-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Sign.lean
theorem signAux_eq_signAux2 {n : ℕ} :
    ∀ (l : List α) (f : Perm α) (e : α ≃ Fin n) (_h : ∀ x, f x ≠ x → x ∈ l),
      signAux ((e.symm.trans f).trans e) = signAux2 l f
  | [], f, e, h => by
    have : f = 1 := Equiv.ext fun y => Classical.not_not.1 (mt (h y) (List.not_mem_nil _))
    rw [this, one_def, Equiv.trans_refl, Equiv.symm_trans_self, ← one_def, signAux_one, signAux2]
  | x::l, f, e, h => by
    rw [signAux2]
    by_cases hfx : x = f x
    · rw [if_pos hfx]
      exact
        signAux_eq_signAux2 l f _ fun y (hy : f y ≠ y) =>
          List.mem_of_ne_of_mem (fun h : y = x => by simp [h, hfx.symm] at hy) (h y hy)
    · have hy : ∀ y : α, (swap x (f x) * f) y ≠ y → y ∈ l := fun y hy =>
        have : f y ≠ y ∧ y ≠ x := ne_and_ne_of_swap_mul_apply_ne_self hy
        List.mem_of_ne_of_mem this.2 (h _ this.1)
      have : (e.symm.trans (swap x (f x) * f)).trans e =
          swap (e x) (e (f x)) * (e.symm.trans f).trans e

Proof state:
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
n : ℕ
f : Perm α
e : α ≃ Fin n
h : ∀ (x : α), f x ≠ x → x ∈ []
this : f = 1
⊢ signAux ((e.symm.trans f).trans e) = signAux2 [] f

Tactic:
rw [this, one_def, Equiv.trans_refl, Equiv.symm_trans_self, ← one_def, signAux_one, signAux2]

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
n : ℕ
x : α
l : List α
f : Perm α
e : α ≃ Fin n
h : ∀ (x_1 : α), f x_1 ≠ x_1 → x_1 ∈ x :: l
hfx : ¬x = f x
hy : ∀ (y : α), (swap x (f x) * f) y ≠ y → y ∈ l
⊢ (e.symm.trans (swap x (f x) * f)).trans e = swap (e x) (e (f x)) * (e.symm.trans f).trans e

Tactic:
ext

Result:
case H.h
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
n : ℕ
x : α
l : List α
f : Perm α
e : α ≃ Fin n
h : ∀ (x_1 : α), f x_1 ≠ x_1 → x_1 ∈ x :: l
hfx : ¬x = f x
hy : ∀ (y : α), (swap x (f x) * f) y ≠ y → y ∈ l
x✝ : Fin n
⊢ ↑(((e.symm.trans (swap x (f x) * f)).trans e) x✝) = ↑((swap (e x) (e (f x)) * (e.symm.trans f).trans e) x✝)

Proof state:
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
n : ℕ
f : Perm α
e : α ≃ Fin n
h : ∀ (x : α), f x ≠ x → x ∈ []
⊢ signAux ((e.symm.trans f).trans e) = signAux2 [] f

Tactic:
have : f = 1 := Equiv.ext fun y => Classical.not_not.1 (mt (h y) (List.not_mem_nil _))

Result:
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
n : ℕ
f : Perm α
e : α ≃ Fin n
h : ∀ (x : α), f x ≠ x → x ∈ []
this : f = 1
⊢ signAux ((e.symm.trans f).trans e) = signAux2 [] f

Proof state:
case H.h
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
n : ℕ
x : α
l : List α
f : Perm α
e : α ≃ Fin n
h : ∀ (x_1 : α), f x_1 ≠ x_1 → x_1 ∈ x :: l
hfx : ¬x = f x
hy : ∀ (y : α), (swap x (f x) * f) y ≠ y → y ∈ l
x✝ : Fin n
⊢ ↑(e ((swap x (f x)) (f (e.symm x✝)))) = ↑((swap (e x) (e (f x))) (e ((e.symm.trans f) x✝)))

