-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coherent/ReflectsPreregular.lean
lemma Functor.reflects_preregular : Preregular C where
  exists_fac f g _

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.refine_2
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.234, u_2} D
F : C ⥤ D
inst✝⁵ : F.PreservesEffectiveEpis
inst✝⁴ : F.ReflectsEffectiveEpis
inst✝³ : F.EffectivelyEnough
inst✝² : Preregular D
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
X✝ Y✝ Z✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Z✝ ⟶ Y✝
x✝ : EffectiveEpi g
W : D
f' : W ⟶ F.obj X✝
w✝ : EffectiveEpi f'
i : W ⟶ F.obj Z✝
w : i ≫ F.map g = f' ≫ F.map f
⊢ F.preimage (F.effectiveEpiOver W ≫ i) ≫ g = F.preimage (F.effectiveEpiOver W ≫ f') ≫ f

Tactic:
apply F.map_injective

Result:
case intro.intro.intro.intro.refine_2.a
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.234, u_2} D
F : C ⥤ D
inst✝⁵ : F.PreservesEffectiveEpis
inst✝⁴ : F.ReflectsEffectiveEpis
inst✝³ : F.EffectivelyEnough
inst✝² : Preregular D
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
X✝ Y✝ Z✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Z✝ ⟶ Y✝
x✝ : EffectiveEpi g
W : D
f' : W ⟶ F.obj X✝
w✝ : EffectiveEpi f'
i : W ⟶ F.obj Z✝
w : i ≫ F.map g = f' ≫ F.map f
⊢ F.map (F.preimage (F.effectiveEpiOver W ≫ i) ≫ g) = F.map (F.preimage (F.effectiveEpiOver W ≫ f') ≫ f)

Proof state:
case intro.intro.intro.intro
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.234, u_2} D
F : C ⥤ D
inst✝⁵ : F.PreservesEffectiveEpis
inst✝⁴ : F.ReflectsEffectiveEpis
inst✝³ : F.EffectivelyEnough
inst✝² : Preregular D
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
X✝ Y✝ Z✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Z✝ ⟶ Y✝
x✝ : EffectiveEpi g
W : D
f' : W ⟶ F.obj X✝
w✝ : EffectiveEpi f'
i : W ⟶ F.obj Z✝
w : i ≫ F.map g = f' ≫ F.map f
⊢ ∃ W h, ∃ (_ : EffectiveEpi h), ∃ i, i ≫ g = h ≫ f

Tactic:
refine ⟨_, F.preimage (F.effectiveEpiOver W ≫ f'),
  ⟨F.effectiveEpi_of_map _ ?_, F.preimage (F.effectiveEpiOver W ≫ i), ?_⟩⟩

Result:
case intro.intro.intro.intro.refine_1
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.234, u_2} D
F : C ⥤ D
inst✝⁵ : F.PreservesEffectiveEpis
inst✝⁴ : F.ReflectsEffectiveEpis
inst✝³ : F.EffectivelyEnough
inst✝² : Preregular D
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
X✝ Y✝ Z✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Z✝ ⟶ Y✝
x✝ : EffectiveEpi g
W : D
f' : W ⟶ F.obj X✝
w✝ : EffectiveEpi f'
i : W ⟶ F.obj Z✝
w : i ≫ F.map g = f' ≫ F.map f
⊢ EffectiveEpi (F.map (F.preimage (F.effectiveEpiOver W ≫ f')))

case intro.intro.intro.intro.refine_2
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.234, u_2} D
F : C ⥤ D
inst✝⁵ : F.PreservesEffectiveEpis
inst✝⁴ : F.ReflectsEffectiveEpis
inst✝³ : F.EffectivelyEnough
inst✝² : Preregular D
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
X✝ Y✝ Z✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Z✝ ⟶ Y✝
x✝ : EffectiveEpi g
W : D
f' : W ⟶ F.obj X✝
w✝ : EffectiveEpi f'
i : W ⟶ F.obj Z✝
w : i ≫ F.map g = f' ≫ F.map f
⊢ F.preimage (F.effectiveEpiOver W ≫ i) ≫ g = F.preimage (F.effectiveEpiOver W ≫ f') ≫ f

