-- Mathlib/LinearAlgebra/Eigenspace/Pi.lean
lemma independent_iInf_maxGenEigenspace_of_forall_mapsTo
    (h : ∀ i j φ, MapsTo (f i) ((f j).maxGenEigenspace φ) ((f j).maxGenEigenspace φ)) :
    iSupIndep fun χ : ι → R ↦ ⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (χ i)

Proof state:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
f : ι → End R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
h : ∀ (l : ι) (χ : ι → R), MapsTo (⇑(f l)) (⨅ i, ↑((f i).maxGenEigenspace (χ i))) (⨅ i, ↑((f i).maxGenEigenspace (χ i)))
this :
  ∀ (χ : ι → R) (s : Finset (ι → R)),
    χ ∉ s → Disjoint (⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (χ i)) (s.sup fun χ => ⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (χ i))
⊢ iSupIndep fun χ => ⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (χ i)

Tactic:
simpa only [iSupIndep_iff_supIndep_of_injOn (injOn_iInf_maxGenEigenspace f),
  Finset.supIndep_iff_disjoint_erase] using fun s χ _ ↦ this _ _ (s.not_mem_erase χ)

Result:
no goals

Proof state:
case insert.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
f : ι → End R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
h : ∀ (l : ι) (χ : ι → R), MapsTo (⇑(f l)) (⨅ i, ↑((f i).maxGenEigenspace (χ i))) (⨅ i, ↑((f i).maxGenEigenspace (χ i)))
χ₁ χ₂ : ι → R
s : Finset (ι → R)
_n : χ₂ ∉ s
hχ₁₂✝ : χ₁ ∉ insert χ₂ s
hχ₁₂ : χ₁ ≠ χ₂
hχ₁ : χ₁ ∉ s
ih : Disjoint (⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (χ₁ i)) (s.sup fun χ => ⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (χ i))
y : M
hy : y ∈ ⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (χ₂ i)
z : M
hz : z ∈ s.sup fun χ => ⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (χ i)
hx : y + z ∈ ⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (χ₁ i)
l : ι
g : End R M := f l - (algebraMap R (End R M)) (χ₂ l)
k : ℕ
hk : (g ^ k) y = 0
aux :
  ∀ (f : End R M) (φ : R) (k : ℕ) (p : Submodule R M),
    MapsTo ⇑f ↑p ↑p → MapsTo ⇑((f - (algebraMap R (End R M)) φ) ^ k) ↑p ↑p
⊢ ((f l - (algebraMap R (End R M)) (χ₂ l)) ^ k) z ∈ ↑(s.sup fun χ => ⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (χ i))

Tactic:
suffices (s.sup fun χ ↦ (⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (χ i))).map (g ^ k) ≤
    s.sup fun χ ↦ (⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (χ i)) by
  refine this (Submodule.mem_map_of_mem ?_)
  simp_rw [Finset.sup_eq_iSup, ← Finset.sup_eq_iSup] at hz
  exact hz

Result:
case insert.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
f : ι → End R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
h : ∀ (l : ι) (χ : ι → R), MapsTo (⇑(f l)) (⨅ i, ↑((f i).maxGenEigenspace (χ i))) (⨅ i, ↑((f i).maxGenEigenspace (χ i)))
χ₁ χ₂ : ι → R
s : Finset (ι → R)
_n : χ₂ ∉ s
hχ₁₂✝ : χ₁ ∉ insert χ₂ s
hχ₁₂ : χ₁ ≠ χ₂
hχ₁ : χ₁ ∉ s
ih : Disjoint (⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (χ₁ i)) (s.sup fun χ => ⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (χ i))
y : M
hy : y ∈ ⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (χ₂ i)
z : M
hz : z ∈ s.sup fun χ => ⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (χ i)
hx : y + z ∈ ⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (χ₁ i)
l : ι
g : End R M := f l - (algebraMap R (End R M)) (χ₂ l)
k : ℕ
hk : (g ^ k) y = 0
aux :
  ∀ (f : End R M) (φ : R) (k : ℕ) (p : Submodule R M),
    MapsTo ⇑f ↑p ↑p → MapsTo ⇑((f - (algebraMap R (End R M)) φ) ^ k) ↑p ↑p
⊢ Submodule.map (g ^ k) (s.sup fun χ => ⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (χ i)) ≤
    s.sup fun χ => ⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (χ i)

