-- Mathlib/Analysis/Convex/Basic.lean
theorem convex_openSegment (a b : E) : Convex 𝕜 (openSegment 𝕜 a b)

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : StrictOrderedCommSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
a✝ b✝ : E
ap bp : 𝕜
hap : 0 < ap
hbp : 0 < bp
habp : ap + bp = 1
aq bq : 𝕜
haq : 0 < aq
hbq : 0 < bq
habq : aq + bq = 1
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a • (ap • a✝ + bp • b✝) + b • (aq • a✝ + bq • b✝) ∈ openSegment 𝕜 a✝ b✝

Tactic:
refine ⟨a * ap + b * aq, a * bp + b * bq, by positivity, by positivity, ?_, ?_⟩

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : StrictOrderedCommSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
a✝ b✝ : E
ap bp : 𝕜
hap : 0 < ap
hbp : 0 < bp
habp : ap + bp = 1
aq bq : 𝕜
haq : 0 < aq
hbq : 0 < bq
habq : aq + bq = 1
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a * ap + b * aq + (a * bp + b * bq) = 1

case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : StrictOrderedCommSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
a✝ b✝ : E
ap bp : 𝕜
hap : 0 < ap
hbp : 0 < bp
habp : ap + bp = 1
aq bq : 𝕜
haq : 0 < aq
hbq : 0 < bq
habq : aq + bq = 1
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ (a * ap + b * aq) • a✝ + (a * bp + b * bq) • b✝ = a • (ap • a✝ + bp • b✝) + b • (aq • a✝ + bq • b✝)

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : StrictOrderedCommSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
a✝ b✝ : E
ap bp : 𝕜
hap : 0 < ap
hbp : 0 < bp
habp : ap + bp = 1
aq bq : 𝕜
haq : 0 < aq
hbq : 0 < bq
habq : aq + bq = 1
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a * ap + b * aq + (a * bp + b * bq) = 1

Tactic:
linear_combination (norm := noncomm_ring) a * habp + b * habq + hab

Result:
no goals

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : StrictOrderedCommSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
a✝ b✝ : E
ap bp : 𝕜
hap : 0 < ap
hbp : 0 < bp
habp : ap + bp = 1
aq bq : 𝕜
haq : 0 < aq
hbq : 0 < bq
habq : aq + bq = 1
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ 0 < a * bp + b * bq

Tactic:
positivity

Result:
no goals

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : StrictOrderedCommSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
a b : E
⊢ ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ openSegment 𝕜 a b → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ openSegment 𝕜 a b → openSegment 𝕜 x y ⊆ openSegment 𝕜 a b

Tactic:
rintro p ⟨ap, bp, hap, hbp, habp, rfl⟩ q ⟨aq, bq, haq, hbq, habq, rfl⟩ z ⟨a, b, ha, hb, hab, rfl⟩

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : StrictOrderedCommSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
a✝ b✝ : E
ap bp : 𝕜
hap : 0 < ap
hbp : 0 < bp
habp : ap + bp = 1
aq bq : 𝕜
haq : 0 < aq
hbq : 0 < bq
habq : aq + bq = 1
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a • (ap • a✝ + bp • b✝) + b • (aq • a✝ + bq • b✝) ∈ openSegment 𝕜 a✝ b✝

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : StrictOrderedCommSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
a✝ b✝ : E
ap bp : 𝕜
hap : 0 < ap
hbp : 0 < bp
habp : ap + bp = 1
aq bq : 𝕜
haq : 0 < aq
hbq : 0 < bq
habq : aq + bq = 1
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ 0 < a * ap + b * aq

Tactic:
positivity

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : StrictOrderedCommSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
a✝ b✝ : E
ap bp : 𝕜
hap : 0 < ap
hbp : 0 < bp
habp : ap + bp = 1
aq bq : 𝕜
haq : 0 < aq
hbq : 0 < bq
habq : aq + bq = 1
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ (a * ap + b * aq) • a✝ + (a * bp + b * bq) • b✝ = a • (ap • a✝ + bp • b✝) + b • (aq • a✝ + bq • b✝)

Tactic:
module

Result:
no goals

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : StrictOrderedCommSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
a b : E
⊢ Convex 𝕜 (openSegment 𝕜 a b)

Tactic:
rw [convex_iff_openSegment_subset]

Result:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : StrictOrderedCommSemiring 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
a b : E
⊢ ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ openSegment 𝕜 a b → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ openSegment 𝕜 a b → openSegment 𝕜 x y ⊆ openSegment 𝕜 a b