-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Chunk.lean
theorem average_density_near_total_density [Nonempty α]
    (hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ card α) (hPε : ↑100 ≤ ↑4 ^ #P.parts * ε ^ 5)
    (hε₁ : ε ≤ 1) {hU : U ∈ P.parts} {hV : V ∈ P.parts} {A B : Finset (Finset α)}
    (hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts) (hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts) :
    |(∑ ab ∈ A.product B, G.edgeDensity ab.1 ab.2 : ℝ) / (#A * #B) -
      G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)| ≤ ε ^ 5 / 49

Proof state:
case left
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
⊢ (∑ ab ∈ A.product B, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑(#A) * ↑(#B)) - ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) ≤
    ε ^ 5 / 49

Tactic:
rw [sub_le_iff_le_add']

Result:
case left
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
⊢ (∑ ab ∈ A.product B, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑(#A) * ↑(#B)) ≤
    ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) + ε ^ 5 / 49

Proof state:
case left
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
⊢ (∑ ab ∈ A.product B, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑(#A) * ↑(#B)) ≤
    ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) + ε ^ 5 / 49

Tactic:
exact sum_density_div_card_le_density_add_eps hPα hPε hε₁ hA hB

Result:
no goals

Proof state:
case right
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
⊢ ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) - (∑ ab ∈ A.product B, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑(#A) * ↑(#B)) ≤
    ε ^ 5 / 49

Tactic:
suffices (G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id) : ℝ) -
    (∑ ab ∈ A.product B, (G.edgeDensity ab.1 ab.2 : ℝ)) / (#A * #B) ≤ ε ^ 5 / 50 by
  apply this.trans
  gcongr <;> [sz_positivity; norm_num]

Result:
case right
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
⊢ ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) - (∑ ab ∈ A.product B, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑(#A) * ↑(#B)) ≤
    ε ^ 5 / 50

Proof state:
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
⊢ |(∑ ab ∈ A.product B, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑(#A) * ↑(#B)) -
        ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id))| ≤
    ε ^ 5 / 49

Tactic:
rw [abs_sub_le_iff]

Result:
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
⊢ (∑ ab ∈ A.product B, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑(#A) * ↑(#B)) - ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) ≤
      ε ^ 5 / 49 ∧
    ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) -
        (∑ ab ∈ A.product B, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑(#A) * ↑(#B)) ≤
      ε ^ 5 / 49

Proof state:
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
⊢ (∑ ab ∈ A.product B, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑(#A) * ↑(#B)) - ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) ≤
      ε ^ 5 / 49 ∧
    ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) -
        (∑ ab ∈ A.product B, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑(#A) * ↑(#B)) ≤
      ε ^ 5 / 49

Tactic:
constructor

Result:
case left
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
⊢ (∑ ab ∈ A.product B, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑(#A) * ↑(#B)) - ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) ≤
    ε ^ 5 / 49

case right
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
⊢ ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) - (∑ ab ∈ A.product B, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑(#A) * ↑(#B)) ≤
    ε ^ 5 / 49

Proof state:
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this :
  ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) - (∑ ab ∈ A.product B, ↑(G.edgeDensity ab.1 ab.2)) / (↑(#A) * ↑(#B)) ≤
    ε ^ 5 / 50
⊢ ε ^ 5 / 50 ≤ ε ^ 5 / 49

Tactic:
gcongr <;> [sz_positivity; norm_num]

Result:
no goals