-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UnifTight.lean
theorem tendsto_Lp_of_tendsto_ae_of_meas (hp : 1 ≤ p) (hp' : p ≠ ∞)
    {f : ℕ → α → β} {g : α → β} (hf : ∀ n, StronglyMeasurable (f n)) (hg : StronglyMeasurable g)
    (hg' : MemLp g p μ) (hui : UnifIntegrable f p μ) (hut : UnifTight f p μ)
    (hfg : ∀ᵐ x ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))) :
    Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - g) p μ) atTop (𝓝 0)

Proof state:
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hg' : MemLp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hut : UnifTight f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
hfinε : ε ≠ ⊤
hμ : ¬μ = 0
hε' : 0 < ε / 3
Eg : Set α
hmEg : MeasurableSet Eg
hμEg : μ Eg < ⊤
hgε : eLpNorm (Egᶜ.indicator g) p μ < ε / 3
Ef : Set α
hmEf : MeasurableSet Ef
hμEf : μ Ef < ⊤
hfε : ∀ (i : ℕ), eLpNorm (Efᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ε / 3
E : Set α := Ef ∪ Eg
hmE : MeasurableSet E
hfmE : μ E < ⊤
hgE' : MemLp g p (μ.restrict E)
huiE : UnifIntegrable f p (μ.restrict E)
hfgE : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict E, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ffmE : Fact (μ E < ⊤)
hInner : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p (μ.restrict E) ≤ ε
N : ℕ
hfngε : ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p (μ.restrict E) ≤ ε / 3
⊢ ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p μ ≤ ε

Tactic:
intro n hn

Result:
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hg' : MemLp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hut : UnifTight f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
hfinε : ε ≠ ⊤
hμ : ¬μ = 0
hε' : 0 < ε / 3
Eg : Set α
hmEg : MeasurableSet Eg
hμEg : μ Eg < ⊤
hgε : eLpNorm (Egᶜ.indicator g) p μ < ε / 3
Ef : Set α
hmEf : MeasurableSet Ef
hμEf : μ Ef < ⊤
hfε : ∀ (i : ℕ), eLpNorm (Efᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ε / 3
E : Set α := Ef ∪ Eg
hmE : MeasurableSet E
hfmE : μ E < ⊤
hgE' : MemLp g p (μ.restrict E)
huiE : UnifIntegrable f p (μ.restrict E)
hfgE : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict E, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ffmE : Fact (μ E < ⊤)
hInner : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p (μ.restrict E) ≤ ε
N : ℕ
hfngε : ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p (μ.restrict E) ≤ ε / 3
n : ℕ
hn : n ≥ N
⊢ eLpNorm (f n - g) p μ ≤ ε

Proof state:
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hg' : MemLp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hut : UnifTight f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
hfinε : ε ≠ ⊤
hμ : ¬μ = 0
⊢ ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p μ ≤ ε

Tactic:
have hε' : 0 < ε / 3 := ENNReal.div_pos hε.ne' (coe_ne_top)

Result:
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hg' : MemLp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hut : UnifTight f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
hfinε : ε ≠ ⊤
hμ : ¬μ = 0
hε' : 0 < ε / 3
⊢ ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p μ ≤ ε

Proof state:
case neg.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hg' : MemLp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hut : UnifTight f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
hfinε : ε ≠ ⊤
hμ : ¬μ = 0
hε' : 0 < ε / 3
Eg : Set α
hmEg : MeasurableSet Eg
hμEg : μ Eg < ⊤
hgε : eLpNorm (Egᶜ.indicator g) p μ < ε / 3
Ef : Set α
hmEf : MeasurableSet Ef
hμEf : μ Ef < ⊤
hfε : ∀ (i : ℕ), eLpNorm (Efᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ε / 3
E : Set α := Ef ∪ Eg
hmE : MeasurableSet E
hfmE : μ E < ⊤
⊢ ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p μ ≤ ε

Tactic:
have hgE' := MemLp.restrict E hg'

Result:
case neg.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hg' : MemLp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hut : UnifTight f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
hfinε : ε ≠ ⊤
hμ : ¬μ = 0
hε' : 0 < ε / 3
Eg : Set α
hmEg : MeasurableSet Eg
hμEg : μ Eg < ⊤
hgε : eLpNorm (Egᶜ.indicator g) p μ < ε / 3
Ef : Set α
hmEf : MeasurableSet Ef
hμEf : μ Ef < ⊤
hfε : ∀ (i : ℕ), eLpNorm (Efᶜ.indicator (f i)) p μ ≤ ε / 3
E : Set α := Ef ∪ Eg
hmE : MeasurableSet E
hfmE : μ E < ⊤
hgE' : MemLp g p (μ.restrict E)
⊢ ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p μ ≤ ε

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hg' : MemLp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hut : UnifTight f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
⊢ Tendsto (fun n => eLpNorm (f n - g) p μ) atTop (𝓝 0)

Tactic:
rw [ENNReal.tendsto_atTop_zero]

Result:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hg' : MemLp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hut : UnifTight f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
⊢ ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p μ ≤ ε

Proof state:
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hg' : MemLp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hut : UnifTight f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
hfinε : ε ≠ ⊤
hμ : μ = 0
⊢ ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p μ ≤ ε

Tactic:
rw [hμ]

Result:
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ℕ → α → β
g : α → β
hf : ∀ (n : ℕ), StronglyMeasurable (f n)
hg : StronglyMeasurable g
hg' : MemLp g p μ
hui : UnifIntegrable f p μ
hut : UnifTight f p μ
hfg : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (g x))
ε : ℝ≥0∞
hε : ε > 0
hfinε : ε ≠ ⊤
hμ : μ = 0
⊢ ∃ N, ∀ n ≥ N, eLpNorm (f n - g) p 0 ≤ ε