-- Mathlib/MeasureTheory/Measure/Hausdorff.lean
theorem hausdorffMeasure_image_le (h : HolderOnWith C r f s) (hr : 0 < r) {d : ℝ} (hd : 0 ≤ d) :
    μH[d] (f '' s) ≤ (C : ℝ≥0∞) ^ d * μH[r * d] s

Proof state:
case inr
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
hC0 : 0 < C
hCd0 : ↑C ^ d ≠ 0
hCd : ↑C ^ d ≠ ⊤
⊢ ⨆ r,
      ⨆ (_ : 0 < r),
        ⨅ t,
          ⨅ (_ : f '' s ⊆ ⋃ n, t n),
            ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ r), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), diam (t n) ^ d ≤
    ⨆ i,
      ⨆ (_ : 0 < i),
        ⨅ i_1,
          ⨅ (_ : s ⊆ ⋃ n, i_1 n),
            ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (i_1 n) ≤ i), ∑' (i : ℕ), ⨆ (_ : (i_1 i).Nonempty), ↑C ^ d * diam (i_1 i) ^ (↑r * d)

Tactic:
refine iSup_le fun R => iSup_le fun hR => ?_

Result:
case inr
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
hC0 : 0 < C
hCd0 : ↑C ^ d ≠ 0
hCd : ↑C ^ d ≠ ⊤
R : ℝ≥0∞
hR : 0 < R
⊢ ⨅ t,
      ⨅ (_ : f '' s ⊆ ⋃ n, t n), ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ R), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), diam (t n) ^ d ≤
    ⨆ i,
      ⨆ (_ : 0 < i),
        ⨅ i_1,
          ⨅ (_ : s ⊆ ⋃ n, i_1 n),
            ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (i_1 n) ≤ i), ∑' (i : ℕ), ⨆ (_ : (i_1 i).Nonempty), ↑C ^ d * diam (i_1 i) ^ (↑r * d)

Proof state:
case inl.inr.intro.inl
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
r : ℝ≥0
f : X → Y
s : Set X
hr : 0 < r
h : HolderOnWith 0 r f s
x : X
hx : x ∈ s
this : f '' s = {f x}
hd : 0 ≤ 0
⊢ 1 ≤ μH[0] s

Tactic:
exact one_le_hausdorffMeasure_zero_of_nonempty ⟨x, hx⟩

Result:
no goals

Proof state:
case inl.inr.intro.inl
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
r : ℝ≥0
f : X → Y
s : Set X
hr : 0 < r
h : HolderOnWith 0 r f s
x : X
hx : x ∈ s
this : f '' s = {f x}
hd : 0 ≤ 0
⊢ μH[0] {f x} ≤ ↑0 ^ 0 * μH[↑r * 0] s

Tactic:
simp only [ENNReal.rpow_zero, one_mul, mul_zero]

Result:
case inl.inr.intro.inl
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
r : ℝ≥0
f : X → Y
s : Set X
hr : 0 < r
h : HolderOnWith 0 r f s
x : X
hx : x ∈ s
this : f '' s = {f x}
hd : 0 ≤ 0
⊢ μH[0] {f x} ≤ μH[0] s

Proof state:
case inr.intro.intro
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
hC0 : 0 < C
hCd0 : ↑C ^ d ≠ 0
hCd : ↑C ^ d ≠ ⊤
R : ℝ≥0∞
hR : 0 < R
this : Tendsto (fun d => ↑C * d ^ ↑r) (𝓝 0) (𝓝 0)
δ : ℝ≥0∞
δ0 : 0 < δ
H : ∀ ⦃x : ℝ≥0∞⦄, x ∈ Iic δ → ↑C * x ^ ↑r < R
⊢ ⨅ t,
      ⨅ (_ : f '' s ⊆ ⋃ n, t n), ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ R), ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : (t n).Nonempty), diam (t n) ^ d ≤
    ⨆ i,
      ⨆ (_ : 0 < i),
        ⨅ i_1,
          ⨅ (_ : s ⊆ ⋃ n, i_1 n),
            ⨅ (_ : ∀ (n : ℕ), diam (i_1 n) ≤ i), ∑' (i : ℕ), ⨆ (_ : (i_1 i).Nonempty), ↑C ^ d * diam (i_1 i) ^ (↑r * d)

