-- Mathlib/Data/Nat/Choose/Multinomial.lean
/-- The **multinomial theorem**. -/
lemma sum_pow_eq_sum_piAntidiag_of_commute (s : Finset α) (f : α → R)
    (hc : (s : Set α).Pairwise (Commute on f)) (n : ℕ) :
    (∑ i ∈ s, f i) ^ n = ∑ k ∈ piAntidiag s n, multinomial s k *
      s.noncommProd (fun i ↦ f i ^ k i) (hc.mono' fun _ _ h ↦ h.pow_pow ..)

Proof state:
case cons
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Semiring R
f : α → R
a : α
s : Finset α
has : a ∉ s
ih :
  ∀ (hc : (↑s).Pairwise (Commute on f)) (n : ℕ),
    (∑ i ∈ s, f i) ^ n = ∑ k ∈ s.piAntidiag n, ↑(multinomial s k) * s.noncommProd (fun i => f i ^ k i) ⋯
hc : (↑(cons a s has)).Pairwise (Commute on f)
n : ℕ
⊢ (f a + ∑ x ∈ s, f x) ^ n =
    ∑ i ∈ antidiagonal n,
      ∑ x ∈ map (addRightEmbedding fun t => if t = a then i.1 else 0) (s.piAntidiag i.2),
        ↑(multinomial (cons a s has) x) * (cons a s has).noncommProd (fun i => f i ^ x i) ⋯

Tactic:
simp only [sum_map, Function.Embedding.coeFn_mk, Pi.add_apply, multinomial_cons,
  Pi.add_apply, eq_self_iff_true, if_true, Nat.cast_mul, noncommProd_cons, eq_self_iff_true,
  if_true, sum_add_distrib, sum_ite_eq', has, if_false, add_zero,
  addLeftEmbedding_eq_addRightEmbedding, addRightEmbedding_apply]

Result:
case cons
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Semiring R
f : α → R
a : α
s : Finset α
has : a ∉ s
ih :
  ∀ (hc : (↑s).Pairwise (Commute on f)) (n : ℕ),
    (∑ i ∈ s, f i) ^ n = ∑ k ∈ s.piAntidiag n, ↑(multinomial s k) * s.noncommProd (fun i => f i ^ k i) ⋯
hc : (↑(cons a s has)).Pairwise (Commute on f)
n : ℕ
⊢ (f a + ∑ x ∈ s, f x) ^ n =
    ∑ x ∈ antidiagonal n,
      ∑ x_1 ∈ s.piAntidiag x.2,
        ↑((x_1 a + x.1 + ∑ x ∈ s, x_1 x).choose (x_1 a + x.1)) *
            ↑(multinomial s (x_1 + fun t => if t = a then x.1 else 0)) *
          (f a ^ (x_1 a + x.1) * s.noncommProd (fun x_2 => f x_2 ^ (x_1 x_2 + if x_2 = a then x.1 else 0)) ⋯)

Proof state:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Semiring R
f : α → R
a : α
s : Finset α
has : a ∉ s
ih :
  ∀ (hc : (↑s).Pairwise (Commute on f)) (n : ℕ),
    (∑ i ∈ s, f i) ^ n = ∑ k ∈ s.piAntidiag n, ↑(multinomial s k) * s.noncommProd (fun i => f i ^ k i) ⋯
hc : (↑(cons a s has)).Pairwise (Commute on f)
n : ℕ
this :
  ∀ p ∈ antidiagonal n,
    ∑ g ∈ s.piAntidiag p.2,
        ↑((g a + p.1 + s.sum g).choose (g a + p.1)) * ↑(multinomial s (g + fun i => if i = a then p.1 else 0)) *
          (f a ^ (g a + p.1) * s.noncommProd (fun i => f i ^ (g i + if i = a then p.1 else 0)) ⋯) =
      ∑ g ∈ s.piAntidiag p.2, ↑(n.choose p.1) * ↑(multinomial s g) * (f a ^ p.1 * s.noncommProd (fun i => f i ^ g i) ⋯)
i : α
hi : i ∈ s
⊢ i ∈ ↑(cons a s has)

Tactic:
simp [hi]

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Semiring R
f : α → R
a : α
s : Finset α
has : a ∉ s
ih :
  ∀ (hc : (↑s).Pairwise (Commute on f)) (n : ℕ),
    (∑ i ∈ s, f i) ^ n = ∑ k ∈ s.piAntidiag n, ↑(multinomial s k) * s.noncommProd (fun i => f i ^ k i) ⋯
hc : (↑(cons a s has)).Pairwise (Commute on f)
n : ℕ
this :
  ∀ p ∈ antidiagonal n,
    ∑ g ∈ s.piAntidiag p.2,
        ↑((g a + p.1 + s.sum g).choose (g a + p.1)) * ↑(multinomial s (g + fun i => if i = a then p.1 else 0)) *
          (f a ^ (g a + p.1) * s.noncommProd (fun i => f i ^ (g i + if i = a then p.1 else 0)) ⋯) =
      ∑ g ∈ s.piAntidiag p.2, ↑(n.choose p.1) * ↑(multinomial s g) * (f a ^ p.1 * s.noncommProd (fun i => f i ^ g i) ⋯)
i : ℕ
x✝¹ : i ∈ range (n + 1)
g : α → ℕ
x✝ : g ∈ s.piAntidiag (n - i)
⊢ f a ^ i * (↑(multinomial s g) * s.noncommProd (fun i => f i ^ g i) ⋯) * ↑(n.choose i) =
    ↑(n.choose i) * ↑(multinomial s g) * (f a ^ i * s.noncommProd (fun i => f i ^ g i) ⋯)

