-- Mathlib/Analysis/Calculus/Rademacher.lean
theorem hasFDerivAt_of_hasLineDerivAt_of_closure
    {f : E → F} (hf : LipschitzWith C f) {s : Set E} (hs : sphere 0 1 ⊆ closure s)
    {L : E →L[ℝ] F} {x : E} (hL : ∀ v ∈ s, HasLineDerivAt ℝ f (L v) x v) :
    HasFDerivAt f L x

Proof state:
case inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C : ℝ≥0
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
f : E → F
hf : LipschitzWith C f
s : Set E
hs : sphere 0 1 ⊆ closure s
L : E →L[ℝ] F
x : E
hL : ∀ v ∈ s, HasLineDerivAt ℝ f (L v) x v
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : (↑C + ‖L‖ + 1) * δ = ε
q : Set E
hqs : q ⊆ s
q_fin : q.Finite
hq : sphere 0 1 ⊆ ⋃ y ∈ q, ball y δ
I : ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 0, ∀ v ∈ q, ‖f (x + t • v) - f x - t • L v‖ ≤ δ * ‖t‖
r : ℝ
r_pos : 0 < r
hr : ∀ (t : ℝ), ‖t‖ < r → ∀ v ∈ q, ‖f (x + t • v) - f x - t • L v‖ ≤ δ * ‖t‖
v : E
hv : v ∈ ball 0 r
v_ne : v ≠ 0
w : E
ρ : ℝ
w_mem : w ∈ sphere 0 1
hvw : v = ρ • w
hρ : ρ = ‖v‖
norm_rho : ‖ρ‖ = ρ
rho_pos : 0 ≤ ρ
y : E
yq : y ∈ q
hy : ‖w - y‖ < δ
⊢ v ∈ {x_1 | (fun x_2 => ‖f (x + x_2) - f x - L x_2‖ ≤ ε * ‖x_2‖) x_1}

Tactic:
have : ‖y - w‖ < δ := by rwa [norm_sub_rev]

Result:
case inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C : ℝ≥0
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
f : E → F
hf : LipschitzWith C f
s : Set E
hs : sphere 0 1 ⊆ closure s
L : E →L[ℝ] F
x : E
hL : ∀ v ∈ s, HasLineDerivAt ℝ f (L v) x v
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : (↑C + ‖L‖ + 1) * δ = ε
q : Set E
hqs : q ⊆ s
q_fin : q.Finite
hq : sphere 0 1 ⊆ ⋃ y ∈ q, ball y δ
I : ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 0, ∀ v ∈ q, ‖f (x + t • v) - f x - t • L v‖ ≤ δ * ‖t‖
r : ℝ
r_pos : 0 < r
hr : ∀ (t : ℝ), ‖t‖ < r → ∀ v ∈ q, ‖f (x + t • v) - f x - t • L v‖ ≤ δ * ‖t‖
v : E
hv : v ∈ ball 0 r
v_ne : v ≠ 0
w : E
ρ : ℝ
w_mem : w ∈ sphere 0 1
hvw : v = ρ • w
hρ : ρ = ‖v‖
norm_rho : ‖ρ‖ = ρ
rho_pos : 0 ≤ ρ
y : E
yq : y ∈ q
hy : ‖w - y‖ < δ
this : ‖y - w‖ < δ
⊢ v ∈ {x_1 | (fun x_2 => ‖f (x + x_2) - f x - L x_2‖ ≤ ε * ‖x_2‖) x_1}

