-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
theorem unifIntegrable_fin (hp_one : 1 ≤ p) (hp_top : p ≠ ∞) {n : ℕ} {f : Fin n → α → β}
    (hf : ∀ i, MemLp (f i) p μ) : UnifIntegrable f p μ

Proof state:
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
n : ℕ
h : ∀ {f : Fin n → α → β}, (∀ (i : Fin n), MemLp (f i) p μ) → UnifIntegrable f p μ
f : Fin (n + 1) → α → β
hfLp : ∀ (i : Fin (n + 1)), MemLp (f i) p μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
g : Fin n → α → β := fun k => f ↑↑k
hgLp : ∀ (i : Fin n), MemLp (g i) p μ
δ₁ : ℝ
hδ₁pos : 0 < δ₁
hδ₁ :
  ∀ (i : Fin n) (s : Set α),
    MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ → eLpNorm (s.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
δ₂ : ℝ
hδ₂pos : 0 < δ₂
hδ₂ : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₂ → eLpNorm (s.indicator (f ↑n)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
i : Fin (n + 1)
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≤ ENNReal.ofReal (δ₁ ⊓ δ₂)
hi : ↑i < n
⊢ eLpNorm (s.indicator (g ⟨↑i, hi⟩)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε

Tactic:
exact hδ₁ _ s hs (le_trans hμs <| ENNReal.ofReal_le_ofReal <| min_le_left _ _)

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
n : ℕ
h : ∀ {f : Fin n → α → β}, (∀ (i : Fin n), MemLp (f i) p μ) → UnifIntegrable f p μ
f : Fin (n + 1) → α → β
hfLp : ∀ (i : Fin (n + 1)), MemLp (f i) p μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
g : Fin n → α → β := fun k => f ↑↑k
hgLp : ∀ (i : Fin n), MemLp (g i) p μ
δ₁ : ℝ
hδ₁pos : 0 < δ₁
hδ₁ :
  ∀ (i : Fin n) (s : Set α),
    MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ → eLpNorm (s.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
δ₂ : ℝ
hδ₂pos : 0 < δ₂
hδ₂ : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₂ → eLpNorm (s.indicator (f ↑n)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
i : Fin (n + 1)
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≤ ENNReal.ofReal (δ₁ ⊓ δ₂)
hi : ¬↑i < n
hi' : ↑i < n + 1
⊢ i = ↑n

Tactic:
rw [Nat.lt_succ_iff] at hi'

Result:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
n : ℕ
h : ∀ {f : Fin n → α → β}, (∀ (i : Fin n), MemLp (f i) p μ) → UnifIntegrable f p μ
f : Fin (n + 1) → α → β
hfLp : ∀ (i : Fin (n + 1)), MemLp (f i) p μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
g : Fin n → α → β := fun k => f ↑↑k
hgLp : ∀ (i : Fin n), MemLp (g i) p μ
δ₁ : ℝ
hδ₁pos : 0 < δ₁
hδ₁ :
  ∀ (i : Fin n) (s : Set α),
    MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ → eLpNorm (s.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
δ₂ : ℝ
hδ₂pos : 0 < δ₂
hδ₂ : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₂ → eLpNorm (s.indicator (f ↑n)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
i : Fin (n + 1)
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≤ ENNReal.ofReal (δ₁ ⊓ δ₂)
hi : ¬↑i < n
hi' : ↑i ≤ n
⊢ i = ↑n

Proof state:
case zero
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
⊢ ∀ {f : Fin 0 → α → β}, (∀ (i : Fin 0), MemLp (f i) p μ) → UnifIntegrable f p μ

Tactic:
intro f hf

Result:
case zero
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
f : Fin 0 → α → β
hf : ∀ (i : Fin 0), MemLp (f i) p μ
⊢ UnifIntegrable f p μ

Proof state:
case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
n : ℕ
h : ∀ {f : Fin n → α → β}, (∀ (i : Fin n), MemLp (f i) p μ) → UnifIntegrable f p μ
f : Fin (n + 1) → α → β
hfLp : ∀ (i : Fin (n + 1)), MemLp (f i) p μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
g : Fin n → α → β := fun k => f ↑↑k
hgLp : ∀ (i : Fin n), MemLp (g i) p μ
δ₁ : ℝ
hδ₁pos : 0 < δ₁
hδ₁ :
  ∀ (i : Fin n) (s : Set α),
    MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ → eLpNorm (s.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
δ₂ : ℝ
hδ₂pos : 0 < δ₂
hδ₂ : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₂ → eLpNorm (s.indicator (f ↑n)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
i : Fin (n + 1)
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≤ ENNReal.ofReal (δ₁ ⊓ δ₂)
hi : ¬↑i < n
⊢ eLpNorm (s.indicator (f ↑n)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε

