-- Mathlib/Analysis/Fourier/Inversion.lean
lemma tendsto_integral_gaussian_smul' (hf : Integrable f) {v : V} (h'f : ContinuousAt f v) :
    Tendsto (fun (c : ℝ) ↦
      ∫ w : V, ((π * c : ℂ) ^ (finrank ℝ V / 2 : ℂ) * cexp (-π ^ 2 * c * ‖v - w‖ ^ 2)) • f w)
    atTop (𝓝 (f v))

Proof state:
case hg
V : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁵ : MeasurableSpace V
inst✝⁴ : BorelSpace V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : Integrable f volume
v : V
h'f : ContinuousAt f v
φ : V → ℝ := fun w => π ^ (↑(finrank ℝ V) / 2) * rexp (-π ^ 2 * ‖w‖ ^ 2)
⊢ Integrable f volume

Tactic:
exact hf

Result:
no goals

Proof state:
case h.e'_3.h.e_a
V : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁵ : MeasurableSpace V
inst✝⁴ : BorelSpace V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : Integrable f volume
v : V
h'f : ContinuousAt f v
φ : V → ℝ := fun w => π ^ (↑(finrank ℝ V) / 2) * rexp (-π ^ 2 * ‖w‖ ^ 2)
A : Tendsto (fun w => π ^ 2 * ‖w‖ ^ 2) (cobounded V) atTop
B :
  Tendsto
    (fun k =>
      π ^ (-↑(finrank ℝ V) / 2) * ((fun x => x ^ (↑(finrank ℝ V) / 2) * rexp (-1 * x)) ∘ fun w => π ^ 2 * ‖w‖ ^ 2) k)
    (cobounded V) (𝓝 0)
x : V
⊢ π ^ (↑(finrank ℝ V) / 2) * ‖x‖ ^ ↑(finrank ℝ V) =
    π ^ (-↑(finrank ℝ V) / 2 + ↑2 * (↑(finrank ℝ V) / 2)) * ‖x‖ ^ (↑2 * (↑(finrank ℝ V) / 2))

Tactic:
congr <;> ring

Result:
no goals

Proof state:
V : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁵ : MeasurableSpace V
inst✝⁴ : BorelSpace V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : Integrable f volume
v : V
h'f : ContinuousAt f v
φ : V → ℝ := fun w => π ^ (↑(finrank ℝ V) / 2) * rexp (-π ^ 2 * ‖w‖ ^ 2)
⊢ Tendsto (fun c => ∫ (w : V), (c ^ finrank ℝ V * φ (c • (v - w))) • f w) atTop (𝓝 (f v))

Tactic:
apply tendsto_integral_comp_smul_smul_of_integrable'

Result:
case hφ
V : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁵ : MeasurableSpace V
inst✝⁴ : BorelSpace V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : Integrable f volume
v : V
h'f : ContinuousAt f v
φ : V → ℝ := fun w => π ^ (↑(finrank ℝ V) / 2) * rexp (-π ^ 2 * ‖w‖ ^ 2)
⊢ ∀ (x : V), 0 ≤ φ x

case h'φ
V : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁵ : MeasurableSpace V
inst✝⁴ : BorelSpace V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : Integrable f volume
v : V
h'f : ContinuousAt f v
φ : V → ℝ := fun w => π ^ (↑(finrank ℝ V) / 2) * rexp (-π ^ 2 * ‖w‖ ^ 2)
⊢ ∫ (x : V), φ x = 1

case h
V : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁵ : MeasurableSpace V
inst✝⁴ : BorelSpace V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : Integrable f volume
v : V
h'f : ContinuousAt f v
φ : V → ℝ := fun w => π ^ (↑(finrank ℝ V) / 2) * rexp (-π ^ 2 * ‖w‖ ^ 2)
⊢ Tendsto (fun x => ‖x‖ ^ finrank ℝ V * φ x) (cobounded V) (𝓝 0)

case hg
V : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁵ : MeasurableSpace V
inst✝⁴ : BorelSpace V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : Integrable f volume
v : V
h'f : ContinuousAt f v
φ : V → ℝ := fun w => π ^ (↑(finrank ℝ V) / 2) * rexp (-π ^ 2 * ‖w‖ ^ 2)
⊢ Integrable f volume

case h'g
V : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁵ : MeasurableSpace V
inst✝⁴ : BorelSpace V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : Integrable f volume
v : V
h'f : ContinuousAt f v
φ : V → ℝ := fun w => π ^ (↑(finrank ℝ V) / 2) * rexp (-π ^ 2 * ‖w‖ ^ 2)
⊢ ContinuousAt f v

