-- Mathlib/AlgebraicGeometry/ProjectiveSpectrum/Proper.lean
lemma lift_awayMapₐ_awayMapₐ_surjective {d e : ℕ} {f : A} (hf : f ∈ 𝒜 d)
    {g : A} (hg : g ∈ 𝒜 e) {x : A} (hx : x = f * g) (hd : 0 < d) :
    Function.Surjective
      (Algebra.TensorProduct.lift (awayMapₐ 𝒜 hg hx) (awayMapₐ 𝒜 hf (hx.trans (mul_comm _ _)))
        (fun _ _ ↦ .all _ _))

Proof state:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
d e : ℕ
f : A
hf : f ∈ 𝒜 d
g : A
hg : g ∈ 𝒜 e
x : A
hx : x = f * g
hd : 0 < d
n : ℕ
a : A
ha : a ∈ 𝒜 n
j : ℕ
hb' : (fun x_1 => x ^ x_1) j ∈ 𝒜 n
hfg : ¬(f * g) ^ j = 0
this : n = j * (d + e)
⊢ a * g ^ (j * (d - 1)) ∈ 𝒜 (j * (d * (e + 1)))

Tactic:
convert SetLike.mul_mem_graded ha (SetLike.pow_mem_graded _ hg) using 2

Result:
case h.e'_4.h.e'_1
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
d e : ℕ
f : A
hf : f ∈ 𝒜 d
g : A
hg : g ∈ 𝒜 e
x : A
hx : x = f * g
hd : 0 < d
n : ℕ
a : A
ha : a ∈ 𝒜 n
j : ℕ
hb' : (fun x_1 => x ^ x_1) j ∈ 𝒜 n
hfg : ¬(f * g) ^ j = 0
this : n = j * (d + e)
⊢ j * (d * (e + 1)) = n + (j * (d - 1)) • e

Proof state:
case h.zero
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
e : ℕ
f g : A
hg : g ∈ 𝒜 e
x : A
hx : x = f * g
n : ℕ
a : A
ha : a ∈ 𝒜 n
j : ℕ
hb' : (fun x_1 => x ^ x_1) j ∈ 𝒜 n
hfg : ¬(f * g) ^ j = 0
hf : f ∈ 𝒜 0
hd : 0 < 0
this : n = j * (0 + e)
x0 : NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f) :=
  { deg := j * (0 * (e + 1)), num := ⟨a * g ^ (j * (0 - 1)), ⋯⟩, den := ⟨f ^ (j * (e + 1)), ⋯⟩, den_mem := ⋯ }
y0 : NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers g) :=
  { deg := j * (0 * e), num := ⟨f ^ (j * e), ⋯⟩, den := ⟨g ^ (j * 0), ⋯⟩, den_mem := ⋯ }
⊢ x ^ j * (a * g ^ (j * (0 - 1)) * g ^ (j * (e + 1)) * (f ^ (j * e) * f ^ (j * 0))) =
    x ^ (j * (e + 1)) * x ^ (j * 0) * a

Tactic:
contradiction

Result:
no goals

Proof state:
case h.e'_4.h.e'_1.succ
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
e : ℕ
f g : A
hg : g ∈ 𝒜 e
x : A
hx : x = f * g
n : ℕ
a : A
ha : a ∈ 𝒜 n
j : ℕ
hb' : (fun x_1 => x ^ x_1) j ∈ 𝒜 n
hfg : ¬(f * g) ^ j = 0
n✝ : ℕ
hf : f ∈ 𝒜 (n✝ + 1)
hd : 0 < n✝ + 1
this : n = j * (n✝ + 1 + e)
⊢ j * ((n✝ + 1) * (e + 1)) = j * (n✝ + 1 + e) + (j * (n✝ + 1 - 1)) • e

Tactic:
simp

Result:
case h.e'_4.h.e'_1.succ
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
e : ℕ
f g : A
hg : g ∈ 𝒜 e
x : A
hx : x = f * g
n : ℕ
a : A
ha : a ∈ 𝒜 n
j : ℕ
hb' : (fun x_1 => x ^ x_1) j ∈ 𝒜 n
hfg : ¬(f * g) ^ j = 0
n✝ : ℕ
hf : f ∈ 𝒜 (n✝ + 1)
hd : 0 < n✝ + 1
this : n = j * (n✝ + 1 + e)
⊢ j * ((n✝ + 1) * (e + 1)) = j * (n✝ + 1 + e) + j * n✝ * e

