-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Chain.lean
lemma genWeightSpace_zsmul_add_ne_bot {n : ℤ}
    (hn : -chainBotCoeff α β ≤ n) (hn' : n ≤ chainTopCoeff α β) :
      genWeightSpace M (n • α + β : L → R) ≠ ⊥

Proof state:
case negSucc
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieRing.IsNilpotent L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
n : ℕ
hn : -↑(chainBotCoeff α β) ≤ Int.negSucc n
hn' : Int.negSucc n ≤ ↑(chainTopCoeff α β)
⊢ genWeightSpace M (Int.negSucc n • α + ⇑β) ≠ ⊥

Tactic:
simp only [Int.negSucc_eq, ← Nat.cast_succ, neg_le_neg_iff, Nat.cast_le] at hn ⊢

Result:
case negSucc
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieRing.IsNilpotent L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
n : ℕ
hn' : Int.negSucc n ≤ ↑(chainTopCoeff α β)
hn : n.succ ≤ chainBotCoeff α β
⊢ genWeightSpace M (-↑n.succ • α + ⇑β) ≠ ⊥

Proof state:
case negSucc
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieRing.IsNilpotent L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
n : ℕ
hn' : Int.negSucc n ≤ ↑(chainTopCoeff α β)
hn : n.succ ≤ chainBotCoeff α β
⊢ genWeightSpace M (n.succ • -α + ⇑β) ≠ ⊥

Tactic:
exact genWeightSpace_nsmul_add_ne_bot_of_le (-α) β hn

Result:
no goals

Proof state:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieRing.IsNilpotent L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
n : ℤ
hn : -↑(chainBotCoeff α β) ≤ n
hn' : n ≤ ↑(chainTopCoeff α β)
⊢ genWeightSpace M (n • α + ⇑β) ≠ ⊥

Tactic:
rcases n with (n | n)

Result:
case ofNat
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieRing.IsNilpotent L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
n : ℕ
hn : -↑(chainBotCoeff α β) ≤ Int.ofNat n
hn' : Int.ofNat n ≤ ↑(chainTopCoeff α β)
⊢ genWeightSpace M (Int.ofNat n • α + ⇑β) ≠ ⊥

case negSucc
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieRing.IsNilpotent L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
n : ℕ
hn : -↑(chainBotCoeff α β) ≤ Int.negSucc n
hn' : Int.negSucc n ≤ ↑(chainTopCoeff α β)
⊢ genWeightSpace M (Int.negSucc n • α + ⇑β) ≠ ⊥

Proof state:
case ofNat
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieRing.IsNilpotent L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
n : ℕ
hn : -↑(chainBotCoeff α β) ≤ Int.ofNat n
hn' : n ≤ chainTopCoeff α β
⊢ genWeightSpace M (n • α + ⇑β) ≠ ⊥

Tactic:
exact genWeightSpace_nsmul_add_ne_bot_of_le α β hn'

Result:
no goals

Proof state:
case negSucc
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieRing.IsNilpotent L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
n : ℕ
hn' : Int.negSucc n ≤ ↑(chainTopCoeff α β)
hn : n.succ ≤ chainBotCoeff α β
⊢ genWeightSpace M (-↑n.succ • α + ⇑β) ≠ ⊥

Tactic:
rw [neg_smul, ← smul_neg, Nat.cast_smul_eq_nsmul]

Result:
case negSucc
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieRing.IsNilpotent L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
n : ℕ
hn' : Int.negSucc n ≤ ↑(chainTopCoeff α β)
hn : n.succ ≤ chainBotCoeff α β
⊢ genWeightSpace M (n.succ • -α + ⇑β) ≠ ⊥

Proof state:
case ofNat
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieRing.IsNilpotent L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
n : ℕ
hn : -↑(chainBotCoeff α β) ≤ Int.ofNat n
hn' : Int.ofNat n ≤ ↑(chainTopCoeff α β)
⊢ genWeightSpace M (Int.ofNat n • α + ⇑β) ≠ ⊥

Tactic:
simp only [Int.ofNat_eq_coe, Nat.cast_le, Nat.cast_smul_eq_nsmul] at hn' ⊢

Result:
case ofNat
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : LieRing.IsNilpotent L
inst✝² : NoZeroSMulDivisors ℤ R
inst✝¹ : NoZeroSMulDivisors R M
inst✝ : IsNoetherian R M
α : L → R
β : Weight R L M
n : ℕ
hn : -↑(chainBotCoeff α β) ≤ Int.ofNat n
hn' : n ≤ chainTopCoeff α β
⊢ genWeightSpace M (n • α + ⇑β) ≠ ⊥