-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
theorem StrictMonoOn.exists_deriv_lt_slope_aux {x y : ℝ} {f : ℝ → ℝ} (hf : ContinuousOn f (Icc x y))
    (hxy : x < y) (hf'_mono : StrictMonoOn (deriv f) (Ioo x y)) (h : ∀ w ∈ Ioo x y, deriv f w ≠ 0) :
    ∃ a ∈ Ioo x y, deriv f a < (f y - f x) / (y - x)

Proof state:
case intro.intro.intro
x y : ℝ
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc x y)
hxy : x < y
hf'_mono : StrictMonoOn (deriv f) (Ioo x y)
h : ∀ w ∈ Ioo x y, deriv f w ≠ 0
A : DifferentiableOn ℝ f (Ioo x y)
a : ℝ
ha : deriv f a = (f y - f x) / (y - x)
hxa : x < a
hay : a < y
⊢ ∃ a ∈ Ioo x y, deriv f a < (f y - f x) / (y - x)

Tactic:
rcases nonempty_Ioo.2 hxa with ⟨b, ⟨hxb, hba⟩⟩

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro
x y : ℝ
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc x y)
hxy : x < y
hf'_mono : StrictMonoOn (deriv f) (Ioo x y)
h : ∀ w ∈ Ioo x y, deriv f w ≠ 0
A : DifferentiableOn ℝ f (Ioo x y)
a : ℝ
ha : deriv f a = (f y - f x) / (y - x)
hxa : x < a
hay : a < y
b : ℝ
hxb : x < b
hba : b < a
⊢ ∃ a ∈ Ioo x y, deriv f a < (f y - f x) / (y - x)

Proof state:
x y : ℝ
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc x y)
hxy : x < y
hf'_mono : StrictMonoOn (deriv f) (Ioo x y)
h : ∀ w ∈ Ioo x y, deriv f w ≠ 0
⊢ ∃ a ∈ Ioo x y, deriv f a < (f y - f x) / (y - x)

Tactic:
have A : DifferentiableOn ℝ f (Ioo x y) := fun w wmem =>
  (differentiableAt_of_deriv_ne_zero (h w wmem)).differentiableWithinAt

Result:
x y : ℝ
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc x y)
hxy : x < y
hf'_mono : StrictMonoOn (deriv f) (Ioo x y)
h : ∀ w ∈ Ioo x y, deriv f w ≠ 0
A : DifferentiableOn ℝ f (Ioo x y)
⊢ ∃ a ∈ Ioo x y, deriv f a < (f y - f x) / (y - x)

Proof state:
x y : ℝ
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc x y)
hxy : x < y
hf'_mono : StrictMonoOn (deriv f) (Ioo x y)
h : ∀ w ∈ Ioo x y, deriv f w ≠ 0
A : DifferentiableOn ℝ f (Ioo x y)
⊢ ∃ a ∈ Ioo x y, deriv f a < (f y - f x) / (y - x)

Tactic:
obtain ⟨a, ⟨hxa, hay⟩, ha⟩ : ∃ a ∈ Ioo x y, deriv f a = (f y - f x) / (y - x) :=
  exists_deriv_eq_slope f hxy hf A

Result:
case intro.intro.intro
x y : ℝ
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc x y)
hxy : x < y
hf'_mono : StrictMonoOn (deriv f) (Ioo x y)
h : ∀ w ∈ Ioo x y, deriv f w ≠ 0
A : DifferentiableOn ℝ f (Ioo x y)
a : ℝ
ha : deriv f a = (f y - f x) / (y - x)
hxa : x < a
hay : a < y
⊢ ∃ a ∈ Ioo x y, deriv f a < (f y - f x) / (y - x)

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro
x y : ℝ
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc x y)
hxy : x < y
hf'_mono : StrictMonoOn (deriv f) (Ioo x y)
h : ∀ w ∈ Ioo x y, deriv f w ≠ 0
A : DifferentiableOn ℝ f (Ioo x y)
a : ℝ
ha : deriv f a = (f y - f x) / (y - x)
hxa : x < a
hay : a < y
b : ℝ
hxb : x < b
hba : b < a
⊢ deriv f b < (f y - f x) / (y - x)

Tactic:
rw [← ha]

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro
x y : ℝ
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc x y)
hxy : x < y
hf'_mono : StrictMonoOn (deriv f) (Ioo x y)
h : ∀ w ∈ Ioo x y, deriv f w ≠ 0
A : DifferentiableOn ℝ f (Ioo x y)
a : ℝ
ha : deriv f a = (f y - f x) / (y - x)
hxa : x < a
hay : a < y
b : ℝ
hxb : x < b
hba : b < a
⊢ deriv f b < deriv f a

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro
x y : ℝ
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc x y)
hxy : x < y
hf'_mono : StrictMonoOn (deriv f) (Ioo x y)
h : ∀ w ∈ Ioo x y, deriv f w ≠ 0
A : DifferentiableOn ℝ f (Ioo x y)
a : ℝ
ha : deriv f a = (f y - f x) / (y - x)
hxa : x < a
hay : a < y
b : ℝ
hxb : x < b
hba : b < a
⊢ deriv f b < deriv f a

Tactic:
exact hf'_mono ⟨hxb, hba.trans hay⟩ ⟨hxa, hay⟩ hba

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro
x y : ℝ
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc x y)
hxy : x < y
hf'_mono : StrictMonoOn (deriv f) (Ioo x y)
h : ∀ w ∈ Ioo x y, deriv f w ≠ 0
A : DifferentiableOn ℝ f (Ioo x y)
a : ℝ
ha : deriv f a = (f y - f x) / (y - x)
hxa : x < a
hay : a < y
b : ℝ
hxb : x < b
hba : b < a
⊢ ∃ a ∈ Ioo x y, deriv f a < (f y - f x) / (y - x)

Tactic:
refine ⟨b, ⟨hxb, hba.trans hay⟩, ?_⟩

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro
x y : ℝ
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc x y)
hxy : x < y
hf'_mono : StrictMonoOn (deriv f) (Ioo x y)
h : ∀ w ∈ Ioo x y, deriv f w ≠ 0
A : DifferentiableOn ℝ f (Ioo x y)
a : ℝ
ha : deriv f a = (f y - f x) / (y - x)
hxa : x < a
hay : a < y
b : ℝ
hxb : x < b
hba : b < a
⊢ deriv f b < (f y - f x) / (y - x)