-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/VitaliCaratheodory.lean
theorem exists_lt_lowerSemicontinuous_integral_lt [SigmaFinite μ] (f : α → ℝ) (hf : Integrable f μ)
    {ε : ℝ} (εpos : 0 < ε) :
    ∃ g : α → EReal,
      (∀ x, (f x : EReal) < g x) ∧
      LowerSemicontinuous g ∧
      Integrable (fun x => EReal.toReal (g x)) μ ∧
      (∀ᵐ x ∂μ, g x < ⊤) ∧ (∫ x, EReal.toReal (g x) ∂μ) < (∫ x, f x ∂μ) + ε

Proof state:
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ≥0 := ⟨ε / 2, ⋯⟩
δpos : 0 < δ
fp : α → ℝ≥0 := fun x => (f x).toNNReal
int_fp : Integrable (fun x => ↑(fp x)) μ
gp : α → ℝ≥0∞
fp_lt_gp : ∀ (x : α), ↑(fp x) < gp x
gpcont : LowerSemicontinuous gp
gp_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, gp x < ⊤
gp_integrable : Integrable (fun x => (gp x).toReal) μ
gpint : ∫ (x : α), (gp x).toReal ∂μ < ∫ (x : α), ↑(fp x) ∂μ + (fun a => ↑a) δ
fm : α → ℝ≥0 := fun x => (-f x).toNNReal
int_fm : Integrable (fun x => ↑(fm x)) μ
gm : α → ℝ≥0
gm_le_fm : ∀ (x : α), gm x ≤ fm x
gmcont : UpperSemicontinuous gm
gm_integrable : Integrable (fun x => ↑(gm x)) μ
gmint : ∫ (x : α), ↑(fm x) ∂μ - (fun a => ↑a) δ ≤ ∫ (x : α), ↑(gm x) ∂μ
g : α → EReal := fun x => ↑(gp x) - ↑↑(gm x)
ae_g : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, (g x).toReal = (↑(gp x)).toReal - (↑↑(gm x)).toReal
x : α
⊢ ↑↑(f x).toNNReal - ↑↑(-f x).toNNReal < g x

Tactic:
refine EReal.sub_lt_sub_of_lt_of_le ?_ ?_ ?_ ?_

Result:
case refine_1
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ≥0 := ⟨ε / 2, ⋯⟩
δpos : 0 < δ
fp : α → ℝ≥0 := fun x => (f x).toNNReal
int_fp : Integrable (fun x => ↑(fp x)) μ
gp : α → ℝ≥0∞
fp_lt_gp : ∀ (x : α), ↑(fp x) < gp x
gpcont : LowerSemicontinuous gp
gp_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, gp x < ⊤
gp_integrable : Integrable (fun x => (gp x).toReal) μ
gpint : ∫ (x : α), (gp x).toReal ∂μ < ∫ (x : α), ↑(fp x) ∂μ + (fun a => ↑a) δ
fm : α → ℝ≥0 := fun x => (-f x).toNNReal
int_fm : Integrable (fun x => ↑(fm x)) μ
gm : α → ℝ≥0
gm_le_fm : ∀ (x : α), gm x ≤ fm x
gmcont : UpperSemicontinuous gm
gm_integrable : Integrable (fun x => ↑(gm x)) μ
gmint : ∫ (x : α), ↑(fm x) ∂μ - (fun a => ↑a) δ ≤ ∫ (x : α), ↑(gm x) ∂μ
g : α → EReal := fun x => ↑(gp x) - ↑↑(gm x)
ae_g : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, (g x).toReal = (↑(gp x)).toReal - (↑↑(gm x)).toReal
x : α
⊢ ↑↑(f x).toNNReal < ↑(gp x)

case refine_2
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ≥0 := ⟨ε / 2, ⋯⟩
δpos : 0 < δ
fp : α → ℝ≥0 := fun x => (f x).toNNReal
int_fp : Integrable (fun x => ↑(fp x)) μ
gp : α → ℝ≥0∞
fp_lt_gp : ∀ (x : α), ↑(fp x) < gp x
gpcont : LowerSemicontinuous gp
gp_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, gp x < ⊤
gp_integrable : Integrable (fun x => (gp x).toReal) μ
gpint : ∫ (x : α), (gp x).toReal ∂μ < ∫ (x : α), ↑(fp x) ∂μ + (fun a => ↑a) δ
fm : α → ℝ≥0 := fun x => (-f x).toNNReal
int_fm : Integrable (fun x => ↑(fm x)) μ
gm : α → ℝ≥0
gm_le_fm : ∀ (x : α), gm x ≤ fm x
gmcont : UpperSemicontinuous gm
gm_integrable : Integrable (fun x => ↑(gm x)) μ
gmint : ∫ (x : α), ↑(fm x) ∂μ - (fun a => ↑a) δ ≤ ∫ (x : α), ↑(gm x) ∂μ
g : α → EReal := fun x => ↑(gp x) - ↑↑(gm x)
ae_g : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, (g x).toReal = (↑(gp x)).toReal - (↑↑(gm x)).toReal
x : α
⊢ ↑↑(gm x) ≤ ↑↑(-f x).toNNReal

