-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule/Basic.lean
lemma injective_of_map_eq {N : Type*} [AddCommMonoid N] [Module R N]
    {g : M' →ₗ[R] N} (H : ∀ {x y}, g (f x) = g (f y) → f x = f y) :
    Function.Injective g

Proof state:
case intro.mk.intro.mk
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝² : IsLocalizedModule S f
N : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
g : M' →ₗ[R] N
H : ∀ {x y : M}, g (f x) = g (f y) → f x = f y
a b : M'
hab : g a = g b
x : M
m : ↥S
hxm : m • a = f x
y : M
n : ↥S
hym : n • b = f y
⊢ a = b

Tactic:
suffices h : g (f (n.val • x)) = g (f (m.val • y)) by
  apply H at h
  rw [map_smul, map_smul] at h
  rwa [← IsLocalizedModule.smul_inj f (n * m), mul_smul, mul_comm, mul_smul, hxm, hym]

Result:
case intro.mk.intro.mk
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝² : IsLocalizedModule S f
N : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
g : M' →ₗ[R] N
H : ∀ {x y : M}, g (f x) = g (f y) → f x = f y
a b : M'
hab : g a = g b
x : M
m : ↥S
hxm : m • a = f x
y : M
n : ↥S
hym : n • b = f y
⊢ g (f (↑n • x)) = g (f (↑m • y))

Proof state:
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝² : IsLocalizedModule S f
N : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
g : M' →ₗ[R] N
H : ∀ {x y : M}, g (f x) = g (f y) → f x = f y
a b : M'
hab : g a = g b
x : M
m : ↥S
hxm : m • a = f x
y : M
n : ↥S
hym : n • b = f y
h : f (↑n • x) = f (↑m • y)
⊢ a = b

Tactic:
rw [map_smul, map_smul] at h

Result:
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝² : IsLocalizedModule S f
N : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
g : M' →ₗ[R] N
H : ∀ {x y : M}, g (f x) = g (f y) → f x = f y
a b : M'
hab : g a = g b
x : M
m : ↥S
hxm : m • a = f x
y : M
n : ↥S
hym : n • b = f y
h : ↑n • f x = ↑m • f y
⊢ a = b

Proof state:
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝² : IsLocalizedModule S f
N : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
g : M' →ₗ[R] N
H : ∀ {x y : M}, g (f x) = g (f y) → f x = f y
a b : M'
hab : g a = g b
⊢ a = b

Tactic:
obtain ⟨⟨x, m⟩, (hxm : m • a = f x)⟩ := IsLocalizedModule.surj S f a

Result:
case intro.mk
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝² : IsLocalizedModule S f
N : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
g : M' →ₗ[R] N
H : ∀ {x y : M}, g (f x) = g (f y) → f x = f y
a b : M'
hab : g a = g b
x : M
m : ↥S
hxm : m • a = f x
⊢ a = b

Proof state:
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝² : IsLocalizedModule S f
N : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
g : M' →ₗ[R] N
H : ∀ {x y : M}, g (f x) = g (f y) → f x = f y
⊢ Function.Injective ⇑g

Tactic:
intro a b hab

Result:
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝² : IsLocalizedModule S f
N : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
g : M' →ₗ[R] N
H : ∀ {x y : M}, g (f x) = g (f y) → f x = f y
a b : M'
hab : g a = g b
⊢ a = b

Proof state:
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝² : IsLocalizedModule S f
N : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
g : M' →ₗ[R] N
H : ∀ {x y : M}, g (f x) = g (f y) → f x = f y
a b : M'
hab : g a = g b
x : M
m : ↥S
hxm : m • a = f x
y : M
n : ↥S
hym : n • b = f y
h : g (f (↑n • x)) = g (f (↑m • y))
⊢ a = b

Tactic:
apply H at h

Result:
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝² : IsLocalizedModule S f
N : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
g : M' →ₗ[R] N
H : ∀ {x y : M}, g (f x) = g (f y) → f x = f y
a b : M'
hab : g a = g b
x : M
m : ↥S
hxm : m • a = f x
y : M
n : ↥S
hym : n • b = f y
h : f (↑n • x) = f (↑m • y)
⊢ a = b

Proof state:
case intro.mk.intro.mk
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝² : IsLocalizedModule S f
N : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
g : M' →ₗ[R] N
H : ∀ {x y : M}, g (f x) = g (f y) → f x = f y
a b : M'
hab : g a = g b
x : M
m : ↥S
hxm : m • a = f x
y : M
n : ↥S
hym : n • b = f y
⊢ g (f (↑n • x)) = g (f (↑m • y))

Tactic:
simp [← hxm, ← hym, hab, ← S.smul_def, ← mul_smul, mul_comm, ← mul_smul]

Result:
no goals

Proof state:
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝² : IsLocalizedModule S f
N : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
g : M' →ₗ[R] N
H : ∀ {x y : M}, g (f x) = g (f y) → f x = f y
a b : M'
hab : g a = g b
x : M
m : ↥S
hxm : m • a = f x
y : M
n : ↥S
hym : n • b = f y
h : ↑n • f x = ↑m • f y
⊢ a = b

Tactic:
rwa [← IsLocalizedModule.smul_inj f (n * m), mul_smul, mul_comm, mul_smul, hxm, hym]

Result:
no goals

Proof state:
case intro.mk
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝² : IsLocalizedModule S f
N : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
g : M' →ₗ[R] N
H : ∀ {x y : M}, g (f x) = g (f y) → f x = f y
a b : M'
hab : g a = g b
x : M
m : ↥S
hxm : m • a = f x
⊢ a = b

Tactic:
obtain ⟨⟨y, n⟩, (hym : n • b = f y)⟩ := IsLocalizedModule.surj S f b

Result:
case intro.mk.intro.mk
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
f : M →ₗ[R] M'
inst✝² : IsLocalizedModule S f
N : Type u_6
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
g : M' →ₗ[R] N
H : ∀ {x y : M}, g (f x) = g (f y) → f x = f y
a b : M'
hab : g a = g b
x : M
m : ↥S
hxm : m • a = f x
y : M
n : ↥S
hym : n • b = f y
⊢ a = b