-- Mathlib/Order/Filter/Pi.lean
theorem pi_inf_principal_univ_pi_eq_bot :
    pi f ⊓ 𝓟 (Set.pi univ s) = ⊥ ↔ ∃ i, f i ⊓ 𝓟 (s i) = ⊥

Proof state:
case mp
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
hsf : ∀ (i : ι), ∃ᶠ (x : α i) in f i, x ∈ s i
I : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
htf : ∀ (i : ι), t i ∈ f i
hts : I.pi t ⊆ (univ.pi s)ᶜ
⊢ False

Tactic:
have : ∀ i, (s i ∩ t i).Nonempty := fun i => ((hsf i).and_eventually (htf i)).exists

Result:
case mp
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
hsf : ∀ (i : ι), ∃ᶠ (x : α i) in f i, x ∈ s i
I : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
htf : ∀ (i : ι), t i ∈ f i
hts : I.pi t ⊆ (univ.pi s)ᶜ
this : ∀ (i : ι), (s i ∩ t i).Nonempty
⊢ False

Proof state:
case mp
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
⊢ (∃ I, I.Finite ∧ ∃ t, (∀ (i : ι), t i ∈ f i) ∧ I.pi t ⊆ (univ.pi s)ᶜ) → ∃ i, (s i)ᶜ ∈ f i

Tactic:
contrapose!

Result:
case mp
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
⊢ (∀ (i : ι), (s i)ᶜ ∉ f i) →
    ∀ (I : Set ι), I.Finite → ∀ (t : (i : ι) → Set (α i)), (∀ (i : ι), t i ∈ f i) → ¬I.pi t ⊆ (univ.pi s)ᶜ

Proof state:
case mp
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
⊢ pi f ⊓ 𝓟 (univ.pi s) = ⊥ → ∃ i, f i ⊓ 𝓟 (s i) = ⊥

Tactic:
simp only [inf_principal_eq_bot, mem_pi]

Result:
case mp
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
⊢ (∃ I, I.Finite ∧ ∃ t, (∀ (i : ι), t i ∈ f i) ∧ I.pi t ⊆ (univ.pi s)ᶜ) → ∃ i, (s i)ᶜ ∈ f i

Proof state:
case mpr
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
⊢ (∃ i, f i ⊓ 𝓟 (s i) = ⊥) → pi f ⊓ 𝓟 (univ.pi s) = ⊥

Tactic:
simp only [inf_principal_eq_bot]

Result:
case mpr
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
⊢ (∃ i, (s i)ᶜ ∈ f i) → (univ.pi s)ᶜ ∈ pi f

Proof state:
case mpr
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
⊢ (∃ i, (s i)ᶜ ∈ f i) → (univ.pi s)ᶜ ∈ pi f

Tactic:
rintro ⟨i, hi⟩

Result:
case mpr.intro
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
hi : (s i)ᶜ ∈ f i
⊢ (univ.pi s)ᶜ ∈ pi f

Proof state:
case mp
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
hsf : ∀ (i : ι), ∃ᶠ (x : α i) in f i, x ∈ s i
I : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
htf : ∀ (i : ι), t i ∈ f i
hts : I.pi t ⊆ (univ.pi s)ᶜ
x : (i : ι) → α i
hxs : ∀ (i : ι), x i ∈ s i
hxt : ∀ (i : ι), x i ∈ t i
⊢ False

Tactic:
exact hts (fun i _ => hxt i) (mem_univ_pi.2 hxs)

Result:
no goals

Proof state:
case mp
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
hsf : ∀ (i : ι), ∃ᶠ (x : α i) in f i, x ∈ s i
I : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
htf : ∀ (i : ι), t i ∈ f i
hts : I.pi t ⊆ (univ.pi s)ᶜ
this : ∀ (i : ι), (s i ∩ t i).Nonempty
⊢ False

Tactic:
choose x hxs hxt using this

Result:
case mp
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
hsf : ∀ (i : ι), ∃ᶠ (x : α i) in f i, x ∈ s i
I : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
htf : ∀ (i : ι), t i ∈ f i
hts : I.pi t ⊆ (univ.pi s)ᶜ
x : (i : ι) → α i
hxs : ∀ (i : ι), x i ∈ s i
hxt : ∀ (i : ι), x i ∈ t i
⊢ False

Proof state:
case mpr.intro
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
i : ι
hi : (s i)ᶜ ∈ f i
⊢ (univ.pi s)ᶜ ∈ pi f

Tactic:
filter_upwards [mem_pi_of_mem i hi] with x using mt fun h => h i trivial

Result:
no goals

Proof state:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
⊢ pi f ⊓ 𝓟 (univ.pi s) = ⊥ ↔ ∃ i, f i ⊓ 𝓟 (s i) = ⊥

Tactic:
constructor

Result:
case mp
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
⊢ pi f ⊓ 𝓟 (univ.pi s) = ⊥ → ∃ i, f i ⊓ 𝓟 (s i) = ⊥

case mpr
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
⊢ (∃ i, f i ⊓ 𝓟 (s i) = ⊥) → pi f ⊓ 𝓟 (univ.pi s) = ⊥

Proof state:
case mp
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
⊢ (∀ (i : ι), (s i)ᶜ ∉ f i) →
    ∀ (I : Set ι), I.Finite → ∀ (t : (i : ι) → Set (α i)), (∀ (i : ι), t i ∈ f i) → ¬I.pi t ⊆ (univ.pi s)ᶜ

Tactic:
rintro (hsf : ∀ i, ∃ᶠ x in f i, x ∈ s i) I - t htf hts

Result:
case mp
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
hsf : ∀ (i : ι), ∃ᶠ (x : α i) in f i, x ∈ s i
I : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
htf : ∀ (i : ι), t i ∈ f i
hts : I.pi t ⊆ (univ.pi s)ᶜ
⊢ False