-- Mathlib/Combinatorics/Additive/Corner/Defs.lean
lemma isCorner_image (hf : IsAddFreimanIso 2 s t f) (hAs : A ⊆ s ×ˢ s)
    (hx₁ : x₁ ∈ s) (hy₁ : y₁ ∈ s) (hx₂ : x₂ ∈ s) (hy₂ : y₂ ∈ s) :
    IsCorner (Prod.map f f '' A) (f x₁) (f y₁) (f x₂) (f y₂) ↔ IsCorner A x₁ y₁ x₂ y₂

Proof state:
case a.h.e'_2.h.e'_1.a
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid G
inst✝ : AddCommMonoid H
A : Set (G × G)
s : Set G
t : Set H
f : G → H
x₁ y₁ x₂ y₂ : G
hf : IsAddFreimanIso 2 s t f
hAs : A ⊆ s ×ˢ s
hx₁ : x₁ ∈ s
hy₁ : y₁ ∈ s
hx₂ : x₂ ∈ s
hy₂ : y₂ ∈ s
hf' : InjOn (fun x => (f x.1, f x.2)) (s ×ˢ s)
⊢ (f x₁, f y₂) ∈ Prod.map f f '' A ↔ (x₁, y₂) ∈ A

Tactic:
exact hf'.mem_image_iff hAs (mk_mem_prod hx₁ hy₂)

Result:
no goals

Proof state:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid G
inst✝ : AddCommMonoid H
A : Set (G × G)
s : Set G
t : Set H
f : G → H
x₁ y₁ x₂ y₂ : G
hf : IsAddFreimanIso 2 s t f
hAs : A ⊆ s ×ˢ s
hx₁ : x₁ ∈ s
hy₁ : y₁ ∈ s
hx₂ : x₂ ∈ s
hy₂ : y₂ ∈ s
hf' : InjOn (fun x => (f x.1, f x.2)) (s ×ˢ s)
⊢ IsCorner (Prod.map f f '' A) (f x₁) (f y₁) (f x₂) (f y₂) ↔ IsCorner A x₁ y₁ x₂ y₂

Tactic:
rw [isCorner_iff, isCorner_iff]

Result:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid G
inst✝ : AddCommMonoid H
A : Set (G × G)
s : Set G
t : Set H
f : G → H
x₁ y₁ x₂ y₂ : G
hf : IsAddFreimanIso 2 s t f
hAs : A ⊆ s ×ˢ s
hx₁ : x₁ ∈ s
hy₁ : y₁ ∈ s
hx₂ : x₂ ∈ s
hy₂ : y₂ ∈ s
hf' : InjOn (fun x => (f x.1, f x.2)) (s ×ˢ s)
⊢ (f x₁, f y₁) ∈ Prod.map f f '' A ∧
      (f x₁, f y₂) ∈ Prod.map f f '' A ∧ (f x₂, f y₁) ∈ Prod.map f f '' A ∧ f x₁ + f y₂ = f x₂ + f y₁ ↔
    (x₁, y₁) ∈ A ∧ (x₁, y₂) ∈ A ∧ (x₂, y₁) ∈ A ∧ x₁ + y₂ = x₂ + y₁

Proof state:
case a.h.e'_1.a
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid G
inst✝ : AddCommMonoid H
A : Set (G × G)
s : Set G
t : Set H
f : G → H
x₁ y₁ x₂ y₂ : G
hf : IsAddFreimanIso 2 s t f
hAs : A ⊆ s ×ˢ s
hx₁ : x₁ ∈ s
hy₁ : y₁ ∈ s
hx₂ : x₂ ∈ s
hy₂ : y₂ ∈ s
hf' : InjOn (fun x => (f x.1, f x.2)) (s ×ˢ s)
⊢ (f x₁, f y₁) ∈ Prod.map f f '' A ↔ (x₁, y₁) ∈ A

Tactic:
exact hf'.mem_image_iff hAs (mk_mem_prod hx₁ hy₁)

Result:
no goals

Proof state:
case a.h.e'_2.h.e'_2.h.e'_2.a
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid G
inst✝ : AddCommMonoid H
A : Set (G × G)
s : Set G
t : Set H
f : G → H
x₁ y₁ x₂ y₂ : G
hf : IsAddFreimanIso 2 s t f
hAs : A ⊆ s ×ˢ s
hx₁ : x₁ ∈ s
hy₁ : y₁ ∈ s
hx₂ : x₂ ∈ s
hy₂ : y₂ ∈ s
hf' : InjOn (fun x => (f x.1, f x.2)) (s ×ˢ s)
⊢ f x₁ + f y₂ = f x₂ + f y₁ ↔ x₁ + y₂ = x₂ + y₁

Tactic:
exact hf.add_eq_add hx₁ hy₂ hx₂ hy₁

Result:
no goals

Proof state:
case a.h.e'_2.h.e'_2.h.e'_1.a
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid G
inst✝ : AddCommMonoid H
A : Set (G × G)
s : Set G
t : Set H
f : G → H
x₁ y₁ x₂ y₂ : G
hf : IsAddFreimanIso 2 s t f
hAs : A ⊆ s ×ˢ s
hx₁ : x₁ ∈ s
hy₁ : y₁ ∈ s
hx₂ : x₂ ∈ s
hy₂ : y₂ ∈ s
hf' : InjOn (fun x => (f x.1, f x.2)) (s ×ˢ s)
⊢ (f x₂, f y₁) ∈ Prod.map f f '' A ↔ (x₂, y₁) ∈ A

