-- Mathlib/Analysis/FunctionalSpaces/SobolevInequality.lean
theorem eLpNorm_le_eLpNorm_fderiv_of_eq_inner  {u : E → F'}
    (hu : ContDiff ℝ 1 u) (h2u : HasCompactSupport u)
    {p p' : ℝ≥0} (hp : 1 ≤ p) (hn : 0 < finrank ℝ E)
    (hp' : (p' : ℝ)⁻¹ = p⁻¹ - (finrank ℝ E : ℝ)⁻¹) :
    eLpNorm u p' μ ≤ eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ p * eLpNorm (fderiv ℝ u) p μ

Proof state:
case neg
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp✝ : 1 ≤ p
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn✝ : 0 < n
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹
n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent
h2p : ↑p < ↑n
h0n : 2 ≤ n
hn : (↑n).IsConjExponent n'
h1n : 1 ≤ ↑n
h2n : 0 < ↑n - 1
hnp : 0 < ↑n - ↑p
hp : 1 < p
q : ℝ := (↑p).conjExponent
hq : (↑p).IsConjExponent q
h0p : p ≠ 0
h1p : ↑p ≠ 1
h3p : ↑p - 1 ≠ 0
h0p' : p' ≠ 0
h2q : 1 / ↑n' - 1 / q = 1 / ↑p'
γ : ℝ≥0 := ⟨↑p * (↑n - 1) / (↑n - ↑p), ⋯⟩
h0γ : ↑γ = ↑p * (↑n - 1) / (↑n - ↑p)
h1γ : 1 < ↑γ
h2γ : γ * n' = p'
h3γ : (↑γ - 1) * q = ↑p'
h4γ : ↑γ ≠ 0
h3u : ¬∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ ↑p' ∂μ = 0
⊢ eLpNorm u (↑p') μ ≤ ↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p) * eLpNorm (fderiv ℝ u) (↑p) μ

Tactic:
have h4u : ∫⁻ x, ‖u x‖ₑ ^ (p' : ℝ) ∂μ ≠ ∞ := by
  refine lintegral_rpow_enorm_lt_top_of_eLpNorm'_lt_top
    ((NNReal.coe_pos.trans pos_iff_ne_zero).mpr h0p') ?_ |>.ne
  rw [← eLpNorm_nnreal_eq_eLpNorm' h0p']
  exact hu.continuous.memLp_of_hasCompactSupport (μ := μ) h2u |>.eLpNorm_lt_top

Result:
case neg
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp✝ : 1 ≤ p
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn✝ : 0 < n
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹
n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent
h2p : ↑p < ↑n
h0n : 2 ≤ n
hn : (↑n).IsConjExponent n'
h1n : 1 ≤ ↑n
h2n : 0 < ↑n - 1
hnp : 0 < ↑n - ↑p
hp : 1 < p
q : ℝ := (↑p).conjExponent
hq : (↑p).IsConjExponent q
h0p : p ≠ 0
h1p : ↑p ≠ 1
h3p : ↑p - 1 ≠ 0
h0p' : p' ≠ 0
h2q : 1 / ↑n' - 1 / q = 1 / ↑p'
γ : ℝ≥0 := ⟨↑p * (↑n - 1) / (↑n - ↑p), ⋯⟩
h0γ : ↑γ = ↑p * (↑n - 1) / (↑n - ↑p)
h1γ : 1 < ↑γ
h2γ : γ * n' = p'
h3γ : (↑γ - 1) * q = ↑p'
h4γ : ↑γ ≠ 0
h3u : ¬∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ ↑p' ∂μ = 0
h4u : ∫⁻ (x : E), ‖u x‖ₑ ^ ↑p' ∂μ ≠ ⊤
⊢ eLpNorm u (↑p') μ ≤ ↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑p) * eLpNorm (fderiv ℝ u) (↑p) μ

Proof state:
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp✝ : 1 ≤ p
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn✝ : 0 < n
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹
n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent
h2p : ↑p < ↑n
h0n : 2 ≤ n
hn : (↑n).IsConjExponent n'
h1n : 1 ≤ ↑n
h2n : 0 < ↑n - 1
hnp : 0 < ↑n - ↑p
hp : 1 < p
q : ℝ := (↑p).conjExponent
hq : (↑p).IsConjExponent q
h0p : p ≠ 0
h1p : ↑p ≠ 1
h3p : ↑p - 1 ≠ 0
h0p' : p' ≠ 0
⊢ (↑n')⁻¹ - q⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹

Tactic:
rw [← hq.one_sub_inv, ← hn.coe.one_sub_inv, sub_sub_sub_cancel_left]

Result:
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p p' : ℝ≥0
hp✝ : 1 ≤ p
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn✝ : 0 < n
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹
n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent
h2p : ↑p < ↑n
h0n : 2 ≤ n
hn : (↑n).IsConjExponent n'
h1n : 1 ≤ ↑n
h2n : 0 < ↑n - 1
hnp : 0 < ↑n - ↑p
hp : 1 < p
q : ℝ := (↑p).conjExponent
hq : (↑p).IsConjExponent q
h0p : p ≠ 0
h1p : ↑p ≠ 1
h3p : ↑p - 1 ≠ 0
h0p' : p' ≠ 0
⊢ (↑p)⁻¹ - (↑↑n)⁻¹ = ↑p⁻¹ - (↑n)⁻¹

Proof state:
case h.e'_4.h.e'_5
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p' : ℝ≥0
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn✝ : 0 < n
n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent
h0n : 2 ≤ n
hn : (↑n).IsConjExponent n'
h1n : 1 ≤ ↑n
h2n : 0 < ↑n - 1
hp : 1 ≤ 1
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑1⁻¹ - (↑n)⁻¹
h2p : ↑1 < ↑n
hnp : 0 < ↑n - ↑1
⊢ ↑(eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ ↑1) = ↑(eLpNormLESNormFDerivOneConst μ ↑n')

Tactic:
norm_cast

Result:
case h.e'_4.h.e'_5
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : BorelSpace E
inst✝⁴ : FiniteDimensional ℝ E
μ : Measure E
inst✝³ : μ.IsAddHaarMeasure
F' : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : CompleteSpace F'
u : E → F'
hu : ContDiff ℝ 1 u
h2u : HasCompactSupport u
p' : ℝ≥0
hp'0 : ¬p' = 0
n : ℕ := finrank ℝ E
hn✝ : 0 < n
n' : ℝ≥0 := (↑n).conjExponent
h0n : 2 ≤ n
hn : (↑n).IsConjExponent n'
h1n : 1 ≤ ↑n
h2n : 0 < ↑n - 1
hp : 1 ≤ 1
hp' : (↑p')⁻¹ = ↑1⁻¹ - (↑n)⁻¹
h2p : ↑1 < ↑n
hnp : 0 < ↑n - ↑1
⊢ eLpNormLESNormFDerivOfEqInnerConst μ 1 = eLpNormLESNormFDerivOneConst μ ↑n'