-- Mathlib/Data/Seq/WSeq.lean
theorem join_append (S T : WSeq (WSeq α)) : join (append S T) ~ʷ append (join S) (join T)

Proof state:
α : Type u
S T : WSeq (WSeq α)
⊢ ∀ {s t : WSeq α},
    (fun s1 s2 => ∃ s S T, s1 = s.append (S.append T).join ∧ s2 = s.append (S.join.append T.join)) s t →
      Computation.LiftRel
        (LiftRelO (fun x1 x2 => x1 = x2) fun s1 s2 =>
          ∃ s S T, s1 = s.append (S.append T).join ∧ s2 = s.append (S.join.append T.join))
        s.destruct t.destruct

Tactic:
intro s1 s2 h

Result:
α : Type u
S T : WSeq (WSeq α)
s1 s2 : WSeq α
h : ∃ s S T, s1 = s.append (S.append T).join ∧ s2 = s.append (S.join.append T.join)
⊢ Computation.LiftRel
    (LiftRelO (fun x1 x2 => x1 = x2) fun s1 s2 =>
      ∃ s S T, s1 = s.append (S.append T).join ∧ s2 = s.append (S.join.append T.join))
    s1.destruct s2.destruct

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.h1.h3
α : Type u
S✝ T✝ : WSeq (WSeq α)
s1 s2 : WSeq α
h : ∃ s S T, s1 = s.append (S.append T).join ∧ s2 = s.append (S.join.append T.join)
T S : WSeq (WSeq α)
⊢ ∃ s S_1 T_1,
    (S.append T).join.destruct = (s.append (S_1.append T_1).join).destruct ∧
      (S.join.append T.join).destruct = (s.append (S_1.join.append T_1.join)).destruct

Tactic:
refine ⟨nil, S, T, ?_, ?_⟩ <;> simp

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.h3
α : Type u
S✝ T✝ : WSeq (WSeq α)
s1 s2 : WSeq α
h : ∃ s S T, s1 = s.append (S.append T).join ∧ s2 = s.append (S.join.append T.join)
S T : WSeq (WSeq α)
s : WSeq α
⊢ ∃ s_1 S_1 T_1,
    (s.append (S.append T).join).destruct = (s_1.append (S_1.append T_1).join).destruct ∧
      (s.append (S.join.append T.join)).destruct = (s_1.append (S_1.join.append T_1.join)).destruct

Tactic:
exact ⟨s, S, T, rfl, rfl⟩

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro.intro.intro
α : Type u
S✝ T✝ : WSeq (WSeq α)
s1 s2 : WSeq α
h : ∃ s S T, s1 = s.append (S.append T).join ∧ s2 = s.append (S.join.append T.join)
s : WSeq α
S T : WSeq (WSeq α)
⊢ LiftRelAux
    (LiftRelO (fun x1 x2 => x1 = x2) fun s1 s2 =>
      ∃ s S T, s1 = s.append (S.append T).join ∧ s2 = s.append (S.join.append T.join))
    (fun c1 c2 => ∃ s S T, c1 = (s.append (S.append T).join).destruct ∧ c2 = (s.append (S.join.append T.join)).destruct)
    (s.append (S.append T).join).destruct.destruct (s.append (S.join.append T.join)).destruct.destruct

Tactic:
induction' s using WSeq.recOn with a s s <;> simp

Result:
case intro.intro.intro.intro.h1
α : Type u
S✝ T✝ : WSeq (WSeq α)
s1 s2 : WSeq α
h : ∃ s S T, s1 = s.append (S.append T).join ∧ s2 = s.append (S.join.append T.join)
S T : WSeq (WSeq α)
⊢ LiftRelAux
    (LiftRelO (fun x1 x2 => x1 = x2) fun s1 s2 =>
      ∃ s S T, s1 = s.append (S.append T).join ∧ s2 = s.append (S.join.append T.join))
    (fun c1 c2 => ∃ s S T, c1 = (s.append (S.append T).join).destruct ∧ c2 = (s.append (S.join.append T.join)).destruct)
    (S.append T).join.destruct.destruct (S.join.append T.join).destruct.destruct

case intro.intro.intro.intro.h2
α : Type u
S✝ T✝ : WSeq (WSeq α)
s1 s2 : WSeq α
h : ∃ s S T, s1 = s.append (S.append T).join ∧ s2 = s.append (S.join.append T.join)
S T : WSeq (WSeq α)
a : α
s : WSeq α
⊢ ∃ s_1 S_1 T_1,
    s.append (S.append T).join = s_1.append (S_1.append T_1).join ∧
      s.append (S.join.append T.join) = s_1.append (S_1.join.append T_1.join)

case intro.intro.intro.intro.h3
α : Type u
S✝ T✝ : WSeq (WSeq α)
s1 s2 : WSeq α
h : ∃ s S T, s1 = s.append (S.append T).join ∧ s2 = s.append (S.join.append T.join)
S T : WSeq (WSeq α)
s : WSeq α
⊢ ∃ s_1 S_1 T_1,
    (s.append (S.append T).join).destruct = (s_1.append (S_1.append T_1).join).destruct ∧
      (s.append (S.join.append T.join)).destruct = (s_1.append (S_1.join.append T_1.join)).destruct

Proof state:
α : Type u
S T : WSeq (WSeq α)
⊢ S.join.append T.join = nil.append (S.join.append T.join)

Tactic:
simp

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.h1.h1.h2
α : Type u
S T✝ : WSeq (WSeq α)
s1 s2 : WSeq α
h : ∃ s S T, s1 = s.append (S.append T).join ∧ s2 = s.append (S.join.append T.join)
s : WSeq α
T : WSeq (WSeq α)
⊢ ∃ s_1 S T_1,
    (s.append T.join).destruct = (s_1.append (S.append T_1).join).destruct ∧
      (s.append T.join).destruct = (s_1.append (S.join.append T_1.join)).destruct

Tactic:
refine ⟨s, nil, T, ?_, ?_⟩ <;> simp

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.h2
α : Type u
S✝ T✝ : WSeq (WSeq α)
s1 s2 : WSeq α
h : ∃ s S T, s1 = s.append (S.append T).join ∧ s2 = s.append (S.join.append T.join)
S T : WSeq (WSeq α)
a : α
s : WSeq α
⊢ ∃ s_1 S_1 T_1,
    s.append (S.append T).join = s_1.append (S_1.append T_1).join ∧
      s.append (S.join.append T.join) = s_1.append (S_1.join.append T_1.join)

Tactic:
exact ⟨s, S, T, rfl, rfl⟩

Result:
no goals