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theorem HigherFacesVanish.comp_σ {Y : C} {X : SimplicialObject C} {n b q : ℕ} {φ : Y ⟶ X _⦋n + 1⦌}
    (v : HigherFacesVanish q φ) (hnbq : n + 1 = b + q) :
    HigherFacesVanish q
      (φ ≫
        X.σ ⟨b, by
          simp only [hnbq, Nat.lt_add_one_iff, le_add_iff_nonneg_right, zero_le]⟩) :=
  fun j hj => by
  rw [assoc, SimplicialObject.δ_comp_σ_of_gt', Fin.pred_succ, v.comp_δ_eq_zero_assoc _ _ hj,
    zero_comp]
  · dsimp
    rw [Fin.lt_iff_val_lt_val, Fin.val_succ]
    linarith
  · intro hj'
    simp only [hnbq, add_comm b, add_assoc, hj', Fin.val_zero, zero_add, add_le_iff_nonpos_right,
      nonpos_iff_eq_zero, add_eq_zero, false_and, reduceCtorEq] at hj

Proof state:
case H
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
Y : C
X : SimplicialObject C
n b q : ℕ
φ : Y ⟶ X _⦋n + 1⦌
v : HigherFacesVanish q φ
hnbq : n + 1 = b + q
j : Fin (n + 1 + 1)
hj : n + 1 + 1 ≤ ↑j + q
⊢ ⟨b, ⋯⟩.succ < j.succ

Tactic:
dsimp

Result:
case H
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
Y : C
X : SimplicialObject C
n b q : ℕ
φ : Y ⟶ X _⦋n + 1⦌
v : HigherFacesVanish q φ
hnbq : n + 1 = b + q
j : Fin (n + 1 + 1)
hj : n + 1 + 1 ≤ ↑j + q
⊢ ⟨b + 1, ⋯⟩ < j.succ

Proof state:
case H
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
Y : C
X : SimplicialObject C
n b q : ℕ
φ : Y ⟶ X _⦋n + 1⦌
v : HigherFacesVanish q φ
hnbq : n + 1 = b + q
j : Fin (n + 1 + 1)
hj : n + 1 + 1 ≤ ↑j + q
⊢ ⟨b + 1, ⋯⟩ < j.succ

Tactic:
rw [Fin.lt_iff_val_lt_val, Fin.val_succ]

Result:
case H
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
Y : C
X : SimplicialObject C
n b q : ℕ
φ : Y ⟶ X _⦋n + 1⦌
v : HigherFacesVanish q φ
hnbq : n + 1 = b + q
j : Fin (n + 1 + 1)
hj : n + 1 + 1 ≤ ↑j + q
⊢ ↑⟨b + 1, ⋯⟩ < ↑j + 1

Proof state:
case H
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
Y : C
X : SimplicialObject C
n b q : ℕ
φ : Y ⟶ X _⦋n + 1⦌
v : HigherFacesVanish q φ
hnbq : n + 1 = b + q
j : Fin (n + 1 + 1)
hj : n + 1 + 1 ≤ ↑j + q
⊢ ↑⟨b + 1, ⋯⟩ < ↑j + 1

Tactic:
linarith

Result:
no goals

Proof state:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.29, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
Y : C
X : SimplicialObject C
n b q : ℕ
φ : Y ⟶ X _⦋n + 1⦌
v : HigherFacesVanish q φ
hnbq : n + 1 = b + q
⊢ b < n + 1 + 1

Tactic:
simp only [hnbq, Nat.lt_add_one_iff, le_add_iff_nonneg_right, zero_le]

Result:
no goals

Proof state:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
Y : C
X : SimplicialObject C
n b q : ℕ
φ : Y ⟶ X _⦋n + 1⦌
v : HigherFacesVanish q φ
hnbq : n + 1 = b + q
j : Fin (n + 1 + 1)
hj : n + 1 + 1 ≤ ↑j + q
hj' : j = 0
⊢ False

Tactic:
simp only [hnbq, add_comm b, add_assoc, hj', Fin.val_zero, zero_add, add_le_iff_nonpos_right,
  nonpos_iff_eq_zero, add_eq_zero, false_and, reduceCtorEq] at hj

Result:
no goals

Proof state:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
Y : C
X : SimplicialObject C
n b q : ℕ
φ : Y ⟶ X _⦋n + 1⦌
v : HigherFacesVanish q φ
hnbq : n + 1 = b + q
j : Fin (n + 1 + 1)
hj : n + 1 + 1 ≤ ↑j + q
⊢ (φ ≫ X.σ ⟨b, ⋯⟩) ≫ X.δ j.succ = 0

Tactic:
rw [assoc, SimplicialObject.δ_comp_σ_of_gt', Fin.pred_succ, v.comp_δ_eq_zero_assoc _ _ hj,
  zero_comp]

Result:
case H
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
Y : C
X : SimplicialObject C
n b q : ℕ
φ : Y ⟶ X _⦋n + 1⦌
v : HigherFacesVanish q φ
hnbq : n + 1 = b + q
j : Fin (n + 1 + 1)
hj : n + 1 + 1 ≤ ↑j + q
⊢ ⟨b, ⋯⟩.succ < j.succ

C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
Y : C
X : SimplicialObject C
n b q : ℕ
φ : Y ⟶ X _⦋n + 1⦌
v : HigherFacesVanish q φ
hnbq : n + 1 = b + q
j : Fin (n + 1 + 1)
hj : n + 1 + 1 ≤ ↑j + q
⊢ j ≠ 0

case H
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
Y : C
X : SimplicialObject C
n b q : ℕ
φ : Y ⟶ X _⦋n + 1⦌
v : HigherFacesVanish q φ
hnbq : n + 1 = b + q
j : Fin (n + 1 + 1)
hj : n + 1 + 1 ≤ ↑j + q
⊢ ⟨b, ⋯⟩.succ < j.succ

Proof state:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
Y : C
X : SimplicialObject C
n b q : ℕ
φ : Y ⟶ X _⦋n + 1⦌
v : HigherFacesVanish q φ
hnbq : n + 1 = b + q
j : Fin (n + 1 + 1)
hj : n + 1 + 1 ≤ ↑j + q
⊢ j ≠ 0

Tactic:
intro hj'

Result:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
Y : C
X : SimplicialObject C
n b q : ℕ
φ : Y ⟶ X _⦋n + 1⦌
v : HigherFacesVanish q φ
hnbq : n + 1 = b + q
j : Fin (n + 1 + 1)
hj : n + 1 + 1 ≤ ↑j + q
hj' : j = 0
⊢ False