-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup/Basic.lean
theorem extend_Z_bilin : Continuous (extend (de.prodMap df) (fun p : β × δ => φ p.1 p.2))

Proof state:
case mk.right.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace α
inst✝¹³ : AddCommGroup α
inst✝¹² : IsTopologicalAddGroup α
inst✝¹¹ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁰ : AddCommGroup β
inst✝⁹ : TopologicalSpace γ
inst✝⁸ : AddCommGroup γ
inst✝⁷ : IsTopologicalAddGroup γ
inst✝⁶ : TopologicalSpace δ
inst✝⁵ : AddCommGroup δ
inst✝⁴ : UniformSpace G
inst✝³ : AddCommGroup G
e : β →+ α
de : IsDenseInducing ⇑e
f : δ →+ γ
df : IsDenseInducing ⇑f
φ : β →+ δ →+ G
hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2
inst✝² : UniformAddGroup G
inst✝¹ : T0Space G
inst✝ : CompleteSpace G
x₀ : α
y₀ : γ
W' : Set G
W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0
U : Set β
V : Set δ
V_nhd : ∃ t ∈ 𝓝 y₀, ⇑f ⁻¹' t ⊆ V
h : ∀ x ∈ U, ∀ x' ∈ U, ∀ y ∈ V, ∀ y' ∈ V, (fun p => (φ p.1) p.2) (x', y') - (fun p => (φ p.1) p.2) (x, y) ∈ W'
U' : Set α
U'_nhd : U' ∈ 𝓝 x₀
U'_sub : ⇑e ⁻¹' U' ⊆ U
⊢ W' ∈
    map (fun p => (fun p => (φ p.1) p.2) p.2 - (fun p => (φ p.1) p.2) p.1)
      (comap (fun p => ((e p.1.1, f p.1.2), e p.2.1, f p.2.2)) (𝓝 (x₀, y₀) ×ˢ 𝓝 (x₀, y₀)))

Tactic:
rcases V_nhd with ⟨V', V'_nhd, V'_sub⟩

Result:
case mk.right.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace α
inst✝¹³ : AddCommGroup α
inst✝¹² : IsTopologicalAddGroup α
inst✝¹¹ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁰ : AddCommGroup β
inst✝⁹ : TopologicalSpace γ
inst✝⁸ : AddCommGroup γ
inst✝⁷ : IsTopologicalAddGroup γ
inst✝⁶ : TopologicalSpace δ
inst✝⁵ : AddCommGroup δ
inst✝⁴ : UniformSpace G
inst✝³ : AddCommGroup G
e : β →+ α
de : IsDenseInducing ⇑e
f : δ →+ γ
df : IsDenseInducing ⇑f
φ : β →+ δ →+ G
hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2
inst✝² : UniformAddGroup G
inst✝¹ : T0Space G
inst✝ : CompleteSpace G
x₀ : α
y₀ : γ
W' : Set G
W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0
U : Set β
V : Set δ
h : ∀ x ∈ U, ∀ x' ∈ U, ∀ y ∈ V, ∀ y' ∈ V, (fun p => (φ p.1) p.2) (x', y') - (fun p => (φ p.1) p.2) (x, y) ∈ W'
U' : Set α
U'_nhd : U' ∈ 𝓝 x₀
U'_sub : ⇑e ⁻¹' U' ⊆ U
V' : Set γ
V'_nhd : V' ∈ 𝓝 y₀
V'_sub : ⇑f ⁻¹' V' ⊆ V
⊢ W' ∈
    map (fun p => (fun p => (φ p.1) p.2) p.2 - (fun p => (φ p.1) p.2) p.1)
      (comap (fun p => ((e p.1.1, f p.1.2), e p.2.1, f p.2.2)) (𝓝 (x₀, y₀) ×ˢ 𝓝 (x₀, y₀)))

