-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearIndependent/Defs.lean
theorem linearIndependent_iff_not_mem_span :
    LinearIndependent K v ↔ ∀ i, v i ∉ span K (v '' (univ \ {i}))

Proof state:
case mp
ι : Type u'
K : Type u_3
V : Type u
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v : ι → V
⊢ (∀ (i : ι) (a : K), a • v i ∈ span K (v '' (univ \ {i})) → a = 0) → ∀ (i : ι), v i ∉ span K (v '' (univ \ {i}))

Tactic:
intro h i h_in_span

Result:
case mp
ι : Type u'
K : Type u_3
V : Type u
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v : ι → V
h : ∀ (i : ι) (a : K), a • v i ∈ span K (v '' (univ \ {i})) → a = 0
i : ι
h_in_span : v i ∈ span K (v '' (univ \ {i}))
⊢ False

Proof state:
case mp
ι : Type u'
K : Type u_3
V : Type u
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v : ι → V
h : ∀ (i : ι) (a : K), a • v i ∈ span K (v '' (univ \ {i})) → a = 0
i : ι
h_in_span : v i ∈ span K (v '' (univ \ {i}))
⊢ False

Tactic:
apply one_ne_zero (h i 1 (by simp [h_in_span]))

Result:
no goals

Proof state:
ι : Type u'
K : Type u_3
V : Type u
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v : ι → V
h : ∀ (i : ι) (a : K), a • v i ∈ span K (v '' (univ \ {i})) → a = 0
i : ι
h_in_span : v i ∈ span K (v '' (univ \ {i}))
⊢ 1 • v i ∈ span K (v '' (univ \ {i}))

Tactic:
simp [h_in_span]

Result:
no goals

Proof state:
case mpr
ι : Type u'
K : Type u_3
V : Type u
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v : ι → V
h : ∀ (i : ι), v i ∉ span K (v '' (univ \ {i}))
i : ι
a : K
ha : a • v i ∈ span K (v '' (univ \ {i}))
ha' : ¬a = 0
⊢ False

Tactic:
exact False.elim (h _ ((smul_mem_iff _ ha').1 ha))

Result:
no goals

Proof state:
ι : Type u'
K : Type u_3
V : Type u
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v : ι → V
⊢ LinearIndependent K v ↔ ∀ (i : ι), v i ∉ span K (v '' (univ \ {i}))

Tactic:
apply linearIndependent_iff_not_smul_mem_span.trans

Result:
ι : Type u'
K : Type u_3
V : Type u
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v : ι → V
⊢ (∀ (i : ι) (a : K), a • v i ∈ span K (v '' (univ \ {i})) → a = 0) ↔ ∀ (i : ι), v i ∉ span K (v '' (univ \ {i}))

Proof state:
ι : Type u'
K : Type u_3
V : Type u
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v : ι → V
⊢ (∀ (i : ι) (a : K), a • v i ∈ span K (v '' (univ \ {i})) → a = 0) ↔ ∀ (i : ι), v i ∉ span K (v '' (univ \ {i}))

Tactic:
constructor

Result:
case mp
ι : Type u'
K : Type u_3
V : Type u
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v : ι → V
⊢ (∀ (i : ι) (a : K), a • v i ∈ span K (v '' (univ \ {i})) → a = 0) → ∀ (i : ι), v i ∉ span K (v '' (univ \ {i}))

case mpr
ι : Type u'
K : Type u_3
V : Type u
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v : ι → V
⊢ (∀ (i : ι), v i ∉ span K (v '' (univ \ {i}))) → ∀ (i : ι) (a : K), a • v i ∈ span K (v '' (univ \ {i})) → a = 0

Proof state:
case mpr
ι : Type u'
K : Type u_3
V : Type u
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v : ι → V
h : ∀ (i : ι), v i ∉ span K (v '' (univ \ {i}))
i : ι
a : K
ha : a • v i ∈ span K (v '' (univ \ {i}))
⊢ a = 0

Tactic:
by_contra ha'

Result:
case mpr
ι : Type u'
K : Type u_3
V : Type u
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v : ι → V
h : ∀ (i : ι), v i ∉ span K (v '' (univ \ {i}))
i : ι
a : K
ha : a • v i ∈ span K (v '' (univ \ {i}))
ha' : ¬a = 0
⊢ False

Proof state:
case mpr
ι : Type u'
K : Type u_3
V : Type u
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v : ι → V
⊢ (∀ (i : ι), v i ∉ span K (v '' (univ \ {i}))) → ∀ (i : ι) (a : K), a • v i ∈ span K (v '' (univ \ {i})) → a = 0

Tactic:
intro h i a ha

Result:
case mpr
ι : Type u'
K : Type u_3
V : Type u
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
v : ι → V
h : ∀ (i : ι), v i ∉ span K (v '' (univ \ {i}))
i : ι
a : K
ha : a • v i ∈ span K (v '' (univ \ {i}))
⊢ a = 0