-- Mathlib/Analysis/Convex/SpecificFunctions/Pow.lean
lemma strictConcaveOn_rpow {p : ℝ} (hp₀ : 0 < p) (hp₁ : p < 1) :
    StrictConcaveOn ℝ≥0 univ fun x : ℝ≥0 ↦ x ^ p

Proof state:
p : ℝ
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p < 1
hp₀' : 0 < 1 / p
hp₁' : 1 < 1 / p
f : ℝ≥0 ≃o ℝ≥0 := orderIsoRpow (1 / p) hp₀'
x : ℝ≥0
x✝¹ : x ∈ univ
y : ℝ≥0
x✝ : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : ℝ≥0
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ ↑a + ↑b = 1

Tactic:
norm_cast

Result:
no goals

Proof state:
p : ℝ
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p < 1
⊢ StrictConcaveOn ℝ≥0 univ fun x => x ^ p

Tactic:
have hp₀' : 0 < 1 / p := div_pos zero_lt_one hp₀

Result:
p : ℝ
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p < 1
hp₀' : 0 < 1 / p
⊢ StrictConcaveOn ℝ≥0 univ fun x => x ^ p

Proof state:
p : ℝ
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p < 1
hp₀' : 0 < 1 / p
hp₁' : 1 < 1 / p
f : ℝ≥0 ≃o ℝ≥0 := orderIsoRpow (1 / p) hp₀'
h₁ : StrictConvexOn ℝ≥0 univ ⇑f
h₂ : ∀ (x : ℝ≥0), f.symm x = x ^ p
⊢ StrictConcaveOn ℝ≥0 univ fun x => x ^ p

Tactic:
refine ⟨convex_univ, fun x mx y my hxy a b ha hb hab => ?_⟩

Result:
p : ℝ
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p < 1
hp₀' : 0 < 1 / p
hp₁' : 1 < 1 / p
f : ℝ≥0 ≃o ℝ≥0 := orderIsoRpow (1 / p) hp₀'
h₁ : StrictConvexOn ℝ≥0 univ ⇑f
h₂ : ∀ (x : ℝ≥0), f.symm x = x ^ p
x : ℝ≥0
mx : x ∈ univ
y : ℝ≥0
my : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : ℝ≥0
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a • (fun x => x ^ p) x + b • (fun x => x ^ p) y < (fun x => x ^ p) (a • x + b • y)

Proof state:
p : ℝ
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p < 1
hp₀' : 0 < 1 / p
hp₁' : 1 < 1 / p
f : ℝ≥0 ≃o ℝ≥0 := orderIsoRpow (1 / p) hp₀'
x : ℝ≥0
x✝¹ : x ∈ univ
y : ℝ≥0
x✝ : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : ℝ≥0
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ f (a • x + b • y) < a • f x + b • f y

Tactic:
exact (strictConvexOn_rpow hp₁').2 x.2 y.2 (by simp [hxy]) ha hb (by simp; norm_cast)

Result:
no goals

Proof state:
p : ℝ
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p < 1
hp₀' : 0 < 1 / p
hp₁' : 1 < 1 / p
f : ℝ≥0 ≃o ℝ≥0 := orderIsoRpow (1 / p) hp₀'
h₁ : StrictConvexOn ℝ≥0 univ ⇑f
⊢ StrictConcaveOn ℝ≥0 univ fun x => x ^ p

Tactic:
have h₂ : ∀ x, f.symm x = x ^ p := by simp [f, NNReal.orderIsoRpow_symm_eq]

Result:
p : ℝ
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p < 1
hp₀' : 0 < 1 / p
hp₁' : 1 < 1 / p
f : ℝ≥0 ≃o ℝ≥0 := orderIsoRpow (1 / p) hp₀'
h₁ : StrictConvexOn ℝ≥0 univ ⇑f
h₂ : ∀ (x : ℝ≥0), f.symm x = x ^ p
⊢ StrictConcaveOn ℝ≥0 univ fun x => x ^ p

Proof state:
p : ℝ
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p < 1
hp₀' : 0 < 1 / p
hp₁' : 1 < 1 / p
f : ℝ≥0 ≃o ℝ≥0 := orderIsoRpow (1 / p) hp₀'
⊢ StrictConvexOn ℝ≥0 univ ⇑f

Tactic:
refine ⟨convex_univ, fun x _ y _ hxy a b ha hb hab => ?_⟩

Result:
p : ℝ
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p < 1
hp₀' : 0 < 1 / p
hp₁' : 1 < 1 / p
f : ℝ≥0 ≃o ℝ≥0 := orderIsoRpow (1 / p) hp₀'
x : ℝ≥0
x✝¹ : x ∈ univ
y : ℝ≥0
x✝ : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : ℝ≥0
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ f (a • x + b • y) < a • f x + b • f y

Proof state:
p : ℝ
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p < 1
hp₀' : 0 < 1 / p
hp₁' : 1 < 1 / p
f : ℝ≥0 ≃o ℝ≥0 := orderIsoRpow (1 / p) hp₀'
h₁ : StrictConvexOn ℝ≥0 univ ⇑f
h₂ : ∀ (x : ℝ≥0), f.symm x = x ^ p
x : ℝ≥0
mx : x ∈ univ
y : ℝ≥0
my : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : ℝ≥0
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a • f.symm x + b • f.symm y < f.symm (a • x + b • y)

