-- Mathlib/Algebra/Lie/LieTheorem.lean
/-- An auxiliary lemma used only in the definition `LieModule.weightSpaceOfIsLieTower` below. -/
private lemma weightSpaceOfIsLieTower_aux (z : L) (v : V) (hv : v ∈ weightSpace V χ) :
    ⁅z, v⁆ ∈ weightSpace V χ

Proof state:
R : Type u_1
L : Type u_2
A : Type u_3
V : Type u_4
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝¹⁷ : IsDomain R
inst✝¹⁶ : CharZero R
inst✝¹⁵ : LieRing L
inst✝¹⁴ : LieAlgebra R L
inst✝¹³ : LieRing A
inst✝¹² : LieAlgebra R A
inst✝¹¹ : Bracket L A
inst✝¹⁰ : Bracket A L
inst✝⁹ : AddCommGroup V
inst✝⁸ : Module R V
inst✝⁷ : Module.Free R V
inst✝⁶ : Module.Finite R V
inst✝⁵ : LieRingModule L V
inst✝⁴ : LieModule R L V
inst✝³ : LieRingModule A V
inst✝² : LieModule R A V
inst✝¹ : IsLieTower L A V
inst✝ : IsLieTower A L V
χ : A → R
z : L
v : V
hv : ∀ (x : A), ⁅x, v⁆ = χ x • v
a : A
hv' : v ≠ 0
U' : ℕ →o Submodule R V :=
  { toFun := fun n => Submodule.span R {x | ∃ i < n, ((toEnd R L V) z ^ i) v = x}, monotone' := ⋯ }
map_U'_le : ∀ (n : ℕ), Submodule.map ((toEnd R L V) z) (U' n) ≤ U' (n + 1)
w : A
n : ℕ
⊢ {x | ∃ i < n + 1, ((toEnd R L V) z ^ i) v = x} ⊆
    ⇑(LieModule.T χ w) ⁻¹' ↑(Submodule.span R {x | ∃ i < n, ((toEnd R L V) z ^ i) v = x})

Tactic:
simp only [Set.subset_def, Set.mem_setOf_eq, Set.mem_preimage, SetLike.mem_coe,
  forall_exists_index, and_imp, forall_apply_eq_imp_iff₂]

Result:
R : Type u_1
L : Type u_2
A : Type u_3
V : Type u_4
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝¹⁷ : IsDomain R
inst✝¹⁶ : CharZero R
inst✝¹⁵ : LieRing L
inst✝¹⁴ : LieAlgebra R L
inst✝¹³ : LieRing A
inst✝¹² : LieAlgebra R A
inst✝¹¹ : Bracket L A
inst✝¹⁰ : Bracket A L
inst✝⁹ : AddCommGroup V
inst✝⁸ : Module R V
inst✝⁷ : Module.Free R V
inst✝⁶ : Module.Finite R V
inst✝⁵ : LieRingModule L V
inst✝⁴ : LieModule R L V
inst✝³ : LieRingModule A V
inst✝² : LieModule R A V
inst✝¹ : IsLieTower L A V
inst✝ : IsLieTower A L V
χ : A → R
z : L
v : V
hv : ∀ (x : A), ⁅x, v⁆ = χ x • v
a : A
hv' : v ≠ 0
U' : ℕ →o Submodule R V :=
  { toFun := fun n => Submodule.span R {x | ∃ i < n, ((toEnd R L V) z ^ i) v = x}, monotone' := ⋯ }
map_U'_le : ∀ (n : ℕ), Submodule.map ((toEnd R L V) z) (U' n) ≤ U' (n + 1)
w : A
n : ℕ
⊢ ∀ a < n + 1, (LieModule.T χ w) (((toEnd R L V) z ^ a) v) ∈ Submodule.span R {x | ∃ i < n, ((toEnd R L V) z ^ i) v = x}

