-- Mathlib/Analysis/SpecificLimits/Basic.lean
theorem Set.Countable.exists_pos_hasSum_le {ι : Type*} {s : Set ι} (hs : s.Countable) {ε : ℝ}
    (hε : 0 < ε) : ∃ ε' : ι → ℝ, (∀ i, 0 < ε' i) ∧ ∃ c, HasSum (fun i : s ↦ ε' i) c ∧ c ≤ ε

Proof state:
ι : Type u_4
s : Set ι
hs : s.Countable
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∃ ε', (∀ (i : ι), 0 < ε' i) ∧ ∃ c, HasSum (fun i => ε' ↑i) c ∧ c ≤ ε

Tactic:
haveI := hs.toEncodable

Result:
ι : Type u_4
s : Set ι
hs : s.Countable
ε : ℝ
hε : 0 < ε
this : Encodable ↑s
⊢ ∃ ε', (∀ (i : ι), 0 < ε' i) ∧ ∃ c, HasSum (fun i => ε' ↑i) c ∧ c ≤ ε

Proof state:
case mk.intro.intro.intro
ι : Type u_4
s : Set ι
hs : s.Countable
ε : ℝ
hε : 0 < ε
this : Encodable ↑s
f : ↑s → ℝ
hf0 : ∀ (i : ↑s), 0 < f i
c : ℝ
hfc : HasSum f c
hcε : c ≤ ε
⊢ ∃ ε', (∀ (i : ι), 0 < ε' i) ∧ ∃ c, HasSum (fun i => ε' ↑i) c ∧ c ≤ ε

Tactic:
refine ⟨fun i ↦ if h : i ∈ s then f ⟨i, h⟩ else 1, fun i ↦ ?_, ⟨c, ?_, hcε⟩⟩

Result:
case mk.intro.intro.intro.refine_1
ι : Type u_4
s : Set ι
hs : s.Countable
ε : ℝ
hε : 0 < ε
this : Encodable ↑s
f : ↑s → ℝ
hf0 : ∀ (i : ↑s), 0 < f i
c : ℝ
hfc : HasSum f c
hcε : c ≤ ε
i : ι
⊢ 0 < (fun i => if h : i ∈ s then f ⟨i, h⟩ else 1) i

case mk.intro.intro.intro.refine_2
ι : Type u_4
s : Set ι
hs : s.Countable
ε : ℝ
hε : 0 < ε
this : Encodable ↑s
f : ↑s → ℝ
hf0 : ∀ (i : ↑s), 0 < f i
c : ℝ
hfc : HasSum f c
hcε : c ≤ ε
⊢ HasSum (fun i => (fun i => if h : i ∈ s then f ⟨i, h⟩ else 1) ↑i) c

Proof state:
case mk.intro.intro.intro.refine_1
ι : Type u_4
s : Set ι
hs : s.Countable
ε : ℝ
hε : 0 < ε
this : Encodable ↑s
f : ↑s → ℝ
hf0 : ∀ (i : ↑s), 0 < f i
c : ℝ
hfc : HasSum f c
hcε : c ≤ ε
i : ι
⊢ 0 < (fun i => if h : i ∈ s then f ⟨i, h⟩ else 1) i

Tactic:
conv_rhs => simp

Result:
case mk.intro.intro.intro.refine_1
ι : Type u_4
s : Set ι
hs : s.Countable
ε : ℝ
hε : 0 < ε
this : Encodable ↑s
f : ↑s → ℝ
hf0 : ∀ (i : ↑s), 0 < f i
c : ℝ
hfc : HasSum f c
hcε : c ≤ ε
i : ι
⊢ 0 < if h : i ∈ s then f ⟨i, h⟩ else 1

Proof state:
case mk.intro.intro.intro.refine_1
ι : Type u_4
s : Set ι
hs : s.Countable
ε : ℝ
hε : 0 < ε
this : Encodable ↑s
f : ↑s → ℝ
hf0 : ∀ (i : ↑s), 0 < f i
c : ℝ
hfc : HasSum f c
hcε : c ≤ ε
i : ι
⊢ 0 < if h : i ∈ s then f ⟨i, h⟩ else 1

Tactic:
split_ifs

Result:
case pos
ι : Type u_4
s : Set ι
hs : s.Countable
ε : ℝ
hε : 0 < ε
this : Encodable ↑s
f : ↑s → ℝ
hf0 : ∀ (i : ↑s), 0 < f i
c : ℝ
hfc : HasSum f c
hcε : c ≤ ε
i : ι
h✝ : i ∈ s
⊢ 0 < f ⟨i, h✝⟩

case neg
ι : Type u_4
s : Set ι
hs : s.Countable
ε : ℝ
hε : 0 < ε
this : Encodable ↑s
f : ↑s → ℝ
hf0 : ∀ (i : ↑s), 0 < f i
c : ℝ
hfc : HasSum f c
hcε : c ≤ ε
i : ι
h✝ : i ∉ s
⊢ 0 < 1

Proof state:
case mk.intro.intro.intro.refine_2
ι : Type u_4
s : Set ι
hs : s.Countable
ε : ℝ
hε : 0 < ε
this : Encodable ↑s
f : ↑s → ℝ
hf0 : ∀ (i : ↑s), 0 < f i
c : ℝ
hfc : HasSum f c
hcε : c ≤ ε
⊢ HasSum (fun i => (fun i => if h : i ∈ s then f ⟨i, h⟩ else 1) ↑i) c

Tactic:
simpa only [Subtype.coe_prop, dif_pos, Subtype.coe_eta]

Result:
no goals

Proof state:
case pos
ι : Type u_4
s : Set ι
hs : s.Countable
ε : ℝ
hε : 0 < ε
this : Encodable ↑s
f : ↑s → ℝ
hf0 : ∀ (i : ↑s), 0 < f i
c : ℝ
hfc : HasSum f c
hcε : c ≤ ε
i : ι
h✝ : i ∈ s
⊢ 0 < f ⟨i, h✝⟩

case neg
ι : Type u_4
s : Set ι
hs : s.Countable
ε : ℝ
hε : 0 < ε
this : Encodable ↑s
f : ↑s → ℝ
hf0 : ∀ (i : ↑s), 0 < f i
c : ℝ
hfc : HasSum f c
hcε : c ≤ ε
i : ι
h✝ : i ∉ s
⊢ 0 < 1

Tactic:
exacts [hf0 _, zero_lt_one]

Result:
no goals

Proof state:
ι : Type u_4
s : Set ι
hs : s.Countable
ε : ℝ
hε : 0 < ε
this : Encodable ↑s
⊢ ∃ ε', (∀ (i : ι), 0 < ε' i) ∧ ∃ c, HasSum (fun i => ε' ↑i) c ∧ c ≤ ε

Tactic:
rcases posSumOfEncodable hε s with ⟨f, hf0, ⟨c, hfc, hcε⟩⟩

Result:
case mk.intro.intro.intro
ι : Type u_4
s : Set ι
hs : s.Countable
ε : ℝ
hε : 0 < ε
this : Encodable ↑s
f : ↑s → ℝ
hf0 : ∀ (i : ↑s), 0 < f i
c : ℝ
hfc : HasSum f c
hcε : c ≤ ε
⊢ ∃ ε', (∀ (i : ι), 0 < ε' i) ∧ ∃ c, HasSum (fun i => ε' ↑i) c ∧ c ≤ ε