-- Mathlib/Data/Set/Pairwise/Basic.lean
theorem pairwiseDisjoint_image_left_iff {f : α → β → γ} {s : Set α} {t : Set β}
    (hf : ∀ b ∈ t, Injective fun a => f a b) :
    (t.PairwiseDisjoint fun b => (fun a => f a b) '' s) ↔ (s ×ˢ t).InjOn fun p => f p.1 p.2

Proof state:
case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
hf : ∀ b ∈ t, Injective fun a => f a b
ht : t.PairwiseDisjoint fun b => (fun a => f a b) '' s
x : α × β
hx : x ∈ s ×ˢ t
y : α × β
hy : y ∈ s ×ˢ t
h : f x.1 x.2 = (fun p => f p.1 p.2) y
⊢ (fun p => f p.1 p.2) y ∈ (fun a => f a y.2) '' s

Tactic:
exact mem_image_of_mem _ hy.1

Result:
no goals

Proof state:
case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
hf : ∀ b ∈ t, Injective fun a => f a b
ht : t.PairwiseDisjoint fun b => (fun a => f a b) '' s
x : α × β
hx : x ∈ s ×ˢ t
y : α × β
hy : y ∈ s ×ˢ t
h : f x.1 x.2 = (fun p => f p.1 p.2) y
⊢ f x.1 x.2 ∈ (fun a => f a y.2) '' s

Tactic:
rw [h]

Result:
case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
hf : ∀ b ∈ t, Injective fun a => f a b
ht : t.PairwiseDisjoint fun b => (fun a => f a b) '' s
x : α × β
hx : x ∈ s ×ˢ t
y : α × β
hy : y ∈ s ×ˢ t
h : f x.1 x.2 = (fun p => f p.1 p.2) y
⊢ (fun p => f p.1 p.2) y ∈ (fun a => f a y.2) '' s

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
hf : ∀ b ∈ t, Injective fun a => f a b
⊢ (t.PairwiseDisjoint fun b => (fun a => f a b) '' s) ↔ InjOn (fun p => f p.1 p.2) (s ×ˢ t)

Tactic:
refine ⟨fun ht x hx y hy (h : f _ _ = _) => ?_, fun ht x hx y hy h => ?_⟩

Result:
case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
hf : ∀ b ∈ t, Injective fun a => f a b
ht : t.PairwiseDisjoint fun b => (fun a => f a b) '' s
x : α × β
hx : x ∈ s ×ˢ t
y : α × β
hy : y ∈ s ×ˢ t
h : f x.1 x.2 = (fun p => f p.1 p.2) y
⊢ x = y

case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
hf : ∀ b ∈ t, Injective fun a => f a b
ht : InjOn (fun p => f p.1 p.2) (s ×ˢ t)
x : β
hx : x ∈ t
y : β
hy : y ∈ t
h : x ≠ y
⊢ (Disjoint on fun b => (fun a => f a b) '' s) x y

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
hf : ∀ b ∈ t, Injective fun a => f a b
ht : t.PairwiseDisjoint fun b => (fun a => f a b) '' s
x : α × β
hx : x ∈ s ×ˢ t
y : α × β
hy : y ∈ s ×ˢ t
h : f x.1 x.2 = (fun p => f p.1 p.2) y
this : x.2 = y.2
⊢ x = y

Tactic:
exact Prod.ext (hf _ hx.2 <| h.trans <| by rw [this]) this

Result:
no goals

Proof state:
case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
hf : ∀ b ∈ t, Injective fun a => f a b
ht : t.PairwiseDisjoint fun b => (fun a => f a b) '' s
x : α × β
hx : x ∈ s ×ˢ t
y : α × β
hy : y ∈ s ×ˢ t
h : f x.1 x.2 = (fun p => f p.1 p.2) y
⊢ x.2 = y.2

Tactic:
refine ht.elim hx.2 hy.2 (not_disjoint_iff.2 ⟨_, mem_image_of_mem _ hx.1, ?_⟩)

