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theorem inf_exists :
    ∃ (S : C) (T : ∀ {X : C}, X ∈ O → (S ⟶ X)),
      ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y},
        (⟨X, Y, mX, mY, f⟩ : Σ' (X Y : C) (_ : X ∈ O) (_ : Y ∈ O), X ⟶ Y) ∈ H →
          T mX ≫ f = T mY

Proof state:
case neg.inl
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (S' ⟶ X)
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T' mX ≫ f = T' mY
mX' : X ∈ O
mY' : Y ∈ O
f' : X ⟶ Y
hf : ¬f = f'
mf' : f' = f
⊢ False

Tactic:
exact hf mf'.symm

Result:
no goals

Proof state:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (S' ⟶ X)
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T' mX ≫ f = T' mY
X' Y' : C
mX' : X' ∈ O
mY' : Y' ∈ O
f' : X' ⟶ Y'
mf' : ⟨X', ⟨Y', ⟨mX', ⟨mY', f'⟩⟩⟩⟩ ∈ insert ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ H'
h : ¬(X = X' ∧ Y = Y')
⊢ ⟨X', ⟨Y', ⟨mX', ⟨mY', f'⟩⟩⟩⟩ ∈ H'

Tactic:
apply Finset.mem_of_mem_insert_of_ne mf'

Result:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (S' ⟶ X)
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T' mX ≫ f = T' mY
X' Y' : C
mX' : X' ∈ O
mY' : Y' ∈ O
f' : X' ⟶ Y'
mf' : ⟨X', ⟨Y', ⟨mX', ⟨mY', f'⟩⟩⟩⟩ ∈ insert ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ H'
h : ¬(X = X' ∧ Y = Y')
⊢ ⟨X', ⟨Y', ⟨mX', ⟨mY', f'⟩⟩⟩⟩ ≠ ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩

Proof state:
case insert.mk.mk.mk.mk.intro.intro
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (S' ⟶ X)
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T' mX ≫ f = T' mY
X' Y' : C
mX' : X' ∈ O
mY' : Y' ∈ O
f' : X' ⟶ Y'
mf' : ⟨X', ⟨Y', ⟨mX', ⟨mY', f'⟩⟩⟩⟩ ∈ insert ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ H'
⊢ eqHom (T' mX ≫ f) (T' mY) ≫ T' mX' ≫ f' = (fun {X_1} mZ => eqHom (T' mX ≫ f) (T' mY) ≫ T' mZ) mY'

Tactic:
by_cases h : X = X' ∧ Y = Y'

Result:
case pos
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (S' ⟶ X)
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T' mX ≫ f = T' mY
X' Y' : C
mX' : X' ∈ O
mY' : Y' ∈ O
f' : X' ⟶ Y'
mf' : ⟨X', ⟨Y', ⟨mX', ⟨mY', f'⟩⟩⟩⟩ ∈ insert ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ H'
h : X = X' ∧ Y = Y'
⊢ eqHom (T' mX ≫ f) (T' mY) ≫ T' mX' ≫ f' = (fun {X_1} mZ => eqHom (T' mX ≫ f) (T' mY) ≫ T' mZ) mY'

case neg
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (S' ⟶ X)
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T' mX ≫ f = T' mY
X' Y' : C
mX' : X' ∈ O
mY' : Y' ∈ O
f' : X' ⟶ Y'
mf' : ⟨X', ⟨Y', ⟨mX', ⟨mY', f'⟩⟩⟩⟩ ∈ insert ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ H'
h : ¬(X = X' ∧ Y = Y')
⊢ eqHom (T' mX ≫ f) (T' mY) ≫ T' mX' ≫ f' = (fun {X_1} mZ => eqHom (T' mX ≫ f) (T' mY) ≫ T' mZ) mY'

Proof state:
case neg.inr
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (S' ⟶ X)
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T' mX ≫ f = T' mY
mX' : X ∈ O
mY' : Y ∈ O
f' : X ⟶ Y
hf : ¬f = f'
mf' : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX', ⟨mY', f'⟩⟩⟩⟩ ∈ H'
⊢ ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f'⟩⟩⟩⟩ ∈ H'

Tactic:
exact mf'

Result:
no goals

Proof state:
case insert.mk.mk.mk.mk.intro.intro
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (S' ⟶ X)
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T' mX ≫ f = T' mY
⊢ ∃ S T,
    ∀ {X_1 Y_1 : C} (mX_1 : X_1 ∈ O) (mY_1 : Y_1 ∈ O) {f_1 : X_1 ⟶ Y_1},
      ⟨X_1, ⟨Y_1, ⟨mX_1, ⟨mY_1, f_1⟩⟩⟩⟩ ∈ insert ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ H' → T mX_1 ≫ f_1 = T mY_1

Tactic:
refine ⟨eq (T' mX ≫ f) (T' mY), fun mZ => eqHom (T' mX ≫ f) (T' mY) ≫ T' mZ, ?_⟩

Result:
case insert.mk.mk.mk.mk.intro.intro
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (S' ⟶ X)
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T' mX ≫ f = T' mY
⊢ ∀ {X_1 Y_1 : C} (mX_1 : X_1 ∈ O) (mY_1 : Y_1 ∈ O) {f_1 : X_1 ⟶ Y_1},
    ⟨X_1, ⟨Y_1, ⟨mX_1, ⟨mY_1, f_1⟩⟩⟩⟩ ∈ insert ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ H' →
      (fun {X_2} mZ => eqHom (T' mX ≫ f) (T' mY) ≫ T' mZ) mX_1 ≫ f_1 =
        (fun {X_2} mZ => eqHom (T' mX ≫ f) (T' mY) ≫ T' mZ) mY_1

Proof state:
case refl
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (S' ⟶ X)
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T' mX ≫ f = T' mY
mf' : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ insert ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ H'
⊢ X = X ∧ Y = Y

Tactic:
trivial

Result:
no goals

Proof state:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (S' ⟶ X)
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T' mX ≫ f = T' mY
X' Y' : C
mX' : X' ∈ O
mY' : Y' ∈ O
f' : X' ⟶ Y'
mf' : ⟨X', ⟨Y', ⟨mX', ⟨mY', f'⟩⟩⟩⟩ ∈ insert ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ H'
h : ⟨X', ⟨Y', ⟨mX', ⟨mY', f'⟩⟩⟩⟩ = ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩
⊢ X = X' ∧ Y = Y'

Tactic:
obtain ⟨rfl, h⟩ := h

Result:
case refl
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (S' ⟶ X)
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T' mX ≫ f = T' mY
mf' : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ insert ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ H'
⊢ X = X ∧ Y = Y