-- Mathlib/Topology/Algebra/Polynomial.lean
theorem coeff_le_of_roots_le {p : F[X]} {f : F →+* K} {B : ℝ} (i : ℕ) (h1 : p.Monic)
    (h2 : Splits f p) (h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B) :
    ‖(map f p).coeff i‖ ≤ B ^ (p.natDegree - i) * p.natDegree.choose i

Proof state:
case inr.inl
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
B : ℝ
i : ℕ
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
hB : 0 ≤ B
hi : (map f p).natDegree < i
⊢ 0 ≤ B ^ ((map f p).natDegree - i) * ↑((map f p).natDegree.choose i)

Tactic:
positivity

Result:
no goals

Proof state:
case inr.inr
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
B : ℝ
i : ℕ
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
hB : 0 ≤ B
hi : i ≤ (map f p).natDegree
⊢ ‖(map f p).roots.esymm ((map f p).natDegree - i)‖ ≤ B ^ ((map f p).natDegree - i) * ↑((map f p).natDegree.choose i)

Tactic:
apply ((norm_multiset_sum_le _).trans <| sum_le_card_nsmul _ _ fun r hr => _).trans

Result:
case inr.inr
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
B : ℝ
i : ℕ
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
hB : 0 ≤ B
hi : i ≤ (map f p).natDegree
⊢ (Multiset.map (fun x => ‖x‖) (Multiset.map prod (powersetCard ((map f p).natDegree - i) (map f p).roots))).card •
      ?m.42576 ≤
    B ^ ((map f p).natDegree - i) * ↑((map f p).natDegree.choose i)

F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
B : ℝ
i : ℕ
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
hB : 0 ≤ B
hi : i ≤ (map f p).natDegree
⊢ ℝ

F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
B : ℝ
i : ℕ
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
hB : 0 ≤ B
hi : i ≤ (map f p).natDegree
⊢ ∀ r ∈ Multiset.map (fun x => ‖x‖) (Multiset.map prod (powersetCard ((map f p).natDegree - i) (map f p).roots)),
    r ≤ ?m.42576

Proof state:
case inl
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
B : ℝ
i : ℕ
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
hB : B < 0
⊢ ‖if i = 0 then 1 else 0‖ ≤ ↑(Nat.choose 0 i)

Tactic:
split_ifs with h <;> simp [h]

Result:
no goals

Proof state:
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
i : ℕ
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
hi : i ≤ (map f p).natDegree
s : Multiset K
hs : s ≤ (map f p).roots ∧ s.card = (map f p).natDegree - i
B : ℝ≥0
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ ↑B
⊢ B ^ (Multiset.map (⇑↑nnnormHom) s).card = B ^ ((map f p).natDegree - i)

Tactic:
rw [card_map, hs.2]

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
i : ℕ
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
hi : i ≤ (map f p).natDegree
s : Multiset K
hs : s ≤ (map f p).roots ∧ s.card = (map f p).natDegree - i
B : ℝ≥0
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ ↑B
⊢ ‖s.prod‖ ≤ ↑B ^ ((map f p).natDegree - i)

Tactic:
rw [← coe_nnnorm, ← NNReal.coe_pow, NNReal.coe_le_coe, ← nnnormHom_apply, ← MonoidHom.coe_coe,
  MonoidHom.map_multiset_prod]

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
i : ℕ
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
hi : i ≤ (map f p).natDegree
s : Multiset K
hs : s ≤ (map f p).roots ∧ s.card = (map f p).natDegree - i
B : ℝ≥0
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ ↑B
⊢ (Multiset.map (⇑↑nnnormHom) s).prod ≤ B ^ ((map f p).natDegree - i)

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
i : ℕ
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
hi : i ≤ (map f p).natDegree
s : Multiset K
hs : s ≤ (map f p).roots ∧ s.card = (map f p).natDegree - i
B : ℝ≥0
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ ↑B
x : ℝ≥0
hx : x ∈ Multiset.map (⇑↑nnnormHom) s
⊢ x ≤ B

