-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
theorem _root_.Wbtw.wOppSide₁₃ {s : AffineSubspace R P} {x y z : P} (h : Wbtw R x y z)
    (hy : y ∈ s) : s.WOppSide x z

Proof state:
case intro.intro.intro
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : StrictOrderedCommRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x z : P
t : R
ht0 : 0 ≤ t
ht1 : t ≤ 1
hy : (lineMap x z) t ∈ s
⊢ s.WOppSide x z

Tactic:
refine ⟨_, hy, _, hy, ?_⟩

Result:
case intro.intro.intro
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : StrictOrderedCommRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x z : P
t : R
ht0 : 0 ≤ t
ht1 : t ≤ 1
hy : (lineMap x z) t ∈ s
⊢ SameRay R (x -ᵥ (lineMap x z) t) ((lineMap x z) t -ᵥ z)

Proof state:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : StrictOrderedCommRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y z : P
h : Wbtw R x y z
hy : y ∈ s
⊢ s.WOppSide x z

Tactic:
rcases h with ⟨t, ⟨ht0, ht1⟩, rfl⟩

Result:
case intro.intro.intro
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : StrictOrderedCommRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x z : P
t : R
ht0 : 0 ≤ t
ht1 : t ≤ 1
hy : (lineMap x z) t ∈ s
⊢ s.WOppSide x z

Proof state:
case intro.intro.intro.inl
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : StrictOrderedCommRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x z : P
t : R
ht0 : 0 ≤ t
ht1 : t ≤ 1
hy : (lineMap x z) t ∈ s
ht1' : t < 1
⊢ SameRay R (x -ᵥ (lineMap x z) t) ((lineMap x z) t -ᵥ z)

Tactic:
rcases ht0.lt_or_eq with (ht0' | rfl)

Result:
case intro.intro.intro.inl.inl
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : StrictOrderedCommRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x z : P
t : R
ht0 : 0 ≤ t
ht1 : t ≤ 1
hy : (lineMap x z) t ∈ s
ht1' : t < 1
ht0' : 0 < t
⊢ SameRay R (x -ᵥ (lineMap x z) t) ((lineMap x z) t -ᵥ z)

case intro.intro.intro.inl.inr
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : StrictOrderedCommRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x z : P
ht0 : 0 ≤ 0
ht1 : 0 ≤ 1
hy : (lineMap x z) 0 ∈ s
ht1' : 0 < 1
⊢ SameRay R (x -ᵥ (lineMap x z) 0) ((lineMap x z) 0 -ᵥ z)

Proof state:
case intro.intro.intro.inl.inl
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : StrictOrderedCommRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x z : P
t : R
ht0 : 0 ≤ t
ht1 : t ≤ 1
hy : (lineMap x z) t ∈ s
ht1' : t < 1
ht0' : 0 < t
⊢ SameRay R (x -ᵥ (lineMap x z) t) ((lineMap x z) t -ᵥ z)

Tactic:
refine Or.inr (Or.inr ⟨1 - t, t, sub_pos.2 ht1', ht0', ?_⟩)

Result:
case intro.intro.intro.inl.inl
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : StrictOrderedCommRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x z : P
t : R
ht0 : 0 ≤ t
ht1 : t ≤ 1
hy : (lineMap x z) t ∈ s
ht1' : t < 1
ht0' : 0 < t
⊢ (1 - t) • (x -ᵥ (lineMap x z) t) = t • ((lineMap x z) t -ᵥ z)

Proof state:
case intro.intro.intro.inl.inr
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : StrictOrderedCommRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x z : P
ht0 : 0 ≤ 0
ht1 : 0 ≤ 1
hy : (lineMap x z) 0 ∈ s
ht1' : 0 < 1
⊢ SameRay R (x -ᵥ x) (x -ᵥ z)

Tactic:
simp

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro.intro.inr
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : StrictOrderedCommRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x z : P
ht0 : 0 ≤ 1
ht1 : 1 ≤ 1
hy : (lineMap x z) 1 ∈ s
⊢ SameRay R (x -ᵥ z) (z -ᵥ z)

