-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
theorem weight_vector_multiplication (M₁ M₂ M₃ : Type*)
    [AddCommGroup M₁] [Module R M₁] [LieRingModule L M₁] [LieModule R L M₁] [AddCommGroup M₂]
    [Module R M₂] [LieRingModule L M₂] [LieModule R L M₂] [AddCommGroup M₃] [Module R M₃]
    [LieRingModule L M₃] [LieModule R L M₃] (g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M₃) (χ₁ χ₂ : R) (x : L) :
    LinearMap.range ((g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ[R] M₃).comp (mapIncl 𝕎(M₁, χ₁, x) 𝕎(M₂, χ₂, x))) ≤
      𝕎(M₃, χ₁ + χ₂, x)

Proof state:
case refine_2.mk.mk.intro
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : LieRing L
inst✝¹² : LieAlgebra R L
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : LieRingModule L M₁
inst✝⁸ : LieModule R L M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : LieRingModule L M₂
inst✝⁴ : LieModule R L M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : LieRingModule L M₃
inst✝ : LieModule R L M₃
g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M₃
χ₁ χ₂ : R
x : L
t : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)
F : Module.End R M₃ := (toEnd R L M₃) x - (χ₁ + χ₂) • 1
m₁ : M₁
hm₁ : m₁ ∈ 𝕎(M₁, χ₁, x)
m₂ : M₂
hm₂ : m₂ ∈ 𝕎(M₂, χ₂, x)
f₁ : Module.End R (M₁ ⊗[R] M₂) := LinearMap.rTensor M₂ ((toEnd R L M₁) x - χ₁ • 1)
f₂ : Module.End R (M₁ ⊗[R] M₂) := LinearMap.lTensor M₁ ((toEnd R L M₂) x - χ₂ • 1)
h_comm_square : F ∘ₗ ↑g = ↑g ∘ₗ (f₁ + f₂)
k : ℕ
hk : ((f₁ + f₂) ^ k) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0
⊢ ∃ k, (F ^ k) (↑g (m₁ ⊗ₜ[R] m₂)) = 0

Tactic:
use k

Result:
case h
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : LieRing L
inst✝¹² : LieAlgebra R L
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : LieRingModule L M₁
inst✝⁸ : LieModule R L M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : LieRingModule L M₂
inst✝⁴ : LieModule R L M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : LieRingModule L M₃
inst✝ : LieModule R L M₃
g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M₃
χ₁ χ₂ : R
x : L
t : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)
F : Module.End R M₃ := (toEnd R L M₃) x - (χ₁ + χ₂) • 1
m₁ : M₁
hm₁ : m₁ ∈ 𝕎(M₁, χ₁, x)
m₂ : M₂
hm₂ : m₂ ∈ 𝕎(M₂, χ₂, x)
f₁ : Module.End R (M₁ ⊗[R] M₂) := LinearMap.rTensor M₂ ((toEnd R L M₁) x - χ₁ • 1)
f₂ : Module.End R (M₁ ⊗[R] M₂) := LinearMap.lTensor M₁ ((toEnd R L M₂) x - χ₂ • 1)
h_comm_square : F ∘ₗ ↑g = ↑g ∘ₗ (f₁ + f₂)
k : ℕ
hk : ((f₁ + f₂) ^ k) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0
⊢ (F ^ k) (↑g (m₁ ⊗ₜ[R] m₂)) = 0

Proof state:
case intro
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : LieRing L
inst✝¹² : LieAlgebra R L
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : LieRingModule L M₁
inst✝⁸ : LieModule R L M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : LieRingModule L M₂
inst✝⁴ : LieModule R L M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : LieRingModule L M₃
inst✝ : LieModule R L M₃
g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M₃
χ₁ χ₂ : R
x : L
t : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)
F : Module.End R M₃ := (toEnd R L M₃) x - (χ₁ + χ₂) • 1
m₁ : M₁
m₂ : M₂
f₁ : Module.End R (M₁ ⊗[R] M₂) := LinearMap.rTensor M₂ ((toEnd R L M₁) x - χ₁ • 1)
f₂ : Module.End R (M₁ ⊗[R] M₂) := LinearMap.lTensor M₁ ((toEnd R L M₂) x - χ₂ • 1)
h_comm_square : F ∘ₗ ↑g = ↑g ∘ₗ (f₁ + f₂)
hm₂ : ∃ k, (((toEnd R L M₂) x - χ₂ • 1) ^ k) m₂ = 0
k₁ : ℕ
hk₁ : (((toEnd R L M₁) x - χ₁ • 1) ^ k₁) m₁ = 0
⊢ ∃ k, ((f₁ + f₂) ^ k) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0

