-- Mathlib/Data/Seq/Computation.lean
theorem eq_of_bisim (bisim : IsBisimulation R) {s₁ s₂} (r : s₁ ~ s₂) : s₁ = s₂

Proof state:
case mk
α : Type u
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r✝¹ : R s₁ s₂
t₁ t₂ : Stream' (Option α)
e : ∃ s s', ↑s = t₁ ∧ ↑s' = t₂ ∧ R s s'
s' : Computation α
val✝ : Stream' (Option α)
property✝ : ∀ ⦃n : ℕ⦄ ⦃a : α⦄, val✝ n = some a → val✝ (n + 1) = some a
r✝ : R ⟨val✝, property✝⟩ s'
this : head ⟨val✝, property✝⟩ = s'.head ∧ R (tail ⟨val✝, property✝⟩) s'.tail
r : R (tail ⟨val✝, property✝⟩) s'.tail
⊢ ↑(tail ⟨val✝, property✝⟩) = (↑⟨val✝, property✝⟩).tail

Tactic:
rfl

Result:
no goals

Proof state:
case left
α : Type u
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r✝ : R s₁ s₂
t₁ t₂ : Stream' (Option α)
e : ∃ s s', ↑s = t₁ ∧ ↑s' = t₂ ∧ R s s'
s s' : Computation α
r' a' : α
r : R (pure r') (pure a')
h : r' = a'
⊢ (pure r').head = (pure a').head

Tactic:
rw [h]

Result:
no goals

Proof state:
case right
α : Type u
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r✝ : R s₁ s₂
t₁ t₂ : Stream' (Option α)
e : ∃ s s', ↑s = t₁ ∧ ↑s' = t₂ ∧ R s s'
s s' : Computation α
r' a' : α
r : R (pure r') (pure a')
h : r' = a'
⊢ R (pure r').tail (pure a').tail

Tactic:
rw [h] at r

Result:
case right
α : Type u
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r✝ : R s₁ s₂
t₁ t₂ : Stream' (Option α)
e : ∃ s s', ↑s = t₁ ∧ ↑s' = t₂ ∧ R s s'
s s' : Computation α
r' a' : α
r : R (pure a') (pure a')
h : r' = a'
⊢ R (pure r').tail (pure a').tail

Proof state:
case mk
α : Type u
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r✝¹ : R s₁ s₂
t₁ t₂ : Stream' (Option α)
e : ∃ s s', ↑s = t₁ ∧ ↑s' = t₂ ∧ R s s'
s : Computation α
val✝ : Stream' (Option α)
property✝ : ∀ ⦃n : ℕ⦄ ⦃a : α⦄, val✝ n = some a → val✝ (n + 1) = some a
r✝ : R s ⟨val✝, property✝⟩
this : s.head = head ⟨val✝, property✝⟩ ∧ R s.tail (tail ⟨val✝, property✝⟩)
r : R s.tail (tail ⟨val✝, property✝⟩)
⊢ ↑(tail ⟨val✝, property✝⟩) = (↑⟨val✝, property✝⟩).tail

Tactic:
rfl

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r✝ : R s₁ s₂
t₁ t₂ : Stream' (Option α)
e : ∃ s s', ↑s = t₁ ∧ ↑s' = t₂ ∧ R s s'
s s' : Computation α
r' : α
a' : Computation α
r : R (pure r') a'.think
h : BisimO R (pure r').destruct a'.think.destruct
⊢ (pure r').head = a'.think.head ∧ R (pure r').tail a'.think.tail

Tactic:
rw [destruct_pure, destruct_think] at h

Result:
α : Type u
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r✝ : R s₁ s₂
t₁ t₂ : Stream' (Option α)
e : ∃ s s', ↑s = t₁ ∧ ↑s' = t₂ ∧ R s s'
s s' : Computation α
r' : α
a' : Computation α
r : R (pure r') a'.think
h : BisimO R (Sum.inl r') (Sum.inr a')
⊢ (pure r').head = a'.think.head ∧ R (pure r').tail a'.think.tail

Proof state:
case right
α : Type u
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r✝ : R s₁ s₂
t₁ t₂ : Stream' (Option α)
e : ∃ s s', ↑s = t₁ ∧ ↑s' = t₂ ∧ R s s'
s s' : Computation α
r' a' : α
r : R (pure a') (pure a')
h : r' = a'
⊢ R (pure r').tail (pure a').tail

Tactic:
rw [tail_pure, tail_pure,h]

Result:
case right
α : Type u
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r✝ : R s₁ s₂
t₁ t₂ : Stream' (Option α)
e : ∃ s s', ↑s = t₁ ∧ ↑s' = t₂ ∧ R s s'
s s' : Computation α
r' a' : α
r : R (pure a') (pure a')
h : r' = a'
⊢ R (pure a') (pure a')

