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theorem IsScalarTower.of_mclosure_eq_top {N α} [Monoid M] [MulAction M N] [SMul N α] [MulAction M α]
    {s : Set M} (htop : Submonoid.closure s = ⊤)
    (hs : ∀ x ∈ s, ∀ (y : N) (z : α), (x • y) • z = x • y • z) : IsScalarTower M N α

Proof state:
case refine_1
M : Type u_1
N : Type u_4
α : Type u_5
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MulAction M N
inst✝¹ : SMul N α
inst✝ : MulAction M α
s : Set M
htop : Submonoid.closure s = ⊤
hs : ∀ x ∈ s, ∀ (y : N) (z : α), (x • y) • z = x • y • z
x : M
y : N
z : α
⊢ (1 • y) • z = 1 • y • z

Tactic:
rw [one_smul, one_smul]

Result:
no goals

Proof state:
M : Type u_1
N : Type u_4
α : Type u_5
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MulAction M N
inst✝¹ : SMul N α
inst✝ : MulAction M α
s : Set M
htop : Submonoid.closure s = ⊤
hs : ∀ x ∈ s, ∀ (y : N) (z : α), (x • y) • z = x • y • z
⊢ IsScalarTower M N α

Tactic:
refine ⟨fun x => Submonoid.induction_of_closure_eq_top_left htop x ?_ ?_⟩

Result:
case refine_1
M : Type u_1
N : Type u_4
α : Type u_5
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MulAction M N
inst✝¹ : SMul N α
inst✝ : MulAction M α
s : Set M
htop : Submonoid.closure s = ⊤
hs : ∀ x ∈ s, ∀ (y : N) (z : α), (x • y) • z = x • y • z
x : M
⊢ ∀ (y : N) (z : α), (1 • y) • z = 1 • y • z

case refine_2
M : Type u_1
N : Type u_4
α : Type u_5
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MulAction M N
inst✝¹ : SMul N α
inst✝ : MulAction M α
s : Set M
htop : Submonoid.closure s = ⊤
hs : ∀ x ∈ s, ∀ (y : N) (z : α), (x • y) • z = x • y • z
x : M
⊢ ∀ x ∈ s,
    ∀ (y : M),
      (∀ (y_1 : N) (z : α), (y • y_1) • z = y • y_1 • z) → ∀ (y_1 : N) (z : α), ((x * y) • y_1) • z = (x * y) • y_1 • z

Proof state:
case refine_2
M : Type u_1
N : Type u_4
α : Type u_5
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MulAction M N
inst✝¹ : SMul N α
inst✝ : MulAction M α
s : Set M
htop : Submonoid.closure s = ⊤
hs : ∀ x ∈ s, ∀ (y : N) (z : α), (x • y) • z = x • y • z
x : M
⊢ ∀ x ∈ s,
    ∀ (y : M),
      (∀ (y_1 : N) (z : α), (y • y_1) • z = y • y_1 • z) → ∀ (y_1 : N) (z : α), ((x * y) • y_1) • z = (x * y) • y_1 • z

Tactic:
clear x

Result:
case refine_2
M : Type u_1
N : Type u_4
α : Type u_5
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MulAction M N
inst✝¹ : SMul N α
inst✝ : MulAction M α
s : Set M
htop : Submonoid.closure s = ⊤
hs : ∀ x ∈ s, ∀ (y : N) (z : α), (x • y) • z = x • y • z
⊢ ∀ x ∈ s,
    ∀ (y : M),
      (∀ (y_1 : N) (z : α), (y • y_1) • z = y • y_1 • z) → ∀ (y_1 : N) (z : α), ((x * y) • y_1) • z = (x * y) • y_1 • z

Proof state:
case refine_1
M : Type u_1
N : Type u_4
α : Type u_5
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MulAction M N
inst✝¹ : SMul N α
inst✝ : MulAction M α
s : Set M
htop : Submonoid.closure s = ⊤
hs : ∀ x ∈ s, ∀ (y : N) (z : α), (x • y) • z = x • y • z
x : M
⊢ ∀ (y : N) (z : α), (1 • y) • z = 1 • y • z

Tactic:
intro y z

Result:
case refine_1
M : Type u_1
N : Type u_4
α : Type u_5
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MulAction M N
inst✝¹ : SMul N α
inst✝ : MulAction M α
s : Set M
htop : Submonoid.closure s = ⊤
hs : ∀ x ∈ s, ∀ (y : N) (z : α), (x • y) • z = x • y • z
x : M
y : N
z : α
⊢ (1 • y) • z = 1 • y • z

Proof state:
case refine_2
M : Type u_1
N : Type u_4
α : Type u_5
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MulAction M N
inst✝¹ : SMul N α
inst✝ : MulAction M α
s : Set M
htop : Submonoid.closure s = ⊤
hs : ∀ x ∈ s, ∀ (y : N) (z : α), (x • y) • z = x • y • z
⊢ ∀ x ∈ s,
    ∀ (y : M),
      (∀ (y_1 : N) (z : α), (y • y_1) • z = y • y_1 • z) → ∀ (y_1 : N) (z : α), ((x * y) • y_1) • z = (x * y) • y_1 • z

Tactic:
intro x hx x' hx' y z

Result:
case refine_2
M : Type u_1
N : Type u_4
α : Type u_5
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MulAction M N
inst✝¹ : SMul N α
inst✝ : MulAction M α
s : Set M
htop : Submonoid.closure s = ⊤
hs : ∀ x ∈ s, ∀ (y : N) (z : α), (x • y) • z = x • y • z
x : M
hx : x ∈ s
x' : M
hx' : ∀ (y : N) (z : α), (x' • y) • z = x' • y • z
y : N
z : α
⊢ ((x * x') • y) • z = (x * x') • y • z

Proof state:
case refine_2
M : Type u_1
N : Type u_4
α : Type u_5
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MulAction M N
inst✝¹ : SMul N α
inst✝ : MulAction M α
s : Set M
htop : Submonoid.closure s = ⊤
hs : ∀ x ∈ s, ∀ (y : N) (z : α), (x • y) • z = x • y • z
x : M
hx : x ∈ s
x' : M
hx' : ∀ (y : N) (z : α), (x' • y) • z = x' • y • z
y : N
z : α
⊢ ((x * x') • y) • z = (x * x') • y • z

Tactic:
rw [mul_smul, mul_smul, hs x hx, hx']

Result:
no goals