-- Mathlib/Algebra/Homology/BifunctorAssociator.lean
lemma d_eq (j j' : ι₄) [HasGoodTrifunctor₁₂Obj F₁₂ G K₁ K₂ K₃ c₁₂ c₄] :
    (mapBifunctor (mapBifunctor K₁ K₂ F₁₂ c₁₂) K₃ G c₄).d j j' =
      D₁ F₁₂ G K₁ K₂ K₃ c₁₂ c₄ j j' + D₂ F₁₂ G K₁ K₂ K₃ c₁₂ c₄ j j' +
        D₃ F₁₂ G K₁ K₂ K₃ c₁₂ c₄ j j'

Proof state:
case neg.h
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₁₂ : Type u_3
C₃ : Type u_5
C₄ : Type u_6
inst✝²⁰ : Category.{u_13, u_1} C₁
inst✝¹⁹ : Category.{u_14, u_2} C₂
inst✝¹⁸ : Category.{u_15, u_5} C₃
inst✝¹⁷ : Category.{u_16, u_6} C₄
inst✝¹⁶ : Category.{u_17, u_3} C₁₂
inst✝¹⁵ : HasZeroMorphisms C₁
inst✝¹⁴ : HasZeroMorphisms C₂
inst✝¹³ : HasZeroMorphisms C₃
inst✝¹² : Preadditive C₁₂
inst✝¹¹ : Preadditive C₄
F₁₂ : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₁₂
G : C₁₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
inst✝¹⁰ : F₁₂.PreservesZeroMorphisms
inst✝⁹ : ∀ (X₁ : C₁), (F₁₂.obj X₁).PreservesZeroMorphisms
inst✝⁸ : G.Additive
inst✝⁷ : ∀ (X₁₂ : C₁₂), (G.obj X₁₂).PreservesZeroMorphisms
ι₁ : Type u_7
ι₂ : Type u_8
ι₃ : Type u_9
ι₁₂ : Type u_10
ι₄ : Type u_12
inst✝⁶ : DecidableEq ι₄
c₁ : ComplexShape ι₁
c₂ : ComplexShape ι₂
c₃ : ComplexShape ι₃
K₁ : HomologicalComplex C₁ c₁
K₂ : HomologicalComplex C₂ c₂
K₃ : HomologicalComplex C₃ c₃
c₁₂ : ComplexShape ι₁₂
c₄ : ComplexShape ι₄
inst✝⁵ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝⁴ : TotalComplexShape c₁₂ c₃ c₄
inst✝³ : K₁.HasMapBifunctor K₂ F₁₂ c₁₂
inst✝² : DecidableEq ι₁₂
inst✝¹ : (K₁.mapBifunctor K₂ F₁₂ c₁₂).HasMapBifunctor K₃ G c₄
j j' : ι₄
inst✝ : HasGoodTrifunctor₁₂Obj F₁₂ G K₁ K₂ K₃ c₁₂ c₄
i₁ : ι₁
i₂ : ι₂
i₃ : ι₃
h : c₁.r c₂ c₃ c₁₂ c₄ (i₁, i₂, i₃) = j
i₁₂ : ι₁₂ := c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂)
h₁ : ¬c₁₂.Rel i₁₂ (c₁₂.next i₁₂)
h₂ : c₁.Rel i₁ (c₁.next i₁)
this : c₁₂.Rel (c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂)) (c₁.π c₂ c₁₂ (c₁.next i₁, i₂))
⊢ c₁₂.Rel i₁₂ (c₁₂.next i₁₂)

Tactic:
rw [c₁₂.next_eq' this]

