-- Mathlib/RingTheory/EssentialFiniteness.lean
lemma EssFiniteType.aux (σ : Subalgebra R S)
    (hσ : ∀ s : S, ∃ t ∈ σ, IsUnit t ∧ s * t ∈ σ)
    (τ : Set T) (t : T) (ht : t ∈ Algebra.adjoin S τ) :
    ∃ s ∈ σ, IsUnit s ∧ s • t ∈ σ.map (IsScalarTower.toAlgHom R S T) ⊔ Algebra.adjoin R τ

Proof state:
case refine_3.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
σ : Subalgebra R S
hσ : ∀ (s : S), ∃ t ∈ σ, IsUnit t ∧ s * t ∈ σ
τ : Set T
t : T
ht : t ∈ adjoin S τ
x y : T
sx : S
hsx : sx ∈ σ
hsx' : IsUnit sx
hsx'' : sx • x ∈ Subalgebra.map (IsScalarTower.toAlgHom R S T) σ ⊔ adjoin R τ
sy : S
hsy : sy ∈ σ
hsy' : IsUnit sy
hsy'' : sy • y ∈ Subalgebra.map (IsScalarTower.toAlgHom R S T) σ ⊔ adjoin R τ
⊢ (algebraMap S T) sy * sx • x + (algebraMap S T) sx * sy • y ∈
    Subalgebra.map (IsScalarTower.toAlgHom R S T) σ ⊔ adjoin R τ

Tactic:
apply add_mem (mul_mem _ hsx'') (mul_mem _ hsy'') <;>
  exact Algebra.mem_sup_left ⟨_, ‹_›, rfl⟩

Result:
no goals

Proof state:
case refine_1
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
σ : Subalgebra R S
hσ : ∀ (s : S), ∃ t ∈ σ, IsUnit t ∧ s * t ∈ σ
τ : Set T
t : T
ht : t ∈ adjoin S τ
⊢ ∀ x ∈ τ, ∃ s ∈ σ, IsUnit s ∧ s • x ∈ Subalgebra.map (IsScalarTower.toAlgHom R S T) σ ⊔ adjoin R τ

Tactic:
intro t ht

Result:
case refine_1
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
σ : Subalgebra R S
hσ : ∀ (s : S), ∃ t ∈ σ, IsUnit t ∧ s * t ∈ σ
τ : Set T
t✝ : T
ht✝ : t✝ ∈ adjoin S τ
t : T
ht : t ∈ τ
⊢ ∃ s ∈ σ, IsUnit s ∧ s • t ∈ Subalgebra.map (IsScalarTower.toAlgHom R S T) σ ⊔ adjoin R τ

Proof state:
case refine_3.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
σ : Subalgebra R S
hσ : ∀ (s : S), ∃ t ∈ σ, IsUnit t ∧ s * t ∈ σ
τ : Set T
t : T
ht : t ∈ adjoin S τ
x y : T
sx : S
hsx : sx ∈ σ
hsx' : IsUnit sx
hsx'' : sx • x ∈ Subalgebra.map (IsScalarTower.toAlgHom R S T) σ ⊔ adjoin R τ
sy : S
hsy : sy ∈ σ
hsy' : IsUnit sy
hsy'' : sy • y ∈ Subalgebra.map (IsScalarTower.toAlgHom R S T) σ ⊔ adjoin R τ
⊢ ∃ s ∈ σ, IsUnit s ∧ s • (x + y) ∈ Subalgebra.map (IsScalarTower.toAlgHom R S T) σ ⊔ adjoin R τ

Tactic:
refine ⟨_, σ.mul_mem hsx hsy, hsx'.mul hsy', ?_⟩

Result:
case refine_3.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
σ : Subalgebra R S
hσ : ∀ (s : S), ∃ t ∈ σ, IsUnit t ∧ s * t ∈ σ
τ : Set T
t : T
ht : t ∈ adjoin S τ
x y : T
sx : S
hsx : sx ∈ σ
hsx' : IsUnit sx
hsx'' : sx • x ∈ Subalgebra.map (IsScalarTower.toAlgHom R S T) σ ⊔ adjoin R τ
sy : S
hsy : sy ∈ σ
hsy' : IsUnit sy
hsy'' : sy • y ∈ Subalgebra.map (IsScalarTower.toAlgHom R S T) σ ⊔ adjoin R τ
⊢ (sx * sy) • (x + y) ∈ Subalgebra.map (IsScalarTower.toAlgHom R S T) σ ⊔ adjoin R τ

Proof state:
case refine_2.intro.intro.intro
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
σ : Subalgebra R S
hσ : ∀ (s : S), ∃ t ∈ σ, IsUnit t ∧ s * t ∈ σ
τ : Set T
t : T
ht : t ∈ adjoin S τ
s s' : S
hs₁ : s' ∈ σ
hs₂ : IsUnit s'
hs₃ : s * s' ∈ σ
⊢ ∃ s_1 ∈ σ, IsUnit s_1 ∧ s_1 • (algebraMap S T) s ∈ Subalgebra.map (IsScalarTower.toAlgHom R S T) σ ⊔ adjoin R τ

Tactic:
refine ⟨_, hs₁, hs₂, Algebra.mem_sup_left ?_⟩

Result:
case refine_2.intro.intro.intro
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing S
inst✝⁴ : CommRing T
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
σ : Subalgebra R S
hσ : ∀ (s : S), ∃ t ∈ σ, IsUnit t ∧ s * t ∈ σ
τ : Set T
t : T
ht : t ∈ adjoin S τ
s s' : S
hs₁ : s' ∈ σ
hs₂ : IsUnit s'
hs₃ : s * s' ∈ σ
⊢ s' • (algebraMap S T) s ∈ Subalgebra.map (IsScalarTower.toAlgHom R S T) σ