-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/PID.lean
theorem generator_maximal_submoduleImage_dvd {N O : Submodule R M} (hNO : N ≤ O) {ϕ : O →ₗ[R] R}
    (hϕ : ∀ ψ : O →ₗ[R] R, ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N)
    [(ϕ.submoduleImage N).IsPrincipal] (y : M) (yN : y ∈ N)
    (ϕy_eq : ϕ ⟨y, hNO yN⟩ = generator (ϕ.submoduleImage N)) (ψ : O →ₗ[R] R) :
    generator (ϕ.submoduleImage N) ∣ ψ ⟨y, hNO yN⟩

Proof state:
case intro.intro.intro
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R
N O : Submodule R M
hNO : N ≤ O
ϕ : ↥O →ₗ[R] R
hϕ : ∀ (ψ : ↥O →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
inst✝ : (ϕ.submoduleImage N).IsPrincipal
y : M
yN : y ∈ N
ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = generator (ϕ.submoduleImage N)
ψ : ↥O →ₗ[R] R
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
d : R := generator (span R {a, ψ ⟨y, ⋯⟩})
d_dvd_left : d ∣ a
d_dvd_right : d ∣ ψ ⟨y, ⋯⟩
r₁ r₂' : R
hr₂' : r₂' ∈ span R {ψ ⟨y, ⋯⟩}
hr₁ : generator (span R {a, ψ ⟨y, ⋯⟩}) = r₁ • a + r₂'
⊢ ∃ r₁ r₂, d = r₁ * a + r₂ * ψ ⟨y, ⋯⟩

Tactic:
obtain ⟨r₂, rfl⟩ := mem_span_singleton.mp hr₂'

Result:
case intro.intro.intro.intro
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R
N O : Submodule R M
hNO : N ≤ O
ϕ : ↥O →ₗ[R] R
hϕ : ∀ (ψ : ↥O →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
inst✝ : (ϕ.submoduleImage N).IsPrincipal
y : M
yN : y ∈ N
ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = generator (ϕ.submoduleImage N)
ψ : ↥O →ₗ[R] R
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
d : R := generator (span R {a, ψ ⟨y, ⋯⟩})
d_dvd_left : d ∣ a
d_dvd_right : d ∣ ψ ⟨y, ⋯⟩
r₁ r₂ : R
hr₂' : r₂ • ψ ⟨y, ⋯⟩ ∈ span R {ψ ⟨y, ⋯⟩}
hr₁ : generator (span R {a, ψ ⟨y, ⋯⟩}) = r₁ • a + r₂ • ψ ⟨y, ⋯⟩
⊢ ∃ r₁ r₂, d = r₁ * a + r₂ * ψ ⟨y, ⋯⟩

Proof state:
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R
N O : Submodule R M
hNO : N ≤ O
ϕ : ↥O →ₗ[R] R
hϕ : ∀ (ψ : ↥O →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
inst✝ : (ϕ.submoduleImage N).IsPrincipal
y : M
yN : y ∈ N
ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = generator (ϕ.submoduleImage N)
ψ : ↥O →ₗ[R] R
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
⊢ generator (ϕ.submoduleImage N) ∣ ψ ⟨y, ⋯⟩

Tactic:
let d : R := IsPrincipal.generator (Submodule.span R {a, ψ ⟨y, hNO yN⟩})

Result:
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R
N O : Submodule R M
hNO : N ≤ O
ϕ : ↥O →ₗ[R] R
hϕ : ∀ (ψ : ↥O →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
inst✝ : (ϕ.submoduleImage N).IsPrincipal
y : M
yN : y ∈ N
ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = generator (ϕ.submoduleImage N)
ψ : ↥O →ₗ[R] R
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
d : R := generator (span R {a, ψ ⟨y, ⋯⟩})
⊢ generator (ϕ.submoduleImage N) ∣ ψ ⟨y, ⋯⟩

