-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Basic.lean
theorem angle_eq_abs_oangle_toReal {x y : V} (hx : x ≠ 0) (hy : y ≠ 0) :
    InnerProductGeometry.angle x y = |(o.oangle x y).toReal|

Proof state:
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h0 : 0 ≤ InnerProductGeometry.angle x y
hpi : InnerProductGeometry.angle x y ≤ π
⊢ InnerProductGeometry.angle x y = |(o.oangle x y).toReal|

Tactic:
rcases o.oangle_eq_angle_or_eq_neg_angle hx hy with (h | h)

Result:
case inl
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h0 : 0 ≤ InnerProductGeometry.angle x y
hpi : InnerProductGeometry.angle x y ≤ π
h : o.oangle x y = ↑(InnerProductGeometry.angle x y)
⊢ InnerProductGeometry.angle x y = |(o.oangle x y).toReal|

case inr
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h0 : 0 ≤ InnerProductGeometry.angle x y
hpi : InnerProductGeometry.angle x y ≤ π
h : o.oangle x y = -↑(InnerProductGeometry.angle x y)
⊢ InnerProductGeometry.angle x y = |(o.oangle x y).toReal|

Proof state:
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
⊢ InnerProductGeometry.angle x y = |(o.oangle x y).toReal|

Tactic:
have h0 := InnerProductGeometry.angle_nonneg x y

Result:
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h0 : 0 ≤ InnerProductGeometry.angle x y
⊢ InnerProductGeometry.angle x y = |(o.oangle x y).toReal|

Proof state:
case inl
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h0 : 0 ≤ InnerProductGeometry.angle x y
hpi : InnerProductGeometry.angle x y ≤ π
h : o.oangle x y = ↑(InnerProductGeometry.angle x y)
⊢ InnerProductGeometry.angle x y = |(o.oangle x y).toReal|

Tactic:
rw [h, eq_comm, Real.Angle.abs_toReal_coe_eq_self_iff]

Result:
case inl
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h0 : 0 ≤ InnerProductGeometry.angle x y
hpi : InnerProductGeometry.angle x y ≤ π
h : o.oangle x y = ↑(InnerProductGeometry.angle x y)
⊢ 0 ≤ InnerProductGeometry.angle x y ∧ InnerProductGeometry.angle x y ≤ π

Proof state:
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h0 : 0 ≤ InnerProductGeometry.angle x y
⊢ InnerProductGeometry.angle x y = |(o.oangle x y).toReal|

Tactic:
have hpi := InnerProductGeometry.angle_le_pi x y

Result:
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h0 : 0 ≤ InnerProductGeometry.angle x y
hpi : InnerProductGeometry.angle x y ≤ π
⊢ InnerProductGeometry.angle x y = |(o.oangle x y).toReal|

Proof state:
case inr
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h0 : 0 ≤ InnerProductGeometry.angle x y
hpi : InnerProductGeometry.angle x y ≤ π
h : o.oangle x y = -↑(InnerProductGeometry.angle x y)
⊢ 0 ≤ InnerProductGeometry.angle x y ∧ InnerProductGeometry.angle x y ≤ π

Tactic:
exact ⟨h0, hpi⟩

Result:
no goals

Proof state:
case inl
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h0 : 0 ≤ InnerProductGeometry.angle x y
hpi : InnerProductGeometry.angle x y ≤ π
h : o.oangle x y = ↑(InnerProductGeometry.angle x y)
⊢ 0 ≤ InnerProductGeometry.angle x y ∧ InnerProductGeometry.angle x y ≤ π

Tactic:
exact ⟨h0, hpi⟩

Result:
no goals

Proof state:
case inr
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h0 : 0 ≤ InnerProductGeometry.angle x y
hpi : InnerProductGeometry.angle x y ≤ π
h : o.oangle x y = -↑(InnerProductGeometry.angle x y)
⊢ InnerProductGeometry.angle x y = |(o.oangle x y).toReal|

Tactic:
rw [h, eq_comm, Real.Angle.abs_toReal_neg_coe_eq_self_iff]

Result:
case inr
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
h0 : 0 ≤ InnerProductGeometry.angle x y
hpi : InnerProductGeometry.angle x y ≤ π
h : o.oangle x y = -↑(InnerProductGeometry.angle x y)
⊢ 0 ≤ InnerProductGeometry.angle x y ∧ InnerProductGeometry.angle x y ≤ π