-- Mathlib/FieldTheory/AxGrothendieck.lean
theorem realize_genericPolyMapSurjOnOfInjOn
    [Finite ι] (φ : ring.Formula (α ⊕ ι)) (mons : ι → Finset (ι →₀ ℕ)) :
    (K ⊨ genericPolyMapSurjOnOfInjOn φ mons) ↔
      ∀ (v : α → K) (p : { p : ι → MvPolynomial ι K // (∀ i, (p i).support ⊆ mons i) }),
        let f : (ι → K) → (ι → K) := fun v i => eval v (p.1 i)
        let S : Set (ι → K) := fun x => φ.Realize (Sum.elim v x)
        S.MapsTo f S → S.InjOn f → S.SurjOn f S

Proof state:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : Finite α
K : Type u_3
inst✝² : Field K
inst✝¹ : CompatibleRing K
inst✝ : Finite ι
φ : ring.Formula (α ⊕ ι)
mons : ι → Finset (ι →₀ ℕ)
injOnAlt : ∀ {S : Set (ι → K)} (f : (ι → K) → ι → K), Set.InjOn f S ↔ ∀ (x y : ι → K), x ∈ S → y ∈ S → f x = f y → x = y
⊢ (∀ (fa : ⋯) (fb : ⋯),
      ⋯ →
        ⋯ →
          ∀ (i : ⋯),
            ⋯ →
              ∃ i_1,
                Realize φ
                    (Sum.elim
                      ((fun x =>
                          Sum.elim
                            (Sum.elim
                              ((fun x =>
                                  Sum.elim
                                    (Sum.elim
                                      (Sum.elim
                                          (Sum.elim
                                            ((fun a =>
                                                Sum.elim
                                                  (Sum.elim
                                                    ((fun x =>
                                                        Sum.elim
                                                          (Sum.elim
                                                            ((fun a =>
                                                                Sum.elim default
                                                                  (Sum.elim ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inl)
                                                                    ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inr))
                                                                  a) ∘
                                                              Sum.inl)
                                                            ((fun a =>
                                                                Sum.elim default
                                                                  (Sum.elim ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inl)
                                                                    ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inr))
                                                                  a) ∘
                                                              Sum.inr))
                                                          (fun x => default (Fin.castAdd 0 x)) (Sum.inl (Sum.inr x))) ∘
                                                      Sum.inl)
                                                    ((fun x =>
                                                        Sum.elim
                                                          (Sum.elim
                                                            ((fun a =>
                                                                Sum.elim default
                                                                  (Sum.elim ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inl)
                                                                    ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inr))
                                                                  a) ∘
                                                              Sum.inl)
                                                            ((fun a =>
                                                                Sum.elim default
                                                                  (Sum.elim ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inl)
                                                                    ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inr))
                                                                  a) ∘
                                                              Sum.inr))
                                                          (fun x => default (Fin.castAdd 0 x)) (Sum.inl (Sum.inr x))) ∘
                                                      Sum.inr))
                                                  i a) ∘
                                              Sum.inl)
                                            ((fun a =>
                                                Sum.elim
                                                  (Sum.elim
                                                    ((fun x =>
                                                        Sum.elim
                                                          (Sum.elim
                                                            ((fun a =>
                                                                Sum.elim default
                                                                  (Sum.elim ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inl)
                                                                    ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inr))
                                                                  a) ∘
                                                              Sum.inl)
                                                            ((fun a =>
                                                                Sum.elim default
                                                                  (Sum.elim ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inl)
                                                                    ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inr))
                                                                  a) ∘
                                                              Sum.inr))
                                                          (fun x => default (Fin.castAdd 0 x)) (Sum.inl (Sum.inr x))) ∘
                                                      Sum.inl)
                                                    ((fun x =>
                                                        Sum.elim
                                                          (Sum.elim
                                                            ((fun a =>
                                                                Sum.elim default
                                                                  (Sum.elim ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inl)
                                                                    ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inr))
                                                                  a) ∘
                                                              Sum.inl)
                                                            ((fun a =>
                                                                Sum.elim default
                                                                  (Sum.elim ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inl)
                                                                    ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inr))
                                                                  a) ∘
                                                              Sum.inr))
                                                          (fun x => default (Fin.castAdd 0 x)) (Sum.inl (Sum.inr x))) ∘
                                                      Sum.inr))
                                                  i a) ∘
                                              Sum.inr))
                                          i_1 ∘
                                        Sum.inl)
                                      (Sum.elim
                                          (Sum.elim
                                            ((fun a =>
                                                Sum.elim
                                                  (Sum.elim
                                                    ((fun x =>
                                                        Sum.elim
                                                          (Sum.elim
