-- Mathlib/Algebra/Order/BigOperators/GroupWithZero/List.lean
theorem prod_map_le_prod_map₀ {ι : Type*} {s : List ι} (f : ι → R) (g : ι → R)
    (h0 : ∀ i ∈ s, 0 ≤ f i) (h : ∀ i ∈ s, f i ≤ g i) :
    (map f s).prod ≤ (map g s).prod

Proof state:
case cons.h₂
R : Type u_1
inst✝³ : CommMonoidWithZero R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : ZeroLEOneClass R
inst✝ : PosMulMono R
ι : Type u_2
f g : ι → R
a : ι
s : List ι
hind : (∀ (i : ι), i ∈ s → 0 ≤ f i) → (∀ (i : ι), i ∈ s → f i ≤ g i) → (map f s).prod ≤ (map g s).prod
h0 : ∀ (i : ι), i ∈ a :: s → 0 ≤ f i
h : ∀ (i : ι), i ∈ a :: s → f i ≤ g i
this : MulPosMono R
⊢ (map f s).prod ≤ (map g s).prod

Tactic:
apply hind

Result:
case cons.h₂.h0
R : Type u_1
inst✝³ : CommMonoidWithZero R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : ZeroLEOneClass R
inst✝ : PosMulMono R
ι : Type u_2
f g : ι → R
a : ι
s : List ι
hind : (∀ (i : ι), i ∈ s → 0 ≤ f i) → (∀ (i : ι), i ∈ s → f i ≤ g i) → (map f s).prod ≤ (map g s).prod
h0 : ∀ (i : ι), i ∈ a :: s → 0 ≤ f i
h : ∀ (i : ι), i ∈ a :: s → f i ≤ g i
this : MulPosMono R
⊢ ∀ (i : ι), i ∈ s → 0 ≤ f i

case cons.h₂.h
R : Type u_1
inst✝³ : CommMonoidWithZero R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : ZeroLEOneClass R
inst✝ : PosMulMono R
ι : Type u_2
f g : ι → R
a : ι
s : List ι
hind : (∀ (i : ι), i ∈ s → 0 ≤ f i) → (∀ (i : ι), i ∈ s → f i ≤ g i) → (map f s).prod ≤ (map g s).prod
h0 : ∀ (i : ι), i ∈ a :: s → 0 ≤ f i
h : ∀ (i : ι), i ∈ a :: s → f i ≤ g i
this : MulPosMono R
⊢ ∀ (i : ι), i ∈ s → f i ≤ g i

Proof state:
case cons.h₂.h
R : Type u_1
inst✝³ : CommMonoidWithZero R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : ZeroLEOneClass R
inst✝ : PosMulMono R
ι : Type u_2
f g : ι → R
a : ι
s : List ι
hind : (∀ (i : ι), i ∈ s → 0 ≤ f i) → (∀ (i : ι), i ∈ s → f i ≤ g i) → (map f s).prod ≤ (map g s).prod
h0 : ∀ (i : ι), i ∈ a :: s → 0 ≤ f i
h : ∀ (i : ι), i ∈ a :: s → f i ≤ g i
this : MulPosMono R
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ f i ≤ g i

Tactic:
apply h

Result:
case cons.h₂.h.a
R : Type u_1
inst✝³ : CommMonoidWithZero R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : ZeroLEOneClass R
inst✝ : PosMulMono R
ι : Type u_2
f g : ι → R
a : ι
s : List ι
hind : (∀ (i : ι), i ∈ s → 0 ≤ f i) → (∀ (i : ι), i ∈ s → f i ≤ g i) → (map f s).prod ≤ (map g s).prod
h0 : ∀ (i : ι), i ∈ a :: s → 0 ≤ f i
h : ∀ (i : ι), i ∈ a :: s → f i ≤ g i
this : MulPosMono R
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ i ∈ a :: s

Proof state:
case nil
R : Type u_1
inst✝³ : CommMonoidWithZero R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : ZeroLEOneClass R
inst✝ : PosMulMono R
ι : Type u_2
f g : ι → R
h0 : ∀ (i : ι), i ∈ [] → 0 ≤ f i
h : ∀ (i : ι), i ∈ [] → f i ≤ g i
⊢ (map f []).prod ≤ (map g []).prod

