-- Mathlib/Analysis/Convex/Slope.lean
theorem StrictConvexOn.slope_strict_mono_adjacent (hf : StrictConvexOn 𝕜 s f) {x y z : 𝕜}
    (hx : x ∈ s) (hz : z ∈ s) (hxy : x < y) (hyz : y < z) :
    (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : 0 < y - x
hyz : 0 < z - y
hxz : 0 < z - x
hxz' : x ≠ z
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
hy : a • x + b • z = y
key : f (((z - y) / (z - x)) • x + ((y - x) / (z - x)) • z) < ((z - y) / (z - x)) • f x + ((y - x) / (z - x)) • f z
⊢ f y / (y - x) + f y / (z - y) < f x / (y - x) + f z / (z - y)

Tactic:
rw [hy] at key

Result:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : 0 < y - x
hyz : 0 < z - y
hxz : 0 < z - x
hxz' : x ≠ z
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
hy : a • x + b • z = y
key : f y < ((z - y) / (z - x)) • f x + ((y - x) / (z - x)) • f z
⊢ f y / (y - x) + f y / (z - y) < f x / (y - x) + f z / (z - y)

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : 0 < y - x
hyz : 0 < z - y
hxz : 0 < z - x
hxz' : x ≠ z
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
hy : a • x + b • z = y
⊢ f y / (y - x) + f y / (z - y) < f x / (y - x) + f z / (z - y)

Tactic:
have key :=
  hf.2 hx hz hxz' (div_pos hyz hxz) (div_pos hxy hxz)
    (show a + b = 1 by field_simp [a, b])

Result:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : 0 < y - x
hyz : 0 < z - y
hxz : 0 < z - x
hxz' : x ≠ z
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
hy : a • x + b • z = y
key : f (((z - y) / (z - x)) • x + ((y - x) / (z - x)) • z) < ((z - y) / (z - x)) • f x + ((y - x) / (z - x)) • f z
⊢ f y / (y - x) + f y / (z - y) < f x / (y - x) + f z / (z - y)

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxz : x < z
hxz' : x ≠ z
⊢ (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)

Tactic:
rw [← sub_pos] at hxy hxz hyz

Result:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : 0 < y - x
hyz : 0 < z - y
hxz : 0 < z - x
hxz' : x ≠ z
⊢ (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxz : x < z
⊢ (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)

Tactic:
have hxz' := hxz.ne

Result:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : x < y
hyz : y < z
hxz : x < z
hxz' : x ≠ z
⊢ (f y - f x) / (y - x) < (f z - f y) / (z - y)

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : 0 < y - x
hyz : 0 < z - y
hxz : 0 < z - x
hxz' : x ≠ z
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
hy : a • x + b • z = y
key : f y * (z - x) < (z - y) * f x + (y - x) * f z
⊢ (f y * (z - y) + f y * (y - x)) / ((y - x) * (z - y)) < (f x * (z - y) + f z * (y - x)) / ((y - x) * (z - y))

Tactic:
rw [div_lt_div_iff_of_pos_right]

Result:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : 0 < y - x
hyz : 0 < z - y
hxz : 0 < z - x
hxz' : x ≠ z
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
hy : a • x + b • z = y
key : f y * (z - x) < (z - y) * f x + (y - x) * f z
⊢ f y * (z - y) + f y * (y - x) < f x * (z - y) + f z * (y - x)

𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : 0 < y - x
hyz : 0 < z - y
hxz : 0 < z - x
hxz' : x ≠ z
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
hy : a • x + b • z = y
key : f y * (z - x) < (z - y) * f x + (y - x) * f z
⊢ 0 < (y - x) * (z - y)

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : 0 < y - x
hyz : 0 < z - y
hxz : 0 < z - x
hxz' : x ≠ z
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
⊢ f y / (y - x) + f y / (z - y) < f x / (y - x) + f z / (z - y)

Tactic:
set b := (y - x) / (z - x)

Result:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : StrictConvexOn 𝕜 s f
x y z : 𝕜
hx : x ∈ s
hz : z ∈ s
hxy : 0 < y - x
hyz : 0 < z - y
hxz : 0 < z - x
hxz' : x ≠ z
a : 𝕜 := (z - y) / (z - x)
b : 𝕜 := (y - x) / (z - x)
⊢ f y / (y - x) + f y / (z - y) < f x / (y - x) + f z / (z - y)