-- Mathlib/MeasureTheory/Covering/BesicovitchVectorSpace.lean
theorem exists_goodδ :
    ∃ δ : ℝ, 0 < δ ∧ δ < 1 ∧ ∀ s : Finset E, (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) →
      (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) → s.card ≤ multiplicity E

Proof state:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ → δ < 1 → ∃ s, (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
δ : ℝ
hδ : 0 < δ
hδ' : 1 ≤ δ
i j : Fin N
x✝ : i ≠ j
⊢ (fun i j => 1 - δ ≤ ‖(fun x => 0) i - (fun x => 0) j‖) i j

Tactic:
simpa only [norm_zero, sub_nonpos, sub_self]

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ → δ < 1 → ∃ s, (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : ℝ → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun i j => 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
u : ℕ → ℝ
left✝ : ∀ (m n : ℕ), m < n → u n < u m
zero_lt_u : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)
A : ∀ (n : ℕ), F (u n) ∈ closedBall 0 2
f : Fin N → E
fmem : f ∈ closedBall 0 2
φ : ℕ → ℕ
φ_mono : StrictMono φ
hf : Tendsto ((F ∘ u) ∘ φ) atTop (𝓝 f)
i : Fin N
⊢ ‖f i‖ ≤ 2

Tactic:
simp only [pi_norm_le_iff_of_nonneg zero_le_two, mem_closedBall, dist_zero_right] at fmem

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ → δ < 1 → ∃ s, (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : ℝ → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun i j => 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
u : ℕ → ℝ
left✝ : ∀ (m n : ℕ), m < n → u n < u m
zero_lt_u : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)
A : ∀ (n : ℕ), F (u n) ∈ closedBall 0 2
f : Fin N → E
φ : ℕ → ℕ
φ_mono : StrictMono φ
hf : Tendsto ((F ∘ u) ∘ φ) atTop (𝓝 f)
i : Fin N
fmem : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
⊢ ‖f i‖ ≤ 2

Proof state:
case intro.intro
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ → δ < 1 → ∃ s, (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : ℝ → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun i j => 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : Pairwise fun i j => 1 ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
s_card : s.card = N
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
h's : ∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 ≤ ‖c - d‖
this : multiplicity E + 1 ≤ multiplicity E
⊢ False

Tactic:
exact lt_irrefl _ ((Nat.lt_succ_self (multiplicity E)).trans_le this)

Result:
no goals

Proof state:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ → δ < 1 → ∃ s, (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : ℝ → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun i j => 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : Pairwise fun i j => 1 ≤ ‖f i - f j‖
i j : Fin N
hij : f i = f j
⊢ i = j

Tactic:
by_contra h

Result:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h✝ :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ → δ < 1 → ∃ s, (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : ℝ → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun i j => 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : Pairwise fun i j => 1 ≤ ‖f i - f j‖
i j : Fin N
hij : f i = f j
h : ¬i = j
⊢ False

Proof state:
case intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ → δ < 1 → ∃ s, (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : ℝ → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun i j => 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
u : ℕ → ℝ
left✝ : ∀ (m n : ℕ), m < n → u n < u m
zero_lt_u : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)
A : ∀ (n : ℕ), F (u n) ∈ closedBall 0 2
⊢ ∃ f, (∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun i j => 1 ≤ ‖f i - f j‖

Tactic:
obtain ⟨f, fmem, φ, φ_mono, hf⟩ :
  ∃ f ∈ closedBall (0 : Fin N → E) 2,
    ∃ φ : ℕ → ℕ, StrictMono φ ∧ Tendsto ((F ∘ u) ∘ φ) atTop (𝓝 f) :=
  IsCompact.tendsto_subseq (isCompact_closedBall _ _) A

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ → δ < 1 → ∃ s, (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : ℝ → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun i j => 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
u : ℕ → ℝ
left✝ : ∀ (m n : ℕ), m < n → u n < u m
zero_lt_u : ∀ (n : ℕ), 0 < u n
hu : Tendsto u atTop (𝓝 0)
A : ∀ (n : ℕ), F (u n) ∈ closedBall 0 2
f : Fin N → E
fmem : f ∈ closedBall 0 2
φ : ℕ → ℕ
φ_mono : StrictMono φ
hf : Tendsto ((F ∘ u) ∘ φ) atTop (𝓝 f)
⊢ ∃ f, (∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun i j => 1 ≤ ‖f i - f j‖

Proof state:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
⊢ ∃ δ,
    0 < δ ∧
      δ < 1 ∧
        ∀ (s : Finset E), (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) → (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) → s.card ≤ multiplicity E

Tactic:
by_contra! h

Result:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ → δ < 1 → ∃ s, (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
⊢ False

Proof state:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h✝ :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ → δ < 1 → ∃ s, (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : ℝ → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun i j => 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : Pairwise fun i j => 1 ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
s_card : s.card = N
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
i j : Fin N
hij : ¬f i = f j
h : i = j
⊢ False

Tactic:
rw [h] at hij

Result:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : FiniteDimensional ℝ E
h✝ :
  ∀ (δ : ℝ),
    0 < δ → δ < 1 → ∃ s, (∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2) ∧ (∀ c ∈ s, ∀ d ∈ s, c ≠ d → 1 - δ ≤ ‖c - d‖) ∧ multiplicity E < s.card
N : ℕ := multiplicity E + 1
hN : N = multiplicity E + 1
F : ℝ → Fin N → E
hF : ∀ (δ : ℝ), 0 < δ → (∀ (i : Fin N), ‖F δ i‖ ≤ 2) ∧ Pairwise fun i j => 1 - δ ≤ ‖F δ i - F δ j‖
f : Fin N → E
hf : ∀ (i : Fin N), ‖f i‖ ≤ 2
h'f : Pairwise fun i j => 1 ≤ ‖f i - f j‖
finj : Function.Injective f
s : Finset E := Finset.image f Finset.univ
s_card : s.card = N
hs : ∀ c ∈ s, ‖c‖ ≤ 2
i j : Fin N
hij : ¬f j = f j
h : i = j
⊢ False