-- Mathlib/Data/Multiset/Pi.lean
theorem mem_pi (m : Multiset α) (t : ∀ a, Multiset (β a)) :
    ∀ f : ∀ a ∈ m, β a, f ∈ pi m t ↔ ∀ (a) (h : a ∈ m), f a h ∈ t a

Proof state:
case neg
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
β : α → Type u_2
t : (a : α) → Multiset (β a)
a : α
m : Multiset α
ih : ∀ (f : (a : α) → a ∈ m → β a), f ∈ m.pi t ↔ ∀ (a : α) (h : a ∈ m), f a h ∈ t a
b : β a
hb : b ∈ t a
f' : (a : α) → a ∈ m → β a
hf' : ∀ (a : α) (h : a ∈ m), f' a h ∈ t a
a' : α
ha' : a' ∈ a ::ₘ m
h : ¬a' = a
⊢ f' a' ⋯ ∈ t a'

Tactic:
apply hf'

Result:
no goals

Proof state:
case cons
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
β : α → Type u_2
t : (a : α) → Multiset (β a)
a : α
m : Multiset α
ih : ∀ (f : (a : α) → a ∈ m → β a), f ∈ m.pi t ↔ ∀ (a : α) (h : a ∈ m), f a h ∈ t a
f : (a_1 : α) → a_1 ∈ a ::ₘ m → β a_1
⊢ f ∈ (a ::ₘ m).pi t ↔ ∀ (a_1 : α) (h : a_1 ∈ a ::ₘ m), f a_1 h ∈ t a_1

Tactic:
simp_rw [pi_cons, mem_bind, mem_map, ih]

Result:
case cons
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
β : α → Type u_2
t : (a : α) → Multiset (β a)
a : α
m : Multiset α
ih : ∀ (f : (a : α) → a ∈ m → β a), f ∈ m.pi t ↔ ∀ (a : α) (h : a ∈ m), f a h ∈ t a
f : (a_1 : α) → a_1 ∈ a ::ₘ m → β a_1
⊢ (∃ a_1 ∈ t a, ∃ a_2, (∀ (a : α) (h : a ∈ m), a_2 a h ∈ t a) ∧ Pi.cons m a a_1 a_2 = f) ↔
    ∀ (a_1 : α) (h : a_1 ∈ a ::ₘ m), f a_1 h ∈ t a_1

Proof state:
case neg
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
β : α → Type u_2
t : (a : α) → Multiset (β a)
a : α
m : Multiset α
ih : ∀ (f : (a : α) → a ∈ m → β a), f ∈ m.pi t ↔ ∀ (a : α) (h : a ∈ m), f a h ∈ t a
b : β a
hb : b ∈ t a
f' : (a : α) → a ∈ m → β a
hf' : ∀ (a : α) (h : a ∈ m), f' a h ∈ t a
a' : α
ha' : a' ∈ a ::ₘ m
h : ¬a' = a
⊢ Pi.cons m a b f' a' ha' ∈ t a'

Tactic:
rw [Pi.cons_ne _ h]

Result:
case neg
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
β : α → Type u_2
t : (a : α) → Multiset (β a)
a : α
m : Multiset α
ih : ∀ (f : (a : α) → a ∈ m → β a), f ∈ m.pi t ↔ ∀ (a : α) (h : a ∈ m), f a h ∈ t a
b : β a
hb : b ∈ t a
f' : (a : α) → a ∈ m → β a
hf' : ∀ (a : α) (h : a ∈ m), f' a h ∈ t a
a' : α
ha' : a' ∈ a ::ₘ m
h : ¬a' = a
⊢ f' a' ⋯ ∈ t a'

Proof state:
case empty
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
β : α → Type u_2
t : (a : α) → Multiset (β a)
f : (a : α) → a ∈ 0 → β a
this : f = Pi.empty β
a✝ : α
h : a✝ ∈ 0
⊢ Pi.empty β a✝ h ∈ t a✝

