-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
theorem whisker_assoc_bimod {W X Y Z : Mon_ C} (M : Bimod W X) {N N' : Bimod X Y} (f : N ⟶ N')
    (P : Bimod Y Z) :
    whiskerRight (whiskerLeft M f) P =
      (associatorBimod M N P).hom ≫
        whiskerLeft M (whiskerRight f P) ≫ (associatorBimod M N' P).inv

Proof state:
case h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
⊢ (whiskerRight (M.whiskerLeft f) P).hom =
    ((isoOfIso { hom := AssociatorBimod.hom M N P, inv := AssociatorBimod.inv M N P, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ }
            ⋯ ⋯).hom ≫
        M.whiskerLeft (whiskerRight f P) ≫
          (isoOfIso
              { hom := AssociatorBimod.hom M N' P, inv := AssociatorBimod.inv M N' P, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ }
              ⋯ ⋯).inv).hom

Tactic:
apply coequalizer.hom_ext

Result:
case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
⊢ coequalizer.π
        ({ X := TensorBimod.X M N, actLeft := TensorBimod.actLeft M N, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯,
              actRight := TensorBimod.actRight M N, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.actRight ▷
          P.X)
        ((α_
              { X := TensorBimod.X M N, actLeft := TensorBimod.actLeft M N, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯,
                  actRight := TensorBimod.actRight M N, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X
              Y.X P.X).hom ≫
          { X := TensorBimod.X M N, actLeft := TensorBimod.actLeft M N, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯,
                actRight := TensorBimod.actRight M N, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X ◁
            P.actLeft) ≫
      (whiskerRight (M.whiskerLeft f) P).hom =
    coequalizer.π
        ({ X := TensorBimod.X M N, actLeft := TensorBimod.actLeft M N, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯,
              actRight := TensorBimod.actRight M N, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.actRight ▷
          P.X)
        ((α_
              { X := TensorBimod.X M N, actLeft := TensorBimod.actLeft M N, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯,
                  actRight := TensorBimod.actRight M N, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X
              Y.X P.X).hom ≫
          { X := TensorBimod.X M N, actLeft := TensorBimod.actLeft M N, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯,
                actRight := TensorBimod.actRight M N, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }.X ◁
            P.actLeft) ≫
      ((isoOfIso
              { hom := AssociatorBimod.hom M N P, inv := AssociatorBimod.inv M N P, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯
              ⋯).hom ≫
          M.whiskerLeft (whiskerRight f P) ≫
            (isoOfIso
                { hom := AssociatorBimod.hom M N' P, inv := AssociatorBimod.inv M N' P, hom_inv_id := ⋯,
                  inv_hom_id := ⋯ }
                ⋯ ⋯).inv).hom

Proof state:
case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
⊢ (M.X ◁ f.hom ≫
          colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft))
            WalkingParallelPair.one) ▷
        P.X ≫
      colimit.ι
        (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X)
          ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft))
        WalkingParallelPair.one =
    (α_ M.X N.X P.X).hom ≫
      M.X ◁
          (f.hom ▷ P.X ≫
            colimit.ι (parallelPair (N'.actRight ▷ P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft))
              WalkingParallelPair.one) ≫
        AssociatorBimod.invAux M N' P

Tactic:
dsimp [AssociatorBimod.invAux]

Result:
case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N N' : Bimod X Y
f : N ⟶ N'
P : Bimod Y Z
⊢ (M.X ◁ f.hom ≫
          colimit.ι (parallelPair (M.actRight ▷ N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft))
            WalkingParallelPair.one) ▷
        P.X ≫
      colimit.ι
        (parallelPair (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X)
          ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft))
        WalkingParallelPair.one =
    (α_ M.X N.X P.X).hom ≫
      M.X ◁
          (f.hom ▷ P.X ≫
            colimit.ι (parallelPair (N'.actRight ▷ P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft))
              WalkingParallelPair.one) ≫
        (PreservesCoequalizer.iso (tensorLeft M.X) (N'.actRight ▷ P.X) ((α_ N'.X Y.X P.X).hom ≫ N'.X ◁ P.actLeft)).inv ≫
          coequalizer.desc
            ((α_ M.X N'.X P.X).inv ≫
              coequalizer.π (M.actRight ▷ N'.X) ((α_ M.X X.X N'.X).hom ≫ M.X ◁ N'.actLeft) ▷ P.X ≫
                coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N' ▷ P.X)
                  ((α_ (TensorBimod.X M N') Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N' ◁ P.actLeft))
            ⋯