-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
theorem exists_of_mem_join {a : α} : ∀ {S : WSeq (WSeq α)}, a ∈ join S → ∃ s, s ∈ S ∧ a ∈ s

Proof state:
case h2.h1.h2.h
α : Type u
a : α
ss : WSeq α
h : a ∈ ss
s : WSeq α
S : WSeq (WSeq α)
IH :
  ∀ (s_1 : WSeq α) (S_1 : WSeq (WSeq α)),
    s_1.append S_1.join = s.append S.join → a ∈ s_1.append S_1.join → a ∈ s_1 ∨ ∃ s, s ∈ S_1 ∧ a ∈ s
ej : (s.append S.join).think = (s.append S.join).think
m : a ∈ s.append S.join
⊢ ∃ s_1, (s_1 = s ∨ s_1 ∈ S) ∧ a ∈ s_1

Tactic:
rcases IH s S rfl m with as | ex

Result:
case h2.h1.h2.h.inl
α : Type u
a : α
ss : WSeq α
h : a ∈ ss
s : WSeq α
S : WSeq (WSeq α)
IH :
  ∀ (s_1 : WSeq α) (S_1 : WSeq (WSeq α)),
    s_1.append S_1.join = s.append S.join → a ∈ s_1.append S_1.join → a ∈ s_1 ∨ ∃ s, s ∈ S_1 ∧ a ∈ s
ej : (s.append S.join).think = (s.append S.join).think
m : a ∈ s.append S.join
as : a ∈ s
⊢ ∃ s_1, (s_1 = s ∨ s_1 ∈ S) ∧ a ∈ s_1

case h2.h1.h2.h.inr
α : Type u
a : α
ss : WSeq α
h : a ∈ ss
s : WSeq α
S : WSeq (WSeq α)
IH :
  ∀ (s_1 : WSeq α) (S_1 : WSeq (WSeq α)),
    s_1.append S_1.join = s.append S.join → a ∈ s_1.append S_1.join → a ∈ s_1 ∨ ∃ s, s ∈ S_1 ∧ a ∈ s
ej : (s.append S.join).think = (s.append S.join).think
m : a ∈ s.append S.join
ex : ∃ s, s ∈ S ∧ a ∈ s
⊢ ∃ s_1, (s_1 = s ∨ s_1 ∈ S) ∧ a ∈ s_1

Proof state:
α : Type u
a : α
ss : WSeq α
h : a ∈ ss
S : WSeq (WSeq α)
IH :
  ∀ (s : WSeq α) (S_1 : WSeq (WSeq α)),
    s.append S_1.join = S.join → a ∈ s.append S_1.join → a ∈ s ∨ ∃ s, s ∈ S_1 ∧ a ∈ s
ej : S.join.think = S.join.think
m : a ∈ S.join
⊢ nil.append S.join = S.join

Tactic:
simp

Result:
no goals

Proof state:
case h2.h1.h2
α : Type u
a : α
ss : WSeq α
h : a ∈ ss
s : WSeq α
S : WSeq (WSeq α)
m : a ∈ nil.append (cons s S).join
IH :
  ∀ (s_1 : WSeq α) (S_1 : WSeq (WSeq α)),
    s_1.append S_1.join = s.append S.join → a ∈ s_1.append S_1.join → a ∈ s_1 ∨ ∃ s, s ∈ S_1 ∧ a ∈ s
ej : (s.append S.join).think = (s.append S.join).think
⊢ a ∈ nil ∨ ∃ s_1, s_1 ∈ cons s S ∧ a ∈ s_1

Tactic:
apply Or.inr

Result:
case h2.h1.h2.h
α : Type u
a : α
ss : WSeq α
h : a ∈ ss
s : WSeq α
S : WSeq (WSeq α)
m : a ∈ nil.append (cons s S).join
IH :
  ∀ (s_1 : WSeq α) (S_1 : WSeq (WSeq α)),
    s_1.append S_1.join = s.append S.join → a ∈ s_1.append S_1.join → a ∈ s_1 ∨ ∃ s, s ∈ S_1 ∧ a ∈ s
ej : (s.append S.join).think = (s.append S.join).think
⊢ ∃ s_1, s_1 ∈ cons s S ∧ a ∈ s_1

