-- Mathlib/Geometry/Euclidean/Circumcenter.lean
theorem _root_.AffineIndependent.existsUnique_dist_eq {ι : Type*} [hne : Nonempty ι] [Finite ι]
    {p : ι → P} (ha : AffineIndependent ℝ p) :
    ∃! cs : Sphere P, cs.center ∈ affineSpan ℝ (Set.range p) ∧ Set.range p ⊆ (cs : Set P)

Proof state:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ι : Type u_3
hne : Nonempty ι
inst✝ : Finite ι
p : ι → P
ha : AffineIndependent ℝ p
val✝ : Fintype ι
m : ℕ
hm :
  ∀ {ι : Type u_3} [hne : Nonempty ι] [inst : Finite ι] {p : ι → P},
    AffineIndependent ℝ p →
      ∀ (val : Fintype ι),
        Fintype.card ι = m + 1 →
          ∃! cs, cs.center ∈ affineSpan ℝ (Set.range p) ∧ Set.range p ⊆ Metric.sphere cs.center cs.radius
hn : Fintype.card ι = m + 1 + 1
i : ι
ι2 : Type (max 0 u_3) := { x // x ≠ i }
⊢ (Finset.univ \ Finset.filter (fun x => x = i) Finset.univ).card = m + 1

Tactic:
rw [Finset.filter_eq' _ i, if_pos (Finset.mem_univ _),
  Finset.card_sdiff (Finset.subset_univ _), Finset.card_singleton, Finset.card_univ, hn]

Result:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ι : Type u_3
hne : Nonempty ι
inst✝ : Finite ι
p : ι → P
ha : AffineIndependent ℝ p
val✝ : Fintype ι
m : ℕ
hm :
  ∀ {ι : Type u_3} [hne : Nonempty ι] [inst : Finite ι] {p : ι → P},
    AffineIndependent ℝ p →
      ∀ (val : Fintype ι),
        Fintype.card ι = m + 1 →
          ∃! cs, cs.center ∈ affineSpan ℝ (Set.range p) ∧ Set.range p ⊆ Metric.sphere cs.center cs.radius
hn : Fintype.card ι = m + 1 + 1
i : ι
ι2 : Type (max 0 u_3) := { x // x ≠ i }
⊢ m + 1 + 1 - 1 = m + 1

Proof state:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ι : Type u_3
hne : Nonempty ι
inst✝ : Finite ι
p : ι → P
ha : AffineIndependent ℝ p
val✝ : Fintype ι
m : ℕ
hn : Fintype.card ι = m + 1 + 1
i : ι
ι2 : Type (max 0 u_3) := { x // x ≠ i }
hc : Fintype.card ι2 = m + 1
this : Nonempty ι2
ha2 : AffineIndependent ℝ fun i2 => p ↑i2
hm :
  ∃! cs,
    cs.center ∈ affineSpan ℝ (Set.range fun i2 => p ↑i2) ∧
      (Set.range fun i2 => p ↑i2) ⊆ Metric.sphere cs.center cs.radius
⊢ Set.range p = insert (p i) (Set.range fun i2 => p ↑i2)

Tactic:
rw [← Set.image_eq_range, ← Set.image_univ, ← Set.image_insert_eq]

Result:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ι : Type u_3
hne : Nonempty ι
inst✝ : Finite ι
p : ι → P
ha : AffineIndependent ℝ p
val✝ : Fintype ι
m : ℕ
hn : Fintype.card ι = m + 1 + 1
i : ι
ι2 : Type (max 0 u_3) := { x // x ≠ i }
hc : Fintype.card ι2 = m + 1
this : Nonempty ι2
ha2 : AffineIndependent ℝ fun i2 => p ↑i2
hm :
  ∃! cs,
    cs.center ∈ affineSpan ℝ (Set.range fun i2 => p ↑i2) ∧
      (Set.range fun i2 => p ↑i2) ⊆ Metric.sphere cs.center cs.radius
⊢ p '' Set.univ = p '' insert i {x | x ≠ i}

Proof state:
case h
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ι : Type u_3
hne : Nonempty ι
inst✝ : Finite ι
p : ι → P
ha : AffineIndependent ℝ p
val✝ : Fintype ι
m : ℕ
hn : Fintype.card ι = m + 1 + 1
i : ι
ι2 : Type (max 0 u_3) := { x // x ≠ i }
hc : Fintype.card ι2 = m + 1
this : Nonempty ι2
ha2 : AffineIndependent ℝ fun i2 => p ↑i2
hm :
  ∃! cs,
    cs.center ∈ affineSpan ℝ (Set.range fun i2 => p ↑i2) ∧
      (Set.range fun i2 => p ↑i2) ⊆ Metric.sphere cs.center cs.radius
j : P
⊢ j ∈ p '' Set.univ ↔ j ∈ p '' insert i {x | x ≠ i}

Tactic:
simp [Classical.em]

