-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Cauchy.lean
theorem Metric.uniformCauchySeqOn_iff {γ : Type*} {F : β → γ → α} {s : Set γ} :
    UniformCauchySeqOn F atTop s ↔ ∀ ε > (0 : ℝ),
      ∃ N : β, ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, ∀ x ∈ s, dist (F m x) (F n x) < ε

Proof state:
case mpr.intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
γ : Type u_3
F : β → γ → α
s : Set γ
h : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, ∀ x ∈ s, dist (F m x) (F n x) < ε
u : Set (α × α)
hu : u ∈ 𝓤 α
ε : ℝ
hε : ε > 0
hab : ∀ ⦃a b : α⦄, dist a b < ε → (a, b) ∈ u
N : β
hN : ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, ∀ x ∈ s, dist (F m x) (F n x) < ε
⊢ ∃ a, ∀ b ≥ a, ∀ x ∈ s, (F b.1 x, F b.2 x) ∈ u

Tactic:
use (N, N)

Result:
case h
α : Type u
β : Type v
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
γ : Type u_3
F : β → γ → α
s : Set γ
h : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, ∀ x ∈ s, dist (F m x) (F n x) < ε
u : Set (α × α)
hu : u ∈ 𝓤 α
ε : ℝ
hε : ε > 0
hab : ∀ ⦃a b : α⦄, dist a b < ε → (a, b) ∈ u
N : β
hN : ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, ∀ x ∈ s, dist (F m x) (F n x) < ε
⊢ ∀ b ≥ (N, N), ∀ x ∈ s, (F b.1 x, F b.2 x) ∈ u

Proof state:
case h.intro
α : Type u
β : Type v
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
γ : Type u_3
F : β → γ → α
s : Set γ
h : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, ∀ x ∈ s, dist (F m x) (F n x) < ε
u : Set (α × α)
hu : u ∈ 𝓤 α
ε : ℝ
hε : ε > 0
hab : ∀ ⦃a b : α⦄, dist a b < ε → (a, b) ∈ u
N : β
hN : ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, ∀ x ∈ s, dist (F m x) (F n x) < ε
b : β × β
x : γ
hx : x ∈ s
hbl : (N, N).1 ≤ b.1
hbr : (N, N).2 ≤ b.2
⊢ (F b.1 x, F b.2 x) ∈ u

Tactic:
exact hab (hN b.fst hbl.ge b.snd hbr.ge x hx)

Result:
no goals

Proof state:
case h
α : Type u
β : Type v
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
γ : Type u_3
F : β → γ → α
s : Set γ
h : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, ∀ x ∈ s, dist (F m x) (F n x) < ε
u : Set (α × α)
hu : u ∈ 𝓤 α
ε : ℝ
hε : ε > 0
hab : ∀ ⦃a b : α⦄, dist a b < ε → (a, b) ∈ u
N : β
hN : ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, ∀ x ∈ s, dist (F m x) (F n x) < ε
b : β × β
hb : b ≥ (N, N)
x : γ
hx : x ∈ s
⊢ (F b.1 x, F b.2 x) ∈ u

Tactic:
rcases hb with ⟨hbl, hbr⟩

Result:
case h.intro
α : Type u
β : Type v
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
γ : Type u_3
F : β → γ → α
s : Set γ
h : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, ∀ x ∈ s, dist (F m x) (F n x) < ε
u : Set (α × α)
hu : u ∈ 𝓤 α
ε : ℝ
hε : ε > 0
hab : ∀ ⦃a b : α⦄, dist a b < ε → (a, b) ∈ u
N : β
hN : ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, ∀ x ∈ s, dist (F m x) (F n x) < ε
b : β × β
x : γ
hx : x ∈ s
hbl : (N, N).1 ≤ b.1
hbr : (N, N).2 ≤ b.2
⊢ (F b.1 x, F b.2 x) ∈ u

Proof state:
α : Type u
β : Type v
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
γ : Type u_3
F : β → γ → α
s : Set γ
⊢ UniformCauchySeqOn F atTop s ↔ ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, ∀ x ∈ s, dist (F m x) (F n x) < ε

Tactic:
constructor

Result:
case mp
α : Type u
β : Type v
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
γ : Type u_3
F : β → γ → α
s : Set γ
⊢ UniformCauchySeqOn F atTop s → ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, ∀ x ∈ s, dist (F m x) (F n x) < ε

case mpr
α : Type u
β : Type v
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
γ : Type u_3
F : β → γ → α
s : Set γ
⊢ (∀ ε > 0, ∃ N, ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, ∀ x ∈ s, dist (F m x) (F n x) < ε) → UniformCauchySeqOn F atTop s

Proof state:
case mpr.intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
γ : Type u_3
F : β → γ → α
s : Set γ
h : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, ∀ x ∈ s, dist (F m x) (F n x) < ε
u : Set (α × α)
hu : u ∈ 𝓤 α
ε : ℝ
hε : ε > 0
hab : ∀ ⦃a b : α⦄, dist a b < ε → (a, b) ∈ u
N : β
hN : ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, ∀ x ∈ s, dist (F m x) (F n x) < ε
⊢ ∀ᶠ (m : β × β) in atTop ×ˢ atTop, ∀ x ∈ s, (F m.1 x, F m.2 x) ∈ u

