-- Mathlib/Analysis/Normed/Algebra/Spectrum.lean
/-- If `S : Subalgebra 𝕜 A` is a closed subalgebra of a Banach algebra `A`, then for any
`x : S`, the boundary of the spectrum of `x` relative to `S` is a subset of the spectrum of
`↑x : A` relative to `A`. -/
lemma _root_.Subalgebra.frontier_spectrum : frontier (σ 𝕜 x) ⊆ σ 𝕜 (x : A)

Proof state:
𝕜 : Type u_3
A : Type u_4
SA : Type u_5
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : CompleteSpace A
inst✝³ : SetLike SA A
inst✝² : SubringClass SA A
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
instSMulMem : SMulMemClass SA 𝕜 A
S : SA
hS : IsClosed ↑S
x : ↥S
this : CompleteSpace ↥S
μ : 𝕜
h : IsUnit ((algebraMap 𝕜 A) μ - ↑x)
hμ₁ : ClusterPt μ (𝓟 (σ 𝕜 x)ᶜ)
hμ₂ : μ ∉ (σ 𝕜 x)ᶜ
⊢ 𝓝 μ ⊓ 𝓟 (σ 𝕜 x)ᶜ ≤ 𝓝 μ

Tactic:
simp

Result:
no goals

Proof state:
case intro.refine_1
𝕜 : Type u_3
A : Type u_4
SA : Type u_5
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : CompleteSpace A
inst✝³ : SetLike SA A
inst✝² : SubringClass SA A
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
instSMulMem : SMulMemClass SA 𝕜 A
S : SA
hS : IsClosed ↑S
x : ↥S
this : CompleteSpace ↥S
μ : 𝕜
h : IsUnit ((algebraMap 𝕜 A) μ - ↑x)
hμ₁ : ClusterPt μ (𝓟 (σ 𝕜 x)ᶜ)
hμ₂ : μ ∉ (σ 𝕜 x)ᶜ
⊢ map (fun x_1 => (algebraMap 𝕜 ↥S) x_1 - x) (𝓝 μ ⊓ 𝓟 (σ 𝕜 x)ᶜ) ≤ 𝓝 ((algebraMap 𝕜 ↥S) μ - x)

Tactic:
calc
  _ ≤ map _ (𝓝 μ) := map_mono (by simp)
  _ ≤ _ := by rw [← Filter.Tendsto, ← ContinuousAt]; fun_prop

Result:
no goals

Proof state:
𝕜 : Type u_3
A : Type u_4
SA : Type u_5
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : CompleteSpace A
inst✝³ : SetLike SA A
inst✝² : SubringClass SA A
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
instSMulMem : SMulMemClass SA 𝕜 A
S : SA
hS : IsClosed ↑S
x : ↥S
this : CompleteSpace ↥S
μ : 𝕜
h : IsUnit ((algebraMap 𝕜 A) μ - ↑x)
hμ₁ : ClusterPt μ (𝓟 (σ 𝕜 x)ᶜ)
hμ₂ : μ ∉ (σ 𝕜 x)ᶜ
⊢ ContinuousAt (fun x_1 => (algebraMap 𝕜 ↥S) x_1 - x) μ

Tactic:
fun_prop

Result:
no goals

Proof state:
case intro
𝕜 : Type u_3
A : Type u_4
SA : Type u_5
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : CompleteSpace A
inst✝³ : SetLike SA A
inst✝² : SubringClass SA A
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
instSMulMem : SMulMemClass SA 𝕜 A
S : SA
hS : IsClosed ↑S
x : ↥S
this : CompleteSpace ↥S
μ : 𝕜
h : IsUnit ((algebraMap 𝕜 A) μ - ↑x)
hμ₁ : μ ∈ closure (σ 𝕜 x)ᶜ
hμ₂ : μ ∉ (σ 𝕜 x)ᶜ
⊢ False

