-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Polynomial.lean
lemma exists_isNilRegular_of_finrank_le_card (h : finrank R M ≤ #R) :
    ∃ x : L, IsNilRegular φ x

Proof state:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup L
inst✝⁷ : Module R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
φ : L →ₗ[R] End R M
inst✝⁴ : Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Module.Finite R L
inst✝¹ : Free R L
inst✝ : IsDomain R
h : ↑(finrank R M) ≤ #R
b : Basis (ChooseBasisIndex R L) R L := chooseBasis R L
bₘ : Basis (ChooseBasisIndex R M) R M := chooseBasis R M
n : ℕ := Fintype.card (ChooseBasisIndex R M)
⊢ ∃ x, φ.IsNilRegular x

Tactic:
have aux :
  ((polyCharpoly φ b).coeff (nilRank φ)).IsHomogeneous (n - nilRank φ) :=
  polyCharpoly_coeff_isHomogeneous _ b (nilRank φ) (n - nilRank φ)
    (by simp [n, nilRank_le_card φ bₘ, finrank_eq_card_chooseBasisIndex])

Result:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup L
inst✝⁷ : Module R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
φ : L →ₗ[R] End R M
inst✝⁴ : Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Module.Finite R L
inst✝¹ : Free R L
inst✝ : IsDomain R
h : ↑(finrank R M) ≤ #R
b : Basis (ChooseBasisIndex R L) R L := chooseBasis R L
bₘ : Basis (ChooseBasisIndex R M) R M := chooseBasis R M
n : ℕ := Fintype.card (ChooseBasisIndex R M)
aux : ((φ.polyCharpoly b).coeff φ.nilRank).IsHomogeneous (n - φ.nilRank)
⊢ ∃ x, φ.IsNilRegular x

Proof state:
case intro
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup L
inst✝⁷ : Module R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
φ : L →ₗ[R] End R M
inst✝⁴ : Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Module.Finite R L
inst✝¹ : Free R L
inst✝ : IsDomain R
h : ↑(finrank R M) ≤ #R
b : Basis (ChooseBasisIndex R L) R L := chooseBasis R L
bₘ : Basis (ChooseBasisIndex R M) R M := chooseBasis R M
n : ℕ := Fintype.card (ChooseBasisIndex R M)
aux : ((φ.polyCharpoly b).coeff φ.nilRank).IsHomogeneous (n - φ.nilRank)
x : ChooseBasisIndex R L → R
hx : (eval x) ((φ.polyCharpoly b).coeff φ.nilRank) ≠ 0
⊢ ∃ x, φ.IsNilRegular x

Tactic:
let c := Finsupp.equivFunOnFinite.symm x

Result:
case intro
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup L
inst✝⁷ : Module R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
φ : L →ₗ[R] End R M
inst✝⁴ : Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Module.Finite R L
inst✝¹ : Free R L
inst✝ : IsDomain R
h : ↑(finrank R M) ≤ #R
b : Basis (ChooseBasisIndex R L) R L := chooseBasis R L
bₘ : Basis (ChooseBasisIndex R M) R M := chooseBasis R M
n : ℕ := Fintype.card (ChooseBasisIndex R M)
aux : ((φ.polyCharpoly b).coeff φ.nilRank).IsHomogeneous (n - φ.nilRank)
x : ChooseBasisIndex R L → R
hx : (eval x) ((φ.polyCharpoly b).coeff φ.nilRank) ≠ 0
c : ChooseBasisIndex R L →₀ R := Finsupp.equivFunOnFinite.symm x
⊢ ∃ x, φ.IsNilRegular x

Proof state:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup L
inst✝⁷ : Module R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
φ : L →ₗ[R] End R M
inst✝⁴ : Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Module.Finite R L
inst✝¹ : Free R L
inst✝ : IsDomain R
h : ↑(finrank R M) ≤ #R
b : Basis (ChooseBasisIndex R L) R L := chooseBasis R L
bₘ : Basis (ChooseBasisIndex R M) R M := chooseBasis R M
n : ℕ := Fintype.card (ChooseBasisIndex R M)
⊢ φ.nilRank + (n - φ.nilRank) = finrank R M

