-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/PeakFunction.lean
theorem integrableOn_peak_smul_of_integrableOn_of_tendsto
    (hs : MeasurableSet s) (h'st : t ∈ 𝓝[s] x₀)
    (hlφ : ∀ u : Set α, IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u))
    (hiφ : Tendsto (fun i ↦ ∫ x in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1))
    (h'iφ : ∀ᶠ i in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s))
    (hmg : IntegrableOn g s μ) (hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)) :
    ∀ᶠ i in l, IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s μ

Proof state:
case hf
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
hs : MeasurableSet s
h'st : t ∈ 𝓝[s] x₀
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun e => ‖∫ (x : α) in t, φ e x ∂μ - 1‖) l (𝓝 0)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
ut : s ∩ u ⊆ t
hu : ∀ x ∈ u ∩ s, g x ∈ ball a 1
i : ι
hi : ∀ x ∈ s \ u, dist (0 x) (φ i x) < 1
h'i : ‖∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ - 1‖ < 1
h''i : AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
I : IntegrableOn (φ i) t μ
A : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) (s \ u) μ
⊢ MemLp g ⊤ (μ.restrict (s ∩ u))

Tactic:
apply
  memLp_top_of_bound (hmg.mono_set inter_subset_left).aestronglyMeasurable (‖a‖ + 1)

Result:
case hf
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
hs : MeasurableSet s
h'st : t ∈ 𝓝[s] x₀
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun e => ‖∫ (x : α) in t, φ e x ∂μ - 1‖) l (𝓝 0)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
ut : s ∩ u ⊆ t
hu : ∀ x ∈ u ∩ s, g x ∈ ball a 1
i : ι
hi : ∀ x ∈ s \ u, dist (0 x) (φ i x) < 1
h'i : ‖∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ - 1‖ < 1
h''i : AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
I : IntegrableOn (φ i) t μ
A : IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) (s \ u) μ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict (s ∩ u), ‖g x‖ ≤ ‖a‖ + 1

Proof state:
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
hs : MeasurableSet s
h'st : t ∈ 𝓝[s] x₀
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun e => ‖∫ (x : α) in t, φ e x ∂μ - 1‖) l (𝓝 0)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
ut : s ∩ u ⊆ t
hu : ∀ x ∈ u ∩ s, g x ∈ ball a 1
i : ι
hi : ∀ x ∈ s \ u, dist (0 x) (φ i x) < 1
h'i : ‖∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ - 1‖ < 1
h''i : AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
⊢ IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s μ

Tactic:
have I : IntegrableOn (φ i) t μ := .of_integral_ne_zero (fun h ↦ by simp [h] at h'i)

Result:
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
hs : MeasurableSet s
h'st : t ∈ 𝓝[s] x₀
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun e => ‖∫ (x : α) in t, φ e x ∂μ - 1‖) l (𝓝 0)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
ut : s ∩ u ⊆ t
hu : ∀ x ∈ u ∩ s, g x ∈ ball a 1
i : ι
hi : ∀ x ∈ s \ u, dist (0 x) (φ i x) < 1
h'i : ‖∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ - 1‖ < 1
h''i : AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
I : IntegrableOn (φ i) t μ
⊢ IntegrableOn (fun x => φ i x • g x) s μ

Proof state:
case intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
hs : MeasurableSet s
h'st : t ∈ 𝓝[s] x₀
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
hu : u ∩ s ⊆ t ∩ g ⁻¹' ball a 1
⊢ s ∩ u ⊆ t

Tactic:
rw [inter_comm]

Result:
case intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
hs : MeasurableSet s
h'st : t ∈ 𝓝[s] x₀
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
hu : u ∩ s ⊆ t ∩ g ⁻¹' ball a 1
⊢ u ∩ s ⊆ t

Proof state:
case intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
hs : MeasurableSet s
h'st : t ∈ 𝓝[s] x₀
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
hu : u ∩ s ⊆ t ∩ g ⁻¹' ball a 1
⊢ u ∩ s ⊆ t

Tactic:
exact hu.trans inter_subset_left

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
hs : MeasurableSet s
h'st : t ∈ 𝓝[s] x₀
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ x₀ ∈ u ∧ s ∩ u ⊆ t ∧ ∀ x ∈ u ∩ s, g x ∈ ball a 1

Tactic:
rcases mem_nhdsWithin.1 (Filter.inter_mem h'st (hcg (ball_mem_nhds _ zero_lt_one)))
  with ⟨u, u_open, x₀u, hu⟩

Result:
case intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
hm : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
g : α → E
l : Filter ι
x₀ : α
s t : Set α
φ : ι → α → ℝ
a : E
hs : MeasurableSet s
h'st : t ∈ 𝓝[s] x₀
hlφ : ∀ (u : Set α), IsOpen u → x₀ ∈ u → TendstoUniformlyOn φ 0 l (s \ u)
hiφ : Tendsto (fun i => ∫ (x : α) in t, φ i x ∂μ) l (𝓝 1)
h'iφ : ∀ᶠ (i : ι) in l, AEStronglyMeasurable (φ i) (μ.restrict s)
hmg : IntegrableOn g s μ
hcg : Tendsto g (𝓝[s] x₀) (𝓝 a)
u : Set α
u_open : IsOpen u
x₀u : x₀ ∈ u
hu : u ∩ s ⊆ t ∩ g ⁻¹' ball a 1
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ x₀ ∈ u ∧ s ∩ u ⊆ t ∧ ∀ x ∈ u ∩ s, g x ∈ ball a 1