-- Mathlib/.lake/packages/lean4/src/lean/Init/Data/List/Sort/Lemmas.lean
theorem mergeSort_cons {le : α → α → Bool}
    (trans : ∀ (a b c : α), le a b → le b c → le a c)
    (total : ∀ (a b : α), le a b || le b a)
    (a : α) (l : List α) :
    ∃ l₁ l₂, mergeSort (a :: l) le = l₁ ++ a :: l₂ ∧ mergeSort l le = l₁ ++ l₂ ∧
      ∀ b, b ∈ l₁ → !le a b

Proof state:
case intro.intro.refine_2.e_a.x.mk.mk
α : Type u_1
le : α → α → Bool
trans : ∀ (a b c : α), le a b = true → le b c = true → le a c = true
total : ∀ (a b : α), (le a b || le b a) = true
a✝ : α
l : List α
nd : (map (fun x => x.snd) (a✝ :: l).zipIdx).Nodup
m₁ : (a✝, 0) ∈ (a✝ :: l).zipIdx.mergeSort (zipIdxLE le)
l₁ l₂ : List (α × Nat)
h : (a✝ :: l).zipIdx.mergeSort (zipIdxLE le) = l₁ ++ (a✝, 0) :: l₂
s : Pairwise (fun a b => zipIdxLE le a b = true) (l₁ ++ (a✝, 0) :: l₂)
p : l₁ ++ (a✝, 0) :: l₂ ~ (a✝ :: l).zipIdx
q : (l.zipIdx 1).mergeSort (zipIdxLE le) ~ l₁ ++ l₂
a : α
i : Nat
b : α
j : Nat
ha : (a, i) ∈ (l.zipIdx 1).mergeSort (zipIdxLE le)
hb : (b, j) ∈ l₁ ++ l₂
⊢ zipIdxLE le (a, i) (b, j) = true → zipIdxLE le (b, j) (a, i) = true → (a, i) = (b, j)

Tactic:
simp only [mem_mergeSort] at ha

Result:
case intro.intro.refine_2.e_a.x.mk.mk
α : Type u_1
le : α → α → Bool
trans : ∀ (a b c : α), le a b = true → le b c = true → le a c = true
total : ∀ (a b : α), (le a b || le b a) = true
a✝ : α
l : List α
nd : (map (fun x => x.snd) (a✝ :: l).zipIdx).Nodup
m₁ : (a✝, 0) ∈ (a✝ :: l).zipIdx.mergeSort (zipIdxLE le)
l₁ l₂ : List (α × Nat)
h : (a✝ :: l).zipIdx.mergeSort (zipIdxLE le) = l₁ ++ (a✝, 0) :: l₂
s : Pairwise (fun a b => zipIdxLE le a b = true) (l₁ ++ (a✝, 0) :: l₂)
p : l₁ ++ (a✝, 0) :: l₂ ~ (a✝ :: l).zipIdx
q : (l.zipIdx 1).mergeSort (zipIdxLE le) ~ l₁ ++ l₂
a : α
i : Nat
b : α
j : Nat
hb : (b, j) ∈ l₁ ++ l₂
ha : (a, i) ∈ l.zipIdx 1
⊢ zipIdxLE le (a, i) (b, j) = true → zipIdxLE le (b, j) (a, i) = true → (a, i) = (b, j)

Proof state:
case intro.intro.refine_3.intro.intro.intro
α : Type u_1
le : α → α → Bool
trans : ∀ (a b c : α), le a b = true → le b c = true → le a c = true
total : ∀ (a b : α), (le a b || le b a) = true
a : α
l : List α
nd : (map (fun x => x.snd) (a :: l).zipIdx).Nodup
m₁ : (a, 0) ∈ (a :: l).zipIdx.mergeSort (zipIdxLE le)
l₁ l₂ : List (α × Nat)
h : (a :: l).zipIdx.mergeSort (zipIdxLE le) = l₁ ++ (a, 0) :: l₂
s : Pairwise (fun a b => zipIdxLE le a b = true) (l₁ ++ (a, 0) :: l₂)
j : α
w✝ : Nat
m : (j, w✝) ∈ l₁
p : map (fun x => x.snd) (l₁ ++ (a, 0) :: l₂) ~ map (fun x => x.snd) (a :: l).zipIdx
nd' : (map (fun x => x.snd) l₁ ++ map (fun x => x.snd) ((a, 0) :: l₂)).Nodup
j0 : (j, w✝).snd ≠ (a, 0).snd
⊢ (!le a j) = true

