-- Mathlib/RingTheory/Flat/FaithfullyFlat/Basic.lean
theorem trans : FaithfullyFlat R M

Proof state:
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower R S M
inst✝¹ : FaithfullyFlat R S
inst✝ : FaithfullyFlat S M
N : Type (max u_1 u_3)
x✝³ : AddCommGroup N
x✝² : Module R N
N' : Type (max u_1 u_3)
x✝¹ : AddCommGroup N'
x✝ : Module R N'
f : N →ₗ[R] N'
aux : lTensor M f = 0
⊢ lTensor S f = ↑R (AlgebraTensorModule.map LinearMap.id f)

Tactic:
aesop

Result:
no goals

Proof state:
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower R S M
inst✝¹ : FaithfullyFlat R S
inst✝ : FaithfullyFlat S M
N : Type (max u_1 u_3)
x✝³ : AddCommGroup N
x✝² : Module R N
N' : Type (max u_1 u_3)
x✝¹ : AddCommGroup N'
x✝ : Module R N'
f : N →ₗ[R] N'
aux : lTensor M f = 0
⊢ f = 0

Tactic:
rw [zero_iff_lTensor_zero (R:= R) (M := S) f,
  show f.lTensor S = (AlgebraTensorModule.map (A:= S) LinearMap.id f).restrictScalars R by aesop,
  show (0 :  S ⊗[R] N →ₗ[R] S ⊗[R] N') = (0 : S ⊗[R] N →ₗ[S] S ⊗[R] N').restrictScalars R by rfl,
  restrictScalars_inj, zero_iff_lTensor_zero (R:= S) (M := M)]

Result:
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower R S M
inst✝¹ : FaithfullyFlat R S
inst✝ : FaithfullyFlat S M
N : Type (max u_1 u_3)
x✝³ : AddCommGroup N
x✝² : Module R N
N' : Type (max u_1 u_3)
x✝¹ : AddCommGroup N'
x✝ : Module R N'
f : N →ₗ[R] N'
aux : lTensor M f = 0
⊢ lTensor M (AlgebraTensorModule.map LinearMap.id f) = 0

Proof state:
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower R S M
inst✝¹ : FaithfullyFlat R S
inst✝ : FaithfullyFlat S M
⊢ Flat R M ∧
    ∀ {N : Type (max u_1 u_3)} [inst : AddCommGroup N] [inst_1 : Module R N] {N' : Type (max u_1 u_3)}
      [inst_2 : AddCommGroup N'] [inst_3 : Module R N'] (f : N →ₗ[R] N'), lTensor M f = 0 ↔ f = 0

Tactic:
refine ⟨Module.Flat.trans R S M, @fun N _ _ N' _ _ f => ⟨fun aux => ?_, fun eq => eq ▸ by simp⟩⟩

Result:
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower R S M
inst✝¹ : FaithfullyFlat R S
inst✝ : FaithfullyFlat S M
N : Type (max u_1 u_3)
x✝³ : AddCommGroup N
x✝² : Module R N
N' : Type (max u_1 u_3)
x✝¹ : AddCommGroup N'
x✝ : Module R N'
f : N →ₗ[R] N'
aux : lTensor M f = 0
⊢ f = 0

Proof state:
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower R S M
inst✝¹ : FaithfullyFlat R S
inst✝ : FaithfullyFlat S M
N : Type (max u_1 u_3)
x✝³ : AddCommGroup N
x✝² : Module R N
N' : Type (max u_1 u_3)
x✝¹ : AddCommGroup N'
x✝ : Module R N'
f : N →ₗ[R] N'
eq : f = 0
⊢ lTensor M 0 = 0

Tactic:
simp

Result:
no goals

Proof state:
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower R S M
inst✝¹ : FaithfullyFlat R S
inst✝ : FaithfullyFlat S M
N : Type (max u_1 u_3)
x✝³ : AddCommGroup N
x✝² : Module R N
N' : Type (max u_1 u_3)
x✝¹ : AddCommGroup N'
x✝ : Module R N'
f : N →ₗ[R] N'
aux : lTensor M f = 0
⊢ lTensor M (AlgebraTensorModule.map LinearMap.id f) = 0

