-- Mathlib/RingTheory/FractionalIdeal/Operations.lean
theorem exists_ne_zero_mem_isInteger [Nontrivial R] (hI : I ≠ 0) :
    ∃ x, x ≠ 0 ∧ algebraMap R K x ∈ I

Proof state:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_3
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
I : FractionalIdeal R⁰ K
inst✝ : Nontrivial R
hI : I ≠ 0
⊢ ?m.160379 < ?m.160380

Tactic:
simpa only using bot_lt_iff_ne_bot.mpr hI

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_3
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
I : FractionalIdeal R⁰ K
inst✝ : Nontrivial R
hI : I ≠ 0
y : K
y_mem : y ∈ I
y_not_mem : y ∉ ⊥
y_ne_zero : y ≠ 0
z : ↥R⁰
x : R
hx : (algebraMap R K) x = ↑z • y
⊢ ∃ x, x ≠ 0 ∧ (algebraMap R K) x ∈ I

Tactic:
refine ⟨x, ?_, ?_⟩

Result:
case intro.intro.intro.intro.refine_1
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_3
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
I : FractionalIdeal R⁰ K
inst✝ : Nontrivial R
hI : I ≠ 0
y : K
y_mem : y ∈ I
y_not_mem : y ∉ ⊥
y_ne_zero : y ≠ 0
z : ↥R⁰
x : R
hx : (algebraMap R K) x = ↑z • y
⊢ x ≠ 0

case intro.intro.intro.intro.refine_2
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_3
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
I : FractionalIdeal R⁰ K
inst✝ : Nontrivial R
hI : I ≠ 0
y : K
y_mem : y ∈ I
y_not_mem : y ∉ ⊥
y_ne_zero : y ≠ 0
z : ↥R⁰
x : R
hx : (algebraMap R K) x = ↑z • y
⊢ (algebraMap R K) x ∈ I

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.refine_1
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_3
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
I : FractionalIdeal R⁰ K
inst✝ : Nontrivial R
hI : I ≠ 0
y : K
y_mem : y ∈ I
y_not_mem : y ∉ ⊥
y_ne_zero : y ≠ 0
z : ↥R⁰
x : R
hx : (algebraMap R K) x = ↑z • y
⊢ ¬(algebraMap R K) ↑z * y = 0

Tactic:
exact mul_ne_zero (IsFractionRing.to_map_ne_zero_of_mem_nonZeroDivisors z.2) y_ne_zero

Result:
no goals

Proof state:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_3
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
I : FractionalIdeal R⁰ K
inst✝ : Nontrivial R
hI : I ≠ 0
y : K
y_mem : y ∈ I
y_not_mem : y ∉ ⊥
⊢ y ≠ 0

Tactic:
simpa using y_not_mem

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_3
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
I : FractionalIdeal R⁰ K
inst✝ : Nontrivial R
hI : I ≠ 0
y : K
y_mem : y ∈ I
y_not_mem : y ∉ ⊥
y_ne_zero : y ≠ 0
⊢ ∃ x, x ≠ 0 ∧ (algebraMap R K) x ∈ I

Tactic:
obtain ⟨z, ⟨x, hx⟩⟩ := exists_integer_multiple R⁰ y

Result:
case intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_3
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
I : FractionalIdeal R⁰ K
inst✝ : Nontrivial R
hI : I ≠ 0
y : K
y_mem : y ∈ I
y_not_mem : y ∉ ⊥
y_ne_zero : y ≠ 0
z : ↥R⁰
x : R
hx : (algebraMap R K) x = ↑z • y
⊢ ∃ x, x ≠ 0 ∧ (algebraMap R K) x ∈ I

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.refine_2
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_3
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
I : FractionalIdeal R⁰ K
inst✝ : Nontrivial R
hI : I ≠ 0
y : K
y_mem : y ∈ I
y_not_mem : y ∉ ⊥
y_ne_zero : y ≠ 0
z : ↥R⁰
x : R
hx : (algebraMap R K) x = ↑z • y
⊢ ↑z • y ∈ I

Tactic:
exact smul_mem _ _ y_mem

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.refine_2
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_3
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
I : FractionalIdeal R⁰ K
inst✝ : Nontrivial R
hI : I ≠ 0
y : K
y_mem : y ∈ I
y_not_mem : y ∉ ⊥
y_ne_zero : y ≠ 0
z : ↥R⁰
x : R
hx : (algebraMap R K) x = ↑z • y
⊢ (algebraMap R K) x ∈ I

Tactic:
rw [hx]

Result:
case intro.intro.intro.intro.refine_2
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_3
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
I : FractionalIdeal R⁰ K
inst✝ : Nontrivial R
hI : I ≠ 0
y : K
y_mem : y ∈ I
y_not_mem : y ∉ ⊥
y_ne_zero : y ≠ 0
z : ↥R⁰
x : R
hx : (algebraMap R K) x = ↑z • y
⊢ ↑z • y ∈ I

Proof state:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_3
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
I : FractionalIdeal R⁰ K
inst✝ : Nontrivial R
hI : I ≠ 0
⊢ ∃ x, x ≠ 0 ∧ (algebraMap R K) x ∈ I

Tactic:
obtain ⟨y : K, y_mem, y_not_mem⟩ :=
  SetLike.exists_of_lt (by simpa only using bot_lt_iff_ne_bot.mpr hI)

Result:
case intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_3
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
I : FractionalIdeal R⁰ K
inst✝ : Nontrivial R
hI : I ≠ 0
y : K
y_mem : y ∈ I
y_not_mem : y ∉ ⊥
⊢ ∃ x, x ≠ 0 ∧ (algebraMap R K) x ∈ I

Proof state:
case intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_3
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
I : FractionalIdeal R⁰ K
inst✝ : Nontrivial R
hI : I ≠ 0
y : K
y_mem : y ∈ I
y_not_mem : y ∉ ⊥
⊢ ∃ x, x ≠ 0 ∧ (algebraMap R K) x ∈ I

Tactic:
have y_ne_zero : y ≠ 0 := by simpa using y_not_mem

Result:
case intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_3
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
I : FractionalIdeal R⁰ K
inst✝ : Nontrivial R
hI : I ≠ 0
y : K
y_mem : y ∈ I
y_not_mem : y ∉ ⊥
y_ne_zero : y ≠ 0
⊢ ∃ x, x ≠ 0 ∧ (algebraMap R K) x ∈ I

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.refine_1
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_3
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
I : FractionalIdeal R⁰ K
inst✝ : Nontrivial R
hI : I ≠ 0
y : K
y_mem : y ∈ I
y_not_mem : y ∉ ⊥
y_ne_zero : y ≠ 0
z : ↥R⁰
x : R
hx : (algebraMap R K) x = ↑z • y
⊢ x ≠ 0

Tactic:
rw [Ne, ← @IsFractionRing.to_map_eq_zero_iff R _ K, hx, Algebra.smul_def]

Result:
case intro.intro.intro.intro.refine_1
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommRing R
K : Type u_3
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra R K
inst✝¹ : IsFractionRing R K
I : FractionalIdeal R⁰ K
inst✝ : Nontrivial R
hI : I ≠ 0
y : K
y_mem : y ∈ I
y_not_mem : y ∉ ⊥
y_ne_zero : y ≠ 0
z : ↥R⁰
x : R
hx : (algebraMap R K) x = ↑z • y
⊢ ¬(algebraMap R K) ↑z * y = 0