-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule/Submodule.lean
theorem localized'_eq_span : localized' S p f M' = span S (f '' M')

Proof state:
case intro.intro.intro
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝¹ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : IsLocalizedModule p f
M' : Submodule R M
m : M
hm : m ∈ M'
s : ↥p
⊢ IsLocalizedModule.mk' f m s ∈ span S (⇑f '' ↑M')

Tactic:
rw [← one_smul R m, ← mul_one s, ← IsLocalizedModule.mk'_smul_mk' S]

Result:
case intro.intro.intro
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝¹ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : IsLocalizedModule p f
M' : Submodule R M
m : M
hm : m ∈ M'
s : ↥p
⊢ IsLocalization.mk' S 1 s • IsLocalizedModule.mk' f m 1 ∈ span S (⇑f '' ↑M')

Proof state:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝¹ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : IsLocalizedModule p f
M' : Submodule R M
⊢ localized' S p f M' = span S (⇑f '' ↑M')

Tactic:
refine le_antisymm ?_ (span_le.mpr <| by rintro _ ⟨m, hm, rfl⟩; exact ⟨m, hm, 1, by simp⟩)

Result:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝¹ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : IsLocalizedModule p f
M' : Submodule R M
⊢ localized' S p f M' ≤ span S (⇑f '' ↑M')

Proof state:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝¹ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : IsLocalizedModule p f
M' : Submodule R M
m : M
hm : m ∈ M'
s : ↥p
⊢ f m = IsLocalizedModule.mk' f m 1

Tactic:
simp

Result:
no goals

Proof state:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝¹ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : IsLocalizedModule p f
M' : Submodule R M
⊢ ⇑f '' ↑M' ⊆ ↑(localized' S p f M')

Tactic:
rintro _ ⟨m, hm, rfl⟩

Result:
case intro.intro
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝¹ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : IsLocalizedModule p f
M' : Submodule R M
m : M
hm : m ∈ ↑M'
⊢ f m ∈ ↑(localized' S p f M')

Proof state:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝¹ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : IsLocalizedModule p f
M' : Submodule R M
⊢ localized' S p f M' ≤ span S (⇑f '' ↑M')

Tactic:
rintro _ ⟨m, hm, s, rfl⟩

Result:
case intro.intro.intro
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝¹ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : IsLocalizedModule p f
M' : Submodule R M
m : M
hm : m ∈ M'
s : ↥p
⊢ IsLocalizedModule.mk' f m s ∈ span S (⇑f '' ↑M')

Proof state:
case intro.intro.intro
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝¹ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : IsLocalizedModule p f
M' : Submodule R M
m : M
hm : m ∈ M'
s : ↥p
⊢ IsLocalization.mk' S 1 s • IsLocalizedModule.mk' f m 1 ∈ span S (⇑f '' ↑M')

Tactic:
exact smul_mem _ _ (subset_span ⟨m, hm, by simp⟩)

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝¹ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : IsLocalizedModule p f
M' : Submodule R M
m : M
hm : m ∈ ↑M'
⊢ f m ∈ ↑(localized' S p f M')

Tactic:
exact ⟨m, hm, 1, by simp⟩

Result:
no goals

Proof state:
R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R N
inst✝⁴ : Algebra R S
inst✝³ : Module S N
inst✝² : IsScalarTower R S N
p : Submonoid R
inst✝¹ : IsLocalization p S
f : M →ₗ[R] N
inst✝ : IsLocalizedModule p f
M' : Submodule R M
m : M
hm : m ∈ ↑M'
⊢ IsLocalizedModule.mk' f m 1 = f m

Tactic:
simp

Result:
no goals