-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ContinuousMapDense.lean
theorem exists_continuous_eLpNorm_sub_le_of_closed [μ.OuterRegular] (hp : p ≠ ∞) {s u : Set α}
    (s_closed : IsClosed s) (u_open : IsOpen u) (hsu : s ⊆ u) (hs : μ s ≠ ∞) (c : E) {ε : ℝ≥0∞}
    (hε : ε ≠ 0) :
    ∃ f : α → E,
      Continuous f ∧
        eLpNorm (fun x => f x - s.indicator (fun _y => c) x) p μ ≤ ε ∧
          (∀ x, ‖f x‖ ≤ ‖c‖) ∧ Function.support f ⊆ u ∧ MemLp f p μ

Proof state:
α : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : NormalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.OuterRegular
hp : p ≠ ⊤
s u : Set α
s_closed : IsClosed s
u_open : IsOpen u
hsu : s ⊆ u
hs : μ s ≠ ⊤
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
η : ℝ≥0
η_pos : 0 < η
hη : ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun _x => c) p μ ≤ ε
ηpos : 0 < ↑η
V : Set α
sV : V ⊇ s
V_open : IsOpen V
h'V : μ V < ⊤
hV : μ (V \ s) < ↑η
v : Set α := u ∩ V
hsv : s ⊆ v
hμv : μ v < ⊤
g : C(α, ℝ)
hgv : EqOn (⇑g) 0 (u ∩ V)ᶜ
hgs : EqOn (⇑g) 1 s
hg_range : ∀ (x : α), g x ∈ Icc 0 1
g_norm : ∀ (x : α), ‖g x‖ = g x
x : α
⊢ ‖g x • c‖ ≤ ‖c‖

Tactic:
simp only [norm_smul, g_norm x]

Result:
α : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : NormalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.OuterRegular
hp : p ≠ ⊤
s u : Set α
s_closed : IsClosed s
u_open : IsOpen u
hsu : s ⊆ u
hs : μ s ≠ ⊤
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
η : ℝ≥0
η_pos : 0 < η
hη : ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun _x => c) p μ ≤ ε
ηpos : 0 < ↑η
V : Set α
sV : V ⊇ s
V_open : IsOpen V
h'V : μ V < ⊤
hV : μ (V \ s) < ↑η
v : Set α := u ∩ V
hsv : s ⊆ v
hμv : μ v < ⊤
g : C(α, ℝ)
hgv : EqOn (⇑g) 0 (u ∩ V)ᶜ
hgs : EqOn (⇑g) 1 s
hg_range : ∀ (x : α), g x ∈ Icc 0 1
g_norm : ∀ (x : α), ‖g x‖ = g x
x : α
⊢ g x * ‖c‖ ≤ ‖c‖

Proof state:
case neg
α : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : NormalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.OuterRegular
hp : p ≠ ⊤
s u : Set α
s_closed : IsClosed s
u_open : IsOpen u
hsu : s ⊆ u
hs : μ s ≠ ⊤
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
η : ℝ≥0
η_pos : 0 < η
hη : ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun _x => c) p μ ≤ ε
ηpos : 0 < ↑η
V : Set α
sV : V ⊇ s
V_open : IsOpen V
h'V : μ V < ⊤
hV : μ (V \ s) < ↑η
v : Set α := u ∩ V
hsv : s ⊆ v
hμv : μ v < ⊤
g : C(α, ℝ)
hgv : EqOn (⇑g) 0 (u ∩ V)ᶜ
hgs : EqOn (⇑g) 1 s
hg_range : ∀ (x : α), g x ∈ Icc 0 1
g_norm : ∀ (x : α), ‖g x‖ = g x
gc_bd0 : ∀ (x : α), ‖g x • c‖ ≤ ‖c‖
gc_bd : ∀ (x : α), ‖g x • c - s.indicator (fun _x => c) x‖ ≤ ‖(v \ s).indicator (fun _x => c) x‖
gc_support : (Function.support fun x => g x • c) ⊆ v
this : eLpNorm (v.indicator fun _x => 1) p μ < ⊤
x : α
hx : x ∉ v
⊢ ‖g x‖ ≤ ‖v.indicator (fun _x => 1) x‖

Tactic:
simp only [hgv hx, Pi.zero_apply, Real.norm_eq_abs, abs_zero, abs_nonneg]

