-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
theorem UniformIntegrable.spec' (hp : p ≠ 0) (hp' : p ≠ ∞) (hf : ∀ i, StronglyMeasurable (f i))
    (hfu : UniformIntegrable f p μ) {ε : ℝ} (hε : 0 < ε) :
    ∃ C : ℝ≥0, ∀ i, eLpNorm ({ x | C ≤ ‖f i x‖₊ }.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → β
hp : p ≠ 0
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hfu : UnifIntegrable f p μ
M : ℝ≥0
hM : ∀ (i : ι), eLpNorm (f i) p μ ≤ ↑M
ℐ : ℝ≥0 → ι
δ : ℝ≥0
hδpos : 0 < ↑δ
hδ :
  ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal ↑δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
hℐ : ∀ (C : ℝ≥0), ENNReal.ofReal ↑δ < μ {x | C ≤ ‖f (ℐ C) x‖₊}
C : ℝ≥0
x : α
hx : x ∈ {x | C ≤ ‖f (ℐ C) x‖₊}
⊢ C ≤ ‖{x | C ≤ ‖f (ℐ C) x‖₊}.indicator (f (ℐ C)) x‖₊

Tactic:
rwa [nnnorm_indicator_eq_indicator_nnnorm, Set.indicator_of_mem hx]

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → β
hp : p ≠ 0
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hfu : UnifIntegrable f p μ
M : ℝ≥0
hM : ∀ (i : ι), eLpNorm (f i) p μ ≤ ↑M
⊢ ∃ C, ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε

Tactic:
obtain ⟨δ, hδpos, hδ⟩ := hfu hε

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → β
hp : p ≠ 0
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hfu : UnifIntegrable f p μ
M : ℝ≥0
hM : ∀ (i : ι), eLpNorm (f i) p μ ≤ ↑M
δ : ℝ
hδpos : 0 < δ
hδ :
  ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
⊢ ∃ C, ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε

Proof state:
case intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → β
hp : p ≠ 0
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hfu : UnifIntegrable f p μ
M : ℝ≥0
hM : ∀ (i : ι), eLpNorm (f i) p μ ≤ ↑M
ℐ : ℝ≥0 → ι
δ : ℝ≥0
hδpos : 0 < ↑δ
hδ :
  ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal ↑δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
hℐ : ∀ (C : ℝ≥0), ENNReal.ofReal ↑δ < μ {x | C ≤ ‖f (ℐ C) x‖₊}
this : ↑2 * ↑(M ⊔ 1) ≤ eLpNorm (f (ℐ (2 * (M ⊔ 1) * δ⁻¹ ^ (1 / p.toReal)))) p μ
⊢ False

Tactic:
refine (lt_of_le_of_lt (le_trans
  (hM <| ℐ <| 2 * max M 1 * δ⁻¹ ^ (1 / p.toReal)) (le_max_left (M : ℝ≥0∞) 1))
    (lt_of_lt_of_le ?_ this)).ne rfl

Result:
case intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → β
hp : p ≠ 0
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hfu : UnifIntegrable f p μ
M : ℝ≥0
hM : ∀ (i : ι), eLpNorm (f i) p μ ≤ ↑M
ℐ : ℝ≥0 → ι
δ : ℝ≥0
hδpos : 0 < ↑δ
hδ :
  ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal ↑δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
hℐ : ∀ (C : ℝ≥0), ENNReal.ofReal ↑δ < μ {x | C ≤ ‖f (ℐ C) x‖₊}
this : ↑2 * ↑(M ⊔ 1) ≤ eLpNorm (f (ℐ (2 * (M ⊔ 1) * δ⁻¹ ^ (1 / p.toReal)))) p μ
⊢ ↑M ⊔ 1 < ↑2 * ↑(M ⊔ 1)

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → β
hp : p ≠ 0
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hfu : UnifIntegrable f p μ
M : ℝ≥0
hM : ∀ (i : ι), eLpNorm (f i) p μ ≤ ↑M
ℐ : ℝ≥0 → ι
δ : ℝ≥0
hδpos : 0 < ↑δ
hδ :
  ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal ↑δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
hℐ : ∀ (C : ℝ≥0), ENNReal.ofReal ↑δ < μ {x | C ≤ ‖f (ℐ C) x‖₊}
C : ℝ≥0
⊢ ↑C * ↑δ ^ (1 / p.toReal) ≤ ↑C * μ {x | C ≤ ‖f (ℐ C) x‖₊} ^ (1 / p.toReal)

