-- Mathlib/Analysis/Calculus/InverseFunctionTheorem/FiniteDimensional.lean
theorem exists_homeomorph_extension {E : Type*} [NormedAddCommGroup E] [NormedSpace ℝ E]
    {F : Type*} [NormedAddCommGroup F] [NormedSpace ℝ F] [FiniteDimensional ℝ F] {s : Set E}
    {f : E → F} {f' : E ≃L[ℝ] F} {c : ℝ≥0} (hf : ApproximatesLinearOn f (f' : E →L[ℝ] F) s c)
    (hc : Subsingleton E ∨ lipschitzExtensionConstant F * c < ‖(f'.symm : F →L[ℝ] E)‖₊⁻¹) :
    ∃ g : E ≃ₜ F, EqOn f g s

Proof state:
case a
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
s : Set E
f : E → F
f' : E ≃L[ℝ] F
c : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f (↑f') s c
hc : Subsingleton E ∨ lipschitzExtensionConstant F * c < ‖↑f'.symm‖₊⁻¹
u : E → F
hu : LipschitzWith (lipschitzExtensionConstant F * c) u
uf : EqOn (f - ⇑f') u s
g : E → F := fun x => f' x + u x
fg : EqOn f g s
⊢ LipschitzOnWith (lipschitzExtensionConstant F * c) (g - ⇑↑f') univ

Tactic:
rw [lipschitzOnWith_univ]

Result:
case a
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
s : Set E
f : E → F
f' : E ≃L[ℝ] F
c : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f (↑f') s c
hc : Subsingleton E ∨ lipschitzExtensionConstant F * c < ‖↑f'.symm‖₊⁻¹
u : E → F
hu : LipschitzWith (lipschitzExtensionConstant F * c) u
uf : EqOn (f - ⇑f') u s
g : E → F := fun x => f' x + u x
fg : EqOn f g s
⊢ LipschitzWith (lipschitzExtensionConstant F * c) (g - ⇑↑f')

Proof state:
case intro.intro
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
s : Set E
f : E → F
f' : E ≃L[ℝ] F
c : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f (↑f') s c
hc : Subsingleton E ∨ lipschitzExtensionConstant F * c < ‖↑f'.symm‖₊⁻¹
u : E → F
hu : LipschitzWith (lipschitzExtensionConstant F * c) u
uf : EqOn (f - ⇑f') u s
g : E → F := fun x => f' x + u x
fg : EqOn f g s
hg : ApproximatesLinearOn g (↑f') univ (lipschitzExtensionConstant F * c)
⊢ ∃ g, EqOn f (⇑g) s

Tactic:
haveI : FiniteDimensional ℝ E := f'.symm.finiteDimensional

Result:
case intro.intro
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
s : Set E
f : E → F
f' : E ≃L[ℝ] F
c : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f (↑f') s c
hc : Subsingleton E ∨ lipschitzExtensionConstant F * c < ‖↑f'.symm‖₊⁻¹
u : E → F
hu : LipschitzWith (lipschitzExtensionConstant F * c) u
uf : EqOn (f - ⇑f') u s
g : E → F := fun x => f' x + u x
fg : EqOn f g s
hg : ApproximatesLinearOn g (↑f') univ (lipschitzExtensionConstant F * c)
this : FiniteDimensional ℝ E
⊢ ∃ g, EqOn f (⇑g) s

Proof state:
case a
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
s : Set E
f : E → F
f' : E ≃L[ℝ] F
c : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f (↑f') s c
hc : Subsingleton E ∨ lipschitzExtensionConstant F * c < ‖↑f'.symm‖₊⁻¹
u : E → F
hu : LipschitzWith (lipschitzExtensionConstant F * c) u
uf : EqOn (f - ⇑f') u s
g : E → F := fun x => f' x + u x
fg : EqOn f g s
⊢ LipschitzWith (lipschitzExtensionConstant F * c) (g - ⇑↑f')

Tactic:
convert hu

Result:
case h.e'_6
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
s : Set E
f : E → F
f' : E ≃L[ℝ] F
c : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f (↑f') s c
hc : Subsingleton E ∨ lipschitzExtensionConstant F * c < ‖↑f'.symm‖₊⁻¹
u : E → F
hu : LipschitzWith (lipschitzExtensionConstant F * c) u
uf : EqOn (f - ⇑f') u s
g : E → F := fun x => f' x + u x
fg : EqOn f g s
⊢ g - ⇑↑f' = u

Proof state:
case intro.intro
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
s : Set E
f : E → F
f' : E ≃L[ℝ] F
c : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f (↑f') s c
hc : Subsingleton E ∨ lipschitzExtensionConstant F * c < ‖↑f'.symm‖₊⁻¹
u : E → F
hu : LipschitzWith (lipschitzExtensionConstant F * c) u
uf : EqOn (f - ⇑f') u s
⊢ ∃ g, EqOn f (⇑g) s

Tactic:
let g : E → F := fun x => f' x + u x

Result:
case intro.intro
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
s : Set E
f : E → F
f' : E ≃L[ℝ] F
c : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f (↑f') s c
hc : Subsingleton E ∨ lipschitzExtensionConstant F * c < ‖↑f'.symm‖₊⁻¹
u : E → F
hu : LipschitzWith (lipschitzExtensionConstant F * c) u
uf : EqOn (f - ⇑f') u s
g : E → F := fun x => f' x + u x
⊢ ∃ g, EqOn f (⇑g) s

Proof state:
case intro.intro
E : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
s : Set E
f : E → F
f' : E ≃L[ℝ] F
c : ℝ≥0
hf : ApproximatesLinearOn f (↑f') s c
hc : Subsingleton E ∨ lipschitzExtensionConstant F * c < ‖↑f'.symm‖₊⁻¹
u : E → F
hu : LipschitzWith (lipschitzExtensionConstant F * c) u
uf : EqOn (f - ⇑f') u s
g : E → F := fun x => f' x + u x
fg : EqOn f g s
hg : ApproximatesLinearOn g (↑f') univ (lipschitzExtensionConstant F * c)
this : FiniteDimensional ℝ E
⊢ ∃ g, EqOn f (⇑g) s

Tactic:
exact ⟨hg.toHomeomorph g hc, fg⟩

Result:
no goals