-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/StronglyRegular.lean
theorem IsSRGWith.matrix_eq {α : Type*} [Semiring α] (h : G.IsSRGWith n k ℓ μ) :
    G.adjMatrix α ^ 2 = k • (1 : Matrix V V α) + ℓ • G.adjMatrix α + μ • Gᶜ.adjMatrix α

Proof state:
case a
V : Type u
inst✝³ : Fintype V
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
inst✝¹ : DecidableEq V
α : Type u_1
inst✝ : Semiring α
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
v w : V
⊢ ↑(Fintype.card { x // x.length = 2 }) =
    (k • 1 v w + ℓ • if G.Adj v w then 1 else 0) + μ • if v ≠ w ∧ ¬G.Adj v w then 1 else 0

Tactic:
rw [Fintype.card_congr (G.walkLengthTwoEquivCommonNeighbors v w)]

Result:
case a
V : Type u
inst✝³ : Fintype V
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
inst✝¹ : DecidableEq V
α : Type u_1
inst✝ : Semiring α
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
v w : V
⊢ ↑(Fintype.card ↑(G.commonNeighbors v w)) =
    (k • 1 v w + ℓ • if G.Adj v w then 1 else 0) + μ • if v ≠ w ∧ ¬G.Adj v w then 1 else 0

Proof state:
case a.inl
V : Type u
inst✝³ : Fintype V
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
inst✝¹ : DecidableEq V
α : Type u_1
inst✝ : Semiring α
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
v : V
⊢ ↑(#(G.commonNeighbors v v).toFinset) =
    (k • 1 v v + ℓ • if G.Adj v v then 1 else 0) + μ • if v ≠ v ∧ ¬G.Adj v v then 1 else 0

Tactic:
simp [commonNeighbors, ← neighborFinset_def, h.regular v]

Result:
no goals

Proof state:
case a.inl
V : Type u
inst✝³ : Fintype V
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
inst✝¹ : DecidableEq V
α : Type u_1
inst✝ : Semiring α
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
v : V
⊢ ↑(Fintype.card ↑(G.commonNeighbors v v)) =
    (k • 1 v v + ℓ • if G.Adj v v then 1 else 0) + μ • if v ≠ v ∧ ¬G.Adj v v then 1 else 0

Tactic:
rw [← Set.toFinset_card]

Result:
case a.inl
V : Type u
inst✝³ : Fintype V
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
inst✝¹ : DecidableEq V
α : Type u_1
inst✝ : Semiring α
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
v : V
⊢ ↑(#(G.commonNeighbors v v).toFinset) =
    (k • 1 v v + ℓ • if G.Adj v v then 1 else 0) + μ • if v ≠ v ∧ ¬G.Adj v v then 1 else 0

Proof state:
case a.inr
V : Type u
inst✝³ : Fintype V
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
inst✝¹ : DecidableEq V
α : Type u_1
inst✝ : Semiring α
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
v w : V
hn : v ≠ w
⊢ ↑(Fintype.card ↑(G.commonNeighbors v w)) =
    (k • 0 + ℓ • if G.Adj v w then 1 else 0) + μ • if ¬False ∧ ¬G.Adj v w then 1 else 0

Tactic:
by_cases ha : G.Adj v w <;>
  simp only [ha, ite_true, ite_false, add_zero, zero_add, nsmul_eq_mul, smul_zero, mul_one,
    not_true_eq_false, not_false_eq_true, and_false, and_self]

Result:
case pos
V : Type u
inst✝³ : Fintype V
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
inst✝¹ : DecidableEq V
α : Type u_1
inst✝ : Semiring α
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
v w : V
hn : v ≠ w
ha : G.Adj v w
⊢ ↑(Fintype.card ↑(G.commonNeighbors v w)) = ↑ℓ

case neg
V : Type u
inst✝³ : Fintype V
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
inst✝¹ : DecidableEq V
α : Type u_1
inst✝ : Semiring α
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
v w : V
hn : v ≠ w
ha : ¬G.Adj v w
⊢ ↑(Fintype.card ↑(G.commonNeighbors v w)) = ↑μ

Proof state:
case a.inr
V : Type u
inst✝³ : Fintype V
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
inst✝¹ : DecidableEq V
α : Type u_1
inst✝ : Semiring α
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
v w : V
hn : v ≠ w
⊢ ↑(Fintype.card ↑(G.commonNeighbors v w)) =
    (k • 1 v w + ℓ • if G.Adj v w then 1 else 0) + μ • if v ≠ w ∧ ¬G.Adj v w then 1 else 0

