-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Operations.lean
theorem subset_union_prime' {R : Type u} [CommRing R] {s : Finset ι} {f : ι → Ideal R} {a b : ι}
    (hp : ∀ i ∈ s, IsPrime (f i)) {I : Ideal R} :
    ((I : Set R) ⊆ f a ∪ f b ∪ ⋃ i ∈ (↑s : Set ι), f i) ↔ I ≤ f a ∨ I ≤ f b ∨ ∃ i ∈ s, I ≤ f i

Proof state:
case pos
ι : Type u_1
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : ι → Ideal R
I : Ideal R
n : ℕ
ih :
  ∀ {s : Finset ι} {a b : ι},
    (∀ i ∈ s, (f i).IsPrime) →
      s.card = n → ↑I ⊆ ↑(f a) ∪ ↑(f b) ∪ ⋃ i ∈ ↑s, ↑(f i) → I ≤ f a ∨ I ≤ f b ∨ ∃ i ∈ s, I ≤ f i
a b i : ι
t : Finset ι
hit : i ∉ t
hn : t.card = n
h : ↑I ⊆ ↑(f a) ∪ ↑(f b) ∪ ⋃ i_1 ∈ ↑(insert i t), ↑(f i_1)
hp : (f i).IsPrime ∧ ∀ x ∈ t, (f x).IsPrime
Ht : ∃ j ∈ t, f j ≤ f i
⊢ I ≤ f a ∨ I ≤ f b ∨ ∃ i_1 ∈ insert i t, I ≤ f i_1

Tactic:
obtain ⟨j, hjt, hfji⟩ : ∃ j ∈ t, f j ≤ f i := Ht

Result:
case pos.intro.intro
ι : Type u_1
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : ι → Ideal R
I : Ideal R
n : ℕ
ih :
  ∀ {s : Finset ι} {a b : ι},
    (∀ i ∈ s, (f i).IsPrime) →
      s.card = n → ↑I ⊆ ↑(f a) ∪ ↑(f b) ∪ ⋃ i ∈ ↑s, ↑(f i) → I ≤ f a ∨ I ≤ f b ∨ ∃ i ∈ s, I ≤ f i
a b i : ι
t : Finset ι
hit : i ∉ t
hn : t.card = n
h : ↑I ⊆ ↑(f a) ∪ ↑(f b) ∪ ⋃ i_1 ∈ ↑(insert i t), ↑(f i_1)
hp : (f i).IsPrime ∧ ∀ x ∈ t, (f x).IsPrime
j : ι
hjt : j ∈ t
hfji : f j ≤ f i
⊢ I ≤ f a ∨ I ≤ f b ∨ ∃ i_1 ∈ insert i t, I ≤ f i_1

Proof state:
ι : Type u_1
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : ι → Ideal R
I : Ideal R
n : ℕ
ih :
  ∀ {s : Finset ι} {a b : ι},
    (∀ i ∈ s, (f i).IsPrime) →
      s.card = n → ↑I ⊆ ↑(f a) ∪ ↑(f b) ∪ ⋃ i ∈ ↑s, ↑(f i) → I ≤ f a ∨ I ≤ f b ∨ ∃ i ∈ s, I ≤ f i
a b i j : ι
hfji : f j ≤ f i
u : Finset ι
hju : j ∉ u
hit : i ∉ insert j u
hn : (insert j u).card = n
h : ↑I ⊆ ↑(f a) ∪ ↑(f b) ∪ ⋃ i_1 ∈ insert i ↑(insert j u), ↑(f i_1)
hp : (f i).IsPrime ∧ ∀ x ∈ insert j u, (f x).IsPrime
hjt : j ∈ insert j u
hp' : ∀ k ∈ insert i u, (f k).IsPrime
hiu : i ∉ u
hn' : (insert i u).card = n
⊢ ↑I ⊆ ↑(f a) ∪ ↑(f b) ∪ ⋃ k ∈ insert i ↑u, ↑(f k)

