-- Mathlib/Topology/Order/IsLUB.lean
theorem IsLUB.mem_upperBounds_of_tendsto [Preorder γ] [TopologicalSpace γ] [OrderClosedTopology γ]
    {f : α → γ} {s : Set α} {a : α} {b : γ} (hf : MonotoneOn f s) (ha : IsLUB s a)
    (hb : Tendsto f (𝓝[s] a) (𝓝 b)) : b ∈ upperBounds (f '' s)

Proof state:
case intro.intro
α : Type u_1
γ : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : Preorder γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderClosedTopology γ
f : α → γ
s : Set α
a : α
b : γ
hf : MonotoneOn f s
hb : Tendsto f (𝓝[s] a) (𝓝 b)
x : α
hx : x ∈ s
ha : IsLUB (s ∩ Ici x) a
this : (𝓝[s ∩ Ici x] a).NeBot
⊢ f x ≤ b

Tactic:
refine ge_of_tendsto (hb.mono_left (nhdsWithin_mono a (inter_subset_left (t := Ici x)))) ?_

Result:
case intro.intro
α : Type u_1
γ : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : Preorder γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderClosedTopology γ
f : α → γ
s : Set α
a : α
b : γ
hf : MonotoneOn f s
hb : Tendsto f (𝓝[s] a) (𝓝 b)
x : α
hx : x ∈ s
ha : IsLUB (s ∩ Ici x) a
this : (𝓝[s ∩ Ici x] a).NeBot
⊢ ∀ᶠ (c : α) in 𝓝[s ∩ Ici x] a, f x ≤ f c

Proof state:
case intro.intro
α : Type u_1
γ : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : Preorder γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderClosedTopology γ
f : α → γ
s : Set α
a : α
b : γ
hf : MonotoneOn f s
hb : Tendsto f (𝓝[s] a) (𝓝 b)
x : α
hx : x ∈ s
ha : IsLUB (s ∩ Ici x) a
this : (𝓝[s ∩ Ici x] a).NeBot
⊢ ∀ᶠ (c : α) in 𝓝[s ∩ Ici x] a, f x ≤ f c

Tactic:
exact mem_of_superset self_mem_nhdsWithin fun y hy => hf hx hy.1 hy.2

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro
α : Type u_1
γ : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : Preorder γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderClosedTopology γ
f : α → γ
s : Set α
a : α
b : γ
hf : MonotoneOn f s
ha : IsLUB s a
hb : Tendsto f (𝓝[s] a) (𝓝 b)
x : α
hx : x ∈ s
⊢ f x ≤ b

Tactic:
replace ha := ha.inter_Ici_of_mem hx

Result:
case intro.intro
α : Type u_1
γ : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : Preorder γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderClosedTopology γ
f : α → γ
s : Set α
a : α
b : γ
hf : MonotoneOn f s
hb : Tendsto f (𝓝[s] a) (𝓝 b)
x : α
hx : x ∈ s
ha : IsLUB (s ∩ Ici x) a
⊢ f x ≤ b

Proof state:
α : Type u_1
γ : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : Preorder γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderClosedTopology γ
f : α → γ
s : Set α
a : α
b : γ
hf : MonotoneOn f s
ha : IsLUB s a
hb : Tendsto f (𝓝[s] a) (𝓝 b)
⊢ b ∈ upperBounds (f '' s)

Tactic:
rintro _ ⟨x, hx, rfl⟩

Result:
case intro.intro
α : Type u_1
γ : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : Preorder γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderClosedTopology γ
f : α → γ
s : Set α
a : α
b : γ
hf : MonotoneOn f s
ha : IsLUB s a
hb : Tendsto f (𝓝[s] a) (𝓝 b)
x : α
hx : x ∈ s
⊢ f x ≤ b

Proof state:
case intro.intro
α : Type u_1
γ : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : Preorder γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderClosedTopology γ
f : α → γ
s : Set α
a : α
b : γ
hf : MonotoneOn f s
hb : Tendsto f (𝓝[s] a) (𝓝 b)
x : α
hx : x ∈ s
ha : IsLUB (s ∩ Ici x) a
⊢ f x ≤ b

Tactic:
haveI := ha.nhdsWithin_neBot ⟨x, hx, le_rfl⟩

Result:
case intro.intro
α : Type u_1
γ : Type u_2
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : Preorder γ
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : OrderClosedTopology γ
f : α → γ
s : Set α
a : α
b : γ
hf : MonotoneOn f s
hb : Tendsto f (𝓝[s] a) (𝓝 b)
x : α
hx : x ∈ s
ha : IsLUB (s ∩ Ici x) a
this : (𝓝[s ∩ Ici x] a).NeBot
⊢ f x ≤ b