-- Mathlib/Algebra/Module/FinitePresentation.lean
lemma Module.finitePresentation_of_ker [Module.FinitePresentation R N]
    (l : M →ₗ[R] N) (hl : Function.Surjective l) [Module.FinitePresentation R (LinearMap.ker l)] :
    Module.FinitePresentation R M

Proof state:
case hs2
R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : FinitePresentation R N
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
inst✝ : FinitePresentation R ↥(LinearMap.ker l)
⊢ (⊤ ⊓ LinearMap.ker l).FG

Tactic:
rw [top_inf_eq, ← Submodule.fg_top]

Result:
case hs2
R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : FinitePresentation R N
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
inst✝ : FinitePresentation R ↥(LinearMap.ker l)
⊢ ⊤.FG

Proof state:
R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : FinitePresentation R N
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
inst✝ : FinitePresentation R ↥(LinearMap.ker l)
⊢ ⊤.FG

Tactic:
apply Submodule.fg_of_fg_map_of_fg_inf_ker l

Result:
case hs1
R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : FinitePresentation R N
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
inst✝ : FinitePresentation R ↥(LinearMap.ker l)
⊢ (Submodule.map l ⊤).FG

case hs2
R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : FinitePresentation R N
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
inst✝ : FinitePresentation R ↥(LinearMap.ker l)
⊢ (⊤ ⊓ LinearMap.ker l).FG

Proof state:
case intro
R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : FinitePresentation R N
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
inst✝ : FinitePresentation R ↥(LinearMap.ker l)
s : Finset M
hs : Submodule.span R ↑s = ⊤
π : ({ x // x ∈ s } →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R Subtype.val
H : Function.Surjective ⇑π
⊢ (LinearMap.ker (linearCombination R Subtype.val)).FG

Tactic:
have inst : Module.Finite R (LinearMap.ker (l ∘ₗ π)) := by
  constructor
  rw [Submodule.fg_top]; exact Module.FinitePresentation.fg_ker _ (hl.comp H)

Result:
case intro
R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : FinitePresentation R N
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
inst✝ : FinitePresentation R ↥(LinearMap.ker l)
s : Finset M
hs : Submodule.span R ↑s = ⊤
π : ({ x // x ∈ s } →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R Subtype.val
H : Function.Surjective ⇑π
inst : Module.Finite R ↥(LinearMap.ker (l ∘ₗ π))
⊢ (LinearMap.ker (linearCombination R Subtype.val)).FG

Proof state:
R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : FinitePresentation R N
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
inst✝ : FinitePresentation R ↥(LinearMap.ker l)
s : Finset M
hs : Submodule.span R ↑s = ⊤
π : ({ x // x ∈ s } →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R Subtype.val
H : Function.Surjective ⇑π
⊢ Module.Finite R ↥(LinearMap.ker (l ∘ₗ π))

Tactic:
constructor

Result:
case fg_top
R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : FinitePresentation R N
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
inst✝ : FinitePresentation R ↥(LinearMap.ker l)
s : Finset M
hs : Submodule.span R ↑s = ⊤
π : ({ x // x ∈ s } →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R Subtype.val
H : Function.Surjective ⇑π
⊢ ⊤.FG

Proof state:
case intro
R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : FinitePresentation R N
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
inst✝ : FinitePresentation R ↥(LinearMap.ker l)
s : Finset M
hs : Submodule.span R ↑s = ⊤
π : ({ x // x ∈ s } →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R Subtype.val
H : Function.Surjective ⇑π
inst : Module.Finite R ↥(LinearMap.ker (l ∘ₗ π))
this✝ : AddCommGroup ↥(LinearMap.ker (l ∘ₗ π)) := inferInstance
f : ↥(LinearMap.ker (l ∘ₗ π)) →ₗ[R] ↥(LinearMap.ker l) := π.restrict ⋯
e : π ∘ₗ (LinearMap.ker (l ∘ₗ π)).subtype = (LinearMap.ker l).subtype ∘ₗ f
hf : Function.Surjective ⇑f
this : LinearMap.ker π ≤ LinearMap.ker (l ∘ₗ π)
⊢ (LinearMap.ker π).FG

Tactic:
rw [← inf_eq_right.mpr this, ← Submodule.range_subtype (LinearMap.ker _),
  ← Submodule.map_comap_eq, ← LinearMap.ker_comp, e, LinearMap.ker_comp f,
  LinearMap.ker_eq_bot.mpr (Submodule.injective_subtype (LinearMap.ker l)), Submodule.comap_bot]

Result:
case intro
R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : FinitePresentation R N
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
inst✝ : FinitePresentation R ↥(LinearMap.ker l)
s : Finset M
hs : Submodule.span R ↑s = ⊤
π : ({ x // x ∈ s } →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R Subtype.val
H : Function.Surjective ⇑π
inst : Module.Finite R ↥(LinearMap.ker (l ∘ₗ π))
this✝ : AddCommGroup ↥(LinearMap.ker (l ∘ₗ π)) := inferInstance
f : ↥(LinearMap.ker (l ∘ₗ π)) →ₗ[R] ↥(LinearMap.ker l) := π.restrict ⋯
e : π ∘ₗ (LinearMap.ker (l ∘ₗ π)).subtype = (LinearMap.ker l).subtype ∘ₗ f
hf : Function.Surjective ⇑f
this : LinearMap.ker π ≤ LinearMap.ker (l ∘ₗ π)
⊢ (Submodule.map (LinearMap.ker (l ∘ₗ π)).subtype (LinearMap.ker f)).FG

Proof state:
case intro
R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : FinitePresentation R N
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
inst✝ : FinitePresentation R ↥(LinearMap.ker l)
s : Finset M
hs : Submodule.span R ↑s = ⊤
⊢ FinitePresentation R M

Tactic:
refine ⟨s, hs, ?_⟩

Result:
case intro
R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : FinitePresentation R N
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
inst✝ : FinitePresentation R ↥(LinearMap.ker l)
s : Finset M
hs : Submodule.span R ↑s = ⊤
⊢ (LinearMap.ker (linearCombination R Subtype.val)).FG

Proof state:
case fg_top
R : Type u_1
M : Type u_3
N : Type u_2
inst✝⁶ : Ring R
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : FinitePresentation R N
l : M →ₗ[R] N
hl : Function.Surjective ⇑l
inst✝ : FinitePresentation R ↥(LinearMap.ker l)
s : Finset M
hs : Submodule.span R ↑s = ⊤
π : ({ x // x ∈ s } →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R Subtype.val
H : Function.Surjective ⇑π
⊢ (LinearMap.ker (l ∘ₗ π)).FG

Tactic:
exact Module.FinitePresentation.fg_ker _ (hl.comp H)

Result:
no goals