-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/SetToL1.lean
theorem setToFun_finset_sum' (hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C) {ι} (s : Finset ι)
    {f : ι → α → E} (hf : ∀ i ∈ s, Integrable (f i) μ) :
    setToFun μ T hT (∑ i ∈ s, f i) = ∑ i ∈ s, setToFun μ T hT (f i)

Proof state:
case refine_2
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
s✝ : Finset ι
f : ι → α → E
i : ι
s : Finset ι
his : i ∉ s
ih : (∀ i ∈ s, Integrable (f i) μ) → setToFun μ T hT (∑ i ∈ s, f i) = ∑ i ∈ s, setToFun μ T hT (f i)
hf : ∀ i_1 ∈ insert i s, Integrable (f i_1) μ
⊢ setToFun μ T hT (f i + ∑ i ∈ s, f i) = setToFun μ T hT (f i) + ∑ i ∈ s, setToFun μ T hT (f i)

Tactic:
rw [setToFun_add hT (hf i (Finset.mem_insert_self i s)) _]

Result:
case refine_2
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
s✝ : Finset ι
f : ι → α → E
i : ι
s : Finset ι
his : i ∉ s
ih : (∀ i ∈ s, Integrable (f i) μ) → setToFun μ T hT (∑ i ∈ s, f i) = ∑ i ∈ s, setToFun μ T hT (f i)
hf : ∀ i_1 ∈ insert i s, Integrable (f i_1) μ
⊢ setToFun μ T hT (f i) + setToFun μ T hT (∑ i ∈ s, f i) = setToFun μ T hT (f i) + ∑ i ∈ s, setToFun μ T hT (f i)

α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
s✝ : Finset ι
f : ι → α → E
i : ι
s : Finset ι
his : i ∉ s
ih : (∀ i ∈ s, Integrable (f i) μ) → setToFun μ T hT (∑ i ∈ s, f i) = ∑ i ∈ s, setToFun μ T hT (f i)
hf : ∀ i_1 ∈ insert i s, Integrable (f i_1) μ
⊢ Integrable (∑ i ∈ s, f i) μ

Proof state:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
s✝ : Finset ι
f : ι → α → E
i : ι
s : Finset ι
his : i ∉ s
ih : (∀ i ∈ s, Integrable (f i) μ) → setToFun μ T hT (∑ i ∈ s, f i) = ∑ i ∈ s, setToFun μ T hT (f i)
hf : ∀ i_1 ∈ insert i s, Integrable (f i_1) μ
⊢ Integrable (∑ i ∈ s, f i) μ

Tactic:
convert integrable_finset_sum s fun i hi => hf i (Finset.mem_insert_of_mem hi) with x

Result:
case h.e'_6.h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
s✝ : Finset ι
f : ι → α → E
i : ι
s : Finset ι
his : i ∉ s
ih : (∀ i ∈ s, Integrable (f i) μ) → setToFun μ T hT (∑ i ∈ s, f i) = ∑ i ∈ s, setToFun μ T hT (f i)
hf : ∀ i_1 ∈ insert i s, Integrable (f i_1) μ
x : α
⊢ (∑ i ∈ s, f i) x = ∑ i ∈ s, f i x

Proof state:
case refine_1
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
s : Finset ι
f : ι → α → E
hf✝ : ∀ i ∈ ∅, Integrable (f i) μ
⊢ setToFun μ T hT (∑ i ∈ ∅, f i) = ∑ i ∈ ∅, setToFun μ T hT (f i)

Tactic:
simp only [setToFun_zero, Finset.sum_empty]

Result:
no goals

Proof state:
case refine_2
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
s : Finset ι
f : ι → α → E
⊢ ∀ ⦃a : ι⦄ {s : Finset ι},
    a ∉ s →
      ((∀ i ∈ s, Integrable (f i) μ) → setToFun μ T hT (∑ i ∈ s, f i) = ∑ i ∈ s, setToFun μ T hT (f i)) →
        (∀ i ∈ insert a s, Integrable (f i) μ) →
          setToFun μ T hT (∑ i ∈ insert a s, f i) = ∑ i ∈ insert a s, setToFun μ T hT (f i)

Tactic:
intro i s his ih hf

Result:
case refine_2
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
s✝ : Finset ι
f : ι → α → E
i : ι
s : Finset ι
his : i ∉ s
ih : (∀ i ∈ s, Integrable (f i) μ) → setToFun μ T hT (∑ i ∈ s, f i) = ∑ i ∈ s, setToFun μ T hT (f i)
hf : ∀ i_1 ∈ insert i s, Integrable (f i_1) μ
⊢ setToFun μ T hT (∑ i ∈ insert i s, f i) = ∑ i ∈ insert i s, setToFun μ T hT (f i)

Proof state:
case refine_2
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
s✝ : Finset ι
f : ι → α → E
i : ι
s : Finset ι
his : i ∉ s
ih : (∀ i ∈ s, Integrable (f i) μ) → setToFun μ T hT (∑ i ∈ s, f i) = ∑ i ∈ s, setToFun μ T hT (f i)
hf : ∀ i_1 ∈ insert i s, Integrable (f i_1) μ
⊢ setToFun μ T hT (∑ i ∈ insert i s, f i) = ∑ i ∈ insert i s, setToFun μ T hT (f i)

Tactic:
simp only [his, Finset.sum_insert, not_false_iff]

Result:
case refine_2
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
s✝ : Finset ι
f : ι → α → E
i : ι
s : Finset ι
his : i ∉ s
ih : (∀ i ∈ s, Integrable (f i) μ) → setToFun μ T hT (∑ i ∈ s, f i) = ∑ i ∈ s, setToFun μ T hT (f i)
hf : ∀ i_1 ∈ insert i s, Integrable (f i_1) μ
⊢ setToFun μ T hT (f i + ∑ i ∈ s, f i) = setToFun μ T hT (f i) + ∑ i ∈ s, setToFun μ T hT (f i)

Proof state:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
s : Finset ι
f : ι → α → E
hf : ∀ i ∈ s, Integrable (f i) μ
⊢ setToFun μ T hT (∑ i ∈ s, f i) = ∑ i ∈ s, setToFun μ T hT (f i)

Tactic:
revert hf

Result:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
s : Finset ι
f : ι → α → E
⊢ (∀ i ∈ s, Integrable (f i) μ) → setToFun μ T hT (∑ i ∈ s, f i) = ∑ i ∈ s, setToFun μ T hT (f i)

Proof state:
case h.e'_6.h
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T : Set α → E →L[ℝ] F
C : ℝ
hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C
ι : Type u_7
s✝ : Finset ι
f : ι → α → E
i : ι
s : Finset ι
his : i ∉ s
ih : (∀ i ∈ s, Integrable (f i) μ) → setToFun μ T hT (∑ i ∈ s, f i) = ∑ i ∈ s, setToFun μ T hT (f i)
hf : ∀ i_1 ∈ insert i s, Integrable (f i_1) μ
x : α
⊢ (∑ i ∈ s, f i) x = ∑ i ∈ s, f i x

Tactic:
simp

Result:
no goals