-- Mathlib/RingTheory/FinitePresentation.lean
theorem ker_fg_of_mvPolynomial {n : ℕ} (f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A)
    (hf : Function.Surjective f) [FinitePresentation R A] : f.toRingHom.ker.FG

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type (max 0 w₁) := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type (max 0 w₁) := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x✝ : RXm
y : RXn
hy : y ∈ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
this : aeval_h.toRingHom x✝ + y ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
hx✝ : f' x✝ = 0
x : MvPolynomial (Fin m) R
hx : x ∈ ↑s
⊢ x ∈ ↑(Ideal.comap aeval_h (Ideal.span s'))

Tactic:
apply Submodule.subset_span

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.a
R : Type w₁
A : Type w₂
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type (max 0 w₁) := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type (max 0 w₁) := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
s' : Set RXn := Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s
leI : Ideal.span s' ≤ RingHom.ker f.toRingHom
x✝ : RXm
y : RXn
hy : y ∈ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
this : aeval_h.toRingHom x✝ + y ∈ aeval_h.range.toAddSubmonoid ⊔ (Ideal.span s').toAddSubmonoid
hx✝ : f' x✝ = 0
x : MvPolynomial (Fin m) R
hx : x ∈ ↑s
⊢ aeval_h x ∈ s'

Proof state:
case intro.intro.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type (max 0 w₁) := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type (max 0 w₁) := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
this : ∀ (i : Fin m), ∃ a, f a = f' (MvPolynomial.X i)
⊢ (RingHom.ker f.toRingHom).FG

Tactic:
choose h hh using this

Result:
case intro.intro.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type (max 0 w₁) := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type (max 0 w₁) := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
⊢ (RingHom.ker f.toRingHom).FG

Proof state:
case intro.intro.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type (max 0 w₁) := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type (max 0 w₁) := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
⊢ Ideal.span (Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s) = RingHom.ker f.toRingHom

Tactic:
have hh' : ∀ x, f (aeval_h x) = f' x := by
  intro x
  rw [← f.coe_toRingHom, map_aeval]
  simp_rw [AlgHom.coe_toRingHom, hh]
  rw [AlgHom.comp_algebraMap, ← aeval_eq_eval₂Hom,
    ← funext fun i => Function.comp_apply (f := ↑f') (g := MvPolynomial.X),
    ← aeval_unique]

Result:
case intro.intro.intro.intro
R : Type w₁
A : Type w₂
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
n : ℕ
f : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hf : Surjective ⇑f
inst✝ : FinitePresentation R A
m : ℕ
f' : MvPolynomial (Fin m) R →ₐ[R] A
hf' : Surjective ⇑f'
s : Finset (MvPolynomial (Fin m) R)
hs : Ideal.span ↑s = RingHom.ker f'.toRingHom
RXn : Type (max 0 w₁) := MvPolynomial (Fin n) R
RXm : Type (max 0 w₁) := MvPolynomial (Fin m) R
g : Fin n → MvPolynomial (Fin m) R
hg : ∀ (i : Fin n), f' (g i) = f (MvPolynomial.X i)
h : Fin m → MvPolynomial (Fin n) R
hh : ∀ (i : Fin m), f (h i) = f' (MvPolynomial.X i)
aeval_h : RXm →ₐ[R] RXn := MvPolynomial.aeval h
g' : Fin n → RXn := fun i => MvPolynomial.X i - aeval_h (g i)
hh' : ∀ (x : RXm), f (aeval_h x) = f' x
⊢ Ideal.span (Set.range g' ∪ ⇑aeval_h '' ↑s) = RingHom.ker f.toRingHom