-- Mathlib/Algebra/DirectSum/Ring.lean
theorem mul_comm (a b : ⨁ i, A i) : a * b = b * a

Proof state:
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddCommMonoid ι
inst✝ : GCommSemiring A
a b : ⨁ (i : ι), A i
⊢ a * b = b * a

Tactic:
suffices mulHom A = (mulHom A).flip by
  rw [← mulHom_apply, this, AddMonoidHom.flip_apply, mulHom_apply]

Result:
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddCommMonoid ι
inst✝ : GCommSemiring A
a b : ⨁ (i : ι), A i
⊢ mulHom A = (mulHom A).flip

Proof state:
case H.H
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddCommMonoid ι
inst✝ : GCommSemiring A
a b : ⨁ (i : ι), A i
ai : ι
ax : A ai
bi : ι
bx : A bi
⊢ (of A (ai + bi)) (GradedMonoid.GMul.mul ax bx) = (of A (bi + ai)) (GradedMonoid.GMul.mul bx ax)

Tactic:
exact of_eq_of_gradedMonoid_eq (GCommSemiring.mul_comm ⟨ai, ax⟩ ⟨bi, bx⟩)

Result:
no goals

Proof state:
case H.H
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddCommMonoid ι
inst✝ : GCommSemiring A
a b : ⨁ (i : ι), A i
ai : ι
ax : A ai
⊢ ∀ (i : ι) (y : A i), ((mulHom A) ((of A ai) ax)) ((of A i) y) = ((mulHom A).flip ((of A ai) ax)) ((of A i) y)

Tactic:
intro bi bx

Result:
case H.H
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddCommMonoid ι
inst✝ : GCommSemiring A
a b : ⨁ (i : ι), A i
ai : ι
ax : A ai
bi : ι
bx : A bi
⊢ ((mulHom A) ((of A ai) ax)) ((of A bi) bx) = ((mulHom A).flip ((of A ai) ax)) ((of A bi) bx)

Proof state:
case H
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddCommMonoid ι
inst✝ : GCommSemiring A
a b : ⨁ (i : ι), A i
ai : ι
ax : A ai
⊢ (mulHom A) ((of A ai) ax) = (mulHom A).flip ((of A ai) ax)

Tactic:
apply addHom_ext

Result:
case H.H
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddCommMonoid ι
inst✝ : GCommSemiring A
a b : ⨁ (i : ι), A i
ai : ι
ax : A ai
⊢ ∀ (i : ι) (y : A i), ((mulHom A) ((of A ai) ax)) ((of A i) y) = ((mulHom A).flip ((of A ai) ax)) ((of A i) y)

Proof state:
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddCommMonoid ι
inst✝ : GCommSemiring A
a b : ⨁ (i : ι), A i
⊢ mulHom A = (mulHom A).flip

Tactic:
apply addHom_ext

Result:
case H
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddCommMonoid ι
inst✝ : GCommSemiring A
a b : ⨁ (i : ι), A i
⊢ ∀ (i : ι) (y : A i), (mulHom A) ((of A i) y) = (mulHom A).flip ((of A i) y)

Proof state:
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddCommMonoid ι
inst✝ : GCommSemiring A
a b : ⨁ (i : ι), A i
this : mulHom A = (mulHom A).flip
⊢ a * b = b * a

Tactic:
rw [← mulHom_apply, this, AddMonoidHom.flip_apply, mulHom_apply]

Result:
no goals

Proof state:
case H.H
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddCommMonoid ι
inst✝ : GCommSemiring A
a b : ⨁ (i : ι), A i
ai : ι
ax : A ai
bi : ι
bx : A bi
⊢ ((mulHom A) ((of A ai) ax)) ((of A bi) bx) = ((mulHom A).flip ((of A ai) ax)) ((of A bi) bx)

Tactic:
rw [AddMonoidHom.flip_apply, mulHom_of_of, mulHom_of_of]

Result:
case H.H
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddCommMonoid ι
inst✝ : GCommSemiring A
a b : ⨁ (i : ι), A i
ai : ι
ax : A ai
bi : ι
bx : A bi
⊢ (of A (ai + bi)) (GradedMonoid.GMul.mul ax bx) = (of A (bi + ai)) (GradedMonoid.GMul.mul bx ax)

Proof state:
case H
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddCommMonoid ι
inst✝ : GCommSemiring A
a b : ⨁ (i : ι), A i
⊢ ∀ (i : ι) (y : A i), (mulHom A) ((of A i) y) = (mulHom A).flip ((of A i) y)

Tactic:
intro ai ax

Result:
case H
ι : Type u_1
inst✝³ : DecidableEq ι
A : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (A i)
inst✝¹ : AddCommMonoid ι
inst✝ : GCommSemiring A
a b : ⨁ (i : ι), A i
ai : ι
ax : A ai
⊢ (mulHom A) ((of A ai) ax) = (mulHom A).flip ((of A ai) ax)