-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
theorem tendsto_integral_smul_of_tendsto_average_norm_sub
    [CompleteSpace E]
    {ι : Type*} {a : ι → Set α} {l : Filter ι} {f : α → E} {c : E} {g : ι → α → ℝ} (K : ℝ)
    (hf : Tendsto (fun i ↦ ⨍ y in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0))
    (f_int : ∀ᶠ i in l, IntegrableOn f (a i) μ)
    (hg : Tendsto (fun i ↦ ∫ y, g i y ∂μ) l (𝓝 1))
    (g_supp : ∀ᶠ i in l, Function.support (g i) ⊆ a i)
    (g_bound : ∀ᶠ i in l, ∀ x, |g i x| ≤ K / (μ (a i)).toReal) :
    Tendsto (fun i ↦ ∫ y, g i y • f y ∂μ) l (𝓝 c)

Proof state:
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace E
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) μ
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / (μ (a i)).toReal
g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i) μ
I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ
this : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
i : ι
hi : support (g i) ⊆ a i
h'i : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / (μ (a i)).toReal
h''i : IntegrableOn f (a i) μ
hi_int : 0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ
⊢ μ (a i) ≠ ⊤

Tactic:
intro h

Result:
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace E
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) μ
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / (μ (a i)).toReal
g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i) μ
I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ
this : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
i : ι
hi : support (g i) ⊆ a i
h'i : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / (μ (a i)).toReal
h''i : IntegrableOn f (a i) μ
hi_int : 0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ
h : μ (a i) = ⊤
⊢ False

Proof state:
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace E
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) μ
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / (μ (a i)).toReal
g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i) μ
I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ) l (𝓝 0)

Tactic:
have := hf.const_mul K

Result:
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace E
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) μ
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / (μ (a i)).toReal
g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i) μ
I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ
this : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 (K * 0))
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ) l (𝓝 0)

Proof state:
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace E
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) μ
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / (μ (a i)).toReal
⊢ ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i) μ

Tactic:
filter_upwards [(tendsto_order.1 hg).1 _ zero_lt_one] with i hi

Result:
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace E
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) μ
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / (μ (a i)).toReal
i : ι
hi : 0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ
⊢ Integrable (g i) μ

Proof state:
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace E
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) μ
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / (μ (a i)).toReal
g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i) μ
I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ
this✝ : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
i : ι
hi : support (g i) ⊆ a i
h'i : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / (μ (a i)).toReal
h''i : IntegrableOn f (a i) μ
hi_int : 0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ
mu_ai : μ (a i) < ⊤
this : ∀ x ∉ a i, ‖g i x‖ * ‖f x - c‖ = 0
x : α
⊢ 0 x ≤ (fun x => ‖g i x‖ * ‖f x - c‖) x

Tactic:
positivity

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace E
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) μ
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / (μ (a i)).toReal
g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i) μ
I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ
this✝ : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
i : ι
hi : support (g i) ⊆ a i
h'i : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / (μ (a i)).toReal
h''i : IntegrableOn f (a i) μ
hi_int : 0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ
mu_ai : μ (a i) < ⊤
this : ∀ x ∉ a i, ‖g i x‖ * ‖f x - c‖ = 0
⊢ IntegrableOn (fun x => c) (a i) μ

Tactic:
simp [integrableOn_const, mu_ai]

Result:
no goals