-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/HahnBanach/Separation.lean
theorem geometric_hahn_banach_compact_closed (hs₁ : Convex ℝ s) (hs₂ : IsCompact s)
    (ht₁ : Convex ℝ t) (ht₂ : IsClosed t) (disj : Disjoint s t) :
    ∃ (f : E →L[ℝ] ℝ) (u v : ℝ), (∀ a ∈ s, f a < u) ∧ u < v ∧ ∀ b ∈ t, v < f b

Proof state:
case inr.inl
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
s : Set E
inst✝² : IsTopologicalAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsCompact s
hs : s.Nonempty
ht₁ : Convex ℝ ∅
ht₂ : IsClosed ∅
disj : Disjoint s ∅
⊢ ∃ f u v, (∀ a ∈ s, f a < u) ∧ u < v ∧ ∀ b ∈ ∅, v < f b

Tactic:
exact ⟨0, 1, 2, fun a _ha => by norm_num, by norm_num, by simp⟩

Result:
no goals

Proof state:
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
s : Set E
inst✝² : IsTopologicalAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsCompact s
hs : s.Nonempty
ht₁ : Convex ℝ ∅
ht₂ : IsClosed ∅
disj : Disjoint s ∅
⊢ 1 < 2

Tactic:
norm_num

Result:
no goals

Proof state:
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
s t : Set E
inst✝² : IsTopologicalAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsCompact s
ht₁ : Convex ℝ t
ht₂ : IsClosed t
disj : Disjoint s t
hs : s.Nonempty
_ht : t.Nonempty
U V : Set E
hU : IsOpen U
hV : IsOpen V
hU₁ : Convex ℝ U
hV₁ : Convex ℝ V
sU : s ⊆ U
tV : t ⊆ V
disj' : Disjoint U V
f : E →L[ℝ] ℝ
u : ℝ
hf₁ : ∀ a ∈ U, f a < u
hf₂ : ∀ b ∈ V, u < f b
x : E
hx₁ : x ∈ s
hx₂ : IsMaxOn (⇑f) s x
this : f x < u
⊢ (f x + u) / 2 < u

Tactic:
linarith

Result:
no goals

Proof state:
case inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
s t : Set E
inst✝² : IsTopologicalAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsCompact s
ht₁ : Convex ℝ t
ht₂ : IsClosed t
disj : Disjoint s t
hs : s.Nonempty
_ht : t.Nonempty
U V : Set E
hU : IsOpen U
hV : IsOpen V
hU₁ : Convex ℝ U
hV₁ : Convex ℝ V
sU : s ⊆ U
tV : t ⊆ V
disj' : Disjoint U V
f : E →L[ℝ] ℝ
u : ℝ
hf₁ : ∀ a ∈ U, f a < u
hf₂ : ∀ b ∈ V, u < f b
x : E
hx₁ : x ∈ s
hx₂ : IsMaxOn (⇑f) s x
this : f x < u
⊢ ∃ f u v, (∀ a ∈ s, f a < u) ∧ u < v ∧ ∀ b ∈ t, v < f b

Tactic:
exact
  ⟨f, (f x + u) / 2, u,
    fun a ha => by have := hx₂ ha; dsimp at this; linarith,
    by linarith,
    fun b hb => hf₂ b (tV hb)⟩

Result:
no goals

Proof state:
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
s : Set E
inst✝² : IsTopologicalAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsCompact s
hs : s.Nonempty
ht₁ : Convex ℝ ∅
ht₂ : IsClosed ∅
disj : Disjoint s ∅
⊢ ∀ b ∈ ∅, 2 < 0 b

Tactic:
simp

Result:
no goals

Proof state:
case inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
s t : Set E
inst✝² : IsTopologicalAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsCompact s
ht₁ : Convex ℝ t
ht₂ : IsClosed t
disj : Disjoint s t
hs : s.Nonempty
_ht : t.Nonempty
U V : Set E
hU : IsOpen U
hV : IsOpen V
hU₁ : Convex ℝ U
hV₁ : Convex ℝ V
sU : s ⊆ U
tV : t ⊆ V
disj' : Disjoint U V
f : E →L[ℝ] ℝ
u : ℝ
hf₁ : ∀ a ∈ U, f a < u
hf₂ : ∀ b ∈ V, u < f b
⊢ ∃ f u v, (∀ a ∈ s, f a < u) ∧ u < v ∧ ∀ b ∈ t, v < f b

Tactic:
obtain ⟨x, hx₁, hx₂⟩ := hs₂.exists_isMaxOn hs f.continuous.continuousOn

Result:
case inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
s t : Set E
inst✝² : IsTopologicalAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsCompact s
ht₁ : Convex ℝ t
ht₂ : IsClosed t
disj : Disjoint s t
hs : s.Nonempty
_ht : t.Nonempty
U V : Set E
hU : IsOpen U
hV : IsOpen V
hU₁ : Convex ℝ U
hV₁ : Convex ℝ V
sU : s ⊆ U
tV : t ⊆ V
disj' : Disjoint U V
f : E →L[ℝ] ℝ
u : ℝ
hf₁ : ∀ a ∈ U, f a < u
hf₂ : ∀ b ∈ V, u < f b
x : E
hx₁ : x ∈ s
hx₂ : IsMaxOn (⇑f) s x
⊢ ∃ f u v, (∀ a ∈ s, f a < u) ∧ u < v ∧ ∀ b ∈ t, v < f b

