-- Mathlib/Topology/Order/Basic.lean
theorem countable_setOf_covBy_right [OrderTopology α] [SecondCountableTopology α] :
    Set.Countable { x : α | ∃ y, x ⋖ y }

Proof state:
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
a✝ : Nontrivial α
s : Set α := {x | ∃ y, x ⋖ y}
y : α → α
hy : ∀ x ∈ s, x ⋖ y x
Hy : ∀ (x z : α), x ∈ s → z < y x → z ≤ x
⊢ {x | ∃ y, x ⋖ y}.Countable

Tactic:
suffices H : ∀ a : Set α, IsOpen a → Set.Countable { x | x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a } by
  have : s ⊆ ⋃ a ∈ countableBasis α, { x | x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a } := fun x hx => by
    rcases (isBasis_countableBasis α).exists_mem_of_ne (hy x hx).ne with ⟨a, ab, xa, ya⟩
    exact mem_iUnion₂.2 ⟨a, ab, hx, xa, ya⟩
  refine Set.Countable.mono this ?_
  refine Countable.biUnion (countable_countableBasis α) fun a ha => H _ ?_
  exact isOpen_of_mem_countableBasis ha

Result:
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
a✝ : Nontrivial α
s : Set α := {x | ∃ y, x ⋖ y}
y : α → α
hy : ∀ x ∈ s, x ⋖ y x
Hy : ∀ (x z : α), x ∈ s → z < y x → z ≤ x
⊢ ∀ (a : Set α), IsOpen a → {x | x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a}.Countable

Proof state:
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
a✝ : Nontrivial α
s : Set α := {x | ∃ y, x ⋖ y}
y : α → α
hy : ∀ x ∈ s, x ⋖ y x
Hy : ∀ (x z : α), x ∈ s → z < y x → z ≤ x
a : Set α
ha : IsOpen a
t : Set α := {x | x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a ∧ ¬IsBot x}
x : α
hx : x ∈ t
⊢ ∃ z < x, Ioc z x ⊆ a

Tactic:
apply exists_Ioc_subset_of_mem_nhds (ha.mem_nhds hx.2.1)

Result:
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
a✝ : Nontrivial α
s : Set α := {x | ∃ y, x ⋖ y}
y : α → α
hy : ∀ x ∈ s, x ⋖ y x
Hy : ∀ (x z : α), x ∈ s → z < y x → z ≤ x
a : Set α
ha : IsOpen a
t : Set α := {x | x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a ∧ ¬IsBot x}
x : α
hx : x ∈ t
⊢ ∃ l, l < x

Proof state:
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
a✝ : Nontrivial α
s : Set α := {x | ∃ y, x ⋖ y}
y : α → α
hy : ∀ x ∈ s, x ⋖ y x
Hy : ∀ (x z : α), x ∈ s → z < y x → z ≤ x
a : Set α
ha : IsOpen a
t : Set α := {x | x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a ∧ ¬IsBot x}
this : ∀ x ∈ t, ∃ z < x, Ioc z x ⊆ a
⊢ {x | x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a ∧ ¬IsBot x}.Countable

Tactic:
choose! z hz h'z using this

Result:
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
a✝ : Nontrivial α
s : Set α := {x | ∃ y, x ⋖ y}
y : α → α
hy : ∀ x ∈ s, x ⋖ y x
Hy : ∀ (x z : α), x ∈ s → z < y x → z ≤ x
a : Set α
ha : IsOpen a
t : Set α := {x | x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a ∧ ¬IsBot x}
z : α → α
hz : ∀ x ∈ t, z x < x
h'z : ∀ x ∈ t, Ioc (z x) x ⊆ a
⊢ {x | x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a ∧ ¬IsBot x}.Countable

Proof state:
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
a✝ : Nontrivial α
s : Set α := {x | ∃ y, x ⋖ y}
y : α → α
hy : ∀ x ∈ s, x ⋖ y x
Hy : ∀ (x z : α), x ∈ s → z < y x → z ≤ x
⊢ ∀ (a : Set α), IsOpen a → {x | x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a}.Countable

Tactic:
intro a ha

Result:
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
a✝ : Nontrivial α
s : Set α := {x | ∃ y, x ⋖ y}
y : α → α
hy : ∀ x ∈ s, x ⋖ y x
Hy : ∀ (x z : α), x ∈ s → z < y x → z ≤ x
a : Set α
ha : IsOpen a
⊢ {x | x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a}.Countable

