-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Basic.lean
/-- This lemma exists only to simplify the proof of
`LieModule.isCompl_genWeightSpace_zero_posFittingComp`. -/
private lemma isCompl_genWeightSpace_zero_posFittingComp_aux
    (h : ∀ N < (⊤ : LieSubmodule R L M), IsCompl (genWeightSpace N 0) (posFittingComp R L N)) :
    IsCompl (genWeightSpace M 0) (posFittingComp R L M)

Proof state:
case inr.intro
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
inst✝² : LieRing.IsNilpotent L
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
h : ∀ N < ⊤, IsCompl (genWeightSpace (↥N) 0) (posFittingComp R L ↥N)
M₀ : LieSubmodule R L M := genWeightSpace M 0
M₁ : LieSubmodule R L M := posFittingComp R L M
x : L
M₀ₓ : LieSubmodule R L M := genWeightSpaceOf M 0 x
hx : M₀ₓ ≠ ⊤
M₁ₓ : LieSubmodule R L M := posFittingCompOf R M x
M₀ₓ₀ : LieSubmodule R L ↥M₀ₓ := genWeightSpace (↥M₀ₓ) 0
M₀ₓ₁ : LieSubmodule R L ↥M₀ₓ := posFittingComp R L ↥M₀ₓ
h₁ : IsCompl M₀ₓ M₁ₓ
h₂ : IsCompl M₀ₓ₀ M₀ₓ₁
⊢ IsCompl M₀ M₁

Tactic:
have h₃ : M₀ₓ₀.map M₀ₓ.incl = M₀ := by
  rw [map_genWeightSpace_eq_of_injective M₀ₓ.injective_incl, inf_eq_left,
    LieSubmodule.range_incl]
  exact iInf_le _ x

Result:
case inr.intro
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
inst✝² : LieRing.IsNilpotent L
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
h : ∀ N < ⊤, IsCompl (genWeightSpace (↥N) 0) (posFittingComp R L ↥N)
M₀ : LieSubmodule R L M := genWeightSpace M 0
M₁ : LieSubmodule R L M := posFittingComp R L M
x : L
M₀ₓ : LieSubmodule R L M := genWeightSpaceOf M 0 x
hx : M₀ₓ ≠ ⊤
M₁ₓ : LieSubmodule R L M := posFittingCompOf R M x
M₀ₓ₀ : LieSubmodule R L ↥M₀ₓ := genWeightSpace (↥M₀ₓ) 0
M₀ₓ₁ : LieSubmodule R L ↥M₀ₓ := posFittingComp R L ↥M₀ₓ
h₁ : IsCompl M₀ₓ M₁ₓ
h₂ : IsCompl M₀ₓ₀ M₀ₓ₁
h₃ : LieSubmodule.map M₀ₓ.incl M₀ₓ₀ = M₀
⊢ IsCompl M₀ M₁

Proof state:
case inr.intro.h
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
inst✝² : LieRing.IsNilpotent L
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
h : ∀ N < ⊤, IsCompl (genWeightSpace (↥N) 0) (posFittingComp R L ↥N)
M₀ : LieSubmodule R L M := genWeightSpace M 0
M₁ : LieSubmodule R L M := posFittingComp R L M
x : L
M₀ₓ : LieSubmodule R L M := genWeightSpaceOf M 0 x
hx : M₀ₓ ≠ ⊤
M₁ₓ : LieSubmodule R L M := posFittingCompOf R M x
M₀ₓ₀ : LieSubmodule R L ↥M₀ₓ := genWeightSpace (↥M₀ₓ) 0
M₀ₓ₁ : LieSubmodule R L ↥M₀ₓ := posFittingComp R L ↥M₀ₓ
h₁ : IsCompl M₀ₓ M₁ₓ
h₂ : IsCompl M₀ₓ₀ M₀ₓ₁
h₃ : LieSubmodule.map M₀ₓ.incl M₀ₓ₀ = M₀
h₄ : LieSubmodule.map M₀ₓ.incl M₀ₓ₁ ⊔ M₁ₓ = M₁
⊢ Disjoint (LieSubmodule.map M₀ₓ.incl M₀ₓ₀) (LieSubmodule.map M₀ₓ.incl M₀ₓ₁)

Tactic:
rw [disjoint_iff, ← LieSubmodule.map_inf M₀ₓ.injective_incl, h₂.inf_eq_bot,
  LieSubmodule.map_bot]

