-- Mathlib/Probability/Martingale/OptionalSampling.lean
theorem condExp_stoppedValue_stopping_time_ae_eq_restrict_le (h : Martingale f ℱ μ)
    (hτ : IsStoppingTime ℱ τ) (hσ : IsStoppingTime ℱ σ) [SigmaFinite (μ.trim hσ.measurableSpace_le)]
    (hτ_le : ∀ x, τ x ≤ i) :
    μ[stoppedValue f τ|hσ.measurableSpace] =ᵐ[μ.restrict {x : Ω | τ x ≤ σ x}] stoppedValue f τ

Proof state:
case refine_3
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
ι : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrder ι
inst✝⁹ : LocallyFiniteOrder ι
inst✝⁸ : OrderBot ι
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : DiscreteTopology ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : BorelSpace ι
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : SecondCountableTopology E
ℱ : Filtration ι m
τ σ : Ω → ι
f : ι → Ω → E
i : ι
h : Martingale f ℱ μ
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hσ : IsStoppingTime ℱ σ
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
hτ_le : ∀ (x : Ω), τ x ≤ i
h_int : Integrable ({ω | τ ω ≤ σ ω}.indicator (stoppedValue (fun n => f n) τ)) μ
x : Ω
hx : x ∉ {ω | τ ω ≤ σ ω}
⊢ {ω | τ ω ≤ σ ω}.indicator (stoppedValue (fun n => f n) τ) x = 0

Tactic:
simp only [hx, Set.indicator_of_not_mem, not_false_iff]

Result:
no goals

Proof state:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
ι : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrder ι
inst✝⁹ : LocallyFiniteOrder ι
inst✝⁸ : OrderBot ι
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : DiscreteTopology ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : BorelSpace ι
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : SecondCountableTopology E
ℱ : Filtration ι m
τ σ : Ω → ι
f : ι → Ω → E
i : ι
h : Martingale f ℱ μ
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hσ : IsStoppingTime ℱ σ
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
hτ_le : ∀ (x : Ω), τ x ≤ i
⊢ MeasurableSet {ω | τ ω ≤ σ ω}

Tactic:
exact hτ.measurableSpace_le _ (hτ.measurableSet_le_stopping_time hσ)

Result:
no goals

Proof state:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
ι : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrder ι
inst✝⁹ : LocallyFiniteOrder ι
inst✝⁸ : OrderBot ι
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : DiscreteTopology ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : BorelSpace ι
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : SecondCountableTopology E
ℱ : Filtration ι m
τ σ : Ω → ι
f : ι → Ω → E
i : ι
h : Martingale f ℱ μ
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hσ : IsStoppingTime ℱ σ
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
hτ_le : ∀ (x : Ω), τ x ≤ i
⊢ {ω | τ ω ≤ σ ω}.indicator (μ[stoppedValue f τ|hσ.measurableSpace]) =ᶠ[ae μ]
    {ω | τ ω ≤ σ ω}.indicator (stoppedValue f τ)

Tactic:
refine (condExp_indicator (integrable_stoppedValue ι hτ h.integrable hτ_le)
  (hτ.measurableSet_stopping_time_le hσ)).symm.trans ?_

Result:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
ι : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrder ι
inst✝⁹ : LocallyFiniteOrder ι
inst✝⁸ : OrderBot ι
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : DiscreteTopology ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : BorelSpace ι
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : SecondCountableTopology E
ℱ : Filtration ι m
τ σ : Ω → ι
f : ι → Ω → E
i : ι
h : Martingale f ℱ μ
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hσ : IsStoppingTime ℱ σ
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
hτ_le : ∀ (x : Ω), τ x ≤ i
⊢ μ[{ω | τ ω ≤ σ ω}.indicator (stoppedValue f τ)|hσ.measurableSpace] =ᶠ[ae μ]
    {ω | τ ω ≤ σ ω}.indicator (stoppedValue f τ)

