-- Mathlib/.lake/packages/batteries/Batteries/Data/BinomialHeap/Basic.lean
theorem Heap.realSize_merge (le) (s₁ s₂ : Heap α) :
    (s₁.merge le s₂).realSize = s₁.realSize + s₂.realSize

Proof state:
case isFalse
α : Type u_1
le : α → α → Bool
x✝¹ x✝ : Heap α
r₁ : Nat
a₁ : α
n₁ : HeapNode α
t₁ : Heap α
r₂ : Nat
a₂ : α
n₂ : HeapNode α
t₂ : Heap α
IH₁ :
  ∀ (r : Nat) (a : α) (n : HeapNode α), (merge le t₁ (cons r a n t₂)).realSize = t₁.realSize + (cons r a n t₂).realSize
IH₂ :
  ∀ (r : Nat) (a : α) (n : HeapNode α), (merge le (cons r a n t₁) t₂).realSize = (cons r a n t₁).realSize + t₂.realSize
IH₃ : (merge le t₁ t₂).realSize = t₁.realSize + t₂.realSize
h✝ : ¬r₁ < r₂
⊢ (if r₂ < r₁ then cons r₂ a₂ n₂ (merge le (cons r₁ a₁ n₁ t₁) t₂)
      else
        match combine le a₁ a₂ n₁ n₂ with
        | (a, n) =>
          let r := r₁ + 1;
          if t₁.rankGT r then if t₂.rankGT r then cons r a n (merge le t₁ t₂) else merge le (cons r a n t₁) t₂
          else if t₂.rankGT r then merge le t₁ (cons r a n t₂) else cons r a n (merge le t₁ t₂)).realSize =
    (cons r₁ a₁ n₁ t₁).realSize + (cons r₂ a₂ n₂ t₂).realSize

Tactic:
split

Result:
case isFalse.isTrue
α : Type u_1
le : α → α → Bool
x✝¹ x✝ : Heap α
r₁ : Nat
a₁ : α
n₁ : HeapNode α
t₁ : Heap α
r₂ : Nat
a₂ : α
n₂ : HeapNode α
t₂ : Heap α
IH₁ :
  ∀ (r : Nat) (a : α) (n : HeapNode α), (merge le t₁ (cons r a n t₂)).realSize = t₁.realSize + (cons r a n t₂).realSize
IH₂ :
  ∀ (r : Nat) (a : α) (n : HeapNode α), (merge le (cons r a n t₁) t₂).realSize = (cons r a n t₁).realSize + t₂.realSize
IH₃ : (merge le t₁ t₂).realSize = t₁.realSize + t₂.realSize
h✝¹ : ¬r₁ < r₂
h✝ : r₂ < r₁
⊢ (cons r₂ a₂ n₂ (merge le (cons r₁ a₁ n₁ t₁) t₂)).realSize = (cons r₁ a₁ n₁ t₁).realSize + (cons r₂ a₂ n₂ t₂).realSize

case isFalse.isFalse
α : Type u_1
le : α → α → Bool
x✝¹ x✝ : Heap α
r₁ : Nat
a₁ : α
n₁ : HeapNode α
t₁ : Heap α
r₂ : Nat
a₂ : α
n₂ : HeapNode α
t₂ : Heap α
IH₁ :
  ∀ (r : Nat) (a : α) (n : HeapNode α), (merge le t₁ (cons r a n t₂)).realSize = t₁.realSize + (cons r a n t₂).realSize
IH₂ :
  ∀ (r : Nat) (a : α) (n : HeapNode α), (merge le (cons r a n t₁) t₂).realSize = (cons r a n t₁).realSize + t₂.realSize
IH₃ : (merge le t₁ t₂).realSize = t₁.realSize + t₂.realSize
h✝¹ : ¬r₁ < r₂
h✝ : ¬r₂ < r₁
⊢ (match combine le a₁ a₂ n₁ n₂ with
      | (a, n) =>
        let r := r₁ + 1;
        if t₁.rankGT r then if t₂.rankGT r then cons r a n (merge le t₁ t₂) else merge le (cons r a n t₁) t₂
        else if t₂.rankGT r then merge le t₁ (cons r a n t₂) else cons r a n (merge le t₁ t₂)).realSize =
    (cons r₁ a₁ n₁ t₁).realSize + (cons r₂ a₂ n₂ t₂).realSize

Proof state:
case isFalse.isFalse
α : Type u_1
le : α → α → Bool
x✝² x✝¹ : Heap α
r₁ : Nat
a₁ : α
n₁ : HeapNode α
t₁ : Heap α
r₂ : Nat
a₂ : α
n₂ : HeapNode α
t₂ : Heap α
IH₁ :
  ∀ (r : Nat) (a : α) (n : HeapNode α), (merge le t₁ (cons r a n t₂)).realSize = t₁.realSize + (cons r a n t₂).realSize
IH₂ :
  ∀ (r : Nat) (a : α) (n : HeapNode α), (merge le (cons r a n t₁) t₂).realSize = (cons r a n t₁).realSize + t₂.realSize
IH₃ : (merge le t₁ t₂).realSize = t₁.realSize + t₂.realSize
h✝¹ : ¬r₁ < r₂
h✝ : ¬r₂ < r₁
x✝ : α × HeapNode α
a : α
n : HeapNode α
eq : combine le a₁ a₂ n₁ n₂ = (a, n)
⊢ (if t₁.rankGT (r₁ + 1) then
        if t₂.rankGT (r₁ + 1) then cons (r₁ + 1) a n (merge le t₁ t₂) else merge le (cons (r₁ + 1) a n t₁) t₂
      else
        if t₂.rankGT (r₁ + 1) then merge le t₁ (cons (r₁ + 1) a n t₂)
        else cons (r₁ + 1) a n (merge le t₁ t₂)).realSize =
    (cons r₁ a₁ n₁ t₁).realSize + (cons r₂ a₂ n₂ t₂).realSize

