-- Mathlib/.lake/packages/lean4/src/lean/Std/Tactic/BVDecide/Bitblast/BVExpr/Circuit/Lemmas/Operations/ShiftRight.lean
theorem twoPowShift_eq (aig : AIG α) (target : TwoPowShiftTarget aig w) (lhs : BitVec w)
    (rhs : BitVec target.n) (assign : α → Bool)
    (hleft : ∀ (idx : Nat) (hidx : idx < w), ⟦aig, target.lhs.get idx hidx, assign⟧ = lhs.getLsbD idx)
    (hright : ∀ (idx : Nat) (hidx : idx < target.n), ⟦aig, target.rhs.get idx hidx, assign⟧ = rhs.getLsbD idx) :
    ∀ (idx : Nat) (hidx : idx < w),
        ⟦
          (twoPowShift aig target).aig,
          (twoPowShift aig target).vec.get idx hidx,
          assign
        ⟧
          =
        (BitVec.sshiftRight' lhs (rhs &&& BitVec.twoPow target.n target.pow)).getLsbD idx

Proof state:
α : Type
inst✝¹ : Hashable α
inst✝ : DecidableEq α
w : Nat
aig : AIG α
lhs : BitVec w
assign : α → Bool
idx : Nat
hidx : idx < w
res : RefVecEntry α w
n : Nat
lvec : aig.RefVec w
rvec : aig.RefVec n
pow : Nat
rhs : BitVec { n := n, lhs := lvec, rhs := rvec, pow := pow }.n
hleft :
  ∀ (idx : Nat) (hidx : idx < w),
    ⟦assign, { aig := aig, ref := { n := n, lhs := lvec, rhs := rvec, pow := pow }.lhs.get idx hidx }⟧ = lhs.getLsbD idx
hright :
  ∀ (idx : Nat) (hidx : idx < { n := n, lhs := lvec, rhs := rvec, pow := pow }.n),
    ⟦assign, { aig := aig, ref := { n := n, lhs := lvec, rhs := rvec, pow := pow }.rhs.get idx hidx }⟧ = rhs.getLsbD idx
h✝ : pow < n
hg :
  RefVec.ite (blastArithShiftRightConst aig { vec := lvec, distance := 2 ^ pow }).aig
      { discr := (rvec.cast ⋯).get pow h✝,
        lhs := (blastArithShiftRightConst aig { vec := lvec, distance := 2 ^ pow }).vec, rhs := lvec.cast ⋯ } =
    res
hif1 : rhs.getLsbD pow = false
⊢ ⟦assign,
      {
        aig :=
          (RefVec.ite (blastArithShiftRightConst aig { vec := lvec, distance := 2 ^ pow }).aig
              { discr := (rvec.cast ⋯).get pow h✝,
                lhs := (blastArithShiftRightConst aig { vec := lvec, distance := 2 ^ pow }).vec,
                rhs := lvec.cast ⋯ }).aig,
        ref :=
          (RefVec.ite (blastArithShiftRightConst aig { vec := lvec, distance := 2 ^ pow }).aig
                  { discr := (rvec.cast ⋯).get pow h✝,
                    lhs := (blastArithShiftRightConst aig { vec := lvec, distance := 2 ^ pow }).vec,
                    rhs := lvec.cast ⋯ }).vec.get
            idx hidx }⟧ =
    (lhs.sshiftRight' 0#n).getLsbD idx

Tactic:
simp only [RefVec.denote_ite, RefVec.get_cast, Ref.cast_eq,
  denote_blastArithShiftRightConst]

