-- Mathlib/LinearAlgebra/RootSystem/Finite/Lemmas.lean
lemma root_sub_root_mem_of_pairingIn_pos (h : 0 < P.pairingIn ℤ i j) (h' : i ≠ j) :
    α i - α j ∈ Φ

Proof state:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : Finite ι
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : P.IsCrystallographic
i j : ι
inst✝² : NoZeroDivisors R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R N
h : 0 < P.pairingIn ℤ i j
h' : i ≠ j
_i : NoZeroSMulDivisors ℤ M
hli : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
h₁ : P.pairing i j = 1
⊢ P.root ((P.reflection_perm j) i) = P.root i - P.root j

Tactic:
simpa [h₁] using P.reflection_apply_root j i

Result:
no goals

Proof state:
case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : Finite ι
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : P.IsCrystallographic
i j : ι
inst✝² : NoZeroDivisors R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R N
h : 0 < P.pairingIn ℤ i j
h' : i ≠ j
_i : NoZeroSMulDivisors ℤ M
hli : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
⊢ P.pairingIn ℤ i j = 1 ∨ P.pairingIn ℤ j i = 1

Tactic:
have : P.coxeterWeightIn ℤ i j ∈ ({1, 2, 3} : Set _) := by
  have aux₁ := P.coxeterWeightIn_mem_set_of_isCrystallographic i j
  have aux₂ := (linearIndependent_iff_coxeterWeightIn_ne_four P ℤ).mp hli
  have aux₃ : P.coxeterWeightIn ℤ i j ≠ 0 := by
    simpa only [ne_eq, P.coxeterWeightIn_eq_zero_iff] using h.ne'
  aesop

Result:
case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : Finite ι
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : P.IsCrystallographic
i j : ι
inst✝² : NoZeroDivisors R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R N
h : 0 < P.pairingIn ℤ i j
h' : i ≠ j
_i : NoZeroSMulDivisors ℤ M
hli : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
this : P.coxeterWeightIn ℤ i j ∈ {1, 2, 3}
⊢ P.pairingIn ℤ i j = 1 ∨ P.pairingIn ℤ j i = 1

Proof state:
case inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : Finite ι
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : P.IsCrystallographic
i j : ι
inst✝² : NoZeroDivisors R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R N
h : 0 < P.pairingIn ℤ i j
h' : i ≠ j
_i : NoZeroSMulDivisors ℤ M
hli : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
h₁ : P.pairing j i = 1
⊢ P.root i - P.root j ∈ range ⇑P.root

Tactic:
rw [← neg_mem_range_root_iff, neg_sub]

Result:
case inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : Finite ι
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : P.IsCrystallographic
i j : ι
inst✝² : NoZeroDivisors R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R N
h : 0 < P.pairingIn ℤ i j
h' : i ≠ j
_i : NoZeroSMulDivisors ℤ M
hli : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
h₁ : P.pairing j i = 1
⊢ P.root j - P.root i ∈ range ⇑P.root

Proof state:
case inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : Finite ι
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : P.IsCrystallographic
i j : ι
inst✝² : NoZeroDivisors R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R N
h : 0 < P.pairingIn ℤ i j
h' : i ≠ j
_i : NoZeroSMulDivisors ℤ M
hli : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
h₁ : P.pairing j i = 1
⊢ P.root j - P.root i ∈ range ⇑P.root

Tactic:
exact ⟨P.reflection_perm i j, by simpa [h₁] using P.reflection_apply_root i j⟩

Result:
no goals

Proof state:
case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : Finite ι
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : P.IsCrystallographic
i j : ι
inst✝² : NoZeroDivisors R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R N
h : 0 < P.pairingIn ℤ i j
h' : i ≠ j
_i : NoZeroSMulDivisors ℤ M
hli : LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
this :
  P.pairingIn ℤ i j = 1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = 1 ∨
    P.pairingIn ℤ i j = -1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = -1 ∨
      P.pairingIn ℤ i j = 1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = 2 ∨
        P.pairingIn ℤ i j = 2 ∧ P.pairingIn ℤ j i = 1 ∨
          P.pairingIn ℤ i j = -1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = -2 ∨
            P.pairingIn ℤ i j = -2 ∧ P.pairingIn ℤ j i = -1 ∨
              P.pairingIn ℤ i j = 1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = 3 ∨
                P.pairingIn ℤ i j = 3 ∧ P.pairingIn ℤ j i = 1 ∨
                  P.pairingIn ℤ i j = -1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = -3 ∨ P.pairingIn ℤ i j = -3 ∧ P.pairingIn ℤ j i = -1
⊢ P.pairingIn ℤ i j = 1 ∨ P.pairingIn ℤ j i = 1

Tactic:
omega

Result:
no goals

Proof state:
case neg
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : Finite ι
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : P.IsCrystallographic
i j : ι
inst✝² : NoZeroDivisors R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R N
h : 0 < P.pairingIn ℤ i j
h' : i ≠ j
_i : NoZeroSMulDivisors ℤ M
hli : ¬LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
this :
  P.pairingIn ℤ i j = 1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = 4 ∨
    P.pairingIn ℤ i j = 2 ∧ P.pairingIn ℤ j i = 2 ∨ P.pairingIn ℤ i j = 4 ∧ P.pairingIn ℤ j i = 1
⊢ P.root i - P.root j ∈ range ⇑P.root

Tactic:
rcases this with hij | hij | hij

Result:
case neg.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : Finite ι
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : P.IsCrystallographic
i j : ι
inst✝² : NoZeroDivisors R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R N
h : 0 < P.pairingIn ℤ i j
h' : i ≠ j
_i : NoZeroSMulDivisors ℤ M
hli : ¬LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
hij : P.pairingIn ℤ i j = 1 ∧ P.pairingIn ℤ j i = 4
⊢ P.root i - P.root j ∈ range ⇑P.root

case neg.inr.inl
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : Finite ι
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : P.IsCrystallographic
i j : ι
inst✝² : NoZeroDivisors R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R N
h : 0 < P.pairingIn ℤ i j
h' : i ≠ j
_i : NoZeroSMulDivisors ℤ M
hli : ¬LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
hij : P.pairingIn ℤ i j = 2 ∧ P.pairingIn ℤ j i = 2
⊢ P.root i - P.root j ∈ range ⇑P.root

case neg.inr.inr
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : AddCommGroup N
inst✝⁶ : Module R N
P : RootPairing ι R M N
inst✝⁵ : Finite ι
inst✝⁴ : CharZero R
inst✝³ : P.IsCrystallographic
i j : ι
inst✝² : NoZeroDivisors R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R N
h : 0 < P.pairingIn ℤ i j
h' : i ≠ j
_i : NoZeroSMulDivisors ℤ M
hli : ¬LinearIndependent R ![P.root i, P.root j]
hij : P.pairingIn ℤ i j = 4 ∧ P.pairingIn ℤ j i = 1
⊢ P.root i - P.root j ∈ range ⇑P.root