-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/RootSystem.lean
lemma rootSpace_one_div_two_smul (hα : α.IsNonZero) : rootSpace H ((2⁻¹ : K) • α) = ⊥

Proof state:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
h : ¬rootSpace H (2⁻¹ • ⇑α) = ⊥
W : Weight K (↥H) L := { toFun := 2⁻¹ • ⇑α, genWeightSpace_ne_bot' := h }
hW : 2 • ⇑W = ⇑α
⊢ False

Tactic:
apply α.genWeightSpace_ne_bot

Result:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
h : ¬rootSpace H (2⁻¹ • ⇑α) = ⊥
W : Weight K (↥H) L := { toFun := 2⁻¹ • ⇑α, genWeightSpace_ne_bot' := h }
hW : 2 • ⇑W = ⇑α
⊢ genWeightSpace L ⇑α = ⊥

Proof state:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
h : ¬rootSpace H (2⁻¹ • ⇑α) = ⊥
⊢ False

Tactic:
let W : Weight K H L := ⟨_, h⟩

Result:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
h : ¬rootSpace H (2⁻¹ • ⇑α) = ⊥
W : Weight K (↥H) L := { toFun := 2⁻¹ • ⇑α, genWeightSpace_ne_bot' := h }
⊢ False

Proof state:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
h : ¬rootSpace H (2⁻¹ • ⇑α) = ⊥
W : Weight K (↥H) L := { toFun := 2⁻¹ • ⇑α, genWeightSpace_ne_bot' := h }
⊢ 2 • 2⁻¹ • ⇑α = ⇑α

Tactic:
rw [← Nat.cast_smul_eq_nsmul K, smul_smul]

Result:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
h : ¬rootSpace H (2⁻¹ • ⇑α) = ⊥
W : Weight K (↥H) L := { toFun := 2⁻¹ • ⇑α, genWeightSpace_ne_bot' := h }
⊢ (↑2 * 2⁻¹) • ⇑α = ⇑α

Proof state:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
h : ¬rootSpace H (2⁻¹ • ⇑α) = ⊥
W : Weight K (↥H) L := { toFun := 2⁻¹ • ⇑α, genWeightSpace_ne_bot' := h }
hW : 2 • ⇑W = ⇑α
e : 2 • ⇑W = 2 • 0
⊢ α.IsZero

Tactic:
simpa [hW] using e

Result:
no goals

Proof state:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
h : ¬rootSpace H (2⁻¹ • ⇑α) = ⊥
W : Weight K (↥H) L := { toFun := 2⁻¹ • ⇑α, genWeightSpace_ne_bot' := h }
⊢ False

Tactic:
have hW : 2 • (W : H → K) = α := by
  show 2 • (2⁻¹ : K) • (α : H → K) = α
  rw [← Nat.cast_smul_eq_nsmul K, smul_smul]; simp

Result:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
h : ¬rootSpace H (2⁻¹ • ⇑α) = ⊥
W : Weight K (↥H) L := { toFun := 2⁻¹ • ⇑α, genWeightSpace_ne_bot' := h }
hW : 2 • ⇑W = ⇑α
⊢ False

Proof state:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
h : ¬rootSpace H (2⁻¹ • ⇑α) = ⊥
W : Weight K (↥H) L := { toFun := 2⁻¹ • ⇑α, genWeightSpace_ne_bot' := h }
⊢ 2 • ⇑W = ⇑α

Tactic:
show 2 • (2⁻¹ : K) • (α : H → K) = α

Result:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
h : ¬rootSpace H (2⁻¹ • ⇑α) = ⊥
W : Weight K (↥H) L := { toFun := 2⁻¹ • ⇑α, genWeightSpace_ne_bot' := h }
⊢ 2 • 2⁻¹ • ⇑α = ⇑α

Proof state:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
h : ¬rootSpace H (2⁻¹ • ⇑α) = ⊥
W : Weight K (↥H) L := { toFun := 2⁻¹ • ⇑α, genWeightSpace_ne_bot' := h }
hW : 2 • ⇑W = ⇑α
this : rootSpace H (2 • ⇑W) = ⊥
⊢ genWeightSpace L ⇑α = ⊥

Tactic:
rwa [hW] at this

Result:
no goals

Proof state:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
h : ¬rootSpace H (2⁻¹ • ⇑α) = ⊥
W : Weight K (↥H) L := { toFun := 2⁻¹ • ⇑α, genWeightSpace_ne_bot' := h }
⊢ (↑2 * 2⁻¹) • ⇑α = ⇑α

Tactic:
simp

Result:
no goals

Proof state:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
⊢ rootSpace H (2⁻¹ • ⇑α) = ⊥

Tactic:
by_contra h

Result:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁷ : Field K
inst✝⁶ : CharZero K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : IsKilling K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsTriangularizable K (↥H) L
α : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
h : ¬rootSpace H (2⁻¹ • ⇑α) = ⊥
⊢ False