-- Mathlib/Topology/Order/Basic.lean
theorem countable_setOf_covBy_right [OrderTopology α] [SecondCountableTopology α] :
    Set.Countable { x : α | ∃ y, x ⋖ y }

Proof state:
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
a✝ : Nontrivial α
s : Set α := {x | ∃ y, x ⋖ y}
this : ∀ x ∈ s, ∃ y, x ⋖ y
⊢ {x | ∃ y, x ⋖ y}.Countable

Tactic:
choose! y hy using this

Result:
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
a✝ : Nontrivial α
s : Set α := {x | ∃ y, x ⋖ y}
y : α → α
hy : ∀ x ∈ s, x ⋖ y x
⊢ {x | ∃ y, x ⋖ y}.Countable

Proof state:
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
a✝ : Nontrivial α
s : Set α := {x | ∃ y, x ⋖ y}
y : α → α
hy : ∀ x ∈ s, x ⋖ y x
Hy : ∀ (x z : α), x ∈ s → z < y x → z ≤ x
a : Set α
ha : IsOpen a
t : Set α := {x | x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a ∧ ¬IsBot x}
⊢ {x | x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a ∧ ¬IsBot x}.Countable

Tactic:
have : ∀ x ∈ t, ∃ z < x, Ioc z x ⊆ a := by
  intro x hx
  apply exists_Ioc_subset_of_mem_nhds (ha.mem_nhds hx.2.1)
  simpa only [IsBot, not_forall, not_le] using hx.right.right.right

Result:
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
a✝ : Nontrivial α
s : Set α := {x | ∃ y, x ⋖ y}
y : α → α
hy : ∀ x ∈ s, x ⋖ y x
Hy : ∀ (x z : α), x ∈ s → z < y x → z ≤ x
a : Set α
ha : IsOpen a
t : Set α := {x | x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a ∧ ¬IsBot x}
this : ∀ x ∈ t, ∃ z < x, Ioc z x ⊆ a
⊢ {x | x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a ∧ ¬IsBot x}.Countable

Proof state:
case inl
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
a✝ : Nontrivial α
s : Set α := {x | ∃ y, x ⋖ y}
y : α → α
hy : ∀ x ∈ s, x ⋖ y x
Hy : ∀ (x z : α), x ∈ s → z < y x → z ≤ x
a : Set α
ha : IsOpen a
t : Set α := {x | x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a ∧ ¬IsBot x}
z : α → α
hz : ∀ x ∈ t, z x < x
h'z : ∀ x ∈ t, Ioc (z x) x ⊆ a
x : α
xt : x ∈ t
x' : α
x't : x' ∈ t
hxx' : x ≠ x'
h' : x < x'
u : α
ux : u ∈ (fun x => Ioc (z x) x) x
ux' : u ∈ (fun x => Ioc (z x) x) x'
H : x' < y x
⊢ False

Tactic:
exact lt_irrefl _ ((Hy _ _ xt.1 H).trans_lt h')

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
a✝ : Nontrivial α
s : Set α := {x | ∃ y, x ⋖ y}
y : α → α
hy : ∀ x ∈ s, x ⋖ y x
Hy : ∀ (x z : α), x ∈ s → z < y x → z ≤ x
a : Set α
ha : IsOpen a
t : Set α := {x | x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a ∧ ¬IsBot x}
z : α → α
hz : ∀ x ∈ t, z x < x
h'z : ∀ x ∈ t, Ioc (z x) x ⊆ a
this : t.PairwiseDisjoint fun x => Ioc (z x) x
⊢ {x | x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a ∧ ¬IsBot x}.Countable

Tactic:
refine this.countable_of_isOpen (fun x hx => ?_) fun x hx => ⟨x, hz x hx, le_rfl⟩

Result:
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
a✝ : Nontrivial α
s : Set α := {x | ∃ y, x ⋖ y}
y : α → α
hy : ∀ x ∈ s, x ⋖ y x
Hy : ∀ (x z : α), x ∈ s → z < y x → z ≤ x
a : Set α
ha : IsOpen a
t : Set α := {x | x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a ∧ ¬IsBot x}
z : α → α
hz : ∀ x ∈ t, z x < x
h'z : ∀ x ∈ t, Ioc (z x) x ⊆ a
this : t.PairwiseDisjoint fun x => Ioc (z x) x
x : α
hx : x ∈ t
⊢ IsOpen (Ioc (z x) x)

Proof state:
case inl
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
a✝ : Nontrivial α
s : Set α := {x | ∃ y, x ⋖ y}
y : α → α
hy : ∀ x ∈ s, x ⋖ y x
Hy : ∀ (x z : α), x ∈ s → z < y x → z ≤ x
a : Set α
ha : IsOpen a
t : Set α := {x | x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a ∧ ¬IsBot x}
z : α → α
hz : ∀ x ∈ t, z x < x
h'z : ∀ x ∈ t, Ioc (z x) x ⊆ a
x : α
xt : x ∈ t
x' : α
x't : x' ∈ t
hxx' : x ≠ x'
h' : x < x'
u : α
ux : u ∈ (fun x => Ioc (z x) x) x
ux' : u ∈ (fun x => Ioc (z x) x) x'
⊢ y x ≤ x'

