-- Mathlib/Topology/Separation/Regular.lean
theorem connectedComponent_eq_iInter_isClopen [T2Space X] [CompactSpace X] (x : X) :
    connectedComponent x = ⋂ s : { s : Set X // IsClopen s ∧ x ∈ s }, s

Proof state:
case pos.h
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : CompactSpace X
x : X
hs : IsClosed (⋂ s, ↑s)
a b : Set X
ha : IsClosed a
hb : IsClosed b
hab : ⋂ s, ↑s ⊆ a ∪ b
ab_disj : Disjoint a b
u v : Set X
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
hau : a ⊆ u
hbv : b ⊆ v
huv : Disjoint u v
s : Set X
H : IsClopen s ∧ x ∈ s ∧ s ⊆ v ∪ u
H1 : IsClopen (s ∩ u)
H2 : IsClopen (s ∩ v)
hxu : x ∈ u
⊢ ⋂ s, ↑s ⊆ u

Tactic:
apply Subset.trans _ s.inter_subset_right

Result:
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : CompactSpace X
x : X
hs : IsClosed (⋂ s, ↑s)
a b : Set X
ha : IsClosed a
hb : IsClosed b
hab : ⋂ s, ↑s ⊆ a ∪ b
ab_disj : Disjoint a b
u v : Set X
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
hau : a ⊆ u
hbv : b ⊆ v
huv : Disjoint u v
s : Set X
H : IsClopen s ∧ x ∈ s ∧ s ⊆ v ∪ u
H1 : IsClopen (s ∩ u)
H2 : IsClopen (s ∩ v)
hxu : x ∈ u
⊢ ⋂ s, ↑s ⊆ s ∩ u

Proof state:
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : CompactSpace X
x : X
hs : IsClosed (⋂ s, ↑s)
⊢ ∀ (u v : Set X), IsClosed u → IsClosed v → ⋂ s, ↑s ⊆ u ∪ v → Disjoint u v → ⋂ s, ↑s ⊆ u ∨ ⋂ s, ↑s ⊆ v

Tactic:
intro a b ha hb hab ab_disj

Result:
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : CompactSpace X
x : X
hs : IsClosed (⋂ s, ↑s)
a b : Set X
ha : IsClosed a
hb : IsClosed b
hab : ⋂ s, ↑s ⊆ a ∪ b
ab_disj : Disjoint a b
⊢ ⋂ s, ↑s ⊆ a ∨ ⋂ s, ↑s ⊆ b

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : CompactSpace X
x : X
hs : IsClosed (⋂ s, ↑s)
a b : Set X
ha : IsClosed a
hb : IsClosed b
hab : ⋂ s, ↑s ⊆ a ∪ b
ab_disj : Disjoint a b
u v : Set X
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
hau : a ⊆ u
hbv : b ⊆ v
huv : Disjoint u v
s : Set X
H : IsClopen s ∧ x ∈ s ∧ s ⊆ u ∪ v
H1 : IsClopen (s ∩ u)
⊢ ⋂ s, ↑s ⊆ a ∨ ⋂ s, ↑s ⊆ b

Tactic:
rw [union_comm] at H

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : CompactSpace X
x : X
hs : IsClosed (⋂ s, ↑s)
a b : Set X
ha : IsClosed a
hb : IsClosed b
hab : ⋂ s, ↑s ⊆ a ∪ b
ab_disj : Disjoint a b
u v : Set X
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
hau : a ⊆ u
hbv : b ⊆ v
huv : Disjoint u v
s : Set X
H : IsClopen s ∧ x ∈ s ∧ s ⊆ v ∪ u
H1 : IsClopen (s ∩ u)
⊢ ⋂ s, ↑s ⊆ a ∨ ⋂ s, ↑s ⊆ b

Proof state:
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : CompactSpace X
x : X
hs : IsClosed (⋂ s, ↑s)
a b : Set X
ha : IsClosed a
hb : IsClosed b
hab : ⋂ s, ↑s ⊆ a ∪ b
ab_disj : Disjoint a b
⊢ ⋂ s, ↑s ⊆ a ∨ ⋂ s, ↑s ⊆ b

Tactic:
rcases normal_separation ha hb ab_disj with ⟨u, v, hu, hv, hau, hbv, huv⟩

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : CompactSpace X
x : X
hs : IsClosed (⋂ s, ↑s)
a b : Set X
ha : IsClosed a
hb : IsClosed b
hab : ⋂ s, ↑s ⊆ a ∪ b
ab_disj : Disjoint a b
u v : Set X
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
hau : a ⊆ u
hbv : b ⊆ v
huv : Disjoint u v
⊢ ⋂ s, ↑s ⊆ a ∨ ⋂ s, ↑s ⊆ b

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : CompactSpace X
x : X
hs : IsClosed (⋂ s, ↑s)
a b : Set X
ha : IsClosed a
hb : IsClosed b
hab : ⋂ s, ↑s ⊆ a ∪ b
ab_disj : Disjoint a b
u v : Set X
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
hau : a ⊆ u
hbv : b ⊆ v
huv : Disjoint u v
s : Set X
H : IsClopen s ∧ x ∈ s ∧ s ⊆ u ∪ v
⊢ ⋂ s, ↑s ⊆ a ∨ ⋂ s, ↑s ⊆ b

