-- Mathlib/RingTheory/Flat/EquationalCriterion.lean
theorem tfae_equational_criterion : List.TFAE [
    Flat R M,
    ∀ I : Ideal R, Function.Injective (rTensor M I.subtype),
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, ∑ i, f i ⊗ₜ x i = (0 : R ⊗[R] M) →
      VanishesTrivially R f x,
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, ∑ i, f i • x i = 0 → IsTrivialRelation f x,
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l →₀ R} {x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M}, x f = 0 →
      ∃ (k : ℕ) (a : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] (Fin k →₀ R)) (y : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M),
        x = y ∘ₗ a ∧ a f = 0]

Proof state:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
tfae_1_iff_2 : Flat R M ↔ ∀ (I : Ideal R), Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))
tfae_3_iff_2 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, ∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i = 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ (I : Ideal R), Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))
tfae_3_iff_4 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, ∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i = 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, ∑ i : Fin l, f i • x i = 0 → IsTrivialRelation f x
tfae_4_to_5 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, ∑ i : Fin l, f i • x i = 0 → IsTrivialRelation f x) →
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l →₀ R} {x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M}, x f = 0 → ∃ k a y, x = y ∘ₗ a ∧ a f = 0
h₅ : ∀ {l : ℕ} {f : Fin l →₀ R} {x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M}, x f = 0 → ∃ k a y, x = y ∘ₗ a ∧ a f = 0
l : ℕ
f : Fin l → R
x : Fin l → M
hfx : ∑ i : Fin l, f i • x i = 0
f' : Fin l →₀ R := equivFunOnFinite.symm f
x' : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R x
this : x' f' = 0
⊢ IsTrivialRelation f x

Tactic:
obtain ⟨k, a', y', ha'y', ha'⟩ := h₅ this

Result:
case intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
tfae_1_iff_2 : Flat R M ↔ ∀ (I : Ideal R), Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))
tfae_3_iff_2 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, ∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i = 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ (I : Ideal R), Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))
tfae_3_iff_4 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, ∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i = 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, ∑ i : Fin l, f i • x i = 0 → IsTrivialRelation f x
tfae_4_to_5 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, ∑ i : Fin l, f i • x i = 0 → IsTrivialRelation f x) →
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l →₀ R} {x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M}, x f = 0 → ∃ k a y, x = y ∘ₗ a ∧ a f = 0
h₅ : ∀ {l : ℕ} {f : Fin l →₀ R} {x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M}, x f = 0 → ∃ k a y, x = y ∘ₗ a ∧ a f = 0
l : ℕ
f : Fin l → R
x : Fin l → M
hfx : ∑ i : Fin l, f i • x i = 0
f' : Fin l →₀ R := equivFunOnFinite.symm f
x' : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M := linearCombination R x
this : x' f' = 0
k : ℕ
a' : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] Fin k →₀ R
y' : (Fin k →₀ R) →ₗ[R] M
ha'y' : x' = y' ∘ₗ a'
ha' : a' f' = 0
⊢ IsTrivialRelation f x

Proof state:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
tfae_1_iff_2 : Flat R M ↔ ∀ (I : Ideal R), Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))
tfae_3_iff_2 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, ∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i = 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ (I : Ideal R), Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))
tfae_3_iff_4 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, ∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i = 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, ∑ i : Fin l, f i • x i = 0 → IsTrivialRelation f x
h₄ : ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, ∑ i : Fin l, f i • x i = 0 → IsTrivialRelation f x
l : ℕ
f : Fin l →₀ R
x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M
hfx : x f = 0
f' : Fin l → R := ⇑f
⊢ ∃ k a y, x = y ∘ₗ a ∧ a f = 0

Tactic:
let x' : Fin l → M := fun i ↦ x (single i 1)

Result:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
tfae_1_iff_2 : Flat R M ↔ ∀ (I : Ideal R), Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))
tfae_3_iff_2 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, ∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i = 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ (I : Ideal R), Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))
tfae_3_iff_4 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, ∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i = 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, ∑ i : Fin l, f i • x i = 0 → IsTrivialRelation f x
h₄ : ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, ∑ i : Fin l, f i • x i = 0 → IsTrivialRelation f x
l : ℕ
f : Fin l →₀ R
x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M
hfx : x f = 0
f' : Fin l → R := ⇑f
x' : Fin l → M := fun i => x (Finsupp.single i 1)
⊢ ∃ k a y, x = y ∘ₗ a ∧ a f = 0

Proof state:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
tfae_1_iff_2 : Flat R M ↔ ∀ (I : Ideal R), Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))
tfae_3_iff_2 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, ∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i = 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ (I : Ideal R), Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))
tfae_3_iff_4 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, ∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i = 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, ∑ i : Fin l, f i • x i = 0 → IsTrivialRelation f x
tfae_4_to_5 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, ∑ i : Fin l, f i • x i = 0 → IsTrivialRelation f x) →
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l →₀ R} {x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M}, x f = 0 → ∃ k a y, x = y ∘ₗ a ∧ a f = 0
h₅ : ∀ {l : ℕ} {f : Fin l →₀ R} {x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M}, x f = 0 → ∃ k a y, x = y ∘ₗ a ∧ a f = 0
l : ℕ
f : Fin l → R
x : Fin l → M
hfx : ∑ i : Fin l, f i • x i = 0
⊢ IsTrivialRelation f x

Tactic:
let f' : Fin l →₀ R := equivFunOnFinite.symm f

Result:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
tfae_1_iff_2 : Flat R M ↔ ∀ (I : Ideal R), Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))
tfae_3_iff_2 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, ∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i = 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ (I : Ideal R), Function.Injective ⇑(rTensor M (Submodule.subtype I))
tfae_3_iff_4 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, ∑ i : Fin l, f i ⊗ₜ[R] x i = 0 → VanishesTrivially R f x) ↔
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, ∑ i : Fin l, f i • x i = 0 → IsTrivialRelation f x
tfae_4_to_5 :
  (∀ {l : ℕ} {f : Fin l → R} {x : Fin l → M}, ∑ i : Fin l, f i • x i = 0 → IsTrivialRelation f x) →
    ∀ {l : ℕ} {f : Fin l →₀ R} {x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M}, x f = 0 → ∃ k a y, x = y ∘ₗ a ∧ a f = 0
h₅ : ∀ {l : ℕ} {f : Fin l →₀ R} {x : (Fin l →₀ R) →ₗ[R] M}, x f = 0 → ∃ k a y, x = y ∘ₗ a ∧ a f = 0
l : ℕ
f : Fin l → R
x : Fin l → M
hfx : ∑ i : Fin l, f i • x i = 0
f' : Fin l →₀ R := equivFunOnFinite.symm f
⊢ IsTrivialRelation f x