-- Mathlib/Data/DFinsupp/WellFounded.lean
theorem lex_fibration [∀ (i) (s : Set ι), Decidable (i ∈ s)] :
    Fibration (InvImage (GameAdd (DFinsupp.Lex r s) (DFinsupp.Lex r s)) snd) (DFinsupp.Lex r s)
      fun x => piecewise x.2.1 x.2.2 x.1

Proof state:
case neg
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
inst✝ : (i : ι) → (s : Set ι) → Decidable (i ∈ s)
p : Set ι
x₁ x₂ x : Π₀ (i : ι), α i
i : ι
hr : ∀ (j : ι), r j i → x j = if j ∈ p then x₁ j else x₂ j
hp : i ∉ p
hs : s i (x i) (x₂ i)
hi : ¬r i i
⊢ s i (x i) (x₂ i)

Tactic:
assumption

Result:
no goals

Proof state:
case neg
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
inst✝ : (i : ι) → (s : Set ι) → Decidable (i ∈ s)
p : Set ι
x₁ x₂ x : Π₀ (i : ι), α i
i : ι
hr : ∀ (j : ι), r j i → x j = if j ∈ p then x₁ j else x₂ j
hp : i ∉ p
hs : s i (x i) (x₂ i)
j : ι
h₁ : ¬(r j i ∧ j ∈ p)
h₂ : ¬r j i
⊢ x j = x j

Tactic:
rfl

Result:
no goals

Proof state:
case neg
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
inst✝ : (i : ι) → (s : Set ι) → Decidable (i ∈ s)
p : Set ι
x₁ x₂ x : Π₀ (i : ι), α i
i : ι
hr : ∀ (j : ι), r j i → x j = if j ∈ p then x₁ j else x₂ j
hp : i ∈ p
hs : s i (x i) (x₁ i)
j : ι
h₁ : r j i → j ∈ p
h₂ : ¬r j i
⊢ x j = x j

Tactic:
rfl

Result:
no goals

Proof state:
case neg
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
inst✝ : (i : ι) → (s : Set ι) → Decidable (i ∈ s)
p : Set ι
x₁ x₂ x : Π₀ (i : ι), α i
i : ι
hr : ∀ (j : ι), r j i → x j = if j ∈ p then x₁ j else x₂ j
hp : i ∉ p
hs : s i (x i) (x₂ i)
⊢ ∃ a',
    InvImage (GameAdd (DFinsupp.Lex r s) (DFinsupp.Lex r s)) snd a' (p, x₁, x₂) ∧
      (fun x => x.2.1.piecewise x.2.2 x.1) a' = x

Tactic:
refine ⟨⟨{ j | r j i ∧ j ∈ p }, x₁, piecewise x₂ x { j | r j i }⟩,
  .snd ⟨i, fun j hj ↦ ?_, ?_⟩, ?_⟩ <;> simp only [piecewise_apply, Set.mem_setOf_eq]

Result:
case neg.refine_1
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
inst✝ : (i : ι) → (s : Set ι) → Decidable (i ∈ s)
p : Set ι
x₁ x₂ x : Π₀ (i : ι), α i
i : ι
hr : ∀ (j : ι), r j i → x j = if j ∈ p then x₁ j else x₂ j
hp : i ∉ p
hs : s i (x i) (x₂ i)
j : ι
hj : r j i
⊢ (if r j i then x₂ j else x j) = x₂ j

case neg.refine_2
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
inst✝ : (i : ι) → (s : Set ι) → Decidable (i ∈ s)
p : Set ι
x₁ x₂ x : Π₀ (i : ι), α i
i : ι
hr : ∀ (j : ι), r j i → x j = if j ∈ p then x₁ j else x₂ j
hp : i ∉ p
hs : s i (x i) (x₂ i)
⊢ s i (if r i i then x₂ i else x i) (x₂ i)

case neg.refine_3
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
inst✝ : (i : ι) → (s : Set ι) → Decidable (i ∈ s)
p : Set ι
x₁ x₂ x : Π₀ (i : ι), α i
i : ι
hr : ∀ (j : ι), r j i → x j = if j ∈ p then x₁ j else x₂ j
hp : i ∉ p
hs : s i (x i) (x₂ i)
⊢ x₁.piecewise (x₂.piecewise x {j | r j i}) {j | r j i ∧ j ∈ p} = x

Proof state:
case neg.refine_3
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
inst✝ : (i : ι) → (s : Set ι) → Decidable (i ∈ s)
p : Set ι
x₁ x₂ x : Π₀ (i : ι), α i
i : ι
hr : ∀ (j : ι), r j i → x j = if j ∈ p then x₁ j else x₂ j
hp : i ∉ p
hs : s i (x i) (x₂ i)
⊢ x₁.piecewise (x₂.piecewise x {j | r j i}) {j | r j i ∧ j ∈ p} = x

