-- Mathlib/RingTheory/RootsOfUnity/PrimitiveRoots.lean
theorem eq_pow_of_mem_rootsOfUnity {k : ℕ} [NeZero k] {ζ ξ : Rˣ} (h : IsPrimitiveRoot ζ k)
    (hξ : ξ ∈ rootsOfUnity k R) : ∃ i < k, ζ ^ i = ξ

Proof state:
R : Type u_4
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
k : ℕ
inst✝ : NeZero k
ζ ξ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ k
hξ : ξ ∈ rootsOfUnity k R
⊢ ∃ i < k, ζ ^ i = ξ

Tactic:
obtain ⟨n, rfl⟩ : ∃ n : ℤ, ζ ^ n = ξ := by rwa [← h.zpowers_eq] at hξ

Result:
case intro
R : Type u_4
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
k : ℕ
inst✝ : NeZero k
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ k
n : ℤ
hξ : ζ ^ n ∈ rootsOfUnity k R
⊢ ∃ i < k, ζ ^ i = ζ ^ n

Proof state:
case intro
R : Type u_4
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
k : ℕ
inst✝ : NeZero k
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ k
n : ℤ
hξ : ζ ^ n ∈ rootsOfUnity k R
hk0 : 0 < ↑k
i : ℤ := n % ↑k
⊢ ∃ i < k, ζ ^ i = ζ ^ n

Tactic:
have hi0 : 0 ≤ i := Int.emod_nonneg _ (ne_of_gt hk0)

Result:
case intro
R : Type u_4
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
k : ℕ
inst✝ : NeZero k
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ k
n : ℤ
hξ : ζ ^ n ∈ rootsOfUnity k R
hk0 : 0 < ↑k
i : ℤ := n % ↑k
hi0 : 0 ≤ i
⊢ ∃ i < k, ζ ^ i = ζ ^ n

Proof state:
case intro.intro.refine_2
R : Type u_4
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
k : ℕ
inst✝ : NeZero k
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ k
n : ℤ
hξ : ζ ^ n ∈ rootsOfUnity k R
hk0 : 0 < ↑k
i : ℤ := n % ↑k
i₀ : ℕ
hi₀ : ↑i₀ = i
⊢ ζ ^ i₀ = ζ ^ n

Tactic:
rw [← zpow_natCast, hi₀, ← Int.emod_add_ediv n k, zpow_add, zpow_mul, h.zpow_eq_one, one_zpow,
  mul_one]

Result:
no goals

Proof state:
case intro
R : Type u_4
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
k : ℕ
inst✝ : NeZero k
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ k
n : ℤ
hξ : ζ ^ n ∈ rootsOfUnity k R
⊢ ∃ i < k, ζ ^ i = ζ ^ n

Tactic:
have hk0 : (0 : ℤ) < k := mod_cast NeZero.pos k

Result:
case intro
R : Type u_4
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
k : ℕ
inst✝ : NeZero k
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ k
n : ℤ
hξ : ζ ^ n ∈ rootsOfUnity k R
hk0 : 0 < ↑k
⊢ ∃ i < k, ζ ^ i = ζ ^ n

Proof state:
R : Type u_4
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
k : ℕ
inst✝ : NeZero k
ζ ξ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ k
hξ : ξ ∈ rootsOfUnity k R
⊢ ∃ n, ζ ^ n = ξ

Tactic:
rwa [← h.zpowers_eq] at hξ

Result:
no goals

Proof state:
case intro
R : Type u_4
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
k : ℕ
inst✝ : NeZero k
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ k
n : ℤ
hξ : ζ ^ n ∈ rootsOfUnity k R
hk0 : 0 < ↑k
⊢ ∃ i < k, ζ ^ i = ζ ^ n

Tactic:
let i := n % k

Result:
case intro
R : Type u_4
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
k : ℕ
inst✝ : NeZero k
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ k
n : ℤ
hξ : ζ ^ n ∈ rootsOfUnity k R
hk0 : 0 < ↑k
i : ℤ := n % ↑k
⊢ ∃ i < k, ζ ^ i = ζ ^ n

