-- Mathlib/Analysis/Calculus/ContDiff/Operations.lean
theorem iteratedFDerivWithin_add_apply {f g : E → F} (hf : ContDiffWithinAt 𝕜 i f s x)
    (hg : ContDiffWithinAt 𝕜 i g s x) (hu : UniqueDiffOn 𝕜 s) (hx : x ∈ s) :
    iteratedFDerivWithin 𝕜 i (f + g) s x =
      iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x + iteratedFDerivWithin 𝕜 i g s x

Proof state:
case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
x : E
i : ℕ
f g : E → F
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑i) f s x
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑i) g s x
hu : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
this : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝[insert x s] x, ContDiffWithinAt 𝕜 (↑i) f s x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 (↑i) g s x
t : Set E
ht : IsOpen t
hxt : x ∈ t
h : t ∩ insert x s ⊆ {x | (fun x => ContDiffWithinAt 𝕜 (↑i) f s x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 (↑i) g s x) x}
⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 i (f + g) s x = iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x + iteratedFDerivWithin 𝕜 i g s x

Tactic:
have hft : ContDiffOn 𝕜 i f (s ∩ t) := fun a ha ↦ (h (by simp_all)).1.mono inter_subset_left

Result:
case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
x : E
i : ℕ
f g : E → F
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑i) f s x
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑i) g s x
hu : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
this : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝[insert x s] x, ContDiffWithinAt 𝕜 (↑i) f s x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 (↑i) g s x
t : Set E
ht : IsOpen t
hxt : x ∈ t
h : t ∩ insert x s ⊆ {x | (fun x => ContDiffWithinAt 𝕜 (↑i) f s x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 (↑i) g s x) x}
hft : ContDiffOn 𝕜 (↑i) f (s ∩ t)
⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 i (f + g) s x = iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x + iteratedFDerivWithin 𝕜 i g s x

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
x : E
i : ℕ
f g : E → F
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑i) f s x
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑i) g s x
hu : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
this : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝[insert x s] x, ContDiffWithinAt 𝕜 (↑i) f s x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 (↑i) g s x
t : Set E
ht : IsOpen t
hxt : x ∈ t
h : t ∩ insert x s ⊆ {x | (fun x => ContDiffWithinAt 𝕜 (↑i) f s x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 (↑i) g s x) x}
a : E
ha : a ∈ s ∩ t
⊢ a ∈ t ∩ insert x s

Tactic:
simp_all

Result:
no goals

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
x : E
i : ℕ
f g : E → F
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑i) f s x
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑i) g s x
hu : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
this : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝[insert x s] x, ContDiffWithinAt 𝕜 (↑i) f s x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 (↑i) g s x
⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 i (f + g) s x = iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x + iteratedFDerivWithin 𝕜 i g s x

Tactic:
obtain ⟨t, ht, hxt, h⟩ := mem_nhdsWithin.mp this

Result:
case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
x : E
i : ℕ
f g : E → F
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑i) f s x
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑i) g s x
hu : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
this : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝[insert x s] x, ContDiffWithinAt 𝕜 (↑i) f s x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 (↑i) g s x
t : Set E
ht : IsOpen t
hxt : x ∈ t
h : t ∩ insert x s ⊆ {x | (fun x => ContDiffWithinAt 𝕜 (↑i) f s x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 (↑i) g s x) x}
⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 i (f + g) s x = iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x + iteratedFDerivWithin 𝕜 i g s x

Proof state:
case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
x : E
i : ℕ
f g : E → F
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑i) f s x
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑i) g s x
hu : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
this : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝[insert x s] x, ContDiffWithinAt 𝕜 (↑i) f s x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 (↑i) g s x
t : Set E
ht : IsOpen t
hxt : x ∈ t
h : t ∩ insert x s ⊆ {x | (fun x => ContDiffWithinAt 𝕜 (↑i) f s x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 (↑i) g s x) x}
hft : ContDiffOn 𝕜 (↑i) f (s ∩ t)
hgt : ContDiffOn 𝕜 (↑i) g (s ∩ t)
hut : UniqueDiffOn 𝕜 (s ∩ t)
H : s ∩ t =ᶠ[𝓝 x] s
⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 i (f + g) (s ∩ t) x =
    iteratedFDerivWithin 𝕜 i f (s ∩ t) x + iteratedFDerivWithin 𝕜 i g (s ∩ t) x

Tactic:
exact .symm (((hft.ftaylorSeriesWithin hut).add
    (hgt.ftaylorSeriesWithin hut)).eq_iteratedFDerivWithin_of_uniqueDiffOn le_rfl hut ⟨hx, hxt⟩)

Result:
no goals

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
x : E
i : ℕ
f g : E → F
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑i) f s x
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑i) g s x
hu : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
⊢ ↑i ≠ ∞

Tactic:
simp

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
x : E
i : ℕ
f g : E → F
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑i) f s x
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑i) g s x
hu : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
this : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝[insert x s] x, ContDiffWithinAt 𝕜 (↑i) f s x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 (↑i) g s x
t : Set E
ht : IsOpen t
hxt : x ∈ t
h : t ∩ insert x s ⊆ {x | (fun x => ContDiffWithinAt 𝕜 (↑i) f s x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 (↑i) g s x) x}
hft : ContDiffOn 𝕜 (↑i) f (s ∩ t)
hgt : ContDiffOn 𝕜 (↑i) g (s ∩ t)
⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 i (f + g) s x = iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x + iteratedFDerivWithin 𝕜 i g s x

Tactic:
have hut : UniqueDiffOn 𝕜 (s ∩ t) := hu.inter ht

Result:
case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
s : Set E
x : E
i : ℕ
f g : E → F
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑i) f s x
hg : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑i) g s x
hu : UniqueDiffOn 𝕜 s
hx : x ∈ s
this : ∀ᶠ (x : E) in 𝓝[insert x s] x, ContDiffWithinAt 𝕜 (↑i) f s x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 (↑i) g s x
t : Set E
ht : IsOpen t
hxt : x ∈ t
h : t ∩ insert x s ⊆ {x | (fun x => ContDiffWithinAt 𝕜 (↑i) f s x ∧ ContDiffWithinAt 𝕜 (↑i) g s x) x}
hft : ContDiffOn 𝕜 (↑i) f (s ∩ t)
hgt : ContDiffOn 𝕜 (↑i) g (s ∩ t)
hut : UniqueDiffOn 𝕜 (s ∩ t)
⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 i (f + g) s x = iteratedFDerivWithin 𝕜 i f s x + iteratedFDerivWithin 𝕜 i g s x