-- Mathlib/FieldTheory/Extension.lean
theorem union_isExtendible [alg : Algebra.IsAlgebraic F E]
    [Nonempty c] (hext : ∀ σ ∈ c, σ.IsExtendible) :
    (union c hc).IsExtendible := fun S ↦ by
  let Ω := adjoin F (S : Set E) →ₐ[F] K
  have ⟨ω, hω⟩ : ∃ ω : Ω, ∀ π : c, ∃ θ ≥ π.1, ⟨_, ω⟩ ≤ θ ∧ θ.carrier = π.1.1 ⊔ adjoin F S

Proof state:
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Algebra F K
c : Set (Lifts F E K)
hc : IsChain (fun x1 x2 => x1 ≤ x2) c
alg : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Nonempty ↑c
hext : ∀ σ ∈ c, σ.IsExtendible
S : Finset E
Ω : Type (max u_2 u_3) := ↥(adjoin F ↑S) →ₐ[F] K
ω : Ω
θ : ↑c → Lifts F E K
ge : ∀ (π : ↑c), θ π ≥ ↑π
hθ : ∀ (π : ↑c), { carrier := adjoin F ↑S, emb := ω } ≤ θ π
eq : ∀ (π : ↑c), (θ π).carrier = adjoin F (↑(↑π).carrier ∪ ↑S)
⊢ IsChain (fun x1 x2 => x1 ≤ x2) (Set.range θ)

Tactic:
rintro _ ⟨π₁, rfl⟩ _ ⟨π₂, rfl⟩ -

Result:
case intro.intro
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Algebra F K
c : Set (Lifts F E K)
hc : IsChain (fun x1 x2 => x1 ≤ x2) c
alg : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Nonempty ↑c
hext : ∀ σ ∈ c, σ.IsExtendible
S : Finset E
Ω : Type (max u_2 u_3) := ↥(adjoin F ↑S) →ₐ[F] K
ω : Ω
θ : ↑c → Lifts F E K
ge : ∀ (π : ↑c), θ π ≥ ↑π
hθ : ∀ (π : ↑c), { carrier := adjoin F ↑S, emb := ω } ≤ θ π
eq : ∀ (π : ↑c), (θ π).carrier = adjoin F (↑(↑π).carrier ∪ ↑S)
π₁ π₂ : ↑c
⊢ (fun x1 x2 => x1 ≤ x2) (θ π₁) (θ π₂) ∨ (fun x1 x2 => x1 ≤ x2) (θ π₂) (θ π₁)

Proof state:
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Algebra F K
c : Set (Lifts F E K)
hc : IsChain (fun x1 x2 => x1 ≤ x2) c
alg : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Nonempty ↑c
hext : ∀ σ ∈ c, σ.IsExtendible
S : Finset E
Ω : Type (max u_2 u_3) := ↥(adjoin F ↑S) →ₐ[F] K
π : Ω → ↑c
hπ : ∀ (ω : Ω), ∀ θ ≥ ↑(π ω), { carrier := adjoin F ↑S, emb := ω } ≤ θ → θ.carrier ≠ (↑(π ω)).carrier ⊔ adjoin F ↑S
this : FiniteDimensional F ↥(adjoin F ↑S)
⊢ False

Tactic:
have ⟨π₀, hπ₀⟩ := hc.directed.finite_le π

Result:
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Algebra F K
c : Set (Lifts F E K)
hc : IsChain (fun x1 x2 => x1 ≤ x2) c
alg : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Nonempty ↑c
hext : ∀ σ ∈ c, σ.IsExtendible
S : Finset E
Ω : Type (max u_2 u_3) := ↥(adjoin F ↑S) →ₐ[F] K
π : Ω → ↑c
hπ : ∀ (ω : Ω), ∀ θ ≥ ↑(π ω), { carrier := adjoin F ↑S, emb := ω } ≤ θ → θ.carrier ≠ (↑(π ω)).carrier ⊔ adjoin F ↑S
this : FiniteDimensional F ↥(adjoin F ↑S)
π₀ : { a // a ∈ c }
hπ₀ : ∀ (i : Ω), ↑(π i) ≤ ↑π₀
⊢ False

Proof state:
case refine_1
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Algebra F K
c : Set (Lifts F E K)
hc : IsChain (fun x1 x2 => x1 ≤ x2) c
alg : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Nonempty ↑c
hext : ∀ σ ∈ c, σ.IsExtendible
S : Finset E
Ω : Type (max u_2 u_3) := ↥(adjoin F ↑S) →ₐ[F] K
ω : Ω
θ : ↑c → Lifts F E K
ge : ∀ (π : ↑c), θ π ≥ ↑π
hθ : ∀ (π : ↑c), { carrier := adjoin F ↑S, emb := ω } ≤ θ π
eq : ∀ (π : ↑c), (θ π).carrier = adjoin F (↑(↑π).carrier ∪ ↑S)
π₁ π₂ : ↑c
h : π₁ ≤ π₂
⊢ adjoin F (↑(↑π₁).carrier ∪ ↑S) ≤ adjoin F (↑(↑π₂).carrier ∪ ↑S)

Tactic:
exact adjoin.mono _ _ _ (Set.union_subset_union_left _ h.1)

