-- Mathlib/Topology/EMetricSpace/BoundedVariation.lean
theorem add_point (f : α → E) {s : Set α} {x : α} (hx : x ∈ s) (u : ℕ → α) (hu : Monotone u)
    (us : ∀ i, u i ∈ s) (n : ℕ) :
    ∃ (v : ℕ → α) (m : ℕ), Monotone v ∧ (∀ i, v i ∈ s) ∧ x ∈ v '' Iio m ∧
      (∑ i ∈ Finset.range n, edist (f (u (i + 1))) (f (u i))) ≤
        ∑ j ∈ Finset.range m, edist (f (v (j + 1))) (f (v j))

Proof state:
case hmn
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
n : ℕ
h : x < u n
exists_N : ∃ N ≤ n, x < u N
N : ℕ := Nat.find exists_N
hN : N ≤ n ∧ x < u N
w : ℕ → α := fun i => if i < N then u i else if i = N then x else u (i - 1)
ws : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s
hw : Monotone w
Npos : 0 < N
⊢ 0 ≤ N - 1

Tactic:
exact zero_le _

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
n : ℕ
h : x < u n
exists_N : ∃ N ≤ n, x < u N
N : ℕ := Nat.find exists_N
hN : N ≤ n ∧ x < u N
w : ℕ → α := fun i => if i < N then u i else if i = N then x else u (i - 1)
ws : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s
hw : Monotone w
Npos : 0 < N
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.Ico 0 (N - 1)
⊢ edist (f (u (i + 1))) (f (u i)) = edist (f (w (i + 1))) (f (w i))

Tactic:
simp only [Finset.mem_Ico, zero_le', true_and] at hi

Result:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
n : ℕ
h : x < u n
exists_N : ∃ N ≤ n, x < u N
N : ℕ := Nat.find exists_N
hN : N ≤ n ∧ x < u N
w : ℕ → α := fun i => if i < N then u i else if i = N then x else u (i - 1)
ws : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s
hw : Monotone w
Npos : 0 < N
i : ℕ
hi : i < N - 1
⊢ edist (f (u (i + 1))) (f (u i)) = edist (f (w (i + 1))) (f (w i))

Proof state:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
n : ℕ
h : u n ≤ x
v : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else x
vs : ∀ (i : ℕ), v i ∈ s
hv : Monotone v
⊢ ∑ i ∈ Finset.range n, edist (f (u (i + 1))) (f (u i)) = ∑ i ∈ Finset.range n, edist (f (v (i + 1))) (f (v i))

Tactic:
apply Finset.sum_congr rfl fun i hi => ?_

Result:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
n : ℕ
h : u n ≤ x
v : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else x
vs : ∀ (i : ℕ), v i ∈ s
hv : Monotone v
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.range n
⊢ edist (f (u (i + 1))) (f (u i)) = edist (f (v (i + 1))) (f (v i))

Proof state:
case hnk
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
n : ℕ
h : x < u n
exists_N : ∃ N ≤ n, x < u N
N : ℕ := Nat.find exists_N
hN : N ≤ n ∧ x < u N
w : ℕ → α := fun i => if i < N then u i else if i = N then x else u (i - 1)
ws : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s
hw : Monotone w
Npos : 0 < N
⊢ N - 1 ≤ N

Tactic:
exact Nat.pred_le _

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
n : ℕ
h : x < u n
exists_N : ∃ N ≤ n, x < u N
N : ℕ := Nat.find exists_N
hN : N ≤ n ∧ x < u N
w : ℕ → α := fun i => if i < N then u i else if i = N then x else u (i - 1)
ws : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s
hw : Monotone w
Npos : 0 = N
⊢ ∑ i ∈ Finset.range n, edist (f (w (1 + i + 1))) (f (w (1 + i))) =
    ∑ i ∈ Finset.Ico 1 (n + 1), edist (f (w (i + 1))) (f (w i))

Tactic:
rw [Finset.range_eq_Ico]

Result:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
n : ℕ
h : x < u n
exists_N : ∃ N ≤ n, x < u N
N : ℕ := Nat.find exists_N
hN : N ≤ n ∧ x < u N
w : ℕ → α := fun i => if i < N then u i else if i = N then x else u (i - 1)
ws : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s
hw : Monotone w
Npos : 0 = N
⊢ ∑ i ∈ Finset.Ico 0 n, edist (f (w (1 + i + 1))) (f (w (1 + i))) =
    ∑ i ∈ Finset.Ico 1 (n + 1), edist (f (w (i + 1))) (f (w i))

Proof state:
case inl
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
n : ℕ
h : u n ≤ x
⊢ ∃ v m,
    Monotone v ∧
      (∀ (i : ℕ), v i ∈ s) ∧
        x ∈ v '' Iio m ∧
          ∑ i ∈ Finset.range n, edist (f (u (i + 1))) (f (u i)) ≤ ∑ j ∈ Finset.range m, edist (f (v (j + 1))) (f (v j))

Tactic:
let v i := if i ≤ n then u i else x

Result:
case inl
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
n : ℕ
h : u n ≤ x
v : ℕ → α := fun i => if i ≤ n then u i else x
⊢ ∃ v m,
    Monotone v ∧
      (∀ (i : ℕ), v i ∈ s) ∧
        x ∈ v '' Iio m ∧
          ∑ i ∈ Finset.range n, edist (f (u (i + 1))) (f (u i)) ≤ ∑ j ∈ Finset.range m, edist (f (v (j + 1))) (f (v j))

Proof state:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
n : ℕ
h : x < u n
exists_N : ∃ N ≤ n, x < u N
N : ℕ := Nat.find exists_N
hN : N ≤ n ∧ x < u N
w : ℕ → α := fun i => if i < N then u i else if i = N then x else u (i - 1)
ws : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s
hw : Monotone w
Npos : 0 < N
i : ℕ
hi : N ≤ i ∧ i < n
A : ¬1 + i + 1 < N
B : ¬1 + i + 1 = N
C : ¬1 + i < N
⊢ ¬1 + i = N

Tactic:
omega

Result:
no goals

Proof state:
case e_a.e_a
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
n : ℕ
h : x < u n
exists_N : ∃ N ≤ n, x < u N
N : ℕ := Nat.find exists_N
hN : N ≤ n ∧ x < u N
w : ℕ → α := fun i => if i < N then u i else if i = N then x else u (i - 1)
ws : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s
hw : Monotone w
Npos : 0 < N
⊢ ∑ i ∈ Finset.Ico 0 (N - 1), edist (f (u (i + 1))) (f (u i)) =
    ∑ i ∈ Finset.Ico 0 (N - 1), edist (f (w (i + 1))) (f (w i))

Tactic:
apply Finset.sum_congr rfl fun i hi => ?_

Result:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : α → E
s : Set α
x : α
hx : x ∈ s
u : ℕ → α
hu : Monotone u
us : ∀ (i : ℕ), u i ∈ s
n : ℕ
h : x < u n
exists_N : ∃ N ≤ n, x < u N
N : ℕ := Nat.find exists_N
hN : N ≤ n ∧ x < u N
w : ℕ → α := fun i => if i < N then u i else if i = N then x else u (i - 1)
ws : ∀ (i : ℕ), w i ∈ s
hw : Monotone w
Npos : 0 < N
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.Ico 0 (N - 1)
⊢ edist (f (u (i + 1))) (f (u i)) = edist (f (w (i + 1))) (f (w i))