-- Mathlib/.lake/packages/lean4/src/lean/Std/Tactic/BVDecide/Bitblast/BVExpr/Circuit/Lemmas/Operations/Ult.lean
theorem mkUlt_denote_eq (aig : AIG α) (lhs rhs : BitVec w) (input : BinaryRefVec aig w)
    (assign : α → Bool)
    (hleft : ∀ (idx : Nat) (hidx : idx < w), ⟦aig, input.lhs.get idx hidx, assign⟧ = lhs.getLsbD idx)
    (hright : ∀ (idx : Nat) (hidx : idx < w), ⟦aig, input.rhs.get idx hidx, assign⟧ = rhs.getLsbD idx) :
    ⟦(mkUlt aig input).aig, (mkUlt aig input).ref, assign⟧ = BitVec.ult lhs rhs

Proof state:
case e_a.hright
α : Type
inst✝¹ : Hashable α
inst✝ : DecidableEq α
w : Nat
aig : AIG α
lhs rhs : BitVec w
input : aig.BinaryRefVec w
assign : α → Bool
hleft : ∀ (idx : Nat) (hidx : idx < w), ⟦assign, { aig := aig, ref := input.lhs.get idx hidx }⟧ = lhs.getLsbD idx
hright : ∀ (idx : Nat) (hidx : idx < w), ⟦assign, { aig := aig, ref := input.rhs.get idx hidx }⟧ = rhs.getLsbD idx
⊢ ∀ (idx : Nat)
    (hidx :
      idx <
        { w := w, vec := { lhs := input.lhs.cast ⋯, rhs := (BVExpr.bitblast.blastNot aig input.rhs).vec.cast ⋯ },
            cin := ((BVExpr.bitblast.blastNot aig input.rhs).aig.mkConstCached true).ref }.w),
    ⟦assign,
        { aig := ((BVExpr.bitblast.blastNot aig input.rhs).aig.mkConstCached true).aig,
          ref :=
            { w := w, vec := { lhs := input.lhs.cast ⋯, rhs := (BVExpr.bitblast.blastNot aig input.rhs).vec.cast ⋯ },
                      cin := ((BVExpr.bitblast.blastNot aig input.rhs).aig.mkConstCached true).ref }.vec.rhs.get
              idx hidx }⟧ =
      (~~~rhs).getLsbD idx

Tactic:
dsimp only

Result:
case e_a.hright
α : Type
inst✝¹ : Hashable α
inst✝ : DecidableEq α
w : Nat
aig : AIG α
lhs rhs : BitVec w
input : aig.BinaryRefVec w
assign : α → Bool
hleft : ∀ (idx : Nat) (hidx : idx < w), ⟦assign, { aig := aig, ref := input.lhs.get idx hidx }⟧ = lhs.getLsbD idx
hright : ∀ (idx : Nat) (hidx : idx < w), ⟦assign, { aig := aig, ref := input.rhs.get idx hidx }⟧ = rhs.getLsbD idx
⊢ ∀ (idx : Nat) (hidx : idx < w),
    ⟦assign,
        { aig := ((BVExpr.bitblast.blastNot aig input.rhs).aig.mkConstCached true).aig,
          ref := ((BVExpr.bitblast.blastNot aig input.rhs).vec.cast ⋯).get idx hidx }⟧ =
      (~~~rhs).getLsbD idx

Proof state:
case e_a.hright
α : Type
inst✝¹ : Hashable α
inst✝ : DecidableEq α
w : Nat
aig : AIG α
lhs rhs : BitVec w
input : aig.BinaryRefVec w
assign : α → Bool
hleft : ∀ (idx : Nat) (hidx : idx < w), ⟦assign, { aig := aig, ref := input.lhs.get idx hidx }⟧ = lhs.getLsbD idx
hright : ∀ (idx : Nat) (hidx : idx < w), ⟦assign, { aig := aig, ref := input.rhs.get idx hidx }⟧ = rhs.getLsbD idx
idx : Nat
hidx : idx < w
⊢ ⟦assign,
      { aig := (BVExpr.bitblast.blastNot aig input.rhs).aig,
        ref :=
          { gate := (((BVExpr.bitblast.blastNot aig input.rhs).vec.cast ⋯).get idx hidx).gate,
            hgate := ?e_a.hright✝ } }⟧ =
    (~~~rhs).getLsbD idx

Tactic:
simp only [RefVec.get_cast, Ref.gate_cast, BitVec.getLsbD_not, hidx, decide_true,
  Bool.true_and]

Result:
case e_a.hright
α : Type
inst✝¹ : Hashable α
inst✝ : DecidableEq α
w : Nat
aig : AIG α
lhs rhs : BitVec w
input : aig.BinaryRefVec w
assign : α → Bool
hleft : ∀ (idx : Nat) (hidx : idx < w), ⟦assign, { aig := aig, ref := input.lhs.get idx hidx }⟧ = lhs.getLsbD idx
hright : ∀ (idx : Nat) (hidx : idx < w), ⟦assign, { aig := aig, ref := input.rhs.get idx hidx }⟧ = rhs.getLsbD idx
idx : Nat
hidx : idx < w
⊢ ⟦assign,
      { aig := (BVExpr.bitblast.blastNot aig input.rhs).aig,
        ref := { gate := ((BVExpr.bitblast.blastNot aig input.rhs).vec.get idx hidx).gate, hgate := ⋯ } }⟧ =
    !rhs.getLsbD idx

