-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
theorem Ideal.le_mul_of_no_prime_factors {I J K : Ideal R}
    (coprime : ∀ P, J ≤ P → K ≤ P → ¬IsPrime P) (hJ : I ≤ J) (hK : I ≤ K) : I ≤ J * K

Proof state:
case neg.intro
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDedekindDomain R
J K : Ideal R
coprime : ∀ (P : Ideal R), P ∣ J → P ∣ K → ¬P.IsPrime
hJ0 : ¬J = 0
I' : Ideal R
hJ : J ∣ K * I'
⊢ J * K ∣ K * I'

Tactic:
rw [mul_comm]

Result:
case neg.intro
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDedekindDomain R
J K : Ideal R
coprime : ∀ (P : Ideal R), P ∣ J → P ∣ K → ¬P.IsPrime
hJ0 : ¬J = 0
I' : Ideal R
hJ : J ∣ K * I'
⊢ K * J ∣ K * I'

Proof state:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDedekindDomain R
I J K : Ideal R
coprime : ∀ (P : Ideal R), J ≤ P → K ≤ P → ¬P.IsPrime
hJ : I ≤ J
hK : I ≤ K
⊢ I ≤ J * K

Tactic:
simp only [← Ideal.dvd_iff_le] at coprime hJ hK ⊢

Result:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDedekindDomain R
I J K : Ideal R
coprime : ∀ (P : Ideal R), P ∣ J → P ∣ K → ¬P.IsPrime
hJ : J ∣ I
hK : K ∣ I
⊢ J * K ∣ I

Proof state:
case neg.intro
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDedekindDomain R
J K : Ideal R
coprime : ∀ (P : Ideal R), P ∣ J → P ∣ K → ¬P.IsPrime
hJ0 : ¬J = 0
I' : Ideal R
hJ : J ∣ K * I'
⊢ K * J ∣ K * I'

Tactic:
refine mul_dvd_mul_left K
  (UniqueFactorizationMonoid.dvd_of_dvd_mul_right_of_no_prime_factors (b := K) hJ0 ?_ hJ)

Result:
case neg.intro
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDedekindDomain R
J K : Ideal R
coprime : ∀ (P : Ideal R), P ∣ J → P ∣ K → ¬P.IsPrime
hJ0 : ¬J = 0
I' : Ideal R
hJ : J ∣ K * I'
⊢ ∀ {d : Ideal R}, d ∣ J → d ∣ K → ¬Prime d

Proof state:
case pos
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDedekindDomain R
I J K : Ideal R
coprime : ∀ (P : Ideal R), P ∣ J → P ∣ K → ¬P.IsPrime
hJ : J ∣ I
hK : K ∣ I
hJ0 : J = 0
⊢ J * K ∣ I

Tactic:
simpa only [hJ0, zero_mul] using hJ

Result:
no goals

Proof state:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDedekindDomain R
I J K : Ideal R
coprime : ∀ (P : Ideal R), P ∣ J → P ∣ K → ¬P.IsPrime
hJ : J ∣ I
hK : K ∣ I
⊢ J * K ∣ I

Tactic:
by_cases hJ0 : J = 0

Result:
case pos
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDedekindDomain R
I J K : Ideal R
coprime : ∀ (P : Ideal R), P ∣ J → P ∣ K → ¬P.IsPrime
hJ : J ∣ I
hK : K ∣ I
hJ0 : J = 0
⊢ J * K ∣ I

case neg
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDedekindDomain R
I J K : Ideal R
coprime : ∀ (P : Ideal R), P ∣ J → P ∣ K → ¬P.IsPrime
hJ : J ∣ I
hK : K ∣ I
hJ0 : ¬J = 0
⊢ J * K ∣ I

Proof state:
case neg
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDedekindDomain R
I J K : Ideal R
coprime : ∀ (P : Ideal R), P ∣ J → P ∣ K → ¬P.IsPrime
hJ : J ∣ I
hK : K ∣ I
hJ0 : ¬J = 0
⊢ J * K ∣ I

Tactic:
obtain ⟨I', rfl⟩ := hK

Result:
case neg.intro
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDedekindDomain R
J K : Ideal R
coprime : ∀ (P : Ideal R), P ∣ J → P ∣ K → ¬P.IsPrime
hJ0 : ¬J = 0
I' : Ideal R
hJ : J ∣ K * I'
⊢ J * K ∣ K * I'

Proof state:
case neg.intro
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDedekindDomain R
J K : Ideal R
coprime : ∀ (P : Ideal R), P ∣ J → P ∣ K → ¬P.IsPrime
hJ0 : ¬J = 0
I' : Ideal R
hJ : J ∣ K * I'
⊢ ∀ {d : Ideal R}, d ∣ J → d ∣ K → ¬Prime d

Tactic:
exact fun hPJ hPK => mt Ideal.isPrime_of_prime (coprime _ hPJ hPK)

Result:
no goals