-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Basic.lean
theorem norm_inner_div_norm_mul_norm_eq_one_iff (x y : E) :
    ‖⟪x, y⟫ / (‖x‖ * ‖y‖)‖ = 1 ↔ x ≠ 0 ∧ ∃ r : 𝕜, r ≠ 0 ∧ y = r • x

Proof state:
case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
x y : E
⊢ ‖⟪x, y⟫_𝕜 / (↑‖x‖ * ↑‖y‖)‖ = 1 → x ≠ 0 ∧ ∃ r, r ≠ 0 ∧ y = r • x

Tactic:
intro h

Result:
case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
x y : E
h : ‖⟪x, y⟫_𝕜 / (↑‖x‖ * ↑‖y‖)‖ = 1
⊢ x ≠ 0 ∧ ∃ r, r ≠ 0 ∧ y = r • x

Proof state:
case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
x y : E
h : ‖⟪x, y⟫_𝕜 / (↑‖x‖ * ↑‖y‖)‖ = 1
⊢ x ≠ 0 ∧ ∃ r, r ≠ 0 ∧ y = r • x

Tactic:
have hx₀ : x ≠ 0 := fun h₀ => by simp [h₀] at h

Result:
case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
x y : E
h : ‖⟪x, y⟫_𝕜 / (↑‖x‖ * ↑‖y‖)‖ = 1
hx₀ : x ≠ 0
⊢ x ≠ 0 ∧ ∃ r, r ≠ 0 ∧ y = r • x

Proof state:
case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
x y : E
h : ‖⟪x, y⟫_𝕜 / (↑‖x‖ * ↑‖y‖)‖ = 1
hx₀ : x ≠ 0
hy₀ : y ≠ 0
⊢ x ≠ 0 ∧ ∃ r, r ≠ 0 ∧ y = r • x

Tactic:
refine ⟨hx₀, (norm_inner_eq_norm_iff hx₀ hy₀).1 <| eq_of_div_eq_one ?_⟩

Result:
case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
x y : E
h : ‖⟪x, y⟫_𝕜 / (↑‖x‖ * ↑‖y‖)‖ = 1
hx₀ : x ≠ 0
hy₀ : y ≠ 0
⊢ ‖⟪x, y⟫_𝕜‖ / (‖x‖ * ‖y‖) = 1

Proof state:
case mpr.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
x : E
hx : x ≠ 0
r : 𝕜
hr : r ≠ 0
⊢ ‖⟪x, r • x⟫_𝕜‖ / (‖x‖ * ‖r • x‖) = 1

Tactic:
exact norm_inner_div_norm_mul_norm_eq_one_of_ne_zero_of_ne_zero_mul hx hr

Result:
no goals

Proof state:
case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
x y : E
⊢ (x ≠ 0 ∧ ∃ r, r ≠ 0 ∧ y = r • x) → ‖⟪x, y⟫_𝕜 / (↑‖x‖ * ↑‖y‖)‖ = 1

Tactic:
rintro ⟨hx, ⟨r, ⟨hr, rfl⟩⟩⟩

Result:
case mpr.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
x : E
hx : x ≠ 0
r : 𝕜
hr : r ≠ 0
⊢ ‖⟪x, r • x⟫_𝕜 / (↑‖x‖ * ↑‖r • x‖)‖ = 1

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
x y : E
h : ‖⟪x, y⟫_𝕜 / (↑‖x‖ * ↑‖y‖)‖ = 1
hx₀ : x ≠ 0
h₀ : y = 0
⊢ False

Tactic:
simp [h₀] at h

Result:
no goals

Proof state:
case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
x y : E
h : ‖⟪x, y⟫_𝕜 / (↑‖x‖ * ↑‖y‖)‖ = 1
hx₀ : x ≠ 0
⊢ x ≠ 0 ∧ ∃ r, r ≠ 0 ∧ y = r • x

Tactic:
have hy₀ : y ≠ 0 := fun h₀ => by simp [h₀] at h

Result:
case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
x y : E
h : ‖⟪x, y⟫_𝕜 / (↑‖x‖ * ↑‖y‖)‖ = 1
hx₀ : x ≠ 0
hy₀ : y ≠ 0
⊢ x ≠ 0 ∧ ∃ r, r ≠ 0 ∧ y = r • x

Proof state:
case mpr.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
x : E
hx : x ≠ 0
r : 𝕜
hr : r ≠ 0
⊢ ‖⟪x, r • x⟫_𝕜 / (↑‖x‖ * ↑‖r • x‖)‖ = 1

Tactic:
simp only [norm_div, norm_mul, norm_ofReal, abs_norm]

Result:
case mpr.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
x : E
hx : x ≠ 0
r : 𝕜
hr : r ≠ 0
⊢ ‖⟪x, r • x⟫_𝕜‖ / (‖x‖ * ‖r • x‖) = 1

Proof state:
case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
x y : E
h : ‖⟪x, y⟫_𝕜 / (↑‖x‖ * ↑‖y‖)‖ = 1
hx₀ : x ≠ 0
hy₀ : y ≠ 0
⊢ ‖⟪x, y⟫_𝕜‖ / (‖x‖ * ‖y‖) = 1

Tactic:
simpa using h

Result:
no goals

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
x y : E
⊢ ‖⟪x, y⟫_𝕜 / (↑‖x‖ * ↑‖y‖)‖ = 1 ↔ x ≠ 0 ∧ ∃ r, r ≠ 0 ∧ y = r • x

Tactic:
constructor

Result:
case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
x y : E
⊢ ‖⟪x, y⟫_𝕜 / (↑‖x‖ * ↑‖y‖)‖ = 1 → x ≠ 0 ∧ ∃ r, r ≠ 0 ∧ y = r • x

case mpr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
x y : E
⊢ (x ≠ 0 ∧ ∃ r, r ≠ 0 ∧ y = r • x) → ‖⟪x, y⟫_𝕜 / (↑‖x‖ * ↑‖y‖)‖ = 1

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
x y : E
h : ‖⟪x, y⟫_𝕜 / (↑‖x‖ * ↑‖y‖)‖ = 1
h₀ : x = 0
⊢ False

Tactic:
simp [h₀] at h

Result:
no goals