Tactic:
rw [← Nat.cast_comm, (Nat.commute_cast (f a ^ i) _).left_comm, mul_assoc]

Result:
no goals

Proof state:
case cons
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Semiring R
f✝ : α → R
a : α
s : Finset α
has : a ∉ s
ih :
  ∀ (hc : (↑s).Pairwise (Commute on f✝)) (n : ℕ),
    (∑ i ∈ s, f✝ i) ^ n = ∑ k ∈ s.piAntidiag n, ↑(multinomial s k) * s.noncommProd (fun i => f✝ i ^ k i) ⋯
hc : (↑(cons a s has)).Pairwise (Commute on f✝)
n : ℕ
p : ℕ × ℕ
hp : p ∈ antidiagonal n
f : α → ℕ
hf : s.sum f = p.2 ∧ ∀ (i : α), f i ≠ 0 → i ∈ s
⊢ ↑((p.1 + p.2).choose p.1) * ↑(multinomial s (f + fun i => if i = a then p.1 else 0)) *
      (f✝ a ^ p.1 * s.noncommProd (fun i => f✝ i ^ (f i + if i = a then p.1 else 0)) ⋯) =
    ↑(n.choose p.1) * ↑(multinomial s f) * (f✝ a ^ p.1 * s.noncommProd (fun i => f✝ i ^ f i) ⋯)

Tactic:
congr 2

Result:
case cons.e_a.e_a
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Semiring R
f✝ : α → R
a : α
s : Finset α
has : a ∉ s
ih :
  ∀ (hc : (↑s).Pairwise (Commute on f✝)) (n : ℕ),
    (∑ i ∈ s, f✝ i) ^ n = ∑ k ∈ s.piAntidiag n, ↑(multinomial s k) * s.noncommProd (fun i => f✝ i ^ k i) ⋯
hc : (↑(cons a s has)).Pairwise (Commute on f✝)
n : ℕ
p : ℕ × ℕ
hp : p ∈ antidiagonal n
f : α → ℕ
hf : s.sum f = p.2 ∧ ∀ (i : α), f i ≠ 0 → i ∈ s
⊢ ↑((p.1 + p.2).choose p.1) = ↑(n.choose p.1)

case cons.e_a.e_a
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Semiring R
f✝ : α → R
a : α
s : Finset α
has : a ∉ s
ih :
  ∀ (hc : (↑s).Pairwise (Commute on f✝)) (n : ℕ),
    (∑ i ∈ s, f✝ i) ^ n = ∑ k ∈ s.piAntidiag n, ↑(multinomial s k) * s.noncommProd (fun i => f✝ i ^ k i) ⋯
hc : (↑(cons a s has)).Pairwise (Commute on f✝)
n : ℕ
p : ℕ × ℕ
hp : p ∈ antidiagonal n
f : α → ℕ
hf : s.sum f = p.2 ∧ ∀ (i : α), f i ≠ 0 → i ∈ s
⊢ ↑(multinomial s (f + fun i => if i = a then p.1 else 0)) = ↑(multinomial s f)

case cons.e_a.e_a
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Semiring R
f✝ : α → R
a : α
s : Finset α
has : a ∉ s
ih :
  ∀ (hc : (↑s).Pairwise (Commute on f✝)) (n : ℕ),
    (∑ i ∈ s, f✝ i) ^ n = ∑ k ∈ s.piAntidiag n, ↑(multinomial s k) * s.noncommProd (fun i => f✝ i ^ k i) ⋯
hc : (↑(cons a s has)).Pairwise (Commute on f✝)
n : ℕ
p : ℕ × ℕ
hp : p ∈ antidiagonal n
f : α → ℕ
hf : s.sum f = p.2 ∧ ∀ (i : α), f i ≠ 0 → i ∈ s
⊢ s.noncommProd (fun i => f✝ i ^ (f i + if i = a then p.1 else 0)) ⋯ = s.noncommProd (fun i => f✝ i ^ f i) ⋯

Proof state:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Semiring R
s : Finset α
f : α → R
hc : (↑s).Pairwise (Commute on f)
n : ℕ
⊢ (∑ i ∈ s, f i) ^ n = ∑ k ∈ s.piAntidiag n, ↑(multinomial s k) * s.noncommProd (fun i => f i ^ k i) ⋯

Tactic:
induction' s using Finset.cons_induction with a s has ih generalizing n

Result:
case empty
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Semiring R
f : α → R
hc : (↑∅).Pairwise (Commute on f)
n : ℕ
⊢ (∑ i ∈ ∅, f i) ^ n = ∑ k ∈ ∅.piAntidiag n, ↑(multinomial ∅ k) * ∅.noncommProd (fun i => f i ^ k i) ⋯

case cons
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Semiring R
f : α → R
a : α
s : Finset α
has : a ∉ s
ih :
  ∀ (hc : (↑s).Pairwise (Commute on f)) (n : ℕ),
    (∑ i ∈ s, f i) ^ n = ∑ k ∈ s.piAntidiag n, ↑(multinomial s k) * s.noncommProd (fun i => f i ^ k i) ⋯
hc : (↑(cons a s has)).Pairwise (Commute on f)
n : ℕ
⊢ (∑ i ∈ cons a s has, f i) ^ n =
    ∑ k ∈ (cons a s has).piAntidiag n,
      ↑(multinomial (cons a s has) k) * (cons a s has).noncommProd (fun i => f i ^ k i) ⋯