-- Mathlib/Algebra/Order/Antidiag/Finsupp.lean
lemma mapRange_finsuppAntidiag_eq {e : μ ≃+ μ'} {s : Finset ι} {n : μ} :
    (finsuppAntidiag s n).map (mapRange.addEquiv e).toEmbedding = finsuppAntidiag s (e n)

Proof state:
case h
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid μ
inst✝⁴ : HasAntidiagonal μ
inst✝³ : DecidableEq μ
inst✝² : AddCommMonoid μ'
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ'
inst✝ : DecidableEq μ'
e : μ ≃+ μ'
s : Finset ι
n : μ
f : ι →₀ μ'
⊢ f ∈ map (mapRange.addEquiv e).toEmbedding (s.finsuppAntidiag n) ↔ f ∈ s.finsuppAntidiag (e n)

Tactic:
constructor

Result:
case h.mp
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid μ
inst✝⁴ : HasAntidiagonal μ
inst✝³ : DecidableEq μ
inst✝² : AddCommMonoid μ'
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ'
inst✝ : DecidableEq μ'
e : μ ≃+ μ'
s : Finset ι
n : μ
f : ι →₀ μ'
⊢ f ∈ map (mapRange.addEquiv e).toEmbedding (s.finsuppAntidiag n) → f ∈ s.finsuppAntidiag (e n)

case h.mpr
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid μ
inst✝⁴ : HasAntidiagonal μ
inst✝³ : DecidableEq μ
inst✝² : AddCommMonoid μ'
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ'
inst✝ : DecidableEq μ'
e : μ ≃+ μ'
s : Finset ι
n : μ
f : ι →₀ μ'
⊢ f ∈ s.finsuppAntidiag (e n) → f ∈ map (mapRange.addEquiv e).toEmbedding (s.finsuppAntidiag n)

Proof state:
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid μ
inst✝⁴ : HasAntidiagonal μ
inst✝³ : DecidableEq μ
inst✝² : AddCommMonoid μ'
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ'
inst✝ : DecidableEq μ'
e : μ ≃+ μ'
s : Finset ι
n : μ
⊢ map (mapRange.addEquiv e).toEmbedding (s.finsuppAntidiag n) = s.finsuppAntidiag (e n)

Tactic:
ext f

Result:
case h
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid μ
inst✝⁴ : HasAntidiagonal μ
inst✝³ : DecidableEq μ
inst✝² : AddCommMonoid μ'
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ'
inst✝ : DecidableEq μ'
e : μ ≃+ μ'
s : Finset ι
n : μ
f : ι →₀ μ'
⊢ f ∈ map (mapRange.addEquiv e).toEmbedding (s.finsuppAntidiag n) ↔ f ∈ s.finsuppAntidiag (e n)

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_3
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid μ
inst✝⁴ : HasAntidiagonal μ
inst✝³ : DecidableEq μ
inst✝² : AddCommMonoid μ'
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ'
inst✝ : DecidableEq μ'
e : μ ≃+ μ'
s : Finset ι
n : μ
f : ι →₀ μ'
h : (ι →₀ μ) ≃ (ι →₀ μ') := (mapRange.addEquiv e).toEquiv
hh : h = (mapRange.addEquiv e).toEquiv
hf : f ∈ s.finsuppAntidiag (e n)
this : n = e.symm (e n)
⊢ (mapRange.addEquiv e.symm).toEmbedding.trans (mapRange.addEquiv e).toEmbedding = Embedding.refl (ι →₀ μ')

Tactic:
apply Function.Embedding.equiv_symm_toEmbedding_trans_toEmbedding

Result:
no goals

Proof state:
case h.mpr
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid μ
inst✝⁴ : HasAntidiagonal μ
inst✝³ : DecidableEq μ
inst✝² : AddCommMonoid μ'
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ'
inst✝ : DecidableEq μ'
e : μ ≃+ μ'
s : Finset ι
n : μ
f : ι →₀ μ'
h : (ι →₀ μ) ≃ (ι →₀ μ') := (mapRange.addEquiv e).toEquiv
hh : h = (mapRange.addEquiv e).toEquiv
hf : f ∈ s.finsuppAntidiag (e n)
this : n = e.symm (e n)
⊢ h.symm f ∈ s.finsuppAntidiag (e.symm (e n))

Tactic:
apply mapRange_finsuppAntidiag_subset

Result:
case h.mpr.a
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid μ
inst✝⁴ : HasAntidiagonal μ
inst✝³ : DecidableEq μ
inst✝² : AddCommMonoid μ'
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ'
inst✝ : DecidableEq μ'
e : μ ≃+ μ'
s : Finset ι
n : μ
f : ι →₀ μ'
h : (ι →₀ μ) ≃ (ι →₀ μ') := (mapRange.addEquiv e).toEquiv
hh : h = (mapRange.addEquiv e).toEquiv
hf : f ∈ s.finsuppAntidiag (e n)
this : n = e.symm (e n)
⊢ h.symm f ∈ map (mapRange.addEquiv e.symm).toEmbedding (s.finsuppAntidiag (e n))

