-- Mathlib/Analysis/Analytic/ChangeOrigin.lean
theorem changeOrigin_eval (h : (‖x‖₊ + ‖y‖₊ : ℝ≥0∞) < p.radius) :
    (p.changeOrigin x).sum y = p.sum (x + y)

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
h : ↑‖x‖₊ + ↑‖y‖₊ < p.radius
radius_pos : 0 < p.radius
x_mem_ball : x ∈ EMetric.ball 0 p.radius
y_mem_ball : y ∈ EMetric.ball 0 (p.changeOrigin x).radius
x_add_y_mem_ball : x + y ∈ EMetric.ball 0 p.radius
f : (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s // s.card = l } → F :=
  fun s => ((p.changeOriginSeriesTerm s.fst s.snd.fst ↑s.snd.snd ⋯) fun x_1 => x) fun x => y
⊢ ∀ (i : (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s // s.card = l }), ‖f i‖₊ ≤ ‖p (i.fst + i.snd.fst)‖₊ * ‖x‖₊ ^ i.snd.fst * ‖y‖₊ ^ i.fst

Tactic:
rintro ⟨k, l, s, hs⟩

Result:
case mk.mk.mk
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
h : ↑‖x‖₊ + ↑‖y‖₊ < p.radius
radius_pos : 0 < p.radius
x_mem_ball : x ∈ EMetric.ball 0 p.radius
y_mem_ball : y ∈ EMetric.ball 0 (p.changeOrigin x).radius
x_add_y_mem_ball : x + y ∈ EMetric.ball 0 p.radius
f : (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s // s.card = l } → F :=
  fun s => ((p.changeOriginSeriesTerm s.fst s.snd.fst ↑s.snd.snd ⋯) fun x_1 => x) fun x => y
k l : ℕ
s : Finset (Fin (k + l))
hs : s.card = l
⊢ ‖f ⟨k, ⟨l, ⟨s, hs⟩⟩⟩‖₊ ≤
    ‖p (⟨k, ⟨l, ⟨s, hs⟩⟩⟩.fst + ⟨k, ⟨l, ⟨s, hs⟩⟩⟩.snd.fst)‖₊ * ‖x‖₊ ^ ⟨k, ⟨l, ⟨s, hs⟩⟩⟩.snd.fst *
      ‖y‖₊ ^ ⟨k, ⟨l, ⟨s, hs⟩⟩⟩.fst

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
h : ↑‖x‖₊ + ↑‖y‖₊ < p.radius
radius_pos : 0 < p.radius
x_mem_ball : x ∈ EMetric.ball 0 p.radius
y_mem_ball : y ∈ EMetric.ball 0 (p.changeOrigin x).radius
x_add_y_mem_ball : x + y ∈ EMetric.ball 0 p.radius
f : (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s // s.card = l } → F :=
  fun s => ((p.changeOriginSeriesTerm s.fst s.snd.fst ↑s.snd.snd ⋯) fun x_1 => x) fun x => y
⊢ Summable f

Tactic:
refine .of_nnnorm_bounded _ (p.changeOriginSeries_summable_aux₁ h) ?_

Result:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
h : ↑‖x‖₊ + ↑‖y‖₊ < p.radius
radius_pos : 0 < p.radius
x_mem_ball : x ∈ EMetric.ball 0 p.radius
y_mem_ball : y ∈ EMetric.ball 0 (p.changeOrigin x).radius
x_add_y_mem_ball : x + y ∈ EMetric.ball 0 p.radius
f : (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s // s.card = l } → F :=
  fun s => ((p.changeOriginSeriesTerm s.fst s.snd.fst ↑s.snd.snd ⋯) fun x_1 => x) fun x => y
⊢ ∀ (i : (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s // s.card = l }), ‖f i‖₊ ≤ ‖p (i.fst + i.snd.fst)‖₊ * ‖x‖₊ ^ i.snd.fst * ‖y‖₊ ^ i.fst

