-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/Bounded.lean
theorem isVonNBounded_of_smul_tendsto_zero {ε : ι → 𝕜} {l : Filter ι} [l.NeBot]
    (hε : ∀ᶠ n in l, ε n ≠ 0) {S : Set E}
    (H : ∀ x : ι → E, (∀ n, x n ∈ S) → Tendsto (ε • x) l (𝓝 0)) : IsVonNBounded 𝕜 S

Proof state:
case h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
ε : ι → 𝕜
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
hε : ∀ᶠ (n : ι) in l, ε n ≠ 0
S : Set E
H : ∀ (x : ι → E), (∀ (n : ι), x n ∈ S) → Tendsto (ε • x) l (𝓝 0)
V : Set E
hVS : ¬Absorbs 𝕜 (id V) S
hV : V ∈ 𝓝 0
hVb : Balanced 𝕜 V
n : ι
hn : ε n ≠ 0
⊢ ∃ x, ε n • ↑x ∉ V

Tactic:
rw [absorbs_iff_norm] at hVS

Result:
case h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
ε : ι → 𝕜
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
hε : ∀ᶠ (n : ι) in l, ε n ≠ 0
S : Set E
H : ∀ (x : ι → E), (∀ (n : ι), x n ∈ S) → Tendsto (ε • x) l (𝓝 0)
V : Set E
hVS : ¬∃ r, ∀ (c : 𝕜), r ≤ ‖c‖ → S ⊆ c • id V
hV : V ∈ 𝓝 0
hVb : Balanced 𝕜 V
n : ι
hn : ε n ≠ 0
⊢ ∃ x, ε n • ↑x ∉ V

Proof state:
case h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
ε : ι → 𝕜
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
hε : ∀ᶠ (n : ι) in l, ε n ≠ 0
S : Set E
H : ∀ (x : ι → E), (∀ (n : ι), x n ∈ S) → Tendsto (ε • x) l (𝓝 0)
V : Set E
hV : V ∈ 𝓝 0
hVb : Balanced 𝕜 V
n : ι
hn : ε n ≠ 0
hVS : ∀ (r : ℝ), ∃ c, r ≤ ‖c‖ ∧ ¬S ⊆ c • id V
⊢ ∃ x, ε n • ↑x ∉ V

Tactic:
rcases hVS ‖(ε n)⁻¹‖ with ⟨a, haε, haS⟩

Result:
case h.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
ε : ι → 𝕜
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
hε : ∀ᶠ (n : ι) in l, ε n ≠ 0
S : Set E
H : ∀ (x : ι → E), (∀ (n : ι), x n ∈ S) → Tendsto (ε • x) l (𝓝 0)
V : Set E
hV : V ∈ 𝓝 0
hVb : Balanced 𝕜 V
n : ι
hn : ε n ≠ 0
hVS : ∀ (r : ℝ), ∃ c, r ≤ ‖c‖ ∧ ¬S ⊆ c • id V
a : 𝕜
haε : ‖(ε n)⁻¹‖ ≤ ‖a‖
haS : ¬S ⊆ a • id V
⊢ ∃ x, ε n • ↑x ∉ V

Proof state:
case h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
ε : ι → 𝕜
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
hε : ∀ᶠ (n : ι) in l, ε n ≠ 0
S : Set E
H : ∀ (x : ι → E), (∀ (n : ι), x n ∈ S) → Tendsto (ε • x) l (𝓝 0)
V : Set E
hVS : ¬∃ r, ∀ (c : 𝕜), r ≤ ‖c‖ → S ⊆ c • id V
hV : V ∈ 𝓝 0
hVb : Balanced 𝕜 V
n : ι
hn : ε n ≠ 0
⊢ ∃ x, ε n • ↑x ∉ V

Tactic:
push_neg at hVS

Result:
case h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
ε : ι → 𝕜
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
hε : ∀ᶠ (n : ι) in l, ε n ≠ 0
S : Set E
H : ∀ (x : ι → E), (∀ (n : ι), x n ∈ S) → Tendsto (ε • x) l (𝓝 0)
V : Set E
hV : V ∈ 𝓝 0
hVb : Balanced 𝕜 V
n : ι
hn : ε n ≠ 0
hVS : ∀ (r : ℝ), ∃ c, r ≤ ‖c‖ ∧ ¬S ⊆ c • id V
⊢ ∃ x, ε n • ↑x ∉ V

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
ε : ι → 𝕜
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
hε : ∀ᶠ (n : ι) in l, ε n ≠ 0
S : Set E
H : ∀ (x : ι → E), (∀ (n : ι), x n ∈ S) → Tendsto (ε • x) l (𝓝 0)
⊢ IsVonNBounded 𝕜 S

