-- Mathlib/Computability/TMConfig.lean
theorem cont_eval_fix {f k v} (fok : Code.Ok f) :
    Turing.eval step (stepNormal f (Cont.fix f k) v) =
      f.fix.eval v >>= fun v => Turing.eval step (Cfg.ret k v)

Proof state:
case intro.intro.intro.intro
f : Code
k : Cont
v : List ℕ
fok : f.Ok
x : Cfg
this :
  ∀ (c : Cfg),
    x ∈ eval step c →
      ∀ (v : List ℕ) (c' : Cfg),
        c = c'.then (Cont.fix f k) →
          Reaches step (stepNormal f Cont.halt v) c' →
            ∃ v₁ ∈ f.eval v,
              ∃ v₂ ∈ if v₁.headI = 0 then pure v₁.tail else f.fix.eval v₁.tail, x ∈ eval step (Cfg.ret k v₂)
h : x ∈ eval step (stepNormal f (Cont.fix f k) v)
v₁ : List ℕ
hv₁ : v₁ ∈ f.eval v
v₂ : List ℕ
hv₂ : v₂ ∈ if v₁.headI = 0 then pure v₁.tail else f.fix.eval v₁.tail
h₃ : x ∈ eval step (Cfg.ret k v₂)
⊢ Sum.inl v₂ ∈ Part.some (if v₁.headI = 0 then Sum.inl v₁.tail else Sum.inr v₁.tail) ∨
    ∃ a',
      Sum.inr a' ∈ Part.some (if v₁.headI = 0 then Sum.inl v₁.tail else Sum.inr v₁.tail) ∧
        v₂ ∈
          PFun.fix (fun v => Part.map (fun v => if v.headI = 0 then Sum.inl v.tail else Sum.inr v.tail) (f.eval v)) a'

Tactic:
split_ifs at hv₂ ⊢

Result:
case pos
f : Code
k : Cont
v : List ℕ
fok : f.Ok
x : Cfg
this :
  ∀ (c : Cfg),
    x ∈ eval step c →
      ∀ (v : List ℕ) (c' : Cfg),
        c = c'.then (Cont.fix f k) →
          Reaches step (stepNormal f Cont.halt v) c' →
            ∃ v₁ ∈ f.eval v,
              ∃ v₂ ∈ if v₁.headI = 0 then pure v₁.tail else f.fix.eval v₁.tail, x ∈ eval step (Cfg.ret k v₂)
h : x ∈ eval step (stepNormal f (Cont.fix f k) v)
v₁ : List ℕ
hv₁ : v₁ ∈ f.eval v
v₂ : List ℕ
h₃ : x ∈ eval step (Cfg.ret k v₂)
h✝ : v₁.headI = 0
hv₂ : v₂ ∈ pure v₁.tail
⊢ Sum.inl v₂ ∈ Part.some (Sum.inl v₁.tail) ∨
    ∃ a',
      Sum.inr a' ∈ Part.some (Sum.inl v₁.tail) ∧
        v₂ ∈
          PFun.fix (fun v => Part.map (fun v => if v.headI = 0 then Sum.inl v.tail else Sum.inr v.tail) (f.eval v)) a'

case neg
f : Code
k : Cont
v : List ℕ
fok : f.Ok
x : Cfg
this :
  ∀ (c : Cfg),
    x ∈ eval step c →
      ∀ (v : List ℕ) (c' : Cfg),
        c = c'.then (Cont.fix f k) →
          Reaches step (stepNormal f Cont.halt v) c' →
            ∃ v₁ ∈ f.eval v,
              ∃ v₂ ∈ if v₁.headI = 0 then pure v₁.tail else f.fix.eval v₁.tail, x ∈ eval step (Cfg.ret k v₂)
h : x ∈ eval step (stepNormal f (Cont.fix f k) v)
v₁ : List ℕ
hv₁ : v₁ ∈ f.eval v
v₂ : List ℕ
h₃ : x ∈ eval step (Cfg.ret k v₂)
h✝ : ¬v₁.headI = 0
hv₂ : v₂ ∈ f.fix.eval v₁.tail
⊢ Sum.inl v₂ ∈ Part.some (Sum.inr v₁.tail) ∨
    ∃ a',
      Sum.inr a' ∈ Part.some (Sum.inr v₁.tail) ∧
        v₂ ∈
          PFun.fix (fun v => Part.map (fun v => if v.headI = 0 then Sum.inl v.tail else Sum.inr v.tail) (f.eval v)) a'

Proof state:
case pos
f : Code
k : Cont
v✝ : List ℕ
fok : f.Ok
x : Cfg
v'✝ : List ℕ
he✝¹ : v'✝ ∈ f.fix.eval v✝
hr✝ : x ∈ eval step (Cfg.ret k v'✝)
hr : x ∈ eval step (stepRet k v'✝)
v : List ℕ
he✝ : v'✝ ∈ f.fix.eval v
IH :
  ∀ (a'' : List ℕ),
    Sum.inr a'' ∈ Part.map (fun v => if v.headI = 0 then Sum.inl v.tail else Sum.inr v.tail) (f.eval v) →
      x ∈ eval step (stepNormal f (Cont.fix f k) a'')
he : Sum.inl v'✝ ∈ Part.map (fun v => if v.headI = 0 then Sum.inl v.tail else Sum.inr v.tail) (f.eval v)
v' : List ℕ
he₁ : v' ∈ f.eval v
h : v'.headI = 0
he₂ : Sum.inl v'.tail = Sum.inl v'✝
⊢ ∃ a ∈ f.eval v, x ∈ eval step (Cfg.ret (Cont.fix f k) a)

