-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Gluing.lean
theorem glueDist_triangle_inl_inr_inl (Φ : Z → X) (Ψ : Z → Y) (ε : ℝ)
    (H : ∀ p q, |dist (Φ p) (Φ q) - dist (Ψ p) (Ψ q)| ≤ 2 * ε) (x : X) (y : Y) (z : X) :
    glueDist Φ Ψ ε (.inl x) (.inl z) ≤
      glueDist Φ Ψ ε (.inl x) (.inr y) + glueDist Φ Ψ ε (.inr y) (.inl z)

Proof state:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
H : ∀ (p q : Z), |dist (Φ p) (Φ q) - dist (Ψ p) (Ψ q)| ≤ 2 * ε
x : X
y : Y
z : X
p : Z
⊢ dist x z ≤ (⨅ p, dist z (Φ p) + dist y (Ψ p)) + (dist x (Φ p) + (dist y (Ψ p) + 2 * ε))

Tactic:
refine le_ciInf_add fun q => ?_

Result:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
H : ∀ (p q : Z), |dist (Φ p) (Φ q) - dist (Ψ p) (Ψ q)| ≤ 2 * ε
x : X
y : Y
z : X
p q : Z
⊢ dist x z ≤ dist z (Φ q) + dist y (Ψ q) + (dist x (Φ p) + (dist y (Ψ p) + 2 * ε))

Proof state:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
H : ∀ (p q : Z), |dist (Φ p) (Φ q) - dist (Ψ p) (Ψ q)| ≤ 2 * ε
x : X
y : Y
z : X
p q : Z
⊢ dist x z ≤ dist z (Φ q) + dist y (Ψ q) + (dist x (Φ p) + (dist y (Ψ p) + 2 * ε))

Tactic:
rw [dist_comm z]

Result:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
H : ∀ (p q : Z), |dist (Φ p) (Φ q) - dist (Ψ p) (Ψ q)| ≤ 2 * ε
x : X
y : Y
z : X
p q : Z
⊢ dist x z ≤ dist (Φ q) z + dist y (Ψ q) + (dist x (Φ p) + (dist y (Ψ p) + 2 * ε))

Proof state:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
H : ∀ (p q : Z), |dist (Φ p) (Φ q) - dist (Ψ p) (Ψ q)| ≤ 2 * ε
x : X
y : Y
z : X
p : Z
⊢ dist x z ≤ dist x (Φ p) + dist y (Ψ p) + ((⨅ p, dist z (Φ p) + dist y (Ψ p)) + (ε + ε))

Tactic:
rw [add_left_comm, add_assoc, ← two_mul]

Result:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
H : ∀ (p q : Z), |dist (Φ p) (Φ q) - dist (Ψ p) (Ψ q)| ≤ 2 * ε
x : X
y : Y
z : X
p : Z
⊢ dist x z ≤ (⨅ p, dist z (Φ p) + dist y (Ψ p)) + (dist x (Φ p) + (dist y (Ψ p) + 2 * ε))

Proof state:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
H : ∀ (p q : Z), |dist (Φ p) (Φ q) - dist (Ψ p) (Ψ q)| ≤ 2 * ε
x : X
y : Y
z : X
p q : Z
⊢ dist x z ≤ dist (Φ q) z + dist y (Ψ q) + (dist x (Φ p) + (dist y (Ψ p) + 2 * ε))

Tactic:
linarith [dist_triangle4 x (Φ p) (Φ q) z, dist_triangle_left (Ψ p) (Ψ q) y, (abs_le.1 (H p q)).2]

Result:
no goals

Proof state:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
H : ∀ (p q : Z), |dist (Φ p) (Φ q) - dist (Ψ p) (Ψ q)| ≤ 2 * ε
x : X
y : Y
z : X
⊢ glueDist Φ Ψ ε (Sum.inl x) (Sum.inl z) ≤
    glueDist Φ Ψ ε (Sum.inl x) (Sum.inr y) + glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr y) (Sum.inl z)

Tactic:
simp_rw [glueDist, add_add_add_comm _ ε, add_assoc]

Result:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
H : ∀ (p q : Z), |dist (Φ p) (Φ q) - dist (Ψ p) (Ψ q)| ≤ 2 * ε
x : X
y : Y
z : X
⊢ dist x z ≤ (⨅ p, dist x (Φ p) + dist y (Ψ p)) + ((⨅ p, dist z (Φ p) + dist y (Ψ p)) + (ε + ε))

Proof state:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
H : ∀ (p q : Z), |dist (Φ p) (Φ q) - dist (Ψ p) (Ψ q)| ≤ 2 * ε
x : X
y : Y
z : X
⊢ dist x z ≤ (⨅ p, dist x (Φ p) + dist y (Ψ p)) + ((⨅ p, dist z (Φ p) + dist y (Ψ p)) + (ε + ε))

Tactic:
refine le_ciInf_add fun p => ?_

Result:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
H : ∀ (p q : Z), |dist (Φ p) (Φ q) - dist (Ψ p) (Ψ q)| ≤ 2 * ε
x : X
y : Y
z : X
p : Z
⊢ dist x z ≤ dist x (Φ p) + dist y (Ψ p) + ((⨅ p, dist z (Φ p) + dist y (Ψ p)) + (ε + ε))