Result:
case neg.h
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₁₂ : Type u_3
C₃ : Type u_5
C₄ : Type u_6
inst✝²⁰ : Category.{u_13, u_1} C₁
inst✝¹⁹ : Category.{u_14, u_2} C₂
inst✝¹⁸ : Category.{u_15, u_5} C₃
inst✝¹⁷ : Category.{u_16, u_6} C₄
inst✝¹⁶ : Category.{u_17, u_3} C₁₂
inst✝¹⁵ : HasZeroMorphisms C₁
inst✝¹⁴ : HasZeroMorphisms C₂
inst✝¹³ : HasZeroMorphisms C₃
inst✝¹² : Preadditive C₁₂
inst✝¹¹ : Preadditive C₄
F₁₂ : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₁₂
G : C₁₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
inst✝¹⁰ : F₁₂.PreservesZeroMorphisms
inst✝⁹ : ∀ (X₁ : C₁), (F₁₂.obj X₁).PreservesZeroMorphisms
inst✝⁸ : G.Additive
inst✝⁷ : ∀ (X₁₂ : C₁₂), (G.obj X₁₂).PreservesZeroMorphisms
ι₁ : Type u_7
ι₂ : Type u_8
ι₃ : Type u_9
ι₁₂ : Type u_10
ι₄ : Type u_12
inst✝⁶ : DecidableEq ι₄
c₁ : ComplexShape ι₁
c₂ : ComplexShape ι₂
c₃ : ComplexShape ι₃
K₁ : HomologicalComplex C₁ c₁
K₂ : HomologicalComplex C₂ c₂
K₃ : HomologicalComplex C₃ c₃
c₁₂ : ComplexShape ι₁₂
c₄ : ComplexShape ι₄
inst✝⁵ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝⁴ : TotalComplexShape c₁₂ c₃ c₄
inst✝³ : K₁.HasMapBifunctor K₂ F₁₂ c₁₂
inst✝² : DecidableEq ι₁₂
inst✝¹ : (K₁.mapBifunctor K₂ F₁₂ c₁₂).HasMapBifunctor K₃ G c₄
j j' : ι₄
inst✝ : HasGoodTrifunctor₁₂Obj F₁₂ G K₁ K₂ K₃ c₁₂ c₄
i₁ : ι₁
i₂ : ι₂
i₃ : ι₃
h : c₁.r c₂ c₃ c₁₂ c₄ (i₁, i₂, i₃) = j
i₁₂ : ι₁₂ := c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂)
h₁ : ¬c₁₂.Rel i₁₂ (c₁₂.next i₁₂)
h₂ : c₁.Rel i₁ (c₁.next i₁)
this : c₁₂.Rel (c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂)) (c₁.π c₂ c₁₂ (c₁.next i₁, i₂))
⊢ c₁₂.Rel i₁₂ (c₁.π c₂ c₁₂ (c₁.next i₁, i₂))

Proof state:
case pos
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₁₂ : Type u_3
C₃ : Type u_5
C₄ : Type u_6
inst✝²⁰ : Category.{u_13, u_1} C₁
inst✝¹⁹ : Category.{u_14, u_2} C₂
inst✝¹⁸ : Category.{u_15, u_5} C₃
inst✝¹⁷ : Category.{u_16, u_6} C₄
inst✝¹⁶ : Category.{u_17, u_3} C₁₂
inst✝¹⁵ : HasZeroMorphisms C₁
inst✝¹⁴ : HasZeroMorphisms C₂
inst✝¹³ : HasZeroMorphisms C₃
inst✝¹² : Preadditive C₁₂
inst✝¹¹ : Preadditive C₄
F₁₂ : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₁₂
G : C₁₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
inst✝¹⁰ : F₁₂.PreservesZeroMorphisms
inst✝⁹ : ∀ (X₁ : C₁), (F₁₂.obj X₁).PreservesZeroMorphisms
inst✝⁸ : G.Additive
inst✝⁷ : ∀ (X₁₂ : C₁₂), (G.obj X₁₂).PreservesZeroMorphisms
ι₁ : Type u_7
ι₂ : Type u_8
ι₃ : Type u_9
ι₁₂ : Type u_10
ι₄ : Type u_12
inst✝⁶ : DecidableEq ι₄
c₁ : ComplexShape ι₁
c₂ : ComplexShape ι₂
c₃ : ComplexShape ι₃
K₁ : HomologicalComplex C₁ c₁
K₂ : HomologicalComplex C₂ c₂
K₃ : HomologicalComplex C₃ c₃
c₁₂ : ComplexShape ι₁₂
c₄ : ComplexShape ι₄
inst✝⁵ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝⁴ : TotalComplexShape c₁₂ c₃ c₄
inst✝³ : K₁.HasMapBifunctor K₂ F₁₂ c₁₂
inst✝² : DecidableEq ι₁₂
inst✝¹ : (K₁.mapBifunctor K₂ F₁₂ c₁₂).HasMapBifunctor K₃ G c₄
j j' : ι₄
inst✝ : HasGoodTrifunctor₁₂Obj F₁₂ G K₁ K₂ K₃ c₁₂ c₄
i₁ : ι₁
i₂ : ι₂
i₃ : ι₃
h : c₁.r c₂ c₃ c₁₂ c₄ (i₁, i₂, i₃) = j
i₁₂ : ι₁₂ := c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂)
h₁ : c₁₂.Rel i₁₂ (c₁₂.next i₁₂)
h₂ : c₁₂.π c₃ c₄ (c₁₂.next i₁₂, i₃) = j'
⊢ (G.map (K₁.ιMapBifunctor K₂ F₁₂ c₁₂ i₁ i₂ (c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂)) ⋯)).app (K₃.X i₃) ≫
      mapBifunctor.d₁ (K₁.mapBifunctor K₂ F₁₂ c₁₂) K₃ G c₄ (c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂)) i₃ j' =
    d₁ F₁₂ G K₁ K₂ K₃ c₁₂ c₄ i₁ i₂ i₃ j' + d₂ F₁₂ G K₁ K₂ K₃ c₁₂ c₄ i₁ i₂ i₃ j'

