-- Mathlib/LinearAlgebra/ExteriorPower/Pairing.lean
lemma pairingDual_apply_apply_eq_one (a : Fin n ↪o ι) :
    pairingDual R M n (ιMulti _ _ (f ∘ a)) (ιMulti _ _ (x ∘ a)) = 1

Proof state:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : LinearOrder ι
x : ι → M
f : ι → Module.Dual R M
h₁ : ∀ (i : ι), (f i) (x i) = 1
h₀ : ∀ ⦃i j : ι⦄, i ≠ j → (f i) (x j) = 0
n : ℕ
a : Fin n ↪o ι
⊢ (Matrix.of fun i j => (f (a j)) (x (a i))).det = Matrix.det 1

Tactic:
congr

Result:
case e_M
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : LinearOrder ι
x : ι → M
f : ι → Module.Dual R M
h₁ : ∀ (i : ι), (f i) (x i) = 1
h₀ : ∀ ⦃i j : ι⦄, i ≠ j → (f i) (x j) = 0
n : ℕ
a : Fin n ↪o ι
⊢ (Matrix.of fun i j => (f (a j)) (x (a i))) = 1

Proof state:
case e_M.a
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : LinearOrder ι
x : ι → M
f : ι → Module.Dual R M
h₁ : ∀ (i : ι), (f i) (x i) = 1
h₀ : ∀ ⦃i j : ι⦄, i ≠ j → (f i) (x j) = 0
n : ℕ
a : Fin n ↪o ι
i j : Fin n
⊢ (f (a j)) (x (a i)) = 1 i j

Tactic:
by_cases hij : i = j

Result:
case pos
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : LinearOrder ι
x : ι → M
f : ι → Module.Dual R M
h₁ : ∀ (i : ι), (f i) (x i) = 1
h₀ : ∀ ⦃i j : ι⦄, i ≠ j → (f i) (x j) = 0
n : ℕ
a : Fin n ↪o ι
i j : Fin n
hij : i = j
⊢ (f (a j)) (x (a i)) = 1 i j

case neg
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : LinearOrder ι
x : ι → M
f : ι → Module.Dual R M
h₁ : ∀ (i : ι), (f i) (x i) = 1
h₀ : ∀ ⦃i j : ι⦄, i ≠ j → (f i) (x j) = 0
n : ℕ
a : Fin n ↪o ι
i j : Fin n
hij : ¬i = j
⊢ (f (a j)) (x (a i)) = 1 i j

Proof state:
case e_M
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : LinearOrder ι
x : ι → M
f : ι → Module.Dual R M
h₁ : ∀ (i : ι), (f i) (x i) = 1
h₀ : ∀ ⦃i j : ι⦄, i ≠ j → (f i) (x j) = 0
n : ℕ
a : Fin n ↪o ι
⊢ (Matrix.of fun i j => (f (a j)) (x (a i))) = 1

Tactic:
ext i j

Result:
case e_M.a
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : LinearOrder ι
x : ι → M
f : ι → Module.Dual R M
h₁ : ∀ (i : ι), (f i) (x i) = 1
h₀ : ∀ ⦃i j : ι⦄, i ≠ j → (f i) (x j) = 0
n : ℕ
a : Fin n ↪o ι
i j : Fin n
⊢ Matrix.of (fun i j => (f (a j)) (x (a i))) i j = 1 i j

Proof state:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : LinearOrder ι
x : ι → M
f : ι → Module.Dual R M
h₁ : ∀ (i : ι), (f i) (x i) = 1
h₀ : ∀ ⦃i j : ι⦄, i ≠ j → (f i) (x j) = 0
n : ℕ
a : Fin n ↪o ι
⊢ ((pairingDual R M n) ((ιMulti R n) (f ∘ ⇑a))) ((ιMulti R n) (x ∘ ⇑a)) = 1

Tactic:
simp only [pairingDual_ιMulti_ιMulti, Function.comp_apply]

Result:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : LinearOrder ι
x : ι → M
f : ι → Module.Dual R M
h₁ : ∀ (i : ι), (f i) (x i) = 1
h₀ : ∀ ⦃i j : ι⦄, i ≠ j → (f i) (x j) = 0
n : ℕ
a : Fin n ↪o ι
⊢ (Matrix.of fun i j => (f (a j)) (x (a i))).det = 1

