-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace/Defs.lean
theorem vsub_mem_vectorSpan_of_mem_spanPoints_of_mem_spanPoints {s : Set P} {p₁ p₂ : P}
    (hp₁ : p₁ ∈ spanPoints k s) (hp₂ : p₂ ∈ spanPoints k s) : p₁ -ᵥ p₂ ∈ vectorSpan k s

Proof state:
case intro.intro.intro.intro
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₁ p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ spanPoints k s
p₁a : P
hp₁a : p₁a ∈ s
v₁ : V
hv₁ : v₁ ∈ vectorSpan k s
hv₁p : p₁ = v₁ +ᵥ p₁a
⊢ p₁ -ᵥ p₂ ∈ vectorSpan k s

Tactic:
rcases hp₂ with ⟨p₂a, ⟨hp₂a, ⟨v₂, ⟨hv₂, hv₂p⟩⟩⟩⟩

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₁ p₂ p₁a : P
hp₁a : p₁a ∈ s
v₁ : V
hv₁ : v₁ ∈ vectorSpan k s
hv₁p : p₁ = v₁ +ᵥ p₁a
p₂a : P
hp₂a : p₂a ∈ s
v₂ : V
hv₂ : v₂ ∈ vectorSpan k s
hv₂p : p₂ = v₂ +ᵥ p₂a
⊢ p₁ -ᵥ p₂ ∈ vectorSpan k s

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₁ p₂ p₁a : P
hp₁a : p₁a ∈ s
v₁ : V
hv₁ : v₁ ∈ vectorSpan k s
hv₁p : p₁ = v₁ +ᵥ p₁a
p₂a : P
hp₂a : p₂a ∈ s
v₂ : V
hv₂ : v₂ ∈ vectorSpan k s
hv₂p : p₂ = v₂ +ᵥ p₂a
hv₁v₂ : v₁ - v₂ ∈ vectorSpan k s
⊢ p₁a -ᵥ p₂a ∈ vectorSpan k s

Tactic:
exact vsub_mem_vectorSpan k hp₁a hp₂a

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₁ p₂ p₁a : P
hp₁a : p₁a ∈ s
v₁ : V
hv₁ : v₁ ∈ vectorSpan k s
hv₁p : p₁ = v₁ +ᵥ p₁a
p₂a : P
hp₂a : p₂a ∈ s
v₂ : V
hv₂ : v₂ ∈ vectorSpan k s
hv₂p : p₂ = v₂ +ᵥ p₂a
⊢ p₁ -ᵥ p₂ ∈ vectorSpan k s

Tactic:
rw [hv₁p, hv₂p, vsub_vadd_eq_vsub_sub (v₁ +ᵥ p₁a), vadd_vsub_assoc, add_comm, add_sub_assoc]

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₁ p₂ p₁a : P
hp₁a : p₁a ∈ s
v₁ : V
hv₁ : v₁ ∈ vectorSpan k s
hv₁p : p₁ = v₁ +ᵥ p₁a
p₂a : P
hp₂a : p₂a ∈ s
v₂ : V
hv₂ : v₂ ∈ vectorSpan k s
hv₂p : p₂ = v₂ +ᵥ p₂a
⊢ p₁a -ᵥ p₂a + (v₁ - v₂) ∈ vectorSpan k s

Proof state:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ spanPoints k s
hp₂ : p₂ ∈ spanPoints k s
⊢ p₁ -ᵥ p₂ ∈ vectorSpan k s

Tactic:
rcases hp₁ with ⟨p₁a, ⟨hp₁a, ⟨v₁, ⟨hv₁, hv₁p⟩⟩⟩⟩

Result:
case intro.intro.intro.intro
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₁ p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ spanPoints k s
p₁a : P
hp₁a : p₁a ∈ s
v₁ : V
hv₁ : v₁ ∈ vectorSpan k s
hv₁p : p₁ = v₁ +ᵥ p₁a
⊢ p₁ -ᵥ p₂ ∈ vectorSpan k s

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₁ p₂ p₁a : P
hp₁a : p₁a ∈ s
v₁ : V
hv₁ : v₁ ∈ vectorSpan k s
hv₁p : p₁ = v₁ +ᵥ p₁a
p₂a : P
hp₂a : p₂a ∈ s
v₂ : V
hv₂ : v₂ ∈ vectorSpan k s
hv₂p : p₂ = v₂ +ᵥ p₂a
⊢ p₁a -ᵥ p₂a + (v₁ - v₂) ∈ vectorSpan k s

Tactic:
have hv₁v₂ : v₁ - v₂ ∈ vectorSpan k s := (vectorSpan k s).sub_mem hv₁ hv₂

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₁ p₂ p₁a : P
hp₁a : p₁a ∈ s
v₁ : V
hv₁ : v₁ ∈ vectorSpan k s
hv₁p : p₁ = v₁ +ᵥ p₁a
p₂a : P
hp₂a : p₂a ∈ s
v₂ : V
hv₂ : v₂ ∈ vectorSpan k s
hv₂p : p₂ = v₂ +ᵥ p₂a
hv₁v₂ : v₁ - v₂ ∈ vectorSpan k s
⊢ p₁a -ᵥ p₂a + (v₁ - v₂) ∈ vectorSpan k s

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₁ p₂ p₁a : P
hp₁a : p₁a ∈ s
v₁ : V
hv₁ : v₁ ∈ vectorSpan k s
hv₁p : p₁ = v₁ +ᵥ p₁a
p₂a : P
hp₂a : p₂a ∈ s
v₂ : V
hv₂ : v₂ ∈ vectorSpan k s
hv₂p : p₂ = v₂ +ᵥ p₂a
hv₁v₂ : v₁ - v₂ ∈ vectorSpan k s
⊢ p₁a -ᵥ p₂a + (v₁ - v₂) ∈ vectorSpan k s

Tactic:
refine (vectorSpan k s).add_mem ?_ hv₁v₂

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : Set P
p₁ p₂ p₁a : P
hp₁a : p₁a ∈ s
v₁ : V
hv₁ : v₁ ∈ vectorSpan k s
hv₁p : p₁ = v₁ +ᵥ p₁a
p₂a : P
hp₂a : p₂a ∈ s
v₂ : V
hv₂ : v₂ ∈ vectorSpan k s
hv₂p : p₂ = v₂ +ᵥ p₂a
hv₁v₂ : v₁ - v₂ ∈ vectorSpan k s
⊢ p₁a -ᵥ p₂a ∈ vectorSpan k s