-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Triangularizable.lean
theorem inf_iSup_genEigenspace [FiniteDimensional K V] (h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p) (k : ℕ∞) :
    p ⊓ ⨆ μ, f.genEigenspace μ k = ⨆ μ, p ⊓ f.genEigenspace μ k

Proof state:
case pos
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
p : Submodule K V
f : End K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
k : ℕ∞
m : K →₀ V
hm₂ : ∀ (i : K), m i ∈ (f.genEigenspace i) k
hm₀ : (m.sum fun _i xi => xi) ∈ p
hm₁ : (m.sum fun _i xi => xi) ∈ ⨆ μ, (f.genEigenspace μ) k
μ : K
hμ : μ ∈ m.support
l : K → ℕ
hlk : ∀ (i : K), ↑(l i) ≤ k
hl : ∀ (i : K), m i ∈ LinearMap.ker ((f - i • 1) ^ l i)
l₀ : ℕ := m.support.sup l
h_comm : ∀ (μ₁ μ₂ : K), Commute ((f - (algebraMap K (End K V)) μ₁) ^ l₀) ((f - (algebraMap K (End K V)) μ₂) ^ l₀)
g : End K V := (m.support.erase μ).noncommProd (fun μ₁ => (f - (algebraMap K (End K V)) μ₁) ^ l₀) ⋯
hfg : Commute f g
hg₀ : g (m.sum fun _μ mμ => mμ) = g (m μ)
⊢ m μ ∈ p

Tactic:
have hg₁ : MapsTo g p p := Finset.noncommProd_induction _ _ _ (fun g' : End K V ↦ MapsTo g' p p)
    (fun f₁ f₂ ↦ MapsTo.comp) (mapsTo_id _) fun μ' _ ↦ by
  suffices MapsTo (f - algebraMap K (End K V) μ') p p by
    simp only [LinearMap.coe_pow]; exact this.iterate l₀
  intro x hx
  rw [LinearMap.sub_apply, algebraMap_end_apply]
  exact p.sub_mem (h _ hx) (smul_mem p μ' hx)

Result:
case pos
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
p : Submodule K V
f : End K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
k : ℕ∞
m : K →₀ V
hm₂ : ∀ (i : K), m i ∈ (f.genEigenspace i) k
hm₀ : (m.sum fun _i xi => xi) ∈ p
hm₁ : (m.sum fun _i xi => xi) ∈ ⨆ μ, (f.genEigenspace μ) k
μ : K
hμ : μ ∈ m.support
l : K → ℕ
hlk : ∀ (i : K), ↑(l i) ≤ k
hl : ∀ (i : K), m i ∈ LinearMap.ker ((f - i • 1) ^ l i)
l₀ : ℕ := m.support.sup l
h_comm : ∀ (μ₁ μ₂ : K), Commute ((f - (algebraMap K (End K V)) μ₁) ^ l₀) ((f - (algebraMap K (End K V)) μ₂) ^ l₀)
g : End K V := (m.support.erase μ).noncommProd (fun μ₁ => (f - (algebraMap K (End K V)) μ₁) ^ l₀) ⋯
hfg : Commute f g
hg₀ : g (m.sum fun _μ mμ => mμ) = g (m μ)
hg₁ : MapsTo ⇑g ↑p ↑p
⊢ m μ ∈ p

Proof state:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
p : Submodule K V
f : End K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
k : ℕ∞
m : K →₀ V
hm₂ : ∀ (i : K), m i ∈ (f.genEigenspace i) k
hm₀ : (m.sum fun _i xi => xi) ∈ p
hm₁ : (m.sum fun _i xi => xi) ∈ ⨆ μ, (f.genEigenspace μ) k
μ : K
hμ : μ ∈ m.support
l : K → ℕ
hlk : ∀ (i : K), ↑(l i) ≤ k
hl : ∀ (i : K), m i ∈ LinearMap.ker ((f - i • 1) ^ l i)
l₀ : ℕ := m.support.sup l
h_comm : ∀ (μ₁ μ₂ : K), Commute ((f - (algebraMap K (End K V)) μ₁) ^ l₀) ((f - (algebraMap K (End K V)) μ₂) ^ l₀)
g : End K V := (m.support.erase μ).noncommProd (fun μ₁ => (f - (algebraMap K (End K V)) μ₁) ^ l₀) ⋯
hfg : Commute f g
⊢ g (m.sum fun _μ mμ => mμ) = g (m μ)

Tactic:
suffices ∀ μ' ∈ m.support, g (m μ') = if μ' = μ then g (m μ) else 0 by
  rw [map_finsupp_sum, Finsupp.sum_congr (g2 := fun μ' _ ↦ if μ' = μ then g (m μ) else 0) this,
    Finsupp.sum_ite_eq', if_pos hμ]

