-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Reflection.lean
theorem isIso_tfae : List.TFAE
    [ ∀ (c : C) (d : D), IsIso (adj.unit.app ((ihom d).obj (R.obj c)))
    , ∀ (c : C) (d : D), IsIso ((pre (adj.unit.app d)).app (R.obj c))
    , ∀ (d d' : D), IsIso (L.map ((adj.unit.app d) ▷ d'))
    , ∀ (d d' : D), IsIso (L.map ((adj.unit.app d) ⊗ (adj.unit.app d')))]

Proof state:
case h
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : SymmetricCategory D
inst✝² : MonoidalClosed D
R : C ⥤ D
inst✝¹ : R.Faithful
inst✝ : R.Full
L : D ⥤ C
adj : L ⊣ R
tfae_3_to_4 :
  (∀ (d d' : D), IsIso (L.map (adj.unit.app d ▷ d'))) → ∀ (d d' : D), IsIso (L.map (adj.unit.app d ⊗ adj.unit.app d'))
tfae_4_to_1 :
  (∀ (d d' : D), IsIso (L.map (adj.unit.app d ⊗ adj.unit.app d'))) →
    ∀ (c : C) (d : D), IsIso (adj.unit.app ((ihom d).obj (R.obj c)))
tfae_1_to_3 :
  (∀ (c : C) (d : D), IsIso (adj.unit.app ((ihom d).obj (R.obj c)))) → ∀ (d d' : D), IsIso (L.map (adj.unit.app d ▷ d'))
d d' : D
c : C
w₁ :
  (coyoneda.map (L.map (adj.unit.app d ▷ d')).op).app c =
    ⇑(adj.homEquiv (Opposite.unop (Opposite.op ((𝟭 D).obj d ⊗ d'))) c).symm ∘
      (coyoneda.map (adj.unit.app d ▷ d').op).app (R.obj c) ∘
        ⇑(adj.homEquiv (Opposite.unop (Opposite.op ((L ⋙ R).obj d ⊗ d'))) c)
x✝ : (tensorLeft ((L ⋙ R).obj d)).obj (Opposite.unop (Opposite.op d')) ⟶ R.obj c
⊢ ((ihom.adjunction (R.obj (L.obj d))).unit.app d' ≫ (ihom (R.obj (L.obj d))).map x✝) ≫
      (pre (adj.unit.app d)).app (R.obj c) =
    (ihom.adjunction d).unit.app d' ≫ (ihom d).map (adj.unit.app d ▷ d' ≫ x✝)

