-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/PrimitiveRoots.lean
theorem norm_pow_sub_one_of_prime_pow_ne_two {k s : ℕ} (hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1)))
    [hpri : Fact (p : ℕ).Prime] [IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L]
    (hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1)) : ℕ) K)) (hs : s ≤ k)
    (htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2) : norm K (ζ ^ (p : ℕ) ^ s - 1) = (p : K) ^ (p : ℕ) ^ s

Proof state:
case refine_2
p : ℕ+
K : Type u
L : Type v
inst✝³ : Field L
ζ : L
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
k s : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
hs : s ≤ k
htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2
hirr₁ : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k - s + 1))) K)
η : L := ζ ^ ↑p ^ s - 1
η₁ : ↥K⟮η⟯ := IntermediateField.AdjoinSimple.gen K η
this✝¹ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k - s + 1)} K ↥K⟮η⟯
hη : IsPrimitiveRoot (η₁ + 1) ↑(p ^ (k - s + 1))
this✝ : FiniteDimensional K L
this : IsGalois K L
H : (Algebra.norm K) (η₁ + 1 - 1) = ↑(↑(p ^ (k - s + 1))).minFac
⊢ (Algebra.norm K) (IntermediateField.AdjoinSimple.gen K η) ^ Module.finrank (↥K⟮η⟯) L = ↑↑p ^ ↑p ^ s

case refine_1
p : ℕ+
K : Type u
L : Type v
inst✝³ : Field L
ζ : L
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
k s : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
hs : s ≤ k
htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2
hirr₁ : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k - s + 1))) K)
η : L := ζ ^ ↑p ^ s - 1
η₁ : ↥K⟮η⟯ := IntermediateField.AdjoinSimple.gen K η
this✝¹ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k - s + 1)} K ↥K⟮η⟯
hη : IsPrimitiveRoot (η₁ + 1) ↑(p ^ (k - s + 1))
this✝ : FiniteDimensional K L
this : IsGalois K L
⊢ IsPrimePow ↑(p ^ (k - s + 1))

Tactic:
swap

Result:
case refine_1
p : ℕ+
K : Type u
L : Type v
inst✝³ : Field L
ζ : L
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
k s : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
hs : s ≤ k
htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2
hirr₁ : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k - s + 1))) K)
η : L := ζ ^ ↑p ^ s - 1
η₁ : ↥K⟮η⟯ := IntermediateField.AdjoinSimple.gen K η
this✝¹ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k - s + 1)} K ↥K⟮η⟯
hη : IsPrimitiveRoot (η₁ + 1) ↑(p ^ (k - s + 1))
this✝ : FiniteDimensional K L
this : IsGalois K L
⊢ IsPrimePow ↑(p ^ (k - s + 1))

case refine_2
p : ℕ+
K : Type u
L : Type v
inst✝³ : Field L
ζ : L
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
k s : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
hs : s ≤ k
htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2
hirr₁ : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k - s + 1))) K)
η : L := ζ ^ ↑p ^ s - 1
η₁ : ↥K⟮η⟯ := IntermediateField.AdjoinSimple.gen K η
this✝¹ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k - s + 1)} K ↥K⟮η⟯
hη : IsPrimitiveRoot (η₁ + 1) ↑(p ^ (k - s + 1))
this✝ : FiniteDimensional K L
this : IsGalois K L
H : (Algebra.norm K) (η₁ + 1 - 1) = ↑(↑(p ^ (k - s + 1))).minFac
⊢ (Algebra.norm K) (IntermediateField.AdjoinSimple.gen K η) ^ Module.finrank (↥K⟮η⟯) L = ↑↑p ^ ↑p ^ s

Proof state:
p : ℕ+
K : Type u
L : Type v
inst✝³ : Field L
ζ : L
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
k s : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
hs : s ≤ k
htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2
hirr₁ : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k - s + 1))) K)
η : L := ζ ^ ↑p ^ s - 1
η₁ : ↥K⟮η⟯ := IntermediateField.AdjoinSimple.gen K η
⊢ ↑(p ^ (k + 1)) = ↑p ^ s * ↑p ^ (k + 1 - s)

