-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/IntegralEqImproper.lean
theorem integral_Iic_deriv_mul_eq_sub
    (hu : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt u (u' x) x) (hv : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt v (v' x) x)
    (huv : IntegrableOn (u' * v + u * v') (Iic a))
    (h_zero : Tendsto (u * v) (𝓝[<] a) (𝓝 a')) (h_infty : Tendsto (u * v) atBot (𝓝 b')) :
    ∫ (x : ℝ) in Iic a, u' x * v x + u x * v' x = a' - b'

Proof state:
A : Type u_1
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A
a : ℝ
a' b' : A
u v u' v' : ℝ → A
inst✝ : CompleteSpace A
hu : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt v (v' x) x
huv : IntegrableOn (u' * v + u * v') (Iic a) volume
h_zero : Tendsto (u * v) (𝓝[Iic a \ {a}] a) (𝓝 a')
h_infty : Tendsto (u * v) atBot (𝓝 b')
f : ℝ → A := Function.update (u * v) a a'
x : ℝ
hx : x ∈ Iio a
⊢ HasDerivAt f (u' x * v x + u x * v' x) x

Tactic:
apply ((hu x hx).mul (hv x hx)).congr_of_eventuallyEq

Result:
A : Type u_1
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A
a : ℝ
a' b' : A
u v u' v' : ℝ → A
inst✝ : CompleteSpace A
hu : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt v (v' x) x
huv : IntegrableOn (u' * v + u * v') (Iic a) volume
h_zero : Tendsto (u * v) (𝓝[Iic a \ {a}] a) (𝓝 a')
h_infty : Tendsto (u * v) atBot (𝓝 b')
f : ℝ → A := Function.update (u * v) a a'
x : ℝ
hx : x ∈ Iio a
⊢ f =ᶠ[𝓝 x] fun y => u y * v y

Proof state:
case h
A : Type u_1
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A
a : ℝ
a' b' : A
u v u' v' : ℝ → A
inst✝ : CompleteSpace A
hu : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt v (v' x) x
huv : IntegrableOn (u' * v + u * v') (Iic a) volume
h_zero : Tendsto (u * v) (𝓝[Iic a \ {a}] a) (𝓝 a')
h_infty : Tendsto (u * v) atBot (𝓝 b')
f : ℝ → A := Function.update (u * v) a a'
x✝ : ℝ
hx✝ : x✝ ∈ Iio a
x : ℝ
hx : x < a
⊢ f x = u x * v x

Tactic:
exact Function.update_of_ne (ne_of_lt hx) a' (u * v)

Result:
no goals

Proof state:
A : Type u_1
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A
a : ℝ
a' b' : A
u v u' v' : ℝ → A
inst✝ : CompleteSpace A
hu : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt v (v' x) x
huv : IntegrableOn (u' * v + u * v') (Iic a) volume
h_zero : Tendsto (u * v) (𝓝[Iic a \ {a}] a) (𝓝 a')
h_infty : Tendsto (u * v) atBot (𝓝 b')
f : ℝ → A := Function.update (u * v) a a'
hderiv : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt f (u' x * v x + u x * v' x) x
⊢ u * v =ᶠ[atBot] f

Tactic:
filter_upwards [Iio_mem_atBot a] with x (hx : x < a)

Result:
case h
A : Type u_1
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A
a : ℝ
a' b' : A
u v u' v' : ℝ → A
inst✝ : CompleteSpace A
hu : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt v (v' x) x
huv : IntegrableOn (u' * v + u * v') (Iic a) volume
h_zero : Tendsto (u * v) (𝓝[Iic a \ {a}] a) (𝓝 a')
h_infty : Tendsto (u * v) atBot (𝓝 b')
f : ℝ → A := Function.update (u * v) a a'
hderiv : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt f (u' x * v x + u x * v' x) x
x : ℝ
hx : x < a
⊢ (u * v) x = f x

Proof state:
A : Type u_1
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A
a : ℝ
a' b' : A
u v u' v' : ℝ → A
inst✝ : CompleteSpace A
hu : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt v (v' x) x
huv : IntegrableOn (u' * v + u * v') (Iic a) volume
h_zero : Tendsto (u * v) (𝓝[Iic a \ {a}] a) (𝓝 a')
h_infty : Tendsto (u * v) atBot (𝓝 b')
f : ℝ → A := Function.update (u * v) a a'
⊢ ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt f (u' x * v x + u x * v' x) x

Tactic:
intro x hx

Result:
A : Type u_1
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A
a : ℝ
a' b' : A
u v u' v' : ℝ → A
inst✝ : CompleteSpace A
hu : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt v (v' x) x
huv : IntegrableOn (u' * v + u * v') (Iic a) volume
h_zero : Tendsto (u * v) (𝓝[Iic a \ {a}] a) (𝓝 a')
h_infty : Tendsto (u * v) atBot (𝓝 b')
f : ℝ → A := Function.update (u * v) a a'
x : ℝ
hx : x ∈ Iio a
⊢ HasDerivAt f (u' x * v x + u x * v' x) x