Tactic:
exact hδ₂ _ hs (le_trans hμs <| ENNReal.ofReal_le_ofReal <| min_le_right _ _)

Result:
no goals

Proof state:
case succ.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
n : ℕ
h : ∀ {f : Fin n → α → β}, (∀ (i : Fin n), MemLp (f i) p μ) → UnifIntegrable f p μ
f : Fin (n + 1) → α → β
hfLp : ∀ (i : Fin (n + 1)), MemLp (f i) p μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
g : Fin n → α → β := fun k => f ↑↑k
hgLp : ∀ (i : Fin n), MemLp (g i) p μ
δ₁ : ℝ
hδ₁pos : 0 < δ₁
hδ₁ :
  ∀ (i : Fin n) (s : Set α),
    MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ → eLpNorm (s.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
⊢ ∃ δ,
    ∃ (_ : 0 < δ),
      ∀ (i : Fin (n + 1)) (s : Set α),
        MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε

Tactic:
obtain ⟨δ₂, hδ₂pos, hδ₂⟩ := (hfLp n).eLpNorm_indicator_le hp_one hp_top hε

Result:
case succ.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
n : ℕ
h : ∀ {f : Fin n → α → β}, (∀ (i : Fin n), MemLp (f i) p μ) → UnifIntegrable f p μ
f : Fin (n + 1) → α → β
hfLp : ∀ (i : Fin (n + 1)), MemLp (f i) p μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
g : Fin n → α → β := fun k => f ↑↑k
hgLp : ∀ (i : Fin n), MemLp (g i) p μ
δ₁ : ℝ
hδ₁pos : 0 < δ₁
hδ₁ :
  ∀ (i : Fin n) (s : Set α),
    MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ → eLpNorm (s.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
δ₂ : ℝ
hδ₂pos : 0 < δ₂
hδ₂ : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₂ → eLpNorm (s.indicator (f ↑n)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
⊢ ∃ δ,
    ∃ (_ : 0 < δ),
      ∀ (i : Fin (n + 1)) (s : Set α),
        MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε

Proof state:
case succ.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
n : ℕ
h : ∀ {f : Fin n → α → β}, (∀ (i : Fin n), MemLp (f i) p μ) → UnifIntegrable f p μ
f : Fin (n + 1) → α → β
hfLp : ∀ (i : Fin (n + 1)), MemLp (f i) p μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
g : Fin n → α → β := fun k => f ↑↑k
hgLp : ∀ (i : Fin n), MemLp (g i) p μ
δ₁ : ℝ
hδ₁pos : 0 < δ₁
hδ₁ :
  ∀ (i : Fin n) (s : Set α),
    MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ → eLpNorm (s.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
δ₂ : ℝ
hδ₂pos : 0 < δ₂
hδ₂ : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₂ → eLpNorm (s.indicator (f ↑n)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
⊢ ∃ δ,
    ∃ (_ : 0 < δ),
      ∀ (i : Fin (n + 1)) (s : Set α),
        MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε

Tactic:
refine ⟨min δ₁ δ₂, lt_min hδ₁pos hδ₂pos, fun i s hs hμs => ?_⟩

Result:
case succ.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
n : ℕ
h : ∀ {f : Fin n → α → β}, (∀ (i : Fin n), MemLp (f i) p μ) → UnifIntegrable f p μ
f : Fin (n + 1) → α → β
hfLp : ∀ (i : Fin (n + 1)), MemLp (f i) p μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
g : Fin n → α → β := fun k => f ↑↑k
hgLp : ∀ (i : Fin n), MemLp (g i) p μ
δ₁ : ℝ
hδ₁pos : 0 < δ₁
hδ₁ :
  ∀ (i : Fin n) (s : Set α),
    MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ → eLpNorm (s.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
δ₂ : ℝ
hδ₂pos : 0 < δ₂
hδ₂ : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₂ → eLpNorm (s.indicator (f ↑n)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
i : Fin (n + 1)
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≤ ENNReal.ofReal (δ₁ ⊓ δ₂)
⊢ eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε