-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Stieltjes.lean
theorem outer_Ioc (a b : ℝ) : f.outer (Ioc a b) = ofReal (f b - f a)

Proof state:
case intro.intro.intro.intro
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
s : ℕ → Set ℝ
hs : Ioc a b ⊆ ⋃ i, s i
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
h : ∑' (i : ℕ), f.length (s i) < ⊤
δ : ℝ≥0 := ε / 2
δpos : 0 < ↑δ
ε' : ℕ → ℝ≥0
ε'0 : ∀ (i : ℕ), 0 < ε' i
hε : ∑' (i : ℕ), ↑(ε' i) < ↑δ
a' : ℝ
ha' : ↑f a' - ↑f a < ↑δ
aa' : a < a'
this : ∀ (i : ℕ), ∃ p, s i ⊆ Ioo p.1 p.2 ∧ ofReal (↑f p.2 - ↑f p.1) < f.length (s i) + ↑(ε' i)
⊢ ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑' (i : ℕ), f.length (s i) + ↑ε

Tactic:
choose g hg using this

Result:
case intro.intro.intro.intro
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
s : ℕ → Set ℝ
hs : Ioc a b ⊆ ⋃ i, s i
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
h : ∑' (i : ℕ), f.length (s i) < ⊤
δ : ℝ≥0 := ε / 2
δpos : 0 < ↑δ
ε' : ℕ → ℝ≥0
ε'0 : ∀ (i : ℕ), 0 < ε' i
hε : ∑' (i : ℕ), ↑(ε' i) < ↑δ
a' : ℝ
ha' : ↑f a' - ↑f a < ↑δ
aa' : a < a'
g : ℕ → ℝ × ℝ
hg : ∀ (i : ℕ), s i ⊆ Ioo (g i).1 (g i).2 ∧ ofReal (↑f (g i).2 - ↑f (g i).1) < f.length (s i) + ↑(ε' i)
⊢ ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑' (i : ℕ), f.length (s i) + ↑ε

Proof state:
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
s : ℕ → Set ℝ
hs : Ioc a b ⊆ ⋃ i, s i
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
h : ∑' (i : ℕ), f.length (s i) < ⊤
δ : ℝ≥0 := ε / 2
δpos : 0 < ↑δ
ε' : ℕ → ℝ≥0
ε'0 : ∀ (i : ℕ), 0 < ε' i
hε : ∑' (i : ℕ), ↑(ε' i) < ↑δ
⊢ ContinuousWithinAt (fun r => ↑f r - ↑f a) (Ioi a) a

Tactic:
refine ContinuousWithinAt.sub ?_ continuousWithinAt_const

Result:
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
s : ℕ → Set ℝ
hs : Ioc a b ⊆ ⋃ i, s i
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
h : ∑' (i : ℕ), f.length (s i) < ⊤
δ : ℝ≥0 := ε / 2
δpos : 0 < ↑δ
ε' : ℕ → ℝ≥0
ε'0 : ∀ (i : ℕ), 0 < ε' i
hε : ∑' (i : ℕ), ↑(ε' i) < ↑δ
⊢ ContinuousWithinAt (↑f) (Ioi a) a

Proof state:
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
s : ℕ → Set ℝ
hs : Ioc a b ⊆ ⋃ i, s i
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
h : ∑' (i : ℕ), f.length (s i) < ⊤
δ : ℝ≥0 := ε / 2
δpos : 0 < ↑δ
ε' : ℕ → ℝ≥0
ε'0 : ∀ (i : ℕ), 0 < ε' i
hε : ∑' (i : ℕ), ↑(ε' i) < ↑δ
a' : ℝ
ha' : ↑f a' - ↑f a < ↑δ
aa' : a < a'
i : ℕ
hl : ∃ i_1 i_2, s i ⊆ Ioc i_1 i_2 ∧ ofReal (↑f i_2 - ↑f i_1) < f.length (s i) + ↑(ε' i)
⊢ ∃ p, s i ⊆ Ioo p.1 p.2 ∧ ofReal (↑f p.2 - ↑f p.1) < f.length (s i) + ↑(ε' i)