Proof state:
α : Type u
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r✝ : R s₁ s₂
t₁ t₂ : Stream' (Option α)
e : ∃ s s', ↑s = t₁ ∧ ↑s' = t₂ ∧ R s s'
s s' : Computation α
r : R s s'
⊢ (↑s).head = (↑s').head ∧ ∃ s_1 s'_1, ↑s_1 = (↑s).tail ∧ ↑s'_1 = (↑s').tail ∧ R s_1 s'_1

Tactic:
suffices head s = head s' ∧ R (tail s) (tail s') from
  And.imp id (fun r => ⟨tail s, tail s', by cases s; rfl, by cases s'; rfl, r⟩) this

Result:
α : Type u
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r✝ : R s₁ s₂
t₁ t₂ : Stream' (Option α)
e : ∃ s s', ↑s = t₁ ∧ ↑s' = t₂ ∧ R s s'
s s' : Computation α
r : R s s'
⊢ s.head = s'.head ∧ R s.tail s'.tail

Proof state:
α : Type u
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r✝ : R s₁ s₂
t₁ t₂ : Stream' (Option α)
e : ∃ s s', ↑s = t₁ ∧ ↑s' = t₂ ∧ R s s'
s s' : Computation α
r' a' : α
r : R (pure r') (pure a')
h : BisimO R (pure r').destruct (pure a').destruct
⊢ (pure r').head = (pure a').head ∧ R (pure r').tail (pure a').tail

Tactic:
constructor <;> dsimp at h

Result:
case left
α : Type u
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r✝ : R s₁ s₂
t₁ t₂ : Stream' (Option α)
e : ∃ s s', ↑s = t₁ ∧ ↑s' = t₂ ∧ R s s'
s s' : Computation α
r' a' : α
r : R (pure r') (pure a')
h : r' = a'
⊢ (pure r').head = (pure a').head

case right
α : Type u
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r✝ : R s₁ s₂
t₁ t₂ : Stream' (Option α)
e : ∃ s s', ↑s = t₁ ∧ ↑s' = t₂ ∧ R s s'
s s' : Computation α
r' a' : α
r : R (pure r') (pure a')
h : r' = a'
⊢ R (pure r').tail (pure a').tail

Proof state:
α : Type u
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r✝¹ : R s₁ s₂
t₁ t₂ : Stream' (Option α)
e : ∃ s s', ↑s = t₁ ∧ ↑s' = t₂ ∧ R s s'
s s' : Computation α
r✝ : R s s'
this : s.head = s'.head ∧ R s.tail s'.tail
r : R s.tail s'.tail
⊢ ↑s'.tail = (↑s').tail

Tactic:
cases s'

Result:
case mk
α : Type u
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r✝¹ : R s₁ s₂
t₁ t₂ : Stream' (Option α)
e : ∃ s s', ↑s = t₁ ∧ ↑s' = t₂ ∧ R s s'
s : Computation α
val✝ : Stream' (Option α)
property✝ : ∀ ⦃n : ℕ⦄ ⦃a : α⦄, val✝ n = some a → val✝ (n + 1) = some a
r✝ : R s ⟨val✝, property✝⟩
this : s.head = head ⟨val✝, property✝⟩ ∧ R s.tail (tail ⟨val✝, property✝⟩)
r : R s.tail (tail ⟨val✝, property✝⟩)
⊢ ↑(tail ⟨val✝, property✝⟩) = (↑⟨val✝, property✝⟩).tail

Proof state:
case a
α : Type u
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r : R s₁ s₂
⊢ ↑s₁ = ↑s₂

Tactic:
apply Stream'.eq_of_bisim fun x y => ∃ s s' : Computation α, s.1 = x ∧ s'.1 = y ∧ R s s'

Result:
case a.bisim
α : Type u
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r : R s₁ s₂
⊢ Stream'.IsBisimulation fun x y => ∃ s s', ↑s = x ∧ ↑s' = y ∧ R s s'

case a.a
α : Type u
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r : R s₁ s₂
⊢ ∃ s s', ↑s = ↑s₁ ∧ ↑s' = ↑s₂ ∧ R s s'

Proof state:
case right
α : Type u
R : Computation α → Computation α → Prop
bisim : IsBisimulation R
s₁ s₂ : Computation α
r✝ : R s₁ s₂
t₁ t₂ : Stream' (Option α)
e : ∃ s s', ↑s = t₁ ∧ ↑s' = t₂ ∧ R s s'
s s' : Computation α
r' a' : α
r : R (pure a') (pure a')
h : r' = a'
⊢ R (pure a') (pure a')

Tactic:
assumption

Result:
no goals