-- Mathlib/Analysis/Analytic/Uniqueness.lean
theorem eqOn_zero_of_preconnected_of_eventuallyEq_zero_aux [CompleteSpace F] {f : E → F} {U : Set E}
    (hf : AnalyticOnNhd 𝕜 f U) (hU : IsPreconnected U)
    {z₀ : E} (h₀ : z₀ ∈ U) (hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0) :
    EqOn f 0 U

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
U : Set E
hf : AnalyticOnNhd 𝕜 f U
hU : IsPreconnected U
z₀ : E
h₀ : z₀ ∈ U
hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0
u : Set E := {x | f =ᶠ[𝓝 x] 0}
x : E
xu : x ∈ closure u
xU : x ∈ U
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
hp : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
y : E
yu : y ∈ u
hxy : edist x y < r / 2
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F := p.changeOrigin (y - x)
A : ↑‖y - x‖₊ < r / 2
this : HasFPowerSeriesOnBall f (p.changeOrigin (y - x)) y (r - ↑‖y - x‖₊)
⊢ ↑‖y - x‖₊ + r / 2 ≤ r

Tactic:
apply (add_le_add A.le (le_refl (r / 2))).trans (le_of_eq _)

Result:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
U : Set E
hf : AnalyticOnNhd 𝕜 f U
hU : IsPreconnected U
z₀ : E
h₀ : z₀ ∈ U
hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0
u : Set E := {x | f =ᶠ[𝓝 x] 0}
x : E
xu : x ∈ closure u
xU : x ∈ U
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
hp : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
y : E
yu : y ∈ u
hxy : edist x y < r / 2
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F := p.changeOrigin (y - x)
A : ↑‖y - x‖₊ < r / 2
this : HasFPowerSeriesOnBall f (p.changeOrigin (y - x)) y (r - ↑‖y - x‖₊)
⊢ r / 2 + r / 2 = r

Proof state:
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
U : Set E
hf : AnalyticOnNhd 𝕜 f U
hU : IsPreconnected U
z₀ : E
h₀ : z₀ ∈ U
hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0
u : Set E := {x | f =ᶠ[𝓝 x] 0}
x : E
xu : x ∈ closure u
xU : x ∈ U
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
hp : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
y : E
yu : y ∈ u
hxy : edist x y < r / 2
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F := p.changeOrigin (y - x)
has_series : HasFPowerSeriesOnBall f q y (r / 2)
M : EMetric.ball y (r / 2) ∈ 𝓝 x
z : E
hz : z ∈ EMetric.ball y (r / 2)
A : HasSum (fun n => (q n) fun x => z - y) (f z)
⊢ f z = 0 z

Tactic:
have B : HasSum (fun n : ℕ => q n fun _ : Fin n => z - y) 0 := by
  have : HasFPowerSeriesAt 0 q y := has_series.hasFPowerSeriesAt.congr yu
  convert hasSum_zero (α := F) using 2
  ext n
  exact this.apply_eq_zero n _

Result:
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
U : Set E
hf : AnalyticOnNhd 𝕜 f U
hU : IsPreconnected U
z₀ : E
h₀ : z₀ ∈ U
hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0
u : Set E := {x | f =ᶠ[𝓝 x] 0}
x : E
xu : x ∈ closure u
xU : x ∈ U
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
hp : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
y : E
yu : y ∈ u
hxy : edist x y < r / 2
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F := p.changeOrigin (y - x)
has_series : HasFPowerSeriesOnBall f q y (r / 2)
M : EMetric.ball y (r / 2) ∈ 𝓝 x
z : E
hz : z ∈ EMetric.ball y (r / 2)
A : HasSum (fun n => (q n) fun x => z - y) (f z)
B : HasSum (fun n => (q n) fun x => z - y) 0
⊢ f z = 0 z

