-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Degree.lean
lemma supDegree_leadingCoeff_sum_eq
    (hi : i ∈ s) (hmax : ∀ j ∈ s, j ≠ i → (f j).supDegree D < (f i).supDegree D) :
    (∑ j ∈ s, f j).supDegree D = (f i).supDegree D ∧
    (∑ j ∈ s, f j).leadingCoeff D = (f i).leadingCoeff D

Proof state:
case neg.refine_2
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : LinearOrder B
inst✝¹ : OrderBot B
D : A → B
ι : Type u_7
s : Finset ι
i : ι
f : ι → R[A]
inst✝ : AddZeroClass A
hi : i ∈ s
hmax : ∀ j ∈ s, j ≠ i → supDegree D (f j) < supDegree D (f i)
hs : ¬s.erase i = ∅
j : ι
hj : j ≠ i ∧ j ∈ s
⊢ supDegree D (f j) < supDegree D (f i)

Tactic:
exact hmax j hj.2 hj.1

Result:
no goals

Proof state:
case neg
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : LinearOrder B
inst✝¹ : OrderBot B
D : A → B
ι : Type u_7
s : Finset ι
i : ι
f : ι → R[A]
inst✝ : AddZeroClass A
hi : i ∈ s
hmax : ∀ j ∈ s, j ≠ i → supDegree D (f j) < supDegree D (f i)
hs : ¬s.erase i = ∅
⊢ supDegree D (f i + ∑ x ∈ s.erase i, f x) = supDegree D (f i) ∧
    leadingCoeff D (f i + ∑ x ∈ s.erase i, f x) = leadingCoeff D (f i)

Tactic:
suffices _ from ⟨supDegree_add_eq_left this, leadingCoeff_add_eq_left this⟩

Result:
case neg
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : LinearOrder B
inst✝¹ : OrderBot B
D : A → B
ι : Type u_7
s : Finset ι
i : ι
f : ι → R[A]
inst✝ : AddZeroClass A
hi : i ∈ s
hmax : ∀ j ∈ s, j ≠ i → supDegree D (f j) < supDegree D (f i)
hs : ¬s.erase i = ∅
⊢ supDegree D (∑ x ∈ s.erase i, f x) < supDegree D (f i)

Proof state:
case neg.refine_1
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : LinearOrder B
inst✝¹ : OrderBot B
D : A → B
ι : Type u_7
s : Finset ι
i : ι
f : ι → R[A]
inst✝ : AddZeroClass A
hi : i ∈ s
hmax : ∀ j ∈ s, j ≠ i → supDegree D (f j) < supDegree D (f i)
hs : ¬s.erase i = ∅
⊢ (s.erase i).Nonempty

Tactic:
rw [Finset.nonempty_iff_ne_empty]

Result:
case neg.refine_1
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : LinearOrder B
inst✝¹ : OrderBot B
D : A → B
ι : Type u_7
s : Finset ι
i : ι
f : ι → R[A]
inst✝ : AddZeroClass A
hi : i ∈ s
hmax : ∀ j ∈ s, j ≠ i → supDegree D (f j) < supDegree D (f i)
hs : ¬s.erase i = ∅
⊢ s.erase i ≠ ∅

Proof state:
case neg
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : LinearOrder B
inst✝¹ : OrderBot B
D : A → B
ι : Type u_7
s : Finset ι
i : ι
f : ι → R[A]
inst✝ : AddZeroClass A
hi : i ∈ s
hmax : ∀ j ∈ s, j ≠ i → supDegree D (f j) < supDegree D (f i)
hs : ¬s.erase i = ∅
⊢ supDegree D (∑ x ∈ s.erase i, f x) < supDegree D (f i)

Tactic:
refine supDegree_sum_lt ?_ (fun j hj => ?_)

Result:
case neg.refine_1
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : LinearOrder B
inst✝¹ : OrderBot B
D : A → B
ι : Type u_7
s : Finset ι
i : ι
f : ι → R[A]
inst✝ : AddZeroClass A
hi : i ∈ s
hmax : ∀ j ∈ s, j ≠ i → supDegree D (f j) < supDegree D (f i)
hs : ¬s.erase i = ∅
⊢ (s.erase i).Nonempty

case neg.refine_2
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : LinearOrder B
inst✝¹ : OrderBot B
D : A → B
ι : Type u_7
s : Finset ι
i : ι
f : ι → R[A]
inst✝ : AddZeroClass A
hi : i ∈ s
hmax : ∀ j ∈ s, j ≠ i → supDegree D (f j) < supDegree D (f i)
hs : ¬s.erase i = ∅
j : ι
hj : j ∈ s.erase i
⊢ supDegree D (f j) < supDegree D (f i)

Proof state:
case pos
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : LinearOrder B
inst✝¹ : OrderBot B
D : A → B
ι : Type u_7
s : Finset ι
i : ι
f : ι → R[A]
inst✝ : AddZeroClass A
hi : i ∈ s
hmax : ∀ j ∈ s, j ≠ i → supDegree D (f j) < supDegree D (f i)
hs : s.erase i = ∅
⊢ supDegree D (f i) = supDegree D (f i) ∧ leadingCoeff D (f i) = leadingCoeff D (f i)

