-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/JointEigenspace.lean
theorem orthogonalFamily_eigenspace_inf_eigenspace (hA : A.IsSymmetric) (hB : B.IsSymmetric) :
    OrthogonalFamily 𝕜 (fun (i : 𝕜 × 𝕜) => (eigenspace A i.2 ⊓ eigenspace B i.1 : Submodule 𝕜 E))
      fun i => (eigenspace A i.2 ⊓ eigenspace B i.1).subtypeₗᵢ :=
  OrthogonalFamily.of_pairwise fun i j hij v ⟨hv1 , hv2⟩ ↦ by
    obtain (h₁ | h₂) : i.1 ≠ j.1 ∨ i.2 ≠ j.2

Proof state:
case inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
A B : E →ₗ[𝕜] E
hA : A.IsSymmetric
hB : B.IsSymmetric
i j : 𝕜 × 𝕜
hij : i ≠ j
v : E
x✝ : v ∈ eigenspace A i.2 ⊓ eigenspace B i.1
hv1 : v ∈ ↑(eigenspace A i.2)
hv2 : v ∈ ↑(eigenspace B i.1)
h₁ : i.1 ≠ j.1
⊢ v ∈ (eigenspace A j.2 ⊓ eigenspace B j.1)ᗮ

case inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
A B : E →ₗ[𝕜] E
hA : A.IsSymmetric
hB : B.IsSymmetric
i j : 𝕜 × 𝕜
hij : i ≠ j
v : E
x✝ : v ∈ eigenspace A i.2 ⊓ eigenspace B i.1
hv1 : v ∈ ↑(eigenspace A i.2)
hv2 : v ∈ ↑(eigenspace B i.1)
h₂ : i.2 ≠ j.2
⊢ v ∈ (eigenspace A j.2 ⊓ eigenspace B j.1)ᗮ

Tactic:
all_goals intro w ⟨hw1, hw2⟩

Result:
case inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
A B : E →ₗ[𝕜] E
hA : A.IsSymmetric
hB : B.IsSymmetric
i j : 𝕜 × 𝕜
hij : i ≠ j
v : E
x✝ : v ∈ eigenspace A i.2 ⊓ eigenspace B i.1
hv1 : v ∈ ↑(eigenspace A i.2)
hv2 : v ∈ ↑(eigenspace B i.1)
h₁ : i.1 ≠ j.1
w : E
hw1 : w ∈ ↑(eigenspace A j.2)
hw2 : w ∈ ↑(eigenspace B j.1)
⊢ inner w v = 0

case inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
A B : E →ₗ[𝕜] E
hA : A.IsSymmetric
hB : B.IsSymmetric
i j : 𝕜 × 𝕜
hij : i ≠ j
v : E
x✝ : v ∈ eigenspace A i.2 ⊓ eigenspace B i.1
hv1 : v ∈ ↑(eigenspace A i.2)
hv2 : v ∈ ↑(eigenspace B i.1)
h₂ : i.2 ≠ j.2
w : E
hw1 : w ∈ ↑(eigenspace A j.2)
hw2 : w ∈ ↑(eigenspace B j.1)
⊢ inner w v = 0

Proof state:
case inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
A B : E →ₗ[𝕜] E
hA : A.IsSymmetric
hB : B.IsSymmetric
i j : 𝕜 × 𝕜
hij : i ≠ j
v : E
x✝ : v ∈ eigenspace A i.2 ⊓ eigenspace B i.1
hv1 : v ∈ ↑(eigenspace A i.2)
hv2 : v ∈ ↑(eigenspace B i.1)
h₂ : i.2 ≠ j.2
w : E
hw1 : w ∈ ↑(eigenspace A j.2)
hw2 : w ∈ ↑(eigenspace B j.1)
⊢ inner w v = 0

Tactic:
exact hA.orthogonalFamily_eigenspaces.pairwise h₂ hv1 w hw1

Result:
no goals

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
A B : E →ₗ[𝕜] E
hA : A.IsSymmetric
hB : B.IsSymmetric
i j : 𝕜 × 𝕜
hij : i ≠ j
v : E
x✝ : v ∈ eigenspace A i.2 ⊓ eigenspace B i.1
hv1 : v ∈ ↑(eigenspace A i.2)
hv2 : v ∈ ↑(eigenspace B i.1)
⊢ i.1 ≠ j.1 ∨ i.2 ≠ j.2

