-- Mathlib/Analysis/LocallyConvex/WithSeminorms.lean
theorem isBounded_sup {p : ι → Seminorm 𝕜 E} {q : ι' → Seminorm 𝕜₂ F} {f : E →ₛₗ[σ₁₂] F}
    (hf : IsBounded p q f) (s' : Finset ι') :
    ∃ (C : ℝ≥0) (s : Finset ι), (s'.sup q).comp f ≤ C • s.sup p

Proof state:
case inr
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_5
F : Type u_6
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : NormedField 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p : ι → Seminorm 𝕜 E
q : ι' → Seminorm 𝕜₂ F
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
hf : IsBounded p q f
s' : Finset ι'
h✝ : s'.Nonempty
⊢ ∃ C s, (s'.sup q).comp f ≤ C • s.sup p

Tactic:
choose fₛ fC hf using hf

Result:
case inr
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_5
F : Type u_6
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : NormedField 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p : ι → Seminorm 𝕜 E
q : ι' → Seminorm 𝕜₂ F
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
s' : Finset ι'
h✝ : s'.Nonempty
fₛ : ι' → Finset ι
fC : ι' → ℝ≥0
hf : ∀ (i : ι'), (q i).comp f ≤ fC i • (fₛ i).sup p
⊢ ∃ C s, (s'.sup q).comp f ≤ C • s.sup p

Proof state:
case h
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_5
F : Type u_6
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : NormedField 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p : ι → Seminorm 𝕜 E
q : ι' → Seminorm 𝕜₂ F
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
s' : Finset ι'
h✝ : s'.Nonempty
fₛ : ι' → Finset ι
fC : ι' → ℝ≥0
hf : ∀ (i : ι'), (q i).comp f ≤ fC i • (fₛ i).sup p
hs : ∀ i ∈ s', (q i).comp f ≤ s'.sup fC • (s'.biUnion fₛ).sup p
⊢ (s'.sup q).comp f ≤ (s'.card • s'.sup fC) • (s'.biUnion fₛ).sup p

Tactic:
refine (comp_mono f (finset_sup_le_sum q s')).trans ?_

Result:
case h
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_5
F : Type u_6
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : NormedField 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p : ι → Seminorm 𝕜 E
q : ι' → Seminorm 𝕜₂ F
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
s' : Finset ι'
h✝ : s'.Nonempty
fₛ : ι' → Finset ι
fC : ι' → ℝ≥0
hf : ∀ (i : ι'), (q i).comp f ≤ fC i • (fₛ i).sup p
hs : ∀ i ∈ s', (q i).comp f ≤ s'.sup fC • (s'.biUnion fₛ).sup p
⊢ (∑ i ∈ s', q i).comp f ≤ (s'.card • s'.sup fC) • (s'.biUnion fₛ).sup p

Proof state:
case h
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_5
F : Type u_6
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : NormedField 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p : ι → Seminorm 𝕜 E
q : ι' → Seminorm 𝕜₂ F
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
s' : Finset ι'
h✝ : s'.Nonempty
fₛ : ι' → Finset ι
fC : ι' → ℝ≥0
hf : ∀ (i : ι'), (q i).comp f ≤ fC i • (fₛ i).sup p
hs : ∀ i ∈ s', (q i).comp f ≤ s'.sup fC • (s'.biUnion fₛ).sup p
⊢ ∑ x ∈ s', (q x).comp f ≤ (s'.card • s'.sup fC) • (s'.biUnion fₛ).sup p

Tactic:
refine (Finset.sum_le_sum hs).trans ?_

Result:
case h
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_5
F : Type u_6
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : NormedField 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p : ι → Seminorm 𝕜 E
q : ι' → Seminorm 𝕜₂ F
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
s' : Finset ι'
h✝ : s'.Nonempty
fₛ : ι' → Finset ι
fC : ι' → ℝ≥0
hf : ∀ (i : ι'), (q i).comp f ≤ fC i • (fₛ i).sup p
hs : ∀ i ∈ s', (q i).comp f ≤ s'.sup fC • (s'.biUnion fₛ).sup p
⊢ ∑ i ∈ s', s'.sup fC • (s'.biUnion fₛ).sup p ≤ (s'.card • s'.sup fC) • (s'.biUnion fₛ).sup p

