-- Mathlib/Algebra/Lie/Semisimple/Lemmas.lean
theorem hasTrivialRadical_and_of_isIrreducible_of_isFaithful
    (h : ∀ x, LinearMap.trace k _ (toEnd k L M x) = 0) : HasTrivialRadical k L

Proof state:
case intro
k : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹² : Field k
inst✝¹¹ : CharZero k
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra k L
inst✝⁸ : Module.Finite k L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module k M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule k L M
inst✝³ : Module.Finite k M
inst✝² : LieModule.IsIrreducible k L M
inst✝¹ : IsFaithful k L M
inst✝ : IsTriangularizable k L M
h : ∀ (x : L), (LinearMap.trace k M) ((toEnd k L M) x) = 0
this : finrank k M ≠ 0
_i : HasCentralRadical k L
h' : ∀ (x : L), x ∈ center k L ↔ (toEnd k L M) x ∈ Submodule.span k {LinearMap.id}
⊢ ∀ m ∈ center k L, m = 0

Tactic:
intro x hx

Result:
case intro
k : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹² : Field k
inst✝¹¹ : CharZero k
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra k L
inst✝⁸ : Module.Finite k L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module k M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule k L M
inst✝³ : Module.Finite k M
inst✝² : LieModule.IsIrreducible k L M
inst✝¹ : IsFaithful k L M
inst✝ : IsTriangularizable k L M
h : ∀ (x : L), (LinearMap.trace k M) ((toEnd k L M) x) = 0
this : finrank k M ≠ 0
_i : HasCentralRadical k L
h' : ∀ (x : L), x ∈ center k L ↔ (toEnd k L M) x ∈ Submodule.span k {LinearMap.id}
x : L
hx : x ∈ center k L
⊢ x = 0

Proof state:
case intro
k : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹² : Field k
inst✝¹¹ : CharZero k
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra k L
inst✝⁸ : Module.Finite k L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module k M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule k L M
inst✝³ : Module.Finite k M
inst✝² : LieModule.IsIrreducible k L M
inst✝¹ : IsFaithful k L M
inst✝ : IsTriangularizable k L M
h : ∀ (x : L), (LinearMap.trace k M) ((toEnd k L M) x) = 0
this : finrank k M ≠ 0
_i : HasCentralRadical k L
h' : ∀ (x : L), x ∈ center k L ↔ (toEnd k L M) x ∈ Submodule.span k {LinearMap.id}
⊢ HasTrivialRadical k L

Tactic:
rw [hasTrivialRadical_iff, (hasCentralRadical_iff k L).mp inferInstance, LieSubmodule.eq_bot_iff]

Result:
case intro
k : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹² : Field k
inst✝¹¹ : CharZero k
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra k L
inst✝⁸ : Module.Finite k L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module k M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule k L M
inst✝³ : Module.Finite k M
inst✝² : LieModule.IsIrreducible k L M
inst✝¹ : IsFaithful k L M
inst✝ : IsTriangularizable k L M
h : ∀ (x : L), (LinearMap.trace k M) ((toEnd k L M) x) = 0
this : finrank k M ≠ 0
_i : HasCentralRadical k L
h' : ∀ (x : L), x ∈ center k L ↔ (toEnd k L M) x ∈ Submodule.span k {LinearMap.id}
⊢ ∀ m ∈ center k L, m = 0

Proof state:
case intro
k : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹² : Field k
inst✝¹¹ : CharZero k
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra k L
inst✝⁸ : Module.Finite k L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module k M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule k L M
inst✝³ : Module.Finite k M
inst✝² : LieModule.IsIrreducible k L M
inst✝¹ : IsFaithful k L M
inst✝ : IsTriangularizable k L M
this : finrank k M ≠ 0
_i : HasCentralRadical k L
h' : ∀ (x : L), x ∈ center k L ↔ (toEnd k L M) x ∈ Submodule.span k {LinearMap.id}
x : L
hx : (toEnd k L M) x ∈ Submodule.span k {LinearMap.id}
h : (LinearMap.trace k M) ((toEnd k L M) x) = 0
⊢ x = 0

