-- Mathlib/Analysis/Complex/AbsMax.lean
theorem exists_mem_frontier_isMaxOn_norm [FiniteDimensional ℂ E] {f : E → F} {U : Set E}
    (hb : IsBounded U) (hne : U.Nonempty) (hd : DiffContOnCl ℂ f U) :
    ∃ z ∈ frontier U, IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) z

Proof state:
case intro.intro.inl
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : FiniteDimensional ℂ E
f : E → F
U : Set E
hb : Bornology.IsBounded U
hne : U.Nonempty
hd : DiffContOnCl ℂ f U
hc : IsCompact (closure U)
w : E
hle : IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) w
hwU : w ∈ interior U
⊢ ∃ z ∈ frontier U, IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) z

case intro.intro.inr
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : FiniteDimensional ℂ E
f : E → F
U : Set E
hb : Bornology.IsBounded U
hne : U.Nonempty
hd : DiffContOnCl ℂ f U
hc : IsCompact (closure U)
w : E
hle : IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) w
hwU : w ∈ frontier U
⊢ ∃ z ∈ frontier U, IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) z

Tactic:
rotate_left

Result:
case intro.intro.inr
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : FiniteDimensional ℂ E
f : E → F
U : Set E
hb : Bornology.IsBounded U
hne : U.Nonempty
hd : DiffContOnCl ℂ f U
hc : IsCompact (closure U)
w : E
hle : IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) w
hwU : w ∈ frontier U
⊢ ∃ z ∈ frontier U, IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) z

case intro.intro.inl
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : FiniteDimensional ℂ E
f : E → F
U : Set E
hb : Bornology.IsBounded U
hne : U.Nonempty
hd : DiffContOnCl ℂ f U
hc : IsCompact (closure U)
w : E
hle : IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) w
hwU : w ∈ interior U
⊢ ∃ z ∈ frontier U, IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) z

Proof state:
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : FiniteDimensional ℂ E
f : E → F
U : Set E
hb : Bornology.IsBounded U
hne : U.Nonempty
hd : DiffContOnCl ℂ f U
⊢ ∃ z ∈ frontier U, IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) z

Tactic:
have hc : IsCompact (closure U) := hb.isCompact_closure

Result:
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : FiniteDimensional ℂ E
f : E → F
U : Set E
hb : Bornology.IsBounded U
hne : U.Nonempty
hd : DiffContOnCl ℂ f U
hc : IsCompact (closure U)
⊢ ∃ z ∈ frontier U, IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) z

Proof state:
case intro.intro.inl.intro.intro
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : FiniteDimensional ℂ E
f : E → F
U : Set E
hb : Bornology.IsBounded U
hne : U.Nonempty
hd : DiffContOnCl ℂ f U
hc : IsCompact (closure U)
w : E
hle : IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) w
hwU : w ∈ interior U
this : interior U ≠ univ
z : E
hzU : z ∈ frontier (interior U)
hzw : infDist w (interior U)ᶜ = dist w z
x : E
hx : x ∈ closure U
⊢ ball w (infDist w (interior U)ᶜ) ⊆ U

Tactic:
exact ball_infDist_compl_subset.trans interior_subset

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro.inl.intro.intro
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : FiniteDimensional ℂ E
f : E → F
U : Set E
hb : Bornology.IsBounded U
hne : U.Nonempty
hd : DiffContOnCl ℂ f U
hc : IsCompact (closure U)
w : E
hle : IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) w
hwU : w ∈ interior U
this : interior U ≠ univ
z : E
hzU : z ∈ frontier (interior U)
hzw : infDist w (interior U)ᶜ = dist w z
x : E
hx : x ∈ closure U
⊢ ball w (dist z w) ⊆ U

Tactic:
rw [dist_comm, ← hzw]

Result:
case intro.intro.inl.intro.intro
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : FiniteDimensional ℂ E
f : E → F
U : Set E
hb : Bornology.IsBounded U
hne : U.Nonempty
hd : DiffContOnCl ℂ f U
hc : IsCompact (closure U)
w : E
hle : IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) w
hwU : w ∈ interior U
this : interior U ≠ univ
z : E
hzU : z ∈ frontier (interior U)
hzw : infDist w (interior U)ᶜ = dist w z
x : E
hx : x ∈ closure U
⊢ ball w (infDist w (interior U)ᶜ) ⊆ U

Proof state:
case intro.intro
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : FiniteDimensional ℂ E
f : E → F
U : Set E
hb : Bornology.IsBounded U
hne : U.Nonempty
hd : DiffContOnCl ℂ f U
hc : IsCompact (closure U)
w : E
hwU : w ∈ interior U ∨ w ∈ frontier U
hle : IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) w
⊢ ∃ z ∈ frontier U, IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) z

Tactic:
rcases hwU with hwU | hwU

Result:
case intro.intro.inl
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : FiniteDimensional ℂ E
f : E → F
U : Set E
hb : Bornology.IsBounded U
hne : U.Nonempty
hd : DiffContOnCl ℂ f U
hc : IsCompact (closure U)
w : E
hle : IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) w
hwU : w ∈ interior U
⊢ ∃ z ∈ frontier U, IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) z

case intro.intro.inr
E : Type u
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℂ E
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace ℂ F
inst✝¹ : Nontrivial E
inst✝ : FiniteDimensional ℂ E
f : E → F
U : Set E
hb : Bornology.IsBounded U
hne : U.Nonempty
hd : DiffContOnCl ℂ f U
hc : IsCompact (closure U)
w : E
hle : IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) w
hwU : w ∈ frontier U
⊢ ∃ z ∈ frontier U, IsMaxOn (norm ∘ f) (closure U) z