-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/ConcreteSheafification.lean
theorem res_mk_eq_mk_pullback {Y X : C} {P : Cᵒᵖ ⥤ D} {S : J.Cover X} (x : Meq P S) (f : Y ⟶ X) :
    (J.plusObj P).map f.op (mk x) = mk (x.pullback f)

Proof state:
case h.a
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
FD : D → D → Type u_1
CD : D → Type (max v u)
inst✝³ : (X Y : D) → FunLike (FD X Y) (CD X) (CD Y)
instCC : ConcreteCategory D FD
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
Y X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : Meq P S
f : Y ⟶ X
⊢ (Meq.equiv P (unop ((J.pullback f).op.obj (op S))))
      ((ConcreteCategory.hom ((J.diagramPullback P f).app (op S))) ((Meq.equiv P S).symm x)) =
    (Meq.equiv P (unop ((J.pullback f).op.obj (op S)))) ((Meq.equiv P (S.pullback f)).symm (x.pullback f))

Tactic:
dsimp only [Functor.op_obj, pullback_obj]

Result:
case h.a
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
FD : D → D → Type u_1
CD : D → Type (max v u)
inst✝³ : (X Y : D) → FunLike (FD X Y) (CD X) (CD Y)
instCC : ConcreteCategory D FD
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
Y X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : Meq P S
f : Y ⟶ X
⊢ (Meq.equiv P (S.pullback f)) ((ConcreteCategory.hom ((J.diagramPullback P f).app (op S))) ((Meq.equiv P S).symm x)) =
    (Meq.equiv P (S.pullback f)) ((Meq.equiv P (S.pullback f)).symm (x.pullback f))

Proof state:
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
FD : D → D → Type u_1
CD : D → Type (max v u)
inst✝³ : (X Y : D) → FunLike (FD X Y) (CD X) (CD Y)
instCC : ConcreteCategory D FD
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
Y X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : Meq P S
f : Y ⟶ X
⊢ (ConcreteCategory.hom (colimit.ι (J.diagram P Y) ((J.pullback f).op.obj (op S))))
      ((ConcreteCategory.hom ((J.diagramPullback P f).app (op S))) ((Meq.equiv P S).symm x)) =
    (ConcreteCategory.hom (colimit.ι (J.diagram P Y) (op (S.pullback f))))
      ((Meq.equiv P (S.pullback f)).symm (x.pullback f))

Tactic:
apply congr_arg

Result:
case h
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
FD : D → D → Type u_1
CD : D → Type (max v u)
inst✝³ : (X Y : D) → FunLike (FD X Y) (CD X) (CD Y)
instCC : ConcreteCategory D FD
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
Y X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : Meq P S
f : Y ⟶ X
⊢ (ConcreteCategory.hom ((J.diagramPullback P f).app (op S))) ((Meq.equiv P S).symm x) =
    (Meq.equiv P (S.pullback f)).symm (x.pullback f)

Proof state:
case h.a.h
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
FD : D → D → Type u_1
CD : D → Type (max v u)
inst✝³ : (X Y : D) → FunLike (FD X Y) (CD X) (CD Y)
instCC : ConcreteCategory D FD
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
Y X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : Meq P S
f : Y ⟶ X
i : (S.pullback f).Arrow
⊢ ↑x i.base = ↑x { Y := i.Y, f := i.f ≫ f, hf := ⋯ }

Tactic:
cases i

Result:
case h.a.h.mk
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
FD : D → D → Type u_1
CD : D → Type (max v u)
inst✝³ : (X Y : D) → FunLike (FD X Y) (CD X) (CD Y)
instCC : ConcreteCategory D FD
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
Y X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : Meq P S
f : Y ⟶ X
Y✝ : C
f✝ : Y✝ ⟶ Y
hf✝ : (↑(S.pullback f)).arrows f✝
⊢ ↑x { Y := Y✝, f := f✝, hf := hf✝ }.base =
    ↑x { Y := { Y := Y✝, f := f✝, hf := hf✝ }.Y, f := { Y := Y✝, f := f✝, hf := hf✝ }.f ≫ f, hf := ⋯ }

Proof state:
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
FD : D → D → Type u_1
CD : D → Type (max v u)
inst✝³ : (X Y : D) → FunLike (FD X Y) (CD X) (CD Y)
instCC : ConcreteCategory D FD
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
Y X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : Meq P S
f : Y ⟶ X
⊢ (ConcreteCategory.hom (colimMap (J.diagramPullback P f) ≫ colimit.pre (J.diagram P Y) (J.pullback f).op))
      ((ConcreteCategory.hom (colimit.ι (J.diagram P X) (op S))) ((Meq.equiv P S).symm x)) =
    (ConcreteCategory.hom (colimit.ι (J.diagram P Y) (op (S.pullback f))))
      ((Meq.equiv P (S.pullback f)).symm (x.pullback f))

Tactic:
rw [← comp_apply (x := (Meq.equiv P S).symm x), ι_colimMap_assoc, colimit.ι_pre,
  comp_apply (x := (Meq.equiv P S).symm x)]

Result:
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
FD : D → D → Type u_1
CD : D → Type (max v u)
inst✝³ : (X Y : D) → FunLike (FD X Y) (CD X) (CD Y)
instCC : ConcreteCategory D FD
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
Y X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : Meq P S
f : Y ⟶ X
⊢ (ConcreteCategory.hom (colimit.ι (J.diagram P Y) ((J.pullback f).op.obj (op S))))
      ((ConcreteCategory.hom ((J.diagramPullback P f).app (op S))) ((Meq.equiv P S).symm x)) =
    (ConcreteCategory.hom (colimit.ι (J.diagram P Y) (op (S.pullback f))))
      ((Meq.equiv P (S.pullback f)).symm (x.pullback f))

Proof state:
case h.a.h.mk
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
D : Type w
inst✝⁴ : Category.{max v u, w} D
FD : D → D → Type u_1
CD : D → Type (max v u)
inst✝³ : (X Y : D) → FunLike (FD X Y) (CD X) (CD Y)
instCC : ConcreteCategory D FD
inst✝² : PreservesLimits (forget D)
inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D
inst✝ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)
Y X : C
P : Cᵒᵖ ⥤ D
S : J.Cover X
x : Meq P S
f : Y ⟶ X
Y✝ : C
f✝ : Y✝ ⟶ Y
hf✝ : (↑(S.pullback f)).arrows f✝
⊢ ↑x { Y := Y✝, f := f✝, hf := hf✝ }.base =
    ↑x { Y := { Y := Y✝, f := f✝, hf := hf✝ }.Y, f := { Y := Y✝, f := f✝, hf := hf✝ }.f ≫ f, hf := ⋯ }

Tactic:
rfl

Result:
no goals