-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Jacobian.lean
lemma nonsingular_smul (P : Fin 3 → R) {u : R} (hu : IsUnit u) :
    W'.Nonsingular (u • P) ↔ W'.Nonsingular P :=
  have hP {u : R} (hu : IsUnit u) {P : Fin 3 → R} (hP : W'.Nonsingular <| u • P) :
      W'.Nonsingular P

Proof state:
case intro
R : Type r
inst✝ : CommRing R
W' : Jacobian R
P✝ : Fin 3 → R
u✝ : R
hu✝ : IsUnit u✝
u : R
hu : IsUnit u
P : Fin 3 → R
hP✝ : W'.Nonsingular (u • P)
hP : W'.Equation (u • P)
hP' :
  W'.a₁ * (u • P) y * (u • P) z - (3 * (u • P) x ^ 2 + 2 * W'.a₂ * (u • P) x * (u • P) z ^ 2 + W'.a₄ * (u • P) z ^ 4) ≠
      0 ∨
    2 * (u • P) y + W'.a₁ * (u • P) x * (u • P) z + W'.a₃ * (u • P) z ^ 3 ≠ 0 ∨
      W'.a₁ * (u • P) x * (u • P) y + 3 * W'.a₃ * (u • P) y * (u • P) z ^ 2 -
          (2 * W'.a₂ * (u • P) x ^ 2 * (u • P) z + 4 * W'.a₄ * (u • P) x * (u • P) z ^ 3 + 6 * W'.a₆ * (u • P) z ^ 5) ≠
        0
⊢ W'.Nonsingular P

Tactic:
refine (nonsingular_iff P).mpr ⟨(equation_smul P hu).mp hP, ?_⟩

Result:
case intro
R : Type r
inst✝ : CommRing R
W' : Jacobian R
P✝ : Fin 3 → R
u✝ : R
hu✝ : IsUnit u✝
u : R
hu : IsUnit u
P : Fin 3 → R
hP✝ : W'.Nonsingular (u • P)
hP : W'.Equation (u • P)
hP' :
  W'.a₁ * (u • P) y * (u • P) z - (3 * (u • P) x ^ 2 + 2 * W'.a₂ * (u • P) x * (u • P) z ^ 2 + W'.a₄ * (u • P) z ^ 4) ≠
      0 ∨
    2 * (u • P) y + W'.a₁ * (u • P) x * (u • P) z + W'.a₃ * (u • P) z ^ 3 ≠ 0 ∨
      W'.a₁ * (u • P) x * (u • P) y + 3 * W'.a₃ * (u • P) y * (u • P) z ^ 2 -
          (2 * W'.a₂ * (u • P) x ^ 2 * (u • P) z + 4 * W'.a₄ * (u • P) x * (u • P) z ^ 3 + 6 * W'.a₆ * (u • P) z ^ 5) ≠
        0
⊢ W'.a₁ * P y * P z - (3 * P x ^ 2 + 2 * W'.a₂ * P x * P z ^ 2 + W'.a₄ * P z ^ 4) ≠ 0 ∨
    2 * P y + W'.a₁ * P x * P z + W'.a₃ * P z ^ 3 ≠ 0 ∨
      W'.a₁ * P x * P y + 3 * W'.a₃ * P y * P z ^ 2 -
          (2 * W'.a₂ * P x ^ 2 * P z + 4 * W'.a₄ * P x * P z ^ 3 + 6 * W'.a₆ * P z ^ 5) ≠
        0

Proof state:
R : Type r
inst✝ : CommRing R
W' : Jacobian R
P✝ : Fin 3 → R
u✝ : R
hu✝ : IsUnit u✝
u : R
hu : IsUnit u
P : Fin 3 → R
hP✝ : W'.Nonsingular (u • P)
hP : W'.Equation (u • P)
hP' :
  W'.a₁ * P y * P z - (3 * P x ^ 2 + 2 * W'.a₂ * P x * P z ^ 2 + W'.a₄ * P z ^ 4) = 0 ∧
    2 * P y + W'.a₁ * P x * P z + W'.a₃ * P z ^ 3 = 0 ∧
      W'.a₁ * P x * P y + 3 * W'.a₃ * P y * P z ^ 2 -
          (2 * W'.a₂ * P x ^ 2 * P z + 4 * W'.a₄ * P x * P z ^ 3 + 6 * W'.a₆ * P z ^ 5) =
        0
⊢ 2 * (u ^ 3 * P y) + W'.a₁ * (u ^ 2 * P x) * (u * P z) + W'.a₃ * (u * P z) ^ 3 = 0

Tactic:
linear_combination (norm := ring1) u ^ 3 * hP'.right.left

Result:
no goals

Proof state:
R : Type r
inst✝ : CommRing R
W' : Jacobian R
P : Fin 3 → R
u : R
hu : IsUnit u
hP : ∀ {u : R}, IsUnit u → ∀ {P : Fin 3 → R}, W'.Nonsingular (u • P) → W'.Nonsingular P
h : W'.Nonsingular P
⊢ W'.Nonsingular (↑hu.unit⁻¹ • u • P)

Tactic:
rwa [smul_smul, hu.val_inv_mul, one_smul]

Result:
no goals

Proof state:
R : Type r
inst✝ : CommRing R
W' : Jacobian R
P✝ : Fin 3 → R
u✝ : R
hu✝ : IsUnit u✝
u : R
hu : IsUnit u
P : Fin 3 → R
hP✝ : W'.Nonsingular (u • P)
hP : W'.Equation (u • P)
hP' :
  W'.a₁ * P y * P z - (3 * P x ^ 2 + 2 * W'.a₂ * P x * P z ^ 2 + W'.a₄ * P z ^ 4) = 0 ∧
    2 * P y + W'.a₁ * P x * P z + W'.a₃ * P z ^ 3 = 0 ∧
      W'.a₁ * P x * P y + 3 * W'.a₃ * P y * P z ^ 2 -
          (2 * W'.a₂ * P x ^ 2 * P z + 4 * W'.a₄ * P x * P z ^ 3 + 6 * W'.a₆ * P z ^ 5) =
        0
⊢ W'.a₁ * (u ^ 3 * P y) * (u * P z) -
      (3 * (u ^ 2 * P x) ^ 2 + 2 * W'.a₂ * (u ^ 2 * P x) * (u * P z) ^ 2 + W'.a₄ * (u * P z) ^ 4) =
    0

Tactic:
linear_combination (norm := ring1) u ^ 4 * hP'.left

Result:
no goals