-- Mathlib/.lake/packages/lean4/src/lean/Init/Data/BitVec/Bitblast.lean
theorem lawful_divSubtractShift (qr : DivModState w) (h : qr.Poised args) :
    DivModState.Lawful args (divSubtractShift args qr)

Proof state:
case pos
w : Nat
qr : DivModState w
n d : BitVec w
h : DivModState.Poised { n := n, d := d } qr
hrwn : qr.wr + qr.wn = w
hd : 0 < { n := n, d := d }.d
hrd : qr.r.toNat < { n := n, d := d }.d.toNat
hr : qr.r.toNat < 2 ^ qr.wr
hn : qr.q.toNat < 2 ^ qr.wr
hrnd : { n := n, d := d }.n.toNat >>> qr.wn = { n := n, d := d }.d.toNat * qr.q.toNat + qr.r.toNat
hwn_lt : 0 < qr.wn
this : d.toNat * (qr.q.toNat * 2) = d.toNat * qr.q.toNat * 2
rltd : qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1)) < d
⊢ DivModState.Lawful { n := n, d := d }
    (if qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1)) < d then
      { wn := qr.wn - 1, wr := qr.wr + 1, q := qr.q.shiftConcat false, r := qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1)) }
    else
      { wn := qr.wn - 1, wr := qr.wr + 1, q := qr.q.shiftConcat true,
        r := qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1)) - d })

Tactic:
simp only [rltd, ↓reduceIte]

Result:
case pos
w : Nat
qr : DivModState w
n d : BitVec w
h : DivModState.Poised { n := n, d := d } qr
hrwn : qr.wr + qr.wn = w
hd : 0 < { n := n, d := d }.d
hrd : qr.r.toNat < { n := n, d := d }.d.toNat
hr : qr.r.toNat < 2 ^ qr.wr
hn : qr.q.toNat < 2 ^ qr.wr
hrnd : { n := n, d := d }.n.toNat >>> qr.wn = { n := n, d := d }.d.toNat * qr.q.toNat + qr.r.toNat
hwn_lt : 0 < qr.wn
this : d.toNat * (qr.q.toNat * 2) = d.toNat * qr.q.toNat * 2
rltd : qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1)) < d
⊢ DivModState.Lawful { n := n, d := d }
    { wn := qr.wn - 1, wr := qr.wr + 1, q := qr.q.shiftConcat false, r := qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1)) }

Proof state:
w : Nat
qr : DivModState w
n d : BitVec w
h : DivModState.Poised { n := n, d := d } qr
hrwn : qr.wr + qr.wn = w
hd : 0 < { n := n, d := d }.d
hrd : qr.r.toNat < { n := n, d := d }.d.toNat
hr : qr.r.toNat < 2 ^ qr.wr
hn : qr.q.toNat < 2 ^ qr.wr
hrnd : { n := n, d := d }.n.toNat >>> qr.wn = { n := n, d := d }.d.toNat * qr.q.toNat + qr.r.toNat
hwn_lt : 0 < qr.wn
this : d.toNat * (qr.q.toNat * 2) = d.toNat * qr.q.toNat * 2
rltd : ¬qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1)) < d
⊢ { wn := qr.wn - 1, wr := qr.wr + 1, q := qr.q.shiftConcat true,
          r := qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1)) - d }.r.toNat <
    2 ^
      { wn := qr.wn - 1, wr := qr.wr + 1, q := qr.q.shiftConcat true,
          r := qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1)) - d }.wr

Tactic:
simp only

Result:
w : Nat
qr : DivModState w
n d : BitVec w
h : DivModState.Poised { n := n, d := d } qr
hrwn : qr.wr + qr.wn = w
hd : 0 < { n := n, d := d }.d
hrd : qr.r.toNat < { n := n, d := d }.d.toNat
hr : qr.r.toNat < 2 ^ qr.wr
hn : qr.q.toNat < 2 ^ qr.wr
hrnd : { n := n, d := d }.n.toNat >>> qr.wn = { n := n, d := d }.d.toNat * qr.q.toNat + qr.r.toNat
hwn_lt : 0 < qr.wn
this : d.toNat * (qr.q.toNat * 2) = d.toNat * qr.q.toNat * 2
rltd : ¬qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1)) < d
⊢ (qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1)) - d).toNat < 2 ^ (qr.wr + 1)

Proof state:
w : Nat
qr : DivModState w
n d : BitVec w
h : DivModState.Poised { n := n, d := d } qr
hrwn : qr.wr + qr.wn = w
hd : 0 < { n := n, d := d }.d
hrd : qr.r.toNat < { n := n, d := d }.d.toNat
hr : qr.r.toNat < 2 ^ qr.wr
hn : qr.q.toNat < 2 ^ qr.wr
hrnd : { n := n, d := d }.n.toNat >>> qr.wn = { n := n, d := d }.d.toNat * qr.q.toNat + qr.r.toNat
hwn_lt : 0 < qr.wn
this : d.toNat * (qr.q.toNat * 2) = d.toNat * qr.q.toNat * 2
rltd : qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1)) < d
⊢ { wn := qr.wn - 1, wr := qr.wr + 1, q := qr.q.shiftConcat false,
          r := qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1)) }.r.toNat <
    2 ^
      { wn := qr.wn - 1, wr := qr.wr + 1, q := qr.q.shiftConcat false,
          r := qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1)) }.wr

