-- Mathlib/CategoryTheory/SmallObject/TransfiniteCompositionLifting.lean
lemma hasLift : sq.HasLift

Proof state:
case intro
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : Type w
inst✝⁴ : LinearOrder J
inst✝³ : OrderBot J
F : J ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsColimit c
X Y : C
p : X ⟶ Y
f : F.obj ⊥ ⟶ X
g : c.pt ⟶ Y
inst✝² : F.IsWellOrderContinuous
inst✝¹ : SuccOrder J
inst✝ : WellFoundedLT J
hF : ∀ (j : J), ¬IsMax j → HasLiftingProperty (F.map (homOfLE ⋯)) p
sq : CommSq f (c.ι.app ⊥) p g
s : ↑(sqFunctor c p f g).sections
hs : (↑s (Opposite.op ⊥)).f' = f
⊢ sq.HasLift

Tactic:
let t : Cocone F := Cocone.mk X
  { app j := (s.1 ⟨j⟩).f'
    naturality j j' g := by simpa using congr_arg SqStruct.f' (s.2 g.op) }

Result:
case intro
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : Type w
inst✝⁴ : LinearOrder J
inst✝³ : OrderBot J
F : J ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsColimit c
X Y : C
p : X ⟶ Y
f : F.obj ⊥ ⟶ X
g : c.pt ⟶ Y
inst✝² : F.IsWellOrderContinuous
inst✝¹ : SuccOrder J
inst✝ : WellFoundedLT J
hF : ∀ (j : J), ¬IsMax j → HasLiftingProperty (F.map (homOfLE ⋯)) p
sq : CommSq f (c.ι.app ⊥) p g
s : ↑(sqFunctor c p f g).sections
hs : (↑s (Opposite.op ⊥)).f' = f
t : Cocone F := { pt := X, ι := { app := fun j => (↑s (Opposite.op j)).f', naturality := ⋯ } }
⊢ sq.HasLift

Proof state:
case intro
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : Type w
inst✝⁴ : LinearOrder J
inst✝³ : OrderBot J
F : J ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsColimit c
X Y : C
p : X ⟶ Y
f : F.obj ⊥ ⟶ X
g : c.pt ⟶ Y
inst✝² : F.IsWellOrderContinuous
inst✝¹ : SuccOrder J
inst✝ : WellFoundedLT J
hF : ∀ (j : J), ¬IsMax j → HasLiftingProperty (F.map (homOfLE ⋯)) p
sq : CommSq f (c.ι.app ⊥) p g
s : ↑(sqFunctor c p f g).sections
hs : (((fun s => s (Opposite.op ⊥)) ∘ Subtype.val) s).f' = { f' := f, w₁ := ⋯, w₂ := ⋯ }.f'
⊢ sq.HasLift

Tactic:
dsimp at hs

Result:
case intro
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : Type w
inst✝⁴ : LinearOrder J
inst✝³ : OrderBot J
F : J ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsColimit c
X Y : C
p : X ⟶ Y
f : F.obj ⊥ ⟶ X
g : c.pt ⟶ Y
inst✝² : F.IsWellOrderContinuous
inst✝¹ : SuccOrder J
inst✝ : WellFoundedLT J
hF : ∀ (j : J), ¬IsMax j → HasLiftingProperty (F.map (homOfLE ⋯)) p
sq : CommSq f (c.ι.app ⊥) p g
s : ↑(sqFunctor c p f g).sections
hs : (↑s (Opposite.op ⊥)).f' = f
⊢ sq.HasLift

Proof state:
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : Type w
inst✝⁴ : LinearOrder J
inst✝³ : OrderBot J
F : J ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsColimit c
X Y : C
p : X ⟶ Y
f : F.obj ⊥ ⟶ X
g : c.pt ⟶ Y
inst✝² : F.IsWellOrderContinuous
inst✝¹ : SuccOrder J
inst✝ : WellFoundedLT J
hF : ∀ (j : J), ¬IsMax j → HasLiftingProperty (F.map (homOfLE ⋯)) p
sq : CommSq f (c.ι.app ⊥) p g
s : ↑(sqFunctor c p f g).sections
hs : (↑s (Opposite.op ⊥)).f' = f
t : Cocone F := { pt := X, ι := { app := fun j => (↑s (Opposite.op j)).f', naturality := ⋯ } }
l : c.pt ⟶ t.pt := hc.desc t
hl : ∀ (j : J), c.ι.app j ≫ l = (↑s (Opposite.op j)).f'
⊢ c.ι.app ⊥ ≫ l = f

