-- Mathlib/CategoryTheory/Functor/KanExtension/Basic.lean
lemma isLeftKanExtension_iff_isIso {F' : D ⥤ H} {F'' : D ⥤ H} (φ : F' ⟶ F'')
    {L : C ⥤ D} {F : C ⥤ H} (α : F ⟶ L ⋙ F') (α' : F ⟶ L ⋙ F'')
    (comm : α ≫ whiskerLeft L φ = α') [F'.IsLeftKanExtension α] :
    F''.IsLeftKanExtension α' ↔ IsIso φ

Proof state:
case mp
C : Type u_1
H : Type u_3
D : Type u_4
inst✝³ : Category.{u_8, u_1} C
inst✝² : Category.{u_7, u_3} H
inst✝¹ : Category.{u_6, u_4} D
F' F'' : D ⥤ H
φ : F' ⟶ F''
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
α : F ⟶ L ⋙ F'
α' : F ⟶ L ⋙ F''
comm : α ≫ whiskerLeft L φ = α'
inst✝ : F'.IsLeftKanExtension α
⊢ F''.IsLeftKanExtension α' → IsIso φ

Tactic:
intro

Result:
case mp
C : Type u_1
H : Type u_3
D : Type u_4
inst✝³ : Category.{u_8, u_1} C
inst✝² : Category.{u_7, u_3} H
inst✝¹ : Category.{u_6, u_4} D
F' F'' : D ⥤ H
φ : F' ⟶ F''
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
α : F ⟶ L ⋙ F'
α' : F ⟶ L ⋙ F''
comm : α ≫ whiskerLeft L φ = α'
inst✝ : F'.IsLeftKanExtension α
a✝ : F''.IsLeftKanExtension α'
⊢ IsIso φ

Proof state:
C : Type u_1
H : Type u_3
D : Type u_4
inst✝³ : Category.{u_8, u_1} C
inst✝² : Category.{u_7, u_3} H
inst✝¹ : Category.{u_6, u_4} D
F' F'' : D ⥤ H
φ : F' ⟶ F''
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
α : F ⟶ L ⋙ F'
α' : F ⟶ L ⋙ F''
comm : α ≫ whiskerLeft L φ = α'
inst✝ : F'.IsLeftKanExtension α
⊢ F''.IsLeftKanExtension α' ↔ IsIso φ

Tactic:
constructor

Result:
case mp
C : Type u_1
H : Type u_3
D : Type u_4
inst✝³ : Category.{u_8, u_1} C
inst✝² : Category.{u_7, u_3} H
inst✝¹ : Category.{u_6, u_4} D
F' F'' : D ⥤ H
φ : F' ⟶ F''
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
α : F ⟶ L ⋙ F'
α' : F ⟶ L ⋙ F''
comm : α ≫ whiskerLeft L φ = α'
inst✝ : F'.IsLeftKanExtension α
⊢ F''.IsLeftKanExtension α' → IsIso φ

case mpr
C : Type u_1
H : Type u_3
D : Type u_4
inst✝³ : Category.{u_8, u_1} C
inst✝² : Category.{u_7, u_3} H
inst✝¹ : Category.{u_6, u_4} D
F' F'' : D ⥤ H
φ : F' ⟶ F''
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
α : F ⟶ L ⋙ F'
α' : F ⟶ L ⋙ F''
comm : α ≫ whiskerLeft L φ = α'
inst✝ : F'.IsLeftKanExtension α
⊢ IsIso φ → F''.IsLeftKanExtension α'

Proof state:
C : Type u_1
H : Type u_3
D : Type u_4
inst✝³ : Category.{u_8, u_1} C
inst✝² : Category.{u_7, u_3} H
inst✝¹ : Category.{u_6, u_4} D
F' F'' : D ⥤ H
φ : F' ⟶ F''
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
α : F ⟶ L ⋙ F'
α' : F ⟶ L ⋙ F''
comm : α ≫ whiskerLeft L φ = α'
inst✝ : F'.IsLeftKanExtension α
a✝ : F''.IsLeftKanExtension α'
⊢ α ≫ whiskerLeft L φ = α ≫ whiskerLeft L (F'.leftKanExtensionUnique α F'' α').hom

