-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/CalculusOfFractions/Preadditive.lean
lemma add_eq_add {X'' Y'' : C} (eX' : L.obj X'' ≅ X') (eY' : L.obj Y'' ≅ Y')
    (f₁ f₂ : X' ⟶ Y') :
    add W eX eY f₁ f₂ = add W eX' eY' f₁ f₂

Proof state:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
X' Y' : D
eX : L.obj X ≅ X'
eY : L.obj Y ≅ Y'
X'' Y'' : C
eX' : L.obj X'' ≅ X'
eY' : L.obj Y'' ≅ Y'
f₁ f₂ : X' ⟶ Y'
h₁ : 𝟙 X' ≫ add W eX eY f₁ f₂ = add W eX' eY (𝟙 X' ≫ f₁) (𝟙 X' ≫ f₂)
⊢ add W eX eY f₁ f₂ = add W eX' eY' f₁ f₂

Tactic:
have h₂ := add_comp W eX' eY eY' f₁ f₂ (𝟙 _)

Result:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
X' Y' : D
eX : L.obj X ≅ X'
eY : L.obj Y ≅ Y'
X'' Y'' : C
eX' : L.obj X'' ≅ X'
eY' : L.obj Y'' ≅ Y'
f₁ f₂ : X' ⟶ Y'
h₁ : 𝟙 X' ≫ add W eX eY f₁ f₂ = add W eX' eY (𝟙 X' ≫ f₁) (𝟙 X' ≫ f₂)
h₂ : add W eX' eY f₁ f₂ ≫ 𝟙 Y' = add W eX' eY' (f₁ ≫ 𝟙 Y') (f₂ ≫ 𝟙 Y')
⊢ add W eX eY f₁ f₂ = add W eX' eY' f₁ f₂

Proof state:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
X' Y' : D
eX : L.obj X ≅ X'
eY : L.obj Y ≅ Y'
X'' Y'' : C
eX' : L.obj X'' ≅ X'
eY' : L.obj Y'' ≅ Y'
f₁ f₂ : X' ⟶ Y'
h₂ : add W eX' eY f₁ f₂ ≫ 𝟙 Y' = add W eX' eY' (f₁ ≫ 𝟙 Y') (f₂ ≫ 𝟙 Y')
h₁ : add W eX eY f₁ f₂ = add W eX' eY f₁ f₂
⊢ add W eX eY f₁ f₂ = add W eX' eY' f₁ f₂

Tactic:
simp only [comp_id] at h₂

Result:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
X' Y' : D
eX : L.obj X ≅ X'
eY : L.obj Y ≅ Y'
X'' Y'' : C
eX' : L.obj X'' ≅ X'
eY' : L.obj Y'' ≅ Y'
f₁ f₂ : X' ⟶ Y'
h₁ : add W eX eY f₁ f₂ = add W eX' eY f₁ f₂
h₂ : add W eX' eY f₁ f₂ = add W eX' eY' f₁ f₂
⊢ add W eX eY f₁ f₂ = add W eX' eY' f₁ f₂

Proof state:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
X' Y' : D
eX : L.obj X ≅ X'
eY : L.obj Y ≅ Y'
X'' Y'' : C
eX' : L.obj X'' ≅ X'
eY' : L.obj Y'' ≅ Y'
f₁ f₂ : X' ⟶ Y'
h₁ : 𝟙 X' ≫ add W eX eY f₁ f₂ = add W eX' eY (𝟙 X' ≫ f₁) (𝟙 X' ≫ f₂)
h₂ : add W eX' eY f₁ f₂ ≫ 𝟙 Y' = add W eX' eY' (f₁ ≫ 𝟙 Y') (f₂ ≫ 𝟙 Y')
⊢ add W eX eY f₁ f₂ = add W eX' eY' f₁ f₂

Tactic:
simp only [id_comp] at h₁

Result:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
X' Y' : D
eX : L.obj X ≅ X'
eY : L.obj Y ≅ Y'
X'' Y'' : C
eX' : L.obj X'' ≅ X'
eY' : L.obj Y'' ≅ Y'
f₁ f₂ : X' ⟶ Y'
h₂ : add W eX' eY f₁ f₂ ≫ 𝟙 Y' = add W eX' eY' (f₁ ≫ 𝟙 Y') (f₂ ≫ 𝟙 Y')
h₁ : add W eX eY f₁ f₂ = add W eX' eY f₁ f₂
⊢ add W eX eY f₁ f₂ = add W eX' eY' f₁ f₂

Proof state:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
X' Y' : D
eX : L.obj X ≅ X'
eY : L.obj Y ≅ Y'
X'' Y'' : C
eX' : L.obj X'' ≅ X'
eY' : L.obj Y'' ≅ Y'
f₁ f₂ : X' ⟶ Y'
h₁ : add W eX eY f₁ f₂ = add W eX' eY f₁ f₂
h₂ : add W eX' eY f₁ f₂ = add W eX' eY' f₁ f₂
⊢ add W eX eY f₁ f₂ = add W eX' eY' f₁ f₂

Tactic:
rw [h₁, h₂]

Result:
no goals

Proof state:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
X' Y' : D
eX : L.obj X ≅ X'
eY : L.obj Y ≅ Y'
X'' Y'' : C
eX' : L.obj X'' ≅ X'
eY' : L.obj Y'' ≅ Y'
f₁ f₂ : X' ⟶ Y'
⊢ add W eX eY f₁ f₂ = add W eX' eY' f₁ f₂

Tactic:
have h₁ := comp_add W eX' eX eY (𝟙 _) f₁ f₂

Result:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y : C
X' Y' : D
eX : L.obj X ≅ X'
eY : L.obj Y ≅ Y'
X'' Y'' : C
eX' : L.obj X'' ≅ X'
eY' : L.obj Y'' ≅ Y'
f₁ f₂ : X' ⟶ Y'
h₁ : 𝟙 X' ≫ add W eX eY f₁ f₂ = add W eX' eY (𝟙 X' ≫ f₁) (𝟙 X' ≫ f₂)
⊢ add W eX eY f₁ f₂ = add W eX' eY' f₁ f₂