-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/Besicovitch.lean
theorem exist_disjoint_covering_families {N : ℕ} {τ : ℝ} (hτ : 1 < τ)
    (hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)) (q : BallPackage β α) :
    ∃ s : Fin N → Set β,
      (∀ i : Fin N, (s i).PairwiseDisjoint fun j => closedBall (q.c j) (q.r j)) ∧
        range q.c ⊆ ⋃ i : Fin N, ⋃ j ∈ s i, ball (q.c j) (q.r j)

Proof state:
case inl
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : Fin N → Set β := fun i => ⋃ k, ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = ↑i), {p.index k}
i : Fin N
jx : Ordinal.{u}
jx_lt : jx < p.lastStep
jxi : p.color jx = ↑i
hx : p.index jx ∈ s i
jy : Ordinal.{u}
jy_lt : jy < p.lastStep
jyi : p.color jy = ↑i
hy : p.index jy ∈ s i
x_ne_y : p.index jx ≠ p.index jy
jxy : jx ≤ jy
H : jx < jy
⊢ jx < jy

Tactic:
exact H

Result:
no goals

Proof state:
case hs
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : Fin N → Set β := fun i => ⋃ k, ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = ↑i), {p.index k}
i : Fin N
jx : Ordinal.{u}
jx_lt : jx < p.lastStep
jxi : p.color jx = ↑i
hx : p.index jx ∈ s i
jy : Ordinal.{u}
jy_lt : jy < p.lastStep
jyi : p.color jy = ↑i
hy : p.index jy ∈ s i
x_ne_y : p.index jx ≠ p.index jy
jxy : jx < jy
A : Set ℕ :=
  ⋃ j,
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index ↑j)) (p.r (p.index ↑j)) ∩ closedBall (p.c (p.index jy)) (p.r (p.index jy))).Nonempty),
      {p.color ↑j}
color_j : p.color jy = sInf (univ \ A)
⊢ ∀ x < jy,
    (closedBall (p.c (p.index x)) (p.r (p.index x)) ∩ closedBall (p.c (p.index jy)) (p.r (p.index jy))).Nonempty →
      ¬N = p.color x

Tactic:
intro k hk _

Result:
case hs
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : Fin N → Set β := fun i => ⋃ k, ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = ↑i), {p.index k}
i : Fin N
jx : Ordinal.{u}
jx_lt : jx < p.lastStep
jxi : p.color jx = ↑i
hx : p.index jx ∈ s i
jy : Ordinal.{u}
jy_lt : jy < p.lastStep
jyi : p.color jy = ↑i
hy : p.index jy ∈ s i
x_ne_y : p.index jx ≠ p.index jy
jxy : jx < jy
A : Set ℕ :=
  ⋃ j,
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index ↑j)) (p.r (p.index ↑j)) ∩ closedBall (p.c (p.index jy)) (p.r (p.index jy))).Nonempty),
      {p.color ↑j}
color_j : p.color jy = sInf (univ \ A)
k : Ordinal.{u}
hk : k < jy
a✝ : (closedBall (p.c (p.index k)) (p.r (p.index k)) ∩ closedBall (p.c (p.index jy)) (p.r (p.index jy))).Nonempty
⊢ ¬N = p.color k

Proof state:
case inl
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h✝ : IsEmpty β
⊢ ∃ s,
    (∀ (i : Fin N), (s i).PairwiseDisjoint fun j => closedBall (q.c j) (q.r j)) ∧
      range q.c ⊆ ⋃ i, ⋃ j ∈ s i, ball (q.c j) (q.r j)

Tactic:
refine ⟨fun _ => ∅, fun _ => pairwiseDisjoint_empty, ?_⟩

Result:
case inl
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h✝ : IsEmpty β
⊢ range q.c ⊆ ⋃ i, ⋃ j ∈ (fun x => ∅) i, ball (q.c j) (q.r j)

Proof state:
case hs
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : Fin N → Set β := fun i => ⋃ k, ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = ↑i), {p.index k}
i : Fin N
jx : Ordinal.{u}
jx_lt : jx < p.lastStep
jxi : p.color jx = ↑i
hx : p.index jx ∈ s i
jy : Ordinal.{u}
jy_lt : jy < p.lastStep
jyi : p.color jy = ↑i
hy : p.index jy ∈ s i
x_ne_y : p.index jx ≠ p.index jy
jxy : jx < jy
A : Set ℕ :=
  ⋃ j,
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index ↑j)) (p.r (p.index ↑j)) ∩ closedBall (p.c (p.index jy)) (p.r (p.index jy))).Nonempty),
      {p.color ↑j}
color_j : p.color jy = sInf (univ \ A)
⊢ (univ \ A).Nonempty

