-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Transvection.lean
theorem exists_list_transvec_mul_diagonal_mul_list_transvec (M : Matrix n n 𝕜) :
    ∃ (L L' : List (TransvectionStruct n 𝕜)) (D : n → 𝕜),
      M = (L.map toMatrix).prod * diagonal D * (L'.map toMatrix).prod

Proof state:
n : Type u_1
𝕜 : Type u_3
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n 𝕜
L L' : List (TransvectionStruct n 𝕜)
D : n → 𝕜
h : (List.map toMatrix L).prod * M * (List.map toMatrix L').prod = diagonal D
this :
  M =
    (List.map (toMatrix ∘ TransvectionStruct.inv) L.reverse).prod * (List.map toMatrix L).prod * M *
      ((List.map toMatrix L').prod * (List.map (toMatrix ∘ TransvectionStruct.inv) L'.reverse).prod)
⊢ M =
    (List.map toMatrix (List.map TransvectionStruct.inv L.reverse)).prod * diagonal D *
      (List.map toMatrix (List.map TransvectionStruct.inv L'.reverse)).prod

Tactic:
simpa [← h, Matrix.mul_assoc]

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro.intro
n : Type u_1
𝕜 : Type u_3
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n 𝕜
L L' : List (TransvectionStruct n 𝕜)
D : n → 𝕜
h : (List.map toMatrix L).prod * M * (List.map toMatrix L').prod = diagonal D
⊢ M =
    (List.map (toMatrix ∘ TransvectionStruct.inv) L.reverse).prod * (List.map toMatrix L).prod * M *
      ((List.map toMatrix L').prod * (List.map (toMatrix ∘ TransvectionStruct.inv) L'.reverse).prod)

Tactic:
rw [reverse_inv_prod_mul_prod, prod_mul_reverse_inv_prod, Matrix.one_mul, Matrix.mul_one]

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro.intro
n : Type u_1
𝕜 : Type u_3
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n 𝕜
L L' : List (TransvectionStruct n 𝕜)
D : n → 𝕜
h : (List.map toMatrix L).prod * M * (List.map toMatrix L').prod = diagonal D
⊢ ∃ L L' D, M = (List.map toMatrix L).prod * diagonal D * (List.map toMatrix L').prod

Tactic:
refine ⟨L.reverse.map TransvectionStruct.inv, L'.reverse.map TransvectionStruct.inv, D, ?_⟩

Result:
case intro.intro.intro
n : Type u_1
𝕜 : Type u_3
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n 𝕜
L L' : List (TransvectionStruct n 𝕜)
D : n → 𝕜
h : (List.map toMatrix L).prod * M * (List.map toMatrix L').prod = diagonal D
⊢ M =
    (List.map toMatrix (List.map TransvectionStruct.inv L.reverse)).prod * diagonal D *
      (List.map toMatrix (List.map TransvectionStruct.inv L'.reverse)).prod

Proof state:
n : Type u_1
𝕜 : Type u_3
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n 𝕜
⊢ ∃ L L' D, M = (List.map toMatrix L).prod * diagonal D * (List.map toMatrix L').prod

Tactic:
rcases exists_list_transvec_mul_mul_list_transvec_eq_diagonal M with ⟨L, L', D, h⟩

Result:
case intro.intro.intro
n : Type u_1
𝕜 : Type u_3
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n 𝕜
L L' : List (TransvectionStruct n 𝕜)
D : n → 𝕜
h : (List.map toMatrix L).prod * M * (List.map toMatrix L').prod = diagonal D
⊢ ∃ L L' D, M = (List.map toMatrix L).prod * diagonal D * (List.map toMatrix L').prod

Proof state:
case intro.intro.intro
n : Type u_1
𝕜 : Type u_3
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n 𝕜
L L' : List (TransvectionStruct n 𝕜)
D : n → 𝕜
h : (List.map toMatrix L).prod * M * (List.map toMatrix L').prod = diagonal D
⊢ M =
    (List.map toMatrix (List.map TransvectionStruct.inv L.reverse)).prod * diagonal D *
      (List.map toMatrix (List.map TransvectionStruct.inv L'.reverse)).prod

Tactic:
suffices
  M =
    (L.reverse.map (toMatrix ∘ TransvectionStruct.inv)).prod * (L.map toMatrix).prod * M *
      ((L'.map toMatrix).prod * (L'.reverse.map (toMatrix ∘ TransvectionStruct.inv)).prod)
  by simpa [← h, Matrix.mul_assoc]

Result:
case intro.intro.intro
n : Type u_1
𝕜 : Type u_3
inst✝² : Field 𝕜
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
M : Matrix n n 𝕜
L L' : List (TransvectionStruct n 𝕜)
D : n → 𝕜
h : (List.map toMatrix L).prod * M * (List.map toMatrix L').prod = diagonal D
⊢ M =
    (List.map (toMatrix ∘ TransvectionStruct.inv) L.reverse).prod * (List.map toMatrix L).prod * M *
      ((List.map toMatrix L').prod * (List.map (toMatrix ∘ TransvectionStruct.inv) L'.reverse).prod)