-- Mathlib/NumberTheory/AbelSummation.lean
theorem integralmulsum (hf_diff : ∀ t ∈ Set.Icc a b, DifferentiableAt ℝ f t)
    (hf_int : IntegrableOn (deriv f) (Set.Icc a b)) (t₁ t₂ : ℝ) (n : ℕ) (h : t₁ ≤ t₂)
    (h₁ : n ≤ t₁) (h₂ : t₂ ≤ n + 1) (h₃ : a ≤ t₁) (h₄ : t₂ ≤ b) :
    ∫ t in t₁..t₂, deriv f t * ∑ k ∈ Icc 0 ⌊t⌋₊, c k =
      (f t₂ - f t₁) * ∑ k ∈ Icc 0 n, c k

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : RCLike 𝕜
c : ℕ → 𝕜
f : ℝ → 𝕜
a b : ℝ
hf_diff : ∀ t ∈ Set.Icc a b, DifferentiableAt ℝ f t
hf_int : IntegrableOn (deriv f) (Set.Icc a b) volume
t₁ t₂ : ℝ
n : ℕ
h : t₁ ≤ t₂
h₁ : ↑n ≤ t₁
h₂ : t₂ ≤ ↑n + 1
h₃ : a ≤ t₁
h₄ : t₂ ≤ b
h_inc₁ : Ι t₁ t₂ ⊆ Set.Icc (↑n) (↑n + 1)
h_inc₂ : Set.uIcc t₁ t₂ ⊆ Set.Icc a b
⊢ ∫ (t : ℝ) in t₁..t₂, deriv f t * ∑ k ∈ Icc 0 ⌊t⌋₊, c k = ∫ (x : ℝ) in t₁..t₂, deriv f x * ∑ k ∈ Icc 0 n, c k

Tactic:
refine integral_congr_ae ?_

Result:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : RCLike 𝕜
c : ℕ → 𝕜
f : ℝ → 𝕜
a b : ℝ
hf_diff : ∀ t ∈ Set.Icc a b, DifferentiableAt ℝ f t
hf_int : IntegrableOn (deriv f) (Set.Icc a b) volume
t₁ t₂ : ℝ
n : ℕ
h : t₁ ≤ t₂
h₁ : ↑n ≤ t₁
h₂ : t₂ ≤ ↑n + 1
h₃ : a ≤ t₁
h₄ : t₂ ≤ b
h_inc₁ : Ι t₁ t₂ ⊆ Set.Icc (↑n) (↑n + 1)
h_inc₂ : Set.uIcc t₁ t₂ ⊆ Set.Icc a b
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ Ι t₁ t₂ → deriv f x * ∑ k ∈ Icc 0 ⌊x⌋₊, c k = deriv f x * ∑ k ∈ Icc 0 n, c k

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : RCLike 𝕜
c : ℕ → 𝕜
f : ℝ → 𝕜
a b : ℝ
hf_diff : ∀ t ∈ Set.Icc a b, DifferentiableAt ℝ f t
hf_int : IntegrableOn (deriv f) (Set.Icc a b) volume
t₁ t₂ : ℝ
n : ℕ
h : t₁ ≤ t₂
h₁ : ↑n ≤ t₁
h₂ : t₂ ≤ ↑n + 1
h₃ : a ≤ t₁
h₄ : t₂ ≤ b
h_inc₁ : Ι t₁ t₂ ⊆ Set.Icc (↑n) (↑n + 1)
h_inc₂ : Set.uIcc t₁ t₂ ⊆ Set.Icc a b
⊢ ∫ (t : ℝ) in t₁..t₂, deriv f t * ∑ k ∈ Icc 0 ⌊t⌋₊, c k = (f t₂ - f t₁) * ∑ k ∈ Icc 0 n, c k

Tactic:
rw [← integral_deriv_eq_sub (fun t ht ↦ hf_diff t (h_inc₂ ht)), ← integral_mul_const]

