-- Mathlib/Geometry/Manifold/IntegralCurve/ExistUnique.lean
theorem isIntegralCurve_eq_of_contMDiff (hγt : ∀ t, I.IsInteriorPoint (γ t))
    (hv : ContMDiff I I.tangent 1 (fun x ↦ (⟨x, v x⟩ : TangentBundle I M)))
    (hγ : IsIntegralCurve γ v) (hγ' : IsIntegralCurve γ' v) (h : γ t₀ = γ' t₀) : γ = γ'

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ : ℝ
inst✝ : T2Space M
hγt : ∀ (t : ℝ), I.IsInteriorPoint (γ t)
hv : ContMDiff I I.tangent 1 fun x => { proj := x, snd := v x }
hγ : IsIntegralCurve γ v
hγ' : IsIntegralCurve γ' v
h : γ t₀ = γ' t₀
t T : ℝ
hT₁ : T > 0
hT₂✝ : |t| < T
hT₂ : -T < t
hT₃ : t < T
S : ℝ
hS₁ : S > 0
hS₂✝ : |t₀| < S
hS₂ : -S < t₀
hS₃ : t₀ < S
⊢ ∃ T, t ∈ Ioo (-T) T ∧ t₀ ∈ Ioo (-T) T

Tactic:
exact ⟨T + S, by constructor <;> constructor <;> linarith⟩

Result:
no goals

Proof state:
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ : ℝ
inst✝ : T2Space M
hγt : ∀ (t : ℝ), I.IsInteriorPoint (γ t)
hv : ContMDiff I I.tangent 1 fun x => { proj := x, snd := v x }
hγ : IsIntegralCurve γ v
hγ' : IsIntegralCurve γ' v
h : γ t₀ = γ' t₀
⊢ γ = γ'

Tactic:
ext t

Result:
case h
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ : ℝ
inst✝ : T2Space M
hγt : ∀ (t : ℝ), I.IsInteriorPoint (γ t)
hv : ContMDiff I I.tangent 1 fun x => { proj := x, snd := v x }
hγ : IsIntegralCurve γ v
hγ' : IsIntegralCurve γ' v
h : γ t₀ = γ' t₀
t : ℝ
⊢ γ t = γ' t

Proof state:
case h
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ : ℝ
inst✝ : T2Space M
hγt : ∀ (t : ℝ), I.IsInteriorPoint (γ t)
hv : ContMDiff I I.tangent 1 fun x => { proj := x, snd := v x }
hγ : IsIntegralCurve γ v
hγ' : IsIntegralCurve γ' v
h : γ t₀ = γ' t₀
t : ℝ
⊢ γ t = γ' t

Tactic:
obtain ⟨T, ht₀, ht⟩ : ∃ T, t ∈ Ioo (-T) T ∧ t₀ ∈ Ioo (-T) T := by
  obtain ⟨T, hT₁, hT₂⟩ := exists_abs_lt t
  obtain ⟨hT₂, hT₃⟩ := abs_lt.mp hT₂
  obtain ⟨S, hS₁, hS₂⟩ := exists_abs_lt t₀
  obtain ⟨hS₂, hS₃⟩ := abs_lt.mp hS₂
  exact ⟨T + S, by constructor <;> constructor <;> linarith⟩

Result:
case h.intro.intro
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ : ℝ
inst✝ : T2Space M
hγt : ∀ (t : ℝ), I.IsInteriorPoint (γ t)
hv : ContMDiff I I.tangent 1 fun x => { proj := x, snd := v x }
hγ : IsIntegralCurve γ v
hγ' : IsIntegralCurve γ' v
h : γ t₀ = γ' t₀
t T : ℝ
ht₀ : t ∈ Ioo (-T) T
ht : t₀ ∈ Ioo (-T) T
⊢ γ t = γ' t

