-- Mathlib/LinearAlgebra/RootSystem/Basic.lean
private lemma coroot_eq_coreflection_of_root_eq_of_span_eq_top [CharZero R] [NoZeroSMulDivisors R M]
    (p : PerfectPairing R M N)
    (root : ι ↪ M)
    (coroot : ι ↪ N)
    (hp : ∀ i, p (root i) (coroot i) = 2)
    (hs : ∀ i, MapsTo (preReflection (root i) (p.flip (coroot i))) (range root) (range root))
    (hsp : span R (range root) = ⊤)
    {i j k : ι} (hk : root k = preReflection (root i) (p.flip (coroot i)) (root j)) :
    coroot k = preReflection (coroot i) (p (root i)) (coroot j)

Proof state:
case a.hg₁
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
p : PerfectPairing R M N
root : ι ↪ M
coroot : ι ↪ N
hp : ∀ (i : ι), (p (root i)) (coroot i) = 2
hs : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (root i) (p.flip (coroot i)))) (range ⇑root) (range ⇑root)
hsp : span R (range ⇑root) = ⊤
i j k : ι
α : M := root i
β : M := root j
α' : N := coroot i
β' : N := coroot j
sα : End R M := preReflection α (p.flip α')
hk : root k = sα β
sβ : End R M := preReflection β (p.flip β')
sα' : End R N := preReflection α' (p α)
hij : preReflection (sα β) (p.toLin.flip (sα' β')) = sα ∘ₗ sβ ∘ₗ sα
hk₀ : root k ≠ 0
⊢ (p.toLin.flip ((preReflection α' (p α)) β')) (root k) = 2

Tactic:
simp [map_sub, α, β, α', β', sα, sβ, sα', hk, preReflection_apply, hp i, hp j, mul_two,
  mul_comm (p α β')]

Result:
case a.hg₁
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
p : PerfectPairing R M N
root : ι ↪ M
coroot : ι ↪ N
hp : ∀ (i : ι), (p (root i)) (coroot i) = 2
hs : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (root i) (p.flip (coroot i)))) (range ⇑root) (range ⇑root)
hsp : span R (range ⇑root) = ⊤
i j k : ι
α : M := root i
β : M := root j
α' : N := coroot i
β' : N := coroot j
sα : End R M := preReflection α (p.flip α')
hk : root k = sα β
sβ : End R M := preReflection β (p.flip β')
sα' : End R N := preReflection α' (p α)
hij : preReflection (sα β) (p.toLin.flip (sα' β')) = sα ∘ₗ sβ ∘ₗ sα
hk₀ : root k ≠ 0
⊢ 2 - (p (root j)) (coroot i) * (p (root i)) (coroot j) -
      (p (root j)) (coroot i) * ((p (root i)) (coroot j) - 2 * (p (root i)) (coroot j)) =
    2

Proof state:
case a.hg₂
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
p : PerfectPairing R M N
root : ι ↪ M
coroot : ι ↪ N
hp : ∀ (i : ι), (p (root i)) (coroot i) = 2
hs : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (root i) (p.flip (coroot i)))) (range ⇑root) (range ⇑root)
hsp : span R (range ⇑root) = ⊤
i j k : ι
α : M := root i
β : M := root j
α' : N := coroot i
β' : N := coroot j
sα : End R M := preReflection α (p.flip α')
hk : root k = sα β
sβ : End R M := preReflection β (p.flip β')
sα' : End R N := preReflection α' (p α)
hij : preReflection (sα β) (p.toLin.flip (sα' β')) = sα ∘ₗ sβ ∘ₗ sα
hk₀ : root k ≠ 0
⊢ MapsTo (⇑(sα ∘ₗ sβ ∘ₗ sα)) (range ⇑root) (range ⇑root)

Tactic:
exact (hs i).comp <| (hs j).comp (hs i)

