-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/Int.lean
/-- Given a submodule `N` in Smith normal form of a free `R`-module, its index as an additive
subgroup is an appropriate power of the cardinality of `R` multiplied by the product of the
indexes of the ideals generated by each basis vector. -/
lemma toAddSubgroup_index_eq_pow_mul_prod [Module R M] {N : Submodule R M}
    (snf : Basis.SmithNormalForm N ι n) :
    N.toAddSubgroup.index = Nat.card R ^ (Fintype.card ι - n) *
      ∏ i : Fin n, (Ideal.span {snf.a i}).toAddSubgroup.index

Proof state:
case mk
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
n : ℕ
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Module R M
N : Submodule R M
bM : Basis ι R M
bN : Basis (Fin n) R ↥N
f : Fin n ↪ ι
a : Fin n → R
snf : ∀ (i : Fin n), ↑(bN i) = a i • bM (f i)
N' : Submodule R (ι → R) := Submodule.map bM.equivFun N
hN' : N' = Submodule.map bM.equivFun N
bN' : Basis (Fin n) R ↥N' := bN.map (bM.equivFun.submoduleMap N)
⊢ N.toAddSubgroup.index =
    Nat.card R ^ (Fintype.card ι - n) * ∏ i : Fin n, (Submodule.toAddSubgroup (Ideal.span {a i})).index

Tactic:
have snf' : ∀ i, (bN' i : ι → R) = Pi.single (f i) (a i) := by
  intro i
  simp only [map_apply, bN']
  erw [LinearEquiv.submoduleMap_apply]
  simp only [equivFun_apply, snf, map_smul, repr_self, Finsupp.single_eq_pi_single]
  ext j
  simp [Pi.single_apply]

Result:
case mk
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
n : ℕ
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Module R M
N : Submodule R M
bM : Basis ι R M
bN : Basis (Fin n) R ↥N
f : Fin n ↪ ι
a : Fin n → R
snf : ∀ (i : Fin n), ↑(bN i) = a i • bM (f i)
N' : Submodule R (ι → R) := Submodule.map bM.equivFun N
hN' : N' = Submodule.map bM.equivFun N
bN' : Basis (Fin n) R ↥N' := bN.map (bM.equivFun.submoduleMap N)
snf' : ∀ (i : Fin n), ↑(bN' i) = Pi.single (f i) (a i)
⊢ N.toAddSubgroup.index =
    Nat.card R ^ (Fintype.card ι - n) * ∏ i : Fin n, (Submodule.toAddSubgroup (Ideal.span {a i})).index

Proof state:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
n : ℕ
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Module R M
N : Submodule R M
bM : Basis ι R M
bN : Basis (Fin n) R ↥N
f : Fin n ↪ ι
a : Fin n → R
snf : ∀ (i : Fin n), ↑(bN i) = a i • bM (f i)
N' : Submodule R (ι → R) := Submodule.map bM.equivFun N
hN' : N' = Submodule.map bM.equivFun N
bN' : Basis (Fin n) R ↥N' := bN.map (bM.equivFun.submoduleMap N)
snf' : ∀ (i : Fin n), ↑(bN' i) = Pi.single (f i) (a i)
hNN' : N.toAddSubgroup.index = N'.toAddSubgroup.index
g : ι → R
h : ∀ (i : ι), (if h : ∃ j, f j = i then a h.choose else 0) ∣ g i
i : ι
hj : ∃ j, f j = i
⊢ (∑ x : Fin n, if i = f x then ⋯.choose • a x else 0) = if i = f hj.choose then Exists.choose ⋯ * a hj.choose else 0

Tactic:
convert Finset.sum_eq_single (β := R) hj.choose ?_ ?_

Result:
case h.e'_3.h₂.h.e'_1.h.e'_2.h.h.e'_3.h.e'_5
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
n : ℕ
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Module R M
N : Submodule R M
bM : Basis ι R M
bN : Basis (Fin n) R ↥N
f : Fin n ↪ ι
a : Fin n → R
snf : ∀ (i : Fin n), ↑(bN i) = a i • bM (f i)
N' : Submodule R (ι → R) := Submodule.map bM.equivFun N
hN' : N' = Submodule.map bM.equivFun N
bN' : Basis (Fin n) R ↥N' := bN.map (bM.equivFun.submoduleMap N)
snf' : ∀ (i : Fin n), ↑(bN' i) = Pi.single (f i) (a i)
hNN' : N.toAddSubgroup.index = N'.toAddSubgroup.index
g : ι → R
h : ∀ (i : ι), (if h : ∃ j, f j = i then a h.choose else 0) ∣ g i
i : ι
hj : ∃ j, f j = i
a✝ : i = f hj.choose
x✝ : R
⊢ (if h : ∃ j, f j = f hj.choose then a h.choose else 0) = a hj.choose

