-- Mathlib/LinearAlgebra/ExteriorAlgebra/Basic.lean
theorem ιInv_comp_map (f : M →ₗ[R] N) :
    ιInv.comp (map f).toLinearMap = f.comp ιInv

Proof state:
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u4
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : M →ₗ[R] N
this : Module Rᵐᵒᵖ M := Module.compHom M ((RingHom.id R).fromOpposite ⋯)
⊢ ιInv ∘ₗ (map f).toLinearMap = f ∘ₗ ιInv

Tactic:
haveI : IsCentralScalar R M := ⟨fun r m => rfl⟩

Result:
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u4
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : M →ₗ[R] N
this✝ : Module Rᵐᵒᵖ M := Module.compHom M ((RingHom.id R).fromOpposite ⋯)
this : IsCentralScalar R M
⊢ ιInv ∘ₗ (map f).toLinearMap = f ∘ₗ ιInv

Proof state:
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u4
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : M →ₗ[R] N
this✝² : Module Rᵐᵒᵖ M := Module.compHom M ((RingHom.id R).fromOpposite ⋯)
this✝¹ : IsCentralScalar R M
this✝ : Module Rᵐᵒᵖ N := Module.compHom N ((RingHom.id R).fromOpposite ⋯)
this : IsCentralScalar R N
⊢ (TrivSqZeroExt.sndHom R N ∘ₗ toTrivSqZeroExt.toLinearMap) ∘ₗ (map f).toLinearMap =
    f ∘ₗ TrivSqZeroExt.sndHom R M ∘ₗ toTrivSqZeroExt.toLinearMap

Tactic:
conv_lhs => rw [LinearMap.comp_assoc, ← AlgHom.comp_toLinearMap, toTrivSqZeroExt_comp_map,
              AlgHom.comp_toLinearMap, ← LinearMap.comp_assoc, TrivSqZeroExt.sndHom_comp_map]

Result:
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u4
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : M →ₗ[R] N
this✝² : Module Rᵐᵒᵖ M := Module.compHom M ((RingHom.id R).fromOpposite ⋯)
this✝¹ : IsCentralScalar R M
this✝ : Module Rᵐᵒᵖ N := Module.compHom N ((RingHom.id R).fromOpposite ⋯)
this : IsCentralScalar R N
⊢ (f ∘ₗ TrivSqZeroExt.sndHom R M) ∘ₗ toTrivSqZeroExt.toLinearMap =
    f ∘ₗ TrivSqZeroExt.sndHom R M ∘ₗ toTrivSqZeroExt.toLinearMap

Proof state:
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u4
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : M →ₗ[R] N
this✝¹ : Module Rᵐᵒᵖ M := Module.compHom M ((RingHom.id R).fromOpposite ⋯)
this✝ : IsCentralScalar R M
this : Module Rᵐᵒᵖ N := Module.compHom N ((RingHom.id R).fromOpposite ⋯)
⊢ ιInv ∘ₗ (map f).toLinearMap = f ∘ₗ ιInv

Tactic:
haveI : IsCentralScalar R N := ⟨fun r m => rfl⟩

Result:
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u4
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : M →ₗ[R] N
this✝² : Module Rᵐᵒᵖ M := Module.compHom M ((RingHom.id R).fromOpposite ⋯)
this✝¹ : IsCentralScalar R M
this✝ : Module Rᵐᵒᵖ N := Module.compHom N ((RingHom.id R).fromOpposite ⋯)
this : IsCentralScalar R N
⊢ ιInv ∘ₗ (map f).toLinearMap = f ∘ₗ ιInv

Proof state:
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u4
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : M →ₗ[R] N
this✝² : Module Rᵐᵒᵖ M := Module.compHom M ((RingHom.id R).fromOpposite ⋯)
this✝¹ : IsCentralScalar R M
this✝ : Module Rᵐᵒᵖ N := Module.compHom N ((RingHom.id R).fromOpposite ⋯)
this : IsCentralScalar R N
⊢ ιInv ∘ₗ (map f).toLinearMap = f ∘ₗ ιInv

Tactic:
unfold ιInv

Result:
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u4
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : M →ₗ[R] N
this✝² : Module Rᵐᵒᵖ M := Module.compHom M ((RingHom.id R).fromOpposite ⋯)
this✝¹ : IsCentralScalar R M
this✝ : Module Rᵐᵒᵖ N := Module.compHom N ((RingHom.id R).fromOpposite ⋯)
this : IsCentralScalar R N
⊢ (TrivSqZeroExt.sndHom R N ∘ₗ toTrivSqZeroExt.toLinearMap) ∘ₗ (map f).toLinearMap =
    f ∘ₗ TrivSqZeroExt.sndHom R M ∘ₗ toTrivSqZeroExt.toLinearMap

Proof state:
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u4
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : M →ₗ[R] N
this✝² : Module Rᵐᵒᵖ M := Module.compHom M ((RingHom.id R).fromOpposite ⋯)
this✝¹ : IsCentralScalar R M
this✝ : Module Rᵐᵒᵖ N := Module.compHom N ((RingHom.id R).fromOpposite ⋯)
this : IsCentralScalar R N
⊢ (f ∘ₗ TrivSqZeroExt.sndHom R M) ∘ₗ toTrivSqZeroExt.toLinearMap =
    f ∘ₗ TrivSqZeroExt.sndHom R M ∘ₗ toTrivSqZeroExt.toLinearMap

Tactic:
rfl

Result:
no goals

Proof state:
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u4
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : M →ₗ[R] N
⊢ ιInv ∘ₗ (map f).toLinearMap = f ∘ₗ ιInv

Tactic:
letI : Module Rᵐᵒᵖ M := Module.compHom _ ((RingHom.id R).fromOpposite mul_comm)

Result:
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u4
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : M →ₗ[R] N
this : Module Rᵐᵒᵖ M := Module.compHom M ((RingHom.id R).fromOpposite ⋯)
⊢ ιInv ∘ₗ (map f).toLinearMap = f ∘ₗ ιInv

Proof state:
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u4
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : M →ₗ[R] N
this✝ : Module Rᵐᵒᵖ M := Module.compHom M ((RingHom.id R).fromOpposite ⋯)
this : IsCentralScalar R M
⊢ ιInv ∘ₗ (map f).toLinearMap = f ∘ₗ ιInv

Tactic:
letI : Module Rᵐᵒᵖ N := Module.compHom _ ((RingHom.id R).fromOpposite mul_comm)

Result:
R : Type u1
inst✝⁴ : CommRing R
M : Type u2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type u4
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
f : M →ₗ[R] N
this✝¹ : Module Rᵐᵒᵖ M := Module.compHom M ((RingHom.id R).fromOpposite ⋯)
this✝ : IsCentralScalar R M
this : Module Rᵐᵒᵖ N := Module.compHom N ((RingHom.id R).fromOpposite ⋯)
⊢ ιInv ∘ₗ (map f).toLinearMap = f ∘ₗ ιInv