-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Atlas.lean
theorem isLocalStructomorphOn_contDiffGroupoid_iff_aux {f : PartialHomeomorph M M'}
    (hf : LiftPropOn (contDiffGroupoid n I).IsLocalStructomorphWithinAt f f.source) :
    ContMDiffOn I I n f f.source

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
n : WithTop ℕ∞
inst✝² : IsManifold I n M
M' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : IsManifold I n M'
f : PartialHomeomorph M M'
hf : LiftPropOn (contDiffGroupoid n I).IsLocalStructomorphWithinAt (↑f) f.source
x : M
hx : x ∈ f.source
c : PartialHomeomorph M H := chartAt H x
c' : PartialHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hxf :
  (contDiffGroupoid n I).IsLocalStructomorphWithinAt (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(chartAt H x).symm)
    (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
e : PartialHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid n I
he' : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑c.symm) (↑e) (↑c.symm ⁻¹' f.source ∩ e.source)
hex : ↑c x ∈ e.source
s : Set M := (f ≫ₕ c').source ∩ ((c ≫ₕ e) ≫ₕ c'.symm).source
⊢ ContMDiffOn I I n (↑c'.symm ∘ ↑e ∘ ↑c) s

Tactic:
have hc' : ContMDiffOn I I n c'.symm _ := contMDiffOn_chart_symm

Result:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
n : WithTop ℕ∞
inst✝² : IsManifold I n M
M' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : IsManifold I n M'
f : PartialHomeomorph M M'
hf : LiftPropOn (contDiffGroupoid n I).IsLocalStructomorphWithinAt (↑f) f.source
x : M
hx : x ∈ f.source
c : PartialHomeomorph M H := chartAt H x
c' : PartialHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hxf :
  (contDiffGroupoid n I).IsLocalStructomorphWithinAt (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(chartAt H x).symm)
    (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
e : PartialHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid n I
he' : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑c.symm) (↑e) (↑c.symm ⁻¹' f.source ∩ e.source)
hex : ↑c x ∈ e.source
s : Set M := (f ≫ₕ c').source ∩ ((c ≫ₕ e) ≫ₕ c'.symm).source
hc' : ContMDiffOn I I n (↑c'.symm) (chartAt H (↑f x)).target
⊢ ContMDiffOn I I n (↑c'.symm ∘ ↑e ∘ ↑c) s

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
n : WithTop ℕ∞
inst✝² : IsManifold I n M
M' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : IsManifold I n M'
f : PartialHomeomorph M M'
hf : LiftPropOn (contDiffGroupoid n I).IsLocalStructomorphWithinAt (↑f) f.source
x : M
hx : x ∈ f.source
c : PartialHomeomorph M H := chartAt H x
c' : PartialHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hxf :
  (contDiffGroupoid n I).IsLocalStructomorphWithinAt (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(chartAt H x).symm)
    (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
e : PartialHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid n I
he' : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑c.symm) (↑e) (↑c.symm ⁻¹' f.source ∩ e.source)
hex : ↑c x ∈ e.source
s : Set M := (f ≫ₕ c').source ∩ ((c ≫ₕ e) ≫ₕ c'.symm).source
H₁ : ContMDiffOn I I n (↑c'.symm ∘ ↑e ∘ ↑c) s
y : M
hy : (y ∈ f.source ∧ ↑f y ∈ c'.source) ∧ (y ∈ c.source ∧ ↑c y ∈ e.source) ∧ ↑e (↑c y) ∈ c'.target
hy₁ : ↑f y ∈ c'.source
hy₂ : y ∈ c.source
⊢ ↑c y ∈ ↑c.symm ⁻¹' f.source ∩ e.source

Tactic:
simp only [hy, mfld_simps]

Result:
no goals

Proof state:
case h.mk.intro.intro.intro.refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
n : WithTop ℕ∞
inst✝² : IsManifold I n M
M' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : IsManifold I n M'
f : PartialHomeomorph M M'
hf : LiftPropOn (contDiffGroupoid n I).IsLocalStructomorphWithinAt (↑f) f.source
x : M
hx : x ∈ f.source
c : PartialHomeomorph M H := chartAt H x
c' : PartialHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hxf :
  (contDiffGroupoid n I).IsLocalStructomorphWithinAt (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(chartAt H x).symm)
    (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
e : PartialHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid n I
he' : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑c.symm) (↑e) (↑c.symm ⁻¹' f.source ∩ e.source)
hex : ↑c x ∈ e.source
s : Set M := (f ≫ₕ c').source ∩ ((c ≫ₕ e) ≫ₕ c'.symm).source
⊢ ContMDiffOn I I n (↑f) (f.source ∩ s)

Tactic:
have H₁ : ContMDiffOn I I n (c'.symm ∘ e ∘ c) s := by
  have hc' : ContMDiffOn I I n c'.symm _ := contMDiffOn_chart_symm
  have he'' : ContMDiffOn I I n e _ := contMDiffOn_of_mem_contDiffGroupoid he
  have hc : ContMDiffOn I I n c _ := contMDiffOn_chart
  refine (hc'.comp' (he''.comp' hc)).mono ?_
  dsimp [s, c, c']
  mfld_set_tac

Result:
case h.mk.intro.intro.intro.refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
n : WithTop ℕ∞
inst✝² : IsManifold I n M
M' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : IsManifold I n M'
f : PartialHomeomorph M M'
hf : LiftPropOn (contDiffGroupoid n I).IsLocalStructomorphWithinAt (↑f) f.source
x : M
hx : x ∈ f.source
c : PartialHomeomorph M H := chartAt H x
c' : PartialHomeomorph M' H := chartAt H (↑f x)
hxf :
  (contDiffGroupoid n I).IsLocalStructomorphWithinAt (↑(chartAt H (↑f x)) ∘ ↑f ∘ ↑(chartAt H x).symm)
    (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' f.source) (↑(chartAt H x) x)
e : PartialHomeomorph H H
he : e ∈ contDiffGroupoid n I
he' : EqOn (↑c' ∘ ↑f ∘ ↑c.symm) (↑e) (↑c.symm ⁻¹' f.source ∩ e.source)
hex : ↑c x ∈ e.source
s : Set M := (f ≫ₕ c').source ∩ ((c ≫ₕ e) ≫ₕ c'.symm).source
H₁ : ContMDiffOn I I n (↑c'.symm ∘ ↑e ∘ ↑c) s
⊢ ContMDiffOn I I n (↑f) (f.source ∩ s)

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
n : WithTop ℕ∞
inst✝² : IsManifold I n M
M' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : IsManifold I n M'
f : PartialHomeomorph M M'
hf : LiftPropOn (contDiffGroupoid n I).IsLocalStructomorphWithinAt (↑f) f.source
⊢ ContMDiffOn I I n (↑f) f.source

Tactic:
apply contMDiffOn_of_locally_contMDiffOn

Result:
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
inst✝³ : ChartedSpace H M
n : WithTop ℕ∞
inst✝² : IsManifold I n M
M' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H M'
IsM' : IsManifold I n M'
f : PartialHomeomorph M M'
hf : LiftPropOn (contDiffGroupoid n I).IsLocalStructomorphWithinAt (↑f) f.source
⊢ ∀ x ∈ f.source, ∃ u, IsOpen u ∧ x ∈ u ∧ ContMDiffOn I I n (↑f) (f.source ∩ u)