-- Mathlib/Combinatorics/Additive/CovBySMul.lean
@[to_additive] lemma CovBySMul.trans [MulAction M N] [IsScalarTower M N X]
    (hAB : CovBySMul M K A B) (hBC : CovBySMul N L B C) : CovBySMul N (K * L) A C

Proof state:
M : Type u_1
N : Type u_2
X : Type u_3
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : Monoid N
inst✝³ : MulAction M X
inst✝² : MulAction N X
K L : ℝ
A B C : Set X
inst✝¹ : MulAction M N
inst✝ : IsScalarTower M N X
hAB : CovBySMul M K A B
hBC : CovBySMul N L B C
⊢ CovBySMul N (K * L) A C

Tactic:
have := hAB.nonneg

Result:
M : Type u_1
N : Type u_2
X : Type u_3
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : Monoid N
inst✝³ : MulAction M X
inst✝² : MulAction N X
K L : ℝ
A B C : Set X
inst✝¹ : MulAction M N
inst✝ : IsScalarTower M N X
hAB : CovBySMul M K A B
hBC : CovBySMul N L B C
this : 0 ≤ K
⊢ CovBySMul N (K * L) A C

Proof state:
M : Type u_1
N : Type u_2
X : Type u_3
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : Monoid N
inst✝³ : MulAction M X
inst✝² : MulAction N X
K L : ℝ
A B C : Set X
inst✝¹ : MulAction M N
inst✝ : IsScalarTower M N X
this : 0 ≤ K
F₁ : Finset M
hF₁ : ↑(#F₁) ≤ K
hFAB : A ⊆ ↑F₁ • B
F₂ : Finset N
hF₂ : ↑(#F₂) ≤ L
hFBC : B ⊆ ↑F₂ • C
⊢ ↑F₁ • B ⊆ ↑F₁ • ↑F₂ • C

Tactic:
gcongr

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.refine_2
M : Type u_1
N : Type u_2
X : Type u_3
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : Monoid N
inst✝³ : MulAction M X
inst✝² : MulAction N X
K L : ℝ
A B C : Set X
inst✝¹ : MulAction M N
inst✝ : IsScalarTower M N X
this : 0 ≤ K
F₁ : Finset M
hF₁ : ↑(#F₁) ≤ K
hFAB : A ⊆ ↑F₁ • B
F₂ : Finset N
hF₂ : ↑(#F₂) ≤ L
hFBC : B ⊆ ↑F₂ • C
⊢ A ⊆ ↑(F₁ • F₂) • C

Tactic:
calc
  A ⊆ (F₁ : Set M) • B := hFAB
  _ ⊆ (F₁ : Set M) • (F₂ : Set N) • C := by gcongr
  _ = (↑(F₁ • F₂) : Set N) • C := by simp

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro
M : Type u_1
N : Type u_2
X : Type u_3
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : Monoid N
inst✝³ : MulAction M X
inst✝² : MulAction N X
K L : ℝ
A B C : Set X
inst✝¹ : MulAction M N
inst✝ : IsScalarTower M N X
hBC : CovBySMul N L B C
this : 0 ≤ K
F₁ : Finset M
hF₁ : ↑(#F₁) ≤ K
hFAB : A ⊆ ↑F₁ • B
⊢ CovBySMul N (K * L) A C

Tactic:
obtain ⟨F₂, hF₂, hFBC⟩ := hBC

Result:
case intro.intro.intro.intro
M : Type u_1
N : Type u_2
X : Type u_3
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : Monoid N
inst✝³ : MulAction M X
inst✝² : MulAction N X
K L : ℝ
A B C : Set X
inst✝¹ : MulAction M N
inst✝ : IsScalarTower M N X
this : 0 ≤ K
F₁ : Finset M
hF₁ : ↑(#F₁) ≤ K
hFAB : A ⊆ ↑F₁ • B
F₂ : Finset N
hF₂ : ↑(#F₂) ≤ L
hFBC : B ⊆ ↑F₂ • C
⊢ CovBySMul N (K * L) A C

Proof state:
M : Type u_1
N : Type u_2
X : Type u_3
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : Monoid N
inst✝³ : MulAction M X
inst✝² : MulAction N X
K L : ℝ
A B C : Set X
inst✝¹ : MulAction M N
inst✝ : IsScalarTower M N X
hAB : CovBySMul M K A B
hBC : CovBySMul N L B C
this : 0 ≤ K
⊢ CovBySMul N (K * L) A C

