-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Haar/Basic.lean
theorem index_union_eq (K₁ K₂ : Compacts G) {V : Set G} (hV : (interior V).Nonempty)
    (h : Disjoint (K₁.1 * V⁻¹) (K₂.1 * V⁻¹)) :
    index (K₁.1 ∪ K₂.1) V = index K₁.1 V + index K₂.1 V

Proof state:
case hm.intro.intro.intro.intro.intro.intro
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : IsTopologicalGroup G
K₁ K₂ : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
h : Disjoint (K₁.carrier * V⁻¹) (K₂.carrier * V⁻¹)
s : Finset G
h1s : K₁.carrier ∪ K₂.carrier ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2s : s.card = index (K₁.carrier ∪ K₂.carrier) V
K : Set G
hK : K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
g : G
hg : g ∈ K
g₀ : G
h1g₀ : g₀ ∈ s
h2g₀ : g₀ * g ∈ V
⊢ g ∈ ⋃ g ∈ Finset.filter (fun g => ((fun h => g * h) ⁻¹' V ∩ K).Nonempty) s, (fun h => g * h) ⁻¹' V

Tactic:
simp only [mem_iUnion]

Result:
case hm.intro.intro.intro.intro.intro.intro
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : IsTopologicalGroup G
K₁ K₂ : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
h : Disjoint (K₁.carrier * V⁻¹) (K₂.carrier * V⁻¹)
s : Finset G
h1s : K₁.carrier ∪ K₂.carrier ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2s : s.card = index (K₁.carrier ∪ K₂.carrier) V
K : Set G
hK : K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
g : G
hg : g ∈ K
g₀ : G
h1g₀ : g₀ ∈ s
h2g₀ : g₀ * g ∈ V
⊢ ∃ i, ∃ (_ : i ∈ Finset.filter (fun g => ((fun h => g * h) ⁻¹' V ∩ K).Nonempty) s), g ∈ (fun h => i * h) ⁻¹' V

Proof state:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : IsTopologicalGroup G
K₁ K₂ : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
h : Disjoint (K₁.carrier * V⁻¹) (K₂.carrier * V⁻¹)
s : Finset G
h1s : K₁.carrier ∪ K₂.carrier ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2s : s.card = index (K₁.carrier ∪ K₂.carrier) V
K : Set G
hK : K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
⊢ index K V ≤ (Finset.filter (fun g => ((fun h => g * h) ⁻¹' V ∩ K).Nonempty) s).card

Tactic:
apply Nat.sInf_le

Result:
case hm
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : IsTopologicalGroup G
K₁ K₂ : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
h : Disjoint (K₁.carrier * V⁻¹) (K₂.carrier * V⁻¹)
s : Finset G
h1s : K₁.carrier ∪ K₂.carrier ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2s : s.card = index (K₁.carrier ∪ K₂.carrier) V
K : Set G
hK : K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
⊢ (Finset.filter (fun g => ((fun h => g * h) ⁻¹' V ∩ K).Nonempty) s).card ∈
    Finset.card '' {t | K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V}

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : IsTopologicalGroup G
K₁ K₂ : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
h : Disjoint (K₁.carrier * V⁻¹) (K₂.carrier * V⁻¹)
s : Finset G
h1s : K₁.carrier ∪ K₂.carrier ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2s : s.card = index (K₁.carrier ∪ K₂.carrier) V
this :
  ∀ K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V,
    index K V ≤ (Finset.filter (fun g => ((fun h => g * h) ⁻¹' V ∩ K).Nonempty) s).card
g₁ : G
a✝ : g₁ ∈ s
g₂ : G
h2g₂ : g₂ ∈ K₁.carrier
g₃ : G
h2g₃ : g₃ ∈ K₂.carrier
h1g₃ : g₁ * g₃ ∈ V
h1g₂ : g₁ * g₂ ∈ V
⊢ False

Tactic:
refine h.le_bot (?_ : g₁⁻¹ ∈ _)

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : IsTopologicalGroup G
K₁ K₂ : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
h : Disjoint (K₁.carrier * V⁻¹) (K₂.carrier * V⁻¹)
s : Finset G
h1s : K₁.carrier ∪ K₂.carrier ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2s : s.card = index (K₁.carrier ∪ K₂.carrier) V
this :
  ∀ K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V,
    index K V ≤ (Finset.filter (fun g => ((fun h => g * h) ⁻¹' V ∩ K).Nonempty) s).card
g₁ : G
a✝ : g₁ ∈ s
g₂ : G
h2g₂ : g₂ ∈ K₁.carrier
g₃ : G
h2g₃ : g₃ ∈ K₂.carrier
h1g₃ : g₁ * g₃ ∈ V
h1g₂ : g₁ * g₂ ∈ V
⊢ g₁⁻¹ ∈ K₁.carrier * V⁻¹ ⊓ K₂.carrier * V⁻¹

Proof state:
case hm.intro.intro.intro.intro.intro.intro
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : IsTopologicalGroup G
K₁ K₂ : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
h : Disjoint (K₁.carrier * V⁻¹) (K₂.carrier * V⁻¹)
s : Finset G
h1s : K₁.carrier ∪ K₂.carrier ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2s : s.card = index (K₁.carrier ∪ K₂.carrier) V
K : Set G
hK : K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
g : G
hg : g ∈ K
g₀ : G
h1g₀ : g₀ ∈ s
h2g₀ : g₀ * g ∈ V
⊢ ∃ i, ∃ (_ : i ∈ Finset.filter (fun g => ((fun h => g * h) ⁻¹' V ∩ K).Nonempty) s), g ∈ (fun h => i * h) ⁻¹' V

Tactic:
use g₀

Result:
case h
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : IsTopologicalGroup G
K₁ K₂ : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
h : Disjoint (K₁.carrier * V⁻¹) (K₂.carrier * V⁻¹)
s : Finset G
h1s : K₁.carrier ∪ K₂.carrier ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2s : s.card = index (K₁.carrier ∪ K₂.carrier) V
K : Set G
hK : K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
g : G
hg : g ∈ K
g₀ : G
h1g₀ : g₀ ∈ s
h2g₀ : g₀ * g ∈ V
⊢ ∃ (_ : g₀ ∈ Finset.filter (fun g => ((fun h => g * h) ⁻¹' V ∩ K).Nonempty) s), g ∈ (fun h => g₀ * h) ⁻¹' V

Proof state:
case hm
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : IsTopologicalGroup G
K₁ K₂ : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
h : Disjoint (K₁.carrier * V⁻¹) (K₂.carrier * V⁻¹)
s : Finset G
h1s : K₁.carrier ∪ K₂.carrier ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2s : s.card = index (K₁.carrier ∪ K₂.carrier) V
K : Set G
hK : K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
⊢ Finset.filter (fun g => ((fun h => g * h) ⁻¹' V ∩ K).Nonempty) s ∈ {t | K ⊆ ⋃ g ∈ t, (fun h => g * h) ⁻¹' V}

Tactic:
rw [mem_setOf_eq]

Result:
case hm
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : IsTopologicalGroup G
K₁ K₂ : Compacts G
V : Set G
hV : (interior V).Nonempty
h : Disjoint (K₁.carrier * V⁻¹) (K₂.carrier * V⁻¹)
s : Finset G
h1s : K₁.carrier ∪ K₂.carrier ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
h2s : s.card = index (K₁.carrier ∪ K₂.carrier) V
K : Set G
hK : K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V
⊢ K ⊆ ⋃ g ∈ Finset.filter (fun g => ((fun h => g * h) ⁻¹' V ∩ K).Nonempty) s, (fun h => g * h) ⁻¹' V