-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Matching.lean
lemma IsAlternating.sup_edge {u x : V} (halt : G.IsAlternating G') (hnadj : ¬G'.Adj u x)
    (hu' : ∀ u', u' ≠ u → G.Adj x u' → G'.Adj x u')
    (hx' : ∀ x', x' ≠ x → G.Adj x' u → G'.Adj x' u) : (G ⊔ edge u x).IsAlternating G'

Proof state:
case neg.inr.inr
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
u x : V
halt : G.IsAlternating G'
hnadj : ¬G'.Adj u x
hu' : ∀ (u' : V), u' ≠ u → G.Adj x u' → G'.Adj x u'
hx' : ∀ (x' : V), x' ≠ x → G.Adj x' u → G'.Adj x' u
hadj : ¬G.Adj u x
v w w' : V
hww' : w ≠ w'
hr : (v = u ∧ w = x ∨ v = x ∧ w = u) ∧ v ≠ w
h2 : (v = u ∧ w' = x ∨ v = x ∧ w' = u) ∧ v ≠ w'
⊢ G'.Adj v w ↔ ¬G'.Adj v w'

Tactic:
aesop

Result:
no goals

Proof state:
case neg
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
u x : V
halt : G.IsAlternating G'
hnadj : ¬G'.Adj u x
hu' : ∀ (u' : V), u' ≠ u → G.Adj x u' → G'.Adj x u'
hx' : ∀ (x' : V), x' ≠ x → G.Adj x' u → G'.Adj x' u
hadj : ¬G.Adj u x
v w w' : V
hww' : w ≠ w'
hvw : G.Adj v w ∨ (v = u ∧ w = x ∨ v = x ∧ w = u) ∧ v ≠ w
hvv' : G.Adj v w' ∨ (v = u ∧ w' = x ∨ v = x ∧ w' = u) ∧ v ≠ w'
⊢ G'.Adj v w ↔ ¬G'.Adj v w'

Tactic:
obtain hl | hr := hvw <;> obtain h1 | h2 := hvv'

Result:
case neg.inl.inl
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
u x : V
halt : G.IsAlternating G'
hnadj : ¬G'.Adj u x
hu' : ∀ (u' : V), u' ≠ u → G.Adj x u' → G'.Adj x u'
hx' : ∀ (x' : V), x' ≠ x → G.Adj x' u → G'.Adj x' u
hadj : ¬G.Adj u x
v w w' : V
hww' : w ≠ w'
hl : G.Adj v w
h1 : G.Adj v w'
⊢ G'.Adj v w ↔ ¬G'.Adj v w'

case neg.inl.inr
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
u x : V
halt : G.IsAlternating G'
hnadj : ¬G'.Adj u x
hu' : ∀ (u' : V), u' ≠ u → G.Adj x u' → G'.Adj x u'
hx' : ∀ (x' : V), x' ≠ x → G.Adj x' u → G'.Adj x' u
hadj : ¬G.Adj u x
v w w' : V
hww' : w ≠ w'
hl : G.Adj v w
h2 : (v = u ∧ w' = x ∨ v = x ∧ w' = u) ∧ v ≠ w'
⊢ G'.Adj v w ↔ ¬G'.Adj v w'

case neg.inr.inl
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
u x : V
halt : G.IsAlternating G'
hnadj : ¬G'.Adj u x
hu' : ∀ (u' : V), u' ≠ u → G.Adj x u' → G'.Adj x u'
hx' : ∀ (x' : V), x' ≠ x → G.Adj x' u → G'.Adj x' u
hadj : ¬G.Adj u x
v w w' : V
hww' : w ≠ w'
hr : (v = u ∧ w = x ∨ v = x ∧ w = u) ∧ v ≠ w
h1 : G.Adj v w'
⊢ G'.Adj v w ↔ ¬G'.Adj v w'

case neg.inr.inr
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
u x : V
halt : G.IsAlternating G'
hnadj : ¬G'.Adj u x
hu' : ∀ (u' : V), u' ≠ u → G.Adj x u' → G'.Adj x u'
hx' : ∀ (x' : V), x' ≠ x → G.Adj x' u → G'.Adj x' u
hadj : ¬G.Adj u x
v w w' : V
hww' : w ≠ w'
hr : (v = u ∧ w = x ∨ v = x ∧ w = u) ∧ v ≠ w
h2 : (v = u ∧ w' = x ∨ v = x ∧ w' = u) ∧ v ≠ w'
⊢ G'.Adj v w ↔ ¬G'.Adj v w'

