-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/RingHomProperties.lean
theorem of_comp
    (H : ∀ {R S T : Type u} [CommRing R] [CommRing S] [CommRing T],
      ∀ (f : R →+* S) (g : S →+* T), Q (g.comp f) → Q g)
    {X Y Z : Scheme.{u}} {f : X ⟶ Y} {g : Y ⟶ Z} (h : P (f ≫ g)) : P f

Proof state:
case inr
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝ : HasRingHomProperty P Q
H :
  ∀ {R S T : Type u} [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] (f : R →+* S) (g : S →+* T),
    Q (g.comp f) → Q g
Z : Scheme
hZ : IsAffine Z
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : P (f ≫ g)
hY✝ : IsAffine Y
this : ∀ {X : Scheme} {f : X ⟶ Y}, P (f ≫ g) → IsAffine X → P f
hY : ¬IsAffine X
U : ↑X.affineOpens
⊢ P ((↑U).ι ≫ f)

Tactic:
have H := comp_of_isOpenImmersion P U.1.ι (f ≫ g) h

Result:
case inr
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝ : HasRingHomProperty P Q
H✝ :
  ∀ {R S T : Type u} [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] (f : R →+* S) (g : S →+* T),
    Q (g.comp f) → Q g
Z : Scheme
hZ : IsAffine Z
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : P (f ≫ g)
hY✝ : IsAffine Y
this : ∀ {X : Scheme} {f : X ⟶ Y}, P (f ≫ g) → IsAffine X → P f
hY : ¬IsAffine X
U : ↑X.affineOpens
H : P ((↑U).ι ≫ f ≫ g)
⊢ P ((↑U).ι ≫ f)

Proof state:
case inr
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝ : HasRingHomProperty P Q
H :
  ∀ {R S T : Type u} [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] (f : R →+* S) (g : S →+* T),
    Q (g.comp f) → Q g
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : P (f ≫ g)
this : ∀ {X Y Z : Scheme} {f : X ⟶ Y} {g : Y ⟶ Z}, P (f ≫ g) → IsAffine Z → P f
hZ : ¬IsAffine Z
⊢ ∀ (i : ↑Z.affineOpens), P (f ∣_ g ⁻¹ᵁ ↑i)

Tactic:
intro U

Result:
case inr
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝ : HasRingHomProperty P Q
H :
  ∀ {R S T : Type u} [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] (f : R →+* S) (g : S →+* T),
    Q (g.comp f) → Q g
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : P (f ≫ g)
this : ∀ {X Y Z : Scheme} {f : X ⟶ Y} {g : Y ⟶ Z}, P (f ≫ g) → IsAffine Z → P f
hZ : ¬IsAffine Z
U : ↑Z.affineOpens
⊢ P (f ∣_ g ⁻¹ᵁ ↑U)

Proof state:
case inr
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝ : HasRingHomProperty P Q
H :
  ∀ {R S T : Type u} [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] (f : R →+* S) (g : S →+* T),
    Q (g.comp f) → Q g
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : P (f ≫ g)
hZ : IsAffine Z
this : ∀ {X Y : Scheme} {f : X ⟶ Y} {g : Y ⟶ Z}, P (f ≫ g) → IsAffine Y → P f
hY : ¬IsAffine Y
U : ↑Y.affineOpens
⊢ P (f ∣_ ↑U)

Tactic:
have H := comp_of_isOpenImmersion P (f ⁻¹ᵁ U.1).ι (f ≫ g) h

Result:
case inr
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝ : HasRingHomProperty P Q
H✝ :
  ∀ {R S T : Type u} [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] (f : R →+* S) (g : S →+* T),
    Q (g.comp f) → Q g
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : P (f ≫ g)
hZ : IsAffine Z
this : ∀ {X Y : Scheme} {f : X ⟶ Y} {g : Y ⟶ Z}, P (f ≫ g) → IsAffine Y → P f
hY : ¬IsAffine Y
U : ↑Y.affineOpens
H : P ((f ⁻¹ᵁ ↑U).ι ≫ f ≫ g)
⊢ P (f ∣_ ↑U)

Proof state:
case inr
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝ : HasRingHomProperty P Q
H :
  ∀ {R S T : Type u} [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] (f : R →+* S) (g : S →+* T),
    Q (g.comp f) → Q g
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : P (f ≫ g)
hZ : IsAffine Z
this : ∀ {X Y : Scheme} {f : X ⟶ Y} {g : Y ⟶ Z}, P (f ≫ g) → IsAffine Y → P f
hY : ¬IsAffine Y
⊢ P f

Tactic:
rw [IsLocalAtTarget.iff_of_iSup_eq_top (P := P) _ (iSup_affineOpens_eq_top Y)]

Result:
case inr
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝ : HasRingHomProperty P Q
H :
  ∀ {R S T : Type u} [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] (f : R →+* S) (g : S →+* T),
    Q (g.comp f) → Q g
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : P (f ≫ g)
hZ : IsAffine Z
this : ∀ {X Y : Scheme} {f : X ⟶ Y} {g : Y ⟶ Z}, P (f ≫ g) → IsAffine Y → P f
hY : ¬IsAffine Y
⊢ ∀ (i : ↑Y.affineOpens), P (f ∣_ ↑i)

Proof state:
case inr
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝ : HasRingHomProperty P Q
H :
  ∀ {R S T : Type u} [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] (f : R →+* S) (g : S →+* T),
    Q (g.comp f) → Q g
Z : Scheme
hZ : IsAffine Z
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : P (f ≫ g)
hY✝ : IsAffine Y
this : ∀ {X : Scheme} {f : X ⟶ Y}, P (f ≫ g) → IsAffine X → P f
hY : ¬IsAffine X
⊢ ∀ (i : ↑X.affineOpens), P ((↑i).ι ≫ f)

Tactic:
intro U

Result:
case inr
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝ : HasRingHomProperty P Q
H :
  ∀ {R S T : Type u} [inst : CommRing R] [inst_1 : CommRing S] [inst_2 : CommRing T] (f : R →+* S) (g : S →+* T),
    Q (g.comp f) → Q g
Z : Scheme
hZ : IsAffine Z
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
g : Y ⟶ Z
h : P (f ≫ g)
hY✝ : IsAffine Y
this : ∀ {X : Scheme} {f : X ⟶ Y}, P (f ≫ g) → IsAffine X → P f
hY : ¬IsAffine X
U : ↑X.affineOpens
⊢ P ((↑U).ι ≫ f)