-- Mathlib/Algebra/Star/Subalgebra.lean
theorem adjoin_induction {s : Set A} {p : (x : A) → x ∈ adjoin R s → Prop}
    (mem : ∀ (x) (h : x ∈ s), p x (subset_adjoin R s h))
    (algebraMap : ∀ r, p (_root_.algebraMap R _ r) (_root_.algebraMap_mem _ r))
    (add : ∀ x y hx hy, p x hx → p y hy → p (x + y) (add_mem hx hy))
    (mul : ∀ x y hx hy, p x hx → p y hy → p (x * y) (mul_mem hx hy))
    (star : ∀ x hx, p x hx → p (star x) (star_mem hx))
    {a : A} (ha : a ∈ adjoin R s) : p a ha

Proof state:
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : StarRing R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : StarRing A
inst✝ : StarModule R A
s : Set A
p : (x : A) → x ∈ adjoin R s → Prop
mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p x ⋯
algebraMap : ∀ (r : R), p ((_root_.algebraMap R A) r) ⋯
add : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯
mul : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯
star : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x hx → p (Star.star x) ⋯
a : A
ha : a ∈ adjoin R s
x : A
hx✝ : x ∈ s ∪ Star.star s
hx : Star.star x ∈ s
⊢ Star.star x ∈ s ∪ Star.star s

Tactic:
simpa using Or.inl hx

Result:
no goals

Proof state:
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : StarRing R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : StarRing A
inst✝ : StarModule R A
s : Set A
p : (x : A) → x ∈ adjoin R s → Prop
mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p x ⋯
algebraMap : ∀ (r : R), p ((_root_.algebraMap R A) r) ⋯
add : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯
mul : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯
star : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x hx → p (Star.star x) ⋯
a : A
ha : a ∈ adjoin R s
⊢ p a ha

Tactic:
refine Algebra.adjoin_induction (fun x hx ↦ ?_) algebraMap add mul ha

Result:
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : StarRing R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : StarRing A
inst✝ : StarModule R A
s : Set A
p : (x : A) → x ∈ adjoin R s → Prop
mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p x ⋯
algebraMap : ∀ (r : R), p ((_root_.algebraMap R A) r) ⋯
add : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯
mul : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯
star : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x hx → p (Star.star x) ⋯
a : A
ha : a ∈ adjoin R s
x : A
hx : x ∈ s ∪ Star.star s
⊢ p x ⋯

Proof state:
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : StarRing R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : StarRing A
inst✝ : StarModule R A
s : Set A
p : (x : A) → x ∈ adjoin R s → Prop
mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p x ⋯
algebraMap : ∀ (r : R), p ((_root_.algebraMap R A) r) ⋯
add : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯
mul : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯
star : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x hx → p (Star.star x) ⋯
a : A
ha : a ∈ adjoin R s
x : A
hx : x ∈ s ∪ Star.star s
⊢ p x ⋯

Tactic:
simp only [Set.mem_union, Set.mem_star] at hx

Result:
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : StarRing R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : StarRing A
inst✝ : StarModule R A
s : Set A
p : (x : A) → x ∈ adjoin R s → Prop
mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p x ⋯
algebraMap : ∀ (r : R), p ((_root_.algebraMap R A) r) ⋯
add : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯
mul : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯
star : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x hx → p (Star.star x) ⋯
a : A
ha : a ∈ adjoin R s
x : A
hx✝ : x ∈ s ∪ Star.star s
hx : x ∈ s ∨ Star.star x ∈ s
⊢ p x ⋯

Proof state:
case inr
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : StarRing R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : StarRing A
inst✝ : StarModule R A
s : Set A
p : (x : A) → x ∈ adjoin R s → Prop
mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p x ⋯
algebraMap : ∀ (r : R), p ((_root_.algebraMap R A) r) ⋯
add : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯
mul : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯
star : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x hx → p (Star.star x) ⋯
a : A
ha : a ∈ adjoin R s
x : A
hx✝ : x ∈ s ∪ Star.star s
hx : Star.star x ∈ s
⊢ p x ⋯

Tactic:
simpa using star _ (Algebra.subset_adjoin (by simpa using Or.inl hx)) (mem _ hx)

Result:
no goals

Proof state:
case inl
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : StarRing R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : StarRing A
inst✝ : StarModule R A
s : Set A
p : (x : A) → x ∈ adjoin R s → Prop
mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p x ⋯
algebraMap : ∀ (r : R), p ((_root_.algebraMap R A) r) ⋯
add : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯
mul : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯
star : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x hx → p (Star.star x) ⋯
a : A
ha : a ∈ adjoin R s
x : A
hx✝ : x ∈ s ∪ Star.star s
hx : x ∈ s
⊢ p x ⋯

Tactic:
exact mem x hx

Result:
no goals

Proof state:
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : StarRing R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : StarRing A
inst✝ : StarModule R A
s : Set A
p : (x : A) → x ∈ adjoin R s → Prop
mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p x ⋯
algebraMap : ∀ (r : R), p ((_root_.algebraMap R A) r) ⋯
add : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯
mul : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯
star : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x hx → p (Star.star x) ⋯
a : A
ha : a ∈ adjoin R s
x : A
hx✝ : x ∈ s ∪ Star.star s
hx : x ∈ s ∨ Star.star x ∈ s
⊢ p x ⋯

Tactic:
obtain (hx | hx) := hx

Result:
case inl
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : StarRing R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : StarRing A
inst✝ : StarModule R A
s : Set A
p : (x : A) → x ∈ adjoin R s → Prop
mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p x ⋯
algebraMap : ∀ (r : R), p ((_root_.algebraMap R A) r) ⋯
add : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯
mul : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯
star : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x hx → p (Star.star x) ⋯
a : A
ha : a ∈ adjoin R s
x : A
hx✝ : x ∈ s ∪ Star.star s
hx : x ∈ s
⊢ p x ⋯

case inr
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : StarRing R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : StarRing A
inst✝ : StarModule R A
s : Set A
p : (x : A) → x ∈ adjoin R s → Prop
mem : ∀ (x : A) (h : x ∈ s), p x ⋯
algebraMap : ∀ (r : R), p ((_root_.algebraMap R A) r) ⋯
add : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x hx → p y hy → p (x + y) ⋯
mul : ∀ (x y : A) (hx : x ∈ adjoin R s) (hy : y ∈ adjoin R s), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯
star : ∀ (x : A) (hx : x ∈ adjoin R s), p x hx → p (Star.star x) ⋯
a : A
ha : a ∈ adjoin R s
x : A
hx✝ : x ∈ s ∪ Star.star s
hx : Star.star x ∈ s
⊢ p x ⋯