-- Mathlib/Analysis/Analytic/ChangeOrigin.lean
theorem changeOrigin_eval (h : (‖x‖₊ + ‖y‖₊ : ℝ≥0∞) < p.radius) :
    (p.changeOrigin x).sum y = p.sum (x + y)

Proof state:
case refine_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
h : ↑‖x‖₊ + ↑‖y‖₊ < p.radius
radius_pos : 0 < p.radius
x_mem_ball : x ∈ EMetric.ball 0 p.radius
y_mem_ball : y ∈ EMetric.ball 0 (p.changeOrigin x).radius
x_add_y_mem_ball : x + y ∈ EMetric.ball 0 p.radius
f : (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s // s.card = l } → F :=
  fun s => ((p.changeOriginSeriesTerm s.fst s.snd.fst ↑s.snd.snd ⋯) fun x_1 => x) fun x => y
hsf : Summable f
k : ℕ
this : HasSum (fun n => (p.changeOriginSeries k n) fun x_1 => x) (p.changeOrigin x k)
l : ℕ
⊢ HasSum (fun c => (p.changeOriginSeriesTerm k ⟨l, c⟩.fst ↑⟨l, c⟩.snd ⋯) fun x_1 => x)
    ((p.changeOriginSeries k l) fun x_1 => x)

Tactic:
simp only [changeOriginSeries, ContinuousMultilinearMap.sum_apply]

Result:
case refine_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
h : ↑‖x‖₊ + ↑‖y‖₊ < p.radius
radius_pos : 0 < p.radius
x_mem_ball : x ∈ EMetric.ball 0 p.radius
y_mem_ball : y ∈ EMetric.ball 0 (p.changeOrigin x).radius
x_add_y_mem_ball : x + y ∈ EMetric.ball 0 p.radius
f : (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s // s.card = l } → F :=
  fun s => ((p.changeOriginSeriesTerm s.fst s.snd.fst ↑s.snd.snd ⋯) fun x_1 => x) fun x => y
hsf : Summable f
k : ℕ
this : HasSum (fun n => (p.changeOriginSeries k n) fun x_1 => x) (p.changeOrigin x k)
l : ℕ
⊢ HasSum (fun c => (p.changeOriginSeriesTerm k l ↑c ⋯) fun x_1 => x)
    (∑ a : { s // s.card = l }, (p.changeOriginSeriesTerm k l ↑a ⋯) fun x_1 => x)

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
h : ↑‖x‖₊ + ↑‖y‖₊ < p.radius
radius_pos : 0 < p.radius
x_mem_ball : x ∈ EMetric.ball 0 p.radius
y_mem_ball : y ∈ EMetric.ball 0 (p.changeOrigin x).radius
x_add_y_mem_ball : x + y ∈ EMetric.ball 0 p.radius
f : (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s // s.card = l } → F :=
  fun s => ((p.changeOriginSeriesTerm s.fst s.snd.fst ↑s.snd.snd ⋯) fun x_1 => x) fun x => y
hsf : Summable f
k : ℕ
⊢ HasSum (fun c => f ⟨k, c⟩) ((p.changeOrigin x k) fun x => y)

Tactic:
dsimp only [f]

Result:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
h : ↑‖x‖₊ + ↑‖y‖₊ < p.radius
radius_pos : 0 < p.radius
x_mem_ball : x ∈ EMetric.ball 0 p.radius
y_mem_ball : y ∈ EMetric.ball 0 (p.changeOrigin x).radius
x_add_y_mem_ball : x + y ∈ EMetric.ball 0 p.radius
f : (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s // s.card = l } → F :=
  fun s => ((p.changeOriginSeriesTerm s.fst s.snd.fst ↑s.snd.snd ⋯) fun x_1 => x) fun x => y
hsf : Summable f
k : ℕ
⊢ HasSum (fun c => ((p.changeOriginSeriesTerm k c.fst ↑c.snd ⋯) fun x_1 => x) fun x => y)
    ((p.changeOrigin x k) fun x => y)

