-- Mathlib/Topology/Algebra/InfiniteSum/Group.lean
theorem cauchySeq_finset_iff_tprod_vanishing :
    (CauchySeq fun s : Finset β ↦ ∏ b ∈ s, f b) ↔
      ∀ e ∈ 𝓝 (1 : α), ∃ s : Finset β, ∀ t : Set β, Disjoint t s → (∏' b : t, f b) ∈ e

Proof state:
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformGroup α
f : β → α
vanish : ∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ s, ∀ (t : Finset β), (∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ s) → ∏ b ∈ t, f b ∈ e
e : Set α
he : e ∈ 𝓝 1
o : Set α
ho : o ∈ 𝓝 1
o_closed : IsClosed o
oe : o ⊆ e
s : Finset β
hs : ∀ (t : Finset β), (∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ s) → ∏ b ∈ t, f b ∈ o
t : Set β
hts : ∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ ↑s
ht : Multipliable fun a => f ↑a
⊢ ∏' (b : ↑t), f ↑b ∈ o

Tactic:
refine o_closed.mem_of_tendsto ht.hasProd (Eventually.of_forall fun t' ↦ ?_)

Result:
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformGroup α
f : β → α
vanish : ∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ s, ∀ (t : Finset β), (∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ s) → ∏ b ∈ t, f b ∈ e
e : Set α
he : e ∈ 𝓝 1
o : Set α
ho : o ∈ 𝓝 1
o_closed : IsClosed o
oe : o ⊆ e
s : Finset β
hs : ∀ (t : Finset β), (∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ s) → ∏ b ∈ t, f b ∈ o
t : Set β
hts : ∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ ↑s
ht : Multipliable fun a => f ↑a
t' : Finset ↑t
⊢ ∏ b ∈ t', (fun a => f ↑a) b ∈ o

Proof state:
case refine_2.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformGroup α
f : β → α
vanish : ∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ s, ∀ (t : Set β), (∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ ↑s) → ∏' (b : ↑t), f ↑b ∈ e
e : Set α
he : e ∈ 𝓝 1
s : Finset β
hs : ∀ (t : Set β), (∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ ↑s) → ∏' (b : ↑t), f ↑b ∈ e
⊢ ∃ s, ∀ (t : Finset β), (∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ s) → ∏ b ∈ t, f b ∈ e

Tactic:
exact ⟨s, fun t hts ↦ (t.tprod_subtype f).symm ▸ hs _ hts⟩

Result:
no goals

Proof state:
case refine_1.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformGroup α
f : β → α
vanish : ∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ s, ∀ (t : Finset β), (∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ s) → ∏ b ∈ t, f b ∈ e
e : Set α
he : e ∈ 𝓝 1
o : Set α
ho : o ∈ 𝓝 1
o_closed : IsClosed o
oe : o ⊆ e
s : Finset β
hs : ∀ (t : Finset β), (∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ s) → ∏ b ∈ t, f b ∈ o
t : Set β
hts : ∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ ↑s
⊢ ∏' (b : ↑t), f ↑b ∈ o

Tactic:
by_cases ht : Multipliable fun a : t ↦ f a

Result:
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformGroup α
f : β → α
vanish : ∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ s, ∀ (t : Finset β), (∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ s) → ∏ b ∈ t, f b ∈ e
e : Set α
he : e ∈ 𝓝 1
o : Set α
ho : o ∈ 𝓝 1
o_closed : IsClosed o
oe : o ⊆ e
s : Finset β
hs : ∀ (t : Finset β), (∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ s) → ∏ b ∈ t, f b ∈ o
t : Set β
hts : ∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ ↑s
ht : Multipliable fun a => f ↑a
⊢ ∏' (b : ↑t), f ↑b ∈ o

case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformGroup α
f : β → α
vanish : ∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ s, ∀ (t : Finset β), (∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ s) → ∏ b ∈ t, f b ∈ e
e : Set α
he : e ∈ 𝓝 1
o : Set α
ho : o ∈ 𝓝 1
o_closed : IsClosed o
oe : o ⊆ e
s : Finset β
hs : ∀ (t : Finset β), (∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ s) → ∏ b ∈ t, f b ∈ o
t : Set β
hts : ∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ ↑s
ht : ¬Multipliable fun a => f ↑a
⊢ ∏' (b : ↑t), f ↑b ∈ o

Proof state:
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformGroup α
f : β → α
vanish : ∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ s, ∀ (t : Finset β), (∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ s) → ∏ b ∈ t, f b ∈ e
e : Set α
he : e ∈ 𝓝 1
o : Set α
ho : o ∈ 𝓝 1
o_closed : IsClosed o
oe : o ⊆ e
s : Finset β
hs : ∀ (t : Finset β), (∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ s) → ∏ b ∈ t, f b ∈ o
t : Set β
hts : ∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ ↑s
ht : Multipliable fun a => f ↑a
t' : Finset ↑t
⊢ ∏ x ∈ Finset.map (Embedding.subtype fun x => x ∈ t) t', f x ∈ o

