-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Density.lean
theorem abs_edgeDensity_sub_edgeDensity_le_two_mul_sub_sq (hs : s₂ ⊆ s₁) (ht : t₂ ⊆ t₁)
    (hδ₀ : 0 ≤ δ) (hδ₁ : δ < 1) (hs₂ : (1 - δ) * #s₁ ≤ #s₂)
    (ht₂ : (1 - δ) * #t₁ ≤ #t₂) :
    |(edgeDensity r s₂ t₂ : 𝕜) - edgeDensity r s₁ t₁| ≤ 2 * δ - δ ^ 2

Proof state:
case inr.inr
𝕜 : Type u_1
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s₁ s₂ : Finset α
t₁ t₂ : Finset β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hδ₀ : 0 ≤ δ
hδ₁ : 0 < 1 - δ
hs₂ : (1 - δ) * ↑(#s₁) ≤ ↑(#s₂)
ht₂ : (1 - δ) * ↑(#t₁) ≤ ↑(#t₂)
hδ' : 0 ≤ 2 * δ - δ ^ 2
hs₂' : s₂.Nonempty
ht₂' : t₂.Nonempty
hr : 2 * δ - δ ^ 2 = 1 - (1 - δ) * (1 - δ)
h₁ : s₁.Nonempty
h₂ : t₁.Nonempty
⊢ 1 - ↑(#s₂) / ↑(#s₁) * (↑(#t₂) / ↑(#t₁)) ≤ 1 - (1 - δ) * (1 - δ)

Tactic:
gcongr

Result:
case inr.inr.h.h₁
𝕜 : Type u_1
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s₁ s₂ : Finset α
t₁ t₂ : Finset β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hδ₀ : 0 ≤ δ
hδ₁ : 0 < 1 - δ
hs₂ : (1 - δ) * ↑(#s₁) ≤ ↑(#s₂)
ht₂ : (1 - δ) * ↑(#t₁) ≤ ↑(#t₂)
hδ' : 0 ≤ 2 * δ - δ ^ 2
hs₂' : s₂.Nonempty
ht₂' : t₂.Nonempty
hr : 2 * δ - δ ^ 2 = 1 - (1 - δ) * (1 - δ)
h₁ : s₁.Nonempty
h₂ : t₁.Nonempty
⊢ 1 - δ ≤ ↑(#s₂) / ↑(#s₁)

case inr.inr.h.h₂
𝕜 : Type u_1
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s₁ s₂ : Finset α
t₁ t₂ : Finset β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hδ₀ : 0 ≤ δ
hδ₁ : 0 < 1 - δ
hs₂ : (1 - δ) * ↑(#s₁) ≤ ↑(#s₂)
ht₂ : (1 - δ) * ↑(#t₁) ≤ ↑(#t₂)
hδ' : 0 ≤ 2 * δ - δ ^ 2
hs₂' : s₂.Nonempty
ht₂' : t₂.Nonempty
hr : 2 * δ - δ ^ 2 = 1 - (1 - δ) * (1 - δ)
h₁ : s₁.Nonempty
h₂ : t₁.Nonempty
⊢ 1 - δ ≤ ↑(#t₂) / ↑(#t₁)

Proof state:
case inr.inr
𝕜 : Type u_1
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s₁ s₂ : Finset α
t₁ t₂ : Finset β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hδ₀ : 0 ≤ δ
hδ₁ : 0 < 1 - δ
hs₂ : (1 - δ) * ↑(#s₁) ≤ ↑(#s₂)
ht₂ : (1 - δ) * ↑(#t₁) ≤ ↑(#t₂)
hδ' : 0 ≤ 2 * δ - δ ^ 2
hs₂' : s₂.Nonempty
ht₂' : t₂.Nonempty
hr : 2 * δ - δ ^ 2 = 1 - (1 - δ) * (1 - δ)
⊢ 1 - ↑(#s₂) / ↑(#s₁) * (↑(#t₂) / ↑(#t₁)) ≤ 1 - (1 - δ) * (1 - δ)

