-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/ControlledClosure.lean
theorem controlled_closure_of_complete {f : NormedAddGroupHom G H} {K : AddSubgroup H} {C ε : ℝ}
    (hC : 0 < C) (hε : 0 < ε) (hyp : f.SurjectiveOnWith K C) :
    f.SurjectiveOnWith K.topologicalClosure (C + ε)

Proof state:
G : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : CompleteSpace G
H : Type u_2
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : NormedAddGroupHom G H
K : AddSubgroup H
C ε : ℝ
hC : 0 < C
hε : 0 < ε
hyp : f.SurjectiveOnWith K C
h : H
h_in : h ∈ K.topologicalClosure
hyp_h : ¬h = 0
b : ℕ → ℝ := fun i => (1 / 2) ^ i * (ε * ‖h‖ / 2) / C
b_pos : ∀ (i : ℕ), 0 < b i
v : ℕ → H
lim_v : Tendsto (fun n => ∑ k ∈ range (n + 1), v k) atTop (𝓝 h)
v_in : ∀ (n : ℕ), v n ∈ K
hv₀ : ‖v 0 - h‖ < b 0
hv : ∀ n > 0, ‖v n‖ < b n
u : ℕ → G
hu : ∀ (n : ℕ), f (u n) = v n
hnorm_u : ∀ (n : ℕ), ‖u n‖ ≤ C * ‖v n‖
s : ℕ → G := fun n => ∑ k ∈ range (n + 1), u k
this : CauchySeq s
g : G
hg : Tendsto s atTop (𝓝 g)
n : ℕ
hnorm₀ : ‖u 0‖ ≤ C * b 0 + C * ‖h‖
⊢ (∑ k ∈ range (n + 1), (1 / 2) ^ k) * (ε * ‖h‖ / 2) ≤ 2 * (ε * ‖h‖ / 2)

Tactic:
gcongr

Result:
case h
G : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : CompleteSpace G
H : Type u_2
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : NormedAddGroupHom G H
K : AddSubgroup H
C ε : ℝ
hC : 0 < C
hε : 0 < ε
hyp : f.SurjectiveOnWith K C
h : H
h_in : h ∈ K.topologicalClosure
hyp_h : ¬h = 0
b : ℕ → ℝ := fun i => (1 / 2) ^ i * (ε * ‖h‖ / 2) / C
b_pos : ∀ (i : ℕ), 0 < b i
v : ℕ → H
lim_v : Tendsto (fun n => ∑ k ∈ range (n + 1), v k) atTop (𝓝 h)
v_in : ∀ (n : ℕ), v n ∈ K
hv₀ : ‖v 0 - h‖ < b 0
hv : ∀ n > 0, ‖v n‖ < b n
u : ℕ → G
hu : ∀ (n : ℕ), f (u n) = v n
hnorm_u : ∀ (n : ℕ), ‖u n‖ ≤ C * ‖v n‖
s : ℕ → G := fun n => ∑ k ∈ range (n + 1), u k
this : CauchySeq s
g : G
hg : Tendsto s atTop (𝓝 g)
n : ℕ
hnorm₀ : ‖u 0‖ ≤ C * b 0 + C * ‖h‖
⊢ ∑ k ∈ range (n + 1), (1 / 2) ^ k ≤ 2

Proof state:
case neg.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
G : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : CompleteSpace G
H : Type u_2
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : NormedAddGroupHom G H
K : AddSubgroup H
C ε : ℝ
hC : 0 < C
hε : 0 < ε
hyp : f.SurjectiveOnWith K C
h : H
h_in : h ∈ K.topologicalClosure
hyp_h : ¬h = 0
b : ℕ → ℝ := fun i => (1 / 2) ^ i * (ε * ‖h‖ / 2) / C
b_pos : ∀ (i : ℕ), 0 < b i
v : ℕ → H
lim_v : Tendsto (fun n => ∑ k ∈ range (n + 1), v k) atTop (𝓝 h)
v_in : ∀ (n : ℕ), v n ∈ K
hv₀ : ‖v 0 - h‖ < b 0
hv : ∀ n > 0, ‖v n‖ < b n
u : ℕ → G
hu : ∀ (n : ℕ), f (u n) = v n
hnorm_u : ∀ (n : ℕ), ‖u n‖ ≤ C * ‖v n‖
s : ℕ → G := fun n => ∑ k ∈ range (n + 1), u k
this : CauchySeq s
g : G
hg : Tendsto s atTop (𝓝 g)
⊢ ‖g‖ ≤ (C + ε) * ‖h‖

