-- Mathlib/Dynamics/TopologicalEntropy/CoverEntropy.lean
/-- From a dynamical cover `s` with entourage `U` and time `m`, we construct covers with entourage
`U ○ U` and any multiple `m * n` of `m` with controlled cardinality. This lemma is the first step
in a submultiplicative-like property of `coverMincard`, with consequences such as explicit bounds
for the topological entropy (`coverEntropyInfEntourage_le_card_div`) and an equality between
two notions of topological entropy (`coverEntropyInf_eq_coverEntropySup_of_inv`). -/
lemma IsDynCoverOf.iterate_le_pow {T : X → X} {F : Set X} (F_inv : MapsTo T F F) {U : Set (X × X)}
    (U_symm : SymmetricRel U) {m : ℕ} (n : ℕ) {s : Finset X} (h : IsDynCoverOf T F U m s) :
    ∃ t : Finset X, IsDynCoverOf T F (U ○ U) (m * n) t ∧ t.card ≤ s.card ^ n

Proof state:
case inr.intro.inr.refine_2
X : Type u_1
T : X → X
F : Set X
F_inv : MapsTo T F F
U : Set (X × X)
U_symm : SymmetricRel U
m n : ℕ
s : Finset X
h : IsDynCoverOf T F U m ↑s
x✝ : Nonempty X
s_nemp : (↑s).Nonempty
x : X
x_F : x ∈ F
m_pos : m > 0
dyncover : (Fin n → { x // x ∈ s }) → X
h_dyncover :
  ∀ (t : Fin n → { x // x ∈ s }),
    ⋂ k, T^[m * ↑k] ⁻¹' ball (↑(t k)) (dynEntourage T U m) ⊆ ball (dyncover t) (dynEntourage T (U ○ U) (m * n))
sn : Set X := range dyncover
this : Fintype ↑(range dyncover)
⊢ sn.toFinset.card ≤ s.card ^ n

Tactic:
rw [toFinset_card]

Result:
case inr.intro.inr.refine_2
X : Type u_1
T : X → X
F : Set X
F_inv : MapsTo T F F
U : Set (X × X)
U_symm : SymmetricRel U
m n : ℕ
s : Finset X
h : IsDynCoverOf T F U m ↑s
x✝ : Nonempty X
s_nemp : (↑s).Nonempty
x : X
x_F : x ∈ F
m_pos : m > 0
dyncover : (Fin n → { x // x ∈ s }) → X
h_dyncover :
  ∀ (t : Fin n → { x // x ∈ s }),
    ⋂ k, T^[m * ↑k] ⁻¹' ball (↑(t k)) (dynEntourage T U m) ⊆ ball (dyncover t) (dynEntourage T (U ○ U) (m * n))
sn : Set X := range dyncover
this : Fintype ↑(range dyncover)
⊢ Fintype.card ↑sn ≤ s.card ^ n

Proof state:
case inr
X : Type u_1
T : X → X
F : Set X
F_inv : MapsTo T F F
U : Set (X × X)
U_symm : SymmetricRel U
m n : ℕ
s : Finset X
h : IsDynCoverOf T F U m ↑s
F_nemp : F.Nonempty
⊢ ∃ t, IsDynCoverOf T F (U ○ U) (m * n) ↑t ∧ t.card ≤ s.card ^ n

Tactic:
have _ : Nonempty X := nonempty_of_exists F_nemp

Result:
case inr
X : Type u_1
T : X → X
F : Set X
F_inv : MapsTo T F F
U : Set (X × X)
U_symm : SymmetricRel U
m n : ℕ
s : Finset X
h : IsDynCoverOf T F U m ↑s
F_nemp : F.Nonempty
x✝ : Nonempty X
⊢ ∃ t, IsDynCoverOf T F (U ○ U) (m * n) ↑t ∧ t.card ≤ s.card ^ n

