-- Mathlib/.lake/packages/lean4/src/lean/Init/Internal/Order/Lemmas.lean
theorem monotone_foldlM
    (f : γ → β → α → m β) (init : β) (xs : List α) (hmono : monotone f) :
    monotone (fun x => xs.foldlM (f x) (init := init))

Proof state:
case cons.hmono₁
m : Type u → Type v
inst✝³ : Monad m
inst✝² : (α : Type u) → PartialOrder (m α)
inst✝¹ : MonoBind m
α β : Type u
γ : Type w
inst✝ : PartialOrder γ
f : γ → β → α → m β
hmono : monotone f
head✝ : α
tail✝ : List α
ih : ∀ (init : β), monotone fun x => List.foldlM (f x) init tail✝
init : β
⊢ monotone fun x => f x init head✝

Tactic:
apply monotone_apply

Result:
case cons.hmono₁.h
m : Type u → Type v
inst✝³ : Monad m
inst✝² : (α : Type u) → PartialOrder (m α)
inst✝¹ : MonoBind m
α β : Type u
γ : Type w
inst✝ : PartialOrder γ
f : γ → β → α → m β
hmono : monotone f
head✝ : α
tail✝ : List α
ih : ∀ (init : β), monotone fun x => List.foldlM (f x) init tail✝
init : β
⊢ monotone fun x => f x init

Proof state:
case cons
m : Type u → Type v
inst✝³ : Monad m
inst✝² : (α : Type u) → PartialOrder (m α)
inst✝¹ : MonoBind m
α β : Type u
γ : Type w
inst✝ : PartialOrder γ
f : γ → β → α → m β
hmono : monotone f
head✝ : α
tail✝ : List α
ih : ∀ (init : β), monotone fun x => List.foldlM (f x) init tail✝
init : β
⊢ monotone fun x => List.foldlM (f x) init (head✝ :: tail✝)

Tactic:
apply monotone_bind

Result:
case cons.hmono₁
m : Type u → Type v
inst✝³ : Monad m
inst✝² : (α : Type u) → PartialOrder (m α)
inst✝¹ : MonoBind m
α β : Type u
γ : Type w
inst✝ : PartialOrder γ
f : γ → β → α → m β
hmono : monotone f
head✝ : α
tail✝ : List α
ih : ∀ (init : β), monotone fun x => List.foldlM (f x) init tail✝
init : β
⊢ monotone fun x => f x init head✝

case cons.hmono₂
m : Type u → Type v
inst✝³ : Monad m
inst✝² : (α : Type u) → PartialOrder (m α)
inst✝¹ : MonoBind m
α β : Type u
γ : Type w
inst✝ : PartialOrder γ
f : γ → β → α → m β
hmono : monotone f
head✝ : α
tail✝ : List α
ih : ∀ (init : β), monotone fun x => List.foldlM (f x) init tail✝
init : β
⊢ monotone fun x s' => List.foldlM (f x) s' tail✝

Proof state:
case nil
m : Type u → Type v
inst✝³ : Monad m
inst✝² : (α : Type u) → PartialOrder (m α)
inst✝¹ : MonoBind m
α β : Type u
γ : Type w
inst✝ : PartialOrder γ
f : γ → β → α → m β
hmono : monotone f
init : β
⊢ monotone fun x => List.foldlM (f x) init []

Tactic:
apply monotone_const

Result:
no goals

Proof state:
case cons.hmono₁.h
m : Type u → Type v
inst✝³ : Monad m
inst✝² : (α : Type u) → PartialOrder (m α)
inst✝¹ : MonoBind m
α β : Type u
γ : Type w
inst✝ : PartialOrder γ
f : γ → β → α → m β
hmono : monotone f
head✝ : α
tail✝ : List α
ih : ∀ (init : β), monotone fun x => List.foldlM (f x) init tail✝
init : β
⊢ monotone fun x => f x init

