-- Mathlib/LinearAlgebra/Lagrange.lean
theorem interpolate_eq_sum_interpolate_insert_sdiff (hvt : Set.InjOn v t) (hs : s.Nonempty)
    (hst : s ⊆ t) :
    interpolate t v r = ∑ i ∈ s, interpolate (insert i (t \ s)) v r * Lagrange.basis s v i

Proof state:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
v r : ι → F
hvt : Set.InjOn v ↑t
hs✝ : s.Nonempty
hst : s ⊆ t
i : ι
hi : i ∈ s
hs : 1 ≤ #s
hst' : #s ≤ #t
⊢ #t = 1 + (#t - #s) + (#s - 1)

Tactic:
rw [add_assoc, tsub_add_tsub_cancel hst' hs, ← add_tsub_assoc_of_le (hs.trans hst'),
  Nat.succ_add_sub_one, zero_add]

Result:
no goals

Proof state:
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
v r : ι → F
hvt : Set.InjOn v ↑t
hs : s.Nonempty
hst : s ⊆ t
⊢ ∑ i ∈ s, (interpolate (insert i (t \ s)) v) r * Lagrange.basis s v i = (interpolate t v) r

Tactic:
refine eq_interpolate_of_eval_eq _ hvt (lt_of_le_of_lt (degree_sum_le _ _) ?_) fun i hi => ?_

Result:
case refine_1
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
v r : ι → F
hvt : Set.InjOn v ↑t
hs : s.Nonempty
hst : s ⊆ t
⊢ (s.sup fun b => ((interpolate (insert b (t \ s)) v) r * Lagrange.basis s v b).degree) < ↑(#t)

case refine_2
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
v r : ι → F
hvt : Set.InjOn v ↑t
hs : s.Nonempty
hst : s ⊆ t
i : ι
hi : i ∈ t
⊢ eval (v i) (∑ i ∈ s, (interpolate (insert i (t \ s)) v) r * Lagrange.basis s v i) = r i

Proof state:
case refine_1
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
v r : ι → F
hvt : Set.InjOn v ↑t
hs✝ : s.Nonempty
hst : s ⊆ t
i : ι
hi : i ∈ s
hs : 1 ≤ #s
hst' : #s ≤ #t
H : #t = 1 + (#t - #s) + (#s - 1)
⊢ ((interpolate (insert i (t \ s)) v) r).degree < ↑(1 + (#t - #s))

Tactic:
convert degree_interpolate_lt _
    (hvt.mono (coe_subset.mpr (insert_subset_iff.mpr ⟨hst hi, sdiff_subset⟩)))

Result:
case h.e'_4.h.e'_1
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
v r : ι → F
hvt : Set.InjOn v ↑t
hs✝ : s.Nonempty
hst : s ⊆ t
i : ι
hi : i ∈ s
hs : 1 ≤ #s
hst' : #s ≤ #t
H : #t = 1 + (#t - #s) + (#s - 1)
⊢ 1 + (#t - #s) = #(insert i (t \ s))

Proof state:
case refine_1
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
v r : ι → F
hvt : Set.InjOn v ↑t
hs : s.Nonempty
hst : s ⊆ t
i : ι
hi : i ∈ s
⊢ ((interpolate (insert i (t \ s)) v) r).degree + (Lagrange.basis s v i).degree < ↑(#t)

Tactic:
have hs : 1 ≤ #s := Nonempty.card_pos ⟨_, hi⟩

Result:
case refine_1
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
v r : ι → F
hvt : Set.InjOn v ↑t
hs✝ : s.Nonempty
hst : s ⊆ t
i : ι
hi : i ∈ s
hs : 1 ≤ #s
⊢ ((interpolate (insert i (t \ s)) v) r).degree + (Lagrange.basis s v i).degree < ↑(#t)

Proof state:
case refine_2
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
v r : ι → F
hvt : Set.InjOn v ↑t
hs : s.Nonempty
hst : s ⊆ t
i : ι
hi : i ∈ t
⊢ eval (v i) (∑ i ∈ s, (interpolate (insert i (t \ s)) v) r * Lagrange.basis s v i) = r i

Tactic:
simp_rw [eval_finset_sum, eval_mul]

Result:
case refine_2
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
v r : ι → F
hvt : Set.InjOn v ↑t
hs : s.Nonempty
hst : s ⊆ t
i : ι
hi : i ∈ t
⊢ ∑ x ∈ s, eval (v i) ((interpolate (insert x (t \ s)) v) r) * eval (v i) (Lagrange.basis s v x) = r i

Proof state:
case refine_1
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
v r : ι → F
hvt : Set.InjOn v ↑t
hs✝ : s.Nonempty
hst : s ⊆ t
i : ι
hi : i ∈ s
hs : 1 ≤ #s
hst' : #s ≤ #t
⊢ ((interpolate (insert i (t \ s)) v) r).degree + (Lagrange.basis s v i).degree < ↑(#t)

