-- Mathlib/NumberTheory/RamificationInertia/Basic.lean
theorem FinrankQuotientMap.span_eq_top [IsDomain R] [IsDomain S] [Algebra K L] [Module.Finite R S]
    [Algebra R L] [IsScalarTower R S L] [IsScalarTower R K L] [Algebra.IsAlgebraic R S]
    [NoZeroSMulDivisors R K] (hp : p ≠ ⊤) (b : Set S)
    (hb' : Submodule.span R b ⊔ (p.map (algebraMap R S)).restrictScalars R = ⊤) :
    Submodule.span K (algebraMap S L '' b) = ⊤

Proof state:
case intro.intro.refine_2
R : Type u
inst✝¹⁶ : CommRing R
S : Type v
inst✝¹⁵ : CommRing S
p : Ideal R
inst✝¹⁴ : Algebra R S
K : Type u_1
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Algebra R K
L : Type u_2
inst✝¹¹ : Field L
inst✝¹⁰ : Algebra S L
inst✝⁹ : IsFractionRing S L
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : IsDomain S
inst✝⁶ : Algebra K L
inst✝⁵ : Module.Finite R S
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : IsScalarTower R S L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic R S
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R K
hp : p ≠ ⊤
b : Set S
hb' : Submodule.span R b ⊔ Submodule.restrictScalars R (map (algebraMap R S) p) = ⊤
hRL : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
M : Submodule R S := Submodule.span R b
n : ℕ
a : Fin n → S ⧸ M
ha : Submodule.span R (Set.range a) = ⊤
smul_top_eq : p • ⊤ = ⊤
exists_sum : ∀ (x : S ⧸ M), ∃ a', (∀ (i : Fin n), a' i ∈ p) ∧ ∑ i : Fin n, a' i • a i = x
A' : Fin n → Fin n → R
hA'p : ∀ (i i_1 : Fin n), A' i i_1 ∈ p
hA' : ∀ (i : Fin n), ∑ i_1 : Fin n, A' i i_1 • a i_1 = a i
A : Matrix (Fin n) (Fin n) R := Matrix.of A' - 1
B : Matrix (Fin n) (Fin n) R := A.adjugate
A_smul : ∀ (i : Fin n), ∑ j : Fin n, A i j • a j = 0
d_smul : ∀ (i : Fin n), A.det • a i = 0
span_d : Submodule.restrictScalars R (Submodule.span S {(algebraMap R S) A.det}) ≤ M
x : L
hx : x ∈ Submodule.restrictScalars K (span {(algebraMap R L) A.det})
⊢ x ∈ Submodule.span K (⇑(algebraMap S L) '' b)

Tactic:
rw [Submodule.restrictScalars_mem, IsScalarTower.algebraMap_apply R S L] at hx

Result:
case intro.intro.refine_2
R : Type u
inst✝¹⁶ : CommRing R
S : Type v
inst✝¹⁵ : CommRing S
p : Ideal R
inst✝¹⁴ : Algebra R S
K : Type u_1
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Algebra R K
L : Type u_2
inst✝¹¹ : Field L
inst✝¹⁰ : Algebra S L
inst✝⁹ : IsFractionRing S L
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : IsDomain S
inst✝⁶ : Algebra K L
inst✝⁵ : Module.Finite R S
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : IsScalarTower R S L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic R S
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R K
hp : p ≠ ⊤
b : Set S
hb' : Submodule.span R b ⊔ Submodule.restrictScalars R (map (algebraMap R S) p) = ⊤
hRL : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
M : Submodule R S := Submodule.span R b
n : ℕ
a : Fin n → S ⧸ M
ha : Submodule.span R (Set.range a) = ⊤
smul_top_eq : p • ⊤ = ⊤
exists_sum : ∀ (x : S ⧸ M), ∃ a', (∀ (i : Fin n), a' i ∈ p) ∧ ∑ i : Fin n, a' i • a i = x
A' : Fin n → Fin n → R
hA'p : ∀ (i i_1 : Fin n), A' i i_1 ∈ p
hA' : ∀ (i : Fin n), ∑ i_1 : Fin n, A' i i_1 • a i_1 = a i
A : Matrix (Fin n) (Fin n) R := Matrix.of A' - 1
B : Matrix (Fin n) (Fin n) R := A.adjugate
A_smul : ∀ (i : Fin n), ∑ j : Fin n, A i j • a j = 0
d_smul : ∀ (i : Fin n), A.det • a i = 0
span_d : Submodule.restrictScalars R (Submodule.span S {(algebraMap R S) A.det}) ≤ M
x : L
hx : x ∈ span {(algebraMap S L) ((algebraMap R S) A.det)}
⊢ x ∈ Submodule.span K (⇑(algebraMap S L) '' b)

