-- Mathlib/NumberTheory/Cyclotomic/PrimitiveRoots.lean
theorem norm_pow_sub_one_of_prime_ne_two {k : ℕ} (hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1)))
    [hpri : Fact (p : ℕ).Prime] [IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L]
    (hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1)) : ℕ) K)) {s : ℕ} (hs : s ≤ k) (hodd : p ≠ 2) :
    norm K (ζ ^ (p : ℕ) ^ s - 1) = (p : K) ^ (p : ℕ) ^ s

Proof state:
p : ℕ+
K : Type u
L : Type v
inst✝³ : Field L
ζ : L
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
k : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
s : ℕ
hs : s ≤ k
hodd : p ≠ 2
h : p ^ (k - s + 1) = 2
⊢ ↑2 = 2

Tactic:
norm_cast

Result:
no goals

Proof state:
p : ℕ+
K : Type u
L : Type v
inst✝³ : Field L
ζ : L
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
k : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
s : ℕ
hs : s ≤ k
hodd : p ≠ 2
h : ↑p ^ (k - s + 1) = 2 ^ 1
coe_two : ↑2 = 2
⊢ False

Tactic:
replace h :=
  eq_of_prime_pow_eq (prime_iff.1 hpri.out) (prime_iff.1 Nat.prime_two) (k - s).succ_pos h

Result:
p : ℕ+
K : Type u
L : Type v
inst✝³ : Field L
ζ : L
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
k : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
s : ℕ
hs : s ≤ k
hodd : p ≠ 2
coe_two : ↑2 = 2
h : ↑p = 2
⊢ False

Proof state:
p : ℕ+
K : Type u
L : Type v
inst✝³ : Field L
ζ : L
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
k : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
s : ℕ
hs : s ≤ k
hodd : p ≠ 2
⊢ (Algebra.norm K) (ζ ^ ↑p ^ s - 1) = ↑↑p ^ ↑p ^ s

Tactic:
refine hζ.norm_pow_sub_one_of_prime_pow_ne_two hirr hs fun h => ?_

Result:
p : ℕ+
K : Type u
L : Type v
inst✝³ : Field L
ζ : L
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
k : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
s : ℕ
hs : s ≤ k
hodd : p ≠ 2
h : p ^ (k - s + 1) = 2
⊢ False

Proof state:
p : ℕ+
K : Type u
L : Type v
inst✝³ : Field L
ζ : L
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
k : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
s : ℕ
hs : s ≤ k
hodd : p ≠ 2
h : p ^ (k - s + 1) = 2
⊢ False

Tactic:
have coe_two : ((2 : ℕ+) : ℕ) = 2 := by norm_cast

Result:
p : ℕ+
K : Type u
L : Type v
inst✝³ : Field L
ζ : L
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
k : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
s : ℕ
hs : s ≤ k
hodd : p ≠ 2
h : p ^ (k - s + 1) = 2
coe_two : ↑2 = 2
⊢ False

Proof state:
p : ℕ+
K : Type u
L : Type v
inst✝³ : Field L
ζ : L
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
k : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
s : ℕ
hs : s ≤ k
hodd : p ≠ 2
h : p ^ (k - s + 1) = 2
coe_two : ↑2 = 2
⊢ False

Tactic:
rw [← PNat.coe_inj, coe_two, PNat.pow_coe, ← pow_one 2] at h

Result:
p : ℕ+
K : Type u
L : Type v
inst✝³ : Field L
ζ : L
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
k : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
s : ℕ
hs : s ≤ k
hodd : p ≠ 2
h : ↑p ^ (k - s + 1) = 2 ^ 1
coe_two : ↑2 = 2
⊢ False

Proof state:
p : ℕ+
K : Type u
L : Type v
inst✝³ : Field L
ζ : L
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra K L
k : ℕ
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)
inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L
hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)
s : ℕ
hs : s ≤ k
hodd : p ≠ 2
coe_two : ↑2 = 2
h : ↑p = 2
⊢ False

Tactic:
exact hodd (PNat.coe_injective h)

Result:
no goals