Hu' : 0 < 2 * ↑u' - 1
Hv : 0 < ↑v
Hv' : 0 < 2 * ↑v - 1
H₁ : 0 < ↑v / ↑u' / fract ξ
h : |ξ - ↑u / ↑v| < (↑v * (2 * ↑v - 1))⁻¹
h' : |fract ξ - ↑u' / ↑v| < (↑v * (2 * ↑v - 1))⁻¹
⊢ 2 * ↑u' - 1 ≤ (2 * ↑v - 1) * fract ξ

Tactic:
replace h := (abs_lt.mp h).1

Result:
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hξ₀ : 0 < fract ξ
u' : ℤ := u - ⌊ξ⌋ * v
hu₀ : 0 < u'
huv : u' < v
hu' : u' = u - ⌊ξ⌋ * v
hu'ℝ : ↑u = ↑u' + ↑⌊ξ⌋ * ↑v
Hu : 0 < ↑u'
Hu' : 0 < 2 * ↑u' - 1
Hv : 0 < ↑v
Hv' : 0 < 2 * ↑v - 1
H₁ : 0 < ↑v / ↑u' / fract ξ
h' : |fract ξ - ↑u' / ↑v| < (↑v * (2 * ↑v - 1))⁻¹
h : -(↑v * (2 * ↑v - 1))⁻¹ < ξ - ↑u / ↑v
⊢ 2 * ↑u' - 1 ≤ (2 * ↑v - 1) * fract ξ

Proof state:
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hξ₀ : 0 < fract ξ
u' : ℤ := u - ⌊ξ⌋ * v
hu₀ : 0 < u'
huv : u' < v
hu' : u' = u - ⌊ξ⌋ * v
hu'ℝ : ↑u = ↑u' + ↑⌊ξ⌋ * ↑v
Hu : 0 < ↑u'
Hu' : 0 < 2 * ↑u' - 1
Hv : 0 < ↑v
Hv' : 0 < 2 * ↑v - 1
H₁ : 0 < ↑v / ↑u' / fract ξ
h : |ξ - ↑u / ↑v| < (↑v * (2 * ↑v - 1))⁻¹
h' : |fract ξ - ↑u' / ↑v| < (↑v * (2 * ↑v - 1))⁻¹
H : 2 * ↑u' - 1 ≤ (2 * ↑v - 1) * fract ξ
a b c : ℝ
⊢ a ≠ 0 → b ≠ 0 → c ≠ 0 → |a⁻¹ - b / c| = |(a - c / b) * (b / c / a)|

Tactic:
intros

Result:
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hξ₀ : 0 < fract ξ
u' : ℤ := u - ⌊ξ⌋ * v
hu₀ : 0 < u'
huv : u' < v
hu' : u' = u - ⌊ξ⌋ * v
hu'ℝ : ↑u = ↑u' + ↑⌊ξ⌋ * ↑v
Hu : 0 < ↑u'
Hu' : 0 < 2 * ↑u' - 1
Hv : 0 < ↑v
Hv' : 0 < 2 * ↑v - 1
H₁ : 0 < ↑v / ↑u' / fract ξ
h : |ξ - ↑u / ↑v| < (↑v * (2 * ↑v - 1))⁻¹
h' : |fract ξ - ↑u' / ↑v| < (↑v * (2 * ↑v - 1))⁻¹
H : 2 * ↑u' - 1 ≤ (2 * ↑v - 1) * fract ξ
a b c : ℝ
a✝² : a ≠ 0
a✝¹ : b ≠ 0
a✝ : c ≠ 0
⊢ |a⁻¹ - b / c| = |(a - c / b) * (b / c / a)|

Proof state:
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hξ₀ : 0 < fract ξ
u' : ℤ := u - ⌊ξ⌋ * v
hu₀ : 0 < u'
huv : u' < v
hu' : u' = u - ⌊ξ⌋ * v
hu'ℝ : ↑u = ↑u' + ↑⌊ξ⌋ * ↑v
Hu : 0 < ↑u'
Hu' : 0 < 2 * ↑u' - 1
Hv : 0 < ↑v
Hv' : 0 < 2 * ↑v - 1
H₁ : 0 < ↑v / ↑u' / fract ξ
h : |ξ - ↑u / ↑v| < (↑v * (2 * ↑v - 1))⁻¹
⊢ |fract ξ - ↑u' / ↑v| < (↑v * (2 * ↑v - 1))⁻¹

