-- Mathlib/RingTheory/Localization/Ideal.lean
lemma of_surjective {R' S' : Type*} [CommRing R'] [CommRing S'] [Algebra R' S']
    (f : R →+* R') (hf : Function.Surjective f) (g : S →+* S') (hg : Function.Surjective g)
    (H : g.comp (algebraMap R S) = (algebraMap _ _).comp f)
    (H' : RingHom.ker g ≤ (RingHom.ker f).map (algebraMap R S)) : IsLocalization (M.map f) S' where
  map_units'

Proof state:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : IsLocalization M S
R' : Type u_3
S' : Type u_4
inst✝² : CommRing R'
inst✝¹ : CommRing S'
inst✝ : Algebra R' S'
f : R →+* R'
hf : Function.Surjective ⇑f
g : S →+* S'
hg : Function.Surjective ⇑g
H : g.comp (algebraMap R S) = (algebraMap R' S').comp f
H' : RingHom.ker g ≤ Ideal.map (algebraMap R S) (RingHom.ker f)
x y : R'
e : (algebraMap R' S') x = (algebraMap R' S') y
⊢ ∃ c, ↑c * x = ↑c * y

Tactic:
obtain ⟨x, rfl⟩ := hf x

Result:
case intro
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : IsLocalization M S
R' : Type u_3
S' : Type u_4
inst✝² : CommRing R'
inst✝¹ : CommRing S'
inst✝ : Algebra R' S'
f : R →+* R'
hf : Function.Surjective ⇑f
g : S →+* S'
hg : Function.Surjective ⇑g
H : g.comp (algebraMap R S) = (algebraMap R' S').comp f
H' : RingHom.ker g ≤ Ideal.map (algebraMap R S) (RingHom.ker f)
y : R'
x : R
e : (algebraMap R' S') (f x) = (algebraMap R' S') y
⊢ ∃ c, ↑c * f x = ↑c * y

Proof state:
case intro
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : IsLocalization M S
R' : Type u_3
S' : Type u_4
inst✝² : CommRing R'
inst✝¹ : CommRing S'
inst✝ : Algebra R' S'
f : R →+* R'
hf : Function.Surjective ⇑f
g : S →+* S'
hg : Function.Surjective ⇑g
H : g.comp (algebraMap R S) = (algebraMap R' S').comp f
H' : RingHom.ker g ≤ Ideal.map (algebraMap R S) (RingHom.ker f)
z : S
⊢ ∃ x, g z * (algebraMap R' S') ↑x.2 = (algebraMap R' S') x.1

Tactic:
obtain ⟨⟨r, s⟩, e⟩ := IsLocalization.surj M z

Result:
case intro.intro.mk
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : IsLocalization M S
R' : Type u_3
S' : Type u_4
inst✝² : CommRing R'
inst✝¹ : CommRing S'
inst✝ : Algebra R' S'
f : R →+* R'
hf : Function.Surjective ⇑f
g : S →+* S'
hg : Function.Surjective ⇑g
H : g.comp (algebraMap R S) = (algebraMap R' S').comp f
H' : RingHom.ker g ≤ Ideal.map (algebraMap R S) (RingHom.ker f)
z : S
r : R
s : ↥M
e : z * (algebraMap R S) ↑(r, s).2 = (algebraMap R S) (r, s).1
⊢ ∃ x, g z * (algebraMap R' S') ↑x.2 = (algebraMap R' S') x.1

Proof state:
case intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : IsLocalization M S
R' : Type u_3
S' : Type u_4
inst✝² : CommRing R'
inst✝¹ : CommRing S'
inst✝ : Algebra R' S'
f : R →+* R'
hf : Function.Surjective ⇑f
g : S →+* S'
hg : Function.Surjective ⇑g
H : g.comp (algebraMap R S) = (algebraMap R' S').comp f
H' : RingHom.ker g ≤ Ideal.map (algebraMap R S) (RingHom.ker f)
x y : R
e : (algebraMap R' S') (f x) = (algebraMap R' S') (f y)
⊢ ∃ c, ↑c * f x = ↑c * f y

Tactic:
rw [← sub_eq_zero, ← map_sub, ← map_sub, ← RingHom.comp_apply, ← H, RingHom.comp_apply,
  ← IsLocalization.mk'_one (M := M)] at e

