-- Mathlib/Geometry/Manifold/LocalInvariantProperties.lean
theorem _root_.PartialHomeomorph.isLocalStructomorphWithinAt_iff' {G : StructureGroupoid H}
    [ClosedUnderRestriction G] (f : PartialHomeomorph H H) {s : Set H} {x : H} (hs : f.source ⊆ s)
    (hx : x ∈ f.source ∪ sᶜ) :
    G.IsLocalStructomorphWithinAt (⇑f) s x ↔
      x ∈ s → ∃ e : PartialHomeomorph H H,
      e ∈ G ∧ e.source ⊆ f.source ∧ EqOn f (⇑e) e.source ∧ x ∈ e.source

Proof state:
H : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace H
G : StructureGroupoid H
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
f : PartialHomeomorph H H
s : Set H
x : H
hs : f.source ⊆ s
hx : x ∈ f.source ∪ sᶜ
⊢ G.IsLocalStructomorphWithinAt (↑f) s x ↔ x ∈ s → ∃ e ∈ G, e.source ⊆ f.source ∧ EqOn (↑f) (↑e) e.source ∧ x ∈ e.source

Tactic:
rw [f.isLocalStructomorphWithinAt_iff hx]

Result:
H : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace H
G : StructureGroupoid H
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
f : PartialHomeomorph H H
s : Set H
x : H
hs : f.source ⊆ s
hx : x ∈ f.source ∪ sᶜ
⊢ (x ∈ s → ∃ e ∈ G, e.source ⊆ f.source ∧ EqOn (↑f) (↑e) (s ∩ e.source) ∧ x ∈ e.source) ↔
    x ∈ s → ∃ e ∈ G, e.source ⊆ f.source ∧ EqOn (↑f) (↑e) e.source ∧ x ∈ e.source

Proof state:
H : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace H
G : StructureGroupoid H
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
f : PartialHomeomorph H H
s : Set H
x : H
hs : f.source ⊆ s
hx : x ∈ f.source ∪ sᶜ
x✝¹ : x ∈ s
e : PartialHomeomorph H H
x✝ : e ∈ G
h2e : e.source ⊆ f.source
⊢ EqOn (↑f) (↑e) (s ∩ e.source) ∧ x ∈ e.source ↔ EqOn (↑f) (↑e) e.source ∧ x ∈ e.source

Tactic:
rw [inter_eq_right.mpr (h2e.trans hs)]

Result:
no goals

Proof state:
H : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace H
G : StructureGroupoid H
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
f : PartialHomeomorph H H
s : Set H
x : H
hs : f.source ⊆ s
hx : x ∈ f.source ∪ sᶜ
⊢ (x ∈ s → ∃ e ∈ G, e.source ⊆ f.source ∧ EqOn (↑f) (↑e) (s ∩ e.source) ∧ x ∈ e.source) ↔
    x ∈ s → ∃ e ∈ G, e.source ⊆ f.source ∧ EqOn (↑f) (↑e) e.source ∧ x ∈ e.source

Tactic:
refine imp_congr_right fun _ ↦ exists_congr fun e ↦ and_congr_right fun _ ↦ ?_

Result:
H : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace H
G : StructureGroupoid H
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
f : PartialHomeomorph H H
s : Set H
x : H
hs : f.source ⊆ s
hx : x ∈ f.source ∪ sᶜ
x✝¹ : x ∈ s
e : PartialHomeomorph H H
x✝ : e ∈ G
⊢ e.source ⊆ f.source ∧ EqOn (↑f) (↑e) (s ∩ e.source) ∧ x ∈ e.source ↔
    e.source ⊆ f.source ∧ EqOn (↑f) (↑e) e.source ∧ x ∈ e.source

Proof state:
H : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace H
G : StructureGroupoid H
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
f : PartialHomeomorph H H
s : Set H
x : H
hs : f.source ⊆ s
hx : x ∈ f.source ∪ sᶜ
x✝¹ : x ∈ s
e : PartialHomeomorph H H
x✝ : e ∈ G
⊢ e.source ⊆ f.source ∧ EqOn (↑f) (↑e) (s ∩ e.source) ∧ x ∈ e.source ↔
    e.source ⊆ f.source ∧ EqOn (↑f) (↑e) e.source ∧ x ∈ e.source

Tactic:
refine and_congr_right fun h2e ↦ ?_

Result:
H : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace H
G : StructureGroupoid H
inst✝ : ClosedUnderRestriction G
f : PartialHomeomorph H H
s : Set H
x : H
hs : f.source ⊆ s
hx : x ∈ f.source ∪ sᶜ
x✝¹ : x ∈ s
e : PartialHomeomorph H H
x✝ : e ∈ G
h2e : e.source ⊆ f.source
⊢ EqOn (↑f) (↑e) (s ∩ e.source) ∧ x ∈ e.source ↔ EqOn (↑f) (↑e) e.source ∧ x ∈ e.source