-- Mathlib/RingTheory/PrincipalIdealDomainOfPrime.lean
theorem IsPrincipalIdealRing.of_prime (H : ∀ P : Ideal R, P.IsPrime → P.IsPrincipal) :
    IsPrincipalIdealRing R

Proof state:
case neg.mk.intro.mk.intro.refine_1.intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
H : ∀ (P : Ideal R), P.IsPrime → Submodule.IsPrincipal P
J : Ideal R
hJ : J ∈ nonPrincipals R
I : Ideal R
hJI : J ≤ I
hI : Maximal (fun x => x ∈ nonPrincipals R) I
Imax' : ∀ {J : Ideal R}, I < J → Submodule.IsPrincipal J
hI1 : ¬I = ⊤
x a b v : R
hxy : x * (v * a) ∈ I
hy : v * a ∉ I
ha : I ⊔ span {v * a} = Submodule.span R {a}
hb : Submodule.colon I (span {v * a}) = Submodule.span R {b}
z : R
hi : z * b * a ∈ I
⊢ z * b * a ∈ Submodule.span R {a * b}

Tactic:
exact mem_span_singleton'.2 ⟨z, by ring⟩

Result:
no goals

Proof state:
case neg.mk.intro.mk.intro.refine_2
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
H : ∀ (P : Ideal R), P.IsPrime → Submodule.IsPrincipal P
J : Ideal R
hJ : J ∈ nonPrincipals R
I : Ideal R
hJI : J ≤ I
hI : Maximal (fun x => x ∈ nonPrincipals R) I
Imax' : ∀ {J : Ideal R}, I < J → Submodule.IsPrincipal J
hI1 : ¬I = ⊤
x y : R
hxy : x * y ∈ I
hy : y ∉ I
a : R
ha : I ⊔ span {y} = Submodule.span R {a}
b : R
hb : Submodule.colon I (span {y}) = Submodule.span R {b}
⊢ I * span {b} ≤ I ∧ b * y ∈ I

Tactic:
exact ⟨mul_le_right, Ideal.mem_colon_singleton.1 <| hb.symm ▸ Ideal.mem_span_singleton_self b⟩

Result:
no goals

Proof state:
case pos
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
H : ∀ (P : Ideal R), P.IsPrime → Submodule.IsPrincipal P
J : Ideal R
hJ : J ∈ nonPrincipals R
hJI : J ≤ ⊤
hI : Maximal (fun x => x ∈ nonPrincipals R) ⊤
Imax' : ∀ {J : Ideal R}, ⊤ < J → Submodule.IsPrincipal J
⊢ False

Tactic:
exact hI.prop top_isPrincipal

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
H : ∀ (P : Ideal R), P.IsPrime → Submodule.IsPrincipal P
J : Ideal R
hJ : J ∈ nonPrincipals R
I : Ideal R
hJI : J ≤ I
hI : Maximal (fun x => x ∈ nonPrincipals R) I
⊢ False

Tactic:
have Imax' : ∀ {J}, I < J → J.IsPrincipal := by
  intro K hK
  simpa [nonPrincipals] using hI.not_prop_of_gt hK

Result:
case intro.intro
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
H : ∀ (P : Ideal R), P.IsPrime → Submodule.IsPrincipal P
J : Ideal R
hJ : J ∈ nonPrincipals R
I : Ideal R
hJI : J ≤ I
hI : Maximal (fun x => x ∈ nonPrincipals R) I
Imax' : ∀ {J : Ideal R}, I < J → Submodule.IsPrincipal J
⊢ False

Proof state:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
H : ∀ (P : Ideal R), P.IsPrime → Submodule.IsPrincipal P
⊢ IsPrincipalIdealRing R

Tactic:
rw [← nonPrincipals_eq_empty_iff, Set.eq_empty_iff_forall_not_mem]

Result:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
H : ∀ (P : Ideal R), P.IsPrime → Submodule.IsPrincipal P
⊢ ∀ (x : Ideal R), x ∉ nonPrincipals R

Proof state:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
H : ∀ (P : Ideal R), P.IsPrime → Submodule.IsPrincipal P
⊢ ∀ (x : Ideal R), x ∉ nonPrincipals R

Tactic:
intro J hJ

Result:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
H : ∀ (P : Ideal R), P.IsPrime → Submodule.IsPrincipal P
J : Ideal R
hJ : J ∈ nonPrincipals R
⊢ False

Proof state:
case neg.mk.intro.mk.intro.refine_1.intro.intro
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
H : ∀ (P : Ideal R), P.IsPrime → Submodule.IsPrincipal P
J : Ideal R
hJ : J ∈ nonPrincipals R
I : Ideal R
hJI : J ≤ I
hI : Maximal (fun x => x ∈ nonPrincipals R) I
Imax' : ∀ {J : Ideal R}, I < J → Submodule.IsPrincipal J
hI1 : ¬I = ⊤
x a b v : R
hxy : x * (v * a) ∈ I
hy : v * a ∉ I
ha : I ⊔ span {v * a} = Submodule.span R {a}
hb : Submodule.colon I (span {v * a}) = Submodule.span R {b}
u : R
hi : u * a ∈ I
⊢ u * a ∈ Submodule.span R {a * b}

Tactic:
have hucolon : u ∈ I.colon (span {v * a}) := by
  rw [Ideal.mem_colon_singleton, mul_comm v, ← mul_assoc]
  exact mul_mem_right _ _ hi

