-- Mathlib/RingTheory/AdicCompletion/Exactness.lean
theorem map_exact : Function.Exact (map I f) (map I g)

Proof state:
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
⊢ Function.Exact ⇑(map I f) ⇑(map I g)

Tactic:
refine LinearMap.exact_of_comp_eq_zero_of_ker_le_range ?_ (fun y ↦ ?_)

Result:
case refine_1
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
⊢ map I g ∘ₗ map I f = 0

case refine_2
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
y : AdicCompletion I N
⊢ y ∈ ker (map I g) → y ∈ range (map I f)

Proof state:
case intro.refine_2.h
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
y : AdicCompletion I N
b : AdicCauchySequence I N
hz : (mk I N) b ∈ ker (map I g)
k : ℕ
hk : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
hb : ∀ (n : ℕ), g (↑b n) ∈ I ^ n • ⊤
a : (n : ℕ) → ↑{a | f a - ↑b (k + n) ∈ I ^ (k + n) • ⊤} := AdicCompletion.mapExactAux hf hfg hg hk b hb
n : ℕ
⊢ f ↑(a n) - ↑b (k + n) ∈ I ^ n • ⊤

Tactic:
have hle : (I ^ (k + n) • ⊤ : Submodule R N) ≤ (I ^ n • ⊤ : Submodule R N) :=
  Submodule.smul_mono_left (Ideal.pow_le_pow_right (by omega))

Result:
case intro.refine_2.h
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
y : AdicCompletion I N
b : AdicCauchySequence I N
hz : (mk I N) b ∈ ker (map I g)
k : ℕ
hk : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
hb : ∀ (n : ℕ), g (↑b n) ∈ I ^ n • ⊤
a : (n : ℕ) → ↑{a | f a - ↑b (k + n) ∈ I ^ (k + n) • ⊤} := AdicCompletion.mapExactAux hf hfg hg hk b hb
n : ℕ
hle : I ^ (k + n) • ⊤ ≤ I ^ n • ⊤
⊢ f ↑(a n) - ↑b (k + n) ∈ I ^ n • ⊤

Proof state:
case intro.refine_2.h
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
y : AdicCompletion I N
b : AdicCauchySequence I N
hz : (mk I N) b ∈ ker (map I g)
k : ℕ
hk : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
hb : ∀ (n : ℕ), g (↑b n) ∈ I ^ n • ⊤
a : (n : ℕ) → ↑{a | f a - ↑b (k + n) ∈ I ^ (k + n) • ⊤} := AdicCompletion.mapExactAux hf hfg hg hk b hb
n : ℕ
hle : I ^ (k + n) • ⊤ ≤ I ^ n • ⊤
⊢ f ↑(a n) - ↑b (k + n) ∈ I ^ n • ⊤

Tactic:
exact hle (a n).property

Result:
no goals

Proof state:
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
y : AdicCompletion I N
b : AdicCauchySequence I N
hz : (mk I N) b ∈ ker (map I g)
k : ℕ
hk : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
hb : ∀ (n : ℕ), g (↑b n) ∈ I ^ n • ⊤
a : (n : ℕ) → ↑{a | f a - ↑b (k + n) ∈ I ^ (k + n) • ⊤} := AdicCompletion.mapExactAux hf hfg hg hk b hb
n : ℕ
⊢ n ≤ k + n

Tactic:
omega

Result:
no goals

Proof state:
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
y : AdicCompletion I N
b : AdicCauchySequence I N
hz : (mk I N) b ∈ ker (map I g)
k : ℕ
hk : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
hb : ∀ (n : ℕ), g (↑b n) ∈ I ^ n • ⊤
a : (n : ℕ) → ↑{a | f a - ↑b (k + n) ∈ I ^ (k + n) • ⊤} := AdicCompletion.mapExactAux hf hfg hg hk b hb
n : ℕ
h : Submodule.Quotient.mk (f ↑(a n)) = Submodule.Quotient.mk (↑b (k + n))
⊢ ↑((map I f) ((mk I M) (AdicCauchySequence.mk I M (fun n => ↑(a n)) ⋯))) n = ↑((mk I N) b) n

Tactic:
simp [h, AdicCauchySequence.mk_eq_mk (show n ≤ k + n by omega)]

Result:
no goals

Proof state:
case intro.refine_2.h
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
y : AdicCompletion I N
b : AdicCauchySequence I N
hz : (mk I N) b ∈ ker (map I g)
k : ℕ
hk : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
hb : ∀ (n : ℕ), g (↑b n) ∈ I ^ n • ⊤
a : (n : ℕ) → ↑{a | f a - ↑b (k + n) ∈ I ^ (k + n) • ⊤} := AdicCompletion.mapExactAux hf hfg hg hk b hb
n : ℕ
⊢ Submodule.Quotient.mk (f ↑(a n)) = Submodule.Quotient.mk (↑b (k + n))

Tactic:
rw [Submodule.Quotient.eq]

Result:
case intro.refine_2.h
R : Type u
inst✝⁸ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
N : Type u
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
P : Type u
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherianRing R
inst✝ : Module.Finite R N
f : M →ₗ[R] N
g : N →ₗ[R] P
hf : Function.Injective ⇑f
hfg : Function.Exact ⇑f ⇑g
hg : Function.Surjective ⇑g
y : AdicCompletion I N
b : AdicCauchySequence I N
hz : (mk I N) b ∈ ker (map I g)
k : ℕ
hk : ∀ n ≥ k, I ^ n • ⊤ ⊓ range f = I ^ (n - k) • (I ^ k • ⊤ ⊓ range f)
hb : ∀ (n : ℕ), g (↑b n) ∈ I ^ n • ⊤
a : (n : ℕ) → ↑{a | f a - ↑b (k + n) ∈ I ^ (k + n) • ⊤} := AdicCompletion.mapExactAux hf hfg hg hk b hb
n : ℕ
⊢ f ↑(a n) - ↑b (k + n) ∈ I ^ n • ⊤