-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/TwoDim.lean
theorem areaForm_comp_linearIsometryEquiv (φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] E)
    (hφ : 0 < LinearMap.det (φ.toLinearEquiv : E →ₗ[ℝ] E)) (x y : E) :
    o.areaForm (φ x) (φ y) = o.areaForm x y

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_5.h.e'_5.h.e'_5
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] E
hφ : 0 < LinearMap.det ↑φ.toLinearEquiv
x y : E
⊢ Fintype.card (Fin 2) = finrank ℝ E

Tactic:
rw [@Fact.out (finrank ℝ E = 2), Fintype.card_fin]

Result:
no goals

Proof state:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] E
hφ : 0 < LinearMap.det ↑φ.toLinearEquiv
x y : E
⊢ (o.areaForm (φ x)) (φ y) = (o.areaForm x) y

Tactic:
convert o.areaForm_map φ (φ x) (φ y)

Result:
case h.e'_2.h.e'_5.h.e'_5.h.e'_5
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] E
hφ : 0 < LinearMap.det ↑φ.toLinearEquiv
x y : E
⊢ o = (map (Fin 2) φ.toLinearEquiv) o

case h.e'_3.h.e'_5.h.e'_6
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] E
hφ : 0 < LinearMap.det ↑φ.toLinearEquiv
x y : E
⊢ x = φ.symm (φ x)

case h.e'_3.h.e'_6
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] E
hφ : 0 < LinearMap.det ↑φ.toLinearEquiv
x y : E
⊢ y = φ.symm (φ y)

Proof state:
case h.e'_3.h.e'_6
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] E
hφ : 0 < LinearMap.det ↑φ.toLinearEquiv
x y : E
⊢ y = φ.symm (φ y)

Tactic:
simp

Result:
no goals

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_5.h.e'_5.h.e'_5
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] E
hφ : 0 < LinearMap.det ↑φ.toLinearEquiv
x y : E
⊢ (map (Fin 2) φ.toLinearEquiv) o = o

Tactic:
rwa [← o.map_eq_iff_det_pos φ.toLinearEquiv] at hφ

Result:
case h.e'_2.h.e'_5.h.e'_5.h.e'_5
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] E
hφ : 0 < LinearMap.det ↑φ.toLinearEquiv
x y : E
⊢ Fintype.card (Fin 2) = finrank ℝ E

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_5.h.e'_5.h.e'_5
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] E
hφ : 0 < LinearMap.det ↑φ.toLinearEquiv
x y : E
⊢ o = (map (Fin 2) φ.toLinearEquiv) o

Tactic:
symm

Result:
case h.e'_2.h.e'_5.h.e'_5.h.e'_5
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] E
hφ : 0 < LinearMap.det ↑φ.toLinearEquiv
x y : E
⊢ (map (Fin 2) φ.toLinearEquiv) o = o

Proof state:
case h.e'_3.h.e'_5.h.e'_6
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = 2)
o : Orientation ℝ E (Fin 2)
φ : E ≃ₗᵢ[ℝ] E
hφ : 0 < LinearMap.det ↑φ.toLinearEquiv
x y : E
⊢ x = φ.symm (φ x)

Tactic:
simp

Result:
no goals