-- Mathlib/Topology/Sheaves/Alexandrov.lean
theorem Topology.IsUpperSet.isSheaf_of_isRightKanExtension
    (P : (Opens X)ᵒᵖ ⥤ C)
    (η : Alexandrov.principals X ⋙ P ⟶ F)
    [P.IsRightKanExtension η] :
    Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology X) P

Proof state:
X : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : Preorder X
inst✝³ : Topology.IsUpperSet X
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimits C
F : X ⥤ C
P : (Opens X)ᵒᵖ ⥤ C
η : principals X ⋙ P ⟶ F
inst✝ : P.IsRightKanExtension η
γ : principals X ⋙ principalsKanExtension F ⟶ F := (principals X).pointwiseRightKanExtensionCounit F
x✝ : (principalsKanExtension F).IsRightKanExtension γ := inferInstance
this : P ≅ principalsKanExtension F
⊢ TopCat.Presheaf.IsSheaf P

Tactic:
rw [isSheaf_iso_iff this]

Result:
X : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : Preorder X
inst✝³ : Topology.IsUpperSet X
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimits C
F : X ⥤ C
P : (Opens X)ᵒᵖ ⥤ C
η : principals X ⋙ P ⟶ F
inst✝ : P.IsRightKanExtension η
γ : principals X ⋙ principalsKanExtension F ⟶ F := (principals X).pointwiseRightKanExtensionCounit F
x✝ : (principalsKanExtension F).IsRightKanExtension γ := inferInstance
this : P ≅ principalsKanExtension F
⊢ TopCat.Presheaf.IsSheaf (principalsKanExtension F)

Proof state:
X : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : Preorder X
inst✝³ : Topology.IsUpperSet X
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimits C
F : X ⥤ C
P : (Opens X)ᵒᵖ ⥤ C
η : principals X ⋙ P ⟶ F
inst✝ : P.IsRightKanExtension η
γ : principals X ⋙ principalsKanExtension F ⟶ F := (principals X).pointwiseRightKanExtensionCounit F
x✝ : (principalsKanExtension F).IsRightKanExtension γ := inferInstance
⊢ P.IsRightKanExtension ?m.88330

Tactic:
assumption

Result:
no goals

Proof state:
X : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : Preorder X
inst✝³ : Topology.IsUpperSet X
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimits C
F : X ⥤ C
P : (Opens X)ᵒᵖ ⥤ C
η : principals X ⋙ P ⟶ F
inst✝ : P.IsRightKanExtension η
γ : principals X ⋙ principalsKanExtension F ⟶ F := (principals X).pointwiseRightKanExtensionCounit F
x✝ : (principalsKanExtension F).IsRightKanExtension γ := inferInstance
this : P ≅ principalsKanExtension F
⊢ TopCat.Presheaf.IsSheaf (principalsKanExtension F)

Tactic:
let _ : Preorder (TopCat.of X) := inferInstanceAs <| Preorder X

Result:
X : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : Preorder X
inst✝³ : Topology.IsUpperSet X
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimits C
F : X ⥤ C
P : (Opens X)ᵒᵖ ⥤ C
η : principals X ⋙ P ⟶ F
inst✝ : P.IsRightKanExtension η
γ : principals X ⋙ principalsKanExtension F ⟶ F := (principals X).pointwiseRightKanExtensionCounit F
x✝¹ : (principalsKanExtension F).IsRightKanExtension γ := inferInstance
this : P ≅ principalsKanExtension F
x✝ : Preorder ↑(of X) := inferInstanceAs (Preorder X)
⊢ TopCat.Presheaf.IsSheaf (principalsKanExtension F)

Proof state:
X : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : Preorder X
inst✝³ : Topology.IsUpperSet X
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimits C
F : X ⥤ C
P : (Opens X)ᵒᵖ ⥤ C
η : principals X ⋙ P ⟶ F
inst✝ : P.IsRightKanExtension η
γ : principals X ⋙ principalsKanExtension F ⟶ F := (principals X).pointwiseRightKanExtensionCounit F
x✝ : (principalsKanExtension F).IsRightKanExtension γ := inferInstance
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology X) P

Tactic:
have : P ≅ principalsKanExtension F :=
  @rightKanExtensionUnique _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ (by assumption) _ _ (by assumption)

