-- Mathlib/NumberTheory/LSeries/SumCoeff.lean
theorem LSeries_tendsto_sub_mul_nhds_one_of_tendsto_sum_div_aux₃
    (hlim : Tendsto (fun n : ℕ ↦ (∑ k ∈ Icc 1 n, f k) / n) atTop (𝓝 l))
    (hfS : ∀ s : ℝ, 1 < s → LSeriesSummable f s) {ε : ℝ} (hε : ε > 0) :
    ∃ C ≥ 0, (fun s : ℝ ↦ ‖(s - 1) * LSeries f s - s * l‖) ≤ᶠ[𝓝[>] 1]
      fun s ↦ (s - 1) * s * C + s * ε

Proof state:
case hft
f : ℕ → ℂ
l : ℂ
hlim : Tendsto (fun n => (∑ k ∈ Icc 1 n, f k) / ↑n) atTop (𝓝 l)
hfS : ∀ (s : ℝ), 1 < s → LSeriesSummable f ↑s
ε : ℝ
hε : ε > 0
T : ℝ
hT₁ : T ≥ 1
hT : ∀ (y : ℝ), T ≤ y → ‖∑ k ∈ Icc 1 ⌊y⌋₊, f k - l * ↑y‖ < ε * y
S : ℝ → ℂ := fun t => ∑ k ∈ Icc 1 ⌊t⌋₊, f k
C : ℝ := ∫ (t : ℝ) in Set.Ioc 1 T, ‖S t - l * ↑t‖ * t ^ (-1 - 1)
hC : 0 ≤ C
s : ℝ
hs : 1 < s
hs' : 0 ≤ (s - 1) * s
h₀ : LocallyIntegrableOn (fun t => S t - l * ↑t) (Set.Ici 1) volume
h₁ : IntegrableOn (fun t => ‖S t - l * ↑t‖ * t ^ (-s - 1)) (Set.Ici 1) volume
h₂ : IntegrableOn (fun t => ‖S t - l * ↑t‖ * t ^ (-1 - 1)) (Set.Ioc 1 T) volume
h₃ : (↑s - 1) * ∫ (t : ℝ) in Set.Ioi 1, ↑t ^ (-↑s) = 1
Cs : ℝ := ∫ (t : ℝ) in Set.Ioc 1 T, ‖S t - l * ↑t‖ * t ^ (-s - 1)
h₄ : Cs ≤ C
⊢ IntegrableOn (fun t => ‖S t - l * ↑t‖ * t ^ (-s - 1)) (Set.Ioi T) volume

Tactic:
exact h₁.mono_set <| Set.Ioi_subset_Ici_self.trans <| Set.Ici_subset_Ici.mpr hT₁

Result:
no goals

Proof state:
f : ℕ → ℂ
l : ℂ
hlim : Tendsto (fun n => (∑ k ∈ Icc 1 n, f k) / ↑n) atTop (𝓝 l)
hfS : ∀ (s : ℝ), 1 < s → LSeriesSummable f ↑s
ε : ℝ
hε : ε > 0
T : ℝ
hT₁ : T ≥ 1
hT : ∀ (y : ℝ), T ≤ y → ‖∑ k ∈ Icc 1 ⌊y⌋₊, f k - l * ↑y‖ < ε * y
S : ℝ → ℂ := fun t => ∑ k ∈ Icc 1 ⌊t⌋₊, f k
C : ℝ := ∫ (t : ℝ) in Set.Ioc 1 T, ‖S t - l * ↑t‖ * t ^ (-1 - 1)
hC : 0 ≤ C
s : ℝ
hs : 1 < s
hs' : 0 ≤ (s - 1) * s
h₀ : LocallyIntegrableOn (fun t => S t - l * ↑t) (Set.Ici 1) volume
h₁ : IntegrableOn (fun t => ‖S t - l * ↑t‖ * t ^ (-s - 1)) (Set.Ici 1) volume
⊢ ContinuousOn (fun t => t ^ (-1 - 1)) (Set.Ici 1)

Tactic:
exact fun t ht ↦ (Real.continuousAt_rpow_const _ _
  <| Or.inl (zero_lt_one.trans_le ht).ne').continuousWithinAt

