-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Basic.lean
lemma disjoint_genEigenspace [NoZeroSMulDivisors R M]
    (f : End R M) {μ₁ μ₂ : R} (hμ : μ₁ ≠ μ₂) (k l : ℕ∞) :
    Disjoint (f.genEigenspace μ₁ k) (f.genEigenspace μ₂ l)

Proof state:
R : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
f : End R M
μ₁ μ₂ : R
hμ : μ₁ ≠ μ₂
k✝ l✝ : ℕ∞
k : ℕ
property✝¹ : ↑k ≤ k✝
l : ℕ
property✝ : ↑l ≤ l✝
a✝ : Nontrivial M
this : IsReduced R
p : Submodule R M := (f.genEigenspace μ₁) ↑k ⊓ (f.genEigenspace μ₂) ↑l
hp : Nontrivial ↥p
f₁ : End R ↥p := LinearMap.restrict (f - (algebraMap R (End R M)) μ₁) ⋯
f₂ : End R ↥p := LinearMap.restrict (f - (algebraMap R (End R M)) μ₂) ⋯
⊢ IsNilpotent (f₂ - f₁)

Tactic:
apply Commute.isNilpotent_sub (x := f₂) (y := f₁) _
  (isNilpotent_restrict_of_le inf_le_right _)
  (isNilpotent_restrict_of_le inf_le_left _)

Result:
R : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
f : End R M
μ₁ μ₂ : R
hμ : μ₁ ≠ μ₂
k✝ l✝ : ℕ∞
k : ℕ
property✝¹ : ↑k ≤ k✝
l : ℕ
property✝ : ↑l ≤ l✝
a✝ : Nontrivial M
this : IsReduced R
p : Submodule R M := (f.genEigenspace μ₁) ↑k ⊓ (f.genEigenspace μ₂) ↑l
hp : Nontrivial ↥p
f₁ : End R ↥p := LinearMap.restrict (f - (algebraMap R (End R M)) μ₁) ⋯
f₂ : End R ↥p := LinearMap.restrict (f - (algebraMap R (End R M)) μ₂) ⋯
⊢ Commute f₂ f₁

R : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
f : End R M
μ₁ μ₂ : R
hμ : μ₁ ≠ μ₂
k✝ l✝ : ℕ∞
k : ℕ
property✝¹ : ↑k ≤ k✝
l : ℕ
property✝ : ↑l ≤ l✝
a✝ : Nontrivial M
this : IsReduced R
p : Submodule R M := (f.genEigenspace μ₁) ↑k ⊓ (f.genEigenspace μ₂) ↑l
hp : Nontrivial ↥p
f₁ : End R ↥p := LinearMap.restrict (f - (algebraMap R (End R M)) μ₁) ⋯
f₂ : End R ↥p := LinearMap.restrict (f - (algebraMap R (End R M)) μ₂) ⋯
⊢ MapsTo ⇑(f - (algebraMap R (End R M)) μ₂) ↑((f.genEigenspace μ₂) ↑l) ↑((f.genEigenspace μ₂) ↑l)

R : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
f : End R M
μ₁ μ₂ : R
hμ : μ₁ ≠ μ₂
k✝ l✝ : ℕ∞
k : ℕ
property✝¹ : ↑k ≤ k✝
l : ℕ
property✝ : ↑l ≤ l✝
a✝ : Nontrivial M
this : IsReduced R
p : Submodule R M := (f.genEigenspace μ₁) ↑k ⊓ (f.genEigenspace μ₂) ↑l
hp : Nontrivial ↥p
f₁ : End R ↥p := LinearMap.restrict (f - (algebraMap R (End R M)) μ₁) ⋯
f₂ : End R ↥p := LinearMap.restrict (f - (algebraMap R (End R M)) μ₂) ⋯
⊢ IsNilpotent (LinearMap.restrict (f - (algebraMap R (End R M)) μ₂) ?m.445879)

R : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
f : End R M
μ₁ μ₂ : R
hμ : μ₁ ≠ μ₂
k✝ l✝ : ℕ∞
k : ℕ
property✝¹ : ↑k ≤ k✝
l : ℕ
property✝ : ↑l ≤ l✝
a✝ : Nontrivial M
this : IsReduced R
p : Submodule R M := (f.genEigenspace μ₁) ↑k ⊓ (f.genEigenspace μ₂) ↑l
hp : Nontrivial ↥p
f₁ : End R ↥p := LinearMap.restrict (f - (algebraMap R (End R M)) μ₁) ⋯
f₂ : End R ↥p := LinearMap.restrict (f - (algebraMap R (End R M)) μ₂) ⋯
⊢ MapsTo ⇑(f - (algebraMap R (End R M)) μ₁) ↑((f.genEigenspace μ₁) ↑k) ↑((f.genEigenspace μ₁) ↑k)

R : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
f : End R M
μ₁ μ₂ : R
hμ : μ₁ ≠ μ₂
k✝ l✝ : ℕ∞
k : ℕ
property✝¹ : ↑k ≤ k✝
l : ℕ
property✝ : ↑l ≤ l✝
a✝ : Nontrivial M
this : IsReduced R
p : Submodule R M := (f.genEigenspace μ₁) ↑k ⊓ (f.genEigenspace μ₂) ↑l
hp : Nontrivial ↥p
f₁ : End R ↥p := LinearMap.restrict (f - (algebraMap R (End R M)) μ₁) ⋯
f₂ : End R ↥p := LinearMap.restrict (f - (algebraMap R (End R M)) μ₂) ⋯
⊢ IsNilpotent (LinearMap.restrict (f - (algebraMap R (End R M)) μ₁) ?m.446472)