Proof state:
case intro.intro.refine_1.calc_1
R : Type u
inst✝¹⁶ : CommRing R
S : Type v
inst✝¹⁵ : CommRing S
p : Ideal R
inst✝¹⁴ : Algebra R S
K : Type u_1
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Algebra R K
L : Type u_2
inst✝¹¹ : Field L
inst✝¹⁰ : Algebra S L
inst✝⁹ : IsFractionRing S L
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : IsDomain S
inst✝⁶ : Algebra K L
inst✝⁵ : Module.Finite R S
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : IsScalarTower R S L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic R S
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R K
hp : p ≠ ⊤
b : Set S
hb' : Submodule.span R b ⊔ Submodule.restrictScalars R (map (algebraMap R S) p) = ⊤
hRL : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
M : Submodule R S := Submodule.span R b
n : ℕ
a : Fin n → S ⧸ M
ha : Submodule.span R (Set.range a) = ⊤
smul_top_eq : p • ⊤ = ⊤
exists_sum : ∀ (x : S ⧸ M), ∃ a', (∀ (i : Fin n), a' i ∈ p) ∧ ∑ i : Fin n, a' i • a i = x
A' : Fin n → Fin n → R
hA'p : ∀ (i i_1 : Fin n), A' i i_1 ∈ p
hA' : ∀ (i : Fin n), ∑ i_1 : Fin n, A' i i_1 • a i_1 = a i
A : Matrix (Fin n) (Fin n) R := Matrix.of A' - 1
B : Matrix (Fin n) (Fin n) R := A.adjugate
A_smul : ∀ (i : Fin n), ∑ j : Fin n, A i j • a j = 0
d_smul : ∀ (i : Fin n), A.det • a i = 0
span_d : Submodule.restrictScalars R (Submodule.span S {(algebraMap R S) A.det}) ≤ M
this : Nontrivial (R ⧸ p)
i j : Fin n
⊢ (Quotient.mk p).mapMatrix (Matrix.of A' - 1) i j = (Quotient.mk p) (A' i j) - 1 i j

Tactic:
rw [map_sub, RingHom.mapMatrix_apply, map_one]

Result:
case intro.intro.refine_1.calc_1
R : Type u
inst✝¹⁶ : CommRing R
S : Type v
inst✝¹⁵ : CommRing S
p : Ideal R
inst✝¹⁴ : Algebra R S
K : Type u_1
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : Algebra R K
L : Type u_2
inst✝¹¹ : Field L
inst✝¹⁰ : Algebra S L
inst✝⁹ : IsFractionRing S L
inst✝⁸ : IsDomain R
inst✝⁷ : IsDomain S
inst✝⁶ : Algebra K L
inst✝⁵ : Module.Finite R S
inst✝⁴ : Algebra R L
inst✝³ : IsScalarTower R S L
inst✝² : IsScalarTower R K L
inst✝¹ : Algebra.IsAlgebraic R S
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R K
hp : p ≠ ⊤
b : Set S
hb' : Submodule.span R b ⊔ Submodule.restrictScalars R (map (algebraMap R S) p) = ⊤
hRL : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
M : Submodule R S := Submodule.span R b
n : ℕ
a : Fin n → S ⧸ M
ha : Submodule.span R (Set.range a) = ⊤
smul_top_eq : p • ⊤ = ⊤
exists_sum : ∀ (x : S ⧸ M), ∃ a', (∀ (i : Fin n), a' i ∈ p) ∧ ∑ i : Fin n, a' i • a i = x
A' : Fin n → Fin n → R
hA'p : ∀ (i i_1 : Fin n), A' i i_1 ∈ p
hA' : ∀ (i : Fin n), ∑ i_1 : Fin n, A' i i_1 • a i_1 = a i
A : Matrix (Fin n) (Fin n) R := Matrix.of A' - 1
B : Matrix (Fin n) (Fin n) R := A.adjugate
A_smul : ∀ (i : Fin n), ∑ j : Fin n, A i j • a j = 0
d_smul : ∀ (i : Fin n), A.det • a i = 0
span_d : Submodule.restrictScalars R (Submodule.span S {(algebraMap R S) A.det}) ≤ M
this : Nontrivial (R ⧸ p)
i j : Fin n
⊢ ((Matrix.of A').map ⇑(Quotient.mk p) - 1) i j = (Quotient.mk p) (A' i j) - 1 i j