-- Mathlib/LinearAlgebra/Span/Defs.lean
theorem span_induction₂ {N : Type*} [AddCommMonoid N] [Module R N] {t : Set N}
    {p : (x : M) → (y : N) → x ∈ span R s → y ∈ span R t → Prop}
    (mem_mem : ∀ (x) (y) (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ t), p x y (subset_span hx) (subset_span hy))
    (zero_left : ∀ y hy, p 0 y (zero_mem _) hy) (zero_right : ∀ x hx, p x 0 hx (zero_mem _))
    (add_left : ∀ x y z hx hy hz, p x z hx hz → p y z hy hz → p (x + y) z (add_mem hx hy) hz)
    (add_right : ∀ x y z hx hy hz, p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y + z) hx (add_mem hy hz))
    (smul_left : ∀ (r : R) x y hx hy, p x y hx hy → p (r • x) y (smul_mem _ r hx) hy)
    (smul_right : ∀ (r : R) x y hx hy, p x y hx hy → p x (r • y) hx (smul_mem _ r hy))
    {a : M} {b : N} (ha : a ∈ Submodule.span R s)
    (hb : b ∈ Submodule.span R t) : p a b ha hb

Proof state:
case add
R : Type u_1
M : Type u_4
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
s : Set M
N : Type u_9
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
t : Set N
p : (x : M) → (y : N) → x ∈ span R s → y ∈ span R t → Prop
mem_mem : ∀ (x : M) (y : N) (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ t), p x y ⋯ ⋯
zero_left : ∀ (y : N) (hy : y ∈ span R t), p 0 y ⋯ hy
zero_right : ∀ (x : M) (hx : x ∈ span R s), p x 0 hx ⋯
add_left :
  ∀ (x y : M) (z : N) (hx : x ∈ span R s) (hy : y ∈ span R s) (hz : z ∈ span R t),
    p x z hx hz → p y z hy hz → p (x + y) z ⋯ hz
add_right :
  ∀ (x : M) (y z : N) (hx : x ∈ span R s) (hy : y ∈ span R t) (hz : z ∈ span R t),
    p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y + z) hx ⋯
smul_left : ∀ (r : R) (x : M) (y : N) (hx : x ∈ span R s) (hy : y ∈ span R t), p x y hx hy → p (r • x) y ⋯ hy
smul_right : ∀ (r : R) (x : M) (y : N) (hx : x ∈ span R s) (hy : y ∈ span R t), p x y hx hy → p x (r • y) hx ⋯
a : M
b : N
ha : a ∈ span R s
x✝ y✝ : N
hx✝ : x✝ ∈ span R t
hy✝ : y✝ ∈ span R t
h₁ : p a x✝ ha hx✝
h₂ : p a y✝ ha hy✝
⊢ p a (x✝ + y✝) ha ⋯

Tactic:
exact add_right _ _ _ _ _ _ h₁ h₂

Result:
no goals

Proof state:
case mem.add
R : Type u_1
M : Type u_4
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
s : Set M
N : Type u_9
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
t : Set N
p : (x : M) → (y : N) → x ∈ span R s → y ∈ span R t → Prop
mem_mem : ∀ (x : M) (y : N) (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ t), p x y ⋯ ⋯
zero_left : ∀ (y : N) (hy : y ∈ span R t), p 0 y ⋯ hy
zero_right : ∀ (x : M) (hx : x ∈ span R s), p x 0 hx ⋯
add_left :
  ∀ (x y : M) (z : N) (hx : x ∈ span R s) (hy : y ∈ span R s) (hz : z ∈ span R t),
    p x z hx hz → p y z hy hz → p (x + y) z ⋯ hz
add_right :
  ∀ (x : M) (y z : N) (hx : x ∈ span R s) (hy : y ∈ span R t) (hz : z ∈ span R t),
    p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y + z) hx ⋯
smul_left : ∀ (r : R) (x : M) (y : N) (hx : x ∈ span R s) (hy : y ∈ span R t), p x y hx hy → p (r • x) y ⋯ hy
smul_right : ∀ (r : R) (x : M) (y : N) (hx : x ∈ span R s) (hy : y ∈ span R t), p x y hx hy → p x (r • y) hx ⋯
a : M
b z : N
hz : z ∈ t
x✝ y✝ : M
hx✝ : x✝ ∈ span R s
hy✝ : y✝ ∈ span R s
h₁ : p x✝ z hx✝ ⋯
h₂ : p y✝ z hy✝ ⋯
⊢ p (x✝ + y✝) z ⋯ ⋯

