-- Mathlib/Algebra/Module/FinitePresentation.lean
lemma Module.FinitePresentation.exists_lift_of_isLocalizedModule
    [h : Module.FinitePresentation R M] (g : M →ₗ[R] N') :
    ∃ (h : M →ₗ[R] N) (s : S), f ∘ₗ h = s • g

Proof state:
case h.h.h
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
N' : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup N'
inst✝¹ : Module R N'
S : Submonoid R
f : N →ₗ[R] N'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
g : M →ₗ[R] N'
σ : Finset M
hσ : Submodule.span R ↑σ = ⊤
τ : Finset ({ x // x ∈ σ } →₀ R)
hτ : Submodule.span R ↑τ = LinearMap.ker (linearCombination R Subtype.val)
π : ({ x // x ∈ σ } →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R Subtype.val
hπ : Function.Surjective ⇑π
s : N' → N × ↥S
hs : ∀ (y : N'), (s y).2 • y = f (s y).1
i : { x // x ∈ σ } → N := fun x => (∏ j ∈ σ.erase ↑x, (s (g j)).2) • (s (g ↑x)).1
s₀ : ↥S := ∏ j ∈ σ, (s (g j)).2
j : { x // x ∈ σ }
⊢ ↑j ∈ σ

Tactic:
exact j.prop

Result:
no goals

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_21.h.h.h.h
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
N' : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup N'
inst✝¹ : Module R N'
S : Submonoid R
f : N →ₗ[R] N'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
g : M →ₗ[R] N'
σ : Finset M
hσ : Submodule.span R ↑σ = ⊤
τ : Finset ({ x // x ∈ σ } →₀ R)
hτ : Submodule.span R ↑τ = LinearMap.ker (linearCombination R Subtype.val)
π : ({ x // x ∈ σ } →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R Subtype.val
hπ : Function.Surjective ⇑π
s : N' → N × ↥S
hs : ∀ (y : N'), (s y).2 • y = f (s y).1
i : { x // x ∈ σ } → N := fun x => (∏ j ∈ σ.erase ↑x, (s (g j)).2) • (s (g ↑x)).1
s₀ : ↥S := ∏ j ∈ σ, (s (g j)).2
hi : f ∘ₗ linearCombination R i = (s₀ • g) ∘ₗ π
s' : { x // x ∈ τ } → ↥S
hs' : ∀ (x : { x // x ∈ τ }), s' x • (linearCombination R i) ↑x = 0
s₁ : ↥S := ∏ i : { x // x ∈ τ }, s' i
this : LinearMap.ker π ≤ LinearMap.ker (s₁ • linearCombination R i)
x : { x // x ∈ σ } →₀ R
e_7✝ : CommSemiring.toSemiring = Ring.toSemiring
e_10✝ : instAddCommMonoid = AddCommGroup.toAddCommMonoid
he✝ : RingHom.id R = RingHom.id R
⊢ ↑(π.quotKerEquivOfSurjective hπ).symm ∘ₗ π = (LinearMap.ker π).mkQ

Tactic:
ext x

Result:
case h.e'_2.h.e'_21.h.h.h.h.h.h
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
N' : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup N'
inst✝¹ : Module R N'
S : Submonoid R
f : N →ₗ[R] N'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
g : M →ₗ[R] N'
σ : Finset M
hσ : Submodule.span R ↑σ = ⊤
τ : Finset ({ x // x ∈ σ } →₀ R)
hτ : Submodule.span R ↑τ = LinearMap.ker (linearCombination R Subtype.val)
π : ({ x // x ∈ σ } →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R Subtype.val
hπ : Function.Surjective ⇑π
s : N' → N × ↥S
hs : ∀ (y : N'), (s y).2 • y = f (s y).1
i : { x // x ∈ σ } → N := fun x => (∏ j ∈ σ.erase ↑x, (s (g j)).2) • (s (g ↑x)).1
s₀ : ↥S := ∏ j ∈ σ, (s (g j)).2
hi : f ∘ₗ linearCombination R i = (s₀ • g) ∘ₗ π
s' : { x // x ∈ τ } → ↥S
hs' : ∀ (x : { x // x ∈ τ }), s' x • (linearCombination R i) ↑x = 0
s₁ : ↥S := ∏ i : { x // x ∈ τ }, s' i
this : LinearMap.ker π ≤ LinearMap.ker (s₁ • linearCombination R i)
x✝ : { x // x ∈ σ } →₀ R
e_7✝ : CommSemiring.toSemiring = Ring.toSemiring
e_10✝ : instAddCommMonoid = AddCommGroup.toAddCommMonoid
he✝ : RingHom.id R = RingHom.id R
x : { x // x ∈ σ }
⊢ ((↑(π.quotKerEquivOfSurjective hπ).symm ∘ₗ π) ∘ₗ lsingle x) 1 = ((LinearMap.ker π).mkQ ∘ₗ lsingle x) 1

