-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
theorem unifIntegrable_fin (hp_one : 1 ≤ p) (hp_top : p ≠ ∞) {n : ℕ} {f : Fin n → α → β}
    (hf : ∀ i, MemLp (f i) p μ) : UnifIntegrable f p μ

Proof state:
case succ
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
n : ℕ
h : ∀ {f : Fin n → α → β}, (∀ (i : Fin n), MemLp (f i) p μ) → UnifIntegrable f p μ
⊢ ∀ {f : Fin (n + 1) → α → β}, (∀ (i : Fin (n + 1)), MemLp (f i) p μ) → UnifIntegrable f p μ

Tactic:
intro f hfLp ε hε

Result:
case succ
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
n : ℕ
h : ∀ {f : Fin n → α → β}, (∀ (i : Fin n), MemLp (f i) p μ) → UnifIntegrable f p μ
f : Fin (n + 1) → α → β
hfLp : ∀ (i : Fin (n + 1)), MemLp (f i) p μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∃ δ,
    ∃ (_ : 0 < δ),
      ∀ (i : Fin (n + 1)) (s : Set α),
        MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
n : ℕ
h : ∀ {f : Fin n → α → β}, (∀ (i : Fin n), MemLp (f i) p μ) → UnifIntegrable f p μ
f : Fin (n + 1) → α → β
hfLp : ∀ (i : Fin (n + 1)), MemLp (f i) p μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
g : Fin n → α → β := fun k => f ↑↑k
hgLp : ∀ (i : Fin n), MemLp (g i) p μ
δ₁ : ℝ
hδ₁pos : 0 < δ₁
hδ₁ :
  ∀ (i : Fin n) (s : Set α),
    MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ → eLpNorm (s.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
δ₂ : ℝ
hδ₂pos : 0 < δ₂
hδ₂ : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₂ → eLpNorm (s.indicator (f ↑n)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
i : Fin (n + 1)
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≤ ENNReal.ofReal (δ₁ ⊓ δ₂)
hi : ¬↑i < n
⊢ i = ↑n

Tactic:
have hi' := Fin.is_lt i

Result:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
n : ℕ
h : ∀ {f : Fin n → α → β}, (∀ (i : Fin n), MemLp (f i) p μ) → UnifIntegrable f p μ
f : Fin (n + 1) → α → β
hfLp : ∀ (i : Fin (n + 1)), MemLp (f i) p μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
g : Fin n → α → β := fun k => f ↑↑k
hgLp : ∀ (i : Fin n), MemLp (g i) p μ
δ₁ : ℝ
hδ₁pos : 0 < δ₁
hδ₁ :
  ∀ (i : Fin n) (s : Set α),
    MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ → eLpNorm (s.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
δ₂ : ℝ
hδ₂pos : 0 < δ₂
hδ₂ : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₂ → eLpNorm (s.indicator (f ↑n)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
i : Fin (n + 1)
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≤ ENNReal.ofReal (δ₁ ⊓ δ₂)
hi : ¬↑i < n
hi' : ↑i < n + 1
⊢ i = ↑n

Proof state:
case succ.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
n : ℕ
h : ∀ {f : Fin n → α → β}, (∀ (i : Fin n), MemLp (f i) p μ) → UnifIntegrable f p μ
f : Fin (n + 1) → α → β
hfLp : ∀ (i : Fin (n + 1)), MemLp (f i) p μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
g : Fin n → α → β := fun k => f ↑↑k
hgLp : ∀ (i : Fin n), MemLp (g i) p μ
δ₁ : ℝ
hδ₁pos : 0 < δ₁
hδ₁ :
  ∀ (i : Fin n) (s : Set α),
    MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ → eLpNorm (s.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
δ₂ : ℝ
hδ₂pos : 0 < δ₂
hδ₂ : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₂ → eLpNorm (s.indicator (f ↑n)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
i : Fin (n + 1)
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≤ ENNReal.ofReal (δ₁ ⊓ δ₂)
⊢ eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε

Tactic:
by_cases hi : i.val < n

Result:
case pos
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
n : ℕ
h : ∀ {f : Fin n → α → β}, (∀ (i : Fin n), MemLp (f i) p μ) → UnifIntegrable f p μ
f : Fin (n + 1) → α → β
hfLp : ∀ (i : Fin (n + 1)), MemLp (f i) p μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
g : Fin n → α → β := fun k => f ↑↑k
hgLp : ∀ (i : Fin n), MemLp (g i) p μ
δ₁ : ℝ
hδ₁pos : 0 < δ₁
hδ₁ :
  ∀ (i : Fin n) (s : Set α),
    MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ → eLpNorm (s.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
δ₂ : ℝ
hδ₂pos : 0 < δ₂
hδ₂ : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₂ → eLpNorm (s.indicator (f ↑n)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
i : Fin (n + 1)
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≤ ENNReal.ofReal (δ₁ ⊓ δ₂)
hi : ↑i < n
⊢ eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε

case neg
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
n : ℕ
h : ∀ {f : Fin n → α → β}, (∀ (i : Fin n), MemLp (f i) p μ) → UnifIntegrable f p μ
f : Fin (n + 1) → α → β
hfLp : ∀ (i : Fin (n + 1)), MemLp (f i) p μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
g : Fin n → α → β := fun k => f ↑↑k
hgLp : ∀ (i : Fin n), MemLp (g i) p μ
δ₁ : ℝ
hδ₁pos : 0 < δ₁
hδ₁ :
  ∀ (i : Fin n) (s : Set α),
    MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ → eLpNorm (s.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
δ₂ : ℝ
hδ₂pos : 0 < δ₂
hδ₂ : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₂ → eLpNorm (s.indicator (f ↑n)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
i : Fin (n + 1)
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≤ ENNReal.ofReal (δ₁ ⊓ δ₂)
hi : ¬↑i < n
⊢ eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
n : ℕ
h : ∀ {f : Fin n → α → β}, (∀ (i : Fin n), MemLp (f i) p μ) → UnifIntegrable f p μ
f : Fin (n + 1) → α → β
hfLp : ∀ (i : Fin (n + 1)), MemLp (f i) p μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
g : Fin n → α → β := fun k => f ↑↑k
hgLp : ∀ (i : Fin n), MemLp (g i) p μ
δ₁ : ℝ
hδ₁pos : 0 < δ₁
hδ₁ :
  ∀ (i : Fin n) (s : Set α),
    MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ → eLpNorm (s.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
δ₂ : ℝ
hδ₂pos : 0 < δ₂
hδ₂ : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₂ → eLpNorm (s.indicator (f ↑n)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
i : Fin (n + 1)
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≤ ENNReal.ofReal (δ₁ ⊓ δ₂)
hi : ¬↑i < n
hi' : ↑i ≤ n
⊢ i = ↑n

Tactic:
rw [not_lt] at hi

Result:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
n : ℕ
h : ∀ {f : Fin n → α → β}, (∀ (i : Fin n), MemLp (f i) p μ) → UnifIntegrable f p μ
f : Fin (n + 1) → α → β
hfLp : ∀ (i : Fin (n + 1)), MemLp (f i) p μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
g : Fin n → α → β := fun k => f ↑↑k
hgLp : ∀ (i : Fin n), MemLp (g i) p μ
δ₁ : ℝ
hδ₁pos : 0 < δ₁
hδ₁ :
  ∀ (i : Fin n) (s : Set α),
    MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ → eLpNorm (s.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
δ₂ : ℝ
hδ₂pos : 0 < δ₂
hδ₂ : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₂ → eLpNorm (s.indicator (f ↑n)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
i : Fin (n + 1)
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≤ ENNReal.ofReal (δ₁ ⊓ δ₂)
hi : n ≤ ↑i
hi' : ↑i ≤ n
⊢ i = ↑n

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
p : ℝ≥0∞
hp_one : 1 ≤ p
hp_top : p ≠ ⊤
n : ℕ
h : ∀ {f : Fin n → α → β}, (∀ (i : Fin n), MemLp (f i) p μ) → UnifIntegrable f p μ
f : Fin (n + 1) → α → β
hfLp : ∀ (i : Fin (n + 1)), MemLp (f i) p μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
g : Fin n → α → β := fun k => f ↑↑k
hgLp : ∀ (i : Fin n), MemLp (g i) p μ
δ₁ : ℝ
hδ₁pos : 0 < δ₁
hδ₁ :
  ∀ (i : Fin n) (s : Set α),
    MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₁ → eLpNorm (s.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
δ₂ : ℝ
hδ₂pos : 0 < δ₂
hδ₂ : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ₂ → eLpNorm (s.indicator (f ↑n)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
i : Fin (n + 1)
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≤ ENNReal.ofReal (δ₁ ⊓ δ₂)
hi : ↑i < n
⊢ f i = g ⟨↑i, hi⟩

Tactic:
simp [g]

Result:
no goals