-- Mathlib/Algebra/Lie/Submodule.lean
theorem map_sup_ker_eq_map : LieIdeal.map f (I ⊔ f.ker) = LieIdeal.map f I

Proof state:
case h.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
inst✝ : LieAlgebra R L
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
x : L'
y : L
hy₂ : ↑f y = x
z₁ : L
hz₁ : z₁ ∈ I
z₂ : L
hz₂ : z₂ ∈ f.ker
hy : z₁ + z₂ = y
⊢ ↑f y ∈ ↑(Submodule.map (↑f) (toLieSubalgebra R L I).toSubmodule)

Tactic:
rw [← hy]

Result:
case h.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
inst✝ : LieAlgebra R L
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
x : L'
y : L
hy₂ : ↑f y = x
z₁ : L
hz₁ : z₁ ∈ I
z₂ : L
hz₂ : z₂ ∈ f.ker
hy : z₁ + z₂ = y
⊢ ↑f (z₁ + z₂) ∈ ↑(Submodule.map (↑f) (toLieSubalgebra R L I).toSubmodule)

Proof state:
case h.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
inst✝ : LieAlgebra R L
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
x : L'
y : L
hy₂ : ↑f y = x
z₁ : L
hz₁ : z₁ ∈ I
z₂ : L
hz₂ : z₂ ∈ f.ker
hy : z₁ + z₂ = y
⊢ f z₁ ∈ ↑(Submodule.map (↑f) (toLieSubalgebra R L I).toSubmodule)

Tactic:
exact ⟨z₁, hz₁, rfl⟩

Result:
no goals

Proof state:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
inst✝ : LieAlgebra R L
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
⊢ map f (I ⊔ f.ker) = map f I

Tactic:
suffices LieIdeal.map f (I ⊔ f.ker) ≤ LieIdeal.map f I by
  exact le_antisymm this (LieIdeal.map_mono le_sup_left)

Result:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
inst✝ : LieAlgebra R L
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
⊢ map f (I ⊔ f.ker) ≤ map f I

Proof state:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
inst✝ : LieAlgebra R L
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
this : map f (I ⊔ f.ker) ≤ map f I
⊢ map f (I ⊔ f.ker) = map f I

Tactic:
exact le_antisymm this (LieIdeal.map_mono le_sup_left)

Result:
no goals

Proof state:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
inst✝ : LieAlgebra R L
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
⊢ map f (I ⊔ f.ker) ≤ map f I

Tactic:
apply LieSubmodule.lieSpan_mono

Result:
case h
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
inst✝ : LieAlgebra R L
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
⊢ ↑(Submodule.map (↑f) (toLieSubalgebra R L (I ⊔ f.ker)).toSubmodule) ⊆
    ↑(Submodule.map (↑f) (toLieSubalgebra R L I).toSubmodule)

Proof state:
case h
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
inst✝ : LieAlgebra R L
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
⊢ ↑(Submodule.map (↑f) (toLieSubalgebra R L (I ⊔ f.ker)).toSubmodule) ⊆
    ↑(Submodule.map (↑f) (toLieSubalgebra R L I).toSubmodule)

Tactic:
rintro x ⟨y, hy₁, hy₂⟩

Result:
case h.intro.intro
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
inst✝ : LieAlgebra R L
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
x : L'
y : L
hy₁ : y ∈ ↑(toLieSubalgebra R L (I ⊔ f.ker)).toSubmodule
hy₂ : ↑f y = x
⊢ x ∈ ↑(Submodule.map (↑f) (toLieSubalgebra R L I).toSubmodule)

Proof state:
case h.intro.intro
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
inst✝ : LieAlgebra R L
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
x : L'
y : L
hy₁ : ∃ y_1 ∈ I, ∃ z ∈ f.ker, y_1 + z = y
hy₂ : ↑f y = x
⊢ ↑f y ∈ ↑(Submodule.map (↑f) (toLieSubalgebra R L I).toSubmodule)

Tactic:
obtain ⟨z₁, hz₁, z₂, hz₂, hy⟩ := hy₁

Result:
case h.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
inst✝ : LieAlgebra R L
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
x : L'
y : L
hy₂ : ↑f y = x
z₁ : L
hz₁ : z₁ ∈ I
z₂ : L
hz₂ : z₂ ∈ f.ker
hy : z₁ + z₂ = y
⊢ ↑f y ∈ ↑(Submodule.map (↑f) (toLieSubalgebra R L I).toSubmodule)

Proof state:
case h.intro.intro
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
inst✝ : LieAlgebra R L
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
x : L'
y : L
hy₁ : y ∈ ↑(toLieSubalgebra R L (I ⊔ f.ker)).toSubmodule
hy₂ : ↑f y = x
⊢ ↑f y ∈ ↑(Submodule.map (↑f) (toLieSubalgebra R L I).toSubmodule)

Tactic:
erw [LieSubmodule.mem_sup] at hy₁

Result:
case h.intro.intro
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
inst✝ : LieAlgebra R L
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
x : L'
y : L
hy₁ : ∃ y_1 ∈ I, ∃ z ∈ f.ker, y_1 + z = y
hy₂ : ↑f y = x
⊢ ↑f y ∈ ↑(Submodule.map (↑f) (toLieSubalgebra R L I).toSubmodule)

Proof state:
case h.intro.intro
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
inst✝ : LieAlgebra R L
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
x : L'
y : L
hy₁ : y ∈ ↑(toLieSubalgebra R L (I ⊔ f.ker)).toSubmodule
hy₂ : ↑f y = x
⊢ x ∈ ↑(Submodule.map (↑f) (toLieSubalgebra R L I).toSubmodule)

Tactic:
rw [← hy₂]

Result:
case h.intro.intro
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
inst✝ : LieAlgebra R L
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
x : L'
y : L
hy₁ : y ∈ ↑(toLieSubalgebra R L (I ⊔ f.ker)).toSubmodule
hy₂ : ↑f y = x
⊢ ↑f y ∈ ↑(Submodule.map (↑f) (toLieSubalgebra R L I).toSubmodule)

Proof state:
case h.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
inst✝ : LieAlgebra R L
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
x : L'
y : L
hy₂ : ↑f y = x
z₁ : L
hz₁ : z₁ ∈ I
z₂ : L
hz₂ : z₂ ∈ f.ker
hy : z₁ + z₂ = y
⊢ ↑f (z₁ + z₂) ∈ ↑(Submodule.map (↑f) (toLieSubalgebra R L I).toSubmodule)

Tactic:
rw [f.coe_toLinearMap, f.map_add, LieHom.mem_ker.mp hz₂, add_zero]

Result:
case h.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieRing L'
inst✝¹ : LieAlgebra R L'
inst✝ : LieAlgebra R L
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
x : L'
y : L
hy₂ : ↑f y = x
z₁ : L
hz₁ : z₁ ∈ I
z₂ : L
hz₂ : z₂ ∈ f.ker
hy : z₁ + z₂ = y
⊢ f z₁ ∈ ↑(Submodule.map (↑f) (toLieSubalgebra R L I).toSubmodule)