-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/BesicovitchVectorSpace.lean
theorem exists_normalized_aux3 {N : ℕ} {τ : ℝ} (a : SatelliteConfig E N τ)
    (lastc : a.c (last N) = 0) (lastr : a.r (last N) = 1) (hτ : 1 ≤ τ) (δ : ℝ) (hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4)
    (i j : Fin N.succ) (inej : i ≠ j) (hi : 2 < ‖a.c i‖) (hij : ‖a.c i‖ ≤ ‖a.c j‖) :
    1 - δ ≤ ‖(2 / ‖a.c i‖) • a.c i - (2 / ‖a.c j‖) • a.c j‖

Proof state:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah : Pairwise fun i j => a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
hj : 2 < ‖a.c j‖
s : ℝ := ‖a.c i‖
hi : 2 < s
hij : s ≤ ‖a.c j‖
A : a.r i ≤ s
spos : 0 < s
d : E := (s / ‖a.c j‖) • a.c j
hd : d = (s / ‖a.c j‖) • a.c j
⊢ ‖1 • a.c j - d‖ + ‖d - a.c i‖ = ‖a.c j‖ - ‖a.c i‖ + ‖d - a.c i‖

Tactic:
rw [add_left_inj, hd, ← sub_smul, norm_smul, Real.norm_eq_abs, abs_of_nonneg, sub_mul,
  one_mul, div_mul_cancel₀ _ (zero_le_two.trans_lt hj).ne']

Result:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah : Pairwise fun i j => a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
hj : 2 < ‖a.c j‖
s : ℝ := ‖a.c i‖
hi : 2 < s
hij : s ≤ ‖a.c j‖
A : a.r i ≤ s
spos : 0 < s
d : E := (s / ‖a.c j‖) • a.c j
hd : d = (s / ‖a.c j‖) • a.c j
⊢ 0 ≤ 1 - s / ‖a.c j‖

Proof state:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah : Pairwise fun i j => a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
hj : 2 < ‖a.c j‖
s : ℝ := ‖a.c i‖
hi : 2 < s
hij : s ≤ ‖a.c j‖
A : a.r i ≤ s
spos : 0 < s
d : E := (s / ‖a.c j‖) • a.c j
hd : d = (s / ‖a.c j‖) • a.c j
I : ‖a.c j - a.c i‖ ≤ ‖a.c j‖ - s + ‖d - a.c i‖
J : a.r j - ‖a.c j - a.c i‖ ≤ s / 2 * δ
invs_nonneg : 0 ≤ 2 / s
⊢ 1 - δ ≤ ‖(2 / s) • a.c i - (2 / ‖a.c j‖) • a.c j‖

Tactic:
calc
  1 - δ = 2 / s * (s / 2 - s / 2 * δ) := by field_simp [spos.ne']; ring
  _ ≤ 2 / s * ‖d - a.c i‖ :=
    (mul_le_mul_of_nonneg_left (by linarith only [hcrj, I, J, hi]) invs_nonneg)
  _ = ‖(2 / s) • a.c i - (2 / ‖a.c j‖) • a.c j‖ := by
    conv_lhs => rw [norm_sub_rev, ← abs_of_nonneg invs_nonneg]
    rw [← Real.norm_eq_abs, ← norm_smul, smul_sub, hd, smul_smul]
    congr 3
    field_simp [spos.ne']

Result:
no goals

Proof state:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah : Pairwise fun i j => a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
hj : 2 < ‖a.c j‖
s : ℝ := ‖a.c i‖
hi : 2 < s
hij : s ≤ ‖a.c j‖
A : a.r i ≤ s
spos : 0 < s
d : E := (s / ‖a.c j‖) • a.c j
hd : d = (s / ‖a.c j‖) • a.c j
⊢ 0 ≤ 1 - s / ‖a.c j‖

Tactic:
rwa [sub_nonneg, div_le_iff₀ (zero_lt_two.trans hj), one_mul]

