-- Mathlib/NumberTheory/DirichletCharacter/GaussSum.lean
lemma gaussSum_aux_of_mulShift (χ : DirichletCharacter R N) {d : ℕ}
    (hd : d ∣ N) (he : e.mulShift d = 1) {u : (ZMod N)ˣ} (hu : ZMod.unitsMap hd u = 1) :
    χ u * gaussSum χ e = gaussSum χ e

Proof state:
N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
χ : DirichletCharacter R N
d : ℕ
hd : d ∣ N
he : e.mulShift ↑d = 1
u : (ZMod N)ˣ
hu : (ZMod.unitsMap hd) u = 1
⊢ ↑d ∣ ↑(↑u).val - 1

Tactic:
rw [← Units.eq_iff, Units.val_one, ZMod.unitsMap_def, Units.coe_map] at hu

Result:
N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
χ : DirichletCharacter R N
d : ℕ
hd : d ∣ N
he : e.mulShift ↑d = 1
u : (ZMod N)ˣ
hu : ↑(ZMod.castHom hd (ZMod d)) ↑u = 1
⊢ ↑d ∣ ↑(↑u).val - 1

Proof state:
case intro
N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
χ : DirichletCharacter R N
d : ℕ
hd : d ∣ N
he : e.mulShift ↑d = 1
u : (ZMod N)ˣ
hu : (ZMod.unitsMap hd) u = 1
a : ℤ
ha : ↑(↑u).val - 1 = ↑d * a
⊢ e.mulShift (↑u - 1) = 1

Tactic:
have : u.val - 1 = ↑(u.val.val - 1 : ℤ) := by simp only [ZMod.natCast_val, Int.cast_sub,
  ZMod.intCast_cast, ZMod.cast_id', id_eq, Int.cast_one]

Result:
case intro
N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
χ : DirichletCharacter R N
d : ℕ
hd : d ∣ N
he : e.mulShift ↑d = 1
u : (ZMod N)ˣ
hu : (ZMod.unitsMap hd) u = 1
a : ℤ
ha : ↑(↑u).val - 1 = ↑d * a
this : ↑u - 1 = ↑(↑(↑u).val - 1)
⊢ e.mulShift (↑u - 1) = 1

Proof state:
N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
χ : DirichletCharacter R N
d : ℕ
hd : d ∣ N
he : e.mulShift ↑d = 1
u : (ZMod N)ˣ
hu : ↑(ZMod.castHom hd (ZMod d)) ↑u = 1
this : (ZMod.castHom hd (ZMod d)) ↑u = ↑↑(↑u).val
⊢ ↑d ∣ ↑(↑u).val - 1

Tactic:
rwa [MonoidHom.coe_coe, this, ← Int.cast_one, eq_comm,
  ZMod.intCast_eq_intCast_iff_dvd_sub] at hu

Result:
no goals

Proof state:
N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
χ : DirichletCharacter R N
d : ℕ
hd : d ∣ N
he : e.mulShift ↑d = 1
u : (ZMod N)ˣ
hu : (ZMod.unitsMap hd) u = 1
this : e.mulShift ↑u = e
⊢ χ ↑u * gaussSum χ e = gaussSum χ e

Tactic:
conv_lhs => rw [← this, gaussSum_mulShift]

Result:
no goals

Proof state:
N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
χ : DirichletCharacter R N
d : ℕ
hd : d ∣ N
he : e.mulShift ↑d = 1
u : (ZMod N)ˣ
hu : ↑(ZMod.castHom hd (ZMod d)) ↑u = 1
⊢ (ZMod.castHom hd (ZMod d)) ↑u = ↑↑(↑u).val

Tactic:
simp

Result:
no goals

Proof state:
case intro
N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
χ : DirichletCharacter R N
d : ℕ
hd : d ∣ N
he : e.mulShift ↑d = 1
u : (ZMod N)ˣ
hu : (ZMod.unitsMap hd) u = 1
a : ℤ
ha : ↑(↑u).val - 1 = ↑d * a
this : ↑u - 1 = ↑(↑(↑u).val - 1)
⊢ e.mulShift (↑u - 1) = 1

Tactic:
rw [this, ha]

Result:
case intro
N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
χ : DirichletCharacter R N
d : ℕ
hd : d ∣ N
he : e.mulShift ↑d = 1
u : (ZMod N)ˣ
hu : (ZMod.unitsMap hd) u = 1
a : ℤ
ha : ↑(↑u).val - 1 = ↑d * a
this : ↑u - 1 = ↑(↑(↑u).val - 1)
⊢ e.mulShift ↑(↑d * a) = 1

Proof state:
case intro.h
N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
χ : DirichletCharacter R N
d : ℕ
hd : d ∣ N
he : e.mulShift ↑d = 1
u : (ZMod N)ˣ
hu : (ZMod.unitsMap hd) u = 1
a : ℤ
ha : ↑(↑u).val - 1 = ↑d * a
this : ↑u - 1 = ↑(↑(↑u).val - 1)
y : ZMod N
⊢ (e.mulShift ↑(↑d * a)) y = 1 y

Tactic:
simpa only [Int.cast_mul, Int.cast_natCast, mulShift_apply, mul_assoc, one_apply]
  using DFunLike.ext_iff.mp he (a * y)

