-- Mathlib/RingTheory/Noetherian/Defs.lean
lemma LinearMap.eventually_iSup_ker_pow_eq (f : M →ₗ[R] M) :
    ∀ᶠ n in atTop, ⨆ m, LinearMap.ker (f ^ m) = LinearMap.ker (f ^ n)

Proof state:
case intro
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsNoetherian R M
f : M →ₗ[R] M
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → ker (f ^ n) = ker (f ^ m)
m : ℕ
hm : m ≥ n
l : ℕ
⊢ ker (f ^ l) ≤ ker (f ^ m)

Tactic:
rcases le_or_lt m l with h | h

Result:
case intro.inl
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsNoetherian R M
f : M →ₗ[R] M
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → ker (f ^ n) = ker (f ^ m)
m : ℕ
hm : m ≥ n
l : ℕ
h : m ≤ l
⊢ ker (f ^ l) ≤ ker (f ^ m)

case intro.inr
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsNoetherian R M
f : M →ₗ[R] M
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → ker (f ^ n) = ker (f ^ m)
m : ℕ
hm : m ≥ n
l : ℕ
h : l < m
⊢ ker (f ^ l) ≤ ker (f ^ m)

Proof state:
case intro.inl
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsNoetherian R M
f : M →ₗ[R] M
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → ker (f ^ n) = ker (f ^ m)
m : ℕ
hm : m ≥ n
l : ℕ
h : m ≤ l
⊢ ker (f ^ l) ≤ ker (f ^ m)

Tactic:
rw [← hn _ (hm.trans h), hn _ hm]

Result:
no goals

Proof state:
case intro
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsNoetherian R M
f : M →ₗ[R] M
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → ker (f ^ n) = ker (f ^ m)
m : ℕ
hm : m ≥ n
⊢ ⨆ m, ker (f ^ m) = ker (f ^ m)

Tactic:
refine le_antisymm (iSup_le fun l ↦ ?_) (le_iSup (fun i ↦ LinearMap.ker (f ^ i)) m)

Result:
case intro
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsNoetherian R M
f : M →ₗ[R] M
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → ker (f ^ n) = ker (f ^ m)
m : ℕ
hm : m ≥ n
l : ℕ
⊢ ker (f ^ l) ≤ ker (f ^ m)

Proof state:
case intro
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsNoetherian R M
f : M →ₗ[R] M
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → ker (f ^ n) = ker (f ^ m)
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ⨆ m, ker (f ^ m) = ker (f ^ n)

Tactic:
refine eventually_atTop.mpr ⟨n, fun m hm ↦ ?_⟩

Result:
case intro
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsNoetherian R M
f : M →ₗ[R] M
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → ker (f ^ n) = ker (f ^ m)
m : ℕ
hm : m ≥ n
⊢ ⨆ m, ker (f ^ m) = ker (f ^ m)

Proof state:
case intro.inr
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsNoetherian R M
f : M →ₗ[R] M
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → ker (f ^ n) = ker (f ^ m)
m : ℕ
hm : m ≥ n
l : ℕ
h : l < m
⊢ ker (f ^ l) ≤ ker (f ^ m)

Tactic:
exact f.iterateKer.monotone h.le

Result:
no goals

Proof state:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsNoetherian R M
f : M →ₗ[R] M
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ⨆ m, ker (f ^ m) = ker (f ^ n)

Tactic:
obtain ⟨n, hn : ∀ m, n ≤ m → ker (f ^ n) = ker (f ^ m)⟩ :=
  monotone_stabilizes_iff_noetherian.mpr inferInstance f.iterateKer

Result:
case intro
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsNoetherian R M
f : M →ₗ[R] M
n : ℕ
hn : ∀ (m : ℕ), n ≤ m → ker (f ^ n) = ker (f ^ m)
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ⨆ m, ker (f ^ m) = ker (f ^ n)