-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Average.lean
theorem tendsto_integral_smul_of_tendsto_average_norm_sub
    [CompleteSpace E]
    {ι : Type*} {a : ι → Set α} {l : Filter ι} {f : α → E} {c : E} {g : ι → α → ℝ} (K : ℝ)
    (hf : Tendsto (fun i ↦ ⨍ y in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0))
    (f_int : ∀ᶠ i in l, IntegrableOn f (a i) μ)
    (hg : Tendsto (fun i ↦ ∫ y, g i y ∂μ) l (𝓝 1))
    (g_supp : ∀ᶠ i in l, Function.support (g i) ⊆ a i)
    (g_bound : ∀ᶠ i in l, ∀ x, |g i x| ≤ K / (μ (a i)).toReal) :
    Tendsto (fun i ↦ ∫ y, g i y • f y ∂μ) l (𝓝 c)

Proof state:
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace E
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) μ
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / (μ (a i)).toReal
g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i) μ
i : ι
hif : IntegrableOn f (a i) μ
hig : Integrable (g i) μ
hisupp : support (g i) ⊆ a i
hibound : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / (μ (a i)).toReal
A : (support fun y => g i y • f y) ⊆ a i
⊢ Integrable (fun y => g i y • f y) μ

Tactic:
rw [← integrableOn_iff_integrable_of_support_subset A]

Result:
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace E
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) μ
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / (μ (a i)).toReal
g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i) μ
i : ι
hif : IntegrableOn f (a i) μ
hig : Integrable (g i) μ
hisupp : support (g i) ⊆ a i
hibound : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / (μ (a i)).toReal
A : (support fun y => g i y • f y) ⊆ a i
⊢ IntegrableOn (fun y => g i y • f y) (a i) μ

Proof state:
case h.hg
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace E
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) μ
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / (μ (a i)).toReal
g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i) μ
i : ι
hif : IntegrableOn f (a i) μ
hig : Integrable (g i) μ
hisupp : support (g i) ⊆ a i
hibound : ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / (μ (a i)).toReal
⊢ Integrable (fun x => g i x • c) μ

Tactic:
exact hig.smul_const _

Result:
no goals

Proof state:
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace E
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) μ
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / (μ (a i)).toReal
i : ι
hi : 0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ
⊢ Integrable (g i) μ

Tactic:
contrapose hi

Result:
case h
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace E
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) μ
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / (μ (a i)).toReal
i : ι
hi : ¬Integrable (g i) μ
⊢ ¬0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ

Proof state:
case e_f
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace E
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) μ
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / (μ (a i)).toReal
g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i) μ
I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ
this : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
i : ι
hi : support (g i) ⊆ a i
h''i : IntegrableOn f (a i) μ
hi_int : 0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ
h : μ (a i) = ⊤
h'i : ∀ (x : α), g i x = 0
⊢ (fun y => g i y) = fun y => 0

Tactic:
ext y

Result:
case e_f.h
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace E
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) μ
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / (μ (a i)).toReal
g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i) μ
I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ
this : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
i : ι
hi : support (g i) ⊆ a i
h''i : IntegrableOn f (a i) μ
hi_int : 0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ
h : μ (a i) = ⊤
h'i : ∀ (x : α), g i x = 0
y : α
⊢ g i y = 0

Proof state:
case e_f.h
α : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace E
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) μ
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / (μ (a i)).toReal
g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i) μ
I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ
this : Tendsto (fun k => K * ⨍ (y : α) in a k, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
i : ι
hi : support (g i) ⊆ a i
h''i : IntegrableOn f (a i) μ
hi_int : 0 < ∫ (y : α), g i y ∂μ
h : μ (a i) = ⊤
h'i : ∀ (x : α), g i x = 0
y : α
⊢ g i y = 0

Tactic:
exact h'i y

Result:
no goals