-- Mathlib/Algebra/ContinuedFractions/Computation/TerminatesIffRat.lean
theorem stream_succ_nth_fr_num_lt_nth_fr_num_rat {ifp_n ifp_succ_n : IntFractPair ℚ}
    (stream_nth_eq : IntFractPair.stream q n = some ifp_n)
    (stream_succ_nth_eq : IntFractPair.stream q (n + 1) = some ifp_succ_n) :
    ifp_succ_n.fr.num < ifp_n.fr.num

Proof state:
case intro.intro.intro.refl
q : ℚ
n : ℕ
ifp_n ifp_succ_n : IntFractPair ℚ
stream_nth_eq : IntFractPair.stream q n = some ifp_n
stream_succ_nth_eq : IntFractPair.stream q (n + 1) = some ifp_succ_n
stream_nth_eq' : IntFractPair.stream q n = some ifp_n
ifp_n_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
IntFractPair.of_eq_ifp_succ_n : IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹ = ifp_succ_n
⊢ ifp_succ_n.fr.num < ifp_n.fr.num

Tactic:
rw [← IntFractPair.of_eq_ifp_succ_n]

Result:
case intro.intro.intro.refl
q : ℚ
n : ℕ
ifp_n ifp_succ_n : IntFractPair ℚ
stream_nth_eq : IntFractPair.stream q n = some ifp_n
stream_succ_nth_eq : IntFractPair.stream q (n + 1) = some ifp_succ_n
stream_nth_eq' : IntFractPair.stream q n = some ifp_n
ifp_n_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
IntFractPair.of_eq_ifp_succ_n : IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹ = ifp_succ_n
⊢ (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).fr.num < ifp_n.fr.num

Proof state:
case intro.intro.intro.refl.intro
q : ℚ
n : ℕ
ifp_n ifp_succ_n : IntFractPair ℚ
stream_nth_eq : IntFractPair.stream q n = some ifp_n
stream_succ_nth_eq : IntFractPair.stream q (n + 1) = some ifp_succ_n
stream_nth_eq' : IntFractPair.stream q n = some ifp_n
ifp_n_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
IntFractPair.of_eq_ifp_succ_n : IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹ = ifp_succ_n
zero_le_ifp_n_fract : 0 ≤ ifp_n.fr
right✝ : ifp_n.fr < 1
⊢ (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).fr.num < ifp_n.fr.num

Tactic:
have : 0 < ifp_n.fr := lt_of_le_of_ne zero_le_ifp_n_fract <| ifp_n_fract_ne_zero.symm

Result:
case intro.intro.intro.refl.intro
q : ℚ
n : ℕ
ifp_n ifp_succ_n : IntFractPair ℚ
stream_nth_eq : IntFractPair.stream q n = some ifp_n
stream_succ_nth_eq : IntFractPair.stream q (n + 1) = some ifp_succ_n
stream_nth_eq' : IntFractPair.stream q n = some ifp_n
ifp_n_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
IntFractPair.of_eq_ifp_succ_n : IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹ = ifp_succ_n
zero_le_ifp_n_fract : 0 ≤ ifp_n.fr
right✝ : ifp_n.fr < 1
this : 0 < ifp_n.fr
⊢ (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).fr.num < ifp_n.fr.num

Proof state:
case intro.intro.intro
q : ℚ
n : ℕ
ifp_n ifp_succ_n : IntFractPair ℚ
stream_nth_eq : IntFractPair.stream q n = some ifp_n
stream_succ_nth_eq : IntFractPair.stream q (n + 1) = some ifp_succ_n
ifp_n' : IntFractPair ℚ
stream_nth_eq' : IntFractPair.stream q n = some ifp_n'
ifp_n_fract_ne_zero : ifp_n'.fr ≠ 0
IntFractPair.of_eq_ifp_succ_n : IntFractPair.of ifp_n'.fr⁻¹ = ifp_succ_n
this : ifp_n = ifp_n'
⊢ ifp_succ_n.fr.num < ifp_n.fr.num

Tactic:
cases this

Result:
case intro.intro.intro.refl
q : ℚ
n : ℕ
ifp_n ifp_succ_n : IntFractPair ℚ
stream_nth_eq : IntFractPair.stream q n = some ifp_n
stream_succ_nth_eq : IntFractPair.stream q (n + 1) = some ifp_succ_n
stream_nth_eq' : IntFractPair.stream q n = some ifp_n
ifp_n_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
IntFractPair.of_eq_ifp_succ_n : IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹ = ifp_succ_n
⊢ ifp_succ_n.fr.num < ifp_n.fr.num

Proof state:
case intro.intro.intro.refl
q : ℚ
n : ℕ
ifp_n ifp_succ_n : IntFractPair ℚ
stream_nth_eq : IntFractPair.stream q n = some ifp_n
stream_succ_nth_eq : IntFractPair.stream q (n + 1) = some ifp_succ_n
stream_nth_eq' : IntFractPair.stream q n = some ifp_n
ifp_n_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
IntFractPair.of_eq_ifp_succ_n : IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹ = ifp_succ_n
⊢ (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).fr.num < ifp_n.fr.num

Tactic:
obtain ⟨zero_le_ifp_n_fract, _⟩ := nth_stream_fr_nonneg_lt_one stream_nth_eq

