-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/MStructure.lean
theorem commute [FaithfulSMul M X] {P Q : M} (h₁ : IsLprojection X P) (h₂ : IsLprojection X Q) :
    Commute P Q

Proof state:
X : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
inst✝² : Ring M
inst✝¹ : Module M X
inst✝ : FaithfulSMul M X
P Q : M
h₁ : IsLprojection X P
h₂ : IsLprojection X Q
R : M
h₃ : IsLprojection X R
x : X
⊢ ‖R • P • R • x‖ + ‖(1 - R) • P • R • x‖ + (‖(R * R) • x - R • P • R • x‖ + ‖(1 - R) • (1 - P) • R • x‖) =
    ‖R • P • R • x‖ + ‖(1 - R) • P • R • x‖ + (‖R • x - R • P • R • x‖ + ‖((1 - R) * R) • x - (1 - R) • P • R • x‖)

Tactic:
rw [h₃.proj.eq, sub_smul 1 P, one_smul, smul_sub, mul_smul]

Result:
no goals

Proof state:
X : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
inst✝² : Ring M
inst✝¹ : Module M X
inst✝ : FaithfulSMul M X
P Q : M
h₁ : IsLprojection X P
h₂ : IsLprojection X Q
PR_eq_RPR : ∀ (R : M), IsLprojection X R → P * R = R * P * R
⊢ P * (1 - Q) = (1 - Q) * P * (1 - Q)

Tactic:
rw [PR_eq_RPR (1 - Q) h₂.Lcomplement]

Result:
no goals

Proof state:
X : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
inst✝² : Ring M
inst✝¹ : Module M X
inst✝ : FaithfulSMul M X
P Q : M
h₁ : IsLprojection X P
h₂ : IsLprojection X Q
R : M
h₃ : IsLprojection X R
x : X
⊢ ‖(P * R) • x - (R * P * R) • x‖ = 0

Tactic:
have e1 : ‖R • x‖ ≥ ‖R • x‖ + 2 • ‖(P * R) • x - (R * P * R) • x‖ :=
  calc
    ‖R • x‖ = ‖R • P • R • x‖ + ‖(1 - R) • P • R • x‖ +
        (‖(R * R) • x - R • P • R • x‖ + ‖(1 - R) • (1 - P) • R • x‖) := by
      rw [h₁.Lnorm, h₃.Lnorm, h₃.Lnorm ((1 - P) • R • x), sub_smul 1 P, one_smul, smul_sub,
        mul_smul]
    _ = ‖R • P • R • x‖ + ‖(1 - R) • P • R • x‖ +
        (‖R • x - R • P • R • x‖ + ‖((1 - R) * R) • x - (1 - R) • P • R • x‖) := by
      rw [h₃.proj.eq, sub_smul 1 P, one_smul, smul_sub, mul_smul]
    _ = ‖R • P • R • x‖ + ‖(1 - R) • P • R • x‖ +
        (‖R • x - R • P • R • x‖ + ‖(1 - R) • P • R • x‖) := by
      rw [sub_mul, h₃.proj.eq, one_mul, sub_self, zero_smul, zero_sub, norm_neg]
    _ = ‖R • P • R • x‖ + ‖R • x - R • P • R • x‖ + 2 • ‖(1 - R) • P • R • x‖ := by abel
    _ ≥ ‖R • x‖ + 2 • ‖(P * R) • x - (R * P * R) • x‖ := by
      rw [GE.ge]
      have :=
        add_le_add_right (norm_le_insert' (R • x) (R • P • R • x)) (2 • ‖(1 - R) • P • R • x‖)
      simpa only [mul_smul, sub_smul, one_smul] using this

Result:
X : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
inst✝² : Ring M
inst✝¹ : Module M X
inst✝ : FaithfulSMul M X
P Q : M
h₁ : IsLprojection X P
h₂ : IsLprojection X Q
R : M
h₃ : IsLprojection X R
x : X
e1 : ‖R • x‖ ≥ ‖R • x‖ + 2 • ‖(P * R) • x - (R * P * R) • x‖
⊢ ‖(P * R) • x - (R * P * R) • x‖ = 0

Proof state:
X : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
inst✝² : Ring M
inst✝¹ : Module M X
inst✝ : FaithfulSMul M X
P Q : M
h₁ : IsLprojection X P
h₂ : IsLprojection X Q
R : M
h₃ : IsLprojection X R
x : X
this : ‖R • x‖ + 2 • ‖(1 - R) • P • R • x‖ ≤ ‖R • P • R • x‖ + ‖R • x - R • P • R • x‖ + 2 • ‖(1 - R) • P • R • x‖
⊢ ‖R • x‖ + 2 • ‖(P * R) • x - (R * P * R) • x‖ ≤ ‖R • P • R • x‖ + ‖R • x - R • P • R • x‖ + 2 • ‖(1 - R) • P • R • x‖

Tactic:
simpa only [mul_smul, sub_smul, one_smul] using this

Result:
no goals

Proof state:
X : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
inst✝² : Ring M
inst✝¹ : Module M X
inst✝ : FaithfulSMul M X
P Q : M
h₁ : IsLprojection X P
h₂ : IsLprojection X Q
PR_eq_RPR : ∀ (R : M), IsLprojection X R → P * R = R * P * R
⊢ (1 - Q) * P * (1 - Q) = P * (1 - Q) - (Q * P - Q * P * Q)

Tactic:
noncomm_ring

Result:
no goals

Proof state:
X : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
inst✝² : Ring M
inst✝¹ : Module M X
inst✝ : FaithfulSMul M X
P Q : M
h₁ : IsLprojection X P
h₂ : IsLprojection X Q
R : M
h₃ : IsLprojection X R
x : X
e1 : ‖R • x‖ + 2 • ‖(P * R) • x - (R * P * R) • x‖ ≤ ‖R • x‖
⊢ ‖(P * R) • x - (R * P * R) • x‖ = 0