Tactic:
simp

Result:
no goals

Proof state:
case out
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : SymmetricCategory D
inst✝² : MonoidalClosed D
R : C ⥤ D
inst✝¹ : R.Faithful
inst✝ : R.Full
L : D ⥤ C
adj : L ⊣ R
tfae_3_to_4 :
  (∀ (d d' : D), IsIso (L.map (adj.unit.app d ▷ d'))) → ∀ (d d' : D), IsIso (L.map (adj.unit.app d ⊗ adj.unit.app d'))
tfae_4_to_1 :
  (∀ (d d' : D), IsIso (L.map (adj.unit.app d ⊗ adj.unit.app d'))) →
    ∀ (c : C) (d : D), IsIso (adj.unit.app ((ihom d).obj (R.obj c)))
h : ∀ (c : C) (d : D), IsIso (adj.unit.app ((ihom d).obj (R.obj c)))
d d' : D
c : C
w₁ :
  (coyoneda.map (L.map (adj.unit.app d ▷ d')).op).app c =
    ⇑(adj.homEquiv (Opposite.unop (Opposite.op ((𝟭 D).obj d ⊗ d'))) c).symm ∘
      (coyoneda.map (adj.unit.app d ▷ d').op).app (R.obj c) ∘
        ⇑(adj.homEquiv (Opposite.unop (Opposite.op ((L ⋙ R).obj d ⊗ d'))) c)
w₂ :
  (coyoneda.map (adj.unit.app d ▷ d').op).app (R.obj c) =
    ((yoneda.obj (R.obj c)).mapIso (β_ (Opposite.op d') (Opposite.op ((𝟭 D).toPrefunctor.1 d)))).hom ∘
      (coyoneda.map (d' ◁ adj.unit.app d).op).app (R.obj c) ∘
        ((yoneda.obj (R.obj c)).mapIso (β_ (Opposite.op ((L ⋙ R).toPrefunctor.1 d)) (Opposite.op d'))).hom
w₃ :
  (coyoneda.map (d' ◁ adj.unit.app d).op).app (R.obj c) =
    ⇑((ihom.adjunction d').homEquiv (Opposite.unop (Opposite.op ((𝟭 D).obj d))) (R.obj c)).symm ∘
      (coyoneda.map (adj.unit.app d).op).app ((ihom d').obj (R.obj c)) ∘
        ⇑((ihom.adjunction d').homEquiv (Opposite.unop (Opposite.op ((L ⋙ R).obj d))) (R.obj c))
w₄ :
  (coyoneda.map (adj.unit.app d).op).app ((ihom d').obj (R.obj c)) ≫
      (coyoneda.obj (Opposite.op d)).map (adj.unit.app ((ihom d').obj (R.obj c))) =
    (coyoneda.obj (Opposite.op ((L ⋙ R).obj d))).map (adj.unit.app ((ihom d').obj (R.obj c))) ≫
      (coyoneda.map (adj.unit.app d).op).app ((L ⋙ R).obj ((ihom d').obj (R.obj c)))
⊢ ∃ inv,
    (coyoneda.map (adj.unit.app d).op).app ((L ⋙ R).obj ((ihom d').obj (R.obj c))) ≫ inv =
        𝟙 ((coyoneda.obj (Opposite.op ((L ⋙ R).obj d))).obj ((L ⋙ R).obj ((ihom d').obj (R.obj c)))) ∧
      inv ≫ (coyoneda.map (adj.unit.app d).op).app ((L ⋙ R).obj ((ihom d').obj (R.obj c))) =
        𝟙 ((coyoneda.obj (Opposite.op d)).obj ((L ⋙ R).obj ((ihom d').obj (R.obj c))))

