-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Braided/Reflection.lean
theorem isIso_tfae : List.TFAE
    [ ∀ (c : C) (d : D), IsIso (adj.unit.app ((ihom d).obj (R.obj c)))
    , ∀ (c : C) (d : D), IsIso ((pre (adj.unit.app d)).app (R.obj c))
    , ∀ (d d' : D), IsIso (L.map ((adj.unit.app d) ▷ d'))
    , ∀ (d d' : D), IsIso (L.map ((adj.unit.app d) ⊗ (adj.unit.app d')))]

Proof state:
case h.h
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : SymmetricCategory D
inst✝² : MonoidalClosed D
R : C ⥤ D
inst✝¹ : R.Faithful
inst✝ : R.Full
L : D ⥤ C
adj : L ⊣ R
tfae_3_to_4 :
  (∀ (d d' : D), IsIso (L.map (adj.unit.app d ▷ d'))) → ∀ (d d' : D), IsIso (L.map (adj.unit.app d ⊗ adj.unit.app d'))
tfae_4_to_1 :
  (∀ (d d' : D), IsIso (L.map (adj.unit.app d ⊗ adj.unit.app d'))) →
    ∀ (c : C) (d : D), IsIso (adj.unit.app ((ihom d).obj (R.obj c)))
tfae_1_to_3 :
  (∀ (c : C) (d : D), IsIso (adj.unit.app ((ihom d).obj (R.obj c)))) → ∀ (d d' : D), IsIso (L.map (adj.unit.app d ▷ d'))
d d' : D
c : C
w₁ :
  (coyoneda.map (L.map (adj.unit.app d ▷ d')).op).app c =
    ⇑(adj.homEquiv (Opposite.unop (Opposite.op ((𝟭 D).obj d ⊗ d'))) c).symm ∘
      (coyoneda.map (adj.unit.app d ▷ d').op).app (R.obj c) ∘
        ⇑(adj.homEquiv (Opposite.unop (Opposite.op ((L ⋙ R).obj d ⊗ d'))) c)
⊢ IsIso ((yoneda.map ((pre (adj.unit.app d)).app (R.obj c))).app (Opposite.op d')) ↔
    IsIso ((coyoneda.map (L.map (adj.unit.app d ▷ d')).op).app c)

Tactic:
have w₂ : ((yoneda.map ((pre (adj.unit.app d)).app (R.obj c))).app ⟨d'⟩) =
      ((ihom.adjunction d).homEquiv _ _) ∘
        ((coyoneda.map (adj.unit.app d ▷ d').op).app (R.obj c)) ∘
          ((ihom.adjunction ((L ⋙ R).obj d)).homEquiv _ _).symm := by
  rw [← Function.comp_assoc, ((ihom.adjunction ((L ⋙ R).obj d)).homEquiv _ _).eq_comp_symm]
  ext
  simp only [id_obj, yoneda_obj_obj, comp_obj, Function.comp_apply,
    yoneda_map_app, op_tensorObj, coyoneda_obj_obj, unop_tensorObj, op_whiskerRight,
    coyoneda_map_app, unop_whiskerRight, Quiver.Hom.unop_op]
  rw [Adjunction.homEquiv_unit, Adjunction.homEquiv_unit]
  simp

Result:
case h.h
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : SymmetricCategory D
inst✝² : MonoidalClosed D
R : C ⥤ D
inst✝¹ : R.Faithful
inst✝ : R.Full
L : D ⥤ C
adj : L ⊣ R
tfae_3_to_4 :
  (∀ (d d' : D), IsIso (L.map (adj.unit.app d ▷ d'))) → ∀ (d d' : D), IsIso (L.map (adj.unit.app d ⊗ adj.unit.app d'))
tfae_4_to_1 :
  (∀ (d d' : D), IsIso (L.map (adj.unit.app d ⊗ adj.unit.app d'))) →
    ∀ (c : C) (d : D), IsIso (adj.unit.app ((ihom d).obj (R.obj c)))
tfae_1_to_3 :
  (∀ (c : C) (d : D), IsIso (adj.unit.app ((ihom d).obj (R.obj c)))) → ∀ (d d' : D), IsIso (L.map (adj.unit.app d ▷ d'))
d d' : D
c : C
w₁ :
  (coyoneda.map (L.map (adj.unit.app d ▷ d')).op).app c =
    ⇑(adj.homEquiv (Opposite.unop (Opposite.op ((𝟭 D).obj d ⊗ d'))) c).symm ∘
      (coyoneda.map (adj.unit.app d ▷ d').op).app (R.obj c) ∘
        ⇑(adj.homEquiv (Opposite.unop (Opposite.op ((L ⋙ R).obj d ⊗ d'))) c)
w₂ :
  (yoneda.map ((pre (adj.unit.app d)).app (R.obj c))).app (Opposite.op d') =
    ⇑((ihom.adjunction d).homEquiv d' (R.obj c)) ∘
      (coyoneda.map (adj.unit.app d ▷ d').op).app (R.obj c) ∘
        ⇑((ihom.adjunction ((L ⋙ R).obj d)).homEquiv d' (R.obj c)).symm
⊢ IsIso ((yoneda.map ((pre (adj.unit.app d)).app (R.obj c))).app (Opposite.op d')) ↔
    IsIso ((coyoneda.map (L.map (adj.unit.app d ▷ d')).op).app c)

