-- Mathlib/MeasureTheory/Integral/DivergenceTheorem.lean
theorem integral_eq_of_hasDerivWithinAt_off_countable_of_le (f f' : ℝ → E) {a b : ℝ}
    (hle : a ≤ b) {s : Set ℝ} (hs : s.Countable) (Hc : ContinuousOn f (Icc a b))
    (Hd : ∀ x ∈ Ioo a b \ s, HasDerivAt f (f' x) x) (Hi : IntervalIntegrable f' volume a b) :
    ∫ x in a..b, f' x = f b - f a

Proof state:
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
hle : a ≤ b
s : Set ℝ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
Hi : IntervalIntegrable f' volume a b
e : ℝ ≃L[ℝ] Fin 1 → ℝ := (ContinuousLinearEquiv.funUnique (Fin 1) ℝ ℝ).symm
e_symm : ∀ (x : Fin 1 → ℝ), e.symm x = x 0
F' : ℝ → ℝ →L[ℝ] E := fun x => smulRight 1 (f' x)
hF' : ∀ (x y : ℝ), (F' x) y = y • f' x
Hd : ∀ x ∈ interior (Set.Icc a b) \ s, HasDerivAt f (f' x) x
⊢ ∫ (x : ℝ) in Set.Icc a b, f' x =
    ∑ i : Fin 1,
      ((∫ (x : Fin 0 → ℝ) in Set.Icc (e a ∘ i.succAbove) (e b ∘ i.succAbove), f (e.symm (i.insertNth (e b i) x))) -
        ∫ (x : Fin 0 → ℝ) in Set.Icc (e a ∘ i.succAbove) (e b ∘ i.succAbove), f (e.symm (i.insertNth (e a i) x)))

Tactic:
refine
  integral_divergence_of_hasFDerivWithinAt_off_countable_of_equiv e ?_ ?_ (fun _ => f)
    (fun _ => F') s hs a b hle (fun _ => Hc) (fun x hx _ => Hd x hx) _ ?_ ?_

Result:
case refine_1
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
hle : a ≤ b
s : Set ℝ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
Hi : IntervalIntegrable f' volume a b
e : ℝ ≃L[ℝ] Fin 1 → ℝ := (ContinuousLinearEquiv.funUnique (Fin 1) ℝ ℝ).symm
e_symm : ∀ (x : Fin 1 → ℝ), e.symm x = x 0
F' : ℝ → ℝ →L[ℝ] E := fun x => smulRight 1 (f' x)
hF' : ∀ (x y : ℝ), (F' x) y = y • f' x
Hd : ∀ x ∈ interior (Set.Icc a b) \ s, HasDerivAt f (f' x) x
⊢ ∀ (x y : ℝ), e x ≤ e y ↔ x ≤ y

case refine_2
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
hle : a ≤ b
s : Set ℝ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
Hi : IntervalIntegrable f' volume a b
e : ℝ ≃L[ℝ] Fin 1 → ℝ := (ContinuousLinearEquiv.funUnique (Fin 1) ℝ ℝ).symm
e_symm : ∀ (x : Fin 1 → ℝ), e.symm x = x 0
F' : ℝ → ℝ →L[ℝ] E := fun x => smulRight 1 (f' x)
hF' : ∀ (x y : ℝ), (F' x) y = y • f' x
Hd : ∀ x ∈ interior (Set.Icc a b) \ s, HasDerivAt f (f' x) x
⊢ MeasurePreserving (⇑e) volume volume

case refine_3
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
hle : a ≤ b
s : Set ℝ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
Hi : IntervalIntegrable f' volume a b
e : ℝ ≃L[ℝ] Fin 1 → ℝ := (ContinuousLinearEquiv.funUnique (Fin 1) ℝ ℝ).symm
e_symm : ∀ (x : Fin 1 → ℝ), e.symm x = x 0
F' : ℝ → ℝ →L[ℝ] E := fun x => smulRight 1 (f' x)
hF' : ∀ (x y : ℝ), (F' x) y = y • f' x
Hd : ∀ x ∈ interior (Set.Icc a b) \ s, HasDerivAt f (f' x) x
⊢ ∀ (x : ℝ), f' x = ∑ i : Fin (0 + 1), ((fun x => F') i x) (e.symm (Pi.single i 1))

case refine_4
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
hle : a ≤ b
s : Set ℝ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
Hi : IntervalIntegrable f' volume a b
e : ℝ ≃L[ℝ] Fin 1 → ℝ := (ContinuousLinearEquiv.funUnique (Fin 1) ℝ ℝ).symm
e_symm : ∀ (x : Fin 1 → ℝ), e.symm x = x 0
F' : ℝ → ℝ →L[ℝ] E := fun x => smulRight 1 (f' x)
hF' : ∀ (x y : ℝ), (F' x) y = y • f' x
Hd : ∀ x ∈ interior (Set.Icc a b) \ s, HasDerivAt f (f' x) x
⊢ IntegrableOn f' (Set.Icc a b) volume

