-- Mathlib/Algebra/Group/UniqueProds/Basic.lean
theorem toTwoUniqueProds_of_group {G}
    [Group G] [UniqueProds G] : TwoUniqueProds G where
  uniqueMul_of_one_lt_card {A B} hc

Proof state:
case intro.intro.intro.intro
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu : UniqueMul A B a b
C : Finset G := map { toFun := fun x => a⁻¹ * x, inj' := ⋯ } A
D : Finset G := map { toFun := fun x => x * b⁻¹, inj' := ⋯ } B
hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D
hC : 1 ∈ C
⊢ ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2

Tactic:
have hD : 1 ∈ D := mem_map.mpr ⟨b, hb, mul_inv_cancel b⟩

Result:
case intro.intro.intro.intro
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu : UniqueMul A B a b
C : Finset G := map { toFun := fun x => a⁻¹ * x, inj' := ⋯ } A
D : Finset G := map { toFun := fun x => x * b⁻¹, inj' := ⋯ } B
hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D
hC : 1 ∈ C
hD : 1 ∈ D
⊢ ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2

Proof state:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
⊢ ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2

Tactic:
obtain ⟨a, ha, b, hb, hu⟩ := uniqueMul_of_nonempty hc.1 hc.2.1

Result:
case intro.intro.intro.intro
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu : UniqueMul A B a b
⊢ ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2

Proof state:
case neg.intro.inr
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu✝ : UniqueMul A B a b
x✝ : Mul (Finset G) := Finset.mul
D : Finset G
hD✝ : 1 ∈ D
C : Finset G
hC hc1 : 1 ∈ C
hd2 : 1 ∈ D
hc2 : 1 ∈ C
hd1 : 1 ∈ D
hu :
  ∀ ⦃a b : G⦄,
    (∃ y, (∃ a ∈ D, a⁻¹ = y) ∧ ∃ z ∈ C, y * z = a) →
      (∃ y ∈ D, ∃ z, (∃ a ∈ C, a⁻¹ = z) ∧ y * z = b) → a * b = 1⁻¹ * 1 * (1 * 1⁻¹) → a = 1⁻¹ * 1 ∧ b = 1 * 1⁻¹
hD : 1 < #D
⊢ ∃ c ∈ C, ∃ d ∈ D, (c ≠ 1 ∨ d ≠ 1) ∧ UniqueMul C D c d

Tactic:
obtain ⟨d, hd, hd1⟩ := exists_ne_of_one_lt_card hD 1

Result:
case neg.intro.inr.intro.intro
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu✝ : UniqueMul A B a b
x✝ : Mul (Finset G) := Finset.mul
D : Finset G
hD✝ : 1 ∈ D
C : Finset G
hC hc1 : 1 ∈ C
hd2 : 1 ∈ D
hc2 : 1 ∈ C
hd1✝ : 1 ∈ D
hu :
  ∀ ⦃a b : G⦄,
    (∃ y, (∃ a ∈ D, a⁻¹ = y) ∧ ∃ z ∈ C, y * z = a) →
      (∃ y ∈ D, ∃ z, (∃ a ∈ C, a⁻¹ = z) ∧ y * z = b) → a * b = 1⁻¹ * 1 * (1 * 1⁻¹) → a = 1⁻¹ * 1 ∧ b = 1 * 1⁻¹
hD : 1 < #D
d : G
hd : d ∈ D
hd1 : d ≠ 1
⊢ ∃ c ∈ C, ∃ d ∈ D, (c ≠ 1 ∨ d ≠ 1) ∧ UniqueMul C D c d

Proof state:
case pos
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu✝ : UniqueMul A B a b
x✝ : Mul (Finset G) := Finset.mul
D : Finset G
hD : 1 ∈ D
C : Finset G
hC : 1 ∈ C
hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D
d1 : G
hd1 : d1 ∈ D
c1 : G
hc1 : c1 ∈ C
d2 : G
hd2 : d2 ∈ D
c2 : G
hc2 : c2 ∈ C
h12 : c1 ≠ 1 ∨ d2 ≠ 1
c3 d3 : G
hc3 : c3 ∈ C
hd3 : d3 ∈ D
he : c3 * d3 = c1 * d2
hu : d1⁻¹ * c3 * (d3 * c2⁻¹) = d1⁻¹ * c1 * (d2 * c2⁻¹) → d1⁻¹ * c3 = d1⁻¹ * c1 ∧ d3 * c2⁻¹ = d2 * c2⁻¹
⊢ c3 = c1 ∧ d3 = d2

Tactic:
rw [mul_left_cancel_iff, mul_right_cancel_iff,
    mul_assoc, ← mul_assoc c3, he, mul_assoc, mul_assoc] at hu

