-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/TFAE.lean
theorem maximalIdeal_isPrincipal_of_isDedekindDomain [IsLocalRing R] [IsDomain R]
    [IsDedekindDomain R] : (maximalIdeal R).IsPrincipal

Proof state:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsLocalRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
ne_bot : ¬maximalIdeal R = ⊥
a : R
ha₁ : a ∈ maximalIdeal R
ha₂ : a ≠ 0
hle : Ideal.span {a} ≤ maximalIdeal R
this✝ : (Ideal.span {a}).radical = maximalIdeal R
this : ∃ n, maximalIdeal R ^ n ≤ Ideal.span {a}
n : ℕ
hn : Nat.find this = n + 1
b : R
hb₁ : b ∈ maximalIdeal R ^ n
hb₂ : b ∉ Ideal.span {a}
hb₃ : ∀ m ∈ maximalIdeal R, ∃ k, k * a = b * m
hb₄ : b ≠ 0
K : Type u_1 := FractionRing R
x : K := (algebraMap R K) b / (algebraMap R K) a
M : Submodule R K := Submodule.map (Algebra.linearMap R K) (maximalIdeal R)
ha₃ : (algebraMap R K) a ≠ 0
hx : ¬∀ y ∈ M, x * y ∈ M
⊢ Submodule.comap (Algebra.linearMap R K) (Submodule.map (DistribMulAction.toLinearMap R K x) M) = ⊤

Tactic:
by_contra h

Result:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsLocalRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
ne_bot : ¬maximalIdeal R = ⊥
a : R
ha₁ : a ∈ maximalIdeal R
ha₂ : a ≠ 0
hle : Ideal.span {a} ≤ maximalIdeal R
this✝ : (Ideal.span {a}).radical = maximalIdeal R
this : ∃ n, maximalIdeal R ^ n ≤ Ideal.span {a}
n : ℕ
hn : Nat.find this = n + 1
b : R
hb₁ : b ∈ maximalIdeal R ^ n
hb₂ : b ∉ Ideal.span {a}
hb₃ : ∀ m ∈ maximalIdeal R, ∃ k, k * a = b * m
hb₄ : b ≠ 0
K : Type u_1 := FractionRing R
x : K := (algebraMap R K) b / (algebraMap R K) a
M : Submodule R K := Submodule.map (Algebra.linearMap R K) (maximalIdeal R)
ha₃ : (algebraMap R K) a ≠ 0
hx : ¬∀ y ∈ M, x * y ∈ M
h : ¬Submodule.comap (Algebra.linearMap R K) (Submodule.map (DistribMulAction.toLinearMap R K x) M) = ⊤
⊢ False

Proof state:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsLocalRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
ne_bot : ¬maximalIdeal R = ⊥
a : R
ha₁ : a ∈ maximalIdeal R
ha₂ : a ≠ 0
hle : Ideal.span {a} ≤ maximalIdeal R
this✝ : (Ideal.span {a}).radical = maximalIdeal R
this : ∃ n, maximalIdeal R ^ n ≤ Ideal.span {a}
n : ℕ
hn : Nat.find this = n + 1
b : R
hb₁ : b ∈ maximalIdeal R ^ n
hb₂ : b ∉ Ideal.span {a}
⊢ ∀ m ∈ maximalIdeal R, ∃ k, k * a = b * m

Tactic:
intro m hm

Result:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsLocalRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
ne_bot : ¬maximalIdeal R = ⊥
a : R
ha₁ : a ∈ maximalIdeal R
ha₂ : a ≠ 0
hle : Ideal.span {a} ≤ maximalIdeal R
this✝ : (Ideal.span {a}).radical = maximalIdeal R
this : ∃ n, maximalIdeal R ^ n ≤ Ideal.span {a}
n : ℕ
hn : Nat.find this = n + 1
b : R
hb₁ : b ∈ maximalIdeal R ^ n
hb₂ : b ∉ Ideal.span {a}
m : R
hm : m ∈ maximalIdeal R
⊢ ∃ k, k * a = b * m

Proof state:
case pos.refine_2
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsLocalRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
ne_bot : ¬maximalIdeal R = ⊥
a : R
ha₁ : a ∈ maximalIdeal R
ha₂ : a ≠ 0
hle : Ideal.span {a} ≤ maximalIdeal R
this✝ : (Ideal.span {a}).radical = maximalIdeal R
this : ∃ n, maximalIdeal R ^ n ≤ Ideal.span {a}
n : ℕ
hn : Nat.find this = n + 1
b : R
hb₁ : b ∈ maximalIdeal R ^ n
hb₂ : b ∉ Ideal.span {a}
hb₃ : ∀ m ∈ maximalIdeal R, ∃ k, k * a = b * m
hb₄ : b ≠ 0
K : Type u_1 := FractionRing R
x : K := (algebraMap R K) b / (algebraMap R K) a
M : Submodule R K := Submodule.map (Algebra.linearMap R K) (maximalIdeal R)
ha₃ : (algebraMap R K) a ≠ 0
hx : ∀ y ∈ M, x * y ∈ M
⊢ M.FG

Tactic:
apply Submodule.FG.map

Result:
case pos.refine_2.hs
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsLocalRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
ne_bot : ¬maximalIdeal R = ⊥
a : R
ha₁ : a ∈ maximalIdeal R
ha₂ : a ≠ 0
hle : Ideal.span {a} ≤ maximalIdeal R
this✝ : (Ideal.span {a}).radical = maximalIdeal R
this : ∃ n, maximalIdeal R ^ n ≤ Ideal.span {a}
n : ℕ
hn : Nat.find this = n + 1
b : R
hb₁ : b ∈ maximalIdeal R ^ n
hb₂ : b ∉ Ideal.span {a}
hb₃ : ∀ m ∈ maximalIdeal R, ∃ k, k * a = b * m
hb₄ : b ≠ 0
K : Type u_1 := FractionRing R
x : K := (algebraMap R K) b / (algebraMap R K) a
M : Submodule R K := Submodule.map (Algebra.linearMap R K) (maximalIdeal R)
ha₃ : (algebraMap R K) a ≠ 0
hx : ∀ y ∈ M, x * y ∈ M
⊢ Submodule.FG (maximalIdeal R)

