-- Mathlib/Analysis/Convex/Cone/Extension.lean
theorem step (nonneg : ∀ x : f.domain, (x : E) ∈ s → 0 ≤ f x)
    (dense : ∀ y, ∃ x : f.domain, (x : E) + y ∈ s) (hdom : f.domain ≠ ⊤) :
    ∃ g, f < g ∧ ∀ x : g.domain, (x : E) ∈ s → 0 ≤ g x

Proof state:
case refine_2.intro.intro.intro.intro
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : ConvexCone ℝ E
f : E →ₗ.[ℝ] ℝ
nonneg : ∀ (x : ↥f.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑f x
dense : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s
hdom : f.domain ≠ ⊤
y : E
hy : y ∉ f.domain
Sp : Set ℝ := ↑f '' {x | ↑x + y ∈ s}
Sn : Set ℝ := ↑f '' {x | -↑x - y ∈ s}
xn : ↥f.domain
hxn : xn ∈ {x | -↑x - y ∈ s}
xp : ↥f.domain
hxp : xp ∈ {x | ↑x + y ∈ s}
this : 0 ≤ ↑f (xp - xn)
⊢ ↑f xn ≤ ↑f xp

Tactic:
rwa [f.map_sub, sub_nonneg] at this

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.refine_2.mk.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inl.a
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : ConvexCone ℝ E
f : E →ₗ.[ℝ] ℝ
nonneg : ∀ (x : ↥f.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑f x
dense : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s
hdom : f.domain ≠ ⊤
y : E
hy : y ∉ f.domain
c : ℝ
le_c : ∀ (x : ↥f.domain), -↑x - y ∈ s → ↑f x ≤ c
c_le : ∀ (x : ↥f.domain), ↑x + y ∈ s → c ≤ ↑f x
x : E
hx : x ∈ f.domain
hy' : 0 • y ∈ (LinearPMap.mkSpanSingleton y (-c) ⋯).domain
hz : x + 0 • y ∈ (f.supSpanSingleton y (-c) hy).domain
hzs : x ∈ s
⊢ ↑⟨x, hx⟩ ∈ s

Tactic:
exact hzs

Result:
no goals

Proof state:
case refine_1.intro
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : ConvexCone ℝ E
f : E →ₗ.[ℝ] ℝ
nonneg : ∀ (x : ↥f.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑f x
dense : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s
hdom : f.domain ≠ ⊤
y : E
hy : y ∉ f.domain
Sp : Set ℝ := ↑f '' {x | ↑x + y ∈ s}
Sn : Set ℝ := ↑f '' {x | -↑x - y ∈ s}
x : ↥f.domain
hx : -↑(-x) - y ∈ s
⊢ {x | -↑x - y ∈ s}.Nonempty

Tactic:
exact ⟨_, hx⟩

Result:
no goals

Proof state:
case refine_2.intro.intro.intro.intro
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : ConvexCone ℝ E
f : E →ₗ.[ℝ] ℝ
nonneg : ∀ (x : ↥f.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑f x
dense : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s
hdom : f.domain ≠ ⊤
y : E
hy : y ∉ f.domain
Sp : Set ℝ := ↑f '' {x | ↑x + y ∈ s}
Sn : Set ℝ := ↑f '' {x | -↑x - y ∈ s}
xn : ↥f.domain
hxn : xn ∈ {x | -↑x - y ∈ s}
xp : ↥f.domain
hxp : xp ∈ {x | ↑x + y ∈ s}
⊢ ↑f xn ≤ ↑f xp

Tactic:
have := s.add_mem hxp hxn

Result:
case refine_2.intro.intro.intro.intro
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : ConvexCone ℝ E
f : E →ₗ.[ℝ] ℝ
nonneg : ∀ (x : ↥f.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑f x
dense : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s
hdom : f.domain ≠ ⊤
y : E
hy : y ∉ f.domain
Sp : Set ℝ := ↑f '' {x | ↑x + y ∈ s}
Sn : Set ℝ := ↑f '' {x | -↑x - y ∈ s}
xn : ↥f.domain
hxn : xn ∈ {x | -↑x - y ∈ s}
xp : ↥f.domain
hxp : xp ∈ {x | ↑x + y ∈ s}
this : ↑xp + y + (-↑xn - y) ∈ s
⊢ ↑f xn ≤ ↑f xp

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.refine_1
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : ConvexCone ℝ E
f : E →ₗ.[ℝ] ℝ
nonneg : ∀ (x : ↥f.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑f x
dense : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s
hdom : f.domain ≠ ⊤
y : E
hy : y ∉ f.domain
c : ℝ
le_c : ∀ (x : ↥f.domain), -↑x - y ∈ s → ↑f x ≤ c
c_le : ∀ (x : ↥f.domain), ↑x + y ∈ s → c ≤ ↑f x
H : f.domain ≤ f.domain ∧ y ∈ ↑f.domain
⊢ False

Tactic:
exact hy H.2

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.refine_2.mk.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : ConvexCone ℝ E
f : E →ₗ.[ℝ] ℝ
nonneg : ∀ (x : ↥f.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑f x
dense : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s
hdom : f.domain ≠ ⊤
y : E
hy : y ∉ f.domain
c : ℝ
le_c : ∀ (x : ↥f.domain), -↑x - y ∈ s → ↑f x ≤ c
c_le : ∀ (x : ↥f.domain), ↑x + y ∈ s → c ≤ ↑f x
x : E
hx : x ∈ f.domain
r : ℝ
hy' : r • y ∈ (LinearPMap.mkSpanSingleton y (-c) ⋯).domain
hz : x + r • y ∈ (f.supSpanSingleton y (-c) hy).domain
hzs : x + r • y ∈ s
hr : 0 < r
this : r⁻¹ • x + y ∈ s
⊢ r • c ≤ ↑f ⟨x, hx⟩

