-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Sphere/Power.lean
theorem mul_dist_eq_mul_dist_of_cospherical_of_angle_eq_zero {a b c d p : P}
    (h : Cospherical ({a, b, c, d} : Set P)) (hab : a ≠ b) (hcd : c ≠ d) (hapb : ∠ a p b = 0)
    (hcpd : ∠ c p d = 0) : dist a p * dist b p = dist c p * dist d p

Proof state:
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d p : P
h : Cospherical {a, b, c, d}
hab : a ≠ b
hcd : c ≠ d
hapb : ∠ a p b = 0
hcpd : ∠ c p d = 0
⊢ dist a p * dist b p = dist c p * dist d p

Tactic:
obtain ⟨-, k₁, -, hab₁⟩ := angle_eq_zero_iff.mp hapb

Result:
case intro.intro.intro
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d p : P
h : Cospherical {a, b, c, d}
hab : a ≠ b
hcd : c ≠ d
hapb : ∠ a p b = 0
hcpd : ∠ c p d = 0
k₁ : ℝ
hab₁ : b -ᵥ p = k₁ • (a -ᵥ p)
⊢ dist a p * dist b p = dist c p * dist d p

Proof state:
case intro.intro.intro
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d p : P
h : Cospherical {a, b, c, d}
hab : a ≠ b
hcd : c ≠ d
hapb : ∠ a p b = 0
hcpd : ∠ c p d = 0
k₁ : ℝ
hab₁ : b -ᵥ p = k₁ • (a -ᵥ p)
⊢ dist a p * dist b p = dist c p * dist d p

Tactic:
obtain ⟨-, k₂, -, hcd₁⟩ := angle_eq_zero_iff.mp hcpd

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d p : P
h : Cospherical {a, b, c, d}
hab : a ≠ b
hcd : c ≠ d
hapb : ∠ a p b = 0
hcpd : ∠ c p d = 0
k₁ : ℝ
hab₁ : b -ᵥ p = k₁ • (a -ᵥ p)
k₂ : ℝ
hcd₁ : d -ᵥ p = k₂ • (c -ᵥ p)
⊢ dist a p * dist b p = dist c p * dist d p

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d p : P
h : Cospherical {a, b, c, d}
hab : a ≠ b
hcd : c ≠ d
hapb : ∠ a p b = 0
hcpd : ∠ c p d = 0
k₁ : ℝ
hab₁ : b -ᵥ p = k₁ • (a -ᵥ p)
k₂ : ℝ
hcd₁ : d -ᵥ p = k₂ • (c -ᵥ p)
⊢ dist a p * dist b p = dist c p * dist d p

Tactic:
refine mul_dist_eq_mul_dist_of_cospherical h ⟨k₁, ?_, hab₁⟩ ⟨k₂, ?_, hcd₁⟩ <;> by_contra hnot <;>
  simp_all only [Classical.not_not, one_smul]

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d p : P
h : Cospherical {a, b, c, d}
hab : a ≠ b
hcd : c ≠ d
hapb : ∠ a p b = 0
hcpd : ∠ c p d = 0
k₁ k₂ : ℝ
hab₁ : b -ᵥ p = a -ᵥ p
hcd₁ : d -ᵥ p = k₂ • (c -ᵥ p)
hnot : k₁ = 1
⊢ False

case intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d p : P
h : Cospherical {a, b, c, d}
hab : a ≠ b
hcd : c ≠ d
hapb : ∠ a p b = 0
hcpd : ∠ c p d = 0
k₁ : ℝ
hab₁ : b -ᵥ p = k₁ • (a -ᵥ p)
k₂ : ℝ
hcd₁ : d -ᵥ p = c -ᵥ p
hnot : k₂ = 1
⊢ False

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d p : P
h : Cospherical {a, b, c, d}
hab : a ≠ b
hcd : c ≠ d
hapb : ∠ a p b = 0
hcpd : ∠ c p d = 0
k₁ k₂ : ℝ
hab₁ : b -ᵥ p = a -ᵥ p
hcd₁ : d -ᵥ p = k₂ • (c -ᵥ p)
hnot : k₁ = 1
⊢ False

case intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
V : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
P : Type u_2
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
a b c d p : P
h : Cospherical {a, b, c, d}
hab : a ≠ b
hcd : c ≠ d
hapb : ∠ a p b = 0
hcpd : ∠ c p d = 0
k₁ : ℝ
hab₁ : b -ᵥ p = k₁ • (a -ᵥ p)
k₂ : ℝ
hcd₁ : d -ᵥ p = c -ᵥ p
hnot : k₂ = 1
⊢ False

Tactic:
exacts [hab (vsub_left_cancel hab₁).symm, hcd (vsub_left_cancel hcd₁).symm]

Result:
no goals