-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Besicovitch.lean
theorem exist_disjoint_covering_families {N : ℕ} {τ : ℝ} (hτ : 1 < τ)
    (hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)) (q : BallPackage β α) :
    ∃ s : Fin N → Set β,
      (∀ i : Fin N, (s i).PairwiseDisjoint fun j => closedBall (q.c j) (q.r j)) ∧
        range q.c ⊆ ⋃ i : Fin N, ⋃ j ∈ s i, ball (q.c j) (q.r j)

Proof state:
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : Fin N → Set β := fun i => ⋃ k, ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = ↑i), {p.index k}
i : Fin N
jx : Ordinal.{u}
jx_lt : jx < p.lastStep
jxi : p.color jx = ↑i
hx : p.index jx ∈ s i
jy : Ordinal.{u}
jy_lt : jy < p.lastStep
jyi : p.color jy = ↑i
hy : p.index jy ∈ s i
x_ne_y : p.index jx ≠ p.index jy
jxy : jx ≤ jy
⊢ jx < jy

Tactic:
rcases lt_or_eq_of_le jxy with (H | rfl)

Result:
case inl
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : Fin N → Set β := fun i => ⋃ k, ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = ↑i), {p.index k}
i : Fin N
jx : Ordinal.{u}
jx_lt : jx < p.lastStep
jxi : p.color jx = ↑i
hx : p.index jx ∈ s i
jy : Ordinal.{u}
jy_lt : jy < p.lastStep
jyi : p.color jy = ↑i
hy : p.index jy ∈ s i
x_ne_y : p.index jx ≠ p.index jy
jxy : jx ≤ jy
H : jx < jy
⊢ jx < jy

case inr
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : Fin N → Set β := fun i => ⋃ k, ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = ↑i), {p.index k}
i : Fin N
jx : Ordinal.{u}
jx_lt : jx < p.lastStep
jxi : p.color jx = ↑i
hx : p.index jx ∈ s i
jy_lt : jx < p.lastStep
jyi : p.color jx = ↑i
hy : p.index jx ∈ s i
x_ne_y : p.index jx ≠ p.index jx
jxy : jx ≤ jx
⊢ jx < jx

Proof state:
case inr.refine_2
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : Fin N → Set β := fun i => ⋃ k, ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = ↑i), {p.index k}
b : β
⊢ q.c b ∈ ⋃ i, ⋃ j ∈ s i, ball (q.c j) (q.r j)

Tactic:
obtain ⟨a, ha⟩ :
  ∃ a : Ordinal, a < p.lastStep ∧ dist (p.c b) (p.c (p.index a)) < p.r (p.index a) := by
  simpa only [iUnionUpTo, exists_prop, mem_iUnion, mem_ball, Subtype.exists,
    Subtype.coe_mk] using p.mem_iUnionUpTo_lastStep b

Result:
case inr.refine_2.intro
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : Fin N → Set β := fun i => ⋃ k, ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = ↑i), {p.index k}
b : β
a : Ordinal.{u}
ha : a < p.lastStep ∧ dist (p.c b) (p.c (p.index a)) < p.r (p.index a)
⊢ q.c b ∈ ⋃ i, ⋃ j ∈ s i, ball (q.c j) (q.r j)

Proof state:
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : Fin N → Set β := fun i => ⋃ k, ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = ↑i), {p.index k}
i : Fin N
jx : Ordinal.{u}
jx_lt : jx < p.lastStep
jxi : p.color jx = ↑i
hx : p.index jx ∈ s i
jy : Ordinal.{u}
jy_lt : jy < p.lastStep
jyi : p.color jy = ↑i
hy : p.index jy ∈ s i
x_ne_y : p.index jx ≠ p.index jy
jxy : jx < jy
A : Set ℕ :=
  ⋃ j,
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index ↑j)) (p.r (p.index ↑j)) ∩ closedBall (p.c (p.index jy)) (p.r (p.index jy))).Nonempty),
      {p.color ↑j}
color_j : p.color jy = sInf (univ \ A)
h : ¬Function.onFun Disjoint (fun j => closedBall (q.c j) (q.r j)) (p.index jx) (p.index jy)
⊢ (closedBall (p.c (p.index jx)) (p.r (p.index jx)) ∩ closedBall (p.c (p.index jy)) (p.r (p.index jy))).Nonempty ∧
    p.color jy = p.color jx

Tactic:
simpa only [jxi, jyi, and_true, eq_self_iff_true, ← not_disjoint_iff_nonempty_inter] using h

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : Fin N → Set β := fun i => ⋃ k, ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = ↑i), {p.index k}
i : Fin N
y : β
hy : y ∈ s i
jx : Ordinal.{u}
jx_lt : jx < p.lastStep
jxi : p.color jx = ↑i
hx : p.index jx ∈ s i
x_ne_y : p.index jx ≠ y
⊢ ∃ jy < p.lastStep, p.color jy = ↑i ∧ y = p.index jy

Tactic:
simpa only [s, exists_prop, mem_iUnion, mem_singleton_iff] using hy

Result:
no goals

Proof state:
case inr.refine_1
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : Fin N → Set β := fun i => ⋃ k, ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = ↑i), {p.index k}
i : Fin N
x : β
hx : x ∈ s i
y : β
hy : y ∈ s i
x_ne_y : x ≠ y
⊢ Function.onFun Disjoint (fun j => closedBall (q.c j) (q.r j)) x y

Tactic:
obtain ⟨jx, jx_lt, jxi, rfl⟩ :
  ∃ jx : Ordinal, jx < p.lastStep ∧ p.color jx = i ∧ x = p.index jx := by
  simpa only [s, exists_prop, mem_iUnion, mem_singleton_iff] using hx

Result:
case inr.refine_1.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : Fin N → Set β := fun i => ⋃ k, ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = ↑i), {p.index k}
i : Fin N
y : β
hy : y ∈ s i
jx : Ordinal.{u}
jx_lt : jx < p.lastStep
jxi : p.color jx = ↑i
hx : p.index jx ∈ s i
x_ne_y : p.index jx ≠ y
⊢ Function.onFun Disjoint (fun j => closedBall (q.c j) (q.r j)) (p.index jx) y

Proof state:
case inr
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : Fin N → Set β := fun i => ⋃ k, ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = ↑i), {p.index k}
⊢ ∃ s,
    (∀ (i : Fin N), (s i).PairwiseDisjoint fun j => closedBall (q.c j) (q.r j)) ∧
      range q.c ⊆ ⋃ i, ⋃ j ∈ s i, ball (q.c j) (q.r j)

Tactic:
refine ⟨s, fun i => ?_, ?_⟩

Result:
case inr.refine_1
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : Fin N → Set β := fun i => ⋃ k, ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = ↑i), {p.index k}
i : Fin N
⊢ (s i).PairwiseDisjoint fun j => closedBall (q.c j) (q.r j)

case inr.refine_2
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : Fin N → Set β := fun i => ⋃ k, ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = ↑i), {p.index k}
⊢ range q.c ⊆ ⋃ i, ⋃ j ∈ s i, ball (q.c j) (q.r j)