-- Mathlib/CategoryTheory/Localization/Construction.lean
theorem morphismProperty_is_top (P : MorphismProperty W.Localization)
    [P.IsStableUnderComposition] (hP₁ : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y), P (W.Q.map f))
    (hP₂ : ∀ ⦃X Y : C⦄ (w : X ⟶ Y) (hw : W w), P (wInv w hw)) :
    P = ⊤

Proof state:
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
P : MorphismProperty W.Localization
inst✝ : P.IsStableUnderComposition
hP₁ : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y), P (W.Q.map f)
hP₂ : ∀ ⦃X Y : C⦄ (w : X ⟶ Y) (hw : W w), P (wInv w hw)
X Y : W.Localization
f : X ⟶ Y
a✝ : ⊤ f
G : Paths (LocQuiver W) ⥤ W.Localization := Quotient.functor (relations W)
this✝ : G.Full
this : ∀ (X₁ X₂ : Paths (LocQuiver W)) (f : X₁ ⟶ X₂), P (G.map f)
⊢ P f

Tactic:
rcases X with ⟨⟨X⟩⟩

Result:
case mk.mk
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
P : MorphismProperty W.Localization
inst✝ : P.IsStableUnderComposition
hP₁ : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y), P (W.Q.map f)
hP₂ : ∀ ⦃X Y : C⦄ (w : X ⟶ Y) (hw : W w), P (wInv w hw)
Y : W.Localization
G : Paths (LocQuiver W) ⥤ W.Localization := Quotient.functor (relations W)
this✝ : G.Full
this : ∀ (X₁ X₂ : Paths (LocQuiver W)) (f : X₁ ⟶ X₂), P (G.map f)
X : C
f : { as := { obj := X } } ⟶ Y
a✝ : ⊤ f
⊢ P f

Proof state:
case h.h.h.a.mp
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
P : MorphismProperty W.Localization
inst✝ : P.IsStableUnderComposition
hP₁ : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y), P (W.Q.map f)
hP₂ : ∀ ⦃X Y : C⦄ (w : X ⟶ Y) (hw : W w), P (wInv w hw)
X Y : W.Localization
f : X ⟶ Y
⊢ P f → ⊤ f

Tactic:
intro

Result:
case h.h.h.a.mp
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
P : MorphismProperty W.Localization
inst✝ : P.IsStableUnderComposition
hP₁ : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y), P (W.Q.map f)
hP₂ : ∀ ⦃X Y : C⦄ (w : X ⟶ Y) (hw : W w), P (wInv w hw)
X Y : W.Localization
f : X ⟶ Y
a✝ : P f
⊢ ⊤ f

Proof state:
case h.h.h.a.mpr
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
P : MorphismProperty W.Localization
inst✝ : P.IsStableUnderComposition
hP₁ : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y), P (W.Q.map f)
hP₂ : ∀ ⦃X Y : C⦄ (w : X ⟶ Y) (hw : W w), P (wInv w hw)
X Y : W.Localization
f : X ⟶ Y
a✝ : ⊤ f
G : Paths (LocQuiver W) ⥤ W.Localization := Quotient.functor (relations W)
this : G.Full
X₁ X₂ : Paths (LocQuiver W)
p : X₁ ⟶ X₂
⊢ P (G.map p)

Tactic:
induction' p with X₂ X₃ p g hp

Result:
case h.h.h.a.mpr.nil
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
P : MorphismProperty W.Localization
inst✝ : P.IsStableUnderComposition
hP₁ : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y), P (W.Q.map f)
hP₂ : ∀ ⦃X Y : C⦄ (w : X ⟶ Y) (hw : W w), P (wInv w hw)
X Y : W.Localization
f : X ⟶ Y
a✝ : ⊤ f
G : Paths (LocQuiver W) ⥤ W.Localization := Quotient.functor (relations W)
this : G.Full
X₁ X₂ : Paths (LocQuiver W)
⊢ P (G.map Quiver.Path.nil)

case h.h.h.a.mpr.cons
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
P : MorphismProperty W.Localization
inst✝ : P.IsStableUnderComposition
hP₁ : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y), P (W.Q.map f)
hP₂ : ∀ ⦃X Y : C⦄ (w : X ⟶ Y) (hw : W w), P (wInv w hw)
X Y : W.Localization
f : X ⟶ Y
a✝ : ⊤ f
G : Paths (LocQuiver W) ⥤ W.Localization := Quotient.functor (relations W)
this : G.Full
X₁ X₂✝ X₂ X₃ : Paths (LocQuiver W)
p : Quiver.Path X₁ X₂
g : X₂ ⟶ X₃
hp : P (G.map p)
⊢ P (G.map (p.cons g))

Proof state:
case mk.mk.mk.mk
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
P : MorphismProperty W.Localization
inst✝ : P.IsStableUnderComposition
hP₁ : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y), P (W.Q.map f)
hP₂ : ∀ ⦃X Y : C⦄ (w : X ⟶ Y) (hw : W w), P (wInv w hw)
G : Paths (LocQuiver W) ⥤ W.Localization := Quotient.functor (relations W)
this✝ : G.Full
this : ∀ (X₁ X₂ : Paths (LocQuiver W)) (f : X₁ ⟶ X₂), P (G.map f)
X Y : C
f : { as := { obj := X } } ⟶ { as := { obj := Y } }
a✝ : ⊤ f
⊢ P f

Tactic:
simpa only [Functor.map_preimage] using this _ _ (G.preimage f)

