-- Mathlib/Algebra/Lie/LieTheorem.lean
/-- An auxiliary lemma used only in the definition `LieModule.weightSpaceOfIsLieTower` below. -/
private lemma weightSpaceOfIsLieTower_aux (z : L) (v : V) (hv : v ∈ weightSpace V χ) :
    ⁅z, v⁆ ∈ weightSpace V χ

Proof state:
case h.hf.h
R : Type u_1
L : Type u_2
A : Type u_3
V : Type u_4
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝¹⁷ : IsDomain R
inst✝¹⁶ : CharZero R
inst✝¹⁵ : LieRing L
inst✝¹⁴ : LieAlgebra R L
inst✝¹³ : LieRing A
inst✝¹² : LieAlgebra R A
inst✝¹¹ : Bracket L A
inst✝¹⁰ : Bracket A L
inst✝⁹ : AddCommGroup V
inst✝⁸ : Module R V
inst✝⁷ : Module.Free R V
inst✝⁶ : Module.Finite R V
inst✝⁵ : LieRingModule L V
inst✝⁴ : LieModule R L V
inst✝³ : LieRingModule A V
inst✝² : LieModule R A V
inst✝¹ : IsLieTower L A V
inst✝ : IsLieTower A L V
χ : A → R
z : L
v : V
hv : ∀ (x : A), ⁅x, v⁆ = χ x • v
a : A
hv' : v ≠ 0
U' : ℕ →o Submodule R V :=
  { toFun := fun n => Submodule.span R {x | ∃ i < n, ((toEnd R L V) z ^ i) v = x}, monotone' := ⋯ }
map_U'_le : ∀ (n : ℕ), Submodule.map ((toEnd R L V) z) (U' n) ≤ U' (n + 1)
T_apply_succ : ∀ (w : A) (n : ℕ), Submodule.map (LieModule.T χ w) (U' (n + 1)) ≤ U' n
U : LieSubmodule R A V := { toSubmodule := ⨆ k, U' k, lie_mem := ⋯ }
hzU : ∀ x ∈ U, ((toEnd R L V) z) x ∈ U
trace_za_zero : (LinearMap.trace R ↥U) ((toEnd R A ↥U) ⁅z, a⁆) = 0
w : A
key : ∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → ∃ j < i, Submodule.map (LieModule.T χ w) (U' i) ≤ U' j
i : ℕ
x : V
hx : x ∈ U' i
⊢ ∃ k, (LieModule.T χ w ^ k) x = 0

Tactic:
induction i using Nat.strong_induction_on generalizing x

Result:
case h.hf.h.h
R : Type u_1
L : Type u_2
A : Type u_3
V : Type u_4
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝¹⁷ : IsDomain R
inst✝¹⁶ : CharZero R
inst✝¹⁵ : LieRing L
inst✝¹⁴ : LieAlgebra R L
inst✝¹³ : LieRing A
inst✝¹² : LieAlgebra R A
inst✝¹¹ : Bracket L A
inst✝¹⁰ : Bracket A L
inst✝⁹ : AddCommGroup V
inst✝⁸ : Module R V
inst✝⁷ : Module.Free R V
inst✝⁶ : Module.Finite R V
inst✝⁵ : LieRingModule L V
inst✝⁴ : LieModule R L V
inst✝³ : LieRingModule A V
inst✝² : LieModule R A V
inst✝¹ : IsLieTower L A V
inst✝ : IsLieTower A L V
χ : A → R
z : L
v : V
hv : ∀ (x : A), ⁅x, v⁆ = χ x • v
a : A
hv' : v ≠ 0
U' : ℕ →o Submodule R V :=
  { toFun := fun n => Submodule.span R {x | ∃ i < n, ((toEnd R L V) z ^ i) v = x}, monotone' := ⋯ }
map_U'_le : ∀ (n : ℕ), Submodule.map ((toEnd R L V) z) (U' n) ≤ U' (n + 1)
T_apply_succ : ∀ (w : A) (n : ℕ), Submodule.map (LieModule.T χ w) (U' (n + 1)) ≤ U' n
U : LieSubmodule R A V := { toSubmodule := ⨆ k, U' k, lie_mem := ⋯ }
hzU : ∀ x ∈ U, ((toEnd R L V) z) x ∈ U
trace_za_zero : (LinearMap.trace R ↥U) ((toEnd R A ↥U) ⁅z, a⁆) = 0
w : A
key : ∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → ∃ j < i, Submodule.map (LieModule.T χ w) (U' i) ≤ U' j
n✝ : ℕ
a✝ : ∀ m < n✝, ∀ ⦃x : V⦄, x ∈ U' m → ∃ k, (LieModule.T χ w ^ k) x = 0
x : V
hx : x ∈ U' n✝
⊢ ∃ k, (LieModule.T χ w ^ k) x = 0