Tactic:
exact add_left _ _ _ _ _ _ h₁ h₂

Result:
no goals

Proof state:
R : Type u_1
M : Type u_4
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
s : Set M
N : Type u_9
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
t : Set N
p : (x : M) → (y : N) → x ∈ span R s → y ∈ span R t → Prop
mem_mem : ∀ (x : M) (y : N) (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ t), p x y ⋯ ⋯
zero_left : ∀ (y : N) (hy : y ∈ span R t), p 0 y ⋯ hy
zero_right : ∀ (x : M) (hx : x ∈ span R s), p x 0 hx ⋯
add_left :
  ∀ (x y : M) (z : N) (hx : x ∈ span R s) (hy : y ∈ span R s) (hz : z ∈ span R t),
    p x z hx hz → p y z hy hz → p (x + y) z ⋯ hz
add_right :
  ∀ (x : M) (y z : N) (hx : x ∈ span R s) (hy : y ∈ span R t) (hz : z ∈ span R t),
    p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y + z) hx ⋯
smul_left : ∀ (r : R) (x : M) (y : N) (hx : x ∈ span R s) (hy : y ∈ span R t), p x y hx hy → p (r • x) y ⋯ hy
smul_right : ∀ (r : R) (x : M) (y : N) (hx : x ∈ span R s) (hy : y ∈ span R t), p x y hx hy → p x (r • y) hx ⋯
a : M
b : N
ha : a ∈ span R s
hb : b ∈ span R t
⊢ p a b ha hb

Tactic:
induction hb using span_induction with
| mem z hz => induction ha using span_induction with
  | mem _ h => exact mem_mem _ _ h hz
  | zero => exact zero_left _ _
  | add _ _ _ _ h₁ h₂ => exact add_left _ _ _ _ _ _ h₁ h₂
  | smul _ _ _ h => exact smul_left _ _ _ _ _ h
| zero => exact zero_right a ha
| add _ _ _ _ h₁ h₂ => exact add_right _ _ _ _ _ _ h₁ h₂
| smul _ _ _ h => exact smul_right _ _ _ _ _ h

Result:
no goals

Proof state:
case mem.smul
R : Type u_1
M : Type u_4
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
s : Set M
N : Type u_9
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
t : Set N
p : (x : M) → (y : N) → x ∈ span R s → y ∈ span R t → Prop
mem_mem : ∀ (x : M) (y : N) (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ t), p x y ⋯ ⋯
zero_left : ∀ (y : N) (hy : y ∈ span R t), p 0 y ⋯ hy
zero_right : ∀ (x : M) (hx : x ∈ span R s), p x 0 hx ⋯
add_left :
  ∀ (x y : M) (z : N) (hx : x ∈ span R s) (hy : y ∈ span R s) (hz : z ∈ span R t),
    p x z hx hz → p y z hy hz → p (x + y) z ⋯ hz
add_right :
  ∀ (x : M) (y z : N) (hx : x ∈ span R s) (hy : y ∈ span R t) (hz : z ∈ span R t),
    p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y + z) hx ⋯
smul_left : ∀ (r : R) (x : M) (y : N) (hx : x ∈ span R s) (hy : y ∈ span R t), p x y hx hy → p (r • x) y ⋯ hy
smul_right : ∀ (r : R) (x : M) (y : N) (hx : x ∈ span R s) (hy : y ∈ span R t), p x y hx hy → p x (r • y) hx ⋯
a : M
b z : N
hz : z ∈ t
a✝ : R
x✝ : M
hx✝ : x✝ ∈ span R s
h : p x✝ z hx✝ ⋯
⊢ p (a✝ • x✝) z ⋯ ⋯

