-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Blocks.lean
theorem IsTrivialBlock.image {φ : M → N} {f : α →ₑ[φ] β}
    (hf : Function.Surjective f) {B : Set α} (hB : IsTrivialBlock B) :
    IsTrivialBlock (f '' B)

Proof state:
case inl
M : Type u_3
α : Type u_4
N : Type u_5
β : Type u_6
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : MulAction N β
φ : M → N
f : α →ₑ[φ] β
hf : Function.Surjective ⇑f
B : Set α
hB : B.Subsingleton
⊢ IsTrivialBlock (⇑f '' B)

Tactic:
apply Or.intro_left

Result:
case inl.h
M : Type u_3
α : Type u_4
N : Type u_5
β : Type u_6
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : MulAction N β
φ : M → N
f : α →ₑ[φ] β
hf : Function.Surjective ⇑f
B : Set α
hB : B.Subsingleton
⊢ (⇑f '' B).Subsingleton

Proof state:
case inr.h
M : Type u_3
α : Type u_4
N : Type u_5
β : Type u_6
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : MulAction N β
φ : M → N
f : α →ₑ[φ] β
hf : Function.Surjective ⇑f
B : Set α
hB : B = univ
⊢ ⇑f '' univ = univ

Tactic:
simp only [Set.top_eq_univ, Set.image_univ, Set.range_eq_univ, hf]

Result:
no goals

Proof state:
case inr.h
M : Type u_3
α : Type u_4
N : Type u_5
β : Type u_6
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : MulAction N β
φ : M → N
f : α →ₑ[φ] β
hf : Function.Surjective ⇑f
B : Set α
hB : B = univ
⊢ ⇑f '' B = univ

Tactic:
rw [hB]

Result:
case inr.h
M : Type u_3
α : Type u_4
N : Type u_5
β : Type u_6
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : MulAction N β
φ : M → N
f : α →ₑ[φ] β
hf : Function.Surjective ⇑f
B : Set α
hB : B = univ
⊢ ⇑f '' univ = univ

Proof state:
case inl.h
M : Type u_3
α : Type u_4
N : Type u_5
β : Type u_6
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : MulAction N β
φ : M → N
f : α →ₑ[φ] β
hf : Function.Surjective ⇑f
B : Set α
hB : B.Subsingleton
⊢ (⇑f '' B).Subsingleton

Tactic:
apply Set.Subsingleton.image hB

Result:
no goals

Proof state:
M : Type u_3
α : Type u_4
N : Type u_5
β : Type u_6
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : MulAction N β
φ : M → N
f : α →ₑ[φ] β
hf : Function.Surjective ⇑f
B : Set α
hB : IsTrivialBlock B
⊢ IsTrivialBlock (⇑f '' B)

Tactic:
obtain hB | hB := hB

Result:
case inl
M : Type u_3
α : Type u_4
N : Type u_5
β : Type u_6
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : MulAction N β
φ : M → N
f : α →ₑ[φ] β
hf : Function.Surjective ⇑f
B : Set α
hB : B.Subsingleton
⊢ IsTrivialBlock (⇑f '' B)

case inr
M : Type u_3
α : Type u_4
N : Type u_5
β : Type u_6
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : MulAction N β
φ : M → N
f : α →ₑ[φ] β
hf : Function.Surjective ⇑f
B : Set α
hB : B = univ
⊢ IsTrivialBlock (⇑f '' B)

Proof state:
case inr
M : Type u_3
α : Type u_4
N : Type u_5
β : Type u_6
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : MulAction N β
φ : M → N
f : α →ₑ[φ] β
hf : Function.Surjective ⇑f
B : Set α
hB : B = univ
⊢ IsTrivialBlock (⇑f '' B)

Tactic:
apply Or.intro_right

Result:
case inr.h
M : Type u_3
α : Type u_4
N : Type u_5
β : Type u_6
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : MulAction N β
φ : M → N
f : α →ₑ[φ] β
hf : Function.Surjective ⇑f
B : Set α
hB : B = univ
⊢ ⇑f '' B = univ