-- Mathlib/Analysis/Convex/Caratheodory.lean
theorem mem_convexHull_erase [DecidableEq E] {t : Finset E} (h : ¬AffineIndependent 𝕜 ((↑) : t → E))
    {x : E} (m : x ∈ convexHull 𝕜 (↑t : Set E)) :
    ∃ y : (↑t : Set E), x ∈ convexHull 𝕜 (↑(t.erase y) : Set E)

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : DecidableEq E
t : Finset E
f : E → 𝕜
fpos : ∀ y ∈ t, 0 ≤ f y
fsum : ∑ y ∈ t, f y = 1
g : E → 𝕜
gcombo : ∑ e ∈ t, g e • e = 0
gsum : ∑ e ∈ t, g e = 0
gpos : ∃ i ∈ t, 0 < g i
s : Finset E := filter (fun z => 0 < g z) t
i₀ : E
mem : i₀ ∈ s
w : ∀ i ∈ s, f i₀ / g i₀ ≤ f i / g i
hg : 0 < g i₀
hi₀ : i₀ ∈ t
k : E → 𝕜 := fun z => f z - f i₀ / g i₀ * g z
hk : k i₀ = 0
ksum : ∑ e ∈ t.erase i₀, k e = 1
⊢ ∃ y w, (∀ y_1 ∈ t.erase ↑y, 0 ≤ w y_1) ∧ ∑ y ∈ t.erase ↑y, w y = 1 ∧ (t.erase ↑y).centerMass w id = t.centerMass f id

Tactic:
refine ⟨⟨i₀, hi₀⟩, k, ?_, by convert ksum, ?_⟩

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : DecidableEq E
t : Finset E
f : E → 𝕜
fpos : ∀ y ∈ t, 0 ≤ f y
fsum : ∑ y ∈ t, f y = 1
g : E → 𝕜
gcombo : ∑ e ∈ t, g e • e = 0
gsum : ∑ e ∈ t, g e = 0
gpos : ∃ i ∈ t, 0 < g i
s : Finset E := filter (fun z => 0 < g z) t
i₀ : E
mem : i₀ ∈ s
w : ∀ i ∈ s, f i₀ / g i₀ ≤ f i / g i
hg : 0 < g i₀
hi₀ : i₀ ∈ t
k : E → 𝕜 := fun z => f z - f i₀ / g i₀ * g z
hk : k i₀ = 0
ksum : ∑ e ∈ t.erase i₀, k e = 1
⊢ ∀ y ∈ t.erase ↑⟨i₀, hi₀⟩, 0 ≤ k y

case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : DecidableEq E
t : Finset E
f : E → 𝕜
fpos : ∀ y ∈ t, 0 ≤ f y
fsum : ∑ y ∈ t, f y = 1
g : E → 𝕜
gcombo : ∑ e ∈ t, g e • e = 0
gsum : ∑ e ∈ t, g e = 0
gpos : ∃ i ∈ t, 0 < g i
s : Finset E := filter (fun z => 0 < g z) t
i₀ : E
mem : i₀ ∈ s
w : ∀ i ∈ s, f i₀ / g i₀ ≤ f i / g i
hg : 0 < g i₀
hi₀ : i₀ ∈ t
k : E → 𝕜 := fun z => f z - f i₀ / g i₀ * g z
hk : k i₀ = 0
ksum : ∑ e ∈ t.erase i₀, k e = 1
⊢ (t.erase ↑⟨i₀, hi₀⟩).centerMass k id = t.centerMass f id

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : DecidableEq E
t : Finset E
f : E → 𝕜
fpos : ∀ y ∈ t, 0 ≤ f y
fsum : ∑ y ∈ t, f y = 1
g : E → 𝕜
gcombo : ∑ e ∈ t, g e • e = 0
gsum : ∑ e ∈ t, g e = 0
gpos : ∃ i ∈ t, 0 < g i
⊢ ∃ y w, (∀ y_1 ∈ t.erase ↑y, 0 ≤ w y_1) ∧ ∑ y ∈ t.erase ↑y, w y = 1 ∧ (t.erase ↑y).centerMass w id = t.centerMass f id

Tactic:
let s := {z ∈ t | 0 < g z}

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : DecidableEq E
t : Finset E
f : E → 𝕜
fpos : ∀ y ∈ t, 0 ≤ f y
fsum : ∑ y ∈ t, f y = 1
g : E → 𝕜
gcombo : ∑ e ∈ t, g e • e = 0
gsum : ∑ e ∈ t, g e = 0
gpos : ∃ i ∈ t, 0 < g i
s : Finset E := filter (fun z => 0 < g z) t
⊢ ∃ y w, (∀ y_1 ∈ t.erase ↑y, 0 ≤ w y_1) ∧ ∑ y ∈ t.erase ↑y, w y = 1 ∧ (t.erase ↑y).centerMass w id = t.centerMass f id

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : DecidableEq E
t : Finset E
f : E → 𝕜
fpos : ∀ y ∈ t, 0 ≤ f y
fsum : ∑ y ∈ t, f y = 1
g : E → 𝕜
gcombo : ∑ e ∈ t, g e • e = 0
gsum : ∑ e ∈ t, g e = 0
gpos : ∃ i ∈ t, 0 < g i
s : Finset E := filter (fun z => 0 < g z) t
i₀ : E
mem : i₀ ∈ s
w : ∀ i ∈ s, f i₀ / g i₀ ≤ f i / g i
hg : 0 < g i₀
hi₀ : i₀ ∈ t
k : E → 𝕜 := fun z => f z - f i₀ / g i₀ * g z
hk : k i₀ = 0
⊢ ∑ e ∈ t.erase i₀, k e = ∑ e ∈ t, k e

