-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Connectivity/WalkDecomp.lean
theorem take_spec {u v w : V} (p : G.Walk v w) (h : u ∈ p.support) :
    (p.takeUntil u h).append (p.dropUntil u h) = p

Proof state:
case nil
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableEq V
u v w u✝ : V
h : u ∈ nil.support
⊢ (nil.takeUntil u h).append (nil.dropUntil u h) = nil

Tactic:
rw [mem_support_nil_iff] at h

Result:
case nil
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableEq V
u v w u✝ : V
h✝ : u ∈ nil.support
h : u = u✝
⊢ (nil.takeUntil u h✝).append (nil.dropUntil u h✝) = nil

Proof state:
case nil
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableEq V
v w u✝ : V
h : u✝ ∈ nil.support
⊢ (nil.takeUntil u✝ h).append (nil.dropUntil u✝ h) = nil

Tactic:
rfl

Result:
no goals

Proof state:
case cons.head
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableEq V
u v w v✝ w✝ : V
p✝ : G.Walk v✝ w✝
p_ih✝ : ∀ (h : u ∈ p✝.support), (p✝.takeUntil u h).append (p✝.dropUntil u h) = p✝
h✝ : G.Adj u v✝
⊢ ((cons h✝ p✝).takeUntil u ⋯).append ((cons h✝ p✝).dropUntil u ⋯) = cons h✝ p✝

Tactic:
simp!

Result:
no goals

Proof state:
case cons.tail
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableEq V
u v w u✝ v✝ w✝ : V
h✝ : G.Adj u✝ v✝
p✝ : G.Walk v✝ w✝
p_ih✝ : ∀ (h : u ∈ p✝.support), (p✝.takeUntil u h).append (p✝.dropUntil u h) = p✝
a✝ : List.Mem u p✝.support
⊢ (if hx : u✝ = u then hx ▸ nil else cons h✝ (p✝.takeUntil u ⋯)).append
      (if h : u✝ = u then Eq.rec (motive := fun x x_1 => x ∈ u✝ :: p✝.support → G.Walk x w✝) (fun h => cons h✝ p✝) ⋯ ⋯
      else p✝.dropUntil u ⋯) =
    cons h✝ p✝

Tactic:
split_ifs with h' <;> subst_vars <;> simp [*]

Result:
no goals

Proof state:
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableEq V
u v w : V
p : G.Walk v w
h : u ∈ p.support
⊢ (p.takeUntil u h).append (p.dropUntil u h) = p

Tactic:
induction p

Result:
case nil
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableEq V
u v w u✝ : V
h : u ∈ nil.support
⊢ (nil.takeUntil u h).append (nil.dropUntil u h) = nil

case cons
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableEq V
u v w u✝ v✝ w✝ : V
h✝ : G.Adj u✝ v✝
p✝ : G.Walk v✝ w✝
p_ih✝ : ∀ (h : u ∈ p✝.support), (p✝.takeUntil u h).append (p✝.dropUntil u h) = p✝
h : u ∈ (cons h✝ p✝).support
⊢ ((cons h✝ p✝).takeUntil u h).append ((cons h✝ p✝).dropUntil u h) = cons h✝ p✝

Proof state:
case cons.tail
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableEq V
u v w u✝ v✝ w✝ : V
h✝ : G.Adj u✝ v✝
p✝ : G.Walk v✝ w✝
p_ih✝ : ∀ (h : u ∈ p✝.support), (p✝.takeUntil u h).append (p✝.dropUntil u h) = p✝
a✝ : List.Mem u p✝.support
⊢ ((cons h✝ p✝).takeUntil u ⋯).append ((cons h✝ p✝).dropUntil u ⋯) = cons h✝ p✝

Tactic:
simp! only

Result:
case cons.tail
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableEq V
u v w u✝ v✝ w✝ : V
h✝ : G.Adj u✝ v✝
p✝ : G.Walk v✝ w✝
p_ih✝ : ∀ (h : u ∈ p✝.support), (p✝.takeUntil u h).append (p✝.dropUntil u h) = p✝
a✝ : List.Mem u p✝.support
⊢ (if hx : u✝ = u then hx ▸ nil else cons h✝ (p✝.takeUntil u ⋯)).append
      (if h : u✝ = u then Eq.rec (motive := fun x x_1 => x ∈ u✝ :: p✝.support → G.Walk x w✝) (fun h => cons h✝ p✝) ⋯ ⋯
      else p✝.dropUntil u ⋯) =
    cons h✝ p✝

Proof state:
case cons
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableEq V
u v w u✝ v✝ w✝ : V
h✝ : G.Adj u✝ v✝
p✝ : G.Walk v✝ w✝
p_ih✝ : ∀ (h : u ∈ p✝.support), (p✝.takeUntil u h).append (p✝.dropUntil u h) = p✝
h : u ∈ (cons h✝ p✝).support
⊢ ((cons h✝ p✝).takeUntil u h).append ((cons h✝ p✝).dropUntil u h) = cons h✝ p✝

Tactic:
cases h

Result:
case cons.head
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableEq V
u v w v✝ w✝ : V
p✝ : G.Walk v✝ w✝
p_ih✝ : ∀ (h : u ∈ p✝.support), (p✝.takeUntil u h).append (p✝.dropUntil u h) = p✝
h✝ : G.Adj u v✝
⊢ ((cons h✝ p✝).takeUntil u ⋯).append ((cons h✝ p✝).dropUntil u ⋯) = cons h✝ p✝

case cons.tail
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableEq V
u v w u✝ v✝ w✝ : V
h✝ : G.Adj u✝ v✝
p✝ : G.Walk v✝ w✝
p_ih✝ : ∀ (h : u ∈ p✝.support), (p✝.takeUntil u h).append (p✝.dropUntil u h) = p✝
a✝ : List.Mem u p✝.support
⊢ ((cons h✝ p✝).takeUntil u ⋯).append ((cons h✝ p✝).dropUntil u ⋯) = cons h✝ p✝

Proof state:
case nil
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableEq V
u v w u✝ : V
h✝ : u ∈ nil.support
h : u = u✝
⊢ (nil.takeUntil u h✝).append (nil.dropUntil u h✝) = nil

Tactic:
subst u

Result:
case nil
V : Type u
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableEq V
v w u✝ : V
h : u✝ ∈ nil.support
⊢ (nil.takeUntil u✝ h).append (nil.dropUntil u✝ h) = nil