-- Mathlib/RingTheory/Spectrum/Prime/Basic.lean
theorem exists_primeSpectrum_prod_le_and_ne_bot_of_domain (h_fA : ¬IsField A) {I : Ideal A}
    (h_nzI : I ≠ ⊥) :
    ∃ Z : Multiset (PrimeSpectrum A),
      Multiset.prod (Z.map asIdeal) ≤ I ∧ Multiset.prod (Z.map asIdeal) ≠ ⊥

Proof state:
case h
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I M : Ideal A
hgt : ∀ J > M, (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ I ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥) J
h_nzM : M ≠ ⊥
hA_nont : Nontrivial A
h_topM : ¬M = ⊤
h_prM : ¬M.IsPrime
x : A
hx : x ∉ M
y : A
hy : y ∉ M
h_xy : x * y ∈ M
lt_add : ∀ z ∉ M, M < M + span A {z}
Wx : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wx_le : (Multiset.map asIdeal Wx).prod ≤ M + span A {x}
h_Wx_ne✝ : (Multiset.map asIdeal Wx).prod ≠ ⊥
Wy : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wy_le : (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≤ M + span A {y}
h_Wx_ne : (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≠ ⊥
⊢ (Multiset.map asIdeal Wx).prod * (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≤ M ∧
    (Multiset.map asIdeal Wx).prod * (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≠ ⊥

Tactic:
refine ⟨le_trans (Submodule.mul_le_mul h_Wx_le h_Wy_le) ?_, mt Ideal.mul_eq_bot.mp ?_⟩

Result:
case h.refine_1
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I M : Ideal A
hgt : ∀ J > M, (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ I ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥) J
h_nzM : M ≠ ⊥
hA_nont : Nontrivial A
h_topM : ¬M = ⊤
h_prM : ¬M.IsPrime
x : A
hx : x ∉ M
y : A
hy : y ∉ M
h_xy : x * y ∈ M
lt_add : ∀ z ∉ M, M < M + span A {z}
Wx : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wx_le : (Multiset.map asIdeal Wx).prod ≤ M + span A {x}
h_Wx_ne✝ : (Multiset.map asIdeal Wx).prod ≠ ⊥
Wy : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wy_le : (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≤ M + span A {y}
h_Wx_ne : (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≠ ⊥
⊢ (M + span A {x}) * (M + span A {y}) ≤ M

case h.refine_2
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I M : Ideal A
hgt : ∀ J > M, (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ I ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥) J
h_nzM : M ≠ ⊥
hA_nont : Nontrivial A
h_topM : ¬M = ⊤
h_prM : ¬M.IsPrime
x : A
hx : x ∉ M
y : A
hy : y ∉ M
h_xy : x * y ∈ M
lt_add : ∀ z ∉ M, M < M + span A {z}
Wx : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wx_le : (Multiset.map asIdeal Wx).prod ≤ M + span A {x}
h_Wx_ne✝ : (Multiset.map asIdeal Wx).prod ≠ ⊥
Wy : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wy_le : (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≤ M + span A {y}
h_Wx_ne : (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≠ ⊥
⊢ ¬((Multiset.map asIdeal Wx).prod = ⊥ ∨ (Multiset.map asIdeal Wy).prod = ⊥)

Proof state:
case neg.intro.intro.intro.intro.intro.intro
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I M : Ideal A
hgt : ∀ J > M, (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ I ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥) J
h_nzM : M ≠ ⊥
hA_nont : Nontrivial A
h_topM : ¬M = ⊤
h_prM : ¬M.IsPrime
x : A
hx : x ∉ M
y : A
hy : y ∉ M
h_xy : x * y ∈ M
lt_add : ∀ z ∉ M, M < M + span A {z}
Wx : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wx_le : (Multiset.map asIdeal Wx).prod ≤ M + span A {x}
h_Wx_ne : (Multiset.map asIdeal Wx).prod ≠ ⊥
⊢ ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ M ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥

Tactic:
obtain ⟨Wy, h_Wy_le, h_Wx_ne⟩ := hgt (M + span A {y}) (lt_add _ hy) (ne_bot_of_gt (lt_add _ hy))

Result:
case neg.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
A : Type u
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : IsDomain A
inst✝ : IsNoetherianRing A
h_fA : ¬IsField A
I M : Ideal A
hgt : ∀ J > M, (fun I => I ≠ ⊥ → ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ I ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥) J
h_nzM : M ≠ ⊥
hA_nont : Nontrivial A
h_topM : ¬M = ⊤
h_prM : ¬M.IsPrime
x : A
hx : x ∉ M
y : A
hy : y ∉ M
h_xy : x * y ∈ M
lt_add : ∀ z ∉ M, M < M + span A {z}
Wx : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wx_le : (Multiset.map asIdeal Wx).prod ≤ M + span A {x}
h_Wx_ne✝ : (Multiset.map asIdeal Wx).prod ≠ ⊥
Wy : Multiset (PrimeSpectrum A)
h_Wy_le : (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≤ M + span A {y}
h_Wx_ne : (Multiset.map asIdeal Wy).prod ≠ ⊥
⊢ ∃ Z, (Multiset.map asIdeal Z).prod ≤ M ∧ (Multiset.map asIdeal Z).prod ≠ ⊥