-- Mathlib/Analysis/Analytic/CPolynomialDef.lean
theorem HasFiniteFPowerSeriesOnBall.bound_zero_of_eq_zero (hf : ∀ y ∈ EMetric.ball x r, f y = 0)
    (r_pos : 0 < r) (hp : ∀ n, p n = 0) : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x 0 r

Proof state:
case h.e'_5.h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : ∀ y ∈ EMetric.ball x r, f y = 0
r_pos : 0 < r
hp : ∀ (n : ℕ), p n = 0
y : E
hy : y ∈ EMetric.ball 0 r
x✝ : ℕ
⊢ ((p x✝) fun x => y) = 0

Tactic:
rw [hp, ContinuousMultilinearMap.zero_apply]

Result:
no goals

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : ∀ y ∈ EMetric.ball x r, f y = 0
r_pos : 0 < r
hp : ∀ (n : ℕ), p n = 0
⊢ HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x 0 r

Tactic:
refine ⟨⟨?_, r_pos, ?_⟩, fun n _ ↦ hp n⟩

Result:
case refine_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : ∀ y ∈ EMetric.ball x r, f y = 0
r_pos : 0 < r
hp : ∀ (n : ℕ), p n = 0
⊢ r ≤ p.radius

case refine_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : ∀ y ∈ EMetric.ball x r, f y = 0
r_pos : 0 < r
hp : ∀ (n : ℕ), p n = 0
⊢ ∀ {y : E}, y ∈ EMetric.ball 0 r → HasSum (fun n => (p n) fun x => y) (f (x + y))

Proof state:
case refine_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : ∀ y ∈ EMetric.ball x r, f y = 0
r_pos : 0 < r
hp : ∀ (n : ℕ), p n = 0
y : E
hy : y ∈ EMetric.ball 0 r
⊢ HasSum (fun n => (p n) fun x => y) 0

Tactic:
convert hasSum_zero

Result:
case h.e'_5.h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : ∀ y ∈ EMetric.ball x r, f y = 0
r_pos : 0 < r
hp : ∀ (n : ℕ), p n = 0
y : E
hy : y ∈ EMetric.ball 0 r
x✝ : ℕ
⊢ ((p x✝) fun x => y) = 0

Proof state:
case refine_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : ∀ y ∈ EMetric.ball x r, f y = 0
r_pos : 0 < r
hp : ∀ (n : ℕ), p n = 0
⊢ ∀ {y : E}, y ∈ EMetric.ball 0 r → HasSum (fun n => (p n) fun x => y) (f (x + y))

Tactic:
intro y hy

Result:
case refine_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : ∀ y ∈ EMetric.ball x r, f y = 0
r_pos : 0 < r
hp : ∀ (n : ℕ), p n = 0
y : E
hy : y ∈ EMetric.ball 0 r
⊢ HasSum (fun n => (p n) fun x => y) (f (x + y))

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : ∀ y ∈ EMetric.ball x r, f y = 0
r_pos : 0 < r
hp : ∀ (n : ℕ), p n = 0
n : ℕ
⊢ p n = 0

Tactic:
exact hp n

Result:
no goals

Proof state:
case refine_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : ∀ y ∈ EMetric.ball x r, f y = 0
r_pos : 0 < r
hp : ∀ (n : ℕ), p n = 0
y : E
hy : y ∈ EMetric.ball 0 r
⊢ x + y ∈ EMetric.ball x r

Tactic:
rwa [EMetric.mem_ball, edist_eq_enorm_sub, add_comm, add_sub_cancel_right,
  ← edist_zero_eq_enorm, ← EMetric.mem_ball]

Result:
no goals

Proof state:
case refine_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : ∀ y ∈ EMetric.ball x r, f y = 0
r_pos : 0 < r
hp : ∀ (n : ℕ), p n = 0
⊢ r ≤ p.radius

Tactic:
rw [p.radius_eq_top_of_forall_image_add_eq_zero 0 (fun n ↦ by rw [add_zero]; exact hp n)]

Result:
case refine_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : ∀ y ∈ EMetric.ball x r, f y = 0
r_pos : 0 < r
hp : ∀ (n : ℕ), p n = 0
⊢ r ≤ ⊤

Proof state:
case refine_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : ∀ y ∈ EMetric.ball x r, f y = 0
r_pos : 0 < r
hp : ∀ (n : ℕ), p n = 0
⊢ r ≤ ⊤

Tactic:
exact le_top

Result:
no goals

Proof state:
case refine_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : ∀ y ∈ EMetric.ball x r, f y = 0
r_pos : 0 < r
hp : ∀ (n : ℕ), p n = 0
y : E
hy : y ∈ EMetric.ball 0 r
⊢ HasSum (fun n => (p n) fun x => y) (f (x + y))

Tactic:
rw [hf (x + y)]

Result:
case refine_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : ∀ y ∈ EMetric.ball x r, f y = 0
r_pos : 0 < r
hp : ∀ (n : ℕ), p n = 0
y : E
hy : y ∈ EMetric.ball 0 r
⊢ HasSum (fun n => (p n) fun x => y) 0

case refine_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : ∀ y ∈ EMetric.ball x r, f y = 0
r_pos : 0 < r
hp : ∀ (n : ℕ), p n = 0
y : E
hy : y ∈ EMetric.ball 0 r
⊢ x + y ∈ EMetric.ball x r

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : ∀ y ∈ EMetric.ball x r, f y = 0
r_pos : 0 < r
hp : ∀ (n : ℕ), p n = 0
n : ℕ
⊢ p (n + 0) = 0

Tactic:
rw [add_zero]

Result:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r : ℝ≥0∞
hf : ∀ y ∈ EMetric.ball x r, f y = 0
r_pos : 0 < r
hp : ∀ (n : ℕ), p n = 0
n : ℕ
⊢ p n = 0