-- Mathlib/RingTheory/Localization/NormTrace.lean
theorem Algebra.trace_localization [Module.Free R S] [Module.Finite R S] (a : S) :
    Algebra.trace Rₘ Sₘ (algebraMap S Sₘ a) = algebraMap R Rₘ (Algebra.trace R S a)

Proof state:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing Rₘ
inst✝¹⁰ : Algebra R Rₘ
inst✝⁹ : CommRing Sₘ
inst✝⁸ : Algebra S Sₘ
M : Submonoid R
inst✝⁷ : IsLocalization M Rₘ
inst✝⁶ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : Algebra R Sₘ
inst✝³ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝¹ : Module.Free R S
inst✝ : Module.Finite R S
a : S
⊢ (trace Rₘ Sₘ) ((algebraMap S Sₘ) a) = (algebraMap R Rₘ) ((trace R S) a)

Tactic:
cases subsingleton_or_nontrivial R

Result:
case inl
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing Rₘ
inst✝¹⁰ : Algebra R Rₘ
inst✝⁹ : CommRing Sₘ
inst✝⁸ : Algebra S Sₘ
M : Submonoid R
inst✝⁷ : IsLocalization M Rₘ
inst✝⁶ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : Algebra R Sₘ
inst✝³ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝¹ : Module.Free R S
inst✝ : Module.Finite R S
a : S
h✝ : Subsingleton R
⊢ (trace Rₘ Sₘ) ((algebraMap S Sₘ) a) = (algebraMap R Rₘ) ((trace R S) a)

case inr
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing Rₘ
inst✝¹⁰ : Algebra R Rₘ
inst✝⁹ : CommRing Sₘ
inst✝⁸ : Algebra S Sₘ
M : Submonoid R
inst✝⁷ : IsLocalization M Rₘ
inst✝⁶ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : Algebra R Sₘ
inst✝³ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝¹ : Module.Free R S
inst✝ : Module.Finite R S
a : S
h✝ : Nontrivial R
⊢ (trace Rₘ Sₘ) ((algebraMap S Sₘ) a) = (algebraMap R Rₘ) ((trace R S) a)

Proof state:
case inr
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing Rₘ
inst✝¹⁰ : Algebra R Rₘ
inst✝⁹ : CommRing Sₘ
inst✝⁸ : Algebra S Sₘ
M : Submonoid R
inst✝⁷ : IsLocalization M Rₘ
inst✝⁶ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : Algebra R Sₘ
inst✝³ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝¹ : Module.Free R S
inst✝ : Module.Finite R S
a : S
h✝ : Nontrivial R
b : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex R S) R S := Module.Free.chooseBasis R S
this : DecidableEq (Module.Free.ChooseBasisIndex R S) := Classical.decEq (Module.Free.ChooseBasisIndex R S)
⊢ ((algebraMap R Rₘ).mapMatrix ((leftMulMatrix b) a)).trace = (algebraMap R Rₘ) ((leftMulMatrix b) a).trace

Tactic:
exact (AddMonoidHom.map_trace (algebraMap R Rₘ).toAddMonoidHom _).symm

Result:
no goals

Proof state:
case inr
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing Rₘ
inst✝¹⁰ : Algebra R Rₘ
inst✝⁹ : CommRing Sₘ
inst✝⁸ : Algebra S Sₘ
M : Submonoid R
inst✝⁷ : IsLocalization M Rₘ
inst✝⁶ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : Algebra R Sₘ
inst✝³ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝¹ : Module.Free R S
inst✝ : Module.Finite R S
a : S
h✝ : Nontrivial R
b : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex R S) R S := Module.Free.chooseBasis R S
⊢ (trace Rₘ Sₘ) ((algebraMap S Sₘ) a) = (algebraMap R Rₘ) ((trace R S) a)

Tactic:
letI := Classical.decEq (Module.Free.ChooseBasisIndex R S)

Result:
case inr
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing Rₘ
inst✝¹⁰ : Algebra R Rₘ
inst✝⁹ : CommRing Sₘ
inst✝⁸ : Algebra S Sₘ
M : Submonoid R
inst✝⁷ : IsLocalization M Rₘ
inst✝⁶ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : Algebra R Sₘ
inst✝³ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝¹ : Module.Free R S
inst✝ : Module.Finite R S
a : S
h✝ : Nontrivial R
b : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex R S) R S := Module.Free.chooseBasis R S
this : DecidableEq (Module.Free.ChooseBasisIndex R S) := Classical.decEq (Module.Free.ChooseBasisIndex R S)
⊢ (trace Rₘ Sₘ) ((algebraMap S Sₘ) a) = (algebraMap R Rₘ) ((trace R S) a)

Proof state:
case inl
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing Rₘ
inst✝¹⁰ : Algebra R Rₘ
inst✝⁹ : CommRing Sₘ
inst✝⁸ : Algebra S Sₘ
M : Submonoid R
inst✝⁷ : IsLocalization M Rₘ
inst✝⁶ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : Algebra R Sₘ
inst✝³ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝¹ : Module.Free R S
inst✝ : Module.Finite R S
a : S
h✝ : Subsingleton R
this : Subsingleton Rₘ
⊢ (trace Rₘ Sₘ) ((algebraMap S Sₘ) a) = (algebraMap R Rₘ) ((trace R S) a)

Tactic:
simp [eq_iff_true_of_subsingleton]

Result:
no goals

Proof state:
case inr
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing Rₘ
inst✝¹⁰ : Algebra R Rₘ
inst✝⁹ : CommRing Sₘ
inst✝⁸ : Algebra S Sₘ
M : Submonoid R
inst✝⁷ : IsLocalization M Rₘ
inst✝⁶ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : Algebra R Sₘ
inst✝³ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝¹ : Module.Free R S
inst✝ : Module.Finite R S
a : S
h✝ : Nontrivial R
b : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex R S) R S := Module.Free.chooseBasis R S
this : DecidableEq (Module.Free.ChooseBasisIndex R S) := Classical.decEq (Module.Free.ChooseBasisIndex R S)
⊢ (trace Rₘ Sₘ) ((algebraMap S Sₘ) a) = (algebraMap R Rₘ) ((trace R S) a)

Tactic:
rw [Algebra.trace_eq_matrix_trace (b.localizationLocalization Rₘ M Sₘ),
  Algebra.trace_eq_matrix_trace b, ← Algebra.map_leftMulMatrix_localization]

Result:
case inr
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : CommRing S
inst✝¹² : Algebra R S
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing Rₘ
inst✝¹⁰ : Algebra R Rₘ
inst✝⁹ : CommRing Sₘ
inst✝⁸ : Algebra S Sₘ
M : Submonoid R
inst✝⁷ : IsLocalization M Rₘ
inst✝⁶ : IsLocalization (algebraMapSubmonoid S M) Sₘ
inst✝⁵ : Algebra Rₘ Sₘ
inst✝⁴ : Algebra R Sₘ
inst✝³ : IsScalarTower R Rₘ Sₘ
inst✝² : IsScalarTower R S Sₘ
inst✝¹ : Module.Free R S
inst✝ : Module.Finite R S
a : S
h✝ : Nontrivial R
b : Basis (Module.Free.ChooseBasisIndex R S) R S := Module.Free.chooseBasis R S
this : DecidableEq (Module.Free.ChooseBasisIndex R S) := Classical.decEq (Module.Free.ChooseBasisIndex R S)
⊢ ((algebraMap R Rₘ).mapMatrix ((leftMulMatrix b) a)).trace = (algebraMap R Rₘ) ((leftMulMatrix b) a).trace