-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Polynomial.lean
theorem Polynomial.flt_catalan_deriv
    {p q r : ℕ} (hp : 0 < p) (hq : 0 < q) (hr : 0 < r)
    (hineq : q * r + r * p + p * q ≤ p * q * r)
    (chp : (p : k) ≠ 0) (chq : (q : k) ≠ 0) (chr : (r : k) ≠ 0)
    {a b c : k[X]} (ha : a ≠ 0) (hb : b ≠ 0) (hc : c ≠ 0)
    (hab : IsCoprime a b) {u v w : k} (hu : u ≠ 0) (hv : v ≠ 0) (hw : w ≠ 0)
    (heq : C u * a ^ p + C v * b ^ q + C w * c ^ r = 0) :
    derivative a = 0 ∧ derivative b = 0 ∧ derivative c = 0

Proof state:
case inl.intro.intro
k : Type u_1
inst✝ : Field k
p q r : ℕ
hp : 0 < p
hq : 0 < q
hr : 0 < r
hineq : q * r + r * p + p * q ≤ p * q * r
chp : ↑p ≠ 0
chq : ↑q ≠ 0
chr : ↑r ≠ 0
a b c : k[X]
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hc : c ≠ 0
hab : IsCoprime a b
u v w : k
hu : u ≠ 0
hv : v ≠ 0
hw : w ≠ 0
heq : C u * a ^ p + C v * b ^ q + C w * c ^ r = 0
hbc : IsCoprime b c
hca : IsCoprime c a
hCu : C u ≠ 0
hCv : C v ≠ 0
hCw : C w ≠ 0
hap : a ^ p ≠ 0
hbq : b ^ q ≠ 0
hcr : c ^ r ≠ 0
habp : IsCoprime (C u * a ^ p) (C v * b ^ q)
hbcp : IsCoprime (C v * b ^ q) (C w * c ^ r)
hcap : IsCoprime (C w * c ^ r) (C u * a ^ p)
habcp : IsCoprime (C u * a ^ p * (C v * b ^ q)) (C w * c ^ r)
hpa' : p * a.natDegree + 1 ≤ (radical (a * b * c)).natDegree
hqb' : q * b.natDegree + 1 ≤ (radical (a * b * c)).natDegree
hrc' : r * c.natDegree + 1 ≤ (radical (a * b * c)).natDegree
hpa : p * a.natDegree + 1 ≤ (a * b * c).natDegree
hqb : q * b.natDegree + 1 ≤ (a * b * c).natDegree
hrc : r * c.natDegree + 1 ≤ (a * b * c).natDegree
⊢ derivative a = 0 ∧ derivative b = 0 ∧ derivative c = 0

Tactic:
rw [natDegree_mul (mul_ne_zero ha hb) hc,
  natDegree_mul ha hb, Nat.add_one_le_iff] at hpa hqb hrc

Result:
case inl.intro.intro
k : Type u_1
inst✝ : Field k
p q r : ℕ
hp : 0 < p
hq : 0 < q
hr : 0 < r
hineq : q * r + r * p + p * q ≤ p * q * r
chp : ↑p ≠ 0
chq : ↑q ≠ 0
chr : ↑r ≠ 0
a b c : k[X]
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hc : c ≠ 0
hab : IsCoprime a b
u v w : k
hu : u ≠ 0
hv : v ≠ 0
hw : w ≠ 0
heq : C u * a ^ p + C v * b ^ q + C w * c ^ r = 0
hbc : IsCoprime b c
hca : IsCoprime c a
hCu : C u ≠ 0
hCv : C v ≠ 0
hCw : C w ≠ 0
hap : a ^ p ≠ 0
hbq : b ^ q ≠ 0
hcr : c ^ r ≠ 0
habp : IsCoprime (C u * a ^ p) (C v * b ^ q)
hbcp : IsCoprime (C v * b ^ q) (C w * c ^ r)
hcap : IsCoprime (C w * c ^ r) (C u * a ^ p)
habcp : IsCoprime (C u * a ^ p * (C v * b ^ q)) (C w * c ^ r)
hpa' : p * a.natDegree + 1 ≤ (radical (a * b * c)).natDegree
hqb' : q * b.natDegree + 1 ≤ (radical (a * b * c)).natDegree
hrc' : r * c.natDegree + 1 ≤ (radical (a * b * c)).natDegree
hpa : p * a.natDegree < a.natDegree + b.natDegree + c.natDegree
hqb : q * b.natDegree < a.natDegree + b.natDegree + c.natDegree
hrc : r * c.natDegree < a.natDegree + b.natDegree + c.natDegree
⊢ derivative a = 0 ∧ derivative b = 0 ∧ derivative c = 0

