-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
theorem Function.Surjective.lieModule_lcs_map_eq (k : ℕ) :
    (lowerCentralSeries R L M k : Submodule R M).map g = lowerCentralSeries R L₂ M₂ k

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
inst✝⁶ : LieModule R L M
L₂ : Type u_1
M₂ : Type u_2
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L₂ M₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
g : M →ₗ[R] M₂
hfg : ∀ (x : L) (m : M), ⁅f x, g m⁆ = g ⁅x, m⁆
inst✝ : LieModule R L₂ M₂
hf_surj : Surjective ⇑f
hg_surj : Surjective ⇑g
k : ℕ
ih : ↑(lowerCentralSeries R L₂ M₂ k) ≤ Submodule.map g ↑(lowerCentralSeries R L M k)
this :
  {m | ∃ x, ∃ n ∈ ↑(lowerCentralSeries R L M k), ⁅x, g n⁆ = m} ⊆
    ⇑g '' {m | ∃ x, ∃ n ∈ ↑(lowerCentralSeries R L M k), ⁅x, n⁆ = m}
x : L₂
n' : M
hn' : n' ∈ ↑↑(lowerCentralSeries R L M k)
hn : g n' ∈ ↑(lowerCentralSeries R L₂ M₂ k)
⊢ ⁅x, g n'⁆ ∈ {m | ∃ x, ∃ n ∈ ↑(lowerCentralSeries R L M k), ⁅x, g n⁆ = m}

Tactic:
exact ⟨x, n', hn', rfl⟩

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro.intro
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
inst✝⁶ : LieModule R L M
L₂ : Type u_1
M₂ : Type u_2
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L₂ M₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
g : M →ₗ[R] M₂
hfg : ∀ (x : L) (m : M), ⁅f x, g m⁆ = g ⁅x, m⁆
inst✝ : LieModule R L₂ M₂
hf_surj : Surjective ⇑f
hg_surj : Surjective ⇑g
k : ℕ
ih : ↑(lowerCentralSeries R L₂ M₂ k) ≤ Submodule.map g ↑(lowerCentralSeries R L M k)
this :
  {m | ∃ x, ∃ n ∈ ↑(lowerCentralSeries R L M k), ⁅x, g n⁆ = m} ⊆
    ⇑g '' {m | ∃ x, ∃ n ∈ ↑(lowerCentralSeries R L M k), ⁅x, n⁆ = m}
x : L₂
n : M₂
hn : n ∈ ↑(lowerCentralSeries R L₂ M₂ k)
⊢ ⁅x, n⁆ ∈ {m | ∃ x, ∃ n ∈ ↑(lowerCentralSeries R L M k), ⁅x, g n⁆ = m}

Tactic:
obtain ⟨n', hn', rfl⟩ := ih hn

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
inst✝⁶ : LieModule R L M
L₂ : Type u_1
M₂ : Type u_2
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L₂ M₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
g : M →ₗ[R] M₂
hfg : ∀ (x : L) (m : M), ⁅f x, g m⁆ = g ⁅x, m⁆
inst✝ : LieModule R L₂ M₂
hf_surj : Surjective ⇑f
hg_surj : Surjective ⇑g
k : ℕ
ih : ↑(lowerCentralSeries R L₂ M₂ k) ≤ Submodule.map g ↑(lowerCentralSeries R L M k)
this :
  {m | ∃ x, ∃ n ∈ ↑(lowerCentralSeries R L M k), ⁅x, g n⁆ = m} ⊆
    ⇑g '' {m | ∃ x, ∃ n ∈ ↑(lowerCentralSeries R L M k), ⁅x, n⁆ = m}
x : L₂
n' : M
hn' : n' ∈ ↑↑(lowerCentralSeries R L M k)
hn : g n' ∈ ↑(lowerCentralSeries R L₂ M₂ k)
⊢ ⁅x, g n'⁆ ∈ {m | ∃ x, ∃ n ∈ ↑(lowerCentralSeries R L M k), ⁅x, g n⁆ = m}

