-- Mathlib/Data/Matroid/Circuit.lean
/-- A version of `Matroid.IsCircuit.strong_multi_elimination` that is phrased using insertion. -/
lemma IsCircuit.strong_multi_elimination_insert (x : ι → α) (I : ι → Set α) (z : α)
    (hxI : ∀ i, x i ∉ I i) (hC : ∀ i, M.IsCircuit (insert (x i) (I i)))
    (hJx : M.IsCircuit (J ∪ range x)) (hzJ : z ∈ J) (hzI : ∀ i, z ∉ I i) :
    ∃ C' ⊆ J ∪ ⋃ i, I i, M.IsCircuit C' ∧ z ∈ C'

Proof state:
α : Type u_1
M : Matroid α
ι : Type u_2
J : Set α
x : ι → α
I : ι → Set α
z : α
hxI : ∀ (i : ι), x i ∉ I i
hC : ∀ (i : ι), M.IsCircuit (insert (x i) (I i))
hJx : M.IsCircuit (J ∪ range x)
hzJ : z ∈ J
hzI : ∀ (i : ι), z ∉ I i
hι : Nonempty ι
hcl : z ∈ M.closure ((⋃ i, I i) ∪ J \ {z})
⊢ ∃ C' ⊆ J ∪ ⋃ i, I i, M.IsCircuit C' ∧ z ∈ C'

Tactic:
rw [mem_closure_iff_exists_isCircuit (by simp [hzI])] at hcl

Result:
α : Type u_1
M : Matroid α
ι : Type u_2
J : Set α
x : ι → α
I : ι → Set α
z : α
hxI : ∀ (i : ι), x i ∉ I i
hC : ∀ (i : ι), M.IsCircuit (insert (x i) (I i))
hJx : M.IsCircuit (J ∪ range x)
hzJ : z ∈ J
hzI : ∀ (i : ι), z ∉ I i
hι : Nonempty ι
hcl : ∃ C ⊆ insert z ((⋃ i, I i) ∪ J \ {z}), M.IsCircuit C ∧ z ∈ C
⊢ ∃ C' ⊆ J ∪ ⋃ i, I i, M.IsCircuit C' ∧ z ∈ C'

Proof state:
case inr
α : Type u_1
M : Matroid α
ι : Type u_2
J : Set α
x : ι → α
I : ι → Set α
z : α
hxI : ∀ (i : ι), x i ∉ I i
hC : ∀ (i : ι), M.IsCircuit (insert (x i) (I i))
hJx : M.IsCircuit (J ∪ range x)
hzJ : z ∈ J
hzI : ∀ (i : ι), z ∉ I i
hι : Nonempty ι
hC' : ∀ (i : ι), M.closure (I i) = M.closure (insert (x i) (I i))
⊢ (J ∪ range x) \ {z} ⊆ range x ∪ J \ {z}

Tactic:
rw [union_diff_distrib, union_comm]

Result:
case inr
α : Type u_1
M : Matroid α
ι : Type u_2
J : Set α
x : ι → α
I : ι → Set α
z : α
hxI : ∀ (i : ι), x i ∉ I i
hC : ∀ (i : ι), M.IsCircuit (insert (x i) (I i))
hJx : M.IsCircuit (J ∪ range x)
hzJ : z ∈ J
hzI : ∀ (i : ι), z ∉ I i
hι : Nonempty ι
hC' : ∀ (i : ι), M.closure (I i) = M.closure (insert (x i) (I i))
⊢ range x \ {z} ∪ J \ {z} ⊆ range x ∪ J \ {z}

Proof state:
case inr
α : Type u_1
M : Matroid α
ι : Type u_2
J : Set α
x : ι → α
I : ι → Set α
z : α
hxI : ∀ (i : ι), x i ∉ I i
hC : ∀ (i : ι), M.IsCircuit (insert (x i) (I i))
hJx : M.IsCircuit (J ∪ range x)
hzJ : z ∈ J
hzI : ∀ (i : ι), z ∉ I i
hι : Nonempty ι
hC' : ∀ (i : ι), M.closure (I i) = M.closure (insert (x i) (I i))
⊢ range x \ {z} ∪ J \ {z} ⊆ range x ∪ J \ {z}

