-- Mathlib/Data/Matrix/Invertible.lean
/-- Like `add_mul_mul_invOf_mul_eq_one`, but with multiplication reversed. -/
lemma add_mul_mul_invOf_mul_eq_one' :
    (⅟A - ⅟A*U*⅟(⅟C + V*⅟A*U)*V*⅟A)*(A + U*C*V) = 1

Proof state:
m : Type u_1
n : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Ring α
A : Matrix n n α
U : Matrix n m α
C : Matrix m m α
V : Matrix m n α
inst✝² : Invertible A
inst✝¹ : Invertible C
inst✝ : Invertible (⅟C + V * ⅟A * U)
⊢ 1 + ⅟A * U * C * V - ⅟A * U * ⅟(⅟C + V * ⅟A * U) * (V + V * ⅟A * U * C * V) =
    1 + ⅟A * U * C * V - ⅟A * U * ⅟(⅟C + V * ⅟A * U) * (⅟C + V * ⅟A * U) * C * V

Tactic:
congr 1

Result:
case e_a
m : Type u_1
n : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Ring α
A : Matrix n n α
U : Matrix n m α
C : Matrix m m α
V : Matrix m n α
inst✝² : Invertible A
inst✝¹ : Invertible C
inst✝ : Invertible (⅟C + V * ⅟A * U)
⊢ ⅟A * U * ⅟(⅟C + V * ⅟A * U) * (V + V * ⅟A * U * C * V) = ⅟A * U * ⅟(⅟C + V * ⅟A * U) * (⅟C + V * ⅟A * U) * C * V

Proof state:
case e_a
m : Type u_1
n : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Ring α
A : Matrix n n α
U : Matrix n m α
C : Matrix m m α
V : Matrix m n α
inst✝² : Invertible A
inst✝¹ : Invertible C
inst✝ : Invertible (⅟C + V * ⅟A * U)
⊢ ⅟A * U * ⅟(⅟C + V * ⅟A * U) * (V + V * ⅟A * U * C * V) = ⅟A * U * ⅟(⅟C + V * ⅟A * U) * (⅟C + V * ⅟A * U) * C * V

Tactic:
simp only [Matrix.mul_add, Matrix.add_mul, ← Matrix.mul_assoc,
  Matrix.invOf_mul_cancel_right]

Result:
no goals

Proof state:
m : Type u_1
n : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Ring α
A : Matrix n n α
U : Matrix n m α
C : Matrix m m α
V : Matrix m n α
inst✝² : Invertible A
inst✝¹ : Invertible C
inst✝ : Invertible (⅟C + V * ⅟A * U)
⊢ 1 + ⅟A * U * C * V - ⅟A * U * C * V = 1

Tactic:
abel

Result:
no goals

Proof state:
m : Type u_1
n : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Ring α
A : Matrix n n α
U : Matrix n m α
C : Matrix m m α
V : Matrix m n α
inst✝² : Invertible A
inst✝¹ : Invertible C
inst✝ : Invertible (⅟C + V * ⅟A * U)
⊢ ⅟A * A - ⅟A * U * ⅟(⅟C + V * ⅟A * U) * V * ⅟A * A + ⅟A * U * C * V -
      ⅟A * U * ⅟(⅟C + V * ⅟A * U) * V * ⅟A * U * C * V =
    1 + ⅟A * U * C * V - (⅟A * U * ⅟(⅟C + V * ⅟A * U) * V + ⅟A * U * ⅟(⅟C + V * ⅟A * U) * V * ⅟A * U * C * V)

Tactic:
rw [invOf_mul_self, Matrix.invOf_mul_cancel_right]

Result:
m : Type u_1
n : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Ring α
A : Matrix n n α
U : Matrix n m α
C : Matrix m m α
V : Matrix m n α
inst✝² : Invertible A
inst✝¹ : Invertible C
inst✝ : Invertible (⅟C + V * ⅟A * U)
⊢ 1 - ⅟A * U * ⅟(⅟C + V * ⅟A * U) * V + ⅟A * U * C * V - ⅟A * U * ⅟(⅟C + V * ⅟A * U) * V * ⅟A * U * C * V =
    1 + ⅟A * U * C * V - (⅟A * U * ⅟(⅟C + V * ⅟A * U) * V + ⅟A * U * ⅟(⅟C + V * ⅟A * U) * V * ⅟A * U * C * V)

Proof state:
m : Type u_1
n : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Ring α
A : Matrix n n α
U : Matrix n m α
C : Matrix m m α
V : Matrix m n α
inst✝² : Invertible A
inst✝¹ : Invertible C
inst✝ : Invertible (⅟C + V * ⅟A * U)
⊢ 1 - ⅟A * U * ⅟(⅟C + V * ⅟A * U) * V + ⅟A * U * C * V - ⅟A * U * ⅟(⅟C + V * ⅟A * U) * V * ⅟A * U * C * V =
    1 + ⅟A * U * C * V - (⅟A * U * ⅟(⅟C + V * ⅟A * U) * V + ⅟A * U * ⅟(⅟C + V * ⅟A * U) * V * ⅟A * U * C * V)

Tactic:
abel

Result:
no goals

Proof state:
m : Type u_1
n : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Ring α
A : Matrix n n α
U : Matrix n m α
C : Matrix m m α
V : Matrix m n α
inst✝² : Invertible A
inst✝¹ : Invertible C
inst✝ : Invertible (⅟C + V * ⅟A * U)
⊢ 1 + ⅟A * U * C * V - ⅟A * U * ⅟(⅟C + V * ⅟A * U) * (⅟C + V * ⅟A * U) * C * V = 1

