-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Increment.lean
private lemma pairwiseDisjoint_distinctPairs :
    (P.parts.offDiag.attach : Set {x // x ∈ P.parts.offDiag}).PairwiseDisjoint
      (distinctPairs hP G ε)

Proof state:
case mk.mk.mk.mk.mk
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s₁ s₂ : Finset α
hs : (s₁, s₂) ∈ P.parts.offDiag
a✝¹ : ⟨(s₁, s₂), hs⟩ ∈ ↑P.parts.offDiag.attach
t₁ t₂ : Finset α
ht : (t₁, t₂) ∈ P.parts.offDiag
a✝ : ⟨(t₁, t₂), ht⟩ ∈ ↑P.parts.offDiag.attach
hst : ⟨(s₁, s₂), hs⟩ ≠ ⟨(t₁, t₂), ht⟩
u v : Finset α
huv₁ : (u, v).1 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts ∧ (u, v).2 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts
huv₂ : (u, v).1 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts ∧ (u, v).2 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts
⊢ False

Tactic:
rw [mem_offDiag] at hs ht

Result:
case mk.mk.mk.mk.mk
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s₁ s₂ : Finset α
hs✝ : (s₁, s₂) ∈ P.parts.offDiag
hs : (s₁, s₂).1 ∈ P.parts ∧ (s₁, s₂).2 ∈ P.parts ∧ (s₁, s₂).1 ≠ (s₁, s₂).2
a✝¹ : ⟨(s₁, s₂), hs✝⟩ ∈ ↑P.parts.offDiag.attach
t₁ t₂ : Finset α
ht✝ : (t₁, t₂) ∈ P.parts.offDiag
ht : (t₁, t₂).1 ∈ P.parts ∧ (t₁, t₂).2 ∈ P.parts ∧ (t₁, t₂).1 ≠ (t₁, t₂).2
a✝ : ⟨(t₁, t₂), ht✝⟩ ∈ ↑P.parts.offDiag.attach
hst : ⟨(s₁, s₂), hs✝⟩ ≠ ⟨(t₁, t₂), ht✝⟩
u v : Finset α
huv₁ : (u, v).1 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts ∧ (u, v).2 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts
huv₂ : (u, v).1 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts ∧ (u, v).2 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts
⊢ False

Proof state:
case mk.mk.mk.mk.mk.intro.intro
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s₁ s₂ : Finset α
hs✝ : (s₁, s₂) ∈ P.parts.offDiag
hs : (s₁, s₂).1 ∈ P.parts ∧ (s₁, s₂).2 ∈ P.parts ∧ (s₁, s₂).1 ≠ (s₁, s₂).2
a✝¹ : ⟨(s₁, s₂), hs✝⟩ ∈ ↑P.parts.offDiag.attach
t₁ t₂ : Finset α
ht✝ : (t₁, t₂) ∈ P.parts.offDiag
ht : (t₁, t₂).1 ∈ P.parts ∧ (t₁, t₂).2 ∈ P.parts ∧ (t₁, t₂).1 ≠ (t₁, t₂).2
a✝ : ⟨(t₁, t₂), ht✝⟩ ∈ ↑P.parts.offDiag.attach
hst : ⟨(s₁, s₂), hs✝⟩ ≠ ⟨(t₁, t₂), ht✝⟩
u v : Finset α
huv₁ : (u, v).1 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts ∧ (u, v).2 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts
huv₂ : (u, v).1 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts ∧ (u, v).2 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts
a : α
ha : a ∈ (u, v).1
b : α
hb : b ∈ (u, v).2
⊢ False

Tactic:
exact hst <| Subtype.ext_val <| Prod.ext
  (P.disjoint.elim_finset hs.1 ht.1 a (Finpartition.le _ huv₁.1 ha) <|
    Finpartition.le _ huv₂.1 ha) <|
      P.disjoint.elim_finset hs.2.1 ht.2.1 b (Finpartition.le _ huv₁.2 hb) <|
        Finpartition.le _ huv₂.2 hb

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
⊢ (↑P.parts.offDiag.attach).Pairwise fun x y =>
    ∀ ⦃a : Finset α × Finset α⦄,
      a.1 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts ∧ a.2 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts →
        ¬(a.1 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts ∧ a.2 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts)

Tactic:
rintro ⟨⟨s₁, s₂⟩, hs⟩ _ ⟨⟨t₁, t₂⟩, ht⟩ _ hst ⟨u, v⟩ huv₁ huv₂

Result:
case mk.mk.mk.mk.mk
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s₁ s₂ : Finset α
hs : (s₁, s₂) ∈ P.parts.offDiag
a✝¹ : ⟨(s₁, s₂), hs⟩ ∈ ↑P.parts.offDiag.attach
t₁ t₂ : Finset α
ht : (t₁, t₂) ∈ P.parts.offDiag
a✝ : ⟨(t₁, t₂), ht⟩ ∈ ↑P.parts.offDiag.attach
hst : ⟨(s₁, s₂), hs⟩ ≠ ⟨(t₁, t₂), ht⟩
u v : Finset α
huv₁ : (u, v).1 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts ∧ (u, v).2 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts
huv₂ : (u, v).1 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts ∧ (u, v).2 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts
⊢ False

Proof state:
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
⊢ (↑P.parts.offDiag.attach).PairwiseDisjoint (SzemerediRegularity.distinctPairs hP G ε)

Tactic:
simp (config := { unfoldPartialApp := true }) only [distinctPairs, Set.PairwiseDisjoint,
  Function.onFun, disjoint_left, inf_eq_inter, mem_inter, mem_product]

