-- Mathlib/Geometry/Manifold/ContMDiffMFDeriv.lean
theorem ContMDiffWithinAt.mfderivWithin {x₀ : N} {f : N → M → M'} {g : N → M}
    {t : Set N} {u : Set M}
    (hf : ContMDiffWithinAt (J.prod I) I' n (Function.uncurry f) (t ×ˢ u) (x₀, g x₀))
    (hg : ContMDiffWithinAt J I m g t x₀) (hx₀ : x₀ ∈ t)
    (hu : MapsTo g t u) (hmn : m + 1 ≤ n) (h'u : UniqueMDiffOn I u) :
    haveI : IsManifold I 1 M := .of_le (le_trans le_add_self hmn)
    haveI : IsManifold I' 1 M' := .of_le (le_trans le_add_self hmn)
    ContMDiffWithinAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
      (inTangentCoordinates I I' g (fun x => f x (g x))
        (fun x => mfderivWithin I I' (f x) u (g x)) x₀) t x₀

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
m n : WithTop ℕ∞
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
F : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
Js : IsManifold J n N
Is : IsManifold I n M
I's : IsManifold I' n M'
x₀ : N
f : N → M → M'
g : N → M
t : Set N
u : Set M
hf : ContMDiffWithinAt (J.prod I) I' n (uncurry f) (t ×ˢ u) (x₀, g x₀)
hg : ContMDiffWithinAt J I m g t x₀
hx₀ : x₀ ∈ t
hu : MapsTo g t u
hmn : m + 1 ≤ n
h'u : UniqueMDiffOn I u
this✝³ : IsManifold I 1 M
this✝² : IsManifold I' 1 M'
this✝¹ : IsManifold J 1 N
this✝ : IsManifold J m N
t' : Set N := t ∩ g ⁻¹' (extChartAt I (g x₀)).source
ht't : t' ⊆ t
this :
  ContMDiffWithinAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
    (inTangentCoordinates I I' g (fun x => f x (g x)) (fun x => mfderivWithin I I' (f x) u (g x)) x₀) t' x₀
⊢ t' ∈ 𝓝[t] x₀

Tactic:
apply inter_mem self_mem_nhdsWithin

Result:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
m n : WithTop ℕ∞
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
F : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
Js : IsManifold J n N
Is : IsManifold I n M
I's : IsManifold I' n M'
x₀ : N
f : N → M → M'
g : N → M
t : Set N
u : Set M
hf : ContMDiffWithinAt (J.prod I) I' n (uncurry f) (t ×ˢ u) (x₀, g x₀)
hg : ContMDiffWithinAt J I m g t x₀
hx₀ : x₀ ∈ t
hu : MapsTo g t u
hmn : m + 1 ≤ n
h'u : UniqueMDiffOn I u
this✝³ : IsManifold I 1 M
this✝² : IsManifold I' 1 M'
this✝¹ : IsManifold J 1 N
this✝ : IsManifold J m N
t' : Set N := t ∩ g ⁻¹' (extChartAt I (g x₀)).source
ht't : t' ⊆ t
this :
  ContMDiffWithinAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
    (inTangentCoordinates I I' g (fun x => f x (g x)) (fun x => mfderivWithin I I' (f x) u (g x)) x₀) t' x₀
⊢ g ⁻¹' (extChartAt I (g x₀)).source ∈ 𝓝[t] x₀

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
m n : WithTop ℕ∞
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
F : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
Js : IsManifold J n N
Is : IsManifold I n M
I's : IsManifold I' n M'
x₀ : N
f : N → M → M'
g : N → M
t : Set N
u : Set M
hf : ContMDiffWithinAt (J.prod I) I' n (uncurry f) (t ×ˢ u) (x₀, g x₀)
hg : ContMDiffWithinAt J I m g t x₀
hx₀ : x₀ ∈ t
hu : MapsTo g t u
hmn : m + 1 ≤ n
h'u : UniqueMDiffOn I u
this✝ : IsManifold I 1 M
this : IsManifold I' 1 M'
⊢ ContMDiffWithinAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
    (inTangentCoordinates I I' g (fun x => f x (g x)) (fun x => mfderivWithin I I' (f x) u (g x)) x₀) t x₀

Tactic:
have : IsManifold J 1 N := .of_le (le_trans le_add_self hmn)

Result:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
m n : WithTop ℕ∞
E : Type u_2
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹² : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
F : Type u_8
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_9
inst✝² : TopologicalSpace G
J : ModelWithCorners 𝕜 F G
N : Type u_10
inst✝¹ : TopologicalSpace N
inst✝ : ChartedSpace G N
Js : IsManifold J n N
Is : IsManifold I n M
I's : IsManifold I' n M'
x₀ : N
f : N → M → M'
g : N → M
t : Set N
u : Set M
hf : ContMDiffWithinAt (J.prod I) I' n (uncurry f) (t ×ˢ u) (x₀, g x₀)
hg : ContMDiffWithinAt J I m g t x₀
hx₀ : x₀ ∈ t
hu : MapsTo g t u
hmn : m + 1 ≤ n
h'u : UniqueMDiffOn I u
this✝¹ : IsManifold I 1 M
this✝ : IsManifold I' 1 M'
this : IsManifold J 1 N
⊢ ContMDiffWithinAt J 𝓘(𝕜, E →L[𝕜] E') m
    (inTangentCoordinates I I' g (fun x => f x (g x)) (fun x => mfderivWithin I I' (f x) u (g x)) x₀) t x₀