-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Gluing.lean
theorem isOpen_iff (s : Set (Σi, E i)) :
    IsOpen s ↔ ∀ x ∈ s, ∃ ε > 0, ∀ y, dist x y < ε → y ∈ s

Proof state:
case mpr.intro.intro
ι : Type u_1
E : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MetricSpace (E i)
s : Set ((i : ι) × E i)
H : ∀ x ∈ s, ∃ ε > 0, ∀ (y : (i : ι) × E i), dist x y < ε → y ∈ s
i : ι
x : E i
hx : x ∈ Sigma.mk i ⁻¹' s
ε : ℝ
εpos : ε > 0
hε : ∀ (y : (j : ι) × E j), dist ⟨i, x⟩ y < ε → y ∈ s
y : E i
hy : y ∈ ball x ε
⊢ y ∈ Sigma.mk i ⁻¹' s

Tactic:
apply hε ⟨i, y⟩

Result:
case mpr.intro.intro
ι : Type u_1
E : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MetricSpace (E i)
s : Set ((i : ι) × E i)
H : ∀ x ∈ s, ∃ ε > 0, ∀ (y : (i : ι) × E i), dist x y < ε → y ∈ s
i : ι
x : E i
hx : x ∈ Sigma.mk i ⁻¹' s
ε : ℝ
εpos : ε > 0
hε : ∀ (y : (j : ι) × E j), dist ⟨i, x⟩ y < ε → y ∈ s
y : E i
hy : y ∈ ball x ε
⊢ dist ⟨i, x⟩ ⟨i, y⟩ < ε

Proof state:
case mp.mk.intro.intro.mk.inl
ι : Type u_1
E : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MetricSpace (E i)
s : Set ((i : ι) × E i)
hs : IsOpen s
i : ι
x : E i
hx : ⟨i, x⟩ ∈ s
ε : ℝ
εpos : ε > 0
hε : ball x ε ⊆ Sigma.mk i ⁻¹' s
y : E i
hy : dist ⟨i, x⟩ ⟨i, y⟩ < ε ⊓ 1
⊢ ⟨i, y⟩ ∈ s

Tactic:
simp only [Sigma.dist_same, lt_min_iff] at hy

Result:
case mp.mk.intro.intro.mk.inl
ι : Type u_1
E : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MetricSpace (E i)
s : Set ((i : ι) × E i)
hs : IsOpen s
i : ι
x : E i
hx : ⟨i, x⟩ ∈ s
ε : ℝ
εpos : ε > 0
hε : ball x ε ⊆ Sigma.mk i ⁻¹' s
y : E i
hy : dist x y < ε ∧ dist x y < 1
⊢ ⟨i, y⟩ ∈ s

Proof state:
case mp.mk.intro.intro.mk.inl
ι : Type u_1
E : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MetricSpace (E i)
s : Set ((i : ι) × E i)
hs : IsOpen s
i : ι
x : E i
hx : ⟨i, x⟩ ∈ s
ε : ℝ
εpos : ε > 0
hε : ball x ε ⊆ Sigma.mk i ⁻¹' s
y : E i
hy : dist x y < ε ∧ dist x y < 1
⊢ ⟨i, y⟩ ∈ s

Tactic:
exact hε (mem_ball'.2 hy.1)

Result:
no goals

Proof state:
case mpr
ι : Type u_1
E : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MetricSpace (E i)
s : Set ((i : ι) × E i)
H : ∀ x ∈ s, ∃ ε > 0, ∀ (y : (i : ι) × E i), dist x y < ε → y ∈ s
i : ι
x : E i
hx : x ∈ Sigma.mk i ⁻¹' s
⊢ ∃ ε > 0, ball x ε ⊆ Sigma.mk i ⁻¹' s

Tactic:
obtain ⟨ε, εpos, hε⟩ : ∃ ε > 0, ∀ y, dist (⟨i, x⟩ : Σj, E j) y < ε → y ∈ s :=
  H ⟨i, x⟩ hx

Result:
case mpr.intro.intro
ι : Type u_1
E : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MetricSpace (E i)
s : Set ((i : ι) × E i)
H : ∀ x ∈ s, ∃ ε > 0, ∀ (y : (i : ι) × E i), dist x y < ε → y ∈ s
i : ι
x : E i
hx : x ∈ Sigma.mk i ⁻¹' s
ε : ℝ
εpos : ε > 0
hε : ∀ (y : (j : ι) × E j), dist ⟨i, x⟩ y < ε → y ∈ s
⊢ ∃ ε > 0, ball x ε ⊆ Sigma.mk i ⁻¹' s

