-- Mathlib/RingTheory/Idempotents.lean
theorem exists_isIdempotentElem_mul_eq_zero_of_ker_isNilpotent_aux
    (h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x)
    (e₁ : S) (he : e₁ ∈ f.range) (he₁ : IsIdempotentElem e₁)
    (e₂ : R) (he₂ : IsIdempotentElem e₂) (he₁e₂ : e₁ * f e₂ = 0) :
    ∃ e' : R, IsIdempotentElem e' ∧ f e' = e₁ ∧ e' * e₂ = 0

Proof state:
case intro.inr
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
e₂ : R
he₂ : IsIdempotentElem e₂
e₁ : R
he₁ : IsIdempotentElem (f e₁)
he₁e₂ : f e₁ * f e₂ = 0
h✝ : Nontrivial R
a : R := e₁ - e₁ * e₂
ha : f a = f e₁
⊢ ∃ e', IsIdempotentElem e' ∧ f e' = f e₁ ∧ e' * e₂ = 0

Tactic:
have ha' : a * e₂ = 0 := by rw [sub_mul, mul_assoc, he₂.eq, sub_self]

Result:
case intro.inr
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
e₂ : R
he₂ : IsIdempotentElem e₂
e₁ : R
he₁ : IsIdempotentElem (f e₁)
he₁e₂ : f e₁ * f e₂ = 0
h✝ : Nontrivial R
a : R := e₁ - e₁ * e₂
ha : f a = f e₁
ha' : a * e₂ = 0
⊢ ∃ e', IsIdempotentElem e' ∧ f e' = f e₁ ∧ e' * e₂ = 0

Proof state:
case intro.inr.intro.refine_1.zero
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
e₂ : R
he₂ : IsIdempotentElem e₂
e₁ : R
he₁ : IsIdempotentElem (f e₁)
he₁e₂ : f e₁ * f e₂ = 0
h✝ : Nontrivial R
a : R := e₁ - e₁ * e₂
ha : f a = f e₁
ha' : a * e₂ = 0
hx' : a - a ^ 2 ∈ RingHom.ker f
hn : (a - a ^ 2) ^ 0 = 0
⊢ f (1 - (1 - a ^ 0) ^ 0) = f e₁

Tactic:
simp at hn

Result:
no goals

Proof state:
case intro
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
e₂ : R
he₂ : IsIdempotentElem e₂
e₁ : R
he₁ : IsIdempotentElem (f e₁)
he₁e₂ : f e₁ * f e₂ = 0
⊢ ∃ e', IsIdempotentElem e' ∧ f e' = f e₁ ∧ e' * e₂ = 0

Tactic:
cases subsingleton_or_nontrivial R

Result:
case intro.inl
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
e₂ : R
he₂ : IsIdempotentElem e₂
e₁ : R
he₁ : IsIdempotentElem (f e₁)
he₁e₂ : f e₁ * f e₂ = 0
h✝ : Subsingleton R
⊢ ∃ e', IsIdempotentElem e' ∧ f e' = f e₁ ∧ e' * e₂ = 0

case intro.inr
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
e₂ : R
he₂ : IsIdempotentElem e₂
e₁ : R
he₁ : IsIdempotentElem (f e₁)
he₁e₂ : f e₁ * f e₂ = 0
h✝ : Nontrivial R
⊢ ∃ e', IsIdempotentElem e' ∧ f e' = f e₁ ∧ e' * e₂ = 0

Proof state:
case intro.inr.intro.refine_2.intro
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
e₂ : R
he₂ : IsIdempotentElem e₂
e₁ : R
he₁ : IsIdempotentElem (f e₁)
he₁e₂ : f e₁ * f e₂ = 0
h✝ : Nontrivial R
a : R := e₁ - e₁ * e₂
ha : f a = f e₁
ha' : a * e₂ = 0
hx' : a - a ^ 2 ∈ RingHom.ker f
n : ℕ
hn : (a - a ^ 2) ^ n = 0
k : Rᵐᵒᵖ
hk : MulOpposite.unop (1 ^ n - MulOpposite.op (1 - a ^ n) ^ n) = MulOpposite.unop ((1 - MulOpposite.op (1 - a ^ n)) * k)
this : 1 - (1 - a ^ n) ^ n = MulOpposite.unop k * a ^ n
⊢ (1 - (1 - a ^ n) ^ n) * e₂ = 0

