-- Mathlib/FieldTheory/Galois/Infinite.lean
lemma fixingSubgroup_fixedField (H : ClosedSubgroup (K ≃ₐ[k] K)) [IsGalois k K] :
    (IntermediateField.fixedField H).fixingSubgroup = H.1

Proof state:
case h
k : Type u_1
K : Type u_2
inst✝³ : Field k
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra k K
H : ClosedSubgroup (K ≃ₐ[k] K)
inst✝ : IsGalois k K
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : σ ∈ (fixedField ↑H).fixingSubgroup
h✝ : σ ∉ ↑H
b : Set (K ≃ₐ[k] K)
sub : b ⊆ (fun y => σ * y) ⁻¹' (↑H).carrierᶜ
gp : Subgroup (K ≃ₐ[k] K)
L : IntermediateField k K
eq✝ : (fun g => g.carrier) L.fixingSubgroup = b
hL : L ∈ finiteExts k K
eq' : L.fixingSubgroup = gp
this : FiniteDimensional k ↥L
L' : FiniteGaloisIntermediateField k K :=
  let __src := normalClosure k (↥L) K;
  FiniteGaloisIntermediateField.mk __src
compl : σ • L'.fixingSubgroup.carrier ⊆ (↑H).carrierᶜ
fix : ∀ x ∈ lift (fixedField (Subgroup.map (restrictNormalHom ↥L'.toIntermediateField) ↑H)), σ x = x
h : K ≃ₐ[k] K
mem : h ∈ ↑↑H
eq : (restrictNormalHom ↥L'.toIntermediateField) h = (restrictNormalHom ↥L'.toIntermediateField) σ
⊢ σ⁻¹ * h ∈ L'.fixingSubgroup

Tactic:
apply (mem_fixingSubgroup_iff (K ≃ₐ[k] K)).mpr

Result:
case h
k : Type u_1
K : Type u_2
inst✝³ : Field k
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra k K
H : ClosedSubgroup (K ≃ₐ[k] K)
inst✝ : IsGalois k K
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : σ ∈ (fixedField ↑H).fixingSubgroup
h✝ : σ ∉ ↑H
b : Set (K ≃ₐ[k] K)
sub : b ⊆ (fun y => σ * y) ⁻¹' (↑H).carrierᶜ
gp : Subgroup (K ≃ₐ[k] K)
L : IntermediateField k K
eq✝ : (fun g => g.carrier) L.fixingSubgroup = b
hL : L ∈ finiteExts k K
eq' : L.fixingSubgroup = gp
this : FiniteDimensional k ↥L
L' : FiniteGaloisIntermediateField k K :=
  let __src := normalClosure k (↥L) K;
  FiniteGaloisIntermediateField.mk __src
compl : σ • L'.fixingSubgroup.carrier ⊆ (↑H).carrierᶜ
fix : ∀ x ∈ lift (fixedField (Subgroup.map (restrictNormalHom ↥L'.toIntermediateField) ↑H)), σ x = x
h : K ≃ₐ[k] K
mem : h ∈ ↑↑H
eq : (restrictNormalHom ↥L'.toIntermediateField) h = (restrictNormalHom ↥L'.toIntermediateField) σ
⊢ ∀ y ∈ ↑L'.toIntermediateField, (σ⁻¹ * h) • y = y

Proof state:
case intro.intro.a
k : Type u_1
K : Type u_2
inst✝³ : Field k
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra k K
H : ClosedSubgroup (K ≃ₐ[k] K)
inst✝ : IsGalois k K
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : σ ∈ (fixedField ↑H).fixingSubgroup
h : σ ∉ ↑H
b : Set (K ≃ₐ[k] K)
sub : b ⊆ (fun y => σ * y) ⁻¹' (↑H).carrierᶜ
gp : Subgroup (K ≃ₐ[k] K)
L : IntermediateField k K
eq : (fun g => g.carrier) L.fixingSubgroup = b
hL : L ∈ finiteExts k K
eq' : L.fixingSubgroup = gp
this : FiniteDimensional k ↥L
L' : FiniteGaloisIntermediateField k K :=
  let __src := normalClosure k (↥L) K;
  FiniteGaloisIntermediateField.mk __src
φ τ : K ≃ₐ[k] K
hτ : τ ∈ L'.fixingSubgroup.carrier
muleq : (fun x => σ • x) τ = φ
sub' : σ • b ⊆ (↑H).carrierᶜ
⊢ φ ∈ σ • b

Tactic:
simp only [← muleq, ← eq]

Result:
case intro.intro.a
k : Type u_1
K : Type u_2
inst✝³ : Field k
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra k K
H : ClosedSubgroup (K ≃ₐ[k] K)
inst✝ : IsGalois k K
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : σ ∈ (fixedField ↑H).fixingSubgroup
h : σ ∉ ↑H
b : Set (K ≃ₐ[k] K)
sub : b ⊆ (fun y => σ * y) ⁻¹' (↑H).carrierᶜ
gp : Subgroup (K ≃ₐ[k] K)
L : IntermediateField k K
eq : (fun g => g.carrier) L.fixingSubgroup = b
hL : L ∈ finiteExts k K
eq' : L.fixingSubgroup = gp
this : FiniteDimensional k ↥L
L' : FiniteGaloisIntermediateField k K :=
  let __src := normalClosure k (↥L) K;
  FiniteGaloisIntermediateField.mk __src
φ τ : K ≃ₐ[k] K
hτ : τ ∈ L'.fixingSubgroup.carrier
muleq : (fun x => σ • x) τ = φ
sub' : σ • b ⊆ (↑H).carrierᶜ
⊢ σ • τ ∈ σ • L.fixingSubgroup.carrier

