-- Mathlib/Order/BooleanGenerators.lean
lemma atomistic (hS : BooleanGenerators S) (a : α) (ha : a ≤ sSup S) : ∃ T ⊆ S, a = sSup T

Proof state:
case intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
S : Set α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
hS : BooleanGenerators S
C : Set α
hC : ∀ x ∈ C, IsCompactElement x
ha : sSup C ≤ sSup S
T : (b : α) → IsCompactElement b → b ≤ sSup S → Set α
hT₁ : ∀ (b : α) (a : IsCompactElement b) (a_1 : b ≤ sSup S), T b a a_1 ⊆ S
hT₂ : ∀ (b : α) (a : IsCompactElement b) (a_1 : b ≤ sSup S), b = sSup (T b a a_1)
⊢ ∃ T ⊆ S, sSup C = sSup T

Tactic:
use sSup {T c h₁ h₂ | (c ∈ C) (h₁ : IsCompactElement c) (h₂ : c ≤ sSup S)}

Result:
case h
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
S : Set α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
hS : BooleanGenerators S
C : Set α
hC : ∀ x ∈ C, IsCompactElement x
ha : sSup C ≤ sSup S
T : (b : α) → IsCompactElement b → b ≤ sSup S → Set α
hT₁ : ∀ (b : α) (a : IsCompactElement b) (a_1 : b ≤ sSup S), T b a a_1 ⊆ S
hT₂ : ∀ (b : α) (a : IsCompactElement b) (a_1 : b ≤ sSup S), b = sSup (T b a a_1)
⊢ sSup {x | ∃ c ∈ C, ∃ (h₁ : IsCompactElement c) (h₂ : c ≤ sSup S), T c h₁ h₂ = x} ⊆ S ∧
    sSup C = sSup (sSup {x | ∃ c ∈ C, ∃ (h₁ : IsCompactElement c) (h₂ : c ≤ sSup S), T c h₁ h₂ = x})

Proof state:
case h.left
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
S : Set α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
hS : BooleanGenerators S
C : Set α
hC : ∀ x ∈ C, IsCompactElement x
ha : sSup C ≤ sSup S
T : (b : α) → IsCompactElement b → b ≤ sSup S → Set α
hT₁ : ∀ (b : α) (a : IsCompactElement b) (a_1 : b ≤ sSup S), T b a a_1 ⊆ S
hT₂ : ∀ (b : α) (a : IsCompactElement b) (a_1 : b ≤ sSup S), b = sSup (T b a a_1)
⊢ sSup {x | ∃ c ∈ C, ∃ (h₁ : IsCompactElement c) (h₂ : c ≤ sSup S), T c h₁ h₂ = x} ⊆ S

Tactic:
apply _root_.sSup_le

Result:
case h.left.a
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
S : Set α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
hS : BooleanGenerators S
C : Set α
hC : ∀ x ∈ C, IsCompactElement x
ha : sSup C ≤ sSup S
T : (b : α) → IsCompactElement b → b ≤ sSup S → Set α
hT₁ : ∀ (b : α) (a : IsCompactElement b) (a_1 : b ≤ sSup S), T b a a_1 ⊆ S
hT₂ : ∀ (b : α) (a : IsCompactElement b) (a_1 : b ≤ sSup S), b = sSup (T b a a_1)
⊢ ∀ b ∈ {x | ∃ c ∈ C, ∃ (h₁ : IsCompactElement c) (h₂ : c ≤ sSup S), T c h₁ h₂ = x}, b ≤ S

Proof state:
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
S : Set α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
hS : BooleanGenerators S
C : Set α
hC : ∀ x ∈ C, IsCompactElement x
ha : sSup C ≤ sSup S
⊢ ∀ (b : α), IsCompactElement b → b ≤ sSup S → ∃ T ⊆ S, b = sSup T