Tactic:
simp only [ne_eq] at j0

Result:
case intro.intro.refine_3.intro.intro.intro
α : Type u_1
le : α → α → Bool
trans : ∀ (a b c : α), le a b = true → le b c = true → le a c = true
total : ∀ (a b : α), (le a b || le b a) = true
a : α
l : List α
nd : (map (fun x => x.snd) (a :: l).zipIdx).Nodup
m₁ : (a, 0) ∈ (a :: l).zipIdx.mergeSort (zipIdxLE le)
l₁ l₂ : List (α × Nat)
h : (a :: l).zipIdx.mergeSort (zipIdxLE le) = l₁ ++ (a, 0) :: l₂
s : Pairwise (fun a b => zipIdxLE le a b = true) (l₁ ++ (a, 0) :: l₂)
j : α
w✝ : Nat
m : (j, w✝) ∈ l₁
p : map (fun x => x.snd) (l₁ ++ (a, 0) :: l₂) ~ map (fun x => x.snd) (a :: l).zipIdx
nd' : (map (fun x => x.snd) l₁ ++ map (fun x => x.snd) ((a, 0) :: l₂)).Nodup
j0 : ¬w✝ = 0
⊢ (!le a j) = true

Proof state:
case intro.intro.refine_2
α : Type u_1
le : α → α → Bool
trans : ∀ (a b c : α), le a b = true → le b c = true → le a c = true
total : ∀ (a b : α), (le a b || le b a) = true
a : α
l : List α
nd : (map (fun x => x.snd) (a :: l).zipIdx).Nodup
m₁ : (a, 0) ∈ (a :: l).zipIdx.mergeSort (zipIdxLE le)
l₁ l₂ : List (α × Nat)
h : (a :: l).zipIdx.mergeSort (zipIdxLE le) = l₁ ++ (a, 0) :: l₂
s : Pairwise (fun a b => zipIdxLE le a b = true) (l₁ ++ (a, 0) :: l₂)
p : l₁ ++ (a, 0) :: l₂ ~ (a :: l).zipIdx
⊢ map (fun x => x.fst) ((l.zipIdx 1).mergeSort (zipIdxLE le)) = map (fun x => x.fst) (l₁ ++ l₂)

Tactic:
congr 1

Result:
case intro.intro.refine_2.e_a
α : Type u_1
le : α → α → Bool
trans : ∀ (a b c : α), le a b = true → le b c = true → le a c = true
total : ∀ (a b : α), (le a b || le b a) = true
a : α
l : List α
nd : (map (fun x => x.snd) (a :: l).zipIdx).Nodup
m₁ : (a, 0) ∈ (a :: l).zipIdx.mergeSort (zipIdxLE le)
l₁ l₂ : List (α × Nat)
h : (a :: l).zipIdx.mergeSort (zipIdxLE le) = l₁ ++ (a, 0) :: l₂
s : Pairwise (fun a b => zipIdxLE le a b = true) (l₁ ++ (a, 0) :: l₂)
p : l₁ ++ (a, 0) :: l₂ ~ (a :: l).zipIdx
⊢ (l.zipIdx 1).mergeSort (zipIdxLE le) = l₁ ++ l₂

Proof state:
case intro.intro.refine_2.e_a
α : Type u_1
le : α → α → Bool
trans : ∀ (a b c : α), le a b = true → le b c = true → le a c = true
total : ∀ (a b : α), (le a b || le b a) = true
a : α
l : List α
nd : (map (fun x => x.snd) (a :: l).zipIdx).Nodup
m₁ : (a, 0) ∈ (a :: l).zipIdx.mergeSort (zipIdxLE le)
l₁ l₂ : List (α × Nat)
h : (a :: l).zipIdx.mergeSort (zipIdxLE le) = l₁ ++ (a, 0) :: l₂
s : Pairwise (fun a b => zipIdxLE le a b = true) (l₁ ++ (a, 0) :: l₂)
p : l₁ ++ (a, 0) :: l₂ ~ (a :: l).zipIdx
⊢ (l.zipIdx 1).mergeSort (zipIdxLE le) = l₁ ++ l₂

Tactic:
have q : mergeSort (l.zipIdx 1) (zipIdxLE le) ~ l₁ ++ l₂ :=
  (mergeSort_perm (l.zipIdx 1) (zipIdxLE le)).trans
    (p.symm.trans perm_middle).cons_inv

