-- Mathlib/Analysis/Normed/Affine/AddTorsorBases.lean
theorem IsOpen.exists_between_affineIndependent_span_eq_top {s u : Set P} (hu : IsOpen u)
    (hsu : s ⊆ u) (hne : s.Nonempty) (h : AffineIndependent ℝ ((↑) : s → P)) :
    ∃ t : Set P, s ⊆ t ∧ t ⊆ u ∧ AffineIndependent ℝ ((↑) : t → P) ∧ affineSpan ℝ t = ⊤

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s u : Set P
hu : IsOpen u
hsu : s ⊆ u
h : AffineIndependent ℝ Subtype.val
q : P
hq : q ∈ s
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
hεu : Metric.closedBall q ε ⊆ u
t : Set P
ht₁ : s ⊆ t
ht₂ : AffineIndependent ℝ fun p => ↑p
ht₃ : affineSpan ℝ t = ⊤
f : P → P := fun y => (lineMap q y) (ε / dist y q)
hf : ∀ (y : P), f y ∈ u
hεyq : ∀ y ∉ s, ε / dist y q ≠ 0
⊢ ∃ t, s ⊆ t ∧ t ⊆ u ∧ AffineIndependent ℝ Subtype.val ∧ affineSpan ℝ t = ⊤

Tactic:
let w : t → ℝˣ := fun p => if hp : (p : P) ∈ s then 1 else Units.mk0 _ (hεyq (↑p) hp)

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s u : Set P
hu : IsOpen u
hsu : s ⊆ u
h : AffineIndependent ℝ Subtype.val
q : P
hq : q ∈ s
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
hεu : Metric.closedBall q ε ⊆ u
t : Set P
ht₁ : s ⊆ t
ht₂ : AffineIndependent ℝ fun p => ↑p
ht₃ : affineSpan ℝ t = ⊤
f : P → P := fun y => (lineMap q y) (ε / dist y q)
hf : ∀ (y : P), f y ∈ u
hεyq : ∀ y ∉ s, ε / dist y q ≠ 0
w : ↑t → ℝˣ := fun p => if hp : ↑p ∈ s then 1 else Units.mk0 (ε / dist (↑p) q) ⋯
⊢ ∃ t, s ⊆ t ∧ t ⊆ u ∧ AffineIndependent ℝ Subtype.val ∧ affineSpan ℝ t = ⊤

Proof state:
case h
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s u : Set P
hu : IsOpen u
hsu : s ⊆ u
h : AffineIndependent ℝ Subtype.val
q : P
hq : q ∈ s
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
hεu : Metric.closedBall q ε ⊆ u
t : Set P
ht₁ : s ⊆ t
ht₂ : AffineIndependent ℝ fun p => ↑p
ht₃ : affineSpan ℝ t = ⊤
f : P → P := fun y => (lineMap q y) (ε / dist y q)
hf : ∀ (y : P), f y ∈ u
hεyq : ∀ y ∉ s, ε / dist y q ≠ 0
w : ↑t → ℝˣ := fun p => if hp : ↑p ∈ s then 1 else Units.mk0 (ε / dist (↑p) q) ⋯
p : P
hp : p ∈ s
⊢ (fun p => (lineMap q ↑p) ↑(w p)) ⟨p, ⋯⟩ = p

Tactic:
simp [w, hp]

Result:
no goals

Proof state:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s u : Set P
hu : IsOpen u
hsu : s ⊆ u
h : AffineIndependent ℝ Subtype.val
q : P
hq : q ∈ s
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
hεu : Metric.closedBall q ε ⊆ u
t : Set P
ht₁ : s ⊆ t
ht₂ : AffineIndependent ℝ fun p => ↑p
ht₃ : affineSpan ℝ t = ⊤
f : P → P := fun y => (lineMap q y) (ε / dist y q)
y : P
⊢ f y ∈ Metric.closedBall q ε

Tactic:
simp only [f]

Result:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s u : Set P
hu : IsOpen u
hsu : s ⊆ u
h : AffineIndependent ℝ Subtype.val
q : P
hq : q ∈ s
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
hεu : Metric.closedBall q ε ⊆ u
t : Set P
ht₁ : s ⊆ t
ht₂ : AffineIndependent ℝ fun p => ↑p
ht₃ : affineSpan ℝ t = ⊤
f : P → P := fun y => (lineMap q y) (ε / dist y q)
y : P
⊢ (lineMap q y) (ε / dist y q) ∈ Metric.closedBall q ε

Proof state:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s u : Set P
hu : IsOpen u
hsu : s ⊆ u
h : AffineIndependent ℝ Subtype.val
q : P
hq : q ∈ s
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
hεu : Metric.closedBall q ε ⊆ u
t : Set P
ht₁ : s ⊆ t
ht₂ : AffineIndependent ℝ fun p => ↑p
ht₃ : affineSpan ℝ t = ⊤
f : P → P := fun y => (lineMap q y) (ε / dist y q)
y : P
⊢ (lineMap q y) (ε / dist y q) ∈ Metric.closedBall q ε

Tactic:
rw [Metric.mem_closedBall, lineMap_apply, dist_vadd_left, norm_smul, Real.norm_eq_abs,
  dist_eq_norm_vsub V y q, abs_div, abs_of_pos ε0, abs_of_nonneg (norm_nonneg _), div_mul_comm]

