-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
theorem existsUnique_dist_eq_of_insert {s : AffineSubspace ℝ P}
    [HasOrthogonalProjection s.direction] {ps : Set P} (hnps : ps.Nonempty) {p : P} (hps : ps ⊆ s)
    (hp : p ∉ s) (hu : ∃! cs : Sphere P, cs.center ∈ s ∧ ps ⊆ (cs : Set P)) :
    ∃! cs₂ : Sphere P,
      cs₂.center ∈ affineSpan ℝ (insert p (s : Set P)) ∧ insert p ps ⊆ (cs₂ : Set P)

Proof state:
case h.right.mk.intro.intro.intro.intro.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
ps : Set P
hnps : ps.Nonempty
p : P
hps : ps ⊆ ↑s
hp : p ∉ s
this : Nonempty ↥s
cc : P
cr : ℝ
hcccru : ∀ (y : Sphere P), y.center ∈ s ∧ ps ⊆ Metric.sphere y.center y.radius → y = { center := cc, radius := cr }
hcc : cc ∈ s
hcr : ps ⊆ Metric.sphere cc cr
x : ℝ := dist cc ↑((orthogonalProjection s) p)
y : ℝ := dist p ↑((orthogonalProjection s) p)
hy0 : y ≠ 0
ycc₂ : ℝ := (x * x + y * y - cr * cr) / (2 * y)
cc₂ : P := (ycc₂ / y) • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p)) +ᵥ cc
cr₂ : ℝ := √(cr * cr + ycc₂ * ycc₂)
hpo : p = 1 • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p)) +ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p)
cc₃ : P
cr₃ : ℝ
hcc₃ : cc₃ ∈ affineSpan ℝ (insert p ↑s)
hcr₃ : insert p ps ⊆ Metric.sphere cc₃ cr₃
t₃ : ℝ
cc₃' : P
hcc₃' : cc₃' ∈ s
hcc₃'' : cc₃ = t₃ • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p)) +ᵥ cc₃'
cr₃' : ℝ
hcr₃' : ∀ p₁ ∈ ps, dist p₁ ↑⟨cc₃', hcc₃'⟩ = cr₃'
hu :
  { center := cc₃', radius := cr₃' }.center ∈ s ∧
      ps ⊆ Metric.sphere { center := cc₃', radius := cr₃' }.center { center := cc₃', radius := cr₃' }.radius →
    { center := cc₃', radius := cr₃' } = { center := cc, radius := cr }
⊢ { center := cc₃, radius := cr₃ } = { center := cc₂, radius := cr₂ }

Tactic:
simp only at hu

Result:
case h.right.mk.intro.intro.intro.intro.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
ps : Set P
hnps : ps.Nonempty
p : P
hps : ps ⊆ ↑s
hp : p ∉ s
this : Nonempty ↥s
cc : P
cr : ℝ
hcccru : ∀ (y : Sphere P), y.center ∈ s ∧ ps ⊆ Metric.sphere y.center y.radius → y = { center := cc, radius := cr }
hcc : cc ∈ s
hcr : ps ⊆ Metric.sphere cc cr
x : ℝ := dist cc ↑((orthogonalProjection s) p)
y : ℝ := dist p ↑((orthogonalProjection s) p)
hy0 : y ≠ 0
ycc₂ : ℝ := (x * x + y * y - cr * cr) / (2 * y)
cc₂ : P := (ycc₂ / y) • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p)) +ᵥ cc
cr₂ : ℝ := √(cr * cr + ycc₂ * ycc₂)
hpo : p = 1 • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p)) +ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p)
cc₃ : P
cr₃ : ℝ
hcc₃ : cc₃ ∈ affineSpan ℝ (insert p ↑s)
hcr₃ : insert p ps ⊆ Metric.sphere cc₃ cr₃
t₃ : ℝ
cc₃' : P
hcc₃' : cc₃' ∈ s
hcc₃'' : cc₃ = t₃ • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p)) +ᵥ cc₃'
cr₃' : ℝ
hcr₃' : ∀ p₁ ∈ ps, dist p₁ ↑⟨cc₃', hcc₃'⟩ = cr₃'
hu : cc₃' ∈ s ∧ ps ⊆ Metric.sphere cc₃' cr₃' → { center := cc₃', radius := cr₃' } = { center := cc, radius := cr }
⊢ { center := cc₃, radius := cr₃ } = { center := cc₂, radius := cr₂ }

