-- Mathlib/Algebra/Module/LocalizedModule/Basic.lean
theorem mk'_mul_mk'_of_map_mul {M M' : Type*} [Semiring M] [Semiring M'] [Module R M]
    [Algebra R M'] (f : M →ₗ[R] M') (hf : ∀ m₁ m₂, f (m₁ * m₂) = f m₁ * f m₂)
    [IsLocalizedModule S f] (m₁ m₂ : M) (s₁ s₂ : S) :
    mk' f m₁ s₁ * mk' f m₂ s₂ = mk' f (m₁ * m₂) (s₁ * s₂)

Proof state:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_6
M' : Type u_7
inst✝⁴ : Semiring M
inst✝³ : Semiring M'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Algebra R M'
f : M →ₗ[R] M'
hf : ∀ (m₁ m₂ : M), f (m₁ * m₂) = f m₁ * f m₂
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m₁ m₂ : M
s₁ s₂ : ↥S
⊢ f (m₁ • m₂) = (↑s₁ • ↑s₂) • mk' f m₁ s₁ • mk' f m₂ s₂

Tactic:
rw [smul_smul_smul_comm, ← mk'_smul, ← mk'_smul]

Result:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_6
M' : Type u_7
inst✝⁴ : Semiring M
inst✝³ : Semiring M'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Algebra R M'
f : M →ₗ[R] M'
hf : ∀ (m₁ m₂ : M), f (m₁ * m₂) = f m₁ * f m₂
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m₁ m₂ : M
s₁ s₂ : ↥S
⊢ f (m₁ • m₂) = mk' f (↑s₁ • m₁) s₁ • mk' f (↑s₂ • m₂) s₂

Proof state:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_6
M' : Type u_7
inst✝⁴ : Semiring M
inst✝³ : Semiring M'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Algebra R M'
f : M →ₗ[R] M'
hf : ∀ (m₁ m₂ : M), f (m₁ * m₂) = f m₁ * f m₂
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m₁ m₂ : M
s₁ s₂ : ↥S
⊢ mk' f (m₁ * m₂) (s₁ * s₂) = mk' f m₁ s₁ * mk' f m₂ s₂

Tactic:
apply (Module.End_algebraMap_isUnit_inv_apply_eq_iff _ _ _ _).mpr

Result:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_6
M' : Type u_7
inst✝⁴ : Semiring M
inst✝³ : Semiring M'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Algebra R M'
f : M →ₗ[R] M'
hf : ∀ (m₁ m₂ : M), f (m₁ * m₂) = f m₁ * f m₂
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m₁ m₂ : M
s₁ s₂ : ↥S
⊢ f (m₁ * m₂, s₁ * s₂).1 = ↑(m₁ * m₂, s₁ * s₂).2 • (mk' f m₁ s₁ * mk' f m₂ s₂)

Proof state:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_6
M' : Type u_7
inst✝⁴ : Semiring M
inst✝³ : Semiring M'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Algebra R M'
f : M →ₗ[R] M'
hf : ∀ (m₁ m₂ : M), f (m₁ * m₂) = f m₁ * f m₂
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m₁ m₂ : M
s₁ s₂ : ↥S
⊢ mk' f m₁ s₁ * mk' f m₂ s₂ = mk' f (m₁ * m₂) (s₁ * s₂)

Tactic:
symm

Result:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_6
M' : Type u_7
inst✝⁴ : Semiring M
inst✝³ : Semiring M'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Algebra R M'
f : M →ₗ[R] M'
hf : ∀ (m₁ m₂ : M), f (m₁ * m₂) = f m₁ * f m₂
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m₁ m₂ : M
s₁ s₂ : ↥S
⊢ mk' f (m₁ * m₂) (s₁ * s₂) = mk' f m₁ s₁ * mk' f m₂ s₂

Proof state:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_6
M' : Type u_7
inst✝⁴ : Semiring M
inst✝³ : Semiring M'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Algebra R M'
f : M →ₗ[R] M'
hf : ∀ (m₁ m₂ : M), f (m₁ * m₂) = f m₁ * f m₂
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m₁ m₂ : M
s₁ s₂ : ↥S
⊢ f (m₁ • m₂) = mk' f (↑s₁ • m₁) s₁ • mk' f (↑s₂ • m₂) s₂

Tactic:
simp_rw [← Submonoid.smul_def, mk'_cancel, smul_eq_mul, hf]

Result:
no goals

Proof state:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_6
M' : Type u_7
inst✝⁴ : Semiring M
inst✝³ : Semiring M'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Algebra R M'
f : M →ₗ[R] M'
hf : ∀ (m₁ m₂ : M), f (m₁ * m₂) = f m₁ * f m₂
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m₁ m₂ : M
s₁ s₂ : ↥S
⊢ f (m₁ * m₂, s₁ * s₂).1 = ↑(m₁ * m₂, s₁ * s₂).2 • (mk' f m₁ s₁ * mk' f m₂ s₂)

Tactic:
simp_rw [Submonoid.coe_mul, ← smul_eq_mul]

Result:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_6
M' : Type u_7
inst✝⁴ : Semiring M
inst✝³ : Semiring M'
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : Algebra R M'
f : M →ₗ[R] M'
hf : ∀ (m₁ m₂ : M), f (m₁ * m₂) = f m₁ * f m₂
inst✝ : IsLocalizedModule S f
m₁ m₂ : M
s₁ s₂ : ↥S
⊢ f (m₁ • m₂) = (↑s₁ • ↑s₂) • mk' f m₁ s₁ • mk' f m₂ s₂