-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
theorem whiskerRight_comp_bimod {W X Y Z : Mon_ C} {M M' : Bimod W X} (f : M ⟶ M') (N : Bimod X Y)
    (P : Bimod Y Z) :
    whiskerRight f (N.tensorBimod P) =
      (associatorBimod M N P).inv ≫
        whiskerRight (whiskerRight f N) P ≫ (associatorBimod M' N P).hom

Proof state:
case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M M' : Bimod W X
f : M ⟶ M'
N : Bimod X Y
P : Bimod Y Z
⊢ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫
      f.hom ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫
        colimit.ι
          (parallelPair (M'.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft))
            ((α_ M'.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft))).hom ≫
              M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P))
          WalkingParallelPair.one =
    (α_ M.X N.X P.X).inv ≫
      ((f.hom ▷ N.X ▷ P.X ≫
            colimit.ι (parallelPair (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft))
                WalkingParallelPair.one ▷
              P.X) ≫
          (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight P.X) (M'.actRight ▷ N.X)
              ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft)).inv) ≫
        coequalizer.desc
          ((α_ M'.X N.X P.X).hom ≫
            M'.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫
              coequalizer.π (M'.actRight ▷ TensorBimod.X N P)
                ((α_ M'.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P))
          ⋯

Tactic:
slice_rhs 3 5 => rw [π_tensor_id_preserves_coequalizer_inv_desc]

Result:
case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M M' : Bimod W X
f : M ⟶ M'
N : Bimod X Y
P : Bimod Y Z
⊢ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫
      f.hom ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫
        colimit.ι
          (parallelPair (M'.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft))
            ((α_ M'.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft))).hom ≫
              M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P))
          WalkingParallelPair.one =
    (α_ M.X N.X P.X).inv ≫
      f.hom ▷ N.X ▷ P.X ≫
        (α_ M'.X N.X P.X).hom ≫
          M'.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫
            coequalizer.π (M'.actRight ▷ TensorBimod.X N P)
              ((α_ M'.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)

Proof state:
case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M M' : Bimod W X
f : M ⟶ M'
N : Bimod X Y
P : Bimod Y Z
⊢ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫
      f.hom ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫
        colimit.ι
          (parallelPair (M'.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft))
            ((α_ M'.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft))).hom ≫
              M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P))
          WalkingParallelPair.one =
    (α_ M.X N.X P.X).inv ≫
      (f.hom ▷ N.X ≫
            colimit.ι (parallelPair (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft))
              WalkingParallelPair.one) ▷
          P.X ≫
        (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight P.X) (M'.actRight ▷ N.X)
              ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft)).inv ≫
          coequalizer.desc
            ((α_ M'.X N.X P.X).hom ≫
              M'.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫
                coequalizer.π (M'.actRight ▷ TensorBimod.X N P)
                  ((α_ M'.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P))
            ⋯

Tactic:
slice_rhs 2 2 => rw [comp_whiskerRight]

Result:
case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M M' : Bimod W X
f : M ⟶ M'
N : Bimod X Y
P : Bimod Y Z
⊢ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫
      f.hom ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫
        colimit.ι
          (parallelPair (M'.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft))
            ((α_ M'.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft))).hom ≫
              M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P))
          WalkingParallelPair.one =
    (α_ M.X N.X P.X).inv ≫
      ((f.hom ▷ N.X ▷ P.X ≫
            colimit.ι (parallelPair (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft))
                WalkingParallelPair.one ▷
              P.X) ≫
          (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight P.X) (M'.actRight ▷ N.X)
              ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft)).inv) ≫
        coequalizer.desc
          ((α_ M'.X N.X P.X).hom ≫
            M'.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫
              coequalizer.π (M'.actRight ▷ TensorBimod.X N P)
                ((α_ M'.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P))
          ⋯