-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
theorem affineCombination_mem_affineSpan [Nontrivial k] {s : Finset ι} {w : ι → k}
    (h : ∑ i ∈ s, w i = 1) (p : ι → P) :
    s.affineCombination k p w ∈ affineSpan k (Set.range p)

Proof state:
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Nontrivial k
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 1
p : ι → P
hnz : ∑ i ∈ s, w i ≠ 0
i1 : ι
hi1 : i1 ∈ s
w1 : ι → k := Function.update (Function.const ι 0) i1 1
hw1 : ∑ i ∈ s, w1 i = 1
hw1s : (Finset.affineCombination k s p) w1 = p i1
⊢ (Finset.affineCombination k s p) w -ᵥ p i1 ∈ (affineSpan k (Set.range p)).direction

Tactic:
rw [direction_affineSpan, ← hw1s, Finset.affineCombination_vsub]

Result:
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Nontrivial k
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 1
p : ι → P
hnz : ∑ i ∈ s, w i ≠ 0
i1 : ι
hi1 : i1 ∈ s
w1 : ι → k := Function.update (Function.const ι 0) i1 1
hw1 : ∑ i ∈ s, w1 i = 1
hw1s : (Finset.affineCombination k s p) w1 = p i1
⊢ (s.weightedVSub p) (w - w1) ∈ vectorSpan k (Set.range p)

Proof state:
case intro
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Nontrivial k
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 1
p : ι → P
hnz : ∑ i ∈ s, w i ≠ 0
i1 : ι
hi1 : i1 ∈ s
w1 : ι → k := Function.update (Function.const ι 0) i1 1
hw1 : ∑ i ∈ s, w1 i = 1
hw1s : (Finset.affineCombination k s p) w1 = p i1
hv : (Finset.affineCombination k s p) w -ᵥ p i1 ∈ (affineSpan k (Set.range p)).direction
⊢ (Finset.affineCombination k s p) w ∈ affineSpan k (Set.range p)

Tactic:
rw [← vsub_vadd (s.affineCombination k p w) (p i1)]

Result:
case intro
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Nontrivial k
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 1
p : ι → P
hnz : ∑ i ∈ s, w i ≠ 0
i1 : ι
hi1 : i1 ∈ s
w1 : ι → k := Function.update (Function.const ι 0) i1 1
hw1 : ∑ i ∈ s, w1 i = 1
hw1s : (Finset.affineCombination k s p) w1 = p i1
hv : (Finset.affineCombination k s p) w -ᵥ p i1 ∈ (affineSpan k (Set.range p)).direction
⊢ ((Finset.affineCombination k s p) w -ᵥ p i1) +ᵥ p i1 ∈ affineSpan k (Set.range p)

Proof state:
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Nontrivial k
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 1
p : ι → P
hnz : ∑ i ∈ s, w i ≠ 0
hn : s.Nonempty
⊢ (Finset.affineCombination k s p) w ∈ affineSpan k (Set.range p)

Tactic:
obtain ⟨i1, hi1⟩ := hn

Result:
case intro
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Nontrivial k
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 1
p : ι → P
hnz : ∑ i ∈ s, w i ≠ 0
i1 : ι
hi1 : i1 ∈ s
⊢ (Finset.affineCombination k s p) w ∈ affineSpan k (Set.range p)

Proof state:
case intro
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Nontrivial k
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 1
p : ι → P
hnz : ∑ i ∈ s, w i ≠ 0
i1 : ι
hi1 : i1 ∈ s
w1 : ι → k := Function.update (Function.const ι 0) i1 1
hw1 : ∑ i ∈ s, w1 i = 1
hw1s : (Finset.affineCombination k s p) w1 = p i1
hv : (Finset.affineCombination k s p) w -ᵥ p i1 ∈ (affineSpan k (Set.range p)).direction
⊢ ((Finset.affineCombination k s p) w -ᵥ p i1) +ᵥ p i1 ∈ affineSpan k (Set.range p)

Tactic:
exact AffineSubspace.vadd_mem_of_mem_direction hv (mem_affineSpan k (Set.mem_range_self _))

