-- Mathlib/LinearAlgebra/Span/Basic.lean
theorem iSup_toAddSubmonoid {ι : Sort*} (p : ι → Submodule R M) :
    (⨆ i, p i).toAddSubmonoid = ⨆ i, (p i).toAddSubmonoid

Proof state:
R : Type u_1
M : Type u_4
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
ι : Sort u_9
p : ι → Submodule R M
x : M
⊢ x ∈ span R (⋃ i, ↑(p i)) → x ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ↑(p i))

Tactic:
intro hx

Result:
R : Type u_1
M : Type u_4
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
ι : Sort u_9
p : ι → Submodule R M
x : M
hx : x ∈ span R (⋃ i, ↑(p i))
⊢ x ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ↑(p i))

Proof state:
case refine_4.refine_3
R : Type u_1
M : Type u_4
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
ι : Sort u_9
p : ι → Submodule R M
x✝² : M
hx✝² : x✝² ∈ span R (⋃ i, ↑(p i))
r : R
x✝¹ : M
x✝ : x✝¹ ∈ span R (⋃ i, ↑(p i))
hx✝¹ : x✝¹ ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ↑(p i))
x y : M
hx✝ : x ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ↑(p i))
hy✝ : y ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ↑(p i))
hx : r • x ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ↑(p i))
hy : r • y ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ↑(p i))
⊢ r • (x + y) ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ↑(p i))

Tactic:
rw [smul_add]

Result:
case refine_4.refine_3
R : Type u_1
M : Type u_4
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
ι : Sort u_9
p : ι → Submodule R M
x✝² : M
hx✝² : x✝² ∈ span R (⋃ i, ↑(p i))
r : R
x✝¹ : M
x✝ : x✝¹ ∈ span R (⋃ i, ↑(p i))
hx✝¹ : x✝¹ ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ↑(p i))
x y : M
hx✝ : x ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ↑(p i))
hy✝ : y ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ↑(p i))
hx : r • x ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ↑(p i))
hy : r • y ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ↑(p i))
⊢ r • x + r • y ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ↑(p i))

Proof state:
case refine_4.refine_3
R : Type u_1
M : Type u_4
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
ι : Sort u_9
p : ι → Submodule R M
x✝² : M
hx✝² : x✝² ∈ span R (⋃ i, ↑(p i))
r : R
x✝¹ : M
x✝ : x✝¹ ∈ span R (⋃ i, ↑(p i))
hx✝¹ : x✝¹ ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ↑(p i))
x y : M
hx✝ : x ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ↑(p i))
hy✝ : y ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ↑(p i))
hx : r • x ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ↑(p i))
hy : r • y ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ↑(p i))
⊢ r • x + r • y ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ↑(p i))

Tactic:
exact AddSubmonoid.add_mem _ hx hy

Result:
no goals

Proof state:
case refine_1
R : Type u_1
M : Type u_4
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
ι : Sort u_9
p : ι → Submodule R M
x✝ : M
hx✝ : x✝ ∈ span R (⋃ i, ↑(p i))
x : M
hx : x ∈ ⋃ i, ↑(p i)
⊢ x ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ↑(p i))

Tactic:
exact AddSubmonoid.subset_closure hx

Result:
no goals

Proof state:
case refine_4.refine_2
R : Type u_1
M : Type u_4
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
ι : Sort u_9
p : ι → Submodule R M
x✝¹ : M
hx✝ : x✝¹ ∈ span R (⋃ i, ↑(p i))
r : R
x : M
x✝ : x ∈ span R (⋃ i, ↑(p i))
hx : x ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ↑(p i))
⊢ r • 0 ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ↑(p i))

Tactic:
rw [smul_zero]

Result:
case refine_4.refine_2
R : Type u_1
M : Type u_4
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
ι : Sort u_9
p : ι → Submodule R M
x✝¹ : M
hx✝ : x✝¹ ∈ span R (⋃ i, ↑(p i))
r : R
x : M
x✝ : x ∈ span R (⋃ i, ↑(p i))
hx : x ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ↑(p i))
⊢ 0 ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ↑(p i))

Proof state:
R : Type u_1
M : Type u_4
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
ι : Sort u_9
p : ι → Submodule R M
x : M
⊢ x ∈ (⨆ i, p i).toAddSubmonoid → x ∈ ⨆ i, (p i).toAddSubmonoid

Tactic:
simp_rw [iSup_eq_span, AddSubmonoid.iSup_eq_closure, mem_toAddSubmonoid, coe_toAddSubmonoid]

Result:
R : Type u_1
M : Type u_4
inst✝² : Semiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
ι : Sort u_9
p : ι → Submodule R M
x : M
⊢ x ∈ span R (⋃ i, ↑(p i)) → x ∈ AddSubmonoid.closure (⋃ i, ↑(p i))