-- Mathlib/ModelTheory/DirectLimit.lean
lemma range_lift : (lift L ι G f g Hg).toHom.range = ⨆ i, (g i).toHom.range

Proof state:
L : Language
ι : Type v
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝³ : IsDirected ι fun x1 x2 => x1 ≤ x2
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝¹ : Nonempty ι
P : Type u₁
inst✝ : L.Structure P
g : (i : ι) → G i ↪[L] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
⊢ ⨆ i, Substructure.map ((lift L ι G f g Hg).toHom.comp (of L ι G f i).toHom) ⊤ = ⨆ i, Substructure.map (g i).toHom ⊤

Tactic:
rfl

Result:
no goals

Proof state:
L : Language
ι : Type v
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝³ : IsDirected ι fun x1 x2 => x1 ≤ x2
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝¹ : Nonempty ι
P : Type u₁
inst✝ : L.Structure P
g : (i : ι) → G i ↪[L] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
⊢ Substructure.map (lift L ι G f g Hg).toHom ⊤ = ⨆ i, Substructure.map (g i).toHom ⊤

Tactic:
rw [← iSup_range_of_eq_top, Substructure.map_iSup]

Result:
L : Language
ι : Type v
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝³ : IsDirected ι fun x1 x2 => x1 ≤ x2
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝¹ : Nonempty ι
P : Type u₁
inst✝ : L.Structure P
g : (i : ι) → G i ↪[L] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
⊢ ⨆ i, Substructure.map (lift L ι G f g Hg).toHom (of L ι G f i).toHom.range = ⨆ i, Substructure.map (g i).toHom ⊤

Proof state:
L : Language
ι : Type v
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝³ : IsDirected ι fun x1 x2 => x1 ≤ x2
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝¹ : Nonempty ι
P : Type u₁
inst✝ : L.Structure P
g : (i : ι) → G i ↪[L] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
⊢ ⨆ i, Substructure.map (lift L ι G f g Hg).toHom (of L ι G f i).toHom.range = ⨆ i, Substructure.map (g i).toHom ⊤

Tactic:
simp_rw [Hom.range_eq_map, Substructure.map_map]

Result:
L : Language
ι : Type v
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝³ : IsDirected ι fun x1 x2 => x1 ≤ x2
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝¹ : Nonempty ι
P : Type u₁
inst✝ : L.Structure P
g : (i : ι) → G i ↪[L] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
⊢ ⨆ i, Substructure.map ((lift L ι G f g Hg).toHom.comp (of L ι G f i).toHom) ⊤ = ⨆ i, Substructure.map (g i).toHom ⊤

Proof state:
L : Language
ι : Type v
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝³ : IsDirected ι fun x1 x2 => x1 ≤ x2
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝¹ : Nonempty ι
P : Type u₁
inst✝ : L.Structure P
g : (i : ι) → G i ↪[L] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
⊢ (lift L ι G f g Hg).toHom.range = ⨆ i, (g i).toHom.range

Tactic:
simp_rw [Hom.range_eq_map]

Result:
L : Language
ι : Type v
inst✝⁵ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝⁴ : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝³ : IsDirected ι fun x1 x2 => x1 ≤ x2
inst✝² : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
inst✝¹ : Nonempty ι
P : Type u₁
inst✝ : L.Structure P
g : (i : ι) → G i ↪[L] P
Hg : ∀ (i j : ι) (hij : i ≤ j) (x : G i), (g j) ((f i j hij) x) = (g i) x
⊢ Substructure.map (lift L ι G f g Hg).toHom ⊤ = ⨆ i, Substructure.map (g i).toHom ⊤