-- Mathlib/Data/PFunctor/Multivariate/Basic.lean
theorem supp_eq {α : TypeVec n} (a : P.A) (f : P.B a ⟹ α) (i) :
    @supp.{u} _ P.Obj _ α (⟨a, f⟩ : P α) i = f i '' univ

Proof state:
case h.mpr.intro
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} n
α : TypeVec.{u} n
a : P.A
f : P.B a ⟹ α
i : Fin2 n
w✝ : P.B a i
⊢ ∀ ⦃P_1 : (i : Fin2 n) → α i → Prop⦄, (∀ (i : Fin2 n) (x : P.B a i), P_1 i (f i x)) → P_1 i (f i w✝)

Tactic:
tauto

Result:
no goals

Proof state:
case h.mpr
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} n
α : TypeVec.{u} n
a : P.A
f : P.B a ⟹ α
i : Fin2 n
x : α i
h : ∃ y, f i y = x
⊢ ∀ ⦃P_1 : (i : Fin2 n) → α i → Prop⦄, (∀ (i : Fin2 n) (x : P.B a i), P_1 i (f i x)) → P_1 i x

Tactic:
cases h

Result:
case h.mpr.intro
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} n
α : TypeVec.{u} n
a : P.A
f : P.B a ⟹ α
i : Fin2 n
x : α i
w✝ : P.B a i
h✝ : f i w✝ = x
⊢ ∀ ⦃P_1 : (i : Fin2 n) → α i → Prop⦄, (∀ (i : Fin2 n) (x : P.B a i), P_1 i (f i x)) → P_1 i x

Proof state:
case h
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} n
α : TypeVec.{u} n
a : P.A
f : P.B a ⟹ α
i : Fin2 n
x : α i
⊢ x ∈ supp ⟨a, f⟩ i ↔ x ∈ f i '' univ

Tactic:
simp only [supp, image_univ, mem_range, mem_setOf_eq]

Result:
case h
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} n
α : TypeVec.{u} n
a : P.A
f : P.B a ⟹ α
i : Fin2 n
x : α i
⊢ (∀ ⦃P_1 : (i : Fin2 n) → α i → Prop⦄, LiftP P_1 ⟨a, f⟩ → P_1 i x) ↔ ∃ y, f i y = x

Proof state:
case h.mp
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} n
α : TypeVec.{u} n
a : P.A
f : P.B a ⟹ α
i : Fin2 n
x : α i
h : ∀ ⦃P_1 : (i : Fin2 n) → α i → Prop⦄, LiftP P_1 ⟨a, f⟩ → P_1 i x
i✝ : Fin2 n
x✝ : P.B a i✝
⊢ ∃ y, f i✝ y = f i✝ x✝

Tactic:
exact ⟨_, rfl⟩

Result:
no goals

Proof state:
case h.mp
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} n
α : TypeVec.{u} n
a : P.A
f : P.B a ⟹ α
i : Fin2 n
x : α i
h : ∀ ⦃P_1 : (i : Fin2 n) → α i → Prop⦄, LiftP P_1 ⟨a, f⟩ → P_1 i x
⊢ LiftP (fun i x => ∃ y, f i y = x) ⟨a, f⟩

Tactic:
rw [liftP_iff']

Result:
case h.mp
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} n
α : TypeVec.{u} n
a : P.A
f : P.B a ⟹ α
i : Fin2 n
x : α i
h : ∀ ⦃P_1 : (i : Fin2 n) → α i → Prop⦄, LiftP P_1 ⟨a, f⟩ → P_1 i x
⊢ ∀ (i : Fin2 n) (x : P.B a i), ∃ y, f i y = f i x

Proof state:
case h
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} n
α : TypeVec.{u} n
a : P.A
f : P.B a ⟹ α
i : Fin2 n
x : α i
⊢ (∀ ⦃P_1 : (i : Fin2 n) → α i → Prop⦄, LiftP P_1 ⟨a, f⟩ → P_1 i x) ↔ ∃ y, f i y = x

