-- Mathlib/Combinatorics/SimpleGraph/Regularity/Chunk.lean
theorem sum_density_div_card_le_density_add_eps [Nonempty α]
    (hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ card α) (hPε : ↑100 ≤ ↑4 ^ #P.parts * ε ^ 5)
    (hε₁ : ε ≤ 1) {hU : U ∈ P.parts} {hV : V ∈ P.parts} {A B : Finset (Finset α)}
    (hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts) (hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts) :
    (∑ ab ∈ A.product B, G.edgeDensity ab.1 ab.2 : ℝ) / (#A * #B) ≤
    G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id) + ε ^ 5 / 49

Proof state:
case h
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this :
  (1 + ε ^ 5 / 49) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) ≤
    ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) + ε ^ 5 / 49
⊢ ∀ i ∈ A.product B,
    ↑(#(interedges G.Adj i.1 i.2)) / (↑(#i.1) * ↑(#i.2) * (↑(#A) * ↑(#B))) ≤
      ↑(#(interedges G.Adj i.1 i.2)) * ((1 + ε ^ 5 / 49) / (↑(#(A.sup id)) * ↑(#(B.sup id))))

Tactic:
simp only [and_imp, Prod.forall, mem_product, show A.product B = A ×ˢ B by rfl]

Result:
case h
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this :
  (1 + ε ^ 5 / 49) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) ≤
    ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) + ε ^ 5 / 49
⊢ ∀ (a b : Finset α),
    a ∈ A →
      b ∈ B →
        ↑(#(interedges G.Adj a b)) / (↑(#a) * ↑(#b) * (↑(#A) * ↑(#B))) ≤
          ↑(#(interedges G.Adj a b)) * ((1 + ε ^ 5 / 49) / (↑(#(A.sup id)) * ↑(#(B.sup id))))

Proof state:
case h
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this :
  (1 + ε ^ 5 / 49) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) ≤
    ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) + ε ^ 5 / 49
x y : Finset α
hx : x ∈ A
hy : y ∈ B
⊢ 0 < ↑(#(A.sup id)) * ↑(#(B.sup id))

Tactic:
rw [← cast_mul, cast_pos]

Result:
case h
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this :
  (1 + ε ^ 5 / 49) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) ≤
    ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) + ε ^ 5 / 49
x y : Finset α
hx : x ∈ A
hy : y ∈ B
⊢ 0 < #(A.sup id) * #(B.sup id)

Proof state:
case h.hb
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this :
  (1 + ε ^ 5 / 49) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) ≤
    ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) + ε ^ 5 / 49
x y : Finset α
hx : x ∈ A
hy : y ∈ B
⊢ ∃ x ∈ B, (id x).Nonempty

Tactic:
exact ⟨_, hy, nonempty_of_mem_parts _ (hB hy)⟩

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this :
  (1 + ε ^ 5 / 49) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) ≤
    ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) + ε ^ 5 / 49
x y : Finset α
hx : x ∈ A
hy : y ∈ B
⊢ 0 ≤ ↑(#(B.sup id))

Tactic:
positivity

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this :
  (1 + ε ^ 5 / 49) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) ≤
    ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) + ε ^ 5 / 49
⊢ ∑ x ∈ A.product B, ↑(#(interedges G.Adj x.1 x.2)) / (↑(#x.1) * ↑(#x.2) * (↑(#A) * ↑(#B))) ≤
    ∑ x ∈ ((chunk hP G ε hU).ofSubset hA ⋯).parts ×ˢ ((chunk hP G ε hV).ofSubset hB ⋯).parts,
      ↑(#(interedges G.Adj x.1 x.2)) * ((1 + ε ^ 5 / 49) / (↑(#(A.sup id)) * ↑(#(B.sup id))))

Tactic:
apply sum_le_sum

Result:
case h
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this :
  (1 + ε ^ 5 / 49) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) ≤
    ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) + ε ^ 5 / 49
⊢ ∀ i ∈ A.product B,
    ↑(#(interedges G.Adj i.1 i.2)) / (↑(#i.1) * ↑(#i.2) * (↑(#A) * ↑(#B))) ≤
      ↑(#(interedges G.Adj i.1 i.2)) * ((1 + ε ^ 5 / 49) / (↑(#(A.sup id)) * ↑(#(B.sup id))))

Proof state:
case h
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this :
  (1 + ε ^ 5 / 49) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) ≤
    ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) + ε ^ 5 / 49
x y : Finset α
hx : x ∈ A
hy : y ∈ B
⊢ ↑(#(interedges G.Adj x y)) ≤
    ↑(#(interedges G.Adj x y)) *
      ((1 + ε ^ 5 / 49) / (↑(#(A.sup id)) * ↑(#(B.sup id))) * (↑(#A) * ↑(#x) * (↑(#B) * ↑(#y))))

Tactic:
refine le_mul_of_one_le_right (cast_nonneg _) ?_

Result:
case h
α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
U V : Finset α
inst✝ : Nonempty α
hPα : #P.parts * 16 ^ #P.parts ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ #P.parts * ε ^ 5
hε₁ : ε ≤ 1
hU : U ∈ P.parts
hV : V ∈ P.parts
A B : Finset (Finset α)
hA : A ⊆ (chunk hP G ε hU).parts
hB : B ⊆ (chunk hP G ε hV).parts
this :
  (1 + ε ^ 5 / 49) * ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) ≤
    ↑(G.edgeDensity (A.biUnion id) (B.biUnion id)) + ε ^ 5 / 49
x y : Finset α
hx : x ∈ A
hy : y ∈ B
⊢ 1 ≤ (1 + ε ^ 5 / 49) / (↑(#(A.sup id)) * ↑(#(B.sup id))) * (↑(#A) * ↑(#x) * (↑(#B) * ↑(#y)))