-- Mathlib/Algebra/AddConstMap/Basic.lean
theorem rel_map_of_Icc [LinearOrderedAddCommGroup G] [Archimedean G] [AddGroup H]
    [AddConstMapClass F G H a b] {f : F} {R : H → H → Prop} [IsTrans H R]
    [hR : CovariantClass H H (fun x y ↦ y + x) R] (ha : 0 < a) {l : G}
    (hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)) :
    ((· < ·) ⇒ R) f f := fun x y hxy ↦ by
  replace hR := hR.elim
  have ha' : 0 ≤ a := ha.le
  -- Shift both points by `m • a` so that `l ≤ x < l + a`
  wlog hx : x ∈ Ico l (l + a) generalizing x y
  · rcases existsUnique_sub_zsmul_mem_Ico ha x l with ⟨m, hm, -⟩
    suffices R (f (x - m • a)) (f (y - m • a)) by simpa using hR (m • b) this
    exact this _ _ (by simpa) hm
  · -- Now find `n` such that `l + n • a < y ≤ l + (n + 1) • a`
    rcases existsUnique_sub_zsmul_mem_Ioc ha y l with ⟨n, hny, -⟩
    rcases lt_trichotomy n 0 with hn | rfl | hn
    · -- Since `l ≤ x ≤ y`, the case `n < 0` is impossible
      refine absurd ?_ hxy.not_le
      calc
        y ≤ l + a + n • a := sub_le_iff_le_add.1 hny.2
        _ = l + (n + 1) • a

Proof state:
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
ha' : 0 ≤ a
x y : G
hxy : x < y
hx : x ∈ Ico l (l + a)
n : ℤ
hny : y - n • a ∈ Ioc l (l + a)
hn : 1 ≤ n
hy : R (f (l + n • a)) (f y)
⊢ R (f (l + 1 • a)) (f y)

Tactic:
rcases hn.eq_or_lt with rfl | hn

Result:
case inl
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
ha' : 0 ≤ a
x y : G
hxy : x < y
hx : x ∈ Ico l (l + a)
hny : y - 1 • a ∈ Ioc l (l + a)
hn : 1 ≤ 1
hy : R (f (l + 1 • a)) (f y)
⊢ R (f (l + 1 • a)) (f y)

case inr
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
ha' : 0 ≤ a
x y : G
hxy : x < y
hx : x ∈ Ico l (l + a)
n : ℤ
hny : y - n • a ∈ Ioc l (l + a)
hn✝ : 1 ≤ n
hy : R (f (l + n • a)) (f y)
hn : 1 < n
⊢ R (f (l + 1 • a)) (f y)

Proof state:
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
x y : G
hxy : (fun x1 x2 => x1 < x2) x y
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
⊢ R (f x) (f y)

Tactic:
have ha' : 0 ≤ a := ha.le

Result:
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
x y : G
hxy : (fun x1 x2 => x1 < x2) x y
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
ha' : 0 ≤ a
⊢ R (f x) (f y)

Proof state:
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
ha' : 0 ≤ a
x y : G
hxy : x < y
hx : x ∈ Ico l (l + a)
n : ℤ
hny : y - n • a ∈ Ioc l (l + a)
hn : 0 < n
hy : R (f (l + n • a)) (f y)
⊢ R (f (l + 1 • a)) (f y)

Tactic:
rw [← Int.add_one_le_iff, zero_add] at hn

Result:
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
ha' : 0 ≤ a
x y : G
hxy : x < y
hx : x ∈ Ico l (l + a)
n : ℤ
hny : y - n • a ∈ Ioc l (l + a)
hn : 1 ≤ n
hy : R (f (l + n • a)) (f y)
⊢ R (f (l + 1 • a)) (f y)

Proof state:
case inr.intro.intro
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
x y : G
hxy : (fun x1 x2 => x1 < x2) x y
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
ha' : 0 ≤ a
this : ∀ (x y : G), x < y → x ∈ Ico l (l + a) → R (f x) (f y)
hx : x ∉ Ico l (l + a)
m : ℤ
hm : x - m • a ∈ Ico l (l + a)
⊢ R (f (x - m • a)) (f (y - m • a))

Tactic:
exact this _ _ (by simpa) hm

Result:
no goals

Proof state:
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
ha' : 0 ≤ a
x y : G
hxy : x < y
hx : x ∈ Ico l (l + a)
n : ℤ
hny : y - n • a ∈ Ioc l (l + a)
hn : 0 < n
⊢ R (f x) (f (l + 1 • a))

Tactic:
rw [one_zsmul]

Result:
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
ha' : 0 ≤ a
x y : G
hxy : x < y
hx : x ∈ Ico l (l + a)
n : ℤ
hny : y - n • a ∈ Ioc l (l + a)
hn : 0 < n
⊢ R (f x) (f (l + a))

Proof state:
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
ha' : 0 ≤ a
x y : G
hxy : x < y
hx : x ∈ Ico l (l + a)
n : ℤ
hny : y - n • a ∈ Ioc l (l + a)
hn : 0 < n
⊢ R (f (l + n • a)) (f y)

Tactic:
rw [← sub_add_cancel y (n • a), map_add_zsmul, map_add_zsmul]

Result:
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝⁵ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup G
inst✝³ : Archimedean G
inst✝² : AddGroup H
inst✝¹ : AddConstMapClass F G H a b
f : F
R : H → H → Prop
inst✝ : IsTrans H R
ha : 0 < a
l : G
hf : ∀ x ∈ Icc l (l + a), ∀ y ∈ Icc l (l + a), x < y → R (f x) (f y)
hR : Covariant H H (fun x y => y + x) R
ha' : 0 ≤ a
x y : G
hxy : x < y
hx : x ∈ Ico l (l + a)
n : ℤ
hny : y - n • a ∈ Ioc l (l + a)
hn : 0 < n
⊢ R (f l + n • b) (f (y - n • a) + n • b)