-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/PeakFunction.lean
theorem tendsto_integral_comp_smul_smul_of_integrable
    {φ : F → ℝ} (hφ : ∀ x, 0 ≤ φ x) (h'φ : ∫ x, φ x ∂μ = 1)
    (h : Tendsto (fun x ↦ ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x) (cobounded F) (𝓝 0))
    {g : F → E} (hg : Integrable g μ) (h'g : ContinuousAt g 0) :
    Tendsto (fun (c : ℝ) ↦ ∫ x, (c ^ (finrank ℝ F) * φ (c • x)) • g x ∂μ) atTop (𝓝 (g 0))

Proof state:
case h
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝² : MeasurableSpace F
inst✝¹ : BorelSpace F
μ : Measure F
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
φ : F → ℝ
hφ : ∀ (x : F), 0 ≤ φ x
h'φ : ∫ (x : F), φ x ∂μ = 1
h : Tendsto (fun x => ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x) (cobounded F) (𝓝 0)
g : F → E
hg : Integrable g μ
h'g : ContinuousAt g 0
I : Integrable φ μ
u : Set F
u_open : IsOpen u
hu : 0 ∈ u
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
δpos : δ > 0
h'u : ball 0 δ ⊆ u
M : ℝ
Mpos : M > 0
hM : ∀ ⦃x : F⦄, x ∈ (closedBall 0 M)ᶜ → ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x < δ ^ finrank ℝ F * ε
c : ℝ
hc : M / δ < c
x : F
hx : x ∈ uᶜ
⊢ dist (0 x) (c ^ finrank ℝ F * φ (c • x)) < ε

Tactic:
have cpos : 0 < c := lt_trans (by positivity) hc

Result:
case h
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝² : MeasurableSpace F
inst✝¹ : BorelSpace F
μ : Measure F
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
φ : F → ℝ
hφ : ∀ (x : F), 0 ≤ φ x
h'φ : ∫ (x : F), φ x ∂μ = 1
h : Tendsto (fun x => ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x) (cobounded F) (𝓝 0)
g : F → E
hg : Integrable g μ
h'g : ContinuousAt g 0
I : Integrable φ μ
u : Set F
u_open : IsOpen u
hu : 0 ∈ u
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
δpos : δ > 0
h'u : ball 0 δ ⊆ u
M : ℝ
Mpos : M > 0
hM : ∀ ⦃x : F⦄, x ∈ (closedBall 0 M)ᶜ → ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x < δ ^ finrank ℝ F * ε
c : ℝ
hc : M / δ < c
x : F
hx : x ∈ uᶜ
cpos : 0 < c
⊢ dist (0 x) (c ^ finrank ℝ F * φ (c • x)) < ε

Proof state:
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝² : MeasurableSpace F
inst✝¹ : BorelSpace F
μ : Measure F
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
φ : F → ℝ
hφ : ∀ (x : F), 0 ≤ φ x
h'φ : ∫ (x : F), φ x ∂μ = 1
h : Tendsto (fun x => ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x) (cobounded F) (𝓝 0)
g : F → E
hg : Integrable g μ
h'g : ContinuousAt g 0
I : Integrable φ μ
u : Set F
u_open : IsOpen u
hu : 0 ∈ u
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
δpos : δ > 0
h'u : ball 0 δ ⊆ u
M : ℝ
Mpos : M > 0
hM : ∀ ⦃x : F⦄, x ∈ (closedBall 0 M)ᶜ → ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x < δ ^ finrank ℝ F * ε
c : ℝ
hc : M / δ < c
x : F
hx : x ∈ uᶜ
cpos : 0 < c
hδx : δ ≤ ‖x‖
⊢ ‖c • x‖ ^ finrank ℝ F * φ (c • x) < δ ^ finrank ℝ F * ε

Tactic:
apply hM

Result:
case a
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝² : MeasurableSpace F
inst✝¹ : BorelSpace F
μ : Measure F
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
φ : F → ℝ
hφ : ∀ (x : F), 0 ≤ φ x
h'φ : ∫ (x : F), φ x ∂μ = 1
h : Tendsto (fun x => ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x) (cobounded F) (𝓝 0)
g : F → E
hg : Integrable g μ
h'g : ContinuousAt g 0
I : Integrable φ μ
u : Set F
u_open : IsOpen u
hu : 0 ∈ u
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
δpos : δ > 0
h'u : ball 0 δ ⊆ u
M : ℝ
Mpos : M > 0
hM : ∀ ⦃x : F⦄, x ∈ (closedBall 0 M)ᶜ → ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x < δ ^ finrank ℝ F * ε
c : ℝ
hc : M / δ < c
x : F
hx : x ∈ uᶜ
cpos : 0 < c
hδx : δ ≤ ‖x‖
⊢ c • x ∈ (closedBall 0 M)ᶜ

