-- Mathlib/Geometry/Manifold/MFDeriv/Basic.lean
theorem writtenInExtChartAt_comp (h : ContinuousWithinAt f s x) :
    {y | writtenInExtChartAt I I'' x (g ∘ f) y =
          (writtenInExtChartAt I' I'' (f x) g ∘ writtenInExtChartAt I I' x f) y} ∈
      𝓝[(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range I] (extChartAt I x) x

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
x : M
s : Set M
g : M' → M''
h : ContinuousWithinAt f s x
⊢ {y | writtenInExtChartAt I I'' x (g ∘ f) y = (writtenInExtChartAt I' I'' (f x) g ∘ writtenInExtChartAt I I' x f) y} ∈
    𝓝[↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑(extChartAt I x) x

Tactic:
apply
  @Filter.mem_of_superset _ _ (f ∘ (extChartAt I x).symm ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source) _
    (extChartAt_preimage_mem_nhdsWithin
      (h.preimage_mem_nhdsWithin (extChartAt_source_mem_nhds _)))

Result:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
x : M
s : Set M
g : M' → M''
h : ContinuousWithinAt f s x
⊢ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source ⊆
    {y | writtenInExtChartAt I I'' x (g ∘ f) y = (writtenInExtChartAt I' I'' (f x) g ∘ writtenInExtChartAt I I' x f) y}

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace M''
inst✝ : ChartedSpace H'' M''
f : M → M'
x : M
s : Set M
g : M' → M''
h : ContinuousWithinAt f s x
⊢ f ∘ ↑(extChartAt I x).symm ⁻¹' (extChartAt I' (f x)).source ⊆
    {y | writtenInExtChartAt I I'' x (g ∘ f) y = (writtenInExtChartAt I' I'' (f x) g ∘ writtenInExtChartAt I I' x f) y}

Tactic:
mfld_set_tac

Result:
no goals