Tactic:
simp [n, nilRank_le_card φ bₘ, finrank_eq_card_chooseBasisIndex]

Result:
no goals

Proof state:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup L
inst✝⁷ : Module R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
φ : L →ₗ[R] End R M
inst✝⁴ : Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Module.Finite R L
inst✝¹ : Free R L
inst✝ : IsDomain R
h : ↑(finrank R M) ≤ #R
b : Basis (ChooseBasisIndex R L) R L := chooseBasis R L
bₘ : Basis (ChooseBasisIndex R M) R M := chooseBasis R M
n : ℕ := Fintype.card (ChooseBasisIndex R M)
aux : ((φ.polyCharpoly b).coeff φ.nilRank).IsHomogeneous (n - φ.nilRank)
h₀ : ∀ (r : ChooseBasisIndex R L → R), (eval r) ((φ.polyCharpoly b).coeff φ.nilRank) = 0
⊢ ↑(n - φ.nilRank) ≤ ↑(finrank R M)

Tactic:
simp only [n, finrank_eq_card_chooseBasisIndex, Nat.cast_le, Nat.sub_le]

Result:
no goals

Proof state:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup L
inst✝⁷ : Module R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
φ : L →ₗ[R] End R M
inst✝⁴ : Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Module.Finite R L
inst✝¹ : Free R L
inst✝ : IsDomain R
h : ↑(finrank R M) ≤ #R
b : Basis (ChooseBasisIndex R L) R L := chooseBasis R L
bₘ : Basis (ChooseBasisIndex R M) R M := chooseBasis R M
n : ℕ := Fintype.card (ChooseBasisIndex R M)
aux : ((φ.polyCharpoly b).coeff φ.nilRank).IsHomogeneous (n - φ.nilRank)
h₀ : ∀ (r : ChooseBasisIndex R L → R), (eval r) ((polyCharpoly (?m.593546 r) b).coeff φ.nilRank) = 0
⊢ False

Tactic:
apply polyCharpoly_coeff_nilRank_ne_zero φ b

Result:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup L
inst✝⁷ : Module R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
φ : L →ₗ[R] End R M
inst✝⁴ : Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Module.Finite R L
inst✝¹ : Free R L
inst✝ : IsDomain R
h : ↑(finrank R M) ≤ #R
b : Basis (ChooseBasisIndex R L) R L := chooseBasis R L
bₘ : Basis (ChooseBasisIndex R M) R M := chooseBasis R M
n : ℕ := Fintype.card (ChooseBasisIndex R M)
aux : ((φ.polyCharpoly b).coeff φ.nilRank).IsHomogeneous (n - φ.nilRank)
h₀ : ∀ (r : ChooseBasisIndex R L → R), (eval r) ((polyCharpoly (?m.593546 r) b).coeff φ.nilRank) = 0
⊢ (φ.polyCharpoly b).coeff φ.nilRank = 0

Proof state:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup L
inst✝⁷ : Module R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
φ : L →ₗ[R] End R M
inst✝⁴ : Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Module.Finite R L
inst✝¹ : Free R L
inst✝ : IsDomain R
h : ↑(finrank R M) ≤ #R
b : Basis (ChooseBasisIndex R L) R L := chooseBasis R L
⊢ ∃ x, φ.IsNilRegular x

Tactic:
let bₘ := chooseBasis R M

Result:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : AddCommGroup L
inst✝⁷ : Module R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
φ : L →ₗ[R] End R M
inst✝⁴ : Free R M
inst✝³ : Module.Finite R M
inst✝² : Module.Finite R L
inst✝¹ : Free R L
inst✝ : IsDomain R
h : ↑(finrank R M) ≤ #R
b : Basis (ChooseBasisIndex R L) R L := chooseBasis R L
bₘ : Basis (ChooseBasisIndex R M) R M := chooseBasis R M
⊢ ∃ x, φ.IsNilRegular x