-- Mathlib/Algebra/Group/Subgroup/Pointwise.lean
theorem iSup_induction' {ι : Sort*} (S : ι → Subgroup G) {C : ∀ x, (x ∈ ⨆ i, S i) → Prop}
    (hp : ∀ (i), ∀ x (hx : x ∈ S i), C x (mem_iSup_of_mem i hx)) (h1 : C 1 (one_mem _))
    (hmul : ∀ x y hx hy, C x hx → C y hy → C (x * y) (mul_mem ‹_› ‹_›)) {x : G}
    (hx : x ∈ ⨆ i, S i) : C x hx

Proof state:
case refine_1
G : Type u_2
inst✝ : Group G
ι : Sort u_5
S : ι → Subgroup G
C : (x : G) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop
hp : ∀ (i : ι) (x : G) (hx : x ∈ S i), C x ⋯
h1 : C 1 ⋯
hmul : ∀ (x y : G) (hx : x ∈ ⨆ i, S i) (hy : y ∈ ⨆ i, S i), C x hx → C y hy → C (x * y) ⋯
x✝ : G
hx✝ : x✝ ∈ ⨆ i, S i
i : ι
x : G
hx : x ∈ S i
⊢ (fun x => ∃ (h : x ∈ ⨆ i, S i), C x h) x

Tactic:
exact ⟨_, hp i _ hx⟩

Result:
no goals

Proof state:
case refine_2
G : Type u_2
inst✝ : Group G
ι : Sort u_5
S : ι → Subgroup G
C : (x : G) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop
hp : ∀ (i : ι) (x : G) (hx : x ∈ S i), C x ⋯
h1 : C 1 ⋯
hmul : ∀ (x y : G) (hx : x ∈ ⨆ i, S i) (hy : y ∈ ⨆ i, S i), C x hx → C y hy → C (x * y) ⋯
x : G
hx : x ∈ ⨆ i, S i
⊢ (fun x => ∃ (h : x ∈ ⨆ i, S i), C x h) 1

Tactic:
exact ⟨_, h1⟩

Result:
no goals

Proof state:
G : Type u_2
inst✝ : Group G
ι : Sort u_5
S : ι → Subgroup G
C : (x : G) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop
hp : ∀ (i : ι) (x : G) (hx : x ∈ S i), C x ⋯
h1 : C 1 ⋯
hmul : ∀ (x y : G) (hx : x ∈ ⨆ i, S i) (hy : y ∈ ⨆ i, S i), C x hx → C y hy → C (x * y) ⋯
x : G
hx : x ∈ ⨆ i, S i
⊢ C x hx

Tactic:
suffices ∃ h, C x h from this.snd

Result:
G : Type u_2
inst✝ : Group G
ι : Sort u_5
S : ι → Subgroup G
C : (x : G) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop
hp : ∀ (i : ι) (x : G) (hx : x ∈ S i), C x ⋯
h1 : C 1 ⋯
hmul : ∀ (x y : G) (hx : x ∈ ⨆ i, S i) (hy : y ∈ ⨆ i, S i), C x hx → C y hy → C (x * y) ⋯
x : G
hx : x ∈ ⨆ i, S i
⊢ ∃ (h : x ∈ ⨆ i, S i), C x h

Proof state:
case refine_3.intro.intro
G : Type u_2
inst✝ : Group G
ι : Sort u_5
S : ι → Subgroup G
C : (x : G) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop
hp : ∀ (i : ι) (x : G) (hx : x ∈ S i), C x ⋯
h1 : C 1 ⋯
hmul : ∀ (x y : G) (hx : x ∈ ⨆ i, S i) (hy : y ∈ ⨆ i, S i), C x hx → C y hy → C (x * y) ⋯
x✝ : G
hx : x✝ ∈ ⨆ i, S i
x y : G
w✝¹ : x ∈ ⨆ i, S i
Cx : C x w✝¹
w✝ : y ∈ ⨆ i, S i
Cy : C y w✝
⊢ ∃ (h : x * y ∈ ⨆ i, S i), C (x * y) h