Proof state:
case intro.intro.refine_1
R : Type u_4
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
k : ℕ
inst✝ : NeZero k
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ k
n : ℤ
hξ : ζ ^ n ∈ rootsOfUnity k R
hk0 : 0 < ↑k
i : ℤ := n % ↑k
i₀ : ℕ
hi₀ : ↑i₀ = i
⊢ i < ↑k

Tactic:
exact Int.emod_lt_of_pos _ hk0

Result:
no goals

Proof state:
case intro
R : Type u_4
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
k : ℕ
inst✝ : NeZero k
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ k
n : ℤ
hξ : ζ ^ n ∈ rootsOfUnity k R
hk0 : 0 < ↑k
i : ℤ := n % ↑k
hi0 : 0 ≤ i
⊢ ∃ i < k, ζ ^ i = ζ ^ n

Tactic:
lift i to ℕ using hi0 with i₀ hi₀

Result:
case intro.intro
R : Type u_4
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
k : ℕ
inst✝ : NeZero k
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ k
n : ℤ
hξ : ζ ^ n ∈ rootsOfUnity k R
hk0 : 0 < ↑k
i : ℤ := n % ↑k
i₀ : ℕ
hi₀ : ↑i₀ = i
⊢ ∃ i < k, ζ ^ i = ζ ^ n

Proof state:
case intro.intro.refine_1
R : Type u_4
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
k : ℕ
inst✝ : NeZero k
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ k
n : ℤ
hξ : ζ ^ n ∈ rootsOfUnity k R
hk0 : 0 < ↑k
i : ℤ := n % ↑k
i₀ : ℕ
hi₀ : ↑i₀ = i
⊢ i₀ < k

Tactic:
zify

Result:
case intro.intro.refine_1
R : Type u_4
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
k : ℕ
inst✝ : NeZero k
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ k
n : ℤ
hξ : ζ ^ n ∈ rootsOfUnity k R
hk0 : 0 < ↑k
i : ℤ := n % ↑k
i₀ : ℕ
hi₀ : ↑i₀ = i
⊢ ↑i₀ < ↑k

Proof state:
case intro.intro
R : Type u_4
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
k : ℕ
inst✝ : NeZero k
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ k
n : ℤ
hξ : ζ ^ n ∈ rootsOfUnity k R
hk0 : 0 < ↑k
i : ℤ := n % ↑k
i₀ : ℕ
hi₀ : ↑i₀ = i
⊢ ∃ i < k, ζ ^ i = ζ ^ n

Tactic:
refine ⟨i₀, ?_, ?_⟩

Result:
case intro.intro.refine_1
R : Type u_4
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
k : ℕ
inst✝ : NeZero k
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ k
n : ℤ
hξ : ζ ^ n ∈ rootsOfUnity k R
hk0 : 0 < ↑k
i : ℤ := n % ↑k
i₀ : ℕ
hi₀ : ↑i₀ = i
⊢ i₀ < k

case intro.intro.refine_2
R : Type u_4
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
k : ℕ
inst✝ : NeZero k
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ k
n : ℤ
hξ : ζ ^ n ∈ rootsOfUnity k R
hk0 : 0 < ↑k
i : ℤ := n % ↑k
i₀ : ℕ
hi₀ : ↑i₀ = i
⊢ ζ ^ i₀ = ζ ^ n

Proof state:
case intro.intro.refine_1
R : Type u_4
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
k : ℕ
inst✝ : NeZero k
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ k
n : ℤ
hξ : ζ ^ n ∈ rootsOfUnity k R
hk0 : 0 < ↑k
i : ℤ := n % ↑k
i₀ : ℕ
hi₀ : ↑i₀ = i
⊢ ↑i₀ < ↑k

Tactic:
rw [hi₀]

Result:
case intro.intro.refine_1
R : Type u_4
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
k : ℕ
inst✝ : NeZero k
ζ : Rˣ
h : IsPrimitiveRoot ζ k
n : ℤ
hξ : ζ ^ n ∈ rootsOfUnity k R
hk0 : 0 < ↑k
i : ℤ := n % ↑k
i₀ : ℕ
hi₀ : ↑i₀ = i
⊢ i < ↑k