-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
theorem eventually_singleton_add_smul_subset {x : E} {s : Set E} (hs : Bornology.IsBounded s)
    {u : Set E} (hu : u ∈ 𝓝 x) : ∀ᶠ r in 𝓝 (0 : 𝕜), {x} + r • s ⊆ u

Proof state:
case h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : E
s : Set E
hs : Bornology.IsBounded s
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝 x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : closedBall x ε ⊆ u
R : ℝ
Rpos : 0 < R
hR : s ⊆ closedBall 0 R
this : closedBall 0 (ε / R) ∈ 𝓝 0
r : 𝕜
hr : r ∈ closedBall 0 (ε / R)
⊢ {x} + r • s ⊆ u

Tactic:
simp only [image_add_left, singleton_add]

Result:
case h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : E
s : Set E
hs : Bornology.IsBounded s
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝 x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : closedBall x ε ⊆ u
R : ℝ
Rpos : 0 < R
hR : s ⊆ closedBall 0 R
this : closedBall 0 (ε / R) ∈ 𝓝 0
r : 𝕜
hr : r ∈ closedBall 0 (ε / R)
⊢ (fun x_1 => -x + x_1) ⁻¹' (r • s) ⊆ u

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : E
s : Set E
hs : Bornology.IsBounded s
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝 x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : closedBall x ε ⊆ u
R : ℝ
Rpos : 0 < R
hR : s ⊆ closedBall 0 R
this : closedBall 0 (ε / R) ∈ 𝓝 0
r : 𝕜
hr : r ∈ closedBall 0 (ε / R)
y : E
hy : y ∈ (fun x_1 => -x + x_1) ⁻¹' (r • s)
⊢ ∃ z ∈ s, r • z = -x + y

Tactic:
simpa [mem_smul_set] using hy

Result:
no goals

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : E
s : Set E
hs : Bornology.IsBounded s
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝 x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : closedBall x ε ⊆ u
R : ℝ
Rpos : 0 < R
hR : s ⊆ closedBall 0 R
this : closedBall 0 (ε / R) ∈ 𝓝 0
r : 𝕜
hr : r ∈ closedBall 0 (ε / R)
y : E
hy : y ∈ (fun x_1 => -x + x_1) ⁻¹' (r • s)
z : E
zs : z ∈ s
hz : r • z = -x + y
I : ‖r • z‖ ≤ ε
⊢ y = x + r • z

Tactic:
simp only [hz, add_neg_cancel_left]

Result:
no goals

Proof state:
case h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : E
s : Set E
hs : Bornology.IsBounded s
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝 x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : closedBall x ε ⊆ u
R : ℝ
Rpos : 0 < R
hR : s ⊆ closedBall 0 R
this : closedBall 0 (ε / R) ∈ 𝓝 0
r : 𝕜
hr : r ∈ closedBall 0 (ε / R)
y : E
hy : y ∈ (fun x_1 => -x + x_1) ⁻¹' (r • s)
⊢ y ∈ u

Tactic:
obtain ⟨z, zs, hz⟩ : ∃ z : E, z ∈ s ∧ r • z = -x + y := by simpa [mem_smul_set] using hy

Result:
case h.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : E
s : Set E
hs : Bornology.IsBounded s
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝 x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : closedBall x ε ⊆ u
R : ℝ
Rpos : 0 < R
hR : s ⊆ closedBall 0 R
this : closedBall 0 (ε / R) ∈ 𝓝 0
r : 𝕜
hr : r ∈ closedBall 0 (ε / R)
y : E
hy : y ∈ (fun x_1 => -x + x_1) ⁻¹' (r • s)
z : E
zs : z ∈ s
hz : r • z = -x + y
⊢ y ∈ u

Proof state:
case h.intro.intro.a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x : E
s : Set E
hs : Bornology.IsBounded s
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝 x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
hε : closedBall x ε ⊆ u
R : ℝ
Rpos : 0 < R
hR : s ⊆ closedBall 0 R
this✝ : closedBall 0 (ε / R) ∈ 𝓝 0
r : 𝕜
hr : r ∈ closedBall 0 (ε / R)
y : E
hy : y ∈ (fun x_1 => -x + x_1) ⁻¹' (r • s)
z : E
zs : z ∈ s
hz : r • z = -x + y
I : ‖r • z‖ ≤ ε
this : y = x + r • z
⊢ y ∈ closedBall x ε

Tactic:
simpa only [this, dist_eq_norm, add_sub_cancel_left, mem_closedBall] using I

Result:
no goals