-- Mathlib/NumberTheory/SumFourSquares.lean
theorem sum_four_squares_of_two_mul_sum_four_squares {m a b c d : ℤ}
    (h : a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = 2 * m) :
    ∃ w x y z : ℤ, w ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = m

Proof state:
m a b c d : ℤ
h : a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = 2 * m
⊢ ∃ w x y z, w ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = m

Tactic:
have : ∀ f : Fin 4 → ZMod 2, f 0 ^ 2 + f 1 ^ 2 + f 2 ^ 2 + f 3 ^ 2 = 0 → ∃ i : Fin 4,
    f i ^ 2 + f (swap i 0 1) ^ 2 = 0 ∧ f (swap i 0 2) ^ 2 + f (swap i 0 3) ^ 2 = 0 := by
  decide

Result:
m a b c d : ℤ
h : a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = 2 * m
this :
  ∀ (f : Fin 4 → ZMod 2),
    f 0 ^ 2 + f 1 ^ 2 + f 2 ^ 2 + f 3 ^ 2 = 0 →
      ∃ i, f i ^ 2 + f ((swap i 0) 1) ^ 2 = 0 ∧ f ((swap i 0) 2) ^ 2 + f ((swap i 0) 3) ^ 2 = 0
⊢ ∃ w x y z, w ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = m

Proof state:
m a b c d : ℤ
h : a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = 2 * m
⊢ ∀ (f : Fin 4 → ZMod 2),
    f 0 ^ 2 + f 1 ^ 2 + f 2 ^ 2 + f 3 ^ 2 = 0 →
      ∃ i, f i ^ 2 + f ((swap i 0) 1) ^ 2 = 0 ∧ f ((swap i 0) 2) ^ 2 + f ((swap i 0) 3) ^ 2 = 0

Tactic:
decide

Result:
no goals

Proof state:
m a b c d : ℤ
h : a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = 2 * m
this :
  ∀ (f : Fin 4 → ZMod 2),
    f 0 ^ 2 + f 1 ^ 2 + f 2 ^ 2 + f 3 ^ 2 = 0 →
      ∃ i, f i ^ 2 + f ((swap i 0) 1) ^ 2 = 0 ∧ f ((swap i 0) 2) ^ 2 + f ((swap i 0) 3) ^ 2 = 0
⊢ ∃ w x y z, w ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = m

Tactic:
set f : Fin 4 → ℤ := ![a, b, c, d]

Result:
m a b c d : ℤ
h : a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = 2 * m
this :
  ∀ (f : Fin 4 → ZMod 2),
    f 0 ^ 2 + f 1 ^ 2 + f 2 ^ 2 + f 3 ^ 2 = 0 →
      ∃ i, f i ^ 2 + f ((swap i 0) 1) ^ 2 = 0 ∧ f ((swap i 0) 2) ^ 2 + f ((swap i 0) 3) ^ 2 = 0
f : Fin 4 → ℤ := ![a, b, c, d]
⊢ ∃ w x y z, w ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = m

Proof state:
m a b c d : ℤ
h : a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = 2 * m
this :
  ∀ (f : Fin 4 → ZMod 2),
    f 0 ^ 2 + f 1 ^ 2 + f 2 ^ 2 + f 3 ^ 2 = 0 →
      ∃ i, f i ^ 2 + f ((swap i 0) 1) ^ 2 = 0 ∧ f ((swap i 0) 2) ^ 2 + f ((swap i 0) 3) ^ 2 = 0
f : Fin 4 → ℤ := ![a, b, c, d]
⊢ ∃ w x y z, w ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = m

Tactic:
obtain ⟨i, hσ⟩ := this (fun x => ↑(f x)) <| by
  rw [← @zero_mul (ZMod 2) _ m, ← show ((2 : ℤ) : ZMod 2) = 0 from rfl, ← Int.cast_mul, ← h]
  simp only [Int.cast_add, Int.cast_pow]
  rfl

Result:
case intro
m a b c d : ℤ
h : a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = 2 * m
this :
  ∀ (f : Fin 4 → ZMod 2),
    f 0 ^ 2 + f 1 ^ 2 + f 2 ^ 2 + f 3 ^ 2 = 0 →
      ∃ i, f i ^ 2 + f ((swap i 0) 1) ^ 2 = 0 ∧ f ((swap i 0) 2) ^ 2 + f ((swap i 0) 3) ^ 2 = 0
f : Fin 4 → ℤ := ![a, b, c, d]
i : Fin 4
hσ : ↑(f i) ^ 2 + ↑(f ((swap i 0) 1)) ^ 2 = 0 ∧ ↑(f ((swap i 0) 2)) ^ 2 + ↑(f ((swap i 0) 3)) ^ 2 = 0
⊢ ∃ w x y z, w ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = m

