-- Mathlib/Analysis/Analytic/RadiusLiminf.lean
theorem radius_eq_liminf :
    p.radius = liminf (fun n => (1 / (‖p n‖₊ ^ (1 / (n : ℝ)) : ℝ≥0) : ℝ≥0∞)) atTop

Proof state:
case a.intro.intro.hf
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
this : ∀ (r : ℝ≥0) {n : ℕ}, 0 < n → (↑r ≤ 1 / ↑(‖p n‖₊ ^ (1 / ↑n)) ↔ ‖p n‖₊ * r ^ n ≤ 1)
r : ℝ≥0
hr : ↑r < p.radius
a : ℝ
ha : a ∈ Set.Ioo 0 1
H : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ a ^ n
⊢ autoParam (IsCoboundedUnder (fun x1 x2 => x1 ≥ x2) atTop fun n => 1 / ↑(‖p n‖₊ ^ (1 / ↑n))) _auto✝

Tactic:
infer_param

Result:
no goals

Proof state:
case a
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
this : ∀ (r : ℝ≥0) {n : ℕ}, 0 < n → (↑r ≤ 1 / ↑(‖p n‖₊ ^ (1 / ↑n)) ↔ ‖p n‖₊ * r ^ n ≤ 1)
r : ℝ≥0
hr : ↑r < p.radius
⊢ ↑r ≤ liminf (fun n => 1 / ↑(‖p n‖₊ ^ (1 / ↑n))) atTop

Tactic:
have := ((TFAE_exists_lt_isLittleO_pow (fun n => ‖p n‖ * r ^ n) 1).out 1 7).1
  (p.isLittleO_of_lt_radius hr)

Result:
case a
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
this✝ : ∀ (r : ℝ≥0) {n : ℕ}, 0 < n → (↑r ≤ 1 / ↑(‖p n‖₊ ^ (1 / ↑n)) ↔ ‖p n‖₊ * r ^ n ≤ 1)
r : ℝ≥0
hr : ↑r < p.radius
this : ∃ a ∈ Set.Ioo 0 1, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ a ^ n
⊢ ↑r ≤ liminf (fun n => 1 / ↑(‖p n‖₊ ^ (1 / ↑n))) atTop

Proof state:
case a.intro.intro.h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
this : ∀ (r : ℝ≥0) {n : ℕ}, 0 < n → (↑r ≤ 1 / ↑(‖p n‖₊ ^ (1 / ↑n)) ↔ ‖p n‖₊ * r ^ n ≤ 1)
r : ℝ≥0
hr : ↑r < p.radius
a : ℝ
ha : a ∈ Set.Ioo 0 1
H : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ a ^ n
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ↑r ≤ 1 / ↑(‖p n‖₊ ^ (1 / ↑n))

Tactic:
rw [← eventually_map]

Result:
case a.intro.intro.h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
this : ∀ (r : ℝ≥0) {n : ℕ}, 0 < n → (↑r ≤ 1 / ↑(‖p n‖₊ ^ (1 / ↑n)) ↔ ‖p n‖₊ * r ^ n ≤ 1)
r : ℝ≥0
hr : ↑r < p.radius
a : ℝ
ha : a ∈ Set.Ioo 0 1
H : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ a ^ n
⊢ ∀ᶠ (b : ℝ≥0∞) in map (fun n => 1 / ↑(‖p n‖₊ ^ (1 / ↑n))) atTop, ↑r ≤ b

Proof state:
case a.intro.intro.h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
this : ∀ (r : ℝ≥0) {n : ℕ}, 0 < n → (↑r ≤ 1 / ↑(‖p n‖₊ ^ (1 / ↑n)) ↔ ‖p n‖₊ * r ^ n ≤ 1)
r : ℝ≥0
hr : ↑r < p.radius
a : ℝ
ha : a ∈ Set.Ioo 0 1
H : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ a ^ n
n : ℕ
hn₀ : 0 < n
hn : |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ a ^ n
⊢ ↑(‖p n‖₊ * r ^ n) ≤ ↑1

