-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
theorem liftRel_map {δ} (R : α → β → Prop) (S : γ → δ → Prop) {s1 : WSeq α} {s2 : WSeq β}
    {f1 : α → γ} {f2 : β → δ} (h1 : LiftRel R s1 s2) (h2 : ∀ {a b}, R a b → S (f1 a) (f2 b)) :
    LiftRel S (map f1 s1) (map f2 s2) :=
  ⟨fun s1 s2 => ∃ s t, s1 = map f1 s ∧ s2 = map f2 t ∧ LiftRel R s t, ⟨s1, s2, rfl, rfl, h1⟩,
    fun {s1 s2} h =>
    match s1, s2, h with
    | _, _, ⟨s, t, rfl, rfl, h⟩ => by
      simp only [exists_and_left, destruct_map]
      apply Computation.liftRel_map _ _ (liftRel_destruct h)
      intro o p h
      rcases o with - | a <;> rcases p with - | b <;> simp
      · cases b; cases h
      · cases a; cases h
      · obtain ⟨a, s⟩ := a; obtain ⟨b, t⟩ := b
        obtain ⟨r, h⟩ := h
        exact ⟨h2 r, s, rfl, t, rfl, h⟩⟩

Proof state:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
R : α → β → Prop
S : γ → δ → Prop
s1✝ : WSeq α
s2✝ : WSeq β
f1 : α → γ
f2 : β → δ
h1 : LiftRel R s1✝ s2✝
h2 : ∀ {a : α} {b : β}, R a b → S (f1 a) (f2 b)
s1 : WSeq γ
s2 : WSeq δ
h✝ : (fun s1 s2 => ∃ s t, s1 = map f1 s ∧ s2 = map f2 t ∧ LiftRel R s t) s1 s2
s : WSeq α
t : WSeq β
h : LiftRel R s t
⊢ Computation.LiftRel (LiftRelO S fun s1 s2 => ∃ s t, s1 = map f1 s ∧ s2 = map f2 t ∧ LiftRel R s t) (map f1 s).destruct
    (map f2 t).destruct

Tactic:
simp only [exists_and_left, destruct_map]

Result:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
R : α → β → Prop
S : γ → δ → Prop
s1✝ : WSeq α
s2✝ : WSeq β
f1 : α → γ
f2 : β → δ
h1 : LiftRel R s1✝ s2✝
h2 : ∀ {a : α} {b : β}, R a b → S (f1 a) (f2 b)
s1 : WSeq γ
s2 : WSeq δ
h✝ : (fun s1 s2 => ∃ s t, s1 = map f1 s ∧ s2 = map f2 t ∧ LiftRel R s t) s1 s2
s : WSeq α
t : WSeq β
h : LiftRel R s t
⊢ Computation.LiftRel (LiftRelO S fun s1 s2 => ∃ s, s1 = map f1 s ∧ ∃ x, s2 = map f2 x ∧ LiftRel R s x)
    (Computation.map (Option.map (Prod.map f1 (map f1))) s.destruct)
    (Computation.map (Option.map (Prod.map f2 (map f2))) t.destruct)

Proof state:
case some.none
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
R : α → β → Prop
S : γ → δ → Prop
s1✝ : WSeq α
s2✝ : WSeq β
f1 : α → γ
f2 : β → δ
h1 : LiftRel R s1✝ s2✝
h2 : ∀ {a : α} {b : β}, R a b → S (f1 a) (f2 b)
s1 : WSeq γ
s2 : WSeq δ
h✝¹ : (fun s1 s2 => ∃ s t, s1 = map f1 s ∧ s2 = map f2 t ∧ LiftRel R s t) s1 s2
s : WSeq α
t : WSeq β
h✝ : LiftRel R s t
a : α × WSeq α
h : LiftRelO R (LiftRel R) (some a) none
⊢ False

