-- Mathlib/Analysis/Complex/PhragmenLindelof.lean
theorem quadrant_I (hd : DiffContOnCl ℂ f (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0))
    (hB : ∃ c < (2 : ℝ), ∃ B,
      f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)] fun z => expR (B * ‖z‖ ^ c))
    (hre : ∀ x : ℝ, 0 ≤ x → ‖f x‖ ≤ C) (him : ∀ x : ℝ, 0 ≤ x → ‖f (x * I)‖ ≤ C) (hz_re : 0 ≤ z.re)
    (hz_im : 0 ≤ z.im) : ‖f z‖ ≤ C

Proof state:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
C : ℝ
f : ℂ → E
hd : DiffContOnCl ℂ f (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)
hre : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f ↑x‖ ≤ C
him : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
ζ : ℂ
hζ : ζ.im ∈ Icc 0 (π / 2)
hz_re : 0 ≤ (cexp ζ).re
hz_im : 0 ≤ (cexp ζ).im
hzne : cexp ζ ≠ 0
H : MapsTo cexp (im ⁻¹' Ioo 0 (π / 2)) (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)
c : ℝ
hc : c < 2
B : ℝ
hO : f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)] fun z => expR (B * ‖z‖ ^ c)
⊢ ContinuousWithinAt f (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0) 0

Tactic:
refine (hd.continuousOn _ ?_).mono subset_closure

Result:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
C : ℝ
f : ℂ → E
hd : DiffContOnCl ℂ f (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)
hre : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f ↑x‖ ≤ C
him : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
ζ : ℂ
hζ : ζ.im ∈ Icc 0 (π / 2)
hz_re : 0 ≤ (cexp ζ).re
hz_im : 0 ≤ (cexp ζ).im
hzne : cexp ζ ≠ 0
H : MapsTo cexp (im ⁻¹' Ioo 0 (π / 2)) (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)
c : ℝ
hc : c < 2
B : ℝ
hO : f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)] fun z => expR (B * ‖z‖ ^ c)
⊢ 0 ∈ closure (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)

Proof state:
case h
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
C : ℝ
f : ℂ → E
hd : DiffContOnCl ℂ f (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)
hre : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f ↑x‖ ≤ C
him : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
ζ : ℂ
hζ : ζ.im ∈ Icc 0 (π / 2)
hz_re : 0 ≤ (cexp ζ).re
hz_im : 0 ≤ (cexp ζ).im
hzne : cexp ζ ≠ 0
H : MapsTo cexp (im ⁻¹' Ioo 0 (π / 2)) (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)
c : ℝ
hc : c < 2
B : ℝ
hO : f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)] fun z => expR (B * ‖z‖ ^ c)
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
z : ℂ
hz : z.re = x
a✝ : z ∈ im ⁻¹' Ioo 0 (π / 2)
⊢ B * expR (z.re * c) ≤ (B ⊔ 0) * expR (c * |z.re|)

Tactic:
rw [hz, abs_of_nonneg hx, mul_comm _ c]

Result:
case h
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
C : ℝ
f : ℂ → E
hd : DiffContOnCl ℂ f (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)
hre : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f ↑x‖ ≤ C
him : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
ζ : ℂ
hζ : ζ.im ∈ Icc 0 (π / 2)
hz_re : 0 ≤ (cexp ζ).re
hz_im : 0 ≤ (cexp ζ).im
hzne : cexp ζ ≠ 0
H : MapsTo cexp (im ⁻¹' Ioo 0 (π / 2)) (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)
c : ℝ
hc : c < 2
B : ℝ
hO : f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)] fun z => expR (B * ‖z‖ ^ c)
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
z : ℂ
hz : z.re = x
a✝ : z ∈ im ⁻¹' Ioo 0 (π / 2)
⊢ B * expR (c * x) ≤ (B ⊔ 0) * expR (c * x)

Proof state:
case inr.intro.intro
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
C : ℝ
f : ℂ → E
hd : DiffContOnCl ℂ f (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)
hB : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)] fun z => expR (B * ‖z‖ ^ c)
hre : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f ↑x‖ ≤ C
him : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
ζ : ℂ
hζ : ζ.im ∈ Icc 0 (π / 2)
hz_re : 0 ≤ (cexp ζ).re
hz_im : 0 ≤ (cexp ζ).im
hzne : cexp ζ ≠ 0
H : MapsTo cexp (im ⁻¹' Ioo 0 (π / 2)) (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)
⊢ ‖(f ∘ cexp) ζ‖ ≤ C

Tactic:
refine horizontal_strip (hd.comp differentiable_exp.diffContOnCl H) ?_ ?_ ?_ hζ.1 hζ.2

Result:
case inr.intro.intro.refine_1
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
C : ℝ
f : ℂ → E
hd : DiffContOnCl ℂ f (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)
hB : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)] fun z => expR (B * ‖z‖ ^ c)
hre : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f ↑x‖ ≤ C
him : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
ζ : ℂ
hζ : ζ.im ∈ Icc 0 (π / 2)
hz_re : 0 ≤ (cexp ζ).re
hz_im : 0 ≤ (cexp ζ).im
hzne : cexp ζ ≠ 0
H : MapsTo cexp (im ⁻¹' Ioo 0 (π / 2)) (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)
⊢ ∃ c < π / (π / 2 - 0),
    ∃ B, (f ∘ cexp) =O[comap (abs ∘ re) atTop ⊓ 𝓟 (im ⁻¹' Ioo 0 (π / 2))] fun z => expR (B * expR (c * |z.re|))

