-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/FilteredColimitCommutesFiniteLimit.lean
theorem colimitLimitToLimitColimit_surjective :
    Function.Surjective (colimitLimitToLimitColimit F)

Proof state:
J : Type u₁
K : Type u₂
inst✝⁴ : SmallCategory J
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} K
inst✝² : Small.{v, u₂} K
inst✝¹ : FinCategory J
F : J × K ⥤ Type v
inst✝ : IsFiltered K
x : limit (curry.obj F ⋙ colim)
k : J → K
y : (j : J) → F.obj (j, k j)
e : ∀ (j : J), colimit.ι ((curry.obj F).obj j) (k j) (y j) = limit.π (curry.obj F ⋙ colim) j x
k' : K
g : (j : J) → k j ⟶ k'
⊢ ∃ a, colimitLimitToLimitColimit F a = x

Tactic:
have w :
  ∀ {j j' : J} (f : j ⟶ j'),
    colimit.ι ((curry.obj F).obj j') k' (F.map ((𝟙 j', g j') : (j', k j') ⟶ (j', k')) (y j')) =
      colimit.ι ((curry.obj F).obj j') k' (F.map ((f, g j) : (j, k j) ⟶ (j', k')) (y j)) := by
  intro j j' f
  have t : (f, g j) =
      (((f, 𝟙 (k j)) : (j, k j) ⟶ (j', k j)) ≫ (𝟙 j', g j) : (j, k j) ⟶ (j', k')) := by
    simp only [id_comp, comp_id, prod_comp]
  erw [Colimit.w_apply, t, FunctorToTypes.map_comp_apply, Colimit.w_apply, e,
    ← Limit.w_apply.{u₁, v, u₁} f, ← e]
  simp only [Functor.comp_map, Types.Colimit.ι_map_apply, curry_obj_map_app]

Result:
J : Type u₁
K : Type u₂
inst✝⁴ : SmallCategory J
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} K
inst✝² : Small.{v, u₂} K
inst✝¹ : FinCategory J
F : J × K ⥤ Type v
inst✝ : IsFiltered K
x : limit (curry.obj F ⋙ colim)
k : J → K
y : (j : J) → F.obj (j, k j)
e : ∀ (j : J), colimit.ι ((curry.obj F).obj j) (k j) (y j) = limit.π (curry.obj F ⋙ colim) j x
k' : K
g : (j : J) → k j ⟶ k'
w :
  ∀ {j j' : J} (f : j ⟶ j'),
    colimit.ι ((curry.obj F).obj j') k' (F.map (𝟙 j', g j') (y j')) =
      colimit.ι ((curry.obj F).obj j') k' (F.map (f, g j) (y j))
⊢ ∃ a, colimitLimitToLimitColimit F a = x

Proof state:
J : Type u₁
K : Type u₂
inst✝⁴ : SmallCategory J
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} K
inst✝² : Small.{v, u₂} K
inst✝¹ : FinCategory J
F : J × K ⥤ Type v
inst✝ : IsFiltered K
x : limit (curry.obj F ⋙ colim)
k : J → K
y : (j : J) → F.obj (j, k j)
e : ∀ (j : J), colimit.ι ((curry.obj F).obj j) (k j) (y j) = limit.π (curry.obj F ⋙ colim) j x
k' : K := IsFiltered.sup (Finset.image k Finset.univ) ∅
⊢ ∃ a, colimitLimitToLimitColimit F a = x

Tactic:
have g : ∀ j, k j ⟶ k' := fun j => IsFiltered.toSup (Finset.univ.image k) ∅ (by simp)

Result:
J : Type u₁
K : Type u₂
inst✝⁴ : SmallCategory J
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} K
inst✝² : Small.{v, u₂} K
inst✝¹ : FinCategory J
F : J × K ⥤ Type v
inst✝ : IsFiltered K
x : limit (curry.obj F ⋙ colim)
k : J → K
y : (j : J) → F.obj (j, k j)
e : ∀ (j : J), colimit.ι ((curry.obj F).obj j) (k j) (y j) = limit.π (curry.obj F ⋙ colim) j x
k' : K := IsFiltered.sup (Finset.image k Finset.univ) ∅
g : (j : J) → k j ⟶ k'
⊢ ∃ a, colimitLimitToLimitColimit F a = x