Tactic:
refine le_iSup₂_of_le δ δ0 <| iInf₂_mono' fun t hst ↦
  ⟨fun n => f '' (t n ∩ s), ?_, iInf_mono' fun htδ ↦
    ⟨fun n => (h.ediam_image_inter_le (t n)).trans (H (htδ n)).le, ?_⟩⟩

Result:
case inr.intro.intro.refine_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
hC0 : 0 < C
hCd0 : ↑C ^ d ≠ 0
hCd : ↑C ^ d ≠ ⊤
R : ℝ≥0∞
hR : 0 < R
this : Tendsto (fun d => ↑C * d ^ ↑r) (𝓝 0) (𝓝 0)
δ : ℝ≥0∞
δ0 : 0 < δ
H : ∀ ⦃x : ℝ≥0∞⦄, x ∈ Iic δ → ↑C * x ^ ↑r < R
t : ℕ → Set X
hst : s ⊆ ⋃ n, t n
⊢ f '' s ⊆ ⋃ n, (fun n => f '' (t n ∩ s)) n

case inr.intro.intro.refine_2
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
hC0 : 0 < C
hCd0 : ↑C ^ d ≠ 0
hCd : ↑C ^ d ≠ ⊤
R : ℝ≥0∞
hR : 0 < R
this : Tendsto (fun d => ↑C * d ^ ↑r) (𝓝 0) (𝓝 0)
δ : ℝ≥0∞
δ0 : 0 < δ
H : ∀ ⦃x : ℝ≥0∞⦄, x ∈ Iic δ → ↑C * x ^ ↑r < R
t : ℕ → Set X
hst : s ⊆ ⋃ n, t n
htδ : ∀ (n : ℕ), diam (t n) ≤ δ
⊢ ∑' (n : ℕ), ⨆ (_ : ((fun n => f '' (t n ∩ s)) n).Nonempty), diam ((fun n => f '' (t n ∩ s)) n) ^ d ≤
    ∑' (i : ℕ), ⨆ (_ : (t i).Nonempty), ↑C ^ d * diam (t i) ^ (↑r * d)

Proof state:
case inr.intro.intro.refine_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
hC0 : 0 < C
hCd0 : ↑C ^ d ≠ 0
hCd : ↑C ^ d ≠ ⊤
R : ℝ≥0∞
hR : 0 < R
this : Tendsto (fun d => ↑C * d ^ ↑r) (𝓝 0) (𝓝 0)
δ : ℝ≥0∞
δ0 : 0 < δ
H : ∀ ⦃x : ℝ≥0∞⦄, x ∈ Iic δ → ↑C * x ^ ↑r < R
t : ℕ → Set X
hst : s ⊆ ⋃ n, t n
⊢ f '' s ⊆ ⋃ n, (fun n => f '' (t n ∩ s)) n

Tactic:
rw [← image_iUnion, ← iUnion_inter]

Result:
case inr.intro.intro.refine_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝⁵ : EMetricSpace X
inst✝⁴ : EMetricSpace Y
inst✝³ : MeasurableSpace X
inst✝² : BorelSpace X
inst✝¹ : MeasurableSpace Y
inst✝ : BorelSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
s : Set X
h : HolderOnWith C r f s
hr : 0 < r
d : ℝ
hd : 0 ≤ d
hC0 : 0 < C
hCd0 : ↑C ^ d ≠ 0
hCd : ↑C ^ d ≠ ⊤
R : ℝ≥0∞
hR : 0 < R
this : Tendsto (fun d => ↑C * d ^ ↑r) (𝓝 0) (𝓝 0)
δ : ℝ≥0∞
δ0 : 0 < δ
H : ∀ ⦃x : ℝ≥0∞⦄, x ∈ Iic δ → ↑C * x ^ ↑r < R
t : ℕ → Set X
hst : s ⊆ ⋃ n, t n
⊢ f '' s ⊆ f '' ((⋃ i, t i) ∩ s)