-- Mathlib/LinearAlgebra/Projectivization/Cardinality.lean
lemma card_of_finrank [Finite k] {n : ℕ} (h : Module.finrank k V = n) :
    Nat.card (ℙ k V) = ∑ i ∈ Finset.range n, Nat.card k ^ i

Proof state:
k✝ : Type u_1
V✝ : Type u_2
inst✝⁶ : Field k✝
inst✝⁵ : AddCommGroup V✝
inst✝⁴ : Module k✝ V✝
k : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : Finite k
n : ℕ
h : Module.finrank k V = n
hf : Finite V
this : 1 < Nat.card k
⊢ Nat.card (ℙ k V) = ∑ i ∈ Finset.range n, Nat.card k ^ i

Tactic:
refine Nat.mul_right_cancel (m := Nat.card k - 1) (by omega) ?_

Result:
k✝ : Type u_1
V✝ : Type u_2
inst✝⁶ : Field k✝
inst✝⁵ : AddCommGroup V✝
inst✝⁴ : Module k✝ V✝
k : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : Finite k
n : ℕ
h : Module.finrank k V = n
hf : Finite V
this : 1 < Nat.card k
⊢ Nat.card (ℙ k V) * (Nat.card k - 1) = (∑ i ∈ Finset.range n, Nat.card k ^ i) * (Nat.card k - 1)

Proof state:
k✝ : Type u_1
V✝ : Type u_2
inst✝⁶ : Field k✝
inst✝⁵ : AddCommGroup V✝
inst✝⁴ : Module k✝ V✝
k : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : Finite k
n : ℕ
h : Module.finrank k V = n
hf : Finite V
this : 1 < Nat.card k
e : V ≃ₗ[k] Fin n → k := LinearEquiv.ofFinrankEq V (Fin n → k) ⋯
hc : Nat.card V = Nat.card k ^ n
⊢ ↑(Nat.card (ℙ k V)) * ↑(Nat.card k - 1) = ↑(Nat.card k) ^ n - 1

Tactic:
rw [← Int.natCast_mul, ← card k V, hc]

Result:
k✝ : Type u_1
V✝ : Type u_2
inst✝⁶ : Field k✝
inst✝⁵ : AddCommGroup V✝
inst✝⁴ : Module k✝ V✝
k : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : Finite k
n : ℕ
h : Module.finrank k V = n
hf : Finite V
this : 1 < Nat.card k
e : V ≃ₗ[k] Fin n → k := LinearEquiv.ofFinrankEq V (Fin n → k) ⋯
hc : Nat.card V = Nat.card k ^ n
⊢ ↑(Nat.card k ^ n - 1) = ↑(Nat.card k) ^ n - 1

Proof state:
k✝ : Type u_1
V✝ : Type u_2
inst✝⁶ : Field k✝
inst✝⁵ : AddCommGroup V✝
inst✝⁴ : Module k✝ V✝
k : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : Finite k
n : ℕ
h : Module.finrank k V = n
hf : Finite V
this : 1 < Nat.card k
⊢ Nat.card (ℙ k V) * (Nat.card k - 1) = (∑ i ∈ Finset.range n, Nat.card k ^ i) * (Nat.card k - 1)

Tactic:
let e : V ≃ₗ[k] (Fin n → k) := LinearEquiv.ofFinrankEq _ _ (by simpa)

Result:
k✝ : Type u_1
V✝ : Type u_2
inst✝⁶ : Field k✝
inst✝⁵ : AddCommGroup V✝
inst✝⁴ : Module k✝ V✝
k : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : Finite k
n : ℕ
h : Module.finrank k V = n
hf : Finite V
this : 1 < Nat.card k
e : V ≃ₗ[k] Fin n → k := LinearEquiv.ofFinrankEq V (Fin n → k) ⋯
⊢ Nat.card (ℙ k V) * (Nat.card k - 1) = (∑ i ∈ Finset.range n, Nat.card k ^ i) * (Nat.card k - 1)

Proof state:
case inr
k : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : Finite k
n : ℕ
h : Module.finrank k V = n
this :
  ∀ (k : Type u_1) (V : Type u_2) [inst : Field k] [inst_1 : AddCommGroup V] [inst_2 : Module k V] [inst_3 : Finite k]
    {n : ℕ}, Module.finrank k V = n → Finite V → Nat.card (ℙ k V) = ∑ i ∈ Finset.range n, Nat.card k ^ i
hf : ¬Finite V
⊢ Nat.card (ℙ k V) = ∑ i ∈ Finset.range n, Nat.card k ^ i

Tactic:
simp only [not_finite_iff_infinite] at hf

Result:
case inr
k : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : Finite k
n : ℕ
h : Module.finrank k V = n
this :
  ∀ (k : Type u_1) (V : Type u_2) [inst : Field k] [inst_1 : AddCommGroup V] [inst_2 : Module k V] [inst_3 : Finite k]
    {n : ℕ}, Module.finrank k V = n → Finite V → Nat.card (ℙ k V) = ∑ i ∈ Finset.range n, Nat.card k ^ i
hf : Infinite V
⊢ Nat.card (ℙ k V) = ∑ i ∈ Finset.range n, Nat.card k ^ i