Proof state:
α : Type u
a : α
ss : WSeq α
h : a ∈ ss
S : WSeq (WSeq α)
IH :
  ∀ (s : WSeq α) (S_1 : WSeq (WSeq α)),
    s.append S_1.join = S.join → a ∈ s.append S_1.join → a ∈ s ∨ ∃ s, s ∈ S_1 ∧ a ∈ s
ej : S.join.think = S.join.think
m : a ∈ S.join
⊢ a ∈ nil.append S.join

Tactic:
simp [m]

Result:
no goals

Proof state:
case h1.h2.intro.inr.inl
α : Type u
a : α
ss : WSeq α
h : a ∈ ss
b : α
S : WSeq (WSeq α)
s : WSeq α
ej : cons b (s.append S.join) = cons b (s.append S.join)
IH :
  ∀ (s_1 : WSeq α) (S_1 : WSeq (WSeq α)),
    s_1.append S_1.join = s.append S.join → a ∈ s_1.append S_1.join → a ∈ s_1 ∨ ∃ s, s ∈ S_1 ∧ a ∈ s
e : a = b
⊢ (a = b ∨ a ∈ s) ∨ ∃ s, s ∈ S ∧ a ∈ s

Tactic:
simp [e]

Result:
no goals

Proof state:
case h2.h1.h2.h.inr
α : Type u
a : α
ss : WSeq α
h : a ∈ ss
s : WSeq α
S : WSeq (WSeq α)
IH :
  ∀ (s_1 : WSeq α) (S_1 : WSeq (WSeq α)),
    s_1.append S_1.join = s.append S.join → a ∈ s_1.append S_1.join → a ∈ s_1 ∨ ∃ s, s ∈ S_1 ∧ a ∈ s
ej : (s.append S.join).think = (s.append S.join).think
m : a ∈ s.append S.join
ex : ∃ s, s ∈ S ∧ a ∈ s
⊢ ∃ s_1, (s_1 = s ∨ s_1 ∈ S) ∧ a ∈ s_1

Tactic:
rcases ex with ⟨s', sS, as⟩

Result:
case h2.h1.h2.h.inr.intro.intro
α : Type u
a : α
ss : WSeq α
h : a ∈ ss
s : WSeq α
S : WSeq (WSeq α)
IH :
  ∀ (s_1 : WSeq α) (S_1 : WSeq (WSeq α)),
    s_1.append S_1.join = s.append S.join → a ∈ s_1.append S_1.join → a ∈ s_1 ∨ ∃ s, s ∈ S_1 ∧ a ∈ s
ej : (s.append S.join).think = (s.append S.join).think
m : a ∈ s.append S.join
s' : WSeq α
sS : s' ∈ S
as : a ∈ s'
⊢ ∃ s_1, (s_1 = s ∨ s_1 ∈ S) ∧ a ∈ s_1

Proof state:
α : Type u
a : α
this :
  ∀ (ss : WSeq α),
    a ∈ ss → ∀ (s : WSeq α) (S : WSeq (WSeq α)), s.append S.join = ss → a ∈ s.append S.join → a ∈ s ∨ ∃ s, s ∈ S ∧ a ∈ s
S : WSeq (WSeq α)
h : a ∈ S.join
⊢ a ∈ nil.append S.join

Tactic:
simp [h]

