-- Mathlib/Probability/Independence/Conditional.lean
lemma condIndepSets_iff (s1 s2 : Set (Set Ω)) (hs1 : ∀ s ∈ s1, MeasurableSet s)
    (hs2 : ∀ s ∈ s2, MeasurableSet s) (μ : Measure Ω) [IsFiniteMeasure μ] :
    CondIndepSets m' hm' s1 s2 μ ↔ ∀ (t1 t2 : Set Ω) (_ : t1 ∈ s1) (_ : t2 ∈ s2),
      (μ⟦t1 ∩ t2 | m'⟧) =ᵐ[μ] (μ⟦t1 | m'⟧) * (μ⟦t2 | m'⟧)

Proof state:
Ω : Type u_1
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : StandardBorelSpace Ω
hm' : m' ≤ mΩ
s1 s2 : Set (Set Ω)
hs1 : ∀ s ∈ s1, MeasurableSet s
hs2 : ∀ s ∈ s2, MeasurableSet s
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hs1_eq : ∀ s ∈ s1, (fun ω => (((condExpKernel μ m') ω) s).toReal) =ᶠ[ae μ] μ[s.indicator fun ω => 1|m']
hs2_eq : ∀ s ∈ s2, (fun ω => (((condExpKernel μ m') ω) s).toReal) =ᶠ[ae μ] μ[s.indicator fun ω => 1|m']
⊢ (∀ (t1 t2 : Set Ω),
      t1 ∈ s1 →
        t2 ∈ s2 →
          ∀ᵐ (a : Ω) ∂μ.trim hm',
            ((condExpKernel μ m') a) (t1 ∩ t2) = ((condExpKernel μ m') a) t1 * ((condExpKernel μ m') a) t2) ↔
    ∀ (t1 t2 : Set Ω),
      t1 ∈ s1 →
        t2 ∈ s2 →
          μ[(t1 ∩ t2).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] μ[t1.indicator fun ω => 1|m'] * μ[t2.indicator fun ω => 1|m']

Tactic:
have hs12_eq : ∀ s ∈ s1, ∀ t ∈ s2, (fun ω ↦ ENNReal.toReal (condExpKernel μ m' ω (s ∩ t)))
    =ᵐ[μ] μ⟦s ∩ t | m'⟧ :=
  fun s hs t ht ↦ condExpKernel_ae_eq_condExp hm' ((hs1 s hs).inter ((hs2 t ht)))

Result:
Ω : Type u_1
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : StandardBorelSpace Ω
hm' : m' ≤ mΩ
s1 s2 : Set (Set Ω)
hs1 : ∀ s ∈ s1, MeasurableSet s
hs2 : ∀ s ∈ s2, MeasurableSet s
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hs1_eq : ∀ s ∈ s1, (fun ω => (((condExpKernel μ m') ω) s).toReal) =ᶠ[ae μ] μ[s.indicator fun ω => 1|m']
hs2_eq : ∀ s ∈ s2, (fun ω => (((condExpKernel μ m') ω) s).toReal) =ᶠ[ae μ] μ[s.indicator fun ω => 1|m']
hs12_eq :
  ∀ s ∈ s1, ∀ t ∈ s2, (fun ω => (((condExpKernel μ m') ω) (s ∩ t)).toReal) =ᶠ[ae μ] μ[(s ∩ t).indicator fun ω => 1|m']
⊢ (∀ (t1 t2 : Set Ω),
      t1 ∈ s1 →
        t2 ∈ s2 →
          ∀ᵐ (a : Ω) ∂μ.trim hm',
            ((condExpKernel μ m') a) (t1 ∩ t2) = ((condExpKernel μ m') a) t1 * ((condExpKernel μ m') a) t2) ↔
    ∀ (t1 t2 : Set Ω),
      t1 ∈ s1 →
        t2 ∈ s2 →
          μ[(t1 ∩ t2).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] μ[t1.indicator fun ω => 1|m'] * μ[t2.indicator fun ω => 1|m']

Proof state:
case h
Ω : Type u_1
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : StandardBorelSpace Ω
hm' : m' ≤ mΩ
s1 s2 : Set (Set Ω)
hs1 : ∀ s ∈ s1, MeasurableSet s
hs2 : ∀ s ∈ s2, MeasurableSet s
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hs1_eq : ∀ s ∈ s1, (fun ω => (((condExpKernel μ m') ω) s).toReal) =ᶠ[ae μ] μ[s.indicator fun ω => 1|m']
hs2_eq : ∀ s ∈ s2, (fun ω => (((condExpKernel μ m') ω) s).toReal) =ᶠ[ae μ] μ[s.indicator fun ω => 1|m']
hs12_eq :
  ∀ s ∈ s1, ∀ t ∈ s2, (fun ω => (((condExpKernel μ m') ω) (s ∩ t)).toReal) =ᶠ[ae μ] μ[(s ∩ t).indicator fun ω => 1|m']
s t : Set Ω
hs : s ∈ s1
ht : t ∈ s2
h✝ : μ[(s ∩ t).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] μ[s.indicator fun ω => 1|m'] * μ[t.indicator fun ω => 1|m']
ω : Ω
hs_eq : (((condExpKernel μ m') ω) s).toReal = (μ[s.indicator fun ω => 1|m']) ω
ht_eq : (((condExpKernel μ m') ω) t).toReal = (μ[t.indicator fun ω => 1|m']) ω
hst_eq : (((condExpKernel μ m') ω) (s ∩ t)).toReal = (μ[(s ∩ t).indicator fun ω => 1|m']) ω
h : (μ[(s ∩ t).indicator fun ω => 1|m']) ω = (μ[s.indicator fun ω => 1|m'] * μ[t.indicator fun ω => 1|m']) ω
⊢ ((condExpKernel μ m') ω) (s ∩ t) = ((condExpKernel μ m') ω) s * ((condExpKernel μ m') ω) t

