-- Mathlib/Data/Real/Archimedean.lean
theorem exists_isLUB (hne : s.Nonempty) (hbdd : BddAbove s) : ∃ x, IsLUB s x

Proof state:
case intro.intro.refine_1
s : Set ℝ
L : ℝ
hL : L ∈ s
U : ℝ
hU : U ∈ upperBounds s
this : ∀ (d : ℕ), BddAbove {m | ∃ y ∈ s, ↑m ≤ y * ↑d}
f : ℕ → ℤ
hf : ∀ (d : ℕ), f d ∈ {m | ∃ y ∈ s, ↑m ≤ y * ↑d} ∧ ∀ z ∈ {m | ∃ y ∈ s, ↑m ≤ y * ↑d}, z ≤ f d
hf₁ : ∀ n > 0, ∃ y ∈ s, ↑(↑(f n) / ↑n) ≤ y
hf₂ : ∀ n > 0, ∀ y ∈ s, y - (↑n)⁻¹ < ↑(↑(f n) / ↑n)
hg : IsCauSeq abs fun n => ↑(f n) / ↑n
g : CauSeq ℚ abs := ⟨fun n => ↑(f n) / ↑n, hg⟩
x : ℝ
xS : x ∈ s
⊢ x ≤ mk g

Tactic:
refine le_of_forall_lt_imp_le_of_dense fun z xz => ?_

Result:
case intro.intro.refine_1
s : Set ℝ
L : ℝ
hL : L ∈ s
U : ℝ
hU : U ∈ upperBounds s
this : ∀ (d : ℕ), BddAbove {m | ∃ y ∈ s, ↑m ≤ y * ↑d}
f : ℕ → ℤ
hf : ∀ (d : ℕ), f d ∈ {m | ∃ y ∈ s, ↑m ≤ y * ↑d} ∧ ∀ z ∈ {m | ∃ y ∈ s, ↑m ≤ y * ↑d}, z ≤ f d
hf₁ : ∀ n > 0, ∃ y ∈ s, ↑(↑(f n) / ↑n) ≤ y
hf₂ : ∀ n > 0, ∀ y ∈ s, y - (↑n)⁻¹ < ↑(↑(f n) / ↑n)
hg : IsCauSeq abs fun n => ↑(f n) / ↑n
g : CauSeq ℚ abs := ⟨fun n => ↑(f n) / ↑n, hg⟩
x : ℝ
xS : x ∈ s
z : ℝ
xz : z < x
⊢ z ≤ mk g

Proof state:
s : Set ℝ
L : ℝ
hL : L ∈ s
U : ℝ
hU : U ∈ upperBounds s
this : ∀ (d : ℕ), BddAbove {m | ∃ y ∈ s, ↑m ≤ y * ↑d}
f : ℕ → ℤ
hf : ∀ (d : ℕ), f d ∈ {m | ∃ y ∈ s, ↑m ≤ y * ↑d} ∧ ∀ z ∈ {m | ∃ y ∈ s, ↑m ≤ y * ↑d}, z ≤ f d
hf₁ : ∀ n > 0, ∃ y ∈ s, ↑(↑(f n) / ↑n) ≤ y
hf₂ : ∀ n > 0, ∀ y ∈ s, y - (↑n)⁻¹ < ↑(↑(f n) / ↑n)
ε : ℚ
ε0 : ε > 0
j k : ℕ
ij : ε⁻¹ ≤ ↑j
ik : ε⁻¹ ≤ ↑k
j0 : 0 < j
k0 : 0 < k
⊢ ↑(f j) / ↑j - ↑(f k) / ↑k < ε

Tactic:
rcases hf₁ _ j0 with ⟨y, yS, hy⟩

Result:
case intro.intro
s : Set ℝ
L : ℝ
hL : L ∈ s
U : ℝ
hU : U ∈ upperBounds s
this : ∀ (d : ℕ), BddAbove {m | ∃ y ∈ s, ↑m ≤ y * ↑d}
f : ℕ → ℤ
hf : ∀ (d : ℕ), f d ∈ {m | ∃ y ∈ s, ↑m ≤ y * ↑d} ∧ ∀ z ∈ {m | ∃ y ∈ s, ↑m ≤ y * ↑d}, z ≤ f d
hf₁ : ∀ n > 0, ∃ y ∈ s, ↑(↑(f n) / ↑n) ≤ y
hf₂ : ∀ n > 0, ∀ y ∈ s, y - (↑n)⁻¹ < ↑(↑(f n) / ↑n)
ε : ℚ
ε0 : ε > 0
j k : ℕ
ij : ε⁻¹ ≤ ↑j
ik : ε⁻¹ ≤ ↑k
j0 : 0 < j
k0 : 0 < k
y : ℝ
yS : y ∈ s
hy : ↑(↑(f j) / ↑j) ≤ y
⊢ ↑(f j) / ↑j - ↑(f k) / ↑k < ε

