-- Mathlib/Analysis/NormedSpace/OperatorNorm/NNNorm.lean
theorem sSup_unit_ball_eq_nnnorm {𝕜 𝕜₂ E F : Type*} [NormedAddCommGroup E]
    [SeminormedAddCommGroup F] [DenselyNormedField 𝕜] [NontriviallyNormedField 𝕜₂] {σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂}
    [NormedSpace 𝕜 E] [NormedSpace 𝕜₂ F] [RingHomIsometric σ₁₂] (f : E →SL[σ₁₂] F) :
    sSup ((fun x => ‖f x‖₊) '' ball 0 1) = ‖f‖₊

Proof state:
case refine_1
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
⊢ ∀ a ∈ (fun x => ‖f x‖₊) '' ball 0 1, a ≤ ‖f‖₊

Tactic:
rintro - ⟨x, hx, rfl⟩

Result:
case refine_1.intro.intro
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
x : E
hx : x ∈ ball 0 1
⊢ (fun x => ‖f x‖₊) x ≤ ‖f‖₊

Proof state:
case refine_1.intro.intro
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
x : E
hx : x ∈ ball 0 1
⊢ (fun x => ‖f x‖₊) x ≤ ‖f‖₊

Tactic:
simpa only [mul_one] using f.le_opNorm_of_le (mem_ball_zero_iff.1 hx).le

Result:
no goals

Proof state:
case refine_2
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
ub : ℝ≥0
hub : ub < ‖f‖₊
⊢ ∃ a ∈ (fun x => ‖f x‖₊) '' ball 0 1, ub < a

Tactic:
obtain ⟨x, hx, hxf⟩ := f.exists_lt_apply_of_lt_opNNNorm hub

Result:
case refine_2.intro.intro
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
ub : ℝ≥0
hub : ub < ‖f‖₊
x : E
hx : ‖x‖₊ < 1
hxf : ub < ‖f x‖₊
⊢ ∃ a ∈ (fun x => ‖f x‖₊) '' ball 0 1, ub < a

Proof state:
case refine_2.intro.intro
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
ub : ℝ≥0
hub : ub < ‖f‖₊
x : E
hx : ‖x‖₊ < 1
hxf : ub < ‖f x‖₊
⊢ ∃ a ∈ (fun x => ‖f x‖₊) '' ball 0 1, ub < a

Tactic:
exact ⟨_, ⟨x, mem_ball_zero_iff.2 hx, rfl⟩, hxf⟩

Result:
no goals

Proof state:
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
⊢ sSup ((fun x => ‖f x‖₊) '' ball 0 1) = ‖f‖₊

Tactic:
refine csSup_eq_of_forall_le_of_forall_lt_exists_gt ((nonempty_ball.mpr zero_lt_one).image _) ?_
  fun ub hub => ?_

Result:
case refine_1
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
⊢ ∀ a ∈ (fun x => ‖f x‖₊) '' ball 0 1, a ≤ ‖f‖₊

case refine_2
𝕜 : Type u_11
𝕜₂ : Type u_12
E : Type u_13
F : Type u_14
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : DenselyNormedField 𝕜
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝ : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →SL[σ₁₂] F
ub : ℝ≥0
hub : ub < ‖f‖₊
⊢ ∃ a ∈ (fun x => ‖f x‖₊) '' ball 0 1, ub < a