-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
theorem HasFPowerSeriesWithinAt.mono_of_mem_nhdsWithin
    (h : HasFPowerSeriesWithinAt f p s x) (hst : s ∈ 𝓝[t] x) :
    HasFPowerSeriesWithinAt f p t x

Proof state:
case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s t : Set E
x : E
hst : s ∈ 𝓝[t] x
r : ℝ≥0∞
hr : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
r' : ℝ≥0∞
r'_pos : r' > 0
hr' : EMetric.ball x r' ∩ t ⊆ s
Z : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x (r ⊓ r')
⊢ HasFPowerSeriesWithinOnBall f p t x (r ⊓ r')

Tactic:
refine ⟨Z.r_le, Z.r_pos, fun {y} hy h'y ↦ ?_⟩

Result:
case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s t : Set E
x : E
hst : s ∈ 𝓝[t] x
r : ℝ≥0∞
hr : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
r' : ℝ≥0∞
r'_pos : r' > 0
hr' : EMetric.ball x r' ∩ t ⊆ s
Z : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x (r ⊓ r')
y : E
hy : x + y ∈ insert x t
h'y : y ∈ EMetric.ball 0 (r ⊓ r')
⊢ HasSum (fun n => (p n) fun x => y) (f (x + y))

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s t : Set E
x : E
hst : s ∈ 𝓝[t] x
r : ℝ≥0∞
hr : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
r' : ℝ≥0∞
r'_pos : r' > 0
hr' : EMetric.ball x r' ∩ t ⊆ s
Z : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x (r ⊓ r')
y : E
h'y : y ∈ EMetric.ball 0 (r ⊓ r')
hy : y = 0 ∨ x + y ∈ t
⊢ x + y ∈ insert x s

Tactic:
rcases hy with rfl | hy

Result:
case inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s t : Set E
x : E
hst : s ∈ 𝓝[t] x
r : ℝ≥0∞
hr : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
r' : ℝ≥0∞
r'_pos : r' > 0
hr' : EMetric.ball x r' ∩ t ⊆ s
Z : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x (r ⊓ r')
h'y : 0 ∈ EMetric.ball 0 (r ⊓ r')
⊢ x + 0 ∈ insert x s

case inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s t : Set E
x : E
hst : s ∈ 𝓝[t] x
r : ℝ≥0∞
hr : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
r' : ℝ≥0∞
r'_pos : r' > 0
hr' : EMetric.ball x r' ∩ t ⊆ s
Z : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x (r ⊓ r')
y : E
h'y : y ∈ EMetric.ball 0 (r ⊓ r')
hy : x + y ∈ t
⊢ x + y ∈ insert x s

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s t : Set E
x : E
hst : s ∈ 𝓝[t] x
r : ℝ≥0∞
hr : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
r' : ℝ≥0∞
r'_pos : r' > 0
hr' : EMetric.ball x r' ∩ t ⊆ s
Z : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x (r ⊓ r')
y : E
hy : x + y ∈ t
h'y : ‖y‖ₑ < r ∧ ‖y‖ₑ < r'
⊢ ‖y‖ₑ < r'

Tactic:
exact h'y.2

Result:
no goals

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s t : Set E
x : E
hst : s ∈ 𝓝[t] x
r : ℝ≥0∞
hr : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
r' : ℝ≥0∞
r'_pos : r' > 0
hr' : EMetric.ball x r' ∩ t ⊆ s
⊢ 0 < r ⊓ r'

Tactic:
simp [r'_pos, hr.r_pos]

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s t : Set E
x : E
hst : s ∈ 𝓝[t] x
r : ℝ≥0∞
hr : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
r' : ℝ≥0∞
r'_pos : r' > 0
hr' : EMetric.ball x r' ∩ t ⊆ s
⊢ HasFPowerSeriesWithinAt f p t x

Tactic:
refine ⟨min r r', ?_⟩

Result:
case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s t : Set E
x : E
hst : s ∈ 𝓝[t] x
r : ℝ≥0∞
hr : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
r' : ℝ≥0∞
r'_pos : r' > 0
hr' : EMetric.ball x r' ∩ t ⊆ s
⊢ HasFPowerSeriesWithinOnBall f p t x (r ⊓ r')

Proof state:
case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s t : Set E
x : E
hst : s ∈ 𝓝[t] x
r : ℝ≥0∞
hr : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
r' : ℝ≥0∞
r'_pos : r' > 0
hr' : EMetric.ball x r' ∩ t ⊆ s
⊢ HasFPowerSeriesWithinOnBall f p t x (r ⊓ r')

Tactic:
have Z := hr.of_le (by simp [r'_pos, hr.r_pos]) (min_le_left r r')

Result:
case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s t : Set E
x : E
hst : s ∈ 𝓝[t] x
r : ℝ≥0∞
hr : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
r' : ℝ≥0∞
r'_pos : r' > 0
hr' : EMetric.ball x r' ∩ t ⊆ s
Z : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x (r ⊓ r')
⊢ HasFPowerSeriesWithinOnBall f p t x (r ⊓ r')

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s t : Set E
x : E
h : HasFPowerSeriesWithinAt f p s x
hst : s ∈ 𝓝[t] x
⊢ HasFPowerSeriesWithinAt f p t x

Tactic:
rcases h with ⟨r, hr⟩

Result:
case intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s t : Set E
x : E
hst : s ∈ 𝓝[t] x
r : ℝ≥0∞
hr : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
⊢ HasFPowerSeriesWithinAt f p t x

Proof state:
case inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s t : Set E
x : E
hst : s ∈ 𝓝[t] x
r : ℝ≥0∞
hr : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
r' : ℝ≥0∞
r'_pos : r' > 0
hr' : EMetric.ball x r' ∩ t ⊆ s
Z : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x (r ⊓ r')
h'y : 0 ∈ EMetric.ball 0 (r ⊓ r')
⊢ x + 0 ∈ insert x s

Tactic:
simp

Result:
no goals