-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
theorem det_eq_of_forall_row_eq_smul_add_const_aux {A B : Matrix n n R} {s : Finset n} :
    ∀ (c : n → R) (_ : ∀ i, i ∉ s → c i = 0) (k : n) (_ : k ∉ s)
      (_ : ∀ i j, A i j = B i j + c i * B k j), det A = det B

Proof state:
case empty
n : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A B : Matrix n n R
c : n → R
hs : ∀ i ∉ ∅, c i = 0
k : n
A_eq : ∀ (i j : n), A i j = B i j + c i * B k j
⊢ A.det = B.det

Tactic:
have : ∀ i, c i = 0 := by
  intro i
  specialize hs i
  contrapose! hs
  simp [hs]

Result:
case empty
n : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A B : Matrix n n R
c : n → R
hs : ∀ i ∉ ∅, c i = 0
k : n
A_eq : ∀ (i j : n), A i j = B i j + c i * B k j
this : ∀ (i : n), c i = 0
⊢ A.det = B.det

Proof state:
case insert.x
n : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix n n R
i : n
s : Finset n
_hi : i ∉ s
ih :
  ∀ {B : Matrix n n R} (c : n → R),
    (∀ i ∉ s, c i = 0) → ∀ k ∉ s, (∀ (i j : n), A i j = B i j + c i * B k j) → A.det = B.det
B : Matrix n n R
c : n → R
hs : ∀ i_1 ∉ insert i s, c i_1 = 0
k : n
hk : k ∉ insert i s
A_eq : ∀ (i j : n), A i j = B i j + c i * B k j
hAi : A i = B i + c i • B k
i' j' : n
⊢ A i' j' = (if i' = i then A i j' else B i' j') + (if i' = i then 0 else c i') * B.updateRow i (A i) k j'

Tactic:
split_ifs with hi'i

Result:
case pos
n : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix n n R
i : n
s : Finset n
_hi : i ∉ s
ih :
  ∀ {B : Matrix n n R} (c : n → R),
    (∀ i ∉ s, c i = 0) → ∀ k ∉ s, (∀ (i j : n), A i j = B i j + c i * B k j) → A.det = B.det
B : Matrix n n R
c : n → R
hs : ∀ i_1 ∉ insert i s, c i_1 = 0
k : n
hk : k ∉ insert i s
A_eq : ∀ (i j : n), A i j = B i j + c i * B k j
hAi : A i = B i + c i • B k
i' j' : n
hi'i : i' = i
⊢ A i' j' = A i j' + 0 * B.updateRow i (A i) k j'

case neg
n : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix n n R
i : n
s : Finset n
_hi : i ∉ s
ih :
  ∀ {B : Matrix n n R} (c : n → R),
    (∀ i ∉ s, c i = 0) → ∀ k ∉ s, (∀ (i j : n), A i j = B i j + c i * B k j) → A.det = B.det
B : Matrix n n R
c : n → R
hs : ∀ i_1 ∉ insert i s, c i_1 = 0
k : n
hk : k ∉ insert i s
A_eq : ∀ (i j : n), A i j = B i j + c i * B k j
hAi : A i = B i + c i • B k
i' j' : n
hi'i : ¬i' = i
⊢ A i' j' = B i' j' + c i' * B.updateRow i (A i) k j'

Proof state:
case insert.hij
n : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix n n R
i : n
s : Finset n
_hi : i ∉ s
ih :
  ∀ {B : Matrix n n R} (c : n → R),
    (∀ i ∉ s, c i = 0) → ∀ k ∉ s, (∀ (i j : n), A i j = B i j + c i * B k j) → A.det = B.det
B : Matrix n n R
c : n → R
hs : ∀ i_1 ∉ insert i s, c i_1 = 0
k : n
hk : k ∉ insert i s
A_eq : ∀ (i j : n), A i j = B i j + c i * B k j
hAi : A i = B i + c i • B k
⊢ i ≠ k

Tactic:
exact mt (fun h => show k ∈ insert i s from h ▸ Finset.mem_insert_self _ _) hk

Result:
no goals

Proof state:
case insert
n : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix n n R
i : n
s : Finset n
_hi : i ∉ s
ih :
  ∀ {B : Matrix n n R} (c : n → R),
    (∀ i ∉ s, c i = 0) → ∀ k ∉ s, (∀ (i j : n), A i j = B i j + c i * B k j) → A.det = B.det
B : Matrix n n R
⊢ ∀ (c : n → R),
    (∀ i_1 ∉ insert i s, c i_1 = 0) → ∀ k ∉ insert i s, (∀ (i j : n), A i j = B i j + c i * B k j) → A.det = B.det

Tactic:
intro c hs k hk A_eq

Result:
case insert
n : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix n n R
i : n
s : Finset n
_hi : i ∉ s
ih :
  ∀ {B : Matrix n n R} (c : n → R),
    (∀ i ∉ s, c i = 0) → ∀ k ∉ s, (∀ (i j : n), A i j = B i j + c i * B k j) → A.det = B.det
B : Matrix n n R
c : n → R
hs : ∀ i_1 ∉ insert i s, c i_1 = 0
k : n
hk : k ∉ insert i s
A_eq : ∀ (i j : n), A i j = B i j + c i * B k j
⊢ A.det = B.det

Proof state:
case empty
n : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A B : Matrix n n R
c : n → R
hs : ∀ i ∉ ∅, c i = 0
k : n
A_eq : ∀ (i j : n), A i j = B i j + c i * B k j
this : ∀ (i : n), c i = 0
⊢ A.det = B.det

Tactic:
congr

Result:
case empty.e_M
n : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A B : Matrix n n R
c : n → R
hs : ∀ i ∉ ∅, c i = 0
k : n
A_eq : ∀ (i j : n), A i j = B i j + c i * B k j
this : ∀ (i : n), c i = 0
⊢ A = B

Proof state:
case empty.e_M
n : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A B : Matrix n n R
c : n → R
hs : ∀ i ∉ ∅, c i = 0
k : n
A_eq : ∀ (i j : n), A i j = B i j + c i * B k j
this : ∀ (i : n), c i = 0
⊢ A = B

Tactic:
ext i j

Result:
case empty.e_M.a
n : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A B : Matrix n n R
c : n → R
hs : ∀ i ∉ ∅, c i = 0
k : n
A_eq : ∀ (i j : n), A i j = B i j + c i * B k j
this : ∀ (i : n), c i = 0
i j : n
⊢ A i j = B i j

Proof state:
case insert.x
n : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix n n R
i : n
s : Finset n
_hi : i ∉ s
ih :
  ∀ {B : Matrix n n R} (c : n → R),
    (∀ i ∉ s, c i = 0) → ∀ k ∉ s, (∀ (i j : n), A i j = B i j + c i * B k j) → A.det = B.det
B : Matrix n n R
c : n → R
hs : ∀ i_1 ∉ insert i s, c i_1 = 0
k : n
hk : k ∉ insert i s
A_eq : ∀ (i j : n), A i j = B i j + c i * B k j
hAi : A i = B i + c i • B k
⊢ k ∉ s

Tactic:
exact fun h => hk (Finset.mem_insert_of_mem h)

Result:
no goals