-- Mathlib/NumberTheory/ArithmeticFunction.lean
theorem mul [CommSemiring R] {f g : ArithmeticFunction R} (hf : f.IsMultiplicative)
    (hg : g.IsMultiplicative) : IsMultiplicative (f * g)

Proof state:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f g : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
hg : g.IsMultiplicative
⊢ ∀ {m n : ℕ},
    m.Coprime n →
      ∑ x ∈ (m * n).divisorsAntidiagonal, f x.1 * g x.2 =
        (∑ x ∈ m.divisorsAntidiagonal, f x.1 * g x.2) * ∑ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, f x.1 * g x.2

Tactic:
intro m n cop

Result:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f g : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
hg : g.IsMultiplicative
m n : ℕ
cop : m.Coprime n
⊢ ∑ x ∈ (m * n).divisorsAntidiagonal, f x.1 * g x.2 =
    (∑ x ∈ m.divisorsAntidiagonal, f x.1 * g x.2) * ∑ x ∈ n.divisorsAntidiagonal, f x.1 * g x.2

Proof state:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f g : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
hg : g.IsMultiplicative
a1 a2 b1 b2 : ℕ
ha : ¬((a1, a2), b1, b2).1.1 * ((a1, a2), b1, b2).1.2 = 0
cop : (((a1, a2), b1, b2).1.1 * ((a1, a2), b1, b2).1.2).Coprime (((a1, a2), b1, b2).2.1 * ((a1, a2), b1, b2).2.2)
hb : ¬((a1, a2), b1, b2).2.1 * ((a1, a2), b1, b2).2.2 = 0
c1 c2 d1 d2 : ℕ
hcd :
  (((c1, c2), d1, d2).1.1 * ((c1, c2), d1, d2).1.2 = ((a1, a2), b1, b2).1.1 * ((a1, a2), b1, b2).1.2 ∧
      ¬((a1, a2), b1, b2).1.1 * ((a1, a2), b1, b2).1.2 = 0) ∧
    ((c1, c2), d1, d2).2.1 * ((c1, c2), d1, d2).2.2 = ((a1, a2), b1, b2).2.1 * ((a1, a2), b1, b2).2.2 ∧
      ¬((a1, a2), b1, b2).2.1 * ((a1, a2), b1, b2).2.2 = 0
h : a1 * b1 = c1 * d1 ∧ a2 * b2 = c2 * d2
⊢ (b1 * b2).gcd (a1 * b1) = d1

Tactic:
rw [← hcd.1.1, ← hcd.2.1] at cop

Result:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f g : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
hg : g.IsMultiplicative
a1 a2 b1 b2 : ℕ
ha : ¬((a1, a2), b1, b2).1.1 * ((a1, a2), b1, b2).1.2 = 0
hb : ¬((a1, a2), b1, b2).2.1 * ((a1, a2), b1, b2).2.2 = 0
c1 c2 d1 d2 : ℕ
cop : (((c1, c2), d1, d2).1.1 * ((c1, c2), d1, d2).1.2).Coprime (((c1, c2), d1, d2).2.1 * ((c1, c2), d1, d2).2.2)
hcd :
  (((c1, c2), d1, d2).1.1 * ((c1, c2), d1, d2).1.2 = ((a1, a2), b1, b2).1.1 * ((a1, a2), b1, b2).1.2 ∧
      ¬((a1, a2), b1, b2).1.1 * ((a1, a2), b1, b2).1.2 = 0) ∧
    ((c1, c2), d1, d2).2.1 * ((c1, c2), d1, d2).2.2 = ((a1, a2), b1, b2).2.1 * ((a1, a2), b1, b2).2.2 ∧
      ¬((a1, a2), b1, b2).2.1 * ((a1, a2), b1, b2).2.2 = 0
h : a1 * b1 = c1 * d1 ∧ a2 * b2 = c2 * d2
⊢ (b1 * b2).gcd (a1 * b1) = d1

Proof state:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f g : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
hg : g.IsMultiplicative
a1 a2 b1 b2 : ℕ
ha : ¬((a1, a2), b1, b2).1.1 * ((a1, a2), b1, b2).1.2 = 0
cop : (((a1, a2), b1, b2).1.1 * ((a1, a2), b1, b2).1.2).Coprime (((a1, a2), b1, b2).2.1 * ((a1, a2), b1, b2).2.2)
hb : ¬((a1, a2), b1, b2).2.1 * ((a1, a2), b1, b2).2.2 = 0
c1 c2 d1 d2 : ℕ
hcd :
  (((c1, c2), d1, d2).1.1 * ((c1, c2), d1, d2).1.2 = ((a1, a2), b1, b2).1.1 * ((a1, a2), b1, b2).1.2 ∧
      ¬((a1, a2), b1, b2).1.1 * ((a1, a2), b1, b2).1.2 = 0) ∧
    ((c1, c2), d1, d2).2.1 * ((c1, c2), d1, d2).2.2 = ((a1, a2), b1, b2).2.1 * ((a1, a2), b1, b2).2.2 ∧
      ¬((a1, a2), b1, b2).2.1 * ((a1, a2), b1, b2).2.2 = 0
h : a1 * b1 = c1 * d1 ∧ a2 * b2 = c2 * d2
⊢ (b1 * b2).gcd (a2 * b2) = d2

