-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/PID.lean
theorem Submodule.basis_of_pid_aux [Finite ι] {O : Type*} [AddCommGroup O] [Module R O]
    (M N : Submodule R O) (b'M : Basis ι R M) (N_bot : N ≠ ⊥) (N_le_M : N ≤ M) :
    ∃ y ∈ M, ∃ a : R, a • y ∈ N ∧ ∃ M' ≤ M, ∃ N' ≤ N,
      N' ≤ M' ∧ (∀ (c : R) (z : O), z ∈ M' → c • y + z = 0 → c = 0) ∧
      (∀ (c : R) (z : O), z ∈ N' → c • a • y + z = 0 → c = 0) ∧
      ∀ (n') (bN' : Basis (Fin n') R N'),
        ∃ bN : Basis (Fin (n' + 1)) R N,
          ∀ (m') (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R M'),
            ∃ (hnm : n' + 1 ≤ m' + 1) (bM : Basis (Fin (m' + 1)) R M),
              ∀ as : Fin n' → R,
                (∀ i : Fin n', (bN' i : O) = as i • (bM' (Fin.castLE hn'm' i) : O)) →
                  ∃ as' : Fin (n' + 1) → R,
                    ∀ i : Fin (n' + 1), (bN i : O) = as' i • (bM (Fin.castLE hnm i) : O)

Proof state:
case neg.intro.intro.intro.refine_1.refine_2.intro.refine_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : Finite ι
O : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup O
inst✝ : Module R O
M N : Submodule R O
b'M : Basis ι R ↥M
N_bot : N ≠ ⊥
N_le_M : N ≤ M
this : ∃ ϕ, ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose
ϕ_max : ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬this.choose.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N
a_zero : ¬a = 0
y : O
yN : y ∈ N
ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = a
_ϕy_ne_zero : ϕ ⟨y, ⋯⟩ ≠ 0
c : ι → R
hc : ∀ (i : ι), (b'M.coord i) ⟨y, ⋯⟩ = a * c i
val✝ : Fintype ι
y' : O := ∑ i : ι, c i • ↑(b'M i)
y'M : y' ∈ M
mk_y' : ⟨y', y'M⟩ = ∑ i : ι, c i • b'M i
a_smul_y' : a • y' = y
ϕy'_eq : ϕ ⟨y', y'M⟩ = 1
ϕy'_ne_zero : ϕ ⟨y', y'M⟩ ≠ 0
M' : Submodule R O := map M.subtype (LinearMap.ker ϕ)
N' : Submodule R O := map N.subtype (LinearMap.ker (ϕ ∘ₗ inclusion N_le_M))
M'_le_M : M' ≤ M
N'_le_M' : N' ≤ M'
N'_le_N : N' ≤ N
y'_ortho_M' : ∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y' + z = 0 → c = 0
ay'_ortho_N' : ∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y' + z = 0 → c = 0
n' : ℕ
bN' : Basis (Fin n') R ↥N'
z : O
zN : z ∈ N
b : R
hb : ϕ ⟨z, ⋯⟩ = generator (ϕ.submoduleImage N) * b
⊢ ⟨z - b • y, ⋯⟩ ∈ LinearMap.ker (ϕ ∘ₗ inclusion N_le_M)

Tactic:
refine LinearMap.mem_ker.mpr (show ϕ (⟨z, N_le_M zN⟩ - b • ⟨y, N_le_M yN⟩) = 0 from ?_)

