-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Content.lean
theorem exists_primitive_lcm_of_isPrimitive {p q : R[X]} (hp : p.IsPrimitive) (hq : q.IsPrimitive) :
    ∃ r : R[X], r.IsPrimitive ∧ ∀ s : R[X], p ∣ s ∧ q ∣ s ↔ r ∣ s

Proof state:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
h : ∃ n r, r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r
⊢ ∃ r, r.IsPrimitive ∧ ∀ (s : R[X]), p ∣ s ∧ q ∣ s ↔ r ∣ s

Tactic:
rcases Nat.find_spec h with ⟨r, rdeg, rprim, pr, qr⟩

Result:
case intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
h : ∃ n r, r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r
r : R[X]
rdeg : r.natDegree = Nat.find h
rprim : r.IsPrimitive
pr : p ∣ r
qr : q ∣ r
⊢ ∃ r, r.IsPrimitive ∧ ∀ (s : R[X]), p ∣ s ∧ q ∣ s ↔ r ∣ s

Proof state:
case pos
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
h : ∃ n r, r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r
r : R[X]
rdeg : r.natDegree = Nat.find h
rprim : IsUnit (r.coeff 0)
pr : p ∣ r
qr : q ∣ r
con : ∃ n s, s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s
s : R[X]
sdeg : s.natDegree = Nat.find con
rs : ¬r.coeff 0 ∣ s.content
ps : p ∣ s
qs : q ∣ s
s0 : s ≠ 0
hs : r.natDegree ≤ s.natDegree
sC : s.natDegree ≤ 0
⊢ False

Tactic:
apply rs rprim.dvd

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
h : ∃ n r, r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r
r : R[X]
rdeg : r.natDegree = Nat.find h
rprim : r.IsPrimitive
pr : p ∣ r
qr : q ∣ r
s : R[X]
⊢ p ∣ s ∧ q ∣ s → r ∣ s

Tactic:
suffices hs : ∀ (n : ℕ) (s : R[X]), s.natDegree = n → p ∣ s ∧ q ∣ s → r ∣ s from
  hs s.natDegree s rfl

Result:
case intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
h : ∃ n r, r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r
r : R[X]
rdeg : r.natDegree = Nat.find h
rprim : r.IsPrimitive
pr : p ∣ r
qr : q ∣ r
s : R[X]
⊢ ∀ (n : ℕ) (s : R[X]), s.natDegree = n → p ∣ s ∧ q ∣ s → r ∣ s

Proof state:
case pos
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
h : ∃ n r, r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r
r : R[X]
rdeg : r.natDegree = Nat.find h
rprim : IsUnit (r.coeff 0)
pr : p ∣ r
qr : q ∣ r
con : ∃ n s, s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s
s : R[X]
sdeg : s.natDegree = Nat.find con
rs : ¬r ∣ s
ps : p ∣ s
qs : q ∣ s
s0 : s ≠ 0
hs : r.natDegree ≤ s.natDegree
sC : s.natDegree ≤ 0
⊢ False

Tactic:
rw [eq_C_of_natDegree_le_zero (le_trans hs sC), ← dvd_content_iff_C_dvd] at rs

Result:
case pos
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p q : R[X]
hp : p.IsPrimitive
hq : q.IsPrimitive
h : ∃ n r, r.natDegree = n ∧ r.IsPrimitive ∧ p ∣ r ∧ q ∣ r
r : R[X]
rdeg : r.natDegree = Nat.find h
rprim : IsUnit (r.coeff 0)
pr : p ∣ r
qr : q ∣ r
con : ∃ n s, s.natDegree = n ∧ (p ∣ s ∧ q ∣ s) ∧ ¬r ∣ s
s : R[X]
sdeg : s.natDegree = Nat.find con
rs : ¬r.coeff 0 ∣ s.content
ps : p ∣ s
qs : q ∣ s
s0 : s ≠ 0
hs : r.natDegree ≤ s.natDegree
sC : s.natDegree ≤ 0
⊢ False