-- Mathlib/Analysis/Convex/Function.lean
theorem neg_convexOn_iff : ConvexOn 𝕜 s (-f) ↔ ConcaveOn 𝕜 s f

Proof state:
case mp
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
⊢ ConvexOn 𝕜 s (-f) → ConcaveOn 𝕜 s f

Tactic:
rintro ⟨hconv, h⟩

Result:
case mp.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hconv : Convex 𝕜 s
h :
  ∀ ⦃x : E⦄,
    x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → (-f) (a • x + b • y) ≤ a • (-f) x + b • (-f) y
⊢ ConcaveOn 𝕜 s f

Proof state:
case mp.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hconv : Convex 𝕜 s
h :
  ∀ ⦃x : E⦄,
    x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → (-f) (a • x + b • y) ≤ a • (-f) x + b • (-f) y
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • f x + b • f y ≤ f (a • x + b • y)

Tactic:
simp only [Pi.neg_apply, smul_neg, le_add_neg_iff_add_le, add_comm,
  add_neg_le_iff_le_add] at h

Result:
case mp.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hconv : Convex 𝕜 s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
h : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → a • f x + b • f y ≤ f (a • x + b • y)
⊢ a • f x + b • f y ≤ f (a • x + b • y)

Proof state:
case mp.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hconv : Convex 𝕜 s
h :
  ∀ ⦃x : E⦄,
    x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → (-f) (a • x + b • y) ≤ a • (-f) x + b • (-f) y
⊢ ConcaveOn 𝕜 s f

Tactic:
refine ⟨hconv, fun x hx y hy a b ha hb hab => ?_⟩

Result:
case mp.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hconv : Convex 𝕜 s
h :
  ∀ ⦃x : E⦄,
    x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → (-f) (a • x + b • y) ≤ a • (-f) x + b • (-f) y
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • f x + b • f y ≤ f (a • x + b • y)

Proof state:
case mpr.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hconv : Convex 𝕜 s
h : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → a • f x + b • f y ≤ f (a • x + b • y)
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • f x + b • f y ≤ f (a • x + b • y)

Tactic:
exact h hx hy ha hb hab

Result:
no goals

Proof state:
case mpr.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hconv : Convex 𝕜 s
h : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → a • f x + b • f y ≤ f (a • x + b • y)
⊢ ConvexOn 𝕜 s (-f)

Tactic:
refine ⟨hconv, fun x hx y hy a b ha hb hab => ?_⟩

Result:
case mpr.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hconv : Convex 𝕜 s
h : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → a • f x + b • f y ≤ f (a • x + b • y)
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ (-f) (a • x + b • y) ≤ a • (-f) x + b • (-f) y

Proof state:
case mpr.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hconv : Convex 𝕜 s
h : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → a • f x + b • f y ≤ f (a • x + b • y)
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ (-f) (a • x + b • y) ≤ a • (-f) x + b • (-f) y

Tactic:
rw [← neg_le_neg_iff]

Result:
case mpr.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hconv : Convex 𝕜 s
h : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → a • f x + b • f y ≤ f (a • x + b • y)
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ -(a • (-f) x + b • (-f) y) ≤ -(-f) (a • x + b • y)

Proof state:
case mpr.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hconv : Convex 𝕜 s
h : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → a • f x + b • f y ≤ f (a • x + b • y)
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ -(a • (-f) x + b • (-f) y) ≤ -(-f) (a • x + b • y)

Tactic:
simp_rw [neg_add, Pi.neg_apply, smul_neg, neg_neg]

Result:
case mpr.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hconv : Convex 𝕜 s
h : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → a • f x + b • f y ≤ f (a • x + b • y)
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • f x + b • f y ≤ f (a • x + b • y)

Proof state:
case mp.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hconv : Convex 𝕜 s
h :
  ∀ ⦃x : E⦄,
    x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → (-f) (a • x + b • y) ≤ a • (-f) x + b • (-f) y
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • f x + b • f y ≤ f (a • x + b • y)

Tactic:
simp? [neg_apply, neg_le, add_comm] at h says
  simp only [Pi.neg_apply, smul_neg, le_add_neg_iff_add_le, add_comm,
    add_neg_le_iff_le_add] at h

Result:
case mp.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hconv : Convex 𝕜 s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
h : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → a • f x + b • f y ≤ f (a • x + b • y)
⊢ a • f x + b • f y ≤ f (a • x + b • y)

Proof state:
case mp.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
β : Type u_5
inst✝⁴ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 β
s : Set E
f : E → β
hconv : Convex 𝕜 s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
h : ∀ ⦃x : E⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : E⦄, y ∈ s → ∀ ⦃a b : 𝕜⦄, 0 ≤ a → 0 ≤ b → a + b = 1 → a • f x + b • f y ≤ f (a • x + b • y)
⊢ a • f x + b • f y ≤ f (a • x + b • y)

Tactic:
exact h hx hy ha hb hab

Result:
no goals