-- Mathlib/Combinatorics/SetFamily/Compression/UV.lean
theorem shadow_compression_subset_compression_shadow (u v : Finset α)
    (huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ v, IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜) :
    ∂ (𝓒 u v 𝒜) ⊆ 𝓒 u v (∂ 𝒜)

Proof state:
case intro.intro
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u v : Finset α
huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ v, IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜
𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜
s : Finset α
hs𝒜' : s ∈ ∂ 𝒜'
hs𝒜 : s ∉ ∂ 𝒜
m : ∀ y ∉ s, insert y s ∉ 𝒜
x : α
left✝ : x ∉ s
right✝ : insert x s ∈ 𝒜'
hus : u ⊆ insert x s
hvs : Disjoint v (insert x s)
this : (insert x s ∪ v) \ u ∈ 𝒜
hsv : Disjoint s v
hvu : Disjoint v u
⊢ u ⊆ s ∧ Disjoint v s ∧ (s ∪ v) \ u ∈ ∂ 𝒜 ∧ (s ∪ v) \ u ∉ ∂ 𝒜'

Tactic:
have hxv : x ∉ v := disjoint_right.1 hvs (mem_insert_self _ _)

Result:
case intro.intro
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u v : Finset α
huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ v, IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜
𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜
s : Finset α
hs𝒜' : s ∈ ∂ 𝒜'
hs𝒜 : s ∉ ∂ 𝒜
m : ∀ y ∉ s, insert y s ∉ 𝒜
x : α
left✝ : x ∉ s
right✝ : insert x s ∈ 𝒜'
hus : u ⊆ insert x s
hvs : Disjoint v (insert x s)
this : (insert x s ∪ v) \ u ∈ 𝒜
hsv : Disjoint s v
hvu : Disjoint v u
hxv : x ∉ v
⊢ u ⊆ s ∧ Disjoint v s ∧ (s ∪ v) \ u ∈ ∂ 𝒜 ∧ (s ∪ v) \ u ∉ ∂ 𝒜'

Proof state:
case pos.intro.intro
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u v : Finset α
huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ v, IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜
𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜
H : ∀ s ∈ ∂ 𝒜', s ∉ ∂ 𝒜 → u ⊆ s ∧ Disjoint v s ∧ (s ∪ v) \ u ∈ ∂ 𝒜 ∧ (s ∪ v) \ u ∉ ∂ 𝒜'
t : Finset α
Ht : t ∈ 𝒜'
a : α
hat : a ∈ t
hs : t.erase a ∈ ∂ 𝒜
huvs : Disjoint u (t.erase a) ∧ v ≤ t.erase a
hav : a ∉ v
hvt : v ≤ t
hau : a ∈ u
b : α
ht : t ∈ 𝓒 (u.erase a) (v.erase b) 𝒜
hbv : b ∈ v
Hcomp : IsCompressed (u.erase a) (v.erase b) 𝒜
⊢ insert b ((t.erase a ⊔ u) \ v) ∈ 𝒜

Tactic:
have hsb :=
  sup_sdiff_mem_of_mem_compression ht ((erase_subset _ _).trans hvt)
    (disjoint_erase_comm.2 huvs.1)

Result:
case pos.intro.intro
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u v : Finset α
huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ v, IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜
𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜
H : ∀ s ∈ ∂ 𝒜', s ∉ ∂ 𝒜 → u ⊆ s ∧ Disjoint v s ∧ (s ∪ v) \ u ∈ ∂ 𝒜 ∧ (s ∪ v) \ u ∉ ∂ 𝒜'
t : Finset α
Ht : t ∈ 𝒜'
a : α
hat : a ∈ t
hs : t.erase a ∈ ∂ 𝒜
huvs : Disjoint u (t.erase a) ∧ v ≤ t.erase a
hav : a ∉ v
hvt : v ≤ t
hau : a ∈ u
b : α
ht : t ∈ 𝓒 (u.erase a) (v.erase b) 𝒜
hbv : b ∈ v
Hcomp : IsCompressed (u.erase a) (v.erase b) 𝒜
hsb : (t ⊔ u.erase a) \ v.erase b ∈ 𝒜
⊢ insert b ((t.erase a ⊔ u) \ v) ∈ 𝒜

