-- Mathlib/Algebra/Order/Monoid/Unbundled/Basic.lean
@[to_additive] lemma mul_le_mul_iff_of_ge [MulLeftStrictMono α]
    [MulRightStrictMono α] {a₁ a₂ b₁ b₂ : α} (ha : a₁ ≤ a₂) (hb : b₁ ≤ b₂) :
    a₂ * b₂ ≤ a₁ * b₁ ↔ a₁ = a₂ ∧ b₁ = b₂

Proof state:
α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : MulLeftStrictMono α
inst✝ : MulRightStrictMono α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
ha : a₁ ≤ a₂
hb : b₁ ≤ b₂
this✝ : MulLeftMono α
this : MulRightMono α
⊢ a₁ = a₂ ∧ b₁ = b₂ → a₂ * b₂ ≤ a₁ * b₁

Tactic:
rintro ⟨rfl, rfl⟩

Result:
case intro
α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : MulLeftStrictMono α
inst✝ : MulRightStrictMono α
a₁ b₁ : α
this✝ : MulLeftMono α
this : MulRightMono α
ha : a₁ ≤ a₁
hb : b₁ ≤ b₁
⊢ a₁ * b₁ ≤ a₁ * b₁

Proof state:
case refine_1
α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : MulLeftStrictMono α
inst✝ : MulRightStrictMono α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
ha✝ : a₁ ≤ a₂
hb : b₁ ≤ b₂
this✝ : MulLeftMono α
this : MulRightMono α
h : a₂ * b₂ ≤ a₁ * b₁
ha : a₁ < a₂
⊢ a₁ * b₁ < a₂ * b₂

case refine_2
α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : MulLeftStrictMono α
inst✝ : MulRightStrictMono α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
ha : a₁ ≤ a₂
hb✝ : b₁ ≤ b₂
this✝ : MulLeftMono α
this : MulRightMono α
h : a₂ * b₂ ≤ a₁ * b₁
hb : b₁ < b₂
⊢ a₁ * b₁ < a₂ * b₂

Tactic:
exacts [mul_lt_mul_of_lt_of_le ha hb, mul_lt_mul_of_le_of_lt ha hb]

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : MulLeftStrictMono α
inst✝ : MulRightStrictMono α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
ha : a₁ ≤ a₂
hb : b₁ ≤ b₂
this✝ : MulLeftMono α
this : MulRightMono α
h : a₂ * b₂ ≤ a₁ * b₁
⊢ a₁ = a₂ ∧ b₁ = b₂

Tactic:
simp only [eq_iff_le_not_lt, ha, hb, true_and]

Result:
α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : MulLeftStrictMono α
inst✝ : MulRightStrictMono α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
ha : a₁ ≤ a₂
hb : b₁ ≤ b₂
this✝ : MulLeftMono α
this : MulRightMono α
h : a₂ * b₂ ≤ a₁ * b₁
⊢ ¬a₁ < a₂ ∧ ¬b₁ < b₂

Proof state:
α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : MulLeftStrictMono α
inst✝ : MulRightStrictMono α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
ha : a₁ ≤ a₂
hb : b₁ ≤ b₂
this✝ : MulLeftMono α
this : MulRightMono α
⊢ a₂ * b₂ ≤ a₁ * b₁ ↔ a₁ = a₂ ∧ b₁ = b₂

Tactic:
refine ⟨fun h ↦ ?_, by rintro ⟨rfl, rfl⟩; rfl⟩

Result:
α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : MulLeftStrictMono α
inst✝ : MulRightStrictMono α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
ha : a₁ ≤ a₂
hb : b₁ ≤ b₂
this✝ : MulLeftMono α
this : MulRightMono α
h : a₂ * b₂ ≤ a₁ * b₁
⊢ a₁ = a₂ ∧ b₁ = b₂

Proof state:
α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : MulLeftStrictMono α
inst✝ : MulRightStrictMono α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
ha : a₁ ≤ a₂
hb : b₁ ≤ b₂
this✝ : MulLeftMono α
this : MulRightMono α
h : a₂ * b₂ ≤ a₁ * b₁
⊢ ¬a₁ < a₂ ∧ ¬b₁ < b₂

Tactic:
refine ⟨fun ha ↦ h.not_lt ?_, fun hb ↦ h.not_lt ?_⟩

Result:
case refine_1
α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : MulLeftStrictMono α
inst✝ : MulRightStrictMono α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
ha✝ : a₁ ≤ a₂
hb : b₁ ≤ b₂
this✝ : MulLeftMono α
this : MulRightMono α
h : a₂ * b₂ ≤ a₁ * b₁
ha : a₁ < a₂
⊢ a₁ * b₁ < a₂ * b₂

case refine_2
α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : MulLeftStrictMono α
inst✝ : MulRightStrictMono α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
ha : a₁ ≤ a₂
hb✝ : b₁ ≤ b₂
this✝ : MulLeftMono α
this : MulRightMono α
h : a₂ * b₂ ≤ a₁ * b₁
hb : b₁ < b₂
⊢ a₁ * b₁ < a₂ * b₂

Proof state:
α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : MulLeftStrictMono α
inst✝ : MulRightStrictMono α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
ha : a₁ ≤ a₂
hb : b₁ ≤ b₂
⊢ a₂ * b₂ ≤ a₁ * b₁ ↔ a₁ = a₂ ∧ b₁ = b₂

Tactic:
haveI := mulLeftMono_of_mulLeftStrictMono α

Result:
α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : MulLeftStrictMono α
inst✝ : MulRightStrictMono α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
ha : a₁ ≤ a₂
hb : b₁ ≤ b₂
this : MulLeftMono α
⊢ a₂ * b₂ ≤ a₁ * b₁ ↔ a₁ = a₂ ∧ b₁ = b₂

Proof state:
α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : MulLeftStrictMono α
inst✝ : MulRightStrictMono α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
ha : a₁ ≤ a₂
hb : b₁ ≤ b₂
this : MulLeftMono α
⊢ a₂ * b₂ ≤ a₁ * b₁ ↔ a₁ = a₂ ∧ b₁ = b₂

Tactic:
haveI := mulRightMono_of_mulRightStrictMono α

Result:
α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : MulLeftStrictMono α
inst✝ : MulRightStrictMono α
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
ha : a₁ ≤ a₂
hb : b₁ ≤ b₂
this✝ : MulLeftMono α
this : MulRightMono α
⊢ a₂ * b₂ ≤ a₁ * b₁ ↔ a₁ = a₂ ∧ b₁ = b₂

Proof state:
case intro
α : Type u_1
inst✝³ : Mul α
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : MulLeftStrictMono α
inst✝ : MulRightStrictMono α
a₁ b₁ : α
this✝ : MulLeftMono α
this : MulRightMono α
ha : a₁ ≤ a₁
hb : b₁ ≤ b₁
⊢ a₁ * b₁ ≤ a₁ * b₁

Tactic:
rfl

Result:
no goals