Proof state:
case intro.intro
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R
N O : Submodule R M
hNO : N ≤ O
ϕ : ↥O →ₗ[R] R
hϕ : ∀ (ψ : ↥O →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
inst✝ : (ϕ.submoduleImage N).IsPrincipal
y : M
yN : y ∈ N
ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = generator (ϕ.submoduleImage N)
ψ : ↥O →ₗ[R] R
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
d : R := generator (span R {a, ψ ⟨y, ⋯⟩})
d_dvd_left : d ∣ a
d_dvd_right : d ∣ ψ ⟨y, ⋯⟩
r₁ r₂ : R
d_eq : d = r₁ * a + r₂ * ψ ⟨y, ⋯⟩
ψ' : ↥O →ₗ[R] R := r₁ • ϕ + r₂ • ψ
this : span R {d} ≤ ψ'.submoduleImage N
⊢ span R {generator (span R {a, ψ ⟨y, ⋯⟩})} = span R {generator (ϕ.submoduleImage N)}

Tactic:
refine
  le_antisymm (this.trans (le_of_eq ?_)) (Ideal.span_singleton_le_span_singleton.mpr d_dvd_left)

Result:
case intro.intro
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R
N O : Submodule R M
hNO : N ≤ O
ϕ : ↥O →ₗ[R] R
hϕ : ∀ (ψ : ↥O →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
inst✝ : (ϕ.submoduleImage N).IsPrincipal
y : M
yN : y ∈ N
ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = generator (ϕ.submoduleImage N)
ψ : ↥O →ₗ[R] R
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
d : R := generator (span R {a, ψ ⟨y, ⋯⟩})
d_dvd_left : d ∣ a
d_dvd_right : d ∣ ψ ⟨y, ⋯⟩
r₁ r₂ : R
d_eq : d = r₁ * a + r₂ * ψ ⟨y, ⋯⟩
ψ' : ↥O →ₗ[R] R := r₁ • ϕ + r₂ • ψ
this : span R {d} ≤ ψ'.submoduleImage N
⊢ ψ'.submoduleImage N = span R {generator (ϕ.submoduleImage N)}

Proof state:
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R
N O : Submodule R M
hNO : N ≤ O
ϕ : ↥O →ₗ[R] R
hϕ : ∀ (ψ : ↥O →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
inst✝ : (ϕ.submoduleImage N).IsPrincipal
y : M
yN : y ∈ N
ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = generator (ϕ.submoduleImage N)
ψ : ↥O →ₗ[R] R
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
d : R := generator (span R {a, ψ ⟨y, ⋯⟩})
d_dvd_left : d ∣ a
d_dvd_right : d ∣ ψ ⟨y, ⋯⟩
r₁ r₂ : R
d_eq : d = r₁ * a + r₂ * ψ ⟨y, ⋯⟩
ψ' : ↥O →ₗ[R] R := r₁ • ϕ + r₂ • ψ
⊢ r₁ * ϕ ⟨y, ⋯⟩ + r₂ * ψ ⟨y, ⋯⟩ = d

Tactic:
rw [d_eq, ϕy_eq]

Result:
no goals

Proof state:
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R
N O : Submodule R M
hNO : N ≤ O
ϕ : ↥O →ₗ[R] R
hϕ : ∀ (ψ : ↥O →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
inst✝ : (ϕ.submoduleImage N).IsPrincipal
y : M
yN : y ∈ N
ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = generator (ϕ.submoduleImage N)
ψ : ↥O →ₗ[R] R
⊢ generator (ϕ.submoduleImage N) ∣ ψ ⟨y, ⋯⟩

Tactic:
let a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)

Result:
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R
N O : Submodule R M
hNO : N ≤ O
ϕ : ↥O →ₗ[R] R
hϕ : ∀ (ψ : ↥O →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
inst✝ : (ϕ.submoduleImage N).IsPrincipal
y : M
yN : y ∈ N
ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = generator (ϕ.submoduleImage N)
ψ : ↥O →ₗ[R] R
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
⊢ generator (ϕ.submoduleImage N) ∣ ψ ⟨y, ⋯⟩

Proof state:
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R
N O : Submodule R M
hNO : N ≤ O
ϕ : ↥O →ₗ[R] R
hϕ : ∀ (ψ : ↥O →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
inst✝ : (ϕ.submoduleImage N).IsPrincipal
y : M
yN : y ∈ N
ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = generator (ϕ.submoduleImage N)
ψ : ↥O →ₗ[R] R
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
d : R := generator (span R {a, ψ ⟨y, ⋯⟩})
d_dvd_left : d ∣ a
d_dvd_right : d ∣ ψ ⟨y, ⋯⟩
⊢ generator (ϕ.submoduleImage N) ∈ span R {a, ψ ⟨y, ⋯⟩}

Tactic:
exact subset_span (mem_insert _ _)

Result:
no goals