-- Mathlib/NumberTheory/ClassNumber/AdmissibleCardPowDegree.lean
theorem exists_partition_polynomial_aux (n : ℕ) {ε : ℝ} (hε : 0 < ε) {b : Fq[X]} (hb : b ≠ 0)
    (A : Fin n → Fq[X]) : ∃ t : Fin n → Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log (Fintype.card Fq)⌉₊),
      ∀ i₀ i₁ : Fin n, t i₀ = t i₁ ↔
        (cardPowDegree (A i₁ % b - A i₀ % b) : ℝ) < cardPowDegree b • ε

Proof state:
case pos.intro.intro.intro
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : Fq[X]
hb : b ≠ 0
hbε : 0 < cardPowDegree b • ε
n : ℕ
ih :
  ∀ (A : Fin n → Fq[X]),
    ∃ t, ∀ (i₀ i₁ : Fin n), t i₀ = t i₁ ↔ ↑(cardPowDegree (A i₁ % b - A i₀ % b)) < cardPowDegree b • ε
A : Fin (n + 1) → Fq[X]
anti_archim' :
  ∀ {i j k : Fin (n + 1)} {ε : ℝ},
    ↑(cardPowDegree (A i % b - A j % b)) < ε →
      ↑(cardPowDegree (A j % b - A k % b)) < ε → ↑(cardPowDegree (A i % b - A k % b)) < ε
t' : Fin n → Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊)
ht' : ∀ (i₀ i₁ : Fin n), t' i₀ = t' i₁ ↔ ↑(cardPowDegree (Fin.tail A i₁ % b - Fin.tail A i₀ % b)) < cardPowDegree b • ε
j✝ : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊)
hj✝ : ∀ (i : Fin n), t' i = j✝ → ↑(cardPowDegree (A 0 % b - A i.succ % b)) < cardPowDegree b • ε
j : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊)
hj : ∀ (i : Fin n), t' i = j → ↑(cardPowDegree (A 0 % b - A i.succ % b)) < cardPowDegree b • ε
i : Fin n
hi : t' i = j
i' : Fin n
hi' : ↑(cardPowDegree (A 0 % b - A i'.succ % b)) < cardPowDegree b • ε
⊢ ↑(cardPowDegree (Fin.tail A i % b - Fin.tail A i' % b)) < cardPowDegree b • ε

Tactic:
apply anti_archim' _ hi'

Result:
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : Fq[X]
hb : b ≠ 0
hbε : 0 < cardPowDegree b • ε
n : ℕ
ih :
  ∀ (A : Fin n → Fq[X]),
    ∃ t, ∀ (i₀ i₁ : Fin n), t i₀ = t i₁ ↔ ↑(cardPowDegree (A i₁ % b - A i₀ % b)) < cardPowDegree b • ε
A : Fin (n + 1) → Fq[X]
anti_archim' :
  ∀ {i j k : Fin (n + 1)} {ε : ℝ},
    ↑(cardPowDegree (A i % b - A j % b)) < ε →
      ↑(cardPowDegree (A j % b - A k % b)) < ε → ↑(cardPowDegree (A i % b - A k % b)) < ε
t' : Fin n → Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊)
ht' : ∀ (i₀ i₁ : Fin n), t' i₀ = t' i₁ ↔ ↑(cardPowDegree (Fin.tail A i₁ % b - Fin.tail A i₀ % b)) < cardPowDegree b • ε
j✝ : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊)
hj✝ : ∀ (i : Fin n), t' i = j✝ → ↑(cardPowDegree (A 0 % b - A i.succ % b)) < cardPowDegree b • ε
j : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊)
hj : ∀ (i : Fin n), t' i = j → ↑(cardPowDegree (A 0 % b - A i.succ % b)) < cardPowDegree b • ε
i : Fin n
hi : t' i = j
i' : Fin n
hi' : ↑(cardPowDegree (A 0 % b - A i'.succ % b)) < cardPowDegree b • ε
⊢ ↑(cardPowDegree (A i.succ % b - A 0 % b)) < cardPowDegree b • ε

Proof state:
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
ε✝ : ℝ
hε : 0 < ε✝
b : Fq[X]
hb : b ≠ 0
hbε : 0 < cardPowDegree b • ε✝
n : ℕ
ih :
  ∀ (A : Fin n → Fq[X]),
    ∃ t, ∀ (i₀ i₁ : Fin n), t i₀ = t i₁ ↔ ↑(cardPowDegree (A i₁ % b - A i₀ % b)) < cardPowDegree b • ε✝
A : Fin (n + 1) → Fq[X]
i j k : Fin (n + 1)
ε : ℝ
⊢ ↑(cardPowDegree (A i % b - A j % b)) < ε →
    ↑(cardPowDegree (A j % b - A k % b)) < ε → ↑(cardPowDegree (A i % b - A k % b)) < ε

Tactic:
simp_rw [← Int.lt_ceil]

Result:
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
ε✝ : ℝ
hε : 0 < ε✝
b : Fq[X]
hb : b ≠ 0
hbε : 0 < cardPowDegree b • ε✝
n : ℕ
ih :
  ∀ (A : Fin n → Fq[X]),
    ∃ t, ∀ (i₀ i₁ : Fin n), t i₀ = t i₁ ↔ ↑(cardPowDegree (A i₁ % b - A i₀ % b)) < cardPowDegree b • ε✝
A : Fin (n + 1) → Fq[X]
i j k : Fin (n + 1)
ε : ℝ
⊢ cardPowDegree (A i % b - A j % b) < ⌈ε⌉ →
    cardPowDegree (A j % b - A k % b) < ⌈ε⌉ → cardPowDegree (A i % b - A k % b) < ⌈ε⌉

