-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/NonIntegrable.lean
theorem not_integrableOn_of_tendsto_norm_atTop_of_deriv_isBigO_filter_aux
    [CompleteSpace E] {f : ℝ → E} {g : ℝ → F}
    {k : Set ℝ} (l : Filter ℝ) [NeBot l] [TendstoIxxClass Icc l l]
    (hl : k ∈ l) (hd : ∀ᶠ x in l, DifferentiableAt ℝ f x) (hf : Tendsto (fun x => ‖f x‖) l atTop)
    (hfg : deriv f =O[l] g) : ¬IntegrableOn g k

Proof state:
case intro.intro
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : CompleteSpace E
f : ℝ → E
g : ℝ → F
k : Set ℝ
l : Filter ℝ
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : TendstoIxxClass Icc l l
hl : k ∈ l
hd : ∀ᶠ (x : ℝ) in l, DifferentiableAt ℝ f x
hf : Tendsto (fun x => ‖f x‖) l atTop
hfg : deriv f =O[l] g
hgi : IntegrableOn g k volume
C : ℝ
C₀ : C ≥ 0
hC : IsBigOWith C l (deriv f) g
h : ∀ᶠ (x : ℝ × ℝ) in l ×ˢ l, ∀ y ∈ [[x.1, x.2]], (DifferentiableAt ℝ f y ∧ ‖deriv f y‖ ≤ C * ‖g y‖) ∧ y ∈ k
⊢ ∃ C,
    ∃ (_ : 0 ≤ C),
      ∃ s ∈ l,
        (∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, [[x, y]] ⊆ k) ∧
          (∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, ∀ z ∈ [[x, y]], DifferentiableAt ℝ f z) ∧
            ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, ∀ z ∈ [[x, y]], ‖deriv f z‖ ≤ C * ‖g z‖

Tactic:
rcases mem_prod_self_iff.1 h with ⟨s, hsl, hs⟩

Result:
case intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : CompleteSpace E
f : ℝ → E
g : ℝ → F
k : Set ℝ
l : Filter ℝ
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : TendstoIxxClass Icc l l
hl : k ∈ l
hd : ∀ᶠ (x : ℝ) in l, DifferentiableAt ℝ f x
hf : Tendsto (fun x => ‖f x‖) l atTop
hfg : deriv f =O[l] g
hgi : IntegrableOn g k volume
C : ℝ
C₀ : C ≥ 0
hC : IsBigOWith C l (deriv f) g
h : ∀ᶠ (x : ℝ × ℝ) in l ×ˢ l, ∀ y ∈ [[x.1, x.2]], (DifferentiableAt ℝ f y ∧ ‖deriv f y‖ ≤ C * ‖g y‖) ∧ y ∈ k
s : Set ℝ
hsl : s ∈ l
hs : s ×ˢ s ⊆ {x | (fun x => ∀ y ∈ [[x.1, x.2]], (DifferentiableAt ℝ f y ∧ ‖deriv f y‖ ≤ C * ‖g y‖) ∧ y ∈ k) x}
⊢ ∃ C,
    ∃ (_ : 0 ≤ C),
      ∃ s ∈ l,
        (∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, [[x, y]] ⊆ k) ∧
          (∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, ∀ z ∈ [[x, y]], DifferentiableAt ℝ f z) ∧
            ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, ∀ z ∈ [[x, y]], ‖deriv f z‖ ≤ C * ‖g z‖

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : CompleteSpace E
f : ℝ → E
g : ℝ → F
k : Set ℝ
l : Filter ℝ
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : TendstoIxxClass Icc l l
hl : k ∈ l
hd : ∀ᶠ (x : ℝ) in l, DifferentiableAt ℝ f x
hf : Tendsto (fun x => ‖f x‖) l atTop
hfg : deriv f =O[l] g
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
s : Set ℝ
hsl : s ∈ l
hsub : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, [[x, y]] ⊆ k
hfd : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, ∀ z ∈ [[x, y]], DifferentiableAt ℝ f z
hg : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, ∀ z ∈ [[x, y]], ‖deriv f z‖ ≤ C * ‖g z‖
hgi : IntegrableOn (fun x => C * ‖g x‖) k volume
⊢ False

Tactic:
obtain ⟨c, hc, d, hd, hlt⟩ : ∃ c ∈ s, ∃ d ∈ s, (‖f c‖ + ∫ y in k, C * ‖g y‖) < ‖f d‖ := by
  rcases Filter.nonempty_of_mem hsl with ⟨c, hc⟩
  have : ∀ᶠ x in l, (‖f c‖ + ∫ y in k, C * ‖g y‖) < ‖f x‖ :=
    hf.eventually (eventually_gt_atTop _)
  exact ⟨c, hc, (this.and hsl).exists.imp fun d hd => ⟨hd.2, hd.1⟩⟩