Proof state:
case pos
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u v : Finset α
huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ v, IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜
𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜
H : ∀ s ∈ ∂ 𝒜', s ∉ ∂ 𝒜 → u ⊆ s ∧ Disjoint v s ∧ (s ∪ v) \ u ∈ ∂ 𝒜 ∧ (s ∪ v) \ u ∉ ∂ 𝒜'
s : Finset α
hs' : s ∈ ∂ 𝒜'
hs : s ∈ ∂ 𝒜
⊢ compress u v s ∈ ∂ 𝒜

Tactic:
rw [compress]

Result:
case pos
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u v : Finset α
huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ v, IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜
𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜
H : ∀ s ∈ ∂ 𝒜', s ∉ ∂ 𝒜 → u ⊆ s ∧ Disjoint v s ∧ (s ∪ v) \ u ∈ ∂ 𝒜 ∧ (s ∪ v) \ u ∉ ∂ 𝒜'
s : Finset α
hs' : s ∈ ∂ 𝒜'
hs : s ∈ ∂ 𝒜
⊢ (if Disjoint u s ∧ v ≤ s then (s ⊔ u) \ v else s) ∈ ∂ 𝒜

Proof state:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u v : Finset α
huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ v, IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜
𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜
H : ∀ s ∈ ∂ 𝒜', s ∉ ∂ 𝒜 → u ⊆ s ∧ Disjoint v s ∧ (s ∪ v) \ u ∈ ∂ 𝒜 ∧ (s ∪ v) \ u ∉ ∂ 𝒜'
s : Finset α
hs' : s ∈ ∂ 𝒜'
⊢ s ∈ ∂ 𝒜 ∧ compress u v s ∈ ∂ 𝒜 ∨ s ∉ ∂ 𝒜 ∧ ∃ b ∈ ∂ 𝒜, compress u v b = s

Tactic:
by_cases hs : s ∈ 𝒜.shadow

Result:
case pos
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u v : Finset α
huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ v, IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜
𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜
H : ∀ s ∈ ∂ 𝒜', s ∉ ∂ 𝒜 → u ⊆ s ∧ Disjoint v s ∧ (s ∪ v) \ u ∈ ∂ 𝒜 ∧ (s ∪ v) \ u ∉ ∂ 𝒜'
s : Finset α
hs' : s ∈ ∂ 𝒜'
hs : s ∈ ∂ 𝒜
⊢ s ∈ ∂ 𝒜 ∧ compress u v s ∈ ∂ 𝒜 ∨ s ∉ ∂ 𝒜 ∧ ∃ b ∈ ∂ 𝒜, compress u v b = s

case neg
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u v : Finset α
huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ v, IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜
𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜
H : ∀ s ∈ ∂ 𝒜', s ∉ ∂ 𝒜 → u ⊆ s ∧ Disjoint v s ∧ (s ∪ v) \ u ∈ ∂ 𝒜 ∧ (s ∪ v) \ u ∉ ∂ 𝒜'
s : Finset α
hs' : s ∈ ∂ 𝒜'
hs : s ∉ ∂ 𝒜
⊢ s ∈ ∂ 𝒜 ∧ compress u v s ∈ ∂ 𝒜 ∨ s ∉ ∂ 𝒜 ∧ ∃ b ∈ ∂ 𝒜, compress u v b = s

Proof state:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u v : Finset α
huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ v, IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜
𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜
s : Finset α
hs𝒜' : s ∈ ∂ 𝒜'
hs𝒜 : s ∉ ∂ 𝒜
m : ∀ y ∉ s, insert y s ∉ 𝒜
x : α
left✝ : x ∉ s
right✝ : insert x s ∈ 𝒜'
hus : u ⊆ insert x s
hvs : Disjoint v (insert x s)
this✝ : (insert x s ∪ v) \ u ∈ 𝒜
hsv : Disjoint s v
hvu : Disjoint v u
hxv : x ∉ v
this : v \ u = v
hxu : x ∈ u
y : α
hyv : y ∈ v
hxy : IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜
⊢ (insert x s ∪ v) \ u ∈ 𝓒 (u.erase x) (v.erase y) 𝒜

