-- Mathlib/Algebra/Module/PID.lean
theorem torsion_by_prime_power_decomposition (hN : Module.IsTorsion' N (Submonoid.powers p))
    [h' : Module.Finite R N] :
    ∃ (d : ℕ) (k : Fin d → ℕ), Nonempty <| N ≃ₗ[R] ⨁ i : Fin d, R ⧸ R ∙ p ^ (k i : ℕ)

Proof state:
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
N : Type (max u v)
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
hN : IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p)
h' : Module.Finite R N
⊢ ∃ d k, Nonempty (N ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i})

Tactic:
obtain ⟨d, s, hs⟩ := @Module.Finite.exists_fin _ _ _ _ _ h'

Result:
case intro.intro
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
N : Type (max u v)
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
hN : IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p)
h' : Module.Finite R N
d : ℕ
s : Fin d → N
hs : Submodule.span R (Set.range s) = ⊤
⊢ ∃ d k, Nonempty (N ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i})

Proof state:
case h.succ
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
d : ℕ
IH :
  ∀ {N : Type (max u v)} [inst : AddCommGroup N] [inst_1 : Module R N],
    IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p) →
      ∀ (s : Fin d → N),
        Submodule.span R (Set.range s) = ⊤ → ∃ k, Nonempty (N ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i})
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
hN : IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p)
s : Fin (d + 1) → N
hs : Submodule.span R (Set.range s) = ⊤
⊢ ∃ k, Nonempty (N ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin (d + 1)), R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i})

Tactic:
have : ∀ x : N, Decidable (x = 0) := fun _ => by classical infer_instance

Result:
case h.succ
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
d : ℕ
IH :
  ∀ {N : Type (max u v)} [inst : AddCommGroup N] [inst_1 : Module R N],
    IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p) →
      ∀ (s : Fin d → N),
        Submodule.span R (Set.range s) = ⊤ → ∃ k, Nonempty (N ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i})
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
hN : IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p)
s : Fin (d + 1) → N
hs : Submodule.span R (Set.range s) = ⊤
this : (x : N) → Decidable (x = 0)
⊢ ∃ k, Nonempty (N ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin (d + 1)), R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i})

Proof state:
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
d : ℕ
IH :
  ∀ {N : Type (max u v)} [inst : AddCommGroup N] [inst_1 : Module R N],
    IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p) →
      ∀ (s : Fin d → N),
        Submodule.span R (Set.range s) = ⊤ → ∃ k, Nonempty (N ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i})
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
hN : IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p)
s : Fin (d + 1) → N
hs : Submodule.span R (Set.range s) = ⊤
x✝ : N
⊢ Decidable (x✝ = 0)

Tactic:
classical infer_instance

Result:
no goals

Proof state:
case h.succ.intro.refine_3.intro.intro
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
d : ℕ
IH :
  ∀ {N : Type (max u v)} [inst : AddCommGroup N] [inst_1 : Module R N],
    IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p) →
      ∀ (s : Fin d → N),
        Submodule.span R (Set.range s) = ⊤ → ∃ k, Nonempty (N ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i})
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
hN : IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p)
s : Fin (d + 1) → N
hs : Submodule.span R (Set.range s) = ⊤
this : (x : N) → Decidable (x = 0)
j : Fin d.succ
hj : IsTorsionBy R N (p ^ pOrder hN (s j))
s' : Fin d → N ⧸ Submodule.span R {s j} := Submodule.Quotient.mk ∘ s ∘ j.succAbove
k : Fin d → ℕ
f : (N ⧸ Submodule.span R {s j}) ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i}
⊢ ∃ k, Nonempty (N ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin (d + 1)), R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i})

Tactic:
clear IH

Result:
case h.succ.intro.refine_3.intro.intro
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
d : ℕ
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
hN : IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p)
s : Fin (d + 1) → N
hs : Submodule.span R (Set.range s) = ⊤
this : (x : N) → Decidable (x = 0)
j : Fin d.succ
hj : IsTorsionBy R N (p ^ pOrder hN (s j))
s' : Fin d → N ⧸ Submodule.span R {s j} := Submodule.Quotient.mk ∘ s ∘ j.succAbove
k : Fin d → ℕ
f : (N ⧸ Submodule.span R {s j}) ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i}
⊢ ∃ k, Nonempty (N ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin (d + 1)), R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i})

Proof state:
case intro.intro
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
d : ℕ
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
hN : IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p)
s : Fin (d + 1) → N
hs : Submodule.span R (Set.range s) = ⊤
this : (x : N) → Decidable (x = 0)
j : Fin d.succ
hj : IsTorsionBy R N (p ^ pOrder hN (s j))
s' : Fin d → N ⧸ Submodule.span R {s j} := Submodule.Quotient.mk ∘ s ∘ j.succAbove
k : Fin d → ℕ
f : (N ⧸ Submodule.span R {s j}) ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i}
i : Fin d
fi : R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i} →ₗ[R] N ⧸ Submodule.span R {s j} :=
  ↑f.symm ∘ₗ DirectSum.lof R (Fin d) (fun i => R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i}) i
x : N
h0 : p ^ k i • x = 0
h1 : Submodule.Quotient.mk x = fi 1
⊢ f (fi 1) = (DirectSum.lof R (Fin d) (fun i => R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i}) i) 1

Tactic:
simp only [fi, LinearMap.coe_comp, f.symm.coe_toLinearMap, f.apply_symm_apply,
  Function.comp_apply]

Result:
no goals