-- Mathlib/CategoryTheory/Monad/Monadicity.lean
theorem comparisonAdjunction_unit_f
    [∀ A : adj.toMonad.Algebra, HasCoequalizer (F.map A.a)
      (adj.counit.app (F.obj A.A))]
    (A : adj.toMonad.Algebra) :
    ((comparisonAdjunction adj).unit.app A).f = (beckCoequalizer A).desc (unitCofork A)

Proof state:
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
G : D ⥤ C
F : C ⥤ D
adj : F ⊣ G
inst✝ : ∀ (A : adj.toMonad.Algebra), HasCoequalizer (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))
A : adj.toMonad.Algebra
⊢ adj.unit.app (adj.toMonad.obj A.A) ≫
      G.map (adj.counit.app (F.obj A.A)) ≫ G.map (coequalizer.π (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))) =
    G.map (coequalizer.π (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A)))

Tactic:
apply adj.right_triangle_components_assoc

Result:
no goals

Proof state:
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
G : D ⥤ C
F : C ⥤ D
adj : F ⊣ G
inst✝ : ∀ (A : adj.toMonad.Algebra), HasCoequalizer (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))
A : adj.toMonad.Algebra
⊢ (beckCofork A).π ≫ ((comparisonAdjunction adj).unit.app A).f =
    (beckCofork A).π ≫ (beckCoequalizer A).desc (unitCofork A)

Tactic:
rw [Cofork.IsColimit.π_desc]

Result:
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
G : D ⥤ C
F : C ⥤ D
adj : F ⊣ G
inst✝ : ∀ (A : adj.toMonad.Algebra), HasCoequalizer (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))
A : adj.toMonad.Algebra
⊢ (beckCofork A).π ≫ ((comparisonAdjunction adj).unit.app A).f = (unitCofork A).π

Proof state:
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
G : D ⥤ C
F : C ⥤ D
adj : F ⊣ G
inst✝ : ∀ (A : adj.toMonad.Algebra), HasCoequalizer (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))
A : adj.toMonad.Algebra
⊢ (beckCofork A).π ≫ ((comparisonAdjunction adj).unit.app A).f = (unitCofork A).π

Tactic:
dsimp only [beckCofork_π, unitCofork_π]

Result:
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
G : D ⥤ C
F : C ⥤ D
adj : F ⊣ G
inst✝ : ∀ (A : adj.toMonad.Algebra), HasCoequalizer (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))
A : adj.toMonad.Algebra
⊢ A.a ≫ ((comparisonAdjunction adj).unit.app A).f = G.map (coequalizer.π (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A)))

Proof state:
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
G : D ⥤ C
F : C ⥤ D
adj : F ⊣ G
inst✝ : ∀ (A : adj.toMonad.Algebra), HasCoequalizer (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))
A : adj.toMonad.Algebra
⊢ A.a ≫ ((comparisonAdjunction adj).unit.app A).f = G.map (coequalizer.π (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A)))

Tactic:
rw [comparisonAdjunction_unit_f_aux, ← adj.homEquiv_naturality_left A.a, coequalizer.condition,
  adj.homEquiv_naturality_right, adj.homEquiv_unit, Category.assoc]

Result:
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
G : D ⥤ C
F : C ⥤ D
adj : F ⊣ G
inst✝ : ∀ (A : adj.toMonad.Algebra), HasCoequalizer (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))
A : adj.toMonad.Algebra
⊢ adj.unit.app (adj.toMonad.obj A.A) ≫
      G.map (adj.counit.app (F.obj A.A)) ≫ G.map (coequalizer.π (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))) =
    G.map (coequalizer.π (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A)))

Proof state:
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
G : D ⥤ C
F : C ⥤ D
adj : F ⊣ G
inst✝ : ∀ (A : adj.toMonad.Algebra), HasCoequalizer (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))
A : adj.toMonad.Algebra
⊢ ((comparisonAdjunction adj).unit.app A).f = (beckCoequalizer A).desc (unitCofork A)

Tactic:
apply Limits.Cofork.IsColimit.hom_ext (beckCoequalizer A)

Result:
C : Type u₁
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Category.{v₁, u₂} D
G : D ⥤ C
F : C ⥤ D
adj : F ⊣ G
inst✝ : ∀ (A : adj.toMonad.Algebra), HasCoequalizer (F.map A.a) (adj.counit.app (F.obj A.A))
A : adj.toMonad.Algebra
⊢ (beckCofork A).π ≫ ((comparisonAdjunction adj).unit.app A).f =
    (beckCofork A).π ≫ (beckCoequalizer A).desc (unitCofork A)