Tactic:
rw [mapBifunctor.d₁_eq _ _ _ _ h₁ _ _ h₂]

Result:
case pos
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₁₂ : Type u_3
C₃ : Type u_5
C₄ : Type u_6
inst✝²⁰ : Category.{u_13, u_1} C₁
inst✝¹⁹ : Category.{u_14, u_2} C₂
inst✝¹⁸ : Category.{u_15, u_5} C₃
inst✝¹⁷ : Category.{u_16, u_6} C₄
inst✝¹⁶ : Category.{u_17, u_3} C₁₂
inst✝¹⁵ : HasZeroMorphisms C₁
inst✝¹⁴ : HasZeroMorphisms C₂
inst✝¹³ : HasZeroMorphisms C₃
inst✝¹² : Preadditive C₁₂
inst✝¹¹ : Preadditive C₄
F₁₂ : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₁₂
G : C₁₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
inst✝¹⁰ : F₁₂.PreservesZeroMorphisms
inst✝⁹ : ∀ (X₁ : C₁), (F₁₂.obj X₁).PreservesZeroMorphisms
inst✝⁸ : G.Additive
inst✝⁷ : ∀ (X₁₂ : C₁₂), (G.obj X₁₂).PreservesZeroMorphisms
ι₁ : Type u_7
ι₂ : Type u_8
ι₃ : Type u_9
ι₁₂ : Type u_10
ι₄ : Type u_12
inst✝⁶ : DecidableEq ι₄
c₁ : ComplexShape ι₁
c₂ : ComplexShape ι₂
c₃ : ComplexShape ι₃
K₁ : HomologicalComplex C₁ c₁
K₂ : HomologicalComplex C₂ c₂
K₃ : HomologicalComplex C₃ c₃
c₁₂ : ComplexShape ι₁₂
c₄ : ComplexShape ι₄
inst✝⁵ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝⁴ : TotalComplexShape c₁₂ c₃ c₄
inst✝³ : K₁.HasMapBifunctor K₂ F₁₂ c₁₂
inst✝² : DecidableEq ι₁₂
inst✝¹ : (K₁.mapBifunctor K₂ F₁₂ c₁₂).HasMapBifunctor K₃ G c₄
j j' : ι₄
inst✝ : HasGoodTrifunctor₁₂Obj F₁₂ G K₁ K₂ K₃ c₁₂ c₄
i₁ : ι₁
i₂ : ι₂
i₃ : ι₃
h : c₁.r c₂ c₃ c₁₂ c₄ (i₁, i₂, i₃) = j
i₁₂ : ι₁₂ := c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂)
h₁ : c₁₂.Rel i₁₂ (c₁₂.next i₁₂)
h₂ : c₁₂.π c₃ c₄ (c₁₂.next i₁₂, i₃) = j'
⊢ (G.map (K₁.ιMapBifunctor K₂ F₁₂ c₁₂ i₁ i₂ (c₁.π c₂ c₁₂ (i₁, i₂)) ⋯)).app (K₃.X i₃) ≫
      (c₁₂.ε₁ c₃ c₄ (i₁₂, i₃) •
        (G.map ((K₁.mapBifunctor K₂ F₁₂ c₁₂).d i₁₂ (c₁₂.next i₁₂))).app (K₃.X i₃) ≫
          (K₁.mapBifunctor K₂ F₁₂ c₁₂).ιMapBifunctor K₃ G c₄ (c₁₂.next i₁₂) i₃ j' h₂) =
    d₁ F₁₂ G K₁ K₂ K₃ c₁₂ c₄ i₁ i₂ i₃ j' + d₂ F₁₂ G K₁ K₂ K₃ c₁₂ c₄ i₁ i₂ i₃ j'