-- Mathlib/Analysis/Distribution/AEEqOfIntegralContDiff.lean
theorem ae_eq_of_integral_smooth_smul_eq
    (hf : LocallyIntegrable f μ) (hf' : LocallyIntegrable f' μ) (h : ∀ (g : M → ℝ),
      ContMDiff I 𝓘(ℝ) ∞ g → HasCompactSupport g → ∫ x, g x • f x ∂μ = ∫ x, g x • f' x ∂μ) :
    ∀ᵐ x ∂μ, f x = f' x

Proof state:
E : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : IsManifold I ∞ M
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : BorelSpace M
inst✝¹ : T2Space M
f f' : M → F
μ : Measure M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
hf : LocallyIntegrable f μ
hf' : LocallyIntegrable f' μ
h : ∀ (g : M → ℝ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ g → HasCompactSupport g → ∫ (x : M), g x • f x ∂μ = ∫ (x : M), g x • f' x ∂μ
g : M → ℝ
g_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ g
g_supp : HasCompactSupport g
⊢ ∫ (x : M), g x • f x - g x • f' x ∂μ = 0

Tactic:
rw [integral_sub, sub_eq_zero]

Result:
E : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : IsManifold I ∞ M
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : BorelSpace M
inst✝¹ : T2Space M
f f' : M → F
μ : Measure M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
hf : LocallyIntegrable f μ
hf' : LocallyIntegrable f' μ
h : ∀ (g : M → ℝ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ g → HasCompactSupport g → ∫ (x : M), g x • f x ∂μ = ∫ (x : M), g x • f' x ∂μ
g : M → ℝ
g_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ g
g_supp : HasCompactSupport g
⊢ ∫ (a : M), g a • f a ∂μ = ∫ (a : M), g a • f' a ∂μ

case hf
E : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : IsManifold I ∞ M
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : BorelSpace M
inst✝¹ : T2Space M
f f' : M → F
μ : Measure M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
hf : LocallyIntegrable f μ
hf' : LocallyIntegrable f' μ
h : ∀ (g : M → ℝ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ g → HasCompactSupport g → ∫ (x : M), g x • f x ∂μ = ∫ (x : M), g x • f' x ∂μ
g : M → ℝ
g_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ g
g_supp : HasCompactSupport g
⊢ Integrable (fun x => g x • f x) μ

case hg
E : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : IsManifold I ∞ M
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : BorelSpace M
inst✝¹ : T2Space M
f f' : M → F
μ : Measure M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
hf : LocallyIntegrable f μ
hf' : LocallyIntegrable f' μ
h : ∀ (g : M → ℝ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ g → HasCompactSupport g → ∫ (x : M), g x • f x ∂μ = ∫ (x : M), g x • f' x ∂μ
g : M → ℝ
g_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ g
g_supp : HasCompactSupport g
⊢ Integrable (fun x => g x • f' x) μ

Proof state:
case hg
E : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : IsManifold I ∞ M
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : BorelSpace M
inst✝¹ : T2Space M
f f' : M → F
μ : Measure M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
hf : LocallyIntegrable f μ
hf' : LocallyIntegrable f' μ
h : ∀ (g : M → ℝ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ g → HasCompactSupport g → ∫ (x : M), g x • f x ∂μ = ∫ (x : M), g x • f' x ∂μ
g : M → ℝ
g_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ g
g_supp : HasCompactSupport g
⊢ Integrable (fun x => g x • f' x) μ

Tactic:
exact hf'.integrable_smul_left_of_hasCompactSupport g_diff.continuous g_supp

Result:
no goals

Proof state:
E : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : IsManifold I ∞ M
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : BorelSpace M
inst✝¹ : T2Space M
f f' : M → F
μ : Measure M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
hf : LocallyIntegrable f μ
hf' : LocallyIntegrable f' μ
h : ∀ (g : M → ℝ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ g → HasCompactSupport g → ∫ (x : M), g x • f x ∂μ = ∫ (x : M), g x • f' x ∂μ
⊢ ∀ (g : M → ℝ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ g → HasCompactSupport g → ∫ (x : M), g x • (f - f') x ∂μ = 0

Tactic:
intro g g_diff g_supp

Result:
E : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : CompleteSpace F
H : Type u_3
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_4
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : IsManifold I ∞ M
inst✝³ : MeasurableSpace M
inst✝² : BorelSpace M
inst✝¹ : T2Space M
f f' : M → F
μ : Measure M
inst✝ : SigmaCompactSpace M
hf : LocallyIntegrable f μ
hf' : LocallyIntegrable f' μ
h : ∀ (g : M → ℝ), ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ g → HasCompactSupport g → ∫ (x : M), g x • f x ∂μ = ∫ (x : M), g x • f' x ∂μ
g : M → ℝ
g_diff : ContMDiff I 𝓘(ℝ, ℝ) ∞ g
g_supp : HasCompactSupport g
⊢ ∫ (x : M), g x • (f - f') x ∂μ = 0