-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/FourFunctions.lean
lemma collapse_modular [ExistsAddOfLE β]
    (hu : a ∉ u) (h₁ : 0 ≤ f₁) (h₂ : 0 ≤ f₂) (h₃ : 0 ≤ f₃) (h₄ : 0 ≤ f₄)
    (h : ∀ ⦃s⦄, s ⊆ insert a u → ∀ ⦃t⦄, t ⊆ insert a u →  f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t))
    (𝒜 ℬ : Finset (Finset α)) :
    ∀ ⦃s⦄, s ⊆ u → ∀ ⦃t⦄, t ⊆ u → collapse 𝒜 a f₁ s * collapse ℬ a f₂ t ≤
      collapse (𝒜 ⊼ ℬ) a f₃ (s ∩ t) * collapse (𝒜 ⊻ ℬ) a f₄ (s ∪ t)

Proof state:
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
a : α
f₁ f₂ f₃ f₄ : Finset α → β
u : Finset α
inst✝ : ExistsAddOfLE β
hu : a ∉ u
h₁ : 0 ≤ f₁
h₂ : 0 ≤ f₂
h₃ : 0 ≤ f₃
h₄ : 0 ≤ f₄
h : ∀ ⦃s : Finset α⦄, s ⊆ insert a u → ∀ ⦃t : Finset α⦄, t ⊆ insert a u → f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t)
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
hsu : s ⊆ u
t : Finset α
htu : t ⊆ u
this✝⁴ : s ⊆ insert a u
this✝³ : t ⊆ insert a u
this✝² : insert a s ⊆ insert a u
this✝¹ : insert a t ⊆ insert a u
has : a ∉ s
hat : a ∉ t
this✝ : a ∉ s ∩ t
this : a ∉ s ∪ t
h✝³ : s ∈ 𝒜
h✝² : insert a s ∉ 𝒜
h✝¹ : t ∈ ℬ
h✝ : insert a t ∈ ℬ
⊢ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t) + f₃ (s ∩ insert a t) * f₄ (s ∪ insert a t) ≤
    collapse (𝒜 ⊼ ℬ) a f₃ (s ∩ t) * collapse (𝒜 ⊻ ℬ) a f₄ (s ∪ t)

Tactic:
rw [collapse_of_mem ‹_› (union_mem_sups ‹_› ‹_›) (union_mem_sups ‹_› ‹_›) rfl
  (union_insert _ _ _), inter_insert_of_not_mem ‹_›, ← mul_add]

Result:
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
a : α
f₁ f₂ f₃ f₄ : Finset α → β
u : Finset α
inst✝ : ExistsAddOfLE β
hu : a ∉ u
h₁ : 0 ≤ f₁
h₂ : 0 ≤ f₂
h₃ : 0 ≤ f₃
h₄ : 0 ≤ f₄
h : ∀ ⦃s : Finset α⦄, s ⊆ insert a u → ∀ ⦃t : Finset α⦄, t ⊆ insert a u → f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t)
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
hsu : s ⊆ u
t : Finset α
htu : t ⊆ u
this✝⁴ : s ⊆ insert a u
this✝³ : t ⊆ insert a u
this✝² : insert a s ⊆ insert a u
this✝¹ : insert a t ⊆ insert a u
has : a ∉ s
hat : a ∉ t
this✝ : a ∉ s ∩ t
this : a ∉ s ∪ t
h✝³ : s ∈ 𝒜
h✝² : insert a s ∉ 𝒜
h✝¹ : t ∈ ℬ
h✝ : insert a t ∈ ℬ
⊢ f₃ (s ∩ t) * (f₄ (s ∪ t) + f₄ (s ∪ insert a t)) ≤ collapse (𝒜 ⊼ ℬ) a f₃ (s ∩ t) * (f₄ (s ∪ t) + f₄ (s ∪ insert a t))

