-- Mathlib/CategoryTheory/Sites/CoverLifting.lean
lemma liftAux_map {Y : C} (f : G.obj Y ⟶ X) {W : C} (g : W ⟶ Y) (i : S.Arrow)
    (h : G.obj W ⟶ i.Y) (w : h ≫ i.f = G.map g ≫ f) :
    liftAux hF α s f ≫ F.map g.op = s.ι i ≫ R.map h.op ≫ α.app _ :=
  (Multifork.IsLimit.fac
    (hF.isLimitMultifork ⟨_, G.cover_lift J K (K.pullback_stable f S.2)⟩) _ _
      ⟨W, g, by simpa only [Sieve.functorPullback_apply, functorPullback_mem,
        Sieve.pullback_apply, ← w] using S.1.downward_closed i.hf h⟩).trans (by
        dsimp
        simp only [← Category.assoc]
        congr 1
        let r : S.Relation :=
          GrothendieckTopology.Cover.Relation.mk
            { f := G.map g ≫ f
              hf

Proof state:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝¹ : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝ : G.IsCocontinuous J K
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : Presheaf.IsSheaf J F
R : Dᵒᵖ ⥤ A
α : G.op ⋙ R ⟶ F
X : D
S : K.Cover X
s : Multifork (S.index R)
Y : C
f : G.obj Y ⟶ X
W : C
g : W ⟶ Y
i : S.Arrow
h : G.obj W ⟶ i.Y
w : h ≫ i.f = G.map g ≫ f
⊢ (↑S).arrows (G.map g ≫ f)

Tactic:
simpa only [← w] using S.1.downward_closed i.hf h

Result:
no goals

Proof state:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝¹ : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝ : G.IsCocontinuous J K
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : Presheaf.IsSheaf J F
R : Dᵒᵖ ⥤ A
α : G.op ⋙ R ⟶ F
X : D
S : K.Cover X
s : Multifork (S.index R)
Y : C
f : G.obj Y ⟶ X
W : C
g : W ⟶ Y
i : S.Arrow
h : G.obj W ⟶ i.Y
w : h ≫ i.f = G.map g ≫ f
⊢ 𝟙 { Y := G.obj W, f := G.map g ≫ f, hf := ⋯ }.Y ≫ { Y := G.obj W, f := G.map g ≫ f, hf := ⋯ }.f = h ≫ i.f

Tactic:
simpa using w.symm

Result:
no goals

Proof state:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝¹ : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝ : G.IsCocontinuous J K
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : Presheaf.IsSheaf J F
R : Dᵒᵖ ⥤ A
α : G.op ⋙ R ⟶ F
X : D
S : K.Cover X
s : Multifork (S.index R)
Y : C
f : G.obj Y ⟶ X
W : C
g : W ⟶ Y
i : S.Arrow
h : G.obj W ⟶ i.Y
w : h ≫ i.f = G.map g ≫ f
⊢ s.ι { Y := G.obj { Y := W, f := g, hf := ⋯ }.Y, f := G.map { Y := W, f := g, hf := ⋯ }.f ≫ f, hf := ⋯ } ≫
      α.app (op { Y := W, f := g, hf := ⋯ }.Y) =
    s.ι i ≫ R.map h.op ≫ α.app (op W)

Tactic:
dsimp

Result:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝¹ : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝ : G.IsCocontinuous J K
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : Presheaf.IsSheaf J F
R : Dᵒᵖ ⥤ A
α : G.op ⋙ R ⟶ F
X : D
S : K.Cover X
s : Multifork (S.index R)
Y : C
f : G.obj Y ⟶ X
W : C
g : W ⟶ Y
i : S.Arrow
h : G.obj W ⟶ i.Y
w : h ≫ i.f = G.map g ≫ f
⊢ s.ι { Y := G.obj W, f := G.map g ≫ f, hf := ⋯ } ≫ α.app (op W) = s.ι i ≫ R.map h.op ≫ α.app (op W)

Proof state:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝¹ : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝ : G.IsCocontinuous J K
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : Presheaf.IsSheaf J F
R : Dᵒᵖ ⥤ A
α : G.op ⋙ R ⟶ F
X : D
S : K.Cover X
s : Multifork (S.index R)
Y : C
f : G.obj Y ⟶ X
W : C
g : W ⟶ Y
i : S.Arrow
h : G.obj W ⟶ i.Y
w : h ≫ i.f = G.map g ≫ f
⊢ s.ι { Y := G.obj W, f := G.map g ≫ f, hf := ⋯ } ≫ α.app (op W) = s.ι i ≫ R.map h.op ≫ α.app (op W)

