-- Mathlib/CategoryTheory/Adhesive.lean
theorem IsPushout.isVanKampen_iff (H : IsPushout f g h i) :
    H.IsVanKampen ↔ IsVanKampenColimit (PushoutCocone.mk h i H.w)

Proof state:
case mpr.refine_1
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
H✝ : IsPushout f g h i
H : IsVanKampenColimit (PushoutCocone.mk h i ⋯)
W' X' Y' Z' : C
f' : W' ⟶ X'
g' : W' ⟶ Y'
h' : X' ⟶ Z'
i' : Y' ⟶ Z'
αW : W' ⟶ W
αX : X' ⟶ X
αY : Y' ⟶ Y
αZ : Z' ⟶ Z
hf : IsPullback f' αW αX f
hg : IsPullback g' αW αY g
hh : CommSq h' αX αZ h
hi : CommSq i' αY αZ i
w : CommSq f' g' h' i'
⊢ IsPushout f' g' h' i' ↔ Nonempty (IsColimit w.cocone)

case mpr.refine_2
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
H✝ : IsPushout f g h i
H : IsVanKampenColimit (PushoutCocone.mk h i ⋯)
W' X' Y' Z' : C
f' : W' ⟶ X'
g' : W' ⟶ Y'
h' : X' ⟶ Z'
i' : Y' ⟶ Z'
αW : W' ⟶ W
αX : X' ⟶ X
αY : Y' ⟶ Y
αZ : Z' ⟶ Z
hf : IsPullback f' αW αX f
hg : IsPullback g' αW αY g
hh : CommSq h' αX αZ h
hi : CommSq i' αY αZ i
w : CommSq f' g' h' i'
⊢ ∀ ⦃X_1 Y_1 : WalkingSpan⦄ (f_1 : X_1 ⟶ Y_1),
    ((span f' g').map f_1 ≫ Option.casesOn Y_1 αW fun val => WalkingPair.casesOn val αX αY) =
      (Option.casesOn X_1 αW fun val => WalkingPair.casesOn val αX αY) ≫ (span f g).map f_1

case mpr.refine_3
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
H✝ : IsPushout f g h i
H : IsVanKampenColimit (PushoutCocone.mk h i ⋯)
W' X' Y' Z' : C
f' : W' ⟶ X'
g' : W' ⟶ Y'
h' : X' ⟶ Z'
i' : Y' ⟶ Z'
αW : W' ⟶ W
αX : X' ⟶ X
αY : Y' ⟶ Y
αZ : Z' ⟶ Z
hf : IsPullback f' αW αX f
hg : IsPullback g' αW αY g
hh : CommSq h' αX αZ h
hi : CommSq i' αY αZ i
w : CommSq f' g' h' i'
⊢ { app := fun X_1 => Option.casesOn X_1 αW fun val => WalkingPair.casesOn val αX αY, naturality := ?mpr.refine_2 } ≫
      (PushoutCocone.mk h i ⋯).ι =
    w.cocone.ι ≫ (Functor.const WalkingSpan).map αZ

case mpr.refine_4
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
H✝ : IsPushout f g h i
H : IsVanKampenColimit (PushoutCocone.mk h i ⋯)
W' X' Y' Z' : C
f' : W' ⟶ X'
g' : W' ⟶ Y'
h' : X' ⟶ Z'
i' : Y' ⟶ Z'
αW : W' ⟶ W
αX : X' ⟶ X
αY : Y' ⟶ Y
αZ : Z' ⟶ Z
hf : IsPullback f' αW αX f
hg : IsPullback g' αW αY g
hh : CommSq h' αX αZ h
hi : CommSq i' αY αZ i
w : CommSq f' g' h' i'
⊢ NatTrans.Equifibered
    { app := fun X_1 => Option.casesOn X_1 αW fun val => WalkingPair.casesOn val αX αY, naturality := ?mpr.refine_2 }

case mpr.refine_5
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
H✝ : IsPushout f g h i
H : IsVanKampenColimit (PushoutCocone.mk h i ⋯)
W' X' Y' Z' : C
f' : W' ⟶ X'
g' : W' ⟶ Y'
h' : X' ⟶ Z'
i' : Y' ⟶ Z'
αW : W' ⟶ W
αX : X' ⟶ X
αY : Y' ⟶ Y
αZ : Z' ⟶ Z
hf : IsPullback f' αW αX f
hg : IsPullback g' αW αY g
hh : CommSq h' αX αZ h
hi : CommSq i' αY αZ i
w : CommSq f' g' h' i'
⊢ (∀ (j : WalkingSpan),
      IsPullback (w.cocone.ι.app j)
        ({ app := fun X_1 => Option.casesOn X_1 αW fun val => WalkingPair.casesOn val αX αY,
              naturality := ?mpr.refine_2 }.app
          j)
        αZ ((PushoutCocone.mk h i ⋯).ι.app j)) ↔
    IsPullback h' αX αZ h ∧ IsPullback i' αY αZ i

