-- Mathlib/Analysis/Calculus/TangentCone.lean
theorem subset_tangentCone_prod_right {t : Set F} {y : F} (hs : x ∈ closure s) :
    LinearMap.inr 𝕜 E F '' tangentConeAt 𝕜 t y ⊆ tangentConeAt 𝕜 (s ×ˢ t) (x, y)

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
x : E
s : Set E
t : Set F
y : F
hs : x ∈ closure s
⊢ ⇑(LinearMap.inr 𝕜 E F) '' tangentConeAt 𝕜 t y ⊆ tangentConeAt 𝕜 (s ×ˢ t) (x, y)

Tactic:
rintro _ ⟨w, ⟨c, d, hd, hc, hy⟩, rfl⟩

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
x : E
s : Set E
t : Set F
y : F
hs : x ∈ closure s
w : F
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → F
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, y + d n ∈ t
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 w)
⊢ (LinearMap.inr 𝕜 E F) w ∈ tangentConeAt 𝕜 (s ×ˢ t) (x, y)

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
x : E
s : Set E
t : Set F
y : F
hs : x ∈ closure s
w : F
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → F
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, y + d n ∈ t
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 w)
n : ℕ
⊢ ∃ d', x + d' ∈ s ∧ ‖c n • d'‖ < (1 / 2) ^ n

Tactic:
rcases mem_closure_iff_nhds.1 hs _
    (eventually_nhds_norm_smul_sub_lt (c n) x (pow_pos one_half_pos n)) with
  ⟨z, hz, hzs⟩

Result:
case intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
x : E
s : Set E
t : Set F
y : F
hs : x ∈ closure s
w : F
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → F
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, y + d n ∈ t
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 w)
n : ℕ
z : E
hz : z ∈ {x_1 | (fun y => ‖c n • (y - x)‖ < (1 / 2) ^ n) x_1}
hzs : z ∈ s
⊢ ∃ d', x + d' ∈ s ∧ ‖c n • d'‖ < (1 / 2) ^ n

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
x : E
s : Set E
t : Set F
y : F
hs : x ∈ closure s
w : F
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → F
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, y + d n ∈ t
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 w)
d' : ℕ → E
hd' : ∀ (n : ℕ), x + d' n ∈ s ∧ ‖c n • d' n‖ < (1 / 2) ^ n
⊢ Tendsto (fun n => c n • (fun n => (d' n, d n)) n) atTop (𝓝 ((LinearMap.inr 𝕜 E F) w))

Tactic:
apply Tendsto.prod_mk_nhds _ hy

Result:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
x : E
s : Set E
t : Set F
y : F
hs : x ∈ closure s
w : F
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → F
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, y + d n ∈ t
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 w)
d' : ℕ → E
hd' : ∀ (n : ℕ), x + d' n ∈ s ∧ ‖c n • d' n‖ < (1 / 2) ^ n
⊢ Tendsto (fun c_1 => c c_1 • ((fun n => (d' n, d n)) c_1).1) atTop (𝓝 (0 w))

Proof state:
case intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
x : E
s : Set E
t : Set F
y : F
hs : x ∈ closure s
w : F
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → F
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, y + d n ∈ t
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 w)
n : ℕ
z : E
hz : z ∈ {x_1 | (fun y => ‖c n • (y - x)‖ < (1 / 2) ^ n) x_1}
hzs : z ∈ s
⊢ ∃ d', x + d' ∈ s ∧ ‖c n • d'‖ < (1 / 2) ^ n

Tactic:
exact ⟨z - x, by simpa using hzs, by simpa using hz⟩

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
x : E
s : Set E
t : Set F
y : F
hs : x ∈ closure s
w : F
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → F
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, y + d n ∈ t
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 w)
d' : ℕ → E
hd' : ∀ (n : ℕ), x + d' n ∈ s ∧ ‖c n • d' n‖ < (1 / 2) ^ n
⊢ (LinearMap.inr 𝕜 E F) w ∈ tangentConeAt 𝕜 (s ×ˢ t) (x, y)

Tactic:
refine ⟨c, fun n => (d' n, d n), ?_, hc, ?_⟩

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
x : E
s : Set E
t : Set F
y : F
hs : x ∈ closure s
w : F
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → F
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, y + d n ∈ t
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 w)
d' : ℕ → E
hd' : ∀ (n : ℕ), x + d' n ∈ s ∧ ‖c n • d' n‖ < (1 / 2) ^ n
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, (x, y) + (fun n => (d' n, d n)) n ∈ s ×ˢ t

case intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
x : E
s : Set E
t : Set F
y : F
hs : x ∈ closure s
w : F
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → F
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, y + d n ∈ t
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 w)
d' : ℕ → E
hd' : ∀ (n : ℕ), x + d' n ∈ s ∧ ‖c n • d' n‖ < (1 / 2) ^ n
⊢ Tendsto (fun n => c n • (fun n => (d' n, d n)) n) atTop (𝓝 ((LinearMap.inr 𝕜 E F) w))

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
x : E
s : Set E
t : Set F
y : F
hs : x ∈ closure s
w : F
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → F
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, y + d n ∈ t
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 w)
⊢ (LinearMap.inr 𝕜 E F) w ∈ tangentConeAt 𝕜 (s ×ˢ t) (x, y)

Tactic:
have : ∀ n, ∃ d', x + d' ∈ s ∧ ‖c n • d'‖ < ((1 : ℝ) / 2) ^ n := by
  intro n
  rcases mem_closure_iff_nhds.1 hs _
      (eventually_nhds_norm_smul_sub_lt (c n) x (pow_pos one_half_pos n)) with
    ⟨z, hz, hzs⟩
  exact ⟨z - x, by simpa using hzs, by simpa using hz⟩

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
x : E
s : Set E
t : Set F
y : F
hs : x ∈ closure s
w : F
c : ℕ → 𝕜
d : ℕ → F
hd : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, y + d n ∈ t
hc : Tendsto (fun n => ‖c n‖) atTop atTop
hy : Tendsto (fun n => c n • d n) atTop (𝓝 w)
this : ∀ (n : ℕ), ∃ d', x + d' ∈ s ∧ ‖c n • d'‖ < (1 / 2) ^ n
⊢ (LinearMap.inr 𝕜 E F) w ∈ tangentConeAt 𝕜 (s ×ˢ t) (x, y)