-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/FunctionSeries.lean
theorem tendstoUniformlyOn_tsum_of_cofinite_eventually {ι : Type*} {f : ι → β → F} {u : ι → ℝ}
    (hu : Summable u) {s : Set β} (hfu : ∀ᶠ n in cofinite, ∀ x ∈ s, ‖f n x‖ ≤ u n) :
    TendstoUniformlyOn (fun t x => ∑ n ∈ t, f n x) (fun x => ∑' n, f n x) atTop s

Proof state:
case intro.intro.intro
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : CompleteSpace F
ι : Type u_4
f : ι → β → F
u : ι → ℝ
hu : Summable u
s : Set β
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
t : Finset ι
ht : ∀ (b : Finset ι), t ⊆ b → ∑' (a : { x // x ∉ b }), u ↑a < ε
N : Set ι
hN : N ∈ cofinite
HN : ∀ y ∈ N, ∀ x ∈ s, ‖f y x‖ ≤ u y
n : Finset ι
hn : Finite.toFinset hN ∪ t ⊆ n
x : β
hx : x ∈ s
A : Summable fun n => ‖f n x‖
⊢ ‖∑' (x_1 : { x // x ∉ n }), f (↑x_1) x‖ < ε

Tactic:
apply lt_of_le_of_lt _ (ht n (Finset.union_subset_right hn))

Result:
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : CompleteSpace F
ι : Type u_4
f : ι → β → F
u : ι → ℝ
hu : Summable u
s : Set β
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
t : Finset ι
ht : ∀ (b : Finset ι), t ⊆ b → ∑' (a : { x // x ∉ b }), u ↑a < ε
N : Set ι
hN : N ∈ cofinite
HN : ∀ y ∈ N, ∀ x ∈ s, ‖f y x‖ ≤ u y
n : Finset ι
hn : Finite.toFinset hN ∪ t ⊆ n
x : β
hx : x ∈ s
A : Summable fun n => ‖f n x‖
⊢ ‖∑' (x_1 : { x // x ∉ n }), f (↑x_1) x‖ ≤ ∑' (a : { x // x ∉ n }), u ↑a

Proof state:
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : CompleteSpace F
ι : Type u_4
f : ι → β → F
u : ι → ℝ
hu : Summable u
s : Set β
hfu : ∀ᶠ (n : ι) in cofinite, ∀ x ∈ s, ‖f n x‖ ≤ u n
ε : ℝ
εpos : ε > 0
this : ∀ᶠ (b : Finset ι) in atTop, ∑' (a : { x // x ∉ b }), u ↑a < ε
⊢ ∀ᶠ (n : Finset ι) in atTop, ∀ x ∈ s, dist (∑' (n : ι), f n x) (∑ n ∈ n, f n x) < ε

Tactic:
simp only [not_forall, Classical.not_imp, not_le, gt_iff_lt,
  eventually_atTop, ge_iff_le, Finset.le_eq_subset] at *

Result:
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : CompleteSpace F
ι : Type u_4
f : ι → β → F
u : ι → ℝ
hu : Summable u
s : Set β
hfu : ∀ᶠ (n : ι) in cofinite, ∀ x ∈ s, ‖f n x‖ ≤ u n
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
this : ∃ a, ∀ (b : Finset ι), a ⊆ b → ∑' (a : { x // x ∉ b }), u ↑a < ε
⊢ ∃ a, ∀ (b : Finset ι), a ⊆ b → ∀ x ∈ s, dist (∑' (n : ι), f n x) (∑ n ∈ b, f n x) < ε

Proof state:
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : CompleteSpace F
ι : Type u_4
f : ι → β → F
u : ι → ℝ
hu : Summable u
s : Set β
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
t : Finset ι
ht : ∀ (b : Finset ι), t ⊆ b → ∑' (a : { x // x ∉ b }), u ↑a < ε
N : Set ι
hN : N ∈ cofinite
HN : ∀ y ∈ N, ∀ x ∈ s, ‖f y x‖ ≤ u y
n : Finset ι
hn : Finite.toFinset hN ∪ t ⊆ n
x : β
hx : x ∈ s
⊢ Summable ((fun n => ‖f n x‖) ∘ Subtype.val)