                                                            ((fun a =>
                                                                Sum.elim default
                                                                  (Sum.elim ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inl)
                                                                    ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inr))
                                                                  a) ∘
                                                              Sum.inl)
                                                            ((fun a =>
                                                                Sum.elim default
                                                                  (Sum.elim ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inl)
                                                                    ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inr))
                                                                  a) ∘
                                                              Sum.inr))
                                                          (fun x => default (Fin.castAdd 0 x)) (Sum.inl (Sum.inr x))) ∘
                                                      Sum.inl)
                                                    ((fun x =>
                                                        Sum.elim
                                                          (Sum.elim
                                                            ((fun a =>
                                                                Sum.elim default
                                                                  (Sum.elim ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inl)
                                                                    ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inr))
                                                                  a) ∘
                                                              Sum.inl)
                                                            ((fun a =>
                                                                Sum.elim default
                                                                  (Sum.elim ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inl)
                                                                    ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inr))
                                                                  a) ∘
                                                              Sum.inr))
                                                          (fun x => default (Fin.castAdd 0 x)) (Sum.inl (Sum.inr x))) ∘
                                                      Sum.inr))
                                                  i a) ∘
                                              Sum.inl)
                                            ((fun a =>
                                                Sum.elim
                                                  (Sum.elim
                                                    ((fun x =>
                                                        Sum.elim
                                                          (Sum.elim
                                                            ((fun a =>
                                                                Sum.elim default
                                                                  (Sum.elim ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inl)
                                                                    ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inr))
                                                                  a) ∘
                                                              Sum.inl)
                                                            ((fun a =>
                                                                Sum.elim default
                                                                  (Sum.elim ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inl)
                                                                    ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inr))
                                                                  a) ∘
                                                              Sum.inr))
                                                          (fun x => default (Fin.castAdd 0 x)) (Sum.inl (Sum.inr x))) ∘
                                                      Sum.inl)
                                                    ((fun x =>
                                                        Sum.elim
                                                          (Sum.elim
                                                            ((fun a =>
                                                                Sum.elim default
                                                                  (Sum.elim ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inl)
                                                                    ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inr))
                                                                  a) ∘
                                                              Sum.inl)
                                                            ((fun a =>
                                                                Sum.elim default
                                                                  (Sum.elim ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inl)
                                                                    ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inr))
                                                                  a) ∘
                                                              Sum.inr))
                                                          (fun x => default (Fin.castAdd 0 x)) (Sum.inl (Sum.inr x))) ∘
                                                      Sum.inr))
                                                  i a) ∘
                                              Sum.inr))
                                          i_1 ∘
                                        Sum.inr))
                                    (fun x => default (Fin.castAdd 0 x))
                                    (Sum.inl
                                      (Sum.elim
                                        (Sum.elim ((fun x => Sum.inl (Sum.inl x)) ∘ Sum.inl)
                                          ((fun x => Sum.inl (Sum.inl x)) ∘ Sum.inr))
                                        (fun i => if i.1 = 0 then Sum.inr i.2 else Sum.inl (Sum.inr i.2)) x))) ∘
                                Sum.inl)
                              ((fun x =>
                                  Sum.elim
                                    (Sum.elim
                                      (Sum.elim
                                          (Sum.elim
                                            ((fun a =>
                                                Sum.elim
                                                  (Sum.elim
                                                    ((fun x =>
                                                        Sum.elim
                                                          (Sum.elim
                                                            ((fun a =>
                                                                Sum.elim default
                                                                  (Sum.elim ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inl)
                                                                    ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inr))
                                                                  a) ∘
                                                              Sum.inl)
                                                            ((fun a =>
                                                                Sum.elim default
                                                                  (Sum.elim ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inl)
                                                                    ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inr))
                                                                  a) ∘
                                                              Sum.inr))
