-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Extend.lean
theorem hasFDerivWithinAt_closure_of_tendsto_fderiv {f : E → F} {s : Set E} {x : E} {f' : E →L[ℝ] F}
    (f_diff : DifferentiableOn ℝ f s) (s_conv : Convex ℝ s) (s_open : IsOpen s)
    (f_cont : ∀ y ∈ closure s, ContinuousWithinAt f s y)
    (h : Tendsto (fun y => fderiv ℝ f y) (𝓝[s] x) (𝓝 f')) :
    HasFDerivWithinAt f f' (closure s) x

Proof state:
case neg.intro.intro.mk
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
s : Set E
x : E
f' : E →L[ℝ] F
f_diff : DifferentiableOn ℝ f s
s_conv : Convex ℝ s
s_open : IsOpen s
f_cont : ∀ y ∈ closure s, ContinuousWithinAt f s y
h : Tendsto (fun y => fderiv ℝ f y) (𝓝[s] x) (𝓝 f')
hx : x ∈ closure s
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
δ : ℝ
δ_pos : δ > 0
hδ : ∀ y ∈ s, dist y x < δ → ‖fderiv ℝ f y - f'‖ < ε
B : Set E := ball x δ
key : ∀ p ∈ (B ∩ s) ×ˢ (B ∩ s), ‖f p.2 - f p.1 - (f' p.2 - f' p.1)‖ ≤ ε * ‖p.2 - p.1‖
u v : E
uv_in : (u, v) ∈ closure ((B ∩ s) ×ˢ (B ∩ s))
⊢ ‖f (u, v).2 - f (u, v).1 - (f' (u, v).2 - f' (u, v).1)‖ ≤ ε * ‖(u, v).2 - (u, v).1‖

Tactic:
have f_cont' : ∀ y ∈ closure s, ContinuousWithinAt (f -  ⇑f') s y := by
  intro y y_in
  exact Tendsto.sub (f_cont y y_in) f'.cont.continuousWithinAt

Result:
case neg.intro.intro.mk
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
s : Set E
x : E
f' : E →L[ℝ] F
f_diff : DifferentiableOn ℝ f s
s_conv : Convex ℝ s
s_open : IsOpen s
f_cont : ∀ y ∈ closure s, ContinuousWithinAt f s y
h : Tendsto (fun y => fderiv ℝ f y) (𝓝[s] x) (𝓝 f')
hx : x ∈ closure s
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
δ : ℝ
δ_pos : δ > 0
hδ : ∀ y ∈ s, dist y x < δ → ‖fderiv ℝ f y - f'‖ < ε
B : Set E := ball x δ
key : ∀ p ∈ (B ∩ s) ×ˢ (B ∩ s), ‖f p.2 - f p.1 - (f' p.2 - f' p.1)‖ ≤ ε * ‖p.2 - p.1‖
u v : E
uv_in : (u, v) ∈ closure ((B ∩ s) ×ˢ (B ∩ s))
f_cont' : ∀ y ∈ closure s, ContinuousWithinAt (f - ⇑f') s y
⊢ ‖f (u, v).2 - f (u, v).1 - (f' (u, v).2 - f' (u, v).1)‖ ≤ ε * ‖(u, v).2 - (u, v).1‖

Proof state:
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
s : Set E
x : E
f' : E →L[ℝ] F
f_diff : DifferentiableOn ℝ f s
s_conv : Convex ℝ s
s_open : IsOpen s
f_cont : ∀ y ∈ closure s, ContinuousWithinAt f s y
h : Tendsto (fun y => fderiv ℝ f y) (𝓝[s] x) (𝓝 f')
hx : x ∈ closure s
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
δ : ℝ
δ_pos : δ > 0
hδ : ∀ y ∈ s, dist y x < δ → ‖fderiv ℝ f y - f'‖ < ε
B : Set E := ball x δ
this : ∀ p ∈ closure (B ∩ s) ×ˢ closure (B ∩ s), ‖f p.2 - f p.1 - (f' p.2 - f' p.1)‖ ≤ ε * ‖p.2 - p.1‖
y : E
y_in : y ∈ B ∩ closure s
⊢ (x, y) ∈ closure (B ∩ s) ×ˢ closure (B ∩ s)

Tactic:
have : B ∩ closure s ⊆ closure (B ∩ s) := isOpen_ball.inter_closure

Result:
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
s : Set E
x : E
f' : E →L[ℝ] F
f_diff : DifferentiableOn ℝ f s
s_conv : Convex ℝ s
s_open : IsOpen s
f_cont : ∀ y ∈ closure s, ContinuousWithinAt f s y
h : Tendsto (fun y => fderiv ℝ f y) (𝓝[s] x) (𝓝 f')
hx : x ∈ closure s
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
δ : ℝ
δ_pos : δ > 0
hδ : ∀ y ∈ s, dist y x < δ → ‖fderiv ℝ f y - f'‖ < ε
B : Set E := ball x δ
this✝ : ∀ p ∈ closure (B ∩ s) ×ˢ closure (B ∩ s), ‖f p.2 - f p.1 - (f' p.2 - f' p.1)‖ ≤ ε * ‖p.2 - p.1‖
y : E
y_in : y ∈ B ∩ closure s
this : B ∩ closure s ⊆ closure (B ∩ s)
⊢ (x, y) ∈ closure (B ∩ s) ×ˢ closure (B ∩ s)

