-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Integrability.lean
theorem hasIntegralIndicatorConst (l : IntegrationParams) (hl : l.bRiemann = false)
    {s : Set (ι → ℝ)} (hs : MeasurableSet s) (I : Box ι) (y : E) (μ : Measure (ι → ℝ))
    [IsLocallyFiniteMeasure μ] :
    HasIntegral.{u, v, v} I l (s.indicator fun _ => y) μ.toBoxAdditive.toSMul
      ((μ (s ∩ I)).toReal • y)

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.h.refine_2.intro.intro.intro.intro
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
A : μ (s ∩ Box.Icc I) ≠ ⊤
B : μ (s ∩ ↑I) ≠ ⊤
F : Set (ι → ℝ)
hFs : F ⊆ s ∩ Box.Icc I
hFc : IsClosed F
hμF : μ ((s ∩ Box.Icc I) \ F) < ↑ε
U : Set (ι → ℝ)
hsU : s ∩ Box.Icc I ⊆ U
hUo : IsOpen U
hUt : μ U < ⊤
hμU : μ (U \ (s ∩ Box.Icc I)) < ↑ε
rs : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hrsU : ∀ x ∈ s ∩ Box.Icc I, closedBall x ↑(rs x) ⊆ U
rs' : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hrs'F : ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, closedBall x ↑(rs' x) ⊆ Fᶜ
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0) := s.piecewise rs rs'
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c ((fun x => r) c) π
hπp : π.IsPartition
t : Set (ι → ℝ) := (π.filter fun x => π.tag x ∈ s).iUnion
htU : t ⊆ U ∩ ↑I
hμt : μ t ≠ ⊤
x : ι → ℝ
hxt : x ∉ t
hxs : x ∈ s
hxI : x ∈ ↑I
J : Box ι
hJπ : J ∈ π.toPrepartition
hxJ : x ∈ J
hxF : π.tag J ∉ s
⊢ x ∉ F

Tactic:
refine hrs'F _ ⟨π.tag_mem_Icc J, hxF⟩ ?_

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.h.refine_2.intro.intro.intro.intro
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
A : μ (s ∩ Box.Icc I) ≠ ⊤
B : μ (s ∩ ↑I) ≠ ⊤
F : Set (ι → ℝ)
hFs : F ⊆ s ∩ Box.Icc I
hFc : IsClosed F
hμF : μ ((s ∩ Box.Icc I) \ F) < ↑ε
U : Set (ι → ℝ)
hsU : s ∩ Box.Icc I ⊆ U
hUo : IsOpen U
hUt : μ U < ⊤
hμU : μ (U \ (s ∩ Box.Icc I)) < ↑ε
rs : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hrsU : ∀ x ∈ s ∩ Box.Icc I, closedBall x ↑(rs x) ⊆ U
rs' : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hrs'F : ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, closedBall x ↑(rs' x) ⊆ Fᶜ
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0) := s.piecewise rs rs'
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c ((fun x => r) c) π
hπp : π.IsPartition
t : Set (ι → ℝ) := (π.filter fun x => π.tag x ∈ s).iUnion
htU : t ⊆ U ∩ ↑I
hμt : μ t ≠ ⊤
x : ι → ℝ
hxt : x ∉ t
hxs : x ∈ s
hxI : x ∈ ↑I
J : Box ι
hJπ : J ∈ π.toPrepartition
hxJ : x ∈ J
hxF : π.tag J ∉ s
⊢ x ∈ closedBall (π.tag J) ↑(rs' (π.tag J))

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.h.refine_1
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
A : μ (s ∩ Box.Icc I) ≠ ⊤
B : μ (s ∩ ↑I) ≠ ⊤
F : Set (ι → ℝ)
hFs : F ⊆ s ∩ Box.Icc I
hFc : IsClosed F
hμF : μ ((s ∩ Box.Icc I) \ F) < ↑ε
U : Set (ι → ℝ)
hsU : s ∩ Box.Icc I ⊆ U
hUo : IsOpen U
hUt : μ U < ⊤
hμU : μ (U \ (s ∩ Box.Icc I)) < ↑ε
rs : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hrsU : ∀ x ∈ s ∩ Box.Icc I, closedBall x ↑(rs x) ⊆ U
rs' : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hrs'F : ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, closedBall x ↑(rs' x) ⊆ Fᶜ
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0) := s.piecewise rs rs'
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c ((fun x => r) c) π
hπp : π.IsPartition
t : Set (ι → ℝ) := (π.filter fun x => π.tag x ∈ s).iUnion
htU : t ⊆ U ∩ ↑I
⊢ μ t - μ (s ∩ ↑I) ≤ ↑ε

Tactic:
refine (tsub_le_tsub (measure_mono htU) le_rfl).trans (le_measure_diff.trans ?_)

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.h.refine_1
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
A : μ (s ∩ Box.Icc I) ≠ ⊤
B : μ (s ∩ ↑I) ≠ ⊤
F : Set (ι → ℝ)
hFs : F ⊆ s ∩ Box.Icc I
hFc : IsClosed F
hμF : μ ((s ∩ Box.Icc I) \ F) < ↑ε
U : Set (ι → ℝ)
hsU : s ∩ Box.Icc I ⊆ U
hUo : IsOpen U
hUt : μ U < ⊤
hμU : μ (U \ (s ∩ Box.Icc I)) < ↑ε
rs : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hrsU : ∀ x ∈ s ∩ Box.Icc I, closedBall x ↑(rs x) ⊆ U
rs' : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hrs'F : ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, closedBall x ↑(rs' x) ⊆ Fᶜ
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0) := s.piecewise rs rs'
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c ((fun x => r) c) π
hπp : π.IsPartition
t : Set (ι → ℝ) := (π.filter fun x => π.tag x ∈ s).iUnion
htU : t ⊆ U ∩ ↑I
⊢ μ ((U ∩ ↑I) \ (s ∩ ↑I)) ≤ ↑ε

Proof state:
case intro
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
A : μ (s ∩ Box.Icc I) ≠ ⊤
⊢ ∃ r,
    (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧
      ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I),
        l.MemBaseSet I c (r c) π →
          π.IsPartition →
            dist (integralSum (s.indicator fun x => y) μ.toBoxAdditive.toSMul π) ((μ (s ∩ ↑I)).toReal • y) ≤ ‖y‖ * ↑ε

Tactic:
have B : μ (s ∩ I) ≠ ∞ :=
  ((measure_mono Set.inter_subset_right).trans_lt (I.measure_coe_lt_top μ)).ne

Result:
case intro
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
A : μ (s ∩ Box.Icc I) ≠ ⊤
B : μ (s ∩ ↑I) ≠ ⊤
⊢ ∃ r,
    (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧
      ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I),
        l.MemBaseSet I c (r c) π →
          π.IsPartition →
            dist (integralSum (s.indicator fun x => y) μ.toBoxAdditive.toSMul π) ((μ (s ∩ ↑I)).toReal • y) ≤ ‖y‖ * ↑ε