                                                          (fun x => default (Fin.castAdd 0 x)) (Sum.inl (Sum.inr x))) ∘
                                                      Sum.inl)
                                                    ((fun x =>
                                                        Sum.elim
                                                          (Sum.elim
                                                            ((fun a =>
                                                                Sum.elim default
                                                                  (Sum.elim ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inl)
                                                                    ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inr))
                                                                  a) ∘
                                                              Sum.inl)
                                                            ((fun a =>
                                                                Sum.elim default
                                                                  (Sum.elim ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inl)
                                                                    ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inr))
                                                                  a) ∘
                                                              Sum.inr))
                                                          (fun x => default (Fin.castAdd 0 x)) (Sum.inl (Sum.inr x))) ∘
                                                      Sum.inr))
                                                  i a) ∘
                                              Sum.inl)
                                            ((fun a =>
                                                Sum.elim
                                                  (Sum.elim
                                                    ((fun x =>
                                                        Sum.elim
                                                          (Sum.elim
                                                            ((fun a =>
                                                                Sum.elim default
                                                                  (Sum.elim ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inl)
                                                                    ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inr))
                                                                  a) ∘
                                                              Sum.inl)
                                                            ((fun a =>
                                                                Sum.elim default
                                                                  (Sum.elim ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inl)
                                                                    ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inr))
                                                                  a) ∘
                                                              Sum.inr))
                                                          (fun x => default (Fin.castAdd 0 x)) (Sum.inl (Sum.inr x))) ∘
                                                      Sum.inl)
                                                    ((fun x =>
                                                        Sum.elim
                                                          (Sum.elim
                                                            ((fun a =>
                                                                Sum.elim default
                                                                  (Sum.elim ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inl)
                                                                    ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inr))
                                                                  a) ∘
                                                              Sum.inl)
                                                            ((fun a =>
                                                                Sum.elim default
                                                                  (Sum.elim ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inl)
                                                                    ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inr))
                                                                  a) ∘
                                                              Sum.inr))
                                                          (fun x => default (Fin.castAdd 0 x)) (Sum.inl (Sum.inr x))) ∘
                                                      Sum.inr))
                                                  i a) ∘
                                              Sum.inr))
                                          i_1 ∘
                                        Sum.inl)
                                      (Sum.elim
                                          (Sum.elim
                                            ((fun a =>
                                                Sum.elim
                                                  (Sum.elim
                                                    ((fun x =>
                                                        Sum.elim
                                                          (Sum.elim
                                                            ((fun a =>
                                                                Sum.elim default
                                                                  (Sum.elim ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inl)
                                                                    ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inr))
                                                                  a) ∘
                                                              Sum.inl)
                                                            ((fun a =>
                                                                Sum.elim default
                                                                  (Sum.elim ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inl)
                                                                    ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inr))
                                                                  a) ∘
                                                              Sum.inr))
                                                          (fun x => default (Fin.castAdd 0 x)) (Sum.inl (Sum.inr x))) ∘
                                                      Sum.inl)
                                                    ((fun x =>
                                                        Sum.elim
                                                          (Sum.elim
                                                            ((fun a =>
                                                                Sum.elim default
                                                                  (Sum.elim ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inl)
                                                                    ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inr))
                                                                  a) ∘
                                                              Sum.inl)
                                                            ((fun a =>
                                                                Sum.elim default
                                                                  (Sum.elim ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inl)
                                                                    ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inr))
                                                                  a) ∘
                                                              Sum.inr))
                                                          (fun x => default (Fin.castAdd 0 x)) (Sum.inl (Sum.inr x))) ∘
                                                      Sum.inr))