Proof state:
V : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁵ : MeasurableSpace V
inst✝⁴ : BorelSpace V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : Integrable f volume
v : V
h'f : ContinuousAt f v
φ : V → ℝ := fun w => π ^ (↑(finrank ℝ V) / 2) * rexp (-π ^ 2 * ‖w‖ ^ 2)
⊢ Tendsto (fun w => π ^ 2 * ‖w‖ ^ 2) (cobounded V) atTop

Tactic:
rw [tendsto_const_mul_atTop_of_pos (by positivity)]

Result:
V : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁵ : MeasurableSpace V
inst✝⁴ : BorelSpace V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : Integrable f volume
v : V
h'f : ContinuousAt f v
φ : V → ℝ := fun w => π ^ (↑(finrank ℝ V) / 2) * rexp (-π ^ 2 * ‖w‖ ^ 2)
⊢ Tendsto (fun w => ‖w‖ ^ 2) (cobounded V) atTop

Proof state:
case h.e_f.h.e_a
V : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁵ : MeasurableSpace V
inst✝⁴ : BorelSpace V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : Integrable f volume
v : V
h'f : ContinuousAt f v
φ : V → ℝ := fun w => π ^ (↑(finrank ℝ V) / 2) * rexp (-π ^ 2 * ‖w‖ ^ 2)
A : Tendsto (fun c => ∫ (w : V), (c ^ finrank ℝ V * φ (c • (v - w))) • f w) atTop (𝓝 (f v))
B : Tendsto (fun c => ∫ (w : V), ((c ^ (1 / 2)) ^ finrank ℝ V * φ (c ^ (1 / 2) • (v - w))) • f w) atTop (𝓝 (f v))
c : ℝ
hc : 0 < c
w : V
⊢ ↑((c ^ (1 / 2)) ^ finrank ℝ V * φ (c ^ (1 / 2) • (v - w))) =
    (↑π * ↑c) ^ (↑(finrank ℝ V) / 2) * cexp (-↑π ^ 2 * ↑c * ↑‖v - w‖ ^ 2)

Tactic:
rw [ofReal_mul, ofReal_mul, ofReal_exp, ← mul_assoc]

Result:
case h.e_f.h.e_a
V : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁵ : MeasurableSpace V
inst✝⁴ : BorelSpace V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝ : CompleteSpace E
hf : Integrable f volume
v : V
h'f : ContinuousAt f v
φ : V → ℝ := fun w => π ^ (↑(finrank ℝ V) / 2) * rexp (-π ^ 2 * ‖w‖ ^ 2)
A : Tendsto (fun c => ∫ (w : V), (c ^ finrank ℝ V * φ (c • (v - w))) • f w) atTop (𝓝 (f v))
B : Tendsto (fun c => ∫ (w : V), ((c ^ (1 / 2)) ^ finrank ℝ V * φ (c ^ (1 / 2) • (v - w))) • f w) atTop (𝓝 (f v))
c : ℝ
hc : 0 < c
w : V
⊢ ↑((c ^ (1 / 2)) ^ finrank ℝ V) * ↑(π ^ (↑(finrank ℝ V) / 2)) * cexp ↑(-π ^ 2 * ‖c ^ (1 / 2) • (v - w)‖ ^ 2) =
    (↑π * ↑c) ^ (↑(finrank ℝ V) / 2) * cexp (-↑π ^ 2 * ↑c * ↑‖v - w‖ ^ 2)