Tactic:
conv_rhs => rw [← insert_erase hi₀, sum_insert (not_mem_erase i₀ t), hk, zero_add]

Result:
no goals

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : DecidableEq E
t : Finset E
f : E → 𝕜
fpos : ∀ y ∈ t, 0 ≤ f y
fsum : ∑ y ∈ t, f y = 1
g : E → 𝕜
gcombo : ∑ e ∈ t, g e • e = 0
gsum : ∑ e ∈ t, g e = 0
gpos : ∃ i ∈ t, 0 < g i
s : Finset E := filter (fun z => 0 < g z) t
i₀ : E
mem : i₀ ∈ s
w : ∀ i ∈ s, f i₀ / g i₀ ≤ f i / g i
hg : 0 < g i₀
hi₀ : i₀ ∈ t
k : E → 𝕜 := fun z => f z - f i₀ / g i₀ * g z
hk : k i₀ = 0
ksum : ∑ e ∈ t.erase i₀, k e = 1
e : E
a✝ : ¬e = i₀
het : e ∈ t
hes : e ∈ s
⊢ 0 < g e

Tactic:
rw [mem_filter] at hes

Result:
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : DecidableEq E
t : Finset E
f : E → 𝕜
fpos : ∀ y ∈ t, 0 ≤ f y
fsum : ∑ y ∈ t, f y = 1
g : E → 𝕜
gcombo : ∑ e ∈ t, g e • e = 0
gsum : ∑ e ∈ t, g e = 0
gpos : ∃ i ∈ t, 0 < g i
s : Finset E := filter (fun z => 0 < g z) t
i₀ : E
mem : i₀ ∈ s
w : ∀ i ∈ s, f i₀ / g i₀ ≤ f i / g i
hg : 0 < g i₀
hi₀ : i₀ ∈ t
k : E → 𝕜 := fun z => f z - f i₀ / g i₀ * g z
hk : k i₀ = 0
ksum : ∑ e ∈ t.erase i₀, k e = 1
e : E
a✝ : ¬e = i₀
het : e ∈ t
hes : e ∈ t ∧ 0 < g e
⊢ 0 < g e

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : DecidableEq E
t : Finset E
h : ¬AffineIndependent 𝕜 Subtype.val
x : E
m : x ∈ (convexHull 𝕜) ↑t
⊢ ∃ y, x ∈ (convexHull 𝕜) ↑(t.erase ↑y)

Tactic:
simp only [Finset.convexHull_eq, mem_setOf_eq] at m ⊢

Result:
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : DecidableEq E
t : Finset E
h : ¬AffineIndependent 𝕜 Subtype.val
x : E
m : ∃ w, (∀ y ∈ t, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ t, w y = 1 ∧ t.centerMass w id = x
⊢ ∃ y w, (∀ y_1 ∈ t.erase ↑y, 0 ≤ w y_1) ∧ ∑ y ∈ t.erase ↑y, w y = 1 ∧ (t.erase ↑y).centerMass w id = x

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : DecidableEq E
t : Finset E
f : E → 𝕜
fpos : ∀ y ∈ t, 0 ≤ f y
fsum : ∑ y ∈ t, f y = 1
g : E → 𝕜
gcombo : ∑ e ∈ t, g e • e = 0
gsum : ∑ e ∈ t, g e = 0
gpos : ∃ i ∈ t, 0 < g i
s : Finset E := filter (fun z => 0 < g z) t
i₀ : E
mem : i₀ ∈ s
w : ∀ i ∈ s, f i₀ / g i₀ ≤ f i / g i
hg : 0 < g i₀
hi₀ : i₀ ∈ t
k : E → 𝕜 := fun z => f z - f i₀ / g i₀ * g z
hk : k i₀ = 0
ksum : ∑ e ∈ t.erase i₀, k e = 1
⊢ ∀ (y : E), ¬y = i₀ → y ∈ t → f i₀ / g i₀ * g y ≤ f y

Tactic:
intro e _ het

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1
𝕜 : Type u_1
E : Type u
inst✝³ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝² : AddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : DecidableEq E
t : Finset E
f : E → 𝕜
fpos : ∀ y ∈ t, 0 ≤ f y
fsum : ∑ y ∈ t, f y = 1
g : E → 𝕜
gcombo : ∑ e ∈ t, g e • e = 0
gsum : ∑ e ∈ t, g e = 0
gpos : ∃ i ∈ t, 0 < g i
s : Finset E := filter (fun z => 0 < g z) t
i₀ : E
mem : i₀ ∈ s
w : ∀ i ∈ s, f i₀ / g i₀ ≤ f i / g i
hg : 0 < g i₀
hi₀ : i₀ ∈ t
k : E → 𝕜 := fun z => f z - f i₀ / g i₀ * g z
hk : k i₀ = 0
ksum : ∑ e ∈ t.erase i₀, k e = 1
e : E
a✝ : ¬e = i₀
het : e ∈ t
⊢ f i₀ / g i₀ * g e ≤ f e