-- Mathlib/RingTheory/Finiteness/Finsupp.lean
theorem fg_of_fg_map_of_fg_inf_ker (f : M →ₗ[R] P) {s : Submodule R M}
    (hs1 : (s.map f).FG)
    (hs2 : (s ⊓ LinearMap.ker f).FG) : s.FG

Proof state:
case intro.intro.intro
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ LinearMap.ker f
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
⊢ s.FG

Tactic:
exists t1.image g ∪ t2

Result:
case intro.intro.intro
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ LinearMap.ker f
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
⊢ span R ↑(Finset.image g t1 ∪ t2) = s

Proof state:
case right
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ LinearMap.ker f
g : (y : P) → y ∈ t1 → M
hg1 : ∀ (y : P) (a : y ∈ t1), g y a ∈ s
hg2 : ∀ (y : P) (a : y ∈ t1), f (g y a) = y
y : P
H : y ∈ t1
⊢ f (g y H) = y

Tactic:
apply hg2

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro.intro.a.intro.intro.refine_2.left
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ LinearMap.ker f
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
x : M
hx : x ∈ s
l : P →₀ R
hl1 : l ∈ supported R R ↑t1
hl2 : (linearCombination R id) l = f x
⊢ (l.sum fun a m => m • id (g a)) ∈ s

Tactic:
refine s.sum_mem ?_

Result:
case intro.intro.intro.a.intro.intro.refine_2.left
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ LinearMap.ker f
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
x : M
hx : x ∈ s
l : P →₀ R
hl1 : l ∈ supported R R ↑t1
hl2 : (linearCombination R id) l = f x
⊢ ∀ c ∈ l.support, (fun a m => m • id (g a)) c (l c) ∈ s

Proof state:
case intro.intro.intro.a.refine_2
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝² : DecidableEq R
this✝¹ : DecidableEq M
this✝ : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ LinearMap.ker f
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
x : M
hx : x ∈ ↑t2
this : x ∈ span R ↑t2
⊢ x ∈ ↑s

Tactic:
rw [ht2] at this

Result:
case intro.intro.intro.a.refine_2
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝² : DecidableEq R
this✝¹ : DecidableEq M
this✝ : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ LinearMap.ker f
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
x : M
hx : x ∈ ↑t2
this : x ∈ s ⊓ LinearMap.ker f
⊢ x ∈ ↑s

Proof state:
case intro.intro.intro.a.intro.intro.refine_2.right
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ LinearMap.ker f
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
x : M
hx : x ∈ s
l : P →₀ R
hl1 : l ∈ supported R R ↑t1
hl2 : (linearCombination R id) l = f x
y : P
hy : y ∈ l.support
⊢ l y • y = f (l y • g y)

Tactic:
rw [f.map_smul, (hg y (hl1 hy)).2]

Result:
no goals

Proof state:
case left
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ LinearMap.ker f
g : (y : P) → y ∈ t1 → M
hg1 : ∀ (y : P) (a : y ∈ t1), g y a ∈ s
hg2 : ∀ (y : P) (a : y ∈ t1), f (g y a) = y
y : P
H : y ∈ t1
⊢ g y H ∈ s

Tactic:
apply hg1

Result:
no goals

Proof state:
case left
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ LinearMap.ker f
g : (y : P) → y ∈ t1 → M
hg1 : ∀ (y : P) (a : y ∈ t1), g y a ∈ s
hg2 : ∀ (y : P) (a : y ∈ t1), f (g y a) = y
y : P
H : y ∈ t1
⊢ (fun y => if H : y ∈ t1 then g y H else 0) y ∈ s

Tactic:
simp only [dif_pos H]

Result:
case left
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ LinearMap.ker f
g : (y : P) → y ∈ t1 → M
hg1 : ∀ (y : P) (a : y ∈ t1), g y a ∈ s
hg2 : ∀ (y : P) (a : y ∈ t1), f (g y a) = y
y : P
H : y ∈ t1
⊢ g y H ∈ s

Proof state:
case intro.intro.intro.a.intro.intro.refine_2.right.h_zero
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ LinearMap.ker f
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
x : M
hx : x ∈ s
l : P →₀ R
hl1 : l ∈ supported R R ↑t1
hl2 : (linearCombination R id) l = f x
⊢ ∀ (b : M), 0 • id b = 0

Tactic:
exact zero_smul _

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro.intro.a
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝² : DecidableEq R
this✝¹ : DecidableEq M
this✝ : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ LinearMap.ker f
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
x : M
hx : x ∈ s
this : ∃ l ∈ supported R R ↑t1, (linearCombination R id) l = f x
⊢ x ∈ span R (g '' ↑t1) ⊔ span R ↑t2

Tactic:
rcases this with ⟨l, hl1, hl2⟩

Result:
case intro.intro.intro.a.intro.intro
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup P
inst✝ : Module R P
f : M →ₗ[R] P
s : Submodule R M
this✝¹ : DecidableEq R
this✝ : DecidableEq M
this : DecidableEq P
t1 : Finset P
ht1 : span R ↑t1 = map f s
t2 : Finset M
ht2 : span R ↑t2 = s ⊓ LinearMap.ker f
g : P → M
hg : ∀ y ∈ t1, g y ∈ s ∧ f (g y) = y
x : M
hx : x ∈ s
l : P →₀ R
hl1 : l ∈ supported R R ↑t1
hl2 : (linearCombination R id) l = f x
⊢ x ∈ span R (g '' ↑t1) ⊔ span R ↑t2