-- Mathlib/Computability/AkraBazzi/GrowsPolynomially.lean
lemma eventually_zero_of_frequently_zero (hf : GrowsPolynomially f) (hf' : ∃ᶠ x in atTop, f x = 0) :
    ∀ᶠ x in atTop, f x = 0

Proof state:
case succ
f : ℝ → ℝ
hf✝ : GrowsPolynomially f
hf' : ∀ (a : ℝ), ∃ b ≥ a, f b = 0
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hf : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (1 / 2 * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
x : ℝ
hx_pos : 0 < x
x₀ : ℝ
hx₀_ge : x₀ ≥ x ⊔ 1
hx₀ : f x₀ = 0
x₀_pos : 0 < x₀
k : ℕ
ih : ∀ (z : ℝ), x ≤ z → z ∈ Set.Icc (2 ^ (-↑k - 1) * x₀) (2 ^ (-↑k) * x₀) → f z = 0
z : ℝ
hxz : x ≤ z
hz : z ∈ Set.Icc (2 ^ (-(↑k + 1) - 1) * x₀) (2 ^ (-(↑k + 1)) * x₀)
hx' : x ≤ 2 ^ (-↑k - 1) * x₀
hx :
  z ∈ Set.Icc (1 / 2 * (2 ^ (-↑k - 1) * x₀)) (2 ^ (-↑k - 1) * x₀) →
    f z ∈ Set.Icc (c₁ * f (2 ^ (-↑k - 1) * x₀)) (c₂ * f (2 ^ (-↑k - 1) * x₀))
⊢ f z = 0

Tactic:
specialize ih ((2 : ℝ)^(-(k : ℤ) - 1) * x₀) hx' ?ineq

Result:
case ineq
f : ℝ → ℝ
hf✝ : GrowsPolynomially f
hf' : ∀ (a : ℝ), ∃ b ≥ a, f b = 0
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hf : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (1 / 2 * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
x : ℝ
hx_pos : 0 < x
x₀ : ℝ
hx₀_ge : x₀ ≥ x ⊔ 1
hx₀ : f x₀ = 0
x₀_pos : 0 < x₀
k : ℕ
ih : ∀ (z : ℝ), x ≤ z → z ∈ Set.Icc (2 ^ (-↑k - 1) * x₀) (2 ^ (-↑k) * x₀) → f z = 0
z : ℝ
hxz : x ≤ z
hz : z ∈ Set.Icc (2 ^ (-(↑k + 1) - 1) * x₀) (2 ^ (-(↑k + 1)) * x₀)
hx' : x ≤ 2 ^ (-↑k - 1) * x₀
hx :
  z ∈ Set.Icc (1 / 2 * (2 ^ (-↑k - 1) * x₀)) (2 ^ (-↑k - 1) * x₀) →
    f z ∈ Set.Icc (c₁ * f (2 ^ (-↑k - 1) * x₀)) (c₂ * f (2 ^ (-↑k - 1) * x₀))
⊢ 2 ^ (-↑k - 1) * x₀ ∈ Set.Icc (2 ^ (-↑k - 1) * x₀) (2 ^ (-↑k) * x₀)

case succ
f : ℝ → ℝ
hf✝ : GrowsPolynomially f
hf' : ∀ (a : ℝ), ∃ b ≥ a, f b = 0
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hf : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (1 / 2 * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
x : ℝ
hx_pos : 0 < x
x₀ : ℝ
hx₀_ge : x₀ ≥ x ⊔ 1
hx₀ : f x₀ = 0
x₀_pos : 0 < x₀
k : ℕ
z : ℝ
hxz : x ≤ z
hz : z ∈ Set.Icc (2 ^ (-(↑k + 1) - 1) * x₀) (2 ^ (-(↑k + 1)) * x₀)
hx' : x ≤ 2 ^ (-↑k - 1) * x₀
hx :
  z ∈ Set.Icc (1 / 2 * (2 ^ (-↑k - 1) * x₀)) (2 ^ (-↑k - 1) * x₀) →
    f z ∈ Set.Icc (c₁ * f (2 ^ (-↑k - 1) * x₀)) (c₂ * f (2 ^ (-↑k - 1) * x₀))
ih : f (2 ^ (-↑k - 1) * x₀) = 0
⊢ f z = 0

Proof state:
case zero
f : ℝ → ℝ
hf✝ : GrowsPolynomially f
hf' : ∀ (a : ℝ), ∃ b ≥ a, f b = 0
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hf : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (1 / 2 * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
x : ℝ
hx_pos : 0 < x
x₀ : ℝ
hx₀_ge : x₀ ≥ x ⊔ 1
hx₀ : f x₀ = 0
x₀_pos : 0 < x₀
hx : ∀ u ∈ Set.Icc (1 / 2 * x₀) x₀, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x₀) (c₂ * f x₀)
⊢ ∀ (z : ℝ), x ≤ z → z ∈ Set.Icc (2 ^ (-1) * x₀) x₀ → f z = 0

