-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
theorem coe_ideal_mul_inv [h : IsDedekindDomain A] (I : Ideal A) (hI0 : I ≠ ⊥) :
    I * (I : FractionalIdeal A⁰ K)⁻¹ = 1

Proof state:
case neg.intro
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hJ0 : ¬↑I * (↑I)⁻¹ = 0
x : K
hx : x ∈ (fun a => ↑a) (↑I * (↑I)⁻¹)⁻¹
x_mul_mem : ∀ b ∈ (↑I)⁻¹, x * b ∈ (↑I)⁻¹
p : A[X]
hy : (Polynomial.aeval x) p ∈ Subalgebra.toSubmodule (Polynomial.aeval x).range
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.range (p.natDegree + 1)
⊢ x ^ i ∈ ↑(↑I)⁻¹

Tactic:
clear hi

Result:
case neg.intro
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hJ0 : ¬↑I * (↑I)⁻¹ = 0
x : K
hx : x ∈ (fun a => ↑a) (↑I * (↑I)⁻¹)⁻¹
x_mul_mem : ∀ b ∈ (↑I)⁻¹, x * b ∈ (↑I)⁻¹
p : A[X]
hy : (Polynomial.aeval x) p ∈ Subalgebra.toSubmodule (Polynomial.aeval x).range
i : ℕ
⊢ x ^ i ∈ ↑(↑I)⁻¹

Proof state:
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hJ0 : ¬↑I * (↑I)⁻¹ = 0
x : K
hx : ∀ y ∈ ↑I * (↑I)⁻¹, x * y ∈ 1
b : K
hb : b ∈ (↑I)⁻¹
⊢ ∀ y ∈ ↑I, x * b * y ∈ 1

Tactic:
simp only [mul_assoc, mul_comm b] at hx ⊢

Result:
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hJ0 : ¬↑I * (↑I)⁻¹ = 0
x : K
hx : ∀ y ∈ ↑I * (↑I)⁻¹, x * y ∈ 1
b : K
hb : b ∈ (↑I)⁻¹
⊢ ∀ y ∈ ↑I, x * (y * b) ∈ 1

Proof state:
case neg
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hJ0 : ¬↑I * (↑I)⁻¹ = 0
x : K
hx : x ∈ (fun a => ↑a) (↑I * (↑I)⁻¹)⁻¹
⊢ ∃ M, (Subalgebra.toSubmodule M).FG ∧ x ∈ M

Tactic:
have x_mul_mem : ∀ b ∈ (I⁻¹ : FractionalIdeal A⁰ K), x * b ∈ (I⁻¹ : FractionalIdeal A⁰ K) := by
  intro b hb
  rw [mem_inv_iff (coeIdeal_ne_zero.mpr hI0)]
  dsimp only at hx
  rw [val_eq_coe, mem_coe, mem_inv_iff hJ0] at hx
  simp only [mul_assoc, mul_comm b] at hx ⊢
  intro y hy
  exact hx _ (mul_mem_mul hy hb)

Result:
case neg
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hJ0 : ¬↑I * (↑I)⁻¹ = 0
x : K
hx : x ∈ (fun a => ↑a) (↑I * (↑I)⁻¹)⁻¹
x_mul_mem : ∀ b ∈ (↑I)⁻¹, x * b ∈ (↑I)⁻¹
⊢ ∃ M, (Subalgebra.toSubmodule M).FG ∧ x ∈ M

Proof state:
case neg
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hJ0 : ¬↑I * (↑I)⁻¹ = 0
x : K
hx : x ∈ (fun a => ↑a) (↑I * (↑I)⁻¹)⁻¹
⊢ x ∈ (fun a => ↑a) 1

Tactic:
suffices x ∈ integralClosure A K by
  rwa [IsIntegrallyClosed.integralClosure_eq_bot, Algebra.mem_bot, Set.mem_range,
    ← mem_one_iff] at this

Result:
case neg
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hJ0 : ¬↑I * (↑I)⁻¹ = 0
x : K
hx : x ∈ (fun a => ↑a) (↑I * (↑I)⁻¹)⁻¹
⊢ x ∈ integralClosure A K

Proof state:
case neg.intro.zero
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hJ0 : ¬↑I * (↑I)⁻¹ = 0
x : K
hx : x ∈ (fun a => ↑a) (↑I * (↑I)⁻¹)⁻¹
x_mul_mem : ∀ b ∈ (↑I)⁻¹, x * b ∈ (↑I)⁻¹
p : A[X]
hy : (Polynomial.aeval x) p ∈ Subalgebra.toSubmodule (Polynomial.aeval x).range
⊢ 1 ∈ ↑(↑I)⁻¹

Tactic:
exact one_mem_inv_coe_ideal hI0

Result:
no goals

Proof state:
case neg.intro
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hJ0 : ¬↑I * (↑I)⁻¹ = 0
x : K
hx : x ∈ (fun a => ↑a) (↑I * (↑I)⁻¹)⁻¹
x_mul_mem : ∀ b ∈ (↑I)⁻¹, x * b ∈ (↑I)⁻¹
p : A[X]
hy : (Polynomial.aeval x) p ∈ Subalgebra.toSubmodule (Polynomial.aeval x).range
i : ℕ
⊢ x ^ i ∈ ↑(↑I)⁻¹