Tactic:
obtain ⟨t, ht⟩ := Submodule.mem_span_singleton.mp hx

Result:
case intro.intro
k : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹² : Field k
inst✝¹¹ : CharZero k
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra k L
inst✝⁸ : Module.Finite k L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module k M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule k L M
inst✝³ : Module.Finite k M
inst✝² : LieModule.IsIrreducible k L M
inst✝¹ : IsFaithful k L M
inst✝ : IsTriangularizable k L M
this : finrank k M ≠ 0
_i : HasCentralRadical k L
h' : ∀ (x : L), x ∈ center k L ↔ (toEnd k L M) x ∈ Submodule.span k {LinearMap.id}
x : L
hx : (toEnd k L M) x ∈ Submodule.span k {LinearMap.id}
h : (LinearMap.trace k M) ((toEnd k L M) x) = 0
t : k
ht : t • LinearMap.id = (toEnd k L M) x
⊢ x = 0

Proof state:
k : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹² : Field k
inst✝¹¹ : CharZero k
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra k L
inst✝⁸ : Module.Finite k L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module k M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule k L M
inst✝³ : Module.Finite k M
inst✝² : LieModule.IsIrreducible k L M
inst✝¹ : IsFaithful k L M
inst✝ : IsTriangularizable k L M
this✝ : finrank k M ≠ 0
_i : HasCentralRadical k L
h' : ∀ (x : L), x ∈ center k L ↔ (toEnd k L M) x ∈ Submodule.span k {LinearMap.id}
x : L
hx : (toEnd k L M) x ∈ Submodule.span k {LinearMap.id}
h : (LinearMap.trace k M) ((toEnd k L M) x) = 0
t : k
ht : t • LinearMap.id = (toEnd k L M) x
this : t = 0
⊢ x = 0

Tactic:
simp [← toEnd_eq_zero_iff (R := k) (L := L) (M := M), ← ht, this]

Result:
no goals

Proof state:
k : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹² : Field k
inst✝¹¹ : CharZero k
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra k L
inst✝⁸ : Module.Finite k L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module k M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule k L M
inst✝³ : Module.Finite k M
inst✝² : LieModule.IsIrreducible k L M
inst✝¹ : IsFaithful k L M
inst✝ : IsTriangularizable k L M
h : ∀ (x : L), (LinearMap.trace k M) ((toEnd k L M) x) = 0
⊢ HasTrivialRadical k L

Tactic:
have : finrank k M ≠ 0 := ((finrank_pos_iff).mpr <| nontrivial_of_isIrreducible k L M).ne'

Result:
k : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹² : Field k
inst✝¹¹ : CharZero k
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra k L
inst✝⁸ : Module.Finite k L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module k M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule k L M
inst✝³ : Module.Finite k M
inst✝² : LieModule.IsIrreducible k L M
inst✝¹ : IsFaithful k L M
inst✝ : IsTriangularizable k L M
h : ∀ (x : L), (LinearMap.trace k M) ((toEnd k L M) x) = 0
this : finrank k M ≠ 0
⊢ HasTrivialRadical k L

Proof state:
case intro.intro
k : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹² : Field k
inst✝¹¹ : CharZero k
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra k L
inst✝⁸ : Module.Finite k L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module k M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule k L M
inst✝³ : Module.Finite k M
inst✝² : LieModule.IsIrreducible k L M
inst✝¹ : IsFaithful k L M
inst✝ : IsTriangularizable k L M
this : finrank k M ≠ 0
_i : HasCentralRadical k L
h' : ∀ (x : L), x ∈ center k L ↔ (toEnd k L M) x ∈ Submodule.span k {LinearMap.id}
x : L
hx : (toEnd k L M) x ∈ Submodule.span k {LinearMap.id}
h : (LinearMap.trace k M) ((toEnd k L M) x) = 0
t : k
ht : t • LinearMap.id = (toEnd k L M) x
⊢ x = 0

Tactic:
suffices t = 0 by simp [← toEnd_eq_zero_iff (R := k) (L := L) (M := M), ← ht, this]

Result:
case intro.intro
k : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝¹² : Field k
inst✝¹¹ : CharZero k
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra k L
inst✝⁸ : Module.Finite k L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module k M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule k L M
inst✝³ : Module.Finite k M
inst✝² : LieModule.IsIrreducible k L M
inst✝¹ : IsFaithful k L M
inst✝ : IsTriangularizable k L M
this : finrank k M ≠ 0
_i : HasCentralRadical k L
h' : ∀ (x : L), x ∈ center k L ↔ (toEnd k L M) x ∈ Submodule.span k {LinearMap.id}
x : L
hx : (toEnd k L M) x ∈ Submodule.span k {LinearMap.id}
h : (LinearMap.trace k M) ((toEnd k L M) x) = 0
t : k
ht : t • LinearMap.id = (toEnd k L M) x
⊢ t = 0