-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Hopf_.lean
theorem mul_antipode₂ (A : Hopf_ C) :
    (A.X.comul.hom ⊗ A.X.comul.hom) ≫
      (α_ A.X.X.X A.X.X.X (A.X.X.X ⊗ A.X.X.X)).hom ≫
      A.X.X.X ◁ (α_ A.X.X.X A.X.X.X A.X.X.X).inv ≫
      A.X.X.X ◁ (β_ A.X.X.X A.X.X.X).hom ▷ A.X.X.X ≫
      (α_ A.X.X.X (A.X.X.X ⊗ A.X.X.X) A.X.X.X).inv ≫
      (α_ A.X.X.X A.X.X.X A.X.X.X).inv ▷ A.X.X.X ≫
      A.X.X.mul ▷ A.X.X.X ▷ A.X.X.X ≫
      (α_ A.X.X.X A.X.X.X A.X.X.X).hom ≫
      A.X.X.X ◁ (β_ A.X.X.X A.X.X.X).hom ≫
      A.X.X.X ◁ (A.antipode ⊗ A.antipode) ≫
      A.X.X.X ◁ A.X.X.mul ≫ A.X.X.mul =
    (A.X.counit.hom ⊗ A.X.counit.hom) ≫ (λ_ (𝟙_ C)).hom ≫ A.X.X.one

Proof state:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
A : Hopf_ C
⊢ A.X.comul.hom ▷ A.X.X.X ≫
      (α_ A.X.X.X A.X.X.X A.X.X.X).hom ≫
        ((((((A.X.X.X ◁ (β_ A.X.X.X A.X.X.X).hom ≫ A.X.X.X ◁ A.X.comul.hom ▷ A.X.X.X) ≫
                    A.X.X.X ◁ (α_ A.X.X.X A.X.X.X A.X.X.X).hom) ≫
                  A.X.X.X ◁ A.X.X.X ◁ (A.antipode ⊗ A.antipode)) ≫
                A.X.X.X ◁ (α_ A.X.X.X A.X.X.X A.X.X.X).inv) ≫
              A.X.X.X ◁ A.X.X.mul ▷ A.X.X.X) ≫
            A.X.X.X ◁ A.X.X.mul) ≫
          A.X.X.mul =
    (A.X.counit.hom ⊗ A.X.counit.hom) ≫ (λ_ (𝟙_ C)).hom ≫ A.X.X.one

Tactic:
rw [tensorHom_def']

Result:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
A : Hopf_ C
⊢ A.X.comul.hom ▷ A.X.X.X ≫
      (α_ A.X.X.X A.X.X.X A.X.X.X).hom ≫
        ((((((A.X.X.X ◁ (β_ A.X.X.X A.X.X.X).hom ≫ A.X.X.X ◁ A.X.comul.hom ▷ A.X.X.X) ≫
                    A.X.X.X ◁ (α_ A.X.X.X A.X.X.X A.X.X.X).hom) ≫
                  A.X.X.X ◁ A.X.X.X ◁ (A.X.X.X ◁ A.antipode ≫ A.antipode ▷ A.X.X.X)) ≫
                A.X.X.X ◁ (α_ A.X.X.X A.X.X.X A.X.X.X).inv) ≫
              A.X.X.X ◁ A.X.X.mul ▷ A.X.X.X) ≫
            A.X.X.X ◁ A.X.X.mul) ≫
          A.X.X.mul =
    (A.X.counit.hom ⊗ A.X.counit.hom) ≫ (λ_ (𝟙_ C)).hom ≫ A.X.X.one

Proof state:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
A : Hopf_ C
⊢ A.X.comul.hom ▷ A.X.X.X ≫
      (α_ A.X.X.X A.X.X.X A.X.X.X).hom ≫
        A.X.X.X ◁ A.X.X.X ◁ A.X.comul.hom ≫
          ((((((A.X.X.X ◁ 𝟙 (A.X.X.X ⊗ A.X.X.X ⊗ A.X.X.X) ≫ A.X.X.X ◁ (β_ A.X.X.X (A.X.X.X ⊗ A.X.X.X)).hom) ≫
                      A.X.X.X ◁ (α_ A.X.X.X A.X.X.X A.X.X.X).hom) ≫
                    A.X.X.X ◁ A.X.X.X ◁ (A.antipode ⊗ A.antipode)) ≫
                  A.X.X.X ◁ (α_ A.X.X.X A.X.X.X A.X.X.X).inv) ≫
                A.X.X.X ◁ A.X.X.mul ▷ A.X.X.X) ≫
              A.X.X.X ◁ A.X.X.mul) ≫
            A.X.X.mul =
    (A.X.counit.hom ⊗ A.X.counit.hom) ≫ (λ_ (𝟙_ C)).hom ≫ A.X.X.one

