-- Mathlib/Analysis/Convex/Side.lean
theorem wOppSide_iff_exists_right {s : AffineSubspace R P} {x y p₂ : P} (h : p₂ ∈ s) :
    s.WOppSide x y ↔ y ∈ s ∨ ∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)

Proof state:
case mpr.inr.intro.intro
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₂ : P
h : p₂ ∈ s
p : P
hp : p ∈ s
hr : SameRay R (x -ᵥ p) (p₂ -ᵥ y)
⊢ SameRay R (y -ᵥ p₂) (p -ᵥ x)

Tactic:
rwa [SameRay.sameRay_comm, ← sameRay_neg_iff, neg_vsub_eq_vsub_rev, neg_vsub_eq_vsub_rev]

Result:
no goals

Proof state:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₂ : P
h : p₂ ∈ s
⊢ (y ∈ s ∨ ∃ p₂_1 ∈ s, SameRay R (y -ᵥ p₂) (p₂_1 -ᵥ x)) ↔ y ∈ s ∨ ∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)

Tactic:
constructor

Result:
case mp
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₂ : P
h : p₂ ∈ s
⊢ (y ∈ s ∨ ∃ p₂_1 ∈ s, SameRay R (y -ᵥ p₂) (p₂_1 -ᵥ x)) → y ∈ s ∨ ∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)

case mpr
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₂ : P
h : p₂ ∈ s
⊢ (y ∈ s ∨ ∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)) → y ∈ s ∨ ∃ p₂_1 ∈ s, SameRay R (y -ᵥ p₂) (p₂_1 -ᵥ x)

Proof state:
case mp.inl
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₂ : P
h : p₂ ∈ s
hy : y ∈ s
⊢ y ∈ s ∨ ∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)

Tactic:
exact Or.inl hy

Result:
no goals

Proof state:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₂ : P
h : p₂ ∈ s
⊢ s.WOppSide x y ↔ y ∈ s ∨ ∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)

Tactic:
rw [wOppSide_comm, wOppSide_iff_exists_left h]

Result:
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₂ : P
h : p₂ ∈ s
⊢ (y ∈ s ∨ ∃ p₂_1 ∈ s, SameRay R (y -ᵥ p₂) (p₂_1 -ᵥ x)) ↔ y ∈ s ∨ ∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)

Proof state:
case mp
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₂ : P
h : p₂ ∈ s
⊢ (y ∈ s ∨ ∃ p₂_1 ∈ s, SameRay R (y -ᵥ p₂) (p₂_1 -ᵥ x)) → y ∈ s ∨ ∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)

Tactic:
rintro (hy | ⟨p, hp, hr⟩)

Result:
case mp.inl
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₂ : P
h : p₂ ∈ s
hy : y ∈ s
⊢ y ∈ s ∨ ∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)

case mp.inr.intro.intro
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₂ : P
h : p₂ ∈ s
p : P
hp : p ∈ s
hr : SameRay R (y -ᵥ p₂) (p -ᵥ x)
⊢ y ∈ s ∨ ∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)

Proof state:
case mpr.inr.intro.intro
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₂ : P
h : p₂ ∈ s
p : P
hp : p ∈ s
hr : SameRay R (x -ᵥ p) (p₂ -ᵥ y)
⊢ y ∈ s ∨ ∃ p₂_1 ∈ s, SameRay R (y -ᵥ p₂) (p₂_1 -ᵥ x)

Tactic:
refine Or.inr ⟨p, hp, ?_⟩

Result:
case mpr.inr.intro.intro
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₂ : P
h : p₂ ∈ s
p : P
hp : p ∈ s
hr : SameRay R (x -ᵥ p) (p₂ -ᵥ y)
⊢ SameRay R (y -ᵥ p₂) (p -ᵥ x)

Proof state:
case mpr.inl
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₂ : P
h : p₂ ∈ s
hy : y ∈ s
⊢ y ∈ s ∨ ∃ p₂_1 ∈ s, SameRay R (y -ᵥ p₂) (p₂_1 -ᵥ x)

Tactic:
exact Or.inl hy

Result:
no goals

Proof state:
case mp.inr.intro.intro
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₂ : P
h : p₂ ∈ s
p : P
hp : p ∈ s
hr : SameRay R (y -ᵥ p₂) (p -ᵥ x)
⊢ y ∈ s ∨ ∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)

Tactic:
refine Or.inr ⟨p, hp, ?_⟩

Result:
case mp.inr.intro.intro
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₂ : P
h : p₂ ∈ s
p : P
hp : p ∈ s
hr : SameRay R (y -ᵥ p₂) (p -ᵥ x)
⊢ SameRay R (x -ᵥ p) (p₂ -ᵥ y)

Proof state:
case mpr
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₂ : P
h : p₂ ∈ s
⊢ (y ∈ s ∨ ∃ p₁ ∈ s, SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)) → y ∈ s ∨ ∃ p₂_1 ∈ s, SameRay R (y -ᵥ p₂) (p₂_1 -ᵥ x)

Tactic:
rintro (hy | ⟨p, hp, hr⟩)

Result:
case mpr.inl
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₂ : P
h : p₂ ∈ s
hy : y ∈ s
⊢ y ∈ s ∨ ∃ p₂_1 ∈ s, SameRay R (y -ᵥ p₂) (p₂_1 -ᵥ x)

case mpr.inr.intro.intro
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₂ : P
h : p₂ ∈ s
p : P
hp : p ∈ s
hr : SameRay R (x -ᵥ p) (p₂ -ᵥ y)
⊢ y ∈ s ∨ ∃ p₂_1 ∈ s, SameRay R (y -ᵥ p₂) (p₂_1 -ᵥ x)

Proof state:
case mp.inr.intro.intro
R : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField R
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module R V
inst✝ : AddTorsor V P
s : AffineSubspace R P
x y p₂ : P
h : p₂ ∈ s
p : P
hp : p ∈ s
hr : SameRay R (y -ᵥ p₂) (p -ᵥ x)
⊢ SameRay R (x -ᵥ p) (p₂ -ᵥ y)

Tactic:
rwa [SameRay.sameRay_comm, ← sameRay_neg_iff, neg_vsub_eq_vsub_rev, neg_vsub_eq_vsub_rev]

Result:
no goals