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theorem HasFPowerSeriesWithinOnBall.isBigO_image_sub_image_sub_deriv_principal
    (hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r) (hr : r' < r) :
    (fun y : E × E => f y.1 - f y.2 - p 1 fun _ => y.1 - y.2)
      =O[𝓟 (EMetric.ball (x, x) r' ∩ ((insert x s) ×ˢ (insert x s)))]
      fun y => ‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
r' : ℝ≥0
hr : ↑r' < r
hr'0 : 0 < r'
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo 0 1
C : ℝ
hC : 0 < C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * a ^ n / ↑r' ^ n
L : E × E → ℝ := fun y => C * (a / ↑r') ^ 2 * (‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) * (a / (1 - a) ^ 2 + 2 / (1 - a))
y : E × E
hy' : ‖y - (x, x)‖₊ < r'
ys : y ∈ insert x s ×ˢ insert x s
hy : y ∈ EMetric.ball x r ×ˢ EMetric.ball x r
A : ℕ → F := fun n => ((p n) fun x_1 => y.1 - x) - (p n) fun x_1 => y.2 - x
hA : HasSum (fun n => A (n + 2)) (f y.1 - f y.2 - (p 1) fun x => y.1 - y.2)
B : ℕ → ℝ := fun n => C * (a / ↑r') ^ 2 * (‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) * ((↑n + 2) * a ^ n)
n : ℕ
⊢ ‖p (n + 2)‖ * ↑(n + 2) * ‖y - (x, x)‖ ^ (n + 1) * ‖y.1 - y.2‖ =
    ‖p (n + 2)‖ * ‖y - (x, x)‖ ^ n * (↑(n + 2) * ‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖)

Tactic:
rw [pow_succ ‖y - (x, x)‖]

Result:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
r' : ℝ≥0
hr : ↑r' < r
hr'0 : 0 < r'
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo 0 1
C : ℝ
hC : 0 < C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * a ^ n / ↑r' ^ n
L : E × E → ℝ := fun y => C * (a / ↑r') ^ 2 * (‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) * (a / (1 - a) ^ 2 + 2 / (1 - a))
y : E × E
hy' : ‖y - (x, x)‖₊ < r'
ys : y ∈ insert x s ×ˢ insert x s
hy : y ∈ EMetric.ball x r ×ˢ EMetric.ball x r
A : ℕ → F := fun n => ((p n) fun x_1 => y.1 - x) - (p n) fun x_1 => y.2 - x
hA : HasSum (fun n => A (n + 2)) (f y.1 - f y.2 - (p 1) fun x => y.1 - y.2)
B : ℕ → ℝ := fun n => C * (a / ↑r') ^ 2 * (‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) * ((↑n + 2) * a ^ n)
n : ℕ
⊢ ‖p (n + 2)‖ * ↑(n + 2) * (‖y - (x, x)‖ ^ n * ‖y - (x, x)‖) * ‖y.1 - y.2‖ =
    ‖p (n + 2)‖ * ‖y - (x, x)‖ ^ n * (↑(n + 2) * ‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖)

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
r' : ℝ≥0
hr : ↑r' < r
hr'0 : 0 < r'
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo 0 1
C : ℝ
hC : 0 < C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * a ^ n / ↑r' ^ n
L : E × E → ℝ := fun y => C * (a / ↑r') ^ 2 * (‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) * (a / (1 - a) ^ 2 + 2 / (1 - a))
y : E × E
hy' : y ∈ EMetric.ball (x, x) ↑r'
ys : y ∈ insert x s ×ˢ insert x s
⊢ y ∈ EMetric.ball x r ×ˢ EMetric.ball x r

Tactic:
rw [EMetric.ball_prod_same]

Result:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
r' : ℝ≥0
hr : ↑r' < r
hr'0 : 0 < r'
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo 0 1
C : ℝ
hC : 0 < C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * a ^ n / ↑r' ^ n
L : E × E → ℝ := fun y => C * (a / ↑r') ^ 2 * (‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) * (a / (1 - a) ^ 2 + 2 / (1 - a))
y : E × E
hy' : y ∈ EMetric.ball (x, x) ↑r'
ys : y ∈ insert x s ×ˢ insert x s
⊢ y ∈ EMetric.ball (x, x) r

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
r' : ℝ≥0
hr : ↑r' < r
hr'0 : 0 < r'
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo 0 1
C : ℝ
hC : 0 < C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * a ^ n / ↑r' ^ n
L : E × E → ℝ := fun y => C * (a / ↑r') ^ 2 * (‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) * (a / (1 - a) ^ 2 + 2 / (1 - a))
y : E × E
hy' : y ∈ EMetric.ball (x, x) ↑r'
ys : y ∈ insert x s ×ˢ insert x s
hy : y ∈ EMetric.ball x r ×ˢ EMetric.ball x r
A : ℕ → F := fun n => ((p n) fun x_1 => y.1 - x) - (p n) fun x_1 => y.2 - x
⊢ ‖f y.1 - f y.2 - (p 1) fun x => y.1 - y.2‖ ≤ L y

Tactic:
have hA : HasSum (fun n => A (n + 2)) (f y.1 - f y.2 - p 1 fun _ => y.1 - y.2) := by
  convert (hasSum_nat_add_iff' 2).2
    ((hf.hasSum_sub ⟨ys.1, hy.1⟩).sub (hf.hasSum_sub ⟨ys.2, hy.2⟩)) using 1
  rw [Finset.sum_range_succ, Finset.sum_range_one, hf.coeff_zero, hf.coeff_zero, sub_self,
    zero_add, ← Subsingleton.pi_single_eq (0 : Fin 1) (y.1 - x), Pi.single,
    ← Subsingleton.pi_single_eq (0 : Fin 1) (y.2 - x), Pi.single, ← (p 1).map_update_sub,
    ← Pi.single, Subsingleton.pi_single_eq, sub_sub_sub_cancel_right]

Result:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
r' : ℝ≥0
hr : ↑r' < r
hr'0 : 0 < r'
a : ℝ
ha : a ∈ Ioo 0 1
C : ℝ
hC : 0 < C
hp : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * a ^ n / ↑r' ^ n
L : E × E → ℝ := fun y => C * (a / ↑r') ^ 2 * (‖y - (x, x)‖ * ‖y.1 - y.2‖) * (a / (1 - a) ^ 2 + 2 / (1 - a))
y : E × E
hy' : y ∈ EMetric.ball (x, x) ↑r'
ys : y ∈ insert x s ×ˢ insert x s
hy : y ∈ EMetric.ball x r ×ˢ EMetric.ball x r
A : ℕ → F := fun n => ((p n) fun x_1 => y.1 - x) - (p n) fun x_1 => y.2 - x
hA : HasSum (fun n => A (n + 2)) (f y.1 - f y.2 - (p 1) fun x => y.1 - y.2)
⊢ ‖f y.1 - f y.2 - (p 1) fun x => y.1 - y.2‖ ≤ L y