-- Mathlib/NumberTheory/FLT/Three.lean
/-- Given `S' : Solution'`, then `S'.a` and `S'.b` are both congruent to `1` modulo `λ ^ 4` or are
both congruent to `-1`. -/
lemma a_cube_b_cube_congr_one_or_neg_one :
    λ ^ 4 ∣ S'.a ^ 3 - 1 ∧ λ ^ 4 ∣ S'.b ^ 3 + 1 ∨ λ ^ 4 ∣ S'.a ^ 3 + 1 ∧ λ ^ 4 ∣ S'.b ^ 3 - 1

Proof state:
K : Type u_1
inst✝² : Field K
ζ : K
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S' : Solution' hζ✝
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
z : 𝓞 K
hz : S'.c = (hζ✝.toInteger - 1) * z
x : 𝓞 K
hx : S'.a ^ 3 + 1 = (hζ✝.toInteger - 1) ^ 4 * x
y : 𝓞 K
hy : S'.b ^ 3 + 1 = (hζ✝.toInteger - 1) ^ 4 * y
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (↑3 ^ 1)
⊢ 3 ≠ 2

Tactic:
decide

Result:
no goals

Proof state:
K : Type u_1
inst✝² : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S' : Solution' hζ
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
z : 𝓞 K
hz : S'.c = λ * z
x : 𝓞 K
hx : S'.a ^ 3 + 1 = λ ^ 4 * x
y : 𝓞 K
hy : S'.b ^ 3 + 1 = λ ^ 4 * y
⊢ IsPrimitiveRoot ζ (↑3 ^ 1)

Tactic:
rwa [pow_one]

Result:
no goals

Proof state:
K : Type u_1
inst✝² : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S' : Solution' hζ
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
⊢ λ ^ 4 ∣ S'.a ^ 3 - 1 ∧ λ ^ 4 ∣ S'.b ^ 3 + 1 ∨ λ ^ 4 ∣ S'.a ^ 3 + 1 ∧ λ ^ 4 ∣ S'.b ^ 3 - 1

Tactic:
obtain ⟨z, hz⟩ := S'.hcdvd

Result:
case intro
K : Type u_1
inst✝² : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S' : Solution' hζ
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
z : 𝓞 K
hz : S'.c = λ * z
⊢ λ ^ 4 ∣ S'.a ^ 3 - 1 ∧ λ ^ 4 ∣ S'.b ^ 3 + 1 ∨ λ ^ 4 ∣ S'.a ^ 3 + 1 ∧ λ ^ 4 ∣ S'.b ^ 3 - 1

Proof state:
case intro.inl.intro.inl.intro
K : Type u_1
inst✝² : Field K
ζ : K
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S' : Solution' hζ✝
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
z : 𝓞 K
hz : S'.c = (hζ✝.toInteger - 1) * z
x : 𝓞 K
hx : S'.a ^ 3 - 1 = (hζ✝.toInteger - 1) ^ 4 * x
y : 𝓞 K
hy : S'.b ^ 3 - 1 = (hζ✝.toInteger - 1) ^ 4 * y
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (↑3 ^ 1)
⊢ False

Tactic:
refine hζ.toInteger_sub_one_not_dvd_two (by decide) ⟨S'.u * λ ^ 2 * z ^ 3 - λ ^ 3 * (x + y), ?_⟩

Result:
case intro.inl.intro.inl.intro
K : Type u_1
inst✝² : Field K
ζ : K
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S' : Solution' hζ✝
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
z : 𝓞 K
hz : S'.c = (hζ✝.toInteger - 1) * z
x : 𝓞 K
hx : S'.a ^ 3 - 1 = (hζ✝.toInteger - 1) ^ 4 * x
y : 𝓞 K
hy : S'.b ^ 3 - 1 = (hζ✝.toInteger - 1) ^ 4 * y
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (↑3 ^ 1)
⊢ 2 = (hζ.toInteger - 1) * (↑S'.u * (hζ✝.toInteger - 1) ^ 2 * z ^ 3 - (hζ✝.toInteger - 1) ^ 3 * (x + y))

