-- Mathlib/CategoryTheory/Monoidal/Bimod.lean
theorem comp_whiskerLeft_bimod {W X Y Z : Mon_ C} (M : Bimod W X) (N : Bimod X Y)
    {P P' : Bimod Y Z} (f : P ⟶ P') :
    whiskerLeft (M.tensorBimod N) f =
      (associatorBimod M N P).hom ≫
        whiskerLeft M (whiskerLeft N f) ≫ (associatorBimod M N P').inv

Proof state:
case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N : Bimod X Y
P P' : Bimod Y Z
f : P ⟶ P'
⊢ coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P.X ≫
      coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ f.hom ≫
        colimit.ι
          (parallelPair (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X)
            ((α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P'.X).hom ≫
              coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P'.actLeft))
          WalkingParallelPair.one =
    (α_ M.X N.X P.X).hom ≫
      M.X ◁
          (N.X ◁ f.hom ≫
            colimit.ι (parallelPair (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft))
              WalkingParallelPair.one) ≫
        AssociatorBimod.invAux M N P'

Tactic:
dsimp [AssociatorBimod.invAux]

Result:
case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N : Bimod X Y
P P' : Bimod Y Z
f : P ⟶ P'
⊢ coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P.X ≫
      coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ f.hom ≫
        colimit.ι
          (parallelPair (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X)
            ((α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P'.X).hom ≫
              coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P'.actLeft))
          WalkingParallelPair.one =
    (α_ M.X N.X P.X).hom ≫
      M.X ◁
          (N.X ◁ f.hom ≫
            colimit.ι (parallelPair (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft))
              WalkingParallelPair.one) ≫
        (PreservesCoequalizer.iso (tensorLeft M.X) (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft)).inv ≫
          coequalizer.desc
            ((α_ M.X N.X P'.X).inv ≫
              coequalizer.π (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ▷ P'.X ≫
                coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X)
                  ((α_ (TensorBimod.X M N) Y.X P'.X).hom ≫ TensorBimod.X M N ◁ P'.actLeft))
            ⋯

Proof state:
case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N : Bimod X Y
P P' : Bimod Y Z
f : P ⟶ P'
⊢ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ f.hom ≫
      colimit.ι
        (parallelPair (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X)
          ((α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P'.X).hom ≫
            coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P'.actLeft))
        WalkingParallelPair.one =
    coequalizer.π (TensorBimod.actRight M N ▷ P.X)
        ((α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P.X).hom ≫
          coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P.actLeft) ≫
      coequalizer.desc (AssociatorBimod.homAux M N P) ⋯ ≫
        colimMap
            (parallelPairHom (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft))
              ((α_ M.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft))).hom ≫
                M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)
              (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft))
              ((α_ M.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft))).hom ≫
                M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P')
              ((M.X ⊗ X.X) ◁
                colimMap
                  (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N.actRight ▷ P'.X)
                    ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft) ((N.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (N.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯))
              (M.X ◁
                colimMap
                  (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N.actRight ▷ P'.X)
                    ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft) ((N.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (N.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯))
              ⋯ ⋯) ≫
          AssociatorBimod.inv M N P'

Tactic:
slice_rhs 1 2 => rw [coequalizer.π_desc]

Result:
case h.h
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : HasCoequalizers C
inst✝¹ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)
inst✝ : ∀ (X : C), PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)
W X Y Z : Mon_ C
M : Bimod W X
N : Bimod X Y
P P' : Bimod Y Z
f : P ⟶ P'
⊢ coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ f.hom ≫
      colimit.ι
        (parallelPair (TensorBimod.actRight M N ▷ P'.X)
          ((α_ (coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft)) Y.X P'.X).hom ≫
            coequalizer (M.actRight ▷ N.X) ((α_ M.X X.X N.X).hom ≫ M.X ◁ N.actLeft) ◁ P'.actLeft))
        WalkingParallelPair.one =
    (AssociatorBimod.homAux M N P ≫
        colimMap
          (parallelPairHom (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft))
            ((α_ M.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft))).hom ≫
              M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P)
            (M.actRight ▷ coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft))
            ((α_ M.X X.X (coequalizer (N.actRight ▷ P'.X) ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft))).hom ≫
              M.X ◁ TensorBimod.actLeft N P')
            ((M.X ⊗ X.X) ◁
              colimMap
                (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N.actRight ▷ P'.X)
                  ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft) ((N.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (N.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯))
            (M.X ◁
              colimMap
                (parallelPairHom (N.actRight ▷ P.X) ((α_ N.X Y.X P.X).hom ≫ N.X ◁ P.actLeft) (N.actRight ▷ P'.X)
                  ((α_ N.X Y.X P'.X).hom ≫ N.X ◁ P'.actLeft) ((N.X ⊗ Y.X) ◁ f.hom) (N.X ◁ f.hom) ⋯ ⋯))
            ⋯ ⋯)) ≫
      AssociatorBimod.inv M N P'