-- Mathlib/Computability/Primrec.lean
theorem list_foldl' {f : α → List β} {g : α → σ} {h : α → σ × β → σ}
    (hf : haveI := prim H; Primrec f) (hg : Primrec g) (hh : haveI := prim H; Primrec₂ h) :
    Primrec fun a => (f a).foldl (fun s b => h a (s, b)) (g a)

Proof state:
case succ
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝² : Primcodable α
inst✝¹ : Primcodable β
inst✝ : Primcodable σ
H : Nat.Primrec fun n => encode (decode n)
f : α → List β
g : α → σ
h : α → σ × β → σ
hf : Primrec f
hg : Primrec g
hh : Primrec₂ h
this : Primcodable (List β) := prim H
G : α → σ × List β → σ × List β := fun a IH => List.casesOn IH.2 IH fun b l => (h a (IH.1, b), l)
hG : Primrec₂ G
F : α → ℕ → σ × List β := fun a n => (G a)^[n] (g a, f a)
hF : Primrec fun a => (F a (encode (f a))).1
a : α
n : ℕ
IH : ∀ (l : List β) (x : σ), (G a)^[n] (x, l) = (List.foldl (fun s b => h a (s, b)) x (List.take n l), List.drop n l)
l : List β
x : σ
⊢ (G a)^[n] (G a (x, l)) = (List.foldl (fun s b => h a (s, b)) x (List.take (n + 1) l), List.drop (n + 1) l)

Tactic:
rcases l with - | ⟨b, l⟩ <;> simp [G, IH]

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝² : Primcodable α
inst✝¹ : Primcodable β
inst✝ : Primcodable σ
H : Nat.Primrec fun n => encode (decode n)
f : α → List β
g : α → σ
h : α → σ × β → σ
hf : Primrec f
hg : Primrec g
hh : Primrec₂ h
this✝ : Primcodable (List β) := prim H
G : α → σ × List β → σ × List β := fun a IH => List.casesOn IH.2 IH fun b l => (h a (IH.1, b), l)
hG : Primrec₂ G
F : α → ℕ → σ × List β := fun a n => (G a)^[n] (g a, f a)
hF : Primrec fun a => (F a (encode (f a))).1
this : ∀ (a : α) (n : ℕ), F a n = (List.foldl (fun s b => h a (s, b)) (g a) (List.take n (f a)), List.drop n (f a))
a : α
⊢ (F a (encode (f a))).1 = List.foldl (fun s b => h a (s, b)) (g a) (f a)

Tactic:
rw [this, List.take_of_length_le (length_le_encode _)]

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝² : Primcodable α
inst✝¹ : Primcodable β
inst✝ : Primcodable σ
H : Nat.Primrec fun n => encode (decode n)
f : α → List β
g : α → σ
h : α → σ × β → σ
hf : Primrec f
hg : Primrec g
hh : Primrec₂ h
this : Primcodable (List β) := prim H
G : α → σ × List β → σ × List β := fun a IH => List.casesOn IH.2 IH fun b l => (h a (IH.1, b), l)
⊢ Primrec fun a => List.foldl (fun s b => h a (s, b)) (g a) (f a)

Tactic:
have hG : Primrec₂ G := list_casesOn' H (snd.comp snd) snd <|
  to₂ <|
  pair (hh.comp (fst.comp fst) <| pair ((fst.comp snd).comp fst) (fst.comp snd))
    (snd.comp snd)

Result:
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝² : Primcodable α
inst✝¹ : Primcodable β
inst✝ : Primcodable σ
H : Nat.Primrec fun n => encode (decode n)
f : α → List β
g : α → σ
h : α → σ × β → σ
hf : Primrec f
hg : Primrec g
hh : Primrec₂ h
this : Primcodable (List β) := prim H
G : α → σ × List β → σ × List β := fun a IH => List.casesOn IH.2 IH fun b l => (h a (IH.1, b), l)
hG : Primrec₂ G
⊢ Primrec fun a => List.foldl (fun s b => h a (s, b)) (g a) (f a)

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝² : Primcodable α
inst✝¹ : Primcodable β
inst✝ : Primcodable σ
H : Nat.Primrec fun n => encode (decode n)
f : α → List β
g : α → σ
h : α → σ × β → σ
hf : Primrec f
hg : Primrec g
hh : Primrec₂ h
⊢ Primrec fun a => List.foldl (fun s b => h a (s, b)) (g a) (f a)

Tactic:
letI := prim H

Result:
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝² : Primcodable α
inst✝¹ : Primcodable β
inst✝ : Primcodable σ
H : Nat.Primrec fun n => encode (decode n)
f : α → List β
g : α → σ
h : α → σ × β → σ
hf : Primrec f
hg : Primrec g
hh : Primrec₂ h
this : Primcodable (List β) := prim H
⊢ Primrec fun a => List.foldl (fun s b => h a (s, b)) (g a) (f a)

