-- Mathlib/Algebra/Group/Subsemigroup/Membership.lean
theorem iSup_induction' (S : ι → Subsemigroup M) {C : ∀ x, (x ∈ ⨆ i, S i) → Prop}
    (mem : ∀ (i) (x) (hxS : x ∈ S i), C x (mem_iSup_of_mem i ‹_›))
    (mul : ∀ x y hx hy, C x hx → C y hy → C (x * y) (mul_mem ‹_› ‹_›)) {x₁ : M}
    (hx₁ : x₁ ∈ ⨆ i, S i) : C x₁ hx₁

Proof state:
case refine_1
ι : Sort u_1
M : Type u_2
inst✝ : Mul M
S : ι → Subsemigroup M
C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop
mem : ∀ (i : ι) (x : M) (hxS : x ∈ S i), C x ⋯
mul : ∀ (x y : M) (hx : x ∈ ⨆ i, S i) (hy : y ∈ ⨆ i, S i), C x hx → C y hy → C (x * y) ⋯
x₁ : M
hx₁ : x₁ ∈ ⨆ i, S i
i : ι
x₂ : M
hx₂ : x₂ ∈ S i
⊢ (fun x' => ∃ (hx'' : x' ∈ ⨆ i, S i), C x' hx'') x₂

Tactic:
exact ⟨_, mem _ _ hx₂⟩

Result:
no goals

Proof state:
case refine_2
ι : Sort u_1
M : Type u_2
inst✝ : Mul M
S : ι → Subsemigroup M
C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop
mem : ∀ (i : ι) (x : M) (hxS : x ∈ S i), C x ⋯
mul : ∀ (x y : M) (hx : x ∈ ⨆ i, S i) (hy : y ∈ ⨆ i, S i), C x hx → C y hy → C (x * y) ⋯
x₁ : M
hx₁ : x₁ ∈ ⨆ i, S i
x₃ y : M
⊢ (fun x' => ∃ (hx'' : x' ∈ ⨆ i, S i), C x' hx'') x₃ →
    (fun x' => ∃ (hx'' : x' ∈ ⨆ i, S i), C x' hx'') y → (fun x' => ∃ (hx'' : x' ∈ ⨆ i, S i), C x' hx'') (x₃ * y)

Tactic:
rintro ⟨_, Cx⟩ ⟨_, Cy⟩

Result:
case refine_2.intro.intro
ι : Sort u_1
M : Type u_2
inst✝ : Mul M
S : ι → Subsemigroup M
C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop
mem : ∀ (i : ι) (x : M) (hxS : x ∈ S i), C x ⋯
mul : ∀ (x y : M) (hx : x ∈ ⨆ i, S i) (hy : y ∈ ⨆ i, S i), C x hx → C y hy → C (x * y) ⋯
x₁ : M
hx₁ : x₁ ∈ ⨆ i, S i
x₃ y : M
w✝¹ : x₃ ∈ ⨆ i, S i
Cx : C x₃ w✝¹
w✝ : y ∈ ⨆ i, S i
Cy : C y w✝
⊢ ∃ (hx'' : x₃ * y ∈ ⨆ i, S i), C (x₃ * y) hx''

Proof state:
case refine_2.intro.intro
ι : Sort u_1
M : Type u_2
inst✝ : Mul M
S : ι → Subsemigroup M
C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop
mem : ∀ (i : ι) (x : M) (hxS : x ∈ S i), C x ⋯
mul : ∀ (x y : M) (hx : x ∈ ⨆ i, S i) (hy : y ∈ ⨆ i, S i), C x hx → C y hy → C (x * y) ⋯
x₁ : M
hx₁ : x₁ ∈ ⨆ i, S i
x₃ y : M
w✝¹ : x₃ ∈ ⨆ i, S i
Cx : C x₃ w✝¹
w✝ : y ∈ ⨆ i, S i
Cy : C y w✝
⊢ ∃ (hx'' : x₃ * y ∈ ⨆ i, S i), C (x₃ * y) hx''

Tactic:
exact ⟨_, mul _ _ _ _ Cx Cy⟩

Result:
no goals

Proof state:
ι : Sort u_1
M : Type u_2
inst✝ : Mul M
S : ι → Subsemigroup M
C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop
mem : ∀ (i : ι) (x : M) (hxS : x ∈ S i), C x ⋯
mul : ∀ (x y : M) (hx : x ∈ ⨆ i, S i) (hy : y ∈ ⨆ i, S i), C x hx → C y hy → C (x * y) ⋯
x₁ : M
hx₁ : x₁ ∈ ⨆ i, S i
⊢ C x₁ hx₁

Tactic:
refine Exists.elim ?_ fun (hx₁' : x₁ ∈ ⨆ i, S i) (hc : C x₁ hx₁') => hc

Result:
ι : Sort u_1
M : Type u_2
inst✝ : Mul M
S : ι → Subsemigroup M
C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop
mem : ∀ (i : ι) (x : M) (hxS : x ∈ S i), C x ⋯
mul : ∀ (x y : M) (hx : x ∈ ⨆ i, S i) (hy : y ∈ ⨆ i, S i), C x hx → C y hy → C (x * y) ⋯
x₁ : M
hx₁ : x₁ ∈ ⨆ i, S i
⊢ ∃ (x : x₁ ∈ ⨆ i, S i), C x₁ x

Proof state:
ι : Sort u_1
M : Type u_2
inst✝ : Mul M
S : ι → Subsemigroup M
C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop
mem : ∀ (i : ι) (x : M) (hxS : x ∈ S i), C x ⋯
mul : ∀ (x y : M) (hx : x ∈ ⨆ i, S i) (hy : y ∈ ⨆ i, S i), C x hx → C y hy → C (x * y) ⋯
x₁ : M
hx₁ : x₁ ∈ ⨆ i, S i
⊢ ∃ (x : x₁ ∈ ⨆ i, S i), C x₁ x

Tactic:
refine @iSup_induction _ _ _ S (fun x' => ∃ hx'', C x' hx'') _ hx₁
    (fun i x₂ hx₂ => ?_) fun x₃ y => ?_

Result:
case refine_1
ι : Sort u_1
M : Type u_2
inst✝ : Mul M
S : ι → Subsemigroup M
C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop
mem : ∀ (i : ι) (x : M) (hxS : x ∈ S i), C x ⋯
mul : ∀ (x y : M) (hx : x ∈ ⨆ i, S i) (hy : y ∈ ⨆ i, S i), C x hx → C y hy → C (x * y) ⋯
x₁ : M
hx₁ : x₁ ∈ ⨆ i, S i
i : ι
x₂ : M
hx₂ : x₂ ∈ S i
⊢ (fun x' => ∃ (hx'' : x' ∈ ⨆ i, S i), C x' hx'') x₂

case refine_2
ι : Sort u_1
M : Type u_2
inst✝ : Mul M
S : ι → Subsemigroup M
C : (x : M) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop
mem : ∀ (i : ι) (x : M) (hxS : x ∈ S i), C x ⋯
mul : ∀ (x y : M) (hx : x ∈ ⨆ i, S i) (hy : y ∈ ⨆ i, S i), C x hx → C y hy → C (x * y) ⋯
x₁ : M
hx₁ : x₁ ∈ ⨆ i, S i
x₃ y : M
⊢ (fun x' => ∃ (hx'' : x' ∈ ⨆ i, S i), C x' hx'') x₃ →
    (fun x' => ∃ (hx'' : x' ∈ ⨆ i, S i), C x' hx'') y → (fun x' => ∃ (hx'' : x' ∈ ⨆ i, S i), C x' hx'') (x₃ * y)