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
k : Type u_1
K : Type u_2
inst✝³ : Field k
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra k K
H : ClosedSubgroup (K ≃ₐ[k] K)
inst✝ : IsGalois k K
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : σ ∈ (fixedField ↑H).fixingSubgroup
h : σ ∉ ↑H
b : Set (K ≃ₐ[k] K)
sub : b ⊆ (fun y => σ * y) ⁻¹' (↑H).carrierᶜ
gp : Subgroup (K ≃ₐ[k] K)
L : IntermediateField k K
eq : (fun g => g.carrier) L.fixingSubgroup = b
hL : L ∈ finiteExts k K
eq' : L.fixingSubgroup = gp
this : FiniteDimensional k ↥L
⊢ False

Tactic:
let L' : FiniteGaloisIntermediateField k K := {
  normalClosure k L K with
  finiteDimensional := normalClosure.is_finiteDimensional k L K
  isGalois := IsGalois.normalClosure k L K }

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
k : Type u_1
K : Type u_2
inst✝³ : Field k
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra k K
H : ClosedSubgroup (K ≃ₐ[k] K)
inst✝ : IsGalois k K
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : σ ∈ (fixedField ↑H).fixingSubgroup
h : σ ∉ ↑H
b : Set (K ≃ₐ[k] K)
sub : b ⊆ (fun y => σ * y) ⁻¹' (↑H).carrierᶜ
gp : Subgroup (K ≃ₐ[k] K)
L : IntermediateField k K
eq : (fun g => g.carrier) L.fixingSubgroup = b
hL : L ∈ finiteExts k K
eq' : L.fixingSubgroup = gp
this : FiniteDimensional k ↥L
L' : FiniteGaloisIntermediateField k K :=
  let __src := normalClosure k (↥L) K;
  FiniteGaloisIntermediateField.mk __src
⊢ False

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
k : Type u_1
K : Type u_2
inst✝³ : Field k
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra k K
H : ClosedSubgroup (K ≃ₐ[k] K)
inst✝ : IsGalois k K
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : σ ∈ (fixedField ↑H).fixingSubgroup
h✝ : σ ∉ ↑H
b : Set (K ≃ₐ[k] K)
sub : b ⊆ (fun y => σ * y) ⁻¹' (↑H).carrierᶜ
gp : Subgroup (K ≃ₐ[k] K)
L : IntermediateField k K
eq✝ : (fun g => g.carrier) L.fixingSubgroup = b
hL : L ∈ finiteExts k K
eq' : L.fixingSubgroup = gp
this✝ : FiniteDimensional k ↥L
L' : FiniteGaloisIntermediateField k K :=
  let __src := normalClosure k (↥L) K;
  FiniteGaloisIntermediateField.mk __src
compl : σ • L'.fixingSubgroup.carrier ⊆ (↑H).carrierᶜ
fix : ∀ x ∈ lift (fixedField (Subgroup.map (restrictNormalHom ↥L'.toIntermediateField) ↑H)), σ x = x
h : K ≃ₐ[k] K
mem : h ∈ ↑↑H
eq : (restrictNormalHom ↥L'.toIntermediateField) h = (restrictNormalHom ↥L'.toIntermediateField) σ
this : h ∈ σ • L'.fixingSubgroup.carrier
⊢ ∃ a ∈ σ • L'.fixingSubgroup.carrier, a ∉ (↑H).carrierᶜ

Tactic:
use h

Result:
case h
k : Type u_1
K : Type u_2
inst✝³ : Field k
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra k K
H : ClosedSubgroup (K ≃ₐ[k] K)
inst✝ : IsGalois k K
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : σ ∈ (fixedField ↑H).fixingSubgroup
h✝ : σ ∉ ↑H
b : Set (K ≃ₐ[k] K)
sub : b ⊆ (fun y => σ * y) ⁻¹' (↑H).carrierᶜ
gp : Subgroup (K ≃ₐ[k] K)
L : IntermediateField k K
eq✝ : (fun g => g.carrier) L.fixingSubgroup = b
hL : L ∈ finiteExts k K
eq' : L.fixingSubgroup = gp
this✝ : FiniteDimensional k ↥L
L' : FiniteGaloisIntermediateField k K :=
  let __src := normalClosure k (↥L) K;
  FiniteGaloisIntermediateField.mk __src
compl : σ • L'.fixingSubgroup.carrier ⊆ (↑H).carrierᶜ
fix : ∀ x ∈ lift (fixedField (Subgroup.map (restrictNormalHom ↥L'.toIntermediateField) ↑H)), σ x = x
h : K ≃ₐ[k] K
mem : h ∈ ↑↑H
eq : (restrictNormalHom ↥L'.toIntermediateField) h = (restrictNormalHom ↥L'.toIntermediateField) σ
this : h ∈ σ • L'.fixingSubgroup.carrier
⊢ h ∈ σ • L'.fixingSubgroup.carrier ∧ h ∉ (↑H).carrierᶜ