Tactic:
simp

Result:
no goals

Proof state:
case cons.c0
R : Type u_1
inst✝³ : CommMonoidWithZero R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : ZeroLEOneClass R
inst✝ : PosMulMono R
ι : Type u_2
f g : ι → R
a : ι
s : List ι
hind : (∀ (i : ι), i ∈ s → 0 ≤ f i) → (∀ (i : ι), i ∈ s → f i ≤ g i) → (map f s).prod ≤ (map g s).prod
h0 : ∀ (i : ι), i ∈ a :: s → 0 ≤ f i
h : ∀ (i : ι), i ∈ a :: s → f i ≤ g i
this : MulPosMono R
⊢ 0 ≤ (map f s).prod

Tactic:
apply prod_nonneg

Result:
case cons.c0.h
R : Type u_1
inst✝³ : CommMonoidWithZero R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : ZeroLEOneClass R
inst✝ : PosMulMono R
ι : Type u_2
f g : ι → R
a : ι
s : List ι
hind : (∀ (i : ι), i ∈ s → 0 ≤ f i) → (∀ (i : ι), i ∈ s → f i ≤ g i) → (map f s).prod ≤ (map g s).prod
h0 : ∀ (i : ι), i ∈ a :: s → 0 ≤ f i
h : ∀ (i : ι), i ∈ a :: s → f i ≤ g i
this : MulPosMono R
⊢ ∀ (a : R), a ∈ map f s → 0 ≤ a

Proof state:
case cons.h₂.h0
R : Type u_1
inst✝³ : CommMonoidWithZero R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : ZeroLEOneClass R
inst✝ : PosMulMono R
ι : Type u_2
f g : ι → R
a : ι
s : List ι
hind : (∀ (i : ι), i ∈ s → 0 ≤ f i) → (∀ (i : ι), i ∈ s → f i ≤ g i) → (map f s).prod ≤ (map g s).prod
h0 : ∀ (i : ι), i ∈ a :: s → 0 ≤ f i
h : ∀ (i : ι), i ∈ a :: s → f i ≤ g i
this : MulPosMono R
⊢ ∀ (i : ι), i ∈ s → 0 ≤ f i

Tactic:
intro i hi

Result:
case cons.h₂.h0
R : Type u_1
inst✝³ : CommMonoidWithZero R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : ZeroLEOneClass R
inst✝ : PosMulMono R
ι : Type u_2
f g : ι → R
a : ι
s : List ι
hind : (∀ (i : ι), i ∈ s → 0 ≤ f i) → (∀ (i : ι), i ∈ s → f i ≤ g i) → (map f s).prod ≤ (map g s).prod
h0 : ∀ (i : ι), i ∈ a :: s → 0 ≤ f i
h : ∀ (i : ι), i ∈ a :: s → f i ≤ g i
this : MulPosMono R
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ 0 ≤ f i

Proof state:
case cons.c0.h
R : Type u_1
inst✝³ : CommMonoidWithZero R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : ZeroLEOneClass R
inst✝ : PosMulMono R
ι : Type u_2
f g : ι → R
a✝ : ι
s : List ι
hind : (∀ (i : ι), i ∈ s → 0 ≤ f i) → (∀ (i : ι), i ∈ s → f i ≤ g i) → (map f s).prod ≤ (map g s).prod
h0 : ∀ (i : ι), i ∈ a✝ :: s → 0 ≤ f i
h : ∀ (i : ι), i ∈ a✝ :: s → f i ≤ g i
this : MulPosMono R
a : ι
ha : a ∈ s
⊢ 0 ≤ f a

Tactic:
apply h0

Result:
case cons.c0.h.a
R : Type u_1
inst✝³ : CommMonoidWithZero R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : ZeroLEOneClass R
inst✝ : PosMulMono R
ι : Type u_2
f g : ι → R
a✝ : ι
s : List ι
hind : (∀ (i : ι), i ∈ s → 0 ≤ f i) → (∀ (i : ι), i ∈ s → f i ≤ g i) → (map f s).prod ≤ (map g s).prod
h0 : ∀ (i : ι), i ∈ a✝ :: s → 0 ≤ f i
h : ∀ (i : ι), i ∈ a✝ :: s → f i ≤ g i
this : MulPosMono R
a : ι
ha : a ∈ s
⊢ a ∈ a✝ :: s