Result:
no goals

Proof state:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah : Pairwise fun i j => a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
hj : 2 < ‖a.c j‖
s : ℝ := ‖a.c i‖
hi : 2 < s
hij : s ≤ ‖a.c j‖
A : a.r i ≤ s
spos : 0 < s
d : E := (s / ‖a.c j‖) • a.c j
hd : d = (s / ‖a.c j‖) • a.c j
⊢ ‖a.c j - a.c i‖ ≤ ‖a.c j - d‖ + ‖d - a.c i‖

Tactic:
simp [← dist_eq_norm, dist_triangle]

Result:
no goals

Proof state:
case inl
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah : Pairwise fun i j => a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
hj : 2 < ‖a.c j‖
s : ℝ := ‖a.c i‖
hi : 2 < s
hij : s ≤ ‖a.c j‖
A : a.r i ≤ s
spos : 0 < s
d : E := (s / ‖a.c j‖) • a.c j
hd : d = (s / ‖a.c j‖) • a.c j
I : ‖a.c j - a.c i‖ ≤ ‖a.c j‖ - s + ‖d - a.c i‖
H : a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
⊢ a.r j - ‖a.c j - a.c i‖ ≤ s * (τ - 1)

Tactic:
calc
  a.r j - ‖a.c j - a.c i‖ ≤ 0 := sub_nonpos.2 H.1
  _ ≤ s * (τ - 1) := mul_nonneg spos.le (sub_nonneg.2 hτ)

Result:
no goals

Proof state:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : 2 < ‖a.c i‖
hij : ‖a.c i‖ ≤ ‖a.c j‖
ah : Pairwise fun i j => a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
⊢ 1 - δ ≤ ‖(2 / ‖a.c i‖) • a.c i - (2 / ‖a.c j‖) • a.c j‖

Tactic:
have A : a.r i ≤ ‖a.c i‖ := by
  have : i < last N := by
    apply lt_top_iff_ne_top.2
    intro iN
    change i = last N at iN
    rw [iN, lastc, norm_zero] at hi
    exact lt_irrefl _ (zero_le_two.trans_lt hi)
  convert (a.hlast i this).1 using 1
  rw [dist_eq_norm, lastc, sub_zero]

Result:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : 2 < ‖a.c i‖
hij : ‖a.c i‖ ≤ ‖a.c j‖
ah : Pairwise fun i j => a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
A : a.r i ≤ ‖a.c i‖
⊢ 1 - δ ≤ ‖(2 / ‖a.c i‖) • a.c i - (2 / ‖a.c j‖) • a.c j‖

Proof state:
case inr
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
ah : Pairwise fun i j => a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j
δnonneg : 0 ≤ δ
hcrj : ‖a.c j‖ ≤ a.r j + 1
hj : 2 < ‖a.c j‖
s : ℝ := ‖a.c i‖
hi : 2 < s
hij : s ≤ ‖a.c j‖
A : a.r i ≤ s
spos : 0 < s
d : E := (s / ‖a.c j‖) • a.c j
hd : d = (s / ‖a.c j‖) • a.c j
I : ‖a.c j - a.c i‖ ≤ ‖a.c j‖ - s + ‖d - a.c i‖
H : a.r i ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i
⊢ a.r j - ‖a.c j - a.c i‖ ≤ s * (τ - 1)

Tactic:
calc
  a.r j - ‖a.c j - a.c i‖ ≤ τ * a.r i - a.r i := sub_le_sub H.2 H.1
  _ = a.r i * (τ - 1) := by ring
  _ ≤ s * (τ - 1) := mul_le_mul_of_nonneg_right A (sub_nonneg.2 hτ)

Result:
no goals

Proof state:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
N : ℕ
τ : ℝ
a : SatelliteConfig E N τ
lastc : a.c (last N) = 0
lastr : a.r (last N) = 1
hτ : 1 ≤ τ
δ : ℝ
hδ1 : τ ≤ 1 + δ / 4
i j : Fin N.succ
inej : i ≠ j
hi : 2 < ‖a.c i‖
hij : ‖a.c i‖ ≤ ‖a.c j‖
⊢ Pairwise fun i j => a.r i ≤ ‖a.c i - a.c j‖ ∧ a.r j ≤ τ * a.r i ∨ a.r j ≤ ‖a.c j - a.c i‖ ∧ a.r i ≤ τ * a.r j

Tactic:
simpa only [dist_eq_norm] using a.h

Result:
no goals