-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/Bilinear.lean
theorem opNorm_ext [RingHomIsometric σ₁₃] (f : E →SL[σ₁₂] F) (g : E →SL[σ₁₃] G)
    (h : ∀ x, ‖f x‖ = ‖g x‖) : ‖f‖ = ‖g‖ :=
  opNorm_eq_of_bounds (norm_nonneg _)
    (fun x => by
      rw [h x]
      exact le_opNorm _ _)
    fun c hc h₂ =>
    opNorm_le_bound _ hc fun z => by
      rw [← h z]
      exact h₂ z

Proof state:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_6
G : Type u_8
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₃
f : E →SL[σ₁₂] F
g : E →SL[σ₁₃] G
h : ∀ (x : E), ‖f x‖ = ‖g x‖
x : E
⊢ ‖g x‖ ≤ ‖g‖ * ‖x‖

Tactic:
exact le_opNorm _ _

Result:
no goals

Proof state:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_6
G : Type u_8
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₃
f : E →SL[σ₁₂] F
g : E →SL[σ₁₃] G
h : ∀ (x : E), ‖f x‖ = ‖g x‖
x : E
⊢ ‖f x‖ ≤ ‖g‖ * ‖x‖

Tactic:
rw [h x]

Result:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_6
G : Type u_8
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₃
f : E →SL[σ₁₂] F
g : E →SL[σ₁₃] G
h : ∀ (x : E), ‖f x‖ = ‖g x‖
x : E
⊢ ‖g x‖ ≤ ‖g‖ * ‖x‖

Proof state:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_6
G : Type u_8
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₃
f : E →SL[σ₁₂] F
g : E →SL[σ₁₃] G
h : ∀ (x : E), ‖f x‖ = ‖g x‖
c : ℝ
hc : c ≥ 0
h₂ : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ c * ‖x‖
z : E
⊢ ‖g z‖ ≤ c * ‖z‖

Tactic:
rw [← h z]

Result:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_6
G : Type u_8
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₃
f : E →SL[σ₁₂] F
g : E →SL[σ₁₃] G
h : ∀ (x : E), ‖f x‖ = ‖g x‖
c : ℝ
hc : c ≥ 0
h₂ : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ c * ‖x‖
z : E
⊢ ‖f z‖ ≤ c * ‖z‖

Proof state:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_6
G : Type u_8
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₁₃ : 𝕜 →+* 𝕜₃
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₃
f : E →SL[σ₁₂] F
g : E →SL[σ₁₃] G
h : ∀ (x : E), ‖f x‖ = ‖g x‖
c : ℝ
hc : c ≥ 0
h₂ : ∀ (x : E), ‖f x‖ ≤ c * ‖x‖
z : E
⊢ ‖f z‖ ≤ c * ‖z‖

Tactic:
exact h₂ z

Result:
no goals