-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Graded/External.lean
theorem gradedComm_of_zero_tmul (a : 𝒜 0) (b : ⨁ i, ℬ i) :
    gradedComm R 𝒜 ℬ (lof R _ 𝒜 0 a ⊗ₜ b) = b ⊗ₜ lof R _ 𝒜 _ a

Proof state:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring ι
inst✝⁶ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁵ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_3
ℬ : ι → Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
a : 𝒜 0
b : ⨁ (i : ι), ℬ i
⊢ ↑(gradedComm R 𝒜 ℬ) ∘ₗ (mk R (⨁ (i : ι), 𝒜 i) (⨁ (i : ι), ℬ i)) ((lof R ι 𝒜 0) a) =
    (mk R (⨁ (i : ι), ℬ i) (⨁ (i : ι), 𝒜 i)).flip ((lof R ι 𝒜 0) a)

Tactic:
ext i b

Result:
case H.h
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring ι
inst✝⁶ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁵ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_3
ℬ : ι → Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
a : 𝒜 0
b✝ : ⨁ (i : ι), ℬ i
i : ι
b : ℬ i
⊢ ((↑(gradedComm R 𝒜 ℬ) ∘ₗ (mk R (⨁ (i : ι), 𝒜 i) (⨁ (i : ι), ℬ i)) ((lof R ι 𝒜 0) a)) ∘ₗ lof R ι ℬ i) b =
    ((mk R (⨁ (i : ι), ℬ i) (⨁ (i : ι), 𝒜 i)).flip ((lof R ι 𝒜 0) a) ∘ₗ lof R ι ℬ i) b

Proof state:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring ι
inst✝⁶ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁵ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_3
ℬ : ι → Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
a : 𝒜 0
b : ⨁ (i : ι), ℬ i
⊢ (gradedComm R 𝒜 ℬ) ((lof R ι 𝒜 0) a ⊗ₜ[R] b) = b ⊗ₜ[R] (lof R ι 𝒜 0) a

Tactic:
suffices
  (gradedComm R 𝒜 ℬ).toLinearMap ∘ₗ (TensorProduct.mk R (⨁ i, 𝒜 i) (⨁ i, ℬ i)) (lof R _ 𝒜 0 a) =
    (TensorProduct.mk R _ _).flip (lof R _ 𝒜 0 a) from
  DFunLike.congr_fun this b

Result:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring ι
inst✝⁶ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁵ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_3
ℬ : ι → Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
a : 𝒜 0
b : ⨁ (i : ι), ℬ i
⊢ ↑(gradedComm R 𝒜 ℬ) ∘ₗ (mk R (⨁ (i : ι), 𝒜 i) (⨁ (i : ι), ℬ i)) ((lof R ι 𝒜 0) a) =
    (mk R (⨁ (i : ι), ℬ i) (⨁ (i : ι), 𝒜 i)).flip ((lof R ι 𝒜 0) a)

Proof state:
case H.h
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring ι
inst✝⁶ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁵ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_3
ℬ : ι → Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
a : 𝒜 0
b✝ : ⨁ (i : ι), ℬ i
i : ι
b : ℬ i
⊢ ((↑(gradedComm R 𝒜 ℬ) ∘ₗ (mk R (⨁ (i : ι), 𝒜 i) (⨁ (i : ι), ℬ i)) ((lof R ι 𝒜 0) a)) ∘ₗ lof R ι ℬ i) b =
    ((mk R (⨁ (i : ι), ℬ i) (⨁ (i : ι), 𝒜 i)).flip ((lof R ι 𝒜 0) a) ∘ₗ lof R ι ℬ i) b

Tactic:
dsimp

Result:
case H.h
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring ι
inst✝⁶ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁵ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_3
ℬ : ι → Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
a : 𝒜 0
b✝ : ⨁ (i : ι), ℬ i
i : ι
b : ℬ i
⊢ (gradedComm R 𝒜 ℬ) ((lof R ι 𝒜 0) a ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ i) b) = (lof R ι ℬ i) b ⊗ₜ[R] (lof R ι 𝒜 0) a

Proof state:
case H.h
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝⁷ : CommSemiring ι
inst✝⁶ : Module ι (Additive ℤˣ)
inst✝⁵ : DecidableEq ι
𝒜 : ι → Type u_3
ℬ : ι → Type u_4
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (𝒜 i)
inst✝² : (i : ι) → AddCommGroup (ℬ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (𝒜 i)
inst✝ : (i : ι) → Module R (ℬ i)
a : 𝒜 0
b✝ : ⨁ (i : ι), ℬ i
i : ι
b : ℬ i
⊢ (gradedComm R 𝒜 ℬ) ((lof R ι 𝒜 0) a ⊗ₜ[R] (lof R ι ℬ i) b) = (lof R ι ℬ i) b ⊗ₜ[R] (lof R ι 𝒜 0) a

Tactic:
rw [gradedComm_of_tmul_of, mul_zero, uzpow_zero, one_smul]

Result:
no goals