Proof state:
case neg.intro.intro
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsLocalRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
ne_bot : ¬maximalIdeal R = ⊥
a : R
ha₁ : a ∈ maximalIdeal R
ha₂ : a ≠ 0
⊢ Submodule.IsPrincipal (maximalIdeal R)

Tactic:
have hle : Ideal.span {a} ≤ maximalIdeal R := by rwa [Ideal.span_le, Set.singleton_subset_iff]

Result:
case neg.intro.intro
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsLocalRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
ne_bot : ¬maximalIdeal R = ⊥
a : R
ha₁ : a ∈ maximalIdeal R
ha₂ : a ≠ 0
hle : Ideal.span {a} ≤ maximalIdeal R
⊢ Submodule.IsPrincipal (maximalIdeal R)

Proof state:
case pos
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsLocalRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
ne_bot : ¬maximalIdeal R = ⊥
a : R
ha₁ : a ∈ maximalIdeal R
ha₂ : a ≠ 0
hle : Ideal.span {a} ≤ maximalIdeal R
this✝ : (Ideal.span {a}).radical = maximalIdeal R
this : ∃ n, maximalIdeal R ^ n ≤ Ideal.span {a}
n : ℕ
hn : Nat.find this = n + 1
b : R
hb₁ : b ∈ maximalIdeal R ^ n
hb₂ : b ∉ Ideal.span {a}
hb₃ : ∀ m ∈ maximalIdeal R, ∃ k, k * a = b * m
hb₄ : b ≠ 0
K : Type u_1 := FractionRing R
x : K := (algebraMap R K) b / (algebraMap R K) a
M : Submodule R K := Submodule.map (Algebra.linearMap R K) (maximalIdeal R)
ha₃ : (algebraMap R K) a ≠ 0
hx : ∀ y ∈ M, x * y ∈ M
⊢ Submodule.IsPrincipal (maximalIdeal R)

Tactic:
have := isIntegral_of_smul_mem_submodule M ?_ ?_ x hx

Result:
case pos.refine_3
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsLocalRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
ne_bot : ¬maximalIdeal R = ⊥
a : R
ha₁ : a ∈ maximalIdeal R
ha₂ : a ≠ 0
hle : Ideal.span {a} ≤ maximalIdeal R
this✝¹ : (Ideal.span {a}).radical = maximalIdeal R
this✝ : ∃ n, maximalIdeal R ^ n ≤ Ideal.span {a}
n : ℕ
hn : Nat.find this✝ = n + 1
b : R
hb₁ : b ∈ maximalIdeal R ^ n
hb₂ : b ∉ Ideal.span {a}
hb₃ : ∀ m ∈ maximalIdeal R, ∃ k, k * a = b * m
hb₄ : b ≠ 0
K : Type u_1 := FractionRing R
x : K := (algebraMap R K) b / (algebraMap R K) a
M : Submodule R K := Submodule.map (Algebra.linearMap R K) (maximalIdeal R)
ha₃ : (algebraMap R K) a ≠ 0
hx : ∀ y ∈ M, x * y ∈ M
this : IsIntegral R x
⊢ Submodule.IsPrincipal (maximalIdeal R)

case pos.refine_1
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsLocalRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
ne_bot : ¬maximalIdeal R = ⊥
a : R
ha₁ : a ∈ maximalIdeal R
ha₂ : a ≠ 0
hle : Ideal.span {a} ≤ maximalIdeal R
this✝ : (Ideal.span {a}).radical = maximalIdeal R
this : ∃ n, maximalIdeal R ^ n ≤ Ideal.span {a}
n : ℕ
hn : Nat.find this = n + 1
b : R
hb₁ : b ∈ maximalIdeal R ^ n
hb₂ : b ∉ Ideal.span {a}
hb₃ : ∀ m ∈ maximalIdeal R, ∃ k, k * a = b * m
hb₄ : b ≠ 0
K : Type u_1 := FractionRing R
x : K := (algebraMap R K) b / (algebraMap R K) a
M : Submodule R K := Submodule.map (Algebra.linearMap R K) (maximalIdeal R)
ha₃ : (algebraMap R K) a ≠ 0
hx : ∀ y ∈ M, x * y ∈ M
⊢ M ≠ ⊥

case pos.refine_2
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsLocalRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : IsDedekindDomain R
ne_bot : ¬maximalIdeal R = ⊥
a : R
ha₁ : a ∈ maximalIdeal R
ha₂ : a ≠ 0
hle : Ideal.span {a} ≤ maximalIdeal R
this✝ : (Ideal.span {a}).radical = maximalIdeal R
this : ∃ n, maximalIdeal R ^ n ≤ Ideal.span {a}
n : ℕ
hn : Nat.find this = n + 1
b : R
hb₁ : b ∈ maximalIdeal R ^ n
hb₂ : b ∉ Ideal.span {a}
hb₃ : ∀ m ∈ maximalIdeal R, ∃ k, k * a = b * m
hb₄ : b ≠ 0
K : Type u_1 := FractionRing R
x : K := (algebraMap R K) b / (algebraMap R K) a
M : Submodule R K := Submodule.map (Algebra.linearMap R K) (maximalIdeal R)
ha₃ : (algebraMap R K) a ≠ 0
hx : ∀ y ∈ M, x * y ∈ M
⊢ M.FG