-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/AffineSubspace/Basic.lean
theorem map_span (s : Set P₁) : (affineSpan k s).map f = affineSpan k (f '' s)

Proof state:
case inl
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module k V₁
inst✝³ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
⊢ map f (affineSpan k ∅) = affineSpan k (⇑f '' ∅)

Tactic:
rw [image_empty, span_empty, span_empty, map_bot]

Result:
no goals

Proof state:
case inr.intro
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module k V₁
inst✝³ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
s : Set P₁
p : P₁
hp : p ∈ s
⊢ map f (affineSpan k s) = affineSpan k (⇑f '' s)

Tactic:
apply ext_of_direction_eq

Result:
case inr.intro.hd
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module k V₁
inst✝³ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
s : Set P₁
p : P₁
hp : p ∈ s
⊢ (map f (affineSpan k s)).direction = (affineSpan k (⇑f '' s)).direction

case inr.intro.hn
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module k V₁
inst✝³ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
s : Set P₁
p : P₁
hp : p ∈ s
⊢ (↑(map f (affineSpan k s)) ∩ ↑(affineSpan k (⇑f '' s))).Nonempty

Proof state:
case inr.intro.hn
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module k V₁
inst✝³ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
s : Set P₁
p : P₁
hp : p ∈ s
⊢ (↑(map f (affineSpan k s)) ∩ ↑(affineSpan k (⇑f '' s))).Nonempty

Tactic:
exact
  ⟨f p, mem_image_of_mem f (subset_affineSpan k _ hp),
    subset_affineSpan k _ (mem_image_of_mem f hp)⟩

Result:
no goals

Proof state:
case inr.intro.hd
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module k V₁
inst✝³ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
s : Set P₁
p : P₁
hp : p ∈ s
⊢ (map f (affineSpan k s)).direction = (affineSpan k (⇑f '' s)).direction

Tactic:
simp [direction_affineSpan]

Result:
no goals

Proof state:
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module k V₁
inst✝³ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
s : Set P₁
⊢ map f (affineSpan k s) = affineSpan k (⇑f '' s)

Tactic:
rcases s.eq_empty_or_nonempty with (rfl | ⟨p, hp⟩)

Result:
case inl
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module k V₁
inst✝³ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
⊢ map f (affineSpan k ∅) = affineSpan k (⇑f '' ∅)

case inr.intro
k : Type u_1
V₁ : Type u_2
P₁ : Type u_3
V₂ : Type u_4
P₂ : Type u_5
inst✝⁶ : Ring k
inst✝⁵ : AddCommGroup V₁
inst✝⁴ : Module k V₁
inst✝³ : AffineSpace V₁ P₁
inst✝² : AddCommGroup V₂
inst✝¹ : Module k V₂
inst✝ : AffineSpace V₂ P₂
f : P₁ →ᵃ[k] P₂
s : Set P₁
p : P₁
hp : p ∈ s
⊢ map f (affineSpan k s) = affineSpan k (⇑f '' s)