-- Mathlib/Probability/Kernel/Disintegration/CDFToKernel.lean
lemma IsRatCondKernelCDFAux.iInf_rat_gt_eq (hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν) [IsFiniteKernel κ]
    [IsFiniteKernel ν] (a : α) :
    ∀ᵐ t ∂(ν a), ∀ q : ℚ, ⨅ r : Ioi q, f (a, t) r = f (a, t) q

Proof state:
case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
⊢ ∀ (s : Set β), MeasurableSet s → (ν a) s < ⊤ → IntegrableOn (fun a_3 => f (a, a_3) q) s (ν a)

Tactic:
exact fun _ _ _ ↦ (hf.integrable a _).integrableOn

Result:
no goals

Proof state:
case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
⊢ ∀ (s : Set β), MeasurableSet s → (ν a) s < ⊤ → IntegrableOn (fun a_3 => ⨅ r, f (a, a_3) ↑r) s (ν a)

Tactic:
exact fun _ _ _ ↦ (hf.integrable_iInf_rat_gt _ _).integrableOn

Result:
no goals

Proof state:
case refine_3
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
⊢ ∀ (s : Set β), MeasurableSet s → (ν a) s < ⊤ → ∫ (x : β) in s, ⨅ r, f (a, x) ↑r ∂ν a = ∫ (x : β) in s, f (a, x) q ∂ν a

Tactic:
intro s hs _

Result:
case refine_3
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
a✝ : (ν a) s < ⊤
⊢ ∫ (x : β) in s, ⨅ r, f (a, x) ↑r ∂ν a = ∫ (x : β) in s, f (a, x) q ∂ν a

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
⊢ ∀ (i : ℚ), ∀ᵐ (a_1 : β) ∂ν a, ⨅ r, f (a, a_1) ↑r = f (a, a_1) i

Tactic:
refine fun q ↦ ae_eq_of_forall_setIntegral_eq_of_sigmaFinite (μ := ν a) ?_ ?_ ?_

Result:
case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
⊢ ∀ (s : Set β), MeasurableSet s → (ν a) s < ⊤ → IntegrableOn (fun a_3 => ⨅ r, f (a, a_3) ↑r) s (ν a)

case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
⊢ ∀ (s : Set β), MeasurableSet s → (ν a) s < ⊤ → IntegrableOn (fun a_3 => f (a, a_3) q) s (ν a)

case refine_3
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
⊢ ∀ (s : Set β), MeasurableSet s → (ν a) s < ⊤ → ∫ (x : β) in s, ⨅ r, f (a, x) ↑r ∂ν a = ∫ (x : β) in s, f (a, x) q ∂ν a

Proof state:
case refine_3
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ
s : Set β
hs : MeasurableSet s
a✝ : (ν a) s < ⊤
⊢ ∫ (x : β) in s, ⨅ r, f (a, x) ↑r ∂ν a = ∫ (x : β) in s, f (a, x) q ∂ν a

Tactic:
rw [hf.setIntegral _ hs, hf.setIntegral_iInf_rat_gt _ _ hs]

Result:
no goals

Proof state:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
⊢ ∀ᵐ (t : β) ∂ν a, ∀ (q : ℚ), ⨅ r, f (a, t) ↑r = f (a, t) q

Tactic:
rw [ae_all_iff]

Result:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
⊢ ∀ (i : ℚ), ∀ᵐ (a_1 : β) ∂ν a, ⨅ r, f (a, a_1) ↑r = f (a, a_1) i