-- Mathlib/Geometry/Manifold/IsManifold/InteriorBoundary.lean
lemma isInteriorPoint_disjointUnion_right {p : M ⊕ M'} (hp : I.IsInteriorPoint p)
    (hright : Sum.isRight p) : I.IsInteriorPoint (Sum.getRight p hright)

Proof state:
case left
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
M' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H M'
p : M ⊕ M'
hp : I.IsInteriorPoint p
hright : p.isRight = true
x : M' := p.getRight hright
h : ¬I.IsInteriorPoint x
⊢ p ∈ ModelWithCorners.interior (M ⊕ M')

Tactic:
rw [ModelWithCorners.interior, mem_setOf]

Result:
case left
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
M' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H M'
p : M ⊕ M'
hp : I.IsInteriorPoint p
hright : p.isRight = true
x : M' := p.getRight hright
h : ¬I.IsInteriorPoint x
⊢ I.IsInteriorPoint p

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
M' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H M'
p : M ⊕ M'
hp : I.IsInteriorPoint p
hright : p.isRight = true
h : ¬I.IsInteriorPoint (p.getRight hright)
⊢ False

Tactic:
set x := Sum.getRight p hright

Result:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
M' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H M'
p : M ⊕ M'
hp : I.IsInteriorPoint p
hright : p.isRight = true
x : M' := p.getRight hright
h : ¬I.IsInteriorPoint x
⊢ False

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
M' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H M'
p : M ⊕ M'
hp : I.IsInteriorPoint p
hright : p.isRight = true
x : M' := p.getRight hright
h : ¬I.IsInteriorPoint x
⊢ p ∈ ModelWithCorners.interior (M ⊕ M') ∩ ModelWithCorners.boundary (M ⊕ M')

Tactic:
constructor

Result:
case left
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
M' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H M'
p : M ⊕ M'
hp : I.IsInteriorPoint p
hright : p.isRight = true
x : M' := p.getRight hright
h : ¬I.IsInteriorPoint x
⊢ p ∈ ModelWithCorners.interior (M ⊕ M')

case right
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
M' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H M'
p : M ⊕ M'
hp : I.IsInteriorPoint p
hright : p.isRight = true
x : M' := p.getRight hright
h : ¬I.IsInteriorPoint x
⊢ p ∈ ModelWithCorners.boundary (M ⊕ M')

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
M' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H M'
p : M ⊕ M'
hp : I.IsInteriorPoint p
hright : p.isRight = true
⊢ I.IsInteriorPoint (p.getRight hright)

Tactic:
by_contra h

Result:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
M' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H M'
p : M ⊕ M'
hp : I.IsInteriorPoint p
hright : p.isRight = true
h : ¬I.IsInteriorPoint (p.getRight hright)
⊢ False

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
M' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H M'
p : M ⊕ M'
hp : I.IsInteriorPoint p
hright : p.isRight = true
x : M' := p.getRight hright
h : ¬I.IsInteriorPoint x
this : I.IsInteriorPoint x ∨ I.IsBoundaryPoint x
⊢ I.IsBoundaryPoint x

Tactic:
tauto

Result:
no goals

Proof state:
case right
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
M' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H M'
p : M ⊕ M'
hp : I.IsInteriorPoint p
hright : p.isRight = true
x : M' := p.getRight hright
h : ¬I.IsInteriorPoint x
this : I.IsInteriorPoint x ∨ I.IsBoundaryPoint x
⊢ I.IsBoundaryPoint (Sum.inr (p.getRight hright))

Tactic:
exact boundaryPoint_inr (M' := M') x (by tauto)

Result:
no goals

Proof state:
case right
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
M' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H M'
p : M ⊕ M'
hp : I.IsInteriorPoint p
hright : p.isRight = true
x : M' := p.getRight hright
h : ¬I.IsInteriorPoint x
⊢ p ∈ ModelWithCorners.boundary (M ⊕ M')

Tactic:
rw [ModelWithCorners.boundary, mem_setOf, Sum.eq_right_getRight_of_isRight hright]

Result:
case right
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
M' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H M'
p : M ⊕ M'
hp : I.IsInteriorPoint p
hright : p.isRight = true
x : M' := p.getRight hright
h : ¬I.IsInteriorPoint x
⊢ I.IsBoundaryPoint (Sum.inr (p.getRight hright))

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
M' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H M'
p : M ⊕ M'
hp : I.IsInteriorPoint p
hright : p.isRight = true
x : M' := p.getRight hright
h : ¬I.IsInteriorPoint x
⊢ False

Tactic:
rw [← mem_empty_iff_false p, ← (disjoint_interior_boundary (I := I)).inter_eq]

Result:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
M' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H M'
p : M ⊕ M'
hp : I.IsInteriorPoint p
hright : p.isRight = true
x : M' := p.getRight hright
h : ¬I.IsInteriorPoint x
⊢ p ∈ ModelWithCorners.interior (M ⊕ M') ∩ ModelWithCorners.boundary (M ⊕ M')