-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Basic.lean
theorem add_assoc (x y z : X[S⁻¹]) : x + y + z = x + (y + z)

Proof state:
case c.c.c.mk.mk.intro.mk.mk.intro.e_a.e_a
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : X
s₂ : ↥S
r₃ : X
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s₁ = ra * ↑s₂
rc : R
sc : ↥S
hc : ↑sc * ↑(sa * s₁) = rc * ↑s₃
⊢ rc • r₃ /ₒ (sc * (sa * s₁)) = r₃ /ₒ s₃

Tactic:
rw [OreLocalization.expand r₃ s₃ rc (hc.symm ▸ (sc * (sa * s₁)).2)]

Result:
case c.c.c.mk.mk.intro.mk.mk.intro.e_a.e_a
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : X
s₂ : ↥S
r₃ : X
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s₁ = ra * ↑s₂
rc : R
sc : ↥S
hc : ↑sc * ↑(sa * s₁) = rc * ↑s₃
⊢ rc • r₃ /ₒ (sc * (sa * s₁)) = rc • r₃ /ₒ ⟨rc * ↑s₃, ⋯⟩

Proof state:
case c.c.c.mk.mk.intro.mk.mk.intro.e_a.e_a.e_s.a
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : X
s₂ : ↥S
r₃ : X
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s₁ = ra * ↑s₂
rc : R
sc : ↥S
hc : ↑sc * ↑(sa * s₁) = rc * ↑s₃
⊢ ↑(sa * s₁) = ↑⟨ra * ↑s₂, ⋯⟩

Tactic:
exact ha

Result:
no goals

Proof state:
case c.c.c.mk.mk.intro
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : X
s₂ : ↥S
r₃ : X
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s₁ = ra * ↑s₂
ha' : r₁ /ₒ s₁ + r₂ /ₒ s₂ = (sa • r₁ + ra • r₂) /ₒ (sa * s₁)
⊢ r₁ /ₒ s₁ + r₂ /ₒ s₂ + r₃ /ₒ s₃ = r₁ /ₒ s₁ + (r₂ /ₒ s₂ + r₃ /ₒ s₃)

Tactic:
rw [ha']

Result:
case c.c.c.mk.mk.intro
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : X
s₂ : ↥S
r₃ : X
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s₁ = ra * ↑s₂
ha' : r₁ /ₒ s₁ + r₂ /ₒ s₂ = (sa • r₁ + ra • r₂) /ₒ (sa * s₁)
⊢ (sa • r₁ + ra • r₂) /ₒ (sa * s₁) + r₃ /ₒ s₃ = r₁ /ₒ s₁ + (r₂ /ₒ s₂ + r₃ /ₒ s₃)

Proof state:
case c.c.c.mk.mk.intro.mk.mk.intro.e_a.e_a
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : X
s₂ : ↥S
r₃ : X
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s₁ = ra * ↑s₂
rc : R
sc : ↥S
hc : ↑sc * ↑(sa * s₁) = rc * ↑s₃
⊢ rc • r₃ /ₒ (sc * (sa * s₁)) = rc • r₃ /ₒ ⟨rc * ↑s₃, ⋯⟩

Tactic:
congr

Result:
case c.c.c.mk.mk.intro.mk.mk.intro.e_a.e_a.e_s
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : X
s₂ : ↥S
r₃ : X
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s₁ = ra * ↑s₂
rc : R
sc : ↥S
hc : ↑sc * ↑(sa * s₁) = rc * ↑s₃
⊢ sc * (sa * s₁) = ⟨rc * ↑s₃, ⋯⟩

Proof state:
case c.c.c.mk.mk.intro.mk.mk.intro.e_a.e_a.e_s
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : X
s₂ : ↥S
r₃ : X
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s₁ = ra * ↑s₂
rc : R
sc : ↥S
hc : ↑sc * ↑(sa * s₁) = rc * ↑s₃
⊢ sc * (sa * s₁) = ⟨rc * ↑s₃, ⋯⟩

Tactic:
ext

Result:
case c.c.c.mk.mk.intro.mk.mk.intro.e_a.e_a.e_s.a
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : X
s₂ : ↥S
r₃ : X
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s₁ = ra * ↑s₂
rc : R
sc : ↥S
hc : ↑sc * ↑(sa * s₁) = rc * ↑s₃
⊢ ↑(sc * (sa * s₁)) = ↑⟨rc * ↑s₃, ⋯⟩

Proof state:
case c.c.c
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : X
s₂ : ↥S
r₃ : X
s₃ : ↥S
⊢ r₁ /ₒ s₁ + r₂ /ₒ s₂ + r₃ /ₒ s₃ = r₁ /ₒ s₁ + (r₂ /ₒ s₂ + r₃ /ₒ s₃)