Proof state:
s : Set ℝ
L : ℝ
hL : L ∈ s
U : ℝ
hU : U ∈ upperBounds s
this : ∀ (d : ℕ), BddAbove {m | ∃ y ∈ s, ↑m ≤ y * ↑d}
f : ℕ → ℤ
hf : ∀ (d : ℕ), f d ∈ {m | ∃ y ∈ s, ↑m ≤ y * ↑d} ∧ ∀ z ∈ {m | ∃ y ∈ s, ↑m ≤ y * ↑d}, z ≤ f d
hf₁ : ∀ n > 0, ∃ y ∈ s, ↑(↑(f n) / ↑n) ≤ y
hf₂ : ∀ n > 0, ∀ y ∈ s, y - (↑n)⁻¹ < ↑(↑(f n) / ↑n)
⊢ IsCauSeq abs fun n => ↑(f n) / ↑n

Tactic:
intro ε ε0

Result:
s : Set ℝ
L : ℝ
hL : L ∈ s
U : ℝ
hU : U ∈ upperBounds s
this : ∀ (d : ℕ), BddAbove {m | ∃ y ∈ s, ↑m ≤ y * ↑d}
f : ℕ → ℤ
hf : ∀ (d : ℕ), f d ∈ {m | ∃ y ∈ s, ↑m ≤ y * ↑d} ∧ ∀ z ∈ {m | ∃ y ∈ s, ↑m ≤ y * ↑d}, z ≤ f d
hf₁ : ∀ n > 0, ∃ y ∈ s, ↑(↑(f n) / ↑n) ≤ y
hf₂ : ∀ n > 0, ∀ y ∈ s, y - (↑n)⁻¹ < ↑(↑(f n) / ↑n)
ε : ℚ
ε0 : ε > 0
⊢ ∃ i, ∀ j ≥ i, |(fun n => ↑(f n) / ↑n) j - (fun n => ↑(f n) / ↑n) i| < ε

Proof state:
s : Set ℝ
L : ℝ
hL : L ∈ s
U : ℝ
hU : U ∈ upperBounds s
this✝ : ∀ (d : ℕ), BddAbove {m | ∃ y ∈ s, ↑m ≤ y * ↑d}
f : ℕ → ℤ
hf : ∀ (d : ℕ), f d ∈ {m | ∃ y ∈ s, ↑m ≤ y * ↑d} ∧ ∀ z ∈ {m | ∃ y ∈ s, ↑m ≤ y * ↑d}, z ≤ f d
hf₁ : ∀ n > 0, ∃ y ∈ s, ↑(↑(f n) / ↑n) ≤ y
hf₂ : ∀ n > 0, ∀ y ∈ s, y - (↑n)⁻¹ < ↑(↑(f n) / ↑n)
ε : ℚ
ε0 : ε > 0
this : ∀ j ≥ ⌈ε⁻¹⌉₊, ∀ k ≥ ⌈ε⁻¹⌉₊, ↑(f j) / ↑j - ↑(f k) / ↑k < ε
j : ℕ
ij : j ≥ ⌈ε⁻¹⌉₊
⊢ -ε < (fun n => ↑(f n) / ↑n) j - (fun n => ↑(f n) / ↑n) ⌈ε⁻¹⌉₊

Tactic:
rw [neg_lt, neg_sub]

Result:
s : Set ℝ
L : ℝ
hL : L ∈ s
U : ℝ
hU : U ∈ upperBounds s
this✝ : ∀ (d : ℕ), BddAbove {m | ∃ y ∈ s, ↑m ≤ y * ↑d}
f : ℕ → ℤ
hf : ∀ (d : ℕ), f d ∈ {m | ∃ y ∈ s, ↑m ≤ y * ↑d} ∧ ∀ z ∈ {m | ∃ y ∈ s, ↑m ≤ y * ↑d}, z ≤ f d
hf₁ : ∀ n > 0, ∃ y ∈ s, ↑(↑(f n) / ↑n) ≤ y
hf₂ : ∀ n > 0, ∀ y ∈ s, y - (↑n)⁻¹ < ↑(↑(f n) / ↑n)
ε : ℚ
ε0 : ε > 0
this : ∀ j ≥ ⌈ε⁻¹⌉₊, ∀ k ≥ ⌈ε⁻¹⌉₊, ↑(f j) / ↑j - ↑(f k) / ↑k < ε
j : ℕ
ij : j ≥ ⌈ε⁻¹⌉₊
⊢ (fun n => ↑(f n) / ↑n) ⌈ε⁻¹⌉₊ - (fun n => ↑(f n) / ↑n) j < ε

