-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CDFToKernel.lean
lemma IsRatCondKernelCDFAux.integrable_iInf_rat_gt (hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν)
    [IsFiniteKernel ν] (a : α) (q : ℚ) :
    Integrable (fun t ↦ ⨅ r : Ioi q, f (a, t) r) (ν a)

Proof state:
case h.refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
t : β
hbdd_below : ∀ (q : ℚ), BddBelow (range fun r => f (a, t) ↑r)
h_nonneg : ∀ (q : ℚ), 0 ≤ f (a, t) q
h_le_one : ∀ (q : ℚ), f (a, t) q ≤ 1
⊢ BddBelow (range fun r => f (a, t) ↑r)

Tactic:
exact hbdd_below _

Result:
no goals

Proof state:
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
t : β
hbdd_below : ∀ (q : ℚ), BddBelow (range fun r => f (a, t) ↑r)
h_nonneg : ∀ (q : ℚ), 0 ≤ f (a, t) q
h_le_one : ∀ (q : ℚ), f (a, t) q ≤ 1
⊢ ‖⨅ r, f (a, t) ↑r‖ ≤ 1

Tactic:
rw [Real.norm_eq_abs, abs_of_nonneg]

Result:
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
t : β
hbdd_below : ∀ (q : ℚ), BddBelow (range fun r => f (a, t) ↑r)
h_nonneg : ∀ (q : ℚ), 0 ≤ f (a, t) q
h_le_one : ∀ (q : ℚ), f (a, t) q ≤ 1
⊢ ⨅ r, f (a, t) ↑r ≤ 1

case h
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
t : β
hbdd_below : ∀ (q : ℚ), BddBelow (range fun r => f (a, t) ↑r)
h_nonneg : ∀ (q : ℚ), 0 ≤ f (a, t) q
h_le_one : ∀ (q : ℚ), f (a, t) q ≤ 1
⊢ 0 ≤ ⨅ r, f (a, t) ↑r

Proof state:
case h.refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
t : β
hbdd_below : ∀ (q : ℚ), BddBelow (range fun r => f (a, t) ↑r)
h_nonneg : ∀ (q : ℚ), 0 ≤ f (a, t) q
h_le_one : ∀ (q : ℚ), f (a, t) q ≤ 1
⊢ ↑(Ioi q)

Tactic:
exact ⟨q + 1, by simp⟩

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
⊢ eLpNorm (fun t => ⨅ r, f (a, t) ↑r) 1 (ν a) ≤ (ν a) univ

Tactic:
refine (eLpNorm_le_of_ae_bound (C := 1) ?_).trans (by simp)

Result:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
⊢ ∀ᵐ (x : β) ∂ν a, ‖⨅ r, f (a, x) ↑r‖ ≤ 1

Proof state:
case h.refine_3
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
t : β
hbdd_below : ∀ (q : ℚ), BddBelow (range fun r => f (a, t) ↑r)
h_nonneg : ∀ (q : ℚ), 0 ≤ f (a, t) q
h_le_one : ∀ (q : ℚ), f (a, t) q ≤ 1
⊢ f (a, t) ↑⟨q + 1, ⋯⟩ ≤ 1

Tactic:
exact h_le_one _

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
⊢ Integrable (fun t => ⨅ r, f (a, t) ↑r) (ν a)

Tactic:
rw [← memLp_one_iff_integrable]

Result:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
⊢ MemLp (fun t => ⨅ r, f (a, t) ↑r) 1 (ν a)

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
⊢ ∀ᵐ (x : β) ∂ν a, ‖⨅ r, f (a, x) ↑r‖ ≤ 1

Tactic:
filter_upwards [hf.bddBelow_range a, hf.nonneg a, hf.le_one a]
  with t hbdd_below h_nonneg h_le_one

Result:
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
t : β
hbdd_below : ∀ (q : ℚ), BddBelow (range fun r => f (a, t) ↑r)
h_nonneg : ∀ (q : ℚ), 0 ≤ f (a, t) q
h_le_one : ∀ (q : ℚ), f (a, t) q ≤ 1
⊢ ‖⨅ r, f (a, t) ↑r‖ ≤ 1

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
⊢ eLpNorm (fun t => ⨅ r, f (a, t) ↑r) 1 (ν a) < ⊤

Tactic:
refine (?_ : _ ≤ (ν a univ : ℝ≥0∞)).trans_lt (measure_lt_top _ _)

Result:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
⊢ eLpNorm (fun t => ⨅ r, f (a, t) ↑r) 1 (ν a) ≤ (ν a) univ

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
⊢ MemLp (fun t => ⨅ r, f (a, t) ↑r) 1 (ν a)

Tactic:
refine ⟨(Measurable.iInf fun i ↦ hf.measurable_right a _).aestronglyMeasurable, ?_⟩

Result:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
⊢ eLpNorm (fun t => ⨅ r, f (a, t) ↑r) 1 (ν a) < ⊤

Proof state:
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
t : β
hbdd_below : ∀ (q : ℚ), BddBelow (range fun r => f (a, t) ↑r)
h_nonneg : ∀ (q : ℚ), 0 ≤ f (a, t) q
h_le_one : ∀ (q : ℚ), f (a, t) q ≤ 1
⊢ 0 ≤ ⨅ r, f (a, t) ↑r

Tactic:
exact le_ciInf fun r ↦ h_nonneg _

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
t : β
hbdd_below : ∀ (q : ℚ), BddBelow (range fun r => f (a, t) ↑r)
h_nonneg : ∀ (q : ℚ), 0 ≤ f (a, t) q
h_le_one : ∀ (q : ℚ), f (a, t) q ≤ 1
⊢ q + 1 ∈ Ioi q

Tactic:
simp

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
⊢ (ν a) univ ^ (ENNReal.toReal 1)⁻¹ * ENNReal.ofReal 1 ≤ (ν a) univ

Tactic:
simp

Result:
no goals