-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/FundThmCalculus.lean
theorem integral_eq_sub_of_hasDerivAt_of_tendsto (hab : a < b) {fa fb}
    (hderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x) (hint : IntervalIntegrable f' volume a b)
    (ha : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 fa)) (hb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 fb)) :
    ∫ y in a..b, f' y = fb - fa

Proof state:
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
hab : a < b
fa fb : E
hderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hint : IntervalIntegrable f' volume a b
ha : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 fa)
hb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 fb)
F : ℝ → E := update (update f a fa) b fb
Fderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt F (f' x) x
⊢ ContinuousOn F (Icc a b)

Tactic:
rw [continuousOn_update_iff, continuousOn_update_iff, Icc_diff_right, Ico_diff_left]

Result:
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
hab : a < b
fa fb : E
hderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hint : IntervalIntegrable f' volume a b
ha : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 fa)
hb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 fb)
F : ℝ → E := update (update f a fa) b fb
Fderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt F (f' x) x
⊢ (ContinuousOn f (Ioo a b) ∧ (a ∈ Ico a b → Tendsto f (𝓝[Ioo a b] a) (𝓝 fa))) ∧
    (b ∈ Icc a b → Tendsto (update f a fa) (𝓝[Ico a b] b) (𝓝 fb))

Proof state:
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
hab : a < b
fa fb : E
hderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hint : IntervalIntegrable f' volume a b
ha : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 fa)
hb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 fb)
F : ℝ → E := update (update f a fa) b fb
x : ℝ
hx : x ∈ Ioo a b
⊢ F =ᶠ[𝓝 x] f

Tactic:
filter_upwards [Ioo_mem_nhds hx.1 hx.2] with _ hy

Result:
case h
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
hab : a < b
fa fb : E
hderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hint : IntervalIntegrable f' volume a b
ha : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 fa)
hb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 fb)
F : ℝ → E := update (update f a fa) b fb
x : ℝ
hx : x ∈ Ioo a b
a✝ : ℝ
hy : a✝ ∈ Ioo a b
⊢ F a✝ = f a✝

Proof state:
case h
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
hab : a < b
fa fb : E
hderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hint : IntervalIntegrable f' volume a b
ha : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 fa)
hb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 fb)
F : ℝ → E := update (update f a fa) b fb
x : ℝ
hx : x ∈ Ioo a b
a✝ : ℝ
hy : a✝ ∈ Ioo a b
⊢ F a✝ = f a✝

Tactic:
unfold F

Result:
case h
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
hab : a < b
fa fb : E
hderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hint : IntervalIntegrable f' volume a b
ha : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 fa)
hb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 fb)
F : ℝ → E := update (update f a fa) b fb
x : ℝ
hx : x ∈ Ioo a b
a✝ : ℝ
hy : a✝ ∈ Ioo a b
⊢ update (update f a fa) b fb a✝ = f a✝

Proof state:
case h
E : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
a b : ℝ
inst✝ : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
hab : a < b
fa fb : E
hderiv : ∀ x ∈ Ioo a b, HasDerivAt f (f' x) x
hint : IntervalIntegrable f' volume a b
ha : Tendsto f (𝓝[>] a) (𝓝 fa)
hb : Tendsto f (𝓝[<] b) (𝓝 fb)
F : ℝ → E := update (update f a fa) b fb
x : ℝ
hx : x ∈ Ioo a b
a✝ : ℝ
hy : a✝ ∈ Ioo a b
⊢ update (update f a fa) b fb a✝ = f a✝

Tactic:
rw [update_of_ne hy.2.ne, update_of_ne hy.1.ne']

Result:
no goals