-- Mathlib/Analysis/Normed/Field/Basic.lean
lemma norm_eq_one_iff_ne_zero_of_discrete {x : 𝕜} : ‖x‖ = 1 ↔ x ≠ 0

Proof state:
case mpr.intro.intro.inr.inr
𝕜 : Type u_5
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : DiscreteTopology 𝕜
x : 𝕜
hx : x ≠ 0
ε : ℝ
εpos : ε > 0
h' : ∀ (y : 𝕜), ‖y‖ < ε → y = 0
H :
  ∀ {𝕜 : Type u_5} [inst : NormedDivisionRing 𝕜] [inst_1 : DiscreteTopology 𝕜] {x : 𝕜},
    x ≠ 0 → (∀ (y : 𝕜), ‖y‖ < ε → y = 0) → ‖x‖ < 1 → ‖x‖ = 1
h✝ : 1 ≤ ‖x‖
h : ‖x⁻¹‖ < 1
⊢ ‖x⁻¹‖ = 1

Tactic:
exact H (by simpa) h' h

Result:
no goals

Proof state:
case mpr
𝕜 : Type u_5
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : DiscreteTopology 𝕜
x : 𝕜
hx : x ≠ 0
⊢ ‖x‖ = 1

Tactic:
have : IsOpen {(0 : 𝕜)} := isOpen_discrete {0}

Result:
case mpr
𝕜 : Type u_5
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : DiscreteTopology 𝕜
x : 𝕜
hx : x ≠ 0
this : IsOpen {0}
⊢ ‖x‖ = 1

Proof state:
case mp
𝕜 : Type u_5
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : DiscreteTopology 𝕜
x : 𝕜
hx : x = 0
⊢ ‖x‖ ≠ 1

Tactic:
simp [hx]

Result:
no goals

Proof state:
case intro
𝕜✝ : Type u_5
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜✝
ε : ℝ
εpos : ε > 0
𝕜 : Type u_5
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : DiscreteTopology 𝕜
x : 𝕜
hx : x ≠ 0
h' : ∀ (y : 𝕜), ‖y‖ < ε → y = 0
h : ‖x‖ < 1
k : ℕ
hk : ‖x ^ k‖ < ε
⊢ ‖x‖ = 1

Tactic:
specialize h' _ hk

Result:
case intro
𝕜✝ : Type u_5
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜✝
ε : ℝ
εpos : ε > 0
𝕜 : Type u_5
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : DiscreteTopology 𝕜
x : 𝕜
hx : x ≠ 0
h : ‖x‖ < 1
k : ℕ
hk : ‖x ^ k‖ < ε
h' : x ^ k = 0
⊢ ‖x‖ = 1

Proof state:
case mpr.intro.intro.inr.inr
𝕜 : Type u_5
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : DiscreteTopology 𝕜
x : 𝕜
hx : x ≠ 0
ε : ℝ
εpos : ε > 0
h' : ∀ (y : 𝕜), ‖y‖ < ε → y = 0
H :
  ∀ {𝕜 : Type u_5} [inst : NormedDivisionRing 𝕜] [inst_1 : DiscreteTopology 𝕜] {x : 𝕜},
    x ≠ 0 → (∀ (y : 𝕜), ‖y‖ < ε → y = 0) → ‖x‖ < 1 → ‖x‖ = 1
h✝ : 1 ≤ ‖x‖
h : 1 < ‖x‖
⊢ ‖x‖ = 1

Tactic:
replace h := norm_inv x ▸ inv_lt_one_of_one_lt₀ h

Result:
case mpr.intro.intro.inr.inr
𝕜 : Type u_5
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : DiscreteTopology 𝕜
x : 𝕜
hx : x ≠ 0
ε : ℝ
εpos : ε > 0
h' : ∀ (y : 𝕜), ‖y‖ < ε → y = 0
H :
  ∀ {𝕜 : Type u_5} [inst : NormedDivisionRing 𝕜] [inst_1 : DiscreteTopology 𝕜] {x : 𝕜},
    x ≠ 0 → (∀ (y : 𝕜), ‖y‖ < ε → y = 0) → ‖x‖ < 1 → ‖x‖ = 1
h✝ : 1 ≤ ‖x‖
h : ‖x⁻¹‖ < 1
⊢ ‖x‖ = 1

Proof state:
case mpr.intro.intro.inr
𝕜 : Type u_5
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : DiscreteTopology 𝕜
x : 𝕜
hx : x ≠ 0
ε : ℝ
εpos : ε > 0
h' : ∀ (y : 𝕜), ‖y‖ < ε → y = 0
H :
  ∀ {𝕜 : Type u_5} [inst : NormedDivisionRing 𝕜] [inst_1 : DiscreteTopology 𝕜] {x : 𝕜},
    x ≠ 0 → (∀ (y : 𝕜), ‖y‖ < ε → y = 0) → ‖x‖ < 1 → ‖x‖ = 1
h : ¬‖x‖ < 1
⊢ ‖x‖ = 1

