-- Mathlib/Algebra/Homology/HomotopyCategory/HomComplexShift.lean
lemma leftShift_rightShift (a n' : ℤ) (hn' : n' + a = n) :
    (γ.rightShift a n' hn').leftShift a n hn' =
      (a * n + (a * (a - 1)) / 2).negOnePow • γ.shift a

Proof state:
case h
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
K L : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n' + a = n
p q : ℤ
hpq : p + n = q
⊢ (a * n + a * (a - 1) / 2).negOnePow •
      (K.shiftFunctorObjXIso a p (p + a) ⋯).hom ≫ γ.v (p + a) (q + a) ⋯ ≫ (L.shiftFunctorObjXIso a q (q + a) ⋯).inv =
    (a * n + a * (a - 1) / 2).negOnePow • γ.v (p + a) (q + a) ⋯

Tactic:
dsimp

Result:
case h
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
K L : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n' + a = n
p q : ℤ
hpq : p + n = q
⊢ (a * n + a * (a - 1) / 2).negOnePow • 𝟙 (K.X (p + a)) ≫ γ.v (p + a) (q + a) ⋯ ≫ 𝟙 (L.X (q + a)) =
    (a * n + a * (a - 1) / 2).negOnePow • γ.v (p + a) (q + a) ⋯

Proof state:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
K L : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n' + a = n
⊢ (γ.rightShift a n' hn').leftShift a n hn' = (a * n + a * (a - 1) / 2).negOnePow • γ.shift a

Tactic:
ext p q hpq

Result:
case h
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
K L : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n' + a = n
p q : ℤ
hpq : p + n = q
⊢ ((γ.rightShift a n' hn').leftShift a n hn').v p q hpq = ((a * n + a * (a - 1) / 2).negOnePow • γ.shift a).v p q hpq

Proof state:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
K L : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n' + a = n
p q : ℤ
hpq : p + n = q
⊢ p + a + n = q + a

Tactic:
omega

Result:
no goals

Proof state:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
K L : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n' + a = n
p q : ℤ
hpq : p + n = q
⊢ p + a + n' = q

Tactic:
omega

Result:
no goals

Proof state:
case h
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
K L : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n' + a = n
p q : ℤ
hpq : p + n = q
⊢ (a * n + a * (a - 1) / 2).negOnePow • 𝟙 (K.X (p + a)) ≫ γ.v (p + a) (q + a) ⋯ ≫ 𝟙 (L.X (q + a)) =
    (a * n + a * (a - 1) / 2).negOnePow • γ.v (p + a) (q + a) ⋯

Tactic:
rw [id_comp, comp_id]

Result:
no goals

Proof state:
case h
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
K L : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n' + a = n
p q : ℤ
hpq : p + n = q
⊢ ((γ.rightShift a n' hn').leftShift a n hn').v p q hpq = ((a * n + a * (a - 1) / 2).negOnePow • γ.shift a).v p q hpq

Tactic:
simp only [leftShift_v _ a n hn' p q hpq (p + a) (by omega),
  rightShift_v _ a n' hn' (p + a) q (by omega) (q + a) (by omega), units_smul_v, shift_v']

Result:
case h
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : Preadditive C
K L : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n' + a = n
p q : ℤ
hpq : p + n = q
⊢ (a * n + a * (a - 1) / 2).negOnePow •
      (K.shiftFunctorObjXIso a p (p + a) ⋯).hom ≫ γ.v (p + a) (q + a) ⋯ ≫ (L.shiftFunctorObjXIso a q (q + a) ⋯).inv =
    (a * n + a * (a - 1) / 2).negOnePow • γ.v (p + a) (q + a) ⋯