-- Mathlib/Analysis/Normed/Lp/lpSpace.lean
theorem _root_.Memℓp.star_mem {f : ∀ i, E i} (hf : Memℓp f p) : Memℓp (star f) p

Proof state:
case inr.inr.hf
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝² : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : α) → StarAddMonoid (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), NormedStarGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Memℓp f p
hp : 0 < p.toReal
⊢ Summable fun i => ‖star f i‖ ^ p.toReal

Tactic:
simpa using hf.summable hp

Result:
no goals

Proof state:
case inr.inl
α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝² : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : α) → StarAddMonoid (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), NormedStarGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Memℓp f ⊤
⊢ Memℓp (star f) ⊤

Tactic:
apply memℓp_infty

Result:
case inr.inl.hf
α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝² : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : α) → StarAddMonoid (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), NormedStarGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Memℓp f ⊤
⊢ BddAbove (Set.range fun i => ‖star f i‖)

Proof state:
case inr.inl.hf
α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝² : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : α) → StarAddMonoid (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), NormedStarGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Memℓp f ⊤
⊢ BddAbove (Set.range fun i => ‖star f i‖)

Tactic:
simpa using hf.bddAbove

Result:
no goals

Proof state:
case inr.inr
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝² : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : α) → StarAddMonoid (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), NormedStarGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Memℓp f p
hp : 0 < p.toReal
⊢ Memℓp (star f) p

Tactic:
apply memℓp_gen

Result:
case inr.inr.hf
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝² : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : α) → StarAddMonoid (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), NormedStarGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Memℓp f p
hp : 0 < p.toReal
⊢ Summable fun i => ‖star f i‖ ^ p.toReal

Proof state:
case inl
α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝² : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : α) → StarAddMonoid (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), NormedStarGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Memℓp f 0
⊢ Memℓp (star f) 0

Tactic:
apply memℓp_zero

Result:
case inl.hf
α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝² : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : α) → StarAddMonoid (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), NormedStarGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Memℓp f 0
⊢ {i | star f i ≠ 0}.Finite

Proof state:
case inl.hf
α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝² : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : α) → StarAddMonoid (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), NormedStarGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Memℓp f 0
⊢ {i | star f i ≠ 0}.Finite

Tactic:
simp [hf.finite_dsupport]

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝² : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : α) → StarAddMonoid (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), NormedStarGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Memℓp f p
⊢ Memℓp (star f) p

Tactic:
rcases p.trichotomy with (rfl | rfl | hp)

Result:
case inl
α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝² : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : α) → StarAddMonoid (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), NormedStarGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Memℓp f 0
⊢ Memℓp (star f) 0

case inr.inl
α : Type u_3
E : α → Type u_4
inst✝² : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : α) → StarAddMonoid (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), NormedStarGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Memℓp f ⊤
⊢ Memℓp (star f) ⊤

case inr.inr
α : Type u_3
E : α → Type u_4
p : ℝ≥0∞
inst✝² : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : α) → StarAddMonoid (E i)
inst✝ : ∀ (i : α), NormedStarGroup (E i)
f : (i : α) → E i
hf : Memℓp f p
hp : 0 < p.toReal
⊢ Memℓp (star f) p