Proof state:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
ps : Set P
hnps : ps.Nonempty
p : P
hps : ps ⊆ ↑s
hp : p ∉ s
hu : ∃! cs, cs.center ∈ s ∧ ps ⊆ Metric.sphere cs.center cs.radius
⊢ ∃! cs₂, cs₂.center ∈ affineSpan ℝ (insert p ↑s) ∧ insert p ps ⊆ Metric.sphere cs₂.center cs₂.radius

Tactic:
haveI : Nonempty s := Set.Nonempty.to_subtype (hnps.mono hps)

Result:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
ps : Set P
hnps : ps.Nonempty
p : P
hps : ps ⊆ ↑s
hp : p ∉ s
hu : ∃! cs, cs.center ∈ s ∧ ps ⊆ Metric.sphere cs.center cs.radius
this : Nonempty ↥s
⊢ ∃! cs₂, cs₂.center ∈ affineSpan ℝ (insert p ↑s) ∧ insert p ps ⊆ Metric.sphere cs₂.center cs₂.radius

Proof state:
case h.left.right.inl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
ps : Set P
hnps : ps.Nonempty
p : P
hps : ps ⊆ ↑s
hp : p ∉ s
this : Nonempty ↥s
cc : P
cr : ℝ
hcccru : ∀ (y : Sphere P), y.center ∈ s ∧ ps ⊆ Metric.sphere y.center y.radius → y = { center := cc, radius := cr }
hcc : cc ∈ s
hcr : ps ⊆ Metric.sphere cc cr
x : ℝ := dist cc ↑((orthogonalProjection s) p)
y : ℝ := dist p ↑((orthogonalProjection s) p)
hy0 : y ≠ 0
ycc₂ : ℝ := (x * x + y * y - cr * cr) / (2 * y)
cc₂ : P := (ycc₂ / y) • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p)) +ᵥ cc
cr₂ : ℝ := √(cr * cr + ycc₂ * ycc₂)
hpo : p = 1 • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p)) +ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p)
p₁ : P
hp₁ : p₁ = p
⊢ dist p₁ { center := cc₂, radius := cr₂ }.center * dist p₁ { center := cc₂, radius := cr₂ }.center =
    cr * cr + ycc₂ * ycc₂

Tactic:
rw [hp₁]

Result:
case h.left.right.inl
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
ps : Set P
hnps : ps.Nonempty
p : P
hps : ps ⊆ ↑s
hp : p ∉ s
this : Nonempty ↥s
cc : P
cr : ℝ
hcccru : ∀ (y : Sphere P), y.center ∈ s ∧ ps ⊆ Metric.sphere y.center y.radius → y = { center := cc, radius := cr }
hcc : cc ∈ s
hcr : ps ⊆ Metric.sphere cc cr
x : ℝ := dist cc ↑((orthogonalProjection s) p)
y : ℝ := dist p ↑((orthogonalProjection s) p)
hy0 : y ≠ 0
ycc₂ : ℝ := (x * x + y * y - cr * cr) / (2 * y)
cc₂ : P := (ycc₂ / y) • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p)) +ᵥ cc
cr₂ : ℝ := √(cr * cr + ycc₂ * ycc₂)
hpo : p = 1 • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p)) +ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p)
p₁ : P
hp₁ : p₁ = p
⊢ dist p { center := cc₂, radius := cr₂ }.center * dist p { center := cc₂, radius := cr₂ }.center =
    cr * cr + ycc₂ * ycc₂