-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
theorem unifIntegrable_of' (hp : 1 ≤ p) (hp' : p ≠ ∞) {f : ι → α → β}
    (hf : ∀ i, StronglyMeasurable (f i))
    (h : ∀ ε : ℝ, 0 < ε → ∃ C : ℝ≥0, 0 < C ∧
      ∀ i, eLpNorm ({ x | C ≤ ‖f i x‖₊ }.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε) :
    UnifIntegrable f p μ

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ C, 0 < C ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
hpzero : p ≠ 0
hμ : ¬μ univ = 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
C : ℝ≥0
hCpos : 0 < C
hC : ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)
i : ι
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≤ ENNReal.ofReal ((ε / (2 * ↑C)) ^ p.toReal)
hμs' : ¬μ s = 0
⊢ eLpNorm ((s ∩ {x | C ≤ ‖f i x‖₊}).indicator (f i)) p μ + eLpNorm ((s ∩ {x | ‖f i x‖₊ < C}).indicator (f i)) p μ ≤
    eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ + ↑C * μ s ^ (1 / p.toReal)

Tactic:
refine add_le_add
  (eLpNorm_mono fun x => norm_indicator_le_of_subset Set.inter_subset_right _ _) ?_

Result:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ C, 0 < C ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
hpzero : p ≠ 0
hμ : ¬μ univ = 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
C : ℝ≥0
hCpos : 0 < C
hC : ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)
i : ι
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≤ ENNReal.ofReal ((ε / (2 * ↑C)) ^ p.toReal)
hμs' : ¬μ s = 0
⊢ eLpNorm ((s ∩ {x | ‖f i x‖₊ < C}).indicator (f i)) p μ ≤ ↑C * μ s ^ (1 / p.toReal)

Proof state:
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ C, 0 < C ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
hpzero : p ≠ 0
hμ : ¬μ univ = 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∃ δ,
    ∃ (_ : 0 < δ),
      ∀ (i : ι) (s : Set α),
        MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε

Tactic:
obtain ⟨C, hCpos, hC⟩ := h (ε / 2) (half_pos hε)

Result:
case neg.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ C, 0 < C ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
hpzero : p ≠ 0
hμ : ¬μ univ = 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
C : ℝ≥0
hCpos : 0 < C
hC : ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)
⊢ ∃ δ,
    ∃ (_ : 0 < δ),
      ∀ (i : ι) (s : Set α),
        MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ C, 0 < C ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
hpzero : p ≠ 0
hμ : ¬μ univ = 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
C : ℝ≥0
hCpos : 0 < C
hC : ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)
i : ι
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≤ ENNReal.ofReal ((ε / (2 * ↑C)) ^ p.toReal)
hμs' : ¬μ s = 0
⊢ {x | C ≤ ‖f i x‖₊} ∪ {x | ‖f i x‖₊ < C} = univ

Tactic:
ext

Result:
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ C, 0 < C ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
hpzero : p ≠ 0
hμ : ¬μ univ = 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
C : ℝ≥0
hCpos : 0 < C
hC : ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)
i : ι
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≤ ENNReal.ofReal ((ε / (2 * ↑C)) ^ p.toReal)
hμs' : ¬μ s = 0
x✝ : α
⊢ x✝ ∈ {x | C ≤ ‖f i x‖₊} ∪ {x | ‖f i x‖₊ < C} ↔ x✝ ∈ univ

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ C, 0 < C ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
hpzero : p ≠ 0
hμ : ¬μ univ = 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
C : ℝ≥0
hCpos : 0 < C
hC : ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)
i : ι
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≤ ENNReal.ofReal ((ε / (2 * ↑C)) ^ p.toReal)
hμs' : ¬μ s = 0
⊢ ENNReal.ofReal (ε / 2) + ↑C * ENNReal.ofReal (ε / (2 * ↑C)) ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2) + ENNReal.ofReal (ε / 2)

Tactic:
refine add_le_add_left ?_ _

Result:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ C, 0 < C ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
hpzero : p ≠ 0
hμ : ¬μ univ = 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
C : ℝ≥0
hCpos : 0 < C
hC : ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)
i : ι
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≤ ENNReal.ofReal ((ε / (2 * ↑C)) ^ p.toReal)
hμs' : ¬μ s = 0
⊢ ↑C * ENNReal.ofReal (ε / (2 * ↑C)) ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ C, 0 < C ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
⊢ UnifIntegrable f p μ

Tactic:
have hpzero := (lt_of_lt_of_le zero_lt_one hp).ne.symm

Result:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ C, 0 < C ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
hpzero : p ≠ 0
⊢ UnifIntegrable f p μ

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
hp : 1 ≤ p
hp' : p ≠ ⊤
f : ι → α → β
hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)
h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ C, 0 < C ∧ ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
hpzero : p ≠ 0
hμ : ¬μ univ = 0
ε : ℝ
hε : 0 < ε
C : ℝ≥0
hCpos : 0 < C
hC : ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal (ε / 2)
i : ι
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≤ ENNReal.ofReal ((ε / (2 * ↑C)) ^ p.toReal)
hμs' : ¬μ s = 0
⊢ ENNReal.ofReal (ε / 2) + ENNReal.ofReal (ε / 2) ≤ ENNReal.ofReal ε

Tactic:
rw [← ENNReal.ofReal_add (half_pos hε).le (half_pos hε).le, add_halves]

Result:
no goals