-- Mathlib/Data/List/Permutation.lean
theorem perm_permutations'Aux_comm (a b : α) (l : List α) :
    (permutations'Aux a l).flatMap (permutations'Aux b) ~
      (permutations'Aux b l).flatMap (permutations'Aux a)

Proof state:
α : Type u_1
a b c : α
l : List α
ih : flatMap (permutations'Aux b) (permutations'Aux a l) ~ flatMap (permutations'Aux a) (permutations'Aux b l)
a' b' : α
⊢ flatMap (permutations'Aux b') (map (cons c) (permutations'Aux a' l)) ~
    map (cons b' ∘ cons c) (permutations'Aux a' l) ++
      map (cons c) (flatMap (permutations'Aux b') (permutations'Aux a' l))

Tactic:
simp only [flatMap_map, permutations'Aux]

Result:
α : Type u_1
a b c : α
l : List α
ih : flatMap (permutations'Aux b) (permutations'Aux a l) ~ flatMap (permutations'Aux a) (permutations'Aux b l)
a' b' : α
⊢ flatMap (fun a => (b' :: c :: a) :: map (cons c) (permutations'Aux b' a)) (permutations'Aux a' l) ~
    map (cons b' ∘ cons c) (permutations'Aux a' l) ++
      map (cons c) (flatMap (permutations'Aux b') (permutations'Aux a' l))

Proof state:
α : Type u_1
a b c : α
l : List α
ih : flatMap (permutations'Aux b) (permutations'Aux a l) ~ flatMap (permutations'Aux a) (permutations'Aux b l)
a' b' : α
⊢ flatMap (fun x => [b' :: c :: x]) (permutations'Aux a' l) ++
      flatMap (fun a => map (cons c) (permutations'Aux b' a)) (permutations'Aux a' l) ~
    map (cons b' ∘ cons c) (permutations'Aux a' l) ++
      map (cons c) (flatMap (permutations'Aux b') (permutations'Aux a' l))

Tactic:
rw [← map_eq_flatMap, ← map_flatMap]

Result:
α : Type u_1
a b c : α
l : List α
ih : flatMap (permutations'Aux b) (permutations'Aux a l) ~ flatMap (permutations'Aux a) (permutations'Aux b l)
a' b' : α
⊢ map (fun x => b' :: c :: x) (permutations'Aux a' l) ++
      map (cons c) (flatMap (permutations'Aux b') (permutations'Aux a' l)) ~
    map (cons b' ∘ cons c) (permutations'Aux a' l) ++
      map (cons c) (flatMap (permutations'Aux b') (permutations'Aux a' l))

Proof state:
α : Type u_1
a b : α
l : List α
⊢ flatMap (permutations'Aux b) (permutations'Aux a l) ~ flatMap (permutations'Aux a) (permutations'Aux b l)

Tactic:
induction' l with c l ih

Result:
case nil
α : Type u_1
a b : α
⊢ flatMap (permutations'Aux b) (permutations'Aux a []) ~ flatMap (permutations'Aux a) (permutations'Aux b [])

case cons
α : Type u_1
a b c : α
l : List α
ih : flatMap (permutations'Aux b) (permutations'Aux a l) ~ flatMap (permutations'Aux a) (permutations'Aux b l)
⊢ flatMap (permutations'Aux b) (permutations'Aux a (c :: l)) ~
    flatMap (permutations'Aux a) (permutations'Aux b (c :: l))

Proof state:
α : Type u_1
a b c : α
l : List α
ih : flatMap (permutations'Aux b) (permutations'Aux a l) ~ flatMap (permutations'Aux a) (permutations'Aux b l)
⊢ ∀ (a b : α),
    flatMap (permutations'Aux b) (map (cons c) (permutations'Aux a l)) ~
      map (cons b ∘ cons c) (permutations'Aux a l) ++ map (cons c) (flatMap (permutations'Aux b) (permutations'Aux a l))

Tactic:
intros a' b'

Result:
α : Type u_1
a b c : α
l : List α
ih : flatMap (permutations'Aux b) (permutations'Aux a l) ~ flatMap (permutations'Aux a) (permutations'Aux b l)
a' b' : α
⊢ flatMap (permutations'Aux b') (map (cons c) (permutations'Aux a' l)) ~
    map (cons b' ∘ cons c) (permutations'Aux a' l) ++
      map (cons c) (flatMap (permutations'Aux b') (permutations'Aux a' l))

Proof state:
case cons.p
α : Type u_1
a b c : α
l : List α
ih : flatMap (permutations'Aux b) (permutations'Aux a l) ~ flatMap (permutations'Aux a) (permutations'Aux b l)
this :
  ∀ (a b : α),
    flatMap (permutations'Aux b) (map (cons c) (permutations'Aux a l)) ~
      map (cons b ∘ cons c) (permutations'Aux a l) ++ map (cons c) (flatMap (permutations'Aux b) (permutations'Aux a l))
⊢ map (cons a ∘ cons c) (permutations'Aux b l) ++
      (map (cons b ∘ cons c) (permutations'Aux a l) ++
        map (cons c) (flatMap (permutations'Aux b) (permutations'Aux a l))) ~
    map (cons b ∘ cons c) (permutations'Aux a l) ++
      (map (cons a ∘ cons c) (permutations'Aux b l) ++
        map (cons c) (flatMap (permutations'Aux a) (permutations'Aux b l)))

Tactic:
rw [← append_assoc, ← append_assoc]

Result:
case cons.p
α : Type u_1
a b c : α
l : List α
ih : flatMap (permutations'Aux b) (permutations'Aux a l) ~ flatMap (permutations'Aux a) (permutations'Aux b l)
this :
  ∀ (a b : α),
    flatMap (permutations'Aux b) (map (cons c) (permutations'Aux a l)) ~
      map (cons b ∘ cons c) (permutations'Aux a l) ++ map (cons c) (flatMap (permutations'Aux b) (permutations'Aux a l))
⊢ map (cons a ∘ cons c) (permutations'Aux b l) ++ map (cons b ∘ cons c) (permutations'Aux a l) ++
      map (cons c) (flatMap (permutations'Aux b) (permutations'Aux a l)) ~
    map (cons b ∘ cons c) (permutations'Aux a l) ++ map (cons a ∘ cons c) (permutations'Aux b l) ++
      map (cons c) (flatMap (permutations'Aux a) (permutations'Aux b l))

Proof state:
α : Type u_1
a b c : α
l : List α
ih : flatMap (permutations'Aux b) (permutations'Aux a l) ~ flatMap (permutations'Aux a) (permutations'Aux b l)
a' b' : α
⊢ flatMap (fun a => (b' :: c :: a) :: map (cons c) (permutations'Aux b' a)) (permutations'Aux a' l) ~
    map (cons b' ∘ cons c) (permutations'Aux a' l) ++
      map (cons c) (flatMap (permutations'Aux b') (permutations'Aux a' l))

Tactic:
show (permutations'Aux _ l).flatMap (fun a => ([b' :: c :: a] ++
  map (cons c) (permutations'Aux _ a))) ~ _

Result:
α : Type u_1
a b c : α
l : List α
ih : flatMap (permutations'Aux b) (permutations'Aux a l) ~ flatMap (permutations'Aux a) (permutations'Aux b l)
a' b' : α
⊢ flatMap (fun a => [b' :: c :: a] ++ map (cons c) (permutations'Aux b' a)) (permutations'Aux a' l) ~
    map (cons b' ∘ cons c) (permutations'Aux a' l) ++
      map (cons c) (flatMap (permutations'Aux b') (permutations'Aux a' l))