-- Mathlib/AlgebraicTopology/RelativeCellComplex/AttachCells.lean
lemma nonempty_attachCells_iff :
    Nonempty (AttachCells.{w} g f) ↔ (coproducts.{w} (ofHoms g)).pushouts f

Proof state:
case mpr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.mk
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
α : Type t
A B : α → C
g : (a : α) → A a ⟶ B a
X₁ X₂ : C
f : X₁ ⟶ X₂
ι : Type w
X Y : C
F₁ F₂ : Discrete ι ⥤ C
c₁ : Cocone F₁
c₂ : Cocone F₂
h₁ : IsColimit c₁
h₂ : IsColimit c₂
φ : F₁ ⟶ F₂
hφ : (ofHoms g).functorCategory (Discrete ι) φ
g₁ : c₁.pt ⟶ X₁
g₂ : { pt := c₂.pt, ι := φ ≫ c₂.ι }.pt ⟶ X₂
sq : IsPushout g₁ (h₁.desc { pt := c₂.pt, ι := φ ≫ c₂.ι }) f g₂
π : ι → α := fun i => ⋯.choose
e : (i : ι) → Arrow.mk (φ.app { as := i }) ≅ Arrow.mk (g (π i)) := fun i => eqToIso ⋯
⊢ Nonempty (AttachCells g f)

Tactic:
let e₁ (i : ι) : F₁.obj ⟨i⟩ ≅ A (π i) := Arrow.leftFunc.mapIso (e i)

Result:
case mpr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.mk
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
α : Type t
A B : α → C
g : (a : α) → A a ⟶ B a
X₁ X₂ : C
f : X₁ ⟶ X₂
ι : Type w
X Y : C
F₁ F₂ : Discrete ι ⥤ C
c₁ : Cocone F₁
c₂ : Cocone F₂
h₁ : IsColimit c₁
h₂ : IsColimit c₂
φ : F₁ ⟶ F₂
hφ : (ofHoms g).functorCategory (Discrete ι) φ
g₁ : c₁.pt ⟶ X₁
g₂ : { pt := c₂.pt, ι := φ ≫ c₂.ι }.pt ⟶ X₂
sq : IsPushout g₁ (h₁.desc { pt := c₂.pt, ι := φ ≫ c₂.ι }) f g₂
π : ι → α := fun i => ⋯.choose
e : (i : ι) → Arrow.mk (φ.app { as := i }) ≅ Arrow.mk (g (π i)) := fun i => eqToIso ⋯
e₁ : (i : ι) → F₁.obj { as := i } ≅ A (π i) := fun i => Arrow.leftFunc.mapIso (e i)
⊢ Nonempty (AttachCells g f)

Proof state:
case mpr.intro.intro.intro.intro.intro.intro
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
α : Type t
A B : α → C
g : (a : α) → A a ⟶ B a
X₁ X₂ : C
f : X₁ ⟶ X₂
Y₁ Y₂ : C
m : Y₁ ⟶ Y₂
g₁ : Y₁ ⟶ X₁
g₂ : Y₂ ⟶ X₂
h : ∃ J, (ofHoms g).colimitsOfShape (Discrete J) m
sq : IsPushout g₁ m f g₂
⊢ Nonempty (AttachCells g f)

Tactic:
obtain ⟨ι, ⟨F₁, F₂, c₁, c₂, h₁, h₂, φ, hφ⟩⟩ := h

Result:
case mpr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.mk
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
α : Type t
A B : α → C
g : (a : α) → A a ⟶ B a
X₁ X₂ : C
f : X₁ ⟶ X₂
ι : Type w
X Y : C
F₁ F₂ : Discrete ι ⥤ C
c₁ : Cocone F₁
c₂ : Cocone F₂
h₁ : IsColimit c₁
h₂ : IsColimit c₂
φ : F₁ ⟶ F₂
hφ : (ofHoms g).functorCategory (Discrete ι) φ
g₁ : c₁.pt ⟶ X₁
g₂ : { pt := c₂.pt, ι := φ ≫ c₂.ι }.pt ⟶ X₂
sq : IsPushout g₁ (h₁.desc { pt := c₂.pt, ι := φ ≫ c₂.ι }) f g₂
⊢ Nonempty (AttachCells g f)

Proof state:
case mp
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
α : Type t
A B : α → C
g : (a : α) → A a ⟶ B a
X₁ X₂ : C
f : X₁ ⟶ X₂
⊢ Nonempty (AttachCells g f) → (coproducts.{w, v, u} (ofHoms g)).pushouts f

Tactic:
rintro ⟨c⟩

Result:
case mp.intro
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
α : Type t
A B : α → C
g : (a : α) → A a ⟶ B a
X₁ X₂ : C
f : X₁ ⟶ X₂
c : AttachCells g f
⊢ (coproducts.{w, v, u} (ofHoms g)).pushouts f

