-- Mathlib/CategoryTheory/Filtered/Final.lean
theorem isCofiltered_costructuredArrow_of_isCofiltered_of_exists [IsCofilteredOrEmpty C]
    (h₁ : ∀ d, ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)) (h₂ : ∀ {d : D} {c : C} (s s' : F.obj c ⟶ d),
      ∃ (c' : C) (t : c' ⟶ c), F.map t ≫ s = F.map t ≫ s') (d : D) :
    IsCofiltered (CostructuredArrow F d)

Proof state:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C
h₁ : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)
h₂ : ∀ {d : D} {c : C} (s s' : F.obj c ⟶ d), ∃ c' t, F.map t ≫ s = F.map t ≫ s'
d : D
⊢ IsFiltered (CostructuredArrow F d)ᵒᵖ

Tactic:
suffices IsFiltered (StructuredArrow (op d) F.op) from
  IsFiltered.of_equivalence (costructuredArrowOpEquivalence _ _).symm

Result:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C
h₁ : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)
h₂ : ∀ {d : D} {c : C} (s s' : F.obj c ⟶ d), ∃ c' t, F.map t ≫ s = F.map t ≫ s'
d : D
⊢ IsFiltered (StructuredArrow (op d) F.op)

Proof state:
case h₂
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C
h₁ : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)
h₂ : ∀ {d : D} {c : C} (s s' : F.obj c ⟶ d), ∃ c' t, F.map t ≫ s = F.map t ≫ s'
d✝ : D
d : Dᵒᵖ
c : Cᵒᵖ
s s' : d ⟶ F.op.obj c
⊢ ∃ c' t, s ≫ F.op.map t = s' ≫ F.op.map t

Tactic:
obtain ⟨c', t, ht⟩ := h₂ s.unop s'.unop

Result:
case h₂.intro.intro
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C
h₁ : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)
h₂ : ∀ {d : D} {c : C} (s s' : F.obj c ⟶ d), ∃ c' t, F.map t ≫ s = F.map t ≫ s'
d✝ : D
d : Dᵒᵖ
c : Cᵒᵖ
s s' : d ⟶ F.op.obj c
c' : C
t : c' ⟶ unop c
ht : F.map t ≫ s.unop = F.map t ≫ s'.unop
⊢ ∃ c' t, s ≫ F.op.map t = s' ≫ F.op.map t

Proof state:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C
h₁ : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)
h₂ : ∀ {d : D} {c : C} (s s' : F.obj c ⟶ d), ∃ c' t, F.map t ≫ s = F.map t ≫ s'
d : D
⊢ IsFiltered (StructuredArrow (op d) F.op)

Tactic:
apply isFiltered_structuredArrow_of_isFiltered_of_exists

Result:
case h₁
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C
h₁ : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)
h₂ : ∀ {d : D} {c : C} (s s' : F.obj c ⟶ d), ∃ c' t, F.map t ≫ s = F.map t ≫ s'
d : D
⊢ ∀ (d : Dᵒᵖ), ∃ c, Nonempty (d ⟶ F.op.obj c)

case h₂
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C
h₁ : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)
h₂ : ∀ {d : D} {c : C} (s s' : F.obj c ⟶ d), ∃ c' t, F.map t ≫ s = F.map t ≫ s'
d : D
⊢ ∀ {d : Dᵒᵖ} {c : Cᵒᵖ} (s s' : d ⟶ F.op.obj c), ∃ c' t, s ≫ F.op.map t = s' ≫ F.op.map t

Proof state:
case h₂.intro.intro
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C
h₁ : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)
h₂ : ∀ {d : D} {c : C} (s s' : F.obj c ⟶ d), ∃ c' t, F.map t ≫ s = F.map t ≫ s'
d✝ : D
d : Dᵒᵖ
c : Cᵒᵖ
s s' : d ⟶ F.op.obj c
c' : C
t : c' ⟶ unop c
ht : F.map t ≫ s.unop = F.map t ≫ s'.unop
⊢ ∃ c' t, s ≫ F.op.map t = s' ≫ F.op.map t