Tactic:
exact union_subset_union_left _ diff_subset

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro.intro
α : Type u_1
M : Matroid α
ι : Type u_2
J : Set α
x : ι → α
I : ι → Set α
z : α
hxI : ∀ (i : ι), x i ∉ I i
hC : ∀ (i : ι), M.IsCircuit (insert (x i) (I i))
hJx : M.IsCircuit (J ∪ range x)
hzJ : z ∈ J
hzI : ∀ (i : ι), z ∉ I i
hι : Nonempty ι
C' : Set α
hC'ss : C' ⊆ insert z ((⋃ i, I i) ∪ J \ {z})
hC' : M.IsCircuit C'
hzC' : z ∈ C'
⊢ C' ⊆ J ∪ ⋃ i, I i

Tactic:
rwa [union_comm, ← insert_union, insert_diff_singleton, insert_eq_of_mem hzJ] at hC'ss

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_1
M : Matroid α
ι : Type u_2
J : Set α
x : ι → α
I : ι → Set α
z : α
hxI : ∀ (i : ι), x i ∉ I i
hC : ∀ (i : ι), M.IsCircuit (insert (x i) (I i))
hJx : M.IsCircuit (J ∪ range x)
hzJ : z ∈ J
hzI : ∀ (i : ι), z ∉ I i
hι : Nonempty ι
i : ι
⊢ M.closure (I i) = M.closure (insert (x i) (I i))

Tactic:
simpa [diff_singleton_eq_self (hxI _)] using (hC i).closure_diff_singleton_eq (x i)

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_1
M : Matroid α
ι : Type u_2
J : Set α
x : ι → α
I : ι → Set α
z : α
hxI : ∀ (i : ι), x i ∉ I i
hC : ∀ (i : ι), M.IsCircuit (insert (x i) (I i))
hJx : M.IsCircuit (J ∪ range x)
hzJ : z ∈ J
hzI : ∀ (i : ι), z ∉ I i
⊢ ∃ C' ⊆ J ∪ ⋃ i, I i, M.IsCircuit C' ∧ z ∈ C'

Tactic:
obtain hι | hι := isEmpty_or_nonempty ι

Result:
case inl
α : Type u_1
M : Matroid α
ι : Type u_2
J : Set α
x : ι → α
I : ι → Set α
z : α
hxI : ∀ (i : ι), x i ∉ I i
hC : ∀ (i : ι), M.IsCircuit (insert (x i) (I i))
hJx : M.IsCircuit (J ∪ range x)
hzJ : z ∈ J
hzI : ∀ (i : ι), z ∉ I i
hι : IsEmpty ι
⊢ ∃ C' ⊆ J ∪ ⋃ i, I i, M.IsCircuit C' ∧ z ∈ C'

case inr
α : Type u_1
M : Matroid α
ι : Type u_2
J : Set α
x : ι → α
I : ι → Set α
z : α
hxI : ∀ (i : ι), x i ∉ I i
hC : ∀ (i : ι), M.IsCircuit (insert (x i) (I i))
hJx : M.IsCircuit (J ∪ range x)
hzJ : z ∈ J
hzI : ∀ (i : ι), z ∉ I i
hι : Nonempty ι
⊢ ∃ C' ⊆ J ∪ ⋃ i, I i, M.IsCircuit C' ∧ z ∈ C'

Proof state:
case inr
α : Type u_1
M : Matroid α
ι : Type u_2
J : Set α
x : ι → α
I : ι → Set α
z : α
hxI : ∀ (i : ι), x i ∉ I i
hC : ∀ (i : ι), M.IsCircuit (insert (x i) (I i))
hJx : M.IsCircuit (J ∪ range x)
hzJ : z ∈ J
hzI : ∀ (i : ι), z ∉ I i
hι : Nonempty ι
⊢ ∃ C' ⊆ J ∪ ⋃ i, I i, M.IsCircuit C' ∧ z ∈ C'

Tactic:
suffices hcl : z ∈ M.closure ((⋃ i, I i) ∪ (J \ {z})) by
  rw [mem_closure_iff_exists_isCircuit (by simp [hzI])] at hcl
  obtain ⟨C', hC'ss, hC', hzC'⟩ := hcl
  refine ⟨C', ?_, hC', hzC'⟩
  rwa [union_comm, ← insert_union, insert_diff_singleton, insert_eq_of_mem hzJ] at hC'ss

Result:
case inr
α : Type u_1
M : Matroid α
ι : Type u_2
J : Set α
x : ι → α
I : ι → Set α
z : α
hxI : ∀ (i : ι), x i ∉ I i
hC : ∀ (i : ι), M.IsCircuit (insert (x i) (I i))
hJx : M.IsCircuit (J ∪ range x)
hzJ : z ∈ J
hzI : ∀ (i : ι), z ∉ I i
hι : Nonempty ι
⊢ z ∈ M.closure ((⋃ i, I i) ∪ J \ {z})

