-- Mathlib/Algebra/Order/CauSeq/BigOperators.lean
lemma of_decreasing_bounded (f : ℕ → α) {a : α} {m : ℕ} (ham : ∀ n ≥ m, |f n| ≤ a)
    (hnm : ∀ n ≥ m, f n.succ ≤ f n) : IsCauSeq abs f := fun ε ε0 ↦ by
  classical
  let ⟨k, hk⟩ := Archimedean.arch a ε0
  have h : ∃ l, ∀ n ≥ m, a - l • ε < f n :=
    ⟨k + k + 1, fun n hnm ↦
      lt_of_lt_of_le (show a - (k + (k + 1)) • ε < -|f n| from
          lt_neg.1 <| (ham n hnm).trans_lt
              (by
                rw [neg_sub, lt_sub_iff_add_lt, add_nsmul, add_nsmul, one_nsmul]
                exact add_lt_add_of_le_of_lt hk (lt_of_le_of_lt hk (lt_add_of_pos_right _ ε0))))
        (neg_le.2 <| abs_neg (f n) ▸ le_abs_self _)⟩
  let l := Nat.find h
  have hl : ∀ n : ℕ, n ≥ m → f n > a - l • ε := Nat.find_spec h
  have hl0 : l ≠ 0 := fun hl0 ↦
    not_lt_of_ge (ham m le_rfl)
      (lt_of_lt_of_le (by have := hl m (le_refl m); simpa [hl0] using this) (le_abs_self (f m)))
  obtain ⟨i, hi⟩ := not_forall.1 (Nat.find_min h (Nat.pred_lt hl0))
  rw [Classical.not_imp, not_lt] at hi
  exists i
  intro j hj
  have hfij : f j ≤ f i := (Nat.rel_of_forall_rel_succ_of_le_of_le (· ≥ ·) hnm hi.1 hj).le
  rw [abs_of_nonpos (sub_nonpos.2 hfij), neg_sub, sub_lt_iff_lt_add']
  calc
    f i ≤ a - Nat.pred l • ε := hi.2
    _ = a - l • ε + ε

Proof state:
case intro
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : Archimedean α
f : ℕ → α
a : α
m : ℕ
ham : ∀ n ≥ m, |f n| ≤ a
hnm : ∀ n ≥ m, f n.succ ≤ f n
ε : α
ε0 : ε > 0
k : ℕ
hk : a ≤ k • ε
h : ∃ l, ∀ n ≥ m, a - l • ε < f n
l : ℕ := Nat.find h
hl : ∀ n ≥ m, f n > a - l • ε
hl0 : l ≠ 0
i : ℕ
hi : i ≥ m ∧ f i ≤ a - (Nat.find h).pred • ε
⊢ ∃ i, ∀ j ≥ i, |f j - f i| < ε

Tactic:
exists i

Result:
case intro
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : Archimedean α
f : ℕ → α
a : α
m : ℕ
ham : ∀ n ≥ m, |f n| ≤ a
hnm : ∀ n ≥ m, f n.succ ≤ f n
ε : α
ε0 : ε > 0
k : ℕ
hk : a ≤ k • ε
h : ∃ l, ∀ n ≥ m, a - l • ε < f n
l : ℕ := Nat.find h
hl : ∀ n ≥ m, f n > a - l • ε
hl0 : l ≠ 0
i : ℕ
hi : i ≥ m ∧ f i ≤ a - (Nat.find h).pred • ε
⊢ ∀ j ≥ i, |f j - f i| < ε

Proof state:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : Archimedean α
f : ℕ → α
a : α
m : ℕ
ham : ∀ n ≥ m, |f n| ≤ a
hnm : ∀ n ≥ m, f n.succ ≤ f n
ε : α
ε0 : ε > 0
k : ℕ
hk : a ≤ k • ε
h : ∃ l, ∀ n ≥ m, a - l • ε < f n
l : ℕ := Nat.find h
hl : ∀ n ≥ m, f n > a - l • ε
hl0 : l ≠ 0
⊢ ∃ i, ∀ j ≥ i, |f j - f i| < ε

Tactic:
obtain ⟨i, hi⟩ := not_forall.1 (Nat.find_min h (Nat.pred_lt hl0))

Result:
case intro
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : Archimedean α
f : ℕ → α
a : α
m : ℕ
ham : ∀ n ≥ m, |f n| ≤ a
hnm : ∀ n ≥ m, f n.succ ≤ f n
ε : α
ε0 : ε > 0
k : ℕ
hk : a ≤ k • ε
h : ∃ l, ∀ n ≥ m, a - l • ε < f n
l : ℕ := Nat.find h
hl : ∀ n ≥ m, f n > a - l • ε
hl0 : l ≠ 0
i : ℕ
hi : ¬(i ≥ m → a - (Nat.find h).pred • ε < f i)
⊢ ∃ i, ∀ j ≥ i, |f j - f i| < ε

