-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorField.lean
theorem mlieBracketWithin_congr_set' (y : M) (h : s =ᶠ[𝓝[{y}ᶜ] x] t) :
    mlieBracketWithin I V W s x = mlieBracketWithin I V W t x

Proof state:
case intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
s t : Set M
x : M
V W : (x : M) → TangentSpace I x
y : M
h : s =ᶠ[𝓝[{y}ᶜ] x] t
this : T1Space M
u : Set M
u_mem : u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x).symm (↑(extChartAt I x) x))
hu : u ∩ {x}ᶜ ⊆ {y | (y ∈ s) = (y ∈ t)}
B : (extChartAt I x).target ∪ (range ↑I)ᶜ ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x) x)
z : E
hz : z ∈ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' u ∩ ((extChartAt I x).target ∪ (range ↑I)ᶜ)
h'z : z ∈ {↑(extChartAt I x) x}ᶜ
⊢ (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I) z ↔ (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∩ range ↑I) z

Tactic:
change z ∈ (extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range I ↔ z ∈ (extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∩ range I

Result:
case intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
s t : Set M
x : M
V W : (x : M) → TangentSpace I x
y : M
h : s =ᶠ[𝓝[{y}ᶜ] x] t
this : T1Space M
u : Set M
u_mem : u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x).symm (↑(extChartAt I x) x))
hu : u ∩ {x}ᶜ ⊆ {y | (y ∈ s) = (y ∈ t)}
B : (extChartAt I x).target ∪ (range ↑I)ᶜ ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x) x)
z : E
hz : z ∈ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' u ∩ ((extChartAt I x).target ∪ (range ↑I)ᶜ)
h'z : z ∈ {↑(extChartAt I x) x}ᶜ
⊢ z ∈ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I ↔ z ∈ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∩ range ↑I

Proof state:
case pos
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
s t : Set M
x : M
V W : (x : M) → TangentSpace I x
y : M
h : s =ᶠ[𝓝[{y}ᶜ] x] t
this : T1Space M
u : Set M
u_mem : u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x).symm (↑(extChartAt I x) x))
hu : u ∩ {x}ᶜ ⊆ {y | (y ∈ s) = (y ∈ t)}
B : (extChartAt I x).target ∪ (range ↑I)ᶜ ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x) x)
z : E
hz : z ∈ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' u ∩ ((extChartAt I x).target ∪ (range ↑I)ᶜ)
h'z : z ∈ {↑(extChartAt I x) x}ᶜ
hIz : z ∈ range ↑I
⊢ z ∈ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I ↔ z ∈ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∩ range ↑I

Tactic:
simp [-extChartAt, hIz] at hz ⊢

Result:
case pos
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
s t : Set M
x : M
V W : (x : M) → TangentSpace I x
y : M
h : s =ᶠ[𝓝[{y}ᶜ] x] t
this : T1Space M
u : Set M
u_mem : u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x).symm (↑(extChartAt I x) x))
hu : u ∩ {x}ᶜ ⊆ {y | (y ∈ s) = (y ∈ t)}
B : (extChartAt I x).target ∪ (range ↑I)ᶜ ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x) x)
z : E
h'z : z ∈ {↑(extChartAt I x) x}ᶜ
hIz : z ∈ range ↑I
hz : ↑(extChartAt I x).symm z ∈ u ∧ z ∈ (extChartAt I x).target
⊢ ↑(extChartAt I x).symm z ∈ s ↔ ↑(extChartAt I x).symm z ∈ t

Proof state:
case intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
s t : Set M
x : M
V W : (x : M) → TangentSpace I x
y : M
h : s =ᶠ[𝓝[{y}ᶜ] x] t
this : T1Space M
u : Set M
u_mem : u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x).symm (↑(extChartAt I x) x))
hu : u ∩ {x}ᶜ ⊆ {y | (y ∈ s) = (y ∈ t)}
B : (extChartAt I x).target ∪ (range ↑I)ᶜ ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x) x)
z : E
hz : z ∈ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' u ∩ ((extChartAt I x).target ∪ (range ↑I)ᶜ)
h'z : z ∈ {↑(extChartAt I x) x}ᶜ
⊢ z ∈ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I ↔ z ∈ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∩ range ↑I

Tactic:
by_cases hIz : z ∈ range I

Result:
case pos
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
s t : Set M
x : M
V W : (x : M) → TangentSpace I x
y : M
h : s =ᶠ[𝓝[{y}ᶜ] x] t
this : T1Space M
u : Set M
u_mem : u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x).symm (↑(extChartAt I x) x))
hu : u ∩ {x}ᶜ ⊆ {y | (y ∈ s) = (y ∈ t)}
B : (extChartAt I x).target ∪ (range ↑I)ᶜ ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x) x)
z : E
hz : z ∈ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' u ∩ ((extChartAt I x).target ∪ (range ↑I)ᶜ)
h'z : z ∈ {↑(extChartAt I x) x}ᶜ
hIz : z ∈ range ↑I
⊢ z ∈ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I ↔ z ∈ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∩ range ↑I

case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
s t : Set M
x : M
V W : (x : M) → TangentSpace I x
y : M
h : s =ᶠ[𝓝[{y}ᶜ] x] t
this : T1Space M
u : Set M
u_mem : u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x).symm (↑(extChartAt I x) x))
hu : u ∩ {x}ᶜ ⊆ {y | (y ∈ s) = (y ∈ t)}
B : (extChartAt I x).target ∪ (range ↑I)ᶜ ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x) x)
z : E
hz : z ∈ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' u ∩ ((extChartAt I x).target ∪ (range ↑I)ᶜ)
h'z : z ∈ {↑(extChartAt I x) x}ᶜ
hIz : z ∉ range ↑I
⊢ z ∈ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I ↔ z ∈ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∩ range ↑I

Proof state:
case neg
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
s t : Set M
x : M
V W : (x : M) → TangentSpace I x
y : M
h : s =ᶠ[𝓝[{y}ᶜ] x] t
this : T1Space M
u : Set M
u_mem : u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x).symm (↑(extChartAt I x) x))
hu : u ∩ {x}ᶜ ⊆ {y | (y ∈ s) = (y ∈ t)}
B : (extChartAt I x).target ∪ (range ↑I)ᶜ ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x) x)
z : E
hz : z ∈ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' u ∩ ((extChartAt I x).target ∪ (range ↑I)ᶜ)
h'z : z ∈ {↑(extChartAt I x) x}ᶜ
hIz : z ∉ range ↑I
⊢ z ∈ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I ↔ z ∈ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∩ range ↑I

Tactic:
simp [hIz]

Result:
no goals