-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
theorem hausdorffMeasure_preimage_le (hf : AntilipschitzWith K f) (hd : 0 ≤ d) (s : Set Y) :
    μH[d] (f ⁻¹' s) ≤ (K : ℝ≥0∞) ^ d * μH[d] s

Proof state:
case inr
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
K : ℝ≥0
d : ℝ
hf : AntilipschitzWith K f
hd : 0 ≤ d
s : Set Y
h0 : K ≠ 0
hKd0 : ↑K ^ d ≠ 0
hKd : ↑K ^ d ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε
t : ℕ → Set Y
htε : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ ε / ↑K
hst : f ⁻¹' s ⊆ ⋃ i, f ⁻¹' t i
⊢ ⨅ t,
      ⨅ (_ : f ⁻¹' s ⊆ ⋃ n, t n),
        ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ ε), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), diam (t n) ^ d ≤
    ∑' (i : ℕ), ⨆ (_ : (t i).Nonempty), ↑K ^ d * diam (t i) ^ d

Tactic:
refine iInf₂_le_of_le _ hst (iInf_le_of_le (fun n => ?_) ?_)

Result:
case inr.refine_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
K : ℝ≥0
d : ℝ
hf : AntilipschitzWith K f
hd : 0 ≤ d
s : Set Y
h0 : K ≠ 0
hKd0 : ↑K ^ d ≠ 0
hKd : ↑K ^ d ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε
t : ℕ → Set Y
htε : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ ε / ↑K
hst : f ⁻¹' s ⊆ ⋃ i, f ⁻¹' t i
n : ℕ
⊢ diam ((fun n => f ⁻¹' t n) n) ≤ ε

case inr.refine_2
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
K : ℝ≥0
d : ℝ
hf : AntilipschitzWith K f
hd : 0 ≤ d
s : Set Y
h0 : K ≠ 0
hKd0 : ↑K ^ d ≠ 0
hKd : ↑K ^ d ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε
t : ℕ → Set Y
htε : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ ε / ↑K
hst : f ⁻¹' s ⊆ ⋃ i, f ⁻¹' t i
⊢ ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : ((fun n => f ⁻¹' t n) n).Nonempty), diam ((fun n => f ⁻¹' t n) n) ^ d ≤
    ∑' (i : ℕ), ⨆ (_ : (t i).Nonempty), ↑K ^ d * diam (t i) ^ d

Proof state:
case inr
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
K : ℝ≥0
d : ℝ
hf : AntilipschitzWith K f
hd : 0 ≤ d
s : Set Y
h0 : K ≠ 0
hKd0 : ↑K ^ d ≠ 0
hKd : ↑K ^ d ≠ ⊤
⊢ ⨆ r,
      ⨆ (_ : 0 < r),
        ⨅ t,
          ⨅ (_ : f ⁻¹' s ⊆ ⋃ n, t n),
            ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ r), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), diam (t n) ^ d ≤
    ⨆ i,
      ⨆ (_ : 0 < i),
        ⨅ i_1,
          ⨅ (_ : s ⊆ ⋃ n, i_1 n),
            ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (i_1 n) ≤ i), ∑' (i : ℕ), ⨆ (_ : (i_1 i).Nonempty), ↑K ^ d * diam (i_1 i) ^ d

Tactic:
refine iSup₂_le fun ε ε0 => ?_

Result:
case inr
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
K : ℝ≥0
d : ℝ
hf : AntilipschitzWith K f
hd : 0 ≤ d
s : Set Y
h0 : K ≠ 0
hKd0 : ↑K ^ d ≠ 0
hKd : ↑K ^ d ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε
⊢ ⨅ t,
      ⨅ (_ : f ⁻¹' s ⊆ ⋃ n, t n),
        ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ ε), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), diam (t n) ^ d ≤
    ⨆ i,
      ⨆ (_ : 0 < i),
        ⨅ i_1,
          ⨅ (_ : s ⊆ ⋃ n, i_1 n),
            ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (i_1 n) ≤ i), ∑' (i : ℕ), ⨆ (_ : (i_1 i).Nonempty), ↑K ^ d * diam (i_1 i) ^ d

Proof state:
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
s : Set Y
hf : AntilipschitzWith 0 f
x : X
hx : x ∈ f ⁻¹' s
this✝ : Subsingleton X
this : (f ⁻¹' s).Subsingleton
⊢ f ⁻¹' s = {x}