Tactic:
rcases hl with ⟨p, q', spq, hq'⟩

Result:
case intro.intro.intro
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
s : ℕ → Set ℝ
hs : Ioc a b ⊆ ⋃ i, s i
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
h : ∑' (i : ℕ), f.length (s i) < ⊤
δ : ℝ≥0 := ε / 2
δpos : 0 < ↑δ
ε' : ℕ → ℝ≥0
ε'0 : ∀ (i : ℕ), 0 < ε' i
hε : ∑' (i : ℕ), ↑(ε' i) < ↑δ
a' : ℝ
ha' : ↑f a' - ↑f a < ↑δ
aa' : a < a'
i : ℕ
p q' : ℝ
spq : s i ⊆ Ioc p q'
hq' : ofReal (↑f q' - ↑f p) < f.length (s i) + ↑(ε' i)
⊢ ∃ p, s i ⊆ Ioo p.1 p.2 ∧ ofReal (↑f p.2 - ↑f p.1) < f.length (s i) + ↑(ε' i)

Proof state:
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
s : ℕ → Set ℝ
hs : Ioc a b ⊆ ⋃ i, s i
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
h : ∑' (i : ℕ), f.length (s i) < ⊤
⊢ ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑' (i : ℕ), f.length (s i) + ↑ε

Tactic:
let δ := ε / 2

Result:
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
s : ℕ → Set ℝ
hs : Ioc a b ⊆ ⋃ i, s i
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
h : ∑' (i : ℕ), f.length (s i) < ⊤
δ : ℝ≥0 := ε / 2
⊢ ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑' (i : ℕ), f.length (s i) + ↑ε

Proof state:
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
s : ℕ → Set ℝ
hs : Ioc a b ⊆ ⋃ i, s i
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
h : ∑' (i : ℕ), f.length (s i) < ⊤
δ : ℝ≥0 := ε / 2
δpos : 0 < ↑δ
ε' : ℕ → ℝ≥0
ε'0 : ∀ (i : ℕ), 0 < ε' i
hε : ∑' (i : ℕ), ↑(ε' i) < ↑δ
a' : ℝ
ha' : ↑f a' - ↑f a < ↑δ
aa' : a < a'
i : ℕ
hl : ⨅ a, ⨅ b, ⨅ (_ : s i ⊆ Ioc a b), ofReal (↑f b - ↑f a) < f.length (s i) + ↑(ε' i)
⊢ ∃ p, s i ⊆ Ioo p.1 p.2 ∧ ofReal (↑f p.2 - ↑f p.1) < f.length (s i) + ↑(ε' i)

Tactic:
simp only [iInf_lt_iff, exists_prop] at hl

Result:
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
s : ℕ → Set ℝ
hs : Ioc a b ⊆ ⋃ i, s i
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
h : ∑' (i : ℕ), f.length (s i) < ⊤
δ : ℝ≥0 := ε / 2
δpos : 0 < ↑δ
ε' : ℕ → ℝ≥0
ε'0 : ∀ (i : ℕ), 0 < ε' i
hε : ∑' (i : ℕ), ↑(ε' i) < ↑δ
a' : ℝ
ha' : ↑f a' - ↑f a < ↑δ
aa' : a < a'
i : ℕ
hl : ∃ i_1 i_2, s i ⊆ Ioc i_1 i_2 ∧ ofReal (↑f i_2 - ↑f i_1) < f.length (s i) + ↑(ε' i)
⊢ ∃ p, s i ⊆ Ioo p.1 p.2 ∧ ofReal (↑f p.2 - ↑f p.1) < f.length (s i) + ↑(ε' i)

