-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Rotation.lean
theorem oangle_eq_iff_eq_norm_div_norm_smul_rotation_of_ne_zero {x y : V} (hx : x ≠ 0) (hy : y ≠ 0)
    (θ : Real.Angle) : o.oangle x y = θ ↔ y = (‖y‖ / ‖x‖) • o.rotation θ x

Proof state:
case mp
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hp : 0 < ‖y‖ / ‖x‖
⊢ y = (‖y‖ / ‖x‖) • (o.rotation (o.oangle x y)) x

Tactic:
rw [← LinearIsometryEquiv.map_smul, ← o.oangle_smul_left_of_pos x y hp, eq_comm,
  rotation_oangle_eq_iff_norm_eq, norm_smul, Real.norm_of_nonneg hp.le,
  div_mul_cancel₀ _ (norm_ne_zero_iff.2 hx)]

Result:
no goals

Proof state:
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
θ : Real.Angle
⊢ o.oangle x y = θ ↔ y = (‖y‖ / ‖x‖) • (o.rotation θ) x

Tactic:
have hp := div_pos (norm_pos_iff.2 hy) (norm_pos_iff.2 hx)

Result:
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
θ : Real.Angle
hp : 0 < ‖y‖ / ‖x‖
⊢ o.oangle x y = θ ↔ y = (‖y‖ / ‖x‖) • (o.rotation θ) x

Proof state:
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
θ : Real.Angle
hp : 0 < ‖y‖ / ‖x‖
⊢ o.oangle x y = θ ↔ y = (‖y‖ / ‖x‖) • (o.rotation θ) x

Tactic:
constructor

Result:
case mp
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
θ : Real.Angle
hp : 0 < ‖y‖ / ‖x‖
⊢ o.oangle x y = θ → y = (‖y‖ / ‖x‖) • (o.rotation θ) x

case mpr
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
θ : Real.Angle
hp : 0 < ‖y‖ / ‖x‖
⊢ y = (‖y‖ / ‖x‖) • (o.rotation θ) x → o.oangle x y = θ

Proof state:
case mp
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
θ : Real.Angle
hp : 0 < ‖y‖ / ‖x‖
⊢ o.oangle x y = θ → y = (‖y‖ / ‖x‖) • (o.rotation θ) x

Tactic:
rintro rfl

Result:
case mp
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hp : 0 < ‖y‖ / ‖x‖
⊢ y = (‖y‖ / ‖x‖) • (o.rotation (o.oangle x y)) x

Proof state:
case mpr
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
θ : Real.Angle
hp : 0 < ‖y‖ / ‖x‖
⊢ y = (‖y‖ / ‖x‖) • (o.rotation θ) x → o.oangle x y = θ

Tactic:
intro hye

Result:
case mpr
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
θ : Real.Angle
hp : 0 < ‖y‖ / ‖x‖
hye : y = (‖y‖ / ‖x‖) • (o.rotation θ) x
⊢ o.oangle x y = θ

Proof state:
case mpr
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
θ : Real.Angle
hp : 0 < ‖y‖ / ‖x‖
hye : y = (‖y‖ / ‖x‖) • (o.rotation θ) x
⊢ o.oangle x y = θ

Tactic:
rw [hye, o.oangle_smul_right_of_pos _ _ hp, o.oangle_rotation_self_right hx]

Result:
no goals