-- Mathlib/RingTheory/Flat/EquationalCriterion.lean
theorem exists_factorization_of_isFinitelyPresented [Flat R M] {P : Type*} [AddCommGroup P]
    [Module R P] [FinitePresentation R P] (h₁ : P →ₗ[R] M) :
      ∃ (k : ℕ) (h₂ : P →ₗ[R] (Fin k →₀ R)) (h₃ : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M), h₁ = h₃ ∘ₗ h₂

Proof state:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Flat R M
P : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : FinitePresentation R P
h₁ : P →ₗ[R] M
w✝ : ℕ
K : Submodule R (Fin w✝ → R)
ϕ : P ≃ₗ[R] (Fin w✝ → R) ⧸ K
hK : K.FG
this✝ : Module.Finite R ↥K
this : (h₁ ∘ₗ ↑ϕ.symm ∘ₗ K.mkQ) ∘ₗ K.subtype = 0
⊢ ∃ k h₂ h₃, h₁ = h₃ ∘ₗ h₂

Tactic:
obtain ⟨k, a, y, hay, ha⟩ := exists_factorization_of_comp_eq_zero_of_free this

Result:
case intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Flat R M
P : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : FinitePresentation R P
h₁ : P →ₗ[R] M
w✝ : ℕ
K : Submodule R (Fin w✝ → R)
ϕ : P ≃ₗ[R] (Fin w✝ → R) ⧸ K
hK : K.FG
this✝ : Module.Finite R ↥K
this : (h₁ ∘ₗ ↑ϕ.symm ∘ₗ K.mkQ) ∘ₗ K.subtype = 0
k : ℕ
a : (Fin w✝ → R) →ₗ[R] Fin k →₀ R
y : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M
hay : h₁ ∘ₗ ↑ϕ.symm ∘ₗ K.mkQ = y ∘ₗ a
ha : a ∘ₗ K.subtype = 0
⊢ ∃ k h₂ h₃, h₁ = h₃ ∘ₗ h₂

Proof state:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Flat R M
P : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : FinitePresentation R P
h₁ : P →ₗ[R] M
w✝ : ℕ
K : Submodule R (Fin w✝ → R)
ϕ : P ≃ₗ[R] (Fin w✝ → R) ⧸ K
hK : K.FG
this✝ : Module.Finite R ↥K
this : (h₁ ∘ₗ ↑ϕ.symm ∘ₗ K.mkQ) ∘ₗ K.subtype = 0
k : ℕ
a : (Fin w✝ → R) →ₗ[R] Fin k →₀ R
y : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M
hay : h₁ ∘ₗ ↑ϕ.symm ∘ₗ K.mkQ = y ∘ₗ a
ha : a ∘ₗ K.subtype = 0
⊢ K ≤ ker a

Tactic:
rwa [← range_le_ker_iff, Submodule.range_subtype] at ha

Result:
no goals

Proof state:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Flat R M
P : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : FinitePresentation R P
h₁ : P →ₗ[R] M
w✝ : ℕ
K : Submodule R (Fin w✝ → R)
ϕ : P ≃ₗ[R] (Fin w✝ → R) ⧸ K
hK : K.FG
⊢ ∃ k h₂ h₃, h₁ = h₃ ∘ₗ h₂

Tactic:
haveI : Module.Finite R K := Module.Finite.iff_fg.mpr hK

Result:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Flat R M
P : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : FinitePresentation R P
h₁ : P →ₗ[R] M
w✝ : ℕ
K : Submodule R (Fin w✝ → R)
ϕ : P ≃ₗ[R] (Fin w✝ → R) ⧸ K
hK : K.FG
this : Module.Finite R ↥K
⊢ ∃ k h₂ h₃, h₁ = h₃ ∘ₗ h₂

Proof state:
case intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Flat R M
P : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : FinitePresentation R P
h₁ : P →ₗ[R] M
w✝ : ℕ
K : Submodule R (Fin w✝ → R)
ϕ : P ≃ₗ[R] (Fin w✝ → R) ⧸ K
hK : K.FG
this✝ : Module.Finite R ↥K
this : (h₁ ∘ₗ ↑ϕ.symm ∘ₗ K.mkQ) ∘ₗ K.subtype = 0
k : ℕ
a : (Fin w✝ → R) →ₗ[R] Fin k →₀ R
y : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M
hay : h₁ ∘ₗ ↑ϕ.symm ∘ₗ K.mkQ = y ∘ₗ a
ha : a ∘ₗ K.subtype = 0
⊢ ∃ k h₂ h₃, h₁ = h₃ ∘ₗ h₂

Tactic:
use k, (K.liftQ a (by rwa [← range_le_ker_iff, Submodule.range_subtype] at ha)) ∘ₗ ϕ, y

Result:
case h
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Flat R M
P : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : FinitePresentation R P
h₁ : P →ₗ[R] M
w✝ : ℕ
K : Submodule R (Fin w✝ → R)
ϕ : P ≃ₗ[R] (Fin w✝ → R) ⧸ K
hK : K.FG
this✝ : Module.Finite R ↥K
this : (h₁ ∘ₗ ↑ϕ.symm ∘ₗ K.mkQ) ∘ₗ K.subtype = 0
k : ℕ
a : (Fin w✝ → R) →ₗ[R] Fin k →₀ R
y : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M
hay : h₁ ∘ₗ ↑ϕ.symm ∘ₗ K.mkQ = y ∘ₗ a
ha : a ∘ₗ K.subtype = 0
⊢ h₁ = y ∘ₗ K.liftQ a ⋯ ∘ₗ ↑ϕ

