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theorem inf_exists :
    ∃ (S : C) (T : ∀ {X : C}, X ∈ O → (S ⟶ X)),
      ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y},
        (⟨X, Y, mX, mY, f⟩ : Σ' (X Y : C) (_ : X ∈ O) (_ : Y ∈ O), X ⟶ Y) ∈ H →
          T mX ≫ f = T mY

Proof state:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (S' ⟶ X)
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T' mX ≫ f = T' mY
X' Y' : C
mX' : X' ∈ O
mY' : Y' ∈ O
f' : X' ⟶ Y'
mf' : ⟨X', ⟨Y', ⟨mX', ⟨mY', f'⟩⟩⟩⟩ ∈ insert ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ H'
h : ¬(X = X' ∧ Y = Y')
⊢ ⟨X', ⟨Y', ⟨mX', ⟨mY', f'⟩⟩⟩⟩ ≠ ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩

Tactic:
contrapose! h

Result:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (S' ⟶ X)
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T' mX ≫ f = T' mY
X' Y' : C
mX' : X' ∈ O
mY' : Y' ∈ O
f' : X' ⟶ Y'
mf' : ⟨X', ⟨Y', ⟨mX', ⟨mY', f'⟩⟩⟩⟩ ∈ insert ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ H'
h : ⟨X', ⟨Y', ⟨mX', ⟨mY', f'⟩⟩⟩⟩ = ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩
⊢ X = X' ∧ Y = Y'

Proof state:
case insert
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
h' : (X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)
H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
nmf : h' ∉ H'
h'' : ∃ S T, ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T mX ≫ f = T mY
⊢ ∃ S T, ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ insert h' H' → T mX ≫ f = T mY

Tactic:
obtain ⟨X, Y, mX, mY, f⟩ := h'

Result:
case insert.mk.mk.mk.mk
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
h'' : ∃ S T, ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T mX ≫ f = T mY
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
⊢ ∃ S T,
    ∀ {X_1 Y_1 : C} (mX_1 : X_1 ∈ O) (mY_1 : Y_1 ∈ O) {f_1 : X_1 ⟶ Y_1},
      ⟨X_1, ⟨Y_1, ⟨mX_1, ⟨mY_1, f_1⟩⟩⟩⟩ ∈ insert ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ H' → T mX_1 ≫ f_1 = T mY_1

Proof state:
case pos
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (S' ⟶ X)
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T' mX ≫ f = T' mY
mX' : X ∈ O
mY' : Y ∈ O
mf' : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX', ⟨mY', f⟩⟩⟩⟩ ∈ insert ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ H'
⊢ eqHom (T' mX ≫ f) (T' mY) ≫ T' mX' ≫ f = (fun {X_1} mZ => eqHom (T' mX ≫ f) (T' mY) ≫ T' mZ) mY'

Tactic:
apply eq_condition

Result:
no goals

Proof state:
case empty.intro
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
S : C
f : ∀ {X : C}, X ∈ O → Nonempty (S ⟶ X)
⊢ ∃ S T, ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ ∅ → T mX ≫ f = T mY

Tactic:
exact ⟨S, fun mX => (f mX).some, by rintro - - - - - ⟨⟩⟩

Result:
no goals

Proof state:
case neg
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (S' ⟶ X)
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T' mX ≫ f = T' mY
X' Y' : C
mX' : X' ∈ O
mY' : Y' ∈ O
f' : X' ⟶ Y'
mf' : ⟨X', ⟨Y', ⟨mX', ⟨mY', f'⟩⟩⟩⟩ ∈ insert ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ H'
h : ¬(X = X' ∧ Y = Y')
⊢ eqHom (T' mX ≫ f) (T' mY) ≫ T' mX' ≫ f' = (fun {X_1} mZ => eqHom (T' mX ≫ f) (T' mY) ≫ T' mZ) mY'

Tactic:
rw [@w' _ _ mX' mY' f' _]

Result:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (S' ⟶ X)
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T' mX ≫ f = T' mY
X' Y' : C
mX' : X' ∈ O
mY' : Y' ∈ O
f' : X' ⟶ Y'
mf' : ⟨X', ⟨Y', ⟨mX', ⟨mY', f'⟩⟩⟩⟩ ∈ insert ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ H'
h : ¬(X = X' ∧ Y = Y')
⊢ ⟨X', ⟨Y', ⟨mX', ⟨mY', f'⟩⟩⟩⟩ ∈ H'

Proof state:
case neg
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (S' ⟶ X)
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T' mX ≫ f = T' mY
mX' : X ∈ O
mY' : Y ∈ O
f' : X ⟶ Y
mf' : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX', ⟨mY', f'⟩⟩⟩⟩ ∈ insert ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ H'
hf : ¬f = f'
⊢ eqHom (T' mX ≫ f) (T' mY) ≫ T' mX' ≫ f' = (fun {X_1} mZ => eqHom (T' mX ≫ f) (T' mY) ≫ T' mZ) mY'

Tactic:
rw [@w' _ _ mX mY f']

Result:
case neg
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (S' ⟶ X)
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T' mX ≫ f = T' mY
mX' : X ∈ O
mY' : Y ∈ O
f' : X ⟶ Y
mf' : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX', ⟨mY', f'⟩⟩⟩⟩ ∈ insert ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ H'
hf : ¬f = f'
⊢ ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f'⟩⟩⟩⟩ ∈ H'

Proof state:
case neg
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (S' ⟶ X)
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T' mX ≫ f = T' mY
mX' : X ∈ O
mY' : Y ∈ O
f' : X ⟶ Y
mf' : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX', ⟨mY', f'⟩⟩⟩⟩ ∈ insert ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ H'
hf : ¬f = f'
⊢ ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f'⟩⟩⟩⟩ ∈ H'

Tactic:
simp only [Finset.mem_insert, PSigma.mk.injEq, heq_eq_eq, true_and] at mf'

Result:
case neg
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsCofiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (S' ⟶ X)
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → T' mX ≫ f = T' mY
mX' : X ∈ O
mY' : Y ∈ O
f' : X ⟶ Y
hf : ¬f = f'
mf' : f' = f ∨ ⟨X, ⟨Y, ⟨mX', ⟨mY', f'⟩⟩⟩⟩ ∈ H'
⊢ ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f'⟩⟩⟩⟩ ∈ H'