Tactic:
obtain ⟨F₁, hF₁, hFAB⟩ := hAB

Result:
case intro.intro
M : Type u_1
N : Type u_2
X : Type u_3
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : Monoid N
inst✝³ : MulAction M X
inst✝² : MulAction N X
K L : ℝ
A B C : Set X
inst✝¹ : MulAction M N
inst✝ : IsScalarTower M N X
hBC : CovBySMul N L B C
this : 0 ≤ K
F₁ : Finset M
hF₁ : ↑(#F₁) ≤ K
hFAB : A ⊆ ↑F₁ • B
⊢ CovBySMul N (K * L) A C

Proof state:
case intro.intro.intro.intro
M : Type u_1
N : Type u_2
X : Type u_3
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : Monoid N
inst✝³ : MulAction M X
inst✝² : MulAction N X
K L : ℝ
A B C : Set X
inst✝¹ : MulAction M N
inst✝ : IsScalarTower M N X
this : 0 ≤ K
F₁ : Finset M
hF₁ : ↑(#F₁) ≤ K
hFAB : A ⊆ ↑F₁ • B
F₂ : Finset N
hF₂ : ↑(#F₂) ≤ L
hFBC : B ⊆ ↑F₂ • C
⊢ CovBySMul N (K * L) A C

Tactic:
refine ⟨F₁ • F₂, ?_, ?_⟩

Result:
case intro.intro.intro.intro.refine_1
M : Type u_1
N : Type u_2
X : Type u_3
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : Monoid N
inst✝³ : MulAction M X
inst✝² : MulAction N X
K L : ℝ
A B C : Set X
inst✝¹ : MulAction M N
inst✝ : IsScalarTower M N X
this : 0 ≤ K
F₁ : Finset M
hF₁ : ↑(#F₁) ≤ K
hFAB : A ⊆ ↑F₁ • B
F₂ : Finset N
hF₂ : ↑(#F₂) ≤ L
hFBC : B ⊆ ↑F₂ • C
⊢ ↑(#(F₁ • F₂)) ≤ K * L

case intro.intro.intro.intro.refine_2
M : Type u_1
N : Type u_2
X : Type u_3
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : Monoid N
inst✝³ : MulAction M X
inst✝² : MulAction N X
K L : ℝ
A B C : Set X
inst✝¹ : MulAction M N
inst✝ : IsScalarTower M N X
this : 0 ≤ K
F₁ : Finset M
hF₁ : ↑(#F₁) ≤ K
hFAB : A ⊆ ↑F₁ • B
F₂ : Finset N
hF₂ : ↑(#F₂) ≤ L
hFBC : B ⊆ ↑F₂ • C
⊢ A ⊆ ↑(F₁ • F₂) • C

Proof state:
M : Type u_1
N : Type u_2
X : Type u_3
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : Monoid N
inst✝³ : MulAction M X
inst✝² : MulAction N X
K L : ℝ
A B C : Set X
inst✝¹ : MulAction M N
inst✝ : IsScalarTower M N X
this : 0 ≤ K
F₁ : Finset M
hF₁ : ↑(#F₁) ≤ K
hFAB : A ⊆ ↑F₁ • B
F₂ : Finset N
hF₂ : ↑(#F₂) ≤ L
hFBC : B ⊆ ↑F₂ • C
⊢ ↑(#F₁) * ↑(#F₂) ≤ K * L

Tactic:
gcongr

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.refine_1
M : Type u_1
N : Type u_2
X : Type u_3
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : Monoid N
inst✝³ : MulAction M X
inst✝² : MulAction N X
K L : ℝ
A B C : Set X
inst✝¹ : MulAction M N
inst✝ : IsScalarTower M N X
this : 0 ≤ K
F₁ : Finset M
hF₁ : ↑(#F₁) ≤ K
hFAB : A ⊆ ↑F₁ • B
F₂ : Finset N
hF₂ : ↑(#F₂) ≤ L
hFBC : B ⊆ ↑F₂ • C
⊢ ↑(#(F₁ • F₂)) ≤ K * L

Tactic:
calc
  (#(F₁ • F₂) : ℝ) ≤ #F₁ * #F₂ := mod_cast Finset.card_smul_le
  _ ≤ K * L := by gcongr

Result:
no goals

Proof state:
M : Type u_1
N : Type u_2
X : Type u_3
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : Monoid N
inst✝³ : MulAction M X
inst✝² : MulAction N X
K L : ℝ
A B C : Set X
inst✝¹ : MulAction M N
inst✝ : IsScalarTower M N X
this : 0 ≤ K
F₁ : Finset M
hF₁ : ↑(#F₁) ≤ K
hFAB : A ⊆ ↑F₁ • B
F₂ : Finset N
hF₂ : ↑(#F₂) ≤ L
hFBC : B ⊆ ↑F₂ • C
⊢ ↑F₁ • ↑F₂ • C = ↑(F₁ • F₂) • C

Tactic:
simp

Result:
no goals