-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/Bochner.lean
theorem MemLp.eLpNorm_eq_integral_rpow_norm {f : α → H} {p : ℝ≥0∞} (hp1 : p ≠ 0) (hp2 : p ≠ ∞)
    (hf : MemLp f p μ) :
    eLpNorm f p μ = ENNReal.ofReal ((∫ a, ‖f a‖ ^ p.toReal ∂μ) ^ p.toReal⁻¹)

Proof state:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : MemLp f p μ
A : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p.toReal) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ‖f a‖ₑ ^ p.toReal ∂μ
⊢ ∫⁻ (a : α), ‖f a‖ₑ ^ p.toReal ∂μ ≠ ⊤

Tactic:
exact (lintegral_rpow_enorm_lt_top_of_eLpNorm_lt_top hp1 hp2 hf.2).ne

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : MemLp f p μ
⊢ ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p.toReal) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ‖f a‖ₑ ^ p.toReal ∂μ

Tactic:
simp_rw [← ofReal_rpow_of_nonneg (norm_nonneg _) toReal_nonneg, ofReal_norm_eq_enorm]

Result:
no goals

Proof state:
case hfm
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : MemLp f p μ
A : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p.toReal) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ‖f a‖ₑ ^ p.toReal ∂μ
⊢ AEStronglyMeasurable (fun a => ‖f a‖ ^ p.toReal) μ

Tactic:
exact (hf.aestronglyMeasurable.norm.aemeasurable.pow_const _).aestronglyMeasurable

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : MemLp f p μ
A : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p.toReal) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ‖f a‖ₑ ^ p.toReal ∂μ
⊢ (∫⁻ (x : α), ‖f x‖ₑ ^ p.toReal ∂μ) ^ p.toReal⁻¹ = ENNReal.ofReal ((∫ (a : α), ‖f a‖ ^ p.toReal ∂μ) ^ p.toReal⁻¹)

Tactic:
rw [integral_eq_lintegral_of_nonneg_ae]

Result:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : MemLp f p μ
A : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p.toReal) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ‖f a‖ₑ ^ p.toReal ∂μ
⊢ (∫⁻ (x : α), ‖f x‖ₑ ^ p.toReal ∂μ) ^ p.toReal⁻¹ =
    ENNReal.ofReal ((∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p.toReal) ∂μ).toReal ^ p.toReal⁻¹)

case hf
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : MemLp f p μ
A : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p.toReal) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ‖f a‖ₑ ^ p.toReal ∂μ
⊢ 0 ≤ᶠ[ae μ] fun a => ‖f a‖ ^ p.toReal

case hfm
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : MemLp f p μ
A : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p.toReal) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ‖f a‖ₑ ^ p.toReal ∂μ
⊢ AEStronglyMeasurable (fun a => ‖f a‖ ^ p.toReal) μ

Proof state:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : MemLp f p μ
A : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p.toReal) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ‖f a‖ₑ ^ p.toReal ∂μ
⊢ (∫⁻ (x : α), ‖f x‖ₑ ^ p.toReal ∂μ) ^ p.toReal⁻¹ =
    ENNReal.ofReal ((∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p.toReal) ∂μ).toReal ^ p.toReal⁻¹)

Tactic:
rw [A, ← ofReal_rpow_of_nonneg toReal_nonneg (inv_nonneg.2 toReal_nonneg), ofReal_toReal]

Result:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : MemLp f p μ
A : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p.toReal) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ‖f a‖ₑ ^ p.toReal ∂μ
⊢ ∫⁻ (a : α), ‖f a‖ₑ ^ p.toReal ∂μ ≠ ⊤

