-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/Finite.lean
theorem Module.exists_nontrivial_relation_sum_zero_of_finrank_succ_lt_card
    {t : Finset M} (h : finrank R M + 1 < t.card) :
    ∃ f : M → R, ∑ e ∈ t, f e • e = 0 ∧ ∑ e ∈ t, f e = 0 ∧ ∃ x ∈ t, f x ≠ 0

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : StrongRankCondition R
t : Finset M
h : finrank R M + 1 < #t
x₀ : M
x₀_mem : x₀ ∈ t
shift : M ↪ M := { toFun := fun x => x - x₀, inj' := ⋯ }
t' : Finset M := Finset.map shift (t.erase x₀)
h' : finrank R M < #t'
g : M → R
gsum : ∑ e ∈ t', g e • e = 0
x₁ : M
x₁_mem : x₁ ∈ t'
nz : g x₁ ≠ 0
f : M → R := fun z => if z = x₀ then -∑ z ∈ t.erase x₀, g (z - x₀) else g (z - x₀)
⊢ ∃ f, ∑ e ∈ t, f e • e = 0 ∧ ∑ e ∈ t, f e = 0 ∧ ∃ x ∈ t, f x ≠ 0

Tactic:
refine ⟨f, ?_, ?_, ?_⟩

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.refine_1
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : StrongRankCondition R
t : Finset M
h : finrank R M + 1 < #t
x₀ : M
x₀_mem : x₀ ∈ t
shift : M ↪ M := { toFun := fun x => x - x₀, inj' := ⋯ }
t' : Finset M := Finset.map shift (t.erase x₀)
h' : finrank R M < #t'
g : M → R
gsum : ∑ e ∈ t', g e • e = 0
x₁ : M
x₁_mem : x₁ ∈ t'
nz : g x₁ ≠ 0
f : M → R := fun z => if z = x₀ then -∑ z ∈ t.erase x₀, g (z - x₀) else g (z - x₀)
⊢ ∑ e ∈ t, f e • e = 0

case intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : StrongRankCondition R
t : Finset M
h : finrank R M + 1 < #t
x₀ : M
x₀_mem : x₀ ∈ t
shift : M ↪ M := { toFun := fun x => x - x₀, inj' := ⋯ }
t' : Finset M := Finset.map shift (t.erase x₀)
h' : finrank R M < #t'
g : M → R
gsum : ∑ e ∈ t', g e • e = 0
x₁ : M
x₁_mem : x₁ ∈ t'
nz : g x₁ ≠ 0
f : M → R := fun z => if z = x₀ then -∑ z ∈ t.erase x₀, g (z - x₀) else g (z - x₀)
⊢ ∑ e ∈ t, f e = 0

case intro.intro.intro.intro.intro.refine_3
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : StrongRankCondition R
t : Finset M
h : finrank R M + 1 < #t
x₀ : M
x₀_mem : x₀ ∈ t
shift : M ↪ M := { toFun := fun x => x - x₀, inj' := ⋯ }
t' : Finset M := Finset.map shift (t.erase x₀)
h' : finrank R M < #t'
g : M → R
gsum : ∑ e ∈ t', g e • e = 0
x₁ : M
x₁_mem : x₁ ∈ t'
nz : g x₁ ≠ 0
f : M → R := fun z => if z = x₀ then -∑ z ∈ t.erase x₀, g (z - x₀) else g (z - x₀)
⊢ ∃ x ∈ t, f x ≠ 0

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.refine_3.intro.intro
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : StrongRankCondition R
t : Finset M
h : finrank R M + 1 < #t
x₀ : M
x₀_mem : x₀ ∈ t
shift : M ↪ M := { toFun := fun x => x - x₀, inj' := ⋯ }
t' : Finset M := Finset.map shift (t.erase x₀)
h' : finrank R M < #t'
g : M → R
gsum : ∑ e ∈ t', g e • e = 0
f : M → R := fun z => if z = x₀ then -∑ z ∈ t.erase x₀, g (z - x₀) else g (z - x₀)
x₁ : M
x₁_mem' : x₁ ∈ t.erase x₀
x₁_mem : shift x₁ ∈ t'
nz : g (shift x₁) ≠ 0
⊢ ∃ x ∈ t, f x ≠ 0

