-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/Banach.lean
theorem exists_preimage_norm_le (surj : Surjective f) :
    ∃ C > 0, ∀ y, ∃ x, f x = y ∧ ‖x‖ ≤ C * ‖y‖

Proof state:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
E : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁴ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝³ : RingHomIsometric σ
inst✝² : RingHomIsometric σ'
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
surj : Surjective ⇑f
C : ℝ
C0 : C ≥ 0
g : F → E
hg : ∀ (y : F), dist (f (g y)) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖g y‖ ≤ C * ‖y‖
h : F → F := fun y => y - f (g y)
hle : ∀ (y : F), ‖h y‖ ≤ 1 / 2 * ‖y‖
y : F
hnle : ∀ (n : ℕ), ‖h^[n] y‖ ≤ (1 / 2) ^ n * ‖y‖
u : ℕ → E := fun n => g (h^[n] y)
ule : ∀ (n : ℕ), ‖u n‖ ≤ (1 / 2) ^ n * (C * ‖y‖)
sNu : Summable fun n => ‖u n‖
su : Summable u
x : E := tsum u
x_ineq : ‖x‖ ≤ (2 * C + 1) * ‖y‖
fsumeq : ∀ (n : ℕ), f (∑ i ∈ Finset.range n, u i) = y - h^[n] y
this : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, u i) atTop (𝓝 x)
L₁ : Tendsto (fun n => y - h^[n] y) atTop (𝓝 (f x))
⊢ Tendsto (fun t => (1 / 2) ^ t * ‖y‖) atTop (𝓝 0)

Tactic:
rw [← zero_mul ‖y‖]

Result:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
E : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁴ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝³ : RingHomIsometric σ
inst✝² : RingHomIsometric σ'
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
surj : Surjective ⇑f
C : ℝ
C0 : C ≥ 0
g : F → E
hg : ∀ (y : F), dist (f (g y)) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖g y‖ ≤ C * ‖y‖
h : F → F := fun y => y - f (g y)
hle : ∀ (y : F), ‖h y‖ ≤ 1 / 2 * ‖y‖
y : F
hnle : ∀ (n : ℕ), ‖h^[n] y‖ ≤ (1 / 2) ^ n * ‖y‖
u : ℕ → E := fun n => g (h^[n] y)
ule : ∀ (n : ℕ), ‖u n‖ ≤ (1 / 2) ^ n * (C * ‖y‖)
sNu : Summable fun n => ‖u n‖
su : Summable u
x : E := tsum u
x_ineq : ‖x‖ ≤ (2 * C + 1) * ‖y‖
fsumeq : ∀ (n : ℕ), f (∑ i ∈ Finset.range n, u i) = y - h^[n] y
this : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, u i) atTop (𝓝 x)
L₁ : Tendsto (fun n => y - h^[n] y) atTop (𝓝 (f x))
⊢ Tendsto (fun t => (1 / 2) ^ t * ‖y‖) atTop (𝓝 (0 * ‖y‖))

Proof state:
case intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
E : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁴ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝³ : RingHomIsometric σ
inst✝² : RingHomIsometric σ'
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
surj : Surjective ⇑f
C : ℝ
C0 : C ≥ 0
g : F → E
hg : ∀ (y : F), dist (f (g y)) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖g y‖ ≤ C * ‖y‖
h : F → F := fun y => y - f (g y)
hle : ∀ (y : F), ‖h y‖ ≤ 1 / 2 * ‖y‖
y : F
hnle : ∀ (n : ℕ), ‖h^[n] y‖ ≤ (1 / 2) ^ n * ‖y‖
u : ℕ → E := fun n => g (h^[n] y)
ule : ∀ (n : ℕ), ‖u n‖ ≤ (1 / 2) ^ n * (C * ‖y‖)
sNu : Summable fun n => ‖u n‖
su : Summable u
x : E := tsum u
x_ineq : ‖x‖ ≤ (2 * C + 1) * ‖y‖
fsumeq : ∀ (n : ℕ), f (∑ i ∈ Finset.range n, u i) = y - h^[n] y
this : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, u i) atTop (𝓝 x)
L₁ : Tendsto (fun n => y - h^[n] y) atTop (𝓝 (f x))
⊢ ∃ x, f x = y ∧ ‖x‖ ≤ (2 * C + 1) * ‖y‖