Tactic:
obtain ⟨k₂, hk₂⟩ := hm₂

Result:
case intro.intro
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : LieRing L
inst✝¹² : LieAlgebra R L
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : LieRingModule L M₁
inst✝⁸ : LieModule R L M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : LieRingModule L M₂
inst✝⁴ : LieModule R L M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : LieRingModule L M₃
inst✝ : LieModule R L M₃
g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M₃
χ₁ χ₂ : R
x : L
t : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)
F : Module.End R M₃ := (toEnd R L M₃) x - (χ₁ + χ₂) • 1
m₁ : M₁
m₂ : M₂
f₁ : Module.End R (M₁ ⊗[R] M₂) := LinearMap.rTensor M₂ ((toEnd R L M₁) x - χ₁ • 1)
f₂ : Module.End R (M₁ ⊗[R] M₂) := LinearMap.lTensor M₁ ((toEnd R L M₂) x - χ₂ • 1)
h_comm_square : F ∘ₗ ↑g = ↑g ∘ₗ (f₁ + f₂)
k₁ : ℕ
hk₁ : (((toEnd R L M₁) x - χ₁ • 1) ^ k₁) m₁ = 0
k₂ : ℕ
hk₂ : (((toEnd R L M₂) x - χ₂ • 1) ^ k₂) m₂ = 0
⊢ ∃ k, ((f₁ + f₂) ^ k) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0

Proof state:
case refine_2.mk.mk
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : LieRing L
inst✝¹² : LieAlgebra R L
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : LieRingModule L M₁
inst✝⁸ : LieModule R L M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : LieRingModule L M₂
inst✝⁴ : LieModule R L M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : LieRingModule L M₃
inst✝ : LieModule R L M₃
g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M₃
χ₁ χ₂ : R
x : L
t : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)
F : Module.End R M₃ := (toEnd R L M₃) x - (χ₁ + χ₂) • 1
m₁ : M₁
hm₁ : m₁ ∈ 𝕎(M₁, χ₁, x)
m₂ : M₂
hm₂ : m₂ ∈ 𝕎(M₂, χ₂, x)
⊢ ∃ k,
    (((toEnd R L M₃) x - (χ₁ + χ₂) • 1) ^ k)
        (g ((TensorProduct.map 𝕎(M₁, χ₁, x).subtype 𝕎(M₂, χ₂, x).subtype) (⟨m₁, hm₁⟩ ⊗ₜ[R] ⟨m₂, hm₂⟩))) =
      0

Tactic:
change ∃ k, (F ^ k) ((g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ[R] M₃) (m₁ ⊗ₜ m₂)) = (0 : M₃)

Result:
case refine_2.mk.mk
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : LieRing L
inst✝¹² : LieAlgebra R L
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : LieRingModule L M₁
inst✝⁸ : LieModule R L M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : LieRingModule L M₂
inst✝⁴ : LieModule R L M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : LieRingModule L M₃
inst✝ : LieModule R L M₃
g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M₃
χ₁ χ₂ : R
x : L
t : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)
F : Module.End R M₃ := (toEnd R L M₃) x - (χ₁ + χ₂) • 1
m₁ : M₁
hm₁ : m₁ ∈ 𝕎(M₁, χ₁, x)
m₂ : M₂
hm₂ : m₂ ∈ 𝕎(M₂, χ₂, x)
⊢ ∃ k, (F ^ k) (↑g (m₁ ⊗ₜ[R] m₂)) = 0

Proof state:
case h.h.mk.inr
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : LieRing L
inst✝¹² : LieAlgebra R L
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : LieRingModule L M₁
inst✝⁸ : LieModule R L M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : LieRingModule L M₂
inst✝⁴ : LieModule R L M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : LieRingModule L M₃
inst✝ : LieModule R L M₃
g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M₃
χ₁ χ₂ : R
x : L
t : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)
F : Module.End R M₃ := (toEnd R L M₃) x - (χ₁ + χ₂) • 1
m₁ : M₁
m₂ : M₂
f₁ : Module.End R (M₁ ⊗[R] M₂) := LinearMap.rTensor M₂ ((toEnd R L M₁) x - χ₁ • 1)
f₂ : Module.End R (M₁ ⊗[R] M₂) := LinearMap.lTensor M₁ ((toEnd R L M₂) x - χ₂ • 1)
h_comm_square : F ∘ₗ ↑g = ↑g ∘ₗ (f₁ + f₂)
k₁ : ℕ
hk₁ : (((toEnd R L M₁) x - χ₁ • 1) ^ k₁) m₁ = 0
k₂ : ℕ
hk₂ : (((toEnd R L M₂) x - χ₂ • 1) ^ k₂) m₂ = 0
hf₁ : (f₁ ^ k₁) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0
hf₂ : (f₂ ^ k₂) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0
hf_comm : Commute f₁ f₂
i j : ℕ
hij : (i, j) ∈ Finset.antidiagonal (k₁ + k₂ - 1)
hj : k₂ ≤ (i, j).2
⊢ (f₁ ^ i * f₂ ^ j) (m₁ ⊗ₜ[R] m₂) = 0

Tactic:
rw [LinearMap.mul_apply, LinearMap.pow_map_zero_of_le hj hf₂, LinearMap.map_zero]

Result:
no goals