-- Mathlib/Analysis/BoxIntegral/Integrability.lean
theorem hasIntegralIndicatorConst (l : IntegrationParams) (hl : l.bRiemann = false)
    {s : Set (ι → ℝ)} (hs : MeasurableSet s) (I : Box ι) (y : E) (μ : Measure (ι → ℝ))
    [IsLocallyFiniteMeasure μ] :
    HasIntegral.{u, v, v} I l (s.indicator fun _ => y) μ.toBoxAdditive.toSMul
      ((μ (s ∩ I)).toReal • y)

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.h.refine_2.intro.intro
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
A : μ (s ∩ Box.Icc I) ≠ ⊤
B : μ (s ∩ ↑I) ≠ ⊤
F : Set (ι → ℝ)
hFs : F ⊆ s ∩ Box.Icc I
hFc : IsClosed F
hμF : μ ((s ∩ Box.Icc I) \ F) < ↑ε
U : Set (ι → ℝ)
hsU : s ∩ Box.Icc I ⊆ U
hUo : IsOpen U
hUt : μ U < ⊤
hμU : μ (U \ (s ∩ Box.Icc I)) < ↑ε
rs : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hrsU : ∀ x ∈ s ∩ Box.Icc I, closedBall x ↑(rs x) ⊆ U
rs' : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hrs'F : ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, closedBall x ↑(rs' x) ⊆ Fᶜ
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0) := s.piecewise rs rs'
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c ((fun x => r) c) π
hπp : π.IsPartition
t : Set (ι → ℝ) := (π.filter fun x => π.tag x ∈ s).iUnion
htU : t ⊆ U ∩ ↑I
hμt : μ t ≠ ⊤
x : ι → ℝ
hxt : x ∉ t
hxs : x ∈ s
hxI : x ∈ ↑I
⊢ x ∈ (s ∩ Box.Icc I) \ F

Tactic:
refine ⟨⟨hxs, Box.coe_subset_Icc hxI⟩, fun hxF => hxt ?_⟩

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.h.refine_2.intro.intro
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
A : μ (s ∩ Box.Icc I) ≠ ⊤
B : μ (s ∩ ↑I) ≠ ⊤
F : Set (ι → ℝ)
hFs : F ⊆ s ∩ Box.Icc I
hFc : IsClosed F
hμF : μ ((s ∩ Box.Icc I) \ F) < ↑ε
U : Set (ι → ℝ)
hsU : s ∩ Box.Icc I ⊆ U
hUo : IsOpen U
hUt : μ U < ⊤
hμU : μ (U \ (s ∩ Box.Icc I)) < ↑ε
rs : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hrsU : ∀ x ∈ s ∩ Box.Icc I, closedBall x ↑(rs x) ⊆ U
rs' : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hrs'F : ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, closedBall x ↑(rs' x) ⊆ Fᶜ
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0) := s.piecewise rs rs'
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c ((fun x => r) c) π
hπp : π.IsPartition
t : Set (ι → ℝ) := (π.filter fun x => π.tag x ∈ s).iUnion
htU : t ⊆ U ∩ ↑I
hμt : μ t ≠ ⊤
x : ι → ℝ
hxt : x ∉ t
hxs : x ∈ s
hxI : x ∈ ↑I
hxF : x ∈ F
⊢ x ∈ t

Proof state:
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
⊢ ∃ r,
    (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧
      ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I),
        l.MemBaseSet I c (r c) π →
          π.IsPartition →
            dist (integralSum (s.indicator fun x => y) μ.toBoxAdditive.toSMul π) ((μ (s ∩ ↑I)).toReal • y) ≤ ‖y‖ * ε

Tactic:
lift ε to ℝ≥0 using ε0.le

Result:
case intro
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
⊢ ∃ r,
    (∀ (c : ℝ≥0), l.RCond (r c)) ∧
      ∀ (c : ℝ≥0) (π : TaggedPrepartition I),
        l.MemBaseSet I c (r c) π →
          π.IsPartition →
            dist (integralSum (s.indicator fun x => y) μ.toBoxAdditive.toSMul π) ((μ (s ∩ ↑I)).toReal • y) ≤ ‖y‖ * ↑ε

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
A : μ (s ∩ Box.Icc I) ≠ ⊤
B : μ (s ∩ ↑I) ≠ ⊤
F : Set (ι → ℝ)
hFs : F ⊆ s ∩ Box.Icc I
hFc : IsClosed F
hμF : μ ((s ∩ Box.Icc I) \ F) < ↑ε
U : Set (ι → ℝ)
hsU : s ∩ Box.Icc I ⊆ U
hUo : IsOpen U
hUt : μ U < ⊤
hμU : μ (U \ (s ∩ Box.Icc I)) < ↑ε
rs : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hrsU : ∀ x ∈ s ∩ Box.Icc I, closedBall x ↑(rs x) ⊆ U
rs' : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hrs'F : ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, closedBall x ↑(rs' x) ⊆ Fᶜ
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0) := s.piecewise rs rs'
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c ((fun x => r) c) π
hπp : π.IsPartition
⊢ dist (∑ J ∈ π.boxes, (μ ↑J).toReal • s.indicator (fun x => y) (π.tag J)) ((μ (s ∩ ↑I)).toReal • y) ≤ ↑ε * ‖y‖

Tactic:
simp only [mem_closedBall, dist_eq_norm, ← indicator_const_smul_apply,
  sum_indicator_eq_sum_filter, ← sum_smul, ← sub_smul, norm_smul, Real.norm_eq_abs, ←
  Prepartition.filter_boxes, ← Prepartition.measure_iUnion_toReal]

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
ι : Type u
E : Type v
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
l : IntegrationParams
hl : l.bRiemann = false
s : Set (ι → ℝ)
hs : MeasurableSet s
I : Box ι
y : E
μ : Measure (ι → ℝ)
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ε
A : μ (s ∩ Box.Icc I) ≠ ⊤
B : μ (s ∩ ↑I) ≠ ⊤
F : Set (ι → ℝ)
hFs : F ⊆ s ∩ Box.Icc I
hFc : IsClosed F
hμF : μ ((s ∩ Box.Icc I) \ F) < ↑ε
U : Set (ι → ℝ)
hsU : s ∩ Box.Icc I ⊆ U
hUo : IsOpen U
hUt : μ U < ⊤
hμU : μ (U \ (s ∩ Box.Icc I)) < ↑ε
rs : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hrsU : ∀ x ∈ s ∩ Box.Icc I, closedBall x ↑(rs x) ⊆ U
rs' : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0)
hrs'F : ∀ x ∈ Box.Icc I \ s, closedBall x ↑(rs' x) ⊆ Fᶜ
r : (ι → ℝ) → ↑(Set.Ioi 0) := s.piecewise rs rs'
c : ℝ≥0
π : TaggedPrepartition I
hπ : l.MemBaseSet I c ((fun x => r) c) π
hπp : π.IsPartition
⊢ |(μ (π.filter fun i => π.tag i ∈ s).iUnion).toReal - (μ (s ∩ ↑I)).toReal| * ‖y‖ ≤ ↑ε * ‖y‖