-- Mathlib/LinearAlgebra/FreeModule/PID.lean
theorem Submodule.exists_smith_normal_form_of_le [Finite ι] (b : Basis ι R M) (N O : Submodule R M)
    (N_le_O : N ≤ O) :
    ∃ (n o : ℕ) (hno : n ≤ o) (bO : Basis (Fin o) R O) (bN : Basis (Fin n) R N) (a : Fin n → R),
      ∀ i, (bN i : M) = a i • bO (Fin.castLE hno i)

Proof state:
case neg.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
val✝ : Fintype ι
M0 : Submodule R M
ih :
  ∀ N' ≤ M0,
    ∀ x ∈ M0,
      (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0) →
        ∀ N ≤ N', ∃ n o, ∃ (hno : n ≤ o), ∃ bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(bN i) = a i • ↑(bO (Fin.castLE hno i))
N : Submodule R M
N_le_O : N ≤ M0
m : ℕ
b'M : Basis (Fin m) R ↥M0
N_bot : ¬N = ⊥
y : M
hy : y ∈ M0
a : R
left✝² : a • y ∈ N
M' : Submodule R M
M'_le_M : M' ≤ M0
N' : Submodule R M
left✝¹ : N' ≤ N
N'_le_M' : N' ≤ M'
y_ortho : ∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y + z = 0 → c = 0
left✝ : ∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y + z = 0 → c = 0
h :
  ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R ↥N'),
    ∃ bN,
      ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R ↥M'),
        ∃ (hnm : n' + 1 ≤ m' + 1),
          ∃ bM,
            ∀ (as : Fin n' → R),
              (∀ (i : Fin n'), ↑(bN' i) = as i • ↑(bM' (Fin.castLE hn'm' i))) →
                ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(bN i) = as' i • ↑(bM (Fin.castLE hnm i))
n' m' : ℕ
hn'm' : n' ≤ m'
bM' : Basis (Fin m') R ↥M'
bN' : Basis (Fin n') R ↥N'
as' : Fin n' → R
has' : ∀ (i : Fin n'), ↑(bN' i) = as' i • ↑(bM' (Fin.castLE hn'm' i))
bN : Basis (Fin (n' + 1)) R ↥N
h' :
  ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R ↥M'),
    ∃ (hnm : n' + 1 ≤ m' + 1),
      ∃ bM,
        ∀ (as : Fin n' → R),
          (∀ (i : Fin n'), ↑(bN' i) = as i • ↑(bM' (Fin.castLE hn'm' i))) →
            ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(bN i) = as' i • ↑(bM (Fin.castLE hnm i))
hmn : n' + 1 ≤ m' + 1
bM : Basis (Fin (m' + 1)) R ↥M0
h'' :
  ∀ (as : Fin n' → R),
    (∀ (i : Fin n'), ↑(bN' i) = as i • ↑(bM' (Fin.castLE hn'm' i))) →
      ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(bN i) = as' i • ↑(bM (Fin.castLE hmn i))
as : Fin (n' + 1) → R
has : ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(bN i) = as i • ↑(bM (Fin.castLE hmn i))
⊢ ∃ n o, ∃ (hno : n ≤ o), ∃ bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(bN i) = a i • ↑(bO (Fin.castLE hno i))

Tactic:
exact ⟨_, _, hmn, bM, bN, as, has⟩

Result:
no goals

Proof state:
case neg.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
val✝ : Fintype ι
M0 : Submodule R M
ih :
  ∀ N' ≤ M0,
    ∀ x ∈ M0,
      (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0) →
        ∀ N ≤ N', ∃ n o, ∃ (hno : n ≤ o), ∃ bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(bN i) = a i • ↑(bO (Fin.castLE hno i))
N : Submodule R M
N_le_O : N ≤ M0
m : ℕ
b'M : Basis (Fin m) R ↥M0
N_bot : ¬N = ⊥
y : M
hy : y ∈ M0
a : R
left✝² : a • y ∈ N
M' : Submodule R M
M'_le_M : M' ≤ M0
N' : Submodule R M
left✝¹ : N' ≤ N
N'_le_M' : N' ≤ M'
y_ortho : ∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y + z = 0 → c = 0
left✝ : ∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y + z = 0 → c = 0
h :
  ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R ↥N'),
    ∃ bN,
      ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R ↥M'),
        ∃ (hnm : n' + 1 ≤ m' + 1),
          ∃ bM,
            ∀ (as : Fin n' → R),
              (∀ (i : Fin n'), ↑(bN' i) = as i • ↑(bM' (Fin.castLE hn'm' i))) →
                ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(bN i) = as' i • ↑(bM (Fin.castLE hnm i))
⊢ ∃ n o, ∃ (hno : n ≤ o), ∃ bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(bN i) = a i • ↑(bO (Fin.castLE hno i))

