-- Mathlib/Analysis/Complex/CauchyIntegral.lean
theorem two_pi_I_inv_smul_circleIntegral_sub_inv_smul_of_differentiable_on_off_countable {R : ℝ}
    {c w : ℂ} {f : ℂ → E} {s : Set ℂ} (hs : s.Countable) (hw : w ∈ ball c R)
    (hc : ContinuousOn f (closedBall c R)) (hd : ∀ x ∈ ball c R \ s, DifferentiableAt ℂ f x) :
    ((2 * π * I : ℂ)⁻¹ • ∮ z in C(c, R), (z - w)⁻¹ • f z) = f w

Proof state:
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
R : ℝ
c w : ℂ
f : ℂ → E
s : Set ℂ
hs : s.Countable
hw : w ∈ ball c R
hc : ContinuousOn f (closedBall c R)
hd : ∀ x ∈ ball c R \ s, DifferentiableAt ℂ f x
hR : 0 < R
⊢ w ∈ closure (ball c R \ s)

Tactic:
refine mem_closure_iff_nhds.2 fun t ht => ?_

Result:
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
R : ℝ
c w : ℂ
f : ℂ → E
s : Set ℂ
hs : s.Countable
hw : w ∈ ball c R
hc : ContinuousOn f (closedBall c R)
hd : ∀ x ∈ ball c R \ s, DifferentiableAt ℂ f x
hR : 0 < R
t : Set ℂ
ht : t ∈ 𝓝 w
⊢ (t ∩ (ball c R \ s)).Nonempty

Proof state:
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
R : ℝ
c w : ℂ
f : ℂ → E
s : Set ℂ
hs : s.Countable
hw : w ∈ ball c R
hc : ContinuousOn f (closedBall c R)
hd : ∀ x ∈ ball c R \ s, DifferentiableAt ℂ f x
hR : 0 < R
t : Set ℂ
ht : t ∈ 𝓝 w
g : ℝ → ℂ := fun x => w + ↑x
this✝ : Tendsto g (𝓝 0) (𝓝 w)
l u : ℝ
hlu₀ : 0 ∈ Ioo l u
hlu_sub : Ioo l u ⊆ g ⁻¹' (t ∩ ball c R)
hsub : Ioo l u ⊆ g ⁻¹' s
this : (Ioo l u).Countable
⊢ False

Tactic:
rw [← Cardinal.le_aleph0_iff_set_countable, Cardinal.mk_Ioo_real (hlu₀.1.trans hlu₀.2)] at this

Result:
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
R : ℝ
c w : ℂ
f : ℂ → E
s : Set ℂ
hs : s.Countable
hw : w ∈ ball c R
hc : ContinuousOn f (closedBall c R)
hd : ∀ x ∈ ball c R \ s, DifferentiableAt ℂ f x
hR : 0 < R
t : Set ℂ
ht : t ∈ 𝓝 w
g : ℝ → ℂ := fun x => w + ↑x
this✝ : Tendsto g (𝓝 0) (𝓝 w)
l u : ℝ
hlu₀ : 0 ∈ Ioo l u
hlu_sub : Ioo l u ⊆ g ⁻¹' (t ∩ ball c R)
hsub : Ioo l u ⊆ g ⁻¹' s
this : Cardinal.continuum ≤ Cardinal.aleph0
⊢ False

Proof state:
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
R : ℝ
c w : ℂ
f : ℂ → E
s : Set ℂ
hs : s.Countable
hw : w ∈ ball c R
hc : ContinuousOn f (closedBall c R)
hd : ∀ x ∈ ball c R \ s, DifferentiableAt ℂ f x
hR : 0 < R
t : Set ℂ
ht : t ∈ 𝓝 w
g : ℝ → ℂ := fun x => w + ↑x
this : Tendsto g (𝓝 0) (𝓝 w)
⊢ (t ∩ (ball c R \ s)).Nonempty

Tactic:
rcases mem_nhds_iff_exists_Ioo_subset.1 (this <| inter_mem ht <| isOpen_ball.mem_nhds hw) with
  ⟨l, u, hlu₀, hlu_sub⟩

Result:
case intro.intro.intro
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
R : ℝ
c w : ℂ
f : ℂ → E
s : Set ℂ
hs : s.Countable
hw : w ∈ ball c R
hc : ContinuousOn f (closedBall c R)
hd : ∀ x ∈ ball c R \ s, DifferentiableAt ℂ f x
hR : 0 < R
t : Set ℂ
ht : t ∈ 𝓝 w
g : ℝ → ℂ := fun x => w + ↑x
this : Tendsto g (𝓝 0) (𝓝 w)
l u : ℝ
hlu₀ : 0 ∈ Ioo l u
hlu_sub : Ioo l u ⊆ g ⁻¹' (t ∩ ball c R)
⊢ (t ∩ (ball c R \ s)).Nonempty

