-- Mathlib/Analysis/Fourier/RiemannLebesgueLemma.lean
theorem tendsto_integral_exp_inner_smul_cocompact_of_continuous_compact_support (hf1 : Continuous f)
    (hf2 : HasCompactSupport f) :
    Tendsto (fun w : V => ∫ v : V, 𝐞 (-⟪v, w⟫) • f v) (cocompact V) (𝓝 0)

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hf1 : Continuous f
hf2 : HasCompactSupport f
ε : ℝ
hε : ε > 0
R : ℝ
hR_bd : ∀ (x : V), R ≤ ‖x‖ → f x = 0
A : Set V := {v | ‖v‖ ≤ R + 1}
mA : MeasurableSet A
B : ℝ≥0
hB_pos : 0 < B
hB_vol : volume A ≤ ↑B
δ : ℝ
hδ1 : δ > 0
hδ2 : ∀ ⦃a b : V⦄, dist a b < δ → dist (f a) (f b) < ε / ↑B
w : V
hw_bd : 1 / 2 + 1 / (2 * δ) ≤ ‖w‖
hw_ne : w ≠ 0
hw'_nm : ‖i w‖ = 1 / (2 * ‖w‖)
this✝ : ‖1 / 2‖ = 2⁻¹
bdA : ∀ v ∈ A, ‖‖f v - f (v + i w)‖‖ ≤ ε / ↑B
bdA2 : ∫ (v : V) in A, ‖f v - f (v + i w)‖ ≤ ε / ↑B * (volume A).toReal
this : ‖∫ (v : V) in A, ‖f v - f (v + i w)‖‖ = ∫ (v : V) in A, ‖f v - f (v + i w)‖
⊢ ε / ↑B * (volume A).toReal < 2 * ε

Tactic:
rw [div_mul_eq_mul_div, div_lt_iff₀ (NNReal.coe_pos.mpr hB_pos), mul_comm (2 : ℝ), mul_assoc,
  mul_lt_mul_left hε]

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hf1 : Continuous f
hf2 : HasCompactSupport f
ε : ℝ
hε : ε > 0
R : ℝ
hR_bd : ∀ (x : V), R ≤ ‖x‖ → f x = 0
A : Set V := {v | ‖v‖ ≤ R + 1}
mA : MeasurableSet A
B : ℝ≥0
hB_pos : 0 < B
hB_vol : volume A ≤ ↑B
δ : ℝ
hδ1 : δ > 0
hδ2 : ∀ ⦃a b : V⦄, dist a b < δ → dist (f a) (f b) < ε / ↑B
w : V
hw_bd : 1 / 2 + 1 / (2 * δ) ≤ ‖w‖
hw_ne : w ≠ 0
hw'_nm : ‖i w‖ = 1 / (2 * ‖w‖)
this✝ : ‖1 / 2‖ = 2⁻¹
bdA : ∀ v ∈ A, ‖‖f v - f (v + i w)‖‖ ≤ ε / ↑B
bdA2 : ∫ (v : V) in A, ‖f v - f (v + i w)‖ ≤ ε / ↑B * (volume A).toReal
this : ‖∫ (v : V) in A, ‖f v - f (v + i w)‖‖ = ∫ (v : V) in A, ‖f v - f (v + i w)‖
⊢ (volume A).toReal < 2 * ↑B

Proof state:
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hf1 : Continuous f
hf2 : HasCompactSupport f
ε : ℝ
hε : ε > 0
R : ℝ
hR_bd : ∀ (x : V), R ≤ ‖x‖ → f x = 0
A : Set V := {v | ‖v‖ ≤ R + 1}
mA : MeasurableSet A
B₀ : ℝ≥0∞ := volume A
hc : B₀ < ⊤
⊢ volume A ≤ ↑(B₀.toNNReal + 1)

Tactic:
rw [ENNReal.coe_add, ENNReal.coe_one, ENNReal.coe_toNNReal hc.ne]

Result:
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hf1 : Continuous f
hf2 : HasCompactSupport f
ε : ℝ
hε : ε > 0
R : ℝ
hR_bd : ∀ (x : V), R ≤ ‖x‖ → f x = 0
A : Set V := {v | ‖v‖ ≤ R + 1}
mA : MeasurableSet A
B₀ : ℝ≥0∞ := volume A
hc : B₀ < ⊤
⊢ volume A ≤ B₀ + 1

Proof state:
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hf1 : Continuous f
hf2 : HasCompactSupport f
ε : ℝ
hε : ε > 0
R : ℝ
hR_bd : ∀ (x : V), R ≤ ‖x‖ → f x = 0
A : Set V := {v | ‖v‖ ≤ R + 1}
mA : MeasurableSet A
B : ℝ≥0
hB_pos : 0 < B
hB_vol : volume A ≤ ↑B
δ : ℝ
hδ1 : δ > 0
hδ2 : ∀ ⦃a b : V⦄, dist a b < δ → dist (f a) (f b) < ε / ↑B
w : V
hw_bd : 1 / 2 + 1 / (2 * δ) ≤ ‖w‖
hw_ne : w ≠ 0
hw'_nm : ‖i w‖ = 1 / (2 * ‖w‖)
this : ‖1 / 2‖ = 2⁻¹
⊢ ∀ v ∈ A, ‖‖f v - f (v + i w)‖‖ ≤ ε / ↑B

