-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
theorem isIdealMorphism_iff : f.IsIdealMorphism ↔ ∀ (x : L') (y : L), ∃ z : L, ⁅x, f y⁆ = f z

Proof state:
case mp.intro
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
inst✝ : LieAlgebra R L
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
h : ∀ (x m : L') (x_1 : L), f x_1 = m → ∃ y, f y = ⁅x, m⁆
x : L'
y z : L
hz : f z = ⁅x, f y⁆
⊢ ∃ z, ⁅x, f y⁆ = f z

Tactic:
use z

Result:
case h
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
inst✝ : LieAlgebra R L
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
h : ∀ (x m : L') (x_1 : L), f x_1 = m → ∃ y, f y = ⁅x, m⁆
x : L'
y z : L
hz : f z = ⁅x, f y⁆
⊢ ⁅x, f y⁆ = f z

Proof state:
case mpr
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
inst✝ : LieAlgebra R L
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
⊢ (∀ (x : L') (y : L), ∃ z, ⁅x, f y⁆ = f z) → ∀ (x m : L') (x_1 : L), f x_1 = m → ∃ y, f y = ⁅x, m⁆

Tactic:
intro h x y z hz

Result:
case mpr
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
inst✝ : LieAlgebra R L
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
h : ∀ (x : L') (y : L), ∃ z, ⁅x, f y⁆ = f z
x y : L'
z : L
hz : f z = y
⊢ ∃ y_1, f y_1 = ⁅x, y⁆

Proof state:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
inst✝ : LieAlgebra R L
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
⊢ (∀ (x m : L') (x_1 : L), f x_1 = m → ∃ y, f y = ⁅x, m⁆) ↔ ∀ (x : L') (y : L), ∃ z, ⁅x, f y⁆ = f z

Tactic:
constructor

Result:
case mp
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
inst✝ : LieAlgebra R L
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
⊢ (∀ (x m : L') (x_1 : L), f x_1 = m → ∃ y, f y = ⁅x, m⁆) → ∀ (x : L') (y : L), ∃ z, ⁅x, f y⁆ = f z

case mpr
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
inst✝ : LieAlgebra R L
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
⊢ (∀ (x : L') (y : L), ∃ z, ⁅x, f y⁆ = f z) → ∀ (x m : L') (x_1 : L), f x_1 = m → ∃ y, f y = ⁅x, m⁆

Proof state:
case mpr
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
inst✝ : LieAlgebra R L
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
h : ∀ (x : L') (y : L), ∃ z, ⁅x, f y⁆ = f z
x y : L'
z : L
hz : f z = y
⊢ ∃ y_1, f y_1 = ⁅x, y⁆

Tactic:
obtain ⟨w, hw⟩ := h x z

Result:
case mpr.intro
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
inst✝ : LieAlgebra R L
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
h : ∀ (x : L') (y : L), ∃ z, ⁅x, f y⁆ = f z
x y : L'
z : L
hz : f z = y
w : L
hw : ⁅x, f z⁆ = f w
⊢ ∃ y_1, f y_1 = ⁅x, y⁆

Proof state:
case mp
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
inst✝ : LieAlgebra R L
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
h : ∀ (x m : L') (x_1 : L), f x_1 = m → ∃ y, f y = ⁅x, m⁆
x : L'
y : L
⊢ ∃ z, ⁅x, f y⁆ = f z

Tactic:
obtain ⟨z, hz⟩ := h x (f y) y rfl

Result:
case mp.intro
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
inst✝ : LieAlgebra R L
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
h : ∀ (x m : L') (x_1 : L), f x_1 = m → ∃ y, f y = ⁅x, m⁆
x : L'
y z : L
hz : f z = ⁅x, f y⁆
⊢ ∃ z, ⁅x, f y⁆ = f z

Proof state:
case h
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
inst✝ : LieAlgebra R L
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
h : ∀ (x m : L') (x_1 : L), f x_1 = m → ∃ y, f y = ⁅x, m⁆
x : L'
y z : L
hz : f z = ⁅x, f y⁆
⊢ ⁅x, f y⁆ = f z

Tactic:
exact hz.symm

Result:
no goals

Proof state:
case mpr.intro
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
inst✝ : LieAlgebra R L
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
h : ∀ (x : L') (y : L), ∃ z, ⁅x, f y⁆ = f z
x y : L'
z : L
hz : f z = y
w : L
hw : ⁅x, f z⁆ = f w
⊢ ∃ y_1, f y_1 = ⁅x, y⁆

Tactic:
use w

Result:
case h
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
inst✝ : LieAlgebra R L
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
h : ∀ (x : L') (y : L), ∃ z, ⁅x, f y⁆ = f z
x y : L'
z : L
hz : f z = y
w : L
hw : ⁅x, f z⁆ = f w
⊢ f w = ⁅x, y⁆

Proof state:
case mp
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
inst✝ : LieAlgebra R L
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
⊢ (∀ (x m : L') (x_1 : L), f x_1 = m → ∃ y, f y = ⁅x, m⁆) → ∀ (x : L') (y : L), ∃ z, ⁅x, f y⁆ = f z

Tactic:
intro h x y

Result:
case mp
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
inst✝ : LieAlgebra R L
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
h : ∀ (x m : L') (x_1 : L), f x_1 = m → ∃ y, f y = ⁅x, m⁆
x : L'
y : L
⊢ ∃ z, ⁅x, f y⁆ = f z

Proof state:
case h
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
inst✝ : LieAlgebra R L
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
h : ∀ (x : L') (y : L), ∃ z, ⁅x, f y⁆ = f z
x y : L'
z : L
hz : f z = y
w : L
hw : ⁅x, f z⁆ = f w
⊢ f w = ⁅x, y⁆

Tactic:
rw [← hw, hz]

Result:
no goals

Proof state:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
inst✝ : LieAlgebra R L
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
⊢ f.IsIdealMorphism ↔ ∀ (x : L') (y : L), ∃ z, ⁅x, f y⁆ = f z

Tactic:
simp only [isIdealMorphism_def, idealRange_eq_lieSpan_range, ←
  LieSubalgebra.toSubmodule_inj, ← f.range.coe_toSubmodule,
  LieIdeal.toLieSubalgebra_toSubmodule, LieSubmodule.coe_lieSpan_submodule_eq_iff,
  LieSubalgebra.mem_toSubmodule, mem_range, exists_imp,
  Submodule.exists_lieSubmodule_coe_eq_iff]

Result:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
inst✝ : LieAlgebra R L
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
⊢ (∀ (x m : L') (x_1 : L), f x_1 = m → ∃ y, f y = ⁅x, m⁆) ↔ ∀ (x : L') (y : L), ∃ z, ⁅x, f y⁆ = f z