-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorField.lean
lemma _root_.MDifferentiableWithinAt.mpullbackWithin_vectorField_inter_of_eq
    (hV : MDifferentiableWithinAt I' I'.tangent
      (fun (y : M') ↦ (V y : TangentBundle I' M')) t y₀)
    (hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x₀) (hf' : (mfderivWithin I I' f s x₀).IsInvertible)
    (hx₀ : x₀ ∈ s) (hs : UniqueMDiffOn I s) (hmn : 2 ≤ n) (h : y₀ = f x₀) :
    MDifferentiableWithinAt I I.tangent
      (fun (y : M) ↦ (mpullbackWithin I I' f V s y : TangentBundle I M)) (s ∩ f⁻¹' t) x₀

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x₀ : M
V : (x : M') → TangentSpace I' x
n : WithTop ℕ∞
t : Set M'
y₀ : M'
inst✝² : IsManifold I 2 M
inst✝¹ : IsManifold I' 2 M'
inst✝ : CompleteSpace E
hV : MDifferentiableWithinAt I' I'.tangent (fun y => { proj := y, snd := V y }) t y₀
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x₀
hf' : (mfderivWithin I I' f s x₀).IsInvertible
hx₀ : x₀ ∈ s
hs : UniqueMDiffOn I s
hmn : 2 ≤ n
h : y₀ = f x₀
⊢ MDifferentiableWithinAt I I.tangent (fun y => { proj := y, snd := mpullbackWithin I I' f V s y }) (s ∩ f ⁻¹' t) x₀

Tactic:
subst h

Result:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x₀ : M
V : (x : M') → TangentSpace I' x
n : WithTop ℕ∞
t : Set M'
inst✝² : IsManifold I 2 M
inst✝¹ : IsManifold I' 2 M'
inst✝ : CompleteSpace E
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x₀
hf' : (mfderivWithin I I' f s x₀).IsInvertible
hx₀ : x₀ ∈ s
hs : UniqueMDiffOn I s
hmn : 2 ≤ n
hV : MDifferentiableWithinAt I' I'.tangent (fun y => { proj := y, snd := V y }) t (f x₀)
⊢ MDifferentiableWithinAt I I.tangent (fun y => { proj := y, snd := mpullbackWithin I I' f V s y }) (s ∩ f ⁻¹' t) x₀

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x₀ : M
V : (x : M') → TangentSpace I' x
n : WithTop ℕ∞
t : Set M'
inst✝² : IsManifold I 2 M
inst✝¹ : IsManifold I' 2 M'
inst✝ : CompleteSpace E
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f s x₀
hf' : (mfderivWithin I I' f s x₀).IsInvertible
hx₀ : x₀ ∈ s
hs : UniqueMDiffOn I s
hmn : 2 ≤ n
hV : MDifferentiableWithinAt I' I'.tangent (fun y => { proj := y, snd := V y }) t (f x₀)
⊢ MDifferentiableWithinAt I I.tangent (fun y => { proj := y, snd := mpullbackWithin I I' f V s y }) (s ∩ f ⁻¹' t) x₀

Tactic:
exact hV.mpullbackWithin_vectorField_inter hf hf' hx₀ hs hmn

Result:
no goals