-- Mathlib/GroupTheory/Perm/Cycle/Factors.lean
theorem cycleOf_mul_of_apply_right_eq_self [DecidableRel f.SameCycle]
    [DecidableRel (f * g).SameCycle]
    (h : Commute f g) (x : α) (hx : g x = x) : (f * g).cycleOf x = f.cycleOf x

Proof state:
case neg.intro
α : Type u_2
f g : Perm α
inst✝¹ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝ : DecidableRel (f * g).SameCycle
h : Commute f g
x : α
hx : g x = x
z : ℤ
⊢ ((f * g) ^ z) x = (f ^ z) x

Tactic:
simp [h.mul_zpow, zpow_apply_eq_self_of_apply_eq_self hx]

Result:
no goals

Proof state:
case neg.intro
α : Type u_2
f g : Perm α
inst✝¹ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝ : DecidableRel (f * g).SameCycle
h : Commute f g
x : α
hx : g x = x
z : ℤ
⊢ (f * g).SameCycle x ((f ^ z) x)

Tactic:
refine ⟨z, ?_⟩

Result:
case neg.intro
α : Type u_2
f g : Perm α
inst✝¹ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝ : DecidableRel (f * g).SameCycle
h : Commute f g
x : α
hx : g x = x
z : ℤ
⊢ ((f * g) ^ z) x = (f ^ z) x

Proof state:
case pos
α : Type u_2
f g : Perm α
inst✝¹ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝ : DecidableRel (f * g).SameCycle
h : Commute f g
x : α
hx : g x = x
y : α
hxy : (f * g).SameCycle x y
⊢ ((f * g).cycleOf x) y = (f.cycleOf x) y

Tactic:
obtain ⟨z, rfl⟩ := hxy

Result:
case pos.intro
α : Type u_2
f g : Perm α
inst✝¹ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝ : DecidableRel (f * g).SameCycle
h : Commute f g
x : α
hx : g x = x
z : ℤ
⊢ ((f * g).cycleOf x) (((f * g) ^ z) x) = (f.cycleOf x) (((f * g) ^ z) x)

Proof state:
case pos.intro
α : Type u_2
f g : Perm α
inst✝¹ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝ : DecidableRel (f * g).SameCycle
h : Commute f g
x : α
hx : g x = x
z : ℤ
⊢ ((f * g).cycleOf x) (((f * g) ^ z) x) = (f.cycleOf x) (((f * g) ^ z) x)

Tactic:
rw [cycleOf_apply_apply_zpow_self]

Result:
case pos.intro
α : Type u_2
f g : Perm α
inst✝¹ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝ : DecidableRel (f * g).SameCycle
h : Commute f g
x : α
hx : g x = x
z : ℤ
⊢ ((f * g) ^ (z + 1)) x = (f.cycleOf x) (((f * g) ^ z) x)

Proof state:
case neg
α : Type u_2
f g : Perm α
inst✝¹ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝ : DecidableRel (f * g).SameCycle
h : Commute f g
x : α
hx : g x = x
y : α
hxy : ¬(f * g).SameCycle x y
⊢ ¬f.SameCycle x y

Tactic:
contrapose! hxy

Result:
case neg
α : Type u_2
f g : Perm α
inst✝¹ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝ : DecidableRel (f * g).SameCycle
h : Commute f g
x : α
hx : g x = x
y : α
hxy : f.SameCycle x y
⊢ (f * g).SameCycle x y

Proof state:
case pos.intro
α : Type u_2
f g : Perm α
inst✝¹ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝ : DecidableRel (f * g).SameCycle
h : Commute f g
x : α
hx : g x = x
z : ℤ
⊢ ((f * g) ^ (z + 1)) x = (f.cycleOf x) (((f * g) ^ z) x)

Tactic:
simp [h.mul_zpow, zpow_apply_eq_self_of_apply_eq_self hx]

Result:
no goals

Proof state:
case neg
α : Type u_2
f g : Perm α
inst✝¹ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝ : DecidableRel (f * g).SameCycle
h : Commute f g
x : α
hx : g x = x
y : α
hxy : ¬(f * g).SameCycle x y
⊢ ((f * g).cycleOf x) y = (f.cycleOf x) y

Tactic:
rw [cycleOf_apply_of_not_sameCycle hxy, cycleOf_apply_of_not_sameCycle]

Result:
case neg
α : Type u_2
f g : Perm α
inst✝¹ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝ : DecidableRel (f * g).SameCycle
h : Commute f g
x : α
hx : g x = x
y : α
hxy : ¬(f * g).SameCycle x y
⊢ ¬f.SameCycle x y

Proof state:
case H
α : Type u_2
f g : Perm α
inst✝¹ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝ : DecidableRel (f * g).SameCycle
h : Commute f g
x : α
hx : g x = x
y : α
⊢ ((f * g).cycleOf x) y = (f.cycleOf x) y

Tactic:
by_cases hxy : (f * g).SameCycle x y

Result:
case pos
α : Type u_2
f g : Perm α
inst✝¹ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝ : DecidableRel (f * g).SameCycle
h : Commute f g
x : α
hx : g x = x
y : α
hxy : (f * g).SameCycle x y
⊢ ((f * g).cycleOf x) y = (f.cycleOf x) y

case neg
α : Type u_2
f g : Perm α
inst✝¹ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝ : DecidableRel (f * g).SameCycle
h : Commute f g
x : α
hx : g x = x
y : α
hxy : ¬(f * g).SameCycle x y
⊢ ((f * g).cycleOf x) y = (f.cycleOf x) y

Proof state:
α : Type u_2
f g : Perm α
inst✝¹ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝ : DecidableRel (f * g).SameCycle
h : Commute f g
x : α
hx : g x = x
⊢ (f * g).cycleOf x = f.cycleOf x

Tactic:
ext y

Result:
case H
α : Type u_2
f g : Perm α
inst✝¹ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝ : DecidableRel (f * g).SameCycle
h : Commute f g
x : α
hx : g x = x
y : α
⊢ ((f * g).cycleOf x) y = (f.cycleOf x) y

Proof state:
case neg
α : Type u_2
f g : Perm α
inst✝¹ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝ : DecidableRel (f * g).SameCycle
h : Commute f g
x : α
hx : g x = x
y : α
hxy : f.SameCycle x y
⊢ (f * g).SameCycle x y

Tactic:
obtain ⟨z, rfl⟩ := hxy

Result:
case neg.intro
α : Type u_2
f g : Perm α
inst✝¹ : DecidableRel f.SameCycle
inst✝ : DecidableRel (f * g).SameCycle
h : Commute f g
x : α
hx : g x = x
z : ℤ
⊢ (f * g).SameCycle x ((f ^ z) x)