-- Mathlib/LinearAlgebra/AffineSpace/Combination.lean
theorem eq_affineCombination_of_mem_affineSpan {p1 : P} {p : ι → P}
    (h : p1 ∈ affineSpan k (Set.range p)) :
    ∃ (s : Finset ι) (w : ι → k), ∑ i ∈ s, w i = 1 ∧ p1 = s.affineCombination k p w

Proof state:
case intro
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p1 : P
p : ι → P
h : p1 ∈ affineSpan k (Set.range p)
i0 : ι
h0 : p i0 ∈ affineSpan k (Set.range p)
hd : p1 -ᵥ p i0 ∈ (affineSpan k (Set.range p)).direction
⊢ ∃ s w, ∑ i ∈ s, w i = 1 ∧ p1 = (Finset.affineCombination k s p) w

Tactic:
rw [direction_affineSpan, mem_vectorSpan_iff_eq_weightedVSub] at hd

Result:
case intro
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p1 : P
p : ι → P
h : p1 ∈ affineSpan k (Set.range p)
i0 : ι
h0 : p i0 ∈ affineSpan k (Set.range p)
hd : ∃ s w, ∑ i ∈ s, w i = 0 ∧ p1 -ᵥ p i0 = (s.weightedVSub p) w
⊢ ∃ s w, ∑ i ∈ s, w i = 1 ∧ p1 = (Finset.affineCombination k s p) w

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.refine_2
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p1 : P
p : ι → P
h✝ : p1 ∈ affineSpan k (Set.range p)
i0 : ι
h0 : p i0 ∈ affineSpan k (Set.range p)
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
hs : p1 -ᵥ p i0 = (s.weightedVSub p) w
s' : Finset ι := insert i0 s
w' : ι → k := (↑s).indicator w
h' : ∑ i ∈ s', w' i = 0
hs' : (s'.weightedVSub p) w' = p1 -ᵥ p i0
w0 : ι → k := Function.update (Function.const ι 0) i0 1
hw0 : ∑ i ∈ s', w0 i = 1
hw0s : (Finset.affineCombination k s' p) w0 = p i0
⊢ p1 = (Finset.affineCombination k s' p) (w0 + w')

Tactic:
rw [add_comm, ← Finset.weightedVSub_vadd_affineCombination, hw0s, hs', vsub_vadd]

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro.intro.intro
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p1 : P
p : ι → P
h✝ : p1 ∈ affineSpan k (Set.range p)
i0 : ι
h0 : p i0 ∈ affineSpan k (Set.range p)
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
hs : p1 -ᵥ p i0 = (s.weightedVSub p) w
s' : Finset ι := insert i0 s
w' : ι → k := (↑s).indicator w
h' : ∑ i ∈ s', w' i = 0
hs' : (s'.weightedVSub p) w' = p1 -ᵥ p i0
w0 : ι → k := Function.update (Function.const ι 0) i0 1
⊢ ∃ s w, ∑ i ∈ s, w i = 1 ∧ p1 = (Finset.affineCombination k s p) w

Tactic:
have hw0 : ∑ i ∈ s', w0 i = 1 := by
  rw [Finset.sum_update_of_mem (Finset.mem_insert_self _ _)]
  simp only [Finset.mem_insert, true_or, not_true, Function.const_apply, Finset.sum_const_zero,
    add_zero]

Result:
case intro.intro.intro.intro
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p1 : P
p : ι → P
h✝ : p1 ∈ affineSpan k (Set.range p)
i0 : ι
h0 : p i0 ∈ affineSpan k (Set.range p)
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
hs : p1 -ᵥ p i0 = (s.weightedVSub p) w
s' : Finset ι := insert i0 s
w' : ι → k := (↑s).indicator w
h' : ∑ i ∈ s', w' i = 0
hs' : (s'.weightedVSub p) w' = p1 -ᵥ p i0
w0 : ι → k := Function.update (Function.const ι 0) i0 1
hw0 : ∑ i ∈ s', w0 i = 1
⊢ ∃ s w, ∑ i ∈ s, w i = 1 ∧ p1 = (Finset.affineCombination k s p) w