Tactic:
by_contra! H

Result:
case inl
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
a✝ : Nontrivial α
s : Set α := {x | ∃ y, x ⋖ y}
y : α → α
hy : ∀ x ∈ s, x ⋖ y x
Hy : ∀ (x z : α), x ∈ s → z < y x → z ≤ x
a : Set α
ha : IsOpen a
t : Set α := {x | x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a ∧ ¬IsBot x}
z : α → α
hz : ∀ x ∈ t, z x < x
h'z : ∀ x ∈ t, Ioc (z x) x ⊆ a
x : α
xt : x ∈ t
x' : α
x't : x' ∈ t
hxx' : x ≠ x'
h' : x < x'
u : α
ux : u ∈ (fun x => Ioc (z x) x) x
ux' : u ∈ (fun x => Ioc (z x) x) x'
H : x' < y x
⊢ False

Proof state:
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
a✝ : Nontrivial α
s : Set α := {x | ∃ y, x ⋖ y}
y : α → α
hy : ∀ x ∈ s, x ⋖ y x
Hy : ∀ (x z : α), x ∈ s → z < y x → z ≤ x
a : Set α
ha : IsOpen a
⊢ {x | x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a ∧ ¬IsBot x}.Countable

Tactic:
let t := { x | x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a ∧ ¬IsBot x }

Result:
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
a✝ : Nontrivial α
s : Set α := {x | ∃ y, x ⋖ y}
y : α → α
hy : ∀ x ∈ s, x ⋖ y x
Hy : ∀ (x z : α), x ∈ s → z < y x → z ≤ x
a : Set α
ha : IsOpen a
t : Set α := {x | x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a ∧ ¬IsBot x}
⊢ {x | x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a ∧ ¬IsBot x}.Countable

Proof state:
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
a✝ : Nontrivial α
s : Set α := {x | ∃ y, x ⋖ y}
y : α → α
hy : ∀ x ∈ s, x ⋖ y x
Hy : ∀ (x z : α), x ∈ s → z < y x → z ≤ x
a : Set α
ha : IsOpen a
⊢ {x | x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a}.Countable

Tactic:
suffices H : Set.Countable { x | (x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a) ∧ ¬IsBot x } from
  H.of_diff (subsingleton_isBot α).countable

Result:
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
a✝ : Nontrivial α
s : Set α := {x | ∃ y, x ⋖ y}
y : α → α
hy : ∀ x ∈ s, x ⋖ y x
Hy : ∀ (x z : α), x ∈ s → z < y x → z ≤ x
a : Set α
ha : IsOpen a
⊢ {x | (x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a) ∧ ¬IsBot x}.Countable

Proof state:
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
a✝ : Nontrivial α
s : Set α := {x | ∃ y, x ⋖ y}
y : α → α
hy : ∀ x ∈ s, x ⋖ y x
Hy : ∀ (x z : α), x ∈ s → z < y x → z ≤ x
a : Set α
ha : IsOpen a
t : Set α := {x | x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a ∧ ¬IsBot x}
z : α → α
hz : ∀ x ∈ t, z x < x
h'z : ∀ x ∈ t, Ioc (z x) x ⊆ a
this : t.PairwiseDisjoint fun x => Ioc (z x) x
x : α
hx : x ∈ t
⊢ Ioc (z x) x = Ioo (z x) (y x)

Tactic:
exact Subset.antisymm (Ioc_subset_Ioo_right (hy x hx.1).lt) fun u hu => ⟨hu.1, Hy _ _ hx.1 hu.2⟩

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
a✝ : Nontrivial α
s : Set α := {x | ∃ y, x ⋖ y}
y : α → α
hy : ∀ x ∈ s, x ⋖ y x
Hy : ∀ (x z : α), x ∈ s → z < y x → z ≤ x
a : Set α
ha : IsOpen a
t : Set α := {x | x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a ∧ ¬IsBot x}
⊢ ∀ x ∈ t, ∃ z < x, Ioc z x ⊆ a

Tactic:
intro x hx

Result:
α : Type u
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : SecondCountableTopology α
a✝ : Nontrivial α
s : Set α := {x | ∃ y, x ⋖ y}
y : α → α
hy : ∀ x ∈ s, x ⋖ y x
Hy : ∀ (x z : α), x ∈ s → z < y x → z ≤ x
a : Set α
ha : IsOpen a
t : Set α := {x | x ∈ s ∧ x ∈ a ∧ y x ∉ a ∧ ¬IsBot x}
x : α
hx : x ∈ t
⊢ ∃ z < x, Ioc z x ⊆ a