-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
theorem tendsto_integral_of_L1 {ι} (f : α → G) (hfi : Integrable f μ) {F : ι → α → G} {l : Filter ι}
    (hFi : ∀ᶠ i in l, Integrable (F i) μ)
    (hF : Tendsto (fun i => ∫⁻ x, ‖F i x - f x‖ₑ ∂μ) l (𝓝 0)) :
    Tendsto (fun i => ∫ x, F i x ∂μ) l (𝓝 <| ∫ x, f x ∂μ)

Proof state:
case pos
α : Type u_1
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_6
f : α → G
hfi : Integrable f μ
F : ι → α → G
l : Filter ι
hFi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (F i) μ
hF : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ‖F i x - f x‖ₑ ∂μ) l (𝓝 0)
hG : CompleteSpace G
⊢ Tendsto
    (fun i =>
      if h : True then
        if hf : Integrable (fun x => F i x) μ then L1.integralCLM (Integrable.toL1 (fun x => F i x) hf) else 0
      else 0)
    l
    (𝓝
      (if h : True then
        if hf : Integrable (fun x => f x) μ then L1.integralCLM (Integrable.toL1 (fun x => f x) hf) else 0
      else 0))

Tactic:
exact tendsto_setToFun_of_L1 (dominatedFinMeasAdditive_weightedSMul μ) f hfi hFi hF

Result:
no goals

Proof state:
case neg
α : Type u_1
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_6
f : α → G
hfi : Integrable f μ
F : ι → α → G
l : Filter ι
hFi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (F i) μ
hF : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ‖F i x - f x‖ₑ ∂μ) l (𝓝 0)
hG : ¬CompleteSpace G
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : α), F i x ∂μ) l (𝓝 (∫ (x : α), f x ∂μ))

Tactic:
simp [integral, hG, tendsto_const_nhds]

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_1
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_6
f : α → G
hfi : Integrable f μ
F : ι → α → G
l : Filter ι
hFi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (F i) μ
hF : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ‖F i x - f x‖ₑ ∂μ) l (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : α), F i x ∂μ) l (𝓝 (∫ (x : α), f x ∂μ))

Tactic:
by_cases hG : CompleteSpace G

Result:
case pos
α : Type u_1
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_6
f : α → G
hfi : Integrable f μ
F : ι → α → G
l : Filter ι
hFi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (F i) μ
hF : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ‖F i x - f x‖ₑ ∂μ) l (𝓝 0)
hG : CompleteSpace G
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : α), F i x ∂μ) l (𝓝 (∫ (x : α), f x ∂μ))

case neg
α : Type u_1
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_6
f : α → G
hfi : Integrable f μ
F : ι → α → G
l : Filter ι
hFi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (F i) μ
hF : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ‖F i x - f x‖ₑ ∂μ) l (𝓝 0)
hG : ¬CompleteSpace G
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : α), F i x ∂μ) l (𝓝 (∫ (x : α), f x ∂μ))

Proof state:
case pos
α : Type u_1
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_6
f : α → G
hfi : Integrable f μ
F : ι → α → G
l : Filter ι
hFi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (F i) μ
hF : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ‖F i x - f x‖ₑ ∂μ) l (𝓝 0)
hG : CompleteSpace G
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (x : α), F i x ∂μ) l (𝓝 (∫ (x : α), f x ∂μ))

Tactic:
simp only [integral, hG, L1.integral]

Result:
case pos
α : Type u_1
G : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_6
f : α → G
hfi : Integrable f μ
F : ι → α → G
l : Filter ι
hFi : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (F i) μ
hF : Tendsto (fun i => ∫⁻ (x : α), ‖F i x - f x‖ₑ ∂μ) l (𝓝 0)
hG : CompleteSpace G
⊢ Tendsto
    (fun i =>
      if h : True then
        if hf : Integrable (fun x => F i x) μ then L1.integralCLM (Integrable.toL1 (fun x => F i x) hf) else 0
      else 0)
    l
    (𝓝
      (if h : True then
        if hf : Integrable (fun x => f x) μ then L1.integralCLM (Integrable.toL1 (fun x => f x) hf) else 0
      else 0))