Tactic:
rwa [hxy.eq]

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u v : Finset α
huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ v, IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜
𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜
⊢ ∀ s ∈ ∂ 𝒜', s ∉ ∂ 𝒜 → u ⊆ s ∧ Disjoint v s ∧ (s ∪ v) \ u ∈ ∂ 𝒜 ∧ (s ∪ v) \ u ∉ ∂ 𝒜'

Tactic:
intro s hs𝒜' hs𝒜

Result:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u v : Finset α
huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ v, IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜
𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜
s : Finset α
hs𝒜' : s ∈ ∂ 𝒜'
hs𝒜 : s ∉ ∂ 𝒜
⊢ u ⊆ s ∧ Disjoint v s ∧ (s ∪ v) \ u ∈ ∂ 𝒜 ∧ (s ∪ v) \ u ∉ ∂ 𝒜'

Proof state:
case pos.intro.intro
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u v : Finset α
huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ v, IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜
𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜
s : Finset α
hs𝒜' : s ∈ ∂ 𝒜'
hs𝒜 : s ∉ ∂ 𝒜
m : ∀ y ∉ s, insert y s ∉ 𝒜
x : α
left✝ : x ∉ s
right✝ : insert x s ∈ 𝒜'
hus✝ : u ⊆ insert x s
hvs : Disjoint v (insert x s)
this✝³ : (insert x s ∪ v) \ u ∈ 𝒜
hsv : Disjoint s v
hvu : Disjoint v u
hxv : x ∉ v
this✝² : v \ u = v
this✝¹ : x ∉ u
hus : u ⊆ s
w : α
hwB : w ∉ (s ∪ v) \ u
hw𝒜' : insert w ((s ∪ v) \ u) ∈ 𝒜'
this✝ : v ⊆ insert w ((s ∪ v) \ u)
hwu : w ∈ u
z : α
hz : z ∈ v
hxy : IsCompressed (u.erase w) (v.erase z) 𝒜
this : insert w ((s ∪ v) \ u) ∈ 𝒜
⊢ insert z s ∈ 𝒜

Tactic:
have : (insert w ((s ∪ v) \ u) ∪ erase u w) \ erase v z ∈ 𝒜 := by
  refine sup_sdiff_mem_of_mem_compression (by rwa [hxy.eq]) ((erase_subset _ _).trans ‹_›) ?_
  rw [← sdiff_erase (mem_union_left _ <| hus hwu)]
  exact disjoint_sdiff

Result:
case pos.intro.intro
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u v : Finset α
huv : ∀ x ∈ u, ∃ y ∈ v, IsCompressed (u.erase x) (v.erase y) 𝒜
𝒜' : Finset (Finset α) := 𝓒 u v 𝒜
s : Finset α
hs𝒜' : s ∈ ∂ 𝒜'
hs𝒜 : s ∉ ∂ 𝒜
m : ∀ y ∉ s, insert y s ∉ 𝒜
x : α
left✝ : x ∉ s
right✝ : insert x s ∈ 𝒜'
hus✝ : u ⊆ insert x s
hvs : Disjoint v (insert x s)
this✝⁴ : (insert x s ∪ v) \ u ∈ 𝒜
hsv : Disjoint s v
hvu : Disjoint v u
hxv : x ∉ v
this✝³ : v \ u = v
this✝² : x ∉ u
hus : u ⊆ s
w : α
hwB : w ∉ (s ∪ v) \ u
hw𝒜' : insert w ((s ∪ v) \ u) ∈ 𝒜'
this✝¹ : v ⊆ insert w ((s ∪ v) \ u)
hwu : w ∈ u
z : α
hz : z ∈ v
hxy : IsCompressed (u.erase w) (v.erase z) 𝒜
this✝ : insert w ((s ∪ v) \ u) ∈ 𝒜
this : (insert w ((s ∪ v) \ u) ∪ u.erase w) \ v.erase z ∈ 𝒜
⊢ insert z s ∈ 𝒜