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
h : ↑‖x‖₊ + ↑‖y‖₊ < p.radius
radius_pos : 0 < p.radius
x_mem_ball : x ∈ EMetric.ball 0 p.radius
⊢ y ∈ EMetric.ball 0 (p.changeOrigin x).radius

Tactic:
refine mem_emetric_ball_zero_iff.2 (lt_of_lt_of_le ?_ p.changeOrigin_radius)

Result:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
h : ↑‖x‖₊ + ↑‖y‖₊ < p.radius
radius_pos : 0 < p.radius
x_mem_ball : x ∈ EMetric.ball 0 p.radius
⊢ ‖y‖ₑ < p.radius - ↑‖x‖₊

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
h : ↑‖x‖₊ + ↑‖y‖₊ < p.radius
radius_pos : 0 < p.radius
x_mem_ball : x ∈ EMetric.ball 0 p.radius
y_mem_ball : y ∈ EMetric.ball 0 (p.changeOrigin x).radius
x_add_y_mem_ball : x + y ∈ EMetric.ball 0 p.radius
f : (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s // s.card = l } → F :=
  fun s => ((p.changeOriginSeriesTerm s.fst s.snd.fst ↑s.snd.snd ⋯) fun x_1 => x) fun x => y
hsf : Summable f
hf : HasSum f ((p.changeOrigin x).sum y)
n : ℕ
⊢ HasSum (fun c => (f ∘ ⇑changeOriginIndexEquiv.symm) ⟨n, c⟩) ((p n) fun x_1 => x + y)

Tactic:
erw [(p n).map_add_univ (fun _ => x) fun _ => y]

Result:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
h : ↑‖x‖₊ + ↑‖y‖₊ < p.radius
radius_pos : 0 < p.radius
x_mem_ball : x ∈ EMetric.ball 0 p.radius
y_mem_ball : y ∈ EMetric.ball 0 (p.changeOrigin x).radius
x_add_y_mem_ball : x + y ∈ EMetric.ball 0 p.radius
f : (k : ℕ) × (l : ℕ) × { s // s.card = l } → F :=
  fun s => ((p.changeOriginSeriesTerm s.fst s.snd.fst ↑s.snd.snd ⋯) fun x_1 => x) fun x => y
hsf : Summable f
hf : HasSum f ((p.changeOrigin x).sum y)
n : ℕ
⊢ HasSum (fun c => (f ∘ ⇑changeOriginIndexEquiv.symm) ⟨n, c⟩)
    (∑ s : Finset (Fin n), (p n) (s.piecewise (fun x_1 => x) fun x => y))

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
h : ↑‖x‖₊ + ↑‖y‖₊ < p.radius
radius_pos : 0 < p.radius
x_mem_ball : x ∈ EMetric.ball 0 p.radius
y_mem_ball : y ∈ EMetric.ball 0 (p.changeOrigin x).radius
⊢ x + y ∈ EMetric.ball 0 p.radius

Tactic:
refine mem_emetric_ball_zero_iff.2 (lt_of_le_of_lt ?_ h)

Result:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
h : ↑‖x‖₊ + ↑‖y‖₊ < p.radius
radius_pos : 0 < p.radius
x_mem_ball : x ∈ EMetric.ball 0 p.radius
y_mem_ball : y ∈ EMetric.ball 0 (p.changeOrigin x).radius
⊢ ‖x + y‖ₑ ≤ ↑‖x‖₊ + ↑‖y‖₊

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
h : ↑‖x‖₊ + ↑‖y‖₊ < p.radius
radius_pos : 0 < p.radius
⊢ (p.changeOrigin x).sum y = p.sum (x + y)

Tactic:
have x_mem_ball : x ∈ EMetric.ball (0 : E) p.radius :=
  mem_emetric_ball_zero_iff.2 ((le_add_right le_rfl).trans_lt h)

Result:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
h : ↑‖x‖₊ + ↑‖y‖₊ < p.radius
radius_pos : 0 < p.radius
x_mem_ball : x ∈ EMetric.ball 0 p.radius
⊢ (p.changeOrigin x).sum y = p.sum (x + y)