-- Mathlib/AlgebraicGeometry/EllipticCurve/Projective.lean
lemma negAddY_neg {P : Fin 3 → R} (hP : W'.Equation P) : W'.negAddY P (W'.neg P) = W'.dblZ P

Proof state:
R : Type r
inst✝ : CommRing R
W' : Projective R
P : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
⊢ W'.negAddY P (W'.neg P) = W'.dblZ P

Tactic:
linear_combination (norm := (rw [negAddY, neg_X, neg_Y, neg_Z, dblZ, negY]; ring1))
  -3 * (P y - W'.negY P) * (equation_iff _).mp hP

Result:
no goals

Proof state:
case a.a
R : Type r
inst✝ : CommRing R
W' : Projective R
P : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
⊢ -3 * P x ^ 2 * P x * (-P y - W'.a₁ * P x - W'.a₃ * P z) + 3 * P x * P x ^ 2 * P y -
                                        P y ^ 2 * (-P y - W'.a₁ * P x - W'.a₃ * P z) * P z +
                                      P y * (-P y - W'.a₁ * P x - W'.a₃ * P z) ^ 2 * P z +
                                    W'.a₁ * P x * (-P y - W'.a₁ * P x - W'.a₃ * P z) ^ 2 * P z -
                                  W'.a₁ * P x * P y ^ 2 * P z -
                                W'.a₂ * P x ^ 2 * (-P y - W'.a₁ * P x - W'.a₃ * P z) * P z +
                              W'.a₂ * P x ^ 2 * P y * P z +
                            2 * W'.a₂ * P x * P x * P y * P z -
                          2 * W'.a₂ * P x * P x * (-P y - W'.a₁ * P x - W'.a₃ * P z) * P z -
                        W'.a₃ * P y ^ 2 * P z ^ 2 +
                      W'.a₃ * (-P y - W'.a₁ * P x - W'.a₃ * P z) ^ 2 * P z ^ 2 +
                    W'.a₄ * P x * P y * P z ^ 2 -
                  2 * W'.a₄ * P x * (-P y - W'.a₁ * P x - W'.a₃ * P z) * P z * P z +
                2 * W'.a₄ * P x * P y * P z * P z -
              W'.a₄ * P x * (-P y - W'.a₁ * P x - W'.a₃ * P z) * P z ^ 2 +
            3 * W'.a₆ * P y * P z * P z ^ 2 -
          3 * W'.a₆ * (-P y - W'.a₁ * P x - W'.a₃ * P z) * P z ^ 2 * P z +
        -3 * (P y - (-P y - W'.a₁ * P x - W'.a₃ * P z)) * 0 -
      (P z * (P y - (-P y - W'.a₁ * P x - W'.a₃ * P z)) ^ 3 +
        -3 * (P y - (-P y - W'.a₁ * P x - W'.a₃ * P z)) *
          (P y ^ 2 * P z + W'.a₁ * P x * P y * P z + W'.a₃ * P y * P z ^ 2 -
            (P x ^ 3 + W'.a₂ * P x ^ 2 * P z + W'.a₄ * P x * P z ^ 2 + W'.a₆ * P z ^ 3))) =
    0

Tactic:
ring1

Result:
no goals

Proof state:
case a.a
R : Type r
inst✝ : CommRing R
W' : Projective R
P : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
⊢ W'.negAddY P (W'.neg P) + -3 * (P y - W'.negY P) * 0 -
      (W'.dblZ P +
        -3 * (P y - W'.negY P) *
          (P y ^ 2 * P z + W'.a₁ * P x * P y * P z + W'.a₃ * P y * P z ^ 2 -
            (P x ^ 3 + W'.a₂ * P x ^ 2 * P z + W'.a₄ * P x * P z ^ 2 + W'.a₆ * P z ^ 3))) =
    0

Tactic:
rw [negAddY, neg_X, neg_Y, neg_Z, dblZ, negY]

Result:
case a.a
R : Type r
inst✝ : CommRing R
W' : Projective R
P : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
⊢ -3 * P x ^ 2 * P x * (-P y - W'.a₁ * P x - W'.a₃ * P z) + 3 * P x * P x ^ 2 * P y -
                                        P y ^ 2 * (-P y - W'.a₁ * P x - W'.a₃ * P z) * P z +
                                      P y * (-P y - W'.a₁ * P x - W'.a₃ * P z) ^ 2 * P z +
                                    W'.a₁ * P x * (-P y - W'.a₁ * P x - W'.a₃ * P z) ^ 2 * P z -
                                  W'.a₁ * P x * P y ^ 2 * P z -
                                W'.a₂ * P x ^ 2 * (-P y - W'.a₁ * P x - W'.a₃ * P z) * P z +
                              W'.a₂ * P x ^ 2 * P y * P z +
                            2 * W'.a₂ * P x * P x * P y * P z -
                          2 * W'.a₂ * P x * P x * (-P y - W'.a₁ * P x - W'.a₃ * P z) * P z -
                        W'.a₃ * P y ^ 2 * P z ^ 2 +
                      W'.a₃ * (-P y - W'.a₁ * P x - W'.a₃ * P z) ^ 2 * P z ^ 2 +
                    W'.a₄ * P x * P y * P z ^ 2 -
                  2 * W'.a₄ * P x * (-P y - W'.a₁ * P x - W'.a₃ * P z) * P z * P z +
                2 * W'.a₄ * P x * P y * P z * P z -
              W'.a₄ * P x * (-P y - W'.a₁ * P x - W'.a₃ * P z) * P z ^ 2 +
            3 * W'.a₆ * P y * P z * P z ^ 2 -
          3 * W'.a₆ * (-P y - W'.a₁ * P x - W'.a₃ * P z) * P z ^ 2 * P z +
        -3 * (P y - (-P y - W'.a₁ * P x - W'.a₃ * P z)) * 0 -
      (P z * (P y - (-P y - W'.a₁ * P x - W'.a₃ * P z)) ^ 3 +
        -3 * (P y - (-P y - W'.a₁ * P x - W'.a₃ * P z)) *
          (P y ^ 2 * P z + W'.a₁ * P x * P y * P z + W'.a₃ * P y * P z ^ 2 -
            (P x ^ 3 + W'.a₂ * P x ^ 2 * P z + W'.a₄ * P x * P z ^ 2 + W'.a₆ * P z ^ 3))) =
    0