-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Triangularizable.lean
theorem iSup_maxGenEigenspace_eq_top [IsAlgClosed K] [FiniteDimensional K V] (f : End K V) :
    ⨆ (μ : K), f.maxGenEigenspace μ = ⊤

Proof state:
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : IsAlgClosed K
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n + 1,
    ∀ {V : Type u_2} [inst : AddCommGroup V] [inst_1 : Module K V] [inst_2 : FiniteDimensional K V] (f : End K V),
      finrank K V = m → ⨆ μ, f.maxGenEigenspace μ = ⊤
h_dim : finrank K V = n + 1
this : Nontrivial V
μ₀ : K
hμ₀ : f.HasEigenvalue μ₀
ES : Submodule K V := (f.genEigenspace μ₀) ↑(finrank K V)
ER : Submodule K V := f.genEigenrange μ₀ ↑(finrank K V)
h_f_ER : ∀ x ∈ ER, f x ∈ ER
f' : End K ↥ER := LinearMap.restrict f h_f_ER
h_dim_ES_pos : 0 < finrank K ↥ES
h_dim_add : finrank K ↥ER + finrank K ↥ES = finrank K V
h_dim_ER : finrank K ↥ER < n.succ
ih_ER : ⨆ μ, f'.maxGenEigenspace μ = ⊤
ih_ER' : ⨆ μ, Submodule.map ER.subtype (f'.maxGenEigenspace μ) = ER
hff' : ∀ (μ : K), Submodule.map ER.subtype (f'.maxGenEigenspace μ) ≤ f.maxGenEigenspace μ
⊢ ER ≤ ⨆ μ, f.maxGenEigenspace μ

Tactic:
rw [← ih_ER']

Result:
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : IsAlgClosed K
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n + 1,
    ∀ {V : Type u_2} [inst : AddCommGroup V] [inst_1 : Module K V] [inst_2 : FiniteDimensional K V] (f : End K V),
      finrank K V = m → ⨆ μ, f.maxGenEigenspace μ = ⊤
h_dim : finrank K V = n + 1
this : Nontrivial V
μ₀ : K
hμ₀ : f.HasEigenvalue μ₀
ES : Submodule K V := (f.genEigenspace μ₀) ↑(finrank K V)
ER : Submodule K V := f.genEigenrange μ₀ ↑(finrank K V)
h_f_ER : ∀ x ∈ ER, f x ∈ ER
f' : End K ↥ER := LinearMap.restrict f h_f_ER
h_dim_ES_pos : 0 < finrank K ↥ES
h_dim_add : finrank K ↥ER + finrank K ↥ES = finrank K V
h_dim_ER : finrank K ↥ER < n.succ
ih_ER : ⨆ μ, f'.maxGenEigenspace μ = ⊤
ih_ER' : ⨆ μ, Submodule.map ER.subtype (f'.maxGenEigenspace μ) = ER
hff' : ∀ (μ : K), Submodule.map ER.subtype (f'.maxGenEigenspace μ) ≤ f.maxGenEigenspace μ
⊢ ⨆ μ, Submodule.map ER.subtype (f'.maxGenEigenspace μ) ≤ ⨆ μ, f.maxGenEigenspace μ

Proof state:
case h.succ.intro
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : IsAlgClosed K
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n + 1,
    ∀ {V : Type u_2} [inst : AddCommGroup V] [inst_1 : Module K V] [inst_2 : FiniteDimensional K V] (f : End K V),
      finrank K V = m → ⨆ μ, f.maxGenEigenspace μ = ⊤
h_dim : finrank K V = n + 1
this : Nontrivial V
μ₀ : K
hμ₀ : f.HasEigenvalue μ₀
ES : Submodule K V := (f.genEigenspace μ₀) ↑(finrank K V)
ER : Submodule K V := f.genEigenrange μ₀ ↑(finrank K V)
⊢ ⨆ μ, f.maxGenEigenspace μ = ⊤

Tactic:
have h_f_ER : ∀ x : V, x ∈ ER → f x ∈ ER := fun x hx =>
  map_genEigenrange_le (Submodule.mem_map_of_mem hx)

Result:
case h.succ.intro
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : IsAlgClosed K
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n + 1,
    ∀ {V : Type u_2} [inst : AddCommGroup V] [inst_1 : Module K V] [inst_2 : FiniteDimensional K V] (f : End K V),
      finrank K V = m → ⨆ μ, f.maxGenEigenspace μ = ⊤
h_dim : finrank K V = n + 1
this : Nontrivial V
μ₀ : K
hμ₀ : f.HasEigenvalue μ₀
ES : Submodule K V := (f.genEigenspace μ₀) ↑(finrank K V)
ER : Submodule K V := f.genEigenrange μ₀ ↑(finrank K V)
h_f_ER : ∀ x ∈ ER, f x ∈ ER
⊢ ⨆ μ, f.maxGenEigenspace μ = ⊤

