-- Mathlib/CategoryTheory/Abelian/GrothendieckAxioms/Colim.lean
/-- Assuming `HasExactColimitsOfShape J C`, this lemma rephrases the exactness
of the functor `colim : (J ⥤ C) ⥤ C` by saying that if `S : ShortComplex (J ⥤ C)`
is exact, then the short complex obtained by taking the colimits is exact,
where we allow the replacement of the chosen colimit cocones of the
colimit API by arbitrary colimit cocones. -/
lemma colim.exact_mapShortComplex :
    (mapShortComplex S hc₁ c₂ c₃ f g hf hg).Exact

Proof state:
case refine_1
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
J : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} J
inst✝² : HasColimitsOfShape J C
inst✝¹ : HasExactColimitsOfShape J C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S : ShortComplex (J ⥤ C)
hS : S.Exact
c₁ : Cocone S.X₁
hc₁ : IsColimit c₁
c₂ : Cocone S.X₂
hc₂ : IsColimit c₂
c₃ : Cocone S.X₃
hc₃ : IsColimit c₃
f : c₁.pt ⟶ c₂.pt
g : c₂.pt ⟶ c₃.pt
hf : ∀ (j : J), c₁.ι.app j ≫ f = S.f.app j ≫ c₂.ι.app j
hg : ∀ (j : J), c₂.ι.app j ≫ g = S.g.app j ≫ c₃.ι.app j
j : J
⊢ c₁.ι.app j ≫ (hc₁.coconePointUniqueUpToIso (colimit.isColimit S.X₁)).hom ≫ colimMap S.f =
    c₁.ι.app j ≫ f ≫ (hc₂.coconePointUniqueUpToIso (colimit.isColimit S.X₂)).hom

Tactic:
rw [IsColimit.comp_coconePointUniqueUpToIso_hom_assoc,
  colimit.cocone_ι, ι_colimMap, reassoc_of% (hf j),
  IsColimit.comp_coconePointUniqueUpToIso_hom, colimit.cocone_ι]

Result:
no goals

Proof state:
case refine_2
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
J : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} J
inst✝² : HasColimitsOfShape J C
inst✝¹ : HasExactColimitsOfShape J C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S : ShortComplex (J ⥤ C)
hS : S.Exact
c₁ : Cocone S.X₁
hc₁ : IsColimit c₁
c₂ : Cocone S.X₂
hc₂ : IsColimit c₂
c₃ : Cocone S.X₃
hc₃ : IsColimit c₃
f : c₁.pt ⟶ c₂.pt
g : c₂.pt ⟶ c₃.pt
hf : ∀ (j : J), c₁.ι.app j ≫ f = S.f.app j ≫ c₂.ι.app j
hg : ∀ (j : J), c₂.ι.app j ≫ g = S.g.app j ≫ c₃.ι.app j
j : J
⊢ c₂.ι.app j ≫ (hc₂.coconePointUniqueUpToIso (colimit.isColimit S.X₂)).hom ≫ colimMap S.g =
    c₂.ι.app j ≫ g ≫ (hc₃.coconePointUniqueUpToIso (colimit.isColimit S.X₃)).hom

Tactic:
rw [IsColimit.comp_coconePointUniqueUpToIso_hom_assoc,
  colimit.cocone_ι, ι_colimMap, reassoc_of% (hg j),
  IsColimit.comp_coconePointUniqueUpToIso_hom, colimit.cocone_ι]

