-- Mathlib/Algebra/Star/CHSH.lean
theorem tsirelson_inequality [OrderedRing R] [StarRing R] [StarOrderedRing R] [Algebra ℝ R]
    [OrderedSMul ℝ R] [StarModule ℝ R] (A₀ A₁ B₀ B₁ : R) (T : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁) :
    A₀ * B₀ + A₀ * B₁ + A₁ * B₀ - A₁ * B₁ ≤ √2 ^ 3 • (1 : R)

Proof state:
case a
R : Type u
inst✝⁵ : OrderedRing R
inst✝⁴ : StarRing R
inst✝³ : StarOrderedRing R
inst✝² : Algebra ℝ R
inst✝¹ : OrderedSMul ℝ R
inst✝ : StarModule ℝ R
A₀ A₁ B₀ B₁ : R
T : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁
M : ∀ (m : ℤ) (a : ℝ) (x : R), m • a • x = (↑m * a) • x
P : R := (√2)⁻¹ • (A₁ + A₀) - B₀
Q : R := (√2)⁻¹ • (A₁ - A₀) + B₁
w : √2 ^ 3 • 1 - A₀ * B₀ - A₀ * B₁ - A₁ * B₀ + A₁ * B₁ = (√2)⁻¹ • (P ^ 2 + Q ^ 2)
pos : 0 ≤ (√2)⁻¹ • (P ^ 2 + Q ^ 2)
⊢ 0 ≤ √2 ^ 3 • 1 - (A₀ * B₀ + A₀ * B₁ + A₁ * B₀ - A₁ * B₁)

Tactic:
simpa only [sub_add_eq_sub_sub, ← sub_add, w, Nat.cast_zero] using pos

Result:
no goals

Proof state:
R : Type u
inst✝⁵ : OrderedRing R
inst✝⁴ : StarRing R
inst✝³ : StarOrderedRing R
inst✝² : Algebra ℝ R
inst✝¹ : OrderedSMul ℝ R
inst✝ : StarModule ℝ R
A₀ A₁ B₀ B₁ : R
T : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁
M : ∀ (m : ℤ) (a : ℝ) (x : R), m • a • x = (↑m * a) • x
P : R := (√2)⁻¹ • (A₁ + A₀) - B₀
Q : R := (√2)⁻¹ • (A₁ - A₀) + B₁
⊢ A₁ * B₁ + -(A₀ * B₀) + -(A₀ * B₁) + -(A₁ * B₀) + √2 ^ 3 • 1 =
    A₁ * B₁ + -(A₀ * B₀) + -(A₀ * B₁) + -(A₁ * B₀) + (2 * (√2)⁻¹ + 4 * ((√2)⁻¹ * 2⁻¹)) • 1

Tactic:
congr

Result:
case e_a.e_a
R : Type u
inst✝⁵ : OrderedRing R
inst✝⁴ : StarRing R
inst✝³ : StarOrderedRing R
inst✝² : Algebra ℝ R
inst✝¹ : OrderedSMul ℝ R
inst✝ : StarModule ℝ R
A₀ A₁ B₀ B₁ : R
T : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁
M : ∀ (m : ℤ) (a : ℝ) (x : R), m • a • x = (↑m * a) • x
P : R := (√2)⁻¹ • (A₁ + A₀) - B₀
Q : R := (√2)⁻¹ • (A₁ - A₀) + B₁
⊢ √2 ^ 3 = 2 * (√2)⁻¹ + 4 * ((√2)⁻¹ * 2⁻¹)

Proof state:
R : Type u
inst✝⁵ : OrderedRing R
inst✝⁴ : StarRing R
inst✝³ : StarOrderedRing R
inst✝² : Algebra ℝ R
inst✝¹ : OrderedSMul ℝ R
inst✝ : StarModule ℝ R
A₀ A₁ B₀ B₁ : R
T : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁
M : ∀ (m : ℤ) (a : ℝ) (x : R), m • a • x = (↑m * a) • x
P : R := (√2)⁻¹ • (A₁ + A₀) - B₀
Q : R := (√2)⁻¹ • (A₁ - A₀) + B₁
w : √2 ^ 3 • 1 - A₀ * B₀ - A₀ * B₁ - A₁ * B₀ + A₁ * B₁ = (√2)⁻¹ • (P ^ 2 + Q ^ 2)
P_sa : star P = P
Q_sa : star Q = Q
P2_nonneg : 0 ≤ P ^ 2
⊢ 0 ≤ (√2)⁻¹ • (P ^ 2 + Q ^ 2)