Result:
α : Type
inst✝¹ : Hashable α
inst✝ : DecidableEq α
w : Nat
aig : AIG α
lhs : BitVec w
assign : α → Bool
idx : Nat
hidx : idx < w
res : RefVecEntry α w
n : Nat
lvec : aig.RefVec w
rvec : aig.RefVec n
pow : Nat
rhs : BitVec { n := n, lhs := lvec, rhs := rvec, pow := pow }.n
hleft :
  ∀ (idx : Nat) (hidx : idx < w),
    ⟦assign, { aig := aig, ref := { n := n, lhs := lvec, rhs := rvec, pow := pow }.lhs.get idx hidx }⟧ = lhs.getLsbD idx
hright :
  ∀ (idx : Nat) (hidx : idx < { n := n, lhs := lvec, rhs := rvec, pow := pow }.n),
    ⟦assign, { aig := aig, ref := { n := n, lhs := lvec, rhs := rvec, pow := pow }.rhs.get idx hidx }⟧ = rhs.getLsbD idx
h✝ : pow < n
hg :
  RefVec.ite (blastArithShiftRightConst aig { vec := lvec, distance := 2 ^ pow }).aig
      { discr := (rvec.cast ⋯).get pow h✝,
        lhs := (blastArithShiftRightConst aig { vec := lvec, distance := 2 ^ pow }).vec, rhs := lvec.cast ⋯ } =
    res
hif1 : rhs.getLsbD pow = false
⊢ (if
        ⟦assign,
            { aig := (blastArithShiftRightConst aig { vec := lvec, distance := 2 ^ pow }).aig,
              ref := { gate := (rvec.get pow h✝).gate, hgate := ⋯ } }⟧ =
          true then
      if h : 2 ^ pow + idx < w then ⟦assign, { aig := aig, ref := lvec.get (2 ^ pow + idx) ⋯ }⟧
      else ⟦assign, { aig := aig, ref := lvec.get (w - 1) ⋯ }⟧
    else
      ⟦assign,
        { aig := (blastArithShiftRightConst aig { vec := lvec, distance := 2 ^ pow }).aig,
          ref := { gate := (lvec.get idx hidx).gate, hgate := ⋯ } }⟧) =
    (lhs.sshiftRight' 0#n).getLsbD idx

Proof state:
α : Type
inst✝¹ : Hashable α
inst✝ : DecidableEq α
w : Nat
aig : AIG α
lhs : BitVec w
assign : α → Bool
idx : Nat
hidx : idx < w
res : RefVecEntry α w
n : Nat
lvec : aig.RefVec w
rvec : aig.RefVec n
pow : Nat
rhs : BitVec { n := n, lhs := lvec, rhs := rvec, pow := pow }.n
hleft :
  ∀ (idx : Nat) (hidx : idx < w),
    ⟦assign, { aig := aig, ref := { n := n, lhs := lvec, rhs := rvec, pow := pow }.lhs.get idx hidx }⟧ = lhs.getLsbD idx
hright :
  ∀ (idx : Nat) (hidx : idx < { n := n, lhs := lvec, rhs := rvec, pow := pow }.n),
    ⟦assign, { aig := aig, ref := { n := n, lhs := lvec, rhs := rvec, pow := pow }.rhs.get idx hidx }⟧ = rhs.getLsbD idx
h✝ : pow < n
hg :
  RefVec.ite (blastArithShiftRightConst aig { vec := lvec, distance := 2 ^ pow }).aig
      { discr := (rvec.cast ⋯).get pow h✝,
        lhs := (blastArithShiftRightConst aig { vec := lvec, distance := 2 ^ pow }).vec, rhs := lvec.cast ⋯ } =
    res
hif1 : rhs.getLsbD pow = true
hmod : 2 ^ pow % 2 ^ n = 2 ^ pow
hlt : ¬2 ^ pow + idx < w
⊢ ⟦assign, { aig := aig, ref := lvec.get (w - 1) ⋯ }⟧ = (lhs.sshiftRight' (BitVec.twoPow n pow)).getLsbD idx

Tactic:
rw [hleft]