Tactic:
have h_ne_top : condExpKernel μ m' ω (s ∩ t) ≠ ∞ := measure_ne_top (condExpKernel μ m' ω) _

Result:
case h
Ω : Type u_1
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : StandardBorelSpace Ω
hm' : m' ≤ mΩ
s1 s2 : Set (Set Ω)
hs1 : ∀ s ∈ s1, MeasurableSet s
hs2 : ∀ s ∈ s2, MeasurableSet s
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hs1_eq : ∀ s ∈ s1, (fun ω => (((condExpKernel μ m') ω) s).toReal) =ᶠ[ae μ] μ[s.indicator fun ω => 1|m']
hs2_eq : ∀ s ∈ s2, (fun ω => (((condExpKernel μ m') ω) s).toReal) =ᶠ[ae μ] μ[s.indicator fun ω => 1|m']
hs12_eq :
  ∀ s ∈ s1, ∀ t ∈ s2, (fun ω => (((condExpKernel μ m') ω) (s ∩ t)).toReal) =ᶠ[ae μ] μ[(s ∩ t).indicator fun ω => 1|m']
s t : Set Ω
hs : s ∈ s1
ht : t ∈ s2
h✝ : μ[(s ∩ t).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] μ[s.indicator fun ω => 1|m'] * μ[t.indicator fun ω => 1|m']
ω : Ω
hs_eq : (((condExpKernel μ m') ω) s).toReal = (μ[s.indicator fun ω => 1|m']) ω
ht_eq : (((condExpKernel μ m') ω) t).toReal = (μ[t.indicator fun ω => 1|m']) ω
hst_eq : (((condExpKernel μ m') ω) (s ∩ t)).toReal = (μ[(s ∩ t).indicator fun ω => 1|m']) ω
h : (μ[(s ∩ t).indicator fun ω => 1|m']) ω = (μ[s.indicator fun ω => 1|m'] * μ[t.indicator fun ω => 1|m']) ω
h_ne_top : ((condExpKernel μ m') ω) (s ∩ t) ≠ ⊤
⊢ ((condExpKernel μ m') ω) (s ∩ t) = ((condExpKernel μ m') ω) s * ((condExpKernel μ m') ω) t

Proof state:
Ω : Type u_1
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : StandardBorelSpace Ω
hm' : m' ≤ mΩ
s1 s2 : Set (Set Ω)
hs1 : ∀ s ∈ s1, MeasurableSet s
hs2 : ∀ s ∈ s2, MeasurableSet s
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
⊢ (∀ (t1 t2 : Set Ω),
      t1 ∈ s1 →
        t2 ∈ s2 →
          ∀ᵐ (a : Ω) ∂μ.trim hm',
            ((condExpKernel μ m') a) (t1 ∩ t2) = ((condExpKernel μ m') a) t1 * ((condExpKernel μ m') a) t2) ↔
    ∀ (t1 t2 : Set Ω),
      t1 ∈ s1 →
        t2 ∈ s2 →
          μ[(t1 ∩ t2).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] μ[t1.indicator fun ω => 1|m'] * μ[t2.indicator fun ω => 1|m']

Tactic:
have hs1_eq : ∀ s ∈ s1, (fun ω ↦ ENNReal.toReal (condExpKernel μ m' ω s)) =ᵐ[μ] μ⟦s | m'⟧ :=
  fun s hs ↦ condExpKernel_ae_eq_condExp hm' (hs1 s hs)

Result:
Ω : Type u_1
m' mΩ : MeasurableSpace Ω
inst✝¹ : StandardBorelSpace Ω
hm' : m' ≤ mΩ
s1 s2 : Set (Set Ω)
hs1 : ∀ s ∈ s1, MeasurableSet s
hs2 : ∀ s ∈ s2, MeasurableSet s
μ : Measure Ω
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hs1_eq : ∀ s ∈ s1, (fun ω => (((condExpKernel μ m') ω) s).toReal) =ᶠ[ae μ] μ[s.indicator fun ω => 1|m']
⊢ (∀ (t1 t2 : Set Ω),
      t1 ∈ s1 →
        t2 ∈ s2 →
          ∀ᵐ (a : Ω) ∂μ.trim hm',
            ((condExpKernel μ m') a) (t1 ∩ t2) = ((condExpKernel μ m') a) t1 * ((condExpKernel μ m') a) t2) ↔
    ∀ (t1 t2 : Set Ω),
      t1 ∈ s1 →
        t2 ∈ s2 →
          μ[(t1 ∩ t2).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] μ[t1.indicator fun ω => 1|m'] * μ[t2.indicator fun ω => 1|m']