-- Mathlib/Analysis/Convex/Topology.lean
theorem Convex.strictConvex' {s : Set E} (hs : Convex 𝕜 s)
    (h : (s \ interior s).Pairwise fun x y => ∃ c : 𝕜, lineMap x y c ∈ interior s) :
    StrictConvex 𝕜 s

Proof state:
case neg.intro
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
h : (s \ interior s).Pairwise fun x y => ∃ c, (lineMap x y) c ∈ interior s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hne : x ≠ y
hx' : x ∉ interior s
hy' : y ∉ interior s
c : 𝕜
hc : (lineMap x y) c ∈ interior s
⊢ openSegment 𝕜 x y ⊆ interior s

Tactic:
refine (openSegment_subset_union x y ⟨c, rfl⟩).trans
  (insert_subset_iff.2 ⟨hc, union_subset ?_ ?_⟩)

Result:
case neg.intro.refine_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
h : (s \ interior s).Pairwise fun x y => ∃ c, (lineMap x y) c ∈ interior s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hne : x ≠ y
hx' : x ∉ interior s
hy' : y ∉ interior s
c : 𝕜
hc : (lineMap x y) c ∈ interior s
⊢ openSegment 𝕜 x ((lineMap x y) c) ⊆ interior s

case neg.intro.refine_2
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
h : (s \ interior s).Pairwise fun x y => ∃ c, (lineMap x y) c ∈ interior s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hne : x ≠ y
hx' : x ∉ interior s
hy' : y ∉ interior s
c : 𝕜
hc : (lineMap x y) c ∈ interior s
⊢ openSegment 𝕜 ((lineMap x y) c) y ⊆ interior s

Proof state:
case pos
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
h : (s \ interior s).Pairwise fun x y => ∃ c, (lineMap x y) c ∈ interior s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hne : x ≠ y
hx' : x ∈ interior s
⊢ openSegment 𝕜 x y ⊆ interior s

Tactic:
exact hs.openSegment_interior_self_subset_interior hx' hy

Result:
no goals

Proof state:
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
h : (s \ interior s).Pairwise fun x y => ∃ c, (lineMap x y) c ∈ interior s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hne : x ≠ y
⊢ openSegment 𝕜 x y ⊆ interior s

Tactic:
by_cases hx' : x ∈ interior s

Result:
case pos
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
h : (s \ interior s).Pairwise fun x y => ∃ c, (lineMap x y) c ∈ interior s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hne : x ≠ y
hx' : x ∈ interior s
⊢ openSegment 𝕜 x y ⊆ interior s

case neg
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
h : (s \ interior s).Pairwise fun x y => ∃ c, (lineMap x y) c ∈ interior s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hne : x ≠ y
hx' : x ∉ interior s
⊢ openSegment 𝕜 x y ⊆ interior s

Proof state:
case neg
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
h : (s \ interior s).Pairwise fun x y => ∃ c, (lineMap x y) c ∈ interior s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hne : x ≠ y
hx' : x ∉ interior s
hy' : y ∉ interior s
⊢ openSegment 𝕜 x y ⊆ interior s

Tactic:
rcases h ⟨hx, hx'⟩ ⟨hy, hy'⟩ hne with ⟨c, hc⟩

Result:
case neg.intro
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
h : (s \ interior s).Pairwise fun x y => ∃ c, (lineMap x y) c ∈ interior s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hne : x ≠ y
hx' : x ∉ interior s
hy' : y ∉ interior s
c : 𝕜
hc : (lineMap x y) c ∈ interior s
⊢ openSegment 𝕜 x y ⊆ interior s

Proof state:
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
h : (s \ interior s).Pairwise fun x y => ∃ c, (lineMap x y) c ∈ interior s
⊢ s.Pairwise fun x y => openSegment 𝕜 x y ⊆ interior s

Tactic:
intro x hx y hy hne

Result:
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
h : (s \ interior s).Pairwise fun x y => ∃ c, (lineMap x y) c ∈ interior s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hne : x ≠ y
⊢ openSegment 𝕜 x y ⊆ interior s

Proof state:
case neg.intro.refine_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
h : (s \ interior s).Pairwise fun x y => ∃ c, (lineMap x y) c ∈ interior s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hne : x ≠ y
hx' : x ∉ interior s
hy' : y ∉ interior s
c : 𝕜
hc : (lineMap x y) c ∈ interior s
⊢ openSegment 𝕜 x ((lineMap x y) c) ⊆ interior s

case neg.intro.refine_2
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
h : (s \ interior s).Pairwise fun x y => ∃ c, (lineMap x y) c ∈ interior s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hne : x ≠ y
hx' : x ∉ interior s
hy' : y ∉ interior s
c : 𝕜
hc : (lineMap x y) c ∈ interior s
⊢ openSegment 𝕜 ((lineMap x y) c) y ⊆ interior s

Tactic:
exacts [hs.openSegment_self_interior_subset_interior hx hc,
  hs.openSegment_interior_self_subset_interior hc hy]

Result:
no goals

Proof state:
case neg
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
h : (s \ interior s).Pairwise fun x y => ∃ c, (lineMap x y) c ∈ interior s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hne : x ≠ y
hx' : x ∉ interior s
⊢ openSegment 𝕜 x y ⊆ interior s

Tactic:
by_cases hy' : y ∈ interior s

Result:
case pos
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
h : (s \ interior s).Pairwise fun x y => ∃ c, (lineMap x y) c ∈ interior s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hne : x ≠ y
hx' : x ∉ interior s
hy' : y ∈ interior s
⊢ openSegment 𝕜 x y ⊆ interior s

case neg
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedField 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : TopologicalSpace E
inst✝¹ : IsTopologicalAddGroup E
inst✝ : ContinuousConstSMul 𝕜 E
s : Set E
hs : Convex 𝕜 s
h : (s \ interior s).Pairwise fun x y => ∃ c, (lineMap x y) c ∈ interior s
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
hne : x ≠ y
hx' : x ∉ interior s
hy' : y ∉ interior s
⊢ openSegment 𝕜 x y ⊆ interior s