Tactic:
rw [MonoidalCategory.whiskerLeft_id, Category.id_comp]

Result:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
A : Hopf_ C
⊢ A.X.comul.hom ▷ A.X.X.X ≫
      (α_ A.X.X.X A.X.X.X A.X.X.X).hom ≫
        A.X.X.X ◁ A.X.X.X ◁ A.X.comul.hom ≫
          (((((A.X.X.X ◁ (β_ A.X.X.X (A.X.X.X ⊗ A.X.X.X)).hom ≫ A.X.X.X ◁ (α_ A.X.X.X A.X.X.X A.X.X.X).hom) ≫
                    A.X.X.X ◁ A.X.X.X ◁ (A.antipode ⊗ A.antipode)) ≫
                  A.X.X.X ◁ (α_ A.X.X.X A.X.X.X A.X.X.X).inv) ≫
                A.X.X.X ◁ A.X.X.mul ▷ A.X.X.X) ≫
              A.X.X.X ◁ A.X.X.mul) ≫
            A.X.X.mul =
    (A.X.counit.hom ⊗ A.X.counit.hom) ≫ (λ_ (𝟙_ C)).hom ≫ A.X.X.one

Proof state:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
A : Hopf_ C
⊢ (A.X.counit.hom ⊗ A.X.counit.hom) ≫ (ρ_ (𝟙_ C)).hom ≫ A.X.X.one =
    (A.X.counit.hom ⊗ A.X.counit.hom) ≫ (λ_ (𝟙_ C)).hom ≫ A.X.X.one

Tactic:
monoidal

Result:
no goals

Proof state:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
A : Hopf_ C
⊢ (A.X.comul.hom ⊗ A.X.comul.hom) ≫
      (α_ A.X.X.X A.X.X.X (A.X.X.X ⊗ A.X.X.X)).hom ≫
        A.X.X.X ◁ (α_ A.X.X.X A.X.X.X A.X.X.X).inv ≫
          A.X.X.X ◁ (β_ A.X.X.X A.X.X.X).hom ▷ A.X.X.X ≫
            (α_ A.X.X.X (A.X.X.X ⊗ A.X.X.X) A.X.X.X).inv ≫
              (α_ A.X.X.X A.X.X.X A.X.X.X).inv ▷ A.X.X.X ≫
                (α_ (A.X.X.X ⊗ A.X.X.X) A.X.X.X A.X.X.X).hom ≫
                  (A.X.X.X ⊗ A.X.X.X) ◁ (β_ A.X.X.X A.X.X.X).hom ≫
                    (A.X.X.X ⊗ A.X.X.X) ◁ (A.antipode ⊗ A.antipode) ≫
                      A.X.X.mul ▷ (A.X.X.X ⊗ A.X.X.X) ≫
                        (α_ A.X.X.X A.X.X.X A.X.X.X).inv ≫ A.X.X.mul ▷ A.X.X.X ≫ A.X.X.mul =
    (A.X.counit.hom ⊗ A.X.counit.hom) ≫ (λ_ (𝟙_ C)).hom ≫ A.X.X.one

Tactic:
slice_lhs 10 11 =>
  rw [associator_inv_naturality_left]

Result:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
A : Hopf_ C
⊢ (A.X.comul.hom ⊗ A.X.comul.hom) ≫
      (α_ A.X.X.X A.X.X.X (A.X.X.X ⊗ A.X.X.X)).hom ≫
        A.X.X.X ◁ (α_ A.X.X.X A.X.X.X A.X.X.X).inv ≫
          A.X.X.X ◁ (β_ A.X.X.X A.X.X.X).hom ▷ A.X.X.X ≫
            (α_ A.X.X.X (A.X.X.X ⊗ A.X.X.X) A.X.X.X).inv ≫
              (α_ A.X.X.X A.X.X.X A.X.X.X).inv ▷ A.X.X.X ≫
                (α_ (A.X.X.X ⊗ A.X.X.X) A.X.X.X A.X.X.X).hom ≫
                  (A.X.X.X ⊗ A.X.X.X) ◁ (β_ A.X.X.X A.X.X.X).hom ≫
                    (A.X.X.X ⊗ A.X.X.X) ◁ (A.antipode ⊗ A.antipode) ≫
                      (((α_ (A.X.X.X ⊗ A.X.X.X) A.X.X.X A.X.X.X).inv ≫ A.X.X.mul ▷ A.X.X.X ▷ A.X.X.X) ≫
                          A.X.X.mul ▷ A.X.X.X) ≫
                        A.X.X.mul =
    (A.X.counit.hom ⊗ A.X.counit.hom) ≫ (λ_ (𝟙_ C)).hom ≫ A.X.X.one

