-- Mathlib/Algebra/MvPolynomial/Derivation.lean
theorem leibniz_iff_X (D : MvPolynomial σ R →ₗ[R] A) (h₁ : D 1 = 0) :
    (∀ p q, D (p * q) = p • D q + q • D p) ↔ ∀ s i, D (monomial s 1 * X i) =
    (monomial s 1 : MvPolynomial σ R) • D (X i) + (X i : MvPolynomial σ R) • D (monomial s 1)

Proof state:
case h_C
σ : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : Module (MvPolynomial σ R) A
inst✝ : IsScalarTower R (MvPolynomial σ R) A
D : MvPolynomial σ R →ₗ[R] A
h₁ : D 1 = 0
H : ∀ (s : σ →₀ ℕ) (i : σ), D ((monomial s) 1 * X i) = (monomial s) 1 • D (X i) + X i • D ((monomial s) 1)
hC : ∀ (r : R), D (C r) = 0
this : ∀ (p : MvPolynomial σ R) (i : σ), D (p * X i) = p • D (X i) + X i • D p
p : MvPolynomial σ R
c : R
⊢ D (p * C c) = p • D (C c) + C c • D p

Tactic:
rw [mul_comm, C_mul', hC, smul_zero, zero_add, D.map_smul, C_eq_smul_one, smul_one_smul]

Result:
no goals

Proof state:
case h1
σ : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : Module (MvPolynomial σ R) A
inst✝ : IsScalarTower R (MvPolynomial σ R) A
D : MvPolynomial σ R →ₗ[R] A
h₁ : D 1 = 0
H : ∀ (s : σ →₀ ℕ) (i : σ), D ((monomial s) 1 * X i) = (monomial s) 1 • D (X i) + X i • D ((monomial s) 1)
hC : ∀ (r : R), D (C r) = 0
i : σ
s : σ →₀ ℕ
r : R
⊢ D ((monomial s) r * X i) = (monomial s) r • D (X i) + X i • D ((monomial s) r)

Tactic:
rw [← mul_one r, ← C_mul_monomial, mul_assoc, C_mul', D.map_smul, H, C_mul', smul_assoc,
  smul_add, D.map_smul, smul_comm r (X i)]

Result:
no goals

Proof state:
case h2
σ : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : Module (MvPolynomial σ R) A
inst✝ : IsScalarTower R (MvPolynomial σ R) A
D : MvPolynomial σ R →ₗ[R] A
h₁ : D 1 = 0
H : ∀ (s : σ →₀ ℕ) (i : σ), D ((monomial s) 1 * X i) = (monomial s) 1 • D (X i) + X i • D ((monomial s) 1)
hC : ∀ (r : R), D (C r) = 0
i : σ
p q : MvPolynomial σ R
hp : D (p * X i) = p • D (X i) + X i • D p
hq : D (q * X i) = q • D (X i) + X i • D q
⊢ D ((p + q) * X i) = (p + q) • D (X i) + X i • D (p + q)

Tactic:
rw [add_mul, map_add, map_add, hp, hq, add_smul, smul_add, add_add_add_comm]

Result:
no goals

Proof state:
case h_X
σ : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : Module (MvPolynomial σ R) A
inst✝ : IsScalarTower R (MvPolynomial σ R) A
D : MvPolynomial σ R →ₗ[R] A
h₁ : D 1 = 0
H : ∀ (s : σ →₀ ℕ) (i : σ), D ((monomial s) 1 * X i) = (monomial s) 1 • D (X i) + X i • D ((monomial s) 1)
hC : ∀ (r : R), D (C r) = 0
this : ∀ (p : MvPolynomial σ R) (i : σ), D (p * X i) = p • D (X i) + X i • D p
p q : MvPolynomial σ R
i : σ
hq : D (p * q) = p • D q + q • D p
⊢ D (p * (q * X i)) = p • D (q * X i) + (q * X i) • D p

Tactic:
simp only [this, ← mul_assoc, hq, mul_smul, smul_add, add_assoc]

Result:
case h_X
σ : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : Module (MvPolynomial σ R) A
inst✝ : IsScalarTower R (MvPolynomial σ R) A
D : MvPolynomial σ R →ₗ[R] A
h₁ : D 1 = 0
H : ∀ (s : σ →₀ ℕ) (i : σ), D ((monomial s) 1 * X i) = (monomial s) 1 • D (X i) + X i • D ((monomial s) 1)
hC : ∀ (r : R), D (C r) = 0
this : ∀ (p : MvPolynomial σ R) (i : σ), D (p * X i) = p • D (X i) + X i • D p
p q : MvPolynomial σ R
i : σ
hq : D (p * q) = p • D q + q • D p
⊢ p • q • D (X i) + (X i • p • D q + X i • q • D p) = p • q • D (X i) + (p • X i • D q + q • X i • D p)

Proof state:
σ : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : Module (MvPolynomial σ R) A
inst✝ : IsScalarTower R (MvPolynomial σ R) A
D : MvPolynomial σ R →ₗ[R] A
h₁ : D 1 = 0
⊢ (∀ (p q : MvPolynomial σ R), D (p * q) = p • D q + q • D p) ↔
    ∀ (s : σ →₀ ℕ) (i : σ), D ((monomial s) 1 * X i) = (monomial s) 1 • D (X i) + X i • D ((monomial s) 1)

