-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
theorem fourierIntegral_fderiv [MeasurableSpace V] [BorelSpace V] [FiniteDimensional ℝ V]
    {μ : Measure V} [Measure.IsAddHaarMeasure μ]
    (hf : Integrable f μ) (h'f : Differentiable ℝ f) (hf' : Integrable (fderiv ℝ f) μ) :
    fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ (fderiv ℝ f)
      = fourierSMulRight (-L.flip) (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f)

Proof state:
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : Integrable f μ
h'f : Differentiable ℝ f
hf' : Integrable (fderiv ℝ f) μ
w : W
y : V
g : V → ℂ := fun v => ↑(𝐞 (-(L v) w))
this : ∫ (x : V), g x • (fderiv ℝ f x) y ∂μ = ∫ (x : V), (2 * ↑π * I * ↑((L y) w) * g x) • f x ∂μ
⊢ fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ (fun x => (fderiv ℝ f x) y) w =
    (fourierSMulRight (-L.flip) (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f) w) y

Tactic:
simpa only [fourierIntegral, ContinuousLinearMap.toLinearMap₂_apply, fourierSMulRight_apply,
  ContinuousLinearMap.neg_apply, ContinuousLinearMap.flip_apply, ← integral_smul, neg_smul,
  smul_neg, ← smul_smul, coe_smul, neg_neg]

Result:
no goals

Proof state:
case h.h.hfg
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : Integrable f μ
h'f : Differentiable ℝ f
hf' : Integrable (fderiv ℝ f) μ
w : W
y : V
g : V → ℂ := fun v => ↑(𝐞 (-(L v) w))
A : ∀ (x : V), (fderiv ℝ g x) y = -2 * ↑π * I * ↑((L y) w) * g x
⊢ Integrable (fun x => g x • f x) μ

Tactic:
exact (fourierIntegral_convergent_iff' _ _).2 hf

Result:
no goals

Proof state:
case h.h.hg
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : Integrable f μ
h'f : Differentiable ℝ f
hf' : Integrable (fderiv ℝ f) μ
w : W
y : V
g : V → ℂ := fun v => ↑(𝐞 (-(L v) w))
A : ∀ (x : V), (fderiv ℝ g x) y = -2 * ↑π * I * ↑((L y) w) * g x
⊢ Differentiable ℝ f

Tactic:
exact h'f

Result:
no goals

Proof state:
case h.h.hfg'
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : Integrable f μ
h'f : Differentiable ℝ f
hf' : Integrable (fderiv ℝ f) μ
w : W
y : V
g : V → ℂ := fun v => ↑(𝐞 (-(L v) w))
A : ∀ (x : V), (fderiv ℝ g x) y = -2 * ↑π * I * ↑((L y) w) * g x
⊢ Integrable (fun x => g x • (fderiv ℝ f x) y) μ

Tactic:
exact (fourierIntegral_convergent_iff' _ _).2 (hf'.apply_continuousLinearMap _)

Result:
no goals

Proof state:
case h.h
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : Integrable f μ
h'f : Differentiable ℝ f
hf' : Integrable (fderiv ℝ f) μ
w : W
y : V
g : V → ℂ := fun v => ↑(𝐞 (-(L v) w))
A : ∀ (x : V), (fderiv ℝ g x) y = -2 * ↑π * I * ↑((L y) w) * g x
⊢ ∫ (a : V), -((fderiv ℝ g a) y • f a) ∂μ = ∫ (x : V), (2 * ↑π * I * ↑((L y) w) * g x) • f x ∂μ

Tactic:
congr with x

Result:
case h.h.e_f.h
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : Integrable f μ
h'f : Differentiable ℝ f
hf' : Integrable (fderiv ℝ f) μ
w : W
y : V
g : V → ℂ := fun v => ↑(𝐞 (-(L v) w))
A : ∀ (x : V), (fderiv ℝ g x) y = -2 * ↑π * I * ↑((L y) w) * g x
x : V
⊢ -((fderiv ℝ g x) y • f x) = (2 * ↑π * I * ↑((L y) w) * g x) • f x

Proof state:
case h.h.hf'g
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : Integrable f μ
h'f : Differentiable ℝ f
hf' : Integrable (fderiv ℝ f) μ
w : W
y : V
g : V → ℂ := fun v => ↑(𝐞 (-(L v) w))
A : ∀ (x : V), (fderiv ℝ g x) y = -2 * ↑π * I * ↑((L y) w) * g x
⊢ Integrable (fun x => (fderiv ℝ g x) y • f x) μ

Tactic:
have : Integrable (fun x ↦ (-(2 * ↑π * I * ↑((L y) w)) • ((g x : ℂ) • f x))) μ :=
  ((fourierIntegral_convergent_iff' _ _).2 hf).smul _

Result:
case h.h.hf'g
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : Integrable f μ
h'f : Differentiable ℝ f
hf' : Integrable (fderiv ℝ f) μ
w : W
y : V
g : V → ℂ := fun v => ↑(𝐞 (-(L v) w))
A : ∀ (x : V), (fderiv ℝ g x) y = -2 * ↑π * I * ↑((L y) w) * g x
this : Integrable (fun x => -(2 * ↑π * I * ↑((L y) w)) • g x • f x) μ
⊢ Integrable (fun x => (fderiv ℝ g x) y • f x) μ

Proof state:
case h.h.hf
E : Type u_1
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
hf : Integrable f μ
h'f : Differentiable ℝ f
hf' : Integrable (fderiv ℝ f) μ
w : W
y : V
g : V → ℂ := fun v => ↑(𝐞 (-(L v) w))
A : ∀ (x : V), (fderiv ℝ g x) y = -2 * ↑π * I * ↑((L y) w) * g x
⊢ Differentiable ℝ g

Tactic:
exact differentiable_fourierChar_neg_bilinear_left _ _

Result:
no goals