-- Mathlib/Order/Atoms.lean
theorem isAtom_iff {f : ∀ i, π i} [∀ i, PartialOrder (π i)] [∀ i, OrderBot (π i)] :
    IsAtom f ↔ ∃ i, IsAtom (f i) ∧ ∀ j, j ≠ i → f j = ⊥

Proof state:
ι : Type u_4
π : ι → Type u
f : (i : ι) → π i
inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (π i)
inst✝ : (i : ι) → OrderBot (π i)
hbot✝ : f ≠ ⊥
h : ∀ b < f, b = ⊥
i : ι
hbot : f i ≠ ⊥
⊢ ∀ b < f i, b = ⊥

Tactic:
intro b hb

Result:
ι : Type u_4
π : ι → Type u
f : (i : ι) → π i
inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (π i)
inst✝ : (i : ι) → OrderBot (π i)
hbot✝ : f ≠ ⊥
h : ∀ b < f, b = ⊥
i : ι
hbot : f i ≠ ⊥
b : π i
hb : b < f i
⊢ b = ⊥

Proof state:
case pos
ι : Type u_4
π : ι → Type u
f : (i : ι) → π i
inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (π i)
inst✝ : (i : ι) → OrderBot (π i)
hbot✝ : f ≠ ⊥
h✝ : ∀ b < f, b = ⊥
i : ι
hbot : f i ≠ ⊥
b : π i
hb : b < f i
this :
  (∀ (i_1 : ι), Function.update ⊥ i b i_1 ≤ f i_1) →
    ∀ (x : ι), Function.update ⊥ i b x < f x → ∀ (i_1 : ι), Function.update ⊥ i b i_1 = ⊥
j : ι
h : j = i
⊢ Function.update ⊥ i b j ≤ f j

case neg
ι : Type u_4
π : ι → Type u
f : (i : ι) → π i
inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (π i)
inst✝ : (i : ι) → OrderBot (π i)
hbot✝ : f ≠ ⊥
h✝ : ∀ b < f, b = ⊥
i : ι
hbot : f i ≠ ⊥
b : π i
hb : b < f i
this :
  (∀ (i_1 : ι), Function.update ⊥ i b i_1 ≤ f i_1) →
    ∀ (x : ι), Function.update ⊥ i b x < f x → ∀ (i_1 : ι), Function.update ⊥ i b i_1 = ⊥
j : ι
h : ¬j = i
⊢ Function.update ⊥ i b j ≤ f j

Tactic:
{ subst h; simpa using le_of_lt hb }

Result:
case neg
ι : Type u_4
π : ι → Type u
f : (i : ι) → π i
inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (π i)
inst✝ : (i : ι) → OrderBot (π i)
hbot✝ : f ≠ ⊥
h✝ : ∀ b < f, b = ⊥
i : ι
hbot : f i ≠ ⊥
b : π i
hb : b < f i
this :
  (∀ (i_1 : ι), Function.update ⊥ i b i_1 ≤ f i_1) →
    ∀ (x : ι), Function.update ⊥ i b x < f x → ∀ (i_1 : ι), Function.update ⊥ i b i_1 = ⊥
j : ι
h : ¬j = i
⊢ Function.update ⊥ i b j ≤ f j

Proof state:
case intro.intro.intro
ι : Type u_4
π : ι → Type u
f : (i : ι) → π i
inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (π i)
inst✝ : (i : ι) → OrderBot (π i)
i : ι
hbot : ∀ (j : ι), j ≠ i → f j = ⊥
hfi : f i ≠ ⊥
hlt : ∀ b < f i, b = ⊥
g : (i : ι) → π i
hgf✝ : g < f
j : ι
hgf : g ≤ f
hgfk : g i < f i
⊢ g j = ⊥

Tactic:
if hij : j = i then subst hij; refine hlt _ hgfk else
exact eq_bot_iff.2 <| le_trans (hgf _) (eq_bot_iff.1 (hbot _ hij))

Result:
no goals

Proof state:
ι : Type u_4
π : ι → Type u
f : (i : ι) → π i
inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (π i)
inst✝ : (i : ι) → OrderBot (π i)
hbot✝ : f ≠ ⊥
h : ∀ b < f, b = ⊥
i : ι
hbot : f i ≠ ⊥
j : ι
hj : j ≠ i
⊢ f j = ⊥

