-- Mathlib/Algebra/Module/Submodule/Pointwise.lean
lemma set_smul_eq_map [SMulCommClass R R N] :
    sR • N =
    Submodule.map
      (N.subtype.comp (Finsupp.lsum R <| DistribMulAction.toLinearMap _ _))
      (Finsupp.supported N R sR)

Proof state:
case le.intro.intro.refine_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
sR : Set R
N : Submodule R M
inst✝ : SMulCommClass R R ↥N
c : R →₀ ↥N
hc : c ∈ ↑(Finsupp.supported (↥N) R sR)
r : R
hr : r ∈ c.support
⊢ ∀ p ∈ {p | ∀ ⦃r : R⦄ {n : M}, r ∈ sR → n ∈ N → r • n ∈ p}, ↑((DistribMulAction.toLinearMap R (↥N) r) (c r)) ∈ p

Tactic:
rintro p hp

Result:
case le.intro.intro.refine_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
sR : Set R
N : Submodule R M
inst✝ : SMulCommClass R R ↥N
c : R →₀ ↥N
hc : c ∈ ↑(Finsupp.supported (↥N) R sR)
r : R
hr : r ∈ c.support
p : Submodule R M
hp : p ∈ {p | ∀ ⦃r : R⦄ {n : M}, r ∈ sR → n ∈ N → r • n ∈ p}
⊢ ↑((DistribMulAction.toLinearMap R (↥N) r) (c r)) ∈ p

Proof state:
case le.intro.intro.refine_2
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
sR : Set R
N : Submodule R M
inst✝ : SMulCommClass R R ↥N
c : R →₀ ↥N
hc : c ∈ ↑(Finsupp.supported (↥N) R sR)
⊢ (fun s => ⋂ (_ : s ∈ {p | ∀ ⦃r : R⦄ ⦃n : M⦄, r ∈ sR → n ∈ N → r • n ∈ p}), ↑s) (sR • N) = ↑(sR • N)

Tactic:
ext x : 1

Result:
case le.intro.intro.refine_2.h
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
sR : Set R
N : Submodule R M
inst✝ : SMulCommClass R R ↥N
c : R →₀ ↥N
hc : c ∈ ↑(Finsupp.supported (↥N) R sR)
x : M
⊢ x ∈ (fun s => ⋂ (_ : s ∈ {p | ∀ ⦃r : R⦄ ⦃n : M⦄, r ∈ sR → n ∈ N → r • n ∈ p}), ↑s) (sR • N) ↔ x ∈ ↑(sR • N)

Proof state:
case le.intro.intro
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
sR : Set R
N : Submodule R M
inst✝ : SMulCommClass R R ↥N
c : R →₀ ↥N
hc : c ∈ ↑(Finsupp.supported (↥N) R sR)
⊢ ∑ i ∈ c.support, ↑((DistribMulAction.toLinearMap R (↥N) i) (c i)) ∈ sR • N

Tactic:
refine Submodule.sum_mem (p := sR • N) (t := c.support) ?_ _ ⟨sR • N, ?_⟩

Result:
case le.intro.intro.refine_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
sR : Set R
N : Submodule R M
inst✝ : SMulCommClass R R ↥N
c : R →₀ ↥N
hc : c ∈ ↑(Finsupp.supported (↥N) R sR)
⊢ ∀ c_1 ∈ c.support, ↑((DistribMulAction.toLinearMap R (↥N) c_1) (c c_1)) ∈ sR • N

case le.intro.intro.refine_2
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
sR : Set R
N : Submodule R M
inst✝ : SMulCommClass R R ↥N
c : R →₀ ↥N
hc : c ∈ ↑(Finsupp.supported (↥N) R sR)
⊢ (fun s => ⋂ (_ : s ∈ {p | ∀ ⦃r : R⦄ ⦃n : M⦄, r ∈ sR → n ∈ N → r • n ∈ p}), ↑s) (sR • N) = ↑(sR • N)

Proof state:
case le.intro.intro.refine_2.h
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
sR : Set R
N : Submodule R M
inst✝ : SMulCommClass R R ↥N
c : R →₀ ↥N
hc : c ∈ ↑(Finsupp.supported (↥N) R sR)
x : M
⊢ x ∈ (fun s => ⋂ (_ : s ∈ {p | ∀ ⦃r : R⦄ ⦃n : M⦄, r ∈ sR → n ∈ N → r • n ∈ p}), ↑s) (sR • N) ↔ x ∈ ↑(sR • N)