Result:
case neg.intro.intro.intro.refine_1.refine_2.intro.refine_1
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : Finite ι
O : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup O
inst✝ : Module R O
M N : Submodule R O
b'M : Basis ι R ↥M
N_bot : N ≠ ⊥
N_le_M : N ≤ M
this : ∃ ϕ, ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose
ϕ_max : ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬this.choose.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N
a_zero : ¬a = 0
y : O
yN : y ∈ N
ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = a
_ϕy_ne_zero : ϕ ⟨y, ⋯⟩ ≠ 0
c : ι → R
hc : ∀ (i : ι), (b'M.coord i) ⟨y, ⋯⟩ = a * c i
val✝ : Fintype ι
y' : O := ∑ i : ι, c i • ↑(b'M i)
y'M : y' ∈ M
mk_y' : ⟨y', y'M⟩ = ∑ i : ι, c i • b'M i
a_smul_y' : a • y' = y
ϕy'_eq : ϕ ⟨y', y'M⟩ = 1
ϕy'_ne_zero : ϕ ⟨y', y'M⟩ ≠ 0
M' : Submodule R O := map M.subtype (LinearMap.ker ϕ)
N' : Submodule R O := map N.subtype (LinearMap.ker (ϕ ∘ₗ inclusion N_le_M))
M'_le_M : M' ≤ M
N'_le_M' : N' ≤ M'
N'_le_N : N' ≤ N
y'_ortho_M' : ∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y' + z = 0 → c = 0
ay'_ortho_N' : ∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y' + z = 0 → c = 0
n' : ℕ
bN' : Basis (Fin n') R ↥N'
z : O
zN : z ∈ N
b : R
hb : ϕ ⟨z, ⋯⟩ = generator (ϕ.submoduleImage N) * b
⊢ ϕ (⟨z, ⋯⟩ - b • ⟨y, ⋯⟩) = 0

Proof state:
case neg.intro.intro
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : Finite ι
O : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup O
inst✝ : Module R O
M N : Submodule R O
b'M : Basis ι R ↥M
N_bot : N ≠ ⊥
N_le_M : N ≤ M
this : ∃ ϕ, ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose
ϕ_max : ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬this.choose.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N
a_zero : ¬a = 0
y : O
yN : y ∈ N
ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = a
⊢ ∃ y ∈ M,
    ∃ a,
      a • y ∈ N ∧
        ∃ M' ≤ M,
          ∃ N' ≤ N,
            N' ≤ M' ∧
              (∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y + z = 0 → c = 0) ∧
                (∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y + z = 0 → c = 0) ∧
                  ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R ↥N'),
                    ∃ bN,
                      ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R ↥M'),
                        ∃ (hnm : n' + 1 ≤ m' + 1),
                          ∃ bM,
                            ∀ (as : Fin n' → R),
                              (∀ (i : Fin n'), ↑(bN' i) = as i • ↑(bM' (Fin.castLE hn'm' i))) →
                                ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(bN i) = as' i • ↑(bM (Fin.castLE hnm i))

Tactic:
have _ϕy_ne_zero : ϕ ⟨y, N_le_M yN⟩ ≠ 0 := fun h ↦ a_zero (ϕy_eq.symm.trans h)

Result:
case neg.intro.intro
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : Finite ι
O : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup O
inst✝ : Module R O
M N : Submodule R O
b'M : Basis ι R ↥M
N_bot : N ≠ ⊥
N_le_M : N ≤ M
this : ∃ ϕ, ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬ϕ.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
ϕ : ↥M →ₗ[R] R := this.choose
ϕ_max : ∀ (ψ : ↥M →ₗ[R] R), ¬this.choose.submoduleImage N < ψ.submoduleImage N
a : R := generator (ϕ.submoduleImage N)
a_mem : a ∈ ϕ.submoduleImage N
a_zero : ¬a = 0
y : O
yN : y ∈ N
ϕy_eq : ϕ ⟨y, ⋯⟩ = a
_ϕy_ne_zero : ϕ ⟨y, ⋯⟩ ≠ 0
⊢ ∃ y ∈ M,
    ∃ a,
      a • y ∈ N ∧
        ∃ M' ≤ M,
          ∃ N' ≤ N,
            N' ≤ M' ∧
              (∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y + z = 0 → c = 0) ∧
                (∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y + z = 0 → c = 0) ∧
                  ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R ↥N'),
                    ∃ bN,
                      ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R ↥M'),
                        ∃ (hnm : n' + 1 ≤ m' + 1),
                          ∃ bM,
                            ∀ (as : Fin n' → R),
                              (∀ (i : Fin n'), ↑(bN' i) = as i • ↑(bM' (Fin.castLE hn'm' i))) →
                                ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(bN i) = as' i • ↑(bM (Fin.castLE hnm i))