-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Compression/UV.lean
theorem shadow_compression_subset_compression_shadow (u v : Finset α)
    (huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ v, IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜) :
    ∂ (𝓒 u v 𝒜) ⊆ 𝓒 u v (∂ 𝒜)

Proof state:
case neg
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u v : Finset α
huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ v, IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜
𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜
s : Finset α
hs𝒜' : s ∈ ∂ 𝒜'
hs𝒜 : s ∉ ∂ 𝒜
m : ∀ y ∉ s, insert y s ∉ 𝒜
x : α
left✝ : x ∉ s
right✝ : insert x s ∈ 𝒜'
hus✝ : u ⊆ insert x s
hvs : Disjoint v (insert x s)
this✝² : (insert x s ∪ v) \ u ∈ 𝒜
hsv : Disjoint s v
hvu : Disjoint v u
hxv : x ∉ v
this✝¹ : v \ u = v
this✝ : x ∉ u
hus : u ⊆ s
w : α
hwB : w ∈ s ∪ v → w ∈ u
hw𝒜' : insert w ((s ∪ v) \ u) ∈ 𝒜'
this : v ⊆ insert w ((s ∪ v) \ u)
hwu : w ∉ u
⊢ False

Tactic:
apply m w (hwu ∘ hwB ∘ mem_union_left _)

Result:
case neg
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u v : Finset α
huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ v, IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜
𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜
s : Finset α
hs𝒜' : s ∈ ∂ 𝒜'
hs𝒜 : s ∉ ∂ 𝒜
m : ∀ y ∉ s, insert y s ∉ 𝒜
x : α
left✝ : x ∉ s
right✝ : insert x s ∈ 𝒜'
hus✝ : u ⊆ insert x s
hvs : Disjoint v (insert x s)
this✝² : (insert x s ∪ v) \ u ∈ 𝒜
hsv : Disjoint s v
hvu : Disjoint v u
hxv : x ∉ v
this✝¹ : v \ u = v
this✝ : x ∉ u
hus : u ⊆ s
w : α
hwB : w ∈ s ∪ v → w ∈ u
hw𝒜' : insert w ((s ∪ v) \ u) ∈ 𝒜'
this : v ⊆ insert w ((s ∪ v) \ u)
hwu : w ∉ u
⊢ insert w s ∈ 𝒜

Proof state:
case intro.intro
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u v : Finset α
huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ v, IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜
𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜
s : Finset α
hs𝒜' : s ∈ ∂ 𝒜'
hs𝒜 : s ∉ ∂ 𝒜
m : ∀ y ∉ s, insert y s ∉ 𝒜
x : α
left✝ : x ∉ s
right✝ : insert x s ∈ 𝒜'
hus : u ⊆ insert x s
hvs : Disjoint v (insert x s)
this : (insert x s ∪ v) \ u ∈ 𝒜
hsv : Disjoint s v
⊢ u ⊆ s ∧ Disjoint v s ∧ (s ∪ v) \ u ∈ ∂ 𝒜 ∧ (s ∪ v) \ u ∉ ∂ 𝒜'

Tactic:
have hvu : Disjoint v u := disjoint_of_subset_right hus hvs

Result:
case intro.intro
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u v : Finset α
huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ v, IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜
𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜
s : Finset α
hs𝒜' : s ∈ ∂ 𝒜'
hs𝒜 : s ∉ ∂ 𝒜
m : ∀ y ∉ s, insert y s ∉ 𝒜
x : α
left✝ : x ∉ s
right✝ : insert x s ∈ 𝒜'
hus : u ⊆ insert x s
hvs : Disjoint v (insert x s)
this : (insert x s ∪ v) \ u ∈ 𝒜
hsv : Disjoint s v
hvu : Disjoint v u
⊢ u ⊆ s ∧ Disjoint v s ∧ (s ∪ v) \ u ∈ ∂ 𝒜 ∧ (s ∪ v) \ u ∉ ∂ 𝒜'

