-- Mathlib/GroupTheory/PushoutI.lean
theorem eq_one_of_smul_normalized (w : CoprodI.Word G) {i : ι} (h : H)
    (hw : ∀ i g, ⟨i, g⟩ ∈ w.toList → g ∈ d.set i)
    (hφw : ∀ j g, ⟨j, g⟩ ∈ (CoprodI.of (φ i h) • w).toList → g ∈ d.set j) :
    h = 1

Proof state:
case refine_1.left
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
w : Word G
i : ι
h✝ : H
hw : ∀ (i : ι) (g : G i), ⟨i, g⟩ ∈ w.toList → ↑(⋯.equiv g).2 = g
hφw : ∀ (j : ι) (g : G j), ⟨j, g⟩ ∈ (CoprodI.of ((φ i) h✝) • w).toList → ↑(⋯.equiv g).2 = g
hhead : ↑(⋯.equiv ((Word.equivPair i) w).head).2 = ((Word.equivPair i) w).head
hh1 : ¬h✝ = 1
h : ⋯.equiv ((φ i) h✝ * ((Word.equivPair i) w).head) = ⋯.equiv 1
⊢ False

Tactic:
simp only [Prod.ext_iff, equiv_one (d.compl i) (one_mem _) (d.one_mem _),
  equiv_mul_left_of_mem (d.compl i) ⟨_, rfl⟩ , hhead, Subtype.ext_iff,
  Prod.ext_iff, Subgroup.coe_mul] at h

Result:
case refine_1.left
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
w : Word G
i : ι
h✝ : H
hw : ∀ (i : ι) (g : G i), ⟨i, g⟩ ∈ w.toList → ↑(⋯.equiv g).2 = g
hφw : ∀ (j : ι) (g : G j), ⟨j, g⟩ ∈ (CoprodI.of ((φ i) h✝) • w).toList → ↑(⋯.equiv g).2 = g
hhead : ↑(⋯.equiv ((Word.equivPair i) w).head).2 = ((Word.equivPair i) w).head
hh1 : ¬h✝ = 1
h : ↑(⟨(φ i) h✝, ⋯⟩ * (⋯.equiv ((Word.equivPair i) w).head).1) = 1 ∧ ((Word.equivPair i) w).head = 1
⊢ False

Proof state:
case pos.intro
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
w : Word G
h : H
hw : ∀ (i : ι) (g : G i), ⟨i, g⟩ ∈ w.toList → ↑(⋯.equiv g).2 = g
hh1 : ¬h = 1
hnil : ¬w.toList = []
hφw : ∀ (j : ι) (g : G j), ⟨j, g⟩ ∈ (CoprodI.of ((φ (w.toList.head hnil).fst) h) • w).toList → ↑(⋯.equiv g).2 = g
hhead :
  ↑(⋯.equiv ((Word.equivPair (w.toList.head hnil).fst) w).head).2 = ((Word.equivPair (w.toList.head hnil).fst) w).head
⊢ ⟨(w.toList.head hnil).fst, (φ (w.toList.head hnil).fst) h * ⋯ ▸ (w.toList.head ⋯).snd⟩ ∈ w.toList.tail ∨
    w.toList.head? = some ⟨(w.toList.head hnil).fst, ⋯ ▸ (w.toList.head ⋯).snd⟩ ∨
      ¬w.fstIdx = some (w.toList.head hnil).fst ∧ ⋯ ▸ (w.toList.head ⋯).snd = 1

Tactic:
rw [head?_eq_head hnil]

Result:
case pos.intro
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
w : Word G
h : H
hw : ∀ (i : ι) (g : G i), ⟨i, g⟩ ∈ w.toList → ↑(⋯.equiv g).2 = g
hh1 : ¬h = 1
hnil : ¬w.toList = []
hφw : ∀ (j : ι) (g : G j), ⟨j, g⟩ ∈ (CoprodI.of ((φ (w.toList.head hnil).fst) h) • w).toList → ↑(⋯.equiv g).2 = g
hhead :
  ↑(⋯.equiv ((Word.equivPair (w.toList.head hnil).fst) w).head).2 = ((Word.equivPair (w.toList.head hnil).fst) w).head
⊢ ⟨(w.toList.head hnil).fst, (φ (w.toList.head hnil).fst) h * ⋯ ▸ (w.toList.head ⋯).snd⟩ ∈ w.toList.tail ∨
    some (w.toList.head hnil) = some ⟨(w.toList.head hnil).fst, ⋯ ▸ (w.toList.head ⋯).snd⟩ ∨
      ¬w.fstIdx = some (w.toList.head hnil).fst ∧ ⋯ ▸ (w.toList.head ⋯).snd = 1

