-- Mathlib/LinearAlgebra/CliffordAlgebra/Fold.lean
theorem foldr'_ι_mul (f : M →ₗ[R] CliffordAlgebra Q × N →ₗ[R] N)
    (hf : ∀ m x fx, f m (ι Q m * x, f m (x, fx)) = Q m • fx) (n m) (x) :
    foldr' Q f hf n (ι Q m * x) = f m (x, foldr' Q f hf n x)

Proof state:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticForm R M
f : M →ₗ[R] CliffordAlgebra Q × N →ₗ[R] N
hf : ∀ (m : M) (x : CliffordAlgebra Q) (fx : N), (f m) ((ι Q) m * x, (f m) (x, fx)) = Q m • fx
n : N
m : M
x : CliffordAlgebra Q
⊢ (((foldr Q (foldr'Aux Q f) ⋯) (1, n)) ((ι Q) m * x)).2 = (f m) (x, (((foldr Q (foldr'Aux Q f) ⋯) (1, n)) x).2)

Tactic:
rw [foldr_mul, foldr_ι, foldr'Aux_apply_apply]

Result:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticForm R M
f : M →ₗ[R] CliffordAlgebra Q × N →ₗ[R] N
hf : ∀ (m : M) (x : CliffordAlgebra Q) (fx : N), (f m) ((ι Q) m * x, (f m) (x, fx)) = Q m • fx
n : N
m : M
x : CliffordAlgebra Q
⊢ ((ι Q) m * (((foldr Q (foldr'Aux Q f) ⋯) (1, n)) x).1, (f m) (((foldr Q (foldr'Aux Q f) ⋯) (1, n)) x)).2 =
    (f m) (x, (((foldr Q (foldr'Aux Q f) ⋯) (1, n)) x).2)

Proof state:
case e_fst.add
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticForm R M
f : M →ₗ[R] CliffordAlgebra Q × N →ₗ[R] N
hf : ∀ (m : M) (x : CliffordAlgebra Q) (fx : N), (f m) ((ι Q) m * x, (f m) (x, fx)) = Q m • fx
n : N
m : M
x y : CliffordAlgebra Q
hx : (((foldr Q (foldr'Aux Q f) ⋯) (1, n)) x).1 = x
hy : (((foldr Q (foldr'Aux Q f) ⋯) (1, n)) y).1 = y
⊢ (((foldr Q (foldr'Aux Q f) ⋯) (1, n)) (x + y)).1 = x + y

Tactic:
rw [map_add, Prod.fst_add, hx, hy]

Result:
no goals

Proof state:
case e_fst.ι_mul
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticForm R M
f : M →ₗ[R] CliffordAlgebra Q × N →ₗ[R] N
hf : ∀ (m : M) (x : CliffordAlgebra Q) (fx : N), (f m) ((ι Q) m * x, (f m) (x, fx)) = Q m • fx
n : N
m✝ : M
m : CliffordAlgebra Q
x : M
hx : (((foldr Q (foldr'Aux Q f) ⋯) (1, n)) m).1 = m
⊢ (((foldr Q (foldr'Aux Q f) ⋯) (1, n)) ((ι Q) x * m)).1 = (ι Q) x * m

Tactic:
rw [foldr_mul, foldr_ι, foldr'Aux_apply_apply, hx]

Result:
no goals

Proof state:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticForm R M
f : M →ₗ[R] CliffordAlgebra Q × N →ₗ[R] N
hf : ∀ (m : M) (x : CliffordAlgebra Q) (fx : N), (f m) ((ι Q) m * x, (f m) (x, fx)) = Q m • fx
n : N
m : M
x : CliffordAlgebra Q
⊢ ((((foldr Q (foldr'Aux Q f) ⋯) (1, n)) x).1, (((foldr Q (foldr'Aux Q f) ⋯) (1, n)) x).2) =
    (x, (((foldr Q (foldr'Aux Q f) ⋯) (1, n)) x).2)

Tactic:
congr 1

Result:
case e_fst
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticForm R M
f : M →ₗ[R] CliffordAlgebra Q × N →ₗ[R] N
hf : ∀ (m : M) (x : CliffordAlgebra Q) (fx : N), (f m) ((ι Q) m * x, (f m) (x, fx)) = Q m • fx
n : N
m : M
x : CliffordAlgebra Q
⊢ (((foldr Q (foldr'Aux Q f) ⋯) (1, n)) x).1 = x

