-- Mathlib/Data/Matroid/Circuit.lean
/-- A cocircuit and a circuit cannot meet in exactly one element. -/
lemma IsCircuit.inter_isCocircuit_ne_singleton (hC : M.IsCircuit C) (hK : M.IsCocircuit K) :
    C ∩ K ≠ {e}

Proof state:
α : Type u_1
M : Matroid α
C : Set α
e : α
K : Set α
hC : M.IsCircuit C
he : C ∩ K = {e}
heC : e ∈ C
hK : ¬M.Spanning (M.E \ K) ∧ ∀ ⦃t : Set α⦄, t ⊂ K → M.Spanning (M.E \ t)
hKe : M.Spanning (M.E \ (K \ {e}))
⊢ M.closure (M.E \ K ∪ {e}) ⊆ M.closure (M.E \ K)

Tactic:
refine (M.closure_subset_closure (subset_union_left (t := C))).trans ?_

Result:
α : Type u_1
M : Matroid α
C : Set α
e : α
K : Set α
hC : M.IsCircuit C
he : C ∩ K = {e}
heC : e ∈ C
hK : ¬M.Spanning (M.E \ K) ∧ ∀ ⦃t : Set α⦄, t ⊂ K → M.Spanning (M.E \ t)
hKe : M.Spanning (M.E \ (K \ {e}))
⊢ M.closure (M.E \ K ∪ {e} ∪ C) ⊆ M.closure (M.E \ K)

Proof state:
α : Type u_1
M : Matroid α
C : Set α
e : α
K : Set α
hC : M.IsCircuit C
he : C ∩ K = {e}
heC : e ∈ C
hK : ¬M.Spanning (M.E \ K) ∧ ∀ ⦃t : Set α⦄, t ⊂ K → M.Spanning (M.E \ t)
hKe : M.Spanning (M.E \ (K \ {e}))
⊢ C ∩ K ⊆ M.E

Tactic:
exact inter_subset_left.trans hC.subset_ground

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_1
M : Matroid α
C : Set α
e : α
K : Set α
hC : M.IsCircuit C
he : C ∩ K = {e}
heC : e ∈ C
hK : ¬M.Spanning (M.E \ K) ∧ ∀ ⦃t : Set α⦄, t ⊂ K → M.Spanning (M.E \ t)
hKe : M.Spanning (M.E \ (K \ {e}))
⊢ C \ {e} ⊆ M.E \ K

Tactic:
rw [← he, diff_self_inter]

Result:
α : Type u_1
M : Matroid α
C : Set α
e : α
K : Set α
hC : M.IsCircuit C
he : C ∩ K = {e}
heC : e ∈ C
hK : ¬M.Spanning (M.E \ K) ∧ ∀ ⦃t : Set α⦄, t ⊂ K → M.Spanning (M.E \ t)
hKe : M.Spanning (M.E \ (K \ {e}))
⊢ C \ K ⊆ M.E \ K

Proof state:
α : Type u_1
M : Matroid α
C : Set α
e : α
K : Set α
hC : M.IsCircuit C
he : C ∩ K = {e}
heC : e ∈ C
hK : ¬M.Spanning (M.E \ K) ∧ ∀ ⦃t : Set α⦄, t ⊂ K → M.Spanning (M.E \ t)
hKe : M.Spanning (M.E \ (K \ {e}))
⊢ M.E ⊆ M.closure (M.E \ K)

Tactic:
nth_rw 1 [← hKe.closure_eq, diff_diff_eq_sdiff_union]

Result:
α : Type u_1
M : Matroid α
C : Set α
e : α
K : Set α
hC : M.IsCircuit C
he : C ∩ K = {e}
heC : e ∈ C
hK : ¬M.Spanning (M.E \ K) ∧ ∀ ⦃t : Set α⦄, t ⊂ K → M.Spanning (M.E \ t)
hKe : M.Spanning (M.E \ (K \ {e}))
⊢ M.closure (M.E \ K ∪ {e}) ⊆ M.closure (M.E \ K)

