-- Mathlib/.lake/packages/batteries/Batteries/Data/String/Lemmas.lean
theorem prev : ∀ {s}, ValidFor l (m₁ ++ c :: m₂) r s →
    s.prev ⟨utf8Len m₁ + c.utf8Size⟩ = ⟨utf8Len m₁⟩
  | _, ⟨⟩ => by
    simp only [Substring.prev, List.append_assoc, List.cons_append]
    rw [if_neg (mt Pos.ext_iff.1 <| Ne.symm ?a)]
    case a => simpa [Nat.add_comm] using @ne_add_utf8Size_add_self (utf8Len l) (utf8Len m₁) c
    have := prev_of_valid (l ++ m₁) c (m₂ ++ r)
    simp only [List.append_assoc, utf8Len_append, Nat.add_assoc, Pos.add_eq] at this ⊢; rw [this]
    simp [Nat.add_sub_cancel_left]

Proof state:
l m₁ : List Char
c : Char
m₂ r : List Char
⊢ { str := { data := l ++ (m₁ ++ c :: m₂) ++ r }, startPos := { byteIdx := utf8Len l },
          stopPos := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len (m₁ ++ c :: m₂) } }.prev
      { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size } =
    { byteIdx := utf8Len m₁ }

Tactic:
simp only [Substring.prev, List.append_assoc, List.cons_append]

Result:
l m₁ : List Char
c : Char
m₂ r : List Char
⊢ (if { byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size } = { byteIdx := utf8Len l } then
      { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size }
    else
      {
        byteIdx :=
          ({ data := l ++ (m₁ ++ c :: (m₂ ++ r)) }.prev
                ({ byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size })).byteIdx -
            utf8Len l }) =
    { byteIdx := utf8Len m₁ }

Proof state:
l m₁ : List Char
c : Char
m₂ r : List Char
this :
  { data := l ++ (m₁ ++ c :: (m₂ ++ r)) }.prev { byteIdx := utf8Len l + (utf8Len m₁ + c.utf8Size) } =
    { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m₁ }
⊢ {
      byteIdx :=
        ({ data := l ++ (m₁ ++ c :: (m₂ ++ r)) }.prev { byteIdx := utf8Len l + (utf8Len m₁ + c.utf8Size) }).byteIdx -
          utf8Len l } =
    { byteIdx := utf8Len m₁ }

Tactic:
rw [this]

Result:
l m₁ : List Char
c : Char
m₂ r : List Char
this :
  { data := l ++ (m₁ ++ c :: (m₂ ++ r)) }.prev { byteIdx := utf8Len l + (utf8Len m₁ + c.utf8Size) } =
    { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m₁ }
⊢ { byteIdx := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m₁ }.byteIdx - utf8Len l } = { byteIdx := utf8Len m₁ }

Proof state:
l m₁ : List Char
c : Char
m₂ r : List Char
⊢ { byteIdx := utf8Len l }.byteIdx ≠ ({ byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size }).byteIdx

Tactic:
simpa [Nat.add_comm] using @ne_add_utf8Size_add_self (utf8Len l) (utf8Len m₁) c

Result:
no goals

Proof state:
l m₁ : List Char
c : Char
m₂ r : List Char
⊢ {
      byteIdx :=
        ({ data := l ++ (m₁ ++ c :: (m₂ ++ r)) }.prev
              ({ byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size })).byteIdx -
          utf8Len l } =
    { byteIdx := utf8Len m₁ }

Tactic:
have := prev_of_valid (l ++ m₁) c (m₂ ++ r)

Result:
l m₁ : List Char
c : Char
m₂ r : List Char
this :
  { data := l ++ m₁ ++ c :: (m₂ ++ r) }.prev { byteIdx := utf8Len (l ++ m₁) + c.utf8Size } =
    { byteIdx := utf8Len (l ++ m₁) }
⊢ {
      byteIdx :=
        ({ data := l ++ (m₁ ++ c :: (m₂ ++ r)) }.prev
              ({ byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size })).byteIdx -
          utf8Len l } =
    { byteIdx := utf8Len m₁ }