Proof state:
case refine_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
h : ↑‖x‖₊ + ↑‖y‖₊ < p.radius
radius_pos : 0 < p.radius
x_mem_ball : x ∈ EMetric.ball 0 p.radius
y_mem_ball : y ∈ EMetric.ball 0 (p.changeOrigin x).radius
x_add_y_mem_ball : x + y ∈ EMetric.ball 0 p.radius
f : (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s // s.card = l } → F :=
  fun s => ((p.changeOriginSeriesTerm s.fst s.snd.fst ↑s.snd.snd ⋯) fun x_1 => x) fun x => y
hsf : Summable f
k : ℕ
this : HasSum (fun n => (p.changeOriginSeries k n) fun x_1 => x) (p.changeOrigin x k)
⊢ Summable fun c => (p.changeOriginSeriesTerm k c.fst ↑c.snd ⋯) fun x_1 => x

Tactic:
refine .of_nnnorm_bounded _
  (p.changeOriginSeries_summable_aux₂ (mem_emetric_ball_zero_iff.1 x_mem_ball) k)
    fun s => ?_

Result:
case refine_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
h : ↑‖x‖₊ + ↑‖y‖₊ < p.radius
radius_pos : 0 < p.radius
x_mem_ball : x ∈ EMetric.ball 0 p.radius
y_mem_ball : y ∈ EMetric.ball 0 (p.changeOrigin x).radius
x_add_y_mem_ball : x + y ∈ EMetric.ball 0 p.radius
f : (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s // s.card = l } → F :=
  fun s => ((p.changeOriginSeriesTerm s.fst s.snd.fst ↑s.snd.snd ⋯) fun x_1 => x) fun x => y
hsf : Summable f
k : ℕ
this : HasSum (fun n => (p.changeOriginSeries k n) fun x_1 => x) (p.changeOrigin x k)
s : (b : ℕ) × { s // s.card = b }
⊢ ‖(p.changeOriginSeriesTerm k s.fst ↑s.snd ⋯) fun x_1 => x‖₊ ≤ ‖p (k + s.fst)‖₊ * ‖x‖₊ ^ s.fst

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
h : ↑‖x‖₊ + ↑‖y‖₊ < p.radius
radius_pos : 0 < p.radius
x_mem_ball : x ∈ EMetric.ball 0 p.radius
y_mem_ball : y ∈ EMetric.ball 0 (p.changeOrigin x).radius
x_add_y_mem_ball : x + y ∈ EMetric.ball 0 p.radius
f : (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s // s.card = l } → F :=
  fun s => ((p.changeOriginSeriesTerm s.fst s.snd.fst ↑s.snd.snd ⋯) fun x_1 => x) fun x => y
hsf : Summable f
hf : HasSum f ((p.changeOrigin x).sum y)
⊢ (p.changeOrigin x).sum y = p.sum (x + y)

Tactic:
refine hf.unique (changeOriginIndexEquiv.symm.hasSum_iff.1 ?_)

Result:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
h : ↑‖x‖₊ + ↑‖y‖₊ < p.radius
radius_pos : 0 < p.radius
x_mem_ball : x ∈ EMetric.ball 0 p.radius
y_mem_ball : y ∈ EMetric.ball 0 (p.changeOrigin x).radius
x_add_y_mem_ball : x + y ∈ EMetric.ball 0 p.radius
f : (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s // s.card = l } → F :=
  fun s => ((p.changeOriginSeriesTerm s.fst s.snd.fst ↑s.snd.snd ⋯) fun x_1 => x) fun x => y
hsf : Summable f
hf : HasSum f ((p.changeOrigin x).sum y)
⊢ HasSum (f ∘ ⇑changeOriginIndexEquiv.symm) (p.sum (x + y))

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
h : ↑‖x‖₊ + ↑‖y‖₊ < p.radius
radius_pos : 0 < p.radius
x_mem_ball : x ∈ EMetric.ball 0 p.radius
y_mem_ball : y ∈ EMetric.ball 0 (p.changeOrigin x).radius
⊢ ‖x + y‖ₑ ≤ ↑‖x‖₊ + ↑‖y‖₊

Tactic:
exact mod_cast nnnorm_add_le x y

Result:
no goals