-- Mathlib/Probability/Independence/Kernel.lean
theorem indepSets_piiUnionInter_of_disjoint {s : ι → Set (Set Ω)}
    {S T : Set ι} (h_indep : iIndepSets s κ μ) (hST : Disjoint S T) :
    IndepSets (piiUnionInter s S) (piiUnionInter s T) κ μ

Proof state:
case h
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
s : ι → Set (Set Ω)
S T : Set ι
h_indep : iIndepSets s κ μ
hST : Disjoint S T
t1 t2 : Set Ω
p1 : Finset ι
hp1 : ↑p1 ⊆ S
f1 : ι → Set Ω
ht1_m : ∀ x ∈ p1, f1 x ∈ s x
ht1_eq : t1 = ⋂ x ∈ p1, f1 x
p2 : Finset ι
hp2 : ↑p2 ⊆ T
f2 : ι → Set Ω
ht2_m : ∀ x ∈ p2, f2 x ∈ s x
ht2_eq : t2 = ⋂ x ∈ p2, f2 x
g : ι → Set Ω := fun i => (if i ∈ p1 then f1 i else univ) ∩ if i ∈ p2 then f2 i else univ
hgm : ∀ i ∈ p1 ∪ p2, g i ∈ s i
h_p1_inter_p2 :
  (⋂ x ∈ p1, f1 x) ∩ ⋂ x ∈ p2, f2 x = ⋂ i ∈ p1 ∪ p2, (if i ∈ p1 then f1 i else univ) ∩ if i ∈ p2 then f2 i else univ
a : α
ha : (κ a) (⋂ i ∈ p1 ∪ p2, g i) = ∏ i ∈ p1 ∪ p2, (κ a) (g i)
⊢ (κ a) (t1 ∩ t2) = ∏ n ∈ p1 ∪ p2, (κ a) (g n)

Tactic:
rw [ht1_eq, ht2_eq, h_p1_inter_p2, ← ha]

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
s : ι → Set (Set Ω)
S T : Set ι
h_indep : iIndepSets s κ μ
hST : Disjoint S T
t1 t2 : Set Ω
p1 : Finset ι
hp1 : ↑p1 ⊆ S
f1 : ι → Set Ω
ht1_m : ∀ x ∈ p1, f1 x ∈ s x
ht1_eq : t1 = ⋂ x ∈ p1, f1 x
p2 : Finset ι
hp2 : ↑p2 ⊆ T
f2 : ι → Set Ω
ht2_m : ∀ x ∈ p2, f2 x ∈ s x
ht2_eq : t2 = ⋂ x ∈ p2, f2 x
g : ι → Set Ω := fun i => (if i ∈ p1 then f1 i else univ) ∩ if i ∈ p2 then f2 i else univ
h_P_inter : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (t1 ∩ t2) = ∏ n ∈ p1 ∪ p2, (κ a) (g n)
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (t1 ∩ t2) = (κ a) t1 * (κ a) t2

Tactic:
filter_upwards [h_P_inter, h_indep p1 ht1_m, h_indep p2 ht2_m, h_indep.ae_isProbabilityMeasure]
  with a h_P_inter ha1 ha2 h'

Result:
case h
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
s : ι → Set (Set Ω)
S T : Set ι
h_indep : iIndepSets s κ μ
hST : Disjoint S T
t1 t2 : Set Ω
p1 : Finset ι
hp1 : ↑p1 ⊆ S
f1 : ι → Set Ω
ht1_m : ∀ x ∈ p1, f1 x ∈ s x
ht1_eq : t1 = ⋂ x ∈ p1, f1 x
p2 : Finset ι
hp2 : ↑p2 ⊆ T
f2 : ι → Set Ω
ht2_m : ∀ x ∈ p2, f2 x ∈ s x
ht2_eq : t2 = ⋂ x ∈ p2, f2 x
g : ι → Set Ω := fun i => (if i ∈ p1 then f1 i else univ) ∩ if i ∈ p2 then f2 i else univ
h_P_inter✝ : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (t1 ∩ t2) = ∏ n ∈ p1 ∪ p2, (κ a) (g n)
a : α
h_P_inter : (κ a) (t1 ∩ t2) = ∏ n ∈ p1 ∪ p2, (κ a) (g n)
ha1 : (κ a) (⋂ i ∈ p1, f1 i) = ∏ i ∈ p1, (κ a) (f1 i)
ha2 : (κ a) (⋂ i ∈ p2, f2 i) = ∏ i ∈ p2, (κ a) (f2 i)
h' : IsProbabilityMeasure (κ a)
⊢ (κ a) (t1 ∩ t2) = (κ a) t1 * (κ a) t2

