-- Mathlib/Analysis/Fourier/PoissonSummation.lean
theorem isBigO_norm_Icc_restrict_atTop {f : C(ℝ, E)} {b : ℝ} (hb : 0 < b)
    (hf : f =O[atTop] fun x : ℝ => |x| ^ (-b)) (R S : ℝ) :
    (fun x : ℝ => ‖f.restrict (Icc (x + R) (x + S))‖) =O[atTop] fun x : ℝ => |x| ^ (-b)

Proof state:
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
R S x : ℝ
hx : 0 ⊔ -2 * R < x
y : ℝ
hy : x + R ≤ y
⊢ y ^ (-b) ≤ (1 / 2) ^ (-b) * x ^ (-b)

Tactic:
rw [max_lt_iff] at hx

Result:
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
R S x : ℝ
hx : 0 < x ∧ -2 * R < x
y : ℝ
hy : x + R ≤ y
⊢ y ^ (-b) ≤ (1 / 2) ^ (-b) * x ^ (-b)

Proof state:
case h.e'_3.h.e'_5.h
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
R S : ℝ
claim : ∀ (x : ℝ), 0 ⊔ -2 * R < x → ∀ (y : ℝ), x + R ≤ y → y ^ (-b) ≤ (1 / 2) ^ (-b) * x ^ (-b)
c : ℝ
hc : c > 0
d : ℝ
hd : ∀ b_1 ≥ d, ‖f b_1‖ ≤ c * ‖|b_1| ^ (-b)‖
x : ℝ
hx : 1 + 0 ⊔ -2 * R ≤ x ∧ d - R ≤ x
hx' : 0 < x ∧ -2 * R < x
y : ↑(Icc (x + R) (x + S))
A : ∀ (x : ℝ), 0 ≤ |x| ^ (-b)
⊢ 0 ≤ ↑y

Tactic:
linarith [y.2.1]

Result:
no goals

Proof state:
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
R S : ℝ
claim : ∀ (x : ℝ), 0 ⊔ -2 * R < x → ∀ (y : ℝ), x + R ≤ y → y ^ (-b) ≤ (1 / 2) ^ (-b) * x ^ (-b)
⊢ (fun x => ‖ContinuousMap.restrict (Icc (x + R) (x + S)) f‖) =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)

Tactic:
obtain ⟨c, hc, hc'⟩ := hf.exists_pos

Result:
case intro.intro
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
R S : ℝ
claim : ∀ (x : ℝ), 0 ⊔ -2 * R < x → ∀ (y : ℝ), x + R ≤ y → y ^ (-b) ≤ (1 / 2) ^ (-b) * x ^ (-b)
c : ℝ
hc : c > 0
hc' : IsBigOWith c atTop ⇑f fun x => |x| ^ (-b)
⊢ (fun x => ‖ContinuousMap.restrict (Icc (x + R) (x + S)) f‖) =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)

Proof state:
case intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
R S : ℝ
claim : ∀ (x : ℝ), 0 ⊔ -2 * R < x → ∀ (y : ℝ), x + R ≤ y → y ^ (-b) ≤ (1 / 2) ^ (-b) * x ^ (-b)
c : ℝ
hc : c > 0
d : ℝ
hd : ∀ b_1 ≥ d, ‖f b_1‖ ≤ c * ‖|b_1| ^ (-b)‖
x : ℝ
hx : 1 + 0 ⊔ -2 * R ≤ x ∧ d - R ≤ x
⊢ ‖‖ContinuousMap.restrict (Icc (x + R) (x + S)) f‖‖ ≤ c * (1 / 2) ^ (-b) * ‖|x| ^ (-b)‖

Tactic:
have hx' : max 0 (-2 * R) < x := by linarith

Result:
case intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
R S : ℝ
claim : ∀ (x : ℝ), 0 ⊔ -2 * R < x → ∀ (y : ℝ), x + R ≤ y → y ^ (-b) ≤ (1 / 2) ^ (-b) * x ^ (-b)
c : ℝ
hc : c > 0
d : ℝ
hd : ∀ b_1 ≥ d, ‖f b_1‖ ≤ c * ‖|b_1| ^ (-b)‖
x : ℝ
hx : 1 + 0 ⊔ -2 * R ≤ x ∧ d - R ≤ x
hx' : 0 ⊔ -2 * R < x
⊢ ‖‖ContinuousMap.restrict (Icc (x + R) (x + S)) f‖‖ ≤ c * (1 / 2) ^ (-b) * ‖|x| ^ (-b)‖

Proof state:
case intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
R S : ℝ
claim : ∀ (x : ℝ), 0 ⊔ -2 * R < x → ∀ (y : ℝ), x + R ≤ y → y ^ (-b) ≤ (1 / 2) ^ (-b) * x ^ (-b)
c : ℝ
hc : c > 0
d : ℝ
hd : ∀ b_1 ≥ d, ‖f b_1‖ ≤ c * ‖|b_1| ^ (-b)‖
x : ℝ
hx : 1 + 0 ⊔ -2 * R ≤ x ∧ d - R ≤ x
hx' : 0 ⊔ -2 * R < x
⊢ ‖‖ContinuousMap.restrict (Icc (x + R) (x + S)) f‖‖ ≤ c * (1 / 2) ^ (-b) * ‖|x| ^ (-b)‖

Tactic:
rw [max_lt_iff] at hx'

Result:
case intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
R S : ℝ
claim : ∀ (x : ℝ), 0 ⊔ -2 * R < x → ∀ (y : ℝ), x + R ≤ y → y ^ (-b) ≤ (1 / 2) ^ (-b) * x ^ (-b)
c : ℝ
hc : c > 0
d : ℝ
hd : ∀ b_1 ≥ d, ‖f b_1‖ ≤ c * ‖|b_1| ^ (-b)‖
x : ℝ
hx : 1 + 0 ⊔ -2 * R ≤ x ∧ d - R ≤ x
hx' : 0 < x ∧ -2 * R < x
⊢ ‖‖ContinuousMap.restrict (Icc (x + R) (x + S)) f‖‖ ≤ c * (1 / 2) ^ (-b) * ‖|x| ^ (-b)‖