-- Mathlib/Combinatorics/Hall/Finite.lean
theorem hall_hard_inductive_step_B {n : ℕ} (hn : Fintype.card ι = n + 1)
    (ht : ∀ s : Finset ι, #s ≤ #(s.biUnion t))
    (ih :
      ∀ {ι' : Type u} [Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
        Fintype.card ι' ≤ n →
          (∀ s' : Finset ι', #s' ≤ #(s'.biUnion t')) →
            ∃ f : ι' → α, Function.Injective f ∧ ∀ x, f x ∈ t' x)
    (s : Finset ι) (hs : s.Nonempty) (hns : s ≠ univ) (hus : #s = #(s.biUnion t)) :
    ∃ f : ι → α, Function.Injective f ∧ ∀ x, f x ∈ t x

Proof state:
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), #s ≤ #(s.biUnion t)
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), #s' ≤ #(s'.biUnion t')) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : #s = #(s.biUnion t)
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' => t ↑a'' \ s.biUnion t
card_ι''_le : Fintype.card ↑ι'' ≤ n
f'' : ↑ι'' → α
hf'' : Function.Injective f''
hsf'' : ∀ (x : ↑ι''), f'' x ∈ t'' x
f'_mem_biUnion : ∀ (x' : ι) (hx' : x' ∈ s), f' ⟨x', hx'⟩ ∈ s.biUnion t
f''_not_mem_biUnion : ∀ (x'' : ι) (hx'' : x'' ∉ s), f'' ⟨x'', hx''⟩ ∉ s.biUnion t
x x' : ι
hx' : x ∈ s
hx'' : x' ∉ s
h : f' ⟨x, hx'⟩ = f'' ⟨x', hx''⟩
⊢ False

Tactic:
apply f''_not_mem_biUnion x' hx''

Result:
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), #s ≤ #(s.biUnion t)
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), #s' ≤ #(s'.biUnion t')) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : #s = #(s.biUnion t)
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' => t ↑a'' \ s.biUnion t
card_ι''_le : Fintype.card ↑ι'' ≤ n
f'' : ↑ι'' → α
hf'' : Function.Injective f''
hsf'' : ∀ (x : ↑ι''), f'' x ∈ t'' x
f'_mem_biUnion : ∀ (x' : ι) (hx' : x' ∈ s), f' ⟨x', hx'⟩ ∈ s.biUnion t
f''_not_mem_biUnion : ∀ (x'' : ι) (hx'' : x'' ∉ s), f'' ⟨x'', hx''⟩ ∉ s.biUnion t
x x' : ι
hx' : x ∈ s
hx'' : x' ∉ s
h : f' ⟨x, hx'⟩ = f'' ⟨x', hx''⟩
⊢ f'' ⟨x', hx''⟩ ∈ s.biUnion t

Proof state:
case intro.intro.intro.intro
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), #s ≤ #(s.biUnion t)
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), #s' ≤ #(s'.biUnion t')) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : #s = #(s.biUnion t)
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' => t ↑a'' \ s.biUnion t
card_ι''_le : Fintype.card ↑ι'' ≤ n
f'' : ↑ι'' → α
hf'' : Function.Injective f''
hsf'' : ∀ (x : ↑ι''), f'' x ∈ t'' x
⊢ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x

Tactic:
have f'_mem_biUnion : ∀ (x') (hx' : x' ∈ s), f' ⟨x', hx'⟩ ∈ s.biUnion t := by
  intro x' hx'
  rw [mem_biUnion]
  exact ⟨x', hx', hsf' _⟩

Result:
case intro.intro.intro.intro
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), #s ≤ #(s.biUnion t)
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), #s' ≤ #(s'.biUnion t')) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : #s = #(s.biUnion t)
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' => t ↑a'' \ s.biUnion t
card_ι''_le : Fintype.card ↑ι'' ≤ n
f'' : ↑ι'' → α
hf'' : Function.Injective f''
hsf'' : ∀ (x : ↑ι''), f'' x ∈ t'' x
f'_mem_biUnion : ∀ (x' : ι) (hx' : x' ∈ s), f' ⟨x', hx'⟩ ∈ s.biUnion t
⊢ ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι), f x ∈ t x

