-- Mathlib/Algebra/Polynomial/EraseLead.lean
theorem card_support_eq {n : ℕ} :
    #f.support = n ↔
      ∃ (k : Fin n → ℕ) (x : Fin n → R) (_ : StrictMono k) (_ : ∀ i, x i ≠ 0),
        f = ∑ i, C (x i) * X ^ k i

Proof state:
case neg.h
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn :
  ∀ {f : R[X]},
    #f.support = n → ∃ k x, ∃ (_ : StrictMono k) (_ : ∀ (i : Fin n), x i ≠ 0), f = ∑ i : Fin n, C (x i) * X ^ k i
f : R[X]
h : #f.support = n + 1
k : Fin n → ℕ
x : Fin n → R
hk : StrictMono k
hx : ∀ (i : Fin n), x i ≠ 0
hf : f.eraseLead = ∑ i : Fin n, C (x i) * X ^ k i
H : ¬∃ k, k.castSucc = Fin.last n
j : Fin (n + 1)
i : Fin n
hij : i.castSucc < j
hj : ¬∃ j₀, j₀.castSucc = j
⊢ ∑ b : Fin n, (C (x b) * X ^ k b).coeff (k i) ≠ 0

Tactic:
rw [sum_eq_single, coeff_C_mul, coeff_X_pow_self, mul_one]

Result:
case neg.h
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn :
  ∀ {f : R[X]},
    #f.support = n → ∃ k x, ∃ (_ : StrictMono k) (_ : ∀ (i : Fin n), x i ≠ 0), f = ∑ i : Fin n, C (x i) * X ^ k i
f : R[X]
h : #f.support = n + 1
k : Fin n → ℕ
x : Fin n → R
hk : StrictMono k
hx : ∀ (i : Fin n), x i ≠ 0
hf : f.eraseLead = ∑ i : Fin n, C (x i) * X ^ k i
H : ¬∃ k, k.castSucc = Fin.last n
j : Fin (n + 1)
i : Fin n
hij : i.castSucc < j
hj : ¬∃ j₀, j₀.castSucc = j
⊢ x i ≠ 0

case neg.h.h₀
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn :
  ∀ {f : R[X]},
    #f.support = n → ∃ k x, ∃ (_ : StrictMono k) (_ : ∀ (i : Fin n), x i ≠ 0), f = ∑ i : Fin n, C (x i) * X ^ k i
f : R[X]
h : #f.support = n + 1
k : Fin n → ℕ
x : Fin n → R
hk : StrictMono k
hx : ∀ (i : Fin n), x i ≠ 0
hf : f.eraseLead = ∑ i : Fin n, C (x i) * X ^ k i
H : ¬∃ k, k.castSucc = Fin.last n
j : Fin (n + 1)
i : Fin n
hij : i.castSucc < j
hj : ¬∃ j₀, j₀.castSucc = j
⊢ ∀ b ∈ univ, b ≠ i → (C (x b) * X ^ k b).coeff (k i) = 0

case neg.h.h₁
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn :
  ∀ {f : R[X]},
    #f.support = n → ∃ k x, ∃ (_ : StrictMono k) (_ : ∀ (i : Fin n), x i ≠ 0), f = ∑ i : Fin n, C (x i) * X ^ k i
f : R[X]
h : #f.support = n + 1
k : Fin n → ℕ
x : Fin n → R
hk : StrictMono k
hx : ∀ (i : Fin n), x i ≠ 0
hf : f.eraseLead = ∑ i : Fin n, C (x i) * X ^ k i
H : ¬∃ k, k.castSucc = Fin.last n
j : Fin (n + 1)
i : Fin n
hij : i.castSucc < j
hj : ¬∃ j₀, j₀.castSucc = j
⊢ i ∉ univ → (C (x i) * X ^ k i).coeff (k i) = 0

Proof state:
case pos
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn :
  ∀ {f : R[X]},
    #f.support = n → ∃ k x, ∃ (_ : StrictMono k) (_ : ∀ (i : Fin n), x i ≠ 0), f = ∑ i : Fin n, C (x i) * X ^ k i
f : R[X]
h : #f.support = n + 1
k : Fin n → ℕ
x : Fin n → R
hk : StrictMono k
hx : ∀ (i : Fin n), x i ≠ 0
hf : f.eraseLead = ∑ i : Fin n, C (x i) * X ^ k i
H : ¬∃ k, k.castSucc = Fin.last n
i : Fin (n + 1)
hi : ∃ i₀, i₀.castSucc = i
⊢ Function.extend Fin.castSucc x (fun x => f.leadingCoeff) i ≠ 0

