-- Mathlib/RingTheory/DedekindDomain/Ideal.lean
theorem coe_ideal_mul_inv [h : IsDedekindDomain A] (I : Ideal A) (hI0 : I ≠ ⊥) :
    I * (I : FractionalIdeal A⁰ K)⁻¹ = 1

Proof state:
case neg.intro.succ
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hJ0 : ¬↑I * (↑I)⁻¹ = 0
x : K
hx : x ∈ (fun a => ↑a) (↑I * (↑I)⁻¹)⁻¹
x_mul_mem : ∀ b ∈ (↑I)⁻¹, x * b ∈ (↑I)⁻¹
p : A[X]
hy : (Polynomial.aeval x) p ∈ Subalgebra.toSubmodule (Polynomial.aeval x).range
i : ℕ
ih : x ^ i ∈ ↑(↑I)⁻¹
⊢ x ^ i.succ ∈ (↑I)⁻¹

Tactic:
rw [pow_succ']

Result:
case neg.intro.succ
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hJ0 : ¬↑I * (↑I)⁻¹ = 0
x : K
hx : x ∈ (fun a => ↑a) (↑I * (↑I)⁻¹)⁻¹
x_mul_mem : ∀ b ∈ (↑I)⁻¹, x * b ∈ (↑I)⁻¹
p : A[X]
hy : (Polynomial.aeval x) p ∈ Subalgebra.toSubmodule (Polynomial.aeval x).range
i : ℕ
ih : x ^ i ∈ ↑(↑I)⁻¹
⊢ x * x ^ i ∈ (↑I)⁻¹

Proof state:
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hJ0 : ¬↑I * (↑I)⁻¹ = 0
x : K
hx : x ∈ (fun a => ↑a) (↑I * (↑I)⁻¹)⁻¹
b : K
hb : b ∈ (↑I)⁻¹
⊢ x * b ∈ (↑I)⁻¹

Tactic:
rw [mem_inv_iff (coeIdeal_ne_zero.mpr hI0)]

Result:
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hJ0 : ¬↑I * (↑I)⁻¹ = 0
x : K
hx : x ∈ (fun a => ↑a) (↑I * (↑I)⁻¹)⁻¹
b : K
hb : b ∈ (↑I)⁻¹
⊢ ∀ y ∈ ↑I, x * b * y ∈ 1

Proof state:
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
⊢ ↑I * (↑I)⁻¹ = 1

Tactic:
apply mul_inv_cancel_of_le_one hI0

Result:
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
⊢ (↑I * (↑I)⁻¹)⁻¹ ≤ 1

Proof state:
case pos
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hJ0 : ↑I * (↑I)⁻¹ = 0
⊢ 0 ≤ 1

Tactic:
exact zero_le _

Result:
no goals

Proof state:
case pos
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hJ0 : ↑I * (↑I)⁻¹ = 0
⊢ (↑I * (↑I)⁻¹)⁻¹ ≤ 1

Tactic:
rw [hJ0, inv_zero']

Result:
case pos
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hJ0 : ↑I * (↑I)⁻¹ = 0
⊢ 0 ≤ 1

Proof state:
case neg
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hJ0 : ¬↑I * (↑I)⁻¹ = 0
⊢ (↑I * (↑I)⁻¹)⁻¹ ≤ 1

Tactic:
intro x hx

Result:
case neg
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hJ0 : ¬↑I * (↑I)⁻¹ = 0
x : K
hx : x ∈ (fun a => ↑a) (↑I * (↑I)⁻¹)⁻¹
⊢ x ∈ (fun a => ↑a) 1

Proof state:
case neg.intro.succ
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hJ0 : ¬↑I * (↑I)⁻¹ = 0
x : K
hx : x ∈ (fun a => ↑a) (↑I * (↑I)⁻¹)⁻¹
x_mul_mem : ∀ b ∈ (↑I)⁻¹, x * b ∈ (↑I)⁻¹
p : A[X]
hy : (Polynomial.aeval x) p ∈ Subalgebra.toSubmodule (Polynomial.aeval x).range
i : ℕ
ih : x ^ i ∈ ↑(↑I)⁻¹
⊢ x * x ^ i ∈ (↑I)⁻¹

Tactic:
exact x_mul_mem _ ih

Result:
no goals

Proof state:
case neg
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hJ0 : ¬↑I * (↑I)⁻¹ = 0
x : K
hx : x ∈ (fun a => ↑a) (↑I * (↑I)⁻¹)⁻¹
⊢ x ∈ integralClosure A K

