-- Mathlib/RingTheory/Polynomial/Eisenstein/IsIntegral.lean
theorem dvd_coeff_zero_of_aeval_eq_prime_smul_of_minpoly_isEisensteinAt {B : PowerBasis K L}
    (hp : Prime p) (hBint : IsIntegral R B.gen) {z : L} {Q : R[X]} (hQ : aeval B.gen Q = p • z)
    (hzint : IsIntegral R z) (hei : (minpoly R B.gen).IsEisensteinAt 𝓟) : p ∣ Q.coeff 0

Proof state:
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p : R
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
B : PowerBasis K L
hp : _root_.Prime p
hBint : IsIntegral R B.gen
z : L
Q : R[X]
hQ : (aeval B.gen) Q = p • z
hzint : IsIntegral R z
hei : (minpoly R B.gen).IsEisensteinAt (Submodule.span R {p})
this : Module.Finite K L := finite B
P : R[X] := minpoly R B.gen
n : ℕ
hn : B.dim = n.succ
finrank_K_L : Module.finrank K L = B.dim
deg_K_P : (minpoly K B.gen).natDegree = B.dim
deg_R_P : P.natDegree = B.dim
f : ℕ → L
hf : ∀ (i : ℕ), B.dim ≤ i → f i ∈ adjoin R {B.gen} ∧ (algebraMap R L) p * f i = B.gen ^ i
aux : ∀ i ∈ (range (Q.natDegree + 1)).erase 0, B.dim ≤ i + n
⊢ IsIntegral R (z * B.gen ^ n - ∑ x ∈ (range (Q.natDegree + 1)).erase 0, Q.coeff x • f (x + n))

Tactic:
refine (hzint.mul (hBint.pow _)).sub (.sum _ fun i hi => .smul _ ?_)

Result:
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p : R
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
B : PowerBasis K L
hp : _root_.Prime p
hBint : IsIntegral R B.gen
z : L
Q : R[X]
hQ : (aeval B.gen) Q = p • z
hzint : IsIntegral R z
hei : (minpoly R B.gen).IsEisensteinAt (Submodule.span R {p})
this : Module.Finite K L := finite B
P : R[X] := minpoly R B.gen
n : ℕ
hn : B.dim = n.succ
finrank_K_L : Module.finrank K L = B.dim
deg_K_P : (minpoly K B.gen).natDegree = B.dim
deg_R_P : P.natDegree = B.dim
f : ℕ → L
hf : ∀ (i : ℕ), B.dim ≤ i → f i ∈ adjoin R {B.gen} ∧ (algebraMap R L) p * f i = B.gen ^ i
aux : ∀ i ∈ (range (Q.natDegree + 1)).erase 0, B.dim ≤ i + n
i : ℕ
hi : i ∈ (range (Q.natDegree + 1)).erase 0
⊢ IsIntegral R (f (i + n))

Proof state:
case h.a.calc_2.calc_2
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p : R
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
B : PowerBasis K L
hp : _root_.Prime p
hBint : IsIntegral R B.gen
z : L
Q : R[X]
hQ : (aeval B.gen) Q = p • z
hzint : IsIntegral R z
hei : (minpoly R B.gen).IsEisensteinAt (Submodule.span R {p})
this : Module.Finite K L := finite B
P : R[X] := minpoly R B.gen
n : ℕ
hn : B.dim = n.succ
finrank_K_L : Module.finrank K L = B.dim
deg_K_P : (minpoly K B.gen).natDegree = B.dim
deg_R_P : P.natDegree = B.dim
f : ℕ → L
hf : ∀ (i : ℕ), B.dim ≤ i → f i ∈ adjoin R {B.gen} ∧ (algebraMap R L) p * f i = B.gen ^ i
aux : ∀ i ∈ (range (Q.natDegree + 1)).erase 0, B.dim ≤ i + n
hintsum : IsIntegral R (z * B.gen ^ n - ∑ x ∈ (range (Q.natDegree + 1)).erase 0, Q.coeff x • f (x + n))
r : R
hr :
  (algebraMap R K) r = (Algebra.norm K) (z * B.gen ^ n - ∑ x ∈ (range (Q.natDegree + 1)).erase 0, Q.coeff x • f (x + n))
⊢ (Q.coeff 0 • B.gen ^ 0 + ∑ x ∈ (range (Q.natDegree + 1)).erase 0, Q.coeff x • B.gen ^ x) * B.gen ^ n =
    (aeval B.gen) Q * B.gen ^ n

Tactic:
rw [aeval_eq_sum_range,
  Finset.add_sum_erase (range (Q.natDegree + 1)) fun i => Q.coeff i • B.gen ^ i]

Result:
case h.a.calc_2.calc_2
R : Type u
K : Type v
L : Type z
p : R
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : Algebra K L
inst✝⁶ : Algebra R L
inst✝⁵ : Algebra R K
inst✝⁴ : IsScalarTower R K L
inst✝³ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsFractionRing R K
inst✝ : IsIntegrallyClosed R
B : PowerBasis K L
hp : _root_.Prime p
hBint : IsIntegral R B.gen
z : L
Q : R[X]
hQ : (aeval B.gen) Q = p • z
hzint : IsIntegral R z
hei : (minpoly R B.gen).IsEisensteinAt (Submodule.span R {p})
this : Module.Finite K L := finite B
P : R[X] := minpoly R B.gen
n : ℕ
hn : B.dim = n.succ
finrank_K_L : Module.finrank K L = B.dim
deg_K_P : (minpoly K B.gen).natDegree = B.dim
deg_R_P : P.natDegree = B.dim
f : ℕ → L
hf : ∀ (i : ℕ), B.dim ≤ i → f i ∈ adjoin R {B.gen} ∧ (algebraMap R L) p * f i = B.gen ^ i
aux : ∀ i ∈ (range (Q.natDegree + 1)).erase 0, B.dim ≤ i + n
hintsum : IsIntegral R (z * B.gen ^ n - ∑ x ∈ (range (Q.natDegree + 1)).erase 0, Q.coeff x • f (x + n))
r : R
hr :
  (algebraMap R K) r = (Algebra.norm K) (z * B.gen ^ n - ∑ x ∈ (range (Q.natDegree + 1)).erase 0, Q.coeff x • f (x + n))
⊢ 0 ∈ range (Q.natDegree + 1)