-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Bounds.lean
theorem ContinuousLinearMap.norm_iteratedFDerivWithin_le_of_bilinear_of_le_one
    (B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G) {f : D → E} {g : D → F} {N : WithTop ℕ∞} {s : Set D} {x : D}
    (hf : ContDiffOn 𝕜 N f s) (hg : ContDiffOn 𝕜 N g s) (hs : UniqueDiffOn 𝕜 s) (hx : x ∈ s) {n : ℕ}
    (hn : n ≤ N) (hB : ‖B‖ ≤ 1) : ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => B (f y) (g y)) s x‖ ≤
      ∑ i ∈ Finset.range (n + 1), (n.choose i : ℝ) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ *
        ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - i) g s x‖

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
f : D → E
g : D → F
N : WithTop ℕ∞
s : Set D
x : D
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hg : ContDiffOn 𝕜 N g s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
hB : ‖B‖ ≤ 1
⊢ ‖B‖ *
      ∑ i ∈ Finset.range (n + 1),
        ↑(n.choose i) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - i) g s x‖ ≤
    ∑ i ∈ Finset.range (n + 1),
      ↑(n.choose i) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - i) g s x‖

Tactic:
exact mul_le_of_le_one_left (by positivity) hB

Result:
no goals

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
f : D → E
g : D → F
N : WithTop ℕ∞
s : Set D
x : D
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hg : ContDiffOn 𝕜 N g s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
hB : ‖B‖ ≤ 1
⊢ ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 n (fun y => (B (f y)) (g y)) s x‖ ≤
    ∑ i ∈ Finset.range (n + 1),
      ↑(n.choose i) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - i) g s x‖

Tactic:
apply (B.norm_iteratedFDerivWithin_le_of_bilinear hf hg hs hx hn).trans

Result:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
f : D → E
g : D → F
N : WithTop ℕ∞
s : Set D
x : D
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hg : ContDiffOn 𝕜 N g s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
hB : ‖B‖ ≤ 1
⊢ ‖B‖ *
      ∑ i ∈ Finset.range (n + 1),
        ↑(n.choose i) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - i) g s x‖ ≤
    ∑ i ∈ Finset.range (n + 1),
      ↑(n.choose i) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - i) g s x‖

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
f : D → E
g : D → F
N : WithTop ℕ∞
s : Set D
x : D
hf : ContDiffOn 𝕜 N f s
hg : ContDiffOn 𝕜 N g s
hs : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
n : ℕ
hn : ↑n ≤ N
hB : ‖B‖ ≤ 1
⊢ 0 ≤
    ∑ i ∈ Finset.range (n + 1),
      ↑(n.choose i) * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x‖ * ‖iteratedFDerivWithin 𝕜 (n - i) g s x‖

Tactic:
positivity

Result:
no goals