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theorem inf_iSup_genEigenspace [FiniteDimensional K V] (h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p) (k : ℕ∞) :
    p ⊓ ⨆ μ, f.genEigenspace μ k = ⨆ μ, p ⊓ f.genEigenspace μ k

Proof state:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
p : Submodule K V
f : End K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
k : ℕ∞
m : K →₀ V
hm₂ : ∀ (i : K), m i ∈ (f.genEigenspace i) k
hm₀ : (m.sum fun _i xi => xi) ∈ p
hm₁ : (m.sum fun _i xi => xi) ∈ ⨆ μ, (f.genEigenspace μ) k
μ : K
hμ : μ ∈ m.support
l : K → ℕ
hlk : ∀ (i : K), ↑(l i) ≤ k
hl : ∀ (i : K), m i ∈ LinearMap.ker ((f - i • 1) ^ l i)
l₀ : ℕ := m.support.sup l
h_comm : ∀ (μ₁ μ₂ : K), Commute ((f - (algebraMap K (End K V)) μ₁) ^ l₀) ((f - (algebraMap K (End K V)) μ₂) ^ l₀)
g : End K V := (m.support.erase μ).noncommProd (fun μ₁ => (f - (algebraMap K (End K V)) μ₁) ^ l₀) ⋯
hfg : Commute f g
hg₀ : g (m.sum fun _μ mμ => mμ) = g (m μ)
hg₁ : MapsTo ⇑g ↑p ↑p
hg₂ : MapsTo ⇑g ↑((f.genEigenspace μ) k) ↑((f.genEigenspace μ) k)
⊢ InjOn ⇑g ↑((f.genEigenspace μ) k)

Tactic:
apply LinearMap.injOn_of_disjoint_ker (subset_refl _)

Result:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
p : Submodule K V
f : End K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
k : ℕ∞
m : K →₀ V
hm₂ : ∀ (i : K), m i ∈ (f.genEigenspace i) k
hm₀ : (m.sum fun _i xi => xi) ∈ p
hm₁ : (m.sum fun _i xi => xi) ∈ ⨆ μ, (f.genEigenspace μ) k
μ : K
hμ : μ ∈ m.support
l : K → ℕ
hlk : ∀ (i : K), ↑(l i) ≤ k
hl : ∀ (i : K), m i ∈ LinearMap.ker ((f - i • 1) ^ l i)
l₀ : ℕ := m.support.sup l
h_comm : ∀ (μ₁ μ₂ : K), Commute ((f - (algebraMap K (End K V)) μ₁) ^ l₀) ((f - (algebraMap K (End K V)) μ₂) ^ l₀)
g : End K V := (m.support.erase μ).noncommProd (fun μ₁ => (f - (algebraMap K (End K V)) μ₁) ^ l₀) ⋯
hfg : Commute f g
hg₀ : g (m.sum fun _μ mμ => mμ) = g (m μ)
hg₁ : MapsTo ⇑g ↑p ↑p
hg₂ : MapsTo ⇑g ↑((f.genEigenspace μ) k) ↑((f.genEigenspace μ) k)
⊢ Disjoint ((f.genEigenspace μ) k) (LinearMap.ker g)

Proof state:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
p : Submodule K V
f : End K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
k : ℕ∞
m : K →₀ V
hm₂ : ∀ (i : K), m i ∈ (f.genEigenspace i) k
hm₀ : (m.sum fun _i xi => xi) ∈ p
hm₁ : (m.sum fun _i xi => xi) ∈ ⨆ μ, (f.genEigenspace μ) k
μ : K
hμ : μ ∈ m.support
l : K → ℕ
hlk : ∀ (i : K), ↑(l i) ≤ k
hl : ∀ (i : K), m i ∈ LinearMap.ker ((f - i • 1) ^ l i)
l₀ : ℕ := m.support.sup l
h_comm : ∀ (μ₁ μ₂ : K), Commute ((f - (algebraMap K (End K V)) μ₁) ^ l₀) ((f - (algebraMap K (End K V)) μ₂) ^ l₀)
g : End K V := (m.support.erase μ).noncommProd (fun μ₁ => (f - (algebraMap K (End K V)) μ₁) ^ l₀) ⋯
hfg : Commute f g
μ' : K
hμ' : μ' ∈ m.support
hμμ' : ¬μ' = μ
⊢ m μ' ∈ (f.genEigenspace μ') ↑l₀

Tactic:
simp_rw [← End.mem_genEigenspace_nat] at hl

Result:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
p : Submodule K V
f : End K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
k : ℕ∞
m : K →₀ V
hm₂ : ∀ (i : K), m i ∈ (f.genEigenspace i) k
hm₀ : (m.sum fun _i xi => xi) ∈ p
hm₁ : (m.sum fun _i xi => xi) ∈ ⨆ μ, (f.genEigenspace μ) k
μ : K
hμ : μ ∈ m.support
l : K → ℕ
hlk : ∀ (i : K), ↑(l i) ≤ k
l₀ : ℕ := m.support.sup l
h_comm : ∀ (μ₁ μ₂ : K), Commute ((f - (algebraMap K (End K V)) μ₁) ^ l₀) ((f - (algebraMap K (End K V)) μ₂) ^ l₀)
g : End K V := (m.support.erase μ).noncommProd (fun μ₁ => (f - (algebraMap K (End K V)) μ₁) ^ l₀) ⋯
hfg : Commute f g
μ' : K
hμ' : μ' ∈ m.support
hμμ' : ¬μ' = μ
hl : ∀ (i : K), m i ∈ (f.genEigenspace i) ↑(l i)
⊢ m μ' ∈ (f.genEigenspace μ') ↑l₀