Tactic:
apply monotone_apply

Result:
case cons.hmono₁.h.h
m : Type u → Type v
inst✝³ : Monad m
inst✝² : (α : Type u) → PartialOrder (m α)
inst✝¹ : MonoBind m
α β : Type u
γ : Type w
inst✝ : PartialOrder γ
f : γ → β → α → m β
hmono : monotone f
head✝ : α
tail✝ : List α
ih : ∀ (init : β), monotone fun x => List.foldlM (f x) init tail✝
init : β
⊢ monotone f

Proof state:
case cons.hmono₁.h.h
m : Type u → Type v
inst✝³ : Monad m
inst✝² : (α : Type u) → PartialOrder (m α)
inst✝¹ : MonoBind m
α β : Type u
γ : Type w
inst✝ : PartialOrder γ
f : γ → β → α → m β
hmono : monotone f
head✝ : α
tail✝ : List α
ih : ∀ (init : β), monotone fun x => List.foldlM (f x) init tail✝
init : β
⊢ monotone f

Tactic:
apply hmono

Result:
no goals

Proof state:
case cons.hmono₂
m : Type u → Type v
inst✝³ : Monad m
inst✝² : (α : Type u) → PartialOrder (m α)
inst✝¹ : MonoBind m
α β : Type u
γ : Type w
inst✝ : PartialOrder γ
f : γ → β → α → m β
hmono : monotone f
head✝ : α
tail✝ : List α
ih : ∀ (init : β), monotone fun x => List.foldlM (f x) init tail✝
init : β
⊢ monotone fun x s' => List.foldlM (f x) s' tail✝

Tactic:
apply monotone_of_monotone_apply

Result:
case cons.hmono₂.h
m : Type u → Type v
inst✝³ : Monad m
inst✝² : (α : Type u) → PartialOrder (m α)
inst✝¹ : MonoBind m
α β : Type u
γ : Type w
inst✝ : PartialOrder γ
f : γ → β → α → m β
hmono : monotone f
head✝ : α
tail✝ : List α
ih : ∀ (init : β), monotone fun x => List.foldlM (f x) init tail✝
init : β
⊢ ∀ (y : β), monotone fun x => List.foldlM (f x) y tail✝

Proof state:
case cons.hmono₂.h
m : Type u → Type v
inst✝³ : Monad m
inst✝² : (α : Type u) → PartialOrder (m α)
inst✝¹ : MonoBind m
α β : Type u
γ : Type w
inst✝ : PartialOrder γ
f : γ → β → α → m β
hmono : monotone f
head✝ : α
tail✝ : List α
ih : ∀ (init : β), monotone fun x => List.foldlM (f x) init tail✝
init : β
⊢ ∀ (y : β), monotone fun x => List.foldlM (f x) y tail✝

Tactic:
intro y

Result:
case cons.hmono₂.h
m : Type u → Type v
inst✝³ : Monad m
inst✝² : (α : Type u) → PartialOrder (m α)
inst✝¹ : MonoBind m
α β : Type u
γ : Type w
inst✝ : PartialOrder γ
f : γ → β → α → m β
hmono : monotone f
head✝ : α
tail✝ : List α
ih : ∀ (init : β), monotone fun x => List.foldlM (f x) init tail✝
init y : β
⊢ monotone fun x => List.foldlM (f x) y tail✝

Proof state:
case cons.hmono₂.h
m : Type u → Type v
inst✝³ : Monad m
inst✝² : (α : Type u) → PartialOrder (m α)
inst✝¹ : MonoBind m
α β : Type u
γ : Type w
inst✝ : PartialOrder γ
f : γ → β → α → m β
hmono : monotone f
head✝ : α
tail✝ : List α
ih : ∀ (init : β), monotone fun x => List.foldlM (f x) init tail✝
init y : β
⊢ monotone fun x => List.foldlM (f x) y tail✝

Tactic:
apply ih

Result:
no goals