-- Mathlib/Analysis/SpecialFunctions/ContinuousFunctionalCalculus/PosPart.lean
/-- The positive and negative parts of a selfadjoint element `a` are unique. That is, if
`a = b - c` is the difference of nonnegative elements whose product is zero, then these are
precisely `a⁺` and `a⁻`. -/
lemma posPart_negPart_unique {a b c : A} (habc : a = b - c) (hbc : b * c = 0)
    (hb : 0 ≤ b

Proof state:
case id.refine_1
A : Type u_1
inst✝¹¹ : NonUnitalRing A
inst✝¹⁰ : Module ℝ A
inst✝⁹ : SMulCommClass ℝ A A
inst✝⁸ : IsScalarTower ℝ A A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
inst✝⁴ : PartialOrder A
inst✝³ : StarOrderedRing A
inst✝² : NonnegSpectrumClass ℝ A
inst✝¹ : IsTopologicalRing A
inst✝ : T2Space A
a b c : A
habc : a = b - c
hbc : b * c = 0
hb : autoParam (0 ≤ b) _auto✝
hc : autoParam (0 ≤ c) _auto✝
hb' : IsSelfAdjoint b
hc' : IsSelfAdjoint (-c)
ha : IsSelfAdjoint a
s : Set ℝ := σₙ ℝ a ∪ σₙ ℝ b ∪ σₙ ℝ (-c)
hs : CompactSpace ↑s
has : σₙ ℝ a ⊆ s
hbs : σₙ ℝ b ⊆ s
hcs : σₙ ℝ (-c) ⊆ s
zero : Zero ↑s := { zero := ⟨0, ⋯⟩ }
s0 : ↑0 = 0
f g : C(↑s, ℝ)₀
⊢ (cfcₙHomSuperset hb' hbs) (ContinuousMapZero.id s0) * (cfcₙHomSuperset hc' hcs) (ContinuousMapZero.id s0) = 0

case id.refine_2
A : Type u_1
inst✝¹¹ : NonUnitalRing A
inst✝¹⁰ : Module ℝ A
inst✝⁹ : SMulCommClass ℝ A A
inst✝⁸ : IsScalarTower ℝ A A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
inst✝⁴ : PartialOrder A
inst✝³ : StarOrderedRing A
inst✝² : NonnegSpectrumClass ℝ A
inst✝¹ : IsTopologicalRing A
inst✝ : T2Space A
a b c : A
habc : a = b - c
hbc : b * c = 0
hb : autoParam (0 ≤ b) _auto✝
hc : autoParam (0 ≤ c) _auto✝
hb' : IsSelfAdjoint b
hc' : IsSelfAdjoint (-c)
ha : IsSelfAdjoint a
s : Set ℝ := σₙ ℝ a ∪ σₙ ℝ b ∪ σₙ ℝ (-c)
hs : CompactSpace ↑s
has : σₙ ℝ a ⊆ s
hbs : σₙ ℝ b ⊆ s
hcs : σₙ ℝ (-c) ⊆ s
zero : Zero ↑s := { zero := ⟨0, ⋯⟩ }
s0 : ↑0 = 0
f g : C(↑s, ℝ)₀
⊢ (cfcₙHomSuperset hb' hbs) (ContinuousMapZero.id s0) * (cfcₙHomSuperset hc' hcs) (star (ContinuousMapZero.id s0)) = 0

Tactic:
all_goals simp only [zero, star_trivial, cfcₙHomSuperset_id' hb' hbs,
  cfcₙHomSuperset_id' hc' hcs, mul_neg, hbc, neg_zero]

