-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Different.lean
/-- If `b` is an `A`-integral basis of `L` with discriminant `b`, then `d • a * x` is integral over
  `A` for all `a ∈ I` and `x ∈ Iᵛ`. -/
lemma isIntegral_discr_mul_of_mem_traceDual
    (I : Submodule B L) {ι} [DecidableEq ι] [Fintype ι]
    {b : Basis ι K L} (hb : ∀ i, IsIntegral A (b i))
    {a x : L} (ha : a ∈ I) (hx : x ∈ Iᵛ) :
    IsIntegral A ((discr K b) • a * x)

Proof state:
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁷ : CommRing A
inst✝¹⁶ : Field K
inst✝¹⁵ : CommRing B
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra A K
inst✝¹² : Algebra B L
inst✝¹¹ : Algebra A B
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra A L
inst✝⁸ : IsScalarTower A K L
inst✝⁷ : IsScalarTower A B L
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : IsIntegralClosure B A L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
I : Submodule B L
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι K L
hb : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
a x : L
ha : a ∈ I
hx : x ∈ Iᵛ
hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑b).det
H :
  (traceMatrix K ⇑b *ᵥ (traceMatrix K ⇑b).cramer fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) =
    (traceMatrix K ⇑b).det • fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)
⊢ IsIntegral A (discr K ⇑b • a * x)

Tactic:
have : Function.Injective (traceMatrix K b).mulVec := by
  rwa [mulVec_injective_iff_isUnit, isUnit_iff_isUnit_det]

Result:
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁷ : CommRing A
inst✝¹⁶ : Field K
inst✝¹⁵ : CommRing B
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra A K
inst✝¹² : Algebra B L
inst✝¹¹ : Algebra A B
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra A L
inst✝⁸ : IsScalarTower A K L
inst✝⁷ : IsScalarTower A B L
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : IsIntegralClosure B A L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
I : Submodule B L
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι K L
hb : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
a x : L
ha : a ∈ I
hx : x ∈ Iᵛ
hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑b).det
H :
  (traceMatrix K ⇑b *ᵥ (traceMatrix K ⇑b).cramer fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) =
    (traceMatrix K ⇑b).det • fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)
this : Function.Injective (traceMatrix K ⇑b).mulVec
⊢ IsIntegral A (discr K ⇑b • a * x)

Proof state:
case h.h.h
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁷ : CommRing A
inst✝¹⁶ : Field K
inst✝¹⁵ : CommRing B
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra A K
inst✝¹² : Algebra B L
inst✝¹¹ : Algebra A B
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra A L
inst✝⁸ : IsScalarTower A K L
inst✝⁷ : IsScalarTower A B L
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : IsIntegralClosure B A L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
I : Submodule B L
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι K L
hb : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
a x : L
ha : a ∈ I
hx : x ∈ Iᵛ
hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑b).det
H : ((traceMatrix K ⇑b).cramer fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) = (traceMatrix K ⇑b).det • b.equivFun (x * a)
this : Function.Injective (traceMatrix K ⇑b).mulVec
i : ι
a✝ : i ∈ Finset.univ
⊢ ∀ (i_1 j : ι), IsIntegral A ((traceMatrix K ⇑b).updateCol i (fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) i_1 j)

Tactic:
intros j k

Result:
case h.h.h
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁷ : CommRing A
inst✝¹⁶ : Field K
inst✝¹⁵ : CommRing B
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra A K
inst✝¹² : Algebra B L
inst✝¹¹ : Algebra A B
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra A L
inst✝⁸ : IsScalarTower A K L
inst✝⁷ : IsScalarTower A B L
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : IsIntegralClosure B A L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
I : Submodule B L
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι K L
hb : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
a x : L
ha : a ∈ I
hx : x ∈ Iᵛ
hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑b).det
H : ((traceMatrix K ⇑b).cramer fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) = (traceMatrix K ⇑b).det • b.equivFun (x * a)
this : Function.Injective (traceMatrix K ⇑b).mulVec
i : ι
a✝ : i ∈ Finset.univ
j k : ι
⊢ IsIntegral A ((traceMatrix K ⇑b).updateCol i (fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) j k)

