-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/ContinuousOfBounded.lean
theorem LinearMap.continuousAt_zero_of_locally_bounded (f : E →ₛₗ[σ] F)
    (hf : ∀ s, IsVonNBounded 𝕜 s → IsVonNBounded 𝕜' (f '' s)) : ContinuousAt f 0

Proof state:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : UniformSpace E
inst✝⁹ : UniformAddGroup E
inst✝⁸ : AddCommGroup F
inst✝⁷ : UniformSpace F
inst✝⁶ : FirstCountableTopology E
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝² : RCLike 𝕜'
inst✝¹ : Module 𝕜' F
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜' F
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
f : E →ₛₗ[σ] F
hf : ∀ (s : Set E), IsVonNBounded 𝕜 s → IsVonNBounded 𝕜' (⇑f '' s)
h : ¬ContinuousAt (⇑f) 0
b : ℕ → Set E
bE1 : ∀ (i : ℕ), b i ∈ 𝓝 0 ∧ Balanced 𝕜 (b i)
bE : (𝓝 0).HasAntitoneBasis fun i => b i
⊢ (𝓝 0).HasBasis (fun x => x ≠ 0) fun n => (↑n)⁻¹ • b n

Tactic:
refine bE.1.to_hasBasis ?_ ?_

Result:
case refine_1
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : UniformSpace E
inst✝⁹ : UniformAddGroup E
inst✝⁸ : AddCommGroup F
inst✝⁷ : UniformSpace F
inst✝⁶ : FirstCountableTopology E
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝² : RCLike 𝕜'
inst✝¹ : Module 𝕜' F
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜' F
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
f : E →ₛₗ[σ] F
hf : ∀ (s : Set E), IsVonNBounded 𝕜 s → IsVonNBounded 𝕜' (⇑f '' s)
h : ¬ContinuousAt (⇑f) 0
b : ℕ → Set E
bE1 : ∀ (i : ℕ), b i ∈ 𝓝 0 ∧ Balanced 𝕜 (b i)
bE : (𝓝 0).HasAntitoneBasis fun i => b i
⊢ ∀ (i : ℕ), True → ∃ i', i' ≠ 0 ∧ (↑i')⁻¹ • b i' ⊆ b i

case refine_2
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : UniformSpace E
inst✝⁹ : UniformAddGroup E
inst✝⁸ : AddCommGroup F
inst✝⁷ : UniformSpace F
inst✝⁶ : FirstCountableTopology E
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝² : RCLike 𝕜'
inst✝¹ : Module 𝕜' F
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜' F
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
f : E →ₛₗ[σ] F
hf : ∀ (s : Set E), IsVonNBounded 𝕜 s → IsVonNBounded 𝕜' (⇑f '' s)
h : ¬ContinuousAt (⇑f) 0
b : ℕ → Set E
bE1 : ∀ (i : ℕ), b i ∈ 𝓝 0 ∧ Balanced 𝕜 (b i)
bE : (𝓝 0).HasAntitoneBasis fun i => b i
⊢ ∀ (i' : ℕ), i' ≠ 0 → ∃ i, True ∧ b i ⊆ (↑i')⁻¹ • b i'

Proof state:
case h
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : UniformSpace E
inst✝⁹ : UniformAddGroup E
inst✝⁸ : AddCommGroup F
inst✝⁷ : UniformSpace F
inst✝⁶ : FirstCountableTopology E
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝² : RCLike 𝕜'
inst✝¹ : Module 𝕜' F
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜' F
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
f : E →ₛₗ[σ] F
hf : ∀ (s : Set E), IsVonNBounded 𝕜 s → IsVonNBounded 𝕜' (⇑f '' s)
h✝ : ¬ContinuousAt (⇑f) 0
b : ℕ → Set E
bE1 : ∀ (i : ℕ), b i ∈ 𝓝 0 ∧ Balanced 𝕜 (b i)
bE : (𝓝 0).HasAntitoneBasis fun i => b i
n : ℕ
a✝ : True
h : b (n + 1) ⊆ b n
⊢ (↑n + 1)⁻¹ • b (n + 1) ⊆ b n

Tactic:
refine _root_.trans ?_ h

Result:
case h
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : UniformSpace E
inst✝⁹ : UniformAddGroup E
inst✝⁸ : AddCommGroup F
inst✝⁷ : UniformSpace F
inst✝⁶ : FirstCountableTopology E
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝² : RCLike 𝕜'
inst✝¹ : Module 𝕜' F
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜' F
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
f : E →ₛₗ[σ] F
hf : ∀ (s : Set E), IsVonNBounded 𝕜 s → IsVonNBounded 𝕜' (⇑f '' s)
h✝ : ¬ContinuousAt (⇑f) 0
b : ℕ → Set E
bE1 : ∀ (i : ℕ), b i ∈ 𝓝 0 ∧ Balanced 𝕜 (b i)
bE : (𝓝 0).HasAntitoneBasis fun i => b i
n : ℕ
a✝ : True
h : b (n + 1) ⊆ b n
⊢ (↑n + 1)⁻¹ • b (n + 1) ⊆ b (n + 1)