Tactic:
suffices ∀ n, ‖s n‖ ≤ (C + ε) * ‖h‖ from
  le_of_tendsto' (continuous_norm.continuousAt.tendsto.comp hg) this

Result:
case neg.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
G : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : CompleteSpace G
H : Type u_2
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : NormedAddGroupHom G H
K : AddSubgroup H
C ε : ℝ
hC : 0 < C
hε : 0 < ε
hyp : f.SurjectiveOnWith K C
h : H
h_in : h ∈ K.topologicalClosure
hyp_h : ¬h = 0
b : ℕ → ℝ := fun i => (1 / 2) ^ i * (ε * ‖h‖ / 2) / C
b_pos : ∀ (i : ℕ), 0 < b i
v : ℕ → H
lim_v : Tendsto (fun n => ∑ k ∈ range (n + 1), v k) atTop (𝓝 h)
v_in : ∀ (n : ℕ), v n ∈ K
hv₀ : ‖v 0 - h‖ < b 0
hv : ∀ n > 0, ‖v n‖ < b n
u : ℕ → G
hu : ∀ (n : ℕ), f (u n) = v n
hnorm_u : ∀ (n : ℕ), ‖u n‖ ≤ C * ‖v n‖
s : ℕ → G := fun n => ∑ k ∈ range (n + 1), u k
this : CauchySeq s
g : G
hg : Tendsto s atTop (𝓝 g)
⊢ ∀ (n : ℕ), ‖s n‖ ≤ (C + ε) * ‖h‖

Proof state:
case neg
G : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : CompleteSpace G
H : Type u_2
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : NormedAddGroupHom G H
K : AddSubgroup H
C ε : ℝ
hC : 0 < C
hε : 0 < ε
hyp : f.SurjectiveOnWith K C
h : H
h_in : h ∈ K.topologicalClosure
hyp_h : ¬h = 0
b : ℕ → ℝ := fun i => (1 / 2) ^ i * (ε * ‖h‖ / 2) / C
b_pos : ∀ (i : ℕ), 0 < b i
⊢ ∃ g, f g = h ∧ ‖g‖ ≤ (C + ε) * ‖h‖

Tactic:
obtain
  ⟨v : ℕ → H, lim_v : Tendsto (fun n : ℕ => ∑ k ∈ range (n + 1), v k) atTop (𝓝 h), v_in :
    ∀ n, v n ∈ K, hv₀ : ‖v 0 - h‖ < b 0, hv : ∀ n > 0, ‖v n‖ < b n⟩ :=
  controlled_sum_of_mem_closure h_in b_pos

Result:
case neg.intro.intro.intro.intro
G : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : CompleteSpace G
H : Type u_2
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : NormedAddGroupHom G H
K : AddSubgroup H
C ε : ℝ
hC : 0 < C
hε : 0 < ε
hyp : f.SurjectiveOnWith K C
h : H
h_in : h ∈ K.topologicalClosure
hyp_h : ¬h = 0
b : ℕ → ℝ := fun i => (1 / 2) ^ i * (ε * ‖h‖ / 2) / C
b_pos : ∀ (i : ℕ), 0 < b i
v : ℕ → H
lim_v : Tendsto (fun n => ∑ k ∈ range (n + 1), v k) atTop (𝓝 h)
v_in : ∀ (n : ℕ), v n ∈ K
hv₀ : ‖v 0 - h‖ < b 0
hv : ∀ n > 0, ‖v n‖ < b n
⊢ ∃ g, f g = h ∧ ‖g‖ ≤ (C + ε) * ‖h‖

Proof state:
case pos
G : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : CompleteSpace G
H : Type u_2
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : NormedAddGroupHom G H
K : AddSubgroup H
C ε : ℝ
hC : 0 < C
hε : 0 < ε
hyp : f.SurjectiveOnWith K C
h : H
h_in : h ∈ K.topologicalClosure
hyp_h : h = 0
⊢ ∃ g, f g = 0 ∧ ‖g‖ ≤ (C + ε) * ‖0‖