Proof state:
case cons.c0.h
R : Type u_1
inst✝³ : CommMonoidWithZero R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : ZeroLEOneClass R
inst✝ : PosMulMono R
ι : Type u_2
f g : ι → R
a : ι
s : List ι
hind : (∀ (i : ι), i ∈ s → 0 ≤ f i) → (∀ (i : ι), i ∈ s → f i ≤ g i) → (map f s).prod ≤ (map g s).prod
h0 : ∀ (i : ι), i ∈ a :: s → 0 ≤ f i
h : ∀ (i : ι), i ∈ a :: s → f i ≤ g i
this : MulPosMono R
⊢ ∀ (a : R), a ∈ map f s → 0 ≤ a

Tactic:
simp only [mem_map, forall_exists_index, and_imp, forall_apply_eq_imp_iff₂]

Result:
case cons.c0.h
R : Type u_1
inst✝³ : CommMonoidWithZero R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : ZeroLEOneClass R
inst✝ : PosMulMono R
ι : Type u_2
f g : ι → R
a : ι
s : List ι
hind : (∀ (i : ι), i ∈ s → 0 ≤ f i) → (∀ (i : ι), i ∈ s → f i ≤ g i) → (map f s).prod ≤ (map g s).prod
h0 : ∀ (i : ι), i ∈ a :: s → 0 ≤ f i
h : ∀ (i : ι), i ∈ a :: s → f i ≤ g i
this : MulPosMono R
⊢ ∀ (a : ι), a ∈ s → 0 ≤ f a

Proof state:
case cons
R : Type u_1
inst✝³ : CommMonoidWithZero R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : ZeroLEOneClass R
inst✝ : PosMulMono R
ι : Type u_2
f g : ι → R
a : ι
s : List ι
hind : (∀ (i : ι), i ∈ s → 0 ≤ f i) → (∀ (i : ι), i ∈ s → f i ≤ g i) → (map f s).prod ≤ (map g s).prod
h0 : ∀ (i : ι), i ∈ a :: s → 0 ≤ f i
h : ∀ (i : ι), i ∈ a :: s → f i ≤ g i
⊢ f a * (map f s).prod ≤ g a * (map g s).prod

Tactic:
have := posMulMono_iff_mulPosMono.1 ‹PosMulMono R›

Result:
case cons
R : Type u_1
inst✝³ : CommMonoidWithZero R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : ZeroLEOneClass R
inst✝ : PosMulMono R
ι : Type u_2
f g : ι → R
a : ι
s : List ι
hind : (∀ (i : ι), i ∈ s → 0 ≤ f i) → (∀ (i : ι), i ∈ s → f i ≤ g i) → (map f s).prod ≤ (map g s).prod
h0 : ∀ (i : ι), i ∈ a :: s → 0 ≤ f i
h : ∀ (i : ι), i ∈ a :: s → f i ≤ g i
this : MulPosMono R
⊢ f a * (map f s).prod ≤ g a * (map g s).prod

Proof state:
case cons.c0.h
R : Type u_1
inst✝³ : CommMonoidWithZero R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : ZeroLEOneClass R
inst✝ : PosMulMono R
ι : Type u_2
f g : ι → R
a : ι
s : List ι
hind : (∀ (i : ι), i ∈ s → 0 ≤ f i) → (∀ (i : ι), i ∈ s → f i ≤ g i) → (map f s).prod ≤ (map g s).prod
h0 : ∀ (i : ι), i ∈ a :: s → 0 ≤ f i
h : ∀ (i : ι), i ∈ a :: s → f i ≤ g i
this : MulPosMono R
⊢ ∀ (a : ι), a ∈ s → 0 ≤ f a

Tactic:
intro a ha

Result:
case cons.c0.h
R : Type u_1
inst✝³ : CommMonoidWithZero R
inst✝² : PartialOrder R
inst✝¹ : ZeroLEOneClass R
inst✝ : PosMulMono R
ι : Type u_2
f g : ι → R
a✝ : ι
s : List ι
hind : (∀ (i : ι), i ∈ s → 0 ≤ f i) → (∀ (i : ι), i ∈ s → f i ≤ g i) → (map f s).prod ≤ (map g s).prod
h0 : ∀ (i : ι), i ∈ a✝ :: s → 0 ≤ f i
h : ∀ (i : ι), i ∈ a✝ :: s → f i ≤ g i
this : MulPosMono R
a : ι
ha : a ∈ s
⊢ 0 ≤ f a