-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
theorem setOf_sSameSide_eq_image2 {s : AffineSubspace R P} {x p : P} (hx : x ∉ s) (hp : p ∈ s) :
    { y | s.SSameSide x y } = Set.image2 (fun (t : R) q => t • (x -ᵥ p) +ᵥ q) (Set.Ioi 0) s

Proof state:
case h.mp
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x p : P
hx : x ∉ s
hp : p ∈ s
y : P
⊢ s.SSameSide x y → ∃ a, 0 < a ∧ ∃ b ∈ ↑s, a • (x -ᵥ p) +ᵥ b = y

Tactic:
rw [sSameSide_iff_exists_left hp]

Result:
case h.mp
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x p : P
hx : x ∉ s
hp : p ∈ s
y : P
⊢ (x ∉ s ∧ y ∉ s ∧ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p) (y -ᵥ p₂)) → ∃ a, 0 < a ∧ ∃ b ∈ ↑s, a • (x -ᵥ p) +ᵥ b = y

Proof state:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x p : P
hx : x ∉ s
hp : p ∈ s
⊢ {y | s.SSameSide x y} = Set.image2 (fun t q => t • (x -ᵥ p) +ᵥ q) (Set.Ioi 0) ↑s

Tactic:
ext y

Result:
case h
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x p : P
hx : x ∉ s
hp : p ∈ s
y : P
⊢ y ∈ {y | s.SSameSide x y} ↔ y ∈ Set.image2 (fun t q => t • (x -ᵥ p) +ᵥ q) (Set.Ioi 0) ↑s

Proof state:
case h.mpr.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x p : P
hx : x ∉ s
hp : p ∈ s
t : R
ht : 0 < t
p' : P
hp' : p' ∈ ↑s
⊢ s.SSameSide x (t • (x -ᵥ p) +ᵥ p')

Tactic:
exact sSameSide_smul_vsub_vadd_right hx hp hp' ht

Result:
no goals

Proof state:
case h.mpr
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x p : P
hx : x ∉ s
hp : p ∈ s
y : P
⊢ (∃ a, 0 < a ∧ ∃ b ∈ ↑s, a • (x -ᵥ p) +ᵥ b = y) → s.SSameSide x y

Tactic:
rintro ⟨t, ht, p', hp', rfl⟩

Result:
case h.mpr.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x p : P
hx : x ∉ s
hp : p ∈ s
t : R
ht : 0 < t
p' : P
hp' : p' ∈ ↑s
⊢ s.SSameSide x (t • (x -ᵥ p) +ᵥ p')

Proof state:
case h.mp.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x p : P
hx : x ∉ s
hp : p ∈ s
y : P
hy : y ∉ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
r₁ r₂ : R
hr₁ : 0 < r₁
hr₂ : 0 < r₂
h : r₁ • (x -ᵥ p) = r₂ • (y -ᵥ p₂)
⊢ ∃ a, 0 < a ∧ ∃ b ∈ ↑s, a • (x -ᵥ p) +ᵥ b = y

Tactic:
refine ⟨r₁ / r₂, div_pos hr₁ hr₂, p₂, hp₂, ?_⟩

Result:
case h.mp.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x p : P
hx : x ∉ s
hp : p ∈ s
y : P
hy : y ∉ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
r₁ r₂ : R
hr₁ : 0 < r₁
hr₂ : 0 < r₂
h : r₁ • (x -ᵥ p) = r₂ • (y -ᵥ p₂)
⊢ (r₁ / r₂) • (x -ᵥ p) +ᵥ p₂ = y

Proof state:
case h.mp
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x p : P
hx : x ∉ s
hp : p ∈ s
y : P
⊢ (x ∉ s ∧ y ∉ s ∧ ∃ p₂ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p) (y -ᵥ p₂)) → ∃ a, 0 < a ∧ ∃ b ∈ ↑s, a • (x -ᵥ p) +ᵥ b = y

