-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
theorem sup_aux (f g : E →ₗ.[R] F)
    (h : ∀ (x : f.domain) (y : g.domain), (x : E) = y → f x = g y) :
    ∃ fg : ↥(f.domain ⊔ g.domain) →ₗ[R] F,
      ∀ (x : f.domain) (y : g.domain) (z : ↥(f.domain ⊔ g.domain)),
        (x : E) + y = ↑z → fg z = f x + g y

Proof state:
case w.refine_1.mk.mk
R : Type u_1
inst✝⁴ : Ring R
E : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module R F
f g : E →ₗ.[R] F
h : ∀ (x : ↥f.domain) (y : ↥g.domain), ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y
x : ↥(f.domain ⊔ g.domain) → E
hx : ∀ (z : ↥(f.domain ⊔ g.domain)), x z ∈ f.domain
y : ↥(f.domain ⊔ g.domain) → E
hy : ∀ (z : ↥(f.domain ⊔ g.domain)), y z ∈ g.domain
hxy : ∀ (z : ↥(f.domain ⊔ g.domain)), x z + y z = ↑z
fg : ↥(f.domain ⊔ g.domain) → F := fun z => ↑f ⟨x z, ⋯⟩ + ↑g ⟨y z, ⋯⟩
fg_eq : ∀ (x' : ↥f.domain) (y' : ↥g.domain) (z' : ↥(f.domain ⊔ g.domain)), ↑x' + ↑y' = ↑z' → fg z' = ↑f x' + ↑g y'
z₁ : E
hz₁ : z₁ ∈ f.domain ⊔ g.domain
z₂ : E
hz₂ : z₂ ∈ f.domain ⊔ g.domain
⊢ fg (⟨z₁, hz₁⟩ + ⟨z₂, hz₂⟩) = ↑f (⟨x ⟨z₁, hz₁⟩, ⋯⟩ + ⟨x ⟨z₂, hz₂⟩, ⋯⟩) + ↑g (⟨y ⟨z₁, hz₁⟩, ⋯⟩ + ⟨y ⟨z₂, hz₂⟩, ⋯⟩)

Tactic:
apply fg_eq

Result:
case w.refine_1.mk.mk._H
R : Type u_1
inst✝⁴ : Ring R
E : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module R F
f g : E →ₗ.[R] F
h : ∀ (x : ↥f.domain) (y : ↥g.domain), ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y
x : ↥(f.domain ⊔ g.domain) → E
hx : ∀ (z : ↥(f.domain ⊔ g.domain)), x z ∈ f.domain
y : ↥(f.domain ⊔ g.domain) → E
hy : ∀ (z : ↥(f.domain ⊔ g.domain)), y z ∈ g.domain
hxy : ∀ (z : ↥(f.domain ⊔ g.domain)), x z + y z = ↑z
fg : ↥(f.domain ⊔ g.domain) → F := fun z => ↑f ⟨x z, ⋯⟩ + ↑g ⟨y z, ⋯⟩
fg_eq : ∀ (x' : ↥f.domain) (y' : ↥g.domain) (z' : ↥(f.domain ⊔ g.domain)), ↑x' + ↑y' = ↑z' → fg z' = ↑f x' + ↑g y'
z₁ : E
hz₁ : z₁ ∈ f.domain ⊔ g.domain
z₂ : E
hz₂ : z₂ ∈ f.domain ⊔ g.domain
⊢ ↑(⟨x ⟨z₁, hz₁⟩, ⋯⟩ + ⟨x ⟨z₂, hz₂⟩, ⋯⟩) + ↑(⟨y ⟨z₁, hz₁⟩, ⋯⟩ + ⟨y ⟨z₂, hz₂⟩, ⋯⟩) = ↑(⟨z₁, hz₁⟩ + ⟨z₂, hz₂⟩)

Proof state:
case a
R : Type u_1
inst✝⁴ : Ring R
E : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module R F
f g : E →ₗ.[R] F
h : ∀ (x : ↥f.domain) (y : ↥g.domain), ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y
x : ↥(f.domain ⊔ g.domain) → E
hx : ∀ (z : ↥(f.domain ⊔ g.domain)), x z ∈ f.domain
y : ↥(f.domain ⊔ g.domain) → E
hy : ∀ (z : ↥(f.domain ⊔ g.domain)), y z ∈ g.domain
fg : ↥(f.domain ⊔ g.domain) → F := fun z => ↑f ⟨x z, ⋯⟩ + ↑g ⟨y z, ⋯⟩
x' : ↥f.domain
y' : ↥g.domain
z' : ↥(f.domain ⊔ g.domain)
H : ↑x' + ↑y' = ↑z'
hxy : ∀ (z : ↥(f.domain ⊔ g.domain)), x z = ↑z - y z
⊢ ↑(x' - ⟨x z', ⋯⟩) = ↑(⟨y z', ⋯⟩ - y')

Tactic:
simp only [AddSubgroupClass.coe_sub, coe_mk, coe_mk, hxy, ← sub_add, ← sub_sub, sub_self,
  zero_sub, ← H]