Result:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s u : Set P
hu : IsOpen u
hsu : s ⊆ u
h : AffineIndependent ℝ Subtype.val
q : P
hq : q ∈ s
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
hεu : Metric.closedBall q ε ⊆ u
t : Set P
ht₁ : s ⊆ t
ht₂ : AffineIndependent ℝ fun p => ↑p
ht₃ : affineSpan ℝ t = ⊤
f : P → P := fun y => (lineMap q y) (ε / dist y q)
y : P
⊢ ‖y -ᵥ q‖ / ‖y -ᵥ q‖ * ε ≤ ε

Proof state:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s u : Set P
hu : IsOpen u
hsu : s ⊆ u
h : AffineIndependent ℝ Subtype.val
q : P
hq : q ∈ s
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
hεu : Metric.closedBall q ε ⊆ u
t : Set P
ht₁ : s ⊆ t
ht₂ : AffineIndependent ℝ fun p => ↑p
ht₃ : affineSpan ℝ t = ⊤
f : P → P := fun y => (lineMap q y) (ε / dist y q)
⊢ ∀ (y : P), f y ∈ u

Tactic:
refine fun y => hεu ?_

Result:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s u : Set P
hu : IsOpen u
hsu : s ⊆ u
h : AffineIndependent ℝ Subtype.val
q : P
hq : q ∈ s
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
hεu : Metric.closedBall q ε ⊆ u
t : Set P
ht₁ : s ⊆ t
ht₂ : AffineIndependent ℝ fun p => ↑p
ht₃ : affineSpan ℝ t = ⊤
f : P → P := fun y => (lineMap q y) (ε / dist y q)
y : P
⊢ f y ∈ Metric.closedBall q ε

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s u : Set P
hu : IsOpen u
hsu : s ⊆ u
h : AffineIndependent ℝ Subtype.val
q : P
hq : q ∈ s
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
hεu : Metric.closedBall q ε ⊆ u
t : Set P
ht₁ : s ⊆ t
ht₂ : AffineIndependent ℝ fun p => ↑p
ht₃ : affineSpan ℝ t = ⊤
f : P → P := fun y => (lineMap q y) (ε / dist y q)
hf : ∀ (y : P), f y ∈ u
hεyq : ∀ y ∉ s, ε / dist y q ≠ 0
w : ↑t → ℝˣ := fun p => if hp : ↑p ∈ s then 1 else Units.mk0 (ε / dist (↑p) q) ⋯
⊢ s ⊆ range fun p => (lineMap q ↑p) ↑(w p)

Tactic:
intro p hp

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s u : Set P
hu : IsOpen u
hsu : s ⊆ u
h : AffineIndependent ℝ Subtype.val
q : P
hq : q ∈ s
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
hεu : Metric.closedBall q ε ⊆ u
t : Set P
ht₁ : s ⊆ t
ht₂ : AffineIndependent ℝ fun p => ↑p
ht₃ : affineSpan ℝ t = ⊤
f : P → P := fun y => (lineMap q y) (ε / dist y q)
hf : ∀ (y : P), f y ∈ u
hεyq : ∀ y ∉ s, ε / dist y q ≠ 0
w : ↑t → ℝˣ := fun p => if hp : ↑p ∈ s then 1 else Units.mk0 (ε / dist (↑p) q) ⋯
p : P
hp : p ∈ s
⊢ p ∈ range fun p => (lineMap q ↑p) ↑(w p)

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s u : Set P
hu : IsOpen u
hsu : s ⊆ u
h : AffineIndependent ℝ Subtype.val
q : P
hq : q ∈ s
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
hεu : Metric.closedBall q ε ⊆ u
t : Set P
ht₁ : s ⊆ t
ht₂ : AffineIndependent ℝ fun p => ↑p
ht₃ : affineSpan ℝ t = ⊤
f : P → P := fun y => (lineMap q y) (ε / dist y q)
hf : ∀ (y : P), f y ∈ u
⊢ ∃ t, s ⊆ t ∧ t ⊆ u ∧ AffineIndependent ℝ Subtype.val ∧ affineSpan ℝ t = ⊤

Tactic:
have hεyq : ∀ y ∉ s, ε / dist y q ≠ 0 := fun y hy =>
  div_ne_zero ε0.ne' (dist_ne_zero.2 (ne_of_mem_of_not_mem hq hy).symm)

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s u : Set P
hu : IsOpen u
hsu : s ⊆ u
h : AffineIndependent ℝ Subtype.val
q : P
hq : q ∈ s
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
hεu : Metric.closedBall q ε ⊆ u
t : Set P
ht₁ : s ⊆ t
ht₂ : AffineIndependent ℝ fun p => ↑p
ht₃ : affineSpan ℝ t = ⊤
f : P → P := fun y => (lineMap q y) (ε / dist y q)
hf : ∀ (y : P), f y ∈ u
hεyq : ∀ y ∉ s, ε / dist y q ≠ 0
⊢ ∃ t, s ⊆ t ∧ t ⊆ u ∧ AffineIndependent ℝ Subtype.val ∧ affineSpan ℝ t = ⊤