-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/DensityTheorem.lean
theorem tendsto_closedBall_filterAt {K : ℝ} {x : α} {ι : Type*} {l : Filter ι} (w : ι → α)
    (δ : ι → ℝ) (δlim : Tendsto δ l (𝓝[>] 0)) (xmem : ∀ᶠ j in l, x ∈ closedBall (w j) (K * δ j)) :
    Tendsto (fun j => closedBall (w j) (δ j)) l ((vitaliFamily μ K).filterAt x)

Proof state:
case intro.intro
α : Type u_1
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
inst✝² : SecondCountableTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
K : ℝ
x : α
ι : Type u_2
l : Filter ι
w : ι → α
δ : ι → ℝ
δlim : Tendsto δ l (𝓝[>] 0)
xmem : ∀ᶠ (j : ι) in l, x ∈ closedBall (w j) (K * δ j)
ε : ℝ
hε : ε > 0
h : l.NeBot
j : ι
hj : x ∈ closedBall (w j) (K * δ j)
h'j : δ j ∈ Ioi 0
⊢ 0 ≤ K

Tactic:
have : 0 ≤ K * δ j := nonempty_closedBall.1 ⟨x, hj⟩

Result:
case intro.intro
α : Type u_1
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
inst✝² : SecondCountableTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
K : ℝ
x : α
ι : Type u_2
l : Filter ι
w : ι → α
δ : ι → ℝ
δlim : Tendsto δ l (𝓝[>] 0)
xmem : ∀ᶠ (j : ι) in l, x ∈ closedBall (w j) (K * δ j)
ε : ℝ
hε : ε > 0
h : l.NeBot
j : ι
hj : x ∈ closedBall (w j) (K * δ j)
h'j : δ j ∈ Ioi 0
this : 0 ≤ K * δ j
⊢ 0 ≤ K

Proof state:
case intro.intro
α : Type u_1
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
inst✝² : SecondCountableTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
K : ℝ
x : α
ι : Type u_2
l : Filter ι
w : ι → α
δ : ι → ℝ
δlim : Tendsto δ l (𝓝[>] 0)
xmem : ∀ᶠ (j : ι) in l, x ∈ closedBall (w j) (K * δ j)
ε : ℝ
hε : ε > 0
h : l.NeBot
j : ι
hj : x ∈ closedBall (w j) (K * δ j)
h'j : δ j ∈ Ioi 0
this : 0 ≤ K * δ j
⊢ 0 ≤ K

Tactic:
exact (mul_nonneg_iff_left_nonneg_of_pos (mem_Ioi.1 h'j)).1 this

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_1
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
inst✝² : SecondCountableTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
K : ℝ
x : α
ι : Type u_2
l : Filter ι
w : ι → α
δ : ι → ℝ
δlim : Tendsto δ l (𝓝[>] 0)
xmem : ∀ᶠ (j : ι) in l, x ∈ closedBall (w j) (K * δ j)
ε : ℝ
hε : ε > 0
h : l.NeBot
⊢ 0 ≤ K

Tactic:
rcases (xmem.and (δlim self_mem_nhdsWithin)).exists with ⟨j, hj, h'j⟩

Result:
case intro.intro
α : Type u_1
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
inst✝² : SecondCountableTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
K : ℝ
x : α
ι : Type u_2
l : Filter ι
w : ι → α
δ : ι → ℝ
δlim : Tendsto δ l (𝓝[>] 0)
xmem : ∀ᶠ (j : ι) in l, x ∈ closedBall (w j) (K * δ j)
ε : ℝ
hε : ε > 0
h : l.NeBot
j : ι
hj : x ∈ closedBall (w j) (K * δ j)
h'j : δ j ∈ Ioi 0
⊢ 0 ≤ K

Proof state:
case refine_2
α : Type u_1
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
inst✝² : SecondCountableTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
K : ℝ
x : α
ι : Type u_2
l : Filter ι
w : ι → α
δ : ι → ℝ
δlim : Tendsto δ l (𝓝[>] 0)
xmem : ∀ᶠ (j : ι) in l, x ∈ closedBall (w j) (K * δ j)
ε : ℝ
hε : ε > 0
⊢ ∀ᶠ (i : ι) in l, closedBall (w i) (δ i) ⊆ closedBall x ε

