-- Mathlib/Analysis/Calculus/LineDeriv/IntegrationByParts.lean
theorem integral_bilinear_hasLineDerivAt_right_eq_neg_left_of_integrable
    {f f' : E → F} {g g' : E → G} {v : E} {B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W}
    (hf'g : Integrable (fun x ↦ B (f' x) (g x)) μ) (hfg' : Integrable (fun x ↦ B (f x) (g' x)) μ)
    (hfg : Integrable (fun x ↦ B (f x) (g x)) μ)
    (hf : ∀ x, HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x v) (hg : ∀ x, HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x v) :
    ∫ x, B (f x) (g' x) ∂μ = - ∫ x, B (f' x) (g x) ∂μ

Proof state:
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
inst✝³ : MeasurableSpace E
μ : Measure E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f f' : E → F
g g' : E → G
v : E
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g : Integrable (fun x => (B (f' x)) (g x)) μ
hfg' : Integrable (fun x => (B (f x)) (g' x)) μ
hfg : Integrable (fun x => (B (f x)) (g x)) μ
hf : ∀ (x : E), HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x v
hg : ∀ (x : E), HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x v
hW : CompleteSpace W
hv : v ≠ 0
this✝ : Nontrivial E
n : ℕ := finrank ℝ E
E' : Type := Fin (n - 1) → ℝ
this : finrank ℝ (E' × ℝ) = n
L₀ : E ≃L[ℝ] E' × ℝ
M : (E' × ℝ) ≃L[ℝ] E' × ℝ
hM : M (L₀ v) = (0, 1)
⊢ (L₀.trans M) v = (0, 1)

Tactic:
simp [hM]

Result:
no goals

Proof state:
case hy
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
inst✝³ : MeasurableSpace E
μ : Measure E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f f' : E → F
g g' : E → G
v : E
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g : Integrable (fun x => (B (f' x)) (g x)) μ
hfg' : Integrable (fun x => (B (f x)) (g' x)) μ
hfg : Integrable (fun x => (B (f x)) (g x)) μ
hf : ∀ (x : E), HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x v
hg : ∀ (x : E), HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x v
hW : CompleteSpace W
hv : v ≠ 0
this✝ : Nontrivial E
n : ℕ := finrank ℝ E
E' : Type := Fin (n - 1) → ℝ
this : finrank ℝ (E' × ℝ) = n
L₀ : E ≃L[ℝ] E' × ℝ
⊢ (0, 1) ≠ 0

Tactic:
simp

Result:
no goals

Proof state:
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
inst✝³ : MeasurableSpace E
μ : Measure E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f f' : E → F
g g' : E → G
v : E
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g : Integrable (fun x => (B (f' x)) (g x)) μ
hfg' : Integrable (fun x => (B (f x)) (g' x)) μ
hfg : Integrable (fun x => (B (f x)) (g x)) μ
hf : ∀ (x : E), HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x v
hg : ∀ (x : E), HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x v
⊢ ∫ (x : E), (B (f x)) (g' x) ∂μ = -∫ (x : E), (B (f' x)) (g x) ∂μ

Tactic:
by_cases hW : CompleteSpace W

Result:
case pos
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
inst✝³ : MeasurableSpace E
μ : Measure E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f f' : E → F
g g' : E → G
v : E
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g : Integrable (fun x => (B (f' x)) (g x)) μ
hfg' : Integrable (fun x => (B (f x)) (g' x)) μ
hfg : Integrable (fun x => (B (f x)) (g x)) μ
hf : ∀ (x : E), HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x v
hg : ∀ (x : E), HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x v
hW : CompleteSpace W
⊢ ∫ (x : E), (B (f x)) (g' x) ∂μ = -∫ (x : E), (B (f' x)) (g x) ∂μ

case neg
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
inst✝³ : MeasurableSpace E
μ : Measure E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f f' : E → F
g g' : E → G
v : E
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g : Integrable (fun x => (B (f' x)) (g x)) μ
hfg' : Integrable (fun x => (B (f x)) (g' x)) μ
hfg : Integrable (fun x => (B (f x)) (g x)) μ
hf : ∀ (x : E), HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x v
hg : ∀ (x : E), HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x v
hW : ¬CompleteSpace W
⊢ ∫ (x : E), (B (f x)) (g' x) ∂μ = -∫ (x : E), (B (f' x)) (g x) ∂μ

Proof state:
case pos.inl
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
inst✝³ : MeasurableSpace E
μ : Measure E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f f' : E → F
g g' : E → G
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g : Integrable (fun x => (B (f' x)) (g x)) μ
hfg' : Integrable (fun x => (B (f x)) (g' x)) μ
hfg : Integrable (fun x => (B (f x)) (g x)) μ
hW : CompleteSpace W
hf : ∀ (x : E), HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x 0
hg : ∀ (x : E), HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x 0
Hf' : ∀ (x : E), f' x = 0
Hg' : ∀ (x : E), g' x = 0
⊢ ∫ (x : E), (B (f x)) (g' x) ∂μ = -∫ (x : E), (B (f' x)) (g x) ∂μ

Tactic:
simp [Hf', Hg']

Result:
no goals

Proof state:
case pos.inr.intro.hg
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
inst✝³ : MeasurableSpace E
μ : Measure E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f f' : E → F
g g' : E → G
v : E
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g : Integrable (fun x => (B (f' x)) (g x)) μ
hfg' : Integrable (fun x => (B (f x)) (g' x)) μ
hfg : Integrable (fun x => (B (f x)) (g x)) μ
hf : ∀ (x : E), HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x v
hg : ∀ (x : E), HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x v
hW : CompleteSpace W
hv : v ≠ 0
this : Nontrivial E
n : ℕ := finrank ℝ E
E' : Type := Fin (n - 1) → ℝ
L : E ≃L[ℝ] E' × ℝ
hL : L v = (0, 1)
ν : Measure (E' × ℝ) := map (⇑L) μ
L_emb : MeasurableEmbedding ⇑L
x : E' × ℝ
⊢ HasLineDerivAt ℝ (fun x => g (L.symm x)) (g' (L.symm x)) x (0, 1)

Tactic:
have : g = (g ∘ L.symm) ∘ (L : E →ₗ[ℝ] (E' × ℝ)) := by ext y; simp

Result:
case pos.inr.intro.hg
E : Type u_1
F : Type u_2
G : Type u_3
W : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ W
inst✝³ : MeasurableSpace E
μ : Measure E
inst✝² : BorelSpace E
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
f f' : E → F
g g' : E → G
v : E
B : F →L[ℝ] G →L[ℝ] W
hf'g : Integrable (fun x => (B (f' x)) (g x)) μ
hfg' : Integrable (fun x => (B (f x)) (g' x)) μ
hfg : Integrable (fun x => (B (f x)) (g x)) μ
hf : ∀ (x : E), HasLineDerivAt ℝ f (f' x) x v
hg : ∀ (x : E), HasLineDerivAt ℝ g (g' x) x v
hW : CompleteSpace W
hv : v ≠ 0
this✝ : Nontrivial E
n : ℕ := finrank ℝ E
E' : Type := Fin (n - 1) → ℝ
L : E ≃L[ℝ] E' × ℝ
hL : L v = (0, 1)
ν : Measure (E' × ℝ) := map (⇑L) μ
L_emb : MeasurableEmbedding ⇑L
x : E' × ℝ
this : g = (g ∘ ⇑L.symm) ∘ ⇑↑↑L
⊢ HasLineDerivAt ℝ (fun x => g (L.symm x)) (g' (L.symm x)) x (0, 1)