-- Mathlib/Algebra/Lie/Abelian.lean
theorem le_max_triv_iff_bracket_eq_bot {N : LieSubmodule R L M} :
    N ≤ maxTrivSubmodule R L M ↔ ⁅(⊤ : LieIdeal R L), N⁆ = ⊥

Proof state:
case refine_2
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
h : ⁅⊤, N⁆ = ⊥
m : M
hm : m ∈ N
⊢ m ∈ maxTrivSubmodule R L M

Tactic:
rw [mem_maxTrivSubmodule]

Result:
case refine_2
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
h : ⁅⊤, N⁆ = ⊥
m : M
hm : m ∈ N
⊢ ∀ (x : L), ⁅x, m⁆ = 0

Proof state:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
⊢ N ≤ maxTrivSubmodule R L M ↔ ⁅⊤, N⁆ = ⊥

Tactic:
refine ⟨fun h => ?_, fun h m hm => ?_⟩

Result:
case refine_1
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
h : N ≤ maxTrivSubmodule R L M
⊢ ⁅⊤, N⁆ = ⊥

case refine_2
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
h : ⁅⊤, N⁆ = ⊥
m : M
hm : m ∈ N
⊢ m ∈ maxTrivSubmodule R L M

Proof state:
case refine_2
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
h : ⁅⊤, N⁆ = ⊥
m : M
hm : m ∈ N
⊢ ∀ (x : L), ⁅x, m⁆ = 0

Tactic:
rw [LieSubmodule.lie_eq_bot_iff] at h

Result:
case refine_2
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
h : ∀ x ∈ ⊤, ∀ m ∈ N, ⁅x, m⁆ = 0
m : M
hm : m ∈ N
⊢ ∀ (x : L), ⁅x, m⁆ = 0

Proof state:
case refine_2
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
h : ∀ x ∈ ⊤, ∀ m ∈ N, ⁅x, m⁆ = 0
m : M
hm : m ∈ N
⊢ ∀ (x : L), ⁅x, m⁆ = 0

Tactic:
exact fun x => h x (LieSubmodule.mem_top x) m hm

Result:
no goals

Proof state:
case refine_1
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
h : N ≤ maxTrivSubmodule R L M
⊢ ⁅⊤, N⁆ = ⊥

Tactic:
rw [← le_bot_iff, ← ideal_oper_maxTrivSubmodule_eq_bot R L M ⊤]

Result:
case refine_1
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
h : N ≤ maxTrivSubmodule R L M
⊢ ⁅⊤, N⁆ ≤ ⁅⊤, maxTrivSubmodule R L M⁆

Proof state:
case refine_1
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
h : N ≤ maxTrivSubmodule R L M
⊢ ⁅⊤, N⁆ ≤ ⁅⊤, maxTrivSubmodule R L M⁆

Tactic:
exact LieSubmodule.mono_lie_right ⊤ h

Result:
no goals