-- Mathlib/CategoryTheory/CofilteredSystem.lean
theorem nonempty_sections_of_finite_cofiltered_system.init {J : Type u} [SmallCategory J]
    [IsCofilteredOrEmpty J] (F : J ⥤ Type u) [hf : ∀ j, Finite (F.obj j)]
    [hne : ∀ j, Nonempty (F.obj j)] : F.sections.Nonempty

Proof state:
J : Type u
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
F : J ⥤ Type u
hf : ∀ (j : J), Finite (F.obj j)
hne : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)
F' : J ⥤ TopCat := F ⋙ TopCat.discrete
this✝¹ : ∀ (j : J), DiscreteTopology ↑(F'.obj j)
this✝ : ∀ (j : J), Finite ↑(F'.obj j)
this : ∀ (j : J), Nonempty ↑(F'.obj j)
⊢ F.sections.Nonempty

Tactic:
obtain ⟨⟨u, hu⟩⟩ := TopCat.nonempty_limitCone_of_compact_t2_cofiltered_system.{u} F'

Result:
case intro.mk
J : Type u
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
F : J ⥤ Type u
hf : ∀ (j : J), Finite (F.obj j)
hne : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)
F' : J ⥤ TopCat := F ⋙ TopCat.discrete
this✝¹ : ∀ (j : J), DiscreteTopology ↑(F'.obj j)
this✝ : ∀ (j : J), Finite ↑(F'.obj j)
this : ∀ (j : J), Nonempty ↑(F'.obj j)
u : (j : J) → ↑(F'.obj j)
hu : u ∈ {u | ∀ {i j : J} (f : i ⟶ j), (ConcreteCategory.hom (F'.map f)) (u i) = u j}
⊢ F.sections.Nonempty

Proof state:
J : Type u
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
F : J ⥤ Type u
hf : ∀ (j : J), Finite (F.obj j)
hne : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)
F' : J ⥤ TopCat := F ⋙ TopCat.discrete
this : ∀ (j : J), DiscreteTopology ↑(F'.obj j)
⊢ F.sections.Nonempty

Tactic:
haveI : ∀ j, Finite (F'.obj j) := hf

Result:
J : Type u
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
F : J ⥤ Type u
hf : ∀ (j : J), Finite (F.obj j)
hne : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)
F' : J ⥤ TopCat := F ⋙ TopCat.discrete
this✝ : ∀ (j : J), DiscreteTopology ↑(F'.obj j)
this : ∀ (j : J), Finite ↑(F'.obj j)
⊢ F.sections.Nonempty

Proof state:
case intro.mk
J : Type u
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
F : J ⥤ Type u
hf : ∀ (j : J), Finite (F.obj j)
hne : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)
F' : J ⥤ TopCat := F ⋙ TopCat.discrete
this✝¹ : ∀ (j : J), DiscreteTopology ↑(F'.obj j)
this✝ : ∀ (j : J), Finite ↑(F'.obj j)
this : ∀ (j : J), Nonempty ↑(F'.obj j)
u : (j : J) → ↑(F'.obj j)
hu : u ∈ {u | ∀ {i j : J} (f : i ⟶ j), (ConcreteCategory.hom (F'.map f)) (u i) = u j}
⊢ F.sections.Nonempty

Tactic:
exact ⟨u, hu⟩

Result:
no goals

Proof state:
J : Type u
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
F : J ⥤ Type u
hf : ∀ (j : J), Finite (F.obj j)
hne : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)
F' : J ⥤ TopCat := F ⋙ TopCat.discrete
⊢ F.sections.Nonempty

Tactic:
haveI : ∀ j, DiscreteTopology (F'.obj j) := fun _ => ⟨rfl⟩

Result:
J : Type u
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
F : J ⥤ Type u
hf : ∀ (j : J), Finite (F.obj j)
hne : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)
F' : J ⥤ TopCat := F ⋙ TopCat.discrete
this : ∀ (j : J), DiscreteTopology ↑(F'.obj j)
⊢ F.sections.Nonempty

Proof state:
J : Type u
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
F : J ⥤ Type u
hf : ∀ (j : J), Finite (F.obj j)
hne : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)
F' : J ⥤ TopCat := F ⋙ TopCat.discrete
this✝ : ∀ (j : J), DiscreteTopology ↑(F'.obj j)
this : ∀ (j : J), Finite ↑(F'.obj j)
⊢ F.sections.Nonempty

Tactic:
haveI : ∀ j, Nonempty (F'.obj j) := hne

Result:
J : Type u
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
F : J ⥤ Type u
hf : ∀ (j : J), Finite (F.obj j)
hne : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)
F' : J ⥤ TopCat := F ⋙ TopCat.discrete
this✝¹ : ∀ (j : J), DiscreteTopology ↑(F'.obj j)
this✝ : ∀ (j : J), Finite ↑(F'.obj j)
this : ∀ (j : J), Nonempty ↑(F'.obj j)
⊢ F.sections.Nonempty

Proof state:
J : Type u
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
F : J ⥤ Type u
hf : ∀ (j : J), Finite (F.obj j)
hne : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)
⊢ F.sections.Nonempty

Tactic:
let F' : J ⥤ TopCat := F ⋙ TopCat.discrete

Result:
J : Type u
inst✝¹ : SmallCategory J
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty J
F : J ⥤ Type u
hf : ∀ (j : J), Finite (F.obj j)
hne : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)
F' : J ⥤ TopCat := F ⋙ TopCat.discrete
⊢ F.sections.Nonempty