-- Mathlib/GroupTheory/CoprodI.lean
theorem _root_.FreeGroup.injective_lift_of_ping_pong : Function.Injective (FreeGroup.lift a)

Proof state:
case refine_1
ι : Type u_1
inst✝² : Nontrivial ι
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
a : ι → G
α : Type u_4
inst✝ : MulAction G α
X Y : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise (Disjoint on X)
hYdisj : Pairwise (Disjoint on Y)
hXYdisj : ∀ (i j : ι), Disjoint (X i) (Y j)
hX : ∀ (i : ι), a i • (Y i)ᶜ ⊆ X i
hY : ∀ (i : ι), a⁻¹ i • (X i)ᶜ ⊆ Y i
H : ι → Type := fun _i => FreeGroup Unit
f : (i : ι) → H i →* G := fun i => FreeGroup.lift fun x => a i
X' : ι → Set α := fun i => X i ∪ Y i
i j : ι
hij : i ≠ j
n : ℤ
h1n : 1 ≤ n
⊢ (fun n => a i ^ n • (Y i)ᶜ ⊆ X i) 1

Tactic:
dsimp

Result:
case refine_1
ι : Type u_1
inst✝² : Nontrivial ι
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
a : ι → G
α : Type u_4
inst✝ : MulAction G α
X Y : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise (Disjoint on X)
hYdisj : Pairwise (Disjoint on Y)
hXYdisj : ∀ (i j : ι), Disjoint (X i) (Y j)
hX : ∀ (i : ι), a i • (Y i)ᶜ ⊆ X i
hY : ∀ (i : ι), a⁻¹ i • (X i)ᶜ ⊆ Y i
H : ι → Type := fun _i => FreeGroup Unit
f : (i : ι) → H i →* G := fun i => FreeGroup.lift fun x => a i
X' : ι → Set α := fun i => X i ∪ Y i
i j : ι
hij : i ≠ j
n : ℤ
h1n : 1 ≤ n
⊢ a i ^ 1 • (Y i)ᶜ ⊆ X i

Proof state:
case hpp
ι : Type u_1
inst✝² : Nontrivial ι
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
a : ι → G
α : Type u_4
inst✝ : MulAction G α
X Y : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise (Disjoint on X)
hYdisj : Pairwise (Disjoint on Y)
hXYdisj : ∀ (i j : ι), Disjoint (X i) (Y j)
hX : ∀ (i : ι), a i • (Y i)ᶜ ⊆ X i
hY : ∀ (i : ι), a⁻¹ i • (X i)ᶜ ⊆ Y i
H : ι → Type := fun _i => FreeGroup Unit
f : (i : ι) → H i →* G := fun i => FreeGroup.lift fun x => a i
X' : ι → Set α := fun i => X i ∪ Y i
i j : ι
hij : i ≠ j
n : ℤ
hnne0 : n ≠ 0
⊢ a i ^ n • (X j ∪ Y j) ⊆ X i ∪ Y i

Tactic:
rcases (lt_or_gt_of_ne hnne0).symm with hlt | hgt

Result:
case hpp.inl
ι : Type u_1
inst✝² : Nontrivial ι
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
a : ι → G
α : Type u_4
inst✝ : MulAction G α
X Y : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise (Disjoint on X)
hYdisj : Pairwise (Disjoint on Y)
hXYdisj : ∀ (i j : ι), Disjoint (X i) (Y j)
hX : ∀ (i : ι), a i • (Y i)ᶜ ⊆ X i
hY : ∀ (i : ι), a⁻¹ i • (X i)ᶜ ⊆ Y i
H : ι → Type := fun _i => FreeGroup Unit
f : (i : ι) → H i →* G := fun i => FreeGroup.lift fun x => a i
X' : ι → Set α := fun i => X i ∪ Y i
i j : ι
hij : i ≠ j
n : ℤ
hnne0 : n ≠ 0
hlt : n > 0
⊢ a i ^ n • (X j ∪ Y j) ⊆ X i ∪ Y i

