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theorem isIso_toPlus_of_isSheaf (hP : Presheaf.IsSheaf J P) : IsIso (J.toPlus P)

Proof state:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
hP : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), IsIso (S.toMultiequalizer P)
X : Cᵒᵖ
S T : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ
e : S ⟶ T
II : (unop T).shape.L
⊢ ((unop S).toMultiequalizer P ≫
        Multiequalizer.lift ((unop T).index P) (multiequalizer ((unop S).index P))
          (fun I => Multiequalizer.ι ((unop S).index P) (I.map e.unop)) ⋯) ≫
      Multiequalizer.ι ((unop T).index P) II =
    (unop T).toMultiequalizer P ≫ Multiequalizer.ι ((unop T).index P) II

Tactic:
simp

Result:
no goals

Proof state:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
hP : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), IsIso (S.toMultiequalizer P)
X : Cᵒᵖ
S T : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ
e : S ⟶ T
⊢ IsIso ((J.diagram P (unop X)).map e)

Tactic:
have : S.unop.toMultiequalizer P ≫ (J.diagram P X.unop).map e = T.unop.toMultiequalizer P :=
  Multiequalizer.hom_ext _ _ _ (fun II => by dsimp; simp)

Result:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
hP : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), IsIso (S.toMultiequalizer P)
X : Cᵒᵖ
S T : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ
e : S ⟶ T
this : (unop S).toMultiequalizer P ≫ (J.diagram P (unop X)).map e = (unop T).toMultiequalizer P
⊢ IsIso ((J.diagram P (unop X)).map e)

Proof state:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
hP : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), IsIso (S.toMultiequalizer P)
X : Cᵒᵖ
S T : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ
e : S ⟶ T
this✝ : (unop S).toMultiequalizer P ≫ (J.diagram P (unop X)).map e = (unop T).toMultiequalizer P
this : (J.diagram P (unop X)).map e = inv ((unop S).toMultiequalizer P) ≫ (unop T).toMultiequalizer P
⊢ IsIso ((J.diagram P (unop X)).map e)

Tactic:
rw [this]

Result:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
hP : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), IsIso (S.toMultiequalizer P)
X : Cᵒᵖ
S T : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ
e : S ⟶ T
this✝ : (unop S).toMultiequalizer P ≫ (J.diagram P (unop X)).map e = (unop T).toMultiequalizer P
this : (J.diagram P (unop X)).map e = inv ((unop S).toMultiequalizer P) ≫ (unop T).toMultiequalizer P
⊢ IsIso (inv ((unop S).toMultiequalizer P) ≫ (unop T).toMultiequalizer P)

Proof state:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
hP : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), IsIso (S.toMultiequalizer P)
X : Cᵒᵖ
S T : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ
e : S ⟶ T
this✝ : (unop S).toMultiequalizer P ≫ (J.diagram P (unop X)).map e = (unop T).toMultiequalizer P
this : (J.diagram P (unop X)).map e = inv ((unop S).toMultiequalizer P) ≫ (unop T).toMultiequalizer P
⊢ IsIso (inv ((unop S).toMultiequalizer P) ≫ (unop T).toMultiequalizer P)

Tactic:
infer_instance

Result:
no goals

Proof state:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
hP : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), IsIso (S.toMultiequalizer P)
⊢ IsIso (J.toPlus P)

Tactic:
suffices ∀ X, IsIso ((J.toPlus P).app X) from NatIso.isIso_of_isIso_app _

Result:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
hP : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), IsIso (S.toMultiequalizer P)
⊢ ∀ (X : Cᵒᵖ), IsIso ((J.toPlus P).app X)

Proof state:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
hP : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), IsIso (S.toMultiequalizer P)
X : Cᵒᵖ
⊢ IsIso ((J.toPlus P).app X)

Tactic:
refine IsIso.comp_isIso' inferInstance ?_

Result:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
hP : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), IsIso (S.toMultiequalizer P)
X : Cᵒᵖ
⊢ IsIso (colimit.ι (J.diagram P (unop X)) (op ⊤))

Proof state:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
hP : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), IsIso (S.toMultiequalizer P)
X : Cᵒᵖ
⊢ IsIso (colimit.ι (J.diagram P (unop X)) (op ⊤))

Tactic:
suffices ∀ (S T : (J.Cover X.unop)ᵒᵖ) (f : S ⟶ T), IsIso ((J.diagram P X.unop).map f) from
  isIso_ι_of_isInitial (initialOpOfTerminal isTerminalTop) _

Result:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
hP : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), IsIso (S.toMultiequalizer P)
X : Cᵒᵖ
⊢ ∀ (S T : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ) (f : S ⟶ T), IsIso ((J.diagram P (unop X)).map f)

Proof state:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
hP : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), IsIso (S.toMultiequalizer P)
X : Cᵒᵖ
S T : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ
e : S ⟶ T
this : (unop S).toMultiequalizer P ≫ (J.diagram P (unop X)).map e = (unop T).toMultiequalizer P
⊢ IsIso ((J.diagram P (unop X)).map e)

Tactic:
have :
  (J.diagram P X.unop).map e = inv (S.unop.toMultiequalizer P) ≫ T.unop.toMultiequalizer P := by
  simp [← this]

Result:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝² : Category.{max v u, w} D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
P : Cᵒᵖ ⥤ D
inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
hP : ∀ (X : C) (S : J.Cover X), IsIso (S.toMultiequalizer P)
X : Cᵒᵖ
S T : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ
e : S ⟶ T
this✝ : (unop S).toMultiequalizer P ≫ (J.diagram P (unop X)).map e = (unop T).toMultiequalizer P
this : (J.diagram P (unop X)).map e = inv ((unop S).toMultiequalizer P) ≫ (unop T).toMultiequalizer P
⊢ IsIso ((J.diagram P (unop X)).map e)