-- Mathlib/RingTheory/AlgebraicIndependent/Basic.lean
theorem map {f : A →ₐ[R] A'} (hf_inj : Set.InjOn f (adjoin R (range x))) :
    AlgebraicIndependent R (f ∘ x)

Proof state:
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : Type u_5
A' : Type u_6
x : ι → A
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing A'
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R A'
hx : AlgebraicIndependent R x
f : A →ₐ[R] A'
hf_inj : InjOn ⇑f ↑(adjoin R (range x))
this : aeval (⇑f ∘ x) = f.comp (aeval x)
p : MvPolynomial ι R
⊢ (aeval x) p ∈ (aeval Subtype.val).range

Tactic:
rw [AlgHom.mem_range]

Result:
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : Type u_5
A' : Type u_6
x : ι → A
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing A'
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R A'
hx : AlgebraicIndependent R x
f : A →ₐ[R] A'
hf_inj : InjOn ⇑f ↑(adjoin R (range x))
this : aeval (⇑f ∘ x) = f.comp (aeval x)
p : MvPolynomial ι R
⊢ ∃ x_1, (aeval Subtype.val) x_1 = (aeval x) p

Proof state:
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : Type u_5
A' : Type u_6
x : ι → A
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing A'
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R A'
hx : AlgebraicIndependent R x
f : A →ₐ[R] A'
hf_inj : InjOn ⇑f ↑(adjoin R (range x))
this : aeval (⇑f ∘ x) = f.comp (aeval x)
p : MvPolynomial ι R
⊢ ∃ x_1, (aeval Subtype.val) x_1 = (aeval x) p

Tactic:
refine ⟨MvPolynomial.rename (codRestrict x (range x) mem_range_self) p, ?_⟩

Result:
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : Type u_5
A' : Type u_6
x : ι → A
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing A'
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R A'
hx : AlgebraicIndependent R x
f : A →ₐ[R] A'
hf_inj : InjOn ⇑f ↑(adjoin R (range x))
this : aeval (⇑f ∘ x) = f.comp (aeval x)
p : MvPolynomial ι R
⊢ (aeval Subtype.val) ((rename (codRestrict x (range x) ⋯)) p) = (aeval x) p

Proof state:
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : Type u_5
A' : Type u_6
x✝ : ι → A
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing A'
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R A'
hx : AlgebraicIndependent R x✝
f : A →ₐ[R] A'
hf_inj : InjOn ⇑f ↑(aeval Subtype.val).range
this : aeval (⇑f ∘ x✝) = f.comp (aeval x✝)
h : ∀ (p : MvPolynomial ι R), (aeval x✝) p ∈ (aeval Subtype.val).range
x y : MvPolynomial ι R
hxy : (f.comp (aeval x✝)) x = (f.comp (aeval x✝)) y
⊢ x = y

Tactic:
exact hx (hf_inj (h x) (h y) hxy)

Result:
no goals

Proof state:
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : Type u_5
A' : Type u_6
x : ι → A
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing A'
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R A'
hx : AlgebraicIndependent R x
f : A →ₐ[R] A'
hf_inj : InjOn ⇑f ↑(adjoin R (range x))
this : aeval (⇑f ∘ x) = f.comp (aeval x)
⊢ AlgebraicIndependent R (⇑f ∘ x)

Tactic:
have h : ∀ p : MvPolynomial ι R, aeval x p ∈ (@aeval R _ _ _ _ _ ((↑) : range x → A)).range := by
  intro p
  rw [AlgHom.mem_range]
  refine ⟨MvPolynomial.rename (codRestrict x (range x) mem_range_self) p, ?_⟩
  simp [Function.comp_def, aeval_rename]

Result:
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : Type u_5
A' : Type u_6
x : ι → A
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing A'
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R A'
hx : AlgebraicIndependent R x
f : A →ₐ[R] A'
hf_inj : InjOn ⇑f ↑(adjoin R (range x))
this : aeval (⇑f ∘ x) = f.comp (aeval x)
h : ∀ (p : MvPolynomial ι R), (aeval x) p ∈ (aeval Subtype.val).range
⊢ AlgebraicIndependent R (⇑f ∘ x)

Proof state:
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : Type u_5
A' : Type u_6
x : ι → A
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing A'
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R A'
hx : AlgebraicIndependent R x
f : A →ₐ[R] A'
hf_inj : InjOn ⇑f ↑(adjoin R (range x))
⊢ AlgebraicIndependent R (⇑f ∘ x)

Tactic:
have : aeval (f ∘ x) = f.comp (aeval x) := by ext; simp

Result:
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : Type u_5
A' : Type u_6
x : ι → A
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing A'
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R A'
hx : AlgebraicIndependent R x
f : A →ₐ[R] A'
hf_inj : InjOn ⇑f ↑(adjoin R (range x))
this : aeval (⇑f ∘ x) = f.comp (aeval x)
⊢ AlgebraicIndependent R (⇑f ∘ x)