Result:
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
⊢ (↑P.parts.offDiag.attach).Pairwise fun x y =>
    ∀ ⦃a : Finset α × Finset α⦄,
      a.1 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts ∧ a.2 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts →
        ¬(a.1 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts ∧ a.2 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts)

Proof state:
case mk.mk.mk.mk.mk
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s₁ s₂ : Finset α
hs✝ : (s₁, s₂) ∈ P.parts.offDiag
hs : (s₁, s₂).1 ∈ P.parts ∧ (s₁, s₂).2 ∈ P.parts ∧ (s₁, s₂).1 ≠ (s₁, s₂).2
a✝¹ : ⟨(s₁, s₂), hs✝⟩ ∈ ↑P.parts.offDiag.attach
t₁ t₂ : Finset α
ht✝ : (t₁, t₂) ∈ P.parts.offDiag
ht : (t₁, t₂).1 ∈ P.parts ∧ (t₁, t₂).2 ∈ P.parts ∧ (t₁, t₂).1 ≠ (t₁, t₂).2
a✝ : ⟨(t₁, t₂), ht✝⟩ ∈ ↑P.parts.offDiag.attach
hst : ⟨(s₁, s₂), hs✝⟩ ≠ ⟨(t₁, t₂), ht✝⟩
u v : Finset α
huv₁ : (u, v).1 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts ∧ (u, v).2 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts
huv₂ : (u, v).1 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts ∧ (u, v).2 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts
⊢ False

Tactic:
obtain ⟨a, ha⟩ := Finpartition.nonempty_of_mem_parts _ huv₁.1

Result:
case mk.mk.mk.mk.mk.intro
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s₁ s₂ : Finset α
hs✝ : (s₁, s₂) ∈ P.parts.offDiag
hs : (s₁, s₂).1 ∈ P.parts ∧ (s₁, s₂).2 ∈ P.parts ∧ (s₁, s₂).1 ≠ (s₁, s₂).2
a✝¹ : ⟨(s₁, s₂), hs✝⟩ ∈ ↑P.parts.offDiag.attach
t₁ t₂ : Finset α
ht✝ : (t₁, t₂) ∈ P.parts.offDiag
ht : (t₁, t₂).1 ∈ P.parts ∧ (t₁, t₂).2 ∈ P.parts ∧ (t₁, t₂).1 ≠ (t₁, t₂).2
a✝ : ⟨(t₁, t₂), ht✝⟩ ∈ ↑P.parts.offDiag.attach
hst : ⟨(s₁, s₂), hs✝⟩ ≠ ⟨(t₁, t₂), ht✝⟩
u v : Finset α
huv₁ : (u, v).1 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts ∧ (u, v).2 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts
huv₂ : (u, v).1 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts ∧ (u, v).2 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts
a : α
ha : a ∈ (u, v).1
⊢ False

Proof state:
case mk.mk.mk.mk.mk.intro
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s₁ s₂ : Finset α
hs✝ : (s₁, s₂) ∈ P.parts.offDiag
hs : (s₁, s₂).1 ∈ P.parts ∧ (s₁, s₂).2 ∈ P.parts ∧ (s₁, s₂).1 ≠ (s₁, s₂).2
a✝¹ : ⟨(s₁, s₂), hs✝⟩ ∈ ↑P.parts.offDiag.attach
t₁ t₂ : Finset α
ht✝ : (t₁, t₂) ∈ P.parts.offDiag
ht : (t₁, t₂).1 ∈ P.parts ∧ (t₁, t₂).2 ∈ P.parts ∧ (t₁, t₂).1 ≠ (t₁, t₂).2
a✝ : ⟨(t₁, t₂), ht✝⟩ ∈ ↑P.parts.offDiag.attach
hst : ⟨(s₁, s₂), hs✝⟩ ≠ ⟨(t₁, t₂), ht✝⟩
u v : Finset α
huv₁ : (u, v).1 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts ∧ (u, v).2 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts
huv₂ : (u, v).1 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts ∧ (u, v).2 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts
a : α
ha : a ∈ (u, v).1
⊢ False

Tactic:
obtain ⟨b, hb⟩ := Finpartition.nonempty_of_mem_parts _ huv₁.2

Result:
case mk.mk.mk.mk.mk.intro.intro
α : Type u_1
inst✝² : Fintype α
inst✝¹ : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
s₁ s₂ : Finset α
hs✝ : (s₁, s₂) ∈ P.parts.offDiag
hs : (s₁, s₂).1 ∈ P.parts ∧ (s₁, s₂).2 ∈ P.parts ∧ (s₁, s₂).1 ≠ (s₁, s₂).2
a✝¹ : ⟨(s₁, s₂), hs✝⟩ ∈ ↑P.parts.offDiag.attach
t₁ t₂ : Finset α
ht✝ : (t₁, t₂) ∈ P.parts.offDiag
ht : (t₁, t₂).1 ∈ P.parts ∧ (t₁, t₂).2 ∈ P.parts ∧ (t₁, t₂).1 ≠ (t₁, t₂).2
a✝ : ⟨(t₁, t₂), ht✝⟩ ∈ ↑P.parts.offDiag.attach
hst : ⟨(s₁, s₂), hs✝⟩ ≠ ⟨(t₁, t₂), ht✝⟩
u v : Finset α
huv₁ : (u, v).1 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts ∧ (u, v).2 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts
huv₂ : (u, v).1 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts ∧ (u, v).2 ∈ (chunk hP G ε ⋯).parts
a : α
ha : a ∈ (u, v).1
b : α
hb : b ∈ (u, v).2
⊢ False