case hpp.inr
ι : Type u_1
inst✝² : Nontrivial ι
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
a : ι → G
α : Type u_4
inst✝ : MulAction G α
X Y : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise (Disjoint on X)
hYdisj : Pairwise (Disjoint on Y)
hXYdisj : ∀ (i j : ι), Disjoint (X i) (Y j)
hX : ∀ (i : ι), a i • (Y i)ᶜ ⊆ X i
hY : ∀ (i : ι), a⁻¹ i • (X i)ᶜ ⊆ Y i
H : ι → Type := fun _i => FreeGroup Unit
f : (i : ι) → H i →* G := fun i => FreeGroup.lift fun x => a i
X' : ι → Set α := fun i => X i ∪ Y i
i j : ι
hij : i ≠ j
n : ℤ
hnne0 : n ≠ 0
hgt : n < 0
⊢ a i ^ n • (X j ∪ Y j) ⊆ X i ∪ Y i

Proof state:
case refine_1
ι : Type u_1
inst✝² : Nontrivial ι
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
a : ι → G
α : Type u_4
inst✝ : MulAction G α
X Y : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise (Disjoint on X)
hYdisj : Pairwise (Disjoint on Y)
hXYdisj : ∀ (i j : ι), Disjoint (X i) (Y j)
hX : ∀ (i : ι), a i • (Y i)ᶜ ⊆ X i
hY : ∀ (i : ι), a⁻¹ i • (X i)ᶜ ⊆ Y i
H : ι → Type := fun _i => FreeGroup Unit
f : (i : ι) → H i →* G := fun i => FreeGroup.lift fun x => a i
X' : ι → Set α := fun i => X i ∪ Y i
i j : ι
hij : i ≠ j
n : ℤ
hnne0 : n ≠ 0
hgt : n < 0
h1n : n ≤ -1
⊢ (fun n => a i ^ n • (X i)ᶜ ⊆ Y i) (-1)

Tactic:
dsimp

Result:
case refine_1
ι : Type u_1
inst✝² : Nontrivial ι
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
a : ι → G
α : Type u_4
inst✝ : MulAction G α
X Y : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise (Disjoint on X)
hYdisj : Pairwise (Disjoint on Y)
hXYdisj : ∀ (i j : ι), Disjoint (X i) (Y j)
hX : ∀ (i : ι), a i • (Y i)ᶜ ⊆ X i
hY : ∀ (i : ι), a⁻¹ i • (X i)ᶜ ⊆ Y i
H : ι → Type := fun _i => FreeGroup Unit
f : (i : ι) → H i →* G := fun i => FreeGroup.lift fun x => a i
X' : ι → Set α := fun i => X i ∪ Y i
i j : ι
hij : i ≠ j
n : ℤ
hnne0 : n ≠ 0
hgt : n < 0
h1n : n ≤ -1
⊢ a i ^ (-1) • (X i)ᶜ ⊆ Y i

Proof state:
case hpp
ι : Type u_1
inst✝² : Nontrivial ι
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
a : ι → G
α : Type u_4
inst✝ : MulAction G α
X Y : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise (Disjoint on X)
hYdisj : Pairwise (Disjoint on Y)
hXYdisj : ∀ (i j : ι), Disjoint (X i) (Y j)
hX : ∀ (i : ι), a i • (Y i)ᶜ ⊆ X i
hY : ∀ (i : ι), a⁻¹ i • (X i)ᶜ ⊆ Y i
H : ι → Type := fun _i => FreeGroup Unit
f : (i : ι) → H i →* G := fun i => FreeGroup.lift fun x => a i
X' : ι → Set α := fun i => X i ∪ Y i
i j : ι
hij : i ≠ j
n : ℤ
hne1 : FreeGroup.freeGroupUnitEquivInt.symm n ≠ 1
⊢ a i ^ n • X' j ⊆ X' i

Tactic:
have hnne0 : n ≠ 0 := by
  rintro rfl
  apply hne1
  simp [H, FreeGroup.freeGroupUnitEquivInt]

