-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Symmetric.lean
theorem Convex.second_derivative_within_at_symmetric {s : Set E} (s_conv : Convex ℝ s)
    (hne : (interior s).Nonempty) {f : E → F} {f' : E → E →L[ℝ] F} {f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F}
    (hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x) {x : E} (xs : x ∈ s)
    (hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x) (v w : E) : f'' v w = f'' w v

Proof state:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w y : E
hy : y ∈ interior s
z : E
hz : z = (1 / 4) • (y - x)
A : ∀ (m : E), Tendsto (fun t => x + 4 • (z + t • m)) (𝓝 0) (𝓝 y)
⊢ ∀ (m : E), ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝[>] 0, x + 4 • (z + t • m) ∈ interior s

Tactic:
intro m

Result:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w y : E
hy : y ∈ interior s
z : E
hz : z = (1 / 4) • (y - x)
A : ∀ (m : E), Tendsto (fun t => x + 4 • (z + t • m)) (𝓝 0) (𝓝 y)
m : E
⊢ ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝[>] 0, x + 4 • (z + t • m) ∈ interior s

Proof state:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
hne : (interior s).Nonempty
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w : E
⊢ (f'' v) w = (f'' w) v

Tactic:
rcases hne with ⟨y, hy⟩

Result:
case intro
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w y : E
hy : y ∈ interior s
⊢ (f'' v) w = (f'' w) v

Proof state:
case intro.intro
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w y : E
hy : y ∈ interior s
z : E
hz : z = (1 / 4) • (y - x)
A : ∀ (m : E), Tendsto (fun t => x + 4 • (z + t • m)) (𝓝 0) (𝓝 y)
B : ∀ (m : E), ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝[>] 0, x + 4 • (z + t • m) ∈ interior s
t : E → ℝ
ts : ∀ (m : E), x + 4 • (z + t m • m) ∈ interior s
tpos : ∀ (m : E), 0 < t m
C : ∀ (m : E), (f'' m) z = (f'' z) m
this :
  (f'' z) z + t v • (f'' z) v + (t w • (f'' z) w + (t w * t v) • (f'' v) w) =
    (f'' z) z + t w • (f'' z) w + (t v • (f'' z) v + (t v * t w) • (f'' w) v)
⊢ (f'' v) w = (f'' w) v

Tactic:
have : (t v * t w) • (f'' v) w = (t v * t w) • (f'' w) v := by
  linear_combination (norm := module) this

Result:
case intro.intro
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w y : E
hy : y ∈ interior s
z : E
hz : z = (1 / 4) • (y - x)
A : ∀ (m : E), Tendsto (fun t => x + 4 • (z + t • m)) (𝓝 0) (𝓝 y)
B : ∀ (m : E), ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝[>] 0, x + 4 • (z + t • m) ∈ interior s
t : E → ℝ
ts : ∀ (m : E), x + 4 • (z + t m • m) ∈ interior s
tpos : ∀ (m : E), 0 < t m
C : ∀ (m : E), (f'' m) z = (f'' z) m
this✝ :
  (f'' z) z + t v • (f'' z) v + (t w • (f'' z) w + (t w * t v) • (f'' v) w) =
    (f'' z) z + t w • (f'' z) w + (t v • (f'' z) v + (t v * t w) • (f'' w) v)
this : (t v * t w) • (f'' v) w = (t v * t w) • (f'' w) v
⊢ (f'' v) w = (f'' w) v

Proof state:
case intro.intro
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w y : E
hy : y ∈ interior s
z : E
hz : z = (1 / 4) • (y - x)
A : ∀ (m : E), Tendsto (fun t => x + 4 • (z + t • m)) (𝓝 0) (𝓝 y)
B : ∀ (m : E), ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝[>] 0, x + 4 • (z + t • m) ∈ interior s
⊢ (f'' v) w = (f'' w) v

Tactic:
choose t ts tpos using fun m => ((B m).and self_mem_nhdsWithin).exists

Result:
case intro.intro
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w y : E
hy : y ∈ interior s
z : E
hz : z = (1 / 4) • (y - x)
A : ∀ (m : E), Tendsto (fun t => x + 4 • (z + t • m)) (𝓝 0) (𝓝 y)
B : ∀ (m : E), ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝[>] 0, x + 4 • (z + t • m) ∈ interior s
t : E → ℝ
ts : ∀ (m : E), x + 4 • (z + t m • m) ∈ interior s
tpos : ∀ (m : E), 0 < t m
⊢ (f'' v) w = (f'' w) v

Proof state:
case intro.intro
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w y : E
hy : y ∈ interior s
z : E
hz : z = (1 / 4) • (y - x)
A : ∀ (m : E), Tendsto (fun t => x + 4 • (z + t • m)) (𝓝 0) (𝓝 y)
B : ∀ (m : E), ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝[>] 0, x + 4 • (z + t • m) ∈ interior s
t : E → ℝ
ts : ∀ (m : E), x + 4 • (z + t m • m) ∈ interior s
tpos : ∀ (m : E), 0 < t m
C : ∀ (m : E), (f'' m) z = (f'' z) m
this✝ :
  (f'' z) z + t v • (f'' z) v + (t w • (f'' z) w + (t w * t v) • (f'' v) w) =
    (f'' z) z + t w • (f'' z) w + (t v • (f'' z) v + (t v * t w) • (f'' w) v)
this : (t v * t w) • (f'' v) w = (t v * t w) • (f'' w) v
⊢ (f'' v) w = (f'' w) v

Tactic:
apply smul_right_injective F _ this

Result:
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w y : E
hy : y ∈ interior s
z : E
hz : z = (1 / 4) • (y - x)
A : ∀ (m : E), Tendsto (fun t => x + 4 • (z + t • m)) (𝓝 0) (𝓝 y)
B : ∀ (m : E), ∀ᶠ (t : ℝ) in 𝓝[>] 0, x + 4 • (z + t • m) ∈ interior s
t : E → ℝ
ts : ∀ (m : E), x + 4 • (z + t m • m) ∈ interior s
tpos : ∀ (m : E), 0 < t m
C : ∀ (m : E), (f'' m) z = (f'' z) m
this✝ :
  (f'' z) z + t v • (f'' z) v + (t w • (f'' z) w + (t w * t v) • (f'' v) w) =
    (f'' z) z + t w • (f'' z) w + (t v • (f'' z) v + (t v * t w) • (f'' w) v)
this : (t v * t w) • (f'' v) w = (t v * t w) • (f'' w) v
⊢ t v * t w ≠ 0