-- Mathlib/LinearAlgebra/SesquilinearForm.lean
lemma apply_apply_same_eq_zero_iff (hs : ∀ x, 0 ≤ B x x) (hB : B.IsSymm) {x : M} :
    B x x = 0 ↔ x ∈ LinearMap.ker B

Proof state:
case h
R : Type u_1
M : Type u_5
inst✝² : LinearOrderedCommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
hs : ∀ (x : M), 0 ≤ (B x) x
hB : IsSymm B
x : M
h : (B x) x = 0
y : M
⊢ (B x) y = 0 y

Tactic:
have := B.apply_sq_le_of_symm hs hB x y

Result:
case h
R : Type u_1
M : Type u_5
inst✝² : LinearOrderedCommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
hs : ∀ (x : M), 0 ≤ (B x) x
hB : IsSymm B
x : M
h : (B x) x = 0
y : M
this : (B x) y ^ 2 ≤ (B x) x * (B y) y
⊢ (B x) y = 0 y

Proof state:
R : Type u_1
M : Type u_5
inst✝² : LinearOrderedCommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
hs : ∀ (x : M), 0 ≤ (B x) x
hB : IsSymm B
x : M
h : (B x) x = 0
⊢ B x = 0

Tactic:
ext y

Result:
case h
R : Type u_1
M : Type u_5
inst✝² : LinearOrderedCommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
hs : ∀ (x : M), 0 ≤ (B x) x
hB : IsSymm B
x : M
h : (B x) x = 0
y : M
⊢ (B x) y = 0 y

Proof state:
case h
R : Type u_1
M : Type u_5
inst✝² : LinearOrderedCommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
hs : ∀ (x : M), 0 ≤ (B x) x
hB : IsSymm B
x : M
h : (B x) x = 0
y : M
this : (B x) y ^ 2 ≤ 0
⊢ (B x) y = 0 y

Tactic:
exact pow_eq_zero <| le_antisymm this (sq_nonneg (B x y))

Result:
no goals

Proof state:
R : Type u_1
M : Type u_5
inst✝² : LinearOrderedCommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
hs : ∀ (x : M), 0 ≤ (B x) x
hB : IsSymm B
x : M
⊢ (B x) x = 0 ↔ x ∈ ker B

Tactic:
rw [LinearMap.mem_ker]

Result:
R : Type u_1
M : Type u_5
inst✝² : LinearOrderedCommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
hs : ∀ (x : M), 0 ≤ (B x) x
hB : IsSymm B
x : M
⊢ (B x) x = 0 ↔ B x = 0

Proof state:
R : Type u_1
M : Type u_5
inst✝² : LinearOrderedCommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
hs : ∀ (x : M), 0 ≤ (B x) x
hB : IsSymm B
x : M
⊢ (B x) x = 0 ↔ B x = 0

Tactic:
refine ⟨fun h ↦ ?_, fun h ↦ by simp [h]⟩

Result:
R : Type u_1
M : Type u_5
inst✝² : LinearOrderedCommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
hs : ∀ (x : M), 0 ≤ (B x) x
hB : IsSymm B
x : M
h : (B x) x = 0
⊢ B x = 0

Proof state:
R : Type u_1
M : Type u_5
inst✝² : LinearOrderedCommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
hs : ∀ (x : M), 0 ≤ (B x) x
hB : IsSymm B
x : M
h : B x = 0
⊢ (B x) x = 0

Tactic:
simp [h]

Result:
no goals

Proof state:
case h
R : Type u_1
M : Type u_5
inst✝² : LinearOrderedCommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
hs : ∀ (x : M), 0 ≤ (B x) x
hB : IsSymm B
x : M
h : (B x) x = 0
y : M
this : (B x) y ^ 2 ≤ (B x) x * (B y) y
⊢ (B x) y = 0 y

Tactic:
simp only [h, zero_mul] at this

Result:
case h
R : Type u_1
M : Type u_5
inst✝² : LinearOrderedCommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
B : LinearMap.BilinForm R M
hs : ∀ (x : M), 0 ≤ (B x) x
hB : IsSymm B
x : M
h : (B x) x = 0
y : M
this : (B x) y ^ 2 ≤ 0
⊢ (B x) y = 0 y