Tactic:
rwa [hu'ℝ, add_div, mul_div_cancel_right₀ _ Hv.ne', ← sub_sub, sub_right_comm] at h

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro.intro
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hξ₀ : 0 < fract ξ
u' : ℤ := u - ⌊ξ⌋ * v
hu₀ : 0 < u'
huv : u' < v
hu' : u' = u - ⌊ξ⌋ * v
hu'ℝ : ↑u = ↑u' + ↑⌊ξ⌋ * ↑v
Hu : 0 < ↑u'
Hu' : 0 < 2 * ↑u' - 1
Hv : 0 < ↑v
Hv' : 0 < 2 * ↑v - 1
H₁ : 0 < ↑v / ↑u' / fract ξ
h : |ξ - ↑u / ↑v| < (↑v * (2 * ↑v - 1))⁻¹
h' : |fract ξ - ↑u' / ↑v| < (↑v * (2 * ↑v - 1))⁻¹
H : 2 * ↑u' - 1 ≤ (2 * ↑v - 1) * fract ξ
help₁ : ∀ {a b c : ℝ}, a ≠ 0 → b ≠ 0 → c ≠ 0 → |a⁻¹ - b / c| = |(a - c / b) * (b / c / a)|
⊢ |(fract ξ)⁻¹ - ↑v / ↑u'| < (↑u' * (2 * ↑u' - 1))⁻¹

Tactic:
have help₂ :
  ∀ {a b c d : ℝ}, a ≠ 0 → b ≠ 0 → c ≠ 0 → d ≠ 0 → (b * c)⁻¹ * (b / d / a) = (d * c * a)⁻¹ := by
  intros; field_simp; ring

Result:
case intro.intro.intro
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
hξ₀ : 0 < fract ξ
u' : ℤ := u - ⌊ξ⌋ * v
hu₀ : 0 < u'
huv : u' < v
hu' : u' = u - ⌊ξ⌋ * v
hu'ℝ : ↑u = ↑u' + ↑⌊ξ⌋ * ↑v
Hu : 0 < ↑u'
Hu' : 0 < 2 * ↑u' - 1
Hv : 0 < ↑v
Hv' : 0 < 2 * ↑v - 1
H₁ : 0 < ↑v / ↑u' / fract ξ
h : |ξ - ↑u / ↑v| < (↑v * (2 * ↑v - 1))⁻¹
h' : |fract ξ - ↑u' / ↑v| < (↑v * (2 * ↑v - 1))⁻¹
H : 2 * ↑u' - 1 ≤ (2 * ↑v - 1) * fract ξ
help₁ : ∀ {a b c : ℝ}, a ≠ 0 → b ≠ 0 → c ≠ 0 → |a⁻¹ - b / c| = |(a - c / b) * (b / c / a)|
help₂ : ∀ {a b c d : ℝ}, a ≠ 0 → b ≠ 0 → c ≠ 0 → d ≠ 0 → (b * c)⁻¹ * (b / d / a) = (d * c * a)⁻¹
⊢ |(fract ξ)⁻¹ - ↑v / ↑u'| < (↑u' * (2 * ↑u' - 1))⁻¹

Proof state:
case intro
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
h : ContfracLegendre.Ass ξ u v
hξ₀ : 0 < fract ξ
u' : ℤ := u - ⌊ξ⌋ * v
hu₀ : 0 < u'
huv : u' < v
hu' : u' = u - ⌊ξ⌋ * v
hu'ℝ : ↑u' = ↑u - ↑⌊ξ⌋ * ↑v
⊢ |(fract ξ)⁻¹ - ↑v / (↑u - ↑⌊ξ⌋ * ↑v)| < ((↑u - ↑⌊ξ⌋ * ↑v) * (2 * (↑u - ↑⌊ξ⌋ * ↑v) - 1))⁻¹

Tactic:
rw [← hu'ℝ]

Result:
case intro
ξ : ℝ
u v : ℤ
hv : 2 ≤ v
h : ContfracLegendre.Ass ξ u v
hξ₀ : 0 < fract ξ
u' : ℤ := u - ⌊ξ⌋ * v
hu₀ : 0 < u'
huv : u' < v
hu' : u' = u - ⌊ξ⌋ * v
hu'ℝ : ↑u' = ↑u - ↑⌊ξ⌋ * ↑v
⊢ |(fract ξ)⁻¹ - ↑v / ↑u'| < (↑u' * (2 * ↑u' - 1))⁻¹