Proof state:
α : Type u_1
M : Matroid α
ι : Type u_2
J : Set α
x : ι → α
I : ι → Set α
z : α
hxI : ∀ (i : ι), x i ∉ I i
hC : ∀ (i : ι), M.IsCircuit (insert (x i) (I i))
hJx : M.IsCircuit (J ∪ range x)
hzJ : z ∈ J
hzI : ∀ (i : ι), z ∉ I i
hι : IsEmpty ι
⊢ J ⊆ J ∪ ⋃ i, I i

Tactic:
simp

Result:
no goals

Proof state:
case inl
α : Type u_1
M : Matroid α
ι : Type u_2
J : Set α
x : ι → α
I : ι → Set α
z : α
hxI : ∀ (i : ι), x i ∉ I i
hC : ∀ (i : ι), M.IsCircuit (insert (x i) (I i))
hJx : M.IsCircuit (J ∪ range x)
hzJ : z ∈ J
hzI : ∀ (i : ι), z ∉ I i
hι : IsEmpty ι
⊢ ∃ C' ⊆ J ∪ ⋃ i, I i, M.IsCircuit C' ∧ z ∈ C'

Tactic:
exact ⟨J, by simp, by simpa [range_eq_empty] using hJx, hzJ⟩

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_1
M : Matroid α
ι : Type u_2
J : Set α
x : ι → α
I : ι → Set α
z : α
hxI : ∀ (i : ι), x i ∉ I i
hC : ∀ (i : ι), M.IsCircuit (insert (x i) (I i))
hJx : M.IsCircuit (J ∪ range x)
hzJ : z ∈ J
hzI : ∀ (i : ι), z ∉ I i
hι : Nonempty ι
hcl : ∃ C ⊆ insert z ((⋃ i, I i) ∪ J \ {z}), M.IsCircuit C ∧ z ∈ C
⊢ ∃ C' ⊆ J ∪ ⋃ i, I i, M.IsCircuit C' ∧ z ∈ C'

Tactic:
obtain ⟨C', hC'ss, hC', hzC'⟩ := hcl

Result:
case intro.intro.intro
α : Type u_1
M : Matroid α
ι : Type u_2
J : Set α
x : ι → α
I : ι → Set α
z : α
hxI : ∀ (i : ι), x i ∉ I i
hC : ∀ (i : ι), M.IsCircuit (insert (x i) (I i))
hJx : M.IsCircuit (J ∪ range x)
hzJ : z ∈ J
hzI : ∀ (i : ι), z ∉ I i
hι : Nonempty ι
C' : Set α
hC'ss : C' ⊆ insert z ((⋃ i, I i) ∪ J \ {z})
hC' : M.IsCircuit C'
hzC' : z ∈ C'
⊢ ∃ C' ⊆ J ∪ ⋃ i, I i, M.IsCircuit C' ∧ z ∈ C'

Proof state:
case inr
α : Type u_1
M : Matroid α
ι : Type u_2
J : Set α
x : ι → α
I : ι → Set α
z : α
hxI : ∀ (i : ι), x i ∉ I i
hC : ∀ (i : ι), M.IsCircuit (insert (x i) (I i))
hJx : M.IsCircuit (J ∪ range x)
hzJ : z ∈ J
hzI : ∀ (i : ι), z ∉ I i
hι : Nonempty ι
hC' : ∀ (i : ι), M.closure (I i) = M.closure (insert (x i) (I i))
⊢ z ∈ M.closure ((⋃ i, I i) ∪ J \ {z})

Tactic:
rw [closure_union_congr_left <| closure_iUnion_congr _ _ hC',
  iUnion_insert_eq_range_union_iUnion, union_right_comm]

Result:
case inr
α : Type u_1
M : Matroid α
ι : Type u_2
J : Set α
x : ι → α
I : ι → Set α
z : α
hxI : ∀ (i : ι), x i ∉ I i
hC : ∀ (i : ι), M.IsCircuit (insert (x i) (I i))
hJx : M.IsCircuit (J ∪ range x)
hzJ : z ∈ J
hzI : ∀ (i : ι), z ∉ I i
hι : Nonempty ι
hC' : ∀ (i : ι), M.closure (I i) = M.closure (insert (x i) (I i))
⊢ z ∈ M.closure (range x ∪ J \ {z} ∪ ⋃ i, I i)