Tactic:
simp only [hx₀, mul_zero, Set.Icc_self, Set.mem_singleton_iff] at hx

Result:
case zero
f : ℝ → ℝ
hf✝ : GrowsPolynomially f
hf' : ∀ (a : ℝ), ∃ b ≥ a, f b = 0
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hf : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (1 / 2 * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
x : ℝ
hx_pos : 0 < x
x₀ : ℝ
hx₀_ge : x₀ ≥ x ⊔ 1
hx₀ : f x₀ = 0
x₀_pos : 0 < x₀
hx : ∀ u ∈ Set.Icc (1 / 2 * x₀) x₀, f u = 0
⊢ ∀ (z : ℝ), x ≤ z → z ∈ Set.Icc (2 ^ (-1) * x₀) x₀ → f z = 0

Proof state:
f : ℝ → ℝ
hf✝ : GrowsPolynomially f
hf' : ∀ (a : ℝ), ∃ b ≥ a, f b = 0
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hf : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (1 / 2 * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
x : ℝ
hx : ∀ (y : ℝ), x ≤ y → ∀ u ∈ Set.Icc (1 / 2 * y) y, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f y) (c₂ * f y)
hx_pos : 0 < x
x₀ : ℝ
hx₀_ge : x₀ ≥ x ⊔ 1
hx₀ : f x₀ = 0
x₀_pos : 0 < x₀
hmain : ∀ (m : ℕ) (z : ℝ), x ≤ z → z ∈ Set.Icc (2 ^ (-↑m - 1) * x₀) (2 ^ (-↑m) * x₀) → f z = 0
⊢ 2 ^ (-↑⌊-logb 2 (x / x₀)⌋₊ - 1) * x₀ ≤ x

Tactic:
rw [← le_div_iff₀ x₀_pos]

Result:
f : ℝ → ℝ
hf✝ : GrowsPolynomially f
hf' : ∀ (a : ℝ), ∃ b ≥ a, f b = 0
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hf : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (1 / 2 * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
x : ℝ
hx : ∀ (y : ℝ), x ≤ y → ∀ u ∈ Set.Icc (1 / 2 * y) y, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f y) (c₂ * f y)
hx_pos : 0 < x
x₀ : ℝ
hx₀_ge : x₀ ≥ x ⊔ 1
hx₀ : f x₀ = 0
x₀_pos : 0 < x₀
hmain : ∀ (m : ℕ) (z : ℝ), x ≤ z → z ∈ Set.Icc (2 ^ (-↑m - 1) * x₀) (2 ^ (-↑m) * x₀) → f z = 0
⊢ 2 ^ (-↑⌊-logb 2 (x / x₀)⌋₊ - 1) ≤ x / x₀

Proof state:
f : ℝ → ℝ
hf✝ : GrowsPolynomially f
hf' : ∀ (a : ℝ), ∃ b ≥ a, f b = 0
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hf : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (1 / 2 * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
x : ℝ
hx : ∀ (y : ℝ), x ≤ y → ∀ u ∈ Set.Icc (1 / 2 * y) y, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f y) (c₂ * f y)
hx_pos : 0 < x
x₀ : ℝ
hx₀_ge : x₀ ≥ x ⊔ 1
hx₀ : f x₀ = 0
x₀_pos : 0 < x₀
hmain : ∀ (m : ℕ) (z : ℝ), x ≤ z → z ∈ Set.Icc (2 ^ (-↑m - 1) * x₀) (2 ^ (-↑m) * x₀) → f z = 0
⊢ x ≤ 2 ^ (-↑⌊-logb 2 (x / x₀)⌋₊) * x₀

Tactic:
rw [← div_le_iff₀ x₀_pos]

Result:
f : ℝ → ℝ
hf✝ : GrowsPolynomially f
hf' : ∀ (a : ℝ), ∃ b ≥ a, f b = 0
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hf : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (1 / 2 * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
x : ℝ
hx : ∀ (y : ℝ), x ≤ y → ∀ u ∈ Set.Icc (1 / 2 * y) y, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f y) (c₂ * f y)
hx_pos : 0 < x
x₀ : ℝ
hx₀_ge : x₀ ≥ x ⊔ 1
hx₀ : f x₀ = 0
x₀_pos : 0 < x₀
hmain : ∀ (m : ℕ) (z : ℝ), x ≤ z → z ∈ Set.Icc (2 ^ (-↑m - 1) * x₀) (2 ^ (-↑m) * x₀) → f z = 0
⊢ x / x₀ ≤ 2 ^ (-↑⌊-logb 2 (x / x₀)⌋₊)