Proof state:
case pos
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
w : Word G
i : ι
h✝ : H
hw : ∀ (i : ι) (g : G i), ⟨i, g⟩ ∈ w.toList → ↑(⋯.equiv g).2 = g
hφw : ∀ (j : ι) (g : G j), ⟨j, g⟩ ∈ (CoprodI.of ((φ i) h✝) • w).toList → ↑(⋯.equiv g).2 = g
h : ∃ (h : w.toList ≠ []), (w.toList.head h).fst = i
⊢ ↑(⋯.equiv (⋯ ▸ (w.toList.head ⋯).snd)).2 = ⋯ ▸ (w.toList.head ⋯).snd

Tactic:
rcases h with ⟨_, rfl⟩

Result:
case pos.intro
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
w : Word G
h : H
hw : ∀ (i : ι) (g : G i), ⟨i, g⟩ ∈ w.toList → ↑(⋯.equiv g).2 = g
w✝ : w.toList ≠ []
hφw : ∀ (j : ι) (g : G j), ⟨j, g⟩ ∈ (CoprodI.of ((φ (w.toList.head w✝).fst) h) • w).toList → ↑(⋯.equiv g).2 = g
⊢ ↑(⋯.equiv (⋯ ▸ (w.toList.head ⋯).snd)).2 = ⋯ ▸ (w.toList.head ⋯).snd

Proof state:
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
w : Word G
i : ι
h : H
hw : ∀ (i : ι) (g : G i), ⟨i, g⟩ ∈ w.toList → ↑(⋯.equiv g).2 = g
hφw : ∀ (j : ι) (g : G j), ⟨j, g⟩ ∈ (CoprodI.of ((φ i) h) • w).toList → ↑(⋯.equiv g).2 = g
⊢ ↑(⋯.equiv (if h : ∃ (h : w.toList ≠ []), (w.toList.head h).fst = i then ⋯ ▸ (w.toList.head ⋯).snd else 1)).2 =
    if h : ∃ (h : w.toList ≠ []), (w.toList.head h).fst = i then ⋯ ▸ (w.toList.head ⋯).snd else 1

Tactic:
split_ifs with h

Result:
case pos
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
w : Word G
i : ι
h✝ : H
hw : ∀ (i : ι) (g : G i), ⟨i, g⟩ ∈ w.toList → ↑(⋯.equiv g).2 = g
hφw : ∀ (j : ι) (g : G j), ⟨j, g⟩ ∈ (CoprodI.of ((φ i) h✝) • w).toList → ↑(⋯.equiv g).2 = g
h : ∃ (h : w.toList ≠ []), (w.toList.head h).fst = i
⊢ ↑(⋯.equiv (⋯ ▸ (w.toList.head ⋯).snd)).2 = ⋯ ▸ (w.toList.head ⋯).snd

case neg
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
w : Word G
i : ι
h✝ : H
hw : ∀ (i : ι) (g : G i), ⟨i, g⟩ ∈ w.toList → ↑(⋯.equiv g).2 = g
hφw : ∀ (j : ι) (g : G j), ⟨j, g⟩ ∈ (CoprodI.of ((φ i) h✝) • w).toList → ↑(⋯.equiv g).2 = g
h : ¬∃ (h : w.toList ≠ []), (w.toList.head h).fst = i
⊢ ↑(⋯.equiv 1).2 = 1

Proof state:
case refine_2
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
w : Word G
i : ι
h : H
hw : ∀ (i : ι) (g : G i), ⟨i, g⟩ ∈ w.toList → ↑(⋯.equiv g).2 = g
hφw : ∀ (j : ι) (g : G j), ⟨j, g⟩ ∈ (CoprodI.of ((φ i) h) • w).toList → ↑(⋯.equiv g).2 = g
hhead : ↑(⋯.equiv ((Word.equivPair i) w).head).2 = ((Word.equivPair i) w).head
hh1 : ¬h = 1
this : ↑(⋯.equiv ((φ i) h * ((Word.equivPair i) w).head)).2 = (φ i) h * ((Word.equivPair i) w).head
⊢ False

Tactic:
apply hh1

Result:
case refine_2
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : (i : ι) → Group (G i)
inst✝² : Group H
φ : (i : ι) → H →* G i
d : Transversal φ
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → DecidableEq (G i)
w : Word G
i : ι
h : H
hw : ∀ (i : ι) (g : G i), ⟨i, g⟩ ∈ w.toList → ↑(⋯.equiv g).2 = g
hφw : ∀ (j : ι) (g : G j), ⟨j, g⟩ ∈ (CoprodI.of ((φ i) h) • w).toList → ↑(⋯.equiv g).2 = g
hhead : ↑(⋯.equiv ((Word.equivPair i) w).head).2 = ((Word.equivPair i) w).head
hh1 : ¬h = 1
this : ↑(⋯.equiv ((φ i) h * ((Word.equivPair i) w).head)).2 = (φ i) h * ((Word.equivPair i) w).head
⊢ h = 1