Proof state:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : MemLp f p μ
A : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p.toReal) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ‖f a‖ₑ ^ p.toReal ∂μ
⊢ (∫⁻ (x : α), ‖f x‖ₑ ^ p.toReal ∂μ) ^ p.toReal⁻¹ =
    ENNReal.ofReal ((∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p.toReal) ∂μ).toReal ^ p.toReal⁻¹)

case hf
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : MemLp f p μ
A : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p.toReal) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ‖f a‖ₑ ^ p.toReal ∂μ
⊢ 0 ≤ᶠ[ae μ] fun a => ‖f a‖ ^ p.toReal

case hfm
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : MemLp f p μ
A : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p.toReal) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ‖f a‖ₑ ^ p.toReal ∂μ
⊢ AEStronglyMeasurable (fun a => ‖f a‖ ^ p.toReal) μ

Tactic:
rotate_left

Result:
case hf
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : MemLp f p μ
A : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p.toReal) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ‖f a‖ₑ ^ p.toReal ∂μ
⊢ 0 ≤ᶠ[ae μ] fun a => ‖f a‖ ^ p.toReal

case hfm
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : MemLp f p μ
A : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p.toReal) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ‖f a‖ₑ ^ p.toReal ∂μ
⊢ AEStronglyMeasurable (fun a => ‖f a‖ ^ p.toReal) μ

α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : MemLp f p μ
A : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p.toReal) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ‖f a‖ₑ ^ p.toReal ∂μ
⊢ (∫⁻ (x : α), ‖f x‖ₑ ^ p.toReal ∂μ) ^ p.toReal⁻¹ =
    ENNReal.ofReal ((∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p.toReal) ∂μ).toReal ^ p.toReal⁻¹)

Proof state:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : MemLp f p μ
⊢ eLpNorm f p μ = ENNReal.ofReal ((∫ (a : α), ‖f a‖ ^ p.toReal ∂μ) ^ p.toReal⁻¹)

Tactic:
have A : ∫⁻ a : α, ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p.toReal) ∂μ = ∫⁻ a : α, ‖f a‖ₑ ^ p.toReal ∂μ := by
  simp_rw [← ofReal_rpow_of_nonneg (norm_nonneg _) toReal_nonneg, ofReal_norm_eq_enorm]

Result:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : MemLp f p μ
A : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p.toReal) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ‖f a‖ₑ ^ p.toReal ∂μ
⊢ eLpNorm f p μ = ENNReal.ofReal ((∫ (a : α), ‖f a‖ ^ p.toReal ∂μ) ^ p.toReal⁻¹)

Proof state:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : MemLp f p μ
A : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p.toReal) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ‖f a‖ₑ ^ p.toReal ∂μ
⊢ eLpNorm f p μ = ENNReal.ofReal ((∫ (a : α), ‖f a‖ ^ p.toReal ∂μ) ^ p.toReal⁻¹)

Tactic:
simp only [eLpNorm_eq_lintegral_rpow_enorm hp1 hp2, one_div]

Result:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : MemLp f p μ
A : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p.toReal) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ‖f a‖ₑ ^ p.toReal ∂μ
⊢ (∫⁻ (x : α), ‖f x‖ₑ ^ p.toReal ∂μ) ^ p.toReal⁻¹ = ENNReal.ofReal ((∫ (a : α), ‖f a‖ ^ p.toReal ∂μ) ^ p.toReal⁻¹)

Proof state:
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : MemLp f p μ
A : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p.toReal) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ‖f a‖ₑ ^ p.toReal ∂μ
x : α
⊢ 0 x ≤ (fun a => ‖f a‖ ^ p.toReal) x

Tactic:
positivity

Result:
no goals

Proof state:
case hf
α : Type u_1
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
H : Type u_7
inst✝ : NormedAddCommGroup H
f : α → H
p : ℝ≥0∞
hp1 : p ≠ 0
hp2 : p ≠ ⊤
hf : MemLp f p μ
A : ∫⁻ (a : α), ENNReal.ofReal (‖f a‖ ^ p.toReal) ∂μ = ∫⁻ (a : α), ‖f a‖ₑ ^ p.toReal ∂μ
⊢ 0 ≤ᶠ[ae μ] fun a => ‖f a‖ ^ p.toReal

Tactic:
exact ae_of_all _ fun x => by positivity

Result:
no goals