-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
theorem contDiffWithinAt_succ_iff_hasFDerivWithinAt (hn : n ≠ ∞) :
    ContDiffWithinAt 𝕜 (n + 1) f s x ↔ ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x, (n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u) ∧
      ∃ f' : E → E →L[𝕜] F,
      (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n f' u x

Proof state:
case mp.intro.intro.intro.intro.refine_2
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : WithTop ℕ∞
hn : n ≠ ∞
h'n : n + 1 ≠ ∞
h : ContDiffWithinAt 𝕜 (n + 1) f s x
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
Hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (n + 1) f p u
H'p : n + 1 = ω → ∀ (i : ℕ), AnalyticOn 𝕜 (fun x => p x i) u
⊢ ∃ u_1 ∈ 𝓝[insert x u] x,
    ∃ p_1,
      HasFTaylorSeriesUpToOn n (fun y => (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p y 1)) p_1 u_1 ∧
        (n = ω → ∀ (i : ℕ), AnalyticOn 𝕜 (fun x => p_1 x i) u_1)

Tactic:
refine ⟨u, ?_, fun y : E => (p y).shift, ?_⟩

Result:
case mp.intro.intro.intro.intro.refine_2.refine_1
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : WithTop ℕ∞
hn : n ≠ ∞
h'n : n + 1 ≠ ∞
h : ContDiffWithinAt 𝕜 (n + 1) f s x
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
Hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (n + 1) f p u
H'p : n + 1 = ω → ∀ (i : ℕ), AnalyticOn 𝕜 (fun x => p x i) u
⊢ u ∈ 𝓝[insert x u] x

case mp.intro.intro.intro.intro.refine_2.refine_2
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : WithTop ℕ∞
hn : n ≠ ∞
h'n : n + 1 ≠ ∞
h : ContDiffWithinAt 𝕜 (n + 1) f s x
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
Hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (n + 1) f p u
H'p : n + 1 = ω → ∀ (i : ℕ), AnalyticOn 𝕜 (fun x => p x i) u
⊢ HasFTaylorSeriesUpToOn n (fun y => (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p y 1)) (fun y => (p y).shift) u ∧
    (n = ω → ∀ (i : ℕ), AnalyticOn 𝕜 (fun x => (fun y => (p y).shift) x i) u)

Proof state:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : WithTop ℕ∞
hn : n ≠ ∞
h'n : n + 1 ≠ ∞
h : ContDiffWithinAt 𝕜 (n + 1) f s x
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
Hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (n + 1) f p u
H'p : n + 1 = ω → ∀ (i : ℕ), AnalyticOn 𝕜 (fun x => p x i) u
⊢ x ∈ insert x s

Tactic:
simp

Result:
no goals

Proof state:
case mp.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : WithTop ℕ∞
hn : n ≠ ∞
h'n : n + 1 ≠ ∞
h : ContDiffWithinAt 𝕜 (n + 1) f s x
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
Hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (n + 1) f p u
H'p : n + 1 = ω → ∀ (i : ℕ), AnalyticOn 𝕜 (fun x => p x i) u
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x,
    (n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u) ∧ ∃ f', (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n f' u x

Tactic:
refine ⟨u, hu, ?_, fun y => (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p y 1),
    fun y hy => Hp.hasFDerivWithinAt le_add_self hy, ?_⟩

Result:
case mp.intro.intro.intro.intro.refine_1
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : WithTop ℕ∞
hn : n ≠ ∞
h'n : n + 1 ≠ ∞
h : ContDiffWithinAt 𝕜 (n + 1) f s x
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
Hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (n + 1) f p u
H'p : n + 1 = ω → ∀ (i : ℕ), AnalyticOn 𝕜 (fun x => p x i) u
⊢ n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u

case mp.intro.intro.intro.intro.refine_2
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : WithTop ℕ∞
hn : n ≠ ∞
h'n : n + 1 ≠ ∞
h : ContDiffWithinAt 𝕜 (n + 1) f s x
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
Hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (n + 1) f p u
H'p : n + 1 = ω → ∀ (i : ℕ), AnalyticOn 𝕜 (fun x => p x i) u
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun y => (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p y 1)) u x

Proof state:
case mp.intro.intro.intro.intro.refine_2.refine_2
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : WithTop ℕ∞
hn : n ≠ ∞
h'n : n + 1 ≠ ∞
h : ContDiffWithinAt 𝕜 (n + 1) f s x
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
Hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (n + 1) f p u
H'p : n + 1 = ω → ∀ (i : ℕ), AnalyticOn 𝕜 (fun x => p x i) u
⊢ HasFTaylorSeriesUpToOn n (fun y => (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p y 1)) (fun y => (p y).shift) u ∧
    (n = ω → ∀ (i : ℕ), AnalyticOn 𝕜 (fun x => (fun y => (p y).shift) x i) u)

Tactic:
rw [hasFTaylorSeriesUpToOn_succ_iff_right] at Hp

Result:
case mp.intro.intro.intro.intro.refine_2.refine_2
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : WithTop ℕ∞
hn : n ≠ ∞
h'n : n + 1 ≠ ∞
h : ContDiffWithinAt 𝕜 (n + 1) f s x
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
Hp :
  (∀ x ∈ u, (p x 0).curry0 = f x) ∧
    (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt (fun y => p y 0) (p x 1).curryLeft u x) ∧
      HasFTaylorSeriesUpToOn n (fun x => (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p x 1)) (fun x => (p x).shift) u
H'p : n + 1 = ω → ∀ (i : ℕ), AnalyticOn 𝕜 (fun x => p x i) u
⊢ HasFTaylorSeriesUpToOn n (fun y => (continuousMultilinearCurryFin1 𝕜 E F) (p y 1)) (fun y => (p y).shift) u ∧
    (n = ω → ∀ (i : ℕ), AnalyticOn 𝕜 (fun x => (fun y => (p y).shift) x i) u)

Proof state:
case mpr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_3
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : WithTop ℕ∞
hn : n ≠ ∞
h'n : n + 1 ≠ ∞
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
hf : n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u
f' : E → E →L[𝕜] F
f'_eq_deriv : ∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
Hf' : ContDiffWithinAt 𝕜 n f' u x
v : Set E
hv : v ∈ 𝓝[insert x u] x
p' : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E (E →L[𝕜] F)
Hp' : HasFTaylorSeriesUpToOn n f' p' v
p'_an : n = ω → ∀ (i : ℕ), AnalyticOn 𝕜 (fun x => p' x i) v
i : ℕ
h : n = ω
⊢ AnalyticOn 𝕜 (fun x => (fun x => (p' x).unshift (f x)) x i) (v ∩ u)

Tactic:
match i with
| 0 =>
  simp only [FormalMultilinearSeries.unshift]
  apply AnalyticOnNhd.comp_analyticOn _ ((hf h).mono inter_subset_right)
    (Set.mapsTo_univ _ _)
  exact LinearIsometryEquiv.analyticOnNhd _ _
| i + 1 =>
  simp only [FormalMultilinearSeries.unshift, Nat.succ_eq_add_one]
  apply AnalyticOnNhd.comp_analyticOn _ ((p'_an h i).mono inter_subset_left)
    (Set.mapsTo_univ _ _)
  exact LinearIsometryEquiv.analyticOnNhd _ _

Result:
no goals