-- Mathlib/Computability/PostTuringMachine.lean
theorem tr_reaches_rev {σ₁ σ₂ f₁ f₂} {tr : σ₁ → σ₂ → Prop} (H : Respects f₁ f₂ tr) {a₁ a₂}
    (aa : tr a₁ a₂) {b₂} (ab : Reaches f₂ a₂ b₂) :
    ∃ c₁ c₂, Reaches f₂ b₂ c₂ ∧ tr c₁ c₂ ∧ Reaches f₁ a₁ c₁

Proof state:
case tail.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro
σ₁ : Type u_1
σ₂ : Type u_2
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂ → Prop
H : Respects f₁ f₂ tr
a₁ : σ₁
a₂ : σ₂
aa : tr a₁ a₂
b₂ c₂ d₂ : σ₂
a✝ : ReflTransGen (fun a b => b ∈ f₂ a) a₂ c₂
cd : d₂ ∈ f₂ c₂
e₁ : σ₁
e₂ : σ₂
ce : Reaches f₂ c₂ e₂
ee : tr e₁ e₂
ae : Reaches f₁ a₁ e₁
d' : σ₂
cd' : d' ∈ f₂ c₂
de : ReflTransGen (fun a b => b ∈ f₂ a) d' e₂
⊢ ∃ c₁ c₂, Reaches f₂ d₂ c₂ ∧ tr c₁ c₂ ∧ Reaches f₁ a₁ c₁

Tactic:
cases Option.mem_unique cd cd'

Result:
case tail.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.refl
σ₁ : Type u_1
σ₂ : Type u_2
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂ → Prop
H : Respects f₁ f₂ tr
a₁ : σ₁
a₂ : σ₂
aa : tr a₁ a₂
b₂ c₂ d₂ : σ₂
a✝ : ReflTransGen (fun a b => b ∈ f₂ a) a₂ c₂
cd : d₂ ∈ f₂ c₂
e₁ : σ₁
e₂ : σ₂
ce : Reaches f₂ c₂ e₂
ee : tr e₁ e₂
ae : Reaches f₁ a₁ e₁
cd' : d₂ ∈ f₂ c₂
de : ReflTransGen (fun a b => b ∈ f₂ a) d₂ e₂
⊢ ∃ c₁ c₂, Reaches f₂ d₂ c₂ ∧ tr c₁ c₂ ∧ Reaches f₁ a₁ c₁

Proof state:
case tail.intro.intro.intro.intro.inl.some.intro.intro
σ₁ : Type u_1
σ₂ : Type u_2
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂ → Prop
H : Respects f₁ f₂ tr
a₁ : σ₁
a₂ : σ₂
aa : tr a₁ a₂
b₂ c₂ d₂ : σ₂
a✝ : ReflTransGen (fun a b => b ∈ f₂ a) a₂ c₂
cd : d₂ ∈ f₂ c₂
e₁ : σ₁
ae : Reaches f₁ a₁ e₁
ce : Reaches f₂ c₂ c₂
ee : tr e₁ c₂
g₁ : σ₁
eg : f₁ e₁ = some g₁
g₂ : σ₂
gg : tr g₁ g₂
cg : Reaches₁ f₂ c₂ g₂
d' : σ₂
cd' : d' ∈ f₂ c₂
dg : ReflTransGen (fun a b => b ∈ f₂ a) d' g₂
⊢ ∃ c₁ c₂, Reaches f₂ d₂ c₂ ∧ tr c₁ c₂ ∧ Reaches f₁ a₁ c₁

Tactic:
cases Option.mem_unique cd cd'

Result:
case tail.intro.intro.intro.intro.inl.some.intro.intro.refl
σ₁ : Type u_1
σ₂ : Type u_2
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂ → Prop
H : Respects f₁ f₂ tr
a₁ : σ₁
a₂ : σ₂
aa : tr a₁ a₂
b₂ c₂ d₂ : σ₂
a✝ : ReflTransGen (fun a b => b ∈ f₂ a) a₂ c₂
cd : d₂ ∈ f₂ c₂
e₁ : σ₁
ae : Reaches f₁ a₁ e₁
ce : Reaches f₂ c₂ c₂
ee : tr e₁ c₂
g₁ : σ₁
eg : f₁ e₁ = some g₁
g₂ : σ₂
gg : tr g₁ g₂
cg : Reaches₁ f₂ c₂ g₂
cd' : d₂ ∈ f₂ c₂
dg : ReflTransGen (fun a b => b ∈ f₂ a) d₂ g₂
⊢ ∃ c₁ c₂, Reaches f₂ d₂ c₂ ∧ tr c₁ c₂ ∧ Reaches f₁ a₁ c₁