Result:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : RCLike 𝕜
c : ℕ → 𝕜
f : ℝ → 𝕜
a b : ℝ
hf_diff : ∀ t ∈ Set.Icc a b, DifferentiableAt ℝ f t
hf_int : IntegrableOn (deriv f) (Set.Icc a b) volume
t₁ t₂ : ℝ
n : ℕ
h : t₁ ≤ t₂
h₁ : ↑n ≤ t₁
h₂ : t₂ ≤ ↑n + 1
h₃ : a ≤ t₁
h₄ : t₂ ≤ b
h_inc₁ : Ι t₁ t₂ ⊆ Set.Icc (↑n) (↑n + 1)
h_inc₂ : Set.uIcc t₁ t₂ ⊆ Set.Icc a b
⊢ ∫ (t : ℝ) in t₁..t₂, deriv f t * ∑ k ∈ Icc 0 ⌊t⌋₊, c k = ∫ (x : ℝ) in t₁..t₂, deriv f x * ∑ k ∈ Icc 0 n, c k

𝕜 : Type u_1
inst✝ : RCLike 𝕜
c : ℕ → 𝕜
f : ℝ → 𝕜
a b : ℝ
hf_diff : ∀ t ∈ Set.Icc a b, DifferentiableAt ℝ f t
hf_int : IntegrableOn (deriv f) (Set.Icc a b) volume
t₁ t₂ : ℝ
n : ℕ
h : t₁ ≤ t₂
h₁ : ↑n ≤ t₁
h₂ : t₂ ≤ ↑n + 1
h₃ : a ≤ t₁
h₄ : t₂ ≤ b
h_inc₁ : Ι t₁ t₂ ⊆ Set.Icc (↑n) (↑n + 1)
h_inc₂ : Set.uIcc t₁ t₂ ⊆ Set.Icc a b
⊢ IntervalIntegrable (deriv f) volume t₁ t₂

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : RCLike 𝕜
c : ℕ → 𝕜
f : ℝ → 𝕜
a b : ℝ
hf_diff : ∀ t ∈ Set.Icc a b, DifferentiableAt ℝ f t
hf_int : IntegrableOn (deriv f) (Set.Icc a b) volume
t₁ t₂ : ℝ
n : ℕ
h : t₁ ≤ t₂
h₁ : ↑n ≤ t₁
h₂ : t₂ ≤ ↑n + 1
h₃ : a ≤ t₁
h₄ : t₂ ≤ b
h_inc₁ : Ι t₁ t₂ ⊆ Set.Icc (↑n) (↑n + 1)
h_inc₂ : Set.uIcc t₁ t₂ ⊆ Set.Icc a b
⊢ Set.Icc t₁ t₂ ⊆ Set.Icc a b

Tactic:
rwa [← Set.uIcc_of_le h]

Result:
no goals

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : RCLike 𝕜
c : ℕ → 𝕜
f : ℝ → 𝕜
a b : ℝ
hf_diff : ∀ t ∈ Set.Icc a b, DifferentiableAt ℝ f t
hf_int : IntegrableOn (deriv f) (Set.Icc a b) volume
t₁ t₂ : ℝ
n : ℕ
h : t₁ ≤ t₂
h₁ : ↑n ≤ t₁
h₂ : t₂ ≤ ↑n + 1
h₃ : a ≤ t₁
h₄ : t₂ ≤ b
h_inc₁ : Ι t₁ t₂ ⊆ Set.Icc (↑n) (↑n + 1)
h_inc₂ : Set.uIcc t₁ t₂ ⊆ Set.Icc a b
⊢ ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ Ι t₁ t₂ → deriv f x * ∑ k ∈ Icc 0 ⌊x⌋₊, c k = deriv f x * ∑ k ∈ Icc 0 n, c k

Tactic:
filter_upwards [sumlocc c n] with t h h'