Proof state:
case h.mpr.a
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid μ
inst✝⁴ : HasAntidiagonal μ
inst✝³ : DecidableEq μ
inst✝² : AddCommMonoid μ'
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ'
inst✝ : DecidableEq μ'
e : μ ≃+ μ'
s : Finset ι
n : μ
f : ι →₀ μ'
h : (ι →₀ μ) ≃ (ι →₀ μ') := (mapRange.addEquiv e).toEquiv
hh : h = (mapRange.addEquiv e).toEquiv
hf : f ∈ s.finsuppAntidiag (e n)
this : n = e.symm (e n)
⊢ h.symm f ∈ map (mapRange.addEquiv e.symm).toEmbedding (s.finsuppAntidiag (e n))

Tactic:
rw [← mem_map_equiv]

Result:
case h.mpr.a
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid μ
inst✝⁴ : HasAntidiagonal μ
inst✝³ : DecidableEq μ
inst✝² : AddCommMonoid μ'
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ'
inst✝ : DecidableEq μ'
e : μ ≃+ μ'
s : Finset ι
n : μ
f : ι →₀ μ'
h : (ι →₀ μ) ≃ (ι →₀ μ') := (mapRange.addEquiv e).toEquiv
hh : h = (mapRange.addEquiv e).toEquiv
hf : f ∈ s.finsuppAntidiag (e n)
this : n = e.symm (e n)
⊢ f ∈ map h.toEmbedding (map (mapRange.addEquiv e.symm).toEmbedding (s.finsuppAntidiag (e n)))

Proof state:
case h.mpr
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid μ
inst✝⁴ : HasAntidiagonal μ
inst✝³ : DecidableEq μ
inst✝² : AddCommMonoid μ'
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ'
inst✝ : DecidableEq μ'
e : μ ≃+ μ'
s : Finset ι
n : μ
f : ι →₀ μ'
⊢ f ∈ s.finsuppAntidiag (e n) → f ∈ map (mapRange.addEquiv e).toEmbedding (s.finsuppAntidiag n)

Tactic:
set h := (mapRange.addEquiv e).toEquiv with hh

Result:
case h.mpr
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid μ
inst✝⁴ : HasAntidiagonal μ
inst✝³ : DecidableEq μ
inst✝² : AddCommMonoid μ'
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ'
inst✝ : DecidableEq μ'
e : μ ≃+ μ'
s : Finset ι
n : μ
f : ι →₀ μ'
h : (ι →₀ μ) ≃ (ι →₀ μ') := (mapRange.addEquiv e).toEquiv
hh : h = (mapRange.addEquiv e).toEquiv
⊢ f ∈ s.finsuppAntidiag (e n) → f ∈ map h.toEmbedding (s.finsuppAntidiag n)

Proof state:
case h.mpr
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid μ
inst✝⁴ : HasAntidiagonal μ
inst✝³ : DecidableEq μ
inst✝² : AddCommMonoid μ'
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ'
inst✝ : DecidableEq μ'
e : μ ≃+ μ'
s : Finset ι
n : μ
f : ι →₀ μ'
h : (ι →₀ μ) ≃ (ι →₀ μ') := (mapRange.addEquiv e).toEquiv
hh : h = (mapRange.addEquiv e).toEquiv
⊢ f ∈ s.finsuppAntidiag (e n) → f ∈ map h.toEmbedding (s.finsuppAntidiag n)

Tactic:
intro hf

Result:
case h.mpr
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid μ
inst✝⁴ : HasAntidiagonal μ
inst✝³ : DecidableEq μ
inst✝² : AddCommMonoid μ'
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ'
inst✝ : DecidableEq μ'
e : μ ≃+ μ'
s : Finset ι
n : μ
f : ι →₀ μ'
h : (ι →₀ μ) ≃ (ι →₀ μ') := (mapRange.addEquiv e).toEquiv
hh : h = (mapRange.addEquiv e).toEquiv
hf : f ∈ s.finsuppAntidiag (e n)
⊢ f ∈ map h.toEmbedding (s.finsuppAntidiag n)

Proof state:
case h.mpr
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid μ
inst✝⁴ : HasAntidiagonal μ
inst✝³ : DecidableEq μ
inst✝² : AddCommMonoid μ'
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ'
inst✝ : DecidableEq μ'
e : μ ≃+ μ'
s : Finset ι
n : μ
f : ι →₀ μ'
h : (ι →₀ μ) ≃ (ι →₀ μ') := (mapRange.addEquiv e).toEquiv
hh : h = (mapRange.addEquiv e).toEquiv
hf : f ∈ s.finsuppAntidiag (e n)
⊢ f ∈ map h.toEmbedding (s.finsuppAntidiag n)

Tactic:
have : n = e.symm (e n) := (AddEquiv.eq_symm_apply e).mpr rfl

Result:
case h.mpr
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : AddCommMonoid μ
inst✝⁴ : HasAntidiagonal μ
inst✝³ : DecidableEq μ
inst✝² : AddCommMonoid μ'
inst✝¹ : HasAntidiagonal μ'
inst✝ : DecidableEq μ'
e : μ ≃+ μ'
s : Finset ι
n : μ
f : ι →₀ μ'
h : (ι →₀ μ) ≃ (ι →₀ μ') := (mapRange.addEquiv e).toEquiv
hh : h = (mapRange.addEquiv e).toEquiv
hf : f ∈ s.finsuppAntidiag (e n)
this : n = e.symm (e n)
⊢ f ∈ map h.toEmbedding (s.finsuppAntidiag n)