-- Mathlib/RingTheory/ChainOfDivisors.lean
theorem eq_pow_second_of_chain_of_has_chain {q : Associates M} {n : ℕ} (hn : n ≠ 0)
    {c : Fin (n + 1) → Associates M} (h₁ : StrictMono c)
    (h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i) (hq : q ≠ 0) : q = c 1 ^ n

Proof state:
case h.e'_3.h.e'_6
M : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero M
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
q : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i
hq : q ≠ 0
i : Fin (n + 1)
hi' : q = c 1 ^ ↑i
⊢ Finset.image c Finset.univ ⊆ Finset.image (fun m => c 1 ^ ↑m) Finset.univ

Tactic:
intro r hr

Result:
case h.e'_3.h.e'_6
M : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero M
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
q : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i
hq : q ≠ 0
i : Fin (n + 1)
hi' : q = c 1 ^ ↑i
r : Associates M
hr : r ∈ Finset.image c Finset.univ
⊢ r ∈ Finset.image (fun m => c 1 ^ ↑m) Finset.univ

Proof state:
case h.e'_3.h.e'_6.intro.intro.refine_2.intro.intro
M : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero M
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
q : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i
hq : q ≠ 0
i : Fin (n + 1)
hi' : q = c 1 ^ ↑i
j : Fin (n + 1)
hr : c j ∈ Finset.image c Finset.univ
this : c j ≤ c 1 ^ ↑i
u : ℕ
hu : u ≤ ↑i
hu' : Associated (c j) (c 1 ^ u)
⊢ c j ∈ Finset.image (fun m => c 1 ^ ↑m) Finset.univ

Tactic:
refine Finset.mem_image.mpr ⟨u, Finset.mem_univ _, ?_⟩

Result:
case h.e'_3.h.e'_6.intro.intro.refine_2.intro.intro
M : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero M
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
q : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i
hq : q ≠ 0
i : Fin (n + 1)
hi' : q = c 1 ^ ↑i
j : Fin (n + 1)
hr : c j ∈ Finset.image c Finset.univ
this : c j ≤ c 1 ^ ↑i
u : ℕ
hu : u ≤ ↑i
hu' : Associated (c j) (c 1 ^ u)
⊢ c 1 ^ ↑↑u = c j

Proof state:
case h.e'_3.h.e'_6
M : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero M
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
q : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i
hq : q ≠ 0
i : Fin (n + 1)
hi' : q = c 1 ^ ↑i
⊢ n.succ ≤ (↑i).succ

Tactic:
calc
  n + 1 = (Finset.univ : Finset (Fin (n + 1))).card := (Finset.card_fin _).symm
  _ = (Finset.univ.image c).card := (Finset.card_image_iff.mpr h₁.injective.injOn).symm
  _ ≤ (Finset.univ.image fun m : Fin (i + 1) => c 1 ^ (m : ℕ)).card :=
    (Finset.card_le_card ?_)
  _ ≤ (Finset.univ : Finset (Fin (i + 1))).card := Finset.card_image_le
  _ = i + 1 := Finset.card_fin _

Result:
case h.e'_3.h.e'_6
M : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero M
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
q : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i
hq : q ≠ 0
i : Fin (n + 1)
hi' : q = c 1 ^ ↑i
⊢ Finset.image c Finset.univ ⊆ Finset.image (fun m => c 1 ^ ↑m) Finset.univ

Proof state:
case intro
M : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero M
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
q : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i
hq : q ≠ 0
i : Fin (n + 1)
hi' : q = c 1 ^ ↑i
⊢ q = c 1 ^ n

Tactic:
convert hi'

Result:
case h.e'_3.h.e'_6
M : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero M
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
q : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i
hq : q ≠ 0
i : Fin (n + 1)
hi' : q = c 1 ^ ↑i
⊢ n = ↑i

Proof state:
case h.e'_3.h.e'_6
M : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero M
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
q : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i
hq : q ≠ 0
i : Fin (n + 1)
hi' : q = c 1 ^ ↑i
⊢ n = ↑i

Tactic:
refine (Nat.lt_succ_iff.1 i.prop).antisymm' (Nat.le_of_succ_le_succ ?_)

Result:
case h.e'_3.h.e'_6
M : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero M
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
q : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i
hq : q ≠ 0
i : Fin (n + 1)
hi' : q = c 1 ^ ↑i
⊢ n.succ ≤ (↑i).succ

Proof state:
case h.e'_3.h.e'_6.intro.intro
M : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero M
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
q : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i
hq : q ≠ 0
i : Fin (n + 1)
hi' : q = c 1 ^ ↑i
j : Fin (n + 1)
hr : c j ∈ Finset.image c Finset.univ
this : c j ≤ q
⊢ c j ∈ Finset.image (fun m => c 1 ^ ↑m) Finset.univ

Tactic:
rw [hi'] at this

Result:
case h.e'_3.h.e'_6.intro.intro
M : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero M
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
q : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i
hq : q ≠ 0
i : Fin (n + 1)
hi' : q = c 1 ^ ↑i
j : Fin (n + 1)
hr : c j ∈ Finset.image c Finset.univ
this : c j ≤ c 1 ^ ↑i
⊢ c j ∈ Finset.image (fun m => c 1 ^ ↑m) Finset.univ

Proof state:
case h.e'_3.h.e'_6.intro.intro.refine_1
M : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero M
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
q : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i
hq : q ≠ 0
i : Fin (n + 1)
hi' : q = c 1 ^ ↑i
j : Fin (n + 1)
hr : c j ∈ Finset.image c Finset.univ
this : c j ≤ c 1 ^ ↑i
⊢ Irreducible (c 1)

Tactic:
exact second_of_chain_is_irreducible hn h₁ (@h₂) hq

Result:
no goals

Proof state:
case h.e'_3.h.e'_6.intro.intro.refine_1
M : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero M
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
q : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i
hq : q ≠ 0
i : Fin (n + 1)
hi' : q = c 1 ^ ↑i
j : Fin (n + 1)
hr : c j ∈ Finset.image c Finset.univ
this : c j ≤ c 1 ^ ↑i
⊢ Prime (c 1)

Tactic:
rw [← irreducible_iff_prime]

Result:
case h.e'_3.h.e'_6.intro.intro.refine_1
M : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero M
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
q : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i
hq : q ≠ 0
i : Fin (n + 1)
hi' : q = c 1 ^ ↑i
j : Fin (n + 1)
hr : c j ∈ Finset.image c Finset.univ
this : c j ≤ c 1 ^ ↑i
⊢ Irreducible (c 1)

Proof state:
case h.e'_3.h.e'_6
M : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero M
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
q : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i
hq : q ≠ 0
i : Fin (n + 1)
hi' : q = c 1 ^ ↑i
r : Associates M
hr : r ∈ Finset.image c Finset.univ
⊢ r ∈ Finset.image (fun m => c 1 ^ ↑m) Finset.univ

Tactic:
obtain ⟨j, -, rfl⟩ := Finset.mem_image.1 hr

Result:
case h.e'_3.h.e'_6.intro.intro
M : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero M
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid M
q : Associates M
n : ℕ
hn : n ≠ 0
c : Fin (n + 1) → Associates M
h₁ : StrictMono c
h₂ : ∀ {r : Associates M}, r ≤ q ↔ ∃ i, r = c i
hq : q ≠ 0
i : Fin (n + 1)
hi' : q = c 1 ^ ↑i
j : Fin (n + 1)
hr : c j ∈ Finset.image c Finset.univ
⊢ c j ∈ Finset.image (fun m => c 1 ^ ↑m) Finset.univ