Proof state:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : LinearOrder ι
x : ι → M
f : ι → Module.Dual R M
h₁ : ∀ (i : ι), (f i) (x i) = 1
h₀ : ∀ ⦃i j : ι⦄, i ≠ j → (f i) (x j) = 0
n : ℕ
a : Fin n ↪o ι
i j : Fin n
hij : ¬i = j
⊢ a j ≠ a i

Tactic:
simpa using Ne.symm hij

Result:
no goals

Proof state:
case e_M.a
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : LinearOrder ι
x : ι → M
f : ι → Module.Dual R M
h₁ : ∀ (i : ι), (f i) (x i) = 1
h₀ : ∀ ⦃i j : ι⦄, i ≠ j → (f i) (x j) = 0
n : ℕ
a : Fin n ↪o ι
i j : Fin n
⊢ Matrix.of (fun i j => (f (a j)) (x (a i))) i j = 1 i j

Tactic:
dsimp

Result:
case e_M.a
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : LinearOrder ι
x : ι → M
f : ι → Module.Dual R M
h₁ : ∀ (i : ι), (f i) (x i) = 1
h₀ : ∀ ⦃i j : ι⦄, i ≠ j → (f i) (x j) = 0
n : ℕ
a : Fin n ↪o ι
i j : Fin n
⊢ (f (a j)) (x (a i)) = 1 i j

Proof state:
case neg
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : LinearOrder ι
x : ι → M
f : ι → Module.Dual R M
h₁ : ∀ (i : ι), (f i) (x i) = 1
h₀ : ∀ ⦃i j : ι⦄, i ≠ j → (f i) (x j) = 0
n : ℕ
a : Fin n ↪o ι
i j : Fin n
hij : ¬i = j
⊢ (f (a j)) (x (a i)) = 1 i j

Tactic:
rw [h₀ (by simpa using Ne.symm hij), Matrix.one_apply_ne hij]

Result:
no goals

Proof state:
case pos
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : LinearOrder ι
x : ι → M
f : ι → Module.Dual R M
h₁ : ∀ (i : ι), (f i) (x i) = 1
h₀ : ∀ ⦃i j : ι⦄, i ≠ j → (f i) (x j) = 0
n : ℕ
a : Fin n ↪o ι
i j : Fin n
hij : i = j
⊢ (f (a j)) (x (a i)) = 1 i j

Tactic:
subst hij

Result:
case pos
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : LinearOrder ι
x : ι → M
f : ι → Module.Dual R M
h₁ : ∀ (i : ι), (f i) (x i) = 1
h₀ : ∀ ⦃i j : ι⦄, i ≠ j → (f i) (x j) = 0
n : ℕ
a : Fin n ↪o ι
i : Fin n
⊢ (f (a i)) (x (a i)) = 1 i i

Proof state:
case pos
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : LinearOrder ι
x : ι → M
f : ι → Module.Dual R M
h₁ : ∀ (i : ι), (f i) (x i) = 1
h₀ : ∀ ⦃i j : ι⦄, i ≠ j → (f i) (x j) = 0
n : ℕ
a : Fin n ↪o ι
i : Fin n
⊢ (f (a i)) (x (a i)) = 1 i i

Tactic:
simp only [h₁, Matrix.one_apply_eq]

Result:
no goals

Proof state:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : LinearOrder ι
x : ι → M
f : ι → Module.Dual R M
h₁ : ∀ (i : ι), (f i) (x i) = 1
h₀ : ∀ ⦃i j : ι⦄, i ≠ j → (f i) (x j) = 0
n : ℕ
a : Fin n ↪o ι
⊢ (Matrix.of fun i j => (f (a j)) (x (a i))).det = 1

Tactic:
rw [← Matrix.det_one (n := Fin n)]

Result:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
ι : Type u_3
inst✝ : LinearOrder ι
x : ι → M
f : ι → Module.Dual R M
h₁ : ∀ (i : ι), (f i) (x i) = 1
h₀ : ∀ ⦃i j : ι⦄, i ≠ j → (f i) (x j) = 0
n : ℕ
a : Fin n ↪o ι
⊢ (Matrix.of fun i j => (f (a j)) (x (a i))).det = Matrix.det 1