-- Mathlib/AlgebraicGeometry/Morphisms/RingHomProperties.lean
private lemma respects_isOpenImmersion_aux
    (hQ : RingHom.StableUnderCompositionWithLocalizationAwaySource Q)
    {X Y : Scheme.{u}} [IsAffine Y] {U : Y.Opens}
    (f : X ⟶ U.toScheme) (hf : P f) : P (f ≫ U.ι)

Proof state:
case inr.intro.intro.a
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝¹ : HasRingHomProperty P Q
hQ : RingHom.StableUnderCompositionWithLocalizationAwaySource fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q
X Y : Scheme
inst✝ : IsAffine Y
U : Y.Opens
f : X ⟶ ↑U
hf : P f
this : ∀ {X Y : Scheme} [inst : IsAffine Y] {U : Y.Opens} (f : X ⟶ ↑U), P f → (∃ a, U = Y.basicOpen a) → P (f ≫ U.ι)
hYa : ¬∃ a, U = Y.basicOpen a
Us : Set Y.Opens
hUs : Us ⊆ Set.range Y.basicOpen
heq : U = sSup Us
V : ↑Us → X.Opens := fun s => f ⁻¹ᵁ U.ι ⁻¹ᵁ ↑s
⊢ ⨆ i, U ⊓ ↑i = U.ι ''ᵁ ⊤

Tactic:
conv_rhs => rw [Scheme.Hom.image_top_eq_opensRange, Scheme.Opens.opensRange_ι, heq]

Result:
case inr.intro.intro.a
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝¹ : HasRingHomProperty P Q
hQ : RingHom.StableUnderCompositionWithLocalizationAwaySource fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q
X Y : Scheme
inst✝ : IsAffine Y
U : Y.Opens
f : X ⟶ ↑U
hf : P f
this : ∀ {X Y : Scheme} [inst : IsAffine Y] {U : Y.Opens} (f : X ⟶ ↑U), P f → (∃ a, U = Y.basicOpen a) → P (f ≫ U.ι)
hYa : ¬∃ a, U = Y.basicOpen a
Us : Set Y.Opens
hUs : Us ⊆ Set.range Y.basicOpen
heq : U = sSup Us
V : ↑Us → X.Opens := fun s => f ⁻¹ᵁ U.ι ⁻¹ᵁ ↑s
⊢ ⨆ i, U ⊓ ↑i = sSup Us

Proof state:
case inr.intro.intro.a.h
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝¹ : HasRingHomProperty P Q
hQ : RingHom.StableUnderCompositionWithLocalizationAwaySource fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q
X Y : Scheme
inst✝ : IsAffine Y
U : Y.Opens
f : X ⟶ ↑U
hf : P f
this✝ : ∀ {X Y : Scheme} [inst : IsAffine Y] {U : Y.Opens} (f : X ⟶ ↑U), P f → (∃ a, U = Y.basicOpen a) → P (f ≫ U.ι)
hYa : ¬∃ a, U = Y.basicOpen a
Us : Set Y.Opens
hUs : Us ⊆ Set.range Y.basicOpen
heq : U = sSup Us
V : ↑Us → X.Opens := fun s => f ⁻¹ᵁ U.ι ⁻¹ᵁ ↑s
this : ∀ (i : ↑Us), U ⊓ ↑i = ↑i
⊢ ↑(⨆ i, U ⊓ ↑i) = ↑(sSup Us)

Tactic:
simp [this]

Result:
no goals

Proof state:
case inr
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝¹ : HasRingHomProperty P Q
hQ : RingHom.StableUnderCompositionWithLocalizationAwaySource fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q
X Y : Scheme
inst✝ : IsAffine Y
U : Y.Opens
f : X ⟶ ↑U
hf : P f
this : ∀ {X Y : Scheme} [inst : IsAffine Y] {U : Y.Opens} (f : X ⟶ ↑U), P f → (∃ a, U = Y.basicOpen a) → P (f ≫ U.ι)
hYa : ¬∃ a, U = Y.basicOpen a
⊢ P (f ≫ U.ι)

Tactic:
obtain ⟨(Us : Set Y.Opens), hUs, heq⟩ := Opens.isBasis_iff_cover.mp (isBasis_basicOpen Y) U

Result:
case inr.intro.intro
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝¹ : HasRingHomProperty P Q
hQ : RingHom.StableUnderCompositionWithLocalizationAwaySource fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q
X Y : Scheme
inst✝ : IsAffine Y
U : Y.Opens
f : X ⟶ ↑U
hf : P f
this : ∀ {X Y : Scheme} [inst : IsAffine Y] {U : Y.Opens} (f : X ⟶ ↑U), P f → (∃ a, U = Y.basicOpen a) → P (f ≫ U.ι)
hYa : ¬∃ a, U = Y.basicOpen a
Us : Set Y.Opens
hUs : Us ⊆ Set.range Y.basicOpen
heq : U = sSup Us
⊢ P (f ≫ U.ι)