Proof state:
case refine_1
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
ι : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrder ι
inst✝⁹ : LocallyFiniteOrder ι
inst✝⁸ : OrderBot ι
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : DiscreteTopology ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : BorelSpace ι
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : SecondCountableTopology E
ℱ : Filtration ι m
τ σ : Ω → ι
f : ι → Ω → E
i : ι
h : Martingale f ℱ μ
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hσ : IsStoppingTime ℱ σ
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
hτ_le : ∀ (x : Ω), τ x ≤ i
h_int : Integrable ({ω | τ ω ≤ σ ω}.indicator (stoppedValue (fun n => f n) τ)) μ
⊢ ∀ (t : Set Ω), MeasurableSet ({ω | τ ω ≤ σ ω} ∩ t) → MeasurableSet ({ω | τ ω ≤ σ ω} ∩ t)

Tactic:
intro t ht

Result:
case refine_1
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
ι : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrder ι
inst✝⁹ : LocallyFiniteOrder ι
inst✝⁸ : OrderBot ι
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : DiscreteTopology ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : BorelSpace ι
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : SecondCountableTopology E
ℱ : Filtration ι m
τ σ : Ω → ι
f : ι → Ω → E
i : ι
h : Martingale f ℱ μ
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hσ : IsStoppingTime ℱ σ
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
hτ_le : ∀ (x : Ω), τ x ≤ i
h_int : Integrable ({ω | τ ω ≤ σ ω}.indicator (stoppedValue (fun n => f n) τ)) μ
t : Set Ω
ht : MeasurableSet ({ω | τ ω ≤ σ ω} ∩ t)
⊢ MeasurableSet ({ω | τ ω ≤ σ ω} ∩ t)

Proof state:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
ι : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrder ι
inst✝⁹ : LocallyFiniteOrder ι
inst✝⁸ : OrderBot ι
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : DiscreteTopology ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : BorelSpace ι
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : SecondCountableTopology E
ℱ : Filtration ι m
τ σ : Ω → ι
f : ι → Ω → E
i : ι
h : Martingale f ℱ μ
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hσ : IsStoppingTime ℱ σ
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
hτ_le : ∀ (x : Ω), τ x ≤ i
h_int : Integrable ({ω | τ ω ≤ σ ω}.indicator (stoppedValue (fun n => f n) τ)) μ
⊢ AEStronglyMeasurable ({ω | τ ω ≤ σ ω}.indicator (stoppedValue (fun n => f n) τ)) μ

Tactic:
refine StronglyMeasurable.aestronglyMeasurable ?_

Result:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
ι : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrder ι
inst✝⁹ : LocallyFiniteOrder ι
inst✝⁸ : OrderBot ι
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : DiscreteTopology ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : BorelSpace ι
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : SecondCountableTopology E
ℱ : Filtration ι m
τ σ : Ω → ι
f : ι → Ω → E
i : ι
h : Martingale f ℱ μ
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hσ : IsStoppingTime ℱ σ
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
hτ_le : ∀ (x : Ω), τ x ≤ i
h_int : Integrable ({ω | τ ω ≤ σ ω}.indicator (stoppedValue (fun n => f n) τ)) μ
⊢ StronglyMeasurable ({ω | τ ω ≤ σ ω}.indicator (stoppedValue (fun n => f n) τ))

Proof state:
case refine_1
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
ι : Type u_3
inst✝¹⁰ : LinearOrder ι
inst✝⁹ : LocallyFiniteOrder ι
inst✝⁸ : OrderBot ι
inst✝⁷ : TopologicalSpace ι
inst✝⁶ : DiscreteTopology ι
inst✝⁵ : MeasurableSpace ι
inst✝⁴ : BorelSpace ι
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : SecondCountableTopology E
ℱ : Filtration ι m
τ σ : Ω → ι
f : ι → Ω → E
i : ι
h : Martingale f ℱ μ
hτ : IsStoppingTime ℱ τ
hσ : IsStoppingTime ℱ σ
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim ⋯)
hτ_le : ∀ (x : Ω), τ x ≤ i
h_int : Integrable ({ω | τ ω ≤ σ ω}.indicator (stoppedValue (fun n => f n) τ)) μ
t : Set Ω
ht : MeasurableSet (t ∩ {ω | τ ω ≤ σ ω}) ∧ MeasurableSet (t ∩ {ω | τ ω ≤ σ ω})
⊢ MeasurableSet (t ∩ {ω | τ ω ≤ σ ω})

Tactic:
exact ht.2

Result:
no goals