-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorField.lean
/-- The pullback of a differentiable vector field by a `C^n` function with `2 ≤ n` is
differentiable. Version within a set at a point, but with full pullback. -/
protected lemma _root_.MDifferentiableWithinAt.mpullback_vectorField_preimage
    (hV : MDifferentiableWithinAt I' I'.tangent
      (fun (y : M') ↦ (V y : TangentBundle I' M')) t (f x₀))
    (hf : ContMDiffAt I I' n f x₀) (hf' : (mfderiv I I' f x₀).IsInvertible) (hmn : 2 ≤ n) :
    MDifferentiableWithinAt I I.tangent
      (fun (y : M) ↦ (mpullback I I' f V y : TangentBundle I M)) (f ⁻¹' t) x₀

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x₀ : M
V : (x : M') → TangentSpace I' x
n : WithTop ℕ∞
t : Set M'
inst✝² : IsManifold I 2 M
inst✝¹ : IsManifold I' 2 M'
inst✝ : CompleteSpace E
hV : MDifferentiableWithinAt I' I'.tangent (fun y => { proj := y, snd := V y }) t (f x₀)
hmn : 2 ≤ n
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f univ x₀
hf' : (mfderivWithin I I' f univ x₀).IsInvertible
⊢ MDifferentiableWithinAt I I.tangent (fun y => { proj := y, snd := mpullbackWithin I I' f V univ y }) (f ⁻¹' t) x₀

Tactic:
simpa using hV.mpullbackWithin_vectorField_inter hf hf' (mem_univ _) uniqueMDiffOn_univ hmn

Result:
no goals

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x₀ : M
V : (x : M') → TangentSpace I' x
n : WithTop ℕ∞
t : Set M'
inst✝² : IsManifold I 2 M
inst✝¹ : IsManifold I' 2 M'
inst✝ : CompleteSpace E
hV : MDifferentiableWithinAt I' I'.tangent (fun y => { proj := y, snd := V y }) t (f x₀)
hf : ContMDiffAt I I' n f x₀
hf' : (mfderiv I I' f x₀).IsInvertible
hmn : 2 ≤ n
⊢ MDifferentiableWithinAt I I.tangent (fun y => { proj := y, snd := mpullback I I' f V y }) (f ⁻¹' t) x₀

Tactic:
simp only [← contMDiffWithinAt_univ, ← mfderivWithin_univ, ← mpullbackWithin_univ] at hV hf hf' ⊢

Result:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹² : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝⁹ : TopologicalSpace M
inst✝⁸ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁴ : TopologicalSpace M'
inst✝³ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
x₀ : M
V : (x : M') → TangentSpace I' x
n : WithTop ℕ∞
t : Set M'
inst✝² : IsManifold I 2 M
inst✝¹ : IsManifold I' 2 M'
inst✝ : CompleteSpace E
hV : MDifferentiableWithinAt I' I'.tangent (fun y => { proj := y, snd := V y }) t (f x₀)
hmn : 2 ≤ n
hf : ContMDiffWithinAt I I' n f univ x₀
hf' : (mfderivWithin I I' f univ x₀).IsInvertible
⊢ MDifferentiableWithinAt I I.tangent (fun y => { proj := y, snd := mpullbackWithin I I' f V univ y }) (f ⁻¹' t) x₀