-- Mathlib/FieldTheory/PrimitiveElement.lean
theorem isAlgebraic_of_adjoin_eq_adjoin {α : E} {m n : ℕ} (hneq : m ≠ n)
    (heq : F⟮α ^ m⟯ = F⟮α ^ n⟯) : IsAlgebraic F α

Proof state:
F✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
inst✝⁵ : Field F✝
inst✝⁴ : Field E✝
inst✝³ : Algebra F✝ E✝
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
m n : ℕ
hneq : m ≠ n
heq : F⟮α ^ m⟯ = F⟮α ^ n⟯
hmn : m < n
r s : F[X]
h : α ^ m * (aeval (α ^ n)) s - (aeval (α ^ n)) r = 0
hm : 0 < m
hzero : s ≠ 0
f : F[X] := X ^ m * (expand F n) s - (expand F n) r
hn : 0 < n
⊢ ¬n ∣ n * s.natDegree + m

Tactic:
rw [← Nat.dvd_add_iff_right (n.dvd_mul_right s.natDegree)]

Result:
F✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
inst✝⁵ : Field F✝
inst✝⁴ : Field E✝
inst✝³ : Algebra F✝ E✝
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
m n : ℕ
hneq : m ≠ n
heq : F⟮α ^ m⟯ = F⟮α ^ n⟯
hmn : m < n
r s : F[X]
h : α ^ m * (aeval (α ^ n)) s - (aeval (α ^ n)) r = 0
hm : 0 < m
hzero : s ≠ 0
f : F[X] := X ^ m * (expand F n) s - (expand F n) r
hn : 0 < n
⊢ ¬n ∣ m

Proof state:
case neg.refine_1
F✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
inst✝⁵ : Field F✝
inst✝⁴ : Field E✝
inst✝³ : Algebra F✝ E✝
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
m n : ℕ
hneq : m ≠ n
heq : F⟮α ^ m⟯ = F⟮α ^ n⟯
hmn : m < n
r s : F[X]
h : α ^ m * (aeval (α ^ n)) s - (aeval (α ^ n)) r = 0
hm : 0 < m
hzero : s ≠ 0
f : F[X] := X ^ m * (expand F n) s - (expand F n) r
this : f.coeff (n * s.natDegree + m) ≠ 0
⊢ f ≠ 0

Tactic:
intro h

Result:
case neg.refine_1
F✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
inst✝⁵ : Field F✝
inst✝⁴ : Field E✝
inst✝³ : Algebra F✝ E✝
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
m n : ℕ
hneq : m ≠ n
heq : F⟮α ^ m⟯ = F⟮α ^ n⟯
hmn : m < n
r s : F[X]
h✝ : α ^ m * (aeval (α ^ n)) s - (aeval (α ^ n)) r = 0
hm : 0 < m
hzero : s ≠ 0
f : F[X] := X ^ m * (expand F n) s - (expand F n) r
this : f.coeff (n * s.natDegree + m) ≠ 0
h : f = 0
⊢ False

Proof state:
F✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
inst✝⁵ : Field F✝
inst✝⁴ : Field E✝
inst✝³ : Algebra F✝ E✝
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
m n : ℕ
hneq : m ≠ n
heq : F⟮α ^ m⟯ = F⟮α ^ n⟯
hmn : m < n
r s : F[X]
h : α ^ m * (aeval (α ^ n)) s - (aeval (α ^ n)) r = 0
hm : 0 < m
hzero : s ≠ 0
f : F[X] := X ^ m * (expand F n) s - (expand F n) r
hn : 0 < n
hndvd : ¬n ∣ n * s.natDegree + m
⊢ f.coeff (n * s.natDegree + m) ≠ 0

Tactic:
simp only [f, coeff_sub, coeff_X_pow_mul, s.coeff_expand_mul' hn, coeff_natDegree,
  coeff_expand hn r, hndvd, ite_false, sub_zero]

Result:
F✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
inst✝⁵ : Field F✝
inst✝⁴ : Field E✝
inst✝³ : Algebra F✝ E✝
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
m n : ℕ
hneq : m ≠ n
heq : F⟮α ^ m⟯ = F⟮α ^ n⟯
hmn : m < n
r s : F[X]
h : α ^ m * (aeval (α ^ n)) s - (aeval (α ^ n)) r = 0
hm : 0 < m
hzero : s ≠ 0
f : F[X] := X ^ m * (expand F n) s - (expand F n) r
hn : 0 < n
hndvd : ¬n ∣ n * s.natDegree + m
⊢ s.leadingCoeff ≠ 0

Proof state:
case neg.refine_2
F✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
inst✝⁵ : Field F✝
inst✝⁴ : Field E✝
inst✝³ : Algebra F✝ E✝
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
m n : ℕ
hneq : m ≠ n
heq : F⟮α ^ m⟯ = F⟮α ^ n⟯
hmn : m < n
r s : F[X]
h : α ^ m * (aeval (α ^ n)) s - (aeval (α ^ n)) r = 0
hm : 0 < m
hzero : s ≠ 0
f : F[X] := X ^ m * (expand F n) s - (expand F n) r
⊢ (aeval α) f = 0

Tactic:
simp only [f, map_sub, map_mul, map_pow, aeval_X, expand_aeval, h]

Result:
no goals

Proof state:
case neg
F✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
inst✝⁵ : Field F✝
inst✝⁴ : Field E✝
inst✝³ : Algebra F✝ E✝
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
m n : ℕ
hneq : m ≠ n
heq : F⟮α ^ m⟯ = F⟮α ^ n⟯
hmn : m < n
r s : F[X]
h : α ^ m * (aeval (α ^ n)) s - (aeval (α ^ n)) r = 0
hm : 0 < m
hzero : s ≠ 0
f : F[X] := X ^ m * (expand F n) s - (expand F n) r
⊢ IsAlgebraic F α

