-- Mathlib/CategoryTheory/Filtered/Basic.lean
theorem sup_exists :
    ∃ (S : C) (T : ∀ {X : C}, X ∈ O → (X ⟶ S)),
      ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y},
        (⟨X, Y, mX, mY, f⟩ : Σ' (X Y : C) (_ : X ∈ O) (_ : Y ∈ O), X ⟶ Y) ∈ H →
          f ≫ T mY = T mX

Proof state:
case pos
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsFiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (X ⟶ S')
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → f ≫ T' mY = T' mX
X' Y' : C
mX' : X' ∈ O
mY' : Y' ∈ O
f' : X' ⟶ Y'
mf' : ⟨X', ⟨Y', ⟨mX', ⟨mY', f'⟩⟩⟩⟩ ∈ insert ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ H'
h : X = X' ∧ Y = Y'
⊢ (f' ≫ T' mY') ≫ coeqHom (f ≫ T' mY) (T' mX) = (fun {X_1} mZ => T' mZ ≫ coeqHom (f ≫ T' mY) (T' mX)) mX'

Tactic:
rcases h with ⟨rfl, rfl⟩

Result:
case pos.intro
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsFiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (X ⟶ S')
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → f ≫ T' mY = T' mX
mX' : X ∈ O
mY' : Y ∈ O
f' : X ⟶ Y
mf' : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX', ⟨mY', f'⟩⟩⟩⟩ ∈ insert ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ H'
⊢ (f' ≫ T' mY') ≫ coeqHom (f ≫ T' mY) (T' mX) = (fun {X_1} mZ => T' mZ ≫ coeqHom (f ≫ T' mY) (T' mX)) mX'

Proof state:
case insert.mk.mk.mk.mk
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsFiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
h'' : ∃ S T, ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → f ≫ T mY = T mX
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
⊢ ∃ S T,
    ∀ {X_1 Y_1 : C} (mX_1 : X_1 ∈ O) (mY_1 : Y_1 ∈ O) {f_1 : X_1 ⟶ Y_1},
      ⟨X_1, ⟨Y_1, ⟨mX_1, ⟨mY_1, f_1⟩⟩⟩⟩ ∈ insert ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ H' → f_1 ≫ T mY_1 = T mX_1

Tactic:
obtain ⟨S', T', w'⟩ := h''

Result:
case insert.mk.mk.mk.mk.intro.intro
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsFiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (X ⟶ S')
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → f ≫ T' mY = T' mX
⊢ ∃ S T,
    ∀ {X_1 Y_1 : C} (mX_1 : X_1 ∈ O) (mY_1 : Y_1 ∈ O) {f_1 : X_1 ⟶ Y_1},
      ⟨X_1, ⟨Y_1, ⟨mX_1, ⟨mY_1, f_1⟩⟩⟩⟩ ∈ insert ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ H' → f_1 ≫ T mY_1 = T mX_1

Proof state:
case neg
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsFiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (X ⟶ S')
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → f ≫ T' mY = T' mX
mX' : X ∈ O
mY' : Y ∈ O
f' : X ⟶ Y
mf' : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX', ⟨mY', f'⟩⟩⟩⟩ ∈ insert ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ H'
hf : ¬f = f'
⊢ ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f'⟩⟩⟩⟩ ∈ H'

Tactic:
simp only [Finset.mem_insert, PSigma.mk.injEq, heq_eq_eq, true_and] at mf'

Result:
case neg
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsFiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (X ⟶ S')
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → f ≫ T' mY = T' mX
mX' : X ∈ O
mY' : Y ∈ O
f' : X ⟶ Y
hf : ¬f = f'
mf' : f' = f ∨ ⟨X, ⟨Y, ⟨mX', ⟨mY', f'⟩⟩⟩⟩ ∈ H'
⊢ ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f'⟩⟩⟩⟩ ∈ H'

Proof state:
case pos
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsFiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (X ⟶ S')
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → f ≫ T' mY = T' mX
mX' : X ∈ O
mY' : Y ∈ O
mf' : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX', ⟨mY', f⟩⟩⟩⟩ ∈ insert ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ H'
⊢ (f ≫ T' mY') ≫ coeqHom (f ≫ T' mY) (T' mX) = (fun {X_1} mZ => T' mZ ≫ coeqHom (f ≫ T' mY) (T' mX)) mX'

Tactic:
apply coeq_condition

Result:
no goals

Proof state:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsFiltered C
O : Finset C
H : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
⊢ ∃ S T, ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H → f ≫ T mY = T mX

Tactic:
induction' H using Finset.induction with h' H' nmf h''

Result:
case empty
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsFiltered C
O : Finset C
H : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
⊢ ∃ S T, ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ ∅ → f ≫ T mY = T mX

case insert
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsFiltered C
O : Finset C
H : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
h' : (X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y)
H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
nmf : h' ∉ H'
h'' : ∃ S T, ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → f ≫ T mY = T mX
⊢ ∃ S T, ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ insert h' H' → f ≫ T mY = T mX

Proof state:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsFiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (X ⟶ S')
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → f ≫ T' mY = T' mX
X' Y' : C
mX' : X' ∈ O
mY' : Y' ∈ O
f' : X' ⟶ Y'
mf' : ⟨X', ⟨Y', ⟨mX', ⟨mY', f'⟩⟩⟩⟩ ∈ insert ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ H'
h : ¬(X = X' ∧ Y = Y')
⊢ ⟨X', ⟨Y', ⟨mX', ⟨mY', f'⟩⟩⟩⟩ ≠ ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩

Tactic:
contrapose! h

Result:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : IsFiltered C
O : Finset C
H H' : Finset ((X : C) ×' (Y : C) ×' (_ : X ∈ O) ×' (_ : Y ∈ O) ×' (X ⟶ Y))
X Y : C
mX : X ∈ O
mY : Y ∈ O
f : X ⟶ Y
nmf : ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∉ H'
S' : C
T' : {X : C} → X ∈ O → (X ⟶ S')
w' : ∀ {X Y : C} (mX : X ∈ O) (mY : Y ∈ O) {f : X ⟶ Y}, ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ ∈ H' → f ≫ T' mY = T' mX
X' Y' : C
mX' : X' ∈ O
mY' : Y' ∈ O
f' : X' ⟶ Y'
mf' : ⟨X', ⟨Y', ⟨mX', ⟨mY', f'⟩⟩⟩⟩ ∈ insert ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩ H'
h : ⟨X', ⟨Y', ⟨mX', ⟨mY', f'⟩⟩⟩⟩ = ⟨X, ⟨Y, ⟨mX, ⟨mY, f⟩⟩⟩⟩
⊢ X = X' ∧ Y = Y'