Tactic:
rw [← hcd.1.1, ← hcd.2.1] at cop

Result:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f g : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
hg : g.IsMultiplicative
a1 a2 b1 b2 : ℕ
ha : ¬((a1, a2), b1, b2).1.1 * ((a1, a2), b1, b2).1.2 = 0
hb : ¬((a1, a2), b1, b2).2.1 * ((a1, a2), b1, b2).2.2 = 0
c1 c2 d1 d2 : ℕ
cop : (((c1, c2), d1, d2).1.1 * ((c1, c2), d1, d2).1.2).Coprime (((c1, c2), d1, d2).2.1 * ((c1, c2), d1, d2).2.2)
hcd :
  (((c1, c2), d1, d2).1.1 * ((c1, c2), d1, d2).1.2 = ((a1, a2), b1, b2).1.1 * ((a1, a2), b1, b2).1.2 ∧
      ¬((a1, a2), b1, b2).1.1 * ((a1, a2), b1, b2).1.2 = 0) ∧
    ((c1, c2), d1, d2).2.1 * ((c1, c2), d1, d2).2.2 = ((a1, a2), b1, b2).2.1 * ((a1, a2), b1, b2).2.2 ∧
      ¬((a1, a2), b1, b2).2.1 * ((a1, a2), b1, b2).2.2 = 0
h : a1 * b1 = c1 * d1 ∧ a2 * b2 = c2 * d2
⊢ (b1 * b2).gcd (a2 * b2) = d2

Proof state:
case hi.mk.mk.mk.intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f g : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
hg : g.IsMultiplicative
a1 a2 b1 b2 : ℕ
ha : ¬a1 * a2 = 0
cop : (a1 * a2).Coprime (b1 * b2)
hb : ¬b1 * b2 = 0
⊢ (match ((a1, a2), b1, b2) with
    | ((i, j), k, l) => (i * k, j * l)) ∈
    (a1 * a2 * (b1 * b2)).divisorsAntidiagonal

Tactic:
simp only [mem_divisorsAntidiagonal, Nat.mul_eq_zero, Ne]

Result:
case hi.mk.mk.mk.intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f g : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
hg : g.IsMultiplicative
a1 a2 b1 b2 : ℕ
ha : ¬a1 * a2 = 0
cop : (a1 * a2).Coprime (b1 * b2)
hb : ¬b1 * b2 = 0
⊢ a1 * b1 * (a2 * b2) = a1 * a2 * (b1 * b2) ∧ ¬((a1 = 0 ∨ a2 = 0) ∨ b1 = 0 ∨ b2 = 0)

Proof state:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f g : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
hg : g.IsMultiplicative
a1 a2 b1 b2 : ℕ
ha : ¬((a1, a2), b1, b2).1.1 * ((a1, a2), b1, b2).1.2 = 0
cop : (((a1, a2), b1, b2).1.1 * ((a1, a2), b1, b2).1.2).Coprime (((a1, a2), b1, b2).2.1 * ((a1, a2), b1, b2).2.2)
hb : ¬((a1, a2), b1, b2).2.1 * ((a1, a2), b1, b2).2.2 = 0
c1 c2 d1 d2 : ℕ
hcd :
  (((c1, c2), d1, d2).1.1 * ((c1, c2), d1, d2).1.2 = ((a1, a2), b1, b2).1.1 * ((a1, a2), b1, b2).1.2 ∧
      ¬((a1, a2), b1, b2).1.1 * ((a1, a2), b1, b2).1.2 = 0) ∧
    ((c1, c2), d1, d2).2.1 * ((c1, c2), d1, d2).2.2 = ((a1, a2), b1, b2).2.1 * ((a1, a2), b1, b2).2.2 ∧
      ¬((a1, a2), b1, b2).2.1 * ((a1, a2), b1, b2).2.2 = 0
h : a1 * b1 = c1 * d1 ∧ a2 * b2 = c2 * d2
⊢ (a1 * a2).gcd (a2 * b2) = c2

Tactic:
rw [← hcd.1.1, ← hcd.2.1] at cop

Result:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f g : ArithmeticFunction R
hf : f.IsMultiplicative
hg : g.IsMultiplicative
a1 a2 b1 b2 : ℕ
ha : ¬((a1, a2), b1, b2).1.1 * ((a1, a2), b1, b2).1.2 = 0
hb : ¬((a1, a2), b1, b2).2.1 * ((a1, a2), b1, b2).2.2 = 0
c1 c2 d1 d2 : ℕ
cop : (((c1, c2), d1, d2).1.1 * ((c1, c2), d1, d2).1.2).Coprime (((c1, c2), d1, d2).2.1 * ((c1, c2), d1, d2).2.2)
hcd :
  (((c1, c2), d1, d2).1.1 * ((c1, c2), d1, d2).1.2 = ((a1, a2), b1, b2).1.1 * ((a1, a2), b1, b2).1.2 ∧
      ¬((a1, a2), b1, b2).1.1 * ((a1, a2), b1, b2).1.2 = 0) ∧
    ((c1, c2), d1, d2).2.1 * ((c1, c2), d1, d2).2.2 = ((a1, a2), b1, b2).2.1 * ((a1, a2), b1, b2).2.2 ∧
      ¬((a1, a2), b1, b2).2.1 * ((a1, a2), b1, b2).2.2 = 0
h : a1 * b1 = c1 * d1 ∧ a2 * b2 = c2 * d2
⊢ (a1 * a2).gcd (a2 * b2) = c2