-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DivergenceTheorem.lean
theorem integral_divergence_of_hasFDerivWithinAt_off_countable_aux₂ (I : Box (Fin (n + 1)))
    (f : ℝⁿ⁺¹ → Eⁿ⁺¹)
    (f' : ℝⁿ⁺¹ → ℝⁿ⁺¹ →L[ℝ] Eⁿ⁺¹)
    (s : Set ℝⁿ⁺¹) (hs : s.Countable) (Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I))
    (Hd : ∀ x ∈ Box.Ioo I \ s, HasFDerivAt f (f' x) x)
    (Hi : IntegrableOn (∑ i, f' · (e i) i) (Box.Icc I)) :
    (∫ x in Box.Icc I, ∑ i, f' x (e i) i) =
      ∑ i : Fin (n + 1),
        ((∫ x in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth (I.upper i) x) i) -
          ∫ x in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth (I.lower i) x) i)

Proof state:
case refine_1
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℕ
I : Box (Fin (n + 1))
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] Fin (n + 1) → E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)
Hd : ∀ x ∈ Box.Ioo I \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc I) volume
J : ℕ →o Box (Fin (n + 1))
hJ_sub : ∀ (n_1 : ℕ), Box.Icc (J n_1) ⊆ Box.Ioo I
hJl : ∀ (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower ∘ ⇑J) i x) atTop (𝓝 (I.lower x))
hJu : ∀ (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper ∘ ⇑J) i x) atTop (𝓝 (I.upper x))
hJ_sub' : ∀ (k : ℕ), Box.Icc (J k) ⊆ Set.univ.pi fun i => Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)
hJ_le : ∀ (k : ℕ), J k ≤ I
HcJ : ∀ (k : ℕ), ContinuousOn f (Box.Icc (J k))
HdJ : ∀ (k : ℕ), ∀ x ∈ Box.Icc (J k) \ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) (Box.Icc (J k)) x
HiJ : ∀ (k : ℕ), IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc (J k)) volume
HJ_eq :
  ∀ (k : ℕ),
    ∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in Box.Icc (J k), ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i =
      ∑ i : Fin (n + 1),
        ((∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth ((J k).upper i) x) i) -
          ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth ((J k).lower i) x) i)
this :
  ∀ (i : Fin (n + 1)) (c : ℕ → ℝ) (d : ℝ),
    (∀ (k : ℕ), c k ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)) →
      Tendsto c atTop (𝓝 d) →
        Tendsto (fun k => ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth (c k) x) i) atTop
          (𝓝 (∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth d x) i))
i : Fin (n + 1)
x✝ : i ∈ Finset.univ
⊢ ∀ (k : ℕ), (Box.upper ∘ ⇑J) k i ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)

case refine_2
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℕ
I : Box (Fin (n + 1))
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] Fin (n + 1) → E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)
Hd : ∀ x ∈ Box.Ioo I \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc I) volume
J : ℕ →o Box (Fin (n + 1))
hJ_sub : ∀ (n_1 : ℕ), Box.Icc (J n_1) ⊆ Box.Ioo I
hJl : ∀ (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.lower ∘ ⇑J) i x) atTop (𝓝 (I.lower x))
hJu : ∀ (x : Fin (n + 1)), Tendsto (fun i => (Box.upper ∘ ⇑J) i x) atTop (𝓝 (I.upper x))
hJ_sub' : ∀ (k : ℕ), Box.Icc (J k) ⊆ Set.univ.pi fun i => Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)
hJ_le : ∀ (k : ℕ), J k ≤ I
HcJ : ∀ (k : ℕ), ContinuousOn f (Box.Icc (J k))
HdJ : ∀ (k : ℕ), ∀ x ∈ Box.Icc (J k) \ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) (Box.Icc (J k)) x
HiJ : ∀ (k : ℕ), IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc (J k)) volume
HJ_eq :
  ∀ (k : ℕ),
    ∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in Box.Icc (J k), ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i =
      ∑ i : Fin (n + 1),
        ((∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth ((J k).upper i) x) i) -
          ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth ((J k).lower i) x) i)
this :
  ∀ (i : Fin (n + 1)) (c : ℕ → ℝ) (d : ℝ),
    (∀ (k : ℕ), c k ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)) →
      Tendsto c atTop (𝓝 d) →
        Tendsto (fun k => ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth (c k) x) i) atTop
          (𝓝 (∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth d x) i))
i : Fin (n + 1)
x✝ : i ∈ Finset.univ
⊢ ∀ (k : ℕ), (J k).lower i ∈ Set.Icc (I.lower i) (I.upper i)

