-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL1.lean
theorem norm_condExpIndL1Fin_le (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s ≠ ∞) (x : G) :
    ‖condExpIndL1Fin hm hs hμs x‖ ≤ (μ s).toReal * ‖x‖

Proof state:
α : Type u_1
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G
⊢ ∫⁻ (a : α), ‖↑↑(condExpIndL1Fin hm hs hμs x) a‖ₑ ∂μ = ∫⁻ (a : α), ‖↑↑(condExpIndSMul hm hs hμs x) a‖ₑ ∂μ

Tactic:
refine lintegral_congr_ae ?_

Result:
α : Type u_1
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G
⊢ (fun a => ‖↑↑(condExpIndL1Fin hm hs hμs x) a‖ₑ) =ᶠ[ae μ] fun a => ‖↑↑(condExpIndSMul hm hs hμs x) a‖ₑ

Proof state:
α : Type u_1
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G
z : α
hz : ↑↑(condExpIndL1Fin hm hs hμs x) z = ↑↑(condExpIndSMul hm hs hμs x) z
⊢ (fun a => ‖↑↑(condExpIndL1Fin hm hs hμs x) a‖ₑ) z = (fun a => ‖↑↑(condExpIndSMul hm hs hμs x) a‖ₑ) z

Tactic:
dsimp only

Result:
α : Type u_1
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G
z : α
hz : ↑↑(condExpIndL1Fin hm hs hμs x) z = ↑↑(condExpIndSMul hm hs hμs x) z
⊢ ‖↑↑(condExpIndL1Fin hm hs hμs x) z‖ₑ = ‖↑↑(condExpIndSMul hm hs hμs x) z‖ₑ

Proof state:
α : Type u_1
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G
h_eq : ∫⁻ (a : α), ‖↑↑(condExpIndL1Fin hm hs hμs x) a‖ₑ ∂μ = ∫⁻ (a : α), ‖↑↑(condExpIndSMul hm hs hμs x) a‖ₑ ∂μ
⊢ ∫⁻ (x_1 : α), ‖↑↑(condExpIndL1Fin hm hs hμs x) x_1‖ₑ ∂μ ≤ μ s * ENNReal.ofReal ‖x‖

Tactic:
rw [h_eq, ofReal_norm_eq_enorm]

Result:
α : Type u_1
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G
h_eq : ∫⁻ (a : α), ‖↑↑(condExpIndL1Fin hm hs hμs x) a‖ₑ ∂μ = ∫⁻ (a : α), ‖↑↑(condExpIndSMul hm hs hμs x) a‖ₑ ∂μ
⊢ ∫⁻ (a : α), ‖↑↑(condExpIndSMul hm hs hμs x) a‖ₑ ∂μ ≤ μ s * ‖x‖ₑ

Proof state:
α : Type u_1
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G
⊢ ∫⁻ (x_1 : α), ‖↑↑(condExpIndL1Fin hm hs hμs x) x_1‖ₑ ∂μ ≤ μ s * ENNReal.ofReal ‖x‖

Tactic:
have h_eq :
  ∫⁻ a, ‖condExpIndL1Fin hm hs hμs x a‖ₑ ∂μ = ∫⁻ a, ‖condExpIndSMul hm hs hμs x a‖ₑ ∂μ := by
  refine lintegral_congr_ae ?_
  refine (condExpIndL1Fin_ae_eq_condExpIndSMul hm hs hμs x).mono fun z hz => ?_
  dsimp only
  rw [hz]

Result:
α : Type u_1
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G
h_eq : ∫⁻ (a : α), ‖↑↑(condExpIndL1Fin hm hs hμs x) a‖ₑ ∂μ = ∫⁻ (a : α), ‖↑↑(condExpIndSMul hm hs hμs x) a‖ₑ ∂μ
⊢ ∫⁻ (x_1 : α), ‖↑↑(condExpIndL1Fin hm hs hμs x) x_1‖ₑ ∂μ ≤ μ s * ENNReal.ofReal ‖x‖

Proof state:
α : Type u_1
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G
z : α
hz : ↑↑(condExpIndL1Fin hm hs hμs x) z = ↑↑(condExpIndSMul hm hs hμs x) z
⊢ ‖↑↑(condExpIndL1Fin hm hs hμs x) z‖ₑ = ‖↑↑(condExpIndSMul hm hs hμs x) z‖ₑ

Tactic:
rw [hz]

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_1
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G
h_eq : ∫⁻ (a : α), ‖↑↑(condExpIndL1Fin hm hs hμs x) a‖ₑ ∂μ = ∫⁻ (a : α), ‖↑↑(condExpIndSMul hm hs hμs x) a‖ₑ ∂μ
⊢ ∫⁻ (a : α), ‖↑↑(condExpIndSMul hm hs hμs x) a‖ₑ ∂μ ≤ μ s * ‖x‖ₑ

Tactic:
exact lintegral_nnnorm_condExpIndSMul_le hm hs hμs x

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_1
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G
⊢ (fun a => ‖↑↑(condExpIndL1Fin hm hs hμs x) a‖ₑ) =ᶠ[ae μ] fun a => ‖↑↑(condExpIndSMul hm hs hμs x) a‖ₑ

Tactic:
refine (condExpIndL1Fin_ae_eq_condExpIndSMul hm hs hμs x).mono fun z hz => ?_

Result:
α : Type u_1
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G
z : α
hz : ↑↑(condExpIndL1Fin hm hs hμs x) z = ↑↑(condExpIndSMul hm hs hμs x) z
⊢ (fun a => ‖↑↑(condExpIndL1Fin hm hs hμs x) a‖ₑ) z = (fun a => ‖↑↑(condExpIndSMul hm hs hμs x) a‖ₑ) z

Proof state:
α : Type u_1
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G
⊢ ∫⁻ (x_1 : α), ‖↑↑(condExpIndL1Fin hm hs hμs x) x_1‖ₑ ∂μ ≤ μ s * ENNReal.ofReal ‖x‖

α : Type u_1
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G
⊢ Integrable (↑↑(condExpIndL1Fin hm hs hμs x)) μ

Tactic:
swap

Result:
α : Type u_1
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G
⊢ Integrable (↑↑(condExpIndL1Fin hm hs hμs x)) μ

α : Type u_1
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G
⊢ ∫⁻ (x_1 : α), ‖↑↑(condExpIndL1Fin hm hs hμs x) x_1‖ₑ ∂μ ≤ μ s * ENNReal.ofReal ‖x‖

Proof state:
α : Type u_1
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G
⊢ Integrable (↑↑(condExpIndL1Fin hm hs hμs x)) μ

Tactic:
rw [← memLp_one_iff_integrable]

Result:
α : Type u_1
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : G
⊢ MemLp (↑↑(condExpIndL1Fin hm hs hμs x)) 1 μ