Tactic:
rw [mem_closure_iff_clusterPt] at hμ₁

Result:
case intro
𝕜 : Type u_3
A : Type u_4
SA : Type u_5
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : CompleteSpace A
inst✝³ : SetLike SA A
inst✝² : SubringClass SA A
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
instSMulMem : SMulMemClass SA 𝕜 A
S : SA
hS : IsClosed ↑S
x : ↥S
this : CompleteSpace ↥S
μ : 𝕜
h : IsUnit ((algebraMap 𝕜 A) μ - ↑x)
hμ₁ : ClusterPt μ (𝓟 (σ 𝕜 x)ᶜ)
hμ₂ : μ ∉ (σ 𝕜 x)ᶜ
⊢ False

Proof state:
𝕜 : Type u_3
A : Type u_4
SA : Type u_5
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : CompleteSpace A
inst✝³ : SetLike SA A
inst✝² : SubringClass SA A
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
instSMulMem : SMulMemClass SA 𝕜 A
S : SA
hS : IsClosed ↑S
x : ↥S
⊢ frontier (σ 𝕜 x) ⊆ σ 𝕜 ↑x

Tactic:
have : CompleteSpace S := hS.completeSpace_coe

Result:
𝕜 : Type u_3
A : Type u_4
SA : Type u_5
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : CompleteSpace A
inst✝³ : SetLike SA A
inst✝² : SubringClass SA A
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
instSMulMem : SMulMemClass SA 𝕜 A
S : SA
hS : IsClosed ↑S
x : ↥S
this : CompleteSpace ↥S
⊢ frontier (σ 𝕜 x) ⊆ σ 𝕜 ↑x

Proof state:
𝕜 : Type u_3
A : Type u_4
SA : Type u_5
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : CompleteSpace A
inst✝³ : SetLike SA A
inst✝² : SubringClass SA A
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
instSMulMem : SMulMemClass SA 𝕜 A
S : SA
hS : IsClosed ↑S
x : ↥S
this : CompleteSpace ↥S
μ : 𝕜
hμ : μ ∈ closure (σ 𝕜 x)ᶜ ∧ μ ∉ (σ 𝕜 x)ᶜ
h : IsUnit ((algebraMap 𝕜 A) μ - ↑x)
⊢ False

Tactic:
obtain ⟨hμ₁, hμ₂⟩ := hμ

Result:
case intro
𝕜 : Type u_3
A : Type u_4
SA : Type u_5
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : CompleteSpace A
inst✝³ : SetLike SA A
inst✝² : SubringClass SA A
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
instSMulMem : SMulMemClass SA 𝕜 A
S : SA
hS : IsClosed ↑S
x : ↥S
this : CompleteSpace ↥S
μ : 𝕜
h : IsUnit ((algebraMap 𝕜 A) μ - ↑x)
hμ₁ : μ ∈ closure (σ 𝕜 x)ᶜ
hμ₂ : μ ∉ (σ 𝕜 x)ᶜ
⊢ False

Proof state:
case intro
𝕜 : Type u_3
A : Type u_4
SA : Type u_5
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : CompleteSpace A
inst✝³ : SetLike SA A
inst✝² : SubringClass SA A
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
instSMulMem : SMulMemClass SA 𝕜 A
S : SA
hS : IsClosed ↑S
x : ↥S
this : CompleteSpace ↥S
μ : 𝕜
h : IsUnit ((algebraMap 𝕜 A) μ - ↑x)
hμ₁ : ClusterPt μ (𝓟 (σ 𝕜 x)ᶜ)
hμ₂ : μ ∉ (σ 𝕜 x)ᶜ
⊢ False

Tactic:
apply hμ₂

Result:
case intro
𝕜 : Type u_3
A : Type u_4
SA : Type u_5
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : CompleteSpace A
inst✝³ : SetLike SA A
inst✝² : SubringClass SA A
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
instSMulMem : SMulMemClass SA 𝕜 A
S : SA
hS : IsClosed ↑S
x : ↥S
this : CompleteSpace ↥S
μ : 𝕜
h : IsUnit ((algebraMap 𝕜 A) μ - ↑x)
hμ₁ : ClusterPt μ (𝓟 (σ 𝕜 x)ᶜ)
hμ₂ : μ ∉ (σ 𝕜 x)ᶜ
⊢ μ ∈ (σ 𝕜 x)ᶜ

