-- Mathlib/LinearAlgebra/BilinearForm/DualLattice.lean
lemma dualSubmodule_span_of_basis {ι} [Finite ι] [DecidableEq ι]
    (hB : B.Nondegenerate) (b : Basis ι S M) :
    B.dualSubmodule (Submodule.span R (Set.range b)) =
      Submodule.span R (Set.range <| B.dualBasis hB b)

Proof state:
case intro.a.intro.intro.h
R : Type u_4
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Field S
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower R S M
B : BilinForm S M
ι : Type u_1
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : DecidableEq ι
hB : B.Nondegenerate
b : Basis ι S M
val✝ : Fintype ι
i : ι
f : ι → R
hy : ∑ i : ι, f i • b i ∈ Submodule.span R (Set.range ⇑b)
j : ι
⊢ ((algebraMap R S) (f j) • if j = i then 1 else 0) ∈ 1

Tactic:
rw [smul_eq_mul, mul_ite, mul_one, mul_zero, ← (algebraMap R S).map_zero, ← apply_ite]

Result:
case intro.a.intro.intro.h
R : Type u_4
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Field S
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower R S M
B : BilinForm S M
ι : Type u_1
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : DecidableEq ι
hB : B.Nondegenerate
b : Basis ι S M
val✝ : Fintype ι
i : ι
f : ι → R
hy : ∑ i : ι, f i • b i ∈ Submodule.span R (Set.range ⇑b)
j : ι
⊢ (algebraMap R S) (if j = i then f j else 0) ∈ 1

Proof state:
case intro.a.intro.intro.h
R : Type u_4
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Field S
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower R S M
B : BilinForm S M
ι : Type u_1
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : DecidableEq ι
hB : B.Nondegenerate
b : Basis ι S M
val✝ : Fintype ι
i : ι
f : ι → R
hy : ∑ i : ι, f i • b i ∈ Submodule.span R (Set.range ⇑b)
j : ι
⊢ (algebraMap R S) (if j = i then f j else 0) ∈ 1

Tactic:
exact Submodule.mem_one.mpr ⟨_, rfl⟩

Result:
no goals

Proof state:
R : Type u_4
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Field S
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower R S M
B : BilinForm S M
ι : Type u_1
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : DecidableEq ι
hB : B.Nondegenerate
b : Basis ι S M
⊢ B.dualSubmodule (Submodule.span R (Set.range ⇑b)) = Submodule.span R (Set.range ⇑(B.dualBasis hB b))

Tactic:
cases nonempty_fintype ι

Result:
case intro
R : Type u_4
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Field S
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower R S M
B : BilinForm S M
ι : Type u_1
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : DecidableEq ι
hB : B.Nondegenerate
b : Basis ι S M
val✝ : Fintype ι
⊢ B.dualSubmodule (Submodule.span R (Set.range ⇑b)) = Submodule.span R (Set.range ⇑(B.dualBasis hB b))

Proof state:
case intro.a.intro
R : Type u_4
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Field S
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower R S M
B : BilinForm S M
ι : Type u_1
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : DecidableEq ι
hB : B.Nondegenerate
b : Basis ι S M
val✝ : Fintype ι
i : ι
y : M
hy : y ∈ Submodule.span R (Set.range ⇑b)
⊢ (B ((B.dualBasis hB b) i)) y ∈ 1

Tactic:
obtain ⟨f, rfl⟩ := (mem_span_range_iff_exists_fun _).mp hy

Result:
case intro.a.intro.intro
R : Type u_4
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Field S
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower R S M
B : BilinForm S M
ι : Type u_1
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : DecidableEq ι
hB : B.Nondegenerate
b : Basis ι S M
val✝ : Fintype ι
i : ι
f : ι → R
hy : ∑ i : ι, f i • b i ∈ Submodule.span R (Set.range ⇑b)
⊢ (B ((B.dualBasis hB b) i)) (∑ i : ι, f i • b i) ∈ 1

Proof state:
case intro.a.h.intro.h
R : Type u_4
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Field S
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower R S M
B : BilinForm S M
ι : Type u_1
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : DecidableEq ι
hB : B.Nondegenerate
b : Basis ι S M
val✝ : Fintype ι
x : M
hx : x ∈ B.dualSubmodule (Submodule.span R (Set.range ⇑b))
i : ι
r : R
hr : (algebraMap R S) r = (B x) (b i)
⊢ (B.dualBasis hB b) i ∈ Submodule.span R (Set.range ⇑(B.dualBasis hB b))

Tactic:
exact Submodule.subset_span ⟨_, rfl⟩

Result:
no goals

Proof state:
case intro.a
R : Type u_4
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Field S
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower R S M
B : BilinForm S M
ι : Type u_1
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : DecidableEq ι
hB : B.Nondegenerate
b : Basis ι S M
val✝ : Fintype ι
⊢ B.dualSubmodule (Submodule.span R (Set.range ⇑b)) ≤ Submodule.span R (Set.range ⇑(B.dualBasis hB b))

Tactic:
intro x hx

Result:
case intro.a
R : Type u_4
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Field S
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower R S M
B : BilinForm S M
ι : Type u_1
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : DecidableEq ι
hB : B.Nondegenerate
b : Basis ι S M
val✝ : Fintype ι
x : M
hx : x ∈ B.dualSubmodule (Submodule.span R (Set.range ⇑b))
⊢ x ∈ Submodule.span R (Set.range ⇑(B.dualBasis hB b))

Proof state:
case intro.a.intro.intro.h
R : Type u_4
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Field S
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower R S M
B : BilinForm S M
ι : Type u_1
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : DecidableEq ι
hB : B.Nondegenerate
b : Basis ι S M
val✝ : Fintype ι
i : ι
f : ι → R
hy : ∑ i : ι, f i • b i ∈ Submodule.span R (Set.range ⇑b)
j : ι
⊢ (algebraMap R S) (f j) • (B ((B.dualBasis hB b) i)) (b j) ∈ 1

Tactic:
simp_rw [apply_dualBasis_left]

Result:
case intro.a.intro.intro.h
R : Type u_4
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Field S
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module S M
inst✝² : IsScalarTower R S M
B : BilinForm S M
ι : Type u_1
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : DecidableEq ι
hB : B.Nondegenerate
b : Basis ι S M
val✝ : Fintype ι
i : ι
f : ι → R
hy : ∑ i : ι, f i • b i ∈ Submodule.span R (Set.range ⇑b)
j : ι
⊢ ((algebraMap R S) (f j) • if j = i then 1 else 0) ∈ 1