Proof state:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
p : Submodule K V
f : End K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
k : ℕ∞
m : K →₀ V
hm₂ : ∀ (i : K), m i ∈ (f.genEigenspace i) k
hm₀ : (m.sum fun _i xi => xi) ∈ p
hm₁ : (m.sum fun _i xi => xi) ∈ ⨆ μ, (f.genEigenspace μ) k
μ : K
hμ : μ ∈ m.support
l : K → ℕ
hlk : ∀ (i : K), ↑(l i) ≤ k
hl : ∀ (i : K), m i ∈ LinearMap.ker ((f - i • 1) ^ l i)
l₀ : ℕ := m.support.sup l
h_comm : ∀ (μ₁ μ₂ : K), Commute ((f - (algebraMap K (End K V)) μ₁) ^ l₀) ((f - (algebraMap K (End K V)) μ₂) ^ l₀)
g : End K V := (m.support.erase μ).noncommProd (fun μ₁ => (f - (algebraMap K (End K V)) μ₁) ^ l₀) ⋯
hfg : Commute f g
this : ∀ μ' ∈ m.support, g (m μ') = if μ' = μ then g (m μ) else 0
⊢ g (m.sum fun _μ mμ => mμ) = g (m μ)

Tactic:
rw [map_finsupp_sum, Finsupp.sum_congr (g2 := fun μ' _ ↦ if μ' = μ then g (m μ) else 0) this,
  Finsupp.sum_ite_eq', if_pos hμ]

Result:
no goals

Proof state:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
p : Submodule K V
f : End K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
k : ℕ∞
m : K →₀ V
hm₂ : ∀ (i : K), m i ∈ (f.genEigenspace i) k
hm₀ : (m.sum fun _i xi => xi) ∈ p
hm₁ : (m.sum fun _i xi => xi) ∈ ⨆ μ, (f.genEigenspace μ) k
μ : K
hμ : μ ∈ m.support
l : K → ℕ
hlk : ∀ (i : K), ↑(l i) ≤ k
hl : ∀ (i : K), m i ∈ LinearMap.ker ((f - i • 1) ^ l i)
l₀ : ℕ := m.support.sup l
h_comm : ∀ (μ₁ μ₂ : K), Commute ((f - (algebraMap K (End K V)) μ₁) ^ l₀) ((f - (algebraMap K (End K V)) μ₂) ^ l₀)
g : End K V := (m.support.erase μ).noncommProd (fun μ₁ => (f - (algebraMap K (End K V)) μ₁) ^ l₀) ⋯
hfg : Commute f g
hg₀ : g (m.sum fun _μ mμ => mμ) = g (m μ)
μ' : K
x✝ : μ' ∈ m.support.erase μ
⊢ MapsTo ⇑(f - (algebraMap K (End K V)) μ') ↑p ↑p

Tactic:
intro x hx

Result:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
p : Submodule K V
f : End K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
k : ℕ∞
m : K →₀ V
hm₂ : ∀ (i : K), m i ∈ (f.genEigenspace i) k
hm₀ : (m.sum fun _i xi => xi) ∈ p
hm₁ : (m.sum fun _i xi => xi) ∈ ⨆ μ, (f.genEigenspace μ) k
μ : K
hμ : μ ∈ m.support
l : K → ℕ
hlk : ∀ (i : K), ↑(l i) ≤ k
hl : ∀ (i : K), m i ∈ LinearMap.ker ((f - i • 1) ^ l i)
l₀ : ℕ := m.support.sup l
h_comm : ∀ (μ₁ μ₂ : K), Commute ((f - (algebraMap K (End K V)) μ₁) ^ l₀) ((f - (algebraMap K (End K V)) μ₂) ^ l₀)
g : End K V := (m.support.erase μ).noncommProd (fun μ₁ => (f - (algebraMap K (End K V)) μ₁) ^ l₀) ⋯
hfg : Commute f g
hg₀ : g (m.sum fun _μ mμ => mμ) = g (m μ)
μ' : K
x✝ : μ' ∈ m.support.erase μ
x : V
hx : x ∈ ↑p
⊢ (f - (algebraMap K (End K V)) μ') x ∈ ↑p

Proof state:
case pos
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
p : Submodule K V
f : End K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
k : ℕ∞
m : K →₀ V
hm₂ : ∀ (i : K), m i ∈ (f.genEigenspace i) k
hm₀ : (m.sum fun _i xi => xi) ∈ p
hm₁ : (m.sum fun _i xi => xi) ∈ ⨆ μ, (f.genEigenspace μ) k
μ : K
hμ : μ ∈ m.support
hm₂_aux : ∀ (i : K), m i ∈ (f.genEigenspace i) k
⊢ m μ ∈ p

Tactic:
simp_rw [Module.End.mem_genEigenspace] at hm₂_aux

Result:
case pos
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
p : Submodule K V
f : End K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
k : ℕ∞
m : K →₀ V
hm₂ : ∀ (i : K), m i ∈ (f.genEigenspace i) k
hm₀ : (m.sum fun _i xi => xi) ∈ p
hm₁ : (m.sum fun _i xi => xi) ∈ ⨆ μ, (f.genEigenspace μ) k
μ : K
hμ : μ ∈ m.support
hm₂_aux : ∀ (i : K), ∃ l, ↑l ≤ k ∧ m i ∈ LinearMap.ker ((f - i • 1) ^ l)
⊢ m μ ∈ p