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
U : Set E
hf : AnalyticOnNhd 𝕜 f U
hU : IsPreconnected U
z₀ : E
h₀ : z₀ ∈ U
hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0
u : Set E := {x | f =ᶠ[𝓝 x] 0}
x : E
xu : x ∈ closure u
xU : x ∈ U
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
hp : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
y : E
yu : y ∈ u
hxy : edist x y < r / 2
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F := p.changeOrigin (y - x)
A : ↑‖y - x‖₊ < r / 2
⊢ HasFPowerSeriesOnBall f q y (r / 2)

Tactic:
have := hp.changeOrigin (A.trans_le ENNReal.half_le_self)

Result:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
U : Set E
hf : AnalyticOnNhd 𝕜 f U
hU : IsPreconnected U
z₀ : E
h₀ : z₀ ∈ U
hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0
u : Set E := {x | f =ᶠ[𝓝 x] 0}
x : E
xu : x ∈ closure u
xU : x ∈ U
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
hp : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
y : E
yu : y ∈ u
hxy : edist x y < r / 2
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F := p.changeOrigin (y - x)
A : ↑‖y - x‖₊ < r / 2
this : HasFPowerSeriesOnBall f (p.changeOrigin (y - x)) (x + (y - x)) (r - ↑‖y - x‖₊)
⊢ HasFPowerSeriesOnBall f q y (r / 2)

Proof state:
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
U : Set E
hf : AnalyticOnNhd 𝕜 f U
hU : IsPreconnected U
z₀ : E
h₀ : z₀ ∈ U
hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0
u : Set E := {x | f =ᶠ[𝓝 x] 0}
x : E
xu : x ∈ closure u
xU : x ∈ U
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
hp : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
y : E
yu : y ∈ u
hxy : edist x y < r / 2
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F := p.changeOrigin (y - x)
has_series : HasFPowerSeriesOnBall f q y (r / 2)
M : EMetric.ball y (r / 2) ∈ 𝓝 x
z : E
hz : z ∈ EMetric.ball y (r / 2)
⊢ f z = 0 z

Tactic:
have A : HasSum (fun n : ℕ => q n fun _ : Fin n => z - y) (f z) := has_series.hasSum_sub hz

Result:
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
U : Set E
hf : AnalyticOnNhd 𝕜 f U
hU : IsPreconnected U
z₀ : E
h₀ : z₀ ∈ U
hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0
u : Set E := {x | f =ᶠ[𝓝 x] 0}
x : E
xu : x ∈ closure u
xU : x ∈ U
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0∞
hp : HasFPowerSeriesOnBall f p x r
y : E
yu : y ∈ u
hxy : edist x y < r / 2
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F := p.changeOrigin (y - x)
has_series : HasFPowerSeriesOnBall f q y (r / 2)
M : EMetric.ball y (r / 2) ∈ 𝓝 x
z : E
hz : z ∈ EMetric.ball y (r / 2)
A : HasSum (fun n => (q n) fun x => z - y) (f z)
⊢ f z = 0 z

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
U : Set E
hf : AnalyticOnNhd 𝕜 f U
hU : IsPreconnected U
z₀ : E
h₀ : z₀ ∈ U
hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0
u : Set E := {x | f =ᶠ[𝓝 x] 0}
⊢ EqOn f 0 U

Tactic:
suffices main : closure u ∩ U ⊆ u by
  have Uu : U ⊆ u :=
    hU.subset_of_closure_inter_subset isOpen_setOf_eventually_nhds ⟨z₀, h₀, hfz₀⟩ main
  intro z hz
  simpa using mem_of_mem_nhds (Uu hz)

Result:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
U : Set E
hf : AnalyticOnNhd 𝕜 f U
hU : IsPreconnected U
z₀ : E
h₀ : z₀ ∈ U
hfz₀ : f =ᶠ[𝓝 z₀] 0
u : Set E := {x | f =ᶠ[𝓝 x] 0}
⊢ closure u ∩ U ⊆ u