-- Mathlib/.lake/packages/lean4/src/lean/Init/Data/BitVec/Bitblast.lean
theorem lawful_divSubtractShift (qr : DivModState w) (h : qr.Poised args) :
    DivModState.Lawful args (divSubtractShift args qr)

Proof state:
w : Nat
qr : DivModState w
n d : BitVec w
h : DivModState.Poised { n := n, d := d } qr
hrwn : qr.wr + qr.wn = w
hd : 0 < { n := n, d := d }.d
hrd : qr.r.toNat < { n := n, d := d }.d.toNat
hr : qr.r.toNat < 2 ^ qr.wr
hn : qr.q.toNat < 2 ^ qr.wr
hrnd : { n := n, d := d }.n.toNat >>> qr.wn = { n := n, d := d }.d.toNat * qr.q.toNat + qr.r.toNat
hwn_lt : 0 < qr.wn
this : d.toNat * (qr.q.toNat * 2) = d.toNat * qr.q.toNat * 2
rltd : ¬qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1)) < d
hdr' : d ≤ qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1))
⊢ (qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1))).toNat < 2 ^ (qr.wr + 1)

Tactic:
apply toNat_shiftConcat_lt_of_lt <;> bv_omega

Result:
no goals

Proof state:
w : Nat
qr : DivModState w
n d : BitVec w
h : DivModState.Poised { n := n, d := d } qr
hrwn : qr.wr + qr.wn = w
hd : 0 < { n := n, d := d }.d
hrd : qr.r.toNat < { n := n, d := d }.d.toNat
hr : qr.r.toNat < 2 ^ qr.wr
hn : qr.q.toNat < 2 ^ qr.wr
hrnd : { n := n, d := d }.n.toNat >>> qr.wn = { n := n, d := d }.d.toNat * qr.q.toNat + qr.r.toNat
hwn_lt : 0 < qr.wn
this : d.toNat * (qr.q.toNat * 2) = d.toNat * qr.q.toNat * 2
rltd : d.toNat ≤ (qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1))).toNat
⊢ { wn := qr.wn - 1, wr := qr.wr + 1, q := qr.q.shiftConcat true,
          r := qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1)) - d }.r.toNat <
    { n := n, d := d }.d.toNat

Tactic:
rw [BitVec.toNat_sub_of_le rltd,
  toNat_shiftConcat_eq_of_lt (hk := qr.wr_lt_w h) (hx := h.hrWidth),
  Nat.mul_comm]

Result:
w : Nat
qr : DivModState w
n d : BitVec w
h : DivModState.Poised { n := n, d := d } qr
hrwn : qr.wr + qr.wn = w
hd : 0 < { n := n, d := d }.d
hrd : qr.r.toNat < { n := n, d := d }.d.toNat
hr : qr.r.toNat < 2 ^ qr.wr
hn : qr.q.toNat < 2 ^ qr.wr
hrnd : { n := n, d := d }.n.toNat >>> qr.wn = { n := n, d := d }.d.toNat * qr.q.toNat + qr.r.toNat
hwn_lt : 0 < qr.wn
this : d.toNat * (qr.q.toNat * 2) = d.toNat * qr.q.toNat * 2
rltd : d.toNat ≤ (qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1))).toNat
⊢ 2 * qr.r.toNat + (n.getLsbD (qr.wn - 1)).toNat - d.toNat < { n := n, d := d }.d.toNat

Proof state:
w : Nat
qr : DivModState w
n d : BitVec w
h : DivModState.Poised { n := n, d := d } qr
hrwn : qr.wr + qr.wn = w
hd : 0 < { n := n, d := d }.d
hrd : qr.r.toNat < { n := n, d := d }.d.toNat
hr : qr.r.toNat < 2 ^ qr.wr
hn : qr.q.toNat < 2 ^ qr.wr
hrnd : { n := n, d := d }.n.toNat >>> qr.wn = { n := n, d := d }.d.toNat * qr.q.toNat + qr.r.toNat
hwn_lt : 0 < qr.wn
this : d.toNat * (qr.q.toNat * 2) = d.toNat * qr.q.toNat * 2
rltd : d.toNat ≤ (qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1))).toNat
⊢ 2 * qr.r.toNat + (n.getLsbD (qr.wn - 1)).toNat - d.toNat < { n := n, d := d }.d.toNat

Tactic:
apply two_mul_add_sub_lt_of_lt_of_lt_two <;> bv_omega

Result:
no goals

Proof state:
w : Nat
qr : DivModState w
n d : BitVec w
h : DivModState.Poised { n := n, d := d } qr
hrwn : qr.wr + qr.wn = w
hd : 0 < { n := n, d := d }.d
hrd : qr.r.toNat < { n := n, d := d }.d.toNat
hr : qr.r.toNat < 2 ^ qr.wr
hn : qr.q.toNat < 2 ^ qr.wr
hrnd : { n := n, d := d }.n.toNat >>> qr.wn = { n := n, d := d }.d.toNat * qr.q.toNat + qr.r.toNat
hwn_lt : 0 < qr.wn
this : d.toNat * (qr.q.toNat * 2) = d.toNat * qr.q.toNat * 2
rltd : ¬qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1)) < d
⊢ (qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1)) - d).toNat < 2 ^ (qr.wr + 1)

