-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Asymptotics.lean
theorem IsBigO.eventually_integrableOn [Norm F]
    (hf : f =O[𝓟 s ×ˢ l] (g ∘ Prod.snd))
    (hfm : ∀ᶠ x in l, AEStronglyMeasurable (fun i ↦ f (i, x)) (μ.restrict s))
    (hs : MeasurableSet s) (hμ : μ s < ⊤) :
    ∀ᶠ x in l, IntegrableOn (fun i ↦ f (i, x)) s μ

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
g : α → F
l : Filter α
ι : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace ι
f : ι × α → E
s : Set ι
μ : Measure ι
inst✝ : Norm F
hf : f =O[𝓟 s ×ˢ l] (g ∘ Prod.snd)
hfm : ∀ᶠ (x : α) in l, AEStronglyMeasurable (fun i => f (i, x)) (μ.restrict s)
hs : MeasurableSet s
hμ : μ s < ⊤
C : ℝ
hC : ∀ᶠ (x : ι × α) in 𝓟 s ×ˢ l, ‖f x‖ ≤ C * ‖(g ∘ Prod.snd) x‖
t : Set (ι × α)
htl : t ∈ 𝓟 s ×ˢ l
ht : ∀ y ∈ t, ‖f y‖ ≤ C * ‖(g ∘ Prod.snd) y‖
u : Set ι
hu : u ∈ 𝓟 s
v : Set α
hv : v ∈ l
huv : u ×ˢ v ⊆ t
w : Set α
hwl : w ∈ l
hw : ∀ y ∈ w, AEStronglyMeasurable (fun i => f (i, y)) (μ.restrict s)
⊢ ∀ᶠ (x : α) in l, IntegrableOn (fun i => f (i, x)) s μ

Tactic:
refine eventually_iff_exists_mem.mpr ⟨w ∩ v, inter_mem hwl hv, fun x hx ↦ ?_⟩

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
g : α → F
l : Filter α
ι : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace ι
f : ι × α → E
s : Set ι
μ : Measure ι
inst✝ : Norm F
hf : f =O[𝓟 s ×ˢ l] (g ∘ Prod.snd)
hfm : ∀ᶠ (x : α) in l, AEStronglyMeasurable (fun i => f (i, x)) (μ.restrict s)
hs : MeasurableSet s
hμ : μ s < ⊤
C : ℝ
hC : ∀ᶠ (x : ι × α) in 𝓟 s ×ˢ l, ‖f x‖ ≤ C * ‖(g ∘ Prod.snd) x‖
t : Set (ι × α)
htl : t ∈ 𝓟 s ×ˢ l
ht : ∀ y ∈ t, ‖f y‖ ≤ C * ‖(g ∘ Prod.snd) y‖
u : Set ι
hu : u ∈ 𝓟 s
v : Set α
hv : v ∈ l
huv : u ×ˢ v ⊆ t
w : Set α
hwl : w ∈ l
hw : ∀ y ∈ w, AEStronglyMeasurable (fun i => f (i, y)) (μ.restrict s)
x : α
hx : x ∈ w ∩ v
⊢ IntegrableOn (fun i => f (i, x)) s μ

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
g : α → F
l : Filter α
ι : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace ι
f : ι × α → E
s : Set ι
μ : Measure ι
inst✝ : Norm F
hf : f =O[𝓟 s ×ˢ l] (g ∘ Prod.snd)
hfm : ∀ᶠ (x : α) in l, AEStronglyMeasurable (fun i => f (i, x)) (μ.restrict s)
hs : MeasurableSet s
hμ : μ s < ⊤
C : ℝ
hC : ∀ᶠ (x : ι × α) in 𝓟 s ×ˢ l, ‖f x‖ ≤ C * ‖(g ∘ Prod.snd) x‖
t : Set (ι × α)
htl : t ∈ 𝓟 s ×ˢ l
ht : ∀ y ∈ t, ‖f y‖ ≤ C * ‖(g ∘ Prod.snd) y‖
u : Set ι
hu : u ∈ 𝓟 s
v : Set α
hv : v ∈ l
huv : u ×ˢ v ⊆ t
w : Set α
hwl : w ∈ l
hw : ∀ y ∈ w, AEStronglyMeasurable (fun i => f (i, y)) (μ.restrict s)
x : α
hx : x ∈ w ∩ v
this : IsFiniteMeasure (μ.restrict s)
⊢ ∀ᵐ (a : ι) ∂μ.restrict s, ‖f (a, x)‖ ≤ C * ‖g x‖

Tactic:
filter_upwards [MeasureTheory.self_mem_ae_restrict hs]

Result:
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
g : α → F
l : Filter α
ι : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace ι
f : ι × α → E
s : Set ι
μ : Measure ι
inst✝ : Norm F
hf : f =O[𝓟 s ×ˢ l] (g ∘ Prod.snd)
hfm : ∀ᶠ (x : α) in l, AEStronglyMeasurable (fun i => f (i, x)) (μ.restrict s)
hs : MeasurableSet s
hμ : μ s < ⊤
C : ℝ
hC : ∀ᶠ (x : ι × α) in 𝓟 s ×ˢ l, ‖f x‖ ≤ C * ‖(g ∘ Prod.snd) x‖
t : Set (ι × α)
htl : t ∈ 𝓟 s ×ˢ l
ht : ∀ y ∈ t, ‖f y‖ ≤ C * ‖(g ∘ Prod.snd) y‖
u : Set ι
hu : u ∈ 𝓟 s
v : Set α
hv : v ∈ l
huv : u ×ˢ v ⊆ t
w : Set α
hwl : w ∈ l
hw : ∀ y ∈ w, AEStronglyMeasurable (fun i => f (i, y)) (μ.restrict s)
x : α
hx : x ∈ w ∩ v
this : IsFiniteMeasure (μ.restrict s)
⊢ ∀ a ∈ s, ‖f (a, x)‖ ≤ C * ‖g x‖