Proof state:
case e_fst.algebraMap
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticForm R M
f : M →ₗ[R] CliffordAlgebra Q × N →ₗ[R] N
hf : ∀ (m : M) (x : CliffordAlgebra Q) (fx : N), (f m) ((ι Q) m * x, (f m) (x, fx)) = Q m • fx
n : N
m : M
r : R
⊢ (((foldr Q (foldr'Aux Q f) ⋯) (1, n)) ((algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r)).1 = (algebraMap R (CliffordAlgebra Q)) r

Tactic:
simp_rw [foldr_algebraMap, Prod.smul_mk, Algebra.algebraMap_eq_smul_one]

Result:
no goals

Proof state:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticForm R M
f : M →ₗ[R] CliffordAlgebra Q × N →ₗ[R] N
hf : ∀ (m : M) (x : CliffordAlgebra Q) (fx : N), (f m) ((ι Q) m * x, (f m) (x, fx)) = Q m • fx
n : N
m : M
x : CliffordAlgebra Q
⊢ (foldr' Q f hf n) ((ι Q) m * x) = (f m) (x, (foldr' Q f hf n) x)

Tactic:
dsimp [foldr']

Result:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticForm R M
f : M →ₗ[R] CliffordAlgebra Q × N →ₗ[R] N
hf : ∀ (m : M) (x : CliffordAlgebra Q) (fx : N), (f m) ((ι Q) m * x, (f m) (x, fx)) = Q m • fx
n : N
m : M
x : CliffordAlgebra Q
⊢ (((foldr Q (foldr'Aux Q f) ⋯) (1, n)) ((ι Q) m * x)).2 = (f m) (x, (((foldr Q (foldr'Aux Q f) ⋯) (1, n)) x).2)

Proof state:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticForm R M
f : M →ₗ[R] CliffordAlgebra Q × N →ₗ[R] N
hf : ∀ (m : M) (x : CliffordAlgebra Q) (fx : N), (f m) ((ι Q) m * x, (f m) (x, fx)) = Q m • fx
n : N
m : M
x : CliffordAlgebra Q
⊢ ((ι Q) m * (((foldr Q (foldr'Aux Q f) ⋯) (1, n)) x).1, (f m) (((foldr Q (foldr'Aux Q f) ⋯) (1, n)) x)).2 =
    (f m) (x, (((foldr Q (foldr'Aux Q f) ⋯) (1, n)) x).2)

Tactic:
refine congr_arg (f m) (Prod.mk.eta.symm.trans ?_)

Result:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticForm R M
f : M →ₗ[R] CliffordAlgebra Q × N →ₗ[R] N
hf : ∀ (m : M) (x : CliffordAlgebra Q) (fx : N), (f m) ((ι Q) m * x, (f m) (x, fx)) = Q m • fx
n : N
m : M
x : CliffordAlgebra Q
⊢ ((((foldr Q (foldr'Aux Q f) ⋯) (1, n)) x).1, (((foldr Q (foldr'Aux Q f) ⋯) (1, n)) x).2) =
    (x, (((foldr Q (foldr'Aux Q f) ⋯) (1, n)) x).2)

Proof state:
case e_fst
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
Q : QuadraticForm R M
f : M →ₗ[R] CliffordAlgebra Q × N →ₗ[R] N
hf : ∀ (m : M) (x : CliffordAlgebra Q) (fx : N), (f m) ((ι Q) m * x, (f m) (x, fx)) = Q m • fx
n : N
m : M
x : CliffordAlgebra Q
⊢ (((foldr Q (foldr'Aux Q f) ⋯) (1, n)) x).1 = x

Tactic:
induction x using CliffordAlgebra.left_induction with
| algebraMap r => simp_rw [foldr_algebraMap, Prod.smul_mk, Algebra.algebraMap_eq_smul_one]
| add x y hx hy => rw [map_add, Prod.fst_add, hx, hy]
| ι_mul m x hx => rw [foldr_mul, foldr_ι, foldr'Aux_apply_apply, hx]

Result:
no goals