Tactic:
constructor <;> intro h

Result:
case h.mp
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} n
α : TypeVec.{u} n
a : P.A
f : P.B a ⟹ α
i : Fin2 n
x : α i
h : ∀ ⦃P_1 : (i : Fin2 n) → α i → Prop⦄, LiftP P_1 ⟨a, f⟩ → P_1 i x
⊢ ∃ y, f i y = x

case h.mpr
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} n
α : TypeVec.{u} n
a : P.A
f : P.B a ⟹ α
i : Fin2 n
x : α i
h : ∃ y, f i y = x
⊢ ∀ ⦃P_1 : (i : Fin2 n) → α i → Prop⦄, LiftP P_1 ⟨a, f⟩ → P_1 i x

Proof state:
case h.mpr.intro
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} n
α : TypeVec.{u} n
a : P.A
f : P.B a ⟹ α
i : Fin2 n
x : α i
w✝ : P.B a i
h✝ : f i w✝ = x
⊢ ∀ ⦃P_1 : (i : Fin2 n) → α i → Prop⦄, (∀ (i : Fin2 n) (x : P.B a i), P_1 i (f i x)) → P_1 i x

Tactic:
subst x

Result:
case h.mpr.intro
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} n
α : TypeVec.{u} n
a : P.A
f : P.B a ⟹ α
i : Fin2 n
w✝ : P.B a i
⊢ ∀ ⦃P_1 : (i : Fin2 n) → α i → Prop⦄, (∀ (i : Fin2 n) (x : P.B a i), P_1 i (f i x)) → P_1 i (f i w✝)

Proof state:
case h.mpr
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} n
α : TypeVec.{u} n
a : P.A
f : P.B a ⟹ α
i : Fin2 n
x : α i
h : ∃ y, f i y = x
⊢ ∀ ⦃P_1 : (i : Fin2 n) → α i → Prop⦄, LiftP P_1 ⟨a, f⟩ → P_1 i x

Tactic:
simp only [liftP_iff']

Result:
case h.mpr
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} n
α : TypeVec.{u} n
a : P.A
f : P.B a ⟹ α
i : Fin2 n
x : α i
h : ∃ y, f i y = x
⊢ ∀ ⦃P_1 : (i : Fin2 n) → α i → Prop⦄, (∀ (i : Fin2 n) (x : P.B a i), P_1 i (f i x)) → P_1 i x

Proof state:
case h.mp
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} n
α : TypeVec.{u} n
a : P.A
f : P.B a ⟹ α
i : Fin2 n
x : α i
h : ∀ ⦃P_1 : (i : Fin2 n) → α i → Prop⦄, LiftP P_1 ⟨a, f⟩ → P_1 i x
⊢ ∀ (i : Fin2 n) (x : P.B a i), ∃ y, f i y = f i x

Tactic:
intros

Result:
case h.mp
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} n
α : TypeVec.{u} n
a : P.A
f : P.B a ⟹ α
i : Fin2 n
x : α i
h : ∀ ⦃P_1 : (i : Fin2 n) → α i → Prop⦄, LiftP P_1 ⟨a, f⟩ → P_1 i x
i✝ : Fin2 n
x✝ : P.B a i✝
⊢ ∃ y, f i✝ y = f i✝ x✝

Proof state:
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} n
α : TypeVec.{u} n
a : P.A
f : P.B a ⟹ α
i : Fin2 n
⊢ supp ⟨a, f⟩ i = f i '' univ

Tactic:
ext x

Result:
case h
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} n
α : TypeVec.{u} n
a : P.A
f : P.B a ⟹ α
i : Fin2 n
x : α i
⊢ x ∈ supp ⟨a, f⟩ i ↔ x ∈ f i '' univ

Proof state:
case h.mp
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} n
α : TypeVec.{u} n
a : P.A
f : P.B a ⟹ α
i : Fin2 n
x : α i
h : ∀ ⦃P_1 : (i : Fin2 n) → α i → Prop⦄, LiftP P_1 ⟨a, f⟩ → P_1 i x
⊢ ∃ y, f i y = x

Tactic:
apply @h fun i x => ∃ y : P.B a i, f i y = x

Result:
case h.mp
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} n
α : TypeVec.{u} n
a : P.A
f : P.B a ⟹ α
i : Fin2 n
x : α i
h : ∀ ⦃P_1 : (i : Fin2 n) → α i → Prop⦄, LiftP P_1 ⟨a, f⟩ → P_1 i x
⊢ LiftP (fun i x => ∃ y, f i y = x) ⟨a, f⟩