-- Mathlib/Algebra/MonoidAlgebra/Degree.lean
theorem le_inf_support_list_prod (degt0 : 0 ≤ degt 0)
    (degtm : ∀ a b, degt a + degt b ≤ degt (a + b)) (l : List R[A]) :
    (l.map fun f : R[A] => f.support.inf degt).sum ≤ l.prod.support.inf degt

Proof state:
case refine_2
R : Type u_1
A : Type u_3
T : Type u_4
inst✝⁶ : SemilatticeInf T
inst✝⁵ : OrderTop T
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : AddMonoid T
inst✝¹ : AddLeftMono T
inst✝ : AddRightMono T
degt : A → T
degt0 : 0 ≤ degt 0
degtm : ∀ (a b : A), degt a + degt b ≤ degt (a + b)
l : List R[A]
⊢ ∀ (a b : A), degt (a + b) ≤ degt a + degt b

Tactic:
refine (fun a b => OrderDual.ofDual_le_ofDual.mp ?_)

Result:
case refine_2
R : Type u_1
A : Type u_3
T : Type u_4
inst✝⁶ : SemilatticeInf T
inst✝⁵ : OrderTop T
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : AddMonoid T
inst✝¹ : AddLeftMono T
inst✝ : AddRightMono T
degt : A → T
degt0 : 0 ≤ degt 0
degtm : ∀ (a b : A), degt a + degt b ≤ degt (a + b)
l : List R[A]
a b : A
⊢ OrderDual.ofDual (degt a + degt b) ≤ OrderDual.ofDual (degt (a + b))

Proof state:
R : Type u_1
A : Type u_3
T : Type u_4
inst✝⁶ : SemilatticeInf T
inst✝⁵ : OrderTop T
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : AddMonoid T
inst✝¹ : AddLeftMono T
inst✝ : AddRightMono T
degt : A → T
degt0 : 0 ≤ degt 0
degtm : ∀ (a b : A), degt a + degt b ≤ degt (a + b)
l : List R[A]
⊢ (List.map (fun f => f.support.inf degt) l).sum ≤ l.prod.support.inf degt

Tactic:
refine OrderDual.ofDual_le_ofDual.mpr ?_

Result:
R : Type u_1
A : Type u_3
T : Type u_4
inst✝⁶ : SemilatticeInf T
inst✝⁵ : OrderTop T
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : AddMonoid T
inst✝¹ : AddLeftMono T
inst✝ : AddRightMono T
degt : A → T
degt0 : 0 ≤ degt 0
degtm : ∀ (a b : A), degt a + degt b ≤ degt (a + b)
l : List R[A]
⊢ Quot.lift (fun l => List.foldr (fun x1 x2 => x1 ⊓ x2) ⊤ l) ⋯ (Multiset.map degt l.prod.support.val) ≤
    List.foldr (fun x1 x2 => x1 + x2) 0 (List.map (fun f => f.support.inf degt) l)

Proof state:
case refine_1
R : Type u_1
A : Type u_3
T : Type u_4
inst✝⁶ : SemilatticeInf T
inst✝⁵ : OrderTop T
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : AddMonoid T
inst✝¹ : AddLeftMono T
inst✝ : AddRightMono T
degt : A → T
degt0 : 0 ≤ degt 0
degtm : ∀ (a b : A), degt a + degt b ≤ degt (a + b)
l : List R[A]
⊢ OrderDual.ofDual 0 ≤ OrderDual.ofDual (degt 0)

Tactic:
exact degt0

Result:
no goals

Proof state:
R : Type u_1
A : Type u_3
T : Type u_4
inst✝⁶ : SemilatticeInf T
inst✝⁵ : OrderTop T
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : AddMonoid T
inst✝¹ : AddLeftMono T
inst✝ : AddRightMono T
degt : A → T
degt0 : 0 ≤ degt 0
degtm : ∀ (a b : A), degt a + degt b ≤ degt (a + b)
l : List R[A]
⊢ Quot.lift (fun l => List.foldr (fun x1 x2 => x1 ⊓ x2) ⊤ l) ⋯ (Multiset.map degt l.prod.support.val) ≤
    List.foldr (fun x1 x2 => x1 + x2) 0 (List.map (fun f => f.support.inf degt) l)

Tactic:
refine sup_support_list_prod_le ?_ ?_ l

Result:
case refine_1
R : Type u_1
A : Type u_3
T : Type u_4
inst✝⁶ : SemilatticeInf T
inst✝⁵ : OrderTop T
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : AddMonoid T
inst✝¹ : AddLeftMono T
inst✝ : AddRightMono T
degt : A → T
degt0 : 0 ≤ degt 0
degtm : ∀ (a b : A), degt a + degt b ≤ degt (a + b)
l : List R[A]
⊢ degt 0 ≤ 0

case refine_2
R : Type u_1
A : Type u_3
T : Type u_4
inst✝⁶ : SemilatticeInf T
inst✝⁵ : OrderTop T
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : AddMonoid T
inst✝¹ : AddLeftMono T
inst✝ : AddRightMono T
degt : A → T
degt0 : 0 ≤ degt 0
degtm : ∀ (a b : A), degt a + degt b ≤ degt (a + b)
l : List R[A]
⊢ ∀ (a b : A), degt (a + b) ≤ degt a + degt b

Proof state:
case refine_2
R : Type u_1
A : Type u_3
T : Type u_4
inst✝⁶ : SemilatticeInf T
inst✝⁵ : OrderTop T
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : AddMonoid T
inst✝¹ : AddLeftMono T
inst✝ : AddRightMono T
degt : A → T
degt0 : 0 ≤ degt 0
degtm : ∀ (a b : A), degt a + degt b ≤ degt (a + b)
l : List R[A]
a b : A
⊢ OrderDual.ofDual (degt a + degt b) ≤ OrderDual.ofDual (degt (a + b))

Tactic:
exact degtm a b

Result:
no goals

Proof state:
case refine_1
R : Type u_1
A : Type u_3
T : Type u_4
inst✝⁶ : SemilatticeInf T
inst✝⁵ : OrderTop T
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : AddMonoid T
inst✝¹ : AddLeftMono T
inst✝ : AddRightMono T
degt : A → T
degt0 : 0 ≤ degt 0
degtm : ∀ (a b : A), degt a + degt b ≤ degt (a + b)
l : List R[A]
⊢ degt 0 ≤ 0

Tactic:
refine (OrderDual.ofDual_le_ofDual.mp ?_)

Result:
case refine_1
R : Type u_1
A : Type u_3
T : Type u_4
inst✝⁶ : SemilatticeInf T
inst✝⁵ : OrderTop T
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : AddMonoid T
inst✝¹ : AddLeftMono T
inst✝ : AddRightMono T
degt : A → T
degt0 : 0 ≤ degt 0
degtm : ∀ (a b : A), degt a + degt b ≤ degt (a + b)
l : List R[A]
⊢ OrderDual.ofDual 0 ≤ OrderDual.ofDual (degt 0)