-- Mathlib/Order/KonigLemma.lean
theorem exists_seq_forall_proj_of_forall_finite {α : ℕ → Type*} [Finite (α 0)] [∀ i, Nonempty (α i)]
    (π : {i j : ℕ} → (hij : i ≤ j) → α j → α i)
    (π_refl : ∀ ⦃i⦄ (a : α i), π rfl.le a = a)
    (π_trans : ∀ ⦃i j k⦄ (hij : i ≤ j) (hjk : j ≤ k) a, π hij (π hjk a) = π (hij.trans hjk) a)
    (hfin : ∀ i a, {b : α (i+1) | π (Nat.le_add_right i 1) b = a}.Finite) :
    ∃ f : (i : ℕ) → α i, ∀ ⦃i j⦄ (hij : i ≤ j), π hij (f j) = f i

Proof state:
α : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : Finite (α 0)
inst✝ : ∀ (i : ℕ), Nonempty (α i)
π : {i j : ℕ} → i ≤ j → α j → α i
π_refl : ∀ ⦃i : ℕ⦄ (a : α i), π ⋯ a = a
π_trans : ∀ ⦃i j k : ℕ⦄ (hij : i ≤ j) (hjk : j ≤ k) (a : α k), π hij (π hjk a) = π ⋯ a
hfin : ∀ (i : ℕ) (a : α i), {b | π ⋯ b = a}.Finite
αs : Type u_1 := (i : ℕ) × α i
i : ℕ
a b : α i
hij : i ≤ i
hab : π hij b = a
hji : i ≤ i
hba : π hji a = b
⊢ a = b

Tactic:
rwa [π_refl] at hba

Result:
no goals

Proof state:
case intro.refine_2
α : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : Finite (α 0)
inst✝ : ∀ (i : ℕ), Nonempty (α i)
π : {i j : ℕ} → i ≤ j → α j → α i
π_refl : ∀ ⦃i : ℕ⦄ (a : α i), π ⋯ a = a
π_trans : ∀ ⦃i j k : ℕ⦄ (hij : i ≤ j) (hjk : j ≤ k) (a : α k), π hij (π hjk a) = π ⋯ a
hfin : ∀ (i : ℕ) (a : α i), {b | π ⋯ b = a}.Finite
αs : Type u_1 := (i : ℕ) × α i
x✝ : PartialOrder αs := PartialOrder.mk ⋯
i : ℕ
b : α (i + 1)
h : i ≤ i + 1
⊢ ∀ (a : ℕ) (b_1 : α a), ⟨i, π h b⟩ ≤ ⟨a, b_1⟩ → ⟨a, b_1⟩ ≤ ⟨i + 1, b⟩ → ¬⟨a, b_1⟩ = ⟨i, π h b⟩ → ⟨a, b_1⟩ = ⟨i + 1, b⟩

Tactic:
rintro j c ⟨hij : i ≤ j, hcb : π _ c = π _ b⟩ ⟨hji : j ≤ i + 1, rfl : π hji b = c⟩ hne

Result:
case intro.refine_2.intro.intro
α : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : Finite (α 0)
inst✝ : ∀ (i : ℕ), Nonempty (α i)
π : {i j : ℕ} → i ≤ j → α j → α i
π_refl : ∀ ⦃i : ℕ⦄ (a : α i), π ⋯ a = a
π_trans : ∀ ⦃i j k : ℕ⦄ (hij : i ≤ j) (hjk : j ≤ k) (a : α k), π hij (π hjk a) = π ⋯ a
hfin : ∀ (i : ℕ) (a : α i), {b | π ⋯ b = a}.Finite
αs : Type u_1 := (i : ℕ) × α i
x✝ : PartialOrder αs := PartialOrder.mk ⋯
i : ℕ
b : α (i + 1)
h : i ≤ i + 1
j : ℕ
hij : i ≤ j
hji : j ≤ i + 1
hcb : π hij (π hji b) = π h b
hne : ¬⟨j, π hji b⟩ = ⟨i, π h b⟩
⊢ ⟨j, π hji b⟩ = ⟨i + 1, b⟩

Proof state:
case intro
α : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : Finite (α 0)
inst✝ : ∀ (i : ℕ), Nonempty (α i)
π : {i j : ℕ} → i ≤ j → α j → α i
π_refl : ∀ ⦃i : ℕ⦄ (a : α i), π ⋯ a = a
π_trans : ∀ ⦃i j k : ℕ⦄ (hij : i ≤ j) (hjk : j ≤ k) (a : α k), π hij (π hjk a) = π ⋯ a
hfin : ∀ (i : ℕ) (a : α i), {b | π ⋯ b = a}.Finite
αs : Type u_1 := (i : ℕ) × α i
x✝ : PartialOrder αs := PartialOrder.mk ⋯
hcovby : ∀ {a b : αs}, a ⋖ b ↔ a ≤ b ∧ a.fst + 1 = b.fst
this : IsStronglyAtomic αs
a₀ : α 0
ha₀ : Infinite ↑((fun a => π ⋯ a.snd) ⁻¹' {a₀})
⊢ ∃ a₀, a₀.fst = 0 ∧ (Ici a₀).Infinite

