-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
theorem eq_or_eq_reflection_of_dist_eq {n : ℕ} {s : Simplex ℝ P n} {p p₁ p₂ : P} {r : ℝ}
    (hp₁ : p₁ ∈ affineSpan ℝ (insert p (Set.range s.points)))
    (hp₂ : p₂ ∈ affineSpan ℝ (insert p (Set.range s.points))) (h₁ : ∀ i, dist (s.points i) p₁ = r)
    (h₂ : ∀ i, dist (s.points i) p₂ = r) :
    p₁ = p₂ ∨ p₁ = reflection (affineSpan ℝ (Set.range s.points)) p₂

Proof state:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
p p₁ p₂ : P
r : ℝ
h₁ : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p₁ = r
h₂ : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p₂ = r
span_s : AffineSubspace ℝ P := affineSpan ℝ (Set.range s.points)
h₁' : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁) = s.circumcenter
h₂' : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₂) = s.circumcenter
r₁ : ℝ
p₁o : P
hp₁o : p₁o ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
hp₁ : p₁ = r₁ • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)) +ᵥ p₁o
r₂ : ℝ
p₂o : P
hp₂o : p₂o ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
hp₂ : p₂ = r₂ • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)) +ᵥ p₂o
⊢ ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁) = p₁o

Tactic:
subst hp₁

Result:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
p p₂ : P
r : ℝ
h₂ : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p₂ = r
span_s : AffineSubspace ℝ P := affineSpan ℝ (Set.range s.points)
h₂' : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₂) = s.circumcenter
r₁ : ℝ
p₁o : P
hp₁o : p₁o ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
r₂ : ℝ
p₂o : P
hp₂o : p₂o ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points)
hp₂ : p₂ = r₂ • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)) +ᵥ p₂o
h₁ :
  ∀ (i : Fin (n + 1)),
    dist (s.points i) (r₁ • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)) +ᵥ p₁o) = r
h₁' :
  ↑(s.orthogonalProjectionSpan (r₁ • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)) +ᵥ p₁o)) =
    s.circumcenter
⊢ ↑(s.orthogonalProjectionSpan (r₁ • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)) +ᵥ p₁o)) =
    p₁o

Proof state:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
p p₁ p₂ : P
r : ℝ
hp₁ : p₁ ∈ affineSpan ℝ (insert p (Set.range s.points))
hp₂ : p₂ ∈ affineSpan ℝ (insert p (Set.range s.points))
h₁ : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p₁ = r
h₂ : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p₂ = r
span_s : AffineSubspace ℝ P := affineSpan ℝ (Set.range s.points)
h₁' : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁) = s.circumcenter
h₂' : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₂) = s.circumcenter
⊢ p₁ = p₂ ∨ p₁ = (reflection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p₂

Tactic:
rw [← affineSpan_insert_affineSpan, mem_affineSpan_insert_iff (orthogonalProjection_mem p)]
  at hp₁ hp₂

Result:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
n : ℕ
s : Simplex ℝ P n
p p₁ p₂ : P
r : ℝ
hp₁ :
  ∃ r,
    ∃ p0 ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points),
      p₁ = r • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)) +ᵥ p0
hp₂ :
  ∃ r,
    ∃ p0 ∈ affineSpan ℝ (Set.range s.points),
      p₂ = r • (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p)) +ᵥ p0
h₁ : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p₁ = r
h₂ : ∀ (i : Fin (n + 1)), dist (s.points i) p₂ = r
span_s : AffineSubspace ℝ P := affineSpan ℝ (Set.range s.points)
h₁' : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₁) = s.circumcenter
h₂' : ↑(s.orthogonalProjectionSpan p₂) = s.circumcenter
⊢ p₁ = p₂ ∨ p₁ = (reflection (affineSpan ℝ (Set.range s.points))) p₂