Result:
α : Type
inst✝¹ : Hashable α
inst✝ : DecidableEq α
w : Nat
aig : AIG α
lhs : BitVec w
assign : α → Bool
idx : Nat
hidx : idx < w
res : RefVecEntry α w
n : Nat
lvec : aig.RefVec w
rvec : aig.RefVec n
pow : Nat
rhs : BitVec { n := n, lhs := lvec, rhs := rvec, pow := pow }.n
hleft :
  ∀ (idx : Nat) (hidx : idx < w),
    ⟦assign, { aig := aig, ref := { n := n, lhs := lvec, rhs := rvec, pow := pow }.lhs.get idx hidx }⟧ = lhs.getLsbD idx
hright :
  ∀ (idx : Nat) (hidx : idx < { n := n, lhs := lvec, rhs := rvec, pow := pow }.n),
    ⟦assign, { aig := aig, ref := { n := n, lhs := lvec, rhs := rvec, pow := pow }.rhs.get idx hidx }⟧ = rhs.getLsbD idx
h✝ : pow < n
hg :
  RefVec.ite (blastArithShiftRightConst aig { vec := lvec, distance := 2 ^ pow }).aig
      { discr := (rvec.cast ⋯).get pow h✝,
        lhs := (blastArithShiftRightConst aig { vec := lvec, distance := 2 ^ pow }).vec, rhs := lvec.cast ⋯ } =
    res
hif1 : rhs.getLsbD pow = true
hmod : 2 ^ pow % 2 ^ n = 2 ^ pow
hlt : ¬2 ^ pow + idx < w
⊢ lhs.getLsbD (w - 1) = (lhs.sshiftRight' (BitVec.twoPow n pow)).getLsbD idx

Proof state:
α : Type
inst✝¹ : Hashable α
inst✝ : DecidableEq α
w : Nat
aig : AIG α
lhs : BitVec w
assign : α → Bool
idx : Nat
hidx : idx < w
res : RefVecEntry α w
n : Nat
lvec : aig.RefVec w
rvec : aig.RefVec n
pow : Nat
rhs : BitVec { n := n, lhs := lvec, rhs := rvec, pow := pow }.n
hleft :
  ∀ (idx : Nat) (hidx : idx < w),
    ⟦assign, { aig := aig, ref := { n := n, lhs := lvec, rhs := rvec, pow := pow }.lhs.get idx hidx }⟧ = lhs.getLsbD idx
hright :
  ∀ (idx : Nat) (hidx : idx < { n := n, lhs := lvec, rhs := rvec, pow := pow }.n),
    ⟦assign, { aig := aig, ref := { n := n, lhs := lvec, rhs := rvec, pow := pow }.rhs.get idx hidx }⟧ = rhs.getLsbD idx
h✝ : ¬pow < n
hg : { aig := aig, vec := lvec } = res
⊢ rhs.getLsbD pow = false

Tactic:
apply BitVec.getLsbD_ge

Result:
case ge
α : Type
inst✝¹ : Hashable α
inst✝ : DecidableEq α
w : Nat
aig : AIG α
lhs : BitVec w
assign : α → Bool
idx : Nat
hidx : idx < w
res : RefVecEntry α w
n : Nat
lvec : aig.RefVec w
rvec : aig.RefVec n
pow : Nat
rhs : BitVec { n := n, lhs := lvec, rhs := rvec, pow := pow }.n
hleft :
  ∀ (idx : Nat) (hidx : idx < w),
    ⟦assign, { aig := aig, ref := { n := n, lhs := lvec, rhs := rvec, pow := pow }.lhs.get idx hidx }⟧ = lhs.getLsbD idx
hright :
  ∀ (idx : Nat) (hidx : idx < { n := n, lhs := lvec, rhs := rvec, pow := pow }.n),
    ⟦assign, { aig := aig, ref := { n := n, lhs := lvec, rhs := rvec, pow := pow }.rhs.get idx hidx }⟧ = rhs.getLsbD idx
h✝ : ¬pow < n
hg : { aig := aig, vec := lvec } = res
⊢ { n := n, lhs := lvec, rhs := rvec, pow := pow }.n ≤ pow