-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/Pretriangulated.lean
lemma complete_distinguished_triangle_morphism
    (T₁ T₂ : Triangle (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ)))
    (hT₁ : T₁ ∈ distinguishedTriangles C) (hT₂ : T₂ ∈ distinguishedTriangles C)
    (a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁) (b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂) (fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁) :
    ∃ (c : T₁.obj₃ ⟶ T₂.obj₃), T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧
      T₁.mor₃ ≫ a⟦(1 : ℤ)⟧' = c ≫ T₂.mor₃

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
T₁ T₂ : Triangle (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ))
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁
K₁ L₁ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
e₁ : T₁ ≅ triangleh φ₁
K₂ L₂ : CochainComplex C ℤ
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
e₂ : T₂ ≅ triangleh φ₂
a'' : K₁ ⟶ K₂
ha' : (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map a'' = e₁.inv.hom₁ ≫ a ≫ e₂.hom.hom₁
b'' : L₁ ⟶ L₂
hb' : (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map b'' = e₁.inv.hom₂ ≫ b ≫ e₂.hom.hom₂
H : Homotopy (φ₁ ≫ b'') (a'' ≫ φ₂)
γ : T₁ ⟶ T₂ := e₁.hom ≫ trianglehMapOfHomotopy H ≫ e₂.inv
comm₂ :
  T₁.mor₂ ≫ e₁.hom.hom₃ ≫ (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (mapOfHomotopy H) ≫ e₂.inv.hom₃ =
    (e₁.hom.hom₂ ≫ (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map b'' ≫ e₂.inv.hom₂) ≫ T₂.mor₂
comm₃ :
  T₁.mor₃ ≫
      (shiftFunctor (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ)) 1).map
        (e₁.hom.hom₁ ≫ (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map a'' ≫ e₂.inv.hom₁) =
    (e₁.hom.hom₃ ≫ (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (mapOfHomotopy H) ≫ e₂.inv.hom₃) ≫ T₂.mor₃
⊢ ∃ c,
    T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ)) 1).map a = c ≫ T₂.mor₃

Tactic:
simp only [ha', hb'] at comm₂ comm₃

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
T₁ T₂ : Triangle (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ))
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁
K₁ L₁ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
e₁ : T₁ ≅ triangleh φ₁
K₂ L₂ : CochainComplex C ℤ
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
e₂ : T₂ ≅ triangleh φ₂
a'' : K₁ ⟶ K₂
ha' : (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map a'' = e₁.inv.hom₁ ≫ a ≫ e₂.hom.hom₁
b'' : L₁ ⟶ L₂
hb' : (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map b'' = e₁.inv.hom₂ ≫ b ≫ e₂.hom.hom₂
H : Homotopy (φ₁ ≫ b'') (a'' ≫ φ₂)
γ : T₁ ⟶ T₂ := e₁.hom ≫ trianglehMapOfHomotopy H ≫ e₂.inv
comm₂ :
  T₁.mor₂ ≫ e₁.hom.hom₃ ≫ (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (mapOfHomotopy H) ≫ e₂.inv.hom₃ =
    (e₁.hom.hom₂ ≫ (e₁.inv.hom₂ ≫ b ≫ e₂.hom.hom₂) ≫ e₂.inv.hom₂) ≫ T₂.mor₂
comm₃ :
  T₁.mor₃ ≫
      (shiftFunctor (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ)) 1).map
        (e₁.hom.hom₁ ≫ (e₁.inv.hom₁ ≫ a ≫ e₂.hom.hom₁) ≫ e₂.inv.hom₁) =
    (e₁.hom.hom₃ ≫ (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (mapOfHomotopy H) ≫ e₂.inv.hom₃) ≫ T₂.mor₃
⊢ ∃ c,
    T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ)) 1).map a = c ≫ T₂.mor₃

Proof state:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
T₁ T₂ : Triangle (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ))
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁
K₁ L₁ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
e₁ : T₁ ≅ triangleh φ₁
K₂ L₂ : CochainComplex C ℤ
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
e₂ : T₂ ≅ triangleh φ₂
a'' : K₁ ⟶ K₂
ha' : (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map a'' = e₁.inv.hom₁ ≫ a ≫ e₂.hom.hom₁
b'' : L₁ ⟶ L₂
hb' : (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map b'' = e₁.inv.hom₂ ≫ b ≫ e₂.hom.hom₂
comm₁₁ : (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map φ₁ ≫ e₁.inv.hom₂ = e₁.inv.hom₁ ≫ T₁.mor₁
comm₁₂ : T₂.mor₁ ≫ e₂.hom.hom₂ = e₂.hom.hom₁ ≫ (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map φ₂
⊢ (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (φ₁ ≫ b'') = (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (a'' ≫ φ₂)

Tactic:
simp only [Functor.map_comp, ha', hb', reassoc_of% comm₁₁,
  reassoc_of% fac, comm₁₂, assoc]