Result:
no goals

Proof state:
case pos
α : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : NormalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.OuterRegular
hp : p ≠ ⊤
s u : Set α
s_closed : IsClosed s
u_open : IsOpen u
hsu : s ⊆ u
hs : μ s ≠ ⊤
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
η : ℝ≥0
η_pos : 0 < η
hη : ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun _x => c) p μ ≤ ε
ηpos : 0 < ↑η
V : Set α
sV : V ⊇ s
V_open : IsOpen V
h'V : μ V < ⊤
hV : μ (V \ s) < ↑η
v : Set α := u ∩ V
hsv : s ⊆ v
hμv : μ v < ⊤
g : C(α, ℝ)
hgv : EqOn (⇑g) 0 (u ∩ V)ᶜ
hgs : EqOn (⇑g) 1 s
hg_range : ∀ (x : α), g x ∈ Icc 0 1
g_norm : ∀ (x : α), ‖g x‖ = g x
gc_bd0 : ∀ (x : α), ‖g x • c‖ ≤ ‖c‖
gc_bd : ∀ (x : α), ‖g x • c - s.indicator (fun _x => c) x‖ ≤ ‖(v \ s).indicator (fun _x => c) x‖
gc_support : (Function.support fun x => g x • c) ⊆ v
this : eLpNorm (v.indicator fun _x => 1) p μ < ⊤
x : α
hx : x ∈ v
⊢ ‖g x‖ ≤ ‖v.indicator (fun _x => 1) x‖

Tactic:
simp only [hx, abs_of_nonneg (hg_range x).1, (hg_range x).2, Real.norm_eq_abs,
  indicator_of_mem, CStarRing.norm_one]

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro
α : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : NormalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.OuterRegular
hp : p ≠ ⊤
s u : Set α
s_closed : IsClosed s
u_open : IsOpen u
hsu : s ⊆ u
hs : μ s ≠ ⊤
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
η : ℝ≥0
η_pos : 0 < η
hη : ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun _x => c) p μ ≤ ε
⊢ ∃ f,
    Continuous f ∧
      eLpNorm (fun x => f x - s.indicator (fun _y => c) x) p μ ≤ ε ∧
        (∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖) ∧ Function.support f ⊆ u ∧ MemLp f p μ

Tactic:
have ηpos : (0 : ℝ≥0∞) < η := ENNReal.coe_lt_coe.2 η_pos

Result:
case intro.intro
α : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : NormalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.OuterRegular
hp : p ≠ ⊤
s u : Set α
s_closed : IsClosed s
u_open : IsOpen u
hsu : s ⊆ u
hs : μ s ≠ ⊤
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
η : ℝ≥0
η_pos : 0 < η
hη : ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun _x => c) p μ ≤ ε
ηpos : 0 < ↑η
⊢ ∃ f,
    Continuous f ∧
      eLpNorm (fun x => f x - s.indicator (fun _y => c) x) p μ ≤ ε ∧
        (∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖) ∧ Function.support f ⊆ u ∧ MemLp f p μ

Proof state:
α : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : NormalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.OuterRegular
hp : p ≠ ⊤
s u : Set α
s_closed : IsClosed s
u_open : IsOpen u
hsu : s ⊆ u
hs : μ s ≠ ⊤
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
⊢ ∃ f,
    Continuous f ∧
      eLpNorm (fun x => f x - s.indicator (fun _y => c) x) p μ ≤ ε ∧
        (∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖) ∧ Function.support f ⊆ u ∧ MemLp f p μ

Tactic:
obtain ⟨η, η_pos, hη⟩ :
    ∃ η : ℝ≥0, 0 < η ∧ ∀ s : Set α, μ s ≤ η → eLpNorm (s.indicator fun _x => c) p μ ≤ ε :=
  exists_eLpNorm_indicator_le hp c hε

Result:
case intro.intro
α : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : NormalSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
inst✝³ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : μ.OuterRegular
hp : p ≠ ⊤
s u : Set α
s_closed : IsClosed s
u_open : IsOpen u
hsu : s ⊆ u
hs : μ s ≠ ⊤
c : E
ε : ℝ≥0∞
hε : ε ≠ 0
η : ℝ≥0
η_pos : 0 < η
hη : ∀ (s : Set α), μ s ≤ ↑η → eLpNorm (s.indicator fun _x => c) p μ ≤ ε
⊢ ∃ f,
    Continuous f ∧
      eLpNorm (fun x => f x - s.indicator (fun _y => c) x) p μ ≤ ε ∧
        (∀ (x : α), ‖f x‖ ≤ ‖c‖) ∧ Function.support f ⊆ u ∧ MemLp f p μ