-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace/Defs.lean
theorem ext_of_direction_eq {s₁ s₂ : AffineSubspace k P} (hd : s₁.direction = s₂.direction)
    (hn : ((s₁ : Set P) ∩ s₂).Nonempty) : s₁ = s₂

Proof state:
case h
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
hd : s₁.direction = s₂.direction
hn : (↑s₁ ∩ ↑s₂).Nonempty
p : P
hq1 : hn.some ∈ ↑s₁
⊢ p ∈ s₁ ↔ p ∈ s₂

Tactic:
have hq2 := Set.mem_of_mem_inter_right hn.some_mem

Result:
case h
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
hd : s₁.direction = s₂.direction
hn : (↑s₁ ∩ ↑s₂).Nonempty
p : P
hq1 : hn.some ∈ ↑s₁
hq2 : hn.some ∈ ↑s₂
⊢ p ∈ s₁ ↔ p ∈ s₂

Proof state:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
hd : s₁.direction = s₂.direction
hn : (↑s₁ ∩ ↑s₂).Nonempty
⊢ s₁ = s₂

Tactic:
ext p

Result:
case h
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
hd : s₁.direction = s₂.direction
hn : (↑s₁ ∩ ↑s₂).Nonempty
p : P
⊢ p ∈ s₁ ↔ p ∈ s₂

Proof state:
case h.mpr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
hd : s₁.direction = s₂.direction
hn : (↑s₁ ∩ ↑s₂).Nonempty
p : P
hq1 : hn.some ∈ ↑s₁
hq2 : hn.some ∈ ↑s₂
hp : p ∈ s₂
⊢ p -ᵥ hn.some ∈ s₂.direction

Tactic:
exact vsub_mem_direction hp hq2

Result:
no goals

Proof state:
case h.mpr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
hd : s₁.direction = s₂.direction
hn : (↑s₁ ∩ ↑s₂).Nonempty
p : P
hq1 : hn.some ∈ ↑s₁
hq2 : hn.some ∈ ↑s₂
hp : p ∈ s₂
⊢ (p -ᵥ hn.some) +ᵥ hn.some ∈ s₁

Tactic:
refine vadd_mem_of_mem_direction ?_ hq1

Result:
case h.mpr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
hd : s₁.direction = s₂.direction
hn : (↑s₁ ∩ ↑s₂).Nonempty
p : P
hq1 : hn.some ∈ ↑s₁
hq2 : hn.some ∈ ↑s₂
hp : p ∈ s₂
⊢ p -ᵥ hn.some ∈ s₁.direction

Proof state:
case h.mp
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
hd : s₁.direction = s₂.direction
hn : (↑s₁ ∩ ↑s₂).Nonempty
p : P
hq1 : hn.some ∈ ↑s₁
hq2 : hn.some ∈ ↑s₂
⊢ p ∈ s₁ → p ∈ s₂

Tactic:
intro hp

Result:
case h.mp
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
hd : s₁.direction = s₂.direction
hn : (↑s₁ ∩ ↑s₂).Nonempty
p : P
hq1 : hn.some ∈ ↑s₁
hq2 : hn.some ∈ ↑s₂
hp : p ∈ s₁
⊢ p ∈ s₂

Proof state:
case h.mpr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
hd : s₁.direction = s₂.direction
hn : (↑s₁ ∩ ↑s₂).Nonempty
p : P
hq1 : hn.some ∈ ↑s₁
hq2 : hn.some ∈ ↑s₂
⊢ p ∈ s₂ → p ∈ s₁

Tactic:
intro hp

Result:
case h.mpr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
hd : s₁.direction = s₂.direction
hn : (↑s₁ ∩ ↑s₂).Nonempty
p : P
hq1 : hn.some ∈ ↑s₁
hq2 : hn.some ∈ ↑s₂
hp : p ∈ s₂
⊢ p ∈ s₁

Proof state:
case h.mp
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
hd : s₁.direction = s₂.direction
hn : (↑s₁ ∩ ↑s₂).Nonempty
p : P
hq1 : hn.some ∈ ↑s₁
hq2 : hn.some ∈ ↑s₂
hp : p ∈ s₁
⊢ p ∈ s₂

