-- Mathlib/Algebra/Module/Injective.lean
theorem ExtensionOfMaxAdjoin.extensionToFun_wd (h : Module.Baer R Q) {y : N}
    (x : supExtensionOfMaxSingleton i f y) (a : (extensionOfMax i f).domain)
    (r : R) (eq1 : ↑x = ↑a + r • y) :
    ExtensionOfMaxAdjoin.extensionToFun i f h x =
      (extensionOfMax i f).toLinearPMap a + ExtensionOfMaxAdjoin.extendIdealTo i f h y r

Proof state:
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Baer R Q
y : N
x : ↥(supExtensionOfMaxSingleton i f y)
r : R
a : N
ha : a ∈ (extensionOfMax i f).domain
eq1 : ↑x = a + r • y
⊢ ↑(fst i x) - a = (r - snd i x) • y

Tactic:
rwa [ExtensionOfMaxAdjoin.eqn, ← sub_eq_zero, ← sub_sub_sub_eq, sub_eq_zero, ← sub_smul]
  at eq1

Result:
no goals

Proof state:
case mk.e_a.e_a.a
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Baer R Q
y : N
x : ↥(supExtensionOfMaxSingleton i f y)
r : R
a : N
ha : a ∈ (extensionOfMax i f).domain
eq1 : ↑x = ↑⟨a, ha⟩ + r • y
eq2 : ↑(fst i x) - a = (r - snd i x) • y
eq3 :
  (extendIdealTo i f h y) r =
    ↑(extensionOfMax i f).toLinearPMap ⟨r • y - snd i x • y, ⋯⟩ + (extendIdealTo i f h y) (snd i x)
⊢ ↑(fst i x) = ↑⟨a + (r • y - snd i x • y), ⋯⟩

Tactic:
dsimp

Result:
case mk.e_a.e_a.a
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Baer R Q
y : N
x : ↥(supExtensionOfMaxSingleton i f y)
r : R
a : N
ha : a ∈ (extensionOfMax i f).domain
eq1 : ↑x = ↑⟨a, ha⟩ + r • y
eq2 : ↑(fst i x) - a = (r - snd i x) • y
eq3 :
  (extendIdealTo i f h y) r =
    ↑(extensionOfMax i f).toLinearPMap ⟨r • y - snd i x • y, ⋯⟩ + (extendIdealTo i f h y) (snd i x)
⊢ ↑(fst i x) = a + (r • y - snd i x • y)

Proof state:
case mk.e_a.e_a.a
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Baer R Q
y : N
x : ↥(supExtensionOfMaxSingleton i f y)
r : R
a : N
ha : a ∈ (extensionOfMax i f).domain
eq1 : ↑x = ↑⟨a, ha⟩ + r • y
eq2 : ↑(fst i x) - a = (r - snd i x) • y
eq3 :
  (extendIdealTo i f h y) r =
    ↑(extensionOfMax i f).toLinearPMap ⟨r • y - snd i x • y, ⋯⟩ + (extendIdealTo i f h y) (snd i x)
⊢ ↑(fst i x) = ↑x - snd i x • y

Tactic:
exact eq_sub_of_add_eq (ExtensionOfMaxAdjoin.eqn i x).symm

Result:
no goals

Proof state:
case mk.e_a.e_a
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Baer R Q
y : N
x : ↥(supExtensionOfMaxSingleton i f y)
r : R
a : N
ha : a ∈ (extensionOfMax i f).domain
eq1 : ↑x = ↑⟨a, ha⟩ + r • y
eq2 : ↑(fst i x) - a = (r - snd i x) • y
eq3 :
  (extendIdealTo i f h y) r =
    ↑(extensionOfMax i f).toLinearPMap ⟨r • y - snd i x • y, ⋯⟩ + (extendIdealTo i f h y) (snd i x)
⊢ fst i x = ⟨a + (r • y - snd i x • y), ⋯⟩

Tactic:
ext

Result:
case mk.e_a.e_a.a
R : Type u
inst✝⁷ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)
h : Baer R Q
y : N
x : ↥(supExtensionOfMaxSingleton i f y)
r : R
a : N
ha : a ∈ (extensionOfMax i f).domain
eq1 : ↑x = ↑⟨a, ha⟩ + r • y
eq2 : ↑(fst i x) - a = (r - snd i x) • y
eq3 :
  (extendIdealTo i f h y) r =
    ↑(extensionOfMax i f).toLinearPMap ⟨r • y - snd i x • y, ⋯⟩ + (extendIdealTo i f h y) (snd i x)
⊢ ↑(fst i x) = ↑⟨a + (r • y - snd i x • y), ⋯⟩