-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
theorem eq_mk_iff_exists {X : C} {P : Cᵒᵖ ⥤ D} {S T : J.Cover X} (x : Meq P S) (y : Meq P T) :
    mk x = mk y ↔ ∃ (W : J.Cover X) (h1 : W ⟶ S) (h2 : W ⟶ T), x.refine h1 = y.refine h2

Proof state:
case h.e'_3.h
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D
FD : D → D → Type u_1
CD : D → Type (max v u)
inst✝⁴ : (X Y : D) → FunLike (FD X Y) (CD X) (CD Y)
instCC : ConcreteCategory D FD
inst✝³ : PreservesLimits (forget D)
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S T : J.Cover X
x : Meq P S
y : Meq P T
h : mk x = mk y
W : (J.Cover X)ᵒᵖ
h1 : op S ⟶ W
h2 : op T ⟶ W
I : (unop W).Arrow
hh :
  (ConcreteCategory.hom (Multiequalizer.ι ((unop W).index P) I))
      ((ConcreteCategory.hom ((J.diagram P X).map h1)) ((Meq.equiv P S).symm x)) =
    (ConcreteCategory.hom (Multiequalizer.ι ((unop W).index P) I))
      ((ConcreteCategory.hom ((J.diagram P X).map h2)) ((Meq.equiv P T).symm y))
e_1✝ : ToType (P.obj (op I.Y)) = CD (((unop W).index P).left I)
⊢ ↑y { Y := I.Y, f := I.f, hf := ⋯ } =
    (ConcreteCategory.hom (Multiequalizer.ι ((unop W).index P) I))
      ((ConcreteCategory.hom
          (Multiequalizer.lift ((unop W).index P) (multiequalizer (T.index P))
            (fun I => Multiequalizer.ι (T.index P) (I.map h2.unop)) ⋯))
        ((Meq.equiv P T).symm y))

Tactic:
rw [← ConcreteCategory.comp_apply, Multiequalizer.lift_ι]

Result:
case h.e'_3.h
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D
FD : D → D → Type u_1
CD : D → Type (max v u)
inst✝⁴ : (X Y : D) → FunLike (FD X Y) (CD X) (CD Y)
instCC : ConcreteCategory D FD
inst✝³ : PreservesLimits (forget D)
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S T : J.Cover X
x : Meq P S
y : Meq P T
h : mk x = mk y
W : (J.Cover X)ᵒᵖ
h1 : op S ⟶ W
h2 : op T ⟶ W
I : (unop W).Arrow
hh :
  (ConcreteCategory.hom (Multiequalizer.ι ((unop W).index P) I))
      ((ConcreteCategory.hom ((J.diagram P X).map h1)) ((Meq.equiv P S).symm x)) =
    (ConcreteCategory.hom (Multiequalizer.ι ((unop W).index P) I))
      ((ConcreteCategory.hom ((J.diagram P X).map h2)) ((Meq.equiv P T).symm y))
e_1✝ : ToType (P.obj (op I.Y)) = CD (((unop W).index P).left I)
⊢ ↑y { Y := I.Y, f := I.f, hf := ⋯ } =
    (ConcreteCategory.hom (Multiequalizer.ι (T.index P) (I.map h2.unop))) ((Meq.equiv P T).symm y)

Proof state:
case h.e'_3.h
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D
FD : D → D → Type u_1
CD : D → Type (max v u)
inst✝⁴ : (X Y : D) → FunLike (FD X Y) (CD X) (CD Y)
instCC : ConcreteCategory D FD
inst✝³ : PreservesLimits (forget D)
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S✝ T : J.Cover X
x : Meq P S✝
y : Meq P T
S : J.Cover X
h1 : S ⟶ S✝
h2 : S ⟶ T
i : (unop (op S)).shape.L
e : ↑(x.refine h1) i = ↑(y.refine h2) i
e_1✝ : CD (((unop (op S)).index P).left i) = ToType (P.obj (op i.Y))
⊢ (ConcreteCategory.hom (Multiequalizer.ι ((unop (op S)).index P) i))
      ((ConcreteCategory.hom ((J.diagram P X).map h2.op)) ((Meq.equiv P T).symm y)) =
    ↑(y.refine h2) i

