-- Mathlib/Analysis/Convex/Topology.lean
theorem Convex.closure_subset_image_homothety_interior_of_one_lt {s : Set E} (hs : Convex ℝ s)
    {x : E} (hx : x ∈ interior s) (t : ℝ) (ht : 1 < t) :
    closure s ⊆ homothety x t '' interior s

Proof state:
E : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hs : Convex ℝ s
x : E
hx : x ∈ interior s
t : ℝ
ht : 1 < t
⊢ closure s ⊆ ⇑(homothety x t) '' interior s

Tactic:
intro y hy

Result:
E : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hs : Convex ℝ s
x : E
hx : x ∈ interior s
t : ℝ
ht : 1 < t
y : E
hy : y ∈ closure s
⊢ y ∈ ⇑(homothety x t) '' interior s

Proof state:
E : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hs : Convex ℝ s
x : E
hx : x ∈ interior s
t : ℝ
ht : 1 < t
y : E
hy : y ∈ closure s
hne : t ≠ 0
⊢ y ∈ ⇑(homothety x t) '' interior s

Tactic:
refine
  ⟨homothety x t⁻¹ y, hs.openSegment_interior_closure_subset_interior hx hy ?_,
    (AffineEquiv.homothetyUnitsMulHom x (Units.mk0 t hne)).apply_symm_apply y⟩

Result:
E : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hs : Convex ℝ s
x : E
hx : x ∈ interior s
t : ℝ
ht : 1 < t
y : E
hy : y ∈ closure s
hne : t ≠ 0
⊢ (homothety x t⁻¹) y ∈ openSegment ℝ x y

Proof state:
E : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hs : Convex ℝ s
x : E
hx : x ∈ interior s
t : ℝ
ht : 1 < t
y : E
hy : y ∈ closure s
⊢ y ∈ ⇑(homothety x t) '' interior s

Tactic:
have hne : t ≠ 0 := (one_pos.trans ht).ne'

Result:
E : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hs : Convex ℝ s
x : E
hx : x ∈ interior s
t : ℝ
ht : 1 < t
y : E
hy : y ∈ closure s
hne : t ≠ 0
⊢ y ∈ ⇑(homothety x t) '' interior s

Proof state:
E : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hs : Convex ℝ s
x : E
hx : x ∈ interior s
t : ℝ
ht : 1 < t
y : E
hy : y ∈ closure s
hne : t ≠ 0
⊢ (homothety x t⁻¹) y ∈ openSegment ℝ x y

Tactic:
rw [openSegment_eq_image_lineMap, ← inv_one, ← inv_Ioi₀ (zero_lt_one' ℝ), ← image_inv_eq_inv,
  image_image, homothety_eq_lineMap]

Result:
E : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hs : Convex ℝ s
x : E
hx : x ∈ interior s
t : ℝ
ht : 1 < t
y : E
hy : y ∈ closure s
hne : t ≠ 0
⊢ (lineMap x y) t⁻¹ ∈ (fun x_1 => (lineMap x y) x_1⁻¹) '' Ioi 1

Proof state:
E : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : Set E
hs : Convex ℝ s
x : E
hx : x ∈ interior s
t : ℝ
ht : 1 < t
y : E
hy : y ∈ closure s
hne : t ≠ 0
⊢ (lineMap x y) t⁻¹ ∈ (fun x_1 => (lineMap x y) x_1⁻¹) '' Ioi 1

Tactic:
exact mem_image_of_mem _ ht

Result:
no goals