-- Mathlib/.lake/packages/lean4/src/lean/Init/Internal/Order/Lemmas.lean
theorem monotone_forIn {α : Type uu}
    (as : List α) (init : β) (f : γ → (a : α) → β → m (ForInStep β)) (hmono : monotone f) :
    monotone (fun x => forIn as init (f x))

Proof state:
case h
m : Type u → Type v
inst✝³ : Monad m
inst✝² : (α : Type u) → PartialOrder (m α)
inst✝¹ : MonoBind m
β : Type u
γ : Type w
inst✝ : PartialOrder γ
α : Type uu
as : List α
init : β
f : γ → α → β → m (ForInStep β)
hmono : monotone f
y : α
⊢ monotone fun x x_1 => f x y

Tactic:
apply monotone_of_monotone_apply

Result:
case h.h
m : Type u → Type v
inst✝³ : Monad m
inst✝² : (α : Type u) → PartialOrder (m α)
inst✝¹ : MonoBind m
β : Type u
γ : Type w
inst✝ : PartialOrder γ
α : Type uu
as : List α
init : β
f : γ → α → β → m (ForInStep β)
hmono : monotone f
y : α
⊢ y ∈ as → monotone fun x => f x y

Proof state:
case h
m : Type u → Type v
inst✝³ : Monad m
inst✝² : (α : Type u) → PartialOrder (m α)
inst✝¹ : MonoBind m
β : Type u
γ : Type w
inst✝ : PartialOrder γ
α : Type uu
as : List α
init : β
f : γ → α → β → m (ForInStep β)
hmono : monotone f
⊢ ∀ (y : α), monotone fun x x_1 => f x y

Tactic:
intro y

Result:
case h
m : Type u → Type v
inst✝³ : Monad m
inst✝² : (α : Type u) → PartialOrder (m α)
inst✝¹ : MonoBind m
β : Type u
γ : Type w
inst✝ : PartialOrder γ
α : Type uu
as : List α
init : β
f : γ → α → β → m (ForInStep β)
hmono : monotone f
y : α
⊢ monotone fun x x_1 => f x y

Proof state:
case h.h
m : Type u → Type v
inst✝³ : Monad m
inst✝² : (α : Type u) → PartialOrder (m α)
inst✝¹ : MonoBind m
β : Type u
γ : Type w
inst✝ : PartialOrder γ
α : Type uu
as : List α
init : β
f : γ → α → β → m (ForInStep β)
hmono : monotone f
y : α
p : y ∈ as
⊢ monotone fun x => f x y

Tactic:
apply monotone_apply (a := y)

Result:
case h.h.h
m : Type u → Type v
inst✝³ : Monad m
inst✝² : (α : Type u) → PartialOrder (m α)
inst✝¹ : MonoBind m
β : Type u
γ : Type w
inst✝ : PartialOrder γ
α : Type uu
as : List α
init : β
f : γ → α → β → m (ForInStep β)
hmono : monotone f
y : α
p : y ∈ as
⊢ monotone f

Proof state:
m : Type u → Type v
inst✝³ : Monad m
inst✝² : (α : Type u) → PartialOrder (m α)
inst✝¹ : MonoBind m
β : Type u
γ : Type w
inst✝ : PartialOrder γ
α : Type uu
as : List α
init : β
f : γ → α → β → m (ForInStep β)
hmono : monotone f
⊢ monotone fun x => forIn as init (f x)

Tactic:
apply monotone_forIn' as init _

Result:
m : Type u → Type v
inst✝³ : Monad m
inst✝² : (α : Type u) → PartialOrder (m α)
inst✝¹ : MonoBind m
β : Type u
γ : Type w
inst✝ : PartialOrder γ
α : Type uu
as : List α
init : β
f : γ → α → β → m (ForInStep β)
hmono : monotone f
⊢ monotone fun x a x_1 => f x a

Proof state:
case h.h
m : Type u → Type v
inst✝³ : Monad m
inst✝² : (α : Type u) → PartialOrder (m α)
inst✝¹ : MonoBind m
β : Type u
γ : Type w
inst✝ : PartialOrder γ
α : Type uu
as : List α
init : β
f : γ → α → β → m (ForInStep β)
hmono : monotone f
y : α
⊢ y ∈ as → monotone fun x => f x y

Tactic:
intro p

Result:
case h.h
m : Type u → Type v
inst✝³ : Monad m
inst✝² : (α : Type u) → PartialOrder (m α)
inst✝¹ : MonoBind m
β : Type u
γ : Type w
inst✝ : PartialOrder γ
α : Type uu
as : List α
init : β
f : γ → α → β → m (ForInStep β)
hmono : monotone f
y : α
p : y ∈ as
⊢ monotone fun x => f x y

Proof state:
case h.h.h
m : Type u → Type v
inst✝³ : Monad m
inst✝² : (α : Type u) → PartialOrder (m α)
inst✝¹ : MonoBind m
β : Type u
γ : Type w
inst✝ : PartialOrder γ
α : Type uu
as : List α
init : β
f : γ → α → β → m (ForInStep β)
hmono : monotone f
y : α
p : y ∈ as
⊢ monotone f

Tactic:
apply hmono

Result:
no goals

Proof state:
m : Type u → Type v
inst✝³ : Monad m
inst✝² : (α : Type u) → PartialOrder (m α)
inst✝¹ : MonoBind m
β : Type u
γ : Type w
inst✝ : PartialOrder γ
α : Type uu
as : List α
init : β
f : γ → α → β → m (ForInStep β)
hmono : monotone f
⊢ monotone fun x a x_1 => f x a

Tactic:
apply monotone_of_monotone_apply

Result:
case h
m : Type u → Type v
inst✝³ : Monad m
inst✝² : (α : Type u) → PartialOrder (m α)
inst✝¹ : MonoBind m
β : Type u
γ : Type w
inst✝ : PartialOrder γ
α : Type uu
as : List α
init : β
f : γ → α → β → m (ForInStep β)
hmono : monotone f
⊢ ∀ (y : α), monotone fun x x_1 => f x y