-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/Coherent/SheafComparison.lean
lemma isSheaf_coherent_of_hasPullbacks_comp [Preregular C] [FinitaryExtensive C]
    [h : ∀ {Y X : C} (f : Y ⟶ X) [EffectiveEpi f], HasPullback f f] [PreservesFiniteLimits s]
    (hF : IsSheaf (coherentTopology C) F) : IsSheaf (coherentTopology C) (F ⋙ s)

Proof state:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
A : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} A
F : Cᵒᵖ ⥤ A
B : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₄, u₄} B
s : A ⥤ B
inst✝² : Preregular C
inst✝¹ : FinitaryExtensive C
h : ∀ {Y X : C} (f : Y ⟶ X) [inst : EffectiveEpi f], HasPullback f f
inst✝ : PreservesFiniteLimits s
hF : IsSheaf (coherentTopology C) F
⊢ IsSheaf (coherentTopology C) (F ⋙ s)

Tactic:
rw [isSheaf_iff_preservesFiniteProducts_and_equalizerCondition (h := h)] at hF ⊢

Result:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
A : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} A
F : Cᵒᵖ ⥤ A
B : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₄, u₄} B
s : A ⥤ B
inst✝² : Preregular C
inst✝¹ : FinitaryExtensive C
h : ∀ {Y X : C} (f : Y ⟶ X) [inst : EffectiveEpi f], HasPullback f f
inst✝ : PreservesFiniteLimits s
hF : PreservesFiniteProducts F ∧ EqualizerCondition F
⊢ PreservesFiniteProducts (F ⋙ s) ∧ EqualizerCondition (F ⋙ s)

Proof state:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
A : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} A
F : Cᵒᵖ ⥤ A
B : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₄, u₄} B
s : A ⥤ B
inst✝² : Preregular C
inst✝¹ : FinitaryExtensive C
h : ∀ {Y X : C} (f : Y ⟶ X) [inst : EffectiveEpi f], HasPullback f f
inst✝ : PreservesFiniteLimits s
hF : PreservesFiniteProducts F ∧ EqualizerCondition F
⊢ PreservesFiniteProducts (F ⋙ s) ∧ EqualizerCondition (F ⋙ s)

Tactic:
have := hF.1

Result:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
A : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} A
F : Cᵒᵖ ⥤ A
B : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₄, u₄} B
s : A ⥤ B
inst✝² : Preregular C
inst✝¹ : FinitaryExtensive C
h : ∀ {Y X : C} (f : Y ⟶ X) [inst : EffectiveEpi f], HasPullback f f
inst✝ : PreservesFiniteLimits s
hF : PreservesFiniteProducts F ∧ EqualizerCondition F
this : PreservesFiniteProducts F
⊢ PreservesFiniteProducts (F ⋙ s) ∧ EqualizerCondition (F ⋙ s)

Proof state:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
A : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} A
F : Cᵒᵖ ⥤ A
B : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₄, u₄} B
s : A ⥤ B
inst✝² : Preregular C
inst✝¹ : FinitaryExtensive C
h : ∀ {Y X : C} (f : Y ⟶ X) [inst : EffectiveEpi f], HasPullback f f
inst✝ : PreservesFiniteLimits s
hF : PreservesFiniteProducts F ∧ EqualizerCondition F
this : PreservesFiniteProducts F
x✝² x✝¹ : C
π : x✝² ⟶ x✝¹
x✝ : EffectiveEpi π
c : PullbackCone π π
hc : IsLimit c
⊢ IsLimit (Fork.ofι ((F ⋙ s).map π.op) ⋯)

Tactic:
exact isLimitForkMapOfIsLimit s _ (hF.2 π c hc).some

Result:
no goals

Proof state:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
A : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} A
F : Cᵒᵖ ⥤ A
B : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₄, u₄} B
s : A ⥤ B
inst✝² : Preregular C
inst✝¹ : FinitaryExtensive C
h : ∀ {Y X : C} (f : Y ⟶ X) [inst : EffectiveEpi f], HasPullback f f
inst✝ : PreservesFiniteLimits s
hF : PreservesFiniteProducts F ∧ EqualizerCondition F
this : PreservesFiniteProducts F
⊢ PreservesFiniteProducts (F ⋙ s) ∧ EqualizerCondition (F ⋙ s)

Tactic:
refine ⟨inferInstance, fun _ _ π _ c hc ↦ ⟨?_⟩⟩

Result:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_3, u_1} C
A : Type u₃
inst✝⁴ : Category.{v₃, u₃} A
F : Cᵒᵖ ⥤ A
B : Type u₄
inst✝³ : Category.{v₄, u₄} B
s : A ⥤ B
inst✝² : Preregular C
inst✝¹ : FinitaryExtensive C
h : ∀ {Y X : C} (f : Y ⟶ X) [inst : EffectiveEpi f], HasPullback f f
inst✝ : PreservesFiniteLimits s
hF : PreservesFiniteProducts F ∧ EqualizerCondition F
this : PreservesFiniteProducts F
x✝² x✝¹ : C
π : x✝² ⟶ x✝¹
x✝ : EffectiveEpi π
c : PullbackCone π π
hc : IsLimit c
⊢ IsLimit (Fork.ofι ((F ⋙ s).map π.op) ⋯)