Tactic:
exact smul_left _ _ _ _ _ h

Result:
no goals

Proof state:
case mem
R : Type u_1
M : Type u_4
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
s : Set M
N : Type u_9
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
t : Set N
p : (x : M) → (y : N) → x ∈ span R s → y ∈ span R t → Prop
mem_mem : ∀ (x : M) (y : N) (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ t), p x y ⋯ ⋯
zero_left : ∀ (y : N) (hy : y ∈ span R t), p 0 y ⋯ hy
zero_right : ∀ (x : M) (hx : x ∈ span R s), p x 0 hx ⋯
add_left :
  ∀ (x y : M) (z : N) (hx : x ∈ span R s) (hy : y ∈ span R s) (hz : z ∈ span R t),
    p x z hx hz → p y z hy hz → p (x + y) z ⋯ hz
add_right :
  ∀ (x : M) (y z : N) (hx : x ∈ span R s) (hy : y ∈ span R t) (hz : z ∈ span R t),
    p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y + z) hx ⋯
smul_left : ∀ (r : R) (x : M) (y : N) (hx : x ∈ span R s) (hy : y ∈ span R t), p x y hx hy → p (r • x) y ⋯ hy
smul_right : ∀ (r : R) (x : M) (y : N) (hx : x ∈ span R s) (hy : y ∈ span R t), p x y hx hy → p x (r • y) hx ⋯
a : M
b : N
ha : a ∈ span R s
z : N
hz : z ∈ t
⊢ p a z ha ⋯

Tactic:
induction ha using span_induction with
| mem _ h => exact mem_mem _ _ h hz
| zero => exact zero_left _ _
| add _ _ _ _ h₁ h₂ => exact add_left _ _ _ _ _ _ h₁ h₂
| smul _ _ _ h => exact smul_left _ _ _ _ _ h

Result:
no goals

Proof state:
case smul
R : Type u_1
M : Type u_4
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
s : Set M
N : Type u_9
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
t : Set N
p : (x : M) → (y : N) → x ∈ span R s → y ∈ span R t → Prop
mem_mem : ∀ (x : M) (y : N) (hx : x ∈ s) (hy : y ∈ t), p x y ⋯ ⋯
zero_left : ∀ (y : N) (hy : y ∈ span R t), p 0 y ⋯ hy
zero_right : ∀ (x : M) (hx : x ∈ span R s), p x 0 hx ⋯
add_left :
  ∀ (x y : M) (z : N) (hx : x ∈ span R s) (hy : y ∈ span R s) (hz : z ∈ span R t),
    p x z hx hz → p y z hy hz → p (x + y) z ⋯ hz
add_right :
  ∀ (x : M) (y z : N) (hx : x ∈ span R s) (hy : y ∈ span R t) (hz : z ∈ span R t),
    p x y hx hy → p x z hx hz → p x (y + z) hx ⋯
smul_left : ∀ (r : R) (x : M) (y : N) (hx : x ∈ span R s) (hy : y ∈ span R t), p x y hx hy → p (r • x) y ⋯ hy
smul_right : ∀ (r : R) (x : M) (y : N) (hx : x ∈ span R s) (hy : y ∈ span R t), p x y hx hy → p x (r • y) hx ⋯
a : M
b : N
ha : a ∈ span R s
a✝ : R
x✝ : N
hx✝ : x✝ ∈ span R t
h : p a x✝ ha hx✝
⊢ p a (a✝ • x✝) ha ⋯

Tactic:
exact smul_right _ _ _ _ _ h

Result:
no goals