-- Mathlib/CategoryTheory/GradedObject/Trifunctor.lean
@[reassoc (attr := simp)]
lemma ι_mapTrifunctorMapMap {X₁ Y₁ : GradedObject I₁ C₁} (f₁ : X₁ ⟶ Y₁)
    {X₂ Y₂ : GradedObject I₂ C₂} (f₂ : X₂ ⟶ Y₂)
    {X₃ Y₃ : GradedObject I₃ C₃} (f₃ : X₃ ⟶ Y₃)
    [HasMap ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃) p]
    [HasMap ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj Y₁).obj Y₂).obj Y₃) p]
    (i₁ : I₁) (i₂ : I₂) (i₃ : I₃) (j : J) (h : p ⟨i₁, i₂, i₃⟩ = j) :
  ιMapTrifunctorMapObj F p X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ mapTrifunctorMapMap F p f₁ f₂ f₃ j =
    ((F.map (f₁ i₁)).app (X₂ i₂)).app (X₃ i₃) ≫
      ((F.obj (Y₁ i₁)).map (f₂ i₂)).app (X₃ i₃) ≫
      ((F.obj (Y₁ i₁)).obj (Y₂ i₂)).map (f₃ i₃) ≫
      ιMapTrifunctorMapObj F p Y₁ Y₂ Y₃ i₁ i₂ i₃ j h

Proof state:
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
inst✝⁵ : Category.{u_11, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{u_12, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{u_13, u_3} C₃
inst✝² : Category.{u_14, u_4} C₄
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
J : Type u_10
p : I₁ × I₂ × I₃ → J
X₁ Y₁ : GradedObject I₁ C₁
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
X₂ Y₂ : GradedObject I₂ C₂
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
X₃ Y₃ : GradedObject I₃ C₃
f₃ : X₃ ⟶ Y₃
inst✝¹ : ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).HasMap p
inst✝ : ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj Y₁).obj Y₂).obj Y₃).HasMap p
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₃ : I₃
j : J
h : p (i₁, i₂, i₃) = j
⊢ ιMapTrifunctorMapObj F p X₁ X₂ X₃ i₁ i₂ i₃ j h ≫ mapTrifunctorMapMap F p f₁ f₂ f₃ j =
    ((F.map (f₁ i₁)).app (X₂ i₂)).app (X₃ i₃) ≫
      ((F.obj (Y₁ i₁)).map (f₂ i₂)).app (X₃ i₃) ≫
        ((F.obj (Y₁ i₁)).obj (Y₂ i₂)).map (f₃ i₃) ≫ ιMapTrifunctorMapObj F p Y₁ Y₂ Y₃ i₁ i₂ i₃ j h

Tactic:
dsimp only [ιMapTrifunctorMapObj, mapTrifunctorMapMap]

Result:
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
inst✝⁵ : Category.{u_11, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{u_12, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{u_13, u_3} C₃
inst✝² : Category.{u_14, u_4} C₄
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
J : Type u_10
p : I₁ × I₂ × I₃ → J
X₁ Y₁ : GradedObject I₁ C₁
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
X₂ Y₂ : GradedObject I₂ C₂
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
X₃ Y₃ : GradedObject I₃ C₃
f₃ : X₃ ⟶ Y₃
inst✝¹ : ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).HasMap p
inst✝ : ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj Y₁).obj Y₂).obj Y₃).HasMap p
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₃ : I₃
j : J
h : p (i₁, i₂, i₃) = j
⊢ ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).ιMapObj p (i₁, i₂, i₃) j h ≫
      mapMap
        ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).map f₁).app X₂).app X₃ ≫
          (((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj Y₁).map f₂).app X₃ ≫ (((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj Y₁).obj Y₂).map f₃)
        p j =
    ((F.map (f₁ i₁)).app (X₂ i₂)).app (X₃ i₃) ≫
      ((F.obj (Y₁ i₁)).map (f₂ i₂)).app (X₃ i₃) ≫
        ((F.obj (Y₁ i₁)).obj (Y₂ i₂)).map (f₃ i₃) ≫
          ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj Y₁).obj Y₂).obj Y₃).ιMapObj p (i₁, i₂, i₃) j h

Proof state:
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
inst✝⁵ : Category.{u_11, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{u_12, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{u_13, u_3} C₃
inst✝² : Category.{u_14, u_4} C₄
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
J : Type u_10
p : I₁ × I₂ × I₃ → J
X₁ Y₁ : GradedObject I₁ C₁
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
X₂ Y₂ : GradedObject I₂ C₂
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
X₃ Y₃ : GradedObject I₃ C₃
f₃ : X₃ ⟶ Y₃
inst✝¹ : ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).HasMap p
inst✝ : ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj Y₁).obj Y₂).obj Y₃).HasMap p
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₃ : I₃
j : J
h : p (i₁, i₂, i₃) = j
⊢ ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).ιMapObj p (i₁, i₂, i₃) j h ≫
      mapMap
        ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).map f₁).app X₂).app X₃ ≫
          (((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj Y₁).map f₂).app X₃ ≫ (((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj Y₁).obj Y₂).map f₃)
        p j =
    ((F.map (f₁ i₁)).app (X₂ i₂)).app (X₃ i₃) ≫
      ((F.obj (Y₁ i₁)).map (f₂ i₂)).app (X₃ i₃) ≫
        ((F.obj (Y₁ i₁)).obj (Y₂ i₂)).map (f₃ i₃) ≫
          ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj Y₁).obj Y₂).obj Y₃).ιMapObj p (i₁, i₂, i₃) j h

