-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/AkraBazzi.lean
lemma eventually_r_le_b : ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ i, r i n ≤ (b i : ℝ) * n + (n / log n ^ 2)

Proof state:
case h
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst✝ : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
n : ℕ
hn : ∀ (i : α), ‖↑(r i n) - b i * ↑n‖ ≤ ↑n / log ↑n ^ 2
i : α
⊢ ↑(r i n) ≤ b i * ↑n + ↑n / log ↑n ^ 2

Tactic:
calc r i n = b i * n + (r i n - b i * n) := by ring
           _ ≤ b i * n + ‖r i n - b i * n‖ := by gcongr; exact Real.le_norm_self _
           _ ≤ b i * n + n / log n ^ 2 := by gcongr; exact hn i

Result:
no goals

Proof state:
case bc
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst✝ : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
n : ℕ
hn : ∀ (i : α), ‖↑(r i n) - b i * ↑n‖ ≤ ↑n / log ↑n ^ 2
i : α
⊢ ‖↑(r i n) - b i * ↑n‖ ≤ ↑n / log ↑n ^ 2

Tactic:
exact hn i

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst✝ : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ b i * ↑n + ↑n / log ↑n ^ 2

Tactic:
filter_upwards [R.dist_r_b'] with n hn

Result:
case h
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst✝ : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
n : ℕ
hn : ∀ (i : α), ‖↑(r i n) - b i * ↑n‖ ≤ ↑n / log ↑n ^ 2
⊢ ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ b i * ↑n + ↑n / log ↑n ^ 2

Proof state:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst✝ : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
n : ℕ
hn : ∀ (i : α), ‖↑(r i n) - b i * ↑n‖ ≤ ↑n / log ↑n ^ 2
i : α
⊢ b i * ↑n + (↑(r i n) - b i * ↑n) ≤ b i * ↑n + ‖↑(r i n) - b i * ↑n‖

Tactic:
gcongr

Result:
case bc
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst✝ : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
n : ℕ
hn : ∀ (i : α), ‖↑(r i n) - b i * ↑n‖ ≤ ↑n / log ↑n ^ 2
i : α
⊢ ↑(r i n) - b i * ↑n ≤ ‖↑(r i n) - b i * ↑n‖

Proof state:
case bc
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst✝ : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
n : ℕ
hn : ∀ (i : α), ‖↑(r i n) - b i * ↑n‖ ≤ ↑n / log ↑n ^ 2
i : α
⊢ ↑(r i n) - b i * ↑n ≤ ‖↑(r i n) - b i * ↑n‖

Tactic:
exact Real.le_norm_self _

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst✝ : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
n : ℕ
hn : ∀ (i : α), ‖↑(r i n) - b i * ↑n‖ ≤ ↑n / log ↑n ^ 2
i : α
⊢ ↑(r i n) = b i * ↑n + (↑(r i n) - b i * ↑n)

Tactic:
ring

Result:
no goals

Proof state:
case h
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst✝ : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
n : ℕ
hn : ∀ (i : α), ‖↑(r i n) - b i * ↑n‖ ≤ ↑n / log ↑n ^ 2
⊢ ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ b i * ↑n + ↑n / log ↑n ^ 2

Tactic:
intro i

Result:
case h
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst✝ : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
n : ℕ
hn : ∀ (i : α), ‖↑(r i n) - b i * ↑n‖ ≤ ↑n / log ↑n ^ 2
i : α
⊢ ↑(r i n) ≤ b i * ↑n + ↑n / log ↑n ^ 2

Proof state:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst✝ : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
n : ℕ
hn : ∀ (i : α), ‖↑(r i n) - b i * ↑n‖ ≤ ↑n / log ↑n ^ 2
i : α
⊢ b i * ↑n + ‖↑(r i n) - b i * ↑n‖ ≤ b i * ↑n + ↑n / log ↑n ^ 2

Tactic:
gcongr

Result:
case bc
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
inst✝ : Nonempty α
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
n : ℕ
hn : ∀ (i : α), ‖↑(r i n) - b i * ↑n‖ ≤ ↑n / log ↑n ^ 2
i : α
⊢ ‖↑(r i n) - b i * ↑n‖ ≤ ↑n / log ↑n ^ 2