-- Mathlib/Topology/MetricSpace/GromovHausdorffRealized.lean
theorem HD_lipschitz_aux1 (f g : Cb X Y) :
    (⨆ x, ⨅ y, f (inl x, inr y)) ≤ (⨆ x, ⨅ y, g (inl x, inr y)) + dist f g

Proof state:
X : Type u
Y : Type v
inst✝³ : MetricSpace X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : Nonempty X
inst✝ : Nonempty Y
f g : GromovHausdorff.Cb X Y
⊢ ⨆ x, ⨅ y, f (inl x, inr y) ≤ (⨆ x, ⨅ y, g (inl x, inr y)) + dist f g

Tactic:
obtain ⟨cg, hcg⟩ := g.isBounded_range.bddBelow

Result:
case intro
X : Type u
Y : Type v
inst✝³ : MetricSpace X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : Nonempty X
inst✝ : Nonempty Y
f g : GromovHausdorff.Cb X Y
cg : ℝ
hcg : cg ∈ lowerBounds (range ⇑g)
⊢ ⨆ x, ⨅ y, f (inl x, inr y) ≤ (⨆ x, ⨅ y, g (inl x, inr y)) + dist f g

Proof state:
case intro
X : Type u
Y : Type v
inst✝³ : MetricSpace X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : Nonempty X
inst✝ : Nonempty Y
f g : GromovHausdorff.Cb X Y
cg : ℝ
hcg : cg ∈ lowerBounds (range ⇑g)
Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ g x
⊢ ⨆ x, ⨅ y, f (inl x, inr y) ≤ (⨆ x, ⨅ y, g (inl x, inr y)) + dist f g

Tactic:
obtain ⟨cf, hcf⟩ := f.isBounded_range.bddBelow

Result:
case intro.intro
X : Type u
Y : Type v
inst✝³ : MetricSpace X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : Nonempty X
inst✝ : Nonempty Y
f g : GromovHausdorff.Cb X Y
cg : ℝ
hcg : cg ∈ lowerBounds (range ⇑g)
Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ g x
cf : ℝ
hcf : cf ∈ lowerBounds (range ⇑f)
⊢ ⨆ x, ⨅ y, f (inl x, inr y) ≤ (⨆ x, ⨅ y, g (inl x, inr y)) + dist f g

Proof state:
case refine_1
X : Type u
Y : Type v
inst✝³ : MetricSpace X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : Nonempty X
inst✝ : Nonempty Y
f g : GromovHausdorff.Cb X Y
cg : ℝ
hcg : cg ∈ lowerBounds (range ⇑g)
Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ g x
cf : ℝ
hcf : cf ∈ lowerBounds (range ⇑f)
Hcf : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cf ≤ f x
Z : ⨆ x, ⨅ y, f (inl x, inr y) ≤ ⨆ x, ⨅ y, g (inl x, inr y) + dist f g
x✝ : X
x y : ℝ
hx : x ≤ y
⊢ (fun x => id x + dist f g) x ≤ (fun x => id x + dist f g) y

Tactic:
simpa

Result:
no goals

Proof state:
case refine_2
X : Type u
Y : Type v
inst✝³ : MetricSpace X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : Nonempty X
inst✝ : Nonempty Y
f g : GromovHausdorff.Cb X Y
cg : ℝ
hcg : cg ∈ lowerBounds (range ⇑g)
Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ g x
cf : ℝ
hcf : cf ∈ lowerBounds (range ⇑f)
Hcf : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cf ≤ f x
Z : ⨆ x, ⨅ y, f (inl x, inr y) ≤ ⨆ x, ⨅ y, g (inl x, inr y) + dist f g
x : X
⊢ BddBelow (range fun y => g (inl x, inr y))