Tactic:
apply hs

Result:
case pos.a
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformGroup α
f : β → α
vanish : ∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ s, ∀ (t : Finset β), (∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ s) → ∏ b ∈ t, f b ∈ e
e : Set α
he : e ∈ 𝓝 1
o : Set α
ho : o ∈ 𝓝 1
o_closed : IsClosed o
oe : o ⊆ e
s : Finset β
hs : ∀ (t : Finset β), (∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ s) → ∏ b ∈ t, f b ∈ o
t : Set β
hts : ∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ ↑s
ht : Multipliable fun a => f ↑a
t' : Finset ↑t
⊢ ∀ ⦃a : β⦄, a ∈ Finset.map (Embedding.subtype fun x => x ∈ t) t' → a ∉ s

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformGroup α
f : β → α
⊢ (CauchySeq fun s => ∏ b ∈ s, f b) ↔ ∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ s, ∀ (t : Set β), Disjoint t ↑s → ∏' (b : ↑t), f ↑b ∈ e

Tactic:
simp_rw [cauchySeq_finset_iff_prod_vanishing, Set.disjoint_left, disjoint_left]

Result:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformGroup α
f : β → α
⊢ (∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ s, ∀ (t : Finset β), (∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ s) → ∏ b ∈ t, f b ∈ e) ↔
    ∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ s, ∀ (t : Set β), (∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ ↑s) → ∏' (b : ↑t), f ↑b ∈ e

Proof state:
case pos.a.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformGroup α
f : β → α
vanish : ∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ s, ∀ (t : Finset β), (∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ s) → ∏ b ∈ t, f b ∈ e
e : Set α
he : e ∈ 𝓝 1
o : Set α
ho : o ∈ 𝓝 1
o_closed : IsClosed o
oe : o ⊆ e
s : Finset β
hs : ∀ (t : Finset β), (∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ s) → ∏ b ∈ t, f b ∈ o
t : Set β
hts : ∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ ↑s
ht : Multipliable fun a => f ↑a
t' : Finset ↑t
b : { x // x ∈ t }
⊢ (Embedding.subtype fun x => x ∈ t) b ∉ s

Tactic:
exact hts b.prop

Result:
no goals

Proof state:
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformGroup α
f : β → α
vanish : ∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ s, ∀ (t : Finset β), (∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ s) → ∏ b ∈ t, f b ∈ e
e : Set α
he : e ∈ 𝓝 1
o : Set α
ho : o ∈ 𝓝 1
o_closed : IsClosed o
oe : o ⊆ e
s : Finset β
hs : ∀ (t : Finset β), (∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ s) → ∏ b ∈ t, f b ∈ o
t : Set β
hts : ∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ ↑s
ht : ¬Multipliable fun a => f ↑a
⊢ ∏' (b : ↑t), f ↑b ∈ o

Tactic:
exact tprod_eq_one_of_not_multipliable ht ▸ mem_of_mem_nhds ho

Result:
no goals

Proof state:
case pos.a
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformGroup α
f : β → α
vanish : ∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ s, ∀ (t : Finset β), (∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ s) → ∏ b ∈ t, f b ∈ e
e : Set α
he : e ∈ 𝓝 1
o : Set α
ho : o ∈ 𝓝 1
o_closed : IsClosed o
oe : o ⊆ e
s : Finset β
hs : ∀ (t : Finset β), (∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ s) → ∏ b ∈ t, f b ∈ o
t : Set β
hts : ∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ ↑s
ht : Multipliable fun a => f ↑a
t' : Finset ↑t
⊢ ∀ ⦃a : β⦄, (∃ a_1 ∈ t', (Embedding.subtype fun x => x ∈ t) a_1 = a) → a ∉ s

Tactic:
rintro _ ⟨b, -, rfl⟩

Result:
case pos.a.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformGroup α
f : β → α
vanish : ∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ s, ∀ (t : Finset β), (∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ s) → ∏ b ∈ t, f b ∈ e
e : Set α
he : e ∈ 𝓝 1
o : Set α
ho : o ∈ 𝓝 1
o_closed : IsClosed o
oe : o ⊆ e
s : Finset β
hs : ∀ (t : Finset β), (∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ s) → ∏ b ∈ t, f b ∈ o
t : Set β
hts : ∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ ↑s
ht : Multipliable fun a => f ↑a
t' : Finset ↑t
b : { x // x ∈ t }
⊢ (Embedding.subtype fun x => x ∈ t) b ∉ s

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : CommGroup α
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformGroup α
f : β → α
vanish : ∀ e ∈ 𝓝 1, ∃ s, ∀ (t : Finset β), (∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ s) → ∏ b ∈ t, f b ∈ e
e : Set α
he : e ∈ 𝓝 1
o : Set α
ho : o ∈ 𝓝 1
o_closed : IsClosed o
oe : o ⊆ e
s : Finset β
hs : ∀ (t : Finset β), (∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ s) → ∏ b ∈ t, f b ∈ o
t : Set β
hts : ∀ ⦃a : β⦄, a ∈ t → a ∉ ↑s
ht : Multipliable fun a => f ↑a
t' : Finset ↑t
x✝¹ : { x // x ∈ t }
x✝ : x✝¹ ∈ t'
⊢ ?m.50666 ↑x✝¹ = f ↑x✝¹

Tactic:
rfl

Result:
no goals