Result:
no goals

Proof state:
f : ℕ → ℂ
l : ℂ
hlim : Tendsto (fun n => (∑ k ∈ Icc 1 n, f k) / ↑n) atTop (𝓝 l)
hfS : ∀ (s : ℝ), 1 < s → LSeriesSummable f ↑s
ε : ℝ
hε : ε > 0
T : ℝ
hT₁ : T ≥ 1
hT : ∀ (y : ℝ), T ≤ y → ‖∑ k ∈ Icc 1 ⌊y⌋₊, f k - l * ↑y‖ < ε * y
S : ℝ → ℂ := fun t => ∑ k ∈ Icc 1 ⌊t⌋₊, f k
C : ℝ := ∫ (t : ℝ) in Set.Ioc 1 T, ‖S t - l * ↑t‖ * t ^ (-1 - 1)
hC : 0 ≤ C
s : ℝ
hs : 1 < s
hs' : 0 ≤ (s - 1) * s
h₀ : LocallyIntegrableOn (fun t => S t - l * ↑t) (Set.Ici 1) volume
h₁ : IntegrableOn (fun t => ‖S t - l * ↑t‖ * t ^ (-s - 1)) (Set.Ici 1) volume
h₂ : IntegrableOn (fun t => ‖S t - l * ↑t‖ * t ^ (-1 - 1)) (Set.Ioc 1 T) volume
h₃ : (↑s - 1) * ∫ (t : ℝ) in Set.Ioi 1, ↑t ^ (-↑s) = 1
Cs : ℝ := ∫ (t : ℝ) in Set.Ioc 1 T, ‖S t - l * ↑t‖ * t ^ (-s - 1)
h₄ : Cs ≤ C
⊢ (s - 1) * s * ‖∫ (t : ℝ) in Set.Ioi 1, (S t - l * ↑t) * ↑t ^ (-↑s - 1)‖ ≤
    (s - 1) * s * ∫ (t : ℝ) in Set.Ioi 1, ‖(S t - l * ↑t) * ↑t ^ (-↑s - 1)‖

Tactic:
exact mul_le_mul_of_nonneg_left (norm_integral_le_integral_norm _) hs'

Result:
no goals

Proof state:
f : ℕ → ℂ
l : ℂ
hlim : Tendsto (fun n => (∑ k ∈ Icc 1 n, f k) / ↑n) atTop (𝓝 l)
hfS : ∀ (s : ℝ), 1 < s → LSeriesSummable f ↑s
ε : ℝ
hε : ε > 0
T : ℝ
hT₁ : T ≥ 1
hT : ∀ (y : ℝ), T ≤ y → ‖∑ k ∈ Icc 1 ⌊y⌋₊, f k - l * ↑y‖ < ε * y
S : ℝ → ℂ := fun t => ∑ k ∈ Icc 1 ⌊t⌋₊, f k
C : ℝ := ∫ (t : ℝ) in Set.Ioc 1 T, ‖S t - l * ↑t‖ * t ^ (-1 - 1)
⊢ 0 ≤ C

Tactic:
refine setIntegral_nonneg_ae measurableSet_Ioc (univ_mem' fun t ht ↦ ?_)

Result:
f : ℕ → ℂ
l : ℂ
hlim : Tendsto (fun n => (∑ k ∈ Icc 1 n, f k) / ↑n) atTop (𝓝 l)
hfS : ∀ (s : ℝ), 1 < s → LSeriesSummable f ↑s
ε : ℝ
hε : ε > 0
T : ℝ
hT₁ : T ≥ 1
hT : ∀ (y : ℝ), T ≤ y → ‖∑ k ∈ Icc 1 ⌊y⌋₊, f k - l * ↑y‖ < ε * y
S : ℝ → ℂ := fun t => ∑ k ∈ Icc 1 ⌊t⌋₊, f k
C : ℝ := ∫ (t : ℝ) in Set.Ioc 1 T, ‖S t - l * ↑t‖ * t ^ (-1 - 1)
t : ℝ
ht : t ∈ Set.Ioc 1 T
⊢ 0 ≤ ‖S t - l * ↑t‖ * t ^ (-1 - 1)

Proof state:
f : ℕ → ℂ
l : ℂ
hlim : Tendsto (fun n => (∑ k ∈ Icc 1 n, f k) / ↑n) atTop (𝓝 l)
hfS : ∀ (s : ℝ), 1 < s → LSeriesSummable f ↑s
ε : ℝ
hε : ε > 0
T : ℝ
hT₁ : T ≥ 1
hT : ∀ (y : ℝ), T ≤ y → ‖∑ k ∈ Icc 1 ⌊y⌋₊, f k - l * ↑y‖ < ε * y
S : ℝ → ℂ := fun t => ∑ k ∈ Icc 1 ⌊t⌋₊, f k
C : ℝ := ∫ (t : ℝ) in Set.Ioc 1 T, ‖S t - l * ↑t‖ * t ^ (-1 - 1)
hC : 0 ≤ C
s : ℝ
hs : 1 < s
hs' : 0 ≤ (s - 1) * s
h₀ : LocallyIntegrableOn (fun t => S t - l * ↑t) (Set.Ici 1) volume
h₁ : IntegrableOn (fun t => ‖S t - l * ↑t‖ * t ^ (-s - 1)) (Set.Ici 1) volume
h₂ : IntegrableOn (fun t => ‖S t - l * ↑t‖ * t ^ (-1 - 1)) (Set.Ioc 1 T) volume
h₃ : (↑s - 1) * ∫ (t : ℝ) in Set.Ioi 1, ↑t ^ (-↑s) = 1
Cs : ℝ := ∫ (t : ℝ) in Set.Ioc 1 T, ‖S t - l * ↑t‖ * t ^ (-s - 1)
h₄ : Cs ≤ C
⊢ (s - 1) * s * C + s * ((s - 1) * ∫ (t : ℝ) in Set.Ioi T, ‖S t - l * ↑t‖ * t ^ (-s - 1)) ≤ (s - 1) * s * C + s * ε

