harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \dot { \overline { { \mathrm { ~ d ~ e ~ t ~ } ( \mathbf { \nabla } \mathbf { F } _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) ) } } } \vert _ { t _ { 0 } } } & { { } = \mathbf { \nabla } \cdot \mathbf { f } ( \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) , t _ { 0 } ) , } \\ { \dot { \overline { { J _ { t _ { 0 } } ^ { t } ( \mathbf { p } ) } } \vert _ { t _ { 0 } } } } & { { } = \frac { 1 } { J _ { t _ { 0 } } ( \mathbf { p } ) } ( \langle \mathbf { r } _ { u } , \mathbf { S } ( \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) , t _ { 0 } ) \mathbf { r } _ { u } \rangle \langle \mathbf { r } _ { v } , \mathbf { r } _ { v } \rangle + \langle \mathbf { r } _ { v } , \mathbf { S } ( \mathbf { r } ( \mathbf { p } ) , t _ { 0 } ) \mathbf { r } _ { v } \rangle \langle \mathbf { r } _ { u } , \mathbf { r } _ { u } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \widetilde { r } } _ { l } ^ { ( n _ { 1 } , n _ { 2 } ) } } & { \approx r _ { l } - n _ { 1 } d \cos \theta _ { l } - n _ { 2 } d \sin \theta _ { l } \sin \phi _ { l } } \\ & { + \frac { n _ { 1 } ^ { 2 } d ^ { 2 } } { 2 r _ { l } } ( 1 - \cos ^ { 2 } \theta _ { l } ) + \frac { n _ { 2 } ^ { 2 } d ^ { 2 } } { 2 r _ { l } } ( 1 - \sin ^ { 2 } \theta _ { l } \sin ^ { 2 } \phi _ { l } ) . } \end{array}
( \xi _ { 1 i } , \xi _ { 1 j } ) ^ { 1 } = 0 \, , \quad ( \xi _ { 2 \alpha } , \xi _ { 2 \beta } ) ^ { 2 } = 0 \, , \qquad i , j = 1 , \ldots , N \, , \quad \alpha , \beta = 1 , \ldots , N \, ,
\{ \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } \} _ { \mathrm { c . b . } } = W _ { ~ 1 2 } ^ { 0 } + \left\{ \theta _ { 1 } [ \theta _ { 2 } , r ] \right\} + \mathrm { T r } _ { 3 4 } ( W _ { ~ 1 2 3 4 } ^ { 2 } \theta _ { 3 } \theta _ { 4 } ) + \mathrm { T r } _ { 3 4 5 6 } ( W _ { ~ 1 2 3 4 5 6 } ^ { 4 } \theta _ { 3 } \theta _ { 4 } \theta _ { 5 } \theta _ { 6 } ) \ldots ,
\tilde { r } _ { \mathrm { l o c } } ( \tau _ { \mathrm { r e q u e s t } } ( i ) ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \tilde { r } _ { \mathrm { m a x } } } & { N ( i ) \ge N _ { c } } \\ { 0 } & { \textnormal { o t h e r w i s e } \, . } \end{array} \right.
p _ { 1 } ^ { ( I ) } = \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ( 2 k - m _ { 0 } ) , ~ ~ p _ { 2 } ^ { ( I ) } = - \frac { 3 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ( 2 k + m _ { 0 } ) ;
f _ { 1 } = - \frac { 1 9 7 \pi ^ { 2 } } { 2 3 0 4 } \, , \quad \sum _ { k = 2 } ^ { N + 3 } ( k - 1 ) f _ { k } = 0 \, , \quad \sum _ { k = 2 } ^ { N + 3 } k ( k - 1 ) f _ { k } = \frac { 1 0 } 3 \, ,
\int d ^ { 3 } x _ { 1 } K ( 2 , 1 , R _ { - } ^ { + } f _ { - } ^ { + } ) \gamma ^ { 4 } \psi ( 1 ) = e ^ { i \theta _ { 2 } / 2 } ( a f _ { - } ^ { + } ) = \psi ( 2 ) _ { b = c = d = 0 } ,
\{ f , g \} _ { \Lambda } = \omega ^ { i j } \left( \frac { \partial f } { \partial x ^ { i } } \frac { \partial _ { l } g } { \partial \theta _ { j } } - \frac { \partial _ { r } f } { \partial \theta _ { i } } \frac { \partial g } { \partial x ^ { j } } \right) + \frac { \partial _ { r } f } { \partial \theta ^ { i } } ( \theta ^ { k } { \partial \omega ^ { i j } } / { \partial x ^ { k } } ) \frac { \partial _ { l } g } { \partial \theta _ { j } }
\begin{array} { r l } { \mathbf { c } ^ { t } } & { = 4 ( 1 + \frac { 1 } { a } ) \eta _ { l } ^ { 2 } K \left( 1 6 \sigma _ { g } ^ { 2 } + \sigma _ { l } ^ { 2 } + 4 8 \mathbb { E } _ { t } \Vert \nabla F ( \mathbf { z } ^ { t } ) \Vert ^ { 2 } + \frac { 1 } { m \gamma } \sum _ { i \in [ m ] } \left( \mathbb { E } _ { t } \Vert \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t - 1 } \Vert ^ { 2 } - \mathbb { E } _ { t } \Vert \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t } \Vert ^ { 2 } \right) \right) . } \end{array}
H = \frac { p ^ { 2 } } { 2 M } + V ( x ) + \sum _ { k = 1 } ^ { N } \bigg [ \frac { p _ { k } ^ { 2 } } { 2 m _ { k } } + \frac { 1 } { 2 } m _ { k } \omega _ { k } ^ { 2 } \bigg ( x _ { k } - \frac { C _ { k } } { m _ { k } \omega _ { k } ^ { 2 } } x \bigg ) ^ { 2 } \bigg ] .