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro.inr
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Algebra F K
c : Set (Lifts F E K)
hc : IsChain (fun x1 x2 => x1 ≤ x2) c
alg : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Nonempty ↑c
hext : ∀ σ ∈ c, σ.IsExtendible
S : Finset E
Ω : Type (max u_2 u_3) := ↥(adjoin F ↑S) →ₐ[F] K
ω : Ω
θ : ↑c → Lifts F E K
ge : ∀ (π : ↑c), θ π ≥ ↑π
hθ : ∀ (π : ↑c), { carrier := adjoin F ↑S, emb := ω } ≤ θ π
eq : ∀ (π : ↑c), (θ π).carrier = adjoin F (↑(↑π).carrier ∪ ↑S)
π₁ π₂ : ↑c
this : ∀ (π₁ π₂ : ↑c), π₁ ≤ π₂ → (fun x1 x2 => x1 ≤ x2) (θ π₁) (θ π₂) ∨ (fun x1 x2 => x1 ≤ x2) (θ π₂) (θ π₁)
h : ¬π₁ ≤ π₂
⊢ (fun x1 x2 => x1 ≤ x2) (θ π₁) (θ π₂) ∨ (fun x1 x2 => x1 ≤ x2) (θ π₂) (θ π₁)

Tactic:
exact (this _ _ <| (hc.total π₁.2 π₂.2).resolve_left h).symm

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Algebra F K
c : Set (Lifts F E K)
hc : IsChain (fun x1 x2 => x1 ≤ x2) c
alg : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Nonempty ↑c
hext : ∀ σ ∈ c, σ.IsExtendible
S : Finset E
Ω : Type (max u_2 u_3) := ↥(adjoin F ↑S) →ₐ[F] K
ω : Ω
θ : ↑c → Lifts F E K
ge : ∀ (π : ↑c), θ π ≥ ↑π
hθ : ∀ (π : ↑c), { carrier := adjoin F ↑S, emb := ω } ≤ θ π
eq : ∀ (π : ↑c), (θ π).carrier = adjoin F (↑(↑π).carrier ∪ ↑S)
π₁ π₂ : ↑c
⊢ (fun x1 x2 => x1 ≤ x2) (θ π₁) (θ π₂) ∨ (fun x1 x2 => x1 ≤ x2) (θ π₂) (θ π₁)

Tactic:
wlog h : π₁ ≤ π₂ generalizing π₁ π₂

Result:
case intro.intro.inr
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Algebra F K
c : Set (Lifts F E K)
hc : IsChain (fun x1 x2 => x1 ≤ x2) c
alg : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Nonempty ↑c
hext : ∀ σ ∈ c, σ.IsExtendible
S : Finset E
Ω : Type (max u_2 u_3) := ↥(adjoin F ↑S) →ₐ[F] K
ω : Ω
θ : ↑c → Lifts F E K
ge : ∀ (π : ↑c), θ π ≥ ↑π
hθ : ∀ (π : ↑c), { carrier := adjoin F ↑S, emb := ω } ≤ θ π
eq : ∀ (π : ↑c), (θ π).carrier = adjoin F (↑(↑π).carrier ∪ ↑S)
π₁ π₂ : ↑c
this : ∀ (π₁ π₂ : ↑c), π₁ ≤ π₂ → (fun x1 x2 => x1 ≤ x2) (θ π₁) (θ π₂) ∨ (fun x1 x2 => x1 ≤ x2) (θ π₂) (θ π₁)
h : ¬π₁ ≤ π₂
⊢ (fun x1 x2 => x1 ≤ x2) (θ π₁) (θ π₂) ∨ (fun x1 x2 => x1 ≤ x2) (θ π₂) (θ π₁)

F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Algebra F K
c : Set (Lifts F E K)
hc : IsChain (fun x1 x2 => x1 ≤ x2) c
alg : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Nonempty ↑c
hext : ∀ σ ∈ c, σ.IsExtendible
S : Finset E
Ω : Type (max u_2 u_3) := ↥(adjoin F ↑S) →ₐ[F] K
ω : Ω
θ : ↑c → Lifts F E K
ge : ∀ (π : ↑c), θ π ≥ ↑π
hθ : ∀ (π : ↑c), { carrier := adjoin F ↑S, emb := ω } ≤ θ π
eq : ∀ (π : ↑c), (θ π).carrier = adjoin F (↑(↑π).carrier ∪ ↑S)
π₁ π₂ : ↑c
h : π₁ ≤ π₂
⊢ (fun x1 x2 => x1 ≤ x2) (θ π₁) (θ π₂) ∨ (fun x1 x2 => x1 ≤ x2) (θ π₂) (θ π₁)

Proof state:
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Algebra F K
c : Set (Lifts F E K)
hc : IsChain (fun x1 x2 => x1 ≤ x2) c
alg : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Nonempty ↑c
hext : ∀ σ ∈ c, σ.IsExtendible
S : Finset E
⊢ ∃ τ ≥ union c hc, ↑S ⊆ ↑τ.carrier

Tactic:
let Ω := adjoin F (S : Set E) →ₐ[F] K

Result:
F : Type u_1
E : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Field K
inst✝² : Algebra F E
inst✝¹ : Algebra F K
c : Set (Lifts F E K)
hc : IsChain (fun x1 x2 => x1 ≤ x2) c
alg : Algebra.IsAlgebraic F E
inst✝ : Nonempty ↑c
hext : ∀ σ ∈ c, σ.IsExtendible
S : Finset E
Ω : Type (max u_2 u_3) := ↥(adjoin F ↑S) →ₐ[F] K
⊢ ∃ τ ≥ union c hc, ↑S ⊆ ↑τ.carrier