Result:
no goals

Proof state:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
p : PerfectPairing R M N
root : ι ↪ M
coroot : ι ↪ N
hp : ∀ (i : ι), (p (root i)) (coroot i) = 2
hs : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (root i) (p.flip (coroot i)))) (range ⇑root) (range ⇑root)
hsp : span R (range ⇑root) = ⊤
i j k : ι
α : M := root i
β : M := root j
α' : N := coroot i
β' : N := coroot j
sα : End R M := preReflection α (p.flip α')
hk : root k = sα β
sβ : End R M := preReflection β (p.flip β')
sα' : End R N := preReflection α' (p α)
x✝ : M
⊢ (p.flip (coroot i)) (root i) = 2

Tactic:
rw [PerfectPairing.flip_apply_apply, hp i]

Result:
no goals

Proof state:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
p : PerfectPairing R M N
root : ι ↪ M
coroot : ι ↪ N
hp : ∀ (i : ι), (p (root i)) (coroot i) = 2
hs : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (root i) (p.flip (coroot i)))) (range ⇑root) (range ⇑root)
hsp : span R (range ⇑root) = ⊤
i j k : ι
α : M := root i
β : M := root j
α' : N := coroot i
β' : N := coroot j
sα : End R M := preReflection α (p.flip α')
hk : root k = sα β
sβ : End R M := preReflection β (p.flip β')
sα' : End R N := preReflection α' (p α)
hij : preReflection (sα β) (p.toLin.flip (sα' β')) = sα ∘ₗ sβ ∘ₗ sα
hk₀ : root k ≠ 0
⊢ coroot k = (preReflection α' (p α)) β'

Tactic:
apply p.bijectiveRight.injective

Result:
case a
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
p : PerfectPairing R M N
root : ι ↪ M
coroot : ι ↪ N
hp : ∀ (i : ι), (p (root i)) (coroot i) = 2
hs : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (root i) (p.flip (coroot i)))) (range ⇑root) (range ⇑root)
hsp : span R (range ⇑root) = ⊤
i j k : ι
α : M := root i
β : M := root j
α' : N := coroot i
β' : N := coroot j
sα : End R M := preReflection α (p.flip α')
hk : root k = sα β
sβ : End R M := preReflection β (p.flip β')
sα' : End R N := preReflection α' (p α)
hij : preReflection (sα β) (p.toLin.flip (sα' β')) = sα ∘ₗ sβ ∘ₗ sα
hk₀ : root k ≠ 0
⊢ p.toLin.flip (coroot k) = p.toLin.flip ((preReflection α' (p α)) β')

Proof state:
case h
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
p : PerfectPairing R M N
root : ι ↪ M
coroot : ι ↪ N
hp : ∀ (i : ι), (p (root i)) (coroot i) = 2
hs : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (root i) (p.flip (coroot i)))) (range ⇑root) (range ⇑root)
hsp : span R (range ⇑root) = ⊤
i j k : ι
α : M := root i
β : M := root j
α' : N := coroot i
β' : N := coroot j
sα : End R M := preReflection α (p.flip α')
hk : root k = sα β
sβ : End R M := preReflection β (p.flip β')
sα' : End R N := preReflection α' (p α)
x✝ : M
⊢ (preReflection (sα β) (p.toLin.flip (sα' β'))) x✝ = (sα ∘ₗ sβ ∘ₗ sα) x✝

Tactic:
have hpi : (p.flip (coroot i)) (root i) = 2 := by rw [PerfectPairing.flip_apply_apply, hp i]

Result:
case h
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Finite ι
inst✝¹ : CharZero R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
p : PerfectPairing R M N
root : ι ↪ M
coroot : ι ↪ N
hp : ∀ (i : ι), (p (root i)) (coroot i) = 2
hs : ∀ (i : ι), MapsTo (⇑(preReflection (root i) (p.flip (coroot i)))) (range ⇑root) (range ⇑root)
hsp : span R (range ⇑root) = ⊤
i j k : ι
α : M := root i
β : M := root j
α' : N := coroot i
β' : N := coroot j
sα : End R M := preReflection α (p.flip α')
hk : root k = sα β
sβ : End R M := preReflection β (p.flip β')
sα' : End R N := preReflection α' (p α)
x✝ : M
hpi : (p.flip (coroot i)) (root i) = 2
⊢ (preReflection (sα β) (p.toLin.flip (sα' β'))) x✝ = (sα ∘ₗ sβ ∘ₗ sα) x✝