-- Mathlib/Order/SuccPred/Tree.lean
lemma RootedTree.mem_subtrees_disjoint_iff {t₁ t₂ : SubRootedTree t}
    (ht₁ : t₁ ∈ t.subtrees) (ht₂ : t₂ ∈ t.subtrees) (v₁ v₂ : t) (h₁ : v₁ ∈ t₁)
    (h₂ : v₂ ∈ t₂) :
    Disjoint v₁ v₂ ↔ t₁ ≠ t₂ where
  mp h

Proof state:
t : RootedTree
t₁ t₂ : SubRootedTree t
ht₁ : t₁ ∈ t.subtrees
ht₂ : t₂ ∈ t.subtrees
v₁ v₂ : ↑t
h₁ : v₁ ∈ t₁
h₂ : v₂ ∈ t₂
h : Disjoint v₁ v₂
nh : t₁ = t₂
this : t₁.root ≤ v₁ ⊓ v₂
⊢ False

Tactic:
rw [h.eq_bot] at this

Result:
t : RootedTree
t₁ t₂ : SubRootedTree t
ht₁ : t₁ ∈ t.subtrees
ht₂ : t₂ ∈ t.subtrees
v₁ v₂ : ↑t
h₁ : v₁ ∈ t₁
h₂ : v₂ ∈ t₂
h : Disjoint v₁ v₂
nh : t₁ = t₂
this : t₁.root ≤ ⊥
⊢ False

Proof state:
t : RootedTree
t₁ t₂ : SubRootedTree t
ht₁ : t₁ ∈ t.subtrees
ht₂ : t₂ ∈ t.subtrees
v₁ v₂ : ↑t
h₁ : v₁ ∈ t₁
h₂ : v₂ ∈ t₂
h : Disjoint v₁ v₂
nh : t₁ = t₂
⊢ t₁.root ≤ v₁ ⊓ v₂

Tactic:
simp only [le_inf_iff]

Result:
t : RootedTree
t₁ t₂ : SubRootedTree t
ht₁ : t₁ ∈ t.subtrees
ht₂ : t₂ ∈ t.subtrees
v₁ v₂ : ↑t
h₁ : v₁ ∈ t₁
h₂ : v₂ ∈ t₂
h : Disjoint v₁ v₂
nh : t₁ = t₂
⊢ t₁.root ≤ v₁ ∧ t₁.root ≤ v₂

Proof state:
case inr
t : RootedTree
t₁ t₂ : SubRootedTree t
ht₁ : t₁ ∈ t.subtrees
ht₂ : t₂ ∈ t.subtrees
v₁ v₂ : ↑t
h₁ : t₁.root ≤ v₁
h₂ : t₂.root ≤ v₂
h : ⊥ < v₁ ⊓ v₂
oh : t₁.root ≤ v₁ ∧ t₁.root ≤ v₂
⊢ t₁ = t₂

Tactic:
ext

Result:
case inr.h
t : RootedTree
t₁ t₂ : SubRootedTree t
ht₁ : t₁ ∈ t.subtrees
ht₂ : t₂ ∈ t.subtrees
v₁ v₂ : ↑t
h₁ : t₁.root ≤ v₁
h₂ : t₂.root ≤ v₂
h : ⊥ < v₁ ⊓ v₂
oh : t₁.root ≤ v₁ ∧ t₁.root ≤ v₂
⊢ t₁.root = t₂.root

Proof state:
case inl
t : RootedTree
t₁ t₂ : SubRootedTree t
ht₁ : t₁ ∈ t.subtrees
ht₂ : t₂ ∈ t.subtrees
v₁ v₂ : ↑t
h₁ : t₁.root ≤ v₁
h₂ : t₂.root ≤ v₂
h : ⊥ < v₁ ⊓ v₂
oh : v₁ ⊓ v₂ < t₁.root
⊢ t₁ = t₂

Tactic:
simp_all [RootedTree.subtrees, IsAtom.lt_iff]

Result:
no goals

Proof state:
t : RootedTree
t₁ t₂ : SubRootedTree t
ht₁ : t₁ ∈ t.subtrees
ht₂ : t₂ ∈ t.subtrees
v₁ v₂ : ↑t
h₁ : t₁.root ≤ v₁
h₂ : t₂.root ≤ v₂
h : t₁ ≠ t₂
⊢ Disjoint v₁ v₂

Tactic:
contrapose! h

Result:
t : RootedTree
t₁ t₂ : SubRootedTree t
ht₁ : t₁ ∈ t.subtrees
ht₂ : t₂ ∈ t.subtrees
v₁ v₂ : ↑t
h₁ : t₁.root ≤ v₁
h₂ : t₂.root ≤ v₂
h : ¬Disjoint v₁ v₂
⊢ t₁ = t₂

