-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
theorem eLpNorm_one_le_of_le {r : ℝ≥0} (hfint : Integrable f μ) (hfint' : 0 ≤ ∫ x, f x ∂μ)
    (hf : ∀ᵐ ω ∂μ, f ω ≤ r) : eLpNorm f 1 μ ≤ 2 * μ Set.univ * r

Proof state:
case pos
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
r : ℝ≥0
hfint : Integrable f μ
hfint' : 0 ≤ ∫ (x : α), f x ∂μ
hf : ∀ᵐ (ω : α) ∂μ, f ω ≤ ↑r
hr : r = 0
⊢ eLpNorm f 1 μ ≤ 2 * μ univ * ↑r

Tactic:
suffices f =ᵐ[μ] 0 by
  rw [eLpNorm_congr_ae this, eLpNorm_zero, hr, ENNReal.coe_zero, mul_zero]

Result:
case pos
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
r : ℝ≥0
hfint : Integrable f μ
hfint' : 0 ≤ ∫ (x : α), f x ∂μ
hf : ∀ᵐ (ω : α) ∂μ, f ω ≤ ↑r
hr : r = 0
⊢ f =ᶠ[ae μ] 0

Proof state:
case pos
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
r : ℝ≥0
hfint : Integrable f μ
hfint' : ∫ (a : α), ↑(-f a).toNNReal ∂μ ≤ ∫ (a : α), ↑(f a).toNNReal ∂μ
hf : ∀ᵐ (ω : α) ∂μ, f ω ≤ ↑r
hr : ¬r = 0
hμ this : IsFiniteMeasure μ
hposbdd : ∫ (ω : α), f ω ⊔ 0 ∂μ ≤ (μ univ).toReal • ↑r
⊢ (∫ (a : α), ‖f a‖ ^ ENNReal.toReal 1 ∂μ) ^ (ENNReal.toReal 1)⁻¹ ≤ (2 * μ univ * ↑r).toReal

Tactic:
simp_rw [ENNReal.one_toReal, _root_.inv_one, Real.rpow_one, Real.norm_eq_abs, ←
  max_zero_add_max_neg_zero_eq_abs_self, ← Real.coe_toNNReal']

Result:
case pos
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
r : ℝ≥0
hfint : Integrable f μ
hfint' : ∫ (a : α), ↑(-f a).toNNReal ∂μ ≤ ∫ (a : α), ↑(f a).toNNReal ∂μ
hf : ∀ᵐ (ω : α) ∂μ, f ω ≤ ↑r
hr : ¬r = 0
hμ this : IsFiniteMeasure μ
hposbdd : ∫ (ω : α), f ω ⊔ 0 ∂μ ≤ (μ univ).toReal • ↑r
⊢ ∫ (a : α), ↑(f a).toNNReal + ↑(-f a).toNNReal ∂μ ≤ (2 * μ univ * ↑r).toReal

Proof state:
case neg
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
r : ℝ≥0
hfint : Integrable f μ
hfint' : 0 ≤ ∫ (x : α), f x ∂μ
hf : ∀ᵐ (ω : α) ∂μ, f ω ≤ ↑r
hr : ¬r = 0
⊢ eLpNorm f 1 μ ≤ 2 * μ univ * ↑r

Tactic:
by_cases hμ : IsFiniteMeasure μ

Result:
case pos
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
r : ℝ≥0
hfint : Integrable f μ
hfint' : 0 ≤ ∫ (x : α), f x ∂μ
hf : ∀ᵐ (ω : α) ∂μ, f ω ≤ ↑r
hr : ¬r = 0
hμ : IsFiniteMeasure μ
⊢ eLpNorm f 1 μ ≤ 2 * μ univ * ↑r

case neg
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
r : ℝ≥0
hfint : Integrable f μ
hfint' : 0 ≤ ∫ (x : α), f x ∂μ
hf : ∀ᵐ (ω : α) ∂μ, f ω ≤ ↑r
hr : ¬r = 0
hμ : ¬IsFiniteMeasure μ
⊢ eLpNorm f 1 μ ≤ 2 * μ univ * ↑r

Proof state:
case pos
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
r : ℝ≥0
hfint : Integrable f μ
hfint' : 0 ≤ ∫ (x : α), f x ∂μ
hf : ∀ᵐ (ω : α) ∂μ, f ω ≤ ↑r
hr : ¬r = 0
hμ : IsFiniteMeasure μ
⊢ eLpNorm f 1 μ ≤ 2 * μ univ * ↑r

case neg
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
r : ℝ≥0
hfint : Integrable f μ
hfint' : 0 ≤ ∫ (x : α), f x ∂μ
hf : ∀ᵐ (ω : α) ∂μ, f ω ≤ ↑r
hr : ¬r = 0
hμ : ¬IsFiniteMeasure μ
⊢ eLpNorm f 1 μ ≤ 2 * μ univ * ↑r

