-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
theorem isReduced_rootSystem : (rootSystem H).IsReduced

Proof state:
case intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : Weight K (↥H) L
hα : α ∈ LieSubalgebra.root
β : Weight K (↥H) L
hβ : β ∈ LieSubalgebra.root
u : K
hu : u • Weight.toLinear K (↥H) L α = Weight.toLinear K (↥H) L β
⊢ (rootSystem H).root ⟨α, hα⟩ = (rootSystem H).root ⟨β, hβ⟩ ∨ (rootSystem H).root ⟨α, hα⟩ = -(rootSystem H).root ⟨β, hβ⟩

Tactic:
obtain (h | h) :=
  eq_neg_or_eq_of_eq_smul α β (by simpa using hβ) u (by ext x; exact DFunLike.congr_fun hu.symm x)

Result:
case intro.inl
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : Weight K (↥H) L
hα : α ∈ LieSubalgebra.root
β : Weight K (↥H) L
hβ : β ∈ LieSubalgebra.root
u : K
hu : u • Weight.toLinear K (↥H) L α = Weight.toLinear K (↥H) L β
h : β = -α
⊢ (rootSystem H).root ⟨α, hα⟩ = (rootSystem H).root ⟨β, hβ⟩ ∨ (rootSystem H).root ⟨α, hα⟩ = -(rootSystem H).root ⟨β, hβ⟩

case intro.inr
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : Weight K (↥H) L
hα : α ∈ LieSubalgebra.root
β : Weight K (↥H) L
hβ : β ∈ LieSubalgebra.root
u : K
hu : u • Weight.toLinear K (↥H) L α = Weight.toLinear K (↥H) L β
h : β = α
⊢ (rootSystem H).root ⟨α, hα⟩ = (rootSystem H).root ⟨β, hβ⟩ ∨ (rootSystem H).root ⟨α, hα⟩ = -(rootSystem H).root ⟨β, hβ⟩

Proof state:
case intro.inr.h
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : Weight K (↥H) L
hα : α ∈ LieSubalgebra.root
β : Weight K (↥H) L
hβ : β ∈ LieSubalgebra.root
u : K
hu : u • Weight.toLinear K (↥H) L α = Weight.toLinear K (↥H) L β
h : β = α
⊢ (rootSystem H).root ⟨α, hα⟩ = (rootSystem H).root ⟨β, hβ⟩

Tactic:
ext x

Result:
case intro.inr.h.h
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : Weight K (↥H) L
hα : α ∈ LieSubalgebra.root
β : Weight K (↥H) L
hβ : β ∈ LieSubalgebra.root
u : K
hu : u • Weight.toLinear K (↥H) L α = Weight.toLinear K (↥H) L β
h : β = α
x : ↥H
⊢ ((rootSystem H).root ⟨α, hα⟩) x = ((rootSystem H).root ⟨β, hβ⟩) x

Proof state:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : Weight K (↥H) L
hα : α ∈ LieSubalgebra.root
β : Weight K (↥H) L
hβ : β ∈ LieSubalgebra.root
u : K
hu : u • Weight.toLinear K (↥H) L α = Weight.toLinear K (↥H) L β
⊢ ⇑β = u • ⇑α

Tactic:
ext x

Result:
case h
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : Weight K (↥H) L
hα : α ∈ LieSubalgebra.root
β : Weight K (↥H) L
hβ : β ∈ LieSubalgebra.root
u : K
hu : u • Weight.toLinear K (↥H) L α = Weight.toLinear K (↥H) L β
x : ↥H
⊢ β x = (u • ⇑α) x

Proof state:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : Weight K (↥H) L
hα : α ∈ LieSubalgebra.root
β : Weight K (↥H) L
hβ : β ∈ LieSubalgebra.root
e : ∃ x, x • Weight.toLinear K (↥H) L α = Weight.toLinear K (↥H) L β
⊢ (rootSystem H).root ⟨α, hα⟩ = (rootSystem H).root ⟨β, hβ⟩ ∨ (rootSystem H).root ⟨α, hα⟩ = -(rootSystem H).root ⟨β, hβ⟩

Tactic:
obtain ⟨u, hu⟩ := e

Result:
case intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : Weight K (↥H) L
hα : α ∈ LieSubalgebra.root
β : Weight K (↥H) L
hβ : β ∈ LieSubalgebra.root
u : K
hu : u • Weight.toLinear K (↥H) L α = Weight.toLinear K (↥H) L β
⊢ (rootSystem H).root ⟨α, hα⟩ = (rootSystem H).root ⟨β, hβ⟩ ∨ (rootSystem H).root ⟨α, hα⟩ = -(rootSystem H).root ⟨β, hβ⟩

Proof state:
case h
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : Weight K (↥H) L
hα : α ∈ LieSubalgebra.root
β : Weight K (↥H) L
hβ : β ∈ LieSubalgebra.root
u : K
hu : u • Weight.toLinear K (↥H) L α = Weight.toLinear K (↥H) L β
x : ↥H
⊢ β x = (u • ⇑α) x

Tactic:
exact DFunLike.congr_fun hu.symm x

Result:
no goals

Proof state:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : Weight K (↥H) L
hα : α ∈ LieSubalgebra.root
β : Weight K (↥H) L
hβ : β ∈ LieSubalgebra.root
e : ∃ x, ¬x • (rootSystem H).root ⟨α, hα⟩ ≠ (rootSystem H).root ⟨β, hβ⟩
⊢ (rootSystem H).root ⟨α, hα⟩ = (rootSystem H).root ⟨β, hβ⟩ ∨ (rootSystem H).root ⟨α, hα⟩ = -(rootSystem H).root ⟨β, hβ⟩

Tactic:
simp only [Nat.succ_eq_add_one, Nat.reduceAdd, rootSystem_root_apply, ne_eq, not_not] at e

Result:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : Weight K (↥H) L
hα : α ∈ LieSubalgebra.root
β : Weight K (↥H) L
hβ : β ∈ LieSubalgebra.root
e : ∃ x, x • Weight.toLinear K (↥H) L α = Weight.toLinear K (↥H) L β
⊢ (rootSystem H).root ⟨α, hα⟩ = (rootSystem H).root ⟨β, hβ⟩ ∨ (rootSystem H).root ⟨α, hα⟩ = -(rootSystem H).root ⟨β, hβ⟩