Proof state:
J : Type u₁
K : Type u₂
inst✝⁴ : SmallCategory J
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} K
inst✝² : Small.{v, u₂} K
inst✝¹ : FinCategory J
F : J × K ⥤ Type v
inst✝ : IsFiltered K
x : limit (curry.obj F ⋙ colim)
z : ∀ (j : J), ∃ j_1 y, colimit.ι ((curry.obj F).obj j) j_1 y = limit.π (curry.obj F ⋙ colim) j x
k : J → K
y : (j : J) → F.obj (j, k j)
e : ∀ (j : J), colimit.ι ((curry.obj F).obj j) (k j) (y j) = limit.π (curry.obj F ⋙ colim) j x
⊢ ∃ a, colimitLimitToLimitColimit F a = x

Tactic:
clear z

Result:
J : Type u₁
K : Type u₂
inst✝⁴ : SmallCategory J
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} K
inst✝² : Small.{v, u₂} K
inst✝¹ : FinCategory J
F : J × K ⥤ Type v
inst✝ : IsFiltered K
x : limit (curry.obj F ⋙ colim)
k : J → K
y : (j : J) → F.obj (j, k j)
e : ∀ (j : J), colimit.ι ((curry.obj F).obj j) (k j) (y j) = limit.π (curry.obj F ⋙ colim) j x
⊢ ∃ a, colimitLimitToLimitColimit F a = x

Proof state:
J : Type u₁
K : Type u₂
inst✝⁴ : SmallCategory J
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} K
inst✝² : Small.{v, u₂} K
inst✝¹ : FinCategory J
F : J × K ⥤ Type v
inst✝ : IsFiltered K
x : limit (curry.obj F ⋙ colim)
k : J → K
y : (j : J) → F.obj (j, k j)
e : ∀ (j : J), colimit.ι ((curry.obj F).obj j) (k j) (y j) = limit.π (curry.obj F ⋙ colim) j x
⊢ ∃ a, colimitLimitToLimitColimit F a = x

Tactic:
let k' : K := IsFiltered.sup (Finset.univ.image k) ∅

Result:
J : Type u₁
K : Type u₂
inst✝⁴ : SmallCategory J
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} K
inst✝² : Small.{v, u₂} K
inst✝¹ : FinCategory J
F : J × K ⥤ Type v
inst✝ : IsFiltered K
x : limit (curry.obj F ⋙ colim)
k : J → K
y : (j : J) → F.obj (j, k j)
e : ∀ (j : J), colimit.ι ((curry.obj F).obj j) (k j) (y j) = limit.π (curry.obj F ⋙ colim) j x
k' : K := IsFiltered.sup (Finset.image k Finset.univ) ∅
⊢ ∃ a, colimitLimitToLimitColimit F a = x

Proof state:
J : Type u₁
K : Type u₂
inst✝⁴ : SmallCategory J
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} K
inst✝² : Small.{v, u₂} K
inst✝¹ : FinCategory J
F : J × K ⥤ Type v
inst✝ : IsFiltered K
x : limit (curry.obj F ⋙ colim)
k : J → K
y : (j : J) → F.obj (j, k j)
e : ∀ (j : J), colimit.ι ((curry.obj F).obj j) (k j) (y j) = limit.π (curry.obj F ⋙ colim) j x
k' : K
g : (j : J) → k j ⟶ k'
kf : {j j' : J} → (j ⟶ j') → K
hf gf : {j j' : J} → (f : j ⟶ j') → k' ⟶ kf f
wf : ∀ {j j' : J} (f : j ⟶ j'), F.map (𝟙 j', g j' ≫ gf f) (y j') = F.map (f, g j ≫ hf f) (y j)
k'' : K
i : {j j' : J} → (f : j ⟶ j') → kf f ⟶ k''
s : ∀ {j₁ j₂ j₃ j₄ : J} (f : j₁ ⟶ j₂) (f' : j₃ ⟶ j₄), gf f ≫ i f = hf f' ≫ i f'
j j' : J
f : j ⟶ j'
⊢ F.map (𝟙 j', g j' ≫ gf f ≫ i f) (y j') = F.map (𝟙 j', g j' ≫ gf (𝟙 j') ≫ i (𝟙 j')) (y j')

