-- Mathlib/Data/Matroid/Closure.lean
lemma Indep.union_indep_iff_forall_not_mem_closure_right (hI : M.Indep I) (hJ : M.Indep J) :
    M.Indep (I ∪ J) ↔ ∀ e ∈ J \ I, e ∉ M.closure (I ∪ (J \ {e}))

Proof state:
case refine_2
α : Type u_2
M : Matroid α
I J : Set α
hI : M.Indep I
hJ : M.Indep J
h : ∀ e ∈ J \ I, e ∉ M.closure (I ∪ J \ {e})
⊢ M.Indep (I ∪ J)

Tactic:
obtain ⟨K, hKIJ, hK⟩ := hI.subset_isBasis_of_subset (show I ⊆ I ∪ J from subset_union_left)

Result:
case refine_2.intro.intro
α : Type u_2
M : Matroid α
I J : Set α
hI : M.Indep I
hJ : M.Indep J
h : ∀ e ∈ J \ I, e ∉ M.closure (I ∪ J \ {e})
K : Set α
hKIJ : M.IsBasis K (I ∪ J)
hK : I ⊆ K
⊢ M.Indep (I ∪ J)

Proof state:
case refine_1
α : Type u_2
M : Matroid α
I J : Set α
hI : M.Indep I
hJ : M.Indep J
h : M.Indep (I ∪ J)
e : α
heJ : e ∈ J \ I
hecl : e ∈ M.closure (I ∪ J \ {e})
⊢ e ∈ M.closure ((I ∪ J) \ {e})

Tactic:
rwa [union_diff_distrib, diff_singleton_eq_self heJ.2]

Result:
no goals

Proof state:
case refine_2.intro.intro
α : Type u_2
M : Matroid α
I J : Set α
hI : M.Indep I
hJ : M.Indep J
h : ∀ e ∈ J \ I, e ∉ M.closure (I ∪ J \ {e})
K : Set α
hKIJ : M.IsBasis K (I ∪ J)
hK : I ⊆ K
⊢ M.Indep (I ∪ J)

Tactic:
obtain rfl | hssu := hKIJ.subset.eq_or_ssubset

Result:
case refine_2.intro.intro.inl
α : Type u_2
M : Matroid α
I J : Set α
hI : M.Indep I
hJ : M.Indep J
h : ∀ e ∈ J \ I, e ∉ M.closure (I ∪ J \ {e})
hKIJ : M.IsBasis (I ∪ J) (I ∪ J)
hK : I ⊆ I ∪ J
⊢ M.Indep (I ∪ J)

case refine_2.intro.intro.inr
α : Type u_2
M : Matroid α
I J : Set α
hI : M.Indep I
hJ : M.Indep J
h : ∀ e ∈ J \ I, e ∉ M.closure (I ∪ J \ {e})
K : Set α
hKIJ : M.IsBasis K (I ∪ J)
hK : I ⊆ K
hssu : K ⊂ I ∪ J
⊢ M.Indep (I ∪ J)

Proof state:
α : Type u_2
M : Matroid α
I J : Set α
hI : M.Indep I
hJ : M.Indep J
⊢ M.Indep (I ∪ J) ↔ ∀ e ∈ J \ I, e ∉ M.closure (I ∪ J \ {e})

Tactic:
refine ⟨fun h e heJ hecl ↦ h.not_mem_closure_diff_of_mem (.inr heJ.1) ?_, fun h ↦ ?_⟩

Result:
case refine_1
α : Type u_2
M : Matroid α
I J : Set α
hI : M.Indep I
hJ : M.Indep J
h : M.Indep (I ∪ J)
e : α
heJ : e ∈ J \ I
hecl : e ∈ M.closure (I ∪ J \ {e})
⊢ e ∈ M.closure ((I ∪ J) \ {e})

case refine_2
α : Type u_2
M : Matroid α
I J : Set α
hI : M.Indep I
hJ : M.Indep J
h : ∀ e ∈ J \ I, e ∉ M.closure (I ∪ J \ {e})
⊢ M.Indep (I ∪ J)