Proof state:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
s : ι → Set (Set Ω)
S T : Set ι
h_indep : iIndepSets s κ μ
hST : Disjoint S T
t1 t2 : Set Ω
p1 : Finset ι
hp1 : ↑p1 ⊆ S
f1 : ι → Set Ω
ht1_m : ∀ x ∈ p1, f1 x ∈ s x
ht1_eq : t1 = ⋂ x ∈ p1, f1 x
p2 : Finset ι
hp2 : ↑p2 ⊆ T
f2 : ι → Set Ω
ht2_m : ∀ x ∈ p2, f2 x ∈ s x
ht2_eq : t2 = ⋂ x ∈ p2, f2 x
g : ι → Set Ω := fun i => (if i ∈ p1 then f1 i else univ) ∩ if i ∈ p2 then f2 i else univ
i : ι
hi_mem_union : i ∈ p1 ∨ i ∈ p2
⊢ g i ∈ s i

Tactic:
rcases hi_mem_union with hi1 | hi2

Result:
case inl
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
s : ι → Set (Set Ω)
S T : Set ι
h_indep : iIndepSets s κ μ
hST : Disjoint S T
t1 t2 : Set Ω
p1 : Finset ι
hp1 : ↑p1 ⊆ S
f1 : ι → Set Ω
ht1_m : ∀ x ∈ p1, f1 x ∈ s x
ht1_eq : t1 = ⋂ x ∈ p1, f1 x
p2 : Finset ι
hp2 : ↑p2 ⊆ T
f2 : ι → Set Ω
ht2_m : ∀ x ∈ p2, f2 x ∈ s x
ht2_eq : t2 = ⋂ x ∈ p2, f2 x
g : ι → Set Ω := fun i => (if i ∈ p1 then f1 i else univ) ∩ if i ∈ p2 then f2 i else univ
i : ι
hi1 : i ∈ p1
⊢ g i ∈ s i

case inr
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
s : ι → Set (Set Ω)
S T : Set ι
h_indep : iIndepSets s κ μ
hST : Disjoint S T
t1 t2 : Set Ω
p1 : Finset ι
hp1 : ↑p1 ⊆ S
f1 : ι → Set Ω
ht1_m : ∀ x ∈ p1, f1 x ∈ s x
ht1_eq : t1 = ⋂ x ∈ p1, f1 x
p2 : Finset ι
hp2 : ↑p2 ⊆ T
f2 : ι → Set Ω
ht2_m : ∀ x ∈ p2, f2 x ∈ s x
ht2_eq : t2 = ⋂ x ∈ p2, f2 x
g : ι → Set Ω := fun i => (if i ∈ p1 then f1 i else univ) ∩ if i ∈ p2 then f2 i else univ
i : ι
hi2 : i ∈ p2
⊢ g i ∈ s i

Proof state:
case pos
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
s : ι → Set (Set Ω)
S T : Set ι
h_indep : iIndepSets s κ μ
hST : Disjoint S T
t1 t2 : Set Ω
p1 : Finset ι
hp1 : ↑p1 ⊆ S
f1 : ι → Set Ω
ht1_m : ∀ x ∈ p1, f1 x ∈ s x
ht1_eq : t1 = ⋂ x ∈ p1, f1 x
p2 : Finset ι
hp2 : ↑p2 ⊆ T
f2 : ι → Set Ω
ht2_m : ∀ x ∈ p2, f2 x ∈ s x
ht2_eq : t2 = ⋂ x ∈ p2, f2 x
g : ι → Set Ω := fun i => (if i ∈ p1 then f1 i else univ) ∩ if i ∈ p2 then f2 i else univ
h_P_inter✝ : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (t1 ∩ t2) = ∏ n ∈ p1 ∪ p2, (κ a) (g n)
a : α
h_P_inter : (κ a) (t1 ∩ t2) = ∏ n ∈ p1 ∪ p2, (κ a) (g n)
ha1 : (κ a) (⋂ i ∈ p1, f1 i) = ∏ i ∈ p1, (κ a) (f1 i)
ha2 : (κ a) (⋂ i ∈ p2, f2 i) = ∏ i ∈ p2, (κ a) (f2 i)
h' : IsProbabilityMeasure (κ a)
n : ι
h1 : n ∈ p1
h2 : n ∈ p2
⊢ (κ a) (f1 n ∩ f2 n) = (κ a) (f1 n) * (κ a) (f2 n)

Tactic:
exact absurd rfl (Set.disjoint_iff_forall_ne.mp hST (hp1 h1) (hp2 h2))

