-- Mathlib/Analysis/Analytic/Inverse.lean
theorem radius_rightInv_pos_of_radius_pos
    {p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F} {i : E ≃L[𝕜] F} {x : E}
    (hp : 0 < p.radius) : 0 < (p.rightInv i x).radius

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
x : E
hp : 0 < p.radius
C r : ℝ
Cpos : 0 < C
rpos : 0 < r
ple : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
this : Tendsto (fun a => 2 * I * C * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * a) (𝓝 0) (𝓝 (2 * I * C * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * 0))
⊢ ∃ a, ∃ (_ : 0 < a), 2 * I * C * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * a ≤ 1 ∧ r * (I + 1) * a ≤ 1 / 2

Tactic:
have A : ∀ᶠ a in 𝓝 0, 2 * I * C * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * a < 1 := by
  apply (tendsto_order.1 this).2; simp [zero_lt_one]

Result:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
x : E
hp : 0 < p.radius
C r : ℝ
Cpos : 0 < C
rpos : 0 < r
ple : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
this : Tendsto (fun a => 2 * I * C * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * a) (𝓝 0) (𝓝 (2 * I * C * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * 0))
A : ∀ᶠ (a : ℝ) in 𝓝 0, 2 * I * C * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * a < 1
⊢ ∃ a, ∃ (_ : 0 < a), 2 * I * C * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * a ≤ 1 ∧ r * (I + 1) * a ≤ 1 / 2

Proof state:
case base
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
x : E
hp : 0 < p.radius
C r : ℝ
Cpos : 0 < C
rpos : 0 < r
ple : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
a : ℝ
apos : 0 < a
ha1 : 2 * I * C * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * a ≤ 1
ha2 : r * (I + 1) * a ≤ 1 / 2
S : ℕ → ℝ := fun n => ∑ k ∈ Ico 1 n, a ^ k * ‖p.rightInv i x k‖
⊢ ∑ k ∈ Ico 1 1, a ^ k * ‖p.rightInv i x k‖ ≤ (I + 1) * a

Tactic:
rw [Ico_eq_empty_of_le (le_refl 1), sum_empty]

Result:
case base
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
x : E
hp : 0 < p.radius
C r : ℝ
Cpos : 0 < C
rpos : 0 < r
ple : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
a : ℝ
apos : 0 < a
ha1 : 2 * I * C * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * a ≤ 1
ha2 : r * (I + 1) * a ≤ 1 / 2
S : ℕ → ℝ := fun n => ∑ k ∈ Ico 1 n, a ^ k * ‖p.rightInv i x k‖
⊢ 0 ≤ (I + 1) * a

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
x : E
hp : 0 < p.radius
C r : ℝ
Cpos : 0 < C
rpos : 0 < r
ple : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
a : ℝ
apos : 0 < a
ha1 : 2 * I * C * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * a ≤ 1
ha2 : r * (I + 1) * a ≤ 1 / 2
S : ℕ → ℝ := fun n => ∑ k ∈ Ico 1 n, a ^ k * ‖p.rightInv i x k‖
n : ℕ
one_le_n : 1 ≤ n
hn : S n ≤ (I + 1) * a
In : 2 ≤ n + 1
rSn : r * S n ≤ 1 / 2
⊢ (I + 2 * I * C * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * a) * a ≤ (I + 1) * a

Tactic:
gcongr

Result:
no goals

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
x : E
hp : 0 < p.radius
C r : ℝ
Cpos : 0 < C
rpos : 0 < r
ple : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
a : ℝ
apos : 0 < a
ha1 : 2 * I * C * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * a ≤ 1
ha2 : r * (I + 1) * a ≤ 1 / 2
S : ℕ → ℝ := fun n => ∑ k ∈ Ico 1 n, a ^ k * ‖p.rightInv i x k‖
⊢ ∀ (n : ℕ), 1 ≤ n → S n ≤ (I + 1) * a

Tactic:
apply Nat.le_induction

Result:
case base
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
x : E
hp : 0 < p.radius
C r : ℝ
Cpos : 0 < C
rpos : 0 < r
ple : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
a : ℝ
apos : 0 < a
ha1 : 2 * I * C * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * a ≤ 1
ha2 : r * (I + 1) * a ≤ 1 / 2
S : ℕ → ℝ := fun n => ∑ k ∈ Ico 1 n, a ^ k * ‖p.rightInv i x k‖
⊢ S 1 ≤ (I + 1) * a

case succ
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
x : E
hp : 0 < p.radius
C r : ℝ
Cpos : 0 < C
rpos : 0 < r
ple : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
a : ℝ
apos : 0 < a
ha1 : 2 * I * C * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * a ≤ 1
ha2 : r * (I + 1) * a ≤ 1 / 2
S : ℕ → ℝ := fun n => ∑ k ∈ Ico 1 n, a ^ k * ‖p.rightInv i x k‖
⊢ ∀ (n : ℕ), 1 ≤ n → S n ≤ (I + 1) * a → S (n + 1) ≤ (I + 1) * a

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
x : E
hp : 0 < p.radius
⊢ 0 < (p.rightInv i x).radius

Tactic:
obtain ⟨C, r, Cpos, rpos, ple⟩ :
  ∃ (C r : _) (_ : 0 < C) (_ : 0 < r), ∀ n : ℕ, ‖p n‖ ≤ C * r ^ n :=
  le_mul_pow_of_radius_pos p hp

Result:
case intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
x : E
hp : 0 < p.radius
C r : ℝ
Cpos : 0 < C
rpos : 0 < r
ple : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
⊢ 0 < (p.rightInv i x).radius

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
x : E
hp : 0 < p.radius
C r : ℝ
Cpos : 0 < C
rpos : 0 < r
ple : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
a : ℝ
apos : 0 < a
ha1 : 2 * I * C * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * a ≤ 1
ha2 : r * (I + 1) * a ≤ 1 / 2
S : ℕ → ℝ := fun n => ∑ k ∈ Ico 1 n, a ^ k * ‖p.rightInv i x k‖
n : ℕ
one_le_n : 1 ≤ n
hn : S n ≤ (I + 1) * a
In : 2 ≤ n + 1
rSn : r * S n ≤ 1 / 2
⊢ I * a + 2 * I * C * (r * ((I + 1) * a)) ^ 2 = (I + 2 * I * C * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * a) * a

Tactic:
ring

Result:
no goals

Proof state:
case bc.h.hac
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
i : E ≃L[𝕜] F
x : E
hp : 0 < p.radius
C r : ℝ
Cpos : 0 < C
rpos : 0 < r
ple : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ ≤ C * r ^ n
I : ℝ := ‖↑i.symm‖
a : ℝ
apos : 0 < a
ha1 : 2 * I * C * r ^ 2 * (I + 1) ^ 2 * a ≤ 1
ha2 : r * (I + 1) * a ≤ 1 / 2
S : ℕ → ℝ := fun n => ∑ k ∈ Ico 1 n, a ^ k * ‖p.rightInv i x k‖
n : ℕ
one_le_n : 1 ≤ n
hn : S n ≤ (I + 1) * a
In : 2 ≤ n + 1
rSn : r * S n ≤ 1 / 2
⊢ 0 ≤ (r * S n) ^ (n + 1)

Tactic:
positivity

Result:
no goals