-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Internal.lean
theorem coe_of_mul_apply_of_not_le {i : ι} (r : A i) (r' : ⨁ i, A i) (n : ι) (h : ¬i ≤ n) :
    ((of (fun i => A i) i r * r') n : R) = 0

Proof state:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : SetLike σ R
inst✝⁴ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝³ : AddCommMonoid ι
inst✝² : PartialOrder ι
inst✝¹ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝ : SetLike.GradedMonoid A
i : ι
r : ↥(A i)
r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n : ι
h : ¬i ≤ n
⊢ ↑(((of (fun i => ↥(A i)) i) r * r') n) = 0

Tactic:
rw [coe_mul_apply_eq_dfinsupp_sum]

Result:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : SetLike σ R
inst✝⁴ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝³ : AddCommMonoid ι
inst✝² : PartialOrder ι
inst✝¹ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝ : SetLike.GradedMonoid A
i : ι
r : ↥(A i)
r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n : ι
h : ¬i ≤ n
⊢ (DFinsupp.sum ((of (fun i => ↥(A i)) i) r) fun i ri =>
      DFinsupp.sum r' fun j rj => if i + j = n then ↑ri * ↑rj else 0) =
    0

Proof state:
case h
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : SetLike σ R
inst✝⁴ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝³ : AddCommMonoid ι
inst✝² : PartialOrder ι
inst✝¹ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝ : SetLike.GradedMonoid A
i : ι
r : ↥(A i)
r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n : ι
h : ¬i ≤ n
⊢ ∀ x ∈ DFinsupp.support r', ¬i + x = n

Tactic:
exact fun x _ H => h ((self_le_add_right i x).trans_eq H)

Result:
no goals

Proof state:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : SetLike σ R
inst✝⁴ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝³ : AddCommMonoid ι
inst✝² : PartialOrder ι
inst✝¹ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝ : SetLike.GradedMonoid A
i : ι
r : ↥(A i)
r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n : ι
h : ¬i ≤ n
⊢ (DFinsupp.sum r' fun j rj => if i + j = n then ↑0 * ↑rj else 0) = 0

Tactic:
simp_rw [ZeroMemClass.coe_zero, zero_mul, ite_self]

Result:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : SetLike σ R
inst✝⁴ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝³ : AddCommMonoid ι
inst✝² : PartialOrder ι
inst✝¹ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝ : SetLike.GradedMonoid A
i : ι
r : ↥(A i)
r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n : ι
h : ¬i ≤ n
⊢ (DFinsupp.sum r' fun j rj => 0) = 0

Proof state:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : SetLike σ R
inst✝⁴ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝³ : AddCommMonoid ι
inst✝² : PartialOrder ι
inst✝¹ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝ : SetLike.GradedMonoid A
i : ι
r : ↥(A i)
r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n : ι
h : ¬i ≤ n
⊢ (DFinsupp.sum ((of (fun i => ↥(A i)) i) r) fun i ri =>
      DFinsupp.sum r' fun j rj => if i + j = n then ↑ri * ↑rj else 0) =
    0

Tactic:
apply (DFinsupp.sum_single_index _).trans

Result:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : SetLike σ R
inst✝⁴ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝³ : AddCommMonoid ι
inst✝² : PartialOrder ι
inst✝¹ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝ : SetLike.GradedMonoid A
i : ι
r : ↥(A i)
r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n : ι
h : ¬i ≤ n
⊢ (DFinsupp.sum r' fun j rj => if i + j = n then ↑r * ↑rj else 0) = 0

ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : SetLike σ R
inst✝⁴ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝³ : AddCommMonoid ι
inst✝² : PartialOrder ι
inst✝¹ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝ : SetLike.GradedMonoid A
i : ι
r : ↥(A i)
r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n : ι
h : ¬i ≤ n
⊢ (DFinsupp.sum r' fun j rj => if i + j = n then ↑0 * ↑rj else 0) = 0

Proof state:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : SetLike σ R
inst✝⁴ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝³ : AddCommMonoid ι
inst✝² : PartialOrder ι
inst✝¹ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝ : SetLike.GradedMonoid A
i : ι
r : ↥(A i)
r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n : ι
h : ¬i ≤ n
⊢ (DFinsupp.sum r' fun j rj => 0) = 0

Tactic:
exact DFinsupp.sum_zero

Result:
no goals

Proof state:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : SetLike σ R
inst✝⁴ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝³ : AddCommMonoid ι
inst✝² : PartialOrder ι
inst✝¹ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝ : SetLike.GradedMonoid A
i : ι
r : ↥(A i)
r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n : ι
h : ¬i ≤ n
⊢ (DFinsupp.sum r' fun j rj => if i + j = n then ↑r * ↑rj else 0) = 0

Tactic:
rw [DFinsupp.sum, Finset.sum_ite_of_false, Finset.sum_const_zero]

Result:
case h
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : SetLike σ R
inst✝⁴ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝³ : AddCommMonoid ι
inst✝² : PartialOrder ι
inst✝¹ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝ : SetLike.GradedMonoid A
i : ι
r : ↥(A i)
r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n : ι
h : ¬i ≤ n
⊢ ∀ x ∈ DFinsupp.support r', ¬i + x = n

Proof state:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : SetLike σ R
inst✝⁴ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝³ : AddCommMonoid ι
inst✝² : PartialOrder ι
inst✝¹ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝ : SetLike.GradedMonoid A
i : ι
r : ↥(A i)
r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n : ι
h : ¬i ≤ n
⊢ (DFinsupp.sum r' fun j rj => if i + j = n then ↑r * ↑rj else 0) = 0

ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : SetLike σ R
inst✝⁴ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝³ : AddCommMonoid ι
inst✝² : PartialOrder ι
inst✝¹ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝ : SetLike.GradedMonoid A
i : ι
r : ↥(A i)
r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n : ι
h : ¬i ≤ n
⊢ (DFinsupp.sum r' fun j rj => if i + j = n then ↑0 * ↑rj else 0) = 0

Tactic:
swap

Result:
ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : SetLike σ R
inst✝⁴ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝³ : AddCommMonoid ι
inst✝² : PartialOrder ι
inst✝¹ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝ : SetLike.GradedMonoid A
i : ι
r : ↥(A i)
r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n : ι
h : ¬i ≤ n
⊢ (DFinsupp.sum r' fun j rj => if i + j = n then ↑0 * ↑rj else 0) = 0

ι : Type u_1
σ : Type u_2
R : Type u_4
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : SetLike σ R
inst✝⁴ : AddSubmonoidClass σ R
A : ι → σ
inst✝³ : AddCommMonoid ι
inst✝² : PartialOrder ι
inst✝¹ : CanonicallyOrderedAdd ι
inst✝ : SetLike.GradedMonoid A
i : ι
r : ↥(A i)
r' : ⨁ (i : ι), ↥(A i)
n : ι
h : ¬i ≤ n
⊢ (DFinsupp.sum r' fun j rj => if i + j = n then ↑r * ↑rj else 0) = 0