Proof state:
case mk.right.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.right.mk.mk.mk
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace α
inst✝¹³ : AddCommGroup α
inst✝¹² : IsTopologicalAddGroup α
inst✝¹¹ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁰ : AddCommGroup β
inst✝⁹ : TopologicalSpace γ
inst✝⁸ : AddCommGroup γ
inst✝⁷ : IsTopologicalAddGroup γ
inst✝⁶ : TopologicalSpace δ
inst✝⁵ : AddCommGroup δ
inst✝⁴ : UniformSpace G
inst✝³ : AddCommGroup G
e : β →+ α
de : IsDenseInducing ⇑e
f : δ →+ γ
df : IsDenseInducing ⇑f
φ : β →+ δ →+ G
hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2
inst✝² : UniformAddGroup G
inst✝¹ : T0Space G
inst✝ : CompleteSpace G
x₀ : α
y₀ : γ
W' : Set G
W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0
U : Set β
V : Set δ
h : ∀ x ∈ U, ∀ x' ∈ U, ∀ y ∈ V, ∀ y' ∈ V, (fun p => (φ p.1) p.2) (x', y') - (fun p => (φ p.1) p.2) (x, y) ∈ W'
U' : Set α
U'_nhd : U' ∈ 𝓝 x₀
U'_sub : ⇑e ⁻¹' U' ⊆ U
V' : Set γ
V'_nhd : V' ∈ 𝓝 y₀
V'_sub : ⇑f ⁻¹' V' ⊆ V
x : β
y : δ
x' : β
y' : δ
h' :
  (e ((x, y), x', y').1.1 ∈ U' ∧ f ((x, y), x', y').1.2 ∈ V') ∧
    e ((x, y), x', y').2.1 ∈ U' ∧ f ((x, y), x', y').2.2 ∈ V'
⊢ ((x, y), x', y') ∈ (fun p => (φ p.2.1) p.2.2 - (φ p.1.1) p.1.2) ⁻¹' W'

Tactic:
apply h <;> tauto

Result:
no goals

Proof state:
case mk.right.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.left
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace α
inst✝¹³ : AddCommGroup α
inst✝¹² : IsTopologicalAddGroup α
inst✝¹¹ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁰ : AddCommGroup β
inst✝⁹ : TopologicalSpace γ
inst✝⁸ : AddCommGroup γ
inst✝⁷ : IsTopologicalAddGroup γ
inst✝⁶ : TopologicalSpace δ
inst✝⁵ : AddCommGroup δ
inst✝⁴ : UniformSpace G
inst✝³ : AddCommGroup G
e : β →+ α
de : IsDenseInducing ⇑e
f : δ →+ γ
df : IsDenseInducing ⇑f
φ : β →+ δ →+ G
hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2
inst✝² : UniformAddGroup G
inst✝¹ : T0Space G
inst✝ : CompleteSpace G
x₀ : α
y₀ : γ
W' : Set G
W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0
U : Set β
V : Set δ
h : ∀ x ∈ U, ∀ x' ∈ U, ∀ y ∈ V, ∀ y' ∈ V, (fun p => (φ p.1) p.2) (x', y') - (fun p => (φ p.1) p.2) (x, y) ∈ W'
U' : Set α
U'_nhd : U' ∈ 𝓝 x₀
U'_sub : ⇑e ⁻¹' U' ⊆ U
V' : Set γ
V'_nhd : V' ∈ 𝓝 y₀
V'_sub : ⇑f ⁻¹' V' ⊆ V
⊢ ∃ t ∈ 𝓝 x₀ ×ˢ 𝓝 y₀, t ×ˢ t ⊆ (U' ×ˢ V') ×ˢ U' ×ˢ V'

Tactic:
have := prod_mem_prod U'_nhd V'_nhd

Result:
case mk.right.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.left
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace α
inst✝¹³ : AddCommGroup α
inst✝¹² : IsTopologicalAddGroup α
inst✝¹¹ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁰ : AddCommGroup β
inst✝⁹ : TopologicalSpace γ
inst✝⁸ : AddCommGroup γ
inst✝⁷ : IsTopologicalAddGroup γ
inst✝⁶ : TopologicalSpace δ
inst✝⁵ : AddCommGroup δ
inst✝⁴ : UniformSpace G
inst✝³ : AddCommGroup G
e : β →+ α
de : IsDenseInducing ⇑e
f : δ →+ γ
df : IsDenseInducing ⇑f
φ : β →+ δ →+ G
hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2
inst✝² : UniformAddGroup G
inst✝¹ : T0Space G
inst✝ : CompleteSpace G
x₀ : α
y₀ : γ
W' : Set G
W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0
U : Set β
V : Set δ
h : ∀ x ∈ U, ∀ x' ∈ U, ∀ y ∈ V, ∀ y' ∈ V, (fun p => (φ p.1) p.2) (x', y') - (fun p => (φ p.1) p.2) (x, y) ∈ W'
U' : Set α
U'_nhd : U' ∈ 𝓝 x₀
U'_sub : ⇑e ⁻¹' U' ⊆ U
V' : Set γ
V'_nhd : V' ∈ 𝓝 y₀
V'_sub : ⇑f ⁻¹' V' ⊆ V
this : U' ×ˢ V' ∈ 𝓝 x₀ ×ˢ 𝓝 y₀
⊢ ∃ t ∈ 𝓝 x₀ ×ˢ 𝓝 y₀, t ×ˢ t ⊆ (U' ×ˢ V') ×ˢ U' ×ˢ V'

