-- Mathlib/RingTheory/Localization/BaseChange.lean
theorem isLocalizedModule_iff_isBaseChange : IsLocalizedModule S f ↔ IsBaseChange A f

Proof state:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
A : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : IsLocalization S A
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_4
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module A M'
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
⊢ IsLocalizedModule S f ↔ IsBaseChange A f

Tactic:
refine ⟨fun _ ↦ IsLocalizedModule.isBaseChange S A f, fun h ↦ ?_⟩

Result:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
A : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : IsLocalization S A
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_4
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module A M'
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
h : IsBaseChange A f
⊢ IsLocalizedModule S f

Proof state:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
A : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : IsLocalization S A
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_4
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module A M'
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
h : IsBaseChange A f
this : IsBaseChange A (LocalizedModule.mkLinearMap S M)
e : LocalizedModule S M ≃ₗ[R] M' := LinearEquiv.restrictScalars R (this.equiv.symm ≪≫ₗ h.equiv)
⊢ IsLocalizedModule S f

Tactic:
convert IsLocalizedModule.of_linearEquiv S (LocalizedModule.mkLinearMap S M) e

Result:
case h.e'_10
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
A : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : IsLocalization S A
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_4
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module A M'
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
h : IsBaseChange A f
this : IsBaseChange A (LocalizedModule.mkLinearMap S M)
e : LocalizedModule S M ≃ₗ[R] M' := LinearEquiv.restrictScalars R (this.equiv.symm ≪≫ₗ h.equiv)
⊢ f = ↑e ∘ₗ LocalizedModule.mkLinearMap S M

Proof state:
case h.e'_10.h
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
A : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : IsLocalization S A
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_4
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module A M'
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
h : IsBaseChange A f
this : IsBaseChange A (LocalizedModule.mkLinearMap S M)
e : LocalizedModule S M ≃ₗ[R] M' := LinearEquiv.restrictScalars R (this.equiv.symm ≪≫ₗ h.equiv)
x✝ : M
⊢ f x✝ = (↑e ∘ₗ LocalizedModule.mkLinearMap S M) x✝

Tactic:
rw [LinearMap.coe_comp, LinearEquiv.coe_coe, Function.comp_apply,
  LinearEquiv.restrictScalars_apply, LinearEquiv.trans_apply, IsBaseChange.equiv_symm_apply,
  IsBaseChange.equiv_tmul, one_smul]

Result:
no goals

Proof state:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
A : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : IsLocalization S A
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_4
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module A M'
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
h : IsBaseChange A f
this : IsBaseChange A (LocalizedModule.mkLinearMap S M)
⊢ IsLocalizedModule S f

Tactic:
let e := (this.equiv.symm.trans h.equiv).restrictScalars R

Result:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
A : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : IsLocalization S A
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_4
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module A M'
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
h : IsBaseChange A f
this : IsBaseChange A (LocalizedModule.mkLinearMap S M)
e : LocalizedModule S M ≃ₗ[R] M' := LinearEquiv.restrictScalars R (this.equiv.symm ≪≫ₗ h.equiv)
⊢ IsLocalizedModule S f

Proof state:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
A : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : IsLocalization S A
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_4
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module A M'
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
h : IsBaseChange A f
⊢ IsLocalizedModule S f

Tactic:
have : IsBaseChange A (LocalizedModule.mkLinearMap S M) := IsLocalizedModule.isBaseChange S A _

Result:
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
A : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : IsLocalization S A
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_4
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module A M'
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
h : IsBaseChange A f
this : IsBaseChange A (LocalizedModule.mkLinearMap S M)
⊢ IsLocalizedModule S f

Proof state:
case h.e'_10
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
A : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : IsLocalization S A
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_4
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module A M'
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
h : IsBaseChange A f
this : IsBaseChange A (LocalizedModule.mkLinearMap S M)
e : LocalizedModule S M ≃ₗ[R] M' := LinearEquiv.restrictScalars R (this.equiv.symm ≪≫ₗ h.equiv)
⊢ f = ↑e ∘ₗ LocalizedModule.mkLinearMap S M

Tactic:
ext

Result:
case h.e'_10.h
R : Type u_1
inst✝⁹ : CommSemiring R
S : Submonoid R
A : Type u_2
inst✝⁸ : CommSemiring A
inst✝⁷ : Algebra R A
inst✝⁶ : IsLocalization S A
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
M' : Type u_4
inst✝³ : AddCommMonoid M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : Module A M'
inst✝ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
h : IsBaseChange A f
this : IsBaseChange A (LocalizedModule.mkLinearMap S M)
e : LocalizedModule S M ≃ₗ[R] M' := LinearEquiv.restrictScalars R (this.equiv.symm ≪≫ₗ h.equiv)
x✝ : M
⊢ f x✝ = (↑e ∘ₗ LocalizedModule.mkLinearMap S M) x✝