-- Mathlib/RingTheory/FiniteType.lean
theorem of_restrictScalars_finiteType [Algebra S A] [IsScalarTower R S A] [hA : FiniteType R A] :
    FiniteType S A

Proof state:
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra S A
inst✝ : IsScalarTower R S A
hA : FiniteType R A
⊢ FiniteType S A

Tactic:
obtain ⟨s, hS⟩ := hA.out

Result:
case intro
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra S A
inst✝ : IsScalarTower R S A
hA : FiniteType R A
s : Finset A
hS : adjoin R ↑s = ⊤
⊢ FiniteType S A

Proof state:
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra S A
inst✝ : IsScalarTower R S A
hA : FiniteType R A
s : Finset A
hS : adjoin R ↑s = ⊤
b : A
⊢ adjoin R ↑s ≤ Subalgebra.restrictScalars R (adjoin S ↑s)

Tactic:
apply (Algebra.adjoin_le _ : adjoin R (s : Set A) ≤ Subalgebra.restrictScalars R (adjoin S ↑s))

Result:
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra S A
inst✝ : IsScalarTower R S A
hA : FiniteType R A
s : Finset A
hS : adjoin R ↑s = ⊤
b : A
⊢ ↑s ⊆ ↑(Subalgebra.restrictScalars R (adjoin S ↑s))

Proof state:
case intro
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra S A
inst✝ : IsScalarTower R S A
hA : FiniteType R A
s : Finset A
hS : adjoin R ↑s = ⊤
b : A
le : adjoin R ↑s ≤ Subalgebra.restrictScalars R (adjoin S ↑s)
⊢ b ∈ adjoin S ↑s

Tactic:
exact le (eq_top_iff.1 hS b)

Result:
no goals

Proof state:
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra S A
inst✝ : IsScalarTower R S A
hA : FiniteType R A
s : Finset A
hS : adjoin R ↑s = ⊤
b : A
⊢ ↑s ⊆ ↑(adjoin S ↑s)

Tactic:
exact Algebra.subset_adjoin

Result:
no goals

Proof state:
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra S A
inst✝ : IsScalarTower R S A
hA : FiniteType R A
s : Finset A
hS : adjoin R ↑s = ⊤
b : A
⊢ ↑s ⊆ ↑(Subalgebra.restrictScalars R (adjoin S ↑s))

Tactic:
simp only [Subalgebra.coe_restrictScalars]

Result:
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra S A
inst✝ : IsScalarTower R S A
hA : FiniteType R A
s : Finset A
hS : adjoin R ↑s = ⊤
b : A
⊢ ↑s ⊆ ↑(adjoin S ↑s)

Proof state:
case intro
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra S A
inst✝ : IsScalarTower R S A
hA : FiniteType R A
s : Finset A
hS : adjoin R ↑s = ⊤
b : A
⊢ b ∈ adjoin S ↑s

Tactic:
have le : adjoin R (s : Set A) ≤ Subalgebra.restrictScalars R (adjoin S s) := by
  apply (Algebra.adjoin_le _ : adjoin R (s : Set A) ≤ Subalgebra.restrictScalars R (adjoin S ↑s))
  simp only [Subalgebra.coe_restrictScalars]
  exact Algebra.subset_adjoin

Result:
case intro
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra S A
inst✝ : IsScalarTower R S A
hA : FiniteType R A
s : Finset A
hS : adjoin R ↑s = ⊤
b : A
le : adjoin R ↑s ≤ Subalgebra.restrictScalars R (adjoin S ↑s)
⊢ b ∈ adjoin S ↑s

Proof state:
case intro
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra S A
inst✝ : IsScalarTower R S A
hA : FiniteType R A
s : Finset A
hS : adjoin R ↑s = ⊤
⊢ FiniteType S A

Tactic:
refine ⟨⟨s, eq_top_iff.2 fun b => ?_⟩⟩

Result:
case intro
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Semiring A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra S A
inst✝ : IsScalarTower R S A
hA : FiniteType R A
s : Finset A
hS : adjoin R ↑s = ⊤
b : A
⊢ b ∈ adjoin S ↑s