Tactic:
have := mem_erase.mp x₁_mem'

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.refine_3.intro.intro
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : StrongRankCondition R
t : Finset M
h : finrank R M + 1 < #t
x₀ : M
x₀_mem : x₀ ∈ t
shift : M ↪ M := { toFun := fun x => x - x₀, inj' := ⋯ }
t' : Finset M := Finset.map shift (t.erase x₀)
h' : finrank R M < #t'
g : M → R
gsum : ∑ e ∈ t', g e • e = 0
f : M → R := fun z => if z = x₀ then -∑ z ∈ t.erase x₀, g (z - x₀) else g (z - x₀)
x₁ : M
x₁_mem' : x₁ ∈ t.erase x₀
x₁_mem : shift x₁ ∈ t'
nz : g (shift x₁) ≠ 0
this : x₁ ≠ x₀ ∧ x₁ ∈ t
⊢ ∃ x ∈ t, f x ≠ 0

Proof state:
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : StrongRankCondition R
t : Finset M
h : finrank R M + 1 < #t
x₀ : M
x₀_mem : x₀ ∈ t
shift : M ↪ M := { toFun := fun x => x - x₀, inj' := ⋯ }
t' : Finset M := Finset.map shift (t.erase x₀)
⊢ finrank R M < #t - 1

Tactic:
exact Nat.lt_pred_iff.mpr h

Result:
no goals

Proof state:
case intro
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : StrongRankCondition R
t : Finset M
h : finrank R M + 1 < #t
x₀ : M
x₀_mem : x₀ ∈ t
shift : M ↪ M := { toFun := fun x => x - x₀, inj' := ⋯ }
t' : Finset M := Finset.map shift (t.erase x₀)
h' : finrank R M < #t'
⊢ ∃ f, ∑ e ∈ t, f e • e = 0 ∧ ∑ e ∈ t, f e = 0 ∧ ∃ x ∈ t, f x ≠ 0

Tactic:
obtain ⟨g, gsum, x₁, x₁_mem, nz⟩ := exists_nontrivial_relation_of_finrank_lt_card h'

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : StrongRankCondition R
t : Finset M
h : finrank R M + 1 < #t
x₀ : M
x₀_mem : x₀ ∈ t
shift : M ↪ M := { toFun := fun x => x - x₀, inj' := ⋯ }
t' : Finset M := Finset.map shift (t.erase x₀)
h' : finrank R M < #t'
g : M → R
gsum : ∑ e ∈ t', g e • e = 0
x₁ : M
x₁_mem : x₁ ∈ t'
nz : g x₁ ≠ 0
⊢ ∃ f, ∑ e ∈ t, f e • e = 0 ∧ ∑ e ∈ t, f e = 0 ∧ ∃ x ∈ t, f x ≠ 0

Proof state:
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : StrongRankCondition R
t : Finset M
h : finrank R M + 1 < #t
x₀ : M
x₀_mem : x₀ ∈ t
shift : M ↪ M := { toFun := fun x => x - x₀, inj' := ⋯ }
t' : Finset M := Finset.map shift (t.erase x₀)
h' : finrank R M < #t'
g : M → R
gsum : ∑ e ∈ t', g e • e = 0
f : M → R := fun z => if z = x₀ then -∑ z ∈ t.erase x₀, g (z - x₀) else g (z - x₀)
x₁ : M
x₁_mem' : x₁ ∈ t.erase x₀
x₁_mem : shift x₁ ∈ t'
nz : g (shift x₁) ≠ 0
this : x₁ ≠ x₀ ∧ x₁ ∈ t
⊢ x₁ ∈ t ∧ f x₁ ≠ 0

Tactic:
simpa only [f, Embedding.coeFn_mk, sub_add_cancel, this.2, true_and, if_neg this.1]

Result:
no goals