Tactic:
push_neg at h

Result:
case mpr.intro.intro.inr
𝕜 : Type u_5
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : DiscreteTopology 𝕜
x : 𝕜
hx : x ≠ 0
ε : ℝ
εpos : ε > 0
h' : ∀ (y : 𝕜), ‖y‖ < ε → y = 0
H :
  ∀ {𝕜 : Type u_5} [inst : NormedDivisionRing 𝕜] [inst_1 : DiscreteTopology 𝕜] {x : 𝕜},
    x ≠ 0 → (∀ (y : 𝕜), ‖y‖ < ε → y = 0) → ‖x‖ < 1 → ‖x‖ = 1
h : 1 ≤ ‖x‖
⊢ ‖x‖ = 1

Proof state:
case mpr
𝕜 : Type u_5
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : DiscreteTopology 𝕜
x : 𝕜
hx : x ≠ 0
this : IsOpen {0}
⊢ ‖x‖ = 1

Tactic:
simp_rw [Metric.isOpen_singleton_iff, dist_eq_norm, sub_zero] at this

Result:
case mpr
𝕜 : Type u_5
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : DiscreteTopology 𝕜
x : 𝕜
hx : x ≠ 0
this : ∃ ε > 0, ∀ (y : 𝕜), ‖y‖ < ε → y = 0
⊢ ‖x‖ = 1

Proof state:
𝕜 : Type u_5
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : DiscreteTopology 𝕜
x : 𝕜
⊢ ‖x‖ = 1 ↔ x ≠ 0

Tactic:
constructor <;> intro hx

Result:
case mp
𝕜 : Type u_5
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : DiscreteTopology 𝕜
x : 𝕜
hx : ‖x‖ = 1
⊢ x ≠ 0

case mpr
𝕜 : Type u_5
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : DiscreteTopology 𝕜
x : 𝕜
hx : x ≠ 0
⊢ ‖x‖ = 1

Proof state:
case mpr.intro.intro.inr.inr
𝕜 : Type u_5
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : DiscreteTopology 𝕜
x : 𝕜
hx : x ≠ 0
ε : ℝ
εpos : ε > 0
h' : ∀ (y : 𝕜), ‖y‖ < ε → y = 0
H :
  ∀ {𝕜 : Type u_5} [inst : NormedDivisionRing 𝕜] [inst_1 : DiscreteTopology 𝕜] {x : 𝕜},
    x ≠ 0 → (∀ (y : 𝕜), ‖y‖ < ε → y = 0) → ‖x‖ < 1 → ‖x‖ = 1
h✝ : 1 ≤ ‖x‖
h : ‖x⁻¹‖ < 1
⊢ ‖x‖ = 1

Tactic:
rw [← inv_inj, inv_one, ← norm_inv]

Result:
case mpr.intro.intro.inr.inr
𝕜 : Type u_5
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : DiscreteTopology 𝕜
x : 𝕜
hx : x ≠ 0
ε : ℝ
εpos : ε > 0
h' : ∀ (y : 𝕜), ‖y‖ < ε → y = 0
H :
  ∀ {𝕜 : Type u_5} [inst : NormedDivisionRing 𝕜] [inst_1 : DiscreteTopology 𝕜] {x : 𝕜},
    x ≠ 0 → (∀ (y : 𝕜), ‖y‖ < ε → y = 0) → ‖x‖ < 1 → ‖x‖ = 1
h✝ : 1 ≤ ‖x‖
h : ‖x⁻¹‖ < 1
⊢ ‖x⁻¹‖ = 1

Proof state:
𝕜✝ : Type u_5
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜✝
ε : ℝ
εpos : ε > 0
𝕜 : Type u_5
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : DiscreteTopology 𝕜
x : 𝕜
hx : x ≠ 0
h' : ∀ (y : 𝕜), ‖y‖ < ε → y = 0
h : ‖x‖ < 1
⊢ ‖x‖ = 1

Tactic:
obtain ⟨k, hk⟩ : ∃ k : ℕ, ‖x‖ ^ k < ε := exists_pow_lt_of_lt_one εpos h

Result:
case intro
𝕜✝ : Type u_5
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜✝
ε : ℝ
εpos : ε > 0
𝕜 : Type u_5
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : DiscreteTopology 𝕜
x : 𝕜
hx : x ≠ 0
h' : ∀ (y : 𝕜), ‖y‖ < ε → y = 0
h : ‖x‖ < 1
k : ℕ
hk : ‖x‖ ^ k < ε
⊢ ‖x‖ = 1

