-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Lebesgue.lean
theorem SimpleFunc.exists_lt_lintegral_simpleFunc_of_lt_lintegral {m : MeasurableSpace α}
    {μ : Measure α} [SigmaFinite μ] {f : α →ₛ ℝ≥0} {L : ℝ≥0∞} (hL : L < ∫⁻ x, f x ∂μ) :
    ∃ g : α →ₛ ℝ≥0, (∀ x, g x ≤ f x) ∧ ∫⁻ x, g x ∂μ < ∞ ∧ L < ∫⁻ x, g x ∂μ

Proof state:
case pos.intro.intro.intro
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
f₁ f₂ : α →ₛ ℝ≥0
a✝ : Disjoint (support ⇑f₁) (support ⇑f₂)
h₁ :
  ∀ {L : ℝ≥0∞},
    L < ∫⁻ (x : α), ↑(f₁ x) ∂μ → ∃ g, (∀ (x : α), g x ≤ f₁ x) ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ < ⊤ ∧ L < ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ
h₂ :
  ∀ {L : ℝ≥0∞},
    L < ∫⁻ (x : α), ↑(f₂ x) ∂μ → ∃ g, (∀ (x : α), g x ≤ f₂ x) ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ < ⊤ ∧ L < ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ
L : ℝ≥0∞
hf₁ : ¬∫⁻ (x : α), ↑(f₁ x) ∂μ = 0
hf₂ : ∫⁻ (x : α), ↑(f₂ x) ∂μ = 0
hL : L < ∫⁻ (x : α), ↑(f₁ x) ∂μ
g : α →ₛ ℝ≥0
g_le : ∀ (x : α), g x ≤ f₁ x
g_top : ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ < ⊤
gL : L < ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ
⊢ ∃ g, (∀ (x : α), g x ≤ (f₁ + f₂) x) ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ < ⊤ ∧ L < ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ

Tactic:
refine ⟨g, fun x => (g_le x).trans ?_, g_top, gL⟩

Result:
case pos.intro.intro.intro
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
f₁ f₂ : α →ₛ ℝ≥0
a✝ : Disjoint (support ⇑f₁) (support ⇑f₂)
h₁ :
  ∀ {L : ℝ≥0∞},
    L < ∫⁻ (x : α), ↑(f₁ x) ∂μ → ∃ g, (∀ (x : α), g x ≤ f₁ x) ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ < ⊤ ∧ L < ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ
h₂ :
  ∀ {L : ℝ≥0∞},
    L < ∫⁻ (x : α), ↑(f₂ x) ∂μ → ∃ g, (∀ (x : α), g x ≤ f₂ x) ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ < ⊤ ∧ L < ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ
L : ℝ≥0∞
hf₁ : ¬∫⁻ (x : α), ↑(f₁ x) ∂μ = 0
hf₂ : ∫⁻ (x : α), ↑(f₂ x) ∂μ = 0
hL : L < ∫⁻ (x : α), ↑(f₁ x) ∂μ
g : α →ₛ ℝ≥0
g_le : ∀ (x : α), g x ≤ f₁ x
g_top : ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ < ⊤
gL : L < ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ
x : α
⊢ f₁ x ≤ (f₁ + f₂) x

Proof state:
case pos
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
f₁ f₂ : α →ₛ ℝ≥0
a✝ : Disjoint (support ⇑f₁) (support ⇑f₂)
h₁ :
  ∀ {L : ℝ≥0∞},
    L < ∫⁻ (x : α), ↑(f₁ x) ∂μ → ∃ g, (∀ (x : α), g x ≤ f₁ x) ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ < ⊤ ∧ L < ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ
h₂ :
  ∀ {L : ℝ≥0∞},
    L < ∫⁻ (x : α), ↑(f₂ x) ∂μ → ∃ g, (∀ (x : α), g x ≤ f₂ x) ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ < ⊤ ∧ L < ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ
L : ℝ≥0∞
hf₁ : ∫⁻ (x : α), ↑(f₁ x) ∂μ = 0
hL : L < ∫⁻ (x : α), ↑(f₂ x) ∂μ
⊢ ∃ g, (∀ (x : α), g x ≤ (f₁ + f₂) x) ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ < ⊤ ∧ L < ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ

Tactic:
rcases h₂ hL with ⟨g, g_le, g_top, gL⟩

Result:
case pos.intro.intro.intro
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
f₁ f₂ : α →ₛ ℝ≥0
a✝ : Disjoint (support ⇑f₁) (support ⇑f₂)
h₁ :
  ∀ {L : ℝ≥0∞},
    L < ∫⁻ (x : α), ↑(f₁ x) ∂μ → ∃ g, (∀ (x : α), g x ≤ f₁ x) ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ < ⊤ ∧ L < ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ
h₂ :
  ∀ {L : ℝ≥0∞},
    L < ∫⁻ (x : α), ↑(f₂ x) ∂μ → ∃ g, (∀ (x : α), g x ≤ f₂ x) ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ < ⊤ ∧ L < ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ
L : ℝ≥0∞
hf₁ : ∫⁻ (x : α), ↑(f₁ x) ∂μ = 0
hL : L < ∫⁻ (x : α), ↑(f₂ x) ∂μ
g : α →ₛ ℝ≥0
g_le : ∀ (x : α), g x ≤ f₂ x
g_top : ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ < ⊤
gL : L < ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ
⊢ ∃ g, (∀ (x : α), g x ≤ (f₁ + f₂) x) ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ < ⊤ ∧ L < ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ

Proof state:
case neg
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
f₁ f₂ : α →ₛ ℝ≥0
a✝ : Disjoint (support ⇑f₁) (support ⇑f₂)
h₁ :
  ∀ {L : ℝ≥0∞},
    L < ∫⁻ (x : α), ↑(f₁ x) ∂μ → ∃ g, (∀ (x : α), g x ≤ f₁ x) ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ < ⊤ ∧ L < ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ
h₂ :
  ∀ {L : ℝ≥0∞},
    L < ∫⁻ (x : α), ↑(f₂ x) ∂μ → ∃ g, (∀ (x : α), g x ≤ f₂ x) ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ < ⊤ ∧ L < ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ
L : ℝ≥0∞
hL : L < ∫⁻ (x : α), ↑(f₁ x) ∂μ + ∫⁻ (x : α), ↑(f₂ x) ∂μ
hf₁ : ¬∫⁻ (x : α), ↑(f₁ x) ∂μ = 0
hf₂ : ¬∫⁻ (x : α), ↑(f₂ x) ∂μ = 0
⊢ ∃ g, (∀ (x : α), g x ≤ (f₁ + f₂) x) ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ < ⊤ ∧ L < ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ

Tactic:
obtain ⟨L₁, hL₁, L₂, hL₂, hL⟩ : ∃ L₁ < ∫⁻ x, f₁ x ∂μ, ∃ L₂ < ∫⁻ x, f₂ x ∂μ, L < L₁ + L₂ :=
  ENNReal.exists_lt_add_of_lt_add hL hf₁ hf₂

Result:
case neg.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
f₁ f₂ : α →ₛ ℝ≥0
a✝ : Disjoint (support ⇑f₁) (support ⇑f₂)
h₁ :
  ∀ {L : ℝ≥0∞},
    L < ∫⁻ (x : α), ↑(f₁ x) ∂μ → ∃ g, (∀ (x : α), g x ≤ f₁ x) ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ < ⊤ ∧ L < ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ
h₂ :
  ∀ {L : ℝ≥0∞},
    L < ∫⁻ (x : α), ↑(f₂ x) ∂μ → ∃ g, (∀ (x : α), g x ≤ f₂ x) ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ < ⊤ ∧ L < ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ
L : ℝ≥0∞
hL✝ : L < ∫⁻ (x : α), ↑(f₁ x) ∂μ + ∫⁻ (x : α), ↑(f₂ x) ∂μ
hf₁ : ¬∫⁻ (x : α), ↑(f₁ x) ∂μ = 0
hf₂ : ¬∫⁻ (x : α), ↑(f₂ x) ∂μ = 0
L₁ : ℝ≥0∞
hL₁ : L₁ < ∫⁻ (x : α), ↑(f₁ x) ∂μ
L₂ : ℝ≥0∞
hL₂ : L₂ < ∫⁻ (x : α), ↑(f₂ x) ∂μ
hL : L < L₁ + L₂
⊢ ∃ g, (∀ (x : α), g x ≤ (f₁ + f₂) x) ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ < ⊤ ∧ L < ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ

Proof state:
case h_ind.intro.intro.intro.intro.refine_1
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
c : ℝ≥0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
L : ℝ≥0∞
hL : L < ↑c * μ s
c_ne_zero : c ≠ 0
this : L / ↑c < μ s
t : Set α
ht : MeasurableSet t
ts : t ⊆ s
mlt : L / ↑c < μ t
t_top : μ t < ⊤
x : α
⊢ (piecewise t ht (const α c) (const α 0)) x ≤ (piecewise s hs (const α c) (const α 0)) x

Tactic:
refine indicator_le_indicator_of_subset ts (fun x => ?_) x

Result:
case h_ind.intro.intro.intro.intro.refine_1
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
c : ℝ≥0
s : Set α
hs : MeasurableSet s
L : ℝ≥0∞
hL : L < ↑c * μ s
c_ne_zero : c ≠ 0
this : L / ↑c < μ s
t : Set α
ht : MeasurableSet t
ts : t ⊆ s
mlt : L / ↑c < μ t
t_top : μ t < ⊤
x✝ x : α
⊢ 0 x ≤ (const α c) x

