-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/TFAE.lean
theorem maximalIdeal_isPrincipal_of_isDedekindDomain [IsLocalRing R] [IsDomain R]
    [IsDedekindDomain R] : (maximalIdeal R).IsPrincipal

Proof state:
case neg.intro.intro.zero
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsLocalRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
ne_bot : ¬maximalIdeal R = ⊥
a : R
ha₁ : a ∈ maximalIdeal R
ha₂ : a ≠ 0
hle : Ideal.span {a} ≤ maximalIdeal R
this✝¹ : (Ideal.span {a}).radical = maximalIdeal R
this✝ : ∃ n, maximalIdeal R ^ n ≤ Ideal.span {a}
hn : Nat.find this✝ = 0
this : ⊤ ≤ Ideal.span {a}
⊢ Submodule.IsPrincipal (maximalIdeal R)

Tactic:
exact (Ideal.IsMaximal.ne_top inferInstance (eq_top_iff.mpr <| this.trans hle)).elim

Result:
no goals

Proof state:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsLocalRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
ne_bot : ¬maximalIdeal R = ⊥
a : R
ha₁ : a ∈ maximalIdeal R
ha₂ : a ≠ 0
hle : Ideal.span {a} ≤ maximalIdeal R
this✝ : (Ideal.span {a}).radical = maximalIdeal R
this : ∃ n, maximalIdeal R ^ n ≤ Ideal.span {a}
n : ℕ
hn : Nat.find this = n + 1
b : R
hb₁ : b ∈ maximalIdeal R ^ n
hb₂ : b ∉ Ideal.span {a}
hb₃ : ∀ m ∈ maximalIdeal R, ∃ k, k * a = b * m
⊢ b ≠ 0

Tactic:
rintro rfl

Result:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsLocalRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
ne_bot : ¬maximalIdeal R = ⊥
a : R
ha₁ : a ∈ maximalIdeal R
ha₂ : a ≠ 0
hle : Ideal.span {a} ≤ maximalIdeal R
this✝ : (Ideal.span {a}).radical = maximalIdeal R
this : ∃ n, maximalIdeal R ^ n ≤ Ideal.span {a}
n : ℕ
hn : Nat.find this = n + 1
hb₁ : 0 ∈ maximalIdeal R ^ n
hb₂ : 0 ∉ Ideal.span {a}
hb₃ : ∀ m ∈ maximalIdeal R, ∃ k, k * a = 0 * m
⊢ False

Proof state:
case neg.intro.intro
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsLocalRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
ne_bot : ¬maximalIdeal R = ⊥
a : R
ha₁ : a ∈ maximalIdeal R
ha₂ : a ≠ 0
hle : Ideal.span {a} ≤ maximalIdeal R
this✝¹ : (Ideal.span {a}).radical = maximalIdeal R
this✝ : ∃ n, maximalIdeal R ^ n ≤ Ideal.span {a}
n : ℕ
hn : Nat.find this✝ = n + 1
b : R
hb₁ : b ∈ maximalIdeal R ^ n
hb₂ : b ∉ Ideal.span {a}
hb₃ : ∀ m ∈ maximalIdeal R, ∃ k, k * a = b * m
hb₄ : b ≠ 0
K : Type u_1 := FractionRing R
x : K := (algebraMap R K) b / (algebraMap R K) a
M : Submodule R K := Submodule.map (Algebra.linearMap R K) (maximalIdeal R)
ha₃ : (algebraMap R K) a ≠ 0
hx : ¬∀ y ∈ M, x * y ∈ M
this : Submodule.comap (Algebra.linearMap R K) (Submodule.map (DistribMulAction.toLinearMap R K x) M) = ⊤
y : R
hy₁ : y ∈ maximalIdeal R
hy₂ : b * y = a
⊢ maximalIdeal R = Submodule.span R {y}

Tactic:
apply le_antisymm

Result:
case neg.intro.intro.a
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsLocalRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
ne_bot : ¬maximalIdeal R = ⊥
a : R
ha₁ : a ∈ maximalIdeal R
ha₂ : a ≠ 0
hle : Ideal.span {a} ≤ maximalIdeal R
this✝¹ : (Ideal.span {a}).radical = maximalIdeal R
this✝ : ∃ n, maximalIdeal R ^ n ≤ Ideal.span {a}
n : ℕ
hn : Nat.find this✝ = n + 1
b : R
hb₁ : b ∈ maximalIdeal R ^ n
hb₂ : b ∉ Ideal.span {a}
hb₃ : ∀ m ∈ maximalIdeal R, ∃ k, k * a = b * m
hb₄ : b ≠ 0
K : Type u_1 := FractionRing R
x : K := (algebraMap R K) b / (algebraMap R K) a
M : Submodule R K := Submodule.map (Algebra.linearMap R K) (maximalIdeal R)
ha₃ : (algebraMap R K) a ≠ 0
hx : ¬∀ y ∈ M, x * y ∈ M
this : Submodule.comap (Algebra.linearMap R K) (Submodule.map (DistribMulAction.toLinearMap R K x) M) = ⊤
y : R
hy₁ : y ∈ maximalIdeal R
hy₂ : b * y = a
⊢ maximalIdeal R ≤ Submodule.span R {y}