Tactic:
rw [this, mul_assoc]

Result:
case intro.inr.intro.refine_2.intro
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
e₂ : R
he₂ : IsIdempotentElem e₂
e₁ : R
he₁ : IsIdempotentElem (f e₁)
he₁e₂ : f e₁ * f e₂ = 0
h✝ : Nontrivial R
a : R := e₁ - e₁ * e₂
ha : f a = f e₁
ha' : a * e₂ = 0
hx' : a - a ^ 2 ∈ RingHom.ker f
n : ℕ
hn : (a - a ^ 2) ^ n = 0
k : Rᵐᵒᵖ
hk : MulOpposite.unop (1 ^ n - MulOpposite.op (1 - a ^ n) ^ n) = MulOpposite.unop ((1 - MulOpposite.op (1 - a ^ n)) * k)
this : 1 - (1 - a ^ n) ^ n = MulOpposite.unop k * a ^ n
⊢ MulOpposite.unop k * (a ^ n * e₂) = 0

Proof state:
case intro.inr
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
e₂ : R
he₂ : IsIdempotentElem e₂
e₁ : R
he₁ : IsIdempotentElem (f e₁)
he₁e₂ : f e₁ * f e₂ = 0
h✝ : Nontrivial R
a : R := e₁ - e₁ * e₂
ha : f a = f e₁
ha' : a * e₂ = 0
⊢ ∃ e', IsIdempotentElem e' ∧ f e' = f e₁ ∧ e' * e₂ = 0

Tactic:
have hx' : a - a ^ 2 ∈ RingHom.ker f := by
  simp [RingHom.mem_ker, mul_sub, pow_two, ha, he₁.eq]

Result:
case intro.inr
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
e₂ : R
he₂ : IsIdempotentElem e₂
e₁ : R
he₁ : IsIdempotentElem (f e₁)
he₁e₂ : f e₁ * f e₂ = 0
h✝ : Nontrivial R
a : R := e₁ - e₁ * e₂
ha : f a = f e₁
ha' : a * e₂ = 0
hx' : a - a ^ 2 ∈ RingHom.ker f
⊢ ∃ e', IsIdempotentElem e' ∧ f e' = f e₁ ∧ e' * e₂ = 0

Proof state:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
e₂ : R
he₂ : IsIdempotentElem e₂
e₁ : R
he₁ : IsIdempotentElem (f e₁)
he₁e₂ : f e₁ * f e₂ = 0
h✝ : Nontrivial R
a : R := e₁ - e₁ * e₂
ha : f a = f e₁
⊢ a * e₂ = 0

Tactic:
rw [sub_mul, mul_assoc, he₂.eq, sub_self]

Result:
no goals

Proof state:
case intro.inr.intro.refine_1.succ
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Ring S
f : R →+* S
h : ∀ x ∈ RingHom.ker f, IsNilpotent x
e₂ : R
he₂ : IsIdempotentElem e₂
e₁ : R
he₁ : IsIdempotentElem (f e₁)
he₁e₂ : f e₁ * f e₂ = 0
h✝ : Nontrivial R
a : R := e₁ - e₁ * e₂
ha : f a = f e₁
ha' : a * e₂ = 0
hx' : a - a ^ 2 ∈ RingHom.ker f
n : ℕ
hn : (a - a ^ 2) ^ (n + 1) = 0
⊢ f (1 - (1 - a ^ (n + 1)) ^ (n + 1)) = f e₁

Tactic:
simp only [map_sub, map_one, map_pow, ha, he₁.pow_succ_eq,
  he₁.one_sub.pow_succ_eq, sub_sub_cancel]

Result:
no goals