-- Mathlib/Data/Ordmap/Ordset.lean
theorem Valid'.node4L {l} {x : α} {m} {y : α} {r o₁ o₂} (hl : Valid' o₁ l x) (hm : Valid' x m y)
    (hr : Valid' (↑y) r o₂) (Hm : 0 < size m)
    (H : size l = 0 ∧ size m = 1 ∧ size r ≤ 1 ∨
        0 < size l ∧
          ratio * size r ≤ size m ∧
            delta * size l ≤ size m + size r ∧
              3 * (size m + size r) ≤ 16 * size l + 9 ∧ size m ≤ delta * size r) :
    Valid' o₁ (@node4L α l x m y r) o₂

Proof state:
case neg.intro.inr
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
l : Ordnode α
x y : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
hl : Valid' o₁ l ↑x
hr : Valid' (↑y) r o₂
s : ℕ
ml : Ordnode α
z : α
mr : Ordnode α
hm : Valid' (↑x) (Ordnode.node s ml z mr) ↑y
Hm : 0 < (Ordnode.node s ml z mr).size
l0 : 0 < l.size
mr₁ : ratio * r.size ≤ ml.size + mr.size + 1
lr₁ : delta * l.size ≤ ml.size + mr.size + 1 + r.size
lr₂ : 3 * (ml.size + mr.size + 1 + r.size) ≤ 16 * l.size + 9
mr₂ : ml.size + mr.size + 1 ≤ delta * r.size
r0 : r.size > 0
mm : ¬ml.size + mr.size ≤ 1
mm₁ : ml.size ≤ delta * mr.size
mm₂ : mr.size ≤ delta * ml.size
ml0 : ml.size > 0
⊢ BalancedSz l.size ml.size ∧ BalancedSz mr.size r.size ∧ BalancedSz (l.size + ml.size + 1) (mr.size + r.size + 1)

Tactic:
have : 2 * size l ≤ size ml + size mr + 1 := by
  have := Nat.mul_le_mul_left ratio lr₁
  rw [mul_left_comm, mul_add] at this
  have := le_trans this (add_le_add_left mr₁ _)
  rw [← Nat.succ_mul] at this
  exact (mul_le_mul_left (by decide)).1 this

Result:
case neg.intro.inr
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
l : Ordnode α
x y : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
hl : Valid' o₁ l ↑x
hr : Valid' (↑y) r o₂
s : ℕ
ml : Ordnode α
z : α
mr : Ordnode α
hm : Valid' (↑x) (Ordnode.node s ml z mr) ↑y
Hm : 0 < (Ordnode.node s ml z mr).size
l0 : 0 < l.size
mr₁ : ratio * r.size ≤ ml.size + mr.size + 1
lr₁ : delta * l.size ≤ ml.size + mr.size + 1 + r.size
lr₂ : 3 * (ml.size + mr.size + 1 + r.size) ≤ 16 * l.size + 9
mr₂ : ml.size + mr.size + 1 ≤ delta * r.size
r0 : r.size > 0
mm : ¬ml.size + mr.size ≤ 1
mm₁ : ml.size ≤ delta * mr.size
mm₂ : mr.size ≤ delta * ml.size
ml0 : ml.size > 0
this : 2 * l.size ≤ ml.size + mr.size + 1
⊢ BalancedSz l.size ml.size ∧ BalancedSz mr.size r.size ∧ BalancedSz (l.size + ml.size + 1) (mr.size + r.size + 1)

Proof state:
case pos.succ.succ
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
l : Ordnode α
x y : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
hl : Valid' o₁ l ↑x
hr : Valid' (↑y) r o₂
s : ℕ
ml : Ordnode α
z : α
mr : Ordnode α
hm : Valid' (↑x) (Ordnode.node s ml z mr) ↑y
Hm : 0 < (Ordnode.node s ml z mr).size
l0 : 0 < l.size
mr₁ : ratio * r.size ≤ ml.size + mr.size + 1
lr₁ : delta * l.size ≤ ml.size + mr.size + (1 + 1)
lr₂ : 3 * (ml.size + mr.size + 1 + r.size) ≤ 16 * l.size + 9
mr₂ : ml.size + mr.size + 1 ≤ delta * r.size
r0 : r.size > 0
r1 : r.size = 1
l1 : l.size = 1
n✝¹ n✝ : ℕ
mm : (n✝¹ + (n✝ + 1)).succ ≤ 1
⊢ BalancedSz 1 (n✝¹ + 1) ∧ BalancedSz (n✝ + 1) 1 ∧ BalancedSz (1 + (n✝¹ + 1) + 1) (n✝ + 1 + 1 + 1)