Proof state:
case neg
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : Fq[X]
hb : b ≠ 0
hbε : 0 < cardPowDegree b • ε
n : ℕ
ih :
  ∀ (A : Fin n → Fq[X]),
    ∃ t, ∀ (i₀ i₁ : Fin n), t i₀ = t i₁ ↔ ↑(cardPowDegree (A i₁ % b - A i₀ % b)) < cardPowDegree b • ε
A : Fin (n + 1) → Fq[X]
anti_archim' :
  ∀ {i j k : Fin (n + 1)} {ε : ℝ},
    ↑(cardPowDegree (A i % b - A j % b)) < ε →
      ↑(cardPowDegree (A j % b - A k % b)) < ε → ↑(cardPowDegree (A i % b - A k % b)) < ε
t' : Fin n → Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊)
ht' : ∀ (i₀ i₁ : Fin n), t' i₀ = t' i₁ ↔ ↑(cardPowDegree (Fin.tail A i₁ % b - Fin.tail A i₀ % b)) < cardPowDegree b • ε
j : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊)
hj : ∀ (i : Fin n), t' i = j → ↑(cardPowDegree (A 0 % b - A i.succ % b)) < cardPowDegree b • ε
exists_nonempty_j :
  ¬∃ j, (∃ i, t' i = j) ∧ ∀ (i : Fin n), t' i = j → ↑(cardPowDegree (A 0 % b - A i.succ % b)) < cardPowDegree b • ε
i : Fin n
hi : ↑(cardPowDegree (A 0 % b - A i.succ % b)) < cardPowDegree b • ε
this : False
⊢ t' i = j

Tactic:
contradiction

Result:
no goals

Proof state:
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
n : ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : Fq[X]
hb : b ≠ 0
A : Fin n → Fq[X]
⊢ 0 < cardPowDegree b • ε

Tactic:
rw [Algebra.smul_def, eq_intCast]

Result:
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
n : ℕ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : Fq[X]
hb : b ≠ 0
A : Fin n → Fq[X]
⊢ 0 < ↑(cardPowDegree b) * ε

Proof state:
case neg
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : Fq[X]
hb : b ≠ 0
hbε : 0 < cardPowDegree b • ε
n : ℕ
ih :
  ∀ (A : Fin n → Fq[X]),
    ∃ t, ∀ (i₀ i₁ : Fin n), t i₀ = t i₁ ↔ ↑(cardPowDegree (A i₁ % b - A i₀ % b)) < cardPowDegree b • ε
A : Fin (n + 1) → Fq[X]
anti_archim' :
  ∀ {i j k : Fin (n + 1)} {ε : ℝ},
    ↑(cardPowDegree (A i % b - A j % b)) < ε →
      ↑(cardPowDegree (A j % b - A k % b)) < ε → ↑(cardPowDegree (A i % b - A k % b)) < ε
t' : Fin n → Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊)
ht' : ∀ (i₀ i₁ : Fin n), t' i₀ = t' i₁ ↔ ↑(cardPowDegree (Fin.tail A i₁ % b - Fin.tail A i₀ % b)) < cardPowDegree b • ε
j : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊)
hj : ∀ (i : Fin n), t' i = j → ↑(cardPowDegree (A 0 % b - A i.succ % b)) < cardPowDegree b • ε
exists_nonempty_j :
  ¬∃ j, (∃ i, t' i = j) ∧ ∀ (i : Fin n), t' i = j → ↑(cardPowDegree (A 0 % b - A i.succ % b)) < cardPowDegree b • ε
i : Fin n
hi : ↑(cardPowDegree (A 0 % b - A i.succ % b)) < cardPowDegree b • ε
⊢ t' i = j

Tactic:
have := exists_nonempty_j ⟨t' i, ⟨i, rfl⟩, fun i' hi' => anti_archim' hi ((ht' _ _).mp hi')⟩

Result:
case neg
Fq : Type u_1
inst✝¹ : Fintype Fq
inst✝ : Field Fq
ε : ℝ
hε : 0 < ε
b : Fq[X]
hb : b ≠ 0
hbε : 0 < cardPowDegree b • ε
n : ℕ
ih :
  ∀ (A : Fin n → Fq[X]),
    ∃ t, ∀ (i₀ i₁ : Fin n), t i₀ = t i₁ ↔ ↑(cardPowDegree (A i₁ % b - A i₀ % b)) < cardPowDegree b • ε
A : Fin (n + 1) → Fq[X]
anti_archim' :
  ∀ {i j k : Fin (n + 1)} {ε : ℝ},
    ↑(cardPowDegree (A i % b - A j % b)) < ε →
      ↑(cardPowDegree (A j % b - A k % b)) < ε → ↑(cardPowDegree (A i % b - A k % b)) < ε
t' : Fin n → Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊)
ht' : ∀ (i₀ i₁ : Fin n), t' i₀ = t' i₁ ↔ ↑(cardPowDegree (Fin.tail A i₁ % b - Fin.tail A i₀ % b)) < cardPowDegree b • ε
j : Fin (Fintype.card Fq ^ ⌈-log ε / log ↑(Fintype.card Fq)⌉₊)
hj : ∀ (i : Fin n), t' i = j → ↑(cardPowDegree (A 0 % b - A i.succ % b)) < cardPowDegree b • ε
exists_nonempty_j :
  ¬∃ j, (∃ i, t' i = j) ∧ ∀ (i : Fin n), t' i = j → ↑(cardPowDegree (A 0 % b - A i.succ % b)) < cardPowDegree b • ε
i : Fin n
hi : ↑(cardPowDegree (A 0 % b - A i.succ % b)) < cardPowDegree b • ε
this : False
⊢ t' i = j