-- Mathlib/LinearAlgebra/Basis/Basic.lean
theorem Basis.eq_bot_of_rank_eq_zero [NoZeroDivisors R] (b : Basis ι R M) (N : Submodule R M)
    (rank_eq : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → N), LinearIndependent R ((↑) ∘ v : Fin m → M) → m = 0) :
    N = ⊥

Proof state:
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_5
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroDivisors R
b : Basis ι R M
N : Submodule R M
rank_eq : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → ↥N), LinearIndependent R (Subtype.val ∘ v) → m = 0
⊢ ∀ x ∈ N, x = 0

Tactic:
intro x hx

Result:
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_5
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroDivisors R
b : Basis ι R M
N : Submodule R M
rank_eq : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → ↥N), LinearIndependent R (Subtype.val ∘ v) → m = 0
x : M
hx : x ∈ N
⊢ x = 0

Proof state:
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_5
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroDivisors R
b : Basis ι R M
N : Submodule R M
x : M
hx : x ∈ N
x_ne : x ≠ 0
g : Fin 1 → R
sum_eq : ∑ i : Fin 1, g i • (Subtype.val ∘ fun x_1 => ⟨x, hx⟩) i = 0
i : Fin 1
⊢ g i = 0

Tactic:
obtain ⟨_, hi⟩ := i

Result:
case mk
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_5
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroDivisors R
b : Basis ι R M
N : Submodule R M
x : M
hx : x ∈ N
x_ne : x ≠ 0
g : Fin 1 → R
sum_eq : ∑ i : Fin 1, g i • (Subtype.val ∘ fun x_1 => ⟨x, hx⟩) i = 0
val✝ : ℕ
hi : val✝ < 1
⊢ g ⟨val✝, hi⟩ = 0

Proof state:
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_5
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroDivisors R
b : Basis ι R M
N : Submodule R M
x : M
hx : x ∈ N
x_ne : x ≠ 0
⊢ LinearIndependent R (Subtype.val ∘ fun x_1 => ⟨x, hx⟩)

Tactic:
rw [Fintype.linearIndependent_iff]

Result:
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_5
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroDivisors R
b : Basis ι R M
N : Submodule R M
x : M
hx : x ∈ N
x_ne : x ≠ 0
⊢ ∀ (g : Fin 1 → R), ∑ i : Fin 1, g i • (Subtype.val ∘ fun x_1 => ⟨x, hx⟩) i = 0 → ∀ (i : Fin 1), g i = 0

Proof state:
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_5
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroDivisors R
b : Basis ι R M
N : Submodule R M
rank_eq : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → ↥N), LinearIndependent R (Subtype.val ∘ v) → m = 0
x : M
hx : x ∈ N
⊢ x = 0

Tactic:
contrapose! rank_eq with x_ne

Result:
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_5
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroDivisors R
b : Basis ι R M
N : Submodule R M
x : M
hx : x ∈ N
x_ne : x ≠ 0
⊢ ∃ m v, LinearIndependent R (Subtype.val ∘ v) ∧ m ≠ 0

Proof state:
case mk
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_5
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroDivisors R
b : Basis ι R M
N : Submodule R M
x : M
hx : x ∈ N
x_ne : x ≠ 0
g : Fin 1 → R
sum_eq : ∑ i : Fin 1, g i • (Subtype.val ∘ fun x_1 => ⟨x, hx⟩) i = 0
val✝ : ℕ
hi : val✝ < 1
⊢ g ⟨val✝, hi⟩ = 0

Tactic:
simp only [Function.const_apply, Fin.default_eq_zero, Submodule.coe_mk, Finset.univ_unique,
  Function.comp_const, Finset.sum_singleton] at sum_eq

Result:
case mk
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_5
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroDivisors R
b : Basis ι R M
N : Submodule R M
x : M
hx : x ∈ N
x_ne : x ≠ 0
g : Fin 1 → R
val✝ : ℕ
hi : val✝ < 1
sum_eq : g 0 • (Subtype.val ∘ fun x_1 => ⟨x, hx⟩) 0 = 0
⊢ g ⟨val✝, hi⟩ = 0

Proof state:
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_5
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroDivisors R
b : Basis ι R M
N : Submodule R M
x : M
hx : x ∈ N
x_ne : x ≠ 0
⊢ ∃ m v, LinearIndependent R (Subtype.val ∘ v) ∧ m ≠ 0

Tactic:
refine ⟨1, fun _ => ⟨x, hx⟩, ?_, one_ne_zero⟩

Result:
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_5
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroDivisors R
b : Basis ι R M
N : Submodule R M
x : M
hx : x ∈ N
x_ne : x ≠ 0
⊢ LinearIndependent R (Subtype.val ∘ fun x_1 => ⟨x, hx⟩)

Proof state:
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_5
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroDivisors R
b : Basis ι R M
N : Submodule R M
rank_eq : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → ↥N), LinearIndependent R (Subtype.val ∘ v) → m = 0
⊢ N = ⊥

Tactic:
rw [Submodule.eq_bot_iff]

Result:
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_5
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroDivisors R
b : Basis ι R M
N : Submodule R M
rank_eq : ∀ {m : ℕ} (v : Fin m → ↥N), LinearIndependent R (Subtype.val ∘ v) → m = 0
⊢ ∀ x ∈ N, x = 0

Proof state:
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_5
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroDivisors R
b : Basis ι R M
N : Submodule R M
x : M
hx : x ∈ N
x_ne : x ≠ 0
⊢ ∀ (g : Fin 1 → R), ∑ i : Fin 1, g i • (Subtype.val ∘ fun x_1 => ⟨x, hx⟩) i = 0 → ∀ (i : Fin 1), g i = 0

Tactic:
rintro g sum_eq i

Result:
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_5
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroDivisors R
b : Basis ι R M
N : Submodule R M
x : M
hx : x ∈ N
x_ne : x ≠ 0
g : Fin 1 → R
sum_eq : ∑ i : Fin 1, g i • (Subtype.val ∘ fun x_1 => ⟨x, hx⟩) i = 0
i : Fin 1
⊢ g i = 0

Proof state:
case mk
ι : Type u_1
R : Type u_3
M : Type u_5
inst✝³ : Ring R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : NoZeroDivisors R
b : Basis ι R M
N : Submodule R M
x : M
hx : x ∈ N
x_ne : x ≠ 0
g : Fin 1 → R
val✝ : ℕ
hi : val✝ < 1
sum_eq : g 0 • (Subtype.val ∘ fun x_1 => ⟨x, hx⟩) 0 = 0
⊢ g ⟨val✝, hi⟩ = 0

Tactic:
convert (b.smul_eq_zero.mp sum_eq).resolve_right x_ne

Result:
no goals