Tactic:
rcases mm with (_ | ⟨⟨⟩⟩)

Result:
no goals

Proof state:
case pos
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
l : Ordnode α
x y : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
hl : Valid' o₁ l ↑x
hr : Valid' (↑y) r o₂
s : ℕ
ml : Ordnode α
z : α
mr : Ordnode α
hm : Valid' (↑x) (Ordnode.node s ml z mr) ↑y
Hm : 0 < (Ordnode.node s ml z mr).size
l0 : 0 < l.size
mr₁ : ratio * r.size ≤ ml.size + mr.size + 1
lr₁ : delta * l.size ≤ ml.size + mr.size + 1 + r.size
lr₂ : 3 * (ml.size + mr.size + 1 + r.size) ≤ 16 * l.size + 9
mr₂ : ml.size + mr.size + 1 ≤ delta * r.size
r0 : r.size > 0
mm : ml.size + mr.size ≤ 1
r1 : r.size = 1
⊢ BalancedSz l.size ml.size ∧ BalancedSz mr.size r.size ∧ BalancedSz (l.size + ml.size + 1) (mr.size + r.size + 1)

Tactic:
rw [r1, add_assoc] at lr₁

Result:
case pos
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
l : Ordnode α
x y : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
hl : Valid' o₁ l ↑x
hr : Valid' (↑y) r o₂
s : ℕ
ml : Ordnode α
z : α
mr : Ordnode α
hm : Valid' (↑x) (Ordnode.node s ml z mr) ↑y
Hm : 0 < (Ordnode.node s ml z mr).size
l0 : 0 < l.size
mr₁ : ratio * r.size ≤ ml.size + mr.size + 1
lr₁ : delta * l.size ≤ ml.size + mr.size + (1 + 1)
lr₂ : 3 * (ml.size + mr.size + 1 + r.size) ≤ 16 * l.size + 9
mr₂ : ml.size + mr.size + 1 ≤ delta * r.size
r0 : r.size > 0
mm : ml.size + mr.size ≤ 1
r1 : r.size = 1
⊢ BalancedSz l.size ml.size ∧ BalancedSz mr.size r.size ∧ BalancedSz (l.size + ml.size + 1) (mr.size + r.size + 1)

Proof state:
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
l : Ordnode α
x y : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
hl : Valid' o₁ l ↑x
hr : Valid' (↑y) r o₂
s : ℕ
ml : Ordnode α
z : α
mr : Ordnode α
hm : Valid' (↑x) (Ordnode.node s ml z mr) ↑y
Hm : 0 < (Ordnode.node s ml z mr).size
l0 : 0 < l.size
mr₁ : ratio * r.size ≤ ml.size + mr.size + 1
lr₁ : delta * l.size ≤ ml.size + mr.size + 1 + r.size
lr₂ : 3 * (ml.size + mr.size + 1 + r.size) ≤ 16 * l.size + 9
mr₂ : ml.size + mr.size + 1 ≤ delta * r.size
r0 : r.size > 0
mm : ¬0 + 0 ≤ 1
mm₁ : ml.size ≤ delta * mr.size
mm₂ : mr.size = 0
ml0 : ml.size = 0
⊢ 0 + 0 ≤ 1

Tactic:
decide

Result:
no goals

Proof state:
case node.inl.intro.intro
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
l : Ordnode α
x y : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
hl : Valid' o₁ l ↑x
hr : Valid' (↑y) r o₂
s : ℕ
ml : Ordnode α
z : α
mr : Ordnode α
hm : Valid' (↑x) (Ordnode.node s ml z mr) ↑y
Hm : 0 < (Ordnode.node s ml z mr).size
l0 : l.size = 0
m1 : ml.size = 0 ∧ mr.size = 0
⊢ r.size ≤ 1 → BalancedSz 0 0 ∧ BalancedSz 0 r.size ∧ BalancedSz (0 + 0 + 1) (0 + r.size + 1)

