-- Mathlib/Computability/PartrecCode.lean
theorem rec_computable {α σ} [Primcodable α] [Primcodable σ] {c : α → Code} (hc : Computable c)
    {z : α → σ} (hz : Computable z) {s : α → σ} (hs : Computable s) {l : α → σ} (hl : Computable l)
    {r : α → σ} (hr : Computable r) {pr : α → Code × Code × σ × σ → σ} (hpr : Computable₂ pr)
    {co : α → Code × Code × σ × σ → σ} (hco : Computable₂ co) {pc : α → Code × Code × σ × σ → σ}
    (hpc : Computable₂ pc) {rf : α → Code × σ → σ} (hrf : Computable₂ rf) :
    let PR (a) cf cg hf hg := pr a (cf, cg, hf, hg)
    let CO (a) cf cg hf hg := co a (cf, cg, hf, hg)
    let PC (a) cf cg hf hg := pc a (cf, cg, hf, hg)
    let RF (a) cf hf := rf a (cf, hf)
    let F (a : α) (c : Code) : σ :=
      Nat.Partrec.Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR a) (CO a) (PC a) (RF a)
    Computable fun a => F a (c a)

Proof state:
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
c : α → Code
hc : Computable c
z : α → σ
hz : Computable z
s : α → σ
hs : Computable s
l : α → σ
hl : Computable l
r : α → σ
hr : Computable r
pr : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpr : Computable₂ pr
co : α → Code × Code × σ × σ → σ
hco : Computable₂ co
pc : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpc : Computable₂ pc
rf : α → Code × σ → σ
hrf : Computable₂ rf
PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)
CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)
PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)
RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf)
F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a)
G₁ : (α × List σ) × ℕ × ℕ → Option σ :=
  fun p =>
    (p.1.2.get? p.2.2).bind fun s =>
      (p.1.2.get? (unpair p.2.2).1).bind fun s₁ =>
        Option.map
          (fun s₂ =>
            bif p.2.1.bodd then
              bif p.2.1.div2.bodd then rf p.1.1 (ofNat Code p.2.2, s)
              else pc p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂)
            else
              bif p.2.1.div2.bodd then co p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂)
              else pr p.1.1 (ofNat Code (unpair p.2.2).1, ofNat Code (unpair p.2.2).2, s₁, s₂))
          (p.1.2.get? (unpair p.2.2).2)
⊢ Computable fun p =>
    bif p.1.1.1.2.1.bodd then
      bif p.1.1.1.2.1.div2.bodd then rf p.1.1.1.1.1 (ofNat Code p.1.1.1.2.2, p.1.1.2)
      else pc p.1.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair p.1.1.1.2.2).2, p.1.2, p.2)
    else
      bif p.1.1.1.2.1.div2.bodd then
        co p.1.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair p.1.1.1.2.2).2, p.1.2, p.2)
      else pr p.1.1.1.1.1 (ofNat Code (unpair p.1.1.1.2.2).1, ofNat Code (unpair p.1.1.1.2.2).2, p.1.2, p.2)

Tactic:
exact
  have a := fst.comp (fst.comp <| fst.comp <| fst.comp fst)
  have n := fst.comp (snd.comp <| fst.comp <| fst.comp fst)
  have m := snd.comp (snd.comp <| fst.comp <| fst.comp fst)
  have m₁ := fst.comp (Computable.unpair.comp m)
  have m₂ := snd.comp (Computable.unpair.comp m)
  have s := snd.comp (fst.comp fst)
  have s₁ := snd.comp fst
  have s₂ := snd
  (nat_bodd.comp n).cond
    ((nat_bodd.comp <| nat_div2.comp n).cond
      (hrf.comp a (((Computable.ofNat Code).comp m).pair s))
      (hpc.comp a (((Computable.ofNat Code).comp m₁).pair <|
        ((Computable.ofNat Code).comp m₂).pair <| s₁.pair s₂)))
    (Computable.cond (nat_bodd.comp <| nat_div2.comp n)
      (hco.comp a (((Computable.ofNat Code).comp m₁).pair <|
        ((Computable.ofNat Code).comp m₂).pair <| s₁.pair s₂))
      (hpr.comp a (((Computable.ofNat Code).comp m₁).pair <|
        ((Computable.ofNat Code).comp m₂).pair <| s₁.pair s₂)))

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
c : α → Code
hc : Computable c
z : α → σ
hz : Computable z
s : α → σ
hs : Computable s
l : α → σ
hl : Computable l
r : α → σ
hr : Computable r
pr : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpr : Computable₂ pr
co : α → Code × Code × σ × σ → σ
hco : Computable₂ co
pc : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpc : Computable₂ pc
rf : α → Code × σ → σ
hrf : Computable₂ rf
⊢ let PR := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg);
  let CO := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg);
  let PC := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg);
  let RF := fun a cf hf => rf a (cf, hf);
  let F := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR a) (CO a) (PC a) (RF a);
  Computable fun a => F a (c a)

Tactic:
intros _ _ _ _ F

Result:
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
c : α → Code
hc : Computable c
z : α → σ
hz : Computable z
s : α → σ
hs : Computable s
l : α → σ
hl : Computable l
r : α → σ
hr : Computable r
pr : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpr : Computable₂ pr
co : α → Code × Code × σ × σ → σ
hco : Computable₂ co
pc : α → Code × Code × σ × σ → σ
hpc : Computable₂ pc
rf : α → Code × σ → σ
hrf : Computable₂ rf
PR✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pr a (cf, cg, hf, hg)
CO✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => co a (cf, cg, hf, hg)
PC✝ : α → Code → Code → σ → σ → σ := fun a cf cg hf hg => pc a (cf, cg, hf, hg)
RF✝ : α → Code → σ → σ := fun a cf hf => rf a (cf, hf)
F : α → Code → σ := fun a c => Code.recOn c (z a) (s a) (l a) (r a) (PR✝ a) (CO✝ a) (PC✝ a) (RF✝ a)
⊢ Computable fun a => F a (c a)