-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/PrimitiveRoots.lean
theorem norm_pow_sub_one_of_prime_pow_ne_two {k s : ℕ} (hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1)))
    [hpri : Fact (p : ℕ).Prime] [IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L]
    (hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1)) : ℕ) K)) (hs : s ≤ k)
    (htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2) : norm K (ζ ^ (p : ℕ) ^ s - 1) = (p : K) ^ (p : ℕ) ^ s

Proof state:
p : ℕ+
K : Type u
L : Type v
inst✝³ : Field L
ζ : L
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
k s : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
hs : s ≤ k
htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2
hirr₁ : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k - s + 1))) K)
η : L := ζ ^ ↑p ^ s - 1
η₁ : ↥K⟮η⟯ := IntermediateField.AdjoinSimple.gen K η
hη : IsPrimitiveRoot (η + 1) (↑p ^ (k + 1 - s))
HKη : K⟮η⟯ = K⟮η + 1⟯
H : K⟮η + 1⟯.toSubalgebra = adjoin K {η + 1}
⊢ IsCyclotomicExtension {p ^ (k - s + 1)} K ↥(adjoin K {η + 1})

Tactic:
have hη' : IsPrimitiveRoot (η + 1) ↑(p ^ (k + 1 - s)) := by simpa using hη

Result:
p : ℕ+
K : Type u
L : Type v
inst✝³ : Field L
ζ : L
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
k s : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
hs : s ≤ k
htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2
hirr₁ : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k - s + 1))) K)
η : L := ζ ^ ↑p ^ s - 1
η₁ : ↥K⟮η⟯ := IntermediateField.AdjoinSimple.gen K η
hη : IsPrimitiveRoot (η + 1) (↑p ^ (k + 1 - s))
HKη : K⟮η⟯ = K⟮η + 1⟯
H : K⟮η + 1⟯.toSubalgebra = adjoin K {η + 1}
hη' : IsPrimitiveRoot (η + 1) ↑(p ^ (k + 1 - s))
⊢ IsCyclotomicExtension {p ^ (k - s + 1)} K ↥(adjoin K {η + 1})

Proof state:
case refine_2
p : ℕ+
K : Type u
L : Type v
inst✝³ : Field L
ζ : L
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
k s : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
hs : s ≤ k
htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2
hirr₁ : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k - s + 1))) K)
η : L := ζ ^ ↑p ^ s - 1
η₁ : ↥K⟮η⟯ := IntermediateField.AdjoinSimple.gen K η
hη : IsPrimitiveRoot (η + 1) (↑p ^ (k + 1 - s))
⊢ K⟮η + 1⟯ ≤ K⟮η⟯

Tactic:
rw [IntermediateField.adjoin_simple_le_iff]

Result:
case refine_2
p : ℕ+
K : Type u
L : Type v
inst✝³ : Field L
ζ : L
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
k s : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
hs : s ≤ k
htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2
hirr₁ : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k - s + 1))) K)
η : L := ζ ^ ↑p ^ s - 1
η₁ : ↥K⟮η⟯ := IntermediateField.AdjoinSimple.gen K η
hη : IsPrimitiveRoot (η + 1) (↑p ^ (k + 1 - s))
⊢ η + 1 ∈ K⟮η⟯

Proof state:
p : ℕ+
K : Type u
L : Type v
inst✝³ : Field L
ζ : L
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
k s : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
hs : s ≤ k
htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2
hirr₁ : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k - s + 1))) K)
η : L := ζ ^ ↑p ^ s - 1
η₁ : ↥K⟮η⟯ := IntermediateField.AdjoinSimple.gen K η
this : IsCyclotomicExtension {p ^ (k - s + 1)} K ↥K⟮η⟯
hη : IsPrimitiveRoot (η₁ + 1) ↑(p ^ (k - s + 1))
⊢ (Algebra.norm K) η = ↑↑p ^ ↑p ^ s

Tactic:
have := IsCyclotomicExtension.finiteDimensional {p ^ (k + 1)} K L

Result:
p : ℕ+
K : Type u
L : Type v
inst✝³ : Field L
ζ : L
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
k s : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
hs : s ≤ k
htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2
hirr₁ : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k - s + 1))) K)
η : L := ζ ^ ↑p ^ s - 1
η₁ : ↥K⟮η⟯ := IntermediateField.AdjoinSimple.gen K η
this✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k - s + 1)} K ↥K⟮η⟯
hη : IsPrimitiveRoot (η₁ + 1) ↑(p ^ (k - s + 1))
this : FiniteDimensional K L
⊢ (Algebra.norm K) η = ↑↑p ^ ↑p ^ s

