-- Mathlib/Algebra/Lie/EngelSubalgebra.lean
/-- A Lie subalgebra of a Noetherian Lie algebra is nilpotent
if it is contained in the Engel subalgebra of all its elements. -/
lemma isNilpotent_of_forall_le_engel [IsNoetherian R L]
    (H : LieSubalgebra R L) (h : ∀ x ∈ H, H ≤ engel R x) :
    LieRing.IsNilpotent H

Proof state:
case h.h.a.intro.inr
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsNoetherian R L
H : LieSubalgebra R L
x : ↥H
K : ℕ →o Submodule R ↥H := { toFun := fun n => LinearMap.ker ((ad R ↥H) x ^ n), monotone' := ⋯ }
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → K n = K m
y : ↥H
m : ℕ
hm : ((ad R L) ↑x ^ m) ↑y = 0
hmn : n ≤ m
⊢ ((ad R L) ↑x ^ n) ↑y = ↑(0 y)

Tactic:
have : ∀ k : ℕ, ((ad R L) x ^ k) y = 0 ↔ y ∈ K k := by simp [K, Subtype.ext_iff, coe_ad_pow]

Result:
case h.h.a.intro.inr
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsNoetherian R L
H : LieSubalgebra R L
x : ↥H
K : ℕ →o Submodule R ↥H := { toFun := fun n => LinearMap.ker ((ad R ↥H) x ^ n), monotone' := ⋯ }
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → K n = K m
y : ↥H
m : ℕ
hm : ((ad R L) ↑x ^ m) ↑y = 0
hmn : n ≤ m
this : ∀ (k : ℕ), ((ad R L) ↑x ^ k) ↑y = 0 ↔ y ∈ K k
⊢ ((ad R L) ↑x ^ n) ↑y = ↑(0 y)

Proof state:
case h.h.a.intro
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsNoetherian R L
H : LieSubalgebra R L
x : ↥H
K : ℕ →o Submodule R ↥H := { toFun := fun n => LinearMap.ker ((ad R ↥H) x ^ n), monotone' := ⋯ }
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → K n = K m
y : ↥H
m : ℕ
hm : ((ad R L) ↑x ^ m) ↑y = 0
⊢ ((ad R L) ↑x ^ n) ↑y = ↑(0 y)

Tactic:
obtain (hmn|hmn) : m ≤ n ∨ n ≤ m := le_total m n

Result:
case h.h.a.intro.inl
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsNoetherian R L
H : LieSubalgebra R L
x : ↥H
K : ℕ →o Submodule R ↥H := { toFun := fun n => LinearMap.ker ((ad R ↥H) x ^ n), monotone' := ⋯ }
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → K n = K m
y : ↥H
m : ℕ
hm : ((ad R L) ↑x ^ m) ↑y = 0
hmn : m ≤ n
⊢ ((ad R L) ↑x ^ n) ↑y = ↑(0 y)

case h.h.a.intro.inr
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsNoetherian R L
H : LieSubalgebra R L
x : ↥H
K : ℕ →o Submodule R ↥H := { toFun := fun n => LinearMap.ker ((ad R ↥H) x ^ n), monotone' := ⋯ }
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → K n = K m
y : ↥H
m : ℕ
hm : ((ad R L) ↑x ^ m) ↑y = 0
hmn : n ≤ m
⊢ ((ad R L) ↑x ^ n) ↑y = ↑(0 y)

Proof state:
case h.h.a
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsNoetherian R L
H : LieSubalgebra R L
x : ↥H
K : ℕ →o Submodule R ↥H := { toFun := fun n => LinearMap.ker ((ad R ↥H) x ^ n), monotone' := ⋯ }
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → K n = K m
y : ↥H
h : ↑y ∈ engel R ↑x
⊢ ((ad R L) ↑x ^ n) ↑y = ↑(0 y)