Result:
no goals

Proof state:
case h.right.mk
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ι : Type u_3
hne : Nonempty ι
inst✝ : Finite ι
p : ι → P
ha : AffineIndependent ℝ p
val✝ : Fintype ι
hm :
  ∀ {ι : Type u_3} [hne : Nonempty ι] [inst : Finite ι] {p : ι → P},
    AffineIndependent ℝ p →
      ∀ (val : Fintype ι),
        Fintype.card ι = 0 →
          ∃! cs, cs.center ∈ affineSpan ℝ (Set.range p) ∧ Set.range p ⊆ Metric.sphere cs.center cs.radius
i : ι
hi : ∀ (y : ι), y = i
this : Unique ι
cc : P
cr : ℝ
⊢ cc = p default ∧ {p default} ⊆ Metric.sphere cc cr → { center := cc, radius := cr } = { center := p i, radius := 0 }

Tactic:
rintro ⟨rfl, hdist⟩

Result:
case h.right.mk.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ι : Type u_3
hne : Nonempty ι
inst✝ : Finite ι
p : ι → P
ha : AffineIndependent ℝ p
val✝ : Fintype ι
hm :
  ∀ {ι : Type u_3} [hne : Nonempty ι] [inst : Finite ι] {p : ι → P},
    AffineIndependent ℝ p →
      ∀ (val : Fintype ι),
        Fintype.card ι = 0 →
          ∃! cs, cs.center ∈ affineSpan ℝ (Set.range p) ∧ Set.range p ⊆ Metric.sphere cs.center cs.radius
i : ι
hi : ∀ (y : ι), y = i
this : Unique ι
cr : ℝ
hdist : {p default} ⊆ Metric.sphere (p default) cr
⊢ { center := p default, radius := cr } = { center := p i, radius := 0 }

Proof state:
case intro.succ.zero.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ι : Type u_3
hne : Nonempty ι
inst✝ : Finite ι
p : ι → P
ha : AffineIndependent ℝ p
val✝ : Fintype ι
hm :
  ∀ {ι : Type u_3} [hne : Nonempty ι] [inst : Finite ι] {p : ι → P},
    AffineIndependent ℝ p →
      ∀ (val : Fintype ι),
        Fintype.card ι = 0 →
          ∃! cs, cs.center ∈ affineSpan ℝ (Set.range p) ∧ Set.range p ⊆ Metric.sphere cs.center cs.radius
i : ι
hi : ∀ (y : ι), y = i
⊢ ∃! cs, cs.center ∈ affineSpan ℝ (Set.range p) ∧ Set.range p ⊆ Metric.sphere cs.center cs.radius

Tactic:
haveI : Unique ι := ⟨⟨i⟩, hi⟩

Result:
case intro.succ.zero.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ι : Type u_3
hne : Nonempty ι
inst✝ : Finite ι
p : ι → P
ha : AffineIndependent ℝ p
val✝ : Fintype ι
hm :
  ∀ {ι : Type u_3} [hne : Nonempty ι] [inst : Finite ι] {p : ι → P},
    AffineIndependent ℝ p →
      ∀ (val : Fintype ι),
        Fintype.card ι = 0 →
          ∃! cs, cs.center ∈ affineSpan ℝ (Set.range p) ∧ Set.range p ⊆ Metric.sphere cs.center cs.radius
i : ι
hi : ∀ (y : ι), y = i
this : Unique ι
⊢ ∃! cs, cs.center ∈ affineSpan ℝ (Set.range p) ∧ Set.range p ⊆ Metric.sphere cs.center cs.radius

Proof state:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ι : Type u_3
hne : Nonempty ι
inst✝ : Finite ι
p : ι → P
ha : AffineIndependent ℝ p
val✝ : Fintype ι
m : ℕ
hm :
  ∀ {ι : Type u_3} [hne : Nonempty ι] [inst : Finite ι] {p : ι → P},
    AffineIndependent ℝ p →
      ∀ (val : Fintype ι),
        Fintype.card ι = m + 1 →
          ∃! cs, cs.center ∈ affineSpan ℝ (Set.range p) ∧ Set.range p ⊆ Metric.sphere cs.center cs.radius
hn : Fintype.card ι = m + 1 + 1
i : ι
ι2 : Type (max 0 u_3) := { x // x ≠ i }
⊢ m + 1 + 1 - 1 = m + 1

Tactic:
simp

Result:
no goals

Proof state:
case h.right.mk.intro
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
ι : Type u_3
hne : Nonempty ι
inst✝ : Finite ι
p : ι → P
ha : AffineIndependent ℝ p
val✝ : Fintype ι
hm :
  ∀ {ι : Type u_3} [hne : Nonempty ι] [inst : Finite ι] {p : ι → P},
    AffineIndependent ℝ p →
      ∀ (val : Fintype ι),
        Fintype.card ι = 0 →
          ∃! cs, cs.center ∈ affineSpan ℝ (Set.range p) ∧ Set.range p ⊆ Metric.sphere cs.center cs.radius
i : ι
hi : ∀ (y : ι), y = i
this : Unique ι
cr : ℝ
hdist : 0 = cr
⊢ { center := p default, radius := cr } = { center := p i, radius := 0 }

Tactic:
rw [hi default, hdist]

Result:
no goals