Proof state:
case refine_2.e_a
p : ℕ+
K : Type u
L : Type v
inst✝³ : Field L
ζ : L
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
k s : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
hs : s ≤ k
htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2
hirr₁ : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k - s + 1))) K)
η : L := ζ ^ ↑p ^ s - 1
η₁ : ↥K⟮η⟯ := IntermediateField.AdjoinSimple.gen K η
this✝² : IsCyclotomicExtension {p ^ (k - s + 1)} K ↥K⟮η⟯
hη : IsPrimitiveRoot (η₁ + 1) ↑(p ^ (k - s + 1))
this✝¹ : FiniteDimensional K L
this✝ : IsGalois K L
H : (Algebra.norm K) η₁ = ↑(↑(p ^ (k - s + 1))).minFac
this : ↑p ^ ((k - s).succ - 1) * Module.finrank (↥K⟮η⟯) L = ↑p ^ (k.succ - 1)
⊢ Module.finrank (↥K⟮η⟯) L = ↑p ^ s

Tactic:
have Hex : k.succ - 1 = (k - s).succ - 1 + s := by
  simp only [Nat.succ_sub_succ_eq_sub, tsub_zero]
  exact (Nat.sub_add_cancel hs).symm

Result:
case refine_2.e_a
p : ℕ+
K : Type u
L : Type v
inst✝³ : Field L
ζ : L
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
k s : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
hs : s ≤ k
htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2
hirr₁ : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k - s + 1))) K)
η : L := ζ ^ ↑p ^ s - 1
η₁ : ↥K⟮η⟯ := IntermediateField.AdjoinSimple.gen K η
this✝² : IsCyclotomicExtension {p ^ (k - s + 1)} K ↥K⟮η⟯
hη : IsPrimitiveRoot (η₁ + 1) ↑(p ^ (k - s + 1))
this✝¹ : FiniteDimensional K L
this✝ : IsGalois K L
H : (Algebra.norm K) η₁ = ↑(↑(p ^ (k - s + 1))).minFac
this : ↑p ^ ((k - s).succ - 1) * Module.finrank (↥K⟮η⟯) L = ↑p ^ (k.succ - 1)
Hex : k.succ - 1 = (k - s).succ - 1 + s
⊢ Module.finrank (↥K⟮η⟯) L = ↑p ^ s

Proof state:
case refine_1
p : ℕ+
K : Type u
L : Type v
inst✝³ : Field L
ζ : L
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
k s : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
hs : s ≤ k
htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2
hirr₁ : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k - s + 1))) K)
η : L := ζ ^ ↑p ^ s - 1
η₁ : ↥K⟮η⟯ := IntermediateField.AdjoinSimple.gen K η
this✝¹ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k - s + 1)} K ↥K⟮η⟯
hη : IsPrimitiveRoot (η₁ + 1) ↑(p ^ (k - s + 1))
this✝ : FiniteDimensional K L
this : IsGalois K L
⊢ IsPrimePow (↑p ^ (k - s + 1))

Tactic:
exact hpri.1.isPrimePow.pow (Nat.succ_ne_zero _)

Result:
no goals

Proof state:
case h.e'_1
p : ℕ+
K : Type u
L : Type v
inst✝³ : Field L
ζ : L
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
k s : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
hs : s ≤ k
htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2
hirr₁ : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k - s + 1))) K)
η : L := ζ ^ ↑p ^ s - 1
η₁ : ↥K⟮η⟯ := IntermediateField.AdjoinSimple.gen K η
hη : IsPrimitiveRoot (η + 1) (↑p ^ (k + 1 - s))
HKη : K⟮η⟯ = K⟮η + 1⟯
H : K⟮η + 1⟯.toSubalgebra = adjoin K {η + 1}
hη' : IsPrimitiveRoot (η + 1) ↑(p ^ (k + 1 - s))
⊢ {p ^ (k - s + 1)} = {p ^ (k + 1 - s)}

Tactic:
rw [Nat.sub_add_comm hs]

Result:
no goals