Proof state:
case mpr
ι : Type u_1
E : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MetricSpace (E i)
s : Set ((i : ι) × E i)
⊢ (∀ x ∈ s, ∃ ε > 0, ∀ (y : (i : ι) × E i), dist x y < ε → y ∈ s) → IsOpen s

Tactic:
refine fun H => isOpen_sigma_iff.2 fun i => Metric.isOpen_iff.2 fun x hx => ?_

Result:
case mpr
ι : Type u_1
E : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MetricSpace (E i)
s : Set ((i : ι) × E i)
H : ∀ x ∈ s, ∃ ε > 0, ∀ (y : (i : ι) × E i), dist x y < ε → y ∈ s
i : ι
x : E i
hx : x ∈ Sigma.mk i ⁻¹' s
⊢ ∃ ε > 0, ball x ε ⊆ Sigma.mk i ⁻¹' s

Proof state:
case mp.mk.intro.intro.mk
ι : Type u_1
E : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MetricSpace (E i)
s : Set ((i : ι) × E i)
hs : IsOpen s
i : ι
x : E i
hx : ⟨i, x⟩ ∈ s
ε : ℝ
εpos : ε > 0
hε : ball x ε ⊆ Sigma.mk i ⁻¹' s
j : ι
y : E j
hy : dist ⟨i, x⟩ ⟨j, y⟩ < ε ⊓ 1
⊢ ⟨j, y⟩ ∈ s

Tactic:
rcases eq_or_ne i j with (rfl | hij)

Result:
case mp.mk.intro.intro.mk.inl
ι : Type u_1
E : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MetricSpace (E i)
s : Set ((i : ι) × E i)
hs : IsOpen s
i : ι
x : E i
hx : ⟨i, x⟩ ∈ s
ε : ℝ
εpos : ε > 0
hε : ball x ε ⊆ Sigma.mk i ⁻¹' s
y : E i
hy : dist ⟨i, x⟩ ⟨i, y⟩ < ε ⊓ 1
⊢ ⟨i, y⟩ ∈ s

case mp.mk.intro.intro.mk.inr
ι : Type u_1
E : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MetricSpace (E i)
s : Set ((i : ι) × E i)
hs : IsOpen s
i : ι
x : E i
hx : ⟨i, x⟩ ∈ s
ε : ℝ
εpos : ε > 0
hε : ball x ε ⊆ Sigma.mk i ⁻¹' s
j : ι
y : E j
hy : dist ⟨i, x⟩ ⟨j, y⟩ < ε ⊓ 1
hij : i ≠ j
⊢ ⟨j, y⟩ ∈ s

Proof state:
ι : Type u_1
E : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MetricSpace (E i)
s : Set ((i : ι) × E i)
⊢ IsOpen s ↔ ∀ x ∈ s, ∃ ε > 0, ∀ (y : (i : ι) × E i), dist x y < ε → y ∈ s

Tactic:
constructor

Result:
case mp
ι : Type u_1
E : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MetricSpace (E i)
s : Set ((i : ι) × E i)
⊢ IsOpen s → ∀ x ∈ s, ∃ ε > 0, ∀ (y : (i : ι) × E i), dist x y < ε → y ∈ s

case mpr
ι : Type u_1
E : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MetricSpace (E i)
s : Set ((i : ι) × E i)
⊢ (∀ x ∈ s, ∃ ε > 0, ∀ (y : (i : ι) × E i), dist x y < ε → y ∈ s) → IsOpen s

Proof state:
case mpr.intro.intro
ι : Type u_1
E : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MetricSpace (E i)
s : Set ((i : ι) × E i)
H : ∀ x ∈ s, ∃ ε > 0, ∀ (y : (i : ι) × E i), dist x y < ε → y ∈ s
i : ι
x : E i
hx : x ∈ Sigma.mk i ⁻¹' s
ε : ℝ
εpos : ε > 0
hε : ∀ (y : (j : ι) × E j), dist ⟨i, x⟩ y < ε → y ∈ s
y : E i
hy : y ∈ ball x ε
⊢ dist ⟨i, x⟩ ⟨i, y⟩ < ε

Tactic:
rw [Sigma.dist_same]

Result:
case mpr.intro.intro
ι : Type u_1
E : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MetricSpace (E i)
s : Set ((i : ι) × E i)
H : ∀ x ∈ s, ∃ ε > 0, ∀ (y : (i : ι) × E i), dist x y < ε → y ∈ s
i : ι
x : E i
hx : x ∈ Sigma.mk i ⁻¹' s
ε : ℝ
εpos : ε > 0
hε : ∀ (y : (j : ι) × E j), dist ⟨i, x⟩ y < ε → y ∈ s
y : E i
hy : y ∈ ball x ε
⊢ dist x y < ε

