-- Mathlib/Order/KonigLemma.lean
theorem exists_seq_forall_proj_of_forall_finite {α : ℕ → Type*} [Finite (α 0)] [∀ i, Nonempty (α i)]
    (π : {i j : ℕ} → (hij : i ≤ j) → α j → α i)
    (π_refl : ∀ ⦃i⦄ (a : α i), π rfl.le a = a)
    (π_trans : ∀ ⦃i j k⦄ (hij : i ≤ j) (hjk : j ≤ k) a, π hij (π hjk a) = π (hij.trans hjk) a)
    (hfin : ∀ i a, {b : α (i+1) | π (Nat.le_add_right i 1) b = a}.Finite) :
    ∃ f : (i : ℕ) → α i, ∀ ⦃i j⦄ (hij : i ≤ j), π hij (f j) = f i

Proof state:
α : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : Finite (α 0)
inst✝ : ∀ (i : ℕ), Nonempty (α i)
π : {i j : ℕ} → i ≤ j → α j → α i
π_refl : ∀ ⦃i : ℕ⦄ (a : α i), π ⋯ a = a
π_trans : ∀ ⦃i j k : ℕ⦄ (hij : i ≤ j) (hjk : j ≤ k) (a : α k), π hij (π hjk a) = π ⋯ a
hfin : ∀ (i : ℕ) (a : α i), {b | π ⋯ b = a}.Finite
αs : Type u_1 := (i : ℕ) × α i
x✝² : PartialOrder αs := PartialOrder.mk ⋯
hcovby : ∀ {a b : αs}, a ⋖ b ↔ a ≤ b ∧ a.fst + 1 = b.fst
this : IsStronglyAtomic αs
a₀ : αs
ha₀ : a₀.fst = 0
ha₀inf : (Ici a₀).Infinite
x✝¹ : αs
i : ℕ
a : α i
j : ℕ
b : α j
x✝ : ⟨i, a⟩ ≤ ⟨j, b⟩
hj : i + 1 = j
w✝ : ⟨i, a⟩.fst ≤ ⟨j, b⟩.fst
h✝ : π w✝ ⟨j, b⟩.snd = ⟨i, a⟩.snd
⊢ ⟨i + 1, π ⋯ b⟩ = ⟨j, b⟩

Tactic:
cases hj

Result:
case refl
α : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : Finite (α 0)
inst✝ : ∀ (i : ℕ), Nonempty (α i)
π : {i j : ℕ} → i ≤ j → α j → α i
π_refl : ∀ ⦃i : ℕ⦄ (a : α i), π ⋯ a = a
π_trans : ∀ ⦃i j k : ℕ⦄ (hij : i ≤ j) (hjk : j ≤ k) (a : α k), π hij (π hjk a) = π ⋯ a
hfin : ∀ (i : ℕ) (a : α i), {b | π ⋯ b = a}.Finite
αs : Type u_1 := (i : ℕ) × α i
x✝² : PartialOrder αs := PartialOrder.mk ⋯
hcovby : ∀ {a b : αs}, a ⋖ b ↔ a ≤ b ∧ a.fst + 1 = b.fst
this : IsStronglyAtomic αs
a₀ : αs
ha₀ : a₀.fst = 0
ha₀inf : (Ici a₀).Infinite
x✝¹ : αs
i : ℕ
a : α i
b : α (i + 1)
x✝ : ⟨i, a⟩ ≤ ⟨i + 1, b⟩
w✝ : ⟨i, a⟩.fst ≤ ⟨i + 1, b⟩.fst
h✝ : π w✝ ⟨i + 1, b⟩.snd = ⟨i, a⟩.snd
⊢ ⟨i + 1, π ⋯ b⟩ = ⟨i + 1, b⟩

Proof state:
α : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : Finite (α 0)
inst✝ : ∀ (i : ℕ), Nonempty (α i)
π : {i j : ℕ} → i ≤ j → α j → α i
π_refl : ∀ ⦃i : ℕ⦄ (a : α i), π ⋯ a = a
π_trans : ∀ ⦃i j k : ℕ⦄ (hij : i ≤ j) (hjk : j ≤ k) (a : α k), π hij (π hjk a) = π ⋯ a
hfin : ∀ (i : ℕ) (a : α i), {b | π ⋯ b = a}.Finite
αs : Type u_1 := (i : ℕ) × α i
⊢ ∀ (a b : αs), a ≤ b → b ≤ a → a = b

Tactic:
rintro ⟨i, a⟩ ⟨j, b⟩ ⟨hij : i ≤ j, hab : π hij b = a⟩ ⟨hji : j ≤ i, hba : π hji a = b⟩

