-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Eisenstein/IsIntegral.lean
theorem mem_adjoin_of_smul_prime_smul_of_minpoly_isEisensteinAt {B : PowerBasis K L}
    (hp : Prime p) (hBint : IsIntegral R B.gen) {z : L} (hzint : IsIntegral R z)
    (hz : p • z ∈ adjoin R ({B.gen} : Set L)) (hei : (minpoly R B.gen).IsEisensteinAt 𝓟) :
    z ∈ adjoin R ({B.gen} : Set L)

Proof state:
case neg.hi.convert_2
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p : R
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
B : PowerBasis K L
hp : _root_.Prime p
hBint : IsIntegral R B.gen
z : L
hzint : IsIntegral R z
this✝ : Module.Finite K L
P : R[X] := minpoly R B.gen
hei : P.IsEisensteinAt (Submodule.span R {p})
hndiv : ¬p ^ 2 ∣ P.coeff 0
hP : P = minpoly R B.gen
n : ℕ
hn : B.dim = n.succ
this : NoZeroSMulDivisors R L
x✝ : L[X] := Polynomial.map (algebraMap R L) P
Q₁ : R[X]
Q : R[X] := Q₁ %ₘ P
hQ₁ : Q = Q₁ %ₘ P
hQ : (aeval B.gen) Q = p • z
hQzero : ¬Q = 0
j : ℕ
hj : j + 1 ∈ range (Q.natDegree + 1)
H : j + 1 + 1 ≤ P.natDegree
Hj : Q.natDegree + 1 = j + 1 + (Q.natDegree - j)
g : ℕ → R
hg : ∀ k ∈ range (j + 1), Q.coeff k • B.gen ^ k = (algebraMap R L) p * g k • B.gen ^ k
f : ℕ → L
hf :
  ∀ (i : ℕ),
    (Polynomial.map (algebraMap R L) (minpoly R B.gen)).natDegree ≤ i →
      f i ∈ adjoin R {B.gen} ∧ (algebraMap R L) p * f i = B.gen ^ i
hf₁ :
  ∀ k ∈ (range (Q.natDegree - j)).erase 0,
    Q.coeff (j + 1 + k) • B.gen ^ (j + 1 + k) * B.gen ^ (P.natDegree - (j + 2)) =
      (algebraMap R L) p * Q.coeff (j + 1 + k) • f (k + P.natDegree - 1)
⊢ p ^ n.succ ∣ Q.coeff j.succ ^ n.succ * (minpoly R B.gen).coeff 0 ^ (j.succ + (P.natDegree - (j + 2)))

Tactic:
rw [aeval_eq_sum_range, Hj, range_add, sum_union (disjoint_range_addLeftEmbedding _ _),
  sum_congr rfl hg, add_comm] at hQ

Result:
case neg.hi.convert_2
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p : R
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
B : PowerBasis K L
hp : _root_.Prime p
hBint : IsIntegral R B.gen
z : L
hzint : IsIntegral R z
this✝ : Module.Finite K L
P : R[X] := minpoly R B.gen
hei : P.IsEisensteinAt (Submodule.span R {p})
hndiv : ¬p ^ 2 ∣ P.coeff 0
hP : P = minpoly R B.gen
n : ℕ
hn : B.dim = n.succ
this : NoZeroSMulDivisors R L
x✝ : L[X] := Polynomial.map (algebraMap R L) P
Q₁ : R[X]
Q : R[X] := Q₁ %ₘ P
hQ₁ : Q = Q₁ %ₘ P
hQzero : ¬Q = 0
j : ℕ
hj : j + 1 ∈ range (Q.natDegree + 1)
H : j + 1 + 1 ≤ P.natDegree
Hj : Q.natDegree + 1 = j + 1 + (Q.natDegree - j)
g : ℕ → R
hQ :
  ∑ x ∈ Finset.map (addLeftEmbedding (j + 1)) (range (Q.natDegree - j)), Q.coeff x • B.gen ^ x +
      ∑ x ∈ range (j + 1), (algebraMap R L) p * g x • B.gen ^ x =
    p • z
hg : ∀ k ∈ range (j + 1), Q.coeff k • B.gen ^ k = (algebraMap R L) p * g k • B.gen ^ k
f : ℕ → L
hf :
  ∀ (i : ℕ),
    (Polynomial.map (algebraMap R L) (minpoly R B.gen)).natDegree ≤ i →
      f i ∈ adjoin R {B.gen} ∧ (algebraMap R L) p * f i = B.gen ^ i
hf₁ :
  ∀ k ∈ (range (Q.natDegree - j)).erase 0,
    Q.coeff (j + 1 + k) • B.gen ^ (j + 1 + k) * B.gen ^ (P.natDegree - (j + 2)) =
      (algebraMap R L) p * Q.coeff (j + 1 + k) • f (k + P.natDegree - 1)
⊢ p ^ n.succ ∣ Q.coeff j.succ ^ n.succ * (minpoly R B.gen).coeff 0 ^ (j.succ + (P.natDegree - (j + 2)))

