-- Mathlib/RingTheory/LocalProperties/Submodule.lean
theorem Module.eq_of_localization_maximal (m m' : M)
    (h : ∀ (P : Ideal R) [P.IsMaximal], f P m = f P m') :
    m = m'

Proof state:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
Mₚ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Type u_5
inst✝² : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → AddCommMonoid (Mₚ P)
inst✝¹ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Module R (Mₚ P)
f : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → M →ₗ[R] Mₚ P
inst✝ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsLocalizedModule P.primeCompl (f P)
m m' : M
h : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], (f P) m = (f P) m'
⊢ 1 • m = 1 • m'

Tactic:
by_contra ne

Result:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
Mₚ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Type u_5
inst✝² : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → AddCommMonoid (Mₚ P)
inst✝¹ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Module R (Mₚ P)
f : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → M →ₗ[R] Mₚ P
inst✝ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsLocalizedModule P.primeCompl (f P)
m m' : M
h : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], (f P) m = (f P) m'
ne : ¬1 • m = 1 • m'
⊢ False

Proof state:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
Mₚ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Type u_5
inst✝² : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → AddCommMonoid (Mₚ P)
inst✝¹ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Module R (Mₚ P)
f : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → M →ₗ[R] Mₚ P
inst✝ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsLocalizedModule P.primeCompl (f P)
m m' : M
h : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], (f P) m = (f P) m'
⊢ m = m'

Tactic:
rw [← one_smul R m, ← one_smul R m']

Result:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
Mₚ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Type u_5
inst✝² : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → AddCommMonoid (Mₚ P)
inst✝¹ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Module R (Mₚ P)
f : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → M →ₗ[R] Mₚ P
inst✝ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsLocalizedModule P.primeCompl (f P)
m m' : M
h : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], (f P) m = (f P) m'
⊢ 1 • m = 1 • m'

Proof state:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
Mₚ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Type u_5
inst✝² : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → AddCommMonoid (Mₚ P)
inst✝¹ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Module R (Mₚ P)
f : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → M →ₗ[R] Mₚ P
inst✝ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsLocalizedModule P.primeCompl (f P)
m m' : M
h : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], (f P) m = (f P) m'
ne : ¬1 • m = 1 • m'
P : Ideal R
mP : P.IsMaximal
le : eqIdeal R m m' ≤ P
s : ↥P.primeCompl
hs : s • m = s • m'
⊢ False

Tactic:
exact s.2 (le hs)

Result:
no goals

Proof state:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
Mₚ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Type u_5
inst✝² : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → AddCommMonoid (Mₚ P)
inst✝¹ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Module R (Mₚ P)
f : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → M →ₗ[R] Mₚ P
inst✝ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsLocalizedModule P.primeCompl (f P)
m m' : M
h : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], (f P) m = (f P) m'
ne : ¬1 • m = 1 • m'
⊢ False

Tactic:
have ⟨P, mP, le⟩ := (eqIdeal R m m').exists_le_maximal ((Ideal.ne_top_iff_one _).mpr ne)

Result:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
Mₚ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Type u_5
inst✝² : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → AddCommMonoid (Mₚ P)
inst✝¹ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Module R (Mₚ P)
f : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → M →ₗ[R] Mₚ P
inst✝ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsLocalizedModule P.primeCompl (f P)
m m' : M
h : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], (f P) m = (f P) m'
ne : ¬1 • m = 1 • m'
P : Ideal R
mP : P.IsMaximal
le : eqIdeal R m m' ≤ P
⊢ False

Proof state:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
Mₚ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Type u_5
inst✝² : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → AddCommMonoid (Mₚ P)
inst✝¹ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Module R (Mₚ P)
f : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → M →ₗ[R] Mₚ P
inst✝ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsLocalizedModule P.primeCompl (f P)
m m' : M
h : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], (f P) m = (f P) m'
ne : ¬1 • m = 1 • m'
P : Ideal R
mP : P.IsMaximal
le : eqIdeal R m m' ≤ P
⊢ False

Tactic:
have ⟨s, hs⟩ := (IsLocalizedModule.eq_iff_exists P.primeCompl _).mp (h P)

Result:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
Mₚ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Type u_5
inst✝² : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → AddCommMonoid (Mₚ P)
inst✝¹ : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → Module R (Mₚ P)
f : (P : Ideal R) → [inst : P.IsMaximal] → M →ₗ[R] Mₚ P
inst✝ : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], IsLocalizedModule P.primeCompl (f P)
m m' : M
h : ∀ (P : Ideal R) [inst : P.IsMaximal], (f P) m = (f P) m'
ne : ¬1 • m = 1 • m'
P : Ideal R
mP : P.IsMaximal
le : eqIdeal R m m' ≤ P
s : ↥P.primeCompl
hs : s • m = s • m'
⊢ False