-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
lemma linearMap_apply_apply (ij : ι₂ × ι₁) (k : ι₁) :
    (b₁.linearMap b₂ ij) (b₁ k) = if ij.2 = k then b₂ ij.1 else 0

Proof state:
R : Type u_1
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
ι₁ : Type u_6
ι₂ : Type u_7
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Fintype ι₁
inst✝¹ : Fintype ι₂
inst✝ : DecidableEq ι₁
b₁ : Basis ι₁ R M₁
b₂ : Basis ι₂ R M₂
ij : ι₂ × ι₁
k : ι₁
⊢ ((b₁.linearMap b₂) ij) (b₁ k) = if ij.2 = k then b₂ ij.1 else 0

Tactic:
have := Classical.decEq ι₂

Result:
R : Type u_1
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
ι₁ : Type u_6
ι₂ : Type u_7
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Fintype ι₁
inst✝¹ : Fintype ι₂
inst✝ : DecidableEq ι₁
b₁ : Basis ι₁ R M₁
b₂ : Basis ι₂ R M₂
ij : ι₂ × ι₁
k : ι₁
this : DecidableEq ι₂
⊢ ((b₁.linearMap b₂) ij) (b₁ k) = if ij.2 = k then b₂ ij.1 else 0

Proof state:
R : Type u_1
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
ι₁ : Type u_6
ι₂ : Type u_7
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Fintype ι₁
inst✝¹ : Fintype ι₂
inst✝ : DecidableEq ι₁
b₁ : Basis ι₁ R M₁
b₂ : Basis ι₂ R M₂
ij : ι₂ × ι₁
k : ι₁
this : DecidableEq ι₂
⊢ ∑ j : ι₂, stdBasisMatrix ij.1 ij.2 1 j k • b₂ j = if ij.2 = k then b₂ ij.1 else 0

Tactic:
dsimp only [Matrix.stdBasisMatrix, of_apply]

Result:
R : Type u_1
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
ι₁ : Type u_6
ι₂ : Type u_7
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Fintype ι₁
inst✝¹ : Fintype ι₂
inst✝ : DecidableEq ι₁
b₁ : Basis ι₁ R M₁
b₂ : Basis ι₂ R M₂
ij : ι₂ × ι₁
k : ι₁
this : DecidableEq ι₂
⊢ ∑ j : ι₂, (if ij.1 = j ∧ ij.2 = k then 1 else 0) • b₂ j = if ij.2 = k then b₂ ij.1 else 0

Proof state:
R : Type u_1
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
ι₁ : Type u_6
ι₂ : Type u_7
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Fintype ι₁
inst✝¹ : Fintype ι₂
inst✝ : DecidableEq ι₁
b₁ : Basis ι₁ R M₁
b₂ : Basis ι₂ R M₂
ij : ι₂ × ι₁
k : ι₁
this : DecidableEq ι₂
⊢ ∑ j : ι₂, (if ij.1 = j ∧ ij.2 = k then 1 else 0) • b₂ j = if ij.2 = k then b₂ ij.1 else 0

Tactic:
simp_rw [ite_smul, one_smul, zero_smul, ite_and, Finset.sum_ite_eq, Finset.mem_univ, if_true]

Result:
no goals

Proof state:
R : Type u_1
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
ι₁ : Type u_6
ι₂ : Type u_7
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Fintype ι₁
inst✝¹ : Fintype ι₂
inst✝ : DecidableEq ι₁
b₁ : Basis ι₁ R M₁
b₂ : Basis ι₂ R M₂
ij : ι₂ × ι₁
k : ι₁
this : DecidableEq ι₂
⊢ ((b₁.linearMap b₂) ij) (b₁ k) = if ij.2 = k then b₂ ij.1 else 0

Tactic:
rw [linearMap_apply, Matrix.stdBasis_eq_stdBasisMatrix, Matrix.toLin_self]

Result:
R : Type u_1
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
ι₁ : Type u_6
ι₂ : Type u_7
inst✝⁷ : CommSemiring R
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Fintype ι₁
inst✝¹ : Fintype ι₂
inst✝ : DecidableEq ι₁
b₁ : Basis ι₁ R M₁
b₂ : Basis ι₂ R M₂
ij : ι₂ × ι₁
k : ι₁
this : DecidableEq ι₂
⊢ ∑ j : ι₂, stdBasisMatrix ij.1 ij.2 1 j k • b₂ j = if ij.2 = k then b₂ ij.1 else 0