-- Mathlib/.lake/packages/lean4/src/lean/Init/Data/BitVec/Bitblast.lean
theorem lawful_divSubtractShift (qr : DivModState w) (h : qr.Poised args) :
    DivModState.Lawful args (divSubtractShift args qr)

Proof state:
case neg.hrLtDivisor
w : Nat
qr : DivModState w
n d : BitVec w
h : DivModState.Poised { n := n, d := d } qr
hrwn : qr.wr + qr.wn = w
hd : 0 < { n := n, d := d }.d
hrd : qr.r.toNat < { n := n, d := d }.d.toNat
hr : qr.r.toNat < 2 ^ qr.wr
hn : qr.q.toNat < 2 ^ qr.wr
hrnd : { n := n, d := d }.n.toNat >>> qr.wn = { n := n, d := d }.d.toNat * qr.q.toNat + qr.r.toNat
hwn_lt : 0 < qr.wn
this : d.toNat * (qr.q.toNat * 2) = d.toNat * qr.q.toNat * 2
rltd : ¬qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1)) < d
⊢ { wn := qr.wn - 1, wr := qr.wr + 1, q := qr.q.shiftConcat true,
          r := qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1)) - d }.r.toNat <
    { n := n, d := d }.d.toNat

case neg.hrWidth
w : Nat
qr : DivModState w
n d : BitVec w
h : DivModState.Poised { n := n, d := d } qr
hrwn : qr.wr + qr.wn = w
hd : 0 < { n := n, d := d }.d
hrd : qr.r.toNat < { n := n, d := d }.d.toNat
hr : qr.r.toNat < 2 ^ qr.wr
hn : qr.q.toNat < 2 ^ qr.wr
hrnd : { n := n, d := d }.n.toNat >>> qr.wn = { n := n, d := d }.d.toNat * qr.q.toNat + qr.r.toNat
hwn_lt : 0 < qr.wn
this : d.toNat * (qr.q.toNat * 2) = d.toNat * qr.q.toNat * 2
rltd : ¬qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1)) < d
⊢ { wn := qr.wn - 1, wr := qr.wr + 1, q := qr.q.shiftConcat true,
          r := qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1)) - d }.r.toNat <
    2 ^
      { wn := qr.wn - 1, wr := qr.wr + 1, q := qr.q.shiftConcat true,
          r := qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1)) - d }.wr

case neg.hqWidth
w : Nat
qr : DivModState w
n d : BitVec w
h : DivModState.Poised { n := n, d := d } qr
hrwn : qr.wr + qr.wn = w
hd : 0 < { n := n, d := d }.d
hrd : qr.r.toNat < { n := n, d := d }.d.toNat
hr : qr.r.toNat < 2 ^ qr.wr
hn : qr.q.toNat < 2 ^ qr.wr
hrnd : { n := n, d := d }.n.toNat >>> qr.wn = { n := n, d := d }.d.toNat * qr.q.toNat + qr.r.toNat
hwn_lt : 0 < qr.wn
this : d.toNat * (qr.q.toNat * 2) = d.toNat * qr.q.toNat * 2
rltd : ¬qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1)) < d
⊢ { wn := qr.wn - 1, wr := qr.wr + 1, q := qr.q.shiftConcat true,
          r := qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1)) - d }.q.toNat <
    2 ^
      { wn := qr.wn - 1, wr := qr.wr + 1, q := qr.q.shiftConcat true,
          r := qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1)) - d }.wr

case neg.hdiv
w : Nat
qr : DivModState w
n d : BitVec w
h : DivModState.Poised { n := n, d := d } qr
hrwn : qr.wr + qr.wn = w
hd : 0 < { n := n, d := d }.d
hrd : qr.r.toNat < { n := n, d := d }.d.toNat
hr : qr.r.toNat < 2 ^ qr.wr
hn : qr.q.toNat < 2 ^ qr.wr
hrnd : { n := n, d := d }.n.toNat >>> qr.wn = { n := n, d := d }.d.toNat * qr.q.toNat + qr.r.toNat
hwn_lt : 0 < qr.wn
this : d.toNat * (qr.q.toNat * 2) = d.toNat * qr.q.toNat * 2
rltd : ¬qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1)) < d
⊢ { n := n, d := d }.n.toNat >>>
      { wn := qr.wn - 1, wr := qr.wr + 1, q := qr.q.shiftConcat true,
          r := qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1)) - d }.wn =
    { n := n, d := d }.d.toNat *
        { wn := qr.wn - 1, wr := qr.wr + 1, q := qr.q.shiftConcat true,
              r := qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1)) - d }.q.toNat +
      { wn := qr.wn - 1, wr := qr.wr + 1, q := qr.q.shiftConcat true,
            r := qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1)) - d }.r.toNat

Tactic:
case neg.hrLtDivisor =>
  simp only [lt_def, Nat.not_lt] at rltd
  rw [BitVec.toNat_sub_of_le rltd,
    toNat_shiftConcat_eq_of_lt (hk := qr.wr_lt_w h) (hx := h.hrWidth),
    Nat.mul_comm]
  apply two_mul_add_sub_lt_of_lt_of_lt_two <;> bv_omega

