-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CoverLifting.lean
lemma liftAux_map' {Y Y' : C} (f : G.obj Y ⟶ X) (f' : G.obj Y' ⟶ X) {W : C}
    (a : W ⟶ Y) (b : W ⟶ Y') (w : G.map a ≫ f = G.map b ≫ f') :
    liftAux hF α s f ≫ F.map a.op = liftAux hF α s f' ≫ F.map b.op

Proof state:
case h.mk
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝¹ : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝ : G.IsCocontinuous J K
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : Presheaf.IsSheaf J F
R : Dᵒᵖ ⥤ A
α : G.op ⋙ R ⟶ F
X : D
S : K.Cover X
s : Multifork (S.index R)
Y Y' : C
f : G.obj Y ⟶ X
f' : G.obj Y' ⟶ X
W : C
a : W ⟶ Y
b : W ⟶ Y'
w : G.map a ≫ f = G.map b ≫ f'
T : C
g : T ⟶ W
hg : (↑⟨Sieve.functorPullback G (Sieve.pullback (G.map a ≫ f) ↑S), ⋯⟩).arrows g
⊢ (liftAux hF α s f ≫ F.map a.op) ≫ F.map g.op = (liftAux hF α s f' ≫ F.map b.op) ≫ F.map g.op

Tactic:
have eq₁ := liftAux_map hF α s f (g ≫ a) ⟨_, _, hg⟩ (𝟙 _) (by simp)

Result:
case h.mk
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝¹ : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝ : G.IsCocontinuous J K
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : Presheaf.IsSheaf J F
R : Dᵒᵖ ⥤ A
α : G.op ⋙ R ⟶ F
X : D
S : K.Cover X
s : Multifork (S.index R)
Y Y' : C
f : G.obj Y ⟶ X
f' : G.obj Y' ⟶ X
W : C
a : W ⟶ Y
b : W ⟶ Y'
w : G.map a ≫ f = G.map b ≫ f'
T : C
g : T ⟶ W
hg : (↑⟨Sieve.functorPullback G (Sieve.pullback (G.map a ≫ f) ↑S), ⋯⟩).arrows g
eq₁ :
  liftAux hF α s f ≫ F.map (g ≫ a).op =
    s.ι { Y := G.obj T, f := G.map g ≫ G.map a ≫ f, hf := hg } ≫ R.map (𝟙 (G.obj T)).op ≫ α.app (op T)
⊢ (liftAux hF α s f ≫ F.map a.op) ≫ F.map g.op = (liftAux hF α s f' ≫ F.map b.op) ≫ F.map g.op

Proof state:
case h.mk
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝¹ : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝ : G.IsCocontinuous J K
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : Presheaf.IsSheaf J F
R : Dᵒᵖ ⥤ A
α : G.op ⋙ R ⟶ F
X : D
S : K.Cover X
s : Multifork (S.index R)
Y Y' : C
f : G.obj Y ⟶ X
f' : G.obj Y' ⟶ X
W : C
a : W ⟶ Y
b : W ⟶ Y'
w : G.map a ≫ f = G.map b ≫ f'
T : C
g : T ⟶ W
hg : (↑⟨Sieve.functorPullback G (Sieve.pullback (G.map a ≫ f) ↑S), ⋯⟩).arrows g
eq₁ :
  liftAux hF α s f ≫ F.map (a.op ≫ g.op) =
    s.ι { Y := G.obj T, f := G.map g ≫ G.map a ≫ f, hf := hg } ≫ R.map (𝟙 (op (G.obj T))) ≫ α.app (op T)
eq₂ :
  liftAux hF α s f' ≫ F.map (b.op ≫ g.op) =
    s.ι { Y := G.obj T, f := G.map g ≫ G.map a ≫ f, hf := hg } ≫ R.map (𝟙 (op (G.obj T))) ≫ α.app (op T)
⊢ (liftAux hF α s f ≫ F.map a.op) ≫ F.map g.op = (liftAux hF α s f' ≫ F.map b.op) ≫ F.map g.op

Tactic:
simp only [Functor.map_comp, Functor.map_id, Category.id_comp] at eq₁ eq₂

