-- Mathlib/GroupTheory/NoncommPiCoprod.lean
theorem injective_noncommPiCoprod_of_iSupIndep [Fintype ι]
    {hcomm : Pairwise fun i j : ι => ∀ (x : H i) (y : H j), Commute (ϕ i x) (ϕ j y)}
    (hind : iSupIndep fun i => (ϕ i).range)
    (hinj : ∀ i, Function.Injective (ϕ i)) : Function.Injective (noncommPiCoprod ϕ hcomm)

Proof state:
case h.a
G : Type u_1
inst✝² : Group G
ι : Type u_2
H : ι → Type u_3
inst✝¹ : (i : ι) → Group (H i)
ϕ : (i : ι) → H i →* G
inst✝ : Fintype ι
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : H i) (y : H j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
hind : iSupIndep fun i => (ϕ i).range
hinj : ∀ (i : ι), Function.Injective ⇑(ϕ i)
f : (i : ι) → H i
heq1 : f ∈ (noncommPiCoprod ϕ hcomm).ker
this : ∀ i ∈ Finset.univ, (ϕ i) (f i) = 1
i : ι
⊢ (ϕ i) (f i) = (ϕ i) (1 i)

Tactic:
simp [this i (Finset.mem_univ i)]

Result:
no goals

Proof state:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
ι : Type u_2
H : ι → Type u_3
inst✝¹ : (i : ι) → Group (H i)
ϕ : (i : ι) → H i →* G
inst✝ : Fintype ι
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : H i) (y : H j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
hind : iSupIndep fun i => (ϕ i).range
hinj : ∀ (i : ι), Function.Injective ⇑(ϕ i)
f : (i : ι) → H i
heq1 : f ∈ (noncommPiCoprod ϕ hcomm).ker
⊢ ∀ x ∈ Finset.univ, (ϕ x) (f x) ∈ (ϕ x).range

Tactic:
simp

Result:
no goals

Proof state:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
ι : Type u_2
H : ι → Type u_3
inst✝¹ : (i : ι) → Group (H i)
ϕ : (i : ι) → H i →* G
inst✝ : Fintype ι
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : H i) (y : H j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
hind : iSupIndep fun i => (ϕ i).range
hinj : ∀ (i : ι), Function.Injective ⇑(ϕ i)
⊢ Function.Injective ⇑(noncommPiCoprod ϕ hcomm)

Tactic:
apply (MonoidHom.ker_eq_bot_iff _).mp

Result:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
ι : Type u_2
H : ι → Type u_3
inst✝¹ : (i : ι) → Group (H i)
ϕ : (i : ι) → H i →* G
inst✝ : Fintype ι
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : H i) (y : H j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
hind : iSupIndep fun i => (ϕ i).range
hinj : ∀ (i : ι), Function.Injective ⇑(ϕ i)
⊢ (noncommPiCoprod ϕ hcomm).ker = ⊥

Proof state:
case h
G : Type u_1
inst✝² : Group G
ι : Type u_2
H : ι → Type u_3
inst✝¹ : (i : ι) → Group (H i)
ϕ : (i : ι) → H i →* G
inst✝ : Fintype ι
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : H i) (y : H j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
hind : iSupIndep fun i => (ϕ i).range
hinj : ∀ (i : ι), Function.Injective ⇑(ϕ i)
f : (i : ι) → H i
heq1 : f ∈ (noncommPiCoprod ϕ hcomm).ker
this : ∀ i ∈ Finset.univ, (ϕ i) (f i) = 1
i : ι
⊢ f i = 1 i

Tactic:
apply hinj

Result:
case h.a
G : Type u_1
inst✝² : Group G
ι : Type u_2
H : ι → Type u_3
inst✝¹ : (i : ι) → Group (H i)
ϕ : (i : ι) → H i →* G
inst✝ : Fintype ι
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : H i) (y : H j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
hind : iSupIndep fun i => (ϕ i).range
hinj : ∀ (i : ι), Function.Injective ⇑(ϕ i)
f : (i : ι) → H i
heq1 : f ∈ (noncommPiCoprod ϕ hcomm).ker
this : ∀ i ∈ Finset.univ, (ϕ i) (f i) = 1
i : ι
⊢ (ϕ i) (f i) = (ϕ i) (1 i)

Proof state:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
ι : Type u_2
H : ι → Type u_3
inst✝¹ : (i : ι) → Group (H i)
ϕ : (i : ι) → H i →* G
inst✝ : Fintype ι
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : H i) (y : H j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
hind : iSupIndep fun i => (ϕ i).range
hinj : ∀ (i : ι), Function.Injective ⇑(ϕ i)
f : (i : ι) → H i
heq1 : f ∈ (noncommPiCoprod ϕ hcomm).ker
this : ∀ i ∈ Finset.univ, (ϕ i) (f i) = 1
⊢ f ∈ ⊥

