-- Mathlib/Probability/ConditionalExpectation.lean
theorem condExp_indep_eq (hle₁ : m₁ ≤ m) (hle₂ : m₂ ≤ m) [SigmaFinite (μ.trim hle₂)]
    (hf : StronglyMeasurable[m₁] f) (hindp : Indep m₁ m₂ μ) : μ[f|m₂] =ᵐ[μ] fun _ => μ[f]

Proof state:
case pos
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
m₁ m₂ m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f : Ω → E
hle₁ : m₁ ≤ m
hle₂ : m₂ ≤ m
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hle₂)
hf : StronglyMeasurable f
hindp : Indep m₁ m₂ μ
hfint : MemLp f 1 μ
s : Set Ω
hms : MeasurableSet s
hs : μ s < ⊤
⊢ (μ s).toReal • ∫ (x : Ω), f x ∂μ = ∫ (x : Ω) in s, f x ∂μ

Tactic:
refine MemLp.induction_stronglyMeasurable hle₁ ENNReal.one_ne_top _ ?_ ?_ ?_ ?_ hfint ?_

Result:
case pos.refine_1
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
m₁ m₂ m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f : Ω → E
hle₁ : m₁ ≤ m
hle₂ : m₂ ≤ m
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hle₂)
hf : StronglyMeasurable f
hindp : Indep m₁ m₂ μ
hfint : MemLp f 1 μ
s : Set Ω
hms : MeasurableSet s
hs : μ s < ⊤
⊢ AEStronglyMeasurable f μ

case pos.refine_2
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
m₁ m₂ m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f : Ω → E
hle₁ : m₁ ≤ m
hle₂ : m₂ ≤ m
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hle₂)
hf : StronglyMeasurable f
hindp : Indep m₁ m₂ μ
hfint : MemLp f 1 μ
s : Set Ω
hms : MeasurableSet s
hs : μ s < ⊤
⊢ ∀ (c : E) ⦃s_1 : Set Ω⦄,
    MeasurableSet s_1 →
      μ s_1 < ⊤ →
        (μ s).toReal • ∫ (x : Ω), s_1.indicator (fun x => c) x ∂μ = ∫ (x : Ω) in s, s_1.indicator (fun x => c) x ∂μ

case pos.refine_3
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
m₁ m₂ m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f : Ω → E
hle₁ : m₁ ≤ m
hle₂ : m₂ ≤ m
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hle₂)
hf : StronglyMeasurable f
hindp : Indep m₁ m₂ μ
hfint : MemLp f 1 μ
s : Set Ω
hms : MeasurableSet s
hs : μ s < ⊤
⊢ ∀ ⦃f g : Ω → E⦄,
    Disjoint (Function.support f) (Function.support g) →
      MemLp f 1 μ →
        MemLp g 1 μ →
          StronglyMeasurable f →
            StronglyMeasurable g →
              (μ s).toReal • ∫ (x : Ω), f x ∂μ = ∫ (x : Ω) in s, f x ∂μ →
                (μ s).toReal • ∫ (x : Ω), g x ∂μ = ∫ (x : Ω) in s, g x ∂μ →
                  (μ s).toReal • ∫ (x : Ω), (f + g) x ∂μ = ∫ (x : Ω) in s, (f + g) x ∂μ

case pos.refine_4
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
m₁ m₂ m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f : Ω → E
hle₁ : m₁ ≤ m
hle₂ : m₂ ≤ m
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hle₂)
hf : StronglyMeasurable f
hindp : Indep m₁ m₂ μ
hfint : MemLp f 1 μ
s : Set Ω
hms : MeasurableSet s
hs : μ s < ⊤
⊢ IsClosed {f | (μ s).toReal • ∫ (x : Ω), ↑↑↑f x ∂μ = ∫ (x : Ω) in s, ↑↑↑f x ∂μ}

case pos.refine_5
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
m₁ m₂ m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f : Ω → E
hle₁ : m₁ ≤ m
hle₂ : m₂ ≤ m
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hle₂)
hf : StronglyMeasurable f
hindp : Indep m₁ m₂ μ
hfint : MemLp f 1 μ
s : Set Ω
hms : MeasurableSet s
hs : μ s < ⊤
⊢ ∀ ⦃f g : Ω → E⦄,
    f =ᶠ[ae μ] g →
      MemLp f 1 μ →
        (μ s).toReal • ∫ (x : Ω), f x ∂μ = ∫ (x : Ω) in s, f x ∂μ →
          (μ s).toReal • ∫ (x : Ω), g x ∂μ = ∫ (x : Ω) in s, g x ∂μ

Proof state:
case pos.refine_3
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
m₁ m₂ m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f : Ω → E
hle₁ : m₁ ≤ m
hle₂ : m₂ ≤ m
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hle₂)
hf : StronglyMeasurable f
hindp : Indep m₁ m₂ μ
hfint : MemLp f 1 μ
s : Set Ω
hms : MeasurableSet s
hs : μ s < ⊤
u v : Ω → E
a✝ : Disjoint (Function.support u) (Function.support v)
huint : Integrable u μ
hvint : Integrable v μ
hu : StronglyMeasurable u
hv : StronglyMeasurable v
hu_eq : (μ s).toReal • ∫ (x : Ω), u x ∂μ = ∫ (x : Ω) in s, u x ∂μ
hv_eq : (μ s).toReal • ∫ (x : Ω), v x ∂μ = ∫ (x : Ω) in s, v x ∂μ
⊢ (μ s).toReal • ∫ (x : Ω), (u + v) x ∂μ = ∫ (x : Ω) in s, (u + v) x ∂μ