Result:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
p : Submodule K V
f : End K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
k : ℕ∞
m : K →₀ V
hm₂ : ∀ (i : K), m i ∈ (f.genEigenspace i) k
hm₀ : (m.sum fun _i xi => xi) ∈ p
hm₁ : (m.sum fun _i xi => xi) ∈ ⨆ μ, (f.genEigenspace μ) k
μ : K
hμ : μ ∈ m.support
l : K → ℕ
hlk : ∀ (i : K), ↑(l i) ≤ k
hl : ∀ (i : K), m i ∈ LinearMap.ker ((f - i • 1) ^ l i)
l₀ : ℕ := m.support.sup l
h_comm : ∀ (μ₁ μ₂ : K), Commute ((f - (algebraMap K (End K V)) μ₁) ^ l₀) ((f - (algebraMap K (End K V)) μ₂) ^ l₀)
g : End K V := (m.support.erase μ).noncommProd (fun μ₁ => (f - (algebraMap K (End K V)) μ₁) ^ l₀) ⋯
hfg : Commute f g
⊢ ∀ μ' ∈ m.support, g (m μ') = if μ' = μ then g (m μ) else 0

Proof state:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
p : Submodule K V
f : End K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
k : ℕ∞
m : K →₀ V
hm₂ : ∀ (i : K), m i ∈ (f.genEigenspace i) k
hm₀ : (m.sum fun _i xi => xi) ∈ p
hm₁ : (m.sum fun _i xi => xi) ∈ ⨆ μ, (f.genEigenspace μ) k
μ : K
hμ : μ ∈ m.support
l : K → ℕ
hlk : ∀ (i : K), ↑(l i) ≤ k
hl : ∀ (i : K), m i ∈ LinearMap.ker ((f - i • 1) ^ l i)
l₀ : ℕ := m.support.sup l
h_comm : ∀ (μ₁ μ₂ : K), Commute ((f - (algebraMap K (End K V)) μ₁) ^ l₀) ((f - (algebraMap K (End K V)) μ₂) ^ l₀)
g : End K V := (m.support.erase μ).noncommProd (fun μ₁ => (f - (algebraMap K (End K V)) μ₁) ^ l₀) ⋯
hfg : Commute f g
hg₀ : g (m.sum fun _μ mμ => mμ) = g (m μ)
hg₁ : MapsTo ⇑g ↑p ↑p
hg₂ : MapsTo ⇑g ↑((f.genEigenspace μ) k) ↑((f.genEigenspace μ) k)
this : iSupIndep fun x => (f.genEigenspace x) k
aux : ∀ μ' ∈ m.support.erase μ, (f.genEigenspace μ') ↑l₀ ≤ (f.genEigenspace μ') k
⊢ Disjoint ((f.genEigenspace μ) k)
    ((m.support.erase μ).sup fun i => LinearMap.ker ((f - (algebraMap K (End K V)) i) ^ l₀))

Tactic:
have := Finset.supIndep_iff_disjoint_erase.mp (this.supIndep' m.support) μ hμ

Result:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
p : Submodule K V
f : End K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
h : ∀ x ∈ p, f x ∈ p
k : ℕ∞
m : K →₀ V
hm₂ : ∀ (i : K), m i ∈ (f.genEigenspace i) k
hm₀ : (m.sum fun _i xi => xi) ∈ p
hm₁ : (m.sum fun _i xi => xi) ∈ ⨆ μ, (f.genEigenspace μ) k
μ : K
hμ : μ ∈ m.support
l : K → ℕ
hlk : ∀ (i : K), ↑(l i) ≤ k
hl : ∀ (i : K), m i ∈ LinearMap.ker ((f - i • 1) ^ l i)
l₀ : ℕ := m.support.sup l
h_comm : ∀ (μ₁ μ₂ : K), Commute ((f - (algebraMap K (End K V)) μ₁) ^ l₀) ((f - (algebraMap K (End K V)) μ₂) ^ l₀)
g : End K V := (m.support.erase μ).noncommProd (fun μ₁ => (f - (algebraMap K (End K V)) μ₁) ^ l₀) ⋯
hfg : Commute f g
hg₀ : g (m.sum fun _μ mμ => mμ) = g (m μ)
hg₁ : MapsTo ⇑g ↑p ↑p
hg₂ : MapsTo ⇑g ↑((f.genEigenspace μ) k) ↑((f.genEigenspace μ) k)
this✝ : iSupIndep fun x => (f.genEigenspace x) k
aux : ∀ μ' ∈ m.support.erase μ, (f.genEigenspace μ') ↑l₀ ≤ (f.genEigenspace μ') k
this : Disjoint ((f.genEigenspace μ) k) ((m.support.erase μ).sup fun x => (f.genEigenspace x) k)
⊢ Disjoint ((f.genEigenspace μ) k)
    ((m.support.erase μ).sup fun i => LinearMap.ker ((f - (algebraMap K (End K V)) i) ^ l₀))