Proof state:
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
R : ℝ
c w : ℂ
f : ℂ → E
s : Set ℂ
hs : s.Countable
hw : w ∈ ball c R
hc : ContinuousOn f (closedBall c R)
hd : ∀ x ∈ ball c R \ s, DifferentiableAt ℂ f x
hR : 0 < R
t : Set ℂ
ht : t ∈ 𝓝 w
g : ℝ → ℂ := fun x => w + ↑x
this : Tendsto g (𝓝 0) (𝓝 w)
l u : ℝ
hlu₀ : 0 ∈ Ioo l u
hlu_sub : Ioo l u ⊆ g ⁻¹' (t ∩ ball c R)
hsub : Ioo l u ⊆ g ⁻¹' s
⊢ False

Tactic:
have : (Ioo l u).Countable :=
  (hs.preimage ((add_right_injective w).comp ofReal_injective)).mono hsub

Result:
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
R : ℝ
c w : ℂ
f : ℂ → E
s : Set ℂ
hs : s.Countable
hw : w ∈ ball c R
hc : ContinuousOn f (closedBall c R)
hd : ∀ x ∈ ball c R \ s, DifferentiableAt ℂ f x
hR : 0 < R
t : Set ℂ
ht : t ∈ 𝓝 w
g : ℝ → ℂ := fun x => w + ↑x
this✝ : Tendsto g (𝓝 0) (𝓝 w)
l u : ℝ
hlu₀ : 0 ∈ Ioo l u
hlu_sub : Ioo l u ⊆ g ⁻¹' (t ∩ ball c R)
hsub : Ioo l u ⊆ g ⁻¹' s
this : (Ioo l u).Countable
⊢ False

Proof state:
case intro
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
c w : ℂ
f : ℂ → E
s : Set ℂ
hs : s.Countable
R : ℝ≥0
hw : w ∈ ball c ↑R
hc : ContinuousOn f (closedBall c ↑R)
hd : ∀ x ∈ ball c ↑R \ s, DifferentiableAt ℂ f x
hR : 0 < ↑R
this : w ∈ closure (ball c ↑R \ s)
A : ContinuousAt (fun w => (2 * ↑π * I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, ↑R), (z - w)⁻¹ • f z) w
B : ContinuousAt f w
z : ℂ
hz : z ∈ ball c ↑R \ s
⊢ ((2 * ↑π * I)⁻¹ • ∮ (z_1 : ℂ) in C(c, ↑R), (z_1 - z)⁻¹ • f z_1) = f z

Tactic:
rw [circleIntegral_sub_inv_smul_of_differentiable_on_off_countable_aux hs hz hc hd,
  inv_smul_smul₀]

Result:
case intro.ha
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
c w : ℂ
f : ℂ → E
s : Set ℂ
hs : s.Countable
R : ℝ≥0
hw : w ∈ ball c ↑R
hc : ContinuousOn f (closedBall c ↑R)
hd : ∀ x ∈ ball c ↑R \ s, DifferentiableAt ℂ f x
hR : 0 < ↑R
this : w ∈ closure (ball c ↑R \ s)
A : ContinuousAt (fun w => (2 * ↑π * I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, ↑R), (z - w)⁻¹ • f z) w
B : ContinuousAt f w
z : ℂ
hz : z ∈ ball c ↑R \ s
⊢ 2 * ↑π * I ≠ 0

Proof state:
case intro
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
c w : ℂ
f : ℂ → E
s : Set ℂ
hs : s.Countable
R : ℝ≥0
hw : w ∈ ball c ↑R
hc : ContinuousOn f (closedBall c ↑R)
hd : ∀ x ∈ ball c ↑R \ s, DifferentiableAt ℂ f x
hR : 0 < ↑R
this : w ∈ closure (ball c ↑R \ s)
A : ContinuousAt (fun w => (2 * ↑π * I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, ↑R), (z - w)⁻¹ • f z) w
B : ContinuousAt f w
⊢ ((2 * ↑π * I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, ↑R), (z - w)⁻¹ • f z) = f w

Tactic:
refine tendsto_nhds_unique_of_frequently_eq A B ((mem_closure_iff_frequently.1 this).mono ?_)

Result:
case intro
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
c w : ℂ
f : ℂ → E
s : Set ℂ
hs : s.Countable
R : ℝ≥0
hw : w ∈ ball c ↑R
hc : ContinuousOn f (closedBall c ↑R)
hd : ∀ x ∈ ball c ↑R \ s, DifferentiableAt ℂ f x
hR : 0 < ↑R
this : w ∈ closure (ball c ↑R \ s)
A : ContinuousAt (fun w => (2 * ↑π * I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, ↑R), (z - w)⁻¹ • f z) w
B : ContinuousAt f w
⊢ ∀ x ∈ ball c ↑R \ s, ((2 * ↑π * I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, ↑R), (z - x)⁻¹ • f z) = f x