Tactic:
intro b hb hbS

Result:
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
S : Set α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
hS : BooleanGenerators S
C : Set α
hC : ∀ x ∈ C, IsCompactElement x
ha : sSup C ≤ sSup S
b : α
hb : IsCompactElement b
hbS : b ≤ sSup S
⊢ ∃ T ⊆ S, b = sSup T

Proof state:
case h.right.a
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
S : Set α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
hS : BooleanGenerators S
C : Set α
hC : ∀ x ∈ C, IsCompactElement x
ha : sSup C ≤ sSup S
T : (b : α) → IsCompactElement b → b ≤ sSup S → Set α
hT₁ : ∀ (b : α) (a : IsCompactElement b) (a_1 : b ≤ sSup S), T b a a_1 ⊆ S
hT₂ : ∀ (b : α) (a : IsCompactElement b) (a_1 : b ≤ sSup S), b = sSup (T b a a_1)
a b : α
hbC : b ∈ C
hb : IsCompactElement b
hbS : b ≤ sSup S
haT : a ∈ T b hb hbS
⊢ b ≤ sSup C

Tactic:
exact le_sSup hbC

Result:
no goals

Proof state:
case h.right.a
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
S : Set α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
hS : BooleanGenerators S
C : Set α
hC : ∀ x ∈ C, IsCompactElement x
ha : sSup C ≤ sSup S
T : (b : α) → IsCompactElement b → b ≤ sSup S → Set α
hT₁ : ∀ (b : α) (a : IsCompactElement b) (a_1 : b ≤ sSup S), T b a a_1 ⊆ S
hT₂ : ∀ (b : α) (a : IsCompactElement b) (a_1 : b ≤ sSup S), b = sSup (T b a a_1)
⊢ ∀ (b : α) (x : Set α),
    ∀ x_1 ∈ C, ∀ (x_2 : IsCompactElement x_1) (x_3 : x_1 ≤ sSup S), T x_1 x_2 x_3 = x → b ∈ x → b ≤ sSup C

Tactic:
rintro a T b hbC hb hbS rfl haT

Result:
case h.right.a
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
S : Set α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
hS : BooleanGenerators S
C : Set α
hC : ∀ x ∈ C, IsCompactElement x
ha : sSup C ≤ sSup S
T : (b : α) → IsCompactElement b → b ≤ sSup S → Set α
hT₁ : ∀ (b : α) (a : IsCompactElement b) (a_1 : b ≤ sSup S), T b a a_1 ⊆ S
hT₂ : ∀ (b : α) (a : IsCompactElement b) (a_1 : b ≤ sSup S), b = sSup (T b a a_1)
a b : α
hbC : b ∈ C
hb : IsCompactElement b
hbS : b ≤ sSup S
haT : a ∈ T b hb hbS
⊢ a ≤ sSup C

Proof state:
case intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
S : Set α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
hS : BooleanGenerators S
C : Set α
hC : ∀ x ∈ C, IsCompactElement x
ha : sSup C ≤ sSup S
b : α
hb : IsCompactElement b
hbS : b ≤ sSup S
s : Finset α
hs₁ : ↑s ⊆ S
hs₂ : b ≤ s.sup id
⊢ ∃ T ⊆ S, b = sSup T

Tactic:
obtain ⟨t, ht, rfl⟩ := hS.finitelyAtomistic s b hs₁ hb hs₂

Result:
case intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
S : Set α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
hS : BooleanGenerators S
C : Set α
hC : ∀ x ∈ C, IsCompactElement x
ha : sSup C ≤ sSup S
s : Finset α
hs₁ : ↑s ⊆ S
t : Finset α
ht : t ⊆ s
hb : IsCompactElement (t.sup id)
hbS : t.sup id ≤ sSup S
hs₂ : t.sup id ≤ s.sup id
⊢ ∃ T ⊆ S, t.sup id = sSup T

