-- Mathlib/Order/Filter/Bases.lean
theorem hasBasis_iInf {ι : Type*} {ι' : ι → Type*} {l : ι → Filter α} {p : ∀ i, ι' i → Prop}
    {s : ∀ i, ι' i → Set α} (hl : ∀ i, (l i).HasBasis (p i) (s i)) :
    (⨅ i, l i).HasBasis
      (fun If : Σ I : Set ι, ∀ i : I, ι' i => If.1.Finite ∧ ∀ i : If.1, p i (If.2 i)) fun If =>
      ⋂ i : If.1, s i (If.2 i)

Proof state:
case refine_2.intro.mk.intro.intro
α : Type u_1
ι : Type u_6
ι' : ι → Type u_7
l : ι → Filter α
p : (i : ι) → ι' i → Prop
s : (i : ι) → ι' i → Set α
hl : ∀ (i : ι), (l i).HasBasis (p i) (s i)
t : Set α
I : Set ι
f : (i : ↑I) → ι' ↑i
hsub : ⋂ i, s (↑i) (⟨I, f⟩.snd i) ⊆ t
hI : ⟨I, f⟩.fst.Finite
hf : ∀ (i : ↑⟨I, f⟩.fst), p (↑i) (⟨I, f⟩.snd i)
⊢ t ∈ ⨅ i, l i

Tactic:
refine mem_of_superset ?_ hsub

Result:
case refine_2.intro.mk.intro.intro
α : Type u_1
ι : Type u_6
ι' : ι → Type u_7
l : ι → Filter α
p : (i : ι) → ι' i → Prop
s : (i : ι) → ι' i → Set α
hl : ∀ (i : ι), (l i).HasBasis (p i) (s i)
t : Set α
I : Set ι
f : (i : ↑I) → ι' ↑i
hsub : ⋂ i, s (↑i) (⟨I, f⟩.snd i) ⊆ t
hI : ⟨I, f⟩.fst.Finite
hf : ∀ (i : ↑⟨I, f⟩.fst), p (↑i) (⟨I, f⟩.snd i)
⊢ ⋂ i, s (↑i) (⟨I, f⟩.snd i) ∈ ⨅ i, l i

Proof state:
case refine_1.intro.mk.intro.intro
α : Type u_1
ι : Type u_6
ι' : ι → Type u_7
l : ι → Filter α
p : (i : ι) → ι' i → Prop
s : (i : ι) → ι' i → Set α
hl : ∀ (i : ι), (l i).HasBasis (p i) (s i)
t : Set α
ht : t ∈ ⨅ i, l i
I : Set ι
f : (i : ι) → ι' i
hsub : ⋂ i ∈ (I, f).1, s i ((I, f).2 i) ⊆ t
hI : (I, f).1.Finite
hf : ∀ i ∈ (I, f).1, p i ((I, f).2 i)
⊢ ∃ i, (i.fst.Finite ∧ ∀ (i_1 : ↑i.fst), p (↑i_1) (i.snd i_1)) ∧ ⋂ i_1, s (↑i_1) (i.snd i_1) ⊆ t

Tactic:
exact ⟨⟨I, fun i => f i⟩, ⟨hI, Subtype.forall.mpr hf⟩, trans (iInter_subtype _ _) hsub⟩

Result:
no goals

Proof state:
case refine_2
α : Type u_1
ι : Type u_6
ι' : ι → Type u_7
l : ι → Filter α
p : (i : ι) → ι' i → Prop
s : (i : ι) → ι' i → Set α
hl : ∀ (i : ι), (l i).HasBasis (p i) (s i)
t : Set α
⊢ (∃ i, (i.fst.Finite ∧ ∀ (i_1 : ↑i.fst), p (↑i_1) (i.snd i_1)) ∧ ⋂ i_1, s (↑i_1) (i.snd i_1) ⊆ t) → t ∈ ⨅ i, l i

Tactic:
rintro ⟨⟨I, f⟩, ⟨hI, hf⟩, hsub⟩

Result:
case refine_2.intro.mk.intro.intro
α : Type u_1
ι : Type u_6
ι' : ι → Type u_7
l : ι → Filter α
p : (i : ι) → ι' i → Prop
s : (i : ι) → ι' i → Set α
hl : ∀ (i : ι), (l i).HasBasis (p i) (s i)
t : Set α
I : Set ι
f : (i : ↑I) → ι' ↑i
hsub : ⋂ i, s (↑i) (⟨I, f⟩.snd i) ⊆ t
hI : ⟨I, f⟩.fst.Finite
hf : ∀ (i : ↑⟨I, f⟩.fst), p (↑i) (⟨I, f⟩.snd i)
⊢ t ∈ ⨅ i, l i

Proof state:
case refine_2.intro.mk.intro.intro.intro
α : Type u_1
ι : Type u_6
ι' : ι → Type u_7
l : ι → Filter α
p : (i : ι) → ι' i → Prop
s : (i : ι) → ι' i → Set α
hl : ∀ (i : ι), (l i).HasBasis (p i) (s i)
t : Set α
I : Set ι
f : (i : ↑I) → ι' ↑i
hsub : ⋂ i, s (↑i) (⟨I, f⟩.snd i) ⊆ t
hI : ⟨I, f⟩.fst.Finite
hf : ∀ (i : ↑⟨I, f⟩.fst), p (↑i) (⟨I, f⟩.snd i)
val✝ : Fintype ↑⟨I, f⟩.fst
⊢ ⋂ i, s (↑i) (⟨I, f⟩.snd i) ∈ ⨅ i, l i

