-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/Discriminant.lean
theorem discr_prime_pow_ne_two [IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L] [hp : Fact (p : ℕ).Prime]
    (hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))) (hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1)) : ℕ) K))
    (hk : p ^ (k + 1) ≠ 2) : discr K (hζ.powerBasis K).basis =
      (-1) ^ ((p ^ (k + 1) : ℕ).totient / 2) * p ^ ((p : ℕ) ^ k * ((p - 1) * (k + 1) - 1))

Proof state:
case e_a.inr
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
L : Type v
ζ : L
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
hk : p ^ (k + 1) ≠ 2
hne : NeZero ↑↑(p ^ (k + 1))
mf : Module.Finite K L
se : Algebra.IsSeparable K L
coe_two : ↑2 = 2
hp2✝ : p = 2 → k ≠ 0
hp2 : p ≠ 2
⊢ (-1) ^ (↑p ^ k * (↑p - 1) * (↑p ^ k * (↑p - 1) - 1) / 2) = (-1) ^ (↑p ^ k * (↑p - 1) / 2)

Tactic:
replace hp2 : (p : ℕ) ≠ 2 := by rwa [Ne, ← coe_two, PNat.coe_inj]

Result:
case e_a.inr
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
L : Type v
ζ : L
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
hk : p ^ (k + 1) ≠ 2
hne : NeZero ↑↑(p ^ (k + 1))
mf : Module.Finite K L
se : Algebra.IsSeparable K L
coe_two : ↑2 = 2
hp2✝ : p = 2 → k ≠ 0
hp2 : ↑p ≠ 2
⊢ (-1) ^ (↑p ^ k * (↑p - 1) * (↑p ^ k * (↑p - 1) - 1) / 2) = (-1) ^ (↑p ^ k * (↑p - 1) / 2)

Proof state:
case e_a.inl.intro
K : Type u
L : Type v
ζ : L
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
mf : Module.Finite K L
se : Algebra.IsSeparable K L
coe_two : ↑2 = 2
hp : Fact (Nat.Prime ↑2)
k : ℕ
inst✝ : IsCyclotomicExtension {2 ^ (k.succ + 1)} K L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(2 ^ (k.succ + 1))
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(2 ^ (k.succ + 1))) K)
hk : 2 ^ (k.succ + 1) ≠ 2
hne : NeZero ↑↑(2 ^ (k.succ + 1))
hp2 : 2 = 2 → k.succ ≠ 0
⊢ (-1) ^ (2 * 2 ^ k * (2 * 2 ^ k - 1) / 2) = (-1) ^ (2 * 2 ^ k / 2)

Tactic:
rw [mul_assoc, Nat.mul_div_cancel_left _ zero_lt_two, Nat.mul_div_cancel_left _ zero_lt_two]

Result:
case e_a.inl.intro
K : Type u
L : Type v
ζ : L
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
mf : Module.Finite K L
se : Algebra.IsSeparable K L
coe_two : ↑2 = 2
hp : Fact (Nat.Prime ↑2)
k : ℕ
inst✝ : IsCyclotomicExtension {2 ^ (k.succ + 1)} K L
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(2 ^ (k.succ + 1))
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(2 ^ (k.succ + 1))) K)
hk : 2 ^ (k.succ + 1) ≠ 2
hne : NeZero ↑↑(2 ^ (k.succ + 1))
hp2 : 2 = 2 → k.succ ≠ 0
⊢ (-1) ^ (2 ^ k * (2 * 2 ^ k - 1)) = (-1) ^ 2 ^ k

Proof state:
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
L : Type v
ζ : L
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
hk : p ^ (k + 1) ≠ 2
hne : NeZero ↑↑(p ^ (k + 1))
mf : Module.Finite K L
se : Algebra.IsSeparable K L
coe_two : ↑2 = 2
hp2✝ : p = 2 → k ≠ 0
hp2 : p ≠ 2
⊢ ↑p ≠ 2

Tactic:
rwa [Ne, ← coe_two, PNat.coe_inj]

Result:
no goals

Proof state:
case e_a.refine_1
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
L : Type v
ζ : L
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
hk : p ^ (k + 1) ≠ 2
hne : NeZero ↑↑(p ^ (k + 1))
mf : Module.Finite K L
se : Algebra.IsSeparable K L
coe_two : ↑2 = 2
hp2 : p = 2 → k ≠ 0
H :
  (Algebra.norm K) ((aeval ζ) (derivative (cyclotomic (↑p ^ (k + 1)) K))) * ↑↑p ^ ↑p ^ k =
    ↑↑p ^ (↑p ^ k * (k.succ * (↑p - 1)).pred) * ↑↑p ^ ↑p ^ k
hnorm : (Algebra.norm K) (ζ ^ ↑p ^ k - 1) = ↑↑p ^ ↑p ^ k
this✝ : 0 < k.succ * (↑p - 1)
h : ↑↑p ^ ↑p ^ k = 0
this : ¬↑↑p = 0
⊢ False

