-- Mathlib/Analysis/Calculus/InverseFunctionTheorem/ApproximatesLinearOn.lean
theorem surjOn_closedBall_of_nonlinearRightInverse
    (hf : ApproximatesLinearOn f f' s c)
    (f'symm : f'.NonlinearRightInverse) {ε : ℝ} {b : E} (ε0 : 0 ≤ ε) (hε : closedBall b ε ⊆ s) :
    SurjOn f (closedBall b ε) (closedBall (f b) (((f'symm.nnnorm : ℝ)⁻¹ - c) * ε))

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
inst✝ : CompleteSpace E
s : Set E
c : ℝ≥0
f' : E →L[𝕜] F
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
f'symm : f'.NonlinearRightInverse
ε : ℝ
b : E
ε0 : 0 ≤ ε
hε : closedBall b ε ⊆ s
y : F
hy : y ∈ closedBall (f b) (((↑f'symm.nnnorm)⁻¹ - ↑c) * ε)
hc : ↑c < (↑f'symm.nnnorm)⁻¹
If' : 0 < ↑f'symm.nnnorm
Icf' : ↑c * ↑f'symm.nnnorm < 1
Jf' : ↑f'symm.nnnorm ≠ 0
Jcf' : 1 - ↑c * ↑f'symm.nnnorm ≠ 0
g : E → E := fun x => x + f'symm.toFun (y - f x)
hg : g = fun x => x + f'symm.toFun (y - f x)
u : ℕ → E := fun n => g^[n] b
hu : u = fun n => g^[n] b
usucc : ∀ (n : ℕ), u (n + 1) = g (u n)
A : ∀ (z : E), dist (g z) z ≤ ↑f'symm.nnnorm * dist (f z) y
z : E
hz : z ∈ closedBall b ε
hgz : g z ∈ closedBall b ε
v : E := f'symm.toFun (y - f z)
⊢ ↑c * ‖z + v - z‖ ≤ ↑c * (↑f'symm.nnnorm * dist (f z) y)

Tactic:
gcongr

Result:
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
inst✝ : CompleteSpace E
s : Set E
c : ℝ≥0
f' : E →L[𝕜] F
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
f'symm : f'.NonlinearRightInverse
ε : ℝ
b : E
ε0 : 0 ≤ ε
hε : closedBall b ε ⊆ s
y : F
hy : y ∈ closedBall (f b) (((↑f'symm.nnnorm)⁻¹ - ↑c) * ε)
hc : ↑c < (↑f'symm.nnnorm)⁻¹
If' : 0 < ↑f'symm.nnnorm
Icf' : ↑c * ↑f'symm.nnnorm < 1
Jf' : ↑f'symm.nnnorm ≠ 0
Jcf' : 1 - ↑c * ↑f'symm.nnnorm ≠ 0
g : E → E := fun x => x + f'symm.toFun (y - f x)
hg : g = fun x => x + f'symm.toFun (y - f x)
u : ℕ → E := fun n => g^[n] b
hu : u = fun n => g^[n] b
usucc : ∀ (n : ℕ), u (n + 1) = g (u n)
A : ∀ (z : E), dist (g z) z ≤ ↑f'symm.nnnorm * dist (f z) y
z : E
hz : z ∈ closedBall b ε
hgz : g z ∈ closedBall b ε
v : E := f'symm.toFun (y - f z)
⊢ ‖z + v - z‖ ≤ ↑f'symm.nnnorm * dist (f z) y

Proof state:
case inl
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
inst✝ : CompleteSpace E
s : Set E
c : ℝ≥0
f' : E →L[𝕜] F
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
f'symm : f'.NonlinearRightInverse
ε : ℝ
b : E
ε0 : 0 ≤ ε
hε : closedBall b ε ⊆ s
y : F
hy : y ∈ closedBall (f b) (((↑f'symm.nnnorm)⁻¹ - ↑c) * ε)
hc : (↑f'symm.nnnorm)⁻¹ ≤ ↑c
⊢ y ∈ f '' closedBall b ε

Tactic:
refine ⟨b, by simp [ε0], ?_⟩

Result:
case inl
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
inst✝ : CompleteSpace E
s : Set E
c : ℝ≥0
f' : E →L[𝕜] F
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
f'symm : f'.NonlinearRightInverse
ε : ℝ
b : E
ε0 : 0 ≤ ε
hε : closedBall b ε ⊆ s
y : F
hy : y ∈ closedBall (f b) (((↑f'symm.nnnorm)⁻¹ - ↑c) * ε)
hc : (↑f'symm.nnnorm)⁻¹ ≤ ↑c
⊢ f b = y