Tactic:
simp_rw [ENNReal.ofReal_coe_nnreal] at hℐ

Result:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → β
hp : p ≠ 0
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hfu : UnifIntegrable f p μ
M : ℝ≥0
hM : ∀ (i : ι), eLpNorm (f i) p μ ≤ ↑M
ℐ : ℝ≥0 → ι
δ : ℝ≥0
hδpos : 0 < ↑δ
hδ :
  ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal ↑δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
C : ℝ≥0
hℐ : ∀ (C : ℝ≥0), ↑δ < μ {x | C ≤ ‖f (ℐ C) x‖₊}
⊢ ↑C * ↑δ ^ (1 / p.toReal) ≤ ↑C * μ {x | C ≤ ‖f (ℐ C) x‖₊} ^ (1 / p.toReal)

Proof state:
case intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → β
hp : p ≠ 0
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hfu : UnifIntegrable f p μ
M : ℝ≥0
hM : ∀ (i : ι), eLpNorm (f i) p μ ≤ ↑M
ℐ : ℝ≥0 → ι
δ : ℝ≥0
hδpos : 0 < ↑δ
hδ :
  ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal ↑δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
hℐ : ∀ (C : ℝ≥0), ENNReal.ofReal ↑δ < μ {x | C ≤ ‖f (ℐ C) x‖₊}
this : ↑2 * ↑(M ⊔ 1) ≤ eLpNorm (f (ℐ (2 * (M ⊔ 1) * δ⁻¹ ^ (1 / p.toReal)))) p μ
⊢ ↑M ⊔ 1 < ↑2 * ↑(M ⊔ 1)

Tactic:
rw [← ENNReal.coe_one, ← ENNReal.coe_max, ← ENNReal.coe_mul, ENNReal.coe_lt_coe]

Result:
case intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → β
hp : p ≠ 0
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hfu : UnifIntegrable f p μ
M : ℝ≥0
hM : ∀ (i : ι), eLpNorm (f i) p μ ≤ ↑M
ℐ : ℝ≥0 → ι
δ : ℝ≥0
hδpos : 0 < ↑δ
hδ :
  ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal ↑δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
hℐ : ∀ (C : ℝ≥0), ENNReal.ofReal ↑δ < μ {x | C ≤ ‖f (ℐ C) x‖₊}
this : ↑2 * ↑(M ⊔ 1) ≤ eLpNorm (f (ℐ (2 * (M ⊔ 1) * δ⁻¹ ^ (1 / p.toReal)))) p μ
⊢ M ⊔ 1 < 2 * (M ⊔ 1)

Proof state:
case intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → β
hp : p ≠ 0
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hfu : UnifIntegrable f p μ
M : ℝ≥0
hM : ∀ (i : ι), eLpNorm (f i) p μ ≤ ↑M
ℐ : ℝ≥0 → ι
δ : ℝ≥0
hδpos : 0 < ↑δ
hδ :
  ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal ↑δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
hℐ : ∀ (C : ℝ≥0), ENNReal.ofReal ↑δ < μ {x | C ≤ ‖f (ℐ C) x‖₊}
⊢ False

Tactic:
have : ∀ C : ℝ≥0, C • (δ : ℝ≥0∞) ^ (1 / p.toReal) ≤ eLpNorm (f (ℐ C)) p μ := by
  intro C
  calc
    C • (δ : ℝ≥0∞) ^ (1 / p.toReal) ≤ C • μ { x | C ≤ ‖f (ℐ C) x‖₊ } ^ (1 / p.toReal) := by
      rw [ENNReal.smul_def, ENNReal.smul_def, smul_eq_mul, smul_eq_mul]
      simp_rw [ENNReal.ofReal_coe_nnreal] at hℐ
      refine mul_le_mul' le_rfl
        (ENNReal.rpow_le_rpow (hℐ C).le (one_div_nonneg.2 ENNReal.toReal_nonneg))
    _ ≤ eLpNorm ({ x | C ≤ ‖f (ℐ C) x‖₊ }.indicator (f (ℐ C))) p μ := by
      refine le_eLpNorm_of_bddBelow hp hp' _
        (measurableSet_le measurable_const (hf _).nnnorm.measurable)
        (Eventually.of_forall fun x hx => ?_)
      rwa [nnnorm_indicator_eq_indicator_nnnorm, Set.indicator_of_mem hx]
    _ ≤ eLpNorm (f (ℐ C)) p μ := eLpNorm_indicator_le _

Result:
case intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : ι → α → β
hp : p ≠ 0
hp' : p ≠ ⊤
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
ε : ℝ
hε : 0 < ε
hfu : UnifIntegrable f p μ
M : ℝ≥0
hM : ∀ (i : ι), eLpNorm (f i) p μ ≤ ↑M
ℐ : ℝ≥0 → ι
δ : ℝ≥0
hδpos : 0 < ↑δ
hδ :
  ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal ↑δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
hℐ : ∀ (C : ℝ≥0), ENNReal.ofReal ↑δ < μ {x | C ≤ ‖f (ℐ C) x‖₊}
this : ∀ (C : ℝ≥0), C • ↑δ ^ (1 / p.toReal) ≤ eLpNorm (f (ℐ C)) p μ
⊢ False