-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
theorem hom_left_act_hom' :
    ((P.tensorBimod Q).tensorBimod L).actLeft ≫ hom P Q L =
      (R.X ◁ hom P Q L) ≫ (P.tensorBimod (Q.tensorBimod L)).actLeft

Proof state:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
R S T U : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
L : Bimod T U
⊢ (α_ R.X (P.X ⊗ Q.X) L.X).inv ≫
      (α_ R.X P.X Q.X).inv ▷ L.X ≫
        (((α_ (R.X ⊗ P.X) Q.X L.X).hom ≫ P.actLeft ▷ (Q.X ⊗ L.X)) ≫
            P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ≫
          coequalizer.π (P.actRight ▷ coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft))
            ((α_ P.X S.X (coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft))).hom ≫
              P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L) =
    R.X ◁ (α_ P.X Q.X L.X).hom ≫
      R.X ◁ P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫
        (α_ R.X P.X (Q.tensorBimod L).X).inv ≫
          P.actLeft ▷ (Q.tensorBimod L).X ≫
            coequalizer.π (P.actRight ▷ (Q.tensorBimod L).X)
              ((α_ P.X S.X (Q.tensorBimod L).X).hom ≫ P.X ◁ (Q.tensorBimod L).actLeft)

Tactic:
slice_rhs 2 3 => erw [associator_inv_naturality_right]

Result:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
R S T U : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
L : Bimod T U
⊢ (α_ R.X (P.X ⊗ Q.X) L.X).inv ≫
      (α_ R.X P.X Q.X).inv ▷ L.X ≫
        (((α_ (R.X ⊗ P.X) Q.X L.X).hom ≫ P.actLeft ▷ (Q.X ⊗ L.X)) ≫
            P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ≫
          coequalizer.π (P.actRight ▷ coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft))
            ((α_ P.X S.X (coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft))).hom ≫
              P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L) =
    R.X ◁ (α_ P.X Q.X L.X).hom ≫
      (((α_ R.X P.X (Q.X ⊗ L.X)).inv ≫
            (R.X ⊗ P.X) ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft)) ≫
          P.actLeft ▷ (Q.tensorBimod L).X) ≫
        coequalizer.π (P.actRight ▷ (Q.tensorBimod L).X)
          ((α_ P.X S.X (Q.tensorBimod L).X).hom ≫ P.X ◁ (Q.tensorBimod L).actLeft)

Proof state:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
R S T U : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
L : Bimod T U
⊢ R.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ≫
      (α_ R.X (TensorBimod.X P Q) L.X).inv ≫
        TensorBimod.actLeft P Q ▷ L.X ≫
          (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ≫
            coequalizer.desc
              ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫
                P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫
                  coequalizer.π (P.actRight ▷ TensorBimod.X Q L)
                    ((α_ P.X S.X (TensorBimod.X Q L)).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L))
              ⋯ =
    R.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ≫
      (R.X ◁
            (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X)
                ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ≫
          R.X ◁
            coequalizer.desc
              ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫
                P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫
                  coequalizer.π (P.actRight ▷ TensorBimod.X Q L)
                    ((α_ P.X S.X (TensorBimod.X Q L)).hom ≫ P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L))
              ⋯) ≫
        TensorBimod.actLeft P (Q.tensorBimod L)

Tactic:
dsimp [TensorBimod.X]

Result:
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
R S T U : Mon_ C
P : Bimod R S
Q : Bimod S T
L : Bimod T U
⊢ R.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ≫
      (α_ R.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) L.X).inv ≫
        TensorBimod.actLeft P Q ▷ L.X ≫
          (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ≫
            coequalizer.desc
              ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫
                P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫
                  coequalizer.π (P.actRight ▷ coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft))
                    ((α_ P.X S.X (coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft))).hom ≫
                      P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L))
              ⋯ =
    R.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ L.X ≫
      (R.X ◁
            (PreservesCoequalizer.iso (tensorRight L.X) (P.actRight ▷ Q.X)
                ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)).inv ≫
          R.X ◁
            coequalizer.desc
              ((α_ P.X Q.X L.X).hom ≫
                P.X ◁ coequalizer.π (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft) ≫
                  coequalizer.π (P.actRight ▷ coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft))
                    ((α_ P.X S.X (coequalizer (Q.actRight ▷ L.X) ((α_ Q.X T.X L.X).hom ≫ Q.X ◁ L.actLeft))).hom ≫
                      P.X ◁ TensorBimod.actLeft Q L))
              ⋯) ≫
        TensorBimod.actLeft P (Q.tensorBimod L)