-- Mathlib/Analysis/Convex/Body.lean
theorem iInter_smul_eq_self [T2Space V] {u : ℕ → ℝ≥0} (K : ConvexBody V) (h_zero : 0 ∈ K)
    (hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)) :
    ⋂ n : ℕ, (1 + (u n : ℝ)) • (K : Set V) = K

Proof state:
case h.refine_1
V : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : T2Space V
u : ℕ → ℝ≥0
K : ConvexBody V
h_zero : 0 ∈ K
hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)
x : V
h : x ∈ ⋂ n, (1 + ↑(u n)) • ↑K
⊢ x ∈ ↑K

Tactic:
obtain ⟨C, hC_pos, hC_bdd⟩ := K.isBounded.exists_pos_norm_le

Result:
case h.refine_1.intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : T2Space V
u : ℕ → ℝ≥0
K : ConvexBody V
h_zero : 0 ∈ K
hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)
x : V
h : x ∈ ⋂ n, (1 + ↑(u n)) • ↑K
C : ℝ
hC_pos : C > 0
hC_bdd : ∀ x ∈ ↑K, ‖x‖ ≤ C
⊢ x ∈ ↑K

Proof state:
case h.refine_1.intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : T2Space V
u : ℕ → ℝ≥0
K : ConvexBody V
h_zero : 0 ∈ K
hu : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → ‖↑(u n) - ↑0‖ < ε
x : V
h : x ∈ ⋂ n, (1 + ↑(u n)) • ↑K
C : ℝ
hC_pos : C > 0
hC_bdd : ∀ x ∈ ↑K, ‖x‖ ≤ C
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∃ b ∈ ↑K, ‖x - b‖ < ε

Tactic:
obtain ⟨n, hn⟩ := hu (ε / C) (div_pos hε hC_pos)

Result:
case h.refine_1.intro.intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : T2Space V
u : ℕ → ℝ≥0
K : ConvexBody V
h_zero : 0 ∈ K
hu : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → ‖↑(u n) - ↑0‖ < ε
x : V
h : x ∈ ⋂ n, (1 + ↑(u n)) • ↑K
C : ℝ
hC_pos : C > 0
hC_bdd : ∀ x ∈ ↑K, ‖x‖ ≤ C
ε : ℝ
hε : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ (n_1 : ℕ), n ≤ n_1 → ‖↑(u n_1) - ↑0‖ < ε / C
⊢ ∃ b ∈ ↑K, ‖x - b‖ < ε

Proof state:
V : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : T2Space V
u : ℕ → ℝ≥0
K : ConvexBody V
h_zero : 0 ∈ K
hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)
⊢ ⋂ n, (1 + ↑(u n)) • ↑K = ↑K

Tactic:
ext x

Result:
case h
V : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : T2Space V
u : ℕ → ℝ≥0
K : ConvexBody V
h_zero : 0 ∈ K
hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)
x : V
⊢ x ∈ ⋂ n, (1 + ↑(u n)) • ↑K ↔ x ∈ ↑K

Proof state:
case h.refine_1.intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : T2Space V
u : ℕ → ℝ≥0
K : ConvexBody V
h_zero : 0 ∈ K
hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)
x : V
h : x ∈ ⋂ n, (1 + ↑(u n)) • ↑K
C : ℝ
hC_pos : C > 0
hC_bdd : ∀ x ∈ ↑K, ‖x‖ ≤ C
⊢ x ∈ ↑K

Tactic:
rw [← K.isClosed.closure_eq, SeminormedAddCommGroup.mem_closure_iff]

Result:
case h.refine_1.intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : T2Space V
u : ℕ → ℝ≥0
K : ConvexBody V
h_zero : 0 ∈ K
hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)
x : V
h : x ∈ ⋂ n, (1 + ↑(u n)) • ↑K
C : ℝ
hC_pos : C > 0
hC_bdd : ∀ x ∈ ↑K, ‖x‖ ≤ C
⊢ ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ b ∈ ↑K, ‖x - b‖ < ε

Proof state:
case h.refine_1.intro.intro.intro.intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : T2Space V
u : ℕ → ℝ≥0
K : ConvexBody V
h_zero : 0 ∈ K
hu : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → ‖↑(u n) - ↑0‖ < ε
C : ℝ
hC_pos : C > 0
hC_bdd : ∀ x ∈ ↑K, ‖x‖ ≤ C
ε : ℝ
hε : 0 < ε
n : ℕ
y : V
hyK : y ∈ ↑K
h : (1 + ↑(u n)) • y ∈ ⋂ n, (1 + ↑(u n)) • ↑K
hn : |↑(u n)| * C < ε
⊢ |↑(u n)| * ‖y‖ ≤ |↑(u n)| * C

Tactic:
exact mul_le_mul_of_nonneg_left (hC_bdd _ hyK) (abs_nonneg _)

Result:
no goals

Proof state:
V : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : T2Space V
u : ℕ → ℝ≥0
K : ConvexBody V
h_zero : 0 ∈ K
hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)
x : V
h : x ∈ ↑K
n : ℕ
⊢ 0 ≤ ↑(u n)

Tactic:
positivity

Result:
no goals

Proof state:
case h.refine_1.intro.intro.intro.intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : T2Space V
u : ℕ → ℝ≥0
K : ConvexBody V
h_zero : 0 ∈ K
hu : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → ‖↑(u n) - ↑0‖ < ε
C : ℝ
hC_pos : C > 0
hC_bdd : ∀ x ∈ ↑K, ‖x‖ ≤ C
ε : ℝ
hε : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ (n_1 : ℕ), n ≤ n_1 → ‖↑(u n_1) - ↑0‖ < ε / C
y : V
hyK : y ∈ ↑K
h : (1 + ↑(u n)) • y ∈ ⋂ n, (1 + ↑(u n)) • ↑K
⊢ |↑(u n)| * ‖y‖ < ε