Tactic:
exact (not_mem_zero _ h).elim

Result:
no goals

Proof state:
case empty
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
β : α → Type u_2
t : (a : α) → Multiset (β a)
f : (a : α) → a ∈ 0 → β a
⊢ f ∈ pi 0 t ↔ ∀ (a : α) (h : a ∈ 0), f a h ∈ t a

Tactic:
have : f = Pi.empty β := funext (fun _ => funext fun h => (not_mem_zero _ h).elim)

Result:
case empty
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
β : α → Type u_2
t : (a : α) → Multiset (β a)
f : (a : α) → a ∈ 0 → β a
this : f = Pi.empty β
⊢ f ∈ pi 0 t ↔ ∀ (a : α) (h : a ∈ 0), f a h ∈ t a

Proof state:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
β : α → Type u_2
m : Multiset α
t : (a : α) → Multiset (β a)
f : (a : α) → a ∈ m → β a
⊢ f ∈ m.pi t ↔ ∀ (a : α) (h : a ∈ m), f a h ∈ t a

Tactic:
induction' m using Multiset.induction_on with a m ih

Result:
case empty
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
β : α → Type u_2
t : (a : α) → Multiset (β a)
f : (a : α) → a ∈ 0 → β a
⊢ f ∈ pi 0 t ↔ ∀ (a : α) (h : a ∈ 0), f a h ∈ t a

case cons
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
β : α → Type u_2
t : (a : α) → Multiset (β a)
a : α
m : Multiset α
ih : ∀ (f : (a : α) → a ∈ m → β a), f ∈ m.pi t ↔ ∀ (a : α) (h : a ∈ m), f a h ∈ t a
f : (a_1 : α) → a_1 ∈ a ::ₘ m → β a_1
⊢ f ∈ (a ::ₘ m).pi t ↔ ∀ (a_1 : α) (h : a_1 ∈ a ::ₘ m), f a_1 h ∈ t a_1

Proof state:
case cons
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
β : α → Type u_2
t : (a : α) → Multiset (β a)
a : α
m : Multiset α
ih : ∀ (f : (a : α) → a ∈ m → β a), f ∈ m.pi t ↔ ∀ (a : α) (h : a ∈ m), f a h ∈ t a
f : (a_1 : α) → a_1 ∈ a ::ₘ m → β a_1
⊢ (∃ a_1 ∈ t a, ∃ a_2, (∀ (a : α) (h : a ∈ m), a_2 a h ∈ t a) ∧ Pi.cons m a a_1 a_2 = f) ↔
    ∀ (a_1 : α) (h : a_1 ∈ a ::ₘ m), f a_1 h ∈ t a_1

Tactic:
constructor

Result:
case cons.mp
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
β : α → Type u_2
t : (a : α) → Multiset (β a)
a : α
m : Multiset α
ih : ∀ (f : (a : α) → a ∈ m → β a), f ∈ m.pi t ↔ ∀ (a : α) (h : a ∈ m), f a h ∈ t a
f : (a_1 : α) → a_1 ∈ a ::ₘ m → β a_1
⊢ (∃ a_1 ∈ t a, ∃ a_2, (∀ (a : α) (h : a ∈ m), a_2 a h ∈ t a) ∧ Pi.cons m a a_1 a_2 = f) →
    ∀ (a_2 : α) (h : a_2 ∈ a ::ₘ m), f a_2 h ∈ t a_2

case cons.mpr
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
β : α → Type u_2
t : (a : α) → Multiset (β a)
a : α
m : Multiset α
ih : ∀ (f : (a : α) → a ∈ m → β a), f ∈ m.pi t ↔ ∀ (a : α) (h : a ∈ m), f a h ∈ t a
f : (a_1 : α) → a_1 ∈ a ::ₘ m → β a_1
⊢ (∀ (a_1 : α) (h : a_1 ∈ a ::ₘ m), f a_1 h ∈ t a_1) →
    ∃ a_2 ∈ t a, ∃ a_3, (∀ (a : α) (h : a ∈ m), a_3 a h ∈ t a) ∧ Pi.cons m a a_2 a_3 = f