Tactic:
obtain ⟨n', m', hn'm', bM', bN', as', has'⟩ := ih M' M'_le_M y hy y_ortho N' N'_le_M'

Result:
case neg.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
val✝ : Fintype ι
M0 : Submodule R M
ih :
  ∀ N' ≤ M0,
    ∀ x ∈ M0,
      (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0) →
        ∀ N ≤ N', ∃ n o, ∃ (hno : n ≤ o), ∃ bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(bN i) = a i • ↑(bO (Fin.castLE hno i))
N : Submodule R M
N_le_O : N ≤ M0
m : ℕ
b'M : Basis (Fin m) R ↥M0
N_bot : ¬N = ⊥
y : M
hy : y ∈ M0
a : R
left✝² : a • y ∈ N
M' : Submodule R M
M'_le_M : M' ≤ M0
N' : Submodule R M
left✝¹ : N' ≤ N
N'_le_M' : N' ≤ M'
y_ortho : ∀ (c : R), ∀ z ∈ M', c • y + z = 0 → c = 0
left✝ : ∀ (c : R), ∀ z ∈ N', c • a • y + z = 0 → c = 0
h :
  ∀ (n' : ℕ) (bN' : Basis (Fin n') R ↥N'),
    ∃ bN,
      ∀ (m' : ℕ) (hn'm' : n' ≤ m') (bM' : Basis (Fin m') R ↥M'),
        ∃ (hnm : n' + 1 ≤ m' + 1),
          ∃ bM,
            ∀ (as : Fin n' → R),
              (∀ (i : Fin n'), ↑(bN' i) = as i • ↑(bM' (Fin.castLE hn'm' i))) →
                ∃ as', ∀ (i : Fin (n' + 1)), ↑(bN i) = as' i • ↑(bM (Fin.castLE hnm i))
n' m' : ℕ
hn'm' : n' ≤ m'
bM' : Basis (Fin m') R ↥M'
bN' : Basis (Fin n') R ↥N'
as' : Fin n' → R
has' : ∀ (i : Fin n'), ↑(bN' i) = as' i • ↑(bM' (Fin.castLE hn'm' i))
⊢ ∃ n o, ∃ (hno : n ≤ o), ∃ bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(bN i) = a i • ↑(bO (Fin.castLE hno i))

Proof state:
case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
val✝ : Fintype ι
M0 : Submodule R M
ih :
  ∀ N' ≤ M0,
    ∀ x ∈ M0,
      (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0) →
        ∀ N ≤ N', ∃ n o, ∃ (hno : n ≤ o), ∃ bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(bN i) = a i • ↑(bO (Fin.castLE hno i))
m : ℕ
b'M : Basis (Fin m) R ↥M0
N_le_O : ⊥ ≤ M0
⊢ ∃ n o, ∃ (hno : n ≤ o), ∃ bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(bN i) = a i • ↑(bO (Fin.castLE hno i))

Tactic:
exact ⟨0, m, Nat.zero_le _, b'M, Basis.empty _, finZeroElim, finZeroElim⟩

Result:
no goals

Proof state:
case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
val✝ : Fintype ι
M0 : Submodule R M
ih :
  ∀ N' ≤ M0,
    ∀ x ∈ M0,
      (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0) →
        ∀ N ≤ N', ∃ n o, ∃ (hno : n ≤ o), ∃ bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(bN i) = a i • ↑(bO (Fin.castLE hno i))
N : Submodule R M
N_le_O : N ≤ M0
m : ℕ
b'M : Basis (Fin m) R ↥M0
N_bot : N = ⊥
⊢ ∃ n o, ∃ (hno : n ≤ o), ∃ bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(bN i) = a i • ↑(bO (Fin.castLE hno i))

Tactic:
subst N_bot

Result:
case pos
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u_3
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝ : Finite ι
b : Basis ι R M
val✝ : Fintype ι
M0 : Submodule R M
ih :
  ∀ N' ≤ M0,
    ∀ x ∈ M0,
      (∀ (c : R), ∀ y ∈ N', c • x + y = 0 → c = 0) →
        ∀ N ≤ N', ∃ n o, ∃ (hno : n ≤ o), ∃ bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(bN i) = a i • ↑(bO (Fin.castLE hno i))
m : ℕ
b'M : Basis (Fin m) R ↥M0
N_le_O : ⊥ ≤ M0
⊢ ∃ n o, ∃ (hno : n ≤ o), ∃ bO bN a, ∀ (i : Fin n), ↑(bN i) = a i • ↑(bO (Fin.castLE hno i))