-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
theorem eLpNorm_indicator_le_of_bound {f : α → β} (hp_top : p ≠ ∞) {ε : ℝ} (hε : 0 < ε) {M : ℝ}
    (hf : ∀ x, ‖f x‖ < M) :
    ∃ (δ : ℝ) (_ : 0 < δ), ∀ s, MeasurableSet s →
      μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε

Proof state:
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hp_top : p ≠ ⊤
ε : ℝ
hε : 0 < ε
M : ℝ
hf : ∀ (x : α), ‖f x‖ < M
hM : M ≤ 0
s : Set α
x✝¹ : MeasurableSet s
x✝ : μ s ≤ ENNReal.ofReal 1
x : α
⊢ f x = 0 x

Tactic:
rw [Pi.zero_apply, ← norm_le_zero_iff]

Result:
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hp_top : p ≠ ⊤
ε : ℝ
hε : 0 < ε
M : ℝ
hf : ∀ (x : α), ‖f x‖ < M
hM : M ≤ 0
s : Set α
x✝¹ : MeasurableSet s
x✝ : μ s ≤ ENNReal.ofReal 1
x : α
⊢ ‖f x‖ ≤ 0

Proof state:
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hp_top : p ≠ ⊤
ε : ℝ
hε : 0 < ε
M : ℝ
hf : ∀ (x : α), ‖f x‖ < M
hM : 0 < M
⊢ ∃ δ,
    ∃ (_ : 0 < δ),
      ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε

Tactic:
refine ⟨(ε / M) ^ p.toReal, Real.rpow_pos_of_pos (div_pos hε hM) _, fun s hs hμ => ?_⟩

Result:
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hp_top : p ≠ ⊤
ε : ℝ
hε : 0 < ε
M : ℝ
hf : ∀ (x : α), ‖f x‖ < M
hM : 0 < M
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμ : μ s ≤ ENNReal.ofReal ((ε / M) ^ p.toReal)
⊢ eLpNorm (s.indicator f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε

Proof state:
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hp_top : p ≠ ⊤
ε : ℝ
hε : 0 < ε
M : ℝ
hf : ∀ (x : α), ‖f x‖ < M
hM : 0 < M
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμ : μ s ≤ ENNReal.ofReal ((ε / M) ^ p.toReal)
hp : ¬p = 0
haebdd : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, ‖f x‖ ≤ M
⊢ μ s ^ p.toReal⁻¹ ≤ ENNReal.ofReal ε / ENNReal.ofReal M

Tactic:
rw [ENNReal.rpow_inv_le_iff (ENNReal.toReal_pos hp hp_top)]

Result:
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hp_top : p ≠ ⊤
ε : ℝ
hε : 0 < ε
M : ℝ
hf : ∀ (x : α), ‖f x‖ < M
hM : 0 < M
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμ : μ s ≤ ENNReal.ofReal ((ε / M) ^ p.toReal)
hp : ¬p = 0
haebdd : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, ‖f x‖ ≤ M
⊢ μ s ≤ (ENNReal.ofReal ε / ENNReal.ofReal M) ^ p.toReal

Proof state:
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hp_top : p ≠ ⊤
ε : ℝ
hε : 0 < ε
M : ℝ
hf : ∀ (x : α), ‖f x‖ < M
hM : ¬M ≤ 0
⊢ ∃ δ,
    ∃ (_ : 0 < δ),
      ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε

Tactic:
rw [not_le] at hM

Result:
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hp_top : p ≠ ⊤
ε : ℝ
hε : 0 < ε
M : ℝ
hf : ∀ (x : α), ‖f x‖ < M
hM : 0 < M
⊢ ∃ δ,
    ∃ (_ : 0 < δ),
      ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hp_top : p ≠ ⊤
ε : ℝ
hε : 0 < ε
M : ℝ
hf : ∀ (x : α), ‖f x‖ < M
hM : 0 < M
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμ : μ s ≤ ENNReal.ofReal ((ε / M) ^ p.toReal)
hp : ¬p = 0
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, ‖f x‖ ≤ M

Tactic:
filter_upwards

Result:
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hp_top : p ≠ ⊤
ε : ℝ
hε : 0 < ε
M : ℝ
hf : ∀ (x : α), ‖f x‖ < M
hM : 0 < M
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμ : μ s ≤ ENNReal.ofReal ((ε / M) ^ p.toReal)
hp : ¬p = 0
⊢ ∀ (a : α), ‖f a‖ ≤ M