Proof state:
case inl.intro.intro
k : Type u_1
inst✝ : Field k
p q r : ℕ
hp : 0 < p
hq : 0 < q
hr : 0 < r
hineq : q * r + r * p + p * q ≤ p * q * r
chp : ↑p ≠ 0
chq : ↑q ≠ 0
chr : ↑r ≠ 0
a b c : k[X]
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hc : c ≠ 0
hab : IsCoprime a b
u v w : k
hu : u ≠ 0
hv : v ≠ 0
hw : w ≠ 0
heq : C u * a ^ p + C v * b ^ q + C w * c ^ r = 0
hbc : IsCoprime b c
hca : IsCoprime c a
hCu : C u ≠ 0
hCv : C v ≠ 0
hCw : C w ≠ 0
hap : a ^ p ≠ 0
hbq : b ^ q ≠ 0
hcr : c ^ r ≠ 0
habp : IsCoprime (C u * a ^ p) (C v * b ^ q)
hbcp : IsCoprime (C v * b ^ q) (C w * c ^ r)
hcap : IsCoprime (C w * c ^ r) (C u * a ^ p)
habcp : IsCoprime (C u * a ^ p * (C v * b ^ q)) (C w * c ^ r)
hpa' : p * a.natDegree + 1 ≤ (radical (a * b * c)).natDegree
hqb' : q * b.natDegree + 1 ≤ (radical (a * b * c)).natDegree
hrc' : r * c.natDegree + 1 ≤ (radical (a * b * c)).natDegree
hpa : p * a.natDegree + 1 ≤ (a * b * c).natDegree
⊢ derivative a = 0 ∧ derivative b = 0 ∧ derivative c = 0

Tactic:
have hqb := hqb'.trans natDegree_radical_le

Result:
case inl.intro.intro
k : Type u_1
inst✝ : Field k
p q r : ℕ
hp : 0 < p
hq : 0 < q
hr : 0 < r
hineq : q * r + r * p + p * q ≤ p * q * r
chp : ↑p ≠ 0
chq : ↑q ≠ 0
chr : ↑r ≠ 0
a b c : k[X]
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hc : c ≠ 0
hab : IsCoprime a b
u v w : k
hu : u ≠ 0
hv : v ≠ 0
hw : w ≠ 0
heq : C u * a ^ p + C v * b ^ q + C w * c ^ r = 0
hbc : IsCoprime b c
hca : IsCoprime c a
hCu : C u ≠ 0
hCv : C v ≠ 0
hCw : C w ≠ 0
hap : a ^ p ≠ 0
hbq : b ^ q ≠ 0
hcr : c ^ r ≠ 0
habp : IsCoprime (C u * a ^ p) (C v * b ^ q)
hbcp : IsCoprime (C v * b ^ q) (C w * c ^ r)
hcap : IsCoprime (C w * c ^ r) (C u * a ^ p)
habcp : IsCoprime (C u * a ^ p * (C v * b ^ q)) (C w * c ^ r)
hpa' : p * a.natDegree + 1 ≤ (radical (a * b * c)).natDegree
hqb' : q * b.natDegree + 1 ≤ (radical (a * b * c)).natDegree
hrc' : r * c.natDegree + 1 ≤ (radical (a * b * c)).natDegree
hpa : p * a.natDegree + 1 ≤ (a * b * c).natDegree
hqb : q * b.natDegree + 1 ≤ (a * b * c).natDegree
⊢ derivative a = 0 ∧ derivative b = 0 ∧ derivative c = 0

Proof state:
k : Type u_1
inst✝ : Field k
p q r : ℕ
hp : 0 < p
hq : 0 < q
hr : 0 < r
hineq : q * r + r * p + p * q ≤ p * q * r
chp : ↑p ≠ 0
chq : ↑q ≠ 0
chr : ↑r ≠ 0
a b c : k[X]
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hc : c ≠ 0
hab : IsCoprime a b
u v w : k
hu : u ≠ 0
hv : v ≠ 0
hw : w ≠ 0
heq : C u * a ^ p + C v * b ^ q + C w * c ^ r = 0
hbc : IsCoprime b c
hca : IsCoprime c a
hCu : C u ≠ 0
hCv : C v ≠ 0
hCw : C w ≠ 0
hap : a ^ p ≠ 0
hbq : b ^ q ≠ 0
⊢ derivative a = 0 ∧ derivative b = 0 ∧ derivative c = 0

