-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
theorem setToSimpleFunc_zero' {T : Set α → E →L[ℝ] F'}
    (h_zero : ∀ s, MeasurableSet s → μ s < ∞ → T s = 0) (f : α →ₛ E) (hf : Integrable f μ) :
    setToSimpleFunc T f = 0

Proof state:
α : Type u_1
E : Type u_2
F' : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F'
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T s = 0
f : α →ₛ E
hf : Integrable (⇑f) μ
⊢ ∑ x ∈ f.range, (T (⇑f ⁻¹' {x})) x = 0

Tactic:
refine sum_eq_zero fun x _ => ?_

Result:
α : Type u_1
E : Type u_2
F' : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F'
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T s = 0
f : α →ₛ E
hf : Integrable (⇑f) μ
x : E
x✝ : x ∈ f.range
⊢ (T (⇑f ⁻¹' {x})) x = 0

Proof state:
α : Type u_1
E : Type u_2
F' : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F'
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T s = 0
f : α →ₛ E
hf : Integrable (⇑f) μ
⊢ setToSimpleFunc T f = 0

Tactic:
simp_rw [setToSimpleFunc]

Result:
α : Type u_1
E : Type u_2
F' : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F'
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T s = 0
f : α →ₛ E
hf : Integrable (⇑f) μ
⊢ ∑ x ∈ f.range, (T (⇑f ⁻¹' {x})) x = 0

Proof state:
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F' : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F'
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T s = 0
f : α →ₛ E
hf : Integrable (⇑f) μ
x : E
x✝ : x ∈ f.range
hx0 : x = 0
⊢ (T (⇑f ⁻¹' {x})) x = 0

Tactic:
simp [hx0]

Result:
no goals

Proof state:
case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F' : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F'
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T s = 0
f : α →ₛ E
hf : Integrable (⇑f) μ
x : E
x✝ : x ∈ f.range
hx0 : ¬x = 0
⊢ (T (⇑f ⁻¹' {x})) x = 0

Tactic:
rw [h_zero (f ⁻¹' ({x} : Set E)) (measurableSet_fiber _ _)
    (measure_preimage_lt_top_of_integrable f hf hx0),
  ContinuousLinearMap.zero_apply]

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_1
E : Type u_2
F' : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F'
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T s = 0
f : α →ₛ E
hf : Integrable (⇑f) μ
x : E
x✝ : x ∈ f.range
⊢ (T (⇑f ⁻¹' {x})) x = 0

Tactic:
by_cases hx0 : x = 0

Result:
case pos
α : Type u_1
E : Type u_2
F' : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F'
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T s = 0
f : α →ₛ E
hf : Integrable (⇑f) μ
x : E
x✝ : x ∈ f.range
hx0 : x = 0
⊢ (T (⇑f ⁻¹' {x})) x = 0

case neg
α : Type u_1
E : Type u_2
F' : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝ : NormedSpace ℝ F'
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
T : Set α → E →L[ℝ] F'
h_zero : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T s = 0
f : α →ₛ E
hf : Integrable (⇑f) μ
x : E
x✝ : x ∈ f.range
hx0 : ¬x = 0
⊢ (T (⇑f ⁻¹' {x})) x = 0