Tactic:
have h₁ := hs₂'.mono hs

Result:
case inr.inr
𝕜 : Type u_1
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s₁ s₂ : Finset α
t₁ t₂ : Finset β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hδ₀ : 0 ≤ δ
hδ₁ : 0 < 1 - δ
hs₂ : (1 - δ) * ↑(#s₁) ≤ ↑(#s₂)
ht₂ : (1 - δ) * ↑(#t₁) ≤ ↑(#t₂)
hδ' : 0 ≤ 2 * δ - δ ^ 2
hs₂' : s₂.Nonempty
ht₂' : t₂.Nonempty
hr : 2 * δ - δ ^ 2 = 1 - (1 - δ) * (1 - δ)
h₁ : s₁.Nonempty
⊢ 1 - ↑(#s₂) / ↑(#s₁) * (↑(#t₂) / ↑(#t₁)) ≤ 1 - (1 - δ) * (1 - δ)

Proof state:
case inr.inr
𝕜 : Type u_1
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s₁ s₂ : Finset α
t₁ t₂ : Finset β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hδ₀ : 0 ≤ δ
hδ₁ : 0 < 1 - δ
hs₂ : (1 - δ) * ↑(#s₁) ≤ ↑(#s₂)
ht₂ : (1 - δ) * ↑(#t₁) ≤ ↑(#t₂)
hδ' : 0 ≤ 2 * δ - δ ^ 2
hs₂' : s₂.Nonempty
ht₂' : t₂.Nonempty
hr : 2 * δ - δ ^ 2 = 1 - (1 - δ) * (1 - δ)
⊢ |↑(edgeDensity r s₂ t₂) - ↑(edgeDensity r s₁ t₁)| ≤ 2 * δ - δ ^ 2

Tactic:
rw [hr]

Result:
case inr.inr
𝕜 : Type u_1
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s₁ s₂ : Finset α
t₁ t₂ : Finset β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hδ₀ : 0 ≤ δ
hδ₁ : 0 < 1 - δ
hs₂ : (1 - δ) * ↑(#s₁) ≤ ↑(#s₂)
ht₂ : (1 - δ) * ↑(#t₁) ≤ ↑(#t₂)
hδ' : 0 ≤ 2 * δ - δ ^ 2
hs₂' : s₂.Nonempty
ht₂' : t₂.Nonempty
hr : 2 * δ - δ ^ 2 = 1 - (1 - δ) * (1 - δ)
⊢ |↑(edgeDensity r s₂ t₂) - ↑(edgeDensity r s₁ t₁)| ≤ 1 - (1 - δ) * (1 - δ)

Proof state:
case inr.inl
𝕜 : Type u_1
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s₁ s₂ : Finset α
t₁ : Finset β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
hδ₀ : 0 ≤ δ
hδ₁ : 0 < 1 - δ
hs₂ : (1 - δ) * ↑(#s₁) ≤ ↑(#s₂)
hδ' : 0 ≤ 2 * δ - δ ^ 2
hs₂' : s₂.Nonempty
ht : ∅ ⊆ t₁
ht₂ : (1 - δ) * ↑(#t₁) ≤ ↑(#∅)
⊢ |↑(edgeDensity r s₂ ∅) - ↑(edgeDensity r s₁ t₁)| ≤ 2 * δ - δ ^ 2

Tactic:
rw [Finset.card_empty, Nat.cast_zero] at ht₂

Result:
case inr.inl
𝕜 : Type u_1
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s₁ s₂ : Finset α
t₁ : Finset β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
hδ₀ : 0 ≤ δ
hδ₁ : 0 < 1 - δ
hs₂ : (1 - δ) * ↑(#s₁) ≤ ↑(#s₂)
hδ' : 0 ≤ 2 * δ - δ ^ 2
hs₂' : s₂.Nonempty
ht : ∅ ⊆ t₁
ht₂ : (1 - δ) * ↑(#t₁) ≤ 0
⊢ |↑(edgeDensity r s₂ ∅) - ↑(edgeDensity r s₁ t₁)| ≤ 2 * δ - δ ^ 2

