-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/FiniteDimensional.lean
theorem free_and_finite_fin (n : ℕ) (N : Fin n → Type*) [∀ i, AddCommGroup (N i)]
    [∀ i, Module R (N i)] [∀ i, Module.Finite R (N i)] [∀ i, Module.Free R (N i)] :
    Module.Free R (MultilinearMap R N M₂) ∧ Module.Finite R (MultilinearMap R N M₂)

Proof state:
case zero
R : Type u_2
M₂ : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : Module.Finite R M₂
inst✝⁴ : Module.Free R M₂
N : Fin 0 → Type u_5
inst✝³ : (i : Fin 0) → AddCommGroup (N i)
inst✝² : (i : Fin 0) → Module R (N i)
inst✝¹ : ∀ (i : Fin 0), Module.Finite R (N i)
inst✝ : ∀ (i : Fin 0), Module.Free R (N i)
⊢ Module.Free R (MultilinearMap R N M₂) ∧ Module.Finite R (MultilinearMap R N M₂)

Tactic:
haveI : IsEmpty (Fin Nat.zero) := inferInstanceAs (IsEmpty (Fin 0))

Result:
case zero
R : Type u_2
M₂ : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : Module.Finite R M₂
inst✝⁴ : Module.Free R M₂
N : Fin 0 → Type u_5
inst✝³ : (i : Fin 0) → AddCommGroup (N i)
inst✝² : (i : Fin 0) → Module R (N i)
inst✝¹ : ∀ (i : Fin 0), Module.Finite R (N i)
inst✝ : ∀ (i : Fin 0), Module.Free R (N i)
this : IsEmpty (Fin Nat.zero)
⊢ Module.Free R (MultilinearMap R N M₂) ∧ Module.Finite R (MultilinearMap R N M₂)

Proof state:
R : Type u_2
M₂ : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : Module.Finite R M₂
inst✝⁴ : Module.Free R M₂
n : ℕ
ih :
  ∀ (N : Fin n → Type u_5) [inst : (i : Fin n) → AddCommGroup (N i)] [inst_1 : (i : Fin n) → Module R (N i)]
    [inst_2 : ∀ (i : Fin n), Module.Finite R (N i)] [inst_3 : ∀ (i : Fin n), Module.Free R (N i)],
    Module.Free R (MultilinearMap R N M₂) ∧ Module.Finite R (MultilinearMap R N M₂)
N : Fin (n + 1) → Type u_5
inst✝³ : (i : Fin (n + 1)) → AddCommGroup (N i)
inst✝² : (i : Fin (n + 1)) → Module R (N i)
inst✝¹ : ∀ (i : Fin (n + 1)), Module.Finite R (N i)
inst✝ : ∀ (i : Fin (n + 1)), Module.Free R (N i)
this :
  Module.Free R (N 0 →ₗ[R] MultilinearMap R (fun i => N i.succ) M₂) ∧
    Module.Finite R (N 0 →ₗ[R] MultilinearMap R (fun i => N i.succ) M₂)
⊢ Module.Free R (MultilinearMap R N M₂) ∧ Module.Finite R (MultilinearMap R N M₂)

Tactic:
cases this

Result:
case intro
R : Type u_2
M₂ : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : Module.Finite R M₂
inst✝⁴ : Module.Free R M₂
n : ℕ
ih :
  ∀ (N : Fin n → Type u_5) [inst : (i : Fin n) → AddCommGroup (N i)] [inst_1 : (i : Fin n) → Module R (N i)]
    [inst_2 : ∀ (i : Fin n), Module.Finite R (N i)] [inst_3 : ∀ (i : Fin n), Module.Free R (N i)],
    Module.Free R (MultilinearMap R N M₂) ∧ Module.Finite R (MultilinearMap R N M₂)
N : Fin (n + 1) → Type u_5
inst✝³ : (i : Fin (n + 1)) → AddCommGroup (N i)
inst✝² : (i : Fin (n + 1)) → Module R (N i)
inst✝¹ : ∀ (i : Fin (n + 1)), Module.Finite R (N i)
inst✝ : ∀ (i : Fin (n + 1)), Module.Free R (N i)
left✝ : Module.Free R (N 0 →ₗ[R] MultilinearMap R (fun i => N i.succ) M₂)
right✝ : Module.Finite R (N 0 →ₗ[R] MultilinearMap R (fun i => N i.succ) M₂)
⊢ Module.Free R (MultilinearMap R N M₂) ∧ Module.Finite R (MultilinearMap R N M₂)

Proof state:
case zero
R : Type u_2
M₂ : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : Module.Finite R M₂
inst✝⁴ : Module.Free R M₂
N : Fin 0 → Type u_5
inst✝³ : (i : Fin 0) → AddCommGroup (N i)
inst✝² : (i : Fin 0) → Module R (N i)
inst✝¹ : ∀ (i : Fin 0), Module.Finite R (N i)
inst✝ : ∀ (i : Fin 0), Module.Free R (N i)
this : IsEmpty (Fin Nat.zero)
⊢ Module.Free R (MultilinearMap R N M₂) ∧ Module.Finite R (MultilinearMap R N M₂)

Tactic:
exact
  ⟨Module.Free.of_equiv (constLinearEquivOfIsEmpty R R N M₂),
    Module.Finite.equiv (constLinearEquivOfIsEmpty R R N M₂)⟩

Result:
no goals

Proof state:
R : Type u_2
M₂ : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : Module.Finite R M₂
inst✝⁴ : Module.Free R M₂
n : ℕ
N : Fin n → Type u_5
inst✝³ : (i : Fin n) → AddCommGroup (N i)
inst✝² : (i : Fin n) → Module R (N i)
inst✝¹ : ∀ (i : Fin n), Module.Finite R (N i)
inst✝ : ∀ (i : Fin n), Module.Free R (N i)
⊢ Module.Free R (MultilinearMap R N M₂) ∧ Module.Finite R (MultilinearMap R N M₂)