\begin{array} { r l } { \left[ b ( \Omega ) , b ^ { \dag } ( \Omega ^ { \prime } ) \right] } & { { } = 2 \pi \, \delta ( \Omega - \Omega ^ { \prime } ) , } \\ { \left\langle b ( \Omega ) b ^ { \dag } ( \Omega ^ { \prime } ) \right\rangle } & { { } = 2 \pi \, \delta ( \Omega - \Omega ^ { \prime } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | p _ { 1 } ^ { \prime } - p _ { 2 } ^ { \prime } | } & { = } & { \sqrt { ( p _ { 1 } ^ { \prime } + p _ { 2 } ^ { \prime } ) ^ { 2 } - 4 p _ { 1 } ^ { \prime } p _ { 2 } ^ { \prime } } } \\ & { = } & { \sqrt { \frac { 1 } { A ^ { 2 } } x ^ { 2 } \sin ^ { 2 } 2 \tau \Big ( \frac { 1 } { a ^ { 2 } } - \frac { 1 } { b ^ { 2 } } \Big ) ^ { 2 } - \frac { 4 } { A } \Big [ x ^ { 2 } \Big ( \frac { \cos \tau ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { \sin \tau ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } \Big ) - 1 \Big ] } } \\ & { = } & { \frac { 2 } { \sqrt { A } } \sqrt { 1 - B x ^ { 2 } } } \end{array}
f ( \boldsymbol { r } , t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \sin ^ { 2 } ( \frac { \mathrm { ~ u ~ } } { 2 \mathrm { ~ n ~ } _ { \mathrm { ~ p ~ } } } ) , } & { 0 \leq t \leq \tau _ { p } } \\ { 0 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e . } } \end{array} \right.
\frac { 1 } { 2 } M _ { a b } ^ { 2 } W _ { \mu } ^ { a } W _ { \mu } ^ { b } \; \; ; \; \; M _ { a b } ^ { 2 } = 2 \sum _ { i } ( g _ { a } L _ { a } v _ { i } ) ^ { \dagger } ( g _ { b } L _ { b } v _ { i } )
{ \begin{array} { r l } { f } & { = A _ { 0 } z ^ { 0 } + A _ { 1 } z ^ { 1 } + A _ { 2 } z ^ { 2 } + A _ { 3 } z ^ { 3 } + A _ { 4 } z ^ { 4 } + A _ { 5 } z ^ { 5 } + A _ { 6 } z ^ { 6 } + A _ { 7 } z ^ { 7 } + \cdots } \\ & { = A _ { 0 } z ^ { 0 } + A _ { 1 } z ^ { 1 } + { \frac { - 1 } { 2 } } A _ { 0 } z ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 6 } } A _ { 1 } z ^ { 3 } + { \frac { - 1 } { 8 } } A _ { 0 } z ^ { 4 } + { \frac { 1 } { 2 4 } } A _ { 1 } z ^ { 5 } + { \frac { - 7 } { 2 4 0 } } A _ { 0 } z ^ { 6 } + { \frac { 1 } { 1 1 2 } } A _ { 1 } z ^ { 7 } + \cdots } \\ & { = A _ { 0 } z ^ { 0 } + { \frac { - 1 } { 2 } } A _ { 0 } z ^ { 2 } + { \frac { - 1 } { 8 } } A _ { 0 } z ^ { 4 } + { \frac { - 7 } { 2 4 0 } } A _ { 0 } z ^ { 6 } + A _ { 1 } z + { \frac { 1 } { 6 } } A _ { 1 } z ^ { 3 } + { \frac { 1 } { 2 4 } } A _ { 1 } z ^ { 5 } + { \frac { 1 } { 1 1 2 } } A _ { 1 } z ^ { 7 } + \cdots } \end{array} }
\begin{array} { r } { \mathfrak { A } ( \tau ) = \varepsilon \underbrace { \Pi _ { S ^ { \perp } } O p ( \mathfrak { t } _ { 1 } ) } _ { = : \mathfrak { A } _ { 1 } } + \varepsilon ^ { 2 } \underbrace { \Pi _ { S ^ { \perp } } O p ( \mathfrak { t } _ { 2 } ) } _ { = : \mathfrak { A } _ { 2 } } , \mathrm { ~ u p ~ t o ~ O ( \varepsilon ^ { 9 - 6 b } ) ~ , } } \end{array}
\Delta f = { \frac { 1 } { r } } { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial r ^ { 2 } } } ( r f ) + { \frac { 1 } { r ^ { 2 } \sin \theta } } { \frac { \partial } { \partial \theta } } \left( \sin \theta { \frac { \partial f } { \partial \theta } } \right) + { \frac { 1 } { r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } } { \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial \varphi ^ { 2 } } } ,
