-- Mathlib/Analysis/Analytic/Composition.lean
theorem HasFPowerSeriesWithinAt.comp {g : F → G} {f : E → F} {q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G}
    {p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F} {x : E} {t : Set F} {s : Set E}
    (hg : HasFPowerSeriesWithinAt g q t (f x)) (hf : HasFPowerSeriesWithinAt f p s x)
    (hs : Set.MapsTo f s t) : HasFPowerSeriesWithinAt (g ∘ f) (q.comp p) s x

Proof state:
case hy
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
g : F → G
f : E → F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
t : Set F
s : Set E
hs : Set.MapsTo f s t
rg : ℝ≥0∞
Hg : HasFPowerSeriesWithinOnBall g q t (f x) rg
rf : ℝ≥0∞
Hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x rf
r : ℝ≥0
r_pos : 0 < r
hr : Summable fun i => ‖q.compAlongComposition p i.snd‖₊ * r ^ i.fst
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : ∀ {z : E}, z ∈ insert x s ∩ EMetric.ball x δ → f z ∈ insert (f x) t ∩ EMetric.ball (f x) rg
rf' : ℝ≥0∞ := rf ⊓ δ
min_pos : 0 < rf' ⊓ ↑r
y : E
h'y : x + y ∈ insert x s
hy : y ∈ EMetric.ball 0 (rf' ⊓ ↑r)
y_mem : y ∈ EMetric.ball 0 rf
fy_mem : f (x + y) ∈ insert (f x) t ∩ EMetric.ball (f x) rg
A : Tendsto (fun n => (n, ∑ a ∈ Finset.Ico 1 n, (p a) fun x => y)) atTop (atTop ×ˢ 𝓝 (f (x + y) - f x))
⊢ f (x + y) - f x ∈ EMetric.ball 0 rg

Tactic:
simpa [edist_eq_enorm_sub] using fy_mem.2

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
g : F → G
f : E → F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
t : Set F
s : Set E
hs : Set.MapsTo f s t
rg : ℝ≥0∞
Hg : HasFPowerSeriesWithinOnBall g q t (f x) rg
rf : ℝ≥0∞
Hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x rf
⊢ HasFPowerSeriesWithinAt (g ∘ f) (q.comp p) s x

Tactic:
rcases q.comp_summable_nnreal p Hg.radius_pos Hf.radius_pos with ⟨r, r_pos : 0 < r, hr⟩

Result:
case intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
g : F → G
f : E → F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
t : Set F
s : Set E
hs : Set.MapsTo f s t
rg : ℝ≥0∞
Hg : HasFPowerSeriesWithinOnBall g q t (f x) rg
rf : ℝ≥0∞
Hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x rf
r : ℝ≥0
r_pos : 0 < r
hr : Summable fun i => ‖q.compAlongComposition p i.snd‖₊ * r ^ i.fst
⊢ HasFPowerSeriesWithinAt (g ∘ f) (q.comp p) s x

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
g : F → G
f : E → F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
t : Set F
s : Set E
hs : Set.MapsTo f s t
rg : ℝ≥0∞
Hg : HasFPowerSeriesWithinOnBall g q t (f x) rg
rf : ℝ≥0∞
Hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x rf
r : ℝ≥0
r_pos : 0 < r
hr : Summable fun i => ‖q.compAlongComposition p i.snd‖₊ * r ^ i.fst
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : ∀ {z : E}, z ∈ insert x s ∩ EMetric.ball x δ → f z ∈ insert (f x) t ∩ EMetric.ball (f x) rg
rf' : ℝ≥0∞ := rf ⊓ δ
min_pos : 0 < rf' ⊓ ↑r
⊢ HasFPowerSeriesWithinOnBall (g ∘ f) (q.comp p) s x (rf' ⊓ ↑r)

Tactic:
refine
  ⟨le_trans (min_le_right rf' r) (FormalMultilinearSeries.le_comp_radius_of_summable q p r hr),
    min_pos, fun {y} h'y hy ↦ ?_⟩

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
g : F → G
f : E → F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
t : Set F
s : Set E
hs : Set.MapsTo f s t
rg : ℝ≥0∞
Hg : HasFPowerSeriesWithinOnBall g q t (f x) rg
rf : ℝ≥0∞
Hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x rf
r : ℝ≥0
r_pos : 0 < r
hr : Summable fun i => ‖q.compAlongComposition p i.snd‖₊ * r ^ i.fst
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : ∀ {z : E}, z ∈ insert x s ∩ EMetric.ball x δ → f z ∈ insert (f x) t ∩ EMetric.ball (f x) rg
rf' : ℝ≥0∞ := rf ⊓ δ
min_pos : 0 < rf' ⊓ ↑r
y : E
h'y : x + y ∈ insert x s
hy : y ∈ EMetric.ball 0 (rf' ⊓ ↑r)
⊢ HasSum (fun n => (q.comp p n) fun x => y) ((g ∘ f) (x + y))

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
g : F → G
f : E → F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
t : Set F
s : Set E
hg : HasFPowerSeriesWithinAt g q t (f x)
hf : HasFPowerSeriesWithinAt f p s x
hs : Set.MapsTo f s t
⊢ HasFPowerSeriesWithinAt (g ∘ f) (q.comp p) s x

Tactic:
rcases hg with ⟨rg, Hg⟩

Result:
case intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
g : F → G
f : E → F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
t : Set F
s : Set E
hf : HasFPowerSeriesWithinAt f p s x
hs : Set.MapsTo f s t
rg : ℝ≥0∞
Hg : HasFPowerSeriesWithinOnBall g q t (f x) rg
⊢ HasFPowerSeriesWithinAt (g ∘ f) (q.comp p) s x

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
g : F → G
f : E → F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
t : Set F
s : Set E
hs : Set.MapsTo f s t
rg : ℝ≥0∞
Hg : HasFPowerSeriesWithinOnBall g q t (f x) rg
rf : ℝ≥0∞
Hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x rf
r : ℝ≥0
r_pos : 0 < r
hr : Summable fun i => ‖q.compAlongComposition p i.snd‖₊ * r ^ i.fst
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : ∀ {z : E}, z ∈ insert x s ∩ EMetric.ball x δ → f z ∈ insert (f x) t ∩ EMetric.ball (f x) rg
⊢ HasFPowerSeriesWithinAt (g ∘ f) (q.comp p) s x

Tactic:
let rf' := min rf δ

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
g : F → G
f : E → F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
t : Set F
s : Set E
hs : Set.MapsTo f s t
rg : ℝ≥0∞
Hg : HasFPowerSeriesWithinOnBall g q t (f x) rg
rf : ℝ≥0∞
Hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x rf
r : ℝ≥0
r_pos : 0 < r
hr : Summable fun i => ‖q.compAlongComposition p i.snd‖₊ * r ^ i.fst
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ : ∀ {z : E}, z ∈ insert x s ∩ EMetric.ball x δ → f z ∈ insert (f x) t ∩ EMetric.ball (f x) rg
rf' : ℝ≥0∞ := rf ⊓ δ
⊢ HasFPowerSeriesWithinAt (g ∘ f) (q.comp p) s x