-- Mathlib/RingTheory/Kaehler/JacobiZariski.lean
lemma Cotangent.exact :
    Function.Exact
      ((Extension.Cotangent.map (Q.toComp P).toExtensionHom).liftBaseChange T)
      (Extension.Cotangent.map (Q.ofComp P).toExtensionHom)

Proof state:
case h2.intro.mk
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
T : Type uT
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
Q : Generators S T
P : Generators R S
x : (Q.comp P).Ring
hx' : x ∈ (Q.comp P).toExtension.ker
hx : (Extension.Cotangent.map (Q.ofComp P).toExtensionHom) (Extension.Cotangent.mk ⟨x, hx'⟩) = 0
⊢ Extension.Cotangent.mk ⟨x, hx'⟩ ∈
    LinearMap.range (LinearMap.liftBaseChange T (Extension.Cotangent.map (Q.toComp P).toExtensionHom))

Tactic:
replace hx : (Q.ofComp P).toAlgHom x ∈ Q.ker ^ 2 := by
  simpa only [map_mk, val_mk, val_zero, Ideal.toCotangent_eq_zero] using congr(($hx).val)

Result:
case h2.intro.mk
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
T : Type uT
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
Q : Generators S T
P : Generators R S
x : (Q.comp P).Ring
hx' : x ∈ (Q.comp P).toExtension.ker
hx : (Q.ofComp P).toAlgHom x ∈ Q.ker ^ 2
⊢ Extension.Cotangent.mk ⟨x, hx'⟩ ∈
    LinearMap.range (LinearMap.liftBaseChange T (Extension.Cotangent.map (Q.toComp P).toExtensionHom))

Proof state:
case h2.intro.mk.intro.intro.refine_2
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
T : Type uT
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
Q : Generators S T
P : Generators R S
x : (Q.comp P).Ring
hx' : x ∈ (Q.comp P).toExtension.ker
y : (Q.comp P).Ring
hy : y ∈ (Q.comp P).ker * (Q.comp P).ker
e : x - y ∈ Ideal.map (Q.toComp P).toAlgHom P.ker
z : ↥(Q.comp P).ker := ⟨x - y, ⋯⟩
hz : ↑z ∈ Ideal.map (Q.toComp P).toAlgHom.toRingHom P.ker
this : Extension.Cotangent.mk ⟨x, hx'⟩ = Extension.Cotangent.mk z
w : P.Ring
hw : w ∈ P.ker
⊢ (Extension.Cotangent.map (Q.toComp P).toExtensionHom) (Extension.Cotangent.mk ⟨w, hw⟩) =
    Extension.Cotangent.mk ⟨(Q.toComp P).toAlgHom w, ⋯⟩

Tactic:
rw [map_mk]

Result:
case h2.intro.mk.intro.intro.refine_2
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
T : Type uT
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
Q : Generators S T
P : Generators R S
x : (Q.comp P).Ring
hx' : x ∈ (Q.comp P).toExtension.ker
y : (Q.comp P).Ring
hy : y ∈ (Q.comp P).ker * (Q.comp P).ker
e : x - y ∈ Ideal.map (Q.toComp P).toAlgHom P.ker
z : ↥(Q.comp P).ker := ⟨x - y, ⋯⟩
hz : ↑z ∈ Ideal.map (Q.toComp P).toAlgHom.toRingHom P.ker
this : Extension.Cotangent.mk ⟨x, hx'⟩ = Extension.Cotangent.mk z
w : P.Ring
hw : w ∈ P.ker
⊢ Extension.Cotangent.mk ⟨(Q.toComp P).toExtensionHom.toAlgHom ↑⟨w, hw⟩, ⋯⟩ =
    Extension.Cotangent.mk ⟨(Q.toComp P).toAlgHom w, ⋯⟩

