-- Mathlib/CategoryTheory/Generator/Basic.lean
theorem isSeparator_coprod (G H : C) [HasBinaryCoproduct G H] :
    IsSeparator (G ⨿ H) ↔ IsSeparating ({G, H} : Set C)

Proof state:
case refine_2
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
G H : C
inst✝ : HasBinaryCoproduct G H
h : IsSeparating {G, H}
X Y : C
u v : X ⟶ Y
huv : ∀ (h : G ⨿ H ⟶ X), h ≫ u = h ≫ v
Z : C
g : Z ⟶ X
hZ : Z = G ∨ Z = H
⊢ g ≫ u = g ≫ v

Tactic:
rcases hZ with (rfl | rfl)

Result:
case refine_2.inl
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
H X Y : C
u v : X ⟶ Y
Z : C
g : Z ⟶ X
inst✝ : HasBinaryCoproduct Z H
h : IsSeparating {Z, H}
huv : ∀ (h : Z ⨿ H ⟶ X), h ≫ u = h ≫ v
⊢ g ≫ u = g ≫ v

case refine_2.inr
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
G X Y : C
u v : X ⟶ Y
Z : C
g : Z ⟶ X
inst✝ : HasBinaryCoproduct G Z
h : IsSeparating {G, Z}
huv : ∀ (h : G ⨿ Z ⟶ X), h ≫ u = h ≫ v
⊢ g ≫ u = g ≫ v

Proof state:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
G H : C
inst✝ : HasBinaryCoproduct G H
⊢ IsSeparator (G ⨿ H) ↔ IsSeparating {G, H}

Tactic:
refine
  ⟨fun h X Y u v huv => ?_, fun h =>
    (isSeparator_def _).2 fun X Y u v huv => h _ _ fun Z hZ g => ?_⟩

Result:
case refine_1
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
G H : C
inst✝ : HasBinaryCoproduct G H
h : IsSeparator (G ⨿ H)
X Y : C
u v : X ⟶ Y
huv : ∀ G_1 ∈ {G, H}, ∀ (h : G_1 ⟶ X), h ≫ u = h ≫ v
⊢ u = v

case refine_2
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
G H : C
inst✝ : HasBinaryCoproduct G H
h : IsSeparating {G, H}
X Y : C
u v : X ⟶ Y
huv : ∀ (h : G ⨿ H ⟶ X), h ≫ u = h ≫ v
Z : C
hZ : Z ∈ {G, H}
g : Z ⟶ X
⊢ g ≫ u = g ≫ v

Proof state:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
G H : C
inst✝ : HasBinaryCoproduct G H
h : IsSeparator (G ⨿ H)
X Y : C
u v : X ⟶ Y
huv : ∀ G_1 ∈ {G, H}, ∀ (h : G_1 ⟶ X), h ≫ u = h ≫ v
g : G ⨿ H ⟶ X
⊢ G ∈ {G, H}

Tactic:
simp

Result:
no goals

Proof state:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
G H : C
inst✝ : HasBinaryCoproduct G H
h : IsSeparator (G ⨿ H)
X Y : C
u v : X ⟶ Y
huv : ∀ G_1 ∈ {G, H}, ∀ (h : G_1 ⟶ X), h ≫ u = h ≫ v
g : G ⨿ H ⟶ X
⊢ H ∈ {G, H}

Tactic:
simp

Result:
no goals

Proof state:
case refine_1.refine_2
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
G H : C
inst✝ : HasBinaryCoproduct G H
h : IsSeparator (G ⨿ H)
X Y : C
u v : X ⟶ Y
huv : ∀ G_1 ∈ {G, H}, ∀ (h : G_1 ⟶ X), h ≫ u = h ≫ v
g : G ⨿ H ⟶ X
⊢ coprod.inr ≫ g ≫ u = coprod.inr ≫ g ≫ v

Tactic:
simpa using huv H (by simp) (coprod.inr ≫ g)

Result:
no goals

Proof state:
case refine_2
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
G H : C
inst✝ : HasBinaryCoproduct G H
h : IsSeparating {G, H}
X Y : C
u v : X ⟶ Y
huv : ∀ (h : G ⨿ H ⟶ X), h ≫ u = h ≫ v
Z : C
hZ : Z ∈ {G, H}
g : Z ⟶ X
⊢ g ≫ u = g ≫ v

Tactic:
simp only [Set.mem_insert_iff, Set.mem_singleton_iff] at hZ

Result:
case refine_2
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
G H : C
inst✝ : HasBinaryCoproduct G H
h : IsSeparating {G, H}
X Y : C
u v : X ⟶ Y
huv : ∀ (h : G ⨿ H ⟶ X), h ≫ u = h ≫ v
Z : C
g : Z ⟶ X
hZ : Z = G ∨ Z = H
⊢ g ≫ u = g ≫ v

Proof state:
case refine_1.refine_1
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
G H : C
inst✝ : HasBinaryCoproduct G H
h : IsSeparator (G ⨿ H)
X Y : C
u v : X ⟶ Y
huv : ∀ G_1 ∈ {G, H}, ∀ (h : G_1 ⟶ X), h ≫ u = h ≫ v
g : G ⨿ H ⟶ X
⊢ coprod.inl ≫ g ≫ u = coprod.inl ≫ g ≫ v

Tactic:
simpa using huv G (by simp) (coprod.inl ≫ g)

Result:
no goals

Proof state:
case refine_2.inl
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
H X Y : C
u v : X ⟶ Y
Z : C
g : Z ⟶ X
inst✝ : HasBinaryCoproduct Z H
h : IsSeparating {Z, H}
huv : ∀ (h : Z ⨿ H ⟶ X), h ≫ u = h ≫ v
⊢ g ≫ u = g ≫ v

Tactic:
simpa using coprod.inl ≫= huv (coprod.desc g 0)

Result:
no goals

Proof state:
case refine_1
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
G H : C
inst✝ : HasBinaryCoproduct G H
h : IsSeparator (G ⨿ H)
X Y : C
u v : X ⟶ Y
huv : ∀ G_1 ∈ {G, H}, ∀ (h : G_1 ⟶ X), h ≫ u = h ≫ v
⊢ u = v

Tactic:
refine h.def _ _ fun g => coprod.hom_ext ?_ ?_

Result:
case refine_1.refine_1
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
G H : C
inst✝ : HasBinaryCoproduct G H
h : IsSeparator (G ⨿ H)
X Y : C
u v : X ⟶ Y
huv : ∀ G_1 ∈ {G, H}, ∀ (h : G_1 ⟶ X), h ≫ u = h ≫ v
g : G ⨿ H ⟶ X
⊢ coprod.inl ≫ g ≫ u = coprod.inl ≫ g ≫ v

case refine_1.refine_2
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
G H : C
inst✝ : HasBinaryCoproduct G H
h : IsSeparator (G ⨿ H)
X Y : C
u v : X ⟶ Y
huv : ∀ G_1 ∈ {G, H}, ∀ (h : G_1 ⟶ X), h ≫ u = h ≫ v
g : G ⨿ H ⟶ X
⊢ coprod.inr ≫ g ≫ u = coprod.inr ≫ g ≫ v

Proof state:
case refine_2.inr
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
G X Y : C
u v : X ⟶ Y
Z : C
g : Z ⟶ X
inst✝ : HasBinaryCoproduct G Z
h : IsSeparating {G, Z}
huv : ∀ (h : G ⨿ Z ⟶ X), h ≫ u = h ≫ v
⊢ g ≫ u = g ≫ v

Tactic:
simpa using coprod.inr ≫= huv (coprod.desc 0 g)

Result:
no goals