-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
theorem setToFun_congr_measure_of_add_left {μ' : Measure α}
    (hT_add : DominatedFinMeasAdditive (μ + μ') T C') (hT : DominatedFinMeasAdditive μ' T C)
    (f : α → E) (hf : Integrable f (μ + μ')) :
    setToFun (μ + μ') T hT_add f = setToFun μ' T hT f

Proof state:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
μ' : Measure α
hT_add : DominatedFinMeasAdditive (μ + μ') T C'
hT : DominatedFinMeasAdditive μ' T C
f : α → E
hf : Integrable f (μ + μ')
⊢ setToFun (μ + μ') T hT_add f = setToFun μ' T hT f

Tactic:
refine setToFun_congr_measure_of_integrable 1 one_ne_top ?_ hT_add hT f hf

Result:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
μ' : Measure α
hT_add : DominatedFinMeasAdditive (μ + μ') T C'
hT : DominatedFinMeasAdditive μ' T C
f : α → E
hf : Integrable f (μ + μ')
⊢ μ' ≤ 1 • (μ + μ')

Proof state:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
μ' : Measure α
hT_add : DominatedFinMeasAdditive (μ + μ') T C'
hT : DominatedFinMeasAdditive μ' T C
f : α → E
hf : Integrable f (μ + μ')
⊢ 0 + μ' ≤ μ + μ'

Tactic:
exact add_le_add bot_le le_rfl

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
μ' : Measure α
hT_add : DominatedFinMeasAdditive (μ + μ') T C'
hT : DominatedFinMeasAdditive μ' T C
f : α → E
hf : Integrable f (μ + μ')
⊢ μ' ≤ 1 • (μ + μ')

Tactic:
rw [one_smul]

Result:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
μ' : Measure α
hT_add : DominatedFinMeasAdditive (μ + μ') T C'
hT : DominatedFinMeasAdditive μ' T C
f : α → E
hf : Integrable f (μ + μ')
⊢ μ' ≤ μ + μ'

Proof state:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
μ' : Measure α
hT_add : DominatedFinMeasAdditive (μ + μ') T C'
hT : DominatedFinMeasAdditive μ' T C
f : α → E
hf : Integrable f (μ + μ')
⊢ μ' ≤ μ + μ'

Tactic:
nth_rw 1 [← zero_add μ']

Result:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C C' : ℝ
μ' : Measure α
hT_add : DominatedFinMeasAdditive (μ + μ') T C'
hT : DominatedFinMeasAdditive μ' T C
f : α → E
hf : Integrable f (μ + μ')
⊢ 0 + μ' ≤ μ + μ'