-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
theorem setToL1_smul_left (hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C) (c : ℝ) (f : α →₁[μ] E) :
    setToL1 (hT.smul c) f = c • setToL1 hT f

Proof state:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : ℝ
f✝ : ↥(Lp E 1 μ)
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)
this : c • (setToL1 hT) ↑f = (setToL1SCLM α E μ ⋯) f
⊢ ((c • setToL1 hT).comp (coeToLp α E ℝ)) f = (setToL1SCLM α E μ ⋯) f

Tactic:
rw [← this]

Result:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : ℝ
f✝ : ↥(Lp E 1 μ)
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)
this : c • (setToL1 hT) ↑f = (setToL1SCLM α E μ ⋯) f
⊢ ((c • setToL1 hT).comp (coeToLp α E ℝ)) f = c • (setToL1 hT) ↑f

Proof state:
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : ℝ
f✝ : ↥(Lp E 1 μ)
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)
⊢ ((c • setToL1 hT).comp (coeToLp α E ℝ)) f = (setToL1SCLM α E μ ⋯) f

Tactic:
suffices c • setToL1 hT f = setToL1SCLM α E μ (hT.smul c) f by rw [← this]; congr

Result:
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : ℝ
f✝ : ↥(Lp E 1 μ)
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)
⊢ c • (setToL1 hT) ↑f = (setToL1SCLM α E μ ⋯) f

Proof state:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : ℝ
f : ↥(Lp E 1 μ)
⊢ (c • setToL1 hT).comp (coeToLp α E ℝ) = setToL1SCLM α E μ ⋯

Tactic:
ext1 f

Result:
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : ℝ
f✝ : ↥(Lp E 1 μ)
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)
⊢ ((c • setToL1 hT).comp (coeToLp α E ℝ)) f = (setToL1SCLM α E μ ⋯) f

Proof state:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : ℝ
f : ↥(Lp E 1 μ)
⊢ (setToL1 ⋯) f = c • (setToL1 hT) f

Tactic:
suffices setToL1 (hT.smul c) = c • setToL1 hT by rw [this, ContinuousLinearMap.smul_apply]

Result:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : ℝ
f : ↥(Lp E 1 μ)
⊢ setToL1 ⋯ = c • setToL1 hT

Proof state:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : ℝ
f : ↥(Lp E 1 μ)
⊢ setToL1 ⋯ = c • setToL1 hT

Tactic:
refine ContinuousLinearMap.extend_unique (setToL1SCLM α E μ (hT.smul c)) _ _ _ _ ?_

Result:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : ℝ
f : ↥(Lp E 1 μ)
⊢ (c • setToL1 hT).comp (coeToLp α E ℝ) = setToL1SCLM α E μ ⋯

Proof state:
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : ℝ
f✝ : ↥(Lp E 1 μ)
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)
⊢ c • (setToL1 hT) ↑f = (setToL1SCLM α E μ ⋯) f

Tactic:
rw [setToL1_eq_setToL1SCLM, setToL1SCLM_smul_left c hT]

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : ℝ
f : ↥(Lp E 1 μ)
this : setToL1 ⋯ = c • setToL1 hT
⊢ (setToL1 ⋯) f = c • (setToL1 hT) f

Tactic:
rw [this, ContinuousLinearMap.smul_apply]

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
c : ℝ
f✝ : ↥(Lp E 1 μ)
f : ↥(simpleFunc E 1 μ)
this : c • (setToL1 hT) ↑f = (setToL1SCLM α E μ ⋯) f
⊢ ((c • setToL1 hT).comp (coeToLp α E ℝ)) f = c • (setToL1 hT) ↑f

Tactic:
congr

Result:
no goals