-- Mathlib/Analysis/InnerProductSpace/Rayleigh.lean
theorem hasEigenvector_of_isMaxOn (hT : IsSelfAdjoint T) {x₀ : E} (hx₀ : x₀ ≠ 0)
    (hextr : IsMaxOn T.reApplyInnerSelf (sphere (0 : E) ‖x₀‖) x₀) :
    HasEigenvector (T : E →ₗ[𝕜] E) (↑(⨆ x : { x : E // x ≠ 0 }, T.rayleighQuotient x)) x₀

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
T : E →L[𝕜] E
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : E
hx₀ : x₀ ≠ 0
hextr : IsMaxOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
⊢ HasEigenvector (↑T) (↑(⨆ x, T.rayleighQuotient ↑x)) x₀

Tactic:
convert hT.hasEigenvector_of_isLocalExtrOn hx₀ (Or.inr hextr.localize)

Result:
case h.e'_7.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
T : E →L[𝕜] E
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : E
hx₀ : x₀ ≠ 0
hextr : IsMaxOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
⊢ ⨆ x, T.rayleighQuotient ↑x = T.rayleighQuotient x₀

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
T : E →L[𝕜] E
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : E
hx₀ : x₀ ≠ 0
hextr : IsMaxOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
hx₀' : 0 < ‖x₀‖
⊢ x₀ ∈ sphere 0 ‖x₀‖

Tactic:
simp

Result:
no goals

Proof state:
case h.e'_7.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
T : E →L[𝕜] E
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : E
hx₀ : x₀ ≠ 0
hextr : IsMaxOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
hx₀' : 0 < ‖x₀‖
hx₀'' : x₀ ∈ sphere 0 ‖x₀‖
x : E
hx : x ∈ sphere 0 ‖x₀‖
this : ‖x‖ = ‖x₀‖
⊢ T.reApplyInnerSelf x / ‖x₀‖ ^ 2 ≤ T.reApplyInnerSelf x₀ / ‖x₀‖ ^ 2

Tactic:
gcongr

Result:
case h.e'_7.h.e'_3.hab
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
T : E →L[𝕜] E
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : E
hx₀ : x₀ ≠ 0
hextr : IsMaxOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
hx₀' : 0 < ‖x₀‖
hx₀'' : x₀ ∈ sphere 0 ‖x₀‖
x : E
hx : x ∈ sphere 0 ‖x₀‖
this : ‖x‖ = ‖x₀‖
⊢ T.reApplyInnerSelf x ≤ T.reApplyInnerSelf x₀

Proof state:
case h.e'_7.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
T : E →L[𝕜] E
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : E
hx₀ : x₀ ≠ 0
hextr : IsMaxOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
hx₀' : 0 < ‖x₀‖
hx₀'' : x₀ ∈ sphere 0 ‖x₀‖
⊢ ⨆ x, T.rayleighQuotient ↑x = T.rayleighQuotient x₀

Tactic:
refine IsMaxOn.iSup_eq hx₀'' ?_

Result:
case h.e'_7.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
T : E →L[𝕜] E
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : E
hx₀ : x₀ ≠ 0
hextr : IsMaxOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
hx₀' : 0 < ‖x₀‖
hx₀'' : x₀ ∈ sphere 0 ‖x₀‖
⊢ IsMaxOn T.rayleighQuotient (sphere 0 ‖x₀‖) x₀

Proof state:
case h.e'_7.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
T : E →L[𝕜] E
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : E
hx₀ : x₀ ≠ 0
hextr : IsMaxOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
hx₀' : 0 < ‖x₀‖
hx₀'' : x₀ ∈ sphere 0 ‖x₀‖
⊢ IsMaxOn T.rayleighQuotient (sphere 0 ‖x₀‖) x₀

Tactic:
intro x hx

Result:
case h.e'_7.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
T : E →L[𝕜] E
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : E
hx₀ : x₀ ≠ 0
hextr : IsMaxOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
hx₀' : 0 < ‖x₀‖
hx₀'' : x₀ ∈ sphere 0 ‖x₀‖
x : E
hx : x ∈ sphere 0 ‖x₀‖
⊢ x ∈ {x | (fun x => T.rayleighQuotient x ≤ T.rayleighQuotient x₀) x}

