-- Mathlib/Analysis/Calculus/UniformLimitsDeriv.lean
theorem hasFDerivAt_of_tendstoUniformly [NeBot l] (hf' : TendstoUniformly f' g' l)
    (hf : ∀ n : ι, ∀ x : E, HasFDerivAt (f n) (f' n x) x)
    (hfg : ∀ x : E, Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))) (x : E) : HasFDerivAt g (g' x) x

Proof state:
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
inst✝ : l.NeBot
hf' : TendstoUniformly f' g' l
hf✝ : ∀ (n : ι) (x : E), HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
hfg✝ : ∀ (x : E), Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))
x : E
hf : ∀ (n : ι), ∀ x ∈ Set.univ, HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
hfg : ∀ x ∈ Set.univ, Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))
⊢ TendstoUniformlyOn f' g' l Set.univ

Tactic:
rwa [tendstoUniformlyOn_univ]

Result:
no goals

Proof state:
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
inst✝ : l.NeBot
hf' : TendstoUniformly f' g' l
hf✝ : ∀ (n : ι) (x : E), HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
hfg : ∀ (x : E), Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))
x : E
hf : ∀ (n : ι), ∀ x ∈ Set.univ, HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
⊢ ∀ x ∈ Set.univ, Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))

Tactic:
simp [hfg]

Result:
no goals

Proof state:
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
inst✝ : l.NeBot
hf' : TendstoUniformly f' g' l
hf✝ : ∀ (n : ι) (x : E), HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
hfg✝ : ∀ (x : E), Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))
x : E
hf : ∀ (n : ι), ∀ x ∈ Set.univ, HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
hfg : ∀ x ∈ Set.univ, Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))
⊢ HasFDerivAt g (g' x) x

Tactic:
have hf' : TendstoUniformlyOn f' g' l Set.univ := by rwa [tendstoUniformlyOn_univ]

Result:
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
inst✝ : l.NeBot
hf'✝ : TendstoUniformly f' g' l
hf✝ : ∀ (n : ι) (x : E), HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
hfg✝ : ∀ (x : E), Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))
x : E
hf : ∀ (n : ι), ∀ x ∈ Set.univ, HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
hfg : ∀ x ∈ Set.univ, Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))
hf' : TendstoUniformlyOn f' g' l Set.univ
⊢ HasFDerivAt g (g' x) x

Proof state:
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
inst✝ : l.NeBot
hf' : TendstoUniformly f' g' l
hf : ∀ (n : ι) (x : E), HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
hfg : ∀ (x : E), Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))
x : E
⊢ HasFDerivAt g (g' x) x

Tactic:
have hf : ∀ n : ι, ∀ x : E, x ∈ Set.univ → HasFDerivAt (f n) (f' n x) x := by simp [hf]

Result:
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
inst✝ : l.NeBot
hf' : TendstoUniformly f' g' l
hf✝ : ∀ (n : ι) (x : E), HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
hfg : ∀ (x : E), Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))
x : E
hf : ∀ (n : ι), ∀ x ∈ Set.univ, HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
⊢ HasFDerivAt g (g' x) x

Proof state:
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
inst✝ : l.NeBot
hf' : TendstoUniformly f' g' l
hf✝ : ∀ (n : ι) (x : E), HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
hfg : ∀ (x : E), Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))
x : E
hf : ∀ (n : ι), ∀ x ∈ Set.univ, HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
⊢ HasFDerivAt g (g' x) x

Tactic:
have hfg : ∀ x : E, x ∈ Set.univ → Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x)) := by simp [hfg]

Result:
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
inst✝ : l.NeBot
hf' : TendstoUniformly f' g' l
hf✝ : ∀ (n : ι) (x : E), HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
hfg✝ : ∀ (x : E), Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))
x : E
hf : ∀ (n : ι), ∀ x ∈ Set.univ, HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
hfg : ∀ x ∈ Set.univ, Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))
⊢ HasFDerivAt g (g' x) x

Proof state:
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
inst✝ : l.NeBot
hf'✝ : TendstoUniformly f' g' l
hf✝ : ∀ (n : ι) (x : E), HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
hfg✝ : ∀ (x : E), Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))
x : E
hf : ∀ (n : ι), ∀ x ∈ Set.univ, HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
hfg : ∀ x ∈ Set.univ, Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))
hf' : TendstoUniformlyOn f' g' l Set.univ
⊢ HasFDerivAt g (g' x) x

Tactic:
exact hasFDerivAt_of_tendstoUniformlyOn isOpen_univ hf' hf hfg (Set.mem_univ x)

Result:
no goals

Proof state:
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_4
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
inst✝ : l.NeBot
hf' : TendstoUniformly f' g' l
hf : ∀ (n : ι) (x : E), HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
hfg : ∀ (x : E), Tendsto (fun n => f n x) l (𝓝 (g x))
x : E
⊢ ∀ (n : ι), ∀ x ∈ Set.univ, HasFDerivAt (f n) (f' n x) x

Tactic:
simp [hf]

Result:
no goals