Tactic:
dsimp [diagram]

Result:
case h.e'_3.h
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D
FD : D → D → Type u_1
CD : D → Type (max v u)
inst✝⁴ : (X Y : D) → FunLike (FD X Y) (CD X) (CD Y)
instCC : ConcreteCategory D FD
inst✝³ : PreservesLimits (forget D)
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S✝ T : J.Cover X
x : Meq P S✝
y : Meq P T
S : J.Cover X
h1 : S ⟶ S✝
h2 : S ⟶ T
i : (unop (op S)).shape.L
e : ↑(x.refine h1) i = ↑(y.refine h2) i
e_1✝ : CD (((unop (op S)).index P).left i) = ToType (P.obj (op i.Y))
⊢ (ConcreteCategory.hom (Multiequalizer.ι (S.index P) i))
      ((ConcreteCategory.hom
          (Multiequalizer.lift (S.index P) (multiequalizer (T.index P))
            (fun I => Multiequalizer.ι (T.index P) (I.map h2)) ⋯))
        ((Meq.equiv P T).symm y)) =
    ↑y { Y := i.Y, f := i.f, hf := ⋯ }

Proof state:
case h.e'_3.h
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D
FD : D → D → Type u_1
CD : D → Type (max v u)
inst✝⁴ : (X Y : D) → FunLike (FD X Y) (CD X) (CD Y)
instCC : ConcreteCategory D FD
inst✝³ : PreservesLimits (forget D)
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S T : J.Cover X
x : Meq P S
y : Meq P T
h : mk x = mk y
W : (J.Cover X)ᵒᵖ
h1 : op S ⟶ W
h2 : op T ⟶ W
I : (unop W).Arrow
hh :
  (ConcreteCategory.hom (Multiequalizer.ι ((unop W).index P) I))
      ((ConcreteCategory.hom ((J.diagram P X).map h1)) ((Meq.equiv P S).symm x)) =
    (ConcreteCategory.hom (Multiequalizer.ι ((unop W).index P) I))
      ((ConcreteCategory.hom ((J.diagram P X).map h2)) ((Meq.equiv P T).symm y))
e_1✝ : ToType (P.obj (op I.Y)) = CD (((unop W).index P).left I)
⊢ ↑y { Y := I.Y, f := I.f, hf := ⋯ } = ↑y (I.map h2.unop)

Tactic:
cases I

Result:
case h.e'_3.h.mk
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁵ : Category.{max v u, w} D
FD : D → D → Type u_1
CD : D → Type (max v u)
inst✝⁴ : (X Y : D) → FunLike (FD X Y) (CD X) (CD Y)
instCC : ConcreteCategory D FD
inst✝³ : PreservesLimits (forget D)
inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
inst✝ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ (forget D)
X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S T : J.Cover X
x : Meq P S
y : Meq P T
h : mk x = mk y
W : (J.Cover X)ᵒᵖ
h1 : op S ⟶ W
h2 : op T ⟶ W
Y✝ : C
f✝ : Y✝ ⟶ X
hf✝ : (↑(unop W)).arrows f✝
hh :
  (ConcreteCategory.hom (Multiequalizer.ι ((unop W).index P) { Y := Y✝, f := f✝, hf := hf✝ }))
      ((ConcreteCategory.hom ((J.diagram P X).map h1)) ((Meq.equiv P S).symm x)) =
    (ConcreteCategory.hom (Multiequalizer.ι ((unop W).index P) { Y := Y✝, f := f✝, hf := hf✝ }))
      ((ConcreteCategory.hom ((J.diagram P X).map h2)) ((Meq.equiv P T).symm y))
e_1✝ :
  ToType (P.obj (op { Y := Y✝, f := f✝, hf := hf✝ }.Y)) = CD (((unop W).index P).left { Y := Y✝, f := f✝, hf := hf✝ })
⊢ ↑y { Y := { Y := Y✝, f := f✝, hf := hf✝ }.Y, f := { Y := Y✝, f := f✝, hf := hf✝ }.f, hf := ⋯ } =
    ↑y ({ Y := Y✝, f := f✝, hf := hf✝ }.map h2.unop)