Proof state:
A : Type u_1
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A
a : ℝ
a' b' : A
u v u' v' : ℝ → A
inst✝ : CompleteSpace A
hu : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt v (v' x) x
huv : IntegrableOn (u' * v + u * v') (Iic a) volume
h_zero : Tendsto (u * v) (𝓝[Iic a \ {a}] a) (𝓝 a')
h_infty : Tendsto (u * v) atBot (𝓝 b')
f : ℝ → A := Function.update (u * v) a a'
hderiv : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt f (u' x * v x + u x * v' x) x
⊢ ∫ (x : ℝ) in Iic a, u' x * v x + u x * v' x = a' - b'

Tactic:
have htendsto : Tendsto f atBot (𝓝 b') := by
  apply h_infty.congr'
  filter_upwards [Iio_mem_atBot a] with x (hx : x < a)
  exact (Function.update_of_ne (ne_of_lt hx) a' (u * v)).symm

Result:
A : Type u_1
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A
a : ℝ
a' b' : A
u v u' v' : ℝ → A
inst✝ : CompleteSpace A
hu : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt v (v' x) x
huv : IntegrableOn (u' * v + u * v') (Iic a) volume
h_zero : Tendsto (u * v) (𝓝[Iic a \ {a}] a) (𝓝 a')
h_infty : Tendsto (u * v) atBot (𝓝 b')
f : ℝ → A := Function.update (u * v) a a'
hderiv : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt f (u' x * v x + u x * v' x) x
htendsto : Tendsto f atBot (𝓝 b')
⊢ ∫ (x : ℝ) in Iic a, u' x * v x + u x * v' x = a' - b'

Proof state:
A : Type u_1
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A
a : ℝ
a' b' : A
u v u' v' : ℝ → A
inst✝ : CompleteSpace A
hu : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt v (v' x) x
huv : IntegrableOn (u' * v + u * v') (Iic a) volume
h_zero : Tendsto (u * v) (𝓝[Iic a \ {a}] a) (𝓝 a')
h_infty : Tendsto (u * v) atBot (𝓝 b')
f : ℝ → A := Function.update (u * v) a a'
x : ℝ
hx : x ∈ Iio a
⊢ f =ᶠ[𝓝 x] fun y => u y * v y

Tactic:
filter_upwards [Iio_mem_nhds hx] with x (hx : x < a)

Result:
case h
A : Type u_1
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A
a : ℝ
a' b' : A
u v u' v' : ℝ → A
inst✝ : CompleteSpace A
hu : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt v (v' x) x
huv : IntegrableOn (u' * v + u * v') (Iic a) volume
h_zero : Tendsto (u * v) (𝓝[Iic a \ {a}] a) (𝓝 a')
h_infty : Tendsto (u * v) atBot (𝓝 b')
f : ℝ → A := Function.update (u * v) a a'
x✝ : ℝ
hx✝ : x✝ ∈ Iio a
x : ℝ
hx : x < a
⊢ f x = u x * v x

Proof state:
A : Type u_1
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A
a : ℝ
a' b' : A
u v u' v' : ℝ → A
inst✝ : CompleteSpace A
hu : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt v (v' x) x
huv : IntegrableOn (u' * v + u * v') (Iic a) volume
h_zero : Tendsto (u * v) (𝓝[Iic a \ {a}] a) (𝓝 a')
h_infty : Tendsto (u * v) atBot (𝓝 b')
f : ℝ → A := Function.update (u * v) a a'
hderiv : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt f (u' x * v x + u x * v' x) x
⊢ Tendsto f atBot (𝓝 b')

Tactic:
apply h_infty.congr'

Result:
A : Type u_1
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A
a : ℝ
a' b' : A
u v u' v' : ℝ → A
inst✝ : CompleteSpace A
hu : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt v (v' x) x
huv : IntegrableOn (u' * v + u * v') (Iic a) volume
h_zero : Tendsto (u * v) (𝓝[Iic a \ {a}] a) (𝓝 a')
h_infty : Tendsto (u * v) atBot (𝓝 b')
f : ℝ → A := Function.update (u * v) a a'
hderiv : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt f (u' x * v x + u x * v' x) x
⊢ u * v =ᶠ[atBot] f

Proof state:
A : Type u_1
inst✝² : NormedRing A
inst✝¹ : NormedAlgebra ℝ A
a : ℝ
a' b' : A
u v u' v' : ℝ → A
inst✝ : CompleteSpace A
hu : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt u (u' x) x
hv : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt v (v' x) x
huv : IntegrableOn (u' * v + u * v') (Iic a) volume
h_zero : Tendsto (u * v) (𝓝[Iic a \ {a}] a) (𝓝 a')
h_infty : Tendsto (u * v) atBot (𝓝 b')
f : ℝ → A := Function.update (u * v) a a'
hderiv : ∀ x ∈ Iio a, HasDerivAt f (u' x * v x + u x * v' x) x
htendsto : Tendsto f atBot (𝓝 b')
⊢ ∫ (x : ℝ) in Iic a, u' x * v x + u x * v' x = a' - b'

Tactic:
simpa using integral_Iic_of_hasDerivAt_of_tendsto
  (continuousWithinAt_update_same.mpr h_zero) hderiv huv htendsto

Result:
no goals