Tactic:
rw [s f (𝟙 j'), ← s (𝟙 j') (𝟙 j')]

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro
J : Type u₁
K : Type u₂
inst✝⁴ : SmallCategory J
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} K
inst✝² : Small.{v, u₂} K
inst✝¹ : FinCategory J
F : J × K ⥤ Type v
inst✝ : IsFiltered K
x : limit (curry.obj F ⋙ colim)
k : J → K
y : (j : J) → F.obj (j, k j)
e : ∀ (j : J), colimit.ι ((curry.obj F).obj j) (k j) (y j) = limit.π (curry.obj F ⋙ colim) j x
k' : K
g : (j : J) → k j ⟶ k'
kf : {j j' : J} → (j ⟶ j') → K
hf gf : {j j' : J} → (f : j ⟶ j') → k' ⟶ kf f
wf : ∀ {j j' : J} (f : j ⟶ j'), F.map (𝟙 j', g j' ≫ gf f) (y j') = F.map (f, g j ≫ hf f) (y j)
O : Finset K := (Finset.univ.biUnion fun j => Finset.univ.biUnion fun j' => Finset.image kf Finset.univ) ∪ {k'}
kfO : ∀ {j j' : J} (f : j ⟶ j'), kf f ∈ O
k'O : k' ∈ O
H : Finset ((X : K) ×' (Y : K) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)) :=
  Finset.univ.biUnion fun j =>
    Finset.univ.biUnion fun j' =>
      Finset.univ.biUnion fun f => {⟨k', ⟨kf f, ⟨k'O, ⟨⋯, gf f⟩⟩⟩⟩, ⟨k', ⟨kf f, ⟨k'O, ⟨⋯, hf f⟩⟩⟩⟩}
k'' : K
i' : {X : K} → X ∈ O → (X ⟶ k'')
s' : ∀ {X Y : K} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H → f ≫ i' mY = i' mX
i : {j j' : J} → (f : j ⟶ j') → kf f ⟶ k''
s : ∀ {j₁ j₂ j₃ j₄ : J} (f : j₁ ⟶ j₂) (f' : j₃ ⟶ j₄), gf f ≫ i f = hf f' ≫ i f'
⊢ ∃ a, colimitLimitToLimitColimit F a = x

Tactic:
clear s' i' H kfO k'O O

Result:
case intro.intro
J : Type u₁
K : Type u₂
inst✝⁴ : SmallCategory J
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} K
inst✝² : Small.{v, u₂} K
inst✝¹ : FinCategory J
F : J × K ⥤ Type v
inst✝ : IsFiltered K
x : limit (curry.obj F ⋙ colim)
k : J → K
y : (j : J) → F.obj (j, k j)
e : ∀ (j : J), colimit.ι ((curry.obj F).obj j) (k j) (y j) = limit.π (curry.obj F ⋙ colim) j x
k' : K
g : (j : J) → k j ⟶ k'
kf : {j j' : J} → (j ⟶ j') → K
hf gf : {j j' : J} → (f : j ⟶ j') → k' ⟶ kf f
wf : ∀ {j j' : J} (f : j ⟶ j'), F.map (𝟙 j', g j' ≫ gf f) (y j') = F.map (f, g j ≫ hf f) (y j)
k'' : K
i : {j j' : J} → (f : j ⟶ j') → kf f ⟶ k''
s : ∀ {j₁ j₂ j₃ j₄ : J} (f : j₁ ⟶ j₂) (f' : j₃ ⟶ j₄), gf f ≫ i f = hf f' ≫ i f'
⊢ ∃ a, colimitLimitToLimitColimit F a = x