-- Mathlib/Topology/Sheaves/Stalks.lean
theorem app_surjective_of_injective_of_locally_surjective {F G : Sheaf C X} (f : F ⟶ G)
    (U : Opens X) (hinj : ∀ x ∈ U, Function.Injective ((stalkFunctor C x).map f.1))
    (hsurj : ∀ (t x) (_ : x ∈ U), ∃ (V : Opens X) (_ : x ∈ V) (iVU : V ⟶ U)
    (s : ToType (F.1.obj (op V))), f.1.app (op V) s = G.1.map iVU.op t) :
    Function.Surjective (f.1.app (op U))

Proof state:
case h
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasColimits C
X : TopCat
FC : C → C → Type u_1
CC : C → Type v
inst✝⁴ : (X Y : C) → FunLike (FC X Y) (CC X) (CC Y)
instCC : ConcreteCategory C FC
inst✝³ : PreservesFilteredColimits (forget C)
inst✝² : HasLimits C
inst✝¹ : PreservesLimits (forget C)
inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
F G : Sheaf C X
f : F ⟶ G
U : Opens ↑X
hinj : ∀ x ∈ U, Function.Injective ⇑(ConcreteCategory.hom ((stalkFunctor C x).map f.val))
hsurj :
  ∀ (t : CC (G.val.obj (op U))) (x : ↥U),
    ∃ V,
      ∃ (_ : ↑x ∈ V), ∃ iVU s, (ConcreteCategory.hom (f.val.app (op V))) s = (ConcreteCategory.hom (G.val.map iVU.op)) t
t : CC (G.val.obj (op U))
V : ↥U → Opens ↑X
mV : ∀ (x : ↥U), ↑x ∈ V x
iVU : (x : ↥U) → V x ⟶ U
sf : (x : ↥U) → ToType (F.val.obj (op (V x)))
heq : ∀ (x : ↥U), (ConcreteCategory.hom (f.val.app (op (V x)))) (sf x) = (ConcreteCategory.hom (G.val.map (iVU x).op)) t
V_cover : U ≤ iSup V
x y : ↥U
⊢ ∀ (x_1 : ↑X) (hx : x_1 ∈ V x ⊓ V y),
    (ConcreteCategory.hom (F.presheaf.germ (V x ⊓ V y) x_1 hx))
        ((ConcreteCategory.hom (F.val.map ((V x).infLELeft (V y)).op)) (sf x)) =
      (ConcreteCategory.hom (F.presheaf.germ (V x ⊓ V y) x_1 hx))
        ((ConcreteCategory.hom (F.val.map ((V x).infLERight (V y)).op)) (sf y))

Tactic:
intro z hz

Result:
case h
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasColimits C
X : TopCat
FC : C → C → Type u_1
CC : C → Type v
inst✝⁴ : (X Y : C) → FunLike (FC X Y) (CC X) (CC Y)
instCC : ConcreteCategory C FC
inst✝³ : PreservesFilteredColimits (forget C)
inst✝² : HasLimits C
inst✝¹ : PreservesLimits (forget C)
inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
F G : Sheaf C X
f : F ⟶ G
U : Opens ↑X
hinj : ∀ x ∈ U, Function.Injective ⇑(ConcreteCategory.hom ((stalkFunctor C x).map f.val))
hsurj :
  ∀ (t : CC (G.val.obj (op U))) (x : ↥U),
    ∃ V,
      ∃ (_ : ↑x ∈ V), ∃ iVU s, (ConcreteCategory.hom (f.val.app (op V))) s = (ConcreteCategory.hom (G.val.map iVU.op)) t
t : CC (G.val.obj (op U))
V : ↥U → Opens ↑X
mV : ∀ (x : ↥U), ↑x ∈ V x
iVU : (x : ↥U) → V x ⟶ U
sf : (x : ↥U) → ToType (F.val.obj (op (V x)))
heq : ∀ (x : ↥U), (ConcreteCategory.hom (f.val.app (op (V x)))) (sf x) = (ConcreteCategory.hom (G.val.map (iVU x).op)) t
V_cover : U ≤ iSup V
x y : ↥U
z : ↑X
hz : z ∈ V x ⊓ V y
⊢ (ConcreteCategory.hom (F.presheaf.germ (V x ⊓ V y) z hz))
      ((ConcreteCategory.hom (F.val.map ((V x).infLELeft (V y)).op)) (sf x)) =
    (ConcreteCategory.hom (F.presheaf.germ (V x ⊓ V y) z hz))
      ((ConcreteCategory.hom (F.val.map ((V x).infLERight (V y)).op)) (sf y))

