-- Mathlib/CategoryTheory/Simple.lean
theorem simple_of_isSimpleOrder_subobject (X : C) [IsSimpleOrder (Subobject X)] : Simple X

Proof state:
case mono_isIso_iff_nonzero.mp
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
X : C
inst✝ : IsSimpleOrder (Subobject X)
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : Mono f
i : mk f = ⊤
w : mk f = ⊥
⊢ False

Tactic:
exact IsSimpleOrder.bot_ne_top (w.symm.trans i)

Result:
no goals

Proof state:
case mono_isIso_iff_nonzero.mpr.inl
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
X : C
inst✝ : IsSimpleOrder (Subobject X)
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : Mono f
i : f ≠ 0
h : f = 0
⊢ IsIso f

Tactic:
exact False.elim (i h)

Result:
no goals

Proof state:
case mono_isIso_iff_nonzero.mp
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
X : C
inst✝ : IsSimpleOrder (Subobject X)
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : Mono f
i : IsIso f
⊢ f ≠ 0

Tactic:
rw [Subobject.isIso_iff_mk_eq_top] at i

Result:
case mono_isIso_iff_nonzero.mp
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
X : C
inst✝ : IsSimpleOrder (Subobject X)
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : Mono f
i : mk f = ⊤
⊢ f ≠ 0

Proof state:
case mono_isIso_iff_nonzero.mpr
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
X : C
inst✝ : IsSimpleOrder (Subobject X)
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : Mono f
i : f ≠ 0
⊢ IsIso f

Tactic:
rcases IsSimpleOrder.eq_bot_or_eq_top (Subobject.mk f) with (h | h)

Result:
case mono_isIso_iff_nonzero.mpr.inl
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
X : C
inst✝ : IsSimpleOrder (Subobject X)
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : Mono f
i : f ≠ 0
h : mk f = ⊥
⊢ IsIso f

case mono_isIso_iff_nonzero.mpr.inr
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
X : C
inst✝ : IsSimpleOrder (Subobject X)
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : Mono f
i : f ≠ 0
h : mk f = ⊤
⊢ IsIso f

Proof state:
case mono_isIso_iff_nonzero.mp
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
X : C
inst✝ : IsSimpleOrder (Subobject X)
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : Mono f
i : mk f = ⊤
w : f = 0
⊢ False

Tactic:
rw [← Subobject.mk_eq_bot_iff_zero] at w

Result:
case mono_isIso_iff_nonzero.mp
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
X : C
inst✝ : IsSimpleOrder (Subobject X)
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : Mono f
i : mk f = ⊤
w : mk f = ⊥
⊢ False

Proof state:
case mono_isIso_iff_nonzero.mp
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
X : C
inst✝ : IsSimpleOrder (Subobject X)
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : Mono f
⊢ IsIso f → f ≠ 0

Tactic:
intro i

Result:
case mono_isIso_iff_nonzero.mp
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
X : C
inst✝ : IsSimpleOrder (Subobject X)
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : Mono f
i : IsIso f
⊢ f ≠ 0

Proof state:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
X : C
inst✝ : IsSimpleOrder (Subobject X)
⊢ Simple X

Tactic:
constructor

Result:
case mono_isIso_iff_nonzero
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
X : C
inst✝ : IsSimpleOrder (Subobject X)
⊢ ∀ {Y : C} (f : Y ⟶ X) [inst : Mono f], IsIso f ↔ f ≠ 0

Proof state:
case mono_isIso_iff_nonzero.mpr.inl
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
X : C
inst✝ : IsSimpleOrder (Subobject X)
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : Mono f
i : f ≠ 0
h : mk f = ⊥
⊢ IsIso f

Tactic:
rw [Subobject.mk_eq_bot_iff_zero] at h

Result:
case mono_isIso_iff_nonzero.mpr.inl
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
X : C
inst✝ : IsSimpleOrder (Subobject X)
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : Mono f
i : f ≠ 0
h : f = 0
⊢ IsIso f

Proof state:
case mono_isIso_iff_nonzero
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
X : C
inst✝ : IsSimpleOrder (Subobject X)
⊢ ∀ {Y : C} (f : Y ⟶ X) [inst : Mono f], IsIso f ↔ f ≠ 0

Tactic:
intros Y f hf

Result:
case mono_isIso_iff_nonzero
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
X : C
inst✝ : IsSimpleOrder (Subobject X)
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : Mono f
⊢ IsIso f ↔ f ≠ 0

Proof state:
case mono_isIso_iff_nonzero.mp
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
X : C
inst✝ : IsSimpleOrder (Subobject X)
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : Mono f
i : mk f = ⊤
⊢ f ≠ 0

Tactic:
intro w

Result:
case mono_isIso_iff_nonzero.mp
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
X : C
inst✝ : IsSimpleOrder (Subobject X)
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : Mono f
i : mk f = ⊤
w : f = 0
⊢ False

Proof state:
case mono_isIso_iff_nonzero.mpr.inr
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
X : C
inst✝ : IsSimpleOrder (Subobject X)
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : Mono f
i : f ≠ 0
h : mk f = ⊤
⊢ IsIso f

Tactic:
exact (Subobject.isIso_iff_mk_eq_top _).mpr h

Result:
no goals

Proof state:
case mono_isIso_iff_nonzero
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
X : C
inst✝ : IsSimpleOrder (Subobject X)
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : Mono f
⊢ IsIso f ↔ f ≠ 0

Tactic:
constructor

Result:
case mono_isIso_iff_nonzero.mp
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
X : C
inst✝ : IsSimpleOrder (Subobject X)
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : Mono f
⊢ IsIso f → f ≠ 0

case mono_isIso_iff_nonzero.mpr
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
X : C
inst✝ : IsSimpleOrder (Subobject X)
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : Mono f
⊢ f ≠ 0 → IsIso f

Proof state:
case mono_isIso_iff_nonzero.mpr
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
X : C
inst✝ : IsSimpleOrder (Subobject X)
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : Mono f
⊢ f ≠ 0 → IsIso f

Tactic:
intro i

Result:
case mono_isIso_iff_nonzero.mpr
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
X : C
inst✝ : IsSimpleOrder (Subobject X)
Y : C
f : Y ⟶ X
hf : Mono f
i : f ≠ 0
⊢ IsIso f