Tactic:
rw [prod_atTop_atTop_eq, eventually_atTop]

Result:
case mpr.intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
γ : Type u_3
F : β → γ → α
s : Set γ
h : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, ∀ x ∈ s, dist (F m x) (F n x) < ε
u : Set (α × α)
hu : u ∈ 𝓤 α
ε : ℝ
hε : ε > 0
hab : ∀ ⦃a b : α⦄, dist a b < ε → (a, b) ∈ u
N : β
hN : ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, ∀ x ∈ s, dist (F m x) (F n x) < ε
⊢ ∃ a, ∀ b ≥ a, ∀ x ∈ s, (F b.1 x, F b.2 x) ∈ u

Proof state:
case mpr
α : Type u
β : Type v
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
γ : Type u_3
F : β → γ → α
s : Set γ
⊢ (∀ ε > 0, ∃ N, ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, ∀ x ∈ s, dist (F m x) (F n x) < ε) → UniformCauchySeqOn F atTop s

Tactic:
intro h u hu

Result:
case mpr
α : Type u
β : Type v
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
γ : Type u_3
F : β → γ → α
s : Set γ
h : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, ∀ x ∈ s, dist (F m x) (F n x) < ε
u : Set (α × α)
hu : u ∈ 𝓤 α
⊢ ∀ᶠ (m : β × β) in atTop ×ˢ atTop, ∀ x ∈ s, (F m.1 x, F m.2 x) ∈ u

Proof state:
case h
α : Type u
β : Type v
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
γ : Type u_3
F : β → γ → α
s : Set γ
h : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, ∀ x ∈ s, dist (F m x) (F n x) < ε
u : Set (α × α)
hu : u ∈ 𝓤 α
ε : ℝ
hε : ε > 0
hab : ∀ ⦃a b : α⦄, dist a b < ε → (a, b) ∈ u
N : β
hN : ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, ∀ x ∈ s, dist (F m x) (F n x) < ε
⊢ ∀ b ≥ (N, N), ∀ x ∈ s, (F b.1 x, F b.2 x) ∈ u

Tactic:
intro b hb x hx

Result:
case h
α : Type u
β : Type v
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
γ : Type u_3
F : β → γ → α
s : Set γ
h : ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, ∀ x ∈ s, dist (F m x) (F n x) < ε
u : Set (α × α)
hu : u ∈ 𝓤 α
ε : ℝ
hε : ε > 0
hab : ∀ ⦃a b : α⦄, dist a b < ε → (a, b) ∈ u
N : β
hN : ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, ∀ x ∈ s, dist (F m x) (F n x) < ε
b : β × β
hb : b ≥ (N, N)
x : γ
hx : x ∈ s
⊢ (F b.1 x, F b.2 x) ∈ u

Proof state:
case mp
α : Type u
β : Type v
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
γ : Type u_3
F : β → γ → α
s : Set γ
h : UniformCauchySeqOn F atTop s
ε : ℝ
hε : ε > 0
⊢ ∃ N, ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, ∀ x ∈ s, dist (F m x) (F n x) < ε

Tactic:
let u := { a : α × α | dist a.fst a.snd < ε }

Result:
case mp
α : Type u
β : Type v
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
γ : Type u_3
F : β → γ → α
s : Set γ
h : UniformCauchySeqOn F atTop s
ε : ℝ
hε : ε > 0
u : Set (α × α) := {a | dist a.1 a.2 < ε}
⊢ ∃ N, ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, ∀ x ∈ s, dist (F m x) (F n x) < ε

Proof state:
case mp
α : Type u
β : Type v
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
γ : Type u_3
F : β → γ → α
s : Set γ
⊢ UniformCauchySeqOn F atTop s → ∀ ε > 0, ∃ N, ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, ∀ x ∈ s, dist (F m x) (F n x) < ε

Tactic:
intro h ε hε

Result:
case mp
α : Type u
β : Type v
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
γ : Type u_3
F : β → γ → α
s : Set γ
h : UniformCauchySeqOn F atTop s
ε : ℝ
hε : ε > 0
⊢ ∃ N, ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, ∀ x ∈ s, dist (F m x) (F n x) < ε

Proof state:
case mp
α : Type u
β : Type v
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
γ : Type u_3
F : β → γ → α
s : Set γ
h : UniformCauchySeqOn F atTop s
ε : ℝ
hε : ε > 0
u : Set (α × α) := {a | dist a.1 a.2 < ε}
⊢ ∃ N, ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, ∀ x ∈ s, dist (F m x) (F n x) < ε

Tactic:
have hu : u ∈ 𝓤 α := Metric.mem_uniformity_dist.mpr ⟨ε, hε, by simp [u]⟩

Result:
case mp
α : Type u
β : Type v
inst✝² : PseudoMetricSpace α
inst✝¹ : Nonempty β
inst✝ : SemilatticeSup β
γ : Type u_3
F : β → γ → α
s : Set γ
h : UniformCauchySeqOn F atTop s
ε : ℝ
hε : ε > 0
u : Set (α × α) := {a | dist a.1 a.2 < ε}
hu : u ∈ 𝓤 α
⊢ ∃ N, ∀ m ≥ N, ∀ n ≥ N, ∀ x ∈ s, dist (F m x) (F n x) < ε