Tactic:
rw [mem_engel_iff] at h

Result:
case h.h.a
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsNoetherian R L
H : LieSubalgebra R L
x : ↥H
K : ℕ →o Submodule R ↥H := { toFun := fun n => LinearMap.ker ((ad R ↥H) x ^ n), monotone' := ⋯ }
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → K n = K m
y : ↥H
h : ∃ n, ((ad R L) ↑x ^ n) ↑y = 0
⊢ ((ad R L) ↑x ^ n) ↑y = ↑(0 y)

Proof state:
case h.h.a
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsNoetherian R L
H : LieSubalgebra R L
x : ↥H
K : ℕ →o Submodule R ↥H := { toFun := fun n => LinearMap.ker ((ad R ↥H) x ^ n), monotone' := ⋯ }
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → K n = K m
y : ↥H
h : ∃ n, ((ad R L) ↑x ^ n) ↑y = 0
⊢ ((ad R L) ↑x ^ n) ↑y = ↑(0 y)

Tactic:
obtain ⟨m, hm⟩ := h

Result:
case h.h.a.intro
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsNoetherian R L
H : LieSubalgebra R L
x : ↥H
K : ℕ →o Submodule R ↥H := { toFun := fun n => LinearMap.ker ((ad R ↥H) x ^ n), monotone' := ⋯ }
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → K n = K m
y : ↥H
m : ℕ
hm : ((ad R L) ↑x ^ m) ↑y = 0
⊢ ((ad R L) ↑x ^ n) ↑y = ↑(0 y)

Proof state:
case h.h.a.intro.inl
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsNoetherian R L
H : LieSubalgebra R L
x : ↥H
K : ℕ →o Submodule R ↥H := { toFun := fun n => LinearMap.ker ((ad R ↥H) x ^ n), monotone' := ⋯ }
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → K n = K m
y : ↥H
m : ℕ
hm : ((ad R L) ↑x ^ m) ↑y = 0
hmn : m ≤ n
⊢ ((ad R L) ↑x ^ n) ↑y = ↑(0 y)

Tactic:
exact LinearMap.pow_map_zero_of_le hmn hm

Result:
no goals

Proof state:
case h.h.a
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsNoetherian R L
H : LieSubalgebra R L
h : ∀ x ∈ H, H ≤ engel R x
x : ↥H
K : ℕ →o Submodule R ↥H := { toFun := fun n => LinearMap.ker ((ad R ↥H) x ^ n), monotone' := ⋯ }
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → K n = K m
y : ↥H
⊢ ((ad R L) ↑x ^ n) ↑y = ↑(0 y)

Tactic:
specialize h x x.2 y.2

Result:
case h.h.a
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsNoetherian R L
H : LieSubalgebra R L
x : ↥H
K : ℕ →o Submodule R ↥H := { toFun := fun n => LinearMap.ker ((ad R ↥H) x ^ n), monotone' := ⋯ }
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → K n = K m
y : ↥H
h : ↑y ∈ engel R ↑x
⊢ ((ad R L) ↑x ^ n) ↑y = ↑(0 y)

Proof state:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsNoetherian R L
H : LieSubalgebra R L
x : ↥H
K : ℕ →o Submodule R ↥H := { toFun := fun n => LinearMap.ker ((ad R ↥H) x ^ n), monotone' := ⋯ }
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → K n = K m
y : ↥H
m : ℕ
hm : ((ad R L) ↑x ^ m) ↑y = 0
hmn : n ≤ m
⊢ ∀ (k : ℕ), ((ad R L) ↑x ^ k) ↑y = 0 ↔ y ∈ K k

Tactic:
simp [K, Subtype.ext_iff, coe_ad_pow]

Result:
no goals

Proof state:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra R L
inst✝ : IsNoetherian R L
H : LieSubalgebra R L
h : ∀ x ∈ H, H ≤ engel R x
x : ↥H
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
y : ↥H
hy : ((ad R ↥H) x ^ m) y = 0
⊢ ((ad R ↥H) x ^ n) y = 0

Tactic:
exact LinearMap.pow_map_zero_of_le hmn hy

Result:
no goals