-- Mathlib/.lake/packages/lean4/src/lean/Init/Internal/Order/Lemmas.lean
theorem monotone_forM (f : γ → α → m PUnit) (xs : List α) (hmono : monotone f) :
    monotone (fun x => xs.forM (f x))

Proof state:
case cons
m : Type u → Type v
inst✝³ : Monad m
inst✝² : (α : Type u) → PartialOrder (m α)
inst✝¹ : MonoBind m
α : Type u
γ : Type w
inst✝ : PartialOrder γ
f : γ → α → m PUnit
hmono : monotone f
head✝ : α
tail✝ : List α
ih : monotone fun x => tail✝.forM (f x)
⊢ monotone fun x => (head✝ :: tail✝).forM (f x)

Tactic:
apply monotone_bind

Result:
case cons.hmono₁
m : Type u → Type v
inst✝³ : Monad m
inst✝² : (α : Type u) → PartialOrder (m α)
inst✝¹ : MonoBind m
α : Type u
γ : Type w
inst✝ : PartialOrder γ
f : γ → α → m PUnit
hmono : monotone f
head✝ : α
tail✝ : List α
ih : monotone fun x => tail✝.forM (f x)
⊢ monotone fun x => f x head✝

case cons.hmono₂
m : Type u → Type v
inst✝³ : Monad m
inst✝² : (α : Type u) → PartialOrder (m α)
inst✝¹ : MonoBind m
α : Type u
γ : Type w
inst✝ : PartialOrder γ
f : γ → α → m PUnit
hmono : monotone f
head✝ : α
tail✝ : List α
ih : monotone fun x => tail✝.forM (f x)
⊢ monotone fun x x_1 => tail✝.forM (f x)

Proof state:
case nil
m : Type u → Type v
inst✝³ : Monad m
inst✝² : (α : Type u) → PartialOrder (m α)
inst✝¹ : MonoBind m
α : Type u
γ : Type w
inst✝ : PartialOrder γ
f : γ → α → m PUnit
hmono : monotone f
⊢ monotone fun x => [].forM (f x)

Tactic:
apply monotone_const

Result:
no goals

Proof state:
case cons.hmono₁.h
m : Type u → Type v
inst✝³ : Monad m
inst✝² : (α : Type u) → PartialOrder (m α)
inst✝¹ : MonoBind m
α : Type u
γ : Type w
inst✝ : PartialOrder γ
f : γ → α → m PUnit
hmono : monotone f
head✝ : α
tail✝ : List α
ih : monotone fun x => tail✝.forM (f x)
⊢ monotone f

Tactic:
apply hmono

Result:
no goals

Proof state:
case cons.hmono₂
m : Type u → Type v
inst✝³ : Monad m
inst✝² : (α : Type u) → PartialOrder (m α)
inst✝¹ : MonoBind m
α : Type u
γ : Type w
inst✝ : PartialOrder γ
f : γ → α → m PUnit
hmono : monotone f
head✝ : α
tail✝ : List α
ih : monotone fun x => tail✝.forM (f x)
⊢ monotone fun x x_1 => tail✝.forM (f x)

Tactic:
apply monotone_of_monotone_apply

Result:
case cons.hmono₂.h
m : Type u → Type v
inst✝³ : Monad m
inst✝² : (α : Type u) → PartialOrder (m α)
inst✝¹ : MonoBind m
α : Type u
γ : Type w
inst✝ : PartialOrder γ
f : γ → α → m PUnit
hmono : monotone f
head✝ : α
tail✝ : List α
ih : monotone fun x => tail✝.forM (f x)
⊢ PUnit → monotone fun x => tail✝.forM (f x)

Proof state:
case cons.hmono₂.h
m : Type u → Type v
inst✝³ : Monad m
inst✝² : (α : Type u) → PartialOrder (m α)
inst✝¹ : MonoBind m
α : Type u
γ : Type w
inst✝ : PartialOrder γ
f : γ → α → m PUnit
hmono : monotone f
head✝ : α
tail✝ : List α
ih : monotone fun x => tail✝.forM (f x)
y : PUnit
⊢ monotone fun x => tail✝.forM (f x)

Tactic:
apply ih

Result:
no goals

Proof state:
case cons.hmono₁
m : Type u → Type v
inst✝³ : Monad m
inst✝² : (α : Type u) → PartialOrder (m α)
inst✝¹ : MonoBind m
α : Type u
γ : Type w
inst✝ : PartialOrder γ
f : γ → α → m PUnit
hmono : monotone f
head✝ : α
tail✝ : List α
ih : monotone fun x => tail✝.forM (f x)
⊢ monotone fun x => f x head✝

Tactic:
apply monotone_apply

Result:
case cons.hmono₁.h
m : Type u → Type v
inst✝³ : Monad m
inst✝² : (α : Type u) → PartialOrder (m α)
inst✝¹ : MonoBind m
α : Type u
γ : Type w
inst✝ : PartialOrder γ
f : γ → α → m PUnit
hmono : monotone f
head✝ : α
tail✝ : List α
ih : monotone fun x => tail✝.forM (f x)
⊢ monotone f

Proof state:
case cons.hmono₂.h
m : Type u → Type v
inst✝³ : Monad m
inst✝² : (α : Type u) → PartialOrder (m α)
inst✝¹ : MonoBind m
α : Type u
γ : Type w
inst✝ : PartialOrder γ
f : γ → α → m PUnit
hmono : monotone f
head✝ : α
tail✝ : List α
ih : monotone fun x => tail✝.forM (f x)
⊢ PUnit → monotone fun x => tail✝.forM (f x)

Tactic:
intro y

Result:
case cons.hmono₂.h
m : Type u → Type v
inst✝³ : Monad m
inst✝² : (α : Type u) → PartialOrder (m α)
inst✝¹ : MonoBind m
α : Type u
γ : Type w
inst✝ : PartialOrder γ
f : γ → α → m PUnit
hmono : monotone f
head✝ : α
tail✝ : List α
ih : monotone fun x => tail✝.forM (f x)
y : PUnit
⊢ monotone fun x => tail✝.forM (f x)