                                                  i a) ∘
                                              Sum.inl)
                                            ((fun a =>
                                                Sum.elim
                                                  (Sum.elim
                                                    ((fun x =>
                                                        Sum.elim
                                                          (Sum.elim
                                                            ((fun a =>
                                                                Sum.elim default
                                                                  (Sum.elim ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inl)
                                                                    ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inr))
                                                                  a) ∘
                                                              Sum.inl)
                                                            ((fun a =>
                                                                Sum.elim default
                                                                  (Sum.elim ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inl)
                                                                    ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inr))
                                                                  a) ∘
                                                              Sum.inr))
                                                          (fun x => default (Fin.castAdd 0 x)) (Sum.inl (Sum.inr x))) ∘
                                                      Sum.inl)
                                                    ((fun x =>
                                                        Sum.elim
                                                          (Sum.elim
                                                            ((fun a =>
                                                                Sum.elim default
                                                                  (Sum.elim ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inl)
                                                                    ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inr))
                                                                  a) ∘
                                                              Sum.inl)
                                                            ((fun a =>
                                                                Sum.elim default
                                                                  (Sum.elim ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inl)
                                                                    ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inr))
                                                                  a) ∘
                                                              Sum.inr))
                                                          (fun x => default (Fin.castAdd 0 x)) (Sum.inl (Sum.inr x))) ∘
                                                      Sum.inr))
                                                  i a) ∘
                                              Sum.inr))
                                          i_1 ∘
                                        Sum.inr))
                                    (fun x => default (Fin.castAdd 0 x))
                                    (Sum.inl
                                      (Sum.elim
                                        (Sum.elim ((fun x => Sum.inl (Sum.inl x)) ∘ Sum.inl)
                                          ((fun x => Sum.inl (Sum.inl x)) ∘ Sum.inr))
                                        (fun i => if i.1 = 0 then Sum.inr i.2 else Sum.inl (Sum.inr i.2)) x))) ∘
                                Sum.inr))
                            (fun x => default (Fin.cast ⋯ (Fin.castAdd 0 x)))
                            (Sum.inl (Sum.elim (fun x => Sum.inl (Sum.inl x)) (fun x => Sum.inr (0, x)) x))) ∘
                        Sum.inl)
                      ((fun x =>
                          Sum.elim
                            (Sum.elim
                              ((fun x =>
                                  Sum.elim
                                    (Sum.elim
                                      (Sum.elim
                                          (Sum.elim
                                            ((fun a =>
                                                Sum.elim
                                                  (Sum.elim
                                                    ((fun x =>
                                                        Sum.elim
                                                          (Sum.elim
                                                            ((fun a =>
                                                                Sum.elim default
                                                                  (Sum.elim ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inl)
                                                                    ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inr))
                                                                  a) ∘
                                                              Sum.inl)
                                                            ((fun a =>
                                                                Sum.elim default
                                                                  (Sum.elim ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inl)
                                                                    ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inr))
                                                                  a) ∘
                                                              Sum.inr))
                                                          (fun x => default (Fin.castAdd 0 x)) (Sum.inl (Sum.inr x))) ∘
                                                      Sum.inl)
                                                    ((fun x =>
                                                        Sum.elim
                                                          (Sum.elim
                                                            ((fun a =>
                                                                Sum.elim default
                                                                  (Sum.elim ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inl)
                                                                    ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inr))
                                                                  a) ∘
                                                              Sum.inl)
                                                            ((fun a =>
                                                                Sum.elim default
                                                                  (Sum.elim ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inl)
                                                                    ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inr))
                                                                  a) ∘
                                                              Sum.inr))
                                                          (fun x => default (Fin.castAdd 0 x)) (Sum.inl (Sum.inr x))) ∘
                                                      Sum.inr))
                                                  i a) ∘
                                              Sum.inl)
                                            ((fun a =>
                                                Sum.elim
                                                  (Sum.elim
                                                    ((fun x =>
                                                        Sum.elim
                                                          (Sum.elim
                                                            ((fun a =>
                                                                Sum.elim default
                                                                  (Sum.elim ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inl)
