-- Mathlib/Order/CompactlyGenerated/Basic.lean
lemma iSupIndep_iff_supIndep_of_injOn {ι : Type*} {f : ι → α}
    (hf : InjOn f {i | f i ≠ ⊥}) :
    iSupIndep f ↔ ∀ (s : Finset ι), s.SupIndep f

Proof state:
α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
ι : Type u_3
f : ι → α
hf : InjOn f {i | f i ≠ ⊥}
h : ∀ (s : Finset ι), s.SupIndep f
i : ι
⊢ ∀ (i_1 : Finset α), ↑i_1 ⊆ f '' {j | j ≠ i} → Disjoint (f i) (i_1.sup id)

Tactic:
intro s hs

Result:
α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
ι : Type u_3
f : ι → α
hf : InjOn f {i | f i ≠ ⊥}
h : ∀ (s : Finset ι), s.SupIndep f
i : ι
s : Finset α
hs : ↑s ⊆ f '' {j | j ≠ i}
⊢ Disjoint (f i) (s.sup id)

Proof state:
α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
ι : Type u_3
f : ι → α
hf : InjOn f {i | f i ≠ ⊥}
h : ∀ (s : Finset ι), s.SupIndep f
i : ι
s : Finset α
hs : ↑s ⊆ f '' {j | j ≠ i}
t : Finset α := s.erase ⊥
⊢ Disjoint (f i) (t.sup id)

Tactic:
replace hf : InjOn f (f ⁻¹' t) := fun i hi j _ hij ↦ by
  refine hf ?_ ?_ hij <;> aesop (add norm simp [t])

Result:
α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
ι : Type u_3
f : ι → α
h : ∀ (s : Finset ι), s.SupIndep f
i : ι
s : Finset α
hs : ↑s ⊆ f '' {j | j ≠ i}
t : Finset α := s.erase ⊥
hf : InjOn f (f ⁻¹' ↑t)
⊢ Disjoint (f i) (t.sup id)

Proof state:
α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
ι : Type u_3
f : ι → α
hf : InjOn f {i | f i ≠ ⊥}
⊢ iSupIndep f ↔ ∀ (s : Finset ι), s.SupIndep f

Tactic:
refine ⟨fun h ↦ h.supIndep', fun h ↦ iSupIndep_def'.mpr fun i ↦ ?_⟩

Result:
α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
ι : Type u_3
f : ι → α
hf : InjOn f {i | f i ≠ ⊥}
h : ∀ (s : Finset ι), s.SupIndep f
i : ι
⊢ Disjoint (f i) (sSup (f '' {j | j ≠ i}))

Proof state:
α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
ι : Type u_3
f : ι → α
h : ∀ (s : Finset ι), s.SupIndep f
i : ι
s : Finset α
hs : ↑s ⊆ f '' {j | j ≠ i}
t : Finset α := s.erase ⊥
hf : InjOn f (f ⁻¹' ↑t)
⊢ Finset.image f ((insert i (t.preimage f hf)).erase i) = t

Tactic:
ext a

Result:
case h
α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
ι : Type u_3
f : ι → α
h : ∀ (s : Finset ι), s.SupIndep f
i : ι
s : Finset α
hs : ↑s ⊆ f '' {j | j ≠ i}
t : Finset α := s.erase ⊥
hf : InjOn f (f ⁻¹' ↑t)
a : α
⊢ a ∈ Finset.image f ((insert i (t.preimage f hf)).erase i) ↔ a ∈ t

Proof state:
case h
α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
ι : Type u_3
f : ι → α
h : ∀ (s : Finset ι), s.SupIndep f
i : ι
s : Finset α
hs : ↑s ⊆ f '' {j | j ≠ i}
t : Finset α := s.erase ⊥
hf : InjOn f (f ⁻¹' ↑t)
a : α
⊢ (∃ a_1, (¬a_1 = i ∧ ¬f a_1 = ⊥ ∧ f a_1 ∈ s) ∧ f a_1 = a) ↔ ¬a = ⊥ ∧ a ∈ s

Tactic:
refine ⟨by aesop, fun ⟨ha, has⟩ ↦ ?_⟩

Result:
case h
α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
ι : Type u_3
f : ι → α
h : ∀ (s : Finset ι), s.SupIndep f
i : ι
s : Finset α
hs : ↑s ⊆ f '' {j | j ≠ i}
t : Finset α := s.erase ⊥
hf : InjOn f (f ⁻¹' ↑t)
a : α
x✝ : ¬a = ⊥ ∧ a ∈ s
ha : ¬a = ⊥
has : a ∈ s
⊢ ∃ a_1, (¬a_1 = i ∧ ¬f a_1 = ⊥ ∧ f a_1 ∈ s) ∧ f a_1 = a

Proof state:
α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
ι : Type u_3
f : ι → α
h : ∀ (s : Finset ι), s.SupIndep f
i : ι
s : Finset α
hs : ↑s ⊆ f '' {j | j ≠ i}
t : Finset α := s.erase ⊥
hf : InjOn f (f ⁻¹' ↑t)
a : α
⊢ (∃ a_1, (¬a_1 = i ∧ ¬f a_1 = ⊥ ∧ f a_1 ∈ s) ∧ f a_1 = a) → ¬a = ⊥ ∧ a ∈ s