Proof state:
f : ℝ → ℝ
hf✝ : GrowsPolynomially f
hf' : ∀ (a : ℝ), ∃ b ≥ a, f b = 0
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hf : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (1 / 2 * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
x : ℝ
hx_pos : 0 < x
x₀ : ℝ
hx₀_ge : x₀ ≥ x ⊔ 1
hx₀ : f x₀ = 0
x₀_pos : 0 < x₀
k : ℕ
z : ℝ
hxz : x ≤ z
hz : z ∈ Set.Icc (2 ^ (-(↑k + 1) - 1) * x₀) (2 ^ (-(↑k + 1)) * x₀)
hx' : x ≤ 2 ^ (-↑k - 1) * x₀
ih : f (2 ^ (-↑k - 1) * x₀) = 0
hx : z ∈ Set.Icc (1 / 2 * (2 ^ (-↑k - 1) * x₀)) (2 ^ (-↑k - 1) * x₀) → f z = 0
⊢ -1 + (-↑k - 1) = -↑k - 2

Tactic:
ring

Result:
no goals

Proof state:
case zero
f : ℝ → ℝ
hf✝ : GrowsPolynomially f
hf' : ∀ (a : ℝ), ∃ b ≥ a, f b = 0
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hf : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (1 / 2 * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
x : ℝ
hx : ∀ (y : ℝ), x ≤ y → ∀ u ∈ Set.Icc (1 / 2 * y) y, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f y) (c₂ * f y)
hx_pos : 0 < x
x₀ : ℝ
hx₀_ge : x₀ ≥ x ⊔ 1
hx₀ : f x₀ = 0
x₀_pos : 0 < x₀
⊢ ∀ (z : ℝ), x ≤ z → z ∈ Set.Icc (2 ^ (-1) * x₀) x₀ → f z = 0

Tactic:
specialize hx x₀ (le_of_max_le_left hx₀_ge)

Result:
case zero
f : ℝ → ℝ
hf✝ : GrowsPolynomially f
hf' : ∀ (a : ℝ), ∃ b ≥ a, f b = 0
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hf : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (1 / 2 * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
x : ℝ
hx_pos : 0 < x
x₀ : ℝ
hx₀_ge : x₀ ≥ x ⊔ 1
hx₀ : f x₀ = 0
x₀_pos : 0 < x₀
hx : ∀ u ∈ Set.Icc (1 / 2 * x₀) x₀, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x₀) (c₂ * f x₀)
⊢ ∀ (z : ℝ), x ≤ z → z ∈ Set.Icc (2 ^ (-1) * x₀) x₀ → f z = 0

Proof state:
case zero
f : ℝ → ℝ
hf✝ : GrowsPolynomially f
hf' : ∀ (a : ℝ), ∃ b ≥ a, f b = 0
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hf : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (1 / 2 * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
x : ℝ
hx_pos : 0 < x
x₀ : ℝ
hx₀_ge : x₀ ≥ x ⊔ 1
hx₀ : f x₀ = 0
x₀_pos : 0 < x₀
hx : ∀ u ∈ Set.Icc (1 / 2 * x₀) x₀, f u = 0
⊢ ∀ (z : ℝ), x ≤ z → z ∈ Set.Icc (2 ^ (-1) * x₀) x₀ → f z = 0

Tactic:
refine fun z _ hz => hx _ ?_

Result:
case zero
f : ℝ → ℝ
hf✝ : GrowsPolynomially f
hf' : ∀ (a : ℝ), ∃ b ≥ a, f b = 0
c₁ : ℝ
hc₁_mem : c₁ > 0
c₂ : ℝ
hc₂_mem : c₂ > 0
hf : ∀ᶠ (x : ℝ) in atTop, ∀ u ∈ Set.Icc (1 / 2 * x) x, f u ∈ Set.Icc (c₁ * f x) (c₂ * f x)
x : ℝ
hx_pos : 0 < x
x₀ : ℝ
hx₀_ge : x₀ ≥ x ⊔ 1
hx₀ : f x₀ = 0
x₀_pos : 0 < x₀
hx : ∀ u ∈ Set.Icc (1 / 2 * x₀) x₀, f u = 0
z : ℝ
x✝ : x ≤ z
hz : z ∈ Set.Icc (2 ^ (-1) * x₀) x₀
⊢ z ∈ Set.Icc (1 / 2 * x₀) x₀