-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL1.lean
theorem condExpIndL1_smul' [NormedSpace ℝ F] [SMulCommClass ℝ 𝕜 F] (c : 𝕜) (x : F) :
    condExpIndL1 hm μ s (c • x) = c • condExpIndL1 hm μ s x

Proof state:
α : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
c : 𝕜
x : F
⊢ condExpIndL1 hm μ s (c • x) = c • condExpIndL1 hm μ s x

Tactic:
by_cases hs : MeasurableSet s

Result:
case pos
α : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
c : 𝕜
x : F
hs : MeasurableSet s
⊢ condExpIndL1 hm μ s (c • x) = c • condExpIndL1 hm μ s x

case neg
α : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
c : 𝕜
x : F
hs : ¬MeasurableSet s
⊢ condExpIndL1 hm μ s (c • x) = c • condExpIndL1 hm μ s x

Proof state:
case pos
α : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
c : 𝕜
x : F
hs : MeasurableSet s
⊢ condExpIndL1 hm μ s (c • x) = c • condExpIndL1 hm μ s x

case neg
α : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
c : 𝕜
x : F
hs : ¬MeasurableSet s
⊢ condExpIndL1 hm μ s (c • x) = c • condExpIndL1 hm μ s x

Tactic:
swap

Result:
case neg
α : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
c : 𝕜
x : F
hs : ¬MeasurableSet s
⊢ condExpIndL1 hm μ s (c • x) = c • condExpIndL1 hm μ s x

case pos
α : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
c : 𝕜
x : F
hs : MeasurableSet s
⊢ condExpIndL1 hm μ s (c • x) = c • condExpIndL1 hm μ s x

Proof state:
case pos
α : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
c : 𝕜
x : F
hs : MeasurableSet s
⊢ condExpIndL1 hm μ s (c • x) = c • condExpIndL1 hm μ s x

Tactic:
by_cases hμs : μ s = ∞

Result:
case pos
α : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
c : 𝕜
x : F
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s = ⊤
⊢ condExpIndL1 hm μ s (c • x) = c • condExpIndL1 hm μ s x

case neg
α : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
c : 𝕜
x : F
hs : MeasurableSet s
hμs : ¬μ s = ⊤
⊢ condExpIndL1 hm μ s (c • x) = c • condExpIndL1 hm μ s x

Proof state:
case neg
α : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
c : 𝕜
x : F
hs : MeasurableSet s
hμs : ¬μ s = ⊤
⊢ condExpIndL1Fin hm hs hμs (c • x) = c • condExpIndL1Fin hm hs hμs x

Tactic:
exact condExpIndL1Fin_smul' hs hμs c x

Result:
no goals

Proof state:
case neg
α : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
c : 𝕜
x : F
hs : MeasurableSet s
hμs : ¬μ s = ⊤
⊢ condExpIndL1 hm μ s (c • x) = c • condExpIndL1 hm μ s x

Tactic:
simp_rw [condExpIndL1_of_measurableSet_of_measure_ne_top hs hμs]

Result:
case neg
α : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
c : 𝕜
x : F
hs : MeasurableSet s
hμs : ¬μ s = ⊤
⊢ condExpIndL1Fin hm hs hμs (c • x) = c • condExpIndL1Fin hm hs hμs x

Proof state:
case neg
α : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
c : 𝕜
x : F
hs : ¬MeasurableSet s
⊢ 0 = c • 0

Tactic:
rw [smul_zero]

Result:
no goals

Proof state:
case neg
α : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
c : 𝕜
x : F
hs : ¬MeasurableSet s
⊢ condExpIndL1 hm μ s (c • x) = c • condExpIndL1 hm μ s x

Tactic:
simp_rw [condExpIndL1_of_not_measurableSet hs]

Result:
case neg
α : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
c : 𝕜
x : F
hs : ¬MeasurableSet s
⊢ 0 = c • 0

Proof state:
case pos
α : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
c : 𝕜
x : F
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s = ⊤
⊢ 0 = c • 0

Tactic:
rw [smul_zero]

Result:
no goals

Proof state:
case pos
α : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
c : 𝕜
x : F
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s = ⊤
⊢ condExpIndL1 hm μ s (c • x) = c • condExpIndL1 hm μ s x

Tactic:
simp_rw [condExpIndL1_of_measure_eq_top hμs]

Result:
case pos
α : Type u_1
F : Type u_2
𝕜 : Type u_6
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
c : 𝕜
x : F
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s = ⊤
⊢ 0 = c • 0