-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
theorem radius_shift (p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F) : p.shift.radius = p.radius

Proof state:
case h.h.inr.h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
C : ℝ
h : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r ^ n ≤ C
n : ℕ
hr : 0 < ↑r
⊢ ‖p (n + 1)‖ * ↑r ^ n ≤ C / ↑r

Tactic:
specialize h (n + 1)

Result:
case h.h.inr.h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
C : ℝ
n : ℕ
hr : 0 < ↑r
h : ‖p (n + 1)‖ * ↑r ^ (n + 1) ≤ C
⊢ ‖p (n + 1)‖ * ↑r ^ n ≤ C / ↑r

Proof state:
case h.h.inr.h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
C : ℝ
n : ℕ
hr : 0 < ↑r
h : ‖p (n + 1)‖ * ↑r ^ (n + 1) ≤ C
⊢ ‖p (n + 1)‖ * ↑r ^ n * ↑r ≤ C

Tactic:
rwa [pow_succ, ← mul_assoc] at h

Result:
no goals

Proof state:
case e_s.h.a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
⊢ ⨆ C, ⨆ (_ : ∀ (n : ℕ), ‖p (n + 1)‖ * ↑r ^ n ≤ C), ↑r ≤ ⨆ C, ⨆ (_ : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r ^ n ≤ C), ↑r

Tactic:
apply iSup_mono'

Result:
case e_s.h.a.h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
⊢ ∀ (i : ℝ), ∃ i', ⨆ (_ : ∀ (n : ℕ), ‖p (n + 1)‖ * ↑r ^ n ≤ i), ↑r ≤ ⨆ (_ : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r ^ n ≤ i'), ↑r

Proof state:
case h.h.inr.h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
C : ℝ
h : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r ^ n ≤ C
n : ℕ
hr : 0 < r
⊢ ‖p (n + 1)‖ * ↑r ^ n ≤ C / ↑r

Tactic:
rw [← NNReal.coe_pos] at hr

Result:
case h.h.inr.h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
C : ℝ
h : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r ^ n ≤ C
n : ℕ
hr : 0 < ↑r
⊢ ‖p (n + 1)‖ * ↑r ^ n ≤ C / ↑r

Proof state:
case h.h.inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
C : ℝ
h : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r ^ n ≤ C
n : ℕ
hr : 0 < r
⊢ ‖p (n + 1)‖ * ↑r ^ n ≤ ‖p 1‖ ∨ ‖p (n + 1)‖ * ↑r ^ n ≤ C / ↑r

Tactic:
right

Result:
case h.h.inr.h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
C : ℝ
h : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r ^ n ≤ C
n : ℕ
hr : 0 < r
⊢ ‖p (n + 1)‖ * ↑r ^ n ≤ C / ↑r

Proof state:
case e_s.h.a.h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
⊢ ∀ (i : ℝ), ∃ i', ⨆ (_ : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r ^ n ≤ i), ↑r ≤ ⨆ (_ : ∀ (n : ℕ), ‖p (n + 1)‖ * ↑r ^ n ≤ i'), ↑r

Tactic:
intro C

Result:
case e_s.h.a.h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
C : ℝ
⊢ ∃ i', ⨆ (_ : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r ^ n ≤ C), ↑r ≤ ⨆ (_ : ∀ (n : ℕ), ‖p (n + 1)‖ * ↑r ^ n ≤ i'), ↑r

Proof state:
case h.h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
C : ℝ
h : ∀ (n : ℕ), ‖p (n + 1)‖ * ↑r ^ n ≤ C
⊢ ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r ^ n ≤ ‖p 0‖ ∨ ‖p n‖ * ↑r ^ n ≤ C * ↑r

Tactic:
intro n

Result:
case h.h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
C : ℝ
h : ∀ (n : ℕ), ‖p (n + 1)‖ * ↑r ^ n ≤ C
n : ℕ
⊢ ‖p n‖ * ↑r ^ n ≤ ‖p 0‖ ∨ ‖p n‖ * ↑r ^ n ≤ C * ↑r

Proof state:
case h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
C : ℝ
⊢ ⨆ (_ : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r ^ n ≤ C), ↑r ≤ ⨆ (_ : ∀ (n : ℕ), ‖p (n + 1)‖ * ↑r ^ n ≤ ‖p 1‖ ⊔ C / ↑r), ↑r

Tactic:
apply iSup_mono'

Result:
case h.h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
C : ℝ
⊢ (∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r ^ n ≤ C) → ∃ (_ : ∀ (n : ℕ), ‖p (n + 1)‖ * ↑r ^ n ≤ ‖p 1‖ ⊔ C / ↑r), ↑r ≤ ↑r

Proof state:
case h.h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
C : ℝ
⊢ (∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r ^ n ≤ C) → ∃ (_ : ∀ (n : ℕ), ‖p (n + 1)‖ * ↑r ^ n ≤ ‖p 1‖ ⊔ C / ↑r), ↑r ≤ ↑r

Tactic:
intro h

Result:
case h.h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
C : ℝ
h : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r ^ n ≤ C
⊢ ∃ (_ : ∀ (n : ℕ), ‖p (n + 1)‖ * ↑r ^ n ≤ ‖p 1‖ ⊔ C / ↑r), ↑r ≤ ↑r

Proof state:
case e_s.h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
⊢ ⨆ C, ⨆ (_ : ∀ (n : ℕ), ‖p (n + 1)‖ * ↑r ^ n ≤ C), ↑r = ⨆ C, ⨆ (_ : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r ^ n ≤ C), ↑r

Tactic:
apply eq_of_le_of_le

Result:
case e_s.h.a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
⊢ ⨆ C, ⨆ (_ : ∀ (n : ℕ), ‖p (n + 1)‖ * ↑r ^ n ≤ C), ↑r ≤ ⨆ C, ⨆ (_ : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r ^ n ≤ C), ↑r

case e_s.h.a
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
r : ℝ≥0
⊢ ⨆ C, ⨆ (_ : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r ^ n ≤ C), ↑r ≤ ⨆ C, ⨆ (_ : ∀ (n : ℕ), ‖p (n + 1)‖ * ↑r ^ n ≤ C), ↑r