-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Defs.lean
theorem surjective_comp_left_of_exists_rightInverse {σ₃₂ : R₃ →+* R₂}
    [RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂] [RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₂ σ₁₂]
    (hf : ∃ f' : M₃ →ₛₗ[σ₃₂] M₂, f.comp f' = .id) :
    Surjective fun g : M₁ →ₛₗ[σ₁₂] M₂ ↦ f.comp g

Proof state:
case intro
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M₁ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M₃ : Type u_11
inst✝⁸ : Semiring R₁
inst✝⁷ : Semiring R₂
inst✝⁶ : Semiring R₃
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
module_M₁ : Module R₁ M₁
module_M₂ : Module R₂ M₂
module_M₃ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
f : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
inst✝¹ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₂ σ₁₂
h : M₁ →ₛₗ[σ₁₃] M₃
f' : M₃ →ₛₗ[σ₃₂] M₂
hf' : f.comp f' = id
⊢ ∃ a, (fun g => f.comp g) a = h

Tactic:
refine ⟨f'.comp h, ?_⟩

Result:
case intro
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M₁ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M₃ : Type u_11
inst✝⁸ : Semiring R₁
inst✝⁷ : Semiring R₂
inst✝⁶ : Semiring R₃
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
module_M₁ : Module R₁ M₁
module_M₂ : Module R₂ M₂
module_M₃ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
f : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
inst✝¹ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₂ σ₁₂
h : M₁ →ₛₗ[σ₁₃] M₃
f' : M₃ →ₛₗ[σ₃₂] M₂
hf' : f.comp f' = id
⊢ (fun g => f.comp g) (f'.comp h) = h

Proof state:
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M₁ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M₃ : Type u_11
inst✝⁸ : Semiring R₁
inst✝⁷ : Semiring R₂
inst✝⁶ : Semiring R₃
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
module_M₁ : Module R₁ M₁
module_M₂ : Module R₂ M₂
module_M₃ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
f : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
inst✝¹ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₂ σ₁₂
hf : ∃ f', f.comp f' = id
⊢ Surjective fun g => f.comp g

Tactic:
intro h

Result:
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M₁ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M₃ : Type u_11
inst✝⁸ : Semiring R₁
inst✝⁷ : Semiring R₂
inst✝⁶ : Semiring R₃
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
module_M₁ : Module R₁ M₁
module_M₂ : Module R₂ M₂
module_M₃ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
f : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
inst✝¹ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₂ σ₁₂
hf : ∃ f', f.comp f' = id
h : M₁ →ₛₗ[σ₁₃] M₃
⊢ ∃ a, (fun g => f.comp g) a = h

Proof state:
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M₁ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M₃ : Type u_11
inst✝⁸ : Semiring R₁
inst✝⁷ : Semiring R₂
inst✝⁶ : Semiring R₃
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
module_M₁ : Module R₁ M₁
module_M₂ : Module R₂ M₂
module_M₃ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
f : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
inst✝¹ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₂ σ₁₂
hf : ∃ f', f.comp f' = id
h : M₁ →ₛₗ[σ₁₃] M₃
⊢ ∃ a, (fun g => f.comp g) a = h

Tactic:
obtain ⟨f', hf'⟩ := hf

Result:
case intro
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M₁ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M₃ : Type u_11
inst✝⁸ : Semiring R₁
inst✝⁷ : Semiring R₂
inst✝⁶ : Semiring R₃
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
module_M₁ : Module R₁ M₁
module_M₂ : Module R₂ M₂
module_M₃ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
f : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
inst✝¹ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₂ σ₁₂
h : M₁ →ₛₗ[σ₁₃] M₃
f' : M₃ →ₛₗ[σ₃₂] M₂
hf' : f.comp f' = id
⊢ ∃ a, (fun g => f.comp g) a = h

Proof state:
case intro
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M₁ : Type u_9
M₂ : Type u_10
M₃ : Type u_11
inst✝⁸ : Semiring R₁
inst✝⁷ : Semiring R₂
inst✝⁶ : Semiring R₃
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
module_M₁ : Module R₁ M₁
module_M₂ : Module R₂ M₂
module_M₃ : Module R₃ M₃
σ₁₂ : R₁ →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R₁ →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
f : M₂ →ₛₗ[σ₂₃] M₃
σ₃₂ : R₃ →+* R₂
inst✝¹ : RingHomInvPair σ₂₃ σ₃₂
inst✝ : RingHomCompTriple σ₁₃ σ₃₂ σ₁₂
h : M₁ →ₛₗ[σ₁₃] M₃
f' : M₃ →ₛₗ[σ₃₂] M₂
hf' : f.comp f' = id
⊢ (fun g => f.comp g) (f'.comp h) = h

Tactic:
simp_rw [← comp_assoc, hf', id_comp]

Result:
no goals