Tactic:
have : n.realSize = n₁.realSize + 1 + n₂.realSize := by
  rw [combine] at eq; split at eq <;> cases eq <;>
    simp [Nat.add_assoc, Nat.add_left_comm, Nat.add_comm]

Result:
case isFalse.isFalse
α : Type u_1
le : α → α → Bool
x✝² x✝¹ : Heap α
r₁ : Nat
a₁ : α
n₁ : HeapNode α
t₁ : Heap α
r₂ : Nat
a₂ : α
n₂ : HeapNode α
t₂ : Heap α
IH₁ :
  ∀ (r : Nat) (a : α) (n : HeapNode α), (merge le t₁ (cons r a n t₂)).realSize = t₁.realSize + (cons r a n t₂).realSize
IH₂ :
  ∀ (r : Nat) (a : α) (n : HeapNode α), (merge le (cons r a n t₁) t₂).realSize = (cons r a n t₁).realSize + t₂.realSize
IH₃ : (merge le t₁ t₂).realSize = t₁.realSize + t₂.realSize
h✝¹ : ¬r₁ < r₂
h✝ : ¬r₂ < r₁
x✝ : α × HeapNode α
a : α
n : HeapNode α
eq : combine le a₁ a₂ n₁ n₂ = (a, n)
this : n.realSize = n₁.realSize + 1 + n₂.realSize
⊢ (if t₁.rankGT (r₁ + 1) then
        if t₂.rankGT (r₁ + 1) then cons (r₁ + 1) a n (merge le t₁ t₂) else merge le (cons (r₁ + 1) a n t₁) t₂
      else
        if t₂.rankGT (r₁ + 1) then merge le t₁ (cons (r₁ + 1) a n t₂)
        else cons (r₁ + 1) a n (merge le t₁ t₂)).realSize =
    (cons r₁ a₁ n₁ t₁).realSize + (cons r₂ a₂ n₂ t₂).realSize

Proof state:
α : Type u_1
le : α → α → Bool
x✝¹ x✝ : Heap α
r₁ : Nat
a₁ : α
n₁ : HeapNode α
t₁ : Heap α
r₂ : Nat
a₂ : α
n₂ : HeapNode α
t₂ : Heap α
IH₁ :
  ∀ (r : Nat) (a : α) (n : HeapNode α), (merge le t₁ (cons r a n t₂)).realSize = t₁.realSize + (cons r a n t₂).realSize
⊢ (if r₁ < r₂ then cons r₁ a₁ n₁ (merge le t₁ (cons r₂ a₂ n₂ t₂))
      else
        if r₂ < r₁ then cons r₂ a₂ n₂ (merge le (cons r₁ a₁ n₁ t₁) t₂)
        else
          match combine le a₁ a₂ n₁ n₂ with
          | (a, n) =>
            let r := r₁ + 1;
            if t₁.rankGT r then if t₂.rankGT r then cons r a n (merge le t₁ t₂) else merge le (cons r a n t₁) t₂
            else if t₂.rankGT r then merge le t₁ (cons r a n t₂) else cons r a n (merge le t₁ t₂)).realSize =
    (cons r₁ a₁ n₁ t₁).realSize + (cons r₂ a₂ n₂ t₂).realSize

Tactic:
have IH₂ r a n := realSize_merge le (cons r a n t₁) t₂

Result:
α : Type u_1
le : α → α → Bool
x✝¹ x✝ : Heap α
r₁ : Nat
a₁ : α
n₁ : HeapNode α
t₁ : Heap α
r₂ : Nat
a₂ : α
n₂ : HeapNode α
t₂ : Heap α
IH₁ :
  ∀ (r : Nat) (a : α) (n : HeapNode α), (merge le t₁ (cons r a n t₂)).realSize = t₁.realSize + (cons r a n t₂).realSize
IH₂ :
  ∀ (r : Nat) (a : α) (n : HeapNode α), (merge le (cons r a n t₁) t₂).realSize = (cons r a n t₁).realSize + t₂.realSize
⊢ (if r₁ < r₂ then cons r₁ a₁ n₁ (merge le t₁ (cons r₂ a₂ n₂ t₂))
      else
        if r₂ < r₁ then cons r₂ a₂ n₂ (merge le (cons r₁ a₁ n₁ t₁) t₂)
        else
          match combine le a₁ a₂ n₁ n₂ with
          | (a, n) =>
            let r := r₁ + 1;
            if t₁.rankGT r then if t₂.rankGT r then cons r a n (merge le t₁ t₂) else merge le (cons r a n t₁) t₂
            else if t₂.rankGT r then merge le t₁ (cons r a n t₂) else cons r a n (merge le t₁ t₂)).realSize =
    (cons r₁ a₁ n₁ t₁).realSize + (cons r₂ a₂ n₂ t₂).realSize