-- Mathlib/Algebra/Homology/HomologySequenceLemmas.lean
lemma quasiIso_τ₃ (h₁ : QuasiIso φ.τ₁) (h₂ : QuasiIso φ.τ₂) :
    QuasiIso φ.τ₃

Proof state:
case h₄
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S₁ S₂ : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
φ : S₁ ⟶ S₂
hS₁ : S₁.ShortExact
hS₂ : S₂.ShortExact
h₁ : QuasiIso φ.τ₁
h₂ : QuasiIso φ.τ₂
i : ι
⊢ ∀ (j : ι), c.Rel i j → Mono (homologyMap φ.τ₂ j)

Tactic:
infer_instance

Result:
no goals

Proof state:
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S₁ S₂ : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
φ : S₁ ⟶ S₂
hS₁ : S₁.ShortExact
hS₂ : S₂.ShortExact
h₁ : QuasiIso φ.τ₁
h₂ : QuasiIso φ.τ₂
⊢ QuasiIso φ.τ₃

Tactic:
rw [quasiIso_iff]

Result:
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S₁ S₂ : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
φ : S₁ ⟶ S₂
hS₁ : S₁.ShortExact
hS₂ : S₂.ShortExact
h₁ : QuasiIso φ.τ₁
h₂ : QuasiIso φ.τ₂
⊢ ∀ (i : ι), QuasiIsoAt φ.τ₃ i

Proof state:
case h₁
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S₁ S₂ : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
φ : S₁ ⟶ S₂
hS₁ : S₁.ShortExact
hS₂ : S₂.ShortExact
h₁ : QuasiIso φ.τ₁
h₂ : QuasiIso φ.τ₂
i : ι
⊢ Epi (homologyMap φ.τ₁ i)

case h₂
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S₁ S₂ : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
φ : S₁ ⟶ S₂
hS₁ : S₁.ShortExact
hS₂ : S₂.ShortExact
h₁ : QuasiIso φ.τ₁
h₂ : QuasiIso φ.τ₂
i : ι
⊢ IsIso (homologyMap φ.τ₂ i)

case h₃
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S₁ S₂ : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
φ : S₁ ⟶ S₂
hS₁ : S₁.ShortExact
hS₂ : S₂.ShortExact
h₁ : QuasiIso φ.τ₁
h₂ : QuasiIso φ.τ₂
i : ι
⊢ ∀ (j : ι), c.Rel i j → IsIso (homologyMap φ.τ₁ j)

case h₄
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S₁ S₂ : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
φ : S₁ ⟶ S₂
hS₁ : S₁.ShortExact
hS₂ : S₂.ShortExact
h₁ : QuasiIso φ.τ₁
h₂ : QuasiIso φ.τ₂
i : ι
⊢ ∀ (j : ι), c.Rel i j → Mono (homologyMap φ.τ₂ j)

Tactic:
all_goals infer_instance

Result:
no goals

Proof state:
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S₁ S₂ : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
φ : S₁ ⟶ S₂
hS₁ : S₁.ShortExact
hS₂ : S₂.ShortExact
h₁ : QuasiIso φ.τ₁
h₂ : QuasiIso φ.τ₂
i : ι
⊢ QuasiIsoAt φ.τ₃ i

Tactic:
rw [quasiIsoAt_iff_isIso_homologyMap]

Result:
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S₁ S₂ : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
φ : S₁ ⟶ S₂
hS₁ : S₁.ShortExact
hS₂ : S₂.ShortExact
h₁ : QuasiIso φ.τ₁
h₂ : QuasiIso φ.τ₂
i : ι
⊢ IsIso (homologyMap φ.τ₃ i)

Proof state:
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S₁ S₂ : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
φ : S₁ ⟶ S₂
hS₁ : S₁.ShortExact
hS₂ : S₂.ShortExact
h₁ : QuasiIso φ.τ₁
h₂ : QuasiIso φ.τ₂
i : ι
⊢ IsIso (homologyMap φ.τ₃ i)

Tactic:
apply isIso_homologyMap_τ₃ φ hS₁ hS₂

Result:
case h₁
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S₁ S₂ : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
φ : S₁ ⟶ S₂
hS₁ : S₁.ShortExact
hS₂ : S₂.ShortExact
h₁ : QuasiIso φ.τ₁
h₂ : QuasiIso φ.τ₂
i : ι
⊢ Epi (homologyMap φ.τ₁ i)

case h₂
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S₁ S₂ : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
φ : S₁ ⟶ S₂
hS₁ : S₁.ShortExact
hS₂ : S₂.ShortExact
h₁ : QuasiIso φ.τ₁
h₂ : QuasiIso φ.τ₂
i : ι
⊢ IsIso (homologyMap φ.τ₂ i)

case h₃
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S₁ S₂ : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
φ : S₁ ⟶ S₂
hS₁ : S₁.ShortExact
hS₂ : S₂.ShortExact
h₁ : QuasiIso φ.τ₁
h₂ : QuasiIso φ.τ₂
i : ι
⊢ ∀ (j : ι), c.Rel i j → IsIso (homologyMap φ.τ₁ j)

case h₄
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S₁ S₂ : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
φ : S₁ ⟶ S₂
hS₁ : S₁.ShortExact
hS₂ : S₂.ShortExact
h₁ : QuasiIso φ.τ₁
h₂ : QuasiIso φ.τ₂
i : ι
⊢ ∀ (j : ι), c.Rel i j → Mono (homologyMap φ.τ₂ j)

Proof state:
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S₁ S₂ : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
φ : S₁ ⟶ S₂
hS₁ : S₁.ShortExact
hS₂ : S₂.ShortExact
h₁ : QuasiIso φ.τ₁
h₂ : QuasiIso φ.τ₂
⊢ ∀ (i : ι), QuasiIsoAt φ.τ₃ i

Tactic:
intro i

Result:
C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
S₁ S₂ : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
φ : S₁ ⟶ S₂
hS₁ : S₁.ShortExact
hS₂ : S₂.ShortExact
h₁ : QuasiIso φ.τ₁
h₂ : QuasiIso φ.τ₂
i : ι
⊢ QuasiIsoAt φ.τ₃ i