Tactic:
rw [integral_add' huint hvint, smul_add, hu_eq, hv_eq,
  integral_add' huint.integrableOn hvint.integrableOn]

Result:
no goals

Proof state:
case pos.refine_4.refine_2
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
m₁ m₂ m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f : Ω → E
hle₁ : m₁ ≤ m
hle₂ : m₂ ≤ m
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hle₂)
hf : StronglyMeasurable f
hindp : Indep m₁ m₂ μ
hfint : MemLp f 1 μ
s : Set Ω
hms : MeasurableSet s
hs : μ s < ⊤
heq₁ : (fun f => ∫ (x : Ω), ↑↑↑f x ∂μ) = (fun f => ∫ (x : Ω), ↑↑f x ∂μ) ∘ ⇑(lpMeas E ℝ m₁ 1 μ).subtypeL
heq₂ : (fun f => ∫ (x : Ω) in s, ↑↑↑f x ∂μ) = (fun f => ∫ (x : Ω) in s, ↑↑f x ∂μ) ∘ ⇑(lpMeas E ℝ m₁ 1 μ).subtypeL
⊢ Continuous ((fun f => ∫ (x : Ω) in s, ↑↑f x ∂μ) ∘ ⇑(lpMeas E ℝ m₁ 1 μ).subtypeL)

Tactic:
exact (continuous_setIntegral _).comp (ContinuousLinearMap.continuous _)

Result:
no goals

Proof state:
case pos.refine_1
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
m₁ m₂ m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f : Ω → E
hle₁ : m₁ ≤ m
hle₂ : m₂ ≤ m
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hle₂)
hf : StronglyMeasurable f
hindp : Indep m₁ m₂ μ
hfint : MemLp f 1 μ
s : Set Ω
hms : MeasurableSet s
hs : μ s < ⊤
⊢ AEStronglyMeasurable f μ

Tactic:
exact ⟨f, hf, EventuallyEq.rfl⟩

Result:
no goals

Proof state:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
m₁ m₂ m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f✝ : Ω → E
hle₁ : m₁ ≤ m
hle₂ : m₂ ≤ m
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hle₂)
hf : StronglyMeasurable f✝
hindp : Indep m₁ m₂ μ
hfint : MemLp f✝ 1 μ
s : Set Ω
hms : MeasurableSet s
hs : μ s < ⊤
heq₁ : (fun f => ∫ (x : Ω), ↑↑↑f x ∂μ) = (fun f => ∫ (x : Ω), ↑↑f x ∂μ) ∘ ⇑(lpMeas E ℝ m₁ 1 μ).subtypeL
f : ↥(lpMeas E ℝ m₁ 1 μ)
⊢ ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, ↑↑↑f x = ↑↑((lpMeas E ℝ m₁ 1 μ).subtypeL f) x

Tactic:
simp_rw [Submodule.coe_subtypeL', Submodule.coe_subtype]

Result:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
m₁ m₂ m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f✝ : Ω → E
hle₁ : m₁ ≤ m
hle₂ : m₂ ≤ m
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hle₂)
hf : StronglyMeasurable f✝
hindp : Indep m₁ m₂ μ
hfint : MemLp f✝ 1 μ
s : Set Ω
hms : MeasurableSet s
hs : μ s < ⊤
heq₁ : (fun f => ∫ (x : Ω), ↑↑↑f x ∂μ) = (fun f => ∫ (x : Ω), ↑↑f x ∂μ) ∘ ⇑(lpMeas E ℝ m₁ 1 μ).subtypeL
f : ↥(lpMeas E ℝ m₁ 1 μ)
⊢ ∀ᵐ (x : Ω) ∂μ, True

Proof state:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
m₁ m₂ m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f✝ : Ω → E
hle₁ : m₁ ≤ m
hle₂ : m₂ ≤ m
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hle₂)
hf : StronglyMeasurable f✝
hindp : Indep m₁ m₂ μ
hfint : MemLp f✝ 1 μ
s : Set Ω
hms : MeasurableSet s
hs : μ s < ⊤
f : ↥(lpMeas E ℝ m₁ 1 μ)
⊢ ↑↑↑f =ᶠ[ae μ] ↑↑↑f

Tactic:
norm_cast

Result:
no goals

Proof state:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
m₁ m₂ m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f✝ : Ω → E
hle₁ : m₁ ≤ m
hle₂ : m₂ ≤ m
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hle₂)
hf : StronglyMeasurable f✝
hindp : Indep m₁ m₂ μ
hfint : MemLp f✝ 1 μ
s : Set Ω
hms : MeasurableSet s
hs : μ s < ⊤
f : ↥(lpMeas E ℝ m₁ 1 μ)
⊢ ↑↑↑f =ᶠ[ae μ] ↑↑((lpMeas E ℝ m₁ 1 μ).subtypeL f)

Tactic:
simp_rw [Submodule.coe_subtypeL', Submodule.coe_subtype]

Result:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
m₁ m₂ m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
f✝ : Ω → E
hle₁ : m₁ ≤ m
hle₂ : m₂ ≤ m
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hle₂)
hf : StronglyMeasurable f✝
hindp : Indep m₁ m₂ μ
hfint : MemLp f✝ 1 μ
s : Set Ω
hms : MeasurableSet s
hs : μ s < ⊤
f : ↥(lpMeas E ℝ m₁ 1 μ)
⊢ ↑↑↑f =ᶠ[ae μ] ↑↑↑f