-- Mathlib/NumberTheory/MulChar/Lemmas.lean
/-- There is a character of order `n` on `F` if `#F ≡ 1 mod n` and the target contains
a primitive `n`th root of unity. -/
lemma exists_mulChar_orderOf {n : ℕ} (h : n ∣ Fintype.card F - 1) {ζ : R}
    (hζ : IsPrimitiveRoot ζ n) :
    ∃ χ : MulChar F R, orderOf χ = n

Proof state:
case h.refine_1.a.a
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
h : n ∣ Fintype.card F - 1
ζ : R
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
hn₀ : 0 < n
e : MulChar F R ≃* ↥(rootsOfUnity (Fintype.card Fˣ) R) := equiv_rootsOfUnity F R
ζ' : Rˣ := ⋯.unit
h' : ζ' ^ Fintype.card Fˣ = 1
⊢ ↑ζ' ^ n = 1

Tactic:
exact hζ.pow_eq_one

Result:
no goals

Proof state:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
h : n ∣ Fintype.card F - 1
ζ : R
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
⊢ ∃ χ, orderOf χ = n

Tactic:
have hn₀ : 0 < n := by
  refine Nat.pos_of_ne_zero fun hn ↦ ?_
  simp only [hn, zero_dvd_iff, Nat.sub_eq_zero_iff_le] at h
  exact (Fintype.one_lt_card.trans_le h).false

Result:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
h : n ∣ Fintype.card F - 1
ζ : R
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
hn₀ : 0 < n
⊢ ∃ χ, orderOf χ = n

Proof state:
case h.refine_2
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
h✝ : n ∣ Fintype.card F - 1
ζ : R
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
hn₀ : 0 < n
e : MulChar F R ≃* ↥(rootsOfUnity (Fintype.card Fˣ) R) := equiv_rootsOfUnity F R
ζ' : Rˣ := ⋯.unit
h' : ζ' ^ Fintype.card Fˣ = 1
m : ℕ
hm : m < n
hm₀ : 0 < m
h : ↑↑(⟨ζ', ⋯⟩ ^ m) = ↑↑1
⊢ False

Tactic:
push_cast at h

Result:
case h.refine_2
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
h✝ : n ∣ Fintype.card F - 1
ζ : R
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
hn₀ : 0 < n
e : MulChar F R ≃* ↥(rootsOfUnity (Fintype.card Fˣ) R) := equiv_rootsOfUnity F R
ζ' : Rˣ := ⋯.unit
h' : ζ' ^ Fintype.card Fˣ = 1
m : ℕ
hm : m < n
hm₀ : 0 < m
h : ↑ζ' ^ m = 1
⊢ False

Proof state:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
h : n ∣ Fintype.card F - 1
ζ : R
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
hn : n = 0
⊢ False

Tactic:
simp only [hn, zero_dvd_iff, Nat.sub_eq_zero_iff_le] at h

Result:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
ζ : R
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
hn : n = 0
h : Fintype.card F ≤ 1
⊢ False

Proof state:
case h.refine_2
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
h✝ : n ∣ Fintype.card F - 1
ζ : R
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
hn₀ : 0 < n
e : MulChar F R ≃* ↥(rootsOfUnity (Fintype.card Fˣ) R) := equiv_rootsOfUnity F R
ζ' : Rˣ := ⋯.unit
h' : ζ' ^ Fintype.card Fˣ = 1
m : ℕ
hm : m < n
hm₀ : 0 < m
h : ⟨ζ', ⋯⟩ ^ m = 1
⊢ False

Tactic:
rw [Subtype.ext_iff, Units.ext_iff] at h

Result:
case h.refine_2
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
h✝ : n ∣ Fintype.card F - 1
ζ : R
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
hn₀ : 0 < n
e : MulChar F R ≃* ↥(rootsOfUnity (Fintype.card Fˣ) R) := equiv_rootsOfUnity F R
ζ' : Rˣ := ⋯.unit
h' : ζ' ^ Fintype.card Fˣ = 1
m : ℕ
hm : m < n
hm₀ : 0 < m
h : ↑↑(⟨ζ', ⋯⟩ ^ m) = ↑↑1
⊢ False

Proof state:
case h
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
h : n ∣ Fintype.card F - 1
ζ : R
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
hn₀ : 0 < n
e : MulChar F R ≃* ↥(rootsOfUnity (Fintype.card Fˣ) R) := equiv_rootsOfUnity F R
ζ' : Rˣ := ⋯.unit
h' : ζ' ^ Fintype.card Fˣ = 1
⊢ orderOf (e.symm ⟨ζ', ⋯⟩) = n

Tactic:
rw [e.symm.orderOf_eq, orderOf_eq_iff hn₀]

Result:
case h
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
h : n ∣ Fintype.card F - 1
ζ : R
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
hn₀ : 0 < n
e : MulChar F R ≃* ↥(rootsOfUnity (Fintype.card Fˣ) R) := equiv_rootsOfUnity F R
ζ' : Rˣ := ⋯.unit
h' : ζ' ^ Fintype.card Fˣ = 1
⊢ ⟨ζ', ⋯⟩ ^ n = 1 ∧ ∀ m < n, 0 < m → ⟨ζ', ⋯⟩ ^ m ≠ 1