Proof state:
case h.a
X : Type u_1
T : X → X
F : Set X
F_inv : MapsTo T F F
U : Set (X × X)
U_symm : SymmetricRel U
m n : ℕ
s : Finset X
h : IsDynCoverOf T F U m ↑s
x✝¹ : Nonempty X
s_nemp : s.Nonempty
x : X
x_F : x ∈ F
m_pos : m > 0
dyncover : (Fin n → { x // x ∈ s }) → X
h_dyncover :
  ∀ (t : Fin n → { x // x ∈ s }),
    ⋂ k, T^[m * ↑k] ⁻¹' ball (↑(t k)) (dynEntourage T U m) ⊆ ball (dyncover t) (dynEntourage T (U ○ U) (m * n))
sn : Set X := range dyncover
this : Fintype ↑(range dyncover)
x✝ : Nonempty { x // x ∈ s }
y : X
y_F : y ∈ F
t : Fin n → { x // x ∈ s }
ht : ∀ (k : Fin n), y ∈ T^[m * ↑k] ⁻¹' ball (↑(t k)) (dynEntourage T U m)
⊢ y ∈ ⋂ k, T^[m * ↑k] ⁻¹' ball (↑(t k)) (dynEntourage T U m)

Tactic:
simp only [mem_iInter, mem_preimage] at ht ⊢

Result:
case h.a
X : Type u_1
T : X → X
F : Set X
F_inv : MapsTo T F F
U : Set (X × X)
U_symm : SymmetricRel U
m n : ℕ
s : Finset X
h : IsDynCoverOf T F U m ↑s
x✝¹ : Nonempty X
s_nemp : s.Nonempty
x : X
x_F : x ∈ F
m_pos : m > 0
dyncover : (Fin n → { x // x ∈ s }) → X
h_dyncover :
  ∀ (t : Fin n → { x // x ∈ s }),
    ⋂ k, T^[m * ↑k] ⁻¹' ball (↑(t k)) (dynEntourage T U m) ⊆ ball (dyncover t) (dynEntourage T (U ○ U) (m * n))
sn : Set X := range dyncover
this : Fintype ↑(range dyncover)
x✝ : Nonempty { x // x ∈ s }
y : X
y_F : y ∈ F
t : Fin n → { x // x ∈ s }
ht : ∀ (k : Fin n), T^[m * ↑k] y ∈ ball (↑(t k)) (dynEntourage T U m)
⊢ ∀ (i : Fin n), T^[m * ↑i] y ∈ ball (↑(t i)) (dynEntourage T U m)

Proof state:
case inr.intro
X : Type u_1
T : X → X
F : Set X
F_inv : MapsTo T F F
U : Set (X × X)
U_symm : SymmetricRel U
m n : ℕ
s : Finset X
h : IsDynCoverOf T F U m ↑s
x✝ : Nonempty X
s_nemp : (↑s).Nonempty
x : X
x_F : x ∈ F
m_pos : m > 0
t : Fin n → { x // x ∈ s }
y z : X
y_int : ∀ (i : Fin n), ∀ i_1 < m, (T^[i_1] ↑(t i), T^[i_1] (T^[m * ↑i] y)) ∈ U
z_int : ∀ (i : Fin n), ∀ i_1 < m, (T^[i_1] ↑(t i), T^[i_1] (T^[m * ↑i] z)) ∈ U
k : ℕ
k_mn : k / m < n
⊢ (T^[k] y, T^[k] z) ∈ U ○ U

Tactic:
specialize z_int ⟨(k / m), k_mn⟩ (k % m) (Nat.mod_lt k m_pos)

Result:
case inr.intro
X : Type u_1
T : X → X
F : Set X
F_inv : MapsTo T F F
U : Set (X × X)
U_symm : SymmetricRel U
m n : ℕ
s : Finset X
h : IsDynCoverOf T F U m ↑s
x✝ : Nonempty X
s_nemp : (↑s).Nonempty
x : X
x_F : x ∈ F
m_pos : m > 0
t : Fin n → { x // x ∈ s }
y z : X
y_int : ∀ (i : Fin n), ∀ i_1 < m, (T^[i_1] ↑(t i), T^[i_1] (T^[m * ↑i] y)) ∈ U
k : ℕ
k_mn : k / m < n
z_int : (T^[k % m] ↑(t ⟨k / m, k_mn⟩), T^[k % m] (T^[m * ↑⟨k / m, k_mn⟩] z)) ∈ U
⊢ (T^[k] y, T^[k] z) ∈ U ○ U