Result:
no goals

Proof state:
case intro
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Nontrivial k
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 1
p : ι → P
hnz : ∑ i ∈ s, w i ≠ 0
i1 : ι
hi1 : i1 ∈ s
w1 : ι → k := Function.update (Function.const ι 0) i1 1
hw1 : ∑ i ∈ s, w1 i = 1
⊢ (Finset.affineCombination k s p) w ∈ affineSpan k (Set.range p)

Tactic:
have hw1s : s.affineCombination k p w1 = p i1 :=
  s.affineCombination_of_eq_one_of_eq_zero w1 p hi1 (Function.update_self ..) fun _ _ hne =>
    Function.update_of_ne hne ..

Result:
case intro
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Nontrivial k
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 1
p : ι → P
hnz : ∑ i ∈ s, w i ≠ 0
i1 : ι
hi1 : i1 ∈ s
w1 : ι → k := Function.update (Function.const ι 0) i1 1
hw1 : ∑ i ∈ s, w1 i = 1
hw1s : (Finset.affineCombination k s p) w1 = p i1
⊢ (Finset.affineCombination k s p) w ∈ affineSpan k (Set.range p)

Proof state:
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Nontrivial k
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 1
p : ι → P
hnz : ∑ i ∈ s, w i ≠ 0
i1 : ι
hi1 : i1 ∈ s
w1 : ι → k := Function.update (Function.const ι 0) i1 1
⊢ ∑ i ∈ s, w1 i = 1

Tactic:
simp only [w1, Function.const_zero, Finset.sum_update_of_mem hi1, Pi.zero_apply,
    Finset.sum_const_zero, add_zero]

Result:
no goals

Proof state:
case intro
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Nontrivial k
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 1
p : ι → P
hnz : ∑ i ∈ s, w i ≠ 0
i1 : ι
hi1 : i1 ∈ s
w1 : ι → k := Function.update (Function.const ι 0) i1 1
⊢ (Finset.affineCombination k s p) w ∈ affineSpan k (Set.range p)

Tactic:
have hw1 : ∑ i ∈ s, w1 i = 1 := by
  simp only [w1, Function.const_zero, Finset.sum_update_of_mem hi1, Pi.zero_apply,
      Finset.sum_const_zero, add_zero]

Result:
case intro
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Nontrivial k
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 1
p : ι → P
hnz : ∑ i ∈ s, w i ≠ 0
i1 : ι
hi1 : i1 ∈ s
w1 : ι → k := Function.update (Function.const ι 0) i1 1
hw1 : ∑ i ∈ s, w1 i = 1
⊢ (Finset.affineCombination k s p) w ∈ affineSpan k (Set.range p)

Proof state:
case intro
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Nontrivial k
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 1
p : ι → P
hnz : ∑ i ∈ s, w i ≠ 0
i1 : ι
hi1 : i1 ∈ s
w1 : ι → k := Function.update (Function.const ι 0) i1 1
hw1 : ∑ i ∈ s, w1 i = 1
hw1s : (Finset.affineCombination k s p) w1 = p i1
⊢ (Finset.affineCombination k s p) w ∈ affineSpan k (Set.range p)

Tactic:
have hv : s.affineCombination k p w -ᵥ p i1 ∈ (affineSpan k (Set.range p)).direction := by
  rw [direction_affineSpan, ← hw1s, Finset.affineCombination_vsub]
  apply weightedVSub_mem_vectorSpan
  simp [Pi.sub_apply, h, hw1]

Result:
case intro
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁴ : Ring k
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AffineSpace V P
inst✝ : Nontrivial k
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 1
p : ι → P
hnz : ∑ i ∈ s, w i ≠ 0
i1 : ι
hi1 : i1 ∈ s
w1 : ι → k := Function.update (Function.const ι 0) i1 1
hw1 : ∑ i ∈ s, w1 i = 1
hw1s : (Finset.affineCombination k s p) w1 = p i1
hv : (Finset.affineCombination k s p) w -ᵥ p i1 ∈ (affineSpan k (Set.range p)).direction
⊢ (Finset.affineCombination k s p) w ∈ affineSpan k (Set.range p)