Tactic:
ext m n

Result:
case a.h.a.h.h
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower R S M
inst✝¹ : FaithfullyFlat R S
inst✝ : FaithfullyFlat S M
N : Type (max u_1 u_3)
x✝³ : AddCommGroup N
x✝² : Module R N
N' : Type (max u_1 u_3)
x✝¹ : AddCommGroup N'
x✝ : Module R N'
f : N →ₗ[R] N'
aux : lTensor M f = 0
m : M
n : N
⊢ ((AlgebraTensorModule.curry ((AlgebraTensorModule.curry (lTensor M (AlgebraTensorModule.map LinearMap.id f))) m)) 1)
      n =
    ((AlgebraTensorModule.curry ((AlgebraTensorModule.curry 0) m)) 1) n

Proof state:
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower R S M
inst✝¹ : FaithfullyFlat R S
inst✝ : FaithfullyFlat S M
N : Type (max u_1 u_3)
x✝³ : AddCommGroup N
x✝² : Module R N
N' : Type (max u_1 u_3)
x✝¹ : AddCommGroup N'
x✝ : Module R N'
f : N →ₗ[R] N'
aux : lTensor M f = 0
⊢ 0 = ↑R 0

Tactic:
rfl

Result:
no goals

Proof state:
case a.h.a.h.h
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower R S M
inst✝¹ : FaithfullyFlat R S
inst✝ : FaithfullyFlat S M
N : Type (max u_1 u_3)
x✝³ : AddCommGroup N
x✝² : Module R N
N' : Type (max u_1 u_3)
x✝¹ : AddCommGroup N'
x✝ : Module R N'
f : N →ₗ[R] N'
aux : lTensor M f = 0
m : M
n : N
⊢ (AlgebraTensorModule.cancelBaseChange R S S M N')
      (((AlgebraTensorModule.curry ((AlgebraTensorModule.curry (lTensor M (AlgebraTensorModule.map LinearMap.id f))) m))
          1)
        n) =
    (AlgebraTensorModule.cancelBaseChange R S S M N')
      (((AlgebraTensorModule.curry ((AlgebraTensorModule.curry 0) m)) 1) n)

Tactic:
simpa using congr($aux (m ⊗ₜ[R] n))

Result:
no goals

Proof state:
case a.h.a.h.h
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower R S M
inst✝¹ : FaithfullyFlat R S
inst✝ : FaithfullyFlat S M
N : Type (max u_1 u_3)
x✝³ : AddCommGroup N
x✝² : Module R N
N' : Type (max u_1 u_3)
x✝¹ : AddCommGroup N'
x✝ : Module R N'
f : N →ₗ[R] N'
aux : lTensor M f = 0
m : M
n : N
⊢ ((AlgebraTensorModule.curry ((AlgebraTensorModule.curry (lTensor M (AlgebraTensorModule.map LinearMap.id f))) m)) 1)
      n =
    ((AlgebraTensorModule.curry ((AlgebraTensorModule.curry 0) m)) 1) n

Tactic:
apply_fun AlgebraTensorModule.cancelBaseChange R S S M N' using LinearEquiv.injective _

Result:
case a.h.a.h.h
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
S : Type u_2
inst✝⁷ : CommRing S
inst✝⁶ : Algebra R S
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower R S M
inst✝¹ : FaithfullyFlat R S
inst✝ : FaithfullyFlat S M
N : Type (max u_1 u_3)
x✝³ : AddCommGroup N
x✝² : Module R N
N' : Type (max u_1 u_3)
x✝¹ : AddCommGroup N'
x✝ : Module R N'
f : N →ₗ[R] N'
aux : lTensor M f = 0
m : M
n : N
⊢ (AlgebraTensorModule.cancelBaseChange R S S M N')
      (((AlgebraTensorModule.curry ((AlgebraTensorModule.curry (lTensor M (AlgebraTensorModule.map LinearMap.id f))) m))
          1)
        n) =
    (AlgebraTensorModule.cancelBaseChange R S S M N')
      (((AlgebraTensorModule.curry ((AlgebraTensorModule.curry 0) m)) 1) n)