-- Mathlib/LinearAlgebra/Matrix/Determinant/Basic.lean
theorem det_eq_of_forall_row_eq_smul_add_const_aux {A B : Matrix n n R} {s : Finset n} :
    ∀ (c : n → R) (_ : ∀ i, i ∉ s → c i = 0) (k : n) (_ : k ∉ s)
      (_ : ∀ i j, A i j = B i j + c i * B k j), det A = det B

Proof state:
case pos
n : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix n n R
i : n
s : Finset n
_hi : i ∉ s
ih :
  ∀ {B : Matrix n n R} (c : n → R),
    (∀ i ∉ s, c i = 0) → ∀ k ∉ s, (∀ (i j : n), A i j = B i j + c i * B k j) → A.det = B.det
B : Matrix n n R
c : n → R
hs : ∀ i_1 ∉ insert i s, c i_1 = 0
k : n
hk : k ∉ insert i s
A_eq : ∀ (i j : n), A i j = B i j + c i * B k j
hAi : A i = B i + c i • B k
i' : n
hi' : i' ∉ s
hi'i : i' = i
⊢ 0 = 0

Tactic:
rfl

Result:
no goals

Proof state:
case insert.x
n : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix n n R
i : n
s : Finset n
_hi : i ∉ s
ih :
  ∀ {B : Matrix n n R} (c : n → R),
    (∀ i ∉ s, c i = 0) → ∀ k ∉ s, (∀ (i j : n), A i j = B i j + c i * B k j) → A.det = B.det
B : Matrix n n R
c : n → R
hs : ∀ i_1 ∉ insert i s, c i_1 = 0
k : n
hk : k ∉ insert i s
A_eq : ∀ (i j : n), A i j = B i j + c i * B k j
hAi : A i = B i + c i • B k
i' : n
hi' : i' ∉ s
⊢ update c i 0 i' = 0

Tactic:
rw [Function.update_apply]

Result:
case insert.x
n : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix n n R
i : n
s : Finset n
_hi : i ∉ s
ih :
  ∀ {B : Matrix n n R} (c : n → R),
    (∀ i ∉ s, c i = 0) → ∀ k ∉ s, (∀ (i j : n), A i j = B i j + c i * B k j) → A.det = B.det
B : Matrix n n R
c : n → R
hs : ∀ i_1 ∉ insert i s, c i_1 = 0
k : n
hk : k ∉ insert i s
A_eq : ∀ (i j : n), A i j = B i j + c i * B k j
hAi : A i = B i + c i • B k
i' : n
hi' : i' ∉ s
⊢ (if i' = i then 0 else c i') = 0

Proof state:
case neg
n : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix n n R
i : n
s : Finset n
_hi : i ∉ s
ih :
  ∀ {B : Matrix n n R} (c : n → R),
    (∀ i ∉ s, c i = 0) → ∀ k ∉ s, (∀ (i j : n), A i j = B i j + c i * B k j) → A.det = B.det
B : Matrix n n R
c : n → R
hs : ∀ i_1 ∉ insert i s, c i_1 = 0
k : n
hk : k ∉ insert i s
A_eq : ∀ (i j : n), A i j = B i j + c i * B k j
hAi : A i = B i + c i • B k
i' : n
hi' : i' ∉ s
hi'i : ¬i' = i
⊢ c i' = 0

Tactic:
exact hs i' fun h => hi' ((Finset.mem_insert.mp h).resolve_left hi'i)

Result:
no goals

Proof state:
case insert.x
n : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix n n R
i : n
s : Finset n
_hi : i ∉ s
ih :
  ∀ {B : Matrix n n R} (c : n → R),
    (∀ i ∉ s, c i = 0) → ∀ k ∉ s, (∀ (i j : n), A i j = B i j + c i * B k j) → A.det = B.det
B : Matrix n n R
c : n → R
hs : ∀ i_1 ∉ insert i s, c i_1 = 0
k : n
hk : k ∉ insert i s
A_eq : ∀ (i j : n), A i j = B i j + c i * B k j
hAi : A i = B i + c i • B k
i' j' : n
⊢ A i' j' = B.updateRow i (A i) i' j' + update c i 0 i' * B.updateRow i (A i) k j'

Tactic:
rw [updateRow_apply, Function.update_apply]

Result:
case insert.x
n : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix n n R
i : n
s : Finset n
_hi : i ∉ s
ih :
  ∀ {B : Matrix n n R} (c : n → R),
    (∀ i ∉ s, c i = 0) → ∀ k ∉ s, (∀ (i j : n), A i j = B i j + c i * B k j) → A.det = B.det
B : Matrix n n R
c : n → R
hs : ∀ i_1 ∉ insert i s, c i_1 = 0
k : n
hk : k ∉ insert i s
A_eq : ∀ (i j : n), A i j = B i j + c i * B k j
hAi : A i = B i + c i • B k
i' j' : n
⊢ A i' j' = (if i' = i then A i j' else B i' j') + (if i' = i then 0 else c i') * B.updateRow i (A i) k j'