Result:
case hpp
ι : Type u_1
inst✝² : Nontrivial ι
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
a : ι → G
α : Type u_4
inst✝ : MulAction G α
X Y : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise (Disjoint on X)
hYdisj : Pairwise (Disjoint on Y)
hXYdisj : ∀ (i j : ι), Disjoint (X i) (Y j)
hX : ∀ (i : ι), a i • (Y i)ᶜ ⊆ X i
hY : ∀ (i : ι), a⁻¹ i • (X i)ᶜ ⊆ Y i
H : ι → Type := fun _i => FreeGroup Unit
f : (i : ι) → H i →* G := fun i => FreeGroup.lift fun x => a i
X' : ι → Set α := fun i => X i ∪ Y i
i j : ι
hij : i ≠ j
n : ℤ
hne1 : FreeGroup.freeGroupUnitEquivInt.symm n ≠ 1
hnne0 : n ≠ 0
⊢ a i ^ n • X' j ⊆ X' i

Proof state:
case h
ι : Type u_1
inst✝² : Nontrivial ι
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
a : ι → G
α : Type u_4
inst✝ : MulAction G α
X Y : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise (Disjoint on X)
hYdisj : Pairwise (Disjoint on Y)
hXYdisj : ∀ (i j : ι), Disjoint (X i) (Y j)
hX : ∀ (i : ι), a i • (Y i)ᶜ ⊆ X i
hY : ∀ (i : ι), a⁻¹ i • (X i)ᶜ ⊆ Y i
H : ι → Type := fun _i => FreeGroup Unit
f : (i : ι) → H i →* G := fun i => FreeGroup.lift fun x => a i
X' : ι → Set α := fun i => X i ∪ Y i
inhabited_h : Inhabited ι
⊢ 3 ≤ #(FreeGroup Unit)

Tactic:
rw [FreeGroup.freeGroupUnitEquivInt.cardinal_eq, Cardinal.mk_denumerable]

Result:
case h
ι : Type u_1
inst✝² : Nontrivial ι
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
a : ι → G
α : Type u_4
inst✝ : MulAction G α
X Y : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise (Disjoint on X)
hYdisj : Pairwise (Disjoint on Y)
hXYdisj : ∀ (i j : ι), Disjoint (X i) (Y j)
hX : ∀ (i : ι), a i • (Y i)ᶜ ⊆ X i
hY : ∀ (i : ι), a⁻¹ i • (X i)ᶜ ⊆ Y i
H : ι → Type := fun _i => FreeGroup Unit
f : (i : ι) → H i →* G := fun i => FreeGroup.lift fun x => a i
X' : ι → Set α := fun i => X i ∪ Y i
inhabited_h : Inhabited ι
⊢ 3 ≤ ℵ₀

Proof state:
ι : Type u_1
inst✝² : Nontrivial ι
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
a : ι → G
α : Type u_4
inst✝ : MulAction G α
X Y : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise (Disjoint on X)
hYdisj : Pairwise (Disjoint on Y)
hXYdisj : ∀ (i j : ι), Disjoint (X i) (Y j)
hX : ∀ (i : ι), a i • (Y i)ᶜ ⊆ X i
hY : ∀ (i : ι), a⁻¹ i • (X i)ᶜ ⊆ Y i
⊢ FreeGroup.lift a = (lift fun i => FreeGroup.lift fun x => a i).comp freeGroupEquivCoprodI.toMonoidHom

Tactic:
ext i

Result:
case h
ι : Type u_1
inst✝² : Nontrivial ι
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
a : ι → G
α : Type u_4
inst✝ : MulAction G α
X Y : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise (Disjoint on X)
hYdisj : Pairwise (Disjoint on Y)
hXYdisj : ∀ (i j : ι), Disjoint (X i) (Y j)
hX : ∀ (i : ι), a i • (Y i)ᶜ ⊆ X i
hY : ∀ (i : ι), a⁻¹ i • (X i)ᶜ ⊆ Y i
i : ι
⊢ (FreeGroup.lift a) (FreeGroup.of i) =
    ((lift fun i => FreeGroup.lift fun x => a i).comp freeGroupEquivCoprodI.toMonoidHom) (FreeGroup.of i)