Proof state:
case succ
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝² : Primcodable α
inst✝¹ : Primcodable β
inst✝ : Primcodable σ
H : Nat.Primrec fun n => encode (decode n)
f : α → List β
g : α → σ
h : α → σ × β → σ
hf : Primrec f
hg : Primrec g
hh : Primrec₂ h
this : Primcodable (List β) := prim H
G : α → σ × List β → σ × List β := fun a IH => List.casesOn IH.2 IH fun b l => (h a (IH.1, b), l)
hG : Primrec₂ G
F : α → ℕ → σ × List β := fun a n => (G a)^[n] (g a, f a)
hF : Primrec fun a => (F a (encode (f a))).1
a : α
n : ℕ
IH : ∀ (l : List β) (x : σ), (G a)^[n] (x, l) = (List.foldl (fun s b => h a (s, b)) x (List.take n l), List.drop n l)
l : List β
x : σ
⊢ (G a)^[n + 1] (x, l) = (List.foldl (fun s b => h a (s, b)) x (List.take (n + 1) l), List.drop (n + 1) l)

Tactic:
simp only [iterate_succ, comp_apply]

Result:
case succ
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝² : Primcodable α
inst✝¹ : Primcodable β
inst✝ : Primcodable σ
H : Nat.Primrec fun n => encode (decode n)
f : α → List β
g : α → σ
h : α → σ × β → σ
hf : Primrec f
hg : Primrec g
hh : Primrec₂ h
this : Primcodable (List β) := prim H
G : α → σ × List β → σ × List β := fun a IH => List.casesOn IH.2 IH fun b l => (h a (IH.1, b), l)
hG : Primrec₂ G
F : α → ℕ → σ × List β := fun a n => (G a)^[n] (g a, f a)
hF : Primrec fun a => (F a (encode (f a))).1
a : α
n : ℕ
IH : ∀ (l : List β) (x : σ), (G a)^[n] (x, l) = (List.foldl (fun s b => h a (s, b)) x (List.take n l), List.drop n l)
l : List β
x : σ
⊢ (G a)^[n] (G a (x, l)) = (List.foldl (fun s b => h a (s, b)) x (List.take (n + 1) l), List.drop (n + 1) l)

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝² : Primcodable α
inst✝¹ : Primcodable β
inst✝ : Primcodable σ
H : Nat.Primrec fun n => encode (decode n)
f : α → List β
g : α → σ
h : α → σ × β → σ
hf : Primrec f
hg : Primrec g
hh : Primrec₂ h
this : Primcodable (List β) := prim H
⊢ Primrec fun a => List.foldl (fun s b => h a (s, b)) (g a) (f a)

Tactic:
let G (a : α) (IH : σ × List β) : σ × List β := List.casesOn IH.2 IH fun b l => (h a (IH.1, b), l)

Result:
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝² : Primcodable α
inst✝¹ : Primcodable β
inst✝ : Primcodable σ
H : Nat.Primrec fun n => encode (decode n)
f : α → List β
g : α → σ
h : α → σ × β → σ
hf : Primrec f
hg : Primrec g
hh : Primrec₂ h
this : Primcodable (List β) := prim H
G : α → σ × List β → σ × List β := fun a IH => List.casesOn IH.2 IH fun b l => (h a (IH.1, b), l)
⊢ Primrec fun a => List.foldl (fun s b => h a (s, b)) (g a) (f a)

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : Type u_3
inst✝² : Primcodable α
inst✝¹ : Primcodable β
inst✝ : Primcodable σ
H : Nat.Primrec fun n => encode (decode n)
f : α → List β
g : α → σ
h : α → σ × β → σ
hf : Primrec f
hg : Primrec g
hh : Primrec₂ h
this : Primcodable (List β) := prim H
G : α → σ × List β → σ × List β := fun a IH => List.casesOn IH.2 IH fun b l => (h a (IH.1, b), l)
hG : Primrec₂ G
F : α → ℕ → σ × List β := fun a n => (G a)^[n] (g a, f a)
hF : Primrec fun a => (F a (encode (f a))).1
a : α
n : ℕ
l : List β
x : σ
⊢ (G a)^[n] (x, l) = (List.foldl (fun s b => h a (s, b)) x (List.take n l), List.drop n l)

Tactic:
induction n generalizing l x with
| zero => rfl
| succ n IH =>
  simp only [iterate_succ, comp_apply]
  rcases l with - | ⟨b, l⟩ <;> simp [G, IH]

Result:
no goals