Proof state:
case insert.x
n : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix n n R
i : n
s : Finset n
_hi : i ∉ s
ih :
  ∀ {B : Matrix n n R} (c : n → R),
    (∀ i ∉ s, c i = 0) → ∀ k ∉ s, (∀ (i j : n), A i j = B i j + c i * B k j) → A.det = B.det
B : Matrix n n R
c : n → R
hs : ∀ i_1 ∉ insert i s, c i_1 = 0
k : n
hk : k ∉ insert i s
A_eq : ∀ (i j : n), A i j = B i j + c i * B k j
hAi : A i = B i + c i • B k
i' : n
hi' : i' ∉ s
⊢ (if i' = i then 0 else c i') = 0

Tactic:
split_ifs with hi'i

Result:
case pos
n : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix n n R
i : n
s : Finset n
_hi : i ∉ s
ih :
  ∀ {B : Matrix n n R} (c : n → R),
    (∀ i ∉ s, c i = 0) → ∀ k ∉ s, (∀ (i j : n), A i j = B i j + c i * B k j) → A.det = B.det
B : Matrix n n R
c : n → R
hs : ∀ i_1 ∉ insert i s, c i_1 = 0
k : n
hk : k ∉ insert i s
A_eq : ∀ (i j : n), A i j = B i j + c i * B k j
hAi : A i = B i + c i • B k
i' : n
hi' : i' ∉ s
hi'i : i' = i
⊢ 0 = 0

case neg
n : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix n n R
i : n
s : Finset n
_hi : i ∉ s
ih :
  ∀ {B : Matrix n n R} (c : n → R),
    (∀ i ∉ s, c i = 0) → ∀ k ∉ s, (∀ (i j : n), A i j = B i j + c i * B k j) → A.det = B.det
B : Matrix n n R
c : n → R
hs : ∀ i_1 ∉ insert i s, c i_1 = 0
k : n
hk : k ∉ insert i s
A_eq : ∀ (i j : n), A i j = B i j + c i * B k j
hAi : A i = B i + c i • B k
i' : n
hi' : i' ∉ s
hi'i : ¬i' = i
⊢ c i' = 0

Proof state:
case insert.x
n : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix n n R
i : n
s : Finset n
_hi : i ∉ s
ih :
  ∀ {B : Matrix n n R} (c : n → R),
    (∀ i ∉ s, c i = 0) → ∀ k ∉ s, (∀ (i j : n), A i j = B i j + c i * B k j) → A.det = B.det
B : Matrix n n R
c : n → R
hs : ∀ i_1 ∉ insert i s, c i_1 = 0
k : n
hk : k ∉ insert i s
A_eq : ∀ (i j : n), A i j = B i j + c i * B k j
hAi : A i = B i + c i • B k
⊢ ∀ (i_1 j : n), A i_1 j = B.updateRow i (A i) i_1 j + update c i 0 i_1 * B.updateRow i (A i) k j

Tactic:
intro i' j'

Result:
case insert.x
n : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix n n R
i : n
s : Finset n
_hi : i ∉ s
ih :
  ∀ {B : Matrix n n R} (c : n → R),
    (∀ i ∉ s, c i = 0) → ∀ k ∉ s, (∀ (i j : n), A i j = B i j + c i * B k j) → A.det = B.det
B : Matrix n n R
c : n → R
hs : ∀ i_1 ∉ insert i s, c i_1 = 0
k : n
hk : k ∉ insert i s
A_eq : ∀ (i j : n), A i j = B i j + c i * B k j
hAi : A i = B i + c i • B k
i' j' : n
⊢ A i' j' = B.updateRow i (A i) i' j' + update c i 0 i' * B.updateRow i (A i) k j'

Proof state:
case insert.x
n : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix n n R
i : n
s : Finset n
_hi : i ∉ s
ih :
  ∀ {B : Matrix n n R} (c : n → R),
    (∀ i ∉ s, c i = 0) → ∀ k ∉ s, (∀ (i j : n), A i j = B i j + c i * B k j) → A.det = B.det
B : Matrix n n R
c : n → R
hs : ∀ i_1 ∉ insert i s, c i_1 = 0
k : n
hk : k ∉ insert i s
A_eq : ∀ (i j : n), A i j = B i j + c i * B k j
hAi : A i = B i + c i • B k
⊢ ∀ i_1 ∉ s, update c i 0 i_1 = 0

Tactic:
intro i' hi'

Result:
case insert.x
n : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A : Matrix n n R
i : n
s : Finset n
_hi : i ∉ s
ih :
  ∀ {B : Matrix n n R} (c : n → R),
    (∀ i ∉ s, c i = 0) → ∀ k ∉ s, (∀ (i j : n), A i j = B i j + c i * B k j) → A.det = B.det
B : Matrix n n R
c : n → R
hs : ∀ i_1 ∉ insert i s, c i_1 = 0
k : n
hk : k ∉ insert i s
A_eq : ∀ (i j : n), A i j = B i j + c i * B k j
hAi : A i = B i + c i • B k
i' : n
hi' : i' ∉ s
⊢ update c i 0 i' = 0

Proof state:
n : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A B : Matrix n n R
c : n → R
hs : ∀ i ∉ ∅, c i = 0
k : n
A_eq : ∀ (i j : n), A i j = B i j + c i * B k j
i : n
⊢ c i = 0

Tactic:
specialize hs i

Result:
n : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
R : Type v
inst✝ : CommRing R
A B : Matrix n n R
c : n → R
k : n
A_eq : ∀ (i j : n), A i j = B i j + c i * B k j
i : n
hs : i ∉ ∅ → c i = 0
⊢ c i = 0