Result:
case intro.intro.refine_2.e_a
α : Type u_1
le : α → α → Bool
trans : ∀ (a b c : α), le a b = true → le b c = true → le a c = true
total : ∀ (a b : α), (le a b || le b a) = true
a : α
l : List α
nd : (map (fun x => x.snd) (a :: l).zipIdx).Nodup
m₁ : (a, 0) ∈ (a :: l).zipIdx.mergeSort (zipIdxLE le)
l₁ l₂ : List (α × Nat)
h : (a :: l).zipIdx.mergeSort (zipIdxLE le) = l₁ ++ (a, 0) :: l₂
s : Pairwise (fun a b => zipIdxLE le a b = true) (l₁ ++ (a, 0) :: l₂)
p : l₁ ++ (a, 0) :: l₂ ~ (a :: l).zipIdx
q : (l.zipIdx 1).mergeSort (zipIdxLE le) ~ l₁ ++ l₂
⊢ (l.zipIdx 1).mergeSort (zipIdxLE le) = l₁ ++ l₂

Proof state:
case intro.intro.refine_2.e_a.x.mk.mk.refl.right
α : Type u_1
le : α → α → Bool
trans : ∀ (a b c : α), le a b = true → le b c = true → le a c = true
total : ∀ (a b : α), (le a b || le b a) = true
a✝ : α
l : List α
nd : (map (fun x => x.snd) (a✝ :: l).zipIdx).Nodup
m₁ : (a✝, 0) ∈ (a✝ :: l).zipIdx.mergeSort (zipIdxLE le)
l₁ l₂ : List (α × Nat)
h✝ : (a✝ :: l).zipIdx.mergeSort (zipIdxLE le) = l₁ ++ (a✝, 0) :: l₂
s : Pairwise (fun a b => zipIdxLE le a b = true) (l₁ ++ (a✝, 0) :: l₂)
p : l₁ ++ (a✝, 0) :: l₂ ~ (a✝ :: l).zipIdx
q : (l.zipIdx 1).mergeSort (zipIdxLE le) ~ l₁ ++ l₂
a : α
i : Nat
b : α
ha : (a, i) ∈ l.zipIdx 1
ab : decide (le a b = true) = true
ba : le b a = true
hb : (b, i) ∈ l.zipIdx 1
h h' : i ≤ i
⊢ i = i

Tactic:
rfl

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro.refine_3
α : Type u_1
le : α → α → Bool
trans : ∀ (a b c : α), le a b = true → le b c = true → le a c = true
total : ∀ (a b : α), (le a b || le b a) = true
a : α
l : List α
nd : (map (fun x => x.snd) (a :: l).zipIdx).Nodup
m₁ : (a, 0) ∈ (a :: l).zipIdx.mergeSort (zipIdxLE le)
l₁ l₂ : List (α × Nat)
h : (a :: l).zipIdx.mergeSort (zipIdxLE le) = l₁ ++ (a, 0) :: l₂
s : Pairwise (fun a b => zipIdxLE le a b = true) (l₁ ++ (a, 0) :: l₂)
p : l₁ ++ (a, 0) :: l₂ ~ (a :: l).zipIdx
b : α
m : b ∈ map (fun x => x.fst) l₁
⊢ (!le a b) = true

Tactic:
simp only [mem_map, Prod.exists] at m

Result:
case intro.intro.refine_3
α : Type u_1
le : α → α → Bool
trans : ∀ (a b c : α), le a b = true → le b c = true → le a c = true
total : ∀ (a b : α), (le a b || le b a) = true
a : α
l : List α
nd : (map (fun x => x.snd) (a :: l).zipIdx).Nodup
m₁ : (a, 0) ∈ (a :: l).zipIdx.mergeSort (zipIdxLE le)
l₁ l₂ : List (α × Nat)
h : (a :: l).zipIdx.mergeSort (zipIdxLE le) = l₁ ++ (a, 0) :: l₂
s : Pairwise (fun a b => zipIdxLE le a b = true) (l₁ ++ (a, 0) :: l₂)
p : l₁ ++ (a, 0) :: l₂ ~ (a :: l).zipIdx
b : α
m : ∃ a b_1, (a, b_1) ∈ l₁ ∧ a = b
⊢ (!le a b) = true