Proof state:
case inr.intro.intro.intro
R : Type u_1
L : Type u_2
A : Type u_3
V : Type u_4
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝¹⁷ : IsDomain R
inst✝¹⁶ : CharZero R
inst✝¹⁵ : LieRing L
inst✝¹⁴ : LieAlgebra R L
inst✝¹³ : LieRing A
inst✝¹² : LieAlgebra R A
inst✝¹¹ : Bracket L A
inst✝¹⁰ : Bracket A L
inst✝⁹ : AddCommGroup V
inst✝⁸ : Module R V
inst✝⁷ : Module.Free R V
inst✝⁶ : Module.Finite R V
inst✝⁵ : LieRingModule L V
inst✝⁴ : LieModule R L V
inst✝³ : LieRingModule A V
inst✝² : LieModule R A V
inst✝¹ : IsLieTower L A V
inst✝ : IsLieTower A L V
χ : A → R
z : L
v : V
hv : ∀ (x : A), ⁅x, v⁆ = χ x • v
a : A
hv' : v ≠ 0
U' : ℕ →o Submodule R V :=
  { toFun := fun n => Submodule.span R {x | ∃ i < n, ((toEnd R L V) z ^ i) v = x}, monotone' := ⋯ }
map_U'_le : ∀ (n : ℕ), Submodule.map ((toEnd R L V) z) (U' n) ≤ U' (n + 1)
T_apply_succ : ∀ (w : A) (n : ℕ), Submodule.map (LieModule.T χ w) (U' (n + 1)) ≤ U' n
U : LieSubmodule R A V := { toSubmodule := ⨆ k, U' k, lie_mem := ⋯ }
hzU : ∀ x ∈ U, ((toEnd R L V) z) x ∈ U
trace_za_zero : (LinearMap.trace R ↥U) ((toEnd R A ↥U) ⁅z, a⁆) = 0
w : A
key : ∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → ∃ j < i, Submodule.map (LieModule.T χ w) (U' i) ≤ U' j
i : ℕ
ih : ∀ m < i, ∀ ⦃x : V⦄, x ∈ U' m → ∃ k, (LieModule.T χ w ^ k) x = 0
x : V
hx : x ∈ U' i
hi : i ≠ 0
j : ℕ
hj : j < i
hj' : Submodule.map (LieModule.T χ w) (U' i) ≤ U' j
k : ℕ
hk : (LieModule.T χ w ^ k) ((LieModule.T χ w) x) = 0
⊢ ∃ k, (LieModule.T χ w ^ k) x = 0

Tactic:
use k+1

Result:
case h
R : Type u_1
L : Type u_2
A : Type u_3
V : Type u_4
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝¹⁷ : IsDomain R
inst✝¹⁶ : CharZero R
inst✝¹⁵ : LieRing L
inst✝¹⁴ : LieAlgebra R L
inst✝¹³ : LieRing A
inst✝¹² : LieAlgebra R A
inst✝¹¹ : Bracket L A
inst✝¹⁰ : Bracket A L
inst✝⁹ : AddCommGroup V
inst✝⁸ : Module R V
inst✝⁷ : Module.Free R V
inst✝⁶ : Module.Finite R V
inst✝⁵ : LieRingModule L V
inst✝⁴ : LieModule R L V
inst✝³ : LieRingModule A V
inst✝² : LieModule R A V
inst✝¹ : IsLieTower L A V
inst✝ : IsLieTower A L V
χ : A → R
z : L
v : V
hv : ∀ (x : A), ⁅x, v⁆ = χ x • v
a : A
hv' : v ≠ 0
U' : ℕ →o Submodule R V :=
  { toFun := fun n => Submodule.span R {x | ∃ i < n, ((toEnd R L V) z ^ i) v = x}, monotone' := ⋯ }
map_U'_le : ∀ (n : ℕ), Submodule.map ((toEnd R L V) z) (U' n) ≤ U' (n + 1)
T_apply_succ : ∀ (w : A) (n : ℕ), Submodule.map (LieModule.T χ w) (U' (n + 1)) ≤ U' n
U : LieSubmodule R A V := { toSubmodule := ⨆ k, U' k, lie_mem := ⋯ }
hzU : ∀ x ∈ U, ((toEnd R L V) z) x ∈ U
trace_za_zero : (LinearMap.trace R ↥U) ((toEnd R A ↥U) ⁅z, a⁆) = 0
w : A
key : ∀ (i : ℕ), i ≠ 0 → ∃ j < i, Submodule.map (LieModule.T χ w) (U' i) ≤ U' j
i : ℕ
ih : ∀ m < i, ∀ ⦃x : V⦄, x ∈ U' m → ∃ k, (LieModule.T χ w ^ k) x = 0
x : V
hx : x ∈ U' i
hi : i ≠ 0
j : ℕ
hj : j < i
hj' : Submodule.map (LieModule.T χ w) (U' i) ≤ U' j
k : ℕ
hk : (LieModule.T χ w ^ k) ((LieModule.T χ w) x) = 0
⊢ (LieModule.T χ w ^ (k + 1)) x = 0

