-- Mathlib/Geometry/Manifold/Complex.lean
theorem Complex.norm_eventually_eq_of_mdifferentiableAt_of_isLocalMax {f : M → F} {c : M}
    (hd : ∀ᶠ z in 𝓝 c, MDifferentiableAt I 𝓘(ℂ, F) f z) (hc : IsLocalMax (norm ∘ f) c) :
    ∀ᶠ y in 𝓝 c, ‖f y‖ = ‖f c‖

Proof state:
case h.e'_2.h.h.e'_3.h.e'_3
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝³ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : IsManifold I 1 M
f : M → F
c : M
hc : IsLocalMax (norm ∘ f) c
e : PartialEquiv M E := extChartAt I c
hI : range ↑I = univ
H₁ : 𝓝[range ↑I] ↑e c = 𝓝 (↑e c)
H₂ : map (↑e.symm) (𝓝 (↑e c)) = 𝓝 c
hd : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 (↑e c), DifferentiableAt ℂ (f ∘ ↑e.symm) y
x✝ : E
⊢ f c = (f ∘ ↑e.symm) (↑e c)

Tactic:
exact congr_arg f (extChartAt_to_inv _).symm

Result:
no goals

Proof state:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝³ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : IsManifold I 1 M
f : M → F
c : M
hd : ∀ᶠ (z : M) in 𝓝 c, MDifferentiableAt I 𝓘(ℂ, F) f z
hc : IsLocalMax (norm ∘ f) c
e : PartialEquiv M E := extChartAt I c
hI : range ↑I = univ
⊢ ∀ᶠ (y : M) in 𝓝 c, ‖f y‖ = ‖f c‖

Tactic:
have H₁ : 𝓝[range I] (e c) = 𝓝 (e c) := by rw [hI, nhdsWithin_univ]

Result:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝³ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : IsManifold I 1 M
f : M → F
c : M
hd : ∀ᶠ (z : M) in 𝓝 c, MDifferentiableAt I 𝓘(ℂ, F) f z
hc : IsLocalMax (norm ∘ f) c
e : PartialEquiv M E := extChartAt I c
hI : range ↑I = univ
H₁ : 𝓝[range ↑I] ↑e c = 𝓝 (↑e c)
⊢ ∀ᶠ (y : M) in 𝓝 c, ‖f y‖ = ‖f c‖

Proof state:
case h
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝³ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : IsManifold I 1 M
f : M → F
c : M
hd : ∀ᶠ (z : M) in 𝓝 c, MDifferentiableAt I 𝓘(ℂ, F) f z
hc : IsLocalMax (norm ∘ f) c
e : PartialEquiv M E := extChartAt I c
hI : range ↑I = univ
H₁ : 𝓝[range ↑I] ↑e c = 𝓝 (↑e c)
H₂ : map (↑e.symm) (𝓝 (↑e c)) = 𝓝 c
this : e.target ∈ 𝓝 (↑e c)
y : E
hyt : y ∈ e.target
hy₂ : MDifferentiableAt I 𝓘(ℂ, F) f (↑e.symm y)
⊢ DifferentiableAt ℂ (f ∘ ↑e.symm) y

Tactic:
have hys : e.symm y ∈ (chartAt H c).source := by
  rw [← extChartAt_source I c]
  exact (extChartAt I c).map_target hyt

Result:
case h
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝³ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : IsManifold I 1 M
f : M → F
c : M
hd : ∀ᶠ (z : M) in 𝓝 c, MDifferentiableAt I 𝓘(ℂ, F) f z
hc : IsLocalMax (norm ∘ f) c
e : PartialEquiv M E := extChartAt I c
hI : range ↑I = univ
H₁ : 𝓝[range ↑I] ↑e c = 𝓝 (↑e c)
H₂ : map (↑e.symm) (𝓝 (↑e c)) = 𝓝 c
this : e.target ∈ 𝓝 (↑e c)
y : E
hyt : y ∈ e.target
hy₂ : MDifferentiableAt I 𝓘(ℂ, F) f (↑e.symm y)
hys : ↑e.symm y ∈ (chartAt H c).source
⊢ DifferentiableAt ℂ (f ∘ ↑e.symm) y