Proof state:
case intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
S : Set α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
hS : BooleanGenerators S
C : Set α
hC : ∀ x ∈ C, IsCompactElement x
ha : sSup C ≤ sSup S
s : Finset α
hs₁ : ↑s ⊆ S
t : Finset α
ht : t ⊆ s
hb : IsCompactElement (t.sup id)
hbS : t.sup id ≤ sSup S
hs₂ : t.sup id ≤ s.sup id
⊢ ↑t ⊆ ↑s

Tactic:
simpa only [Finset.coe_subset] using ht

Result:
no goals

Proof state:
case h.right
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
S : Set α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
hS : BooleanGenerators S
C : Set α
hC : ∀ x ∈ C, IsCompactElement x
ha : sSup C ≤ sSup S
T : (b : α) → IsCompactElement b → b ≤ sSup S → Set α
hT₁ : ∀ (b : α) (a : IsCompactElement b) (a_1 : b ≤ sSup S), T b a a_1 ⊆ S
hT₂ : ∀ (b : α) (a : IsCompactElement b) (a_1 : b ≤ sSup S), b = sSup (T b a a_1)
⊢ sSup C = sSup (sSup {x | ∃ c ∈ C, ∃ (h₁ : IsCompactElement c) (h₂ : c ≤ sSup S), T c h₁ h₂ = x})

Tactic:
apply le_antisymm

Result:
case h.right.a
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
S : Set α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
hS : BooleanGenerators S
C : Set α
hC : ∀ x ∈ C, IsCompactElement x
ha : sSup C ≤ sSup S
T : (b : α) → IsCompactElement b → b ≤ sSup S → Set α
hT₁ : ∀ (b : α) (a : IsCompactElement b) (a_1 : b ≤ sSup S), T b a a_1 ⊆ S
hT₂ : ∀ (b : α) (a : IsCompactElement b) (a_1 : b ≤ sSup S), b = sSup (T b a a_1)
⊢ sSup C ≤ sSup (sSup {x | ∃ c ∈ C, ∃ (h₁ : IsCompactElement c) (h₂ : c ≤ sSup S), T c h₁ h₂ = x})

case h.right.a
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
S : Set α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
hS : BooleanGenerators S
C : Set α
hC : ∀ x ∈ C, IsCompactElement x
ha : sSup C ≤ sSup S
T : (b : α) → IsCompactElement b → b ≤ sSup S → Set α
hT₁ : ∀ (b : α) (a : IsCompactElement b) (a_1 : b ≤ sSup S), T b a a_1 ⊆ S
hT₂ : ∀ (b : α) (a : IsCompactElement b) (a_1 : b ≤ sSup S), b = sSup (T b a a_1)
⊢ sSup (sSup {x | ∃ c ∈ C, ∃ (h₁ : IsCompactElement c) (h₂ : c ≤ sSup S), T c h₁ h₂ = x}) ≤ sSup C

Proof state:
case intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
S : Set α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
hS : BooleanGenerators S
C : Set α
hC : ∀ x ∈ C, IsCompactElement x
ha : sSup C ≤ sSup S
s : Finset α
hs₁ : ↑s ⊆ S
t : Finset α
ht : t ⊆ s
hb : IsCompactElement (t.sup id)
hbS : t.sup id ≤ sSup S
hs₂ : t.sup id ≤ s.sup id
⊢ ↑t ⊆ S

Tactic:
refine Set.Subset.trans ?_ hs₁

Result:
case intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝¹ : CompleteLattice α
S : Set α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
hS : BooleanGenerators S
C : Set α
hC : ∀ x ∈ C, IsCompactElement x
ha : sSup C ≤ sSup S
s : Finset α
hs₁ : ↑s ⊆ S
t : Finset α
ht : t ⊆ s
hb : IsCompactElement (t.sup id)
hbS : t.sup id ≤ sSup S
hs₂ : t.sup id ≤ s.sup id
⊢ ↑t ⊆ ↑s