Proof state:
case mpr.intro.intro
ι : Type u_1
E : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MetricSpace (E i)
s : Set ((i : ι) × E i)
H : ∀ x ∈ s, ∃ ε > 0, ∀ (y : (i : ι) × E i), dist x y < ε → y ∈ s
i : ι
x : E i
hx : x ∈ Sigma.mk i ⁻¹' s
ε : ℝ
εpos : ε > 0
hε : ∀ (y : (j : ι) × E j), dist ⟨i, x⟩ y < ε → y ∈ s
⊢ ∃ ε > 0, ball x ε ⊆ Sigma.mk i ⁻¹' s

Tactic:
refine ⟨ε, εpos, fun y hy => ?_⟩

Result:
case mpr.intro.intro
ι : Type u_1
E : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MetricSpace (E i)
s : Set ((i : ι) × E i)
H : ∀ x ∈ s, ∃ ε > 0, ∀ (y : (i : ι) × E i), dist x y < ε → y ∈ s
i : ι
x : E i
hx : x ∈ Sigma.mk i ⁻¹' s
ε : ℝ
εpos : ε > 0
hε : ∀ (y : (j : ι) × E j), dist ⟨i, x⟩ y < ε → y ∈ s
y : E i
hy : y ∈ ball x ε
⊢ y ∈ Sigma.mk i ⁻¹' s

Proof state:
case mp.mk.intro.intro
ι : Type u_1
E : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MetricSpace (E i)
s : Set ((i : ι) × E i)
hs : IsOpen s
i : ι
x : E i
hx : ⟨i, x⟩ ∈ s
ε : ℝ
εpos : ε > 0
hε : ball x ε ⊆ Sigma.mk i ⁻¹' s
⊢ ∀ (y : (i : ι) × E i), dist ⟨i, x⟩ y < ε ⊓ 1 → y ∈ s

Tactic:
rintro ⟨j, y⟩ hy

Result:
case mp.mk.intro.intro.mk
ι : Type u_1
E : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MetricSpace (E i)
s : Set ((i : ι) × E i)
hs : IsOpen s
i : ι
x : E i
hx : ⟨i, x⟩ ∈ s
ε : ℝ
εpos : ε > 0
hε : ball x ε ⊆ Sigma.mk i ⁻¹' s
j : ι
y : E j
hy : dist ⟨i, x⟩ ⟨j, y⟩ < ε ⊓ 1
⊢ ⟨j, y⟩ ∈ s

Proof state:
ι : Type u_1
E : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MetricSpace (E i)
s : Set ((i : ι) × E i)
hs : IsOpen s
i : ι
x : E i
hx : ⟨i, x⟩ ∈ s
ε : ℝ
εpos : ε > 0
hε : ball x ε ⊆ Sigma.mk i ⁻¹' s
j : ι
y : E j
hy : dist ⟨i, x⟩ ⟨j, y⟩ < ε ⊓ 1
hij : i ≠ j
⊢ 1 < 1

Tactic:
calc
  1 ≤ Sigma.dist ⟨i, x⟩ ⟨j, y⟩ := Sigma.one_le_dist_of_ne hij _ _
  _ < 1 := hy.trans_le (min_le_right _ _)

Result:
no goals

Proof state:
case mp.mk.intro.intro
ι : Type u_1
E : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MetricSpace (E i)
s : Set ((i : ι) × E i)
hs : IsOpen s
i : ι
x : E i
hx : ⟨i, x⟩ ∈ s
ε : ℝ
εpos : ε > 0
hε : ball x ε ⊆ Sigma.mk i ⁻¹' s
⊢ ∃ ε > 0, ∀ (y : (i : ι) × E i), dist ⟨i, x⟩ y < ε → y ∈ s

Tactic:
refine ⟨min ε 1, lt_min εpos zero_lt_one, ?_⟩

Result:
case mp.mk.intro.intro
ι : Type u_1
E : ι → Type u_2
inst✝ : (i : ι) → MetricSpace (E i)
s : Set ((i : ι) × E i)
hs : IsOpen s
i : ι
x : E i
hx : ⟨i, x⟩ ∈ s
ε : ℝ
εpos : ε > 0
hε : ball x ε ⊆ Sigma.mk i ⁻¹' s
⊢ ∀ (y : (i : ι) × E i), dist ⟨i, x⟩ y < ε ⊓ 1 → y ∈ s