Tactic:
rw [(nhds_basis_balanced 𝕜 E).isVonNBounded_iff]

Result:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
ε : ι → 𝕜
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
hε : ∀ᶠ (n : ι) in l, ε n ≠ 0
S : Set E
H : ∀ (x : ι → E), (∀ (n : ι), x n ∈ S) → Tendsto (ε • x) l (𝓝 0)
⊢ ∀ (i : Set E), i ∈ 𝓝 0 ∧ Balanced 𝕜 i → Absorbs 𝕜 (id i) S

Proof state:
case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
ε : ι → 𝕜
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
hε : ∀ᶠ (n : ι) in l, ε n ≠ 0
S : Set E
H : ∀ (x : ι → E), (∀ (n : ι), x n ∈ S) → Tendsto (ε • x) l (𝓝 0)
V : Set E
hVS : ¬Absorbs 𝕜 (id V) S
hV : V ∈ 𝓝 0
hVb : Balanced 𝕜 V
⊢ False

Tactic:
have : ∀ᶠ n in l, ∃ x : S, ε n • (x : E) ∉ V := by
  filter_upwards [hε] with n hn
  rw [absorbs_iff_norm] at hVS
  push_neg at hVS
  rcases hVS ‖(ε n)⁻¹‖ with ⟨a, haε, haS⟩
  rcases Set.not_subset.mp haS with ⟨x, hxS, hx⟩
  refine ⟨⟨x, hxS⟩, fun hnx => ?_⟩
  rw [← Set.mem_inv_smul_set_iff₀ hn] at hnx
  exact hx (hVb.smul_mono haε hnx)

Result:
case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
ε : ι → 𝕜
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
hε : ∀ᶠ (n : ι) in l, ε n ≠ 0
S : Set E
H : ∀ (x : ι → E), (∀ (n : ι), x n ∈ S) → Tendsto (ε • x) l (𝓝 0)
V : Set E
hVS : ¬Absorbs 𝕜 (id V) S
hV : V ∈ 𝓝 0
hVb : Balanced 𝕜 V
this : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∃ x, ε n • ↑x ∉ V
⊢ False

Proof state:
case intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
ε : ι → 𝕜
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
hε : ∀ᶠ (n : ι) in l, ε n ≠ 0
S : Set E
H : ∀ (x : ι → E), (∀ (n : ι), x n ∈ S) → Tendsto (ε • x) l (𝓝 0)
V : Set E
hVS : ¬Absorbs 𝕜 (id V) S
hV : V ∈ 𝓝 0
hVb : Balanced 𝕜 V
this : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∃ x, ε n • ↑x ∉ V
x : ι → ↑S
hx : ∀ᶠ (x_1 : ι) in l, ε x_1 • ↑(x x_1) ∉ V
⊢ False

Tactic:
refine Filter.frequently_false l (Filter.Eventually.frequently ?_)

Result:
case intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
ε : ι → 𝕜
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
hε : ∀ᶠ (n : ι) in l, ε n ≠ 0
S : Set E
H : ∀ (x : ι → E), (∀ (n : ι), x n ∈ S) → Tendsto (ε • x) l (𝓝 0)
V : Set E
hVS : ¬Absorbs 𝕜 (id V) S
hV : V ∈ 𝓝 0
hVb : Balanced 𝕜 V
this : ∀ᶠ (n : ι) in l, ∃ x, ε n • ↑x ∉ V
x : ι → ↑S
hx : ∀ᶠ (x_1 : ι) in l, ε x_1 • ↑(x x_1) ∉ V
⊢ ∀ᶠ (x : ι) in l, False

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
ε : ι → 𝕜
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
hε : ∀ᶠ (n : ι) in l, ε n ≠ 0
S : Set E
H : ∀ (x : ι → E), (∀ (n : ι), x n ∈ S) → Tendsto (ε • x) l (𝓝 0)
H' : ∃ i, (i ∈ 𝓝 0 ∧ Balanced 𝕜 i) ∧ ¬Absorbs 𝕜 (id i) S
⊢ False

Tactic:
rcases H' with ⟨V, ⟨hV, hVb⟩, hVS⟩

Result:
case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : ContinuousSMul 𝕜 E
ε : ι → 𝕜
l : Filter ι
inst✝ : l.NeBot
hε : ∀ᶠ (n : ι) in l, ε n ≠ 0
S : Set E
H : ∀ (x : ι → E), (∀ (n : ι), x n ∈ S) → Tendsto (ε • x) l (𝓝 0)
V : Set E
hVS : ¬Absorbs 𝕜 (id V) S
hV : V ∈ 𝓝 0
hVb : Balanced 𝕜 V
⊢ False