-- Mathlib/Combinatorics/Configuration.lean
theorem Nondegenerate.exists_injective_of_card_le [Nondegenerate P L] [Fintype P] [Fintype L]
    (h : Fintype.card L ≤ Fintype.card P) : ∃ f : L → P, Function.Injective f ∧ ∀ l, f l ∉ l

Proof state:
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : Nondegenerate P L
inst✝¹ : Fintype P
inst✝ : Fintype L
h : Fintype.card L ≤ Fintype.card P
t : L → Finset P := fun l => {p | p ∉ l}.toFinset
s : Finset L
⊢ #s ≤ #(s.biUnion t)

Tactic:
by_cases hs₀ : #s = 0

Result:
case pos
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : Nondegenerate P L
inst✝¹ : Fintype P
inst✝ : Fintype L
h : Fintype.card L ≤ Fintype.card P
t : L → Finset P := fun l => {p | p ∉ l}.toFinset
s : Finset L
hs₀ : #s = 0
⊢ #s ≤ #(s.biUnion t)

case neg
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : Nondegenerate P L
inst✝¹ : Fintype P
inst✝ : Fintype L
h : Fintype.card L ≤ Fintype.card P
t : L → Finset P := fun l => {p | p ∉ l}.toFinset
s : Finset L
hs₀ : ¬#s = 0
⊢ #s ≤ #(s.biUnion t)

Proof state:
case neg
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : Nondegenerate P L
inst✝¹ : Fintype P
inst✝ : Fintype L
h : Fintype.card L ≤ Fintype.card P
t : L → Finset P := fun l => {p | p ∉ l}.toFinset
s : Finset L
hs₀ : ¬#s = 0
hs₁ : ¬#s = 1
hs₂ : #(s.biUnion t)ᶜ ≤ 1
hs₃ : ¬#sᶜ = 0
⊢ #(s.biUnion t)ᶜ ≤ #sᶜ

Tactic:
exact hs₂.trans (Nat.one_le_iff_ne_zero.mpr hs₃)

Result:
no goals

Proof state:
case pos
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : Nondegenerate P L
inst✝¹ : Fintype P
inst✝ : Fintype L
h : Fintype.card L ≤ Fintype.card P
t : L → Finset P := fun l => {p | p ∉ l}.toFinset
s : Finset L
hs₀ : ¬#s = 0
hs₁ : ¬#s = 1
hs₂ : #(s.biUnion t)ᶜ ≤ 1
hs₃ : ∀ (x : L), x ∈ s
⊢ ∀ (x : P), x ∈ univ.biUnion t

Tactic:
exact fun p =>
  Exists.elim (exists_line p)fun l hl => Finset.mem_biUnion.mpr ⟨l, Finset.mem_univ l, Set.mem_toFinset.mpr hl⟩

Result:
no goals

Proof state:
case neg
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : Nondegenerate P L
inst✝¹ : Fintype P
inst✝ : Fintype L
h : Fintype.card L ≤ Fintype.card P
t : L → Finset P := fun l => {p | p ∉ l}.toFinset
s : Finset L
hs₀ : ¬#s = 0
⊢ #s ≤ #(s.biUnion t)

Tactic:
by_cases hs₁ : #s = 1

Result:
case pos
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : Nondegenerate P L
inst✝¹ : Fintype P
inst✝ : Fintype L
h : Fintype.card L ≤ Fintype.card P
t : L → Finset P := fun l => {p | p ∉ l}.toFinset
s : Finset L
hs₀ : ¬#s = 0
hs₁ : #s = 1
⊢ #s ≤ #(s.biUnion t)

case neg
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : Nondegenerate P L
inst✝¹ : Fintype P
inst✝ : Fintype L
h : Fintype.card L ≤ Fintype.card P
t : L → Finset P := fun l => {p | p ∉ l}.toFinset
s : Finset L
hs₀ : ¬#s = 0
hs₁ : ¬#s = 1
⊢ #s ≤ #(s.biUnion t)

Proof state:
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : Nondegenerate P L
inst✝¹ : Fintype P
inst✝ : Fintype L
h : Fintype.card L ≤ Fintype.card P
t : L → Finset P := fun l => {p | p ∉ l}.toFinset
s : Finset L
hs₀ : ¬#s = 0
hs₁ : ¬#s = 1
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ (s.biUnion t)ᶜ
hp₂ : p₂ ∈ (s.biUnion t)ᶜ
⊢ p₁ = p₂

Tactic:
simp_rw [t, Finset.mem_compl, Finset.mem_biUnion, not_exists, not_and,
  Set.mem_toFinset, Set.mem_setOf_eq, Classical.not_not] at hp₁ hp₂

Result:
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : Nondegenerate P L
inst✝¹ : Fintype P
inst✝ : Fintype L
h : Fintype.card L ≤ Fintype.card P
t : L → Finset P := fun l => {p | p ∉ l}.toFinset
s : Finset L
hs₀ : ¬#s = 0
hs₁ : ¬#s = 1
p₁ p₂ : P
hp₁ : ∀ x ∈ s, p₁ ∈ x
hp₂ : ∀ x ∈ s, p₂ ∈ x
⊢ p₁ = p₂

Proof state:
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : Nondegenerate P L
inst✝¹ : Fintype P
inst✝ : Fintype L
h : Fintype.card L ≤ Fintype.card P
t : L → Finset P := fun l => {p | p ∉ l}.toFinset
s : Finset L
hs₀ : ¬#s = 0
hs₁ : ¬#s = 1
p₁ p₂ : P
hp₁ : ∀ x ∈ s, p₁ ∈ x
hp₂ : ∀ x ∈ s, p₂ ∈ x
⊢ p₁ = p₂