Tactic:
rw [Finset.coe_insert] at h

Result:
ι : Type u_1
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : ι → Ideal R
I : Ideal R
n : ℕ
ih :
  ∀ {s : Finset ι} {a b : ι},
    (∀ i ∈ s, (f i).IsPrime) →
      s.card = n → ↑I ⊆ ↑(f a) ∪ ↑(f b) ∪ ⋃ i ∈ ↑s, ↑(f i) → I ≤ f a ∨ I ≤ f b ∨ ∃ i ∈ s, I ≤ f i
a b i j : ι
hfji : f j ≤ f i
u : Finset ι
hju : j ∉ u
hit : i ∉ insert j u
hn : (insert j u).card = n
h : ↑I ⊆ ↑(f a) ∪ ↑(f b) ∪ ⋃ i_1 ∈ insert i (insert j ↑u), ↑(f i_1)
hp : (f i).IsPrime ∧ ∀ x ∈ insert j u, (f x).IsPrime
hjt : j ∈ insert j u
hp' : ∀ k ∈ insert i u, (f k).IsPrime
hiu : i ∉ u
hn' : (insert i u).card = n
⊢ ↑I ⊆ ↑(f a) ∪ ↑(f b) ∪ ⋃ k ∈ insert i ↑u, ↑(f k)

Proof state:
case pos
ι : Type u_1
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : ι → Ideal R
I : Ideal R
n : ℕ
ih :
  ∀ {s : Finset ι} {a b : ι},
    (∀ i ∈ s, (f i).IsPrime) →
      s.card = n → ↑I ⊆ ↑(f a) ∪ ↑(f b) ∪ ⋃ i ∈ ↑s, ↑(f i) → I ≤ f a ∨ I ≤ f b ∨ ∃ i ∈ s, I ≤ f i
a b i : ι
t : Finset ι
hit : i ∉ t
hn : t.card = n
h : ↑I ⊆ ↑(f a) ∪ ↑(f b) ∪ ⋃ i_1 ∈ ↑(insert i t), ↑(f i_1)
hp : (f i).IsPrime ∧ ∀ x ∈ t, (f x).IsPrime
Ht : ¬∃ j ∈ t, f j ≤ f i
Ha : ¬f a ≤ f i
Hb : ¬f b ≤ f i
Hi : ¬I ≤ f i
this : ¬I ⊓ f a ⊓ f b ⊓ t.inf f ≤ f i
r : R
hri : r ∉ ↑(f i)
hr : r ∈ ↑(t.inf f)
hrb : r ∈ ↑(f b)
hrI : r ∈ ↑I
hra : r ∈ ↑(f a)
HI : ↑I ⊆ ↑(f a) ∪ ↑(f b) ∪ ⋃ j ∈ ↑t, ↑(f j)
⊢ I ≤ f a ∨ I ≤ f b ∨ ∃ i_1 ∈ insert i t, I ≤ f i_1

Tactic:
specialize ih hp.2 hn HI

Result:
case pos
ι : Type u_1
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : ι → Ideal R
I : Ideal R
n : ℕ
a b i : ι
t : Finset ι
hit : i ∉ t
hn : t.card = n
h : ↑I ⊆ ↑(f a) ∪ ↑(f b) ∪ ⋃ i_1 ∈ ↑(insert i t), ↑(f i_1)
hp : (f i).IsPrime ∧ ∀ x ∈ t, (f x).IsPrime
Ht : ¬∃ j ∈ t, f j ≤ f i
Ha : ¬f a ≤ f i
Hb : ¬f b ≤ f i
Hi : ¬I ≤ f i
this : ¬I ⊓ f a ⊓ f b ⊓ t.inf f ≤ f i
r : R
hri : r ∉ ↑(f i)
hr : r ∈ ↑(t.inf f)
hrb : r ∈ ↑(f b)
hrI : r ∈ ↑I
hra : r ∈ ↑(f a)
HI : ↑I ⊆ ↑(f a) ∪ ↑(f b) ∪ ⋃ j ∈ ↑t, ↑(f j)
ih : I ≤ f a ∨ I ≤ f b ∨ ∃ i ∈ t, I ≤ f i
⊢ I ≤ f a ∨ I ≤ f b ∨ ∃ i_1 ∈ insert i t, I ≤ f i_1

