-- Mathlib/Analysis/Calculus/SmoothSeries.lean
theorem iteratedFDeriv_tsum (hf : ∀ i, ContDiff 𝕜 N (f i))
    (hv : ∀ k : ℕ, (k : ℕ∞) ≤ N → Summable (v k))
    (h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), (k : ℕ∞) ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i) {k : ℕ}
    (hk : (k : ℕ∞) ≤ N) :
    (iteratedFDeriv 𝕜 k fun y => ∑' n, f n y) = fun x => ∑' n, iteratedFDeriv 𝕜 k (f n) x

Proof state:
case succ
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
v : ℕ → α → ℝ
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 (↑N) (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
k : ℕ
IH : ↑k ≤ N → (iteratedFDeriv 𝕜 k fun y => ∑' (n : α), f n y) = fun x => ∑' (n : α), iteratedFDeriv 𝕜 k (f n) x
hk : ↑(k + 1) ≤ N
⊢ (iteratedFDeriv 𝕜 (k + 1) fun y => ∑' (n : α), f n y) = fun x => ∑' (n : α), iteratedFDeriv 𝕜 (k + 1) (f n) x

Tactic:
have h'k : (k : ℕ∞) < N := lt_of_lt_of_le (WithTop.coe_lt_coe.2 (Nat.lt_succ_self _)) hk

Result:
case succ
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
v : ℕ → α → ℝ
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 (↑N) (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
k : ℕ
IH : ↑k ≤ N → (iteratedFDeriv 𝕜 k fun y => ∑' (n : α), f n y) = fun x => ∑' (n : α), iteratedFDeriv 𝕜 k (f n) x
hk : ↑(k + 1) ≤ N
h'k : ↑k < N
⊢ (iteratedFDeriv 𝕜 (k + 1) fun y => ∑' (n : α), f n y) = fun x => ∑' (n : α), iteratedFDeriv 𝕜 (k + 1) (f n) x

Proof state:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
v : ℕ → α → ℝ
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 (↑N) (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
k : ℕ
IH : ↑k ≤ N → (iteratedFDeriv 𝕜 k fun y => ∑' (n : α), f n y) = fun x => ∑' (n : α), iteratedFDeriv 𝕜 k (f n) x
hk : ↑(k + 1) ≤ N
h'k : ↑k < N
A : Summable fun n => iteratedFDeriv 𝕜 k (f n) 0
⊢ ∀ (n : α) (x : E), ‖fderiv 𝕜 (fun x => iteratedFDeriv 𝕜 k (f n) x) x‖ ≤ v (k + 1) n

Tactic:
intro n x

Result:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
v : ℕ → α → ℝ
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 (↑N) (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
k : ℕ
IH : ↑k ≤ N → (iteratedFDeriv 𝕜 k fun y => ∑' (n : α), f n y) = fun x => ∑' (n : α), iteratedFDeriv 𝕜 k (f n) x
hk : ↑(k + 1) ≤ N
h'k : ↑k < N
A : Summable fun n => iteratedFDeriv 𝕜 k (f n) 0
n : α
x : E
⊢ ‖fderiv 𝕜 (fun x => iteratedFDeriv 𝕜 k (f n) x) x‖ ≤ v (k + 1) n

Proof state:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
v : ℕ → α → ℝ
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 (↑N) (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ) (i : α) (x : E), ↑k ≤ N → ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
k : ℕ
IH : ↑k ≤ N → (iteratedFDeriv 𝕜 k fun y => ∑' (n : α), f n y) = fun x => ∑' (n : α), iteratedFDeriv 𝕜 k (f n) x
hk : ↑(k + 1) ≤ N
h'k : ↑k < N
A : Summable fun n => iteratedFDeriv 𝕜 k (f n) 0
n : α
x : E
⊢ ‖fderiv 𝕜 (fun x => iteratedFDeriv 𝕜 k (f n) x) x‖ ≤ v (k + 1) n

Tactic:
simpa only [iteratedFDeriv_succ_eq_comp_left, LinearIsometryEquiv.norm_map, comp_apply]
  using h'f k.succ n x hk

Result:
no goals