-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
theorem aux_pid_of_ufd_of_unique_irreducible (R : Type u) [CommRing R] [IsDomain R]
    [UniqueFactorizationMonoid R] (h₁ : ∃ p : R, Irreducible p)
    (h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q) :
    IsPrincipalIdealRing R

Proof state:
case neg.intro.intro.intro.intro
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
I : Ideal R
I0 : ¬I = ⊥
x : R
hxI : x ∈ I
hx0 : x ≠ 0
p : R
left✝ : Irreducible p
H : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (p ^ n) x
ex : ∃ n, p ^ n ∈ I
⊢ Submodule.IsPrincipal I

Tactic:
constructor

Result:
case neg.intro.intro.intro.intro.principal'
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
I : Ideal R
I0 : ¬I = ⊥
x : R
hxI : x ∈ I
hx0 : x ≠ 0
p : R
left✝ : Irreducible p
H : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (p ^ n) x
ex : ∃ n, p ^ n ∈ I
⊢ ∃ a, I = Submodule.span R {a}

Proof state:
case h.a
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
I : Ideal R
I0 : ¬I = ⊥
x : R
hxI : x ∈ I
hx0 : x ≠ 0
p : R
left✝ : Irreducible p
H : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (p ^ n) x
ex : ∃ n, p ^ n ∈ I
r : R
hr : r ∈ I
⊢ r ∈ span {p ^ Nat.find ex}

Tactic:
by_cases hr0 : r = 0

Result:
case pos
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
I : Ideal R
I0 : ¬I = ⊥
x : R
hxI : x ∈ I
hx0 : x ≠ 0
p : R
left✝ : Irreducible p
H : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (p ^ n) x
ex : ∃ n, p ^ n ∈ I
r : R
hr : r ∈ I
hr0 : r = 0
⊢ r ∈ span {p ^ Nat.find ex}

case neg
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
I : Ideal R
I0 : ¬I = ⊥
x : R
hxI : x ∈ I
hx0 : x ≠ 0
p : R
left✝ : Irreducible p
H : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (p ^ n) x
ex : ∃ n, p ^ n ∈ I
r : R
hr : r ∈ I
hr0 : ¬r = 0
⊢ r ∈ span {p ^ Nat.find ex}

Proof state:
case principal
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
I : Ideal R
⊢ Submodule.IsPrincipal I

Tactic:
by_cases I0 : I = ⊥

Result:
case pos
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
I : Ideal R
I0 : I = ⊥
⊢ Submodule.IsPrincipal I

case neg
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
I : Ideal R
I0 : ¬I = ⊥
⊢ Submodule.IsPrincipal I

Proof state:
case neg.intro.intro.intro.intro.principal'
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
I : Ideal R
I0 : ¬I = ⊥
x : R
hxI : x ∈ I
hx0 : x ≠ 0
p : R
left✝ : Irreducible p
H : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (p ^ n) x
ex : ∃ n, p ^ n ∈ I
⊢ ∃ a, I = Submodule.span R {a}

Tactic:
use p ^ Nat.find ex

Result:
case h
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
I : Ideal R
I0 : ¬I = ⊥
x : R
hxI : x ∈ I
hx0 : x ≠ 0
p : R
left✝ : Irreducible p
H : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (p ^ n) x
ex : ∃ n, p ^ n ∈ I
⊢ I = Submodule.span R {p ^ Nat.find ex}

Proof state:
case pos
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
I : Ideal R
I0 : I = ⊥
⊢ Submodule.IsPrincipal I

Tactic:
rw [I0]

Result:
case pos
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
I : Ideal R
I0 : I = ⊥
⊢ Submodule.IsPrincipal ⊥

Proof state:
case principal
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
⊢ ∀ (S : Ideal R), Submodule.IsPrincipal S

Tactic:
intro I

Result:
case principal
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
I : Ideal R
⊢ Submodule.IsPrincipal I

Proof state:
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
I : Ideal R
I0 : ¬I = ⊥
x : R
hxI : x ∈ I
hx0 : x ≠ 0
p : R
left✝ : Irreducible p
H : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (p ^ n) x
⊢ ∃ n, p ^ n ∈ I

Tactic:
obtain ⟨n, u, rfl⟩ := H hx0

Result:
case intro.intro
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
I : Ideal R
I0 : ¬I = ⊥
p : R
left✝ : Irreducible p
H : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (p ^ n) x
n : ℕ
u : Rˣ
hxI : p ^ n * ↑u ∈ I
hx0 : p ^ n * ↑u ≠ 0
⊢ ∃ n, p ^ n ∈ I

Proof state:
case pos
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
I : Ideal R
I0 : ¬I = ⊥
x : R
hxI : x ∈ I
hx0 : x ≠ 0
p : R
left✝ : Irreducible p
H : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (p ^ n) x
ex : ∃ n, p ^ n ∈ I
r : R
hr : r ∈ I
hr0 : r = 0
⊢ r ∈ span {p ^ Nat.find ex}

Tactic:
simp only [hr0, Submodule.zero_mem]

Result:
no goals

Proof state:
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
⊢ IsPrincipalIdealRing R

Tactic:
constructor

Result:
case principal
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
⊢ ∀ (S : Ideal R), Submodule.IsPrincipal S

Proof state:
case neg.intro.intro
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
I : Ideal R
I0 : ¬I = ⊥
x : R
hxI : x ∈ I
hx0 : x ≠ 0
p : R
left✝ : Irreducible p
H : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (p ^ n) x
ex : ∃ n, p ^ n ∈ I
n : ℕ
u : Rˣ
hr : p ^ n * ↑u ∈ I
hr0 : ¬p ^ n * ↑u = 0
⊢ p ^ n * ↑u ∈ span {p ^ Nat.find ex}

Tactic:
simp only [mem_span_singleton, Units.isUnit, IsUnit.dvd_mul_right]

Result:
case neg.intro.intro
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
I : Ideal R
I0 : ¬I = ⊥
x : R
hxI : x ∈ I
hx0 : x ≠ 0
p : R
left✝ : Irreducible p
H : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (p ^ n) x
ex : ∃ n, p ^ n ∈ I
n : ℕ
u : Rˣ
hr : p ^ n * ↑u ∈ I
hr0 : ¬p ^ n * ↑u = 0
⊢ p ^ Nat.find ex ∣ p ^ n