Result:
case mk.mk.intro.intro
α : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : Finite (α 0)
inst✝ : ∀ (i : ℕ), Nonempty (α i)
π : {i j : ℕ} → i ≤ j → α j → α i
π_refl : ∀ ⦃i : ℕ⦄ (a : α i), π ⋯ a = a
π_trans : ∀ ⦃i j k : ℕ⦄ (hij : i ≤ j) (hjk : j ≤ k) (a : α k), π hij (π hjk a) = π ⋯ a
hfin : ∀ (i : ℕ) (a : α i), {b | π ⋯ b = a}.Finite
αs : Type u_1 := (i : ℕ) × α i
i : ℕ
a : α i
j : ℕ
b : α j
hij : i ≤ j
hab : π hij b = a
hji : j ≤ i
hba : π hji a = b
⊢ ⟨i, a⟩ = ⟨j, b⟩

Proof state:
case mk.mk.intro.intro
α : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : Finite (α 0)
inst✝ : ∀ (i : ℕ), Nonempty (α i)
π : {i j : ℕ} → i ≤ j → α j → α i
π_refl : ∀ ⦃i : ℕ⦄ (a : α i), π ⋯ a = a
π_trans : ∀ ⦃i j k : ℕ⦄ (hij : i ≤ j) (hjk : j ≤ k) (a : α k), π hij (π hjk a) = π ⋯ a
hfin : ∀ (i : ℕ) (a : α i), {b | π ⋯ b = a}.Finite
αs : Type u_1 := (i : ℕ) × α i
i : ℕ
a : α i
j : ℕ
b : α j
hij : i ≤ j
hab : π hij b = a
hji : j ≤ i
hba : π hji a = b
⊢ ⟨i, a⟩ = ⟨j, b⟩

Tactic:
obtain rfl := hij.antisymm hji

Result:
case mk.mk.intro.intro
α : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : Finite (α 0)
inst✝ : ∀ (i : ℕ), Nonempty (α i)
π : {i j : ℕ} → i ≤ j → α j → α i
π_refl : ∀ ⦃i : ℕ⦄ (a : α i), π ⋯ a = a
π_trans : ∀ ⦃i j k : ℕ⦄ (hij : i ≤ j) (hjk : j ≤ k) (a : α k), π hij (π hjk a) = π ⋯ a
hfin : ∀ (i : ℕ) (a : α i), {b | π ⋯ b = a}.Finite
αs : Type u_1 := (i : ℕ) × α i
i : ℕ
a b : α i
hij : i ≤ i
hab : π hij b = a
hji : i ≤ i
hba : π hji a = b
⊢ ⟨i, a⟩ = ⟨i, b⟩

Proof state:
α : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : Finite (α 0)
inst✝ : ∀ (i : ℕ), Nonempty (α i)
π : {i j : ℕ} → i ≤ j → α j → α i
π_refl : ∀ ⦃i : ℕ⦄ (a : α i), π ⋯ a = a
π_trans : ∀ ⦃i j k : ℕ⦄ (hij : i ≤ j) (hjk : j ≤ k) (a : α k), π hij (π hjk a) = π ⋯ a
hfin : ∀ (i : ℕ) (a : α i), {b | π ⋯ b = a}.Finite
αs : Type u_1 := (i : ℕ) × α i
x✝ : PartialOrder αs := PartialOrder.mk ⋯
hcovby : ∀ {a b : αs}, a ⋖ b ↔ a ≤ b ∧ a.fst + 1 = b.fst
i : ℕ
a : α i
j : ℕ
b : α j
hne : ⟨i, a⟩ ≠ ⟨j, b⟩
hij : i ≤ j
h2 : π hij b = a
hle : i + 1 ≤ j
⊢ ⟨i, a⟩.fst ≤ ⟨i + 1, π hle b⟩.fst

Tactic:
simp

Result:
no goals

Proof state:
case mk.mk.intro.intro
α : ℕ → Type u_1
inst✝¹ : Finite (α 0)
inst✝ : ∀ (i : ℕ), Nonempty (α i)
π : {i j : ℕ} → i ≤ j → α j → α i
π_refl : ∀ ⦃i : ℕ⦄ (a : α i), π ⋯ a = a
π_trans : ∀ ⦃i j k : ℕ⦄ (hij : i ≤ j) (hjk : j ≤ k) (a : α k), π hij (π hjk a) = π ⋯ a
hfin : ∀ (i : ℕ) (a : α i), {b | π ⋯ b = a}.Finite
αs : Type u_1 := (i : ℕ) × α i
x✝ : PartialOrder αs := PartialOrder.mk ⋯
hcovby : ∀ {a b : αs}, a ⋖ b ↔ a ≤ b ∧ a.fst + 1 = b.fst
i : ℕ
a : α i
j : ℕ
b : α j
hne : ⟨i, a⟩ ≠ ⟨j, b⟩
hij : i ≤ j
h2 : π hij b = a
hle : i + 1 ≤ j
⊢ ∃ x, (⟨i, a⟩ ≤ x ∧ ⟨i, a⟩.fst + 1 = x.fst) ∧ x ≤ ⟨j, b⟩

Tactic:
exact ⟨⟨_, π hle b⟩, ⟨⟨by simp, by rw [π_trans, ← h2]⟩, by simp⟩, ⟨hle, by simp⟩⟩

Result:
no goals