Proof state:
case h'iφ
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝² : MeasurableSpace F
inst✝¹ : BorelSpace F
μ : Measure F
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
φ : F → ℝ
hφ : ∀ (x : F), 0 ≤ φ x
h'φ : ∫ (x : F), φ x ∂μ = 1
h : Tendsto (fun x => ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x) (cobounded F) (𝓝 0)
g : F → E
hg : Integrable g μ
h'g : ContinuousAt g 0
I : Integrable φ μ
⊢ ∀ᶠ (i : ℝ) in atTop, AEStronglyMeasurable (fun x => i ^ finrank ℝ F * φ (i • x)) μ

Tactic:
filter_upwards [Ioi_mem_atTop 0] with c (hc : 0 < c)

Result:
case h
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝² : MeasurableSpace F
inst✝¹ : BorelSpace F
μ : Measure F
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
φ : F → ℝ
hφ : ∀ (x : F), 0 ≤ φ x
h'φ : ∫ (x : F), φ x ∂μ = 1
h : Tendsto (fun x => ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x) (cobounded F) (𝓝 0)
g : F → E
hg : Integrable g μ
h'g : ContinuousAt g 0
I : Integrable φ μ
c : ℝ
hc : 0 < c
⊢ AEStronglyMeasurable (fun x => c ^ finrank ℝ F * φ (c • x)) μ

Proof state:
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝² : MeasurableSpace F
inst✝¹ : BorelSpace F
μ : Measure F
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
φ : F → ℝ
hφ : ∀ (x : F), 0 ≤ φ x
h'φ : ∫ (x : F), φ x ∂μ = 1
h : Tendsto (fun x => ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x) (cobounded F) (𝓝 0)
g : F → E
hg : Integrable g μ
h'g : ContinuousAt g 0
I : Integrable φ μ
u : Set F
u_open : IsOpen u
hu : 0 ∈ u
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
δpos : δ > 0
h'u : ball 0 δ ⊆ u
M : ℝ
Mpos : M > 0
hM : ∀ ⦃x : F⦄, x ∈ (closedBall 0 M)ᶜ → ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x < δ ^ finrank ℝ F * ε
c : ℝ
hc : M / δ < c
x : F
hx : x ∈ uᶜ
cpos : 0 < c
⊢ δ ≤ ‖x‖

Tactic:
have : x ∈ (ball 0 δ)ᶜ := fun h ↦ hx (h'u h)

Result:
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝² : MeasurableSpace F
inst✝¹ : BorelSpace F
μ : Measure F
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
φ : F → ℝ
hφ : ∀ (x : F), 0 ≤ φ x
h'φ : ∫ (x : F), φ x ∂μ = 1
h : Tendsto (fun x => ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x) (cobounded F) (𝓝 0)
g : F → E
hg : Integrable g μ
h'g : ContinuousAt g 0
I : Integrable φ μ
u : Set F
u_open : IsOpen u
hu : 0 ∈ u
ε : ℝ
εpos : ε > 0
δ : ℝ
δpos : δ > 0
h'u : ball 0 δ ⊆ u
M : ℝ
Mpos : M > 0
hM : ∀ ⦃x : F⦄, x ∈ (closedBall 0 M)ᶜ → ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x < δ ^ finrank ℝ F * ε
c : ℝ
hc : M / δ < c
x : F
hx : x ∈ uᶜ
cpos : 0 < c
this : x ∈ (ball 0 δ)ᶜ
⊢ δ ≤ ‖x‖

Proof state:
case ht
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝² : MeasurableSpace F
inst✝¹ : BorelSpace F
μ : Measure F
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
φ : F → ℝ
hφ : ∀ (x : F), 0 ≤ φ x
h'φ : ∫ (x : F), φ x ∂μ = 1
h : Tendsto (fun x => ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x) (cobounded F) (𝓝 0)
g : F → E
hg : Integrable g μ
h'g : ContinuousAt g 0
I : Integrable φ μ
⊢ MeasurableSet (closedBall 0 1)

Tactic:
exact isClosed_closedBall.measurableSet

Result:
no goals

Proof state:
case h't
E : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : CompleteSpace E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ F
inst✝² : MeasurableSpace F
inst✝¹ : BorelSpace F
μ : Measure F
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
φ : F → ℝ
hφ : ∀ (x : F), 0 ≤ φ x
h'φ : ∫ (x : F), φ x ∂μ = 1
h : Tendsto (fun x => ‖x‖ ^ finrank ℝ F * φ x) (cobounded F) (𝓝 0)
g : F → E
hg : Integrable g μ
h'g : ContinuousAt g 0
I : Integrable φ μ
⊢ μ (closedBall 0 1) ≠ ⊤

Tactic:
exact (isCompact_closedBall 0 1).measure_ne_top

Result:
no goals