-- Mathlib/MeasureTheory/Function/ConditionalExpectation/CondexpL2.lean
theorem integrable_condExpL2_indicator (hm : m ≤ m0) [SigmaFinite (μ.trim hm)]
    (hs : MeasurableSet s) (hμs : μ s ≠ ∞) (x : E') :
    Integrable (ε := E') (condExpL2 E' 𝕜 hm (indicatorConstLp 2 hs hμs x)) μ

Proof state:
case refine_2.bc.h
α : Type u_1
E' : Type u_3
𝕜 : Type u_7
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝² : CompleteSpace E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E'
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
⊢ s ∩ t ⊆ s

Tactic:
apply Set.inter_subset_left

Result:
no goals

Proof state:
case refine_2
α : Type u_1
E' : Type u_3
𝕜 : Type u_7
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝² : CompleteSpace E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E'
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
⊢ μ (s ∩ t) * ↑‖x‖₊ ≤ μ s * ↑‖x‖₊

Tactic:
gcongr

Result:
case refine_2.bc.h
α : Type u_1
E' : Type u_3
𝕜 : Type u_7
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝² : CompleteSpace E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E'
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
⊢ s ∩ t ⊆ s

Proof state:
case refine_2
α : Type u_1
E' : Type u_3
𝕜 : Type u_7
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝² : CompleteSpace E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E'
⊢ ∀ (s_1 : Set α),
    MeasurableSet s_1 →
      μ s_1 ≠ ⊤ → ∫⁻ (x_1 : α) in s_1, ‖↑↑↑((condExpL2 E' 𝕜 hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs x)) x_1‖ₑ ∂μ ≤ μ s * ↑‖x‖₊

Tactic:
refine fun t ht hμt =>
  (setLIntegral_nnnorm_condExpL2_indicator_le hm hs hμs x ht hμt).trans ?_

Result:
case refine_2
α : Type u_1
E' : Type u_3
𝕜 : Type u_7
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝² : CompleteSpace E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E'
t : Set α
ht : MeasurableSet t
hμt : μ t ≠ ⊤
⊢ μ (s ∩ t) * ↑‖x‖₊ ≤ μ s * ↑‖x‖₊

Proof state:
case refine_1
α : Type u_1
E' : Type u_3
𝕜 : Type u_7
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝² : CompleteSpace E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E'
⊢ AEStronglyMeasurable (↑↑↑((condExpL2 E' 𝕜 hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs x))) μ

Tactic:
exact Lp.aestronglyMeasurable _

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_1
E' : Type u_3
𝕜 : Type u_7
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝² : CompleteSpace E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E'
⊢ Integrable (↑↑↑((condExpL2 E' 𝕜 hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs x))) μ

Tactic:
refine integrable_of_forall_fin_meas_le' hm (μ s * ‖x‖₊)
  (ENNReal.mul_lt_top hμs.lt_top ENNReal.coe_lt_top) ?_ ?_

Result:
case refine_1
α : Type u_1
E' : Type u_3
𝕜 : Type u_7
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝² : CompleteSpace E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E'
⊢ AEStronglyMeasurable (↑↑↑((condExpL2 E' 𝕜 hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs x))) μ

case refine_2
α : Type u_1
E' : Type u_3
𝕜 : Type u_7
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E'
inst✝² : CompleteSpace E'
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hm : m ≤ m0
inst✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
x : E'
⊢ ∀ (s_1 : Set α),
    MeasurableSet s_1 →
      μ s_1 ≠ ⊤ → ∫⁻ (x_1 : α) in s_1, ‖↑↑↑((condExpL2 E' 𝕜 hm) (indicatorConstLp 2 hs hμs x)) x_1‖ₑ ∂μ ≤ μ s * ↑‖x‖₊