Proof state:
case mpr.intro.intro
𝕜 : Type u_5
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : DiscreteTopology 𝕜
x : 𝕜
hx : x ≠ 0
ε : ℝ
εpos : ε > 0
h' : ∀ (y : 𝕜), ‖y‖ < ε → y = 0
⊢ ‖x‖ = 1

Tactic:
wlog h : ‖x‖ < 1 generalizing 𝕜 with H

Result:
case mpr.intro.intro.inr
𝕜 : Type u_5
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : DiscreteTopology 𝕜
x : 𝕜
hx : x ≠ 0
ε : ℝ
εpos : ε > 0
h' : ∀ (y : 𝕜), ‖y‖ < ε → y = 0
H :
  ∀ {𝕜 : Type u_5} [inst : NormedDivisionRing 𝕜] [inst_1 : DiscreteTopology 𝕜] {x : 𝕜},
    x ≠ 0 → (∀ (y : 𝕜), ‖y‖ < ε → y = 0) → ‖x‖ < 1 → ‖x‖ = 1
h : ¬‖x‖ < 1
⊢ ‖x‖ = 1

𝕜✝ : Type u_5
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜✝
ε : ℝ
εpos : ε > 0
𝕜 : Type u_5
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : DiscreteTopology 𝕜
x : 𝕜
hx : x ≠ 0
h' : ∀ (y : 𝕜), ‖y‖ < ε → y = 0
h : ‖x‖ < 1
⊢ ‖x‖ = 1

Proof state:
case mp
𝕜 : Type u_5
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : DiscreteTopology 𝕜
x : 𝕜
hx : ‖x‖ = 1
⊢ x ≠ 0

Tactic:
contrapose! hx

Result:
case mp
𝕜 : Type u_5
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : DiscreteTopology 𝕜
x : 𝕜
hx : x = 0
⊢ ‖x‖ ≠ 1

Proof state:
case mpr.intro.intro.inr.inl
𝕜 : Type u_5
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : DiscreteTopology 𝕜
x : 𝕜
hx : x ≠ 0
ε : ℝ
εpos : ε > 0
h' : ∀ (y : 𝕜), ‖y‖ < ε → y = 0
H :
  ∀ {𝕜 : Type u_5} [inst : NormedDivisionRing 𝕜] [inst_1 : DiscreteTopology 𝕜] {x : 𝕜},
    x ≠ 0 → (∀ (y : 𝕜), ‖y‖ < ε → y = 0) → ‖x‖ < 1 → ‖x‖ = 1
h✝ : 1 ≤ ‖x‖
h : 1 = ‖x‖
⊢ ‖x‖ = 1

Tactic:
rw [h]

Result:
no goals

Proof state:
case intro
𝕜✝ : Type u_5
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜✝
ε : ℝ
εpos : ε > 0
𝕜 : Type u_5
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : DiscreteTopology 𝕜
x : 𝕜
hx : x ≠ 0
h' : ∀ (y : 𝕜), ‖y‖ < ε → y = 0
h : ‖x‖ < 1
k : ℕ
hk : ‖x‖ ^ k < ε
⊢ ‖x‖ = 1

Tactic:
rw [← norm_pow] at hk

Result:
case intro
𝕜✝ : Type u_5
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜✝
ε : ℝ
εpos : ε > 0
𝕜 : Type u_5
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : DiscreteTopology 𝕜
x : 𝕜
hx : x ≠ 0
h' : ∀ (y : 𝕜), ‖y‖ < ε → y = 0
h : ‖x‖ < 1
k : ℕ
hk : ‖x ^ k‖ < ε
⊢ ‖x‖ = 1

Proof state:
case intro
𝕜✝ : Type u_5
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜✝
ε : ℝ
εpos : ε > 0
𝕜 : Type u_5
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : DiscreteTopology 𝕜
x : 𝕜
hx : x ≠ 0
h : ‖x‖ < 1
k : ℕ
hk : ‖x ^ k‖ < ε
h' : x ^ k = 0
⊢ ‖x‖ = 1

Tactic:
simp [hx] at h'

Result:
no goals

Proof state:
𝕜 : Type u_5
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : DiscreteTopology 𝕜
x : 𝕜
hx : x ≠ 0
ε : ℝ
εpos : ε > 0
h' : ∀ (y : 𝕜), ‖y‖ < ε → y = 0
H :
  ∀ {𝕜 : Type u_5} [inst : NormedDivisionRing 𝕜] [inst_1 : DiscreteTopology 𝕜] {x : 𝕜},
    x ≠ 0 → (∀ (y : 𝕜), ‖y‖ < ε → y = 0) → ‖x‖ < 1 → ‖x‖ = 1
h✝ : 1 ≤ ‖x‖
h : ‖x⁻¹‖ < 1
⊢ x⁻¹ ≠ 0

Tactic:
simpa

Result:
no goals