-- Mathlib/LinearAlgebra/LinearPMap.lean
theorem smul_graph (f : E →ₗ.[R] F) (z : M) :
    (z • f).graph =
      f.graph.map ((LinearMap.id : E →ₗ[R] E).prodMap (z • (LinearMap.id : F →ₗ[R] F)))

Proof state:
case h.mk.mp
R : Type u_1
inst✝⁷ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module R F
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
f : E →ₗ.[R] F
z : M
x_fst : E
x_snd : F
h : (x_fst, x_snd) ∈ (z • f).graph
⊢ (x_fst, x_snd) ∈ Submodule.map (LinearMap.id.prodMap (z • LinearMap.id)) f.graph

Tactic:
rw [mem_graph_iff] at h

Result:
case h.mk.mp
R : Type u_1
inst✝⁷ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module R F
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
f : E →ₗ.[R] F
z : M
x_fst : E
x_snd : F
h : ∃ y, ↑y = (x_fst, x_snd).1 ∧ ↑(z • f) y = (x_fst, x_snd).2
⊢ (x_fst, x_snd) ∈ Submodule.map (LinearMap.id.prodMap (z • LinearMap.id)) f.graph

Proof state:
case h.mk.mpr.intro.intro.mk
R : Type u_1
inst✝⁷ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module R F
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
f : E →ₗ.[R] F
z : M
x_fst : E
x_snd : F
fst✝ : E
snd✝ : F
hx' : ∃ y, ↑y = (fst✝, snd✝).1 ∧ ↑f y = (fst✝, snd✝).2
h : fst✝ = x_fst ∧ z • snd✝ = x_snd
⊢ ∃ y, ↑y = (x_fst, x_snd).1 ∧ ↑(z • f) y = (x_fst, x_snd).2

Tactic:
rcases hx' with ⟨y, hy, hx'⟩

Result:
case h.mk.mpr.intro.intro.mk.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁷ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module R F
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
f : E →ₗ.[R] F
z : M
x_fst : E
x_snd : F
fst✝ : E
snd✝ : F
h : fst✝ = x_fst ∧ z • snd✝ = x_snd
y : ↥f.domain
hy : ↑y = (fst✝, snd✝).1
hx' : ↑f y = (fst✝, snd✝).2
⊢ ∃ y, ↑y = (x_fst, x_snd).1 ∧ ↑(z • f) y = (x_fst, x_snd).2

Proof state:
case h
R : Type u_1
inst✝⁷ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module R F
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
f : E →ₗ.[R] F
z : M
x_fst : E
x_snd : F
fst✝ : E
snd✝ : F
h : fst✝ = x_fst ∧ z • snd✝ = x_snd
y : ↥f.domain
hy : ↑y = (fst✝, snd✝).1
hx' : ↑f y = (fst✝, snd✝).2
⊢ ↑y = (x_fst, x_snd).1 ∧ ↑(z • f) y = (x_fst, x_snd).2

Tactic:
rw [← h.1, ← h.2]

Result:
case h
R : Type u_1
inst✝⁷ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module R F
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
f : E →ₗ.[R] F
z : M
x_fst : E
x_snd : F
fst✝ : E
snd✝ : F
h : fst✝ = x_fst ∧ z • snd✝ = x_snd
y : ↥f.domain
hy : ↑y = (fst✝, snd✝).1
hx' : ↑f y = (fst✝, snd✝).2
⊢ ↑y = (fst✝, z • snd✝).1 ∧ ↑(z • f) y = (fst✝, z • snd✝).2

Proof state:
case h.mk.mpr.intro.intro.mk.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁷ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module R F
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
f : E →ₗ.[R] F
z : M
x_fst : E
x_snd : F
fst✝ : E
snd✝ : F
h : fst✝ = x_fst ∧ z • snd✝ = x_snd
y : ↥f.domain
hy : ↑y = (fst✝, snd✝).1
hx' : ↑f y = (fst✝, snd✝).2
⊢ ∃ y, ↑y = (x_fst, x_snd).1 ∧ ↑(z • f) y = (x_fst, x_snd).2

