-- Mathlib/Analysis/FunctionalSpaces/SobolevInequality.lean
theorem eLpNorm_le_eLpNorm_fderiv_of_eq_inner  {u : E → F'}
    (hu : ContDiff ℝ 1 u) (h2u : HasCompactSupport u)
    {p p' : ℝ≥0} (hp : 1 ≤ p) (hn : 0 < finrank ℝ E)
    (hp' : (p' : ℝ)⁻¹ = p⁻¹ - (finrank ℝ E : ℝ)⁻¹) :
    eLpNorm u p' μ ≤ eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ p * eLpNorm (fderiv ℝ u) p μ

Proof state:
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp✝ : 1 ≤ p
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn✝ : 0 < n
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹
n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent
h2p : ↑p < ↑n
h0n : 2 ≤ n
hn : (↑n).IsConjExponent n'
h1n : 1 ≤ ↑n
h2n : 0 < ↑n - 1
hnp : 0 < ↑n - ↑p
hp : 1 < p
q : ℝ := (↑p).conjExponent
hq : (↑p).IsConjExponent q
h0p : p ≠ 0
h1p : ↑p ≠ 1
h3p : ↑p - 1 ≠ 0
h0p' : p' ≠ 0
h2q : 1 / ↑n' - 1 / q = 1 / ↑p'
γ : ℝ≥0 := ⟨↑p * (↑n - 1) / (↑n - ↑p), ⋯⟩
h0γ : ↑γ = ↑p * (↑n - 1) / (↑n - ↑p)
h1γ : 1 < ↑γ
h2γ : γ * n' = p'
h3γ : (↑γ - 1) * q = ↑p'
h4γ : ↑γ ≠ 0
h3u : ¬∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ ↑p' ∂μ = 0
h4u : ∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ ↑p' ∂μ ≠ ⊤
h5u : (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ ↑p' ∂μ) ^ (1 / q) ≠ 0
h6u : (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ ↑p' ∂μ) ^ (1 / q) ≠ ⊤
h7u : Continuous u
h8u : Continuous (fderiv ℝ u)
v : E → ℝ := fun x => ‖u x‖ ^ ↑γ
hv : ContDiff ℝ 1 v
h2v : HasCompactSupport v
C : ℝ≥0 := eLpNormLESNormFDerivOneConst μ ↑n'
⊢ (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ ↑p' ∂μ) ^ (1 / ↑n') = eLpNorm v (↑n') μ

Tactic:
rw [← h2γ, eLpNorm_nnreal_eq_lintegral hn.symm.pos.ne']

Result:
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp✝ : 1 ≤ p
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn✝ : 0 < n
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹
n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent
h2p : ↑p < ↑n
h0n : 2 ≤ n
hn : (↑n).IsConjExponent n'
h1n : 1 ≤ ↑n
h2n : 0 < ↑n - 1
hnp : 0 < ↑n - ↑p
hp : 1 < p
q : ℝ := (↑p).conjExponent
hq : (↑p).IsConjExponent q
h0p : p ≠ 0
h1p : ↑p ≠ 1
h3p : ↑p - 1 ≠ 0
h0p' : p' ≠ 0
h2q : 1 / ↑n' - 1 / q = 1 / ↑p'
γ : ℝ≥0 := ⟨↑p * (↑n - 1) / (↑n - ↑p), ⋯⟩
h0γ : ↑γ = ↑p * (↑n - 1) / (↑n - ↑p)
h1γ : 1 < ↑γ
h2γ : γ * n' = p'
h3γ : (↑γ - 1) * q = ↑p'
h4γ : ↑γ ≠ 0
h3u : ¬∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ ↑p' ∂μ = 0
h4u : ∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ ↑p' ∂μ ≠ ⊤
h5u : (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ ↑p' ∂μ) ^ (1 / q) ≠ 0
h6u : (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ ↑p' ∂μ) ^ (1 / q) ≠ ⊤
h7u : Continuous u
h8u : Continuous (fderiv ℝ u)
v : E → ℝ := fun x => ‖u x‖ ^ ↑γ
hv : ContDiff ℝ 1 v
h2v : HasCompactSupport v
C : ℝ≥0 := eLpNormLESNormFDerivOneConst μ ↑n'
⊢ (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ ↑(γ * n') ∂μ) ^ (1 / ↑n') = (∫⁻ (x : E), ‖v x‖ₑ ^ ↑n' ∂μ) ^ (1 / ↑n')

Proof state:
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp : 1 ≤ p
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn✝ : 0 < n
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹
n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent
h2p : ↑p < ↑n
h0n : 2 ≤ n
hn : (↑n).IsConjExponent n'
h1n : 1 ≤ ↑n
⊢ 0 < ↑n - 1