Proof state:
ι : Type u_1
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : ι → Ideal R
I : Ideal R
n : ℕ
ih :
  ∀ {s : Finset ι} {a b : ι},
    (∀ i ∈ s, (f i).IsPrime) →
      s.card = n → ↑I ⊆ ↑(f a) ∪ ↑(f b) ∪ ⋃ i ∈ ↑s, ↑(f i) → I ≤ f a ∨ I ≤ f b ∨ ∃ i ∈ s, I ≤ f i
a b i : ι
t : Finset ι
hit : i ∉ t
hn : t.card = n
h : ↑I ⊆ ↑(f a) ∪ ↑(f b) ∪ ⋃ i_1 ∈ ↑(insert i t), ↑(f i_1)
hp : (f i).IsPrime ∧ ∀ x ∈ t, (f x).IsPrime
Ht : ¬∃ j ∈ t, f j ≤ f i
Ha : ¬f a ≤ f i
Hb : ¬f b ≤ f i
Hi : ¬I ≤ f i
⊢ ((¬I ≤ f i ∧ ¬f a ≤ f i) ∧ ¬f b ≤ f i) ∧ ¬∃ i_1 ∈ t, f i_1 ≤ f i

Tactic:
exact ⟨⟨⟨Hi, Ha⟩, Hb⟩, Ht⟩

Result:
no goals

Proof state:
ι : Type u_1
R : Type u
inst✝ : CommRing R
s : Finset ι
f : ι → Ideal R
a b : ι
hp : ∀ i ∈ s, (f i).IsPrime
I : Ideal R
this : ↑I ⊆ ↑(f a) ∪ ↑(f b) ∪ ⋃ i ∈ ↑s, ↑(f i) → I ≤ f a ∨ I ≤ f b ∨ ∃ i ∈ s, I ≤ f i
h✝ : I ≤ f a ∨ I ≤ f b ∨ ∃ i ∈ s, I ≤ f i
h : I ≤ f b ∨ ∃ i ∈ s, I ≤ f i
x✝ : ∃ i ∈ s, I ≤ f i
i : ι
his : i ∈ s
hi : I ≤ f i
⊢ ↑I ⊆ ↑(f a) ∪ ↑(f b) ∪ ⋃ i ∈ ↑s, ↑(f i)

Tactic:
refine Set.Subset.trans hi <| Set.Subset.trans ?_ Set.subset_union_right

Result:
ι : Type u_1
R : Type u
inst✝ : CommRing R
s : Finset ι
f : ι → Ideal R
a b : ι
hp : ∀ i ∈ s, (f i).IsPrime
I : Ideal R
this : ↑I ⊆ ↑(f a) ∪ ↑(f b) ∪ ⋃ i ∈ ↑s, ↑(f i) → I ≤ f a ∨ I ≤ f b ∨ ∃ i ∈ s, I ≤ f i
h✝ : I ≤ f a ∨ I ≤ f b ∨ ∃ i ∈ s, I ≤ f i
h : I ≤ f b ∨ ∃ i ∈ s, I ≤ f i
x✝ : ∃ i ∈ s, I ≤ f i
i : ι
his : i ∈ s
hi : I ≤ f i
⊢ ↑(f i) ⊆ ⋃ i ∈ ↑s, ↑(f i)

Proof state:
ι : Type u_1
R : Type u
inst✝ : CommRing R
s : Finset ι
f : ι → Ideal R
a b : ι
hp : ∀ i ∈ s, (f i).IsPrime
I : Ideal R
⊢ ↑I ⊆ ↑(f a) ∪ ↑(f b) ∪ ⋃ i ∈ ↑s, ↑(f i) → I ≤ f a ∨ I ≤ f b ∨ ∃ i ∈ s, I ≤ f i

