-- Mathlib/Topology/DenseEmbedding.lean
theorem tendsto_comap_nhds_nhds {d : δ} {a : α} (di : IsDenseInducing i)
    (H : Tendsto h (𝓝 d) (𝓝 (i a))) (comm : h ∘ g = i ∘ f) : Tendsto f (comap g (𝓝 d)) (𝓝 a)

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
i : α → β
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : γ → α
g : γ → δ
h : δ → β
d : δ
a : α
di : IsDenseInducing i
H : Tendsto h (𝓝 d) (𝓝 (i a))
comm : h ∘ g = i ∘ f
⊢ Tendsto f (comap g (𝓝 d)) (𝓝 a)

Tactic:
have lim1 : map g (comap g (𝓝 d)) ≤ 𝓝 d := map_comap_le

Result:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
i : α → β
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : γ → α
g : γ → δ
h : δ → β
d : δ
a : α
di : IsDenseInducing i
H : Tendsto h (𝓝 d) (𝓝 (i a))
comm : h ∘ g = i ∘ f
lim1 : map g (comap g (𝓝 d)) ≤ 𝓝 d
⊢ Tendsto f (comap g (𝓝 d)) (𝓝 a)

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
i : α → β
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : γ → α
g : γ → δ
h : δ → β
d : δ
a : α
di : IsDenseInducing i
H : Tendsto h (𝓝 d) (𝓝 (i a))
comm : h ∘ g = i ∘ f
lim1 : map h (map g (comap g (𝓝 d))) ≤ map h (𝓝 d)
⊢ Tendsto f (comap g (𝓝 d)) (𝓝 a)

Tactic:
rw [Filter.map_map, comm, ← Filter.map_map, map_le_iff_le_comap] at lim1

Result:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
i : α → β
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : γ → α
g : γ → δ
h : δ → β
d : δ
a : α
di : IsDenseInducing i
H : Tendsto h (𝓝 d) (𝓝 (i a))
comm : h ∘ g = i ∘ f
lim1 : map f (comap g (𝓝 d)) ≤ comap i (map h (𝓝 d))
⊢ Tendsto f (comap g (𝓝 d)) (𝓝 a)

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
i : α → β
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : γ → α
g : γ → δ
h : δ → β
d : δ
a : α
di : IsDenseInducing i
H : Tendsto h (𝓝 d) (𝓝 (i a))
comm : h ∘ g = i ∘ f
lim1 : map g (comap g (𝓝 d)) ≤ 𝓝 d
⊢ Tendsto f (comap g (𝓝 d)) (𝓝 a)

Tactic:
replace lim1 : map h (map g (comap g (𝓝 d))) ≤ map h (𝓝 d) := map_mono lim1

Result:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
i : α → β
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : γ → α
g : γ → δ
h : δ → β
d : δ
a : α
di : IsDenseInducing i
H : Tendsto h (𝓝 d) (𝓝 (i a))
comm : h ∘ g = i ∘ f
lim1 : map h (map g (comap g (𝓝 d))) ≤ map h (𝓝 d)
⊢ Tendsto f (comap g (𝓝 d)) (𝓝 a)

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
i : α → β
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : γ → α
g : γ → δ
h : δ → β
d : δ
a : α
di : IsDenseInducing i
H : Tendsto h (𝓝 d) (𝓝 (i a))
comm : h ∘ g = i ∘ f
lim1 : map f (comap g (𝓝 d)) ≤ comap i (map h (𝓝 d))
lim2 : comap i (map h (𝓝 d)) ≤ 𝓝 a
⊢ Tendsto f (comap g (𝓝 d)) (𝓝 a)

Tactic:
exact le_trans lim1 lim2

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
i : α → β
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : γ → α
g : γ → δ
h : δ → β
d : δ
a : α
di : IsDenseInducing i
H : Tendsto h (𝓝 d) (𝓝 (i a))
comm : h ∘ g = i ∘ f
lim1 : map f (comap g (𝓝 d)) ≤ comap i (map h (𝓝 d))
lim2 : comap i (map h (𝓝 d)) ≤ comap i (𝓝 (i a))
⊢ Tendsto f (comap g (𝓝 d)) (𝓝 a)

Tactic:
rw [← di.nhds_eq_comap] at lim2

Result:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
i : α → β
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : γ → α
g : γ → δ
h : δ → β
d : δ
a : α
di : IsDenseInducing i
H : Tendsto h (𝓝 d) (𝓝 (i a))
comm : h ∘ g = i ∘ f
lim1 : map f (comap g (𝓝 d)) ≤ comap i (map h (𝓝 d))
lim2 : comap i (map h (𝓝 d)) ≤ 𝓝 a
⊢ Tendsto f (comap g (𝓝 d)) (𝓝 a)

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
i : α → β
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : γ → α
g : γ → δ
h : δ → β
d : δ
a : α
di : IsDenseInducing i
H : Tendsto h (𝓝 d) (𝓝 (i a))
comm : h ∘ g = i ∘ f
lim1 : map f (comap g (𝓝 d)) ≤ comap i (map h (𝓝 d))
⊢ Tendsto f (comap g (𝓝 d)) (𝓝 a)

Tactic:
have lim2 : comap i (map h (𝓝 d)) ≤ comap i (𝓝 (i a)) := comap_mono H

Result:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
i : α → β
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : γ → α
g : γ → δ
h : δ → β
d : δ
a : α
di : IsDenseInducing i
H : Tendsto h (𝓝 d) (𝓝 (i a))
comm : h ∘ g = i ∘ f
lim1 : map f (comap g (𝓝 d)) ≤ comap i (map h (𝓝 d))
lim2 : comap i (map h (𝓝 d)) ≤ comap i (𝓝 (i a))
⊢ Tendsto f (comap g (𝓝 d)) (𝓝 a)