Proof state:
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p : R
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
B : PowerBasis K L
hp : _root_.Prime p
hBint : IsIntegral R B.gen
z : L
hzint : IsIntegral R z
this✝ : Module.Finite K L
P : R[X] := minpoly R B.gen
hei : P.IsEisensteinAt (Submodule.span R {p})
hndiv : ¬p ^ 2 ∣ P.coeff 0
hP : P = minpoly R B.gen
n : ℕ
hn : B.dim = n.succ
this : NoZeroSMulDivisors R L
x✝ : L[X] := Polynomial.map (algebraMap R L) P
Q₁ : R[X]
Q : R[X] := Q₁ %ₘ P
hQ₁ : Q = Q₁ %ₘ P
hQ : (aeval B.gen) Q = p • z
hQzero : ¬Q = 0
j : ℕ
hj : j + 1 ∈ range (Q.natDegree + 1)
H : j + 1 + 1 ≤ P.natDegree
Hj : Q.natDegree + 1 = j + 1 + (Q.natDegree - j)
g : ℕ → R
hg : ∀ k ∈ range (j + 1), Q.coeff k • B.gen ^ k = (algebraMap R L) p * g k • B.gen ^ k
f : ℕ → L
hf :
  ∀ (i : ℕ),
    (Polynomial.map (algebraMap R L) (minpoly R B.gen)).natDegree ≤ i →
      f i ∈ adjoin R {B.gen} ∧ (algebraMap R L) p * f i = B.gen ^ i
k : ℕ
hk : k ∈ (range (Q.natDegree - j)).erase 0
⊢ (Polynomial.map (algebraMap R L) (minpoly R B.gen)).natDegree ≤ k + P.natDegree - 1

Tactic:
rw [(minpoly.monic hBint).natDegree_map, add_comm, Nat.add_sub_assoc, le_add_iff_nonneg_right]

Result:
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p : R
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
B : PowerBasis K L
hp : _root_.Prime p
hBint : IsIntegral R B.gen
z : L
hzint : IsIntegral R z
this✝ : Module.Finite K L
P : R[X] := minpoly R B.gen
hei : P.IsEisensteinAt (Submodule.span R {p})
hndiv : ¬p ^ 2 ∣ P.coeff 0
hP : P = minpoly R B.gen
n : ℕ
hn : B.dim = n.succ
this : NoZeroSMulDivisors R L
x✝ : L[X] := Polynomial.map (algebraMap R L) P
Q₁ : R[X]
Q : R[X] := Q₁ %ₘ P
hQ₁ : Q = Q₁ %ₘ P
hQ : (aeval B.gen) Q = p • z
hQzero : ¬Q = 0
j : ℕ
hj : j + 1 ∈ range (Q.natDegree + 1)
H : j + 1 + 1 ≤ P.natDegree
Hj : Q.natDegree + 1 = j + 1 + (Q.natDegree - j)
g : ℕ → R
hg : ∀ k ∈ range (j + 1), Q.coeff k • B.gen ^ k = (algebraMap R L) p * g k • B.gen ^ k
f : ℕ → L
hf :
  ∀ (i : ℕ),
    (Polynomial.map (algebraMap R L) (minpoly R B.gen)).natDegree ≤ i →
      f i ∈ adjoin R {B.gen} ∧ (algebraMap R L) p * f i = B.gen ^ i
k : ℕ
hk : k ∈ (range (Q.natDegree - j)).erase 0
⊢ 0 ≤ k - 1

case h
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p : R
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
B : PowerBasis K L
hp : _root_.Prime p
hBint : IsIntegral R B.gen
z : L
hzint : IsIntegral R z
this✝ : Module.Finite K L
P : R[X] := minpoly R B.gen
hei : P.IsEisensteinAt (Submodule.span R {p})
hndiv : ¬p ^ 2 ∣ P.coeff 0
hP : P = minpoly R B.gen
n : ℕ
hn : B.dim = n.succ
this : NoZeroSMulDivisors R L
x✝ : L[X] := Polynomial.map (algebraMap R L) P
Q₁ : R[X]
Q : R[X] := Q₁ %ₘ P
hQ₁ : Q = Q₁ %ₘ P
hQ : (aeval B.gen) Q = p • z
hQzero : ¬Q = 0
j : ℕ
hj : j + 1 ∈ range (Q.natDegree + 1)
H : j + 1 + 1 ≤ P.natDegree
Hj : Q.natDegree + 1 = j + 1 + (Q.natDegree - j)
g : ℕ → R
hg : ∀ k ∈ range (j + 1), Q.coeff k • B.gen ^ k = (algebraMap R L) p * g k • B.gen ^ k
f : ℕ → L
hf :
  ∀ (i : ℕ),
    (Polynomial.map (algebraMap R L) (minpoly R B.gen)).natDegree ≤ i →
      f i ∈ adjoin R {B.gen} ∧ (algebraMap R L) p * f i = B.gen ^ i
k : ℕ
hk : k ∈ (range (Q.natDegree - j)).erase 0
⊢ 1 ≤ k