Result:
no goals

Proof state:
case h1.h2.intro
α : Type u
a : α
ss✝ : WSeq α
h : a ∈ ss✝
b : α
ss : WSeq α
o : a = b ∨ ∀ (s : WSeq α) (S : WSeq (WSeq α)), s.append S.join = ss → a ∈ s.append S.join → a ∈ s ∨ ∃ s, s ∈ S ∧ a ∈ s
S : WSeq (WSeq α)
b' : α
s : WSeq α
m : a ∈ (cons b' s).append S.join
ej : cons b' (s.append S.join) = cons b ss
left✝ : b' = b
right✝ : s.append S.join = ss
⊢ a ∈ cons b' s ∨ ∃ s, s ∈ S ∧ a ∈ s

Tactic:
substs b' ss

Result:
case h1.h2.intro
α : Type u
a : α
ss : WSeq α
h : a ∈ ss
b : α
S : WSeq (WSeq α)
s : WSeq α
m : a ∈ (cons b s).append S.join
o :
  a = b ∨
    ∀ (s_1 : WSeq α) (S_1 : WSeq (WSeq α)),
      s_1.append S_1.join = s.append S.join → a ∈ s_1.append S_1.join → a ∈ s_1 ∨ ∃ s, s ∈ S_1 ∧ a ∈ s
ej : cons b (s.append S.join) = cons b (s.append S.join)
⊢ a ∈ cons b s ∨ ∃ s, s ∈ S ∧ a ∈ s

Proof state:
case h2.h1.h3
α : Type u
a : α
ss : WSeq α
h : a ∈ ss
S : WSeq (WSeq α)
m : a ∈ nil.append S.think.join
IH :
  ∀ (s : WSeq α) (S_1 : WSeq (WSeq α)),
    s.append S_1.join = S.join → a ∈ s.append S_1.join → a ∈ s ∨ ∃ s, s ∈ S_1 ∧ a ∈ s
ej : S.join.think = S.join.think
⊢ a ∈ nil ∨ ∃ s, s ∈ S.think ∧ a ∈ s

Tactic:
apply Or.inr

Result:
case h2.h1.h3.h
α : Type u
a : α
ss : WSeq α
h : a ∈ ss
S : WSeq (WSeq α)
m : a ∈ nil.append S.think.join
IH :
  ∀ (s : WSeq α) (S_1 : WSeq (WSeq α)),
    s.append S_1.join = S.join → a ∈ s.append S_1.join → a ∈ s ∨ ∃ s, s ∈ S_1 ∧ a ∈ s
ej : S.join.think = S.join.think
⊢ ∃ s, s ∈ S.think ∧ a ∈ s

Proof state:
case h2.h1.h2.h.inl
α : Type u
a : α
ss : WSeq α
h : a ∈ ss
s : WSeq α
S : WSeq (WSeq α)
IH :
  ∀ (s_1 : WSeq α) (S_1 : WSeq (WSeq α)),
    s_1.append S_1.join = s.append S.join → a ∈ s_1.append S_1.join → a ∈ s_1 ∨ ∃ s, s ∈ S_1 ∧ a ∈ s
ej : (s.append S.join).think = (s.append S.join).think
m : a ∈ s.append S.join
as : a ∈ s
⊢ ∃ s_1, (s_1 = s ∨ s_1 ∈ S) ∧ a ∈ s_1

Tactic:
exact ⟨s, Or.inl rfl, as⟩

Result:
no goals

Proof state:
case h2.h3
α : Type u
a : α
ss : WSeq α
h : a ∈ ss
S : WSeq (WSeq α)
s : WSeq α
IH :
  ∀ (s_1 : WSeq α) (S_1 : WSeq (WSeq α)),
    s_1.append S_1.join = s.append S.join → a ∈ s_1.append S_1.join → a ∈ s_1 ∨ ∃ s, s ∈ S_1 ∧ a ∈ s
ej : (s.append S.join).think = (s.append S.join).think
m : a ∈ s.append S.join
⊢ a ∈ s ∨ ∃ s, s ∈ S ∧ a ∈ s

Tactic:
apply IH _ _ rfl m

Result:
no goals