-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
theorem _root_.IsFractional.div_of_nonzero {I J : Submodule R₁ K} :
    IsFractional R₁⁰ I → IsFractional R₁⁰ J → J ≠ 0 → IsFractional R₁⁰ (I / J)
  | ⟨aI, haI, hI⟩, ⟨aJ, haJ, hJ⟩, h => by
    obtain ⟨y, mem_J, not_mem_zero⟩ :=
      SetLike.exists_of_lt (show 0 < J by simpa only using bot_lt_iff_ne_bot.mpr h)
    obtain ⟨y', hy'⟩ := hJ y mem_J
    use aI * y'
    constructor
    · apply (nonZeroDivisors R₁).mul_mem haI (mem_nonZeroDivisors_iff_ne_zero.mpr _)
      intro y'_eq_zero
      have : algebraMap R₁ K aJ * y = 0

Proof state:
case intro.intro.intro
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I J : Submodule R₁ K
aI : R₁
haI : aI ∈ R₁⁰
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R₁ (aI • b)
aJ : R₁
haJ : aJ ∈ R₁⁰
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R₁ (aJ • b)
h : J ≠ 0
y : K
mem_J : y ∈ J
not_mem_zero : y ∉ 0
y' : R₁
hy' : (algebraMap R₁ K) y' = aJ • y
⊢ IsFractional R₁⁰ (I / J)

Tactic:
use aI * y'

Result:
case h
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I J : Submodule R₁ K
aI : R₁
haI : aI ∈ R₁⁰
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R₁ (aI • b)
aJ : R₁
haJ : aJ ∈ R₁⁰
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R₁ (aJ • b)
h : J ≠ 0
y : K
mem_J : y ∈ J
not_mem_zero : y ∉ 0
y' : R₁
hy' : (algebraMap R₁ K) y' = aJ • y
⊢ aI * y' ∈ R₁⁰ ∧ ∀ b ∈ I / J, IsInteger R₁ ((aI * y') • b)

Proof state:
case h.left
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I J : Submodule R₁ K
aI : R₁
haI : aI ∈ R₁⁰
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R₁ (aI • b)
aJ : R₁
haJ : aJ ∈ R₁⁰
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R₁ (aJ • b)
h : J ≠ 0
y : K
mem_J : y ∈ J
not_mem_zero : y ∉ 0
y' : R₁
hy' : (algebraMap R₁ K) y' = aJ • y
⊢ aI * y' ∈ R₁⁰

Tactic:
apply (nonZeroDivisors R₁).mul_mem haI (mem_nonZeroDivisors_iff_ne_zero.mpr _)

Result:
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I J : Submodule R₁ K
aI : R₁
haI : aI ∈ R₁⁰
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R₁ (aI • b)
aJ : R₁
haJ : aJ ∈ R₁⁰
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R₁ (aJ • b)
h : J ≠ 0
y : K
mem_J : y ∈ J
not_mem_zero : y ∉ 0
y' : R₁
hy' : (algebraMap R₁ K) y' = aJ • y
⊢ y' ≠ 0

Proof state:
case intro.intro
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I J : Submodule R₁ K
aI : R₁
haI : aI ∈ R₁⁰
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R₁ (aI • b)
aJ : R₁
haJ : aJ ∈ R₁⁰
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R₁ (aJ • b)
h : J ≠ 0
y : K
mem_J : y ∈ J
not_mem_zero : y ∉ 0
⊢ IsFractional R₁⁰ (I / J)

Tactic:
obtain ⟨y', hy'⟩ := hJ y mem_J

Result:
case intro.intro.intro
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I J : Submodule R₁ K
aI : R₁
haI : aI ∈ R₁⁰
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R₁ (aI • b)
aJ : R₁
haJ : aJ ∈ R₁⁰
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R₁ (aJ • b)
h : J ≠ 0
y : K
mem_J : y ∈ J
not_mem_zero : y ∉ 0
y' : R₁
hy' : (algebraMap R₁ K) y' = aJ • y
⊢ IsFractional R₁⁰ (I / J)

Proof state:
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I J : Submodule R₁ K
aI : R₁
haI : aI ∈ R₁⁰
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R₁ (aI • b)
aJ : R₁
haJ : aJ ∈ R₁⁰
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R₁ (aJ • b)
h : J ≠ 0
y : K
mem_J : y ∈ J
not_mem_zero : y ∉ 0
y' : R₁
hy' : (algebraMap R₁ K) y' = aJ • y
y'_eq_zero : y' = 0
⊢ (algebraMap R₁ K) aJ * y = 0

Tactic:
rw [← Algebra.smul_def, ← hy', y'_eq_zero, RingHom.map_zero]

