-- Mathlib/Analysis/Convex/Deriv.lean
theorem StrictMonoOn.exists_slope_lt_deriv_aux {x y : ℝ} {f : ℝ → ℝ} (hf : ContinuousOn f (Icc x y))
    (hxy : x < y) (hf'_mono : StrictMonoOn (deriv f) (Ioo x y)) (h : ∀ w ∈ Ioo x y, deriv f w ≠ 0) :
    ∃ a ∈ Ioo x y, (f y - f x) / (y - x) < deriv f a

Proof state:
x y : ℝ
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc x y)
hxy : x < y
hf'_mono : StrictMonoOn (deriv f) (Ioo x y)
h : ∀ w ∈ Ioo x y, deriv f w ≠ 0
A : DifferentiableOn ℝ f (Ioo x y)
⊢ ∃ a ∈ Ioo x y, (f y - f x) / (y - x) < deriv f a

Tactic:
obtain ⟨a, ⟨hxa, hay⟩, ha⟩ : ∃ a ∈ Ioo x y, deriv f a = (f y - f x) / (y - x) :=
  exists_deriv_eq_slope f hxy hf A

Result:
case intro.intro.intro
x y : ℝ
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc x y)
hxy : x < y
hf'_mono : StrictMonoOn (deriv f) (Ioo x y)
h : ∀ w ∈ Ioo x y, deriv f w ≠ 0
A : DifferentiableOn ℝ f (Ioo x y)
a : ℝ
ha : deriv f a = (f y - f x) / (y - x)
hxa : x < a
hay : a < y
⊢ ∃ a ∈ Ioo x y, (f y - f x) / (y - x) < deriv f a

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro
x y : ℝ
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc x y)
hxy : x < y
hf'_mono : StrictMonoOn (deriv f) (Ioo x y)
h : ∀ w ∈ Ioo x y, deriv f w ≠ 0
A : DifferentiableOn ℝ f (Ioo x y)
a : ℝ
ha : deriv f a = (f y - f x) / (y - x)
hxa : x < a
hay : a < y
b : ℝ
hab : a < b
hby : b < y
⊢ deriv f a < deriv f b

Tactic:
exact hf'_mono ⟨hxa, hay⟩ ⟨hxa.trans hab, hby⟩ hab

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro.intro
x y : ℝ
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc x y)
hxy : x < y
hf'_mono : StrictMonoOn (deriv f) (Ioo x y)
h : ∀ w ∈ Ioo x y, deriv f w ≠ 0
A : DifferentiableOn ℝ f (Ioo x y)
a : ℝ
ha : deriv f a = (f y - f x) / (y - x)
hxa : x < a
hay : a < y
⊢ ∃ a ∈ Ioo x y, (f y - f x) / (y - x) < deriv f a

Tactic:
rcases nonempty_Ioo.2 hay with ⟨b, ⟨hab, hby⟩⟩

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro
x y : ℝ
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc x y)
hxy : x < y
hf'_mono : StrictMonoOn (deriv f) (Ioo x y)
h : ∀ w ∈ Ioo x y, deriv f w ≠ 0
A : DifferentiableOn ℝ f (Ioo x y)
a : ℝ
ha : deriv f a = (f y - f x) / (y - x)
hxa : x < a
hay : a < y
b : ℝ
hab : a < b
hby : b < y
⊢ ∃ a ∈ Ioo x y, (f y - f x) / (y - x) < deriv f a

Proof state:
x y : ℝ
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc x y)
hxy : x < y
hf'_mono : StrictMonoOn (deriv f) (Ioo x y)
h : ∀ w ∈ Ioo x y, deriv f w ≠ 0
⊢ ∃ a ∈ Ioo x y, (f y - f x) / (y - x) < deriv f a

Tactic:
have A : DifferentiableOn ℝ f (Ioo x y) := fun w wmem =>
  (differentiableAt_of_deriv_ne_zero (h w wmem)).differentiableWithinAt

Result:
x y : ℝ
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc x y)
hxy : x < y
hf'_mono : StrictMonoOn (deriv f) (Ioo x y)
h : ∀ w ∈ Ioo x y, deriv f w ≠ 0
A : DifferentiableOn ℝ f (Ioo x y)
⊢ ∃ a ∈ Ioo x y, (f y - f x) / (y - x) < deriv f a

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro
x y : ℝ
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc x y)
hxy : x < y
hf'_mono : StrictMonoOn (deriv f) (Ioo x y)
h : ∀ w ∈ Ioo x y, deriv f w ≠ 0
A : DifferentiableOn ℝ f (Ioo x y)
a : ℝ
ha : deriv f a = (f y - f x) / (y - x)
hxa : x < a
hay : a < y
b : ℝ
hab : a < b
hby : b < y
⊢ ∃ a ∈ Ioo x y, (f y - f x) / (y - x) < deriv f a

Tactic:
refine ⟨b, ⟨hxa.trans hab, hby⟩, ?_⟩

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro
x y : ℝ
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc x y)
hxy : x < y
hf'_mono : StrictMonoOn (deriv f) (Ioo x y)
h : ∀ w ∈ Ioo x y, deriv f w ≠ 0
A : DifferentiableOn ℝ f (Ioo x y)
a : ℝ
ha : deriv f a = (f y - f x) / (y - x)
hxa : x < a
hay : a < y
b : ℝ
hab : a < b
hby : b < y
⊢ (f y - f x) / (y - x) < deriv f b

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro
x y : ℝ
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc x y)
hxy : x < y
hf'_mono : StrictMonoOn (deriv f) (Ioo x y)
h : ∀ w ∈ Ioo x y, deriv f w ≠ 0
A : DifferentiableOn ℝ f (Ioo x y)
a : ℝ
ha : deriv f a = (f y - f x) / (y - x)
hxa : x < a
hay : a < y
b : ℝ
hab : a < b
hby : b < y
⊢ (f y - f x) / (y - x) < deriv f b

Tactic:
rw [← ha]

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro
x y : ℝ
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc x y)
hxy : x < y
hf'_mono : StrictMonoOn (deriv f) (Ioo x y)
h : ∀ w ∈ Ioo x y, deriv f w ≠ 0
A : DifferentiableOn ℝ f (Ioo x y)
a : ℝ
ha : deriv f a = (f y - f x) / (y - x)
hxa : x < a
hay : a < y
b : ℝ
hab : a < b
hby : b < y
⊢ deriv f a < deriv f b