Tactic:
specialize hn n le_rfl

Result:
case h.refine_1.intro.intro.intro.intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : T2Space V
u : ℕ → ℝ≥0
K : ConvexBody V
h_zero : 0 ∈ K
hu : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → ‖↑(u n) - ↑0‖ < ε
C : ℝ
hC_pos : C > 0
hC_bdd : ∀ x ∈ ↑K, ‖x‖ ≤ C
ε : ℝ
hε : 0 < ε
n : ℕ
y : V
hyK : y ∈ ↑K
h : (1 + ↑(u n)) • y ∈ ⋂ n, (1 + ↑(u n)) • ↑K
hn : ‖↑(u n) - ↑0‖ < ε / C
⊢ |↑(u n)| * ‖y‖ < ε

Proof state:
V : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : T2Space V
u : ℕ → ℝ≥0
K : ConvexBody V
h_zero : 0 ∈ K
hu : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → ‖↑(u n) - ↑0‖ < ε
C : ℝ
hC_pos : C > 0
hC_bdd : ∀ x ∈ ↑K, ‖x‖ ≤ C
ε : ℝ
hε : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ (n_1 : ℕ), n ≤ n_1 → ‖↑(u n_1) - ↑0‖ < ε / C
y : V
hyK : y ∈ ↑K
h : (1 + ↑(u n)) • y ∈ ⋂ n, (1 + ↑(u n)) • ↑K
⊢ (1 + ↑(u n)) • y - y = ↑(u n) • y

Tactic:
rw [add_smul, one_smul, add_sub_cancel_left]

Result:
no goals

Proof state:
case h
V : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : T2Space V
u : ℕ → ℝ≥0
K : ConvexBody V
h_zero : 0 ∈ K
hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)
x : V
⊢ x ∈ ⋂ n, (1 + ↑(u n)) • ↑K ↔ x ∈ ↑K

Tactic:
refine ⟨fun h => ?_, fun h => ?_⟩

Result:
case h.refine_1
V : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : T2Space V
u : ℕ → ℝ≥0
K : ConvexBody V
h_zero : 0 ∈ K
hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)
x : V
h : x ∈ ⋂ n, (1 + ↑(u n)) • ↑K
⊢ x ∈ ↑K

case h.refine_2
V : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : T2Space V
u : ℕ → ℝ≥0
K : ConvexBody V
h_zero : 0 ∈ K
hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)
x : V
h : x ∈ ↑K
⊢ x ∈ ⋂ n, (1 + ↑(u n)) • ↑K

Proof state:
case h.refine_1.intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : T2Space V
u : ℕ → ℝ≥0
K : ConvexBody V
h_zero : 0 ∈ K
hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)
x : V
h : x ∈ ⋂ n, (1 + ↑(u n)) • ↑K
C : ℝ
hC_pos : C > 0
hC_bdd : ∀ x ∈ ↑K, ‖x‖ ≤ C
⊢ ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ b ∈ ↑K, ‖x - b‖ < ε

Tactic:
rw [← NNReal.tendsto_coe, NormedAddCommGroup.tendsto_atTop] at hu

Result:
case h.refine_1.intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : T2Space V
u : ℕ → ℝ≥0
K : ConvexBody V
h_zero : 0 ∈ K
hu : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → ‖↑(u n) - ↑0‖ < ε
x : V
h : x ∈ ⋂ n, (1 + ↑(u n)) • ↑K
C : ℝ
hC_pos : C > 0
hC_bdd : ∀ x ∈ ↑K, ‖x‖ ≤ C
⊢ ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ b ∈ ↑K, ‖x - b‖ < ε

Proof state:
case h.refine_1.intro.intro.intro.intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : T2Space V
u : ℕ → ℝ≥0
K : ConvexBody V
h_zero : 0 ∈ K
hu : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → ‖↑(u n) - ↑0‖ < ε
C : ℝ
hC_pos : C > 0
hC_bdd : ∀ x ∈ ↑K, ‖x‖ ≤ C
ε : ℝ
hε : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ (n_1 : ℕ), n ≤ n_1 → ‖↑(u n_1) - ↑0‖ < ε / C
y : V
hyK : y ∈ ↑K
h : (1 + ↑(u n)) • y ∈ ⋂ n, (1 + ↑(u n)) • ↑K
⊢ ‖(1 + ↑(u n)) • y - y‖ < ε

Tactic:
rw [show (1 + u n : ℝ) • y - y = (u n : ℝ) • y by rw [add_smul, one_smul, add_sub_cancel_left],
  norm_smul, Real.norm_eq_abs]

Result:
case h.refine_1.intro.intro.intro.intro.intro
V : Type u_1
inst✝² : SeminormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : T2Space V
u : ℕ → ℝ≥0
K : ConvexBody V
h_zero : 0 ∈ K
hu : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ N, ∀ (n : ℕ), N ≤ n → ‖↑(u n) - ↑0‖ < ε
C : ℝ
hC_pos : C > 0
hC_bdd : ∀ x ∈ ↑K, ‖x‖ ≤ C
ε : ℝ
hε : 0 < ε
n : ℕ
hn : ∀ (n_1 : ℕ), n ≤ n_1 → ‖↑(u n_1) - ↑0‖ < ε / C
y : V
hyK : y ∈ ↑K
h : (1 + ↑(u n)) • y ∈ ⋂ n, (1 + ↑(u n)) • ↑K
⊢ |↑(u n)| * ‖y‖ < ε