Tactic:
obtain ⟨z, hz, rfl⟩ := Multiset.mem_map.1 hx

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
i : ℕ
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
hi : i ≤ (map f p).natDegree
s : Multiset K
hs : s ≤ (map f p).roots ∧ s.card = (map f p).natDegree - i
B : ℝ≥0
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ ↑B
z : K
hz : z ∈ s
hx : ↑nnnormHom z ∈ Multiset.map (⇑↑nnnormHom) s
⊢ ↑nnnormHom z ≤ B

Proof state:
case inr
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
B : ℝ
i : ℕ
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
hB : 0 ≤ B
⊢ ‖(map f p).coeff i‖ ≤ B ^ (p.natDegree - i) * ↑(p.natDegree.choose i)

Tactic:
rw [← h1.natDegree_map f]

Result:
case inr
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
B : ℝ
i : ℕ
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
hB : 0 ≤ B
⊢ ‖(map f p).coeff i‖ ≤ B ^ ((map f p).natDegree - i) * ↑((map f p).natDegree.choose i)

Proof state:
case intro.intro.intro.intro
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
B : ℝ
i : ℕ
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
hB : 0 ≤ B
hi : i ≤ (map f p).natDegree
s : Multiset K
hs : s ∈ powersetCard ((map f p).natDegree - i) (map f p).roots
⊢ ‖s.prod‖ ≤ B ^ ((map f p).natDegree - i)

Tactic:
rw [mem_powersetCard] at hs

Result:
case intro.intro.intro.intro
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
B : ℝ
i : ℕ
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
hB : 0 ≤ B
hi : i ≤ (map f p).natDegree
s : Multiset K
hs : s ≤ (map f p).roots ∧ s.card = (map f p).natDegree - i
⊢ ‖s.prod‖ ≤ B ^ ((map f p).natDegree - i)

Proof state:
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
B : ℝ
i : ℕ
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
hB : 0 ≤ B
hi : i ≤ (map f p).natDegree
r : ℝ
hr : ∃ a, (∃ a_1 ∈ powersetCard ((map f p).natDegree - i) (map f p).roots, a_1.prod = a) ∧ ‖a‖ = r
⊢ r ≤ B ^ ((map f p).natDegree - i)

Tactic:
obtain ⟨_, ⟨s, hs, rfl⟩, rfl⟩ := hr

Result:
case intro.intro.intro.intro
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
B : ℝ
i : ℕ
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
hB : 0 ≤ B
hi : i ≤ (map f p).natDegree
s : Multiset K
hs : s ∈ powersetCard ((map f p).natDegree - i) (map f p).roots
⊢ ‖s.prod‖ ≤ B ^ ((map f p).natDegree - i)

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
i : ℕ
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
hi : i ≤ (map f p).natDegree
s : Multiset K
hs : s ≤ (map f p).roots ∧ s.card = (map f p).natDegree - i
B : ℝ≥0
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ ↑B
z : K
hz : z ∈ s
hx : ↑nnnormHom z ∈ Multiset.map (⇑↑nnnormHom) s
⊢ ↑nnnormHom z ≤ B

Tactic:
exact h3 z (mem_of_le hs.1 hz)

Result:
no goals

Proof state:
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
B : ℝ
i : ℕ
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
hB : 0 ≤ B
hi : i ≤ (map f p).natDegree
r : ℝ
hr : r ∈ Multiset.map (fun x => ‖x‖) (Multiset.map prod (powersetCard ((map f p).natDegree - i) (map f p).roots))
⊢ r ≤ B ^ ((map f p).natDegree - i)

Tactic:
simp_rw [Multiset.mem_map] at hr

Result:
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
B : ℝ
i : ℕ
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
hB : 0 ≤ B
hi : i ≤ (map f p).natDegree
r : ℝ
hr : ∃ a, (∃ a_1 ∈ powersetCard ((map f p).natDegree - i) (map f p).roots, a_1.prod = a) ∧ ‖a‖ = r
⊢ r ≤ B ^ ((map f p).natDegree - i)