Proof state:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
inst✝⁶ : LieModule R L M
L₂ : Type u_1
M₂ : Type u_2
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L₂ M₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
g : M →ₗ[R] M₂
hfg : ∀ (x : L) (m : M), ⁅f x, g m⁆ = g ⁅x, m⁆
inst✝ : LieModule R L₂ M₂
hf_surj : Surjective ⇑f
hg_surj : Surjective ⇑g
k : ℕ
ih : ↑(lowerCentralSeries R L₂ M₂ k) ≤ Submodule.map g ↑(lowerCentralSeries R L M k)
this :
  {m | ∃ x, ∃ n ∈ ↑(lowerCentralSeries R L M k), ⁅x, g n⁆ = m} ⊆
    ⇑g '' {m | ∃ x, ∃ n ∈ ↑(lowerCentralSeries R L M k), ⁅x, n⁆ = m}
⊢ ↑(lowerCentralSeries R L₂ M₂ (k + 1)) ≤ Submodule.map g ↑(lowerCentralSeries R L M (k + 1))

Tactic:
simp_rw [lowerCentralSeries_succ, LieSubmodule.lieIdeal_oper_eq_linear_span',
  Submodule.map_span, LieSubmodule.mem_top, true_and, ← LieSubmodule.mem_toSubmodule]

Result:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
inst✝⁶ : LieModule R L M
L₂ : Type u_1
M₂ : Type u_2
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L₂ M₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
g : M →ₗ[R] M₂
hfg : ∀ (x : L) (m : M), ⁅f x, g m⁆ = g ⁅x, m⁆
inst✝ : LieModule R L₂ M₂
hf_surj : Surjective ⇑f
hg_surj : Surjective ⇑g
k : ℕ
ih : ↑(lowerCentralSeries R L₂ M₂ k) ≤ Submodule.map g ↑(lowerCentralSeries R L M k)
this :
  {m | ∃ x, ∃ n ∈ ↑(lowerCentralSeries R L M k), ⁅x, g n⁆ = m} ⊆
    ⇑g '' {m | ∃ x, ∃ n ∈ ↑(lowerCentralSeries R L M k), ⁅x, n⁆ = m}
⊢ Submodule.span R {x | ∃ x_1, ∃ n ∈ ↑(lowerCentralSeries R L₂ M₂ k), ⁅x_1, n⁆ = x} ≤
    Submodule.span R (⇑g '' {x | ∃ x_1, ∃ n ∈ ↑(lowerCentralSeries R L M k), ⁅x_1, n⁆ = x})

Proof state:
case succ
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
inst✝⁶ : LieModule R L M
L₂ : Type u_1
M₂ : Type u_2
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L₂ M₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
g : M →ₗ[R] M₂
hfg : ∀ (x : L) (m : M), ⁅f x, g m⁆ = g ⁅x, m⁆
inst✝ : LieModule R L₂ M₂
hf_surj : Surjective ⇑f
hg_surj : Surjective ⇑g
k : ℕ
ih : ↑(lowerCentralSeries R L₂ M₂ k) ≤ Submodule.map g ↑(lowerCentralSeries R L M k)
⊢ {m | ∃ x, ∃ n ∈ lowerCentralSeries R L M k, ⁅x, g n⁆ = m} ⊆
    ⇑g '' {m | ∃ x, ∃ n ∈ lowerCentralSeries R L M k, ⁅x, n⁆ = m}

Tactic:
rintro m₂ ⟨x, n, hn, rfl⟩

Result:
case succ.intro.intro.intro
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : LieRingModule L M
inst✝⁶ : LieModule R L M
L₂ : Type u_1
M₂ : Type u_2
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L₂ M₂
f : L →ₗ⁅R⁆ L₂
g : M →ₗ[R] M₂
hfg : ∀ (x : L) (m : M), ⁅f x, g m⁆ = g ⁅x, m⁆
inst✝ : LieModule R L₂ M₂
hf_surj : Surjective ⇑f
hg_surj : Surjective ⇑g
k : ℕ
ih : ↑(lowerCentralSeries R L₂ M₂ k) ≤ Submodule.map g ↑(lowerCentralSeries R L M k)
x : L₂
n : M
hn : n ∈ lowerCentralSeries R L M k
⊢ ⁅x, g n⁆ ∈ ⇑g '' {m | ∃ x, ∃ n ∈ lowerCentralSeries R L M k, ⁅x, n⁆ = m}