-- Mathlib/Algebra/Lie/Weights/Killing.lean
@[simp]
lemma corootSpace_zero_eq_bot :
    corootSpace (0 : H → K) = ⊥

Proof state:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsKilling K L
x : ↥H
hx : x ∈ corootSpace 0
⊢ {x | ∃ y ∈ H, ∃ z ∈ H, ⁅y, z⁆ = x} = {0}

Tactic:
refine eq_singleton_iff_unique_mem.mpr ⟨⟨0, H.zero_mem, 0, H.zero_mem, zero_lie 0⟩, ?_⟩

Result:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsKilling K L
x : ↥H
hx : x ∈ corootSpace 0
⊢ ∀ x ∈ {x | ∃ y ∈ H, ∃ z ∈ H, ⁅y, z⁆ = x}, x = 0

Proof state:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsKilling K L
⊢ corootSpace 0 = ⊥

Tactic:
refine eq_bot_iff.mpr fun x hx ↦ ?_

Result:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsKilling K L
x : ↥H
hx : x ∈ corootSpace 0
⊢ x ∈ ⊥

Proof state:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsKilling K L
x : ↥H
hx : x ∈ corootSpace 0
⊢ x ∈ ⊥

Tactic:
suffices {x | ∃ y ∈ H, ∃ z ∈ H, ⁅y, z⁆ = x} = {0} by simpa [mem_corootSpace, this] using hx

Result:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsKilling K L
x : ↥H
hx : x ∈ corootSpace 0
⊢ {x | ∃ y ∈ H, ∃ z ∈ H, ⁅y, z⁆ = x} = {0}

Proof state:
case intro.intro.intro.intro
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsKilling K L
x : ↥H
hx : x ∈ corootSpace 0
y : L
hy : y ∈ H
z : L
hz : z ∈ H
⊢ ⁅⟨y, hy⟩, ⟨z, hz⟩⁆ = 0

Tactic:
simp

Result:
no goals

Proof state:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsKilling K L
x : ↥H
hx : x ∈ corootSpace 0
this : {x | ∃ y ∈ H, ∃ z ∈ H, ⁅y, z⁆ = x} = {0}
⊢ x ∈ ⊥

Tactic:
simpa [mem_corootSpace, this] using hx

Result:
no goals

Proof state:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsKilling K L
x : ↥H
hx : x ∈ corootSpace 0
⊢ ∀ x ∈ {x | ∃ y ∈ H, ∃ z ∈ H, ⁅y, z⁆ = x}, x = 0

Tactic:
rintro - ⟨y, hy, z, hz, rfl⟩

Result:
case intro.intro.intro.intro
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsKilling K L
x : ↥H
hx : x ∈ corootSpace 0
y : L
hy : y ∈ H
z : L
hz : z ∈ H
⊢ ⁅y, z⁆ = 0

Proof state:
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsKilling K L
x : ↥H
hx : x ∈ corootSpace 0
y : L
hy : y ∈ H
z : L
hz : z ∈ H
this : ⁅⟨y, hy⟩, ⟨z, hz⟩⁆ = 0
⊢ ⁅y, z⁆ = 0

Tactic:
simpa only [Subtype.ext_iff, LieSubalgebra.coe_bracket, ZeroMemClass.coe_zero] using this

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro.intro.intro
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsKilling K L
x : ↥H
hx : x ∈ corootSpace 0
y : L
hy : y ∈ H
z : L
hz : z ∈ H
⊢ ⁅y, z⁆ = 0

Tactic:
suffices ⁅(⟨y, hy⟩ : H), (⟨z, hz⟩ : H)⁆ = 0 by
  simpa only [Subtype.ext_iff, LieSubalgebra.coe_bracket, ZeroMemClass.coe_zero] using this

Result:
case intro.intro.intro.intro
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : LieAlgebra K L
inst✝² : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsKilling K L
x : ↥H
hx : x ∈ corootSpace 0
y : L
hy : y ∈ H
z : L
hz : z ∈ H
⊢ ⁅⟨y, hy⟩, ⟨z, hz⟩⁆ = 0