Tactic:
cases he₂

Result:
case pos.refl
f : Code
k : Cont
v✝ : List ℕ
fok : f.Ok
x : Cfg
v : List ℕ
IH :
  ∀ (a'' : List ℕ),
    Sum.inr a'' ∈ Part.map (fun v => if v.headI = 0 then Sum.inl v.tail else Sum.inr v.tail) (f.eval v) →
      x ∈ eval step (stepNormal f (Cont.fix f k) a'')
v' : List ℕ
he₁ : v' ∈ f.eval v
h : v'.headI = 0
he✝¹ : v'.tail ∈ f.fix.eval v✝
hr✝ : x ∈ eval step (Cfg.ret k v'.tail)
hr : x ∈ eval step (stepRet k v'.tail)
he✝ : v'.tail ∈ f.fix.eval v
he : Sum.inl v'.tail ∈ Part.map (fun v => if v.headI = 0 then Sum.inl v.tail else Sum.inr v.tail) (f.eval v)
⊢ ∃ a ∈ f.eval v, x ∈ eval step (Cfg.ret (Cont.fix f k) a)

Proof state:
case mp
f : Code
k : Cont
v : List ℕ
fok : f.Ok
x : Cfg
⊢ ∀ (c : Cfg),
    x ∈ eval step c →
      ∀ (v : List ℕ) (c' : Cfg),
        c = c'.then (Cont.fix f k) →
          Reaches step (stepNormal f Cont.halt v) c' →
            ∃ v₁ ∈ f.eval v,
              ∃ v₂ ∈ if v₁.headI = 0 then pure v₁.tail else f.fix.eval v₁.tail, x ∈ eval step (Cfg.ret k v₂)

Tactic:
refine fun c he => evalInduction he fun y h IH => ?_

Result:
case mp
f : Code
k : Cont
v : List ℕ
fok : f.Ok
x c : Cfg
he : x ∈ eval step c
y : Cfg
h : x ∈ eval step y
IH :
  ∀ (a' : Cfg),
    step y = some a' →
      ∀ (v : List ℕ) (c' : Cfg),
        a' = c'.then (Cont.fix f k) →
          Reaches step (stepNormal f Cont.halt v) c' →
            ∃ v₁ ∈ f.eval v,
              ∃ v₂ ∈ if v₁.headI = 0 then pure v₁.tail else f.fix.eval v₁.tail, x ∈ eval step (Cfg.ret k v₂)
⊢ ∀ (v : List ℕ) (c' : Cfg),
    y = c'.then (Cont.fix f k) →
      Reaches step (stepNormal f Cont.halt v) c' →
        ∃ v₁ ∈ f.eval v, ∃ v₂ ∈ if v₁.headI = 0 then pure v₁.tail else f.fix.eval v₁.tail, x ∈ eval step (Cfg.ret k v₂)

Proof state:
case mpr.intro.intro
f : Code
k : Cont
v : List ℕ
fok : f.Ok
x : Cfg
v' : List ℕ
he : v' ∈ f.fix.eval v
hr : x ∈ eval step (Cfg.ret k v')
⊢ Reaches step (Cfg.ret k v') ?m.138575

Tactic:
exact ReflTransGen.single rfl

Result:
no goals

Proof state:
f : Code
k : Cont
v : List ℕ
fok : f.Ok
x : Cfg
this :
  ∀ (c : Cfg),
    x ∈ eval step c →
      ∀ (v : List ℕ) (c' : Cfg),
        c = c'.then (Cont.fix f k) →
          Reaches step (stepNormal f Cont.halt v) c' →
            ∃ v₁ ∈ f.eval v,
              ∃ v₂ ∈ if v₁.headI = 0 then pure v₁.tail else f.fix.eval v₁.tail, x ∈ eval step (Cfg.ret k v₂)
⊢ x ∈ eval step (stepNormal f (Cont.fix f k) v) → ∃ a ∈ f.fix.eval v, x ∈ eval step (Cfg.ret k a)

Tactic:
intro h

Result:
f : Code
k : Cont
v : List ℕ
fok : f.Ok
x : Cfg
this :
  ∀ (c : Cfg),
    x ∈ eval step c →
      ∀ (v : List ℕ) (c' : Cfg),
        c = c'.then (Cont.fix f k) →
          Reaches step (stepNormal f Cont.halt v) c' →
            ∃ v₁ ∈ f.eval v,
              ∃ v₂ ∈ if v₁.headI = 0 then pure v₁.tail else f.fix.eval v₁.tail, x ∈ eval step (Cfg.ret k v₂)
h : x ∈ eval step (stepNormal f (Cont.fix f k) v)
⊢ ∃ a ∈ f.fix.eval v, x ∈ eval step (Cfg.ret k a)