Tactic:
have hcr := pow_ne_zero r hc

Result:
k : Type u_1
inst✝ : Field k
p q r : ℕ
hp : 0 < p
hq : 0 < q
hr : 0 < r
hineq : q * r + r * p + p * q ≤ p * q * r
chp : ↑p ≠ 0
chq : ↑q ≠ 0
chr : ↑r ≠ 0
a b c : k[X]
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hc : c ≠ 0
hab : IsCoprime a b
u v w : k
hu : u ≠ 0
hv : v ≠ 0
hw : w ≠ 0
heq : C u * a ^ p + C v * b ^ q + C w * c ^ r = 0
hbc : IsCoprime b c
hca : IsCoprime c a
hCu : C u ≠ 0
hCv : C v ≠ 0
hCw : C w ≠ 0
hap : a ^ p ≠ 0
hbq : b ^ q ≠ 0
hcr : c ^ r ≠ 0
⊢ derivative a = 0 ∧ derivative b = 0 ∧ derivative c = 0

Proof state:
k : Type u_1
inst✝ : Field k
p q r : ℕ
hp : 0 < p
hq : 0 < q
hr : 0 < r
hineq : q * r + r * p + p * q ≤ p * q * r
chp : ↑p ≠ 0
chq : ↑q ≠ 0
chr : ↑r ≠ 0
a b c : k[X]
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hc : c ≠ 0
hab : IsCoprime a b
u v w : k
hu : u ≠ 0
hv : v ≠ 0
hw : w ≠ 0
heq : C u * a ^ p + C v * b ^ q + C w * c ^ r = 0
hbc : IsCoprime b c
hca : IsCoprime c a
hCu : C u ≠ 0
hCv : C v ≠ 0
hCw : C w ≠ 0
hap : a ^ p ≠ 0
⊢ derivative a = 0 ∧ derivative b = 0 ∧ derivative c = 0

Tactic:
have hbq := pow_ne_zero q hb

Result:
k : Type u_1
inst✝ : Field k
p q r : ℕ
hp : 0 < p
hq : 0 < q
hr : 0 < r
hineq : q * r + r * p + p * q ≤ p * q * r
chp : ↑p ≠ 0
chq : ↑q ≠ 0
chr : ↑r ≠ 0
a b c : k[X]
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hc : c ≠ 0
hab : IsCoprime a b
u v w : k
hu : u ≠ 0
hv : v ≠ 0
hw : w ≠ 0
heq : C u * a ^ p + C v * b ^ q + C w * c ^ r = 0
hbc : IsCoprime b c
hca : IsCoprime c a
hCu : C u ≠ 0
hCv : C v ≠ 0
hCw : C w ≠ 0
hap : a ^ p ≠ 0
hbq : b ^ q ≠ 0
⊢ derivative a = 0 ∧ derivative b = 0 ∧ derivative c = 0

Proof state:
k : Type u_1
inst✝ : Field k
p q r : ℕ
hp : 0 < p
hq : 0 < q
hr : 0 < r
hineq : q * r + r * p + p * q ≤ p * q * r
chp : ↑p ≠ 0
chq : ↑q ≠ 0
chr : ↑r ≠ 0
a b c : k[X]
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hc : c ≠ 0
hab : IsCoprime a b
u v w : k
hu : u ≠ 0
hv : v ≠ 0
hw : w ≠ 0
heq : C u * a ^ p + C v * b ^ q + C w * c ^ r = 0
hbc : IsCoprime b c
hca : IsCoprime c a
hCu : C u ≠ 0
hCv : C v ≠ 0
hCw : C w ≠ 0
hap : a ^ p ≠ 0
hbq : b ^ q ≠ 0
hcr : c ^ r ≠ 0
habp : IsCoprime (C u * a ^ p) (C v * b ^ q)
⊢ IsCoprime (C v * b ^ q) (C w * c ^ r)

Tactic:
rw [isCoprime_mul_units_left hv.isUnit_C hw.isUnit_C]

Result:
k : Type u_1
inst✝ : Field k
p q r : ℕ
hp : 0 < p
hq : 0 < q
hr : 0 < r
hineq : q * r + r * p + p * q ≤ p * q * r
chp : ↑p ≠ 0
chq : ↑q ≠ 0
chr : ↑r ≠ 0
a b c : k[X]
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
hc : c ≠ 0
hab : IsCoprime a b
u v w : k
hu : u ≠ 0
hv : v ≠ 0
hw : w ≠ 0
heq : C u * a ^ p + C v * b ^ q + C w * c ^ r = 0
hbc : IsCoprime b c
hca : IsCoprime c a
hCu : C u ≠ 0
hCv : C v ≠ 0
hCw : C w ≠ 0
hap : a ^ p ≠ 0
hbq : b ^ q ≠ 0
hcr : c ^ r ≠ 0
habp : IsCoprime (C u * a ^ p) (C v * b ^ q)
⊢ IsCoprime (b ^ q) (c ^ r)