-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
theorem D_subset_differentiable_set {K : Set F} (hK : IsComplete K) :
    D f K ⊆ { x | DifferentiableWithinAt ℝ f (Ici x) x ∧ derivWithin f (Ici x) x ∈ K }

Proof state:
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
hK : IsComplete K
P : ∀ {n : ℕ}, 0 < (1 / 2) ^ n
x : ℝ
hx : x ∈ D f K
n : ℕ → ℕ
L : ℕ → ℕ → ℕ → F
hn :
  ∀ (e p q : ℕ),
    n e ≤ p →
      n e ≤ q → L e p q ∈ K ∧ x ∈ A f (L e p q) ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ e) ∩ A f (L e p q) ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ e)
M :
  ∀ (e p q e' p' q' : ℕ), n e ≤ p → n e ≤ q → n e' ≤ p' → n e' ≤ q' → e ≤ e' → ‖L e p q - L e' p' q'‖ ≤ 12 * (1 / 2) ^ e
L0 : ℕ → F := fun e => L e (n e) (n e)
this : CauchySeq L0
f' : F
f'K : f' ∈ K
hf' : Tendsto L0 atTop (𝓝 f')
Lf' : ∀ (e p : ℕ), n e ≤ p → ‖L e (n e) p - f'‖ ≤ 12 * (1 / 2) ^ e
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
⊢ 0 < 16

Tactic:
norm_num

Result:
no goals

Proof state:
case h.inr
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
hK : IsComplete K
P : ∀ {n : ℕ}, 0 < (1 / 2) ^ n
x : ℝ
hx : x ∈ D f K
n : ℕ → ℕ
L : ℕ → ℕ → ℕ → F
hn :
  ∀ (e p q : ℕ),
    n e ≤ p →
      n e ≤ q → L e p q ∈ K ∧ x ∈ A f (L e p q) ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ e) ∩ A f (L e p q) ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ e)
M :
  ∀ (e p q e' p' q' : ℕ), n e ≤ p → n e ≤ q → n e' ≤ p' → n e' ≤ q' → e ≤ e' → ‖L e p q - L e' p' q'‖ ≤ 12 * (1 / 2) ^ e
L0 : ℕ → F := fun e => L e (n e) (n e)
this : CauchySeq L0
f' : F
f'K : f' ∈ K
hf' : Tendsto L0 atTop (𝓝 f')
Lf' : ∀ (e p : ℕ), n e ≤ p → ‖L e (n e) p - f'‖ ≤ 12 * (1 / 2) ^ e
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
e : ℕ
he : (1 / 2) ^ e < ε / 16
y : ℝ
hy : y ∈ Icc x (x + (1 / 2) ^ (n e + 1))
xy : x < y
⊢ ‖f y - f x - (y - x) • f'‖ ≤ ε * ‖y - x‖

Tactic:
have yzero : 0 < y - x := sub_pos.2 xy

Result:
case h.inr
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
hK : IsComplete K
P : ∀ {n : ℕ}, 0 < (1 / 2) ^ n
x : ℝ
hx : x ∈ D f K
n : ℕ → ℕ
L : ℕ → ℕ → ℕ → F
hn :
  ∀ (e p q : ℕ),
    n e ≤ p →
      n e ≤ q → L e p q ∈ K ∧ x ∈ A f (L e p q) ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ e) ∩ A f (L e p q) ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ e)
M :
  ∀ (e p q e' p' q' : ℕ), n e ≤ p → n e ≤ q → n e' ≤ p' → n e' ≤ q' → e ≤ e' → ‖L e p q - L e' p' q'‖ ≤ 12 * (1 / 2) ^ e
L0 : ℕ → F := fun e => L e (n e) (n e)
this : CauchySeq L0
f' : F
f'K : f' ∈ K
hf' : Tendsto L0 atTop (𝓝 f')
Lf' : ∀ (e p : ℕ), n e ≤ p → ‖L e (n e) p - f'‖ ≤ 12 * (1 / 2) ^ e
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
e : ℕ
he : (1 / 2) ^ e < ε / 16
y : ℝ
hy : y ∈ Icc x (x + (1 / 2) ^ (n e + 1))
xy : x < y
yzero : 0 < y - x
⊢ ‖f y - f x - (y - x) • f'‖ ≤ ε * ‖y - x‖

Proof state:
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
hK : IsComplete K
P : ∀ {n : ℕ}, 0 < (1 / 2) ^ n
x : ℝ
hx : x ∈ D f K
e : ℕ
⊢ ∃ n, ∀ (p q : ℕ), n ≤ p → n ≤ q → ∃ L ∈ K, x ∈ A f L ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ e) ∩ A f L ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ e)

Tactic:
have := mem_iInter.1 hx e

Result:
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
hK : IsComplete K
P : ∀ {n : ℕ}, 0 < (1 / 2) ^ n
x : ℝ
hx : x ∈ D f K
e : ℕ
this : x ∈ ⋃ n, ⋂ p, ⋂ (_ : p ≥ n), ⋂ q, ⋂ (_ : q ≥ n), B f K ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ e)
⊢ ∃ n, ∀ (p q : ℕ), n ≤ p → n ≤ q → ∃ L ∈ K, x ∈ A f L ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ e) ∩ A f L ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ e)