                                                                    ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inr))
                                                                  a) ∘
                                                              Sum.inl)
                                                            ((fun a =>
                                                                Sum.elim default
                                                                  (Sum.elim ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inl)
                                                                    ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inr))
                                                                  a) ∘
                                                              Sum.inr))
                                                          (fun x => default (Fin.castAdd 0 x)) (Sum.inl (Sum.inr x))) ∘
                                                      Sum.inl)
                                                    ((fun x =>
                                                        Sum.elim
                                                          (Sum.elim
                                                            ((fun a =>
                                                                Sum.elim default
                                                                  (Sum.elim ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inl)
                                                                    ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inr))
                                                                  a) ∘
                                                              Sum.inl)
                                                            ((fun a =>
                                                                Sum.elim default
                                                                  (Sum.elim ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inl)
                                                                    ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inr))
                                                                  a) ∘
                                                              Sum.inr))
                                                          (fun x => default (Fin.castAdd 0 x)) (Sum.inl (Sum.inr x))) ∘
                                                      Sum.inr))
                                                  i a) ∘
                                              Sum.inr))
                                          i_1 ∘
                                        Sum.inl)
                                      (Sum.elim
                                          (Sum.elim
                                            ((fun a =>
                                                Sum.elim
                                                  (Sum.elim
                                                    ((fun x =>
                                                        Sum.elim
                                                          (Sum.elim
                                                            ((fun a =>
                                                                Sum.elim default
                                                                  (Sum.elim ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inl)
                                                                    ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inr))
                                                                  a) ∘
                                                              Sum.inl)
                                                            ((fun a =>
                                                                Sum.elim default
                                                                  (Sum.elim ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inl)
                                                                    ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inr))
                                                                  a) ∘
                                                              Sum.inr))
                                                          (fun x => default (Fin.castAdd 0 x)) (Sum.inl (Sum.inr x))) ∘
                                                      Sum.inl)
                                                    ((fun x =>
                                                        Sum.elim
                                                          (Sum.elim
                                                            ((fun a =>
                                                                Sum.elim default
                                                                  (Sum.elim ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inl)
                                                                    ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inr))
                                                                  a) ∘
                                                              Sum.inl)
                                                            ((fun a =>
                                                                Sum.elim default
                                                                  (Sum.elim ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inl)
                                                                    ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inr))
                                                                  a) ∘
                                                              Sum.inr))
                                                          (fun x => default (Fin.castAdd 0 x)) (Sum.inl (Sum.inr x))) ∘
                                                      Sum.inr))
                                                  i a) ∘
                                              Sum.inl)
                                            ((fun a =>
                                                Sum.elim
                                                  (Sum.elim
                                                    ((fun x =>
                                                        Sum.elim
                                                          (Sum.elim
                                                            ((fun a =>
                                                                Sum.elim default
                                                                  (Sum.elim ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inl)
                                                                    ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inr))
                                                                  a) ∘
                                                              Sum.inl)
                                                            ((fun a =>
                                                                Sum.elim default
                                                                  (Sum.elim ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inl)
                                                                    ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inr))
                                                                  a) ∘
                                                              Sum.inr))
                                                          (fun x => default (Fin.castAdd 0 x)) (Sum.inl (Sum.inr x))) ∘
                                                      Sum.inl)
                                                    ((fun x =>
                                                        Sum.elim
                                                          (Sum.elim
                                                            ((fun a =>
                                                                Sum.elim default
                                                                  (Sum.elim ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inl)
                                                                    ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inr))