Tactic:
apply toNat_shiftConcat_lt_of_lt <;> omega

Result:
no goals

Proof state:
case mk
w : Nat
qr : DivModState w
n d : BitVec w
h : DivModState.Poised { n := n, d := d } qr
⊢ DivModState.Lawful { n := n, d := d }
    (if qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1)) < d then
      { wn := qr.wn - 1, wr := qr.wr + 1, q := qr.q.shiftConcat false, r := qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1)) }
    else
      { wn := qr.wn - 1, wr := qr.wr + 1, q := qr.q.shiftConcat true,
        r := qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1)) - d })

Tactic:
have ⟨⟨hrwn, hd, hrd, hr, hn, hrnd⟩, hwn_lt⟩ := h

Result:
case mk
w : Nat
qr : DivModState w
n d : BitVec w
h : DivModState.Poised { n := n, d := d } qr
hrwn : qr.wr + qr.wn = w
hd : 0 < { n := n, d := d }.d
hrd : qr.r.toNat < { n := n, d := d }.d.toNat
hr : qr.r.toNat < 2 ^ qr.wr
hn : qr.q.toNat < 2 ^ qr.wr
hrnd : { n := n, d := d }.n.toNat >>> qr.wn = { n := n, d := d }.d.toNat * qr.q.toNat + qr.r.toNat
hwn_lt : 0 < qr.wn
⊢ DivModState.Lawful { n := n, d := d }
    (if qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1)) < d then
      { wn := qr.wn - 1, wr := qr.wr + 1, q := qr.q.shiftConcat false, r := qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1)) }
    else
      { wn := qr.wn - 1, wr := qr.wr + 1, q := qr.q.shiftConcat true,
        r := qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1)) - d })

Proof state:
w : Nat
qr : DivModState w
n d : BitVec w
h : DivModState.Poised { n := n, d := d } qr
hrwn : qr.wr + qr.wn = w
hd : 0 < { n := n, d := d }.d
hrd : qr.r.toNat < { n := n, d := d }.d.toNat
hr : qr.r.toNat < 2 ^ qr.wr
hn : qr.q.toNat < 2 ^ qr.wr
hrnd : { n := n, d := d }.n.toNat >>> qr.wn = { n := n, d := d }.d.toNat * qr.q.toNat + qr.r.toNat
hwn_lt : 0 < qr.wn
⊢ d.toNat * (qr.q.toNat * 2) = d.toNat * qr.q.toNat * 2

Tactic:
rw [Nat.mul_assoc]

Result:
no goals

Proof state:
w : Nat
qr : DivModState w
n d : BitVec w
h : DivModState.Poised { n := n, d := d } qr
hrwn : qr.wr + qr.wn = w
hd : 0 < { n := n, d := d }.d
hrd : qr.r.toNat < { n := n, d := d }.d.toNat
hr : qr.r.toNat < 2 ^ qr.wr
hn : qr.q.toNat < 2 ^ qr.wr
hrnd : { n := n, d := d }.n.toNat >>> qr.wn = { n := n, d := d }.d.toNat * qr.q.toNat + qr.r.toNat
hwn_lt : 0 < qr.wn
this : d.toNat * (qr.q.toNat * 2) = d.toNat * qr.q.toNat * 2
rltd : qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1)) < d
⊢ { wn := qr.wn - 1, wr := qr.wr + 1, q := qr.q.shiftConcat false,
          r := qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1)) }.q.toNat <
    2 ^
      { wn := qr.wn - 1, wr := qr.wr + 1, q := qr.q.shiftConcat false,
          r := qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1)) }.wr

Tactic:
apply toNat_shiftConcat_lt_of_lt <;> omega

Result:
no goals

Proof state:
w : Nat
qr : DivModState w
n d : BitVec w
h : DivModState.Poised { n := n, d := d } qr
hrwn : qr.wr + qr.wn = w
hd : 0 < { n := n, d := d }.d
hrd : qr.r.toNat < { n := n, d := d }.d.toNat
hr : qr.r.toNat < 2 ^ qr.wr
hn : qr.q.toNat < 2 ^ qr.wr
hrnd : { n := n, d := d }.n.toNat >>> qr.wn = { n := n, d := d }.d.toNat * qr.q.toNat + qr.r.toNat
hwn_lt : 0 < qr.wn
this : d.toNat * (qr.q.toNat * 2) = d.toNat * qr.q.toNat * 2
rltd : qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1)) < d
⊢ (d.toNat * qr.q.toNat + qr.r.toNat) * 2 + (n.getLsbD (qr.wn - 1)).toNat =
    d.toNat * qr.q.toNat * 2 + (qr.r.toNat * 2 + (n.getLsbD (qr.wn - 1)).toNat)

Tactic:
omega

Result:
no goals