Tactic:
use y

Result:
case h
R : Type u_1
inst✝⁷ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module R F
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
f : E →ₗ.[R] F
z : M
x_fst : E
x_snd : F
fst✝ : E
snd✝ : F
h : fst✝ = x_fst ∧ z • snd✝ = x_snd
y : ↥f.domain
hy : ↑y = (fst✝, snd✝).1
hx' : ↑f y = (fst✝, snd✝).2
⊢ ↑y = (x_fst, x_snd).1 ∧ ↑(z • f) y = (x_fst, x_snd).2

Proof state:
case h.mk.mpr.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁷ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module R F
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
f : E →ₗ.[R] F
z : M
x_fst : E
x_snd : F
x' : E × F
hx' : x' ∈ f.graph
h : (LinearMap.id.prodMap (z • LinearMap.id)) x' = (x_fst, x_snd)
⊢ (x_fst, x_snd) ∈ (z • f).graph

Tactic:
cases x'

Result:
case h.mk.mpr.intro.intro.mk
R : Type u_1
inst✝⁷ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module R F
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
f : E →ₗ.[R] F
z : M
x_fst : E
x_snd : F
fst✝ : E
snd✝ : F
hx' : (fst✝, snd✝) ∈ f.graph
h : (LinearMap.id.prodMap (z • LinearMap.id)) (fst✝, snd✝) = (x_fst, x_snd)
⊢ (x_fst, x_snd) ∈ (z • f).graph

Proof state:
case h.mk.mpr.intro.intro.mk
R : Type u_1
inst✝⁷ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module R F
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
f : E →ₗ.[R] F
z : M
x_fst : E
x_snd : F
fst✝ : E
snd✝ : F
hx' : (fst✝, snd✝) ∈ f.graph
h : fst✝ = x_fst ∧ z • snd✝ = x_snd
⊢ (x_fst, x_snd) ∈ (z • f).graph

Tactic:
rw [mem_graph_iff] at hx' ⊢

Result:
case h.mk.mpr.intro.intro.mk
R : Type u_1
inst✝⁷ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module R F
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
f : E →ₗ.[R] F
z : M
x_fst : E
x_snd : F
fst✝ : E
snd✝ : F
hx' : ∃ y, ↑y = (fst✝, snd✝).1 ∧ ↑f y = (fst✝, snd✝).2
h : fst✝ = x_fst ∧ z • snd✝ = x_snd
⊢ ∃ y, ↑y = (x_fst, x_snd).1 ∧ ↑(z • f) y = (x_fst, x_snd).2

Proof state:
case h
R : Type u_1
inst✝⁷ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module R F
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
f : E →ₗ.[R] F
z : M
x_fst : E
x_snd : F
fst✝ : E
snd✝ : F
h : fst✝ = x_fst ∧ z • snd✝ = x_snd
y : ↥f.domain
hy : ↑y = (fst✝, snd✝).1
hx' : ↑f y = (fst✝, snd✝).2
⊢ ↑y = (fst✝, z • snd✝).1 ∧ ↑(z • f) y = (fst✝, z • snd✝).2

Tactic:
simp [hy, hx']

Result:
no goals

Proof state:
case h.mk.mp.intro.intro
R : Type u_1
inst✝⁷ : Ring R
E : Type u_2
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : Module R E
F : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup F
inst✝³ : Module R F
M : Type u_5
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : DistribMulAction M F
inst✝ : SMulCommClass R M F
f : E →ₗ.[R] F
z : M
x_fst : E
x_snd : F
y : ↥(z • f).domain
hy : ↑y = (x_fst, x_snd).1
h : z • ↑f y = (x_fst, x_snd).2
⊢ ∃ a a_1, ↑a_1 = a ∧ a = x_fst ∧ z • ↑f a_1 = x_snd

Tactic:
use x_fst, y, hy

Result:
no goals