-- Mathlib/RingTheory/WittVector/Isocrystal.lean
theorem isocrystal_classification (k : Type*) [Field k] [IsAlgClosed k] [CharP k p] (V : Type*)
    [AddCommGroup V] [Isocrystal p k V] (h_dim : finrank K(p, k) V = 1) :
    ∃ m : ℤ, Nonempty (StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ᶠⁱ[p, k] V)

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
p : ℕ
inst✝⁵ : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a ≠ 0
hax : Φ(p, k) x = a • x
b : K(p, k)
hb : b ≠ 0
m : ℤ
hmb : φ(p, k) b * a = ↑p ^ m * b
⊢ ∃ m, Nonempty (StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ᶠⁱ[p, k] V)

Tactic:
use m

Result:
case h
p : ℕ
inst✝⁵ : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a ≠ 0
hax : Φ(p, k) x = a • x
b : K(p, k)
hb : b ≠ 0
m : ℤ
hmb : φ(p, k) b * a = ↑p ^ m * b
⊢ Nonempty (StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ᶠⁱ[p, k] V)

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
p : ℕ
inst✝⁵ : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a ≠ 0
hax : Φ(p, k) x = a • x
b : K(p, k)
hb : b ≠ 0
m : ℤ
hmb : (IsFractionRing.ringEquivOfRingEquiv (frobeniusEquiv p k)) b * a = ↑p ^ m * b
⊢ ∃ m, Nonempty (StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ᶠⁱ[p, k] V)

Tactic:
replace hmb : φ(p, k) b * a = (p : K(p, k)) ^ m * b := by convert hmb

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
p : ℕ
inst✝⁵ : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a ≠ 0
hax : Φ(p, k) x = a • x
b : K(p, k)
hb : b ≠ 0
m : ℤ
hmb : φ(p, k) b * a = ↑p ^ m * b
⊢ ∃ m, Nonempty (StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ᶠⁱ[p, k] V)

Proof state:
case h
p : ℕ
inst✝⁵ : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a ≠ 0
hax : Φ(p, k) x = a • x
b : K(p, k)
hb : b ≠ 0
m : ℤ
hmb : φ(p, k) b * a = ↑p ^ m * b
F₀ : StandardOneDimIsocrystal p k m →ₗ[K(p, k)] V := LinearMap.toSpanSingleton K(p, k) V x
F : StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ₗ[K(p, k)] V := LinearEquiv.ofBijective F₀ ⋯
c : StandardOneDimIsocrystal p k m
⊢ Φ(p, k) (b • F₀ c) = b • F₀ (Φ(p, k) c)

Tactic:
erw [LinearMap.toSpanSingleton_apply K(p, k) V x c, LinearMap.toSpanSingleton_apply K(p, k) V x]

Result:
case h
p : ℕ
inst✝⁵ : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a ≠ 0
hax : Φ(p, k) x = a • x
b : K(p, k)
hb : b ≠ 0
m : ℤ
hmb : φ(p, k) b * a = ↑p ^ m * b
F₀ : StandardOneDimIsocrystal p k m →ₗ[K(p, k)] V := LinearMap.toSpanSingleton K(p, k) V x
F : StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ₗ[K(p, k)] V := LinearEquiv.ofBijective F₀ ⋯
c : StandardOneDimIsocrystal p k m
⊢ Φ(p, k) (b • c • x) = b • Φ(p, k) c • x

Proof state:
p : ℕ
inst✝⁵ : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this : Nontrivial V
⊢ ∃ m, Nonempty (StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ᶠⁱ[p, k] V)

Tactic:
obtain ⟨x, hx⟩ : ∃ x : V, x ≠ 0 := exists_ne 0

Result:
case intro
p : ℕ
inst✝⁵ : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
⊢ ∃ m, Nonempty (StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ᶠⁱ[p, k] V)

Proof state:
case intro
p : ℕ
inst✝⁵ : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
⊢ ∃ m, Nonempty (StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ᶠⁱ[p, k] V)

Tactic:
obtain ⟨a, ha, hax⟩ : ∃ a : K(p, k), a ≠ 0 ∧ Φ(p, k) x = a • x := by
  rw [finrank_eq_one_iff_of_nonzero' x hx] at h_dim
  obtain ⟨a, ha⟩ := h_dim (Φ(p, k) x)
  refine ⟨a, ?_, ha.symm⟩
  intro ha'
  apply this
  simp only [← ha, ha', zero_smul]

Result:
case intro.intro.intro
p : ℕ
inst✝⁵ : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a ≠ 0
hax : Φ(p, k) x = a • x
⊢ ∃ m, Nonempty (StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ᶠⁱ[p, k] V)

Proof state:
case h
p : ℕ
inst✝⁵ : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a ≠ 0
hax : Φ(p, k) x = a • x
b : K(p, k)
hb : b ≠ 0
m : ℤ
hmb : φ(p, k) b * a = ↑p ^ m * b
F₀ : StandardOneDimIsocrystal p k m →ₗ[K(p, k)] V := LinearMap.toSpanSingleton K(p, k) V x
F : StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ₗ[K(p, k)] V := LinearEquiv.ofBijective F₀ ⋯
c : StandardOneDimIsocrystal p k m
⊢ Φ(p, k) (b • F c) = b • F (Φ(p, k) c)

Tactic:
rw [LinearEquiv.ofBijective_apply, LinearEquiv.ofBijective_apply]

Result:
case h
p : ℕ
inst✝⁵ : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this✝ : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a ≠ 0
hax : Φ(p, k) x = a • x
b : K(p, k)
hb : b ≠ 0
m : ℤ
hmb : φ(p, k) b * a = ↑p ^ m * b
F₀ : StandardOneDimIsocrystal p k m →ₗ[K(p, k)] V := LinearMap.toSpanSingleton K(p, k) V x
F : StandardOneDimIsocrystal p k m ≃ₗ[K(p, k)] V := LinearEquiv.ofBijective F₀ ⋯
c : StandardOneDimIsocrystal p k m
⊢ Φ(p, k) (b • F₀ c) = b • F₀ (Φ(p, k) c)

Proof state:
p : ℕ
inst✝⁵ : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
h_dim : finrank K(p, k) V = 1
this : Nontrivial V
x : V
hx : x ≠ 0
⊢ Φ(p, k) x ≠ 0

Tactic:
simpa only [map_zero] using Φ(p, k).injective.ne hx

Result:
no goals

Proof state:
case intro
p : ℕ
inst✝⁵ : Fact (Nat.Prime p)
k : Type u_2
inst✝⁴ : Field k
inst✝³ : IsAlgClosed k
inst✝² : CharP k p
V : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Isocrystal p k V
this✝ : Nontrivial V
x : V
h_dim : ∀ (w : V), ∃ c, c • x = w
hx : x ≠ 0
this : Φ(p, k) x ≠ 0
a : K(p, k)
ha : a • x = Φ(p, k) x
ha' : a = 0
⊢ Φ(p, k) x = 0

Tactic:
simp only [← ha, ha', zero_smul]

Result:
no goals