-- Mathlib/Data/Multiset/ZeroCons.lean
theorem exists_mem_of_rel_of_mem {r : α → β → Prop} {s : Multiset α} {t : Multiset β}
    (h : Rel r s t) : ∀ {a : α}, a ∈ s → ∃ b ∈ t, r a b

Proof state:
case zero
α : Type u_1
β : Type v
r : α → β → Prop
s : Multiset α
t : Multiset β
⊢ ∀ {a : α}, a ∈ 0 → ∃ b, b ∈ 0 ∧ r a b

Tactic:
simp

Result:
no goals

Proof state:
case cons.inr.intro.intro
α : Type u_1
β : Type v
r : α → β → Prop
s✝ : Multiset α
t✝ : Multiset β
x : α
y : β
s : Multiset α
t : Multiset β
hxy : r x y
_hst : Rel r s t
ih : ∀ {a : α}, a ∈ s → ∃ b, b ∈ t ∧ r a b
a : α
ha✝ : a ∈ x ::ₘ s
ha : a ∈ s
b : β
hbt : b ∈ t
hab : r a b
⊢ ∃ b, b ∈ y ::ₘ t ∧ r a b

Tactic:
exact ⟨b, mem_cons.2 (Or.inr hbt), hab⟩

Result:
no goals

Proof state:
case cons.inl
α : Type u_1
β : Type v
r : α → β → Prop
s✝ : Multiset α
t✝ : Multiset β
x : α
y : β
s : Multiset α
t : Multiset β
hxy : r x y
_hst : Rel r s t
ih : ∀ {a : α}, a ∈ s → ∃ b, b ∈ t ∧ r a b
a : α
ha✝ : a ∈ x ::ₘ s
ha : a = x
⊢ ∃ b, b ∈ y ::ₘ t ∧ r a b

Tactic:
exact ⟨y, mem_cons_self _ _, ha.symm ▸ hxy⟩

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_1
β : Type v
r : α → β → Prop
s : Multiset α
t : Multiset β
h : Rel r s t
⊢ ∀ {a : α}, a ∈ s → ∃ b, b ∈ t ∧ r a b

Tactic:
induction' h with x y s t hxy _hst ih

Result:
case zero
α : Type u_1
β : Type v
r : α → β → Prop
s : Multiset α
t : Multiset β
⊢ ∀ {a : α}, a ∈ 0 → ∃ b, b ∈ 0 ∧ r a b

case cons
α : Type u_1
β : Type v
r : α → β → Prop
s✝ : Multiset α
t✝ : Multiset β
x : α
y : β
s : Multiset α
t : Multiset β
hxy : r x y
_hst : Rel r s t
ih : ∀ {a : α}, a ∈ s → ∃ b, b ∈ t ∧ r a b
⊢ ∀ {a : α}, a ∈ x ::ₘ s → ∃ b, b ∈ y ::ₘ t ∧ r a b

Proof state:
case cons
α : Type u_1
β : Type v
r : α → β → Prop
s✝ : Multiset α
t✝ : Multiset β
x : α
y : β
s : Multiset α
t : Multiset β
hxy : r x y
_hst : Rel r s t
ih : ∀ {a : α}, a ∈ s → ∃ b, b ∈ t ∧ r a b
⊢ ∀ {a : α}, a ∈ x ::ₘ s → ∃ b, b ∈ y ::ₘ t ∧ r a b

Tactic:
intro a ha

Result:
case cons
α : Type u_1
β : Type v
r : α → β → Prop
s✝ : Multiset α
t✝ : Multiset β
x : α
y : β
s : Multiset α
t : Multiset β
hxy : r x y
_hst : Rel r s t
ih : ∀ {a : α}, a ∈ s → ∃ b, b ∈ t ∧ r a b
a : α
ha : a ∈ x ::ₘ s
⊢ ∃ b, b ∈ y ::ₘ t ∧ r a b

Proof state:
case cons
α : Type u_1
β : Type v
r : α → β → Prop
s✝ : Multiset α
t✝ : Multiset β
x : α
y : β
s : Multiset α
t : Multiset β
hxy : r x y
_hst : Rel r s t
ih : ∀ {a : α}, a ∈ s → ∃ b, b ∈ t ∧ r a b
a : α
ha : a ∈ x ::ₘ s
⊢ ∃ b, b ∈ y ::ₘ t ∧ r a b

Tactic:
rcases mem_cons.1 ha with ha | ha

Result:
case cons.inl
α : Type u_1
β : Type v
r : α → β → Prop
s✝ : Multiset α
t✝ : Multiset β
x : α
y : β
s : Multiset α
t : Multiset β
hxy : r x y
_hst : Rel r s t
ih : ∀ {a : α}, a ∈ s → ∃ b, b ∈ t ∧ r a b
a : α
ha✝ : a ∈ x ::ₘ s
ha : a = x
⊢ ∃ b, b ∈ y ::ₘ t ∧ r a b

case cons.inr
α : Type u_1
β : Type v
r : α → β → Prop
s✝ : Multiset α
t✝ : Multiset β
x : α
y : β
s : Multiset α
t : Multiset β
hxy : r x y
_hst : Rel r s t
ih : ∀ {a : α}, a ∈ s → ∃ b, b ∈ t ∧ r a b
a : α
ha✝ : a ∈ x ::ₘ s
ha : a ∈ s
⊢ ∃ b, b ∈ y ::ₘ t ∧ r a b

Proof state:
case cons.inr
α : Type u_1
β : Type v
r : α → β → Prop
s✝ : Multiset α
t✝ : Multiset β
x : α
y : β
s : Multiset α
t : Multiset β
hxy : r x y
_hst : Rel r s t
ih : ∀ {a : α}, a ∈ s → ∃ b, b ∈ t ∧ r a b
a : α
ha✝ : a ∈ x ::ₘ s
ha : a ∈ s
⊢ ∃ b, b ∈ y ::ₘ t ∧ r a b

Tactic:
rcases ih ha with ⟨b, hbt, hab⟩

Result:
case cons.inr.intro.intro
α : Type u_1
β : Type v
r : α → β → Prop
s✝ : Multiset α
t✝ : Multiset β
x : α
y : β
s : Multiset α
t : Multiset β
hxy : r x y
_hst : Rel r s t
ih : ∀ {a : α}, a ∈ s → ∃ b, b ∈ t ∧ r a b
a : α
ha✝ : a ∈ x ::ₘ s
ha : a ∈ s
b : β
hbt : b ∈ t
hab : r a b
⊢ ∃ b, b ∈ y ::ₘ t ∧ r a b