-- Mathlib/Topology/Algebra/UniformGroup/Basic.lean
theorem extend_Z_bilin_key (x₀ : α) (y₀ : γ) : ∃ U ∈ comap e (𝓝 x₀), ∃ V ∈ comap f (𝓝 y₀),
    ∀ x ∈ U, ∀ x' ∈ U, ∀ (y) (_ : y ∈ V) (y') (_ : y' ∈ V),
    (fun p : β × δ => φ p.1 p.2) (x', y') - (fun p : β × δ => φ p.1 p.2) (x, y) ∈ W'

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹² : TopologicalSpace α
inst✝¹¹ : AddCommGroup α
inst✝¹⁰ : IsTopologicalAddGroup α
inst✝⁹ : TopologicalSpace β
inst✝⁸ : AddCommGroup β
inst✝⁷ : TopologicalSpace γ
inst✝⁶ : AddCommGroup γ
inst✝⁵ : IsTopologicalAddGroup γ
inst✝⁴ : TopologicalSpace δ
inst✝³ : AddCommGroup δ
inst✝² : UniformSpace G
inst✝¹ : AddCommGroup G
e : β →+ α
de : IsDenseInducing ⇑e
f : δ →+ γ
df : IsDenseInducing ⇑f
φ : β →+ δ →+ G
hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2
W' : Set G
W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0
inst✝ : UniformAddGroup G
x₀ : α
y₀ : γ
ee : β × β → α × α := fun u => (e u.1, e u.2)
ff : δ × δ → γ × γ := fun u => (f u.1, f u.2)
lim_φ : Tendsto (fun p => (φ p.1) p.2) (𝓝 (0, 0)) (𝓝 0)
lim_φ_sub_sub :
  Tendsto (fun p => (fun p => (φ p.1) p.2) (p.1.2 - p.1.1, p.2.2 - p.2.1))
    (comap ee (𝓝 (x₀, x₀)) ×ˢ comap ff (𝓝 (y₀, y₀))) (𝓝 0)
W : Set G
W_nhd : W ∈ 𝓝 0
W4 : ∀ {v w s t : G}, v ∈ W → w ∈ W → s ∈ W → t ∈ W → v + w + s + t ∈ W'
U₁ : Set β
U₁_nhd : U₁ ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀)
V₁ : Set δ
V₁_nhd : V₁ ∈ comap (⇑f) (𝓝 y₀)
H : ∀ x ∈ U₁, ∀ x' ∈ U₁, ∀ y ∈ V₁, ∀ y' ∈ V₁, (fun p => (φ p.1) p.2) (x' - x, y' - y) ∈ W
x₁ : β
x₁_in : x₁ ∈ U₁
y₁ : δ
y₁_in : y₁ ∈ V₁
cont_flip : Continuous fun p => (φ.flip p.1) p.2
U₂ : Set β
U₂_nhd : U₂ ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀)
HU : ∀ x ∈ U₂, ∀ x' ∈ U₂, (fun p => (φ p.1) p.2) (x' - x, y₁) ∈ W
V₂ : Set δ
V₂_nhd : V₂ ∈ comap (⇑f) (𝓝 y₀)
HV : ∀ x ∈ V₂, ∀ x' ∈ V₂, (fun p => (φ.flip p.1) p.2) (x' - x, x₁) ∈ W
x : β
xU₁ : x ∈ U₁
xU₂ : x ∈ U₂
x' : β
x'U₁ : x' ∈ U₁
x'U₂ : x' ∈ U₂
y : δ
yV₁ : y ∈ V₁
yV₂ : y ∈ V₂
y' : δ
y'V₁ : y' ∈ V₁
y'V₂ : y' ∈ V₂
key_formula : (φ x') y' - (φ x) y = (φ (x' - x)) y₁ + (φ (x' - x)) (y' - y₁) + (φ x₁) (y' - y) + (φ (x - x₁)) (y' - y)
⊢ (fun p => (φ p.1) p.2) (x', y') - (fun p => (φ p.1) p.2) (x, y) ∈ W'

Tactic:
rw [key_formula]

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝¹² : TopologicalSpace α
inst✝¹¹ : AddCommGroup α
inst✝¹⁰ : IsTopologicalAddGroup α
inst✝⁹ : TopologicalSpace β
inst✝⁸ : AddCommGroup β
inst✝⁷ : TopologicalSpace γ
inst✝⁶ : AddCommGroup γ
inst✝⁵ : IsTopologicalAddGroup γ
inst✝⁴ : TopologicalSpace δ
inst✝³ : AddCommGroup δ
inst✝² : UniformSpace G
inst✝¹ : AddCommGroup G
e : β →+ α
de : IsDenseInducing ⇑e
f : δ →+ γ
df : IsDenseInducing ⇑f
φ : β →+ δ →+ G
hφ : Continuous fun p => (φ p.1) p.2
W' : Set G
W'_nhd : W' ∈ 𝓝 0
inst✝ : UniformAddGroup G
x₀ : α
y₀ : γ
ee : β × β → α × α := fun u => (e u.1, e u.2)
ff : δ × δ → γ × γ := fun u => (f u.1, f u.2)
lim_φ : Tendsto (fun p => (φ p.1) p.2) (𝓝 (0, 0)) (𝓝 0)
lim_φ_sub_sub :
  Tendsto (fun p => (fun p => (φ p.1) p.2) (p.1.2 - p.1.1, p.2.2 - p.2.1))
    (comap ee (𝓝 (x₀, x₀)) ×ˢ comap ff (𝓝 (y₀, y₀))) (𝓝 0)
W : Set G
W_nhd : W ∈ 𝓝 0
W4 : ∀ {v w s t : G}, v ∈ W → w ∈ W → s ∈ W → t ∈ W → v + w + s + t ∈ W'
U₁ : Set β
U₁_nhd : U₁ ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀)
V₁ : Set δ
V₁_nhd : V₁ ∈ comap (⇑f) (𝓝 y₀)
H : ∀ x ∈ U₁, ∀ x' ∈ U₁, ∀ y ∈ V₁, ∀ y' ∈ V₁, (fun p => (φ p.1) p.2) (x' - x, y' - y) ∈ W
x₁ : β
x₁_in : x₁ ∈ U₁
y₁ : δ
y₁_in : y₁ ∈ V₁
cont_flip : Continuous fun p => (φ.flip p.1) p.2
U₂ : Set β
U₂_nhd : U₂ ∈ comap (⇑e) (𝓝 x₀)
HU : ∀ x ∈ U₂, ∀ x' ∈ U₂, (fun p => (φ p.1) p.2) (x' - x, y₁) ∈ W
V₂ : Set δ
V₂_nhd : V₂ ∈ comap (⇑f) (𝓝 y₀)
HV : ∀ x ∈ V₂, ∀ x' ∈ V₂, (fun p => (φ.flip p.1) p.2) (x' - x, x₁) ∈ W
x : β
xU₁ : x ∈ U₁
xU₂ : x ∈ U₂
x' : β
x'U₁ : x' ∈ U₁
x'U₂ : x' ∈ U₂
y : δ
yV₁ : y ∈ V₁
yV₂ : y ∈ V₂
y' : δ
y'V₁ : y' ∈ V₁
y'V₂ : y' ∈ V₂
key_formula : (φ x') y' - (φ x) y = (φ (x' - x)) y₁ + (φ (x' - x)) (y' - y₁) + (φ x₁) (y' - y) + (φ (x - x₁)) (y' - y)
⊢ (φ (x' - x)) y₁ + (φ (x' - x)) (y' - y₁) + (φ x₁) (y' - y) + (φ (x - x₁)) (y' - y) ∈ W'