Tactic:
exact ⟨_, hmul _ _ _ _ Cx Cy⟩

Result:
no goals

Proof state:
case refine_3
G : Type u_2
inst✝ : Group G
ι : Sort u_5
S : ι → Subgroup G
C : (x : G) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop
hp : ∀ (i : ι) (x : G) (hx : x ∈ S i), C x ⋯
h1 : C 1 ⋯
hmul : ∀ (x y : G) (hx : x ∈ ⨆ i, S i) (hy : y ∈ ⨆ i, S i), C x hx → C y hy → C (x * y) ⋯
x✝ : G
hx : x✝ ∈ ⨆ i, S i
x y : G
⊢ (fun x => ∃ (h : x ∈ ⨆ i, S i), C x h) x →
    (fun x => ∃ (h : x ∈ ⨆ i, S i), C x h) y → (fun x => ∃ (h : x ∈ ⨆ i, S i), C x h) (x * y)

Tactic:
rintro ⟨_, Cx⟩ ⟨_, Cy⟩

Result:
case refine_3.intro.intro
G : Type u_2
inst✝ : Group G
ι : Sort u_5
S : ι → Subgroup G
C : (x : G) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop
hp : ∀ (i : ι) (x : G) (hx : x ∈ S i), C x ⋯
h1 : C 1 ⋯
hmul : ∀ (x y : G) (hx : x ∈ ⨆ i, S i) (hy : y ∈ ⨆ i, S i), C x hx → C y hy → C (x * y) ⋯
x✝ : G
hx : x✝ ∈ ⨆ i, S i
x y : G
w✝¹ : x ∈ ⨆ i, S i
Cx : C x w✝¹
w✝ : y ∈ ⨆ i, S i
Cy : C y w✝
⊢ ∃ (h : x * y ∈ ⨆ i, S i), C (x * y) h

Proof state:
G : Type u_2
inst✝ : Group G
ι : Sort u_5
S : ι → Subgroup G
C : (x : G) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop
hp : ∀ (i : ι) (x : G) (hx : x ∈ S i), C x ⋯
h1 : C 1 ⋯
hmul : ∀ (x y : G) (hx : x ∈ ⨆ i, S i) (hy : y ∈ ⨆ i, S i), C x hx → C y hy → C (x * y) ⋯
x : G
hx : x ∈ ⨆ i, S i
⊢ ∃ (h : x ∈ ⨆ i, S i), C x h

Tactic:
refine iSup_induction S (C := fun x => ∃ h, C x h) hx (fun i x hx => ?_) ?_ fun x y => ?_

Result:
case refine_1
G : Type u_2
inst✝ : Group G
ι : Sort u_5
S : ι → Subgroup G
C : (x : G) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop
hp : ∀ (i : ι) (x : G) (hx : x ∈ S i), C x ⋯
h1 : C 1 ⋯
hmul : ∀ (x y : G) (hx : x ∈ ⨆ i, S i) (hy : y ∈ ⨆ i, S i), C x hx → C y hy → C (x * y) ⋯
x✝ : G
hx✝ : x✝ ∈ ⨆ i, S i
i : ι
x : G
hx : x ∈ S i
⊢ (fun x => ∃ (h : x ∈ ⨆ i, S i), C x h) x

case refine_2
G : Type u_2
inst✝ : Group G
ι : Sort u_5
S : ι → Subgroup G
C : (x : G) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop
hp : ∀ (i : ι) (x : G) (hx : x ∈ S i), C x ⋯
h1 : C 1 ⋯
hmul : ∀ (x y : G) (hx : x ∈ ⨆ i, S i) (hy : y ∈ ⨆ i, S i), C x hx → C y hy → C (x * y) ⋯
x : G
hx : x ∈ ⨆ i, S i
⊢ (fun x => ∃ (h : x ∈ ⨆ i, S i), C x h) 1

case refine_3
G : Type u_2
inst✝ : Group G
ι : Sort u_5
S : ι → Subgroup G
C : (x : G) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop
hp : ∀ (i : ι) (x : G) (hx : x ∈ S i), C x ⋯
h1 : C 1 ⋯
hmul : ∀ (x y : G) (hx : x ∈ ⨆ i, S i) (hy : y ∈ ⨆ i, S i), C x hx → C y hy → C (x * y) ⋯
x✝ : G
hx : x✝ ∈ ⨆ i, S i
x y : G
⊢ (fun x => ∃ (h : x ∈ ⨆ i, S i), C x h) x →
    (fun x => ∃ (h : x ∈ ⨆ i, S i), C x h) y → (fun x => ∃ (h : x ∈ ⨆ i, S i), C x h) (x * y)