Result:
case a
R : Type u_1
inst✝⁴ : Ring R
E : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module R F
f g : E →ₗ.[R] F
h : ∀ (x : ↥f.domain) (y : ↥g.domain), ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y
x : ↥(f.domain ⊔ g.domain) → E
hx : ∀ (z : ↥(f.domain ⊔ g.domain)), x z ∈ f.domain
y : ↥(f.domain ⊔ g.domain) → E
hy : ∀ (z : ↥(f.domain ⊔ g.domain)), y z ∈ g.domain
fg : ↥(f.domain ⊔ g.domain) → F := fun z => ↑f ⟨x z, ⋯⟩ + ↑g ⟨y z, ⋯⟩
x' : ↥f.domain
y' : ↥g.domain
z' : ↥(f.domain ⊔ g.domain)
H : ↑x' + ↑y' = ↑z'
hxy : ∀ (z : ↥(f.domain ⊔ g.domain)), x z = ↑z - y z
⊢ -↑y' + y z' = y z' - ↑y'

Proof state:
R : Type u_1
inst✝⁴ : Ring R
E : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module R F
f g : E →ₗ.[R] F
h : ∀ (x : ↥f.domain) (y : ↥g.domain), ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y
⊢ ∃ fg, ∀ (x : ↥f.domain) (y : ↥g.domain) (z : ↥(f.domain ⊔ g.domain)), ↑x + ↑y = ↑z → fg z = ↑f x + ↑g y

Tactic:
choose x hx y hy hxy using fun z : ↥(f.domain ⊔ g.domain) => mem_sup.1 z.prop

Result:
R : Type u_1
inst✝⁴ : Ring R
E : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module R F
f g : E →ₗ.[R] F
h : ∀ (x : ↥f.domain) (y : ↥g.domain), ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y
x : ↥(f.domain ⊔ g.domain) → E
hx : ∀ (z : ↥(f.domain ⊔ g.domain)), x z ∈ f.domain
y : ↥(f.domain ⊔ g.domain) → E
hy : ∀ (z : ↥(f.domain ⊔ g.domain)), y z ∈ g.domain
hxy : ∀ (z : ↥(f.domain ⊔ g.domain)), x z + y z = ↑z
⊢ ∃ fg, ∀ (x : ↥f.domain) (y : ↥g.domain) (z : ↥(f.domain ⊔ g.domain)), ↑x + ↑y = ↑z → fg z = ↑f x + ↑g y

Proof state:
R : Type u_1
inst✝⁴ : Ring R
E : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module R F
f g : E →ₗ.[R] F
h : ∀ (x : ↥f.domain) (y : ↥g.domain), ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y
x : ↥(f.domain ⊔ g.domain) → E
hx : ∀ (z : ↥(f.domain ⊔ g.domain)), x z ∈ f.domain
y : ↥(f.domain ⊔ g.domain) → E
hy : ∀ (z : ↥(f.domain ⊔ g.domain)), y z ∈ g.domain
hxy : ∀ (z : ↥(f.domain ⊔ g.domain)), x z + y z = ↑z
⊢ ∃ fg, ∀ (x : ↥f.domain) (y : ↥g.domain) (z : ↥(f.domain ⊔ g.domain)), ↑x + ↑y = ↑z → fg z = ↑f x + ↑g y

Tactic:
set fg := fun z => f ⟨x z, hx z⟩ + g ⟨y z, hy z⟩

Result:
R : Type u_1
inst✝⁴ : Ring R
E : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module R F
f g : E →ₗ.[R] F
h : ∀ (x : ↥f.domain) (y : ↥g.domain), ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y
x : ↥(f.domain ⊔ g.domain) → E
hx : ∀ (z : ↥(f.domain ⊔ g.domain)), x z ∈ f.domain
y : ↥(f.domain ⊔ g.domain) → E
hy : ∀ (z : ↥(f.domain ⊔ g.domain)), y z ∈ g.domain
hxy : ∀ (z : ↥(f.domain ⊔ g.domain)), x z + y z = ↑z
fg : ↥(f.domain ⊔ g.domain) → F := fun z => ↑f ⟨x z, ⋯⟩ + ↑g ⟨y z, ⋯⟩
⊢ ∃ fg, ∀ (x : ↥f.domain) (y : ↥g.domain) (z : ↥(f.domain ⊔ g.domain)), ↑x + ↑y = ↑z → fg z = ↑f x + ↑g y

Proof state:
case w.refine_2._H
R : Type u_1
inst✝⁴ : Ring R
E : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : Module R E
F : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module R F
f g : E →ₗ.[R] F
h : ∀ (x : ↥f.domain) (y : ↥g.domain), ↑x = ↑y → ↑f x = ↑g y
x : ↥(f.domain ⊔ g.domain) → E
hx : ∀ (z : ↥(f.domain ⊔ g.domain)), x z ∈ f.domain
y : ↥(f.domain ⊔ g.domain) → E
hy : ∀ (z : ↥(f.domain ⊔ g.domain)), y z ∈ g.domain
hxy : ∀ (z : ↥(f.domain ⊔ g.domain)), x z + y z = ↑z
fg : ↥(f.domain ⊔ g.domain) → F := fun z => ↑f ⟨x z, ⋯⟩ + ↑g ⟨y z, ⋯⟩
fg_eq : ∀ (x' : ↥f.domain) (y' : ↥g.domain) (z' : ↥(f.domain ⊔ g.domain)), ↑x' + ↑y' = ↑z' → fg z' = ↑f x' + ↑g y'
c : R
z : ↥(f.domain ⊔ g.domain)
⊢ ↑((RingHom.id R) c • ⟨x z, ⋯⟩) + ↑((RingHom.id R) c • ⟨y z, ⋯⟩) = ↑(c • z)

Tactic:
simp only [coe_smul, coe_mk, ← smul_add, hxy, RingHom.id_apply]

Result:
no goals