Result:
case pos
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu✝ : UniqueMul A B a b
x✝ : Mul (Finset G) := Finset.mul
D : Finset G
hD : 1 ∈ D
C : Finset G
hC : 1 ∈ C
hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D
d1 : G
hd1 : d1 ∈ D
c1 : G
hc1 : c1 ∈ C
d2 : G
hd2 : d2 ∈ D
c2 : G
hc2 : c2 ∈ C
h12 : c1 ≠ 1 ∨ d2 ≠ 1
c3 d3 : G
hc3 : c3 ∈ C
hd3 : d3 ∈ D
he : c3 * d3 = c1 * d2
hu : d1⁻¹ * (c1 * (d2 * c2⁻¹)) = d1⁻¹ * (c1 * (d2 * c2⁻¹)) → c3 = c1 ∧ d3 = d2
⊢ c3 = c1 ∧ d3 = d2

Proof state:
case pos
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu✝ : UniqueMul A B a b
x✝ : Mul (Finset G) := Finset.mul
D : Finset G
hD : 1 ∈ D
C : Finset G
hC : 1 ∈ C
hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D
d1 : G
hd1 : d1 ∈ D
c2 : G
hc2 : c2 ∈ C
hc1 : 1 ∈ C
hd2 : 1 ∈ D
hu :
  ∀ ⦃a b : G⦄,
    (∃ y, (∃ a ∈ D, a⁻¹ = y) ∧ ∃ z ∈ C, y * z = a) →
      (∃ y ∈ D, ∃ z, (∃ a ∈ C, a⁻¹ = z) ∧ y * z = b) → a * b = d1⁻¹ * 1 * (1 * c2⁻¹) → a = d1⁻¹ * 1 ∧ b = 1 * c2⁻¹
h21 : c2 ≠ 1 ∨ d1 ≠ 1
⊢ ∃ c ∈ C, ∃ d ∈ D, (c ≠ 1 ∨ d ≠ 1) ∧ UniqueMul C D c d

Tactic:
refine ⟨c2, hc2, d1, hd1, h21, fun c4 d4 hc4 hd4 he => ?_⟩

Result:
case pos
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu✝ : UniqueMul A B a b
x✝ : Mul (Finset G) := Finset.mul
D : Finset G
hD : 1 ∈ D
C : Finset G
hC : 1 ∈ C
hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D
d1 : G
hd1 : d1 ∈ D
c2 : G
hc2 : c2 ∈ C
hc1 : 1 ∈ C
hd2 : 1 ∈ D
hu :
  ∀ ⦃a b : G⦄,
    (∃ y, (∃ a ∈ D, a⁻¹ = y) ∧ ∃ z ∈ C, y * z = a) →
      (∃ y ∈ D, ∃ z, (∃ a ∈ C, a⁻¹ = z) ∧ y * z = b) → a * b = d1⁻¹ * 1 * (1 * c2⁻¹) → a = d1⁻¹ * 1 ∧ b = 1 * c2⁻¹
h21 : c2 ≠ 1 ∨ d1 ≠ 1
c4 d4 : G
hc4 : c4 ∈ C
hd4 : d4 ∈ D
he : c4 * d4 = c2 * d1
⊢ c4 = c2 ∧ d4 = d1

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.refine_3.intro.intro.intro.intro
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu✝ : UniqueMul A B a b
C : Finset G := map { toFun := fun x => a⁻¹ * x, inj' := ⋯ } A
D : Finset G := map { toFun := fun x => x * b⁻¹, inj' := ⋯ } B
hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D
hC : 1 ∈ C
hD : 1 ∈ D
x✝ : Mul (Finset G) := Finset.mul
e : G
he : e ∈ image (fun x => x⁻¹) D * C
f : G
hf : f ∈ D * image (fun x => x⁻¹) C
hu : UniqueMul (image (fun x => x⁻¹) D * C) (D * image (fun x => x⁻¹) C) e f
⊢ ∃ c ∈ C, ∃ d ∈ D, (c ≠ 1 ∨ d ≠ 1) ∧ UniqueMul C D c d

Tactic:
clear_value C D

Result:
case intro.intro.intro.intro.refine_3.intro.intro.intro.intro
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu✝ : UniqueMul A B a b
x✝ : Mul (Finset G) := Finset.mul
e f : G
D : Finset G
hD : 1 ∈ D
C : Finset G
hC : 1 ∈ C
hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D
he : e ∈ image (fun x => x⁻¹) D * C
hf : f ∈ D * image (fun x => x⁻¹) C
hu : UniqueMul (image (fun x => x⁻¹) D * C) (D * image (fun x => x⁻¹) C) e f
⊢ ∃ c ∈ C, ∃ d ∈ D, (c ≠ 1 ∨ d ≠ 1) ∧ UniqueMul C D c d