Proof state:
case inr.inr.h.h₁
𝕜 : Type u_1
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s₁ s₂ : Finset α
t₁ t₂ : Finset β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hδ₀ : 0 ≤ δ
hδ₁ : 0 < 1 - δ
hs₂ : (1 - δ) * ↑(#s₁) ≤ ↑(#s₂)
ht₂ : (1 - δ) * ↑(#t₁) ≤ ↑(#t₂)
hδ' : 0 ≤ 2 * δ - δ ^ 2
hs₂' : s₂.Nonempty
ht₂' : t₂.Nonempty
hr : 2 * δ - δ ^ 2 = 1 - (1 - δ) * (1 - δ)
h₁ : s₁.Nonempty
h₂ : t₁.Nonempty
⊢ 0 < ↑(#s₁)

Tactic:
exact mod_cast h₁.card_pos

Result:
no goals

Proof state:
case inr.inr
𝕜 : Type u_1
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s₁ s₂ : Finset α
t₁ t₂ : Finset β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hδ₀ : 0 ≤ δ
hδ₁ : 0 < 1 - δ
hs₂ : (1 - δ) * ↑(#s₁) ≤ ↑(#s₂)
ht₂ : (1 - δ) * ↑(#t₁) ≤ ↑(#t₂)
hδ' : 0 ≤ 2 * δ - δ ^ 2
hs₂' : s₂.Nonempty
ht₂' : t₂.Nonempty
hr : 2 * δ - δ ^ 2 = 1 - (1 - δ) * (1 - δ)
h₁ : s₁.Nonempty
⊢ 1 - ↑(#s₂) / ↑(#s₁) * (↑(#t₂) / ↑(#t₁)) ≤ 1 - (1 - δ) * (1 - δ)

Tactic:
have h₂ := ht₂'.mono ht

Result:
case inr.inr
𝕜 : Type u_1
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s₁ s₂ : Finset α
t₁ t₂ : Finset β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hδ₀ : 0 ≤ δ
hδ₁ : 0 < 1 - δ
hs₂ : (1 - δ) * ↑(#s₁) ≤ ↑(#s₂)
ht₂ : (1 - δ) * ↑(#t₁) ≤ ↑(#t₂)
hδ' : 0 ≤ 2 * δ - δ ^ 2
hs₂' : s₂.Nonempty
ht₂' : t₂.Nonempty
hr : 2 * δ - δ ^ 2 = 1 - (1 - δ) * (1 - δ)
h₁ : s₁.Nonempty
h₂ : t₁.Nonempty
⊢ 1 - ↑(#s₂) / ↑(#s₁) * (↑(#t₂) / ↑(#t₁)) ≤ 1 - (1 - δ) * (1 - δ)

Proof state:
case inr.inr.h.h₁
𝕜 : Type u_1
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s₁ s₂ : Finset α
t₁ t₂ : Finset β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hδ₀ : 0 ≤ δ
hδ₁ : 0 < 1 - δ
hs₂ : (1 - δ) * ↑(#s₁) ≤ ↑(#s₂)
ht₂ : (1 - δ) * ↑(#t₁) ≤ ↑(#t₂)
hδ' : 0 ≤ 2 * δ - δ ^ 2
hs₂' : s₂.Nonempty
ht₂' : t₂.Nonempty
hr : 2 * δ - δ ^ 2 = 1 - (1 - δ) * (1 - δ)
h₁ : s₁.Nonempty
h₂ : t₁.Nonempty
⊢ 1 - δ ≤ ↑(#s₂) / ↑(#s₁)

Tactic:
refine (le_div_iff₀ ?_).2 hs₂

Result:
case inr.inr.h.h₁
𝕜 : Type u_1
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
r : α → β → Prop
inst✝ : (a : α) → DecidablePred (r a)
s₁ s₂ : Finset α
t₁ t₂ : Finset β
δ : 𝕜
hs : s₂ ⊆ s₁
ht : t₂ ⊆ t₁
hδ₀ : 0 ≤ δ
hδ₁ : 0 < 1 - δ
hs₂ : (1 - δ) * ↑(#s₁) ≤ ↑(#s₂)
ht₂ : (1 - δ) * ↑(#t₁) ≤ ↑(#t₂)
hδ' : 0 ≤ 2 * δ - δ ^ 2
hs₂' : s₂.Nonempty
ht₂' : t₂.Nonempty
hr : 2 * δ - δ ^ 2 = 1 - (1 - δ) * (1 - δ)
h₁ : s₁.Nonempty
h₂ : t₁.Nonempty
⊢ 0 < ↑(#s₁)