Proof state:
case mpr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.mk
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
α : Type t
A B : α → C
g : (a : α) → A a ⟶ B a
X₁ X₂ : C
f : X₁ ⟶ X₂
ι : Type w
X Y : C
F₁ F₂ : Discrete ι ⥤ C
c₁ : Cocone F₁
c₂ : Cocone F₂
h₁ : IsColimit c₁
h₂ : IsColimit c₂
φ : F₁ ⟶ F₂
hφ : (ofHoms g).functorCategory (Discrete ι) φ
g₁ : c₁.pt ⟶ X₁
g₂ : { pt := c₂.pt, ι := φ ≫ c₂.ι }.pt ⟶ X₂
sq : IsPushout g₁ (h₁.desc { pt := c₂.pt, ι := φ ≫ c₂.ι }) f g₂
⊢ Nonempty (AttachCells g f)

Tactic:
let π (i : ι) : α := ((ofHoms_iff _ _).1 (hφ ⟨i⟩)).choose

Result:
case mpr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.mk
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
α : Type t
A B : α → C
g : (a : α) → A a ⟶ B a
X₁ X₂ : C
f : X₁ ⟶ X₂
ι : Type w
X Y : C
F₁ F₂ : Discrete ι ⥤ C
c₁ : Cocone F₁
c₂ : Cocone F₂
h₁ : IsColimit c₁
h₂ : IsColimit c₂
φ : F₁ ⟶ F₂
hφ : (ofHoms g).functorCategory (Discrete ι) φ
g₁ : c₁.pt ⟶ X₁
g₂ : { pt := c₂.pt, ι := φ ≫ c₂.ι }.pt ⟶ X₂
sq : IsPushout g₁ (h₁.desc { pt := c₂.pt, ι := φ ≫ c₂.ι }) f g₂
π : ι → α := fun i => ⋯.choose
⊢ Nonempty (AttachCells g f)

Proof state:
case mpr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.mk
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
α : Type t
A B : α → C
g : (a : α) → A a ⟶ B a
X₁ X₂ : C
f : X₁ ⟶ X₂
ι : Type w
X Y : C
F₁ F₂ : Discrete ι ⥤ C
c₁ : Cocone F₁
c₂ : Cocone F₂
h₁ : IsColimit c₁
h₂ : IsColimit c₂
φ : F₁ ⟶ F₂
hφ : (ofHoms g).functorCategory (Discrete ι) φ
g₁ : c₁.pt ⟶ X₁
g₂ : { pt := c₂.pt, ι := φ ≫ c₂.ι }.pt ⟶ X₂
sq : IsPushout g₁ (h₁.desc { pt := c₂.pt, ι := φ ≫ c₂.ι }) f g₂
π : ι → α := fun i => ⋯.choose
e : (i : ι) → Arrow.mk (φ.app { as := i }) ≅ Arrow.mk (g (π i)) := fun i => eqToIso ⋯
e₁ : (i : ι) → F₁.obj { as := i } ≅ A (π i) := fun i => Arrow.leftFunc.mapIso (e i)
⊢ Nonempty (AttachCells g f)

Tactic:
let e₂ (i : ι) : F₂.obj ⟨i⟩ ≅ B (π i) := Arrow.rightFunc.mapIso (e i)

Result:
case mpr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.mk
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
α : Type t
A B : α → C
g : (a : α) → A a ⟶ B a
X₁ X₂ : C
f : X₁ ⟶ X₂
ι : Type w
X Y : C
F₁ F₂ : Discrete ι ⥤ C
c₁ : Cocone F₁
c₂ : Cocone F₂
h₁ : IsColimit c₁
h₂ : IsColimit c₂
φ : F₁ ⟶ F₂
hφ : (ofHoms g).functorCategory (Discrete ι) φ
g₁ : c₁.pt ⟶ X₁
g₂ : { pt := c₂.pt, ι := φ ≫ c₂.ι }.pt ⟶ X₂
sq : IsPushout g₁ (h₁.desc { pt := c₂.pt, ι := φ ≫ c₂.ι }) f g₂
π : ι → α := fun i => ⋯.choose
e : (i : ι) → Arrow.mk (φ.app { as := i }) ≅ Arrow.mk (g (π i)) := fun i => eqToIso ⋯
e₁ : (i : ι) → F₁.obj { as := i } ≅ A (π i) := fun i => Arrow.leftFunc.mapIso (e i)
e₂ : (i : ι) → F₂.obj { as := i } ≅ B (π i) := fun i => Arrow.rightFunc.mapIso (e i)
⊢ Nonempty (AttachCells g f)