-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Polynomial.lean
lemma polyCharpolyAux_baseChange (A : Type*) [CommRing A] [Algebra R A] :
    polyCharpolyAux (tensorProduct _ _ _ _ ∘ₗ φ.baseChange A) (basis A b) (basis A bₘ) =
      (polyCharpolyAux φ b bₘ).map (MvPolynomial.map (algebraMap R A))

Proof state:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
ιM : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup L
inst✝⁸ : Module R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ιM
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
A : Type u_8
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
⊢ Polynomial.map
      ((↑(bind₁ (toMvPolynomial (basis A b) (basis A bₘ).end (tensorProduct R A M M ∘ₗ baseChange A φ)))).comp
        (MvPolynomial.map (algebraMap R A)))
      (charpoly.univ R ιM) =
    Polynomial.map ((MvPolynomial.map (algebraMap R A)).comp ↑(bind₁ (toMvPolynomial b bₘ.end φ))) (charpoly.univ R ιM)

Tactic:
congr 1

Result:
case e_f
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
ιM : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup L
inst✝⁸ : Module R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ιM
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
A : Type u_8
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
⊢ (↑(bind₁ (toMvPolynomial (basis A b) (basis A bₘ).end (tensorProduct R A M M ∘ₗ baseChange A φ)))).comp
      (MvPolynomial.map (algebraMap R A)) =
    (MvPolynomial.map (algebraMap R A)).comp ↑(bind₁ (toMvPolynomial b bₘ.end φ))

Proof state:
case h₁
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
ιM : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup L
inst✝⁸ : Module R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ιM
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
A : Type u_8
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
ij : ιM × ιM
this :
  ∀ (kl : ιM × ιM),
    (toMatrix (basis A bₘ.end) (basis A bₘ).end) (tensorProduct R A M M) ij kl = if kl = ij then 1 else 0
h : ij ∉ Finset.univ
⊢ (monomial (Finsupp.single ij 1)) ((toMatrix (basis A bₘ.end) (basis A bₘ).end) (tensorProduct R A M M) ij ij) = 0

Tactic:
exact (h (Finset.mem_univ _)).elim

Result:
no goals

Proof state:
case e_f.hC
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
ιM : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup L
inst✝⁸ : Module R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ιM
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
A : Type u_8
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
r : R
⊢ ((↑(bind₁ (toMvPolynomial (basis A b) (basis A bₘ).end (tensorProduct R A M M ∘ₗ baseChange A φ)))).comp
        (MvPolynomial.map (algebraMap R A)))
      (C r) =
    ((MvPolynomial.map (algebraMap R A)).comp ↑(bind₁ (toMvPolynomial b bₘ.end φ))) (C r)

Tactic:
simp only [RingHom.coe_comp, RingHom.coe_coe, Function.comp_apply, map_C, bind₁_C_right]

Result:
no goals

Proof state:
case e_f.hX
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
ιM : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup L
inst✝⁸ : Module R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ιM
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
A : Type u_8
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
ij kl : ιM × ιM
⊢ (toMatrix (basis A bₘ.end) (basis A bₘ).end) (tensorProduct R A M M) ij kl = if kl = ij then 1 else 0

Tactic:
rw [toMatrix_apply, tensorProduct, TensorProduct.AlgebraTensorModule.lift_apply,
  basis_apply, TensorProduct.lift.tmul, coe_restrictScalars]

Result:
case e_f.hX
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
ιM : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup L
inst✝⁸ : Module R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ιM
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
A : Type u_8
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
ij kl : ιM × ιM
⊢ ((basis A bₘ).end.repr
        (({ toFun := fun a => a • baseChangeHom R A M M, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } 1) (bₘ.end kl)))
      ij =
    if kl = ij then 1 else 0

Proof state:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
ιM : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup L
inst✝⁸ : Module R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ιM
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
A : Type u_8
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
ij : ιM × ιM
this :
  ∀ (kl : ιM × ιM),
    (toMatrix (basis A bₘ.end) (basis A bₘ).end) (tensorProduct R A M M) ij kl = if kl = ij then 1 else 0
⊢ ∑ j : ιM × ιM,
      (monomial (Finsupp.single j 1)) ((toMatrix (basis A bₘ.end) (basis A bₘ).end) (tensorProduct R A M M) ij j) =
    X ij

Tactic:
rw [Finset.sum_eq_single ij]

Result:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
ιM : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup L
inst✝⁸ : Module R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ιM
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
A : Type u_8
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
ij : ιM × ιM
this :
  ∀ (kl : ιM × ιM),
    (toMatrix (basis A bₘ.end) (basis A bₘ).end) (tensorProduct R A M M) ij kl = if kl = ij then 1 else 0
⊢ (monomial (Finsupp.single ij 1)) ((toMatrix (basis A bₘ.end) (basis A bₘ).end) (tensorProduct R A M M) ij ij) = X ij

case h₀
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
ιM : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup L
inst✝⁸ : Module R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ιM
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
A : Type u_8
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
ij : ιM × ιM
this :
  ∀ (kl : ιM × ιM),
    (toMatrix (basis A bₘ.end) (basis A bₘ).end) (tensorProduct R A M M) ij kl = if kl = ij then 1 else 0
⊢ ∀ b ∈ Finset.univ,
    b ≠ ij →
      (monomial (Finsupp.single b 1)) ((toMatrix (basis A bₘ.end) (basis A bₘ).end) (tensorProduct R A M M) ij b) = 0

case h₁
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
ιM : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup L
inst✝⁸ : Module R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ιM
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
A : Type u_8
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
ij : ιM × ιM
this :
  ∀ (kl : ιM × ιM),
    (toMatrix (basis A bₘ.end) (basis A bₘ).end) (tensorProduct R A M M) ij kl = if kl = ij then 1 else 0
⊢ ij ∉ Finset.univ →
    (monomial (Finsupp.single ij 1)) ((toMatrix (basis A bₘ.end) (basis A bₘ).end) (tensorProduct R A M M) ij ij) = 0

Proof state:
case e_f.hX
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
ιM : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup L
inst✝⁸ : Module R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ιM
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
A : Type u_8
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
ij kl : ιM × ιM
⊢ ((basis A bₘ).end.repr (1 • baseChange A (bₘ.end kl))) ij = if kl = ij then 1 else 0

Tactic:
rw [one_smul, Basis.baseChange_end, Basis.repr_self_apply]

Result:
no goals