-- Mathlib/GroupTheory/MonoidLocalization/Basic.lean
theorem lift_injective_iff :
    Function.Injective (f.lift hg) ↔ ∀ x y, f.toMap x = f.toMap y ↔ g x = g y

Proof state:
case mpr
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
⊢ (∀ (x y : M), f.toMap x = f.toMap y ↔ g x = g y) → Injective ⇑(f.lift hg)

Tactic:
intro H z w h

Result:
case mpr
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
H : ∀ (x y : M), f.toMap x = f.toMap y ↔ g x = g y
z w : N
h : (f.lift hg) z = (f.lift hg) w
⊢ z = w

Proof state:
case mpr.intro.intro
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
H : ∀ (x y : M), f.toMap x = f.toMap y ↔ g x = g y
z w : N
h : (f.lift hg) z = (f.lift hg) w
w✝¹ : M × ↥S
h✝¹ : z * f.toMap ↑w✝¹.2 = f.toMap w✝¹.1
w✝ : M × ↥S
h✝ : w * f.toMap ↑w✝.2 = f.toMap w✝.1
⊢ z = w

Tactic:
rw [← f.mk'_sec z, ← f.mk'_sec w]

Result:
case mpr.intro.intro
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
H : ∀ (x y : M), f.toMap x = f.toMap y ↔ g x = g y
z w : N
h : (f.lift hg) z = (f.lift hg) w
w✝¹ : M × ↥S
h✝¹ : z * f.toMap ↑w✝¹.2 = f.toMap w✝¹.1
w✝ : M × ↥S
h✝ : w * f.toMap ↑w✝.2 = f.toMap w✝.1
⊢ f.mk' (f.sec z).1 (f.sec z).2 = f.mk' (f.sec w).1 (f.sec w).2

Proof state:
case mpr.intro.intro
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
H : ∀ (x y : M), f.toMap x = f.toMap y ↔ g x = g y
z w : N
h : (f.lift hg) z = (f.lift hg) w
w✝¹ : M × ↥S
h✝¹ : z * f.toMap ↑w✝¹.2 = f.toMap w✝¹.1
w✝ : M × ↥S
h✝ : w * f.toMap ↑w✝.2 = f.toMap w✝.1
⊢ f.mk' (f.sec z).1 (f.sec z).2 = f.mk' (f.sec w).1 (f.sec w).2

Tactic:
exact (mul_inv f.map_units).2 ((H _ _).2 <| (mul_inv hg).1 h)

Result:
no goals

Proof state:
case mp.mpr
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
H : Injective ⇑(f.lift hg)
x y : M
h : (f.lift hg) (f.toMap x) = (f.lift hg) (f.toMap y)
⊢ f.toMap x = f.toMap y

Tactic:
exact H h

Result:
no goals

Proof state:
case mp
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
H : Injective ⇑(f.lift hg)
x y : M
⊢ f.toMap x = f.toMap y ↔ g x = g y

Tactic:
constructor

Result:
case mp.mp
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
H : Injective ⇑(f.lift hg)
x y : M
⊢ f.toMap x = f.toMap y → g x = g y

case mp.mpr
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
H : Injective ⇑(f.lift hg)
x y : M
⊢ g x = g y → f.toMap x = f.toMap y

Proof state:
case mp.mp
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
H : Injective ⇑(f.lift hg)
x y : M
⊢ f.toMap x = f.toMap y → g x = g y

Tactic:
exact f.eq_of_eq hg

Result:
no goals

Proof state:
case mpr.intro
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
H : ∀ (x y : M), f.toMap x = f.toMap y ↔ g x = g y
z w : N
h : (f.lift hg) z = (f.lift hg) w
w✝ : M × ↥S
h✝ : z * f.toMap ↑w✝.2 = f.toMap w✝.1
⊢ z = w

Tactic:
obtain ⟨_, _⟩ := f.surj w

Result:
case mpr.intro.intro
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
H : ∀ (x y : M), f.toMap x = f.toMap y ↔ g x = g y
z w : N
h : (f.lift hg) z = (f.lift hg) w
w✝¹ : M × ↥S
h✝¹ : z * f.toMap ↑w✝¹.2 = f.toMap w✝¹.1
w✝ : M × ↥S
h✝ : w * f.toMap ↑w✝.2 = f.toMap w✝.1
⊢ z = w

Proof state:
case mp
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
⊢ Injective ⇑(f.lift hg) → ∀ (x y : M), f.toMap x = f.toMap y ↔ g x = g y

Tactic:
intro H x y

Result:
case mp
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
H : Injective ⇑(f.lift hg)
x y : M
⊢ f.toMap x = f.toMap y ↔ g x = g y

Proof state:
case mp.mpr
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
H : Injective ⇑(f.lift hg)
x y : M
⊢ g x = g y → f.toMap x = f.toMap y

Tactic:
intro h

Result:
case mp.mpr
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
H : Injective ⇑(f.lift hg)
x y : M
h : g x = g y
⊢ f.toMap x = f.toMap y

Proof state:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
⊢ Injective ⇑(f.lift hg) ↔ ∀ (x y : M), f.toMap x = f.toMap y ↔ g x = g y

Tactic:
constructor

Result:
case mp
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
⊢ Injective ⇑(f.lift hg) → ∀ (x y : M), f.toMap x = f.toMap y ↔ g x = g y

case mpr
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
⊢ (∀ (x y : M), f.toMap x = f.toMap y ↔ g x = g y) → Injective ⇑(f.lift hg)

Proof state:
case mp.mpr
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
H : Injective ⇑(f.lift hg)
x y : M
h : g x = g y
⊢ f.toMap x = f.toMap y

Tactic:
rw [← f.lift_eq hg, ← f.lift_eq hg] at h

Result:
case mp.mpr
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
H : Injective ⇑(f.lift hg)
x y : M
h : (f.lift hg) (f.toMap x) = (f.lift hg) (f.toMap y)
⊢ f.toMap x = f.toMap y