-- Mathlib/Topology/Algebra/Module/StrongTopology.lean
theorem isVonNBounded_image2_apply {R : Type*} [SeminormedRing R]
    [TopologicalSpace F] [IsTopologicalAddGroup F]
    [Module R F] [ContinuousConstSMul R F] [SMulCommClass 𝕜₂ R F]
    {𝔖 : Set (Set E)} {S : Set (UniformConvergenceCLM σ F 𝔖)} (hS : IsVonNBounded R S)
    {s : Set E} (hs : s ∈ 𝔖) : IsVonNBounded R (Set.image2 (fun f x ↦ f x) S s)

Proof state:
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹² : NormedField 𝕜₁
inst✝¹¹ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : AddCommGroup F
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ F
R : Type u_5
inst✝⁵ : SeminormedRing R
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : ContinuousConstSMul R F
inst✝ : SMulCommClass 𝕜₂ R F
𝔖 : Set (Set E)
S : Set (UniformConvergenceCLM σ F 𝔖)
hS : IsVonNBounded R S
s : Set E
hs : s ∈ 𝔖
⊢ IsVonNBounded R (image2 (fun f x => f x) S s)

Tactic:
intro U hU

Result:
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹² : NormedField 𝕜₁
inst✝¹¹ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : AddCommGroup F
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ F
R : Type u_5
inst✝⁵ : SeminormedRing R
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : ContinuousConstSMul R F
inst✝ : SMulCommClass 𝕜₂ R F
𝔖 : Set (Set E)
S : Set (UniformConvergenceCLM σ F 𝔖)
hS : IsVonNBounded R S
s : Set E
hs : s ∈ 𝔖
U : Set F
hU : U ∈ 𝓝 0
⊢ Absorbs R U (image2 (fun f x => f x) S s)

Proof state:
case h.intro.intro
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹² : NormedField 𝕜₁
inst✝¹¹ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : AddCommGroup F
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ F
R : Type u_5
inst✝⁵ : SeminormedRing R
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : ContinuousConstSMul R F
inst✝ : SMulCommClass 𝕜₂ R F
𝔖 : Set (Set E)
S : Set (UniformConvergenceCLM σ F 𝔖)
hS : IsVonNBounded R S
s : Set E
hs : s ∈ 𝔖
U : Set F
hU : U ∈ 𝓝 0
c : R
hc : S ⊆ c • {x | MapsTo (⇑x) s U}
x : E
hx : x ∈ s
g : UniformConvergenceCLM σ F 𝔖
hg : g ∈ {x | MapsTo (⇑x) s U}
hf : (fun x => c • x) g ∈ S
⊢ ((fun x => c • x) g) x ∈ c • U

Tactic:
exact smul_mem_smul_set (hg hx)

Result:
no goals

Proof state:
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹² : NormedField 𝕜₁
inst✝¹¹ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : AddCommGroup F
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ F
R : Type u_5
inst✝⁵ : SeminormedRing R
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : ContinuousConstSMul R F
inst✝ : SMulCommClass 𝕜₂ R F
𝔖 : Set (Set E)
S : Set (UniformConvergenceCLM σ F 𝔖)
hS : IsVonNBounded R S
s : Set E
hs : s ∈ 𝔖
U : Set F
hU : U ∈ 𝓝 0
⊢ Absorbs R U (image2 (fun f x => f x) S s)

Tactic:
filter_upwards [hS (eventually_nhds_zero_mapsTo σ hs hU)] with c hc

Result:
case h
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹² : NormedField 𝕜₁
inst✝¹¹ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : AddCommGroup F
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ F
R : Type u_5
inst✝⁵ : SeminormedRing R
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : ContinuousConstSMul R F
inst✝ : SMulCommClass 𝕜₂ R F
𝔖 : Set (Set E)
S : Set (UniformConvergenceCLM σ F 𝔖)
hS : IsVonNBounded R S
s : Set E
hs : s ∈ 𝔖
U : Set F
hU : U ∈ 𝓝 0
c : R
hc : S ⊆ c • {x | MapsTo (⇑x) s U}
⊢ image2 (fun f x => f x) S s ⊆ c • U

Proof state:
case h
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹² : NormedField 𝕜₁
inst✝¹¹ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : AddCommGroup F
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ F
R : Type u_5
inst✝⁵ : SeminormedRing R
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : ContinuousConstSMul R F
inst✝ : SMulCommClass 𝕜₂ R F
𝔖 : Set (Set E)
S : Set (UniformConvergenceCLM σ F 𝔖)
hS : IsVonNBounded R S
s : Set E
hs : s ∈ 𝔖
U : Set F
hU : U ∈ 𝓝 0
c : R
hc : S ⊆ c • {x | MapsTo (⇑x) s U}
⊢ ∀ x ∈ S, ∀ y ∈ s, x y ∈ c • U