Tactic:
obtain ⟨i, rfl⟩ := hi

Result:
case pos.intro
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn :
  ∀ {f : R[X]},
    #f.support = n → ∃ k x, ∃ (_ : StrictMono k) (_ : ∀ (i : Fin n), x i ≠ 0), f = ∑ i : Fin n, C (x i) * X ^ k i
f : R[X]
h : #f.support = n + 1
k : Fin n → ℕ
x : Fin n → R
hk : StrictMono k
hx : ∀ (i : Fin n), x i ≠ 0
hf : f.eraseLead = ∑ i : Fin n, C (x i) * X ^ k i
H : ¬∃ k, k.castSucc = Fin.last n
i : Fin n
⊢ Function.extend Fin.castSucc x (fun x => f.leadingCoeff) i.castSucc ≠ 0

Proof state:
case succ.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn :
  ∀ {f : R[X]},
    #f.support = n → ∃ k x, ∃ (_ : StrictMono k) (_ : ∀ (i : Fin n), x i ≠ 0), f = ∑ i : Fin n, C (x i) * X ^ k i
f : R[X]
h : #f.support = n + 1
k : Fin n → ℕ
x : Fin n → R
hk : StrictMono k
hx : ∀ (i : Fin n), x i ≠ 0
hf : f.eraseLead = ∑ i : Fin n, C (x i) * X ^ k i
⊢ ∃ k x, ∃ (_ : StrictMono k) (_ : ∀ (i : Fin (n + 1)), x i ≠ 0), f = ∑ i : Fin (n + 1), C (x i) * X ^ k i

Tactic:
have H : ¬∃ k : Fin n, Fin.castSucc k = Fin.last n := by
  rintro ⟨i, hi⟩
  exact i.castSucc_lt_last.ne hi

Result:
case succ.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn :
  ∀ {f : R[X]},
    #f.support = n → ∃ k x, ∃ (_ : StrictMono k) (_ : ∀ (i : Fin n), x i ≠ 0), f = ∑ i : Fin n, C (x i) * X ^ k i
f : R[X]
h : #f.support = n + 1
k : Fin n → ℕ
x : Fin n → R
hk : StrictMono k
hx : ∀ (i : Fin n), x i ≠ 0
hf : f.eraseLead = ∑ i : Fin n, C (x i) * X ^ k i
H : ¬∃ k, k.castSucc = Fin.last n
⊢ ∃ k x, ∃ (_ : StrictMono k) (_ : ∀ (i : Fin (n + 1)), x i ≠ 0), f = ∑ i : Fin (n + 1), C (x i) * X ^ k i

Proof state:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn :
  ∀ {f : R[X]},
    #f.support = n → ∃ k x, ∃ (_ : StrictMono k) (_ : ∀ (i : Fin n), x i ≠ 0), f = ∑ i : Fin n, C (x i) * X ^ k i
f : R[X]
h : #f.support = n + 1
k : Fin n → ℕ
x : Fin n → R
hk : StrictMono k
hx : ∀ (i : Fin n), x i ≠ 0
hf : f.eraseLead = ∑ i : Fin n, C (x i) * X ^ k i
⊢ ¬∃ k, k.castSucc = Fin.last n

Tactic:
rintro ⟨i, hi⟩

Result:
case intro
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn :
  ∀ {f : R[X]},
    #f.support = n → ∃ k x, ∃ (_ : StrictMono k) (_ : ∀ (i : Fin n), x i ≠ 0), f = ∑ i : Fin n, C (x i) * X ^ k i
f : R[X]
h : #f.support = n + 1
k : Fin n → ℕ
x : Fin n → R
hk : StrictMono k
hx : ∀ (i : Fin n), x i ≠ 0
hf : f.eraseLead = ∑ i : Fin n, C (x i) * X ^ k i
i : Fin n
hi : i.castSucc = Fin.last n
⊢ False

