-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
theorem weight_vector_multiplication (M₁ M₂ M₃ : Type*)
    [AddCommGroup M₁] [Module R M₁] [LieRingModule L M₁] [LieModule R L M₁] [AddCommGroup M₂]
    [Module R M₂] [LieRingModule L M₂] [LieModule R L M₂] [AddCommGroup M₃] [Module R M₃]
    [LieRingModule L M₃] [LieModule R L M₃] (g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M₃) (χ₁ χ₂ : R) (x : L) :
    LinearMap.range ((g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ[R] M₃).comp (mapIncl 𝕎(M₁, χ₁, x) 𝕎(M₂, χ₂, x))) ≤
      𝕎(M₃, χ₁ + χ₂, x)

Proof state:
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : LieRing L
inst✝¹² : LieAlgebra R L
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : LieRingModule L M₁
inst✝⁸ : LieModule R L M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : LieRingModule L M₂
inst✝⁴ : LieModule R L M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : LieRingModule L M₃
inst✝ : LieModule R L M₃
g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M₃
χ₁ χ₂ : R
x : L
⊢ LinearMap.range (↑g ∘ₗ TensorProduct.mapIncl 𝕎(M₁, χ₁, x) 𝕎(M₂, χ₂, x)) ≤ 𝕎(M₃, χ₁ + χ₂, x)

Tactic:
intro m₃

Result:
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : LieRing L
inst✝¹² : LieAlgebra R L
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : LieRingModule L M₁
inst✝⁸ : LieModule R L M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : LieRingModule L M₂
inst✝⁴ : LieModule R L M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : LieRingModule L M₃
inst✝ : LieModule R L M₃
g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M₃
χ₁ χ₂ : R
x : L
m₃ : M₃
⊢ m₃ ∈ LinearMap.range (↑g ∘ₗ TensorProduct.mapIncl 𝕎(M₁, χ₁, x) 𝕎(M₂, χ₂, x)) → m₃ ∈ 𝕎(M₃, χ₁ + χ₂, x)

Proof state:
case refine_2
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : LieRing L
inst✝¹² : LieAlgebra R L
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : LieRingModule L M₁
inst✝⁸ : LieModule R L M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : LieRingModule L M₂
inst✝⁴ : LieModule R L M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : LieRingModule L M₃
inst✝ : LieModule R L M₃
g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M₃
χ₁ χ₂ : R
x : L
t : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)
F : Module.End R M₃ := (toEnd R L M₃) x - (χ₁ + χ₂) • 1
⊢ ∀ (x_1 : ↥𝕎(M₁, χ₁, x)) (y : ↥𝕎(M₂, χ₂, x)),
    ∃ k,
      (((toEnd R L M₃) x - (χ₁ + χ₂) • 1) ^ k)
          (g ((TensorProduct.map 𝕎(M₁, χ₁, x).subtype 𝕎(M₂, χ₂, x).subtype) (x_1 ⊗ₜ[R] y))) =
        0

Tactic:
rintro ⟨m₁, hm₁⟩ ⟨m₂, hm₂⟩

Result:
case refine_2.mk.mk
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : LieRing L
inst✝¹² : LieAlgebra R L
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : LieRingModule L M₁
inst✝⁸ : LieModule R L M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : LieRingModule L M₂
inst✝⁴ : LieModule R L M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : LieRingModule L M₃
inst✝ : LieModule R L M₃
g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M₃
χ₁ χ₂ : R
x : L
t : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)
F : Module.End R M₃ := (toEnd R L M₃) x - (χ₁ + χ₂) • 1
m₁ : M₁
hm₁ : m₁ ∈ 𝕎(M₁, χ₁, x)
m₂ : M₂
hm₂ : m₂ ∈ 𝕎(M₂, χ₂, x)
⊢ ∃ k,
    (((toEnd R L M₃) x - (χ₁ + χ₂) • 1) ^ k)
        (g ((TensorProduct.map 𝕎(M₁, χ₁, x).subtype 𝕎(M₂, χ₂, x).subtype) (⟨m₁, hm₁⟩ ⊗ₜ[R] ⟨m₂, hm₂⟩))) =
      0

Proof state:
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : LieRing L
inst✝¹² : LieAlgebra R L
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : LieRingModule L M₁
inst✝⁸ : LieModule R L M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : LieRingModule L M₂
inst✝⁴ : LieModule R L M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : LieRingModule L M₃
inst✝ : LieModule R L M₃
g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M₃
χ₁ χ₂ : R
x : L
m₃ : M₃
⊢ ∀ (x_1 : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)),
    g ((TensorProduct.map 𝕎(M₁, χ₁, x).subtype 𝕎(M₂, χ₂, x).subtype) x_1) = m₃ →
      ∃ k, (((toEnd R L M₃) x - (χ₁ + χ₂) • 1) ^ k) m₃ = 0

Tactic:
rintro t rfl

Result:
R : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁴ : CommRing R
inst✝¹³ : LieRing L
inst✝¹² : LieAlgebra R L
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
inst✝¹¹ : AddCommGroup M₁
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : LieRingModule L M₁
inst✝⁸ : LieModule R L M₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : Module R M₂
inst✝⁵ : LieRingModule L M₂
inst✝⁴ : LieModule R L M₂
inst✝³ : AddCommGroup M₃
inst✝² : Module R M₃
inst✝¹ : LieRingModule L M₃
inst✝ : LieModule R L M₃
g : M₁ ⊗[R] M₂ →ₗ⁅R,L⁆ M₃
χ₁ χ₂ : R
x : L
t : ↥𝕎(M₁, χ₁, x) ⊗[R] ↥𝕎(M₂, χ₂, x)
⊢ ∃ k,
    (((toEnd R L M₃) x - (χ₁ + χ₂) • 1) ^ k) (g ((TensorProduct.map 𝕎(M₁, χ₁, x).subtype 𝕎(M₂, χ₂, x).subtype) t)) = 0