-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearDisjoint.lean
theorem of_le_left_of_flat (H : M.LinearDisjoint N) {M' : Submodule R S}
    (h : M' ≤ M) [Module.Flat R N] : M'.LinearDisjoint N

Proof state:
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
M' : Submodule R S
h : M' ≤ M
inst✝ : Module.Flat R ↥N
i : ↥M' ⊗[R] ↥N →ₗ[R] S := M.mulMap N ∘ₗ LinearMap.rTensor (↥N) (inclusion h)
⊢ M'.LinearDisjoint N

Tactic:
have hi : Function.Injective i := H.injective.comp <|
  Module.Flat.rTensor_preserves_injective_linearMap _ <| inclusion_injective h

Result:
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
M' : Submodule R S
h : M' ≤ M
inst✝ : Module.Flat R ↥N
i : ↥M' ⊗[R] ↥N →ₗ[R] S := M.mulMap N ∘ₗ LinearMap.rTensor (↥N) (inclusion h)
hi : Function.Injective ⇑i
⊢ M'.LinearDisjoint N

Proof state:
case a.h.h
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
M' : Submodule R S
h : M' ≤ M
inst✝ : Module.Flat R ↥N
i : ↥M' ⊗[R] ↥N →ₗ[R] S := M.mulMap N ∘ₗ LinearMap.rTensor (↥N) (inclusion h)
hi : Function.Injective ⇑i
x✝¹ : ↥M'
x✝ : ↥N
⊢ ((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry i) x✝¹) x✝ =
    ((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry (M'.mulMap N)) x✝¹) x✝

Tactic:
simp [i]

Result:
no goals

Proof state:
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
M' : Submodule R S
h : M' ≤ M
inst✝ : Module.Flat R ↥N
i : ↥M' ⊗[R] ↥N →ₗ[R] S := M.mulMap N ∘ₗ LinearMap.rTensor (↥N) (inclusion h)
hi : Function.Injective ⇑i
⊢ M'.LinearDisjoint N

Tactic:
have : i = mulMap M' N := by ext; simp [i]

Result:
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
M' : Submodule R S
h : M' ≤ M
inst✝ : Module.Flat R ↥N
i : ↥M' ⊗[R] ↥N →ₗ[R] S := M.mulMap N ∘ₗ LinearMap.rTensor (↥N) (inclusion h)
hi : Function.Injective ⇑i
this : i = M'.mulMap N
⊢ M'.LinearDisjoint N

Proof state:
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
M' : Submodule R S
h : M' ≤ M
inst✝ : Module.Flat R ↥N
i : ↥M' ⊗[R] ↥N →ₗ[R] S := M.mulMap N ∘ₗ LinearMap.rTensor (↥N) (inclusion h)
hi : Function.Injective ⇑i
this : i = M'.mulMap N
⊢ M'.LinearDisjoint N

Tactic:
exact ⟨this ▸ hi⟩

Result:
no goals

Proof state:
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
M' : Submodule R S
h : M' ≤ M
inst✝ : Module.Flat R ↥N
i : ↥M' ⊗[R] ↥N →ₗ[R] S := M.mulMap N ∘ₗ LinearMap.rTensor (↥N) (inclusion h)
hi : Function.Injective ⇑i
⊢ i = M'.mulMap N

Tactic:
ext

Result:
case a.h.h
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
M' : Submodule R S
h : M' ≤ M
inst✝ : Module.Flat R ↥N
i : ↥M' ⊗[R] ↥N →ₗ[R] S := M.mulMap N ∘ₗ LinearMap.rTensor (↥N) (inclusion h)
hi : Function.Injective ⇑i
x✝¹ : ↥M'
x✝ : ↥N
⊢ ((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry i) x✝¹) x✝ =
    ((TensorProduct.AlgebraTensorModule.curry (M'.mulMap N)) x✝¹) x✝

Proof state:
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
M' : Submodule R S
h : M' ≤ M
inst✝ : Module.Flat R ↥N
⊢ M'.LinearDisjoint N

Tactic:
let i := mulMap M N ∘ₗ (inclusion h).rTensor N

Result:
R : Type u
S : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Algebra R S
M N : Submodule R S
H : M.LinearDisjoint N
M' : Submodule R S
h : M' ≤ M
inst✝ : Module.Flat R ↥N
i : ↥M' ⊗[R] ↥N →ₗ[R] S := M.mulMap N ∘ₗ LinearMap.rTensor (↥N) (inclusion h)
⊢ M'.LinearDisjoint N