-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
lemma bddAbove_slope_gt_of_mem_interior (hfc : ConvexOn 𝕜 s f) (hxs : x ∈ interior s) :
    BddAbove (slope f x '' {y ∈ s | y < x})

Proof state:
case intro.intro.refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
x : 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hfc : ConvexOn 𝕜 s f
hxs : x ∈ interior s
y : 𝕜
hyx : x < y
hys : y ∈ s
y' : 𝕜
x✝ : y' ∈ slope f x '' {y | y ∈ s ∧ y < x}
z : 𝕜
hz : z ∈ {y | y ∈ s ∧ y < x}
hz' : slope f x z = y'
⊢ y ∈ s \ {x}

Tactic:
simp [hys, hyx.ne']

Result:
no goals

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
x : 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hfc : ConvexOn 𝕜 s f
hxs : x ∈ interior s
⊢ BddAbove (slope f x '' {y | y ∈ s ∧ y < x})

Tactic:
obtain ⟨y, hyx, hys⟩ : ∃ y, x < y ∧ y ∈ s :=
  Eventually.exists_gt (mem_interior_iff_mem_nhds.mp hxs)

Result:
case intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
x : 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hfc : ConvexOn 𝕜 s f
hxs : x ∈ interior s
y : 𝕜
hyx : x < y
hys : y ∈ s
⊢ BddAbove (slope f x '' {y | y ∈ s ∧ y < x})

Proof state:
case intro.intro.refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
x : 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hfc : ConvexOn 𝕜 s f
hxs : x ∈ interior s
y : 𝕜
hyx : x < y
hys : y ∈ s
y' : 𝕜
x✝ : y' ∈ slope f x '' {y | y ∈ s ∧ y < x}
z : 𝕜
hz : z ∈ {y | y ∈ s ∧ y < x}
hz' : slope f x z = y'
⊢ z ∈ s \ {x}

Tactic:
simp [hz.2.ne, hz.1]

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
x : 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hfc : ConvexOn 𝕜 s f
hxs : x ∈ interior s
y : 𝕜
hyx : x < y
hys : y ∈ s
y' : 𝕜
x✝ : y' ∈ slope f x '' {y | y ∈ s ∧ y < x}
z : 𝕜
hz : z ∈ {y | y ∈ s ∧ y < x}
hz' : slope f x z = y'
⊢ slope f x z ≤ slope f x y

Tactic:
refine hfc.slope_mono (interior_subset hxs) ?_ ?_ (hz.2.trans hyx).le

Result:
case intro.intro.refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
x : 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hfc : ConvexOn 𝕜 s f
hxs : x ∈ interior s
y : 𝕜
hyx : x < y
hys : y ∈ s
y' : 𝕜
x✝ : y' ∈ slope f x '' {y | y ∈ s ∧ y < x}
z : 𝕜
hz : z ∈ {y | y ∈ s ∧ y < x}
hz' : slope f x z = y'
⊢ z ∈ s \ {x}

case intro.intro.refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
x : 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hfc : ConvexOn 𝕜 s f
hxs : x ∈ interior s
y : 𝕜
hyx : x < y
hys : y ∈ s
y' : 𝕜
x✝ : y' ∈ slope f x '' {y | y ∈ s ∧ y < x}
z : 𝕜
hz : z ∈ {y | y ∈ s ∧ y < x}
hz' : slope f x z = y'
⊢ y ∈ s \ {x}

Proof state:
case intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
x : 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hfc : ConvexOn 𝕜 s f
hxs : x ∈ interior s
y : 𝕜
hyx : x < y
hys : y ∈ s
y' : 𝕜
x✝ : y' ∈ slope f x '' {y | y ∈ s ∧ y < x}
z : 𝕜
hz : z ∈ {y | y ∈ s ∧ y < x}
hz' : slope f x z = y'
⊢ y' ∈ Iic (slope f x y)

Tactic:
simp_rw [mem_Iic, ← hz']

Result:
case intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
x : 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hfc : ConvexOn 𝕜 s f
hxs : x ∈ interior s
y : 𝕜
hyx : x < y
hys : y ∈ s
y' : 𝕜
x✝ : y' ∈ slope f x '' {y | y ∈ s ∧ y < x}
z : 𝕜
hz : z ∈ {y | y ∈ s ∧ y < x}
hz' : slope f x z = y'
⊢ slope f x z ≤ slope f x y

Proof state:
case intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
x : 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hfc : ConvexOn 𝕜 s f
hxs : x ∈ interior s
y : 𝕜
hyx : x < y
hys : y ∈ s
⊢ BddAbove (slope f x '' {y | y ∈ s ∧ y < x})

Tactic:
refine bddAbove_iff_subset_Iic.mpr ⟨slope f x y, fun y' ⟨z, hz, hz'⟩ ↦ ?_⟩

Result:
case intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
x : 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hfc : ConvexOn 𝕜 s f
hxs : x ∈ interior s
y : 𝕜
hyx : x < y
hys : y ∈ s
y' : 𝕜
x✝ : y' ∈ slope f x '' {y | y ∈ s ∧ y < x}
z : 𝕜
hz : z ∈ {y | y ∈ s ∧ y < x}
hz' : slope f x z = y'
⊢ y' ∈ Iic (slope f x y)