-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
theorem contDiffWithinAt_succ_iff_hasFDerivWithinAt' (hn : n ≠ ∞) :
    ContDiffWithinAt 𝕜 (n + 1) f s x ↔
      ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x, u ⊆ insert x s ∧ (n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u) ∧
      ∃ f' : E → E →L[𝕜] F,
        (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n f' s x

Proof state:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : WithTop ℕ∞
hn : n ≠ ∞
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 (n + 1) f s x ↔
    ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x,
      u ⊆ insert x s ∧
        (n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u) ∧ ∃ f', (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n f' s x

Tactic:
refine ⟨fun hf => ?_, ?_⟩

Result:
case refine_1
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : WithTop ℕ∞
hn : n ≠ ∞
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 (n + 1) f s x
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x,
    u ⊆ insert x s ∧
      (n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u) ∧ ∃ f', (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n f' s x

case refine_2
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : WithTop ℕ∞
hn : n ≠ ∞
⊢ (∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x,
      u ⊆ insert x s ∧
        (n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u) ∧ ∃ f', (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n f' s x) →
    ContDiffWithinAt 𝕜 (n + 1) f s x

Proof state:
case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : WithTop ℕ∞
hn : n ≠ ∞
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
hus : u ⊆ insert x s
f_an : n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u
f' : E → E →L[𝕜] F
huf' : ∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x
hf' : ContDiffWithinAt 𝕜 n f' s x
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x,
    (n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u) ∧ ∃ f', (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n f' u x

Tactic:
exact ⟨u, hu, f_an, f', fun y hy => (huf' y hy).insert'.mono hus, hf'.insert.mono hus⟩

Result:
no goals

Proof state:
case refine_1
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : WithTop ℕ∞
hn : n ≠ ∞
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 (n + 1) f s x
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x,
    u ⊆ insert x s ∧
      (n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u) ∧ ∃ f', (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n f' s x

Tactic:
obtain ⟨u, hu, f_an, f', huf', hf'⟩ := (contDiffWithinAt_succ_iff_hasFDerivWithinAt hn).mp hf

Result:
case refine_1.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : WithTop ℕ∞
hn : n ≠ ∞
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 (n + 1) f s x
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
f_an : n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u
f' : E → E →L[𝕜] F
huf' : ∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
hf' : ContDiffWithinAt 𝕜 n f' u x
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x,
    u ⊆ insert x s ∧
      (n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u) ∧ ∃ f', (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) s x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n f' s x

Proof state:
case refine_1.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : WithTop ℕ∞
hn : n ≠ ∞
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 (n + 1) f s x
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
f_an : n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u
f' : E → E →L[𝕜] F
huf' : ∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
hf' : ContDiffWithinAt 𝕜 n f' u x
w : Set E
hw : IsOpen w
hxw : x ∈ w
hwu : insert x s ∩ w ⊆ u
y : E
hy : y ∈ insert x s ∩ w
⊢ s ∩ w ∈ 𝓝[s] y

Tactic:
exact inter_mem_nhdsWithin _ (hw.mem_nhds hy.2)

Result:
no goals