-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Hopf_.lean
theorem antipode_comul (A : Hopf_ C) :
    A.antipode ≫ A.X.comul.hom = A.X.comul.hom ≫ (β_ _ _).hom ≫ (A.antipode ⊗ A.antipode)

Proof state:
case hac
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
A : Hopf_ C
⊢ A.X.comul.hom ≫
      A.X.comul.hom ▷ A.X.X.X ≫
        (α_ A.X.X.X A.X.X.X A.X.X.X).hom ≫
          A.X.X.X ◁ A.X.X.X ◁ A.X.comul.hom ≫
            A.X.X.X ◁ A.X.X.X ◁ (β_ A.X.X.X A.X.X.X).hom ≫
              A.X.X.X ◁ A.X.X.X ◁ (A.antipode ⊗ A.antipode) ≫
                (α_ A.X.X.X A.X.X.X (A.X.X.X ⊗ A.X.X.X)).inv ≫
                  tensorμ A.X.X.X A.X.X.X A.X.X.X A.X.X.X ≫ (A.X.X.mul ⊗ A.X.X.mul) =
    A.X.counit.hom ≫ (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (A.X.X.one ⊗ A.X.X.one)

Tactic:
simp only [tensorμ]

Result:
case hac
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
A : Hopf_ C
⊢ A.X.comul.hom ≫
      A.X.comul.hom ▷ A.X.X.X ≫
        (α_ A.X.X.X A.X.X.X A.X.X.X).hom ≫
          A.X.X.X ◁ A.X.X.X ◁ A.X.comul.hom ≫
            A.X.X.X ◁ A.X.X.X ◁ (β_ A.X.X.X A.X.X.X).hom ≫
              A.X.X.X ◁ A.X.X.X ◁ (A.antipode ⊗ A.antipode) ≫
                (α_ A.X.X.X A.X.X.X (A.X.X.X ⊗ A.X.X.X)).inv ≫
                  ((α_ A.X.X.X A.X.X.X (A.X.X.X ⊗ A.X.X.X)).hom ≫
                      A.X.X.X ◁ (α_ A.X.X.X A.X.X.X A.X.X.X).inv ≫
                        A.X.X.X ◁ (β_ A.X.X.X A.X.X.X).hom ▷ A.X.X.X ≫
                          A.X.X.X ◁ (α_ A.X.X.X A.X.X.X A.X.X.X).hom ≫ (α_ A.X.X.X A.X.X.X (A.X.X.X ⊗ A.X.X.X)).inv) ≫
                    (A.X.X.mul ⊗ A.X.X.mul) =
    A.X.counit.hom ≫ (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (A.X.X.one ⊗ A.X.X.one)

Proof state:
case hac
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
A : Hopf_ C
⊢ ((Bimon_.toComon_ C).obj A.X).comul ≫
      A.X.comul.hom ▷ ((Bimon_.toComon_ C).obj A.X).X ≫
        (A.X.X ⊗ A.X.X).X ◁ (A.X.comul.hom ≫ (β_ A.X.X.X A.X.X.X).hom ≫ (A.antipode ⊗ A.antipode)) ≫
          (A.X.X ⊗ A.X.X).mul =
    ((Bimon_.toComon_ C).obj A.X).counit ≫ (A.X.X ⊗ A.X.X).one

Tactic:
simp only [Bimon_.toComon__obj_X, Mon_.monMonoidalStruct_tensorObj_X, Bimon_.toComon__obj_comul,
  MonoidalCategory.whiskerLeft_comp, tensor_whiskerLeft, Category.assoc, Iso.inv_hom_id_assoc,
  Mon_.tensorObj_mul, Bimon_.toComon__obj_counit, Mon_.tensorObj_one]

Result:
case hac
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
A : Hopf_ C
⊢ A.X.comul.hom ≫
      A.X.comul.hom ▷ A.X.X.X ≫
        (α_ A.X.X.X A.X.X.X A.X.X.X).hom ≫
          A.X.X.X ◁ A.X.X.X ◁ A.X.comul.hom ≫
            A.X.X.X ◁ A.X.X.X ◁ (β_ A.X.X.X A.X.X.X).hom ≫
              A.X.X.X ◁ A.X.X.X ◁ (A.antipode ⊗ A.antipode) ≫
                (α_ A.X.X.X A.X.X.X (A.X.X.X ⊗ A.X.X.X)).inv ≫
                  tensorμ A.X.X.X A.X.X.X A.X.X.X A.X.X.X ≫ (A.X.X.mul ⊗ A.X.X.mul) =
    A.X.counit.hom ≫ (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (A.X.X.one ⊗ A.X.X.one)

Proof state:
case hba
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
A : Hopf_ C
⊢ A.X.comul.hom ≫
      A.antipode ▷ A.X.X.X ≫
        A.X.comul.hom ▷ A.X.X.X ≫
          (α_ A.X.X.X A.X.X.X A.X.X.X).hom ≫
            A.X.X.X ◁ A.X.X.X ◁ A.X.comul.hom ≫
              (α_ A.X.X.X A.X.X.X (A.X.X.X ⊗ A.X.X.X)).inv ≫
                tensorμ A.X.X.X A.X.X.X A.X.X.X A.X.X.X ≫ (A.X.X.mul ⊗ A.X.X.mul) =
    A.X.counit.hom ≫ (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (A.X.X.one ⊗ A.X.X.one)

Tactic:
simp only [tensorμ]

Result:
case hba
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
A : Hopf_ C
⊢ A.X.comul.hom ≫
      A.antipode ▷ A.X.X.X ≫
        A.X.comul.hom ▷ A.X.X.X ≫
          (α_ A.X.X.X A.X.X.X A.X.X.X).hom ≫
            A.X.X.X ◁ A.X.X.X ◁ A.X.comul.hom ≫
              (α_ A.X.X.X A.X.X.X (A.X.X.X ⊗ A.X.X.X)).inv ≫
                ((α_ A.X.X.X A.X.X.X (A.X.X.X ⊗ A.X.X.X)).hom ≫
                    A.X.X.X ◁ (α_ A.X.X.X A.X.X.X A.X.X.X).inv ≫
                      A.X.X.X ◁ (β_ A.X.X.X A.X.X.X).hom ▷ A.X.X.X ≫
                        A.X.X.X ◁ (α_ A.X.X.X A.X.X.X A.X.X.X).hom ≫ (α_ A.X.X.X A.X.X.X (A.X.X.X ⊗ A.X.X.X)).inv) ≫
                  (A.X.X.mul ⊗ A.X.X.mul) =
    A.X.counit.hom ≫ (λ_ (𝟙_ C)).inv ≫ (A.X.X.one ⊗ A.X.X.one)