Result:
no goals

Proof state:
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I J : Submodule R₁ K
aI : R₁
haI : aI ∈ R₁⁰
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R₁ (aI • b)
aJ : R₁
haJ : aJ ∈ R₁⁰
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R₁ (aJ • b)
h : J ≠ 0
y : K
mem_J : y ∈ J
not_mem_zero : y ∉ 0
y' : R₁
hy' : (algebraMap R₁ K) y' = aJ • y
y'_eq_zero : y' = 0
this : (algebraMap R₁ K) aJ * y = 0
⊢ False

Tactic:
have y_zero :=
  (mul_eq_zero.mp this).resolve_left
    (mt ((injective_iff_map_eq_zero (algebraMap R₁ K)).1 (IsFractionRing.injective _ _) _)
      (mem_nonZeroDivisors_iff_ne_zero.mp haJ))

Result:
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I J : Submodule R₁ K
aI : R₁
haI : aI ∈ R₁⁰
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R₁ (aI • b)
aJ : R₁
haJ : aJ ∈ R₁⁰
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R₁ (aJ • b)
h : J ≠ 0
y : K
mem_J : y ∈ J
not_mem_zero : y ∉ 0
y' : R₁
hy' : (algebraMap R₁ K) y' = aJ • y
y'_eq_zero : y' = 0
this : (algebraMap R₁ K) aJ * y = 0
y_zero : y = 0
⊢ False

Proof state:
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I J : Submodule R₁ K
aI : R₁
haI : aI ∈ R₁⁰
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R₁ (aI • b)
aJ : R₁
haJ : aJ ∈ R₁⁰
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R₁ (aJ • b)
h : J ≠ 0
y : K
mem_J : y ∈ J
not_mem_zero : y ∉ 0
y' : R₁
hy' : (algebraMap R₁ K) y' = aJ • y
y'_eq_zero : y' = 0
⊢ False

Tactic:
have : algebraMap R₁ K aJ * y = 0 := by
  rw [← Algebra.smul_def, ← hy', y'_eq_zero, RingHom.map_zero]

Result:
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I J : Submodule R₁ K
aI : R₁
haI : aI ∈ R₁⁰
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R₁ (aI • b)
aJ : R₁
haJ : aJ ∈ R₁⁰
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R₁ (aJ • b)
h : J ≠ 0
y : K
mem_J : y ∈ J
not_mem_zero : y ∉ 0
y' : R₁
hy' : (algebraMap R₁ K) y' = aJ • y
y'_eq_zero : y' = 0
this : (algebraMap R₁ K) aJ * y = 0
⊢ False

Proof state:
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I J : Submodule R₁ K
aI : R₁
haI : aI ∈ R₁⁰
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R₁ (aI • b)
aJ : R₁
haJ : aJ ∈ R₁⁰
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R₁ (aJ • b)
h : J ≠ 0
⊢ IsFractional R₁⁰ (I / J)

Tactic:
obtain ⟨y, mem_J, not_mem_zero⟩ :=
  SetLike.exists_of_lt (show 0 < J by simpa only using bot_lt_iff_ne_bot.mpr h)

Result:
case intro.intro
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I J : Submodule R₁ K
aI : R₁
haI : aI ∈ R₁⁰
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R₁ (aI • b)
aJ : R₁
haJ : aJ ∈ R₁⁰
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R₁ (aJ • b)
h : J ≠ 0
y : K
mem_J : y ∈ J
not_mem_zero : y ∉ 0
⊢ IsFractional R₁⁰ (I / J)

Proof state:
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I J : Submodule R₁ K
aI : R₁
haI : aI ∈ R₁⁰
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R₁ (aI • b)
aJ : R₁
haJ : aJ ∈ R₁⁰
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R₁ (aJ • b)
h : J ≠ 0
y : K
mem_J : y ∈ J
not_mem_zero : y ∉ 0
y' : R₁
hy' : (algebraMap R₁ K) y' = aJ • y
y'_eq_zero : y' = 0
this : (algebraMap R₁ K) aJ * y = 0
y_zero : y = 0
⊢ False

Tactic:
apply not_mem_zero

Result:
R₁ : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R₁ K
inst✝¹ : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I J : Submodule R₁ K
aI : R₁
haI : aI ∈ R₁⁰
hI : ∀ b ∈ I, IsInteger R₁ (aI • b)
aJ : R₁
haJ : aJ ∈ R₁⁰
hJ : ∀ b ∈ J, IsInteger R₁ (aJ • b)
h : J ≠ 0
y : K
mem_J : y ∈ J
not_mem_zero : y ∉ 0
y' : R₁
hy' : (algebraMap R₁ K) y' = aJ • y
y'_eq_zero : y' = 0
this : (algebraMap R₁ K) aJ * y = 0
y_zero : y = 0
⊢ y ∈ 0