-- Mathlib/Analysis/Analytic/Uniqueness.lean
theorem Asymptotics.IsBigO.continuousMultilinearMap_apply_eq_zero {n : ℕ} {p : E[×n]→L[𝕜] F}
    (h : (fun y => p fun _ => y) =O[𝓝 0] fun y => ‖y‖ ^ (n + 1)) (y : E) : (p fun _ => y) = 0

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.zero
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
y : E
c : ℝ
c_pos : c > 0
t : Set E
t_open : IsOpen t
δ : ℝ
δ_pos : δ > 0
δε : Metric.ball 0 δ ⊆ t
p : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => E) F
ht : ∀ y ∈ t, ‖p fun x => y‖ ≤ c * ‖‖y‖ ^ (0 + 1)‖
⊢ (p fun x => y) = 0

Tactic:
exact norm_eq_zero.mp (by
  simpa only [fin0_apply_norm, norm_eq_zero, norm_zero, zero_add, pow_one,
    mul_zero, norm_le_zero_iff] using ht 0 (δε (Metric.mem_ball_self δ_pos)))

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.succ.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
y : E
c : ℝ
c_pos : c > 0
t : Set E
t_open : IsOpen t
δ : ℝ
δ_pos : δ > 0
δε : Metric.ball 0 δ ⊆ t
n : ℕ
p : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => E) F
ht : ∀ y ∈ t, ‖p fun x => y‖ ≤ c * ‖‖y‖ ^ (n + 1 + 1)‖
hy : 0 < ‖y‖
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
h₀ : 0 < c * ‖y‖ ^ (n.succ + 1)
k : 𝕜
k_pos : 0 < ‖k‖
k_norm : ‖k‖ < δ * ‖y‖⁻¹ ⊓ ε * (c * ‖y‖ ^ (n.succ + 1))⁻¹
h₁ : ‖k • y‖ < δ
h₂ : ‖p fun x => k • y‖ ≤ ‖k‖ ^ n.succ * (‖k‖ * (c * ‖y‖ ^ (n.succ + 1)))
⊢ ‖p fun x => y‖ ≤ 0 + ε

Tactic:
have h₃ : ‖k‖ * (c * ‖y‖ ^ (n.succ + 1)) < ε :=
  inv_mul_cancel_right₀ h₀.ne.symm ε ▸
    mul_lt_mul_of_pos_right (lt_of_lt_of_le k_norm (min_le_right _ _)) h₀

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.succ.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
y : E
c : ℝ
c_pos : c > 0
t : Set E
t_open : IsOpen t
δ : ℝ
δ_pos : δ > 0
δε : Metric.ball 0 δ ⊆ t
n : ℕ
p : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => E) F
ht : ∀ y ∈ t, ‖p fun x => y‖ ≤ c * ‖‖y‖ ^ (n + 1 + 1)‖
hy : 0 < ‖y‖
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
h₀ : 0 < c * ‖y‖ ^ (n.succ + 1)
k : 𝕜
k_pos : 0 < ‖k‖
k_norm : ‖k‖ < δ * ‖y‖⁻¹ ⊓ ε * (c * ‖y‖ ^ (n.succ + 1))⁻¹
h₁ : ‖k • y‖ < δ
h₂ : ‖p fun x => k • y‖ ≤ ‖k‖ ^ n.succ * (‖k‖ * (c * ‖y‖ ^ (n.succ + 1)))
h₃ : ‖k‖ * (c * ‖y‖ ^ (n.succ + 1)) < ε
⊢ ‖p fun x => y‖ ≤ 0 + ε

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
y : E
c : ℝ
c_pos : c > 0
t : Set E
t_open : IsOpen t
δ : ℝ
δ_pos : δ > 0
δε : Metric.ball 0 δ ⊆ t
n : ℕ
p : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => E) F
ht : ∀ y ∈ t, ‖p fun x => y‖ ≤ c * ‖‖y‖ ^ (n + 1 + 1)‖
hy : 0 < ‖y‖
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
h₀ : 0 < c * ‖y‖ ^ (n.succ + 1)
k : 𝕜
k_pos : 0 < ‖k‖
k_norm : ‖k‖ < δ * ‖y‖⁻¹ ⊓ ε * (c * ‖y‖ ^ (n.succ + 1))⁻¹
h₁ : ‖k • y‖ < δ
h₂ : ‖p fun x => k • y‖ ≤ ‖k‖ ^ n.succ * (‖k‖ * (c * ‖y‖ ^ (n.succ + 1)))
h₃ : ‖k‖ * (c * ‖y‖ ^ (n.succ + 1)) < ε
⊢ ‖p fun x => y‖ = ‖k⁻¹ ^ n.succ‖ * ‖p fun x => k • y‖

Tactic:
simpa only [inv_smul_smul₀ (norm_pos_iff.mp k_pos), norm_smul, Finset.prod_const,
  Finset.card_fin] using
  congr_arg norm (p.map_smul_univ (fun _ : Fin n.succ => k⁻¹) fun _ : Fin n.succ => k • y)