Tactic:
have H : #t = 1 + (#t - #s) + (#s - 1) := by
  rw [add_assoc, tsub_add_tsub_cancel hst' hs, ← add_tsub_assoc_of_le (hs.trans hst'),
    Nat.succ_add_sub_one, zero_add]

Result:
case refine_1
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
v r : ι → F
hvt : Set.InjOn v ↑t
hs✝ : s.Nonempty
hst : s ⊆ t
i : ι
hi : i ∈ s
hs : 1 ≤ #s
hst' : #s ≤ #t
H : #t = 1 + (#t - #s) + (#s - 1)
⊢ ((interpolate (insert i (t \ s)) v) r).degree + (Lagrange.basis s v i).degree < ↑(#t)

Proof state:
case refine_1
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
v r : ι → F
hvt : Set.InjOn v ↑t
hs✝ : s.Nonempty
hst : s ⊆ t
i : ι
hi : i ∈ s
hs : 1 ≤ #s
⊢ ((interpolate (insert i (t \ s)) v) r).degree + (Lagrange.basis s v i).degree < ↑(#t)

Tactic:
have hst' : #s ≤ #t := card_le_card hst

Result:
case refine_1
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
v r : ι → F
hvt : Set.InjOn v ↑t
hs✝ : s.Nonempty
hst : s ⊆ t
i : ι
hi : i ∈ s
hs : 1 ≤ #s
hst' : #s ≤ #t
⊢ ((interpolate (insert i (t \ s)) v) r).degree + (Lagrange.basis s v i).degree < ↑(#t)

Proof state:
case neg
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
v r : ι → F
hvt : Set.InjOn v ↑t
hs : s.Nonempty
hst : s ⊆ t
i : ι
hi : i ∈ t
hi' : i ∉ s
H : ∑ j ∈ s, eval (v i) (Lagrange.basis s v j) = 1
⊢ ∑ x ∈ s, eval (v i) ((interpolate (insert x (t \ s)) v) r) * eval (v i) (Lagrange.basis s v x) = r i

Tactic:
rw [← mul_one (r i), ← H, mul_sum]

Result:
case neg
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
v r : ι → F
hvt : Set.InjOn v ↑t
hs : s.Nonempty
hst : s ⊆ t
i : ι
hi : i ∈ t
hi' : i ∉ s
H : ∑ j ∈ s, eval (v i) (Lagrange.basis s v j) = 1
⊢ ∑ x ∈ s, eval (v i) ((interpolate (insert x (t \ s)) v) r) * eval (v i) (Lagrange.basis s v x) =
    ∑ i_1 ∈ s, r i * eval (v i) (Lagrange.basis s v i_1)

Proof state:
case refine_2
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
v r : ι → F
hvt : Set.InjOn v ↑t
hs : s.Nonempty
hst : s ⊆ t
i : ι
hi : i ∈ t
⊢ ∑ x ∈ s, eval (v i) ((interpolate (insert x (t \ s)) v) r) * eval (v i) (Lagrange.basis s v x) = r i

Tactic:
by_cases hi' : i ∈ s

Result:
case pos
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
v r : ι → F
hvt : Set.InjOn v ↑t
hs : s.Nonempty
hst : s ⊆ t
i : ι
hi : i ∈ t
hi' : i ∈ s
⊢ ∑ x ∈ s, eval (v i) ((interpolate (insert x (t \ s)) v) r) * eval (v i) (Lagrange.basis s v x) = r i

case neg
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
v r : ι → F
hvt : Set.InjOn v ↑t
hs : s.Nonempty
hst : s ⊆ t
i : ι
hi : i ∈ t
hi' : i ∉ s
⊢ ∑ x ∈ s, eval (v i) ((interpolate (insert x (t \ s)) v) r) * eval (v i) (Lagrange.basis s v x) = r i

Proof state:
case neg
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
v r : ι → F
hvt : Set.InjOn v ↑t
hs : s.Nonempty
hst : s ⊆ t
i : ι
hi : i ∈ t
hi' : i ∉ s
H : ∑ j ∈ s, eval (v i) (Lagrange.basis s v j) = 1
⊢ ∑ x ∈ s, eval (v i) ((interpolate (insert x (t \ s)) v) r) * eval (v i) (Lagrange.basis s v x) =
    ∑ i_1 ∈ s, r i * eval (v i) (Lagrange.basis s v i_1)

Tactic:
refine sum_congr rfl fun j hj => ?_

Result:
case neg
F : Type u_1
inst✝¹ : Field F
ι : Type u_2
inst✝ : DecidableEq ι
s t : Finset ι
v r : ι → F
hvt : Set.InjOn v ↑t
hs : s.Nonempty
hst : s ⊆ t
i : ι
hi : i ∈ t
hi' : i ∉ s
H : ∑ j ∈ s, eval (v i) (Lagrange.basis s v j) = 1
j : ι
hj : j ∈ s
⊢ eval (v i) ((interpolate (insert j (t \ s)) v) r) * eval (v i) (Lagrange.basis s v j) =
    r i * eval (v i) (Lagrange.basis s v j)