-- Mathlib/.lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
theorem extract.go₂_add_right_cancel (s : List Char) (i e n : Nat) :
    go₂ s ⟨i + n⟩ ⟨e + n⟩ = go₂ s ⟨i⟩ ⟨e⟩

Proof state:
s : List Char
i e n : Nat
⊢ go₂ s { byteIdx := i + n } { byteIdx := e + n } = go₂ s { byteIdx := i } { byteIdx := e }

Tactic:
apply utf8InductionOn s ⟨i⟩ ⟨e⟩ (motive := fun s i =>
  go₂ s ⟨i.byteIdx + n⟩ ⟨e + n⟩ = go₂ s i ⟨e⟩)
  <;> simp only [ne_eq, go₂, pos_add_char, implies_true, ↓reduceIte]

Result:
case ind
s : List Char
i e n : Nat
⊢ ∀ (c : Char) (cs : List Char) (i : Pos),
    ¬i = { byteIdx := e } →
      go₂ cs { byteIdx := i.byteIdx + c.utf8Size + n } { byteIdx := e + n } = go₂ cs (i + c) { byteIdx := e } →
        (if { byteIdx := i.byteIdx + n } = { byteIdx := e + n } then []
          else c :: go₂ cs ({ byteIdx := i.byteIdx + n } + c) { byteIdx := e + n }) =
          if i = { byteIdx := e } then [] else c :: go₂ cs (i + c) { byteIdx := e }

Proof state:
case ind
s : List Char
i✝ e n : Nat
c : Char
cs : List Char
i : Nat
ih :
  go₂ cs { byteIdx := { byteIdx := i }.byteIdx + c.utf8Size + n } { byteIdx := e + n } =
    go₂ cs ({ byteIdx := i } + c) { byteIdx := e }
h : ¬i = e
⊢ go₂ cs { byteIdx := i + n + c.utf8Size } { byteIdx := e + n } = go₂ cs { byteIdx := i + c.utf8Size } { byteIdx := e }

Tactic:
rw [Nat.add_right_comm]

Result:
case ind
s : List Char
i✝ e n : Nat
c : Char
cs : List Char
i : Nat
ih :
  go₂ cs { byteIdx := { byteIdx := i }.byteIdx + c.utf8Size + n } { byteIdx := e + n } =
    go₂ cs ({ byteIdx := i } + c) { byteIdx := e }
h : ¬i = e
⊢ go₂ cs { byteIdx := i + c.utf8Size + n } { byteIdx := e + n } = go₂ cs { byteIdx := i + c.utf8Size } { byteIdx := e }

Proof state:
case ind
s : List Char
i✝ e n : Nat
c : Char
cs : List Char
i : Nat
ih :
  go₂ cs { byteIdx := { byteIdx := i }.byteIdx + c.utf8Size + n } { byteIdx := e + n } =
    go₂ cs ({ byteIdx := i } + c) { byteIdx := e }
h : ¬i = e
⊢ go₂ cs { byteIdx := i + c.utf8Size + n } { byteIdx := e + n } = go₂ cs { byteIdx := i + c.utf8Size } { byteIdx := e }

Tactic:
exact ih

Result:
no goals

Proof state:
case ind
s : List Char
i e n : Nat
⊢ ∀ (c : Char) (cs : List Char) (i : Pos),
    ¬i = { byteIdx := e } →
      go₂ cs { byteIdx := i.byteIdx + c.utf8Size + n } { byteIdx := e + n } = go₂ cs (i + c) { byteIdx := e } →
        (if { byteIdx := i.byteIdx + n } = { byteIdx := e + n } then []
          else c :: go₂ cs ({ byteIdx := i.byteIdx + n } + c) { byteIdx := e + n }) =
          if i = { byteIdx := e } then [] else c :: go₂ cs (i + c) { byteIdx := e }

Tactic:
intro c cs ⟨i⟩ h ih

Result:
case ind
s : List Char
i✝ e n : Nat
c : Char
cs : List Char
i : Nat
h : ¬{ byteIdx := i } = { byteIdx := e }
ih :
  go₂ cs { byteIdx := { byteIdx := i }.byteIdx + c.utf8Size + n } { byteIdx := e + n } =
    go₂ cs ({ byteIdx := i } + c) { byteIdx := e }
⊢ (if { byteIdx := { byteIdx := i }.byteIdx + n } = { byteIdx := e + n } then []
    else c :: go₂ cs ({ byteIdx := { byteIdx := i }.byteIdx + n } + c) { byteIdx := e + n }) =
    if { byteIdx := i } = { byteIdx := e } then [] else c :: go₂ cs ({ byteIdx := i } + c) { byteIdx := e }

Proof state:
case ind
s : List Char
i✝ e n : Nat
c : Char
cs : List Char
i : Nat
ih :
  go₂ cs { byteIdx := { byteIdx := i }.byteIdx + c.utf8Size + n } { byteIdx := e + n } =
    go₂ cs ({ byteIdx := i } + c) { byteIdx := e }
h : ¬i = e
⊢ (if i + n = e + n then [] else c :: go₂ cs { byteIdx := i + n + c.utf8Size } { byteIdx := e + n }) =
    if i = e then [] else c :: go₂ cs { byteIdx := i + c.utf8Size } { byteIdx := e }

Tactic:
simp only [Nat.add_right_cancel_iff, h, ↓reduceIte, List.cons.injEq, true_and]

Result:
case ind
s : List Char
i✝ e n : Nat
c : Char
cs : List Char
i : Nat
ih :
  go₂ cs { byteIdx := { byteIdx := i }.byteIdx + c.utf8Size + n } { byteIdx := e + n } =
    go₂ cs ({ byteIdx := i } + c) { byteIdx := e }
h : ¬i = e
⊢ go₂ cs { byteIdx := i + n + c.utf8Size } { byteIdx := e + n } = go₂ cs { byteIdx := i + c.utf8Size } { byteIdx := e }

Proof state:
case ind
s : List Char
i✝ e n : Nat
c : Char
cs : List Char
i : Nat
h : ¬{ byteIdx := i } = { byteIdx := e }
ih :
  go₂ cs { byteIdx := { byteIdx := i }.byteIdx + c.utf8Size + n } { byteIdx := e + n } =
    go₂ cs ({ byteIdx := i } + c) { byteIdx := e }
⊢ (if { byteIdx := { byteIdx := i }.byteIdx + n } = { byteIdx := e + n } then []
    else c :: go₂ cs ({ byteIdx := { byteIdx := i }.byteIdx + n } + c) { byteIdx := e + n }) =
    if { byteIdx := i } = { byteIdx := e } then [] else c :: go₂ cs ({ byteIdx := i } + c) { byteIdx := e }

Tactic:
simp only [Pos.ext_iff, Pos.addChar_eq] at h ⊢

Result:
case ind
s : List Char
i✝ e n : Nat
c : Char
cs : List Char
i : Nat
ih :
  go₂ cs { byteIdx := { byteIdx := i }.byteIdx + c.utf8Size + n } { byteIdx := e + n } =
    go₂ cs ({ byteIdx := i } + c) { byteIdx := e }
h : ¬i = e
⊢ (if i + n = e + n then [] else c :: go₂ cs { byteIdx := i + n + c.utf8Size } { byteIdx := e + n }) =
    if i = e then [] else c :: go₂ cs { byteIdx := i + c.utf8Size } { byteIdx := e }