-- Mathlib/RingTheory/OreLocalization/Basic.lean
theorem add_comm (x y : X[S⁻¹]) : x + y = y + x

Proof state:
case c.c.mk.mk.intro.e_s
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r : X
s : ↥S
r' : X
s' : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s = ra * ↑s'
ha' : r /ₒ s + r' /ₒ s' = (sa • r + ra • r') /ₒ (sa * s)
⊢ sa * s = ⟨ra * ↑s', ⋯⟩

Tactic:
ext

Result:
case c.c.mk.mk.intro.e_s.a
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r : X
s : ↥S
r' : X
s' : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s = ra * ↑s'
ha' : r /ₒ s + r' /ₒ s' = (sa • r + ra • r') /ₒ (sa * s)
⊢ ↑(sa * s) = ↑⟨ra * ↑s', ⋯⟩

Proof state:
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
x y : OreLocalization S X
⊢ x + y = y + x

Tactic:
induction' x with r s

Result:
case c
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
y : OreLocalization S X
r : X
s : ↥S
⊢ r /ₒ s + y = y + r /ₒ s

Proof state:
case c.c.mk.mk.intro.e_s.a
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r : X
s : ↥S
r' : X
s' : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s = ra * ↑s'
ha' : r /ₒ s + r' /ₒ s' = (sa • r + ra • r') /ₒ (sa * s)
⊢ ↑(sa * s) = ↑⟨ra * ↑s', ⋯⟩

Tactic:
exact ha

Result:
no goals

Proof state:
case c.c
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r : X
s : ↥S
r' : X
s' : ↥S
⊢ r /ₒ s + r' /ₒ s' = r' /ₒ s' + r /ₒ s

Tactic:
rcases oreDivAddChar' r r' s s' with ⟨ra, sa, ha, ha'⟩

Result:
case c.c.mk.mk.intro
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r : X
s : ↥S
r' : X
s' : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s = ra * ↑s'
ha' : r /ₒ s + r' /ₒ s' = (sa • r + ra • r') /ₒ (sa * s)
⊢ r /ₒ s + r' /ₒ s' = r' /ₒ s' + r /ₒ s

Proof state:
case c.c.mk.mk.intro
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r : X
s : ↥S
r' : X
s' : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s = ra * ↑s'
ha' : r /ₒ s + r' /ₒ s' = (sa • r + ra • r') /ₒ (sa * s)
⊢ (ra • r' + sa • r) /ₒ (sa * s) = (ra • r' + ↑sa • r) /ₒ ⟨ra * ↑s', ⋯⟩

Tactic:
congr

Result:
case c.c.mk.mk.intro.e_s
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r : X
s : ↥S
r' : X
s' : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s = ra * ↑s'
ha' : r /ₒ s + r' /ₒ s' = (sa • r + ra • r') /ₒ (sa * s)
⊢ sa * s = ⟨ra * ↑s', ⋯⟩

Proof state:
case c.c.mk.mk.intro
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r : X
s : ↥S
r' : X
s' : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s = ra * ↑s'
ha' : r /ₒ s + r' /ₒ s' = (sa • r + ra • r') /ₒ (sa * s)
⊢ r /ₒ s + r' /ₒ s' = r' /ₒ s' + r /ₒ s

Tactic:
rw [ha', oreDiv_add_char' s' s _ _ ha.symm (ha ▸ (sa * s).2), add_comm]

Result:
case c.c.mk.mk.intro
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r : X
s : ↥S
r' : X
s' : ↥S
ra : R
sa : ↥S
ha : ↑sa * ↑s = ra * ↑s'
ha' : r /ₒ s + r' /ₒ s' = (sa • r + ra • r') /ₒ (sa * s)
⊢ (ra • r' + sa • r) /ₒ (sa * s) = (ra • r' + ↑sa • r) /ₒ ⟨ra * ↑s', ⋯⟩

Proof state:
case c
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
y : OreLocalization S X
r : X
s : ↥S
⊢ r /ₒ s + y = y + r /ₒ s

Tactic:
induction' y with r' s'

Result:
case c.c
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
r : X
s : ↥S
r' : X
s' : ↥S
⊢ r /ₒ s + r' /ₒ s' = r' /ₒ s' + r /ₒ s