-- Mathlib/Algebra/Lie/Classical.lean
theorem indefiniteDiagonal_transform {i : R} (hi : i * i = -1) :
    (Pso p q R i)ᵀ * indefiniteDiagonal p q R * Pso p q R i = 1

Proof state:
case a.inr.inl
p : Type u_2
q : Type u_3
R : Type u₂
inst✝⁴ : DecidableEq p
inst✝³ : DecidableEq q
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype p
inst✝ : Fintype q
i : R
hi : i * i = -1
x : q
y : p
⊢ ((Pso p q R i)ᵀ * indefiniteDiagonal p q R * Pso p q R i) (Sum.inr x) (Sum.inl y) = 1 (Sum.inr x) (Sum.inl y)

Tactic:
simp [Pso, indefiniteDiagonal]

Result:
no goals

Proof state:
case a.inl.inr
p : Type u_2
q : Type u_3
R : Type u₂
inst✝⁴ : DecidableEq p
inst✝³ : DecidableEq q
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype p
inst✝ : Fintype q
i : R
hi : i * i = -1
x : p
y : q
⊢ ((Pso p q R i)ᵀ * indefiniteDiagonal p q R * Pso p q R i) (Sum.inl x) (Sum.inr y) = 1 (Sum.inl x) (Sum.inr y)

Tactic:
simp [Pso, indefiniteDiagonal]

Result:
no goals

Proof state:
p : Type u_2
q : Type u_3
R : Type u₂
inst✝⁴ : DecidableEq p
inst✝³ : DecidableEq q
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype p
inst✝ : Fintype q
i : R
hi : i * i = -1
⊢ (Pso p q R i)ᵀ * indefiniteDiagonal p q R * Pso p q R i = 1

Tactic:
ext (x y)

Result:
case a
p : Type u_2
q : Type u_3
R : Type u₂
inst✝⁴ : DecidableEq p
inst✝³ : DecidableEq q
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype p
inst✝ : Fintype q
i : R
hi : i * i = -1
x y : p ⊕ q
⊢ ((Pso p q R i)ᵀ * indefiniteDiagonal p q R * Pso p q R i) x y = 1 x y

Proof state:
case a
p : Type u_2
q : Type u_3
R : Type u₂
inst✝⁴ : DecidableEq p
inst✝³ : DecidableEq q
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype p
inst✝ : Fintype q
i : R
hi : i * i = -1
x y : p ⊕ q
⊢ ((Pso p q R i)ᵀ * indefiniteDiagonal p q R * Pso p q R i) x y = 1 x y

Tactic:
rcases x with ⟨x⟩|⟨x⟩ <;> rcases y with ⟨y⟩|⟨y⟩

Result:
case a.inl.inl
p : Type u_2
q : Type u_3
R : Type u₂
inst✝⁴ : DecidableEq p
inst✝³ : DecidableEq q
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype p
inst✝ : Fintype q
i : R
hi : i * i = -1
x y : p
⊢ ((Pso p q R i)ᵀ * indefiniteDiagonal p q R * Pso p q R i) (Sum.inl x) (Sum.inl y) = 1 (Sum.inl x) (Sum.inl y)

case a.inl.inr
p : Type u_2
q : Type u_3
R : Type u₂
inst✝⁴ : DecidableEq p
inst✝³ : DecidableEq q
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype p
inst✝ : Fintype q
i : R
hi : i * i = -1
x : p
y : q
⊢ ((Pso p q R i)ᵀ * indefiniteDiagonal p q R * Pso p q R i) (Sum.inl x) (Sum.inr y) = 1 (Sum.inl x) (Sum.inr y)

case a.inr.inl
p : Type u_2
q : Type u_3
R : Type u₂
inst✝⁴ : DecidableEq p
inst✝³ : DecidableEq q
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype p
inst✝ : Fintype q
i : R
hi : i * i = -1
x : q
y : p
⊢ ((Pso p q R i)ᵀ * indefiniteDiagonal p q R * Pso p q R i) (Sum.inr x) (Sum.inl y) = 1 (Sum.inr x) (Sum.inl y)

case a.inr.inr
p : Type u_2
q : Type u_3
R : Type u₂
inst✝⁴ : DecidableEq p
inst✝³ : DecidableEq q
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype p
inst✝ : Fintype q
i : R
hi : i * i = -1
x y : q
⊢ ((Pso p q R i)ᵀ * indefiniteDiagonal p q R * Pso p q R i) (Sum.inr x) (Sum.inr y) = 1 (Sum.inr x) (Sum.inr y)

Proof state:
case a.inr.inr
p : Type u_2
q : Type u_3
R : Type u₂
inst✝⁴ : DecidableEq p
inst✝³ : DecidableEq q
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype p
inst✝ : Fintype q
i : R
hi : i * i = -1
x y : q
⊢ ((Pso p q R i)ᵀ * indefiniteDiagonal p q R * Pso p q R i) (Sum.inr x) (Sum.inr y) = 1 (Sum.inr x) (Sum.inr y)

Tactic:
by_cases h : x = y <;>
simp [Pso, indefiniteDiagonal, h, hi, one_apply]

Result:
no goals

Proof state:
case a.inl.inl
p : Type u_2
q : Type u_3
R : Type u₂
inst✝⁴ : DecidableEq p
inst✝³ : DecidableEq q
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : Fintype p
inst✝ : Fintype q
i : R
hi : i * i = -1
x y : p
⊢ ((Pso p q R i)ᵀ * indefiniteDiagonal p q R * Pso p q R i) (Sum.inl x) (Sum.inl y) = 1 (Sum.inl x) (Sum.inl y)

Tactic:
by_cases h : x = y <;>
simp [Pso, indefiniteDiagonal, h, one_apply]

Result:
no goals