-- Mathlib/MeasureTheory/Function/SimpleFuncDenseLp.lean
theorem MemLp.induction_dense (hp_ne_top : p ≠ ∞) (P : (α → E) → Prop)
    (h0P :
      ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄,
        MeasurableSet s →
          μ s < ∞ →
            ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g : α → E, eLpNorm (g - s.indicator fun _ => c) p μ ≤ ε ∧ P g)
    (h1P : ∀ f g, P f → P g → P (f + g)) (h2P : ∀ f, P f → AEStronglyMeasurable f μ) {f : α → E}
    (hf : MemLp f p μ) {ε : ℝ≥0∞} (hε : ε ≠ 0) : ∃ g : α → E, eLpNorm (f - g) p μ ≤ ε ∧ P g

Proof state:
case inr.h_add.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h0P :
  ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄,
    MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, eLpNorm (g - s.indicator fun x => c) p μ ≤ ε ∧ P g
h1P : ∀ (f g : α → E), P f → P g → P (f + g)
h2P : ∀ (f : α → E), P f → AEStronglyMeasurable f μ
f✝ : α → E
hf✝ : MemLp f✝ p μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hp_pos : p ≠ 0
f f' : α →ₛ E
hff' : Disjoint (support ⇑f) (support ⇑f')
hf : ∀ (δ : ℝ≥0∞), δ ≠ 0 → MemLp (⇑f) p μ → ∃ g, eLpNorm (⇑f - g) p μ ≤ δ ∧ P g
hf' : ∀ (δ : ℝ≥0∞), δ ≠ 0 → MemLp (⇑f') p μ → ∃ g, eLpNorm (⇑f' - g) p μ ≤ δ ∧ P g
δ : ℝ≥0∞
δpos : δ ≠ 0
int_ff' : MemLp (⇑f) p μ ∧ MemLp (⇑f') p μ
η : ℝ≥0∞
ηpos : 0 < η
hη :
  ∀ (f g : α → E),
    AEStronglyMeasurable f μ →
      AEStronglyMeasurable g μ → eLpNorm f p μ ≤ η → eLpNorm g p μ ≤ η → eLpNorm (f + g) p μ < δ
g : α → E
hg : eLpNorm (⇑f - g) p μ ≤ η
Pg : P g
⊢ ∃ g, eLpNorm (⇑(f + f') - g) p μ ≤ δ ∧ P g

Tactic:
rcases hf' η ηpos.ne' int_ff'.2 with ⟨g', hg', Pg'⟩

Result:
case inr.h_add.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h0P :
  ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄,
    MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, eLpNorm (g - s.indicator fun x => c) p μ ≤ ε ∧ P g
h1P : ∀ (f g : α → E), P f → P g → P (f + g)
h2P : ∀ (f : α → E), P f → AEStronglyMeasurable f μ
f✝ : α → E
hf✝ : MemLp f✝ p μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hp_pos : p ≠ 0
f f' : α →ₛ E
hff' : Disjoint (support ⇑f) (support ⇑f')
hf : ∀ (δ : ℝ≥0∞), δ ≠ 0 → MemLp (⇑f) p μ → ∃ g, eLpNorm (⇑f - g) p μ ≤ δ ∧ P g
hf' : ∀ (δ : ℝ≥0∞), δ ≠ 0 → MemLp (⇑f') p μ → ∃ g, eLpNorm (⇑f' - g) p μ ≤ δ ∧ P g
δ : ℝ≥0∞
δpos : δ ≠ 0
int_ff' : MemLp (⇑f) p μ ∧ MemLp (⇑f') p μ
η : ℝ≥0∞
ηpos : 0 < η
hη :
  ∀ (f g : α → E),
    AEStronglyMeasurable f μ →
      AEStronglyMeasurable g μ → eLpNorm f p μ ≤ η → eLpNorm g p μ ≤ η → eLpNorm (f + g) p μ < δ
g : α → E
hg : eLpNorm (⇑f - g) p μ ≤ η
Pg : P g
g' : α → E
hg' : eLpNorm (⇑f' - g') p μ ≤ η
Pg' : P g'
⊢ ∃ g, eLpNorm (⇑(f + f') - g) p μ ≤ δ ∧ P g

Proof state:
case inl
α : Type u_1
E : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
P : (α → E) → Prop
h1P : ∀ (f g : α → E), P f → P g → P (f + g)
h2P : ∀ (f : α → E), P f → AEStronglyMeasurable f μ
f : α → E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hp_ne_top : 0 ≠ ⊤
h0P :
  ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄,
    MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, eLpNorm (g - s.indicator fun x => c) 0 μ ≤ ε ∧ P g
hf : MemLp f 0 μ
⊢ ∃ g, eLpNorm (f - g) 0 μ ≤ ε ∧ P g

Tactic:
rcases h0P (0 : E) MeasurableSet.empty (by simp only [measure_empty, zero_lt_top])
    hε with ⟨g, _, Pg⟩

Result:
case inl.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
P : (α → E) → Prop
h1P : ∀ (f g : α → E), P f → P g → P (f + g)
h2P : ∀ (f : α → E), P f → AEStronglyMeasurable f μ
f : α → E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hp_ne_top : 0 ≠ ⊤
h0P :
  ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄,
    MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, eLpNorm (g - s.indicator fun x => c) 0 μ ≤ ε ∧ P g
hf : MemLp f 0 μ
g : α → E
left✝ : eLpNorm (g - ∅.indicator fun x => 0) 0 μ ≤ ε
Pg : P g
⊢ ∃ g, eLpNorm (f - g) 0 μ ≤ ε ∧ P g