Tactic:
rw [hl, hs]

Result:
no goals

Proof state:
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : Type w
inst✝⁴ : LinearOrder J
inst✝³ : OrderBot J
F : J ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsColimit c
X Y : C
p : X ⟶ Y
f : F.obj ⊥ ⟶ X
g : c.pt ⟶ Y
inst✝² : F.IsWellOrderContinuous
inst✝¹ : SuccOrder J
inst✝ : WellFoundedLT J
hF : ∀ (j : J), ¬IsMax j → HasLiftingProperty (F.map (homOfLE ⋯)) p
sq : CommSq f (c.ι.app ⊥) p g
s : ↑(sqFunctor c p f g).sections
hs : (↑s (Opposite.op ⊥)).f' = f
t : Cocone F := { pt := X, ι := { app := fun j => (↑s (Opposite.op j)).f', naturality := ⋯ } }
l : c.pt ⟶ t.pt := hc.desc t
hl : ∀ (j : J), c.ι.app j ≫ l = (↑s (Opposite.op j)).f'
j : J
⊢ c.ι.app j ≫ l ≫ p = c.ι.app j ≫ g

Tactic:
rw [reassoc_of% (hl j), SqStruct.w₂]

Result:
no goals

Proof state:
case intro
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : Type w
inst✝⁴ : LinearOrder J
inst✝³ : OrderBot J
F : J ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsColimit c
X Y : C
p : X ⟶ Y
f : F.obj ⊥ ⟶ X
g : c.pt ⟶ Y
inst✝² : F.IsWellOrderContinuous
inst✝¹ : SuccOrder J
inst✝ : WellFoundedLT J
hF : ∀ (j : J), ¬IsMax j → HasLiftingProperty (F.map (homOfLE ⋯)) p
sq : CommSq f (c.ι.app ⊥) p g
s : ↑(sqFunctor c p f g).sections
hs : (↑s (Opposite.op ⊥)).f' = f
t : Cocone F := { pt := X, ι := { app := fun j => (↑s (Opposite.op j)).f', naturality := ⋯ } }
l : c.pt ⟶ t.pt := hc.desc t
hl : ∀ (j : J), c.ι.app j ≫ l = (↑s (Opposite.op j)).f'
⊢ sq.HasLift

Tactic:
exact ⟨⟨{
  l := l
  fac_left := by rw [hl, hs]
  fac_right := hc.hom_ext (fun j ↦ by rw [reassoc_of% (hl j), SqStruct.w₂])}⟩⟩

Result:
no goals

Proof state:
case intro
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : Type w
inst✝⁴ : LinearOrder J
inst✝³ : OrderBot J
F : J ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsColimit c
X Y : C
p : X ⟶ Y
f : F.obj ⊥ ⟶ X
g : c.pt ⟶ Y
inst✝² : F.IsWellOrderContinuous
inst✝¹ : SuccOrder J
inst✝ : WellFoundedLT J
hF : ∀ (j : J), ¬IsMax j → HasLiftingProperty (F.map (homOfLE ⋯)) p
sq : CommSq f (c.ι.app ⊥) p g
s : ↑(sqFunctor c p f g).sections
hs : (↑s (Opposite.op ⊥)).f' = f
t : Cocone F := { pt := X, ι := { app := fun j => (↑s (Opposite.op j)).f', naturality := ⋯ } }
⊢ sq.HasLift