Tactic:
refine ⟨⟨0, a₀⟩, rfl, (infinite_coe_iff.1 ha₀).mono ?_⟩

Result:
case intro
α : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : Finite (α 0)
inst✝ : ∀ (i : ℕ), Nonempty (α i)
π : {i j : ℕ} → i ≤ j → α j → α i
π_refl : ∀ ⦃i : ℕ⦄ (a : α i), π ⋯ a = a
π_trans : ∀ ⦃i j k : ℕ⦄ (hij : i ≤ j) (hjk : j ≤ k) (a : α k), π hij (π hjk a) = π ⋯ a
hfin : ∀ (i : ℕ) (a : α i), {b | π ⋯ b = a}.Finite
αs : Type u_1 := (i : ℕ) × α i
x✝ : PartialOrder αs := PartialOrder.mk ⋯
hcovby : ∀ {a b : αs}, a ⋖ b ↔ a ≤ b ∧ a.fst + 1 = b.fst
this : IsStronglyAtomic αs
a₀ : α 0
ha₀ : Infinite ↑((fun a => π ⋯ a.snd) ⁻¹' {a₀})
⊢ (fun a => π ⋯ a.snd) ⁻¹' {a₀} ⊆ Ici ⟨0, a₀⟩

Proof state:
case intro.intro.intro.intro
α : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : Finite (α 0)
inst✝ : ∀ (i : ℕ), Nonempty (α i)
π : {i j : ℕ} → i ≤ j → α j → α i
π_refl : ∀ ⦃i : ℕ⦄ (a : α i), π ⋯ a = a
π_trans : ∀ ⦃i j k : ℕ⦄ (hij : i ≤ j) (hjk : j ≤ k) (a : α k), π hij (π hjk a) = π ⋯ a
hfin✝ : ∀ (i : ℕ) (a : α i), {b | π ⋯ b = a}.Finite
αs : Type u_1 := (i : ℕ) × α i
x✝ : PartialOrder αs := PartialOrder.mk ⋯
hcovby : ∀ {a b : αs}, a ⋖ b ↔ a ≤ b ∧ a.fst + 1 = b.fst
this : IsStronglyAtomic αs
a₀ : αs
ha₀ : a₀.fst = 0
ha₀inf : (Ici a₀).Infinite
hfin : ∀ (a : αs), {x | a ⋖ x}.Finite
f : ℕ ↪o αs
hf0 : f 0 = a₀
hf : ∀ (i : ℕ), f i ⋖ f (i + 1)
hr : ∀ (i : ℕ), (f i).fst = i
⊢ ∃ f, ∀ ⦃i j : ℕ⦄ (hij : i ≤ j), π hij (f j) = f i

Tactic:
refine ⟨fun i ↦ by rw [← hr i]; exact (f i).2, fun i j hij ↦ ?_⟩

Result:
case intro.intro.intro.intro
α : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : Finite (α 0)
inst✝ : ∀ (i : ℕ), Nonempty (α i)
π : {i j : ℕ} → i ≤ j → α j → α i
π_refl : ∀ ⦃i : ℕ⦄ (a : α i), π ⋯ a = a
π_trans : ∀ ⦃i j k : ℕ⦄ (hij : i ≤ j) (hjk : j ≤ k) (a : α k), π hij (π hjk a) = π ⋯ a
hfin✝ : ∀ (i : ℕ) (a : α i), {b | π ⋯ b = a}.Finite
αs : Type u_1 := (i : ℕ) × α i
x✝ : PartialOrder αs := PartialOrder.mk ⋯
hcovby : ∀ {a b : αs}, a ⋖ b ↔ a ≤ b ∧ a.fst + 1 = b.fst
this : IsStronglyAtomic αs
a₀ : αs
ha₀ : a₀.fst = 0
ha₀inf : (Ici a₀).Infinite
hfin : ∀ (a : αs), {x | a ⋖ x}.Finite
f : ℕ ↪o αs
hf0 : f 0 = a₀
hf : ∀ (i : ℕ), f i ⋖ f (i + 1)
hr : ∀ (i : ℕ), (f i).fst = i
i j : ℕ
hij : i ≤ j
⊢ π hij ((fun i => ⋯.mpr (f i).snd) j) = (fun i => ⋯.mpr (f i).snd) i

