-- Mathlib/Computability/TMConfig.lean
theorem cont_eval_fix {f k v} (fok : Code.Ok f) :
    Turing.eval step (stepNormal f (Cont.fix f k) v) =
      f.fix.eval v >>= fun v => Turing.eval step (Cfg.ret k v)

Proof state:
case mp.halt.intro.intro.refl
f : Code
k : Cont
v✝ : List ℕ
fok : f.Ok
x c : Cfg
he : x ∈ eval step c
v v' : List ℕ
h : x ∈ eval step (stepRet (Cont.fix f k) v')
IH :
  ∀ (a' : Cfg),
    step (stepRet (Cont.fix f k) v') = some a' →
      ∀ (v : List ℕ) (c' : Cfg),
        a' = c'.then (Cont.fix f k) →
          Reaches step (stepNormal f Cont.halt v) c' →
            ∃ v₁ ∈ f.eval v,
              ∃ v₂ ∈ if v₁.headI = 0 then pure v₁.tail else f.fix.eval v₁.tail, x ∈ eval step (Cfg.ret k v₂)
hr : Reaches step (stepNormal f Cont.halt v) (Cfg.halt v')
h₁ : v' ∈ f.eval v
h₂✝ : Cfg.halt v' ∈ eval step (Cfg.ret Cont.halt v')
h₂ : Cfg.halt v' ∈ eval step (stepRet Cont.halt v')
⊢ ∃ v₁ ∈ f.eval v, ∃ v₂ ∈ if v₁.headI = 0 then pure v₁.tail else f.fix.eval v₁.tail, x ∈ eval step (Cfg.ret k v₂)

Tactic:
refine ⟨v', h₁, ?_⟩

Result:
case mp.halt.intro.intro.refl
f : Code
k : Cont
v✝ : List ℕ
fok : f.Ok
x c : Cfg
he : x ∈ eval step c
v v' : List ℕ
h : x ∈ eval step (stepRet (Cont.fix f k) v')
IH :
  ∀ (a' : Cfg),
    step (stepRet (Cont.fix f k) v') = some a' →
      ∀ (v : List ℕ) (c' : Cfg),
        a' = c'.then (Cont.fix f k) →
          Reaches step (stepNormal f Cont.halt v) c' →
            ∃ v₁ ∈ f.eval v,
              ∃ v₂ ∈ if v₁.headI = 0 then pure v₁.tail else f.fix.eval v₁.tail, x ∈ eval step (Cfg.ret k v₂)
hr : Reaches step (stepNormal f Cont.halt v) (Cfg.halt v')
h₁ : v' ∈ f.eval v
h₂✝ : Cfg.halt v' ∈ eval step (Cfg.ret Cont.halt v')
h₂ : Cfg.halt v' ∈ eval step (stepRet Cont.halt v')
⊢ ∃ v₂ ∈ if v'.headI = 0 then pure v'.tail else f.fix.eval v'.tail, x ∈ eval step (Cfg.ret k v₂)

Proof state:
case mpr
f : Code
k : Cont
v : List ℕ
fok : f.Ok
x : Cfg
⊢ (∃ a ∈ f.fix.eval v, x ∈ eval step (Cfg.ret k a)) → x ∈ eval step (stepNormal f (Cont.fix f k) v)

Tactic:
rintro ⟨v', he, hr⟩

Result:
case mpr.intro.intro
f : Code
k : Cont
v : List ℕ
fok : f.Ok
x : Cfg
v' : List ℕ
he : v' ∈ f.fix.eval v
hr : x ∈ eval step (Cfg.ret k v')
⊢ x ∈ eval step (stepNormal f (Cont.fix f k) v)