Tactic:
cases a

Result:
case some.none.mk
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
R : α → β → Prop
S : γ → δ → Prop
s1✝ : WSeq α
s2✝ : WSeq β
f1 : α → γ
f2 : β → δ
h1 : LiftRel R s1✝ s2✝
h2 : ∀ {a : α} {b : β}, R a b → S (f1 a) (f2 b)
s1 : WSeq γ
s2 : WSeq δ
h✝¹ : (fun s1 s2 => ∃ s t, s1 = map f1 s ∧ s2 = map f2 t ∧ LiftRel R s t) s1 s2
s : WSeq α
t : WSeq β
h✝ : LiftRel R s t
fst✝ : α
snd✝ : WSeq α
h : LiftRelO R (LiftRel R) (some (fst✝, snd✝)) none
⊢ False

Proof state:
case some.some.mk.mk.intro
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
R : α → β → Prop
S : γ → δ → Prop
s1✝ : WSeq α
s2✝ : WSeq β
f1 : α → γ
f2 : β → δ
h1 : LiftRel R s1✝ s2✝
h2 : ∀ {a : α} {b : β}, R a b → S (f1 a) (f2 b)
s1 : WSeq γ
s2 : WSeq δ
h✝¹ : (fun s1 s2 => ∃ s t, s1 = map f1 s ∧ s2 = map f2 t ∧ LiftRel R s t) s1 s2
s✝ : WSeq α
t✝ : WSeq β
h✝ : LiftRel R s✝ t✝
a : α
s : WSeq α
b : β
t : WSeq β
r : R a b
h : LiftRel R s t
⊢ S (f1 (a, s).fst) (f2 (b, t).fst) ∧
    ∃ s_1, map f1 (a, s).snd = map f1 s_1 ∧ ∃ x, map f2 (b, t).snd = map f2 x ∧ LiftRel R s_1 x

Tactic:
exact ⟨h2 r, s, rfl, t, rfl, h⟩

Result:
no goals

Proof state:
case some.some.mk
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
R : α → β → Prop
S : γ → δ → Prop
s1✝ : WSeq α
s2✝ : WSeq β
f1 : α → γ
f2 : β → δ
h1 : LiftRel R s1✝ s2✝
h2 : ∀ {a : α} {b : β}, R a b → S (f1 a) (f2 b)
s1 : WSeq γ
s2 : WSeq δ
h✝¹ : (fun s1 s2 => ∃ s t, s1 = map f1 s ∧ s2 = map f2 t ∧ LiftRel R s t) s1 s2
s✝ : WSeq α
t : WSeq β
h✝ : LiftRel R s✝ t
b : β × WSeq β
a : α
s : WSeq α
h : LiftRelO R (LiftRel R) (some (a, s)) (some b)
⊢ S (f1 (a, s).fst) (f2 b.fst) ∧ ∃ s_1, map f1 (a, s).snd = map f1 s_1 ∧ ∃ x, map f2 b.snd = map f2 x ∧ LiftRel R s_1 x

Tactic:
obtain ⟨b, t⟩ := b

Result:
case some.some.mk.mk
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
R : α → β → Prop
S : γ → δ → Prop
s1✝ : WSeq α
s2✝ : WSeq β
f1 : α → γ
f2 : β → δ
h1 : LiftRel R s1✝ s2✝
h2 : ∀ {a : α} {b : β}, R a b → S (f1 a) (f2 b)
s1 : WSeq γ
s2 : WSeq δ
h✝¹ : (fun s1 s2 => ∃ s t, s1 = map f1 s ∧ s2 = map f2 t ∧ LiftRel R s t) s1 s2
s✝ : WSeq α
t✝ : WSeq β
h✝ : LiftRel R s✝ t✝
a : α
s : WSeq α
b : β
t : WSeq β
h : LiftRelO R (LiftRel R) (some (a, s)) (some (b, t))
⊢ S (f1 (a, s).fst) (f2 (b, t).fst) ∧
    ∃ s_1, map f1 (a, s).snd = map f1 s_1 ∧ ∃ x, map f2 (b, t).snd = map f2 x ∧ LiftRel R s_1 x

