-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Basic.lean
theorem ContDiffWithinAt.comp_continuousLinearMap {x : G} (g : G →L[𝕜] E)
    (hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s (g x)) : ContDiffWithinAt 𝕜 n (f ∘ g) (g ⁻¹' s) x

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
f : E → F
n : WithTop ℕ∞
x : G
g : G →L[𝕜] E
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert (g x) s] g x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn ω f p u
h'p : ∀ (i : ℕ), AnalyticOn 𝕜 (fun x => p x i) u
i : ℕ
⊢ AnalyticOn 𝕜 (fun x => (ContinuousMultilinearMap.compContinuousLinearMapL fun x => g) (p (g x) i)) (⇑g ⁻¹' u)

Tactic:
apply AnalyticOn.comp _ _ (Set.mapsTo_univ _ _)

Result:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
f : E → F
n : WithTop ℕ∞
x : G
g : G →L[𝕜] E
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert (g x) s] g x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn ω f p u
h'p : ∀ (i : ℕ), AnalyticOn 𝕜 (fun x => p x i) u
i : ℕ
⊢ AnalyticOn 𝕜 (⇑(ContinuousMultilinearMap.compContinuousLinearMapL fun x => g)) univ

𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
f : E → F
n : WithTop ℕ∞
x : G
g : G →L[𝕜] E
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert (g x) s] g x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn ω f p u
h'p : ∀ (i : ℕ), AnalyticOn 𝕜 (fun x => p x i) u
i : ℕ
⊢ AnalyticOn 𝕜 (fun x => p (g x) i) (⇑g ⁻¹' u)

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
f : E → F
n : WithTop ℕ∞
x : G
g : G →L[𝕜] E
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert (g x) s] g x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn ω f p u
h'p : ∀ (i : ℕ), AnalyticOn 𝕜 (fun x => p x i) u
i : ℕ
⊢ AnalyticOn 𝕜 (fun x => p (g x) i) (⇑g ⁻¹' u)

Tactic:
exact (h'p i).comp (g.analyticOn _) (mapsTo_preimage _ _)

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
s : Set E
f : E → F
n✝ : WithTop ℕ∞
x : G
g : G →L[𝕜] E
n : ℕ∞
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f s (g x)
m : ℕ
hm : ↑m ≤ n
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert (g x) s] g x
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
hp : HasFTaylorSeriesUpToOn (↑m) f p u
⊢ MapsTo (⇑g) (insert x (⇑g ⁻¹' s)) (insert (g x) s)

Tactic:
exact (mapsTo_singleton.2 <| mem_singleton _).union_union (mapsTo_preimage _ _)

Result:
no goals