Proof state:
case pos
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u v : Finset α
huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ v, IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜
𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜
H : ∀ s ∈ ∂ 𝒜', s ∉ ∂ 𝒜 → u ⊆ s ∧ Disjoint v s ∧ (s ∪ v) \ u ∈ ∂ 𝒜 ∧ (s ∪ v) \ u ∉ ∂ 𝒜'
s : Finset α
hs' : s ∈ ∂ 𝒜'
hs : s ∈ ∂ 𝒜
⊢ s ∈ ∂ 𝒜 ∧ compress u v s ∈ ∂ 𝒜 ∨ s ∉ ∂ 𝒜 ∧ ∃ b ∈ ∂ 𝒜, compress u v b = s

Tactic:
refine Or.inl ⟨hs, ?_⟩

Result:
case pos
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u v : Finset α
huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ v, IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜
𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜
H : ∀ s ∈ ∂ 𝒜', s ∉ ∂ 𝒜 → u ⊆ s ∧ Disjoint v s ∧ (s ∪ v) \ u ∈ ∂ 𝒜 ∧ (s ∪ v) \ u ∉ ∂ 𝒜'
s : Finset α
hs' : s ∈ ∂ 𝒜'
hs : s ∈ ∂ 𝒜
⊢ compress u v s ∈ ∂ 𝒜

Proof state:
case pos.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u v : Finset α
huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ v, IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜
𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜
H : ∀ s ∈ ∂ 𝒜', s ∉ ∂ 𝒜 → u ⊆ s ∧ Disjoint v s ∧ (s ∪ v) \ u ∈ ∂ 𝒜 ∧ (s ∪ v) \ u ∉ ∂ 𝒜'
t : Finset α
Ht : t ∈ 𝒜'
a : α
hat : a ∈ t
hs : t.erase a ∈ ∂ 𝒜
huvs : Disjoint u (t.erase a) ∧ v ≤ t.erase a
⊢ (t.erase a ⊔ u) \ v ∈ ∂ 𝒜

Tactic:
have hav : a ∉ v := not_mem_mono huvs.2 (not_mem_erase a t)

Result:
case pos.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u v : Finset α
huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ v, IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜
𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜
H : ∀ s ∈ ∂ 𝒜', s ∉ ∂ 𝒜 → u ⊆ s ∧ Disjoint v s ∧ (s ∪ v) \ u ∈ ∂ 𝒜 ∧ (s ∪ v) \ u ∉ ∂ 𝒜'
t : Finset α
Ht : t ∈ 𝒜'
a : α
hat : a ∈ t
hs : t.erase a ∈ ∂ 𝒜
huvs : Disjoint u (t.erase a) ∧ v ≤ t.erase a
hav : a ∉ v
⊢ (t.erase a ⊔ u) \ v ∈ ∂ 𝒜

Proof state:
case pos
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u v : Finset α
huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ v, IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜
𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜
H : ∀ s ∈ ∂ 𝒜', s ∉ ∂ 𝒜 → u ⊆ s ∧ Disjoint v s ∧ (s ∪ v) \ u ∈ ∂ 𝒜 ∧ (s ∪ v) \ u ∉ ∂ 𝒜'
t : Finset α
Ht : t ∈ 𝒜'
a : α
hat : a ∈ t
hs : t.erase a ∈ ∂ 𝒜
huvs : Disjoint u (t.erase a) ∧ v ≤ t.erase a
hav : a ∉ v
hvt : v ≤ t
ht : t ∈ 𝒜
hau : a ∈ u
⊢ (t.erase a ⊔ u) \ v ∈ ∂ 𝒜

Tactic:
obtain ⟨b, hbv, Hcomp⟩ := huv a hau

Result:
case pos.intro.intro
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u v : Finset α
huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ v, IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜
𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜
H : ∀ s ∈ ∂ 𝒜', s ∉ ∂ 𝒜 → u ⊆ s ∧ Disjoint v s ∧ (s ∪ v) \ u ∈ ∂ 𝒜 ∧ (s ∪ v) \ u ∉ ∂ 𝒜'
t : Finset α
Ht : t ∈ 𝒜'
a : α
hat : a ∈ t
hs : t.erase a ∈ ∂ 𝒜
huvs : Disjoint u (t.erase a) ∧ v ≤ t.erase a
hav : a ∉ v
hvt : v ≤ t
ht : t ∈ 𝒜
hau : a ∈ u
b : α
hbv : b ∈ v
Hcomp : IsCompressed (u.erase a) (v.erase b) 𝒜
⊢ (t.erase a ⊔ u) \ v ∈ ∂ 𝒜