Proof state:
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
t : Set E
inst✝² : IsTopologicalAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
ht₁ : Convex ℝ t
ht₂ : IsClosed t
hs₁ : Convex ℝ ∅
hs₂ : IsCompact ∅
disj : Disjoint ∅ t
⊢ ∀ a ∈ ∅, 0 a < -2

Tactic:
simp

Result:
no goals

Proof state:
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
s t : Set E
inst✝² : IsTopologicalAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsCompact s
ht₁ : Convex ℝ t
ht₂ : IsClosed t
disj : Disjoint s t
hs : s.Nonempty
_ht : t.Nonempty
U V : Set E
hU : IsOpen U
hV : IsOpen V
hU₁ : Convex ℝ U
hV₁ : Convex ℝ V
sU : s ⊆ U
tV : t ⊆ V
disj' : Disjoint U V
f : E →L[ℝ] ℝ
u : ℝ
hf₁ : ∀ a ∈ U, f a < u
hf₂ : ∀ b ∈ V, u < f b
x : E
hx₁ : x ∈ s
hx₂ : IsMaxOn (⇑f) s x
this✝ : f x < u
a : E
ha : a ∈ s
this : a ∈ {x_1 | (fun x_2 => f x_2 ≤ f x) x_1}
⊢ f a < (f x + u) / 2

Tactic:
dsimp at this

Result:
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
s t : Set E
inst✝² : IsTopologicalAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsCompact s
ht₁ : Convex ℝ t
ht₂ : IsClosed t
disj : Disjoint s t
hs : s.Nonempty
_ht : t.Nonempty
U V : Set E
hU : IsOpen U
hV : IsOpen V
hU₁ : Convex ℝ U
hV₁ : Convex ℝ V
sU : s ⊆ U
tV : t ⊆ V
disj' : Disjoint U V
f : E →L[ℝ] ℝ
u : ℝ
hf₁ : ∀ a ∈ U, f a < u
hf₂ : ∀ b ∈ V, u < f b
x : E
hx₁ : x ∈ s
hx₂ : IsMaxOn (⇑f) s x
this✝ : f x < u
a : E
ha : a ∈ s
this : f a ≤ f x
⊢ f a < (f x + u) / 2

Proof state:
case inl
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
t : Set E
inst✝² : IsTopologicalAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
ht₁ : Convex ℝ t
ht₂ : IsClosed t
hs₁ : Convex ℝ ∅
hs₂ : IsCompact ∅
disj : Disjoint ∅ t
⊢ ∃ f u v, (∀ a ∈ ∅, f a < u) ∧ u < v ∧ ∀ b ∈ t, v < f b

Tactic:
exact ⟨0, -2, -1, by simp, by norm_num, fun b _hb => by norm_num⟩

Result:
no goals

Proof state:
case inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
s t : Set E
inst✝² : IsTopologicalAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsCompact s
ht₁ : Convex ℝ t
ht₂ : IsClosed t
disj : Disjoint s t
hs : s.Nonempty
_ht : t.Nonempty
U V : Set E
hU : IsOpen U
hV : IsOpen V
hU₁ : Convex ℝ U
hV₁ : Convex ℝ V
sU : s ⊆ U
tV : t ⊆ V
disj' : Disjoint U V
f : E →L[ℝ] ℝ
u : ℝ
hf₁ : ∀ a ∈ U, f a < u
hf₂ : ∀ b ∈ V, u < f b
x : E
hx₁ : x ∈ s
hx₂ : IsMaxOn (⇑f) s x
⊢ ∃ f u v, (∀ a ∈ s, f a < u) ∧ u < v ∧ ∀ b ∈ t, v < f b

Tactic:
have : f x < u := hf₁ x (sU hx₁)

Result:
case inr.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
s t : Set E
inst✝² : IsTopologicalAddGroup E
inst✝¹ : ContinuousSMul ℝ E
inst✝ : LocallyConvexSpace ℝ E
hs₁ : Convex ℝ s
hs₂ : IsCompact s
ht₁ : Convex ℝ t
ht₂ : IsClosed t
disj : Disjoint s t
hs : s.Nonempty
_ht : t.Nonempty
U V : Set E
hU : IsOpen U
hV : IsOpen V
hU₁ : Convex ℝ U
hV₁ : Convex ℝ V
sU : s ⊆ U
tV : t ⊆ V
disj' : Disjoint U V
f : E →L[ℝ] ℝ
u : ℝ
hf₁ : ∀ a ∈ U, f a < u
hf₂ : ∀ b ∈ V, u < f b
x : E
hx₁ : x ∈ s
hx₂ : IsMaxOn (⇑f) s x
this : f x < u
⊢ ∃ f u v, (∀ a ∈ s, f a < u) ∧ u < v ∧ ∀ b ∈ t, v < f b