Result:
no goals

Proof state:
case refine_2
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
J : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} J
inst✝² : HasColimitsOfShape J C
inst✝¹ : HasExactColimitsOfShape J C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S : ShortComplex (J ⥤ C)
hS : S.Exact
c₁ : Cocone S.X₁
hc₁ : IsColimit c₁
c₂ : Cocone S.X₂
hc₂ : IsColimit c₂
c₃ : Cocone S.X₃
hc₃ : IsColimit c₃
f : c₁.pt ⟶ c₂.pt
g : c₂.pt ⟶ c₃.pt
hf : ∀ (j : J), c₁.ι.app j ≫ f = S.f.app j ≫ c₂.ι.app j
hg : ∀ (j : J), c₂.ι.app j ≫ g = S.g.app j ≫ c₃.ι.app j
j : J
⊢ c₂.ι.app j ≫ (hc₂.coconePointUniqueUpToIso (colimit.isColimit S.X₂)).hom ≫ (S.map colim).g =
    c₂.ι.app j ≫ (mapShortComplex S hc₁ c₂ c₃ f g hf hg).g ≫ (hc₃.coconePointUniqueUpToIso (colimit.isColimit S.X₃)).hom

Tactic:
dsimp

Result:
case refine_2
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
J : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} J
inst✝² : HasColimitsOfShape J C
inst✝¹ : HasExactColimitsOfShape J C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S : ShortComplex (J ⥤ C)
hS : S.Exact
c₁ : Cocone S.X₁
hc₁ : IsColimit c₁
c₂ : Cocone S.X₂
hc₂ : IsColimit c₂
c₃ : Cocone S.X₃
hc₃ : IsColimit c₃
f : c₁.pt ⟶ c₂.pt
g : c₂.pt ⟶ c₃.pt
hf : ∀ (j : J), c₁.ι.app j ≫ f = S.f.app j ≫ c₂.ι.app j
hg : ∀ (j : J), c₂.ι.app j ≫ g = S.g.app j ≫ c₃.ι.app j
j : J
⊢ c₂.ι.app j ≫ (hc₂.coconePointUniqueUpToIso (colimit.isColimit S.X₂)).hom ≫ colimMap S.g =
    c₂.ι.app j ≫ g ≫ (hc₃.coconePointUniqueUpToIso (colimit.isColimit S.X₃)).hom

Proof state:
case refine_1
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
J : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} J
inst✝² : HasColimitsOfShape J C
inst✝¹ : HasExactColimitsOfShape J C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S : ShortComplex (J ⥤ C)
hS : S.Exact
c₁ : Cocone S.X₁
hc₁ : IsColimit c₁
c₂ : Cocone S.X₂
hc₂ : IsColimit c₂
c₃ : Cocone S.X₃
hc₃ : IsColimit c₃
f : c₁.pt ⟶ c₂.pt
g : c₂.pt ⟶ c₃.pt
hf : ∀ (j : J), c₁.ι.app j ≫ f = S.f.app j ≫ c₂.ι.app j
hg : ∀ (j : J), c₂.ι.app j ≫ g = S.g.app j ≫ c₃.ι.app j
j : J
⊢ c₁.ι.app j ≫ (hc₁.coconePointUniqueUpToIso (colimit.isColimit S.X₁)).hom ≫ (S.map colim).f =
    c₁.ι.app j ≫ (mapShortComplex S hc₁ c₂ c₃ f g hf hg).f ≫ (hc₂.coconePointUniqueUpToIso (colimit.isColimit S.X₂)).hom

Tactic:
dsimp

Result:
case refine_1
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
J : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} J
inst✝² : HasColimitsOfShape J C
inst✝¹ : HasExactColimitsOfShape J C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S : ShortComplex (J ⥤ C)
hS : S.Exact
c₁ : Cocone S.X₁
hc₁ : IsColimit c₁
c₂ : Cocone S.X₂
hc₂ : IsColimit c₂
c₃ : Cocone S.X₃
hc₃ : IsColimit c₃
f : c₁.pt ⟶ c₂.pt
g : c₂.pt ⟶ c₃.pt
hf : ∀ (j : J), c₁.ι.app j ≫ f = S.f.app j ≫ c₂.ι.app j
hg : ∀ (j : J), c₂.ι.app j ≫ g = S.g.app j ≫ c₃.ι.app j
j : J
⊢ c₁.ι.app j ≫ (hc₁.coconePointUniqueUpToIso (colimit.isColimit S.X₁)).hom ≫ colimMap S.f =
    c₁.ι.app j ≫ f ≫ (hc₂.coconePointUniqueUpToIso (colimit.isColimit S.X₂)).hom