case refine_3
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ≥0 := ⟨ε / 2, ⋯⟩
δpos : 0 < δ
fp : α → ℝ≥0 := fun x => (f x).toNNReal
int_fp : Integrable (fun x => ↑(fp x)) μ
gp : α → ℝ≥0∞
fp_lt_gp : ∀ (x : α), ↑(fp x) < gp x
gpcont : LowerSemicontinuous gp
gp_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, gp x < ⊤
gp_integrable : Integrable (fun x => (gp x).toReal) μ
gpint : ∫ (x : α), (gp x).toReal ∂μ < ∫ (x : α), ↑(fp x) ∂μ + (fun a => ↑a) δ
fm : α → ℝ≥0 := fun x => (-f x).toNNReal
int_fm : Integrable (fun x => ↑(fm x)) μ
gm : α → ℝ≥0
gm_le_fm : ∀ (x : α), gm x ≤ fm x
gmcont : UpperSemicontinuous gm
gm_integrable : Integrable (fun x => ↑(gm x)) μ
gmint : ∫ (x : α), ↑(fm x) ∂μ - (fun a => ↑a) δ ≤ ∫ (x : α), ↑(gm x) ∂μ
g : α → EReal := fun x => ↑(gp x) - ↑↑(gm x)
ae_g : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, (g x).toReal = (↑(gp x)).toReal - (↑↑(gm x)).toReal
x : α
⊢ ↑↑(gm x) ≠ ⊥

case refine_4
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ≥0 := ⟨ε / 2, ⋯⟩
δpos : 0 < δ
fp : α → ℝ≥0 := fun x => (f x).toNNReal
int_fp : Integrable (fun x => ↑(fp x)) μ
gp : α → ℝ≥0∞
fp_lt_gp : ∀ (x : α), ↑(fp x) < gp x
gpcont : LowerSemicontinuous gp
gp_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, gp x < ⊤
gp_integrable : Integrable (fun x => (gp x).toReal) μ
gpint : ∫ (x : α), (gp x).toReal ∂μ < ∫ (x : α), ↑(fp x) ∂μ + (fun a => ↑a) δ
fm : α → ℝ≥0 := fun x => (-f x).toNNReal
int_fm : Integrable (fun x => ↑(fm x)) μ
gm : α → ℝ≥0
gm_le_fm : ∀ (x : α), gm x ≤ fm x
gmcont : UpperSemicontinuous gm
gm_integrable : Integrable (fun x => ↑(gm x)) μ
gmint : ∫ (x : α), ↑(fm x) ∂μ - (fun a => ↑a) δ ≤ ∫ (x : α), ↑(gm x) ∂μ
g : α → EReal := fun x => ↑(gp x) - ↑↑(gm x)
ae_g : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, (g x).toReal = (↑(gp x)).toReal - (↑↑(gm x)).toReal
x : α
⊢ ↑↑(-f x).toNNReal ≠ ⊤

Proof state:
case hcont
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ≥0 := ⟨ε / 2, ⋯⟩
δpos : 0 < δ
fp : α → ℝ≥0 := fun x => (f x).toNNReal
int_fp : Integrable (fun x => ↑(fp x)) μ
gp : α → ℝ≥0∞
fp_lt_gp : ∀ (x : α), ↑(fp x) < gp x
gpcont : LowerSemicontinuous gp
gp_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, gp x < ⊤
gp_integrable : Integrable (fun x => (gp x).toReal) μ
gpint : ∫ (x : α), (gp x).toReal ∂μ < ∫ (x : α), ↑(fp x) ∂μ + (fun a => ↑a) δ
fm : α → ℝ≥0 := fun x => (-f x).toNNReal
int_fm : Integrable (fun x => ↑(fm x)) μ
gm : α → ℝ≥0
gm_le_fm : ∀ (x : α), gm x ≤ fm x
gmcont : UpperSemicontinuous gm
gm_integrable : Integrable (fun x => ↑(gm x)) μ
gmint : ∫ (x : α), ↑(fm x) ∂μ - (fun a => ↑a) δ ≤ ∫ (x : α), ↑(gm x) ∂μ
g : α → EReal := fun x => ↑(gp x) - ↑↑(gm x)
ae_g : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, (g x).toReal = (↑(gp x)).toReal - (↑↑(gm x)).toReal
x : α
⊢ ContinuousAt (fun p => p.1 + p.2) (↑(gp x), -↑↑(gm x))

Tactic:
exact EReal.continuousAt_add (by simp) (by simp)

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_1
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : BorelSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : μ.WeaklyRegular
inst✝ : SigmaFinite μ
f : α → ℝ
hf : Integrable f μ
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
δ : ℝ≥0 := ⟨ε / 2, ⋯⟩
δpos : 0 < δ
fp : α → ℝ≥0 := fun x => (f x).toNNReal
int_fp : Integrable (fun x => ↑(fp x)) μ
gp : α → ℝ≥0∞
fp_lt_gp : ∀ (x : α), ↑(fp x) < gp x
gpcont : LowerSemicontinuous gp
gp_lt_top : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, gp x < ⊤
gp_integrable : Integrable (fun x => (gp x).toReal) μ
gpint : ∫ (x : α), (gp x).toReal ∂μ < ∫ (x : α), ↑(fp x) ∂μ + (fun a => ↑a) δ
fm : α → ℝ≥0 := fun x => (-f x).toNNReal
int_fm : Integrable (fun x => ↑(fm x)) μ
gm : α → ℝ≥0
gm_le_fm : ∀ (x : α), gm x ≤ fm x
gmcont : UpperSemicontinuous gm
gm_integrable : Integrable (fun x => ↑(gm x)) μ
gmint : ∫ (x : α), ↑(fm x) ∂μ - (fun a => ↑a) δ ≤ ∫ (x : α), ↑(gm x) ∂μ
g : α → EReal := fun x => ↑(gp x) - ↑↑(gm x)
ae_g : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, (g x).toReal = (↑(gp x)).toReal - (↑↑(gm x)).toReal
x : α
⊢ (↑(gp x), -↑↑(gm x)).1 ≠ ⊥ ∨ (↑(gp x), -↑↑(gm x)).2 ≠ ⊤

Tactic:
simp

Result:
no goals