Proof state:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
N' : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup N'
inst✝¹ : Module R N'
S : Submonoid R
f : N →ₗ[R] N'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
g : M →ₗ[R] N'
σ : Finset M
hσ : Submodule.span R ↑σ = ⊤
τ : Finset ({ x // x ∈ σ } →₀ R)
hτ : Submodule.span R ↑τ = LinearMap.ker (linearCombination R Subtype.val)
π : ({ x // x ∈ σ } →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R Subtype.val
hπ : Function.Surjective ⇑π
s : N' → N × ↥S
hs : ∀ (y : N'), (s y).2 • y = f (s y).1
i : { x // x ∈ σ } → N := fun x => (∏ j ∈ σ.erase ↑x, (s (g j)).2) • (s (g ↑x)).1
s₀ : ↥S := ∏ j ∈ σ, (s (g j)).2
hi : f ∘ₗ linearCombination R i = (s₀ • g) ∘ₗ π
x : { x // x ∈ τ }
⊢ (s₀ • g) (π ↑x) = 0

Tactic:
convert map_zero (s₀ • g)

Result:
case h.e'_2.h.e'_6
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
N' : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup N'
inst✝¹ : Module R N'
S : Submonoid R
f : N →ₗ[R] N'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
g : M →ₗ[R] N'
σ : Finset M
hσ : Submodule.span R ↑σ = ⊤
τ : Finset ({ x // x ∈ σ } →₀ R)
hτ : Submodule.span R ↑τ = LinearMap.ker (linearCombination R Subtype.val)
π : ({ x // x ∈ σ } →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R Subtype.val
hπ : Function.Surjective ⇑π
s : N' → N × ↥S
hs : ∀ (y : N'), (s y).2 • y = f (s y).1
i : { x // x ∈ σ } → N := fun x => (∏ j ∈ σ.erase ↑x, (s (g j)).2) • (s (g ↑x)).1
s₀ : ↥S := ∏ j ∈ σ, (s (g j)).2
hi : f ∘ₗ linearCombination R i = (s₀ • g) ∘ₗ π
x : { x // x ∈ τ }
⊢ π ↑x = 0

Proof state:
case mk.intro.intro.intro.h.intro
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
N' : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup N'
inst✝¹ : Module R N'
S : Submonoid R
f : N →ₗ[R] N'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
g : M →ₗ[R] N'
σ : Finset M
hσ : Submodule.span R ↑σ = ⊤
τ : Finset ({ x // x ∈ σ } →₀ R)
hτ : Submodule.span R ↑τ = LinearMap.ker (linearCombination R Subtype.val)
π : ({ x // x ∈ σ } →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R Subtype.val
hπ : Function.Surjective ⇑π
s : N' → N × ↥S
hs : ∀ (y : N'), (s y).2 • y = f (s y).1
i : { x // x ∈ σ } → N := fun x => (∏ j ∈ σ.erase ↑x, (s (g j)).2) • (s (g ↑x)).1
s₀ : ↥S := ∏ j ∈ σ, (s (g j)).2
hi : f ∘ₗ linearCombination R i = (s₀ • g) ∘ₗ π
s' : { x // x ∈ τ } → ↥S
hs' : ∀ (x : { x // x ∈ τ }), s' x • (linearCombination R i) ↑x = 0
s₁ : ↥S := ∏ i : { x // x ∈ τ }, s' i
this : LinearMap.ker π ≤ LinearMap.ker (s₁ • linearCombination R i)
x : { x // x ∈ σ } →₀ R
⊢ (f ∘ₗ (LinearMap.ker π).liftQ (s₁ • linearCombination R i) this ∘ₗ ↑(π.quotKerEquivOfSurjective hπ).symm ∘ₗ π) x =
    (f ∘ₗ (s₁ • linearCombination R i)) x

Tactic:
congr 2

Result:
case mk.intro.intro.intro.h.intro.e_a.e_g
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_4
N' : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R N
inst✝² : AddCommGroup N'
inst✝¹ : Module R N'
S : Submonoid R
f : N →ₗ[R] N'
inst✝ : IsLocalizedModule S f
g : M →ₗ[R] N'
σ : Finset M
hσ : Submodule.span R ↑σ = ⊤
τ : Finset ({ x // x ∈ σ } →₀ R)
hτ : Submodule.span R ↑τ = LinearMap.ker (linearCombination R Subtype.val)
π : ({ x // x ∈ σ } →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R Subtype.val
hπ : Function.Surjective ⇑π
s : N' → N × ↥S
hs : ∀ (y : N'), (s y).2 • y = f (s y).1
i : { x // x ∈ σ } → N := fun x => (∏ j ∈ σ.erase ↑x, (s (g j)).2) • (s (g ↑x)).1
s₀ : ↥S := ∏ j ∈ σ, (s (g j)).2
hi : f ∘ₗ linearCombination R i = (s₀ • g) ∘ₗ π
s' : { x // x ∈ τ } → ↥S
hs' : ∀ (x : { x // x ∈ τ }), s' x • (linearCombination R i) ↑x = 0
s₁ : ↥S := ∏ i : { x // x ∈ τ }, s' i
this : LinearMap.ker π ≤ LinearMap.ker (s₁ • linearCombination R i)
x : { x // x ∈ σ } →₀ R
⊢ (LinearMap.ker π).liftQ (s₁ • linearCombination R i) this ∘ₗ ↑(π.quotKerEquivOfSurjective hπ).symm ∘ₗ π =
    s₁ • linearCombination R i