-- Mathlib/RingTheory/ClassGroup.lean
theorem card_classGroup_eq_one_iff [IsDedekindDomain R] [Fintype (ClassGroup R)] :
    Fintype.card (ClassGroup R) = 1 ↔ IsPrincipalIdealRing R

Proof state:
case mp
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Fintype (ClassGroup R)
⊢ Fintype.card (ClassGroup R) = 1 → IsPrincipalIdealRing R

case mpr
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Fintype (ClassGroup R)
⊢ IsPrincipalIdealRing R → Fintype.card (ClassGroup R) = 1

Tactic:
swap

Result:
case mpr
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Fintype (ClassGroup R)
⊢ IsPrincipalIdealRing R → Fintype.card (ClassGroup R) = 1

case mp
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Fintype (ClassGroup R)
⊢ Fintype.card (ClassGroup R) = 1 → IsPrincipalIdealRing R

Proof state:
case mp
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Fintype (ClassGroup R)
⊢ Fintype.card (ClassGroup R) = 1 → IsPrincipalIdealRing R

Tactic:
rw [Fintype.card_eq_one_iff]

Result:
case mp
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Fintype (ClassGroup R)
⊢ (∃ x, ∀ (y : ClassGroup R), y = x) → IsPrincipalIdealRing R

Proof state:
case neg
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Fintype (ClassGroup R)
I✝ : ClassGroup R
hI✝ : ∀ (y : ClassGroup R), y = I✝
eq_one : ∀ (J : ClassGroup R), J = 1
I : Ideal R
hI : ¬I = ⊥
⊢ Submodule.IsPrincipal I

Tactic:
exact (ClassGroup.mk0_eq_one_iff (mem_nonZeroDivisors_iff_ne_zero.mpr hI)).mp (eq_one _)

Result:
no goals

Proof state:
case pos
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Fintype (ClassGroup R)
I✝ : ClassGroup R
hI✝ : ∀ (y : ClassGroup R), y = I✝
eq_one : ∀ (J : ClassGroup R), J = 1
I : Ideal R
hI : I = ⊥
⊢ Submodule.IsPrincipal I

Tactic:
rw [hI]

Result:
case pos
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Fintype (ClassGroup R)
I✝ : ClassGroup R
hI✝ : ∀ (y : ClassGroup R), y = I✝
eq_one : ∀ (J : ClassGroup R), J = 1
I : Ideal R
hI : I = ⊥
⊢ Submodule.IsPrincipal ⊥

Proof state:
case mp.intro
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Fintype (ClassGroup R)
I : ClassGroup R
hI : ∀ (y : ClassGroup R), y = I
⊢ IsPrincipalIdealRing R

Tactic:
have eq_one : ∀ J : ClassGroup R, J = 1 := fun J => (hI J).trans (hI 1).symm

Result:
case mp.intro
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Fintype (ClassGroup R)
I : ClassGroup R
hI : ∀ (y : ClassGroup R), y = I
eq_one : ∀ (J : ClassGroup R), J = 1
⊢ IsPrincipalIdealRing R

Proof state:
case pos
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Fintype (ClassGroup R)
I✝ : ClassGroup R
hI✝ : ∀ (y : ClassGroup R), y = I✝
eq_one : ∀ (J : ClassGroup R), J = 1
I : Ideal R
hI : I = ⊥
⊢ Submodule.IsPrincipal ⊥

Tactic:
exact bot_isPrincipal

Result:
no goals

Proof state:
case mpr
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Fintype (ClassGroup R)
⊢ IsPrincipalIdealRing R → Fintype.card (ClassGroup R) = 1

Tactic:
intros

Result:
case mpr
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Fintype (ClassGroup R)
a✝ : IsPrincipalIdealRing R
⊢ Fintype.card (ClassGroup R) = 1

Proof state:
case mpr
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Fintype (ClassGroup R)
a✝ : IsPrincipalIdealRing R
⊢ Fintype.card (ClassGroup R) = 1

Tactic:
convert card_classGroup_eq_one (R := R)

Result:
no goals

Proof state:
case mp.intro
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Fintype (ClassGroup R)
I✝ : ClassGroup R
hI : ∀ (y : ClassGroup R), y = I✝
eq_one : ∀ (J : ClassGroup R), J = 1
I : Ideal R
⊢ Submodule.IsPrincipal I

Tactic:
by_cases hI : I = ⊥

Result:
case pos
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Fintype (ClassGroup R)
I✝ : ClassGroup R
hI✝ : ∀ (y : ClassGroup R), y = I✝
eq_one : ∀ (J : ClassGroup R), J = 1
I : Ideal R
hI : I = ⊥
⊢ Submodule.IsPrincipal I

case neg
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Fintype (ClassGroup R)
I✝ : ClassGroup R
hI✝ : ∀ (y : ClassGroup R), y = I✝
eq_one : ∀ (J : ClassGroup R), J = 1
I : Ideal R
hI : ¬I = ⊥
⊢ Submodule.IsPrincipal I

Proof state:
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Fintype (ClassGroup R)
⊢ Fintype.card (ClassGroup R) = 1 ↔ IsPrincipalIdealRing R

Tactic:
constructor

Result:
case mp
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Fintype (ClassGroup R)
⊢ Fintype.card (ClassGroup R) = 1 → IsPrincipalIdealRing R

case mpr
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Fintype (ClassGroup R)
⊢ IsPrincipalIdealRing R → Fintype.card (ClassGroup R) = 1

Proof state:
case mp.intro
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Fintype (ClassGroup R)
I : ClassGroup R
hI : ∀ (y : ClassGroup R), y = I
eq_one : ∀ (J : ClassGroup R), J = 1
⊢ IsPrincipalIdealRing R

Tactic:
refine ⟨fun I => ?_⟩

Result:
case mp.intro
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Fintype (ClassGroup R)
I✝ : ClassGroup R
hI : ∀ (y : ClassGroup R), y = I✝
eq_one : ∀ (J : ClassGroup R), J = 1
I : Ideal R
⊢ Submodule.IsPrincipal I

Proof state:
case mp
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Fintype (ClassGroup R)
⊢ (∃ x, ∀ (y : ClassGroup R), y = x) → IsPrincipalIdealRing R

Tactic:
rintro ⟨I, hI⟩

Result:
case mp.intro
R : Type u_1
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsDedekindDomain R
inst✝ : Fintype (ClassGroup R)
I : ClassGroup R
hI : ∀ (y : ClassGroup R), y = I
⊢ IsPrincipalIdealRing R