Proof state:
case h
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝³ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : IsManifold I 1 M
f : M → F
c : M
hd : ∀ᶠ (z : M) in 𝓝 c, MDifferentiableAt I 𝓘(ℂ, F) f z
hc : IsLocalMax (norm ∘ f) c
e : PartialEquiv M E := extChartAt I c
hI : range ↑I = univ
H₁ : 𝓝[range ↑I] ↑e c = 𝓝 (↑e c)
H₂ : map (↑e.symm) (𝓝 (↑e c)) = 𝓝 c
this : e.target ∈ 𝓝 (↑e c)
y : E
hyt : y ∈ e.target
hy₂ : MDifferentiableAt I 𝓘(ℂ, F) f (↑e.symm y)
hys : ↑e.symm y ∈ (chartAt H c).source
hfy : f (↑e.symm y) ∈ (chartAt F 0).source
⊢ DifferentiableAt ℂ (f ∘ ↑e.symm) y

Tactic:
rw [mdifferentiableAt_iff_of_mem_source hys hfy, hI, differentiableWithinAt_univ,
  e.right_inv hyt] at hy₂

Result:
case h
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝³ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : IsManifold I 1 M
f : M → F
c : M
hd : ∀ᶠ (z : M) in 𝓝 c, MDifferentiableAt I 𝓘(ℂ, F) f z
hc : IsLocalMax (norm ∘ f) c
e : PartialEquiv M E := extChartAt I c
hI : range ↑I = univ
H₁ : 𝓝[range ↑I] ↑e c = 𝓝 (↑e c)
H₂ : map (↑e.symm) (𝓝 (↑e c)) = 𝓝 c
this : e.target ∈ 𝓝 (↑e c)
y : E
hyt : y ∈ e.target
hy₂ : ContinuousAt f (↑e.symm y) ∧ DifferentiableAt ℂ (↑(extChartAt 𝓘(ℂ, F) 0) ∘ f ∘ ↑(extChartAt I c).symm) y
hys : ↑e.symm y ∈ (chartAt H c).source
hfy : f (↑e.symm y) ∈ (chartAt F 0).source
⊢ DifferentiableAt ℂ (f ∘ ↑e.symm) y

Proof state:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝³ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : IsManifold I 1 M
f : M → F
c : M
hd : ∀ᶠ (z : M) in 𝓝 c, MDifferentiableAt I 𝓘(ℂ, F) f z
hc : IsLocalMax (norm ∘ f) c
e : PartialEquiv M E := extChartAt I c
hI : range ↑I = univ
H₁ : 𝓝[range ↑I] ↑e c = 𝓝 (↑e c)
H₂ : map (↑e.symm) (𝓝 (↑e c)) = 𝓝 c
this : e.target ∈ 𝓝 (↑e c)
⊢ ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 (↑e c), DifferentiableAt ℂ (f ∘ ↑e.symm) y

Tactic:
filter_upwards [this, Tendsto.eventually H₂.le hd] with y hyt hy₂

Result:
case h
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℂ E H
inst✝³ : I.Boundaryless
M : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : IsManifold I 1 M
f : M → F
c : M
hd : ∀ᶠ (z : M) in 𝓝 c, MDifferentiableAt I 𝓘(ℂ, F) f z
hc : IsLocalMax (norm ∘ f) c
e : PartialEquiv M E := extChartAt I c
hI : range ↑I = univ
H₁ : 𝓝[range ↑I] ↑e c = 𝓝 (↑e c)
H₂ : map (↑e.symm) (𝓝 (↑e c)) = 𝓝 c
this : e.target ∈ 𝓝 (↑e c)
y : E
hyt : y ∈ e.target
hy₂ : MDifferentiableAt I 𝓘(ℂ, F) f (↑e.symm y)
⊢ DifferentiableAt ℂ (f ∘ ↑e.symm) y