-- Mathlib/LinearAlgebra/Pi.lean
theorem disjoint_single_single (I J : Set ι) (h : Disjoint I J) :
    Disjoint (⨆ i ∈ I, range (single R φ i)) (⨆ i ∈ J, range (single R φ i))

Proof state:
R : Type u
ι : Type x
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type i
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝ : DecidableEq ι
I J : Set ι
h : Disjoint I J
⊢ Disjoint (⨅ i ∈ Iᶜ, ker (proj i)) (⨅ i ∈ Jᶜ, ker (proj i))

Tactic:
simp only [disjoint_iff_inf_le, SetLike.le_def, mem_iInf, mem_inf, mem_ker, mem_bot, proj_apply,
  funext_iff]

Result:
R : Type u
ι : Type x
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type i
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝ : DecidableEq ι
I J : Set ι
h : Disjoint I J
⊢ ∀ ⦃x : (i : ι) → φ i⦄, ((∀ i ∈ Iᶜ, x i = 0) ∧ ∀ i ∈ Jᶜ, x i = 0) → ∀ (x_1 : ι), x x_1 = 0 x_1

Proof state:
case intro
R : Type u
ι : Type x
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type i
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝ : DecidableEq ι
I J : Set ι
h : Disjoint I J
b : (i : ι) → φ i
hI : ∀ i ∈ Iᶜ, b i = 0
hJ : ∀ i ∈ Jᶜ, b i = 0
i : ι
⊢ b i = 0 i

Tactic:
by_cases hiI : i ∈ I

Result:
case pos
R : Type u
ι : Type x
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type i
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝ : DecidableEq ι
I J : Set ι
h : Disjoint I J
b : (i : ι) → φ i
hI : ∀ i ∈ Iᶜ, b i = 0
hJ : ∀ i ∈ Jᶜ, b i = 0
i : ι
hiI : i ∈ I
⊢ b i = 0 i

case neg
R : Type u
ι : Type x
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type i
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝ : DecidableEq ι
I J : Set ι
h : Disjoint I J
b : (i : ι) → φ i
hI : ∀ i ∈ Iᶜ, b i = 0
hJ : ∀ i ∈ Jᶜ, b i = 0
i : ι
hiI : i ∉ I
⊢ b i = 0 i

Proof state:
R : Type u
ι : Type x
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type i
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝ : DecidableEq ι
I J : Set ι
h : Disjoint I J
⊢ Disjoint (⨆ i ∈ I, range (single R φ i)) (⨆ i ∈ J, range (single R φ i))

Tactic:
refine
  Disjoint.mono (iSup_range_single_le_iInf_ker_proj _ _ _ _ <| disjoint_compl_right)
    (iSup_range_single_le_iInf_ker_proj _ _ _ _ <| disjoint_compl_right) ?_

Result:
R : Type u
ι : Type x
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type i
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝ : DecidableEq ι
I J : Set ι
h : Disjoint I J
⊢ Disjoint (⨅ i ∈ Iᶜ, ker (proj i)) (⨅ i ∈ Jᶜ, ker (proj i))

Proof state:
case pos
R : Type u
ι : Type x
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type i
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝ : DecidableEq ι
I J : Set ι
h : Disjoint I J
b : (i : ι) → φ i
hI : ∀ i ∈ Iᶜ, b i = 0
hJ : ∀ i ∈ Jᶜ, b i = 0
i : ι
hiI : i ∈ I
⊢ b i = 0 i

Tactic:
by_cases hiJ : i ∈ J

Result:
case pos
R : Type u
ι : Type x
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type i
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝ : DecidableEq ι
I J : Set ι
h : Disjoint I J
b : (i : ι) → φ i
hI : ∀ i ∈ Iᶜ, b i = 0
hJ : ∀ i ∈ Jᶜ, b i = 0
i : ι
hiI : i ∈ I
hiJ : i ∈ J
⊢ b i = 0 i

case neg
R : Type u
ι : Type x
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type i
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝ : DecidableEq ι
I J : Set ι
h : Disjoint I J
b : (i : ι) → φ i
hI : ∀ i ∈ Iᶜ, b i = 0
hJ : ∀ i ∈ Jᶜ, b i = 0
i : ι
hiI : i ∈ I
hiJ : i ∉ J
⊢ b i = 0 i

Proof state:
case neg
R : Type u
ι : Type x
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type i
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝ : DecidableEq ι
I J : Set ι
h : Disjoint I J
b : (i : ι) → φ i
hI : ∀ i ∈ Iᶜ, b i = 0
hJ : ∀ i ∈ Jᶜ, b i = 0
i : ι
hiI : i ∈ I
hiJ : i ∉ J
⊢ b i = 0 i

Tactic:
exact hJ i hiJ

Result:
no goals

Proof state:
case neg
R : Type u
ι : Type x
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type i
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝ : DecidableEq ι
I J : Set ι
h : Disjoint I J
b : (i : ι) → φ i
hI : ∀ i ∈ Iᶜ, b i = 0
hJ : ∀ i ∈ Jᶜ, b i = 0
i : ι
hiI : i ∉ I
⊢ b i = 0 i

Tactic:
exact hI i hiI

Result:
no goals

Proof state:
case pos
R : Type u
ι : Type x
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type i
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝ : DecidableEq ι
I J : Set ι
h : Disjoint I J
b : (i : ι) → φ i
hI : ∀ i ∈ Iᶜ, b i = 0
hJ : ∀ i ∈ Jᶜ, b i = 0
i : ι
hiI : i ∈ I
hiJ : i ∈ J
⊢ b i = 0 i

Tactic:
exact (h.le_bot ⟨hiI, hiJ⟩).elim

Result:
no goals

Proof state:
R : Type u
ι : Type x
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type i
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝ : DecidableEq ι
I J : Set ι
h : Disjoint I J
⊢ ∀ ⦃x : (i : ι) → φ i⦄, ((∀ i ∈ Iᶜ, x i = 0) ∧ ∀ i ∈ Jᶜ, x i = 0) → ∀ (x_1 : ι), x x_1 = 0 x_1

Tactic:
rintro b ⟨hI, hJ⟩ i

Result:
case intro
R : Type u
ι : Type x
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type i
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝ : DecidableEq ι
I J : Set ι
h : Disjoint I J
b : (i : ι) → φ i
hI : ∀ i ∈ Iᶜ, b i = 0
hJ : ∀ i ∈ Jᶜ, b i = 0
i : ι
⊢ b i = 0 i