-- Mathlib/Algebra/Lie/InvariantForm.lean
lemma atomistic : ∀ I : LieIdeal K L, sSup {J : LieIdeal K L | IsAtom J ∧ J ≤ I} = I

Proof state:
case neg.intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥I
I : LieIdeal K L
hI : ¬I = ⊥
J : LieIdeal K L
hJ : IsAtom J
hJI : J ≤ I
J' : LieSubmodule K L L := orthogonal Φ hΦ_inv J
⊢ I ≤ J ⊔ J' ⊓ I

Tactic:
suffices J ⊔ J' = ⊤ by rw [← sup_inf_assoc_of_le _ hJI, this, top_inf_eq]

Result:
case neg.intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥I
I : LieIdeal K L
hI : ¬I = ⊥
J : LieIdeal K L
hJ : IsAtom J
hJI : J ≤ I
J' : LieSubmodule K L L := orthogonal Φ hΦ_inv J
⊢ J ⊔ J' = ⊤

Proof state:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥I
I : LieIdeal K L
a✝ :
  ∀ (y : LieIdeal K L),
    (invImage (fun x => finrank K ↥x) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 y I → sSup {J | IsAtom J ∧ J ≤ y} = y
hI : ¬I = ⊥
J : LieIdeal K L
h✝ : IsAtom J ∧ J ≤ I
hJ : IsAtom J
hJI : J ≤ I
J' : LieSubmodule K L L := orthogonal Φ hΦ_inv J
this : I ≤ J ⊔ J' ⊓ I
⊢ finrank K ↥(orthogonal Φ hΦ_inv J ⊓ I) < finrank K ↥I

Tactic:
apply finrank_lt_finrank_of_lt

Result:
case hst
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥I
I : LieIdeal K L
a✝ :
  ∀ (y : LieIdeal K L),
    (invImage (fun x => finrank K ↥x) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 y I → sSup {J | IsAtom J ∧ J ≤ y} = y
hI : ¬I = ⊥
J : LieIdeal K L
h✝ : IsAtom J ∧ J ≤ I
hJ : IsAtom J
hJI : J ≤ I
J' : LieSubmodule K L L := orthogonal Φ hΦ_inv J
this : I ≤ J ⊔ J' ⊓ I
⊢ ↑(orthogonal Φ hΦ_inv J ⊓ I) < ↑I

Proof state:
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥I
I : LieIdeal K L
a✝ :
  ∀ (y : LieIdeal K L),
    (invImage (fun x => finrank K ↥x) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 y I → sSup {J | IsAtom J ∧ J ≤ y} = y
hI : ¬I = ⊥
J : LieIdeal K L
h✝ : IsAtom J ∧ J ≤ I
hJ : IsAtom J
hJI : J ≤ I
J' : LieSubmodule K L L := orthogonal Φ hΦ_inv J
this✝ : I ≤ J ⊔ J' ⊓ I
this : ¬I ≤ J'
⊢ ↑(orthogonal Φ hΦ_inv J ⊓ I) < ↑I

Tactic:
simpa

Result:
no goals

Proof state:
case neg.intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥I
I : LieIdeal K L
hI : ¬I = ⊥
J : LieIdeal K L
hJ : IsAtom J
hJI : J ≤ I
⊢ I ≤ sSup {J | IsAtom J ∧ J ≤ I}

Tactic:
let J' := orthogonal Φ hΦ_inv J

Result:
case neg.intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥I
I : LieIdeal K L
hI : ¬I = ⊥
J : LieIdeal K L
hJ : IsAtom J
hJI : J ≤ I
J' : LieSubmodule K L L := orthogonal Φ hΦ_inv J
⊢ I ≤ sSup {J | IsAtom J ∧ J ≤ I}

Proof state:
case a
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥I
I : LieIdeal K L
hI : ¬I = ⊥
J : LieIdeal K L
hJ : IsAtom J
hJI : J ≤ I
J' : LieSubmodule K L L := orthogonal Φ hΦ_inv J
this : I ≤ J ⊔ J' ⊓ I
⊢ J' ⊓ I ≤ sSup {J | IsAtom J ∧ J ≤ I}

Tactic:
rw [← atomistic (J' ⊓ I)]

Result:
case a
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥I
I : LieIdeal K L
hI : ¬I = ⊥
J : LieIdeal K L
hJ : IsAtom J
hJI : J ≤ I
J' : LieSubmodule K L L := orthogonal Φ hΦ_inv J
this : I ≤ J ⊔ J' ⊓ I
⊢ sSup {J | IsAtom J ∧ J ≤ J' ⊓ I} ≤ sSup {J | IsAtom J ∧ J ≤ I}

Proof state:
case pos
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥I
I : LieIdeal K L
hI : I = ⊥
⊢ I ≤ sSup {J | IsAtom J ∧ J ≤ I}

Tactic:
exact hI.le.trans bot_le

Result:
no goals

Proof state:
case hst
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥I
I : LieIdeal K L
a✝ :
  ∀ (y : LieIdeal K L),
    (invImage (fun x => finrank K ↥x) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 y I → sSup {J | IsAtom J ∧ J ≤ y} = y
hI : ¬I = ⊥
J : LieIdeal K L
h✝ : IsAtom J ∧ J ≤ I
hJ : IsAtom J
hJI : J ≤ I
J' : LieSubmodule K L L := orthogonal Φ hΦ_inv J
this : I ≤ J ⊔ J' ⊓ I
⊢ ¬I ≤ J'

Tactic:
intro hIJ'

Result:
case hst
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥I
I : LieIdeal K L
a✝ :
  ∀ (y : LieIdeal K L),
    (invImage (fun x => finrank K ↥x) instWellFoundedRelationOfSizeOf).1 y I → sSup {J | IsAtom J ∧ J ≤ y} = y
hI : ¬I = ⊥
J : LieIdeal K L
h✝ : IsAtom J ∧ J ≤ I
hJ : IsAtom J
hJI : J ≤ I
J' : LieSubmodule K L L := orthogonal Φ hΦ_inv J
this : I ≤ J ⊔ J' ⊓ I
hIJ' : I ≤ J'
⊢ False

Proof state:
case neg.intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥I
I : LieIdeal K L
hI : ¬I = ⊥
J : LieIdeal K L
hJ : IsAtom J
hJI : J ≤ I
J' : LieSubmodule K L L := orthogonal Φ hΦ_inv J
⊢ J ⊔ J' = ⊤

Tactic:
exact (orthogonal_isCompl Φ hΦ_nondeg hΦ_inv hΦ_refl hL J hJ).codisjoint.eq_top

Result:
no goals

Proof state:
case a
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Field K
inst✝² : LieRing L
inst✝¹ : LieAlgebra K L
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥I
I : LieIdeal K L
hI : ¬I = ⊥
J : LieIdeal K L
hJ : IsAtom J
hJI : J ≤ I
J' : LieSubmodule K L L := orthogonal Φ hΦ_inv J
this : I ≤ J ⊔ J' ⊓ I
⊢ J ≤ sSup {J | IsAtom J ∧ J ≤ I}

Tactic:
exact le_sSup ⟨hJ, hJI⟩

Result:
no goals