Tactic:
simp only [← Category.assoc]

Result:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝¹ : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝ : G.IsCocontinuous J K
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : Presheaf.IsSheaf J F
R : Dᵒᵖ ⥤ A
α : G.op ⋙ R ⟶ F
X : D
S : K.Cover X
s : Multifork (S.index R)
Y : C
f : G.obj Y ⟶ X
W : C
g : W ⟶ Y
i : S.Arrow
h : G.obj W ⟶ i.Y
w : h ≫ i.f = G.map g ≫ f
⊢ s.ι { Y := G.obj W, f := G.map g ≫ f, hf := ⋯ } ≫ α.app (op W) = (s.ι i ≫ R.map h.op) ≫ α.app (op W)

Proof state:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝¹ : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝ : G.IsCocontinuous J K
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : Presheaf.IsSheaf J F
R : Dᵒᵖ ⥤ A
α : G.op ⋙ R ⟶ F
X : D
S : K.Cover X
s : Multifork (S.index R)
Y : C
f : G.obj Y ⟶ X
W : C
g : W ⟶ Y
i : S.Arrow
h : G.obj W ⟶ i.Y
w : h ≫ i.f = G.map g ≫ f
⊢ s.ι { Y := G.obj W, f := G.map g ≫ f, hf := ⋯ } ≫ α.app (op W) = (s.ι i ≫ R.map h.op) ≫ α.app (op W)

Tactic:
congr 1

Result:
case e_a
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝¹ : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝ : G.IsCocontinuous J K
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : Presheaf.IsSheaf J F
R : Dᵒᵖ ⥤ A
α : G.op ⋙ R ⟶ F
X : D
S : K.Cover X
s : Multifork (S.index R)
Y : C
f : G.obj Y ⟶ X
W : C
g : W ⟶ Y
i : S.Arrow
h : G.obj W ⟶ i.Y
w : h ≫ i.f = G.map g ≫ f
⊢ s.ι { Y := G.obj W, f := G.map g ≫ f, hf := ⋯ } = s.ι i ≫ R.map h.op

Proof state:
case e_a
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝¹ : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝ : G.IsCocontinuous J K
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : Presheaf.IsSheaf J F
R : Dᵒᵖ ⥤ A
α : G.op ⋙ R ⟶ F
X : D
S : K.Cover X
s : Multifork (S.index R)
Y : C
f : G.obj Y ⟶ X
W : C
g : W ⟶ Y
i : S.Arrow
h : G.obj W ⟶ i.Y
w : h ≫ i.f = G.map g ≫ f
r : S.Relation :=
  { fst := { Y := G.obj W, f := G.map g ≫ f, hf := ⋯ }, snd := i,
    r :=
      { Z := { Y := G.obj W, f := G.map g ≫ f, hf := ⋯ }.Y, g₁ := 𝟙 { Y := G.obj W, f := G.map g ≫ f, hf := ⋯ }.Y,
        g₂ := h, w := ⋯ } }
⊢ s.ι { Y := G.obj W, f := G.map g ≫ f, hf := ⋯ } = s.ι i ≫ R.map h.op

Tactic:
simpa [r] using s.condition r

Result:
no goals

Proof state:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝² : Category.{u_3, u_2} D
G : C ⥤ D
A : Type w
inst✝¹ : Category.{w', w} A
J : GrothendieckTopology C
K : GrothendieckTopology D
inst✝ : G.IsCocontinuous J K
F : Cᵒᵖ ⥤ A
hF : Presheaf.IsSheaf J F
R : Dᵒᵖ ⥤ A
α : G.op ⋙ R ⟶ F
X : D
S : K.Cover X
s : Multifork (S.index R)
Y : C
f : G.obj Y ⟶ X
W : C
g : W ⟶ Y
i : S.Arrow
h : G.obj W ⟶ i.Y
w : h ≫ i.f = G.map g ≫ f
⊢ (↑⟨Sieve.functorPullback G (Sieve.pullback f ↑S), ⋯⟩).arrows g

Tactic:
simpa only [Sieve.functorPullback_apply, functorPullback_mem,
Sieve.pullback_apply, ← w] using S.1.downward_closed i.hf h

Result:
no goals