-- Mathlib/Analysis/Analytic/ChangeOrigin.lean
theorem HasFPowerSeriesWithinOnBall.changeOrigin (hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r)
    (h : ‖y‖ₑ < r) (hy : x + y ∈ insert x s) :
    HasFPowerSeriesWithinOnBall f (p.changeOrigin y) s (x + y) (r - ‖y‖ₑ) where
  r_le

Proof state:
case h'y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x y : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
h : ‖y‖ₑ < r
hy : x + y ∈ insert x s
z : E
h'z : x + y + z ∈ insert (x + y) s
hz : ‖y‖ₑ + ‖z‖ₑ < r
this : insert (x + y) s ⊆ insert x s
⊢ x + (y + z) ∈ insert x s

Tactic:
apply this

Result:
case h'y.a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x y : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
h : ‖y‖ₑ < r
hy : x + y ∈ insert x s
z : E
h'z : x + y + z ∈ insert (x + y) s
hz : ‖y‖ₑ + ‖z‖ₑ < r
this : insert (x + y) s ⊆ insert x s
⊢ x + (y + z) ∈ insert (x + y) s

Proof state:
case hy
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x y : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
h : ‖y‖ₑ < r
hy : x + y ∈ insert x s
z : E
h'z : x + y + z ∈ insert (x + y) s
hz : ‖y‖ₑ + ‖z‖ₑ < r
⊢ y + z ∈ EMetric.ball 0 r

Tactic:
exact mem_emetric_ball_zero_iff.2 (lt_of_le_of_lt (enorm_add_le _ _) hz)

Result:
no goals

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x y : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
h : ‖y‖ₑ < r
hy : x + y ∈ insert x s
⊢ 0 < r - ‖y‖ₑ

Tactic:
simp [h]

Result:
no goals

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x y : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
h : ‖y‖ₑ < r
hy : x + y ∈ insert x s
z : E
h'z : x + y + z ∈ insert (x + y) s
hz : z ∈ EMetric.ball 0 (r - ‖y‖ₑ)
⊢ f (x + y + z) = (p.changeOrigin y).sum z

Tactic:
rw [mem_emetric_ball_zero_iff, lt_tsub_iff_right, add_comm] at hz

Result:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x y : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
h : ‖y‖ₑ < r
hy : x + y ∈ insert x s
z : E
h'z : x + y + z ∈ insert (x + y) s
hz : ‖y‖ₑ + ‖z‖ₑ < r
⊢ f (x + y + z) = (p.changeOrigin y).sum z

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x y : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
h : ‖y‖ₑ < r
hy : x + y ∈ insert x s
z : E
h'z : x + y + z ∈ insert (x + y) s
hz : z ∈ EMetric.ball 0 (r - ‖y‖ₑ)
this : f (x + y + z) = (p.changeOrigin y).sum z
⊢ HasSum (fun n => (p.changeOrigin y n) fun x => z) ((p.changeOrigin y).sum z)

Tactic:
apply (p.changeOrigin y).hasSum

Result:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x y : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
h : ‖y‖ₑ < r
hy : x + y ∈ insert x s
z : E
h'z : x + y + z ∈ insert (x + y) s
hz : z ∈ EMetric.ball 0 (r - ‖y‖ₑ)
this : f (x + y + z) = (p.changeOrigin y).sum z
⊢ z ∈ EMetric.ball 0 (p.changeOrigin y).radius

Proof state:
case h'y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x y : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
h : ‖y‖ₑ < r
hy : x + y ∈ insert x s
z : E
h'z : x + y + z ∈ insert (x + y) s
hz : ‖y‖ₑ + ‖z‖ₑ < r
this : insert (x + y) s ⊆ insert (x + y) (insert x s)
⊢ x + (y + z) ∈ insert x s

Tactic:
rw [insert_eq_of_mem hy] at this

Result:
case h'y
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x y : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
h : ‖y‖ₑ < r
hy : x + y ∈ insert x s
z : E
h'z : x + y + z ∈ insert (x + y) s
hz : ‖y‖ₑ + ‖z‖ₑ < r
this : insert (x + y) s ⊆ insert x s
⊢ x + (y + z) ∈ insert x s

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x y : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
h : ‖y‖ₑ < r
hy : x + y ∈ insert x s
z : E
h'z : x + y + z ∈ insert (x + y) s
hz : z ∈ EMetric.ball 0 (r - ‖y‖ₑ)
this : f (x + y + z) = (p.changeOrigin y).sum z
⊢ z ∈ EMetric.ball 0 (p.changeOrigin y).radius

Tactic:
refine EMetric.ball_subset_ball (le_trans ?_ p.changeOrigin_radius) hz

Result:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x y : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
h : ‖y‖ₑ < r
hy : x + y ∈ insert x s
z : E
h'z : x + y + z ∈ insert (x + y) s
hz : z ∈ EMetric.ball 0 (r - ‖y‖ₑ)
this : f (x + y + z) = (p.changeOrigin y).sum z
⊢ r - ‖y‖ₑ ≤ p.radius - ↑‖y‖₊