-- Mathlib/Analysis/Fourier/RiemannLebesgueLemma.lean
theorem tendsto_integral_exp_inner_smul_cocompact_of_continuous_compact_support (hf1 : Continuous f)
    (hf2 : HasCompactSupport f) :
    Tendsto (fun w : V => ∫ v : V, 𝐞 (-⟪v, w⟫) • f v) (cocompact V) (𝓝 0)

Proof state:
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hf1 : Continuous f
hf2 : HasCompactSupport f
ε : ℝ
hε : ε > 0
R : ℝ
hR_bd : ∀ (x : V), R ≤ ‖x‖ → f x = 0
A : Set V := {v | ‖v‖ ≤ R + 1}
this : A = Metric.closedBall 0 (R + 1)
⊢ MeasurableSet A

Tactic:
rw [this]

Result:
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hf1 : Continuous f
hf2 : HasCompactSupport f
ε : ℝ
hε : ε > 0
R : ℝ
hR_bd : ∀ (x : V), R ≤ ‖x‖ → f x = 0
A : Set V := {v | ‖v‖ ≤ R + 1}
this : A = Metric.closedBall 0 (R + 1)
⊢ MeasurableSet (Metric.closedBall 0 (R + 1))

Proof state:
case intro.intro
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hf1 : Continuous f
hf2 : HasCompactSupport f
ε : ℝ
hε : ε > 0
R : ℝ
hR_bd : ∀ (x : V), R ≤ ‖x‖ → f x = 0
A : Set V := {v | ‖v‖ ≤ R + 1}
⊢ ∃ T, ∀ (w : V), T ≤ ‖w‖ → ‖∫ (v : V), 𝐞 (-inner v w) • f v‖ < ε

Tactic:
have mA : MeasurableSet A := by
  suffices A = Metric.closedBall (0 : V) (R + 1) by
    rw [this]
    exact Metric.isClosed_closedBall.measurableSet
  simp_rw [A, Metric.closedBall, dist_eq_norm, sub_zero]

Result:
case intro.intro
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hf1 : Continuous f
hf2 : HasCompactSupport f
ε : ℝ
hε : ε > 0
R : ℝ
hR_bd : ∀ (x : V), R ≤ ‖x‖ → f x = 0
A : Set V := {v | ‖v‖ ≤ R + 1}
mA : MeasurableSet A
⊢ ∃ T, ∀ (w : V), T ≤ ‖w‖ → ‖∫ (v : V), 𝐞 (-inner v w) • f v‖ < ε

Proof state:
case intro.intro
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hf1 : Continuous f
hf2 : HasCompactSupport f
ε : ℝ
hε : ε > 0
R : ℝ
hR_bd : ∀ (x : V), R ≤ ‖x‖ → f x = 0
⊢ ∃ T, ∀ (w : V), T ≤ ‖w‖ → ‖∫ (v : V), 𝐞 (-inner v w) • f v‖ < ε

Tactic:
let A := {v : V | ‖v‖ ≤ R + 1}

Result:
case intro.intro
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hf1 : Continuous f
hf2 : HasCompactSupport f
ε : ℝ
hε : ε > 0
R : ℝ
hR_bd : ∀ (x : V), R ≤ ‖x‖ → f x = 0
A : Set V := {v | ‖v‖ ≤ R + 1}
⊢ ∃ T, ∀ (w : V), T ≤ ‖w‖ → ‖∫ (v : V), 𝐞 (-inner v w) • f v‖ < ε

Proof state:
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hf1 : Continuous f
hf2 : HasCompactSupport f
ε : ℝ
hε : ε > 0
this : ∃ T, ∀ (w : V), T ≤ ‖w‖ → ‖∫ (v : V), 𝐞 (-inner v w) • f v‖ < ε
⊢ ∃ a, ∀ b ≥ a, ∀ (a : V), ‖a‖ = b → ‖∫ (v : V), 𝐞 (-inner v a) • f v‖ < ε

Tactic:
exact
  let ⟨T, hT⟩ := this
  ⟨T, fun b hb v hv => hT v (hv.symm ▸ hb)⟩

Result:
no goals

Proof state:
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hf1 : Continuous f
hf2 : HasCompactSupport f
ε : ℝ
hε : ε > 0
R : ℝ
hR_bd : ∀ (x : V), R ≤ ‖x‖ → f x = 0
A : Set V := {v | ‖v‖ ≤ R + 1}
mA : MeasurableSet A
B : ℝ≥0
hB_pos : 0 < B
hB_vol : volume A ≤ ↑B
δ : ℝ
hδ1 : δ > 0
hδ2 : ∀ ⦃a b : V⦄, dist a b < δ → dist (f a) (f b) < ε / ↑B
w : V
hw_bd : w = 0
⊢ ‖w‖ < 1 / 2 + 1 / (2 * δ)

Tactic:
rw [hw_bd, norm_zero]

Result:
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hf1 : Continuous f
hf2 : HasCompactSupport f
ε : ℝ
hε : ε > 0
R : ℝ
hR_bd : ∀ (x : V), R ≤ ‖x‖ → f x = 0
A : Set V := {v | ‖v‖ ≤ R + 1}
mA : MeasurableSet A
B : ℝ≥0
hB_pos : 0 < B
hB_vol : volume A ≤ ↑B
δ : ℝ
hδ1 : δ > 0
hδ2 : ∀ ⦃a b : V⦄, dist a b < δ → dist (f a) (f b) < ε / ↑B
w : V
hw_bd : w = 0
⊢ 0 < 1 / 2 + 1 / (2 * δ)