-- Mathlib/Analysis/Convex/Extreme.lean
theorem extremePoints_pi (s : ∀ i, Set (π i)) :
    (univ.pi s).extremePoints 𝕜 = univ.pi fun i ↦ (s i).extremePoints 𝕜

Proof state:
case h.refine_1.refine_2
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommGroup (π i)
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)
s : (i : ι) → Set (π i)
x : (i : ι) → π i
hx : ∀ (i : ι), x i ∈ s i
h :
  ∀ (x₁ : (i : ι) → π i),
    (∀ (i : ι), x₁ i ∈ s i) →
      ∀ (x₂ : (i : ι) → π i), (∀ (i : ι), x₂ i ∈ s i) → x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x ∧ x₂ = x
i : ι
x₁ : π i
hx₁ : x₁ ∈ s i
x₂ : π i
hx₂ : x₂ ∈ s i
hi : x i ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂
⊢ ∀ (i_1 : ι), update x i x₂ i_1 ∈ s i_1

case h.refine_1.refine_3
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommGroup (π i)
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)
s : (i : ι) → Set (π i)
x : (i : ι) → π i
hx : ∀ (i : ι), x i ∈ s i
h :
  ∀ (x₁ : (i : ι) → π i),
    (∀ (i : ι), x₁ i ∈ s i) →
      ∀ (x₂ : (i : ι) → π i), (∀ (i : ι), x₂ i ∈ s i) → x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x ∧ x₂ = x
i : ι
x₁ : π i
hx₁ : x₁ ∈ s i
x₂ : π i
hx₂ : x₂ ∈ s i
hi : x i ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂
⊢ x ∈ openSegment 𝕜 (update x i x₁) (update x i x₂)

Tactic:
rintro j

Result:
case h.refine_1.refine_2
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommGroup (π i)
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)
s : (i : ι) → Set (π i)
x : (i : ι) → π i
hx : ∀ (i : ι), x i ∈ s i
h :
  ∀ (x₁ : (i : ι) → π i),
    (∀ (i : ι), x₁ i ∈ s i) →
      ∀ (x₂ : (i : ι) → π i), (∀ (i : ι), x₂ i ∈ s i) → x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x ∧ x₂ = x
i : ι
x₁ : π i
hx₁ : x₁ ∈ s i
x₂ : π i
hx₂ : x₂ ∈ s i
hi : x i ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂
j : ι
⊢ update x i x₂ j ∈ s j

case h.refine_1.refine_3
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommGroup (π i)
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)
s : (i : ι) → Set (π i)
x : (i : ι) → π i
hx : ∀ (i : ι), x i ∈ s i
h :
  ∀ (x₁ : (i : ι) → π i),
    (∀ (i : ι), x₁ i ∈ s i) →
      ∀ (x₂ : (i : ι) → π i), (∀ (i : ι), x₂ i ∈ s i) → x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x ∧ x₂ = x
i : ι
x₁ : π i
hx₁ : x₁ ∈ s i
x₂ : π i
hx₂ : x₂ ∈ s i
hi : x i ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂
⊢ x ∈ openSegment 𝕜 (update x i x₁) (update x i x₂)

Proof state:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommGroup (π i)
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)
s : (i : ι) → Set (π i)
x : (i : ι) → π i
hx : ∀ (i : ι), x i ∈ s i
h :
  ∀ (x₁ : (i : ι) → π i),
    (∀ (i : ι), x₁ i ∈ s i) →
      ∀ (x₂ : (i : ι) → π i), (∀ (i : ι), x₂ i ∈ s i) → x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x ∧ x₂ = x
i : ι
x₁ : π i
hx₁ : x₁ ∈ s i
x₂ : π i
hx₂ : x₂ ∈ s i
hi : x i ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂
h₂ : update x i x₂ = x
⊢ x₂ = x i

Tactic:
rw [← h₂, update_self]

Result:
no goals

Proof state:
case h.refine_1.refine_2
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommGroup (π i)
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)
s : (i : ι) → Set (π i)
x : (i : ι) → π i
hx : ∀ (i : ι), x i ∈ s i
h :
  ∀ (x₁ : (i : ι) → π i),
    (∀ (i : ι), x₁ i ∈ s i) →
      ∀ (x₂ : (i : ι) → π i), (∀ (i : ι), x₂ i ∈ s i) → x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x ∧ x₂ = x
i : ι
x₁ : π i
hx₁ : x₁ ∈ s i
x₂ : π i
hx₂ : x₂ ∈ s i
hi : x i ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂
j : ι
⊢ update x i x₂ j ∈ s j

case h.refine_1.refine_3
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommGroup (π i)
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)
s : (i : ι) → Set (π i)
x : (i : ι) → π i
hx : ∀ (i : ι), x i ∈ s i
h :
  ∀ (x₁ : (i : ι) → π i),
    (∀ (i : ι), x₁ i ∈ s i) →
      ∀ (x₂ : (i : ι) → π i), (∀ (i : ι), x₂ i ∈ s i) → x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x ∧ x₂ = x
i : ι
x₁ : π i
hx₁ : x₁ ∈ s i
x₂ : π i
hx₂ : x₂ ∈ s i
hi : x i ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂
⊢ x ∈ openSegment 𝕜 (update x i x₁) (update x i x₂)

