-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
theorem AffineIndependent.range {p : ι → P} (ha : AffineIndependent k p) :
    AffineIndependent k (fun x => x : Set.range p → P)

Proof state:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
f : ↑(Set.range p) → ι := fun x => Exists.choose ⋯
hf : ∀ (x : ↑(Set.range p)), p (f x) = ↑x
fe : ↑(Set.range p) ↪ ι := { toFun := f, inj' := ⋯ }
⊢ AffineIndependent k fun x => ↑x

Tactic:
convert ha.comp_embedding fe

Result:
case h.e'_9.h.h.e
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
f : ↑(Set.range p) → ι := fun x => Exists.choose ⋯
hf : ∀ (x : ↑(Set.range p)), p (f x) = ↑x
fe : ↑(Set.range p) ↪ ι := { toFun := f, inj' := ⋯ }
x✝ : ↑(Set.range p)
⊢ Subtype.val = p ∘ ⇑fe

Proof state:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
⊢ AffineIndependent k fun x => ↑x

Tactic:
let f : Set.range p → ι := fun x => x.property.choose

Result:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
f : ↑(Set.range p) → ι := fun x => Exists.choose ⋯
⊢ AffineIndependent k fun x => ↑x

Proof state:
case h.e'_9.h.h.e
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
f : ↑(Set.range p) → ι := fun x => Exists.choose ⋯
hf : ∀ (x : ↑(Set.range p)), p (f x) = ↑x
fe : ↑(Set.range p) ↪ ι := { toFun := f, inj' := ⋯ }
x✝ : ↑(Set.range p)
⊢ Subtype.val = p ∘ ⇑fe

Tactic:
ext

Result:
case h.e'_9.h.h.e.h
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
f : ↑(Set.range p) → ι := fun x => Exists.choose ⋯
hf : ∀ (x : ↑(Set.range p)), p (f x) = ↑x
fe : ↑(Set.range p) ↪ ι := { toFun := f, inj' := ⋯ }
x✝¹ : ↑(Set.range p)
x✝ : { x // x ∈ Set.range p }
⊢ ↑x✝ = (p ∘ ⇑fe) x✝

Proof state:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
f : ↑(Set.range p) → ι := fun x => Exists.choose ⋯
⊢ AffineIndependent k fun x => ↑x

Tactic:
have hf : ∀ x, p (f x) = x := fun x => x.property.choose_spec

Result:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
f : ↑(Set.range p) → ι := fun x => Exists.choose ⋯
hf : ∀ (x : ↑(Set.range p)), p (f x) = ↑x
⊢ AffineIndependent k fun x => ↑x

Proof state:
case h.e'_9.h.h.e.h
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
f : ↑(Set.range p) → ι := fun x => Exists.choose ⋯
hf : ∀ (x : ↑(Set.range p)), p (f x) = ↑x
fe : ↑(Set.range p) ↪ ι := { toFun := f, inj' := ⋯ }
x✝¹ : ↑(Set.range p)
x✝ : { x // x ∈ Set.range p }
⊢ ↑x✝ = (p ∘ ⇑fe) x✝

Tactic:
simp [fe, hf]

Result:
no goals

Proof state:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
f : ↑(Set.range p) → ι := fun x => Exists.choose ⋯
hf : ∀ (x : ↑(Set.range p)), p (f x) = ↑x
⊢ AffineIndependent k fun x => ↑x

Tactic:
let fe : Set.range p ↪ ι := ⟨f, fun x₁ x₂ he => Subtype.ext (hf x₁ ▸ hf x₂ ▸ he ▸ rfl)⟩

Result:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : ι → P
ha : AffineIndependent k p
f : ↑(Set.range p) → ι := fun x => Exists.choose ⋯
hf : ∀ (x : ↑(Set.range p)), p (f x) = ↑x
fe : ↑(Set.range p) ↪ ι := { toFun := f, inj' := ⋯ }
⊢ AffineIndependent k fun x => ↑x