Tactic:
induction n with
| zero =>
  haveI : IsEmpty (Fin Nat.zero) := inferInstanceAs (IsEmpty (Fin 0))
  exact
    ⟨Module.Free.of_equiv (constLinearEquivOfIsEmpty R R N M₂),
      Module.Finite.equiv (constLinearEquivOfIsEmpty R R N M₂)⟩
| succ n ih =>
  suffices
    Module.Free R (N 0 →ₗ[R] MultilinearMap R (fun i : Fin n => N i.succ) M₂) ∧
      Module.Finite R (N 0 →ₗ[R] MultilinearMap R (fun i : Fin n => N i.succ) M₂) by
    cases this
    exact
      ⟨Module.Free.of_equiv (multilinearCurryLeftEquiv R N M₂).symm,
        Module.Finite.equiv (multilinearCurryLeftEquiv R N M₂).symm⟩
  cases ih fun i => N i.succ
  exact ⟨Module.Free.linearMap _ _ _ _, Module.Finite.linearMap _ _ _ _⟩

Result:
no goals

Proof state:
case succ
R : Type u_2
M₂ : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : Module.Finite R M₂
inst✝⁴ : Module.Free R M₂
n : ℕ
ih :
  ∀ (N : Fin n → Type u_5) [inst : (i : Fin n) → AddCommGroup (N i)] [inst_1 : (i : Fin n) → Module R (N i)]
    [inst_2 : ∀ (i : Fin n), Module.Finite R (N i)] [inst_3 : ∀ (i : Fin n), Module.Free R (N i)],
    Module.Free R (MultilinearMap R N M₂) ∧ Module.Finite R (MultilinearMap R N M₂)
N : Fin (n + 1) → Type u_5
inst✝³ : (i : Fin (n + 1)) → AddCommGroup (N i)
inst✝² : (i : Fin (n + 1)) → Module R (N i)
inst✝¹ : ∀ (i : Fin (n + 1)), Module.Finite R (N i)
inst✝ : ∀ (i : Fin (n + 1)), Module.Free R (N i)
⊢ Module.Free R (MultilinearMap R N M₂) ∧ Module.Finite R (MultilinearMap R N M₂)

Tactic:
suffices
  Module.Free R (N 0 →ₗ[R] MultilinearMap R (fun i : Fin n => N i.succ) M₂) ∧
    Module.Finite R (N 0 →ₗ[R] MultilinearMap R (fun i : Fin n => N i.succ) M₂) by
  cases this
  exact
    ⟨Module.Free.of_equiv (multilinearCurryLeftEquiv R N M₂).symm,
      Module.Finite.equiv (multilinearCurryLeftEquiv R N M₂).symm⟩

Result:
case succ
R : Type u_2
M₂ : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : Module.Finite R M₂
inst✝⁴ : Module.Free R M₂
n : ℕ
ih :
  ∀ (N : Fin n → Type u_5) [inst : (i : Fin n) → AddCommGroup (N i)] [inst_1 : (i : Fin n) → Module R (N i)]
    [inst_2 : ∀ (i : Fin n), Module.Finite R (N i)] [inst_3 : ∀ (i : Fin n), Module.Free R (N i)],
    Module.Free R (MultilinearMap R N M₂) ∧ Module.Finite R (MultilinearMap R N M₂)
N : Fin (n + 1) → Type u_5
inst✝³ : (i : Fin (n + 1)) → AddCommGroup (N i)
inst✝² : (i : Fin (n + 1)) → Module R (N i)
inst✝¹ : ∀ (i : Fin (n + 1)), Module.Finite R (N i)
inst✝ : ∀ (i : Fin (n + 1)), Module.Free R (N i)
⊢ Module.Free R (N 0 →ₗ[R] MultilinearMap R (fun i => N i.succ) M₂) ∧
    Module.Finite R (N 0 →ₗ[R] MultilinearMap R (fun i => N i.succ) M₂)

Proof state:
case intro
R : Type u_2
M₂ : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : Module.Finite R M₂
inst✝⁴ : Module.Free R M₂
n : ℕ
ih :
  ∀ (N : Fin n → Type u_5) [inst : (i : Fin n) → AddCommGroup (N i)] [inst_1 : (i : Fin n) → Module R (N i)]
    [inst_2 : ∀ (i : Fin n), Module.Finite R (N i)] [inst_3 : ∀ (i : Fin n), Module.Free R (N i)],
    Module.Free R (MultilinearMap R N M₂) ∧ Module.Finite R (MultilinearMap R N M₂)
N : Fin (n + 1) → Type u_5
inst✝³ : (i : Fin (n + 1)) → AddCommGroup (N i)
inst✝² : (i : Fin (n + 1)) → Module R (N i)
inst✝¹ : ∀ (i : Fin (n + 1)), Module.Finite R (N i)
inst✝ : ∀ (i : Fin (n + 1)), Module.Free R (N i)
left✝ : Module.Free R (N 0 →ₗ[R] MultilinearMap R (fun i => N i.succ) M₂)
right✝ : Module.Finite R (N 0 →ₗ[R] MultilinearMap R (fun i => N i.succ) M₂)
⊢ Module.Free R (MultilinearMap R N M₂) ∧ Module.Finite R (MultilinearMap R N M₂)

Tactic:
exact
  ⟨Module.Free.of_equiv (multilinearCurryLeftEquiv R N M₂).symm,
    Module.Finite.equiv (multilinearCurryLeftEquiv R N M₂).symm⟩

Result:
no goals