-- Mathlib/Analysis/Normed/Group/CocompactMap.lean
theorem Filter.tendsto_cocompact_cocompact_of_norm [ProperSpace E] {f : E → F}
    (h : ∀ ε : ℝ, ∃ r : ℝ, ∀ x : E, r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖) :
    Tendsto f (cocompact E) (cocompact F)

Proof state:
case h.a
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : ProperSpace E
f : E → F
h : ∀ (ε : ℝ), ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
s : Set F
hs : s ∈ cocompact F
ε : ℝ
hε : (closedBall 0 ε)ᶜ ⊆ s
r : ℝ
hr : ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
x : E
hx : r < ‖x‖
⊢ f x ∈ (closedBall 0 ε)ᶜ

Tactic:
simp [hr x hx]

Result:
no goals

Proof state:
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : ProperSpace E
f : E → F
h : ∀ (ε : ℝ), ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
s : Set F
hs : s ∈ cocompact F
⊢ f ⁻¹' s ∈ cocompact E

Tactic:
rcases closedBall_compl_subset_of_mem_cocompact hs 0 with ⟨ε, hε⟩

Result:
case intro
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : ProperSpace E
f : E → F
h : ∀ (ε : ℝ), ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
s : Set F
hs : s ∈ cocompact F
ε : ℝ
hε : (closedBall 0 ε)ᶜ ⊆ s
⊢ f ⁻¹' s ∈ cocompact E

Proof state:
case intro.intro
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : ProperSpace E
f : E → F
h : ∀ (ε : ℝ), ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
s : Set F
hs : s ∈ cocompact F
ε : ℝ
hε : (closedBall 0 ε)ᶜ ⊆ s
r : ℝ
hr : ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
⊢ ∃ r, (closedBall 0 r)ᶜ ⊆ f ⁻¹' s

Tactic:
use r

Result:
case h
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : ProperSpace E
f : E → F
h : ∀ (ε : ℝ), ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
s : Set F
hs : s ∈ cocompact F
ε : ℝ
hε : (closedBall 0 ε)ᶜ ⊆ s
r : ℝ
hr : ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
⊢ (closedBall 0 r)ᶜ ⊆ f ⁻¹' s

Proof state:
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : ProperSpace E
f : E → F
h : ∀ (ε : ℝ), ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
⊢ ∀ s ∈ cocompact F, f ⁻¹' s ∈ cocompact E

Tactic:
intro s hs

Result:
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : ProperSpace E
f : E → F
h : ∀ (ε : ℝ), ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
s : Set F
hs : s ∈ cocompact F
⊢ f ⁻¹' s ∈ cocompact E

Proof state:
case h
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : ProperSpace E
f : E → F
h : ∀ (ε : ℝ), ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
s : Set F
hs : s ∈ cocompact F
ε : ℝ
hε : (closedBall 0 ε)ᶜ ⊆ s
r : ℝ
hr : ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
x : E
hx : r < ‖x‖
⊢ x ∈ f ⁻¹' s

Tactic:
apply hε

Result:
case h.a
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : ProperSpace E
f : E → F
h : ∀ (ε : ℝ), ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
s : Set F
hs : s ∈ cocompact F
ε : ℝ
hε : (closedBall 0 ε)ᶜ ⊆ s
r : ℝ
hr : ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
x : E
hx : r < ‖x‖
⊢ f x ∈ (closedBall 0 ε)ᶜ

Proof state:
case h
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : ProperSpace E
f : E → F
h : ∀ (ε : ℝ), ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
s : Set F
hs : s ∈ cocompact F
ε : ℝ
hε : (closedBall 0 ε)ᶜ ⊆ s
r : ℝ
hr : ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
x : E
hx : x ∈ (closedBall 0 r)ᶜ
⊢ x ∈ f ⁻¹' s

Tactic:
simp only [Set.mem_compl_iff, Metric.mem_closedBall, dist_zero_right, not_le] at hx

Result:
case h
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : ProperSpace E
f : E → F
h : ∀ (ε : ℝ), ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
s : Set F
hs : s ∈ cocompact F
ε : ℝ
hε : (closedBall 0 ε)ᶜ ⊆ s
r : ℝ
hr : ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
x : E
hx : r < ‖x‖
⊢ x ∈ f ⁻¹' s

Proof state:
case intro
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : ProperSpace E
f : E → F
h : ∀ (ε : ℝ), ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
s : Set F
hs : s ∈ cocompact F
ε : ℝ
hε : (closedBall 0 ε)ᶜ ⊆ s
⊢ f ⁻¹' s ∈ cocompact E

Tactic:
rcases h ε with ⟨r, hr⟩

Result:
case intro.intro
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : ProperSpace E
f : E → F
h : ∀ (ε : ℝ), ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
s : Set F
hs : s ∈ cocompact F
ε : ℝ
hε : (closedBall 0 ε)ᶜ ⊆ s
r : ℝ
hr : ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
⊢ f ⁻¹' s ∈ cocompact E

Proof state:
case intro.intro
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : ProperSpace E
f : E → F
h : ∀ (ε : ℝ), ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
s : Set F
hs : s ∈ cocompact F
ε : ℝ
hε : (closedBall 0 ε)ᶜ ⊆ s
r : ℝ
hr : ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
⊢ f ⁻¹' s ∈ cocompact E

Tactic:
apply mem_cocompact_of_closedBall_compl_subset 0

Result:
case intro.intro
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : ProperSpace E
f : E → F
h : ∀ (ε : ℝ), ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
s : Set F
hs : s ∈ cocompact F
ε : ℝ
hε : (closedBall 0 ε)ᶜ ⊆ s
r : ℝ
hr : ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
⊢ ∃ r, (closedBall 0 r)ᶜ ⊆ f ⁻¹' s

Proof state:
case h
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : ProperSpace E
f : E → F
h : ∀ (ε : ℝ), ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
s : Set F
hs : s ∈ cocompact F
ε : ℝ
hε : (closedBall 0 ε)ᶜ ⊆ s
r : ℝ
hr : ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
⊢ (closedBall 0 r)ᶜ ⊆ f ⁻¹' s

Tactic:
intro x hx

Result:
case h
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : ProperSpace E
f : E → F
h : ∀ (ε : ℝ), ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
s : Set F
hs : s ∈ cocompact F
ε : ℝ
hε : (closedBall 0 ε)ᶜ ⊆ s
r : ℝ
hr : ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
x : E
hx : x ∈ (closedBall 0 r)ᶜ
⊢ x ∈ f ⁻¹' s

Proof state:
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : ProperSpace E
f : E → F
h : ∀ (ε : ℝ), ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
⊢ Tendsto f (cocompact E) (cocompact F)

Tactic:
rw [tendsto_def]

Result:
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : ProperSpace E
f : E → F
h : ∀ (ε : ℝ), ∃ r, ∀ (x : E), r < ‖x‖ → ε < ‖f x‖
⊢ ∀ s ∈ cocompact F, f ⁻¹' s ∈ cocompact E