-- Mathlib/CategoryTheory/GlueData.lean
theorem t_inv (i j : D.J) : D.t i j ≫ D.t j i = 𝟙 _

Proof state:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
D : GlueData C
i j : D.J
eq :
  (pullbackSymmetry (D.f i i) (D.f i j)).hom = pullback.snd (D.f i i) (D.f i j) ≫ inv (pullback.fst (D.f i j) (D.f i i))
this : D.t' i j i ≫ D.t' j i i ≫ D.t' i i j = 𝟙 (pullback (D.f i j) (D.f i i))
⊢ D.t i j ≫ D.t j i = 𝟙 (D.V (i, j))

Tactic:
rw [D.t'_iij, D.t'_jii, D.t'_iji, fst_eq_snd_of_mono_eq, eq] at this

Result:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
D : GlueData C
i j : D.J
eq :
  (pullbackSymmetry (D.f i i) (D.f i j)).hom = pullback.snd (D.f i i) (D.f i j) ≫ inv (pullback.fst (D.f i j) (D.f i i))
this :
  (pullback.fst (D.f i j) (D.f i i) ≫ D.t i j ≫ inv (pullback.snd (D.f j i) (D.f j i))) ≫
      (pullback.snd (D.f j i) (D.f j i) ≫ D.t j i ≫ inv (pullback.snd (D.f i i) (D.f i j))) ≫
        pullback.snd (D.f i i) (D.f i j) ≫ inv (pullback.fst (D.f i j) (D.f i i)) =
    𝟙 (pullback (D.f i j) (D.f i i))
⊢ D.t i j ≫ D.t j i = 𝟙 (D.V (i, j))

Proof state:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
D : GlueData C
i j : D.J
eq :
  (pullbackSymmetry (D.f i i) (D.f i j)).hom = pullback.snd (D.f i i) (D.f i j) ≫ inv (pullback.fst (D.f i j) (D.f i i))
this :
  D.t i j ≫ D.t j i =
    (inv (pullback.fst (D.f i j) (D.f i i)) ≫ 𝟙 (pullback (D.f i j) (D.f i i))) ≫ pullback.fst (D.f i j) (D.f i i)
⊢ D.t i j ≫ D.t j i = 𝟙 (D.V (i, j))

Tactic:
simpa using this

Result:
no goals

Proof state:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
D : GlueData C
i j : D.J
eq :
  (pullbackSymmetry (D.f i i) (D.f i j)).hom = pullback.snd (D.f i i) (D.f i j) ≫ inv (pullback.fst (D.f i j) (D.f i i))
this :
  (pullback.fst (D.f i j) (D.f i i) ≫ D.t i j ≫ inv (pullback.snd (D.f j i) (D.f j i))) ≫
      (pullback.snd (D.f j i) (D.f j i) ≫ D.t j i ≫ inv (pullback.snd (D.f i i) (D.f i j))) ≫
        pullback.snd (D.f i i) (D.f i j) ≫ inv (pullback.fst (D.f i j) (D.f i i)) =
    𝟙 (pullback (D.f i j) (D.f i i))
⊢ D.t i j ≫ D.t j i = 𝟙 (D.V (i, j))

Tactic:
simp only [Category.assoc, IsIso.inv_hom_id_assoc] at this

Result:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
D : GlueData C
i j : D.J
eq :
  (pullbackSymmetry (D.f i i) (D.f i j)).hom = pullback.snd (D.f i i) (D.f i j) ≫ inv (pullback.fst (D.f i j) (D.f i i))
this :
  pullback.fst (D.f i j) (D.f i i) ≫ D.t i j ≫ D.t j i ≫ inv (pullback.fst (D.f i j) (D.f i i)) =
    𝟙 (pullback (D.f i j) (D.f i i))
⊢ D.t i j ≫ D.t j i = 𝟙 (D.V (i, j))

Proof state:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
D : GlueData C
i j : D.J
⊢ (pullbackSymmetry (D.f i i) (D.f i j)).hom = pullback.snd (D.f i i) (D.f i j) ≫ inv (pullback.fst (D.f i j) (D.f i i))

Tactic:
simp

Result:
no goals

Proof state:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
D : GlueData C
i j : D.J
⊢ D.t i j ≫ D.t j i = 𝟙 (D.V (i, j))

Tactic:
have eq : (pullbackSymmetry (D.f i i) (D.f i j)).hom =
    pullback.snd _ _ ≫ inv (pullback.fst _ _) := by simp

Result:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
D : GlueData C
i j : D.J
eq :
  (pullbackSymmetry (D.f i i) (D.f i j)).hom = pullback.snd (D.f i i) (D.f i j) ≫ inv (pullback.fst (D.f i j) (D.f i i))
⊢ D.t i j ≫ D.t j i = 𝟙 (D.V (i, j))

Proof state:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
D : GlueData C
i j : D.J
eq :
  (pullbackSymmetry (D.f i i) (D.f i j)).hom = pullback.snd (D.f i i) (D.f i j) ≫ inv (pullback.fst (D.f i j) (D.f i i))
⊢ D.t i j ≫ D.t j i = 𝟙 (D.V (i, j))

Tactic:
have := D.cocycle i j i

Result:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
D : GlueData C
i j : D.J
eq :
  (pullbackSymmetry (D.f i i) (D.f i j)).hom = pullback.snd (D.f i i) (D.f i j) ≫ inv (pullback.fst (D.f i j) (D.f i i))
this : D.t' i j i ≫ D.t' j i i ≫ D.t' i i j = 𝟙 (pullback (D.f i j) (D.f i i))
⊢ D.t i j ≫ D.t j i = 𝟙 (D.V (i, j))

Proof state:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
D : GlueData C
i j : D.J
eq :
  (pullbackSymmetry (D.f i i) (D.f i j)).hom = pullback.snd (D.f i i) (D.f i j) ≫ inv (pullback.fst (D.f i j) (D.f i i))
this :
  pullback.fst (D.f i j) (D.f i i) ≫ D.t i j ≫ D.t j i ≫ inv (pullback.fst (D.f i j) (D.f i i)) =
    𝟙 (pullback (D.f i j) (D.f i i))
⊢ D.t i j ≫ D.t j i = 𝟙 (D.V (i, j))

Tactic:
rw [← IsIso.eq_inv_comp, ← Category.assoc, IsIso.comp_inv_eq] at this

Result:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
D : GlueData C
i j : D.J
eq :
  (pullbackSymmetry (D.f i i) (D.f i j)).hom = pullback.snd (D.f i i) (D.f i j) ≫ inv (pullback.fst (D.f i j) (D.f i i))
this :
  D.t i j ≫ D.t j i =
    (inv (pullback.fst (D.f i j) (D.f i i)) ≫ 𝟙 (pullback (D.f i j) (D.f i i))) ≫ pullback.fst (D.f i j) (D.f i i)
⊢ D.t i j ≫ D.t j i = 𝟙 (D.V (i, j))