-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Measurable.lean
lemma isOpen_B_with_param {r s t : ℝ} (hf : Continuous f.uncurry) (K : Set (E →L[𝕜] F)) :
    IsOpen {p : α × E | p.2 ∈ B (f p.1) K r s t}

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α → E → F
r s t : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
K : Set (E →L[𝕜] F)
H : IsOpen (⋃ L ∈ K, {p | p.2 ∈ A (f p.1) L r t ∧ p.2 ∈ A (f p.1) L s t})
⊢ IsOpen {p | p.2 ∈ B (f p.1) K r s t}

Tactic:
convert H

Result:
case h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α → E → F
r s t : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
K : Set (E →L[𝕜] F)
H : IsOpen (⋃ L ∈ K, {p | p.2 ∈ A (f p.1) L r t ∧ p.2 ∈ A (f p.1) L s t})
⊢ {p | p.2 ∈ B (f p.1) K r s t} = ⋃ L ∈ K, {p | p.2 ∈ A (f p.1) L r t ∧ p.2 ∈ A (f p.1) L s t}

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α → E → F
r s t : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
K : Set (E →L[𝕜] F)
⊢ IsOpen {p | p.2 ∈ B (f p.1) K r s t}

Tactic:
suffices H : IsOpen (⋃ L ∈ K,
    {p : α × E | p.2 ∈ A (f p.1) L r t ∧ p.2 ∈ A (f p.1) L s t}) by
  convert H; ext p; simp [B]

Result:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α → E → F
r s t : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
K : Set (E →L[𝕜] F)
⊢ IsOpen (⋃ L ∈ K, {p | p.2 ∈ A (f p.1) L r t ∧ p.2 ∈ A (f p.1) L s t})

Proof state:
case h.e'_3.h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α → E → F
r s t : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
K : Set (E →L[𝕜] F)
H : IsOpen (⋃ L ∈ K, {p | p.2 ∈ A (f p.1) L r t ∧ p.2 ∈ A (f p.1) L s t})
p : α × E
⊢ p ∈ {p | p.2 ∈ B (f p.1) K r s t} ↔ p ∈ ⋃ L ∈ K, {p | p.2 ∈ A (f p.1) L r t ∧ p.2 ∈ A (f p.1) L s t}

Tactic:
simp [B]

Result:
no goals

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α → E → F
r s t : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
K : Set (E →L[𝕜] F)
L : E →L[𝕜] F
x✝ : L ∈ K
⊢ IsOpen {p | p.2 ∈ A (f p.1) L r t ∧ p.2 ∈ A (f p.1) L s t}

Tactic:
exact (isOpen_A_with_param hf L).inter (isOpen_A_with_param hf L)

Result:
no goals

Proof state:
case h.e'_3
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α → E → F
r s t : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
K : Set (E →L[𝕜] F)
H : IsOpen (⋃ L ∈ K, {p | p.2 ∈ A (f p.1) L r t ∧ p.2 ∈ A (f p.1) L s t})
⊢ {p | p.2 ∈ B (f p.1) K r s t} = ⋃ L ∈ K, {p | p.2 ∈ A (f p.1) L r t ∧ p.2 ∈ A (f p.1) L s t}

Tactic:
ext p

Result:
case h.e'_3.h
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α → E → F
r s t : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
K : Set (E →L[𝕜] F)
H : IsOpen (⋃ L ∈ K, {p | p.2 ∈ A (f p.1) L r t ∧ p.2 ∈ A (f p.1) L s t})
p : α × E
⊢ p ∈ {p | p.2 ∈ B (f p.1) K r s t} ↔ p ∈ ⋃ L ∈ K, {p | p.2 ∈ A (f p.1) L r t ∧ p.2 ∈ A (f p.1) L s t}

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α → E → F
r s t : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
K : Set (E →L[𝕜] F)
⊢ IsOpen (⋃ L ∈ K, {p | p.2 ∈ A (f p.1) L r t ∧ p.2 ∈ A (f p.1) L s t})

Tactic:
refine isOpen_biUnion (fun L _ ↦ ?_)

Result:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : LocallyCompactSpace E
F : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F
α : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
f : α → E → F
r s t : ℝ
hf : Continuous (Function.uncurry f)
K : Set (E →L[𝕜] F)
L : E →L[𝕜] F
x✝ : L ∈ K
⊢ IsOpen {p | p.2 ∈ A (f p.1) L r t ∧ p.2 ∈ A (f p.1) L s t}