Result:
case neg.hrWidth
w : Nat
qr : DivModState w
n d : BitVec w
h : DivModState.Poised { n := n, d := d } qr
hrwn : qr.wr + qr.wn = w
hd : 0 < { n := n, d := d }.d
hrd : qr.r.toNat < { n := n, d := d }.d.toNat
hr : qr.r.toNat < 2 ^ qr.wr
hn : qr.q.toNat < 2 ^ qr.wr
hrnd : { n := n, d := d }.n.toNat >>> qr.wn = { n := n, d := d }.d.toNat * qr.q.toNat + qr.r.toNat
hwn_lt : 0 < qr.wn
this : d.toNat * (qr.q.toNat * 2) = d.toNat * qr.q.toNat * 2
rltd : ¬qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1)) < d
⊢ { wn := qr.wn - 1, wr := qr.wr + 1, q := qr.q.shiftConcat true,
          r := qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1)) - d }.r.toNat <
    2 ^
      { wn := qr.wn - 1, wr := qr.wr + 1, q := qr.q.shiftConcat true,
          r := qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1)) - d }.wr

case neg.hqWidth
w : Nat
qr : DivModState w
n d : BitVec w
h : DivModState.Poised { n := n, d := d } qr
hrwn : qr.wr + qr.wn = w
hd : 0 < { n := n, d := d }.d
hrd : qr.r.toNat < { n := n, d := d }.d.toNat
hr : qr.r.toNat < 2 ^ qr.wr
hn : qr.q.toNat < 2 ^ qr.wr
hrnd : { n := n, d := d }.n.toNat >>> qr.wn = { n := n, d := d }.d.toNat * qr.q.toNat + qr.r.toNat
hwn_lt : 0 < qr.wn
this : d.toNat * (qr.q.toNat * 2) = d.toNat * qr.q.toNat * 2
rltd : ¬qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1)) < d
⊢ { wn := qr.wn - 1, wr := qr.wr + 1, q := qr.q.shiftConcat true,
          r := qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1)) - d }.q.toNat <
    2 ^
      { wn := qr.wn - 1, wr := qr.wr + 1, q := qr.q.shiftConcat true,
          r := qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1)) - d }.wr

case neg.hdiv
w : Nat
qr : DivModState w
n d : BitVec w
h : DivModState.Poised { n := n, d := d } qr
hrwn : qr.wr + qr.wn = w
hd : 0 < { n := n, d := d }.d
hrd : qr.r.toNat < { n := n, d := d }.d.toNat
hr : qr.r.toNat < 2 ^ qr.wr
hn : qr.q.toNat < 2 ^ qr.wr
hrnd : { n := n, d := d }.n.toNat >>> qr.wn = { n := n, d := d }.d.toNat * qr.q.toNat + qr.r.toNat
hwn_lt : 0 < qr.wn
this : d.toNat * (qr.q.toNat * 2) = d.toNat * qr.q.toNat * 2
rltd : ¬qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1)) < d
⊢ { n := n, d := d }.n.toNat >>>
      { wn := qr.wn - 1, wr := qr.wr + 1, q := qr.q.shiftConcat true,
          r := qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1)) - d }.wn =
    { n := n, d := d }.d.toNat *
        { wn := qr.wn - 1, wr := qr.wr + 1, q := qr.q.shiftConcat true,
              r := qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1)) - d }.q.toNat +
      { wn := qr.wn - 1, wr := qr.wr + 1, q := qr.q.shiftConcat true,
            r := qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1)) - d }.r.toNat

Proof state:
w : Nat
qr : DivModState w
n d : BitVec w
h : DivModState.Poised { n := n, d := d } qr
hrwn : qr.wr + qr.wn = w
hd : 0 < { n := n, d := d }.d
hrd : qr.r.toNat < { n := n, d := d }.d.toNat
hr : qr.r.toNat < 2 ^ qr.wr
hn : qr.q.toNat < 2 ^ qr.wr
hrnd : { n := n, d := d }.n.toNat >>> qr.wn = { n := n, d := d }.d.toNat * qr.q.toNat + qr.r.toNat
hwn_lt : 0 < qr.wn
this : d.toNat * (qr.q.toNat * 2) = d.toNat * qr.q.toNat * 2
rltd : ¬qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1)) < d
⊢ { wn := qr.wn - 1, wr := qr.wr + 1, q := qr.q.shiftConcat true,
          r := qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1)) - d }.r.toNat <
    { n := n, d := d }.d.toNat

Tactic:
simp only [lt_def, Nat.not_lt] at rltd

Result:
w : Nat
qr : DivModState w
n d : BitVec w
h : DivModState.Poised { n := n, d := d } qr
hrwn : qr.wr + qr.wn = w
hd : 0 < { n := n, d := d }.d
hrd : qr.r.toNat < { n := n, d := d }.d.toNat
hr : qr.r.toNat < 2 ^ qr.wr
hn : qr.q.toNat < 2 ^ qr.wr
hrnd : { n := n, d := d }.n.toNat >>> qr.wn = { n := n, d := d }.d.toNat * qr.q.toNat + qr.r.toNat
hwn_lt : 0 < qr.wn
this : d.toNat * (qr.q.toNat * 2) = d.toNat * qr.q.toNat * 2
rltd : d.toNat ≤ (qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1))).toNat
⊢ { wn := qr.wn - 1, wr := qr.wr + 1, q := qr.q.shiftConcat true,
          r := qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1)) - d }.r.toNat <
    { n := n, d := d }.d.toNat