-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
theorem spanSingleton_mul_le_iff {x : P} {I J : FractionalIdeal S P} :
    spanSingleton _ x * I ≤ J ↔ ∀ z ∈ I, x * z ∈ J

Proof state:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝² : CommRing P
inst✝¹ : Algebra R P
inst✝ : IsLocalization S P
x : P
I J : FractionalIdeal S P
⊢ (∀ (i : P), (∃ z, z • x = i) → ∀ j ∈ I, i * j ∈ J) ↔ ∀ z ∈ I, x * z ∈ J

Tactic:
constructor

Result:
case mp
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝² : CommRing P
inst✝¹ : Algebra R P
inst✝ : IsLocalization S P
x : P
I J : FractionalIdeal S P
⊢ (∀ (i : P), (∃ z, z • x = i) → ∀ j ∈ I, i * j ∈ J) → ∀ z ∈ I, x * z ∈ J

case mpr
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝² : CommRing P
inst✝¹ : Algebra R P
inst✝ : IsLocalization S P
x : P
I J : FractionalIdeal S P
⊢ (∀ z ∈ I, x * z ∈ J) → ∀ (i : P), (∃ z, z • x = i) → ∀ j ∈ I, i * j ∈ J

Proof state:
case mpr.intro
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝² : CommRing P
inst✝¹ : Algebra R P
inst✝ : IsLocalization S P
x : P
I J : FractionalIdeal S P
h : ∀ z ∈ I, x * z ∈ J
z : R
zI : P
hzI : zI ∈ I
⊢ z • x * zI ∈ J

Tactic:
rw [Algebra.smul_mul_assoc]

Result:
case mpr.intro
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝² : CommRing P
inst✝¹ : Algebra R P
inst✝ : IsLocalization S P
x : P
I J : FractionalIdeal S P
h : ∀ z ∈ I, x * z ∈ J
z : R
zI : P
hzI : zI ∈ I
⊢ z • (x * zI) ∈ J

Proof state:
case mpr
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝² : CommRing P
inst✝¹ : Algebra R P
inst✝ : IsLocalization S P
x : P
I J : FractionalIdeal S P
⊢ (∀ z ∈ I, x * z ∈ J) → ∀ (i : P), (∃ z, z • x = i) → ∀ j ∈ I, i * j ∈ J

Tactic:
rintro h _ ⟨z, rfl⟩ zI hzI

Result:
case mpr.intro
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝² : CommRing P
inst✝¹ : Algebra R P
inst✝ : IsLocalization S P
x : P
I J : FractionalIdeal S P
h : ∀ z ∈ I, x * z ∈ J
z : R
zI : P
hzI : zI ∈ I
⊢ z • x * zI ∈ J

Proof state:
case mp
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝² : CommRing P
inst✝¹ : Algebra R P
inst✝ : IsLocalization S P
x : P
I J : FractionalIdeal S P
⊢ (∀ (i : P), (∃ z, z • x = i) → ∀ j ∈ I, i * j ∈ J) → ∀ z ∈ I, x * z ∈ J

Tactic:
intro h zI hzI

Result:
case mp
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝² : CommRing P
inst✝¹ : Algebra R P
inst✝ : IsLocalization S P
x : P
I J : FractionalIdeal S P
h : ∀ (i : P), (∃ z, z • x = i) → ∀ j ∈ I, i * j ∈ J
zI : P
hzI : zI ∈ I
⊢ x * zI ∈ J

Proof state:
case mp
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝² : CommRing P
inst✝¹ : Algebra R P
inst✝ : IsLocalization S P
x : P
I J : FractionalIdeal S P
h : ∀ (i : P), (∃ z, z • x = i) → ∀ j ∈ I, i * j ∈ J
zI : P
hzI : zI ∈ I
⊢ x * zI ∈ J

Tactic:
exact h x ⟨1, one_smul _ _⟩ zI hzI

Result:
no goals

Proof state:
case mpr.intro
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝² : CommRing P
inst✝¹ : Algebra R P
inst✝ : IsLocalization S P
x : P
I J : FractionalIdeal S P
h : ∀ z ∈ I, x * z ∈ J
z : R
zI : P
hzI : zI ∈ I
⊢ z • (x * zI) ∈ J

Tactic:
exact Submodule.smul_mem J.1 _ (h zI hzI)

Result:
no goals

Proof state:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝² : CommRing P
inst✝¹ : Algebra R P
inst✝ : IsLocalization S P
x : P
I J : FractionalIdeal S P
⊢ spanSingleton S x * I ≤ J ↔ ∀ z ∈ I, x * z ∈ J

Tactic:
simp only [mul_le, mem_singleton_mul, mem_spanSingleton]

Result:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝² : CommRing P
inst✝¹ : Algebra R P
inst✝ : IsLocalization S P
x : P
I J : FractionalIdeal S P
⊢ (∀ (i : P), (∃ z, z • x = i) → ∀ j ∈ I, i * j ∈ J) ↔ ∀ z ∈ I, x * z ∈ J