-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
theorem smul_graph (f : E →ₗ.[R] F) (z : M) :
    (z • f).graph =
      f.graph.map ((LinearMap.id : E →ₗ[R] E).prodMap (z • (LinearMap.id : F →ₗ[R] F)))

Proof state:
case h.mk.mp.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁷ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module R F
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
f : E →ₗ.[R] F
z : M
x_fst : E
x_snd : F
y : ↥(z • f).domain
hy : ↑y = (x_fst, x_snd).1
h : z • ↑f y = (x_fst, x_snd).2
⊢ (x_fst, x_snd) ∈ Submodule.map (LinearMap.id.prodMap (z • LinearMap.id)) f.graph

Tactic:
rw [Submodule.mem_map]

Result:
case h.mk.mp.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁷ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module R F
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
f : E →ₗ.[R] F
z : M
x_fst : E
x_snd : F
y : ↥(z • f).domain
hy : ↑y = (x_fst, x_snd).1
h : z • ↑f y = (x_fst, x_snd).2
⊢ ∃ y ∈ f.graph, (LinearMap.id.prodMap (z • LinearMap.id)) y = (x_fst, x_snd)

Proof state:
R : Type u_1
inst✝⁷ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module R F
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
f : E →ₗ.[R] F
z : M
⊢ (z • f).graph = Submodule.map (LinearMap.id.prodMap (z • LinearMap.id)) f.graph

Tactic:
ext ⟨x_fst, x_snd⟩

Result:
case h.mk
R : Type u_1
inst✝⁷ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module R F
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
f : E →ₗ.[R] F
z : M
x_fst : E
x_snd : F
⊢ (x_fst, x_snd) ∈ (z • f).graph ↔ (x_fst, x_snd) ∈ Submodule.map (LinearMap.id.prodMap (z • LinearMap.id)) f.graph

Proof state:
case h.mk.mpr
R : Type u_1
inst✝⁷ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module R F
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
f : E →ₗ.[R] F
z : M
x_fst : E
x_snd : F
h : (x_fst, x_snd) ∈ Submodule.map (LinearMap.id.prodMap (z • LinearMap.id)) f.graph
⊢ (x_fst, x_snd) ∈ (z • f).graph

Tactic:
rw [Submodule.mem_map] at h

Result:
case h.mk.mpr
R : Type u_1
inst✝⁷ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module R F
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
f : E →ₗ.[R] F
z : M
x_fst : E
x_snd : F
h : ∃ y ∈ f.graph, (LinearMap.id.prodMap (z • LinearMap.id)) y = (x_fst, x_snd)
⊢ (x_fst, x_snd) ∈ (z • f).graph

Proof state:
case h.mk.mpr
R : Type u_1
inst✝⁷ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module R F
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
f : E →ₗ.[R] F
z : M
x_fst : E
x_snd : F
h : ∃ y ∈ f.graph, (LinearMap.id.prodMap (z • LinearMap.id)) y = (x_fst, x_snd)
⊢ (x_fst, x_snd) ∈ (z • f).graph

Tactic:
rcases h with ⟨x', hx', h⟩

Result:
case h.mk.mpr.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁷ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module R F
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
f : E →ₗ.[R] F
z : M
x_fst : E
x_snd : F
x' : E × F
hx' : x' ∈ f.graph
h : (LinearMap.id.prodMap (z • LinearMap.id)) x' = (x_fst, x_snd)
⊢ (x_fst, x_snd) ∈ (z • f).graph

Proof state:
case h.mk.mp.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁷ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module R F
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
f : E →ₗ.[R] F
z : M
x_fst : E
x_snd : F
y : ↥(z • f).domain
hy : ↑y = (x_fst, x_snd).1
h : ↑(z • f) y = (x_fst, x_snd).2
⊢ (x_fst, x_snd) ∈ Submodule.map (LinearMap.id.prodMap (z • LinearMap.id)) f.graph

Tactic:
rw [LinearPMap.smul_apply] at h

Result:
case h.mk.mp.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁷ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module R F
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
f : E →ₗ.[R] F
z : M
x_fst : E
x_snd : F
y : ↥(z • f).domain
hy : ↑y = (x_fst, x_snd).1
h : z • ↑f y = (x_fst, x_snd).2
⊢ (x_fst, x_snd) ∈ Submodule.map (LinearMap.id.prodMap (z • LinearMap.id)) f.graph

Proof state:
case h.mk.mpr.intro.intro.mk
R : Type u_1
inst✝⁷ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module R F
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
f : E →ₗ.[R] F
z : M
x_fst : E
x_snd : F
fst✝ : E
snd✝ : F
hx' : (fst✝, snd✝) ∈ f.graph
h : (LinearMap.id.prodMap (z • LinearMap.id)) (fst✝, snd✝) = (x_fst, x_snd)
⊢ (x_fst, x_snd) ∈ (z • f).graph

Tactic:
simp only [LinearMap.prodMap_apply, LinearMap.id_coe, id, LinearMap.smul_apply,
  Prod.mk.inj_iff] at h

Result:
case h.mk.mpr.intro.intro.mk
R : Type u_1
inst✝⁷ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module R F
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
f : E →ₗ.[R] F
z : M
x_fst : E
x_snd : F
fst✝ : E
snd✝ : F
hx' : (fst✝, snd✝) ∈ f.graph
h : fst✝ = x_fst ∧ z • snd✝ = x_snd
⊢ (x_fst, x_snd) ∈ (z • f).graph

Proof state:
case h.mk
R : Type u_1
inst✝⁷ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module R F
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
f : E →ₗ.[R] F
z : M
x_fst : E
x_snd : F
⊢ (x_fst, x_snd) ∈ (z • f).graph ↔ (x_fst, x_snd) ∈ Submodule.map (LinearMap.id.prodMap (z • LinearMap.id)) f.graph

Tactic:
constructor <;> intro h

Result:
case h.mk.mp
R : Type u_1
inst✝⁷ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module R F
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
f : E →ₗ.[R] F
z : M
x_fst : E
x_snd : F
h : (x_fst, x_snd) ∈ (z • f).graph
⊢ (x_fst, x_snd) ∈ Submodule.map (LinearMap.id.prodMap (z • LinearMap.id)) f.graph

case h.mk.mpr
R : Type u_1
inst✝⁷ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module R F
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
f : E →ₗ.[R] F
z : M
x_fst : E
x_snd : F
h : (x_fst, x_snd) ∈ Submodule.map (LinearMap.id.prodMap (z • LinearMap.id)) f.graph
⊢ (x_fst, x_snd) ∈ (z • f).graph

Proof state:
case h.mk.mp
R : Type u_1
inst✝⁷ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module R F
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
f : E →ₗ.[R] F
z : M
x_fst : E
x_snd : F
h : ∃ y, ↑y = (x_fst, x_snd).1 ∧ ↑(z • f) y = (x_fst, x_snd).2
⊢ (x_fst, x_snd) ∈ Submodule.map (LinearMap.id.prodMap (z • LinearMap.id)) f.graph

Tactic:
rcases h with ⟨y, hy, h⟩

Result:
case h.mk.mp.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁷ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module R F
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
f : E →ₗ.[R] F
z : M
x_fst : E
x_snd : F
y : ↥(z • f).domain
hy : ↑y = (x_fst, x_snd).1
h : ↑(z • f) y = (x_fst, x_snd).2
⊢ (x_fst, x_snd) ∈ Submodule.map (LinearMap.id.prodMap (z • LinearMap.id)) f.graph