Proof state:
α : Type u_2
M : Matroid α
I J : Set α
hI : M.Indep I
hJ : M.Indep J
h : ∀ e ∈ J \ I, e ∉ M.closure (I ∪ J \ {e})
K : Set α
hKIJ : M.IsBasis K (I ∪ J)
hK : I ⊆ K
hssu : K ⊂ I ∪ J
e : α
heI : e ∈ I ∪ J
heK : e ∉ K
⊢ e ∈ J \ I

Tactic:
rw [← union_diff_right, union_comm]

Result:
α : Type u_2
M : Matroid α
I J : Set α
hI : M.Indep I
hJ : M.Indep J
h : ∀ e ∈ J \ I, e ∉ M.closure (I ∪ J \ {e})
K : Set α
hKIJ : M.IsBasis K (I ∪ J)
hK : I ⊆ K
hssu : K ⊂ I ∪ J
e : α
heI : e ∈ I ∪ J
heK : e ∉ K
⊢ e ∈ (I ∪ J) \ I

Proof state:
case refine_2.intro.intro.inr.intro.intro
α : Type u_2
M : Matroid α
I J : Set α
hI : M.Indep I
hJ : M.Indep J
h : ∀ e ∈ J \ I, e ∉ M.closure (I ∪ J \ {e})
K : Set α
hKIJ : M.IsBasis K (I ∪ J)
hK : I ⊆ K
hssu : K ⊂ I ∪ J
e : α
heI : e ∈ I ∪ J
heK : e ∉ K
⊢ False

Tactic:
have heJI : e ∈ J \ I := by
  rw [← union_diff_right, union_comm]
  exact ⟨heI, not_mem_subset hK heK⟩

Result:
case refine_2.intro.intro.inr.intro.intro
α : Type u_2
M : Matroid α
I J : Set α
hI : M.Indep I
hJ : M.Indep J
h : ∀ e ∈ J \ I, e ∉ M.closure (I ∪ J \ {e})
K : Set α
hKIJ : M.IsBasis K (I ∪ J)
hK : I ⊆ K
hssu : K ⊂ I ∪ J
e : α
heI : e ∈ I ∪ J
heK : e ∉ K
heJI : e ∈ J \ I
⊢ False

Proof state:
case refine_2.intro.intro.inr.intro.intro
α : Type u_2
M : Matroid α
I J : Set α
hI : M.Indep I
hJ : M.Indep J
h : ∀ e ∈ J \ I, e ∉ M.closure (I ∪ J \ {e})
K : Set α
hKIJ : M.IsBasis K (I ∪ J)
hK : I ⊆ K
hssu : K ⊂ I ∪ J
e : α
heI : e ∈ I ∪ J
heK : e ∉ K
heJI : e ∈ J \ I
⊢ False

Tactic:
refine h _ heJI ?_

Result:
case refine_2.intro.intro.inr.intro.intro
α : Type u_2
M : Matroid α
I J : Set α
hI : M.Indep I
hJ : M.Indep J
h : ∀ e ∈ J \ I, e ∉ M.closure (I ∪ J \ {e})
K : Set α
hKIJ : M.IsBasis K (I ∪ J)
hK : I ⊆ K
hssu : K ⊂ I ∪ J
e : α
heI : e ∈ I ∪ J
heK : e ∉ K
heJI : e ∈ J \ I
⊢ e ∈ M.closure (I ∪ J \ {e})

Proof state:
case refine_2.intro.intro.inr.intro.intro
α : Type u_2
M : Matroid α
I J : Set α
hI : M.Indep I
hJ : M.Indep J
h : ∀ e ∈ J \ I, e ∉ M.closure (I ∪ J \ {e})
K : Set α
hKIJ : M.IsBasis K (I ∪ J)
hK : I ⊆ K
hssu : K ⊂ I ∪ J
e : α
heI : e ∈ I ∪ J
heK : e ∉ K
heJI : e ∈ J \ I
⊢ e ∈ M.closure (I ∪ J \ {e})

Tactic:
rw [← diff_singleton_eq_self heJI.2, ← union_diff_distrib]