α : Type u_1
M : Matroid α
C : Set α
e : α
K : Set α
hC : M.IsCircuit C
he : C ∩ K = {e}
heC : e ∈ C
hK : ¬M.Spanning (M.E \ K) ∧ ∀ ⦃t : Set α⦄, t ⊂ K → M.Spanning (M.E \ t)
hKe : M.Spanning (M.E \ (K \ {e}))
⊢ {e} ⊆ M.E

Proof state:
α : Type u_1
M : Matroid α
C : Set α
e : α
K : Set α
hC : M.IsCircuit C
hK : M.IsCocircuit K
⊢ C ∩ K ≠ {e}

Tactic:
intro he

Result:
α : Type u_1
M : Matroid α
C : Set α
e : α
K : Set α
hC : M.IsCircuit C
hK : M.IsCocircuit K
he : C ∩ K = {e}
⊢ False

Proof state:
α : Type u_1
M : Matroid α
C : Set α
e : α
K : Set α
hC : M.IsCircuit C
he : C ∩ K = {e}
heC : e ∈ C
hK : ¬M.Spanning (M.E \ K) ∧ ∀ ⦃t : Set α⦄, t ⊂ K → M.Spanning (M.E \ t)
hKe : M.Spanning (M.E \ (K \ {e}))
⊢ M.Spanning (M.E \ K)

Tactic:
rw [spanning_iff_ground_subset_closure]

Result:
α : Type u_1
M : Matroid α
C : Set α
e : α
K : Set α
hC : M.IsCircuit C
he : C ∩ K = {e}
heC : e ∈ C
hK : ¬M.Spanning (M.E \ K) ∧ ∀ ⦃t : Set α⦄, t ⊂ K → M.Spanning (M.E \ t)
hKe : M.Spanning (M.E \ (K \ {e}))
⊢ M.E ⊆ M.closure (M.E \ K)

Proof state:
α : Type u_1
M : Matroid α
C : Set α
e : α
K : Set α
hC : M.IsCircuit C
hK : M.IsCocircuit K
he : C ∩ K = {e}
⊢ False

Tactic:
have heC : e ∈ C := (he.symm.subset rfl).1

Result:
α : Type u_1
M : Matroid α
C : Set α
e : α
K : Set α
hC : M.IsCircuit C
hK : M.IsCocircuit K
he : C ∩ K = {e}
heC : e ∈ C
⊢ False

Proof state:
α : Type u_1
M : Matroid α
C : Set α
e : α
K : Set α
hC : M.IsCircuit C
he : C ∩ K = {e}
heC : e ∈ C
hK : ¬M.Spanning (M.E \ K) ∧ ∀ ⦃t : Set α⦄, t ⊂ K → M.Spanning (M.E \ t)
hKe : M.Spanning (M.E \ (K \ {e}))
⊢ {e} ⊆ M.E

Tactic:
rw [← he]

Result:
α : Type u_1
M : Matroid α
C : Set α
e : α
K : Set α
hC : M.IsCircuit C
he : C ∩ K = {e}
heC : e ∈ C
hK : ¬M.Spanning (M.E \ K) ∧ ∀ ⦃t : Set α⦄, t ⊂ K → M.Spanning (M.E \ t)
hKe : M.Spanning (M.E \ (K \ {e}))
⊢ C ∩ K ⊆ M.E

Proof state:
α : Type u_1
M : Matroid α
C : Set α
e : α
K : Set α
hC : M.IsCircuit C
he : C ∩ K = {e}
heC : e ∈ C
hK : ¬M.Spanning (M.E \ K) ∧ ∀ ⦃t : Set α⦄, t ⊂ K → M.Spanning (M.E \ t)
⊢ False

