-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
theorem pentagon_bimod {V W X Y Z : Mon_ C} (M : Bimod V W) (N : Bimod W X) (P : Bimod X Y)
    (Q : Bimod Y Z) :
    whiskerRight (associatorBimod M N P).hom Q ≫
      (associatorBimod M (N.tensorBimod P) Q).hom ≫
        whiskerLeft M (associatorBimod N P Q).hom =
      (associatorBimod (M.tensorBimod N) P Q).hom ≫
        (associatorBimod M N (P.tensorBimod Q)).hom

Proof state:
case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
V W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod V W
N : Bimod W X
P : Bimod X Y
Q : Bimod Y Z
⊢ coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux M N P) ⋯ ▷ Q.X ≫
      AssociatorBimod.homAux M (N.tensorBimod P) Q ≫
        colimMap
          (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q)
            ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft (N.tensorBimod P) Q)
            (M.actRight ▷ TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q))
            ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q))
            ((M.X ⊗ W.X) ◁ coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux N P Q) ⋯)
            (M.X ◁ coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux N P Q) ⋯) ⋯ ⋯) =
    AssociatorBimod.homAux (M.tensorBimod N) P Q ≫ coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux M N (P.tensorBimod Q)) ⋯

Tactic:
dsimp [AssociatorBimod.homAux]

Result:
case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
V W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod V W
N : Bimod W X
P : Bimod X Y
Q : Bimod Y Z
⊢ coequalizer.desc
          ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight P.X) (M.actRight ▷ N.X)
                ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)).inv ≫
            coequalizer.desc
              ((α_ M.X N.X P.X).hom ≫
                M.X ◁ coequalizer.π (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) ≫
                  coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P)
                    ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P))
              ⋯)
          ⋯ ▷
        Q.X ≫
      ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight Q.X) (M.actRight ▷ TensorBimod.X N P)
              ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N P)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)).inv ≫
          coequalizer.desc
            ((α_ M.X (TensorBimod.X N P) Q.X).hom ≫
              M.X ◁
                  coequalizer.π (TensorBimod.actRight N P ▷ Q.X)
                    ((α_ (TensorBimod.X N P) Y.X Q.X).hom ≫ TensorBimod.X N P ◁ Q.actLeft) ≫
                coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q)
                  ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q)).hom ≫
                    M.X ◁ TensorBimod.actLeft (N.tensorBimod P) Q))
            ⋯) ≫
        colimMap
          (parallelPairHom (M.actRight ▷ TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q)
            ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X (N.tensorBimod P) Q)).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft (N.tensorBimod P) Q)
            (M.actRight ▷ TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q))
            ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q))).hom ≫ M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q))
            ((M.X ⊗ W.X) ◁
              coequalizer.desc
                ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight Q.X) (N.actRight ▷ P.X)
                      ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)).inv ≫
                  coequalizer.desc
                    ((α_ N.X P.X Q.X).hom ≫
                      N.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫
                        coequalizer.π (N.actRight ▷ TensorBimod.X P Q)
                          ((α_ N.X X.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q))
                    ⋯)
                ⋯)
            (M.X ◁
              coequalizer.desc
                ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight Q.X) (N.actRight ▷ P.X)
                      ((α_ N.X X.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft)).inv ≫
                  coequalizer.desc
                    ((α_ N.X P.X Q.X).hom ≫
                      N.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫
                        coequalizer.π (N.actRight ▷ TensorBimod.X P Q)
                          ((α_ N.X X.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q))
                    ⋯)
                ⋯)
            ⋯ ⋯) =
    ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight Q.X) (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X)
            ((α_ (TensorBimod.X M N) X.X P.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P.actLeft)).inv ≫
        coequalizer.desc
          ((α_ (TensorBimod.X M N) P.X Q.X).hom ≫
            TensorBimod.X M N ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X Y.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ≫
              coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ▷ TensorBimod.X P Q)
                ((α_ (TensorBimod.X M N) X.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ TensorBimod.actLeft P Q))
          ⋯) ≫
      coequalizer.desc
        ((PreservesCoequalizer.iso (tensorRight (TensorBimod.X P Q)) (M.actRight ▷ N.X)
              ((α_ M.X W.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)).inv ≫
          coequalizer.desc
            ((α_ M.X N.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫
              M.X ◁
                  coequalizer.π (N.actRight ▷ TensorBimod.X P Q)
                    ((α_ N.X X.X (TensorBimod.X P Q)).hom ≫ N.X ◁ TensorBimod.actLeft P Q) ≫
                coequalizer.π (M.actRight ▷ TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q))
                  ((α_ M.X W.X (TensorBimod.X N (P.tensorBimod Q))).hom ≫
                    M.X ◁ TensorBimod.actLeft N (P.tensorBimod Q)))
            ⋯)
        ⋯