Result:
case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
hf : ∀ b ∈ t, Injective fun a => f a b
ht : t.PairwiseDisjoint fun b => (fun a => f a b) '' s
x : α × β
hx : x ∈ s ×ˢ t
y : α × β
hy : y ∈ s ×ˢ t
h : f x.1 x.2 = (fun p => f p.1 p.2) y
⊢ f x.1 x.2 ∈ (fun a => f a y.2) '' s

Proof state:
case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
hf : ∀ b ∈ t, Injective fun a => f a b
ht : InjOn (fun p => f p.1 p.2) (s ×ˢ t)
x : β
hx : x ∈ t
y : β
hy : y ∈ t
h : x ≠ y
⊢ (Disjoint on fun b => (fun a => f a b) '' s) x y

Tactic:
refine disjoint_iff_inf_le.mpr ?_

Result:
case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
hf : ∀ b ∈ t, Injective fun a => f a b
ht : InjOn (fun p => f p.1 p.2) (s ×ˢ t)
x : β
hx : x ∈ t
y : β
hy : y ∈ t
h : x ≠ y
⊢ (fun b => (fun a => f a b) '' s) x ⊓ (fun b => (fun a => f a b) '' s) y ≤ ⊥

Proof state:
case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
hf : ∀ b ∈ t, Injective fun a => f a b
ht : t.PairwiseDisjoint fun b => (fun a => f a b) '' s
x : α × β
hx : x ∈ s ×ˢ t
y : α × β
hy : y ∈ s ×ˢ t
h : f x.1 x.2 = (fun p => f p.1 p.2) y
⊢ x = y

Tactic:
suffices x.2 = y.2 by exact Prod.ext (hf _ hx.2 <| h.trans <| by rw [this]) this

Result:
case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
hf : ∀ b ∈ t, Injective fun a => f a b
ht : t.PairwiseDisjoint fun b => (fun a => f a b) '' s
x : α × β
hx : x ∈ s ×ˢ t
y : α × β
hy : y ∈ s ×ˢ t
h : f x.1 x.2 = (fun p => f p.1 p.2) y
⊢ x.2 = y.2

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
hf : ∀ b ∈ t, Injective fun a => f a b
ht : t.PairwiseDisjoint fun b => (fun a => f a b) '' s
x : α × β
hx : x ∈ s ×ˢ t
y : α × β
hy : y ∈ s ×ˢ t
h : f x.1 x.2 = (fun p => f p.1 p.2) y
this : x.2 = y.2
⊢ (fun p => f p.1 p.2) y = (fun a => f a x.2) y.1

Tactic:
rw [this]

Result:
no goals

Proof state:
case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
hf : ∀ b ∈ t, Injective fun a => f a b
ht : InjOn (fun p => f p.1 p.2) (s ×ˢ t)
x : β
hx : x ∈ t
y : β
hy : y ∈ t
h : x ≠ y
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ s
hab : (fun a => f a x) a = (fun a => f a y) b
⊢ (fun a => f a y) b ∈ ⊥

Tactic:
exact h (congr_arg Prod.snd <| ht (mk_mem_prod ha hx) (mk_mem_prod hb hy) hab)

Result:
no goals

Proof state:
case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
hf : ∀ b ∈ t, Injective fun a => f a b
ht : InjOn (fun p => f p.1 p.2) (s ×ˢ t)
x : β
hx : x ∈ t
y : β
hy : y ∈ t
h : x ≠ y
⊢ (fun b => (fun a => f a b) '' s) x ⊓ (fun b => (fun a => f a b) '' s) y ≤ ⊥

Tactic:
rintro _ ⟨⟨a, ha, hab⟩, b, hb, rfl⟩

Result:
case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β → γ
s : Set α
t : Set β
hf : ∀ b ∈ t, Injective fun a => f a b
ht : InjOn (fun p => f p.1 p.2) (s ×ˢ t)
x : β
hx : x ∈ t
y : β
hy : y ∈ t
h : x ≠ y
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ s
hab : (fun a => f a x) a = (fun a => f a y) b
⊢ (fun a => f a y) b ∈ ⊥