-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL2.lean
theorem lintegral_nnnorm_condExpL2_indicator_le (hm : m ≤ m0) (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s ≠ ∞)
    (x : E') [SigmaFinite (μ.trim hm)] :
    ∫⁻ a, ‖(condExpL2 E' 𝕜 hm (indicatorConstLp 2 hs hμs x) : α → E') a‖₊ ∂μ ≤ μ s * ‖x‖₊

Proof state:
α : Type u_1
E' : Type u_3
𝕜 : Type u_7
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝² : CompleteSpace E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E'
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
⊢ ∫⁻ (x_1 : α) in t, ↑‖↑↑↑((condExpL2 E' 𝕜 hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs x)) x_1‖₊ ∂μ ≤ μ s * ↑‖x‖₊

Tactic:
refine (setLIntegral_nnnorm_condExpL2_indicator_le hm hs hμs x ht hμt).trans ?_

Result:
α : Type u_1
E' : Type u_3
𝕜 : Type u_7
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝² : CompleteSpace E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E'
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
⊢ μ (s ∩ t) * ↑‖x‖₊ ≤ μ s * ↑‖x‖₊

Proof state:
α : Type u_1
E' : Type u_3
𝕜 : Type u_7
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝² : CompleteSpace E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E'
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖↑↑↑((condExpL2 E' 𝕜 hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs x)) a‖₊ ∂μ ≤ μ s * ↑‖x‖₊

Tactic:
refine lintegral_le_of_forall_fin_meas_trim_le hm (μ s * ‖x‖₊) fun t ht hμt => ?_

Result:
α : Type u_1
E' : Type u_3
𝕜 : Type u_7
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝² : CompleteSpace E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E'
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
⊢ ∫⁻ (x_1 : α) in t, ↑‖↑↑↑((condExpL2 E' 𝕜 hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs x)) x_1‖₊ ∂μ ≤ μ s * ↑‖x‖₊

Proof state:
case bc.h
α : Type u_1
E' : Type u_3
𝕜 : Type u_7
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝² : CompleteSpace E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E'
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
⊢ s ∩ t ⊆ s

Tactic:
apply Set.inter_subset_left

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_1
E' : Type u_3
𝕜 : Type u_7
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝² : CompleteSpace E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E'
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
⊢ μ (s ∩ t) * ↑‖x‖₊ ≤ μ s * ↑‖x‖₊

Tactic:
gcongr

Result:
case bc.h
α : Type u_1
E' : Type u_3
𝕜 : Type u_7
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝² : CompleteSpace E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E'
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
⊢ s ∩ t ⊆ s