-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
theorem ContinuousLinearEquiv.contDiffWithinAt_comp_iff (e : G ≃L[𝕜] E) :
    ContDiffWithinAt 𝕜 n (f ∘ e) (e ⁻¹' s) (e.symm x) ↔ ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x

Proof state:
case mpr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
f : E → F
x : E
n : WithTop ℕ∞
e : G ≃L[𝕜] E
H : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (f ∘ ⇑e) (⇑e ⁻¹' s) (e.symm x)

Tactic:
rw [← e.apply_symm_apply x, ← e.coe_coe] at H

Result:
case mpr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
f : E → F
x : E
n : WithTop ℕ∞
e : G ≃L[𝕜] E
H : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s (↑e (e.symm x))
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (f ∘ ⇑e) (⇑e ⁻¹' s) (e.symm x)

Proof state:
case mpr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
f : E → F
x : E
n : WithTop ℕ∞
e : G ≃L[𝕜] E
H : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s (↑e (e.symm x))
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (f ∘ ⇑e) (⇑e ⁻¹' s) (e.symm x)

Tactic:
exact H.comp_continuousLinearMap _

Result:
no goals

Proof state:
case mpr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
f : E → F
x : E
n : WithTop ℕ∞
e : G ≃L[𝕜] E
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x → ContDiffWithinAt 𝕜 n (f ∘ ⇑e) (⇑e ⁻¹' s) (e.symm x)

Tactic:
intro H

Result:
case mpr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
f : E → F
x : E
n : WithTop ℕ∞
e : G ≃L[𝕜] E
H : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (f ∘ ⇑e) (⇑e ⁻¹' s) (e.symm x)

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
f : E → F
x : E
n : WithTop ℕ∞
e : G ≃L[𝕜] E
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (f ∘ ⇑e) (⇑e ⁻¹' s) (e.symm x) ↔ ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x

Tactic:
constructor

Result:
case mp
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
f : E → F
x : E
n : WithTop ℕ∞
e : G ≃L[𝕜] E
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (f ∘ ⇑e) (⇑e ⁻¹' s) (e.symm x) → ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x

case mpr
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
f : E → F
x : E
n : WithTop ℕ∞
e : G ≃L[𝕜] E
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x → ContDiffWithinAt 𝕜 n (f ∘ ⇑e) (⇑e ⁻¹' s) (e.symm x)

Proof state:
case mp
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
f : E → F
x : E
n : WithTop ℕ∞
e : G ≃L[𝕜] E
H : ContDiffWithinAt 𝕜 n (f ∘ ⇑e) (⇑e ⁻¹' s) (e.symm x)
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x

Tactic:
simpa [← preimage_comp, Function.comp_def] using H.comp_continuousLinearMap (e.symm : E →L[𝕜] G)

Result:
no goals

Proof state:
case mp
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
f : E → F
x : E
n : WithTop ℕ∞
e : G ≃L[𝕜] E
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (f ∘ ⇑e) (⇑e ⁻¹' s) (e.symm x) → ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x

Tactic:
intro H

Result:
case mp
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
f : E → F
x : E
n : WithTop ℕ∞
e : G ≃L[𝕜] E
H : ContDiffWithinAt 𝕜 n (f ∘ ⇑e) (⇑e ⁻¹' s) (e.symm x)
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x