Proof state:
case intro.inr.intro.inr.intro
K : Type u_1
inst✝² : Field K
ζ : K
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S' : Solution' hζ✝
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
z : 𝓞 K
hz : S'.c = (hζ✝.toInteger - 1) * z
x : 𝓞 K
hx : S'.a ^ 3 + 1 = (hζ✝.toInteger - 1) ^ 4 * x
y : 𝓞 K
hy : S'.b ^ 3 + 1 = (hζ✝.toInteger - 1) ^ 4 * y
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (↑3 ^ 1)
⊢ False

Tactic:
refine hζ.toInteger_sub_one_not_dvd_two (by decide) ⟨λ ^ 3 * (x + y) - S'.u * λ ^ 2 * z ^ 3, ?_⟩

Result:
case intro.inr.intro.inr.intro
K : Type u_1
inst✝² : Field K
ζ : K
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S' : Solution' hζ✝
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
z : 𝓞 K
hz : S'.c = (hζ✝.toInteger - 1) * z
x : 𝓞 K
hx : S'.a ^ 3 + 1 = (hζ✝.toInteger - 1) ^ 4 * x
y : 𝓞 K
hy : S'.b ^ 3 + 1 = (hζ✝.toInteger - 1) ^ 4 * y
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (↑3 ^ 1)
⊢ 2 = (hζ.toInteger - 1) * ((hζ✝.toInteger - 1) ^ 3 * (x + y) - ↑S'.u * (hζ✝.toInteger - 1) ^ 2 * z ^ 3)

Proof state:
case intro.inr.intro.inl.intro.h
K : Type u_1
inst✝² : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S' : Solution' hζ
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
z : 𝓞 K
hz : S'.c = λ * z
x : 𝓞 K
hx : S'.a ^ 3 + 1 = λ ^ 4 * x
y : 𝓞 K
hy : S'.b ^ 3 - 1 = λ ^ 4 * y
⊢ λ ^ 4 ∣ S'.a ^ 3 + 1 ∧ λ ^ 4 ∣ S'.b ^ 3 - 1

Tactic:
exact ⟨⟨x, hx⟩, ⟨y, hy⟩⟩

Result:
no goals

Proof state:
K : Type u_1
inst✝² : Field K
ζ : K
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S' : Solution' hζ✝
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
z : 𝓞 K
hz : S'.c = (hζ✝.toInteger - 1) * z
x : 𝓞 K
hx : S'.a ^ 3 - 1 = (hζ✝.toInteger - 1) ^ 4 * x
y : 𝓞 K
hy : S'.b ^ 3 - 1 = (hζ✝.toInteger - 1) ^ 4 * y
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (↑3 ^ 1)
⊢ S'.a ^ 3 + S'.b ^ 3 - (S'.a ^ 3 - 1) - (S'.b ^ 3 - 1) = 2

Tactic:
ring

Result:
no goals

Proof state:
case intro.inr.intro.inl.intro
K : Type u_1
inst✝² : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S' : Solution' hζ
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
z : 𝓞 K
hz : S'.c = λ * z
x : 𝓞 K
hx : S'.a ^ 3 + 1 = λ ^ 4 * x
y : 𝓞 K
hy : S'.b ^ 3 - 1 = λ ^ 4 * y
⊢ λ ^ 4 ∣ S'.a ^ 3 - 1 ∧ λ ^ 4 ∣ S'.b ^ 3 + 1 ∨ λ ^ 4 ∣ S'.a ^ 3 + 1 ∧ λ ^ 4 ∣ S'.b ^ 3 - 1

Tactic:
right

Result:
case intro.inr.intro.inl.intro.h
K : Type u_1
inst✝² : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S' : Solution' hζ
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
z : 𝓞 K
hz : S'.c = λ * z
x : 𝓞 K
hx : S'.a ^ 3 + 1 = λ ^ 4 * x
y : 𝓞 K
hy : S'.b ^ 3 - 1 = λ ^ 4 * y
⊢ λ ^ 4 ∣ S'.a ^ 3 + 1 ∧ λ ^ 4 ∣ S'.b ^ 3 - 1

Proof state:
case intro
K : Type u_1
inst✝² : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S' : Solution' hζ
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
z : 𝓞 K
hz : S'.c = λ * z
⊢ λ ^ 4 ∣ S'.a ^ 3 - 1 ∧ λ ^ 4 ∣ S'.b ^ 3 + 1 ∨ λ ^ 4 ∣ S'.a ^ 3 + 1 ∧ λ ^ 4 ∣ S'.b ^ 3 - 1

