-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Basic.lean
theorem dist_integralSum_sum_integral_le_of_memBaseSet_of_iUnion_eq (h : Integrable I l f vol)
    (h0 : 0 < ε) (hπ : l.MemBaseSet I c (h.convergenceR ε c) π) {π₀ : Prepartition I}
    (hU : π.iUnion = π₀.iUnion) :
    dist (integralSum f vol π) (∑ J ∈ π₀.boxes, integral J l f vol) ≤ ε

Proof state:
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
I : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝¹ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
c : ℝ≥0
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace F
h : Integrable I l f vol
h0 : 0 < ε
hπ : l.MemBaseSet I c (h.convergenceR ε c) π
π₀ : Prepartition I
hU : π.iUnion = π₀.iUnion
δ : ℝ
δ0 : 0 < δ
⊢ dist (integralSum f vol π) (∑ J ∈ π₀.boxes, integral J l f vol) ≤ ε + δ

Tactic:
set δ' : ℝ := δ / (#π₀.boxes + 1)

Result:
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
I : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝¹ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
c : ℝ≥0
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace F
h : Integrable I l f vol
h0 : 0 < ε
hπ : l.MemBaseSet I c (h.convergenceR ε c) π
π₀ : Prepartition I
hU : π.iUnion = π₀.iUnion
δ : ℝ
δ0 : 0 < δ
δ' : ℝ := δ / (↑(#π₀.boxes) + 1)
⊢ dist (integralSum f vol π) (∑ J ∈ π₀.boxes, integral J l f vol) ≤ ε + δ

Proof state:
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
I : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝¹ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
c : ℝ≥0
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace F
h : Integrable I l f vol
h0 : 0 < ε
hπ : l.MemBaseSet I c (h.convergenceR ε c) π
π₀ : Prepartition I
hU : π.iUnion = π₀.iUnion
δ : ℝ
δ0 : 0 < δ
δ' : ℝ := δ / (↑(#π₀.boxes) + 1)
H0 : 0 < ↑(#π₀.boxes) + 1
δ'0 : 0 < δ'
C : ℝ≥0 := π₀.distortion ⊔ π₀.compl.distortion
πi : (J : Box ι) → TaggedPrepartition J
hπip : ∀ J ∈ π₀, (πi J).IsPartition
hπiδ' : ∀ J ∈ π₀, dist (integralSum f vol (πi J)) (integral J l f vol) ≤ δ'
hπiC : ∀ J ∈ π₀, l.MemBaseSet J C (h.convergenceR δ' C) (πi J)
⊢ dist (integralSum f vol π) (∑ J ∈ π₀.boxes, integral J l f vol) ≤ ε + δ

Tactic:
have : l.MemBaseSet I C (h.convergenceR δ' C) (π₀.biUnionTagged πi) :=
  biUnionTagged_memBaseSet hπiC hπip fun _ => le_max_right _ _

Result:
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
I : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝¹ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
c : ℝ≥0
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace F
h : Integrable I l f vol
h0 : 0 < ε
hπ : l.MemBaseSet I c (h.convergenceR ε c) π
π₀ : Prepartition I
hU : π.iUnion = π₀.iUnion
δ : ℝ
δ0 : 0 < δ
δ' : ℝ := δ / (↑(#π₀.boxes) + 1)
H0 : 0 < ↑(#π₀.boxes) + 1
δ'0 : 0 < δ'
C : ℝ≥0 := π₀.distortion ⊔ π₀.compl.distortion
πi : (J : Box ι) → TaggedPrepartition J
hπip : ∀ J ∈ π₀, (πi J).IsPartition
hπiδ' : ∀ J ∈ π₀, dist (integralSum f vol (πi J)) (integral J l f vol) ≤ δ'
hπiC : ∀ J ∈ π₀, l.MemBaseSet J C (h.convergenceR δ' C) (πi J)
this : l.MemBaseSet I C (h.convergenceR δ' C) (π₀.biUnionTagged πi)
⊢ dist (integralSum f vol π) (∑ J ∈ π₀.boxes, integral J l f vol) ≤ ε + δ

Proof state:
case intro.intro
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
I : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝¹ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
c : ℝ≥0
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace F
h : Integrable I l f vol
h0 : 0 < ε
hπ : l.MemBaseSet I c (h.convergenceR ε c) π
π₀ : Prepartition I
hU : π.iUnion = π₀.iUnion
δ : ℝ
δ0 : 0 < δ
δ' : ℝ := δ / (↑(#π₀.boxes) + 1)
H0 : 0 < ↑(#π₀.boxes) + 1
δ'0 : 0 < δ'
C : ℝ≥0 := π₀.distortion ⊔ π₀.compl.distortion
J : Box ι
hJ : J ∈ π₀
Hle : J ≤ I
HJi : Integrable J l f vol
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0) := fun x => h.convergenceR δ' C x ⊓ HJi.convergenceR δ' C x
hJd : J.distortion ≤ C
πJ : TaggedPrepartition J
hC : l.MemBaseSet J C r πJ
hp : πJ.IsPartition
hC₁ : l.MemBaseSet J C (HJi.convergenceR δ' C) πJ
⊢ ∃ πi,
    πi.IsPartition ∧ dist (integralSum f vol πi) (integral J l f vol) ≤ δ' ∧ l.MemBaseSet J C (h.convergenceR δ' C) πi