Proof state:
t : RootedTree
t₁ t₂ : SubRootedTree t
ht₁ : t₁ ∈ t.subtrees
ht₂ : t₂ ∈ t.subtrees
v₁ v₂ : ↑t
h₁ : v₁ ∈ t₁
h₂ : v₂ ∈ t₂
h : Disjoint v₁ v₂
nh : t₁ = t₂
this : t₁.root = ⊥
⊢ False

Tactic:
exact t₁.root_ne_bot_of_mem_subtrees ht₁ this

Result:
no goals

Proof state:
t : RootedTree
t₁ t₂ : SubRootedTree t
ht₁ : t₁ ∈ t.subtrees
ht₂ : t₂ ∈ t.subtrees
v₁ v₂ : ↑t
h₁ : t₁.root ≤ v₁
h₂ : t₂.root ≤ v₂
h : ¬Disjoint v₁ v₂
⊢ t₁ = t₂

Tactic:
rw [disjoint_iff, ← ne_eq, ← bot_lt_iff_ne_bot] at h

Result:
t : RootedTree
t₁ t₂ : SubRootedTree t
ht₁ : t₁ ∈ t.subtrees
ht₂ : t₂ ∈ t.subtrees
v₁ v₂ : ↑t
h₁ : t₁.root ≤ v₁
h₂ : t₂.root ≤ v₂
h : ⊥ < v₁ ⊓ v₂
⊢ t₁ = t₂

Proof state:
t : RootedTree
t₁ t₂ : SubRootedTree t
ht₁ : t₁ ∈ t.subtrees
ht₂ : t₂ ∈ t.subtrees
v₁ v₂ : ↑t
h₁ : t₁.root ≤ v₁
h₂ : t₂.root ≤ v₂
h : ⊥ < v₁ ⊓ v₂
⊢ v₁ ⊓ v₂ ≤ v₁

Tactic:
simp

Result:
no goals

Proof state:
t : RootedTree
t₁ t₂ : SubRootedTree t
ht₁ : t₁ ∈ t.subtrees
ht₂ : t₂ ∈ t.subtrees
v₁ v₂ : ↑t
h₁ : t₁.root ≤ v₁
h₂ : t₂.root ≤ v₂
h : ⊥ < v₁ ⊓ v₂
⊢ t₁ = t₂

Tactic:
rcases lt_or_le_of_directed (by simp : v₁ ⊓ v₂ ≤ v₁) h₁ with oh | oh

Result:
case inl
t : RootedTree
t₁ t₂ : SubRootedTree t
ht₁ : t₁ ∈ t.subtrees
ht₂ : t₂ ∈ t.subtrees
v₁ v₂ : ↑t
h₁ : t₁.root ≤ v₁
h₂ : t₂.root ≤ v₂
h : ⊥ < v₁ ⊓ v₂
oh : v₁ ⊓ v₂ < t₁.root
⊢ t₁ = t₂

case inr
t : RootedTree
t₁ t₂ : SubRootedTree t
ht₁ : t₁ ∈ t.subtrees
ht₂ : t₂ ∈ t.subtrees
v₁ v₂ : ↑t
h₁ : t₁.root ≤ v₁
h₂ : t₂.root ≤ v₂
h : ⊥ < v₁ ⊓ v₂
oh : t₁.root ≤ v₁ ⊓ v₂
⊢ t₁ = t₂

Proof state:
case inr.h
t : RootedTree
t₁ t₂ : SubRootedTree t
ht₁ : t₁ ∈ t.subtrees
ht₂ : t₂ ∈ t.subtrees
v₁ v₂ : ↑t
h₁ : t₁.root ≤ v₁
h₂ : t₂.root ≤ v₂
h : ⊥ < v₁ ⊓ v₂
oh : t₁.root ≤ v₁ ∧ t₁.root ≤ v₂
⊢ t₁.root = t₂.root

Tactic:
simpa only [ht₂.le_iff_eq ht₁.1, ht₁.le_iff_eq ht₂.1, eq_comm, or_self] using
  le_total_of_directed oh.2 h₂

Result:
no goals

Proof state:
t : RootedTree
t₁ t₂ : SubRootedTree t
ht₁ : t₁ ∈ t.subtrees
ht₂ : t₂ ∈ t.subtrees
v₁ v₂ : ↑t
h₁ : v₁ ∈ t₁
h₂ : v₂ ∈ t₂
h : t₁ ≠ t₂
⊢ Disjoint v₁ v₂

