-- Mathlib/LinearAlgebra/Pi.lean
theorem iSup_map_single [DecidableEq ι] [Finite ι] :
    ⨆ i, map (LinearMap.single R φ i : φ i →ₗ[R] (i : ι) → φ i) (p i) = pi Set.univ p

Proof state:
case intro.refine_1
R : Type u
ι : Type x
inst✝⁴ : Semiring R
φ : ι → Type u_1
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (φ i)
p : (i : ι) → Submodule R (φ i)
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Finite ι
val✝ : Fintype ι
i : ι
⊢ map (single R φ i) (p i) ≤ pi Set.univ p

Tactic:
rintro _ ⟨x, hx : x ∈ p i, rfl⟩ j -

Result:
case intro.refine_1.intro.intro
R : Type u
ι : Type x
inst✝⁴ : Semiring R
φ : ι → Type u_1
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (φ i)
p : (i : ι) → Submodule R (φ i)
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Finite ι
val✝ : Fintype ι
i : ι
x : φ i
hx : x ∈ p i
j : ι
⊢ (single R φ i) x j ∈ (fun i => ↑(p i)) j

Proof state:
R : Type u
ι : Type x
inst✝⁴ : Semiring R
φ : ι → Type u_1
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (φ i)
p : (i : ι) → Submodule R (φ i)
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Finite ι
⊢ ⨆ i, map (single R φ i) (p i) = pi Set.univ p

Tactic:
cases nonempty_fintype ι

Result:
case intro
R : Type u
ι : Type x
inst✝⁴ : Semiring R
φ : ι → Type u_1
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (φ i)
p : (i : ι) → Submodule R (φ i)
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Finite ι
val✝ : Fintype ι
⊢ ⨆ i, map (single R φ i) (p i) = pi Set.univ p

Proof state:
case intro.refine_1.intro.intro
R : Type u
ι : Type x
inst✝⁴ : Semiring R
φ : ι → Type u_1
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (φ i)
p : (i : ι) → Submodule R (φ i)
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Finite ι
val✝ : Fintype ι
i : ι
x : φ i
hx : x ∈ p i
j : ι
⊢ (single R φ i) x j ∈ (fun i => ↑(p i)) j

Tactic:
rcases em (j = i) with (rfl | hj) <;> simp [*]

Result:
no goals

Proof state:
case intro.refine_2
R : Type u
ι : Type x
inst✝⁴ : Semiring R
φ : ι → Type u_1
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (φ i)
p : (i : ι) → Submodule R (φ i)
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Finite ι
val✝ : Fintype ι
x : (i : ι) → φ i
hx : x ∈ pi Set.univ p
⊢ ∑ i : ι, Pi.single i (x i) ∈ ⨆ i, map (single R φ i) (p i)

Tactic:
exact sum_mem_iSup fun i => mem_map_of_mem (hx i trivial)

Result:
no goals

Proof state:
case intro.refine_2
R : Type u
ι : Type x
inst✝⁴ : Semiring R
φ : ι → Type u_1
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (φ i)
p : (i : ι) → Submodule R (φ i)
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Finite ι
val✝ : Fintype ι
x : (i : ι) → φ i
hx : x ∈ pi Set.univ p
⊢ x ∈ ⨆ i, map (single R φ i) (p i)

Tactic:
rw [← Finset.univ_sum_single x]

Result:
case intro.refine_2
R : Type u
ι : Type x
inst✝⁴ : Semiring R
φ : ι → Type u_1
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (φ i)
p : (i : ι) → Submodule R (φ i)
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Finite ι
val✝ : Fintype ι
x : (i : ι) → φ i
hx : x ∈ pi Set.univ p
⊢ ∑ i : ι, Pi.single i (x i) ∈ ⨆ i, map (single R φ i) (p i)

Proof state:
case intro.refine_2
R : Type u
ι : Type x
inst✝⁴ : Semiring R
φ : ι → Type u_1
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (φ i)
p : (i : ι) → Submodule R (φ i)
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Finite ι
val✝ : Fintype ι
⊢ pi Set.univ p ≤ ⨆ i, map (single R φ i) (p i)

Tactic:
intro x hx

Result:
case intro.refine_2
R : Type u
ι : Type x
inst✝⁴ : Semiring R
φ : ι → Type u_1
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (φ i)
p : (i : ι) → Submodule R (φ i)
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Finite ι
val✝ : Fintype ι
x : (i : ι) → φ i
hx : x ∈ pi Set.univ p
⊢ x ∈ ⨆ i, map (single R φ i) (p i)

Proof state:
case intro
R : Type u
ι : Type x
inst✝⁴ : Semiring R
φ : ι → Type u_1
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (φ i)
p : (i : ι) → Submodule R (φ i)
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Finite ι
val✝ : Fintype ι
⊢ ⨆ i, map (single R φ i) (p i) = pi Set.univ p

Tactic:
refine (iSup_le fun i => ?_).antisymm ?_

Result:
case intro.refine_1
R : Type u
ι : Type x
inst✝⁴ : Semiring R
φ : ι → Type u_1
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (φ i)
p : (i : ι) → Submodule R (φ i)
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Finite ι
val✝ : Fintype ι
i : ι
⊢ map (single R φ i) (p i) ≤ pi Set.univ p

case intro.refine_2
R : Type u
ι : Type x
inst✝⁴ : Semiring R
φ : ι → Type u_1
inst✝³ : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (φ i)
p : (i : ι) → Submodule R (φ i)
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Finite ι
val✝ : Fintype ι
⊢ pi Set.univ p ≤ ⨆ i, map (single R φ i) (p i)