-- Mathlib/NumberTheory/ModularForms/EisensteinSeries/UniformConvergence.lean
/-- For `c, d ∈ ℝ` with `1 ≤ d ^ 2`, we have `r1 z ≤ |c * z + d| ^ 2`. -/
lemma r1_aux_bound (c : ℝ) {d : ℝ} (hd : 1 ≤ d ^ 2) :
    r1 z ≤ (c * z.re + d) ^ 2 + (c * z.im) ^ 2

Proof state:
z : ℍ
c d : ℝ
hd : 1 ≤ d ^ 2
H1 : (c * z.re + d) ^ 2 + (c * z.im) ^ 2 = c ^ 2 * (z.re ^ 2 + z.im ^ 2) + d * 2 * c * z.re + d ^ 2
⊢ r1 z ≤ (c * z.re + d) ^ 2 + (c * z.im) ^ 2

Tactic:
have H2 : (c ^ 2 * (z.re ^ 2 + z.im ^ 2) + d * 2 * c * z.re + d ^ 2) * (z.re ^ 2 + z.im ^ 2)
  - z.im ^ 2 = (c * (z.re ^ 2 + z.im ^ 2) + d * z.re) ^ 2 + (d ^ 2 - 1) * z.im ^ 2 := by ring

Result:
z : ℍ
c d : ℝ
hd : 1 ≤ d ^ 2
H1 : (c * z.re + d) ^ 2 + (c * z.im) ^ 2 = c ^ 2 * (z.re ^ 2 + z.im ^ 2) + d * 2 * c * z.re + d ^ 2
H2 :
  (c ^ 2 * (z.re ^ 2 + z.im ^ 2) + d * 2 * c * z.re + d ^ 2) * (z.re ^ 2 + z.im ^ 2) - z.im ^ 2 =
    (c * (z.re ^ 2 + z.im ^ 2) + d * z.re) ^ 2 + (d ^ 2 - 1) * z.im ^ 2
⊢ r1 z ≤ (c * z.re + d) ^ 2 + (c * z.im) ^ 2

Proof state:
z : ℍ
c d : ℝ
hd : 1 ≤ d ^ 2
H1 : (c * z.re + d) ^ 2 + (c * z.im) ^ 2 = c ^ 2 * (z.re ^ 2 + z.im ^ 2) + d * 2 * c * z.re + d ^ 2
H2 :
  (c ^ 2 * (z.re ^ 2 + z.im ^ 2) + d * 2 * c * z.re + d ^ 2) * (z.re ^ 2 + z.im ^ 2) - z.im ^ 2 =
    (c * (z.re ^ 2 + z.im ^ 2) + d * z.re) ^ 2 + (d ^ 2 - 1) * z.im ^ 2
⊢ 0 < z.re ^ 2 + z.im ^ 2

Tactic:
positivity

Result:
no goals

Proof state:
z : ℍ
c d : ℝ
hd : 1 ≤ d ^ 2
⊢ (c * z.re + d) ^ 2 + (c * z.im) ^ 2 = c ^ 2 * (z.re ^ 2 + z.im ^ 2) + d * 2 * c * z.re + d ^ 2

Tactic:
ring

Result:
no goals

Proof state:
z : ℍ
c d : ℝ
hd : 1 ≤ d ^ 2
H1 : (c * z.re + d) ^ 2 + (c * z.im) ^ 2 = c ^ 2 * (z.re ^ 2 + z.im ^ 2) + d * 2 * c * z.re + d ^ 2
⊢ (c ^ 2 * (z.re ^ 2 + z.im ^ 2) + d * 2 * c * z.re + d ^ 2) * (z.re ^ 2 + z.im ^ 2) - z.im ^ 2 =
    (c * (z.re ^ 2 + z.im ^ 2) + d * z.re) ^ 2 + (d ^ 2 - 1) * z.im ^ 2

Tactic:
ring

Result:
no goals

Proof state:
z : ℍ
c d : ℝ
hd : 1 ≤ d ^ 2
H1 : (c * z.re + d) ^ 2 + (c * z.im) ^ 2 = c ^ 2 * (z.re ^ 2 + z.im ^ 2) + d * 2 * c * z.re + d ^ 2
H2 :
  (c ^ 2 * (z.re ^ 2 + z.im ^ 2) + d * 2 * c * z.re + d ^ 2) * (z.re ^ 2 + z.im ^ 2) - z.im ^ 2 =
    (c * (z.re ^ 2 + z.im ^ 2) + d * z.re) ^ 2 + (d ^ 2 - 1) * z.im ^ 2
⊢ 0 ≤ (c * (z.re ^ 2 + z.im ^ 2) + d * z.re) ^ 2 + (d ^ 2 - 1) * z.im ^ 2

Tactic:
exact add_nonneg (sq_nonneg _) (mul_nonneg (sub_nonneg.mpr hd) (sq_nonneg _))

Result:
no goals

Proof state:
z : ℍ
c d : ℝ
hd : 1 ≤ d ^ 2
H1 : (c * z.re + d) ^ 2 + (c * z.im) ^ 2 = c ^ 2 * (z.re ^ 2 + z.im ^ 2) + d * 2 * c * z.re + d ^ 2
H2 :
  (c ^ 2 * (z.re ^ 2 + z.im ^ 2) + d * 2 * c * z.re + d ^ 2) * (z.re ^ 2 + z.im ^ 2) - z.im ^ 2 =
    (c * (z.re ^ 2 + z.im ^ 2) + d * z.re) ^ 2 + (d ^ 2 - 1) * z.im ^ 2
⊢ r1 z ≤ (c * z.re + d) ^ 2 + (c * z.im) ^ 2

Tactic:
rw [r1, H1, div_le_iff₀ (by positivity), ← sub_nonneg, H2]

Result:
z : ℍ
c d : ℝ
hd : 1 ≤ d ^ 2
H1 : (c * z.re + d) ^ 2 + (c * z.im) ^ 2 = c ^ 2 * (z.re ^ 2 + z.im ^ 2) + d * 2 * c * z.re + d ^ 2
H2 :
  (c ^ 2 * (z.re ^ 2 + z.im ^ 2) + d * 2 * c * z.re + d ^ 2) * (z.re ^ 2 + z.im ^ 2) - z.im ^ 2 =
    (c * (z.re ^ 2 + z.im ^ 2) + d * z.re) ^ 2 + (d ^ 2 - 1) * z.im ^ 2
⊢ 0 ≤ (c * (z.re ^ 2 + z.im ^ 2) + d * z.re) ^ 2 + (d ^ 2 - 1) * z.im ^ 2

Proof state:
z : ℍ
c d : ℝ
hd : 1 ≤ d ^ 2
⊢ r1 z ≤ (c * z.re + d) ^ 2 + (c * z.im) ^ 2

Tactic:
have H1 : (c * z.re + d) ^ 2 + (c * z.im) ^ 2 =
  c ^ 2 * (z.re ^ 2 + z.im ^ 2) + d * 2 * c * z.re + d ^ 2 := by ring

Result:
z : ℍ
c d : ℝ
hd : 1 ≤ d ^ 2
H1 : (c * z.re + d) ^ 2 + (c * z.im) ^ 2 = c ^ 2 * (z.re ^ 2 + z.im ^ 2) + d * 2 * c * z.re + d ^ 2
⊢ r1 z ≤ (c * z.re + d) ^ 2 + (c * z.im) ^ 2