Result:
case intro.intro.intro.refl.intro
q : ℚ
n : ℕ
ifp_n ifp_succ_n : IntFractPair ℚ
stream_nth_eq : IntFractPair.stream q n = some ifp_n
stream_succ_nth_eq : IntFractPair.stream q (n + 1) = some ifp_succ_n
stream_nth_eq' : IntFractPair.stream q n = some ifp_n
ifp_n_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
IntFractPair.of_eq_ifp_succ_n : IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹ = ifp_succ_n
zero_le_ifp_n_fract : 0 ≤ ifp_n.fr
right✝ : ifp_n.fr < 1
⊢ (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).fr.num < ifp_n.fr.num

Proof state:
case intro.intro.intro.refl.intro
q : ℚ
n : ℕ
ifp_n ifp_succ_n : IntFractPair ℚ
stream_nth_eq : IntFractPair.stream q n = some ifp_n
stream_succ_nth_eq : IntFractPair.stream q (n + 1) = some ifp_succ_n
stream_nth_eq' : IntFractPair.stream q n = some ifp_n
ifp_n_fract_ne_zero : ifp_n.fr ≠ 0
IntFractPair.of_eq_ifp_succ_n : IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹ = ifp_succ_n
zero_le_ifp_n_fract : 0 ≤ ifp_n.fr
right✝ : ifp_n.fr < 1
this : 0 < ifp_n.fr
⊢ (IntFractPair.of ifp_n.fr⁻¹).fr.num < ifp_n.fr.num

Tactic:
exact of_inv_fr_num_lt_num_of_pos this

Result:
no goals

Proof state:
q : ℚ
n : ℕ
ifp_n ifp_succ_n : IntFractPair ℚ
stream_nth_eq : IntFractPair.stream q n = some ifp_n
stream_succ_nth_eq : IntFractPair.stream q (n + 1) = some ifp_succ_n
ifp_n' : IntFractPair ℚ
stream_nth_eq' : IntFractPair.stream q n = some ifp_n'
ifp_n_fract_ne_zero : ifp_n'.fr ≠ 0
IntFractPair.of_eq_ifp_succ_n : IntFractPair.of ifp_n'.fr⁻¹ = ifp_succ_n
⊢ ifp_n = ifp_n'

Tactic:
injection Eq.trans stream_nth_eq.symm stream_nth_eq'

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro.intro
q : ℚ
n : ℕ
ifp_n ifp_succ_n : IntFractPair ℚ
stream_nth_eq : IntFractPair.stream q n = some ifp_n
stream_succ_nth_eq : IntFractPair.stream q (n + 1) = some ifp_succ_n
ifp_n' : IntFractPair ℚ
stream_nth_eq' : IntFractPair.stream q n = some ifp_n'
ifp_n_fract_ne_zero : ifp_n'.fr ≠ 0
IntFractPair.of_eq_ifp_succ_n : IntFractPair.of ifp_n'.fr⁻¹ = ifp_succ_n
⊢ ifp_succ_n.fr.num < ifp_n.fr.num

Tactic:
have : ifp_n = ifp_n' := by injection Eq.trans stream_nth_eq.symm stream_nth_eq'

Result:
case intro.intro.intro
q : ℚ
n : ℕ
ifp_n ifp_succ_n : IntFractPair ℚ
stream_nth_eq : IntFractPair.stream q n = some ifp_n
stream_succ_nth_eq : IntFractPair.stream q (n + 1) = some ifp_succ_n
ifp_n' : IntFractPair ℚ
stream_nth_eq' : IntFractPair.stream q n = some ifp_n'
ifp_n_fract_ne_zero : ifp_n'.fr ≠ 0
IntFractPair.of_eq_ifp_succ_n : IntFractPair.of ifp_n'.fr⁻¹ = ifp_succ_n
this : ifp_n = ifp_n'
⊢ ifp_succ_n.fr.num < ifp_n.fr.num

Proof state:
q : ℚ
n : ℕ
ifp_n ifp_succ_n : IntFractPair ℚ
stream_nth_eq : IntFractPair.stream q n = some ifp_n
stream_succ_nth_eq : IntFractPair.stream q (n + 1) = some ifp_succ_n
⊢ ifp_succ_n.fr.num < ifp_n.fr.num

Tactic:
obtain ⟨ifp_n', stream_nth_eq', ifp_n_fract_ne_zero, IntFractPair.of_eq_ifp_succ_n⟩ :
  ∃ ifp_n',
    IntFractPair.stream q n = some ifp_n' ∧
      ifp_n'.fr ≠ 0 ∧ IntFractPair.of ifp_n'.fr⁻¹ = ifp_succ_n :=
  succ_nth_stream_eq_some_iff.mp stream_succ_nth_eq

Result:
case intro.intro.intro
q : ℚ
n : ℕ
ifp_n ifp_succ_n : IntFractPair ℚ
stream_nth_eq : IntFractPair.stream q n = some ifp_n
stream_succ_nth_eq : IntFractPair.stream q (n + 1) = some ifp_succ_n
ifp_n' : IntFractPair ℚ
stream_nth_eq' : IntFractPair.stream q n = some ifp_n'
ifp_n_fract_ne_zero : ifp_n'.fr ≠ 0
IntFractPair.of_eq_ifp_succ_n : IntFractPair.of ifp_n'.fr⁻¹ = ifp_succ_n
⊢ ifp_succ_n.fr.num < ifp_n.fr.num