-- Mathlib/RingTheory/Adjoin/Tower.lean
theorem exists_subalgebra_of_fg (hAC : (⊤ : Subalgebra A C).FG) (hBC : (⊤ : Submodule B C).FG) :
    ∃ B₀ : Subalgebra A B, B₀.FG ∧ (⊤ : Submodule B₀ C).FG

Proof state:
case intro.intro.inr.intro.intro.inl
A : Type w
B : Type u₁
C : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring A
inst✝⁵ : CommSemiring B
inst✝⁴ : Semiring C
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Algebra B C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : IsScalarTower A B C
x : Finset C
hx : Algebra.adjoin A ↑x = ⊤
y : Finset C
hy : span B ↑y = ⊤
f : C → C → B
hf : ∀ (x : C), ∑ i ∈ y, f x i • i = x
s : Finset B := image₂ f (x ∪ y * y) y
hxy : ∀ xi ∈ x, xi ∈ span ↥(Algebra.adjoin A ↑s) ↑(insert 1 y)
yi : C
hyi : yi ∈ ↑y
⊢ yi * 1 ∈ ↑(span (↥(Algebra.adjoin A ↑s)) (insert 1 ↑y))

Tactic:
rw [mul_one]

Result:
case intro.intro.inr.intro.intro.inl
A : Type w
B : Type u₁
C : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring A
inst✝⁵ : CommSemiring B
inst✝⁴ : Semiring C
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Algebra B C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : IsScalarTower A B C
x : Finset C
hx : Algebra.adjoin A ↑x = ⊤
y : Finset C
hy : span B ↑y = ⊤
f : C → C → B
hf : ∀ (x : C), ∑ i ∈ y, f x i • i = x
s : Finset B := image₂ f (x ∪ y * y) y
hxy : ∀ xi ∈ x, xi ∈ span ↥(Algebra.adjoin A ↑s) ↑(insert 1 y)
yi : C
hyi : yi ∈ ↑y
⊢ yi ∈ ↑(span (↥(Algebra.adjoin A ↑s)) (insert 1 ↑y))

Proof state:
case intro.intro.inl.intro.intro.inr
A : Type w
B : Type u₁
C : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring A
inst✝⁵ : CommSemiring B
inst✝⁴ : Semiring C
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Algebra B C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : IsScalarTower A B C
x : Finset C
hx : Algebra.adjoin A ↑x = ⊤
y : Finset C
hy : span B ↑y = ⊤
f : C → C → B
hf : ∀ (x : C), ∑ i ∈ y, f x i • i = x
s : Finset B := image₂ f (x ∪ y * y) y
hxy : ∀ xi ∈ x, xi ∈ span ↥(Algebra.adjoin A ↑s) ↑(insert 1 y)
yj : C
hyj : yj ∈ ↑y
⊢ yj ∈ ↑(span (↥(Algebra.adjoin A ↑s)) (insert 1 ↑y))

Tactic:
exact subset_span (Set.mem_insert_of_mem _ hyj)

Result:
no goals

Proof state:
A : Type w
B : Type u₁
C : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring A
inst✝⁵ : CommSemiring B
inst✝⁴ : Semiring C
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Algebra B C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : IsScalarTower A B C
hAC : ⊤.FG
hBC : ⊤.FG
⊢ ∃ B₀, B₀.FG ∧ ⊤.FG

Tactic:
obtain ⟨x, hx⟩ := hAC

Result:
case intro
A : Type w
B : Type u₁
C : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring A
inst✝⁵ : CommSemiring B
inst✝⁴ : Semiring C
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Algebra B C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : IsScalarTower A B C
hBC : ⊤.FG
x : Finset C
hx : Algebra.adjoin A ↑x = ⊤
⊢ ∃ B₀, B₀.FG ∧ ⊤.FG

Proof state:
case intro.intro
A : Type w
B : Type u₁
C : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring A
inst✝⁵ : CommSemiring B
inst✝⁴ : Semiring C
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Algebra B C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : IsScalarTower A B C
x : Finset C
hx : Algebra.adjoin A ↑x = ⊤
y : Finset C
hy : span B ↑y = ⊤
f : C → C → B
hf : ∀ (x : C), ∑ i ∈ y, f x i • i = x
s : Finset B := image₂ f (x ∪ y * y) y
hxy : ∀ xi ∈ x, xi ∈ span ↥(Algebra.adjoin A ↑s) ↑(insert 1 y)
hyy :
  span ↥(Algebra.adjoin A ↑s) ↑(insert 1 y) * span ↥(Algebra.adjoin A ↑s) ↑(insert 1 y) ≤
    span ↥(Algebra.adjoin A ↑s) ↑(insert 1 y)
⊢ span ↥(Algebra.adjoin A ↑s) ↑(insert 1 y) = ⊤

Tactic:
convert restrictScalars_injective A (Algebra.adjoin A (s : Set B)) C _

Result:
case intro.intro.convert_3
A : Type w
B : Type u₁
C : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring A
inst✝⁵ : CommSemiring B
inst✝⁴ : Semiring C
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Algebra B C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : IsScalarTower A B C
x : Finset C
hx : Algebra.adjoin A ↑x = ⊤
y : Finset C
hy : span B ↑y = ⊤
f : C → C → B
hf : ∀ (x : C), ∑ i ∈ y, f x i • i = x
s : Finset B := image₂ f (x ∪ y * y) y
hxy : ∀ xi ∈ x, xi ∈ span ↥(Algebra.adjoin A ↑s) ↑(insert 1 y)
hyy :
  span ↥(Algebra.adjoin A ↑s) ↑(insert 1 y) * span ↥(Algebra.adjoin A ↑s) ↑(insert 1 y) ≤
    span ↥(Algebra.adjoin A ↑s) ↑(insert 1 y)
⊢ restrictScalars A (span ↥(Algebra.adjoin A ↑s) ↑(insert 1 y)) = restrictScalars A ⊤