Proof state:
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : Type u_5
A' : Type u_6
x : ι → A
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing A'
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R A'
hx : AlgebraicIndependent R x
f : A →ₐ[R] A'
hf_inj : InjOn ⇑f ↑(adjoin R (range x))
this : aeval (⇑f ∘ x) = f.comp (aeval x)
p : MvPolynomial ι R
⊢ (aeval Subtype.val) ((rename (codRestrict x (range x) ⋯)) p) = (aeval x) p

Tactic:
simp [Function.comp_def, aeval_rename]

Result:
no goals

Proof state:
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : Type u_5
A' : Type u_6
x : ι → A
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing A'
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R A'
hx : AlgebraicIndependent R x
f : A →ₐ[R] A'
hf_inj : InjOn ⇑f ↑(adjoin R (range x))
this : aeval (⇑f ∘ x) = f.comp (aeval x)
⊢ ∀ (p : MvPolynomial ι R), (aeval x) p ∈ (aeval Subtype.val).range

Tactic:
intro p

Result:
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : Type u_5
A' : Type u_6
x : ι → A
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing A'
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R A'
hx : AlgebraicIndependent R x
f : A →ₐ[R] A'
hf_inj : InjOn ⇑f ↑(adjoin R (range x))
this : aeval (⇑f ∘ x) = f.comp (aeval x)
p : MvPolynomial ι R
⊢ (aeval x) p ∈ (aeval Subtype.val).range

Proof state:
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : Type u_5
A' : Type u_6
x✝ : ι → A
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing A'
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R A'
hx : AlgebraicIndependent R x✝
f : A →ₐ[R] A'
hf_inj : InjOn ⇑f ↑(adjoin R (range x✝))
this : aeval (⇑f ∘ x✝) = f.comp (aeval x✝)
h : ∀ (p : MvPolynomial ι R), (aeval x✝) p ∈ (aeval Subtype.val).range
x y : MvPolynomial ι R
hxy : (aeval (⇑f ∘ x✝)) x = (aeval (⇑f ∘ x✝)) y
⊢ x = y

Tactic:
rw [this] at hxy

Result:
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : Type u_5
A' : Type u_6
x✝ : ι → A
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing A'
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R A'
hx : AlgebraicIndependent R x✝
f : A →ₐ[R] A'
hf_inj : InjOn ⇑f ↑(adjoin R (range x✝))
this : aeval (⇑f ∘ x✝) = f.comp (aeval x✝)
h : ∀ (p : MvPolynomial ι R), (aeval x✝) p ∈ (aeval Subtype.val).range
x y : MvPolynomial ι R
hxy : (f.comp (aeval x✝)) x = (f.comp (aeval x✝)) y
⊢ x = y

Proof state:
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : Type u_5
A' : Type u_6
x : ι → A
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing A'
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R A'
hx : AlgebraicIndependent R x
f : A →ₐ[R] A'
hf_inj : InjOn ⇑f ↑(adjoin R (range x))
this : aeval (⇑f ∘ x) = f.comp (aeval x)
h : ∀ (p : MvPolynomial ι R), (aeval x) p ∈ (aeval Subtype.val).range
⊢ AlgebraicIndependent R (⇑f ∘ x)

Tactic:
intro x y hxy

Result:
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : Type u_5
A' : Type u_6
x✝ : ι → A
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing A'
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R A'
hx : AlgebraicIndependent R x✝
f : A →ₐ[R] A'
hf_inj : InjOn ⇑f ↑(adjoin R (range x✝))
this : aeval (⇑f ∘ x✝) = f.comp (aeval x✝)
h : ∀ (p : MvPolynomial ι R), (aeval x✝) p ∈ (aeval Subtype.val).range
x y : MvPolynomial ι R
hxy : (aeval (⇑f ∘ x✝)) x = (aeval (⇑f ∘ x✝)) y
⊢ x = y

Proof state:
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : Type u_5
A' : Type u_6
x : ι → A
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing A'
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R A'
hx : AlgebraicIndependent R x
f : A →ₐ[R] A'
hf_inj : InjOn ⇑f ↑(adjoin R (range x))
⊢ aeval (⇑f ∘ x) = f.comp (aeval x)

Tactic:
ext

Result:
case hf
ι : Type u_1
R : Type u_3
A : Type u_5
A' : Type u_6
x : ι → A
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : CommRing A'
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R A'
hx : AlgebraicIndependent R x
f : A →ₐ[R] A'
hf_inj : InjOn ⇑f ↑(adjoin R (range x))
i✝ : ι
⊢ (aeval (⇑f ∘ x)) (X i✝) = (f.comp (aeval x)) (X i✝)