Tactic:
refine ⟨fun f ↦ R.map ((adj.homEquiv _ _).symm f), ?_, by ext; simp⟩

Result:
case out
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : SymmetricCategory D
inst✝² : MonoidalClosed D
R : C ⥤ D
inst✝¹ : R.Faithful
inst✝ : R.Full
L : D ⥤ C
adj : L ⊣ R
tfae_3_to_4 :
  (∀ (d d' : D), IsIso (L.map (adj.unit.app d ▷ d'))) → ∀ (d d' : D), IsIso (L.map (adj.unit.app d ⊗ adj.unit.app d'))
tfae_4_to_1 :
  (∀ (d d' : D), IsIso (L.map (adj.unit.app d ⊗ adj.unit.app d'))) →
    ∀ (c : C) (d : D), IsIso (adj.unit.app ((ihom d).obj (R.obj c)))
h : ∀ (c : C) (d : D), IsIso (adj.unit.app ((ihom d).obj (R.obj c)))
d d' : D
c : C
w₁ :
  (coyoneda.map (L.map (adj.unit.app d ▷ d')).op).app c =
    ⇑(adj.homEquiv (Opposite.unop (Opposite.op ((𝟭 D).obj d ⊗ d'))) c).symm ∘
      (coyoneda.map (adj.unit.app d ▷ d').op).app (R.obj c) ∘
        ⇑(adj.homEquiv (Opposite.unop (Opposite.op ((L ⋙ R).obj d ⊗ d'))) c)
w₂ :
  (coyoneda.map (adj.unit.app d ▷ d').op).app (R.obj c) =
    ((yoneda.obj (R.obj c)).mapIso (β_ (Opposite.op d') (Opposite.op ((𝟭 D).toPrefunctor.1 d)))).hom ∘
      (coyoneda.map (d' ◁ adj.unit.app d).op).app (R.obj c) ∘
        ((yoneda.obj (R.obj c)).mapIso (β_ (Opposite.op ((L ⋙ R).toPrefunctor.1 d)) (Opposite.op d'))).hom
w₃ :
  (coyoneda.map (d' ◁ adj.unit.app d).op).app (R.obj c) =
    ⇑((ihom.adjunction d').homEquiv (Opposite.unop (Opposite.op ((𝟭 D).obj d))) (R.obj c)).symm ∘
      (coyoneda.map (adj.unit.app d).op).app ((ihom d').obj (R.obj c)) ∘
        ⇑((ihom.adjunction d').homEquiv (Opposite.unop (Opposite.op ((L ⋙ R).obj d))) (R.obj c))
w₄ :
  (coyoneda.map (adj.unit.app d).op).app ((ihom d').obj (R.obj c)) ≫
      (coyoneda.obj (Opposite.op d)).map (adj.unit.app ((ihom d').obj (R.obj c))) =
    (coyoneda.obj (Opposite.op ((L ⋙ R).obj d))).map (adj.unit.app ((ihom d').obj (R.obj c))) ≫
      (coyoneda.map (adj.unit.app d).op).app ((L ⋙ R).obj ((ihom d').obj (R.obj c)))
⊢ ((coyoneda.map (adj.unit.app d).op).app ((L ⋙ R).obj ((ihom d').obj (R.obj c))) ≫ fun f =>
      R.map ((adj.homEquiv d (L.obj ((ihom d').obj (R.obj c)))).symm f)) =
    𝟙 ((coyoneda.obj (Opposite.op ((L ⋙ R).obj d))).obj ((L ⋙ R).obj ((ihom d').obj (R.obj c))))

Proof state:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : SymmetricCategory D
inst✝² : MonoidalClosed D
R : C ⥤ D
inst✝¹ : R.Faithful
inst✝ : R.Full
L : D ⥤ C
adj : L ⊣ R
tfae_3_to_4 :
  (∀ (d d' : D), IsIso (L.map (adj.unit.app d ▷ d'))) → ∀ (d d' : D), IsIso (L.map (adj.unit.app d ⊗ adj.unit.app d'))
x✝³ : ∀ (d d' : D), IsIso (L.map (adj.unit.app d ⊗ adj.unit.app d'))
x✝² : C
x✝¹ : D
x✝ : Reflective R := Reflective.mk L adj
this : IsIso adj.toMonad.μ
⊢ IsSplitMono (adj.toMonad.η.app ((ihom x✝¹).obj (R.obj x✝²)))

Tactic:
exact ⟨⟨adjRetraction adj _ _, adjRetraction_is_retraction adj _ _⟩⟩

Result:
no goals

Proof state:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : SymmetricCategory D
inst✝² : MonoidalClosed D
R : C ⥤ D
inst✝¹ : R.Faithful
inst✝ : R.Full
L : D ⥤ C
adj : L ⊣ R
x✝ : ∀ (d d' : D), IsIso (L.map (adj.unit.app d ▷ d'))
h : ∀ (d d' : D), IsIso (L.map (adj.unit.app d ▷ d')) := x✝
h' : ∀ (d d' : D), IsIso (L.map (d ◁ adj.unit.app d'))
d d' : D
this : adj.unit.app d ⊗ adj.unit.app d' = adj.unit.app d ▷ d' ≫ (L ⋙ R).obj d ◁ adj.unit.app d'
⊢ IsIso (L.map (adj.unit.app d ▷ d') ≫ L.map ((L ⋙ R).obj d ◁ adj.unit.app d'))

Tactic:
infer_instance

Result:
no goals