Tactic:
exact ⟨rfl, rfl⟩

Result:
no goals

Proof state:
case pos
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : LinearOrder B
inst✝¹ : OrderBot B
D : A → B
ι : Type u_7
s : Finset ι
i : ι
f : ι → R[A]
inst✝ : AddZeroClass A
hi : i ∈ s
hmax : ∀ j ∈ s, j ≠ i → supDegree D (f j) < supDegree D (f i)
hs : s.erase i = ∅
⊢ supDegree D (f i + ∑ x ∈ s.erase i, f x) = supDegree D (f i) ∧
    leadingCoeff D (f i + ∑ x ∈ s.erase i, f x) = leadingCoeff D (f i)

Tactic:
rw [hs, Finset.sum_empty, add_zero]

Result:
case pos
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : LinearOrder B
inst✝¹ : OrderBot B
D : A → B
ι : Type u_7
s : Finset ι
i : ι
f : ι → R[A]
inst✝ : AddZeroClass A
hi : i ∈ s
hmax : ∀ j ∈ s, j ≠ i → supDegree D (f j) < supDegree D (f i)
hs : s.erase i = ∅
⊢ supDegree D (f i) = supDegree D (f i) ∧ leadingCoeff D (f i) = leadingCoeff D (f i)

Proof state:
case neg.refine_1
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : LinearOrder B
inst✝¹ : OrderBot B
D : A → B
ι : Type u_7
s : Finset ι
i : ι
f : ι → R[A]
inst✝ : AddZeroClass A
hi : i ∈ s
hmax : ∀ j ∈ s, j ≠ i → supDegree D (f j) < supDegree D (f i)
hs : ¬s.erase i = ∅
⊢ s.erase i ≠ ∅

Tactic:
exact hs

Result:
no goals

Proof state:
case neg.refine_2
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : LinearOrder B
inst✝¹ : OrderBot B
D : A → B
ι : Type u_7
s : Finset ι
i : ι
f : ι → R[A]
inst✝ : AddZeroClass A
hi : i ∈ s
hmax : ∀ j ∈ s, j ≠ i → supDegree D (f j) < supDegree D (f i)
hs : ¬s.erase i = ∅
j : ι
hj : j ∈ s.erase i
⊢ supDegree D (f j) < supDegree D (f i)

Tactic:
rw [Finset.mem_erase] at hj

Result:
case neg.refine_2
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : LinearOrder B
inst✝¹ : OrderBot B
D : A → B
ι : Type u_7
s : Finset ι
i : ι
f : ι → R[A]
inst✝ : AddZeroClass A
hi : i ∈ s
hmax : ∀ j ∈ s, j ≠ i → supDegree D (f j) < supDegree D (f i)
hs : ¬s.erase i = ∅
j : ι
hj : j ≠ i ∧ j ∈ s
⊢ supDegree D (f j) < supDegree D (f i)

Proof state:
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : LinearOrder B
inst✝¹ : OrderBot B
D : A → B
ι : Type u_7
s : Finset ι
i : ι
f : ι → R[A]
inst✝ : AddZeroClass A
hi : i ∈ s
hmax : ∀ j ∈ s, j ≠ i → supDegree D (f j) < supDegree D (f i)
⊢ supDegree D (f i + ∑ x ∈ s.erase i, f x) = supDegree D (f i) ∧
    leadingCoeff D (f i + ∑ x ∈ s.erase i, f x) = leadingCoeff D (f i)

Tactic:
by_cases hs : s.erase i = ∅

Result:
case pos
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : LinearOrder B
inst✝¹ : OrderBot B
D : A → B
ι : Type u_7
s : Finset ι
i : ι
f : ι → R[A]
inst✝ : AddZeroClass A
hi : i ∈ s
hmax : ∀ j ∈ s, j ≠ i → supDegree D (f j) < supDegree D (f i)
hs : s.erase i = ∅
⊢ supDegree D (f i + ∑ x ∈ s.erase i, f x) = supDegree D (f i) ∧
    leadingCoeff D (f i + ∑ x ∈ s.erase i, f x) = leadingCoeff D (f i)

case neg
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : LinearOrder B
inst✝¹ : OrderBot B
D : A → B
ι : Type u_7
s : Finset ι
i : ι
f : ι → R[A]
inst✝ : AddZeroClass A
hi : i ∈ s
hmax : ∀ j ∈ s, j ≠ i → supDegree D (f j) < supDegree D (f i)
hs : ¬s.erase i = ∅
⊢ supDegree D (f i + ∑ x ∈ s.erase i, f x) = supDegree D (f i) ∧
    leadingCoeff D (f i + ∑ x ∈ s.erase i, f x) = leadingCoeff D (f i)

Proof state:
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : LinearOrder B
inst✝¹ : OrderBot B
D : A → B
ι : Type u_7
s : Finset ι
i : ι
f : ι → R[A]
inst✝ : AddZeroClass A
hi : i ∈ s
hmax : ∀ j ∈ s, j ≠ i → supDegree D (f j) < supDegree D (f i)
⊢ supDegree D (∑ j ∈ s, f j) = supDegree D (f i) ∧ leadingCoeff D (∑ j ∈ s, f j) = leadingCoeff D (f i)

Tactic:
rw [← s.add_sum_erase _ hi]

Result:
R : Type u_1
A : Type u_3
B : Type u_5
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : LinearOrder B
inst✝¹ : OrderBot B
D : A → B
ι : Type u_7
s : Finset ι
i : ι
f : ι → R[A]
inst✝ : AddZeroClass A
hi : i ∈ s
hmax : ∀ j ∈ s, j ≠ i → supDegree D (f j) < supDegree D (f i)
⊢ supDegree D (f i + ∑ x ∈ s.erase i, f x) = supDegree D (f i) ∧
    leadingCoeff D (f i + ∑ x ∈ s.erase i, f x) = leadingCoeff D (f i)