Tactic:
use 0

Result:
case h
G : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : CompleteSpace G
H : Type u_2
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : NormedAddGroupHom G H
K : AddSubgroup H
C ε : ℝ
hC : 0 < C
hε : 0 < ε
hyp : f.SurjectiveOnWith K C
h : H
h_in : h ∈ K.topologicalClosure
hyp_h : h = 0
⊢ f 0 = 0 ∧ ‖0‖ ≤ (C + ε) * ‖0‖

Proof state:
case h
G : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : CompleteSpace G
H : Type u_2
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : NormedAddGroupHom G H
K : AddSubgroup H
C ε : ℝ
hC : 0 < C
hε : 0 < ε
hyp : f.SurjectiveOnWith K C
h : H
h_in : h ∈ K.topologicalClosure
hyp_h : ¬h = 0
b : ℕ → ℝ := fun i => (1 / 2) ^ i * (ε * ‖h‖ / 2) / C
b_pos : ∀ (i : ℕ), 0 < b i
v : ℕ → H
lim_v : Tendsto (fun n => ∑ k ∈ range (n + 1), v k) atTop (𝓝 h)
v_in : ∀ (n : ℕ), v n ∈ K
hv₀ : ‖v 0 - h‖ < b 0
hv : ∀ n > 0, ‖v n‖ < b n
u : ℕ → G
hu : ∀ (n : ℕ), f (u n) = v n
hnorm_u : ∀ (n : ℕ), ‖u n‖ ≤ C * ‖v n‖
s : ℕ → G := fun n => ∑ k ∈ range (n + 1), u k
n : ℕ
hn : n ≥ 1
⊢ ‖v n‖ ≤ b n

Tactic:
exact (hv _ <| Nat.succ_le_iff.mp hn).le

Result:
no goals

Proof state:
case neg.intro.intro.intro.intro
G : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : CompleteSpace G
H : Type u_2
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : NormedAddGroupHom G H
K : AddSubgroup H
C ε : ℝ
hC : 0 < C
hε : 0 < ε
hyp : f.SurjectiveOnWith K C
h : H
h_in : h ∈ K.topologicalClosure
hyp_h : ¬h = 0
b : ℕ → ℝ := fun i => (1 / 2) ^ i * (ε * ‖h‖ / 2) / C
b_pos : ∀ (i : ℕ), 0 < b i
v : ℕ → H
lim_v : Tendsto (fun n => ∑ k ∈ range (n + 1), v k) atTop (𝓝 h)
v_in : ∀ (n : ℕ), v n ∈ K
hv₀ : ‖v 0 - h‖ < b 0
hv : ∀ n > 0, ‖v n‖ < b n
this : ∀ (n : ℕ), ∃ m', f m' = v n ∧ ‖m'‖ ≤ C * ‖v n‖
⊢ ∃ g, f g = h ∧ ‖g‖ ≤ (C + ε) * ‖h‖

Tactic:
choose u hu hnorm_u using this

Result:
case neg.intro.intro.intro.intro
G : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : CompleteSpace G
H : Type u_2
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : NormedAddGroupHom G H
K : AddSubgroup H
C ε : ℝ
hC : 0 < C
hε : 0 < ε
hyp : f.SurjectiveOnWith K C
h : H
h_in : h ∈ K.topologicalClosure
hyp_h : ¬h = 0
b : ℕ → ℝ := fun i => (1 / 2) ^ i * (ε * ‖h‖ / 2) / C
b_pos : ∀ (i : ℕ), 0 < b i
v : ℕ → H
lim_v : Tendsto (fun n => ∑ k ∈ range (n + 1), v k) atTop (𝓝 h)
v_in : ∀ (n : ℕ), v n ∈ K
hv₀ : ‖v 0 - h‖ < b 0
hv : ∀ n > 0, ‖v n‖ < b n
u : ℕ → G
hu : ∀ (n : ℕ), f (u n) = v n
hnorm_u : ∀ (n : ℕ), ‖u n‖ ≤ C * ‖v n‖
⊢ ∃ g, f g = h ∧ ‖g‖ ≤ (C + ε) * ‖h‖