Proof state:
case h.succ.intro
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : IsAlgClosed K
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n + 1,
    ∀ {V : Type u_2} [inst : AddCommGroup V] [inst_1 : Module K V] [inst_2 : FiniteDimensional K V] (f : End K V),
      finrank K V = m → ⨆ μ, f.maxGenEigenspace μ = ⊤
h_dim : finrank K V = n + 1
this : Nontrivial V
μ₀ : K
hμ₀ : f.HasEigenvalue μ₀
ES : Submodule K V := (f.genEigenspace μ₀) ↑(finrank K V)
ER : Submodule K V := f.genEigenrange μ₀ ↑(finrank K V)
h_f_ER : ∀ x ∈ ER, f x ∈ ER
f' : End K ↥ER := LinearMap.restrict f h_f_ER
h_dim_ES_pos : 0 < finrank K ↥ES
h_dim_add : finrank K ↥ER + finrank K ↥ES = finrank K V
h_dim_ER : finrank K ↥ER < n.succ
ih_ER : ⨆ μ, f'.maxGenEigenspace μ = ⊤
ih_ER' : ⨆ μ, Submodule.map ER.subtype (f'.maxGenEigenspace μ) = ER
hff' : ∀ (μ : K), Submodule.map ER.subtype (f'.maxGenEigenspace μ) ≤ f.maxGenEigenspace μ
hER : ER ≤ ⨆ μ, f.maxGenEigenspace μ
⊢ ⨆ μ, f.maxGenEigenspace μ = ⊤

Tactic:
have hES : ES ≤ ⨆ (μ : K), f.maxGenEigenspace μ :=
  ((f.genEigenspace μ₀).mono le_top).trans (le_iSup f.maxGenEigenspace μ₀)

Result:
case h.succ.intro
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : IsAlgClosed K
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n + 1,
    ∀ {V : Type u_2} [inst : AddCommGroup V] [inst_1 : Module K V] [inst_2 : FiniteDimensional K V] (f : End K V),
      finrank K V = m → ⨆ μ, f.maxGenEigenspace μ = ⊤
h_dim : finrank K V = n + 1
this : Nontrivial V
μ₀ : K
hμ₀ : f.HasEigenvalue μ₀
ES : Submodule K V := (f.genEigenspace μ₀) ↑(finrank K V)
ER : Submodule K V := f.genEigenrange μ₀ ↑(finrank K V)
h_f_ER : ∀ x ∈ ER, f x ∈ ER
f' : End K ↥ER := LinearMap.restrict f h_f_ER
h_dim_ES_pos : 0 < finrank K ↥ES
h_dim_add : finrank K ↥ER + finrank K ↥ES = finrank K V
h_dim_ER : finrank K ↥ER < n.succ
ih_ER : ⨆ μ, f'.maxGenEigenspace μ = ⊤
ih_ER' : ⨆ μ, Submodule.map ER.subtype (f'.maxGenEigenspace μ) = ER
hff' : ∀ (μ : K), Submodule.map ER.subtype (f'.maxGenEigenspace μ) ≤ f.maxGenEigenspace μ
hER : ER ≤ ⨆ μ, f.maxGenEigenspace μ
hES : ES ≤ ⨆ μ, f.maxGenEigenspace μ
⊢ ⨆ μ, f.maxGenEigenspace μ = ⊤

Proof state:
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : IsAlgClosed K
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n + 1,
    ∀ {V : Type u_2} [inst : AddCommGroup V] [inst_1 : Module K V] [inst_2 : FiniteDimensional K V] (f : End K V),
      finrank K V = m → ⨆ μ, f.maxGenEigenspace μ = ⊤
h_dim : finrank K V = n + 1
⊢ 0 < n + 1

Tactic:
apply Nat.zero_lt_succ

Result:
no goals

Proof state:
case h.zero
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : IsAlgClosed K
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
ih :
  ∀ m < 0,
    ∀ {V : Type u_2} [inst : AddCommGroup V] [inst_1 : Module K V] [inst_2 : FiniteDimensional K V] (f : End K V),
      finrank K V = m → ⨆ μ, f.maxGenEigenspace μ = ⊤
h_dim : finrank K V = 0
⊢ ⨆ μ, f.maxGenEigenspace μ = ⊤

Tactic:
rw [← top_le_iff]

Result:
case h.zero
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : IsAlgClosed K
V : Type u_2
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : End K V
ih :
  ∀ m < 0,
    ∀ {V : Type u_2} [inst : AddCommGroup V] [inst_1 : Module K V] [inst_2 : FiniteDimensional K V] (f : End K V),
      finrank K V = m → ⨆ μ, f.maxGenEigenspace μ = ⊤
h_dim : finrank K V = 0
⊢ ⊤ ≤ ⨆ μ, f.maxGenEigenspace μ