-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/Pointwise.lean
theorem infEdist_thickening (hδ : 0 < δ) (s : Set E) (x : E) :
    infEdist x (thickening δ s) = infEdist x s - ENNReal.ofReal δ

Proof state:
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
⊢ infEdist x (thickening δ s) = infEdist x s - ENNReal.ofReal δ

Tactic:
obtain hs | hs := lt_or_le (infEdist x s) (ENNReal.ofReal δ)

Result:
case inl
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : infEdist x s < ENNReal.ofReal δ
⊢ infEdist x (thickening δ s) = infEdist x s - ENNReal.ofReal δ

case inr
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
⊢ infEdist x (thickening δ s) = infEdist x s - ENNReal.ofReal δ

Proof state:
case inr.coe.intro.intro
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
z : E
hz : z ∈ s
r : NNReal
h : dist x z < δ + (↑r - δ)
hr : 0 < ↑r - δ
y : E
hxy : dist x y < ↑r - δ
hyz : dist y z < δ
⊢ ENNReal.ofReal (↑r - δ) + ENNReal.ofReal δ ≤ ↑r

Tactic:
rw [← ofReal_add hr.le hδ.le, sub_add_cancel, ofReal_coe_nnreal]

Result:
no goals

Proof state:
case inr
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
⊢ infEdist x (thickening δ s) ≤ infEdist x s - ENNReal.ofReal δ

Tactic:
refine le_sub_of_add_le_right ofReal_ne_top ?_

Result:
case inr
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
⊢ infEdist x (thickening δ s) + ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s

Proof state:
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
z : E
hz : z ∈ s
r : NNReal
h : edist x z < ↑r
this : ENNReal.ofReal δ < ↑r
⊢ δ < ↑r

Tactic:
rw [ofReal_eq_coe_nnreal hδ.le] at this

Result:
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
z : E
hz : z ∈ s
r : NNReal
h : edist x z < ↑r
this : ↑⟨δ, ⋯⟩ < ↑r
⊢ δ < ↑r

Proof state:
case inr.coe
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
z : E
hz : z ∈ s
r : NNReal
h : edist x z < ↑r
hr : 0 < ↑r - δ
⊢ infEdist x (thickening δ s) + ENNReal.ofReal δ < ↑r

Tactic:
rw [edist_lt_coe, ← dist_lt_coe, ← add_sub_cancel δ ↑r] at h

Result:
case inr.coe
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
z : E
hz : z ∈ s
r : NNReal
h : dist x z < δ + (↑r - δ)
hr : 0 < ↑r - δ
⊢ infEdist x (thickening δ s) + ENNReal.ofReal δ < ↑r

Proof state:
case inr.top
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
z : E
hz : z ∈ s
h : edist x z < ⊤
⊢ infEdist x (thickening δ s) + ENNReal.ofReal δ < ⊤

Tactic:
exact add_lt_top.2 ⟨lt_top_iff_ne_top.2 <| infEdist_ne_top ⟨z, self_subset_thickening hδ _ hz⟩,
  ofReal_lt_top⟩

Result:
no goals

Proof state:
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
z : E
hz : z ∈ s
r : NNReal
h : edist x z < ↑r
⊢ δ < ↑r

Tactic:
have := hs.trans_lt ((infEdist_le_edist_of_mem hz).trans_lt h)

Result:
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
z : E
hz : z ∈ s
r : NNReal
h : edist x z < ↑r
this : ENNReal.ofReal δ < ↑r
⊢ δ < ↑r

Proof state:
case inr
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
⊢ infEdist x (thickening δ s) = infEdist x s - ENNReal.ofReal δ

Tactic:
refine (tsub_le_iff_right.2 infEdist_le_infEdist_thickening_add).antisymm' ?_

Result:
case inr
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
⊢ infEdist x (thickening δ s) ≤ infEdist x s - ENNReal.ofReal δ

Proof state:
case inr.coe
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
z : E
hz : z ∈ s
r : NNReal
h : edist x z < ↑r
⊢ infEdist x (thickening δ s) + ENNReal.ofReal δ < ↑r

Tactic:
have hr : 0 < ↑r - δ := by
  refine sub_pos_of_lt ?_
  have := hs.trans_lt ((infEdist_le_edist_of_mem hz).trans_lt h)
  rw [ofReal_eq_coe_nnreal hδ.le] at this
  exact mod_cast this

Result:
case inr.coe
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
z : E
hz : z ∈ s
r : NNReal
h : edist x z < ↑r
hr : 0 < ↑r - δ
⊢ infEdist x (thickening δ s) + ENNReal.ofReal δ < ↑r

Proof state:
case inr.coe
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
z : E
hz : z ∈ s
r : NNReal
h : dist x z < δ + (↑r - δ)
hr : 0 < ↑r - δ
⊢ infEdist x (thickening δ s) + ENNReal.ofReal δ < ↑r

Tactic:
obtain ⟨y, hxy, hyz⟩ := exists_dist_lt_lt hr hδ h

Result:
case inr.coe.intro.intro
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
z : E
hz : z ∈ s
r : NNReal
h : dist x z < δ + (↑r - δ)
hr : 0 < ↑r - δ
y : E
hxy : dist x y < ↑r - δ
hyz : dist y z < δ
⊢ infEdist x (thickening δ s) + ENNReal.ofReal δ < ↑r

Proof state:
case inl
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : infEdist x s < ENNReal.ofReal δ
⊢ infEdist x (thickening δ s) = infEdist x s - ENNReal.ofReal δ

Tactic:
rw [infEdist_zero_of_mem, tsub_eq_zero_of_le hs.le]

Result:
case inl
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : infEdist x s < ENNReal.ofReal δ
⊢ x ∈ thickening δ s

Proof state:
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
z : E
hz : z ∈ s
r : NNReal
h : edist x z < ↑r
⊢ 0 < ↑r - δ

Tactic:
refine sub_pos_of_lt ?_

Result:
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
z : E
hz : z ∈ s
r : NNReal
h : edist x z < ↑r
⊢ δ < ↑r

Proof state:
case inr
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
⊢ infEdist x (thickening δ s) + ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s

Tactic:
refine le_infEdist.2 fun z hz => le_of_forall_lt' fun r h => ?_

Result:
case inr
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
z : E
hz : z ∈ s
r : ℝ≥0∞
h : edist x z < r
⊢ infEdist x (thickening δ s) + ENNReal.ofReal δ < r

Proof state:
E : Type u_2
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
s : Set E
x : E
hs : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x s
z : E
hz : z ∈ s
r : NNReal
h : edist x z < ↑r
this : ↑⟨δ, ⋯⟩ < ↑r
⊢ δ < ↑r

Tactic:
exact mod_cast this

Result:
no goals