Tactic:
nth_rewrite 2 [← add_zero ‖R • x‖] at e1

Result:
X : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
inst✝² : Ring M
inst✝¹ : Module M X
inst✝ : FaithfulSMul M X
P Q : M
h₁ : IsLprojection X P
h₂ : IsLprojection X Q
R : M
h₃ : IsLprojection X R
x : X
e1 : ‖R • x‖ + 2 • ‖(P * R) • x - (R * P * R) • x‖ ≤ ‖R • x‖ + 0
⊢ ‖(P * R) • x - (R * P * R) • x‖ = 0

Proof state:
X : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
inst✝² : Ring M
inst✝¹ : Module M X
inst✝ : FaithfulSMul M X
P Q : M
h₁ : IsLprojection X P
h₂ : IsLprojection X Q
R : M
h₃ : IsLprojection X R
x : X
⊢ ‖R • P • R • x‖ + ‖(1 - R) • P • R • x‖ + (‖R • x - R • P • R • x‖ + ‖((1 - R) * R) • x - (1 - R) • P • R • x‖) =
    ‖R • P • R • x‖ + ‖(1 - R) • P • R • x‖ + (‖R • x - R • P • R • x‖ + ‖(1 - R) • P • R • x‖)

Tactic:
rw [sub_mul, h₃.proj.eq, one_mul, sub_self, zero_smul, zero_sub, norm_neg]

Result:
no goals

Proof state:
X : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
inst✝² : Ring M
inst✝¹ : Module M X
inst✝ : FaithfulSMul M X
P Q : M
h₁ : IsLprojection X P
h₂ : IsLprojection X Q
R : M
h₃ : IsLprojection X R
x : X
⊢ ‖R • P • R • x‖ + ‖R • x - R • P • R • x‖ + 2 • ‖(1 - R) • P • R • x‖ ≥ ‖R • x‖ + 2 • ‖(P * R) • x - (R * P * R) • x‖

Tactic:
rw [GE.ge]

Result:
X : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
inst✝² : Ring M
inst✝¹ : Module M X
inst✝ : FaithfulSMul M X
P Q : M
h₁ : IsLprojection X P
h₂ : IsLprojection X Q
R : M
h₃ : IsLprojection X R
x : X
⊢ ‖R • x‖ + 2 • ‖(P * R) • x - (R * P * R) • x‖ ≤ ‖R • P • R • x‖ + ‖R • x - R • P • R • x‖ + 2 • ‖(1 - R) • P • R • x‖

Proof state:
X : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
inst✝² : Ring M
inst✝¹ : Module M X
inst✝ : FaithfulSMul M X
P Q : M
h₁ : IsLprojection X P
h₂ : IsLprojection X Q
R : M
h₃ : IsLprojection X R
x : X
e1 : 2 * ‖(P * R) • x - (R * P * R) • x‖ ≤ 0
⊢ ‖(P * R) • x - (R * P * R) • x‖ ≤ 0 ∧ 0 ≤ ‖(P * R) • x - (R * P * R) • x‖

Tactic:
refine ⟨?_, norm_nonneg _⟩

Result:
X : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
inst✝² : Ring M
inst✝¹ : Module M X
inst✝ : FaithfulSMul M X
P Q : M
h₁ : IsLprojection X P
h₂ : IsLprojection X Q
R : M
h₃ : IsLprojection X R
x : X
e1 : 2 * ‖(P * R) • x - (R * P * R) • x‖ ≤ 0
⊢ ‖(P * R) • x - (R * P * R) • x‖ ≤ 0

Proof state:
X : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
inst✝² : Ring M
inst✝¹ : Module M X
inst✝ : FaithfulSMul M X
P Q : M
h₁ : IsLprojection X P
h₂ : IsLprojection X Q
R : M
h₃ : IsLprojection X R
x : X
⊢ (P * R) • x = (R * P * R) • x

Tactic:
rw [← norm_sub_eq_zero_iff]

Result:
X : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
inst✝² : Ring M
inst✝¹ : Module M X
inst✝ : FaithfulSMul M X
P Q : M
h₁ : IsLprojection X P
h₂ : IsLprojection X Q
R : M
h₃ : IsLprojection X R
x : X
⊢ ‖(P * R) • x - (R * P * R) • x‖ = 0

Proof state:
X : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
inst✝² : Ring M
inst✝¹ : Module M X
inst✝ : FaithfulSMul M X
P Q : M
h₁ : IsLprojection X P
h₂ : IsLprojection X Q
PR_eq_RPR : ∀ (R : M), IsLprojection X R → P * R = R * P * R
⊢ Commute P Q

Tactic:
have QP_eq_QPQ : Q * P = Q * P * Q := by
  have e1 : P * (1 - Q) = P * (1 - Q) - (Q * P - Q * P * Q) :=
    calc
      P * (1 - Q) = (1 - Q) * P * (1 - Q) := by rw [PR_eq_RPR (1 - Q) h₂.Lcomplement]
      _ = P * (1 - Q) - (Q * P - Q * P * Q) := by noncomm_ring
  rwa [eq_sub_iff_add_eq, add_right_eq_self, sub_eq_zero] at e1

Result:
X : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup X
M : Type u_2
inst✝² : Ring M
inst✝¹ : Module M X
inst✝ : FaithfulSMul M X
P Q : M
h₁ : IsLprojection X P
h₂ : IsLprojection X Q
PR_eq_RPR : ∀ (R : M), IsLprojection X R → P * R = R * P * R
QP_eq_QPQ : Q * P = Q * P * Q
⊢ Commute P Q