-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/FiniteDimensional.lean
theorem affineIndependent_iff_le_finrank_vectorSpan [Fintype ι] (p : ι → P) {n : ℕ}
    (hc : Fintype.card ι = n + 1) :
    AffineIndependent k p ↔ n ≤ finrank k (vectorSpan k (Set.range p))

Proof state:
case mp
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Fintype ι
p : ι → P
hc : Fintype.card ι = finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range p)) + 1
⊢ finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range p)) ≤ finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range p))

Tactic:
rfl

Result:
no goals

Proof state:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Fintype ι
p : ι → P
n : ℕ
hc : Fintype.card ι = n + 1
⊢ finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range p)) = n ↔ n ≤ finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range p))

Tactic:
constructor

Result:
case mp
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Fintype ι
p : ι → P
n : ℕ
hc : Fintype.card ι = n + 1
⊢ finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range p)) = n → n ≤ finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range p))

case mpr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Fintype ι
p : ι → P
n : ℕ
hc : Fintype.card ι = n + 1
⊢ n ≤ finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range p)) → finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range p)) = n

Proof state:
case mpr
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Fintype ι
p : ι → P
n : ℕ
hc : Fintype.card ι = n + 1
⊢ n ≤ finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range p)) → finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range p)) = n

Tactic:
exact fun hle => le_antisymm (finrank_vectorSpan_range_le k p hc) hle

Result:
no goals

Proof state:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Fintype ι
p : ι → P
n : ℕ
hc : Fintype.card ι = n + 1
⊢ AffineIndependent k p ↔ n ≤ finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range p))

Tactic:
rw [affineIndependent_iff_finrank_vectorSpan_eq k p hc]

Result:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Fintype ι
p : ι → P
n : ℕ
hc : Fintype.card ι = n + 1
⊢ finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range p)) = n ↔ n ≤ finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range p))

Proof state:
case mp
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Fintype ι
p : ι → P
n : ℕ
hc : Fintype.card ι = n + 1
⊢ finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range p)) = n → n ≤ finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range p))

Tactic:
rintro rfl

Result:
case mp
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝⁴ : DivisionRing k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Fintype ι
p : ι → P
hc : Fintype.card ι = finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range p)) + 1
⊢ finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range p)) ≤ finrank k ↥(vectorSpan k (Set.range p))