-- Mathlib/GroupTheory/GroupAction/Basic.lean
theorem le_stabilizer_iff_smul_le (s : Set α) (H : Subgroup G) :
    H ≤ stabilizer G s ↔ ∀ g ∈ H, g • s ⊆ s

Proof state:
case mpr
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : MulAction G α
s : Set α
H : Subgroup G
hyp : ∀ g ∈ H, g • s ⊆ s
g : G
hg : g ∈ H
⊢ s ⊆ g • s

Tactic:
intro x hx

Result:
case mpr
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : MulAction G α
s : Set α
H : Subgroup G
hyp : ∀ g ∈ H, g • s ⊆ s
g : G
hg : g ∈ H
x : α
hx : x ∈ s
⊢ x ∈ g • s

Proof state:
case h.right
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : MulAction G α
s : Set α
H : Subgroup G
hyp : ∀ g ∈ H, g • s ⊆ s
g : G
hg : g ∈ H
x : α
hx : x ∈ s
⊢ (fun x => g • x) (g⁻¹ • x) = x

Tactic:
simp only [smul_inv_smul]

Result:
no goals

Proof state:
case mpr
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : MulAction G α
s : Set α
H : Subgroup G
hyp : ∀ g ∈ H, g • s ⊆ s
g : G
hg : g ∈ H
x : α
hx : x ∈ s
⊢ x ∈ g • s

Tactic:
use g⁻¹ • x

Result:
case h
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : MulAction G α
s : Set α
H : Subgroup G
hyp : ∀ g ∈ H, g • s ⊆ s
g : G
hg : g ∈ H
x : α
hx : x ∈ s
⊢ g⁻¹ • x ∈ s ∧ (fun x => g • x) (g⁻¹ • x) = x

Proof state:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : MulAction G α
s : Set α
H : Subgroup G
⊢ H ≤ stabilizer G s ↔ ∀ g ∈ H, g • s ⊆ s

Tactic:
constructor

Result:
case mp
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : MulAction G α
s : Set α
H : Subgroup G
⊢ H ≤ stabilizer G s → ∀ g ∈ H, g • s ⊆ s

case mpr
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : MulAction G α
s : Set α
H : Subgroup G
⊢ (∀ g ∈ H, g • s ⊆ s) → H ≤ stabilizer G s

Proof state:
case mpr
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : MulAction G α
s : Set α
H : Subgroup G
hyp : ∀ g ∈ H, g • s ⊆ s
g : G
hg : g ∈ H
⊢ g • s = s

Tactic:
apply subset_antisymm (hyp g hg)

Result:
case mpr
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : MulAction G α
s : Set α
H : Subgroup G
hyp : ∀ g ∈ H, g • s ⊆ s
g : G
hg : g ∈ H
⊢ s ⊆ g • s

Proof state:
case mpr
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : MulAction G α
s : Set α
H : Subgroup G
⊢ (∀ g ∈ H, g • s ⊆ s) → H ≤ stabilizer G s

Tactic:
intro hyp g hg

Result:
case mpr
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : MulAction G α
s : Set α
H : Subgroup G
hyp : ∀ g ∈ H, g • s ⊆ s
g : G
hg : g ∈ H
⊢ g ∈ stabilizer G s

Proof state:
case mpr
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : MulAction G α
s : Set α
H : Subgroup G
hyp : ∀ g ∈ H, g • s ⊆ s
g : G
hg : g ∈ H
⊢ g ∈ stabilizer G s

Tactic:
rw [mem_stabilizer_iff]

Result:
case mpr
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : MulAction G α
s : Set α
H : Subgroup G
hyp : ∀ g ∈ H, g • s ⊆ s
g : G
hg : g ∈ H
⊢ g • s = s

Proof state:
case h.left
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : MulAction G α
s : Set α
H : Subgroup G
hyp : ∀ g ∈ H, g • s ⊆ s
g : G
hg : g ∈ H
x : α
hx : x ∈ s
⊢ g⁻¹ • x ∈ s

Tactic:
apply hyp g⁻¹ (inv_mem hg)

Result:
case h.left.a
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : MulAction G α
s : Set α
H : Subgroup G
hyp : ∀ g ∈ H, g • s ⊆ s
g : G
hg : g ∈ H
x : α
hx : x ∈ s
⊢ g⁻¹ • x ∈ g⁻¹ • s

Proof state:
case h
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : MulAction G α
s : Set α
H : Subgroup G
hyp : ∀ g ∈ H, g • s ⊆ s
g : G
hg : g ∈ H
x : α
hx : x ∈ s
⊢ g⁻¹ • x ∈ s ∧ (fun x => g • x) (g⁻¹ • x) = x

Tactic:
constructor

Result:
case h.left
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : MulAction G α
s : Set α
H : Subgroup G
hyp : ∀ g ∈ H, g • s ⊆ s
g : G
hg : g ∈ H
x : α
hx : x ∈ s
⊢ g⁻¹ • x ∈ s

case h.right
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : MulAction G α
s : Set α
H : Subgroup G
hyp : ∀ g ∈ H, g • s ⊆ s
g : G
hg : g ∈ H
x : α
hx : x ∈ s
⊢ (fun x => g • x) (g⁻¹ • x) = x

Proof state:
case h.left.a
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : MulAction G α
s : Set α
H : Subgroup G
hyp : ∀ g ∈ H, g • s ⊆ s
g : G
hg : g ∈ H
x : α
hx : x ∈ s
⊢ g⁻¹ • x ∈ g⁻¹ • s

Tactic:
simp only [Set.smul_mem_smul_set_iff, hx]

Result:
no goals

Proof state:
case mp
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : MulAction G α
s : Set α
H : Subgroup G
hyp : H ≤ stabilizer G s
g : G
hg : g ∈ H
⊢ g • s ⊆ s

Tactic:
apply Eq.subset

Result:
case mp.a
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : MulAction G α
s : Set α
H : Subgroup G
hyp : H ≤ stabilizer G s
g : G
hg : g ∈ H
⊢ g • s = s

Proof state:
case mp.a
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : MulAction G α
s : Set α
H : Subgroup G
hyp : H ≤ stabilizer G s
g : G
hg : g ∈ H
⊢ g • s = s

Tactic:
rw [← mem_stabilizer_iff]

Result:
case mp.a
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : MulAction G α
s : Set α
H : Subgroup G
hyp : H ≤ stabilizer G s
g : G
hg : g ∈ H
⊢ g ∈ stabilizer G s

Proof state:
case mp.a
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : MulAction G α
s : Set α
H : Subgroup G
hyp : H ≤ stabilizer G s
g : G
hg : g ∈ H
⊢ g ∈ stabilizer G s

Tactic:
exact hyp hg

Result:
no goals

Proof state:
case mp
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : MulAction G α
s : Set α
H : Subgroup G
⊢ H ≤ stabilizer G s → ∀ g ∈ H, g • s ⊆ s

Tactic:
intro hyp g hg

Result:
case mp
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
α : Type u_2
inst✝ : MulAction G α
s : Set α
H : Subgroup G
hyp : H ≤ stabilizer G s
g : G
hg : g ∈ H
⊢ g • s ⊆ s