-- Mathlib/RingTheory/Nakayama.lean
@[stacks 00DV "(3) see `Submodule.localized₀_le_localized₀_of_smul_le` for the second conclusion."]
lemma exists_sub_one_mem_and_smul_le_of_fg_of_le_sup {I : Ideal R}
    {N N' P : Submodule R M} (hN' : N'.FG) (hN'le : N' ≤ P) (hNN' : P ≤ N ⊔ I • N') :
    ∃ r : R, r - 1 ∈ I ∧ r • P ≤ N

Proof state:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
N N' P : Submodule R M
hN' : N'.FG
hN'le : N' ≤ P
hNN' : P ≤ N ⊔ I • N'
hNN'' : P ≤ N ⊔ N'
h1 : map N.mkQ P = map N.mkQ N'
h2 : map N.mkQ P = map N.mkQ (I • N')
hle : map N.mkQ P ≤ I • map N.mkQ P
⊢ ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ r • P ≤ N

Tactic:
obtain ⟨r, hmem, hr⟩ := exists_sub_one_mem_and_smul_eq_zero_of_fg_of_le_smul I _
  (h1 ▸ hN'.map _) hle

Result:
case intro.intro
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
N N' P : Submodule R M
hN' : N'.FG
hN'le : N' ≤ P
hNN' : P ≤ N ⊔ I • N'
hNN'' : P ≤ N ⊔ N'
h1 : map N.mkQ P = map N.mkQ N'
h2 : map N.mkQ P = map N.mkQ (I • N')
hle : map N.mkQ P ≤ I • map N.mkQ P
r : R
hmem : r - 1 ∈ I
hr : ∀ n ∈ map N.mkQ P, r • n = 0
⊢ ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ r • P ≤ N

Proof state:
case intro.intro.add
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
N N' P : Submodule R M
hN' : N'.FG
hN'le : N' ≤ P
hNN' : P ≤ N ⊔ I • N'
hNN'' : P ≤ N ⊔ N'
h1 : map N.mkQ P = map N.mkQ N'
h2 : map N.mkQ P = map N.mkQ (I • N')
hle : map N.mkQ P ≤ I • map N.mkQ P
r : R
hmem : r - 1 ∈ I
hr : ∀ n ∈ map N.mkQ P, r • n = 0
x x✝ y✝ : M
hx✝ : x✝ ∈ r • P
hy✝ : y✝ ∈ r • P
hx : x✝ ∈ N
hy : y✝ ∈ N
⊢ x✝ + y✝ ∈ N

Tactic:
exact N.add_mem hx hy

Result:
no goals

Proof state:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
N N' P : Submodule R M
hN' : N'.FG
hN'le : N' ≤ P
hNN' : P ≤ N ⊔ I • N'
hNN'' : P ≤ N ⊔ N'
⊢ ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ r • P ≤ N

Tactic:
have h1 : P.map N.mkQ = N'.map N.mkQ := by
  refine le_antisymm ?_ (map_mono hN'le)
  simpa using map_mono (f := N.mkQ) hNN''

Result:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
N N' P : Submodule R M
hN' : N'.FG
hN'le : N' ≤ P
hNN' : P ≤ N ⊔ I • N'
hNN'' : P ≤ N ⊔ N'
h1 : map N.mkQ P = map N.mkQ N'
⊢ ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ r • P ≤ N

Proof state:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
N N' P : Submodule R M
hN' : N'.FG
hN'le : N' ≤ P
hNN' : P ≤ N ⊔ I • N'
⊢ N ⊔ I • N' ≤ N ⊔ N'

Tactic:
simpa using le_trans smul_le_right le_sup_right

Result:
no goals

Proof state:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
N N' P : Submodule R M
hN' : N'.FG
hN'le : N' ≤ P
hNN' : P ≤ N ⊔ I • N'
hNN'' : P ≤ N ⊔ N'
⊢ map N.mkQ P ≤ map N.mkQ N'

Tactic:
simpa using map_mono (f := N.mkQ) hNN''

Result:
no goals

Proof state:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
N N' P : Submodule R M
hN' : N'.FG
hN'le : N' ≤ P
hNN' : P ≤ N ⊔ I • N'
⊢ ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ r • P ≤ N

Tactic:
have hNN'' : P ≤ N ⊔ N' := le_trans hNN' (by simpa using le_trans smul_le_right le_sup_right)

Result:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
N N' P : Submodule R M
hN' : N'.FG
hN'le : N' ≤ P
hNN' : P ≤ N ⊔ I • N'
hNN'' : P ≤ N ⊔ N'
⊢ ∃ r, r - 1 ∈ I ∧ r • P ≤ N

Proof state:
case intro.intro.zero
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
N N' P : Submodule R M
hN' : N'.FG
hN'le : N' ≤ P
hNN' : P ≤ N ⊔ I • N'
hNN'' : P ≤ N ⊔ N'
h1 : map N.mkQ P = map N.mkQ N'
h2 : map N.mkQ P = map N.mkQ (I • N')
hle : map N.mkQ P ≤ I • map N.mkQ P
r : R
hmem : r - 1 ∈ I
hr : ∀ n ∈ map N.mkQ P, r • n = 0
x : M
⊢ 0 ∈ N

Tactic:
exact N.zero_mem

Result:
no goals

Proof state:
case a
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
N N' P : Submodule R M
hN' : N'.FG
hN'le : N' ≤ P
hNN' : P ≤ N ⊔ I • N'
hNN'' : P ≤ N ⊔ N'
h1 : map N.mkQ P = map N.mkQ N'
⊢ map N.mkQ (I • N') ≤ map N.mkQ P

Tactic:
rw [h1]

Result:
case a
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
N N' P : Submodule R M
hN' : N'.FG
hN'le : N' ≤ P
hNN' : P ≤ N ⊔ I • N'
hNN'' : P ≤ N ⊔ N'
h1 : map N.mkQ P = map N.mkQ N'
⊢ map N.mkQ (I • N') ≤ map N.mkQ N'

Proof state:
case a
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
N N' P : Submodule R M
hN' : N'.FG
hN'le : N' ≤ P
hNN' : P ≤ N ⊔ I • N'
hNN'' : P ≤ N ⊔ N'
h1 : map N.mkQ P = map N.mkQ N'
⊢ map N.mkQ P ≤ map N.mkQ (I • N')

Tactic:
simpa using map_mono (f := N.mkQ) hNN'

Result:
no goals

Proof state:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
N N' P : Submodule R M
hN' : N'.FG
hN'le : N' ≤ P
hNN' : P ≤ N ⊔ I • N'
hNN'' : P ≤ N ⊔ N'
h1 : map N.mkQ P = map N.mkQ N'
⊢ map N.mkQ P = map N.mkQ (I • N')

Tactic:
apply le_antisymm

Result:
case a
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
N N' P : Submodule R M
hN' : N'.FG
hN'le : N' ≤ P
hNN' : P ≤ N ⊔ I • N'
hNN'' : P ≤ N ⊔ N'
h1 : map N.mkQ P = map N.mkQ N'
⊢ map N.mkQ P ≤ map N.mkQ (I • N')

case a
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
N N' P : Submodule R M
hN' : N'.FG
hN'le : N' ≤ P
hNN' : P ≤ N ⊔ I • N'
hNN'' : P ≤ N ⊔ N'
h1 : map N.mkQ P = map N.mkQ N'
⊢ map N.mkQ (I • N') ≤ map N.mkQ P