-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace/Defs.lean
theorem affineSpan_eq_top_iff_vectorSpan_eq_top_of_nonempty {s : Set P} (hs : s.Nonempty) :
    affineSpan k s = ⊤ ↔ vectorSpan k s = ⊤

Proof state:
case intro
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
s : Set P
h : vectorSpan k s = ⊤
x : P
hx : x ∈ s
⊢ Nonempty ↥(affineSpan k s)

Tactic:
exact ⟨⟨x, mem_affineSpan k hx⟩⟩

Result:
no goals

Proof state:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
s : Set P
hs : s.Nonempty
⊢ affineSpan k s = ⊤ ↔ vectorSpan k s = ⊤

Tactic:
refine ⟨vectorSpan_eq_top_of_affineSpan_eq_top k V P, ?_⟩

Result:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
s : Set P
hs : s.Nonempty
⊢ vectorSpan k s = ⊤ → affineSpan k s = ⊤

Proof state:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
s : Set P
hs : s.Nonempty
h : vectorSpan k s = ⊤
⊢ Nonempty ↥(affineSpan k s)

Tactic:
obtain ⟨x, hx⟩ := hs

Result:
case intro
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
s : Set P
h : vectorSpan k s = ⊤
x : P
hx : x ∈ s
⊢ Nonempty ↥(affineSpan k s)

Proof state:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
s : Set P
hs : s.Nonempty
⊢ vectorSpan k s = ⊤ → affineSpan k s = ⊤

Tactic:
intro h

Result:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
s : Set P
hs : s.Nonempty
h : vectorSpan k s = ⊤
⊢ affineSpan k s = ⊤

Proof state:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
s : Set P
hs : s.Nonempty
h : vectorSpan k s = ⊤
⊢ affineSpan k s = ⊤

Tactic:
suffices Nonempty (affineSpan k s) by
  obtain ⟨p, hp : p ∈ affineSpan k s⟩ := this
  rw [eq_iff_direction_eq_of_mem hp (mem_top k V p), direction_affineSpan, h, direction_top]

Result:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
s : Set P
hs : s.Nonempty
h : vectorSpan k s = ⊤
⊢ Nonempty ↥(affineSpan k s)

Proof state:
case intro.mk
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
s : Set P
hs : s.Nonempty
h : vectorSpan k s = ⊤
p : P
hp : p ∈ affineSpan k s
⊢ affineSpan k s = ⊤

Tactic:
rw [eq_iff_direction_eq_of_mem hp (mem_top k V p), direction_affineSpan, h, direction_top]

Result:
no goals

Proof state:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
s : Set P
hs : s.Nonempty
h : vectorSpan k s = ⊤
this : Nonempty ↥(affineSpan k s)
⊢ affineSpan k s = ⊤

Tactic:
obtain ⟨p, hp : p ∈ affineSpan k s⟩ := this

Result:
case intro.mk
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
s : Set P
hs : s.Nonempty
h : vectorSpan k s = ⊤
p : P
hp : p ∈ affineSpan k s
⊢ affineSpan k s = ⊤