-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/EqualizerSheafCondition.lean
theorem equalizer_sheaf_condition :
    Presieve.IsSheafFor P (S : Presieve X) ↔ Nonempty (IsLimit (Fork.ofι _ (w P S)))

Proof state:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
S : Sieve X
⊢ Presieve.IsSheafFor P S.arrows ↔
    ∀ (a : Presieve.FamilyOfElements P S.arrows),
      a.Compatible → ∃! x, forkMap P S.arrows x = (firstObjEqFamily P S.arrows).inv a

Tactic:
apply forall₂_congr

Result:
case h
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
S : Sieve X
⊢ ∀ (a : Presieve.FamilyOfElements P S.arrows),
    a.Compatible → ((∃! t, a.IsAmalgamation t) ↔ ∃! x, forkMap P S.arrows x = (firstObjEqFamily P S.arrows).inv a)

Proof state:
case h.h.mp.h.h.h
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
S : Sieve X
x : Presieve.FamilyOfElements P S.arrows
b✝ : x.Compatible
t : P.obj (op X)
q : x.IsAmalgamation t
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : S.arrows f
⊢ (firstObjEqFamily P S.arrows).toEquiv (forkMap P S.arrows t) f hf = x f hf

Tactic:
simpa [firstObjEqFamily, forkMap] using q _ _

Result:
no goals

Proof state:
case h
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
S : Sieve X
x : Presieve.FamilyOfElements P S.arrows
b✝ : x.Compatible
⊢ (∃! t, x.IsAmalgamation t) ↔ ∃! x_1, forkMap P S.arrows x_1 = (firstObjEqFamily P S.arrows).inv x

Tactic:
apply existsUnique_congr

Result:
case h.h
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
S : Sieve X
x : Presieve.FamilyOfElements P S.arrows
b✝ : x.Compatible
⊢ ∀ (a : P.obj (op X)), x.IsAmalgamation a ↔ forkMap P S.arrows a = (firstObjEqFamily P S.arrows).inv x

Proof state:
case h
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
S : Sieve X
⊢ ∀ (a : Presieve.FamilyOfElements P S.arrows),
    a.Compatible → ((∃! t, a.IsAmalgamation t) ↔ ∃! x, forkMap P S.arrows x = (firstObjEqFamily P S.arrows).inv a)

Tactic:
intro x _

Result:
case h
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
S : Sieve X
x : Presieve.FamilyOfElements P S.arrows
b✝ : x.Compatible
⊢ (∃! t, x.IsAmalgamation t) ↔ ∃! x_1, forkMap P S.arrows x_1 = (firstObjEqFamily P S.arrows).inv x

Proof state:
case h.h.mpr
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
S : Sieve X
x : Presieve.FamilyOfElements P S.arrows
b✝ : x.Compatible
t : P.obj (op X)
⊢ (firstObjEqFamily P S.arrows).toEquiv (forkMap P S.arrows t) = x → x.IsAmalgamation t

Tactic:
intro q Y f hf

Result:
case h.h.mpr
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
S : Sieve X
x : Presieve.FamilyOfElements P S.arrows
b✝ : x.Compatible
t : P.obj (op X)
q : (firstObjEqFamily P S.arrows).toEquiv (forkMap P S.arrows t) = x
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : S.arrows f
⊢ P.map f.op t = x f hf

Proof state:
case h.h
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
S : Sieve X
x : Presieve.FamilyOfElements P S.arrows
b✝ : x.Compatible
t : P.obj (op X)
⊢ x.IsAmalgamation t ↔ (firstObjEqFamily P S.arrows).toEquiv (forkMap P S.arrows t) = x

Tactic:
constructor

Result:
case h.h.mp
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
S : Sieve X
x : Presieve.FamilyOfElements P S.arrows
b✝ : x.Compatible
t : P.obj (op X)
⊢ x.IsAmalgamation t → (firstObjEqFamily P S.arrows).toEquiv (forkMap P S.arrows t) = x

case h.h.mpr
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
S : Sieve X
x : Presieve.FamilyOfElements P S.arrows
b✝ : x.Compatible
t : P.obj (op X)
⊢ (firstObjEqFamily P S.arrows).toEquiv (forkMap P S.arrows t) = x → x.IsAmalgamation t

Proof state:
case h.h
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
S : Sieve X
x : Presieve.FamilyOfElements P S.arrows
b✝ : x.Compatible
⊢ ∀ (a : P.obj (op X)), x.IsAmalgamation a ↔ forkMap P S.arrows a = (firstObjEqFamily P S.arrows).inv x

