-- Mathlib/Algebra/Lie/TraceForm.lean
lemma lowerCentralSeries_one_inf_center_le_ker_traceForm [Module.Free R M] [Module.Finite R M] :
    lowerCentralSeries R L L 1 ⊓ LieAlgebra.center R L ≤ LinearMap.ker (traceForm R L M)

Proof state:
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsPrincipalIdealRing R
inst✝¹ : Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
z : L
hzc : z ∈ LieAlgebra.center R L
x : L
A : Type u_1 := AlgebraicClosure (FractionRing R)
hz : z ∈ ⁅⊤, ⊤⁆
⊢ 1 ⊗ₜ[R] z ∈ ⁅⊤, ⊤⁆

Tactic:
rw [← LieSubmodule.baseChange_top, ← LieSubmodule.lie_baseChange]

Result:
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsPrincipalIdealRing R
inst✝¹ : Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
z : L
hzc : z ∈ LieAlgebra.center R L
x : L
A : Type u_1 := AlgebraicClosure (FractionRing R)
hz : z ∈ ⁅⊤, ⊤⁆
⊢ 1 ⊗ₜ[R] z ∈ LieSubmodule.baseChange A ⁅⊤, ⊤⁆

Proof state:
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsPrincipalIdealRing R
inst✝¹ : Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
z x : L
A : Type u_1 := AlgebraicClosure (FractionRing R)
hz : 1 ⊗ₜ[R] z ∈ lowerCentralSeries A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L) 1
hzc : ∀ (x : L), ⁅x, z⁆ = 0
⊢ ∀ (x : A ⊗[R] L), ⁅x, 1 ⊗ₜ[R] z⁆ = 0

Tactic:
intro y

Result:
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsPrincipalIdealRing R
inst✝¹ : Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
z x : L
A : Type u_1 := AlgebraicClosure (FractionRing R)
hz : 1 ⊗ₜ[R] z ∈ lowerCentralSeries A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L) 1
hzc : ∀ (x : L), ⁅x, z⁆ = 0
y : A ⊗[R] L
⊢ ⁅y, 1 ⊗ₜ[R] z⁆ = 0

Proof state:
case intro.h
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsPrincipalIdealRing R
inst✝¹ : Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
z : L
hz : z ∈ lowerCentralSeries R L L 1
hzc : z ∈ LieAlgebra.center R L
x : L
A : Type u_1 := AlgebraicClosure (FractionRing R)
⊢ (trace R M) (φ z ∘ₗ φ x) = 0

Tactic:
suffices algebraMap R A (trace R _ ((φ z).comp (φ x))) = 0 by
  have _i : NoZeroSMulDivisors R A := NoZeroSMulDivisors.trans_faithfulSMul R (FractionRing R) A
  rw [← map_zero (algebraMap R A)] at this
  exact FaithfulSMul.algebraMap_injective R A this

Result:
case intro.h
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsPrincipalIdealRing R
inst✝¹ : Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
z : L
hz : z ∈ lowerCentralSeries R L L 1
hzc : z ∈ LieAlgebra.center R L
x : L
A : Type u_1 := AlgebraicClosure (FractionRing R)
⊢ (algebraMap R A) ((trace R M) (φ z ∘ₗ φ x)) = 0

Proof state:
case intro.h.h_comm
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsPrincipalIdealRing R
inst✝¹ : Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
z x : L
A : Type u_1 := AlgebraicClosure (FractionRing R)
hz : 1 ⊗ₜ[R] z ∈ lowerCentralSeries A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] L) 1
hzc : 1 ⊗ₜ[R] z ∈ LieAlgebra.center A (A ⊗[R] L)
⊢ Commute ((toEnd A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] M)) (1 ⊗ₜ[R] x)) ((toEnd A (A ⊗[R] L) (A ⊗[R] M)) (1 ⊗ₜ[R] z))

Tactic:
exact commute_toEnd_of_mem_center_right (A ⊗[R] M) hzc (1 ⊗ₜ x)

Result:
no goals

Proof state:
case intro.h
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsPrincipalIdealRing R
inst✝¹ : Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
z : L
hz : z ∈ lowerCentralSeries R L L 1
hzc : z ∈ LieAlgebra.center R L
x : L
⊢ ((traceForm R L M) z) x = 0 x

Tactic:
rw [traceForm_apply_apply, LinearMap.zero_apply]

Result:
case intro.h
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsPrincipalIdealRing R
inst✝¹ : Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
z : L
hz : z ∈ lowerCentralSeries R L L 1
hzc : z ∈ LieAlgebra.center R L
x : L
⊢ (trace R M) (φ z ∘ₗ φ x) = 0

Proof state:
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsPrincipalIdealRing R
inst✝¹ : Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
z : L
hz : z ∈ lowerCentralSeries R L L 1
hzc : z ∈ LieAlgebra.center R L
x : L
A : Type u_1 := AlgebraicClosure (FractionRing R)
this : (algebraMap R A) ((trace R M) (φ z ∘ₗ φ x)) = 0
⊢ (trace R M) (φ z ∘ₗ φ x) = 0

Tactic:
have _i : NoZeroSMulDivisors R A := NoZeroSMulDivisors.trans_faithfulSMul R (FractionRing R) A

Result:
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsPrincipalIdealRing R
inst✝¹ : Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
z : L
hz : z ∈ lowerCentralSeries R L L 1
hzc : z ∈ LieAlgebra.center R L
x : L
A : Type u_1 := AlgebraicClosure (FractionRing R)
this : (algebraMap R A) ((trace R M) (φ z ∘ₗ φ x)) = 0
_i : NoZeroSMulDivisors R A
⊢ (trace R M) (φ z ∘ₗ φ x) = 0

Proof state:
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsPrincipalIdealRing R
inst✝¹ : Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
z : L
hz : z ∈ lowerCentralSeries R L L 1
hzc : z ∈ LieAlgebra.center R L
x : L
A : Type u_1 := AlgebraicClosure (FractionRing R)
this : (algebraMap R A) ((trace R M) (φ z ∘ₗ φ x)) = 0
_i : NoZeroSMulDivisors R A
⊢ (trace R M) (φ z ∘ₗ φ x) = 0

Tactic:
rw [← map_zero (algebraMap R A)] at this

Result:
R : Type u_1
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : LieRing L
inst✝⁹ : LieAlgebra R L
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : LieRingModule L M
inst✝⁵ : LieModule R L M
inst✝⁴ : LieRing.IsNilpotent L
inst✝³ : IsDomain R
inst✝² : IsPrincipalIdealRing R
inst✝¹ : Free R M
inst✝ : Module.Finite R M
z : L
hz : z ∈ lowerCentralSeries R L L 1
hzc : z ∈ LieAlgebra.center R L
x : L
A : Type u_1 := AlgebraicClosure (FractionRing R)
this : (algebraMap R A) ((trace R M) (φ z ∘ₗ φ x)) = (algebraMap R A) 0
_i : NoZeroSMulDivisors R A
⊢ (trace R M) (φ z ∘ₗ φ x) = 0