-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Projection.lean
theorem maximal_orthonormal_iff_orthogonalComplement_eq_bot (hv : Orthonormal 𝕜 ((↑) : v → E)) :
    (∀ u ⊇ v, Orthonormal 𝕜 ((↑) : u → E) → u = v) ↔ (span 𝕜 v)ᗮ = ⊥

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
v : Set E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
⊢ (∀ u ⊇ v, Orthonormal 𝕜 Subtype.val → u = v) ↔ (span 𝕜 v)ᗮ = ⊥

Tactic:
rw [Submodule.eq_bot_iff]

Result:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
v : Set E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
⊢ (∀ u ⊇ v, Orthonormal 𝕜 Subtype.val → u = v) ↔ ∀ x ∈ (span 𝕜 v)ᗮ, x = 0

Proof state:
case mp.intro.intro.refine_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
v : Set E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
x : E
hx' : x ∈ (span 𝕜 v)ᗮ
hx : x ≠ 0
e : E := (↑‖x‖)⁻¹ • x
he : ‖e‖ = 1
he' : e ∈ (span 𝕜 v)ᗮ
he'' : e ∉ v
h_end : ∀ a ∈ v, ⟪a, e⟫_𝕜 = 0
⊢ Pairwise fun i j => ⟪↑i, ↑j⟫_𝕜 = 0

Tactic:
rintro ⟨a, ha'⟩

Result:
case mp.intro.intro.refine_2.mk
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
v : Set E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
x : E
hx' : x ∈ (span 𝕜 v)ᗮ
hx : x ≠ 0
e : E := (↑‖x‖)⁻¹ • x
he : ‖e‖ = 1
he' : e ∈ (span 𝕜 v)ᗮ
he'' : e ∉ v
h_end : ∀ a ∈ v, ⟪a, e⟫_𝕜 = 0
a : E
ha' : a ∈ insert e v
⊢ ∀ ⦃j : { x // x ∈ insert e v }⦄, ⟨a, ha'⟩ ≠ j → (fun i j => ⟪↑i, ↑j⟫_𝕜 = 0) ⟨a, ha'⟩ j

Proof state:
case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
v : Set E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
h : ∀ x ∈ (span 𝕜 v)ᗮ, x = 0
u : Set E
huv : v ⊆ u
hu : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
x : E
hxu : x ∈ u
⊢ x ∉ v → x ∈ (span 𝕜 v)ᗮ

Tactic:
intro hxv y hy

Result:
case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
v : Set E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
h : ∀ x ∈ (span 𝕜 v)ᗮ, x = 0
u : Set E
huv : v ⊆ u
hu : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
x : E
hxu : x ∈ u
hxv : x ∉ v
y : E
hy : y ∈ span 𝕜 v
⊢ ⟪y, x⟫_𝕜 = 0

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
v : Set E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
x : E
hx' : x ∈ (span 𝕜 v)ᗮ
hx : x ≠ 0
e : E := (↑‖x‖)⁻¹ • x
he : ‖e‖ = 1
he' : e ∈ (span 𝕜 v)ᗮ
he'' : e ∉ v
h_end : ∀ a ∈ v, ⟪a, e⟫_𝕜 = 0
a : E
ha' : a ∈ insert e v
ha : a ∈ v
b : E
hb' : b ∈ insert e v
hab' : ⟨a, ha'⟩ ≠ ⟨b, hb'⟩
hb : b ∈ v
hab'' : ⟨a, ha⟩ = ⟨b, hb⟩
⊢ ⟨a, ha'⟩ = ⟨b, hb'⟩

Tactic:
simpa using hab''

Result:
no goals

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
v : Set E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
x : E
hx' : x ∈ (span 𝕜 v)ᗮ
hx : x ≠ 0
e : E := (↑‖x‖)⁻¹ • x
he : ‖e‖ = 1
he' : e ∈ (span 𝕜 v)ᗮ
he'' : e ∉ v
h_end : ∀ a ∈ v, ⟪a, e⟫_𝕜 = 0
a : E
ha' : a ∈ insert e v
ha : a = e
b : E
hb' : b ∈ insert e v
hab' : ⟨a, ha'⟩ ≠ ⟨b, hb'⟩
hbe' : b = e
⊢ False

Tactic:
apply hab'

Result:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
v : Set E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
x : E
hx' : x ∈ (span 𝕜 v)ᗮ
hx : x ≠ 0
e : E := (↑‖x‖)⁻¹ • x
he : ‖e‖ = 1
he' : e ∈ (span 𝕜 v)ᗮ
he'' : e ∉ v
h_end : ∀ a ∈ v, ⟪a, e⟫_𝕜 = 0
a : E
ha' : a ∈ insert e v
ha : a = e
b : E
hb' : b ∈ insert e v
hab' : ⟨a, ha'⟩ ≠ ⟨b, hb'⟩
hbe' : b = e
⊢ ⟨a, ha'⟩ = ⟨b, hb'⟩

