-- Mathlib/RingTheory/DiscreteValuationRing/Basic.lean
theorem aux_pid_of_ufd_of_unique_irreducible (R : Type u) [CommRing R] [IsDomain R]
    [UniqueFactorizationMonoid R] (h₁ : ∃ p : R, Irreducible p)
    (h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q) :
    IsPrincipalIdealRing R

Proof state:
case h
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
I : Ideal R
I0 : I = ⊥
⊢ ⊥ = Submodule.span R {0}

Tactic:
simp only [Set.singleton_zero, Submodule.span_zero]

Result:
no goals

Proof state:
case h.a
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
I : Ideal R
I0 : ¬I = ⊥
x : R
hxI : x ∈ I
hx0 : x ≠ 0
p : R
left✝ : Irreducible p
H : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (p ^ n) x
ex : ∃ n, p ^ n ∈ I
⊢ I ≤ span {p ^ Nat.find ex}

Tactic:
intro r hr

Result:
case h.a
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
I : Ideal R
I0 : ¬I = ⊥
x : R
hxI : x ∈ I
hx0 : x ≠ 0
p : R
left✝ : Irreducible p
H : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (p ^ n) x
ex : ∃ n, p ^ n ∈ I
r : R
hr : r ∈ I
⊢ r ∈ span {p ^ Nat.find ex}

Proof state:
case h.a
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
I : Ideal R
I0 : ¬I = ⊥
x : R
hxI : x ∈ I
hx0 : x ≠ 0
p : R
left✝ : Irreducible p
H : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (p ^ n) x
ex : ∃ n, p ^ n ∈ I
⊢ span {p ^ Nat.find ex} ≤ I

Tactic:
erw [Submodule.span_singleton_le_iff_mem]

Result:
case h.a
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
I : Ideal R
I0 : ¬I = ⊥
x : R
hxI : x ∈ I
hx0 : x ≠ 0
p : R
left✝ : Irreducible p
H : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (p ^ n) x
ex : ∃ n, p ^ n ∈ I
⊢ p ^ Nat.find ex ∈ I

Proof state:
case intro.intro
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
I : Ideal R
I0 : ¬I = ⊥
p : R
left✝ : Irreducible p
H : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (p ^ n) x
n : ℕ
u : Rˣ
hxI : p ^ n * ↑u ∈ I
hx0 : p ^ n * ↑u ≠ 0
⊢ ∃ n, p ^ n ∈ I

Tactic:
refine ⟨n, ?_⟩

Result:
case intro.intro
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
I : Ideal R
I0 : ¬I = ⊥
p : R
left✝ : Irreducible p
H : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (p ^ n) x
n : ℕ
u : Rˣ
hxI : p ^ n * ↑u ∈ I
hx0 : p ^ n * ↑u ≠ 0
⊢ p ^ n ∈ I

Proof state:
case neg
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
I : Ideal R
I0 : ¬I = ⊥
⊢ Submodule.IsPrincipal I

Tactic:
obtain ⟨x, hxI, hx0⟩ : ∃ x ∈ I, x ≠ (0 : R) := I.ne_bot_iff.mp I0

Result:
case neg.intro.intro
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
I : Ideal R
I0 : ¬I = ⊥
x : R
hxI : x ∈ I
hx0 : x ≠ 0
⊢ Submodule.IsPrincipal I

Proof state:
case pos
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
I : Ideal R
I0 : I = ⊥
⊢ Submodule.IsPrincipal ⊥

Tactic:
use 0

Result:
case h
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
I : Ideal R
I0 : I = ⊥
⊢ ⊥ = Submodule.span R {0}

Proof state:
case intro.intro
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
I : Ideal R
I0 : ¬I = ⊥
p : R
left✝ : Irreducible p
H : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (p ^ n) x
n : ℕ
u : Rˣ
hxI : p ^ n * ↑u ∈ I
hx0 : p ^ n * ↑u ≠ 0
⊢ p ^ n ∈ I

Tactic:
simpa only [Units.mul_inv_cancel_right] using I.mul_mem_right (↑u⁻¹) hxI

Result:
no goals

Proof state:
case neg
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
I : Ideal R
I0 : ¬I = ⊥
x : R
hxI : x ∈ I
hx0 : x ≠ 0
p : R
left✝ : Irreducible p
H : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (p ^ n) x
ex : ∃ n, p ^ n ∈ I
r : R
hr : r ∈ I
hr0 : ¬r = 0
⊢ r ∈ span {p ^ Nat.find ex}

Tactic:
obtain ⟨n, u, rfl⟩ := H hr0

Result:
case neg.intro.intro
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
I : Ideal R
I0 : ¬I = ⊥
x : R
hxI : x ∈ I
hx0 : x ≠ 0
p : R
left✝ : Irreducible p
H : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (p ^ n) x
ex : ∃ n, p ^ n ∈ I
n : ℕ
u : Rˣ
hr : p ^ n * ↑u ∈ I
hr0 : ¬p ^ n * ↑u = 0
⊢ p ^ n * ↑u ∈ span {p ^ Nat.find ex}

Proof state:
case h
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
I : Ideal R
I0 : ¬I = ⊥
x : R
hxI : x ∈ I
hx0 : x ≠ 0
p : R
left✝ : Irreducible p
H : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (p ^ n) x
ex : ∃ n, p ^ n ∈ I
⊢ I = span {p ^ Nat.find ex}

Tactic:
apply le_antisymm

Result:
case h.a
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
I : Ideal R
I0 : ¬I = ⊥
x : R
hxI : x ∈ I
hx0 : x ≠ 0
p : R
left✝ : Irreducible p
H : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (p ^ n) x
ex : ∃ n, p ^ n ∈ I
⊢ I ≤ span {p ^ Nat.find ex}

case h.a
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
I : Ideal R
I0 : ¬I = ⊥
x : R
hxI : x ∈ I
hx0 : x ≠ 0
p : R
left✝ : Irreducible p
H : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (p ^ n) x
ex : ∃ n, p ^ n ∈ I
⊢ span {p ^ Nat.find ex} ≤ I

Proof state:
case neg.intro.intro.h
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
I : Ideal R
I0 : ¬I = ⊥
x : R
hxI : x ∈ I
hx0 : x ≠ 0
p : R
left✝ : Irreducible p
H : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (p ^ n) x
ex : ∃ n, p ^ n ∈ I
n : ℕ
u : Rˣ
hr : p ^ n * ↑u ∈ I
hr0 : ¬p ^ n * ↑u = 0
⊢ Nat.find ex ≤ n

Tactic:
apply Nat.find_min'

Result:
case neg.intro.intro.h.h
R : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R
h₁ : ∃ p, Irreducible p
h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q
I : Ideal R
I0 : ¬I = ⊥
x : R
hxI : x ∈ I
hx0 : x ≠ 0
p : R
left✝ : Irreducible p
H : ∀ {x : R}, x ≠ 0 → ∃ n, Associated (p ^ n) x
ex : ∃ n, p ^ n ∈ I
n : ℕ
u : Rˣ
hr : p ^ n * ↑u ∈ I
hr0 : ¬p ^ n * ↑u = 0
⊢ p ^ n ∈ I