-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ContinuousMapDense.lean
theorem MemLp.exists_boundedContinuous_eLpNorm_sub_le [μ.WeaklyRegular] (hp : p ≠ ∞) {f : α → E}
    (hf : MemLp f p μ) {ε : ℝ≥0∞} (hε : ε ≠ 0) :
    ∃ g : α →ᵇ E, eLpNorm (f - (g : α → E)) p μ ≤ ε ∧ MemLp g p μ

Proof state:
α : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : NormalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
hp : p ≠ ⊤
f : α → E
hf : MemLp f p μ
ε✝ : ℝ≥0∞
hε✝ : ε✝ ≠ 0
c : E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
htμ : μ t < ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
⊢ ∃ g, eLpNorm (g - t.indicator fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ MemLp g p μ ∧ IsBounded (range g)

Tactic:
rcases exists_Lp_half E μ p hε with ⟨δ, δpos, hδ⟩

Result:
case intro.intro
α : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : NormalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
hp : p ≠ ⊤
f : α → E
hf : MemLp f p μ
ε✝ : ℝ≥0∞
hε✝ : ε✝ ≠ 0
c : E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
htμ : μ t < ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ :
  ∀ (f g : α → E),
    AEStronglyMeasurable f μ →
      AEStronglyMeasurable g μ → eLpNorm f p μ ≤ δ → eLpNorm g p μ ≤ δ → eLpNorm (f + g) p μ < ε
⊢ ∃ g, eLpNorm (g - t.indicator fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ MemLp g p μ ∧ IsBounded (range g)

Proof state:
case intro.intro
α : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : NormalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
hp : p ≠ ⊤
f : α → E
hf : MemLp f p μ
ε✝ : ℝ≥0∞
hε✝ : ε✝ ≠ 0
c : E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
htμ : μ t < ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ :
  ∀ (f g : α → E),
    AEStronglyMeasurable f μ →
      AEStronglyMeasurable g μ → eLpNorm f p μ ≤ δ → eLpNorm g p μ ≤ δ → eLpNorm (f + g) p μ < ε
⊢ ∃ g, eLpNorm (g - t.indicator fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ MemLp g p μ ∧ IsBounded (range g)

Tactic:
obtain ⟨η, ηpos, hη⟩ :
    ∃ η : ℝ≥0, 0 < η ∧ ∀ s : Set α, μ s ≤ η → eLpNorm (s.indicator fun _x => c) p μ ≤ δ :=
  exists_eLpNorm_indicator_le hp c δpos.ne'

Result:
case intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : NormalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
hp : p ≠ ⊤
f : α → E
hf : MemLp f p μ
ε✝ : ℝ≥0∞
hε✝ : ε✝ ≠ 0
c : E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
htμ : μ t < ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ :
  ∀ (f g : α → E),
    AEStronglyMeasurable f μ →
      AEStronglyMeasurable g μ → eLpNorm f p μ ≤ δ → eLpNorm g p μ ≤ δ → eLpNorm (f + g) p μ < ε
η : ℝ≥0
ηpos : 0 < η
hη : ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun _x => c) p μ ≤ δ
⊢ ∃ g, eLpNorm (g - t.indicator fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ MemLp g p μ ∧ IsBounded (range g)

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : NormalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
hp : p ≠ ⊤
f✝ : α → E
hf : MemLp f✝ p μ
ε✝ : ℝ≥0∞
hε✝ : ε✝ ≠ 0
c : E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
htμ : μ t < ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ :
  ∀ (f g : α → E),
    AEStronglyMeasurable f μ →
      AEStronglyMeasurable g μ → eLpNorm f p μ ≤ δ → eLpNorm g p μ ≤ δ → eLpNorm (f + g) p μ < ε
η : ℝ≥0
ηpos : 0 < η
hη : ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun _x => c) p μ ≤ δ
hη_pos' : 0 < ↑η
s : Set α
st : s ⊆ t
s_closed : IsClosed s
μs : μ (t \ s) < ↑η
hsμ : μ s < ⊤
I1 : eLpNorm ((s.indicator fun _y => c) - t.indicator fun _y => c) p μ ≤ δ
f : α → E
f_cont : Continuous f
I2 : eLpNorm (fun x => f x - s.indicator (fun _y => c) x) p μ ≤ δ
f_bound : ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖
f_mem : MemLp f p μ
⊢ ∃ g, eLpNorm (g - t.indicator fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ MemLp g p μ ∧ IsBounded (range g)

Tactic:
have I3 : eLpNorm (f - t.indicator fun _y => c) p μ ≤ ε := by
  convert
    (hδ _ _
        (f_mem.aestronglyMeasurable.sub
          (aestronglyMeasurable_const.indicator s_closed.measurableSet))
        ((aestronglyMeasurable_const.indicator s_closed.measurableSet).sub
          (aestronglyMeasurable_const.indicator ht))
        I2 I1).le using 2
  simp only [sub_add_sub_cancel]

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : NormalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
hp : p ≠ ⊤
f✝ : α → E
hf : MemLp f✝ p μ
ε✝ : ℝ≥0∞
hε✝ : ε✝ ≠ 0
c : E
t : Set α
ht : MeasurableSet t
htμ : μ t < ⊤
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
δ : ℝ≥0∞
δpos : 0 < δ
hδ :
  ∀ (f g : α → E),
    AEStronglyMeasurable f μ →
      AEStronglyMeasurable g μ → eLpNorm f p μ ≤ δ → eLpNorm g p μ ≤ δ → eLpNorm (f + g) p μ < ε
η : ℝ≥0
ηpos : 0 < η
hη : ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun _x => c) p μ ≤ δ
hη_pos' : 0 < ↑η
s : Set α
st : s ⊆ t
s_closed : IsClosed s
μs : μ (t \ s) < ↑η
hsμ : μ s < ⊤
I1 : eLpNorm ((s.indicator fun _y => c) - t.indicator fun _y => c) p μ ≤ δ
f : α → E
f_cont : Continuous f
I2 : eLpNorm (fun x => f x - s.indicator (fun _y => c) x) p μ ≤ δ
f_bound : ∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖
f_mem : MemLp f p μ
I3 : eLpNorm (f - t.indicator fun _y => c) p μ ≤ ε
⊢ ∃ g, eLpNorm (g - t.indicator fun x => c) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ MemLp g p μ ∧ IsBounded (range g)

Proof state:
α : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : NormalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
hp : p ≠ ⊤
f : α → E
hf : MemLp f p μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
H : ∃ g, eLpNorm (f - g) p μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ MemLp g p μ ∧ IsBounded (range g)
⊢ ∃ g, eLpNorm (f - ⇑g) p μ ≤ ε ∧ MemLp (⇑g) p μ

Tactic:
rcases H with ⟨g, hg, g_cont, g_mem, g_bd⟩

Result:
case intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : NormalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.WeaklyRegular
hp : p ≠ ⊤
f : α → E
hf : MemLp f p μ
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
g : α → E
hg : eLpNorm (f - g) p μ ≤ ε
g_cont : Continuous g
g_mem : MemLp g p μ
g_bd : IsBounded (range g)
⊢ ∃ g, eLpNorm (f - ⇑g) p μ ≤ ε ∧ MemLp (⇑g) p μ