-- Mathlib/GroupTheory/Schreier.lean
theorem closure_mul_image_mul_eq_top
    (hR : IsComplement H R) (hR1 : (1 : G) ∈ R) (hS : closure S = ⊤) :
    (closure ((R * S).image fun g => g * (hR.toRightFun g : G)⁻¹)) * R = ⊤

Proof state:
case refine_2.intro.intro.intro.intro
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
hR : IsComplement (↑H) R
hR1 : 1 ∈ R
hS : closure S = ⊤
f : G → ↑R := hR.toRightFun
U : Set G := (fun g => g * (↑(f g))⁻¹) '' (R * S)
g : G
x✝ : g ∈ ⊤
s : G
hs : s ∈ S
u : G
hu : u ∈ ↑(closure U)
r : G
hr : r ∈ R
⊢ (fun x1 x2 => x1 * x2) u r * s ∈ ↑(closure U) * R

Tactic:
rw [show u * r * s = u * (r * s * (f (r * s) : G)⁻¹) * f (r * s) by group]

Result:
case refine_2.intro.intro.intro.intro
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
hR : IsComplement (↑H) R
hR1 : 1 ∈ R
hS : closure S = ⊤
f : G → ↑R := hR.toRightFun
U : Set G := (fun g => g * (↑(f g))⁻¹) '' (R * S)
g : G
x✝ : g ∈ ⊤
s : G
hs : s ∈ S
u : G
hu : u ∈ ↑(closure U)
r : G
hr : r ∈ R
⊢ u * (r * s * (↑(f (r * s)))⁻¹) * ↑(f (r * s)) ∈ ↑(closure U) * R

Proof state:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
hR : IsComplement (↑H) R
hR1 : 1 ∈ R
hS : closure S = ⊤
f : G → ↑R := hR.toRightFun
U : Set G := (fun g => g * (↑(f g))⁻¹) '' (R * S)
⊢ ↑(closure U) * R = ⊤

Tactic:
refine top_le_iff.mp fun g _ => ?_

Result:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
hR : IsComplement (↑H) R
hR1 : 1 ∈ R
hS : closure S = ⊤
f : G → ↑R := hR.toRightFun
U : Set G := (fun g => g * (↑(f g))⁻¹) '' (R * S)
g : G
x✝ : g ∈ ⊤
⊢ g ∈ ↑(closure U) * R

Proof state:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
hR : IsComplement (↑H) R
hR1 : 1 ∈ R
hS : closure S = ⊤
⊢ ↑(closure ((fun g => g * (↑(hR.toRightFun g))⁻¹) '' (R * S))) * R = ⊤

Tactic:
let f : G → R := hR.toRightFun

Result:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
hR : IsComplement (↑H) R
hR1 : 1 ∈ R
hS : closure S = ⊤
f : G → ↑R := hR.toRightFun
⊢ ↑(closure ((fun g => g * (↑(hR.toRightFun g))⁻¹) '' (R * S))) * R = ⊤

Proof state:
case refine_3.intro.intro.intro.intro
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
hR : IsComplement (↑H) R
hR1 : 1 ∈ R
hS : closure S = ⊤
f : G → ↑R := hR.toRightFun
U : Set G := (fun g => g * (↑(f g))⁻¹) '' (R * S)
g : G
x✝ : g ∈ ⊤
s : G
hs : s ∈ S
u : G
hu : u ∈ ↑(closure U)
r : G
hr : r ∈ R
⊢ (fun x1 x2 => x1 * x2) u r * s⁻¹ ∈ ↑(closure U) * R

Tactic:
rw [show u * r * s⁻¹ = u * (f (r * s⁻¹) * s * r⁻¹)⁻¹ * f (r * s⁻¹) by group]