Result:
no goals

Proof state:
case h.h.h.a.mpr
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
P : MorphismProperty W.Localization
inst✝ : P.IsStableUnderComposition
hP₁ : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y), P (W.Q.map f)
hP₂ : ∀ ⦃X Y : C⦄ (w : X ⟶ Y) (hw : W w), P (wInv w hw)
X Y : W.Localization
f : X ⟶ Y
a✝ : ⊤ f
⊢ P f

Tactic:
let G : _ ⥤ W.Localization := Quotient.functor _

Result:
case h.h.h.a.mpr
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
P : MorphismProperty W.Localization
inst✝ : P.IsStableUnderComposition
hP₁ : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y), P (W.Q.map f)
hP₂ : ∀ ⦃X Y : C⦄ (w : X ⟶ Y) (hw : W w), P (wInv w hw)
X Y : W.Localization
f : X ⟶ Y
a✝ : ⊤ f
G : Paths (LocQuiver W) ⥤ W.Localization := Quotient.functor (relations W)
⊢ P f

Proof state:
case mk.mk
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
P : MorphismProperty W.Localization
inst✝ : P.IsStableUnderComposition
hP₁ : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y), P (W.Q.map f)
hP₂ : ∀ ⦃X Y : C⦄ (w : X ⟶ Y) (hw : W w), P (wInv w hw)
Y : W.Localization
G : Paths (LocQuiver W) ⥤ W.Localization := Quotient.functor (relations W)
this✝ : G.Full
this : ∀ (X₁ X₂ : Paths (LocQuiver W)) (f : X₁ ⟶ X₂), P (G.map f)
X : C
f : { as := { obj := X } } ⟶ Y
a✝ : ⊤ f
⊢ P f

Tactic:
rcases Y with ⟨⟨Y⟩⟩

Result:
case mk.mk.mk.mk
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
P : MorphismProperty W.Localization
inst✝ : P.IsStableUnderComposition
hP₁ : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y), P (W.Q.map f)
hP₂ : ∀ ⦃X Y : C⦄ (w : X ⟶ Y) (hw : W w), P (wInv w hw)
G : Paths (LocQuiver W) ⥤ W.Localization := Quotient.functor (relations W)
this✝ : G.Full
this : ∀ (X₁ X₂ : Paths (LocQuiver W)) (f : X₁ ⟶ X₂), P (G.map f)
X Y : C
f : { as := { obj := X } } ⟶ { as := { obj := Y } }
a✝ : ⊤ f
⊢ P f

Proof state:
case h.h.h.a.mpr
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
P : MorphismProperty W.Localization
inst✝ : P.IsStableUnderComposition
hP₁ : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y), P (W.Q.map f)
hP₂ : ∀ ⦃X Y : C⦄ (w : X ⟶ Y) (hw : W w), P (wInv w hw)
X Y : W.Localization
f : X ⟶ Y
a✝ : ⊤ f
G : Paths (LocQuiver W) ⥤ W.Localization := Quotient.functor (relations W)
⊢ P f

Tactic:
haveI : G.Full := Quotient.full_functor _

Result:
case h.h.h.a.mpr
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
P : MorphismProperty W.Localization
inst✝ : P.IsStableUnderComposition
hP₁ : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y), P (W.Q.map f)
hP₂ : ∀ ⦃X Y : C⦄ (w : X ⟶ Y) (hw : W w), P (wInv w hw)
X Y : W.Localization
f : X ⟶ Y
a✝ : ⊤ f
G : Paths (LocQuiver W) ⥤ W.Localization := Quotient.functor (relations W)
this : G.Full
⊢ P f

Proof state:
case h.h.h.a.mpr
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
P : MorphismProperty W.Localization
inst✝ : P.IsStableUnderComposition
hP₁ : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y), P (W.Q.map f)
hP₂ : ∀ ⦃X Y : C⦄ (w : X ⟶ Y) (hw : W w), P (wInv w hw)
X Y : W.Localization
f : X ⟶ Y
⊢ ⊤ f → P f

Tactic:
intro

Result:
case h.h.h.a.mpr
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
P : MorphismProperty W.Localization
inst✝ : P.IsStableUnderComposition
hP₁ : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y), P (W.Q.map f)
hP₂ : ∀ ⦃X Y : C⦄ (w : X ⟶ Y) (hw : W w), P (wInv w hw)
X Y : W.Localization
f : X ⟶ Y
a✝ : ⊤ f
⊢ P f

Proof state:
case h.h.h.a.mpr.cons.inr.mk
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
P : MorphismProperty W.Localization
inst✝ : P.IsStableUnderComposition
hP₁ : ∀ ⦃X Y : C⦄ (f : X ⟶ Y), P (W.Q.map f)
hP₂ : ∀ ⦃X Y : C⦄ (w : X ⟶ Y) (hw : W w), P (wInv w hw)
X Y : W.Localization
f : X ⟶ Y
a✝ : ⊤ f
G : Paths (LocQuiver W) ⥤ W.Localization := Quotient.functor (relations W)
this : G.Full
X₁ X₂✝ X₂ X₃ : Paths (LocQuiver W)
p : Quiver.Path X₁ X₂
hp : P (G.map p)
p' : X₁ ⟶ X₂ := p
g : X₃.obj ⟶ X₂.obj
hg : W g
⊢ P (G.map (Quiver.Hom.toPath (Sum.inr ⟨g, hg⟩)))

Tactic:
apply hP₂

Result:
no goals