Tactic:
simp [comm]

Result:
no goals

Proof state:
case mp
C : Type u_1
H : Type u_3
D : Type u_4
inst✝³ : Category.{u_8, u_1} C
inst✝² : Category.{u_7, u_3} H
inst✝¹ : Category.{u_6, u_4} D
F' F'' : D ⥤ H
φ : F' ⟶ F''
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
α : F ⟶ L ⋙ F'
α' : F ⟶ L ⋙ F''
comm : α ≫ whiskerLeft L φ = α'
inst✝ : F'.IsLeftKanExtension α
a✝ : F''.IsLeftKanExtension α'
⊢ IsIso φ

Tactic:
rw [F'.hom_ext_of_isLeftKanExtension α φ (leftKanExtensionUnique _ α _ α').hom
  (by simp [comm])]

Result:
case mp
C : Type u_1
H : Type u_3
D : Type u_4
inst✝³ : Category.{u_8, u_1} C
inst✝² : Category.{u_7, u_3} H
inst✝¹ : Category.{u_6, u_4} D
F' F'' : D ⥤ H
φ : F' ⟶ F''
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
α : F ⟶ L ⋙ F'
α' : F ⟶ L ⋙ F''
comm : α ≫ whiskerLeft L φ = α'
inst✝ : F'.IsLeftKanExtension α
a✝ : F''.IsLeftKanExtension α'
⊢ IsIso (F'.leftKanExtensionUnique α F'' α').hom

Proof state:
case mpr
C : Type u_1
H : Type u_3
D : Type u_4
inst✝³ : Category.{u_8, u_1} C
inst✝² : Category.{u_7, u_3} H
inst✝¹ : Category.{u_6, u_4} D
F' F'' : D ⥤ H
φ : F' ⟶ F''
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
α : F ⟶ L ⋙ F'
α' : F ⟶ L ⋙ F''
comm : α ≫ whiskerLeft L φ = α'
inst✝ : F'.IsLeftKanExtension α
a✝ : IsIso φ
⊢ F''.IsLeftKanExtension α'

Tactic:
exact isLeftKanExtension_of_iso (asIso φ) α α' comm

Result:
no goals

Proof state:
case mpr
C : Type u_1
H : Type u_3
D : Type u_4
inst✝³ : Category.{u_8, u_1} C
inst✝² : Category.{u_7, u_3} H
inst✝¹ : Category.{u_6, u_4} D
F' F'' : D ⥤ H
φ : F' ⟶ F''
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
α : F ⟶ L ⋙ F'
α' : F ⟶ L ⋙ F''
comm : α ≫ whiskerLeft L φ = α'
inst✝ : F'.IsLeftKanExtension α
⊢ IsIso φ → F''.IsLeftKanExtension α'

Tactic:
intro

Result:
case mpr
C : Type u_1
H : Type u_3
D : Type u_4
inst✝³ : Category.{u_8, u_1} C
inst✝² : Category.{u_7, u_3} H
inst✝¹ : Category.{u_6, u_4} D
F' F'' : D ⥤ H
φ : F' ⟶ F''
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
α : F ⟶ L ⋙ F'
α' : F ⟶ L ⋙ F''
comm : α ≫ whiskerLeft L φ = α'
inst✝ : F'.IsLeftKanExtension α
a✝ : IsIso φ
⊢ F''.IsLeftKanExtension α'

Proof state:
case mp
C : Type u_1
H : Type u_3
D : Type u_4
inst✝³ : Category.{u_8, u_1} C
inst✝² : Category.{u_7, u_3} H
inst✝¹ : Category.{u_6, u_4} D
F' F'' : D ⥤ H
φ : F' ⟶ F''
L : C ⥤ D
F : C ⥤ H
α : F ⟶ L ⋙ F'
α' : F ⟶ L ⋙ F''
comm : α ≫ whiskerLeft L φ = α'
inst✝ : F'.IsLeftKanExtension α
a✝ : F''.IsLeftKanExtension α'
⊢ IsIso (F'.leftKanExtensionUnique α F'' α').hom

Tactic:
infer_instance

Result:
no goals