-- Mathlib/Algebra/Homology/TotalComplex.lean
@[reassoc (attr := simp)]
lemma D₂_D₁ (i₁₂ i₁₂' i₁₂'' : I₁₂) :
    K.D₂ c₁₂ i₁₂ i₁₂' ≫ K.D₁ c₁₂ i₁₂' i₁₂'' = - K.D₁ c₁₂ i₁₂ i₁₂' ≫ K.D₂ c₁₂ i₁₂' i₁₂''

Proof state:
case pos
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝¹ : DecidableEq I₁₂
inst✝ : K.HasTotal c₁₂
i₁₂ i₁₂' i₁₂'' : I₁₂
h₁ : c₁₂.Rel i₁₂ i₁₂'
h₂ : c₁₂.Rel i₁₂' i₁₂''
i₁ : I₁
i₂ : I₂
h : c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂) = i₁₂
h₃ : ¬c₁.Rel i₁ (c₁.next i₁)
h₄ : c₂.Rel i₂ (c₂.next i₂)
⊢ (c₁.ε₂ c₂ c₁₂ (i₁, i₂) •
        (K.X i₁).d i₂ (c₂.next i₂) ≫ K.toGradedObject.ιMapObj (c₁.π c₂ c₁₂) (i₁, c₂.next i₂) i₁₂' ⋯) ≫
      K.D₁ c₁₂ i₁₂' i₁₂'' =
    0

Tactic:
simp only [Linear.units_smul_comp, assoc, totalAux.ιMapObj_D₁]

Result:
case pos
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝¹ : DecidableEq I₁₂
inst✝ : K.HasTotal c₁₂
i₁₂ i₁₂' i₁₂'' : I₁₂
h₁ : c₁₂.Rel i₁₂ i₁₂'
h₂ : c₁₂.Rel i₁₂' i₁₂''
i₁ : I₁
i₂ : I₂
h : c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂) = i₁₂
h₃ : ¬c₁.Rel i₁ (c₁.next i₁)
h₄ : c₂.Rel i₂ (c₂.next i₂)
⊢ c₁.ε₂ c₂ c₁₂ (i₁, i₂) • (K.X i₁).d i₂ (c₂.next i₂) ≫ K.d₁ c₁₂ i₁ (c₂.next i₂) i₁₂'' = 0

Proof state:
case pos
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝¹ : DecidableEq I₁₂
inst✝ : K.HasTotal c₁₂
i₁₂ i₁₂' i₁₂'' : I₁₂
h₁ : c₁₂.Rel i₁₂ i₁₂'
h₂ : c₁₂.Rel i₁₂' i₁₂''
i₁ : I₁
i₂ : I₂
h : c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂) = i₁₂
h₃ : ¬c₁.Rel i₁ (c₁.next i₁)
h₄ : c₂.Rel i₂ (c₂.next i₂)
⊢ K.d₂ c₁₂ i₁ i₂ i₁₂' ≫ K.D₁ c₁₂ i₁₂' i₁₂'' = 0

Tactic:
rw [totalAux.d₂_eq K c₁₂ i₁ h₄ i₁₂']

Result:
case pos
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝¹ : DecidableEq I₁₂
inst✝ : K.HasTotal c₁₂
i₁₂ i₁₂' i₁₂'' : I₁₂
h₁ : c₁₂.Rel i₁₂ i₁₂'
h₂ : c₁₂.Rel i₁₂' i₁₂''
i₁ : I₁
i₂ : I₂
h : c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂) = i₁₂
h₃ : ¬c₁.Rel i₁ (c₁.next i₁)
h₄ : c₂.Rel i₂ (c₂.next i₂)
⊢ (c₁.ε₂ c₂ c₁₂ (i₁, i₂) •
        (K.X i₁).d i₂ (c₂.next i₂) ≫ K.toGradedObject.ιMapObj (c₁.π c₂ c₁₂) (i₁, c₂.next i₂) i₁₂' ?pos✝) ≫
      K.D₁ c₁₂ i₁₂' i₁₂'' =
    0

case pos
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝¹ : DecidableEq I₁₂
inst✝ : K.HasTotal c₁₂
i₁₂ i₁₂' i₁₂'' : I₁₂
h₁ : c₁₂.Rel i₁₂ i₁₂'
h₂ : c₁₂.Rel i₁₂' i₁₂''
i₁ : I₁
i₂ : I₂
h : c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂) = i₁₂
h₃ : ¬c₁.Rel i₁ (c₁.next i₁)
h₄ : c₂.Rel i₂ (c₂.next i₂)
⊢ c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, c₂.next i₂) = i₁₂'