Proof state:
case h
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : SymmetricCategory D
inst✝² : MonoidalClosed D
R : C ⥤ D
inst✝¹ : R.Faithful
inst✝ : R.Full
L : D ⥤ C
adj : L ⊣ R
tfae_3_to_4 :
  (∀ (d d' : D), IsIso (L.map (adj.unit.app d ▷ d'))) → ∀ (d d' : D), IsIso (L.map (adj.unit.app d ⊗ adj.unit.app d'))
tfae_4_to_1 :
  (∀ (d d' : D), IsIso (L.map (adj.unit.app d ⊗ adj.unit.app d'))) →
    ∀ (c : C) (d : D), IsIso (adj.unit.app ((ihom d).obj (R.obj c)))
h : ∀ (c : C) (d : D), IsIso (adj.unit.app ((ihom d).obj (R.obj c)))
d d' : D
c : C
a✝ : (coyoneda.obj (Opposite.op (L.obj ((L ⋙ R).obj d ⊗ d')))).obj c
⊢ (coyoneda.map (L.map (adj.unit.app d ▷ d')).op).app c a✝ =
    (⇑(adj.homEquiv (Opposite.unop (Opposite.op ((𝟭 D).obj d ⊗ d'))) c).symm ∘
        (coyoneda.map (adj.unit.app d ▷ d').op).app (R.obj c) ∘
          ⇑(adj.homEquiv (Opposite.unop (Opposite.op ((L ⋙ R).obj d ⊗ d'))) c))
      a✝

Tactic:
simp

Result:
no goals

Proof state:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : SymmetricCategory D
inst✝² : MonoidalClosed D
R : C ⥤ D
inst✝¹ : R.Faithful
inst✝ : R.Full
L : D ⥤ C
adj : L ⊣ R
x✝ : ∀ (d d' : D), IsIso (L.map (adj.unit.app d ▷ d'))
h : ∀ (d d' : D), IsIso (L.map (adj.unit.app d ▷ d')) := x✝
d d' : D
this : d ◁ adj.unit.app d' = ((β_ d ((𝟭 D).obj d')).hom ≫ (adj.unit.app d' ⊗ 𝟙 d)) ≫ (β_ d ((L ⋙ R).obj d')).inv
⊢ IsIso (L.map (((β_ d ((𝟭 D).obj d')).hom ≫ (adj.unit.app d' ⊗ 𝟙 d)) ≫ (β_ d ((L ⋙ R).obj d')).inv))

Tactic:
simp only [map_comp, id_obj, comp_obj, tensorHom_id, Category.assoc]

Result:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝⁴ : MonoidalCategory D
inst✝³ : SymmetricCategory D
inst✝² : MonoidalClosed D
R : C ⥤ D
inst✝¹ : R.Faithful
inst✝ : R.Full
L : D ⥤ C
adj : L ⊣ R
x✝ : ∀ (d d' : D), IsIso (L.map (adj.unit.app d ▷ d'))
h : ∀ (d d' : D), IsIso (L.map (adj.unit.app d ▷ d')) := x✝
d d' : D
this : d ◁ adj.unit.app d' = ((β_ d ((𝟭 D).obj d')).hom ≫ (adj.unit.app d' ⊗ 𝟙 d)) ≫ (β_ d ((L ⋙ R).obj d')).inv
⊢ IsIso (L.map (β_ d d').hom ≫ L.map (adj.unit.app d' ▷ d) ≫ L.map (β_ d (R.obj (L.obj d'))).inv)