-- Mathlib/MeasureTheory/Function/UniformIntegrable.lean
theorem ae_eq (hf : UnifIntegrable f p μ) (hfg : ∀ n, f n =ᵐ[μ] g n) :
    UnifIntegrable g p μ

Proof state:
case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifIntegrable f p μ
hfg : ∀ (n : ι), f n =ᶠ[ae μ] g n
ε : ℝ
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ_pos : 0 < δ
hfδ :
  ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
n : ι
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≤ ENNReal.ofReal δ
⊢ s.indicator (g n) =ᶠ[ae μ] s.indicator (f n)

Tactic:
filter_upwards [hfg n] with x hx

Result:
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifIntegrable f p μ
hfg : ∀ (n : ι), f n =ᶠ[ae μ] g n
ε : ℝ
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ_pos : 0 < δ
hfδ :
  ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
n : ι
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≤ ENNReal.ofReal δ
x : α
hx : f n x = g n x
⊢ s.indicator (g n) x = s.indicator (f n) x

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifIntegrable f p μ
hfg : ∀ (n : ι), f n =ᶠ[ae μ] g n
⊢ UnifIntegrable g p μ

Tactic:
intro ε hε

Result:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifIntegrable f p μ
hfg : ∀ (n : ι), f n =ᶠ[ae μ] g n
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∃ δ,
    ∃ (_ : 0 < δ),
      ∀ (i : ι) (s : Set α),
        MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifIntegrable f p μ
hfg : ∀ (n : ι), f n =ᶠ[ae μ] g n
⊢ UnifIntegrable g p μ

Tactic:
classical
intro ε hε
obtain ⟨δ, hδ_pos, hfδ⟩ := hf hε
refine ⟨δ, hδ_pos, fun n s hs hμs => (le_of_eq <| eLpNorm_congr_ae ?_).trans (hfδ n s hs hμs)⟩
filter_upwards [hfg n] with x hx
simp_rw [Set.indicator_apply, hx]

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifIntegrable f p μ
hfg : ∀ (n : ι), f n =ᶠ[ae μ] g n
ε : ℝ
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ_pos : 0 < δ
hfδ :
  ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
⊢ ∃ δ,
    ∃ (_ : 0 < δ),
      ∀ (i : ι) (s : Set α),
        MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε

Tactic:
refine ⟨δ, hδ_pos, fun n s hs hμs => (le_of_eq <| eLpNorm_congr_ae ?_).trans (hfδ n s hs hμs)⟩

Result:
case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifIntegrable f p μ
hfg : ∀ (n : ι), f n =ᶠ[ae μ] g n
ε : ℝ
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ_pos : 0 < δ
hfδ :
  ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
n : ι
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≤ ENNReal.ofReal δ
⊢ s.indicator (g n) =ᶠ[ae μ] s.indicator (f n)

Proof state:
case h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifIntegrable f p μ
hfg : ∀ (n : ι), f n =ᶠ[ae μ] g n
ε : ℝ
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ_pos : 0 < δ
hfδ :
  ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
n : ι
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≤ ENNReal.ofReal δ
x : α
hx : f n x = g n x
⊢ s.indicator (g n) x = s.indicator (f n) x

Tactic:
simp_rw [Set.indicator_apply, hx]

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifIntegrable f p μ
hfg : ∀ (n : ι), f n =ᶠ[ae μ] g n
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∃ δ,
    ∃ (_ : 0 < δ),
      ∀ (i : ι) (s : Set α),
        MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε

Tactic:
obtain ⟨δ, hδ_pos, hfδ⟩ := hf hε

Result:
case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifIntegrable f p μ
hfg : ∀ (n : ι), f n =ᶠ[ae μ] g n
ε : ℝ
hε : 0 < ε
δ : ℝ
hδ_pos : 0 < δ
hfδ :
  ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
⊢ ∃ δ,
    ∃ (_ : 0 < δ),
      ∀ (i : ι) (s : Set α),
        MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (g i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε