-- Mathlib/Algebra/Group/UniqueProds/Basic.lean
theorem toTwoUniqueProds_of_group {G}
    [Group G] [UniqueProds G] : TwoUniqueProds G where
  uniqueMul_of_one_lt_card {A B} hc

Proof state:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu : UniqueMul A B a b
C : Finset G := map { toFun := fun x => a⁻¹ * x, inj' := ⋯ } A
D : Finset G := map { toFun := fun x => x * b⁻¹, inj' := ⋯ } B
hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D
hC : 1 ∈ C
hD : 1 ∈ D
this : ∃ c ∈ C, ∃ d ∈ D, (c ≠ 1 ∨ d ≠ 1) ∧ UniqueMul C D c d
⊢ ∃ p1,
    (p1.1 ∈ A ∧ p1.2 ∈ B) ∧ ∃ p2, (p2.1 ∈ A ∧ p2.2 ∈ B) ∧ p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2

Tactic:
obtain ⟨c, hc, d, hd, hne, hu'⟩ := this

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : UniqueProds G
A B : Finset G
hc✝ : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu : UniqueMul A B a b
C : Finset G := map { toFun := fun x => a⁻¹ * x, inj' := ⋯ } A
D : Finset G := map { toFun := fun x => x * b⁻¹, inj' := ⋯ } B
hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D
hC : 1 ∈ C
hD : 1 ∈ D
c : G
hc : c ∈ C
d : G
hd : d ∈ D
hne : c ≠ 1 ∨ d ≠ 1
hu' : UniqueMul C D c d
⊢ ∃ p1,
    (p1.1 ∈ A ∧ p1.2 ∈ B) ∧ ∃ p2, (p2.1 ∈ A ∧ p2.2 ∈ B) ∧ p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2

Proof state:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : 1 < #A * #B
⊢ ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2

Tactic:
simp_rw [Nat.one_lt_mul_iff, card_pos] at hc

Result:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
⊢ ∃ p1 ∈ A ×ˢ B, ∃ p2 ∈ A ×ˢ B, p1 ≠ p2 ∧ UniqueMul A B p1.1 p1.2 ∧ UniqueMul A B p2.1 p2.2

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.refine_3.intro.intro.intro.intro
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu✝ : UniqueMul A B a b
x✝ : Mul (Finset G) := Finset.mul
e f : G
D : Finset G
hD : 1 ∈ D
C : Finset G
hC : 1 ∈ C
hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D
he : e ∈ image (fun x => x⁻¹) D * C
hf : f ∈ D * image (fun x => x⁻¹) C
hu : UniqueMul (image (fun x => x⁻¹) D * C) (D * image (fun x => x⁻¹) C) e f
⊢ ∃ c ∈ C, ∃ d ∈ D, (c ≠ 1 ∨ d ≠ 1) ∧ UniqueMul C D c d

Tactic:
simp only [UniqueMul, mem_mul, mem_image] at he hf hu

Result:
case intro.intro.intro.intro.refine_3.intro.intro.intro.intro
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu✝ : UniqueMul A B a b
x✝ : Mul (Finset G) := Finset.mul
e f : G
D : Finset G
hD : 1 ∈ D
C : Finset G
hC : 1 ∈ C
hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D
he : ∃ y, (∃ a ∈ D, a⁻¹ = y) ∧ ∃ z ∈ C, y * z = e
hf : ∃ y ∈ D, ∃ z, (∃ a ∈ C, a⁻¹ = z) ∧ y * z = f
hu :
  ∀ ⦃a b : G⦄,
    (∃ y, (∃ a ∈ D, a⁻¹ = y) ∧ ∃ z ∈ C, y * z = a) →
      (∃ y ∈ D, ∃ z, (∃ a ∈ C, a⁻¹ = z) ∧ y * z = b) → a * b = e * f → a = e ∧ b = f
⊢ ∃ c ∈ C, ∃ d ∈ D, (c ≠ 1 ∨ d ≠ 1) ∧ UniqueMul C D c d

Proof state:
case neg
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu✝ : UniqueMul A B a b
x✝ : Mul (Finset G) := Finset.mul
D : Finset G
hD : 1 ∈ D
C : Finset G
hC : 1 ∈ C
hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D
d1 : G
hd1 : d1 ∈ D
c1 : G
hc1 : c1 ∈ C
d2 : G
hd2 : d2 ∈ D
c2 : G
hc2 : c2 ∈ C
hu :
  ∀ ⦃a b : G⦄,
    (∃ y, (∃ a ∈ D, a⁻¹ = y) ∧ ∃ z ∈ C, y * z = a) →
      (∃ y ∈ D, ∃ z, (∃ a ∈ C, a⁻¹ = z) ∧ y * z = b) → a * b = d1⁻¹ * c1 * (d2 * c2⁻¹) → a = d1⁻¹ * c1 ∧ b = d2 * c2⁻¹
h12 : c1 = 1 ∧ d2 = 1
⊢ ∃ c ∈ C, ∃ d ∈ D, (c ≠ 1 ∨ d ≠ 1) ∧ UniqueMul C D c d