Proof state:
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁷ : CommRing A
inst✝¹⁶ : Field K
inst✝¹⁵ : CommRing B
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra A K
inst✝¹² : Algebra B L
inst✝¹¹ : Algebra A B
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra A L
inst✝⁸ : IsScalarTower A K L
inst✝⁷ : IsScalarTower A B L
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : IsIntegralClosure B A L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
I : Submodule B L
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι K L
hb : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
a x : L
ha : a ∈ I
hx : x ∈ Iᵛ
⊢ IsIntegral A (discr K ⇑b • a * x)

Tactic:
have hinv : IsUnit (traceMatrix K b).det := by
  simpa [← discr_def] using discr_isUnit_of_basis _ b

Result:
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁷ : CommRing A
inst✝¹⁶ : Field K
inst✝¹⁵ : CommRing B
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra A K
inst✝¹² : Algebra B L
inst✝¹¹ : Algebra A B
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra A L
inst✝⁸ : IsScalarTower A K L
inst✝⁷ : IsScalarTower A B L
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : IsIntegralClosure B A L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
I : Submodule B L
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι K L
hb : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
a x : L
ha : a ∈ I
hx : x ∈ Iᵛ
hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑b).det
⊢ IsIntegral A (discr K ⇑b • a * x)

Proof state:
case h.h.h.isTrue.a
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁷ : CommRing A
inst✝¹⁶ : Field K
inst✝¹⁵ : CommRing B
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra A K
inst✝¹² : Algebra B L
inst✝¹¹ : Algebra A B
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra A L
inst✝⁸ : IsScalarTower A K L
inst✝⁷ : IsScalarTower A B L
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : IsIntegralClosure B A L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
I : Submodule B L
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι K L
hb : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
a x : L
ha : a ∈ I
hx : ∀ a ∈ I, IsIntegral A (((traceForm K L) x) a)
hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑b).det
H : ((traceMatrix K ⇑b).cramer fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) = (traceMatrix K ⇑b).det • b.equivFun (x * a)
this : Function.Injective (traceMatrix K ⇑b).mulVec
i : ι
a✝ : i ∈ Finset.univ
j k : ι
h✝ : k = i
⊢ a * b j ∈ I

Tactic:
have ⟨y, hy⟩ := (IsIntegralClosure.isIntegral_iff (A := B)).mp (hb j)

Result:
case h.h.h.isTrue.a
A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝¹⁷ : CommRing A
inst✝¹⁶ : Field K
inst✝¹⁵ : CommRing B
inst✝¹⁴ : Field L
inst✝¹³ : Algebra A K
inst✝¹² : Algebra B L
inst✝¹¹ : Algebra A B
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : Algebra A L
inst✝⁸ : IsScalarTower A K L
inst✝⁷ : IsScalarTower A B L
inst✝⁶ : IsFractionRing A K
inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : IsIntegralClosure B A L
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
I : Submodule B L
ι : Type u_4
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b : Basis ι K L
hb : ∀ (i : ι), IsIntegral A (b i)
a x : L
ha : a ∈ I
hx : ∀ a ∈ I, IsIntegral A (((traceForm K L) x) a)
hinv : IsUnit (traceMatrix K ⇑b).det
H : ((traceMatrix K ⇑b).cramer fun i => (Algebra.trace K L) (x * a * b i)) = (traceMatrix K ⇑b).det • b.equivFun (x * a)
this : Function.Injective (traceMatrix K ⇑b).mulVec
i : ι
a✝ : i ∈ Finset.univ
j k : ι
h✝ : k = i
y : B
hy : (algebraMap B L) y = b j
⊢ a * b j ∈ I