-- Mathlib/RingTheory/UniqueFactorizationDomain/Basic.lean
theorem exists_reduced_factors :
    ∀ a ≠ (0 : R), ∀ b,
      ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = a ∧ c' * b' = b

Proof state:
case refine_2
R : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
a : R
⊢ ∀ (x : R), IsUnit x → x ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = x ∧ c' * b' = b

Tactic:
intro a a_unit _ b

Result:
case refine_2
R : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
a✝¹ a : R
a_unit : IsUnit a
a✝ : a ≠ 0
b : R
⊢ ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = a ∧ c' * b' = b

Proof state:
case neg.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
a p : R
p_prime : Prime p
a' b' c' : R
coprime : IsRelPrime a' b'
a_ne_zero : c' * a' ≠ 0
ih_a : c' * a' ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ a'_1 b' c'_1, IsRelPrime a'_1 b' ∧ c'_1 * a'_1 = c' * a' ∧ c'_1 * b' = b
pa_ne_zero : p * (c' * a') ≠ 0
h : ¬p ∣ c' * b'
⊢ ∃ a'_1 b'_1 c'_1, IsRelPrime a'_1 b'_1 ∧ c'_1 * a'_1 = p * (c' * a') ∧ c'_1 * b'_1 = c' * b'

Tactic:
refine ⟨p * a', b', c', ?_, mul_left_comm _ _ _, rfl⟩

Result:
case neg.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
a p : R
p_prime : Prime p
a' b' c' : R
coprime : IsRelPrime a' b'
a_ne_zero : c' * a' ≠ 0
ih_a : c' * a' ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ a'_1 b' c'_1, IsRelPrime a'_1 b' ∧ c'_1 * a'_1 = c' * a' ∧ c'_1 * b' = b
pa_ne_zero : p * (c' * a') ≠ 0
h : ¬p ∣ c' * b'
⊢ IsRelPrime (p * a') b'

Proof state:
case neg.intro.intro.intro.intro.intro.inr
R : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
a p : R
p_prime : Prime p
a' b' c' : R
coprime : IsRelPrime a' b'
a_ne_zero : c' * a' ≠ 0
ih_a : c' * a' ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ a'_1 b' c'_1, IsRelPrime a'_1 b' ∧ c'_1 * a'_1 = c' * a' ∧ c'_1 * b' = b
pa_ne_zero : p * (c' * a') ≠ 0
h : ¬p ∣ c' * b'
q : R
q_dvd_pa' : q ∣ p * a'
q_dvd_b' : q ∣ b'
q_dvd_a' : q ∣ a'
⊢ IsUnit q

Tactic:
exact coprime q_dvd_a' q_dvd_b'

Result:
no goals

Proof state:
case refine_3
R : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
a✝ a p : R
a_ne_zero : a ≠ 0
p_prime : Prime p
ih_a : a ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = a ∧ c' * b' = b
pa_ne_zero : p * a ≠ 0
b : R
⊢ ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = p * a ∧ c' * b' = b

Tactic:
by_cases h : p ∣ b

Result:
case pos
R : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
a✝ a p : R
a_ne_zero : a ≠ 0
p_prime : Prime p
ih_a : a ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = a ∧ c' * b' = b
pa_ne_zero : p * a ≠ 0
b : R
h : p ∣ b
⊢ ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = p * a ∧ c' * b' = b

case neg
R : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
a✝ a p : R
a_ne_zero : a ≠ 0
p_prime : Prime p
ih_a : a ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = a ∧ c' * b' = b
pa_ne_zero : p * a ≠ 0
b : R
h : ¬p ∣ b
⊢ ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = p * a ∧ c' * b' = b

Proof state:
case h.left
R : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
a✝² a : R
a_unit : IsUnit a
a✝¹ : a ≠ 0
b p : R
p_dvd_a : p ∣ a
a✝ : p ∣ b
⊢ IsUnit p