Tactic:
rw [Matrix.invOf_mul_cancel_right]

Result:
m : Type u_1
n : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Ring α
A : Matrix n n α
U : Matrix n m α
C : Matrix m m α
V : Matrix m n α
inst✝² : Invertible A
inst✝¹ : Invertible C
inst✝ : Invertible (⅟C + V * ⅟A * U)
⊢ 1 + ⅟A * U * C * V - ⅟A * U * C * V = 1

Proof state:
m : Type u_1
n : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Ring α
A : Matrix n n α
U : Matrix n m α
C : Matrix m m α
V : Matrix m n α
inst✝² : Invertible A
inst✝¹ : Invertible C
inst✝ : Invertible (⅟C + V * ⅟A * U)
⊢ (⅟A - ⅟A * U * ⅟(⅟C + V * ⅟A * U) * V * ⅟A) * (A + U * C * V) = 1

Tactic:
calc
  (⅟A - ⅟A*U*⅟(⅟C + V*⅟A*U)*V*⅟A)*(A + U*C*V)
  _ = ⅟A*A - ⅟A*U*⅟(⅟C + V*⅟A*U)*V*⅟A*A + ⅟A*U*C*V - ⅟A*U*⅟(⅟C + V*⅟A*U)*V*⅟A*U*C*V := by
    simp_rw [add_sub_assoc, _root_.mul_add, _root_.sub_mul, Matrix.mul_assoc]
  _ = (1 + ⅟A*U*C*V) - (⅟A*U*⅟(⅟C + V*⅟A*U)*V + ⅟A*U*⅟(⅟C + V*⅟A*U)*V*⅟A*U*C*V) := by
    rw [invOf_mul_self, Matrix.invOf_mul_cancel_right]
    abel
  _ = 1 + ⅟A*U*C*V - ⅟A*U*⅟(⅟C + V*⅟A*U)*(V + V*⅟A*U*C*V) := by
    rw [sub_right_inj, Matrix.mul_add]
    simp_rw [Matrix.mul_assoc]
  _ = 1 + ⅟A*U*C*V - ⅟A*U*⅟(⅟C + V*⅟A*U)*(⅟C + V*⅟A*U)*C*V := by
    congr 1
    simp only [Matrix.mul_add, Matrix.add_mul, ← Matrix.mul_assoc,
      Matrix.invOf_mul_cancel_right]
  _ = 1 := by
    rw [Matrix.invOf_mul_cancel_right]
    abel

Result:
no goals

Proof state:
m : Type u_1
n : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Ring α
A : Matrix n n α
U : Matrix n m α
C : Matrix m m α
V : Matrix m n α
inst✝² : Invertible A
inst✝¹ : Invertible C
inst✝ : Invertible (⅟C + V * ⅟A * U)
⊢ (⅟A - ⅟A * U * ⅟(⅟C + V * ⅟A * U) * V * ⅟A) * (A + U * C * V) =
    ⅟A * A - ⅟A * U * ⅟(⅟C + V * ⅟A * U) * V * ⅟A * A + ⅟A * U * C * V -
      ⅟A * U * ⅟(⅟C + V * ⅟A * U) * V * ⅟A * U * C * V

Tactic:
simp_rw [add_sub_assoc, _root_.mul_add, _root_.sub_mul, Matrix.mul_assoc]

Result:
no goals

Proof state:
m : Type u_1
n : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Ring α
A : Matrix n n α
U : Matrix n m α
C : Matrix m m α
V : Matrix m n α
inst✝² : Invertible A
inst✝¹ : Invertible C
inst✝ : Invertible (⅟C + V * ⅟A * U)
⊢ 1 + ⅟A * U * C * V - (⅟A * U * ⅟(⅟C + V * ⅟A * U) * V + ⅟A * U * ⅟(⅟C + V * ⅟A * U) * V * ⅟A * U * C * V) =
    1 + ⅟A * U * C * V - ⅟A * U * ⅟(⅟C + V * ⅟A * U) * (V + V * ⅟A * U * C * V)

Tactic:
rw [sub_right_inj, Matrix.mul_add]

Result:
m : Type u_1
n : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Ring α
A : Matrix n n α
U : Matrix n m α
C : Matrix m m α
V : Matrix m n α
inst✝² : Invertible A
inst✝¹ : Invertible C
inst✝ : Invertible (⅟C + V * ⅟A * U)
⊢ ⅟A * U * ⅟(⅟C + V * ⅟A * U) * V + ⅟A * U * ⅟(⅟C + V * ⅟A * U) * V * ⅟A * U * C * V =
    ⅟A * U * ⅟(⅟C + V * ⅟A * U) * V + ⅟A * U * ⅟(⅟C + V * ⅟A * U) * (V * ⅟A * U * C * V)

Proof state:
m : Type u_1
n : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁷ : Fintype n
inst✝⁶ : DecidableEq n
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : DecidableEq m
inst✝³ : Ring α
A : Matrix n n α
U : Matrix n m α
C : Matrix m m α
V : Matrix m n α
inst✝² : Invertible A
inst✝¹ : Invertible C
inst✝ : Invertible (⅟C + V * ⅟A * U)
⊢ ⅟A * U * ⅟(⅟C + V * ⅟A * U) * V + ⅟A * U * ⅟(⅟C + V * ⅟A * U) * V * ⅟A * U * C * V =
    ⅟A * U * ⅟(⅟C + V * ⅟A * U) * V + ⅟A * U * ⅟(⅟C + V * ⅟A * U) * (V * ⅟A * U * C * V)

Tactic:
simp_rw [Matrix.mul_assoc]

Result:
no goals