-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/IntegralClosure.lean
theorem IsIntegralClosure.isNoetherian [IsIntegrallyClosed A] [IsNoetherianRing A] :
    IsNoetherian A C

Proof state:
case intro.intro
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹⁷ : CommRing A
inst✝¹⁶ : Field K
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : IsFractionRing A K
L : Type u_3
inst✝¹³ : Field L
C : Type u_4
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : Algebra C L
inst✝⁷ : IsIntegralClosure C A L
inst✝⁶ : Algebra A C
inst✝⁵ : IsScalarTower A C L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : IsDomain A
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsNoetherianRing A
this✝ : DecidableEq L
s : Finset L
b : Basis { x // x ∈ s } K L
hb_int : ∀ (x : { x // x ∈ s }), IsIntegral A (b x)
b' : Basis { x // x ∈ s } K L := (traceForm K L).dualBasis ⋯ b
this : IsNoetherian A ↥(Submodule.span A (Set.range ⇑b')) := isNoetherian_span_of_finite A (Set.finite_range ⇑b')
f : C →ₗ[A] ↥(Submodule.span A (Set.range ⇑b')) := Submodule.inclusion ⋯ ∘ₗ (↑A (Algebra.linearMap C L)).rangeRestrict
⊢ LinearMap.ker f = ⊥

Tactic:
rw [LinearMap.ker_comp, Submodule.ker_inclusion, Submodule.comap_bot, LinearMap.ker_codRestrict]

Result:
case intro.intro
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹⁷ : CommRing A
inst✝¹⁶ : Field K
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : IsFractionRing A K
L : Type u_3
inst✝¹³ : Field L
C : Type u_4
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : Algebra C L
inst✝⁷ : IsIntegralClosure C A L
inst✝⁶ : Algebra A C
inst✝⁵ : IsScalarTower A C L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : IsDomain A
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsNoetherianRing A
this✝ : DecidableEq L
s : Finset L
b : Basis { x // x ∈ s } K L
hb_int : ∀ (x : { x // x ∈ s }), IsIntegral A (b x)
b' : Basis { x // x ∈ s } K L := (traceForm K L).dualBasis ⋯ b
this : IsNoetherian A ↥(Submodule.span A (Set.range ⇑b')) := isNoetherian_span_of_finite A (Set.finite_range ⇑b')
f : C →ₗ[A] ↥(Submodule.span A (Set.range ⇑b')) := Submodule.inclusion ⋯ ∘ₗ (↑A (Algebra.linearMap C L)).rangeRestrict
⊢ LinearMap.ker (↑A (Algebra.linearMap C L)) = ⊥

Proof state:
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹⁷ : CommRing A
inst✝¹⁶ : Field K
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : IsFractionRing A K
L : Type u_3
inst✝¹³ : Field L
C : Type u_4
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : Algebra C L
inst✝⁷ : IsIntegralClosure C A L
inst✝⁶ : Algebra A C
inst✝⁵ : IsScalarTower A C L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : IsDomain A
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsNoetherianRing A
this : DecidableEq L
⊢ IsNoetherian A C

Tactic:
obtain ⟨s, b, hb_int⟩ := FiniteDimensional.exists_is_basis_integral A K L

Result:
case intro.intro
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹⁷ : CommRing A
inst✝¹⁶ : Field K
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : IsFractionRing A K
L : Type u_3
inst✝¹³ : Field L
C : Type u_4
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : Algebra C L
inst✝⁷ : IsIntegralClosure C A L
inst✝⁶ : Algebra A C
inst✝⁵ : IsScalarTower A C L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : IsDomain A
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsNoetherianRing A
this : DecidableEq L
s : Finset L
b : Basis { x // x ∈ s } K L
hb_int : ∀ (x : { x // x ∈ s }), IsIntegral A (b x)
⊢ IsNoetherian A C

Proof state:
case intro.intro
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹⁷ : CommRing A
inst✝¹⁶ : Field K
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : IsFractionRing A K
L : Type u_3
inst✝¹³ : Field L
C : Type u_4
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : Algebra C L
inst✝⁷ : IsIntegralClosure C A L
inst✝⁶ : Algebra A C
inst✝⁵ : IsScalarTower A C L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : IsDomain A
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsNoetherianRing A
this : DecidableEq L
s : Finset L
b : Basis { x // x ∈ s } K L
hb_int : ∀ (x : { x // x ∈ s }), IsIntegral A (b x)
b' : Basis { x // x ∈ s } K L := (traceForm K L).dualBasis ⋯ b
⊢ IsNoetherian A C

Tactic:
letI := isNoetherian_span_of_finite A (Set.finite_range b')

Result:
case intro.intro
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹⁷ : CommRing A
inst✝¹⁶ : Field K
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : IsFractionRing A K
L : Type u_3
inst✝¹³ : Field L
C : Type u_4
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : Algebra C L
inst✝⁷ : IsIntegralClosure C A L
inst✝⁶ : Algebra A C
inst✝⁵ : IsScalarTower A C L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : IsDomain A
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsNoetherianRing A
this✝ : DecidableEq L
s : Finset L
b : Basis { x // x ∈ s } K L
hb_int : ∀ (x : { x // x ∈ s }), IsIntegral A (b x)
b' : Basis { x // x ∈ s } K L := (traceForm K L).dualBasis ⋯ b
this : IsNoetherian A ↥(Submodule.span A (Set.range ⇑b')) := isNoetherian_span_of_finite A (Set.finite_range ⇑b')
⊢ IsNoetherian A C

Proof state:
case intro.intro
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹⁷ : CommRing A
inst✝¹⁶ : Field K
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : IsFractionRing A K
L : Type u_3
inst✝¹³ : Field L
C : Type u_4
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : Algebra C L
inst✝⁷ : IsIntegralClosure C A L
inst✝⁶ : Algebra A C
inst✝⁵ : IsScalarTower A C L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : IsDomain A
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsNoetherianRing A
this : DecidableEq L
s : Finset L
b : Basis { x // x ∈ s } K L
hb_int : ∀ (x : { x // x ∈ s }), IsIntegral A (b x)
⊢ IsNoetherian A C

Tactic:
let b' := (traceForm K L).dualBasis (traceForm_nondegenerate K L) b

Result:
case intro.intro
A : Type u_1
K : Type u_2
inst✝¹⁷ : CommRing A
inst✝¹⁶ : Field K
inst✝¹⁵ : Algebra A K
inst✝¹⁴ : IsFractionRing A K
L : Type u_3
inst✝¹³ : Field L
C : Type u_4
inst✝¹² : CommRing C
inst✝¹¹ : Algebra K L
inst✝¹⁰ : Algebra A L
inst✝⁹ : IsScalarTower A K L
inst✝⁸ : Algebra C L
inst✝⁷ : IsIntegralClosure C A L
inst✝⁶ : Algebra A C
inst✝⁵ : IsScalarTower A C L
inst✝⁴ : FiniteDimensional K L
inst✝³ : IsDomain A
inst✝² : Algebra.IsSeparable K L
inst✝¹ : IsIntegrallyClosed A
inst✝ : IsNoetherianRing A
this : DecidableEq L
s : Finset L
b : Basis { x // x ∈ s } K L
hb_int : ∀ (x : { x // x ∈ s }), IsIntegral A (b x)
b' : Basis { x // x ∈ s } K L := (traceForm K L).dualBasis ⋯ b
⊢ IsNoetherian A C