Tactic:
exact hf'.mem_image_iff hAs (mk_mem_prod hx₂ hy₁)

Result:
no goals

Proof state:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid G
inst✝ : AddCommMonoid H
A : Set (G × G)
s : Set G
t : Set H
f : G → H
x₁ y₁ x₂ y₂ : G
hf : IsAddFreimanIso 2 s t f
hAs : A ⊆ s ×ˢ s
hx₁ : x₁ ∈ s
hy₁ : y₁ ∈ s
hx₂ : x₂ ∈ s
hy₂ : y₂ ∈ s
⊢ IsCorner (Prod.map f f '' A) (f x₁) (f y₁) (f x₂) (f y₂) ↔ IsCorner A x₁ y₁ x₂ y₂

Tactic:
have hf' := hf.bijOn.injOn.prodMap hf.bijOn.injOn

Result:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid G
inst✝ : AddCommMonoid H
A : Set (G × G)
s : Set G
t : Set H
f : G → H
x₁ y₁ x₂ y₂ : G
hf : IsAddFreimanIso 2 s t f
hAs : A ⊆ s ×ˢ s
hx₁ : x₁ ∈ s
hy₁ : y₁ ∈ s
hx₂ : x₂ ∈ s
hy₂ : y₂ ∈ s
hf' : InjOn (fun x => (f x.1, f x.2)) (s ×ˢ s)
⊢ IsCorner (Prod.map f f '' A) (f x₁) (f y₁) (f x₂) (f y₂) ↔ IsCorner A x₁ y₁ x₂ y₂

Proof state:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid G
inst✝ : AddCommMonoid H
A : Set (G × G)
s : Set G
t : Set H
f : G → H
x₁ y₁ x₂ y₂ : G
hf : IsAddFreimanIso 2 s t f
hAs : A ⊆ s ×ˢ s
hx₁ : x₁ ∈ s
hy₁ : y₁ ∈ s
hx₂ : x₂ ∈ s
hy₂ : y₂ ∈ s
hf' : InjOn (fun x => (f x.1, f x.2)) (s ×ˢ s)
⊢ (f x₁, f y₁) ∈ Prod.map f f '' A ∧
      (f x₁, f y₂) ∈ Prod.map f f '' A ∧ (f x₂, f y₁) ∈ Prod.map f f '' A ∧ f x₁ + f y₂ = f x₂ + f y₁ ↔
    (x₁, y₁) ∈ A ∧ (x₁, y₂) ∈ A ∧ (x₂, y₁) ∈ A ∧ x₁ + y₂ = x₂ + y₁

Tactic:
congr!

Result:
case a.h.e'_1.a
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid G
inst✝ : AddCommMonoid H
A : Set (G × G)
s : Set G
t : Set H
f : G → H
x₁ y₁ x₂ y₂ : G
hf : IsAddFreimanIso 2 s t f
hAs : A ⊆ s ×ˢ s
hx₁ : x₁ ∈ s
hy₁ : y₁ ∈ s
hx₂ : x₂ ∈ s
hy₂ : y₂ ∈ s
hf' : InjOn (fun x => (f x.1, f x.2)) (s ×ˢ s)
⊢ (f x₁, f y₁) ∈ Prod.map f f '' A ↔ (x₁, y₁) ∈ A

case a.h.e'_2.h.e'_1.a
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid G
inst✝ : AddCommMonoid H
A : Set (G × G)
s : Set G
t : Set H
f : G → H
x₁ y₁ x₂ y₂ : G
hf : IsAddFreimanIso 2 s t f
hAs : A ⊆ s ×ˢ s
hx₁ : x₁ ∈ s
hy₁ : y₁ ∈ s
hx₂ : x₂ ∈ s
hy₂ : y₂ ∈ s
hf' : InjOn (fun x => (f x.1, f x.2)) (s ×ˢ s)
⊢ (f x₁, f y₂) ∈ Prod.map f f '' A ↔ (x₁, y₂) ∈ A

case a.h.e'_2.h.e'_2.h.e'_1.a
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid G
inst✝ : AddCommMonoid H
A : Set (G × G)
s : Set G
t : Set H
f : G → H
x₁ y₁ x₂ y₂ : G
hf : IsAddFreimanIso 2 s t f
hAs : A ⊆ s ×ˢ s
hx₁ : x₁ ∈ s
hy₁ : y₁ ∈ s
hx₂ : x₂ ∈ s
hy₂ : y₂ ∈ s
hf' : InjOn (fun x => (f x.1, f x.2)) (s ×ˢ s)
⊢ (f x₂, f y₁) ∈ Prod.map f f '' A ↔ (x₂, y₁) ∈ A

case a.h.e'_2.h.e'_2.h.e'_2.a
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid G
inst✝ : AddCommMonoid H
A : Set (G × G)
s : Set G
t : Set H
f : G → H
x₁ y₁ x₂ y₂ : G
hf : IsAddFreimanIso 2 s t f
hAs : A ⊆ s ×ˢ s
hx₁ : x₁ ∈ s
hy₁ : y₁ ∈ s
hx₂ : x₂ ∈ s
hy₂ : y₂ ∈ s
hf' : InjOn (fun x => (f x.1, f x.2)) (s ×ˢ s)
⊢ f x₁ + f y₂ = f x₂ + f y₁ ↔ x₁ + y₂ = x₂ + y₁