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : CompleteSpace E
f : ℝ → E
g : ℝ → F
k : Set ℝ
l : Filter ℝ
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : TendstoIxxClass Icc l l
hl : k ∈ l
hd✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in l, DifferentiableAt ℝ f x
hf : Tendsto (fun x => ‖f x‖) l atTop
hfg : deriv f =O[l] g
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
s : Set ℝ
hsl : s ∈ l
hsub : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, [[x, y]] ⊆ k
hfd : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, ∀ z ∈ [[x, y]], DifferentiableAt ℝ f z
hg : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, ∀ z ∈ [[x, y]], ‖deriv f z‖ ≤ C * ‖g z‖
hgi : IntegrableOn (fun x => C * ‖g x‖) k volume
c : ℝ
hc : c ∈ s
d : ℝ
hd : d ∈ s
hlt : ‖f c‖ + ∫ (y : ℝ) in k, C * ‖g y‖ < ‖f d‖
⊢ False

Proof state:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : CompleteSpace E
f : ℝ → E
g : ℝ → F
k : Set ℝ
l : Filter ℝ
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : TendstoIxxClass Icc l l
hl : k ∈ l
hd : ∀ᶠ (x : ℝ) in l, DifferentiableAt ℝ f x
hf : Tendsto (fun x => ‖f x‖) l atTop
hfg : deriv f =O[l] g
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
s : Set ℝ
hsl : s ∈ l
hsub : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, [[x, y]] ⊆ k
hfd : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, ∀ z ∈ [[x, y]], DifferentiableAt ℝ f z
hg : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, ∀ z ∈ [[x, y]], ‖deriv f z‖ ≤ C * ‖g z‖
hgi : IntegrableOn (fun x => C * ‖g x‖) k volume
⊢ ∃ c ∈ s, ∃ d ∈ s, ‖f c‖ + ∫ (y : ℝ) in k, C * ‖g y‖ < ‖f d‖

Tactic:
rcases Filter.nonempty_of_mem hsl with ⟨c, hc⟩

Result:
case intro
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : CompleteSpace E
f : ℝ → E
g : ℝ → F
k : Set ℝ
l : Filter ℝ
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : TendstoIxxClass Icc l l
hl : k ∈ l
hd : ∀ᶠ (x : ℝ) in l, DifferentiableAt ℝ f x
hf : Tendsto (fun x => ‖f x‖) l atTop
hfg : deriv f =O[l] g
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
s : Set ℝ
hsl : s ∈ l
hsub : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, [[x, y]] ⊆ k
hfd : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, ∀ z ∈ [[x, y]], DifferentiableAt ℝ f z
hg : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, ∀ z ∈ [[x, y]], ‖deriv f z‖ ≤ C * ‖g z‖
hgi : IntegrableOn (fun x => C * ‖g x‖) k volume
c : ℝ
hc : c ∈ s
⊢ ∃ c ∈ s, ∃ d ∈ s, ‖f c‖ + ∫ (y : ℝ) in k, C * ‖g y‖ < ‖f d‖

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : CompleteSpace E
f : ℝ → E
g : ℝ → F
k : Set ℝ
l : Filter ℝ
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : TendstoIxxClass Icc l l
hl : k ∈ l
hd✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in l, DifferentiableAt ℝ f x
hf : Tendsto (fun x => ‖f x‖) l atTop
hfg : deriv f =O[l] g
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
s : Set ℝ
hsl : s ∈ l
hgi : IntegrableOn (fun x => C * ‖g x‖) k volume
c : ℝ
hc : c ∈ s
d : ℝ
hd : d ∈ s
hlt : ‖f c‖ + ∫ (y : ℝ) in k, C * ‖g y‖ < ‖f d‖
hsub : [[c, d]] ⊆ k
hfd : ∀ z ∈ [[c, d]], DifferentiableAt ℝ f z
hg : ∀ x ∈ Ι c d, ‖deriv f x‖ ≤ C * ‖g x‖
hg_ae : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict (Ι c d), ‖deriv f x‖ ≤ C * ‖g x‖
⊢ False

Tactic:
have hsub' : Ι c d ⊆ k := Subset.trans Ioc_subset_Icc_self hsub

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : CompleteSpace E
f : ℝ → E
g : ℝ → F
k : Set ℝ
l : Filter ℝ
inst✝¹ : l.NeBot
inst✝ : TendstoIxxClass Icc l l
hl : k ∈ l
hd✝ : ∀ᶠ (x : ℝ) in l, DifferentiableAt ℝ f x
hf : Tendsto (fun x => ‖f x‖) l atTop
hfg : deriv f =O[l] g
C : ℝ
hC₀ : 0 ≤ C
s : Set ℝ
hsl : s ∈ l
hgi : IntegrableOn (fun x => C * ‖g x‖) k volume
c : ℝ
hc : c ∈ s
d : ℝ
hd : d ∈ s
hlt : ‖f c‖ + ∫ (y : ℝ) in k, C * ‖g y‖ < ‖f d‖
hsub : [[c, d]] ⊆ k
hfd : ∀ z ∈ [[c, d]], DifferentiableAt ℝ f z
hg : ∀ x ∈ Ι c d, ‖deriv f x‖ ≤ C * ‖g x‖
hg_ae : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict (Ι c d), ‖deriv f x‖ ≤ C * ‖g x‖
hsub' : Ι c d ⊆ k
⊢ False