Proof state:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : Archimedean α
f : ℕ → α
a : α
m : ℕ
ham : ∀ n ≥ m, |f n| ≤ a
hnm : ∀ n ≥ m, f n.succ ≤ f n
ε : α
ε0 : ε > 0
⊢ ∃ i, ∀ j ≥ i, |f j - f i| < ε

Tactic:
let ⟨k, hk⟩ := Archimedean.arch a ε0

Result:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : Archimedean α
f : ℕ → α
a : α
m : ℕ
ham : ∀ n ≥ m, |f n| ≤ a
hnm : ∀ n ≥ m, f n.succ ≤ f n
ε : α
ε0 : ε > 0
k : ℕ
hk : a ≤ k • ε
⊢ ∃ i, ∀ j ≥ i, |f j - f i| < ε

Proof state:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : Archimedean α
f : ℕ → α
a : α
m : ℕ
ham : ∀ n ≥ m, |f n| ≤ a
hnm : ∀ n ≥ m, f n.succ ≤ f n
ε : α
ε0 : ε > 0
k : ℕ
hk : a ≤ k • ε
h : ∃ l, ∀ n ≥ m, a - l • ε < f n
⊢ ∃ i, ∀ j ≥ i, |f j - f i| < ε

Tactic:
let l := Nat.find h

Result:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : Archimedean α
f : ℕ → α
a : α
m : ℕ
ham : ∀ n ≥ m, |f n| ≤ a
hnm : ∀ n ≥ m, f n.succ ≤ f n
ε : α
ε0 : ε > 0
k : ℕ
hk : a ≤ k • ε
h : ∃ l, ∀ n ≥ m, a - l • ε < f n
l : ℕ := Nat.find h
⊢ ∃ i, ∀ j ≥ i, |f j - f i| < ε

Proof state:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : Archimedean α
f : ℕ → α
a : α
m : ℕ
ham : ∀ n ≥ m, |f n| ≤ a
hnm : ∀ n ≥ m, f n.succ ≤ f n
ε : α
ε0 : ε > 0
k : ℕ
hk : a ≤ k • ε
h : ∃ l, ∀ n ≥ m, a - l • ε < f n
l : ℕ := Nat.find h
hl : ∀ n ≥ m, f n > a - l • ε
hl0 : l = 0
this : f m > a - l • ε
⊢ a < f m

Tactic:
simpa [hl0] using this

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : Archimedean α
f : ℕ → α
a : α
m : ℕ
ham : ∀ n ≥ m, |f n| ≤ a
hnm : ∀ n ≥ m, f n.succ ≤ f n
ε : α
ε0 : ε > 0
k : ℕ
hk : a ≤ k • ε
⊢ ∃ i, ∀ j ≥ i, |f j - f i| < ε

Tactic:
have h : ∃ l, ∀ n ≥ m, a - l • ε < f n :=
  ⟨k + k + 1, fun n hnm ↦
    lt_of_lt_of_le (show a - (k + (k + 1)) • ε < -|f n| from
        lt_neg.1 <| (ham n hnm).trans_lt
            (by
              rw [neg_sub, lt_sub_iff_add_lt, add_nsmul, add_nsmul, one_nsmul]
              exact add_lt_add_of_le_of_lt hk (lt_of_le_of_lt hk (lt_add_of_pos_right _ ε0))))
      (neg_le.2 <| abs_neg (f n) ▸ le_abs_self _)⟩

Result:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : Archimedean α
f : ℕ → α
a : α
m : ℕ
ham : ∀ n ≥ m, |f n| ≤ a
hnm : ∀ n ≥ m, f n.succ ≤ f n
ε : α
ε0 : ε > 0
k : ℕ
hk : a ≤ k • ε
h : ∃ l, ∀ n ≥ m, a - l • ε < f n
⊢ ∃ i, ∀ j ≥ i, |f j - f i| < ε

Proof state:
case intro
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField α
inst✝ : Archimedean α
f : ℕ → α
a : α
m : ℕ
ham : ∀ n ≥ m, |f n| ≤ a
hnm : ∀ n ≥ m, f n.succ ≤ f n
ε : α
ε0 : ε > 0
k : ℕ
hk : a ≤ k • ε
h : ∃ l, ∀ n ≥ m, a - l • ε < f n
l : ℕ := Nat.find h
hl : ∀ n ≥ m, f n > a - l • ε
hl0 : l ≠ 0
i : ℕ
hi : i ≥ m ∧ f i ≤ a - (Nat.find h).pred • ε
j : ℕ
hj : j ≥ i
hfij : f j ≤ f i
⊢ f i < f j + ε

Tactic:
calc
  f i ≤ a - Nat.pred l • ε := hi.2
  _ = a - l • ε + ε := by
    conv =>
      rhs
      rw [← Nat.succ_pred_eq_of_pos (Nat.pos_of_ne_zero hl0), succ_nsmul, sub_add,
        add_sub_cancel_right]
  _ < f j + ε := add_lt_add_right (hl j (le_trans hi.1 hj)) _

Result:
no goals