-- Mathlib/RingTheory/IsTensorProduct.lean
theorem Algebra.IsPushout.symm (h : Algebra.IsPushout R S R' S') : Algebra.IsPushout R R' S S'

Proof state:
R : Type u_1
S : Type v₃
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra R S
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁷ : CommSemiring R'
inst✝⁶ : CommSemiring S'
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R' S'
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R R' S'
inst✝ : IsScalarTower R S S'
h : IsPushout R S R' S'
x✝ : Algebra R' (S ⊗[R] R') := TensorProduct.includeRight.toAlgebra
⊢ R' ⊗[R] S ≃ₗ[R'] S'

Tactic:
refine { (_root_.TensorProduct.comm R R' S).trans <|
  h.1.equiv.restrictScalars R with map_smul' := ?_ }

Result:
R : Type u_1
S : Type v₃
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra R S
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁷ : CommSemiring R'
inst✝⁶ : CommSemiring S'
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R' S'
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R R' S'
inst✝ : IsScalarTower R S S'
h : IsPushout R S R' S'
x✝ : Algebra R' (S ⊗[R] R') := TensorProduct.includeRight.toAlgebra
⊢ ∀ (m : R') (x : R' ⊗[R] S), (↑__src✝).toFun (m • x) = (RingHom.id R') m • (↑__src✝).toFun x

Proof state:
case refine_2
R : Type u_1
S : Type v₃
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra R S
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁷ : CommSemiring R'
inst✝⁶ : CommSemiring S'
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R' S'
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R R' S'
inst✝ : IsScalarTower R S S'
h : IsPushout R S R' S'
x✝¹ : Algebra R' (S ⊗[R] R') := TensorProduct.includeRight.toAlgebra
r : R'
x✝ : R' ⊗[R] S
x : R'
y : S
⊢ ⋯.equiv ((TensorProduct.comm R R' S) (r • x ⊗ₜ[R] y)) = r • ⋯.equiv ((TensorProduct.comm R R' S) (x ⊗ₜ[R] y))

Tactic:
simp only [smul_tmul', smul_eq_mul, TensorProduct.comm_tmul, smul_def,
  TensorProduct.algebraMap_apply, id.map_eq_id, RingHom.id_apply, TensorProduct.tmul_mul_tmul,
  one_mul, h.1.equiv_tmul, AlgHom.toLinearMap_apply, map_mul, IsScalarTower.coe_toAlgHom']

Result:
case refine_2
R : Type u_1
S : Type v₃
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra R S
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁷ : CommSemiring R'
inst✝⁶ : CommSemiring S'
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R' S'
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R R' S'
inst✝ : IsScalarTower R S S'
h : IsPushout R S R' S'
x✝¹ : Algebra R' (S ⊗[R] R') := TensorProduct.includeRight.toAlgebra
r : R'
x✝ : R' ⊗[R] S
x : R'
y : S
⊢ (algebraMap S S') y * ((algebraMap R' S') r * (algebraMap R' S') x) =
    (algebraMap R' S') r * ((algebraMap S S') y * (algebraMap R' S') x)

Proof state:
R : Type u_1
S : Type v₃
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra R S
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁷ : CommSemiring R'
inst✝⁶ : CommSemiring S'
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R' S'
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R R' S'
inst✝ : IsScalarTower R S S'
h : IsPushout R S R' S'
x✝ : Algebra R' (S ⊗[R] R') := TensorProduct.includeRight.toAlgebra
e : R' ⊗[R] S ≃ₗ[R'] S' :=
  let __src := _root_.TensorProduct.comm R R' S ≪≫ₗ LinearEquiv.restrictScalars R ⋯.equiv;
  { toAddHom := (↑__src).toAddHom, map_smul' := ⋯, invFun := __src.invFun, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
⊢ IsPushout R R' S S'

Tactic:
have :
  (toAlgHom R S S').toLinearMap =
    (e.toLinearMap.restrictScalars R).comp (TensorProduct.mk R R' S 1) := by
  ext
  simp [e, h.1.equiv_tmul, Algebra.smul_def]

