-- Mathlib/Analysis/Analytic/Basic.lean
theorem HasFPowerSeriesWithinOnBall.tendstoUniformlyOn' {r' : ℝ≥0}
    (hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r) (h : (r' : ℝ≥0∞) < r) :
    TendstoUniformlyOn (fun n y => p.partialSum n (y - x)) f atTop
      (insert x s ∩ Metric.ball (x : E) r')

Proof state:
case h.e'_8.h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
h : ↑r' < r
z : E
⊢ z ∈ insert x s ∩ Metric.ball x ↑r' ↔
    z ∈ (fun y => y - x) ⁻¹' ((fun x_1 => x + x_1) ⁻¹' insert x s ∩ Metric.ball 0 ↑r')

Tactic:
simp [dist_eq_norm]

Result:
no goals

Proof state:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
h : ↑r' < r
⊢ TendstoUniformlyOn (fun n y => p.partialSum n (y - x)) f atTop (insert x s ∩ Metric.ball x ↑r')

Tactic:
convert (hf.tendstoUniformlyOn h).comp fun y => y - x using 1

Result:
case h.e'_6
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
h : ↑r' < r
⊢ f = (fun y => f (x + y)) ∘ fun y => y - x

case h.e'_8
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
h : ↑r' < r
⊢ insert x s ∩ Metric.ball x ↑r' = (fun y => y - x) ⁻¹' ((fun x_1 => x + x_1) ⁻¹' insert x s ∩ Metric.ball 0 ↑r')

Proof state:
case h.e'_6
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
h : ↑r' < r
⊢ f = (fun y => f (x + y)) ∘ fun y => y - x

Tactic:
simp [Function.comp_def]

Result:
no goals

Proof state:
case h.e'_8
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
h : ↑r' < r
⊢ insert x s ∩ Metric.ball x ↑r' = (fun y => y - x) ⁻¹' ((fun x_1 => x + x_1) ⁻¹' insert x s ∩ Metric.ball 0 ↑r')

Tactic:
ext z

Result:
case h.e'_8.h
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
s : Set E
x : E
r : ℝ≥0∞
r' : ℝ≥0
hf : HasFPowerSeriesWithinOnBall f p s x r
h : ↑r' < r
z : E
⊢ z ∈ insert x s ∩ Metric.ball x ↑r' ↔
    z ∈ (fun y => y - x) ⁻¹' ((fun x_1 => x + x_1) ⁻¹' insert x s ∩ Metric.ball 0 ↑r')