-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Sieves.lean
theorem functorPushforward_extend_eq {R : Presieve X} :
    (generate R).arrows.functorPushforward F = R.functorPushforward F

Proof state:
case h.h
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X : C
R : Presieve X
Y : D
f : Y ⟶ F.obj X
⊢ f ∈ Presieve.functorPushforward F (generate R).arrows ↔ f ∈ Presieve.functorPushforward F R

Tactic:
constructor

Result:
case h.h.mp
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X : C
R : Presieve X
Y : D
f : Y ⟶ F.obj X
⊢ f ∈ Presieve.functorPushforward F (generate R).arrows → f ∈ Presieve.functorPushforward F R

case h.h.mpr
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X : C
R : Presieve X
Y : D
f : Y ⟶ F.obj X
⊢ f ∈ Presieve.functorPushforward F R → f ∈ Presieve.functorPushforward F (generate R).arrows

Proof state:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X : C
R : Presieve X
Y : D
X' : C
f' : Y ⟶ F.obj X'
X'' : C
g' : X' ⟶ X''
f'' : X'' ⟶ X
h₁ : R f''
⊢ f' ≫ F.map (g' ≫ f'') = (f' ≫ F.map g') ≫ F.map f''

Tactic:
simp

Result:
no goals

Proof state:
case h.h.mpr.intro.intro.intro.intro
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X : C
R : Presieve X
Y : D
f : Y ⟶ F.obj X
X' : C
g : X' ⟶ X
f' : Y ⟶ F.obj X'
h₁ : R g
h₂ : f = f' ≫ F.map g
⊢ f ∈ Presieve.functorPushforward F (generate R).arrows

Tactic:
exact ⟨X', g, f', le_generate R _ h₁, h₂⟩

Result:
no goals

Proof state:
case h.h.mpr
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X : C
R : Presieve X
Y : D
f : Y ⟶ F.obj X
⊢ f ∈ Presieve.functorPushforward F R → f ∈ Presieve.functorPushforward F (generate R).arrows

Tactic:
rintro ⟨X', g, f', h₁, h₂⟩

Result:
case h.h.mpr.intro.intro.intro.intro
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X : C
R : Presieve X
Y : D
f : Y ⟶ F.obj X
X' : C
g : X' ⟶ X
f' : Y ⟶ F.obj X'
h₁ : R g
h₂ : f = f' ≫ F.map g
⊢ f ∈ Presieve.functorPushforward F (generate R).arrows

Proof state:
case h.h.mp
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X : C
R : Presieve X
Y : D
f : Y ⟶ F.obj X
⊢ f ∈ Presieve.functorPushforward F (generate R).arrows → f ∈ Presieve.functorPushforward F R

Tactic:
rintro ⟨X', g, f', ⟨X'', g', f'', h₁, rfl⟩, rfl⟩

Result:
case h.h.mp.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X : C
R : Presieve X
Y : D
X' : C
f' : Y ⟶ F.obj X'
X'' : C
g' : X' ⟶ X''
f'' : X'' ⟶ X
h₁ : R f''
⊢ f' ≫ F.map (g' ≫ f'') ∈ Presieve.functorPushforward F R

Proof state:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X : C
R : Presieve X
⊢ Presieve.functorPushforward F (generate R).arrows = Presieve.functorPushforward F R

Tactic:
funext Y

Result:
case h
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X : C
R : Presieve X
Y : D
⊢ Presieve.functorPushforward F (generate R).arrows = Presieve.functorPushforward F R

Proof state:
case h
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X : C
R : Presieve X
Y : D
⊢ Presieve.functorPushforward F (generate R).arrows = Presieve.functorPushforward F R

Tactic:
ext f

Result:
case h.h
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X : C
R : Presieve X
Y : D
f : Y ⟶ F.obj X
⊢ f ∈ Presieve.functorPushforward F (generate R).arrows ↔ f ∈ Presieve.functorPushforward F R

Proof state:
case h.h.mp.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X : C
R : Presieve X
Y : D
X' : C
f' : Y ⟶ F.obj X'
X'' : C
g' : X' ⟶ X''
f'' : X'' ⟶ X
h₁ : R f''
⊢ f' ≫ F.map (g' ≫ f'') ∈ Presieve.functorPushforward F R

Tactic:
exact ⟨X'', f'', f' ≫ F.map g', h₁, by simp⟩

Result:
no goals