-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/Exactness.lean
theorem map_exact : Function.Exact (map I f) (map I g)

Proof state:
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
y : AdicCompletion I N
b : AdicCauchySequence I N
hz : (mk I N) b ∈ ker (map I g)
⊢ (mk I N) b ∈ range (map I f)

Tactic:
obtain ⟨k, hk⟩ := Ideal.exists_pow_inf_eq_pow_smul I (LinearMap.range f)

Result:
case intro
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
y : AdicCompletion I N
b : AdicCauchySequence I N
hz : (mk I N) b ∈ ker (map I g)
k : ℕ
hk : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
⊢ (mk I N) b ∈ range (map I f)

Proof state:
case intro
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
y : AdicCompletion I N
b : AdicCauchySequence I N
hz : (mk I N) b ∈ ker (map I g)
k : ℕ
hk : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
hb : ∀ (n : ℕ), g (↑b n) ∈ I ^ n • ⊤
⊢ (mk I N) b ∈ range (map I f)

Tactic:
let a := mapExactAux hf hfg hg hk b hb

Result:
case intro
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
y : AdicCompletion I N
b : AdicCauchySequence I N
hz : (mk I N) b ∈ ker (map I g)
k : ℕ
hk : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
hb : ∀ (n : ℕ), g (↑b n) ∈ I ^ n • ⊤
a : (n : ℕ) → ↑{a | f a - ↑b (k + n) ∈ I ^ (k + n) • ⊤} := AdicCompletion.mapExactAux hf hfg hg hk b hb
⊢ (mk I N) b ∈ range (map I f)

Proof state:
case intro
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
y : AdicCompletion I N
b : AdicCauchySequence I N
hz : (mk I N) b ∈ ker (map I g)
k : ℕ
hk : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
⊢ (mk I N) b ∈ range (map I f)

Tactic:
have hb (n : ℕ) : g (b n) ∈ (I ^ n • ⊤ : Submodule R P) := by
  simpa using congrArg (fun x ↦ x.val n) hz

Result:
case intro
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
y : AdicCompletion I N
b : AdicCauchySequence I N
hz : (mk I N) b ∈ ker (map I g)
k : ℕ
hk : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
hb : ∀ (n : ℕ), g (↑b n) ∈ I ^ n • ⊤
⊢ (mk I N) b ∈ range (map I f)

Proof state:
case intro.refine_2.h
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
y : AdicCompletion I N
b : AdicCauchySequence I N
hz : (mk I N) b ∈ ker (map I g)
k : ℕ
hk : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
hb : ∀ (n : ℕ), g (↑b n) ∈ I ^ n • ⊤
a : (n : ℕ) → ↑{a | f a - ↑b (k + n) ∈ I ^ (k + n) • ⊤} := AdicCompletion.mapExactAux hf hfg hg hk b hb
n : ℕ
⊢ ↑((map I f) ((mk I M) (AdicCauchySequence.mk I M (fun n => ↑(a n)) ⋯))) n = ↑((mk I N) b) n

Tactic:
suffices h : Submodule.Quotient.mk (p := (I ^ n • ⊤ : Submodule R N)) (f (a n)) =
      Submodule.Quotient.mk (p := (I ^ n • ⊤ : Submodule R N)) (b (k + n)) by
  simp [h, AdicCauchySequence.mk_eq_mk (show n ≤ k + n by omega)]

Result:
case intro.refine_2.h
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
y : AdicCompletion I N
b : AdicCauchySequence I N
hz : (mk I N) b ∈ ker (map I g)
k : ℕ
hk : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
hb : ∀ (n : ℕ), g (↑b n) ∈ I ^ n • ⊤
a : (n : ℕ) → ↑{a | f a - ↑b (k + n) ∈ I ^ (k + n) • ⊤} := AdicCompletion.mapExactAux hf hfg hg hk b hb
n : ℕ
⊢ Submodule.Quotient.mk (f ↑(a n)) = Submodule.Quotient.mk (↑b (k + n))

Proof state:
case intro.refine_2
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
y : AdicCompletion I N
b : AdicCauchySequence I N
hz : (mk I N) b ∈ ker (map I g)
k : ℕ
hk : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
hb : ∀ (n : ℕ), g (↑b n) ∈ I ^ n • ⊤
a : (n : ℕ) → ↑{a | f a - ↑b (k + n) ∈ I ^ (k + n) • ⊤} := AdicCompletion.mapExactAux hf hfg hg hk b hb
⊢ (map I f) ((mk I M) (AdicCauchySequence.mk I M (fun n => ↑(a n)) ⋯)) = (mk I N) b

Tactic:
ext n

Result:
case intro.refine_2.h
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
y : AdicCompletion I N
b : AdicCauchySequence I N
hz : (mk I N) b ∈ ker (map I g)
k : ℕ
hk : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
hb : ∀ (n : ℕ), g (↑b n) ∈ I ^ n • ⊤
a : (n : ℕ) → ↑{a | f a - ↑b (k + n) ∈ I ^ (k + n) • ⊤} := AdicCompletion.mapExactAux hf hfg hg hk b hb
n : ℕ
⊢ ↑((map I f) ((mk I M) (AdicCauchySequence.mk I M (fun n => ↑(a n)) ⋯))) n = ↑((mk I N) b) n