-- Mathlib/RingTheory/Nakayama.lean
theorem eq_smul_of_le_smul_of_le_jacobson {I J : Ideal R} {N : Submodule R M} (hN : N.FG)
    (hIN : N ≤ I • N) (hIjac : I ≤ jacobson J) : N = J • N

Proof state:
case intro.intro
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I J : Ideal R
N : Submodule R M
hN : N.FG
hIN : N ≤ I • N
hIjac : I ≤ J.jacobson
n : M
hn : n ∈ N
r : R
hr : r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
s : R
hs : s * r - 1 ∈ J
this : n = -(s * r - 1) • n
⊢ n ∈ J • N

Tactic:
rw [this]

Result:
case intro.intro
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I J : Ideal R
N : Submodule R M
hN : N.FG
hIN : N ≤ I • N
hIjac : I ≤ J.jacobson
n : M
hn : n ∈ N
r : R
hr : r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
s : R
hs : s * r - 1 ∈ J
this : n = -(s * r - 1) • n
⊢ -(s * r - 1) • n ∈ J • N

Proof state:
case intro.intro
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I J : Ideal R
N : Submodule R M
hN : N.FG
hIN : N ≤ I • N
hIjac : I ≤ J.jacobson
n : M
hn : n ∈ N
r : R
hr : r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
s : R
hs : s * r - 1 ∈ J
this : n = -(s * r - 1) • n
⊢ -(s * r - 1) • n ∈ J • N

Tactic:
exact Submodule.smul_mem_smul (Submodule.neg_mem _ hs) hn

Result:
no goals

Proof state:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I J : Ideal R
N : Submodule R M
hN : N.FG
hIN : N ≤ I • N
hIjac : I ≤ J.jacobson
⊢ N = J • N

Tactic:
refine le_antisymm ?_ (Submodule.smul_le.2 fun _ _ _ => Submodule.smul_mem _ _)

Result:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I J : Ideal R
N : Submodule R M
hN : N.FG
hIN : N ≤ I • N
hIjac : I ≤ J.jacobson
⊢ N ≤ J • N

Proof state:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I J : Ideal R
N : Submodule R M
hN : N.FG
hIN : N ≤ I • N
hIjac : I ≤ J.jacobson
⊢ N ≤ J • N

Tactic:
intro n hn

Result:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I J : Ideal R
N : Submodule R M
hN : N.FG
hIN : N ≤ I • N
hIjac : I ≤ J.jacobson
n : M
hn : n ∈ N
⊢ n ∈ J • N

Proof state:
case intro.intro
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I J : Ideal R
N : Submodule R M
hN : N.FG
hIN : N ≤ I • N
hIjac : I ≤ J.jacobson
n : M
hn : n ∈ N
r : R
hr : r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
s : R
hs : s * r - 1 ∈ J
⊢ n ∈ J • N

Tactic:
have : n = -(s * r - 1) • n := by
  rw [neg_sub, sub_smul, mul_smul, hr.2 n hn, one_smul, smul_zero, sub_zero]

Result:
case intro.intro
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I J : Ideal R
N : Submodule R M
hN : N.FG
hIN : N ≤ I • N
hIjac : I ≤ J.jacobson
n : M
hn : n ∈ N
r : R
hr : r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
s : R
hs : s * r - 1 ∈ J
this : n = -(s * r - 1) • n
⊢ n ∈ J • N

Proof state:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I J : Ideal R
N : Submodule R M
hN : N.FG
hIN : N ≤ I • N
hIjac : I ≤ J.jacobson
n : M
hn : n ∈ N
⊢ n ∈ J • N

Tactic:
obtain ⟨r, hr⟩ := Submodule.exists_sub_one_mem_and_smul_eq_zero_of_fg_of_le_smul I N hN hIN

Result:
case intro
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I J : Ideal R
N : Submodule R M
hN : N.FG
hIN : N ≤ I • N
hIjac : I ≤ J.jacobson
n : M
hn : n ∈ N
r : R
hr : r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
⊢ n ∈ J • N

Proof state:
case intro
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I J : Ideal R
N : Submodule R M
hN : N.FG
hIN : N ≤ I • N
hIjac : I ≤ J.jacobson
n : M
hn : n ∈ N
r : R
hr : r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
⊢ n ∈ J • N

Tactic:
obtain ⟨s, hs⟩ := exists_mul_sub_mem_of_sub_one_mem_jacobson r (hIjac hr.1)

Result:
case intro.intro
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I J : Ideal R
N : Submodule R M
hN : N.FG
hIN : N ≤ I • N
hIjac : I ≤ J.jacobson
n : M
hn : n ∈ N
r : R
hr : r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
s : R
hs : s * r - 1 ∈ J
⊢ n ∈ J • N

Proof state:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I J : Ideal R
N : Submodule R M
hN : N.FG
hIN : N ≤ I • N
hIjac : I ≤ J.jacobson
n : M
hn : n ∈ N
r : R
hr : r - 1 ∈ I ∧ ∀ n ∈ N, r • n = 0
s : R
hs : s * r - 1 ∈ J
⊢ n = -(s * r - 1) • n

Tactic:
rw [neg_sub, sub_smul, mul_smul, hr.2 n hn, one_smul, smul_zero, sub_zero]

Result:
no goals