Tactic:
generalize hn : s.card = n

Result:
ι : Type u_1
R : Type u
inst✝ : CommRing R
s : Finset ι
f : ι → Ideal R
a b : ι
hp : ∀ i ∈ s, (f i).IsPrime
I : Ideal R
n : ℕ
hn : s.card = n
⊢ ↑I ⊆ ↑(f a) ∪ ↑(f b) ∪ ⋃ i ∈ ↑s, ↑(f i) → I ≤ f a ∨ I ≤ f b ∨ ∃ i ∈ s, I ≤ f i

Proof state:
case pos
ι : Type u_1
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : ι → Ideal R
I : Ideal R
n : ℕ
ih :
  ∀ {s : Finset ι} {a b : ι},
    (∀ i ∈ s, (f i).IsPrime) →
      s.card = n → ↑I ⊆ ↑(f a) ∪ ↑(f b) ∪ ⋃ i ∈ ↑s, ↑(f i) → I ≤ f a ∨ I ≤ f b ∨ ∃ i ∈ s, I ≤ f i
a b i : ι
t : Finset ι
hit : i ∉ t
hn : t.card = n
h : ↑I ⊆ ↑(f a) ∪ ↑(f b) ∪ ⋃ i_1 ∈ ↑(insert i t), ↑(f i_1)
hp : (f i).IsPrime ∧ ∀ x ∈ t, (f x).IsPrime
Ht : ¬∃ j ∈ t, f j ≤ f i
Ha : f a ≤ f i
⊢ I ≤ f a ∨ I ≤ f b ∨ ∃ i_1 ∈ insert i t, I ≤ f i_1

Tactic:
have h' : (I : Set R) ⊆ f i ∪ f b ∪ ⋃ j ∈ (↑t : Set ι), f j := by
  rw [Finset.coe_insert, Set.biUnion_insert, ← Set.union_assoc,
    Set.union_right_comm (f a : Set R),
    Set.union_eq_self_of_subset_left Ha] at h
  exact h

Result:
case pos
ι : Type u_1
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : ι → Ideal R
I : Ideal R
n : ℕ
ih :
  ∀ {s : Finset ι} {a b : ι},
    (∀ i ∈ s, (f i).IsPrime) →
      s.card = n → ↑I ⊆ ↑(f a) ∪ ↑(f b) ∪ ⋃ i ∈ ↑s, ↑(f i) → I ≤ f a ∨ I ≤ f b ∨ ∃ i ∈ s, I ≤ f i
a b i : ι
t : Finset ι
hit : i ∉ t
hn : t.card = n
h : ↑I ⊆ ↑(f a) ∪ ↑(f b) ∪ ⋃ i_1 ∈ ↑(insert i t), ↑(f i_1)
hp : (f i).IsPrime ∧ ∀ x ∈ t, (f x).IsPrime
Ht : ¬∃ j ∈ t, f j ≤ f i
Ha : f a ≤ f i
h' : ↑I ⊆ ↑(f i) ∪ ↑(f b) ∪ ⋃ j ∈ ↑t, ↑(f j)
⊢ I ≤ f a ∨ I ≤ f b ∨ ∃ i_1 ∈ insert i t, I ≤ f i_1

Proof state:
case zero
ι : Type u_1
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : ι → Ideal R
I : Ideal R
s : Finset ι
a b : ι
hn : s.card = 0
h : ↑I ⊆ ↑(f a) ∪ ↑(f b) ∪ ⋃ i ∈ ↑s, ↑(f i)
⊢ I ≤ f a ∨ I ≤ f b ∨ ∃ i ∈ s, I ≤ f i

Tactic:
rw [Finset.card_eq_zero] at hn

Result:
case zero
ι : Type u_1
R : Type u
inst✝ : CommRing R
f : ι → Ideal R
I : Ideal R
s : Finset ι
a b : ι
hn : s = ∅
h : ↑I ⊆ ↑(f a) ∪ ↑(f b) ∪ ⋃ i ∈ ↑s, ↑(f i)
⊢ I ≤ f a ∨ I ≤ f b ∨ ∃ i ∈ s, I ≤ f i