-- Mathlib/Analysis/Calculus/SmoothSeries.lean
theorem contDiff_tsum_of_eventually (hf : ∀ i, ContDiff 𝕜 N (f i))
    (hv : ∀ k : ℕ, k ≤ N → Summable (v k))
    (h'f : ∀ k : ℕ, k ≤ N →
      ∀ᶠ i in (Filter.cofinite : Filter α), ∀ x : E, ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i) :
    ContDiff 𝕜 N fun x => ∑' i, f i x

Proof state:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
v : ℕ → α → ℝ
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 (↑N) (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → ∀ᶠ (i : α) in cofinite, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
m : ℕ
hm : ↑m ≤ N
t : Set α := {i | ¬∀ k ∈ Finset.range (m + 1), ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i}
ht : t.Finite
T : Finset α := ht.toFinset
⊢ (fun x => ∑' (i : α), f i x) = (fun x => ∑ i ∈ T, f i x) + fun x => ∑' (i : { i // i ∉ T }), f (↑i) x

Tactic:
ext1 x

Result:
case h
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
v : ℕ → α → ℝ
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 (↑N) (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → ∀ᶠ (i : α) in cofinite, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
m : ℕ
hm : ↑m ≤ N
t : Set α := {i | ¬∀ k ∈ Finset.range (m + 1), ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i}
ht : t.Finite
T : Finset α := ht.toFinset
x : E
⊢ ∑' (i : α), f i x = ((fun x => ∑ i ∈ T, f i x) + fun x => ∑' (i : { i // i ∉ T }), f (↑i) x) x

Proof state:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
v : ℕ → α → ℝ
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 (↑N) (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → ∀ᶠ (i : α) in cofinite, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
m : ℕ
hm : ↑m ≤ N
t : Set α := {i | ¬∀ k ∈ Finset.range (m + 1), ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i}
⊢ ∀ᶠ (i : α) in cofinite, ∀ k ∈ Finset.range (m + 1), ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i

Tactic:
rw [eventually_all_finset]

Result:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
v : ℕ → α → ℝ
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 (↑N) (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → ∀ᶠ (i : α) in cofinite, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
m : ℕ
hm : ↑m ≤ N
t : Set α := {i | ¬∀ k ∈ Finset.range (m + 1), ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i}
⊢ ∀ i ∈ Finset.range (m + 1), ∀ᶠ (x : α) in cofinite, ∀ (x_1 : E), ‖iteratedFDeriv 𝕜 i (f x) x_1‖ ≤ v i x

Proof state:
case mk
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
v : ℕ → α → ℝ
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 (↑N) (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → ∀ᶠ (i : α) in cofinite, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
m : ℕ
hm : ↑m ≤ N
t : Set α := {i | ¬∀ k ∈ Finset.range (m + 1), ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i}
ht : t.Finite
T : Finset α := ht.toFinset
this : (fun x => ∑' (i : α), f i x) = (fun x => ∑ i ∈ T, f i x) + fun x => ∑' (i : { i // i ∉ T }), f (↑i) x
h'u : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ ↑m → Summable (v k ∘ Subtype.val)
k : ℕ
i : α
hi : i ∉ T
x : E
hk : ↑k ≤ ↑m
⊢ ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f ↑⟨i, hi⟩) x‖ ≤ (v k ∘ Subtype.val) ⟨i, hi⟩

Tactic:
simp only [t, T, Finite.mem_toFinset, mem_setOf_eq, Finset.mem_range, not_forall, not_le,
  exists_prop, not_exists, not_and, not_lt] at hi

Result:
case mk
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
v : ℕ → α → ℝ
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 (↑N) (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → ∀ᶠ (i : α) in cofinite, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
m : ℕ
hm : ↑m ≤ N
t : Set α := {i | ¬∀ k ∈ Finset.range (m + 1), ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i}
ht : t.Finite
T : Finset α := ht.toFinset
this : (fun x => ∑' (i : α), f i x) = (fun x => ∑ i ∈ T, f i x) + fun x => ∑' (i : { i // i ∉ T }), f (↑i) x
h'u : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ ↑m → Summable (v k ∘ Subtype.val)
k : ℕ
i : α
hi✝ : i ∉ T
x : E
hk : ↑k ≤ ↑m
hi : ∀ x < m + 1, ∀ (x_1 : E), ‖iteratedFDeriv 𝕜 x (f i) x_1‖ ≤ v x i
⊢ ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f ↑⟨i, hi✝⟩) x‖ ≤ (v k ∘ Subtype.val) ⟨i, hi✝⟩

Proof state:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
v : ℕ → α → ℝ
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 (↑N) (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → ∀ᶠ (i : α) in cofinite, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
m : ℕ
hm : ↑m ≤ N
⊢ ContDiff 𝕜 ↑m fun x => ∑' (i : α), f i x

Tactic:
let t : Set α :=
  { i : α | ¬∀ k : ℕ, k ∈ Finset.range (m + 1) → ∀ x, ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i }

Result:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
v : ℕ → α → ℝ
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 (↑N) (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → ∀ᶠ (i : α) in cofinite, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
m : ℕ
hm : ↑m ≤ N
t : Set α := {i | ¬∀ k ∈ Finset.range (m + 1), ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i}
⊢ ContDiff 𝕜 ↑m fun x => ∑' (i : α), f i x