Proof state:
case tail.intro.intro.intro.intro.inl.some.intro.intro.refl
σ₁ : Type u_1
σ₂ : Type u_2
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂ → Prop
H : Respects f₁ f₂ tr
a₁ : σ₁
a₂ : σ₂
aa : tr a₁ a₂
b₂ c₂ d₂ : σ₂
a✝ : ReflTransGen (fun a b => b ∈ f₂ a) a₂ c₂
cd : d₂ ∈ f₂ c₂
e₁ : σ₁
ae : Reaches f₁ a₁ e₁
ce : Reaches f₂ c₂ c₂
ee : tr e₁ c₂
g₁ : σ₁
eg : f₁ e₁ = some g₁
g₂ : σ₂
gg : tr g₁ g₂
cg : Reaches₁ f₂ c₂ g₂
cd' : d₂ ∈ f₂ c₂
dg : ReflTransGen (fun a b => b ∈ f₂ a) d₂ g₂
⊢ ∃ c₁ c₂, Reaches f₂ d₂ c₂ ∧ tr c₁ c₂ ∧ Reaches f₁ a₁ c₁

Tactic:
exact ⟨_, _, dg, gg, ae.tail eg⟩

Result:
no goals

Proof state:
case tail
σ₁ : Type u_1
σ₂ : Type u_2
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂ → Prop
H : Respects f₁ f₂ tr
a₁ : σ₁
a₂ : σ₂
aa : tr a₁ a₂
b₂ c₂ d₂ : σ₂
a✝ : ReflTransGen (fun a b => b ∈ f₂ a) a₂ c₂
cd : d₂ ∈ f₂ c₂
IH : ∃ c₁ c₂_1, Reaches f₂ c₂ c₂_1 ∧ tr c₁ c₂_1 ∧ Reaches f₁ a₁ c₁
⊢ ∃ c₁ c₂, Reaches f₂ d₂ c₂ ∧ tr c₁ c₂ ∧ Reaches f₁ a₁ c₁

Tactic:
rcases IH with ⟨e₁, e₂, ce, ee, ae⟩

Result:
case tail.intro.intro.intro.intro
σ₁ : Type u_1
σ₂ : Type u_2
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂ → Prop
H : Respects f₁ f₂ tr
a₁ : σ₁
a₂ : σ₂
aa : tr a₁ a₂
b₂ c₂ d₂ : σ₂
a✝ : ReflTransGen (fun a b => b ∈ f₂ a) a₂ c₂
cd : d₂ ∈ f₂ c₂
e₁ : σ₁
e₂ : σ₂
ce : Reaches f₂ c₂ e₂
ee : tr e₁ e₂
ae : Reaches f₁ a₁ e₁
⊢ ∃ c₁ c₂, Reaches f₂ d₂ c₂ ∧ tr c₁ c₂ ∧ Reaches f₁ a₁ c₁

Proof state:
case tail.intro.intro.intro.intro.inl
σ₁ : Type u_1
σ₂ : Type u_2
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂ → Prop
H : Respects f₁ f₂ tr
a₁ : σ₁
a₂ : σ₂
aa : tr a₁ a₂
b₂ c₂ d₂ : σ₂
a✝ : ReflTransGen (fun a b => b ∈ f₂ a) a₂ c₂
cd : d₂ ∈ f₂ c₂
e₁ : σ₁
ae : Reaches f₁ a₁ e₁
ce : Reaches f₂ c₂ c₂
ee : tr e₁ c₂
this :
  match f₁ e₁ with
  | some b₁ => ∃ b₂, tr b₁ b₂ ∧ Reaches₁ f₂ c₂ b₂
  | none => f₂ c₂ = none
⊢ ∃ c₁ c₂, Reaches f₂ d₂ c₂ ∧ tr c₁ c₂ ∧ Reaches f₁ a₁ c₁

Tactic:
revert this

Result:
case tail.intro.intro.intro.intro.inl
σ₁ : Type u_1
σ₂ : Type u_2
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂ → Prop
H : Respects f₁ f₂ tr
a₁ : σ₁
a₂ : σ₂
aa : tr a₁ a₂
b₂ c₂ d₂ : σ₂
a✝ : ReflTransGen (fun a b => b ∈ f₂ a) a₂ c₂
cd : d₂ ∈ f₂ c₂
e₁ : σ₁
ae : Reaches f₁ a₁ e₁
ce : Reaches f₂ c₂ c₂
ee : tr e₁ c₂
⊢ (match f₁ e₁ with
    | some b₁ => ∃ b₂, tr b₁ b₂ ∧ Reaches₁ f₂ c₂ b₂
    | none => f₂ c₂ = none) →
    ∃ c₁ c₂, Reaches f₂ d₂ c₂ ∧ tr c₁ c₂ ∧ Reaches f₁ a₁ c₁

Proof state:
case tail.intro.intro.intro.intro.inl
σ₁ : Type u_1
σ₂ : Type u_2
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂ → Prop
H : Respects f₁ f₂ tr
a₁ : σ₁
a₂ : σ₂
aa : tr a₁ a₂
b₂ c₂ d₂ : σ₂
a✝ : ReflTransGen (fun a b => b ∈ f₂ a) a₂ c₂
cd : d₂ ∈ f₂ c₂
e₁ : σ₁
ae : Reaches f₁ a₁ e₁
ce : Reaches f₂ c₂ c₂
ee : tr e₁ c₂
⊢ (match f₁ e₁ with
    | some b₁ => ∃ b₂, tr b₁ b₂ ∧ Reaches₁ f₂ c₂ b₂
    | none => f₂ c₂ = none) →
    ∃ c₁ c₂, Reaches f₂ d₂ c₂ ∧ tr c₁ c₂ ∧ Reaches f₁ a₁ c₁

