-- Mathlib/Topology/MetricSpace/Gluing.lean
theorem glueDist_glued_points [Nonempty Z] (Φ : Z → X) (Ψ : Z → Y) (ε : ℝ) (p : Z) :
    glueDist Φ Ψ ε (.inl (Φ p)) (.inr (Ψ p)) = ε

Proof state:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
p : Z
A : ∀ (q : Z), 0 ≤ dist (Φ p) (Φ q) + dist (Ψ p) (Ψ q)
⊢ ⨅ q, dist (Φ p) (Φ q) + dist (Ψ p) (Ψ q) ≤ 0

Tactic:
have : 0 = dist (Φ p) (Φ p) + dist (Ψ p) (Ψ p) := by simp

Result:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
p : Z
A : ∀ (q : Z), 0 ≤ dist (Φ p) (Φ q) + dist (Ψ p) (Ψ q)
this : 0 = dist (Φ p) (Φ p) + dist (Ψ p) (Ψ p)
⊢ ⨅ q, dist (Φ p) (Φ q) + dist (Ψ p) (Ψ q) ≤ 0

Proof state:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
p : Z
this : ⨅ q, dist (Φ p) (Φ q) + dist (Ψ p) (Ψ q) = 0
⊢ glueDist Φ Ψ ε (Sum.inl (Φ p)) (Sum.inr (Ψ p)) = ε

Tactic:
simp only [glueDist, this, zero_add]

Result:
no goals

Proof state:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
p : Z
A : ∀ (q : Z), 0 ≤ dist (Φ p) (Φ q) + dist (Ψ p) (Ψ q)
this : 0 = dist (Φ p) (Φ p) + dist (Ψ p) (Ψ p)
⊢ ⨅ q, dist (Φ p) (Φ q) + dist (Ψ p) (Ψ q) ≤ 0

Tactic:
rw [this]

Result:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
p : Z
A : ∀ (q : Z), 0 ≤ dist (Φ p) (Φ q) + dist (Ψ p) (Ψ q)
this : 0 = dist (Φ p) (Φ p) + dist (Ψ p) (Ψ p)
⊢ ⨅ q, dist (Φ p) (Φ q) + dist (Ψ p) (Ψ q) ≤ dist (Φ p) (Φ p) + dist (Ψ p) (Ψ p)

Proof state:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
p : Z
⊢ ⨅ q, dist (Φ p) (Φ q) + dist (Ψ p) (Ψ q) = 0

Tactic:
have A : ∀ q, 0 ≤ dist (Φ p) (Φ q) + dist (Ψ p) (Ψ q) := fun _ =>
  add_nonneg dist_nonneg dist_nonneg

Result:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
p : Z
A : ∀ (q : Z), 0 ≤ dist (Φ p) (Φ q) + dist (Ψ p) (Ψ q)
⊢ ⨅ q, dist (Φ p) (Φ q) + dist (Ψ p) (Ψ q) = 0

Proof state:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
p : Z
A : ∀ (q : Z), 0 ≤ dist (Φ p) (Φ q) + dist (Ψ p) (Ψ q)
⊢ ⨅ q, dist (Φ p) (Φ q) + dist (Ψ p) (Ψ q) = 0

Tactic:
refine le_antisymm ?_ (le_ciInf A)

Result:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
p : Z
A : ∀ (q : Z), 0 ≤ dist (Φ p) (Φ q) + dist (Ψ p) (Ψ q)
⊢ ⨅ q, dist (Φ p) (Φ q) + dist (Ψ p) (Ψ q) ≤ 0

Proof state:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
p : Z
⊢ glueDist Φ Ψ ε (Sum.inl (Φ p)) (Sum.inr (Ψ p)) = ε

Tactic:
have : ⨅ q, dist (Φ p) (Φ q) + dist (Ψ p) (Ψ q) = 0 := by
  have A : ∀ q, 0 ≤ dist (Φ p) (Φ q) + dist (Ψ p) (Ψ q) := fun _ =>
    add_nonneg dist_nonneg dist_nonneg
  refine le_antisymm ?_ (le_ciInf A)
  have : 0 = dist (Φ p) (Φ p) + dist (Ψ p) (Ψ p) := by simp
  rw [this]
  exact ciInf_le ⟨0, forall_mem_range.2 A⟩ p

Result:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
p : Z
this : ⨅ q, dist (Φ p) (Φ q) + dist (Ψ p) (Ψ q) = 0
⊢ glueDist Φ Ψ ε (Sum.inl (Φ p)) (Sum.inr (Ψ p)) = ε

Proof state:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
p : Z
A : ∀ (q : Z), 0 ≤ dist (Φ p) (Φ q) + dist (Ψ p) (Ψ q)
this : 0 = dist (Φ p) (Φ p) + dist (Ψ p) (Ψ p)
⊢ ⨅ q, dist (Φ p) (Φ q) + dist (Ψ p) (Ψ q) ≤ dist (Φ p) (Φ p) + dist (Ψ p) (Ψ p)

Tactic:
exact ciInf_le ⟨0, forall_mem_range.2 A⟩ p

Result:
no goals

Proof state:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝² : MetricSpace X
inst✝¹ : MetricSpace Y
inst✝ : Nonempty Z
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
p : Z
A : ∀ (q : Z), 0 ≤ dist (Φ p) (Φ q) + dist (Ψ p) (Ψ q)
⊢ 0 = dist (Φ p) (Φ p) + dist (Ψ p) (Ψ p)

Tactic:
simp

Result:
no goals