-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
theorem id_comp (p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F) (v0 : Fin 0 → E) :
    (id 𝕜 F (p 0 v0)).comp p = p

Proof state:
case h.inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
v0 : Fin 0 → E
⊢ (id 𝕜 F ((p 0) v0)).comp p 0 = p 0

Tactic:
ext v

Result:
case h.inl.H
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
v0 v : Fin 0 → E
⊢ ((id 𝕜 F ((p 0) v0)).comp p 0) v = (p 0) v

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
v0 : Fin 0 → E
n : ℕ
n_pos : n > 0
b : Composition n
a✝ : b ∈ Finset.univ
hb : b ≠ Composition.single n n_pos
this : b.length ≠ 1
⊢ 1 < b.length

Tactic:
have : 0 < b.length := Composition.length_pos_of_pos b n_pos

Result:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
v0 : Fin 0 → E
n : ℕ
n_pos : n > 0
b : Composition n
a✝ : b ∈ Finset.univ
hb : b ≠ Composition.single n n_pos
this✝ : b.length ≠ 1
this : 0 < b.length
⊢ 1 < b.length

Proof state:
case h.inr.h₀
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
v0 : Fin 0 → E
n : ℕ
n_pos : n > 0
⊢ ∀ b ∈ Finset.univ, b ≠ Composition.single n n_pos → (id 𝕜 F ((p 0) v0)).compAlongComposition p b = 0

Tactic:
intro b _ hb

Result:
case h.inr.h₀
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
v0 : Fin 0 → E
n : ℕ
n_pos : n > 0
b : Composition n
a✝ : b ∈ Finset.univ
hb : b ≠ Composition.single n n_pos
⊢ (id 𝕜 F ((p 0) v0)).compAlongComposition p b = 0

Proof state:
case h.inr.H
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
v0 : Fin 0 → E
n : ℕ
n_pos : n > 0
v : Fin n → E
⊢ (p ((Composition.single n n_pos).blocksFun 0)) (v ∘ ⇑((Composition.single n n_pos).embedding 0)) = (p n) v

Tactic:
refine p.congr rfl fun i him hin => congr_arg v <| ?_

Result:
case h.inr.H
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
v0 : Fin 0 → E
n : ℕ
n_pos : n > 0
v : Fin n → E
i : ℕ
him : i < (Composition.single n n_pos).blocksFun 0
hin : i < n
⊢ ((Composition.single n n_pos).embedding 0) ⟨i, him⟩ = ⟨i, hin⟩

Proof state:
case h.inr.H
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
v0 : Fin 0 → E
n : ℕ
n_pos : n > 0
v : Fin n → E
⊢ p.applyComposition (Composition.single n n_pos) v ⟨0, ⋯⟩ = (p n) v

Tactic:
dsimp [applyComposition]

Result:
case h.inr.H
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
v0 : Fin 0 → E
n : ℕ
n_pos : n > 0
v : Fin n → E
⊢ (p ((Composition.single n n_pos).blocksFun 0)) (v ∘ ⇑((Composition.single n n_pos).embedding 0)) = (p n) v

Proof state:
case h.inl.H
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
v0 v : Fin 0 → E
⊢ ((id 𝕜 F ((p 0) v0)).comp p 0) v = (p 0) v

Tactic:
simp only [comp_coeff_zero', id_apply_zero]

Result:
case h.inl.H
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
v0 v : Fin 0 → E
⊢ (p 0) v0 = (p 0) v

Proof state:
case h.inr.H
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
v0 : Fin 0 → E
n : ℕ
n_pos : n > 0
v : Fin n → E
i : ℕ
him : i < (Composition.single n n_pos).blocksFun 0
hin : i < n
⊢ ((Composition.single n n_pos).embedding 0) ⟨i, him⟩ = ⟨i, hin⟩

Tactic:
ext

Result:
case h.inr.H.h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
v0 : Fin 0 → E
n : ℕ
n_pos : n > 0
v : Fin n → E
i : ℕ
him : i < (Composition.single n n_pos).blocksFun 0
hin : i < n
⊢ ↑(((Composition.single n n_pos).embedding 0) ⟨i, him⟩) = ↑⟨i, hin⟩

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
v0 : Fin 0 → E
n : ℕ
n_pos : n > 0
b : Composition n
a✝ : b ∈ Finset.univ
hb : b ≠ Composition.single n n_pos
⊢ b.length ≠ 1

Tactic:
simpa [Composition.eq_single_iff_length] using hb

Result:
no goals

Proof state:
case h.inr.h₁
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
v0 : Fin 0 → E
n : ℕ
n_pos : n > 0
⊢ Composition.single n n_pos ∉ Finset.univ → (id 𝕜 F ((p 0) v0)).compAlongComposition p (Composition.single n n_pos) = 0

Tactic:
simp

Result:
no goals

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
v0 : Fin 0 → E
n : ℕ
n_pos : n > 0
b : Composition n
a✝ : b ∈ Finset.univ
hb : b ≠ Composition.single n n_pos
this✝ : b.length ≠ 1
this : 0 < b.length
⊢ 1 < b.length

Tactic:
omega

Result:
no goals