-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
theorem measure_integral_sub_integral_sub_linear_isLittleO_of_tendsto_ae
    (hab : IntervalIntegrable f μ a b) (hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la' μ)
    (hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb' μ) (ha_lim : Tendsto f (la' ⊓ ae μ) (𝓝 ca))
    (hb_lim : Tendsto f (lb' ⊓ ae μ) (𝓝 cb)) (hua : Tendsto ua lt la) (hva : Tendsto va lt la)
    (hub : Tendsto ub lt lb) (hvb : Tendsto vb lt lb) :
    (fun t =>
        ((∫ x in va t..vb t, f x ∂μ) - ∫ x in ua t..ub t, f x ∂μ) -
          ((∫ _ in ub t..vb t, cb ∂μ) - ∫ _ in ua t..va t, ca ∂μ)) =o[lt]
      fun t => ‖∫ _ in ua t..va t, (1 : ℝ) ∂μ‖ + ‖∫ _ in ub t..vb t, (1 : ℝ) ∂μ‖

Proof state:
ι : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
ca cb : E
la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝² : FTCFilter a la la'
inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la' μ
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb' μ
ha_lim : Tendsto f (la' ⊓ ae μ) (𝓝 ca)
hb_lim : Tendsto f (lb' ⊓ ae μ) (𝓝 cb)
hua : Tendsto ua lt la
hva : Tendsto va lt la
hub : Tendsto ub lt lb
hvb : Tendsto vb lt lb
this✝ : la'.IsMeasurablyGenerated
this : lb'.IsMeasurablyGenerated
⊢ (fun x =>
      -(∫ (x : ℝ) in ua x..va x, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua x..va x, ca ∂μ) +
        (∫ (x : ℝ) in ub x..vb x, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ub x..vb x, cb ∂μ)) =ᶠ[lt]
    fun t =>
    ∫ (x : ℝ) in va t..vb t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..ub t, f x ∂μ -
      (∫ (x : ℝ) in ub t..vb t, cb ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..va t, ca ∂μ)

Tactic:
have A : ∀ᶠ t in lt, IntervalIntegrable f μ (ua t) (va t) :=
  ha_lim.eventually_intervalIntegrable_ae hmeas_a (FTCFilter.finiteAt_inner la) hua hva

Result:
ι : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
ca cb : E
la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝² : FTCFilter a la la'
inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la' μ
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb' μ
ha_lim : Tendsto f (la' ⊓ ae μ) (𝓝 ca)
hb_lim : Tendsto f (lb' ⊓ ae μ) (𝓝 cb)
hua : Tendsto ua lt la
hva : Tendsto va lt la
hub : Tendsto ub lt lb
hvb : Tendsto vb lt lb
this✝ : la'.IsMeasurablyGenerated
this : lb'.IsMeasurablyGenerated
A : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ua t) (va t)
⊢ (fun x =>
      -(∫ (x : ℝ) in ua x..va x, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua x..va x, ca ∂μ) +
        (∫ (x : ℝ) in ub x..vb x, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ub x..vb x, cb ∂μ)) =ᶠ[lt]
    fun t =>
    ∫ (x : ℝ) in va t..vb t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..ub t, f x ∂μ -
      (∫ (x : ℝ) in ub t..vb t, cb ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..va t, ca ∂μ)

Proof state:
ι : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
ca cb : E
la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝² : FTCFilter a la la'
inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la' μ
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb' μ
ha_lim : Tendsto f (la' ⊓ ae μ) (𝓝 ca)
hb_lim : Tendsto f (lb' ⊓ ae μ) (𝓝 cb)
hua : Tendsto ua lt la
hva : Tendsto va lt la
hub : Tendsto ub lt lb
hvb : Tendsto vb lt lb
this✝ : la'.IsMeasurablyGenerated
this : lb'.IsMeasurablyGenerated
A : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ua t) (va t)
A' : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ a (ua t)
⊢ (fun x =>
      -(∫ (x : ℝ) in ua x..va x, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua x..va x, ca ∂μ) +
        (∫ (x : ℝ) in ub x..vb x, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ub x..vb x, cb ∂μ)) =ᶠ[lt]
    fun t =>
    ∫ (x : ℝ) in va t..vb t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..ub t, f x ∂μ -
      (∫ (x : ℝ) in ub t..vb t, cb ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..va t, ca ∂μ)

Tactic:
have B : ∀ᶠ t in lt, IntervalIntegrable f μ (ub t) (vb t) :=
  hb_lim.eventually_intervalIntegrable_ae hmeas_b (FTCFilter.finiteAt_inner lb) hub hvb

Result:
ι : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
ca cb : E
la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝² : FTCFilter a la la'
inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la' μ
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb' μ
ha_lim : Tendsto f (la' ⊓ ae μ) (𝓝 ca)
hb_lim : Tendsto f (lb' ⊓ ae μ) (𝓝 cb)
hua : Tendsto ua lt la
hva : Tendsto va lt la
hub : Tendsto ub lt lb
hvb : Tendsto vb lt lb
this✝ : la'.IsMeasurablyGenerated
this : lb'.IsMeasurablyGenerated
A : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ua t) (va t)
A' : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ a (ua t)
B : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ub t) (vb t)
⊢ (fun x =>
      -(∫ (x : ℝ) in ua x..va x, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua x..va x, ca ∂μ) +
        (∫ (x : ℝ) in ub x..vb x, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ub x..vb x, cb ∂μ)) =ᶠ[lt]
    fun t =>
    ∫ (x : ℝ) in va t..vb t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..ub t, f x ∂μ -
      (∫ (x : ℝ) in ub t..vb t, cb ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..va t, ca ∂μ)

Proof state:
ι : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
ca cb : E
la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝² : FTCFilter a la la'
inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la' μ
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb' μ
ha_lim : Tendsto f (la' ⊓ ae μ) (𝓝 ca)
hb_lim : Tendsto f (lb' ⊓ ae μ) (𝓝 cb)
hua : Tendsto ua lt la
hva : Tendsto va lt la
hub : Tendsto ub lt lb
hvb : Tendsto vb lt lb
this : la'.IsMeasurablyGenerated
⊢ (fun t =>
      ∫ (x : ℝ) in va t..vb t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..ub t, f x ∂μ -
        (∫ (x : ℝ) in ub t..vb t, cb ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..va t, ca ∂μ)) =o[lt]
    fun t => ‖∫ (x : ℝ) in ua t..va t, 1 ∂μ‖ + ‖∫ (x : ℝ) in ub t..vb t, 1 ∂μ‖

Tactic:
haveI := FTCFilter.meas_gen lb

Result:
ι : Type u_1
E : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
ca cb : E
la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝² : FTCFilter a la la'
inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la' μ
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb' μ
ha_lim : Tendsto f (la' ⊓ ae μ) (𝓝 ca)
hb_lim : Tendsto f (lb' ⊓ ae μ) (𝓝 cb)
hua : Tendsto ua lt la
hva : Tendsto va lt la
hub : Tendsto ub lt lb
hvb : Tendsto vb lt lb
this✝ : la'.IsMeasurablyGenerated
this : lb'.IsMeasurablyGenerated
⊢ (fun t =>
      ∫ (x : ℝ) in va t..vb t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..ub t, f x ∂μ -
        (∫ (x : ℝ) in ub t..vb t, cb ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..va t, ca ∂μ)) =o[lt]
    fun t => ‖∫ (x : ℝ) in ua t..va t, 1 ∂μ‖ + ‖∫ (x : ℝ) in ub t..vb t, 1 ∂μ‖