-- Mathlib/Analysis/Convex/Combination.lean
theorem convexHull_range_eq_exists_affineCombination (v : ι → E) : convexHull R (range v) =
    { x | ∃ (s : Finset ι) (w : ι → R), (∀ i ∈ s, 0 ≤ w i) ∧ s.sum w = 1 ∧
      s.affineCombination R v w = x }

Proof state:
case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝² : LinearOrderedField R
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module R E
v : ι → E
s : Finset ι
w : ι → R
hw₀ : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw₁ : s.sum w = 1
s' : Finset ι
w' : ι → R
hw₀' : ∀ i ∈ s', 0 ≤ w' i
hw₁' : s'.sum w' = 1
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
W : ι → R := fun i => (if i ∈ s then a * w i else 0) + if i ∈ s' then b * w' i else 0
hW₁ : (s ∪ s').sum W = 1
⊢ a • (affineCombination R s v) w + b • (affineCombination R s' v) w' ∈
    {x | ∃ s w, (∀ i ∈ s, 0 ≤ w i) ∧ s.sum w = 1 ∧ (affineCombination R s v) w = x}

Tactic:
refine ⟨s ∪ s', W, ?_, hW₁, ?_⟩

Result:
case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_1
R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝² : LinearOrderedField R
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module R E
v : ι → E
s : Finset ι
w : ι → R
hw₀ : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw₁ : s.sum w = 1
s' : Finset ι
w' : ι → R
hw₀' : ∀ i ∈ s', 0 ≤ w' i
hw₁' : s'.sum w' = 1
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
W : ι → R := fun i => (if i ∈ s then a * w i else 0) + if i ∈ s' then b * w' i else 0
hW₁ : (s ∪ s').sum W = 1
⊢ ∀ i ∈ s ∪ s', 0 ≤ W i

case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝² : LinearOrderedField R
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module R E
v : ι → E
s : Finset ι
w : ι → R
hw₀ : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw₁ : s.sum w = 1
s' : Finset ι
w' : ι → R
hw₀' : ∀ i ∈ s', 0 ≤ w' i
hw₁' : s'.sum w' = 1
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
W : ι → R := fun i => (if i ∈ s then a * w i else 0) + if i ∈ s' then b * w' i else 0
hW₁ : (s ∪ s').sum W = 1
⊢ (affineCombination R (s ∪ s') v) W = a • (affineCombination R s v) w + b • (affineCombination R s' v) w'

Proof state:
case refine_2
R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝² : LinearOrderedField R
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module R E
v : ι → E
⊢ Convex R {x | ∃ s w, (∀ i ∈ s, 0 ≤ w i) ∧ s.sum w = 1 ∧ (affineCombination R s v) w = x}

Tactic:
rintro x ⟨s, w, hw₀, hw₁, rfl⟩ y ⟨s', w', hw₀', hw₁', rfl⟩ a b ha hb hab

Result:
case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝² : LinearOrderedField R
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module R E
v : ι → E
s : Finset ι
w : ι → R
hw₀ : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw₁ : s.sum w = 1
s' : Finset ι
w' : ι → R
hw₀' : ∀ i ∈ s', 0 ≤ w' i
hw₁' : s'.sum w' = 1
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
⊢ a • (affineCombination R s v) w + b • (affineCombination R s' v) w' ∈
    {x | ∃ s w, (∀ i ∈ s, 0 ≤ w i) ∧ s.sum w = 1 ∧ (affineCombination R s v) w = x}

Proof state:
case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝² : LinearOrderedField R
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module R E
v : ι → E
s : Finset ι
w : ι → R
hw₀ : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw₁ : s.sum w = 1
s' : Finset ι
w' : ι → R
hw₀' : ∀ i ∈ s', 0 ≤ w' i
hw₁' : s'.sum w' = 1
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
W : ι → R := fun i => (if i ∈ s then a * w i else 0) + if i ∈ s' then b * w' i else 0
hW₁ : (s ∪ s').sum W = 1
⊢ ∀ x ∈ s ∪ s', x ∉ s → (if x ∈ s then a * w x else 0) • v x = 0

Tactic:
intro i _ hi'

Result:
case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝² : LinearOrderedField R
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module R E
v : ι → E
s : Finset ι
w : ι → R
hw₀ : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw₁ : s.sum w = 1
s' : Finset ι
w' : ι → R
hw₀' : ∀ i ∈ s', 0 ≤ w' i
hw₁' : s'.sum w' = 1
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
W : ι → R := fun i => (if i ∈ s then a * w i else 0) + if i ∈ s' then b * w' i else 0
hW₁ : (s ∪ s').sum W = 1
i : ι
a✝ : i ∈ s ∪ s'
hi' : i ∉ s
⊢ (if i ∈ s then a * w i else 0) • v i = 0

Proof state:
case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝² : LinearOrderedField R
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module R E
v : ι → E
s : Finset ι
w : ι → R
hw₀ : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw₁ : s.sum w = 1
s' : Finset ι
w' : ι → R
hw₀' : ∀ i ∈ s', 0 ≤ w' i
hw₁' : s'.sum w' = 1
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
W : ι → R := fun i => (if i ∈ s then a * w i else 0) + if i ∈ s' then b * w' i else 0
hW₁ : (s ∪ s').sum W = 1
⊢ ∀ x ∈ s ∪ s', x ∉ s' → (if x ∈ s' then b * w' x else 0) • v x = 0

Tactic:
intro i _ hi'

Result:
case refine_2.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine_2
R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝² : LinearOrderedField R
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module R E
v : ι → E
s : Finset ι
w : ι → R
hw₀ : ∀ i ∈ s, 0 ≤ w i
hw₁ : s.sum w = 1
s' : Finset ι
w' : ι → R
hw₀' : ∀ i ∈ s', 0 ≤ w' i
hw₁' : s'.sum w' = 1
a b : R
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1
W : ι → R := fun i => (if i ∈ s then a * w i else 0) + if i ∈ s' then b * w' i else 0
hW₁ : (s ∪ s').sum W = 1
i : ι
a✝ : i ∈ s ∪ s'
hi' : i ∉ s'
⊢ (if i ∈ s' then b * w' i else 0) • v i = 0

Proof state:
case refine_1.intro
R : Type u_1
E : Type u_3
ι : Type u_5
inst✝² : LinearOrderedField R
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module R E
v : ι → E
x : E
hx : x ∈ Set.range v
i : ι
hi : v i = x
⊢ x ∈ {x | ∃ s w, (∀ i ∈ s, 0 ≤ w i) ∧ s.sum w = 1 ∧ (affineCombination R s v) w = x}

Tactic:
exact ⟨{i}, Function.const ι (1 : R), by simp, by simp, by simp [hi]⟩

Result:
no goals