Result:
case h.mk
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝¹ : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝ : G.IsCocontinuous J K
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : Presheaf.IsSheaf J F
R : Dᵒᵖ ⥤ A
α : G.op ⋙ R ⟶ F
X : D
S : K.Cover X
s : Multifork (S.index R)
Y Y' : C
f : G.obj Y ⟶ X
f' : G.obj Y' ⟶ X
W : C
a : W ⟶ Y
b : W ⟶ Y'
w : G.map a ≫ f = G.map b ≫ f'
T : C
g : T ⟶ W
hg : (↑⟨Sieve.functorPullback G (Sieve.pullback (G.map a ≫ f) ↑S), ⋯⟩).arrows g
eq₁ :
  liftAux hF α s f ≫ F.map a.op ≫ F.map g.op = s.ι { Y := G.obj T, f := G.map g ≫ G.map a ≫ f, hf := hg } ≫ α.app (op T)
eq₂ :
  liftAux hF α s f' ≫ F.map b.op ≫ F.map g.op =
    s.ι { Y := G.obj T, f := G.map g ≫ G.map a ≫ f, hf := hg } ≫ α.app (op T)
⊢ (liftAux hF α s f ≫ F.map a.op) ≫ F.map g.op = (liftAux hF α s f' ≫ F.map b.op) ≫ F.map g.op

Proof state:
case h.mk
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝¹ : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝ : G.IsCocontinuous J K
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : Presheaf.IsSheaf J F
R : Dᵒᵖ ⥤ A
α : G.op ⋙ R ⟶ F
X : D
S : K.Cover X
s : Multifork (S.index R)
Y Y' : C
f : G.obj Y ⟶ X
f' : G.obj Y' ⟶ X
W : C
a : W ⟶ Y
b : W ⟶ Y'
w : G.map a ≫ f = G.map b ≫ f'
T : C
g : T ⟶ W
hg : (↑⟨Sieve.functorPullback G (Sieve.pullback (G.map a ≫ f) ↑S), ⋯⟩).arrows g
eq₁ :
  liftAux hF α s f ≫ F.map a.op ≫ F.map g.op = s.ι { Y := G.obj T, f := G.map g ≫ G.map a ≫ f, hf := hg } ≫ α.app (op T)
eq₂ :
  liftAux hF α s f' ≫ F.map b.op ≫ F.map g.op =
    s.ι { Y := G.obj T, f := G.map g ≫ G.map a ≫ f, hf := hg } ≫ α.app (op T)
⊢ (liftAux hF α s f ≫ F.map a.op) ≫ F.map g.op = (liftAux hF α s f' ≫ F.map b.op) ≫ F.map g.op

Tactic:
simp only [Category.assoc, eq₁, eq₂]

Result:
no goals

Proof state:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝¹ : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝ : G.IsCocontinuous J K
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : Presheaf.IsSheaf J F
R : Dᵒᵖ ⥤ A
α : G.op ⋙ R ⟶ F
X : D
S : K.Cover X
s : Multifork (S.index R)
Y Y' : C
f : G.obj Y ⟶ X
f' : G.obj Y' ⟶ X
W : C
a : W ⟶ Y
b : W ⟶ Y'
w : G.map a ≫ f = G.map b ≫ f'
⊢ liftAux hF α s f ≫ F.map a.op = liftAux hF α s f' ≫ F.map b.op

Tactic:
apply hF.hom_ext ⟨_, G.cover_lift J K (K.pullback_stable (G.map a ≫ f) S.2)⟩

Result:
case h
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝¹ : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝ : G.IsCocontinuous J K
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : Presheaf.IsSheaf J F
R : Dᵒᵖ ⥤ A
α : G.op ⋙ R ⟶ F
X : D
S : K.Cover X
s : Multifork (S.index R)
Y Y' : C
f : G.obj Y ⟶ X
f' : G.obj Y' ⟶ X
W : C
a : W ⟶ Y
b : W ⟶ Y'
w : G.map a ≫ f = G.map b ≫ f'
⊢ ∀ (I : GrothendieckTopology.Cover.Arrow ⟨Sieve.functorPullback G (Sieve.pullback (G.map a ≫ f) ↑S), ⋯⟩),
    (liftAux hF α s f ≫ F.map a.op) ≫ F.map I.f.op = (liftAux hF α s f' ≫ F.map b.op) ≫ F.map I.f.op

Proof state:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝¹ : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝ : G.IsCocontinuous J K
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : Presheaf.IsSheaf J F
R : Dᵒᵖ ⥤ A
α : G.op ⋙ R ⟶ F
X : D
S : K.Cover X
s : Multifork (S.index R)
Y Y' : C
f : G.obj Y ⟶ X
f' : G.obj Y' ⟶ X
W : C
a : W ⟶ Y
b : W ⟶ Y'
w : G.map a ≫ f = G.map b ≫ f'
T : C
g : T ⟶ W
hg : (↑⟨Sieve.functorPullback G (Sieve.pullback (G.map a ≫ f) ↑S), ⋯⟩).arrows g
⊢ 𝟙 (G.obj T) ≫ { Y := G.obj T, f := G.map g ≫ G.map a ≫ f, hf := hg }.f = G.map (g ≫ a) ≫ f

Tactic:
simp

Result:
no goals