Proof state:
k : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : Finite k
n : ℕ
h : Module.finrank k V = n
this :
  ∀ (k : Type u_1) (V : Type u_2) [inst : Field k] [inst_1 : AddCommGroup V] [inst_2 : Module k V] [inst_3 : Finite k]
    {n : ℕ}, Module.finrank k V = n → Finite V → Nat.card (ℙ k V) = ∑ i ∈ Finset.range n, Nat.card k ^ i
hf : Infinite V
⊢ Infinite (ℙ k V)

Tactic:
rw [← not_finite_iff_infinite, not_iff_not.mpr (finite_iff_of_finite k V)]

Result:
k : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : Finite k
n : ℕ
h : Module.finrank k V = n
this :
  ∀ (k : Type u_1) (V : Type u_2) [inst : Field k] [inst_1 : AddCommGroup V] [inst_2 : Module k V] [inst_3 : Finite k]
    {n : ℕ}, Module.finrank k V = n → Finite V → Nat.card (ℙ k V) = ∑ i ∈ Finset.range n, Nat.card k ^ i
hf : Infinite V
⊢ ¬Finite V

Proof state:
k✝ : Type u_1
V✝ : Type u_2
inst✝⁶ : Field k✝
inst✝⁵ : AddCommGroup V✝
inst✝⁴ : Module k✝ V✝
k : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : Finite k
n : ℕ
h : Module.finrank k V = n
hf : Finite V
this : 1 < Nat.card k
e : V ≃ₗ[k] Fin n → k := LinearEquiv.ofFinrankEq V (Fin n → k) ⋯
hc : Nat.card V = Nat.card k ^ n
⊢ ↑(Nat.card k ^ n - 1) = ↑(Nat.card k) ^ n - 1

Tactic:
simp

Result:
no goals

Proof state:
k✝ : Type u_1
V✝ : Type u_2
inst✝⁶ : Field k✝
inst✝⁵ : AddCommGroup V✝
inst✝⁴ : Module k✝ V✝
k : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : Finite k
n : ℕ
h : Module.finrank k V = n
hf : Finite V
this : 1 < Nat.card k
⊢ Module.finrank k V = Module.finrank k (Fin n → k)

Tactic:
simpa

Result:
no goals

Proof state:
k✝ : Type u_1
V✝ : Type u_2
inst✝⁶ : Field k✝
inst✝⁵ : AddCommGroup V✝
inst✝⁴ : Module k✝ V✝
k : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : Finite k
n : ℕ
h : Module.finrank k V = n
hf : Finite V
this : 1 < Nat.card k
e : V ≃ₗ[k] Fin n → k := LinearEquiv.ofFinrankEq V (Fin n → k) ⋯
hc : Nat.card V = Nat.card k ^ n
⊢ ↑(Nat.card (ℙ k V)) * ↑(Nat.card k - 1) = (∑ x ∈ Finset.range n, ↑(Nat.card k) ^ x) * ↑(Nat.card k - 1)

Tactic:
conv_rhs => rw [Int.natCast_sub this.le, Int.natCast_one, geom_sum_mul]

Result:
k✝ : Type u_1
V✝ : Type u_2
inst✝⁶ : Field k✝
inst✝⁵ : AddCommGroup V✝
inst✝⁴ : Module k✝ V✝
k : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : Finite k
n : ℕ
h : Module.finrank k V = n
hf : Finite V
this : 1 < Nat.card k
e : V ≃ₗ[k] Fin n → k := LinearEquiv.ofFinrankEq V (Fin n → k) ⋯
hc : Nat.card V = Nat.card k ^ n
⊢ ↑(Nat.card (ℙ k V)) * ↑(Nat.card k - 1) = ↑(Nat.card k) ^ n - 1

Proof state:
case h
k : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : Finite k
n : ℕ
h : Module.finrank k V = n
this✝ :
  ∀ (k : Type u_1) (V : Type u_2) [inst : Field k] [inst_1 : AddCommGroup V] [inst_2 : Module k V] [inst_3 : Finite k]
    {n : ℕ}, Module.finrank k V = n → Finite V → Nat.card (ℙ k V) = ∑ i ∈ Finset.range n, Nat.card k ^ i
this : Infinite (ℙ k V)
hf : Module.Finite k V
⊢ ¬Infinite V

Tactic:
simpa using Module.finite_of_finite k

Result:
no goals

Proof state:
k✝ : Type u_1
V✝ : Type u_2
inst✝⁶ : Field k✝
inst✝⁵ : AddCommGroup V✝
inst✝⁴ : Module k✝ V✝
k : Type u_1
V : Type u_2
inst✝³ : Field k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : Finite k
n : ℕ
h : Module.finrank k V = n
hf : Finite V
this : 1 < Nat.card k
⊢ 0 < Nat.card k - 1

Tactic:
omega

Result:
no goals