Proof state:
R : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
f : End R M
μ₁ μ₂ : R
hμ : μ₁ ≠ μ₂
k✝ l✝ : ℕ∞
k : ℕ
property✝¹ : ↑k ≤ k✝
l : ℕ
property✝ : ↑l ≤ l✝
a✝ : Nontrivial M
this : IsReduced R
p : Submodule R M := (f.genEigenspace μ₁) ↑k ⊓ (f.genEigenspace μ₂) ↑l
hp : Nontrivial ↥p
f₁ : End R ↥p := LinearMap.restrict (f - (algebraMap R (End R M)) μ₁) ⋯
⊢ False

Tactic:
let f₂ : End R p := (f - algebraMap R (End R M) μ₂).restrict <| MapsTo.inter_inter
  (mapsTo_genEigenspace_of_comm (Algebra.mul_sub_algebraMap_commutes f μ₂) μ₁ k)
  (mapsTo_genEigenspace_of_comm (Algebra.mul_sub_algebraMap_commutes f μ₂) μ₂ l)

Result:
R : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
f : End R M
μ₁ μ₂ : R
hμ : μ₁ ≠ μ₂
k✝ l✝ : ℕ∞
k : ℕ
property✝¹ : ↑k ≤ k✝
l : ℕ
property✝ : ↑l ≤ l✝
a✝ : Nontrivial M
this : IsReduced R
p : Submodule R M := (f.genEigenspace μ₁) ↑k ⊓ (f.genEigenspace μ₂) ↑l
hp : Nontrivial ↥p
f₁ : End R ↥p := LinearMap.restrict (f - (algebraMap R (End R M)) μ₁) ⋯
f₂ : End R ↥p := LinearMap.restrict (f - (algebraMap R (End R M)) μ₂) ⋯
⊢ False

Proof state:
R : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
f : End R M
μ₁ μ₂ : R
hμ : μ₁ ≠ μ₂
k✝ l✝ : ℕ∞
k : ℕ
property✝¹ : ↑k ≤ k✝
l : ℕ
property✝ : ↑l ≤ l✝
a✝ : Nontrivial M
this : IsReduced R
⊢ Disjoint ((f.genEigenspace μ₁) ↑↑⟨k, property✝¹⟩) ((f.genEigenspace μ₂) ↑↑⟨l, property✝⟩)

Tactic:
rw [disjoint_iff]

Result:
R : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
f : End R M
μ₁ μ₂ : R
hμ : μ₁ ≠ μ₂
k✝ l✝ : ℕ∞
k : ℕ
property✝¹ : ↑k ≤ k✝
l : ℕ
property✝ : ↑l ≤ l✝
a✝ : Nontrivial M
this : IsReduced R
⊢ (f.genEigenspace μ₁) ↑↑⟨k, property✝¹⟩ ⊓ (f.genEigenspace μ₂) ↑↑⟨l, property✝⟩ = ⊥

Proof state:
R : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
f : End R M
μ₁ μ₂ : R
hμ : μ₁ ≠ μ₂
k✝ l✝ : ℕ∞
k : ℕ
property✝¹ : ↑k ≤ k✝
l : ℕ
property✝ : ↑l ≤ l✝
a✝ : Nontrivial M
this : IsReduced R
p : Submodule R M := (f.genEigenspace μ₁) ↑k ⊓ (f.genEigenspace μ₂) ↑l
⊢ p = ⊥

Tactic:
by_contra hp

Result:
R : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
f : End R M
μ₁ μ₂ : R
hμ : μ₁ ≠ μ₂
k✝ l✝ : ℕ∞
k : ℕ
property✝¹ : ↑k ≤ k✝
l : ℕ
property✝ : ↑l ≤ l✝
a✝ : Nontrivial M
this : IsReduced R
p : Submodule R M := (f.genEigenspace μ₁) ↑k ⊓ (f.genEigenspace μ₂) ↑l
hp : ¬p = ⊥
⊢ False

Proof state:
R : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
f : End R M
μ₁ μ₂ : R
hμ : μ₁ ≠ μ₂
k✝ l✝ : ℕ∞
k : ℕ
property✝¹ : ↑k ≤ k✝
l : ℕ
property✝ : ↑l ≤ l✝
a✝ : Nontrivial M
this✝ : IsReduced R
p : Submodule R M := (f.genEigenspace μ₁) ↑k ⊓ (f.genEigenspace μ₂) ↑l
hp : Nontrivial ↥p
f₁ : End R ↥p := LinearMap.restrict (f - (algebraMap R (End R M)) μ₁) ⋯
f₂ : End R ↥p := LinearMap.restrict (f - (algebraMap R (End R M)) μ₂) ⋯
this : IsNilpotent (f₂ - f₁)
⊢ False

Tactic:
have hf₁₂ : f₂ - f₁ = algebraMap R (End R p) (μ₁ - μ₂) := by ext; simp [f₁, f₂, sub_smul]

Result:
R : Type v
M : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
f : End R M
μ₁ μ₂ : R
hμ : μ₁ ≠ μ₂
k✝ l✝ : ℕ∞
k : ℕ
property✝¹ : ↑k ≤ k✝
l : ℕ
property✝ : ↑l ≤ l✝
a✝ : Nontrivial M
this✝ : IsReduced R
p : Submodule R M := (f.genEigenspace μ₁) ↑k ⊓ (f.genEigenspace μ₂) ↑l
hp : Nontrivial ↥p
f₁ : End R ↥p := LinearMap.restrict (f - (algebraMap R (End R M)) μ₁) ⋯
f₂ : End R ↥p := LinearMap.restrict (f - (algebraMap R (End R M)) μ₂) ⋯
this : IsNilpotent (f₂ - f₁)
hf₁₂ : f₂ - f₁ = (algebraMap R (End R ↥p)) (μ₁ - μ₂)
⊢ False