Tactic:
have hdr' : d ≤ (qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1))) :=
  BitVec.not_lt_iff_le.mp rltd

Result:
w : Nat
qr : DivModState w
n d : BitVec w
h : DivModState.Poised { n := n, d := d } qr
hrwn : qr.wr + qr.wn = w
hd : 0 < { n := n, d := d }.d
hrd : qr.r.toNat < { n := n, d := d }.d.toNat
hr : qr.r.toNat < 2 ^ qr.wr
hn : qr.q.toNat < 2 ^ qr.wr
hrnd : { n := n, d := d }.n.toNat >>> qr.wn = { n := n, d := d }.d.toNat * qr.q.toNat + qr.r.toNat
hwn_lt : 0 < qr.wn
this : d.toNat * (qr.q.toNat * 2) = d.toNat * qr.q.toNat * 2
rltd : ¬qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1)) < d
hdr' : d ≤ qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1))
⊢ (qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1)) - d).toNat < 2 ^ (qr.wr + 1)

Proof state:
case neg.hdiv
w : Nat
qr : DivModState w
n d : BitVec w
h : DivModState.Poised { n := n, d := d } qr
hrwn : qr.wr + qr.wn = w
hd : 0 < { n := n, d := d }.d
hrd : qr.r.toNat < { n := n, d := d }.d.toNat
hr : qr.r.toNat < 2 ^ qr.wr
hn : qr.q.toNat < 2 ^ qr.wr
hrnd : { n := n, d := d }.n.toNat >>> qr.wn = { n := n, d := d }.d.toNat * qr.q.toNat + qr.r.toNat
hwn_lt : 0 < qr.wn
this : d.toNat * (qr.q.toNat * 2) = d.toNat * qr.q.toNat * 2
rltd : ¬qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1)) < d
⊢ { n := n, d := d }.n.toNat >>>
      { wn := qr.wn - 1, wr := qr.wr + 1, q := qr.q.shiftConcat true,
          r := qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1)) - d }.wn =
    { n := n, d := d }.d.toNat *
        { wn := qr.wn - 1, wr := qr.wr + 1, q := qr.q.shiftConcat true,
              r := qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1)) - d }.q.toNat +
      { wn := qr.wn - 1, wr := qr.wr + 1, q := qr.q.shiftConcat true,
            r := qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1)) - d }.r.toNat

Tactic:
bv_omega

Result:
no goals

Proof state:
w : Nat
qr : DivModState w
n d : BitVec w
h : DivModState.Poised { n := n, d := d } qr
hrwn : qr.wr + qr.wn = w
hd : 0 < { n := n, d := d }.d
hrd : qr.r.toNat < { n := n, d := d }.d.toNat
hr : qr.r.toNat < 2 ^ qr.wr
hn : qr.q.toNat < 2 ^ qr.wr
hrnd : { n := n, d := d }.n.toNat >>> qr.wn = { n := n, d := d }.d.toNat * qr.q.toNat + qr.r.toNat
hwn_lt : 0 < qr.wn
this : d.toNat * (qr.q.toNat * 2) = d.toNat * qr.q.toNat * 2
rltd : ¬qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1)) < d
hdr' : d ≤ qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1))
hr' : (qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1))).toNat < 2 ^ (qr.wr + 1)
⊢ (qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1)) - d).toNat < 2 ^ (qr.wr + 1)

Tactic:
rw [BitVec.toNat_sub_of_le hdr']

Result:
w : Nat
qr : DivModState w
n d : BitVec w
h : DivModState.Poised { n := n, d := d } qr
hrwn : qr.wr + qr.wn = w
hd : 0 < { n := n, d := d }.d
hrd : qr.r.toNat < { n := n, d := d }.d.toNat
hr : qr.r.toNat < 2 ^ qr.wr
hn : qr.q.toNat < 2 ^ qr.wr
hrnd : { n := n, d := d }.n.toNat >>> qr.wn = { n := n, d := d }.d.toNat * qr.q.toNat + qr.r.toNat
hwn_lt : 0 < qr.wn
this : d.toNat * (qr.q.toNat * 2) = d.toNat * qr.q.toNat * 2
rltd : ¬qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1)) < d
hdr' : d ≤ qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1))
hr' : (qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1))).toNat < 2 ^ (qr.wr + 1)
⊢ (qr.r.shiftConcat (n.getLsbD (qr.wn - 1))).toNat - d.toNat < 2 ^ (qr.wr + 1)