-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule/Submodule.lean
lemma ker_localizedMap_eq_localized₀_ker (g : M →ₗ[R] P) :
    ker (map p f f' g) = (ker g).localized₀ p f

Proof state:
case h
R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
p : Submonoid R
f : M →ₗ[R] N
inst✝⁵ : IsLocalizedModule p f
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommMonoid P
inst✝³ : Module R P
Q : Type u_6
inst✝² : AddCommMonoid Q
inst✝¹ : Module R Q
f' : P →ₗ[R] Q
inst✝ : IsLocalizedModule p f'
g : M →ₗ[R] P
x : N
⊢ x ∈ ker ((IsLocalizedModule.map p f f') g) ↔ x ∈ localized₀ p f (ker g)

Tactic:
simp only [Submodule.mem_localized₀, mem_ker]

Result:
case h
R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
p : Submonoid R
f : M →ₗ[R] N
inst✝⁵ : IsLocalizedModule p f
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommMonoid P
inst✝³ : Module R P
Q : Type u_6
inst✝² : AddCommMonoid Q
inst✝¹ : Module R Q
f' : P →ₗ[R] Q
inst✝ : IsLocalizedModule p f'
g : M →ₗ[R] P
x : N
⊢ ((IsLocalizedModule.map p f f') g) x = 0 ↔ ∃ m, g m = 0 ∧ ∃ s, mk' f m s = x

Proof state:
case h.refine_1.intro.mk
R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
p : Submonoid R
f : M →ₗ[R] N
inst✝⁵ : IsLocalizedModule p f
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommMonoid P
inst✝³ : Module R P
Q : Type u_6
inst✝² : AddCommMonoid Q
inst✝¹ : Module R Q
f' : P →ₗ[R] Q
inst✝ : IsLocalizedModule p f'
g : M →ₗ[R] P
a : M
b : ↥p
h : ∃ s', s' • g a = 0
⊢ ∃ m, g m = 0 ∧ ∃ s, mk' f m s = Function.uncurry (mk' f) (a, b)

Tactic:
obtain ⟨c, hc⟩ := h

Result:
case h.refine_1.intro.mk.intro
R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
p : Submonoid R
f : M →ₗ[R] N
inst✝⁵ : IsLocalizedModule p f
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommMonoid P
inst✝³ : Module R P
Q : Type u_6
inst✝² : AddCommMonoid Q
inst✝¹ : Module R Q
f' : P →ₗ[R] Q
inst✝ : IsLocalizedModule p f'
g : M →ₗ[R] P
a : M
b c : ↥p
hc : c • g a = 0
⊢ ∃ m, g m = 0 ∧ ∃ s, mk' f m s = Function.uncurry (mk' f) (a, b)

Proof state:
case h.refine_2
R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
p : Submonoid R
f : M →ₗ[R] N
inst✝⁵ : IsLocalizedModule p f
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommMonoid P
inst✝³ : Module R P
Q : Type u_6
inst✝² : AddCommMonoid Q
inst✝¹ : Module R Q
f' : P →ₗ[R] Q
inst✝ : IsLocalizedModule p f'
g : M →ₗ[R] P
x : N
⊢ (∃ m, g m = 0 ∧ ∃ s, mk' f m s = x) → ((IsLocalizedModule.map p f f') g) x = 0

Tactic:
rintro ⟨m, hm, a, ha, rfl⟩

Result:
case h.refine_2.intro.intro.intro.refl
R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_4
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M
inst✝⁸ : AddCommMonoid N
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
p : Submonoid R
f : M →ₗ[R] N
inst✝⁵ : IsLocalizedModule p f
P : Type u_5
inst✝⁴ : AddCommMonoid P
inst✝³ : Module R P
Q : Type u_6
inst✝² : AddCommMonoid Q
inst✝¹ : Module R Q
f' : P →ₗ[R] Q
inst✝ : IsLocalizedModule p f'
g : M →ₗ[R] P
m : M
hm : g m = 0
a : ↥p
⊢ ((IsLocalizedModule.map p f f') g) (mk' f m a) = 0