-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/FTaylorSeries.lean
theorem hasFTaylorSeriesUpToOn_top_iff_add (hN : ∞ ≤ N) (k : ℕ) :
    HasFTaylorSeriesUpToOn N f p s ↔ ∀ n : ℕ, HasFTaylorSeriesUpToOn (n + k : ℕ) f p s

Proof state:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
N : WithTop ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hN : ∞ ≤ N
k : ℕ
H : ∀ (n : ℕ), HasFTaylorSeriesUpToOn (↑(n + k)) f p s
m : ℕ
a✝ : ↑m < N
⊢ m < m.succ + k

Tactic:
omega

Result:
no goals

Proof state:
case mp
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
N : WithTop ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hN : ∞ ≤ N
k : ℕ
H : HasFTaylorSeriesUpToOn N f p s
n : ℕ
⊢ HasFTaylorSeriesUpToOn (↑(n + k)) f p s

Tactic:
apply H.of_le (natCast_le_of_coe_top_le_withTop hN _)

Result:
no goals

Proof state:
case mpr.cont
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
N : WithTop ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hN : ∞ ≤ N
k : ℕ
H : ∀ (n : ℕ), HasFTaylorSeriesUpToOn (↑(n + k)) f p s
m : ℕ
a✝ : ↑m ≤ N
⊢ ContinuousOn (fun x => p x m) s

Tactic:
apply (H m).cont m (by simp)

Result:
no goals

Proof state:
case mpr.fderivWithin
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
N : WithTop ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hN : ∞ ≤ N
k : ℕ
H : ∀ (n : ℕ), HasFTaylorSeriesUpToOn (↑(n + k)) f p s
m : ℕ
a✝ : ↑m < N
⊢ ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt (fun x => p x m) (p x m.succ).curryLeft s x

Tactic:
apply (H m.succ).fderivWithin m (by norm_cast; omega)

Result:
no goals

Proof state:
case mpr
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
N : WithTop ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hN : ∞ ≤ N
k : ℕ
H : ∀ (n : ℕ), HasFTaylorSeriesUpToOn (↑(n + k)) f p s
⊢ HasFTaylorSeriesUpToOn N f p s

Tactic:
constructor

Result:
case mpr.zero_eq
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
N : WithTop ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hN : ∞ ≤ N
k : ℕ
H : ∀ (n : ℕ), HasFTaylorSeriesUpToOn (↑(n + k)) f p s
⊢ ∀ x ∈ s, (p x 0).curry0 = f x

case mpr.fderivWithin
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
N : WithTop ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hN : ∞ ≤ N
k : ℕ
H : ∀ (n : ℕ), HasFTaylorSeriesUpToOn (↑(n + k)) f p s
⊢ ∀ (m : ℕ), ↑m < N → ∀ x ∈ s, HasFDerivWithinAt (fun x => p x m) (p x m.succ).curryLeft s x

case mpr.cont
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
N : WithTop ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hN : ∞ ≤ N
k : ℕ
H : ∀ (n : ℕ), HasFTaylorSeriesUpToOn (↑(n + k)) f p s
⊢ ∀ (m : ℕ), ↑m ≤ N → ContinuousOn (fun x => p x m) s

Proof state:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
N : WithTop ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hN : ∞ ≤ N
k : ℕ
⊢ HasFTaylorSeriesUpToOn N f p s ↔ ∀ (n : ℕ), HasFTaylorSeriesUpToOn (↑(n + k)) f p s

Tactic:
constructor

Result:
case mp
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
N : WithTop ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hN : ∞ ≤ N
k : ℕ
⊢ HasFTaylorSeriesUpToOn N f p s → ∀ (n : ℕ), HasFTaylorSeriesUpToOn (↑(n + k)) f p s

case mpr
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
N : WithTop ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hN : ∞ ≤ N
k : ℕ
⊢ (∀ (n : ℕ), HasFTaylorSeriesUpToOn (↑(n + k)) f p s) → HasFTaylorSeriesUpToOn N f p s

Proof state:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
N : WithTop ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hN : ∞ ≤ N
k : ℕ
H : ∀ (n : ℕ), HasFTaylorSeriesUpToOn (↑(n + k)) f p s
m : ℕ
a✝ : ↑m ≤ N
⊢ ↑m ≤ ↑(m + k)

Tactic:
simp

Result:
no goals

Proof state:
case mpr
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
N : WithTop ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hN : ∞ ≤ N
k : ℕ
⊢ (∀ (n : ℕ), HasFTaylorSeriesUpToOn (↑(n + k)) f p s) → HasFTaylorSeriesUpToOn N f p s

Tactic:
intro H

Result:
case mpr
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
N : WithTop ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hN : ∞ ≤ N
k : ℕ
H : ∀ (n : ℕ), HasFTaylorSeriesUpToOn (↑(n + k)) f p s
⊢ HasFTaylorSeriesUpToOn N f p s

Proof state:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
N : WithTop ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hN : ∞ ≤ N
k : ℕ
H : ∀ (n : ℕ), HasFTaylorSeriesUpToOn (↑(n + k)) f p s
m : ℕ
a✝ : ↑m < N
⊢ ↑m < ↑(m.succ + k)

Tactic:
norm_cast

Result:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
N : WithTop ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hN : ∞ ≤ N
k : ℕ
H : ∀ (n : ℕ), HasFTaylorSeriesUpToOn (↑(n + k)) f p s
m : ℕ
a✝ : ↑m < N
⊢ m < m.succ + k

Proof state:
case mp
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
N : WithTop ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hN : ∞ ≤ N
k : ℕ
⊢ HasFTaylorSeriesUpToOn N f p s → ∀ (n : ℕ), HasFTaylorSeriesUpToOn (↑(n + k)) f p s

Tactic:
intro H n

Result:
case mp
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
N : WithTop ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hN : ∞ ≤ N
k : ℕ
H : HasFTaylorSeriesUpToOn N f p s
n : ℕ
⊢ HasFTaylorSeriesUpToOn (↑(n + k)) f p s