-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
theorem Ideal.exist_integer_multiples_not_mem {J : Ideal A} (hJ : J ≠ ⊤) {ι : Type*} (s : Finset ι)
    (f : ι → K) {j} (hjs : j ∈ s) (hjf : f j ≠ 0) :
    ∃ a : K,
      (∀ i ∈ s, IsLocalization.IsInteger A (a * f i)) ∧
        ∃ i ∈ s, a * f i ∉ (J : FractionalIdeal A⁰ K)

Proof state:
case intro.intro.intro.refine_2.refine_3
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
J : Ideal A
hJ : J ≠ ⊤
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → K
j : ι
hjs : j ∈ s
hjf : f j ≠ 0
I : FractionalIdeal A⁰ K := spanFinset A s f
hI0 : I ≠ 0
this : ↑J / I < I⁻¹
left✝ : ↑J / I ≤ I⁻¹
a : K
hI : ∀ y ∈ I, a * y ∈ 1
hpI : ∀ i ∈ s, a * f i ∈ ↑J
y✝ : K
hy✝¹ : y✝ ∈ I
x y : K
hx✝ : x ∈ Submodule.span A (f '' ↑s)
hy✝ : y ∈ Submodule.span A (f '' ↑s)
hx : a * x ∈ ↑J
hy : a * y ∈ ↑J
⊢ a * (x + y) ∈ ↑J

Tactic:
rw [mul_add]

Result:
case intro.intro.intro.refine_2.refine_3
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
J : Ideal A
hJ : J ≠ ⊤
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → K
j : ι
hjs : j ∈ s
hjf : f j ≠ 0
I : FractionalIdeal A⁰ K := spanFinset A s f
hI0 : I ≠ 0
this : ↑J / I < I⁻¹
left✝ : ↑J / I ≤ I⁻¹
a : K
hI : ∀ y ∈ I, a * y ∈ 1
hpI : ∀ i ∈ s, a * f i ∈ ↑J
y✝ : K
hy✝¹ : y✝ ∈ I
x y : K
hx✝ : x ∈ Submodule.span A (f '' ↑s)
hy✝ : y ∈ Submodule.span A (f '' ↑s)
hx : a * x ∈ ↑J
hy : a * y ∈ ↑J
⊢ a * x + a * y ∈ ↑J

Proof state:
case intro.intro.intro
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
J : Ideal A
hJ : J ≠ ⊤
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → K
j : ι
hjs : j ∈ s
hjf : f j ≠ 0
I : FractionalIdeal A⁰ K := spanFinset A s f
hI0 : I ≠ 0
this : ↑J / I < I⁻¹
left✝ : ↑J / I ≤ I⁻¹
a : K
hI : a ∈ I⁻¹
hpI : a ∉ ↑J / I
⊢ ∃ a, (∀ i ∈ s, IsLocalization.IsInteger A (a * f i)) ∧ ∃ i ∈ s, a * f i ∉ ↑J

Tactic:
rw [mem_inv_iff hI0] at hI

Result:
case intro.intro.intro
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
J : Ideal A
hJ : J ≠ ⊤
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → K
j : ι
hjs : j ∈ s
hjf : f j ≠ 0
I : FractionalIdeal A⁰ K := spanFinset A s f
hI0 : I ≠ 0
this : ↑J / I < I⁻¹
left✝ : ↑J / I ≤ I⁻¹
a : K
hI : ∀ y ∈ I, a * y ∈ 1
hpI : a ∉ ↑J / I
⊢ ∃ a, (∀ i ∈ s, IsLocalization.IsInteger A (a * f i)) ∧ ∃ i ∈ s, a * f i ∉ ↑J

Proof state:
case intro.intro.intro.refine_2
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
J : Ideal A
hJ : J ≠ ⊤
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → K
j : ι
hjs : j ∈ s
hjf : f j ≠ 0
I : FractionalIdeal A⁰ K := spanFinset A s f
hI0 : I ≠ 0
this : ↑J / I < I⁻¹
left✝ : ↑J / I ≤ I⁻¹
a : K
hI : ∀ y ∈ I, a * y ∈ 1
hpI : ∀ i ∈ s, a * f i ∈ ↑J
⊢ a ∈ ↑J / I

Tactic:
refine (mem_div_iff_of_nonzero hI0).mpr fun y hy => Submodule.span_induction ?_ ?_ ?_ ?_ hy

Result:
case intro.intro.intro.refine_2.refine_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
J : Ideal A
hJ : J ≠ ⊤
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → K
j : ι
hjs : j ∈ s
hjf : f j ≠ 0
I : FractionalIdeal A⁰ K := spanFinset A s f
hI0 : I ≠ 0
this : ↑J / I < I⁻¹
left✝ : ↑J / I ≤ I⁻¹
a : K
hI : ∀ y ∈ I, a * y ∈ 1
hpI : ∀ i ∈ s, a * f i ∈ ↑J
y : K
hy : y ∈ I
⊢ ∀ x ∈ f '' ↑s, a * x ∈ ↑J

case intro.intro.intro.refine_2.refine_2
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
J : Ideal A
hJ : J ≠ ⊤
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → K
j : ι
hjs : j ∈ s
hjf : f j ≠ 0
I : FractionalIdeal A⁰ K := spanFinset A s f
hI0 : I ≠ 0
this : ↑J / I < I⁻¹
left✝ : ↑J / I ≤ I⁻¹
a : K
hI : ∀ y ∈ I, a * y ∈ 1
hpI : ∀ i ∈ s, a * f i ∈ ↑J
y : K
hy : y ∈ I
⊢ a * 0 ∈ ↑J

