-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Unoriented/Affine.lean
theorem _root_.Wbtw.angle₂₁₃_eq_zero_of_ne {p₁ p₂ p₃ : P} (h : Wbtw ℝ p₁ p₂ p₃) (hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁) :
    ∠ p₂ p₁ p₃ = 0

Proof state:
case intro.intro.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₃ : P
r : ℝ
hr0 : 0 ≤ r
hr1 : r ≤ 1
hp₂p₁ : (AffineMap.lineMap p₁ p₃) r ≠ p₁
⊢ (AffineMap.lineMap p₁ p₃) r -ᵥ p₁ ≠ 0 ∧ ∃ r_1, 0 < r_1 ∧ p₃ -ᵥ p₁ = r_1 • ((AffineMap.lineMap p₁ p₃) r -ᵥ p₁)

Tactic:
have hr0' : r ≠ 0 := by
  rintro rfl
  simp at hp₂p₁

Result:
case intro.intro.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₃ : P
r : ℝ
hr0 : 0 ≤ r
hr1 : r ≤ 1
hp₂p₁ : (AffineMap.lineMap p₁ p₃) r ≠ p₁
hr0' : r ≠ 0
⊢ (AffineMap.lineMap p₁ p₃) r -ᵥ p₁ ≠ 0 ∧ ∃ r_1, 0 < r_1 ∧ p₃ -ᵥ p₁ = r_1 • ((AffineMap.lineMap p₁ p₃) r -ᵥ p₁)

Proof state:
case intro.intro.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₃ : P
r : ℝ
hr1 : r ≤ 1
hp₂p₁ : (AffineMap.lineMap p₁ p₃) r ≠ p₁
hr0' : r ≠ 0
hr0 : 0 < r
⊢ p₃ -ᵥ p₁ = r⁻¹ • ((AffineMap.lineMap p₁ p₃) r -ᵥ p₁)

Tactic:
rw [AffineMap.lineMap_apply, vadd_vsub_assoc, vsub_self, add_zero, smul_smul,
  inv_mul_cancel₀ hr0', one_smul]

Result:
no goals

Proof state:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₃ : P
hr0 : 0 ≤ 0
hr1 : 0 ≤ 1
hp₂p₁ : (AffineMap.lineMap p₁ p₃) 0 ≠ p₁
⊢ False

Tactic:
simp at hp₂p₁

Result:
no goals

Proof state:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : Wbtw ℝ p₁ p₂ p₃
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
⊢ ∠ p₂ p₁ p₃ = 0

Tactic:
rw [angle, angle_eq_zero_iff]

Result:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : Wbtw ℝ p₁ p₂ p₃
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
⊢ p₂ -ᵥ p₁ ≠ 0 ∧ ∃ r, 0 < r ∧ p₃ -ᵥ p₁ = r • (p₂ -ᵥ p₁)

Proof state:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₂ p₃ : P
h : Wbtw ℝ p₁ p₂ p₃
hp₂p₁ : p₂ ≠ p₁
⊢ p₂ -ᵥ p₁ ≠ 0 ∧ ∃ r, 0 < r ∧ p₃ -ᵥ p₁ = r • (p₂ -ᵥ p₁)

Tactic:
rcases h with ⟨r, ⟨hr0, hr1⟩, rfl⟩

Result:
case intro.intro.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₃ : P
r : ℝ
hr0 : 0 ≤ r
hr1 : r ≤ 1
hp₂p₁ : (AffineMap.lineMap p₁ p₃) r ≠ p₁
⊢ (AffineMap.lineMap p₁ p₃) r -ᵥ p₁ ≠ 0 ∧ ∃ r_1, 0 < r_1 ∧ p₃ -ᵥ p₁ = r_1 • ((AffineMap.lineMap p₁ p₃) r -ᵥ p₁)

Proof state:
case intro.intro.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₃ : P
r : ℝ
hr0 : 0 ≤ r
hr1 : r ≤ 1
hp₂p₁ : (AffineMap.lineMap p₁ p₃) r ≠ p₁
hr0' : r ≠ 0
⊢ (AffineMap.lineMap p₁ p₃) r -ᵥ p₁ ≠ 0 ∧ ∃ r_1, 0 < r_1 ∧ p₃ -ᵥ p₁ = r_1 • ((AffineMap.lineMap p₁ p₃) r -ᵥ p₁)

Tactic:
replace hr0 := hr0.lt_of_ne hr0'.symm

Result:
case intro.intro.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₃ : P
r : ℝ
hr1 : r ≤ 1
hp₂p₁ : (AffineMap.lineMap p₁ p₃) r ≠ p₁
hr0' : r ≠ 0
hr0 : 0 < r
⊢ (AffineMap.lineMap p₁ p₃) r -ᵥ p₁ ≠ 0 ∧ ∃ r_1, 0 < r_1 ∧ p₃ -ᵥ p₁ = r_1 • ((AffineMap.lineMap p₁ p₃) r -ᵥ p₁)

Proof state:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₃ : P
r : ℝ
hr0 : 0 ≤ r
hr1 : r ≤ 1
hp₂p₁ : (AffineMap.lineMap p₁ p₃) r ≠ p₁
⊢ r ≠ 0

Tactic:
rintro rfl

Result:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₃ : P
hr0 : 0 ≤ 0
hr1 : 0 ≤ 1
hp₂p₁ : (AffineMap.lineMap p₁ p₃) 0 ≠ p₁
⊢ False

Proof state:
case intro.intro.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₃ : P
r : ℝ
hr1 : r ≤ 1
hp₂p₁ : (AffineMap.lineMap p₁ p₃) r ≠ p₁
hr0' : r ≠ 0
hr0 : 0 < r
⊢ (AffineMap.lineMap p₁ p₃) r -ᵥ p₁ ≠ 0 ∧ ∃ r_1, 0 < r_1 ∧ p₃ -ᵥ p₁ = r_1 • ((AffineMap.lineMap p₁ p₃) r -ᵥ p₁)

Tactic:
refine ⟨vsub_ne_zero.2 hp₂p₁, r⁻¹, inv_pos.2 hr0, ?_⟩

Result:
case intro.intro.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p₁ p₃ : P
r : ℝ
hr1 : r ≤ 1
hp₂p₁ : (AffineMap.lineMap p₁ p₃) r ≠ p₁
hr0' : r ≠ 0
hr0 : 0 < r
⊢ p₃ -ᵥ p₁ = r⁻¹ • ((AffineMap.lineMap p₁ p₃) r -ᵥ p₁)