-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
lemma chainLength_of_eq_zsmul_add (β' : Weight K H L) (n : ℤ) (hβ' : (β' : H → K) = n • α + β) :
    chainLength α β' = chainLength α β

Proof state:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β β' : Weight K (↥H) L
n : ℤ
hβ' : ⇑β' = n • ⇑α + ⇑β
⊢ chainLength α β' = chainLength α β

Tactic:
by_cases hα : α.IsZero

Result:
case pos
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β β' : Weight K (↥H) L
n : ℤ
hβ' : ⇑β' = n • ⇑α + ⇑β
hα : α.IsZero
⊢ chainLength α β' = chainLength α β

case neg
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β β' : Weight K (↥H) L
n : ℤ
hβ' : ⇑β' = n • ⇑α + ⇑β
hα : ¬α.IsZero
⊢ chainLength α β' = chainLength α β

Proof state:
case neg.a
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β β' : Weight K (↥H) L
n : ℤ
hβ' : ⇑β' = n • ⇑α + ⇑β
hα : ¬α.IsZero
⊢ ↑(chainLength α β') = ↑(chainLength α β)

Tactic:
rw [← chainTopCoeff_add_chainBotCoeff, ← chainTopCoeff_add_chainBotCoeff,
  Nat.cast_add, Nat.cast_add, chainTopCoeff_of_eq_zsmul_add α β hα β' n hβ',
  chainBotCoeff_of_eq_zsmul_add α β hα β' n hβ', sub_eq_add_neg, add_add_add_comm,
  neg_add_cancel, add_zero]

Result:
no goals

Proof state:
case neg
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β β' : Weight K (↥H) L
n : ℤ
hβ' : ⇑β' = n • ⇑α + ⇑β
hα : ¬α.IsZero
⊢ chainLength α β' = chainLength α β

Tactic:
apply Nat.cast_injective (R := ℤ)

Result:
case neg.a
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β β' : Weight K (↥H) L
n : ℤ
hβ' : ⇑β' = n • ⇑α + ⇑β
hα : ¬α.IsZero
⊢ ↑(chainLength α β') = ↑(chainLength α β)

Proof state:
case pos
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β β' : Weight K (↥H) L
n : ℤ
hβ' : ⇑β' = n • ⇑α + ⇑β
hα : α.IsZero
⊢ chainLength α β' = chainLength α β

Tactic:
rw [chainLength_of_isZero _ _ hα, chainLength_of_isZero _ _ hα]

Result:
no goals