Tactic:
replace : c ≤ f (r⁻¹ • ⟨x, hx⟩) := c_le (r⁻¹ • ⟨x, hx⟩) (by exact this)

Result:
case intro.intro.intro.intro.refine_2.mk.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inr
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : ConvexCone ℝ E
f : E →ₗ.[ℝ] ℝ
nonneg : ∀ (x : ↥f.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑f x
dense : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s
hdom : f.domain ≠ ⊤
y : E
hy : y ∉ f.domain
c : ℝ
le_c : ∀ (x : ↥f.domain), -↑x - y ∈ s → ↑f x ≤ c
c_le : ∀ (x : ↥f.domain), ↑x + y ∈ s → c ≤ ↑f x
x : E
hx : x ∈ f.domain
r : ℝ
hy' : r • y ∈ (LinearPMap.mkSpanSingleton y (-c) ⋯).domain
hz : x + r • y ∈ (f.supSpanSingleton y (-c) hy).domain
hzs : x + r • y ∈ s
hr : 0 < r
this : c ≤ ↑f (r⁻¹ • ⟨x, hx⟩)
⊢ r • c ≤ ↑f ⟨x, hx⟩

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.refine_2.mk.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inl
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : ConvexCone ℝ E
f : E →ₗ.[ℝ] ℝ
nonneg : ∀ (x : ↥f.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑f x
dense : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s
hdom : f.domain ≠ ⊤
y : E
hy : y ∉ f.domain
c : ℝ
le_c : ∀ (x : ↥f.domain), -↑x - y ∈ s → ↑f x ≤ c
c_le : ∀ (x : ↥f.domain), ↑x + y ∈ s → c ≤ ↑f x
x : E
hx : x ∈ f.domain
r : ℝ
hy' : r • y ∈ (LinearPMap.mkSpanSingleton y (-c) ⋯).domain
hz : x + r • y ∈ (f.supSpanSingleton y (-c) hy).domain
hzs : x + r • y ∈ s
hr : r = 0
⊢ r • c ≤ ↑f ⟨x, hx⟩

Tactic:
subst r

Result:
case intro.intro.intro.intro.refine_2.mk.intro.intro.intro.intro.intro.inr.inl
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : ConvexCone ℝ E
f : E →ₗ.[ℝ] ℝ
nonneg : ∀ (x : ↥f.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑f x
dense : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s
hdom : f.domain ≠ ⊤
y : E
hy : y ∉ f.domain
c : ℝ
le_c : ∀ (x : ↥f.domain), -↑x - y ∈ s → ↑f x ≤ c
c_le : ∀ (x : ↥f.domain), ↑x + y ∈ s → c ≤ ↑f x
x : E
hx : x ∈ f.domain
hy' : 0 • y ∈ (LinearPMap.mkSpanSingleton y (-c) ⋯).domain
hz : x + 0 • y ∈ (f.supSpanSingleton y (-c) hy).domain
hzs : x + 0 • y ∈ s
⊢ 0 • c ≤ ↑f ⟨x, hx⟩

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.refine_2.mk.intro.intro.intro.intro.intro.inl
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : ConvexCone ℝ E
f : E →ₗ.[ℝ] ℝ
nonneg : ∀ (x : ↥f.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑f x
dense : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s
hdom : f.domain ≠ ⊤
y : E
hy : y ∉ f.domain
c : ℝ
le_c : ∀ (x : ↥f.domain), -↑x - y ∈ s → ↑f x ≤ c
c_le : ∀ (x : ↥f.domain), ↑x + y ∈ s → c ≤ ↑f x
x : E
hx : x ∈ f.domain
r : ℝ
hy' : r • y ∈ (LinearPMap.mkSpanSingleton y (-c) ⋯).domain
hz : x + r • y ∈ (f.supSpanSingleton y (-c) hy).domain
hzs : x + r • y ∈ s
hr : r < 0
this : ↑f (r⁻¹ • ⟨x, hx⟩) ≤ c
⊢ r • c ≤ ↑f ⟨x, hx⟩

Tactic:
rwa [← mul_le_mul_left (neg_pos.2 hr), neg_mul, neg_mul, neg_le_neg_iff, f.map_smul,
  smul_eq_mul, ← mul_assoc, mul_inv_cancel₀ hr.ne, one_mul] at this

Result:
no goals

Proof state:
case refine_1
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : ConvexCone ℝ E
f : E →ₗ.[ℝ] ℝ
nonneg : ∀ (x : ↥f.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑f x
dense : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s
hdom : f.domain ≠ ⊤
y : E
hy : y ∉ f.domain
Sp : Set ℝ := ↑f '' {x | ↑x + y ∈ s}
Sn : Set ℝ := ↑f '' {x | -↑x - y ∈ s}
⊢ {x | -↑x - y ∈ s}.Nonempty

Tactic:
rcases dense (-y) with ⟨x, hx⟩

Result:
case refine_1.intro
E : Type u_2
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module ℝ E
s : ConvexCone ℝ E
f : E →ₗ.[ℝ] ℝ
nonneg : ∀ (x : ↥f.domain), ↑x ∈ s → 0 ≤ ↑f x
dense : ∀ (y : E), ∃ x, ↑x + y ∈ s
hdom : f.domain ≠ ⊤
y : E
hy : y ∉ f.domain
Sp : Set ℝ := ↑f '' {x | ↑x + y ∈ s}
Sn : Set ℝ := ↑f '' {x | -↑x - y ∈ s}
x : ↥f.domain
hx : ↑x + -y ∈ s
⊢ {x | -↑x - y ∈ s}.Nonempty