-- Mathlib/Analysis/FunctionalSpaces/SobolevInequality.lean
theorem eLpNorm_le_eLpNorm_fderiv_of_le [FiniteDimensional ℝ F]
    {u : E → F} {s : Set E} (hu : ContDiff ℝ 1 u) (h2u : u.support ⊆ s)
    {p q : ℝ≥0} (hp : 1 ≤ p) (h2p : p < finrank ℝ E)
    (hpq : p⁻¹ - (finrank ℝ E : ℝ)⁻¹ ≤ (q : ℝ)⁻¹)
    (hs : Bornology.IsBounded s) :
    eLpNorm u q μ ≤ eLpNormLESNormFDerivOfLeConst F μ s p q * eLpNorm (fderiv ℝ u) p μ

Proof state:
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
u : E → F
s : Set E
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : support u ⊆ s
p q : ℝ≥0
hp : 1 ≤ p
h2p : p < ↑(finrank ℝ E)
hpq : ↑p⁻¹ - (↑(finrank ℝ E))⁻¹ ≤ (↑q)⁻¹
hs : Bornology.IsBounded s
hq0 : ¬q = 0
p' : ℝ≥0 := (p⁻¹ - (↑(finrank ℝ E))⁻¹)⁻¹
hp' : ↑p'⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑(finrank ℝ E))⁻¹
this : ↑q ≤ ↑p'
t : ℝ≥0 := (μ s).toNNReal ^ (1 / ↑q - 1 / ↑p')
C : ℝ≥0 := SNormLESNormFDerivOfEqConst F μ ↑p
⊢ eLpNorm u (↑q) μ = eLpNorm u (↑q) (μ.restrict s)

Tactic:
rw [eLpNorm_restrict_eq_of_support_subset h2u]

Result:
no goals

Proof state:
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
u : E → F
s : Set E
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : support u ⊆ s
p q : ℝ≥0
hp : 1 ≤ p
h2p : p < ↑(finrank ℝ E)
hpq : ↑p⁻¹ - (↑(finrank ℝ E))⁻¹ ≤ (↑q)⁻¹
hs : Bornology.IsBounded s
hq0 : ¬q = 0
p' : ℝ≥0 := (p⁻¹ - (↑(finrank ℝ E))⁻¹)⁻¹
hp' : ↑p'⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑(finrank ℝ E))⁻¹
H : (↑p')⁻¹ ≤ (↑q)⁻¹
⊢ ↑q ≤ ↑p'

Tactic:
norm_cast at H ⊢

Result:
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
u : E → F
s : Set E
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : support u ⊆ s
p q : ℝ≥0
hp : 1 ≤ p
h2p : p < ↑(finrank ℝ E)
hpq : ↑p⁻¹ - (↑(finrank ℝ E))⁻¹ ≤ (↑q)⁻¹
hs : Bornology.IsBounded s
hq0 : ¬q = 0
p' : ℝ≥0 := (p⁻¹ - (↑(finrank ℝ E))⁻¹)⁻¹
hp' : ↑p'⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑(finrank ℝ E))⁻¹
H : p'⁻¹ ≤ q⁻¹
⊢ q ≤ p'

Proof state:
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
u : E → F
s : Set E
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : support u ⊆ s
p q : ℝ≥0
hp : 1 ≤ p
h2p : p < ↑(finrank ℝ E)
hpq : ↑p⁻¹ - (↑(finrank ℝ E))⁻¹ ≤ (↑q)⁻¹
hs : Bornology.IsBounded s
hq0 : ¬q = 0
p' : ℝ≥0 := (p⁻¹ - (↑(finrank ℝ E))⁻¹)⁻¹
hp' : ↑p'⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑(finrank ℝ E))⁻¹
H : p'⁻¹ ≤ q⁻¹
⊢ q ≤ p'

Tactic:
rwa [inv_le_inv₀] at H

Result:
case ha
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
u : E → F
s : Set E
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : support u ⊆ s
p q : ℝ≥0
hp : 1 ≤ p
h2p : p < ↑(finrank ℝ E)
hpq : ↑p⁻¹ - (↑(finrank ℝ E))⁻¹ ≤ (↑q)⁻¹
hs : Bornology.IsBounded s
hq0 : ¬q = 0
p' : ℝ≥0 := (p⁻¹ - (↑(finrank ℝ E))⁻¹)⁻¹
hp' : ↑p'⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑(finrank ℝ E))⁻¹
H : p'⁻¹ ≤ q⁻¹
⊢ 0 < p'

case hb
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
u : E → F
s : Set E
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : support u ⊆ s
p q : ℝ≥0
hp : 1 ≤ p
h2p : p < ↑(finrank ℝ E)
hpq : ↑p⁻¹ - (↑(finrank ℝ E))⁻¹ ≤ (↑q)⁻¹
hs : Bornology.IsBounded s
hq0 : ¬q = 0
p' : ℝ≥0 := (p⁻¹ - (↑(finrank ℝ E))⁻¹)⁻¹
hp' : ↑p'⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑(finrank ℝ E))⁻¹
H : p'⁻¹ ≤ q⁻¹
⊢ 0 < q

Proof state:
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
u : E → F
s : Set E
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : support u ⊆ s
p q : ℝ≥0
hp : 1 ≤ p
h2p : p < ↑(finrank ℝ E)
hpq : ↑p⁻¹ - (↑(finrank ℝ E))⁻¹ ≤ (↑q)⁻¹
hs : Bornology.IsBounded s
hq0 : ¬q = 0
p' : ℝ≥0 := (p⁻¹ - (↑(finrank ℝ E))⁻¹)⁻¹
hp' : ↑p'⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑(finrank ℝ E))⁻¹
H : p'⁻¹ ≤ q⁻¹
⊢ (↑(finrank ℝ E))⁻¹ < p⁻¹

Tactic:
exact inv_strictAnti₀ (by positivity) h2p

Result:
no goals

Proof state:
F : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F
E : Type u_4
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝¹ : μ.IsAddHaarMeasure
inst✝ : FiniteDimensional ℝ F
u : E → F
s : Set E
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : support u ⊆ s
p q : ℝ≥0
hp : 1 ≤ p
h2p : p < ↑(finrank ℝ E)
hpq : ↑p⁻¹ - (↑(finrank ℝ E))⁻¹ ≤ (↑q)⁻¹
hs : Bornology.IsBounded s
hq0 : ¬q = 0
p' : ℝ≥0 := (p⁻¹ - (↑(finrank ℝ E))⁻¹)⁻¹
hp' : ↑p'⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑(finrank ℝ E))⁻¹
this : ↑q ≤ ↑p'
t : ℝ≥0 := (μ s).toNNReal ^ (1 / ↑q - 1 / ↑p')
C : ℝ≥0 := SNormLESNormFDerivOfEqConst F μ ↑p
⊢ ↑C * eLpNorm (fderiv ℝ u) (↑p) μ * ↑t =
    ↑((μ s).toNNReal ^ (1 / ↑q - 1 / ↑(p⁻¹ - (↑(finrank ℝ E))⁻¹)⁻¹)) * ↑(SNormLESNormFDerivOfEqConst F μ ↑p) *
      eLpNorm (fderiv ℝ u) (↑p) μ

Tactic:
ring

Result:
no goals