-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Triangle.lean
theorem cos_angle_sub_add_angle_sub_rev_eq_neg_cos_angle {x y : V} (hx : x ≠ 0) (hy : y ≠ 0) :
    Real.cos (angle x (x - y) + angle y (y - x)) = -Real.cos (angle x y)

Proof state:
case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : ¬x = y
hxn : ‖x‖ ≠ 0
hyn : ‖y‖ ≠ 0
hxyn : ‖x - y‖ ≠ 0
⊢ inner x (x - y) / (‖x‖ * ‖x - y‖) * (inner y (y - x) / (‖y‖ * ‖y - x‖)) -
      Real.sin (angle x (x - y)) * Real.sin (angle y (y - x)) =
    -(inner x y / (‖x‖ * ‖y‖))

Tactic:
apply mul_right_cancel₀ hxn

Result:
case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : ¬x = y
hxn : ‖x‖ ≠ 0
hyn : ‖y‖ ≠ 0
hxyn : ‖x - y‖ ≠ 0
⊢ (inner x (x - y) / (‖x‖ * ‖x - y‖) * (inner y (y - x) / (‖y‖ * ‖y - x‖)) -
        Real.sin (angle x (x - y)) * Real.sin (angle y (y - x))) *
      ‖x‖ =
    -(inner x y / (‖x‖ * ‖y‖)) * ‖x‖

Proof state:
case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : ¬x = y
hxn : ‖x‖ ≠ 0
hyn : ‖y‖ ≠ 0
⊢ inner x (x - y) / (‖x‖ * ‖x - y‖) * (inner y (y - x) / (‖y‖ * ‖y - x‖)) -
      Real.sin (angle x (x - y)) * Real.sin (angle y (y - x)) =
    -(inner x y / (‖x‖ * ‖y‖))

Tactic:
have hxyn : ‖x - y‖ ≠ 0 := fun h => hxy (eq_of_sub_eq_zero (norm_eq_zero.1 h))

Result:
case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : ¬x = y
hxn : ‖x‖ ≠ 0
hyn : ‖y‖ ≠ 0
hxyn : ‖x - y‖ ≠ 0
⊢ inner x (x - y) / (‖x‖ * ‖x - y‖) * (inner y (y - x) / (‖y‖ * ‖y - x‖)) -
      Real.sin (angle x (x - y)) * Real.sin (angle y (y - x)) =
    -(inner x y / (‖x‖ * ‖y‖))

Proof state:
case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : ¬x = y
⊢ Real.cos (angle x (x - y) + angle y (y - x)) = -Real.cos (angle x y)

Tactic:
rw [Real.cos_add, cos_angle, cos_angle, cos_angle]

Result:
case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : ¬x = y
⊢ inner x (x - y) / (‖x‖ * ‖x - y‖) * (inner y (y - x) / (‖y‖ * ‖y - x‖)) -
      Real.sin (angle x (x - y)) * Real.sin (angle y (y - x)) =
    -(inner x y / (‖x‖ * ‖y‖))

Proof state:
case pos
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : x = y
⊢ Real.cos (angle y (y - y) + angle y (y - y)) = -Real.cos 0

Tactic:
simp

Result:
no goals

Proof state:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : ¬x = y
hxn : ‖x‖ ≠ 0
hyn : ‖y‖ ≠ 0
hxyn : ‖x - y‖ ≠ 0
H1 :
  Real.sin (angle x (x - y)) * Real.sin (angle y (y - x)) * ‖x‖ * ‖y‖ * ‖x - y‖ * ‖x - y‖ =
    Real.sin (angle x (x - y)) * (‖x‖ * ‖x - y‖) * (Real.sin (angle y (y - x)) * (‖y‖ * ‖x - y‖))
⊢ inner x x * (inner x x - inner x y - (inner x y - inner y y)) - (inner x x - inner x y) * (inner x x - inner x y) =
    inner x x * inner y y - inner x y * inner x y

Tactic:
ring

Result:
no goals

Proof state:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : ¬x = y
hxn : ‖x‖ ≠ 0
hyn : ‖y‖ ≠ 0
hxyn : ‖x - y‖ ≠ 0
H1 :
  Real.sin (angle x (x - y)) * Real.sin (angle y (y - x)) * ‖x‖ * ‖y‖ * ‖x - y‖ * ‖x - y‖ =
    Real.sin (angle x (x - y)) * (‖x‖ * ‖x - y‖) * (Real.sin (angle y (y - x)) * (‖y‖ * ‖x - y‖))
H2 :
  inner x x * (inner x x - inner x y - (inner x y - inner y y)) - (inner x x - inner x y) * (inner x x - inner x y) =
    inner x x * inner y y - inner x y * inner x y
⊢ inner y y * (inner y y - inner x y - (inner x y - inner x x)) - (inner y y - inner x y) * (inner y y - inner x y) =
    inner x x * inner y y - inner x y * inner x y