Proof state:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn :
  ∀ {f : R[X]},
    #f.support = n → ∃ k x, ∃ (_ : StrictMono k) (_ : ∀ (i : Fin n), x i ≠ 0), f = ∑ i : Fin n, C (x i) * X ^ k i
f : R[X]
h : #f.support = n + 1
k : Fin n → ℕ
x : Fin n → R
hk : StrictMono k
hx : ∀ (i : Fin n), x i ≠ 0
hf : f.eraseLead = ∑ i : Fin n, C (x i) * X ^ k i
H : ¬∃ k, k.castSucc = Fin.last n
i j : Fin (n + 1)
hij : i < j
⊢ {i | ↑i < n} i

Tactic:
exact lt_of_lt_of_le hij (Nat.lt_succ_iff.mp j.2)

Result:
no goals

Proof state:
case succ.intro.intro.intro.intro.refine_2
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn :
  ∀ {f : R[X]},
    #f.support = n → ∃ k x, ∃ (_ : StrictMono k) (_ : ∀ (i : Fin n), x i ≠ 0), f = ∑ i : Fin n, C (x i) * X ^ k i
f : R[X]
h : #f.support = n + 1
k : Fin n → ℕ
x : Fin n → R
hk : StrictMono k
hx : ∀ (i : Fin n), x i ≠ 0
hf : f.eraseLead = ∑ i : Fin n, C (x i) * X ^ k i
H : ¬∃ k, k.castSucc = Fin.last n
⊢ ∀ (i : Fin (n + 1)), Function.extend Fin.castSucc x (fun x => f.leadingCoeff) i ≠ 0

Tactic:
intro i

Result:
case succ.intro.intro.intro.intro.refine_2
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn :
  ∀ {f : R[X]},
    #f.support = n → ∃ k x, ∃ (_ : StrictMono k) (_ : ∀ (i : Fin n), x i ≠ 0), f = ∑ i : Fin n, C (x i) * X ^ k i
f : R[X]
h : #f.support = n + 1
k : Fin n → ℕ
x : Fin n → R
hk : StrictMono k
hx : ∀ (i : Fin n), x i ≠ 0
hf : f.eraseLead = ∑ i : Fin n, C (x i) * X ^ k i
H : ¬∃ k, k.castSucc = Fin.last n
i : Fin (n + 1)
⊢ Function.extend Fin.castSucc x (fun x => f.leadingCoeff) i ≠ 0

Proof state:
case succ.intro.intro.intro.intro.refine_1.intro
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn :
  ∀ {f : R[X]},
    #f.support = n → ∃ k x, ∃ (_ : StrictMono k) (_ : ∀ (i : Fin n), x i ≠ 0), f = ∑ i : Fin n, C (x i) * X ^ k i
f : R[X]
h : #f.support = n + 1
k : Fin n → ℕ
x : Fin n → R
hk : StrictMono k
hx : ∀ (i : Fin n), x i ≠ 0
hf : f.eraseLead = ∑ i : Fin n, C (x i) * X ^ k i
H : ¬∃ k, k.castSucc = Fin.last n
j : Fin (n + 1)
i : Fin n
hij : i.castSucc < j
⊢ Function.extend Fin.castSucc k (fun x => f.natDegree) i.castSucc <
    Function.extend Fin.castSucc k (fun x => f.natDegree) j

Tactic:
rw [Fin.strictMono_castSucc.injective.extend_apply]

Result:
case succ.intro.intro.intro.intro.refine_1.intro
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn :
  ∀ {f : R[X]},
    #f.support = n → ∃ k x, ∃ (_ : StrictMono k) (_ : ∀ (i : Fin n), x i ≠ 0), f = ∑ i : Fin n, C (x i) * X ^ k i
f : R[X]
h : #f.support = n + 1
k : Fin n → ℕ
x : Fin n → R
hk : StrictMono k
hx : ∀ (i : Fin n), x i ≠ 0
hf : f.eraseLead = ∑ i : Fin n, C (x i) * X ^ k i
H : ¬∃ k, k.castSucc = Fin.last n
j : Fin (n + 1)
i : Fin n
hij : i.castSucc < j
⊢ k i < Function.extend Fin.castSucc k (fun x => f.natDegree) j