-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
lemma HasFPowerSeriesWithinAt.congr {f g : E → F} {p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F} {s : Set E}
    {x : E} (h : HasFPowerSeriesWithinAt f p s x) (h' : g =ᶠ[𝓝[s] x] f) (h'' : g x = f x) :
    HasFPowerSeriesWithinAt g p s x

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
h : HasFPowerSeriesWithinAt f p s x
h' : g =ᶠ[𝓝[s] x] f
h'' : g x = f x
⊢ HasFPowerSeriesWithinAt g p s x

Tactic:
rcases h with ⟨r, hr⟩

Result:
case intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
h' : g =ᶠ[𝓝[s] x] f
h'' : g x = f x
r : ℝ≥0∞
hr : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
⊢ HasFPowerSeriesWithinAt g p s x

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
h' : g =ᶠ[𝓝[s] x] f
h'' : g x = f x
r : ℝ≥0∞
hr : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
hε : EMetric.ball x ε ∩ s ⊆ {y | g y = f y}
r' : ℝ≥0∞ := r ⊓ ε
this : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r'
z : E
hz : z ∈ s ∩ EMetric.ball x r'
⊢ g z = f z

Tactic:
exact hε ⟨EMetric.ball_subset_ball (min_le_right _ _) hz.2, hz.1⟩

Result:
no goals

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
h' : g =ᶠ[𝓝[s] x] f
h'' : g x = f x
r : ℝ≥0∞
hr : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
hε : EMetric.ball x ε ∩ s ⊆ {y | g y = f y}
r' : ℝ≥0∞ := r ⊓ ε
⊢ 0 < r'

Tactic:
simp [r', εpos, hr.r_pos]

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
h' : g =ᶠ[𝓝[s] x] f
h'' : g x = f x
r : ℝ≥0∞
hr : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
hε : EMetric.ball x ε ∩ s ⊆ {y | g y = f y}
r' : ℝ≥0∞ := r ⊓ ε
⊢ HasFPowerSeriesWithinAt g p s x

Tactic:
refine ⟨r', ?_⟩

Result:
case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
h' : g =ᶠ[𝓝[s] x] f
h'' : g x = f x
r : ℝ≥0∞
hr : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
hε : EMetric.ball x ε ∩ s ⊆ {y | g y = f y}
r' : ℝ≥0∞ := r ⊓ ε
⊢ HasFPowerSeriesWithinOnBall g p s x r'

Proof state:
case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
h' : g =ᶠ[𝓝[s] x] f
h'' : g x = f x
r : ℝ≥0∞
hr : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
hε : EMetric.ball x ε ∩ s ⊆ {y | g y = f y}
⊢ HasFPowerSeriesWithinAt g p s x

Tactic:
let r' := min r ε

Result:
case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
h' : g =ᶠ[𝓝[s] x] f
h'' : g x = f x
r : ℝ≥0∞
hr : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
hε : EMetric.ball x ε ∩ s ⊆ {y | g y = f y}
r' : ℝ≥0∞ := r ⊓ ε
⊢ HasFPowerSeriesWithinAt g p s x

Proof state:
case intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
h' : g =ᶠ[𝓝[s] x] f
h'' : g x = f x
r : ℝ≥0∞
hr : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
⊢ HasFPowerSeriesWithinAt g p s x

Tactic:
obtain ⟨ε, εpos, hε⟩ : ∃ ε > 0, EMetric.ball x ε ∩ s ⊆ {y | g y = f y} :=
  EMetric.mem_nhdsWithin_iff.1 h'

Result:
case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
h' : g =ᶠ[𝓝[s] x] f
h'' : g x = f x
r : ℝ≥0∞
hr : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
hε : EMetric.ball x ε ∩ s ⊆ {y | g y = f y}
⊢ HasFPowerSeriesWithinAt g p s x

Proof state:
case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
h' : g =ᶠ[𝓝[s] x] f
h'' : g x = f x
r : ℝ≥0∞
hr : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
hε : EMetric.ball x ε ∩ s ⊆ {y | g y = f y}
r' : ℝ≥0∞ := r ⊓ ε
⊢ HasFPowerSeriesWithinOnBall g p s x r'

Tactic:
have := hr.of_le (r' := r') (by simp [r', εpos, hr.r_pos]) (min_le_left _ _)

Result:
case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
h' : g =ᶠ[𝓝[s] x] f
h'' : g x = f x
r : ℝ≥0∞
hr : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
hε : EMetric.ball x ε ∩ s ⊆ {y | g y = f y}
r' : ℝ≥0∞ := r ⊓ ε
this : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r'
⊢ HasFPowerSeriesWithinOnBall g p s x r'

Proof state:
case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
h' : g =ᶠ[𝓝[s] x] f
h'' : g x = f x
r : ℝ≥0∞
hr : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
hε : EMetric.ball x ε ∩ s ⊆ {y | g y = f y}
r' : ℝ≥0∞ := r ⊓ ε
this : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r'
⊢ HasFPowerSeriesWithinOnBall g p s x r'

Tactic:
apply this.congr _ h''

Result:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f g : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
h' : g =ᶠ[𝓝[s] x] f
h'' : g x = f x
r : ℝ≥0∞
hr : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
ε : ℝ≥0∞
εpos : ε > 0
hε : EMetric.ball x ε ∩ s ⊆ {y | g y = f y}
r' : ℝ≥0∞ := r ⊓ ε
this : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r'
⊢ EqOn g f (s ∩ EMetric.ball x r')