-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Killing.lean
@[simp] lemma orthogonal_span_coroot_eq_ker (α : Weight K H L) :
    (traceForm K H L).orthogonal (K ∙ coroot α) = α.ker

Proof state:
case refine_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : ¬α.IsZero
x : ↥H
hx : ∀ n ∈ span K {coroot α}, (traceForm K (↥H) L).IsOrtho n x
⊢ x ∈ Weight.ker

Tactic:
specialize hx (coroot α) (Submodule.mem_span_singleton_self _)

Result:
case refine_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : ¬α.IsZero
x : ↥H
hx : (traceForm K (↥H) L).IsOrtho (coroot α) x
⊢ x ∈ Weight.ker

Proof state:
case refine_2
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : ¬α.IsZero
x : ↥H
hx : x ∈ Weight.ker
y : ↥H
hy : y ∈ span K {coroot α}
⊢ (traceForm K (↥H) L).IsOrtho y x

Tactic:
have := traceForm_eq_zero_of_mem_ker_of_mem_span_coroot hx hy

Result:
case refine_2
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : ¬α.IsZero
x : ↥H
hx : x ∈ Weight.ker
y : ↥H
hy : y ∈ span K {coroot α}
this : ((traceForm K (↥H) L) x) y = 0
⊢ (traceForm K (↥H) L).IsOrtho y x

Proof state:
case refine_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : ¬α.IsZero
x : ↥H
hx : x ∈ (traceForm K (↥H) L).orthogonal (span K {coroot α})
⊢ x ∈ Weight.ker

Tactic:
simp only [LinearMap.BilinForm.mem_orthogonal_iff] at hx

Result:
case refine_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : ¬α.IsZero
x : ↥H
hx : ∀ n ∈ span K {coroot α}, (traceForm K (↥H) L).IsOrtho n x
⊢ x ∈ Weight.ker

Proof state:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα' : coroot α = 0
hα : Weight.ker = ⊤
⊢ (traceForm K (↥H) L).orthogonal (span K {coroot α}) = Weight.ker

Tactic:
simp [hα, hα']

Result:
no goals

Proof state:
case h
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsZero
hα' : coroot α = 0
x✝ : ↥H
⊢ x✝ ∈ Weight.ker ↔ x✝ ∈ ⊤

Tactic:
simp [hα]

Result:
no goals

Proof state:
case refine_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : ¬α.IsZero
x : ↥H
hx : α ((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α)) = 0 ∨ α x = 0
⊢ x ∈ Weight.ker

Tactic:
simpa using hx.resolve_left (root_apply_cartanEquivDual_symm_ne_zero hα)

Result:
no goals

Proof state:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsZero
⊢ coroot α = 0

Tactic:
simpa

Result:
no goals

Proof state:
case refine_2
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : ¬α.IsZero
x : ↥H
hx : x ∈ Weight.ker
y : ↥H
hy : y ∈ span K {coroot α}
this : ((traceForm K (↥H) L) x) y = 0
⊢ (traceForm K (↥H) L).IsOrtho y x

Tactic:
rwa [traceForm_comm] at this

Result:
no goals

Proof state:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsZero
hα' : coroot α = 0
⊢ (traceForm K (↥H) L).orthogonal (span K {coroot α}) = Weight.ker

Tactic:
replace hα : α.ker = ⊤ := by ext; simp [hα]

Result:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα' : coroot α = 0
hα : Weight.ker = ⊤
⊢ (traceForm K (↥H) L).orthogonal (span K {coroot α}) = Weight.ker

Proof state:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsZero
⊢ (traceForm K (↥H) L).orthogonal (span K {coroot α}) = Weight.ker

Tactic:
have hα' : coroot α = 0 := by simpa

Result:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsZero
hα' : coroot α = 0
⊢ (traceForm K (↥H) L).orthogonal (span K {coroot α}) = Weight.ker

Proof state:
case refine_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : ¬α.IsZero
x : ↥H
hx : (traceForm K (↥H) L).IsOrtho (coroot α) x
⊢ x ∈ Weight.ker

Tactic:
simp only [LinearMap.BilinForm.isOrtho_def, traceForm_coroot, smul_eq_mul, nsmul_eq_mul,
  Nat.cast_ofNat, mul_eq_zero, OfNat.ofNat_ne_zero, inv_eq_zero, false_or] at hx

Result:
case refine_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝³ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝² : IsKilling K L
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
inst✝ : CharZero K
α : Weight K (↥H) L
hα : ¬α.IsZero
x : ↥H
hx : α ((cartanEquivDual H).symm (Weight.toLinear K (↥H) L α)) = 0 ∨ α x = 0
⊢ x ∈ Weight.ker