Proof state:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : UniformSpace E
inst✝⁹ : UniformAddGroup E
inst✝⁸ : AddCommGroup F
inst✝⁷ : UniformSpace F
inst✝⁶ : FirstCountableTopology E
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝² : RCLike 𝕜'
inst✝¹ : Module 𝕜' F
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜' F
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
f : E →ₛₗ[σ] F
hf : ∀ (s : Set E), IsVonNBounded 𝕜 s → IsVonNBounded 𝕜' (⇑f '' s)
h : ¬ContinuousAt (⇑f) 0
b : ℕ → Set E
bE1 : ∀ (i : ℕ), b i ∈ 𝓝 0 ∧ Balanced 𝕜 (b i)
bE : (𝓝 0).HasAntitoneBasis fun i => b i
n : ℕ
a✝ : True
⊢ n ≤ n + 1

Tactic:
simp

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : UniformSpace E
inst✝⁹ : UniformAddGroup E
inst✝⁸ : AddCommGroup F
inst✝⁷ : UniformSpace F
inst✝⁶ : FirstCountableTopology E
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝² : RCLike 𝕜'
inst✝¹ : Module 𝕜' F
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜' F
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
f : E →ₛₗ[σ] F
hf : ∀ (s : Set E), IsVonNBounded 𝕜 s → IsVonNBounded 𝕜' (⇑f '' s)
b : ℕ → Set E
bE1 : ∀ (i : ℕ), b i ∈ 𝓝 0 ∧ Balanced 𝕜 (b i)
bE : (𝓝 0).HasAntitoneBasis fun i => b i
bE' : (𝓝 0).HasBasis (fun x => x ≠ 0) fun n => (↑n)⁻¹ • b n
V : Set F
h : ∀ (ia : ℕ), ia ≠ 0 → ∃ x ∈ (↑ia)⁻¹ • b ia, f x ∉ V
hV : V ∈ 𝓝 0
⊢ False

Tactic:
choose! u hu hu' using h

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : UniformSpace E
inst✝⁹ : UniformAddGroup E
inst✝⁸ : AddCommGroup F
inst✝⁷ : UniformSpace F
inst✝⁶ : FirstCountableTopology E
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝² : RCLike 𝕜'
inst✝¹ : Module 𝕜' F
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜' F
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
f : E →ₛₗ[σ] F
hf : ∀ (s : Set E), IsVonNBounded 𝕜 s → IsVonNBounded 𝕜' (⇑f '' s)
b : ℕ → Set E
bE1 : ∀ (i : ℕ), b i ∈ 𝓝 0 ∧ Balanced 𝕜 (b i)
bE : (𝓝 0).HasAntitoneBasis fun i => b i
bE' : (𝓝 0).HasBasis (fun x => x ≠ 0) fun n => (↑n)⁻¹ • b n
V : Set F
hV : V ∈ 𝓝 0
u : ℕ → E
hu : ∀ (ia : ℕ), ia ≠ 0 → u ia ∈ (↑ia)⁻¹ • b ia
hu' : ∀ (ia : ℕ), ia ≠ 0 → f (u ia) ∉ V
⊢ False

Proof state:
case intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : UniformSpace E
inst✝⁹ : UniformAddGroup E
inst✝⁸ : AddCommGroup F
inst✝⁷ : UniformSpace F
inst✝⁶ : FirstCountableTopology E
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝² : RCLike 𝕜'
inst✝¹ : Module 𝕜' F
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜' F
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
f : E →ₛₗ[σ] F
hf : ∀ (s : Set E), IsVonNBounded 𝕜 s → IsVonNBounded 𝕜' (⇑f '' s)
h : ¬ContinuousAt (⇑f) 0
b : ℕ → Set E
bE1 : ∀ (i : ℕ), b i ∈ 𝓝 0 ∧ Balanced 𝕜 (b i)
bE : (𝓝 0).HasAntitoneBasis fun i => b i
bE' : (𝓝 0).HasBasis (fun x => x ≠ 0) fun n => (↑n)⁻¹ • b n
⊢ False

Tactic:
rw [ContinuousAt, map_zero, bE'.tendsto_iff (nhds_basis_balanced 𝕜' F)] at h

Result:
case intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup E
inst✝¹⁰ : UniformSpace E
inst✝⁹ : UniformAddGroup E
inst✝⁸ : AddCommGroup F
inst✝⁷ : UniformSpace F
inst✝⁶ : FirstCountableTopology E
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 E
inst✝² : RCLike 𝕜'
inst✝¹ : Module 𝕜' F
inst✝ : ContinuousSMul 𝕜' F
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
f : E →ₛₗ[σ] F
hf : ∀ (s : Set E), IsVonNBounded 𝕜 s → IsVonNBounded 𝕜' (⇑f '' s)
b : ℕ → Set E
h : ¬∀ (ib : Set F), ib ∈ 𝓝 0 ∧ Balanced 𝕜' ib → ∃ ia, ia ≠ 0 ∧ ∀ x ∈ (↑ia)⁻¹ • b ia, f x ∈ _root_.id ib
bE1 : ∀ (i : ℕ), b i ∈ 𝓝 0 ∧ Balanced 𝕜 (b i)
bE : (𝓝 0).HasAntitoneBasis fun i => b i
bE' : (𝓝 0).HasBasis (fun x => x ≠ 0) fun n => (↑n)⁻¹ • b n
⊢ False