Tactic:
exact (subsingleton_iff_singleton hx).1 this

Result:
no goals

Proof state:
case inr
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
K : ℝ≥0
d : ℝ
hf : AntilipschitzWith K f
hd : 0 ≤ d
s : Set Y
h0 : K ≠ 0
⊢ μH[d] (f ⁻¹' s) ≤ ↑K ^ d * μH[d] s

Tactic:
have hKd0 : (K : ℝ≥0∞) ^ d ≠ 0 := by simp [h0]

Result:
case inr
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
K : ℝ≥0
d : ℝ
hf : AntilipschitzWith K f
hd : 0 ≤ d
s : Set Y
h0 : K ≠ 0
hKd0 : ↑K ^ d ≠ 0
⊢ μH[d] (f ⁻¹' s) ≤ ↑K ^ d * μH[d] s

Proof state:
case inr.refine_2
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
K : ℝ≥0
d : ℝ
hf : AntilipschitzWith K f
hd : 0 ≤ d
s : Set Y
h0 : K ≠ 0
hKd0 : ↑K ^ d ≠ 0
hKd : ↑K ^ d ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε
t : ℕ → Set Y
htε : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ ε / ↑K
hst : f ⁻¹' s ⊆ ⋃ i, f ⁻¹' t i
n : ℕ
hft : ((fun n => f ⁻¹' t n) n).Nonempty
⊢ diam (f ⁻¹' t n) ^ d ≤ ↑K ^ d * diam (t n) ^ d

Tactic:
rw [← ENNReal.mul_rpow_of_nonneg _ _ hd]

Result:
case inr.refine_2
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
K : ℝ≥0
d : ℝ
hf : AntilipschitzWith K f
hd : 0 ≤ d
s : Set Y
h0 : K ≠ 0
hKd0 : ↑K ^ d ≠ 0
hKd : ↑K ^ d ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε
t : ℕ → Set Y
htε : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ ε / ↑K
hst : f ⁻¹' s ⊆ ⋃ i, f ⁻¹' t i
n : ℕ
hft : ((fun n => f ⁻¹' t n) n).Nonempty
⊢ diam (f ⁻¹' t n) ^ d ≤ (↑K * diam (t n)) ^ d

Proof state:
case inr
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
K : ℝ≥0
d : ℝ
hf : AntilipschitzWith K f
hd : 0 ≤ d
s : Set Y
h0 : K ≠ 0
hKd0 : ↑K ^ d ≠ 0
⊢ μH[d] (f ⁻¹' s) ≤ ↑K ^ d * μH[d] s

Tactic:
have hKd : (K : ℝ≥0∞) ^ d ≠ ∞ := by simp [hd]

Result:
case inr
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
K : ℝ≥0
d : ℝ
hf : AntilipschitzWith K f
hd : 0 ≤ d
s : Set Y
h0 : K ≠ 0
hKd0 : ↑K ^ d ≠ 0
hKd : ↑K ^ d ≠ ⊤
⊢ μH[d] (f ⁻¹' s) ≤ ↑K ^ d * μH[d] s

Proof state:
case inl.inl
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
s : Set Y
hf : AntilipschitzWith 0 f
hs : f ⁻¹' s = ∅
⊢ μH[d] (f ⁻¹' s) ≤ ↑0 ^ d * μH[d] s

Tactic:
simp only [hs, measure_empty, zero_le]

Result:
no goals

Proof state:
case inr.refine_2
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
K : ℝ≥0
d : ℝ
hf : AntilipschitzWith K f
hd : 0 ≤ d
s : Set Y
h0 : K ≠ 0
hKd0 : ↑K ^ d ≠ 0
hKd : ↑K ^ d ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε
t : ℕ → Set Y
htε : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ ε / ↑K
hst : f ⁻¹' s ⊆ ⋃ i, f ⁻¹' t i
n : ℕ
hft : ((fun n => f ⁻¹' t n) n).Nonempty
⊢ diam (f ⁻¹' t n) ^ d ≤ (↑K * diam (t n)) ^ d

Tactic:
exact ENNReal.rpow_le_rpow (hf.ediam_preimage_le _) hd

Result:
no goals

Proof state:
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
f : X → Y
K : ℝ≥0
d : ℝ
hf : AntilipschitzWith K f
hd : 0 ≤ d
s : Set Y
h0 : K ≠ 0
hKd0 : ↑K ^ d ≠ 0
hKd : ↑K ^ d ≠ ⊤
ε : ℝ≥0∞
ε0 : 0 < ε
⊢ 0 < ε / ↑K

Tactic:
simp [ε0.ne']

Result:
no goals