Proof state:
case pos
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
β : α → Type u_2
t : (a : α) → Multiset (β a)
m : Multiset α
ih : ∀ (f : (a : α) → a ∈ m → β a), f ∈ m.pi t ↔ ∀ (a : α) (h : a ∈ m), f a h ∈ t a
f' : (a : α) → a ∈ m → β a
hf' : ∀ (a : α) (h : a ∈ m), f' a h ∈ t a
a' : α
b : β a'
hb : b ∈ t a'
ha' : a' ∈ a' ::ₘ m
⊢ Pi.cons m a' b f' a' ha' ∈ t a'

Tactic:
rwa [Pi.cons_same]

Result:
no goals

Proof state:
case empty
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
β : α → Type u_2
t : (a : α) → Multiset (β a)
f : (a : α) → a ∈ 0 → β a
this : f = Pi.empty β
⊢ f ∈ pi 0 t ↔ ∀ (a : α) (h : a ∈ 0), f a h ∈ t a

Tactic:
simp only [this, pi_zero, mem_singleton, true_iff]

Result:
case empty
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
β : α → Type u_2
t : (a : α) → Multiset (β a)
f : (a : α) → a ∈ 0 → β a
this : f = Pi.empty β
⊢ ∀ (a : α) (h : a ∈ 0), Pi.empty β a h ∈ t a

Proof state:
case pos
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
β : α → Type u_2
t : (a : α) → Multiset (β a)
a : α
m : Multiset α
ih : ∀ (f : (a : α) → a ∈ m → β a), f ∈ m.pi t ↔ ∀ (a : α) (h : a ∈ m), f a h ∈ t a
b : β a
hb : b ∈ t a
f' : (a : α) → a ∈ m → β a
hf' : ∀ (a : α) (h : a ∈ m), f' a h ∈ t a
a' : α
ha' : a' ∈ a ::ₘ m
h : a' = a
⊢ Pi.cons m a b f' a' ha' ∈ t a'

Tactic:
subst h

Result:
case pos
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
β : α → Type u_2
t : (a : α) → Multiset (β a)
m : Multiset α
ih : ∀ (f : (a : α) → a ∈ m → β a), f ∈ m.pi t ↔ ∀ (a : α) (h : a ∈ m), f a h ∈ t a
f' : (a : α) → a ∈ m → β a
hf' : ∀ (a : α) (h : a ∈ m), f' a h ∈ t a
a' : α
b : β a'
hb : b ∈ t a'
ha' : a' ∈ a' ::ₘ m
⊢ Pi.cons m a' b f' a' ha' ∈ t a'

Proof state:
case cons.mpr
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
β : α → Type u_2
t : (a : α) → Multiset (β a)
a : α
m : Multiset α
ih : ∀ (f : (a : α) → a ∈ m → β a), f ∈ m.pi t ↔ ∀ (a : α) (h : a ∈ m), f a h ∈ t a
f : (a_1 : α) → a_1 ∈ a ::ₘ m → β a_1
⊢ (∀ (a_1 : α) (h : a_1 ∈ a ::ₘ m), f a_1 h ∈ t a_1) →
    ∃ a_2 ∈ t a, ∃ a_3, (∀ (a : α) (h : a ∈ m), a_3 a h ∈ t a) ∧ Pi.cons m a a_2 a_3 = f

Tactic:
intro hf

Result:
case cons.mpr
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
β : α → Type u_2
t : (a : α) → Multiset (β a)
a : α
m : Multiset α
ih : ∀ (f : (a : α) → a ∈ m → β a), f ∈ m.pi t ↔ ∀ (a : α) (h : a ∈ m), f a h ∈ t a
f : (a_1 : α) → a_1 ∈ a ::ₘ m → β a_1
hf : ∀ (a_1 : α) (h : a_1 ∈ a ::ₘ m), f a_1 h ∈ t a_1
⊢ ∃ a_1 ∈ t a, ∃ a_2, (∀ (a : α) (h : a ∈ m), a_2 a h ∈ t a) ∧ Pi.cons m a a_1 a_2 = f