Tactic:
obtain ⟨l₁, l₂, hl₁, hl₂, hl₃⟩ :=
  Finset.one_lt_card_iff.mp (Nat.one_lt_iff_ne_zero_and_ne_one.mpr ⟨hs₀, hs₁⟩)

Result:
case intro.intro.intro.intro
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : Nondegenerate P L
inst✝¹ : Fintype P
inst✝ : Fintype L
h : Fintype.card L ≤ Fintype.card P
t : L → Finset P := fun l => {p | p ∉ l}.toFinset
s : Finset L
hs₀ : ¬#s = 0
hs₁ : ¬#s = 1
p₁ p₂ : P
hp₁ : ∀ x ∈ s, p₁ ∈ x
hp₂ : ∀ x ∈ s, p₂ ∈ x
l₁ l₂ : L
hl₁ : l₁ ∈ s
hl₂ : l₂ ∈ s
hl₃ : l₁ ≠ l₂
⊢ p₁ = p₂

Proof state:
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : Nondegenerate P L
inst✝¹ : Fintype P
inst✝ : Fintype L
h : Fintype.card L ≤ Fintype.card P
t : L → Finset P := fun l => {p | p ∉ l}.toFinset
s : Finset L
hs₀ : ¬#s = 0
hs₁ : ¬#s = 1
⊢ #(s.biUnion t)ᶜ ≤ 1

Tactic:
refine Finset.card_le_one_iff.mpr @fun p₁ p₂ hp₁ hp₂ => ?_

Result:
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : Nondegenerate P L
inst✝¹ : Fintype P
inst✝ : Fintype L
h : Fintype.card L ≤ Fintype.card P
t : L → Finset P := fun l => {p | p ∉ l}.toFinset
s : Finset L
hs₀ : ¬#s = 0
hs₁ : ¬#s = 1
p₁ p₂ : P
hp₁ : p₁ ∈ (s.biUnion t)ᶜ
hp₂ : p₂ ∈ (s.biUnion t)ᶜ
⊢ p₁ = p₂

Proof state:
case pos.intro.intro
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : Nondegenerate P L
inst✝¹ : Fintype P
inst✝ : Fintype L
h : Fintype.card L ≤ Fintype.card P
t : L → Finset P := fun l => {p | p ∉ l}.toFinset
l : L
hs₀ : ¬#{l} = 0
hs₁ : #{l} = 1
p : P
hl : p ∉ l
⊢ #{l} ≤ #({l}.biUnion t)

Tactic:
rw [Finset.card_singleton, Finset.singleton_biUnion, Nat.one_le_iff_ne_zero]

Result:
case pos.intro.intro
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : Nondegenerate P L
inst✝¹ : Fintype P
inst✝ : Fintype L
h : Fintype.card L ≤ Fintype.card P
t : L → Finset P := fun l => {p | p ∉ l}.toFinset
l : L
hs₀ : ¬#{l} = 0
hs₁ : #{l} = 1
p : P
hl : p ∉ l
⊢ #(t l) ≠ 0

Proof state:
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : Nondegenerate P L
inst✝¹ : Fintype P
inst✝ : Fintype L
h : Fintype.card L ≤ Fintype.card P
t : L → Finset P := fun l => {p | p ∉ l}.toFinset
⊢ ∀ (s : Finset L), #s ≤ #(s.biUnion t)

Tactic:
intro s

Result:
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : Nondegenerate P L
inst✝¹ : Fintype P
inst✝ : Fintype L
h : Fintype.card L ≤ Fintype.card P
t : L → Finset P := fun l => {p | p ∉ l}.toFinset
s : Finset L
⊢ #s ≤ #(s.biUnion t)

Proof state:
case pos
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : Nondegenerate P L
inst✝¹ : Fintype P
inst✝ : Fintype L
h : Fintype.card L ≤ Fintype.card P
t : L → Finset P := fun l => {p | p ∉ l}.toFinset
s : Finset L
hs₀ : ¬#s = 0
hs₁ : ¬#s = 1
hs₂ : #(s.biUnion t)ᶜ ≤ 1
hs₃ : s = univ
⊢ s.biUnion t = univ

Tactic:
rw [hs₃]

Result:
case pos
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : Nondegenerate P L
inst✝¹ : Fintype P
inst✝ : Fintype L
h : Fintype.card L ≤ Fintype.card P
t : L → Finset P := fun l => {p | p ∉ l}.toFinset
s : Finset L
hs₀ : ¬#s = 0
hs₁ : ¬#s = 1
hs₂ : #(s.biUnion t)ᶜ ≤ 1
hs₃ : s = univ
⊢ univ.biUnion t = univ

Proof state:
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : Nondegenerate P L
inst✝¹ : Fintype P
inst✝ : Fintype L
h : Fintype.card L ≤ Fintype.card P
t : L → Finset P := fun l => {p | p ∉ l}.toFinset
s : Finset L
hs₀ : ¬#s = 0
hs₁ : ¬#s = 1
this : Fintype.card P ≤ #(s.biUnion t) + (Fintype.card L - #s)
⊢ #s ≤ #(s.biUnion t)

Tactic:
replace := h.trans this

Result:
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : Nondegenerate P L
inst✝¹ : Fintype P
inst✝ : Fintype L
h : Fintype.card L ≤ Fintype.card P
t : L → Finset P := fun l => {p | p ∉ l}.toFinset
s : Finset L
hs₀ : ¬#s = 0
hs₁ : ¬#s = 1
this : Fintype.card L ≤ #(s.biUnion t) + (Fintype.card L - #s)
⊢ #s ≤ #(s.biUnion t)