-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/Basic.lean
theorem HasLineDerivAt.congr_of_eventuallyEq (h : HasLineDerivAt 𝕜 f f' x v) (h₁ : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f) :
    HasLineDerivAt 𝕜 f₁ f' x v

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F✝ : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F✝
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₁ : E → F✝
f' : F✝
x v : E
h : HasLineDerivAt 𝕜 f f' x v
F : 𝕜 → E := fun t => x + t • v
h₁ : f₁ =ᶠ[𝓝 (F 0)] f
⊢ (fun t => f₁ (x + t • v)) =ᶠ[𝓝 0] fun t => f (x + t • v)

Tactic:
exact (Continuous.continuousAt (by fun_prop)).preimage_mem_nhds h₁

Result:
no goals

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F✝ : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F✝
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₁ : E → F✝
f' : F✝
x v : E
h : HasLineDerivAt 𝕜 f f' x v
h₁ : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f
F : 𝕜 → E := fun t => x + t • v
⊢ x = F 0

Tactic:
simp [F]

Result:
no goals

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₁ : E → F
f' : F
x v : E
h : HasLineDerivAt 𝕜 f f' x v
h₁ : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f
⊢ (fun t => f₁ (x + t • v)) =ᶠ[𝓝 0] fun t => f (x + t • v)

Tactic:
let F := fun (t : 𝕜) ↦ x + t • v

Result:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F✝ : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F✝
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₁ : E → F✝
f' : F✝
x v : E
h : HasLineDerivAt 𝕜 f f' x v
h₁ : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f
F : 𝕜 → E := fun t => x + t • v
⊢ (fun t => f₁ (x + t • v)) =ᶠ[𝓝 0] fun t => f (x + t • v)

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₁ : E → F
f' : F
x v : E
h : HasLineDerivAt 𝕜 f f' x v
h₁ : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f
⊢ HasLineDerivAt 𝕜 f₁ f' x v

Tactic:
apply HasDerivAt.congr_of_eventuallyEq h

Result:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₁ : E → F
f' : F
x v : E
h : HasLineDerivAt 𝕜 f f' x v
h₁ : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f
⊢ (fun t => f₁ (x + t • v)) =ᶠ[𝓝 0] fun t => f (x + t • v)

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F✝ : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F✝
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₁ : E → F✝
f' : F✝
x v : E
h : HasLineDerivAt 𝕜 f f' x v
F : 𝕜 → E := fun t => x + t • v
h₁ : f₁ =ᶠ[𝓝 (F 0)] f
⊢ Continuous F

Tactic:
fun_prop

Result:
no goals

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F✝ : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F✝
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₁ : E → F✝
f' : F✝
x v : E
h : HasLineDerivAt 𝕜 f f' x v
h₁ : f₁ =ᶠ[𝓝 x] f
F : 𝕜 → E := fun t => x + t • v
⊢ (fun t => f₁ (x + t • v)) =ᶠ[𝓝 0] fun t => f (x + t • v)

Tactic:
rw [show x = F 0 by simp [F]] at h₁

Result:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F✝ : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F✝
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₁ : E → F✝
f' : F✝
x v : E
h : HasLineDerivAt 𝕜 f f' x v
F : 𝕜 → E := fun t => x + t • v
h₁ : f₁ =ᶠ[𝓝 (F 0)] f
⊢ (fun t => f₁ (x + t • v)) =ᶠ[𝓝 0] fun t => f (x + t • v)