-- Mathlib/RingTheory/Valuation/Basic.lean
theorem isEquiv_iff_val_lt_one [LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀]
    [LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀] {v : Valuation K Γ₀} {v' : Valuation K Γ'₀} :
    v.IsEquiv v' ↔ ∀ {x : K}, v x < 1 ↔ v' x < 1

Proof state:
case neg
K : Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
h : ∀ {x : K}, v x < 1 ↔ v' x < 1
x : K
hx : ¬x = 0
⊢ v x = 1 ↔ v' x = 1

Tactic:
constructor

Result:
case neg.mp
K : Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
h : ∀ {x : K}, v x < 1 ↔ v' x < 1
x : K
hx : ¬x = 0
⊢ v x = 1 → v' x = 1

case neg.mpr
K : Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
h : ∀ {x : K}, v x < 1 ↔ v' x < 1
x : K
hx : ¬x = 0
⊢ v' x = 1 → v x = 1

Proof state:
case neg.mp.inl
K : Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
h : ∀ {x : K}, v x < 1 ↔ v' x < 1
x : K
hx : ¬x = 0
hh : v x = 1
h_1 : ¬v' x = 1
h_2 : v' x < 1
⊢ False

Tactic:
simpa [hh, lt_self_iff_false] using h.2 h_2

Result:
no goals

Proof state:
case mp
K : Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
⊢ v.IsEquiv v' → ∀ {x : K}, v x < 1 ↔ v' x < 1

Tactic:
intro h x

Result:
case mp
K : Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
h : v.IsEquiv v'
x : K
⊢ v x < 1 ↔ v' x < 1

Proof state:
case neg.mpr
K : Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
h : ∀ {x : K}, v x < 1 ↔ v' x < 1
x : K
hx : ¬x = 0
⊢ v' x = 1 → v x = 1

Tactic:
intro hh

Result:
case neg.mpr
K : Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
h : ∀ {x : K}, v x < 1 ↔ v' x < 1
x : K
hx : ¬x = 0
hh : v' x = 1
⊢ v x = 1

Proof state:
case neg.mp.inr
K : Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
h : ∀ {x : K}, v x < 1 ↔ v' x < 1
x : K
hx : ¬x = 0
hh : v x⁻¹ = 1
h_1 : ¬v' x = 1
h_2 : v' x > 1
⊢ False

Tactic:
exact hh.not_lt (h.2 ((one_lt_val_iff v' hx).1 h_2))

Result:
no goals

Proof state:
case neg.mpr.inr
K : Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
h : ∀ {x : K}, v x < 1 ↔ v' x < 1
x : K
hx : ¬x = 0
hh : v' x⁻¹ = 1
h_1 : ¬v x = 1
h_2 : v x > 1
⊢ False

Tactic:
exact hh.not_lt (h.1 ((one_lt_val_iff v hx).1 h_2))

Result:
no goals

Proof state:
K : Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
⊢ v.IsEquiv v' ↔ ∀ {x : K}, v x < 1 ↔ v' x < 1

Tactic:
constructor

Result:
case mp
K : Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
⊢ v.IsEquiv v' → ∀ {x : K}, v x < 1 ↔ v' x < 1

case mpr
K : Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
⊢ (∀ {x : K}, v x < 1 ↔ v' x < 1) → v.IsEquiv v'

Proof state:
case mp
K : Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
h : v.IsEquiv v'
x : K
⊢ v x < 1 ↔ v' x < 1

Tactic:
simp only [lt_iff_le_and_ne,
  and_congr h.le_one_iff_le_one h.eq_one_iff_eq_one.not]

Result:
no goals

Proof state:
case neg.mp
K : Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
h : ∀ {x : K}, v x < 1 ↔ v' x < 1
x : K
hx : ¬x = 0
⊢ v x = 1 → v' x = 1

Tactic:
intro hh

Result:
case neg.mp
K : Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
h : ∀ {x : K}, v x < 1 ↔ v' x < 1
x : K
hx : ¬x = 0
hh : v x = 1
⊢ v' x = 1

Proof state:
case pos
K : Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
h : ∀ {x : K}, v x < 1 ↔ v' x < 1
x : K
hx : x = 0
⊢ v x = 1 ↔ v' x = 1

Tactic:
simp only [(zero_iff _).2 hx, zero_ne_one]

Result:
no goals

Proof state:
case neg.mp
K : Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
h : ∀ {x : K}, v x < 1 ↔ v' x < 1
x : K
hx : ¬x = 0
hh : v x = 1
h_1 : ¬v' x = 1
⊢ False

Tactic:
cases ne_iff_lt_or_gt.1 h_1 with
| inl h_2 => simpa [hh, lt_self_iff_false] using h.2 h_2
| inr h_2 =>
    rw [← inv_one, ← inv_eq_iff_eq_inv, ← map_inv₀] at hh
    exact hh.not_lt (h.2 ((one_lt_val_iff v' hx).1 h_2))

Result:
no goals

Proof state:
case mpr
K : Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
⊢ (∀ {x : K}, v x < 1 ↔ v' x < 1) → v.IsEquiv v'

Tactic:
rw [isEquiv_iff_val_eq_one]

Result:
case mpr
K : Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
⊢ (∀ {x : K}, v x < 1 ↔ v' x < 1) → ∀ {x : K}, v x = 1 ↔ v' x = 1

Proof state:
case neg.mpr.inr
K : Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
h : ∀ {x : K}, v x < 1 ↔ v' x < 1
x : K
hx : ¬x = 0
hh : v' x = 1
h_1 : ¬v x = 1
h_2 : v x > 1
⊢ False

Tactic:
rw [← inv_one, ← inv_eq_iff_eq_inv, ← map_inv₀] at hh

Result:
case neg.mpr.inr
K : Type u_1
inst✝² : DivisionRing K
Γ₀ : Type u_4
Γ'₀ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ'₀
v : Valuation K Γ₀
v' : Valuation K Γ'₀
h : ∀ {x : K}, v x < 1 ↔ v' x < 1
x : K
hx : ¬x = 0
hh : v' x⁻¹ = 1
h_1 : ¬v x = 1
h_2 : v x > 1
⊢ False