Tactic:
let l := hc.desc t

Result:
case intro
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : Type w
inst✝⁴ : LinearOrder J
inst✝³ : OrderBot J
F : J ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsColimit c
X Y : C
p : X ⟶ Y
f : F.obj ⊥ ⟶ X
g : c.pt ⟶ Y
inst✝² : F.IsWellOrderContinuous
inst✝¹ : SuccOrder J
inst✝ : WellFoundedLT J
hF : ∀ (j : J), ¬IsMax j → HasLiftingProperty (F.map (homOfLE ⋯)) p
sq : CommSq f (c.ι.app ⊥) p g
s : ↑(sqFunctor c p f g).sections
hs : (↑s (Opposite.op ⊥)).f' = f
t : Cocone F := { pt := X, ι := { app := fun j => (↑s (Opposite.op j)).f', naturality := ⋯ } }
l : c.pt ⟶ t.pt := hc.desc t
⊢ sq.HasLift

Proof state:
case intro
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : Type w
inst✝⁴ : LinearOrder J
inst✝³ : OrderBot J
F : J ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsColimit c
X Y : C
p : X ⟶ Y
f : F.obj ⊥ ⟶ X
g : c.pt ⟶ Y
inst✝² : F.IsWellOrderContinuous
inst✝¹ : SuccOrder J
inst✝ : WellFoundedLT J
hF : ∀ (j : J), ¬IsMax j → HasLiftingProperty (F.map (homOfLE ⋯)) p
sq : CommSq f (c.ι.app ⊥) p g
s : ↑(sqFunctor c p f g).sections
hs : ((fun s => s (Opposite.op ⊥)) ∘ Subtype.val) s = { f' := f, w₁ := ⋯, w₂ := ⋯ }
⊢ sq.HasLift

Tactic:
replace hs := congr_arg SqStruct.f' hs

Result:
case intro
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : Type w
inst✝⁴ : LinearOrder J
inst✝³ : OrderBot J
F : J ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsColimit c
X Y : C
p : X ⟶ Y
f : F.obj ⊥ ⟶ X
g : c.pt ⟶ Y
inst✝² : F.IsWellOrderContinuous
inst✝¹ : SuccOrder J
inst✝ : WellFoundedLT J
hF : ∀ (j : J), ¬IsMax j → HasLiftingProperty (F.map (homOfLE ⋯)) p
sq : CommSq f (c.ι.app ⊥) p g
s : ↑(sqFunctor c p f g).sections
hs : (((fun s => s (Opposite.op ⊥)) ∘ Subtype.val) s).f' = { f' := f, w₁ := ⋯, w₂ := ⋯ }.f'
⊢ sq.HasLift

Proof state:
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : Type w
inst✝⁴ : LinearOrder J
inst✝³ : OrderBot J
F : J ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsColimit c
X Y : C
p : X ⟶ Y
f : F.obj ⊥ ⟶ X
g : c.pt ⟶ Y
inst✝² : F.IsWellOrderContinuous
inst✝¹ : SuccOrder J
inst✝ : WellFoundedLT J
hF : ∀ (j : J), ¬IsMax j → HasLiftingProperty (F.map (homOfLE ⋯)) p
sq : CommSq f (c.ι.app ⊥) p g
⊢ sq.HasLift

Tactic:
obtain ⟨s, hs⟩ := (wellOrderInductionData c f g hF).surjective { w₂ := sq.w }

Result:
case intro
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : Type w
inst✝⁴ : LinearOrder J
inst✝³ : OrderBot J
F : J ⥤ C
c : Cocone F
hc : IsColimit c
X Y : C
p : X ⟶ Y
f : F.obj ⊥ ⟶ X
g : c.pt ⟶ Y
inst✝² : F.IsWellOrderContinuous
inst✝¹ : SuccOrder J
inst✝ : WellFoundedLT J
hF : ∀ (j : J), ¬IsMax j → HasLiftingProperty (F.map (homOfLE ⋯)) p
sq : CommSq f (c.ι.app ⊥) p g
s : ↑(sqFunctor c p f g).sections
hs : ((fun s => s (Opposite.op ⊥)) ∘ Subtype.val) s = { f' := f, w₁ := ⋯, w₂ := ⋯ }
⊢ sq.HasLift