Proof state:
𝕜 : Type u_3
A : Type u_4
SA : Type u_5
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : CompleteSpace A
inst✝³ : SetLike SA A
inst✝² : SubringClass SA A
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
instSMulMem : SMulMemClass SA 𝕜 A
S : SA
hS : IsClosed ↑S
x : ↥S
this : CompleteSpace ↥S
μ : 𝕜
hμ : μ ∈ frontier (σ 𝕜 x)
h : μ ∉ σ 𝕜 ↑x
⊢ False

Tactic:
rw [spectrum.not_mem_iff] at h

Result:
𝕜 : Type u_3
A : Type u_4
SA : Type u_5
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : CompleteSpace A
inst✝³ : SetLike SA A
inst✝² : SubringClass SA A
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
instSMulMem : SMulMemClass SA 𝕜 A
S : SA
hS : IsClosed ↑S
x : ↥S
this : CompleteSpace ↥S
μ : 𝕜
hμ : μ ∈ frontier (σ 𝕜 x)
h : IsUnit ((algebraMap 𝕜 A) μ - ↑x)
⊢ False

Proof state:
case intro.refine_2
𝕜 : Type u_3
A : Type u_4
SA : Type u_5
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : CompleteSpace A
inst✝³ : SetLike SA A
inst✝² : SubringClass SA A
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
instSMulMem : SMulMemClass SA 𝕜 A
S : SA
hS : IsClosed ↑S
x : ↥S
this : CompleteSpace ↥S
μ : 𝕜
h : IsUnit ((algebraMap 𝕜 A) μ - ↑x)
hμ₁ : ClusterPt μ (𝓟 (σ 𝕜 x)ᶜ)
hμ₂ : μ ∉ (σ 𝕜 x)ᶜ
⊢ ∀ᶠ (x : ↥S) in map (fun x_1 => (algebraMap 𝕜 ↥S) x_1 - x) (𝓝 μ ⊓ 𝓟 (σ 𝕜 x)ᶜ), IsUnit x

Tactic:
rw [eventually_map]

Result:
case intro.refine_2
𝕜 : Type u_3
A : Type u_4
SA : Type u_5
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : CompleteSpace A
inst✝³ : SetLike SA A
inst✝² : SubringClass SA A
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
instSMulMem : SMulMemClass SA 𝕜 A
S : SA
hS : IsClosed ↑S
x : ↥S
this : CompleteSpace ↥S
μ : 𝕜
h : IsUnit ((algebraMap 𝕜 A) μ - ↑x)
hμ₁ : ClusterPt μ (𝓟 (σ 𝕜 x)ᶜ)
hμ₂ : μ ∉ (σ 𝕜 x)ᶜ
⊢ ∀ᶠ (a : 𝕜) in 𝓝 μ ⊓ 𝓟 (σ 𝕜 x)ᶜ, IsUnit ((algebraMap 𝕜 ↥S) a - x)

Proof state:
𝕜 : Type u_3
A : Type u_4
SA : Type u_5
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : CompleteSpace A
inst✝³ : SetLike SA A
inst✝² : SubringClass SA A
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
instSMulMem : SMulMemClass SA 𝕜 A
S : SA
hS : IsClosed ↑S
x : ↥S
this : CompleteSpace ↥S
μ : 𝕜
hμ : μ ∈ frontier (σ 𝕜 x)
h : IsUnit ((algebraMap 𝕜 A) μ - ↑x)
⊢ False

Tactic:
rw [← frontier_compl, (spectrum.isClosed _).isOpen_compl.frontier_eq, mem_diff] at hμ

Result:
𝕜 : Type u_3
A : Type u_4
SA : Type u_5
inst✝⁵ : NormedRing A
inst✝⁴ : CompleteSpace A
inst✝³ : SetLike SA A
inst✝² : SubringClass SA A
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 A
instSMulMem : SMulMemClass SA 𝕜 A
S : SA
hS : IsClosed ↑S
x : ↥S
this : CompleteSpace ↥S
μ : 𝕜
hμ : μ ∈ closure (σ 𝕜 x)ᶜ ∧ μ ∉ (σ 𝕜 x)ᶜ
h : IsUnit ((algebraMap 𝕜 A) μ - ↑x)
⊢ False