Tactic:
rw [mem_integralClosure_iff_mem_fg]

Result:
case neg
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hJ0 : ¬↑I * (↑I)⁻¹ = 0
x : K
hx : x ∈ (fun a => ↑a) (↑I * (↑I)⁻¹)⁻¹
⊢ ∃ M, (Subalgebra.toSubmodule M).FG ∧ x ∈ M

Proof state:
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hJ0 : ¬↑I * (↑I)⁻¹ = 0
x : K
hx : ∀ y ∈ ↑I * (↑I)⁻¹, x * y ∈ 1
b : K
hb : b ∈ (↑I)⁻¹
y : K
hy : y ∈ ↑I
⊢ x * (y * b) ∈ 1

Tactic:
exact hx _ (mul_mem_mul hy hb)

Result:
no goals

Proof state:
case neg.intro
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hJ0 : ¬↑I * (↑I)⁻¹ = 0
x : K
hx : x ∈ (fun a => ↑a) (↑I * (↑I)⁻¹)⁻¹
x_mul_mem : ∀ b ∈ (↑I)⁻¹, x * b ∈ (↑I)⁻¹
p : A[X]
hy : (Polynomial.aeval x) p ∈ Subalgebra.toSubmodule (Polynomial.aeval x).range
⊢ (Polynomial.aeval x) p ∈ ↑(↑I)⁻¹

Tactic:
rw [Polynomial.aeval_eq_sum_range]

Result:
case neg.intro
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hJ0 : ¬↑I * (↑I)⁻¹ = 0
x : K
hx : x ∈ (fun a => ↑a) (↑I * (↑I)⁻¹)⁻¹
x_mul_mem : ∀ b ∈ (↑I)⁻¹, x * b ∈ (↑I)⁻¹
p : A[X]
hy : (Polynomial.aeval x) p ∈ Subalgebra.toSubmodule (Polynomial.aeval x).range
⊢ ∑ i ∈ Finset.range (p.natDegree + 1), p.coeff i • x ^ i ∈ ↑(↑I)⁻¹

Proof state:
case neg
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hJ0 : ¬↑I * (↑I)⁻¹ = 0
x : K
hx : x ∈ (fun a => ↑a) (↑I * (↑I)⁻¹)⁻¹
x_mul_mem : ∀ b ∈ (↑I)⁻¹, x * b ∈ (↑I)⁻¹
⊢ ∃ M, (Subalgebra.toSubmodule M).FG ∧ x ∈ M

Tactic:
refine ⟨AlgHom.range (Polynomial.aeval x : A[X] →ₐ[A] K),
  isNoetherian_submodule.mp (isNoetherian (I : FractionalIdeal A⁰ K)⁻¹) _ fun y hy => ?_,
  ⟨Polynomial.X, Polynomial.aeval_X x⟩⟩

Result:
case neg
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hJ0 : ¬↑I * (↑I)⁻¹ = 0
x : K
hx : x ∈ (fun a => ↑a) (↑I * (↑I)⁻¹)⁻¹
x_mul_mem : ∀ b ∈ (↑I)⁻¹, x * b ∈ (↑I)⁻¹
y : K
hy : y ∈ Subalgebra.toSubmodule (Polynomial.aeval x).range
⊢ y ∈ ↑(↑I)⁻¹

Proof state:
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
⊢ (↑I * (↑I)⁻¹)⁻¹ ≤ 1

Tactic:
by_cases hJ0 : I * (I : FractionalIdeal A⁰ K)⁻¹ = 0

Result:
case pos
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hJ0 : ↑I * (↑I)⁻¹ = 0
⊢ (↑I * (↑I)⁻¹)⁻¹ ≤ 1

case neg
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hJ0 : ¬↑I * (↑I)⁻¹ = 0
⊢ (↑I * (↑I)⁻¹)⁻¹ ≤ 1

Proof state:
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hJ0 : ¬↑I * (↑I)⁻¹ = 0
x : K
hx : x ∈ (fun a => ↑a) (↑I * (↑I)⁻¹)⁻¹
⊢ ∀ b ∈ (↑I)⁻¹, x * b ∈ (↑I)⁻¹

Tactic:
intro b hb

Result:
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
h : IsDedekindDomain A
I : Ideal A
hI0 : I ≠ ⊥
hJ0 : ¬↑I * (↑I)⁻¹ = 0
x : K
hx : x ∈ (fun a => ↑a) (↑I * (↑I)⁻¹)⁻¹
b : K
hb : b ∈ (↑I)⁻¹
⊢ x * b ∈ (↑I)⁻¹