-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
theorem det_blockDiagonal {o : Type*} [Fintype o] [DecidableEq o] (M : o → Matrix n n R) :
    (blockDiagonal M).det = ∏ k, (M k).det

Proof state:
case refine_3.refine_4.H.mk.snd
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : n × o ≃ n × o
hσ : ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
hσ' : ∀ (x : n × o), (σ⁻¹ x).2 = x.2
mk_apply_eq : ∀ (k : o) (x : n), ((σ (x, k)).1, k) = σ (x, k)
mk_inv_apply_eq : ∀ (k : o) (x : n), ((σ⁻¹ (x, k)).1, k) = σ⁻¹ (x, k)
k : n
x : o
⊢ (((fun σ x => prodCongrLeft fun k => σ k ⋯)
          (fun k x =>
            { toFun := fun x => (σ (x, k)).1, invFun := fun x => (σ⁻¹ (x, k)).1, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ })
          ⋯)
        (k, x)).2 =
    (σ (k, x)).2

Tactic:
simp only [prodCongrLeft_apply, hσ]

Result:
no goals

Proof state:
case fst
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : n × o ≃ n × o
hσ : ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
hσ' : ∀ (x : n × o), (σ⁻¹ x).2 = x.2
mk_apply_eq : ∀ (k : o) (x : n), ((σ (x, k)).1, k) = σ (x, k)
k : o
x : n
⊢ ((σ⁻¹ (σ (σ⁻¹ (x, k)))).1, k).1 = (σ⁻¹ (x, k)).1

Tactic:
simp only [apply_inv_self]

Result:
no goals

Proof state:
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
⊢ (blockDiagonal M).det = ∏ k : o, (M k).det

Tactic:
simp_rw [det_apply']

Result:
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
⊢ ∑ σ : Perm (n × o), ↑↑(sign σ) * ∏ i : n × o, blockDiagonal M (σ i) i =
    ∏ x : o, ∑ σ : Perm n, ↑↑(sign σ) * ∏ i : n, M x (σ i) i

Proof state:
case refine_3.refine_4
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : n × o ≃ n × o
hσ : ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
hσ' : ∀ (x : n × o), (σ⁻¹ x).2 = x.2
mk_apply_eq : ∀ (k : o) (x : n), ((σ (x, k)).1, k) = σ (x, k)
mk_inv_apply_eq : ∀ (k : o) (x : n), ((σ⁻¹ (x, k)).1, k) = σ⁻¹ (x, k)
⊢ (fun σ x => prodCongrLeft fun k => σ k ⋯)
      (fun k x => { toFun := fun x => (σ (x, k)).1, invFun := fun x => (σ⁻¹ (x, k)).1, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ })
      ⋯ =
    σ

Tactic:
ext ⟨k, x⟩

Result:
case refine_3.refine_4.H.mk.fst
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : n × o ≃ n × o
hσ : ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
hσ' : ∀ (x : n × o), (σ⁻¹ x).2 = x.2
mk_apply_eq : ∀ (k : o) (x : n), ((σ (x, k)).1, k) = σ (x, k)
mk_inv_apply_eq : ∀ (k : o) (x : n), ((σ⁻¹ (x, k)).1, k) = σ⁻¹ (x, k)
k : n
x : o
⊢ (((fun σ x => prodCongrLeft fun k => σ k ⋯)
          (fun k x =>
            { toFun := fun x => (σ (x, k)).1, invFun := fun x => (σ⁻¹ (x, k)).1, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ })
          ⋯)
        (k, x)).1 =
    (σ (k, x)).1

case refine_3.refine_4.H.mk.snd
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : n × o ≃ n × o
hσ : ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
hσ' : ∀ (x : n × o), (σ⁻¹ x).2 = x.2
mk_apply_eq : ∀ (k : o) (x : n), ((σ (x, k)).1, k) = σ (x, k)
mk_inv_apply_eq : ∀ (k : o) (x : n), ((σ⁻¹ (x, k)).1, k) = σ⁻¹ (x, k)
k : n
x : o
⊢ (((fun σ x => prodCongrLeft fun k => σ k ⋯)
          (fun k x =>
            { toFun := fun x => (σ (x, k)).1, invFun := fun x => (σ⁻¹ (x, k)).1, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ })
          ⋯)
        (k, x)).2 =
    (σ (k, x)).2

Proof state:
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : Perm (n × o)
a✝ : σ ∈ univ
hσ : ¬∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
⊢ ↑↑(sign σ) * ∏ i : n × o, blockDiagonal M (σ i) i = 0

Tactic:
obtain ⟨⟨k, x⟩, hkx⟩ := not_forall.mp hσ

Result:
case intro.mk
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : Perm (n × o)
a✝ : σ ∈ univ
hσ : ¬∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
k : n
x : o
hkx : ¬(σ (k, x)).2 = (k, x).2
⊢ ↑↑(sign σ) * ∏ i : n × o, blockDiagonal M (σ i) i = 0

Proof state:
case refine_3.refine_2
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : n × o ≃ n × o
hσ : ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
hσ' : ∀ (x : n × o), (σ⁻¹ x).2 = x.2
mk_apply_eq : ∀ (k : o) (x : n), ((σ (x, k)).1, k) = σ (x, k)
mk_inv_apply_eq : ∀ (k : o) (x : n), ((σ⁻¹ (x, k)).1, k) = σ⁻¹ (x, k)
k : o
x✝ : k ∈ univ
x : n
⊢ (fun x => (σ (x, k)).1) ((fun x => (σ⁻¹ (x, k)).1) x) = x

Tactic:
simp only [mk_inv_apply_eq, apply_inv_self]

Result:
no goals

Proof state:
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : Perm (n × o)
a✝ : σ ∈ univ
hσ : σ ∉ preserving_snd
⊢ ↑↑(sign σ) * ∏ i : n × o, blockDiagonal M (σ i) i = 0

Tactic:
rw [mem_preserving_snd] at hσ

Result:
n : Type u_2
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
R : Type v
inst✝² : CommRing R
o : Type u_3
inst✝¹ : Fintype o
inst✝ : DecidableEq o
M : o → Matrix n n R
preserving_snd : Finset (Perm (n × o)) := filter (fun σ => ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2) univ
mem_preserving_snd : ∀ {σ : Perm (n × o)}, σ ∈ preserving_snd ↔ ∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
σ : Perm (n × o)
a✝ : σ ∈ univ
hσ : ¬∀ (x : n × o), (σ x).2 = x.2
⊢ ↑↑(sign σ) * ∏ i : n × o, blockDiagonal M (σ i) i = 0