Result:
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝ : RCLike 𝕜
c : ℕ → 𝕜
f : ℝ → 𝕜
a b : ℝ
hf_diff : ∀ t ∈ Set.Icc a b, DifferentiableAt ℝ f t
hf_int : IntegrableOn (deriv f) (Set.Icc a b) volume
t₁ t₂ : ℝ
n : ℕ
h✝ : t₁ ≤ t₂
h₁ : ↑n ≤ t₁
h₂ : t₂ ≤ ↑n + 1
h₃ : a ≤ t₁
h₄ : t₂ ≤ b
h_inc₁ : Ι t₁ t₂ ⊆ Set.Icc (↑n) (↑n + 1)
h_inc₂ : Set.uIcc t₁ t₂ ⊆ Set.Icc a b
t : ℝ
h : t ∈ Set.Icc (↑n) (↑n + 1) → ∑ k ∈ Icc ?m.6991 ⌊t⌋₊, c k = ∑ k ∈ Icc ?m.6991 n, c k
h' : t ∈ Ι t₁ t₂
⊢ deriv f t * ∑ k ∈ Icc 0 ⌊t⌋₊, c k = deriv f t * ∑ k ∈ Icc 0 n, c k

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : RCLike 𝕜
c : ℕ → 𝕜
f : ℝ → 𝕜
a b : ℝ
hf_diff : ∀ t ∈ Set.Icc a b, DifferentiableAt ℝ f t
hf_int : IntegrableOn (deriv f) (Set.Icc a b) volume
t₁ t₂ : ℝ
n : ℕ
h : t₁ ≤ t₂
h₁ : ↑n ≤ t₁
h₂ : t₂ ≤ ↑n + 1
h₃ : a ≤ t₁
h₄ : t₂ ≤ b
⊢ ∫ (t : ℝ) in t₁..t₂, deriv f t * ∑ k ∈ Icc 0 ⌊t⌋₊, c k = (f t₂ - f t₁) * ∑ k ∈ Icc 0 n, c k

Tactic:
have h_inc₁ : Ι t₁ t₂ ⊆ Set.Icc n (n + 1) :=
  Set.uIoc_of_le h ▸ Set.Ioc_subset_Icc_self.trans <| Set.Icc_subset_Icc h₁ h₂

Result:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : RCLike 𝕜
c : ℕ → 𝕜
f : ℝ → 𝕜
a b : ℝ
hf_diff : ∀ t ∈ Set.Icc a b, DifferentiableAt ℝ f t
hf_int : IntegrableOn (deriv f) (Set.Icc a b) volume
t₁ t₂ : ℝ
n : ℕ
h : t₁ ≤ t₂
h₁ : ↑n ≤ t₁
h₂ : t₂ ≤ ↑n + 1
h₃ : a ≤ t₁
h₄ : t₂ ≤ b
h_inc₁ : Ι t₁ t₂ ⊆ Set.Icc (↑n) (↑n + 1)
⊢ ∫ (t : ℝ) in t₁..t₂, deriv f t * ∑ k ∈ Icc 0 ⌊t⌋₊, c k = (f t₂ - f t₁) * ∑ k ∈ Icc 0 n, c k

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : RCLike 𝕜
c : ℕ → 𝕜
f : ℝ → 𝕜
a b : ℝ
hf_diff : ∀ t ∈ Set.Icc a b, DifferentiableAt ℝ f t
hf_int : IntegrableOn (deriv f) (Set.Icc a b) volume
t₁ t₂ : ℝ
n : ℕ
h : t₁ ≤ t₂
h₁ : ↑n ≤ t₁
h₂ : t₂ ≤ ↑n + 1
h₃ : a ≤ t₁
h₄ : t₂ ≤ b
h_inc₁ : Ι t₁ t₂ ⊆ Set.Icc (↑n) (↑n + 1)
⊢ ∫ (t : ℝ) in t₁..t₂, deriv f t * ∑ k ∈ Icc 0 ⌊t⌋₊, c k = (f t₂ - f t₁) * ∑ k ∈ Icc 0 n, c k

Tactic:
have h_inc₂ : Set.uIcc t₁ t₂ ⊆ Set.Icc a b := Set.uIcc_of_le h ▸ Set.Icc_subset_Icc h₃ h₄

