-- Mathlib/Algebra/Module/FinitePresentation.lean
lemma Module.finitePresentation_of_ker [Module.FinitePresentation R N]
    (l : M →ₗ[R] N) (hl : Function.Surjective l) [Module.FinitePresentation R (LinearMap.ker l)] :
    Module.FinitePresentation R M

Proof state:
case a
R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : FinitePresentation R N
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
inst✝ : FinitePresentation R ↥(LinearMap.ker l)
s : Finset M
hs : Submodule.span R ↑s = ⊤
π : ({ x // x ∈ s } →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R Subtype.val
H : Function.Surjective ⇑π
inst : Module.Finite R ↥(LinearMap.ker (l ∘ₗ π))
this : AddCommGroup ↥(LinearMap.ker (l ∘ₗ π)) := inferInstance
f : ↥(LinearMap.ker (l ∘ₗ π)) →ₗ[R] ↥(LinearMap.ker l) := π.restrict ⋯
e : π ∘ₗ (LinearMap.ker (l ∘ₗ π)).subtype = (LinearMap.ker l).subtype ∘ₗ f
⊢ Submodule.map (LinearMap.ker l).subtype (LinearMap.range f) = Submodule.map (LinearMap.ker l).subtype ⊤

Tactic:
rw [Submodule.map_top, Submodule.range_subtype, ← LinearMap.range_comp, ← e,
  LinearMap.range_comp, Submodule.range_subtype, LinearMap.ker_comp,
  Submodule.map_comap_eq_of_surjective H]

Result:
no goals

Proof state:
case fg_top
R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : FinitePresentation R N
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
inst✝ : FinitePresentation R ↥(LinearMap.ker l)
s : Finset M
hs : Submodule.span R ↑s = ⊤
π : ({ x // x ∈ s } →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R Subtype.val
H : Function.Surjective ⇑π
⊢ ⊤.FG

Tactic:
rw [Submodule.fg_top]

Result:
case fg_top
R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : FinitePresentation R N
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
inst✝ : FinitePresentation R ↥(LinearMap.ker l)
s : Finset M
hs : Submodule.span R ↑s = ⊤
π : ({ x // x ∈ s } →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R Subtype.val
H : Function.Surjective ⇑π
⊢ (LinearMap.ker (l ∘ₗ π)).FG

Proof state:
case intro
R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : FinitePresentation R N
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
inst✝ : FinitePresentation R ↥(LinearMap.ker l)
s : Finset M
hs : Submodule.span R ↑s = ⊤
π : ({ x // x ∈ s } →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R Subtype.val
H : Function.Surjective ⇑π
inst : Module.Finite R ↥(LinearMap.ker (l ∘ₗ π))
this : AddCommGroup ↥(LinearMap.ker (l ∘ₗ π)) := inferInstance
f : ↥(LinearMap.ker (l ∘ₗ π)) →ₗ[R] ↥(LinearMap.ker l) := π.restrict ⋯
⊢ (LinearMap.ker (linearCombination R Subtype.val)).FG

Tactic:
have e : π ∘ₗ Submodule.subtype _ = Submodule.subtype _ ∘ₗ f := by ext; rfl

Result:
case intro
R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : FinitePresentation R N
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
inst✝ : FinitePresentation R ↥(LinearMap.ker l)
s : Finset M
hs : Submodule.span R ↑s = ⊤
π : ({ x // x ∈ s } →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R Subtype.val
H : Function.Surjective ⇑π
inst : Module.Finite R ↥(LinearMap.ker (l ∘ₗ π))
this : AddCommGroup ↥(LinearMap.ker (l ∘ₗ π)) := inferInstance
f : ↥(LinearMap.ker (l ∘ₗ π)) →ₗ[R] ↥(LinearMap.ker l) := π.restrict ⋯
e : π ∘ₗ (LinearMap.ker (l ∘ₗ π)).subtype = (LinearMap.ker l).subtype ∘ₗ f
⊢ (LinearMap.ker (linearCombination R Subtype.val)).FG

Proof state:
case intro
R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : FinitePresentation R N
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
inst✝ : FinitePresentation R ↥(LinearMap.ker l)
s : Finset M
hs : Submodule.span R ↑s = ⊤
π : ({ x // x ∈ s } →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R Subtype.val
H : Function.Surjective ⇑π
inst : Module.Finite R ↥(LinearMap.ker (l ∘ₗ π))
⊢ (LinearMap.ker (linearCombination R Subtype.val)).FG

Tactic:
letI : AddCommGroup (LinearMap.ker (l ∘ₗ π)) := inferInstance

Result:
case intro
R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : FinitePresentation R N
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
inst✝ : FinitePresentation R ↥(LinearMap.ker l)
s : Finset M
hs : Submodule.span R ↑s = ⊤
π : ({ x // x ∈ s } →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R Subtype.val
H : Function.Surjective ⇑π
inst : Module.Finite R ↥(LinearMap.ker (l ∘ₗ π))
this : AddCommGroup ↥(LinearMap.ker (l ∘ₗ π)) := inferInstance
⊢ (LinearMap.ker (linearCombination R Subtype.val)).FG

Proof state:
R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : FinitePresentation R N
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
inst✝ : FinitePresentation R ↥(LinearMap.ker l)
s : Finset M
hs : Submodule.span R ↑s = ⊤
π : ({ x // x ∈ s } →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R Subtype.val
⊢ LinearMap.range π = ⊤

Tactic:
rw [range_linearCombination, Subtype.range_val, ← hs]

Result:
R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : FinitePresentation R N
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
inst✝ : FinitePresentation R ↥(LinearMap.ker l)
s : Finset M
hs : Submodule.span R ↑s = ⊤
π : ({ x // x ∈ s } →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R Subtype.val
⊢ Submodule.span R (Membership.mem s.val) = Submodule.span R ↑s

Proof state:
case hs2
R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : FinitePresentation R N
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
inst✝ : FinitePresentation R ↥(LinearMap.ker l)
⊢ ⊤.FG

Tactic:
exact Module.Finite.fg_top

Result:
no goals

Proof state:
case intro
R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : FinitePresentation R N
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
inst✝ : FinitePresentation R ↥(LinearMap.ker l)
s : Finset M
hs : Submodule.span R ↑s = ⊤
⊢ (LinearMap.ker (linearCombination R Subtype.val)).FG

Tactic:
let π := Finsupp.linearCombination R ((↑) : s → M)

Result:
case intro
R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : FinitePresentation R N
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
inst✝ : FinitePresentation R ↥(LinearMap.ker l)
s : Finset M
hs : Submodule.span R ↑s = ⊤
π : ({ x // x ∈ s } →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R Subtype.val
⊢ (LinearMap.ker (linearCombination R Subtype.val)).FG