Tactic:
ext i

Result:
case h
G : Type u_1
inst✝² : Group G
ι : Type u_2
H : ι → Type u_3
inst✝¹ : (i : ι) → Group (H i)
ϕ : (i : ι) → H i →* G
inst✝ : Fintype ι
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : H i) (y : H j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
hind : iSupIndep fun i => (ϕ i).range
hinj : ∀ (i : ι), Function.Injective ⇑(ϕ i)
f : (i : ι) → H i
heq1 : f ∈ (noncommPiCoprod ϕ hcomm).ker
this : ∀ i ∈ Finset.univ, (ϕ i) (f i) = 1
i : ι
⊢ f i = 1 i

Proof state:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
ι : Type u_2
H : ι → Type u_3
inst✝¹ : (i : ι) → Group (H i)
ϕ : (i : ι) → H i →* G
inst✝ : Fintype ι
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : H i) (y : H j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
hind : iSupIndep fun i => (ϕ i).range
hinj : ∀ (i : ι), Function.Injective ⇑(ϕ i)
⊢ (noncommPiCoprod ϕ hcomm).ker = ⊥

Tactic:
rw [eq_bot_iff]

Result:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
ι : Type u_2
H : ι → Type u_3
inst✝¹ : (i : ι) → Group (H i)
ϕ : (i : ι) → H i →* G
inst✝ : Fintype ι
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : H i) (y : H j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
hind : iSupIndep fun i => (ϕ i).range
hinj : ∀ (i : ι), Function.Injective ⇑(ϕ i)
⊢ (noncommPiCoprod ϕ hcomm).ker ≤ ⊥

Proof state:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
ι : Type u_2
H : ι → Type u_3
inst✝¹ : (i : ι) → Group (H i)
ϕ : (i : ι) → H i →* G
inst✝ : Fintype ι
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : H i) (y : H j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
hind : iSupIndep fun i => (ϕ i).range
hinj : ∀ (i : ι), Function.Injective ⇑(ϕ i)
⊢ (noncommPiCoprod ϕ hcomm).ker ≤ ⊥

Tactic:
intro f heq1

Result:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
ι : Type u_2
H : ι → Type u_3
inst✝¹ : (i : ι) → Group (H i)
ϕ : (i : ι) → H i →* G
inst✝ : Fintype ι
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : H i) (y : H j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
hind : iSupIndep fun i => (ϕ i).range
hinj : ∀ (i : ι), Function.Injective ⇑(ϕ i)
f : (i : ι) → H i
heq1 : f ∈ (noncommPiCoprod ϕ hcomm).ker
⊢ f ∈ ⊥

Proof state:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
ι : Type u_2
H : ι → Type u_3
inst✝¹ : (i : ι) → Group (H i)
ϕ : (i : ι) → H i →* G
inst✝ : Fintype ι
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : H i) (y : H j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
hind : iSupIndep fun i => (ϕ i).range
hinj : ∀ (i : ι), Function.Injective ⇑(ϕ i)
⊢ Function.Injective ⇑(noncommPiCoprod ϕ hcomm)

Tactic:
classical
  apply (MonoidHom.ker_eq_bot_iff _).mp
  rw [eq_bot_iff]
  intro f heq1
  have : ∀ i, i ∈ Finset.univ → ϕ i (f i) = 1 :=
    Subgroup.eq_one_of_noncommProd_eq_one_of_iSupIndep _ _ (fun _ _ _ _ h => hcomm h _ _)
      _ hind (by simp) heq1
  ext i
  apply hinj
  simp [this i (Finset.mem_univ i)]

Result:
no goals

Proof state:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
ι : Type u_2
H : ι → Type u_3
inst✝¹ : (i : ι) → Group (H i)
ϕ : (i : ι) → H i →* G
inst✝ : Fintype ι
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : H i) (y : H j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
hind : iSupIndep fun i => (ϕ i).range
hinj : ∀ (i : ι), Function.Injective ⇑(ϕ i)
f : (i : ι) → H i
heq1 : f ∈ (noncommPiCoprod ϕ hcomm).ker
⊢ f ∈ ⊥

Tactic:
have : ∀ i, i ∈ Finset.univ → ϕ i (f i) = 1 :=
  Subgroup.eq_one_of_noncommProd_eq_one_of_iSupIndep _ _ (fun _ _ _ _ h => hcomm h _ _)
    _ hind (by simp) heq1

Result:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
ι : Type u_2
H : ι → Type u_3
inst✝¹ : (i : ι) → Group (H i)
ϕ : (i : ι) → H i →* G
inst✝ : Fintype ι
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : H i) (y : H j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
hind : iSupIndep fun i => (ϕ i).range
hinj : ∀ (i : ι), Function.Injective ⇑(ϕ i)
f : (i : ι) → H i
heq1 : f ∈ (noncommPiCoprod ϕ hcomm).ker
this : ∀ i ∈ Finset.univ, (ϕ i) (f i) = 1
⊢ f ∈ ⊥