Tactic:
simp only [Matrix.one_apply_ne' hn.symm, ne_eq, hn]

Result:
case a.inr
V : Type u
inst✝³ : Fintype V
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
inst✝¹ : DecidableEq V
α : Type u_1
inst✝ : Semiring α
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
v w : V
hn : v ≠ w
⊢ ↑(Fintype.card ↑(G.commonNeighbors v w)) =
    (k • 0 + ℓ • if G.Adj v w then 1 else 0) + μ • if ¬False ∧ ¬G.Adj v w then 1 else 0

Proof state:
case a
V : Type u
inst✝³ : Fintype V
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
inst✝¹ : DecidableEq V
α : Type u_1
inst✝ : Semiring α
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
v w : V
⊢ (adjMatrix α G ^ 2) v w = (k • 1 + ℓ • adjMatrix α G + μ • adjMatrix α Gᶜ) v w

Tactic:
simp only [adjMatrix_pow_apply_eq_card_walk, Set.coe_setOf, Matrix.add_apply, Matrix.smul_apply,
  adjMatrix_apply, compl_adj]

Result:
case a
V : Type u
inst✝³ : Fintype V
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
inst✝¹ : DecidableEq V
α : Type u_1
inst✝ : Semiring α
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
v w : V
⊢ ↑(Fintype.card { x // x.length = 2 }) =
    (k • 1 v w + ℓ • if G.Adj v w then 1 else 0) + μ • if v ≠ w ∧ ¬G.Adj v w then 1 else 0

Proof state:
case a
V : Type u
inst✝³ : Fintype V
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
inst✝¹ : DecidableEq V
α : Type u_1
inst✝ : Semiring α
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
v w : V
⊢ ↑(Fintype.card ↑(G.commonNeighbors v w)) =
    (k • 1 v w + ℓ • if G.Adj v w then 1 else 0) + μ • if v ≠ w ∧ ¬G.Adj v w then 1 else 0

Tactic:
obtain rfl | hn := eq_or_ne v w

Result:
case a.inl
V : Type u
inst✝³ : Fintype V
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
inst✝¹ : DecidableEq V
α : Type u_1
inst✝ : Semiring α
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
v : V
⊢ ↑(Fintype.card ↑(G.commonNeighbors v v)) =
    (k • 1 v v + ℓ • if G.Adj v v then 1 else 0) + μ • if v ≠ v ∧ ¬G.Adj v v then 1 else 0

case a.inr
V : Type u
inst✝³ : Fintype V
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
inst✝¹ : DecidableEq V
α : Type u_1
inst✝ : Semiring α
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
v w : V
hn : v ≠ w
⊢ ↑(Fintype.card ↑(G.commonNeighbors v w)) =
    (k • 1 v w + ℓ • if G.Adj v w then 1 else 0) + μ • if v ≠ w ∧ ¬G.Adj v w then 1 else 0

Proof state:
V : Type u
inst✝³ : Fintype V
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
inst✝¹ : DecidableEq V
α : Type u_1
inst✝ : Semiring α
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
⊢ adjMatrix α G ^ 2 = k • 1 + ℓ • adjMatrix α G + μ • adjMatrix α Gᶜ

Tactic:
ext v w

Result:
case a
V : Type u
inst✝³ : Fintype V
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
inst✝¹ : DecidableEq V
α : Type u_1
inst✝ : Semiring α
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
v w : V
⊢ (adjMatrix α G ^ 2) v w = (k • 1 + ℓ • adjMatrix α G + μ • adjMatrix α Gᶜ) v w

Proof state:
case pos
V : Type u
inst✝³ : Fintype V
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
inst✝¹ : DecidableEq V
α : Type u_1
inst✝ : Semiring α
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
v w : V
hn : v ≠ w
ha : G.Adj v w
⊢ ↑(Fintype.card ↑(G.commonNeighbors v w)) = ↑ℓ

Tactic:
rw [h.of_adj v w ha]

Result:
no goals

Proof state:
case neg
V : Type u
inst✝³ : Fintype V
G : SimpleGraph V
inst✝² : DecidableRel G.Adj
n k ℓ μ : ℕ
inst✝¹ : DecidableEq V
α : Type u_1
inst✝ : Semiring α
h : G.IsSRGWith n k ℓ μ
v w : V
hn : v ≠ w
ha : ¬G.Adj v w
⊢ ↑(Fintype.card ↑(G.commonNeighbors v w)) = ↑μ

Tactic:
rw [h.of_not_adj hn ha]

Result:
no goals