Proof state:
case refine_3
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
hle : a ≤ b
s : Set ℝ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
Hi : IntervalIntegrable f' volume a b
e : ℝ ≃L[ℝ] Fin 1 → ℝ := (ContinuousLinearEquiv.funUnique (Fin 1) ℝ ℝ).symm
e_symm : ∀ (x : Fin 1 → ℝ), e.symm x = x 0
F' : ℝ → ℝ →L[ℝ] E := fun x => smulRight 1 (f' x)
hF' : ∀ (x y : ℝ), (F' x) y = y • f' x
Hd : ∀ x ∈ interior (Set.Icc a b) \ s, HasDerivAt f (f' x) x
⊢ ∀ (x : ℝ), f' x = ∑ i : Fin (0 + 1), ((fun x => F') i x) (e.symm (Pi.single i 1))

Tactic:
intro x

Result:
case refine_3
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
hle : a ≤ b
s : Set ℝ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
Hi : IntervalIntegrable f' volume a b
e : ℝ ≃L[ℝ] Fin 1 → ℝ := (ContinuousLinearEquiv.funUnique (Fin 1) ℝ ℝ).symm
e_symm : ∀ (x : Fin 1 → ℝ), e.symm x = x 0
F' : ℝ → ℝ →L[ℝ] E := fun x => smulRight 1 (f' x)
hF' : ∀ (x y : ℝ), (F' x) y = y • f' x
Hd : ∀ x ∈ interior (Set.Icc a b) \ s, HasDerivAt f (f' x) x
x : ℝ
⊢ f' x = ∑ i : Fin (0 + 1), ((fun x => F') i x) (e.symm (Pi.single i 1))

Proof state:
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
hle : a ≤ b
s : Set ℝ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
Hd : ∀ x ∈ Set.Ioo a b \ s, HasDerivAt f (f' x) x
Hi : IntervalIntegrable f' volume a b
e : ℝ ≃L[ℝ] Fin 1 → ℝ := (ContinuousLinearEquiv.funUnique (Fin 1) ℝ ℝ).symm
e_symm : ∀ (x : Fin 1 → ℝ), e.symm x = x 0
F' : ℝ → ℝ →L[ℝ] E := fun x => smulRight 1 (f' x)
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x = f b - f a

Tactic:
have hF' : ∀ x y, F' x y = y • f' x := fun x y => rfl

Result:
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
hle : a ≤ b
s : Set ℝ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
Hd : ∀ x ∈ Set.Ioo a b \ s, HasDerivAt f (f' x) x
Hi : IntervalIntegrable f' volume a b
e : ℝ ≃L[ℝ] Fin 1 → ℝ := (ContinuousLinearEquiv.funUnique (Fin 1) ℝ ℝ).symm
e_symm : ∀ (x : Fin 1 → ℝ), e.symm x = x 0
F' : ℝ → ℝ →L[ℝ] E := fun x => smulRight 1 (f' x)
hF' : ∀ (x y : ℝ), (F' x) y = y • f' x
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x = f b - f a

Proof state:
case refine_3
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
hle : a ≤ b
s : Set ℝ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
Hi : IntervalIntegrable f' volume a b
e : ℝ ≃L[ℝ] Fin 1 → ℝ := (ContinuousLinearEquiv.funUnique (Fin 1) ℝ ℝ).symm
e_symm : ∀ (x : Fin 1 → ℝ), e.symm x = x 0
F' : ℝ → ℝ →L[ℝ] E := fun x => smulRight 1 (f' x)
hF' : ∀ (x y : ℝ), (F' x) y = y • f' x
Hd : ∀ x ∈ interior (Set.Icc a b) \ s, HasDerivAt f (f' x) x
x : ℝ
⊢ f' x = ∑ i : Fin (0 + 1), ((fun x => F') i x) (e.symm (Pi.single i 1))

Tactic:
rw [Fin.sum_univ_one, hF', e_symm, Pi.single_eq_same, one_smul]

Result:
no goals

Proof state:
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
hle : a ≤ b
s : Set ℝ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
Hd : ∀ x ∈ Set.Ioo a b \ s, HasDerivAt f (f' x) x
Hi : IntervalIntegrable f' volume a b
e : ℝ ≃L[ℝ] Fin 1 → ℝ := (ContinuousLinearEquiv.funUnique (Fin 1) ℝ ℝ).symm
e_symm : ∀ (x : Fin 1 → ℝ), e.symm x = x 0
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x = f b - f a

Tactic:
set F' : ℝ → ℝ →L[ℝ] E := fun x => smulRight (1 : ℝ →L[ℝ] ℝ) (f' x)

Result:
E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f f' : ℝ → E
a b : ℝ
hle : a ≤ b
s : Set ℝ
hs : s.Countable
Hc : ContinuousOn f (Set.Icc a b)
Hd : ∀ x ∈ Set.Ioo a b \ s, HasDerivAt f (f' x) x
Hi : IntervalIntegrable f' volume a b
e : ℝ ≃L[ℝ] Fin 1 → ℝ := (ContinuousLinearEquiv.funUnique (Fin 1) ℝ ℝ).symm
e_symm : ∀ (x : Fin 1 → ℝ), e.symm x = x 0
F' : ℝ → ℝ →L[ℝ] E := fun x => smulRight 1 (f' x)
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, f' x = f b - f a