-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/RationalRoot.lean
theorem den_dvd_of_is_root {p : A[X]} {r : K} (hr : aeval r p = 0) :
    (den A r : A) ∣ p.leadingCoeff

Proof state:
case neg
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
r : K
hr : (aeval r) p = 0
j : ℕ
hj : j ≠ (p.scaleRoots ↑(den A r)).natDegree
h : ¬j < (p.scaleRoots ↑(den A r)).natDegree
⊢ ↑(den A r) ∣ (p.scaleRoots ↑(den A r)).coeff j * num A r ^ j

Tactic:
rw [coeff_eq_zero_of_natDegree_lt (lt_of_le_of_ne (le_of_not_gt h) hj.symm),
  zero_mul]

Result:
case neg
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
r : K
hr : (aeval r) p = 0
j : ℕ
hj : j ≠ (p.scaleRoots ↑(den A r)).natDegree
h : ¬j < (p.scaleRoots ↑(den A r)).natDegree
⊢ ↑(den A r) ∣ 0

Proof state:
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
r : K
hr : (aeval r) p = 0
this : ↑(den A r) ∣ p.leadingCoeff * num A r ^ p.natDegree
⊢ ↑(den A r) ∣ p.leadingCoeff

Tactic:
refine
  dvd_of_dvd_mul_left_of_no_prime_factors (mem_nonZeroDivisors_iff_ne_zero.mp (den A r).2) ?_
    this

Result:
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
r : K
hr : (aeval r) p = 0
this : ↑(den A r) ∣ p.leadingCoeff * num A r ^ p.natDegree
⊢ ∀ ⦃d : A⦄, d ∣ ↑(den A r) → d ∣ num A r ^ p.natDegree → ¬Prime d

Proof state:
case pos
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
r : K
hr : (aeval r) p = 0
j : ℕ
hj : j ≠ p.natDegree
h : j < p.natDegree
⊢ ↑(den A r) ∣ (p.scaleRoots ↑(den A r)).coeff j * num A r ^ j

Tactic:
rw [coeff_scaleRoots]

Result:
case pos
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
r : K
hr : (aeval r) p = 0
j : ℕ
hj : j ≠ p.natDegree
h : j < p.natDegree
⊢ ↑(den A r) ∣ p.coeff j * ↑(den A r) ^ (p.natDegree - j) * num A r ^ j

Proof state:
case pos
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
r : K
hr : (aeval r) p = 0
j : ℕ
hj : j ≠ p.natDegree
h : j < p.natDegree
⊢ ↑(den A r) ∣ ↑(den A r) ^ (p.natDegree - j)

Tactic:
convert pow_dvd_pow (den A r : A) (Nat.succ_le_iff.mpr (lt_tsub_iff_left.mpr _))

Result:
case h.e'_3
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
r : K
hr : (aeval r) p = 0
j : ℕ
hj : j ≠ p.natDegree
h : j < p.natDegree
⊢ ↑(den A r) = ↑(den A r) ^ Nat.succ ?pos.convert_1✝

case pos.convert_1
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
r : K
hr : (aeval r) p = 0
j : ℕ
hj : j ≠ p.natDegree
h : j < p.natDegree
⊢ ℕ

case pos.convert_4
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
r : K
hr : (aeval r) p = 0
j : ℕ
hj : j ≠ p.natDegree
h : j < p.natDegree
⊢ j + ?pos.convert_1✝ < p.natDegree

Proof state:
case neg
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
r : K
hr : (aeval r) p = 0
j : ℕ
hj : j ≠ p.natDegree
h : ¬j < p.natDegree
⊢ ↑(den A r) ∣ (p.scaleRoots ↑(den A r)).coeff j * num A r ^ j

Tactic:
rw [← natDegree_scaleRoots p (den A r)] at *

Result:
case neg
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
r : K
hr : (aeval r) p = 0
j : ℕ
hj : j ≠ (p.scaleRoots ↑(den A r)).natDegree
h : ¬j < (p.scaleRoots ↑(den A r)).natDegree
⊢ ↑(den A r) ∣ (p.scaleRoots ↑(den A r)).coeff j * num A r ^ j

Proof state:
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
r : K
hr : (aeval r) p = 0
this : ↑(den A r) ∣ p.leadingCoeff * num A r ^ p.natDegree
q : A
dvd_den : q ∣ ↑(den A r)
dvd_num_pow : q ∣ num A r ^ p.natDegree
hq : Prime q
⊢ False

Tactic:
apply hq.not_unit

Result:
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
r : K
hr : (aeval r) p = 0
this : ↑(den A r) ∣ p.leadingCoeff * num A r ^ p.natDegree
q : A
dvd_den : q ∣ ↑(den A r)
dvd_num_pow : q ∣ num A r ^ p.natDegree
hq : Prime q
⊢ IsUnit q

Proof state:
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
r : K
hr : (aeval r) p = 0
⊢ ∀ (j : ℕ), j ≠ p.natDegree → ↑(den A r) ∣ (p.scaleRoots ↑(den A r)).coeff j * num A r ^ j

Tactic:
intro j hj

Result:
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
r : K
hr : (aeval r) p = 0
j : ℕ
hj : j ≠ p.natDegree
⊢ ↑(den A r) ∣ (p.scaleRoots ↑(den A r)).coeff j * num A r ^ j

Proof state:
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
r : K
hr : (aeval r) p = 0
j : ℕ
hj : j ≠ p.natDegree
⊢ ↑(den A r) ∣ (p.scaleRoots ↑(den A r)).coeff j * num A r ^ j

Tactic:
by_cases h : j < p.natDegree

Result:
case pos
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
r : K
hr : (aeval r) p = 0
j : ℕ
hj : j ≠ p.natDegree
h : j < p.natDegree
⊢ ↑(den A r) ∣ (p.scaleRoots ↑(den A r)).coeff j * num A r ^ j

case neg
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
r : K
hr : (aeval r) p = 0
j : ℕ
hj : j ≠ p.natDegree
h : ¬j < p.natDegree
⊢ ↑(den A r) ∣ (p.scaleRoots ↑(den A r)).coeff j * num A r ^ j

Proof state:
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
r : K
hr : (aeval r) p = 0
⊢ ↑(den A r) ∣ p.leadingCoeff

Tactic:
suffices (den A r : A) ∣ p.leadingCoeff * num A r ^ p.natDegree by
  refine
    dvd_of_dvd_mul_left_of_no_prime_factors (mem_nonZeroDivisors_iff_ne_zero.mp (den A r).2) ?_
      this
  intro q dvd_den dvd_num_pow hq
  apply hq.not_unit
  exact num_den_reduced A r (hq.dvd_of_dvd_pow dvd_num_pow) dvd_den

Result:
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : IsDomain A
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
r : K
hr : (aeval r) p = 0
⊢ ↑(den A r) ∣ p.leadingCoeff * num A r ^ p.natDegree