-- Mathlib/Analysis/FunctionalSpaces/SobolevInequality.lean
theorem T_lmarginal_antitone [Fintype ι] [∀ i, SigmaFinite (μ i)]
    (hp₀ : 0 ≤ p) (hp : (#ι - 1 : ℝ) * p ≤ 1) {f : (∀ i, A i) → ℝ≥0∞} (hf : Measurable f) :
    Antitone (fun s ↦ T μ p (∫⋯∫⁻_sᶜ, f ∂μ) s)

Proof state:
case h.e'_4.h.e'_7
ι : Type u_1
A : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝² : DecidableEq ι
p : ℝ
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
hp₀ : 0 ≤ p
hp : (↑#ι - 1) * p ≤ 1
f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∉ s
⊢ i ∈ insert i s

Tactic:
exact mem_insert_self i s

Result:
no goals

Proof state:
ι : Type u_1
A : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝² : DecidableEq ι
p : ℝ
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
hp₀ : 0 ≤ p
hp : (↑#ι - 1) * p ≤ 1
f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ Antitone fun s => T μ p (∫⋯∫⁻_sᶜ, f ∂μ) s

Tactic:
rw [Finset.antitone_iff_forall_insert_le]

Result:
ι : Type u_1
A : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝² : DecidableEq ι
p : ℝ
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
hp₀ : 0 ≤ p
hp : (↑#ι - 1) * p ≤ 1
f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
⊢ ∀ (s : Finset ι) ⦃a : ι⦄, a ∉ s → T μ p (∫⋯∫⁻_(insert a s)ᶜ, f ∂μ) (insert a s) ≤ T μ p (∫⋯∫⁻_sᶜ, f ∂μ) s

Proof state:
case convert_1
ι : Type u_1
A : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝² : DecidableEq ι
p : ℝ
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
hp₀ : 0 ≤ p
hp : (↑#ι - 1) * p ≤ 1
f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∉ s
⊢ ↑(#s) * p ≤ 1

Tactic:
refine le_trans ?_ hp

Result:
case convert_1
ι : Type u_1
A : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝² : DecidableEq ι
p : ℝ
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
hp₀ : 0 ≤ p
hp : (↑#ι - 1) * p ≤ 1
f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∉ s
⊢ ↑(#s) * p ≤ (↑#ι - 1) * p

Proof state:
case convert_1
ι : Type u_1
A : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝² : DecidableEq ι
p : ℝ
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
hp₀ : 0 ≤ p
hp : (↑#ι - 1) * p ≤ 1
f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∉ s
⊢ ↑(#s) * p ≤ (↑#ι - 1) * p

Tactic:
gcongr

Result:
case convert_1.h
ι : Type u_1
A : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝² : DecidableEq ι
p : ℝ
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
hp₀ : 0 ≤ p
hp : (↑#ι - 1) * p ≤ 1
f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∉ s
⊢ ↑(#s) ≤ ↑#ι - 1

Proof state:
ι : Type u_1
A : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝² : DecidableEq ι
p : ℝ
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
hp₀ : 0 ≤ p
hp : (↑#ι - 1) * p ≤ 1
f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∉ s
this : ↑(#s) + 1 ≤ ↑#ι
⊢ ↑(#s) ≤ ↑#ι - 1

Tactic:
linarith

Result:
no goals

Proof state:
case convert_1.h.bc
ι : Type u_1
A : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝² : DecidableEq ι
p : ℝ
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
hp₀ : 0 ≤ p
hp : (↑#ι - 1) * p ≤ 1
f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∉ s
hi' : sᶜ.Nonempty
⊢ 1 ≤ #sᶜ

Tactic:
rwa [← card_pos] at hi'

Result:
no goals

Proof state:
case convert_1.h
ι : Type u_1
A : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝² : DecidableEq ι
p : ℝ
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
hp₀ : 0 ≤ p
hp : (↑#ι - 1) * p ≤ 1
f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∉ s
⊢ ↑(#s) + 1 ≤ ↑#ι

Tactic:
rw [← card_add_card_compl s]

