-- Mathlib/Analysis/Calculus/SmoothSeries.lean
theorem differentiable_tsum (hu : Summable u) (hf : ∀ n x, HasFDerivAt (f n) (f' n x) x)
    (hf' : ∀ n x, ‖f' n x‖ ≤ u n) : Differentiable 𝕜 fun y => ∑' n, f n y

Proof state:
case neg
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
hu : Summable u
hf : ∀ (n : α) (x : E), HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
hf' : ∀ (n : α) (x : E), ‖f' n x‖ ≤ u n
h : ∀ (x₀ : E), ¬Summable fun n => f n x₀
this : (fun x => ∑' (n : α), f n x) = 0
⊢ Differentiable 𝕜 0

Tactic:
exact differentiable_const 0

Result:
no goals

Proof state:
case neg
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
hu : Summable u
hf : ∀ (n : α) (x : E), HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
hf' : ∀ (n : α) (x : E), ‖f' n x‖ ≤ u n
h : ∀ (x₀ : E), ¬Summable fun n => f n x₀
this : (fun x => ∑' (n : α), f n x) = 0
⊢ Differentiable 𝕜 fun y => ∑' (n : α), f n y

Tactic:
rw [this]

Result:
case neg
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
hu : Summable u
hf : ∀ (n : α) (x : E), HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
hf' : ∀ (n : α) (x : E), ‖f' n x‖ ≤ u n
h : ∀ (x₀ : E), ¬Summable fun n => f n x₀
this : (fun x => ∑' (n : α), f n x) = 0
⊢ Differentiable 𝕜 0

Proof state:
case pos.intro
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
hu : Summable u
hf : ∀ (n : α) (x : E), HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
hf' : ∀ (n : α) (x : E), ‖f' n x‖ ≤ u n
x₀ : E
hf0 : Summable fun n => f n x₀
⊢ Differentiable 𝕜 fun y => ∑' (n : α), f n y

Tactic:
intro x

Result:
case pos.intro
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
hu : Summable u
hf : ∀ (n : α) (x : E), HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
hf' : ∀ (n : α) (x : E), ‖f' n x‖ ≤ u n
x₀ : E
hf0 : Summable fun n => f n x₀
x : E
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun y => ∑' (n : α), f n y) x

Proof state:
case pos.intro
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
hu : Summable u
hf : ∀ (n : α) (x : E), HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
hf' : ∀ (n : α) (x : E), ‖f' n x‖ ≤ u n
x₀ : E
hf0 : Summable fun n => f n x₀
x : E
⊢ DifferentiableAt 𝕜 (fun y => ∑' (n : α), f n y) x

Tactic:
exact (hasFDerivAt_tsum hu hf hf' hf0 x).differentiableAt

Result:
no goals

Proof state:
case neg
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
hu : Summable u
hf : ∀ (n : α) (x : E), HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
hf' : ∀ (n : α) (x : E), ‖f' n x‖ ≤ u n
h : ∀ (x₀ : E), ¬Summable fun n => f n x₀
⊢ Differentiable 𝕜 fun y => ∑' (n : α), f n y

Tactic:
have : (fun x => ∑' n, f n x) = 0 := by ext1 x; exact tsum_eq_zero_of_not_summable (h x)

Result:
case neg
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
hu : Summable u
hf : ∀ (n : α) (x : E), HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
hf' : ∀ (n : α) (x : E), ‖f' n x‖ ≤ u n
h : ∀ (x₀ : E), ¬Summable fun n => f n x₀
this : (fun x => ∑' (n : α), f n x) = 0
⊢ Differentiable 𝕜 fun y => ∑' (n : α), f n y

Proof state:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
hu : Summable u
hf : ∀ (n : α) (x : E), HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
hf' : ∀ (n : α) (x : E), ‖f' n x‖ ≤ u n
h : ∀ (x₀ : E), ¬Summable fun n => f n x₀
⊢ (fun x => ∑' (n : α), f n x) = 0

Tactic:
ext1 x

Result:
case h
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
hu : Summable u
hf : ∀ (n : α) (x : E), HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
hf' : ∀ (n : α) (x : E), ‖f' n x‖ ≤ u n
h : ∀ (x₀ : E), ¬Summable fun n => f n x₀
x : E
⊢ ∑' (n : α), f n x = 0 x

Proof state:
case pos
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
hu : Summable u
hf : ∀ (n : α) (x : E), HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
hf' : ∀ (n : α) (x : E), ‖f' n x‖ ≤ u n
h : ∃ x₀, Summable fun n => f n x₀
⊢ Differentiable 𝕜 fun y => ∑' (n : α), f n y

Tactic:
rcases h with ⟨x₀, hf0⟩

Result:
case pos.intro
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
hu : Summable u
hf : ∀ (n : α) (x : E), HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
hf' : ∀ (n : α) (x : E), ‖f' n x‖ ≤ u n
x₀ : E
hf0 : Summable fun n => f n x₀
⊢ Differentiable 𝕜 fun y => ∑' (n : α), f n y

Proof state:
case h
α : Type u_1
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : IsRCLikeNormedField 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
hu : Summable u
hf : ∀ (n : α) (x : E), HasFDerivAt (f n) (f' n x) x
hf' : ∀ (n : α) (x : E), ‖f' n x‖ ≤ u n
h : ∀ (x₀ : E), ¬Summable fun n => f n x₀
x : E
⊢ ∑' (n : α), f n x = 0 x

Tactic:
exact tsum_eq_zero_of_not_summable (h x)

Result:
no goals