case inr.intro.intro.refine_2
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
C : ℝ
f : ℂ → E
hd : DiffContOnCl ℂ f (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)
hB : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)] fun z => expR (B * ‖z‖ ^ c)
hre : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f ↑x‖ ≤ C
him : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
ζ : ℂ
hζ : ζ.im ∈ Icc 0 (π / 2)
hz_re : 0 ≤ (cexp ζ).re
hz_im : 0 ≤ (cexp ζ).im
hzne : cexp ζ ≠ 0
H : MapsTo cexp (im ⁻¹' Ioo 0 (π / 2)) (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)
⊢ ∀ (z : ℂ), z.im = 0 → ‖(f ∘ cexp) z‖ ≤ C

case inr.intro.intro.refine_3
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
C : ℝ
f : ℂ → E
hd : DiffContOnCl ℂ f (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)
hB : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)] fun z => expR (B * ‖z‖ ^ c)
hre : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f ↑x‖ ≤ C
him : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
ζ : ℂ
hζ : ζ.im ∈ Icc 0 (π / 2)
hz_re : 0 ≤ (cexp ζ).re
hz_im : 0 ≤ (cexp ζ).im
hzne : cexp ζ ≠ 0
H : MapsTo cexp (im ⁻¹' Ioo 0 (π / 2)) (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)
⊢ ∀ (z : ℂ), z.im = π / 2 → ‖(f ∘ cexp) z‖ ≤ C

Proof state:
case inr.intro.intro.refine_2
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
C : ℝ
f : ℂ → E
hd : DiffContOnCl ℂ f (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)
hB : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)] fun z => expR (B * ‖z‖ ^ c)
hre : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f ↑x‖ ≤ C
him : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
ζ✝ : ℂ
hζ✝ : ζ✝.im ∈ Icc 0 (π / 2)
hz_re : 0 ≤ (cexp ζ✝).re
hz_im : 0 ≤ (cexp ζ✝).im
hzne : cexp ζ✝ ≠ 0
H : MapsTo cexp (im ⁻¹' Ioo 0 (π / 2)) (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)
ζ : ℂ
hζ : ζ.im = 0
⊢ ‖(f ∘ cexp) ζ‖ ≤ C

Tactic:
lift ζ to ℝ using hζ

Result:
case inr.intro.intro.refine_2.intro
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
C : ℝ
f : ℂ → E
hd : DiffContOnCl ℂ f (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)
hB : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)] fun z => expR (B * ‖z‖ ^ c)
hre : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f ↑x‖ ≤ C
him : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
ζ✝ : ℂ
hz_re : 0 ≤ (cexp ζ✝).re
hz_im : 0 ≤ (cexp ζ✝).im
hzne : cexp ζ✝ ≠ 0
H : MapsTo cexp (im ⁻¹' Ioo 0 (π / 2)) (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)
ζ : ℝ
⊢ ‖(f ∘ cexp) ↑ζ‖ ≤ C

Proof state:
case inr.intro.intro.refine_1.intro.intro.intro.refine_1
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
C : ℝ
f : ℂ → E
hd : DiffContOnCl ℂ f (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)
hre : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f ↑x‖ ≤ C
him : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
ζ : ℂ
hζ : ζ.im ∈ Icc 0 (π / 2)
hz_re : 0 ≤ (cexp ζ).re
hz_im : 0 ≤ (cexp ζ).im
hzne : cexp ζ ≠ 0
H : MapsTo cexp (im ⁻¹' Ioo 0 (π / 2)) (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)
c : ℝ
hc✝ : c < 2
B : ℝ
hO : f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)] fun z => expR (B * ‖z‖ ^ c)
hc : ContinuousWithinAt f (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0) 0
w : ℂ
⊢ ‖1‖ ≤ ‖expR ((B ⊔ 0) * expR (c * |w.re|))‖

Tactic:
rw [norm_one, Real.norm_of_nonneg (Real.exp_pos _).le, Real.one_le_exp_iff]

Result:
case inr.intro.intro.refine_1.intro.intro.intro.refine_1
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
C : ℝ
f : ℂ → E
hd : DiffContOnCl ℂ f (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)
hre : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f ↑x‖ ≤ C
him : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
ζ : ℂ
hζ : ζ.im ∈ Icc 0 (π / 2)
hz_re : 0 ≤ (cexp ζ).re
hz_im : 0 ≤ (cexp ζ).im
hzne : cexp ζ ≠ 0
H : MapsTo cexp (im ⁻¹' Ioo 0 (π / 2)) (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)
c : ℝ
hc✝ : c < 2
B : ℝ
hO : f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)] fun z => expR (B * ‖z‖ ^ c)
hc : ContinuousWithinAt f (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0) 0
w : ℂ
⊢ 0 ≤ (B ⊔ 0) * expR (c * |w.re|)

Proof state:
case inl
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℂ E
C : ℝ
f : ℂ → E
hd : DiffContOnCl ℂ f (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)
hB : ∃ c < 2, ∃ B, f =O[cobounded ℂ ⊓ 𝓟 (Ioi 0 ×ℂ Ioi 0)] fun z => expR (B * ‖z‖ ^ c)
hre : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f ↑x‖ ≤ C
him : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ x → ‖f (↑x * I)‖ ≤ C
hz_re : 0 ≤ re 0
hz_im : 0 ≤ im 0
⊢ ‖f 0‖ ≤ C

Tactic:
exact hre 0 le_rfl

Result:
no goals