-- Mathlib/RingTheory/MvPolynomial/Homogeneous.lean
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lemma exists_eval_ne_zero_of_totalDegree_le_card_aux {N : ℕ} {F : MvPolynomial (Fin N) R} {n : ℕ}
    (hF : F.IsHomogeneous n) (hF₀ : F ≠ 0) (hnR : n ≤ #R) :
    ∃ r, eval r F ≠ 0

Proof state:
case succ.intro.inr.intro.intro
R : Type u_5
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
N : ℕ
IH : ∀ {F : MvPolynomial (Fin N) R} {n : ℕ}, F.IsHomogeneous n → F ≠ 0 → ↑n ≤ #R → ∃ r, (eval r) F ≠ 0
F : MvPolynomial (Fin (N + 1)) R
n : ℕ
hF : F.IsHomogeneous n
hF₀ : F ≠ 0
hnR : ↑n ≤ #R
hdeg : ((finSuccEquiv R N) F).natDegree < n + 1
i : ℕ
hi : ((finSuccEquiv R N) F).coeff i ≠ 0
hin✝ : i ≤ n
hFn : ((finSuccEquiv R N) F).coeff n = 0
hin : i < n
j : ℕ
hj : i + (j + 1) = n
r : Fin N → R
hr : (eval r) (((finSuccEquiv R N) F).coeff i) ≠ 0
⊢ ∃ r, (eval r) F ≠ 0

Tactic:
set φ : R[X] := Polynomial.map (eval r) (finSuccEquiv _ _ F) with hφ

Result:
case succ.intro.inr.intro.intro
R : Type u_5
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
N : ℕ
IH : ∀ {F : MvPolynomial (Fin N) R} {n : ℕ}, F.IsHomogeneous n → F ≠ 0 → ↑n ≤ #R → ∃ r, (eval r) F ≠ 0
F : MvPolynomial (Fin (N + 1)) R
n : ℕ
hF : F.IsHomogeneous n
hF₀ : F ≠ 0
hnR : ↑n ≤ #R
hdeg : ((finSuccEquiv R N) F).natDegree < n + 1
i : ℕ
hi : ((finSuccEquiv R N) F).coeff i ≠ 0
hin✝ : i ≤ n
hFn : ((finSuccEquiv R N) F).coeff n = 0
hin : i < n
j : ℕ
hj : i + (j + 1) = n
r : Fin N → R
hr : (eval r) (((finSuccEquiv R N) F).coeff i) ≠ 0
φ : R[X] := Polynomial.map (eval r) ((finSuccEquiv R N) F)
hφ : φ = Polynomial.map (eval r) ((finSuccEquiv R N) F)
⊢ ∃ r, (eval r) F ≠ 0

Proof state:
R : Type u_5
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
N : ℕ
IH : ∀ {F : MvPolynomial (Fin N) R} {n : ℕ}, F.IsHomogeneous n → F ≠ 0 → ↑n ≤ #R → ∃ r, (eval r) F ≠ 0
F : MvPolynomial (Fin (N + 1)) R
n : ℕ
hF : F.IsHomogeneous n
hF₀ : F ≠ 0
hnR : ↑n ≤ #R
hdeg : ((finSuccEquiv R N) F).natDegree < n + 1
i : ℕ
hi : ((finSuccEquiv R N) F).coeff i ≠ 0
hin✝ : i ≤ n
hFn : ((finSuccEquiv R N) F).coeff n = 0
hin : i < n
j : ℕ
hj : i + (j + 1) = n
r : Fin N → R
hr : (eval r) (((finSuccEquiv R N) F).coeff i) ≠ 0
φ : R[X] := Polynomial.map (eval r) ((finSuccEquiv R N) F)
hφ : φ = Polynomial.map (eval r) ((finSuccEquiv R N) F)
hφ₀ : φ ≠ 0
⊢ ((finSuccEquiv R N) F).natDegree ≠ n