Proof state:
case pos
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝¹ : DecidableEq I₁₂
inst✝ : K.HasTotal c₁₂
i₁₂ i₁₂' i₁₂'' : I₁₂
h₁ : c₁₂.Rel i₁₂ i₁₂'
h₂ : c₁₂.Rel i₁₂' i₁₂''
i₁ : I₁
i₂ : I₂
h : c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂) = i₁₂
h₃ : ¬c₁.Rel i₁ (c₁.next i₁)
h₄ : c₂.Rel i₂ (c₂.next i₂)
⊢ c₁.ε₂ c₂ c₁₂ (i₁, i₂) • (K.X i₁).d i₂ (c₂.next i₂) ≫ K.d₁ c₁₂ i₁ (c₂.next i₂) i₁₂'' = 0

Tactic:
rw [K.d₁_eq_zero c₁₂ _ _ _ h₃, comp_zero, smul_zero]

Result:
no goals

Proof state:
case pos
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝¹ : DecidableEq I₁₂
inst✝ : K.HasTotal c₁₂
i₁₂ i₁₂' i₁₂'' : I₁₂
h₁ : c₁₂.Rel i₁₂ i₁₂'
h₂ : c₁₂.Rel i₁₂' i₁₂''
⊢ K.D₂ c₁₂ i₁₂ i₁₂' ≫ K.D₁ c₁₂ i₁₂' i₁₂'' = -K.D₁ c₁₂ i₁₂ i₁₂' ≫ K.D₂ c₁₂ i₁₂' i₁₂''

Tactic:
ext ⟨i₁, i₂⟩ h

Result:
case pos.hfg.mk
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝¹ : DecidableEq I₁₂
inst✝ : K.HasTotal c₁₂
i₁₂ i₁₂' i₁₂'' : I₁₂
h₁ : c₁₂.Rel i₁₂ i₁₂'
h₂ : c₁₂.Rel i₁₂' i₁₂''
i₁ : I₁
i₂ : I₂
h : c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂) = i₁₂
⊢ K.toGradedObject.ιMapObj (c₁.π c₂ c₁₂) (i₁, i₂) i₁₂ h ≫ K.D₂ c₁₂ i₁₂ i₁₂' ≫ K.D₁ c₁₂ i₁₂' i₁₂'' =
    K.toGradedObject.ιMapObj (c₁.π c₂ c₁₂) (i₁, i₂) i₁₂ h ≫ (-K.D₁ c₁₂ i₁₂ i₁₂' ≫ K.D₂ c₁₂ i₁₂' i₁₂'')

Proof state:
case pos
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝¹ : DecidableEq I₁₂
inst✝ : K.HasTotal c₁₂
i₁₂ i₁₂' i₁₂'' : I₁₂
h₁ : c₁₂.Rel i₁₂ i₁₂'
h₂ : c₁₂.Rel i₁₂' i₁₂''
i₁ : I₁
i₂ : I₂
h : c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂) = i₁₂
h₃ : c₁.Rel i₁ (c₁.next i₁)
h₄ : c₂.Rel i₂ (c₂.next i₂)
⊢ K.d₂ c₁₂ i₁ i₂ i₁₂' ≫ K.D₁ c₁₂ i₁₂' i₁₂'' =
    -(c₁.ε₁ c₂ c₁₂ (i₁, i₂) • (K.d i₁ (c₁.next i₁)).f i₂ ≫ K.d₂ c₁₂ (c₁.next i₁) i₂ i₁₂'')

Tactic:
have h₅ : ComplexShape.π c₁ c₂ c₁₂ (i₁, c₂.next i₂) = i₁₂' := by
  rw [← c₁₂.next_eq' h₁, ← h, ComplexShape.next_π₂ c₁ c₁₂ i₁ h₄]

Result:
case pos
C : Type u_1
inst✝⁴ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝³ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝² : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝¹ : DecidableEq I₁₂
inst✝ : K.HasTotal c₁₂
i₁₂ i₁₂' i₁₂'' : I₁₂
h₁ : c₁₂.Rel i₁₂ i₁₂'
h₂ : c₁₂.Rel i₁₂' i₁₂''
i₁ : I₁
i₂ : I₂
h : c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂) = i₁₂
h₃ : c₁.Rel i₁ (c₁.next i₁)
h₄ : c₂.Rel i₂ (c₂.next i₂)
h₅ : c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, c₂.next i₂) = i₁₂'
⊢ K.d₂ c₁₂ i₁ i₂ i₁₂' ≫ K.D₁ c₁₂ i₁₂' i₁₂'' =
    -(c₁.ε₁ c₂ c₁₂ (i₁, i₂) • (K.d i₁ (c₁.next i₁)).f i₂ ≫ K.d₂ c₁₂ (c₁.next i₁) i₂ i₁₂'')