Tactic:
exact ⟨op c', Quiver.Hom.op t, Quiver.Hom.unop_inj ht⟩

Result:
no goals

Proof state:
case h₁
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C
h₁ : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)
h₂ : ∀ {d : D} {c : C} (s s' : F.obj c ⟶ d), ∃ c' t, F.map t ≫ s = F.map t ≫ s'
d : D
⊢ ∀ (d : Dᵒᵖ), ∃ c, Nonempty (d ⟶ F.op.obj c)

Tactic:
intro d

Result:
case h₁
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C
h₁ : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)
h₂ : ∀ {d : D} {c : C} (s s' : F.obj c ⟶ d), ∃ c' t, F.map t ≫ s = F.map t ≫ s'
d✝ : D
d : Dᵒᵖ
⊢ ∃ c, Nonempty (d ⟶ F.op.obj c)

Proof state:
case h₁
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C
h₁ : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)
h₂ : ∀ {d : D} {c : C} (s s' : F.obj c ⟶ d), ∃ c' t, F.map t ≫ s = F.map t ≫ s'
d✝ : D
d : Dᵒᵖ
⊢ ∃ c, Nonempty (d ⟶ F.op.obj c)

Tactic:
obtain ⟨c, ⟨t⟩⟩ := h₁ d.unop

Result:
case h₁.intro.intro
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C
h₁ : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)
h₂ : ∀ {d : D} {c : C} (s s' : F.obj c ⟶ d), ∃ c' t, F.map t ≫ s = F.map t ≫ s'
d✝ : D
d : Dᵒᵖ
c : C
t : F.obj c ⟶ unop d
⊢ ∃ c, Nonempty (d ⟶ F.op.obj c)

Proof state:
case h₂
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C
h₁ : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)
h₂ : ∀ {d : D} {c : C} (s s' : F.obj c ⟶ d), ∃ c' t, F.map t ≫ s = F.map t ≫ s'
d : D
⊢ ∀ {d : Dᵒᵖ} {c : Cᵒᵖ} (s s' : d ⟶ F.op.obj c), ∃ c' t, s ≫ F.op.map t = s' ≫ F.op.map t

Tactic:
intro d c s s'

Result:
case h₂
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C
h₁ : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)
h₂ : ∀ {d : D} {c : C} (s s' : F.obj c ⟶ d), ∃ c' t, F.map t ≫ s = F.map t ≫ s'
d✝ : D
d : Dᵒᵖ
c : Cᵒᵖ
s s' : d ⟶ F.op.obj c
⊢ ∃ c' t, s ≫ F.op.map t = s' ≫ F.op.map t

Proof state:
case h₁.intro.intro
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C
h₁ : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)
h₂ : ∀ {d : D} {c : C} (s s' : F.obj c ⟶ d), ∃ c' t, F.map t ≫ s = F.map t ≫ s'
d✝ : D
d : Dᵒᵖ
c : C
t : F.obj c ⟶ unop d
⊢ ∃ c, Nonempty (d ⟶ F.op.obj c)

Tactic:
exact ⟨op c, ⟨Quiver.Hom.op t⟩⟩

Result:
no goals

Proof state:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C
h₁ : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)
h₂ : ∀ {d : D} {c : C} (s s' : F.obj c ⟶ d), ∃ c' t, F.map t ≫ s = F.map t ≫ s'
d : D
⊢ IsCofiltered (CostructuredArrow F d)

Tactic:
suffices IsFiltered (CostructuredArrow F d)ᵒᵖ from isCofiltered_of_isFiltered_op _

Result:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
inst✝ : IsCofilteredOrEmpty C
h₁ : ∀ (d : D), ∃ c, Nonempty (F.obj c ⟶ d)
h₂ : ∀ {d : D} {c : C} (s s' : F.obj c ⟶ d), ∃ c' t, F.map t ≫ s = F.map t ≫ s'
d : D
⊢ IsFiltered (CostructuredArrow F d)ᵒᵖ