-- Mathlib/MeasureTheory/Group/FundamentalDomain.lean
theorem hasFiniteIntegral_on_iff (hs : IsFundamentalDomain G s μ)
    (ht : IsFundamentalDomain G t μ) {f : α → E} (hf : ∀ (g : G) (x), f (g • x) = f x) :
    HasFiniteIntegral f (μ.restrict s) ↔ HasFiniteIntegral f (μ.restrict t)

Proof state:
case hf
G : Type u_1
α : Type u_3
E : Type u_5
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : MulAction G α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : MeasurableSMul G α
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝ : Countable G
hs : IsFundamentalDomain G s μ
ht : IsFundamentalDomain G t μ
f : α → E
hf : ∀ (g : G) (x : α), f (g • x) = f x
g : G
x : α
⊢ ‖f (g • x)‖ₑ = ‖f x‖ₑ

Tactic:
rw [hf]

Result:
no goals

Proof state:
G : Type u_1
α : Type u_3
E : Type u_5
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : MulAction G α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : MeasurableSMul G α
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝ : Countable G
hs : IsFundamentalDomain G s μ
ht : IsFundamentalDomain G t μ
f : α → E
hf : ∀ (g : G) (x : α), f (g • x) = f x
⊢ HasFiniteIntegral f (μ.restrict s) ↔ HasFiniteIntegral f (μ.restrict t)

Tactic:
dsimp only [HasFiniteIntegral]

Result:
G : Type u_1
α : Type u_3
E : Type u_5
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : MulAction G α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : MeasurableSMul G α
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝ : Countable G
hs : IsFundamentalDomain G s μ
ht : IsFundamentalDomain G t μ
f : α → E
hf : ∀ (g : G) (x : α), f (g • x) = f x
⊢ ∫⁻ (a : α) in s, ‖f a‖ₑ ∂μ < ⊤ ↔ ∫⁻ (a : α) in t, ‖f a‖ₑ ∂μ < ⊤

Proof state:
G : Type u_1
α : Type u_3
E : Type u_5
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : MulAction G α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : MeasurableSMul G α
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝ : Countable G
hs : IsFundamentalDomain G s μ
ht : IsFundamentalDomain G t μ
f : α → E
hf : ∀ (g : G) (x : α), f (g • x) = f x
⊢ ∫⁻ (a : α) in s, ‖f a‖ₑ ∂μ < ⊤ ↔ ∫⁻ (a : α) in t, ‖f a‖ₑ ∂μ < ⊤

Tactic:
rw [hs.setLIntegral_eq ht]

Result:
case hf
G : Type u_1
α : Type u_3
E : Type u_5
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : MulAction G α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : MeasurableSMul G α
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝ : Countable G
hs : IsFundamentalDomain G s μ
ht : IsFundamentalDomain G t μ
f : α → E
hf : ∀ (g : G) (x : α), f (g • x) = f x
⊢ ∀ (g : G) (x : α), ‖f (g • x)‖ₑ = ‖f x‖ₑ

Proof state:
case hf
G : Type u_1
α : Type u_3
E : Type u_5
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : MulAction G α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : MeasurableSMul G α
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝ : Countable G
hs : IsFundamentalDomain G s μ
ht : IsFundamentalDomain G t μ
f : α → E
hf : ∀ (g : G) (x : α), f (g • x) = f x
⊢ ∀ (g : G) (x : α), ‖f (g • x)‖ₑ = ‖f x‖ₑ

Tactic:
intro g x

Result:
case hf
G : Type u_1
α : Type u_3
E : Type u_5
inst✝⁷ : Group G
inst✝⁶ : MulAction G α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
s t : Set α
μ : Measure α
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : MeasurableSMul G α
inst✝¹ : SMulInvariantMeasure G α μ
inst✝ : Countable G
hs : IsFundamentalDomain G s μ
ht : IsFundamentalDomain G t μ
f : α → E
hf : ∀ (g : G) (x : α), f (g • x) = f x
g : G
x : α
⊢ ‖f (g • x)‖ₑ = ‖f x‖ₑ