-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
theorem eq_affineCombination_of_mem_affineSpan {p1 : P} {p : ι → P}
    (h : p1 ∈ affineSpan k (Set.range p)) :
    ∃ (s : Finset ι) (w : ι → k), ∑ i ∈ s, w i = 1 ∧ p1 = s.affineCombination k p w

Proof state:
case intro.intro.intro.intro
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p1 : P
p : ι → P
h✝ : p1 ∈ affineSpan k (Set.range p)
i0 : ι
h0 : p i0 ∈ affineSpan k (Set.range p)
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
hs : p1 -ᵥ p i0 = (s.weightedVSub p) w
⊢ ∃ s w, ∑ i ∈ s, w i = 1 ∧ p1 = (Finset.affineCombination k s p) w

Tactic:
let s' := insert i0 s

Result:
case intro.intro.intro.intro
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p1 : P
p : ι → P
h✝ : p1 ∈ affineSpan k (Set.range p)
i0 : ι
h0 : p i0 ∈ affineSpan k (Set.range p)
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
hs : p1 -ᵥ p i0 = (s.weightedVSub p) w
s' : Finset ι := insert i0 s
⊢ ∃ s w, ∑ i ∈ s, w i = 1 ∧ p1 = (Finset.affineCombination k s p) w

Proof state:
case intro.intro.intro.intro
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p1 : P
p : ι → P
h✝ : p1 ∈ affineSpan k (Set.range p)
i0 : ι
h0 : p i0 ∈ affineSpan k (Set.range p)
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
hs : p1 -ᵥ p i0 = (s.weightedVSub p) w
s' : Finset ι := insert i0 s
w' : ι → k := (↑s).indicator w
h' : ∑ i ∈ s', w' i = 0
hs' : (s'.weightedVSub p) w' = p1 -ᵥ p i0
w0 : ι → k := Function.update (Function.const ι 0) i0 1
hw0 : ∑ i ∈ s', w0 i = 1
⊢ ∃ s w, ∑ i ∈ s, w i = 1 ∧ p1 = (Finset.affineCombination k s p) w

Tactic:
have hw0s : s'.affineCombination k p w0 = p i0 :=
  s'.affineCombination_of_eq_one_of_eq_zero w0 p (Finset.mem_insert_self _ _)
    (Function.update_self ..) fun _ _ hne => Function.update_of_ne hne _ _

Result:
case intro.intro.intro.intro
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p1 : P
p : ι → P
h✝ : p1 ∈ affineSpan k (Set.range p)
i0 : ι
h0 : p i0 ∈ affineSpan k (Set.range p)
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
hs : p1 -ᵥ p i0 = (s.weightedVSub p) w
s' : Finset ι := insert i0 s
w' : ι → k := (↑s).indicator w
h' : ∑ i ∈ s', w' i = 0
hs' : (s'.weightedVSub p) w' = p1 -ᵥ p i0
w0 : ι → k := Function.update (Function.const ι 0) i0 1
hw0 : ∑ i ∈ s', w0 i = 1
hw0s : (Finset.affineCombination k s' p) w0 = p i0
⊢ ∃ s w, ∑ i ∈ s, w i = 1 ∧ p1 = (Finset.affineCombination k s p) w

Proof state:
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p1 : P
p : ι → P
h✝ : p1 ∈ affineSpan k (Set.range p)
i0 : ι
h0 : p i0 ∈ affineSpan k (Set.range p)
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
hs : p1 -ᵥ p i0 = (s.weightedVSub p) w
s' : Finset ι := insert i0 s
w' : ι → k := (↑s).indicator w
h' : ∑ i ∈ s', w' i = 0
⊢ (s'.weightedVSub p) w' = p1 -ᵥ p i0

Tactic:
rw [hs]

Result:
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p1 : P
p : ι → P
h✝ : p1 ∈ affineSpan k (Set.range p)
i0 : ι
h0 : p i0 ∈ affineSpan k (Set.range p)
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
hs : p1 -ᵥ p i0 = (s.weightedVSub p) w
s' : Finset ι := insert i0 s
w' : ι → k := (↑s).indicator w
h' : ∑ i ∈ s', w' i = 0
⊢ (s'.weightedVSub p) w' = (s.weightedVSub p) w

Proof state:
case intro.intro.intro.intro
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p1 : P
p : ι → P
h✝ : p1 ∈ affineSpan k (Set.range p)
i0 : ι
h0 : p i0 ∈ affineSpan k (Set.range p)
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
hs : p1 -ᵥ p i0 = (s.weightedVSub p) w
s' : Finset ι := insert i0 s
w' : ι → k := (↑s).indicator w
⊢ ∃ s w, ∑ i ∈ s, w i = 1 ∧ p1 = (Finset.affineCombination k s p) w