Proof state:
case pos.refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
a : α
f₁ f₂ f₃ f₄ : Finset α → β
u : Finset α
inst✝ : ExistsAddOfLE β
hu : a ∉ u
h₁ : 0 ≤ f₁
h₂ : 0 ≤ f₂
h₃ : 0 ≤ f₃
h₄ : 0 ≤ f₄
h : ∀ ⦃s : Finset α⦄, s ⊆ insert a u → ∀ ⦃t : Finset α⦄, t ⊆ insert a u → f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t)
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
hsu : s ⊆ u
t : Finset α
htu : t ⊆ u
this✝⁴ : s ⊆ insert a u
this✝³ : t ⊆ insert a u
this✝² : insert a s ⊆ insert a u
this✝¹ : insert a t ⊆ insert a u
has : a ∉ s
hat : a ∉ t
this✝ : a ∉ s ∩ t
this : a ∉ s ∪ t
h✝³ : s ∈ 𝒜
h✝² : insert a s ∈ 𝒜
h✝¹ : t ∈ ℬ
h✝ : insert a t ∈ ℬ
⊢ f₁ (insert a s) * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (insert a s ∪ insert a t)

Tactic:
simpa [*] using h ‹insert a s ⊆ _› ‹t ⊆ _›

Result:
no goals

Proof state:
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
a : α
f₁ f₂ f₃ f₄ : Finset α → β
u : Finset α
inst✝ : ExistsAddOfLE β
hu : a ∉ u
h₁ : 0 ≤ f₁
h₂ : 0 ≤ f₂
h₃ : 0 ≤ f₃
h₄ : 0 ≤ f₄
h : ∀ ⦃s : Finset α⦄, s ⊆ insert a u → ∀ ⦃t : Finset α⦄, t ⊆ insert a u → f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t)
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
hsu : s ⊆ u
t : Finset α
htu : t ⊆ u
this✝⁴ : s ⊆ insert a u
this✝³ : t ⊆ insert a u
this✝² : insert a s ⊆ insert a u
this✝¹ : insert a t ⊆ insert a u
has : a ∉ s
hat : a ∉ t
this✝ : a ∉ s ∩ t
this : a ∉ s ∪ t
h✝³ : s ∈ 𝒜
h✝² : insert a s ∈ 𝒜
h✝¹ : t ∉ ℬ
h✝ : insert a t ∉ ℬ
⊢ 0 ≤ collapse (𝒜 ⊼ ℬ) a f₃ (s ∩ t) * collapse (𝒜 ⊻ ℬ) a f₄ (s ∪ t)

Tactic:
exact mul_nonneg (collapse_nonneg h₃ _) <| collapse_nonneg h₄ _

Result:
no goals

Proof state:
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
a : α
f₁ f₂ f₃ f₄ : Finset α → β
u : Finset α
inst✝ : ExistsAddOfLE β
hu : a ∉ u
h₁ : 0 ≤ f₁
h₂ : 0 ≤ f₂
h₃ : 0 ≤ f₃
h₄ : 0 ≤ f₄
h : ∀ ⦃s : Finset α⦄, s ⊆ insert a u → ∀ ⦃t : Finset α⦄, t ⊆ insert a u → f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t)
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
hsu : s ⊆ u
t : Finset α
htu : t ⊆ u
this✝⁴ : s ⊆ insert a u
this✝³ : t ⊆ insert a u
this✝² : insert a s ⊆ insert a u
this✝¹ : insert a t ⊆ insert a u
has : a ∉ s
hat : a ∉ t
this✝ : a ∉ s ∩ t
this : a ∉ s ∪ t
h✝³ : s ∈ 𝒜
h✝² : insert a s ∉ 𝒜
h✝¹ : t ∉ ℬ
h✝ : insert a t ∉ ℬ
⊢ f₁ s * 0 + f₁ s * 0 ≤ collapse (𝒜 ⊼ ℬ) a f₃ (s ∩ t) * collapse (𝒜 ⊻ ℬ) a f₄ (s ∪ t)

Tactic:
simp_rw [mul_zero, add_zero]