Proof state:
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasColimits C
X : TopCat
FC : C → C → Type u_1
CC : C → Type v
inst✝⁴ : (X Y : C) → FunLike (FC X Y) (CC X) (CC Y)
instCC : ConcreteCategory C FC
inst✝³ : PreservesFilteredColimits (forget C)
inst✝² : HasLimits C
inst✝¹ : PreservesLimits (forget C)
inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
F G : Sheaf C X
f : F ⟶ G
U : Opens ↑X
hinj : ∀ x ∈ U, Function.Injective ⇑(ConcreteCategory.hom ((stalkFunctor C x).map f.val))
hsurj :
  ∀ (t : CC (G.val.obj (op U))) (x : ↥U),
    ∃ V,
      ∃ (_ : ↑x ∈ V), ∃ iVU s, (ConcreteCategory.hom (f.val.app (op V))) s = (ConcreteCategory.hom (G.val.map iVU.op)) t
t : CC (G.val.obj (op U))
V : ↥U → Opens ↑X
mV : ∀ (x : ↥U), ↑x ∈ V x
iVU : (x : ↥U) → V x ⟶ U
sf : (x : ↥U) → ToType (F.val.obj (op (V x)))
heq : ∀ (x : ↥U), (ConcreteCategory.hom (f.val.app (op (V x)))) (sf x) = (ConcreteCategory.hom (G.val.map (iVU x).op)) t
x : ↑X
hxU : x ∈ ↑U
⊢ ∃ i, x ∈ V i

Tactic:
exact ⟨⟨x, hxU⟩, mV ⟨x, hxU⟩⟩

Result:
no goals

Proof state:
case h.a
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasColimits C
X : TopCat
FC : C → C → Type u_1
CC : C → Type v
inst✝⁴ : (X Y : C) → FunLike (FC X Y) (CC X) (CC Y)
instCC : ConcreteCategory C FC
inst✝³ : PreservesFilteredColimits (forget C)
inst✝² : HasLimits C
inst✝¹ : PreservesLimits (forget C)
inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
F G : Sheaf C X
f : F ⟶ G
U : Opens ↑X
hinj : ∀ x ∈ U, Function.Injective ⇑(ConcreteCategory.hom ((stalkFunctor C x).map f.val))
hsurj :
  ∀ (t : CC (G.val.obj (op U))) (x : ↥U),
    ∃ V,
      ∃ (_ : ↑x ∈ V), ∃ iVU s, (ConcreteCategory.hom (f.val.app (op V))) s = (ConcreteCategory.hom (G.val.map iVU.op)) t
t : CC (G.val.obj (op U))
V : ↥U → Opens ↑X
mV : ∀ (x : ↥U), ↑x ∈ V x
iVU : (x : ↥U) → V x ⟶ U
sf : (x : ↥U) → ToType (F.val.obj (op (V x)))
heq : ∀ (x : ↥U), (ConcreteCategory.hom (f.val.app (op (V x)))) (sf x) = (ConcreteCategory.hom (G.val.map (iVU x).op)) t
V_cover : U ≤ iSup V
x y : ↥U
z : ↑X
hz : z ∈ V x ⊓ V y
⊢ (ConcreteCategory.hom ((stalkFunctor C z).map f.val))
      ((ConcreteCategory.hom (F.presheaf.germ (V x ⊓ V y) z hz))
        ((ConcreteCategory.hom (F.val.map ((V x).infLELeft (V y)).op)) (sf x))) =
    (ConcreteCategory.hom ((stalkFunctor C z).map f.val))
      ((ConcreteCategory.hom (F.presheaf.germ (V x ⊓ V y) z hz))
        ((ConcreteCategory.hom (F.val.map ((V x).infLERight (V y)).op)) (sf y)))

Tactic:
rw [stalkFunctor_map_germ_apply, stalkFunctor_map_germ_apply]

Result:
case h.a
C : Type u
inst✝⁶ : Category.{v, u} C
inst✝⁵ : HasColimits C
X : TopCat
FC : C → C → Type u_1
CC : C → Type v
inst✝⁴ : (X Y : C) → FunLike (FC X Y) (CC X) (CC Y)
instCC : ConcreteCategory C FC
inst✝³ : PreservesFilteredColimits (forget C)
inst✝² : HasLimits C
inst✝¹ : PreservesLimits (forget C)
inst✝ : (forget C).ReflectsIsomorphisms
F G : Sheaf C X
f : F ⟶ G
U : Opens ↑X
hinj : ∀ x ∈ U, Function.Injective ⇑(ConcreteCategory.hom ((stalkFunctor C x).map f.val))
hsurj :
  ∀ (t : CC (G.val.obj (op U))) (x : ↥U),
    ∃ V,
      ∃ (_ : ↑x ∈ V), ∃ iVU s, (ConcreteCategory.hom (f.val.app (op V))) s = (ConcreteCategory.hom (G.val.map iVU.op)) t
t : CC (G.val.obj (op U))
V : ↥U → Opens ↑X
mV : ∀ (x : ↥U), ↑x ∈ V x
iVU : (x : ↥U) → V x ⟶ U
sf : (x : ↥U) → ToType (F.val.obj (op (V x)))
heq : ∀ (x : ↥U), (ConcreteCategory.hom (f.val.app (op (V x)))) (sf x) = (ConcreteCategory.hom (G.val.map (iVU x).op)) t
V_cover : U ≤ iSup V
x y : ↥U
z : ↑X
hz : z ∈ V x ⊓ V y
⊢ (ConcreteCategory.hom (germ G.val (V x ⊓ V y) z hz))
      ((ConcreteCategory.hom (f.val.app (op (V x ⊓ V y))))
        ((ConcreteCategory.hom (F.val.map ((V x).infLELeft (V y)).op)) (sf x))) =
    (ConcreteCategory.hom (germ G.val (V x ⊓ V y) z hz))
      ((ConcreteCategory.hom (f.val.app (op (V x ⊓ V y))))
        ((ConcreteCategory.hom (F.val.map ((V x).infLERight (V y)).op)) (sf y)))