-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Differentiation.lean
theorem ae_tendsto_average_norm_sub {f : α → E} (hf : LocallyIntegrable f μ) :
    ∀ᵐ x ∂μ, Tendsto (fun a => ⨍ y in a, ‖f y - f x‖ ∂μ) (v.filterAt x) (𝓝 0)

Proof state:
α : Type u_1
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SecondCountableTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
x : α
hx : Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ₑ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
this : Tendsto (ENNReal.toReal ∘ fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ₑ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
a : Set α
h'a : μ a < ⊤
h''a : IntegrableOn f a μ
⊢ IntegrableOn (fun y => ‖f y - f x‖) a μ

Tactic:
exact (h''a.sub (integrableOn_const.2 (Or.inr h'a))).norm

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_1
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SecondCountableTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun a => ⨍ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ ∂μ) (v.filterAt x) (𝓝 0)

Tactic:
filter_upwards [v.ae_tendsto_lintegral_enorm_sub_div hf] with x hx

Result:
case h
α : Type u_1
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SecondCountableTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
x : α
hx : Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ₑ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun a => ⨍ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ ∂μ) (v.filterAt x) (𝓝 0)

Proof state:
case h
α : Type u_1
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SecondCountableTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
x : α
hx : Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ₑ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
this : Tendsto (ENNReal.toReal ∘ fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ₑ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
a : Set α
h'a : μ a < ⊤
h''a : IntegrableOn f a μ
A : IntegrableOn (fun y => ↑‖f y - f x‖₊) a μ
⊢ (μ a).toReal⁻¹ * (∫⁻ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ₑ ∂μ).toReal = (μ a).toReal⁻¹ • ∫ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ ∂μ

Tactic:
dsimp [enorm]

Result:
case h
α : Type u_1
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SecondCountableTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
x : α
hx : Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ₑ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
this : Tendsto (ENNReal.toReal ∘ fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ₑ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
a : Set α
h'a : μ a < ⊤
h''a : IntegrableOn f a μ
A : IntegrableOn (fun y => ↑‖f y - f x‖₊) a μ
⊢ (μ a).toReal⁻¹ * (∫⁻ (y : α) in a, ↑‖f y - f x‖₊ ∂μ).toReal = (μ a).toReal⁻¹ * ∫ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ ∂μ

Proof state:
α : Type u_1
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SecondCountableTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
x : α
hx : Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ₑ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
this : Tendsto (ENNReal.toReal ∘ fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ₑ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
⊢ (ENNReal.toReal ∘ fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ₑ ∂μ) / μ a) =ᶠ[v.filterAt x] fun a =>
    ⨍ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ ∂μ

Tactic:
filter_upwards [v.eventually_measure_lt_top x, v.eventually_filterAt_integrableOn x hf]
  with a h'a h''a

Result:
case h
α : Type u_1
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SecondCountableTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
x : α
hx : Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ₑ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
this : Tendsto (ENNReal.toReal ∘ fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ₑ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
a : Set α
h'a : μ a < ⊤
h''a : IntegrableOn f a μ
⊢ (ENNReal.toReal ∘ fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ₑ ∂μ) / μ a) a = ⨍ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ ∂μ

Proof state:
case h
α : Type u_1
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SecondCountableTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
x : α
hx : Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ₑ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
this : Tendsto (ENNReal.toReal ∘ fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ₑ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
a : Set α
h'a : μ a < ⊤
h''a : IntegrableOn f a μ
⊢ (ENNReal.toReal ∘ fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ₑ ∂μ) / μ a) a = ⨍ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ ∂μ

Tactic:
simp only [Function.comp_apply, ENNReal.toReal_div, setAverage_eq, div_eq_inv_mul]

Result:
case h
α : Type u_1
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SecondCountableTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
x : α
hx : Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ₑ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
this : Tendsto (ENNReal.toReal ∘ fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ₑ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
a : Set α
h'a : μ a < ⊤
h''a : IntegrableOn f a μ
⊢ (μ a).toReal⁻¹ * (∫⁻ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ₑ ∂μ).toReal = (μ a).toReal⁻¹ • ∫ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ ∂μ

Proof state:
case h
α : Type u_1
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SecondCountableTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
x : α
hx : Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ₑ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
this : Tendsto (ENNReal.toReal ∘ fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ₑ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
a : Set α
h'a : μ a < ⊤
h''a : IntegrableOn f a μ
⊢ (μ a).toReal⁻¹ * (∫⁻ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ₑ ∂μ).toReal = (μ a).toReal⁻¹ • ∫ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ ∂μ

Tactic:
have A : IntegrableOn (fun y => (‖f y - f x‖₊ : ℝ)) a μ := by
  simp_rw [coe_nnnorm]
  exact (h''a.sub (integrableOn_const.2 (Or.inr h'a))).norm

Result:
case h
α : Type u_1
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : SecondCountableTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
f : α → E
hf : LocallyIntegrable f μ
x : α
hx : Tendsto (fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ₑ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
this : Tendsto (ENNReal.toReal ∘ fun a => (∫⁻ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ₑ ∂μ) / μ a) (v.filterAt x) (𝓝 0)
a : Set α
h'a : μ a < ⊤
h''a : IntegrableOn f a μ
A : IntegrableOn (fun y => ↑‖f y - f x‖₊) a μ
⊢ (μ a).toReal⁻¹ * (∫⁻ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ₑ ∂μ).toReal = (μ a).toReal⁻¹ • ∫ (y : α) in a, ‖f y - f x‖ ∂μ