Tactic:
swap

Result:
case neg
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
r : ℝ≥0
hfint : Integrable f μ
hfint' : 0 ≤ ∫ (x : α), f x ∂μ
hf : ∀ᵐ (ω : α) ∂μ, f ω ≤ ↑r
hr : ¬r = 0
hμ : ¬IsFiniteMeasure μ
⊢ eLpNorm f 1 μ ≤ 2 * μ univ * ↑r

case pos
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
r : ℝ≥0
hfint : Integrable f μ
hfint' : 0 ≤ ∫ (x : α), f x ∂μ
hf : ∀ᵐ (ω : α) ∂μ, f ω ≤ ↑r
hr : ¬r = 0
hμ : IsFiniteMeasure μ
⊢ eLpNorm f 1 μ ≤ 2 * μ univ * ↑r

Proof state:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
r : ℝ≥0
hfint : Integrable f μ
hfint' : ∫ (a : α), ↑(-f a).toNNReal ∂μ ≤ ∫ (a : α), ↑(f a).toNNReal ∂μ
hf : ∀ᵐ (ω : α) ∂μ, f ω ≤ ↑r
hr : ¬r = 0
hμ this : IsFiniteMeasure μ
⊢ ∫ (ω : α), f ω ⊔ 0 ∂μ ≤ ∫ (x : α), ↑r ∂μ

Tactic:
refine integral_mono_ae hfint.real_toNNReal (integrable_const (r : ℝ)) ?_

Result:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
r : ℝ≥0
hfint : Integrable f μ
hfint' : ∫ (a : α), ↑(-f a).toNNReal ∂μ ≤ ∫ (a : α), ↑(f a).toNNReal ∂μ
hf : ∀ᵐ (ω : α) ∂μ, f ω ≤ ↑r
hr : ¬r = 0
hμ this : IsFiniteMeasure μ
⊢ (fun ω => f ω ⊔ 0) ≤ᶠ[ae μ] fun x => ↑r

Proof state:
case pos
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
r : ℝ≥0
hfint : Integrable f μ
hfint' : ∫ (a : α), ↑(-f a).toNNReal ∂μ ≤ ∫ (a : α), ↑(f a).toNNReal ∂μ
hf : ∀ᵐ (ω : α) ∂μ, f ω ≤ ↑r
hr : ¬r = 0
hμ this : IsFiniteMeasure μ
⊢ eLpNorm f 1 μ ≤ 2 * μ univ * ↑r

Tactic:
have hposbdd : ∫ ω, max (f ω) 0 ∂μ ≤ (μ Set.univ).toReal • (r : ℝ) := by
  rw [← integral_const]
  refine integral_mono_ae hfint.real_toNNReal (integrable_const (r : ℝ)) ?_
  filter_upwards [hf] with ω hω using Real.toNNReal_le_iff_le_coe.2 hω

Result:
case pos
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
r : ℝ≥0
hfint : Integrable f μ
hfint' : ∫ (a : α), ↑(-f a).toNNReal ∂μ ≤ ∫ (a : α), ↑(f a).toNNReal ∂μ
hf : ∀ᵐ (ω : α) ∂μ, f ω ≤ ↑r
hr : ¬r = 0
hμ this : IsFiniteMeasure μ
hposbdd : ∫ (ω : α), f ω ⊔ 0 ∂μ ≤ (μ univ).toReal • ↑r
⊢ eLpNorm f 1 μ ≤ 2 * μ univ * ↑r

Proof state:
case h
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
r : ℝ≥0
hfint : Integrable f μ
hfint' : 0 ≤ ∫ (x : α), f x ∂μ
hr : r = 0
hf : ∀ᵐ (ω : α) ∂μ, f ω ≤ 0
hnegf : ∫ (x : α), -f x ∂μ = 0
this : -f =ᶠ[ae μ] 0
ω : α
hω : (-f) ω = 0 ω
⊢ f ω = 0 ω

