-- Mathlib/Analysis/Fourier/FourierTransformDeriv.lean
theorem contDiff_fourierIntegral {N : ℕ∞}
    (hf : ∀ (n : ℕ), n ≤ N → Integrable (fun v ↦ ‖v‖^n * ‖f v‖) μ) :
    ContDiff ℝ N (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f)

Proof state:
case h
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
μ : Measure V
inst✝ : SecondCountableTopology V
N : ℕ∞
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) μ
h'f : ¬Integrable f μ
w : W
⊢ fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f w = 0 w

Tactic:
simp [fourierIntegral, integral, h'f]

Result:
no goals

Proof state:
case neg
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
μ : Measure V
inst✝ : SecondCountableTopology V
N : ℕ∞
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) μ
h'f : ¬Integrable f μ
this : fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f = 0
⊢ ContDiff ℝ (↑N) (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f)

Tactic:
simpa [this] using contDiff_const

Result:
no goals

Proof state:
case neg
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
μ : Measure V
inst✝ : SecondCountableTopology V
N : ℕ∞
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) μ
h'f : ¬Integrable f μ
⊢ ContDiff ℝ (↑N) (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f)

Tactic:
have : fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f = 0 := by
  ext w; simp [fourierIntegral, integral, h'f]

Result:
case neg
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
μ : Measure V
inst✝ : SecondCountableTopology V
N : ℕ∞
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) μ
h'f : ¬Integrable f μ
this : fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f = 0
⊢ ContDiff ℝ (↑N) (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f)

Proof state:
case pos
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
μ : Measure V
inst✝ : SecondCountableTopology V
N : ℕ∞
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) μ
h'f : Integrable f μ
⊢ ContDiff ℝ (↑N) (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f)

Tactic:
exact (hasFTaylorSeriesUpTo_fourierIntegral' L hf h'f.1).contDiff

Result:
no goals

Proof state:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
μ : Measure V
inst✝ : SecondCountableTopology V
N : ℕ∞
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) μ
⊢ ContDiff ℝ (↑N) (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f)

Tactic:
by_cases h'f : Integrable f μ

Result:
case pos
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
μ : Measure V
inst✝ : SecondCountableTopology V
N : ℕ∞
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) μ
h'f : Integrable f μ
⊢ ContDiff ℝ (↑N) (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f)

case neg
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
μ : Measure V
inst✝ : SecondCountableTopology V
N : ℕ∞
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) μ
h'f : ¬Integrable f μ
⊢ ContDiff ℝ (↑N) (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f)

Proof state:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
μ : Measure V
inst✝ : SecondCountableTopology V
N : ℕ∞
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) μ
h'f : ¬Integrable f μ
⊢ fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f = 0

Tactic:
ext w

Result:
case h
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup W
inst✝³ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝² : MeasurableSpace V
inst✝¹ : BorelSpace V
μ : Measure V
inst✝ : SecondCountableTopology V
N : ℕ∞
hf : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ n * ‖f v‖) μ
h'f : ¬Integrable f μ
w : W
⊢ fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f w = 0 w