-- Mathlib/MeasureTheory/Function/LpSeminorm/CompareExp.lean
theorem eLpNorm_le_eLpNorm_mul_eLpNorm_of_nnnorm {p q r : ℝ≥0∞}
    (hf : AEStronglyMeasurable f μ) (hg : AEStronglyMeasurable g μ) (b : E → F → G) (c : ℝ≥0)
    (h : ∀ᵐ x ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ c * ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊) [hpqr : HolderTriple p q r] :
    eLpNorm (fun x => b (f x) (g x)) r μ ≤ c * eLpNorm f p μ * eLpNorm g q μ

Proof state:
case inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f : α → E
g : α → F
p q r : ℝ≥0∞
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
c : ℝ≥0
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ c * ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hpqr✝ : p.HolderTriple q r
hpqr : 1 / r = 1 / p + 1 / q
hp : 0 < p.toReal
hq : 0 < q.toReal
hp₁ : 0 < p
hp₂ : p < ⊤
hq₁ : 0 < q
hq₂ : q < ⊤
hpqr' : 1 / r.toReal = 1 / p.toReal + 1 / q.toReal
hr : 0 < r.toReal
hr₁ : 0 < r
hr₂ : r < ⊤
hrp : r.toReal < p.toReal
⊢ eLpNorm (fun x => b (f x) (g x)) r μ ≤ ↑c * eLpNorm f p μ * eLpNorm g q μ

Tactic:
rw [eLpNorm_eq_eLpNorm', eLpNorm_eq_eLpNorm', eLpNorm_eq_eLpNorm']

Result:
case inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f : α → E
g : α → F
p q r : ℝ≥0∞
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
c : ℝ≥0
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ c * ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hpqr✝ : p.HolderTriple q r
hpqr : 1 / r = 1 / p + 1 / q
hp : 0 < p.toReal
hq : 0 < q.toReal
hp₁ : 0 < p
hp₂ : p < ⊤
hq₁ : 0 < q
hq₂ : q < ⊤
hpqr' : 1 / r.toReal = 1 / p.toReal + 1 / q.toReal
hr : 0 < r.toReal
hr₁ : 0 < r
hr₂ : r < ⊤
hrp : r.toReal < p.toReal
⊢ eLpNorm' (fun x => b (f x) (g x)) r.toReal μ ≤ ↑c * eLpNorm' f p.toReal μ * eLpNorm' g q.toReal μ

case inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.hp_ne_zero
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f : α → E
g : α → F
p q r : ℝ≥0∞
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
c : ℝ≥0
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ c * ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hpqr✝ : p.HolderTriple q r
hpqr : 1 / r = 1 / p + 1 / q
hp : 0 < p.toReal
hq : 0 < q.toReal
hp₁ : 0 < p
hp₂ : p < ⊤
hq₁ : 0 < q
hq₂ : q < ⊤
hpqr' : 1 / r.toReal = 1 / p.toReal + 1 / q.toReal
hr : 0 < r.toReal
hr₁ : 0 < r
hr₂ : r < ⊤
hrp : r.toReal < p.toReal
⊢ q ≠ 0

case inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.hp_ne_top
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f : α → E
g : α → F
p q r : ℝ≥0∞
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
c : ℝ≥0
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ c * ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hpqr✝ : p.HolderTriple q r
hpqr : 1 / r = 1 / p + 1 / q
hp : 0 < p.toReal
hq : 0 < q.toReal
hp₁ : 0 < p
hp₂ : p < ⊤
hq₁ : 0 < q
hq₂ : q < ⊤
hpqr' : 1 / r.toReal = 1 / p.toReal + 1 / q.toReal
hr : 0 < r.toReal
hr₁ : 0 < r
hr₂ : r < ⊤
hrp : r.toReal < p.toReal
⊢ q ≠ ⊤

case inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.hp_ne_zero
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f : α → E
g : α → F
p q r : ℝ≥0∞
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
c : ℝ≥0
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ c * ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hpqr✝ : p.HolderTriple q r
hpqr : 1 / r = 1 / p + 1 / q
hp : 0 < p.toReal
hq : 0 < q.toReal
hp₁ : 0 < p
hp₂ : p < ⊤
hq₁ : 0 < q
hq₂ : q < ⊤
hpqr' : 1 / r.toReal = 1 / p.toReal + 1 / q.toReal
hr : 0 < r.toReal
hr₁ : 0 < r
hr₂ : r < ⊤
hrp : r.toReal < p.toReal
⊢ p ≠ 0

case inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.hp_ne_top
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f : α → E
g : α → F
p q r : ℝ≥0∞
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
c : ℝ≥0
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ c * ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hpqr✝ : p.HolderTriple q r
hpqr : 1 / r = 1 / p + 1 / q
hp : 0 < p.toReal
hq : 0 < q.toReal
hp₁ : 0 < p
hp₂ : p < ⊤
hq₁ : 0 < q
hq₂ : q < ⊤
hpqr' : 1 / r.toReal = 1 / p.toReal + 1 / q.toReal
hr : 0 < r.toReal
hr₁ : 0 < r
hr₂ : r < ⊤
hrp : r.toReal < p.toReal
⊢ p ≠ ⊤

case inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.hp_ne_zero
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f : α → E
g : α → F
p q r : ℝ≥0∞
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
c : ℝ≥0
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ c * ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hpqr✝ : p.HolderTriple q r
hpqr : 1 / r = 1 / p + 1 / q
hp : 0 < p.toReal
hq : 0 < q.toReal
hp₁ : 0 < p
hp₂ : p < ⊤
hq₁ : 0 < q
hq₂ : q < ⊤
hpqr' : 1 / r.toReal = 1 / p.toReal + 1 / q.toReal
hr : 0 < r.toReal
hr₁ : 0 < r
hr₂ : r < ⊤
hrp : r.toReal < p.toReal
⊢ r ≠ 0

case inr.inr.inr.inr.intro.intro.intro.hp_ne_top
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f : α → E
g : α → F
p q r : ℝ≥0∞
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
c : ℝ≥0
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ c * ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hpqr✝ : p.HolderTriple q r
hpqr : 1 / r = 1 / p + 1 / q
hp : 0 < p.toReal
hq : 0 < q.toReal
hp₁ : 0 < p
hp₂ : p < ⊤
hq₁ : 0 < q
hq₂ : q < ⊤
hpqr' : 1 / r.toReal = 1 / p.toReal + 1 / q.toReal
hr : 0 < r.toReal
hr₁ : 0 < r
hr₂ : r < ⊤
hrp : r.toReal < p.toReal
⊢ r ≠ ⊤

Proof state:
case inr.inr.inl
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
μ : Measure α
f : α → E
g : α → F
p r : ℝ≥0∞
hf : AEStronglyMeasurable f μ
hg : AEStronglyMeasurable g μ
b : E → F → G
c : ℝ≥0
h : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ‖b (f x) (g x)‖₊ ≤ c * ‖f x‖₊ * ‖g x‖₊
hp : 0 < p.toReal
hpqr✝ : p.HolderTriple 0 r
hpqr : 1 / r = 1 / p + 1 / 0
⊢ eLpNorm (fun x => b (f x) (g x)) r μ ≤ ↑c * eLpNorm f p μ * eLpNorm g 0 μ

Tactic:
simp_all

Result:
no goals