-- Mathlib/Analysis/Convex/StrictConvexSpace.lean
theorem norm_add_lt_of_not_sameRay (h : ¬SameRay ℝ x y) : ‖x + y‖ < ‖x‖ + ‖y‖

Proof state:
case intro.intro
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y : E
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hne : ‖x‖⁻¹ • x ≠ ‖y‖⁻¹ • y
⊢ ‖x + y‖ < ‖x‖ + ‖y‖

Tactic:
rw [← norm_pos_iff] at hx hy

Result:
case intro.intro
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y : E
hx : 0 < ‖x‖
hy : 0 < ‖y‖
hne : ‖x‖⁻¹ • x ≠ ‖y‖⁻¹ • y
⊢ ‖x + y‖ < ‖x‖ + ‖y‖

Proof state:
case intro.intro
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y : E
hx : 0 < ‖x‖
hy : 0 < ‖y‖
hne : ‖x‖⁻¹ • x ≠ ‖y‖⁻¹ • y
⊢ ‖x + y‖ < ‖x‖ + ‖y‖

Tactic:
have hxy : 0 < ‖x‖ + ‖y‖ := add_pos hx hy

Result:
case intro.intro
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y : E
hx : 0 < ‖x‖
hy : 0 < ‖y‖
hne : ‖x‖⁻¹ • x ≠ ‖y‖⁻¹ • y
hxy : 0 < ‖x‖ + ‖y‖
⊢ ‖x + y‖ < ‖x‖ + ‖y‖

Proof state:
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y : E
hx : 0 < ‖x‖
hy : 0 < ‖y‖
hne : ‖x‖⁻¹ • x ≠ ‖y‖⁻¹ • y
hxy : 0 < ‖x‖ + ‖y‖
⊢ ‖x‖ / (‖x‖ + ‖y‖) + ‖y‖ / (‖x‖ + ‖y‖) = 1

Tactic:
rw [← add_div, div_self hxy.ne']

Result:
no goals

Proof state:
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y : E
h : ¬SameRay ℝ x y
⊢ ‖x + y‖ < ‖x‖ + ‖y‖

Tactic:
simp only [sameRay_iff_inv_norm_smul_eq, not_or, ← Ne.eq_def] at h

Result:
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y : E
h : x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ ‖x‖⁻¹ • x ≠ ‖y‖⁻¹ • y
⊢ ‖x + y‖ < ‖x‖ + ‖y‖

Proof state:
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y : E
h : x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ ‖x‖⁻¹ • x ≠ ‖y‖⁻¹ • y
⊢ ‖x + y‖ < ‖x‖ + ‖y‖

Tactic:
rcases h with ⟨hx, hy, hne⟩

Result:
case intro.intro
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y : E
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hne : ‖x‖⁻¹ • x ≠ ‖y‖⁻¹ • y
⊢ ‖x + y‖ < ‖x‖ + ‖y‖

Proof state:
case intro.intro
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y : E
hx : 0 < ‖x‖
hy : 0 < ‖y‖
hne : ‖x‖⁻¹ • x ≠ ‖y‖⁻¹ • y
hxy : 0 < ‖x‖ + ‖y‖
this : (‖x‖ / (‖x‖ + ‖y‖)) • ‖x‖⁻¹ • x + (‖y‖ / (‖x‖ + ‖y‖)) • ‖y‖⁻¹ • y ∈ ball 0 1
⊢ ‖x + y‖ < ‖x‖ + ‖y‖

Tactic:
rwa [mem_ball_zero_iff, div_eq_inv_mul, div_eq_inv_mul, mul_smul, mul_smul, smul_inv_smul₀ hx.ne',
  smul_inv_smul₀ hy.ne', ← smul_add, norm_smul, Real.norm_of_nonneg (inv_pos.2 hxy).le, ←
  div_eq_inv_mul, div_lt_one hxy] at this

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y : E
hx : 0 < ‖x‖
hy : 0 < ‖y‖
hne : ‖x‖⁻¹ • x ≠ ‖y‖⁻¹ • y
hxy : 0 < ‖x‖ + ‖y‖
⊢ ‖x + y‖ < ‖x‖ + ‖y‖

Tactic:
have :=
  combo_mem_ball_of_ne (inv_norm_smul_mem_unitClosedBall x)
    (inv_norm_smul_mem_unitClosedBall y) hne (div_pos hx hxy) (div_pos hy hxy)
    (by rw [← add_div, div_self hxy.ne'])

Result:
case intro.intro
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y : E
hx : 0 < ‖x‖
hy : 0 < ‖y‖
hne : ‖x‖⁻¹ • x ≠ ‖y‖⁻¹ • y
hxy : 0 < ‖x‖ + ‖y‖
this : (‖x‖ / (‖x‖ + ‖y‖)) • ‖x‖⁻¹ • x + (‖y‖ / (‖x‖ + ‖y‖)) • ‖y‖⁻¹ • y ∈ ball 0 1
⊢ ‖x + y‖ < ‖x‖ + ‖y‖