-- Mathlib/Algebra/Module/LinearMap/Polynomial.lean
lemma polyCharpolyAux_baseChange (A : Type*) [CommRing A] [Algebra R A] :
    polyCharpolyAux (tensorProduct _ _ _ _ ∘ₗ φ.baseChange A) (basis A b) (basis A bₘ) =
      (polyCharpolyAux φ b bₘ).map (MvPolynomial.map (algebraMap R A))

Proof state:
case e_f.hX
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
ιM : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup L
inst✝⁸ : Module R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ιM
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
A : Type u_8
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
ij : ιM × ιM
⊢ (bind₁ (toMvPolynomial (basis A b) (basis A bₘ.end) (baseChange A φ)))
      (toMvPolynomial (basis A bₘ.end) (basis A bₘ).end (tensorProduct R A M M) ij) =
    toMvPolynomial (basis A b) (basis A bₘ.end) (baseChange A φ) ij

Tactic:
suffices toMvPolynomial (M₂ := (Module.End A (TensorProduct R A M)))
    (basis A bₘ.end) (basis A bₘ).end (tensorProduct R A M M) ij = X ij by
  rw [this, bind₁_X_right]

Result:
case e_f.hX
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
ιM : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup L
inst✝⁸ : Module R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ιM
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
A : Type u_8
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
ij : ιM × ιM
⊢ toMvPolynomial (basis A bₘ.end) (basis A bₘ).end (tensorProduct R A M M) ij = X ij

Proof state:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
ιM : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup L
inst✝⁸ : Module R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ιM
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
A : Type u_8
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
ij : ιM × ιM
this : toMvPolynomial (basis A bₘ.end) (basis A bₘ).end (tensorProduct R A M M) ij = X ij
⊢ (bind₁ (toMvPolynomial (basis A b) (basis A bₘ.end) (baseChange A φ)))
      (toMvPolynomial (basis A bₘ.end) (basis A bₘ).end (tensorProduct R A M M) ij) =
    toMvPolynomial (basis A b) (basis A bₘ.end) (baseChange A φ) ij

Tactic:
rw [this, bind₁_X_right]

Result:
no goals

Proof state:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
ιM : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup L
inst✝⁸ : Module R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ιM
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
A : Type u_8
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
⊢ (tensorProduct R A M M ∘ₗ baseChange A φ).polyCharpolyAux (basis A b) (basis A bₘ) =
    Polynomial.map (MvPolynomial.map (algebraMap R A)) (φ.polyCharpolyAux b bₘ)

Tactic:
simp only [polyCharpolyAux]

Result:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
ιM : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup L
inst✝⁸ : Module R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ιM
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
A : Type u_8
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
⊢ Polynomial.map (↑(bind₁ (toMvPolynomial (basis A b) (basis A bₘ).end (tensorProduct R A M M ∘ₗ baseChange A φ))))
      (charpoly.univ A ιM) =
    Polynomial.map (MvPolynomial.map (algebraMap R A))
      (Polynomial.map (↑(bind₁ (toMvPolynomial b bₘ.end φ))) (charpoly.univ R ιM))

Proof state:
case h₁
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
ιM : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup L
inst✝⁸ : Module R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ιM
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
A : Type u_8
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
ij : ιM × ιM
this :
  ∀ (kl : ιM × ιM),
    (toMatrix (basis A bₘ.end) (basis A bₘ).end) (tensorProduct R A M M) ij kl = if kl = ij then 1 else 0
⊢ ij ∉ Finset.univ →
    (monomial (Finsupp.single ij 1)) ((toMatrix (basis A bₘ.end) (basis A bₘ).end) (tensorProduct R A M M) ij ij) = 0

Tactic:
intro h

Result:
case h₁
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
ιM : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup L
inst✝⁸ : Module R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ιM
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
A : Type u_8
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
ij : ιM × ιM
this :
  ∀ (kl : ιM × ιM),
    (toMatrix (basis A bₘ.end) (basis A bₘ).end) (tensorProduct R A M M) ij kl = if kl = ij then 1 else 0
h : ij ∉ Finset.univ
⊢ (monomial (Finsupp.single ij 1)) ((toMatrix (basis A bₘ.end) (basis A bₘ).end) (tensorProduct R A M M) ij ij) = 0

Proof state:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
ιM : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup L
inst✝⁸ : Module R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ιM
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
A : Type u_8
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
⊢ Polynomial.map (↑(bind₁ (toMvPolynomial (basis A b) (basis A bₘ).end (tensorProduct R A M M ∘ₗ baseChange A φ))))
      (Polynomial.map (MvPolynomial.map (algebraMap R A)) (charpoly.univ R ιM)) =
    Polynomial.map (MvPolynomial.map (algebraMap R A))
      (Polynomial.map (↑(bind₁ (toMvPolynomial b bₘ.end φ))) (charpoly.univ R ιM))

Tactic:
simp only [Polynomial.map_map]

Result:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
ιM : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup L
inst✝⁸ : Module R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ιM
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
A : Type u_8
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
⊢ Polynomial.map
      ((↑(bind₁ (toMvPolynomial (basis A b) (basis A bₘ).end (tensorProduct R A M M ∘ₗ baseChange A φ)))).comp
        (MvPolynomial.map (algebraMap R A)))
      (charpoly.univ R ιM) =
    Polynomial.map ((MvPolynomial.map (algebraMap R A)).comp ↑(bind₁ (toMvPolynomial b bₘ.end φ))) (charpoly.univ R ιM)

Proof state:
case e_f.hX
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
ιM : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup L
inst✝⁸ : Module R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ιM
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
A : Type u_8
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
ij : ιM × ιM
⊢ ∀ (kl : ιM × ιM),
    (toMatrix (basis A bₘ.end) (basis A bₘ).end) (tensorProduct R A M M) ij kl = if kl = ij then 1 else 0

Tactic:
intro kl

Result:
case e_f.hX
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
ι : Type u_5
ιM : Type u_7
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : AddCommGroup L
inst✝⁸ : Module R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype ιM
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
A : Type u_8
inst✝¹ : CommRing A
inst✝ : Algebra R A
ij kl : ιM × ιM
⊢ (toMatrix (basis A bₘ.end) (basis A bₘ).end) (tensorProduct R A M M) ij kl = if kl = ij then 1 else 0