Tactic:
rcases size r with (_ | _ | _) <;>
[decide; decide; (intro r0; unfold BalancedSz delta; omega)]

Result:
no goals

Proof state:
case neg.intro.inr.refine_1
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
l : Ordnode α
x y : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
hl : Valid' o₁ l ↑x
hr : Valid' (↑y) r o₂
s : ℕ
ml : Ordnode α
z : α
mr : Ordnode α
hm : Valid' (↑x) (Ordnode.node s ml z mr) ↑y
Hm : 0 < (Ordnode.node s ml z mr).size
l0 : 0 < l.size
mr₁ : ratio * r.size ≤ ml.size + mr.size + 1
lr₁ : delta * l.size ≤ ml.size + mr.size + 1 + r.size
lr₂ : 3 * (ml.size + mr.size + 1 + r.size) ≤ 16 * l.size + 9
mr₂ : ml.size + mr.size + 1 ≤ delta * r.size
r0 : r.size > 0
mm : ¬ml.size + mr.size ≤ 1
mm₁ : ml.size ≤ delta * mr.size
mm₂ : mr.size ≤ delta * ml.size
ml0 : ml.size > 0
this : 2 * l.size ≤ ml.size + mr.size + 1
⊢ l.size ≤ delta * ml.size

Tactic:
refine (mul_le_mul_left (by decide)).1 (le_trans this ?_)

Result:
case neg.intro.inr.refine_1
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
l : Ordnode α
x y : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
hl : Valid' o₁ l ↑x
hr : Valid' (↑y) r o₂
s : ℕ
ml : Ordnode α
z : α
mr : Ordnode α
hm : Valid' (↑x) (Ordnode.node s ml z mr) ↑y
Hm : 0 < (Ordnode.node s ml z mr).size
l0 : 0 < l.size
mr₁ : ratio * r.size ≤ ml.size + mr.size + 1
lr₁ : delta * l.size ≤ ml.size + mr.size + 1 + r.size
lr₂ : 3 * (ml.size + mr.size + 1 + r.size) ≤ 16 * l.size + 9
mr₂ : ml.size + mr.size + 1 ≤ delta * r.size
r0 : r.size > 0
mm : ¬ml.size + mr.size ≤ 1
mm₁ : ml.size ≤ delta * mr.size
mm₂ : mr.size ≤ delta * ml.size
ml0 : ml.size > 0
this : 2 * l.size ≤ ml.size + mr.size + 1
⊢ ml.size + mr.size + 1 ≤ 2 * (delta * ml.size)

Proof state:
case neg.intro.inr.refine_4
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
l : Ordnode α
x y : α
r : Ordnode α
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
hl : Valid' o₁ l ↑x
hr : Valid' (↑y) r o₂
s : ℕ
ml : Ordnode α
z : α
mr : Ordnode α
hm : Valid' (↑x) (Ordnode.node s ml z mr) ↑y
Hm : 0 < (Ordnode.node s ml z mr).size
l0 : 0 < l.size
mr₁ : ratio * r.size ≤ ml.size + mr.size + 1
lr₁ : delta * l.size ≤ ml.size + mr.size + 1 + r.size
lr₂ : 3 * (ml.size + mr.size + 1 + r.size) ≤ 16 * l.size + 9
mr₂ : ml.size + mr.size + 1 ≤ delta * r.size
r0 : r.size > 0
mm : ¬ml.size + mr.size ≤ 1
mm₁ : ml.size ≤ delta * mr.size
mm₂ : mr.size ≤ delta * ml.size
ml0 : ml.size > 0
this : 2 * l.size ≤ ml.size + mr.size + 1
⊢ r.size ≤ delta * mr.size

Tactic:
exact Valid'.node4L_lemma₃ mr₁ mm₁

Result:
no goals