Proof state:
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hp_top : p ≠ ⊤
ε : ℝ
hε : 0 < ε
M : ℝ
hf : ∀ (x : α), ‖f x‖ < M
hM : 0 < M
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμ : μ s ≤ ENNReal.ofReal ((ε / M) ^ p.toReal)
hp : ¬p = 0
haebdd : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, ‖f x‖ ≤ M
⊢ eLpNorm f p (μ.restrict s) ≤ ENNReal.ofReal ε

Tactic:
refine le_trans (eLpNorm_le_of_ae_bound haebdd) ?_

Result:
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hp_top : p ≠ ⊤
ε : ℝ
hε : 0 < ε
M : ℝ
hf : ∀ (x : α), ‖f x‖ < M
hM : 0 < M
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμ : μ s ≤ ENNReal.ofReal ((ε / M) ^ p.toReal)
hp : ¬p = 0
haebdd : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, ‖f x‖ ≤ M
⊢ (μ.restrict s) univ ^ p.toReal⁻¹ * ENNReal.ofReal M ≤ ENNReal.ofReal ε

Proof state:
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hp_top : p ≠ ⊤
ε : ℝ
hε : 0 < ε
M : ℝ
hf : ∀ (x : α), ‖f x‖ < M
hM : 0 < M
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμ : μ s ≤ ENNReal.ofReal ((ε / M) ^ p.toReal)
hp : ¬p = 0
⊢ eLpNorm (s.indicator f) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε

Tactic:
rw [eLpNorm_indicator_eq_eLpNorm_restrict hs]

Result:
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hp_top : p ≠ ⊤
ε : ℝ
hε : 0 < ε
M : ℝ
hf : ∀ (x : α), ‖f x‖ < M
hM : 0 < M
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμ : μ s ≤ ENNReal.ofReal ((ε / M) ^ p.toReal)
hp : ¬p = 0
⊢ eLpNorm f p (μ.restrict s) ≤ ENNReal.ofReal ε

Proof state:
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hp_top : p ≠ ⊤
ε : ℝ
hε : 0 < ε
M : ℝ
hf : ∀ (x : α), ‖f x‖ < M
hM : 0 < M
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμ : μ s ≤ ENNReal.ofReal ((ε / M) ^ p.toReal)
hp : ¬p = 0
haebdd : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, ‖f x‖ ≤ M
⊢ ENNReal.ofReal ((ε / M) ^ p.toReal) ≤ (ENNReal.ofReal ε / ENNReal.ofReal M) ^ p.toReal

Tactic:
rw [← ENNReal.ofReal_rpow_of_pos (div_pos hε hM),
  ENNReal.rpow_le_rpow_iff (ENNReal.toReal_pos hp hp_top), ENNReal.ofReal_div_of_pos hM]

Result:
no goals

Proof state:
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hp_top : p ≠ ⊤
ε : ℝ
hε : 0 < ε
M : ℝ
hf : ∀ (x : α), ‖f x‖ < M
hM : M ≤ 0
s : Set α
x✝¹ : MeasurableSet s
x✝ : μ s ≤ ENNReal.ofReal 1
x : α
⊢ ‖f x‖ ≤ 0

Tactic:
exact (lt_of_lt_of_le (hf x) hM).le

Result:
no goals

Proof state:
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hp_top : p ≠ ⊤
ε : ℝ
hε : 0 < ε
M : ℝ
hf : ∀ (x : α), ‖f x‖ < M
hM : 0 < M
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμ : μ s ≤ ENNReal.ofReal ((ε / M) ^ p.toReal)
hp : ¬p = 0
⊢ ∀ (a : α), ‖f a‖ ≤ M

Tactic:
exact fun x => (hf x).le

Result:
no goals

Proof state:
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hp_top : p ≠ ⊤
ε : ℝ
hε : 0 < ε
M : ℝ
hf : ∀ (x : α), ‖f x‖ < M
hM : 0 < M
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμ : μ s ≤ ENNReal.ofReal ((ε / M) ^ p.toReal)
hp : ¬p = 0
⊢ eLpNorm f p (μ.restrict s) ≤ ENNReal.ofReal ε

Tactic:
have haebdd : ∀ᵐ x ∂μ.restrict s, ‖f x‖ ≤ M := by
  filter_upwards
  exact fun x => (hf x).le

Result:
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
f : α → β
hp_top : p ≠ ⊤
ε : ℝ
hε : 0 < ε
M : ℝ
hf : ∀ (x : α), ‖f x‖ < M
hM : 0 < M
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμ : μ s ≤ ENNReal.ofReal ((ε / M) ^ p.toReal)
hp : ¬p = 0
haebdd : ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, ‖f x‖ ≤ M
⊢ eLpNorm f p (μ.restrict s) ≤ ENNReal.ofReal ε