-- Mathlib/Geometry/Manifold/VectorField.lean
/-- The pullback of a `C^m` vector field by a `C^n` function with invertible derivative and
with `m + 1 ≤ n` is `C^m`.
Version within a set at a point, but with full pullback. -/
protected lemma _root_.ContMDiffWithinAt.mpullback_vectorField_of_mem_nhdsWithin_of_eq
    (hV : ContMDiffWithinAt I' I'.tangent m (fun (y : M') ↦ (V y : TangentBundle I' M')) t y₀)
    (hf : ContMDiffAt I I' n f x₀) (hf' : (mfderiv I I' f x₀).IsInvertible) (hmn : m + 1 ≤ n)
    (hst : f ⁻¹' t ∈ 𝓝[s] x₀) (hy₀ : y₀ = f x₀) :
    ContMDiffWithinAt I I.tangent m
      (fun (y : M) ↦ (mpullback I I' f V y : TangentBundle I M)) s x₀

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x₀ : M
V : (x : M') → TangentSpace I' x
m n : WithTop ℕ∞
t : Set M'
inst✝⁴ : IsManifold I n M
inst✝³ : IsManifold I' n M'
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
inst✝ : IsManifold I' 1 M'
hf : ContMDiffAt I I' n f x₀
hf' : (mfderiv I I' f x₀).IsInvertible
hmn : m + 1 ≤ n
hst : f ⁻¹' t ∈ 𝓝[s] x₀
hV : ContMDiffWithinAt I' I'.tangent m (fun y => { proj := y, snd := V y }) t (f x₀)
⊢ ContMDiffWithinAt I I.tangent m (fun y => { proj := y, snd := mpullback I I' f V y }) s x₀

Tactic:
exact ContMDiffWithinAt.mpullback_vectorField_of_mem_nhdsWithin hV hf hf' hmn hst

Result:
no goals

Proof state:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x₀ : M
V : (x : M') → TangentSpace I' x
m n : WithTop ℕ∞
t : Set M'
y₀ : M'
inst✝⁴ : IsManifold I n M
inst✝³ : IsManifold I' n M'
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
inst✝ : IsManifold I' 1 M'
hV : ContMDiffWithinAt I' I'.tangent m (fun y => { proj := y, snd := V y }) t y₀
hf : ContMDiffAt I I' n f x₀
hf' : (mfderiv I I' f x₀).IsInvertible
hmn : m + 1 ≤ n
hst : f ⁻¹' t ∈ 𝓝[s] x₀
hy₀ : y₀ = f x₀
⊢ ContMDiffWithinAt I I.tangent m (fun y => { proj := y, snd := mpullback I I' f V y }) s x₀

Tactic:
subst hy₀

Result:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
inst✝¹⁰ : ChartedSpace H M
H' : Type u_5
inst✝⁹ : TopologicalSpace H'
E' : Type u_6
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁶ : TopologicalSpace M'
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M'
f : M → M'
s : Set M
x₀ : M
V : (x : M') → TangentSpace I' x
m n : WithTop ℕ∞
t : Set M'
inst✝⁴ : IsManifold I n M
inst✝³ : IsManifold I' n M'
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : IsManifold I 1 M
inst✝ : IsManifold I' 1 M'
hf : ContMDiffAt I I' n f x₀
hf' : (mfderiv I I' f x₀).IsInvertible
hmn : m + 1 ≤ n
hst : f ⁻¹' t ∈ 𝓝[s] x₀
hV : ContMDiffWithinAt I' I'.tangent m (fun y => { proj := y, snd := V y }) t (f x₀)
⊢ ContMDiffWithinAt I I.tangent m (fun y => { proj := y, snd := mpullback I I' f V y }) s x₀