Proof state:
case neg.refl
f : Code
k : Cont
v✝ : List ℕ
fok : f.Ok
x : Cfg
v' : List ℕ
he✝ : v' ∈ f.fix.eval v✝
hr✝ : x ∈ eval step (Cfg.ret k v')
hr : x ∈ eval step (stepRet k v')
v : List ℕ
he : v' ∈ f.fix.eval v
IH :
  ∀ (a'' : List ℕ),
    Sum.inr a'' ∈ Part.map (fun v => if v.headI = 0 then Sum.inl v.tail else Sum.inr v.tail) (f.eval v) →
      x ∈ eval step (stepNormal f (Cont.fix f k) a'')
v₁ : List ℕ
he₁ : v₁ ∈ f.eval v
h : ¬v₁.headI = 0
right✝ :
  v' ∈ PFun.fix (fun v => Part.map (fun v => if v.headI = 0 then Sum.inl v.tail else Sum.inr v.tail) (f.eval v)) v₁.tail
⊢ x ∈ eval step (stepRet (Cont.fix f k) v₁)

Tactic:
rw [stepRet, if_neg h]

Result:
case neg.refl
f : Code
k : Cont
v✝ : List ℕ
fok : f.Ok
x : Cfg
v' : List ℕ
he✝ : v' ∈ f.fix.eval v✝
hr✝ : x ∈ eval step (Cfg.ret k v')
hr : x ∈ eval step (stepRet k v')
v : List ℕ
he : v' ∈ f.fix.eval v
IH :
  ∀ (a'' : List ℕ),
    Sum.inr a'' ∈ Part.map (fun v => if v.headI = 0 then Sum.inl v.tail else Sum.inr v.tail) (f.eval v) →
      x ∈ eval step (stepNormal f (Cont.fix f k) a'')
v₁ : List ℕ
he₁ : v₁ ∈ f.eval v
h : ¬v₁.headI = 0
right✝ :
  v' ∈ PFun.fix (fun v => Part.map (fun v => if v.headI = 0 then Sum.inl v.tail else Sum.inr v.tail) (f.eval v)) v₁.tail
⊢ x ∈ eval step (stepNormal f (Cont.fix f k) v₁.tail)

Proof state:
case mp.halt.intro.intro.refl
f : Code
k : Cont
v✝ : List ℕ
fok : f.Ok
x c : Cfg
he : x ∈ eval step c
v v' : List ℕ
IH :
  ∀ (a' : Cfg),
    step (stepRet (Cont.fix f k) v') = some a' →
      ∀ (v : List ℕ) (c' : Cfg),
        a' = c'.then (Cont.fix f k) →
          Reaches step (stepNormal f Cont.halt v) c' →
            ∃ v₁ ∈ f.eval v,
              ∃ v₂ ∈ if v₁.headI = 0 then pure v₁.tail else f.fix.eval v₁.tail, x ∈ eval step (Cfg.ret k v₂)
hr : Reaches step (stepNormal f Cont.halt v) (Cfg.halt v')
h₁ : v' ∈ f.eval v
h₂✝ : Cfg.halt v' ∈ eval step (Cfg.ret Cont.halt v')
h₂ : Cfg.halt v' ∈ eval step (stepRet Cont.halt v')
⊢ x ∈ eval step (if v'.headI = 0 then stepRet k v'.tail else stepNormal f (Cont.fix f k) v'.tail) →
    ∃ v₂ ∈ if v'.headI = 0 then pure v'.tail else f.fix.eval v'.tail, x ∈ eval step (Cfg.ret k v₂)

Tactic:
by_cases he : v'.headI = 0 <;> simp only [exists_prop, if_pos, if_false, he] <;> intro h

Result:
case pos
f : Code
k : Cont
v✝ : List ℕ
fok : f.Ok
x c : Cfg
he✝ : x ∈ eval step c
v v' : List ℕ
IH :
  ∀ (a' : Cfg),
    step (stepRet (Cont.fix f k) v') = some a' →
      ∀ (v : List ℕ) (c' : Cfg),
        a' = c'.then (Cont.fix f k) →
          Reaches step (stepNormal f Cont.halt v) c' →
            ∃ v₁ ∈ f.eval v,
              ∃ v₂ ∈ if v₁.headI = 0 then pure v₁.tail else f.fix.eval v₁.tail, x ∈ eval step (Cfg.ret k v₂)
hr : Reaches step (stepNormal f Cont.halt v) (Cfg.halt v')
h₁ : v' ∈ f.eval v
h₂✝ : Cfg.halt v' ∈ eval step (Cfg.ret Cont.halt v')
h₂ : Cfg.halt v' ∈ eval step (stepRet Cont.halt v')
he : v'.headI = 0
h : x ∈ eval step (stepRet k v'.tail)
⊢ ∃ v₂ ∈ pure v'.tail, x ∈ eval step (Cfg.ret k v₂)