Proof state:
case inl
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_5
F : Type u_6
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : NormedField 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p : ι → Seminorm 𝕜 E
q : ι' → Seminorm 𝕜₂ F
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
hf : IsBounded p q f
⊢ ∃ C s, (∅.sup q).comp f ≤ C • s.sup p

Tactic:
exact ⟨1, ∅, by simp [Seminorm.bot_eq_zero]⟩

Result:
no goals

Proof state:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_5
F : Type u_6
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : NormedField 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p : ι → Seminorm 𝕜 E
q : ι' → Seminorm 𝕜₂ F
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
s' : Finset ι'
h✝ : s'.Nonempty
fₛ : ι' → Finset ι
fC : ι' → ℝ≥0
hf : ∀ (i : ι'), (q i).comp f ≤ fC i • (fₛ i).sup p
i : ι'
hi : i ∈ s'
⊢ (fₛ i).sup p ≤ (s'.biUnion fₛ).sup p

Tactic:
exact Finset.sup_mono (Finset.subset_biUnion_of_mem fₛ hi)

Result:
no goals

Proof state:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_5
F : Type u_6
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : NormedField 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p : ι → Seminorm 𝕜 E
q : ι' → Seminorm 𝕜₂ F
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
s' : Finset ι'
h✝ : s'.Nonempty
fₛ : ι' → Finset ι
fC : ι' → ℝ≥0
hf : ∀ (i : ι'), (q i).comp f ≤ fC i • (fₛ i).sup p
i : ι'
hi : i ∈ s'
⊢ (q i).comp f ≤ s'.sup fC • (s'.biUnion fₛ).sup p

Tactic:
refine (hf i).trans (smul_le_smul ?_ (Finset.le_sup hi))

Result:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_5
F : Type u_6
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : NormedField 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p : ι → Seminorm 𝕜 E
q : ι' → Seminorm 𝕜₂ F
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
s' : Finset ι'
h✝ : s'.Nonempty
fₛ : ι' → Finset ι
fC : ι' → ℝ≥0
hf : ∀ (i : ι'), (q i).comp f ≤ fC i • (fₛ i).sup p
i : ι'
hi : i ∈ s'
⊢ (fₛ i).sup p ≤ (s'.biUnion fₛ).sup p

Proof state:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_5
F : Type u_6
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : NormedField 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p : ι → Seminorm 𝕜 E
q : ι' → Seminorm 𝕜₂ F
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
hf : IsBounded p q f
⊢ (∅.sup q).comp f ≤ 1 • ∅.sup p

Tactic:
simp [Seminorm.bot_eq_zero]

Result:
no goals

Proof state:
case h
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
E : Type u_5
F : Type u_6
ι : Type u_8
ι' : Type u_9
inst✝⁶ : NormedField 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : Module 𝕜 E
inst✝³ : NormedField 𝕜₂
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜₂ F
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
p : ι → Seminorm 𝕜 E
q : ι' → Seminorm 𝕜₂ F
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
s' : Finset ι'
h✝ : s'.Nonempty
fₛ : ι' → Finset ι
fC : ι' → ℝ≥0
hf : ∀ (i : ι'), (q i).comp f ≤ fC i • (fₛ i).sup p
hs : ∀ i ∈ s', (q i).comp f ≤ s'.sup fC • (s'.biUnion fₛ).sup p
⊢ ∑ i ∈ s', s'.sup fC • (s'.biUnion fₛ).sup p ≤ (s'.card • s'.sup fC) • (s'.biUnion fₛ).sup p

Tactic:
rw [Finset.sum_const, smul_assoc]

Result:
no goals