Proof state:
s : Set ℝ
L : ℝ
hL : L ∈ s
U : ℝ
hU : U ∈ upperBounds s
this : ∀ (d : ℕ), BddAbove {m | ∃ y ∈ s, ↑m ≤ y * ↑d}
f : ℕ → ℤ
hf : ∀ (d : ℕ), f d ∈ {m | ∃ y ∈ s, ↑m ≤ y * ↑d} ∧ ∀ z ∈ {m | ∃ y ∈ s, ↑m ≤ y * ↑d}, z ≤ f d
hf₁ : ∀ n > 0, ∃ y ∈ s, ↑(↑(f n) / ↑n) ≤ y
n : ℕ
n0 : n > 0
y : ℝ
yS : y ∈ s
⊢ y - (↑n)⁻¹ < ↑(↑(f n) / ↑n)

Tactic:
have := (Int.sub_one_lt_floor _).trans_le (Int.cast_le.2 <| (hf n).2 _ ⟨y, yS, Int.floor_le _⟩)

Result:
s : Set ℝ
L : ℝ
hL : L ∈ s
U : ℝ
hU : U ∈ upperBounds s
this✝ : ∀ (d : ℕ), BddAbove {m | ∃ y ∈ s, ↑m ≤ y * ↑d}
f : ℕ → ℤ
hf : ∀ (d : ℕ), f d ∈ {m | ∃ y ∈ s, ↑m ≤ y * ↑d} ∧ ∀ z ∈ {m | ∃ y ∈ s, ↑m ≤ y * ↑d}, z ≤ f d
hf₁ : ∀ n > 0, ∃ y ∈ s, ↑(↑(f n) / ↑n) ≤ y
n : ℕ
n0 : n > 0
y : ℝ
yS : y ∈ s
this : y * ↑n - 1 < ↑(f n)
⊢ y - (↑n)⁻¹ < ↑(↑(f n) / ↑n)

Proof state:
case intro.intro.intro
s : Set ℝ
L : ℝ
hL : L ∈ s
U : ℝ
hU : U ∈ upperBounds s
k : ℤ
hk : U < ↑k
d : ℕ
z : ℤ
y : ℝ
yS : y ∈ s
hy : ↑z ≤ y * ↑d
⊢ z ≤ k * ↑d

Tactic:
refine Int.cast_le.1 (hy.trans ?_)

Result:
case intro.intro.intro
s : Set ℝ
L : ℝ
hL : L ∈ s
U : ℝ
hU : U ∈ upperBounds s
k : ℤ
hk : U < ↑k
d : ℕ
z : ℤ
y : ℝ
yS : y ∈ s
hy : ↑z ≤ y * ↑d
⊢ y * ↑d ≤ ↑(k * ↑d)

Proof state:
s : Set ℝ
L : ℝ
hL : L ∈ s
U : ℝ
hU : U ∈ upperBounds s
this : ∀ (d : ℕ), BddAbove {m | ∃ y ∈ s, ↑m ≤ y * ↑d}
f : ℕ → ℤ
hf : ∀ (d : ℕ), f d ∈ {m | ∃ y ∈ s, ↑m ≤ y * ↑d} ∧ ∀ z ∈ {m | ∃ y ∈ s, ↑m ≤ y * ↑d}, z ≤ f d
hf₁ : ∀ n > 0, ∃ y ∈ s, ↑(↑(f n) / ↑n) ≤ y
hf₂ : ∀ n > 0, ∀ y ∈ s, y - (↑n)⁻¹ < ↑(↑(f n) / ↑n)
ε : ℚ
ε0 : ε > 0
j : ℕ
ij : j ≥ ⌈ε⁻¹⌉₊
k : ℕ
ik : k ≥ ⌈ε⁻¹⌉₊
⊢ ↑(f j) / ↑j - ↑(f k) / ↑k < ε

Tactic:
replace ij := le_trans (Nat.le_ceil _) (Nat.cast_le.2 ij)