Proof state:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
A : Hopf_ C
⊢ (A.X.comul.hom ▷ A.X.X.X ≫ (A.X.X ⊗ A.X.X).X ◁ A.X.comul.hom) ≫
      (α_ A.X.X.X A.X.X.X (A.X.X.X ⊗ A.X.X.X)).hom ≫
        A.X.X.X ◁ (α_ A.X.X.X A.X.X.X A.X.X.X).inv ≫
          A.X.X.X ◁ (β_ A.X.X.X A.X.X.X).hom ▷ A.X.X.X ≫
            (α_ A.X.X.X (A.X.X.X ⊗ A.X.X.X) A.X.X.X).inv ≫
              (α_ A.X.X.X A.X.X.X A.X.X.X).inv ▷ A.X.X.X ≫
                (α_ (A.X.X.X ⊗ A.X.X.X) A.X.X.X A.X.X.X).hom ≫
                  ((α_ A.X.X.X A.X.X.X (A.X.X.X ⊗ A.X.X.X)).hom ≫
                      A.X.X.X ◁ A.X.X.X ◁ (β_ A.X.X.X A.X.X.X).hom ≫ (α_ A.X.X.X A.X.X.X (A.X.X.X ⊗ A.X.X.X)).inv) ≫
                    (A.X.X.X ⊗ A.X.X.X) ◁ (A.antipode ⊗ A.antipode) ≫
                      (α_ (A.X.X.X ⊗ A.X.X.X) A.X.X.X A.X.X.X).inv ≫
                        ((α_ A.X.X.X A.X.X.X A.X.X.X).hom ▷ A.X.X.X ≫
                            (A.X.X.X ◁ A.X.X.mul) ▷ A.X.X.X ≫ A.X.X.mul ▷ A.X.X.X) ≫
                          A.X.X.mul =
    (A.X.counit.hom ⊗ A.X.counit.hom) ≫ (λ_ (𝟙_ C)).hom ≫ A.X.X.one

Tactic:
rw [pentagon_inv_inv_hom_hom_inv_assoc]

Result:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
A : Hopf_ C
⊢ (A.X.comul.hom ▷ A.X.X.X ≫ (A.X.X ⊗ A.X.X).X ◁ A.X.comul.hom) ≫
      (α_ A.X.X.X A.X.X.X (A.X.X.X ⊗ A.X.X.X)).hom ≫
        A.X.X.X ◁ (α_ A.X.X.X A.X.X.X A.X.X.X).inv ≫
          A.X.X.X ◁ (β_ A.X.X.X A.X.X.X).hom ▷ A.X.X.X ≫
            A.X.X.X ◁ (α_ A.X.X.X A.X.X.X A.X.X.X).hom ≫
              (α_ A.X.X.X A.X.X.X (A.X.X.X ⊗ A.X.X.X)).inv ≫
                ((α_ A.X.X.X A.X.X.X (A.X.X.X ⊗ A.X.X.X)).hom ≫
                    A.X.X.X ◁ A.X.X.X ◁ (β_ A.X.X.X A.X.X.X).hom ≫ (α_ A.X.X.X A.X.X.X (A.X.X.X ⊗ A.X.X.X)).inv) ≫
                  (A.X.X.X ⊗ A.X.X.X) ◁ (A.antipode ⊗ A.antipode) ≫
                    (α_ (A.X.X.X ⊗ A.X.X.X) A.X.X.X A.X.X.X).inv ≫
                      ((α_ A.X.X.X A.X.X.X A.X.X.X).hom ▷ A.X.X.X ≫
                          (A.X.X.X ◁ A.X.X.mul) ▷ A.X.X.X ≫ A.X.X.mul ▷ A.X.X.X) ≫
                        A.X.X.mul =
    (A.X.counit.hom ⊗ A.X.counit.hom) ≫ (λ_ (𝟙_ C)).hom ≫ A.X.X.one