-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
theorem sub_le_integral_of_hasDeriv_right_of_le_Ico (hab : a ≤ b)
    (hcont : ContinuousOn g (Icc a b)) (hderiv : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x)
    (φint : IntegrableOn φ (Icc a b)) (hφg : ∀ x ∈ Ico a b, g' x ≤ φ x) :
    g b - g a ≤ ∫ y in a..b, φ y

Proof state:
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b) volume
hφg : ∀ x ∈ Ico a b, g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable (fun x => (G' x).toReal) (volume.restrict (Icc a b))
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, (G' x).toReal ∂volume < ∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x ∂volume + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, (G' u).toReal} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
t : ℝ
ht : t ∈ {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, (G' u).toReal} ∩ Ico a b
v : ℝ
t_lt_v : v ∈ Ioi t
y : ℝ
g'_lt_y' : ↑(g' t) < ↑y
y_lt_G' : ↑y < G' t
I1 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[>] t, (u - t) * y ≤ ∫ (w : ℝ) in t..u, (G' w).toReal
I2 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[>] t, g u - g t ≤ (u - t) * y
I3 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[>] t, g u - g t ≤ ∫ (w : ℝ) in t..u, (G' w).toReal
I4 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[>] t, u ∈ Ioc t (v ⊓ b)
x : ℝ
hx : g x - g t ≤ ∫ (w : ℝ) in t..x, (G' w).toReal
h'x : x ∈ Ioc t (v ⊓ b)
⊢ (∫ (w : ℝ) in a..t, (G' w).toReal) + ∫ (w : ℝ) in t..x, (G' w).toReal = ∫ (w : ℝ) in a..x, (G' w).toReal

Tactic:
apply integral_add_adjacent_intervals

Result:
case hab
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b) volume
hφg : ∀ x ∈ Ico a b, g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable (fun x => (G' x).toReal) (volume.restrict (Icc a b))
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, (G' x).toReal ∂volume < ∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x ∂volume + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, (G' u).toReal} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
t : ℝ
ht : t ∈ {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, (G' u).toReal} ∩ Ico a b
v : ℝ
t_lt_v : v ∈ Ioi t
y : ℝ
g'_lt_y' : ↑(g' t) < ↑y
y_lt_G' : ↑y < G' t
I1 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[>] t, (u - t) * y ≤ ∫ (w : ℝ) in t..u, (G' w).toReal
I2 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[>] t, g u - g t ≤ (u - t) * y
I3 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[>] t, g u - g t ≤ ∫ (w : ℝ) in t..u, (G' w).toReal
I4 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[>] t, u ∈ Ioc t (v ⊓ b)
x : ℝ
hx : g x - g t ≤ ∫ (w : ℝ) in t..x, (G' w).toReal
h'x : x ∈ Ioc t (v ⊓ b)
⊢ IntervalIntegrable (fun x => (G' x).toReal) volume a t

case hbc
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b) volume
hφg : ∀ x ∈ Ico a b, g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable (fun x => (G' x).toReal) (volume.restrict (Icc a b))
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, (G' x).toReal ∂volume < ∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x ∂volume + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, (G' u).toReal} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
t : ℝ
ht : t ∈ {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, (G' u).toReal} ∩ Ico a b
v : ℝ
t_lt_v : v ∈ Ioi t
y : ℝ
g'_lt_y' : ↑(g' t) < ↑y
y_lt_G' : ↑y < G' t
I1 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[>] t, (u - t) * y ≤ ∫ (w : ℝ) in t..u, (G' w).toReal
I2 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[>] t, g u - g t ≤ (u - t) * y
I3 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[>] t, g u - g t ≤ ∫ (w : ℝ) in t..u, (G' w).toReal
I4 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[>] t, u ∈ Ioc t (v ⊓ b)
x : ℝ
hx : g x - g t ≤ ∫ (w : ℝ) in t..x, (G' w).toReal
h'x : x ∈ Ioc t (v ⊓ b)
⊢ IntervalIntegrable (fun x => (G' x).toReal) volume t x