Proof state:
case insert.intro.intro
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
f : ι → End R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
h : ∀ (l : ι) (χ : ι → R), MapsTo (⇑(f l)) (⨅ i, ↑((f i).maxGenEigenspace (χ i))) (⨅ i, ↑((f i).maxGenEigenspace (χ i)))
χ₁ χ₂ : ι → R
s : Finset (ι → R)
_n : χ₂ ∉ s
hχ₁₂✝ : χ₁ ∉ insert χ₂ s
hχ₁₂ : χ₁ ≠ χ₂
hχ₁ : χ₁ ∉ s
ih : Disjoint (⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (χ₁ i)) (s.sup fun χ => ⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (χ i))
x : M
hx : x ∈ ⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (χ₁ i)
hx' : x ∈ (⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (χ₂ i)) ⊔ s.sup fun χ => ⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (χ i)
⊢ x ∈ ⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (χ₂ i)

Tactic:
obtain ⟨y, hy, z, hz, rfl⟩ := Submodule.mem_sup.mp hx'

Result:
case insert.intro.intro.intro.intro.intro.intro
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
f : ι → End R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
h : ∀ (l : ι) (χ : ι → R), MapsTo (⇑(f l)) (⨅ i, ↑((f i).maxGenEigenspace (χ i))) (⨅ i, ↑((f i).maxGenEigenspace (χ i)))
χ₁ χ₂ : ι → R
s : Finset (ι → R)
_n : χ₂ ∉ s
hχ₁₂✝ : χ₁ ∉ insert χ₂ s
hχ₁₂ : χ₁ ≠ χ₂
hχ₁ : χ₁ ∉ s
ih : Disjoint (⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (χ₁ i)) (s.sup fun χ => ⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (χ i))
y : M
hy : y ∈ ⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (χ₂ i)
z : M
hz : z ∈ s.sup fun χ => ⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (χ i)
hx : y + z ∈ ⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (χ₁ i)
hx' : y + z ∈ (⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (χ₂ i)) ⊔ s.sup fun χ => ⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (χ i)
⊢ y + z ∈ ⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (χ₂ i)

Proof state:
case insert.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
f : ι → End R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
h : ∀ (l : ι) (χ : ι → R), MapsTo (⇑(f l)) (⨅ i, ↑((f i).maxGenEigenspace (χ i))) (⨅ i, ↑((f i).maxGenEigenspace (χ i)))
χ₁ χ₂ : ι → R
s : Finset (ι → R)
_n : χ₂ ∉ s
hχ₁₂✝ : χ₁ ∉ insert χ₂ s
hχ₁₂ : χ₁ ≠ χ₂
hχ₁ : χ₁ ∉ s
ih : Disjoint (⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (χ₁ i)) (s.sup fun χ => ⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (χ i))
y : M
hy : y ∈ ⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (χ₂ i)
z : M
hz : z ∈ s.sup fun χ => ⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (χ i)
hx : y + z ∈ ⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (χ₁ i)
l : ι
g : End R M := f l - (algebraMap R (End R M)) (χ₂ l)
k : ℕ
hk : (g ^ k) y = 0
aux :
  ∀ (f : End R M) (φ : R) (k : ℕ) (p : Submodule R M),
    MapsTo ⇑f ↑p ↑p → MapsTo ⇑((f - (algebraMap R (End R M)) φ) ^ k) ↑p ↑p
⊢ ((f l - (algebraMap R (End R M)) (χ₂ l)) ^ k) (y + z) ∈ ↑(s.sup fun χ => ⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (χ i))

Tactic:
rw [map_add, hk, zero_add]

Result:
case insert.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
ι : Type u_1
R : Type u_2
M : Type u_4
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
f : ι → End R M
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
h : ∀ (l : ι) (χ : ι → R), MapsTo (⇑(f l)) (⨅ i, ↑((f i).maxGenEigenspace (χ i))) (⨅ i, ↑((f i).maxGenEigenspace (χ i)))
χ₁ χ₂ : ι → R
s : Finset (ι → R)
_n : χ₂ ∉ s
hχ₁₂✝ : χ₁ ∉ insert χ₂ s
hχ₁₂ : χ₁ ≠ χ₂
hχ₁ : χ₁ ∉ s
ih : Disjoint (⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (χ₁ i)) (s.sup fun χ => ⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (χ i))
y : M
hy : y ∈ ⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (χ₂ i)
z : M
hz : z ∈ s.sup fun χ => ⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (χ i)
hx : y + z ∈ ⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (χ₁ i)
l : ι
g : End R M := f l - (algebraMap R (End R M)) (χ₂ l)
k : ℕ
hk : (g ^ k) y = 0
aux :
  ∀ (f : End R M) (φ : R) (k : ℕ) (p : Submodule R M),
    MapsTo ⇑f ↑p ↑p → MapsTo ⇑((f - (algebraMap R (End R M)) φ) ^ k) ↑p ↑p
⊢ ((f l - (algebraMap R (End R M)) (χ₂ l)) ^ k) z ∈ ↑(s.sup fun χ => ⨅ i, (f i).maxGenEigenspace (χ i))