-- Mathlib/GroupTheory/CoprodI.lean
theorem lift_word_prod_nontrivial_of_not_empty {i j} (w : NeWord H i j) :
    lift f w.prod ≠ 1

Proof state:
case inl
ι : Type u_1
G : Type u_4
inst✝³ : Group G
H : ι → Type u_5
inst✝² : (i : ι) → Group (H i)
f : (i : ι) → H i →* G
α : Type u_6
inst✝¹ : MulAction G α
X : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise (Disjoint on X)
hpp : Pairwise fun i j => ∀ (h : H i), h ≠ 1 → (f i) h • X j ⊆ X i
inst✝ : Nontrivial ι
i j : ι
w : NeWord H i j
hcard : 3 ≤ #ι
⊢ (lift f) w.prod ≠ 1

Tactic:
obtain ⟨i, h1, h2⟩ := Cardinal.three_le hcard i j

Result:
case inl.intro.intro
ι : Type u_1
G : Type u_4
inst✝³ : Group G
H : ι → Type u_5
inst✝² : (i : ι) → Group (H i)
f : (i : ι) → H i →* G
α : Type u_6
inst✝¹ : MulAction G α
X : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise (Disjoint on X)
hpp : Pairwise fun i j => ∀ (h : H i), h ≠ 1 → (f i) h • X j ⊆ X i
inst✝ : Nontrivial ι
i✝ j : ι
w : NeWord H i✝ j
hcard : 3 ≤ #ι
i : ι
h1 : i ≠ i✝
h2 : i ≠ j
⊢ (lift f) w.prod ≠ 1

Proof state:
case neg
ι : Type u_1
G : Type u_4
inst✝³ : Group G
H : ι → Type u_5
inst✝² : (i : ι) → Group (H i)
f : (i : ι) → H i →* G
α : Type u_6
inst✝¹ : MulAction G α
X : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise (Disjoint on X)
hpp : Pairwise fun i j => ∀ (h : H i), h ≠ 1 → (f i) h • X j ⊆ X i
inst✝ : Nontrivial ι
i j : ι
w : NeWord H i j
hcard : 3 ≤ #(H i)
hl : j ≠ i
⊢ (lift f) w.prod ≠ 1

Tactic:
exact lift_word_prod_nontrivial_of_head_card f X hXnonempty hXdisj hpp w hcard hl.symm

Result:
no goals

Proof state:
case neg
ι : Type u_1
G : Type u_4
inst✝³ : Group G
H : ι → Type u_5
inst✝² : (i : ι) → Group (H i)
f : (i : ι) → H i →* G
α : Type u_6
inst✝¹ : MulAction G α
X : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise (Disjoint on X)
hpp : Pairwise fun i j => ∀ (h : H i), h ≠ 1 → (f i) h • X j ⊆ X i
inst✝ : Nontrivial ι
i j : ι
w : NeWord H i j
k : ι
hcard : 3 ≤ #(H k)
hh : ¬i = k
hl : ¬j = k
⊢ (lift f) w.prod ≠ 1

Tactic:
change i ≠ k at hh

Result:
case neg
ι : Type u_1
G : Type u_4
inst✝³ : Group G
H : ι → Type u_5
inst✝² : (i : ι) → Group (H i)
f : (i : ι) → H i →* G
α : Type u_6
inst✝¹ : MulAction G α
X : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise (Disjoint on X)
hpp : Pairwise fun i j => ∀ (h : H i), h ≠ 1 → (f i) h • X j ⊆ X i
inst✝ : Nontrivial ι
i j : ι
w : NeWord H i j
k : ι
hcard : 3 ≤ #(H k)
hl : ¬j = k
hh : i ≠ k
⊢ (lift f) w.prod ≠ 1

Proof state:
case neg
ι : Type u_1
G : Type u_4
inst✝³ : Group G
H : ι → Type u_5
inst✝² : (i : ι) → Group (H i)
f : (i : ι) → H i →* G
α : Type u_6
inst✝¹ : MulAction G α
X : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise (Disjoint on X)
hpp : Pairwise fun i j => ∀ (h : H i), h ≠ 1 → (f i) h • X j ⊆ X i
inst✝ : Nontrivial ι
i j : ι
w : NeWord H i j
k : ι
hcard : 3 ≤ #(H k)
hh : i ≠ k
hl : j ≠ k
⊢ (lift f) w.prod ≠ 1

Tactic:
exact lift_word_prod_nontrivial_of_other_i f X hXnonempty hXdisj hpp w hh.symm hl.symm

Result:
no goals

Proof state:
case pos
ι : Type u_1
G : Type u_4
inst✝³ : Group G
H : ι → Type u_5
inst✝² : (i : ι) → Group (H i)
f : (i : ι) → H i →* G
α : Type u_6
inst✝¹ : MulAction G α
X : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise (Disjoint on X)
hpp : Pairwise fun i j => ∀ (h : H i), h ≠ 1 → (f i) h • X j ⊆ X i
inst✝ : Nontrivial ι
i j : ι
w : NeWord H i j
hcard : 3 ≤ #(H j)
hh : ¬i = j
⊢ (lift f) w.prod ≠ 1