Tactic:
have hC₂ : l.MemBaseSet J C (h.convergenceR δ' C) πJ := by
  refine hC.mono J le_rfl le_rfl fun x _ => ?_; exact min_le_left _ _

Result:
case intro.intro
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
I : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝¹ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
c : ℝ≥0
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace F
h : Integrable I l f vol
h0 : 0 < ε
hπ : l.MemBaseSet I c (h.convergenceR ε c) π
π₀ : Prepartition I
hU : π.iUnion = π₀.iUnion
δ : ℝ
δ0 : 0 < δ
δ' : ℝ := δ / (↑(#π₀.boxes) + 1)
H0 : 0 < ↑(#π₀.boxes) + 1
δ'0 : 0 < δ'
C : ℝ≥0 := π₀.distortion ⊔ π₀.compl.distortion
J : Box ι
hJ : J ∈ π₀
Hle : J ≤ I
HJi : Integrable J l f vol
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0) := fun x => h.convergenceR δ' C x ⊓ HJi.convergenceR δ' C x
hJd : J.distortion ≤ C
πJ : TaggedPrepartition J
hC : l.MemBaseSet J C r πJ
hp : πJ.IsPartition
hC₁ : l.MemBaseSet J C (HJi.convergenceR δ' C) πJ
hC₂ : l.MemBaseSet J C (h.convergenceR δ' C) πJ
⊢ ∃ πi,
    πi.IsPartition ∧ dist (integralSum f vol πi) (integral J l f vol) ≤ δ' ∧ l.MemBaseSet J C (h.convergenceR δ' C) πi

Proof state:
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
I : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝¹ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
c : ℝ≥0
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace F
h : Integrable I l f vol
h0 : 0 < ε
hπ : l.MemBaseSet I c (h.convergenceR ε c) π
π₀ : Prepartition I
hU : π.iUnion = π₀.iUnion
δ : ℝ
δ0 : 0 < δ
δ' : ℝ := δ / (↑(#π₀.boxes) + 1)
H0 : 0 < ↑(#π₀.boxes) + 1
δ'0 : 0 < δ'
C : ℝ≥0 := π₀.distortion ⊔ π₀.compl.distortion
πi : (J : Box ι) → TaggedPrepartition J
hπip : ∀ J ∈ π₀, (πi J).IsPartition
hπiδ' : ∀ J ∈ π₀, dist (integralSum f vol (πi J)) (integral J l f vol) ≤ δ'
hπiC : ∀ J ∈ π₀, l.MemBaseSet J C (h.convergenceR δ' C) (πi J)
this : l.MemBaseSet I C (h.convergenceR δ' C) (π₀.biUnionTagged πi)
⊢ dist (integralSum f vol π) (∑ J ∈ π₀.boxes, integral J l f vol) ≤ ε + δ

Tactic:
have hU' : π.iUnion = (π₀.biUnionTagged πi).iUnion :=
  hU.trans (Prepartition.iUnion_biUnion_partition _ hπip).symm

Result:
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℝ F
I : Box ι
π : TaggedPrepartition I
inst✝¹ : Fintype ι
l : IntegrationParams
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
c : ℝ≥0
ε : ℝ
inst✝ : CompleteSpace F
h : Integrable I l f vol
h0 : 0 < ε
hπ : l.MemBaseSet I c (h.convergenceR ε c) π
π₀ : Prepartition I
hU : π.iUnion = π₀.iUnion
δ : ℝ
δ0 : 0 < δ
δ' : ℝ := δ / (↑(#π₀.boxes) + 1)
H0 : 0 < ↑(#π₀.boxes) + 1
δ'0 : 0 < δ'
C : ℝ≥0 := π₀.distortion ⊔ π₀.compl.distortion
πi : (J : Box ι) → TaggedPrepartition J
hπip : ∀ J ∈ π₀, (πi J).IsPartition
hπiδ' : ∀ J ∈ π₀, dist (integralSum f vol (πi J)) (integral J l f vol) ≤ δ'
hπiC : ∀ J ∈ π₀, l.MemBaseSet J C (h.convergenceR δ' C) (πi J)
this : l.MemBaseSet I C (h.convergenceR δ' C) (π₀.biUnionTagged πi)
hU' : π.iUnion = (π₀.biUnionTagged πi).iUnion
⊢ dist (integralSum f vol π) (∑ J ∈ π₀.boxes, integral J l f vol) ≤ ε + δ