Proof state:
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
T : Type uT
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
Q : Generators S T
P : Generators R S
⊢ Function.Exact ⇑(LinearMap.liftBaseChange T (Extension.Cotangent.map (Q.toComp P).toExtensionHom))
    ⇑(Extension.Cotangent.map (Q.ofComp P).toExtensionHom)

Tactic:
apply LinearMap.exact_of_comp_of_mem_range

Result:
case h1
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
T : Type uT
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
Q : Generators S T
P : Generators R S
⊢ Extension.Cotangent.map (Q.ofComp P).toExtensionHom ∘ₗ
      LinearMap.liftBaseChange T (Extension.Cotangent.map (Q.toComp P).toExtensionHom) =
    0

case h2
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
T : Type uT
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
Q : Generators S T
P : Generators R S
⊢ ∀ (x : (Q.comp P).toExtension.Cotangent),
    (Extension.Cotangent.map (Q.ofComp P).toExtensionHom) x = 0 →
      x ∈ LinearMap.range (LinearMap.liftBaseChange T (Extension.Cotangent.map (Q.toComp P).toExtensionHom))

Proof state:
case h2.intro.mk.intro.intro
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
T : Type uT
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
Q : Generators S T
P : Generators R S
x : (Q.comp P).Ring
hx' : x ∈ (Q.comp P).toExtension.ker
y : (Q.comp P).Ring
hy : y ∈ (Q.comp P).ker * (Q.comp P).ker
e : (Q.ofComp P).toAlgHom y = (Q.ofComp P).toAlgHom x
⊢ Extension.Cotangent.mk ⟨x, hx'⟩ ∈
    LinearMap.range (LinearMap.liftBaseChange T (Extension.Cotangent.map (Q.toComp P).toExtensionHom))

Tactic:
rw [eq_comm, ← sub_eq_zero, ← map_sub, ← RingHom.mem_ker, ← map_toComp_ker] at e

Result:
case h2.intro.mk.intro.intro
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
T : Type uT
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
Q : Generators S T
P : Generators R S
x : (Q.comp P).Ring
hx' : x ∈ (Q.comp P).toExtension.ker
y : (Q.comp P).Ring
hy : y ∈ (Q.comp P).ker * (Q.comp P).ker
e : x - y ∈ Ideal.map (Q.toComp P).toAlgHom P.ker
⊢ Extension.Cotangent.mk ⟨x, hx'⟩ ∈
    LinearMap.range (LinearMap.liftBaseChange T (Extension.Cotangent.map (Q.toComp P).toExtensionHom))

Proof state:
case h1
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
T : Type uT
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
Q : Generators S T
P : Generators R S
⊢ Extension.Cotangent.map ((Q.ofComp P).toExtensionHom.comp (Q.toComp P).toExtensionHom) = 0

Tactic:
ext x

Result:
case h1.h.e
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
T : Type uT
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
Q : Generators S T
P : Generators R S
x : P.toExtension.Cotangent
⊢ ((Extension.Cotangent.map ((Q.ofComp P).toExtensionHom.comp (Q.toComp P).toExtensionHom)) x).val = (0 x).val

Proof state:
case h1.h.e
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
T : Type uT
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
Q : Generators S T
P : Generators R S
x : P.toExtension.Cotangent
⊢ ((Extension.Cotangent.map ((Q.ofComp P).toExtensionHom.comp (Q.toComp P).toExtensionHom)) x).val = (0 x).val

Tactic:
obtain ⟨⟨x, hx⟩, rfl⟩ := Extension.Cotangent.mk_surjective x

Result:
case h1.h.e.intro.mk
R : Type u
S : Type v
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
T : Type uT
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
Q : Generators S T
P : Generators R S
x : P.toExtension.Ring
hx : x ∈ P.toExtension.ker
⊢ ((Extension.Cotangent.map ((Q.ofComp P).toExtensionHom.comp (Q.toComp P).toExtensionHom))
        (Extension.Cotangent.mk ⟨x, hx⟩)).val =
    (0 (Extension.Cotangent.mk ⟨x, hx⟩)).val