-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
theorem HasFPowerSeriesWithinOnBall.uniform_geometric_approx' {r' : ℝ≥0}
    (hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r) (h : (r' : ℝ≥0∞) < r) :
    ∃ a ∈ Ioo (0 : ℝ) 1, ∃ C > 0, ∀ y ∈ Metric.ball (0 : E) r', ∀ n, x + y ∈ insert x s →
      ‖f (x + y) - p.partialSum n y‖ ≤ C * (a * (‖y‖ / r')) ^ n

Proof state:
case h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
h : ↑r' < r
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo 0 1
C : ℝ
hC : C > 0
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r' ^ n ≤ C * a ^ n
y : E
hy : y ∈ Metric.ball 0 ↑r'
n✝ : ℕ
ys : x + y ∈ insert x s
yr' : ‖y‖ < ↑r'
hr'0 : 0 < ↑r'
this : y ∈ EMetric.ball 0 r
ya : a * (‖y‖ / ↑r') ≤ a
n : ℕ
⊢ ‖p n‖ * ↑r' ^ n ≤ C * a ^ n

Tactic:
apply hp

Result:
no goals

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
h : ↑r' < r
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo 0 1
C : ℝ
hC : C > 0
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r' ^ n ≤ C * a ^ n
y : E
hy : y ∈ Metric.ball 0 ↑r'
n : ℕ
ys : x + y ∈ insert x s
yr' : ‖y‖ < ↑r'
hr'0 : 0 < ↑r'
this✝ : y ∈ EMetric.ball 0 r
ya : a * (‖y‖ / ↑r') ≤ a
this : ‖p.partialSum n y - f (x + y)‖ ≤ C * (a * (‖y‖ / ↑r')) ^ n / (1 - a * (‖y‖ / ↑r'))
⊢ ‖p.partialSum n y - f (x + y)‖ ≤ C * (a * (‖y‖ / ↑r')) ^ n / (1 - a)

Tactic:
refine this.trans ?_

Result:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
h : ↑r' < r
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo 0 1
C : ℝ
hC : C > 0
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r' ^ n ≤ C * a ^ n
y : E
hy : y ∈ Metric.ball 0 ↑r'
n : ℕ
ys : x + y ∈ insert x s
yr' : ‖y‖ < ↑r'
hr'0 : 0 < ↑r'
this✝ : y ∈ EMetric.ball 0 r
ya : a * (‖y‖ / ↑r') ≤ a
this : ‖p.partialSum n y - f (x + y)‖ ≤ C * (a * (‖y‖ / ↑r')) ^ n / (1 - a * (‖y‖ / ↑r'))
⊢ C * (a * (‖y‖ / ↑r')) ^ n / (1 - a * (‖y‖ / ↑r')) ≤ C * (a * (‖y‖ / ↑r')) ^ n / (1 - a)

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
h : ↑r' < r
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo 0 1
C : ℝ
hC : C > 0
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r' ^ n ≤ C * a ^ n
y : E
hy : y ∈ {x | ‖x‖ < ↑r'}
n : ℕ
ys : x + y ∈ insert x s
⊢ ‖y‖ < ↑r'

Tactic:
exact hy

Result:
no goals

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
h : ↑r' < r
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo 0 1
C : ℝ
hC : C > 0
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r' ^ n ≤ C * a ^ n
y : E
hy : y ∈ Metric.ball 0 ↑r'
n✝ : ℕ
ys : x + y ∈ insert x s
yr' : ‖y‖ < ↑r'
hr'0 : 0 < ↑r'
this : y ∈ EMetric.ball 0 r
ya : a * (‖y‖ / ↑r') ≤ a
n : ℕ
⊢ ‖p n‖ * ∏ _i : Fin n, ‖y‖ = ‖p n‖ * ↑r' ^ n * (‖y‖ / ↑r') ^ n

Tactic:
field_simp [mul_right_comm]

Result:
no goals

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
h : ↑r' < r
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo 0 1
C : ℝ
hC : C > 0
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r' ^ n ≤ C * a ^ n
y : E
hy : y ∈ Metric.ball 0 ↑r'
n : ℕ
ys : x + y ∈ insert x s
⊢ ‖y‖ < ↑r'

Tactic:
rw [ball_zero_eq] at hy

Result:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
h : ↑r' < r
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo 0 1
C : ℝ
hC : C > 0
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r' ^ n ≤ C * a ^ n
y : E
hy : y ∈ {x | ‖x‖ < ↑r'}
n : ℕ
ys : x + y ∈ insert x s
⊢ ‖y‖ < ↑r'

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
h : ↑r' < r
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo 0 1
C : ℝ
hC : C > 0
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r' ^ n ≤ C * a ^ n
y : E
hy : y ∈ Metric.ball 0 ↑r'
n : ℕ
ys : x + y ∈ insert x s
yr' : ‖y‖ < ↑r'
hr'0 : 0 < ↑r'
this✝ : y ∈ EMetric.ball 0 r
ya : a * (‖y‖ / ↑r') ≤ a
this : ‖p.partialSum n y - f (x + y)‖ ≤ C * (a * (‖y‖ / ↑r')) ^ n / (1 - a * (‖y‖ / ↑r'))
⊢ C * (a * (‖y‖ / ↑r')) ^ n / (1 - a * (‖y‖ / ↑r')) ≤ C * (a * (‖y‖ / ↑r')) ^ n / (1 - a)

Tactic:
have : 0 < a := ha.1

Result:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
h : ↑r' < r
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo 0 1
C : ℝ
hC : C > 0
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r' ^ n ≤ C * a ^ n
y : E
hy : y ∈ Metric.ball 0 ↑r'
n : ℕ
ys : x + y ∈ insert x s
yr' : ‖y‖ < ↑r'
hr'0 : 0 < ↑r'
this✝¹ : y ∈ EMetric.ball 0 r
ya : a * (‖y‖ / ↑r') ≤ a
this✝ : ‖p.partialSum n y - f (x + y)‖ ≤ C * (a * (‖y‖ / ↑r')) ^ n / (1 - a * (‖y‖ / ↑r'))
this : 0 < a
⊢ C * (a * (‖y‖ / ↑r')) ^ n / (1 - a * (‖y‖ / ↑r')) ≤ C * (a * (‖y‖ / ↑r')) ^ n / (1 - a)

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
h : ↑r' < r
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo 0 1
C : ℝ
hC : C > 0
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r' ^ n ≤ C * a ^ n
y : E
hy : y ∈ Metric.ball 0 ↑r'
n : ℕ
ys : x + y ∈ insert x s
yr' : ‖y‖ < ↑r'
hr'0 : 0 < ↑r'
⊢ y ∈ EMetric.ball 0 r

Tactic:
refine mem_emetric_ball_zero_iff.2 (lt_trans ?_ h)

Result:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
h : ↑r' < r
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo 0 1
C : ℝ
hC : C > 0
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r' ^ n ≤ C * a ^ n
y : E
hy : y ∈ Metric.ball 0 ↑r'
n : ℕ
ys : x + y ∈ insert x s
yr' : ‖y‖ < ↑r'
hr'0 : 0 < ↑r'
⊢ ‖y‖ₑ < ↑r'