-- Mathlib/NumberTheory/PellMatiyasevic.lean
theorem dvd_of_ysq_dvd {n t} (h : yn a1 n * yn a1 n ∣ yn a1 t) : yn a1 n ∣ t :=
  have nt : n ∣ t := (y_dvd_iff a1 n t).1 <| dvd_of_mul_left_dvd h
  n.eq_zero_or_pos.elim (fun n0 => by rwa [n0] at nt ⊢) fun n0l : 0 < n => by
    let ⟨k, ke⟩ := nt
    have : yn a1 n ∣ k * xn a1 n ^ (k - 1) :=
      Nat.dvd_of_mul_dvd_mul_right (strictMono_y a1 n0l) <|
        modEq_zero_iff_dvd.1 <| by
          have xm := (xy_modEq_yn a1 n k).right; rw [← ke] at xm
          exact (xm.of_dvd <| by simp [_root_.pow_succ]).symm.trans h.modEq_zero_nat
    rw [ke]
    exact dvd_mul_of_dvd_right (((xy_coprime _ _).pow_left _).symm.dvd_of_dvd_mul_right this) _

Proof state:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n t : ℕ
h : yn a1 n * yn a1 n ∣ yn a1 t
nt : n ∣ t
n0l : 0 < n
k : ℕ
ke : t = n * k
this : yn a1 n ∣ k * xn a1 n ^ (k - 1)
⊢ yn a1 n ∣ n * k

Tactic:
exact dvd_mul_of_dvd_right (((xy_coprime _ _).pow_left _).symm.dvd_of_dvd_mul_right this) _

Result:
no goals

Proof state:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n t : ℕ
h : yn a1 n * yn a1 n ∣ yn a1 t
nt : n ∣ t
n0l : 0 < n
⊢ yn a1 n ∣ t

Tactic:
let ⟨k, ke⟩ := nt

Result:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n t : ℕ
h : yn a1 n * yn a1 n ∣ yn a1 t
nt : n ∣ t
n0l : 0 < n
k : ℕ
ke : t = n * k
⊢ yn a1 n ∣ t

Proof state:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n t : ℕ
h : yn a1 n * yn a1 n ∣ yn a1 t
nt : n ∣ t
n0l : 0 < n
k : ℕ
ke : t = n * k
⊢ yn a1 n ∣ t

Tactic:
have : yn a1 n ∣ k * xn a1 n ^ (k - 1) :=
  Nat.dvd_of_mul_dvd_mul_right (strictMono_y a1 n0l) <|
    modEq_zero_iff_dvd.1 <| by
      have xm := (xy_modEq_yn a1 n k).right; rw [← ke] at xm
      exact (xm.of_dvd <| by simp [_root_.pow_succ]).symm.trans h.modEq_zero_nat

Result:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n t : ℕ
h : yn a1 n * yn a1 n ∣ yn a1 t
nt : n ∣ t
n0l : 0 < n
k : ℕ
ke : t = n * k
this : yn a1 n ∣ k * xn a1 n ^ (k - 1)
⊢ yn a1 n ∣ t

Proof state:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n t : ℕ
h : yn a1 n * yn a1 n ∣ yn a1 t
nt : n ∣ t
n0l : 0 < n
k : ℕ
ke : t = n * k
xm : yn a1 t ≡ k * xn a1 n ^ (k - 1) * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]
⊢ k * xn a1 n ^ (k - 1) * yn a1 n ≡ 0 [MOD yn a1 n * yn a1 n]

Tactic:
exact (xm.of_dvd <| by simp [_root_.pow_succ]).symm.trans h.modEq_zero_nat

Result:
no goals

Proof state:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n t : ℕ
h : yn a1 n * yn a1 n ∣ yn a1 t
nt : n ∣ t
n0l : 0 < n
k : ℕ
ke : t = n * k
⊢ k * xn a1 n ^ (k - 1) * yn a1 n ≡ 0 [MOD yn a1 n * yn a1 n]

Tactic:
have xm := (xy_modEq_yn a1 n k).right

Result:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n t : ℕ
h : yn a1 n * yn a1 n ∣ yn a1 t
nt : n ∣ t
n0l : 0 < n
k : ℕ
ke : t = n * k
xm : yn a1 (n * k) ≡ k * xn a1 n ^ (k - 1) * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]
⊢ k * xn a1 n ^ (k - 1) * yn a1 n ≡ 0 [MOD yn a1 n * yn a1 n]

Proof state:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n t : ℕ
h : yn a1 n * yn a1 n ∣ yn a1 t
nt : n ∣ t
n0 : n = 0
⊢ yn a1 n ∣ t

Tactic:
rwa [n0] at nt ⊢

Result:
no goals

Proof state:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n t : ℕ
h : yn a1 n * yn a1 n ∣ yn a1 t
nt : n ∣ t
n0l : 0 < n
k : ℕ
ke : t = n * k
xm : yn a1 (n * k) ≡ k * xn a1 n ^ (k - 1) * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]
⊢ k * xn a1 n ^ (k - 1) * yn a1 n ≡ 0 [MOD yn a1 n * yn a1 n]

Tactic:
rw [← ke] at xm

Result:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n t : ℕ
h : yn a1 n * yn a1 n ∣ yn a1 t
nt : n ∣ t
n0l : 0 < n
k : ℕ
ke : t = n * k
xm : yn a1 t ≡ k * xn a1 n ^ (k - 1) * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]
⊢ k * xn a1 n ^ (k - 1) * yn a1 n ≡ 0 [MOD yn a1 n * yn a1 n]

Proof state:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n t : ℕ
h : yn a1 n * yn a1 n ∣ yn a1 t
nt : n ∣ t
n0l : 0 < n
k : ℕ
ke : t = n * k
this : yn a1 n ∣ k * xn a1 n ^ (k - 1)
⊢ yn a1 n ∣ t

Tactic:
rw [ke]

Result:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n t : ℕ
h : yn a1 n * yn a1 n ∣ yn a1 t
nt : n ∣ t
n0l : 0 < n
k : ℕ
ke : t = n * k
this : yn a1 n ∣ k * xn a1 n ^ (k - 1)
⊢ yn a1 n ∣ n * k

Proof state:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n t : ℕ
h : yn a1 n * yn a1 n ∣ yn a1 t
nt : n ∣ t
n0l : 0 < n
k : ℕ
ke : t = n * k
xm : yn a1 t ≡ k * xn a1 n ^ (k - 1) * yn a1 n [MOD yn a1 n ^ 3]
⊢ yn a1 n * yn a1 n ∣ yn a1 n ^ 3

Tactic:
simp [_root_.pow_succ]

Result:
no goals