Tactic:
rwa [Pi.neg_apply, Pi.zero_apply, neg_eq_zero] at hω

Result:
no goals

Proof state:
case pos
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
r : ℝ≥0
hfint : Integrable f μ
hfint' : ∫ (a : α), -f a ⊔ 0 ∂μ ≤ ∫ (a : α), f a ⊔ 0 ∂μ
hf : ∀ᵐ (ω : α) ∂μ, f ω ≤ ↑r
hr : ¬r = 0
hμ this : IsFiniteMeasure μ
hposbdd : ∫ (ω : α), f ω ⊔ 0 ∂μ ≤ (μ univ).toReal • ↑r
⊢ ∫ (a : α), f a ⊔ 0 ∂μ + ∫ (a : α), -f a ⊔ 0 ∂μ ≤ 2 * (μ univ).toReal * ↑r

Tactic:
refine (add_le_add_left hfint' _).trans ?_

Result:
case pos
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
r : ℝ≥0
hfint : Integrable f μ
hfint' : ∫ (a : α), -f a ⊔ 0 ∂μ ≤ ∫ (a : α), f a ⊔ 0 ∂μ
hf : ∀ᵐ (ω : α) ∂μ, f ω ≤ ↑r
hr : ¬r = 0
hμ this : IsFiniteMeasure μ
hposbdd : ∫ (ω : α), f ω ⊔ 0 ∂μ ≤ (μ univ).toReal • ↑r
⊢ ∫ (a : α), f a ⊔ 0 ∂μ + ∫ (a : α), f a ⊔ 0 ∂μ ≤ 2 * (μ univ).toReal * ↑r

Proof state:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
r : ℝ≥0
hfint : Integrable f μ
hfint' : ∫ (a : α), ↑(-f a).toNNReal ∂μ ≤ ∫ (a : α), ↑(f a).toNNReal ∂μ
hf : ∀ᵐ (ω : α) ∂μ, f ω ≤ ↑r
hr : ¬r = 0
hμ this : IsFiniteMeasure μ
⊢ ∫ (ω : α), f ω ⊔ 0 ∂μ ≤ (μ univ).toReal • ↑r

Tactic:
rw [← integral_const]

Result:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
r : ℝ≥0
hfint : Integrable f μ
hfint' : ∫ (a : α), ↑(-f a).toNNReal ∂μ ≤ ∫ (a : α), ↑(f a).toNNReal ∂μ
hf : ∀ᵐ (ω : α) ∂μ, f ω ≤ ↑r
hr : ¬r = 0
hμ this : IsFiniteMeasure μ
⊢ ∫ (ω : α), f ω ⊔ 0 ∂μ ≤ ∫ (x : α), ↑r ∂μ

Proof state:
case pos
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
r : ℝ≥0
hfint : Integrable f μ
hfint' : 0 ≤ ∫ (x : α), f x ∂μ
hf : ∀ᵐ (ω : α) ∂μ, f ω ≤ ↑r
hr : ¬r = 0
hμ : IsFiniteMeasure μ
⊢ eLpNorm f 1 μ ≤ 2 * μ univ * ↑r

Tactic:
haveI := hμ

Result:
case pos
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
r : ℝ≥0
hfint : Integrable f μ
hfint' : 0 ≤ ∫ (x : α), f x ∂μ
hf : ∀ᵐ (ω : α) ∂μ, f ω ≤ ↑r
hr : ¬r = 0
hμ this : IsFiniteMeasure μ
⊢ eLpNorm f 1 μ ≤ 2 * μ univ * ↑r

Proof state:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
r : ℝ≥0
hfint : Integrable f μ
hfint' : 0 ≤ ∫ (x : α), f x ∂μ
hf : ∀ᵐ (ω : α) ∂μ, f ω ≤ ↑r
hr : r = 0
this : f =ᶠ[ae μ] 0
⊢ eLpNorm f 1 μ ≤ 2 * μ univ * ↑r

Tactic:
rw [eLpNorm_congr_ae this, eLpNorm_zero, hr, ENNReal.coe_zero, mul_zero]

Result:
no goals

Proof state:
case pos
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
r : ℝ≥0
hfint : Integrable f μ
hfint' : 0 ≤ ∫ (x : α), f x ∂μ
hf : ∀ᵐ (ω : α) ∂μ, f ω ≤ ↑0
hr : r = 0
⊢ f =ᶠ[ae μ] 0

Tactic:
norm_cast at hf

Result:
case pos
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
f : α → ℝ
r : ℝ≥0
hfint : Integrable f μ
hfint' : 0 ≤ ∫ (x : α), f x ∂μ
hr : r = 0
hf : ∀ᵐ (ω : α) ∂μ, f ω ≤ 0
⊢ f =ᶠ[ae μ] 0