-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Acyclic.lean
lemma IsTree.card_edgeFinset [Fintype V] [Fintype G.edgeSet] (hG : G.IsTree) :
    Finset.card G.edgeFinset + 1 = Fintype.card V

Proof state:
case refine_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : Fintype ↑G.edgeSet
hG : G.IsTree
this✝ : Nonempty V
inhabited_h : Inhabited V
this : {default}ᶜ.card + 1 = Fintype.card V
f : (x : V) → G.Walk x default
hf : ∀ (x : V), (fun p => p.IsPath) (f x)
hf' : ∀ (x : V) (y : G.Walk x default), (fun p => p.IsPath) y → y = f x
x : V
h : G.Adj x default
h' : (f x).length ≤ (f default).length
⊢ False

Tactic:
rw [← hf' _ nil IsPath.nil, length_nil,
    ← hf' _ (.cons h .nil) (IsPath.nil.cons <| by simpa using h.ne),
    length_cons, length_nil] at h'

Result:
case refine_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : Fintype ↑G.edgeSet
hG : G.IsTree
this✝ : Nonempty V
inhabited_h : Inhabited V
this : {default}ᶜ.card + 1 = Fintype.card V
f : (x : V) → G.Walk x default
hf : ∀ (x : V), (fun p => p.IsPath) (f x)
hf' : ∀ (x : V) (y : G.Walk x default), (fun p => p.IsPath) y → y = f x
x : V
h : G.Adj x default
h' : 0 + 1 ≤ 0
⊢ False

Proof state:
case inr.refine_2
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : Fintype ↑G.edgeSet
hG : G.IsTree
this✝ : Nonempty V
inhabited_h : Inhabited V
this : {default}ᶜ.card + 1 = Fintype.card V
f : (x : V) → G.Walk x default
hf : ∀ (x : V), (fun p => p.IsPath) (f x)
hf' : ∀ (x : V) (y : G.Walk x default), (fun p => p.IsPath) y → y = f x
a : V
ha : a ∈ {default}ᶜ
b : V
hb : b ∈ {default}ᶜ
h' : (f a).length ≤ (f b).length
h : (f a).firstDart ⋯ = ((f b).firstDart ⋯).symm
h1 : ((f a).firstDart ⋯).toProd.2 = b
h3 : (f a).length = (f b).length + 1
⊢ a = b

Tactic:
omega

Result:
no goals

Proof state:
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : Fintype ↑G.edgeSet
hG : G.IsTree
this✝ : Nonempty V
inhabited_h : Inhabited V
this : {default}ᶜ.card + 1 = Fintype.card V
f : (x : V) → G.Walk x default
hf : ∀ (x : V), (fun p => p.IsPath) (f x)
hf' : ∀ (x : V) (y : G.Walk x default), (fun p => p.IsPath) y → y = f x
a : V
ha : a ∈ {default}ᶜ
b : V
hb : b ∈ {default}ᶜ
h : (f a).firstDart ⋯ = (f b).firstDart ⋯ ∨ (f a).firstDart ⋯ = ((f b).firstDart ⋯).symm
h' : (f a).length ≤ (f b).length
⊢ a = b

Tactic:
obtain (h | h) := h

Result:
case inl
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : Fintype ↑G.edgeSet
hG : G.IsTree
this✝ : Nonempty V
inhabited_h : Inhabited V
this : {default}ᶜ.card + 1 = Fintype.card V
f : (x : V) → G.Walk x default
hf : ∀ (x : V), (fun p => p.IsPath) (f x)
hf' : ∀ (x : V) (y : G.Walk x default), (fun p => p.IsPath) y → y = f x
a : V
ha : a ∈ {default}ᶜ
b : V
hb : b ∈ {default}ᶜ
h' : (f a).length ≤ (f b).length
h : (f a).firstDart ⋯ = (f b).firstDart ⋯
⊢ a = b

case inr
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : Fintype ↑G.edgeSet
hG : G.IsTree
this✝ : Nonempty V
inhabited_h : Inhabited V
this : {default}ᶜ.card + 1 = Fintype.card V
f : (x : V) → G.Walk x default
hf : ∀ (x : V), (fun p => p.IsPath) (f x)
hf' : ∀ (x : V) (y : G.Walk x default), (fun p => p.IsPath) y → y = f x
a : V
ha : a ∈ {default}ᶜ
b : V
hb : b ∈ {default}ᶜ
h' : (f a).length ≤ (f b).length
h : (f a).firstDart ⋯ = ((f b).firstDart ⋯).symm
⊢ a = b

Proof state:
case inr
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : Fintype ↑G.edgeSet
hG : G.IsTree
this✝¹ : Nonempty V
inhabited_h : Inhabited V
this✝ : {default}ᶜ.card + 1 = Fintype.card V
f : (x : V) → G.Walk x default
hf : ∀ (x : V), (fun p => p.IsPath) (f x)
hf' : ∀ (x : V) (y : G.Walk x default), (fun p => p.IsPath) y → y = f x
x y : V
h : G.Adj x y
this :
  ∀ (x y : V), G.Adj x y → (f x).length ≤ (f y).length → ∃ a, ∃ (h : ¬a = default), ((f a).firstDart ⋯).edge = s(x, y)
h' : ¬(f x).length ≤ (f y).length
⊢ ∃ a, ∃ (h : ¬a = default), ((f a).firstDart ⋯).edge = s(y, x)

