-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Bounds.lean
theorem norm_iteratedFDerivWithin_comp_le {g : F → G} {f : E → F} {n : ℕ} {s : Set E} {t : Set F}
    {x : E} {N : WithTop ℕ∞} (hg : ContDiffOn 𝕜 N g t) (hf : ContDiffOn 𝕜 N f s) (hn : n ≤ N)
    (ht : UniqueDiffOn 𝕜 t) (hs : UniqueDiffOn 𝕜 s) (hst : MapsTo f s t) (hx : x ∈ s) {C : ℝ}
    {D : ℝ} (hC : ∀ i, i ≤ n → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)‖ ≤ C)
    (hD : ∀ i, 1 ≤ i → i ≤ n → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ ≤ D ^ i) :
    ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (g ∘ f) s x‖ ≤ n ! * C * D ^ n

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
g : F → G
f : E → F
n : ℕ
s : Set E
t : Set F
x : E
N : WithTop ℕ∞
hg : ContDiffOn 𝕜 N g t
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hn : ↑n ≤ N
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hst : MapsTo f s t
hx : x ∈ s
C D : ℝ
Fu : Type (max uF uG) := ULift.{uG, uF} F
Gu : Type (max uF uG) := ULift.{uF, uG} G
isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F
isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G
fu : E → Fu := ⇑isoF.symm ∘ f
gu : Fu → Gu := ⇑isoG.symm ∘ g ∘ ⇑isoF
tu : Set Fu := ⇑isoF ⁻¹' t
htu : UniqueDiffOn 𝕜 tu
hstu : MapsTo fu s tu
Ffu : isoF (fu x) = f x
hfu : ContDiffOn 𝕜 (↑n) fu s
hgu : ContDiffOn 𝕜 (↑n) gu tu
Nfu : ∀ (i : ℕ), ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i fu s x‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖
hD : ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ n → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i fu s x‖ ≤ D ^ i
Ngu : ∀ (i : ℕ), ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i gu tu (fu x)‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)‖
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i gu tu (fu x)‖ ≤ C
Nfgu : ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (g ∘ f) s x‖ = ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (gu ∘ fu) s x‖
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (gu ∘ fu) s x‖ ≤ ↑n ! * C * D ^ n

Tactic:
exact norm_iteratedFDerivWithin_comp_le_aux hgu hfu htu hs hstu hx hC hD

Result:
no goals

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
g : F → G
f : E → F
n : ℕ
s : Set E
t : Set F
x : E
N : WithTop ℕ∞
hg : ContDiffOn 𝕜 N g t
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hn : ↑n ≤ N
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hst : MapsTo f s t
hx : x ∈ s
C D : ℝ
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)‖ ≤ C
hD : ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ n → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ ≤ D ^ i
Fu : Type (max uF uG) := ULift.{uG, uF} F
Gu : Type (max uF uG) := ULift.{uF, uG} G
isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (g ∘ f) s x‖ ≤ ↑n ! * C * D ^ n

Tactic:
have isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G := LinearIsometryEquiv.ulift 𝕜 G

Result:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
g : F → G
f : E → F
n : ℕ
s : Set E
t : Set F
x : E
N : WithTop ℕ∞
hg : ContDiffOn 𝕜 N g t
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hn : ↑n ≤ N
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hst : MapsTo f s t
hx : x ∈ s
C D : ℝ
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)‖ ≤ C
hD : ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ n → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ ≤ D ^ i
Fu : Type (max uF uG) := ULift.{uG, uF} F
Gu : Type (max uF uG) := ULift.{uF, uG} G
isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F
isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (g ∘ f) s x‖ ≤ ↑n ! * C * D ^ n