Tactic:
rw [ι_mapMap]

Result:
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
inst✝⁵ : Category.{u_11, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{u_12, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{u_13, u_3} C₃
inst✝² : Category.{u_14, u_4} C₄
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
J : Type u_10
p : I₁ × I₂ × I₃ → J
X₁ Y₁ : GradedObject I₁ C₁
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
X₂ Y₂ : GradedObject I₂ C₂
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
X₃ Y₃ : GradedObject I₃ C₃
f₃ : X₃ ⟶ Y₃
inst✝¹ : ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).HasMap p
inst✝ : ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj Y₁).obj Y₂).obj Y₃).HasMap p
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₃ : I₃
j : J
h : p (i₁, i₂, i₃) = j
⊢ ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).map f₁).app X₂).app X₃ ≫
          (((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj Y₁).map f₂).app X₃ ≫ (((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj Y₁).obj Y₂).map f₃)
        (i₁, i₂, i₃) ≫
      ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj Y₁).obj Y₂).obj Y₃).ιMapObj p (i₁, i₂, i₃) j h =
    ((F.map (f₁ i₁)).app (X₂ i₂)).app (X₃ i₃) ≫
      ((F.obj (Y₁ i₁)).map (f₂ i₂)).app (X₃ i₃) ≫
        ((F.obj (Y₁ i₁)).obj (Y₂ i₂)).map (f₃ i₃) ≫
          ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj Y₁).obj Y₂).obj Y₃).ιMapObj p (i₁, i₂, i₃) j h

Proof state:
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
inst✝⁵ : Category.{u_11, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{u_12, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{u_13, u_3} C₃
inst✝² : Category.{u_14, u_4} C₄
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
J : Type u_10
p : I₁ × I₂ × I₃ → J
X₁ Y₁ : GradedObject I₁ C₁
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
X₂ Y₂ : GradedObject I₂ C₂
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
X₃ Y₃ : GradedObject I₃ C₃
f₃ : X₃ ⟶ Y₃
inst✝¹ : ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).HasMap p
inst✝ : ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj Y₁).obj Y₂).obj Y₃).HasMap p
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₃ : I₃
j : J
h : p (i₁, i₂, i₃) = j
⊢ ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).map f₁).app X₂).app X₃ ≫
          (((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj Y₁).map f₂).app X₃ ≫ (((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj Y₁).obj Y₂).map f₃)
        (i₁, i₂, i₃) ≫
      ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj Y₁).obj Y₂).obj Y₃).ιMapObj p (i₁, i₂, i₃) j h =
    ((F.map (f₁ i₁)).app (X₂ i₂)).app (X₃ i₃) ≫
      ((F.obj (Y₁ i₁)).map (f₂ i₂)).app (X₃ i₃) ≫
        ((F.obj (Y₁ i₁)).obj (Y₂ i₂)).map (f₃ i₃) ≫
          ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj Y₁).obj Y₂).obj Y₃).ιMapObj p (i₁, i₂, i₃) j h

Tactic:
dsimp

Result:
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
C₄ : Type u_4
inst✝⁵ : Category.{u_11, u_1} C₁
inst✝⁴ : Category.{u_12, u_2} C₂
inst✝³ : Category.{u_13, u_3} C₃
inst✝² : Category.{u_14, u_4} C₄
F : C₁ ⥤ C₂ ⥤ C₃ ⥤ C₄
I₁ : Type u_7
I₂ : Type u_8
I₃ : Type u_9
J : Type u_10
p : I₁ × I₂ × I₃ → J
X₁ Y₁ : GradedObject I₁ C₁
f₁ : X₁ ⟶ Y₁
X₂ Y₂ : GradedObject I₂ C₂
f₂ : X₂ ⟶ Y₂
X₃ Y₃ : GradedObject I₃ C₃
f₃ : X₃ ⟶ Y₃
inst✝¹ : ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj X₁).obj X₂).obj X₃).HasMap p
inst✝ : ((((mapTrifunctor F I₁ I₂ I₃).obj Y₁).obj Y₂).obj Y₃).HasMap p
i₁ : I₁
i₂ : I₂
i₃ : I₃
j : J
h : p (i₁, i₂, i₃) = j
⊢ (((F.map (f₁ i₁)).app (X₂ i₂)).app (X₃ i₃) ≫
        ((F.obj (Y₁ i₁)).map (f₂ i₂)).app (X₃ i₃) ≫ ((F.obj (Y₁ i₁)).obj (Y₂ i₂)).map (f₃ i₃)) ≫
      (((mapTrifunctorObj F Y₁ I₂ I₃).obj Y₂).obj Y₃).ιMapObj p (i₁, i₂, i₃) j h =
    ((F.map (f₁ i₁)).app (X₂ i₂)).app (X₃ i₃) ≫
      ((F.obj (Y₁ i₁)).map (f₂ i₂)).app (X₃ i₃) ≫
        ((F.obj (Y₁ i₁)).obj (Y₂ i₂)).map (f₃ i₃) ≫
          (((mapTrifunctorObj F Y₁ I₂ I₃).obj Y₂).obj Y₃).ιMapObj p (i₁, i₂, i₃) j h