-- Mathlib/FieldTheory/PurelyInseparable/Tower.lean
theorem LinearIndependent.map_of_isPurelyInseparable_of_isSeparable [IsPurelyInseparable F E]
    {ι : Type*} {v : ι → K} (hsep : ∀ i : ι, IsSeparable F (v i))
    (h : LinearIndependent F v) : LinearIndependent E v

Proof state:
case intro
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
ι : Type u_1
v : ι → K
hsep : ∀ (i : ι), IsSeparable F (v i)
q : ℕ
h✝ : ExpChar F q
this✝ : ExpChar K q
l : ι →₀ E
hl : (Finsupp.linearCombination E v) l = 0
i : ι
f : ι → ℕ
n : ℕ := l.support.sup f
this : q ^ n ≠ 0
lF : ι → F
hlF : ∀ (i : ι), (algebraMap F E) (lF i) = l i ^ q ^ n
lF₀ : ι →₀ F := Finsupp.onFinset l.support lF ⋯
h : lF₀ = 0
⊢ l i = 0 i

Tactic:
refine pow_eq_zero ((hlF _).symm.trans ?_)

Result:
case intro
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
ι : Type u_1
v : ι → K
hsep : ∀ (i : ι), IsSeparable F (v i)
q : ℕ
h✝ : ExpChar F q
this✝ : ExpChar K q
l : ι →₀ E
hl : (Finsupp.linearCombination E v) l = 0
i : ι
f : ι → ℕ
n : ℕ := l.support.sup f
this : q ^ n ≠ 0
lF : ι → F
hlF : ∀ (i : ι), (algebraMap F E) (lF i) = l i ^ q ^ n
lF₀ : ι →₀ F := Finsupp.onFinset l.support lF ⋯
h : lF₀ = 0
⊢ (algebraMap F E) (lF i) = 0

Proof state:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
ι : Type u_1
v : ι → K
hsep : ∀ (i : ι), IsSeparable F (v i)
h : LinearIndependent F v
q : ℕ
h✝ : ExpChar F q
this✝ : ExpChar K q
l : ι →₀ E
hl : (Finsupp.linearCombination E v) l = 0
i✝ : ι
f : ι → ℕ
n : ℕ := l.support.sup f
this : q ^ n ≠ 0
lF : ι → F
hlF : ∀ (i : ι), (algebraMap F E) (lF i) = l i ^ q ^ n
i : ι
⊢ lF i ≠ 0 → i ∈ l.support

Tactic:
contrapose!

Result:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
ι : Type u_1
v : ι → K
hsep : ∀ (i : ι), IsSeparable F (v i)
h : LinearIndependent F v
q : ℕ
h✝ : ExpChar F q
this✝ : ExpChar K q
l : ι →₀ E
hl : (Finsupp.linearCombination E v) l = 0
i✝ : ι
f : ι → ℕ
n : ℕ := l.support.sup f
this : q ^ n ≠ 0
lF : ι → F
hlF : ∀ (i : ι), (algebraMap F E) (lF i) = l i ^ q ^ n
i : ι
⊢ i ∉ l.support → lF i = 0

Proof state:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
ι : Type u_1
v : ι → K
hsep : ∀ (i : ι), IsSeparable F (v i)
h : LinearIndependent F v
q : ℕ
h✝ : ExpChar F q
this✝ : ExpChar K q
l : ι →₀ E
hl : (Finsupp.linearCombination E v) l = 0
i✝ : ι
f : ι → ℕ
n : ℕ := l.support.sup f
this : q ^ n ≠ 0
lF : ι → F
hlF : ∀ (i : ι), (algebraMap F E) (lF i) = l i ^ q ^ n
i : ι
hs : i ∉ l.support
⊢ (algebraMap F E) (lF i) = 0

Tactic:
rw [hlF, Finsupp.not_mem_support_iff.1 hs, zero_pow this]

