-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/NNNorm.lean
theorem exists_lt_apply_of_lt_opNorm {𝕜 𝕜₂ E F : Type*} [NormedAddCommGroup E]
    [SeminormedAddCommGroup F] [DenselyNormedField 𝕜] [NontriviallyNormedField 𝕜₂] {σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂}
    [NormedSpace 𝕜 E] [NormedSpace 𝕜₂ F] [RingHomIsometric σ₁₂] (f : E →SL[σ₁₂] F) {r : ℝ}
    (hr : r < ‖f‖) : ∃ x : E, ‖x‖ < 1 ∧ r < ‖f x‖

Proof state:
case neg.intro
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
r : ℝ≥0
hr : ↑r < ‖f‖
hr₀ : ¬↑r < 0
⊢ ∃ x, ‖x‖ < 1 ∧ ↑r < ‖f x‖

Tactic:
exact f.exists_lt_apply_of_lt_opNNNorm hr

Result:
no goals

Proof state:
case pos
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
r : ℝ
hr : r < ‖f‖
hr₀ : r < 0
⊢ ∃ x, ‖x‖ < 1 ∧ r < ‖f x‖

Tactic:
exact ⟨0, by simpa using hr₀⟩

Result:
no goals

Proof state:
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
r : ℝ
hr : r < ‖f‖
⊢ ∃ x, ‖x‖ < 1 ∧ r < ‖f x‖

Tactic:
by_cases hr₀ : r < 0

Result:
case pos
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
r : ℝ
hr : r < ‖f‖
hr₀ : r < 0
⊢ ∃ x, ‖x‖ < 1 ∧ r < ‖f x‖

case neg
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
r : ℝ
hr : r < ‖f‖
hr₀ : ¬r < 0
⊢ ∃ x, ‖x‖ < 1 ∧ r < ‖f x‖

Proof state:
case neg
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
r : ℝ
hr : r < ‖f‖
hr₀ : ¬r < 0
⊢ ∃ x, ‖x‖ < 1 ∧ r < ‖f x‖

Tactic:
lift r to ℝ≥0 using not_lt.1 hr₀

Result:
case neg.intro
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
r : ℝ≥0
hr : ↑r < ‖f‖
hr₀ : ¬↑r < 0
⊢ ∃ x, ‖x‖ < 1 ∧ ↑r < ‖f x‖

Proof state:
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
r : ℝ
hr : r < ‖f‖
hr₀ : r < 0
⊢ ‖0‖ < 1 ∧ r < ‖f 0‖

Tactic:
simpa using hr₀

Result:
no goals