-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/ToLin.lean
theorem LinearMap.toMatrix_apply (f : M₁ →ₗ[R] M₂) (i : m) (j : n) :
    LinearMap.toMatrix v₁ v₂ f i j = v₂.repr (f (v₁ j)) i

Proof state:
case h₁
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
f : M₁ →ₗ[R] M₂
i : m
j : n
⊢ j ∉ Finset.univ → (if j = j then 1 else 0) • v₁ j = 0

Tactic:
intro hj

Result:
case h₁
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
f : M₁ →ₗ[R] M₂
i : m
j : n
hj : j ∉ Finset.univ
⊢ (if j = j then 1 else 0) • v₁ j = 0

Proof state:
case h₀
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
f : M₁ →ₗ[R] M₂
i : m
j : n
⊢ ∀ b ∈ Finset.univ, b ≠ j → (if b = j then 1 else 0) • v₁ b = 0

Tactic:
intro j' _ hj'

Result:
case h₀
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
f : M₁ →ₗ[R] M₂
i : m
j j' : n
a✝ : j' ∈ Finset.univ
hj' : j' ≠ j
⊢ (if j' = j then 1 else 0) • v₁ j' = 0

Proof state:
case h₁
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
f : M₁ →ₗ[R] M₂
i : m
j : n
hj : j ∉ Finset.univ
⊢ (if j = j then 1 else 0) • v₁ j = 0

Tactic:
have := Finset.mem_univ j

Result:
case h₁
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
f : M₁ →ₗ[R] M₂
i : m
j : n
hj : j ∉ Finset.univ
this : j ∈ Finset.univ
⊢ (if j = j then 1 else 0) • v₁ j = 0

Proof state:
case h₀
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
f : M₁ →ₗ[R] M₂
i : m
j j' : n
a✝ : j' ∈ Finset.univ
hj' : j' ≠ j
⊢ (if j' = j then 1 else 0) • v₁ j' = 0

Tactic:
rw [if_neg hj', zero_smul]

Result:
no goals

Proof state:
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
f : M₁ →ₗ[R] M₂
i : m
j : n
⊢ (toMatrix v₁ v₂) f i j = (v₂.repr (f (v₁ j))) i

Tactic:
rw [LinearMap.toMatrix, LinearEquiv.trans_apply, LinearMap.toMatrix'_apply,
  LinearEquiv.arrowCongr_apply, Basis.equivFun_symm_apply, Finset.sum_eq_single j, if_pos rfl,
  one_smul, Basis.equivFun_apply]

Result:
case h₀
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
f : M₁ →ₗ[R] M₂
i : m
j : n
⊢ ∀ b ∈ Finset.univ, b ≠ j → (if b = j then 1 else 0) • v₁ b = 0

case h₁
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
f : M₁ →ₗ[R] M₂
i : m
j : n
⊢ j ∉ Finset.univ → (if j = j then 1 else 0) • v₁ j = 0

Proof state:
case h₁
R : Type u_1
inst✝⁷ : CommSemiring R
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Finite m
inst✝⁴ : DecidableEq n
M₁ : Type u_5
M₂ : Type u_6
inst✝³ : AddCommMonoid M₁
inst✝² : AddCommMonoid M₂
inst✝¹ : Module R M₁
inst✝ : Module R M₂
v₁ : Basis n R M₁
v₂ : Basis m R M₂
f : M₁ →ₗ[R] M₂
i : m
j : n
hj : j ∉ Finset.univ
this : j ∈ Finset.univ
⊢ (if j = j then 1 else 0) • v₁ j = 0

Tactic:
contradiction

Result:
no goals