-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/RightExactness.lean
lemma lTensor.inverse_of_rightInverse_apply
    {h : P → N} (hgh : Function.RightInverse h g) (y : Q ⊗[R] N) :
    (lTensor.inverse_of_rightInverse Q hfg hgh) ((lTensor Q g) y) =
      Submodule.Quotient.mk (p := (LinearMap.range (lTensor Q f))) y

Proof state:
case h.H
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg✝ : Exact ⇑f ⇑g
hfg : ker g = range f
h : P → N
hgh : RightInverse h ⇑g
y : Q ⊗[R] N
n : Q
q : N
⊢ n ⊗ₜ[R] (h (g q) - q) ∈ range (lTensor Q f)

Tactic:
apply le_comap_range_lTensor f n

Result:
case h.H.a
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg✝ : Exact ⇑f ⇑g
hfg : ker g = range f
h : P → N
hgh : RightInverse h ⇑g
y : Q ⊗[R] N
n : Q
q : N
⊢ h (g q) - q ∈ range f

Proof state:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg✝ : Exact ⇑f ⇑g
hfg : ker g = range f
h : P → N
hgh : RightInverse h ⇑g
y : Q ⊗[R] N
⊢ (inverse_of_rightInverse Q hfg✝ hgh ∘ₗ lTensor Q g) y = (range (lTensor Q f)).mkQ y

Tactic:
apply LinearMap.congr_fun

Result:
case h
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg✝ : Exact ⇑f ⇑g
hfg : ker g = range f
h : P → N
hgh : RightInverse h ⇑g
y : Q ⊗[R] N
⊢ inverse_of_rightInverse Q hfg✝ hgh ∘ₗ lTensor Q g = (range (lTensor Q f)).mkQ

Proof state:
case h.H
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg✝ : Exact ⇑f ⇑g
hfg : ker g = range f
h : P → N
hgh : RightInverse h ⇑g
y : Q ⊗[R] N
⊢ ∀ (x : Q) (y : N),
    (inverse_of_rightInverse Q hfg✝ hgh ∘ₗ lTensor Q g) (x ⊗ₜ[R] y) = (range (lTensor Q f)).mkQ (x ⊗ₜ[R] y)

Tactic:
intro n q

Result:
case h.H
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg✝ : Exact ⇑f ⇑g
hfg : ker g = range f
h : P → N
hgh : RightInverse h ⇑g
y : Q ⊗[R] N
n : Q
q : N
⊢ (inverse_of_rightInverse Q hfg✝ hgh ∘ₗ lTensor Q g) (n ⊗ₜ[R] q) = (range (lTensor Q f)).mkQ (n ⊗ₜ[R] q)

Proof state:
case h.H
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg✝ : Exact ⇑f ⇑g
hfg : ker g = range f
h : P → N
hgh : RightInverse h ⇑g
y : Q ⊗[R] N
n : Q
q : N
⊢ (inverse_of_rightInverse Q hfg✝ hgh ∘ₗ lTensor Q g) (n ⊗ₜ[R] q) = (range (lTensor Q f)).mkQ (n ⊗ₜ[R] q)

Tactic:
simp only [inverse_of_rightInverse, coe_comp, Function.comp_apply, lTensor_tmul,
  lift.tmul, flip_apply, coe_mk, AddHom.coe_mk, mk_apply, Submodule.mkQ_apply]

Result:
case h.H
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg✝ : Exact ⇑f ⇑g
hfg : ker g = range f
h : P → N
hgh : RightInverse h ⇑g
y : Q ⊗[R] N
n : Q
q : N
⊢ Submodule.Quotient.mk (n ⊗ₜ[R] h (g q)) = Submodule.Quotient.mk (n ⊗ₜ[R] q)

Proof state:
case h.H
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg✝ : Exact ⇑f ⇑g
hfg : ker g = range f
h : P → N
hgh : RightInverse h ⇑g
y : Q ⊗[R] N
n : Q
q : N
⊢ (inverse_of_rightInverse Q hfg✝ hgh ∘ₗ lTensor Q g) (n ⊗ₜ[R] q) = (range (lTensor Q f)).mkQ (n ⊗ₜ[R] q)

Tactic:
simp? [lTensor.inverse_of_rightInverse] says
  simp only [inverse_of_rightInverse, coe_comp, Function.comp_apply, lTensor_tmul,
    lift.tmul, flip_apply, coe_mk, AddHom.coe_mk, mk_apply, Submodule.mkQ_apply]

Result:
case h.H
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg✝ : Exact ⇑f ⇑g
hfg : ker g = range f
h : P → N
hgh : RightInverse h ⇑g
y : Q ⊗[R] N
n : Q
q : N
⊢ Submodule.Quotient.mk (n ⊗ₜ[R] h (g q)) = Submodule.Quotient.mk (n ⊗ₜ[R] q)

Proof state:
case h
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg✝ : Exact ⇑f ⇑g
hfg : ker g = range f
h : P → N
hgh : RightInverse h ⇑g
y : Q ⊗[R] N
⊢ inverse_of_rightInverse Q hfg✝ hgh ∘ₗ lTensor Q g = (range (lTensor Q f)).mkQ

Tactic:
apply TensorProduct.ext'

Result:
case h.H
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg✝ : Exact ⇑f ⇑g
hfg : ker g = range f
h : P → N
hgh : RightInverse h ⇑g
y : Q ⊗[R] N
⊢ ∀ (x : Q) (y : N),
    (inverse_of_rightInverse Q hfg✝ hgh ∘ₗ lTensor Q g) (x ⊗ₜ[R] y) = (range (lTensor Q f)).mkQ (x ⊗ₜ[R] y)

Proof state:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg : Exact ⇑f ⇑g
h : P → N
hgh : RightInverse h ⇑g
y : Q ⊗[R] N
⊢ (inverse_of_rightInverse Q hfg hgh ∘ₗ lTensor Q g) y = (range (lTensor Q f)).mkQ y

Tactic:
rw [exact_iff] at hfg

Result:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup P
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
Q : Type u_5
inst✝¹ : AddCommGroup Q
inst✝ : Module R Q
hfg✝ : Exact ⇑f ⇑g
hfg : ker g = range f
h : P → N
hgh : RightInverse h ⇑g
y : Q ⊗[R] N
⊢ (inverse_of_rightInverse Q hfg✝ hgh ∘ₗ lTensor Q g) y = (range (lTensor Q f)).mkQ y