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
s : ι → Set (Set Ω)
S T : Set ι
h_indep : iIndepSets s κ μ
hST : Disjoint S T
t1 t2 : Set Ω
p1 : Finset ι
hp1 : ↑p1 ⊆ S
f1 : ι → Set Ω
ht1_m : ∀ x ∈ p1, f1 x ∈ s x
ht1_eq : t1 = ⋂ x ∈ p1, f1 x
p2 : Finset ι
hp2 : ↑p2 ⊆ T
f2 : ι → Set Ω
ht2_m : ∀ x ∈ p2, f2 x ∈ s x
ht2_eq : t2 = ⋂ x ∈ p2, f2 x
g : ι → Set Ω := fun i => (if i ∈ p1 then f1 i else univ) ∩ if i ∈ p2 then f2 i else univ
h_P_inter✝ : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (t1 ∩ t2) = ∏ n ∈ p1 ∪ p2, (κ a) (g n)
a : α
h_P_inter : (κ a) (t1 ∩ t2) = ∏ n ∈ p1 ∪ p2, (κ a) (g n)
ha1 : (κ a) (⋂ i ∈ p1, f1 i) = ∏ i ∈ p1, (κ a) (f1 i)
ha2 : (κ a) (⋂ i ∈ p2, f2 i) = ∏ i ∈ p2, (κ a) (f2 i)
h' : IsProbabilityMeasure (κ a)
n : ι
⊢ (κ a) (g n) = (if n ∈ p1 then (κ a) (f1 n) else 1) * if n ∈ p2 then (κ a) (f2 n) else 1

Tactic:
dsimp only [g]

Result:
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
s : ι → Set (Set Ω)
S T : Set ι
h_indep : iIndepSets s κ μ
hST : Disjoint S T
t1 t2 : Set Ω
p1 : Finset ι
hp1 : ↑p1 ⊆ S
f1 : ι → Set Ω
ht1_m : ∀ x ∈ p1, f1 x ∈ s x
ht1_eq : t1 = ⋂ x ∈ p1, f1 x
p2 : Finset ι
hp2 : ↑p2 ⊆ T
f2 : ι → Set Ω
ht2_m : ∀ x ∈ p2, f2 x ∈ s x
ht2_eq : t2 = ⋂ x ∈ p2, f2 x
g : ι → Set Ω := fun i => (if i ∈ p1 then f1 i else univ) ∩ if i ∈ p2 then f2 i else univ
h_P_inter✝ : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, (κ a) (t1 ∩ t2) = ∏ n ∈ p1 ∪ p2, (κ a) (g n)
a : α
h_P_inter : (κ a) (t1 ∩ t2) = ∏ n ∈ p1 ∪ p2, (κ a) (g n)
ha1 : (κ a) (⋂ i ∈ p1, f1 i) = ∏ i ∈ p1, (κ a) (f1 i)
ha2 : (κ a) (⋂ i ∈ p2, f2 i) = ∏ i ∈ p2, (κ a) (f2 i)
h' : IsProbabilityMeasure (κ a)
n : ι
⊢ (κ a) ((if n ∈ p1 then f1 n else univ) ∩ if n ∈ p2 then f2 n else univ) =
    (if n ∈ p1 then (κ a) (f1 n) else 1) * if n ∈ p2 then (κ a) (f2 n) else 1

Proof state:
case inr
α : Type u_1
Ω : Type u_2
ι : Type u_3
_mα : MeasurableSpace α
_mΩ : MeasurableSpace Ω
κ : Kernel α Ω
μ : Measure α
s : ι → Set (Set Ω)
S T : Set ι
h_indep : iIndepSets s κ μ
hST : Disjoint S T
t1 t2 : Set Ω
p1 : Finset ι
hp1 : ↑p1 ⊆ S
f1 : ι → Set Ω
ht1_m : ∀ x ∈ p1, f1 x ∈ s x
ht1_eq : t1 = ⋂ x ∈ p1, f1 x
p2 : Finset ι
hp2 : ↑p2 ⊆ T
f2 : ι → Set Ω
ht2_m : ∀ x ∈ p2, f2 x ∈ s x
ht2_eq : t2 = ⋂ x ∈ p2, f2 x
g : ι → Set Ω := fun i => (if i ∈ p1 then f1 i else univ) ∩ if i ∈ p2 then f2 i else univ
i : ι
hi2 : i ∈ p2
hi1 : i ∉ p1
⊢ f2 i ∈ s i

Tactic:
exact ht2_m i hi2

Result:
no goals