-- Mathlib/FieldTheory/Perfect.lean
lemma PerfectRing.toPerfectField (K : Type*) (p : ℕ)
    [Field K] [ExpChar K p] [PerfectRing K p] : PerfectField K

Proof state:
case prime
K : Type u_1
p : ℕ
inst✝² : Field K
inst✝¹ : ExpChar K p
inst✝ : PerfectRing K p
hp : Nat.Prime p
hchar✝ : CharP K p
⊢ PerfectField K

Tactic:
refine PerfectField.mk fun hf ↦ ?_

Result:
case prime
K : Type u_1
p : ℕ
inst✝² : Field K
inst✝¹ : ExpChar K p
inst✝ : PerfectRing K p
hp : Nat.Prime p
hchar✝ : CharP K p
f✝ : K[X]
hf : Irreducible f✝
⊢ f✝.Separable

Proof state:
case prime.inr.intro.intro.intro
K : Type u_1
p : ℕ
inst✝² : Field K
inst✝¹ : ExpChar K p
inst✝ : PerfectRing K p
hp : Nat.Prime p
hchar✝ : CharP K p
g : K[X]
⊢ Irreducible ((expand K p) g) → False

Tactic:
haveI := Fact.mk hp

Result:
case prime.inr.intro.intro.intro
K : Type u_1
p : ℕ
inst✝² : Field K
inst✝¹ : ExpChar K p
inst✝ : PerfectRing K p
hp : Nat.Prime p
hchar✝ : CharP K p
g : K[X]
this : Fact (Nat.Prime p)
⊢ Irreducible ((expand K p) g) → False

Proof state:
case prime.inr.intro.intro.intro
K : Type u_1
p : ℕ
inst✝² : Field K
inst✝¹ : ExpChar K p
inst✝ : PerfectRing K p
hp : Nat.Prime p
hchar✝ : CharP K p
g : K[X]
hf : Irreducible ((expand K p) g)
⊢ False

Tactic:
revert hf

Result:
case prime.inr.intro.intro.intro
K : Type u_1
p : ℕ
inst✝² : Field K
inst✝¹ : ExpChar K p
inst✝ : PerfectRing K p
hp : Nat.Prime p
hchar✝ : CharP K p
g : K[X]
⊢ Irreducible ((expand K p) g) → False

Proof state:
case prime.inr.intro.intro.intro
K : Type u_1
p : ℕ
inst✝² : Field K
inst✝¹ : ExpChar K p
inst✝ : PerfectRing K p
hp : Nat.Prime p
hchar✝ : CharP K p
g : K[X]
hf : Irreducible ((expand K p) g)
⊢ ((expand K p) g).Separable

Tactic:
exfalso

Result:
case prime.inr.intro.intro.intro
K : Type u_1
p : ℕ
inst✝² : Field K
inst✝¹ : ExpChar K p
inst✝ : PerfectRing K p
hp : Nat.Prime p
hchar✝ : CharP K p
g : K[X]
hf : Irreducible ((expand K p) g)
⊢ False

Proof state:
case prime.inl
K : Type u_1
p : ℕ
inst✝² : Field K
inst✝¹ : ExpChar K p
inst✝ : PerfectRing K p
hp : Nat.Prime p
hchar✝ : CharP K p
f✝ : K[X]
hf : Irreducible f✝
h : f✝.Separable
⊢ f✝.Separable

Tactic:
assumption

Result:
no goals

Proof state:
case zero
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : CharZero K
inst✝¹ : ExpChar K 1
inst✝ : PerfectRing K 1
⊢ PerfectField K

Tactic:
exact ⟨Irreducible.separable⟩

Result:
no goals

Proof state:
case prime
K : Type u_1
p : ℕ
inst✝² : Field K
inst✝¹ : ExpChar K p
inst✝ : PerfectRing K p
hp : Nat.Prime p
hchar✝ : CharP K p
f✝ : K[X]
hf : Irreducible f✝
⊢ f✝.Separable

Tactic:
rcases separable_or p hf with h | ⟨-, g, -, rfl⟩

Result:
case prime.inl
K : Type u_1
p : ℕ
inst✝² : Field K
inst✝¹ : ExpChar K p
inst✝ : PerfectRing K p
hp : Nat.Prime p
hchar✝ : CharP K p
f✝ : K[X]
hf : Irreducible f✝
h : f✝.Separable
⊢ f✝.Separable

case prime.inr.intro.intro.intro
K : Type u_1
p : ℕ
inst✝² : Field K
inst✝¹ : ExpChar K p
inst✝ : PerfectRing K p
hp : Nat.Prime p
hchar✝ : CharP K p
g : K[X]
hf : Irreducible ((expand K p) g)
⊢ ((expand K p) g).Separable

Proof state:
K : Type u_1
p : ℕ
inst✝² : Field K
inst✝¹ : ExpChar K p
inst✝ : PerfectRing K p
⊢ PerfectField K

Tactic:
obtain hp | ⟨hp⟩ := ‹ExpChar K p›

Result:
case zero
K : Type u_1
inst✝³ : Field K
inst✝² : CharZero K
inst✝¹ : ExpChar K 1
inst✝ : PerfectRing K 1
⊢ PerfectField K

case prime
K : Type u_1
p : ℕ
inst✝² : Field K
inst✝¹ : ExpChar K p
inst✝ : PerfectRing K p
hp : Nat.Prime p
hchar✝ : CharP K p
⊢ PerfectField K

Proof state:
case prime.inr.intro.intro.intro
K : Type u_1
p : ℕ
inst✝² : Field K
inst✝¹ : ExpChar K p
inst✝ : PerfectRing K p
hp : Nat.Prime p
hchar✝ : CharP K p
g : K[X]
this : Fact (Nat.Prime p)
⊢ Irreducible ((expand K p) g) → False

Tactic:
simp

Result:
no goals