Tactic:
exact iInter_mem.2 fun i => mem_iInf_of_mem ↑i <| (hl i).mem_of_mem <| hf _

Result:
no goals

Proof state:
case refine_1
α : Type u_1
ι : Type u_6
ι' : ι → Type u_7
l : ι → Filter α
p : (i : ι) → ι' i → Prop
s : (i : ι) → ι' i → Set α
hl : ∀ (i : ι), (l i).HasBasis (p i) (s i)
t : Set α
ht : t ∈ ⨅ i, l i
⊢ ∃ i, (i.fst.Finite ∧ ∀ (i_1 : ↑i.fst), p (↑i_1) (i.snd i_1)) ∧ ⋂ i_1, s (↑i_1) (i.snd i_1) ⊆ t

Tactic:
rcases (hasBasis_iInf' hl).mem_iff.mp ht with ⟨⟨I, f⟩, ⟨hI, hf⟩, hsub⟩

Result:
case refine_1.intro.mk.intro.intro
α : Type u_1
ι : Type u_6
ι' : ι → Type u_7
l : ι → Filter α
p : (i : ι) → ι' i → Prop
s : (i : ι) → ι' i → Set α
hl : ∀ (i : ι), (l i).HasBasis (p i) (s i)
t : Set α
ht : t ∈ ⨅ i, l i
I : Set ι
f : (i : ι) → ι' i
hsub : ⋂ i ∈ (I, f).1, s i ((I, f).2 i) ⊆ t
hI : (I, f).1.Finite
hf : ∀ i ∈ (I, f).1, p i ((I, f).2 i)
⊢ ∃ i, (i.fst.Finite ∧ ∀ (i_1 : ↑i.fst), p (↑i_1) (i.snd i_1)) ∧ ⋂ i_1, s (↑i_1) (i.snd i_1) ⊆ t

Proof state:
case refine_2.intro.mk.intro.intro
α : Type u_1
ι : Type u_6
ι' : ι → Type u_7
l : ι → Filter α
p : (i : ι) → ι' i → Prop
s : (i : ι) → ι' i → Set α
hl : ∀ (i : ι), (l i).HasBasis (p i) (s i)
t : Set α
I : Set ι
f : (i : ↑I) → ι' ↑i
hsub : ⋂ i, s (↑i) (⟨I, f⟩.snd i) ⊆ t
hI : ⟨I, f⟩.fst.Finite
hf : ∀ (i : ↑⟨I, f⟩.fst), p (↑i) (⟨I, f⟩.snd i)
⊢ ⋂ i, s (↑i) (⟨I, f⟩.snd i) ∈ ⨅ i, l i

Tactic:
cases hI.nonempty_fintype

Result:
case refine_2.intro.mk.intro.intro.intro
α : Type u_1
ι : Type u_6
ι' : ι → Type u_7
l : ι → Filter α
p : (i : ι) → ι' i → Prop
s : (i : ι) → ι' i → Set α
hl : ∀ (i : ι), (l i).HasBasis (p i) (s i)
t : Set α
I : Set ι
f : (i : ↑I) → ι' ↑i
hsub : ⋂ i, s (↑i) (⟨I, f⟩.snd i) ⊆ t
hI : ⟨I, f⟩.fst.Finite
hf : ∀ (i : ↑⟨I, f⟩.fst), p (↑i) (⟨I, f⟩.snd i)
val✝ : Fintype ↑⟨I, f⟩.fst
⊢ ⋂ i, s (↑i) (⟨I, f⟩.snd i) ∈ ⨅ i, l i

Proof state:
α : Type u_1
ι : Type u_6
ι' : ι → Type u_7
l : ι → Filter α
p : (i : ι) → ι' i → Prop
s : (i : ι) → ι' i → Set α
hl : ∀ (i : ι), (l i).HasBasis (p i) (s i)
⊢ (⨅ i, l i).HasBasis (fun If => If.fst.Finite ∧ ∀ (i : ↑If.fst), p (↑i) (If.snd i)) fun If => ⋂ i, s (↑i) (If.snd i)

Tactic:
refine ⟨fun t => ⟨fun ht => ?_, ?_⟩⟩

Result:
case refine_1
α : Type u_1
ι : Type u_6
ι' : ι → Type u_7
l : ι → Filter α
p : (i : ι) → ι' i → Prop
s : (i : ι) → ι' i → Set α
hl : ∀ (i : ι), (l i).HasBasis (p i) (s i)
t : Set α
ht : t ∈ ⨅ i, l i
⊢ ∃ i, (i.fst.Finite ∧ ∀ (i_1 : ↑i.fst), p (↑i_1) (i.snd i_1)) ∧ ⋂ i_1, s (↑i_1) (i.snd i_1) ⊆ t

case refine_2
α : Type u_1
ι : Type u_6
ι' : ι → Type u_7
l : ι → Filter α
p : (i : ι) → ι' i → Prop
s : (i : ι) → ι' i → Set α
hl : ∀ (i : ι), (l i).HasBasis (p i) (s i)
t : Set α
⊢ (∃ i, (i.fst.Finite ∧ ∀ (i_1 : ↑i.fst), p (↑i_1) (i.snd i_1)) ∧ ⋂ i_1, s (↑i_1) (i.snd i_1) ⊆ t) → t ∈ ⨅ i, l i