-- Mathlib/Algebra/Star/Subalgebra.lean
theorem adjoin_induction_subtype {s : Set A} {p : adjoin R s → Prop} (a : adjoin R s)
    (mem : ∀ (x) (h : x ∈ s), p ⟨x, subset_adjoin R s h⟩) (algebraMap : ∀ r, p (algebraMap R _ r))
    (add : ∀ x y, p x → p y → p (x + y)) (mul : ∀ x y, p x → p y → p (x * y))
    (star : ∀ x, p x → p (star x)) : p a :=
  Subtype.recOn a fun b hb => by
    induction hb using adjoin_induction with
    | mem _ h => exact mem _ h
    | algebraMap _ => exact algebraMap _
    | mul _ _ _ _ h₁ h₂ => exact mul _ _ h₁ h₂
    | add _ _ _ _ h₁ h₂ => exact add _ _ h₁ h₂
    | star _ _ h => exact star _ h

Proof state:
case mem
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : StarRing R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : StarRing A
inst✝ : StarModule R A
s : Set A
p : ↥(adjoin R s) → Prop
a : ↥(adjoin R s)
mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩
algebraMap : ∀ (r : R), p ((_root_.algebraMap R ↥(adjoin R s)) r)
add : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x + y)
mul : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x * y)
star : ∀ (x : ↥(adjoin R s)), p x → p (Star.star x)
b x✝ : A
h : x✝ ∈ s
⊢ p ⟨x✝, ⋯⟩

Tactic:
exact mem _ h

Result:
no goals

Proof state:
case algebraMap
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : StarRing R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : StarRing A
inst✝ : StarModule R A
s : Set A
p : ↥(adjoin R s) → Prop
a : ↥(adjoin R s)
mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩
algebraMap : ∀ (r : R), p ((_root_.algebraMap R ↥(adjoin R s)) r)
add : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x + y)
mul : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x * y)
star : ∀ (x : ↥(adjoin R s)), p x → p (Star.star x)
b : A
r✝ : R
⊢ p ⟨(_root_.algebraMap R A) r✝, ⋯⟩

Tactic:
exact algebraMap _

Result:
no goals

Proof state:
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : StarRing R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : StarRing A
inst✝ : StarModule R A
s : Set A
p : ↥(adjoin R s) → Prop
a : ↥(adjoin R s)
mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩
algebraMap : ∀ (r : R), p ((_root_.algebraMap R ↥(adjoin R s)) r)
add : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x + y)
mul : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x * y)
star : ∀ (x : ↥(adjoin R s)), p x → p (Star.star x)
b : A
hb : b ∈ adjoin R s
⊢ p ⟨b, hb⟩

Tactic:
induction hb using adjoin_induction with
| mem _ h => exact mem _ h
| algebraMap _ => exact algebraMap _
| mul _ _ _ _ h₁ h₂ => exact mul _ _ h₁ h₂
| add _ _ _ _ h₁ h₂ => exact add _ _ h₁ h₂
| star _ _ h => exact star _ h

Result:
no goals

Proof state:
case mul
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : StarRing R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : StarRing A
inst✝ : StarModule R A
s : Set A
p : ↥(adjoin R s) → Prop
a : ↥(adjoin R s)
mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩
algebraMap : ∀ (r : R), p ((_root_.algebraMap R ↥(adjoin R s)) r)
add : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x + y)
mul : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x * y)
star : ∀ (x : ↥(adjoin R s)), p x → p (Star.star x)
b x✝ y✝ : A
hx✝ : x✝ ∈ adjoin R s
hy✝ : y✝ ∈ adjoin R s
h₁ : p ⟨x✝, hx✝⟩
h₂ : p ⟨y✝, hy✝⟩
⊢ p ⟨x✝ * y✝, ⋯⟩

Tactic:
exact mul _ _ h₁ h₂

Result:
no goals

Proof state:
case star
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : StarRing R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : StarRing A
inst✝ : StarModule R A
s : Set A
p : ↥(adjoin R s) → Prop
a : ↥(adjoin R s)
mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩
algebraMap : ∀ (r : R), p ((_root_.algebraMap R ↥(adjoin R s)) r)
add : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x + y)
mul : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x * y)
star : ∀ (x : ↥(adjoin R s)), p x → p (Star.star x)
b x✝ : A
hx✝ : x✝ ∈ adjoin R s
h : p ⟨x✝, hx✝⟩
⊢ p ⟨Star.star x✝, ⋯⟩

Tactic:
exact star _ h

Result:
no goals

Proof state:
case add
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : StarRing R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : StarRing A
inst✝ : StarModule R A
s : Set A
p : ↥(adjoin R s) → Prop
a : ↥(adjoin R s)
mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p ⟨x, ⋯⟩
algebraMap : ∀ (r : R), p ((_root_.algebraMap R ↥(adjoin R s)) r)
add : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x + y)
mul : ∀ (x y : ↥(adjoin R s)), p x → p y → p (x * y)
star : ∀ (x : ↥(adjoin R s)), p x → p (Star.star x)
b x✝ y✝ : A
hx✝ : x✝ ∈ adjoin R s
hy✝ : y✝ ∈ adjoin R s
h₁ : p ⟨x✝, hx✝⟩
h₂ : p ⟨y✝, hy✝⟩
⊢ p ⟨x✝ + y✝, ⋯⟩

Tactic:
exact add _ _ h₁ h₂

Result:
no goals