Result:
R : Type u_1
S : Type v₃
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra R S
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁷ : CommSemiring R'
inst✝⁶ : CommSemiring S'
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R' S'
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R R' S'
inst✝ : IsScalarTower R S S'
h : IsPushout R S R' S'
x✝ : Algebra R' (S ⊗[R] R') := TensorProduct.includeRight.toAlgebra
e : R' ⊗[R] S ≃ₗ[R'] S' :=
  let __src := _root_.TensorProduct.comm R R' S ≪≫ₗ LinearEquiv.restrictScalars R ⋯.equiv;
  { toAddHom := (↑__src).toAddHom, map_smul' := ⋯, invFun := __src.invFun, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
this : (toAlgHom R S S').toLinearMap = ↑R ↑e ∘ₗ (TensorProduct.mk R R' S) 1
⊢ IsPushout R R' S S'

Proof state:
case refine_2
R : Type u_1
S : Type v₃
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra R S
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁷ : CommSemiring R'
inst✝⁶ : CommSemiring S'
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R' S'
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R R' S'
inst✝ : IsScalarTower R S S'
h : IsPushout R S R' S'
x✝¹ : Algebra R' (S ⊗[R] R') := TensorProduct.includeRight.toAlgebra
r : R'
x✝ : R' ⊗[R] S
x : R'
y : S
⊢ (algebraMap S S') y * ((algebraMap R' S') r * (algebraMap R' S') x) =
    (algebraMap R' S') r * ((algebraMap S S') y * (algebraMap R' S') x)

Tactic:
ring

Result:
no goals

Proof state:
R : Type u_1
S : Type v₃
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra R S
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁷ : CommSemiring R'
inst✝⁶ : CommSemiring S'
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R' S'
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R R' S'
inst✝ : IsScalarTower R S S'
h : IsPushout R S R' S'
x✝ : Algebra R' (S ⊗[R] R') := TensorProduct.includeRight.toAlgebra
⊢ ∀ (m : R') (x : R' ⊗[R] S), (↑__src✝).toFun (m • x) = (RingHom.id R') m • (↑__src✝).toFun x

Tactic:
intro r x

Result:
R : Type u_1
S : Type v₃
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra R S
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁷ : CommSemiring R'
inst✝⁶ : CommSemiring S'
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R' S'
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R R' S'
inst✝ : IsScalarTower R S S'
h : IsPushout R S R' S'
x✝ : Algebra R' (S ⊗[R] R') := TensorProduct.includeRight.toAlgebra
r : R'
x : R' ⊗[R] S
⊢ (↑__src✝).toFun (r • x) = (RingHom.id R') r • (↑__src✝).toFun x

Proof state:
case h
R : Type u_1
S : Type v₃
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Algebra R S
R' : Type u_6
S' : Type u_7
inst✝⁷ : CommSemiring R'
inst✝⁶ : CommSemiring S'
inst✝⁵ : Algebra R R'
inst✝⁴ : Algebra S S'
inst✝³ : Algebra R' S'
inst✝² : Algebra R S'
inst✝¹ : IsScalarTower R R' S'
inst✝ : IsScalarTower R S S'
h : IsPushout R S R' S'
x✝¹ : Algebra R' (S ⊗[R] R') := TensorProduct.includeRight.toAlgebra
e : R' ⊗[R] S ≃ₗ[R'] S' :=
  let __src := _root_.TensorProduct.comm R R' S ≪≫ₗ LinearEquiv.restrictScalars R ⋯.equiv;
  { toAddHom := (↑__src).toAddHom, map_smul' := ⋯, invFun := __src.invFun, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }
x✝ : S
⊢ (toAlgHom R S S').toLinearMap x✝ = (↑R ↑e ∘ₗ (TensorProduct.mk R R' S) 1) x✝

Tactic:
simp [e, h.1.equiv_tmul, Algebra.smul_def]

Result:
no goals