Result:
no goals

Proof state:
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
inst✝² : LieRing.IsNilpotent L
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
h : ∀ N < ⊤, IsCompl (genWeightSpace (↥N) 0) (posFittingComp R L ↥N)
M₀ : LieSubmodule R L M := genWeightSpace M 0
⊢ IsCompl M₀ (posFittingComp R L M)

Tactic:
set M₁ := posFittingComp R L M

Result:
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
inst✝² : LieRing.IsNilpotent L
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
h : ∀ N < ⊤, IsCompl (genWeightSpace (↥N) 0) (posFittingComp R L ↥N)
M₀ : LieSubmodule R L M := genWeightSpace M 0
M₁ : LieSubmodule R L M := posFittingComp R L M
⊢ IsCompl M₀ M₁

Proof state:
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
inst✝² : LieRing.IsNilpotent L
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
h : ∀ N < ⊤, IsCompl (genWeightSpace (↥N) 0) (posFittingComp R L ↥N)
⊢ IsCompl (genWeightSpace M 0) (posFittingComp R L M)

Tactic:
set M₀ := genWeightSpace M (0 : L → R)

Result:
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
inst✝² : LieRing.IsNilpotent L
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
h : ∀ N < ⊤, IsCompl (genWeightSpace (↥N) 0) (posFittingComp R L ↥N)
M₀ : LieSubmodule R L M := genWeightSpace M 0
⊢ IsCompl M₀ (posFittingComp R L M)

Proof state:
case inr.intro
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
inst✝² : LieRing.IsNilpotent L
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
h : ∀ N < ⊤, IsCompl (genWeightSpace (↥N) 0) (posFittingComp R L ↥N)
M₀ : LieSubmodule R L M := genWeightSpace M 0
M₁ : LieSubmodule R L M := posFittingComp R L M
x : L
M₀ₓ : LieSubmodule R L M := genWeightSpaceOf M 0 x
hx : M₀ₓ ≠ ⊤
M₁ₓ : LieSubmodule R L M := posFittingCompOf R M x
M₀ₓ₀ : LieSubmodule R L ↥M₀ₓ := genWeightSpace (↥M₀ₓ) 0
M₀ₓ₁ : LieSubmodule R L ↥M₀ₓ := posFittingComp R L ↥M₀ₓ
h₁ : IsCompl M₀ₓ M₁ₓ
h₂ : IsCompl M₀ₓ₀ M₀ₓ₁
h₃ : LieSubmodule.map M₀ₓ.incl M₀ₓ₀ = M₀
⊢ IsCompl M₀ M₁

Tactic:
have h₄ : M₀ₓ₁.map M₀ₓ.incl ⊔ M₁ₓ = M₁ := by
  apply le_antisymm <| sup_le_iff.mpr
    ⟨map_posFittingComp_le _, posFittingCompOf_le_posFittingComp R L M x⟩
  rw [← posFittingComp_map_incl_sup_of_codisjoint h₁.codisjoint]
  exact sup_le_sup_left LieSubmodule.map_incl_le _

Result:
case inr.intro
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
inst✝² : LieRing.IsNilpotent L
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
h : ∀ N < ⊤, IsCompl (genWeightSpace (↥N) 0) (posFittingComp R L ↥N)
M₀ : LieSubmodule R L M := genWeightSpace M 0
M₁ : LieSubmodule R L M := posFittingComp R L M
x : L
M₀ₓ : LieSubmodule R L M := genWeightSpaceOf M 0 x
hx : M₀ₓ ≠ ⊤
M₁ₓ : LieSubmodule R L M := posFittingCompOf R M x
M₀ₓ₀ : LieSubmodule R L ↥M₀ₓ := genWeightSpace (↥M₀ₓ) 0
M₀ₓ₁ : LieSubmodule R L ↥M₀ₓ := posFittingComp R L ↥M₀ₓ
h₁ : IsCompl M₀ₓ M₁ₓ
h₂ : IsCompl M₀ₓ₀ M₀ₓ₁
h₃ : LieSubmodule.map M₀ₓ.incl M₀ₓ₀ = M₀
h₄ : LieSubmodule.map M₀ₓ.incl M₀ₓ₁ ⊔ M₁ₓ = M₁
⊢ IsCompl M₀ M₁

Proof state:
case inl
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
inst✝² : LieRing.IsNilpotent L
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
h✝ : ∀ N < ⊤, IsCompl (genWeightSpace (↥N) 0) (posFittingComp R L ↥N)
M₀ : LieSubmodule R L M := genWeightSpace M 0
M₁ : LieSubmodule R L M := posFittingComp R L M
h : M₀ = ⊤
⊢ IsNilpotent L ↥M₀

Tactic:
infer_instance

Result:
no goals