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
g : α → F
l : Filter α
ι : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace ι
f : ι × α → E
s : Set ι
μ : Measure ι
inst✝ : Norm F
hf : f =O[𝓟 s ×ˢ l] (g ∘ Prod.snd)
hfm : ∀ᶠ (x : α) in l, AEStronglyMeasurable (fun i => f (i, x)) (μ.restrict s)
hs : MeasurableSet s
hμ : μ s < ⊤
C : ℝ
hC : ∀ᶠ (x : ι × α) in 𝓟 s ×ˢ l, ‖f x‖ ≤ C * ‖(g ∘ Prod.snd) x‖
t : Set (ι × α)
htl : t ∈ 𝓟 s ×ˢ l
ht : ∀ y ∈ t, ‖f y‖ ≤ C * ‖(g ∘ Prod.snd) y‖
u : Set ι
hu : u ∈ 𝓟 s
v : Set α
hv : v ∈ l
huv : u ×ˢ v ⊆ t
w : Set α
hwl : w ∈ l
hw : ∀ y ∈ w, AEStronglyMeasurable (fun i => f (i, y)) (μ.restrict s)
x : α
hx : x ∈ w ∩ v
⊢ IntegrableOn (fun i => f (i, x)) s μ

Tactic:
haveI : IsFiniteMeasure (μ.restrict s) := ⟨Measure.restrict_apply_univ s ▸ hμ⟩

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
g : α → F
l : Filter α
ι : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace ι
f : ι × α → E
s : Set ι
μ : Measure ι
inst✝ : Norm F
hf : f =O[𝓟 s ×ˢ l] (g ∘ Prod.snd)
hfm : ∀ᶠ (x : α) in l, AEStronglyMeasurable (fun i => f (i, x)) (μ.restrict s)
hs : MeasurableSet s
hμ : μ s < ⊤
C : ℝ
hC : ∀ᶠ (x : ι × α) in 𝓟 s ×ˢ l, ‖f x‖ ≤ C * ‖(g ∘ Prod.snd) x‖
t : Set (ι × α)
htl : t ∈ 𝓟 s ×ˢ l
ht : ∀ y ∈ t, ‖f y‖ ≤ C * ‖(g ∘ Prod.snd) y‖
u : Set ι
hu : u ∈ 𝓟 s
v : Set α
hv : v ∈ l
huv : u ×ˢ v ⊆ t
w : Set α
hwl : w ∈ l
hw : ∀ y ∈ w, AEStronglyMeasurable (fun i => f (i, y)) (μ.restrict s)
x : α
hx : x ∈ w ∩ v
this : IsFiniteMeasure (μ.restrict s)
⊢ IntegrableOn (fun i => f (i, x)) s μ

Proof state:
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
g : α → F
l : Filter α
ι : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace ι
f : ι × α → E
s : Set ι
μ : Measure ι
inst✝ : Norm F
hf : f =O[𝓟 s ×ˢ l] (g ∘ Prod.snd)
hfm : ∀ᶠ (x : α) in l, AEStronglyMeasurable (fun i => f (i, x)) (μ.restrict s)
hs : MeasurableSet s
hμ : μ s < ⊤
C : ℝ
hC : ∀ᶠ (x : ι × α) in 𝓟 s ×ˢ l, ‖f x‖ ≤ C * ‖(g ∘ Prod.snd) x‖
t : Set (ι × α)
htl : t ∈ 𝓟 s ×ˢ l
ht : ∀ y ∈ t, ‖f y‖ ≤ C * ‖(g ∘ Prod.snd) y‖
u : Set ι
hu : u ∈ 𝓟 s
v : Set α
hv : v ∈ l
huv : u ×ˢ v ⊆ t
w : Set α
hwl : w ∈ l
hw : ∀ y ∈ w, AEStronglyMeasurable (fun i => f (i, y)) (μ.restrict s)
x : α
hx : x ∈ w ∩ v
this : IsFiniteMeasure (μ.restrict s)
⊢ ∀ a ∈ s, ‖f (a, x)‖ ≤ C * ‖g x‖

Tactic:
intro y hy

Result:
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
g : α → F
l : Filter α
ι : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace ι
f : ι × α → E
s : Set ι
μ : Measure ι
inst✝ : Norm F
hf : f =O[𝓟 s ×ˢ l] (g ∘ Prod.snd)
hfm : ∀ᶠ (x : α) in l, AEStronglyMeasurable (fun i => f (i, x)) (μ.restrict s)
hs : MeasurableSet s
hμ : μ s < ⊤
C : ℝ
hC : ∀ᶠ (x : ι × α) in 𝓟 s ×ˢ l, ‖f x‖ ≤ C * ‖(g ∘ Prod.snd) x‖
t : Set (ι × α)
htl : t ∈ 𝓟 s ×ˢ l
ht : ∀ y ∈ t, ‖f y‖ ≤ C * ‖(g ∘ Prod.snd) y‖
u : Set ι
hu : u ∈ 𝓟 s
v : Set α
hv : v ∈ l
huv : u ×ˢ v ⊆ t
w : Set α
hwl : w ∈ l
hw : ∀ y ∈ w, AEStronglyMeasurable (fun i => f (i, y)) (μ.restrict s)
x : α
hx : x ∈ w ∩ v
this : IsFiniteMeasure (μ.restrict s)
y : ι
hy : y ∈ s
⊢ ‖f (y, x)‖ ≤ C * ‖g x‖