Proof state:
case neg
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
u x : V
halt : G.IsAlternating G'
hnadj : ¬G'.Adj u x
hu' : ∀ (u' : V), u' ≠ u → G.Adj x u' → G'.Adj x u'
hx' : ∀ (x' : V), x' ≠ x → G.Adj x' u → G'.Adj x' u
hadj : ¬G.Adj u x
⊢ (G ⊔ edge u x).IsAlternating G'

Tactic:
intro v w w' hww' hvw hvv'

Result:
case neg
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
u x : V
halt : G.IsAlternating G'
hnadj : ¬G'.Adj u x
hu' : ∀ (u' : V), u' ≠ u → G.Adj x u' → G'.Adj x u'
hx' : ∀ (x' : V), x' ≠ x → G.Adj x' u → G'.Adj x' u
hadj : ¬G.Adj u x
v w w' : V
hww' : w ≠ w'
hvw : (G ⊔ edge u x).Adj v w
hvv' : (G ⊔ edge u x).Adj v w'
⊢ G'.Adj v w ↔ ¬G'.Adj v w'

Proof state:
case neg.inl.inl
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
u x : V
halt : G.IsAlternating G'
hnadj : ¬G'.Adj u x
hu' : ∀ (u' : V), u' ≠ u → G.Adj x u' → G'.Adj x u'
hx' : ∀ (x' : V), x' ≠ x → G.Adj x' u → G'.Adj x' u
hadj : ¬G.Adj u x
v w w' : V
hww' : w ≠ w'
hl : G.Adj v w
h1 : G.Adj v w'
⊢ G'.Adj v w ↔ ¬G'.Adj v w'

Tactic:
exact halt hww' hl h1

Result:
no goals

Proof state:
case pos
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
u x : V
halt : G.IsAlternating G'
hnadj : ¬G'.Adj u x
hu' : ∀ (u' : V), u' ≠ u → G.Adj x u' → G'.Adj x u'
hx' : ∀ (x' : V), x' ≠ x → G.Adj x' u → G'.Adj x' u
hadj : G.Adj u x
⊢ (G ⊔ edge u x).IsAlternating G'

Tactic:
rwa [sup_edge_of_adj G hadj]

Result:
no goals

Proof state:
case neg
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
u x : V
halt : G.IsAlternating G'
hnadj : ¬G'.Adj u x
hu' : ∀ (u' : V), u' ≠ u → G.Adj x u' → G'.Adj x u'
hx' : ∀ (x' : V), x' ≠ x → G.Adj x' u → G'.Adj x' u
hadj : ¬G.Adj u x
v w w' : V
hww' : w ≠ w'
hvw : (G ⊔ edge u x).Adj v w
hvv' : (G ⊔ edge u x).Adj v w'
⊢ G'.Adj v w ↔ ¬G'.Adj v w'

Tactic:
simp only [sup_adj, edge_adj] at hvw hvv'

Result:
case neg
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
u x : V
halt : G.IsAlternating G'
hnadj : ¬G'.Adj u x
hu' : ∀ (u' : V), u' ≠ u → G.Adj x u' → G'.Adj x u'
hx' : ∀ (x' : V), x' ≠ x → G.Adj x' u → G'.Adj x' u
hadj : ¬G.Adj u x
v w w' : V
hww' : w ≠ w'
hvw : G.Adj v w ∨ (v = u ∧ w = x ∨ v = x ∧ w = u) ∧ v ≠ w
hvv' : G.Adj v w' ∨ (v = u ∧ w' = x ∨ v = x ∧ w' = u) ∧ v ≠ w'
⊢ G'.Adj v w ↔ ¬G'.Adj v w'

Proof state:
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
u x : V
halt : G.IsAlternating G'
hnadj : ¬G'.Adj u x
hu' : ∀ (u' : V), u' ≠ u → G.Adj x u' → G'.Adj x u'
hx' : ∀ (x' : V), x' ≠ x → G.Adj x' u → G'.Adj x' u
⊢ (G ⊔ edge u x).IsAlternating G'