Result:
no goals

Proof state:
case h.e'_2.h.e'_6
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
ι : Type u_1
v : ι → K
hsep : ∀ (i : ι), IsSeparable F (v i)
q : ℕ
h✝ : ExpChar F q
this✝ : ExpChar K q
l : ι →₀ E
hl : (Finsupp.linearCombination E v) l = 0
i : ι
f : ι → ℕ
n : ℕ := l.support.sup f
this : q ^ n ≠ 0
lF : ι → F
hlF : ∀ (i : ι), (algebraMap F E) (lF i) = l i ^ q ^ n
lF₀ : ι →₀ F := Finsupp.onFinset l.support lF ⋯
h : lF₀ = 0
⊢ lF i = 0

Tactic:
exact congr($h i)

Result:
no goals

Proof state:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
ι : Type u_1
v : ι → K
hsep : ∀ (i : ι), IsSeparable F (v i)
h : LinearIndependent F v
⊢ LinearIndependent E v

Tactic:
obtain ⟨q, _⟩ := ExpChar.exists F

Result:
case intro
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
ι : Type u_1
v : ι → K
hsep : ∀ (i : ι), IsSeparable F (v i)
h : LinearIndependent F v
q : ℕ
h✝ : ExpChar F q
⊢ LinearIndependent E v

Proof state:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
ι : Type u_1
v : ι → K
hsep : ∀ (i : ι), IsSeparable F (v i)
h : LinearIndependent F v
q : ℕ
h✝ : ExpChar F q
this✝ : ExpChar K q
l : ι →₀ E
i : ι
f : ι → ℕ
n : ℕ := l.support.sup f
this : q ^ n ≠ 0
lF : ι → F
hlF : ∀ (i : ι), (algebraMap F E) (lF i) = l i ^ q ^ n
lF₀ : ι →₀ F := Finsupp.onFinset l.support lF ⋯
hl : (Finsupp.linearCombination E v) l ^ q ^ n = 0 ^ q ^ n
⊢ (Finsupp.linearCombination F fun x => v x ^ q ^ n) lF₀ = 0

Tactic:
rw [Finsupp.linearCombination_apply, Finsupp.sum, sum_pow_char_pow, zero_pow this] at hl

Result:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
ι : Type u_1
v : ι → K
hsep : ∀ (i : ι), IsSeparable F (v i)
h : LinearIndependent F v
q : ℕ
h✝ : ExpChar F q
this✝ : ExpChar K q
l : ι →₀ E
i : ι
f : ι → ℕ
n : ℕ := l.support.sup f
this : q ^ n ≠ 0
lF : ι → F
hlF : ∀ (i : ι), (algebraMap F E) (lF i) = l i ^ q ^ n
lF₀ : ι →₀ F := Finsupp.onFinset l.support lF ⋯
hl : ∑ i ∈ l.support, (l i • v i) ^ q ^ n = 0
⊢ (Finsupp.linearCombination F fun x => v x ^ q ^ n) lF₀ = 0

Proof state:
case intro
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
ι : Type u_1
v : ι → K
hsep : ∀ (i : ι), IsSeparable F (v i)
h : LinearIndependent F v
q : ℕ
h✝ : ExpChar F q
this : ExpChar K q
⊢ LinearIndependent E v

Tactic:
refine linearIndependent_iff.mpr fun l hl ↦ Finsupp.ext fun i ↦ ?_

Result:
case intro
F : Type u
E : Type v
inst✝⁷ : Field F
inst✝⁶ : Field E
inst✝⁵ : Algebra F E
K : Type w
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Algebra F K
inst✝² : Algebra E K
inst✝¹ : IsScalarTower F E K
inst✝ : IsPurelyInseparable F E
ι : Type u_1
v : ι → K
hsep : ∀ (i : ι), IsSeparable F (v i)
h : LinearIndependent F v
q : ℕ
h✝ : ExpChar F q
this : ExpChar K q
l : ι →₀ E
hl : (Finsupp.linearCombination E v) l = 0
i : ι
⊢ l i = 0 i