-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Angle/Oriented/Rotation.lean
theorem oangle_eq_iff_eq_pos_smul_rotation_of_ne_zero {x y : V} (hx : x ≠ 0) (hy : y ≠ 0)
    (θ : Real.Angle) : o.oangle x y = θ ↔ ∃ r : ℝ, 0 < r ∧ y = r • o.rotation θ x

Proof state:
case mpr
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
θ : Real.Angle
⊢ (∃ r, 0 < r ∧ y = r • (o.rotation θ) x) → o.oangle x y = θ

Tactic:
rintro ⟨r, hr, rfl⟩

Result:
case mpr.intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
hx : x ≠ 0
θ : Real.Angle
r : ℝ
hr : 0 < r
hy : r • (o.rotation θ) x ≠ 0
⊢ o.oangle x (r • (o.rotation θ) x) = θ

Proof state:
case mp
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
θ : Real.Angle
⊢ o.oangle x y = θ → ∃ r, 0 < r ∧ y = r • (o.rotation θ) x

Tactic:
intro h

Result:
case mp
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
θ : Real.Angle
h : o.oangle x y = θ
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ y = r • (o.rotation θ) x

Proof state:
case mp
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
θ : Real.Angle
h : y = (‖y‖ / ‖x‖) • (o.rotation θ) x
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ y = r • (o.rotation θ) x

Tactic:
exact ⟨‖y‖ / ‖x‖, div_pos (norm_pos_iff.2 hy) (norm_pos_iff.2 hx), h⟩

Result:
no goals

Proof state:
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
θ : Real.Angle
⊢ o.oangle x y = θ ↔ ∃ r, 0 < r ∧ y = r • (o.rotation θ) x

Tactic:
constructor

Result:
case mp
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
θ : Real.Angle
⊢ o.oangle x y = θ → ∃ r, 0 < r ∧ y = r • (o.rotation θ) x

case mpr
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
θ : Real.Angle
⊢ (∃ r, 0 < r ∧ y = r • (o.rotation θ) x) → o.oangle x y = θ

Proof state:
case mpr.intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x : V
hx : x ≠ 0
θ : Real.Angle
r : ℝ
hr : 0 < r
hy : r • (o.rotation θ) x ≠ 0
⊢ o.oangle x (r • (o.rotation θ) x) = θ

Tactic:
rw [o.oangle_smul_right_of_pos _ _ hr, o.oangle_rotation_self_right hx]

Result:
no goals

Proof state:
case mp
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
θ : Real.Angle
h : o.oangle x y = θ
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ y = r • (o.rotation θ) x

Tactic:
rw [o.oangle_eq_iff_eq_norm_div_norm_smul_rotation_of_ne_zero hx hy] at h

Result:
case mp
V : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : Fact (finrank ℝ V = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
θ : Real.Angle
h : y = (‖y‖ / ‖x‖) • (o.rotation θ) x
⊢ ∃ r, 0 < r ∧ y = r • (o.rotation θ) x