Proof state:
case h
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Flat R M
P : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : FinitePresentation R P
h₁ : P →ₗ[R] M
w✝ : ℕ
K : Submodule R (Fin w✝ → R)
ϕ : P ≃ₗ[R] (Fin w✝ → R) ⧸ K
hK : K.FG
this✝ : Module.Finite R ↥K
this : (h₁ ∘ₗ ↑ϕ.symm ∘ₗ K.mkQ) ∘ₗ K.subtype = 0
k : ℕ
a : (Fin w✝ → R) →ₗ[R] Fin k →₀ R
y : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M
hay : h₁ ∘ₗ ↑ϕ.symm ∘ₗ K.mkQ = y ∘ₗ a
ha : a ∘ₗ K.subtype = 0
⊢ h₁ = y ∘ₗ K.liftQ a ⋯ ∘ₗ ↑ϕ

Tactic:
apply (cancel_right ϕ.symm.surjective).mp

Result:
case h
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Flat R M
P : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : FinitePresentation R P
h₁ : P →ₗ[R] M
w✝ : ℕ
K : Submodule R (Fin w✝ → R)
ϕ : P ≃ₗ[R] (Fin w✝ → R) ⧸ K
hK : K.FG
this✝ : Module.Finite R ↥K
this : (h₁ ∘ₗ ↑ϕ.symm ∘ₗ K.mkQ) ∘ₗ K.subtype = 0
k : ℕ
a : (Fin w✝ → R) →ₗ[R] Fin k →₀ R
y : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M
hay : h₁ ∘ₗ ↑ϕ.symm ∘ₗ K.mkQ = y ∘ₗ a
ha : a ∘ₗ K.subtype = 0
⊢ h₁ ∘ₗ ↑ϕ.symm = (y ∘ₗ K.liftQ a ⋯ ∘ₗ ↑ϕ) ∘ₗ ↑ϕ.symm

Proof state:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Flat R M
P : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : FinitePresentation R P
h₁ : P →ₗ[R] M
w✝ : ℕ
K : Submodule R (Fin w✝ → R)
ϕ : P ≃ₗ[R] (Fin w✝ → R) ⧸ K
hK : K.FG
this : Module.Finite R ↥K
⊢ ∃ k h₂ h₃, h₁ = h₃ ∘ₗ h₂

Tactic:
have : (h₁ ∘ₗ ϕ.symm ∘ₗ K.mkQ) ∘ₗ K.subtype = 0 := by
  simp_rw [comp_assoc, (LinearMap.exact_subtype_mkQ K).linearMap_comp_eq_zero, comp_zero]

Result:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Flat R M
P : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : FinitePresentation R P
h₁ : P →ₗ[R] M
w✝ : ℕ
K : Submodule R (Fin w✝ → R)
ϕ : P ≃ₗ[R] (Fin w✝ → R) ⧸ K
hK : K.FG
this✝ : Module.Finite R ↥K
this : (h₁ ∘ₗ ↑ϕ.symm ∘ₗ K.mkQ) ∘ₗ K.subtype = 0
⊢ ∃ k h₂ h₃, h₁ = h₃ ∘ₗ h₂

Proof state:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Flat R M
P : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : FinitePresentation R P
h₁ : P →ₗ[R] M
⊢ ∃ k h₂ h₃, h₁ = h₃ ∘ₗ h₂

Tactic:
have ⟨_, K, ϕ, hK⟩ := FinitePresentation.exists_fin R P

Result:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Flat R M
P : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : FinitePresentation R P
h₁ : P →ₗ[R] M
w✝ : ℕ
K : Submodule R (Fin w✝ → R)
ϕ : P ≃ₗ[R] (Fin w✝ → R) ⧸ K
hK : K.FG
⊢ ∃ k h₂ h₃, h₁ = h₃ ∘ₗ h₂

Proof state:
case h
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Flat R M
P : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup P
inst✝¹ : Module R P
inst✝ : FinitePresentation R P
h₁ : P →ₗ[R] M
w✝ : ℕ
K : Submodule R (Fin w✝ → R)
ϕ : P ≃ₗ[R] (Fin w✝ → R) ⧸ K
hK : K.FG
this✝ : Module.Finite R ↥K
this : (h₁ ∘ₗ ↑ϕ.symm ∘ₗ K.mkQ) ∘ₗ K.subtype = 0
k : ℕ
a : (Fin w✝ → R) →ₗ[R] Fin k →₀ R
y : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M
hay : h₁ ∘ₗ ↑ϕ.symm ∘ₗ K.mkQ = y ∘ₗ a
ha : a ∘ₗ K.subtype = 0
⊢ (h₁ ∘ₗ ↑ϕ.symm) ∘ₗ K.mkQ = ((y ∘ₗ K.liftQ a ⋯ ∘ₗ ↑ϕ) ∘ₗ ↑ϕ.symm) ∘ₗ K.mkQ

Tactic:
simpa [comp_assoc]

Result:
no goals