-- Mathlib/Analysis/Calculus/FDeriv/Symmetric.lean
theorem ContDiffWithinAt.isSymmSndFDerivWithinAt {n : WithTop ℕ∞}
    (hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x) (hn : minSmoothness 𝕜 2 ≤ n)
    (hs : UniqueDiffOn 𝕜 s) (hx : x ∈ closure (interior s)) (h'x : x ∈ s) :
    IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 f s x

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : WithTop ℕ∞
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hn : minSmoothness 𝕜 2 ≤ n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ closure (interior s)
h'x : x ∈ s
m : WithTop ℕ∞
hm : minSmoothness 𝕜 ↑2 ≤ m
hmn : m ≤ n
m_ne : m ≠ ∞
u : Set E
u_open : IsOpen u
xu : x ∈ u
hu : ContDiffOn 𝕜 m f (s ∩ u)
h'u : UniqueDiffOn 𝕜 (s ∩ u)
y : ℕ → E
hy : ∀ (n : ℕ), y n ∈ interior s
y_lim : Tendsto y atTop (𝓝 x)
L : ∀ᶠ (k : ℕ) in atTop, y k ∈ u
I : ∀ᶠ (k : ℕ) in atTop, IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 f s (y k)
⊢ ContinuousOn (fderivWithin 𝕜 (fderivWithin 𝕜 f s) s) (s ∩ u)

Tactic:
have : ContinuousOn (fderivWithin 𝕜 (fderivWithin 𝕜 f (s ∩ u)) (s ∩ u)) (s ∩ u) :=
  ((hu.fderivWithin h'u (m := 1) (le_minSmoothness.trans hm)).fderivWithin h'u
  (m := 0) le_rfl).continuousOn

Result:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : WithTop ℕ∞
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hn : minSmoothness 𝕜 2 ≤ n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ closure (interior s)
h'x : x ∈ s
m : WithTop ℕ∞
hm : minSmoothness 𝕜 ↑2 ≤ m
hmn : m ≤ n
m_ne : m ≠ ∞
u : Set E
u_open : IsOpen u
xu : x ∈ u
hu : ContDiffOn 𝕜 m f (s ∩ u)
h'u : UniqueDiffOn 𝕜 (s ∩ u)
y : ℕ → E
hy : ∀ (n : ℕ), y n ∈ interior s
y_lim : Tendsto y atTop (𝓝 x)
L : ∀ᶠ (k : ℕ) in atTop, y k ∈ u
I : ∀ᶠ (k : ℕ) in atTop, IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 f s (y k)
this : ContinuousOn (fderivWithin 𝕜 (fderivWithin 𝕜 f (s ∩ u)) (s ∩ u)) (s ∩ u)
⊢ ContinuousOn (fderivWithin 𝕜 (fderivWithin 𝕜 f s) s) (s ∩ u)

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : WithTop ℕ∞
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hn : minSmoothness 𝕜 2 ≤ n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ closure (interior s)
h'x : x ∈ s
m : WithTop ℕ∞
hm : minSmoothness 𝕜 ↑2 ≤ m
hmn : m ≤ n
m_ne : m ≠ ∞
u : Set E
u_open : IsOpen u
xu : x ∈ u
hu : ContDiffOn 𝕜 m f (s ∩ u)
h'u : UniqueDiffOn 𝕜 (s ∩ u)
y : ℕ → E
hy : ∀ (n : ℕ), y n ∈ interior s
y_lim : Tendsto y atTop (𝓝 x)
⊢ IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 f s x

Tactic:
have L : ∀ᶠ k in atTop, y k ∈ u := y_lim (u_open.mem_nhds xu)

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : WithTop ℕ∞
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hn : minSmoothness 𝕜 2 ≤ n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ closure (interior s)
h'x : x ∈ s
m : WithTop ℕ∞
hm : minSmoothness 𝕜 ↑2 ≤ m
hmn : m ≤ n
m_ne : m ≠ ∞
u : Set E
u_open : IsOpen u
xu : x ∈ u
hu : ContDiffOn 𝕜 m f (s ∩ u)
h'u : UniqueDiffOn 𝕜 (s ∩ u)
y : ℕ → E
hy : ∀ (n : ℕ), y n ∈ interior s
y_lim : Tendsto y atTop (𝓝 x)
L : ∀ᶠ (k : ℕ) in atTop, y k ∈ u
⊢ IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 f s x

