-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Defs.lean
theorem contDiffOn_succ_iff_hasFDerivWithinAt (hn : n ≠ ∞) :
    ContDiffOn 𝕜 (n + 1) f s ↔
      ∀ x ∈ s, ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x, (n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u) ∧ ∃ f' : E → E →L[𝕜] F,
        (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 n f' u

Proof state:
case mp.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : WithTop ℕ∞
hn : n ≠ ∞
h : ContDiffOn 𝕜 (n + 1) f s
x : E
hx : x ∈ s
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[s] x
f_an : n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u
f' : E → E →L[𝕜] F
hf' : ∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
Hf' : ContDiffWithinAt 𝕜 n f' u x
v : Set E
vu : v ∈ 𝓝[insert x u] x
v'u : v ⊆ insert x u
hv : ContDiffOn 𝕜 n f' v
xu : x ∈ u
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[s] x, (n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u) ∧ ∃ f', (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 n f' u

Tactic:
rw [insert_eq_of_mem xu] at vu v'u

Result:
case mp.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : WithTop ℕ∞
hn : n ≠ ∞
h : ContDiffOn 𝕜 (n + 1) f s
x : E
hx : x ∈ s
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[s] x
f_an : n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u
f' : E → E →L[𝕜] F
hf' : ∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
Hf' : ContDiffWithinAt 𝕜 n f' u x
v : Set E
vu : v ∈ 𝓝[u] x
v'u : v ⊆ u
hv : ContDiffOn 𝕜 n f' v
xu : x ∈ u
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[s] x, (n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u) ∧ ∃ f', (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 n f' u

Proof state:
case mpr
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : WithTop ℕ∞
hn : n ≠ ∞
h :
  ∀ x ∈ s,
    ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x,
      (n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u) ∧ ∃ f', (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 n f' u
x : E
hx : x ∈ s
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 (n + 1) f s x

Tactic:
rw [contDiffWithinAt_succ_iff_hasFDerivWithinAt hn]

Result:
case mpr
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : WithTop ℕ∞
hn : n ≠ ∞
h :
  ∀ x ∈ s,
    ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x,
      (n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u) ∧ ∃ f', (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 n f' u
x : E
hx : x ∈ s
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x,
    (n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u) ∧ ∃ f', (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n f' u x

Proof state:
case mpr
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : WithTop ℕ∞
hn : n ≠ ∞
h :
  ∀ x ∈ s,
    ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x,
      (n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u) ∧ ∃ f', (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 n f' u
x : E
hx : x ∈ s
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x,
    (n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u) ∧ ∃ f', (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n f' u x

Tactic:
rcases h x hx with ⟨u, u_nhbd, f_an, f', hu, hf'⟩

Result:
case mpr.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : WithTop ℕ∞
hn : n ≠ ∞
h :
  ∀ x ∈ s,
    ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x,
      (n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u) ∧ ∃ f', (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 n f' u
x : E
hx : x ∈ s
u : Set E
u_nhbd : u ∈ 𝓝[insert x s] x
f_an : n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u
f' : E → E →L[𝕜] F
hu : ∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
hf' : ContDiffOn 𝕜 n f' u
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x,
    (n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u) ∧ ∃ f', (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 n f' u x

Proof state:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : WithTop ℕ∞
hn : n ≠ ∞
⊢ ContDiffOn 𝕜 (n + 1) f s ↔
    ∀ x ∈ s,
      ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x,
        (n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u) ∧ ∃ f', (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 n f' u

Tactic:
constructor

Result:
case mp
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : WithTop ℕ∞
hn : n ≠ ∞
⊢ ContDiffOn 𝕜 (n + 1) f s →
    ∀ x ∈ s,
      ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x,
        (n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u) ∧ ∃ f', (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 n f' u

case mpr
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : WithTop ℕ∞
hn : n ≠ ∞
⊢ (∀ x ∈ s,
      ∃ u ∈ 𝓝[insert x s] x,
        (n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u) ∧ ∃ f', (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 n f' u) →
    ContDiffOn 𝕜 (n + 1) f s

Proof state:
case mp.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : WithTop ℕ∞
hn : n ≠ ∞
h : ContDiffOn 𝕜 (n + 1) f s
x : E
hx : x ∈ s
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[s] x
f_an : n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u
f' : E → E →L[𝕜] F
hf' : ∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
Hf' : ContDiffWithinAt 𝕜 n f' u x
v : Set E
vu : v ∈ 𝓝[insert x u] x
v'u : v ⊆ insert x u
hv : ContDiffOn 𝕜 n f' v
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[s] x, (n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u) ∧ ∃ f', (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 n f' u

Tactic:
have xu : x ∈ u := mem_of_mem_nhdsWithin hx hu

Result:
case mp.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : WithTop ℕ∞
hn : n ≠ ∞
h : ContDiffOn 𝕜 (n + 1) f s
x : E
hx : x ∈ s
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[s] x
f_an : n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u
f' : E → E →L[𝕜] F
hf' : ∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
Hf' : ContDiffWithinAt 𝕜 n f' u x
v : Set E
vu : v ∈ 𝓝[insert x u] x
v'u : v ⊆ insert x u
hv : ContDiffOn 𝕜 n f' v
xu : x ∈ u
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[s] x, (n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u) ∧ ∃ f', (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 n f' u

Proof state:
case mp.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
n : WithTop ℕ∞
hn : n ≠ ∞
h : ContDiffOn 𝕜 (n + 1) f s
x : E
hx : x ∈ s
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[s] x
f_an : n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u
f' : E → E →L[𝕜] F
hf' : ∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x
Hf' : ContDiffWithinAt 𝕜 n f' u x
v : Set E
vu : v ∈ 𝓝[u] x
v'u : v ⊆ u
hv : ContDiffOn 𝕜 n f' v
xu : x ∈ u
⊢ ∃ u ∈ 𝓝[s] x, (n = ω → AnalyticOn 𝕜 f u) ∧ ∃ f', (∀ x ∈ u, HasFDerivWithinAt f (f' x) u x) ∧ ContDiffOn 𝕜 n f' u

Tactic:
exact ⟨v, nhdsWithin_le_of_mem hu vu, fun h ↦ (f_an h).mono v'u, f',
  fun y hy ↦ (hf' y (v'u hy)).mono v'u, hv⟩

Result:
no goals