Tactic:
rw [PNat.pow_coe, ← pow_add, add_comm s, Nat.sub_add_cancel (le_trans hs (Nat.le_succ k))]

Result:
no goals

Proof state:
case refine_2
p : ℕ+
K : Type u
L : Type v
inst✝³ : Field L
ζ : L
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
k s : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
hs : s ≤ k
htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2
hirr₁ : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k - s + 1))) K)
η : L := ζ ^ ↑p ^ s - 1
η₁ : ↥K⟮η⟯ := IntermediateField.AdjoinSimple.gen K η
this✝¹ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k - s + 1)} K ↥K⟮η⟯
hη : IsPrimitiveRoot (η₁ + 1) ↑(p ^ (k - s + 1))
this✝ : FiniteDimensional K L
this : IsGalois K L
H : (Algebra.norm K) (η₁ + 1 - 1) = ↑(↑(p ^ (k - s + 1))).minFac
⊢ (Algebra.norm K) (IntermediateField.AdjoinSimple.gen K η) ^ Module.finrank (↥K⟮η⟯) L = ↑↑p ^ ↑p ^ s

Tactic:
rw [add_sub_cancel_right] at H

Result:
case refine_2
p : ℕ+
K : Type u
L : Type v
inst✝³ : Field L
ζ : L
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
k s : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
hs : s ≤ k
htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2
hirr₁ : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k - s + 1))) K)
η : L := ζ ^ ↑p ^ s - 1
η₁ : ↥K⟮η⟯ := IntermediateField.AdjoinSimple.gen K η
this✝¹ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k - s + 1)} K ↥K⟮η⟯
hη : IsPrimitiveRoot (η₁ + 1) ↑(p ^ (k - s + 1))
this✝ : FiniteDimensional K L
this : IsGalois K L
H : (Algebra.norm K) η₁ = ↑(↑(p ^ (k - s + 1))).minFac
⊢ (Algebra.norm K) (IntermediateField.AdjoinSimple.gen K η) ^ Module.finrank (↥K⟮η⟯) L = ↑↑p ^ ↑p ^ s

Proof state:
p : ℕ+
K : Type u
L : Type v
inst✝³ : Field L
ζ : L
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
k s : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
hs : s ≤ k
htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2
hirr₁ : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k - s + 1))) K)
η : L := ζ ^ ↑p ^ s - 1
η₁ : ↥K⟮η⟯ := IntermediateField.AdjoinSimple.gen K η
⊢ IsPrimitiveRoot (ζ ^ ↑p ^ s) (↑p ^ (k + 1 - s))

Tactic:
refine IsPrimitiveRoot.pow (p ^ (k + 1)).pos hζ ?_

Result:
p : ℕ+
K : Type u
L : Type v
inst✝³ : Field L
ζ : L
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
k s : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
hs : s ≤ k
htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2
hirr₁ : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k - s + 1))) K)
η : L := ζ ^ ↑p ^ s - 1
η₁ : ↥K⟮η⟯ := IntermediateField.AdjoinSimple.gen K η
⊢ ↑(p ^ (k + 1)) = ↑p ^ s * ↑p ^ (k + 1 - s)

Proof state:
p : ℕ+
K : Type u
L : Type v
inst✝³ : Field L
ζ : L
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
k s : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
hs : s ≤ k
htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2
hirr₁ : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k - s + 1))) K)
⊢ (Algebra.norm K) (ζ ^ ↑p ^ s - 1) = ↑↑p ^ ↑p ^ s

Tactic:
set η := ζ ^ (p : ℕ) ^ s - 1

Result:
p : ℕ+
K : Type u
L : Type v
inst✝³ : Field L
ζ : L
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
k s : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
hs : s ≤ k
htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2
hirr₁ : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k - s + 1))) K)
η : L := ζ ^ ↑p ^ s - 1
⊢ (Algebra.norm K) η = ↑↑p ^ ↑p ^ s