Tactic:
rcases eg : f₁ e₁ with - | g₁ <;> simp only [Respects, and_imp, exists_imp]

Result:
case tail.intro.intro.intro.intro.inl.none
σ₁ : Type u_1
σ₂ : Type u_2
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂ → Prop
H : Respects f₁ f₂ tr
a₁ : σ₁
a₂ : σ₂
aa : tr a₁ a₂
b₂ c₂ d₂ : σ₂
a✝ : ReflTransGen (fun a b => b ∈ f₂ a) a₂ c₂
cd : d₂ ∈ f₂ c₂
e₁ : σ₁
ae : Reaches f₁ a₁ e₁
ce : Reaches f₂ c₂ c₂
ee : tr e₁ c₂
eg : f₁ e₁ = none
⊢ f₂ c₂ = none → ∃ c₁ c₂, Reaches f₂ d₂ c₂ ∧ tr c₁ c₂ ∧ Reaches f₁ a₁ c₁

case tail.intro.intro.intro.intro.inl.some
σ₁ : Type u_1
σ₂ : Type u_2
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂ → Prop
H : Respects f₁ f₂ tr
a₁ : σ₁
a₂ : σ₂
aa : tr a₁ a₂
b₂ c₂ d₂ : σ₂
a✝ : ReflTransGen (fun a b => b ∈ f₂ a) a₂ c₂
cd : d₂ ∈ f₂ c₂
e₁ : σ₁
ae : Reaches f₁ a₁ e₁
ce : Reaches f₂ c₂ c₂
ee : tr e₁ c₂
g₁ : σ₁
eg : f₁ e₁ = some g₁
⊢ ∀ (x : σ₂), tr g₁ x → Reaches₁ f₂ c₂ x → ∃ c₁ c₂, Reaches f₂ d₂ c₂ ∧ tr c₁ c₂ ∧ Reaches f₁ a₁ c₁

Proof state:
case tail.intro.intro.intro.intro.inl
σ₁ : Type u_1
σ₂ : Type u_2
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂ → Prop
H : Respects f₁ f₂ tr
a₁ : σ₁
a₂ : σ₂
aa : tr a₁ a₂
b₂ c₂ d₂ : σ₂
a✝ : ReflTransGen (fun a b => b ∈ f₂ a) a₂ c₂
cd : d₂ ∈ f₂ c₂
e₁ : σ₁
ae : Reaches f₁ a₁ e₁
ce : Reaches f₂ c₂ c₂
ee : tr e₁ c₂
⊢ ∃ c₁ c₂, Reaches f₂ d₂ c₂ ∧ tr c₁ c₂ ∧ Reaches f₁ a₁ c₁

Tactic:
have := H ee

Result:
case tail.intro.intro.intro.intro.inl
σ₁ : Type u_1
σ₂ : Type u_2
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂ → Prop
H : Respects f₁ f₂ tr
a₁ : σ₁
a₂ : σ₂
aa : tr a₁ a₂
b₂ c₂ d₂ : σ₂
a✝ : ReflTransGen (fun a b => b ∈ f₂ a) a₂ c₂
cd : d₂ ∈ f₂ c₂
e₁ : σ₁
ae : Reaches f₁ a₁ e₁
ce : Reaches f₂ c₂ c₂
ee : tr e₁ c₂
this :
  match f₁ e₁ with
  | some b₁ => ∃ b₂, tr b₁ b₂ ∧ Reaches₁ f₂ c₂ b₂
  | none => f₂ c₂ = none
⊢ ∃ c₁ c₂, Reaches f₂ d₂ c₂ ∧ tr c₁ c₂ ∧ Reaches f₁ a₁ c₁

Proof state:
case tail.intro.intro.intro.intro.inr.intro.intro.refl
σ₁ : Type u_1
σ₂ : Type u_2
f₁ : σ₁ → Option σ₁
f₂ : σ₂ → Option σ₂
tr : σ₁ → σ₂ → Prop
H : Respects f₁ f₂ tr
a₁ : σ₁
a₂ : σ₂
aa : tr a₁ a₂
b₂ c₂ d₂ : σ₂
a✝ : ReflTransGen (fun a b => b ∈ f₂ a) a₂ c₂
cd : d₂ ∈ f₂ c₂
e₁ : σ₁
e₂ : σ₂
ce : Reaches f₂ c₂ e₂
ee : tr e₁ e₂
ae : Reaches f₁ a₁ e₁
cd' : d₂ ∈ f₂ c₂
de : ReflTransGen (fun a b => b ∈ f₂ a) d₂ e₂
⊢ ∃ c₁ c₂, Reaches f₂ d₂ c₂ ∧ tr c₁ c₂ ∧ Reaches f₁ a₁ c₁

Tactic:
exact ⟨_, _, de, ee, ae⟩

Result:
no goals