-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
theorem hasFPowerSeriesWithinAt_insert {y : E} :
    HasFPowerSeriesWithinAt f p (insert y s) x ↔ HasFPowerSeriesWithinAt f p s x

Proof state:
case inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x y : E
hy : x ≠ y
h : HasFPowerSeriesWithinAt f p s x
⊢ s ∈ 𝓝[insert y s] x

Tactic:
rw [nhdsWithin_insert_of_ne hy]

Result:
case inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x y : E
hy : x ≠ y
h : HasFPowerSeriesWithinAt f p s x
⊢ s ∈ 𝓝[s] x

Proof state:
case inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
⊢ HasFPowerSeriesWithinAt f p (insert x s) x ↔ HasFPowerSeriesWithinAt f p s x

Tactic:
simp [HasFPowerSeriesWithinAt]

Result:
no goals

Proof state:
case inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x y : E
hy : x ≠ y
⊢ HasFPowerSeriesWithinAt f p (insert y s) x ↔ HasFPowerSeriesWithinAt f p s x

Tactic:
refine ⟨fun h ↦ h.mono (subset_insert _ _), fun h ↦ ?_⟩

Result:
case inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x y : E
hy : x ≠ y
h : HasFPowerSeriesWithinAt f p s x
⊢ HasFPowerSeriesWithinAt f p (insert y s) x

Proof state:
case inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x y : E
hy : x ≠ y
h : HasFPowerSeriesWithinAt f p s x
⊢ s ∈ 𝓝[s] x

Tactic:
exact self_mem_nhdsWithin

Result:
no goals

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x y : E
⊢ HasFPowerSeriesWithinAt f p (insert y s) x ↔ HasFPowerSeriesWithinAt f p s x

Tactic:
rcases eq_or_ne x y with rfl | hy

Result:
case inl
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
⊢ HasFPowerSeriesWithinAt f p (insert x s) x ↔ HasFPowerSeriesWithinAt f p s x

case inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x y : E
hy : x ≠ y
⊢ HasFPowerSeriesWithinAt f p (insert y s) x ↔ HasFPowerSeriesWithinAt f p s x

Proof state:
case inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x y : E
hy : x ≠ y
h : HasFPowerSeriesWithinAt f p s x
⊢ HasFPowerSeriesWithinAt f p (insert y s) x

Tactic:
apply HasFPowerSeriesWithinAt.mono_of_mem_nhdsWithin h

Result:
case inr
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x y : E
hy : x ≠ y
h : HasFPowerSeriesWithinAt f p s x
⊢ s ∈ 𝓝[insert y s] x