Result:
X : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : Preorder X
inst✝³ : Topology.IsUpperSet X
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimits C
F : X ⥤ C
P : (Opens X)ᵒᵖ ⥤ C
η : principals X ⋙ P ⟶ F
inst✝ : P.IsRightKanExtension η
γ : principals X ⋙ principalsKanExtension F ⟶ F := (principals X).pointwiseRightKanExtensionCounit F
x✝ : (principalsKanExtension F).IsRightKanExtension γ := inferInstance
this : P ≅ principalsKanExtension F
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology X) P

Proof state:
X : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : Preorder X
inst✝³ : Topology.IsUpperSet X
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimits C
F : X ⥤ C
P : (Opens X)ᵒᵖ ⥤ C
η : principals X ⋙ P ⟶ F
inst✝ : P.IsRightKanExtension η
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology X) P

Tactic:
let γ : principals X ⋙ principalsKanExtension F ⟶ F :=
  (principals X).pointwiseRightKanExtensionCounit F

Result:
X : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : Preorder X
inst✝³ : Topology.IsUpperSet X
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimits C
F : X ⥤ C
P : (Opens X)ᵒᵖ ⥤ C
η : principals X ⋙ P ⟶ F
inst✝ : P.IsRightKanExtension η
γ : principals X ⋙ principalsKanExtension F ⟶ F := (principals X).pointwiseRightKanExtensionCounit F
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology X) P

Proof state:
X : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : Preorder X
inst✝³ : Topology.IsUpperSet X
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimits C
F : X ⥤ C
P : (Opens X)ᵒᵖ ⥤ C
η : principals X ⋙ P ⟶ F
inst✝ : P.IsRightKanExtension η
γ : principals X ⋙ principalsKanExtension F ⟶ F := (principals X).pointwiseRightKanExtensionCounit F
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology X) P

Tactic:
let _ : (principalsKanExtension F).IsRightKanExtension γ := inferInstance

Result:
X : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : Preorder X
inst✝³ : Topology.IsUpperSet X
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimits C
F : X ⥤ C
P : (Opens X)ᵒᵖ ⥤ C
η : principals X ⋙ P ⟶ F
inst✝ : P.IsRightKanExtension η
γ : principals X ⋙ principalsKanExtension F ⟶ F := (principals X).pointwiseRightKanExtensionCounit F
x✝ : (principalsKanExtension F).IsRightKanExtension γ := inferInstance
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology X) P

Proof state:
X : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : Preorder X
inst✝³ : Topology.IsUpperSet X
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimits C
F : X ⥤ C
P : (Opens X)ᵒᵖ ⥤ C
η : principals X ⋙ P ⟶ F
inst✝ : P.IsRightKanExtension η
γ : principals X ⋙ principalsKanExtension F ⟶ F := (principals X).pointwiseRightKanExtensionCounit F
x✝ : (principalsKanExtension F).IsRightKanExtension γ := inferInstance
this : P ≅ principalsKanExtension F
⊢ CategoryTheory.Presheaf.IsSheaf (Opens.grothendieckTopology X) P

Tactic:
change TopCat.Presheaf.IsSheaf (X := TopCat.of X) P

Result:
X : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : Preorder X
inst✝³ : Topology.IsUpperSet X
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimits C
F : X ⥤ C
P : (Opens X)ᵒᵖ ⥤ C
η : principals X ⋙ P ⟶ F
inst✝ : P.IsRightKanExtension η
γ : principals X ⋙ principalsKanExtension F ⟶ F := (principals X).pointwiseRightKanExtensionCounit F
x✝ : (principalsKanExtension F).IsRightKanExtension γ := inferInstance
this : P ≅ principalsKanExtension F
⊢ TopCat.Presheaf.IsSheaf P

Proof state:
X : Type v
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : Preorder X
inst✝³ : Topology.IsUpperSet X
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimits C
F : X ⥤ C
P : (Opens X)ᵒᵖ ⥤ C
η : principals X ⋙ P ⟶ F
inst✝ : P.IsRightKanExtension η
γ : principals X ⋙ principalsKanExtension F ⟶ F := (principals X).pointwiseRightKanExtensionCounit F
x✝² : (principalsKanExtension F).IsRightKanExtension γ := inferInstance
this : P ≅ principalsKanExtension F
x✝¹ : Preorder ↑(of X) := inferInstanceAs (Preorder X)
x✝ : Topology.IsUpperSet ↑(of X)
⊢ TopCat.Presheaf.IsSheaf (principalsKanExtension F)

Tactic:
exact isSheaf_principalsKanExtension (X := TopCat.of X) F

Result:
no goals