Tactic:
intro f hf x hx

Result:
case h
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹² : NormedField 𝕜₁
inst✝¹¹ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : AddCommGroup F
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ F
R : Type u_5
inst✝⁵ : SeminormedRing R
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : ContinuousConstSMul R F
inst✝ : SMulCommClass 𝕜₂ R F
𝔖 : Set (Set E)
S : Set (UniformConvergenceCLM σ F 𝔖)
hS : IsVonNBounded R S
s : Set E
hs : s ∈ 𝔖
U : Set F
hU : U ∈ 𝓝 0
c : R
hc : S ⊆ c • {x | MapsTo (⇑x) s U}
f : UniformConvergenceCLM σ F 𝔖
hf : f ∈ S
x : E
hx : x ∈ s
⊢ f x ∈ c • U

Proof state:
case h
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹² : NormedField 𝕜₁
inst✝¹¹ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : AddCommGroup F
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ F
R : Type u_5
inst✝⁵ : SeminormedRing R
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : ContinuousConstSMul R F
inst✝ : SMulCommClass 𝕜₂ R F
𝔖 : Set (Set E)
S : Set (UniformConvergenceCLM σ F 𝔖)
hS : IsVonNBounded R S
s : Set E
hs : s ∈ 𝔖
U : Set F
hU : U ∈ 𝓝 0
c : R
hc : S ⊆ c • {x | MapsTo (⇑x) s U}
⊢ image2 (fun f x => f x) S s ⊆ c • U

Tactic:
rw [image2_subset_iff]

Result:
case h
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹² : NormedField 𝕜₁
inst✝¹¹ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : AddCommGroup F
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ F
R : Type u_5
inst✝⁵ : SeminormedRing R
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : ContinuousConstSMul R F
inst✝ : SMulCommClass 𝕜₂ R F
𝔖 : Set (Set E)
S : Set (UniformConvergenceCLM σ F 𝔖)
hS : IsVonNBounded R S
s : Set E
hs : s ∈ 𝔖
U : Set F
hU : U ∈ 𝓝 0
c : R
hc : S ⊆ c • {x | MapsTo (⇑x) s U}
⊢ ∀ x ∈ S, ∀ y ∈ s, x y ∈ c • U

Proof state:
case h
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹² : NormedField 𝕜₁
inst✝¹¹ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : AddCommGroup F
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ F
R : Type u_5
inst✝⁵ : SeminormedRing R
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : ContinuousConstSMul R F
inst✝ : SMulCommClass 𝕜₂ R F
𝔖 : Set (Set E)
S : Set (UniformConvergenceCLM σ F 𝔖)
hS : IsVonNBounded R S
s : Set E
hs : s ∈ 𝔖
U : Set F
hU : U ∈ 𝓝 0
c : R
hc : S ⊆ c • {x | MapsTo (⇑x) s U}
f : UniformConvergenceCLM σ F 𝔖
hf : f ∈ S
x : E
hx : x ∈ s
⊢ f x ∈ c • U

Tactic:
rcases hc hf with ⟨g, hg, rfl⟩

Result:
case h.intro.intro
𝕜₁ : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
inst✝¹² : NormedField 𝕜₁
inst✝¹¹ : NormedField 𝕜₂
σ : 𝕜₁ →+* 𝕜₂
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : AddCommGroup E
inst✝⁹ : Module 𝕜₁ E
inst✝⁸ : TopologicalSpace E
inst✝⁷ : AddCommGroup F
inst✝⁶ : Module 𝕜₂ F
R : Type u_5
inst✝⁵ : SeminormedRing R
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : IsTopologicalAddGroup F
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : ContinuousConstSMul R F
inst✝ : SMulCommClass 𝕜₂ R F
𝔖 : Set (Set E)
S : Set (UniformConvergenceCLM σ F 𝔖)
hS : IsVonNBounded R S
s : Set E
hs : s ∈ 𝔖
U : Set F
hU : U ∈ 𝓝 0
c : R
hc : S ⊆ c • {x | MapsTo (⇑x) s U}
x : E
hx : x ∈ s
g : UniformConvergenceCLM σ F 𝔖
hg : g ∈ {x | MapsTo (⇑x) s U}
hf : (fun x => c • x) g ∈ S
⊢ ((fun x => c • x) g) x ∈ c • U