Tactic:
simp_rw [sub_pos]

Result:
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp : 1 ≤ p
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn✝ : 0 < n
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹
n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent
h2p : ↑p < ↑n
h0n : 2 ≤ n
hn : (↑n).IsConjExponent n'
h1n : 1 ≤ ↑n
⊢ 1 < ↑n

Proof state:
case neg
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp✝ : 1 ≤ p
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn✝ : 0 < n
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹
n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent
h2p : ↑p < ↑n
h0n : 2 ≤ n
hn : (↑n).IsConjExponent n'
h1n : 1 ≤ ↑n
h2n : 0 < ↑n - 1
hnp : 0 < ↑n - ↑p
hp : 1 < p
q : ℝ := (↑p).conjExponent
hq : (↑p).IsConjExponent q
h0p : p ≠ 0
h1p : ↑p ≠ 1
h3p : ↑p - 1 ≠ 0
h0p' : p' ≠ 0
h2q : 1 / ↑n' - 1 / q = 1 / ↑p'
γ : ℝ≥0 := ⟨↑p * (↑n - 1) / (↑n - ↑p), ⋯⟩
h0γ : ↑γ = ↑p * (↑n - 1) / (↑n - ↑p)
h1γ : 1 < ↑γ
h2γ : γ * n' = p'
h3γ : (↑γ - 1) * q = ↑p'
h4γ : ↑γ ≠ 0
h3u : ¬∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ ↑p' ∂μ = 0
h4u : ∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ ↑p' ∂μ ≠ ⊤
⊢ eLpNorm u (↑p') μ ≤ ↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p) * eLpNorm (fderiv ℝ u) (↑p) μ

Tactic:
have h5u : (∫⁻ x, ‖u x‖ₑ ^ (p' : ℝ) ∂μ) ^ (1 / q) ≠ 0 :=
  ENNReal.rpow_pos (pos_iff_ne_zero.mpr h3u) h4u |>.ne'

Result:
case neg
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp✝ : 1 ≤ p
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn✝ : 0 < n
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹
n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent
h2p : ↑p < ↑n
h0n : 2 ≤ n
hn : (↑n).IsConjExponent n'
h1n : 1 ≤ ↑n
h2n : 0 < ↑n - 1
hnp : 0 < ↑n - ↑p
hp : 1 < p
q : ℝ := (↑p).conjExponent
hq : (↑p).IsConjExponent q
h0p : p ≠ 0
h1p : ↑p ≠ 1
h3p : ↑p - 1 ≠ 0
h0p' : p' ≠ 0
h2q : 1 / ↑n' - 1 / q = 1 / ↑p'
γ : ℝ≥0 := ⟨↑p * (↑n - 1) / (↑n - ↑p), ⋯⟩
h0γ : ↑γ = ↑p * (↑n - 1) / (↑n - ↑p)
h1γ : 1 < ↑γ
h2γ : γ * n' = p'
h3γ : (↑γ - 1) * q = ↑p'
h4γ : ↑γ ≠ 0
h3u : ¬∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ ↑p' ∂μ = 0
h4u : ∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ ↑p' ∂μ ≠ ⊤
h5u : (∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ ↑p' ∂μ) ^ (1 / q) ≠ 0
⊢ eLpNorm u (↑p') μ ≤ ↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p) * eLpNorm (fderiv ℝ u) (↑p) μ

Proof state:
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp✝ : 1 ≤ p
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn✝ : 0 < n
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹
n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent
h2p : ↑p < ↑n
h0n : 2 ≤ n
hn : (↑n).IsConjExponent n'
h1n : 1 ≤ ↑n
h2n : 0 < ↑n - 1
hnp : 0 < ↑n - ↑p
hp : 1 < p
q : ℝ := (↑p).conjExponent
hq : (↑p).IsConjExponent q
h0p : p ≠ 0
h1p : ↑p ≠ 1
h3p : ↑p - 1 ≠ 0
h0p' : p' ≠ 0
h2q : 1 / ↑n' - 1 / q = 1 / ↑p'
γ : ℝ≥0 := ⟨↑p * (↑n - 1) / (↑n - ↑p), ⋯⟩
h0γ : ↑γ = ↑p * (↑n - 1) / (↑n - ↑p)
h1γ : 1 < ↑γ
h2γ : γ * n' = p'
this : ↑p * (↑n - 1) - (↑n - ↑p) = ↑n * (↑p - 1)
⊢ (↑n - ↑p) * (↑p - 1) * (↑p * ↑n) = (↑n - ↑p) * (↑n * (↑p - 1) * ↑p)

Tactic:
ring

Result:
no goals