Tactic:
have := h (Function.update ⊥ j (f j))

Result:
ι : Type u_4
π : ι → Type u
f : (i : ι) → π i
inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (π i)
inst✝ : (i : ι) → OrderBot (π i)
hbot✝ : f ≠ ⊥
h : ∀ b < f, b = ⊥
i : ι
hbot : f i ≠ ⊥
j : ι
hj : j ≠ i
this : Function.update ⊥ j (f j) < f → Function.update ⊥ j (f j) = ⊥
⊢ f j = ⊥

Proof state:
ι : Type u_4
π : ι → Type u
f : (i : ι) → π i
inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (π i)
inst✝ : (i : ι) → OrderBot (π i)
hbot✝ : f ≠ ⊥
h : ∀ b < f, b = ⊥
i : ι
hbot : f i ≠ ⊥
j : ι
hj : j ≠ i
this :
  (∀ (i : ι), Function.update ⊥ j (f j) i ≤ f i) →
    ∀ (x : ι), Function.update ⊥ j (f j) x < f x → ∀ (i : ι), Function.update ⊥ j (f j) i = ⊥
⊢ f j = ⊥

Tactic:
simpa using this (fun k => by by_cases h : k = j; { subst h; simp }; simp [h]) i
  (by rwa [Function.update_of_ne (Ne.symm hj), bot_apply, bot_lt_iff_ne_bot]) j

Result:
no goals

Proof state:
ι : Type u_4
π : ι → Type u
f : (i : ι) → π i
inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (π i)
inst✝ : (i : ι) → OrderBot (π i)
g : (i : ι) → π i
hgf✝ : g < f
j : ι
hgf : g ≤ f
hbot : ∀ (j_1 : ι), j_1 ≠ j → f j_1 = ⊥
hfi : f j ≠ ⊥
hlt : ∀ b < f j, b = ⊥
hgfk : g j < f j
⊢ g j = ⊥

Tactic:
refine hlt _ hgfk

Result:
no goals

Proof state:
ι : Type u_4
π : ι → Type u
f : (i : ι) → π i
inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (π i)
inst✝ : (i : ι) → OrderBot (π i)
hbot✝ : f ≠ ⊥
h : ∀ b < f, b = ⊥
i : ι
hbot : f i ≠ ⊥
b : π i
hb : b < f i
this :
  (∀ (i_1 : ι), Function.update ⊥ i b i_1 ≤ f i_1) →
    ∀ (x : ι), Function.update ⊥ i b x < f x → ∀ (i_1 : ι), Function.update ⊥ i b i_1 = ⊥
j : ι
⊢ Function.update ⊥ i b j ≤ f j

Tactic:
by_cases h : j = i

Result:
case pos
ι : Type u_4
π : ι → Type u
f : (i : ι) → π i
inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (π i)
inst✝ : (i : ι) → OrderBot (π i)
hbot✝ : f ≠ ⊥
h✝ : ∀ b < f, b = ⊥
i : ι
hbot : f i ≠ ⊥
b : π i
hb : b < f i
this :
  (∀ (i_1 : ι), Function.update ⊥ i b i_1 ≤ f i_1) →
    ∀ (x : ι), Function.update ⊥ i b x < f x → ∀ (i_1 : ι), Function.update ⊥ i b i_1 = ⊥
j : ι
h : j = i
⊢ Function.update ⊥ i b j ≤ f j

case neg
ι : Type u_4
π : ι → Type u
f : (i : ι) → π i
inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (π i)
inst✝ : (i : ι) → OrderBot (π i)
hbot✝ : f ≠ ⊥
h✝ : ∀ b < f, b = ⊥
i : ι
hbot : f i ≠ ⊥
b : π i
hb : b < f i
this :
  (∀ (i_1 : ι), Function.update ⊥ i b i_1 ≤ f i_1) →
    ∀ (x : ι), Function.update ⊥ i b x < f x → ∀ (i_1 : ι), Function.update ⊥ i b i_1 = ⊥
j : ι
h : ¬j = i
⊢ Function.update ⊥ i b j ≤ f j