Tactic:
push_cast

Result:
case a.intro.intro.h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
this : ∀ (r : ℝ≥0) {n : ℕ}, 0 < n → (↑r ≤ 1 / ↑(‖p n‖₊ ^ (1 / ↑n)) ↔ ‖p n‖₊ * r ^ n ≤ 1)
r : ℝ≥0
hr : ↑r < p.radius
a : ℝ
ha : a ∈ Set.Ioo 0 1
H : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ a ^ n
n : ℕ
hn₀ : 0 < n
hn : |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ a ^ n
⊢ ‖p n‖ * ↑r ^ n ≤ 1

Proof state:
case a
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
this✝ : ∀ (r : ℝ≥0) {n : ℕ}, 0 < n → (↑r ≤ 1 / ↑(‖p n‖₊ ^ (1 / ↑n)) ↔ ‖p n‖₊ * r ^ n ≤ 1)
r : ℝ≥0
hr : ↑r < p.radius
this : ∃ a ∈ Set.Ioo 0 1, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ a ^ n
⊢ ↑r ≤ liminf (fun n => 1 / ↑(‖p n‖₊ ^ (1 / ↑n))) atTop

Tactic:
obtain ⟨a, ha, H⟩ := this

Result:
case a.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
this : ∀ (r : ℝ≥0) {n : ℕ}, 0 < n → (↑r ≤ 1 / ↑(‖p n‖₊ ^ (1 / ↑n)) ↔ ‖p n‖₊ * r ^ n ≤ 1)
r : ℝ≥0
hr : ↑r < p.radius
a : ℝ
ha : a ∈ Set.Ioo 0 1
H : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, |‖p n‖ * ↑r ^ n| ≤ a ^ n
⊢ ↑r ≤ liminf (fun n => 1 / ↑(‖p n‖₊ ^ (1 / ↑n))) atTop

Proof state:
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
this : ∀ (r : ℝ≥0) {n : ℕ}, 0 < n → (↑r ≤ 1 / ↑(‖p n‖₊ ^ (1 / ↑n)) ↔ ‖p n‖₊ * r ^ n ≤ 1)
r : ℝ≥0
hr : ↑r < liminf (fun n => 1 / ↑(‖p n‖₊ ^ (1 / ↑n))) atTop
n : ℕ
hn : ↑r < 1 / ↑(‖p n‖₊ ^ (1 / ↑n))
hn₀ : 0 < n
⊢ ‖‖p n‖ * ↑r ^ n‖ ≤ 1

Tactic:
simpa using NNReal.coe_le_coe.2 ((this _ hn₀).1 hn.le)

Result:
no goals

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
⊢ ∀ (r : ℝ≥0) {n : ℕ}, 0 < n → (↑r ≤ 1 / ↑(‖p n‖₊ ^ (1 / ↑n)) ↔ ‖p n‖₊ * r ^ n ≤ 1)

Tactic:
intro r n hn

Result:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ ↑r ≤ 1 / ↑(‖p n‖₊ ^ (1 / ↑n)) ↔ ‖p n‖₊ * r ^ n ≤ 1

Proof state:
case a
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
this : ∀ (r : ℝ≥0) {n : ℕ}, 0 < n → (↑r ≤ 1 / ↑(‖p n‖₊ ^ (1 / ↑n)) ↔ ‖p n‖₊ * r ^ n ≤ 1)
r : ℝ≥0
hr : ↑r < liminf (fun n => 1 / ↑(‖p n‖₊ ^ (1 / ↑n))) atTop
⊢ (fun x => ‖‖p x‖ * ↑r ^ x‖) ≤ᶠ[atTop] fun x => 1

Tactic:
filter_upwards [eventually_lt_of_lt_liminf hr, eventually_gt_atTop 0] with n hn hn₀

Result:
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
this : ∀ (r : ℝ≥0) {n : ℕ}, 0 < n → (↑r ≤ 1 / ↑(‖p n‖₊ ^ (1 / ↑n)) ↔ ‖p n‖₊ * r ^ n ≤ 1)
r : ℝ≥0
hr : ↑r < liminf (fun n => 1 / ↑(‖p n‖₊ ^ (1 / ↑n))) atTop
n : ℕ
hn : ↑r < 1 / ↑(‖p n‖₊ ^ (1 / ↑n))
hn₀ : 0 < n
⊢ ‖‖p n‖ * ↑r ^ n‖ ≤ 1