-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Transvection.lean
theorem exists_list_transvec_mul_mul_list_transvec_eq_diagonal_aux (n : Type) [Fintype n]
    [DecidableEq n] (M : Matrix n n 𝕜) :
    ∃ (L L' : List (TransvectionStruct n 𝕜)) (D : n → 𝕜),
      (L.map toMatrix).prod * M * (L'.map toMatrix).prod = diagonal D

Proof state:
𝕜 : Type u_3
inst✝² : Field 𝕜
r : ℕ
IH :
  ∀ (n : Type) [inst : Fintype n] [inst_1 : DecidableEq n] (M : Matrix n n 𝕜),
    Fintype.card n = r → ∃ L L' D, (List.map toMatrix L).prod * M * (List.map toMatrix L').prod = diagonal D
n : Type
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix n n 𝕜
hn : Fintype.card n = r + 1
⊢ r + 1 = Fintype.card (Fin r ⊕ Unit)

Tactic:
rw [@Fintype.card_sum (Fin r) Unit _ _]

Result:
𝕜 : Type u_3
inst✝² : Field 𝕜
r : ℕ
IH :
  ∀ (n : Type) [inst : Fintype n] [inst_1 : DecidableEq n] (M : Matrix n n 𝕜),
    Fintype.card n = r → ∃ L L' D, (List.map toMatrix L).prod * M * (List.map toMatrix L').prod = diagonal D
n : Type
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix n n 𝕜
hn : Fintype.card n = r + 1
⊢ r + 1 = Fintype.card (Fin r) + Fintype.card Unit

Proof state:
𝕜 : Type u_3
inst✝² : Field 𝕜
n : Type
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix n n 𝕜
cn : ℕ
hn : Fintype.card n = cn
⊢ ∃ L L' D, (List.map toMatrix L).prod * M * (List.map toMatrix L').prod = diagonal D

Tactic:
induction cn generalizing n M with
| zero =>
  refine ⟨List.nil, List.nil, fun _ => 1, ?_⟩
  ext i j
  rw [Fintype.card_eq_zero_iff] at hn
  exact hn.elim' i
| succ r IH =>
  have e : n ≃ Fin r ⊕ Unit := by
    refine Fintype.equivOfCardEq ?_
    rw [hn]
    rw [@Fintype.card_sum (Fin r) Unit _ _]
    simp
  apply reindex_exists_list_transvec_mul_mul_list_transvec_eq_diagonal M e
  apply
    exists_list_transvec_mul_mul_list_transvec_eq_diagonal_induction fun N =>
      IH (Fin r) N (by simp)

Result:
no goals

Proof state:
case succ
𝕜 : Type u_3
inst✝² : Field 𝕜
r : ℕ
IH :
  ∀ (n : Type) [inst : Fintype n] [inst_1 : DecidableEq n] (M : Matrix n n 𝕜),
    Fintype.card n = r → ∃ L L' D, (List.map toMatrix L).prod * M * (List.map toMatrix L').prod = diagonal D
n : Type
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix n n 𝕜
hn : Fintype.card n = r + 1
⊢ ∃ L L' D, (List.map toMatrix L).prod * M * (List.map toMatrix L').prod = diagonal D

Tactic:
have e : n ≃ Fin r ⊕ Unit := by
  refine Fintype.equivOfCardEq ?_
  rw [hn]
  rw [@Fintype.card_sum (Fin r) Unit _ _]
  simp

Result:
case succ
𝕜 : Type u_3
inst✝² : Field 𝕜
r : ℕ
IH :
  ∀ (n : Type) [inst : Fintype n] [inst_1 : DecidableEq n] (M : Matrix n n 𝕜),
    Fintype.card n = r → ∃ L L' D, (List.map toMatrix L).prod * M * (List.map toMatrix L').prod = diagonal D
n : Type
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix n n 𝕜
hn : Fintype.card n = r + 1
e : n ≃ Fin r ⊕ Unit
⊢ ∃ L L' D, (List.map toMatrix L).prod * M * (List.map toMatrix L').prod = diagonal D

Proof state:
𝕜 : Type u_3
inst✝² : Field 𝕜
n : Type
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix n n 𝕜
⊢ ∃ L L' D, (List.map toMatrix L).prod * M * (List.map toMatrix L').prod = diagonal D

Tactic:
suffices ∀ cn, Fintype.card n = cn →
    ∃ (L L' : List (TransvectionStruct n 𝕜)) (D : n → 𝕜),
    (L.map toMatrix).prod * M * (L'.map toMatrix).prod = diagonal D by exact this _ rfl

Result:
𝕜 : Type u_3
inst✝² : Field 𝕜
n : Type
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix n n 𝕜
⊢ ∀ (cn : ℕ), Fintype.card n = cn → ∃ L L' D, (List.map toMatrix L).prod * M * (List.map toMatrix L').prod = diagonal D

Proof state:
case zero
𝕜 : Type u_3
inst✝² : Field 𝕜
n : Type
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix n n 𝕜
hn : Fintype.card n = 0
⊢ (List.map toMatrix []).prod * M * (List.map toMatrix []).prod = diagonal fun x => 1