Tactic:
exact this y x h.symm (le_of_not_le h')

Result:
no goals

Proof state:
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : Fintype ↑G.edgeSet
hG : G.IsTree
this✝ : Nonempty V
inhabited_h : Inhabited V
this : {default}ᶜ.card + 1 = Fintype.card V
⊢ G.edgeFinset.card + 1 = Fintype.card V

Tactic:
rw [← this, add_left_inj]

Result:
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : Fintype ↑G.edgeSet
hG : G.IsTree
this✝ : Nonempty V
inhabited_h : Inhabited V
this : {default}ᶜ.card + 1 = Fintype.card V
⊢ G.edgeFinset.card = {default}ᶜ.card

Proof state:
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : Fintype ↑G.edgeSet
hG : G.IsTree
this✝ : Nonempty V
inhabited_h : Inhabited V
this : {default}ᶜ.card + 1 = Fintype.card V
f : (x : V) → G.Walk x default
hf : ∀ (x : V), (fun p => p.IsPath) (f x)
hf' : ∀ (x : V) (y : G.Walk x default), (fun p => p.IsPath) y → y = f x
⊢ G.edgeFinset.card = {default}ᶜ.card

Tactic:
refine Eq.symm <| Finset.card_bij
        (fun w hw => ((f w).firstDart <| ?notNil).edge)
        (fun a ha => ?memEdges) ?inj ?surj

Result:
case notNil
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : Fintype ↑G.edgeSet
hG : G.IsTree
this✝ : Nonempty V
inhabited_h : Inhabited V
this : {default}ᶜ.card + 1 = Fintype.card V
f : (x : V) → G.Walk x default
hf : ∀ (x : V), (fun p => p.IsPath) (f x)
hf' : ∀ (x : V) (y : G.Walk x default), (fun p => p.IsPath) y → y = f x
w : V
hw : w ∈ {default}ᶜ
⊢ ¬(f w).Nil

case memEdges
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : Fintype ↑G.edgeSet
hG : G.IsTree
this✝ : Nonempty V
inhabited_h : Inhabited V
this : {default}ᶜ.card + 1 = Fintype.card V
f : (x : V) → G.Walk x default
hf : ∀ (x : V), (fun p => p.IsPath) (f x)
hf' : ∀ (x : V) (y : G.Walk x default), (fun p => p.IsPath) y → y = f x
a : V
ha : a ∈ {default}ᶜ
⊢ (fun w hw => ((f w).firstDart ⋯).edge) a ha ∈ G.edgeFinset

case inj
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : Fintype ↑G.edgeSet
hG : G.IsTree
this✝ : Nonempty V
inhabited_h : Inhabited V
this : {default}ᶜ.card + 1 = Fintype.card V
f : (x : V) → G.Walk x default
hf : ∀ (x : V), (fun p => p.IsPath) (f x)
hf' : ∀ (x : V) (y : G.Walk x default), (fun p => p.IsPath) y → y = f x
⊢ ∀ (a₁ : V) (ha₁ : a₁ ∈ {default}ᶜ) (a₂ : V) (ha₂ : a₂ ∈ {default}ᶜ),
    (fun w hw => ((f w).firstDart ⋯).edge) a₁ ha₁ = (fun w hw => ((f w).firstDart ⋯).edge) a₂ ha₂ → a₁ = a₂

case surj
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : Fintype ↑G.edgeSet
hG : G.IsTree
this✝ : Nonempty V
inhabited_h : Inhabited V
this : {default}ᶜ.card + 1 = Fintype.card V
f : (x : V) → G.Walk x default
hf : ∀ (x : V), (fun p => p.IsPath) (f x)
hf' : ∀ (x : V) (y : G.Walk x default), (fun p => p.IsPath) y → y = f x
⊢ ∀ b ∈ G.edgeFinset, ∃ a, ∃ (ha : a ∈ {default}ᶜ), (fun w hw => ((f w).firstDart ⋯).edge) a ha = b

Proof state:
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : Fintype V
inst✝ : Fintype ↑G.edgeSet
hG : G.IsTree
this✝ : Nonempty V
inhabited_h : Inhabited V
this : {default}ᶜ.card + 1 = Fintype.card V
f : (x : V) → G.Walk x default
hf : ∀ (x : V), (fun p => p.IsPath) (f x)
hf' : ∀ (x : V) (y : G.Walk x default), (fun p => p.IsPath) y → y = f x
a : V
ha : a ∈ {default}ᶜ
b : V
hb : b ∈ {default}ᶜ
h' : (f a).length ≤ (f b).length
h : (f a).firstDart ⋯ = ((f b).firstDart ⋯).symm
h1 : ((f a).firstDart ⋯).toProd.2 = b
h3 : (f a).tail.length + 1 = (f b).length + 1
⊢ a ≠ default

Tactic:
simpa using ha

Result:
no goals