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : WithTop ℕ∞
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hn : minSmoothness 𝕜 2 ≤ n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ closure (interior s)
h'x : x ∈ s
m : WithTop ℕ∞
hm : minSmoothness 𝕜 ↑2 ≤ m
hmn : m ≤ n
m_ne : m ≠ ∞
u : Set E
u_open : IsOpen u
xu : x ∈ u
hu : ContDiffOn 𝕜 m f (s ∩ u)
h'u : UniqueDiffOn 𝕜 (s ∩ u)
y : ℕ → E
hy : ∀ (n : ℕ), y n ∈ interior s
y_lim : Tendsto y atTop (𝓝 x)
L : ∀ᶠ (k : ℕ) in atTop, y k ∈ u
I : ∀ᶠ (k : ℕ) in atTop, IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 f s (y k)
A : ContinuousOn (fderivWithin 𝕜 (fderivWithin 𝕜 f s) s) (s ∩ u)
⊢ Tendsto y atTop (𝓝[s ∩ u] x)

Tactic:
apply tendsto_nhdsWithin_iff.2 ⟨y_lim, ?_⟩

Result:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : WithTop ℕ∞
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hn : minSmoothness 𝕜 2 ≤ n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ closure (interior s)
h'x : x ∈ s
m : WithTop ℕ∞
hm : minSmoothness 𝕜 ↑2 ≤ m
hmn : m ≤ n
m_ne : m ≠ ∞
u : Set E
u_open : IsOpen u
xu : x ∈ u
hu : ContDiffOn 𝕜 m f (s ∩ u)
h'u : UniqueDiffOn 𝕜 (s ∩ u)
y : ℕ → E
hy : ∀ (n : ℕ), y n ∈ interior s
y_lim : Tendsto y atTop (𝓝 x)
L : ∀ᶠ (k : ℕ) in atTop, y k ∈ u
I : ∀ᶠ (k : ℕ) in atTop, IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 f s (y k)
A : ContinuousOn (fderivWithin 𝕜 (fderivWithin 𝕜 f s) s) (s ∩ u)
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, y n ∈ s ∩ u

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : WithTop ℕ∞
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hn : minSmoothness 𝕜 2 ≤ n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ closure (interior s)
h'x : x ∈ s
m : WithTop ℕ∞
hm : minSmoothness 𝕜 ↑2 ≤ m
hmn : m ≤ n
m_ne : m ≠ ∞
u : Set E
u_open : IsOpen u
xu : x ∈ u
hu : ContDiffOn 𝕜 m f (s ∩ u)
h'u : UniqueDiffOn 𝕜 (s ∩ u)
y : ℕ → E
hy : ∀ (n : ℕ), y n ∈ interior s
y_lim : Tendsto y atTop (𝓝 x)
L : ∀ᶠ (k : ℕ) in atTop, y k ∈ u
I : ∀ᶠ (k : ℕ) in atTop, IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 f s (y k)
⊢ IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 f s x

Tactic:
have A : ContinuousOn (fderivWithin 𝕜 (fderivWithin 𝕜 f s) s) (s ∩ u) := by
  have : ContinuousOn (fderivWithin 𝕜 (fderivWithin 𝕜 f (s ∩ u)) (s ∩ u)) (s ∩ u) :=
    ((hu.fderivWithin h'u (m := 1) (le_minSmoothness.trans hm)).fderivWithin h'u
    (m := 0) le_rfl).continuousOn
  apply this.congr
  intro y hy
  apply fderivWithin_fderivWithin_eq_of_eventuallyEq
  filter_upwards [u_open.mem_nhds hy.2] with z hz
  change (z ∈ s) = (z ∈ s ∩ u)
  aesop

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
f : E → F
x : E
n : WithTop ℕ∞
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
hn : minSmoothness 𝕜 2 ≤ n
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ closure (interior s)
h'x : x ∈ s
m : WithTop ℕ∞
hm : minSmoothness 𝕜 ↑2 ≤ m
hmn : m ≤ n
m_ne : m ≠ ∞
u : Set E
u_open : IsOpen u
xu : x ∈ u
hu : ContDiffOn 𝕜 m f (s ∩ u)
h'u : UniqueDiffOn 𝕜 (s ∩ u)
y : ℕ → E
hy : ∀ (n : ℕ), y n ∈ interior s
y_lim : Tendsto y atTop (𝓝 x)
L : ∀ᶠ (k : ℕ) in atTop, y k ∈ u
I : ∀ᶠ (k : ℕ) in atTop, IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 f s (y k)
A : ContinuousOn (fderivWithin 𝕜 (fderivWithin 𝕜 f s) s) (s ∩ u)
⊢ IsSymmSndFDerivWithinAt 𝕜 f s x