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ : ℝ
inst✝ : T2Space M
hγt : ∀ (t : ℝ), I.IsInteriorPoint (γ t)
hv : ContMDiff I I.tangent 1 fun x => { proj := x, snd := v x }
hγ : IsIntegralCurve γ v
hγ' : IsIntegralCurve γ' v
h : γ t₀ = γ' t₀
t T : ℝ
hT₁ : T > 0
hT₂✝ : |t| < T
hT₂ : -T < t
hT₃ : t < T
S : ℝ
hS₁ : S > 0
hS₂ : |t₀| < S
⊢ ∃ T, t ∈ Ioo (-T) T ∧ t₀ ∈ Ioo (-T) T

Tactic:
obtain ⟨hS₂, hS₃⟩ := abs_lt.mp hS₂

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ : ℝ
inst✝ : T2Space M
hγt : ∀ (t : ℝ), I.IsInteriorPoint (γ t)
hv : ContMDiff I I.tangent 1 fun x => { proj := x, snd := v x }
hγ : IsIntegralCurve γ v
hγ' : IsIntegralCurve γ' v
h : γ t₀ = γ' t₀
t T : ℝ
hT₁ : T > 0
hT₂✝ : |t| < T
hT₂ : -T < t
hT₃ : t < T
S : ℝ
hS₁ : S > 0
hS₂✝ : |t₀| < S
hS₂ : -S < t₀
hS₃ : t₀ < S
⊢ ∃ T, t ∈ Ioo (-T) T ∧ t₀ ∈ Ioo (-T) T

Proof state:
case intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ : ℝ
inst✝ : T2Space M
hγt : ∀ (t : ℝ), I.IsInteriorPoint (γ t)
hv : ContMDiff I I.tangent 1 fun x => { proj := x, snd := v x }
hγ : IsIntegralCurve γ v
hγ' : IsIntegralCurve γ' v
h : γ t₀ = γ' t₀
t T : ℝ
hT₁ : T > 0
hT₂✝ : |t| < T
hT₂ : -T < t
hT₃ : t < T
⊢ ∃ T, t ∈ Ioo (-T) T ∧ t₀ ∈ Ioo (-T) T

Tactic:
obtain ⟨S, hS₁, hS₂⟩ := exists_abs_lt t₀

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ : ℝ
inst✝ : T2Space M
hγt : ∀ (t : ℝ), I.IsInteriorPoint (γ t)
hv : ContMDiff I I.tangent 1 fun x => { proj := x, snd := v x }
hγ : IsIntegralCurve γ v
hγ' : IsIntegralCurve γ' v
h : γ t₀ = γ' t₀
t T : ℝ
hT₁ : T > 0
hT₂✝ : |t| < T
hT₂ : -T < t
hT₃ : t < T
S : ℝ
hS₁ : S > 0
hS₂ : |t₀| < S
⊢ ∃ T, t ∈ Ioo (-T) T ∧ t₀ ∈ Ioo (-T) T

Proof state:
case intro.intro
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ : ℝ
inst✝ : T2Space M
hγt : ∀ (t : ℝ), I.IsInteriorPoint (γ t)
hv : ContMDiff I I.tangent 1 fun x => { proj := x, snd := v x }
hγ : IsIntegralCurve γ v
hγ' : IsIntegralCurve γ' v
h : γ t₀ = γ' t₀
t T : ℝ
hT₁ : T > 0
hT₂ : |t| < T
⊢ ∃ T, t ∈ Ioo (-T) T ∧ t₀ ∈ Ioo (-T) T

Tactic:
obtain ⟨hT₂, hT₃⟩ := abs_lt.mp hT₂

Result:
case intro.intro.intro
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ E
H : Type u_2
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
γ γ' : ℝ → M
v : (x : M) → TangentSpace I x
t₀ : ℝ
inst✝ : T2Space M
hγt : ∀ (t : ℝ), I.IsInteriorPoint (γ t)
hv : ContMDiff I I.tangent 1 fun x => { proj := x, snd := v x }
hγ : IsIntegralCurve γ v
hγ' : IsIntegralCurve γ' v
h : γ t₀ = γ' t₀
t T : ℝ
hT₁ : T > 0
hT₂✝ : |t| < T
hT₂ : -T < t
hT₃ : t < T
⊢ ∃ T, t ∈ Ioo (-T) T ∧ t₀ ∈ Ioo (-T) T