Proof state:
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), #s ≤ #(s.biUnion t)
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), #s' ≤ #(s'.biUnion t')) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : #s = #(s.biUnion t)
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' => t ↑a'' \ s.biUnion t
card_ι''_le : Fintype.card ↑ι'' ≤ n
f'' : ↑ι'' → α
hf'' : Function.Injective f''
hsf'' : ∀ (x : ↑ι''), f'' x ∈ t'' x
f'_mem_biUnion : ∀ (x' : ι) (hx' : x' ∈ s), f' ⟨x', hx'⟩ ∈ s.biUnion t
f''_not_mem_biUnion : ∀ (x'' : ι) (hx'' : x'' ∉ s), f'' ⟨x'', hx''⟩ ∉ s.biUnion t
x x' : ι
hx' : x ∈ s
hx'' : x' ∉ s
h : f' ⟨x, hx'⟩ = f'' ⟨x', hx''⟩
⊢ f'' ⟨x', hx''⟩ ∈ s.biUnion t

Tactic:
rw [← h]

Result:
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), #s ≤ #(s.biUnion t)
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), #s' ≤ #(s'.biUnion t')) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : #s = #(s.biUnion t)
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' => t ↑a'' \ s.biUnion t
card_ι''_le : Fintype.card ↑ι'' ≤ n
f'' : ↑ι'' → α
hf'' : Function.Injective f''
hsf'' : ∀ (x : ↑ι''), f'' x ∈ t'' x
f'_mem_biUnion : ∀ (x' : ι) (hx' : x' ∈ s), f' ⟨x', hx'⟩ ∈ s.biUnion t
f''_not_mem_biUnion : ∀ (x'' : ι) (hx'' : x'' ∉ s), f'' ⟨x'', hx''⟩ ∉ s.biUnion t
x x' : ι
hx' : x ∈ s
hx'' : x' ∉ s
h : f' ⟨x, hx'⟩ = f'' ⟨x', hx''⟩
⊢ f' ⟨x, hx'⟩ ∈ s.biUnion t

Proof state:
ι : Type u
α : Type v
inst✝¹ : DecidableEq α
t : ι → Finset α
inst✝ : Fintype ι
n : ℕ
hn : Fintype.card ι = n.succ
ht : ∀ (s : Finset ι), #s ≤ #(s.biUnion t)
ih :
  ∀ {ι' : Type u} [inst : Fintype ι'] (t' : ι' → Finset α),
    Fintype.card ι' ≤ n →
      (∀ (s' : Finset ι'), #s' ≤ #(s'.biUnion t')) → ∃ f, Function.Injective f ∧ ∀ (x : ι'), f x ∈ t' x
s : Finset ι
hs : s.Nonempty
hns : s ≠ univ
hus : #s = #(s.biUnion t)
this : DecidableEq ι
card_ι'_le : Fintype.card { x // x ∈ s } ≤ n
t' : { x // x ∈ s } → Finset α := fun x' => t ↑x'
f' : { x // x ∈ s } → α
hf' : Function.Injective f'
hsf' : ∀ (x : { x // x ∈ s }), f' x ∈ t' x
ι'' : Set ι := (↑s)ᶜ
t'' : ↑ι'' → Finset α := fun a'' => t ↑a'' \ s.biUnion t
card_ι''_le : Fintype.card ↑ι'' ≤ n
f'' : ↑ι'' → α
hf'' : Function.Injective f''
hsf'' : ∀ (x : ↑ι''), f'' x ∈ t'' x
x' : ι
hx' : x' ∈ s
⊢ ∃ a ∈ s, f' ⟨x', hx'⟩ ∈ t a

Tactic:
exact ⟨x', hx', hsf' _⟩

Result:
no goals