case neg.intro.intro.a
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsLocalRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
ne_bot : ¬maximalIdeal R = ⊥
a : R
ha₁ : a ∈ maximalIdeal R
ha₂ : a ≠ 0
hle : Ideal.span {a} ≤ maximalIdeal R
this✝¹ : (Ideal.span {a}).radical = maximalIdeal R
this✝ : ∃ n, maximalIdeal R ^ n ≤ Ideal.span {a}
n : ℕ
hn : Nat.find this✝ = n + 1
b : R
hb₁ : b ∈ maximalIdeal R ^ n
hb₂ : b ∉ Ideal.span {a}
hb₃ : ∀ m ∈ maximalIdeal R, ∃ k, k * a = b * m
hb₄ : b ≠ 0
K : Type u_1 := FractionRing R
x : K := (algebraMap R K) b / (algebraMap R K) a
M : Submodule R K := Submodule.map (Algebra.linearMap R K) (maximalIdeal R)
ha₃ : (algebraMap R K) a ≠ 0
hx : ¬∀ y ∈ M, x * y ∈ M
this : Submodule.comap (Algebra.linearMap R K) (Submodule.map (DistribMulAction.toLinearMap R K x) M) = ⊤
y : R
hy₁ : y ∈ maximalIdeal R
hy₂ : b * y = a
⊢ Submodule.span R {y} ≤ maximalIdeal R

Proof state:
case intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsLocalRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
ne_bot : ¬maximalIdeal R = ⊥
a : R
ha₁ : a ∈ maximalIdeal R
ha₂ : a ≠ 0
hle : Ideal.span {a} ≤ maximalIdeal R
this✝ : (Ideal.span {a}).radical = maximalIdeal R
this : ∃ n, maximalIdeal R ^ n ≤ Ideal.span {a}
n : ℕ
hn : Nat.find this = n + 1
b : R
hb₁ : b ∈ maximalIdeal R ^ n
hb₂ : b ∉ Ideal.span {a}
hb₃ : ∀ m ∈ maximalIdeal R, ∃ k, k * a = b * m
hb₄ : b ≠ 0
K : Type u_1 := FractionRing R
x : K := (algebraMap R K) b / (algebraMap R K) a
M : Submodule R K := Submodule.map (Algebra.linearMap R K) (maximalIdeal R)
ha₃ : (algebraMap R K) a ≠ 0
hx : ¬∀ y ∈ M, x * y ∈ M
h : ¬Submodule.comap (Algebra.linearMap R K) (Submodule.map (DistribMulAction.toLinearMap R K x) M) = ⊤
m : R
hm : m ∈ ↑(maximalIdeal R)
k : R
hk : k * a = b * m
hk' : x * (algebraMap R K) m = (algebraMap R K) k
⊢ x * (algebraMap R K) m ∈ M

Tactic:
exact ⟨k, le_maximalIdeal h ⟨_, ⟨_, hm, rfl⟩, hk'⟩, hk'.symm⟩

Result:
no goals

Proof state:
case a
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsLocalRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
ne_bot : ¬maximalIdeal R = ⊥
a : R
ha₁ : a ∈ maximalIdeal R
ha₂ : a ≠ 0
hle : Ideal.span {a} ≤ maximalIdeal R
I : Ideal R
hI : I ∈ {J | Ideal.span {a} ≤ J ∧ J.IsPrime}
e : I = ⊥
⊢ a = 0

Tactic:
rw [← Ideal.span_singleton_eq_bot, eq_bot_iff, ← e]

Result:
case a
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsLocalRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
ne_bot : ¬maximalIdeal R = ⊥
a : R
ha₁ : a ∈ maximalIdeal R
ha₂ : a ≠ 0
hle : Ideal.span {a} ≤ maximalIdeal R
I : Ideal R
hI : I ∈ {J | Ideal.span {a} ≤ J ∧ J.IsPrime}
e : I = ⊥
⊢ Ideal.span {a} ≤ I

Proof state:
case neg.intro.intro.succ.intro.intro
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsLocalRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
ne_bot : ¬maximalIdeal R = ⊥
a : R
ha₁ : a ∈ maximalIdeal R
ha₂ : a ≠ 0
hle : Ideal.span {a} ≤ maximalIdeal R
this✝ : (Ideal.span {a}).radical = maximalIdeal R
this : ∃ n, maximalIdeal R ^ n ≤ Ideal.span {a}
n : ℕ
hn : Nat.find this = n + 1
b : R
hb₁ : b ∈ maximalIdeal R ^ n
hb₂ : b ∉ Ideal.span {a}
hb₃ : ∀ m ∈ maximalIdeal R, ∃ k, k * a = b * m
hb₄ : b ≠ 0
K : Type u_1 := FractionRing R
⊢ Submodule.IsPrincipal (maximalIdeal R)

Tactic:
let x : K := algebraMap R K b / algebraMap R K a

Result:
case neg.intro.intro.succ.intro.intro
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsLocalRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
ne_bot : ¬maximalIdeal R = ⊥
a : R
ha₁ : a ∈ maximalIdeal R
ha₂ : a ≠ 0
hle : Ideal.span {a} ≤ maximalIdeal R
this✝ : (Ideal.span {a}).radical = maximalIdeal R
this : ∃ n, maximalIdeal R ^ n ≤ Ideal.span {a}
n : ℕ
hn : Nat.find this = n + 1
b : R
hb₁ : b ∈ maximalIdeal R ^ n
hb₂ : b ∉ Ideal.span {a}
hb₃ : ∀ m ∈ maximalIdeal R, ∃ k, k * a = b * m
hb₄ : b ≠ 0
K : Type u_1 := FractionRing R
x : K := (algebraMap R K) b / (algebraMap R K) a
⊢ Submodule.IsPrincipal (maximalIdeal R)