-- Mathlib/Algebra/Homology/ShortComplex/ConcreteCategory.lean
lemma Preadditive.mono_iff_injective' {X Y : C} (f : X ⟶ Y) :
    Mono f ↔ Function.Injective f

Proof state:
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
FC : C → C → Type u_1
CC : C → Type w
inst✝⁶ : (X Y : C) → FunLike (FC X Y) (CC X) (CC Y)
inst✝⁵ : ConcreteCategory C FC
inst✝⁴ : HasForget₂ C Ab
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝¹ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
inst✝ : HasZeroObject C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ Arrow.mk ⇑(ConcreteCategory.hom ((forget₂ C Ab).map f)) ≅ Arrow.mk ⇑(ConcreteCategory.hom f)

Tactic:
have e : forget₂ C Ab ⋙ forget Ab ≅ forget C := eqToIso (HasForget₂.forget_comp)

Result:
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
FC : C → C → Type u_1
CC : C → Type w
inst✝⁶ : (X Y : C) → FunLike (FC X Y) (CC X) (CC Y)
inst✝⁵ : ConcreteCategory C FC
inst✝⁴ : HasForget₂ C Ab
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝¹ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
inst✝ : HasZeroObject C
X Y : C
f : X ⟶ Y
e : forget₂ C Ab ⋙ forget Ab ≅ forget C
⊢ Arrow.mk ⇑(ConcreteCategory.hom ((forget₂ C Ab).map f)) ≅ Arrow.mk ⇑(ConcreteCategory.hom f)

Proof state:
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
FC : C → C → Type u_1
CC : C → Type w
inst✝⁶ : (X Y : C) → FunLike (FC X Y) (CC X) (CC Y)
inst✝⁵ : ConcreteCategory C FC
inst✝⁴ : HasForget₂ C Ab
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝¹ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
inst✝ : HasZeroObject C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ Mono ⇑(ConcreteCategory.hom ((forget₂ C Ab).map f)) ↔ Mono ⇑(ConcreteCategory.hom f)

Tactic:
apply (MorphismProperty.monomorphisms (Type w)).arrow_mk_iso_iff

Result:
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
FC : C → C → Type u_1
CC : C → Type w
inst✝⁶ : (X Y : C) → FunLike (FC X Y) (CC X) (CC Y)
inst✝⁵ : ConcreteCategory C FC
inst✝⁴ : HasForget₂ C Ab
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝¹ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
inst✝ : HasZeroObject C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ Arrow.mk ⇑(ConcreteCategory.hom ((forget₂ C Ab).map f)) ≅ Arrow.mk ⇑(ConcreteCategory.hom f)

Proof state:
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
FC : C → C → Type u_1
CC : C → Type w
inst✝⁶ : (X Y : C) → FunLike (FC X Y) (CC X) (CC Y)
inst✝⁵ : ConcreteCategory C FC
inst✝⁴ : HasForget₂ C Ab
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝¹ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
inst✝ : HasZeroObject C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ Mono f ↔ Function.Injective ⇑(ConcreteCategory.hom f)

Tactic:
simp only [mono_iff_injective, ← CategoryTheory.mono_iff_injective]

Result:
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
FC : C → C → Type u_1
CC : C → Type w
inst✝⁶ : (X Y : C) → FunLike (FC X Y) (CC X) (CC Y)
inst✝⁵ : ConcreteCategory C FC
inst✝⁴ : HasForget₂ C Ab
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝¹ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
inst✝ : HasZeroObject C
X Y : C
f : X ⟶ Y
⊢ Mono ⇑(ConcreteCategory.hom ((forget₂ C Ab).map f)) ↔ Mono ⇑(ConcreteCategory.hom f)

Proof state:
C : Type u
inst✝⁷ : Category.{v, u} C
FC : C → C → Type u_1
CC : C → Type w
inst✝⁶ : (X Y : C) → FunLike (FC X Y) (CC X) (CC Y)
inst✝⁵ : ConcreteCategory C FC
inst✝⁴ : HasForget₂ C Ab
inst✝³ : Preadditive C
inst✝² : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝¹ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
inst✝ : HasZeroObject C
X Y : C
f : X ⟶ Y
e : forget₂ C Ab ⋙ forget Ab ≅ forget C
⊢ Arrow.mk ⇑(ConcreteCategory.hom ((forget₂ C Ab).map f)) ≅ Arrow.mk ⇑(ConcreteCategory.hom f)

Tactic:
exact Arrow.isoOfNatIso e (Arrow.mk f)

Result:
no goals