Tactic:
rcases oreDivAddChar' r₁ r₂ s₁ s₂ with ⟨ra, sa, ha, ha'⟩

Result:
case c.c.c.mk.mk.intro
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : X
s₂ : ↥S
r₃ : X
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s₁ = ra * ↑s₂
ha' : r₁ /ₒ s₁ + r₂ /ₒ s₂ = (sa • r₁ + ra • r₂) /ₒ (sa * s₁)
⊢ r₁ /ₒ s₁ + r₂ /ₒ s₂ + r₃ /ₒ s₃ = r₁ /ₒ s₁ + (r₂ /ₒ s₂ + r₃ /ₒ s₃)

Proof state:
case c.c.c.mk.mk.intro.mk.mk.intro
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : X
s₂ : ↥S
r₃ : X
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s₁ = ra * ↑s₂
rc : R
sc : ↥S
hc : ↑sc * ↑(sa * s₁) = rc * ↑s₃
q : (sa • r₁ + ra • r₂) /ₒ (sa * s₁) + r₃ /ₒ s₃ = (sc • (sa • r₁ + ra • r₂) + rc • r₃) /ₒ (sc * (sa * s₁))
⊢ (sa • r₁ + ra • r₂) /ₒ (sa * s₁) + r₃ /ₒ s₃ = r₁ /ₒ s₁ + (r₂ /ₒ s₂ + r₃ /ₒ s₃)

Tactic:
rw [q]

Result:
case c.c.c.mk.mk.intro.mk.mk.intro
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : X
s₂ : ↥S
r₃ : X
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s₁ = ra * ↑s₂
rc : R
sc : ↥S
hc : ↑sc * ↑(sa * s₁) = rc * ↑s₃
q : (sa • r₁ + ra • r₂) /ₒ (sa * s₁) + r₃ /ₒ s₃ = (sc • (sa • r₁ + ra • r₂) + rc • r₃) /ₒ (sc * (sa * s₁))
⊢ (sc • (sa • r₁ + ra • r₂) + rc • r₃) /ₒ (sc * (sa * s₁)) = r₁ /ₒ s₁ + (r₂ /ₒ s₂ + r₃ /ₒ s₃)

Proof state:
case c.c.c.mk.mk.intro
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : X
s₂ : ↥S
r₃ : X
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s₁ = ra * ↑s₂
⊢ (sa • r₁ + ra • r₂) /ₒ (sa * s₁) + r₃ /ₒ s₃ = r₁ /ₒ s₁ + (r₂ /ₒ s₂ + r₃ /ₒ s₃)

Tactic:
rcases oreDivAddChar' (sa • r₁ + ra • r₂) r₃ (sa * s₁) s₃ with ⟨rc, sc, hc, q⟩

Result:
case c.c.c.mk.mk.intro.mk.mk.intro
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : X
s₂ : ↥S
r₃ : X
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s₁ = ra * ↑s₂
rc : R
sc : ↥S
hc : ↑sc * ↑(sa * s₁) = rc * ↑s₃
q : (sa • r₁ + ra • r₂) /ₒ (sa * s₁) + r₃ /ₒ s₃ = (sc • (sa • r₁ + ra • r₂) + rc • r₃) /ₒ (sc * (sa * s₁))
⊢ (sa • r₁ + ra • r₂) /ₒ (sa * s₁) + r₃ /ₒ s₃ = r₁ /ₒ s₁ + (r₂ /ₒ s₂ + r₃ /ₒ s₃)

Proof state:
case c.c.c.mk.mk.intro.mk.mk.intro.e_a.e_a
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : X
s₂ : ↥S
r₃ : X
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s₁ = ra * ↑s₂
rc : R
sc : ↥S
hc : ↑sc * ↑(sa * s₁) = rc * ↑s₃
⊢ ra • r₂ /ₒ (sa * s₁) = r₂ /ₒ s₂

Tactic:
rw [OreLocalization.expand r₂ s₂ ra (ha.symm ▸ (sa * s₁).2)]

Result:
case c.c.c.mk.mk.intro.mk.mk.intro.e_a.e_a
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : X
s₂ : ↥S
r₃ : X
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s₁ = ra * ↑s₂
rc : R
sc : ↥S
hc : ↑sc * ↑(sa * s₁) = rc * ↑s₃
⊢ ra • r₂ /ₒ (sa * s₁) = ra • r₂ /ₒ ⟨ra * ↑s₂, ⋯⟩

Proof state:
case c.c.c.mk.mk.intro.mk.mk.intro.e_a.e_a.e_s
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : X
s₂ : ↥S
r₃ : X
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s₁ = ra * ↑s₂
rc : R
sc : ↥S
hc : ↑sc * ↑(sa * s₁) = rc * ↑s₃
⊢ sa * s₁ = ⟨ra * ↑s₂, ⋯⟩

Tactic:
ext

Result:
case c.c.c.mk.mk.intro.mk.mk.intro.e_a.e_a.e_s.a
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r₁ : X
s₁ : ↥S
r₂ : X
s₂ : ↥S
r₃ : X
s₃ : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s₁ = ra * ↑s₂
rc : R
sc : ↥S
hc : ↑sc * ↑(sa * s₁) = rc * ↑s₃
⊢ ↑(sa * s₁) = ↑⟨ra * ↑s₂, ⋯⟩