-- Mathlib/GroupTheory/SpecificGroups/Cyclic.lean
theorem commutative_of_cyclic_center_quotient [IsCyclic G'] (f : G →* G') (hf : f.ker ≤ center G)
    (a b : G) : a * b = b * a :=
  let ⟨⟨x, y, (hxy : f y = x)⟩, (hx : ∀ a : f.range, a ∈ zpowers _)⟩ :=
    IsCyclic.exists_generator (α := f.range)
  let ⟨m, hm⟩ := hx ⟨f a, a, rfl⟩
  let ⟨n, hn⟩ := hx ⟨f b, b, rfl⟩
  have hm : x ^ m = f a

Proof state:
G : Type u_2
G' : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group G'
inst✝ : IsCyclic G'
f : G →* G'
hf : f.ker ≤ center G
a b : G
x : G'
y : G
hxy : f y = x
hx : ∀ (a : ↥f.range), a ∈ zpowers ⟨x, ⋯⟩
m : ℤ
hm✝ : (fun x_1 => ⟨x, ⋯⟩ ^ x_1) m = ⟨f a, ⋯⟩
n : ℤ
hn✝ : (fun x_1 => ⟨x, ⋯⟩ ^ x_1) n = ⟨f b, ⋯⟩
hm : x ^ m = f a
hn : x ^ n = f b
ha : y ^ (-m) * a ∈ center G
hb : y ^ (-n) * b ∈ center G
⊢ y ^ m * (y ^ n * (y ^ (-m) * a)) * (y ^ (-n) * b) = y ^ m * y ^ n * y ^ (-m) * (a * (y ^ (-n) * b))

Tactic:
simp [mul_assoc]

Result:
no goals

Proof state:
G : Type u_2
G' : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group G'
inst✝ : IsCyclic G'
f : G →* G'
hf : f.ker ≤ center G
a b : G
x : G'
y : G
hxy : f y = x
hx : ∀ (a : ↥f.range), a ∈ zpowers ⟨x, ⋯⟩
m : ℤ
hm : (fun x_1 => ⟨x, ⋯⟩ ^ x_1) m = ⟨f a, ⋯⟩
n : ℤ
hn : (fun x_1 => ⟨x, ⋯⟩ ^ x_1) n = ⟨f b, ⋯⟩
⊢ x ^ m = f a

Tactic:
simpa [Subtype.ext_iff] using hm

Result:
no goals

Proof state:
G : Type u_2
G' : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group G'
inst✝ : IsCyclic G'
f : G →* G'
hf : f.ker ≤ center G
a b : G
x : G'
y : G
hxy : f y = x
hx : ∀ (a : ↥f.range), a ∈ zpowers ⟨x, ⋯⟩
m : ℤ
hm✝ : (fun x_1 => ⟨x, ⋯⟩ ^ x_1) m = ⟨f a, ⋯⟩
n : ℤ
hn✝ : (fun x_1 => ⟨x, ⋯⟩ ^ x_1) n = ⟨f b, ⋯⟩
hm : x ^ m = f a
hn : x ^ n = f b
⊢ y ^ (-m) * a ∈ f.ker

Tactic:
rw [f.mem_ker, f.map_mul, f.map_zpow, hxy, zpow_neg x m, hm, inv_mul_cancel]

Result:
no goals

Proof state:
G : Type u_2
G' : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group G'
inst✝ : IsCyclic G'
f : G →* G'
hf : f.ker ≤ center G
a b : G
x : G'
y : G
hxy : f y = x
hx : ∀ (a : ↥f.range), a ∈ zpowers ⟨x, ⋯⟩
m : ℤ
hm✝ : (fun x_1 => ⟨x, ⋯⟩ ^ x_1) m = ⟨f a, ⋯⟩
n : ℤ
hn✝ : (fun x_1 => ⟨x, ⋯⟩ ^ x_1) n = ⟨f b, ⋯⟩
hm : x ^ m = f a
hn : x ^ n = f b
ha : y ^ (-m) * a ∈ center G
hb : y ^ (-n) * b ∈ center G
⊢ y ^ m * y ^ n * y ^ (-m) * (a * (y ^ (-n) * b)) = y ^ m * y ^ n * y ^ (-m) * (y ^ (-n) * b * a)

Tactic:
rw [mem_center_iff.1 hb]