                                                                  a) ∘
                                                              Sum.inl)
                                                            ((fun a =>
                                                                Sum.elim default
                                                                  (Sum.elim ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inl)
                                                                    ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inr))
                                                                  a) ∘
                                                              Sum.inr))
                                                          (fun x => default (Fin.castAdd 0 x)) (Sum.inl (Sum.inr x))) ∘
                                                      Sum.inr))
                                                  i a) ∘
                                              Sum.inr))
                                          i_1 ∘
                                        Sum.inr))
                                    (fun x => default (Fin.castAdd 0 x))
                                    (Sum.inl
                                      (Sum.elim
                                        (Sum.elim ((fun x => Sum.inl (Sum.inl x)) ∘ Sum.inl)
                                          ((fun x => Sum.inl (Sum.inl x)) ∘ Sum.inr))
                                        (fun i => if i.1 = 0 then Sum.inr i.2 else Sum.inl (Sum.inr i.2)) x))) ∘
                                Sum.inl)
                              ((fun x =>
                                  Sum.elim
                                    (Sum.elim
                                      (Sum.elim
                                          (Sum.elim
                                            ((fun a =>
                                                Sum.elim
                                                  (Sum.elim
                                                    ((fun x =>
                                                        Sum.elim
                                                          (Sum.elim
                                                            ((fun a =>
                                                                Sum.elim default
                                                                  (Sum.elim ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inl)
                                                                    ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inr))
                                                                  a) ∘
                                                              Sum.inl)
                                                            ((fun a =>
                                                                Sum.elim default
                                                                  (Sum.elim ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inl)
                                                                    ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inr))
                                                                  a) ∘
                                                              Sum.inr))
                                                          (fun x => default (Fin.castAdd 0 x)) (Sum.inl (Sum.inr x))) ∘
                                                      Sum.inl)
                                                    ((fun x =>
                                                        Sum.elim
                                                          (Sum.elim
                                                            ((fun a =>
                                                                Sum.elim default
                                                                  (Sum.elim ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inl)
                                                                    ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inr))
                                                                  a) ∘
                                                              Sum.inl)
                                                            ((fun a =>
                                                                Sum.elim default
                                                                  (Sum.elim ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inl)
                                                                    ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inr))
                                                                  a) ∘
                                                              Sum.inr))
                                                          (fun x => default (Fin.castAdd 0 x)) (Sum.inl (Sum.inr x))) ∘
                                                      Sum.inr))
                                                  i a) ∘
                                              Sum.inl)
                                            ((fun a =>
                                                Sum.elim
                                                  (Sum.elim
                                                    ((fun x =>
                                                        Sum.elim
                                                          (Sum.elim
                                                            ((fun a =>
                                                                Sum.elim default
                                                                  (Sum.elim ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inl)
                                                                    ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inr))
                                                                  a) ∘
                                                              Sum.inl)
                                                            ((fun a =>
                                                                Sum.elim default
                                                                  (Sum.elim ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inl)
                                                                    ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inr))
                                                                  a) ∘
                                                              Sum.inr))
                                                          (fun x => default (Fin.castAdd 0 x)) (Sum.inl (Sum.inr x))) ∘
                                                      Sum.inl)
                                                    ((fun x =>
                                                        Sum.elim
                                                          (Sum.elim
                                                            ((fun a =>
                                                                Sum.elim default
                                                                  (Sum.elim ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ Sum.inl)
                                                                    ((fun t => Sum.rec fa fb t) ∘ ⋯))
                                                                  ⋯) ∘
                                                              ⋯)
                                                            ⋯)
                                                          ⋯ ⋯) ∘
                                                      ⋯))
                                                  ⋯ ⋯) ∘
                                              ⋯))
                                          ⋯ ∘
                                        ⋯)
                                      ⋯)
                                    ⋯ ⋯) ∘
                                ⋯))
                            ⋯ ⋯) ∘
                        ⋯))
                    ⋯ ∧
                  ⋯) ↔
    ⋯

Tactic:
simp only [Function.comp_def, Sum.elim_inl, Sum.elim_inr, Fin.castAdd_zero, Fin.cast_eq_self,
  Nat.add_zero, Term.realize_var, Term.realize_relabel, realize_termOfFreeCommRing,
  lift_genericPolyMap, Nat.reduceAdd, Fin.isValue, Function.uncurry_apply_pair, Fin.cons_zero,
  Fin.cons_one, ↓reduceIte, one_ne_zero]

Result:
no goals