-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Concrete.lean
theorem next_toList_eq_apply (p : Perm α) (x y : α) (hy : y ∈ toList p x) :
    next (toList p x) y hy = p y

Proof state:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x y : α
hy✝ : y ∈ p.toList x
hy : p.SameCycle x y ∧ x ∈ p.support
k : ℕ
hk : k < (p.cycleOf x).support.card
hk' : (p ^ k) x = y
⊢ k < (p.toList x).length

Tactic:
simpa using hk

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x y : α
hy✝ : y ∈ p.toList x
hy : p.SameCycle x y ∧ x ∈ p.support
k : ℕ
hk : k < (p.cycleOf x).support.card
hk' : (p ^ k) x = y
⊢ (p.toList x).next y hy✝ = p y

Tactic:
rw [← getElem_toList p x k (by simpa using hk)] at hk'

Result:
case intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x y : α
hy✝ : y ∈ p.toList x
hy : p.SameCycle x y ∧ x ∈ p.support
k : ℕ
hk : k < (p.cycleOf x).support.card
hk' : (p.toList x)[k] = y
⊢ (p.toList x).next y hy✝ = p y

Proof state:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x y : α
hy✝ : y ∈ p.toList x
hy : p.SameCycle x y ∧ x ∈ p.support
⊢ (p.toList x).next y hy✝ = p y

Tactic:
obtain ⟨k, hk, hk'⟩ := hy.left.exists_pow_eq_of_mem_support hy.right

Result:
case intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x y : α
hy✝ : y ∈ p.toList x
hy : p.SameCycle x y ∧ x ∈ p.support
k : ℕ
hk : k < (p.cycleOf x).support.card
hk' : (p ^ k) x = y
⊢ (p.toList x).next y hy✝ = p y

Proof state:
case intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x y : α
hy✝ : y ∈ p.toList x
hy : p.SameCycle x y ∧ x ∈ p.support
k : ℕ
hk : k < (p.cycleOf x).support.card
hk' : (p.toList x)[k] = y
⊢ (p ^ ((k + 1) % (p.toList x).length)) x = (p ^ (k + 1)) x

Tactic:
simp_rw [length_toList]

Result:
case intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x y : α
hy✝ : y ∈ p.toList x
hy : p.SameCycle x y ∧ x ∈ p.support
k : ℕ
hk : k < (p.cycleOf x).support.card
hk' : (p.toList x)[k] = y
⊢ (p ^ ((k + 1) % (p.cycleOf x).support.card)) x = (p ^ (k + 1)) x

Proof state:
case intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x y : α
hy✝ : y ∈ p.toList x
hy : p.SameCycle x y ∧ x ∈ p.support
k : ℕ
hk : k < (p.cycleOf x).support.card
hk' : (p.toList x)[k] = y
⊢ (p ^ ((k + 1) % (p.cycleOf x).support.card)) x = (p ^ (k + 1)) x

Tactic:
rw [← pow_mod_orderOf_cycleOf_apply p (k + 1), IsCycle.orderOf]

Result:
case intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x y : α
hy✝ : y ∈ p.toList x
hy : p.SameCycle x y ∧ x ∈ p.support
k : ℕ
hk : k < (p.cycleOf x).support.card
hk' : (p.toList x)[k] = y
⊢ (p.cycleOf x).IsCycle

Proof state:
case intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x y : α
hy✝ : y ∈ p.toList x
hy : p.SameCycle x y ∧ x ∈ p.support
k : ℕ
hk : k < (p.cycleOf x).support.card
hk' : (p.toList x)[k] = y
⊢ (p.toList x).next y hy✝ = p y

Tactic:
simp_rw [← hk']

Result:
case intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x y : α
hy✝ : y ∈ p.toList x
hy : p.SameCycle x y ∧ x ∈ p.support
k : ℕ
hk : k < (p.cycleOf x).support.card
hk' : (p.toList x)[k] = y
⊢ (p.toList x).next (p.toList x)[k] ⋯ = p (p.toList x)[k]

Proof state:
case intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x y : α
hy✝ : y ∈ p.toList x
hy : p.SameCycle x y ∧ x ∈ p.support
k : ℕ
hk : k < (p.cycleOf x).support.card
hk' : (p.toList x)[k] = y
⊢ (p.toList x).next (p.toList x)[k] ⋯ = p (p.toList x)[k]

Tactic:
rw [next_getElem _ (nodup_toList _ _), getElem_toList, getElem_toList, ← mul_apply, ← pow_succ']

Result:
case intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x y : α
hy✝ : y ∈ p.toList x
hy : p.SameCycle x y ∧ x ∈ p.support
k : ℕ
hk : k < (p.cycleOf x).support.card
hk' : (p.toList x)[k] = y
⊢ (p ^ ((k + 1) % (p.toList x).length)) x = (p ^ (k + 1)) x

Proof state:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x y : α
hy : y ∈ p.toList x
⊢ (p.toList x).next y hy = p y

Tactic:
rw [mem_toList_iff] at hy

Result:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x y : α
hy✝ : y ∈ p.toList x
hy : p.SameCycle x y ∧ x ∈ p.support
⊢ (p.toList x).next y hy✝ = p y

Proof state:
case intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x y : α
hy✝ : y ∈ p.toList x
hy : p.SameCycle x y ∧ x ∈ p.support
k : ℕ
hk : k < (p.cycleOf x).support.card
hk' : (p.toList x)[k] = y
⊢ (p.cycleOf x).IsCycle

Tactic:
exact isCycle_cycleOf _ (mem_support.mp hy.right)

Result:
no goals