-- Mathlib/Topology/Category/Stonean/Basic.lean
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A morphism in `Stonean` is an epi iff it is surjective.
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lemma epi_iff_surjective {X Y : Stonean} (f : X ⟶ Y) :
    Epi f ↔ Function.Surjective f

Proof state:
case intro.intro.intro
X Y : Stonean
f : X ⟶ Y
h✝ : Epi f
y : ↑Y.toTop
hy : ∀ (a : ↑X.toTop), (ConcreteCategory.hom f) a ≠ y
C : Set ((fun X => ↑X.toTop) Y) := Set.range ⇑(ConcreteCategory.hom f)
hC : IsClosed C
U : Set ((fun X => ↑X.toTop) Y) := Cᶜ
hUy : U ∈ 𝓝 y
V : Set ↑Y.toTop
hV : V ∈ {s | IsClopen s}
hyV : y ∈ V
hVU : V ⊆ U
g : Y ⟶ mkFinite (ULift.{u_1, 0} (Fin 2)) :=
  TopCat.ofHom { toFun := ⇑(LocallyConstant.map ULift.up (LocallyConstant.ofIsClopen hV)), continuous_toFun := ⋯ }
h : Y ⟶ mkFinite (ULift.{u_1, 0} (Fin 2)) := TopCat.ofHom { toFun := fun x => { down := 1 }, continuous_toFun := ⋯ }
H : 1 = 0
⊢ False

Tactic:
exact one_ne_zero H

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro.intro
X Y : Stonean
f : X ⟶ Y
h✝ : Epi f
y : ↑Y.toTop
hy : ∀ (a : ↑X.toTop), (ConcreteCategory.hom f) a ≠ y
C : Set ((fun X => ↑X.toTop) Y) := Set.range ⇑(ConcreteCategory.hom f)
hC : IsClosed C
U : Set ((fun X => ↑X.toTop) Y) := Cᶜ
hUy : U ∈ 𝓝 y
V : Set ↑Y.toTop
hV : V ∈ {s | IsClopen s}
hyV : y ∈ V
hVU : V ⊆ U
g : Y ⟶ mkFinite (ULift.{u_1, 0} (Fin 2)) :=
  TopCat.ofHom { toFun := ⇑(LocallyConstant.map ULift.up (LocallyConstant.ofIsClopen hV)), continuous_toFun := ⋯ }
h : Y ⟶ mkFinite (ULift.{u_1, 0} (Fin 2)) := TopCat.ofHom { toFun := fun x => { down := 1 }, continuous_toFun := ⋯ }
H : 1 = if y ∈ V then 0 else 1
⊢ False

Tactic:
rw [if_pos hyV] at H

Result:
case intro.intro.intro
X Y : Stonean
f : X ⟶ Y
h✝ : Epi f
y : ↑Y.toTop
hy : ∀ (a : ↑X.toTop), (ConcreteCategory.hom f) a ≠ y
C : Set ((fun X => ↑X.toTop) Y) := Set.range ⇑(ConcreteCategory.hom f)
hC : IsClosed C
U : Set ((fun X => ↑X.toTop) Y) := Cᶜ
hUy : U ∈ 𝓝 y
V : Set ↑Y.toTop
hV : V ∈ {s | IsClopen s}
hyV : y ∈ V
hVU : V ⊆ U
g : Y ⟶ mkFinite (ULift.{u_1, 0} (Fin 2)) :=
  TopCat.ofHom { toFun := ⇑(LocallyConstant.map ULift.up (LocallyConstant.ofIsClopen hV)), continuous_toFun := ⋯ }
h : Y ⟶ mkFinite (ULift.{u_1, 0} (Fin 2)) := TopCat.ofHom { toFun := fun x => { down := 1 }, continuous_toFun := ⋯ }
H : 1 = 0
⊢ False

Proof state:
X Y : Stonean
f : X ⟶ Y
h : Epi f
y : ↑Y.toTop
hy : ∀ (a : ↑X.toTop), (ConcreteCategory.hom f) a ≠ y
C : Set ((fun X => ↑X.toTop) Y) := Set.range ⇑(ConcreteCategory.hom f)
hC : IsClosed C
⊢ False

Tactic:
let U := Cᶜ

Result:
X Y : Stonean
f : X ⟶ Y
h : Epi f
y : ↑Y.toTop
hy : ∀ (a : ↑X.toTop), (ConcreteCategory.hom f) a ≠ y
C : Set ((fun X => ↑X.toTop) Y) := Set.range ⇑(ConcreteCategory.hom f)
hC : IsClosed C
U : Set ((fun X => ↑X.toTop) Y) := Cᶜ
⊢ False

Proof state:
X Y : Stonean
f : X ⟶ Y
h : Epi f
y : ↑Y.toTop
hy : ∀ (a : ↑X.toTop), (ConcreteCategory.hom f) a ≠ y
C : Set ((fun X => ↑X.toTop) Y) := Set.range ⇑(ConcreteCategory.hom f)
hC : IsClosed C
U : Set ((fun X => ↑X.toTop) Y) := Cᶜ
hUy : U ∈ 𝓝 y
⊢ False

Tactic:
obtain ⟨V, hV, hyV, hVU⟩ := isTopologicalBasis_isClopen.mem_nhds_iff.mp hUy

Result:
case intro.intro.intro
X Y : Stonean
f : X ⟶ Y
h : Epi f
y : ↑Y.toTop
hy : ∀ (a : ↑X.toTop), (ConcreteCategory.hom f) a ≠ y
C : Set ((fun X => ↑X.toTop) Y) := Set.range ⇑(ConcreteCategory.hom f)
hC : IsClosed C
U : Set ((fun X => ↑X.toTop) Y) := Cᶜ
hUy : U ∈ 𝓝 y
V : Set ↑Y.toTop
hV : V ∈ {s | IsClopen s}
hyV : y ∈ V
hVU : V ⊆ U
⊢ False

Proof state:
X Y : Stonean
f : X ⟶ Y
h : Epi f
y : ↑Y.toTop
hy : ∀ (a : ↑X.toTop), (ConcreteCategory.hom f) a ≠ y
⊢ False

Tactic:
let C := Set.range f

Result:
X Y : Stonean
f : X ⟶ Y
h : Epi f
y : ↑Y.toTop
hy : ∀ (a : ↑X.toTop), (ConcreteCategory.hom f) a ≠ y
C : Set ((fun X => ↑X.toTop) Y) := Set.range ⇑(ConcreteCategory.hom f)
⊢ False