Tactic:
rw [← vsub_vadd p hn.some]

Result:
case h.mp
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
hd : s₁.direction = s₂.direction
hn : (↑s₁ ∩ ↑s₂).Nonempty
p : P
hq1 : hn.some ∈ ↑s₁
hq2 : hn.some ∈ ↑s₂
hp : p ∈ s₁
⊢ (p -ᵥ hn.some) +ᵥ hn.some ∈ s₂

Proof state:
case h
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
hd : s₁.direction = s₂.direction
hn : (↑s₁ ∩ ↑s₂).Nonempty
p : P
hq1 : hn.some ∈ ↑s₁
hq2 : hn.some ∈ ↑s₂
⊢ p ∈ s₁ ↔ p ∈ s₂

Tactic:
constructor

Result:
case h.mp
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
hd : s₁.direction = s₂.direction
hn : (↑s₁ ∩ ↑s₂).Nonempty
p : P
hq1 : hn.some ∈ ↑s₁
hq2 : hn.some ∈ ↑s₂
⊢ p ∈ s₁ → p ∈ s₂

case h.mpr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
hd : s₁.direction = s₂.direction
hn : (↑s₁ ∩ ↑s₂).Nonempty
p : P
hq1 : hn.some ∈ ↑s₁
hq2 : hn.some ∈ ↑s₂
⊢ p ∈ s₂ → p ∈ s₁

Proof state:
case h
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
hd : s₁.direction = s₂.direction
hn : (↑s₁ ∩ ↑s₂).Nonempty
p : P
⊢ p ∈ s₁ ↔ p ∈ s₂

Tactic:
have hq1 := Set.mem_of_mem_inter_left hn.some_mem

Result:
case h
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
hd : s₁.direction = s₂.direction
hn : (↑s₁ ∩ ↑s₂).Nonempty
p : P
hq1 : hn.some ∈ ↑s₁
⊢ p ∈ s₁ ↔ p ∈ s₂

Proof state:
case h.mp
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
hd : s₁.direction = s₂.direction
hn : (↑s₁ ∩ ↑s₂).Nonempty
p : P
hq1 : hn.some ∈ ↑s₁
hq2 : hn.some ∈ ↑s₂
hp : p ∈ s₁
⊢ p -ᵥ hn.some ∈ s₂.direction

Tactic:
rw [← hd]

Result:
case h.mp
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
hd : s₁.direction = s₂.direction
hn : (↑s₁ ∩ ↑s₂).Nonempty
p : P
hq1 : hn.some ∈ ↑s₁
hq2 : hn.some ∈ ↑s₂
hp : p ∈ s₁
⊢ p -ᵥ hn.some ∈ s₁.direction

Proof state:
case h.mpr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
hd : s₁.direction = s₂.direction
hn : (↑s₁ ∩ ↑s₂).Nonempty
p : P
hq1 : hn.some ∈ ↑s₁
hq2 : hn.some ∈ ↑s₂
hp : p ∈ s₂
⊢ p ∈ s₁

Tactic:
rw [← vsub_vadd p hn.some]

Result:
case h.mpr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
hd : s₁.direction = s₂.direction
hn : (↑s₁ ∩ ↑s₂).Nonempty
p : P
hq1 : hn.some ∈ ↑s₁
hq2 : hn.some ∈ ↑s₂
hp : p ∈ s₂
⊢ (p -ᵥ hn.some) +ᵥ hn.some ∈ s₁

Proof state:
case h.mp
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s₁ s₂ : AffineSubspace k P
hd : s₁.direction = s₂.direction
hn : (↑s₁ ∩ ↑s₂).Nonempty
p : P
hq1 : hn.some ∈ ↑s₁
hq2 : hn.some ∈ ↑s₂
hp : p ∈ s₁
⊢ p -ᵥ hn.some ∈ s₁.direction

Tactic:
exact vsub_mem_direction hp hq1

Result:
no goals