-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule/Basic.lean
theorem map_comp' (g : M₀ →ₗ[R] M₁) (h : M₁ →ₗ[R] M₂) :
    map S f₀ f₂ (h ∘ₗ g) = map S f₁ f₂ h ∘ₗ map S f₀ f₁ g

Proof state:
R : Type u_1
inst✝¹⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M₀ : Type u_6
M₀' : Type u_9
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₀
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₀'
inst✝¹² : Module R M₀
inst✝¹¹ : Module R M₀'
f₀ : M₀ →ₗ[R] M₀'
inst✝¹⁰ : IsLocalizedModule S f₀
M₁ : Type u_7
M₁' : Type u_11
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁷ : Module R M₁
inst✝⁶ : Module R M₁'
f₁ : M₁ →ₗ[R] M₁'
inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f₁
M₂ : Type u_8
M₂' : Type u_10
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂'
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₂'
f₂ : M₂ →ₗ[R] M₂'
inst✝ : IsLocalizedModule S f₂
g : M₀ →ₗ[R] M₁
h : M₁ →ₗ[R] M₂
⊢ (map S f₀ f₂) (h ∘ₗ g) = (map S f₁ f₂) h ∘ₗ (map S f₀ f₁) g

Tactic:
ext x

Result:
case h
R : Type u_1
inst✝¹⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M₀ : Type u_6
M₀' : Type u_9
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₀
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₀'
inst✝¹² : Module R M₀
inst✝¹¹ : Module R M₀'
f₀ : M₀ →ₗ[R] M₀'
inst✝¹⁰ : IsLocalizedModule S f₀
M₁ : Type u_7
M₁' : Type u_11
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁷ : Module R M₁
inst✝⁶ : Module R M₁'
f₁ : M₁ →ₗ[R] M₁'
inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f₁
M₂ : Type u_8
M₂' : Type u_10
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂'
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₂'
f₂ : M₂ →ₗ[R] M₂'
inst✝ : IsLocalizedModule S f₂
g : M₀ →ₗ[R] M₁
h : M₁ →ₗ[R] M₂
x : M₀'
⊢ ((map S f₀ f₂) (h ∘ₗ g)) x = ((map S f₁ f₂) h ∘ₗ (map S f₀ f₁) g) x

Proof state:
case h
R : Type u_1
inst✝¹⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M₀ : Type u_6
M₀' : Type u_9
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₀
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₀'
inst✝¹² : Module R M₀
inst✝¹¹ : Module R M₀'
f₀ : M₀ →ₗ[R] M₀'
inst✝¹⁰ : IsLocalizedModule S f₀
M₁ : Type u_7
M₁' : Type u_11
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁷ : Module R M₁
inst✝⁶ : Module R M₁'
f₁ : M₁ →ₗ[R] M₁'
inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f₁
M₂ : Type u_8
M₂' : Type u_10
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂'
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₂'
f₂ : M₂ →ₗ[R] M₂'
inst✝ : IsLocalizedModule S f₂
g : M₀ →ₗ[R] M₁
h : M₁ →ₗ[R] M₂
x : M₀'
⊢ ((map S f₀ f₂) (h ∘ₗ g)) x = ((map S f₁ f₂) h ∘ₗ (map S f₀ f₁) g) x

Tactic:
obtain ⟨⟨x, s⟩, rfl⟩ := IsLocalizedModule.mk'_surjective S f₀ x

Result:
case h.intro.mk
R : Type u_1
inst✝¹⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M₀ : Type u_6
M₀' : Type u_9
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₀
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₀'
inst✝¹² : Module R M₀
inst✝¹¹ : Module R M₀'
f₀ : M₀ →ₗ[R] M₀'
inst✝¹⁰ : IsLocalizedModule S f₀
M₁ : Type u_7
M₁' : Type u_11
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁷ : Module R M₁
inst✝⁶ : Module R M₁'
f₁ : M₁ →ₗ[R] M₁'
inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f₁
M₂ : Type u_8
M₂' : Type u_10
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂'
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₂'
f₂ : M₂ →ₗ[R] M₂'
inst✝ : IsLocalizedModule S f₂
g : M₀ →ₗ[R] M₁
h : M₁ →ₗ[R] M₂
x : M₀
s : ↥S
⊢ ((map S f₀ f₂) (h ∘ₗ g)) (Function.uncurry (mk' f₀) (x, s)) =
    ((map S f₁ f₂) h ∘ₗ (map S f₀ f₁) g) (Function.uncurry (mk' f₀) (x, s))

Proof state:
case h.intro.mk
R : Type u_1
inst✝¹⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M₀ : Type u_6
M₀' : Type u_9
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M₀
inst✝¹³ : AddCommMonoid M₀'
inst✝¹² : Module R M₀
inst✝¹¹ : Module R M₀'
f₀ : M₀ →ₗ[R] M₀'
inst✝¹⁰ : IsLocalizedModule S f₀
M₁ : Type u_7
M₁' : Type u_11
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₁'
inst✝⁷ : Module R M₁
inst✝⁶ : Module R M₁'
f₁ : M₁ →ₗ[R] M₁'
inst✝⁵ : IsLocalizedModule S f₁
M₂ : Type u_8
M₂' : Type u_10
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₂'
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Module R M₂'
f₂ : M₂ →ₗ[R] M₂'
inst✝ : IsLocalizedModule S f₂
g : M₀ →ₗ[R] M₁
h : M₁ →ₗ[R] M₂
x : M₀
s : ↥S
⊢ ((map S f₀ f₂) (h ∘ₗ g)) (Function.uncurry (mk' f₀) (x, s)) =
    ((map S f₁ f₂) h ∘ₗ (map S f₀ f₁) g) (Function.uncurry (mk' f₀) (x, s))

Tactic:
simp

Result:
no goals