-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
theorem map_piecewise_add [DecidableEq ι] (m m' : ∀ i, M₁ i) (t : Finset ι) :
    f (t.piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ t.powerset, f (s.piecewise m m')

Proof state:
case pos
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → M₁ i
t✝ : Finset ι
i : ι
t : Finset ι
hit : i ∉ t
Hrec : ∀ (m' : (i : ι) → M₁ i), f (t.piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ t.powerset, f (s.piecewise m m')
m' : (i : ι) → M₁ i
A : (insert i t).piecewise (m + m') m' = update (t.piecewise (m + m') m') i (m i + m' i)
B : update (t.piecewise (m + m') m') i (m' i) = t.piecewise (m + m') m'
m'' : (a : ι) → M₁ a := update m' i (m i)
C : update (t.piecewise (m + m') m') i (m i) = t.piecewise (m + m'') m''
s : Finset ι
hs : s ∈ t.powerset
j : ι
h : j = i
⊢ (insert i s).piecewise m m' j = s.piecewise m m'' j

Tactic:
rw [h]

Result:
case pos
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → M₁ i
t✝ : Finset ι
i : ι
t : Finset ι
hit : i ∉ t
Hrec : ∀ (m' : (i : ι) → M₁ i), f (t.piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ t.powerset, f (s.piecewise m m')
m' : (i : ι) → M₁ i
A : (insert i t).piecewise (m + m') m' = update (t.piecewise (m + m') m') i (m i + m' i)
B : update (t.piecewise (m + m') m') i (m' i) = t.piecewise (m + m') m'
m'' : (a : ι) → M₁ a := update m' i (m i)
C : update (t.piecewise (m + m') m') i (m i) = t.piecewise (m + m'') m''
s : Finset ι
hs : s ∈ t.powerset
j : ι
h : j = i
⊢ (insert i s).piecewise m m' i = s.piecewise m m'' i

Proof state:
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → M₁ i
t✝ : Finset ι
i : ι
t : Finset ι
hit : i ∉ t
Hrec : ∀ (m' : (i : ι) → M₁ i), f (t.piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ t.powerset, f (s.piecewise m m')
m' : (i : ι) → M₁ i
A : (insert i t).piecewise (m + m') m' = update (t.piecewise (m + m') m') i (m i + m' i)
B : update (t.piecewise (m + m') m') i (m' i) = t.piecewise (m + m') m'
m'' : (a : ι) → M₁ a := update m' i (m i)
⊢ update (t.piecewise (m + m') m') i (m i) = t.piecewise (m + m'') m''

Tactic:
ext j

Result:
case h
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → M₁ i
t✝ : Finset ι
i : ι
t : Finset ι
hit : i ∉ t
Hrec : ∀ (m' : (i : ι) → M₁ i), f (t.piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ t.powerset, f (s.piecewise m m')
m' : (i : ι) → M₁ i
A : (insert i t).piecewise (m + m') m' = update (t.piecewise (m + m') m') i (m i + m' i)
B : update (t.piecewise (m + m') m') i (m' i) = t.piecewise (m + m') m'
m'' : (a : ι) → M₁ a := update m' i (m i)
j : ι
⊢ update (t.piecewise (m + m') m') i (m i) j = t.piecewise (m + m'') m'' j

Proof state:
case neg
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → M₁ i
t✝ : Finset ι
i : ι
t : Finset ι
hit : i ∉ t
Hrec : ∀ (m' : (i : ι) → M₁ i), f (t.piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ t.powerset, f (s.piecewise m m')
m' : (i : ι) → M₁ i
A : (insert i t).piecewise (m + m') m' = update (t.piecewise (m + m') m') i (m i + m' i)
j : ι
h : ¬j = i
⊢ update (t.piecewise (m + m') m') i (m' i) j = t.piecewise (m + m') m' j

Tactic:
simp [h]

Result:
no goals

Proof state:
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → M₁ i
t✝ : Finset ι
i : ι
t : Finset ι
hit : i ∉ t
Hrec : ∀ (m' : (i : ι) → M₁ i), f (t.piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ t.powerset, f (s.piecewise m m')
m' : (i : ι) → M₁ i
A : (insert i t).piecewise (m + m') m' = update (t.piecewise (m + m') m') i (m i + m' i)
B : update (t.piecewise (m + m') m') i (m' i) = t.piecewise (m + m') m'
⊢ f ((insert i t).piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ (insert i t).powerset, f (s.piecewise m m')

Tactic:
let m'' := update m' i (m i)

Result:
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → M₁ i
t✝ : Finset ι
i : ι
t : Finset ι
hit : i ∉ t
Hrec : ∀ (m' : (i : ι) → M₁ i), f (t.piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ t.powerset, f (s.piecewise m m')
m' : (i : ι) → M₁ i
A : (insert i t).piecewise (m + m') m' = update (t.piecewise (m + m') m') i (m i + m' i)
B : update (t.piecewise (m + m') m') i (m' i) = t.piecewise (m + m') m'
m'' : (a : ι) → M₁ a := update m' i (m i)
⊢ f ((insert i t).piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ (insert i t).powerset, f (s.piecewise m m')

Proof state:
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → M₁ i
t✝ : Finset ι
i : ι
t : Finset ι
hit : i ∉ t
Hrec : ∀ (m' : (i : ι) → M₁ i), f (t.piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ t.powerset, f (s.piecewise m m')
m' : (i : ι) → M₁ i
⊢ f ((insert i t).piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ (insert i t).powerset, f (s.piecewise m m')

Tactic:
have A : (insert i t).piecewise (m + m') m' = update (t.piecewise (m + m') m') i (m i + m' i) :=
  t.piecewise_insert _ _ _

Result:
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommMonoid (M₁ i)
inst✝³ : AddCommMonoid M₂
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : DecidableEq ι
m : (i : ι) → M₁ i
t✝ : Finset ι
i : ι
t : Finset ι
hit : i ∉ t
Hrec : ∀ (m' : (i : ι) → M₁ i), f (t.piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ t.powerset, f (s.piecewise m m')
m' : (i : ι) → M₁ i
A : (insert i t).piecewise (m + m') m' = update (t.piecewise (m + m') m') i (m i + m' i)
⊢ f ((insert i t).piecewise (m + m') m') = ∑ s ∈ (insert i t).powerset, f (s.piecewise m m')