Proof state:
case h.succ
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
e : ℕ
f g : A
hg : g ∈ 𝒜 e
x : A
hx : x = f * g
n : ℕ
a : A
ha : a ∈ 𝒜 n
j : ℕ
hb' : (fun x_1 => x ^ x_1) j ∈ 𝒜 n
hfg : ¬(f * g) ^ j = 0
n✝ : ℕ
hf : f ∈ 𝒜 (n✝ + 1)
hd : 0 < n✝ + 1
this : n = j * (n✝ + 1 + e)
x0 : NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f) :=
  { deg := j * ((n✝ + 1) * (e + 1)), num := ⟨a * g ^ (j * (n✝ + 1 - 1)), ⋯⟩, den := ⟨f ^ (j * (e + 1)), ⋯⟩,
    den_mem := ⋯ }
y0 : NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers g) :=
  { deg := j * ((n✝ + 1) * e), num := ⟨f ^ (j * e), ⋯⟩, den := ⟨g ^ (j * (n✝ + 1)), ⋯⟩, den_mem := ⋯ }
⊢ (f * g) ^ j * (a * g ^ (j * n✝) * g ^ (j * (e + 1)) * (f ^ (j * e) * f ^ (j * (n✝ + 1)))) =
    (f * g) ^ (j * (e + 1)) * (f * g) ^ (j * (n✝ + 1)) * a

Tactic:
ring

Result:
no goals

Proof state:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
d e : ℕ
f : A
hf : f ∈ 𝒜 d
g : A
hg : g ∈ 𝒜 e
x : A
hx : x = f * g
hd : 0 < d
n : ℕ
a : A
ha : a ∈ 𝒜 n
j : ℕ
hb' : (fun x_1 => x ^ x_1) j ∈ 𝒜 n
hfg : ¬(f * g) ^ j = 0
this : n = j * (d + e)
x0 : NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f) :=
  { deg := j * (d * (e + 1)), num := ⟨a * g ^ (j * (d - 1)), ⋯⟩, den := ⟨f ^ (j * (e + 1)), ⋯⟩, den_mem := ⋯ }
⊢ g ^ (j * d) ∈ 𝒜 (j * (d * e))

Tactic:
convert SetLike.pow_mem_graded _ hg using 2

Result:
case h.e'_4.h.e'_1
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
d e : ℕ
f : A
hf : f ∈ 𝒜 d
g : A
hg : g ∈ 𝒜 e
x : A
hx : x = f * g
hd : 0 < d
n : ℕ
a : A
ha : a ∈ 𝒜 n
j : ℕ
hb' : (fun x_1 => x ^ x_1) j ∈ 𝒜 n
hfg : ¬(f * g) ^ j = 0
this : n = j * (d + e)
x0 : NumDenSameDeg 𝒜 (Submonoid.powers f) :=
  { deg := j * (d * (e + 1)), num := ⟨a * g ^ (j * (d - 1)), ⋯⟩, den := ⟨f ^ (j * (e + 1)), ⋯⟩, den_mem := ⋯ }
⊢ j * (d * e) = (j * d) • e

Proof state:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
d e : ℕ
f : A
hf : f ∈ 𝒜 d
g : A
hg : g ∈ 𝒜 e
x : A
hx : x = f * g
hd : 0 < d
n : ℕ
a : A
ha : a ∈ 𝒜 n
j : ℕ
hb' : (fun x_1 => x ^ x_1) j ∈ 𝒜 n
hfg : ¬(f * g) ^ j = 0
this : n = j * (d + e)
⊢ f ^ (j * (e + 1)) ∈ 𝒜 (j * (d * (e + 1)))

Tactic:
convert SetLike.pow_mem_graded _ hf using 2

Result:
case h.e'_4.h.e'_1
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
d e : ℕ
f : A
hf : f ∈ 𝒜 d
g : A
hg : g ∈ 𝒜 e
x : A
hx : x = f * g
hd : 0 < d
n : ℕ
a : A
ha : a ∈ 𝒜 n
j : ℕ
hb' : (fun x_1 => x ^ x_1) j ∈ 𝒜 n
hfg : ¬(f * g) ^ j = 0
this : n = j * (d + e)
⊢ j * (d * (e + 1)) = (j * (e + 1)) • d