Tactic:
intro t

Result:
case h.h
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
S : Sieve X
x : Presieve.FamilyOfElements P S.arrows
b✝ : x.Compatible
t : P.obj (op X)
⊢ x.IsAmalgamation t ↔ forkMap P S.arrows t = (firstObjEqFamily P S.arrows).inv x

Proof state:
case h.h.mp
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
S : Sieve X
x : Presieve.FamilyOfElements P S.arrows
b✝ : x.Compatible
t : P.obj (op X)
q : x.IsAmalgamation t
⊢ (firstObjEqFamily P S.arrows).toEquiv (forkMap P S.arrows t) = x

Tactic:
funext Y f hf

Result:
case h.h.mp.h.h.h
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
S : Sieve X
x : Presieve.FamilyOfElements P S.arrows
b✝ : x.Compatible
t : P.obj (op X)
q : x.IsAmalgamation t
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : S.arrows f
⊢ (firstObjEqFamily P S.arrows).toEquiv (forkMap P S.arrows t) f hf = x f hf

Proof state:
case h.h
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
S : Sieve X
x : Presieve.FamilyOfElements P S.arrows
b✝ : x.Compatible
t : P.obj (op X)
⊢ x.IsAmalgamation t ↔ forkMap P S.arrows t = (firstObjEqFamily P S.arrows).inv x

Tactic:
rw [← Iso.toEquiv_symm_fun]

Result:
case h.h
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
S : Sieve X
x : Presieve.FamilyOfElements P S.arrows
b✝ : x.Compatible
t : P.obj (op X)
⊢ x.IsAmalgamation t ↔ forkMap P S.arrows t = (firstObjEqFamily P S.arrows).toEquiv.symm x

Proof state:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
S : Sieve X
⊢ Presieve.IsSheafFor P S.arrows ↔
    ∀ (a : Presieve.FamilyOfElements P S.arrows),
      ((firstObjEqFamily P S.arrows).hom ((firstObjEqFamily P S.arrows).toEquiv.symm a)).Compatible →
        ∃! x, forkMap P S.arrows x = (firstObjEqFamily P S.arrows).toEquiv.symm a

Tactic:
simp only [inv_hom_id_apply, Iso.toEquiv_symm_fun]

Result:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
S : Sieve X
⊢ Presieve.IsSheafFor P S.arrows ↔
    ∀ (a : Presieve.FamilyOfElements P S.arrows),
      a.Compatible → ∃! x, forkMap P S.arrows x = (firstObjEqFamily P S.arrows).inv a

Proof state:
case h.h.mp
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
S : Sieve X
x : Presieve.FamilyOfElements P S.arrows
b✝ : x.Compatible
t : P.obj (op X)
⊢ x.IsAmalgamation t → (firstObjEqFamily P S.arrows).toEquiv (forkMap P S.arrows t) = x

Tactic:
intro q

Result:
case h.h.mp
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
S : Sieve X
x : Presieve.FamilyOfElements P S.arrows
b✝ : x.Compatible
t : P.obj (op X)
q : x.IsAmalgamation t
⊢ (firstObjEqFamily P S.arrows).toEquiv (forkMap P S.arrows t) = x

Proof state:
case h.h
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
S : Sieve X
x : Presieve.FamilyOfElements P S.arrows
b✝ : x.Compatible
t : P.obj (op X)
⊢ x.IsAmalgamation t ↔ forkMap P S.arrows t = (firstObjEqFamily P S.arrows).toEquiv.symm x

Tactic:
rw [Equiv.eq_symm_apply]

Result:
case h.h
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
S : Sieve X
x : Presieve.FamilyOfElements P S.arrows
b✝ : x.Compatible
t : P.obj (op X)
⊢ x.IsAmalgamation t ↔ (firstObjEqFamily P S.arrows).toEquiv (forkMap P S.arrows t) = x

Proof state:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
S : Sieve X
⊢ Presieve.IsSheafFor P S.arrows ↔
    ∀ (a : Presieve.FamilyOfElements P S.arrows),
      firstMap P S ((firstObjEqFamily P S.arrows).toEquiv.symm a) =
          secondMap P S ((firstObjEqFamily P S.arrows).toEquiv.symm a) →
        ∃! x, forkMap P S.arrows x = (firstObjEqFamily P S.arrows).toEquiv.symm a

Tactic:
simp_rw [← compatible_iff]

Result:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
P : Cᵒᵖ ⥤ Type (max v u)
X : C
S : Sieve X
⊢ Presieve.IsSheafFor P S.arrows ↔
    ∀ (a : Presieve.FamilyOfElements P S.arrows),
      ((firstObjEqFamily P S.arrows).hom ((firstObjEqFamily P S.arrows).toEquiv.symm a)).Compatible →
        ∃! x, forkMap P S.arrows x = (firstObjEqFamily P S.arrows).toEquiv.symm a