Tactic:
have L₂ : Tendsto (fun n => y - h^[n] y) atTop (𝓝 (y - 0)) := by
  refine tendsto_const_nhds.sub ?_
  rw [tendsto_iff_norm_sub_tendsto_zero]
  simp only [sub_zero]
  refine squeeze_zero (fun _ => norm_nonneg _) hnle ?_
  rw [← zero_mul ‖y‖]
  refine (_root_.tendsto_pow_atTop_nhds_zero_of_lt_one ?_ ?_).mul tendsto_const_nhds <;> norm_num

Result:
case intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
E : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁴ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝³ : RingHomIsometric σ
inst✝² : RingHomIsometric σ'
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
surj : Surjective ⇑f
C : ℝ
C0 : C ≥ 0
g : F → E
hg : ∀ (y : F), dist (f (g y)) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖g y‖ ≤ C * ‖y‖
h : F → F := fun y => y - f (g y)
hle : ∀ (y : F), ‖h y‖ ≤ 1 / 2 * ‖y‖
y : F
hnle : ∀ (n : ℕ), ‖h^[n] y‖ ≤ (1 / 2) ^ n * ‖y‖
u : ℕ → E := fun n => g (h^[n] y)
ule : ∀ (n : ℕ), ‖u n‖ ≤ (1 / 2) ^ n * (C * ‖y‖)
sNu : Summable fun n => ‖u n‖
su : Summable u
x : E := tsum u
x_ineq : ‖x‖ ≤ (2 * C + 1) * ‖y‖
fsumeq : ∀ (n : ℕ), f (∑ i ∈ Finset.range n, u i) = y - h^[n] y
this : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, u i) atTop (𝓝 x)
L₁ : Tendsto (fun n => y - h^[n] y) atTop (𝓝 (f x))
L₂ : Tendsto (fun n => y - h^[n] y) atTop (𝓝 (y - 0))
⊢ ∃ x, f x = y ∧ ‖x‖ ≤ (2 * C + 1) * ‖y‖

Proof state:
case zero
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
E : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁴ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝³ : RingHomIsometric σ
inst✝² : RingHomIsometric σ'
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
surj : Surjective ⇑f
C : ℝ
C0 : C ≥ 0
g : F → E
hg : ∀ (y : F), dist (f (g y)) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖g y‖ ≤ C * ‖y‖
h : F → F := fun y => y - f (g y)
hle : ∀ (y : F), ‖h y‖ ≤ 1 / 2 * ‖y‖
y : F
⊢ ‖h^[0] y‖ ≤ (1 / 2) ^ 0 * ‖y‖

Tactic:
simp only [one_div, one_mul, iterate_zero_apply, pow_zero, le_rfl]

Result:
no goals

Proof state:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
E : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁴ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝³ : RingHomIsometric σ
inst✝² : RingHomIsometric σ'
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
surj : Surjective ⇑f
C : ℝ
C0 : C ≥ 0
g : F → E
hg : ∀ (y : F), dist (f (g y)) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖g y‖ ≤ C * ‖y‖
h : F → F := fun y => y - f (g y)
hle : ∀ (y : F), ‖h y‖ ≤ 1 / 2 * ‖y‖
y : F
⊢ ∀ (n : ℕ), ‖h^[n] y‖ ≤ (1 / 2) ^ n * ‖y‖

Tactic:
intro n

Result:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
E : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁴ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝³ : RingHomIsometric σ
inst✝² : RingHomIsometric σ'
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
surj : Surjective ⇑f
C : ℝ
C0 : C ≥ 0
g : F → E
hg : ∀ (y : F), dist (f (g y)) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖g y‖ ≤ C * ‖y‖
h : F → F := fun y => y - f (g y)
hle : ∀ (y : F), ‖h y‖ ≤ 1 / 2 * ‖y‖
y : F
n : ℕ
⊢ ‖h^[n] y‖ ≤ (1 / 2) ^ n * ‖y‖