Tactic:
simp_rw [norm_norm]

Result:
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hf1 : Continuous f
hf2 : HasCompactSupport f
ε : ℝ
hε : ε > 0
R : ℝ
hR_bd : ∀ (x : V), R ≤ ‖x‖ → f x = 0
A : Set V := {v | ‖v‖ ≤ R + 1}
mA : MeasurableSet A
B : ℝ≥0
hB_pos : 0 < B
hB_vol : volume A ≤ ↑B
δ : ℝ
hδ1 : δ > 0
hδ2 : ∀ ⦃a b : V⦄, dist a b < δ → dist (f a) (f b) < ε / ↑B
w : V
hw_bd : 1 / 2 + 1 / (2 * δ) ≤ ‖w‖
hw_ne : w ≠ 0
hw'_nm : ‖i w‖ = 1 / (2 * ‖w‖)
this : ‖1 / 2‖ = 2⁻¹
⊢ ∀ v ∈ A, ‖f v - f (v + (1 / (2 * ‖w‖ ^ 2)) • w)‖ ≤ ε / ↑B

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hf1 : Continuous f
hf2 : HasCompactSupport f
ε : ℝ
hε : ε > 0
R : ℝ
hR_bd : ∀ (x : V), R ≤ ‖x‖ → f x = 0
A : Set V := {v | ‖v‖ ≤ R + 1}
mA : MeasurableSet A
B : ℝ≥0
hB_pos : 0 < B
hB_vol : volume A ≤ ↑B
δ : ℝ
hδ1 : δ > 0
hδ2 : ∀ ⦃a b : V⦄, dist a b < δ → dist (f a) (f b) < ε / ↑B
w : V
hw_bd : 1 / 2 + 1 / (2 * δ) ≤ ‖w‖
hw_ne : w ≠ 0
hw'_nm : ‖i w‖ = 1 / (2 * ‖w‖)
this : ‖1 / 2‖ = 2⁻¹
int_A : ∫ (v : V), ‖f v - f (v + i w)‖ = ∫ (v : V) in A, ‖f v - f (v + i w)‖
⊢ ∫ (v : V) in A, ‖f v - f (v + i w)‖ < 2 * ε

Tactic:
clear int_A

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hf1 : Continuous f
hf2 : HasCompactSupport f
ε : ℝ
hε : ε > 0
R : ℝ
hR_bd : ∀ (x : V), R ≤ ‖x‖ → f x = 0
A : Set V := {v | ‖v‖ ≤ R + 1}
mA : MeasurableSet A
B : ℝ≥0
hB_pos : 0 < B
hB_vol : volume A ≤ ↑B
δ : ℝ
hδ1 : δ > 0
hδ2 : ∀ ⦃a b : V⦄, dist a b < δ → dist (f a) (f b) < ε / ↑B
w : V
hw_bd : 1 / 2 + 1 / (2 * δ) ≤ ‖w‖
hw_ne : w ≠ 0
hw'_nm : ‖i w‖ = 1 / (2 * ‖w‖)
this : ‖1 / 2‖ = 2⁻¹
⊢ ∫ (v : V) in A, ‖f v - f (v + i w)‖ < 2 * ε

Proof state:
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hf1 : Continuous f
hf2 : HasCompactSupport f
ε : ℝ
hε : ε > 0
R : ℝ
hR_bd : ∀ (x : V), R ≤ ‖x‖ → f x = 0
A : Set V := {v | ‖v‖ ≤ R + 1}
mA : MeasurableSet A
B : ℝ≥0
hB_pos : 0 < B
hB_vol : volume A ≤ ↑B
δ : ℝ
hδ1 : δ > 0
hδ2 : ∀ ⦃a b : V⦄, dist a b < δ → dist (f a) (f b) < ε / ↑B
w : V
hw_bd : 1 / 2 + 1 / (2 * δ) ≤ ‖w‖
⊢ w ≠ 0

Tactic:
contrapose! hw_bd

Result:
E : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
hf1 : Continuous f
hf2 : HasCompactSupport f
ε : ℝ
hε : ε > 0
R : ℝ
hR_bd : ∀ (x : V), R ≤ ‖x‖ → f x = 0
A : Set V := {v | ‖v‖ ≤ R + 1}
mA : MeasurableSet A
B : ℝ≥0
hB_pos : 0 < B
hB_vol : volume A ≤ ↑B
δ : ℝ
hδ1 : δ > 0
hδ2 : ∀ ⦃a b : V⦄, dist a b < δ → dist (f a) (f b) < ε / ↑B
w : V
hw_bd : w = 0
⊢ ‖w‖ < 1 / 2 + 1 / (2 * δ)