-- Mathlib/Analysis/Analytic/Within.lean
/-- `f` has power series `p` at `x` iff some local extension of `f` has that series -/
lemma hasFPowerSeriesWithinOnBall_iff_exists_hasFPowerSeriesOnBall [CompleteSpace F] {f : E → F}
    {p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F} {s : Set E} {x : E} {r : ℝ≥0∞} :
    HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r ↔
      ∃ g, EqOn f g (insert x s ∩ EMetric.ball x r) ∧
        HasFPowerSeriesOnBall g p x r

Proof state:
case mp.refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
h : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
y : E
lt : y ∈ EMetric.ball 0 r
⊢ HasSum (fun n => (p n) fun x => y) (p.sum (x + y - x))

Tactic:
simp only [add_sub_cancel_left]

Result:
case mp.refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
h : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
y : E
lt : y ∈ EMetric.ball 0 r
⊢ HasSum (fun n => (p n) fun x => y) (p.sum y)

Proof state:
case mp.refine_1.refine_2.refine_3
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
h : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
y : E
ys : y ∈ insert x s
yb : ‖y - x‖ₑ < r
e0 : HasSum (fun n => (p n) fun x_1 => y - x) (p.sum (y - x))
e1 : HasSum (fun n => (p n) fun x_1 => y - x) (f (x + (y - x)))
⊢ f y = (fun y => p.sum (y - x)) y

Tactic:
simp only [add_sub_cancel] at e1

Result:
case mp.refine_1.refine_2.refine_3
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
h : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
y : E
ys : y ∈ insert x s
yb : ‖y - x‖ₑ < r
e0 : HasSum (fun n => (p n) fun x_1 => y - x) (p.sum (y - x))
e1 : HasSum (fun n => (p n) fun x_1 => y - x) (f y)
⊢ f y = (fun y => p.sum (y - x)) y

Proof state:
case mp.refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
h : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
y : E
lt : y ∈ EMetric.ball 0 r
⊢ HasSum (fun n => (p n) fun x => y) (p.sum y)

Tactic:
apply p.hasSum

Result:
case mp.refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
h : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
y : E
lt : y ∈ EMetric.ball 0 r
⊢ y ∈ EMetric.ball 0 p.radius

Proof state:
case mp.refine_1.refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
h : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
y : E
ys : y ∈ insert x s
yb : ‖y - x‖ₑ < r
e0 : HasSum (fun n => (p n) fun x_1 => y - x) (p.sum (y - x))
⊢ f y = (fun y => p.sum (y - x)) y

case mp.refine_1.refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
h : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
y : E
ys : y ∈ insert x s
yb : ‖y - x‖ₑ < r
⊢ y - x ∈ EMetric.ball 0 p.radius

Tactic:
have e1 := (h.hasSum (y := y - x) ?_ ?_)

Result:
case mp.refine_1.refine_2.refine_3
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
h : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
y : E
ys : y ∈ insert x s
yb : ‖y - x‖ₑ < r
e0 : HasSum (fun n => (p n) fun x_1 => y - x) (p.sum (y - x))
e1 : HasSum (fun n => (p n) fun x_1 => y - x) (f (x + (y - x)))
⊢ f y = (fun y => p.sum (y - x)) y

case mp.refine_1.refine_2.refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
h : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
y : E
ys : y ∈ insert x s
yb : ‖y - x‖ₑ < r
e0 : HasSum (fun n => (p n) fun x_1 => y - x) (p.sum (y - x))
⊢ x + (y - x) ∈ insert x s

case mp.refine_1.refine_2.refine_2
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
h : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
y : E
ys : y ∈ insert x s
yb : ‖y - x‖ₑ < r
e0 : HasSum (fun n => (p n) fun x_1 => y - x) (p.sum (y - x))
⊢ y - x ∈ EMetric.ball 0 r

case mp.refine_1.refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
h : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
y : E
ys : y ∈ insert x s
yb : ‖y - x‖ₑ < r
⊢ y - x ∈ EMetric.ball 0 p.radius

Proof state:
case mp.refine_1.refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
h : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
y : E
ys : y ∈ insert x s
yb : ‖y - x‖ₑ < r
⊢ y - x ∈ EMetric.ball 0 p.radius

Tactic:
simp only [EMetric.mem_ball, edist_zero_eq_enorm]

Result:
case mp.refine_1.refine_1
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝ : CompleteSpace F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
h : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
y : E
ys : y ∈ insert x s
yb : ‖y - x‖ₑ < r
⊢ ‖y - x‖ₑ < p.radius