Proof state:
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝¹ : HasRingHomProperty P Q
hQ : RingHom.StableUnderCompositionWithLocalizationAwaySource fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q
X Y : Scheme
inst✝ : IsAffine Y
a : ↑Γ(Y, ⊤)
f : X ⟶ ↑(Y.basicOpen a)
hf : P f
hX : IsAffine X
⊢ P (f ≫ (Y.basicOpen a).ι)

Tactic:
rw [HasRingHomProperty.iff_of_isAffine (P := P)] at hf ⊢

Result:
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝¹ : HasRingHomProperty P Q
hQ : RingHom.StableUnderCompositionWithLocalizationAwaySource fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q
X Y : Scheme
inst✝ : IsAffine Y
a : ↑Γ(Y, ⊤)
f : X ⟶ ↑(Y.basicOpen a)
hf : Q (CommRingCat.Hom.hom (Scheme.Hom.appTop f))
hX : IsAffine X
⊢ Q (CommRingCat.Hom.hom (Scheme.Hom.appTop (f ≫ (Y.basicOpen a).ι)))

Proof state:
case intro.inr
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝¹ : HasRingHomProperty P Q
hQ : RingHom.StableUnderCompositionWithLocalizationAwaySource fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q
X Y : Scheme
inst✝ : IsAffine Y
a : ↑Γ(Y, ⊤)
f : X ⟶ ↑(Y.basicOpen a)
hf : P f
this :
  ∀ {X Y : Scheme} [inst : IsAffine Y] (a : ↑Γ(Y, ⊤)) (f : X ⟶ ↑(Y.basicOpen a)),
    P f → IsAffine X → P (f ≫ (Y.basicOpen a).ι)
hX : ¬IsAffine X
V : ↑X.affineOpens
⊢ P ((↑V).ι ≫ f ≫ (Y.basicOpen a).ι)

Tactic:
rw [← Category.assoc]

Result:
case intro.inr
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝¹ : HasRingHomProperty P Q
hQ : RingHom.StableUnderCompositionWithLocalizationAwaySource fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q
X Y : Scheme
inst✝ : IsAffine Y
a : ↑Γ(Y, ⊤)
f : X ⟶ ↑(Y.basicOpen a)
hf : P f
this :
  ∀ {X Y : Scheme} [inst : IsAffine Y] (a : ↑Γ(Y, ⊤)) (f : X ⟶ ↑(Y.basicOpen a)),
    P f → IsAffine X → P (f ≫ (Y.basicOpen a).ι)
hX : ¬IsAffine X
V : ↑X.affineOpens
⊢ P (((↑V).ι ≫ f) ≫ (Y.basicOpen a).ι)

Proof state:
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝¹ : HasRingHomProperty P Q
hQ : RingHom.StableUnderCompositionWithLocalizationAwaySource fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q
X Y : Scheme
inst✝ : IsAffine Y
a : ↑Γ(Y, ⊤)
f : X ⟶ ↑(Y.basicOpen a)
hf : Q (CommRingCat.Hom.hom (Scheme.Hom.appTop f))
hX : IsAffine X
⊢ Q (CommRingCat.Hom.hom (Scheme.Hom.appTop (f ≫ (Y.basicOpen a).ι)))

Tactic:
exact hQ _ a _ hf

Result:
no goals

Proof state:
P : MorphismProperty Scheme
Q : {R S : Type u} → [inst : CommRing R] → [inst_1 : CommRing S] → (R →+* S) → Prop
inst✝¹ : HasRingHomProperty P Q
hQ : RingHom.StableUnderCompositionWithLocalizationAwaySource fun {R S} [CommRing R] [CommRing S] => Q
X Y : Scheme
inst✝ : IsAffine Y
U : Y.Opens
f : X ⟶ ↑U
hf : P f
this : ∀ {X Y : Scheme} [inst : IsAffine Y] {U : Y.Opens} (f : X ⟶ ↑U), P f → (∃ a, U = Y.basicOpen a) → P (f ≫ U.ι)
hYa : ¬∃ a, U = Y.basicOpen a
Us : Set Y.Opens
hUs : Us ⊆ Set.range Y.basicOpen
heq : U = sSup Us
V : ↑Us → X.Opens := fun s => f ⁻¹ᵁ U.ι ⁻¹ᵁ ↑s
s : ↑Us
f' : ↑(V s) ⟶ ↑(U.ι ⁻¹ᵁ ↑s) := f ∣_ U.ι ⁻¹ᵁ ↑s
hf' : P f'
e : ↑(U.ι ⁻¹ᵁ ↑s) ≅ ↑↑s := IsOpenImmersion.isoOfRangeEq ((U.ι ⁻¹ᵁ ↑s).ι ≫ U.ι) (↑s).ι ⋯
⊢ (V s).ι ≫ f ≫ U.ι = f' ≫ e.hom ≫ (↑s).ι

Tactic:
simp only [V, IsOpenImmersion.isoOfRangeEq_hom_fac, f', e, morphismRestrict_ι_assoc]

Result:
no goals