-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
lemma map_sub_map_piecewise [LinearOrder ι] (a b : (i : ι) → M₁ i) (s : Finset ι) :
    f a - f (s.piecewise b a) =
    ∑ i ∈ s, f (fun j ↦ if j ∈ s → j < i then a j else if i = j then a j - b j else b j)

Proof state:
case pos.hi
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : LinearOrder ι
a b : (i : ι) → M₁ i
s✝ : Finset ι
k : ι
s : Finset ι
hk : ∀ x ∈ s, k < x
ih : f a - f (s.piecewise b a) = ∑ i ∈ s, f fun j => if j ∈ s → j < i then a j else if i = j then a j - b j else b j
i : ι
h₁ : i = k ∨ i ∈ s → i < k
⊢ i ∉ s

Tactic:
exact fun h ↦ (hk i h).not_lt (h₁ <| .inr h)

Result:
no goals

Proof state:
case refine_2
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : LinearOrder ι
a b : (i : ι) → M₁ i
s✝ : Finset ι
k : ι
s : Finset ι
hk : ∀ x ∈ s, k < x
ih : f a - f (s.piecewise b a) = ∑ i ∈ s, f fun j => if j ∈ s → j < i then a j else if i = j then a j - b j else b j
⊢ (f (update (s.piecewise b a) k (s.piecewise b a k - b k)) +
      ∑ i ∈ s, f fun j => if j ∈ s → j < i then a j else if i = j then a j - b j else b j) =
    (f fun j => if j = k ∨ j ∈ s → j < k then a j else if k = j then a j - b j else b j) +
      ∑ x ∈ s, f fun j => if j = k ∨ j ∈ s → j < x then a j else if x = j then a j - b j else b j

Tactic:
congr 1

Result:
case refine_2.e_a
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : LinearOrder ι
a b : (i : ι) → M₁ i
s✝ : Finset ι
k : ι
s : Finset ι
hk : ∀ x ∈ s, k < x
ih : f a - f (s.piecewise b a) = ∑ i ∈ s, f fun j => if j ∈ s → j < i then a j else if i = j then a j - b j else b j
⊢ f (update (s.piecewise b a) k (s.piecewise b a k - b k)) =
    f fun j => if j = k ∨ j ∈ s → j < k then a j else if k = j then a j - b j else b j

case refine_2.e_a
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : LinearOrder ι
a b : (i : ι) → M₁ i
s✝ : Finset ι
k : ι
s : Finset ι
hk : ∀ x ∈ s, k < x
ih : f a - f (s.piecewise b a) = ∑ i ∈ s, f fun j => if j ∈ s → j < i then a j else if i = j then a j - b j else b j
⊢ (∑ i ∈ s, f fun j => if j ∈ s → j < i then a j else if i = j then a j - b j else b j) =
    ∑ x ∈ s, f fun j => if j = k ∨ j ∈ s → j < x then a j else if x = j then a j - b j else b j

Proof state:
case pos.h
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : LinearOrder ι
a b : (i : ι) → M₁ i
s✝ : Finset ι
k : ι
s : Finset ι
hk : ∀ x ∈ s, k < x
ih : f a - f (s.piecewise b a) = ∑ i ∈ s, f fun j => if j ∈ s → j < i then a j else if i = j then a j - b j else b j
i : ι
h₁ : i = k ∨ i ∈ s → i < k
⊢ i ≠ k

Tactic:
exact fun h ↦ (h₁ <| .inl h).ne h

Result:
no goals

Proof state:
case refine_2.e_a.h.e_6.h.h.e_c.a.h
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : LinearOrder ι
a b : (i : ι) → M₁ i
s✝ : Finset ι
k : ι
s : Finset ι
hk : ∀ x ∈ s, k < x
ih : f a - f (s.piecewise b a) = ∑ i ∈ s, f fun j => if j ∈ s → j < i then a j else if i = j then a j - b j else b j
i : ι
hi : i ∈ s
j : ι
⊢ ¬j < i → (j ∉ s ↔ ¬j = k ∧ j ∉ s)

Tactic:
intro h

Result:
case refine_2.e_a.h.e_6.h.h.e_c.a.h
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : LinearOrder ι
a b : (i : ι) → M₁ i
s✝ : Finset ι
k : ι
s : Finset ι
hk : ∀ x ∈ s, k < x
ih : f a - f (s.piecewise b a) = ∑ i ∈ s, f fun j => if j ∈ s → j < i then a j else if i = j then a j - b j else b j
i : ι
hi : i ∈ s
j : ι
h : ¬j < i
⊢ j ∉ s ↔ ¬j = k ∧ j ∉ s

Proof state:
case refine_2.e_a.h.e_6.h.h.e_c.a.h
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : LinearOrder ι
a b : (i : ι) → M₁ i
s✝ s : Finset ι
ih : f a - f (s.piecewise b a) = ∑ i ∈ s, f fun j => if j ∈ s → j < i then a j else if i = j then a j - b j else b j
i : ι
hi : i ∈ s
j : ι
h : ¬j < i
hk : ∀ x ∈ s, j < x
⊢ False

Tactic:
exact h (hk i hi)

Result:
no goals

Proof state:
case refine_2.e_a.h.e_6.h.h
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : LinearOrder ι
a b : (i : ι) → M₁ i
s✝ : Finset ι
k : ι
s : Finset ι
hk : ∀ x ∈ s, k < x
ih : f a - f (s.piecewise b a) = ∑ i ∈ s, f fun j => if j ∈ s → j < i then a j else if i = j then a j - b j else b j
i : ι
⊢ update (s.piecewise b a) k (s.piecewise b a k - b k) i =
    if i = k ∨ i ∈ s → i < k then a i else if k = i then a i - b i else b i

Tactic:
split_ifs with h₁ h₂

Result:
case pos
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : LinearOrder ι
a b : (i : ι) → M₁ i
s✝ : Finset ι
k : ι
s : Finset ι
hk : ∀ x ∈ s, k < x
ih : f a - f (s.piecewise b a) = ∑ i ∈ s, f fun j => if j ∈ s → j < i then a j else if i = j then a j - b j else b j
i : ι
h₁ : i = k ∨ i ∈ s → i < k
⊢ update (s.piecewise b a) k (s.piecewise b a k - b k) i = a i

case pos
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : LinearOrder ι
a b : (i : ι) → M₁ i
s✝ : Finset ι
k : ι
s : Finset ι
hk : ∀ x ∈ s, k < x
ih : f a - f (s.piecewise b a) = ∑ i ∈ s, f fun j => if j ∈ s → j < i then a j else if i = j then a j - b j else b j
i : ι
h₁ : ¬(i = k ∨ i ∈ s → i < k)
h₂ : k = i
⊢ update (s.piecewise b a) k (s.piecewise b a k - b k) i = a i - b i

case neg
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : LinearOrder ι
a b : (i : ι) → M₁ i
s✝ : Finset ι
k : ι
s : Finset ι
hk : ∀ x ∈ s, k < x
ih : f a - f (s.piecewise b a) = ∑ i ∈ s, f fun j => if j ∈ s → j < i then a j else if i = j then a j - b j else b j
i : ι
h₁ : ¬(i = k ∨ i ∈ s → i < k)
h₂ : ¬k = i
⊢ update (s.piecewise b a) k (s.piecewise b a k - b k) i = b i