Result:
case refine_2.intro.intro.inr.intro.intro
α : Type u_2
M : Matroid α
I J : Set α
hI : M.Indep I
hJ : M.Indep J
h : ∀ e ∈ J \ I, e ∉ M.closure (I ∪ J \ {e})
K : Set α
hKIJ : M.IsBasis K (I ∪ J)
hK : I ⊆ K
hssu : K ⊂ I ∪ J
e : α
heI : e ∈ I ∪ J
heK : e ∉ K
heJI : e ∈ J \ I
⊢ e ∈ M.closure ((I ∪ J) \ {e})

Proof state:
α : Type u_2
M : Matroid α
I J : Set α
hI : M.Indep I
hJ : M.Indep J
h : ∀ e ∈ J \ I, e ∉ M.closure (I ∪ J \ {e})
K : Set α
hKIJ : M.IsBasis K (I ∪ J)
hK : I ⊆ K
hssu : K ⊂ I ∪ J
e : α
heI : e ∈ I ∪ J
heK : e ∉ K
⊢ e ∈ (I ∪ J) \ I

Tactic:
exact ⟨heI, not_mem_subset hK heK⟩

Result:
no goals

Proof state:
case refine_2.intro.intro.inl
α : Type u_2
M : Matroid α
I J : Set α
hI : M.Indep I
hJ : M.Indep J
h : ∀ e ∈ J \ I, e ∉ M.closure (I ∪ J \ {e})
hKIJ : M.IsBasis (I ∪ J) (I ∪ J)
hK : I ⊆ I ∪ J
⊢ M.Indep (I ∪ J)

Tactic:
exact hKIJ.indep

Result:
no goals

Proof state:
case refine_2.intro.intro.inr
α : Type u_2
M : Matroid α
I J : Set α
hI : M.Indep I
hJ : M.Indep J
h : ∀ e ∈ J \ I, e ∉ M.closure (I ∪ J \ {e})
K : Set α
hKIJ : M.IsBasis K (I ∪ J)
hK : I ⊆ K
hssu : K ⊂ I ∪ J
⊢ False

Tactic:
obtain ⟨e, heI, heK⟩ := exists_of_ssubset hssu

Result:
case refine_2.intro.intro.inr.intro.intro
α : Type u_2
M : Matroid α
I J : Set α
hI : M.Indep I
hJ : M.Indep J
h : ∀ e ∈ J \ I, e ∉ M.closure (I ∪ J \ {e})
K : Set α
hKIJ : M.IsBasis K (I ∪ J)
hK : I ⊆ K
hssu : K ⊂ I ∪ J
e : α
heI : e ∈ I ∪ J
heK : e ∉ K
⊢ False

Proof state:
case refine_2.intro.intro.inr.intro.intro
α : Type u_2
M : Matroid α
I J : Set α
hI : M.Indep I
hJ : M.Indep J
h : ∀ e ∈ J \ I, e ∉ M.closure (I ∪ J \ {e})
K : Set α
hKIJ : M.IsBasis K (I ∪ J)
hK : I ⊆ K
hssu : K ⊂ I ∪ J
e : α
heI : e ∈ I ∪ J
heK : e ∉ K
heJI : e ∈ J \ I
⊢ e ∈ M.closure ((I ∪ J) \ {e})

Tactic:
exact M.closure_subset_closure (subset_diff_singleton hKIJ.subset heK) <| hKIJ.subset_closure heI

Result:
no goals

Proof state:
case refine_2.intro.intro.inr
α : Type u_2
M : Matroid α
I J : Set α
hI : M.Indep I
hJ : M.Indep J
h : ∀ e ∈ J \ I, e ∉ M.closure (I ∪ J \ {e})
K : Set α
hKIJ : M.IsBasis K (I ∪ J)
hK : I ⊆ K
hssu : K ⊂ I ∪ J
⊢ M.Indep (I ∪ J)

Tactic:
exfalso

Result:
case refine_2.intro.intro.inr
α : Type u_2
M : Matroid α
I J : Set α
hI : M.Indep I
hJ : M.Indep J
h : ∀ e ∈ J \ I, e ∉ M.closure (I ∪ J \ {e})
K : Set α
hKIJ : M.IsBasis K (I ∪ J)
hK : I ⊆ K
hssu : K ⊂ I ∪ J
⊢ False