Proof state:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
J : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} J
inst✝² : HasColimitsOfShape J C
inst✝¹ : HasExactColimitsOfShape J C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S : ShortComplex (J ⥤ C)
hS : S.Exact
c₁ : Cocone S.X₁
hc₁ : IsColimit c₁
c₂ : Cocone S.X₂
hc₂ : IsColimit c₂
c₃ : Cocone S.X₃
hc₃ : IsColimit c₃
f : c₁.pt ⟶ c₂.pt
g : c₂.pt ⟶ c₃.pt
hf : ∀ (j : J), c₁.ι.app j ≫ f = S.f.app j ≫ c₂.ι.app j
hg : ∀ (j : J), c₂.ι.app j ≫ g = S.g.app j ≫ c₃.ι.app j
⊢ mapShortComplex S hc₁ c₂ c₃ f g hf hg ≅ S.map colim

Tactic:
refine ShortComplex.isoMk
  (IsColimit.coconePointUniqueUpToIso hc₁ (colimit.isColimit _))
  (IsColimit.coconePointUniqueUpToIso hc₂ (colimit.isColimit _))
  (IsColimit.coconePointUniqueUpToIso hc₃ (colimit.isColimit _))
  (hc₁.hom_ext (fun j ↦ ?_)) (hc₂.hom_ext (fun j ↦ ?_))

Result:
case refine_1
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
J : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} J
inst✝² : HasColimitsOfShape J C
inst✝¹ : HasExactColimitsOfShape J C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S : ShortComplex (J ⥤ C)
hS : S.Exact
c₁ : Cocone S.X₁
hc₁ : IsColimit c₁
c₂ : Cocone S.X₂
hc₂ : IsColimit c₂
c₃ : Cocone S.X₃
hc₃ : IsColimit c₃
f : c₁.pt ⟶ c₂.pt
g : c₂.pt ⟶ c₃.pt
hf : ∀ (j : J), c₁.ι.app j ≫ f = S.f.app j ≫ c₂.ι.app j
hg : ∀ (j : J), c₂.ι.app j ≫ g = S.g.app j ≫ c₃.ι.app j
j : J
⊢ c₁.ι.app j ≫ (hc₁.coconePointUniqueUpToIso (colimit.isColimit S.X₁)).hom ≫ (S.map colim).f =
    c₁.ι.app j ≫ (mapShortComplex S hc₁ c₂ c₃ f g hf hg).f ≫ (hc₂.coconePointUniqueUpToIso (colimit.isColimit S.X₂)).hom

case refine_2
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
J : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} J
inst✝² : HasColimitsOfShape J C
inst✝¹ : HasExactColimitsOfShape J C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S : ShortComplex (J ⥤ C)
hS : S.Exact
c₁ : Cocone S.X₁
hc₁ : IsColimit c₁
c₂ : Cocone S.X₂
hc₂ : IsColimit c₂
c₃ : Cocone S.X₃
hc₃ : IsColimit c₃
f : c₁.pt ⟶ c₂.pt
g : c₂.pt ⟶ c₃.pt
hf : ∀ (j : J), c₁.ι.app j ≫ f = S.f.app j ≫ c₂.ι.app j
hg : ∀ (j : J), c₂.ι.app j ≫ g = S.g.app j ≫ c₃.ι.app j
j : J
⊢ c₂.ι.app j ≫ (hc₂.coconePointUniqueUpToIso (colimit.isColimit S.X₂)).hom ≫ (S.map colim).g =
    c₂.ι.app j ≫ (mapShortComplex S hc₁ c₂ c₃ f g hf hg).g ≫ (hc₃.coconePointUniqueUpToIso (colimit.isColimit S.X₃)).hom