Tactic:
have H1 := isClopen_inter_of_disjoint_cover_clopen H.1 H.2.2 hu hv huv

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : CompactSpace X
x : X
hs : IsClosed (⋂ s, ↑s)
a b : Set X
ha : IsClosed a
hb : IsClosed b
hab : ⋂ s, ↑s ⊆ a ∪ b
ab_disj : Disjoint a b
u v : Set X
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
hau : a ⊆ u
hbv : b ⊆ v
huv : Disjoint u v
s : Set X
H : IsClopen s ∧ x ∈ s ∧ s ⊆ u ∪ v
H1 : IsClopen (s ∩ u)
⊢ ⋂ s, ↑s ⊆ a ∨ ⋂ s, ↑s ⊆ b

Proof state:
case neg.h
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : CompactSpace X
x : X
hs : IsClosed (⋂ s, ↑s)
a b : Set X
ha : IsClosed a
hb : IsClosed b
hab : ⋂ s, ↑s ⊆ a ∪ b
ab_disj : Disjoint a b
u v : Set X
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
hau : a ⊆ u
hbv : b ⊆ v
huv : Disjoint u v
s : Set X
H : IsClopen s ∧ x ∈ s ∧ s ⊆ v ∪ u
H1 : IsClopen (s ∩ u)
H2 : IsClopen (s ∩ v)
hxu : x ∉ u
⊢ ⋂ s, ↑s ⊆ b

Tactic:
have h1 : x ∈ v :=
  (hab.trans (union_subset_union hau hbv) (mem_iInter.2 fun i => i.2.2)).resolve_left hxu

Result:
case neg.h
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : CompactSpace X
x : X
hs : IsClosed (⋂ s, ↑s)
a b : Set X
ha : IsClosed a
hb : IsClosed b
hab : ⋂ s, ↑s ⊆ a ∪ b
ab_disj : Disjoint a b
u v : Set X
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
hau : a ⊆ u
hbv : b ⊆ v
huv : Disjoint u v
s : Set X
H : IsClopen s ∧ x ∈ s ∧ s ⊆ v ∪ u
H1 : IsClopen (s ∩ u)
H2 : IsClopen (s ∩ v)
hxu : x ∉ u
h1 : x ∈ v
⊢ ⋂ s, ↑s ⊆ b

Proof state:
case neg.h
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : CompactSpace X
x : X
hs : IsClosed (⋂ s, ↑s)
a b : Set X
ha : IsClosed a
hb : IsClosed b
hab : ⋂ s, ↑s ⊆ a ∪ b
ab_disj : Disjoint a b
u v : Set X
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
hau : a ⊆ u
hbv : b ⊆ v
huv : Disjoint u v
s : Set X
H : IsClopen s ∧ x ∈ s ∧ s ⊆ v ∪ u
H1 : IsClopen (s ∩ u)
H2 : IsClopen (s ∩ v)
hxu : x ∉ u
h1 : x ∈ v
⊢ ⋂ s, ↑s ⊆ s ∩ v

Tactic:
exact iInter_subset (fun s : { s : Set X // IsClopen s ∧ x ∈ s } => s.1)
  ⟨s ∩ v, H2, mem_inter H.2.1 h1⟩

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : CompactSpace X
x : X
hs : IsClosed (⋂ s, ↑s)
a b : Set X
ha : IsClosed a
hb : IsClosed b
hab : ⋂ s, ↑s ⊆ a ∪ b
ab_disj : Disjoint a b
u v : Set X
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
hau : a ⊆ u
hbv : b ⊆ v
huv : Disjoint u v
s : Set X
H : IsClopen s ∧ x ∈ s ∧ s ⊆ v ∪ u
H1 : IsClopen (s ∩ u)
⊢ ⋂ s, ↑s ⊆ a ∨ ⋂ s, ↑s ⊆ b

Tactic:
have H2 := isClopen_inter_of_disjoint_cover_clopen H.1 H.2.2 hv hu huv.symm

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : CompactSpace X
x : X
hs : IsClosed (⋂ s, ↑s)
a b : Set X
ha : IsClosed a
hb : IsClosed b
hab : ⋂ s, ↑s ⊆ a ∪ b
ab_disj : Disjoint a b
u v : Set X
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
hau : a ⊆ u
hbv : b ⊆ v
huv : Disjoint u v
s : Set X
H : IsClopen s ∧ x ∈ s ∧ s ⊆ v ∪ u
H1 : IsClopen (s ∩ u)
H2 : IsClopen (s ∩ v)
⊢ ⋂ s, ↑s ⊆ a ∨ ⋂ s, ↑s ⊆ b

Proof state:
case intro.refine_1
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : T2Space X
inst✝ : CompactSpace X
x : X
hs : IsClosed (⋂ s, ↑s)
a b : Set X
ha : IsClosed a
hb : IsClosed b
hab : ⋂ s, ↑s ⊆ a ∪ b
ab_disj : Disjoint a b
u v : Set X
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
hau : a ⊆ u
hbv : b ⊆ v
huv : Disjoint u v
H1 : Disjoint (u ∪ v)ᶜ (⋂ i, (fun s => ↑s) i) → ∃ x_1, ¬((u ∪ v)ᶜ ∩ ⋂ i ∈ x_1, (fun s => ↑s) i).Nonempty
si : Finset { s // IsClopen s ∧ x ∈ s }
H2 : ¬((u ∪ v)ᶜ ∩ ⋂ i ∈ si, (fun s => ↑s) i).Nonempty
⊢ IsClopen (⋂ U ∈ si, ↑U)

Tactic:
exact isClopen_biInter_finset fun s _ => s.2.1

Result:
no goals