Tactic:
aesop

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
ι : Type u_3
f : ι → α
hf : InjOn f {i | f i ≠ ⊥}
h : ∀ (s : Finset ι), s.SupIndep f
i✝ : ι
s : Finset α
hs : ↑s ⊆ f '' {j | j ≠ i✝}
t : Finset α := s.erase ⊥
i : ι
hi : i ∈ f ⁻¹' ↑t
j : ι
x✝ : j ∈ f ⁻¹' ↑t
hij : f i = f j
⊢ i = j

Tactic:
refine hf ?_ ?_ hij <;> aesop (add norm simp [t])

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
ι : Type u_3
f : ι → α
hf : InjOn f {i | f i ≠ ⊥}
h : ∀ (s : Finset ι), s.SupIndep f
i : ι
s : Finset α
hs : ↑s ⊆ f '' {j | j ≠ i}
⊢ Disjoint (f i) (s.sup id)

Tactic:
rw [← Finset.sup_erase_bot]

Result:
α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
ι : Type u_3
f : ι → α
hf : InjOn f {i | f i ≠ ⊥}
h : ∀ (s : Finset ι), s.SupIndep f
i : ι
s : Finset α
hs : ↑s ⊆ f '' {j | j ≠ i}
⊢ Disjoint (f i) ((s.erase ⊥).sup id)

Proof state:
case h
α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
ι : Type u_3
f : ι → α
h : ∀ (s : Finset ι), s.SupIndep f
i : ι
s : Finset α
hs : ↑s ⊆ f '' {j | j ≠ i}
t : Finset α := s.erase ⊥
hf : InjOn f (f ⁻¹' ↑t)
a : α
⊢ a ∈ Finset.image f ((insert i (t.preimage f hf)).erase i) ↔ a ∈ t

Tactic:
simp only [Finset.mem_preimage, Finset.mem_erase, ne_eq, Finset.mem_insert, true_or, not_true,
  Finset.erase_insert_eq_erase, not_and, Finset.mem_image, t]

Result:
case h
α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
ι : Type u_3
f : ι → α
h : ∀ (s : Finset ι), s.SupIndep f
i : ι
s : Finset α
hs : ↑s ⊆ f '' {j | j ≠ i}
t : Finset α := s.erase ⊥
hf : InjOn f (f ⁻¹' ↑t)
a : α
⊢ (∃ a_1, (¬a_1 = i ∧ ¬f a_1 = ⊥ ∧ f a_1 ∈ s) ∧ f a_1 = a) ↔ ¬a = ⊥ ∧ a ∈ s

Proof state:
α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
ι : Type u_3
f : ι → α
hf : InjOn f {i | f i ≠ ⊥}
h : ∀ (s : Finset ι), s.SupIndep f
i : ι
s : Finset α
hs : ↑s ⊆ f '' {j | j ≠ i}
⊢ Disjoint (f i) ((s.erase ⊥).sup id)

Tactic:
set t := s.erase ⊥

Result:
α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
ι : Type u_3
f : ι → α
hf : InjOn f {i | f i ≠ ⊥}
h : ∀ (s : Finset ι), s.SupIndep f
i : ι
s : Finset α
hs : ↑s ⊆ f '' {j | j ≠ i}
t : Finset α := s.erase ⊥
⊢ Disjoint (f i) (t.sup id)

Proof state:
α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
ι : Type u_3
f : ι → α
i : ι
s : Finset α
hs : ↑s ⊆ f '' {j | j ≠ i}
t : Finset α := s.erase ⊥
hf : InjOn f (f ⁻¹' ↑t)
this : Finset.image f ((insert i (t.preimage f hf)).erase i) = t
h : ∀ i_1 ∈ insert i (t.preimage f hf), Disjoint (f i_1) (((insert i (t.preimage f hf)).erase i_1).sup f)
⊢ Disjoint (f i) (((insert i (t.preimage f hf)).erase i).sup (id ∘ f))

Tactic:
exact h i (Finset.mem_insert_self i _)

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
ι : Type u_3
f : ι → α
h : ∀ (s : Finset ι), s.SupIndep f
i : ι
s : Finset α
hs : ↑s ⊆ f '' {j | j ≠ i}
t : Finset α := s.erase ⊥
hf : InjOn f (f ⁻¹' ↑t)
this : Finset.image f ((insert i (t.preimage f hf)).erase i) = t
⊢ Disjoint (f i) (((insert i (t.preimage f hf)).erase i).sup (id ∘ f))

Tactic:
specialize h (insert i (t.preimage _ hf))

Result:
α : Type u_2
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : IsCompactlyGenerated α
ι : Type u_3
f : ι → α
i : ι
s : Finset α
hs : ↑s ⊆ f '' {j | j ≠ i}
t : Finset α := s.erase ⊥
hf : InjOn f (f ⁻¹' ↑t)
this : Finset.image f ((insert i (t.preimage f hf)).erase i) = t
h : (insert i (t.preimage f hf)).SupIndep f
⊢ Disjoint (f i) (((insert i (t.preimage f hf)).erase i).sup (id ∘ f))