Proof state:
case h
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
h : n ∣ Fintype.card F - 1
ζ : R
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
hn₀ : 0 < n
e : MulChar F R ≃* ↥(rootsOfUnity (Fintype.card Fˣ) R) := equiv_rootsOfUnity F R
ζ' : Rˣ := ⋯.unit
h' : ζ' ^ Fintype.card Fˣ = 1
⊢ ⟨ζ', ⋯⟩ ^ n = 1 ∧ ∀ m < n, 0 < m → ⟨ζ', ⋯⟩ ^ m ≠ 1

Tactic:
refine ⟨?_, fun m hm hm₀ h ↦ ?_⟩

Result:
case h.refine_1
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
h : n ∣ Fintype.card F - 1
ζ : R
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
hn₀ : 0 < n
e : MulChar F R ≃* ↥(rootsOfUnity (Fintype.card Fˣ) R) := equiv_rootsOfUnity F R
ζ' : Rˣ := ⋯.unit
h' : ζ' ^ Fintype.card Fˣ = 1
⊢ ⟨ζ', ⋯⟩ ^ n = 1

case h.refine_2
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
h✝ : n ∣ Fintype.card F - 1
ζ : R
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
hn₀ : 0 < n
e : MulChar F R ≃* ↥(rootsOfUnity (Fintype.card Fˣ) R) := equiv_rootsOfUnity F R
ζ' : Rˣ := ⋯.unit
h' : ζ' ^ Fintype.card Fˣ = 1
m : ℕ
hm : m < n
hm₀ : 0 < m
h : ⟨ζ', ⋯⟩ ^ m = 1
⊢ False

Proof state:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
ζ : R
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
hn : n = 0
h : Fintype.card F ≤ 1
⊢ False

Tactic:
exact (Fintype.one_lt_card.trans_le h).false

Result:
no goals

Proof state:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
h : n ∣ Fintype.card F - 1
ζ : R
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
⊢ 0 < n

Tactic:
refine Nat.pos_of_ne_zero fun hn ↦ ?_

Result:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
h : n ∣ Fintype.card F - 1
ζ : R
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
hn : n = 0
⊢ False

Proof state:
case h.refine_1
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
h : n ∣ Fintype.card F - 1
ζ : R
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
hn₀ : 0 < n
e : MulChar F R ≃* ↥(rootsOfUnity (Fintype.card Fˣ) R) := equiv_rootsOfUnity F R
ζ' : Rˣ := ⋯.unit
h' : ζ' ^ Fintype.card Fˣ = 1
⊢ ⟨ζ', ⋯⟩ ^ n = 1

Tactic:
ext

Result:
case h.refine_1.a.a
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
h : n ∣ Fintype.card F - 1
ζ : R
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
hn₀ : 0 < n
e : MulChar F R ≃* ↥(rootsOfUnity (Fintype.card Fˣ) R) := equiv_rootsOfUnity F R
ζ' : Rˣ := ⋯.unit
h' : ζ' ^ Fintype.card Fˣ = 1
⊢ ↑↑(⟨ζ', ⋯⟩ ^ n) = ↑↑1

Proof state:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
h : n ∣ Fintype.card F - 1
ζ : R
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
hn₀ : 0 < n
⊢ ∃ χ, orderOf χ = n

Tactic:
let e := MulChar.equiv_rootsOfUnity F R

Result:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
h : n ∣ Fintype.card F - 1
ζ : R
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
hn₀ : 0 < n
e : MulChar F R ≃* ↥(rootsOfUnity (Fintype.card Fˣ) R) := equiv_rootsOfUnity F R
⊢ ∃ χ, orderOf χ = n

Proof state:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
h : n ∣ Fintype.card F - 1
ζ : R
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
hn₀ : 0 < n
e : MulChar F R ≃* ↥(rootsOfUnity (Fintype.card Fˣ) R) := equiv_rootsOfUnity F R
ζ' : Rˣ := ⋯.unit
⊢ ∃ χ, orderOf χ = n

Tactic:
have h' : ζ' ^ (Fintype.card Fˣ : ℕ) = 1 :=
  Units.ext_iff.mpr <| (hζ.pow_eq_one_iff_dvd _).mpr <| Fintype.card_units (α := F) ▸ h

Result:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Fintype F
R : Type u_2
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
h : n ∣ Fintype.card F - 1
ζ : R
hζ : IsPrimitiveRoot ζ n
hn₀ : 0 < n
e : MulChar F R ≃* ↥(rootsOfUnity (Fintype.card Fˣ) R) := equiv_rootsOfUnity F R
ζ' : Rˣ := ⋯.unit
h' : ζ' ^ Fintype.card Fˣ = 1
⊢ ∃ χ, orderOf χ = n