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro
A : Type u_1
inst✝¹¹ : NonUnitalRing A
inst✝¹⁰ : Module ℝ A
inst✝⁹ : SMulCommClass ℝ A A
inst✝⁸ : IsScalarTower ℝ A A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
inst✝⁴ : PartialOrder A
inst✝³ : StarOrderedRing A
inst✝² : NonnegSpectrumClass ℝ A
inst✝¹ : IsTopologicalRing A
inst✝ : T2Space A
a b c : A
habc : a = b - c
hbc : b * c = 0
hb : autoParam (0 ≤ b) _auto✝
hc : autoParam (0 ≤ c) _auto✝
hb' : IsSelfAdjoint b
hc' : IsSelfAdjoint (-c)
ha : IsSelfAdjoint a
s : Set ℝ := σₙ ℝ a ∪ σₙ ℝ b ∪ σₙ ℝ (-c)
hs : CompactSpace ↑s
has : σₙ ℝ a ⊆ s
hbs : σₙ ℝ b ⊆ s
hcs : σₙ ℝ (-c) ⊆ s
⊢ a⁺ = b

Tactic:
let zero : Zero s := ⟨0, by aesop⟩

Result:
case intro.intro
A : Type u_1
inst✝¹¹ : NonUnitalRing A
inst✝¹⁰ : Module ℝ A
inst✝⁹ : SMulCommClass ℝ A A
inst✝⁸ : IsScalarTower ℝ A A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
inst✝⁴ : PartialOrder A
inst✝³ : StarOrderedRing A
inst✝² : NonnegSpectrumClass ℝ A
inst✝¹ : IsTopologicalRing A
inst✝ : T2Space A
a b c : A
habc : a = b - c
hbc : b * c = 0
hb : autoParam (0 ≤ b) _auto✝
hc : autoParam (0 ≤ c) _auto✝
hb' : IsSelfAdjoint b
hc' : IsSelfAdjoint (-c)
ha : IsSelfAdjoint a
s : Set ℝ := σₙ ℝ a ∪ σₙ ℝ b ∪ σₙ ℝ (-c)
hs : CompactSpace ↑s
has : σₙ ℝ a ⊆ s
hbs : σₙ ℝ b ⊆ s
hcs : σₙ ℝ (-c) ⊆ s
zero : Zero ↑s := { zero := ⟨0, ⋯⟩ }
⊢ a⁺ = b

Proof state:
A : Type u_1
inst✝¹¹ : NonUnitalRing A
inst✝¹⁰ : Module ℝ A
inst✝⁹ : SMulCommClass ℝ A A
inst✝⁸ : IsScalarTower ℝ A A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
inst✝⁴ : PartialOrder A
inst✝³ : StarOrderedRing A
inst✝² : NonnegSpectrumClass ℝ A
inst✝¹ : IsTopologicalRing A
inst✝ : T2Space A
a b c : A
habc : a = b - c
hbc : b * c = 0
hb : autoParam (0 ≤ b) _auto✝
hc : autoParam (0 ≤ c) _auto✝
hb' : IsSelfAdjoint b
hc' : IsSelfAdjoint (-c)
ha : IsSelfAdjoint a
s : Set ℝ := σₙ ℝ a ∪ σₙ ℝ b ∪ σₙ ℝ (-c)
hs : CompactSpace ↑s
⊢ σₙ ℝ a ⊆ s ∧ σₙ ℝ b ⊆ s ∧ σₙ ℝ (-c) ⊆ s

Tactic:
refine ⟨?_, ?_, ?_⟩

Result:
case refine_1
A : Type u_1
inst✝¹¹ : NonUnitalRing A
inst✝¹⁰ : Module ℝ A
inst✝⁹ : SMulCommClass ℝ A A
inst✝⁸ : IsScalarTower ℝ A A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
inst✝⁴ : PartialOrder A
inst✝³ : StarOrderedRing A
inst✝² : NonnegSpectrumClass ℝ A
inst✝¹ : IsTopologicalRing A
inst✝ : T2Space A
a b c : A
habc : a = b - c
hbc : b * c = 0
hb : autoParam (0 ≤ b) _auto✝
hc : autoParam (0 ≤ c) _auto✝
hb' : IsSelfAdjoint b
hc' : IsSelfAdjoint (-c)
ha : IsSelfAdjoint a
s : Set ℝ := σₙ ℝ a ∪ σₙ ℝ b ∪ σₙ ℝ (-c)
hs : CompactSpace ↑s
⊢ σₙ ℝ a ⊆ s

