-- Mathlib/Data/Finsupp/Basic.lean
theorem mapDomain_injOn (S : Set α) {f : α → β} (hf : Set.InjOn f S) :
    Set.InjOn (mapDomain f : (α →₀ M) → β →₀ M) { w | (w.support : Set α) ⊆ S }

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
inst✝ : AddCommMonoid M
S : Set α
f : α → β
hf : Set.InjOn f S
v₁ : α →₀ M
hv₁ : v₁ ∈ {w | ↑w.support ⊆ S}
v₂ : α →₀ M
hv₂ : v₂ ∈ {w | ↑w.support ⊆ S}
eq : mapDomain f v₁ = mapDomain f v₂
a : α
h : a ∈ v₁.support ∪ v₂.support
⊢ a ∈ S

Tactic:
apply Set.union_subset hv₁ hv₂

Result:
case a
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
inst✝ : AddCommMonoid M
S : Set α
f : α → β
hf : Set.InjOn f S
v₁ : α →₀ M
hv₁ : v₁ ∈ {w | ↑w.support ⊆ S}
v₂ : α →₀ M
hv₂ : v₂ ∈ {w | ↑w.support ⊆ S}
eq : mapDomain f v₁ = mapDomain f v₂
a : α
h : a ∈ v₁.support ∪ v₂.support
⊢ a ∈ ↑v₁.support ∪ ↑v₂.support

Proof state:
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
inst✝ : AddCommMonoid M
S : Set α
f : α → β
hf : Set.InjOn f S
v₁ : α →₀ M
hv₁ : v₁ ∈ {w | ↑w.support ⊆ S}
v₂ : α →₀ M
hv₂ : v₂ ∈ {w | ↑w.support ⊆ S}
eq : mapDomain f v₁ = mapDomain f v₂
a : α
h : a ∉ v₁.support ∪ v₂.support
⊢ v₁ a = v₂ a

Tactic:
simp only [not_or, mem_union, not_not, mem_support_iff] at h

Result:
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
inst✝ : AddCommMonoid M
S : Set α
f : α → β
hf : Set.InjOn f S
v₁ : α →₀ M
hv₁ : v₁ ∈ {w | ↑w.support ⊆ S}
v₂ : α →₀ M
hv₂ : v₂ ∈ {w | ↑w.support ⊆ S}
eq : mapDomain f v₁ = mapDomain f v₂
a : α
h : v₁ a = 0 ∧ v₂ a = 0
⊢ v₁ a = v₂ a

Proof state:
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
inst✝ : AddCommMonoid M
S : Set α
f : α → β
hf : Set.InjOn f S
v₁ : α →₀ M
hv₁ : v₁ ∈ {w | ↑w.support ⊆ S}
v₂ : α →₀ M
hv₂ : v₂ ∈ {w | ↑w.support ⊆ S}
eq : mapDomain f v₁ = mapDomain f v₂
a : α
⊢ v₁ a = v₂ a

Tactic:
by_cases h : a ∈ v₁.support ∪ v₂.support

Result:
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
inst✝ : AddCommMonoid M
S : Set α
f : α → β
hf : Set.InjOn f S
v₁ : α →₀ M
hv₁ : v₁ ∈ {w | ↑w.support ⊆ S}
v₂ : α →₀ M
hv₂ : v₂ ∈ {w | ↑w.support ⊆ S}
eq : mapDomain f v₁ = mapDomain f v₂
a : α
h : a ∈ v₁.support ∪ v₂.support
⊢ v₁ a = v₂ a

case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
inst✝ : AddCommMonoid M
S : Set α
f : α → β
hf : Set.InjOn f S
v₁ : α →₀ M
hv₁ : v₁ ∈ {w | ↑w.support ⊆ S}
v₂ : α →₀ M
hv₂ : v₂ ∈ {w | ↑w.support ⊆ S}
eq : mapDomain f v₁ = mapDomain f v₂
a : α
h : a ∉ v₁.support ∪ v₂.support
⊢ v₁ a = v₂ a

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
inst✝ : AddCommMonoid M
S : Set α
f : α → β
hf : Set.InjOn f S
v₁ : α →₀ M
hv₁ : v₁ ∈ {w | ↑w.support ⊆ S}
v₂ : α →₀ M
hv₂ : v₂ ∈ {w | ↑w.support ⊆ S}
eq : mapDomain f v₁ = mapDomain f v₂
⊢ v₁ = v₂

Tactic:
ext a

Result:
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
inst✝ : AddCommMonoid M
S : Set α
f : α → β
hf : Set.InjOn f S
v₁ : α →₀ M
hv₁ : v₁ ∈ {w | ↑w.support ⊆ S}
v₂ : α →₀ M
hv₂ : v₂ ∈ {w | ↑w.support ⊆ S}
eq : mapDomain f v₁ = mapDomain f v₂
a : α
⊢ v₁ a = v₂ a

Proof state:
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
inst✝ : AddCommMonoid M
S : Set α
f : α → β
hf : Set.InjOn f S
v₁ : α →₀ M
hv₁ : v₁ ∈ {w | ↑w.support ⊆ S}
v₂ : α →₀ M
hv₂ : v₂ ∈ {w | ↑w.support ⊆ S}
eq : mapDomain f v₁ = mapDomain f v₂
a : α
h : v₁ a = 0 ∧ v₂ a = 0
⊢ v₁ a = v₂ a

Tactic:
simp [h]

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
inst✝ : AddCommMonoid M
S : Set α
f : α → β
hf : Set.InjOn f S
⊢ Set.InjOn (mapDomain f) {w | ↑w.support ⊆ S}

Tactic:
intro v₁ hv₁ v₂ hv₂ eq

Result:
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
inst✝ : AddCommMonoid M
S : Set α
f : α → β
hf : Set.InjOn f S
v₁ : α →₀ M
hv₁ : v₁ ∈ {w | ↑w.support ⊆ S}
v₂ : α →₀ M
hv₂ : v₂ ∈ {w | ↑w.support ⊆ S}
eq : mapDomain f v₁ = mapDomain f v₂
⊢ v₁ = v₂

Proof state:
case a
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_5
inst✝ : AddCommMonoid M
S : Set α
f : α → β
hf : Set.InjOn f S
v₁ : α →₀ M
hv₁ : v₁ ∈ {w | ↑w.support ⊆ S}
v₂ : α →₀ M
hv₂ : v₂ ∈ {w | ↑w.support ⊆ S}
eq : mapDomain f v₁ = mapDomain f v₂
a : α
h : a ∈ v₁.support ∪ v₂.support
⊢ a ∈ ↑v₁.support ∪ ↑v₂.support

Tactic:
exact mod_cast h

Result:
no goals