-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
theorem sign_bij [DecidableEq β] [Fintype β] {f : Perm α} {g : Perm β} (i : ∀ x : α, f x ≠ x → β)
    (h : ∀ x hx hx', i (f x) hx' = g (i x hx)) (hi : ∀ x₁ x₂ hx₁ hx₂, i x₁ hx₁ = i x₂ hx₂ → x₁ = x₂)
    (hg : ∀ y, g y ≠ y → ∃ x hx, i x hx = y) : sign f = sign g :=
  calc
    sign f = sign (subtypePerm f <| by simp : Perm { x // f x ≠ x }) :=
      (sign_subtypePerm _ _ fun _ => id).symm
    _ = sign (subtypePerm g <| by simp : Perm { x // g x ≠ x }) :=
      sign_eq_sign_of_equiv _ _
        (Equiv.ofBijective
          (fun x : { x // f x ≠ x } =>
            (⟨i x.1 x.2, by
                have : f (f x) ≠ f x := mt (fun h => f.injective h) x.2
                rw [← h _ x.2 this]
                exact mt (hi _ _ this x.2) x.2⟩ :
              { y // g y ≠ y }))
          ⟨fun ⟨_, _⟩ ⟨_, _⟩ h => Subtype.eq (hi _ _ _ _ (Subtype.mk.inj h)), fun ⟨y, hy⟩ =>
            let ⟨x, hfx, hx⟩ := hg y hy
            ⟨⟨x, hfx⟩, Subtype.eq hx⟩⟩)
        fun ⟨x, _⟩ => Subtype.eq (h x _ _)
    _ = sign g := sign_subtypePerm _ _ fun _ => id

Proof state:
α : Type u
inst✝³ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Fintype β
f : Perm α
g : Perm β
i : (x : α) → f x ≠ x → β
h : ∀ (x : α) (hx : f x ≠ x) (hx' : f (f x) ≠ f x), i (f x) hx' = g (i x hx)
hi : ∀ (x₁ x₂ : α) (hx₁ : f x₁ ≠ x₁) (hx₂ : f x₂ ≠ x₂), i x₁ hx₁ = i x₂ hx₂ → x₁ = x₂
hg : ∀ (y : β), g y ≠ y → ∃ x, ∃ (hx : f x ≠ x), i x hx = y
x : { x // f x ≠ x }
this : f (f ↑x) ≠ f ↑x
⊢ i (f ↑x) this ≠ i ↑x ⋯

Tactic:
exact mt (hi _ _ this x.2) x.2

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u
inst✝³ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Fintype β
f : Perm α
g : Perm β
i : (x : α) → f x ≠ x → β
h : ∀ (x : α) (hx : f x ≠ x) (hx' : f (f x) ≠ f x), i (f x) hx' = g (i x hx)
hi : ∀ (x₁ x₂ : α) (hx₁ : f x₁ ≠ x₁) (hx₂ : f x₂ ≠ x₂), i x₁ hx₁ = i x₂ hx₂ → x₁ = x₂
hg : ∀ (y : β), g y ≠ y → ∃ x, ∃ (hx : f x ≠ x), i x hx = y
⊢ ∀ (x : β), g x ≠ x ↔ g (g x) ≠ g x

Tactic:
simp

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u
inst✝³ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Fintype β
f : Perm α
g : Perm β
i : (x : α) → f x ≠ x → β
h : ∀ (x : α) (hx : f x ≠ x) (hx' : f (f x) ≠ f x), i (f x) hx' = g (i x hx)
hi : ∀ (x₁ x₂ : α) (hx₁ : f x₁ ≠ x₁) (hx₂ : f x₂ ≠ x₂), i x₁ hx₁ = i x₂ hx₂ → x₁ = x₂
hg : ∀ (y : β), g y ≠ y → ∃ x, ∃ (hx : f x ≠ x), i x hx = y
⊢ ∀ (x : α), f x ≠ x ↔ f (f x) ≠ f x

Tactic:
simp

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u
inst✝³ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Fintype β
f : Perm α
g : Perm β
i : (x : α) → f x ≠ x → β
h : ∀ (x : α) (hx : f x ≠ x) (hx' : f (f x) ≠ f x), i (f x) hx' = g (i x hx)
hi : ∀ (x₁ x₂ : α) (hx₁ : f x₁ ≠ x₁) (hx₂ : f x₂ ≠ x₂), i x₁ hx₁ = i x₂ hx₂ → x₁ = x₂
hg : ∀ (y : β), g y ≠ y → ∃ x, ∃ (hx : f x ≠ x), i x hx = y
x : { x // f x ≠ x }
⊢ g (i ↑x ⋯) ≠ i ↑x ⋯

Tactic:
have : f (f x) ≠ f x := mt (fun h => f.injective h) x.2

Result:
α : Type u
inst✝³ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Fintype β
f : Perm α
g : Perm β
i : (x : α) → f x ≠ x → β
h : ∀ (x : α) (hx : f x ≠ x) (hx' : f (f x) ≠ f x), i (f x) hx' = g (i x hx)
hi : ∀ (x₁ x₂ : α) (hx₁ : f x₁ ≠ x₁) (hx₂ : f x₂ ≠ x₂), i x₁ hx₁ = i x₂ hx₂ → x₁ = x₂
hg : ∀ (y : β), g y ≠ y → ∃ x, ∃ (hx : f x ≠ x), i x hx = y
x : { x // f x ≠ x }
this : f (f ↑x) ≠ f ↑x
⊢ g (i ↑x ⋯) ≠ i ↑x ⋯

Proof state:
α : Type u
inst✝³ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Fintype β
f : Perm α
g : Perm β
i : (x : α) → f x ≠ x → β
h : ∀ (x : α) (hx : f x ≠ x) (hx' : f (f x) ≠ f x), i (f x) hx' = g (i x hx)
hi : ∀ (x₁ x₂ : α) (hx₁ : f x₁ ≠ x₁) (hx₂ : f x₂ ≠ x₂), i x₁ hx₁ = i x₂ hx₂ → x₁ = x₂
hg : ∀ (y : β), g y ≠ y → ∃ x, ∃ (hx : f x ≠ x), i x hx = y
x : { x // f x ≠ x }
this : f (f ↑x) ≠ f ↑x
⊢ g (i ↑x ⋯) ≠ i ↑x ⋯

Tactic:
rw [← h _ x.2 this]

Result:
α : Type u
inst✝³ : DecidableEq α
β : Type v
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq β
inst✝ : Fintype β
f : Perm α
g : Perm β
i : (x : α) → f x ≠ x → β
h : ∀ (x : α) (hx : f x ≠ x) (hx' : f (f x) ≠ f x), i (f x) hx' = g (i x hx)
hi : ∀ (x₁ x₂ : α) (hx₁ : f x₁ ≠ x₁) (hx₂ : f x₂ ≠ x₂), i x₁ hx₁ = i x₂ hx₂ → x₁ = x₂
hg : ∀ (y : β), g y ≠ y → ∃ x, ∃ (hx : f x ≠ x), i x hx = y
x : { x // f x ≠ x }
this : f (f ↑x) ≠ f ↑x
⊢ i (f ↑x) this ≠ i ↑x ⋯