Tactic:
simp

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro.intro.inl.inl
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : StrictOrderedCommRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x z : P
t : R
ht0 : 0 ≤ t
ht1 : t ≤ 1
hy : (lineMap x z) t ∈ s
ht1' : t < 1
ht0' : 0 < t
⊢ (1 - t) • (x -ᵥ (lineMap x z) t) = t • ((lineMap x z) t -ᵥ z)

Tactic:
rw [lineMap_apply, vadd_vsub_assoc, vsub_vadd_eq_vsub_sub, ← neg_vsub_eq_vsub_rev z, vsub_self]

Result:
case intro.intro.intro.inl.inl
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : StrictOrderedCommRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x z : P
t : R
ht0 : 0 ≤ t
ht1 : t ≤ 1
hy : (lineMap x z) t ∈ s
ht1' : t < 1
ht0' : 0 < t
⊢ (1 - t) • (0 - t • (z -ᵥ x)) = t • (t • (z -ᵥ x) + -(z -ᵥ x))

Proof state:
case intro.intro.intro.inl
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : StrictOrderedCommRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x z : P
t : R
ht0 : 0 ≤ t
ht1 : t ≤ 1
hy : (lineMap x z) t ∈ s
ht1' : t < 1
⊢ SameRay R (x -ᵥ (lineMap x z) t) ((lineMap x z) t -ᵥ z)

case intro.intro.intro.inr
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : StrictOrderedCommRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x z : P
ht0 : 0 ≤ 1
ht1 : 1 ≤ 1
hy : (lineMap x z) 1 ∈ s
⊢ SameRay R (x -ᵥ (lineMap x z) 1) ((lineMap x z) 1 -ᵥ z)

Tactic:
swap

Result:
case intro.intro.intro.inr
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : StrictOrderedCommRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x z : P
ht0 : 0 ≤ 1
ht1 : 1 ≤ 1
hy : (lineMap x z) 1 ∈ s
⊢ SameRay R (x -ᵥ (lineMap x z) 1) ((lineMap x z) 1 -ᵥ z)

case intro.intro.intro.inl
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : StrictOrderedCommRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x z : P
t : R
ht0 : 0 ≤ t
ht1 : t ≤ 1
hy : (lineMap x z) t ∈ s
ht1' : t < 1
⊢ SameRay R (x -ᵥ (lineMap x z) t) ((lineMap x z) t -ᵥ z)

Proof state:
case intro.intro.intro.inr
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : StrictOrderedCommRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x z : P
ht0 : 0 ≤ 1
ht1 : 1 ≤ 1
hy : (lineMap x z) 1 ∈ s
⊢ SameRay R (x -ᵥ (lineMap x z) 1) ((lineMap x z) 1 -ᵥ z)

Tactic:
rw [lineMap_apply_one]

Result:
case intro.intro.intro.inr
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : StrictOrderedCommRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x z : P
ht0 : 0 ≤ 1
ht1 : 1 ≤ 1
hy : (lineMap x z) 1 ∈ s
⊢ SameRay R (x -ᵥ z) (z -ᵥ z)

Proof state:
case intro.intro.intro
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : StrictOrderedCommRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x z : P
t : R
ht0 : 0 ≤ t
ht1 : t ≤ 1
hy : (lineMap x z) t ∈ s
⊢ SameRay R (x -ᵥ (lineMap x z) t) ((lineMap x z) t -ᵥ z)

Tactic:
rcases ht1.lt_or_eq with (ht1' | rfl)

Result:
case intro.intro.intro.inl
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : StrictOrderedCommRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x z : P
t : R
ht0 : 0 ≤ t
ht1 : t ≤ 1
hy : (lineMap x z) t ∈ s
ht1' : t < 1
⊢ SameRay R (x -ᵥ (lineMap x z) t) ((lineMap x z) t -ᵥ z)

case intro.intro.intro.inr
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : StrictOrderedCommRing R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x z : P
ht0 : 0 ≤ 1
ht1 : 1 ≤ 1
hy : (lineMap x z) 1 ∈ s
⊢ SameRay R (x -ᵥ (lineMap x z) 1) ((lineMap x z) 1 -ᵥ z)