Proof state:
α : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : Finite (α 0)
inst✝ : ∀ (i : ℕ), Nonempty (α i)
π : {i j : ℕ} → i ≤ j → α j → α i
π_refl : ∀ ⦃i : ℕ⦄ (a : α i), π ⋯ a = a
π_trans : ∀ ⦃i j k : ℕ⦄ (hij : i ≤ j) (hjk : j ≤ k) (a : α k), π hij (π hjk a) = π ⋯ a
hfin : ∀ (i : ℕ) (a : α i), {b | π ⋯ b = a}.Finite
αs : Type u_1 := (i : ℕ) × α i
x✝¹ : PartialOrder αs := PartialOrder.mk ⋯
i j : ℕ
b : α j
h✝ : i ≤ j
x✝ :
  ¬⟨i, π h✝ b⟩ = ⟨j, b⟩ ∧
    ∀ (a : ℕ) (b_1 : α a), ⟨i, π h✝ b⟩ ≤ ⟨a, b_1⟩ → ⟨a, b_1⟩ ≤ ⟨j, b⟩ → ¬⟨a, b_1⟩ = ⟨i, π h✝ b⟩ → ⟨a, b_1⟩ = ⟨j, b⟩
hne : ¬⟨i, π h✝ b⟩ = ⟨j, b⟩
h' : ∀ (a : ℕ) (b_1 : α a), ⟨i, π h✝ b⟩ ≤ ⟨a, b_1⟩ → ⟨a, b_1⟩ ≤ ⟨j, b⟩ → ¬⟨a, b_1⟩ = ⟨i, π h✝ b⟩ → ⟨a, b_1⟩ = ⟨j, b⟩
hle' : i + 1 ≤ j
h : ⟨i + 1, π hle' b⟩.fst = ⟨i, π h✝ b⟩.fst
⊢ False

Tactic:
simp at h

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro.intro.intro
α : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : Finite (α 0)
inst✝ : ∀ (i : ℕ), Nonempty (α i)
π : {i j : ℕ} → i ≤ j → α j → α i
π_refl : ∀ ⦃i : ℕ⦄ (a : α i), π ⋯ a = a
π_trans : ∀ ⦃i j k : ℕ⦄ (hij : i ≤ j) (hjk : j ≤ k) (a : α k), π hij (π hjk a) = π ⋯ a
hfin✝ : ∀ (i : ℕ) (a : α i), {b | π ⋯ b = a}.Finite
αs : Type u_1 := (i : ℕ) × α i
x✝ : PartialOrder αs := PartialOrder.mk ⋯
hcovby : ∀ {a b : αs}, a ⋖ b ↔ a ≤ b ∧ a.fst + 1 = b.fst
this : IsStronglyAtomic αs
a₀ : αs
ha₀ : a₀.fst = 0
ha₀inf : (Ici a₀).Infinite
hfin : ∀ (a : αs), {x | a ⋖ x}.Finite
f : ℕ ↪o αs
hf0 : f 0 = a₀
hf : ∀ (i : ℕ), f i ⋖ f (i + 1)
hr : ∀ (i : ℕ), (f i).fst = i
i j : ℕ
hij : i ≤ j
⊢ π hij ((fun i => ⋯.mpr (f i).snd) j) = (fun i => ⋯.mpr (f i).snd) i

Tactic:
convert (f.monotone hij).2 <;>
simp [hr]

Result:
no goals

Proof state:
α : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : Finite (α 0)
inst✝ : ∀ (i : ℕ), Nonempty (α i)
π : {i j : ℕ} → i ≤ j → α j → α i
π_refl : ∀ ⦃i : ℕ⦄ (a : α i), π ⋯ a = a
π_trans : ∀ ⦃i j k : ℕ⦄ (hij : i ≤ j) (hjk : j ≤ k) (a : α k), π hij (π hjk a) = π ⋯ a
hfin : ∀ (i : ℕ) (a : α i), {b | π ⋯ b = a}.Finite
αs : Type u_1 := (i : ℕ) × α i
x✝ : PartialOrder αs := PartialOrder.mk ⋯
hcovby : ∀ {a b : αs}, a ⋖ b ↔ a ≤ b ∧ a.fst + 1 = b.fst
i : ℕ
a : α i
j : ℕ
b : α j
hne : ⟨i, a⟩ ≠ ⟨j, b⟩
hij : i ≤ j
h2 : π hij b = a
hle : i + 1 ≤ j
⊢ π hle ⟨j, b⟩.snd = ⟨i + 1, π hle b⟩.snd

Tactic:
simp

Result:
no goals