-- Mathlib/Analysis/Calculus/Deriv/Slope.lean
theorem HasDerivWithinAt.limsup_norm_slope_le (hf : HasDerivWithinAt f f' s x) (hr : ‖f'‖ < r) :
    ∀ᶠ z in 𝓝[s] x, ‖z - x‖⁻¹ * ‖f z - f x‖ < r

Proof state:
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
f' : E
s : Set ℝ
x r : ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hr : ‖f'‖ < r
⊢ ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[s] x, ‖z - x‖⁻¹ * ‖f z - f x‖ < r

Tactic:
have hr₀ : 0 < r := lt_of_le_of_lt (norm_nonneg f') hr

Result:
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
f' : E
s : Set ℝ
x r : ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hr : ‖f'‖ < r
hr₀ : 0 < r
⊢ ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[s] x, ‖z - x‖⁻¹ * ‖f z - f x‖ < r

Proof state:
case h
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
f' : E
s : Set ℝ
x r : ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hr : ‖f'‖ < r
hr₀ : 0 < r
A : ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[s \ {x}] x, ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r
B : ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[{x}] x, ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r
C :
  {x_1 | (fun z => ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r) x_1} ∈ 𝓝[s] x ∧
    {x_1 | (fun z => ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r) x_1} ∈ 𝓝[{x}] x
⊢ ∀ (a : ℝ), ‖(a - x)⁻¹ • (f a - f x)‖ ∈ Iio r → ‖a - x‖⁻¹ * ‖f a - f x‖ < r

Tactic:
simp only [norm_smul, mem_Iio, norm_inv]

Result:
case h
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
f' : E
s : Set ℝ
x r : ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hr : ‖f'‖ < r
hr₀ : 0 < r
A : ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[s \ {x}] x, ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r
B : ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[{x}] x, ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r
C :
  {x_1 | (fun z => ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r) x_1} ∈ 𝓝[s] x ∧
    {x_1 | (fun z => ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r) x_1} ∈ 𝓝[{x}] x
⊢ ∀ (a : ℝ), ‖a - x‖⁻¹ * ‖f a - f x‖ < r → ‖a - x‖⁻¹ * ‖f a - f x‖ < r

Proof state:
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
f' : E
s : Set ℝ
x r : ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hr : ‖f'‖ < r
hr₀ : 0 < r
A : ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[s \ {x}] x, ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r
⊢ x ∈ {x_1 | (fun z => ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r) x_1}

Tactic:
simp [hr₀]

Result:
no goals

Proof state:
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
f' : E
s : Set ℝ
x r : ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hr : ‖f'‖ < r
hr₀ : 0 < r
⊢ ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[s] x, ‖z - x‖⁻¹ * ‖f z - f x‖ < r

Tactic:
have A : ∀ᶠ z in 𝓝[s \ {x}] x, ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r :=
  (hasDerivWithinAt_iff_tendsto_slope.1 hf).norm (IsOpen.mem_nhds isOpen_Iio hr)

Result:
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
f' : E
s : Set ℝ
x r : ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hr : ‖f'‖ < r
hr₀ : 0 < r
A : ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[s \ {x}] x, ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r
⊢ ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[s] x, ‖z - x‖⁻¹ * ‖f z - f x‖ < r

Proof state:
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
f' : E
s : Set ℝ
x r : ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hr : ‖f'‖ < r
hr₀ : 0 < r
A : ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[s \ {x}] x, ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r
⊢ ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[s] x, ‖z - x‖⁻¹ * ‖f z - f x‖ < r

Tactic:
have B : ∀ᶠ z in 𝓝[{x}] x, ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r :=
  mem_of_superset self_mem_nhdsWithin (singleton_subset_iff.2 <| by simp [hr₀])

Result:
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
f' : E
s : Set ℝ
x r : ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hr : ‖f'‖ < r
hr₀ : 0 < r
A : ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[s \ {x}] x, ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r
B : ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[{x}] x, ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r
⊢ ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[s] x, ‖z - x‖⁻¹ * ‖f z - f x‖ < r

