-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorField.lean
theorem mlieBracketWithin_congr_set' (y : M) (h : s =ᶠ[𝓝[{y}ᶜ] x] t) :
    mlieBracketWithin I V W s x = mlieBracketWithin I V W t x

Proof state:
case h.e_6.h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
s t : Set M
x : M
V W : (x : M) → TangentSpace I x
y : M
h : s =ᶠ[𝓝[{y}ᶜ] x] t
this : T1Space M
⊢ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I =ᶠ[𝓝[≠] ↑(extChartAt I x) x] ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∩ range ↑I

Tactic:
obtain ⟨u, u_mem, hu⟩ : ∃ u ∈ 𝓝 x, u ∩ {x}ᶜ ⊆ {y | (y ∈ s) = (y ∈ t)} :=
  mem_nhdsWithin_iff_exists_mem_nhds_inter.1 (nhdsWithin_compl_singleton_le x y h)

Result:
case h.e_6.h.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
s t : Set M
x : M
V W : (x : M) → TangentSpace I x
y : M
h : s =ᶠ[𝓝[{y}ᶜ] x] t
this : T1Space M
u : Set M
u_mem : u ∈ 𝓝 x
hu : u ∩ {x}ᶜ ⊆ {y | (y ∈ s) = (y ∈ t)}
⊢ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I =ᶠ[𝓝[≠] ↑(extChartAt I x) x] ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∩ range ↑I

Proof state:
case h.e_6.h.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
s t : Set M
x : M
V W : (x : M) → TangentSpace I x
y : M
h : s =ᶠ[𝓝[{y}ᶜ] x] t
this : T1Space M
u : Set M
u_mem : u ∈ 𝓝 x
hu : u ∩ {x}ᶜ ⊆ {y | (y ∈ s) = (y ∈ t)}
⊢ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I =ᶠ[𝓝[≠] ↑(extChartAt I x) x] ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∩ range ↑I

Tactic:
rw [← extChartAt_to_inv (I := I) x] at u_mem

Result:
case h.e_6.h.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
s t : Set M
x : M
V W : (x : M) → TangentSpace I x
y : M
h : s =ᶠ[𝓝[{y}ᶜ] x] t
this : T1Space M
u : Set M
u_mem : u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x).symm (↑(extChartAt I x) x))
hu : u ∩ {x}ᶜ ⊆ {y | (y ∈ s) = (y ∈ t)}
⊢ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I =ᶠ[𝓝[≠] ↑(extChartAt I x) x] ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∩ range ↑I

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
s t : Set M
x : M
V W : (x : M) → TangentSpace I x
y : M
h : s =ᶠ[𝓝[{y}ᶜ] x] t
this : T1Space M
u : Set M
u_mem : u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x).symm (↑(extChartAt I x) x))
hu : u ∩ {x}ᶜ ⊆ {y | (y ∈ s) = (y ∈ t)}
B : (extChartAt I x).target ∪ (range ↑I)ᶜ ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x) x)
z : E
h'z : z ∈ {↑(extChartAt I x) x}ᶜ
hIz : z ∈ range ↑I
hz : ↑(extChartAt I x).symm z ∈ u ∧ z ∈ (extChartAt I x).target
⊢ ↑(extChartAt I x).symm z ∈ {x}ᶜ

Tactic:
simp only [mem_compl_iff, mem_singleton_iff, ne_comm, ne_eq] at h'z ⊢

Result:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
s t : Set M
x : M
V W : (x : M) → TangentSpace I x
y : M
h : s =ᶠ[𝓝[{y}ᶜ] x] t
this : T1Space M
u : Set M
u_mem : u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x).symm (↑(extChartAt I x) x))
hu : u ∩ {x}ᶜ ⊆ {y | (y ∈ s) = (y ∈ t)}
B : (extChartAt I x).target ∪ (range ↑I)ᶜ ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x) x)
z : E
hIz : z ∈ range ↑I
hz : ↑(extChartAt I x).symm z ∈ u ∧ z ∈ (extChartAt I x).target
h'z : ¬z = ↑(extChartAt I x) x
⊢ ¬x = ↑(extChartAt I x).symm z

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
s t : Set M
x : M
V W : (x : M) → TangentSpace I x
y : M
h : s =ᶠ[𝓝[{y}ᶜ] x] t
this : T1Space M
u : Set M
u_mem : u ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x).symm (↑(extChartAt I x) x))
hu : u ∩ {x}ᶜ ⊆ {y | (y ∈ s) = (y ∈ t)}
B : (extChartAt I x).target ∪ (range ↑I)ᶜ ∈ 𝓝 (↑(extChartAt I x) x)
z : E
hIz : z ∈ range ↑I
hz : ↑(extChartAt I x).symm z ∈ u ∧ z ∈ (extChartAt I x).target
h'z : ¬z = ↑(extChartAt I x) x
⊢ ¬↑(extChartAt I x) x = z

Tactic:
exact Ne.symm h'z

Result:
no goals

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
s t : Set M
x : M
V W : (x : M) → TangentSpace I x
y : M
h : s =ᶠ[𝓝[{y}ᶜ] x] t
⊢ mlieBracketWithin I V W s x = mlieBracketWithin I V W t x

Tactic:
simp only [mlieBracketWithin_apply]

Result:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
s t : Set M
x : M
V W : (x : M) → TangentSpace I x
y : M
h : s =ᶠ[𝓝[{y}ᶜ] x] t
⊢ (mfderiv I 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x)) x).inverse
      (lieBracketWithin 𝕜 (mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) V (range ↑I))
        (mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) W (range ↑I)) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)
        (↑(extChartAt I x) x)) =
    (mfderiv I 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x)) x).inverse
      (lieBracketWithin 𝕜 (mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) V (range ↑I))
        (mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) W (range ↑I)) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∩ range ↑I)
        (↑(extChartAt I x) x))

Proof state:
case h.e_6.h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
s t : Set M
x : M
V W : (x : M) → TangentSpace I x
y : M
h : s =ᶠ[𝓝[{y}ᶜ] x] t
this : T1Space M
⊢ lieBracketWithin 𝕜 (mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) V (range ↑I))
      (mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) W (range ↑I)) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)
      (↑(extChartAt I x) x) =
    lieBracketWithin 𝕜 (mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) V (range ↑I))
      (mpullbackWithin 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) W (range ↑I)) (↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∩ range ↑I)
      (↑(extChartAt I x) x)

Tactic:
suffices A : ((extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range I : Set E)
  =ᶠ[𝓝[{(extChartAt I x) x}ᶜ] (extChartAt I x x)]
    ((extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∩ range I : Set E) by
  apply lieBracketWithin_congr_set' _ A

Result:
case h.e_6.h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H M
s t : Set M
x : M
V W : (x : M) → TangentSpace I x
y : M
h : s =ᶠ[𝓝[{y}ᶜ] x] t
this : T1Space M
⊢ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I =ᶠ[𝓝[≠] ↑(extChartAt I x) x] ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' t ∩ range ↑I