-- Mathlib/Geometry/Euclidean/MongePoint.lean
theorem OrthocentricSystem.eq_insert_orthocenter {s : Set P} (ho : OrthocentricSystem s)
    {t : Triangle ℝ P} (ht : Set.range t.points ⊆ s) :
    s = insert t.orthocenter (Set.range t.points)

Proof state:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
t t₀ : Triangle ℝ P
ht : Set.range t.points ⊆ insert t₀.orthocenter (Set.range t₀.points)
ht₀o : t₀.orthocenter ∉ Set.range t₀.points
ht₀s : s = insert t₀.orthocenter (Set.range t₀.points)
i₁ i₂ i₃ j₂ j₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h₁₂₃ : ∀ (i : Fin 3), i = i₁ ∨ i = i₂ ∨ i = i₃
h₁ : t.points i₁ = t₀.orthocenter
hj₂₃ : j₂ ≠ j₃
h₂ : t₀.points j₂ = t.points i₂
h₃ : t₀.points j₃ = t.points i₃
j₁ : Fin 3
hj₁₂ : j₁ ≠ j₂
hj₁₃ : j₁ ≠ j₃
hj₁₂₃ : ∀ (j : Fin 3), j = j₁ ∨ j = j₂ ∨ j = j₃
h : t₀.points j₁ = t.orthocenter
⊢ Set.univ = {i₁, i₂, i₃}

Tactic:
ext x

Result:
case h
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
t t₀ : Triangle ℝ P
ht : Set.range t.points ⊆ insert t₀.orthocenter (Set.range t₀.points)
ht₀o : t₀.orthocenter ∉ Set.range t₀.points
ht₀s : s = insert t₀.orthocenter (Set.range t₀.points)
i₁ i₂ i₃ j₂ j₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h₁₂₃ : ∀ (i : Fin 3), i = i₁ ∨ i = i₂ ∨ i = i₃
h₁ : t.points i₁ = t₀.orthocenter
hj₂₃ : j₂ ≠ j₃
h₂ : t₀.points j₂ = t.points i₂
h₃ : t₀.points j₃ = t.points i₃
j₁ : Fin 3
hj₁₂ : j₁ ≠ j₂
hj₁₃ : j₁ ≠ j₃
hj₁₂₃ : ∀ (j : Fin 3), j = j₁ ∨ j = j₂ ∨ j = j₃
h : t₀.points j₁ = t.orthocenter
x : Fin 3
⊢ x ∈ Set.univ ↔ x ∈ {i₁, i₂, i₃}

Proof state:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
t t₀ : Triangle ℝ P
ht : Set.range t.points ⊆ insert t₀.orthocenter (Set.range t₀.points)
ht₀o : t₀.orthocenter ∉ Set.range t₀.points
ht₀s : s = insert t₀.orthocenter (Set.range t₀.points)
i₁ i₂ i₃ j₂ j₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h₁₂₃ : ∀ (i : Fin 3), i = i₁ ∨ i = i₂ ∨ i = i₃
h₁ : t.points i₁ = t₀.orthocenter
hj₂₃ : j₂ ≠ j₃
h₂ : t₀.points j₂ = t.points i₂
h₃ : t₀.points j₃ = t.points i₃
j₁ : Fin 3
hj₁₂ : j₁ ≠ j₂
hj₁₃ : j₁ ≠ j₃
hj₁₂₃ : ∀ (j : Fin 3), j = j₁ ∨ j = j₂ ∨ j = j₃
h : t₀.points j₁ = t.orthocenter
hui : Set.univ = {i₁, i₂, i₃}
⊢ Set.univ = {j₁, j₂, j₃}

Tactic:
ext x

Result:
case h
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
t t₀ : Triangle ℝ P
ht : Set.range t.points ⊆ insert t₀.orthocenter (Set.range t₀.points)
ht₀o : t₀.orthocenter ∉ Set.range t₀.points
ht₀s : s = insert t₀.orthocenter (Set.range t₀.points)
i₁ i₂ i₃ j₂ j₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h₁₂₃ : ∀ (i : Fin 3), i = i₁ ∨ i = i₂ ∨ i = i₃
h₁ : t.points i₁ = t₀.orthocenter
hj₂₃ : j₂ ≠ j₃
h₂ : t₀.points j₂ = t.points i₂
h₃ : t₀.points j₃ = t.points i₃
j₁ : Fin 3
hj₁₂ : j₁ ≠ j₂
hj₁₃ : j₁ ≠ j₃
hj₁₂₃ : ∀ (j : Fin 3), j = j₁ ∨ j = j₂ ∨ j = j₃
h : t₀.points j₁ = t.orthocenter
hui : Set.univ = {i₁, i₂, i₃}
x : Fin 3
⊢ x ∈ Set.univ ↔ x ∈ {j₁, j₂, j₃}

Proof state:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
ho : OrthocentricSystem s
t : Triangle ℝ P
ht : Set.range t.points ⊆ s
⊢ s = insert t.orthocenter (Set.range t.points)

Tactic:
rcases ho with ⟨t₀, ht₀o, ht₀s⟩

Result:
case intro.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
t : Triangle ℝ P
ht : Set.range t.points ⊆ s
t₀ : Triangle ℝ P
ht₀o : t₀.orthocenter ∉ Set.range t₀.points
ht₀s : s = insert t₀.orthocenter (Set.range t₀.points)
⊢ s = insert t.orthocenter (Set.range t.points)

