-- Mathlib/CategoryTheory/Limits/VanKampen.lean
theorem IsUniversalColimit.precompose_isIso {F G : J ⥤ C} (α : F ⟶ G) [IsIso α]
    {c : Cocone G} (hc : IsUniversalColimit c) :
    IsUniversalColimit ((Cocones.precompose α).obj c)

Proof state:
J : Type v'
inst✝² : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F G : J ⥤ C
α : F ⟶ G
inst✝ : IsIso α
c : Cocone G
hc : IsUniversalColimit c
⊢ IsUniversalColimit ((Cocones.precompose α).obj c)

Tactic:
intros F' c' α' f e hα H

Result:
J : Type v'
inst✝² : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F G : J ⥤ C
α : F ⟶ G
inst✝ : IsIso α
c : Cocone G
hc : IsUniversalColimit c
F' : J ⥤ C
c' : Cocone F'
α' : F' ⟶ F
f : c'.pt ⟶ ((Cocones.precompose α).obj c).pt
e : α' ≫ ((Cocones.precompose α).obj c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α'
H : ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α'.app j) f (((Cocones.precompose α).obj c).ι.app j)
⊢ Nonempty (IsColimit c')

Proof state:
J : Type v'
inst✝² : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F G : J ⥤ C
α : F ⟶ G
inst✝ : IsIso α
c : Cocone G
hc : IsUniversalColimit c
F' : J ⥤ C
c' : Cocone F'
α' : F' ⟶ F
f : c'.pt ⟶ ((Cocones.precompose α).obj c).pt
e : α' ≫ ((Cocones.precompose α).obj c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α'
H : ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α'.app j) f (((Cocones.precompose α).obj c).ι.app j)
j : J
⊢ IsPullback (c'.ι.app j) (α'.app j ≫ α.app j) f (c.ι.app j)

Tactic:
rw [← Category.comp_id f]

Result:
J : Type v'
inst✝² : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F G : J ⥤ C
α : F ⟶ G
inst✝ : IsIso α
c : Cocone G
hc : IsUniversalColimit c
F' : J ⥤ C
c' : Cocone F'
α' : F' ⟶ F
f : c'.pt ⟶ ((Cocones.precompose α).obj c).pt
e : α' ≫ ((Cocones.precompose α).obj c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α'
H : ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α'.app j) f (((Cocones.precompose α).obj c).ι.app j)
j : J
⊢ IsPullback (c'.ι.app j) (α'.app j ≫ α.app j) (f ≫ 𝟙 ((Cocones.precompose α).obj c).pt) (c.ι.app j)

Proof state:
J : Type v'
inst✝² : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F G : J ⥤ C
α : F ⟶ G
inst✝ : IsIso α
c : Cocone G
hc : IsUniversalColimit c
F' : J ⥤ C
c' : Cocone F'
α' : F' ⟶ F
f : c'.pt ⟶ ((Cocones.precompose α).obj c).pt
e : α' ≫ ((Cocones.precompose α).obj c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α'
H : ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α'.app j) f (((Cocones.precompose α).obj c).ι.app j)
⊢ ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) ((α' ≫ α).app j) f (c.ι.app j)

Tactic:
intro j

Result:
J : Type v'
inst✝² : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F G : J ⥤ C
α : F ⟶ G
inst✝ : IsIso α
c : Cocone G
hc : IsUniversalColimit c
F' : J ⥤ C
c' : Cocone F'
α' : F' ⟶ F
f : c'.pt ⟶ ((Cocones.precompose α).obj c).pt
e : α' ≫ ((Cocones.precompose α).obj c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α'
H : ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α'.app j) f (((Cocones.precompose α).obj c).ι.app j)
j : J
⊢ IsPullback (c'.ι.app j) ((α' ≫ α).app j) f (c.ι.app j)

Proof state:
J : Type v'
inst✝² : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F G : J ⥤ C
α : F ⟶ G
inst✝ : IsIso α
c : Cocone G
hc : IsUniversalColimit c
F' : J ⥤ C
c' : Cocone F'
α' : F' ⟶ F
f : c'.pt ⟶ ((Cocones.precompose α).obj c).pt
e : α' ≫ ((Cocones.precompose α).obj c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α'
H : ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α'.app j) f (((Cocones.precompose α).obj c).ι.app j)
⊢ Nonempty (IsColimit c')

Tactic:
apply (hc c' (α' ≫ α) f ((Category.assoc _ _ _).trans e)
  (hα.comp (NatTrans.equifibered_of_isIso _)))

Result:
J : Type v'
inst✝² : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F G : J ⥤ C
α : F ⟶ G
inst✝ : IsIso α
c : Cocone G
hc : IsUniversalColimit c
F' : J ⥤ C
c' : Cocone F'
α' : F' ⟶ F
f : c'.pt ⟶ ((Cocones.precompose α).obj c).pt
e : α' ≫ ((Cocones.precompose α).obj c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α'
H : ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α'.app j) f (((Cocones.precompose α).obj c).ι.app j)
⊢ ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) ((α' ≫ α).app j) f (c.ι.app j)

Proof state:
J : Type v'
inst✝² : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F G : J ⥤ C
α : F ⟶ G
inst✝ : IsIso α
c : Cocone G
hc : IsUniversalColimit c
F' : J ⥤ C
c' : Cocone F'
α' : F' ⟶ F
f : c'.pt ⟶ ((Cocones.precompose α).obj c).pt
e : α' ≫ ((Cocones.precompose α).obj c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α'
H : ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α'.app j) f (((Cocones.precompose α).obj c).ι.app j)
j : J
⊢ IsPullback (c'.ι.app j) ((α' ≫ α).app j) f (c.ι.app j)

Tactic:
simp only [Functor.const_obj_obj, NatTrans.comp_app,
  Cocones.precompose_obj_pt, Cocones.precompose_obj_ι]

Result:
J : Type v'
inst✝² : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F G : J ⥤ C
α : F ⟶ G
inst✝ : IsIso α
c : Cocone G
hc : IsUniversalColimit c
F' : J ⥤ C
c' : Cocone F'
α' : F' ⟶ F
f : c'.pt ⟶ ((Cocones.precompose α).obj c).pt
e : α' ≫ ((Cocones.precompose α).obj c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α'
H : ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α'.app j) f (((Cocones.precompose α).obj c).ι.app j)
j : J
⊢ IsPullback (c'.ι.app j) (α'.app j ≫ α.app j) f (c.ι.app j)

Proof state:
J : Type v'
inst✝² : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
F G : J ⥤ C
α : F ⟶ G
inst✝ : IsIso α
c : Cocone G
hc : IsUniversalColimit c
F' : J ⥤ C
c' : Cocone F'
α' : F' ⟶ F
f : c'.pt ⟶ ((Cocones.precompose α).obj c).pt
e : α' ≫ ((Cocones.precompose α).obj c).ι = c'.ι ≫ (Functor.const J).map f
hα : NatTrans.Equifibered α'
H : ∀ (j : J), IsPullback (c'.ι.app j) (α'.app j) f (((Cocones.precompose α).obj c).ι.app j)
j : J
⊢ IsPullback (c'.ι.app j) (α'.app j ≫ α.app j) (f ≫ 𝟙 ((Cocones.precompose α).obj c).pt) (c.ι.app j)

Tactic:
exact (H j).paste_vert (IsPullback.of_vert_isIso ⟨Category.comp_id _⟩)

Result:
no goals