Tactic:
exact ⟨cg, forall_mem_range.2 fun i => Hcg _⟩

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro
X : Type u
Y : Type v
inst✝³ : MetricSpace X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : Nonempty X
inst✝ : Nonempty Y
f g : GromovHausdorff.Cb X Y
cg : ℝ
hcg : cg ∈ lowerBounds (range ⇑g)
Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ g x
cf : ℝ
hcf : cf ∈ lowerBounds (range ⇑f)
⊢ ⨆ x, ⨅ y, f (inl x, inr y) ≤ (⨆ x, ⨅ y, g (inl x, inr y)) + dist f g

Tactic:
have Hcf : ∀ x, cf ≤ f x := fun x => hcf (mem_range_self x)

Result:
case intro.intro
X : Type u
Y : Type v
inst✝³ : MetricSpace X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : Nonempty X
inst✝ : Nonempty Y
f g : GromovHausdorff.Cb X Y
cg : ℝ
hcg : cg ∈ lowerBounds (range ⇑g)
Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ g x
cf : ℝ
hcf : cf ∈ lowerBounds (range ⇑f)
Hcf : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cf ≤ f x
⊢ ⨆ x, ⨅ y, f (inl x, inr y) ≤ (⨆ x, ⨅ y, g (inl x, inr y)) + dist f g

Proof state:
X : Type u
Y : Type v
inst✝³ : MetricSpace X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : Nonempty X
inst✝ : Nonempty Y
f g : GromovHausdorff.Cb X Y
cg : ℝ
hcg : cg ∈ lowerBounds (range ⇑g)
Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ g x
cf : ℝ
hcf : cf ∈ lowerBounds (range ⇑f)
Hcf : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cf ≤ f x
Z : ⨆ x, ⨅ y, f (inl x, inr y) ≤ ⨆ x, ⨅ y, g (inl x, inr y) + dist f g
E1 : ∀ (x : X), (⨅ y, g (inl x, inr y)) + dist f g = ⨅ y, g (inl x, inr y) + dist f g
⊢ (⨆ x, ⨅ y, g (inl x, inr y)) + dist f g = ⨆ x, (⨅ y, g (inl x, inr y)) + dist f g

Tactic:
refine Monotone.map_ciSup_of_continuousAt (continuousAt_id.add continuousAt_const) ?_ ?_

Result:
case refine_1
X : Type u
Y : Type v
inst✝³ : MetricSpace X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : Nonempty X
inst✝ : Nonempty Y
f g : GromovHausdorff.Cb X Y
cg : ℝ
hcg : cg ∈ lowerBounds (range ⇑g)
Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ g x
cf : ℝ
hcf : cf ∈ lowerBounds (range ⇑f)
Hcf : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cf ≤ f x
Z : ⨆ x, ⨅ y, f (inl x, inr y) ≤ ⨆ x, ⨅ y, g (inl x, inr y) + dist f g
E1 : ∀ (x : X), (⨅ y, g (inl x, inr y)) + dist f g = ⨅ y, g (inl x, inr y) + dist f g
⊢ Monotone fun x => id x + dist f g

case refine_2
X : Type u
Y : Type v
inst✝³ : MetricSpace X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : Nonempty X
inst✝ : Nonempty Y
f g : GromovHausdorff.Cb X Y
cg : ℝ
hcg : cg ∈ lowerBounds (range ⇑g)
Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ g x
cf : ℝ
hcf : cf ∈ lowerBounds (range ⇑f)
Hcf : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cf ≤ f x
Z : ⨆ x, ⨅ y, f (inl x, inr y) ≤ ⨆ x, ⨅ y, g (inl x, inr y) + dist f g
E1 : ∀ (x : X), (⨅ y, g (inl x, inr y)) + dist f g = ⨅ y, g (inl x, inr y) + dist f g
⊢ BddAbove (range fun x => ⨅ y, g (inl x, inr y))