Tactic:
have Q2_nonneg : 0 ≤ Q ^ 2 := by simpa only [Q_sa, sq] using star_mul_self_nonneg Q

Result:
R : Type u
inst✝⁵ : OrderedRing R
inst✝⁴ : StarRing R
inst✝³ : StarOrderedRing R
inst✝² : Algebra ℝ R
inst✝¹ : OrderedSMul ℝ R
inst✝ : StarModule ℝ R
A₀ A₁ B₀ B₁ : R
T : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁
M : ∀ (m : ℤ) (a : ℝ) (x : R), m • a • x = (↑m * a) • x
P : R := (√2)⁻¹ • (A₁ + A₀) - B₀
Q : R := (√2)⁻¹ • (A₁ - A₀) + B₁
w : √2 ^ 3 • 1 - A₀ * B₀ - A₀ * B₁ - A₁ * B₀ + A₁ * B₁ = (√2)⁻¹ • (P ^ 2 + Q ^ 2)
P_sa : star P = P
Q_sa : star Q = Q
P2_nonneg : 0 ≤ P ^ 2
Q2_nonneg : 0 ≤ Q ^ 2
⊢ 0 ≤ (√2)⁻¹ • (P ^ 2 + Q ^ 2)

Proof state:
R : Type u
inst✝⁵ : OrderedRing R
inst✝⁴ : StarRing R
inst✝³ : StarOrderedRing R
inst✝² : Algebra ℝ R
inst✝¹ : OrderedSMul ℝ R
inst✝ : StarModule ℝ R
A₀ A₁ B₀ B₁ : R
T : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁
M : ∀ (m : ℤ) (a : ℝ) (x : R), m • a • x = (↑m * a) • x
P : R := (√2)⁻¹ • (A₁ + A₀) - B₀
Q : R := (√2)⁻¹ • (A₁ - A₀) + B₁
w : √2 ^ 3 • 1 - A₀ * B₀ - A₀ * B₁ - A₁ * B₀ + A₁ * B₁ = (√2)⁻¹ • (P ^ 2 + Q ^ 2)
P_sa : star P = P
Q_sa : star Q = Q
⊢ 0 ≤ P ^ 2

Tactic:
simpa only [P_sa, sq] using star_mul_self_nonneg P

Result:
no goals

Proof state:
R : Type u
inst✝⁵ : OrderedRing R
inst✝⁴ : StarRing R
inst✝³ : StarOrderedRing R
inst✝² : Algebra ℝ R
inst✝¹ : OrderedSMul ℝ R
inst✝ : StarModule ℝ R
A₀ A₁ B₀ B₁ : R
T : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁
M : ∀ (m : ℤ) (a : ℝ) (x : R), m • a • x = (↑m * a) • x
P : R := (√2)⁻¹ • (A₁ + A₀) - B₀
Q : R := (√2)⁻¹ • (A₁ - A₀) + B₁
⊢ √2 ≠ 0

Tactic:
norm_num

Result:
no goals

Proof state:
R : Type u
inst✝⁵ : OrderedRing R
inst✝⁴ : StarRing R
inst✝³ : StarOrderedRing R
inst✝² : Algebra ℝ R
inst✝¹ : OrderedSMul ℝ R
inst✝ : StarModule ℝ R
A₀ A₁ B₀ B₁ : R
T : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁
M : ∀ (m : ℤ) (a : ℝ) (x : R), m • a • x = (↑m * a) • x
P : R := (√2)⁻¹ • (A₁ + A₀) - B₀
Q : R := (√2)⁻¹ • (A₁ - A₀) + B₁
w : √2 ^ 3 • 1 - A₀ * B₀ - A₀ * B₁ - A₁ * B₀ + A₁ * B₁ = (√2)⁻¹ • (P ^ 2 + Q ^ 2)
P_sa : star P = P
⊢ star Q = Q