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
inst✝ : CompleteSpace E
s : Set E
c : ℝ≥0
f' : E →L[𝕜] F
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
f'symm : f'.NonlinearRightInverse
ε : ℝ
b : E
ε0 : 0 ≤ ε
hε : closedBall b ε ⊆ s
y : F
hy : y ∈ closedBall (f b) (((↑f'symm.nnnorm)⁻¹ - ↑c) * ε)
hc : ↑c < (↑f'symm.nnnorm)⁻¹
If' : 0 < ↑f'symm.nnnorm
Icf' : ↑c * ↑f'symm.nnnorm < 1
Jf' : ↑f'symm.nnnorm ≠ 0
Jcf' : 1 - ↑c * ↑f'symm.nnnorm ≠ 0
g : E → E := fun x => x + f'symm.toFun (y - f x)
hg : g = fun x => x + f'symm.toFun (y - f x)
u : ℕ → E := fun n => g^[n] b
hu : u = fun n => g^[n] b
usucc : ∀ (n : ℕ), u (n + 1) = g (u n)
A : ∀ (z : E), dist (g z) z ≤ ↑f'symm.nnnorm * dist (f z) y
B : ∀ z ∈ closedBall b ε, g z ∈ closedBall b ε → dist (f (g z)) y ≤ ↑c * ↑f'symm.nnnorm * dist (f z) y
C :
  ∀ (n : ℕ) (w : E),
    dist w b ≤ ↑f'symm.nnnorm * (1 - (↑c * ↑f'symm.nnnorm) ^ n) / (1 - ↑c * ↑f'symm.nnnorm) * dist (f b) y →
      w ∈ closedBall b ε
n : ℕ
⊢ dist (f (u n)) y ≤ (↑c * ↑f'symm.nnnorm) ^ n * dist (f b) y ∧
    dist (u n) b ≤ ↑f'symm.nnnorm * (1 - (↑c * ↑f'symm.nnnorm) ^ n) / (1 - ↑c * ↑f'symm.nnnorm) * dist (f b) y

Tactic:
induction' n with n IH

Result:
case zero
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
inst✝ : CompleteSpace E
s : Set E
c : ℝ≥0
f' : E →L[𝕜] F
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
f'symm : f'.NonlinearRightInverse
ε : ℝ
b : E
ε0 : 0 ≤ ε
hε : closedBall b ε ⊆ s
y : F
hy : y ∈ closedBall (f b) (((↑f'symm.nnnorm)⁻¹ - ↑c) * ε)
hc : ↑c < (↑f'symm.nnnorm)⁻¹
If' : 0 < ↑f'symm.nnnorm
Icf' : ↑c * ↑f'symm.nnnorm < 1
Jf' : ↑f'symm.nnnorm ≠ 0
Jcf' : 1 - ↑c * ↑f'symm.nnnorm ≠ 0
g : E → E := fun x => x + f'symm.toFun (y - f x)
hg : g = fun x => x + f'symm.toFun (y - f x)
u : ℕ → E := fun n => g^[n] b
hu : u = fun n => g^[n] b
usucc : ∀ (n : ℕ), u (n + 1) = g (u n)
A : ∀ (z : E), dist (g z) z ≤ ↑f'symm.nnnorm * dist (f z) y
B : ∀ z ∈ closedBall b ε, g z ∈ closedBall b ε → dist (f (g z)) y ≤ ↑c * ↑f'symm.nnnorm * dist (f z) y
C :
  ∀ (n : ℕ) (w : E),
    dist w b ≤ ↑f'symm.nnnorm * (1 - (↑c * ↑f'symm.nnnorm) ^ n) / (1 - ↑c * ↑f'symm.nnnorm) * dist (f b) y →
      w ∈ closedBall b ε
⊢ dist (f (u 0)) y ≤ (↑c * ↑f'symm.nnnorm) ^ 0 * dist (f b) y ∧
    dist (u 0) b ≤ ↑f'symm.nnnorm * (1 - (↑c * ↑f'symm.nnnorm) ^ 0) / (1 - ↑c * ↑f'symm.nnnorm) * dist (f b) y

case succ
𝕜 : Type u_1
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
inst✝ : CompleteSpace E
s : Set E
c : ℝ≥0
f' : E →L[𝕜] F
hf : ApproximatesLinearOn f f' s c
f'symm : f'.NonlinearRightInverse
ε : ℝ
b : E
ε0 : 0 ≤ ε
hε : closedBall b ε ⊆ s
y : F
hy : y ∈ closedBall (f b) (((↑f'symm.nnnorm)⁻¹ - ↑c) * ε)
hc : ↑c < (↑f'symm.nnnorm)⁻¹
If' : 0 < ↑f'symm.nnnorm
Icf' : ↑c * ↑f'symm.nnnorm < 1
Jf' : ↑f'symm.nnnorm ≠ 0
Jcf' : 1 - ↑c * ↑f'symm.nnnorm ≠ 0
g : E → E := fun x => x + f'symm.toFun (y - f x)
hg : g = fun x => x + f'symm.toFun (y - f x)
u : ℕ → E := fun n => g^[n] b
hu : u = fun n => g^[n] b
usucc : ∀ (n : ℕ), u (n + 1) = g (u n)
A : ∀ (z : E), dist (g z) z ≤ ↑f'symm.nnnorm * dist (f z) y
B : ∀ z ∈ closedBall b ε, g z ∈ closedBall b ε → dist (f (g z)) y ≤ ↑c * ↑f'symm.nnnorm * dist (f z) y
C :
  ∀ (n : ℕ) (w : E),
    dist w b ≤ ↑f'symm.nnnorm * (1 - (↑c * ↑f'symm.nnnorm) ^ n) / (1 - ↑c * ↑f'symm.nnnorm) * dist (f b) y →
      w ∈ closedBall b ε
n : ℕ
IH :
  dist (f (u n)) y ≤ (↑c * ↑f'symm.nnnorm) ^ n * dist (f b) y ∧
    dist (u n) b ≤ ↑f'symm.nnnorm * (1 - (↑c * ↑f'symm.nnnorm) ^ n) / (1 - ↑c * ↑f'symm.nnnorm) * dist (f b) y
⊢ dist (f (u (n + 1))) y ≤ (↑c * ↑f'symm.nnnorm) ^ (n + 1) * dist (f b) y ∧
    dist (u (n + 1)) b ≤
      ↑f'symm.nnnorm * (1 - (↑c * ↑f'symm.nnnorm) ^ (n + 1)) / (1 - ↑c * ↑f'symm.nnnorm) * dist (f b) y