Proof state:
case mpr.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
v : Set E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
h : ∀ x ∈ (span 𝕜 v)ᗮ, x = 0
u : Set E
huv : v ⊆ u
hu : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
x : E
hxu : x ∈ u
hxv : x ∉ v
hxv' : ⟨x, hxu⟩ ∉ Subtype.val ⁻¹' v
l : ↑u →₀ 𝕜
hl : l ∈ supported 𝕜 𝕜 (Subtype.val ⁻¹' v)
hy : (linearCombination 𝕜 Subtype.val) l ∈ span 𝕜 v
⊢ ⟪(linearCombination 𝕜 Subtype.val) l, x⟫_𝕜 = 0

Tactic:
exact hu.inner_finsupp_eq_zero hxv' hl

Result:
no goals

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
v : Set E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
x : E
hx' : x ∈ (span 𝕜 v)ᗮ
hx : x ≠ 0
e : E := (↑‖x‖)⁻¹ • x
he : ‖e‖ = 1
he' : e ∈ (span 𝕜 v)ᗮ
he'' : e ∉ v
h_end : ∀ a ∈ v, ⟪a, e⟫_𝕜 = 0
a : E
ha' : a ∈ insert e v
ha : a ∈ v
b : E
hb' : b ∈ insert e v
hab' : ⟨a, ha'⟩ ≠ ⟨b, hb'⟩
hb : b ∈ v
hab'' : ⟨a, ha⟩ = ⟨b, hb⟩
⊢ False

Tactic:
apply hab'

Result:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
v : Set E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
x : E
hx' : x ∈ (span 𝕜 v)ᗮ
hx : x ≠ 0
e : E := (↑‖x‖)⁻¹ • x
he : ‖e‖ = 1
he' : e ∈ (span 𝕜 v)ᗮ
he'' : e ∉ v
h_end : ∀ a ∈ v, ⟪a, e⟫_𝕜 = 0
a : E
ha' : a ∈ insert e v
ha : a ∈ v
b : E
hb' : b ∈ insert e v
hab' : ⟨a, ha'⟩ ≠ ⟨b, hb'⟩
hb : b ∈ v
hab'' : ⟨a, ha⟩ = ⟨b, hb⟩
⊢ ⟨a, ha'⟩ = ⟨b, hb'⟩

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
v : Set E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
x : E
hx' : x ∈ (span 𝕜 v)ᗮ
hx : x ≠ 0
e : E := (↑‖x‖)⁻¹ • x
he : ‖e‖ = 1
he' : e ∈ (span 𝕜 v)ᗮ
he'' : e ∉ v
h_end : ∀ a ∈ v, ⟪a, e⟫_𝕜 = 0
a : E
ha' : a ∈ insert e v
ha : a = e
b : E
hb' : b ∈ insert e v
hab' : ⟨a, ha'⟩ ≠ ⟨b, hb'⟩
⊢ b ≠ e

Tactic:
intro hbe'

Result:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
v : Set E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
x : E
hx' : x ∈ (span 𝕜 v)ᗮ
hx : x ≠ 0
e : E := (↑‖x‖)⁻¹ • x
he : ‖e‖ = 1
he' : e ∈ (span 𝕜 v)ᗮ
he'' : e ∉ v
h_end : ∀ a ∈ v, ⟪a, e⟫_𝕜 = 0
a : E
ha' : a ∈ insert e v
ha : a = e
b : E
hb' : b ∈ insert e v
hab' : ⟨a, ha'⟩ ≠ ⟨b, hb'⟩
hbe' : b = e
⊢ False

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
v : Set E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
x : E
hx' : x ∈ (span 𝕜 v)ᗮ
hx : x ≠ 0
e : E := (↑‖x‖)⁻¹ • x
he : ‖e‖ = 1
he' : e ∈ (span 𝕜 v)ᗮ
hev : e ∈ v
this✝ : e = 0
this : e ≠ 0
⊢ False

Tactic:
contradiction

Result:
no goals

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
v : Set E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
x : E
hx' : x ∈ (span 𝕜 v)ᗮ
hx : x ≠ 0
e : E := (↑‖x‖)⁻¹ • x
he : ‖e‖ = 1
he' : e ∈ (span 𝕜 v)ᗮ
hev : e ∈ v
this : e ∈ span 𝕜 v ⊓ (span 𝕜 v)ᗮ
⊢ e = 0

Tactic:
simpa [(span 𝕜 v).inf_orthogonal_eq_bot] using this

Result:
no goals

Proof state:
case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
v : Set E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
⊢ (∀ x ∈ (span 𝕜 v)ᗮ, x = 0) → ∀ u ⊇ v, Orthonormal 𝕜 Subtype.val → u ⊆ v ∧ v ⊆ u

Tactic:
rintro h u (huv : v ⊆ u) hu

Result:
case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
v : Set E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
h : ∀ x ∈ (span 𝕜 v)ᗮ, x = 0
u : Set E
huv : v ⊆ u
hu : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
⊢ u ⊆ v ∧ v ⊆ u

Proof state:
case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
v : Set E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
h : ∀ x ∈ (span 𝕜 v)ᗮ, x = 0
u : Set E
huv : v ⊆ u
hu : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
⊢ u ⊆ v

Tactic:
intro x hxu

Result:
case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
v : Set E
hv : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
h : ∀ x ∈ (span 𝕜 v)ᗮ, x = 0
u : Set E
huv : v ⊆ u
hu : Orthonormal 𝕜 Subtype.val
x : E
hxu : x ∈ u
⊢ x ∈ v