-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DominatedConvergence.lean
theorem integral_tsum {ι} [Countable ι] {f : ι → α → G} (hf : ∀ i, AEStronglyMeasurable (f i) μ)
    (hf' : ∑' i, ∫⁻ a : α, ‖f i a‖ₑ ∂μ ≠ ∞) :
    ∫ a : α, ∑' i, f i a ∂μ = ∑' i, ∫ a : α, f i a ∂μ

Proof state:
case pos.convert_2
α : Type u_1
G : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → G
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : ∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ‖f i a‖ₑ ∂μ ≠ ⊤
hG : CompleteSpace G
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable (fun x => ‖f i x‖ₑ) μ
hhh : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => ↑‖f n a‖₊
n : ι
⊢ ∀ᵐ (a : α) ∂μ, ‖f n a‖ ≤ (fun i a => ↑‖f i a‖₊) n a

Tactic:
filter_upwards with x

Result:
case pos.convert_2.h
α : Type u_1
G : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → G
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : ∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ‖f i a‖ₑ ∂μ ≠ ⊤
hG : CompleteSpace G
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable (fun x => ‖f i x‖ₑ) μ
hhh : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => ↑‖f n a‖₊
n : ι
x : α
⊢ ‖f n x‖ ≤ ↑‖f n x‖₊

Proof state:
case h.e'_3
α : Type u_1
G : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → G
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : ∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ‖f i a‖ₑ ∂μ ≠ ⊤
hG : CompleteSpace G
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable (fun x => ‖f i x‖ₑ) μ
hhh : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => ↑‖f n a‖₊
this : ∫⁻ (a : α), ∑' (n : ι), ‖f n a‖ₑ ∂μ < ⊤
⊢ ∫⁻ (a : α), ‖∑' (n : ι), ‖f n a‖‖ₑ ∂μ = ∫⁻ (a : α), ∑' (n : ι), ‖f n a‖ₑ ∂μ

Tactic:
apply lintegral_congr_ae

Result:
case h.e'_3.h
α : Type u_1
G : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → G
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : ∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ‖f i a‖ₑ ∂μ ≠ ⊤
hG : CompleteSpace G
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable (fun x => ‖f i x‖ₑ) μ
hhh : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => ↑‖f n a‖₊
this : ∫⁻ (a : α), ∑' (n : ι), ‖f n a‖ₑ ∂μ < ⊤
⊢ (fun a => ‖∑' (n : ι), ‖f n a‖‖ₑ) =ᶠ[ae μ] fun a => ∑' (n : ι), ‖f n a‖ₑ

Proof state:
α : Type u_1
G : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → G
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : ∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ‖f i a‖ₑ ∂μ ≠ ⊤
⊢ ∫ (a : α), ∑' (i : ι), f i a ∂μ = ∑' (i : ι), ∫ (a : α), f i a ∂μ

Tactic:
by_cases hG : CompleteSpace G

Result:
case pos
α : Type u_1
G : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → G
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : ∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ‖f i a‖ₑ ∂μ ≠ ⊤
hG : CompleteSpace G
⊢ ∫ (a : α), ∑' (i : ι), f i a ∂μ = ∑' (i : ι), ∫ (a : α), f i a ∂μ

case neg
α : Type u_1
G : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → G
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : ∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ‖f i a‖ₑ ∂μ ≠ ⊤
hG : ¬CompleteSpace G
⊢ ∫ (a : α), ∑' (i : ι), f i a ∂μ = ∑' (i : ι), ∫ (a : α), f i a ∂μ

Proof state:
case pos.convert_3
α : Type u_1
G : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → G
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : ∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ‖f i a‖ₑ ∂μ ≠ ⊤
hG : CompleteSpace G
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable (fun x => ‖f i x‖ₑ) μ
hhh : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => ↑‖f n a‖₊
⊢ AEStronglyMeasurable (fun a => ∑' (n : ι), (fun i a => ↑‖f i a‖₊) n a) μ

Tactic:
simp_rw [← NNReal.coe_tsum]

Result:
case pos.convert_3
α : Type u_1
G : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
ι : Type u_4
inst✝ : Countable ι
f : ι → α → G
hf : ∀ (i : ι), AEStronglyMeasurable (f i) μ
hf' : ∑' (i : ι), ∫⁻ (a : α), ‖f i a‖ₑ ∂μ ≠ ⊤
hG : CompleteSpace G
hf'' : ∀ (i : ι), AEMeasurable (fun x => ‖f i x‖ₑ) μ
hhh : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Summable fun n => ↑‖f n a‖₊
⊢ AEStronglyMeasurable (fun a => ↑(∑' (a_1 : ι), ‖f a_1 a‖₊)) μ