Proof state:
case mk.right.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.right
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace α
inst✝¹³ : AddCommGroup α
inst✝¹² : IsTopologicalAddGroup α
inst✝¹¹ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁰ : AddCommGroup β
inst✝⁹ : TopologicalSpace γ
inst✝⁸ : AddCommGroup γ
inst✝⁷ : IsTopologicalAddGroup γ
inst✝⁶ : TopologicalSpace δ
inst✝⁵ : AddCommGroup δ
inst✝⁴ : UniformSpace G
inst✝³ : AddCommGroup G
e : β →+ α
de : IsDenseInducing ⇑e
f : δ →+ γ
df : IsDenseInducing ⇑f
φ : β →+ δ →+ G
hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2
inst✝² : UniformAddGroup G
inst✝¹ : T0Space G
inst✝ : CompleteSpace G
x₀ : α
y₀ : γ
W' : Set G
W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0
U : Set β
V : Set δ
h : ∀ x ∈ U, ∀ x' ∈ U, ∀ y ∈ V, ∀ y' ∈ V, (fun p => (φ p.1) p.2) (x', y') - (fun p => (φ p.1) p.2) (x, y) ∈ W'
U' : Set α
U'_nhd : U' ∈ 𝓝 x₀
U'_sub : ⇑e ⁻¹' U' ⊆ U
V' : Set γ
V'_nhd : V' ∈ 𝓝 y₀
V'_sub : ⇑f ⁻¹' V' ⊆ V
p : (β × δ) × β × δ
h' : p ∈ (fun p => ((e p.1.1, f p.1.2), e p.2.1, f p.2.2)) ⁻¹' (U' ×ˢ V') ×ˢ U' ×ˢ V'
⊢ p ∈ (fun p => (φ p.2.1) p.2.2 - (φ p.1.1) p.1.2) ⁻¹' W'

Tactic:
simp only [Set.mem_preimage, Set.prod_mk_mem_set_prod_eq] at h'

Result:
case mk.right.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.right
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace α
inst✝¹³ : AddCommGroup α
inst✝¹² : IsTopologicalAddGroup α
inst✝¹¹ : TopologicalSpace β
inst✝¹⁰ : AddCommGroup β
inst✝⁹ : TopologicalSpace γ
inst✝⁸ : AddCommGroup γ
inst✝⁷ : IsTopologicalAddGroup γ
inst✝⁶ : TopologicalSpace δ
inst✝⁵ : AddCommGroup δ
inst✝⁴ : UniformSpace G
inst✝³ : AddCommGroup G
e : β →+ α
de : IsDenseInducing ⇑e
f : δ →+ γ
df : IsDenseInducing ⇑f
φ : β →+ δ →+ G
hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2
inst✝² : UniformAddGroup G
inst✝¹ : T0Space G
inst✝ : CompleteSpace G
x₀ : α
y₀ : γ
W' : Set G
W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0
U : Set β
V : Set δ
h : ∀ x ∈ U, ∀ x' ∈ U, ∀ y ∈ V, ∀ y' ∈ V, (fun p => (φ p.1) p.2) (x', y') - (fun p => (φ p.1) p.2) (x, y) ∈ W'
U' : Set α
U'_nhd : U' ∈ 𝓝 x₀
U'_sub : ⇑e ⁻¹' U' ⊆ U
V' : Set γ
V'_nhd : V' ∈ 𝓝 y₀
V'_sub : ⇑f ⁻¹' V' ⊆ V
p : (β × δ) × β × δ
h' : (e p.1.1 ∈ U' ∧ f p.1.2 ∈ V') ∧ e p.2.1 ∈ U' ∧ f p.2.2 ∈ V'
⊢ p ∈ (fun p => (φ p.2.1) p.2.2 - (φ p.1.1) p.1.2) ⁻¹' W'