-- Mathlib/Algebra/Lie/Nilpotent.lean
theorem trivial_iff_lower_central_eq_bot : IsTrivial L M ↔ lowerCentralSeries R L M 1 = ⊥

Proof state:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieRingModule L M
⊢ IsTrivial L M ↔ lowerCentralSeries R L M 1 = ⊥

Tactic:
constructor <;> intro h

Result:
case mp
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieRingModule L M
h : IsTrivial L M
⊢ lowerCentralSeries R L M 1 = ⊥

case mpr
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieRingModule L M
h : lowerCentralSeries R L M 1 = ⊥
⊢ IsTrivial L M

Proof state:
case mpr.trivial
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieRingModule L M
h : ∀ m ∈ lowerCentralSeries R L M 1, m = 0
x : L
m : M
⊢ ⁅x, m⁆ = 0

Tactic:
apply h

Result:
case mpr.trivial.a
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieRingModule L M
h : ∀ m ∈ lowerCentralSeries R L M 1, m = 0
x : L
m : M
⊢ ⁅x, m⁆ ∈ lowerCentralSeries R L M 1

Proof state:
case mpr
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieRingModule L M
h : ∀ m ∈ lowerCentralSeries R L M 1, m = 0
⊢ IsTrivial L M

Tactic:
apply IsTrivial.mk

Result:
case mpr.trivial
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieRingModule L M
h : ∀ m ∈ lowerCentralSeries R L M 1, m = 0
⊢ ∀ (x : L) (m : M), ⁅x, m⁆ = 0

Proof state:
case mpr.trivial.a.a
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieRingModule L M
h : ∀ m ∈ lowerCentralSeries R L M 1, m = 0
x : L
m : M
⊢ ∃ a a_1, ⁅a, a_1⁆ = ⁅x, m⁆

Tactic:
exact ⟨x, m, rfl⟩

Result:
no goals

Proof state:
case mpr.trivial
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieRingModule L M
h : ∀ m ∈ lowerCentralSeries R L M 1, m = 0
⊢ ∀ (x : L) (m : M), ⁅x, m⁆ = 0

Tactic:
intro x m

Result:
case mpr.trivial
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieRingModule L M
h : ∀ m ∈ lowerCentralSeries R L M 1, m = 0
x : L
m : M
⊢ ⁅x, m⁆ = 0

Proof state:
case mpr
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieRingModule L M
h : lowerCentralSeries R L M 1 = ⊥
⊢ IsTrivial L M

Tactic:
rw [LieSubmodule.eq_bot_iff] at h

Result:
case mpr
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieRingModule L M
h : ∀ m ∈ lowerCentralSeries R L M 1, m = 0
⊢ IsTrivial L M

Proof state:
case mpr.trivial.a
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieRingModule L M
h : ∀ m ∈ lowerCentralSeries R L M 1, m = 0
x : L
m : M
⊢ ⁅x, m⁆ ∈ lowerCentralSeries R L M 1

Tactic:
apply LieSubmodule.subset_lieSpan

Result:
case mpr.trivial.a.a
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieRingModule L M
h : ∀ m ∈ lowerCentralSeries R L M 1, m = 0
x : L
m : M
⊢ ⁅x, m⁆ ∈ {x | ∃ x_1 n, ⁅↑x_1, ↑n⁆ = x}

Proof state:
case mpr.trivial.a.a
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieRingModule L M
h : ∀ m ∈ lowerCentralSeries R L M 1, m = 0
x : L
m : M
⊢ ⁅x, m⁆ ∈ {x | ∃ x_1 n, ⁅↑x_1, ↑n⁆ = x}

Tactic:
simp only [LieSubmodule.top_coe, Subtype.exists, LieSubmodule.mem_top, exists_prop, true_and,
  Set.mem_setOf]

Result:
case mpr.trivial.a.a
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieRingModule L M
h : ∀ m ∈ lowerCentralSeries R L M 1, m = 0
x : L
m : M
⊢ ∃ a a_1, ⁅a, a_1⁆ = ⁅x, m⁆

Proof state:
case mp
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : LieRing L
inst✝³ : LieAlgebra R L
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : LieRingModule L M
h : IsTrivial L M
⊢ lowerCentralSeries R L M 1 = ⊥

Tactic:
simp

Result:
no goals