Proof state:
R : Type u_1
L : Type u_2
A : Type u_3
V : Type u_4
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝¹⁷ : IsDomain R
inst✝¹⁶ : CharZero R
inst✝¹⁵ : LieRing L
inst✝¹⁴ : LieAlgebra R L
inst✝¹³ : LieRing A
inst✝¹² : LieAlgebra R A
inst✝¹¹ : Bracket L A
inst✝¹⁰ : Bracket A L
inst✝⁹ : AddCommGroup V
inst✝⁸ : Module R V
inst✝⁷ : Module.Free R V
inst✝⁶ : Module.Finite R V
inst✝⁵ : LieRingModule L V
inst✝⁴ : LieModule R L V
inst✝³ : LieRingModule A V
inst✝² : LieModule R A V
inst✝¹ : IsLieTower L A V
inst✝ : IsLieTower A L V
χ : A → R
z : L
v : V
hv : ∀ (x : A), ⁅x, v⁆ = χ x • v
a : A
hv' : v ≠ 0
U' : ℕ →o Submodule R V :=
  { toFun := fun n => Submodule.span R {x | ∃ i < n, ((toEnd R L V) z ^ i) v = x}, monotone' := ⋯ }
map_U'_le : ∀ (n : ℕ), Submodule.map ((toEnd R L V) z) (U' n) ≤ U' (n + 1)
T_apply_succ : ∀ (w : A) (n : ℕ), Submodule.map (LieModule.T χ w) (U' (n + 1)) ≤ U' n
U : LieSubmodule R A V := { toSubmodule := ⨆ k, U' k, lie_mem := ⋯ }
hzU : ∀ x ∈ U, ((toEnd R L V) z) x ∈ U
trace_za_zero : (LinearMap.trace R ↥U) ((toEnd R A ↥U) ⁅z, a⁆) = 0
trace_T_U_zero : ∀ (w : A), (LinearMap.trace R ↥U) (LieModule.T χ w) = 0
trace_za : (LinearMap.trace R ↥U) ((toEnd R A ↥U) ⁅z, a⁆) = χ ⁅z, a⁆ • ↑(finrank R ↥U)
⊢ v ∈ U

Tactic:
apply Submodule.mem_iSup_of_mem 1

Result:
R : Type u_1
L : Type u_2
A : Type u_3
V : Type u_4
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝¹⁷ : IsDomain R
inst✝¹⁶ : CharZero R
inst✝¹⁵ : LieRing L
inst✝¹⁴ : LieAlgebra R L
inst✝¹³ : LieRing A
inst✝¹² : LieAlgebra R A
inst✝¹¹ : Bracket L A
inst✝¹⁰ : Bracket A L
inst✝⁹ : AddCommGroup V
inst✝⁸ : Module R V
inst✝⁷ : Module.Free R V
inst✝⁶ : Module.Finite R V
inst✝⁵ : LieRingModule L V
inst✝⁴ : LieModule R L V
inst✝³ : LieRingModule A V
inst✝² : LieModule R A V
inst✝¹ : IsLieTower L A V
inst✝ : IsLieTower A L V
χ : A → R
z : L
v : V
hv : ∀ (x : A), ⁅x, v⁆ = χ x • v
a : A
hv' : v ≠ 0
U' : ℕ →o Submodule R V :=
  { toFun := fun n => Submodule.span R {x | ∃ i < n, ((toEnd R L V) z ^ i) v = x}, monotone' := ⋯ }
map_U'_le : ∀ (n : ℕ), Submodule.map ((toEnd R L V) z) (U' n) ≤ U' (n + 1)
T_apply_succ : ∀ (w : A) (n : ℕ), Submodule.map (LieModule.T χ w) (U' (n + 1)) ≤ U' n
U : LieSubmodule R A V := { toSubmodule := ⨆ k, U' k, lie_mem := ⋯ }
hzU : ∀ x ∈ U, ((toEnd R L V) z) x ∈ U
trace_za_zero : (LinearMap.trace R ↥U) ((toEnd R A ↥U) ⁅z, a⁆) = 0
trace_T_U_zero : ∀ (w : A), (LinearMap.trace R ↥U) (LieModule.T χ w) = 0
trace_za : (LinearMap.trace R ↥U) ((toEnd R A ↥U) ⁅z, a⁆) = χ ⁅z, a⁆ • ↑(finrank R ↥U)
⊢ v ∈ U' 1

Proof state:
case h
R : Type u_1
L : Type u_2
A : Type u_3
V : Type u_4
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝¹⁷ : IsDomain R
inst✝¹⁶ : CharZero R
inst✝¹⁵ : LieRing L
inst✝¹⁴ : LieAlgebra R L
inst✝¹³ : LieRing A
inst✝¹² : LieAlgebra R A
inst✝¹¹ : Bracket L A
inst✝¹⁰ : Bracket A L
inst✝⁹ : AddCommGroup V
inst✝⁸ : Module R V
inst✝⁷ : Module.Free R V
inst✝⁶ : Module.Finite R V
inst✝⁵ : LieRingModule L V
inst✝⁴ : LieModule R L V
inst✝³ : LieRingModule A V
inst✝² : LieModule R A V
inst✝¹ : IsLieTower L A V
inst✝ : IsLieTower A L V
χ : A → R
z : L
v : V
hv : ∀ (x : A), ⁅x, v⁆ = χ x • v
a : A
hv' : v ≠ 0
U' : ℕ →o Submodule R V :=
  { toFun := fun n => Submodule.span R {x | ∃ i < n, ((toEnd R L V) z ^ i) v = x}, monotone' := ⋯ }
n : ℕ
⊢ ∀ a < n, ∃ b < n + 1, ((toEnd R L V) z ^ b) v = ((toEnd R L V) z ^ (a + 1)) v

Tactic:
aesop

Result:
no goals