Proof state:
case h
X : Type u_1
T : X → X
F : Set X
F_inv : MapsTo T F F
U : Set (X × X)
U_symm : SymmetricRel U
m n : ℕ
s : Finset X
h : IsDynCoverOf T F U m ↑s
x✝¹ : Nonempty X
s_nemp : s.Nonempty
x : X
x_F : x ∈ F
m_pos : m > 0
dyncover : (Fin n → { x // x ∈ s }) → X
h_dyncover :
  ∀ (t : Fin n → { x // x ∈ s }),
    ⋂ k, T^[m * ↑k] ⁻¹' ball (↑(t k)) (dynEntourage T U m) ⊆ ball (dyncover t) (dynEntourage T (U ○ U) (m * n))
sn : Set X := range dyncover
this : Fintype ↑(range dyncover)
x✝ : Nonempty { x // x ∈ s }
y : X
y_F : y ∈ F
t : Fin n → { x // x ∈ s }
ht : ∀ (k : Fin n), y ∈ T^[m * ↑k] ⁻¹' ball (↑(t k)) (dynEntourage T U m)
⊢ y ∈ ball (dyncover t) (dynEntourage T (U ○ U) (m * n))

Tactic:
apply h_dyncover t

Result:
case h.a
X : Type u_1
T : X → X
F : Set X
F_inv : MapsTo T F F
U : Set (X × X)
U_symm : SymmetricRel U
m n : ℕ
s : Finset X
h : IsDynCoverOf T F U m ↑s
x✝¹ : Nonempty X
s_nemp : s.Nonempty
x : X
x_F : x ∈ F
m_pos : m > 0
dyncover : (Fin n → { x // x ∈ s }) → X
h_dyncover :
  ∀ (t : Fin n → { x // x ∈ s }),
    ⋂ k, T^[m * ↑k] ⁻¹' ball (↑(t k)) (dynEntourage T U m) ⊆ ball (dyncover t) (dynEntourage T (U ○ U) (m * n))
sn : Set X := range dyncover
this : Fintype ↑(range dyncover)
x✝ : Nonempty { x // x ∈ s }
y : X
y_F : y ∈ F
t : Fin n → { x // x ∈ s }
ht : ∀ (k : Fin n), y ∈ T^[m * ↑k] ⁻¹' ball (↑(t k)) (dynEntourage T U m)
⊢ y ∈ ⋂ k, T^[m * ↑k] ⁻¹' ball (↑(t k)) (dynEntourage T U m)

Proof state:
case inr
X : Type u_1
T : X → X
F : Set X
F_inv : MapsTo T F F
U : Set (X × X)
U_symm : SymmetricRel U
m n : ℕ
s : Finset X
h : IsDynCoverOf T F U m ↑s
F_nemp : F.Nonempty
x✝ : Nonempty X
s_nemp : (↑s).Nonempty
⊢ ∃ t, IsDynCoverOf T F (U ○ U) (m * n) ↑t ∧ t.card ≤ s.card ^ n

Tactic:
rcases F_nemp with ⟨x, x_F⟩

Result:
case inr.intro
X : Type u_1
T : X → X
F : Set X
F_inv : MapsTo T F F
U : Set (X × X)
U_symm : SymmetricRel U
m n : ℕ
s : Finset X
h : IsDynCoverOf T F U m ↑s
x✝ : Nonempty X
s_nemp : (↑s).Nonempty
x : X
x_F : x ∈ F
⊢ ∃ t, IsDynCoverOf T F (U ○ U) (m * n) ↑t ∧ t.card ≤ s.card ^ n

Proof state:
case inl
X : Type u_1
T : X → X
F : Set X
F_inv : MapsTo T F F
U : Set (X × X)
U_symm : SymmetricRel U
m n : ℕ
s : Finset X
h : IsDynCoverOf T F U m ↑s
x✝ : Nonempty X
s_nemp : (↑s).Nonempty
x : X
x_F : x ∈ F
m_pos : m > 0
t : Fin n → { x // x ∈ s }
inter_empt : ⋂ k, T^[m * ↑k] ⁻¹' ball (↑(t k)) (dynEntourage T U m) = ∅
⊢ ∃ y, ⋂ k, T^[m * ↑k] ⁻¹' ball (↑(t k)) (dynEntourage T U m) ⊆ ball y (dynEntourage T (U ○ U) (m * n))

Tactic:
exact inter_empt ▸ ⟨x, empty_subset _⟩

Result:
no goals