Proof state:
case neg.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
f₁ f₂ : α →ₛ ℝ≥0
a✝ : Disjoint (support ⇑f₁) (support ⇑f₂)
h₁ :
  ∀ {L : ℝ≥0∞},
    L < ∫⁻ (x : α), ↑(f₁ x) ∂μ → ∃ g, (∀ (x : α), g x ≤ f₁ x) ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ < ⊤ ∧ L < ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ
h₂ :
  ∀ {L : ℝ≥0∞},
    L < ∫⁻ (x : α), ↑(f₂ x) ∂μ → ∃ g, (∀ (x : α), g x ≤ f₂ x) ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ < ⊤ ∧ L < ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ
L : ℝ≥0∞
hL✝ : L < ∫⁻ (x : α), ↑(f₁ x) ∂μ + ∫⁻ (x : α), ↑(f₂ x) ∂μ
hf₁ : ¬∫⁻ (x : α), ↑(f₁ x) ∂μ = 0
hf₂ : ¬∫⁻ (x : α), ↑(f₂ x) ∂μ = 0
L₁ : ℝ≥0∞
hL₁ : L₁ < ∫⁻ (x : α), ↑(f₁ x) ∂μ
L₂ : ℝ≥0∞
hL₂ : L₂ < ∫⁻ (x : α), ↑(f₂ x) ∂μ
hL : L < L₁ + L₂
g₁ : α →ₛ ℝ≥0
g₁_le : ∀ (x : α), g₁ x ≤ f₁ x
g₁_top : ∫⁻ (x : α), ↑(g₁ x) ∂μ < ⊤
hg₁ : L₁ < ∫⁻ (x : α), ↑(g₁ x) ∂μ
g₂ : α →ₛ ℝ≥0
g₂_le : ∀ (x : α), g₂ x ≤ f₂ x
g₂_top : ∫⁻ (x : α), ↑(g₂ x) ∂μ < ⊤
hg₂ : L₂ < ∫⁻ (x : α), ↑(g₂ x) ∂μ
⊢ ∫⁻ (x : α), ↑((g₁ + g₂) x) ∂μ < ⊤

Tactic:
apply lt_of_le_of_lt _ (add_lt_top.2 ⟨g₁_top, g₂_top⟩)

Result:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
f₁ f₂ : α →ₛ ℝ≥0
a✝ : Disjoint (support ⇑f₁) (support ⇑f₂)
h₁ :
  ∀ {L : ℝ≥0∞},
    L < ∫⁻ (x : α), ↑(f₁ x) ∂μ → ∃ g, (∀ (x : α), g x ≤ f₁ x) ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ < ⊤ ∧ L < ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ
h₂ :
  ∀ {L : ℝ≥0∞},
    L < ∫⁻ (x : α), ↑(f₂ x) ∂μ → ∃ g, (∀ (x : α), g x ≤ f₂ x) ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ < ⊤ ∧ L < ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ
L : ℝ≥0∞
hL✝ : L < ∫⁻ (x : α), ↑(f₁ x) ∂μ + ∫⁻ (x : α), ↑(f₂ x) ∂μ
hf₁ : ¬∫⁻ (x : α), ↑(f₁ x) ∂μ = 0
hf₂ : ¬∫⁻ (x : α), ↑(f₂ x) ∂μ = 0
L₁ : ℝ≥0∞
hL₁ : L₁ < ∫⁻ (x : α), ↑(f₁ x) ∂μ
L₂ : ℝ≥0∞
hL₂ : L₂ < ∫⁻ (x : α), ↑(f₂ x) ∂μ
hL : L < L₁ + L₂
g₁ : α →ₛ ℝ≥0
g₁_le : ∀ (x : α), g₁ x ≤ f₁ x
g₁_top : ∫⁻ (x : α), ↑(g₁ x) ∂μ < ⊤
hg₁ : L₁ < ∫⁻ (x : α), ↑(g₁ x) ∂μ
g₂ : α →ₛ ℝ≥0
g₂_le : ∀ (x : α), g₂ x ≤ f₂ x
g₂_top : ∫⁻ (x : α), ↑(g₂ x) ∂μ < ⊤
hg₂ : L₂ < ∫⁻ (x : α), ↑(g₂ x) ∂μ
⊢ ∫⁻ (x : α), ↑((g₁ + g₂) x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑(g₁ x) ∂μ + ∫⁻ (x : α), ↑(g₂ x) ∂μ