Proof state:
A : Type w
B : Type u₁
C : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring A
inst✝⁵ : CommSemiring B
inst✝⁴ : Semiring C
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Algebra B C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : IsScalarTower A B C
x : Finset C
hx : Algebra.adjoin A ↑x = ⊤
y : Finset C
hy : span B ↑y = ⊤
f : C → C → B
hf : ∀ (x : C), ∑ i ∈ y, f x i • i = x
s : Finset B := image₂ f (x ∪ y * y) y
hxy : ∀ xi ∈ x, xi ∈ span ↥(Algebra.adjoin A ↑s) ↑(insert 1 y)
⊢ insert 1 ↑y * insert 1 ↑y ⊆ ↑(span (↥(Algebra.adjoin A ↑s)) (insert 1 ↑y))

Tactic:
rintro _ ⟨yi, rfl | hyi, yj, rfl | hyj, rfl⟩ <;> dsimp

Result:
case intro.intro.inl.intro.intro.inl
A : Type w
B : Type u₁
C : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring A
inst✝⁵ : CommSemiring B
inst✝⁴ : Semiring C
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Algebra B C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : IsScalarTower A B C
x : Finset C
hx : Algebra.adjoin A ↑x = ⊤
y : Finset C
hy : span B ↑y = ⊤
f : C → C → B
hf : ∀ (x : C), ∑ i ∈ y, f x i • i = x
s : Finset B := image₂ f (x ∪ y * y) y
hxy : ∀ xi ∈ x, xi ∈ span ↥(Algebra.adjoin A ↑s) ↑(insert 1 y)
⊢ 1 * 1 ∈ ↑(span (↥(Algebra.adjoin A ↑s)) (insert 1 ↑y))

case intro.intro.inl.intro.intro.inr
A : Type w
B : Type u₁
C : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring A
inst✝⁵ : CommSemiring B
inst✝⁴ : Semiring C
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Algebra B C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : IsScalarTower A B C
x : Finset C
hx : Algebra.adjoin A ↑x = ⊤
y : Finset C
hy : span B ↑y = ⊤
f : C → C → B
hf : ∀ (x : C), ∑ i ∈ y, f x i • i = x
s : Finset B := image₂ f (x ∪ y * y) y
hxy : ∀ xi ∈ x, xi ∈ span ↥(Algebra.adjoin A ↑s) ↑(insert 1 y)
yj : C
hyj : yj ∈ ↑y
⊢ 1 * yj ∈ ↑(span (↥(Algebra.adjoin A ↑s)) (insert 1 ↑y))

case intro.intro.inr.intro.intro.inl
A : Type w
B : Type u₁
C : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring A
inst✝⁵ : CommSemiring B
inst✝⁴ : Semiring C
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Algebra B C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : IsScalarTower A B C
x : Finset C
hx : Algebra.adjoin A ↑x = ⊤
y : Finset C
hy : span B ↑y = ⊤
f : C → C → B
hf : ∀ (x : C), ∑ i ∈ y, f x i • i = x
s : Finset B := image₂ f (x ∪ y * y) y
hxy : ∀ xi ∈ x, xi ∈ span ↥(Algebra.adjoin A ↑s) ↑(insert 1 y)
yi : C
hyi : yi ∈ ↑y
⊢ yi * 1 ∈ ↑(span (↥(Algebra.adjoin A ↑s)) (insert 1 ↑y))

case intro.intro.inr.intro.intro.inr
A : Type w
B : Type u₁
C : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring A
inst✝⁵ : CommSemiring B
inst✝⁴ : Semiring C
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Algebra B C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : IsScalarTower A B C
x : Finset C
hx : Algebra.adjoin A ↑x = ⊤
y : Finset C
hy : span B ↑y = ⊤
f : C → C → B
hf : ∀ (x : C), ∑ i ∈ y, f x i • i = x
s : Finset B := image₂ f (x ∪ y * y) y
hxy : ∀ xi ∈ x, xi ∈ span ↥(Algebra.adjoin A ↑s) ↑(insert 1 y)
yi : C
hyi : yi ∈ ↑y
yj : C
hyj : yj ∈ ↑y
⊢ yi * yj ∈ ↑(span (↥(Algebra.adjoin A ↑s)) (insert 1 ↑y))

Proof state:
case intro.intro
A : Type w
B : Type u₁
C : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring A
inst✝⁵ : CommSemiring B
inst✝⁴ : Semiring C
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Algebra B C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : IsScalarTower A B C
x : Finset C
hx : Algebra.adjoin A ↑x = ⊤
y : Finset C
hy this : span B ↑y = ⊤
⊢ ∃ B₀, B₀.FG ∧ ⊤.FG

Tactic:
simp_rw [eq_top_iff', mem_span_finset] at this

Result:
case intro.intro
A : Type w
B : Type u₁
C : Type u_1
inst✝⁶ : CommSemiring A
inst✝⁵ : CommSemiring B
inst✝⁴ : Semiring C
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : Algebra B C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : IsScalarTower A B C
x : Finset C
hx : Algebra.adjoin A ↑x = ⊤
y : Finset C
hy : span B ↑y = ⊤
this : ∀ (x : C), ∃ f, ∑ i ∈ y, f i • i = x
⊢ ∃ B₀, B₀.FG ∧ ⊤.FG