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h0P :
  ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄,
    MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, eLpNorm (g - s.indicator fun x => c) p μ ≤ ε ∧ P g
h1P : ∀ (f g : α → E), P f → P g → P (f + g)
h2P : ∀ (f : α → E), P f → AEStronglyMeasurable f μ
f : α → E
hf : MemLp f p μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hp_pos : p ≠ 0
H : ∀ (f' : α →ₛ E) (δ : ℝ≥0∞), δ ≠ 0 → MemLp (⇑f') p μ → ∃ g, eLpNorm (⇑f' - g) p μ ≤ δ ∧ P g
η : ℝ≥0∞
ηpos : 0 < η
hη :
  ∀ (f g : α → E),
    AEStronglyMeasurable f μ →
      AEStronglyMeasurable g μ → eLpNorm f p μ ≤ η → eLpNorm g p μ ≤ η → eLpNorm (f + g) p μ < ε
f' : α →ₛ E
hf' : eLpNorm (f - ⇑f') p μ < η
f'_mem : MemLp (⇑f') p μ
g : α → E
hg : eLpNorm (⇑f' - g) p μ ≤ η
Pg : P g
⊢ eLpNorm (f - g) p μ ≤ ε

Tactic:
convert (hη _ _ (hf.aestronglyMeasurable.sub f'.aestronglyMeasurable)
      (f'.aestronglyMeasurable.sub (h2P g Pg)) hf'.le hg).le using 2

Result:
case h.e'_3.h.e'_5
α : Type u_1
E : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h0P :
  ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄,
    MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, eLpNorm (g - s.indicator fun x => c) p μ ≤ ε ∧ P g
h1P : ∀ (f g : α → E), P f → P g → P (f + g)
h2P : ∀ (f : α → E), P f → AEStronglyMeasurable f μ
f : α → E
hf : MemLp f p μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hp_pos : p ≠ 0
H : ∀ (f' : α →ₛ E) (δ : ℝ≥0∞), δ ≠ 0 → MemLp (⇑f') p μ → ∃ g, eLpNorm (⇑f' - g) p μ ≤ δ ∧ P g
η : ℝ≥0∞
ηpos : 0 < η
hη :
  ∀ (f g : α → E),
    AEStronglyMeasurable f μ →
      AEStronglyMeasurable g μ → eLpNorm f p μ ≤ η → eLpNorm g p μ ≤ η → eLpNorm (f + g) p μ < ε
f' : α →ₛ E
hf' : eLpNorm (f - ⇑f') p μ < η
f'_mem : MemLp (⇑f') p μ
g : α → E
hg : eLpNorm (⇑f' - g) p μ ≤ η
Pg : P g
⊢ f - g = f - ⇑f' + (⇑f' - g)

Proof state:
case intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h0P :
  ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄,
    MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, eLpNorm (g - s.indicator fun x => c) p μ ≤ ε ∧ P g
h1P : ∀ (f g : α → E), P f → P g → P (f + g)
h2P : ∀ (f : α → E), P f → AEStronglyMeasurable f μ
f : α → E
hf : MemLp f p μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hp_pos : p ≠ 0
H : ∀ (f' : α →ₛ E) (δ : ℝ≥0∞), δ ≠ 0 → MemLp (⇑f') p μ → ∃ g, eLpNorm (⇑f' - g) p μ ≤ δ ∧ P g
η : ℝ≥0∞
ηpos : 0 < η
hη :
  ∀ (f g : α → E),
    AEStronglyMeasurable f μ →
      AEStronglyMeasurable g μ → eLpNorm f p μ ≤ η → eLpNorm g p μ ≤ η → eLpNorm (f + g) p μ < ε
⊢ ∃ g, eLpNorm (f - g) p μ ≤ ε ∧ P g

Tactic:
rcases hf.exists_simpleFunc_eLpNorm_sub_lt hp_ne_top ηpos.ne' with ⟨f', hf', f'_mem⟩

Result:
case intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : NormedAddCommGroup E
p : ℝ≥0∞
μ : Measure α
hp_ne_top : p ≠ ⊤
P : (α → E) → Prop
h0P :
  ∀ (c : E) ⦃s : Set α⦄,
    MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ {ε : ℝ≥0∞}, ε ≠ 0 → ∃ g, eLpNorm (g - s.indicator fun x => c) p μ ≤ ε ∧ P g
h1P : ∀ (f g : α → E), P f → P g → P (f + g)
h2P : ∀ (f : α → E), P f → AEStronglyMeasurable f μ
f : α → E
hf : MemLp f p μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
hp_pos : p ≠ 0
H : ∀ (f' : α →ₛ E) (δ : ℝ≥0∞), δ ≠ 0 → MemLp (⇑f') p μ → ∃ g, eLpNorm (⇑f' - g) p μ ≤ δ ∧ P g
η : ℝ≥0∞
ηpos : 0 < η
hη :
  ∀ (f g : α → E),
    AEStronglyMeasurable f μ →
      AEStronglyMeasurable g μ → eLpNorm f p μ ≤ η → eLpNorm g p μ ≤ η → eLpNorm (f + g) p μ < ε
f' : α →ₛ E
hf' : eLpNorm (f - ⇑f') p μ < η
f'_mem : MemLp (⇑f') p μ
⊢ ∃ g, eLpNorm (f - g) p μ ≤ ε ∧ P g