case refine_2
A : Type u_1
inst✝¹¹ : NonUnitalRing A
inst✝¹⁰ : Module ℝ A
inst✝⁹ : SMulCommClass ℝ A A
inst✝⁸ : IsScalarTower ℝ A A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
inst✝⁴ : PartialOrder A
inst✝³ : StarOrderedRing A
inst✝² : NonnegSpectrumClass ℝ A
inst✝¹ : IsTopologicalRing A
inst✝ : T2Space A
a b c : A
habc : a = b - c
hbc : b * c = 0
hb : autoParam (0 ≤ b) _auto✝
hc : autoParam (0 ≤ c) _auto✝
hb' : IsSelfAdjoint b
hc' : IsSelfAdjoint (-c)
ha : IsSelfAdjoint a
s : Set ℝ := σₙ ℝ a ∪ σₙ ℝ b ∪ σₙ ℝ (-c)
hs : CompactSpace ↑s
⊢ σₙ ℝ b ⊆ s

case refine_3
A : Type u_1
inst✝¹¹ : NonUnitalRing A
inst✝¹⁰ : Module ℝ A
inst✝⁹ : SMulCommClass ℝ A A
inst✝⁸ : IsScalarTower ℝ A A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
inst✝⁴ : PartialOrder A
inst✝³ : StarOrderedRing A
inst✝² : NonnegSpectrumClass ℝ A
inst✝¹ : IsTopologicalRing A
inst✝ : T2Space A
a b c : A
habc : a = b - c
hbc : b * c = 0
hb : autoParam (0 ≤ b) _auto✝
hc : autoParam (0 ≤ c) _auto✝
hb' : IsSelfAdjoint b
hc' : IsSelfAdjoint (-c)
ha : IsSelfAdjoint a
s : Set ℝ := σₙ ℝ a ∪ σₙ ℝ b ∪ σₙ ℝ (-c)
hs : CompactSpace ↑s
⊢ σₙ ℝ (-c) ⊆ s

Proof state:
case id.refine_2
A : Type u_1
inst✝¹¹ : NonUnitalRing A
inst✝¹⁰ : Module ℝ A
inst✝⁹ : SMulCommClass ℝ A A
inst✝⁸ : IsScalarTower ℝ A A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : TopologicalSpace A
inst✝⁵ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus ℝ IsSelfAdjoint
inst✝⁴ : PartialOrder A
inst✝³ : StarOrderedRing A
inst✝² : NonnegSpectrumClass ℝ A
inst✝¹ : IsTopologicalRing A
inst✝ : T2Space A
a b c : A
habc : a = b - c
hbc : b * c = 0
hb : autoParam (0 ≤ b) _auto✝
hc : autoParam (0 ≤ c) _auto✝
hb' : IsSelfAdjoint b
hc' : IsSelfAdjoint (-c)
ha : IsSelfAdjoint a
s : Set ℝ := σₙ ℝ a ∪ σₙ ℝ b ∪ σₙ ℝ (-c)
hs : CompactSpace ↑s
has : σₙ ℝ a ⊆ s
hbs : σₙ ℝ b ⊆ s
hcs : σₙ ℝ (-c) ⊆ s
zero : Zero ↑s := { zero := ⟨0, ⋯⟩ }
s0 : ↑0 = 0
f g : C(↑s, ℝ)₀
⊢ (cfcₙHomSuperset hb' hbs) (ContinuousMapZero.id s0) * (cfcₙHomSuperset hc' hcs) (star (ContinuousMapZero.id s0)) = 0

Tactic:
simp only [zero, star_trivial, cfcₙHomSuperset_id' hb' hbs,
cfcₙHomSuperset_id' hc' hcs, mul_neg, hbc, neg_zero]

Result:
no goals