-- Mathlib/Data/Finset/Card.lean
theorem inj_on_of_surj_on_of_card_le (f : ∀ a ∈ s, β) (hf : ∀ a ha, f a ha ∈ t)
    (hsurj : ∀ b ∈ t, ∃ a ha, f a ha = b) (hst : #s ≤ #t) ⦃a₁⦄ (ha₁ : a₁ ∈ s) ⦃a₂⦄
    (ha₂ : a₂ ∈ s) (ha₁a₂ : f a₁ ha₁ = f a₂ ha₂) : a₁ = a₂

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β
f : (a : α) → a ∈ s → β
hf : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t
hsurj : ∀ b ∈ t, ∃ a, ∃ (ha : a ∈ s), f a ha = b
hst : #s ≤ #t
a₁ : α
ha₁ : a₁ ∈ s
a₂ : α
ha₂ : a₂ ∈ s
ha₁a₂ : f a₁ ha₁ = f a₂ ha₂
⊢ a₁ = a₂

Tactic:
let f' : s → β := fun a ↦ f a a.2

Result:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β
f : (a : α) → a ∈ s → β
hf : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t
hsurj : ∀ b ∈ t, ∃ a, ∃ (ha : a ∈ s), f a ha = b
hst : #s ≤ #t
a₁ : α
ha₁ : a₁ ∈ s
a₂ : α
ha₂ : a₂ ∈ s
ha₁a₂ : f a₁ ha₁ = f a₂ ha₂
f' : { x // x ∈ s } → β := fun a => f ↑a ⋯
⊢ a₁ = a₂

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β
f : (a : α) → a ∈ s → β
hf : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t
hsurj : ∀ b ∈ t, ∃ a, ∃ (ha : a ∈ s), f a ha = b
hst : #s ≤ #t
a₁ : α
ha₁ : a₁ ∈ s
a₂ : α
ha₂ : a₂ ∈ s
ha₁a₂ : f a₁ ha₁ = f a₂ ha₂
f' : { x // x ∈ s } → β := fun a => f ↑a ⋯
hsurj' : Set.SurjOn f' ↑s.attach ↑t
hinj' : Set.InjOn f' ↑s.attach
⊢ ⟨a₁, ha₁⟩ ∈ ↑s.attach

Tactic:
simp

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β
f : (a : α) → a ∈ s → β
hf : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t
hsurj : ∀ b ∈ t, ∃ a, ∃ (ha : a ∈ s), f a ha = b
hst : #s ≤ #t
a₁ : α
ha₁ : a₁ ∈ s
a₂ : α
ha₂ : a₂ ∈ s
ha₁a₂ : f a₁ ha₁ = f a₂ ha₂
f' : { x // x ∈ s } → β := fun a => f ↑a ⋯
hsurj' : Set.SurjOn f' ↑s.attach ↑t
⊢ a₁ = a₂

Tactic:
have hinj' := injOn_of_surjOn_of_card_le f' (fun x hx ↦ hf _ _) hsurj' (by simpa)

Result:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β
f : (a : α) → a ∈ s → β
hf : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t
hsurj : ∀ b ∈ t, ∃ a, ∃ (ha : a ∈ s), f a ha = b
hst : #s ≤ #t
a₁ : α
ha₁ : a₁ ∈ s
a₂ : α
ha₂ : a₂ ∈ s
ha₁a₂ : f a₁ ha₁ = f a₂ ha₂
f' : { x // x ∈ s } → β := fun a => f ↑a ⋯
hsurj' : Set.SurjOn f' ↑s.attach ↑t
hinj' : Set.InjOn f' ↑s.attach
⊢ a₁ = a₂