Tactic:
by_cases hadj : G.Adj u x

Result:
case pos
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
u x : V
halt : G.IsAlternating G'
hnadj : ¬G'.Adj u x
hu' : ∀ (u' : V), u' ≠ u → G.Adj x u' → G'.Adj x u'
hx' : ∀ (x' : V), x' ≠ x → G.Adj x' u → G'.Adj x' u
hadj : G.Adj u x
⊢ (G ⊔ edge u x).IsAlternating G'

case neg
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
u x : V
halt : G.IsAlternating G'
hnadj : ¬G'.Adj u x
hu' : ∀ (u' : V), u' ≠ u → G.Adj x u' → G'.Adj x u'
hx' : ∀ (x' : V), x' ≠ x → G.Adj x' u → G'.Adj x' u
hadj : ¬G.Adj u x
⊢ (G ⊔ edge u x).IsAlternating G'

Proof state:
case neg.inl.inr.inl.intro
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
u x : V
halt : G.IsAlternating G'
hnadj : ¬G'.Adj u x
hu' : ∀ (u' : V), u' ≠ u → G.Adj x u' → G'.Adj x u'
hx' : ∀ (x' : V), x' ≠ x → G.Adj x' u → G'.Adj x' u
hadj : ¬G.Adj u x
v w w' : V
hww' : w ≠ w'
hl : G.Adj v w
h2 : (v = u ∧ w' = x ∨ v = x ∧ w' = u) ∧ v ≠ w'
h2l1 : v = u
h2l2 : w' = x
⊢ G'.Adj v w

Tactic:
subst h2l1 h2l2

Result:
case neg.inl.inr.inl.intro
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
halt : G.IsAlternating G'
v w w' : V
hww' : w ≠ w'
hl : G.Adj v w
hnadj : ¬G'.Adj v w'
hu' : ∀ (u' : V), u' ≠ v → G.Adj w' u' → G'.Adj w' u'
hx' : ∀ (x' : V), x' ≠ w' → G.Adj x' v → G'.Adj x' v
hadj : ¬G.Adj v w'
h2 : (v = v ∧ w' = w' ∨ v = w' ∧ w' = v) ∧ v ≠ w'
⊢ G'.Adj v w

Proof state:
case neg.inl.inr.inr.intro
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
u x : V
halt : G.IsAlternating G'
hnadj : ¬G'.Adj u x
hu' : ∀ (u' : V), u' ≠ u → G.Adj x u' → G'.Adj x u'
hx' : ∀ (x' : V), x' ≠ x → G.Adj x' u → G'.Adj x' u
hadj : ¬G.Adj u x
v w w' : V
hww' : w ≠ w'
hl : G.Adj v w
h2 : (v = u ∧ w' = x ∨ v = x ∧ w' = u) ∧ v ≠ w'
h2r1 : v = x
h2r2 : w' = u
⊢ G'.Adj v w

Tactic:
aesop

Result:
no goals

Proof state:
case neg.inr.inl
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
u x : V
halt : G.IsAlternating G'
hnadj : ¬G'.Adj u x
hu' : ∀ (u' : V), u' ≠ u → G.Adj x u' → G'.Adj x u'
hx' : ∀ (x' : V), x' ≠ x → G.Adj x' u → G'.Adj x' u
hadj : ¬G.Adj u x
v w w' : V
hww' : w ≠ w'
hr : (v = u ∧ w = x ∨ v = x ∧ w = u) ∧ v ≠ w
h1 : G.Adj v w'
⊢ G'.Adj u x ↔ ¬G'.Adj v w'

Tactic:
simp only [hnadj, false_iff, not_not]

Result:
case neg.inr.inl
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
u x : V
halt : G.IsAlternating G'
hnadj : ¬G'.Adj u x
hu' : ∀ (u' : V), u' ≠ u → G.Adj x u' → G'.Adj x u'
hx' : ∀ (x' : V), x' ≠ x → G.Adj x' u → G'.Adj x' u
hadj : ¬G.Adj u x
v w w' : V
hww' : w ≠ w'
hr : (v = u ∧ w = x ∨ v = x ∧ w = u) ∧ v ≠ w
h1 : G.Adj v w'
⊢ G'.Adj v w'

Proof state:
V : Type u_1
G G' : SimpleGraph V
u x : V
halt : G.IsAlternating G'
hnadj : ¬G'.Adj u x
hu' : ∀ (u' : V), u' ≠ u → G.Adj x u' → G'.Adj x u'
hx' : ∀ (x' : V), x' ≠ x → G.Adj x' u → G'.Adj x' u
hadj : ¬G.Adj u x
v w w' : V
hww' : w ≠ w'
hr : (v = u ∧ w = x ∨ v = x ∧ w = u) ∧ v ≠ w
h1 : G.Adj v w'
⊢ s(v, w) = s(u, x)

Tactic:
aesop

Result:
no goals