Tactic:
exact isUnit_of_dvd_unit p_dvd_a a_unit

Result:
no goals

Proof state:
case neg.intro.intro.intro.intro.intro.inl
R : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
a p : R
p_prime : Prime p
a' b' c' : R
coprime : IsRelPrime a' b'
a_ne_zero : c' * a' ≠ 0
ih_a : c' * a' ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ a'_1 b' c'_1, IsRelPrime a'_1 b' ∧ c'_1 * a'_1 = c' * a' ∧ c'_1 * b' = b
pa_ne_zero : p * (c' * a') ≠ 0
h : ¬p ∣ c' * b'
q : R
q_dvd_pa' : q ∣ p * a'
q_dvd_b' : q ∣ b'
p_dvd_q : p ∣ q
this : p ∣ c' * b'
⊢ IsUnit q

Tactic:
contradiction

Result:
no goals

Proof state:
case pos.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
a✝ a p : R
a_ne_zero : a ≠ 0
p_prime : Prime p
ih_a : a ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = a ∧ c' * b' = b
pa_ne_zero : p * a ≠ 0
b a' b' c' : R
no_factor : IsRelPrime a' b'
ha' : c' * a' = a
hb' : c' * b' = b
⊢ ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = p * a ∧ c' * b' = p * b

Tactic:
refine ⟨a', b', p * c', @no_factor, ?_, ?_⟩

Result:
case pos.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
a✝ a p : R
a_ne_zero : a ≠ 0
p_prime : Prime p
ih_a : a ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = a ∧ c' * b' = b
pa_ne_zero : p * a ≠ 0
b a' b' c' : R
no_factor : IsRelPrime a' b'
ha' : c' * a' = a
hb' : c' * b' = b
⊢ p * c' * a' = p * a

case pos.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
R : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
a✝ a p : R
a_ne_zero : a ≠ 0
p_prime : Prime p
ih_a : a ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = a ∧ c' * b' = b
pa_ne_zero : p * a ≠ 0
b a' b' c' : R
no_factor : IsRelPrime a' b'
ha' : c' * a' = a
hb' : c' * b' = b
⊢ p * c' * b' = p * b

Proof state:
case neg
R : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
a✝ a p : R
a_ne_zero : a ≠ 0
p_prime : Prime p
ih_a : a ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = a ∧ c' * b' = b
pa_ne_zero : p * a ≠ 0
b : R
h : ¬p ∣ b
⊢ ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = p * a ∧ c' * b' = b

Tactic:
obtain ⟨a', b', c', coprime, rfl, rfl⟩ := ih_a a_ne_zero b

Result:
case neg.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
a p : R
p_prime : Prime p
a' b' c' : R
coprime : IsRelPrime a' b'
a_ne_zero : c' * a' ≠ 0
ih_a : c' * a' ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ a'_1 b' c'_1, IsRelPrime a'_1 b' ∧ c'_1 * a'_1 = c' * a' ∧ c'_1 * b' = b
pa_ne_zero : p * (c' * a') ≠ 0
h : ¬p ∣ c' * b'
⊢ ∃ a'_1 b'_1 c'_1, IsRelPrime a'_1 b'_1 ∧ c'_1 * a'_1 = p * (c' * a') ∧ c'_1 * b'_1 = c' * b'

Proof state:
R : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
⊢ ∀ (a : R), a ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = a ∧ c' * b' = b

Tactic:
intro a

Result:
R : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
a : R
⊢ a ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = a ∧ c' * b' = b

Proof state:
R : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
a : R
⊢ a ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = a ∧ c' * b' = b

Tactic:
refine induction_on_prime a ?_ ?_ ?_

Result:
case refine_1
R : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
a : R
⊢ 0 ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = 0 ∧ c' * b' = b

case refine_2
R : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
a : R
⊢ ∀ (x : R), IsUnit x → x ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = x ∧ c' * b' = b

case refine_3
R : Type u_2
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
a : R
⊢ ∀ (a p : R),
    a ≠ 0 →
      Prime p →
        (a ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = a ∧ c' * b' = b) →
          p * a ≠ 0 → ∀ (b : R), ∃ a' b' c', IsRelPrime a' b' ∧ c' * a' = p * a ∧ c' * b' = b