Tactic:
ring

Result:
no goals

Proof state:
case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : ¬x = y
hxn : ‖x‖ ≠ 0
hyn : ‖y‖ ≠ 0
hxyn : ‖x - y‖ ≠ 0
⊢ (inner x (x - y) / (‖x‖ * ‖x - y‖) * (inner y (y - x) / (‖y‖ * ‖y - x‖)) -
        Real.sin (angle x (x - y)) * Real.sin (angle y (y - x))) *
      ‖x‖ =
    -(inner x y / (‖x‖ * ‖y‖)) * ‖x‖

Tactic:
apply mul_right_cancel₀ hyn

Result:
case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : ¬x = y
hxn : ‖x‖ ≠ 0
hyn : ‖y‖ ≠ 0
hxyn : ‖x - y‖ ≠ 0
⊢ (inner x (x - y) / (‖x‖ * ‖x - y‖) * (inner y (y - x) / (‖y‖ * ‖y - x‖)) -
          Real.sin (angle x (x - y)) * Real.sin (angle y (y - x))) *
        ‖x‖ *
      ‖y‖ =
    -(inner x y / (‖x‖ * ‖y‖)) * ‖x‖ * ‖y‖

Proof state:
case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : ¬x = y
hxn : ‖x‖ ≠ 0
hyn : ‖y‖ ≠ 0
hxyn : ‖x - y‖ ≠ 0
H1 :
  Real.sin (angle x (x - y)) * Real.sin (angle y (y - x)) * ‖x‖ * ‖y‖ * ‖x - y‖ * ‖x - y‖ =
    Real.sin (angle x (x - y)) * (‖x‖ * ‖x - y‖) * (Real.sin (angle y (y - x)) * (‖y‖ * ‖x - y‖))
H2 :
  inner x x * (inner x x - inner x y - (inner x y - inner y y)) - (inner x x - inner x y) * (inner x x - inner x y) =
    inner x x * inner y y - inner x y * inner x y
H3 :
  inner y y * (inner y y - inner x y - (inner x y - inner x x)) - (inner y y - inner x y) * (inner y y - inner x y) =
    inner x x * inner y y - inner x y * inner x y
⊢ (inner x (x - y) / (‖x‖ * ‖x - y‖) * (inner y (y - x) / (‖y‖ * ‖y - x‖)) -
              Real.sin (angle x (x - y)) * Real.sin (angle y (y - x))) *
            ‖x‖ *
          ‖y‖ *
        ‖x - y‖ *
      ‖x - y‖ =
    -(inner x y / (‖x‖ * ‖y‖)) * ‖x‖ * ‖y‖ * ‖x - y‖ * ‖x - y‖

Tactic:
rw [mul_sub_right_distrib, mul_sub_right_distrib, mul_sub_right_distrib, mul_sub_right_distrib,
  H1, sin_angle_mul_norm_mul_norm, norm_sub_rev x y, sin_angle_mul_norm_mul_norm,
  norm_sub_rev y x, inner_sub_left, inner_sub_left, inner_sub_right, inner_sub_right,
  inner_sub_right, inner_sub_right, real_inner_comm x y, H2, H3,
  Real.mul_self_sqrt (sub_nonneg_of_le (real_inner_mul_inner_self_le x y)),
  real_inner_self_eq_norm_mul_norm, real_inner_self_eq_norm_mul_norm,
  real_inner_eq_norm_mul_self_add_norm_mul_self_sub_norm_sub_mul_self_div_two]

Result:
case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hxy : ¬x = y
hxn : ‖x‖ ≠ 0
hyn : ‖y‖ ≠ 0
hxyn : ‖x - y‖ ≠ 0
H1 :
  Real.sin (angle x (x - y)) * Real.sin (angle y (y - x)) * ‖x‖ * ‖y‖ * ‖x - y‖ * ‖x - y‖ =
    Real.sin (angle x (x - y)) * (‖x‖ * ‖x - y‖) * (Real.sin (angle y (y - x)) * (‖y‖ * ‖x - y‖))
H2 :
  inner x x * (inner x x - inner x y - (inner x y - inner y y)) - (inner x x - inner x y) * (inner x x - inner x y) =
    inner x x * inner y y - inner x y * inner x y
H3 :
  inner y y * (inner y y - inner x y - (inner x y - inner x x)) - (inner y y - inner x y) * (inner y y - inner x y) =
    inner x x * inner y y - inner x y * inner x y
⊢ (‖x‖ * ‖x‖ - (‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖ - ‖x - y‖ * ‖x - y‖) / 2) / (‖x‖ * ‖x - y‖) *
                ((‖y‖ * ‖y‖ - (‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖ - ‖x - y‖ * ‖x - y‖) / 2) / (‖y‖ * ‖x - y‖)) *
              ‖x‖ *
            ‖y‖ *
          ‖x - y‖ *
        ‖x - y‖ -
      (‖x‖ * ‖x‖ * (‖y‖ * ‖y‖) -
        (‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖ - ‖x - y‖ * ‖x - y‖) / 2 * ((‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖ - ‖x - y‖ * ‖x - y‖) / 2)) =
    -((‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖ - ‖x - y‖ * ‖x - y‖) / 2 / (‖x‖ * ‖y‖)) * ‖x‖ * ‖y‖ * ‖x - y‖ * ‖x - y‖