-- Mathlib/FieldTheory/AbelRuffini.lean
theorem splits_X_pow_sub_one_of_X_pow_sub_C {F : Type*} [Field F] {E : Type*} [Field E]
    (i : F →+* E) (n : ℕ) {a : F} (ha : a ≠ 0) (h : (X ^ n - C a).Splits i) :
    (X ^ n - 1 : F[X]).Splits i

Proof state:
case neg.intro
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0
b : E
hb : b ^ n = i a
hb' : b ≠ 0
s : Multiset E := (Polynomial.map i (X ^ n - C a)).roots
hs : Polynomial.map i (X ^ n - C a) = (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod
hs' : s.card = n
⊢ Polynomial.map i (X ^ n - 1) =
    C (i (X ^ n - 1).leadingCoeff) * (Multiset.map (fun a => X - C a) (Multiset.map (fun c => c / b) s)).prod

Tactic:
rw [leadingCoeff_X_pow_sub_one hn', RingHom.map_one, C_1, one_mul, Multiset.map_map]

Result:
case neg.intro
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0
b : E
hb : b ^ n = i a
hb' : b ≠ 0
s : Multiset E := (Polynomial.map i (X ^ n - C a)).roots
hs : Polynomial.map i (X ^ n - C a) = (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod
hs' : s.card = n
⊢ Polynomial.map i (X ^ n - 1) = (Multiset.map ((fun a => X - C a) ∘ fun c => c / b) s).prod

Proof state:
case h
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0
b : E
hb : b ^ n = i a
hb' : b ≠ 0
s : Multiset E := (Polynomial.map i (X ^ n - C a)).roots
hs : Polynomial.map i (X ^ n - C a) = (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod
hs' : s.card = n
C_mul_C : C (i a⁻¹) * C (i a) = 1
key1 : Polynomial.map i (X ^ n - 1) = C (i a⁻¹) * (Polynomial.map i (X ^ n - C a)).comp (C b * X)
c : E
⊢ ((fun q => q.comp (C b * X)) ∘ fun c => X - C c) c = C b * (X - C (c / b))

Tactic:
dsimp only [Function.comp_apply]

Result:
case h
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0
b : E
hb : b ^ n = i a
hb' : b ≠ 0
s : Multiset E := (Polynomial.map i (X ^ n - C a)).roots
hs : Polynomial.map i (X ^ n - C a) = (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod
hs' : s.card = n
C_mul_C : C (i a⁻¹) * C (i a) = 1
key1 : Polynomial.map i (X ^ n - 1) = C (i a⁻¹) * (Polynomial.map i (X ^ n - C a)).comp (C b * X)
c : E
⊢ (X - C c).comp (C b * X) = C b * (X - C (c / b))

Proof state:
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0
b : E
hb : b ^ n = i a
hb' : b ≠ 0
s : Multiset E := (Polynomial.map i (X ^ n - C a)).roots
hs : Polynomial.map i (X ^ n - C a) = (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod
hs' : s.card = n
C_mul_C : C (i a⁻¹) * C (i a) = 1
⊢ Polynomial.map i (X ^ n - 1) = C (i a⁻¹) * (Polynomial.map i (X ^ n - C a)).comp (C b * X)

Tactic:
rw [Polynomial.map_sub, Polynomial.map_sub, Polynomial.map_pow, map_X, map_C,
  Polynomial.map_one, sub_comp, pow_comp, X_comp, C_comp, mul_pow, ← C_pow, hb, mul_sub, ←
  mul_assoc, C_mul_C, one_mul]

Result:
no goals

Proof state:
case neg.intro
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0
b : E
hb : b ^ n = i a
hb' : b ≠ 0
⊢ Splits i (X ^ n - 1)

Tactic:
let s := ((X ^ n - C a).map i).roots

Result:
case neg.intro
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0
b : E
hb : b ^ n = i a
hb' : b ≠ 0
s : Multiset E := (Polynomial.map i (X ^ n - C a)).roots
⊢ Splits i (X ^ n - 1)

Proof state:
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
⊢ Splits i (X ^ n - 1)

Tactic:
have ha' : i a ≠ 0 := mt ((injective_iff_map_eq_zero i).mp i.injective a) ha

Result:
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
⊢ Splits i (X ^ n - 1)

Proof state:
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0
b : E
hb : b ^ n = i a
hb' : b ≠ 0
s : Multiset E := (Polynomial.map i (X ^ n - C a)).roots
hs : Polynomial.map i (X ^ n - C a) = (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod
hs' : s.card = n
⊢ C (i a⁻¹) * C (i a) = 1

Tactic:
rw [← C_mul, ← i.map_mul, inv_mul_cancel₀ ha, i.map_one, C_1]

Result:
no goals

Proof state:
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0
b : E
hb : 0 = i a
hb' : b = 0
⊢ False

Tactic:
exact ha' hb.symm

Result:
no goals

Proof state:
case neg.intro
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0
b : E
hb : b ^ n = i a
hb' : b ≠ 0
s : Multiset E := (Polynomial.map i (X ^ n - C a)).roots
hs : Polynomial.map i (X ^ n - C a) = (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod
hs' : s.card = n
⊢ Polynomial.map i (X ^ n - 1) = (Multiset.map ((fun a => X - C a) ∘ fun c => c / b) s).prod

Tactic:
have C_mul_C : C (i a⁻¹) * C (i a) = 1 := by
  rw [← C_mul, ← i.map_mul, inv_mul_cancel₀ ha, i.map_one, C_1]

Result:
case neg.intro
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0
b : E
hb : b ^ n = i a
hb' : b ≠ 0
s : Multiset E := (Polynomial.map i (X ^ n - C a)).roots
hs : Polynomial.map i (X ^ n - C a) = (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod
hs' : s.card = n
C_mul_C : C (i a⁻¹) * C (i a) = 1
⊢ Polynomial.map i (X ^ n - 1) = (Multiset.map ((fun a => X - C a) ∘ fun c => c / b) s).prod

Proof state:
case neg
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : ¬n = 0
⊢ Splits i (X ^ n - 1)

Tactic:
have hn' : 0 < n := pos_iff_ne_zero.mpr hn

Result:
case neg
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
⊢ Splits i (X ^ n - 1)

Proof state:
case h
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
E : Type u_4
inst✝ : Field E
i : F →+* E
n : ℕ
a : F
ha : a ≠ 0
h : Splits i (X ^ n - C a)
ha' : i a ≠ 0
hn : ¬n = 0
hn' : 0 < n
hn'' : (X ^ n - C a).degree ≠ 0
b : E
hb : b ^ n = i a
hb' : b ≠ 0
s : Multiset E := (Polynomial.map i (X ^ n - C a)).roots
hs : Polynomial.map i (X ^ n - C a) = (Multiset.map (fun a => X - C a) s).prod
hs' : s.card = n
C_mul_C : C (i a⁻¹) * C (i a) = 1
key1 : Polynomial.map i (X ^ n - 1) = C (i a⁻¹) * (Polynomial.map i (X ^ n - C a)).comp (C b * X)
c : E
⊢ (X - C c).comp (C b * X) = C b * (X - C (c / b))

Tactic:
rw [sub_comp, X_comp, C_comp, mul_sub, ← C_mul, mul_div_cancel₀ c hb']

Result:
no goals