Tactic:
apply Summable.of_nonneg_of_le (fun _ ↦ norm_nonneg _) _ (hu.subtype _)

Result:
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : CompleteSpace F
ι : Type u_4
f : ι → β → F
u : ι → ℝ
hu : Summable u
s : Set β
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
t : Finset ι
ht : ∀ (b : Finset ι), t ⊆ b → ∑' (a : { x // x ∉ b }), u ↑a < ε
N : Set ι
hN : N ∈ cofinite
HN : ∀ y ∈ N, ∀ x ∈ s, ‖f y x‖ ≤ u y
n : Finset ι
hn : Finite.toFinset hN ∪ t ⊆ n
x : β
hx : x ∈ s
⊢ ∀ (b : ↑(↑(Finite.toFinset hN))ᶜ), ‖f (↑b) x‖ ≤ (u ∘ Subtype.val) b

Proof state:
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : CompleteSpace F
ι : Type u_4
f : ι → β → F
u : ι → ℝ
hu : Summable u
s : Set β
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
t : Finset ι
ht : ∀ (b : Finset ι), t ⊆ b → ∑' (a : { x // x ∉ b }), u ↑a < ε
N : Set ι
hN : N ∈ cofinite
HN : ∀ y ∈ N, ∀ x ∈ s, ‖f y x‖ ≤ u y
n : Finset ι
hn : Finite.toFinset hN ∪ t ⊆ n
x : β
hx : x ∈ s
A : Summable fun n => ‖f n x‖
⊢ ∀ a ∈ fun x => x ∉ n, ‖f a x‖ ≤ u a

Tactic:
apply fun i hi => HN i ?_ x hx

Result:
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : CompleteSpace F
ι : Type u_4
f : ι → β → F
u : ι → ℝ
hu : Summable u
s : Set β
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
t : Finset ι
ht : ∀ (b : Finset ι), t ⊆ b → ∑' (a : { x // x ∉ b }), u ↑a < ε
N : Set ι
hN : N ∈ cofinite
HN : ∀ y ∈ N, ∀ x ∈ s, ‖f y x‖ ≤ u y
n : Finset ι
hn : Finite.toFinset hN ∪ t ⊆ n
x : β
hx : x ∈ s
A : Summable fun n => ‖f n x‖
i : ι
hi : i ∈ fun x => x ∉ n
⊢ i ∈ N

Proof state:
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : CompleteSpace F
ι : Type u_4
f : ι → β → F
u : ι → ℝ
hu : Summable u
s : Set β
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
t : Finset ι
ht : ∀ (b : Finset ι), t ⊆ b → ∑' (a : { x // x ∉ b }), u ↑a < ε
N : Set ι
hN : N ∈ cofinite
HN : ∀ y ∈ N, ∀ x ∈ s, ‖f y x‖ ≤ u y
n : Finset ι
hn : Finite.toFinset hN ∪ t ⊆ n
x : β
hx : x ∈ s
A : Summable fun n => ‖f n x‖
⊢ ∑' (i : ↑fun x => x ∈ n → False), ‖f (↑i) x‖ ≤ ∑' (a : { x // x ∉ n }), u ↑a

Tactic:
apply tsum_le_tsum _ (A.subtype _) (hu.subtype _)

Result:
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : CompleteSpace F
ι : Type u_4
f : ι → β → F
u : ι → ℝ
hu : Summable u
s : Set β
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
t : Finset ι
ht : ∀ (b : Finset ι), t ⊆ b → ∑' (a : { x // x ∉ b }), u ↑a < ε
N : Set ι
hN : N ∈ cofinite
HN : ∀ y ∈ N, ∀ x ∈ s, ‖f y x‖ ≤ u y
n : Finset ι
hn : Finite.toFinset hN ∪ t ⊆ n
x : β
hx : x ∈ s
A : Summable fun n => ‖f n x‖
⊢ ∀ (i : ↑fun x => x ∈ n → False), ((fun n => ‖f n x‖) ∘ Subtype.val) i ≤ (u ∘ Subtype.val) i