-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Basic.lean
theorem Balanced.convexHull (hs : Balanced 𝕜 s) : Balanced 𝕜 (convexHull ℝ s)

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
s : Set E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
hs : ∀ ⦃a : 𝕜⦄, ‖a‖ ≤ 1 → ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → a • x ∈ s
this : Convex ℝ {x | ∀ (a : 𝕜), ‖a‖ ≤ 1 → a • x ∈ (convexHull ℝ) s}
⊢ ∀ ⦃a : 𝕜⦄, ‖a‖ ≤ 1 → ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ (convexHull ℝ) s → a • x ∈ (convexHull ℝ) s

Tactic:
refine fun a ha x hx => convexHull_min ?_ this hx a ha

Result:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
s : Set E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
hs : ∀ ⦃a : 𝕜⦄, ‖a‖ ≤ 1 → ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → a • x ∈ s
this : Convex ℝ {x | ∀ (a : 𝕜), ‖a‖ ≤ 1 → a • x ∈ (convexHull ℝ) s}
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
x : E
hx : x ∈ (convexHull ℝ) s
⊢ s ⊆ {x | ∀ (a : 𝕜), ‖a‖ ≤ 1 → a • x ∈ (convexHull ℝ) s}

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
s : Set E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
hs : Balanced 𝕜 s
⊢ Convex ℝ {x | ∀ (a : 𝕜), ‖a‖ ≤ 1 → a • x ∈ (convexHull ℝ) s}

Tactic:
intro x hx y hy u v hu hv huv a ha

Result:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
s : Set E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
hs : Balanced 𝕜 s
x : E
hx : x ∈ {x | ∀ (a : 𝕜), ‖a‖ ≤ 1 → a • x ∈ (convexHull ℝ) s}
y : E
hy : y ∈ {x | ∀ (a : 𝕜), ‖a‖ ≤ 1 → a • x ∈ (convexHull ℝ) s}
u v : ℝ
hu : 0 ≤ u
hv : 0 ≤ v
huv : u + v = 1
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
⊢ a • (u • x + v • y) ∈ (convexHull ℝ) s

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
s : Set E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
hs : Balanced 𝕜 s
x : E
hx : x ∈ {x | ∀ (a : 𝕜), ‖a‖ ≤ 1 → a • x ∈ (convexHull ℝ) s}
y : E
hy : y ∈ {x | ∀ (a : 𝕜), ‖a‖ ≤ 1 → a • x ∈ (convexHull ℝ) s}
u v : ℝ
hu : 0 ≤ u
hv : 0 ≤ v
huv : u + v = 1
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
⊢ u • a • x + v • a • y ∈ (convexHull ℝ) s

Tactic:
exact convex_convexHull ℝ s (hx a ha) (hy a ha) hu hv huv

Result:
no goals

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
s : Set E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
hs : Balanced 𝕜 s
this : Convex ℝ {x | ∀ (a : 𝕜), ‖a‖ ≤ 1 → a • x ∈ (convexHull ℝ) s}
⊢ Balanced 𝕜 ((convexHull ℝ) s)

Tactic:
rw [balanced_iff_smul_mem] at hs ⊢

Result:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
s : Set E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
hs : ∀ ⦃a : 𝕜⦄, ‖a‖ ≤ 1 → ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → a • x ∈ s
this : Convex ℝ {x | ∀ (a : 𝕜), ‖a‖ ≤ 1 → a • x ∈ (convexHull ℝ) s}
⊢ ∀ ⦃a : 𝕜⦄, ‖a‖ ≤ 1 → ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ (convexHull ℝ) s → a • x ∈ (convexHull ℝ) s

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
s : Set E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
hs : ∀ ⦃a : 𝕜⦄, ‖a‖ ≤ 1 → ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → a • x ∈ s
this : Convex ℝ {x | ∀ (a : 𝕜), ‖a‖ ≤ 1 → a • x ∈ (convexHull ℝ) s}
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
x : E
hx : x ∈ (convexHull ℝ) s
⊢ s ⊆ {x | ∀ (a : 𝕜), ‖a‖ ≤ 1 → a • x ∈ (convexHull ℝ) s}

Tactic:
exact fun y hy a ha => subset_convexHull ℝ s (hs ha hy)

Result:
no goals

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
s : Set E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
hs : Balanced 𝕜 s
⊢ Balanced 𝕜 ((convexHull ℝ) s)

Tactic:
suffices Convex ℝ { x | ∀ a : 𝕜, ‖a‖ ≤ 1 → a • x ∈ convexHull ℝ s } by
  rw [balanced_iff_smul_mem] at hs ⊢
  refine fun a ha x hx => convexHull_min ?_ this hx a ha
  exact fun y hy a ha => subset_convexHull ℝ s (hs ha hy)

Result:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
s : Set E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
hs : Balanced 𝕜 s
⊢ Convex ℝ {x | ∀ (a : 𝕜), ‖a‖ ≤ 1 → a • x ∈ (convexHull ℝ) s}

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
s : Set E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
hs : Balanced 𝕜 s
x : E
hx : x ∈ {x | ∀ (a : 𝕜), ‖a‖ ≤ 1 → a • x ∈ (convexHull ℝ) s}
y : E
hy : y ∈ {x | ∀ (a : 𝕜), ‖a‖ ≤ 1 → a • x ∈ (convexHull ℝ) s}
u v : ℝ
hu : 0 ≤ u
hv : 0 ≤ v
huv : u + v = 1
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
⊢ a • (u • x + v • y) ∈ (convexHull ℝ) s

Tactic:
simp only [smul_add, ← smul_comm]

Result:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module 𝕜 E
s : Set E
inst✝¹ : Module ℝ E
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
hs : Balanced 𝕜 s
x : E
hx : x ∈ {x | ∀ (a : 𝕜), ‖a‖ ≤ 1 → a • x ∈ (convexHull ℝ) s}
y : E
hy : y ∈ {x | ∀ (a : 𝕜), ‖a‖ ≤ 1 → a • x ∈ (convexHull ℝ) s}
u v : ℝ
hu : 0 ≤ u
hv : 0 ≤ v
huv : u + v = 1
a : 𝕜
ha : ‖a‖ ≤ 1
⊢ u • a • x + v • a • y ∈ (convexHull ℝ) s