Proof state:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.234, u_2} D
F : C ⥤ D
inst✝⁵ : F.PreservesEffectiveEpis
inst✝⁴ : F.ReflectsEffectiveEpis
inst✝³ : F.EffectivelyEnough
inst✝² : Preregular D
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
X✝ Y✝ Z✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Z✝ ⟶ Y✝
x✝ : EffectiveEpi g
⊢ ∃ W h, ∃ (_ : EffectiveEpi h), ∃ i, i ≫ g = h ≫ f

Tactic:
obtain ⟨W, f', _, i, w⟩ := Preregular.exists_fac (F.map f) (F.map g)

Result:
case intro.intro.intro.intro
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.234, u_2} D
F : C ⥤ D
inst✝⁵ : F.PreservesEffectiveEpis
inst✝⁴ : F.ReflectsEffectiveEpis
inst✝³ : F.EffectivelyEnough
inst✝² : Preregular D
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
X✝ Y✝ Z✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Z✝ ⟶ Y✝
x✝ : EffectiveEpi g
W : D
f' : W ⟶ F.obj X✝
w✝ : EffectiveEpi f'
i : W ⟶ F.obj Z✝
w : i ≫ F.map g = f' ≫ F.map f
⊢ ∃ W h, ∃ (_ : EffectiveEpi h), ∃ i, i ≫ g = h ≫ f

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.refine_1
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.234, u_2} D
F : C ⥤ D
inst✝⁵ : F.PreservesEffectiveEpis
inst✝⁴ : F.ReflectsEffectiveEpis
inst✝³ : F.EffectivelyEnough
inst✝² : Preregular D
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
X✝ Y✝ Z✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Z✝ ⟶ Y✝
x✝ : EffectiveEpi g
W : D
f' : W ⟶ F.obj X✝
w✝ : EffectiveEpi f'
i : W ⟶ F.obj Z✝
w : i ≫ F.map g = f' ≫ F.map f
⊢ EffectiveEpi (F.map (F.preimage (F.effectiveEpiOver W ≫ f')))

Tactic:
simp only [Functor.map_preimage]

Result:
case intro.intro.intro.intro.refine_1
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.234, u_2} D
F : C ⥤ D
inst✝⁵ : F.PreservesEffectiveEpis
inst✝⁴ : F.ReflectsEffectiveEpis
inst✝³ : F.EffectivelyEnough
inst✝² : Preregular D
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
X✝ Y✝ Z✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Z✝ ⟶ Y✝
x✝ : EffectiveEpi g
W : D
f' : W ⟶ F.obj X✝
w✝ : EffectiveEpi f'
i : W ⟶ F.obj Z✝
w : i ≫ F.map g = f' ≫ F.map f
⊢ EffectiveEpi (F.effectiveEpiOver W ≫ f')

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.refine_1
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.234, u_2} D
F : C ⥤ D
inst✝⁵ : F.PreservesEffectiveEpis
inst✝⁴ : F.ReflectsEffectiveEpis
inst✝³ : F.EffectivelyEnough
inst✝² : Preregular D
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
X✝ Y✝ Z✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Z✝ ⟶ Y✝
x✝ : EffectiveEpi g
W : D
f' : W ⟶ F.obj X✝
w✝ : EffectiveEpi f'
i : W ⟶ F.obj Z✝
w : i ≫ F.map g = f' ≫ F.map f
⊢ EffectiveEpi (F.effectiveEpiOver W ≫ f')

Tactic:
infer_instance

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.refine_2.a
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁷ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.234, u_2} D
F : C ⥤ D
inst✝⁵ : F.PreservesEffectiveEpis
inst✝⁴ : F.ReflectsEffectiveEpis
inst✝³ : F.EffectivelyEnough
inst✝² : Preregular D
inst✝¹ : F.Full
inst✝ : F.Faithful
X✝ Y✝ Z✝ : C
f : X✝ ⟶ Y✝
g : Z✝ ⟶ Y✝
x✝ : EffectiveEpi g
W : D
f' : W ⟶ F.obj X✝
w✝ : EffectiveEpi f'
i : W ⟶ F.obj Z✝
w : i ≫ F.map g = f' ≫ F.map f
⊢ F.map (F.preimage (F.effectiveEpiOver W ≫ i) ≫ g) = F.map (F.preimage (F.effectiveEpiOver W ≫ f') ≫ f)

Tactic:
simp [w]

Result:
no goals