Tactic:
simp only [Q, star_smul, star_add, star_sub, star_id_of_comm, T.A₀_sa, T.A₁_sa, T.B₀_sa,
  T.B₁_sa]

Result:
no goals

Proof state:
R : Type u
inst✝⁵ : OrderedRing R
inst✝⁴ : StarRing R
inst✝³ : StarOrderedRing R
inst✝² : Algebra ℝ R
inst✝¹ : OrderedSMul ℝ R
inst✝ : StarModule ℝ R
A₀ A₁ B₀ B₁ : R
T : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁
M : ∀ (m : ℤ) (a : ℝ) (x : R), m • a • x = (↑m * a) • x
P : R := (√2)⁻¹ • (A₁ + A₀) - B₀
Q : R := (√2)⁻¹ • (A₁ - A₀) + B₁
⊢ √2 ^ 3 • 1 - A₀ * B₀ - A₀ * B₁ - A₁ * B₀ + A₁ * B₁ = (√2)⁻¹ • (P ^ 2 + Q ^ 2)

Tactic:
dsimp [P, Q]

Result:
R : Type u
inst✝⁵ : OrderedRing R
inst✝⁴ : StarRing R
inst✝³ : StarOrderedRing R
inst✝² : Algebra ℝ R
inst✝¹ : OrderedSMul ℝ R
inst✝ : StarModule ℝ R
A₀ A₁ B₀ B₁ : R
T : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁
M : ∀ (m : ℤ) (a : ℝ) (x : R), m • a • x = (↑m * a) • x
P : R := (√2)⁻¹ • (A₁ + A₀) - B₀
Q : R := (√2)⁻¹ • (A₁ - A₀) + B₁
⊢ √2 ^ 3 • 1 - A₀ * B₀ - A₀ * B₁ - A₁ * B₀ + A₁ * B₁ =
    (√2)⁻¹ • (((√2)⁻¹ • (A₁ + A₀) - B₀) ^ 2 + ((√2)⁻¹ • (A₁ - A₀) + B₁) ^ 2)

Proof state:
R : Type u
inst✝⁵ : OrderedRing R
inst✝⁴ : StarRing R
inst✝³ : StarOrderedRing R
inst✝² : Algebra ℝ R
inst✝¹ : OrderedSMul ℝ R
inst✝ : StarModule ℝ R
A₀ A₁ B₀ B₁ : R
T : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁
M : ∀ (m : ℤ) (a : ℝ) (x : R), m • a • x = (↑m * a) • x
P : R := (√2)⁻¹ • (A₁ + A₀) - B₀
Q : R := (√2)⁻¹ • (A₁ - A₀) + B₁
w : √2 ^ 3 • 1 - A₀ * B₀ - A₀ * B₁ - A₁ * B₀ + A₁ * B₁ = (√2)⁻¹ • (P ^ 2 + Q ^ 2)
pos : 0 ≤ (√2)⁻¹ • (P ^ 2 + Q ^ 2)
⊢ A₀ * B₀ + A₀ * B₁ + A₁ * B₀ - A₁ * B₁ ≤ √2 ^ 3 • 1

Tactic:
apply le_of_sub_nonneg

Result:
case a
R : Type u
inst✝⁵ : OrderedRing R
inst✝⁴ : StarRing R
inst✝³ : StarOrderedRing R
inst✝² : Algebra ℝ R
inst✝¹ : OrderedSMul ℝ R
inst✝ : StarModule ℝ R
A₀ A₁ B₀ B₁ : R
T : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁
M : ∀ (m : ℤ) (a : ℝ) (x : R), m • a • x = (↑m * a) • x
P : R := (√2)⁻¹ • (A₁ + A₀) - B₀
Q : R := (√2)⁻¹ • (A₁ - A₀) + B₁
w : √2 ^ 3 • 1 - A₀ * B₀ - A₀ * B₁ - A₁ * B₀ + A₁ * B₁ = (√2)⁻¹ • (P ^ 2 + Q ^ 2)
pos : 0 ≤ (√2)⁻¹ • (P ^ 2 + Q ^ 2)
⊢ 0 ≤ √2 ^ 3 • 1 - (A₀ * B₀ + A₀ * B₁ + A₁ * B₀ - A₁ * B₁)

