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theorem coherentTopology.mem_sieves_iff_hasEffectiveEpiFamily (S : Sieve X) :
    (S ∈ (coherentTopology C) X) ↔
    (∃ (α : Type) (_ : Finite α) (Y : α → C) (π : (a : α) → (Y a ⟶ X)),
        EffectiveEpiFamily Y π ∧ (∀ a : α, (S.arrows) (π a)) )

Proof state:
case mp.transitive
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S✝ : Sieve X
Y : C
R S : Sieve Y
a✝¹ : (coherentCoverage C).Saturate Y R
a✝ : ∀ ⦃Y_1 : C⦄ ⦃f : Y_1 ⟶ Y⦄, R.arrows f → (coherentCoverage C).Saturate Y_1 (Sieve.pullback f S)
a : ∃ α, ∃ (_ : Finite α), ∃ Y_1 π, EffectiveEpiFamily Y_1 π ∧ ∀ (a : α), R.arrows (π a)
b :
  ∀ ⦃Y_1 : C⦄ ⦃f : Y_1 ⟶ Y⦄,
    R.arrows f → ∃ α, ∃ (_ : Finite α), ∃ Y_2 π, EffectiveEpiFamily Y_2 π ∧ ∀ (a : α), (Sieve.pullback f S).arrows (π a)
⊢ ∃ α, ∃ (_ : Finite α), ∃ Y_1 π, EffectiveEpiFamily Y_1 π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)

Tactic:
obtain ⟨α, w, Y₁, π, ⟨h₁,h₂⟩⟩ := a

Result:
case mp.transitive.intro.intro.intro.intro.intro
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S✝ : Sieve X
Y : C
R S : Sieve Y
a✝¹ : (coherentCoverage C).Saturate Y R
a✝ : ∀ ⦃Y_1 : C⦄ ⦃f : Y_1 ⟶ Y⦄, R.arrows f → (coherentCoverage C).Saturate Y_1 (Sieve.pullback f S)
b :
  ∀ ⦃Y_1 : C⦄ ⦃f : Y_1 ⟶ Y⦄,
    R.arrows f → ∃ α, ∃ (_ : Finite α), ∃ Y_2 π, EffectiveEpiFamily Y_2 π ∧ ∀ (a : α), (Sieve.pullback f S).arrows (π a)
α : Type
w : Finite α
Y₁ : α → C
π : (a : α) → Y₁ a ⟶ Y
h₁ : EffectiveEpiFamily Y₁ π
h₂ : ∀ (a : α), R.arrows (π a)
⊢ ∃ α, ∃ (_ : Finite α), ∃ Y_1 π, EffectiveEpiFamily Y_1 π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)

Proof state:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
⊢ S ∈ (coherentTopology C) X ↔ ∃ α, ∃ (_ : Finite α), ∃ Y π, EffectiveEpiFamily Y π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)

Tactic:
constructor

Result:
case mp
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
⊢ S ∈ (coherentTopology C) X → ∃ α, ∃ (_ : Finite α), ∃ Y π, EffectiveEpiFamily Y π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)

case mpr
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S : Sieve X
⊢ (∃ α, ∃ (_ : Finite α), ∃ Y π, EffectiveEpiFamily Y π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)) → S ∈ (coherentTopology C) X

Proof state:
case mp.transitive.intro.intro.intro.intro.intro
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Precoherent C
X : C
S✝ : Sieve X
Y : C
R S : Sieve Y
a✝¹ : (coherentCoverage C).Saturate Y R
a✝ : ∀ ⦃Y_1 : C⦄ ⦃f : Y_1 ⟶ Y⦄, R.arrows f → (coherentCoverage C).Saturate Y_1 (Sieve.pullback f S)
b :
  ∀ ⦃Y_1 : C⦄ ⦃f : Y_1 ⟶ Y⦄,
    R.arrows f → ∃ α, ∃ (_ : Finite α), ∃ Y_2 π, EffectiveEpiFamily Y_2 π ∧ ∀ (a : α), (Sieve.pullback f S).arrows (π a)
α : Type
w : Finite α
Y₁ : α → C
π : (a : α) → Y₁ a ⟶ Y
h₁ : EffectiveEpiFamily Y₁ π
h₂ : ∀ (a : α), R.arrows (π a)
β : α → Type
x✝ : ∀ (a : α), Finite (β a)
Y_n : (a : α) → β a → C
π_n : (a : α) → (a_1 : β a) → Y_n a a_1 ⟶ Y₁ a
H : ∀ (a : α), EffectiveEpiFamily (Y_n a) (π_n a) ∧ ∀ (a_1 : β a), (Sieve.pullback (π a) S).arrows (π_n a a_1)
⊢ ∃ α, ∃ (_ : Finite α), ∃ Y_1 π, EffectiveEpiFamily Y_1 π ∧ ∀ (a : α), S.arrows (π a)

Tactic:
exact ⟨(Σ a, β a), inferInstance, fun ⟨a,b⟩ => Y_n a b, fun ⟨a, b⟩ => (π_n a b) ≫ (π a),
  EffectiveEpiFamily.transitive_of_finite _ h₁ _ (fun a => (H a).1),
  fun c => (H c.fst).2 c.snd⟩

Result:
no goals