-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Basic.lean
theorem HasFDerivAt.lim (hf : HasFDerivAt f f' x) (v : E) {α : Type*} {c : α → 𝕜} {l : Filter α}
    (hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop) :
    Tendsto (fun n => c n • (f (x + (c n)⁻¹ • v) - f x)) l (𝓝 (f' v))

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
hf : HasFDerivAt f f' x
v : E
α : Type u_4
c : α → 𝕜
l : Filter α
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 v
⊢ U ∈ map (fun n => c n • (c n)⁻¹ • v) l

Tactic:
refine (eventually_ne_of_tendsto_norm_atTop hc (0 : 𝕜)).mono fun y hy => ?_

Result:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
hf : HasFDerivAt f f' x
v : E
α : Type u_4
c : α → 𝕜
l : Filter α
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 v
y : α
hy : c y ≠ 0
⊢ (fun n => c n • (c n)⁻¹ • v) y ∈ U

Proof state:
case h.e'_5
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
hf : HasFDerivAt f f' x
v : E
α : Type u_4
c : α → 𝕜
l : Filter α
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 v
y : α
hy : c y ≠ 0
⊢ (fun n => c n • (c n)⁻¹ • v) y = v

Tactic:
dsimp only

Result:
case h.e'_5
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
hf : HasFDerivAt f f' x
v : E
α : Type u_4
c : α → 𝕜
l : Filter α
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 v
y : α
hy : c y ≠ 0
⊢ c y • (c y)⁻¹ • v = v

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
hf : HasFDerivAt f f' x
v : E
α : Type u_4
c : α → 𝕜
l : Filter α
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 v
y : α
hy : c y ≠ 0
⊢ (fun n => c n • (c n)⁻¹ • v) y ∈ U

Tactic:
convert mem_of_mem_nhds hU

Result:
case h.e'_5
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
hf : HasFDerivAt f f' x
v : E
α : Type u_4
c : α → 𝕜
l : Filter α
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 v
y : α
hy : c y ≠ 0
⊢ (fun n => c n • (c n)⁻¹ • v) y = v

Proof state:
case h.e'_5
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
hf : HasFDerivAt f f' x
v : E
α : Type u_4
c : α → 𝕜
l : Filter α
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 v
y : α
hy : c y ≠ 0
⊢ c y • (c y)⁻¹ • v = v

Tactic:
rw [← mul_smul, mul_inv_cancel₀ hy, one_smul]

Result:
no goals

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
hf : HasFDerivAt f f' x
v : E
α : Type u_4
c : α → 𝕜
l : Filter α
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
⊢ Tendsto (fun n => c n • (f (x + (c n)⁻¹ • v) - f x)) l (𝓝 (f' v))

Tactic:
refine (hasFDerivWithinAt_univ.2 hf).lim _ univ_mem hc ?_

Result:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
hf : HasFDerivAt f f' x
v : E
α : Type u_4
c : α → 𝕜
l : Filter α
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
⊢ Tendsto (fun n => c n • (c n)⁻¹ • v) l (𝓝 v)

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
hf : HasFDerivAt f f' x
v : E
α : Type u_4
c : α → 𝕜
l : Filter α
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
⊢ Tendsto (fun n => c n • (c n)⁻¹ • v) l (𝓝 v)

Tactic:
intro U hU

Result:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x : E
hf : HasFDerivAt f f' x
v : E
α : Type u_4
c : α → 𝕜
l : Filter α
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) l atTop
U : Set E
hU : U ∈ 𝓝 v
⊢ U ∈ map (fun n => c n • (c n)⁻¹ • v) l