Proof state:
R : Type u_1
L : Type u_2
A : Type u_3
V : Type u_4
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝¹⁷ : IsDomain R
inst✝¹⁶ : CharZero R
inst✝¹⁵ : LieRing L
inst✝¹⁴ : LieAlgebra R L
inst✝¹³ : LieRing A
inst✝¹² : LieAlgebra R A
inst✝¹¹ : Bracket L A
inst✝¹⁰ : Bracket A L
inst✝⁹ : AddCommGroup V
inst✝⁸ : Module R V
inst✝⁷ : Module.Free R V
inst✝⁶ : Module.Finite R V
inst✝⁵ : LieRingModule L V
inst✝⁴ : LieModule R L V
inst✝³ : LieRingModule A V
inst✝² : LieModule R A V
inst✝¹ : IsLieTower L A V
inst✝ : IsLieTower A L V
χ : A → R
z : L
v : V
hv : ∀ (x : A), ⁅x, v⁆ = χ x • v
a : A
hv' : v ≠ 0
U' : ℕ →o Submodule R V :=
  { toFun := fun n => Submodule.span R {x | ∃ i < n, ((toEnd R L V) z ^ i) v = x}, monotone' := ⋯ }
map_U'_le : ∀ (n : ℕ), Submodule.map ((toEnd R L V) z) (U' n) ≤ U' (n + 1)
w : A
n : ℕ
⊢ Submodule.map (LieModule.T χ w) (U' (n + 1)) ≤ U' n

Tactic:
simp only [OrderHom.coe_mk, U', Submodule.map_span, Submodule.span_le, Set.image_subset_iff]

Result:
R : Type u_1
L : Type u_2
A : Type u_3
V : Type u_4
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝¹⁷ : IsDomain R
inst✝¹⁶ : CharZero R
inst✝¹⁵ : LieRing L
inst✝¹⁴ : LieAlgebra R L
inst✝¹³ : LieRing A
inst✝¹² : LieAlgebra R A
inst✝¹¹ : Bracket L A
inst✝¹⁰ : Bracket A L
inst✝⁹ : AddCommGroup V
inst✝⁸ : Module R V
inst✝⁷ : Module.Free R V
inst✝⁶ : Module.Finite R V
inst✝⁵ : LieRingModule L V
inst✝⁴ : LieModule R L V
inst✝³ : LieRingModule A V
inst✝² : LieModule R A V
inst✝¹ : IsLieTower L A V
inst✝ : IsLieTower A L V
χ : A → R
z : L
v : V
hv : ∀ (x : A), ⁅x, v⁆ = χ x • v
a : A
hv' : v ≠ 0
U' : ℕ →o Submodule R V :=
  { toFun := fun n => Submodule.span R {x | ∃ i < n, ((toEnd R L V) z ^ i) v = x}, monotone' := ⋯ }
map_U'_le : ∀ (n : ℕ), Submodule.map ((toEnd R L V) z) (U' n) ≤ U' (n + 1)
w : A
n : ℕ
⊢ {x | ∃ i < n + 1, ((toEnd R L V) z ^ i) v = x} ⊆
    ⇑(LieModule.T χ w) ⁻¹' ↑(Submodule.span R {x | ∃ i < n, ((toEnd R L V) z ^ i) v = x})