-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Connected.lean
theorem Set.Countable.isPathConnected_compl_of_one_lt_rank
    (h : 1 < Module.rank ℝ E) {s : Set E} (hs : s.Countable) :
    IsPathConnected sᶜ

Proof state:
case H
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ
b : E
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b
c : E := 2⁻¹ • (a + b)
x : E := 2⁻¹ • (b - a)
Ia : c - x = a
Ib : c + x = b
x_ne_zero : x ≠ 0
y : E
hy : LinearIndependent ℝ ![x, y]
A : {t | ([c + x-[ℝ]c + t • y] ∩ s).Nonempty}.Countable
t t' : ℝ
htt' : t ≠ t'
N : {c - x} ∩ s = ∅
⊢ [c + -x-[ℝ]c + t • y] ∩ [c + -x-[ℝ]c + t' • y] ⊆ {c + -x}

Tactic:
apply Eq.subset

Result:
case H.a
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ
b : E
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b
c : E := 2⁻¹ • (a + b)
x : E := 2⁻¹ • (b - a)
Ia : c - x = a
Ib : c + x = b
x_ne_zero : x ≠ 0
y : E
hy : LinearIndependent ℝ ![x, y]
A : {t | ([c + x-[ℝ]c + t • y] ∩ s).Nonempty}.Countable
t t' : ℝ
htt' : t ≠ t'
N : {c - x} ∩ s = ∅
⊢ [c + -x-[ℝ]c + t • y] ∩ [c + -x-[ℝ]c + t' • y] = {c + -x}

Proof state:
case intro
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ
⊢ ∀ {y : E}, y ∈ sᶜ → JoinedIn sᶜ a y

Tactic:
intro b hb

Result:
case intro
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ
b : E
hb : b ∈ sᶜ
⊢ JoinedIn sᶜ a b

Proof state:
case intro.inr.intro.intro
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ
b : E
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b
c : E := 2⁻¹ • (a + b)
x : E := 2⁻¹ • (b - a)
Ia : c - x = a
Ib : c + x = b
x_ne_zero : x ≠ 0
y : E
hy : LinearIndependent ℝ ![x, y]
A : {t | ([c + x-[ℝ]c + t • y] ∩ s).Nonempty}.Countable
B : {t | ([c - x-[ℝ]c + t • y] ∩ s).Nonempty}.Countable
t : ℝ
z : E := c + t • y
ht : [c + x-[ℝ]c + t • y] ∩ s = ∅ ∧ [c - x-[ℝ]c + t • y] ∩ s = ∅
JA : JoinedIn sᶜ a z
⊢ JoinedIn sᶜ a b

Tactic:
have JB : JoinedIn sᶜ b z := by
  apply JoinedIn.of_segment_subset
  rw [subset_compl_iff_disjoint_right, disjoint_iff_inter_eq_empty]
  convert ht.1
  exact Ib.symm

Result:
case intro.inr.intro.intro
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ
b : E
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b
c : E := 2⁻¹ • (a + b)
x : E := 2⁻¹ • (b - a)
Ia : c - x = a
Ib : c + x = b
x_ne_zero : x ≠ 0
y : E
hy : LinearIndependent ℝ ![x, y]
A : {t | ([c + x-[ℝ]c + t • y] ∩ s).Nonempty}.Countable
B : {t | ([c - x-[ℝ]c + t • y] ∩ s).Nonempty}.Countable
t : ℝ
z : E := c + t • y
ht : [c + x-[ℝ]c + t • y] ∩ s = ∅ ∧ [c - x-[ℝ]c + t • y] ∩ s = ∅
JA : JoinedIn sᶜ a z
JB : JoinedIn sᶜ b z
⊢ JoinedIn sᶜ a b

Proof state:
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ
b : E
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b
c : E := 2⁻¹ • (a + b)
x : E := 2⁻¹ • (b - a)
Ia : c - x = a
Ib : c + x = b
x_ne_zero : x ≠ 0
y : E
hy : LinearIndependent ℝ ![x, y]
A : {t | ([c + x-[ℝ]c + t • y] ∩ s).Nonempty}.Countable
t t' : ℝ
htt' : t ≠ t'
⊢ Function.onFun Disjoint (fun t => [c - x-[ℝ]c + t • y] ∩ s) t t'

Tactic:
apply disjoint_iff_inter_eq_empty.2

Result:
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ
b : E
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b
c : E := 2⁻¹ • (a + b)
x : E := 2⁻¹ • (b - a)
Ia : c - x = a
Ib : c + x = b
x_ne_zero : x ≠ 0
y : E
hy : LinearIndependent ℝ ![x, y]
A : {t | ([c + x-[ℝ]c + t • y] ∩ s).Nonempty}.Countable
t t' : ℝ
htt' : t ≠ t'
⊢ (fun t => [c - x-[ℝ]c + t • y] ∩ s) t ∩ (fun t => [c - x-[ℝ]c + t • y] ∩ s) t' = ∅

Proof state:
case intro.inr
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ
b : E
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b
c : E := 2⁻¹ • (a + b)
x : E := 2⁻¹ • (b - a)
Ia : c - x = a
Ib : c + x = b
⊢ JoinedIn sᶜ a b

Tactic:
have x_ne_zero : x ≠ 0 := by simpa [x] using sub_ne_zero.2 hab.symm

Result:
case intro.inr
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ
b : E
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b
c : E := 2⁻¹ • (a + b)
x : E := 2⁻¹ • (b - a)
Ia : c - x = a
Ib : c + x = b
x_ne_zero : x ≠ 0
⊢ JoinedIn sᶜ a b

Proof state:
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ
b : E
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b
c : E := 2⁻¹ • (a + b)
x : E := 2⁻¹ • (b - a)
Ia : c - x = a
Ib : c + x = b
x_ne_zero : x ≠ 0
y : E
hy : LinearIndependent ℝ ![x, y]
⊢ {t | ([c + x-[ℝ]c + t • y] ∩ s).Nonempty}.Countable

Tactic:
apply countable_setOf_nonempty_of_disjoint _ (fun t ↦ inter_subset_right) hs

Result:
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ
b : E
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b
c : E := 2⁻¹ • (a + b)
x : E := 2⁻¹ • (b - a)
Ia : c - x = a
Ib : c + x = b
x_ne_zero : x ≠ 0
y : E
hy : LinearIndependent ℝ ![x, y]
⊢ Pairwise (Function.onFun Disjoint fun t => [c + x-[ℝ]c + t • y] ∩ s)

Proof state:
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ
b : E
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b
c : E := 2⁻¹ • (a + b)
x : E := 2⁻¹ • (b - a)
⊢ c - x = a

Tactic:
simp only [c, x]

Result:
E : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module ℝ E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousAdd E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
h : 1 < Module.rank ℝ E
s : Set E
hs : s.Countable
this : Nontrivial E
a : E
ha : a ∈ sᶜ
b : E
hb : b ∈ sᶜ
hab : a ≠ b
c : E := 2⁻¹ • (a + b)
x : E := 2⁻¹ • (b - a)
⊢ 2⁻¹ • (a + b) - 2⁻¹ • (b - a) = a