Result:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : RCLike 𝕜
c : ℕ → 𝕜
f : ℝ → 𝕜
a b : ℝ
hf_diff : ∀ t ∈ Set.Icc a b, DifferentiableAt ℝ f t
hf_int : IntegrableOn (deriv f) (Set.Icc a b) volume
t₁ t₂ : ℝ
n : ℕ
h : t₁ ≤ t₂
h₁ : ↑n ≤ t₁
h₂ : t₂ ≤ ↑n + 1
h₃ : a ≤ t₁
h₄ : t₂ ≤ b
h_inc₁ : Ι t₁ t₂ ⊆ Set.Icc (↑n) (↑n + 1)
h_inc₂ : Set.uIcc t₁ t₂ ⊆ Set.Icc a b
⊢ ∫ (t : ℝ) in t₁..t₂, deriv f t * ∑ k ∈ Icc 0 ⌊t⌋₊, c k = (f t₂ - f t₁) * ∑ k ∈ Icc 0 n, c k

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : RCLike 𝕜
c : ℕ → 𝕜
f : ℝ → 𝕜
a b : ℝ
hf_diff : ∀ t ∈ Set.Icc a b, DifferentiableAt ℝ f t
hf_int : IntegrableOn (deriv f) (Set.Icc a b) volume
t₁ t₂ : ℝ
n : ℕ
h : t₁ ≤ t₂
h₁ : ↑n ≤ t₁
h₂ : t₂ ≤ ↑n + 1
h₃ : a ≤ t₁
h₄ : t₂ ≤ b
h_inc₁ : Ι t₁ t₂ ⊆ Set.Icc (↑n) (↑n + 1)
h_inc₂ : Set.uIcc t₁ t₂ ⊆ Set.Icc a b
⊢ IntervalIntegrable (deriv f) volume t₁ t₂

Tactic:
refine (intervalIntegrable_iff_integrableOn_Icc_of_le h).mpr (hf_int.mono_set ?_)

Result:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : RCLike 𝕜
c : ℕ → 𝕜
f : ℝ → 𝕜
a b : ℝ
hf_diff : ∀ t ∈ Set.Icc a b, DifferentiableAt ℝ f t
hf_int : IntegrableOn (deriv f) (Set.Icc a b) volume
t₁ t₂ : ℝ
n : ℕ
h : t₁ ≤ t₂
h₁ : ↑n ≤ t₁
h₂ : t₂ ≤ ↑n + 1
h₃ : a ≤ t₁
h₄ : t₂ ≤ b
h_inc₁ : Ι t₁ t₂ ⊆ Set.Icc (↑n) (↑n + 1)
h_inc₂ : Set.uIcc t₁ t₂ ⊆ Set.Icc a b
⊢ Set.Icc t₁ t₂ ⊆ Set.Icc a b

Proof state:
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝ : RCLike 𝕜
c : ℕ → 𝕜
f : ℝ → 𝕜
a b : ℝ
hf_diff : ∀ t ∈ Set.Icc a b, DifferentiableAt ℝ f t
hf_int : IntegrableOn (deriv f) (Set.Icc a b) volume
t₁ t₂ : ℝ
n : ℕ
h✝ : t₁ ≤ t₂
h₁ : ↑n ≤ t₁
h₂ : t₂ ≤ ↑n + 1
h₃ : a ≤ t₁
h₄ : t₂ ≤ b
h_inc₁ : Ι t₁ t₂ ⊆ Set.Icc (↑n) (↑n + 1)
h_inc₂ : Set.uIcc t₁ t₂ ⊆ Set.Icc a b
t : ℝ
h : t ∈ Set.Icc (↑n) (↑n + 1) → ∑ k ∈ Icc ?m.6991 ⌊t⌋₊, c k = ∑ k ∈ Icc ?m.6991 n, c k
h' : t ∈ Ι t₁ t₂
⊢ deriv f t * ∑ k ∈ Icc 0 ⌊t⌋₊, c k = deriv f t * ∑ k ∈ Icc 0 n, c k

Tactic:
rw [h (h_inc₁ h')]

Result:
no goals