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β
f : (a : α) → a ∈ s → β
hf : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t
hsurj : ∀ b ∈ t, ∃ a, ∃ (ha : a ∈ s), f a ha = b
hst : #s ≤ #t
a₁ : α
ha₁ : a₁ ∈ s
a₂ : α
ha₂ : a₂ ∈ s
ha₁a₂ : f a₁ ha₁ = f a₂ ha₂
f' : { x // x ∈ s } → β := fun a => f ↑a ⋯
x : β
hx : x ∈ ↑t
⊢ x ∈ f' '' ↑s.attach

Tactic:
simpa [f'] using hsurj x hx

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β
f : (a : α) → a ∈ s → β
hf : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t
hsurj : ∀ b ∈ t, ∃ a, ∃ (ha : a ∈ s), f a ha = b
hst : #s ≤ #t
a₁ : α
ha₁ : a₁ ∈ s
a₂ : α
ha₂ : a₂ ∈ s
ha₁a₂ : f a₁ ha₁ = f a₂ ha₂
f' : { x // x ∈ s } → β := fun a => f ↑a ⋯
⊢ a₁ = a₂

Tactic:
have hsurj' : Set.SurjOn f' s.attach t := fun x hx ↦ by simpa [f'] using hsurj x hx

Result:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β
f : (a : α) → a ∈ s → β
hf : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t
hsurj : ∀ b ∈ t, ∃ a, ∃ (ha : a ∈ s), f a ha = b
hst : #s ≤ #t
a₁ : α
ha₁ : a₁ ∈ s
a₂ : α
ha₂ : a₂ ∈ s
ha₁a₂ : f a₁ ha₁ = f a₂ ha₂
f' : { x // x ∈ s } → β := fun a => f ↑a ⋯
hsurj' : Set.SurjOn f' ↑s.attach ↑t
⊢ a₁ = a₂

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β
f : (a : α) → a ∈ s → β
hf : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t
hsurj : ∀ b ∈ t, ∃ a, ∃ (ha : a ∈ s), f a ha = b
hst : #s ≤ #t
a₁ : α
ha₁ : a₁ ∈ s
a₂ : α
ha₂ : a₂ ∈ s
ha₁a₂ : f a₁ ha₁ = f a₂ ha₂
f' : { x // x ∈ s } → β := fun a => f ↑a ⋯
hsurj' : Set.SurjOn f' ↑s.attach ↑t
hinj' : Set.InjOn f' ↑s.attach
⊢ ⟨a₂, ha₂⟩ ∈ ↑s.attach

Tactic:
simp

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β
f : (a : α) → a ∈ s → β
hf : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t
hsurj : ∀ b ∈ t, ∃ a, ∃ (ha : a ∈ s), f a ha = b
hst : #s ≤ #t
a₁ : α
ha₁ : a₁ ∈ s
a₂ : α
ha₂ : a₂ ∈ s
ha₁a₂ : f a₁ ha₁ = f a₂ ha₂
f' : { x // x ∈ s } → β := fun a => f ↑a ⋯
hsurj' : Set.SurjOn f' ↑s.attach ↑t
hinj' : Set.InjOn f' ↑s.attach
⊢ a₁ = a₂

Tactic:
exact congrArg Subtype.val (@hinj' ⟨a₁, ha₁⟩ (by simp) ⟨a₂, ha₂⟩ (by simp) ha₁a₂)

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Finset α
t : Finset β
f : (a : α) → a ∈ s → β
hf : ∀ (a : α) (ha : a ∈ s), f a ha ∈ t
hsurj : ∀ b ∈ t, ∃ a, ∃ (ha : a ∈ s), f a ha = b
hst : #s ≤ #t
a₁ : α
ha₁ : a₁ ∈ s
a₂ : α
ha₂ : a₂ ∈ s
ha₁a₂ : f a₁ ha₁ = f a₂ ha₂
f' : { x // x ∈ s } → β := fun a => f ↑a ⋯
hsurj' : Set.SurjOn f' ↑s.attach ↑t
⊢ #s.attach ≤ #t

Tactic:
simpa

Result:
no goals