Result:
case convert_1.h
ι : Type u_1
A : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝² : DecidableEq ι
p : ℝ
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
hp₀ : 0 ≤ p
hp : (↑#ι - 1) * p ≤ 1
f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∉ s
⊢ ↑(#s) + 1 ≤ ↑(#s + #sᶜ)

Proof state:
case h.e'_4.h.e'_7
ι : Type u_1
A : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝² : DecidableEq ι
p : ℝ
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
hp₀ : 0 ≤ p
hp : (↑#ι - 1) * p ≤ 1
f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∉ s
⊢ ∫⋯∫⁻_sᶜ, f ∂μ = ∫⋯∫⁻_{i} ∪ (insert i s)ᶜ, f ∂μ

Tactic:
rw [← insert_compl_insert hi]

Result:
case h.e'_4.h.e'_7
ι : Type u_1
A : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝² : DecidableEq ι
p : ℝ
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
hp₀ : 0 ≤ p
hp : (↑#ι - 1) * p ≤ 1
f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∉ s
⊢ ∫⋯∫⁻_insert i (insert i s)ᶜ, f ∂μ = ∫⋯∫⁻_{i} ∪ (insert i s)ᶜ, f ∂μ

Proof state:
case convert_1.h
ι : Type u_1
A : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝² : DecidableEq ι
p : ℝ
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
hp₀ : 0 ≤ p
hp : (↑#ι - 1) * p ≤ 1
f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∉ s
⊢ ↑(#s) + 1 ≤ ↑(#s + #sᶜ)

Tactic:
norm_cast

Result:
case convert_1.h
ι : Type u_1
A : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝² : DecidableEq ι
p : ℝ
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
hp₀ : 0 ≤ p
hp : (↑#ι - 1) * p ≤ 1
f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∉ s
⊢ #s + 1 ≤ #s + #sᶜ

Proof state:
case h.e'_4.h.e'_7
ι : Type u_1
A : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝² : DecidableEq ι
p : ℝ
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
hp₀ : 0 ≤ p
hp : (↑#ι - 1) * p ≤ 1
f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∉ s
⊢ Disjoint {i} (insert i s)ᶜ

Tactic:
rw [Finset.disjoint_singleton_left, not_mem_compl]

Result:
case h.e'_4.h.e'_7
ι : Type u_1
A : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝² : DecidableEq ι
p : ℝ
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
hp₀ : 0 ≤ p
hp : (↑#ι - 1) * p ≤ 1
f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∉ s
⊢ i ∈ insert i s

Proof state:
ι : Type u_1
A : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝² : DecidableEq ι
p : ℝ
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
hp₀ : 0 ≤ p
hp : (↑#ι - 1) * p ≤ 1
f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∉ s
⊢ T μ p (∫⋯∫⁻_(insert i s)ᶜ, f ∂μ) (insert i s) ≤ T μ p (∫⋯∫⁻_sᶜ, f ∂μ) s

Tactic:
convert T_insert_le_T_lmarginal_singleton μ hp₀ s ?_ i hi (hf.lmarginal μ) using 2

Result:
case h.e'_4.h.e'_7
ι : Type u_1
A : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝² : DecidableEq ι
p : ℝ
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
hp₀ : 0 ≤ p
hp : (↑#ι - 1) * p ≤ 1
f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∉ s
⊢ ∫⋯∫⁻_sᶜ, f ∂μ = ∫⋯∫⁻_{i}, ∫⋯∫⁻_(insert i s)ᶜ, f ∂μ ∂μ

case convert_1
ι : Type u_1
A : ι → Type u_2
inst✝³ : (i : ι) → MeasurableSpace (A i)
μ : (i : ι) → Measure (A i)
inst✝² : DecidableEq ι
p : ℝ
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : ∀ (i : ι), SigmaFinite (μ i)
hp₀ : 0 ≤ p
hp : (↑#ι - 1) * p ≤ 1
f : ((i : ι) → A i) → ℝ≥0∞
hf : Measurable f
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∉ s
⊢ ↑(#s) * p ≤ 1