Tactic:
(rw [trans_apply])

Result:
case H.h
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
n : ℕ
x : α
l : List α
f : Perm α
e : α ≃ Fin n
h : ∀ (x_1 : α), f x_1 ≠ x_1 → x_1 ∈ x :: l
hfx : ¬x = f x
hy : ∀ (y : α), (swap x (f x) * f) y ≠ y → y ∈ l
x✝ : Fin n
⊢ ↑(e ((swap x (f x)) (f (e.symm x✝)))) = ↑((swap (e x) (e (f x))) (e (f (e.symm x✝))))

Proof state:
case H.h
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
n : ℕ
x : α
l : List α
f : Perm α
e : α ≃ Fin n
h : ∀ (x_1 : α), f x_1 ≠ x_1 → x_1 ∈ x :: l
hfx : ¬x = f x
hy : ∀ (y : α), (swap x (f x) * f) y ≠ y → y ∈ l
x✝ : Fin n
⊢ ↑(((e.symm.trans (Equiv.trans f (swap x (f x)))).trans e) x✝) =
    ↑((((e.symm.trans f).trans e).trans (swap (e x) (e (f x)))) x✝)

Tactic:
repeat (rw [trans_apply])

Result:
case H.h
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
n : ℕ
x : α
l : List α
f : Perm α
e : α ≃ Fin n
h : ∀ (x_1 : α), f x_1 ≠ x_1 → x_1 ∈ x :: l
hfx : ¬x = f x
hy : ∀ (y : α), (swap x (f x) * f) y ≠ y → y ∈ l
x✝ : Fin n
⊢ ↑(e ((swap x (f x)) (f (e.symm x✝)))) = ↑((swap (e x) (e (f x))) (e (f (e.symm x✝))))

Proof state:
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
n : ℕ
x : α
l : List α
f : Perm α
e : α ≃ Fin n
h : ∀ (x_1 : α), f x_1 ≠ x_1 → x_1 ∈ x :: l
⊢ signAux ((e.symm.trans f).trans e) = signAux2 (x :: l) f

Tactic:
rw [signAux2]

Result:
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
n : ℕ
x : α
l : List α
f : Perm α
e : α ≃ Fin n
h : ∀ (x_1 : α), f x_1 ≠ x_1 → x_1 ∈ x :: l
⊢ signAux ((e.symm.trans f).trans e) = if x = f x then signAux2 l f else -signAux2 l (swap x (f x) * f)

Proof state:
case neg
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
n : ℕ
x : α
l : List α
f : Perm α
e : α ≃ Fin n
h : ∀ (x_1 : α), f x_1 ≠ x_1 → x_1 ∈ x :: l
hfx : ¬x = f x
hy : ∀ (y : α), (swap x (f x) * f) y ≠ y → y ∈ l
this : (e.symm.trans (swap x (f x) * f)).trans e = swap (e x) (e (f x)) * (e.symm.trans f).trans e
hefx : e x ≠ e (f x)
⊢ signAux ((e.symm.trans f).trans e) = -(-1 * signAux ((e.symm.trans f).trans e))

Tactic:
simp only [neg_neg, one_mul, neg_mul]

Result:
no goals

Proof state:
case neg
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
n : ℕ
x : α
l : List α
f : Perm α
e : α ≃ Fin n
h : ∀ (x_1 : α), f x_1 ≠ x_1 → x_1 ∈ x :: l
hfx : ¬x = f x
hy : ∀ (y : α), (swap x (f x) * f) y ≠ y → y ∈ l
this : (e.symm.trans (swap x (f x) * f)).trans e = swap (e x) (e (f x)) * (e.symm.trans f).trans e
hefx : e x ≠ e (f x)
⊢ signAux ((e.symm.trans f).trans e) = if x = f x then signAux2 l f else -signAux2 l (swap x (f x) * f)

Tactic:
rw [if_neg hfx, ← signAux_eq_signAux2 _ _ e hy, this, signAux_mul, signAux_swap hefx]