Proof state:
R : Type u
inst✝⁵ : OrderedRing R
inst✝⁴ : StarRing R
inst✝³ : StarOrderedRing R
inst✝² : Algebra ℝ R
inst✝¹ : OrderedSMul ℝ R
inst✝ : StarModule ℝ R
A₀ A₁ B₀ B₁ : R
T : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁
M : ∀ (m : ℤ) (a : ℝ) (x : R), m • a • x = (↑m * a) • x
P : R := (√2)⁻¹ • (A₁ + A₀) - B₀
Q : R := (√2)⁻¹ • (A₁ - A₀) + B₁
⊢ √2 ^ 3 • 1 - A₀ * B₀ - A₀ * B₁ - A₁ * B₀ + A₁ * B₁ =
    ((√2)⁻¹ * 2⁻¹) • 1 + ((√2)⁻¹ * 2⁻¹) • (A₀ * A₁) - 2⁻¹ • (B₀ * A₁) +
          (((√2)⁻¹ * 2⁻¹) • (A₁ * A₀) + ((√2)⁻¹ * 2⁻¹) • 1 - 2⁻¹ • (B₀ * A₀)) -
        (2⁻¹ • (A₁ * B₀) + 2⁻¹ • (A₀ * B₀) - (√2)⁻¹ • 1) +
      (((√2)⁻¹ * 2⁻¹) • 1 - ((√2)⁻¹ * 2⁻¹) • (A₀ * A₁) + 2⁻¹ • (B₁ * A₁) -
          (((√2)⁻¹ * 2⁻¹) • (A₁ * A₀) - ((√2)⁻¹ * 2⁻¹) • 1 + 2⁻¹ • (B₁ * A₀)) +
        (2⁻¹ • (A₁ * B₁) - 2⁻¹ • (A₀ * B₁) + (√2)⁻¹ • 1))

Tactic:
simp only [← T.A₀B₀_commutes, ← T.A₀B₁_commutes, ← T.A₁B₀_commutes, ← T.A₁B₁_commutes]

Result:
R : Type u
inst✝⁵ : OrderedRing R
inst✝⁴ : StarRing R
inst✝³ : StarOrderedRing R
inst✝² : Algebra ℝ R
inst✝¹ : OrderedSMul ℝ R
inst✝ : StarModule ℝ R
A₀ A₁ B₀ B₁ : R
T : IsCHSHTuple A₀ A₁ B₀ B₁
M : ∀ (m : ℤ) (a : ℝ) (x : R), m • a • x = (↑m * a) • x
P : R := (√2)⁻¹ • (A₁ + A₀) - B₀
Q : R := (√2)⁻¹ • (A₁ - A₀) + B₁
⊢ √2 ^ 3 • 1 - A₀ * B₀ - A₀ * B₁ - A₁ * B₀ + A₁ * B₁ =
    ((√2)⁻¹ * 2⁻¹) • 1 + ((√2)⁻¹ * 2⁻¹) • (A₀ * A₁) - 2⁻¹ • (A₁ * B₀) +
          (((√2)⁻¹ * 2⁻¹) • (A₁ * A₀) + ((√2)⁻¹ * 2⁻¹) • 1 - 2⁻¹ • (A₀ * B₀)) -
        (2⁻¹ • (A₁ * B₀) + 2⁻¹ • (A₀ * B₀) - (√2)⁻¹ • 1) +
      (((√2)⁻¹ * 2⁻¹) • 1 - ((√2)⁻¹ * 2⁻¹) • (A₀ * A₁) + 2⁻¹ • (A₁ * B₁) -
          (((√2)⁻¹ * 2⁻¹) • (A₁ * A₀) - ((√2)⁻¹ * 2⁻¹) • 1 + 2⁻¹ • (A₀ * B₁)) +
        (2⁻¹ • (A₁ * B₁) - 2⁻¹ • (A₀ * B₁) + (√2)⁻¹ • 1))