Result:
no goals

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
y : E
c : ℝ
c_pos : c > 0
t : Set E
t_open : IsOpen t
δ : ℝ
δ_pos : δ > 0
δε : Metric.ball 0 δ ⊆ t
n : ℕ
p : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => E) F
ht : ∀ y ∈ t, ‖p fun x => y‖ ≤ c * ‖‖y‖ ^ (n + 1 + 1)‖
hy : 0 < ‖y‖
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
h₀ : 0 < c * ‖y‖ ^ (n.succ + 1)
k : 𝕜
k_pos : 0 < ‖k‖
k_norm : ‖k‖ < δ * ‖y‖⁻¹ ⊓ ε * (c * ‖y‖ ^ (n.succ + 1))⁻¹
⊢ ‖k‖ * ‖y‖ < δ

Tactic:
exact inv_mul_cancel_right₀ hy.ne.symm δ ▸
  mul_lt_mul_of_pos_right (lt_of_lt_of_le k_norm (min_le_left _ _)) hy

Result:
no goals

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
y : E
c : ℝ
c_pos : c > 0
t : Set E
t_open : IsOpen t
δ : ℝ
δ_pos : δ > 0
δε : Metric.ball 0 δ ⊆ t
n : ℕ
p : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => E) F
ht : ∀ y ∈ t, ‖p fun x => y‖ ≤ c * ‖‖y‖ ^ (n + 1 + 1)‖
hy : 0 < ‖y‖
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
h₀ : 0 < c * ‖y‖ ^ (n.succ + 1)
k : 𝕜
k_pos : 0 < ‖k‖
k_norm : ‖k‖ < δ * ‖y‖⁻¹ ⊓ ε * (c * ‖y‖ ^ (n.succ + 1))⁻¹
h₁ : ‖k • y‖ < δ
⊢ c * ‖k • y‖ ^ (n.succ + 1) = ‖k‖ ^ n.succ * (‖k‖ * (c * ‖y‖ ^ (n.succ + 1)))

Tactic:
simp only [norm_smul, mul_pow, Nat.succ_eq_add_one]

Result:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
y : E
c : ℝ
c_pos : c > 0
t : Set E
t_open : IsOpen t
δ : ℝ
δ_pos : δ > 0
δε : Metric.ball 0 δ ⊆ t
n : ℕ
p : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => E) F
ht : ∀ y ∈ t, ‖p fun x => y‖ ≤ c * ‖‖y‖ ^ (n + 1 + 1)‖
hy : 0 < ‖y‖
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
h₀ : 0 < c * ‖y‖ ^ (n.succ + 1)
k : 𝕜
k_pos : 0 < ‖k‖
k_norm : ‖k‖ < δ * ‖y‖⁻¹ ⊓ ε * (c * ‖y‖ ^ (n.succ + 1))⁻¹
h₁ : ‖k • y‖ < δ
⊢ c * (‖k‖ ^ (n + 1 + 1) * ‖y‖ ^ (n + 1 + 1)) = ‖k‖ ^ (n + 1) * (‖k‖ * (c * ‖y‖ ^ (n + 1 + 1)))

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.succ
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
y : E
c : ℝ
c_pos : c > 0
t : Set E
t_open : IsOpen t
δ : ℝ
δ_pos : δ > 0
δε : Metric.ball 0 δ ⊆ t
n : ℕ
p : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => E) F
ht : ∀ y ∈ t, ‖p fun x => y‖ ≤ c * ‖‖y‖ ^ (n + 1 + 1)‖
⊢ (p fun x => y) = 0

Tactic:
refine Or.elim (Classical.em (y = 0))
  (fun hy => by simpa only [hy] using p.map_zero) fun hy => ?_

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.succ
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
y : E
c : ℝ
c_pos : c > 0
t : Set E
t_open : IsOpen t
δ : ℝ
δ_pos : δ > 0
δε : Metric.ball 0 δ ⊆ t
n : ℕ
p : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => E) F
ht : ∀ y ∈ t, ‖p fun x => y‖ ≤ c * ‖‖y‖ ^ (n + 1 + 1)‖
hy : ¬y = 0
⊢ (p fun x => y) = 0

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.succ
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
y : E
c : ℝ
c_pos : c > 0
t : Set E
t_open : IsOpen t
δ : ℝ
δ_pos : δ > 0
δε : Metric.ball 0 δ ⊆ t
n : ℕ
p : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => E) F
ht : ∀ y ∈ t, ‖p fun x => y‖ ≤ c * ‖‖y‖ ^ (n + 1 + 1)‖
hy : 0 < ‖y‖
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
⊢ ‖p fun x => y‖ ≤ 0 + ε

Tactic:
have h₀ := _root_.mul_pos c_pos (pow_pos hy (n.succ + 1))

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.succ
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
y : E
c : ℝ
c_pos : c > 0
t : Set E
t_open : IsOpen t
δ : ℝ
δ_pos : δ > 0
δε : Metric.ball 0 δ ⊆ t
n : ℕ
p : ContinuousMultilinearMap 𝕜 (fun i => E) F
ht : ∀ y ∈ t, ‖p fun x => y‖ ≤ c * ‖‖y‖ ^ (n + 1 + 1)‖
hy : 0 < ‖y‖
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
h₀ : 0 < c * ‖y‖ ^ (n.succ + 1)
⊢ ‖p fun x => y‖ ≤ 0 + ε