Tactic:
rcases lambda_pow_four_dvd_cube_sub_one_or_add_one_of_lambda_not_dvd hζ S'.ha with
  ⟨x, hx⟩ | ⟨x, hx⟩ <;>
rcases lambda_pow_four_dvd_cube_sub_one_or_add_one_of_lambda_not_dvd hζ S'.hb with
  ⟨y, hy⟩ | ⟨y, hy⟩

Result:
case intro.inl.intro.inl.intro
K : Type u_1
inst✝² : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S' : Solution' hζ
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
z : 𝓞 K
hz : S'.c = λ * z
x : 𝓞 K
hx : S'.a ^ 3 - 1 = λ ^ 4 * x
y : 𝓞 K
hy : S'.b ^ 3 - 1 = λ ^ 4 * y
⊢ λ ^ 4 ∣ S'.a ^ 3 - 1 ∧ λ ^ 4 ∣ S'.b ^ 3 + 1 ∨ λ ^ 4 ∣ S'.a ^ 3 + 1 ∧ λ ^ 4 ∣ S'.b ^ 3 - 1

case intro.inl.intro.inr.intro
K : Type u_1
inst✝² : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S' : Solution' hζ
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
z : 𝓞 K
hz : S'.c = λ * z
x : 𝓞 K
hx : S'.a ^ 3 - 1 = λ ^ 4 * x
y : 𝓞 K
hy : S'.b ^ 3 + 1 = λ ^ 4 * y
⊢ λ ^ 4 ∣ S'.a ^ 3 - 1 ∧ λ ^ 4 ∣ S'.b ^ 3 + 1 ∨ λ ^ 4 ∣ S'.a ^ 3 + 1 ∧ λ ^ 4 ∣ S'.b ^ 3 - 1

case intro.inr.intro.inl.intro
K : Type u_1
inst✝² : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S' : Solution' hζ
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
z : 𝓞 K
hz : S'.c = λ * z
x : 𝓞 K
hx : S'.a ^ 3 + 1 = λ ^ 4 * x
y : 𝓞 K
hy : S'.b ^ 3 - 1 = λ ^ 4 * y
⊢ λ ^ 4 ∣ S'.a ^ 3 - 1 ∧ λ ^ 4 ∣ S'.b ^ 3 + 1 ∨ λ ^ 4 ∣ S'.a ^ 3 + 1 ∧ λ ^ 4 ∣ S'.b ^ 3 - 1

case intro.inr.intro.inr.intro
K : Type u_1
inst✝² : Field K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S' : Solution' hζ
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
z : 𝓞 K
hz : S'.c = λ * z
x : 𝓞 K
hx : S'.a ^ 3 + 1 = λ ^ 4 * x
y : 𝓞 K
hy : S'.b ^ 3 + 1 = λ ^ 4 * y
⊢ λ ^ 4 ∣ S'.a ^ 3 - 1 ∧ λ ^ 4 ∣ S'.b ^ 3 + 1 ∨ λ ^ 4 ∣ S'.a ^ 3 + 1 ∧ λ ^ 4 ∣ S'.b ^ 3 - 1

Proof state:
K : Type u_1
inst✝² : Field K
ζ : K
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S' : Solution' hζ✝
inst✝¹ : NumberField K
inst✝ : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
z : 𝓞 K
hz : S'.c = (hζ✝.toInteger - 1) * z
x : 𝓞 K
hx : S'.a ^ 3 + 1 = (hζ✝.toInteger - 1) ^ 4 * x
y : 𝓞 K
hy : S'.b ^ 3 + 1 = (hζ✝.toInteger - 1) ^ 4 * y
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (↑3 ^ 1)
⊢ (hζ✝.toInteger - 1) ^ 4 * x + (hζ✝.toInteger - 1) ^ 4 * y - ↑S'.u * ((hζ✝.toInteger - 1) * z) ^ 3 =
    S'.a ^ 3 + 1 + (S'.b ^ 3 + 1) - (S'.a ^ 3 + S'.b ^ 3)

Tactic:
rw [← hx, ← hy, ← hz, ← S'.H]

Result:
no goals