-- Mathlib/Data/Finset/Card.lean
/-- Suppose that, given objects defined on all nonempty strict subsets of any nontrivial finset `s`,
one knows how to define an object on `s`. Then one can inductively define an object on all finsets,
starting from singletons and iterating.

TODO: Currently this can only be used to prove properties.
Replace `Finset.Nonempty.exists_eq_singleton_or_nontrivial` with computational content
in order to let `p` be `Sort`-valued. -/
@[elab_as_elim]
protected lemma Nonempty.strong_induction {p : ∀ s, s.Nonempty → Prop}
    (h₀ : ∀ a, p {a} (singleton_nonempty _))
    (h₁ : ∀ ⦃s⦄ (hs : s.Nontrivial), (∀ t ht, t ⊂ s → p t ht) → p s hs.nonempty) :
    ∀ ⦃s : Finset α⦄ (hs), p s hs
  | s, hs => by
    obtain ⟨a, rfl⟩ | hs := hs.exists_eq_singleton_or_nontrivial
    · exact h₀ _
    · refine h₁ hs fun t ht hts ↦ ?_
      have := card_lt_card hts
      exact ht.strong_induction h₀ h₁
termination_by s => #s

Proof state:
case inr
α : Type u_1
p : (s : Finset α) → s.Nonempty → Prop
h₀ : ∀ (a : α), p {a} ⋯
h₁ : ∀ ⦃s : Finset α⦄ (hs : s.Nontrivial), (∀ (t : Finset α) (ht : t.Nonempty), t ⊂ s → p t ht) → p s ⋯
s : Finset α
hs✝ : s.Nonempty
hs : s.Nontrivial
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hts : t ⊂ s
this : #t < #s
⊢ p t ht

Tactic:
exact ht.strong_induction h₀ h₁

Result:
no goals

Proof state:
case inr
α : Type u_1
p : (s : Finset α) → s.Nonempty → Prop
h₀ : ∀ (a : α), p {a} ⋯
h₁ : ∀ ⦃s : Finset α⦄ (hs : s.Nontrivial), (∀ (t : Finset α) (ht : t.Nonempty), t ⊂ s → p t ht) → p s ⋯
s : Finset α
hs✝ : s.Nonempty
hs : s.Nontrivial
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hts : t ⊂ s
⊢ p t ht

Tactic:
have := card_lt_card hts

Result:
case inr
α : Type u_1
p : (s : Finset α) → s.Nonempty → Prop
h₀ : ∀ (a : α), p {a} ⋯
h₁ : ∀ ⦃s : Finset α⦄ (hs : s.Nontrivial), (∀ (t : Finset α) (ht : t.Nonempty), t ⊂ s → p t ht) → p s ⋯
s : Finset α
hs✝ : s.Nonempty
hs : s.Nontrivial
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hts : t ⊂ s
this : #t < #s
⊢ p t ht

Proof state:
α : Type u_1
p : (s : Finset α) → s.Nonempty → Prop
h₀ : ∀ (a : α), p {a} ⋯
h₁ : ∀ ⦃s : Finset α⦄ (hs : s.Nontrivial), (∀ (t : Finset α) (ht : t.Nonempty), t ⊂ s → p t ht) → p s ⋯
s : Finset α
hs : s.Nonempty
⊢ p s hs

Tactic:
obtain ⟨a, rfl⟩ | hs := hs.exists_eq_singleton_or_nontrivial

Result:
case inl.intro
α : Type u_1
p : (s : Finset α) → s.Nonempty → Prop
h₀ : ∀ (a : α), p {a} ⋯
h₁ : ∀ ⦃s : Finset α⦄ (hs : s.Nontrivial), (∀ (t : Finset α) (ht : t.Nonempty), t ⊂ s → p t ht) → p s ⋯
a : α
hs : {a}.Nonempty
⊢ p {a} hs

case inr
α : Type u_1
p : (s : Finset α) → s.Nonempty → Prop
h₀ : ∀ (a : α), p {a} ⋯
h₁ : ∀ ⦃s : Finset α⦄ (hs : s.Nontrivial), (∀ (t : Finset α) (ht : t.Nonempty), t ⊂ s → p t ht) → p s ⋯
s : Finset α
hs✝ : s.Nonempty
hs : s.Nontrivial
⊢ p s hs✝

Proof state:
case inr
α : Type u_1
p : (s : Finset α) → s.Nonempty → Prop
h₀ : ∀ (a : α), p {a} ⋯
h₁ : ∀ ⦃s : Finset α⦄ (hs : s.Nontrivial), (∀ (t : Finset α) (ht : t.Nonempty), t ⊂ s → p t ht) → p s ⋯
s : Finset α
hs✝ : s.Nonempty
hs : s.Nontrivial
⊢ p s hs✝

Tactic:
refine h₁ hs fun t ht hts ↦ ?_

Result:
case inr
α : Type u_1
p : (s : Finset α) → s.Nonempty → Prop
h₀ : ∀ (a : α), p {a} ⋯
h₁ : ∀ ⦃s : Finset α⦄ (hs : s.Nontrivial), (∀ (t : Finset α) (ht : t.Nonempty), t ⊂ s → p t ht) → p s ⋯
s : Finset α
hs✝ : s.Nonempty
hs : s.Nontrivial
t : Finset α
ht : t.Nonempty
hts : t ⊂ s
⊢ p t ht

Proof state:
case inl.intro
α : Type u_1
p : (s : Finset α) → s.Nonempty → Prop
h₀ : ∀ (a : α), p {a} ⋯
h₁ : ∀ ⦃s : Finset α⦄ (hs : s.Nontrivial), (∀ (t : Finset α) (ht : t.Nonempty), t ⊂ s → p t ht) → p s ⋯
a : α
hs : {a}.Nonempty
⊢ p {a} hs

Tactic:
exact h₀ _

Result:
no goals