Tactic:
rw [SubRootedTree.mem_iff] at h₁ h₂

Result:
t : RootedTree
t₁ t₂ : SubRootedTree t
ht₁ : t₁ ∈ t.subtrees
ht₂ : t₂ ∈ t.subtrees
v₁ v₂ : ↑t
h₁ : t₁.root ≤ v₁
h₂ : t₂.root ≤ v₂
h : t₁ ≠ t₂
⊢ Disjoint v₁ v₂

Proof state:
t : RootedTree
t₁ t₂ : SubRootedTree t
ht₁ : t₁ ∈ t.subtrees
ht₂ : t₂ ∈ t.subtrees
v₁ v₂ : ↑t
h₁ : v₁ ∈ t₁
h₂ : v₂ ∈ t₂
h : Disjoint v₁ v₂
nh : t₁ = t₂
this : t₁.root ≤ ⊥
⊢ False

Tactic:
simp only [le_bot_iff] at this

Result:
t : RootedTree
t₁ t₂ : SubRootedTree t
ht₁ : t₁ ∈ t.subtrees
ht₂ : t₂ ∈ t.subtrees
v₁ v₂ : ↑t
h₁ : v₁ ∈ t₁
h₂ : v₂ ∈ t₂
h : Disjoint v₁ v₂
nh : t₁ = t₂
this : t₁.root = ⊥
⊢ False

Proof state:
t : RootedTree
t₁ t₂ : SubRootedTree t
ht₁ : t₁ ∈ t.subtrees
ht₂ : t₂ ∈ t.subtrees
v₁ v₂ : ↑t
h₁ : v₁ ∈ t₁
h₂ : v₂ ∈ t₂
h : Disjoint v₁ v₂
nh : t₁ = t₂
⊢ False

Tactic:
have : t₁.root ≤ (v₁ : t) ⊓ (v₂ : t) := by
  simp only [le_inf_iff]
  exact ⟨h₁, nh ▸ h₂⟩

Result:
t : RootedTree
t₁ t₂ : SubRootedTree t
ht₁ : t₁ ∈ t.subtrees
ht₂ : t₂ ∈ t.subtrees
v₁ v₂ : ↑t
h₁ : v₁ ∈ t₁
h₂ : v₂ ∈ t₂
h : Disjoint v₁ v₂
nh : t₁ = t₂
this : t₁.root ≤ v₁ ⊓ v₂
⊢ False

Proof state:
t : RootedTree
t₁ t₂ : SubRootedTree t
ht₁ : t₁ ∈ t.subtrees
ht₂ : t₂ ∈ t.subtrees
v₁ v₂ : ↑t
h₁ : v₁ ∈ t₁
h₂ : v₂ ∈ t₂
h : Disjoint v₁ v₂
nh : t₁ = t₂
⊢ t₁.root ≤ v₁ ∧ t₁.root ≤ v₂

Tactic:
exact ⟨h₁, nh ▸ h₂⟩

Result:
no goals

Proof state:
t : RootedTree
t₁ t₂ : SubRootedTree t
ht₁ : t₁ ∈ t.subtrees
ht₂ : t₂ ∈ t.subtrees
v₁ v₂ : ↑t
h₁ : v₁ ∈ t₁
h₂ : v₂ ∈ t₂
h : Disjoint v₁ v₂
⊢ t₁ ≠ t₂

Tactic:
intro nh

Result:
t : RootedTree
t₁ t₂ : SubRootedTree t
ht₁ : t₁ ∈ t.subtrees
ht₂ : t₂ ∈ t.subtrees
v₁ v₂ : ↑t
h₁ : v₁ ∈ t₁
h₂ : v₂ ∈ t₂
h : Disjoint v₁ v₂
nh : t₁ = t₂
⊢ False

Proof state:
case inr
t : RootedTree
t₁ t₂ : SubRootedTree t
ht₁ : t₁ ∈ t.subtrees
ht₂ : t₂ ∈ t.subtrees
v₁ v₂ : ↑t
h₁ : t₁.root ≤ v₁
h₂ : t₂.root ≤ v₂
h : ⊥ < v₁ ⊓ v₂
oh : t₁.root ≤ v₁ ⊓ v₂
⊢ t₁ = t₂

Tactic:
rw [le_inf_iff] at oh

Result:
case inr
t : RootedTree
t₁ t₂ : SubRootedTree t
ht₁ : t₁ ∈ t.subtrees
ht₂ : t₂ ∈ t.subtrees
v₁ v₂ : ↑t
h₁ : t₁.root ≤ v₁
h₂ : t₂.root ≤ v₂
h : ⊥ < v₁ ⊓ v₂
oh : t₁.root ≤ v₁ ∧ t₁.root ≤ v₂
⊢ t₁ = t₂