-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/SpecificFunctions.lean
theorem hasMFDerivAt_fst (x : M × M') :
    HasMFDerivAt (I.prod I') I Prod.fst x
      (ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace I x.1) (TangentSpace I' x.2))

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
x : M × M'
this :
  ∀ᶠ (y : E × E') in 𝓝[range ↑(I.prod I')] ↑(extChartAt (I.prod I') x) x,
    (↑(extChartAt I x.1) ∘ Prod.fst ∘ ↑(extChartAt (I.prod I') x).symm) y = y.1
⊢ (↑(extChartAt I x.1) ∘ Prod.fst ∘ ↑(extChartAt (I.prod I') x).symm) (↑(extChartAt (I.prod I') x) x) =
    (↑(extChartAt (I.prod I') x) x).1

Tactic:
exact (extChartAt I x.1).right_inv <| (extChartAt I x.1).map_source (mem_extChartAt_source _)

Result:
no goals

Proof state:
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
x : M × M'
y : E × E'
hy : y ∈ (extChartAt (I.prod I') x).target
⊢ (↑(extChartAt I x.1) ∘ Prod.fst ∘ ↑(extChartAt (I.prod I') x).symm) y = y.1

Tactic:
rw [extChartAt_prod] at hy

Result:
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
x : M × M'
y : E × E'
hy : y ∈ ((extChartAt I x.1).prod (extChartAt I' x.2)).target
⊢ (↑(extChartAt I x.1) ∘ Prod.fst ∘ ↑(extChartAt (I.prod I') x).symm) y = y.1

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
x : M × M'
⊢ ∀ᶠ (y : E × E') in 𝓝[range ↑(I.prod I')] ↑(extChartAt (I.prod I') x) x,
    (↑(extChartAt I x.1) ∘ Prod.fst ∘ ↑(extChartAt (I.prod I') x).symm) y = y.1

Tactic:
filter_upwards [extChartAt_target_mem_nhdsWithin x] with y hy

Result:
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
x : M × M'
y : E × E'
hy : y ∈ (extChartAt (I.prod I') x).target
⊢ (↑(extChartAt I x.1) ∘ Prod.fst ∘ ↑(extChartAt (I.prod I') x).symm) y = y.1

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
x : M × M'
⊢ HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt (I.prod I') I x Prod.fst)
    (ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace I x.1) (TangentSpace I' x.2)) (range ↑(I.prod I'))
    (↑(extChartAt (I.prod I') x) x)

Tactic:
have :
  ∀ᶠ y in 𝓝[range (I.prod I')] extChartAt (I.prod I') x x,
    (extChartAt I x.1 ∘ Prod.fst ∘ (extChartAt (I.prod I') x).symm) y = y.1 := by
  
  filter_upwards [extChartAt_target_mem_nhdsWithin x] with y hy
  rw [extChartAt_prod] at hy
  exact (extChartAt I x.1).right_inv hy.1

Result:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
x : M × M'
this :
  ∀ᶠ (y : E × E') in 𝓝[range ↑(I.prod I')] ↑(extChartAt (I.prod I') x) x,
    (↑(extChartAt I x.1) ∘ Prod.fst ∘ ↑(extChartAt (I.prod I') x).symm) y = y.1
⊢ HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt (I.prod I') I x Prod.fst)
    (ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace I x.1) (TangentSpace I' x.2)) (range ↑(I.prod I'))
    (↑(extChartAt (I.prod I') x) x)

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
x : M × M'
this :
  ∀ᶠ (y : E × E') in 𝓝[range ↑(I.prod I')] ↑(extChartAt (I.prod I') x) x,
    (↑(extChartAt I x.1) ∘ Prod.fst ∘ ↑(extChartAt (I.prod I') x).symm) y = y.1
⊢ HasFDerivWithinAt (writtenInExtChartAt (I.prod I') I x Prod.fst)
    (ContinuousLinearMap.fst 𝕜 (TangentSpace I x.1) (TangentSpace I' x.2)) (range ↑(I.prod I'))
    (↑(extChartAt (I.prod I') x) x)

Tactic:
apply HasFDerivWithinAt.congr_of_eventuallyEq hasFDerivWithinAt_fst this

Result:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H' M'
x : M × M'
this :
  ∀ᶠ (y : E × E') in 𝓝[range ↑(I.prod I')] ↑(extChartAt (I.prod I') x) x,
    (↑(extChartAt I x.1) ∘ Prod.fst ∘ ↑(extChartAt (I.prod I') x).symm) y = y.1
⊢ (↑(extChartAt I x.1) ∘ Prod.fst ∘ ↑(extChartAt (I.prod I') x).symm) (↑(extChartAt (I.prod I') x) x) =
    (↑(extChartAt (I.prod I') x) x).1