Tactic:
exact (f.strictConcaveOn_symm h₁).2 mx my hxy ha hb hab

Result:
no goals

Proof state:
p : ℝ
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p < 1
hp₀' : 0 < 1 / p
⊢ StrictConcaveOn ℝ≥0 univ fun x => x ^ p

Tactic:
have hp₁' : 1 < 1 / p := by rw [one_lt_div hp₀]; exact hp₁

Result:
p : ℝ
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p < 1
hp₀' : 0 < 1 / p
hp₁' : 1 < 1 / p
⊢ StrictConcaveOn ℝ≥0 univ fun x => x ^ p

Proof state:
p : ℝ
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p < 1
hp₀' : 0 < 1 / p
hp₁' : 1 < 1 / p
f : ℝ≥0 ≃o ℝ≥0 := orderIsoRpow (1 / p) hp₀'
⊢ StrictConcaveOn ℝ≥0 univ fun x => x ^ p

Tactic:
have h₁ : StrictConvexOn ℝ≥0 univ f := by
  refine ⟨convex_univ, fun x _ y _ hxy a b ha hb hab => ?_⟩
  exact (strictConvexOn_rpow hp₁').2 x.2 y.2 (by simp [hxy]) ha hb (by simp; norm_cast)

Result:
p : ℝ
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p < 1
hp₀' : 0 < 1 / p
hp₁' : 1 < 1 / p
f : ℝ≥0 ≃o ℝ≥0 := orderIsoRpow (1 / p) hp₀'
h₁ : StrictConvexOn ℝ≥0 univ ⇑f
⊢ StrictConcaveOn ℝ≥0 univ fun x => x ^ p

Proof state:
p : ℝ
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p < 1
hp₀' : 0 < 1 / p
hp₁' : 1 < 1 / p
⊢ StrictConcaveOn ℝ≥0 univ fun x => x ^ p

Tactic:
let f := NNReal.orderIsoRpow (1 / p) hp₀'

Result:
p : ℝ
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p < 1
hp₀' : 0 < 1 / p
hp₁' : 1 < 1 / p
f : ℝ≥0 ≃o ℝ≥0 := orderIsoRpow (1 / p) hp₀'
⊢ StrictConcaveOn ℝ≥0 univ fun x => x ^ p

Proof state:
p : ℝ
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p < 1
hp₀' : 0 < 1 / p
hp₁' : 1 < 1 / p
f : ℝ≥0 ≃o ℝ≥0 := orderIsoRpow (1 / p) hp₀'
h₁ : StrictConvexOn ℝ≥0 univ ⇑f
h₂ : ∀ (x : ℝ≥0), f.symm x = x ^ p
x : ℝ≥0
mx : x ∈ univ
y : ℝ≥0
my : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : ℝ≥0
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a • (fun x => x ^ p) x + b • (fun x => x ^ p) y < (fun x => x ^ p) (a • x + b • y)

Tactic:
simp only [← h₂]

Result:
p : ℝ
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p < 1
hp₀' : 0 < 1 / p
hp₁' : 1 < 1 / p
f : ℝ≥0 ≃o ℝ≥0 := orderIsoRpow (1 / p) hp₀'
h₁ : StrictConvexOn ℝ≥0 univ ⇑f
h₂ : ∀ (x : ℝ≥0), f.symm x = x ^ p
x : ℝ≥0
mx : x ∈ univ
y : ℝ≥0
my : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : ℝ≥0
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a • f.symm x + b • f.symm y < f.symm (a • x + b • y)

Proof state:
p : ℝ
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p < 1
hp₀' : 0 < 1 / p
hp₁' : 1 < 1 / p
f : ℝ≥0 ≃o ℝ≥0 := orderIsoRpow (1 / p) hp₀'
x : ℝ≥0
x✝¹ : x ∈ univ
y : ℝ≥0
x✝ : y ∈ univ
hxy : x ≠ y
a b : ℝ≥0
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ ↑x ≠ ↑y

Tactic:
simp [hxy]

Result:
no goals

Proof state:
p : ℝ
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p < 1
hp₀' : 0 < 1 / p
⊢ 1 < 1 / p

Tactic:
rw [one_lt_div hp₀]

Result:
p : ℝ
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p < 1
hp₀' : 0 < 1 / p
⊢ p < 1

Proof state:
p : ℝ
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p < 1
hp₀' : 0 < 1 / p
hp₁' : 1 < 1 / p
f : ℝ≥0 ≃o ℝ≥0 := orderIsoRpow (1 / p) hp₀'
h₁ : StrictConvexOn ℝ≥0 univ ⇑f
⊢ ∀ (x : ℝ≥0), f.symm x = x ^ p

Tactic:
simp [f, NNReal.orderIsoRpow_symm_eq]

Result:
no goals

Proof state:
p : ℝ
hp₀ : 0 < p
hp₁ : p < 1
hp₀' : 0 < 1 / p
⊢ p < 1

Tactic:
exact hp₁

Result:
no goals