-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
theorem whiskerRight_comp_bimod {W X Y Z : Mon_ C} {M M' : Bimod W X} (f : M ⟶ M') (N : Bimod X Y)
    (P : Bimod Y Z) :
    whiskerRight f (N.tensorBimod P) =
      (associatorBimod M N P).inv ≫
        whiskerRight (whiskerRight f N) P ≫ (associatorBimod M' N P).hom

Proof state:
case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M M' : Bimod W X
f : M ⟶ M'
N : Bimod X Y
P : Bimod Y Z
⊢ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫
      f.hom ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫
        colimit.ι
          (parallelPair (M'.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft))
            ((α_ M'.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft))).hom ≫
              M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P))
          WalkingParallelPair.one =
    (((α_ M.X N.X P.X).inv ≫
          coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P.X ≫
            coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X)
              ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P.actLeft)) ≫
        colimMap
          (parallelPairHom (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X)
            ((α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P.X).hom ≫
              coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P.actLeft)
            (TensorBimod.actRight M' N ▷ P.X)
            ((α_ (coequalizer (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft)) Y.X P.X).hom ≫
              coequalizer (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft) ◁ P.actLeft)
            (colimMap
                  (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M'.actRight ▷ N.X)
                    ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ X.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ▷
                Y.X ▷
              P.X)
            (colimMap
                (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M'.actRight ▷ N.X)
                  ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ X.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ▷
              P.X)
            ⋯ ⋯)) ≫
      coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux M' N P) ⋯

Tactic:
slice_rhs 3 4 => rw [ι_colimMap, parallelPairHom_app_one]

Result:
case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M M' : Bimod W X
f : M ⟶ M'
N : Bimod X Y
P : Bimod Y Z
⊢ M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫
      f.hom ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫
        colimit.ι
          (parallelPair (M'.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft))
            ((α_ M'.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft))).hom ≫
              M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P))
          WalkingParallelPair.one =
    (α_ M.X N.X P.X).inv ≫
      coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P.X ≫
        (colimMap
                (parallelPairHom (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) (M'.actRight ▷ N.X)
                  ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft) (f.hom ▷ X.X ▷ N.X) (f.hom ▷ N.X) ⋯ ⋯) ▷
              P.X ≫
            colimit.ι
              (parallelPair (TensorBimod.actRight M' N ▷ P.X)
                ((α_ (coequalizer (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft)) Y.X P.X).hom ≫
                  coequalizer (M'.actRight ▷ N.X) ((α_ M'.X X.X N.X).hom ≫ M'.X ◁ N.actLeft) ◁ P.actLeft))
              WalkingParallelPair.one) ≫
          coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux M' N P) ⋯

Proof state:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M M' : Bimod W X
f : M ⟶ M'
N : Bimod X Y
P : Bimod Y Z
⊢ whiskerRight f
      { X := TensorBimod.X N P, actLeft := TensorBimod.actLeft N P, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯,
        actRight := TensorBimod.actRight N P, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ } =
    (isoOfIso { hom := AssociatorBimod.hom M N P, inv := AssociatorBimod.inv M N P, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯
          ⋯).inv ≫
      whiskerRight (whiskerRight f N) P ≫
        (isoOfIso
            { hom := AssociatorBimod.hom M' N P, inv := AssociatorBimod.inv M' N P, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ } ⋯
            ⋯).hom

Tactic:
ext

Result:
case h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M M' : Bimod W X
f : M ⟶ M'
N : Bimod X Y
P : Bimod Y Z
⊢ (whiskerRight f
        { X := TensorBimod.X N P, actLeft := TensorBimod.actLeft N P, one_actLeft := ⋯, left_assoc := ⋯,
          actRight := TensorBimod.actRight N P, actRight_one := ⋯, right_assoc := ⋯, middle_assoc := ⋯ }).hom =
    ((isoOfIso { hom := AssociatorBimod.hom M N P, inv := AssociatorBimod.inv M N P, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ }
            ⋯ ⋯).inv ≫
        whiskerRight (whiskerRight f N) P ≫
          (isoOfIso
              { hom := AssociatorBimod.hom M' N P, inv := AssociatorBimod.inv M' N P, hom_inv_id := ⋯, inv_hom_id := ⋯ }
              ⋯ ⋯).hom).hom

Proof state:
case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M M' : Bimod W X
f : M ⟶ M'
N : Bimod X Y
P : Bimod Y Z
⊢ (f.hom ▷ (N.X ⊗ P.X) ≫ M'.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ≫
      colimit.ι
        (parallelPair (M'.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft))
          ((α_ M'.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft))).hom ≫
            M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P))
        WalkingParallelPair.one =
    (f.hom ▷ (N.X ⊗ P.X) ≫ M'.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)) ≫
      coequalizer.π (M'.actRight ▷ TensorBimod.X N P)
        ((α_ M'.X X.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M'.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)

Tactic:
rfl

Result:
no goals