Proof state:
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
f' : E
s : Set ℝ
x r : ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hr : ‖f'‖ < r
hr₀ : 0 < r
A : ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[s \ {x}] x, ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r
B : ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[{x}] x, ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r
C : {x_1 | (fun z => ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r) x_1} ∈ 𝓝[s \ {x}] x ⊔ 𝓝[{x}] x
⊢ ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[s] x, ‖z - x‖⁻¹ * ‖f z - f x‖ < r

Tactic:
rw [← nhdsWithin_union, diff_union_self, nhdsWithin_union, mem_sup] at C

Result:
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
f' : E
s : Set ℝ
x r : ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hr : ‖f'‖ < r
hr₀ : 0 < r
A : ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[s \ {x}] x, ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r
B : ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[{x}] x, ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r
C :
  {x_1 | (fun z => ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r) x_1} ∈ 𝓝[s] x ∧
    {x_1 | (fun z => ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r) x_1} ∈ 𝓝[{x}] x
⊢ ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[s] x, ‖z - x‖⁻¹ * ‖f z - f x‖ < r

Proof state:
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
f' : E
s : Set ℝ
x r : ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hr : ‖f'‖ < r
hr₀ : 0 < r
A : ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[s \ {x}] x, ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r
B : ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[{x}] x, ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r
⊢ ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[s] x, ‖z - x‖⁻¹ * ‖f z - f x‖ < r

Tactic:
have C := mem_sup.2 ⟨A, B⟩

Result:
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
f' : E
s : Set ℝ
x r : ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hr : ‖f'‖ < r
hr₀ : 0 < r
A : ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[s \ {x}] x, ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r
B : ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[{x}] x, ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r
C : {x_1 | (fun z => ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r) x_1} ∈ 𝓝[s \ {x}] x ⊔ 𝓝[{x}] x
⊢ ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[s] x, ‖z - x‖⁻¹ * ‖f z - f x‖ < r

Proof state:
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
f' : E
s : Set ℝ
x r : ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hr : ‖f'‖ < r
hr₀ : 0 < r
A : ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[s \ {x}] x, ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r
B : ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[{x}] x, ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r
C :
  {x_1 | (fun z => ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r) x_1} ∈ 𝓝[s] x ∧
    {x_1 | (fun z => ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r) x_1} ∈ 𝓝[{x}] x
⊢ ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[s] x, ‖z - x‖⁻¹ * ‖f z - f x‖ < r

Tactic:
filter_upwards [C.1]

Result:
case h
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
f' : E
s : Set ℝ
x r : ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hr : ‖f'‖ < r
hr₀ : 0 < r
A : ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[s \ {x}] x, ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r
B : ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[{x}] x, ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r
C :
  {x_1 | (fun z => ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r) x_1} ∈ 𝓝[s] x ∧
    {x_1 | (fun z => ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r) x_1} ∈ 𝓝[{x}] x
⊢ ∀ (a : ℝ), ‖(a - x)⁻¹ • (f a - f x)‖ ∈ Iio r → ‖a - x‖⁻¹ * ‖f a - f x‖ < r

Proof state:
case h
E : Type u
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
f' : E
s : Set ℝ
x r : ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' s x
hr : ‖f'‖ < r
hr₀ : 0 < r
A : ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[s \ {x}] x, ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r
B : ∀ᶠ (z : ℝ) in 𝓝[{x}] x, ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r
C :
  {x_1 | (fun z => ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r) x_1} ∈ 𝓝[s] x ∧
    {x_1 | (fun z => ‖(z - x)⁻¹ • (f z - f x)‖ ∈ Iio r) x_1} ∈ 𝓝[{x}] x
⊢ ∀ (a : ℝ), ‖a - x‖⁻¹ * ‖f a - f x‖ < r → ‖a - x‖⁻¹ * ‖f a - f x‖ < r

Tactic:
exact fun _ => id

Result:
no goals