-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Integrability.lean
theorem IntegrableOn.hasBoxIntegral [CompleteSpace E] {f : (ι → ℝ) → E} {μ : Measure (ι → ℝ)}
    [IsLocallyFiniteMeasure μ] {I : Box ι} (hf : IntegrableOn f I μ) (l : IntegrationParams)
    (hl : l.bRiemann = false) :
    HasIntegral.{u, v, v} I l f μ.toBoxAdditive.toSMul (∫ x in I, f x ∂μ)

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
ι : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
I : Box ι
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
this✝² : MeasurableSpace E := borel E
this✝¹ : BorelSpace E
g : (ι → ℝ) → E
hg : StronglyMeasurable g
this✝ : SeparableSpace ↑(Set.range g ∪ {0})
hgi : IntegrableOn g (↑I) μ
f : ℕ → SimpleFunc (ι → ℝ) E := SimpleFunc.approxOn g ⋯ (Set.range g ∪ {0}) 0 ⋯
hfi : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (⇑(f n)) (↑I) μ
hfi' : ∀ (n : ℕ), BoxIntegral.Integrable I l (⇑(f n)) μ.toBoxAdditive.toSMul
hfg_mono : ∀ (x : ι → ℝ) {m n : ℕ}, m ≤ n → ‖(f n) x - g x‖ ≤ ‖(f m) x - g x‖
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
ε0' : 0 < ↑ε
N₀ : ℕ
hN₀ : ∫ (x : ι → ℝ) in ↑I, ‖(f N₀) x - g x‖ ∂μ ≤ ↑ε
Nx : (ι → ℝ) → ℕ
hNx : ∀ (x : ι → ℝ), N₀ ≤ Nx x
hNxε : ∀ (x : ι → ℝ), dist ((f (Nx x)) x) (g x) ≤ ↑ε
δ : ℕ → ℝ≥0
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c✝ : ℝ≥0
hδc : HasSum δ c✝
hcε : c✝ < ε
r : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0) := fun c x => ⋯.convergenceR (↑(δ (Nx x))) c x
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c (r c) π
hπp : π.IsPartition
n : ℕ
hn : n ∈ Finset.image (fun J => Nx (π.tag J)) π.boxes
hNxn : ∀ J ∈ π.filter fun J => Nx (π.tag J) = n, Nx (π.tag J) = n
hrn : ∀ J ∈ π.filter fun J => Nx (π.tag J) = n, r c (π.tag J) = ⋯.convergenceR (↑(δ n)) c (π.tag J)
this : l.MemBaseSet I c (⋯.convergenceR (↑(δ n)) c) (π.filter fun J => Nx (π.tag J) = n)
⊢ dist (∑ J ∈ (π.filter fun J => Nx (π.tag J) = n).boxes, (μ ↑J).toReal • (f (Nx (π.tag J))) (π.tag J))
      (∑ J ∈ (π.filter fun J => Nx (π.tag J) = n).boxes, ∫ (x : ι → ℝ) in ↑J, (f (Nx (π.tag J))) x ∂μ) ≤
    ↑(δ n)

Tactic:
convert (hfi' n).dist_integralSum_sum_integral_le_of_memBaseSet (δ0 _) this using 2