Tactic:
induction' i with i ih

Result:
case neg.intro.zero
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hJ0 : ¬↑I * (↑I)⁻¹ = 0
x : K
hx : x ∈ (fun a => ↑a) (↑I * (↑I)⁻¹)⁻¹
x_mul_mem : ∀ b ∈ (↑I)⁻¹, x * b ∈ (↑I)⁻¹
p : A[X]
hy : (Polynomial.aeval x) p ∈ Subalgebra.toSubmodule (Polynomial.aeval x).range
⊢ x ^ 0 ∈ ↑(↑I)⁻¹

case neg.intro.succ
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hJ0 : ¬↑I * (↑I)⁻¹ = 0
x : K
hx : x ∈ (fun a => ↑a) (↑I * (↑I)⁻¹)⁻¹
x_mul_mem : ∀ b ∈ (↑I)⁻¹, x * b ∈ (↑I)⁻¹
p : A[X]
hy : (Polynomial.aeval x) p ∈ Subalgebra.toSubmodule (Polynomial.aeval x).range
i : ℕ
ih : x ^ i ∈ ↑(↑I)⁻¹
⊢ x ^ (i + 1) ∈ ↑(↑I)⁻¹

Proof state:
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hJ0 : ¬↑I * (↑I)⁻¹ = 0
x : K
hx : x ∈ (fun a => ↑a) (↑I * (↑I)⁻¹)⁻¹
this : x ∈ integralClosure A K
⊢ x ∈ (fun a => ↑a) 1

Tactic:
rwa [IsIntegrallyClosed.integralClosure_eq_bot, Algebra.mem_bot, Set.mem_range,
  ← mem_one_iff] at this

Result:
no goals

Proof state:
case neg.intro.zero
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hJ0 : ¬↑I * (↑I)⁻¹ = 0
x : K
hx : x ∈ (fun a => ↑a) (↑I * (↑I)⁻¹)⁻¹
x_mul_mem : ∀ b ∈ (↑I)⁻¹, x * b ∈ (↑I)⁻¹
p : A[X]
hy : (Polynomial.aeval x) p ∈ Subalgebra.toSubmodule (Polynomial.aeval x).range
⊢ x ^ 0 ∈ ↑(↑I)⁻¹

Tactic:
rw [pow_zero]

Result:
case neg.intro.zero
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hJ0 : ¬↑I * (↑I)⁻¹ = 0
x : K
hx : x ∈ (fun a => ↑a) (↑I * (↑I)⁻¹)⁻¹
x_mul_mem : ∀ b ∈ (↑I)⁻¹, x * b ∈ (↑I)⁻¹
p : A[X]
hy : (Polynomial.aeval x) p ∈ Subalgebra.toSubmodule (Polynomial.aeval x).range
⊢ 1 ∈ ↑(↑I)⁻¹

Proof state:
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hJ0 : ¬↑I * (↑I)⁻¹ = 0
x : K
hx : x ∈ ↑(↑I * (↑I)⁻¹)⁻¹
b : K
hb : b ∈ (↑I)⁻¹
⊢ ∀ y ∈ ↑I, x * b * y ∈ 1

Tactic:
rw [val_eq_coe, mem_coe, mem_inv_iff hJ0] at hx

Result:
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hJ0 : ¬↑I * (↑I)⁻¹ = 0
x : K
hx : ∀ y ∈ ↑I * (↑I)⁻¹, x * y ∈ 1
b : K
hb : b ∈ (↑I)⁻¹
⊢ ∀ y ∈ ↑I, x * b * y ∈ 1

Proof state:
case neg
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hJ0 : ¬↑I * (↑I)⁻¹ = 0
x : K
hx : x ∈ (fun a => ↑a) (↑I * (↑I)⁻¹)⁻¹
x_mul_mem : ∀ b ∈ (↑I)⁻¹, x * b ∈ (↑I)⁻¹
y : K
hy : y ∈ Subalgebra.toSubmodule (Polynomial.aeval x).range
⊢ y ∈ ↑(↑I)⁻¹

Tactic:
obtain ⟨p, rfl⟩ := (AlgHom.mem_range _).mp hy

Result:
case neg.intro
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hJ0 : ¬↑I * (↑I)⁻¹ = 0
x : K
hx : x ∈ (fun a => ↑a) (↑I * (↑I)⁻¹)⁻¹
x_mul_mem : ∀ b ∈ (↑I)⁻¹, x * b ∈ (↑I)⁻¹
p : A[X]
hy : (Polynomial.aeval x) p ∈ Subalgebra.toSubmodule (Polynomial.aeval x).range
⊢ (Polynomial.aeval x) p ∈ ↑(↑I)⁻¹