-- Mathlib/NumberTheory/Transcendental/Liouville/LiouvilleWith.lean
theorem frequently_lt_rpow_neg (h : LiouvilleWith p x) (hlt : q < p) :
    ∃ᶠ n : ℕ in atTop, ∃ m : ℤ, x ≠ m / n ∧ |x - m / n| < n ^ (-q)

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
p q x : ℝ
h : LiouvilleWith p x
hlt✝ : q < p
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
this : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, C < ↑n ^ (p - q)
n : ℕ
hnC : C < ↑n ^ (p - q)
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
hn : 0 < ↑n
⊢ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < ↑n ^ (-q)

Tactic:
refine ⟨m, hne, hlt.trans <| (div_lt_iff₀ <| rpow_pos_of_pos hn _).2 ?_⟩

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
p q x : ℝ
h : LiouvilleWith p x
hlt✝ : q < p
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
this : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, C < ↑n ^ (p - q)
n : ℕ
hnC : C < ↑n ^ (p - q)
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
hn : 0 < ↑n
⊢ C < ↑n ^ (-q) * ↑n ^ p

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
p q x : ℝ
h : LiouvilleWith p x
hlt✝ : q < p
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
this : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, C < ↑n ^ (p - q)
n : ℕ
hnC : C < ↑n ^ (p - q)
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
hn : 0 < ↑n
⊢ C < ↑n ^ (-q) * ↑n ^ p

Tactic:
rwa [mul_comm, ← rpow_add hn, ← sub_eq_add_neg]

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
p q x : ℝ
h : LiouvilleWith p x
hlt✝ : q < p
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
this : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, C < ↑n ^ (p - q)
n : ℕ
hnC : C < ↑n ^ (p - q)
hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
⊢ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < ↑n ^ (-q)

Tactic:
replace hn : (0 : ℝ) < n := Nat.cast_pos.2 hn

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
p q x : ℝ
h : LiouvilleWith p x
hlt✝ : q < p
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
this : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, C < ↑n ^ (p - q)
n : ℕ
hnC : C < ↑n ^ (p - q)
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
hn : 0 < ↑n
⊢ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < ↑n ^ (-q)

Proof state:
p q x : ℝ
h : LiouvilleWith p x
hlt : q < p
⊢ ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < ↑n ^ (-q)

Tactic:
rcases h.exists_pos with ⟨C, _hC₀, hC⟩

Result:
case intro.intro
p q x : ℝ
h : LiouvilleWith p x
hlt : q < p
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
⊢ ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < ↑n ^ (-q)

Proof state:
case intro.intro
p q x : ℝ
h : LiouvilleWith p x
hlt : q < p
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
this : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, C < ↑n ^ (p - q)
⊢ ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < ↑n ^ (-q)

Tactic:
refine (this.and_frequently hC).mono ?_

Result:
case intro.intro
p q x : ℝ
h : LiouvilleWith p x
hlt : q < p
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
this : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, C < ↑n ^ (p - q)
⊢ ∀ (x_1 : ℕ),
    (C < ↑x_1 ^ (p - q) ∧ 1 ≤ x_1 ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑x_1 ∧ |x - ↑m / ↑x_1| < C / ↑x_1 ^ p) →
      ∃ m, x ≠ ↑m / ↑x_1 ∧ |x - ↑m / ↑x_1| < ↑x_1 ^ (-q)

Proof state:
case intro.intro
p q x : ℝ
h : LiouvilleWith p x
hlt : q < p
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
this : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, C < ↑n ^ (p - q)
⊢ ∀ (x_1 : ℕ),
    (C < ↑x_1 ^ (p - q) ∧ 1 ≤ x_1 ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑x_1 ∧ |x - ↑m / ↑x_1| < C / ↑x_1 ^ p) →
      ∃ m, x ≠ ↑m / ↑x_1 ∧ |x - ↑m / ↑x_1| < ↑x_1 ^ (-q)

Tactic:
rintro n ⟨hnC, hn, m, hne, hlt⟩

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
p q x : ℝ
h : LiouvilleWith p x
hlt✝ : q < p
C : ℝ
_hC₀ : 0 < C
hC : ∃ᶠ (n : ℕ) in atTop, 1 ≤ n ∧ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
this : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, C < ↑n ^ (p - q)
n : ℕ
hnC : C < ↑n ^ (p - q)
hn : 1 ≤ n
m : ℤ
hne : x ≠ ↑m / ↑n
hlt : |x - ↑m / ↑n| < C / ↑n ^ p
⊢ ∃ m, x ≠ ↑m / ↑n ∧ |x - ↑m / ↑n| < ↑n ^ (-q)