Tactic:
obtain ⟨rfl, rfl⟩ := h12

Result:
case neg.intro
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu✝ : UniqueMul A B a b
x✝ : Mul (Finset G) := Finset.mul
D : Finset G
hD : 1 ∈ D
C : Finset G
hC : 1 ∈ C
hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D
d1 : G
hd1 : d1 ∈ D
c2 : G
hc2 : c2 ∈ C
hc1 : 1 ∈ C
hd2 : 1 ∈ D
hu :
  ∀ ⦃a b : G⦄,
    (∃ y, (∃ a ∈ D, a⁻¹ = y) ∧ ∃ z ∈ C, y * z = a) →
      (∃ y ∈ D, ∃ z, (∃ a ∈ C, a⁻¹ = z) ∧ y * z = b) → a * b = d1⁻¹ * 1 * (1 * c2⁻¹) → a = d1⁻¹ * 1 ∧ b = 1 * c2⁻¹
⊢ ∃ c ∈ C, ∃ d ∈ D, (c ≠ 1 ∨ d ≠ 1) ∧ UniqueMul C D c d

Proof state:
case pos
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu✝ : UniqueMul A B a b
x✝ : Mul (Finset G) := Finset.mul
D : Finset G
hD : 1 ∈ D
C : Finset G
hC : 1 ∈ C
hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D
d1 : G
hd1 : d1 ∈ D
c1 : G
hc1 : c1 ∈ C
d2 : G
hd2 : d2 ∈ D
c2 : G
hc2 : c2 ∈ C
hu :
  ∀ ⦃a b : G⦄,
    (∃ y, (∃ a ∈ D, a⁻¹ = y) ∧ ∃ z ∈ C, y * z = a) →
      (∃ y ∈ D, ∃ z, (∃ a ∈ C, a⁻¹ = z) ∧ y * z = b) → a * b = d1⁻¹ * c1 * (d2 * c2⁻¹) → a = d1⁻¹ * c1 ∧ b = d2 * c2⁻¹
h12 : c1 ≠ 1 ∨ d2 ≠ 1
⊢ ∃ c ∈ C, ∃ d ∈ D, (c ≠ 1 ∨ d ≠ 1) ∧ UniqueMul C D c d

Tactic:
refine ⟨c1, hc1, d2, hd2, h12, fun c3 d3 hc3 hd3 he => ?_⟩

Result:
case pos
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu✝ : UniqueMul A B a b
x✝ : Mul (Finset G) := Finset.mul
D : Finset G
hD : 1 ∈ D
C : Finset G
hC : 1 ∈ C
hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D
d1 : G
hd1 : d1 ∈ D
c1 : G
hc1 : c1 ∈ C
d2 : G
hd2 : d2 ∈ D
c2 : G
hc2 : c2 ∈ C
hu :
  ∀ ⦃a b : G⦄,
    (∃ y, (∃ a ∈ D, a⁻¹ = y) ∧ ∃ z ∈ C, y * z = a) →
      (∃ y ∈ D, ∃ z, (∃ a ∈ C, a⁻¹ = z) ∧ y * z = b) → a * b = d1⁻¹ * c1 * (d2 * c2⁻¹) → a = d1⁻¹ * c1 ∧ b = d2 * c2⁻¹
h12 : c1 ≠ 1 ∨ d2 ≠ 1
c3 d3 : G
hc3 : c3 ∈ C
hd3 : d3 ∈ D
he : c3 * d3 = c1 * d2
⊢ c3 = c1 ∧ d3 = d2

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.refine_3.intro.intro.intro.intro
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu✝ : UniqueMul A B a b
x✝ : Mul (Finset G) := Finset.mul
e f : G
D : Finset G
hD : 1 ∈ D
C : Finset G
hC : 1 ∈ C
hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D
he : ∃ y, (∃ a ∈ D, a⁻¹ = y) ∧ ∃ z ∈ C, y * z = e
hf : ∃ y ∈ D, ∃ z, (∃ a ∈ C, a⁻¹ = z) ∧ y * z = f
hu :
  ∀ ⦃a b : G⦄,
    (∃ y, (∃ a ∈ D, a⁻¹ = y) ∧ ∃ z ∈ C, y * z = a) →
      (∃ y ∈ D, ∃ z, (∃ a ∈ C, a⁻¹ = z) ∧ y * z = b) → a * b = e * f → a = e ∧ b = f
⊢ ∃ c ∈ C, ∃ d ∈ D, (c ≠ 1 ∨ d ≠ 1) ∧ UniqueMul C D c d

Tactic:
obtain ⟨_, ⟨d1, hd1, rfl⟩, c1, hc1, rfl⟩ := he

Result:
case intro.intro.intro.intro.refine_3.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
inst✝ : UniqueProds G
A B : Finset G
hc : A.Nonempty ∧ B.Nonempty ∧ (1 < #A ∨ 1 < #B)
a : G
ha : a ∈ A
b : G
hb : b ∈ B
hu✝ : UniqueMul A B a b
x✝ : Mul (Finset G) := Finset.mul
f : G
D : Finset G
hD : 1 ∈ D
C : Finset G
hC : 1 ∈ C
hcard : 1 < #C ∨ 1 < #D
hf : ∃ y ∈ D, ∃ z, (∃ a ∈ C, a⁻¹ = z) ∧ y * z = f
d1 : G
hd1 : d1 ∈ D
c1 : G
hc1 : c1 ∈ C
hu :
  ∀ ⦃a b : G⦄,
    (∃ y, (∃ a ∈ D, a⁻¹ = y) ∧ ∃ z ∈ C, y * z = a) →
      (∃ y ∈ D, ∃ z, (∃ a ∈ C, a⁻¹ = z) ∧ y * z = b) → a * b = d1⁻¹ * c1 * f → a = d1⁻¹ * c1 ∧ b = f
⊢ ∃ c ∈ C, ∃ d ∈ D, (c ≠ 1 ∨ d ≠ 1) ∧ UniqueMul C D c d