-- Mathlib/Analysis/Calculus/UniformLimitsDeriv.lean
theorem difference_quotients_converge_uniformly
    {E : Type*} [NormedAddCommGroup E] {𝕜 : Type*} [RCLike 𝕜]
    [NormedSpace 𝕜 E] {G : Type*} [NormedAddCommGroup G] [NormedSpace 𝕜 G] {f : ι → E → G}
    {g : E → G} {f' : ι → E → E →L[𝕜] G} {g' : E → E →L[𝕜] G} {x : E}
    (hf' : TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x))
    (hf : ∀ᶠ n : ι × E in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2)
    (hfg : ∀ᶠ y : E in 𝓝 x, Tendsto (fun n => f n y) l (𝓝 (g y))) :
    TendstoUniformlyOnFilter (fun n : ι => fun y : E => (‖y - x‖⁻¹ : 𝕜) • (f n y - f n x))
      (fun y : E => (‖y - x‖⁻¹ : 𝕜) • (g y - g x)) l (𝓝 x)

Proof state:
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
hf' : TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x)
hf : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
hfg : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, Tendsto (fun n => f n y) l (𝓝 (g y))
A : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
hfg' : TendstoUniformlyOnFilter (fun n z => f' n.1 z - f' n.2 z) 0 (l ×ˢ l) (𝓝 x)
⊢ ∀ ε > 0,
    ∀ᶠ (n : (ι × ι) × E) in (l ×ˢ l) ×ˢ 𝓝 x,
      dist (0 n.2) ((↑‖n.2 - x‖)⁻¹ • (f n.1.1 n.2 - f n.1.1 x) - (↑‖n.2 - x‖)⁻¹ • (f n.1.2 n.2 - f n.1.2 x)) < ε

Tactic:
rw [Metric.tendstoUniformlyOnFilter_iff] at hfg'

Result:
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
hf' : TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x)
hf : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
hfg : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, Tendsto (fun n => f n y) l (𝓝 (g y))
A : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
hfg' : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : (ι × ι) × E) in (l ×ˢ l) ×ˢ 𝓝 x, dist (0 n.2) (f' n.1.1 n.2 - f' n.1.2 n.2) < ε
⊢ ∀ ε > 0,
    ∀ᶠ (n : (ι × ι) × E) in (l ×ˢ l) ×ˢ 𝓝 x,
      dist (0 n.2) ((↑‖n.2 - x‖)⁻¹ • (f n.1.1 n.2 - f n.1.1 x) - (↑‖n.2 - x‖)⁻¹ • (f n.1.2 n.2 - f n.1.2 x)) < ε

Proof state:
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
hf' : TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x)
hf : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
hfg : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, Tendsto (fun n => f n y) l (𝓝 (g y))
A : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
⊢ TendstoUniformlyOnFilter (fun n y => (↑‖y - x‖)⁻¹ • (f n y - f n x)) (fun y => (↑‖y - x‖)⁻¹ • (g y - g x)) l (𝓝 x)

Tactic:
refine
  UniformCauchySeqOnFilter.tendstoUniformlyOnFilter_of_tendsto ?_
    ((hfg.and (eventually_const.mpr hfg.self_of_nhds)).mono fun y hy =>
      (hy.1.sub hy.2).const_smul _)

Result:
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
hf' : TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x)
hf : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
hfg : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, Tendsto (fun n => f n y) l (𝓝 (g y))
A : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
⊢ UniformCauchySeqOnFilter (fun n y => (↑‖y - x‖)⁻¹ • (f n y - f n x)) l (𝓝 x)

Proof state:
ι : Type u_1
l : Filter ι
E : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : RCLike 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f : ι → E → G
g : E → G
f' : ι → E → E →L[𝕜] G
g' : E → E →L[𝕜] G
x : E
hf' : TendstoUniformlyOnFilter f' g' l (𝓝 x)
hf : ∀ᶠ (n : ι × E) in l ×ˢ 𝓝 x, HasFDerivAt (f n.1) (f' n.1 n.2) n.2
hfg : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝 x, Tendsto (fun n => f n y) l (𝓝 (g y))
A : NormedSpace ℝ E := NormedSpace.restrictScalars ℝ 𝕜 E
hfg' : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : (ι × ι) × E) in (l ×ˢ l) ×ˢ 𝓝 x, dist (0 n.2) (f' n.1.1 n.2 - f' n.1.2 n.2) < ε
ε : ℝ
hε : ε > 0
q : ℚ
hqpos : 0 < q
hqε : ↑q < ε
⊢ ↑q > 0

Tactic:
simp [hqpos]

Result:
no goals