Result:
case refine_3.intro.intro.intro.intro
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
hR : IsComplement (↑H) R
hR1 : 1 ∈ R
hS : closure S = ⊤
f : G → ↑R := hR.toRightFun
U : Set G := (fun g => g * (↑(f g))⁻¹) '' (R * S)
g : G
x✝ : g ∈ ⊤
s : G
hs : s ∈ S
u : G
hu : u ∈ ↑(closure U)
r : G
hr : r ∈ R
⊢ u * (↑(f (r * s⁻¹)) * s * r⁻¹)⁻¹ * ↑(f (r * s⁻¹)) ∈ ↑(closure U) * R

Proof state:
case refine_3.intro.intro.intro.intro
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
hR : IsComplement (↑H) R
hR1 : 1 ∈ R
hS : closure S = ⊤
f : G → ↑R := hR.toRightFun
U : Set G := (fun g => g * (↑(f g))⁻¹) '' (R * S)
g : G
x✝ : g ∈ ⊤
s : G
hs : s ∈ S
u : G
hu : u ∈ ↑(closure U)
r : G
hr : r ∈ R
⊢ ↑(f (r * s⁻¹)) * s * r⁻¹ ∈ closure U

Tactic:
refine subset_closure ⟨f (r * s⁻¹) * s, Set.mul_mem_mul (f (r * s⁻¹)).2 hs, ?_⟩

Result:
case refine_3.intro.intro.intro.intro
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
hR : IsComplement (↑H) R
hR1 : 1 ∈ R
hS : closure S = ⊤
f : G → ↑R := hR.toRightFun
U : Set G := (fun g => g * (↑(f g))⁻¹) '' (R * S)
g : G
x✝ : g ∈ ⊤
s : G
hs : s ∈ S
u : G
hu : u ∈ ↑(closure U)
r : G
hr : r ∈ R
⊢ (fun g => g * (↑(f g))⁻¹) (↑(f (r * s⁻¹)) * s) = ↑(f (r * s⁻¹)) * s * r⁻¹

Proof state:
case refine_3.intro.intro.intro.intro
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
hR : IsComplement (↑H) R
hR1 : 1 ∈ R
hS : closure S = ⊤
f : G → ↑R := hR.toRightFun
U : Set G := (fun g => g * (↑(f g))⁻¹) '' (R * S)
g : G
x✝ : g ∈ ⊤
s : G
hs : s ∈ S
u : G
hu : u ∈ ↑(closure U)
r : G
hr : r ∈ R
⊢ ↑(f (r * s⁻¹)) * (↑⟨r, hr⟩ * s⁻¹)⁻¹ ∈ ↑H

Tactic:
exact hR.toRightFun_mul_inv_mem (r * s⁻¹)

Result:
no goals

Proof state:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
hR : IsComplement (↑H) R
hR1 : 1 ∈ R
hS : closure S = ⊤
f : G → ↑R := hR.toRightFun
U : Set G := (fun g => g * (↑(f g))⁻¹) '' (R * S)
g : G
x✝ : g ∈ ⊤
⊢ g ∈ ↑(closure U) * R

Tactic:
refine closure_induction_right ?_ ?_ ?_ (eq_top_iff.mp hS (mem_top g))

Result:
case refine_1
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
hR : IsComplement (↑H) R
hR1 : 1 ∈ R
hS : closure S = ⊤
f : G → ↑R := hR.toRightFun
U : Set G := (fun g => g * (↑(f g))⁻¹) '' (R * S)
g : G
x✝ : g ∈ ⊤
⊢ 1 ∈ ↑(closure U) * R

case refine_2
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
hR : IsComplement (↑H) R
hR1 : 1 ∈ R
hS : closure S = ⊤
f : G → ↑R := hR.toRightFun
U : Set G := (fun g => g * (↑(f g))⁻¹) '' (R * S)
g : G
x✝ : g ∈ ⊤
⊢ ∀ x ∈ closure S, ∀ y ∈ S, x ∈ ↑(closure U) * R → x * y ∈ ↑(closure U) * R

case refine_3
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
hR : IsComplement (↑H) R
hR1 : 1 ∈ R
hS : closure S = ⊤
f : G → ↑R := hR.toRightFun
U : Set G := (fun g => g * (↑(f g))⁻¹) '' (R * S)
g : G
x✝ : g ∈ ⊤
⊢ ∀ x ∈ closure S, ∀ y ∈ S, x ∈ ↑(closure U) * R → x * y⁻¹ ∈ ↑(closure U) * R

