-- Mathlib/RingTheory/Regular/IsSMulRegular.lean
lemma QuotSMulTop.map_first_exact_on_four_term_exact_of_isSMulRegular_last
    {M'''} [AddCommGroup M'''] [Module R M''']
    {r : R} {f₁ : M →ₗ[R] M'} {f₂ : M' →ₗ[R] M''} {f₃ : M'' →ₗ[R] M'''}
    (h₁₂ : Exact f₁ f₂) (h₂₃ : Exact f₂ f₃) (h : IsSMulRegular M''' r) :
    Exact (map r f₁) (map r f₂) :=
  suffices IsSMulRegular (M'' ⧸ LinearMap.range f₂) r by
    dsimp [map, mapQLinear]
    rw [Exact.exact_mapQ_iff h₁₂, map_pointwise_smul, Submodule.map_top, inf_comm]
    exact smul_top_inf_eq_smul_of_isSMulRegular_on_quot this
  h.of_injective _ <| LinearMap.ker_eq_bot.mp <|
    ker_liftQ_eq_bot' _ _ h₂₃.linearMap_ker_eq.symm

Proof state:
R : Type u_1
M : Type u_3
M' : Type u_4
M'' : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M''
M''' : Type u_6
inst✝¹ : AddCommGroup M'''
inst✝ : Module R M'''
r : R
f₁ : M →ₗ[R] M'
f₂ : M' →ₗ[R] M''
f₃ : M'' →ₗ[R] M'''
h₁₂ : Exact ⇑f₁ ⇑f₂
h₂₃ : Exact ⇑f₂ ⇑f₃
h : IsSMulRegular M''' r
this : IsSMulRegular (M'' ⧸ LinearMap.range f₂) r
⊢ Exact ⇑((r • ⊤).mapQ (r • ⊤) f₁ ⋯) ⇑((r • ⊤).mapQ (r • ⊤) f₂ ⋯)

Tactic:
rw [Exact.exact_mapQ_iff h₁₂, map_pointwise_smul, Submodule.map_top, inf_comm]

Result:
R : Type u_1
M : Type u_3
M' : Type u_4
M'' : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M''
M''' : Type u_6
inst✝¹ : AddCommGroup M'''
inst✝ : Module R M'''
r : R
f₁ : M →ₗ[R] M'
f₂ : M' →ₗ[R] M''
f₃ : M'' →ₗ[R] M'''
h₁₂ : Exact ⇑f₁ ⇑f₂
h₂₃ : Exact ⇑f₂ ⇑f₃
h : IsSMulRegular M''' r
this : IsSMulRegular (M'' ⧸ LinearMap.range f₂) r
⊢ r • ⊤ ⊓ LinearMap.range f₂ ≤ r • LinearMap.range f₂

Proof state:
R : Type u_1
M : Type u_3
M' : Type u_4
M'' : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M''
M''' : Type u_6
inst✝¹ : AddCommGroup M'''
inst✝ : Module R M'''
r : R
f₁ : M →ₗ[R] M'
f₂ : M' →ₗ[R] M''
f₃ : M'' →ₗ[R] M'''
h₁₂ : Exact ⇑f₁ ⇑f₂
h₂₃ : Exact ⇑f₂ ⇑f₃
h : IsSMulRegular M''' r
this : IsSMulRegular (M'' ⧸ LinearMap.range f₂) r
⊢ r • ⊤ ⊓ LinearMap.range f₂ ≤ r • LinearMap.range f₂

Tactic:
exact smul_top_inf_eq_smul_of_isSMulRegular_on_quot this

Result:
no goals

Proof state:
R : Type u_1
M : Type u_3
M' : Type u_4
M'' : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M''
M''' : Type u_6
inst✝¹ : AddCommGroup M'''
inst✝ : Module R M'''
r : R
f₁ : M →ₗ[R] M'
f₂ : M' →ₗ[R] M''
f₃ : M'' →ₗ[R] M'''
h₁₂ : Exact ⇑f₁ ⇑f₂
h₂₃ : Exact ⇑f₂ ⇑f₃
h : IsSMulRegular M''' r
this : IsSMulRegular (M'' ⧸ LinearMap.range f₂) r
⊢ Exact ⇑((map r) f₁) ⇑((map r) f₂)

Tactic:
dsimp [map, mapQLinear]

Result:
R : Type u_1
M : Type u_3
M' : Type u_4
M'' : Type u_5
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : AddCommGroup M''
inst✝² : Module R M''
M''' : Type u_6
inst✝¹ : AddCommGroup M'''
inst✝ : Module R M'''
r : R
f₁ : M →ₗ[R] M'
f₂ : M' →ₗ[R] M''
f₃ : M'' →ₗ[R] M'''
h₁₂ : Exact ⇑f₁ ⇑f₂
h₂₃ : Exact ⇑f₂ ⇑f₃
h : IsSMulRegular M''' r
this : IsSMulRegular (M'' ⧸ LinearMap.range f₂) r
⊢ Exact ⇑((r • ⊤).mapQ (r • ⊤) f₁ ⋯) ⇑((r • ⊤).mapQ (r • ⊤) f₂ ⋯)