Tactic:
have h' : ∑ i ∈ s', w' i = 0 := by
  rw [← h, Finset.sum_indicator_subset _ (Finset.subset_insert i0 s)]

Result:
case intro.intro.intro.intro
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p1 : P
p : ι → P
h✝ : p1 ∈ affineSpan k (Set.range p)
i0 : ι
h0 : p i0 ∈ affineSpan k (Set.range p)
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
hs : p1 -ᵥ p i0 = (s.weightedVSub p) w
s' : Finset ι := insert i0 s
w' : ι → k := (↑s).indicator w
h' : ∑ i ∈ s', w' i = 0
⊢ ∃ s w, ∑ i ∈ s, w i = 1 ∧ p1 = (Finset.affineCombination k s p) w

Proof state:
case intro.intro.intro.intro
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p1 : P
p : ι → P
h✝ : p1 ∈ affineSpan k (Set.range p)
i0 : ι
h0 : p i0 ∈ affineSpan k (Set.range p)
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
hs : p1 -ᵥ p i0 = (s.weightedVSub p) w
s' : Finset ι := insert i0 s
w' : ι → k := (↑s).indicator w
h' : ∑ i ∈ s', w' i = 0
hs' : (s'.weightedVSub p) w' = p1 -ᵥ p i0
⊢ ∃ s w, ∑ i ∈ s, w i = 1 ∧ p1 = (Finset.affineCombination k s p) w

Tactic:
let w0 : ι → k := Function.update (Function.const ι 0) i0 1

Result:
case intro.intro.intro.intro
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p1 : P
p : ι → P
h✝ : p1 ∈ affineSpan k (Set.range p)
i0 : ι
h0 : p i0 ∈ affineSpan k (Set.range p)
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
hs : p1 -ᵥ p i0 = (s.weightedVSub p) w
s' : Finset ι := insert i0 s
w' : ι → k := (↑s).indicator w
h' : ∑ i ∈ s', w' i = 0
hs' : (s'.weightedVSub p) w' = p1 -ᵥ p i0
w0 : ι → k := Function.update (Function.const ι 0) i0 1
⊢ ∃ s w, ∑ i ∈ s, w i = 1 ∧ p1 = (Finset.affineCombination k s p) w

Proof state:
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p1 : P
p : ι → P
h✝ : p1 ∈ affineSpan k (Set.range p)
i0 : ι
h0 : p i0 ∈ affineSpan k (Set.range p)
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
hs : p1 -ᵥ p i0 = (s.weightedVSub p) w
s' : Finset ι := insert i0 s
w' : ι → k := (↑s).indicator w
h' : ∑ i ∈ s', w' i = 0
hs' : (s'.weightedVSub p) w' = p1 -ᵥ p i0
w0 : ι → k := Function.update (Function.const ι 0) i0 1
⊢ ∑ i ∈ s', w0 i = 1

Tactic:
rw [Finset.sum_update_of_mem (Finset.mem_insert_self _ _)]

Result:
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p1 : P
p : ι → P
h✝ : p1 ∈ affineSpan k (Set.range p)
i0 : ι
h0 : p i0 ∈ affineSpan k (Set.range p)
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
hs : p1 -ᵥ p i0 = (s.weightedVSub p) w
s' : Finset ι := insert i0 s
w' : ι → k := (↑s).indicator w
h' : ∑ i ∈ s', w' i = 0
hs' : (s'.weightedVSub p) w' = p1 -ᵥ p i0
w0 : ι → k := Function.update (Function.const ι 0) i0 1
⊢ 1 + ∑ x ∈ insert i0 s \ {i0}, Function.const ι 0 x = 1

Proof state:
case intro
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p1 : P
p : ι → P
h : p1 ∈ affineSpan k (Set.range p)
i0 : ι
⊢ ∃ s w, ∑ i ∈ s, w i = 1 ∧ p1 = (Finset.affineCombination k s p) w

Tactic:
have h0 : p i0 ∈ affineSpan k (Set.range p) := mem_affineSpan k (Set.mem_range_self i0)

Result:
case intro
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p1 : P
p : ι → P
h : p1 ∈ affineSpan k (Set.range p)
i0 : ι
h0 : p i0 ∈ affineSpan k (Set.range p)
⊢ ∃ s w, ∑ i ∈ s, w i = 1 ∧ p1 = (Finset.affineCombination k s p) w