Proof state:
case refine_2.intro.intro.intro.intro
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
hR : IsComplement (↑H) R
hR1 : 1 ∈ R
hS : closure S = ⊤
f : G → ↑R := hR.toRightFun
U : Set G := (fun g => g * (↑(f g))⁻¹) '' (R * S)
g : G
x✝ : g ∈ ⊤
s : G
hs : s ∈ S
u : G
hu : u ∈ ↑(closure U)
r : G
hr : r ∈ R
⊢ u * (r * s * (↑(f (r * s)))⁻¹) * ↑(f (r * s)) ∈ ↑(closure U) * R

Tactic:
refine Set.mul_mem_mul ((closure U).mul_mem hu ?_) (f (r * s)).coe_prop

Result:
case refine_2.intro.intro.intro.intro
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
hR : IsComplement (↑H) R
hR1 : 1 ∈ R
hS : closure S = ⊤
f : G → ↑R := hR.toRightFun
U : Set G := (fun g => g * (↑(f g))⁻¹) '' (R * S)
g : G
x✝ : g ∈ ⊤
s : G
hs : s ∈ S
u : G
hu : u ∈ ↑(closure U)
r : G
hr : r ∈ R
⊢ r * s * (↑(f (r * s)))⁻¹ ∈ closure U

Proof state:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
hR : IsComplement (↑H) R
hR1 : 1 ∈ R
hS : closure S = ⊤
f : G → ↑R := hR.toRightFun
U : Set G := (fun g => g * (↑(f g))⁻¹) '' (R * S)
g : G
x✝ : g ∈ ⊤
s : G
hs : s ∈ S
u : G
hu : u ∈ ↑(closure U)
r : G
hr : r ∈ R
⊢ u * r * s⁻¹ = u * (↑(f (r * s⁻¹)) * s * r⁻¹)⁻¹ * ↑(f (r * s⁻¹))

Tactic:
group

Result:
no goals

Proof state:
case refine_3.intro.intro.intro.intro
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
hR : IsComplement (↑H) R
hR1 : 1 ∈ R
hS : closure S = ⊤
f : G → ↑R := hR.toRightFun
U : Set G := (fun g => g * (↑(f g))⁻¹) '' (R * S)
g : G
x✝ : g ∈ ⊤
s : G
hs : s ∈ S
u : G
hu : u ∈ ↑(closure U)
r : G
hr : r ∈ R
⊢ f (↑(hR.toRightFun (↑⟨r, hr⟩ * s⁻¹)) * s) = ⟨r, hr⟩

Tactic:
apply (isComplement_iff_existsUnique_mul_inv_mem.mp hR (f (r * s⁻¹) * s)).unique
  (hR.mul_inv_toRightFun_mem (f (r * s⁻¹) * s))

Result:
case refine_3.intro.intro.intro.intro
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H : Subgroup G
R S : Set G
hR : IsComplement (↑H) R
hR1 : 1 ∈ R
hS : closure S = ⊤
f : G → ↑R := hR.toRightFun
U : Set G := (fun g => g * (↑(f g))⁻¹) '' (R * S)
g : G
x✝ : g ∈ ⊤
s : G
hs : s ∈ S
u : G
hu : u ∈ ↑(closure U)
r : G
hr : r ∈ R
⊢ ↑(f (r * s⁻¹)) * s * (↑⟨r, hr⟩)⁻¹ ∈ ↑H