-- Mathlib/LinearAlgebra/TensorProduct/Matrix.lean
theorem TensorProduct.toMatrix_map (f : M →ₗ[R] M') (g : N →ₗ[R] N') :
    toMatrix (bM.tensorProduct bN) (bM'.tensorProduct bN') (TensorProduct.map f g) =
      toMatrix bM bM' f ⊗ₖ toMatrix bN bN' g

Proof state:
case a.mk.mk
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
M' : Type u_5
N' : Type u_6
ι : Type u_7
κ : Type u_8
ι' : Type u_10
κ' : Type u_11
inst✝¹⁴ : DecidableEq ι
inst✝¹³ : DecidableEq κ
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype κ
inst✝¹⁰ : Finite ι'
inst✝⁹ : Finite κ'
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R N'
bM : Basis ι R M
bN : Basis κ R N
bM' : Basis ι' R M'
bN' : Basis κ' R N'
f : M →ₗ[R] M'
g : N →ₗ[R] N'
i : ι'
j : κ'
i' : ι
j' : κ
⊢ (bN'.repr (g (bN j'))) j • (bM'.repr (f (bM i'))) i = (bM'.repr (f (bM i'))) i * (bN'.repr (g (bN j'))) j

Tactic:
exact mul_comm _ _

Result:
no goals

Proof state:
case a.mk.mk
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
M' : Type u_5
N' : Type u_6
ι : Type u_7
κ : Type u_8
ι' : Type u_10
κ' : Type u_11
inst✝¹⁴ : DecidableEq ι
inst✝¹³ : DecidableEq κ
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype κ
inst✝¹⁰ : Finite ι'
inst✝⁹ : Finite κ'
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R N'
bM : Basis ι R M
bN : Basis κ R N
bM' : Basis ι' R M'
bN' : Basis κ' R N'
f : M →ₗ[R] M'
g : N →ₗ[R] N'
i : ι'
j : κ'
i' : ι
j' : κ
⊢ (toMatrix (bM.tensorProduct bN) (bM'.tensorProduct bN')) (map f g) (i, j) (i', j') =
    kroneckerMap (fun x1 x2 => x1 * x2) ((toMatrix bM bM') f) ((toMatrix bN bN') g) (i, j) (i', j')

Tactic:
simp_rw [Matrix.kroneckerMap_apply, toMatrix_apply, Basis.tensorProduct_apply,
  TensorProduct.map_tmul, Basis.tensorProduct_repr_tmul_apply]

Result:
case a.mk.mk
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
M' : Type u_5
N' : Type u_6
ι : Type u_7
κ : Type u_8
ι' : Type u_10
κ' : Type u_11
inst✝¹⁴ : DecidableEq ι
inst✝¹³ : DecidableEq κ
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype κ
inst✝¹⁰ : Finite ι'
inst✝⁹ : Finite κ'
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R N'
bM : Basis ι R M
bN : Basis κ R N
bM' : Basis ι' R M'
bN' : Basis κ' R N'
f : M →ₗ[R] M'
g : N →ₗ[R] N'
i : ι'
j : κ'
i' : ι
j' : κ
⊢ (bN'.repr (g (bN j'))) j • (bM'.repr (f (bM i'))) i = (bM'.repr (f (bM i'))) i * (bN'.repr (g (bN j'))) j

Proof state:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
M' : Type u_5
N' : Type u_6
ι : Type u_7
κ : Type u_8
ι' : Type u_10
κ' : Type u_11
inst✝¹⁴ : DecidableEq ι
inst✝¹³ : DecidableEq κ
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype κ
inst✝¹⁰ : Finite ι'
inst✝⁹ : Finite κ'
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R N'
bM : Basis ι R M
bN : Basis κ R N
bM' : Basis ι' R M'
bN' : Basis κ' R N'
f : M →ₗ[R] M'
g : N →ₗ[R] N'
⊢ (toMatrix (bM.tensorProduct bN) (bM'.tensorProduct bN')) (map f g) =
    kroneckerMap (fun x1 x2 => x1 * x2) ((toMatrix bM bM') f) ((toMatrix bN bN') g)

Tactic:
ext ⟨i, j⟩ ⟨i', j'⟩

Result:
case a.mk.mk
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
M' : Type u_5
N' : Type u_6
ι : Type u_7
κ : Type u_8
ι' : Type u_10
κ' : Type u_11
inst✝¹⁴ : DecidableEq ι
inst✝¹³ : DecidableEq κ
inst✝¹² : Fintype ι
inst✝¹¹ : Fintype κ
inst✝¹⁰ : Finite ι'
inst✝⁹ : Finite κ'
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup N
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : AddCommGroup N'
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : Module R M'
inst✝ : Module R N'
bM : Basis ι R M
bN : Basis κ R N
bM' : Basis ι' R M'
bN' : Basis κ' R N'
f : M →ₗ[R] M'
g : N →ₗ[R] N'
i : ι'
j : κ'
i' : ι
j' : κ
⊢ (toMatrix (bM.tensorProduct bN) (bM'.tensorProduct bN')) (map f g) (i, j) (i', j') =
    kroneckerMap (fun x1 x2 => x1 * x2) ((toMatrix bM bM') f) ((toMatrix bN bN') g) (i, j) (i', j')