Proof state:
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b) volume
hφg : ∀ x ∈ Ico a b, g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable (fun x => (G' x).toReal) (volume.restrict (Icc a b))
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, (G' x).toReal ∂volume < ∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x ∂volume + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, (G' u).toReal} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
t : ℝ
ht : t ∈ {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, (G' u).toReal} ∩ Ico a b
v : ℝ
t_lt_v : v ∈ Ioi t
y : ℝ
g'_lt_y' : ↑(g' t) < ↑y
y_lt_G' : ↑y < G' t
B : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝 t, ↑y < G' u
m M : ℝ
H : Ioo m M ⊆ {x | (fun u => ↑y < G' u) x}
hm : m < t
hM : t < M
this : Ioo t (M ⊓ b) ∈ 𝓝[>] t
u : ℝ
hu : u ∈ Ioo t (M ⊓ b)
I : Icc t u ⊆ Icc a b
C1 : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict (Icc t u), G' x < ↑⊤
C2 : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict (Icc t u), x ∈ Icc t u
x : ℝ
G'x : G' x < ↑⊤
hx : x ∈ Icc t u
⊢ x ∈ Ioo m M

Tactic:
simp only [hm.trans_le hx.left,
  (hx.right.trans_lt hu.right).trans_le (min_le_left M b), mem_Ioo, and_self_iff]

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b) volume
hφg : ∀ x ∈ Ico a b, g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable (fun x => (G' x).toReal) (volume.restrict (Icc a b))
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, (G' x).toReal ∂volume < ∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x ∂volume + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, (G' u).toReal} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
t : ℝ
ht : t ∈ {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, (G' u).toReal} ∩ Ico a b
v : ℝ
t_lt_v : v ∈ Ioi t
y : ℝ
g'_lt_y' : ↑(g' t) < ↑y
y_lt_G' : ↑y < G' t
I1 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[>] t, (u - t) * y ≤ ∫ (w : ℝ) in t..u, (G' w).toReal
I2 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[>] t, g u - g t ≤ (u - t) * y
I3 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[>] t, g u - g t ≤ ∫ (w : ℝ) in t..u, (G' w).toReal
⊢ ({t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, (G' u).toReal} ∩ Ioc t v).Nonempty

Tactic:
have I4 : ∀ᶠ u in 𝓝[>] t, u ∈ Ioc t (min v b) := Ioc_mem_nhdsGT <| lt_min t_lt_v ht.2.2

Result:
case intro.intro
g' g φ : ℝ → ℝ
a b : ℝ
hab : a ≤ b
hcont : ContinuousOn g (Icc a b)
hderiv : ∀ x ∈ Ico a b, HasDerivWithinAt g (g' x) (Ioi x) x
φint : IntegrableOn φ (Icc a b) volume
hφg : ∀ x ∈ Ico a b, g' x ≤ φ x
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
G' : ℝ → EReal
f_lt_G' : ∀ (x : ℝ), ↑(φ x) < G' x
G'cont : LowerSemicontinuous G'
G'int : Integrable (fun x => (G' x).toReal) (volume.restrict (Icc a b))
G'lt_top : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict (Icc a b), G' x < ⊤
hG' : ∫ (x : ℝ) in Icc a b, (G' x).toReal ∂volume < ∫ (x : ℝ) in Icc a b, φ x ∂volume + ε
s : Set ℝ := {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, (G' u).toReal} ∩ Icc a b
s_closed : IsClosed s
t : ℝ
ht : t ∈ {t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, (G' u).toReal} ∩ Ico a b
v : ℝ
t_lt_v : v ∈ Ioi t
y : ℝ
g'_lt_y' : ↑(g' t) < ↑y
y_lt_G' : ↑y < G' t
I1 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[>] t, (u - t) * y ≤ ∫ (w : ℝ) in t..u, (G' w).toReal
I2 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[>] t, g u - g t ≤ (u - t) * y
I3 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[>] t, g u - g t ≤ ∫ (w : ℝ) in t..u, (G' w).toReal
I4 : ∀ᶠ (u : ℝ) in 𝓝[>] t, u ∈ Ioc t (v ⊓ b)
⊢ ({t | g t - g a ≤ ∫ (u : ℝ) in a..t, (G' u).toReal} ∩ Ioc t v).Nonempty