Proof state:
X : Type u
Y : Type v
inst✝³ : MetricSpace X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : Nonempty X
inst✝ : Nonempty Y
f g : GromovHausdorff.Cb X Y
cg : ℝ
hcg : cg ∈ lowerBounds (range ⇑g)
Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ g x
cf : ℝ
hcf : cf ∈ lowerBounds (range ⇑f)
Hcf : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cf ≤ f x
Z : ⨆ x, ⨅ y, f (inl x, inr y) ≤ ⨆ x, ⨅ y, g (inl x, inr y) + dist f g
⊢ ∀ (x : X), (⨅ y, g (inl x, inr y)) + dist f g = ⨅ y, g (inl x, inr y) + dist f g

Tactic:
intro x

Result:
X : Type u
Y : Type v
inst✝³ : MetricSpace X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : Nonempty X
inst✝ : Nonempty Y
f g : GromovHausdorff.Cb X Y
cg : ℝ
hcg : cg ∈ lowerBounds (range ⇑g)
Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ g x
cf : ℝ
hcf : cf ∈ lowerBounds (range ⇑f)
Hcf : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cf ≤ f x
Z : ⨆ x, ⨅ y, f (inl x, inr y) ≤ ⨆ x, ⨅ y, g (inl x, inr y) + dist f g
x : X
⊢ (⨅ y, g (inl x, inr y)) + dist f g = ⨅ y, g (inl x, inr y) + dist f g

Proof state:
case refine_2
X : Type u
Y : Type v
inst✝³ : MetricSpace X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : Nonempty X
inst✝ : Nonempty Y
f g : GromovHausdorff.Cb X Y
cg : ℝ
hcg : cg ∈ lowerBounds (range ⇑g)
Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ g x
cf : ℝ
hcf : cf ∈ lowerBounds (range ⇑f)
Hcf : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cf ≤ f x
Z : ⨆ x, ⨅ y, f (inl x, inr y) ≤ ⨆ x, ⨅ y, g (inl x, inr y) + dist f g
E1 : ∀ (x : X), (⨅ y, g (inl x, inr y)) + dist f g = ⨅ y, g (inl x, inr y) + dist f g
⊢ BddAbove (range fun x => ⨅ y, g (inl x, inr y))

Tactic:
simpa using HD_bound_aux1 _ 0

Result:
no goals

Proof state:
case refine_1
X : Type u
Y : Type v
inst✝³ : MetricSpace X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : Nonempty X
inst✝ : Nonempty Y
f g : GromovHausdorff.Cb X Y
cg : ℝ
hcg : cg ∈ lowerBounds (range ⇑g)
Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ g x
cf : ℝ
hcf : cf ∈ lowerBounds (range ⇑f)
Hcf : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cf ≤ f x
Z : ⨆ x, ⨅ y, f (inl x, inr y) ≤ ⨆ x, ⨅ y, g (inl x, inr y) + dist f g
E1 : ∀ (x : X), (⨅ y, g (inl x, inr y)) + dist f g = ⨅ y, g (inl x, inr y) + dist f g
x y : ℝ
hx : x ≤ y
⊢ (fun x => id x + dist f g) x ≤ (fun x => id x + dist f g) y

Tactic:
simpa

Result:
no goals

Proof state:
case intro
X : Type u
Y : Type v
inst✝³ : MetricSpace X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : Nonempty X
inst✝ : Nonempty Y
f g : GromovHausdorff.Cb X Y
cg : ℝ
hcg : cg ∈ lowerBounds (range ⇑g)
⊢ ⨆ x, ⨅ y, f (inl x, inr y) ≤ (⨆ x, ⨅ y, g (inl x, inr y)) + dist f g

Tactic:
have Hcg : ∀ x, cg ≤ g x := fun x => hcg (mem_range_self x)

Result:
case intro
X : Type u
Y : Type v
inst✝³ : MetricSpace X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : Nonempty X
inst✝ : Nonempty Y
f g : GromovHausdorff.Cb X Y
cg : ℝ
hcg : cg ∈ lowerBounds (range ⇑g)
Hcg : ∀ (x : (X ⊕ Y) × (X ⊕ Y)), cg ≤ g x
⊢ ⨆ x, ⨅ y, f (inl x, inr y) ≤ (⨆ x, ⨅ y, g (inl x, inr y)) + dist f g