Proof state:
case h.e'_7.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
T : E →L[𝕜] E
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : E
hx₀ : x₀ ≠ 0
hextr : IsMaxOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
hx₀' : 0 < ‖x₀‖
hx₀'' : x₀ ∈ sphere 0 ‖x₀‖
x : E
hx : x ∈ sphere 0 ‖x₀‖
⊢ x ∈ {x | (fun x => T.rayleighQuotient x ≤ T.rayleighQuotient x₀) x}

Tactic:
dsimp

Result:
case h.e'_7.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
T : E →L[𝕜] E
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : E
hx₀ : x₀ ≠ 0
hextr : IsMaxOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
hx₀' : 0 < ‖x₀‖
hx₀'' : x₀ ∈ sphere 0 ‖x₀‖
x : E
hx : x ∈ sphere 0 ‖x₀‖
⊢ T.rayleighQuotient x ≤ T.rayleighQuotient x₀

Proof state:
case h.e'_7.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
T : E →L[𝕜] E
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : E
hx₀ : x₀ ≠ 0
hextr : IsMaxOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
⊢ ⨆ x, T.rayleighQuotient ↑x = T.rayleighQuotient x₀

Tactic:
have hx₀' : 0 < ‖x₀‖ := by simp [hx₀]

Result:
case h.e'_7.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
T : E →L[𝕜] E
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : E
hx₀ : x₀ ≠ 0
hextr : IsMaxOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
hx₀' : 0 < ‖x₀‖
⊢ ⨆ x, T.rayleighQuotient ↑x = T.rayleighQuotient x₀

Proof state:
case h.e'_7.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
T : E →L[𝕜] E
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : E
hx₀ : x₀ ≠ 0
hextr : IsMaxOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
hx₀' : 0 < ‖x₀‖
⊢ ⨆ x, T.rayleighQuotient ↑x = T.rayleighQuotient x₀

Tactic:
have hx₀'' : x₀ ∈ sphere (0 : E) ‖x₀‖ := by simp

Result:
case h.e'_7.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
T : E →L[𝕜] E
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : E
hx₀ : x₀ ≠ 0
hextr : IsMaxOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
hx₀' : 0 < ‖x₀‖
hx₀'' : x₀ ∈ sphere 0 ‖x₀‖
⊢ ⨆ x, T.rayleighQuotient ↑x = T.rayleighQuotient x₀

Proof state:
case h.e'_7.h.e'_3.hab
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
T : E →L[𝕜] E
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : E
hx₀ : x₀ ≠ 0
hextr : IsMaxOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
hx₀' : 0 < ‖x₀‖
hx₀'' : x₀ ∈ sphere 0 ‖x₀‖
x : E
hx : x ∈ sphere 0 ‖x₀‖
this : ‖x‖ = ‖x₀‖
⊢ T.reApplyInnerSelf x ≤ T.reApplyInnerSelf x₀

Tactic:
exact hextr hx

Result:
no goals

Proof state:
case h.e'_7.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
T : E →L[𝕜] E
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : E
hx₀ : x₀ ≠ 0
hextr : IsMaxOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
hx₀' : 0 < ‖x₀‖
hx₀'' : x₀ ∈ sphere 0 ‖x₀‖
x : E
hx : x ∈ sphere 0 ‖x₀‖
this : ‖x‖ = ‖x₀‖
⊢ T.rayleighQuotient x ≤ T.rayleighQuotient x₀

Tactic:
simp only [ContinuousLinearMap.rayleighQuotient]

Result:
case h.e'_7.h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : CompleteSpace E
T : E →L[𝕜] E
hT : IsSelfAdjoint T
x₀ : E
hx₀ : x₀ ≠ 0
hextr : IsMaxOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
hx₀' : 0 < ‖x₀‖
hx₀'' : x₀ ∈ sphere 0 ‖x₀‖
x : E
hx : x ∈ sphere 0 ‖x₀‖
this : ‖x‖ = ‖x₀‖
⊢ T.reApplyInnerSelf x / ‖x‖ ^ 2 ≤ T.reApplyInnerSelf x₀ / ‖x₀‖ ^ 2