Tactic:
refine ⟨f, ?_, ?_⟩

Result:
case neg.refine_1
F✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
inst✝⁵ : Field F✝
inst✝⁴ : Field E✝
inst✝³ : Algebra F✝ E✝
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
m n : ℕ
hneq : m ≠ n
heq : F⟮α ^ m⟯ = F⟮α ^ n⟯
hmn : m < n
r s : F[X]
h : α ^ m * (aeval (α ^ n)) s - (aeval (α ^ n)) r = 0
hm : 0 < m
hzero : s ≠ 0
f : F[X] := X ^ m * (expand F n) s - (expand F n) r
⊢ f ≠ 0

case neg.refine_2
F✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
inst✝⁵ : Field F✝
inst✝⁴ : Field E✝
inst✝³ : Algebra F✝ E✝
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
m n : ℕ
hneq : m ≠ n
heq : F⟮α ^ m⟯ = F⟮α ^ n⟯
hmn : m < n
r s : F[X]
h : α ^ m * (aeval (α ^ n)) s - (aeval (α ^ n)) r = 0
hm : 0 < m
hzero : s ≠ 0
f : F[X] := X ^ m * (expand F n) s - (expand F n) r
⊢ (aeval α) f = 0

Proof state:
F✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
inst✝⁵ : Field F✝
inst✝⁴ : Field E✝
inst✝³ : Algebra F✝ E✝
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
m n : ℕ
hneq : m ≠ n
heq : F⟮α ^ m⟯ = F⟮α ^ n⟯
hmn : m < n
r s : F[X]
h : α ^ m * (aeval (α ^ n)) s - (aeval (α ^ n)) r = 0
hm : 0 < m
hzero : s ≠ 0
f : F[X] := X ^ m * (expand F n) s - (expand F n) r
⊢ 0 < n

Tactic:
linarith only [hm, hmn]

Result:
no goals

Proof state:
case neg.intro.intro
F✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
inst✝⁵ : Field F✝
inst✝⁴ : Field E✝
inst✝³ : Algebra F✝ E✝
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
m n : ℕ
hneq : m ≠ n
heq : F⟮α ^ m⟯ = F⟮α ^ n⟯
hmn : m < n
hm : ¬m = 0
r s : F[X]
h : α ^ m = (aeval (α ^ n)) r / (aeval (α ^ n)) s
⊢ IsAlgebraic F α

Tactic:
by_cases hzero : aeval (α ^ n) s = 0

Result:
case pos
F✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
inst✝⁵ : Field F✝
inst✝⁴ : Field E✝
inst✝³ : Algebra F✝ E✝
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
m n : ℕ
hneq : m ≠ n
heq : F⟮α ^ m⟯ = F⟮α ^ n⟯
hmn : m < n
hm : ¬m = 0
r s : F[X]
h : α ^ m = (aeval (α ^ n)) r / (aeval (α ^ n)) s
hzero : (aeval (α ^ n)) s = 0
⊢ IsAlgebraic F α

case neg
F✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
inst✝⁵ : Field F✝
inst✝⁴ : Field E✝
inst✝³ : Algebra F✝ E✝
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
m n : ℕ
hneq : m ≠ n
heq : F⟮α ^ m⟯ = F⟮α ^ n⟯
hmn : m < n
hm : ¬m = 0
r s : F[X]
h : α ^ m = (aeval (α ^ n)) r / (aeval (α ^ n)) s
hzero : ¬(aeval (α ^ n)) s = 0
⊢ IsAlgebraic F α

Proof state:
case pos
F✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
inst✝⁵ : Field F✝
inst✝⁴ : Field E✝
inst✝³ : Algebra F✝ E✝
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
m n : ℕ
hneq : m ≠ n
heq : F⟮α ^ m⟯ = F⟮α ^ n⟯
hmn : m < n
hm : ¬m = 0
r s : F[X]
hzero : (aeval (α ^ n)) s = 0
h : α = 0
⊢ IsAlgebraic F α

Tactic:
exact h.symm ▸ isAlgebraic_zero

Result:
no goals

Proof state:
case inr
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
m n : ℕ
hneq : m ≠ n
heq : F⟮α ^ m⟯ = F⟮α ^ n⟯
this :
  ∀ (F : Type u_1) (E : Type u_2) [inst : Field F] [inst_1 : Field E] [inst_2 : Algebra F E] {α : E} {m n : ℕ},
    m ≠ n → F⟮α ^ m⟯ = F⟮α ^ n⟯ → m < n → IsAlgebraic F α
hmn : ¬m < n
⊢ IsAlgebraic F α

Tactic:
exact this F E hneq.symm heq.symm (hneq.lt_or_lt.resolve_left hmn)

Result:
no goals

Proof state:
case neg.refine_1
F✝ : Type u_1
E✝ : Type u_2
inst✝⁵ : Field F✝
inst✝⁴ : Field E✝
inst✝³ : Algebra F✝ E✝
F : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
α : E
m n : ℕ
hneq : m ≠ n
heq : F⟮α ^ m⟯ = F⟮α ^ n⟯
hmn : m < n
r s : F[X]
h✝ : α ^ m * (aeval (α ^ n)) s - (aeval (α ^ n)) r = 0
hm : 0 < m
hzero : s ≠ 0
f : F[X] := X ^ m * (expand F n) s - (expand F n) r
this : f.coeff (n * s.natDegree + m) ≠ 0
h : f = 0
⊢ False

Tactic:
simp only [h, coeff_zero, ne_eq, not_true_eq_false] at this

Result:
no goals