case intro.intro.intro.refine_2.refine_3
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
J : Ideal A
hJ : J ≠ ⊤
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → K
j : ι
hjs : j ∈ s
hjf : f j ≠ 0
I : FractionalIdeal A⁰ K := spanFinset A s f
hI0 : I ≠ 0
this : ↑J / I < I⁻¹
left✝ : ↑J / I ≤ I⁻¹
a : K
hI : ∀ y ∈ I, a * y ∈ 1
hpI : ∀ i ∈ s, a * f i ∈ ↑J
y : K
hy : y ∈ I
⊢ ∀ (x y : K),
    x ∈ Submodule.span A (f '' ↑s) → y ∈ Submodule.span A (f '' ↑s) → a * x ∈ ↑J → a * y ∈ ↑J → a * (x + y) ∈ ↑J

case intro.intro.intro.refine_2.refine_4
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
J : Ideal A
hJ : J ≠ ⊤
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → K
j : ι
hjs : j ∈ s
hjf : f j ≠ 0
I : FractionalIdeal A⁰ K := spanFinset A s f
hI0 : I ≠ 0
this : ↑J / I < I⁻¹
left✝ : ↑J / I ≤ I⁻¹
a : K
hI : ∀ y ∈ I, a * y ∈ 1
hpI : ∀ i ∈ s, a * f i ∈ ↑J
y : K
hy : y ∈ I
⊢ ∀ (a_1 : A), ∀ x ∈ Submodule.span A (f '' ↑s), a * x ∈ ↑J → a * a_1 • x ∈ ↑J

Proof state:
case intro.intro.intro
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
J : Ideal A
hJ : J ≠ ⊤
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → K
j : ι
hjs : j ∈ s
hjf : f j ≠ 0
I : FractionalIdeal A⁰ K := spanFinset A s f
hI0 : I ≠ 0
this : ↑J / I < I⁻¹
left✝ : ↑J / I ≤ I⁻¹
a : K
hI : ∀ y ∈ I, a * y ∈ 1
hpI : a ∉ ↑J / I
⊢ ∃ a, (∀ i ∈ s, IsLocalization.IsInteger A (a * f i)) ∧ ∃ i ∈ s, a * f i ∉ ↑J

Tactic:
refine ⟨a, fun i hi => ?_, ?_⟩

Result:
case intro.intro.intro.refine_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
J : Ideal A
hJ : J ≠ ⊤
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → K
j : ι
hjs : j ∈ s
hjf : f j ≠ 0
I : FractionalIdeal A⁰ K := spanFinset A s f
hI0 : I ≠ 0
this : ↑J / I < I⁻¹
left✝ : ↑J / I ≤ I⁻¹
a : K
hI : ∀ y ∈ I, a * y ∈ 1
hpI : a ∉ ↑J / I
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ IsLocalization.IsInteger A (a * f i)

case intro.intro.intro.refine_2
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
J : Ideal A
hJ : J ≠ ⊤
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → K
j : ι
hjs : j ∈ s
hjf : f j ≠ 0
I : FractionalIdeal A⁰ K := spanFinset A s f
hI0 : I ≠ 0
this : ↑J / I < I⁻¹
left✝ : ↑J / I ≤ I⁻¹
a : K
hI : ∀ y ∈ I, a * y ∈ 1
hpI : a ∉ ↑J / I
⊢ ∃ i ∈ s, a * f i ∉ ↑J

Proof state:
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
J : Ideal A
hJ : J ≠ ⊤
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → K
j : ι
hjs : j ∈ s
hjf : f j ≠ 0
I : FractionalIdeal A⁰ K := spanFinset A s f
hI0 : I ≠ 0
⊢ ↑J / I < I⁻¹

Tactic:
calc
  ↑J / I = ↑J * I⁻¹ := div_eq_mul_inv (↑J) I
  _ < 1 * I⁻¹ := mul_right_strictMono (inv_ne_zero hI0) ?_
  _ = I⁻¹ := one_mul _

Result:
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
J : Ideal A
hJ : J ≠ ⊤
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → K
j : ι
hjs : j ∈ s
hjf : f j ≠ 0
I : FractionalIdeal A⁰ K := spanFinset A s f
hI0 : I ≠ 0
⊢ ↑J < 1

Proof state:
case intro.intro.intro.refine_2.refine_1.intro.intro
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
J : Ideal A
hJ : J ≠ ⊤
ι : Type u_4
s : Finset ι
f : ι → K
j : ι
hjs : j ∈ s
hjf : f j ≠ 0
I : FractionalIdeal A⁰ K := spanFinset A s f
hI0 : I ≠ 0
this : ↑J / I < I⁻¹
left✝ : ↑J / I ≤ I⁻¹
a : K
hI : ∀ y ∈ I, a * y ∈ 1
hpI : ∀ i ∈ s, a * f i ∈ ↑J
y : K
hy : y ∈ I
i : ι
hi : i ∈ ↑s
⊢ a * f i ∈ ↑J

Tactic:
exact hpI i hi

Result:
no goals