-- Mathlib/LinearAlgebra/Dimension/StrongRankCondition.lean
theorem mk_eq_mk_of_basis (v : Basis ι R M) (v' : Basis ι' R M) :
    Cardinal.lift.{w'} #ι = Cardinal.lift.{w} #ι'

Proof state:
case inl.intro
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝ : InvariantBasisNumber R
v : Basis ι R M
v' : Basis ι' R M
this✝ : Nontrivial R
val✝¹ : Fintype ι
this : Finite ι'
val✝ : Fintype ι'
⊢ (ι → R) ≃ₗ[R] ι' → R

Tactic:
exact
  (Finsupp.linearEquivFunOnFinite R R ι).symm.trans v.repr.symm ≪≫ₗ v'.repr ≪≫ₗ
    Finsupp.linearEquivFunOnFinite R R ι'

Result:
no goals

Proof state:
case inl.intro
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝ : InvariantBasisNumber R
v : Basis ι R M
v' : Basis ι' R M
this✝ : Nontrivial R
val✝¹ : Fintype ι
this : Finite ι'
val✝ : Fintype ι'
⊢ Fintype.card ι = Fintype.card ι'

Tactic:
apply card_eq_of_linearEquiv R

Result:
case inl.intro
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝ : InvariantBasisNumber R
v : Basis ι R M
v' : Basis ι' R M
this✝ : Nontrivial R
val✝¹ : Fintype ι
this : Finite ι'
val✝ : Fintype ι'
⊢ (ι → R) ≃ₗ[R] ι' → R

Proof state:
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝ : InvariantBasisNumber R
v : Basis ι R M
v' : Basis ι' R M
this : Nontrivial R
⊢ lift.{w', w} #ι = lift.{w, w'} #ι'

Tactic:
cases fintypeOrInfinite ι

Result:
case inl
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝ : InvariantBasisNumber R
v : Basis ι R M
v' : Basis ι' R M
this : Nontrivial R
val✝ : Fintype ι
⊢ lift.{w', w} #ι = lift.{w, w'} #ι'

case inr
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝ : InvariantBasisNumber R
v : Basis ι R M
v' : Basis ι' R M
this : Nontrivial R
val✝ : Infinite ι
⊢ lift.{w', w} #ι = lift.{w, w'} #ι'

Proof state:
case inl
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝ : InvariantBasisNumber R
v : Basis ι R M
v' : Basis ι' R M
this : Nontrivial R
val✝ : Fintype ι
⊢ lift.{w', w} #ι = lift.{w, w'} #ι'

Tactic:
haveI := basis_finite_of_finite_spans _ (Set.finite_range v) v.span_eq v'

Result:
case inl
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝ : InvariantBasisNumber R
v : Basis ι R M
v' : Basis ι' R M
this✝ : Nontrivial R
val✝ : Fintype ι
this : Finite ι'
⊢ lift.{w', w} #ι = lift.{w, w'} #ι'

Proof state:
case inl
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝ : InvariantBasisNumber R
v : Basis ι R M
v' : Basis ι' R M
this✝ : Nontrivial R
val✝ : Fintype ι
this : Finite ι'
⊢ lift.{w', w} #ι = lift.{w, w'} #ι'

Tactic:
cases nonempty_fintype ι'

Result:
case inl.intro
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝ : InvariantBasisNumber R
v : Basis ι R M
v' : Basis ι' R M
this✝ : Nontrivial R
val✝¹ : Fintype ι
this : Finite ι'
val✝ : Fintype ι'
⊢ lift.{w', w} #ι = lift.{w, w'} #ι'

Proof state:
case inl.intro
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝ : InvariantBasisNumber R
v : Basis ι R M
v' : Basis ι' R M
this✝ : Nontrivial R
val✝¹ : Fintype ι
this : Finite ι'
val✝ : Fintype ι'
⊢ lift.{w', w} #ι = lift.{w, w'} #ι'

Tactic:
rw [Cardinal.mk_fintype, Cardinal.mk_fintype]