Proof state:
case intro.intro.intro
m a b c d : ℤ
h : a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = 2 * m
this :
  ∀ (f : Fin 4 → ZMod 2),
    f 0 ^ 2 + f 1 ^ 2 + f 2 ^ 2 + f 3 ^ 2 = 0 →
      ∃ i, f i ^ 2 + f ((swap i 0) 1) ^ 2 = 0 ∧ f ((swap i 0) 2) ^ 2 + f ((swap i 0) 3) ^ 2 = 0
f : Fin 4 → ℤ := ![a, b, c, d]
i : Fin 4
σ : Perm (Fin 4) := swap i 0
hσ : ↑(f i) ^ 2 + ↑(f (σ 1)) ^ 2 = 0 ∧ ↑(f (σ 2)) ^ 2 + ↑(f (σ 3)) ^ 2 = 0
x : ℤ
hx : f (σ 0) ^ 2 + f (σ 1) ^ 2 = 2 * x
y : ℤ
hy : f (σ 2) ^ 2 + f (σ 3) ^ 2 = 2 * y
⊢ ∃ w x y z, w ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = m

Tactic:
refine ⟨(f (σ 0) - f (σ 1)) / 2, (f (σ 0) + f (σ 1)) / 2, (f (σ 2) - f (σ 3)) / 2,
  (f (σ 2) + f (σ 3)) / 2, ?_⟩

Result:
case intro.intro.intro
m a b c d : ℤ
h : a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = 2 * m
this :
  ∀ (f : Fin 4 → ZMod 2),
    f 0 ^ 2 + f 1 ^ 2 + f 2 ^ 2 + f 3 ^ 2 = 0 →
      ∃ i, f i ^ 2 + f ((swap i 0) 1) ^ 2 = 0 ∧ f ((swap i 0) 2) ^ 2 + f ((swap i 0) 3) ^ 2 = 0
f : Fin 4 → ℤ := ![a, b, c, d]
i : Fin 4
σ : Perm (Fin 4) := swap i 0
hσ : ↑(f i) ^ 2 + ↑(f (σ 1)) ^ 2 = 0 ∧ ↑(f (σ 2)) ^ 2 + ↑(f (σ 3)) ^ 2 = 0
x : ℤ
hx : f (σ 0) ^ 2 + f (σ 1) ^ 2 = 2 * x
y : ℤ
hy : f (σ 2) ^ 2 + f (σ 3) ^ 2 = 2 * y
⊢ ((f (σ 0) - f (σ 1)) / 2) ^ 2 + ((f (σ 0) + f (σ 1)) / 2) ^ 2 + ((f (σ 2) - f (σ 3)) / 2) ^ 2 +
      ((f (σ 2) + f (σ 3)) / 2) ^ 2 =
    m

Proof state:
case intro.intro.intro
m a b c d : ℤ
h : a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = 2 * m
this :
  ∀ (f : Fin 4 → ZMod 2),
    f 0 ^ 2 + f 1 ^ 2 + f 2 ^ 2 + f 3 ^ 2 = 0 →
      ∃ i, f i ^ 2 + f ((swap i 0) 1) ^ 2 = 0 ∧ f ((swap i 0) 2) ^ 2 + f ((swap i 0) 3) ^ 2 = 0
f : Fin 4 → ℤ := ![a, b, c, d]
i : Fin 4
σ : Perm (Fin 4) := swap i 0
hσ : ↑(f i) ^ 2 + ↑(f (σ 1)) ^ 2 = 0 ∧ ↑(f (σ 2)) ^ 2 + ↑(f (σ 3)) ^ 2 = 0
x : ℤ
hx : f (σ 0) ^ 2 + f (σ 1) ^ 2 = 2 * x
y : ℤ
hy : f (σ 2) ^ 2 + f (σ 3) ^ 2 = 2 * y
⊢ ((f (σ 0) - f (σ 1)) / 2) ^ 2 + ((f (σ 0) + f (σ 1)) / 2) ^ 2 + ((f (σ 2) - f (σ 3)) / 2) ^ 2 +
      ((f (σ 2) + f (σ 3)) / 2) ^ 2 =
    m

Tactic:
rw [← Int.sq_add_sq_of_two_mul_sq_add_sq hx.symm, add_assoc,
  ← Int.sq_add_sq_of_two_mul_sq_add_sq hy.symm, ← mul_right_inj' two_ne_zero, ← h, mul_add]

Result:
case intro.intro.intro
m a b c d : ℤ
h : a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2 = 2 * m
this :
  ∀ (f : Fin 4 → ZMod 2),
    f 0 ^ 2 + f 1 ^ 2 + f 2 ^ 2 + f 3 ^ 2 = 0 →
      ∃ i, f i ^ 2 + f ((swap i 0) 1) ^ 2 = 0 ∧ f ((swap i 0) 2) ^ 2 + f ((swap i 0) 3) ^ 2 = 0
f : Fin 4 → ℤ := ![a, b, c, d]
i : Fin 4
σ : Perm (Fin 4) := swap i 0
hσ : ↑(f i) ^ 2 + ↑(f (σ 1)) ^ 2 = 0 ∧ ↑(f (σ 2)) ^ 2 + ↑(f (σ 3)) ^ 2 = 0
x : ℤ
hx : f (σ 0) ^ 2 + f (σ 1) ^ 2 = 2 * x
y : ℤ
hy : f (σ 2) ^ 2 + f (σ 3) ^ 2 = 2 * y
⊢ 2 * x + 2 * y = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + d ^ 2