-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiff/Constructions.lean
lemma contMDiff_of_contMDiff_inr {g : M' → N'}
    (h : ContMDiff I J n ((@Sum.inr N N') ∘ g)) : ContMDiff I J n g

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M' : Type u_16
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H M'
n : WithTop ℕ∞
E' : Type u_17
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_18
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_20
N' : Type u_21
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : TopologicalSpace N'
inst✝¹ : ChartedSpace H' N
inst✝ : ChartedSpace H' N'
g : M' → N'
h : ContMDiffOn I J n (Sum.inr ∘ g) univ
a✝ : Nontrivial N'
inhabited_h : Inhabited N'
aux : N ⊕ N' → N' := Sum.elim (fun x => default) id
this : aux ∘ Sum.inr ∘ g = g
⊢ ContMDiffOn I J n (aux ∘ Sum.inr ∘ g) univ

Tactic:
apply ((contMDiff_const.sumElim contMDiff_id).contMDiffOn (s := Sum.inr '' univ)).comp h

Result:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M' : Type u_16
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H M'
n : WithTop ℕ∞
E' : Type u_17
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_18
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_20
N' : Type u_21
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : TopologicalSpace N'
inst✝¹ : ChartedSpace H' N
inst✝ : ChartedSpace H' N'
g : M' → N'
h : ContMDiffOn I J n (Sum.inr ∘ g) univ
a✝ : Nontrivial N'
inhabited_h : Inhabited N'
aux : N ⊕ N' → N' := Sum.elim (fun x => default) id
this : aux ∘ Sum.inr ∘ g = g
⊢ univ ⊆ Sum.inr ∘ g ⁻¹' (Sum.inr '' univ)

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M' : Type u_16
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H M'
n : WithTop ℕ∞
E' : Type u_17
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_18
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_20
N' : Type u_21
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : TopologicalSpace N'
inst✝¹ : ChartedSpace H' N
inst✝ : ChartedSpace H' N'
g : M' → N'
h : ContMDiffOn I J n (Sum.inr ∘ g) univ
a✝ : Nontrivial N'
inhabited_h : Inhabited N'
aux : N ⊕ N' → N' := Sum.elim (fun x => default) id
this : aux ∘ Sum.inr ∘ g = g
x : M'
_hx : x ∈ univ
⊢ x ∈ Sum.inr ∘ g ⁻¹' (Sum.inr '' univ)

Tactic:
rw [mem_preimage, Function.comp_apply]

Result:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M' : Type u_16
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H M'
n : WithTop ℕ∞
E' : Type u_17
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_18
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_20
N' : Type u_21
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : TopologicalSpace N'
inst✝¹ : ChartedSpace H' N
inst✝ : ChartedSpace H' N'
g : M' → N'
h : ContMDiffOn I J n (Sum.inr ∘ g) univ
a✝ : Nontrivial N'
inhabited_h : Inhabited N'
aux : N ⊕ N' → N' := Sum.elim (fun x => default) id
this : aux ∘ Sum.inr ∘ g = g
x : M'
_hx : x ∈ univ
⊢ Sum.inr (g x) ∈ Sum.inr '' univ

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M' : Type u_16
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H M'
n : WithTop ℕ∞
E' : Type u_17
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_18
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_20
N' : Type u_21
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : TopologicalSpace N'
inst✝¹ : ChartedSpace H' N
inst✝ : ChartedSpace H' N'
g : M' → N'
h : ContMDiffOn I J n (Sum.inr ∘ g) univ
a✝ : Nontrivial N'
inhabited_h : Inhabited N'
aux : N ⊕ N' → N' := Sum.elim (fun x => default) id
this : aux ∘ Sum.inr ∘ g = g
x : M'
_hx : x ∈ univ
⊢ Sum.inr (g x) ∈ Sum.inr '' univ

Tactic:
use g x, trivial

Result:
no goals

Proof state:
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M' : Type u_16
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H M'
n : WithTop ℕ∞
E' : Type u_17
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_18
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_20
N' : Type u_21
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : TopologicalSpace N'
inst✝¹ : ChartedSpace H' N
inst✝ : ChartedSpace H' N'
g : M' → N'
h : ContMDiff I J n (Sum.inr ∘ g)
a✝ : Nontrivial N'
inhabited_h : Inhabited N'
aux : N ⊕ N' → N' := Sum.elim (fun x => default) id
x✝ : M'
⊢ (aux ∘ Sum.inr ∘ g) x✝ = g x✝

Tactic:
simp [aux]

Result:
no goals

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M' : Type u_16
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H M'
n : WithTop ℕ∞
E' : Type u_17
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_18
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_20
N' : Type u_21
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : TopologicalSpace N'
inst✝¹ : ChartedSpace H' N
inst✝ : ChartedSpace H' N'
g : M' → N'
h : ContMDiff I J n (Sum.inr ∘ g)
a✝ : Nontrivial N'
inhabited_h : Inhabited N'
aux : N ⊕ N' → N' := Sum.elim (fun x => default) id
this : aux ∘ Sum.inr ∘ g = g
⊢ ContMDiff I J n g

Tactic:
rw [← this]

Result:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝⁹ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M' : Type u_16
inst✝⁸ : TopologicalSpace M'
inst✝⁷ : ChartedSpace H M'
n : WithTop ℕ∞
E' : Type u_17
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_18
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
J : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
N : Type u_20
N' : Type u_21
inst✝³ : TopologicalSpace N
inst✝² : TopologicalSpace N'
inst✝¹ : ChartedSpace H' N
inst✝ : ChartedSpace H' N'
g : M' → N'
h : ContMDiff I J n (Sum.inr ∘ g)
a✝ : Nontrivial N'
inhabited_h : Inhabited N'
aux : N ⊕ N' → N' := Sum.elim (fun x => default) id
this : aux ∘ Sum.inr ∘ g = g
⊢ ContMDiff I J n (aux ∘ Sum.inr ∘ g)