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
g : F → G
f : E → F
n : ℕ
s : Set E
t : Set F
x : E
N : WithTop ℕ∞
hg : ContDiffOn 𝕜 N g t
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hn : ↑n ≤ N
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hst : MapsTo f s t
hx : x ∈ s
C D : ℝ
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)‖ ≤ C
hD : ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ n → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ ≤ D ^ i
Fu : Type (max uF uG) := ULift.{uG, uF} F
Gu : Type (max uF uG) := ULift.{uF, uG} G
isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F
isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G
fu : E → Fu := ⇑isoF.symm ∘ f
gu : Fu → Gu := ⇑isoG.symm ∘ g ∘ ⇑isoF
tu : Set Fu := ⇑isoF ⁻¹' t
htu : UniqueDiffOn 𝕜 tu
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (g ∘ f) s x‖ ≤ ↑n ! * C * D ^ n

Tactic:
have hstu : MapsTo fu s tu := fun y hy ↦ by
  simpa only [fu, tu, mem_preimage, comp_apply, LinearIsometryEquiv.apply_symm_apply] using hst hy

Result:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
g : F → G
f : E → F
n : ℕ
s : Set E
t : Set F
x : E
N : WithTop ℕ∞
hg : ContDiffOn 𝕜 N g t
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hn : ↑n ≤ N
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hst : MapsTo f s t
hx : x ∈ s
C D : ℝ
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)‖ ≤ C
hD : ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ n → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ ≤ D ^ i
Fu : Type (max uF uG) := ULift.{uG, uF} F
Gu : Type (max uF uG) := ULift.{uF, uG} G
isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F
isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G
fu : E → Fu := ⇑isoF.symm ∘ f
gu : Fu → Gu := ⇑isoG.symm ∘ g ∘ ⇑isoF
tu : Set Fu := ⇑isoF ⁻¹' t
htu : UniqueDiffOn 𝕜 tu
hstu : MapsTo fu s tu
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (g ∘ f) s x‖ ≤ ↑n ! * C * D ^ n

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
g : F → G
f : E → F
n : ℕ
s : Set E
t : Set F
x : E
N : WithTop ℕ∞
hg : ContDiffOn 𝕜 N g t
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hn : ↑n ≤ N
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hst : MapsTo f s t
hx : x ∈ s
C D : ℝ
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)‖ ≤ C
hD : ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ n → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ ≤ D ^ i
Fu : Type (max uF uG) := ULift.{uG, uF} F
Gu : Type (max uF uG) := ULift.{uF, uG} G
isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F
isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G
fu : E → Fu := ⇑isoF.symm ∘ f
gu : Fu → Gu := ⇑isoG.symm ∘ g ∘ ⇑isoF
tu : Set Fu := ⇑isoF ⁻¹' t
htu : UniqueDiffOn 𝕜 tu
hstu : MapsTo fu s tu
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (g ∘ f) s x‖ ≤ ↑n ! * C * D ^ n

Tactic:
have Ffu : isoF (fu x) = f x := by
  simp only [fu, comp_apply, LinearIsometryEquiv.apply_symm_apply]

Result:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
g : F → G
f : E → F
n : ℕ
s : Set E
t : Set F
x : E
N : WithTop ℕ∞
hg : ContDiffOn 𝕜 N g t
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hn : ↑n ≤ N
ht : UniqueDiffOn 𝕜 t
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hst : MapsTo f s t
hx : x ∈ s
C D : ℝ
hC : ∀ i ≤ n, ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i g t (f x)‖ ≤ C
hD : ∀ (i : ℕ), 1 ≤ i → i ≤ n → ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ ≤ D ^ i
Fu : Type (max uF uG) := ULift.{uG, uF} F
Gu : Type (max uF uG) := ULift.{uF, uG} G
isoF : Fu ≃ₗᵢ[𝕜] F
isoG : Gu ≃ₗᵢ[𝕜] G
fu : E → Fu := ⇑isoF.symm ∘ f
gu : Fu → Gu := ⇑isoG.symm ∘ g ∘ ⇑isoF
tu : Set Fu := ⇑isoF ⁻¹' t
htu : UniqueDiffOn 𝕜 tu
hstu : MapsTo fu s tu
Ffu : isoF (fu x) = f x
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (g ∘ f) s x‖ ≤ ↑n ! * C * D ^ n