-- Mathlib/Analysis/Meromorphic/Basic.lean
theorem MeromorphicAt.eventually_eq_zero_or_eventually_ne_zero {f : 𝕜 → E} {z₀ : 𝕜}
    (hf : MeromorphicAt f z₀) :
    (∀ᶠ z in 𝓝[≠] z₀, f z = 0) ∨ (∀ᶠ z in 𝓝[≠] z₀, f z ≠ 0)

Proof state:
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
z₀ : 𝕜
n : ℕ
h : AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - z₀) ^ n • f z) z₀
h₁ : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, (z - z₀) ^ n • f z = 0
y : 𝕜
h₁y : (y - z₀) ^ n • f y = 0
h₂y : y ∈ {z₀}ᶜ
⊢ f y = 0

Tactic:
rw [Set.mem_compl_iff, Set.mem_singleton_iff, ← sub_eq_zero] at h₂y

Result:
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
z₀ : 𝕜
n : ℕ
h : AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - z₀) ^ n • f z) z₀
h₁ : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, (z - z₀) ^ n • f z = 0
y : 𝕜
h₁y : (y - z₀) ^ n • f y = 0
h₂y : ¬y - z₀ = 0
⊢ f y = 0

Proof state:
case intro
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
z₀ : 𝕜
n : ℕ
h : AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - z₀) ^ n • f z) z₀
⊢ (∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = 0) ∨ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z ≠ 0

Tactic:
rcases h.eventually_eq_zero_or_eventually_ne_zero with h₁ | h₂

Result:
case intro.inl
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
z₀ : 𝕜
n : ℕ
h : AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - z₀) ^ n • f z) z₀
h₁ : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, (z - z₀) ^ n • f z = 0
⊢ (∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = 0) ∨ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z ≠ 0

case intro.inr
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
z₀ : 𝕜
n : ℕ
h : AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - z₀) ^ n • f z) z₀
h₂ : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, (z - z₀) ^ n • f z ≠ 0
⊢ (∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = 0) ∨ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z ≠ 0

Proof state:
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
z₀ : 𝕜
n : ℕ
h : AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - z₀) ^ n • f z) z₀
h₁ : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, (z - z₀) ^ n • f z = 0
y : 𝕜
h₁y : (y - z₀) ^ n • f y = 0
h₂y : ¬y - z₀ = 0
⊢ f y = 0

Tactic:
exact smul_eq_zero_iff_right (pow_ne_zero n h₂y) |>.mp h₁y

Result:
no goals

Proof state:
case intro.inr
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
z₀ : 𝕜
n : ℕ
h : AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - z₀) ^ n • f z) z₀
h₂ : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, (z - z₀) ^ n • f z ≠ 0
⊢ (∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = 0) ∨ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z ≠ 0

Tactic:
right

Result:
case intro.inr.h
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
z₀ : 𝕜
n : ℕ
h : AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - z₀) ^ n • f z) z₀
h₂ : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, (z - z₀) ^ n • f z ≠ 0
⊢ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z ≠ 0

Proof state:
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
z₀ : 𝕜
n : ℕ
h : AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - z₀) ^ n • f z) z₀
h₂ : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, (z - z₀) ^ n • f z ≠ 0
y : 𝕜
h₁y : (y - z₀) ^ n • f y ≠ 0
h₂y : y ∈ {z₀}ᶜ
⊢ f y ≠ 0

Tactic:
exact (smul_ne_zero_iff.1 h₁y).2

Result:
no goals

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
z₀ : 𝕜
hf : MeromorphicAt f z₀
⊢ (∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = 0) ∨ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z ≠ 0

Tactic:
obtain ⟨n, h⟩ := hf

Result:
case intro
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
z₀ : 𝕜
n : ℕ
h : AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - z₀) ^ n • f z) z₀
⊢ (∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = 0) ∨ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z ≠ 0

Proof state:
case intro.inr.h
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
z₀ : 𝕜
n : ℕ
h : AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - z₀) ^ n • f z) z₀
h₂ : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, (z - z₀) ^ n • f z ≠ 0
⊢ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z ≠ 0

Tactic:
filter_upwards [h₂, self_mem_nhdsWithin] with y h₁y h₂y

Result:
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
z₀ : 𝕜
n : ℕ
h : AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - z₀) ^ n • f z) z₀
h₂ : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, (z - z₀) ^ n • f z ≠ 0
y : 𝕜
h₁y : (y - z₀) ^ n • f y ≠ 0
h₂y : y ∈ {z₀}ᶜ
⊢ f y ≠ 0

Proof state:
case intro.inl
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
z₀ : 𝕜
n : ℕ
h : AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - z₀) ^ n • f z) z₀
h₁ : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, (z - z₀) ^ n • f z = 0
⊢ (∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = 0) ∨ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z ≠ 0

Tactic:
left

Result:
case intro.inl.h
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
z₀ : 𝕜
n : ℕ
h : AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - z₀) ^ n • f z) z₀
h₁ : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, (z - z₀) ^ n • f z = 0
⊢ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = 0

Proof state:
case intro.inl.h
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
z₀ : 𝕜
n : ℕ
h : AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - z₀) ^ n • f z) z₀
h₁ : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, (z - z₀) ^ n • f z = 0
⊢ ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝[≠] z₀, f z = 0

Tactic:
filter_upwards [nhdsWithin_le_nhds h₁, self_mem_nhdsWithin] with y h₁y h₂y

Result:
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : 𝕜 → E
z₀ : 𝕜
n : ℕ
h : AnalyticAt 𝕜 (fun z => (z - z₀) ^ n • f z) z₀
h₁ : ∀ᶠ (z : 𝕜) in 𝓝 z₀, (z - z₀) ^ n • f z = 0
y : 𝕜
h₁y : (y - z₀) ^ n • f y = 0
h₂y : y ∈ {z₀}ᶜ
⊢ f y = 0