Proof state:
case e_a
α : Type
inst✝¹ : Hashable α
inst✝ : DecidableEq α
w : Nat
aig : AIG α
lhs rhs : BitVec w
input : aig.BinaryRefVec w
assign : α → Bool
hleft : ∀ (idx : Nat) (hidx : idx < w), ⟦assign, { aig := aig, ref := input.lhs.get idx hidx }⟧ = lhs.getLsbD idx
hright : ∀ (idx : Nat) (hidx : idx < w), ⟦assign, { aig := aig, ref := input.rhs.get idx hidx }⟧ = rhs.getLsbD idx
⊢ ⟦assign,
      BVExpr.bitblast.mkOverflowBit ((BVExpr.bitblast.blastNot aig input.rhs).aig.mkConstCached true).aig
        { w := w, vec := { lhs := input.lhs.cast ⋯, rhs := (BVExpr.bitblast.blastNot aig input.rhs).vec.cast ⋯ },
          cin := ((BVExpr.bitblast.blastNot aig input.rhs).aig.mkConstCached true).ref }⟧ =
    BitVec.carry w lhs (~~~rhs) true

Tactic:
rw [BVExpr.bitblast.mkOverflowBit_eq_carry (input := ⟨w, _, _⟩) (lhs := lhs) (rhs := ~~~rhs)]

Result:
case e_a
α : Type
inst✝¹ : Hashable α
inst✝ : DecidableEq α
w : Nat
aig : AIG α
lhs rhs : BitVec w
input : aig.BinaryRefVec w
assign : α → Bool
hleft : ∀ (idx : Nat) (hidx : idx < w), ⟦assign, { aig := aig, ref := input.lhs.get idx hidx }⟧ = lhs.getLsbD idx
hright : ∀ (idx : Nat) (hidx : idx < w), ⟦assign, { aig := aig, ref := input.rhs.get idx hidx }⟧ = rhs.getLsbD idx
⊢ BitVec.carry
      { w := w, vec := { lhs := input.lhs.cast ⋯, rhs := (BVExpr.bitblast.blastNot aig input.rhs).vec.cast ⋯ },
          cin := ((BVExpr.bitblast.blastNot aig input.rhs).aig.mkConstCached true).ref }.w
      lhs (~~~rhs)
      ⟦assign,
        { aig := ((BVExpr.bitblast.blastNot aig input.rhs).aig.mkConstCached true).aig,
          ref :=
            { w := w, vec := { lhs := input.lhs.cast ⋯, rhs := (BVExpr.bitblast.blastNot aig input.rhs).vec.cast ⋯ },
                cin := ((BVExpr.bitblast.blastNot aig input.rhs).aig.mkConstCached true).ref }.cin }⟧ =
    BitVec.carry w lhs (~~~rhs) true

case e_a.hleft
α : Type
inst✝¹ : Hashable α
inst✝ : DecidableEq α
w : Nat
aig : AIG α
lhs rhs : BitVec w
input : aig.BinaryRefVec w
assign : α → Bool
hleft : ∀ (idx : Nat) (hidx : idx < w), ⟦assign, { aig := aig, ref := input.lhs.get idx hidx }⟧ = lhs.getLsbD idx
hright : ∀ (idx : Nat) (hidx : idx < w), ⟦assign, { aig := aig, ref := input.rhs.get idx hidx }⟧ = rhs.getLsbD idx
⊢ ∀ (idx : Nat)
    (hidx :
      idx <
        { w := w, vec := { lhs := input.lhs.cast ⋯, rhs := (BVExpr.bitblast.blastNot aig input.rhs).vec.cast ⋯ },
            cin := ((BVExpr.bitblast.blastNot aig input.rhs).aig.mkConstCached true).ref }.w),
    ⟦assign,
        { aig := ((BVExpr.bitblast.blastNot aig input.rhs).aig.mkConstCached true).aig,
          ref :=
            { w := w, vec := { lhs := input.lhs.cast ⋯, rhs := (BVExpr.bitblast.blastNot aig input.rhs).vec.cast ⋯ },
                      cin := ((BVExpr.bitblast.blastNot aig input.rhs).aig.mkConstCached true).ref }.vec.lhs.get
              idx hidx }⟧ =
      lhs.getLsbD idx

case e_a.hright
α : Type
inst✝¹ : Hashable α
inst✝ : DecidableEq α
w : Nat
aig : AIG α
lhs rhs : BitVec w
input : aig.BinaryRefVec w
assign : α → Bool
hleft : ∀ (idx : Nat) (hidx : idx < w), ⟦assign, { aig := aig, ref := input.lhs.get idx hidx }⟧ = lhs.getLsbD idx
hright : ∀ (idx : Nat) (hidx : idx < w), ⟦assign, { aig := aig, ref := input.rhs.get idx hidx }⟧ = rhs.getLsbD idx
⊢ ∀ (idx : Nat)
    (hidx :
      idx <
        { w := w, vec := { lhs := input.lhs.cast ⋯, rhs := (BVExpr.bitblast.blastNot aig input.rhs).vec.cast ⋯ },
            cin := ((BVExpr.bitblast.blastNot aig input.rhs).aig.mkConstCached true).ref }.w),
    ⟦assign,
        { aig := ((BVExpr.bitblast.blastNot aig input.rhs).aig.mkConstCached true).aig,
          ref :=
            { w := w, vec := { lhs := input.lhs.cast ⋯, rhs := (BVExpr.bitblast.blastNot aig input.rhs).vec.cast ⋯ },
                      cin := ((BVExpr.bitblast.blastNot aig input.rhs).aig.mkConstCached true).ref }.vec.rhs.get
              idx hidx }⟧ =
      (~~~rhs).getLsbD idx