Proof state:
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
hK : IsComplete K
P : ∀ {n : ℕ}, 0 < (1 / 2) ^ n
x : ℝ
hx : x ∈ D f K
n : ℕ → ℕ
L : ℕ → ℕ → ℕ → F
hn :
  ∀ (e p q : ℕ),
    n e ≤ p →
      n e ≤ q → L e p q ∈ K ∧ x ∈ A f (L e p q) ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ e) ∩ A f (L e p q) ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ e)
M :
  ∀ (e p q e' p' q' : ℕ), n e ≤ p → n e ≤ q → n e' ≤ p' → n e' ≤ q' → e ≤ e' → ‖L e p q - L e' p' q'‖ ≤ 12 * (1 / 2) ^ e
L0 : ℕ → F := fun e => L e (n e) (n e)
this : CauchySeq L0
f' : F
f'K : f' ∈ K
hf' : Tendsto L0 atTop (𝓝 f')
Lf' : ∀ (e p : ℕ), n e ≤ p → ‖L e (n e) p - f'‖ ≤ 12 * (1 / 2) ^ e
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
e : ℕ
he : (1 / 2) ^ e < ε / 16
y : ℝ
hy : y ∈ Icc x (x + (1 / 2) ^ (n e + 1))
xy : x < y
yzero : 0 < y - x
y_le : y - x ≤ (1 / 2) ^ (n e + 1)
yone : y - x ≤ 1
k : ℕ
k_gt : n e < k
m : ℕ := k - 1
h'k : y - x ≤ (1 / 2) ^ (m + 1)
hk : (1 / 2) ^ (m + 1 + 1) < y - x
m_ge : n e ≤ m
km : k = m + 1
⊢ ‖f y - f x - (y - x) • L e (n e) m‖ ≤ (1 / 2) ^ e * (1 / 2) ^ m

Tactic:
apply le_of_mem_A (hn e (n e) m le_rfl m_ge).2.2

Result:
case hy
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
hK : IsComplete K
P : ∀ {n : ℕ}, 0 < (1 / 2) ^ n
x : ℝ
hx : x ∈ D f K
n : ℕ → ℕ
L : ℕ → ℕ → ℕ → F
hn :
  ∀ (e p q : ℕ),
    n e ≤ p →
      n e ≤ q → L e p q ∈ K ∧ x ∈ A f (L e p q) ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ e) ∩ A f (L e p q) ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ e)
M :
  ∀ (e p q e' p' q' : ℕ), n e ≤ p → n e ≤ q → n e' ≤ p' → n e' ≤ q' → e ≤ e' → ‖L e p q - L e' p' q'‖ ≤ 12 * (1 / 2) ^ e
L0 : ℕ → F := fun e => L e (n e) (n e)
this : CauchySeq L0
f' : F
f'K : f' ∈ K
hf' : Tendsto L0 atTop (𝓝 f')
Lf' : ∀ (e p : ℕ), n e ≤ p → ‖L e (n e) p - f'‖ ≤ 12 * (1 / 2) ^ e
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
e : ℕ
he : (1 / 2) ^ e < ε / 16
y : ℝ
hy : y ∈ Icc x (x + (1 / 2) ^ (n e + 1))
xy : x < y
yzero : 0 < y - x
y_le : y - x ≤ (1 / 2) ^ (n e + 1)
yone : y - x ≤ 1
k : ℕ
k_gt : n e < k
m : ℕ := k - 1
h'k : y - x ≤ (1 / 2) ^ (m + 1)
hk : (1 / 2) ^ (m + 1 + 1) < y - x
m_ge : n e ≤ m
km : k = m + 1
⊢ x ∈ Icc x (x + (1 / 2) ^ m / 2)

case hz
F : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : ℝ → F
K : Set F
hK : IsComplete K
P : ∀ {n : ℕ}, 0 < (1 / 2) ^ n
x : ℝ
hx : x ∈ D f K
n : ℕ → ℕ
L : ℕ → ℕ → ℕ → F
hn :
  ∀ (e p q : ℕ),
    n e ≤ p →
      n e ≤ q → L e p q ∈ K ∧ x ∈ A f (L e p q) ((1 / 2) ^ p) ((1 / 2) ^ e) ∩ A f (L e p q) ((1 / 2) ^ q) ((1 / 2) ^ e)
M :
  ∀ (e p q e' p' q' : ℕ), n e ≤ p → n e ≤ q → n e' ≤ p' → n e' ≤ q' → e ≤ e' → ‖L e p q - L e' p' q'‖ ≤ 12 * (1 / 2) ^ e
L0 : ℕ → F := fun e => L e (n e) (n e)
this : CauchySeq L0
f' : F
f'K : f' ∈ K
hf' : Tendsto L0 atTop (𝓝 f')
Lf' : ∀ (e p : ℕ), n e ≤ p → ‖L e (n e) p - f'‖ ≤ 12 * (1 / 2) ^ e
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
e : ℕ
he : (1 / 2) ^ e < ε / 16
y : ℝ
hy : y ∈ Icc x (x + (1 / 2) ^ (n e + 1))
xy : x < y
yzero : 0 < y - x
y_le : y - x ≤ (1 / 2) ^ (n e + 1)
yone : y - x ≤ 1
k : ℕ
k_gt : n e < k
m : ℕ := k - 1
h'k : y - x ≤ (1 / 2) ^ (m + 1)
hk : (1 / 2) ^ (m + 1 + 1) < y - x
m_ge : n e ≤ m
km : k = m + 1
⊢ y ∈ Icc x (x + (1 / 2) ^ m / 2)