Proof state:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
t t₀ : Triangle ℝ P
ht : Set.range t.points ⊆ insert t₀.orthocenter (Set.range t₀.points)
ht₀o : t₀.orthocenter ∉ Set.range t₀.points
ht₀s : s = insert t₀.orthocenter (Set.range t₀.points)
i₁ i₂ i₃ j₂ j₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h₁₂₃ : ∀ (i : Fin 3), i = i₁ ∨ i = i₂ ∨ i = i₃
h₁ : t.points i₁ = t₀.orthocenter
hj₂₃ : j₂ ≠ j₃
h₂ : t₀.points j₂ = t.points i₂
h₃ : t₀.points j₃ = t.points i₃
j₁ : Fin 3
hj₁₂ : j₁ ≠ j₂
hj₁₃ : j₁ ≠ j₃
hj₁₂₃ : ∀ (j : Fin 3), j = j₁ ∨ j = j₂ ∨ j = j₃
h : t₀.points j₁ = t.orthocenter
hui : Set.univ = {i₁, i₂, i₃}
huj : Set.univ = {j₁, j₂, j₃}
⊢ insert t₀.orthocenter (t₀.points '' {j₁, j₂, j₃}) = insert (t₀.points j₁) (t.points '' {i₁, i₂, i₃})

Tactic:
simp_rw [Set.image_insert_eq, Set.image_singleton, h₁, ← h₂, ← h₃]

Result:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
t t₀ : Triangle ℝ P
ht : Set.range t.points ⊆ insert t₀.orthocenter (Set.range t₀.points)
ht₀o : t₀.orthocenter ∉ Set.range t₀.points
ht₀s : s = insert t₀.orthocenter (Set.range t₀.points)
i₁ i₂ i₃ j₂ j₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h₁₂₃ : ∀ (i : Fin 3), i = i₁ ∨ i = i₂ ∨ i = i₃
h₁ : t.points i₁ = t₀.orthocenter
hj₂₃ : j₂ ≠ j₃
h₂ : t₀.points j₂ = t.points i₂
h₃ : t₀.points j₃ = t.points i₃
j₁ : Fin 3
hj₁₂ : j₁ ≠ j₂
hj₁₃ : j₁ ≠ j₃
hj₁₂₃ : ∀ (j : Fin 3), j = j₁ ∨ j = j₂ ∨ j = j₃
h : t₀.points j₁ = t.orthocenter
hui : Set.univ = {i₁, i₂, i₃}
huj : Set.univ = {j₁, j₂, j₃}
⊢ {t₀.orthocenter, t₀.points j₁, t₀.points j₂, t₀.points j₃} =
    {t₀.points j₁, t₀.orthocenter, t₀.points j₂, t₀.points j₃}

Proof state:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
t t₀ : Triangle ℝ P
ht : Set.range t.points ⊆ insert t₀.orthocenter (Set.range t₀.points)
ht₀o : t₀.orthocenter ∉ Set.range t₀.points
ht₀s : s = insert t₀.orthocenter (Set.range t₀.points)
i₁ i₂ i₃ j₂ j₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h₁₂₃ : ∀ (i : Fin 3), i = i₁ ∨ i = i₂ ∨ i = i₃
h₁ : t.points i₁ = t₀.orthocenter
hj₂₃ : j₂ ≠ j₃
h₂ : t₀.points j₂ = t.points i₂
h₃ : t₀.points j₃ = t.points i₃
j₁ : Fin 3
hj₁₂ : j₁ ≠ j₂
hj₁₃ : j₁ ≠ j₃
hj₁₂₃ : ∀ (j : Fin 3), j = j₁ ∨ j = j₂ ∨ j = j₃
h : t₀.points j₁ = t.orthocenter
⊢ s = insert t.orthocenter (Set.range t.points)

Tactic:
have hui : (Set.univ : Set (Fin 3)) = {i₁, i₂, i₃} := by ext x; simpa using h₁₂₃ x

Result:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Set P
t t₀ : Triangle ℝ P
ht : Set.range t.points ⊆ insert t₀.orthocenter (Set.range t₀.points)
ht₀o : t₀.orthocenter ∉ Set.range t₀.points
ht₀s : s = insert t₀.orthocenter (Set.range t₀.points)
i₁ i₂ i₃ j₂ j₃ : Fin 3
h₁₂ : i₁ ≠ i₂
h₁₃ : i₁ ≠ i₃
h₂₃ : i₂ ≠ i₃
h₁₂₃ : ∀ (i : Fin 3), i = i₁ ∨ i = i₂ ∨ i = i₃
h₁ : t.points i₁ = t₀.orthocenter
hj₂₃ : j₂ ≠ j₃
h₂ : t₀.points j₂ = t.points i₂
h₃ : t₀.points j₃ = t.points i₃
j₁ : Fin 3
hj₁₂ : j₁ ≠ j₂
hj₁₃ : j₁ ≠ j₃
hj₁₂₃ : ∀ (j : Fin 3), j = j₁ ∨ j = j₂ ∨ j = j₃
h : t₀.points j₁ = t.orthocenter
hui : Set.univ = {i₁, i₂, i₃}
⊢ s = insert t.orthocenter (Set.range t.points)