Tactic:
exacts [fun k => hJ_sub' k (J k).upper_mem_Icc _ trivial, fun k =>
  hJ_sub' k (J k).lower_mem_Icc _ trivial]

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro.intro
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℕ
I : Box (Fin (n + 1))
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] Fin (n + 1) → E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)
Hd : ∀ x ∈ Box.Ioo I \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc I) volume
J : ℕ →o Box (Fin (n + 1))
hJ_sub : ∀ (n_1 : ℕ), Box.Icc (J n_1) ⊆ Box.Ioo I
hJl : Tendsto (Box.lower ∘ ⇑J) atTop (𝓝 I.lower)
hJu : Tendsto (Box.upper ∘ ⇑J) atTop (𝓝 I.upper)
hJ_sub' : ∀ (k : ℕ), Box.Icc (J k) ⊆ Box.Icc I
hJ_le : ∀ (k : ℕ), J k ≤ I
HcJ : ∀ (k : ℕ), ContinuousOn f (Box.Icc (J k))
HdJ : ∀ (k : ℕ), ∀ x ∈ Box.Icc (J k) \ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) (Box.Icc (J k)) x
HiJ : ∀ (k : ℕ), IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc (J k)) volume
HJ_eq :
  ∀ (k : ℕ),
    ∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in Box.Icc (J k), ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i =
      ∑ i : Fin (n + 1),
        ((∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth ((J k).upper i) x) i) -
          ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth ((J k).lower i) x) i)
hI_tendsto :
  Tendsto (fun k => ∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in Box.Icc (J k), ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) atTop
    (𝓝 (∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in Box.Icc I, ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i))
⊢ Tendsto
    (fun x =>
      ∑ i : Fin (n + 1),
        ((∫ (x_1 : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J x).face i), f (i.insertNth ((J x).upper i) x_1) i) -
          ∫ (x_1 : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J x).face i), f (i.insertNth ((J x).lower i) x_1) i))
    atTop
    (𝓝
      (∑ i : Fin (n + 1),
        ((∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth (I.upper i) x) i) -
          ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth (I.lower i) x) i)))

Tactic:
clear hI_tendsto

Result:
case intro.intro.intro
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
n : ℕ
I : Box (Fin (n + 1))
f : (Fin (n + 1) → ℝ) → Fin (n + 1) → E
f' : (Fin (n + 1) → ℝ) → (Fin (n + 1) → ℝ) →L[ℝ] Fin (n + 1) → E
s : Set (Fin (n + 1) → ℝ)
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f (Box.Icc I)
Hd : ∀ x ∈ Box.Ioo I \ s, HasFDerivAt f (f' x) x
Hi : IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc I) volume
J : ℕ →o Box (Fin (n + 1))
hJ_sub : ∀ (n_1 : ℕ), Box.Icc (J n_1) ⊆ Box.Ioo I
hJl : Tendsto (Box.lower ∘ ⇑J) atTop (𝓝 I.lower)
hJu : Tendsto (Box.upper ∘ ⇑J) atTop (𝓝 I.upper)
hJ_sub' : ∀ (k : ℕ), Box.Icc (J k) ⊆ Box.Icc I
hJ_le : ∀ (k : ℕ), J k ≤ I
HcJ : ∀ (k : ℕ), ContinuousOn f (Box.Icc (J k))
HdJ : ∀ (k : ℕ), ∀ x ∈ Box.Icc (J k) \ s, HasFDerivWithinAt f (f' x) (Box.Icc (J k)) x
HiJ : ∀ (k : ℕ), IntegrableOn (fun x => ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i) (Box.Icc (J k)) volume
HJ_eq :
  ∀ (k : ℕ),
    ∫ (x : Fin (n + 1) → ℝ) in Box.Icc (J k), ∑ i : Fin (n + 1), (f' x) (e i) i =
      ∑ i : Fin (n + 1),
        ((∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth ((J k).upper i) x) i) -
          ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J k).face i), f (i.insertNth ((J k).lower i) x) i)
⊢ Tendsto
    (fun x =>
      ∑ i : Fin (n + 1),
        ((∫ (x_1 : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J x).face i), f (i.insertNth ((J x).upper i) x_1) i) -
          ∫ (x_1 : Fin n → ℝ) in Box.Icc ((J x).face i), f (i.insertNth ((J x).lower i) x_1) i))
    atTop
    (𝓝
      (∑ i : Fin (n + 1),
        ((∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth (I.upper i) x) i) -
          ∫ (x : Fin n → ℝ) in Box.Icc (I.face i), f (i.insertNth (I.lower i) x) i)))