Tactic:
change i ≠ j at hh

Result:
case pos
ι : Type u_1
G : Type u_4
inst✝³ : Group G
H : ι → Type u_5
inst✝² : (i : ι) → Group (H i)
f : (i : ι) → H i →* G
α : Type u_6
inst✝¹ : MulAction G α
X : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise (Disjoint on X)
hpp : Pairwise fun i j => ∀ (h : H i), h ≠ 1 → (f i) h • X j ⊆ X i
inst✝ : Nontrivial ι
i j : ι
w : NeWord H i j
hcard : 3 ≤ #(H j)
hh : i ≠ j
⊢ (lift f) w.prod ≠ 1

Proof state:
case pos
ι : Type u_1
G : Type u_4
inst✝³ : Group G
H : ι → Type u_5
inst✝² : (i : ι) → Group (H i)
f : (i : ι) → H i →* G
α : Type u_6
inst✝¹ : MulAction G α
X : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise (Disjoint on X)
hpp : Pairwise fun i j => ∀ (h : H i), h ≠ 1 → (f i) h • X j ⊆ X i
inst✝ : Nontrivial ι
i j : ι
w : NeWord H i j
hcard : 3 ≤ #(H i)
hl : j = i
⊢ (lift f) w.prod ≠ 1

Tactic:
subst hl

Result:
case pos
ι : Type u_1
G : Type u_4
inst✝³ : Group G
H : ι → Type u_5
inst✝² : (i : ι) → Group (H i)
f : (i : ι) → H i →* G
α : Type u_6
inst✝¹ : MulAction G α
X : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise (Disjoint on X)
hpp : Pairwise fun i j => ∀ (h : H i), h ≠ 1 → (f i) h • X j ⊆ X i
inst✝ : Nontrivial ι
j : ι
w : NeWord H j j
hcard : 3 ≤ #(H j)
⊢ (lift f) w.prod ≠ 1

Proof state:
case pos
ι : Type u_1
G : Type u_4
inst✝³ : Group G
H : ι → Type u_5
inst✝² : (i : ι) → Group (H i)
f : (i : ι) → H i →* G
α : Type u_6
inst✝¹ : MulAction G α
X : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise (Disjoint on X)
hpp : Pairwise fun i j => ∀ (h : H i), h ≠ 1 → (f i) h • X j ⊆ X i
inst✝ : Nontrivial ι
i j : ι
w : NeWord H i j
hcard : 3 ≤ #(H j)
hh : i ≠ j
⊢ (lift f) w.prod ≠ 1

Tactic:
have : lift f w.inv.prod ≠ 1 :=
  lift_word_prod_nontrivial_of_head_card f X hXnonempty hXdisj hpp w.inv hcard hh.symm

Result:
case pos
ι : Type u_1
G : Type u_4
inst✝³ : Group G
H : ι → Type u_5
inst✝² : (i : ι) → Group (H i)
f : (i : ι) → H i →* G
α : Type u_6
inst✝¹ : MulAction G α
X : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise (Disjoint on X)
hpp : Pairwise fun i j => ∀ (h : H i), h ≠ 1 → (f i) h • X j ⊆ X i
inst✝ : Nontrivial ι
i j : ι
w : NeWord H i j
hcard : 3 ≤ #(H j)
hh : i ≠ j
this : (lift f) w.inv.prod ≠ 1
⊢ (lift f) w.prod ≠ 1

Proof state:
case pos
ι : Type u_1
G : Type u_4
inst✝³ : Group G
H : ι → Type u_5
inst✝² : (i : ι) → Group (H i)
f : (i : ι) → H i →* G
α : Type u_6
inst✝¹ : MulAction G α
X : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise (Disjoint on X)
hpp : Pairwise fun i j => ∀ (h : H i), h ≠ 1 → (f i) h • X j ⊆ X i
inst✝ : Nontrivial ι
i j : ι
w : NeWord H i j
hcard : 3 ≤ #(H j)
hh : i ≠ j
this : (lift f) w.inv.prod ≠ 1
heq : (lift f) w.prod = 1
⊢ False

Tactic:
apply this

Result:
case pos
ι : Type u_1
G : Type u_4
inst✝³ : Group G
H : ι → Type u_5
inst✝² : (i : ι) → Group (H i)
f : (i : ι) → H i →* G
α : Type u_6
inst✝¹ : MulAction G α
X : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise (Disjoint on X)
hpp : Pairwise fun i j => ∀ (h : H i), h ≠ 1 → (f i) h • X j ⊆ X i
inst✝ : Nontrivial ι
i j : ι
w : NeWord H i j
hcard : 3 ≤ #(H j)
hh : i ≠ j
this : (lift f) w.inv.prod ≠ 1
heq : (lift f) w.prod = 1
⊢ (lift f) w.inv.prod = 1

Proof state:
case pos
ι : Type u_1
G : Type u_4
inst✝³ : Group G
H : ι → Type u_5
inst✝² : (i : ι) → Group (H i)
f : (i : ι) → H i →* G
α : Type u_6
inst✝¹ : MulAction G α
X : ι → Set α
hXnonempty : ∀ (i : ι), (X i).Nonempty
hXdisj : Pairwise (Disjoint on X)
hpp : Pairwise fun i j => ∀ (h : H i), h ≠ 1 → (f i) h • X j ⊆ X i
inst✝ : Nontrivial ι
j : ι
w : NeWord H j j
hcard : 3 ≤ #(H j)
⊢ (lift f) w.prod ≠ 1

Tactic:
exact lift_word_prod_nontrivial_of_head_eq_last f X hXnonempty hXdisj hpp w

Result:
no goals