Result:
case intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : IsLocalization M S
R' : Type u_3
S' : Type u_4
inst✝² : CommRing R'
inst✝¹ : CommRing S'
inst✝ : Algebra R' S'
f : R →+* R'
hf : Function.Surjective ⇑f
g : S →+* S'
hg : Function.Surjective ⇑g
H : g.comp (algebraMap R S) = (algebraMap R' S').comp f
H' : RingHom.ker g ≤ Ideal.map (algebraMap R S) (RingHom.ker f)
x y : R
e : g (mk' S (x - y) 1) = 0
⊢ ∃ c, ↑c * f x = ↑c * f y

Proof state:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : IsLocalization M S
R' : Type u_3
S' : Type u_4
inst✝² : CommRing R'
inst✝¹ : CommRing S'
inst✝ : Algebra R' S'
f : R →+* R'
hf : Function.Surjective ⇑f
g : S →+* S'
hg : Function.Surjective ⇑g
H : g.comp (algebraMap R S) = (algebraMap R' S').comp f
H' : RingHom.ker g ≤ Ideal.map (algebraMap R S) (RingHom.ker f)
⊢ ∀ (z : S'), ∃ x, z * (algebraMap R' S') ↑x.2 = (algebraMap R' S') x.1

Tactic:
intro z

Result:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : IsLocalization M S
R' : Type u_3
S' : Type u_4
inst✝² : CommRing R'
inst✝¹ : CommRing S'
inst✝ : Algebra R' S'
f : R →+* R'
hf : Function.Surjective ⇑f
g : S →+* S'
hg : Function.Surjective ⇑g
H : g.comp (algebraMap R S) = (algebraMap R' S').comp f
H' : RingHom.ker g ≤ Ideal.map (algebraMap R S) (RingHom.ker f)
z : S'
⊢ ∃ x, z * (algebraMap R' S') ↑x.2 = (algebraMap R' S') x.1

Proof state:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : IsLocalization M S
R' : Type u_3
S' : Type u_4
inst✝² : CommRing R'
inst✝¹ : CommRing S'
inst✝ : Algebra R' S'
f : R →+* R'
hf : Function.Surjective ⇑f
g : S →+* S'
hg : Function.Surjective ⇑g
H : g.comp (algebraMap R S) = (algebraMap R' S').comp f
H' : RingHom.ker g ≤ Ideal.map (algebraMap R S) (RingHom.ker f)
⊢ ∀ (y : ↥(Submonoid.map f M)), IsUnit ((algebraMap R' S') ↑y)

Tactic:
rintro ⟨_, y, hy, rfl⟩

Result:
case mk.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : IsLocalization M S
R' : Type u_3
S' : Type u_4
inst✝² : CommRing R'
inst✝¹ : CommRing S'
inst✝ : Algebra R' S'
f : R →+* R'
hf : Function.Surjective ⇑f
g : S →+* S'
hg : Function.Surjective ⇑g
H : g.comp (algebraMap R S) = (algebraMap R' S').comp f
H' : RingHom.ker g ≤ Ideal.map (algebraMap R S) (RingHom.ker f)
y : R
hy : y ∈ ↑M
⊢ IsUnit ((algebraMap R' S') ↑⟨f y, ⋯⟩)

Proof state:
case mk.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : IsLocalization M S
R' : Type u_3
S' : Type u_4
inst✝² : CommRing R'
inst✝¹ : CommRing S'
inst✝ : Algebra R' S'
f : R →+* R'
hf : Function.Surjective ⇑f
g : S →+* S'
hg : Function.Surjective ⇑g
H : g.comp (algebraMap R S) = (algebraMap R' S').comp f
H' : RingHom.ker g ≤ Ideal.map (algebraMap R S) (RingHom.ker f)
y : R
hy : y ∈ ↑M
⊢ IsUnit ((algebraMap R' S') ↑⟨f y, ⋯⟩)

Tactic:
simpa only [← RingHom.comp_apply, H] using (IsLocalization.map_units S ⟨y, hy⟩).map g

Result:
no goals

Proof state:
R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : IsLocalization M S
R' : Type u_3
S' : Type u_4
inst✝² : CommRing R'
inst✝¹ : CommRing S'
inst✝ : Algebra R' S'
f : R →+* R'
hf : Function.Surjective ⇑f
g : S →+* S'
hg : Function.Surjective ⇑g
H : g.comp (algebraMap R S) = (algebraMap R' S').comp f
H' : RingHom.ker g ≤ Ideal.map (algebraMap R S) (RingHom.ker f)
x y : R
e : g (mk' S (x - y) 1) = 0
r : R
hr : r ∈ M
hr' : r * (x - y) ∈ RingHom.ker f
⊢ ↑⟨f r, ⋯⟩ * f x = ↑⟨f r, ⋯⟩ * f y

Tactic:
simpa [sub_eq_zero, mul_sub] using hr'

Result:
no goals