Tactic:
exact absurd (pow_eq_zero h) this

Result:
no goals

Proof state:
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
L : Type v
ζ : L
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
hk : p ^ (k + 1) ≠ 2
hne : NeZero ↑↑(p ^ (k + 1))
mf : Module.Finite K L
se : Algebra.IsSeparable K L
coe_two : ↑2 = 2
hp2 : p = 2 → k ≠ 0
⊢ (-1) ^ (↑p ^ k * (↑p - 1) * (↑p ^ k * (↑p - 1) - 1) / 2) *
      (Algebra.norm K) ((aeval ζ) (derivative (cyclotomic (↑p ^ (k + 1)) K))) =
    (-1) ^ (↑p ^ k * (↑p - 1) / 2) * ↑↑p ^ (↑p ^ k * ((↑p - 1) * (k + 1) - 1))

Tactic:
congr 1

Result:
case e_a
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
L : Type v
ζ : L
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
hk : p ^ (k + 1) ≠ 2
hne : NeZero ↑↑(p ^ (k + 1))
mf : Module.Finite K L
se : Algebra.IsSeparable K L
coe_two : ↑2 = 2
hp2 : p = 2 → k ≠ 0
⊢ (-1) ^ (↑p ^ k * (↑p - 1) * (↑p ^ k * (↑p - 1) - 1) / 2) = (-1) ^ (↑p ^ k * (↑p - 1) / 2)

case e_a
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
L : Type v
ζ : L
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
hk : p ^ (k + 1) ≠ 2
hne : NeZero ↑↑(p ^ (k + 1))
mf : Module.Finite K L
se : Algebra.IsSeparable K L
coe_two : ↑2 = 2
hp2 : p = 2 → k ≠ 0
⊢ (Algebra.norm K) ((aeval ζ) (derivative (cyclotomic (↑p ^ (k + 1)) K))) = ↑↑p ^ (↑p ^ k * ((↑p - 1) * (k + 1) - 1))

Proof state:
case e_a
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
L : Type v
ζ : L
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
hk : p ^ (k + 1) ≠ 2
hne : NeZero ↑↑(p ^ (k + 1))
mf : Module.Finite K L
se : Algebra.IsSeparable K L
coe_two : ↑2 = 2
hp2 : p = 2 → k ≠ 0
H :
  (Algebra.norm K) ((aeval ζ) (derivative (minpoly K ζ)) * (ζ ^ ↑p ^ k - 1)) =
    (Algebra.norm K) (↑↑(p ^ (k + 1)) * ζ ^ (↑(p ^ (k + 1)) - 1))
hnorm : (Algebra.norm K) (ζ ^ ↑p ^ k - 1) = ↑↑p ^ ↑p ^ k
⊢ (Algebra.norm K) ((aeval ζ) (derivative (cyclotomic (↑p ^ (k + 1)) K))) = ↑↑p ^ (↑p ^ k * ((↑p - 1) * (k + 1) - 1))

Tactic:
rw [MonoidHom.map_mul, hnorm, MonoidHom.map_mul, ← map_natCast (algebraMap K L),
  Algebra.norm_algebraMap, finrank L hirr] at H

Result:
case e_a
p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
L : Type v
ζ : L
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
hk : p ^ (k + 1) ≠ 2
hne : NeZero ↑↑(p ^ (k + 1))
mf : Module.Finite K L
se : Algebra.IsSeparable K L
coe_two : ↑2 = 2
hp2 : p = 2 → k ≠ 0
H :
  (Algebra.norm K) ((aeval ζ) (derivative (minpoly K ζ))) * ↑↑p ^ ↑p ^ k =
    ↑↑(p ^ (k + 1)) ^ φ ↑(p ^ (k + 1)) * (Algebra.norm K) (ζ ^ (↑(p ^ (k + 1)) - 1))
hnorm : (Algebra.norm K) (ζ ^ ↑p ^ k - 1) = ↑↑p ^ ↑p ^ k
⊢ (Algebra.norm K) ((aeval ζ) (derivative (cyclotomic (↑p ^ (k + 1)) K))) = ↑↑p ^ (↑p ^ k * ((↑p - 1) * (k + 1) - 1))