Proof state:
case h₁.h₂.h
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C : ℝ≥0
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
f : E → F
hf : LipschitzWith C f
s : Set E
hs : sphere 0 1 ⊆ closure s
L : E →L[ℝ] F
x : E
hL : ∀ v ∈ s, HasLineDerivAt ℝ f (L v) x v
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : (↑C + ‖L‖ + 1) * δ = ε
q : Set E
hqs : q ⊆ s
q_fin : q.Finite
hq : sphere 0 1 ⊆ ⋃ y ∈ q, ball y δ
I : ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 0, ∀ v ∈ q, ‖f (x + t • v) - f x - t • L v‖ ≤ δ * ‖t‖
r : ℝ
r_pos : 0 < r
hr : ∀ (t : ℝ), ‖t‖ < r → ∀ v ∈ q, ‖f (x + t • v) - f x - t • L v‖ ≤ δ * ‖t‖
v : E
hv : v ∈ ball 0 r
v_ne : v ≠ 0
w : E
ρ : ℝ
w_mem : w ∈ sphere 0 1
hvw : v = ρ • w
hρ : ρ = ‖v‖
norm_rho : ‖ρ‖ = ρ
rho_pos : 0 ≤ ρ
y : E
yq : y ∈ q
hy : ‖w - y‖ < δ
this : ‖y - w‖ < δ
⊢ ‖L y - L w‖ ≤ ‖L‖ * ‖y - w‖

Tactic:
exact L.lipschitz.norm_sub_le _ _

Result:
no goals

Proof state:
case h₁.h₁
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C : ℝ≥0
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
f : E → F
hf : LipschitzWith C f
s : Set E
hs : sphere 0 1 ⊆ closure s
L : E →L[ℝ] F
x : E
hL : ∀ v ∈ s, HasLineDerivAt ℝ f (L v) x v
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : (↑C + ‖L‖ + 1) * δ = ε
q : Set E
hqs : q ⊆ s
q_fin : q.Finite
hq : sphere 0 1 ⊆ ⋃ y ∈ q, ball y δ
I : ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 0, ∀ v ∈ q, ‖f (x + t • v) - f x - t • L v‖ ≤ δ * ‖t‖
r : ℝ
r_pos : 0 < r
hr : ∀ (t : ℝ), ‖t‖ < r → ∀ v ∈ q, ‖f (x + t • v) - f x - t • L v‖ ≤ δ * ‖t‖
v : E
hv : v ∈ ball 0 r
v_ne : v ≠ 0
w : E
ρ : ℝ
w_mem : w ∈ sphere 0 1
hvw : v = ρ • w
hρ : ρ = ‖v‖
norm_rho : ‖ρ‖ = ρ
rho_pos : 0 ≤ ρ
y : E
yq : y ∈ q
hy : ‖w - y‖ < δ
this : ‖y - w‖ < δ
⊢ ‖f (x + ρ • w) - f (x + ρ • y)‖ ≤ ↑C * ‖x + ρ • w - (x + ρ • y)‖

Tactic:
exact hf.norm_sub_le _ _

Result:
no goals

Proof state:
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
C : ℝ≥0
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
f : E → F
hf : LipschitzWith C f
s : Set E
hs : sphere 0 1 ⊆ closure s
L : E →L[ℝ] F
x : E
hL : ∀ v ∈ s, HasLineDerivAt ℝ f (L v) x v
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ
δpos : 0 < δ
hδ : (↑C + ‖L‖ + 1) * δ = ε
q : Set E
hqs : q ⊆ s
q_fin : q.Finite
hq : sphere 0 1 ⊆ ⋃ y ∈ q, ball y δ
I : ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝 0, ∀ v ∈ q, ‖f (x + t • v) - f x - t • L v‖ ≤ δ * ‖t‖
r : ℝ
r_pos : 0 < r
hr : ∀ (t : ℝ), ‖t‖ < r → ∀ v ∈ q, ‖f (x + t • v) - f x - t • L v‖ ≤ δ * ‖t‖
v : E
hv : v ∈ ball 0 r
v_ne : v ≠ 0
w : E
ρ : ℝ
w_mem : w ∈ sphere 0 1
hvw : v = ρ • w
hρ : ρ = ‖v‖
norm_rho : ‖ρ‖ = ρ
rho_pos : 0 ≤ ρ
y : E
yq : y ∈ q
hy : ‖w - y‖ < δ
⊢ ‖y - w‖ < δ

Tactic:
rwa [norm_sub_rev]

Result:
no goals