Tactic:
obtain rfl | hji := eq_or_ne j i

Result:
case h.refine_1.refine_2.inl
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommGroup (π i)
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)
s : (i : ι) → Set (π i)
x : (i : ι) → π i
hx : ∀ (i : ι), x i ∈ s i
h :
  ∀ (x₁ : (i : ι) → π i),
    (∀ (i : ι), x₁ i ∈ s i) →
      ∀ (x₂ : (i : ι) → π i), (∀ (i : ι), x₂ i ∈ s i) → x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x ∧ x₂ = x
j : ι
x₁ : π j
hx₁ : x₁ ∈ s j
x₂ : π j
hx₂ : x₂ ∈ s j
hi : x j ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂
⊢ update x j x₂ j ∈ s j

case h.refine_1.refine_2.inr
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommGroup (π i)
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)
s : (i : ι) → Set (π i)
x : (i : ι) → π i
hx : ∀ (i : ι), x i ∈ s i
h :
  ∀ (x₁ : (i : ι) → π i),
    (∀ (i : ι), x₁ i ∈ s i) →
      ∀ (x₂ : (i : ι) → π i), (∀ (i : ι), x₂ i ∈ s i) → x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x ∧ x₂ = x
i : ι
x₁ : π i
hx₁ : x₁ ∈ s i
x₂ : π i
hx₂ : x₂ ∈ s i
hi : x i ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂
j : ι
hji : j ≠ i
⊢ update x i x₂ j ∈ s j

case h.refine_1.refine_3
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommGroup (π i)
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)
s : (i : ι) → Set (π i)
x : (i : ι) → π i
hx : ∀ (i : ι), x i ∈ s i
h :
  ∀ (x₁ : (i : ι) → π i),
    (∀ (i : ι), x₁ i ∈ s i) →
      ∀ (x₂ : (i : ι) → π i), (∀ (i : ι), x₂ i ∈ s i) → x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x ∧ x₂ = x
i : ι
x₁ : π i
hx₁ : x₁ ∈ s i
x₂ : π i
hx₂ : x₂ ∈ s i
hi : x i ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂
⊢ x ∈ openSegment 𝕜 (update x i x₁) (update x i x₂)

Proof state:
case h.refine_1
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommGroup (π i)
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)
s : (i : ι) → Set (π i)
x : (i : ι) → π i
hx : ∀ (i : ι), x i ∈ s i
h :
  ∀ (x₁ : (i : ι) → π i),
    (∀ (i : ι), x₁ i ∈ s i) →
      ∀ (x₂ : (i : ι) → π i), (∀ (i : ι), x₂ i ∈ s i) → x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x ∧ x₂ = x
i : ι
x₁ : π i
hx₁ : x₁ ∈ s i
x₂ : π i
hx₂ : x₂ ∈ s i
hi : x i ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂
⊢ x₁ = x i ∧ x₂ = x i

Tactic:
refine (h (update x i x₁) ?_ (update x i x₂) ?_ ?_).imp (fun h₁ ↦ by rw [← h₁, update_self])
    fun h₂ ↦ by rw [← h₂, update_self]

Result:
case h.refine_1.refine_1
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommGroup (π i)
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)
s : (i : ι) → Set (π i)
x : (i : ι) → π i
hx : ∀ (i : ι), x i ∈ s i
h :
  ∀ (x₁ : (i : ι) → π i),
    (∀ (i : ι), x₁ i ∈ s i) →
      ∀ (x₂ : (i : ι) → π i), (∀ (i : ι), x₂ i ∈ s i) → x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x ∧ x₂ = x
i : ι
x₁ : π i
hx₁ : x₁ ∈ s i
x₂ : π i
hx₂ : x₂ ∈ s i
hi : x i ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂
⊢ ∀ (i_1 : ι), update x i x₁ i_1 ∈ s i_1

case h.refine_1.refine_2
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommGroup (π i)
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)
s : (i : ι) → Set (π i)
x : (i : ι) → π i
hx : ∀ (i : ι), x i ∈ s i
h :
  ∀ (x₁ : (i : ι) → π i),
    (∀ (i : ι), x₁ i ∈ s i) →
      ∀ (x₂ : (i : ι) → π i), (∀ (i : ι), x₂ i ∈ s i) → x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x ∧ x₂ = x
i : ι
x₁ : π i
hx₁ : x₁ ∈ s i
x₂ : π i
hx₂ : x₂ ∈ s i
hi : x i ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂
⊢ ∀ (i_1 : ι), update x i x₂ i_1 ∈ s i_1

case h.refine_1.refine_3
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_4
π : ι → Type u_5
inst✝² : OrderedSemiring 𝕜
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommGroup (π i)
inst✝ : (i : ι) → Module 𝕜 (π i)
s : (i : ι) → Set (π i)
x : (i : ι) → π i
hx : ∀ (i : ι), x i ∈ s i
h :
  ∀ (x₁ : (i : ι) → π i),
    (∀ (i : ι), x₁ i ∈ s i) →
      ∀ (x₂ : (i : ι) → π i), (∀ (i : ι), x₂ i ∈ s i) → x ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂ → x₁ = x ∧ x₂ = x
i : ι
x₁ : π i
hx₁ : x₁ ∈ s i
x₂ : π i
hx₂ : x₂ ∈ s i
hi : x i ∈ openSegment 𝕜 x₁ x₂
⊢ x ∈ openSegment 𝕜 (update x i x₁) (update x i x₂)