Proof state:
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
a✝ : Nontrivial α
s : Set α := {x | ∃ y, x ⋖ y}
y : α → α
hy : ∀ x ∈ s, x ⋖ y x
Hy : ∀ (x z : α), x ∈ s → z < y x → z ≤ x
H : ∀ (a : Set α), IsOpen a → {x | x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a}.Countable
this : s ⊆ ⋃ a ∈ countableBasis α, {x | x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a}
⊢ {x | ∃ y, x ⋖ y}.Countable

Tactic:
refine Set.Countable.mono this ?_

Result:
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
a✝ : Nontrivial α
s : Set α := {x | ∃ y, x ⋖ y}
y : α → α
hy : ∀ x ∈ s, x ⋖ y x
Hy : ∀ (x z : α), x ∈ s → z < y x → z ≤ x
H : ∀ (a : Set α), IsOpen a → {x | x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a}.Countable
this : s ⊆ ⋃ a ∈ countableBasis α, {x | x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a}
⊢ (⋃ a ∈ countableBasis α, {x | x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a}).Countable

Proof state:
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
a✝ : Nontrivial α
s : Set α := {x | ∃ y, x ⋖ y}
y : α → α
hy : ∀ x ∈ s, x ⋖ y x
Hy : ∀ (x z : α), x ∈ s → z < y x → z ≤ x
a : Set α
ha : IsOpen a
t : Set α := {x | x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a ∧ ¬IsBot x}
z : α → α
hz : ∀ x ∈ t, z x < x
h'z : ∀ x ∈ t, Ioc (z x) x ⊆ a
x : α
xt : x ∈ t
x' : α
x't : x' ∈ t
hxx' : x ≠ x'
⊢ (Disjoint on fun x => Ioc (z x) x) x x'

Tactic:
rcases hxx'.lt_or_lt with (h' | h')

Result:
case inl
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
a✝ : Nontrivial α
s : Set α := {x | ∃ y, x ⋖ y}
y : α → α
hy : ∀ x ∈ s, x ⋖ y x
Hy : ∀ (x z : α), x ∈ s → z < y x → z ≤ x
a : Set α
ha : IsOpen a
t : Set α := {x | x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a ∧ ¬IsBot x}
z : α → α
hz : ∀ x ∈ t, z x < x
h'z : ∀ x ∈ t, Ioc (z x) x ⊆ a
x : α
xt : x ∈ t
x' : α
x't : x' ∈ t
hxx' : x ≠ x'
h' : x < x'
⊢ (Disjoint on fun x => Ioc (z x) x) x x'

case inr
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
a✝ : Nontrivial α
s : Set α := {x | ∃ y, x ⋖ y}
y : α → α
hy : ∀ x ∈ s, x ⋖ y x
Hy : ∀ (x z : α), x ∈ s → z < y x → z ≤ x
a : Set α
ha : IsOpen a
t : Set α := {x | x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a ∧ ¬IsBot x}
z : α → α
hz : ∀ x ∈ t, z x < x
h'z : ∀ x ∈ t, Ioc (z x) x ⊆ a
x : α
xt : x ∈ t
x' : α
x't : x' ∈ t
hxx' : x ≠ x'
h' : x' < x
⊢ (Disjoint on fun x => Ioc (z x) x) x x'

Proof state:
case intro.intro.intro
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
a✝ : Nontrivial α
s : Set α := {x | ∃ y, x ⋖ y}
y : α → α
hy : ∀ x ∈ s, x ⋖ y x
Hy : ∀ (x z : α), x ∈ s → z < y x → z ≤ x
H : ∀ (a : Set α), IsOpen a → {x | x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a}.Countable
x : α
hx : x ∈ s
a : Set α
ab : a ∈ countableBasis α
xa : x ∈ a
ya : y x ∉ a
⊢ x ∈ ⋃ a ∈ countableBasis α, {x | x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a}

Tactic:
exact mem_iUnion₂.2 ⟨a, ab, hx, xa, ya⟩

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
a✝ : Nontrivial α
s : Set α := {x | ∃ y, x ⋖ y}
y : α → α
hy : ∀ x ∈ s, x ⋖ y x
Hy : ∀ (x z : α), x ∈ s → z < y x → z ≤ x
a : Set α
ha : IsOpen a
t : Set α := {x | x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a ∧ ¬IsBot x}
z : α → α
hz : ∀ x ∈ t, z x < x
h'z : ∀ x ∈ t, Ioc (z x) x ⊆ a
this : t.PairwiseDisjoint fun x => Ioc (z x) x
x : α
hx : x ∈ t
H : Ioc (z x) x = Ioo (z x) (y x)
⊢ IsOpen (Ioo (z x) (y x))

Tactic:
exact isOpen_Ioo

Result:
no goals