case neg
f : Code
k : Cont
v✝ : List ℕ
fok : f.Ok
x c : Cfg
he✝ : x ∈ eval step c
v v' : List ℕ
IH :
  ∀ (a' : Cfg),
    step (stepRet (Cont.fix f k) v') = some a' →
      ∀ (v : List ℕ) (c' : Cfg),
        a' = c'.then (Cont.fix f k) →
          Reaches step (stepNormal f Cont.halt v) c' →
            ∃ v₁ ∈ f.eval v,
              ∃ v₂ ∈ if v₁.headI = 0 then pure v₁.tail else f.fix.eval v₁.tail, x ∈ eval step (Cfg.ret k v₂)
hr : Reaches step (stepNormal f Cont.halt v) (Cfg.halt v')
h₁ : v' ∈ f.eval v
h₂✝ : Cfg.halt v' ∈ eval step (Cfg.ret Cont.halt v')
h₂ : Cfg.halt v' ∈ eval step (stepRet Cont.halt v')
he : ¬v'.headI = 0
h : x ∈ eval step (stepNormal f (Cont.fix f k) v'.tail)
⊢ ∃ v₂ ∈ f.fix.eval v'.tail, x ∈ eval step (Cfg.ret k v₂)

Proof state:
f : Code
k : Cont
v : List ℕ
fok : f.Ok
x : Cfg
this :
  ∀ (c : Cfg),
    x ∈ eval step c →
      ∀ (v : List ℕ) (c' : Cfg),
        c = c'.then (Cont.fix f k) →
          Reaches step (stepNormal f Cont.halt v) c' →
            ∃ v₁ ∈ f.eval v,
              ∃ v₂ ∈ if v₁.headI = 0 then pure v₁.tail else f.fix.eval v₁.tail, x ∈ eval step (Cfg.ret k v₂)
h : x ∈ eval step (stepNormal f (Cont.fix f k) v)
⊢ ∃ a ∈ f.fix.eval v, x ∈ eval step (Cfg.ret k a)

Tactic:
obtain ⟨v₁, hv₁, v₂, hv₂, h₃⟩ :=
  this _ h _ _ (stepNormal_then _ Cont.halt _ _) ReflTransGen.refl

Result:
case intro.intro.intro.intro
f : Code
k : Cont
v : List ℕ
fok : f.Ok
x : Cfg
this :
  ∀ (c : Cfg),
    x ∈ eval step c →
      ∀ (v : List ℕ) (c' : Cfg),
        c = c'.then (Cont.fix f k) →
          Reaches step (stepNormal f Cont.halt v) c' →
            ∃ v₁ ∈ f.eval v,
              ∃ v₂ ∈ if v₁.headI = 0 then pure v₁.tail else f.fix.eval v₁.tail, x ∈ eval step (Cfg.ret k v₂)
h : x ∈ eval step (stepNormal f (Cont.fix f k) v)
v₁ : List ℕ
hv₁ : v₁ ∈ f.eval v
v₂ : List ℕ
hv₂ : v₂ ∈ if v₁.headI = 0 then pure v₁.tail else f.fix.eval v₁.tail
h₃ : x ∈ eval step (Cfg.ret k v₂)
⊢ ∃ a ∈ f.fix.eval v, x ∈ eval step (Cfg.ret k a)

Proof state:
f : Code
k : Cont
v : List ℕ
fok : f.Ok
⊢ eval step (stepNormal f (Cont.fix f k) v) = do
    let v ← f.fix.eval v
    eval step (Cfg.ret k v)

Tactic:
refine Part.ext fun x => ?_

Result:
f : Code
k : Cont
v : List ℕ
fok : f.Ok
x : Cfg
⊢ x ∈ eval step (stepNormal f (Cont.fix f k) v) ↔
    x ∈ do
      let v ← f.fix.eval v
      eval step (Cfg.ret k v)