Proof state:
case some.some.mk.mk
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
R : α → β → Prop
S : γ → δ → Prop
s1✝ : WSeq α
s2✝ : WSeq β
f1 : α → γ
f2 : β → δ
h1 : LiftRel R s1✝ s2✝
h2 : ∀ {a : α} {b : β}, R a b → S (f1 a) (f2 b)
s1 : WSeq γ
s2 : WSeq δ
h✝¹ : (fun s1 s2 => ∃ s t, s1 = map f1 s ∧ s2 = map f2 t ∧ LiftRel R s t) s1 s2
s✝ : WSeq α
t✝ : WSeq β
h✝ : LiftRel R s✝ t✝
a : α
s : WSeq α
b : β
t : WSeq β
h : LiftRelO R (LiftRel R) (some (a, s)) (some (b, t))
⊢ S (f1 (a, s).fst) (f2 (b, t).fst) ∧
    ∃ s_1, map f1 (a, s).snd = map f1 s_1 ∧ ∃ x, map f2 (b, t).snd = map f2 x ∧ LiftRel R s_1 x

Tactic:
obtain ⟨r, h⟩ := h

Result:
case some.some.mk.mk.intro
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
R : α → β → Prop
S : γ → δ → Prop
s1✝ : WSeq α
s2✝ : WSeq β
f1 : α → γ
f2 : β → δ
h1 : LiftRel R s1✝ s2✝
h2 : ∀ {a : α} {b : β}, R a b → S (f1 a) (f2 b)
s1 : WSeq γ
s2 : WSeq δ
h✝¹ : (fun s1 s2 => ∃ s t, s1 = map f1 s ∧ s2 = map f2 t ∧ LiftRel R s t) s1 s2
s✝ : WSeq α
t✝ : WSeq β
h✝ : LiftRel R s✝ t✝
a : α
s : WSeq α
b : β
t : WSeq β
r : R a b
h : LiftRel R s t
⊢ S (f1 (a, s).fst) (f2 (b, t).fst) ∧
    ∃ s_1, map f1 (a, s).snd = map f1 s_1 ∧ ∃ x, map f2 (b, t).snd = map f2 x ∧ LiftRel R s_1 x

Proof state:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
R : α → β → Prop
S : γ → δ → Prop
s1✝ : WSeq α
s2✝ : WSeq β
f1 : α → γ
f2 : β → δ
h1 : LiftRel R s1✝ s2✝
h2 : ∀ {a : α} {b : β}, R a b → S (f1 a) (f2 b)
s1 : WSeq γ
s2 : WSeq δ
h✝ : (fun s1 s2 => ∃ s t, s1 = map f1 s ∧ s2 = map f2 t ∧ LiftRel R s t) s1 s2
s : WSeq α
t : WSeq β
h : LiftRel R s t
⊢ Computation.LiftRel (LiftRelO S fun s1 s2 => ∃ s, s1 = map f1 s ∧ ∃ x, s2 = map f2 x ∧ LiftRel R s x)
    (Computation.map (Option.map (Prod.map f1 (map f1))) s.destruct)
    (Computation.map (Option.map (Prod.map f2 (map f2))) t.destruct)

Tactic:
apply Computation.liftRel_map _ _ (liftRel_destruct h)

Result:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
R : α → β → Prop
S : γ → δ → Prop
s1✝ : WSeq α
s2✝ : WSeq β
f1 : α → γ
f2 : β → δ
h1 : LiftRel R s1✝ s2✝
h2 : ∀ {a : α} {b : β}, R a b → S (f1 a) (f2 b)
s1 : WSeq γ
s2 : WSeq δ
h✝ : (fun s1 s2 => ∃ s t, s1 = map f1 s ∧ s2 = map f2 t ∧ LiftRel R s t) s1 s2
s : WSeq α
t : WSeq β
h : LiftRel R s t
⊢ ∀ {a : Option (α × WSeq α)} {b : Option (β × WSeq β)},
    LiftRelO R (LiftRel R) a b →
      LiftRelO S (fun s1 s2 => ∃ s, s1 = map f1 s ∧ ∃ x, s2 = map f2 x ∧ LiftRel R s x)
        (Option.map (Prod.map f1 (map f1)) a) (Option.map (Prod.map f2 (map f2)) b)