-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/BesicovitchVectorSpace.lean
theorem exists_normalized_aux2 {N : ℕ} {τ : ℝ} (a : SatelliteConfig E N τ)
    (lastc : a.c (last N) = 0) (lastr : a.r (last N) = 1) (hτ : 1 ≤ τ) (δ : ℝ) (hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4)
    (hδ2 : δ ≤ 1) (i j : Fin N.succ) (inej : i ≠ j) (hi : ‖a.c i‖ ≤ 2) (hj : 2 < ‖a.c j‖) :
    1 - δ ≤ ‖a.c i - (2 / ‖a.c j‖) • a.c j‖

Proof state:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : ‖a.c i‖ ≤ 2
hj : 2 < ‖a.c j‖
ah : Pairwise fun i j => a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
I : a.r i ≤ 2
⊢ 1 - δ ^ 2 / 16 ≤ 1

Tactic:
linarith only [sq_nonneg δ]

Result:
no goals

Proof state:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : ‖a.c i‖ ≤ 2
hj : 2 < ‖a.c j‖
ah : Pairwise fun i j => a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
⊢ 0 ≤ δ

Tactic:
linarith only [hτ, hδ1]

Result:
no goals

Proof state:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : ‖a.c i‖ ≤ 2
hj : 2 < ‖a.c j‖
ah : Pairwise fun i j => a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
I : a.r i ≤ 2
J : (1 - δ / 4) * τ ≤ 1
H : a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i
C : a.r j ≤ 4
⊢ 1 * a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖

Tactic:
rw [one_mul]

Result:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : ‖a.c i‖ ≤ 2
hj : 2 < ‖a.c j‖
ah : Pairwise fun i j => a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
I : a.r i ≤ 2
J : (1 - δ / 4) * τ ≤ 1
H : a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i
C : a.r j ≤ 4
⊢ a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖

Proof state:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : ‖a.c i‖ ≤ 2
hj : 2 < ‖a.c j‖
ah : Pairwise fun i j => a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
I : a.r i ≤ 2
J : (1 - δ / 4) * τ ≤ 1
A : a.r j - δ ≤ ‖a.c i - a.c j‖
d : E := (2 / ‖a.c j‖) • a.c j
hd : d = (2 / ‖a.c j‖) • a.c j
⊢ 1 - δ ≤ ‖a.c i - d‖

Tactic:
have : a.r j - δ ≤ ‖a.c i - d‖ + (a.r j - 1) :=
  calc
    a.r j - δ ≤ ‖a.c i - a.c j‖ := A
    _ ≤ ‖a.c i - d‖ + ‖d - a.c j‖ := by simp only [← dist_eq_norm, dist_triangle]
    _ ≤ ‖a.c i - d‖ + (a.r j - 1) := by
      apply add_le_add_left
      have A : 0 ≤ 1 - 2 / ‖a.c j‖ := by simpa [div_le_iff₀ (zero_le_two.trans_lt hj)] using hj.le
      rw [← one_smul ℝ (a.c j), hd, ← sub_smul, norm_smul, norm_sub_rev, Real.norm_eq_abs,
        abs_of_nonneg A, sub_mul]
      field_simp [(zero_le_two.trans_lt hj).ne']
      linarith only [hcrj]

Result:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : ‖a.c i‖ ≤ 2
hj : 2 < ‖a.c j‖
ah : Pairwise fun i j => a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
I : a.r i ≤ 2
J : (1 - δ / 4) * τ ≤ 1
A : a.r j - δ ≤ ‖a.c i - a.c j‖
d : E := (2 / ‖a.c j‖) • a.c j
hd : d = (2 / ‖a.c j‖) • a.c j
this : a.r j - δ ≤ ‖a.c i - d‖ + (a.r j - 1)
⊢ 1 - δ ≤ ‖a.c i - d‖

Proof state:
case h
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : ‖a.c i‖ ≤ 2
hj : 2 < ‖a.c j‖
ah : Pairwise fun i j => a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
I : a.r i ≤ 2
J : (1 - δ / 4) * τ ≤ 1
H : a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i
C : a.r j ≤ 4
⊢ a.r j / 4 * δ ≤ δ

Tactic:
exact mul_le_of_le_one_left δnonneg (by linarith only [C])

Result:
no goals

Proof state:
case bc
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : ‖a.c i‖ ≤ 2
hj : 2 < ‖a.c j‖
ah : Pairwise fun i j => a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
I : a.r i ≤ 2
J : (1 - δ / 4) * τ ≤ 1
A✝ : a.r j - δ ≤ ‖a.c i - a.c j‖
d : E := (2 / ‖a.c j‖) • a.c j
hd : d = (2 / ‖a.c j‖) • a.c j
A : 0 ≤ 1 - 2 / ‖a.c j‖
⊢ 1 * ‖a.c j‖ - 2 / ‖a.c j‖ * ‖a.c j‖ ≤ a.r j - 1

Tactic:
field_simp [(zero_le_two.trans_lt hj).ne']

Result:
case bc
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : ‖a.c i‖ ≤ 2
hj : 2 < ‖a.c j‖
ah : Pairwise fun i j => a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
I : a.r i ≤ 2
J : (1 - δ / 4) * τ ≤ 1
A✝ : a.r j - δ ≤ ‖a.c i - a.c j‖
d : E := (2 / ‖a.c j‖) • a.c j
hd : d = (2 / ‖a.c j‖) • a.c j
A : 0 ≤ 1 - 2 / ‖a.c j‖
⊢ ‖a.c j‖ ≤ a.r j - 1 + 2

Proof state:
case inl
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : ‖a.c i‖ ≤ 2
hj : 2 < ‖a.c j‖
ah : Pairwise fun i j => a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
H : i < last N
⊢ dist (a.c i) (a.c (last N)) ≤ 2

Tactic:
simpa only [dist_eq_norm, lastc, sub_zero] using hi

Result:
no goals

Proof state:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : ‖a.c i‖ ≤ 2
hj : 2 < ‖a.c j‖
ah : Pairwise fun i j => a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
⊢ 1 - δ ≤ ‖a.c i - (2 / ‖a.c j‖) • a.c j‖

Tactic:
have D : 0 ≤ 1 - δ / 4 := by linarith only [hδ2]

Result:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
hδ2 : δ ≤ 1
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : ‖a.c i‖ ≤ 2
hj : 2 < ‖a.c j‖
ah : Pairwise fun i j => a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
D : 0 ≤ 1 - δ / 4
⊢ 1 - δ ≤ ‖a.c i - (2 / ‖a.c j‖) • a.c j‖