Result:
case neg.mk.intro.mk.intro.refine_1.intro.intro
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
H : ∀ (P : Ideal R), P.IsPrime → Submodule.IsPrincipal P
J : Ideal R
hJ : J ∈ nonPrincipals R
I : Ideal R
hJI : J ≤ I
hI : Maximal (fun x => x ∈ nonPrincipals R) I
Imax' : ∀ {J : Ideal R}, I < J → Submodule.IsPrincipal J
hI1 : ¬I = ⊤
x a b v : R
hxy : x * (v * a) ∈ I
hy : v * a ∉ I
ha : I ⊔ span {v * a} = Submodule.span R {a}
hb : Submodule.colon I (span {v * a}) = Submodule.span R {b}
u : R
hi : u * a ∈ I
hucolon : u ∈ Submodule.colon I (span {v * a})
⊢ u * a ∈ Submodule.span R {a * b}

Proof state:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
H : ∀ (P : Ideal R), P.IsPrime → Submodule.IsPrincipal P
J : Ideal R
hJ : J ∈ nonPrincipals R
I : Ideal R
hJI : J ≤ I
hI : Maximal (fun x => x ∈ nonPrincipals R) I
Imax' : ∀ {J : Ideal R}, I < J → Submodule.IsPrincipal J
hI1 : ¬I = ⊤
x y : R
hxy : x * y ∈ I
hy : y ∉ I
a : R
ha : I ⊔ span {y} = Submodule.span R {a}
He : ¬Submodule.IsPrincipal (Submodule.colon I (span {y}))
⊢ x ∈ Submodule.colon I (span {y})

Tactic:
exact Ideal.mem_colon_singleton.2 hxy

Result:
no goals

Proof state:
case neg.mk.intro.mk.intro.refine_1.intro.intro
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
H : ∀ (P : Ideal R), P.IsPrime → Submodule.IsPrincipal P
J : Ideal R
hJ : J ∈ nonPrincipals R
I : Ideal R
hJI : J ≤ I
hI : Maximal (fun x => x ∈ nonPrincipals R) I
Imax' : ∀ {J : Ideal R}, I < J → Submodule.IsPrincipal J
hI1 : ¬I = ⊤
x a b v : R
hxy : x * (v * a) ∈ I
hy : v * a ∉ I
ha : I ⊔ span {v * a} = Submodule.span R {a}
hb : Submodule.colon I (span {v * a}) = Submodule.span R {b}
u : R
hi : u * a ∈ I
hucolon : u ∈ Submodule.colon I (span {v * a})
⊢ u * a ∈ Submodule.span R {a * b}

Tactic:
erw [hb, mem_span_singleton'] at hucolon

Result:
case neg.mk.intro.mk.intro.refine_1.intro.intro
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
H : ∀ (P : Ideal R), P.IsPrime → Submodule.IsPrincipal P
J : Ideal R
hJ : J ∈ nonPrincipals R
I : Ideal R
hJI : J ≤ I
hI : Maximal (fun x => x ∈ nonPrincipals R) I
Imax' : ∀ {J : Ideal R}, I < J → Submodule.IsPrincipal J
hI1 : ¬I = ⊤
x a b v : R
hxy : x * (v * a) ∈ I
hy : v * a ∉ I
ha : I ⊔ span {v * a} = Submodule.span R {a}
hb : Submodule.colon I (span {v * a}) = Submodule.span R {b}
u : R
hi : u * a ∈ I
hucolon : ∃ a, a * b = u
⊢ u * a ∈ Submodule.span R {a * b}

Proof state:
case neg.mk.intro.mk.intro
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
H : ∀ (P : Ideal R), P.IsPrime → Submodule.IsPrincipal P
J : Ideal R
hJ : J ∈ nonPrincipals R
I : Ideal R
hJI : J ≤ I
hI : Maximal (fun x => x ∈ nonPrincipals R) I
Imax' : ∀ {J : Ideal R}, I < J → Submodule.IsPrincipal J
hI1 : ¬I = ⊤
x y : R
hxy : x * y ∈ I
hy : y ∉ I
a : R
ha : I ⊔ span {y} = Submodule.span R {a}
b : R
hb : Submodule.colon I (span {y}) = Submodule.span R {b}
⊢ I = Submodule.span R {a * b}

Tactic:
refine
  le_antisymm (α := Ideal R) (fun i hi => ?_) <|
    (span_singleton_mul_span_singleton a b).ge.trans ?_

Result:
case neg.mk.intro.mk.intro.refine_1
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
H : ∀ (P : Ideal R), P.IsPrime → Submodule.IsPrincipal P
J : Ideal R
hJ : J ∈ nonPrincipals R
I : Ideal R
hJI : J ≤ I
hI : Maximal (fun x => x ∈ nonPrincipals R) I
Imax' : ∀ {J : Ideal R}, I < J → Submodule.IsPrincipal J
hI1 : ¬I = ⊤
x y : R
hxy : x * y ∈ I
hy : y ∉ I
a : R
ha : I ⊔ span {y} = Submodule.span R {a}
b : R
hb : Submodule.colon I (span {y}) = Submodule.span R {b}
i : R
hi : i ∈ I
⊢ i ∈ Submodule.span R {a * b}

case neg.mk.intro.mk.intro.refine_2
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
H : ∀ (P : Ideal R), P.IsPrime → Submodule.IsPrincipal P
J : Ideal R
hJ : J ∈ nonPrincipals R
I : Ideal R
hJI : J ≤ I
hI : Maximal (fun x => x ∈ nonPrincipals R) I
Imax' : ∀ {J : Ideal R}, I < J → Submodule.IsPrincipal J
hI1 : ¬I = ⊤
x y : R
hxy : x * y ∈ I
hy : y ∉ I
a : R
ha : I ⊔ span {y} = Submodule.span R {a}
b : R
hb : Submodule.colon I (span {y}) = Submodule.span R {b}
⊢ span {a} * span {b} ≤ I