Proof state:
l m₁ : List Char
c : Char
m₂ r : List Char
this :
  { data := l ++ (m₁ ++ c :: (m₂ ++ r)) }.prev { byteIdx := utf8Len l + (utf8Len m₁ + c.utf8Size) } =
    { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m₁ }
⊢ { byteIdx := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m₁ }.byteIdx - utf8Len l } = { byteIdx := utf8Len m₁ }

Tactic:
simp [Nat.add_sub_cancel_left]

Result:
no goals

Proof state:
l m₁ : List Char
c : Char
m₂ r : List Char
⊢ {
      byteIdx :=
        ({ data := l ++ (m₁ ++ c :: (m₂ ++ r)) }.prev
              ({ byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size })).byteIdx -
          utf8Len l } =
    { byteIdx := utf8Len m₁ }

case a
l m₁ : List Char
c : Char
m₂ r : List Char
⊢ { byteIdx := utf8Len l }.byteIdx ≠ ({ byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size }).byteIdx

Tactic:
case a => simpa [Nat.add_comm] using @ne_add_utf8Size_add_self (utf8Len l) (utf8Len m₁) c

Result:
l m₁ : List Char
c : Char
m₂ r : List Char
⊢ {
      byteIdx :=
        ({ data := l ++ (m₁ ++ c :: (m₂ ++ r)) }.prev
              ({ byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size })).byteIdx -
          utf8Len l } =
    { byteIdx := utf8Len m₁ }

Proof state:
l m₁ : List Char
c : Char
m₂ r : List Char
this :
  { data := l ++ m₁ ++ c :: (m₂ ++ r) }.prev { byteIdx := utf8Len (l ++ m₁) + c.utf8Size } =
    { byteIdx := utf8Len (l ++ m₁) }
⊢ {
      byteIdx :=
        ({ data := l ++ (m₁ ++ c :: (m₂ ++ r)) }.prev
              ({ byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size })).byteIdx -
          utf8Len l } =
    { byteIdx := utf8Len m₁ }

Tactic:
simp only [List.append_assoc, utf8Len_append, Nat.add_assoc, Pos.add_eq] at this ⊢

Result:
l m₁ : List Char
c : Char
m₂ r : List Char
this :
  { data := l ++ (m₁ ++ c :: (m₂ ++ r)) }.prev { byteIdx := utf8Len l + (utf8Len m₁ + c.utf8Size) } =
    { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m₁ }
⊢ {
      byteIdx :=
        ({ data := l ++ (m₁ ++ c :: (m₂ ++ r)) }.prev { byteIdx := utf8Len l + (utf8Len m₁ + c.utf8Size) }).byteIdx -
          utf8Len l } =
    { byteIdx := utf8Len m₁ }

Proof state:
l m₁ : List Char
c : Char
m₂ r : List Char
⊢ (if { byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size } = { byteIdx := utf8Len l } then
      { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size }
    else
      {
        byteIdx :=
          ({ data := l ++ (m₁ ++ c :: (m₂ ++ r)) }.prev
                ({ byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size })).byteIdx -
            utf8Len l }) =
    { byteIdx := utf8Len m₁ }

Tactic:
rw [if_neg (mt Pos.ext_iff.1 <| Ne.symm ?a)]

Result:
l m₁ : List Char
c : Char
m₂ r : List Char
⊢ {
      byteIdx :=
        ({ data := l ++ (m₁ ++ c :: (m₂ ++ r)) }.prev
              ({ byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size })).byteIdx -
          utf8Len l } =
    { byteIdx := utf8Len m₁ }

case a
l m₁ : List Char
c : Char
m₂ r : List Char
⊢ { byteIdx := utf8Len l }.byteIdx ≠ ({ byteIdx := utf8Len l } + { byteIdx := utf8Len m₁ + c.utf8Size }).byteIdx