Tactic:
rintro rfl

Result:
R : Type u_5
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
N : ℕ
IH : ∀ {F : MvPolynomial (Fin N) R} {n : ℕ}, F.IsHomogeneous n → F ≠ 0 → ↑n ≤ #R → ∃ r, (eval r) F ≠ 0
F : MvPolynomial (Fin (N + 1)) R
hF₀ : F ≠ 0
i : ℕ
hi : ((finSuccEquiv R N) F).coeff i ≠ 0
j : ℕ
r : Fin N → R
hr : (eval r) (((finSuccEquiv R N) F).coeff i) ≠ 0
φ : R[X] := Polynomial.map (eval r) ((finSuccEquiv R N) F)
hφ : φ = Polynomial.map (eval r) ((finSuccEquiv R N) F)
hφ₀ : φ ≠ 0
hF : F.IsHomogeneous ((finSuccEquiv R N) F).natDegree
hnR : ↑((finSuccEquiv R N) F).natDegree ≤ #R
hdeg : ((finSuccEquiv R N) F).natDegree < ((finSuccEquiv R N) F).natDegree + 1
hin✝ : i ≤ ((finSuccEquiv R N) F).natDegree
hFn : ((finSuccEquiv R N) F).coeff ((finSuccEquiv R N) F).natDegree = 0
hin : i < ((finSuccEquiv R N) F).natDegree
hj : i + (j + 1) = ((finSuccEquiv R N) F).natDegree
⊢ False

Proof state:
case succ.intro.inr.intro
R : Type u_5
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
N : ℕ
IH : ∀ {F : MvPolynomial (Fin N) R} {n : ℕ}, F.IsHomogeneous n → F ≠ 0 → ↑n ≤ #R → ∃ r, (eval r) F ≠ 0
F : MvPolynomial (Fin (N + 1)) R
n : ℕ
hF : F.IsHomogeneous n
hF₀ : F ≠ 0
hnR : ↑n ≤ #R
hdeg : ((finSuccEquiv R N) F).natDegree < n + 1
i : ℕ
hi : ((finSuccEquiv R N) F).coeff i ≠ 0
hin✝ : i ≤ n
hFn : ((finSuccEquiv R N) F).coeff n = 0
hin : i < n
j : ℕ
hj : i + (j + 1) = n
⊢ ∃ r, (eval r) F ≠ 0

Tactic:
obtain ⟨r, hr⟩ : ∃ r, (eval r) (Polynomial.coeff ((finSuccEquiv R N) F) i) ≠ 0 :=
  IH (hF.finSuccEquiv_coeff_isHomogeneous _ _ hj) hi (.trans (by norm_cast; omega) hnR)

Result:
case succ.intro.inr.intro.intro
R : Type u_5
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
N : ℕ
IH : ∀ {F : MvPolynomial (Fin N) R} {n : ℕ}, F.IsHomogeneous n → F ≠ 0 → ↑n ≤ #R → ∃ r, (eval r) F ≠ 0
F : MvPolynomial (Fin (N + 1)) R
n : ℕ
hF : F.IsHomogeneous n
hF₀ : F ≠ 0
hnR : ↑n ≤ #R
hdeg : ((finSuccEquiv R N) F).natDegree < n + 1
i : ℕ
hi : ((finSuccEquiv R N) F).coeff i ≠ 0
hin✝ : i ≤ n
hFn : ((finSuccEquiv R N) F).coeff n = 0
hin : i < n
j : ℕ
hj : i + (j + 1) = n
r : Fin N → R
hr : (eval r) (((finSuccEquiv R N) F).coeff i) ≠ 0
⊢ ∃ r, (eval r) F ≠ 0

Proof state:
R : Type u_5
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
N : ℕ
IH : ∀ {F : MvPolynomial (Fin N) R} {n : ℕ}, F.IsHomogeneous n → F ≠ 0 → ↑n ≤ #R → ∃ r, (eval r) F ≠ 0
F : MvPolynomial (Fin (N + 1)) R
n : ℕ
hF : F.IsHomogeneous n
hF₀ : F ≠ 0
hnR : ↑n ≤ #R
hdeg : ((finSuccEquiv R N) F).natDegree < n + 1
⊢ ∃ i, ((finSuccEquiv R N) F).coeff i ≠ 0

Tactic:
contrapose! hF₀

Result:
R : Type u_5
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
N : ℕ
IH : ∀ {F : MvPolynomial (Fin N) R} {n : ℕ}, F.IsHomogeneous n → F ≠ 0 → ↑n ≤ #R → ∃ r, (eval r) F ≠ 0
F : MvPolynomial (Fin (N + 1)) R
n : ℕ
hF : F.IsHomogeneous n
hnR : ↑n ≤ #R
hdeg : ((finSuccEquiv R N) F).natDegree < n + 1
hF₀ : ∀ (i : ℕ), ((finSuccEquiv R N) F).coeff i = 0
⊢ F = 0