Tactic:
gcongr

Result:
case bc.h
f : ℕ → ℂ
l : ℂ
hlim : Tendsto (fun n => (∑ k ∈ Icc 1 n, f k) / ↑n) atTop (𝓝 l)
hfS : ∀ (s : ℝ), 1 < s → LSeriesSummable f ↑s
ε : ℝ
hε : ε > 0
T : ℝ
hT₁ : T ≥ 1
hT : ∀ (y : ℝ), T ≤ y → ‖∑ k ∈ Icc 1 ⌊y⌋₊, f k - l * ↑y‖ < ε * y
S : ℝ → ℂ := fun t => ∑ k ∈ Icc 1 ⌊t⌋₊, f k
C : ℝ := ∫ (t : ℝ) in Set.Ioc 1 T, ‖S t - l * ↑t‖ * t ^ (-1 - 1)
hC : 0 ≤ C
s : ℝ
hs : 1 < s
hs' : 0 ≤ (s - 1) * s
h₀ : LocallyIntegrableOn (fun t => S t - l * ↑t) (Set.Ici 1) volume
h₁ : IntegrableOn (fun t => ‖S t - l * ↑t‖ * t ^ (-s - 1)) (Set.Ici 1) volume
h₂ : IntegrableOn (fun t => ‖S t - l * ↑t‖ * t ^ (-1 - 1)) (Set.Ioc 1 T) volume
h₃ : (↑s - 1) * ∫ (t : ℝ) in Set.Ioi 1, ↑t ^ (-↑s) = 1
Cs : ℝ := ∫ (t : ℝ) in Set.Ioc 1 T, ‖S t - l * ↑t‖ * t ^ (-s - 1)
h₄ : Cs ≤ C
⊢ (s - 1) * ∫ (t : ℝ) in Set.Ioi T, ‖S t - l * ↑t‖ * t ^ (-s - 1) ≤ ε

Proof state:
f : ℕ → ℂ
l : ℂ
hlim : Tendsto (fun n => (∑ k ∈ Icc 1 n, f k) / ↑n) atTop (𝓝 l)
hfS : ∀ (s : ℝ), 1 < s → LSeriesSummable f ↑s
ε : ℝ
hε : ε > 0
T : ℝ
hT₁ : T ≥ 1
hT : ∀ (y : ℝ), T ≤ y → ‖∑ k ∈ Icc 1 ⌊y⌋₊, f k - l * ↑y‖ < ε * y
S : ℝ → ℂ := fun t => ∑ k ∈ Icc 1 ⌊t⌋₊, f k
C : ℝ := ∫ (t : ℝ) in Set.Ioc 1 T, ‖S t - l * ↑t‖ * t ^ (-1 - 1)
hC : 0 ≤ C
s : ℝ
hs : 1 < s
hs' : 0 ≤ (s - 1) * s
h₀ : LocallyIntegrableOn (fun t => S t - l * ↑t) (Set.Ici 1) volume
h₁ : IntegrableOn (fun t => ‖S t - l * ↑t‖ * t ^ (-s - 1)) (Set.Ici 1) volume
h₂ : IntegrableOn (fun t => ‖S t - l * ↑t‖ * t ^ (-1 - 1)) (Set.Ioc 1 T) volume
h₃ : (↑s - 1) * ∫ (t : ℝ) in Set.Ioi 1, ↑t ^ (-↑s) = 1
Cs : ℝ := ∫ (t : ℝ) in Set.Ioc 1 T, ‖S t - l * ↑t‖ * t ^ (-s - 1)
h₄ : Cs ≤ C
⊢ (s - 1) * s * Cs + (s - 1) * s * ∫ (t : ℝ) in Set.Ioi T, ‖S t - l * ↑t‖ * t ^ (-s - 1) ≤
    (s - 1) * s * C + (s - 1) * s * ∫ (t : ℝ) in Set.Ioi T, ‖S t - l * ↑t‖ * t ^ (-s - 1)

Tactic:
exact add_le_add_right (mul_le_mul_of_nonneg_left h₄ hs') _

Result:
no goals