Tactic:
rcases l.eq_or_neBot with rfl | h

Result:
case refine_2.inl
α : Type u_1
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
inst✝² : SecondCountableTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
K : ℝ
x : α
ι : Type u_2
w : ι → α
δ : ι → ℝ
ε : ℝ
hε : ε > 0
δlim : Tendsto δ ⊥ (𝓝[>] 0)
xmem : ∀ᶠ (j : ι) in ⊥, x ∈ closedBall (w j) (K * δ j)
⊢ ∀ᶠ (i : ι) in ⊥, closedBall (w i) (δ i) ⊆ closedBall x ε

case refine_2.inr
α : Type u_1
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
inst✝² : SecondCountableTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
K : ℝ
x : α
ι : Type u_2
l : Filter ι
w : ι → α
δ : ι → ℝ
δlim : Tendsto δ l (𝓝[>] 0)
xmem : ∀ᶠ (j : ι) in l, x ∈ closedBall (w j) (K * δ j)
ε : ℝ
hε : ε > 0
h : l.NeBot
⊢ ∀ᶠ (i : ι) in l, closedBall (w i) (δ i) ⊆ closedBall x ε

Proof state:
case refine_2.inr
α : Type u_1
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
inst✝² : SecondCountableTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
K : ℝ
x : α
ι : Type u_2
l : Filter ι
w : ι → α
δ : ι → ℝ
δlim : Tendsto δ l (𝓝[>] 0)
xmem : ∀ᶠ (j : ι) in l, x ∈ closedBall (w j) (K * δ j)
ε : ℝ
hε : ε > 0
h : l.NeBot
⊢ ∀ᶠ (i : ι) in l, closedBall (w i) (δ i) ⊆ closedBall x ε

Tactic:
have hK : 0 ≤ K := by
  rcases (xmem.and (δlim self_mem_nhdsWithin)).exists with ⟨j, hj, h'j⟩
  have : 0 ≤ K * δ j := nonempty_closedBall.1 ⟨x, hj⟩
  exact (mul_nonneg_iff_left_nonneg_of_pos (mem_Ioi.1 h'j)).1 this

Result:
case refine_2.inr
α : Type u_1
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
inst✝² : SecondCountableTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
K : ℝ
x : α
ι : Type u_2
l : Filter ι
w : ι → α
δ : ι → ℝ
δlim : Tendsto δ l (𝓝[>] 0)
xmem : ∀ᶠ (j : ι) in l, x ∈ closedBall (w j) (K * δ j)
ε : ℝ
hε : ε > 0
h : l.NeBot
hK : 0 ≤ K
⊢ ∀ᶠ (i : ι) in l, closedBall (w i) (δ i) ⊆ closedBall x ε

Proof state:
α : Type u_1
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
inst✝² : SecondCountableTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
K : ℝ
x : α
ι : Type u_2
l : Filter ι
w : ι → α
δ : ι → ℝ
xmem : ∀ᶠ (j : ι) in l, x ∈ closedBall (w j) (K * δ j)
ε : ℝ
hε : ε > 0
h : l.NeBot
hK : 0 ≤ K
δpos : ∀ᶠ (i : ι) in l, δ i ∈ Ioi 0
δlim : Tendsto δ l (𝓝 0)
⊢ 0 < K + 1

Tactic:
linarith

Result:
no goals

Proof state:
case refine_2.inl
α : Type u_1
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
inst✝² : SecondCountableTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
K : ℝ
x : α
ι : Type u_2
w : ι → α
δ : ι → ℝ
ε : ℝ
hε : ε > 0
δlim : Tendsto δ ⊥ (𝓝[>] 0)
xmem : ∀ᶠ (j : ι) in ⊥, x ∈ closedBall (w j) (K * δ j)
⊢ ∀ᶠ (i : ι) in ⊥, closedBall (w i) (δ i) ⊆ closedBall x ε

Tactic:
simp

Result:
no goals

Proof state:
case h
α : Type u_1
inst✝⁵ : PseudoMetricSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝³ : IsUnifLocDoublingMeasure μ
inst✝² : SecondCountableTopology α
inst✝¹ : BorelSpace α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
K : ℝ
x : α
ι : Type u_2
l : Filter ι
w : ι → α
δ : ι → ℝ
δlim : Tendsto δ l (𝓝[>] 0)
xmem : ∀ᶠ (j : ι) in l, x ∈ closedBall (w j) (K * δ j)
j : ι
hj : x ∈ closedBall (w j) (K * δ j)
h'j : j ∈ δ ⁻¹' Ioi 0
⊢ closedBall (w j) (δ j) ∈ (vitaliFamily μ K).setsAt x

Tactic:
exact closedBall_mem_vitaliFamily_of_dist_le_mul μ hj h'j

Result:
no goals