-- Mathlib/Analysis/Normed/Operator/Banach.lean
theorem exists_approx_preimage_norm_le (surj : Surjective f) :
    ∃ C ≥ 0, ∀ y, ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ C * ‖y‖

Proof state:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
E : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝³ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝² : RingHomIsometric σ
inst✝¹ : RingHomIsometric σ'
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this✝ : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) (f x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < ↑n
xz₁ : f x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
z₂ : F
z₂im : z₂ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₂ : E
h₂ : dist a (f x₂) < δ
hx₂ : ‖x₂‖ < ↑n
xz₂ : f x₂ = z₂
x : E := x₁ - x₂
⊢ ‖f x₁ - (a + d • y)‖ + ‖f x₂ - a‖ ≤ δ + δ

Tactic:
rw [dist_eq_norm'] at h₁ h₂

Result:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
E : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝³ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝² : RingHomIsometric σ
inst✝¹ : RingHomIsometric σ'
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this✝ : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₁ : E
h₁ : ‖f x₁ - (a + d • y)‖ < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < ↑n
xz₁ : f x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
z₂ : F
z₂im : z₂ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₂ : E
h₂ : ‖f x₂ - a‖ < δ
hx₂ : ‖x₂‖ < ↑n
xz₂ : f x₂ = z₂
x : E := x₁ - x₂
⊢ ‖f x₁ - (a + d • y)‖ + ‖f x₂ - a‖ ≤ δ + δ

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
E : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝³ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝² : RingHomIsometric σ
inst✝¹ : RingHomIsometric σ'
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this✝ : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) (f x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < ↑n
xz₁ : f x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
z₂ : F
z₂im : z₂ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₂ : E
h₂ : dist a (f x₂) < δ
hx₂ : x₂ ∈ ball 0 ↑n
xz₂ : f x₂ = z₂
⊢ ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * ↑n * ‖y‖

Tactic:
rw [mem_ball, dist_eq_norm, sub_zero] at hx₂

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
E : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝³ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝² : RingHomIsometric σ
inst✝¹ : RingHomIsometric σ'
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this✝ : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) (f x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < ↑n
xz₁ : f x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
z₂ : F
z₂im : z₂ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₂ : E
h₂ : dist a (f x₂) < δ
hx₂ : ‖x₂‖ < ↑n
xz₂ : f x₂ = z₂
⊢ ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * ↑n * ‖y‖

Proof state:
case intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
E : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝³ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝² : RingHomIsometric σ
inst✝¹ : RingHomIsometric σ'
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
y : F
x✝ : y ∈ Set.univ
x : E
hx : f x = y
n : ℕ
hn : ‖x‖ < ↑n
⊢ x ∈ ball 0 ↑n

Tactic:
rwa [mem_ball, dist_eq_norm, sub_zero]

Result:
no goals

Proof state:
case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
E : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝³ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝² : RingHomIsometric σ
inst✝¹ : RingHomIsometric σ'
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this✝ : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) (f x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < ↑n
xz₁ : f x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
z₂ : F
z₂im : z₂ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₂ : E
h₂ : dist a (f x₂) < δ
hx₂ : ‖x₂‖ < ↑n
xz₂ : f x₂ = z₂
x : E := x₁ - x₂
⊢ ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * ↑n * ‖y‖

Tactic:
have I : ‖f x - d • y‖ ≤ 2 * δ :=
  calc
    ‖f x - d • y‖ = ‖f x₁ - (a + d • y) - (f x₂ - a)‖ := by
      congr 1
      simp only [x, f.map_sub]
      abel
    _ ≤ ‖f x₁ - (a + d • y)‖ + ‖f x₂ - a‖ := norm_sub_le _ _
    _ ≤ δ + δ := by rw [dist_eq_norm'] at h₁ h₂; gcongr
    _ = 2 * δ := (two_mul _).symm

Result:
case intro.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
E : Type u_3
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜' F
f : E →SL[σ] F
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝³ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝² : RingHomIsometric σ
inst✝¹ : RingHomIsometric σ'
inst✝ : CompleteSpace F
surj : Surjective ⇑f
A : ⋃ n, closure (⇑f '' ball 0 ↑n) = Set.univ
n : ℕ
a : F
ε : ℝ
εpos : ε > 0
H : ball a ε ⊆ closure (⇑f '' ball 0 ↑n)
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
y : F
hy : y ≠ 0
hc' : 1 < ‖σ c‖
d : 𝕜'
hd : d ≠ 0
ydlt : ‖d • y‖ < ε / 2
dinv : ‖d‖⁻¹ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖σ c‖ * ‖y‖
δ : ℝ := ‖d‖ * ‖y‖ / 4
δpos : 0 < δ
this✝ : a + d • y ∈ ball a ε
z₁ : F
z₁im : z₁ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₁ : E
h₁ : dist (a + d • y) (f x₁) < δ
hx₁ : ‖x₁‖ < ↑n
xz₁ : f x₁ = z₁
this : a ∈ ball a ε
z₂ : F
z₂im : z₂ ∈ ⇑f '' ball 0 ↑n
x₂ : E
h₂ : dist a (f x₂) < δ
hx₂ : ‖x₂‖ < ↑n
xz₂ : f x₂ = z₂
x : E := x₁ - x₂
I : ‖f x - d • y‖ ≤ 2 * δ
⊢ ∃ x, dist (f x) y ≤ 1 / 2 * ‖y‖ ∧ ‖x‖ ≤ (ε / 2)⁻¹ * ‖c‖ * 2 * ↑n * ‖y‖