Proof state:
ι : Type u_4
π : ι → Type u
f : (i : ι) → π i
inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (π i)
inst✝ : (i : ι) → OrderBot (π i)
hbot✝ : f ≠ ⊥
h : ∀ b < f, b = ⊥
i : ι
hbot : f i ≠ ⊥
b : π i
hb : b < f i
this :
  (∀ (i_1 : ι), Function.update ⊥ i b i_1 ≤ f i_1) →
    ∀ (x : ι), Function.update ⊥ i b x < f x → ∀ (i_1 : ι), Function.update ⊥ i b i_1 = ⊥
⊢ Function.update ⊥ i b i < f i

Tactic:
simpa using hb

Result:
no goals

Proof state:
ι : Type u_4
π : ι → Type u
f : (i : ι) → π i
inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (π i)
inst✝ : (i : ι) → OrderBot (π i)
i : ι
hbot : ∀ (j : ι), j ≠ i → f j = ⊥
hfi : f i ≠ ⊥
hlt : ∀ b < f i, b = ⊥
g : (i : ι) → π i
hgf✝ : g < f
j : ι
hgf : g ≤ f
hgfk : g i < f i
hij : j = i
⊢ g j = ⊥

Tactic:
subst hij

Result:
ι : Type u_4
π : ι → Type u
f : (i : ι) → π i
inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (π i)
inst✝ : (i : ι) → OrderBot (π i)
g : (i : ι) → π i
hgf✝ : g < f
j : ι
hgf : g ≤ f
hbot : ∀ (j_1 : ι), j_1 ≠ j → f j_1 = ⊥
hfi : f j ≠ ⊥
hlt : ∀ b < f j, b = ⊥
hgfk : g j < f j
⊢ g j = ⊥

Proof state:
case neg
ι : Type u_4
π : ι → Type u
f : (i : ι) → π i
inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (π i)
inst✝ : (i : ι) → OrderBot (π i)
hbot✝ : f ≠ ⊥
h✝ : ∀ b < f, b = ⊥
i : ι
hbot : f i ≠ ⊥
j : ι
hj : j ≠ i
this :
  (∀ (i : ι), Function.update ⊥ j (f j) i ≤ f i) →
    ∀ (x : ι), Function.update ⊥ j (f j) x < f x → ∀ (i : ι), Function.update ⊥ j (f j) i = ⊥
k : ι
h : ¬k = j
⊢ Function.update ⊥ j (f j) k ≤ f k

Tactic:
simp [h]

Result:
no goals

Proof state:
ι : Type u_4
π : ι → Type u
f : (i : ι) → π i
inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (π i)
inst✝ : (i : ι) → OrderBot (π i)
hbot : f ≠ ⊥
h : ∀ b < f, b = ⊥
⊢ ∃ i, f i ≠ ⊥

Tactic:
rw [ne_eq, Pi.eq_bot_iff, not_forall] at hbot

Result:
ι : Type u_4
π : ι → Type u
f : (i : ι) → π i
inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (π i)
inst✝ : (i : ι) → OrderBot (π i)
hbot : ∃ x, ¬f x = ⊥
h : ∀ b < f, b = ⊥
⊢ ∃ i, f i ≠ ⊥

Proof state:
case d
ι : Type u_4
π : ι → Type u
f : (i : ι) → π i
inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (π i)
inst✝ : (i : ι) → OrderBot (π i)
hbot✝ : f ≠ ⊥
h : ∀ b < f, b = ⊥
i : ι
hbot : f i ≠ ⊥
⊢ ∀ (j : ι), j ≠ i → f j = ⊥

Tactic:
case d =>
  intro j hj
  have := h (Function.update ⊥ j (f j))
  simp only [lt_def, le_def, Pi.eq_bot_iff, and_imp, forall_exists_index] at this
  simpa using this (fun k => by by_cases h : k = j; { subst h; simp }; simp [h]) i
    (by rwa [Function.update_of_ne (Ne.symm hj), bot_apply, bot_lt_iff_ne_bot]) j

Result:
no goals

Proof state:
ι : Type u_4
π : ι → Type u
f : (i : ι) → π i
inst✝¹ : (i : ι) → PartialOrder (π i)
inst✝ : (i : ι) → OrderBot (π i)
hbot : ∃ x, ¬f x = ⊥
h : ∀ b < f, b = ⊥
⊢ ∃ i, f i ≠ ⊥

Tactic:
exact hbot

Result:
no goals