-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
theorem uniformIntegrable_average
    {E : Type*} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E]
    (hp : 1 ≤ p) {f : ℕ → α → E} (hf : UniformIntegrable f p μ) :
    UniformIntegrable (fun (n : ℕ) => (n : ℝ)⁻¹ • (∑ i ∈ Finset.range n, f i)) p μ

Proof state:
case intro.intro
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
E : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hp : 1 ≤ p
f : ℕ → α → E
hf₁ : ∀ (i : ℕ), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf₂ : UnifIntegrable f p μ
hf₃ : ∃ C, ∀ (i : ℕ), eLpNorm (f i) p μ ≤ ↑C
⊢ UniformIntegrable (fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, f i) p μ

Tactic:
refine ⟨fun n => ?_, fun ε hε => ?_, ?_⟩

Result:
case intro.intro.refine_1
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
E : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hp : 1 ≤ p
f : ℕ → α → E
hf₁ : ∀ (i : ℕ), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf₂ : UnifIntegrable f p μ
hf₃ : ∃ C, ∀ (i : ℕ), eLpNorm (f i) p μ ≤ ↑C
n : ℕ
⊢ AEStronglyMeasurable ((fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, f i) n) μ

case intro.intro.refine_2
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
E : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hp : 1 ≤ p
f : ℕ → α → E
hf₁ : ∀ (i : ℕ), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf₂ : UnifIntegrable f p μ
hf₃ : ∃ C, ∀ (i : ℕ), eLpNorm (f i) p μ ≤ ↑C
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∃ δ,
    ∃ (_ : 0 < δ),
      ∀ (i : ℕ) (s : Set α),
        MeasurableSet s →
          μ s ≤ ENNReal.ofReal δ →
            eLpNorm (s.indicator ((fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, f i) i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε

case intro.intro.refine_3
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
E : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hp : 1 ≤ p
f : ℕ → α → E
hf₁ : ∀ (i : ℕ), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf₂ : UnifIntegrable f p μ
hf₃ : ∃ C, ∀ (i : ℕ), eLpNorm (f i) p μ ≤ ↑C
⊢ ∃ C, ∀ (i : ℕ), eLpNorm ((fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, f i) i) p μ ≤ ↑C

Proof state:
case intro.intro.refine_2.intro.intro.inr
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
E : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hp : 1 ≤ p
f : ℕ → α → E
hf₁ : ∀ (i : ℕ), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf₂ : UnifIntegrable f p μ
hf₃ : ∃ C, ∀ (i : ℕ), eLpNorm (f i) p μ ≤ ↑C
ε : ℝ
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ₁ : 0 < δ
hδ₂ :
  ∀ (i : ℕ) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
n : ℕ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hle : μ s ≤ ENNReal.ofReal δ
this : ∀ (i : ℕ), s.indicator ((↑n)⁻¹ • f i) = (↑n)⁻¹ • s.indicator (f i)
hn : n ≠ 0
⊢ ∑ i ∈ Finset.range n, eLpNorm (s.indicator ((↑n)⁻¹ • f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε

Tactic:
simp_rw [this, eLpNorm_const_smul, ← Finset.mul_sum]

Result:
case intro.intro.refine_2.intro.intro.inr
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
E : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hp : 1 ≤ p
f : ℕ → α → E
hf₁ : ∀ (i : ℕ), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf₂ : UnifIntegrable f p μ
hf₃ : ∃ C, ∀ (i : ℕ), eLpNorm (f i) p μ ≤ ↑C
ε : ℝ
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ₁ : 0 < δ
hδ₂ :
  ∀ (i : ℕ) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
n : ℕ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hle : μ s ≤ ENNReal.ofReal δ
this : ∀ (i : ℕ), s.indicator ((↑n)⁻¹ • f i) = (↑n)⁻¹ • s.indicator (f i)
hn : n ≠ 0
⊢ ‖(↑n)⁻¹‖ₑ * ∑ i ∈ Finset.range n, eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε

Proof state:
case intro.intro.refine_2.intro.intro
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
E : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hp : 1 ≤ p
f : ℕ → α → E
hf₁ : ∀ (i : ℕ), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf₂ : UnifIntegrable f p μ
hf₃ : ∃ C, ∀ (i : ℕ), eLpNorm (f i) p μ ≤ ↑C
ε : ℝ
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ₁ : 0 < δ
hδ₂ :
  ∀ (i : ℕ) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
n : ℕ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hle : μ s ≤ ENNReal.ofReal δ
⊢ eLpNorm (s.indicator ((fun n => (↑n)⁻¹ • ∑ i ∈ Finset.range n, f i) n)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε

Tactic:
simp_rw [Finset.smul_sum, Finset.indicator_sum]

Result:
case intro.intro.refine_2.intro.intro
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
E : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hp : 1 ≤ p
f : ℕ → α → E
hf₁ : ∀ (i : ℕ), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf₂ : UnifIntegrable f p μ
hf₃ : ∃ C, ∀ (i : ℕ), eLpNorm (f i) p μ ≤ ↑C
ε : ℝ
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ₁ : 0 < δ
hδ₂ :
  ∀ (i : ℕ) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
n : ℕ
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hle : μ s ≤ ENNReal.ofReal δ
⊢ eLpNorm (∑ i ∈ Finset.range n, s.indicator ((↑n)⁻¹ • f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε

Proof state:
case intro.intro.refine_3.intro.inr
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
E : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hp : 1 ≤ p
f : ℕ → α → E
hf₁ : ∀ (i : ℕ), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf₂ : UnifIntegrable f p μ
C : ℝ≥0
hC : ∀ (i : ℕ), eLpNorm (f i) p μ ≤ ↑C
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ ∑ i ∈ Finset.range n, eLpNorm ((↑n)⁻¹ • f i) p μ ≤ ↑C

Tactic:
simp_rw [eLpNorm_const_smul, ← Finset.mul_sum]

Result:
case intro.intro.refine_3.intro.inr
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
E : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
hp : 1 ≤ p
f : ℕ → α → E
hf₁ : ∀ (i : ℕ), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf₂ : UnifIntegrable f p μ
C : ℝ≥0
hC : ∀ (i : ℕ), eLpNorm (f i) p μ ≤ ↑C
n : ℕ
hn : n ≠ 0
⊢ ‖(↑n)⁻¹‖ₑ * ∑ i ∈ Finset.range n, eLpNorm (f i) p μ ≤ ↑C