-- Mathlib/Algebra/Module/PID.lean
theorem torsion_by_prime_power_decomposition (hN : Module.IsTorsion' N (Submonoid.powers p))
    [h' : Module.Finite R N] :
    ∃ (d : ℕ) (k : Fin d → ℕ), Nonempty <| N ≃ₗ[R] ⨁ i : Fin d, R ⧸ R ∙ p ^ (k i : ℕ)

Proof state:
case h.succ.intro.refine_3.intro.intro
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
d : ℕ
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
hN : IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p)
s : Fin (d + 1) → N
hs : Submodule.span R (Set.range s) = ⊤
this✝ : (x : N) → Decidable (x = 0)
j : Fin d.succ
hj : IsTorsionBy R N (p ^ pOrder hN (s j))
s' : Fin d → N ⧸ Submodule.span R {s j} := Submodule.Quotient.mk ∘ s ∘ j.succAbove
k : Fin d → ℕ
f : (N ⧸ Submodule.span R {s j}) ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i}
this :
  ∀ (i : Fin d),
    ∃ x,
      p ^ k i • x = 0 ∧
        f (Submodule.Quotient.mk x) = (DirectSum.lof R (Fin d) (fun i => R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i}) i) 1
⊢ ∃ k, Nonempty (N ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin (d + 1)), R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i})

Tactic:
refine ⟨?_, ⟨?_⟩⟩

Result:
case h.succ.intro.refine_3.intro.intro.refine_1
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
d : ℕ
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
hN : IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p)
s : Fin (d + 1) → N
hs : Submodule.span R (Set.range s) = ⊤
this✝ : (x : N) → Decidable (x = 0)
j : Fin d.succ
hj : IsTorsionBy R N (p ^ pOrder hN (s j))
s' : Fin d → N ⧸ Submodule.span R {s j} := Submodule.Quotient.mk ∘ s ∘ j.succAbove
k : Fin d → ℕ
f : (N ⧸ Submodule.span R {s j}) ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i}
this :
  ∀ (i : Fin d),
    ∃ x,
      p ^ k i • x = 0 ∧
        f (Submodule.Quotient.mk x) = (DirectSum.lof R (Fin d) (fun i => R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i}) i) 1
⊢ Fin (d + 1) → ℕ

case h.succ.intro.refine_3.intro.intro.refine_2
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
d : ℕ
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
hN : IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p)
s : Fin (d + 1) → N
hs : Submodule.span R (Set.range s) = ⊤
this✝ : (x : N) → Decidable (x = 0)
j : Fin d.succ
hj : IsTorsionBy R N (p ^ pOrder hN (s j))
s' : Fin d → N ⧸ Submodule.span R {s j} := Submodule.Quotient.mk ∘ s ∘ j.succAbove
k : Fin d → ℕ
f : (N ⧸ Submodule.span R {s j}) ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i}
this :
  ∀ (i : Fin d),
    ∃ x,
      p ^ k i • x = 0 ∧
        f (Submodule.Quotient.mk x) = (DirectSum.lof R (Fin d) (fun i => R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i}) i) 1
⊢ N ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin (d + 1)), R ⧸ Submodule.span R {p ^ ?h.succ.intro.refine_3.intro.intro.refine_1 i}

Proof state:
case h.succ.intro.refine_2
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
d : ℕ
IH :
  ∀ {N : Type (max u v)} [inst : AddCommGroup N] [inst_1 : Module R N],
    IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p) →
      ∀ (s : Fin d → N),
        Submodule.span R (Set.range s) = ⊤ → ∃ k, Nonempty (N ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i})
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
hN : IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p)
s : Fin (d + 1) → N
hs : Submodule.span R (Set.range s) = ⊤
this : (x : N) → Decidable (x = 0)
j : Fin d.succ
hj : IsTorsionBy R N (p ^ pOrder hN (s j))
s' : Fin d → N ⧸ Submodule.span R {s j} := Submodule.Quotient.mk ∘ s ∘ j.succAbove
hs' : Submodule.span R ((fun a => Submodule.Quotient.mk a) '' Set.range s) = ⊤
⊢ Submodule.span R (Submodule.Quotient.mk ∘ s '' {j}ᶜ) = ⊤

Tactic:
rw [← Set.range_comp, ← Set.insert_image_compl_eq_range _ j, Function.comp_apply,
  (Quotient.mk_eq_zero _).mpr (Submodule.mem_span_singleton_self _), span_insert_zero] at hs'

Result:
case h.succ.intro.refine_2
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
d : ℕ
IH :
  ∀ {N : Type (max u v)} [inst : AddCommGroup N] [inst_1 : Module R N],
    IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p) →
      ∀ (s : Fin d → N),
        Submodule.span R (Set.range s) = ⊤ → ∃ k, Nonempty (N ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i})
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
hN : IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p)
s : Fin (d + 1) → N
hs : Submodule.span R (Set.range s) = ⊤
this : (x : N) → Decidable (x = 0)
j : Fin d.succ
hj : IsTorsionBy R N (p ^ pOrder hN (s j))
s' : Fin d → N ⧸ Submodule.span R {s j} := Submodule.Quotient.mk ∘ s ∘ j.succAbove
hs' : Submodule.span R ((fun a => Submodule.Quotient.mk a) ∘ s '' {j}ᶜ) = ⊤
⊢ Submodule.span R (Submodule.Quotient.mk ∘ s '' {j}ᶜ) = ⊤

Proof state:
case h
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
N : Type (max u v)
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
inst✝ : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
hN : IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p)
d : ℕ
s : Fin d → N
hs : Submodule.span R (Set.range s) = ⊤
⊢ ∃ k, Nonempty (N ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i})

Tactic:
induction' d with d IH generalizing N

Result:
case h.zero
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
hN : IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p)
s : Fin 0 → N
hs : Submodule.span R (Set.range s) = ⊤
⊢ ∃ k, Nonempty (N ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin 0), R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i})

case h.succ
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
d : ℕ
IH :
  ∀ {N : Type (max u v)} [inst : AddCommGroup N] [inst_1 : Module R N],
    IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p) →
      ∀ (s : Fin d → N),
        Submodule.span R (Set.range s) = ⊤ → ∃ k, Nonempty (N ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin d), R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i})
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
hN : IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p)
s : Fin (d + 1) → N
hs : Submodule.span R (Set.range s) = ⊤
⊢ ∃ k, Nonempty (N ≃ₗ[R] ⨁ (i : Fin (d + 1)), R ⧸ Submodule.span R {p ^ k i})

Proof state:
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
hN : IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p)
s : Fin 0 → N
hs : ⊥ = ⊤
x : N
⊢ x = default

Tactic:
dsimp

Result:
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsPrincipalIdealRing R
inst✝² : IsDomain R
p : R
hp : Irreducible p
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
hN : IsTorsion' N ↥(Submonoid.powers p)
s : Fin 0 → N
hs : ⊥ = ⊤
x : N
⊢ x = 0