-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Chunk.lean
theorem edgeDensity_star_not_uniform [Nonempty α]
    (hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ card α) (hPε : ↑100 ≤ ↑4 ^ #P.parts * ε ^ 5)
    (hε₁ : ε ≤ 1) {hU : U ∈ P.parts} {hV : V ∈ P.parts} (hUVne : U ≠ V) (hUV : ¬G.IsUniform ε U V) :
    ↑3 / ↑4 * ε ≤
    |(∑ ab ∈ (star hP G ε hU V).product (star hP G ε hV U), (G.edgeDensity ab.1 ab.2 : ℝ)) /
      (#(star hP G ε hU V) * #(star hP G ε hV U)) -
        (∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts,
          (G.edgeDensity ab.1 ab.2 : ℝ)) / (16 : ℝ) ^ #P.parts|

Proof state:
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hUVne : U ≠ V
hUV : ¬G.IsUniform ε U V
p : ℝ :=
  (∑ ab ∈ (star hP G ε hU V).product (star hP G ε hV U), ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) /
    (↑(#(star hP G ε hU V)) * ↑(#(star hP G ε hV U)))
q : ℝ :=
  (∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) /
    (4 ^ #P.parts * 4 ^ #P.parts)
⊢ 3 / 4 * ε ≤ |p - q|

Tactic:
set r : ℝ := ↑(G.edgeDensity ((star hP G ε hU V).biUnion id) ((star hP G ε hV U).biUnion id))

Result:
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hUVne : U ≠ V
hUV : ¬G.IsUniform ε U V
p : ℝ :=
  (∑ ab ∈ (star hP G ε hU V).product (star hP G ε hV U), ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) /
    (↑(#(star hP G ε hU V)) * ↑(#(star hP G ε hV U)))
q : ℝ :=
  (∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) /
    (4 ^ #P.parts * 4 ^ #P.parts)
r : ℝ := ↑(G.edgeDensity ((star hP G ε hU V).biUnion id) ((star hP G ε hV U).biUnion id))
⊢ 3 / 4 * ε ≤ |p - q|

Proof state:
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hUVne : U ≠ V
hUV : ¬G.IsUniform ε U V
p : ℝ :=
  (∑ ab ∈ (star hP G ε hU V).product (star hP G ε hV U), ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) /
    (↑(#(star hP G ε hU V)) * ↑(#(star hP G ε hV U)))
q : ℝ :=
  (∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) /
    (4 ^ #P.parts * 4 ^ #P.parts)
r : ℝ := ↑(G.edgeDensity ((star hP G ε hU V).biUnion id) ((star hP G ε hV U).biUnion id))
s : ℝ := ↑(G.edgeDensity (G.nonuniformWitness ε U V) (G.nonuniformWitness ε V U))
t : ℝ := ↑(G.edgeDensity U V)
hrs : |r - s| ≤ ε / 5
hst : ε ≤ |s - t|
hpr : |p - r| ≤ ε ^ 5 / 49
⊢ |q - t| ≤ ε ^ 5 / 49

Tactic:
have := average_density_near_total_density hPα hPε hε₁
  (Subset.refl (chunk hP G ε hU).parts) (Subset.refl (chunk hP G ε hV).parts)

Result:
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
hUVne : U ≠ V
hUV : ¬G.IsUniform ε U V
p : ℝ :=
  (∑ ab ∈ (star hP G ε hU V).product (star hP G ε hV U), ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) /
    (↑(#(star hP G ε hU V)) * ↑(#(star hP G ε hV U)))
q : ℝ :=
  (∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) /
    (4 ^ #P.parts * 4 ^ #P.parts)
r : ℝ := ↑(G.edgeDensity ((star hP G ε hU V).biUnion id) ((star hP G ε hV U).biUnion id))
s : ℝ := ↑(G.edgeDensity (G.nonuniformWitness ε U V) (G.nonuniformWitness ε V U))
t : ℝ := ↑(G.edgeDensity U V)
hrs : |r - s| ≤ ε / 5
hst : ε ≤ |s - t|
hpr : |p - r| ≤ ε ^ 5 / 49
this :
  |(∑ ab ∈ (chunk hP G ε hU).parts.product (chunk hP G ε hV).parts, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) /
          (↑(#(chunk hP G ε hU).parts) * ↑(#(chunk hP G ε hV).parts)) -
        ↑(G.edgeDensity ((chunk hP G ε hU).parts.biUnion id) ((chunk hP G ε hV).parts.biUnion id))| ≤
    ε ^ 5 / 49
⊢ |q - t| ≤ ε ^ 5 / 49