Result:
s : Set ℝ
L : ℝ
hL : L ∈ s
U : ℝ
hU : U ∈ upperBounds s
this : ∀ (d : ℕ), BddAbove {m | ∃ y ∈ s, ↑m ≤ y * ↑d}
f : ℕ → ℤ
hf : ∀ (d : ℕ), f d ∈ {m | ∃ y ∈ s, ↑m ≤ y * ↑d} ∧ ∀ z ∈ {m | ∃ y ∈ s, ↑m ≤ y * ↑d}, z ≤ f d
hf₁ : ∀ n > 0, ∃ y ∈ s, ↑(↑(f n) / ↑n) ≤ y
hf₂ : ∀ n > 0, ∀ y ∈ s, y - (↑n)⁻¹ < ↑(↑(f n) / ↑n)
ε : ℚ
ε0 : ε > 0
j k : ℕ
ik : k ≥ ⌈ε⁻¹⌉₊
ij : ε⁻¹ ≤ ↑j
⊢ ↑(f j) / ↑j - ↑(f k) / ↑k < ε

Proof state:
s : Set ℝ
L : ℝ
hL : L ∈ s
U : ℝ
hU : U ∈ upperBounds s
this : ∀ (d : ℕ), BddAbove {m | ∃ y ∈ s, ↑m ≤ y * ↑d}
f : ℕ → ℤ
hf : ∀ (d : ℕ), f d ∈ {m | ∃ y ∈ s, ↑m ≤ y * ↑d} ∧ ∀ z ∈ {m | ∃ y ∈ s, ↑m ≤ y * ↑d}, z ≤ f d
hf₁ : ∀ n > 0, ∃ y ∈ s, ↑(↑(f n) / ↑n) ≤ y
hf₂ : ∀ n > 0, ∀ y ∈ s, y - (↑n)⁻¹ < ↑(↑(f n) / ↑n)
ε : ℚ
ε0 : ε > 0
⊢ ∀ j ≥ ⌈ε⁻¹⌉₊, ∀ k ≥ ⌈ε⁻¹⌉₊, ↑(f j) / ↑j - ↑(f k) / ↑k < ε

Tactic:
intro j ij k ik

Result:
s : Set ℝ
L : ℝ
hL : L ∈ s
U : ℝ
hU : U ∈ upperBounds s
this : ∀ (d : ℕ), BddAbove {m | ∃ y ∈ s, ↑m ≤ y * ↑d}
f : ℕ → ℤ
hf : ∀ (d : ℕ), f d ∈ {m | ∃ y ∈ s, ↑m ≤ y * ↑d} ∧ ∀ z ∈ {m | ∃ y ∈ s, ↑m ≤ y * ↑d}, z ≤ f d
hf₁ : ∀ n > 0, ∃ y ∈ s, ↑(↑(f n) / ↑n) ≤ y
hf₂ : ∀ n > 0, ∀ y ∈ s, y - (↑n)⁻¹ < ↑(↑(f n) / ↑n)
ε : ℚ
ε0 : ε > 0
j : ℕ
ij : j ≥ ⌈ε⁻¹⌉₊
k : ℕ
ik : k ≥ ⌈ε⁻¹⌉₊
⊢ ↑(f j) / ↑j - ↑(f k) / ↑k < ε

Proof state:
case intro.intro
s : Set ℝ
L : ℝ
hL : L ∈ s
U : ℝ
hU : U ∈ upperBounds s
this : ∀ (d : ℕ), BddAbove {m | ∃ y ∈ s, ↑m ≤ y * ↑d}
f : ℕ → ℤ
hf : ∀ (d : ℕ), f d ∈ {m | ∃ y ∈ s, ↑m ≤ y * ↑d} ∧ ∀ z ∈ {m | ∃ y ∈ s, ↑m ≤ y * ↑d}, z ≤ f d
⊢ ∃ x, IsLUB s x

Tactic:
have hf₁ : ∀ n > 0, ∃ y ∈ s, ((f n / n : ℚ) : ℝ) ≤ y := fun n n0 =>
  let ⟨y, yS, hy⟩ := (hf n).1
  ⟨y, yS, by simpa using (div_le_iff₀ (Nat.cast_pos.2 n0 : (_ : ℝ) < _)).2 hy⟩

Result:
case intro.intro
s : Set ℝ
L : ℝ
hL : L ∈ s
U : ℝ
hU : U ∈ upperBounds s
this : ∀ (d : ℕ), BddAbove {m | ∃ y ∈ s, ↑m ≤ y * ↑d}
f : ℕ → ℤ
hf : ∀ (d : ℕ), f d ∈ {m | ∃ y ∈ s, ↑m ≤ y * ↑d} ∧ ∀ z ∈ {m | ∃ y ∈ s, ↑m ≤ y * ↑d}, z ≤ f d
hf₁ : ∀ n > 0, ∃ y ∈ s, ↑(↑(f n) / ↑n) ≤ y
⊢ ∃ x, IsLUB s x