Proof state:
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
s : ℕ → Set ℝ
hs : Ioc a b ⊆ ⋃ i, s i
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
h : ∑' (i : ℕ), f.length (s i) < ⊤
δ : ℝ≥0 := ε / 2
δpos : 0 < ↑δ
ε' : ℕ → ℝ≥0
ε'0 : ∀ (i : ℕ), 0 < ε' i
hε : ∑' (i : ℕ), ↑(ε' i) < ↑δ
⊢ ∃ a', ↑f a' - ↑f a < ↑δ ∧ a < a'

Tactic:
have A : ContinuousWithinAt (fun r => f r - f a) (Ioi a) a := by
  refine ContinuousWithinAt.sub ?_ continuousWithinAt_const
  exact (f.right_continuous a).mono Ioi_subset_Ici_self

Result:
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
s : ℕ → Set ℝ
hs : Ioc a b ⊆ ⋃ i, s i
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
h : ∑' (i : ℕ), f.length (s i) < ⊤
δ : ℝ≥0 := ε / 2
δpos : 0 < ↑δ
ε' : ℕ → ℝ≥0
ε'0 : ∀ (i : ℕ), 0 < ε' i
hε : ∑' (i : ℕ), ↑(ε' i) < ↑δ
A : ContinuousWithinAt (fun r => ↑f r - ↑f a) (Ioi a) a
⊢ ∃ a', ↑f a' - ↑f a < ↑δ ∧ a < a'

Proof state:
case intro.intro
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
s : ℕ → Set ℝ
hs : Ioc a b ⊆ ⋃ i, s i
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
h : ∑' (i : ℕ), f.length (s i) < ⊤
δ : ℝ≥0 := ε / 2
δpos : 0 < ↑δ
ε' : ℕ → ℝ≥0
ε'0 : ∀ (i : ℕ), 0 < ε' i
hε : ∑' (i : ℕ), ↑(ε' i) < ↑δ
⊢ ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑' (i : ℕ), f.length (s i) + ↑ε

Tactic:
obtain ⟨a', ha', aa'⟩ : ∃ a', f a' - f a < δ ∧ a < a' := by
  have A : ContinuousWithinAt (fun r => f r - f a) (Ioi a) a := by
    refine ContinuousWithinAt.sub ?_ continuousWithinAt_const
    exact (f.right_continuous a).mono Ioi_subset_Ici_self
  have B : f a - f a < δ := by rwa [sub_self, NNReal.coe_pos, ← ENNReal.coe_pos]
  exact (((tendsto_order.1 A).2 _ B).and self_mem_nhdsWithin).exists

Result:
case intro.intro.intro.intro
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
s : ℕ → Set ℝ
hs : Ioc a b ⊆ ⋃ i, s i
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
h : ∑' (i : ℕ), f.length (s i) < ⊤
δ : ℝ≥0 := ε / 2
δpos : 0 < ↑δ
ε' : ℕ → ℝ≥0
ε'0 : ∀ (i : ℕ), 0 < ε' i
hε : ∑' (i : ℕ), ↑(ε' i) < ↑δ
a' : ℝ
ha' : ↑f a' - ↑f a < ↑δ
aa' : a < a'
⊢ ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑' (i : ℕ), f.length (s i) + ↑ε

Proof state:
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
s : ℕ → Set ℝ
hs : Ioc a b ⊆ ⋃ i, s i
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
h : ∑' (i : ℕ), f.length (s i) < ⊤
δ : ℝ≥0 := ε / 2
⊢ ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑' (i : ℕ), f.length (s i) + ↑ε

Tactic:
have δpos : 0 < (δ : ℝ≥0∞) := by simpa [δ] using εpos.ne'

Result:
f : StieltjesFunction
a b : ℝ
s : ℕ → Set ℝ
hs : Ioc a b ⊆ ⋃ i, s i
ε : ℝ≥0
εpos : 0 < ε
h : ∑' (i : ℕ), f.length (s i) < ⊤
δ : ℝ≥0 := ε / 2
δpos : 0 < ↑δ
⊢ ofReal (↑f b - ↑f a) ≤ ∑' (i : ℕ), f.length (s i) + ↑ε