-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Besicovitch.lean
theorem exists_disjoint_closedBall_covering_ae_of_finiteMeasure_aux (μ : Measure α)
    [IsFiniteMeasure μ] (f : α → Set ℝ) (s : Set α)
    (hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty) :
    ∃ t : Set (α × ℝ), t.Countable ∧ (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ (∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1) ∧
      μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ t), closedBall p.1 p.2) = 0 ∧
        t.PairwiseDisjoint fun p => closedBall p.1 p.2

Proof state:
case intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t => ((↑t).PairwiseDisjoint fun p => closedBall p.1 p.2) ∧ (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
hB : B = ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
B_closed : IsClosed B
s' : Set α := s \ B
r : α → ℝ
hr : ∀ x ∈ s', r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : ↑v ⊆ s'
hμv : μ (s' \ ⋃ x ∈ v, closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * μ s'
hv : (↑v).PairwiseDisjoint fun x => closedBall x (r x)
⊢ ∃ u, t ⊆ u ∧ P u ∧ μ (s \ ⋃ p ∈ u, closedBall p.1 p.2) ≤ ↑N / (↑N + 1) * μ s'

Tactic:
refine ⟨t ∪ Finset.image (fun x => (x, r x)) v, Finset.subset_union_left, ⟨?_, ?_, ?_⟩, ?_⟩

Result:
case intro.intro.intro.refine_1
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t => ((↑t).PairwiseDisjoint fun p => closedBall p.1 p.2) ∧ (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
hB : B = ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
B_closed : IsClosed B
s' : Set α := s \ B
r : α → ℝ
hr : ∀ x ∈ s', r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : ↑v ⊆ s'
hμv : μ (s' \ ⋃ x ∈ v, closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * μ s'
hv : (↑v).PairwiseDisjoint fun x => closedBall x (r x)
⊢ (↑(t ∪ Finset.image (fun x => (x, r x)) v)).PairwiseDisjoint fun p => closedBall p.1 p.2

case intro.intro.intro.refine_2
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t => ((↑t).PairwiseDisjoint fun p => closedBall p.1 p.2) ∧ (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
hB : B = ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
B_closed : IsClosed B
s' : Set α := s \ B
r : α → ℝ
hr : ∀ x ∈ s', r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : ↑v ⊆ s'
hμv : μ (s' \ ⋃ x ∈ v, closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * μ s'
hv : (↑v).PairwiseDisjoint fun x => closedBall x (r x)
⊢ ∀ p ∈ t ∪ Finset.image (fun x => (x, r x)) v, p.1 ∈ s

case intro.intro.intro.refine_3
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t => ((↑t).PairwiseDisjoint fun p => closedBall p.1 p.2) ∧ (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
hB : B = ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
B_closed : IsClosed B
s' : Set α := s \ B
r : α → ℝ
hr : ∀ x ∈ s', r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : ↑v ⊆ s'
hμv : μ (s' \ ⋃ x ∈ v, closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * μ s'
hv : (↑v).PairwiseDisjoint fun x => closedBall x (r x)
⊢ ∀ p ∈ t ∪ Finset.image (fun x => (x, r x)) v, p.2 ∈ f p.1

case intro.intro.intro.refine_4
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t => ((↑t).PairwiseDisjoint fun p => closedBall p.1 p.2) ∧ (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
t : Finset (α × ℝ)
ht : P t
B : Set α := ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
hB : B = ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2
B_closed : IsClosed B
s' : Set α := s \ B
r : α → ℝ
hr : ∀ x ∈ s', r x ∈ f x ∩ Ioo 0 1 ∧ Disjoint B (closedBall x (r x))
v : Finset α
vs' : ↑v ⊆ s'
hμv : μ (s' \ ⋃ x ∈ v, closedBall x (r x)) ≤ ↑N / (↑N + 1) * μ s'
hv : (↑v).PairwiseDisjoint fun x => closedBall x (r x)
⊢ μ (s \ ⋃ p ∈ t ∪ Finset.image (fun x => (x, r x)) v, closedBall p.1 p.2) ≤ ↑N / (↑N + 1) * μ s'

Proof state:
case succ
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t => ((↑t).PairwiseDisjoint fun p => closedBall p.1 p.2) ∧ (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧ P (F t) ∧ μ (s \ ⋃ p ∈ F t, closedBall p.1 p.2) ≤ ↑N / (↑N + 1) * μ (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2)
u : ℕ → Finset (α × ℝ) := fun n => F^[n] ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u n.succ = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
A : ∀ (n : ℕ), μ (s \ ⋃ p ∈ ⋃ n, ↑(u n), closedBall p.1 p.2) ≤ μ (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2)
n : ℕ
IH : μ (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) ≤ (↑N / (↑N + 1)) ^ n * μ s
⊢ μ (s \ ⋃ p ∈ u (n + 1), closedBall p.1 p.2) ≤ (↑N / (↑N + 1)) ^ (n + 1) * μ s

Tactic:
calc
  μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u n.succ), closedBall p.fst p.snd) ≤
      N / (N + 1) * μ (s \ ⋃ (p : α × ℝ) (_ : p ∈ u n), closedBall p.fst p.snd) := by
    rw [u_succ]; exact (hF (u n) (Pu n)).2.2
  _ ≤ (N / (N + 1) : ℝ≥0∞) ^ n.succ * μ s := by
    rw [pow_succ', mul_assoc]; exact mul_le_mul_left' IH _

Result:
no goals

Proof state:
case hr.h0
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
inst✝⁴ : SecondCountableTopology α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : OpensMeasurableSpace α
inst✝¹ : HasBesicovitchCovering α
μ : Measure α
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : α → Set ℝ
s : Set α
hf : ∀ x ∈ s, ∀ δ > 0, (f x ∩ Ioo 0 δ).Nonempty
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
P : Finset (α × ℝ) → Prop :=
  fun t => ((↑t).PairwiseDisjoint fun p => closedBall p.1 p.2) ∧ (∀ p ∈ t, p.1 ∈ s) ∧ ∀ p ∈ t, p.2 ∈ f p.1
F : Finset (α × ℝ) → Finset (α × ℝ)
hF :
  ∀ (t : Finset (α × ℝ)),
    P t →
      t ⊆ F t ∧ P (F t) ∧ μ (s \ ⋃ p ∈ F t, closedBall p.1 p.2) ≤ ↑N / (↑N + 1) * μ (s \ ⋃ p ∈ t, closedBall p.1 p.2)
u : ℕ → Finset (α × ℝ) := fun n => F^[n] ∅
u_succ : ∀ (n : ℕ), u n.succ = F (u n)
Pu : ∀ (n : ℕ), P (u n)
A : ∀ (n : ℕ), μ (s \ ⋃ p ∈ ⋃ n, ↑(u n), closedBall p.1 p.2) ≤ μ (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2)
B : ∀ (n : ℕ), μ (s \ ⋃ p ∈ u n, closedBall p.1 p.2) ≤ (↑N / (↑N + 1)) ^ n * μ s
⊢ ↑N + 1 ≠ 0 ∨ ↑N ≠ 0

Tactic:
simp only [true_or, add_eq_zero, Ne, not_false_iff, one_ne_zero, and_false]

Result:
no goals