Proof state:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u v : Finset α
huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ v, IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜
𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜
s : Finset α
hs𝒜' : s ∈ ∂ 𝒜'
hs𝒜 : s ∉ ∂ 𝒜
⊢ u ⊆ s ∧ Disjoint v s ∧ (s ∪ v) \ u ∈ ∂ 𝒜 ∧ (s ∪ v) \ u ∉ ∂ 𝒜'

Tactic:
have m : ∀ y, y ∉ s → insert y s ∉ 𝒜 := fun y h a => hs𝒜 (mem_shadow_iff_insert_mem.2 ⟨y, h, a⟩)

Result:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u v : Finset α
huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ v, IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜
𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜
s : Finset α
hs𝒜' : s ∈ ∂ 𝒜'
hs𝒜 : s ∉ ∂ 𝒜
m : ∀ y ∉ s, insert y s ∉ 𝒜
⊢ u ⊆ s ∧ Disjoint v s ∧ (s ∪ v) \ u ∈ ∂ 𝒜 ∧ (s ∪ v) \ u ∉ ∂ 𝒜'

Proof state:
case neg.refine_2
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u v : Finset α
huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ v, IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜
𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜
H : ∀ s ∈ ∂ 𝒜', s ∉ ∂ 𝒜 → u ⊆ s ∧ Disjoint v s ∧ (s ∪ v) \ u ∈ ∂ 𝒜 ∧ (s ∪ v) \ u ∉ ∂ 𝒜'
t : Finset α
Ht : t ∈ 𝒜'
a : α
hat : a ∈ t
hs : t.erase a ∈ ∂ 𝒜
huvs : Disjoint u (t.erase a) ∧ v ≤ t.erase a
hav : a ∉ v
hvt : v ≤ t
ht : t ∈ 𝒜
hau : a ∉ u
⊢ ((t ⊔ u) \ v).erase a = (t.erase a ⊔ u) \ v

Tactic:
rw [← erase_sdiff_comm, sup_eq_union, erase_union_distrib, erase_eq_of_not_mem hau]

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u v : Finset α
huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ v, IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜
⊢ ∂ (𝓒 u v 𝒜) ⊆ 𝓒 u v (∂ 𝒜)

Tactic:
set 𝒜' := 𝓒 u v 𝒜

Result:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u v : Finset α
huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ v, IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜
𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜
⊢ ∂ 𝒜' ⊆ 𝓒 u v (∂ 𝒜)

Proof state:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u v : Finset α
huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ v, IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜
𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜
s : Finset α
hs𝒜' : s ∈ ∂ 𝒜'
hs𝒜 : s ∉ ∂ 𝒜
m : ∀ y ∉ s, insert y s ∉ 𝒜
x : α
left✝ : x ∉ s
right✝ : insert x s ∈ 𝒜'
hus✝ : u ⊆ insert x s
hvs : Disjoint v (insert x s)
this✝³ : (insert x s ∪ v) \ u ∈ 𝒜
hsv : Disjoint s v
hvu : Disjoint v u
hxv : x ∉ v
this✝² : v \ u = v
this✝¹ : x ∉ u
hus : u ⊆ s
w : α
hwB : w ∉ (s ∪ v) \ u
hw𝒜' : insert w ((s ∪ v) \ u) ∈ 𝒜'
this✝ : v ⊆ insert w ((s ∪ v) \ u)
hwu : w ∈ u
z : α
hz : z ∈ v
hxy : IsCompressed (u.erase w) (v.erase z) 𝒜
this : insert w ((s ∪ v) \ u) ∈ 𝒜
⊢ Disjoint (u.erase w) ((s ∪ v) \ u.erase w)

Tactic:
exact disjoint_sdiff

Result:
no goals