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
T₁ T₂ : Triangle (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ))
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁
K₁ L₁ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
e₁ : T₁ ≅ triangleh φ₁
K₂ L₂ : CochainComplex C ℤ
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
e₂ : T₂ ≅ triangleh φ₂
a'' : K₁ ⟶ K₂
ha' : (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map a'' = e₁.inv.hom₁ ≫ a ≫ e₂.hom.hom₁
b'' : L₁ ⟶ L₂
hb' : (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map b'' = e₁.inv.hom₂ ≫ b ≫ e₂.hom.hom₂
H : Homotopy (φ₁ ≫ b'') (a'' ≫ φ₂)
γ : T₁ ⟶ T₂ := e₁.hom ≫ trianglehMapOfHomotopy H ≫ e₂.inv
comm₂ :
  T₁.mor₂ ≫ e₁.hom.hom₃ ≫ (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (mapOfHomotopy H) ≫ e₂.inv.hom₃ =
    (e₁.hom.hom₂ ≫ (e₁.inv.hom₂ ≫ b ≫ e₂.hom.hom₂) ≫ e₂.inv.hom₂) ≫ T₂.mor₂
comm₃ :
  T₁.mor₃ ≫
      (shiftFunctor (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ)) 1).map
        (e₁.hom.hom₁ ≫ (e₁.inv.hom₁ ≫ a ≫ e₂.hom.hom₁) ≫ e₂.inv.hom₁) =
    (e₁.hom.hom₃ ≫ (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (mapOfHomotopy H) ≫ e₂.inv.hom₃) ≫ T₂.mor₃
⊢ ∃ c,
    T₁.mor₂ ≫ c = b ≫ T₂.mor₂ ∧ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ)) 1).map a = c ≫ T₂.mor₃

Tactic:
refine ⟨γ.hom₃, ?_, ?_⟩

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
T₁ T₂ : Triangle (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ))
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁
K₁ L₁ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
e₁ : T₁ ≅ triangleh φ₁
K₂ L₂ : CochainComplex C ℤ
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
e₂ : T₂ ≅ triangleh φ₂
a'' : K₁ ⟶ K₂
ha' : (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map a'' = e₁.inv.hom₁ ≫ a ≫ e₂.hom.hom₁
b'' : L₁ ⟶ L₂
hb' : (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map b'' = e₁.inv.hom₂ ≫ b ≫ e₂.hom.hom₂
H : Homotopy (φ₁ ≫ b'') (a'' ≫ φ₂)
γ : T₁ ⟶ T₂ := e₁.hom ≫ trianglehMapOfHomotopy H ≫ e₂.inv
comm₂ :
  T₁.mor₂ ≫ e₁.hom.hom₃ ≫ (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (mapOfHomotopy H) ≫ e₂.inv.hom₃ =
    (e₁.hom.hom₂ ≫ (e₁.inv.hom₂ ≫ b ≫ e₂.hom.hom₂) ≫ e₂.inv.hom₂) ≫ T₂.mor₂
comm₃ :
  T₁.mor₃ ≫
      (shiftFunctor (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ)) 1).map
        (e₁.hom.hom₁ ≫ (e₁.inv.hom₁ ≫ a ≫ e₂.hom.hom₁) ≫ e₂.inv.hom₁) =
    (e₁.hom.hom₃ ≫ (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (mapOfHomotopy H) ≫ e₂.inv.hom₃) ≫ T₂.mor₃
⊢ T₁.mor₂ ≫ γ.hom₃ = b ≫ T₂.mor₂

case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : HasBinaryBiproducts C
T₁ T₂ : Triangle (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ))
a : T₁.obj₁ ⟶ T₂.obj₁
b : T₁.obj₂ ⟶ T₂.obj₂
fac : T₁.mor₁ ≫ b = a ≫ T₂.mor₁
K₁ L₁ : CochainComplex C ℤ
φ₁ : K₁ ⟶ L₁
e₁ : T₁ ≅ triangleh φ₁
K₂ L₂ : CochainComplex C ℤ
φ₂ : K₂ ⟶ L₂
e₂ : T₂ ≅ triangleh φ₂
a'' : K₁ ⟶ K₂
ha' : (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map a'' = e₁.inv.hom₁ ≫ a ≫ e₂.hom.hom₁
b'' : L₁ ⟶ L₂
hb' : (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map b'' = e₁.inv.hom₂ ≫ b ≫ e₂.hom.hom₂
H : Homotopy (φ₁ ≫ b'') (a'' ≫ φ₂)
γ : T₁ ⟶ T₂ := e₁.hom ≫ trianglehMapOfHomotopy H ≫ e₂.inv
comm₂ :
  T₁.mor₂ ≫ e₁.hom.hom₃ ≫ (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (mapOfHomotopy H) ≫ e₂.inv.hom₃ =
    (e₁.hom.hom₂ ≫ (e₁.inv.hom₂ ≫ b ≫ e₂.hom.hom₂) ≫ e₂.inv.hom₂) ≫ T₂.mor₂
comm₃ :
  T₁.mor₃ ≫
      (shiftFunctor (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ)) 1).map
        (e₁.hom.hom₁ ≫ (e₁.inv.hom₁ ≫ a ≫ e₂.hom.hom₁) ≫ e₂.inv.hom₁) =
    (e₁.hom.hom₃ ≫ (quotient C (ComplexShape.up ℤ)).map (mapOfHomotopy H) ≫ e₂.inv.hom₃) ≫ T₂.mor₃
⊢ T₁.mor₃ ≫ (shiftFunctor (HomotopyCategory C (ComplexShape.up ℤ)) 1).map a = γ.hom₃ ≫ T₂.mor₃