-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Lebesgue/EqHaar.lean
theorem addHaar_submodule {E : Type*} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E] [MeasurableSpace E]
    [BorelSpace E] [FiniteDimensional ℝ E] (μ : Measure E) [IsAddHaarMeasure μ] (s : Submodule ℝ E)
    (hs : s ≠ ⊤) : μ s = 0

Proof state:
case intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Submodule ℝ E
hs : s ≠ ⊤
x : E
hx : x ∉ s
c : ℝ
cpos : 0 < c
cone : c < 1
A : Bornology.IsBounded (range fun n => c ^ n • x)
⊢ μ ↑s = 0

Tactic:
apply addHaar_eq_zero_of_disjoint_translates μ _ A _
  (Submodule.closed_of_finiteDimensional s).measurableSet

Result:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Submodule ℝ E
hs : s ≠ ⊤
x : E
hx : x ∉ s
c : ℝ
cpos : 0 < c
cone : c < 1
A : Bornology.IsBounded (range fun n => c ^ n • x)
⊢ Pairwise (Disjoint on fun n => {c ^ n • x} + ↑s)

Proof state:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Submodule ℝ E
hs : s ≠ ⊤
x : E
hx : x ∉ s
c : ℝ
cpos : 0 < c
cone : c < 1
A : Bornology.IsBounded (range fun n => c ^ n • x)
m n : ℕ
hmn : m ≠ n
⊢ (Disjoint on fun n => {c ^ n • x} + ↑s) m n

Tactic:
simp only [Function.onFun, image_add_left, singleton_add, disjoint_left, mem_preimage,
  SetLike.mem_coe]

Result:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Submodule ℝ E
hs : s ≠ ⊤
x : E
hx : x ∉ s
c : ℝ
cpos : 0 < c
cone : c < 1
A : Bornology.IsBounded (range fun n => c ^ n • x)
m n : ℕ
hmn : m ≠ n
⊢ ∀ ⦃a : E⦄, -(c ^ m • x) + a ∈ s → -(c ^ n • x) + a ∉ s

Proof state:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Submodule ℝ E
hs : s ≠ ⊤
x : E
hx : x ∉ s
c : ℝ
cpos : 0 < c
cone : c < 1
A : Bornology.IsBounded (range fun n => c ^ n • x)
m n : ℕ
hmn : m ≠ n
⊢ ∀ ⦃a : E⦄, -(c ^ m • x) + a ∈ s → -(c ^ n • x) + a ∉ s

Tactic:
intro y hym hyn

Result:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Submodule ℝ E
hs : s ≠ ⊤
x : E
hx : x ∉ s
c : ℝ
cpos : 0 < c
cone : c < 1
A : Bornology.IsBounded (range fun n => c ^ n • x)
m n : ℕ
hmn : m ≠ n
y : E
hym : -(c ^ m • x) + y ∈ s
hyn : -(c ^ n • x) + y ∈ s
⊢ False

Proof state:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Submodule ℝ E
hs : s ≠ ⊤
x : E
hx : x ∉ s
c : ℝ
cpos : 0 < c
cone : c < 1
A✝ : Bornology.IsBounded (range fun n => c ^ n • x)
m n : ℕ
hmn : m ≠ n
y : E
hym : -(c ^ m • x) + y ∈ s
hyn : -(c ^ n • x) + y ∈ s
A : (c ^ n - c ^ m) • x ∈ s
H : c ^ n - c ^ m ≠ 0
this : x ∈ s
⊢ False

Tactic:
exact hx this

Result:
no goals

Proof state:
case h.e'_5
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Submodule ℝ E
hs : s ≠ ⊤
x : E
hx : x ∉ s
c : ℝ
cpos : 0 < c
cone : c < 1
A✝ : Bornology.IsBounded (range fun n => c ^ n • x)
m n : ℕ
hmn : m ≠ n
y : E
hym : -(c ^ m • x) + y ∈ s
hyn : -(c ^ n • x) + y ∈ s
A : (c ^ n - c ^ m) • x ∈ s
H : c ^ n - c ^ m ≠ 0
⊢ x = (c ^ n - c ^ m)⁻¹ • (c ^ n - c ^ m) • x

Tactic:
rw [smul_smul, inv_mul_cancel₀ H, one_smul]

Result:
no goals

Proof state:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Submodule ℝ E
hs : s ≠ ⊤
x : E
hx : x ∉ s
c : ℝ
cpos : 0 < c
cone : c < 1
A✝ : Bornology.IsBounded (range fun n => c ^ n • x)
m n : ℕ
hmn : m ≠ n
y : E
hym : -(c ^ m • x) + y ∈ s
hyn : -(c ^ n • x) + y ∈ s
A : (c ^ n - c ^ m) • x ∈ s
⊢ False

Tactic:
have H : c ^ n - c ^ m ≠ 0 := by
  simpa only [sub_eq_zero, Ne] using (pow_right_strictAnti₀ cpos cone).injective.ne hmn.symm

Result:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Submodule ℝ E
hs : s ≠ ⊤
x : E
hx : x ∉ s
c : ℝ
cpos : 0 < c
cone : c < 1
A✝ : Bornology.IsBounded (range fun n => c ^ n • x)
m n : ℕ
hmn : m ≠ n
y : E
hym : -(c ^ m • x) + y ∈ s
hyn : -(c ^ n • x) + y ∈ s
A : (c ^ n - c ^ m) • x ∈ s
H : c ^ n - c ^ m ≠ 0
⊢ False

Proof state:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Submodule ℝ E
hs : s ≠ ⊤
x : E
hx : x ∉ s
⊢ 0 < 1 / 2

Tactic:
norm_num

Result:
no goals

Proof state:
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Submodule ℝ E
hs : s ≠ ⊤
x : E
hx : x ∉ s
⊢ 1 / 2 < 1

Tactic:
norm_num

Result:
no goals

Proof state:
case h.e'_5
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Submodule ℝ E
hs : s ≠ ⊤
x : E
hx : x ∉ s
c : ℝ
cpos : 0 < c
cone : c < 1
A : Bornology.IsBounded (range fun n => c ^ n • x)
m n : ℕ
hmn : m ≠ n
y : E
hym : -(c ^ m • x) + y ∈ s
hyn : -(c ^ n • x) + y ∈ s
⊢ (c ^ n - c ^ m) • x = -(c ^ m • x) + y - (-(c ^ n • x) + y)

Tactic:
simp only [sub_smul, neg_sub_neg, add_sub_add_right_eq_sub]

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Submodule ℝ E
hs : s ≠ ⊤
x : E
hx : x ∉ s
c : ℝ
cpos : 0 < c
cone : c < 1
⊢ μ ↑s = 0

Tactic:
have A : IsBounded (range fun n : ℕ => c ^ n • x) :=
  have : Tendsto (fun n : ℕ => c ^ n • x) atTop (𝓝 ((0 : ℝ) • x)) :=
    (tendsto_pow_atTop_nhds_zero_of_lt_one cpos.le cone).smul_const x
  isBounded_range_of_tendsto _ this

Result:
case intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
s : Submodule ℝ E
hs : s ≠ ⊤
x : E
hx : x ∉ s
c : ℝ
cpos : 0 < c
cone : c < 1
A : Bornology.IsBounded (range fun n => c ^ n • x)
⊢ μ ↑s = 0