-- Mathlib/LinearAlgebra/Multilinear/Basic.lean
/-- This calculates the differences between the values of a multilinear map at
two arguments that differ on a finset `s` of `ι`. It requires a
linear order on `ι` in order to express the result. -/
lemma map_piecewise_sub_map_piecewise [LinearOrder ι] (a b v : (i : ι) → M₁ i) (s : Finset ι) :
    f (s.piecewise a v) - f (s.piecewise b v) = ∑ i ∈ s, f
      fun j ↦ if j ∈ s then if j < i then a j else if j = i then a j - b j else b j else v j

Proof state:
case neg.inr
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : LinearOrder ι
a b v : (i : ι) → M₁ i
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∈ s
j : ι
hjs : j ∈ s
hji : ¬j < i
hij : i ≠ j
⊢ (if i = j then s.piecewise a v j - b j else b j) = if j = i then a j - b j else b j

Tactic:
rw [if_neg hij, if_neg hij.symm]

Result:
no goals

Proof state:
case pos
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : LinearOrder ι
a b v : (i : ι) → M₁ i
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∈ s
j : ι
hjs : j ∈ s
⊢ (if j ∈ s → j < i then s.piecewise a v j else if i = j then s.piecewise a v j - b j else b j) =
    if j ∈ s then if j < i then a j else if j = i then a j - b j else b j else v j

Tactic:
rw [if_pos hjs]

Result:
case pos
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : LinearOrder ι
a b v : (i : ι) → M₁ i
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∈ s
j : ι
hjs : j ∈ s
⊢ (if j ∈ s → j < i then s.piecewise a v j else if i = j then s.piecewise a v j - b j else b j) =
    if j < i then a j else if j = i then a j - b j else b j

Proof state:
case pos
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : LinearOrder ι
a b v : (i : ι) → M₁ i
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∈ s
j : ι
hjs : j ∈ s
⊢ (if j ∈ s → j < i then s.piecewise a v j else if i = j then s.piecewise a v j - b j else b j) =
    if j < i then a j else if j = i then a j - b j else b j

Tactic:
by_cases hji : j < i

Result:
case pos
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : LinearOrder ι
a b v : (i : ι) → M₁ i
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∈ s
j : ι
hjs : j ∈ s
hji : j < i
⊢ (if j ∈ s → j < i then s.piecewise a v j else if i = j then s.piecewise a v j - b j else b j) =
    if j < i then a j else if j = i then a j - b j else b j

case neg
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : LinearOrder ι
a b v : (i : ι) → M₁ i
s : Finset ι
i : ι
hi : i ∈ s
j : ι
hjs : j ∈ s
hji : ¬j < i
⊢ (if j ∈ s → j < i then s.piecewise a v j else if i = j then s.piecewise a v j - b j else b j) =
    if j < i then a j else if j = i then a j - b j else b j

Proof state:
case neg.inl
R : Type uR
ι : Type uι
M₁ : ι → Type v₁
M₂ : Type v₂
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : (i : ι) → AddCommGroup (M₁ i)
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : (i : ι) → Module R (M₁ i)
inst✝¹ : Module R M₂
f : MultilinearMap R M₁ M₂
inst✝ : LinearOrder ι
a b v : (i : ι) → M₁ i
s : Finset ι
i : ι
hi hjs : i ∈ s
hji : ¬i < i
⊢ (if i = i then s.piecewise a v i - b i else b i) = if i = i then a i - b i else b i

Tactic:
rw [if_pos rfl, if_pos rfl, s.piecewise_eq_of_mem _ _ hi]

Result:
no goals