Tactic:
simp only [Set.mem_iInter, SetLike.mem_coe]

Result:
case le.intro.intro.refine_2.h
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
sR : Set R
N : Submodule R M
inst✝ : SMulCommClass R R ↥N
c : R →₀ ↥N
hc : c ∈ ↑(Finsupp.supported (↥N) R sR)
x : M
⊢ sR • N ∈ {p | ∀ ⦃r : R⦄ ⦃n : M⦄, r ∈ sR → n ∈ N → r • n ∈ p} → x ∈ sR • N ↔ x ∈ sR • N

Proof state:
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
sR : Set R
N : Submodule R M
inst✝ : SMulCommClass R R ↥N
r : R
n : M
hr : r ∈ sR
hn : n ∈ N
⊢ (N.subtype ∘ₗ (Finsupp.lsum R) (DistribMulAction.toLinearMap R ↥N)) (Finsupp.single r ⟨n, hn⟩) = r • n

Tactic:
simp

Result:
no goals

Proof state:
case le.intro.intro.refine_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
sR : Set R
N : Submodule R M
inst✝ : SMulCommClass R R ↥N
c : R →₀ ↥N
hc : c ∈ ↑(Finsupp.supported (↥N) R sR)
r : R
hr : r ∈ c.support
p : Submodule R M
hp : p ∈ {p | ∀ ⦃r : R⦄ {n : M}, r ∈ sR → n ∈ N → r • n ∈ p}
⊢ ↑((DistribMulAction.toLinearMap R (↥N) r) (c r)) ∈ p

Tactic:
exact hp (hc hr) (c r).2

Result:
no goals

Proof state:
case le
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
sR : Set R
N : Submodule R M
inst✝ : SMulCommClass R R ↥N
x : M
hx : x ∈ map (N.subtype ∘ₗ (Finsupp.lsum R) (DistribMulAction.toLinearMap R ↥N)) (Finsupp.supported (↥N) R sR)
⊢ x ∈ sR • N

Tactic:
obtain ⟨c, hc, rfl⟩ := hx

Result:
case le.intro.intro
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
sR : Set R
N : Submodule R M
inst✝ : SMulCommClass R R ↥N
c : R →₀ ↥N
hc : c ∈ ↑(Finsupp.supported (↥N) R sR)
⊢ (N.subtype ∘ₗ (Finsupp.lsum R) (DistribMulAction.toLinearMap R ↥N)) c ∈ sR • N

Proof state:
case le.intro.intro.refine_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
sR : Set R
N : Submodule R M
inst✝ : SMulCommClass R R ↥N
c : R →₀ ↥N
hc : c ∈ ↑(Finsupp.supported (↥N) R sR)
⊢ ∀ c_1 ∈ c.support, ↑((DistribMulAction.toLinearMap R (↥N) c_1) (c c_1)) ∈ sR • N

Tactic:
rintro r hr

Result:
case le.intro.intro.refine_1
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
sR : Set R
N : Submodule R M
inst✝ : SMulCommClass R R ↥N
c : R →₀ ↥N
hc : c ∈ ↑(Finsupp.supported (↥N) R sR)
r : R
hr : r ∈ c.support
⊢ ↑((DistribMulAction.toLinearMap R (↥N) r) (c r)) ∈ sR • N

Proof state:
case le.intro.intro
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
sR : Set R
N : Submodule R M
inst✝ : SMulCommClass R R ↥N
c : R →₀ ↥N
hc : c ∈ ↑(Finsupp.supported (↥N) R sR)
⊢ (N.subtype ∘ₗ (Finsupp.lsum R) (DistribMulAction.toLinearMap R ↥N)) c ∈ sR • N

Tactic:
simp only [LinearMap.coe_comp, coe_subtype, Finsupp.coe_lsum, Finsupp.sum, Function.comp_apply]

Result:
case le.intro.intro
R : Type u_2
M : Type u_3
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : AddCommMonoid M
inst✝¹ : Module R M
sR : Set R
N : Submodule R M
inst✝ : SMulCommClass R R ↥N
c : R →₀ ↥N
hc : c ∈ ↑(Finsupp.supported (↥N) R sR)
⊢ ↑(∑ x ∈ c.support, (DistribMulAction.toLinearMap R (↥N) x) (c x)) ∈ sR • N