Result:
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
a : α
f₁ f₂ f₃ f₄ : Finset α → β
u : Finset α
inst✝ : ExistsAddOfLE β
hu : a ∉ u
h₁ : 0 ≤ f₁
h₂ : 0 ≤ f₂
h₃ : 0 ≤ f₃
h₄ : 0 ≤ f₄
h : ∀ ⦃s : Finset α⦄, s ⊆ insert a u → ∀ ⦃t : Finset α⦄, t ⊆ insert a u → f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t)
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
hsu : s ⊆ u
t : Finset α
htu : t ⊆ u
this✝⁴ : s ⊆ insert a u
this✝³ : t ⊆ insert a u
this✝² : insert a s ⊆ insert a u
this✝¹ : insert a t ⊆ insert a u
has : a ∉ s
hat : a ∉ t
this✝ : a ∉ s ∩ t
this : a ∉ s ∪ t
h✝³ : s ∈ 𝒜
h✝² : insert a s ∉ 𝒜
h✝¹ : t ∉ ℬ
h✝ : insert a t ∉ ℬ
⊢ 0 ≤ collapse (𝒜 ⊼ ℬ) a f₃ (s ∩ t) * collapse (𝒜 ⊻ ℬ) a f₄ (s ∪ t)

Proof state:
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
a : α
f₁ f₂ f₃ f₄ : Finset α → β
u : Finset α
inst✝ : ExistsAddOfLE β
hu : a ∉ u
h₁ : 0 ≤ f₁
h₂ : 0 ≤ f₂
h₃ : 0 ≤ f₃
h₄ : 0 ≤ f₄
h : ∀ ⦃s : Finset α⦄, s ⊆ insert a u → ∀ ⦃t : Finset α⦄, t ⊆ insert a u → f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t)
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
hsu : s ⊆ u
t : Finset α
htu : t ⊆ u
this✝⁴ : s ⊆ insert a u
this✝³ : t ⊆ insert a u
this✝² : insert a s ⊆ insert a u
this✝¹ : insert a t ⊆ insert a u
has : a ∉ s
hat : a ∉ t
this✝ : a ∉ s ∩ t
this : a ∉ s ∪ t
h✝³ : s ∈ 𝒜
h✝² : insert a s ∈ 𝒜
h✝¹ : t ∈ ℬ
h✝ : insert a t ∉ ℬ
⊢ (f₁ s + f₁ (insert a s)) * (f₂ t + 0) ≤ collapse (𝒜 ⊼ ℬ) a f₃ (s ∩ t) * collapse (𝒜 ⊻ ℬ) a f₄ (s ∪ t)

Tactic:
rw [add_zero, add_mul]

Result:
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : LinearOrderedCommSemiring β
a : α
f₁ f₂ f₃ f₄ : Finset α → β
u : Finset α
inst✝ : ExistsAddOfLE β
hu : a ∉ u
h₁ : 0 ≤ f₁
h₂ : 0 ≤ f₂
h₃ : 0 ≤ f₃
h₄ : 0 ≤ f₄
h : ∀ ⦃s : Finset α⦄, s ⊆ insert a u → ∀ ⦃t : Finset α⦄, t ⊆ insert a u → f₁ s * f₂ t ≤ f₃ (s ∩ t) * f₄ (s ∪ t)
𝒜 ℬ : Finset (Finset α)
s : Finset α
hsu : s ⊆ u
t : Finset α
htu : t ⊆ u
this✝⁴ : s ⊆ insert a u
this✝³ : t ⊆ insert a u
this✝² : insert a s ⊆ insert a u
this✝¹ : insert a t ⊆ insert a u
has : a ∉ s
hat : a ∉ t
this✝ : a ∉ s ∩ t
this : a ∉ s ∪ t
h✝³ : s ∈ 𝒜
h✝² : insert a s ∈ 𝒜
h✝¹ : t ∈ ℬ
h✝ : insert a t ∉ ℬ
⊢ f₁ s * f₂ t + f₁ (insert a s) * f₂ t ≤ collapse (𝒜 ⊼ ℬ) a f₃ (s ∩ t) * collapse (𝒜 ⊻ ℬ) a f₄ (s ∪ t)