Tactic:
refine ⟨fun H p i => H _ _, fun H => ?_⟩

Result:
σ : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : Module (MvPolynomial σ R) A
inst✝ : IsScalarTower R (MvPolynomial σ R) A
D : MvPolynomial σ R →ₗ[R] A
h₁ : D 1 = 0
H : ∀ (s : σ →₀ ℕ) (i : σ), D ((monomial s) 1 * X i) = (monomial s) 1 • D (X i) + X i • D ((monomial s) 1)
⊢ ∀ (p q : MvPolynomial σ R), D (p * q) = p • D q + q • D p

Proof state:
σ : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : Module (MvPolynomial σ R) A
inst✝ : IsScalarTower R (MvPolynomial σ R) A
D : MvPolynomial σ R →ₗ[R] A
h₁ : D 1 = 0
H : ∀ (s : σ →₀ ℕ) (i : σ), D ((monomial s) 1 * X i) = (monomial s) 1 • D (X i) + X i • D ((monomial s) 1)
hC : ∀ (r : R), D (C r) = 0
this : ∀ (p : MvPolynomial σ R) (i : σ), D (p * X i) = p • D (X i) + X i • D p
p q : MvPolynomial σ R
⊢ D (p * q) = p • D q + q • D p

Tactic:
induction q using MvPolynomial.induction_on with
| h_C c =>
  rw [mul_comm, C_mul', hC, smul_zero, zero_add, D.map_smul, C_eq_smul_one, smul_one_smul]
| h_add q₁ q₂ h₁ h₂ => simp only [mul_add, map_add, h₁, h₂, smul_add, add_smul]; abel
| h_X q i hq =>
  simp only [this, ← mul_assoc, hq, mul_smul, smul_add, add_assoc]
  rw [smul_comm (X i), smul_comm (X i)]

Result:
no goals

Proof state:
case h_add
σ : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : Module (MvPolynomial σ R) A
inst✝ : IsScalarTower R (MvPolynomial σ R) A
D : MvPolynomial σ R →ₗ[R] A
h₁✝ : D 1 = 0
H : ∀ (s : σ →₀ ℕ) (i : σ), D ((monomial s) 1 * X i) = (monomial s) 1 • D (X i) + X i • D ((monomial s) 1)
hC : ∀ (r : R), D (C r) = 0
this : ∀ (p : MvPolynomial σ R) (i : σ), D (p * X i) = p • D (X i) + X i • D p
p q₁ q₂ : MvPolynomial σ R
h₁ : D (p * q₁) = p • D q₁ + q₁ • D p
h₂ : D (p * q₂) = p • D q₂ + q₂ • D p
⊢ D (p * (q₁ + q₂)) = p • D (q₁ + q₂) + (q₁ + q₂) • D p

Tactic:
simp only [mul_add, map_add, h₁, h₂, smul_add, add_smul]

Result:
case h_add
σ : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : Module (MvPolynomial σ R) A
inst✝ : IsScalarTower R (MvPolynomial σ R) A
D : MvPolynomial σ R →ₗ[R] A
h₁✝ : D 1 = 0
H : ∀ (s : σ →₀ ℕ) (i : σ), D ((monomial s) 1 * X i) = (monomial s) 1 • D (X i) + X i • D ((monomial s) 1)
hC : ∀ (r : R), D (C r) = 0
this : ∀ (p : MvPolynomial σ R) (i : σ), D (p * X i) = p • D (X i) + X i • D p
p q₁ q₂ : MvPolynomial σ R
h₁ : D (p * q₁) = p • D q₁ + q₁ • D p
h₂ : D (p * q₂) = p • D q₂ + q₂ • D p
⊢ p • D q₁ + q₁ • D p + (p • D q₂ + q₂ • D p) = p • D q₁ + p • D q₂ + (q₁ • D p + q₂ • D p)

Proof state:
case h_add
σ : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : Module (MvPolynomial σ R) A
inst✝ : IsScalarTower R (MvPolynomial σ R) A
D : MvPolynomial σ R →ₗ[R] A
h₁✝ : D 1 = 0
H : ∀ (s : σ →₀ ℕ) (i : σ), D ((monomial s) 1 * X i) = (monomial s) 1 • D (X i) + X i • D ((monomial s) 1)
hC : ∀ (r : R), D (C r) = 0
this : ∀ (p : MvPolynomial σ R) (i : σ), D (p * X i) = p • D (X i) + X i • D p
p q₁ q₂ : MvPolynomial σ R
h₁ : D (p * q₁) = p • D q₁ + q₁ • D p
h₂ : D (p * q₂) = p • D q₂ + q₂ • D p
⊢ p • D q₁ + q₁ • D p + (p • D q₂ + q₂ • D p) = p • D q₁ + p • D q₂ + (q₁ • D p + q₂ • D p)

Tactic:
abel

Result:
no goals