Result:
case inl.intro
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝ : InvariantBasisNumber R
v : Basis ι R M
v' : Basis ι' R M
this✝ : Nontrivial R
val✝¹ : Fintype ι
this : Finite ι'
val✝ : Fintype ι'
⊢ lift.{w', w} ↑(Fintype.card ι) = lift.{w, w'} ↑(Fintype.card ι')

Proof state:
case inr.intro
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝ : InvariantBasisNumber R
v : Basis ι R M
v' : Basis ι' R M
this✝ : Nontrivial R
val✝ : Infinite ι
w₁ : lift.{w', w} #ι ≤ lift.{w, w'} #ι'
f : ι ↪ ι'
this : Infinite ι'
⊢ lift.{w', w} #ι = lift.{w, w'} #ι'

Tactic:
have w₂ := infinite_basis_le_maximal_linearIndependent' v' _ v.linearIndependent v.maximal

Result:
case inr.intro
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝ : InvariantBasisNumber R
v : Basis ι R M
v' : Basis ι' R M
this✝ : Nontrivial R
val✝ : Infinite ι
w₁ : lift.{w', w} #ι ≤ lift.{w, w'} #ι'
f : ι ↪ ι'
this : Infinite ι'
w₂ : lift.{w, w'} #ι' ≤ lift.{w', w} #ι
⊢ lift.{w', w} #ι = lift.{w, w'} #ι'

Proof state:
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝ : InvariantBasisNumber R
v : Basis ι R M
v' : Basis ι' R M
⊢ lift.{w', w} #ι = lift.{w, w'} #ι'

Tactic:
haveI := nontrivial_of_invariantBasisNumber R

Result:
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝ : InvariantBasisNumber R
v : Basis ι R M
v' : Basis ι' R M
this : Nontrivial R
⊢ lift.{w', w} #ι = lift.{w, w'} #ι'

Proof state:
case inr
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝ : InvariantBasisNumber R
v : Basis ι R M
v' : Basis ι' R M
this : Nontrivial R
val✝ : Infinite ι
⊢ lift.{w', w} #ι = lift.{w, w'} #ι'

Tactic:
have w₁ := infinite_basis_le_maximal_linearIndependent' v _ v'.linearIndependent v'.maximal

Result:
case inr
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝ : InvariantBasisNumber R
v : Basis ι R M
v' : Basis ι' R M
this : Nontrivial R
val✝ : Infinite ι
w₁ : lift.{w', w} #ι ≤ lift.{w, w'} #ι'
⊢ lift.{w', w} #ι = lift.{w, w'} #ι'

Proof state:
case inr.intro
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝ : InvariantBasisNumber R
v : Basis ι R M
v' : Basis ι' R M
this✝ : Nontrivial R
val✝ : Infinite ι
w₁ : lift.{w', w} #ι ≤ lift.{w, w'} #ι'
f : ι ↪ ι'
this : Infinite ι'
w₂ : lift.{w, w'} #ι' ≤ lift.{w', w} #ι
⊢ lift.{w', w} #ι = lift.{w, w'} #ι'

Tactic:
exact le_antisymm w₁ w₂

Result:
no goals

Proof state:
case inl.intro
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝ : InvariantBasisNumber R
v : Basis ι R M
v' : Basis ι' R M
this✝ : Nontrivial R
val✝¹ : Fintype ι
this : Finite ι'
val✝ : Fintype ι'
⊢ lift.{w', w} ↑(Fintype.card ι) = lift.{w, w'} ↑(Fintype.card ι')

Tactic:
simp only [Cardinal.lift_natCast, Nat.cast_inj]

Result:
case inl.intro
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type w
ι' : Type w'
inst✝ : InvariantBasisNumber R
v : Basis ι R M
v' : Basis ι' R M
this✝ : Nontrivial R
val✝¹ : Fintype ι
this : Finite ι'
val✝ : Fintype ι'
⊢ Fintype.card ι = Fintype.card ι'