Tactic:
rintro ⟨-, hy, p₂, hp₂, h | h | ⟨r₁, r₂, hr₁, hr₂, h⟩⟩

Result:
case h.mp.intro.intro.intro.intro.inl
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x p : P
hx : x ∉ s
hp : p ∈ s
y : P
hy : y ∉ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
h : x -ᵥ p = 0
⊢ ∃ a, 0 < a ∧ ∃ b ∈ ↑s, a • (x -ᵥ p) +ᵥ b = y

case h.mp.intro.intro.intro.intro.inr.inl
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x p : P
hx : x ∉ s
hp : p ∈ s
y : P
hy : y ∉ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
h : y -ᵥ p₂ = 0
⊢ ∃ a, 0 < a ∧ ∃ b ∈ ↑s, a • (x -ᵥ p) +ᵥ b = y

case h.mp.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x p : P
hx : x ∉ s
hp : p ∈ s
y : P
hy : y ∉ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
r₁ r₂ : R
hr₁ : 0 < r₁
hr₂ : 0 < r₂
h : r₁ • (x -ᵥ p) = r₂ • (y -ᵥ p₂)
⊢ ∃ a, 0 < a ∧ ∃ b ∈ ↑s, a • (x -ᵥ p) +ᵥ b = y

Proof state:
case h
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x p : P
hx : x ∉ s
hp : p ∈ s
y : P
⊢ s.SSameSide x y ↔ ∃ a, 0 < a ∧ ∃ b ∈ ↑s, a • (x -ᵥ p) +ᵥ b = y

Tactic:
constructor

Result:
case h.mp
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x p : P
hx : x ∉ s
hp : p ∈ s
y : P
⊢ s.SSameSide x y → ∃ a, 0 < a ∧ ∃ b ∈ ↑s, a • (x -ᵥ p) +ᵥ b = y

case h.mpr
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x p : P
hx : x ∉ s
hp : p ∈ s
y : P
⊢ (∃ a, 0 < a ∧ ∃ b ∈ ↑s, a • (x -ᵥ p) +ᵥ b = y) → s.SSameSide x y

Proof state:
case h.mp.intro.intro.intro.intro.inr.inr.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x p : P
hx : x ∉ s
hp : p ∈ s
y : P
hy : y ∉ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
r₁ r₂ : R
hr₁ : 0 < r₁
hr₂ : 0 < r₂
h : r₁ • (x -ᵥ p) = r₂ • (y -ᵥ p₂)
⊢ (r₁ / r₂) • (x -ᵥ p) +ᵥ p₂ = y

Tactic:
rw [div_eq_inv_mul, ← smul_smul, h, smul_smul, inv_mul_cancel₀ hr₂.ne.symm, one_smul,
  vsub_vadd]

Result:
no goals

Proof state:
case h.mp.intro.intro.intro.intro.inr.inl
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x p : P
hx : x ∉ s
hp : p ∈ s
y : P
hy : y ∉ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
h : y -ᵥ p₂ = 0
⊢ ∃ a, 0 < a ∧ ∃ b ∈ ↑s, a • (x -ᵥ p) +ᵥ b = y

Tactic:
rw [vsub_eq_zero_iff_eq] at h

Result:
case h.mp.intro.intro.intro.intro.inr.inl
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x p : P
hx : x ∉ s
hp : p ∈ s
y : P
hy : y ∉ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
h : y = p₂
⊢ ∃ a, 0 < a ∧ ∃ b ∈ ↑s, a • (x -ᵥ p) +ᵥ b = y

Proof state:
case h.mp.intro.intro.intro.intro.inl
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x p : P
hx : x ∉ s
hp : p ∈ s
y : P
hy : y ∉ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
h : x -ᵥ p = 0
⊢ ∃ a, 0 < a ∧ ∃ b ∈ ↑s, a • (x -ᵥ p) +ᵥ b = y

Tactic:
rw [vsub_eq_zero_iff_eq] at h

Result:
case h.mp.intro.intro.intro.intro.inl
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x p : P
hx : x ∉ s
hp : p ∈ s
y : P
hy : y ∉ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
h : x = p
⊢ ∃ a, 0 < a ∧ ∃ b ∈ ↑s, a • (x -ᵥ p) +ᵥ b = y