Tactic:
ext i j

Result:
case zero.a
𝕜 : Type u_3
inst✝² : Field 𝕜
n : Type
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix n n 𝕜
hn : Fintype.card n = 0
i j : n
⊢ ((List.map toMatrix []).prod * M * (List.map toMatrix []).prod) i j = diagonal (fun x => 1) i j

Proof state:
𝕜 : Type u_3
inst✝² : Field 𝕜
r : ℕ
IH :
  ∀ (n : Type) [inst : Fintype n] [inst_1 : DecidableEq n] (M : Matrix n n 𝕜),
    Fintype.card n = r → ∃ L L' D, (List.map toMatrix L).prod * M * (List.map toMatrix L').prod = diagonal D
n : Type
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix n n 𝕜
hn : Fintype.card n = r + 1
⊢ Fintype.card n = Fintype.card (Fin r ⊕ Unit)

Tactic:
rw [hn]

Result:
𝕜 : Type u_3
inst✝² : Field 𝕜
r : ℕ
IH :
  ∀ (n : Type) [inst : Fintype n] [inst_1 : DecidableEq n] (M : Matrix n n 𝕜),
    Fintype.card n = r → ∃ L L' D, (List.map toMatrix L).prod * M * (List.map toMatrix L').prod = diagonal D
n : Type
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix n n 𝕜
hn : Fintype.card n = r + 1
⊢ r + 1 = Fintype.card (Fin r ⊕ Unit)

Proof state:
case zero.a
𝕜 : Type u_3
inst✝² : Field 𝕜
n : Type
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix n n 𝕜
hn : Fintype.card n = 0
i j : n
⊢ ((List.map toMatrix []).prod * M * (List.map toMatrix []).prod) i j = diagonal (fun x => 1) i j

Tactic:
rw [Fintype.card_eq_zero_iff] at hn

Result:
case zero.a
𝕜 : Type u_3
inst✝² : Field 𝕜
n : Type
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix n n 𝕜
hn : IsEmpty n
i j : n
⊢ ((List.map toMatrix []).prod * M * (List.map toMatrix []).prod) i j = diagonal (fun x => 1) i j

Proof state:
𝕜 : Type u_3
inst✝² : Field 𝕜
r : ℕ
IH :
  ∀ (n : Type) [inst : Fintype n] [inst_1 : DecidableEq n] (M : Matrix n n 𝕜),
    Fintype.card n = r → ∃ L L' D, (List.map toMatrix L).prod * M * (List.map toMatrix L').prod = diagonal D
n : Type
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix n n 𝕜
hn : Fintype.card n = r + 1
e : n ≃ Fin r ⊕ Unit
N : Matrix (Fin r) (Fin r) 𝕜
⊢ Fintype.card (Fin r) = r

Tactic:
simp

Result:
no goals

Proof state:
𝕜 : Type u_3
inst✝² : Field 𝕜
n : Type
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix n n 𝕜
⊢ ∀ (cn : ℕ), Fintype.card n = cn → ∃ L L' D, (List.map toMatrix L).prod * M * (List.map toMatrix L').prod = diagonal D

Tactic:
intro cn hn

Result:
𝕜 : Type u_3
inst✝² : Field 𝕜
n : Type
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix n n 𝕜
cn : ℕ
hn : Fintype.card n = cn
⊢ ∃ L L' D, (List.map toMatrix L).prod * M * (List.map toMatrix L').prod = diagonal D

Proof state:
𝕜 : Type u_3
inst✝² : Field 𝕜
n : Type
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix n n 𝕜
this :
  ∀ (cn : ℕ), Fintype.card n = cn → ∃ L L' D, (List.map toMatrix L).prod * M * (List.map toMatrix L').prod = diagonal D
⊢ ∃ L L' D, (List.map toMatrix L).prod * M * (List.map toMatrix L').prod = diagonal D

Tactic:
exact this _ rfl

Result:
no goals

Proof state:
case succ
𝕜 : Type u_3
inst✝² : Field 𝕜
r : ℕ
IH :
  ∀ (n : Type) [inst : Fintype n] [inst_1 : DecidableEq n] (M : Matrix n n 𝕜),
    Fintype.card n = r → ∃ L L' D, (List.map toMatrix L).prod * M * (List.map toMatrix L').prod = diagonal D
n : Type
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix n n 𝕜
hn : Fintype.card n = r + 1
e : n ≃ Fin r ⊕ Unit
⊢ ∃ L L' D, (List.map toMatrix L).prod * M * (List.map toMatrix L').prod = diagonal D

Tactic:
apply reindex_exists_list_transvec_mul_mul_list_transvec_eq_diagonal M e

Result:
case succ
𝕜 : Type u_3
inst✝² : Field 𝕜
r : ℕ
IH :
  ∀ (n : Type) [inst : Fintype n] [inst_1 : DecidableEq n] (M : Matrix n n 𝕜),
    Fintype.card n = r → ∃ L L' D, (List.map toMatrix L).prod * M * (List.map toMatrix L').prod = diagonal D
n : Type
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : DecidableEq n
M : Matrix n n 𝕜
hn : Fintype.card n = r + 1
e : n ≃ Fin r ⊕ Unit
⊢ ∃ L L' D, (List.map toMatrix L).prod * (reindexAlgEquiv 𝕜 𝕜 e) M * (List.map toMatrix L').prod = diagonal D