-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
lemma integrable_fourierPowSMulRight {n : ℕ} (hf : Integrable (fun v ↦ ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) μ)
    (h'f : AEStronglyMeasurable f μ) : Integrable (fun v ↦ fourierPowSMulRight L f v n) μ

Proof state:
case h
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
μ : Measure V
inst✝ : SecondCountableTopology V
n : ℕ
hf : Integrable (fun v => ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) μ
h'f : AEStronglyMeasurable f μ
v : V
⊢ ‖fourierPowSMulRight L f v n‖ ≤ (2 * π * ‖L‖) ^ n * (‖v‖ ^ n * ‖f v‖)

Tactic:
exact (norm_fourierPowSMulRight_le L f v n).trans (le_of_eq (by ring))

Result:
no goals

Proof state:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
μ : Measure V
inst✝ : SecondCountableTopology V
n : ℕ
hf : Integrable (fun v => ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) μ
h'f : AEStronglyMeasurable f μ
v : V
⊢ (2 * π * ‖L‖) ^ n * ‖v‖ ^ n * ‖f v‖ = (2 * π * ‖L‖) ^ n * (‖v‖ ^ n * ‖f v‖)

Tactic:
ring

Result:
no goals

Proof state:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
μ : Measure V
inst✝ : SecondCountableTopology V
n : ℕ
hf : Integrable (fun v => ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) μ
h'f : AEStronglyMeasurable f μ
⊢ ∀ᵐ (a : V) ∂μ, ‖fourierPowSMulRight L f a n‖ ≤ (2 * π * ‖L‖) ^ n * (‖a‖ ^ n * ‖f a‖)

Tactic:
filter_upwards with v

Result:
case h
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
μ : Measure V
inst✝ : SecondCountableTopology V
n : ℕ
hf : Integrable (fun v => ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) μ
h'f : AEStronglyMeasurable f μ
v : V
⊢ ‖fourierPowSMulRight L f v n‖ ≤ (2 * π * ‖L‖) ^ n * (‖v‖ ^ n * ‖f v‖)

Proof state:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
μ : Measure V
inst✝ : SecondCountableTopology V
n : ℕ
hf : Integrable (fun v => ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) μ
h'f : AEStronglyMeasurable f μ
⊢ Integrable (fun v => fourierPowSMulRight L f v n) μ

Tactic:
refine (hf.const_mul ((2 * π * ‖L‖) ^ n)).mono' (h'f.fourierPowSMulRight L n) ?_

Result:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
μ : Measure V
inst✝ : SecondCountableTopology V
n : ℕ
hf : Integrable (fun v => ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) μ
h'f : AEStronglyMeasurable f μ
⊢ ∀ᵐ (a : V) ∂μ, ‖fourierPowSMulRight L f a n‖ ≤ (2 * π * ‖L‖) ^ n * (‖a‖ ^ n * ‖f a‖)