Result:
case neg
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
n : ℕ
x : α
l : List α
f : Perm α
e : α ≃ Fin n
h : ∀ (x_1 : α), f x_1 ≠ x_1 → x_1 ∈ x :: l
hfx : ¬x = f x
hy : ∀ (y : α), (swap x (f x) * f) y ≠ y → y ∈ l
this : (e.symm.trans (swap x (f x) * f)).trans e = swap (e x) (e (f x)) * (e.symm.trans f).trans e
hefx : e x ≠ e (f x)
⊢ signAux ((e.symm.trans f).trans e) = -(-1 * signAux ((e.symm.trans f).trans e))

Proof state:
case H.h
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
n : ℕ
x : α
l : List α
f : Perm α
e : α ≃ Fin n
h : ∀ (x_1 : α), f x_1 ≠ x_1 → x_1 ∈ x :: l
hfx : ¬x = f x
hy : ∀ (y : α), (swap x (f x) * f) y ≠ y → y ∈ l
x✝ : Fin n
⊢ ↑(((e.symm.trans (swap x (f x) * f)).trans e) x✝) = ↑((swap (e x) (e (f x)) * (e.symm.trans f).trans e) x✝)

Tactic:
rw [← Equiv.symm_trans_swap_trans, mul_def, Equiv.symm_trans_swap_trans, mul_def]

Result:
case H.h
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
n : ℕ
x : α
l : List α
f : Perm α
e : α ≃ Fin n
h : ∀ (x_1 : α), f x_1 ≠ x_1 → x_1 ∈ x :: l
hfx : ¬x = f x
hy : ∀ (y : α), (swap x (f x) * f) y ≠ y → y ∈ l
x✝ : Fin n
⊢ ↑(((e.symm.trans (Equiv.trans f (swap x (f x)))).trans e) x✝) =
    ↑((((e.symm.trans f).trans e).trans (swap (e x) (e (f x)))) x✝)

Proof state:
case H.h
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
n : ℕ
x : α
l : List α
f : Perm α
e : α ≃ Fin n
h : ∀ (x_1 : α), f x_1 ≠ x_1 → x_1 ∈ x :: l
hfx : ¬x = f x
hy : ∀ (y : α), (swap x (f x) * f) y ≠ y → y ∈ l
x✝ : Fin n
⊢ ↑(e ((swap x (f x)) (f (e.symm x✝)))) = ↑((swap (e x) (e (f x))) (e (f (e.symm x✝))))

Tactic:
simp [swap, swapCore]

Result:
case H.h
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
n : ℕ
x : α
l : List α
f : Perm α
e : α ≃ Fin n
h : ∀ (x_1 : α), f x_1 ≠ x_1 → x_1 ∈ x :: l
hfx : ¬x = f x
hy : ∀ (y : α), (swap x (f x) * f) y ≠ y → y ∈ l
x✝ : Fin n
⊢ ↑(e (if f (e.symm x✝) = x then f x else if e.symm x✝ = x then x else f (e.symm x✝))) =
    ↑(if f (e.symm x✝) = x then e (f x) else if e.symm x✝ = x then e x else e (f (e.symm x✝)))

Proof state:
case H.h
α : Type u
inst✝ : DecidableEq α
n : ℕ
x : α
l : List α
f : Perm α
e : α ≃ Fin n
h : ∀ (x_1 : α), f x_1 ≠ x_1 → x_1 ∈ x :: l
hfx : ¬x = f x
hy : ∀ (y : α), (swap x (f x) * f) y ≠ y → y ∈ l
x✝ : Fin n
⊢ ↑(e (if f (e.symm x✝) = x then f x else if e.symm x✝ = x then x else f (e.symm x✝))) =
    ↑(if f (e.symm x✝) = x then e (f x) else if e.symm x✝ = x then e x else e (f (e.symm x✝)))

Tactic:
split_ifs <;> rfl

Result:
no goals