Proof state:
R : Type u_5
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
N : ℕ
IH : ∀ {F : MvPolynomial (Fin N) R} {n : ℕ}, F.IsHomogeneous n → F ≠ 0 → ↑n ≤ #R → ∃ r, (eval r) F ≠ 0
F : MvPolynomial (Fin (N + 1)) R
hF₀ : F ≠ 0
i : ℕ
hi : ((finSuccEquiv R N) F).coeff i ≠ 0
j : ℕ
r : Fin N → R
hr : (eval r) (((finSuccEquiv R N) F).coeff i) ≠ 0
φ : R[X] := Polynomial.map (eval r) ((finSuccEquiv R N) F)
hφ : φ = Polynomial.map (eval r) ((finSuccEquiv R N) F)
hφ₀ : φ ≠ 0
hF : F.IsHomogeneous ((finSuccEquiv R N) F).natDegree
hnR : ↑((finSuccEquiv R N) F).natDegree ≤ #R
hdeg : ((finSuccEquiv R N) F).natDegree < ((finSuccEquiv R N) F).natDegree + 1
hin✝ : i ≤ ((finSuccEquiv R N) F).natDegree
hFn : ((finSuccEquiv R N) F).coeff ((finSuccEquiv R N) F).natDegree = 0
hin : i < ((finSuccEquiv R N) F).natDegree
hj : i + (j + 1) = ((finSuccEquiv R N) F).natDegree
⊢ (finSuccEquiv R N) F ≠ 0

Tactic:
simpa using (finSuccEquiv R N).injective.ne hF₀

Result:
no goals

Proof state:
case succ.intro.inr.intro.intro
R : Type u_5
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
N : ℕ
IH : ∀ {F : MvPolynomial (Fin N) R} {n : ℕ}, F.IsHomogeneous n → F ≠ 0 → ↑n ≤ #R → ∃ r, (eval r) F ≠ 0
F : MvPolynomial (Fin (N + 1)) R
n : ℕ
hF : F.IsHomogeneous n
hF₀ : F ≠ 0
hnR : ↑n ≤ #R
hdeg : ((finSuccEquiv R N) F).natDegree < n + 1
i : ℕ
hi : ((finSuccEquiv R N) F).coeff i ≠ 0
hin✝ : i ≤ n
hFn : ((finSuccEquiv R N) F).coeff n = 0
hin : i < n
j : ℕ
hj : i + (j + 1) = n
r : Fin N → R
hr : (eval r) (((finSuccEquiv R N) F).coeff i) ≠ 0
φ : R[X] := Polynomial.map (eval r) ((finSuccEquiv R N) F)
hφ : φ = Polynomial.map (eval r) ((finSuccEquiv R N) F)
hφ₀ : φ ≠ 0
⊢ ∃ r, (eval r) F ≠ 0

Tactic:
have hφR : φ.natDegree < #R := by
  refine lt_of_lt_of_le ?_ hnR
  norm_cast
  refine lt_of_le_of_lt natDegree_map_le ?_
  suffices (finSuccEquiv _ _ F).natDegree ≠ n by omega
  rintro rfl
  refine leadingCoeff_ne_zero.mpr ?_ hFn
  simpa using (finSuccEquiv R N).injective.ne hF₀

Result:
case succ.intro.inr.intro.intro
R : Type u_5
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
N : ℕ
IH : ∀ {F : MvPolynomial (Fin N) R} {n : ℕ}, F.IsHomogeneous n → F ≠ 0 → ↑n ≤ #R → ∃ r, (eval r) F ≠ 0
F : MvPolynomial (Fin (N + 1)) R
n : ℕ
hF : F.IsHomogeneous n
hF₀ : F ≠ 0
hnR : ↑n ≤ #R
hdeg : ((finSuccEquiv R N) F).natDegree < n + 1
i : ℕ
hi : ((finSuccEquiv R N) F).coeff i ≠ 0
hin✝ : i ≤ n
hFn : ((finSuccEquiv R N) F).coeff n = 0
hin : i < n
j : ℕ
hj : i + (j + 1) = n
r : Fin N → R
hr : (eval r) (((finSuccEquiv R N) F).coeff i) ≠ 0
φ : R[X] := Polynomial.map (eval r) ((finSuccEquiv R N) F)
hφ : φ = Polynomial.map (eval r) ((finSuccEquiv R N) F)
hφ₀ : φ ≠ 0
hφR : ↑φ.natDegree < #R
⊢ ∃ r, (eval r) F ≠ 0