Tactic:
rotate_left

Result:
case mpr.refine_2
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
H✝ : IsPushout f g h i
H : IsVanKampenColimit (PushoutCocone.mk h i ⋯)
W' X' Y' Z' : C
f' : W' ⟶ X'
g' : W' ⟶ Y'
h' : X' ⟶ Z'
i' : Y' ⟶ Z'
αW : W' ⟶ W
αX : X' ⟶ X
αY : Y' ⟶ Y
αZ : Z' ⟶ Z
hf : IsPullback f' αW αX f
hg : IsPullback g' αW αY g
hh : CommSq h' αX αZ h
hi : CommSq i' αY αZ i
w : CommSq f' g' h' i'
⊢ ∀ ⦃X_1 Y_1 : WalkingSpan⦄ (f_1 : X_1 ⟶ Y_1),
    ((span f' g').map f_1 ≫ Option.casesOn Y_1 αW fun val => WalkingPair.casesOn val αX αY) =
      (Option.casesOn X_1 αW fun val => WalkingPair.casesOn val αX αY) ≫ (span f g).map f_1

case mpr.refine_3
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
H✝ : IsPushout f g h i
H : IsVanKampenColimit (PushoutCocone.mk h i ⋯)
W' X' Y' Z' : C
f' : W' ⟶ X'
g' : W' ⟶ Y'
h' : X' ⟶ Z'
i' : Y' ⟶ Z'
αW : W' ⟶ W
αX : X' ⟶ X
αY : Y' ⟶ Y
αZ : Z' ⟶ Z
hf : IsPullback f' αW αX f
hg : IsPullback g' αW αY g
hh : CommSq h' αX αZ h
hi : CommSq i' αY αZ i
w : CommSq f' g' h' i'
⊢ { app := fun X_1 => Option.casesOn X_1 αW fun val => WalkingPair.casesOn val αX αY, naturality := ?mpr.refine_2 } ≫
      (PushoutCocone.mk h i ⋯).ι =
    w.cocone.ι ≫ (Functor.const WalkingSpan).map αZ

case mpr.refine_4
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
H✝ : IsPushout f g h i
H : IsVanKampenColimit (PushoutCocone.mk h i ⋯)
W' X' Y' Z' : C
f' : W' ⟶ X'
g' : W' ⟶ Y'
h' : X' ⟶ Z'
i' : Y' ⟶ Z'
αW : W' ⟶ W
αX : X' ⟶ X
αY : Y' ⟶ Y
αZ : Z' ⟶ Z
hf : IsPullback f' αW αX f
hg : IsPullback g' αW αY g
hh : CommSq h' αX αZ h
hi : CommSq i' αY αZ i
w : CommSq f' g' h' i'
⊢ NatTrans.Equifibered
    { app := fun X_1 => Option.casesOn X_1 αW fun val => WalkingPair.casesOn val αX αY, naturality := ?mpr.refine_2 }

case mpr.refine_5
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
H✝ : IsPushout f g h i
H : IsVanKampenColimit (PushoutCocone.mk h i ⋯)
W' X' Y' Z' : C
f' : W' ⟶ X'
g' : W' ⟶ Y'
h' : X' ⟶ Z'
i' : Y' ⟶ Z'
αW : W' ⟶ W
αX : X' ⟶ X
αY : Y' ⟶ Y
αZ : Z' ⟶ Z
hf : IsPullback f' αW αX f
hg : IsPullback g' αW αY g
hh : CommSq h' αX αZ h
hi : CommSq i' αY αZ i
w : CommSq f' g' h' i'
⊢ (∀ (j : WalkingSpan),
      IsPullback (w.cocone.ι.app j)
        ({ app := fun X_1 => Option.casesOn X_1 αW fun val => WalkingPair.casesOn val αX αY,
              naturality := ?mpr.refine_2 }.app
          j)
        αZ ((PushoutCocone.mk h i ⋯).ι.app j)) ↔
    IsPullback h' αX αZ h ∧ IsPullback i' αY αZ i

case mpr.refine_1
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
H✝ : IsPushout f g h i
H : IsVanKampenColimit (PushoutCocone.mk h i ⋯)
W' X' Y' Z' : C
f' : W' ⟶ X'
g' : W' ⟶ Y'
h' : X' ⟶ Z'
i' : Y' ⟶ Z'
αW : W' ⟶ W
αX : X' ⟶ X
αY : Y' ⟶ Y
αZ : Z' ⟶ Z
hf : IsPullback f' αW αX f
hg : IsPullback g' αW αY g
hh : CommSq h' αX αZ h
hi : CommSq i' αY αZ i
w : CommSq f' g' h' i'
⊢ IsPushout f' g' h' i' ↔ Nonempty (IsColimit w.cocone)

Proof state:
case mp.refine_5.mp.intro.none
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
H✝ : IsPushout f g h i
H : H✝.IsVanKampen
F' : WalkingSpan ⥤ C
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ span f g
fα : c'.pt ⟶ (PushoutCocone.mk h i ⋯).pt
eα : α ≫ (PushoutCocone.mk h i ⋯).ι = c'.ι ≫ (Functor.const WalkingSpan).map fα
hα : NatTrans.Equifibered α
h₁ : IsPullback (c'.ι.app WalkingSpan.left) (α.app WalkingSpan.left) fα h
h₂ : IsPullback (c'.ι.app WalkingSpan.right) (α.app WalkingSpan.right) fα i
⊢ IsPullback (c'.ι.app none) (α.app none) fα ((PushoutCocone.mk h i ⋯).ι.app none)

Tactic:
rw [← c'.w WalkingSpan.Hom.fst]

Result:
case mp.refine_5.mp.intro.none
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
H✝ : IsPushout f g h i
H : H✝.IsVanKampen
F' : WalkingSpan ⥤ C
c' : Cocone F'
α : F' ⟶ span f g
fα : c'.pt ⟶ (PushoutCocone.mk h i ⋯).pt
eα : α ≫ (PushoutCocone.mk h i ⋯).ι = c'.ι ≫ (Functor.const WalkingSpan).map fα
hα : NatTrans.Equifibered α
h₁ : IsPullback (c'.ι.app WalkingSpan.left) (α.app WalkingSpan.left) fα h
h₂ : IsPullback (c'.ι.app WalkingSpan.right) (α.app WalkingSpan.right) fα i
⊢ IsPullback (F'.map WalkingSpan.Hom.fst ≫ c'.ι.app WalkingSpan.left) (α.app none) fα
    ((PushoutCocone.mk h i ⋯).ι.app none)