Result:
no goals

Proof state:
N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
χ : DirichletCharacter R N
d : ℕ
hd : d ∣ N
he : e.mulShift ↑d = 1
u : (ZMod N)ˣ
hu : (ZMod.unitsMap hd) u = 1
⊢ e.mulShift (↑u - 1) = 1

Tactic:
rsuffices ⟨a, ha⟩ : (d : ℤ) ∣ (u.val.val - 1 : ℤ)

Result:
case intro
N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
χ : DirichletCharacter R N
d : ℕ
hd : d ∣ N
he : e.mulShift ↑d = 1
u : (ZMod N)ˣ
hu : (ZMod.unitsMap hd) u = 1
a : ℤ
ha : ↑(↑u).val - 1 = ↑d * a
⊢ e.mulShift (↑u - 1) = 1

N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
χ : DirichletCharacter R N
d : ℕ
hd : d ∣ N
he : e.mulShift ↑d = 1
u : (ZMod N)ˣ
hu : (ZMod.unitsMap hd) u = 1
⊢ ↑d ∣ ↑(↑u).val - 1

Proof state:
N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
χ : DirichletCharacter R N
d : ℕ
hd : d ∣ N
he : e.mulShift ↑d = 1
u : (ZMod N)ˣ
hu : ↑(ZMod.castHom hd (ZMod d)) ↑u = 1
⊢ ↑d ∣ ↑(↑u).val - 1

Tactic:
have : ZMod.castHom hd (ZMod d) u.val = ((u.val.val : ℤ) : ZMod d) := by simp

Result:
N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
χ : DirichletCharacter R N
d : ℕ
hd : d ∣ N
he : e.mulShift ↑d = 1
u : (ZMod N)ˣ
hu : ↑(ZMod.castHom hd (ZMod d)) ↑u = 1
this : (ZMod.castHom hd (ZMod d)) ↑u = ↑↑(↑u).val
⊢ ↑d ∣ ↑(↑u).val - 1

Proof state:
N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
χ : DirichletCharacter R N
d : ℕ
hd : d ∣ N
he : e.mulShift ↑d = 1
u : (ZMod N)ˣ
hu : (ZMod.unitsMap hd) u = 1
⊢ e.mulShift ↑u = e

Tactic:
rw [(by ring : u.val = (u - 1) + 1), ← mulShift_mul, mulShift_one, mul_left_eq_self]

Result:
N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
χ : DirichletCharacter R N
d : ℕ
hd : d ∣ N
he : e.mulShift ↑d = 1
u : (ZMod N)ˣ
hu : (ZMod.unitsMap hd) u = 1
⊢ e.mulShift (↑u - 1) = 1

Proof state:
N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
χ : DirichletCharacter R N
d : ℕ
hd : d ∣ N
he : e.mulShift ↑d = 1
u : (ZMod N)ˣ
hu : (ZMod.unitsMap hd) u = 1
⊢ χ ↑u * gaussSum χ e = gaussSum χ e

Tactic:
suffices e.mulShift u = e by conv_lhs => rw [← this, gaussSum_mulShift]

Result:
N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
χ : DirichletCharacter R N
d : ℕ
hd : d ∣ N
he : e.mulShift ↑d = 1
u : (ZMod N)ˣ
hu : (ZMod.unitsMap hd) u = 1
⊢ e.mulShift ↑u = e

Proof state:
N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
χ : DirichletCharacter R N
d : ℕ
hd : d ∣ N
he : e.mulShift ↑d = 1
u : (ZMod N)ˣ
hu : (ZMod.unitsMap hd) u = 1
a : ℤ
ha : ↑(↑u).val - 1 = ↑d * a
⊢ ↑u - 1 = ↑(↑(↑u).val - 1)

Tactic:
simp only [ZMod.natCast_val, Int.cast_sub,
ZMod.intCast_cast, ZMod.cast_id', id_eq, Int.cast_one]

Result:
no goals

Proof state:
N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
χ : DirichletCharacter R N
d : ℕ
hd : d ∣ N
he : e.mulShift ↑d = 1
u : (ZMod N)ˣ
hu : (ZMod.unitsMap hd) u = 1
⊢ ↑u = ↑u - 1 + 1

Tactic:
ring

Result:
no goals

Proof state:
case intro
N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
χ : DirichletCharacter R N
d : ℕ
hd : d ∣ N
he : e.mulShift ↑d = 1
u : (ZMod N)ˣ
hu : (ZMod.unitsMap hd) u = 1
a : ℤ
ha : ↑(↑u).val - 1 = ↑d * a
this : ↑u - 1 = ↑(↑(↑u).val - 1)
⊢ e.mulShift ↑(↑d * a) = 1

Tactic:
ext1 y

Result:
case intro.h
N : ℕ
inst✝¹ : NeZero N
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
e : AddChar (ZMod N) R
χ : DirichletCharacter R N
d : ℕ
hd : d ∣ N
he : e.mulShift ↑d = 1
u : (ZMod N)ˣ
hu : (ZMod.unitsMap hd) u = 1
a : ℤ
ha : ↑(↑u).val - 1 = ↑d * a
this : ↑u - 1 = ↑(↑(↑u).val - 1)
y : ZMod N
⊢ (e.mulShift ↑(↑d * a)) y = 1 y