case convert_3
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
n : ℕ
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Module R M
N : Submodule R M
bM : Basis ι R M
bN : Basis (Fin n) R ↥N
f : Fin n ↪ ι
a : Fin n → R
snf : ∀ (i : Fin n), ↑(bN i) = a i • bM (f i)
N' : Submodule R (ι → R) := Submodule.map bM.equivFun N
hN' : N' = Submodule.map bM.equivFun N
bN' : Basis (Fin n) R ↥N' := bN.map (bM.equivFun.submoduleMap N)
snf' : ∀ (i : Fin n), ↑(bN' i) = Pi.single (f i) (a i)
hNN' : N.toAddSubgroup.index = N'.toAddSubgroup.index
g : ι → R
h : ∀ (i : ι), (if h : ∃ j, f j = i then a h.choose else 0) ∣ g i
i : ι
hj : ∃ j, f j = i
⊢ ∀ b ∈ Finset.univ, b ≠ hj.choose → (if i = f b then ⋯.choose • a b else 0) = 0

case convert_4
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
n : ℕ
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Module R M
N : Submodule R M
bM : Basis ι R M
bN : Basis (Fin n) R ↥N
f : Fin n ↪ ι
a : Fin n → R
snf : ∀ (i : Fin n), ↑(bN i) = a i • bM (f i)
N' : Submodule R (ι → R) := Submodule.map bM.equivFun N
hN' : N' = Submodule.map bM.equivFun N
bN' : Basis (Fin n) R ↥N' := bN.map (bM.equivFun.submoduleMap N)
snf' : ∀ (i : Fin n), ↑(bN' i) = Pi.single (f i) (a i)
hNN' : N.toAddSubgroup.index = N'.toAddSubgroup.index
g : ι → R
h : ∀ (i : ι), (if h : ∃ j, f j = i then a h.choose else 0) ∣ g i
i : ι
hj : ∃ j, f j = i
⊢ hj.choose ∉ Finset.univ → (if i = f hj.choose then ⋯.choose • a hj.choose else 0) = 0

Proof state:
case h.intro
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
n : ℕ
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Module R M
N : Submodule R M
bM : Basis ι R M
bN : Basis (Fin n) R ↥N
f : Fin n ↪ ι
a : Fin n → R
snf : ∀ (i : Fin n), ↑(bN i) = a i • bM (f i)
N' : Submodule R (ι → R) := Submodule.map bM.equivFun N
hN'✝ : N' = Submodule.map bM.equivFun N
bN' : Basis (Fin n) R ↥N' := bN.map (bM.equivFun.submoduleMap N)
snf' : ∀ (i : Fin n), ↑(bN' i) = Pi.single (f i) (a i)
hNN' : N.toAddSubgroup.index = N'.toAddSubgroup.index
hN' :
  N'.toAddSubgroup =
    AddSubgroup.pi Set.univ fun i => Submodule.toAddSubgroup (Ideal.span {if h : ∃ j, f j = i then a h.choose else 0})
f' : Fin n → { x // x ∈ Finset.filter (fun x => ∃ j, f j = x) Finset.univ } := fun i => ⟨f i, ⋯⟩
hf' : Function.Injective f'
f'' : Fin n ↪ { x // x ∈ Finset.filter (fun x => ∃ j, f j = x) Finset.univ } := { toFun := f', inj' := hf' }
x : { x // x ∈ Finset.filter (fun x => ∃ j, f j = x) Finset.univ }
i : Fin n
hi : f i = ↑x
⊢ f'' i = x

Tactic:
rw [Subtype.ext_iff]

Result:
case h.intro
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
n : ℕ
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Module R M
N : Submodule R M
bM : Basis ι R M
bN : Basis (Fin n) R ↥N
f : Fin n ↪ ι
a : Fin n → R
snf : ∀ (i : Fin n), ↑(bN i) = a i • bM (f i)
N' : Submodule R (ι → R) := Submodule.map bM.equivFun N
hN'✝ : N' = Submodule.map bM.equivFun N
bN' : Basis (Fin n) R ↥N' := bN.map (bM.equivFun.submoduleMap N)
snf' : ∀ (i : Fin n), ↑(bN' i) = Pi.single (f i) (a i)
hNN' : N.toAddSubgroup.index = N'.toAddSubgroup.index
hN' :
  N'.toAddSubgroup =
    AddSubgroup.pi Set.univ fun i => Submodule.toAddSubgroup (Ideal.span {if h : ∃ j, f j = i then a h.choose else 0})
f' : Fin n → { x // x ∈ Finset.filter (fun x => ∃ j, f j = x) Finset.univ } := fun i => ⟨f i, ⋯⟩
hf' : Function.Injective f'
f'' : Fin n ↪ { x // x ∈ Finset.filter (fun x => ∃ j, f j = x) Finset.univ } := { toFun := f', inj' := hf' }
x : { x // x ∈ Finset.filter (fun x => ∃ j, f j = x) Finset.univ }
i : Fin n
hi : f i = ↑x
⊢ ↑(f'' i) = ↑x