-- Mathlib/Analysis/Complex/LocallyUniformLimit.lean
theorem _root_.TendstoLocallyUniformlyOn.differentiableOn [φ.NeBot]
    (hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U) (hF : ∀ᶠ n in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) U)
    (hU : IsOpen U) : DifferentiableOn ℂ f U

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
U : Set ℂ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f : ℂ → E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : φ.NeBot
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U
hF : ∀ᶠ (n : ι) in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) U
hU : IsOpen U
x : ℂ
hx : x ∈ U
K : Set ℂ
hKU : K ⊆ U
hKx : K ∈ 𝓝 x
hK : IsCompact K
δ : ℝ
left✝¹ : δ > 0
left✝ : cthickening δ K ⊆ U
h1 : TendstoUniformlyOn (deriv ∘ F) (cderiv δ f) φ K
h2 : interior K ⊆ U
h3 : ∀ᶠ (n : ι) in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) (interior K)
h4 : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ (interior K)
⊢ DifferentiableWithinAt ℂ f U x

Tactic:
have h5 : TendstoLocallyUniformlyOn (deriv ∘ F) (cderiv δ f) φ (interior K) :=
  h1.tendstoLocallyUniformlyOn.mono interior_subset

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
U : Set ℂ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f : ℂ → E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : φ.NeBot
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U
hF : ∀ᶠ (n : ι) in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) U
hU : IsOpen U
x : ℂ
hx : x ∈ U
K : Set ℂ
hKU : K ⊆ U
hKx : K ∈ 𝓝 x
hK : IsCompact K
δ : ℝ
left✝¹ : δ > 0
left✝ : cthickening δ K ⊆ U
h1 : TendstoUniformlyOn (deriv ∘ F) (cderiv δ f) φ K
h2 : interior K ⊆ U
h3 : ∀ᶠ (n : ι) in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) (interior K)
h4 : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ (interior K)
h5 : TendstoLocallyUniformlyOn (deriv ∘ F) (cderiv δ f) φ (interior K)
⊢ DifferentiableWithinAt ℂ f U x

Proof state:
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
U : Set ℂ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f : ℂ → E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : φ.NeBot
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U
hF : ∀ᶠ (n : ι) in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) U
hU : IsOpen U
x : ℂ
hx : x ∈ U
K : Set ℂ
hKU : K ⊆ U
hKx : K ∈ 𝓝 x
hK : IsCompact K
δ : ℝ
left✝¹ : δ > 0
left✝ : cthickening δ K ⊆ U
h1 : TendstoUniformlyOn (deriv ∘ F) (cderiv δ f) φ K
h2 : interior K ⊆ U
⊢ ∀ᶠ (n : ι) in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) (interior K)

Tactic:
filter_upwards [hF] with n h using h.mono h2

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
U : Set ℂ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f : ℂ → E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : φ.NeBot
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U
hF : ∀ᶠ (n : ι) in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) U
hU : IsOpen U
x : ℂ
hx : x ∈ U
K : Set ℂ
hKU : K ⊆ U
hKx : K ∈ 𝓝 x
hK : IsCompact K
δ : ℝ
left✝¹ : δ > 0
left✝ : cthickening δ K ⊆ U
h1 : TendstoUniformlyOn (deriv ∘ F) (cderiv δ f) φ K
h2 : interior K ⊆ U
h3 : ∀ᶠ (n : ι) in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) (interior K)
h4 : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ (interior K)
h5 : TendstoLocallyUniformlyOn (deriv ∘ F) (cderiv δ f) φ (interior K)
h6 : ∀ x ∈ interior K, HasDerivAt f (cderiv δ f x) x
⊢ DifferentiableWithinAt ℂ f U x

Tactic:
have h7 : DifferentiableOn ℂ f (interior K) := fun x hx =>
  (h6 x hx).differentiableAt.differentiableWithinAt

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
U : Set ℂ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f : ℂ → E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : φ.NeBot
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U
hF : ∀ᶠ (n : ι) in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) U
hU : IsOpen U
x : ℂ
hx : x ∈ U
K : Set ℂ
hKU : K ⊆ U
hKx : K ∈ 𝓝 x
hK : IsCompact K
δ : ℝ
left✝¹ : δ > 0
left✝ : cthickening δ K ⊆ U
h1 : TendstoUniformlyOn (deriv ∘ F) (cderiv δ f) φ K
h2 : interior K ⊆ U
h3 : ∀ᶠ (n : ι) in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) (interior K)
h4 : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ (interior K)
h5 : TendstoLocallyUniformlyOn (deriv ∘ F) (cderiv δ f) φ (interior K)
h6 : ∀ x ∈ interior K, HasDerivAt f (cderiv δ f x) x
h7 : DifferentiableOn ℂ f (interior K)
⊢ DifferentiableWithinAt ℂ f U x

Proof state:
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
U : Set ℂ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f : ℂ → E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : φ.NeBot
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U
hF : ∀ᶠ (n : ι) in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) U
hU : IsOpen U
x : ℂ
hx : x ∈ U
⊢ DifferentiableWithinAt ℂ f U x

Tactic:
obtain ⟨K, ⟨hKx, hK⟩, hKU⟩ := (compact_basis_nhds x).mem_iff.mp (hU.mem_nhds hx)

Result:
case intro.intro.intro
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
U : Set ℂ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f : ℂ → E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : φ.NeBot
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U
hF : ∀ᶠ (n : ι) in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) U
hU : IsOpen U
x : ℂ
hx : x ∈ U
K : Set ℂ
hKU : K ⊆ U
hKx : K ∈ 𝓝 x
hK : IsCompact K
⊢ DifferentiableWithinAt ℂ f U x

Proof state:
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
U : Set ℂ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f : ℂ → E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : φ.NeBot
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U
hF : ∀ᶠ (n : ι) in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) U
hU : IsOpen U
⊢ DifferentiableOn ℂ f U

Tactic:
rintro x hx

Result:
E : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
U : Set ℂ
φ : Filter ι
F : ι → ℂ → E
f : ℂ → E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : φ.NeBot
hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U
hF : ∀ᶠ (n : ι) in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) U
hU : IsOpen U
x : ℂ
hx : x ∈ U
⊢ DifferentiableWithinAt ℂ f U x