-- Mathlib/Analysis/MeanInequalitiesPow.lean
theorem arith_mean_le_rpow_mean (w z : ι → ℝ) (hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i) (hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1)
    (hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i) {p : ℝ} (hp : 1 ≤ p) :
    ∑ i ∈ s, w i * z i ≤ (∑ i ∈ s, w i * z i ^ p) ^ (1 / p)

Proof state:
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
this : 0 < p
⊢ (∑ i ∈ s, w i * z i) ^ p ≤ ∑ i ∈ s, w i * z i ^ p

Tactic:
exact rpow_arith_mean_le_arith_mean_rpow s w z hw hw' hz hp

Result:
no goals

Proof state:
case hx
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
this : 0 < p
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ 0 ≤ w i * z i ^ p

Tactic:
apply_rules [mul_nonneg, rpow_nonneg, hw i hi, hz i hi]

Result:
no goals

Proof state:
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
⊢ 0 < p

Tactic:
positivity

Result:
no goals

Proof state:
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
⊢ ∑ i ∈ s, w i * z i ≤ (∑ i ∈ s, w i * z i ^ p) ^ (1 / p)

Tactic:
have : 0 < p := by positivity

Result:
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
this : 0 < p
⊢ ∑ i ∈ s, w i * z i ≤ (∑ i ∈ s, w i * z i ^ p) ^ (1 / p)

Proof state:
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
this : 0 < p
⊢ ∑ i ∈ s, w i * z i ≤ (∑ i ∈ s, w i * z i ^ p) ^ (1 / p)

Tactic:
rw [← rpow_le_rpow_iff _ _ this, ← rpow_mul, one_div_mul_cancel (ne_of_gt this), rpow_one]

Result:
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
this : 0 < p
⊢ (∑ i ∈ s, w i * z i) ^ p ≤ ∑ i ∈ s, w i * z i ^ p

case hx
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
this : 0 < p
⊢ 0 ≤ ∑ i ∈ s, w i * z i ^ p

ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
this : 0 < p
⊢ 0 ≤ ∑ i ∈ s, w i * z i

ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
this : 0 < p
⊢ 0 ≤ (∑ i ∈ s, w i * z i ^ p) ^ (1 / p)

Proof state:
case hx
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
this : 0 < p
⊢ 0 ≤ ∑ i ∈ s, w i * z i ^ p

ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
this : 0 < p
⊢ 0 ≤ ∑ i ∈ s, w i * z i

ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
this : 0 < p
⊢ 0 ≤ (∑ i ∈ s, w i * z i ^ p) ^ (1 / p)

Tactic:
all_goals
  apply_rules [sum_nonneg, rpow_nonneg]
  intro i hi
  apply_rules [mul_nonneg, rpow_nonneg, hw i hi, hz i hi]

Result:
no goals

Proof state:
case hx
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
this : 0 < p
⊢ ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i * z i ^ p

Tactic:
intro i hi

Result:
case hx
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
this : 0 < p
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ 0 ≤ w i * z i ^ p

Proof state:
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
this : 0 < p
⊢ 0 ≤ (∑ i ∈ s, w i * z i ^ p) ^ (1 / p)

Tactic:
apply_rules [sum_nonneg, rpow_nonneg]

Result:
case hx
ι : Type u
s : Finset ι
w z : ι → ℝ
hw : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw' : ∑ i ∈ s, w i = 1
hz : ∀ i ∈ s, 0 ≤ z i
p : ℝ
hp : 1 ≤ p
this : 0 < p
⊢ ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i * z i ^ p