-- Mathlib/Geometry/Manifold/IsManifold/ExtChartAt.lean
theorem continuousWithinAt_writtenInExtend_iff {f' : PartialHomeomorph M' H'} {g : M → M'} {y : M}
    (hy : y ∈ f.source) (hgy : g y ∈ f'.source) (hmaps : MapsTo g s f'.source) :
    ContinuousWithinAt (f'.extend I' ∘ g ∘ (f.extend I).symm)
      ((f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range I) (f.extend I y) ↔ ContinuousWithinAt g s y

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s : Set M
f' : PartialHomeomorph M' H'
g : M → M'
y : M
hy : y ∈ f.source
hgy : g y ∈ f'.source
hmaps : MapsTo g s f'.source
⊢ ∀ᶠ (z : E) in 𝓝[↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑(f.extend I) y, (g ∘ ↑(f.extend I).symm) z ∈ f'.source

Tactic:
rw [← f.map_extend_nhdsWithin (I := I) hy, eventually_map]

Result:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s : Set M
f' : PartialHomeomorph M' H'
g : M → M'
y : M
hy : y ∈ f.source
hgy : g y ∈ f'.source
hmaps : MapsTo g s f'.source
⊢ ∀ᶠ (a : M) in 𝓝[s] y, (g ∘ ↑(f.extend I).symm) (↑(f.extend I) a) ∈ f'.source

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s : Set M
f' : PartialHomeomorph M' H'
g : M → M'
y : M
hy : y ∈ f.source
hgy : g y ∈ f'.source
hmaps : MapsTo g s f'.source
⊢ ContinuousWithinAt (↑(f'.extend I') ∘ g ∘ ↑(f.extend I).symm) (↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I)
      (↑(f.extend I) y) ↔
    ContinuousWithinAt g s y

Tactic:
unfold ContinuousWithinAt

Result:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s : Set M
f' : PartialHomeomorph M' H'
g : M → M'
y : M
hy : y ∈ f.source
hgy : g y ∈ f'.source
hmaps : MapsTo g s f'.source
⊢ Tendsto (↑(f'.extend I') ∘ g ∘ ↑(f.extend I).symm) (𝓝[↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑(f.extend I) y)
      (𝓝 ((↑(f'.extend I') ∘ g ∘ ↑(f.extend I).symm) (↑(f.extend I) y))) ↔
    Tendsto g (𝓝[s] y) (𝓝 (g y))