Tactic:
rwa [Ne.eq_def, Prod.ext_iff, not_and_or] at hij

Result:
no goals

Proof state:
case inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
A B : E →ₗ[𝕜] E
hA : A.IsSymmetric
hB : B.IsSymmetric
i j : 𝕜 × 𝕜
hij : i ≠ j
v : E
x✝ : v ∈ eigenspace A i.2 ⊓ eigenspace B i.1
hv1 : v ∈ ↑(eigenspace A i.2)
hv2 : v ∈ ↑(eigenspace B i.1)
h₁ : i.1 ≠ j.1
w : E
hw1 : w ∈ ↑(eigenspace A j.2)
hw2 : w ∈ ↑(eigenspace B j.1)
⊢ inner w v = 0

Tactic:
exact hB.orthogonalFamily_eigenspaces.pairwise h₁ hv2 w hw2

Result:
no goals

Proof state:
case inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
A B : E →ₗ[𝕜] E
hA : A.IsSymmetric
hB : B.IsSymmetric
i j : 𝕜 × 𝕜
hij : i ≠ j
v : E
x✝ : v ∈ eigenspace A i.2 ⊓ eigenspace B i.1
hv1 : v ∈ ↑(eigenspace A i.2)
hv2 : v ∈ ↑(eigenspace B i.1)
h₂ : i.2 ≠ j.2
⊢ v ∈ (eigenspace A j.2 ⊓ eigenspace B j.1)ᗮ

Tactic:
intro w ⟨hw1, hw2⟩

Result:
case inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
A B : E →ₗ[𝕜] E
hA : A.IsSymmetric
hB : B.IsSymmetric
i j : 𝕜 × 𝕜
hij : i ≠ j
v : E
x✝ : v ∈ eigenspace A i.2 ⊓ eigenspace B i.1
hv1 : v ∈ ↑(eigenspace A i.2)
hv2 : v ∈ ↑(eigenspace B i.1)
h₂ : i.2 ≠ j.2
w : E
hw1 : w ∈ ↑(eigenspace A j.2)
hw2 : w ∈ ↑(eigenspace B j.1)
⊢ inner w v = 0

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
A B : E →ₗ[𝕜] E
hA : A.IsSymmetric
hB : B.IsSymmetric
i j : 𝕜 × 𝕜
hij : i ≠ j
v : E
x✝ : v ∈ eigenspace A i.2 ⊓ eigenspace B i.1
hv1 : v ∈ ↑(eigenspace A i.2)
hv2 : v ∈ ↑(eigenspace B i.1)
⊢ v ∈ (eigenspace A j.2 ⊓ eigenspace B j.1)ᗮ

Tactic:
obtain (h₁ | h₂) : i.1 ≠ j.1 ∨ i.2 ≠ j.2 := by rwa [Ne.eq_def, Prod.ext_iff, not_and_or] at hij

Result:
case inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
A B : E →ₗ[𝕜] E
hA : A.IsSymmetric
hB : B.IsSymmetric
i j : 𝕜 × 𝕜
hij : i ≠ j
v : E
x✝ : v ∈ eigenspace A i.2 ⊓ eigenspace B i.1
hv1 : v ∈ ↑(eigenspace A i.2)
hv2 : v ∈ ↑(eigenspace B i.1)
h₁ : i.1 ≠ j.1
⊢ v ∈ (eigenspace A j.2 ⊓ eigenspace B j.1)ᗮ

case inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
A B : E →ₗ[𝕜] E
hA : A.IsSymmetric
hB : B.IsSymmetric
i j : 𝕜 × 𝕜
hij : i ≠ j
v : E
x✝ : v ∈ eigenspace A i.2 ⊓ eigenspace B i.1
hv1 : v ∈ ↑(eigenspace A i.2)
hv2 : v ∈ ↑(eigenspace B i.1)
h₂ : i.2 ≠ j.2
⊢ v ∈ (eigenspace A j.2 ⊓ eigenspace B j.1)ᗮ