-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Hopf_.lean
theorem antipode_comul₂ (A : Hopf_ C) :
    A.X.comul.hom ≫
      A.X.comul.hom ▷ A.X.X.X ≫
      (α_ A.X.X.X A.X.X.X A.X.X.X).hom ≫
      A.X.X.X ◁ A.X.X.X ◁ A.X.comul.hom ≫
      A.X.X.X ◁ A.X.X.X ◁ (β_ A.X.X.X A.X.X.X).hom ≫
      A.X.X.X ◁ A.X.X.X ◁ (A.antipode ⊗ A.antipode) ≫
      A.X.X.X ◁ (α_ A.X.X.X A.X.X.X A.X.X.X).inv ≫
      A.X.X.X ◁ (β_ A.X.X.X A.X.X.X).hom ▷ A.X.X.X ≫
      A.X.X.X ◁ (α_ A.X.X.X A.X.X.X A.X.X.X).hom ≫
      (α_ A.X.X.X A.X.X.X (A.X.X.X ⊗ A.X.X.X)).inv ≫
      (A.X.X.mul ⊗ A.X.X.mul) =
    A.X.counit.hom ≫ (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (A.X.X.one ⊗ A.X.X.one)

Proof state:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
A : Hopf_ C
⊢ A.X.comul.hom ≫
      A.X.X.X ◁ (λ_ A.X.X.X).inv ≫
        A.X.X.X ◁ (β_ (𝟙_ (Mon_ C)).X A.X.X.X).hom ≫
          ((A.X.X.X ◁ A.antipode ▷ (𝟙_ (Mon_ C)).X ≫ A.X.X.X ◁ A.X.X.X ◁ A.X.X.one) ≫
              (α_ A.X.X.X A.X.X.X A.X.X.X).inv) ≫
            A.X.X.mul ▷ A.X.X.X =
    A.X.counit.hom ≫ (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (A.X.X.one ⊗ A.X.X.one)

Tactic:
slice_lhs 5 7 =>
  rw [associator_inv_naturality_right_assoc, whisker_exchange]

Result:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
A : Hopf_ C
⊢ A.X.comul.hom ≫
      A.X.X.X ◁ (λ_ A.X.X.X).inv ≫
        A.X.X.X ◁ (β_ (𝟙_ (Mon_ C)).X A.X.X.X).hom ≫
          A.X.X.X ◁ A.antipode ▷ (𝟙_ (Mon_ C)).X ≫
            (α_ A.X.X.X A.X.X.X (𝟙_ (Mon_ C)).X).inv ≫ A.X.X.mul ▷ (𝟙_ (Mon_ C)).X ≫ A.X.X.X ◁ A.X.X.one =
    A.X.counit.hom ≫ (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (A.X.X.one ⊗ A.X.X.one)

Proof state:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
A : Hopf_ C
⊢ A.X.counit.hom ≫ (ρ_ (𝟙_ C)).inv ≫ A.X.X.one ▷ 𝟙_ C ≫ A.X.X.X ◁ A.X.X.one =
    A.X.counit.hom ≫ (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ A.X.X.one ▷ 𝟙_ C ≫ A.X.X.X ◁ A.X.X.one

Tactic:
monoidal

Result:
no goals

Proof state:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
A : Hopf_ C
⊢ A.X.comul.hom ≫
      A.X.X.X ◁ (λ_ A.X.X.X).inv ≫
        (((A.X.X.X ◁ (β_ (𝟙_ (Mon_ C)).X A.X.X.X).hom ≫ A.X.X.X ◁ A.X.X.X ◁ A.X.X.one) ≫
              A.X.X.X ◁ A.antipode ▷ A.X.X.X) ≫
            (α_ A.X.X.X A.X.X.X A.X.X.X).inv) ≫
          A.X.X.mul ▷ A.X.X.X =
    A.X.counit.hom ≫ (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (A.X.X.one ⊗ A.X.X.one)

Tactic:
slice_lhs 4 5 =>
  simp only [← MonoidalCategory.whiskerLeft_comp]
  rw [whisker_exchange]
  simp only [MonoidalCategory.whiskerLeft_comp]

Result:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
A : Hopf_ C
⊢ A.X.comul.hom ≫
      A.X.X.X ◁ (λ_ A.X.X.X).inv ≫
        A.X.X.X ◁ (β_ (𝟙_ (Mon_ C)).X A.X.X.X).hom ≫
          ((A.X.X.X ◁ A.antipode ▷ (𝟙_ (Mon_ C)).X ≫ A.X.X.X ◁ A.X.X.X ◁ A.X.X.one) ≫
              (α_ A.X.X.X A.X.X.X A.X.X.X).inv) ≫
            A.X.X.mul ▷ A.X.X.X =
    A.X.counit.hom ≫ (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (A.X.X.one ⊗ A.X.X.one)

Proof state:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
A : Hopf_ C
⊢ A.X.comul.hom ≫
      A.X.comul.hom ▷ A.X.X.X ≫
        (α_ A.X.X.X A.X.X.X A.X.X.X).hom ≫
          A.X.X.X ◁ A.X.X.X ◁ A.X.comul.hom ≫
            A.X.X.X ◁ A.X.X.X ◁ (β_ A.X.X.X A.X.X.X).hom ≫
              A.X.X.X ◁ A.X.X.X ◁ A.X.X.X ◁ A.antipode ≫
                ((((A.X.X.X ◁ (α_ A.X.X.X A.X.X.X A.X.X.X).inv ≫ A.X.X.X ◁ (A.X.X.X ◁ A.antipode) ▷ A.X.X.X) ≫
                        A.X.X.X ◁ (β_ A.X.X.X A.X.X.X).hom ▷ A.X.X.X) ≫
                      A.X.X.X ◁ (α_ A.X.X.X A.X.X.X A.X.X.X).hom) ≫
                    (α_ A.X.X.X A.X.X.X (A.X.X.X ⊗ A.X.X.X)).inv) ≫
                  (A.X.X.mul ⊗ A.X.X.mul) =
    A.X.counit.hom ≫ (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (A.X.X.one ⊗ A.X.X.one)

Tactic:
slice_lhs 8 9 =>
  rw [← MonoidalCategory.whiskerLeft_comp, ← comp_whiskerRight,
    BraidedCategory.braiding_naturality_right,
    comp_whiskerRight, MonoidalCategory.whiskerLeft_comp]

Result:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
A : Hopf_ C
⊢ A.X.comul.hom ≫
      A.X.comul.hom ▷ A.X.X.X ≫
        (α_ A.X.X.X A.X.X.X A.X.X.X).hom ≫
          A.X.X.X ◁ A.X.X.X ◁ A.X.comul.hom ≫
            A.X.X.X ◁ A.X.X.X ◁ (β_ A.X.X.X A.X.X.X).hom ≫
              A.X.X.X ◁ A.X.X.X ◁ A.X.X.X ◁ A.antipode ≫
                A.X.X.X ◁ (α_ A.X.X.X A.X.X.X A.X.X.X).inv ≫
                  (((A.X.X.X ◁ (β_ A.X.X.X A.X.X.X).hom ▷ A.X.X.X ≫ A.X.X.X ◁ A.antipode ▷ A.X.X.X ▷ A.X.X.X) ≫
                        A.X.X.X ◁ (α_ A.X.X.X A.X.X.X A.X.X.X).hom) ≫
                      (α_ A.X.X.X A.X.X.X (A.X.X.X ⊗ A.X.X.X)).inv) ≫
                    (A.X.X.mul ⊗ A.X.X.mul) =
    A.X.counit.hom ≫ (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (A.X.X.one ⊗ A.X.X.one)