Proof state:
case intro
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p1 : P
p : ι → P
h : p1 ∈ affineSpan k (Set.range p)
i0 : ι
h0 : p i0 ∈ affineSpan k (Set.range p)
hd : ∃ s w, ∑ i ∈ s, w i = 0 ∧ p1 -ᵥ p i0 = (s.weightedVSub p) w
⊢ ∃ s w, ∑ i ∈ s, w i = 1 ∧ p1 = (Finset.affineCombination k s p) w

Tactic:
rcases hd with ⟨s, w, h, hs⟩

Result:
case intro.intro.intro.intro
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p1 : P
p : ι → P
h✝ : p1 ∈ affineSpan k (Set.range p)
i0 : ι
h0 : p i0 ∈ affineSpan k (Set.range p)
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
hs : p1 -ᵥ p i0 = (s.weightedVSub p) w
⊢ ∃ s w, ∑ i ∈ s, w i = 1 ∧ p1 = (Finset.affineCombination k s p) w

Proof state:
case intro
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p1 : P
p : ι → P
h : p1 ∈ affineSpan k (Set.range p)
i0 : ι
h0 : p i0 ∈ affineSpan k (Set.range p)
⊢ ∃ s w, ∑ i ∈ s, w i = 1 ∧ p1 = (Finset.affineCombination k s p) w

Tactic:
have hd : p1 -ᵥ p i0 ∈ (affineSpan k (Set.range p)).direction :=
  AffineSubspace.vsub_mem_direction h h0

Result:
case intro
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p1 : P
p : ι → P
h : p1 ∈ affineSpan k (Set.range p)
i0 : ι
h0 : p i0 ∈ affineSpan k (Set.range p)
hd : p1 -ᵥ p i0 ∈ (affineSpan k (Set.range p)).direction
⊢ ∃ s w, ∑ i ∈ s, w i = 1 ∧ p1 = (Finset.affineCombination k s p) w

Proof state:
case intro.intro.intro.intro
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p1 : P
p : ι → P
h✝ : p1 ∈ affineSpan k (Set.range p)
i0 : ι
h0 : p i0 ∈ affineSpan k (Set.range p)
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
hs : p1 -ᵥ p i0 = (s.weightedVSub p) w
s' : Finset ι := insert i0 s
⊢ ∃ s w, ∑ i ∈ s, w i = 1 ∧ p1 = (Finset.affineCombination k s p) w

Tactic:
let w' := Set.indicator (↑s) w

Result:
case intro.intro.intro.intro
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p1 : P
p : ι → P
h✝ : p1 ∈ affineSpan k (Set.range p)
i0 : ι
h0 : p i0 ∈ affineSpan k (Set.range p)
s : Finset ι
w : ι → k
h : ∑ i ∈ s, w i = 0
hs : p1 -ᵥ p i0 = (s.weightedVSub p) w
s' : Finset ι := insert i0 s
w' : ι → k := (↑s).indicator w
⊢ ∃ s w, ∑ i ∈ s, w i = 1 ∧ p1 = (Finset.affineCombination k s p) w

Proof state:
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p1 : P
p : ι → P
h : p1 ∈ affineSpan k (Set.range p)
hn : (↑(affineSpan k (Set.range p))).Nonempty
⊢ ∃ s w, ∑ i ∈ s, w i = 1 ∧ p1 = (Finset.affineCombination k s p) w

Tactic:
rw [affineSpan_nonempty, Set.range_nonempty_iff_nonempty] at hn

Result:
ι : Type u_1
k : Type u_2
V : Type u_3
P : Type u_4
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
p1 : P
p : ι → P
h : p1 ∈ affineSpan k (Set.range p)
hn : Nonempty ι
⊢ ∃ s w, ∑ i ∈ s, w i = 1 ∧ p1 = (Finset.affineCombination k s p) w