Result:
no goals

Proof state:
G : Type u_2
G' : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group G'
inst✝ : IsCyclic G'
f : G →* G'
hf : f.ker ≤ center G
a b : G
x : G'
y : G
hxy : f y = x
hx : ∀ (a : ↥f.range), a ∈ zpowers ⟨x, ⋯⟩
m : ℤ
hm✝ : (fun x_1 => ⟨x, ⋯⟩ ^ x_1) m = ⟨f a, ⋯⟩
n : ℤ
hn : (fun x_1 => ⟨x, ⋯⟩ ^ x_1) n = ⟨f b, ⋯⟩
hm : x ^ m = f a
⊢ x ^ n = f b

Tactic:
simpa [Subtype.ext_iff] using hn

Result:
no goals

Proof state:
G : Type u_2
G' : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group G'
inst✝ : IsCyclic G'
f : G →* G'
hf : f.ker ≤ center G
a b : G
x : G'
y : G
hxy : f y = x
hx : ∀ (a : ↥f.range), a ∈ zpowers ⟨x, ⋯⟩
m : ℤ
hm✝ : (fun x_1 => ⟨x, ⋯⟩ ^ x_1) m = ⟨f a, ⋯⟩
n : ℤ
hn✝ : (fun x_1 => ⟨x, ⋯⟩ ^ x_1) n = ⟨f b, ⋯⟩
hm : x ^ m = f a
hn : x ^ n = f b
ha : y ^ (-m) * a ∈ center G
hb : y ^ (-n) * b ∈ center G
⊢ a * b = y ^ m * (y ^ (-m) * a * y ^ n) * (y ^ (-n) * b)

Tactic:
simp [mul_assoc]

Result:
no goals

Proof state:
G : Type u_2
G' : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group G'
inst✝ : IsCyclic G'
f : G →* G'
hf : f.ker ≤ center G
a b : G
x : G'
y : G
hxy : f y = x
hx : ∀ (a : ↥f.range), a ∈ zpowers ⟨x, ⋯⟩
m : ℤ
hm✝ : (fun x_1 => ⟨x, ⋯⟩ ^ x_1) m = ⟨f a, ⋯⟩
n : ℤ
hn✝ : (fun x_1 => ⟨x, ⋯⟩ ^ x_1) n = ⟨f b, ⋯⟩
hm : x ^ m = f a
hn : x ^ n = f b
ha : y ^ (-m) * a ∈ center G
hb : y ^ (-n) * b ∈ center G
⊢ y ^ m * (y ^ (-m) * a * y ^ n) * (y ^ (-n) * b) = y ^ m * (y ^ n * (y ^ (-m) * a)) * (y ^ (-n) * b)

Tactic:
rw [mem_center_iff.1 ha]

Result:
no goals

Proof state:
G : Type u_2
G' : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group G'
inst✝ : IsCyclic G'
f : G →* G'
hf : f.ker ≤ center G
a b : G
x : G'
y : G
hxy : f y = x
hx : ∀ (a : ↥f.range), a ∈ zpowers ⟨x, ⋯⟩
m : ℤ
hm✝ : (fun x_1 => ⟨x, ⋯⟩ ^ x_1) m = ⟨f a, ⋯⟩
n : ℤ
hn✝ : (fun x_1 => ⟨x, ⋯⟩ ^ x_1) n = ⟨f b, ⋯⟩
hm : x ^ m = f a
hn : x ^ n = f b
ha : y ^ (-m) * a ∈ center G
⊢ y ^ (-n) * b ∈ f.ker

Tactic:
rw [f.mem_ker, f.map_mul, f.map_zpow, hxy, zpow_neg x n, hn, inv_mul_cancel]

Result:
no goals

Proof state:
G : Type u_2
G' : Type u_3
inst✝² : Group G
inst✝¹ : Group G'
inst✝ : IsCyclic G'
f : G →* G'
hf : f.ker ≤ center G
a b : G
x : G'
y : G
hxy : f y = x
hx : ∀ (a : ↥f.range), a ∈ zpowers ⟨x, ⋯⟩
m : ℤ
hm✝ : (fun x_1 => ⟨x, ⋯⟩ ^ x_1) m = ⟨f a, ⋯⟩
n : ℤ
hn✝ : (fun x_1 => ⟨x, ⋯⟩ ^ x_1) n = ⟨f b, ⋯⟩
hm : x ^ m = f a
hn : x ^ n = f b
ha : y ^ (-m) * a ∈ center G
hb : y ^ (-n) * b ∈ center G
⊢ y ^ m * y ^ n * y ^ (-m) * (y ^ (-n) * b * a) = b * a

Tactic:
group

Result:
no goals