-- Mathlib/RingTheory/Finiteness/Nakayama.lean
theorem exists_sub_one_mem_and_smul_eq_zero_of_fg_of_le_smul {R : Type*} [CommRing R] {M : Type*}
    [AddCommGroup M] [Module R M] (I : Ideal R) (N : Submodule R M) (hn : N.FG) (hin : N ≤ I • N) :
    ∃ r : R, r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = (0 : M)

Proof state:
case intro.intro.refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
s✝ : Set M
hfs : s✝.Finite
i : M
s : Set M
x✝¹ : i ∉ s
x✝ : s.Finite
ih :
  (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap ((LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) → ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
r : R
hr1 : r - 1 ∈ I
hs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N
c : R
hc1 : c - 1 ∈ I
hci : c • i ∈ I • span R s
n : M
hn : n ∈ N
y : M
hy : y ∈ I • span R {i}
z : M
hz : z ∈ I • span R s
hyz : y + z = ((LinearMap.lsmul R M) r) n
⊢ n ∈ comap ((LinearMap.lsmul R M) (c * r)) (I • span R s)

Tactic:
dsimp at hyz

Result:
case intro.intro.refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
s✝ : Set M
hfs : s✝.Finite
i : M
s : Set M
x✝¹ : i ∉ s
x✝ : s.Finite
ih :
  (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap ((LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) → ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
r : R
hr1 : r - 1 ∈ I
hs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N
c : R
hc1 : c - 1 ∈ I
hci : c • i ∈ I • span R s
n : M
hn : n ∈ N
y : M
hy : y ∈ I • span R {i}
z : M
hz : z ∈ I • span R s
hyz : y + z = r • n
⊢ n ∈ comap ((LinearMap.lsmul R M) (c * r)) (I • span R s)

Proof state:
case h.left
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
s✝ : Set M
hfs : s✝.Finite
i : M
s : Set M
x✝¹ : i ∉ s
x✝ : s.Finite
ih :
  (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap ((LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) → ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
r : R
hr1 : r - 1 ∈ I
hs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N
z : M
hz : z ∈ I • span R s
c : R
hci : c ∈ I
hyz : c • i + z = r • i
⊢ r - 1 - c ∈ I

Tactic:
exact I.sub_mem hr1 hci

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro.refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
s✝ : Set M
hfs : s✝.Finite
i : M
s : Set M
x✝¹ : i ∉ s
x✝ : s.Finite
ih :
  (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap ((LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) → ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
r : R
hr1 : r - 1 ∈ I
hs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N
c : R
hc1 : c - 1 ∈ I
hci : c • i ∈ I • span R s
n : M
hn : n ∈ N
hrn : n ∈ comap ((LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R {i} ⊔ I • span R s)
⊢ n ∈ comap ((LinearMap.lsmul R M) (c * r)) (I • span R s)

Tactic:
rw [mem_comap, mem_sup] at hrn

Result:
case intro.intro.refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
s✝ : Set M
hfs : s✝.Finite
i : M
s : Set M
x✝¹ : i ∉ s
x✝ : s.Finite
ih :
  (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap ((LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) → ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
r : R
hr1 : r - 1 ∈ I
hs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N
c : R
hc1 : c - 1 ∈ I
hci : c • i ∈ I • span R s
n : M
hn : n ∈ N
hrn : ∃ y ∈ I • span R {i}, ∃ z ∈ I • span R s, y + z = ((LinearMap.lsmul R M) r) n
⊢ n ∈ comap ((LinearMap.lsmul R M) (c * r)) (I • span R s)

Proof state:
case intro.intro.refine_1
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
s : Set M
hfs : s.Finite
H : ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap ((LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R ∅) ∧ ∅ ⊆ ↑N
⊢ ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0

Tactic:
rcases H with ⟨r, hr1, hrn, _⟩

Result:
case intro.intro.refine_1.intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
s : Set M
hfs : s.Finite
r : R
hr1 : r - 1 ∈ I
hrn : N ≤ comap ((LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R ∅)
right✝ : ∅ ⊆ ↑N
⊢ ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0

Proof state:
case h.right
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
s✝ : Set M
hfs : s✝.Finite
i : M
s : Set M
x✝¹ : i ∉ s
x✝ : s.Finite
ih :
  (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap ((LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) → ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
r : R
hr1 : r - 1 ∈ I
hs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N
z : M
hz : z ∈ I • span R s
c : R
hci : c ∈ I
hyz : c • i + z = r • i
⊢ (r - c) • i ∈ I • span R s

Tactic:
rw [sub_smul, ← hyz, add_sub_cancel_left]

Result:
case h.right
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
s✝ : Set M
hfs : s✝.Finite
i : M
s : Set M
x✝¹ : i ∉ s
x✝ : s.Finite
ih :
  (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap ((LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) → ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
r : R
hr1 : r - 1 ∈ I
hs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N
z : M
hz : z ∈ I • span R s
c : R
hci : c ∈ I
hyz : c • i + z = r • i
⊢ z ∈ I • span R s

Proof state:
case refine_2
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
hin : N ≤ I • N
s : Set M
hfs : s.Finite
hs : span R s = N
⊢ N ≤ comap ((LinearMap.lsmul R M) 1) (I • span R s)

Tactic:
rw [hs]

Result:
case refine_2
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
hin : N ≤ I • N
s : Set M
hfs : s.Finite
hs : span R s = N
⊢ N ≤ comap ((LinearMap.lsmul R M) 1) (I • N)

Proof state:
case refine_2
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
hin : N ≤ I • N
s : Set M
hfs : s.Finite
hs : span R s = N
n : M
hn : n ∈ N
⊢ ((LinearMap.lsmul R M) 1) n ∈ I • N

Tactic:
change (1 : R) • n ∈ I • N

Result:
case refine_2
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
hin : N ≤ I • N
s : Set M
hfs : s.Finite
hs : span R s = N
n : M
hn : n ∈ N
⊢ 1 • n ∈ I • N

Proof state:
case h
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
s✝ : Set M
hfs : s✝.Finite
i : M
s : Set M
x✝¹ : i ∉ s
x✝ : s.Finite
ih :
  (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap ((LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) → ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
r : R
hr1 : r - 1 ∈ I
hs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N
z : M
hz : z ∈ I • span R s
c : R
hci : c ∈ I
hyz : c • i + z = r • i
⊢ r - c - 1 ∈ I ∧ (r - c) • i ∈ I • span R s

Tactic:
constructor

Result:
case h.left
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
s✝ : Set M
hfs : s✝.Finite
i : M
s : Set M
x✝¹ : i ∉ s
x✝ : s.Finite
ih :
  (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap ((LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) → ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
r : R
hr1 : r - 1 ∈ I
hs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N
z : M
hz : z ∈ I • span R s
c : R
hci : c ∈ I
hyz : c • i + z = r • i
⊢ r - c - 1 ∈ I

case h.right
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
M : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
N : Submodule R M
s✝ : Set M
hfs : s✝.Finite
i : M
s : Set M
x✝¹ : i ∉ s
x✝ : s.Finite
ih :
  (∃ r, r - 1 ∈ I ∧ N ≤ comap ((LinearMap.lsmul R M) r) (I • span R s) ∧ s ⊆ ↑N) → ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
r : R
hr1 : r - 1 ∈ I
hs : i ∈ ↑N ∧ s ⊆ ↑N
z : M
hz : z ∈ I • span R s
c : R
hci : c ∈ I
hyz : c • i + z = r • i
⊢ (r - c) • i ∈ I • span R s