Tactic:
refine ⟨N, ?_⟩

Result:
case hs
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : Fin N → Set β := fun i => ⋃ k, ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = ↑i), {p.index k}
i : Fin N
jx : Ordinal.{u}
jx_lt : jx < p.lastStep
jxi : p.color jx = ↑i
hx : p.index jx ∈ s i
jy : Ordinal.{u}
jy_lt : jy < p.lastStep
jyi : p.color jy = ↑i
hy : p.index jy ∈ s i
x_ne_y : p.index jx ≠ p.index jy
jxy : jx < jy
A : Set ℕ :=
  ⋃ j,
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index ↑j)) (p.r (p.index ↑j)) ∩ closedBall (p.c (p.index jy)) (p.r (p.index jy))).Nonempty),
      {p.color ↑j}
color_j : p.color jy = sInf (univ \ A)
⊢ N ∈ univ \ A

Proof state:
case hs
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : Fin N → Set β := fun i => ⋃ k, ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = ↑i), {p.index k}
i : Fin N
jx : Ordinal.{u}
jx_lt : jx < p.lastStep
jxi : p.color jx = ↑i
hx : p.index jx ∈ s i
jy : Ordinal.{u}
jy_lt : jy < p.lastStep
jyi : p.color jy = ↑i
hy : p.index jy ∈ s i
x_ne_y : p.index jx ≠ p.index jy
jxy : jx < jy
A : Set ℕ :=
  ⋃ j,
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index ↑j)) (p.r (p.index ↑j)) ∩ closedBall (p.c (p.index jy)) (p.r (p.index jy))).Nonempty),
      {p.color ↑j}
color_j : p.color jy = sInf (univ \ A)
⊢ N ∈ univ \ A

Tactic:
simp only [A, not_exists, true_and, exists_prop, mem_iUnion, mem_singleton_iff, not_and,
  mem_univ, mem_diff, Subtype.exists, Subtype.coe_mk]

Result:
case hs
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : Fin N → Set β := fun i => ⋃ k, ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = ↑i), {p.index k}
i : Fin N
jx : Ordinal.{u}
jx_lt : jx < p.lastStep
jxi : p.color jx = ↑i
hx : p.index jx ∈ s i
jy : Ordinal.{u}
jy_lt : jy < p.lastStep
jyi : p.color jy = ↑i
hy : p.index jy ∈ s i
x_ne_y : p.index jx ≠ p.index jy
jxy : jx < jy
A : Set ℕ :=
  ⋃ j,
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index ↑j)) (p.r (p.index ↑j)) ∩ closedBall (p.c (p.index jy)) (p.r (p.index jy))).Nonempty),
      {p.color ↑j}
color_j : p.color jy = sInf (univ \ A)
⊢ ∀ x < jy,
    (closedBall (p.c (p.index x)) (p.r (p.index x)) ∩ closedBall (p.c (p.index jy)) (p.r (p.index jy))).Nonempty →
      ¬N = p.color x

Proof state:
α : Type u_1
inst✝ : MetricSpace α
β : Type u
N : ℕ
τ : ℝ
hτ : 1 < τ
hN : IsEmpty (SatelliteConfig α N τ)
q : BallPackage β α
h✝ : Nonempty β
p : TauPackage β α := { toBallPackage := q, τ := τ, one_lt_tau := hτ }
s : Fin N → Set β := fun i => ⋃ k, ⋃ (_ : k < p.lastStep), ⋃ (_ : p.color k = ↑i), {p.index k}
i : Fin N
jx : Ordinal.{u}
jx_lt : jx < p.lastStep
jxi : p.color jx = ↑i
hx : p.index jx ∈ s i
jy : Ordinal.{u}
jy_lt : jy < p.lastStep
jyi : p.color jy = ↑i
hy : p.index jy ∈ s i
x_ne_y : p.index jx ≠ p.index jy
jxy : jx < jy
A : Set ℕ :=
  ⋃ j,
    ⋃ (_ :
      (closedBall (p.c (p.index ↑j)) (p.r (p.index ↑j)) ∩ closedBall (p.c (p.index jy)) (p.r (p.index jy))).Nonempty),
      {p.color ↑j}
⊢ p.color jy = sInf (univ \ A)

Tactic:
rw [TauPackage.color]

Result:
no goals