Tactic:
have' hKe := hK.2 (t := K \ {e}) (diff_singleton_sSubset.2 (he.symm.subset rfl).2)

Result:
α : Type u_1
M : Matroid α
C : Set α
e : α
K : Set α
hC : M.IsCircuit C
he : C ∩ K = {e}
heC : e ∈ C
hK : ¬M.Spanning (M.E \ K) ∧ ∀ ⦃t : Set α⦄, t ⊂ K → M.Spanning (M.E \ t)
hKe : M.Spanning (M.E \ (K \ {e}))
⊢ False

Proof state:
α : Type u_1
M : Matroid α
C : Set α
e : α
K : Set α
hC : M.IsCircuit C
he : C ∩ K = {e}
heC : e ∈ C
hK : ¬M.Spanning (M.E \ K) ∧ ∀ ⦃t : Set α⦄, t ⊂ K → M.Spanning (M.E \ t)
hKe : M.Spanning (M.E \ (K \ {e}))
⊢ M.closure (M.E \ K ∪ {e} ∪ C) ⊆ M.closure (M.E \ K)

Tactic:
rw [union_assoc, singleton_union, insert_eq_of_mem heC, ← closure_union_congr_right
  (hC.closure_diff_singleton_eq e), union_eq_self_of_subset_right]

Result:
α : Type u_1
M : Matroid α
C : Set α
e : α
K : Set α
hC : M.IsCircuit C
he : C ∩ K = {e}
heC : e ∈ C
hK : ¬M.Spanning (M.E \ K) ∧ ∀ ⦃t : Set α⦄, t ⊂ K → M.Spanning (M.E \ t)
hKe : M.Spanning (M.E \ (K \ {e}))
⊢ C \ {e} ⊆ M.E \ K

Proof state:
α : Type u_1
M : Matroid α
C : Set α
e : α
K : Set α
hC : M.IsCircuit C
hK : M.IsCocircuit K
he : C ∩ K = {e}
heC : e ∈ C
⊢ False

Tactic:
simp_rw [isCocircuit_iff_minimal_compl_nonspanning, minimal_iff_forall_ssubset, not_not] at hK

Result:
α : Type u_1
M : Matroid α
C : Set α
e : α
K : Set α
hC : M.IsCircuit C
he : C ∩ K = {e}
heC : e ∈ C
hK : ¬M.Spanning (M.E \ K) ∧ ∀ ⦃t : Set α⦄, t ⊂ K → M.Spanning (M.E \ t)
⊢ False

Proof state:
α : Type u_1
M : Matroid α
C : Set α
e : α
K : Set α
hC : M.IsCircuit C
he : C ∩ K = {e}
heC : e ∈ C
hK : ¬M.Spanning (M.E \ K) ∧ ∀ ⦃t : Set α⦄, t ⊂ K → M.Spanning (M.E \ t)
hKe : M.Spanning (M.E \ (K \ {e}))
⊢ C \ K ⊆ M.E \ K

Tactic:
exact diff_subset_diff_left hC.subset_ground

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_1
M : Matroid α
C : Set α
e : α
K : Set α
hC : M.IsCircuit C
he : C ∩ K = {e}
heC : e ∈ C
hK : ¬M.Spanning (M.E \ K) ∧ ∀ ⦃t : Set α⦄, t ⊂ K → M.Spanning (M.E \ t)
hKe : M.Spanning (M.E \ (K \ {e}))
⊢ False

Tactic:
apply hK.1

Result:
α : Type u_1
M : Matroid α
C : Set α
e : α
K : Set α
hC : M.IsCircuit C
he : C ∩ K = {e}
heC : e ∈ C
hK : ¬M.Spanning (M.E \ K) ∧ ∀ ⦃t : Set α⦄, t ⊂ K → M.Spanning (M.E \ t)
hKe : M.Spanning (M.E \ (K \ {e}))
⊢ M.Spanning (M.E \ K)