-- Mathlib/RingTheory/Ideal/Cotangent.lean
theorem cotangentIdeal_square (I : Ideal R) : I.cotangentIdeal ^ 2 = ⊥

Proof state:
case refine_2
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
x : R ⧸ I ^ 2
hx : x ∈ I.cotangentIdeal • I.cotangentIdeal
⊢ ∀ (x y : R ⧸ I ^ 2), x ∈ ⊥ → y ∈ ⊥ → x + y ∈ ⊥

Tactic:
intro x y hx hy

Result:
case refine_2
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
x✝ : R ⧸ I ^ 2
hx✝ : x✝ ∈ I.cotangentIdeal • I.cotangentIdeal
x y : R ⧸ I ^ 2
hx : x ∈ ⊥
hy : y ∈ ⊥
⊢ x + y ∈ ⊥

Proof state:
case refine_1
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
x : R ⧸ I ^ 2
hx : x ∈ I.cotangentIdeal • I.cotangentIdeal
⊢ ∀ r ∈ I.cotangentIdeal, ∀ n ∈ I.cotangentIdeal, r • n ∈ ⊥

Tactic:
rintro _ ⟨x, hx, rfl⟩ _ ⟨y, hy, rfl⟩

Result:
case refine_1.intro.intro.intro.intro
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
x✝ : R ⧸ I ^ 2
hx✝ : x✝ ∈ I.cotangentIdeal • I.cotangentIdeal
x : R
hx : x ∈ ↑I
y : R
hy : y ∈ ↑I
⊢ (Quotient.mk (I ^ 2)).toSemilinearMap x • (Quotient.mk (I ^ 2)).toSemilinearMap y ∈ ⊥

Proof state:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
x : R ⧸ I ^ 2
hx : x ∈ I.cotangentIdeal • I.cotangentIdeal
⊢ x ∈ ⊥

Tactic:
refine Submodule.smul_induction_on hx ?_ ?_

Result:
case refine_1
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
x : R ⧸ I ^ 2
hx : x ∈ I.cotangentIdeal • I.cotangentIdeal
⊢ ∀ r ∈ I.cotangentIdeal, ∀ n ∈ I.cotangentIdeal, r • n ∈ ⊥

case refine_2
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
x : R ⧸ I ^ 2
hx : x ∈ I.cotangentIdeal • I.cotangentIdeal
⊢ ∀ (x y : R ⧸ I ^ 2), x ∈ ⊥ → y ∈ ⊥ → x + y ∈ ⊥

Proof state:
case refine_1.intro.intro.intro.intro
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
x✝ : R ⧸ I ^ 2
hx✝ : x✝ ∈ I.cotangentIdeal • I.cotangentIdeal
x : R
hx : x ∈ ↑I
y : R
hy : y ∈ ↑I
⊢ (Quotient.mk (I ^ 2)).toSemilinearMap x • (Quotient.mk (I ^ 2)).toSemilinearMap y ∈ ⊥

Tactic:
apply (Submodule.Quotient.eq _).mpr _

Result:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
x✝ : R ⧸ I ^ 2
hx✝ : x✝ ∈ I.cotangentIdeal • I.cotangentIdeal
x : R
hx : x ∈ ↑I
y : R
hy : y ∈ ↑I
⊢ (fun x1 x2 => x1 * x2) x y - 0 ∈ I ^ 2

Proof state:
case refine_2
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
x✝ : R ⧸ I ^ 2
hx✝ : x✝ ∈ I.cotangentIdeal • I.cotangentIdeal
x y : R ⧸ I ^ 2
hx : x ∈ ⊥
hy : y ∈ ⊥
⊢ x + y ∈ ⊥

Tactic:
exact add_mem hx hy

Result:
no goals

Proof state:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
⊢ I.cotangentIdeal ^ 2 = ⊥

Tactic:
rw [eq_bot_iff, pow_two I.cotangentIdeal, ← smul_eq_mul]

Result:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
⊢ I.cotangentIdeal • I.cotangentIdeal ≤ ⊥

Proof state:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
x✝ : R ⧸ I ^ 2
hx✝ : x✝ ∈ I.cotangentIdeal • I.cotangentIdeal
x : R
hx : x ∈ ↑I
y : R
hy : y ∈ ↑I
⊢ (fun x1 x2 => x1 * x2) x y - 0 ∈ I ^ 2

Tactic:
rw [sub_zero, pow_two]

Result:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
x✝ : R ⧸ I ^ 2
hx✝ : x✝ ∈ I.cotangentIdeal • I.cotangentIdeal
x : R
hx : x ∈ ↑I
y : R
hy : y ∈ ↑I
⊢ (fun x1 x2 => x1 * x2) x y ∈ I * I

Proof state:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
x✝ : R ⧸ I ^ 2
hx✝ : x✝ ∈ I.cotangentIdeal • I.cotangentIdeal
x : R
hx : x ∈ ↑I
y : R
hy : y ∈ ↑I
⊢ (fun x1 x2 => x1 * x2) x y ∈ I * I

Tactic:
exact Ideal.mul_mem_mul hx hy

Result:
no goals

Proof state:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
⊢ I.cotangentIdeal • I.cotangentIdeal ≤ ⊥

Tactic:
intro x hx

Result:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I : Ideal R
x : R ⧸ I ^ 2
hx : x ∈ I.cotangentIdeal • I.cotangentIdeal
⊢ x ∈ ⊥