Proof state:
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
s : Set E
x : E
f' : E →L[ℝ] F
f_diff : DifferentiableOn ℝ f s
s_conv : Convex ℝ s
s_open : IsOpen s
f_cont : ∀ y ∈ closure s, ContinuousWithinAt f s y
h✝ : Tendsto (fun y => fderiv ℝ f y) (𝓝[s] x) (𝓝 f')
hx : x ∈ closure s
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
δ : ℝ
δ_pos : δ > 0
hδ : ∀ y ∈ s, dist y x < δ → ‖fderiv ℝ f y - f'‖ < ε
B : Set E := ball x δ
u v : E
u_in : (u, v).1 ∈ B ∩ s
v_in : (u, v).2 ∈ B ∩ s
conv : Convex ℝ (B ∩ s)
diff : DifferentiableOn ℝ f (B ∩ s)
z : E
z_in : z ∈ B ∩ s
h : z ∈ s → dist z x < δ → ‖fderiv ℝ f z - f'‖ < ε
op : IsOpen (B ∩ s)
⊢ fderivWithin ℝ f (B ∩ s) z = fderiv ℝ f z

Tactic:
rw [DifferentiableAt.fderivWithin _ (op.uniqueDiffOn z z_in)]

Result:
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
s : Set E
x : E
f' : E →L[ℝ] F
f_diff : DifferentiableOn ℝ f s
s_conv : Convex ℝ s
s_open : IsOpen s
f_cont : ∀ y ∈ closure s, ContinuousWithinAt f s y
h✝ : Tendsto (fun y => fderiv ℝ f y) (𝓝[s] x) (𝓝 f')
hx : x ∈ closure s
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
δ : ℝ
δ_pos : δ > 0
hδ : ∀ y ∈ s, dist y x < δ → ‖fderiv ℝ f y - f'‖ < ε
B : Set E := ball x δ
u v : E
u_in : (u, v).1 ∈ B ∩ s
v_in : (u, v).2 ∈ B ∩ s
conv : Convex ℝ (B ∩ s)
diff : DifferentiableOn ℝ f (B ∩ s)
z : E
z_in : z ∈ B ∩ s
h : z ∈ s → dist z x < δ → ‖fderiv ℝ f z - f'‖ < ε
op : IsOpen (B ∩ s)
⊢ DifferentiableAt ℝ f z

Proof state:
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
s : Set E
x : E
f' : E →L[ℝ] F
f_diff : DifferentiableOn ℝ f s
s_conv : Convex ℝ s
s_open : IsOpen s
f_cont : ∀ y ∈ closure s, ContinuousWithinAt f s y
h : Tendsto (fun y => fderiv ℝ f y) (𝓝[s] x) (𝓝 f')
hx : x ∈ closure s
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
δ : ℝ
δ_pos : δ > 0
hδ : ∀ y ∈ s, dist y x < δ → ‖fderiv ℝ f y - f'‖ < ε
B : Set E := ball x δ
key : ∀ p ∈ (B ∩ s) ×ˢ (B ∩ s), ‖f p.2 - f p.1 - (f' p.2 - f' p.1)‖ ≤ ε * ‖p.2 - p.1‖
u v : E
uv_in : (u, v) ∈ closure ((B ∩ s) ×ˢ (B ∩ s))
⊢ ∀ y ∈ closure s, ContinuousWithinAt (f - ⇑f') s y

Tactic:
intro y y_in

Result:
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E → F
s : Set E
x : E
f' : E →L[ℝ] F
f_diff : DifferentiableOn ℝ f s
s_conv : Convex ℝ s
s_open : IsOpen s
f_cont : ∀ y ∈ closure s, ContinuousWithinAt f s y
h : Tendsto (fun y => fderiv ℝ f y) (𝓝[s] x) (𝓝 f')
hx : x ∈ closure s
ε : ℝ
ε_pos : 0 < ε
δ : ℝ
δ_pos : δ > 0
hδ : ∀ y ∈ s, dist y x < δ → ‖fderiv ℝ f y - f'‖ < ε
B : Set E := ball x δ
key : ∀ p ∈ (B ∩ s) ×ˢ (B ∩ s), ‖f p.2 - f p.1 - (f' p.2 - f' p.1)‖ ≤ ε * ‖p.2 - p.1‖
u v : E
uv_in : (u, v) ∈ closure ((B ∩ s) ×ˢ (B ∩ s))
y : E
y_in : y ∈ closure s
⊢ ContinuousWithinAt (f - ⇑f') s y