Result:
case h.e'_3.h.e'_3
ι : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
I : Box ι
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
this✝² : MeasurableSpace E := borel E
this✝¹ : BorelSpace E
g : (ι → ℝ) → E
hg : StronglyMeasurable g
this✝ : SeparableSpace ↑(Set.range g ∪ {0})
hgi : IntegrableOn g (↑I) μ
f : ℕ → SimpleFunc (ι → ℝ) E := SimpleFunc.approxOn g ⋯ (Set.range g ∪ {0}) 0 ⋯
hfi : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (⇑(f n)) (↑I) μ
hfi' : ∀ (n : ℕ), BoxIntegral.Integrable I l (⇑(f n)) μ.toBoxAdditive.toSMul
hfg_mono : ∀ (x : ι → ℝ) {m n : ℕ}, m ≤ n → ‖(f n) x - g x‖ ≤ ‖(f m) x - g x‖
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
ε0' : 0 < ↑ε
N₀ : ℕ
hN₀ : ∫ (x : ι → ℝ) in ↑I, ‖(f N₀) x - g x‖ ∂μ ≤ ↑ε
Nx : (ι → ℝ) → ℕ
hNx : ∀ (x : ι → ℝ), N₀ ≤ Nx x
hNxε : ∀ (x : ι → ℝ), dist ((f (Nx x)) x) (g x) ≤ ↑ε
δ : ℕ → ℝ≥0
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c✝ : ℝ≥0
hδc : HasSum δ c✝
hcε : c✝ < ε
r : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0) := fun c x => ⋯.convergenceR (↑(δ (Nx x))) c x
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c (r c) π
hπp : π.IsPartition
n : ℕ
hn : n ∈ Finset.image (fun J => Nx (π.tag J)) π.boxes
hNxn : ∀ J ∈ π.filter fun J => Nx (π.tag J) = n, Nx (π.tag J) = n
hrn : ∀ J ∈ π.filter fun J => Nx (π.tag J) = n, r c (π.tag J) = ⋯.convergenceR (↑(δ n)) c (π.tag J)
this : l.MemBaseSet I c (⋯.convergenceR (↑(δ n)) c) (π.filter fun J => Nx (π.tag J) = n)
⊢ ∑ J ∈ (π.filter fun J => Nx (π.tag J) = n).boxes, (μ ↑J).toReal • (f (Nx (π.tag J))) (π.tag J) =
    integralSum (⇑(f n)) μ.toBoxAdditive.toSMul (π.filter fun J => Nx (π.tag J) = n)

case h.e'_3.h.e'_4
ι : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Fintype ι
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
I : Box ι
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
this✝² : MeasurableSpace E := borel E
this✝¹ : BorelSpace E
g : (ι → ℝ) → E
hg : StronglyMeasurable g
this✝ : SeparableSpace ↑(Set.range g ∪ {0})
hgi : IntegrableOn g (↑I) μ
f : ℕ → SimpleFunc (ι → ℝ) E := SimpleFunc.approxOn g ⋯ (Set.range g ∪ {0}) 0 ⋯
hfi : ∀ (n : ℕ), IntegrableOn (⇑(f n)) (↑I) μ
hfi' : ∀ (n : ℕ), BoxIntegral.Integrable I l (⇑(f n)) μ.toBoxAdditive.toSMul
hfg_mono : ∀ (x : ι → ℝ) {m n : ℕ}, m ≤ n → ‖(f n) x - g x‖ ≤ ‖(f m) x - g x‖
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
ε0' : 0 < ↑ε
N₀ : ℕ
hN₀ : ∫ (x : ι → ℝ) in ↑I, ‖(f N₀) x - g x‖ ∂μ ≤ ↑ε
Nx : (ι → ℝ) → ℕ
hNx : ∀ (x : ι → ℝ), N₀ ≤ Nx x
hNxε : ∀ (x : ι → ℝ), dist ((f (Nx x)) x) (g x) ≤ ↑ε
δ : ℕ → ℝ≥0
δ0 : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
c✝ : ℝ≥0
hδc : HasSum δ c✝
hcε : c✝ < ε
r : ℝ≥0 → (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0) := fun c x => ⋯.convergenceR (↑(δ (Nx x))) c x
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c (r c) π
hπp : π.IsPartition
n : ℕ
hn : n ∈ Finset.image (fun J => Nx (π.tag J)) π.boxes
hNxn : ∀ J ∈ π.filter fun J => Nx (π.tag J) = n, Nx (π.tag J) = n
hrn : ∀ J ∈ π.filter fun J => Nx (π.tag J) = n, r c (π.tag J) = ⋯.convergenceR (↑(δ n)) c (π.tag J)
this : l.MemBaseSet I c (⋯.convergenceR (↑(δ n)) c) (π.filter fun J => Nx (π.tag J) = n)
⊢ ∑ J ∈ (π.filter fun J => Nx (π.tag J) = n).boxes, ∫ (x : ι → ℝ) in ↑J, (f (Nx (π.tag J))) x ∂μ =
    ∑ J ∈ (π.filter fun J => Nx (π.tag J) = n).boxes, BoxIntegral.integral J l (⇑(f n)) μ.toBoxAdditive.toSMul