Tactic:
ext1 j

Result:
case neg.refine_3.h
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
inst✝ : (i : ι) → (s : Set ι) → Decidable (i ∈ s)
p : Set ι
x₁ x₂ x : Π₀ (i : ι), α i
i : ι
hr : ∀ (j : ι), r j i → x j = if j ∈ p then x₁ j else x₂ j
hp : i ∉ p
hs : s i (x i) (x₂ i)
j : ι
⊢ (x₁.piecewise (x₂.piecewise x {j | r j i}) {j | r j i ∧ j ∈ p}) j = x j

Proof state:
case neg.refine_3.h
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
inst✝ : (i : ι) → (s : Set ι) → Decidable (i ∈ s)
p : Set ι
x₁ x₂ x : Π₀ (i : ι), α i
i : ι
hr : ∀ (j : ι), r j i → x j = if j ∈ p then x₁ j else x₂ j
hp : i ∉ p
hs : s i (x i) (x₂ i)
j : ι
⊢ (if r j i ∧ j ∈ p then x₁ j else if r j i then x₂ j else x j) = x j

Tactic:
split_ifs with h₁ h₂ <;> try rfl

Result:
case pos
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
inst✝ : (i : ι) → (s : Set ι) → Decidable (i ∈ s)
p : Set ι
x₁ x₂ x : Π₀ (i : ι), α i
i : ι
hr : ∀ (j : ι), r j i → x j = if j ∈ p then x₁ j else x₂ j
hp : i ∉ p
hs : s i (x i) (x₂ i)
j : ι
h₁ : r j i ∧ j ∈ p
⊢ x₁ j = x j

case pos
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
inst✝ : (i : ι) → (s : Set ι) → Decidable (i ∈ s)
p : Set ι
x₁ x₂ x : Π₀ (i : ι), α i
i : ι
hr : ∀ (j : ι), r j i → x j = if j ∈ p then x₁ j else x₂ j
hp : i ∉ p
hs : s i (x i) (x₂ i)
j : ι
h₁ : ¬(r j i ∧ j ∈ p)
h₂ : r j i
⊢ x₂ j = x j

Proof state:
case pos
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
inst✝ : (i : ι) → (s : Set ι) → Decidable (i ∈ s)
p : Set ι
x₁ x₂ x : Π₀ (i : ι), α i
i : ι
hr : ∀ (j : ι), r j i → x j = if j ∈ p then x₁ j else x₂ j
hp : i ∈ p
hs : s i (x i) (x₁ i)
⊢ ∃ a',
    InvImage (GameAdd (DFinsupp.Lex r s) (DFinsupp.Lex r s)) snd a' (p, x₁, x₂) ∧
      (fun x => x.2.1.piecewise x.2.2 x.1) a' = x

Tactic:
refine ⟨⟨{ j | r j i → j ∈ p }, piecewise x₁ x { j | r j i }, x₂⟩,
  .fst ⟨i, fun j hj ↦ ?_, ?_⟩, ?_⟩ <;> simp only [piecewise_apply, Set.mem_setOf_eq]

Result:
case pos.refine_1
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
inst✝ : (i : ι) → (s : Set ι) → Decidable (i ∈ s)
p : Set ι
x₁ x₂ x : Π₀ (i : ι), α i
i : ι
hr : ∀ (j : ι), r j i → x j = if j ∈ p then x₁ j else x₂ j
hp : i ∈ p
hs : s i (x i) (x₁ i)
j : ι
hj : r j i
⊢ (if r j i then x₁ j else x j) = x₁ j

case pos.refine_2
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
inst✝ : (i : ι) → (s : Set ι) → Decidable (i ∈ s)
p : Set ι
x₁ x₂ x : Π₀ (i : ι), α i
i : ι
hr : ∀ (j : ι), r j i → x j = if j ∈ p then x₁ j else x₂ j
hp : i ∈ p
hs : s i (x i) (x₁ i)
⊢ s i (if r i i then x₁ i else x i) (x₁ i)

case pos.refine_3
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
inst✝ : (i : ι) → (s : Set ι) → Decidable (i ∈ s)
p : Set ι
x₁ x₂ x : Π₀ (i : ι), α i
i : ι
hr : ∀ (j : ι), r j i → x j = if j ∈ p then x₁ j else x₂ j
hp : i ∈ p
hs : s i (x i) (x₁ i)
⊢ (x₁.piecewise x {j | r j i}).piecewise x₂ {j | r j i → j ∈ p} = x

Proof state:
case pos
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Zero (α i)
r : ι → ι → Prop
s : (i : ι) → α i → α i → Prop
inst✝ : (i : ι) → (s : Set ι) → Decidable (i ∈ s)
p : Set ι
x₁ x₂ x : Π₀ (i : ι), α i
i : ι
hr : ∀ (j : ι), r j i → x j = if j ∈ p then x₁ j else x₂ j
hp : i ∈ p
hs : s i (x i) (x₁ i)
j : ι
h₁ : r j i → j ∈ p
h₂ : r j i
⊢ x₁ j = x j

Tactic:
rw [hr j h₂, if_pos (h₁ h₂)]

Result:
no goals