-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Independent.lean
theorem affineIndependent_equiv {ι' : Type*} (e : ι ≃ ι') {p : ι' → P} :
    AffineIndependent k (p ∘ e) ↔ AffineIndependent k p

Proof state:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
e : ι ≃ ι'
p : ι' → P
⊢ AffineIndependent k (p ∘ ⇑e) ↔ AffineIndependent k p

Tactic:
refine ⟨?_, AffineIndependent.comp_embedding e.toEmbedding⟩

Result:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
e : ι ≃ ι'
p : ι' → P
⊢ AffineIndependent k (p ∘ ⇑e) → AffineIndependent k p

Proof state:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
e : ι ≃ ι'
p : ι' → P
⊢ AffineIndependent k (p ∘ ⇑e) → AffineIndependent k p

Tactic:
intro h

Result:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
e : ι ≃ ι'
p : ι' → P
h : AffineIndependent k (p ∘ ⇑e)
⊢ AffineIndependent k p

Proof state:
case h
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
e : ι ≃ ι'
p : ι' → P
h : AffineIndependent k (p ∘ ⇑e)
x✝ : ι'
⊢ p x✝ = (p ∘ ⇑e ∘ ⇑e.symm.toEmbedding) x✝

Tactic:
simp

Result:
no goals

Proof state:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
e : ι ≃ ι'
p : ι' → P
h : AffineIndependent k (p ∘ ⇑e)
⊢ p = p ∘ ⇑e ∘ ⇑e.symm.toEmbedding

Tactic:
ext

Result:
case h
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
e : ι ≃ ι'
p : ι' → P
h : AffineIndependent k (p ∘ ⇑e)
x✝ : ι'
⊢ p x✝ = (p ∘ ⇑e ∘ ⇑e.symm.toEmbedding) x✝

Proof state:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
e : ι ≃ ι'
p : ι' → P
h : AffineIndependent k (p ∘ ⇑e)
this : p = p ∘ ⇑e ∘ ⇑e.symm.toEmbedding
⊢ AffineIndependent k (p ∘ ⇑e ∘ ⇑e.symm.toEmbedding)

Tactic:
exact h.comp_embedding e.symm.toEmbedding

Result:
no goals

Proof state:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
e : ι ≃ ι'
p : ι' → P
h : AffineIndependent k (p ∘ ⇑e)
⊢ AffineIndependent k p

Tactic:
have : p = p ∘ e ∘ e.symm.toEmbedding := by
  ext
  simp

Result:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
e : ι ≃ ι'
p : ι' → P
h : AffineIndependent k (p ∘ ⇑e)
this : p = p ∘ ⇑e ∘ ⇑e.symm.toEmbedding
⊢ AffineIndependent k p

Proof state:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
e : ι ≃ ι'
p : ι' → P
h : AffineIndependent k (p ∘ ⇑e)
this : p = p ∘ ⇑e ∘ ⇑e.symm.toEmbedding
⊢ AffineIndependent k p

Tactic:
rw [this]

Result:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
e : ι ≃ ι'
p : ι' → P
h : AffineIndependent k (p ∘ ⇑e)
this : p = p ∘ ⇑e ∘ ⇑e.symm.toEmbedding
⊢ AffineIndependent k (p ∘ ⇑e ∘ ⇑e.symm.toEmbedding)