\begin{array} { r l } { \Psi \big ( t , z ( t , \varphi ) \big ) } & { { } = \Psi _ { \textnormal { \tiny { F C } } } \big ( \theta _ { 0 } + f ( t , \varphi ) \big ) + \Psi _ { p } \{ f \} \big ( \theta _ { 0 } + f ( t , \varphi ) , \varphi \big ) \triangleq \Psi \{ f \} \big ( \theta _ { 0 } + f ( t , \varphi ) , \varphi \big ) , } \\ { \Psi _ { p } \{ f \} ( \theta , \varphi ) } & { { } \triangleq \frac { \omega _ { N } - \omega _ { S } } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { \theta _ { 0 } } ^ { \theta _ { 0 } + f ( t , \varphi ^ { \prime } ) } \log \Big ( D \big ( \theta , \theta ^ { \prime } , \varphi , \varphi ^ { \prime } \big ) \Big ) \sin ( \theta ^ { \prime } ) d \theta ^ { \prime } d \varphi ^ { \prime } . } \end{array}
\ddot { f } _ { 2 } - \frac { \dot { f } _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 f _ { 2 } } + \dot { f } _ { 2 } f ( t ) + 2 f _ { 2 } \omega ^ { 2 } ( t ) = \frac { g _ { x } ( t ) } { f _ { 2 } } \, e ^ { - 2 F ( t ) }
Y _ { \ell = k } ^ { m = q } ( \mathbf { n } ) = \langle \mathbf { n } | k , q \rangle \rightarrow U ( R ) ^ { \dagger } Y _ { \ell = k } ^ { m = q } ( \mathbf { n } ) U ( R ) = Y _ { \ell = k } ^ { m = q } ( R \mathbf { n } ) = \langle \mathbf { n } | D ( R ) ^ { \dagger } | k , q \rangle = \sum _ { q ^ { \prime } } D _ { q ^ { \prime } , q } ^ { ( k ) } ( R ^ { - 1 } ) Y _ { \ell = k } ^ { m = q ^ { \prime } } ( \mathbf { n } )
\begin{array} { r } { F _ { 3 6 9 . 4 } = - 1 4 . 1 8 5 ( 1 9 0 ) \mathrm { ~ G ~ H ~ z ~ f ~ m ~ } ^ { - 2 } } \\ { K _ { 3 6 9 . 4 } = - 8 9 0 ( 4 4 5 ) \mathrm { ~ G ~ H ~ z ~ a ~ m ~ u ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathrm { \boldmath ~ Q ~ } _ { 0 } = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \in \mathrm { ~ \mathbb { S } ~ } ^ { 2 } , \ \mathrm { \boldmath ~ Q ~ } _ { 1 } = \left( \begin{array} { l l } { 4 \alpha } & { - ( 4 + \alpha ) / 2 } \\ { - ( 4 + \alpha ) / 2 } & { 1 } \end{array} \right) \in \mathrm { ~ \mathbb { S } ~ } ^ { 2 } , } \\ & { } & { \mathrm { \boldmath ~ Q ~ } _ { 2 } = \left( \begin{array} { l l } { - 6 } & { 5 / 2 } \\ { 5 / 2 } & { - 1 } \end{array} \right) \in \mathrm { ~ \mathbb { S } ~ } ^ { 2 } , \ \mathrm { \boldmath ~ H ~ } = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \in \mathrm { ~ \mathbb { S } ~ } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Re \langle \psi , B \psi \rangle } & { { } = \Re \int _ { \mathbb { T } ^ { 2 } } \Bar { \psi } B \psi = \Re \int _ { \mathbb { T } ^ { 2 } } \Bar { \psi } \left[ - \frac { 1 } { 2 } \Delta \psi + \frac { 1 } { 2 } \lvert u \rvert ^ { 2 } \psi + i u \cdot \nabla \psi + \mu \lvert \psi \rvert ^ { p } \psi \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \pi ( x ) } & { { } = \frac { \exp \left( - \frac { \chi ^ { 2 } } { 2 } \right) } { 3 ( 2 \pi ) ^ { \frac { n + 1 } { 2 } } } , } & { \chi ^ { 2 } } & { { } \equiv \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } ^ { 2 } } { e ^ { \nu } } + \frac { \nu ^ { 2 } } { 9 } + \nu n . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { V } ( t , y ) } & { : = e ^ { C _ { 1 } ( t _ { 0 } - t ) } V ^ { \tau , h } ( t _ { 0 } , y _ { 0 } ) - ( \varepsilon / 2 ) | y | ^ { 2 } + ( \varepsilon / 2 ) | y _ { 0 } | ^ { 2 } } \\ & { - ( C _ { 0 } / 2 ) e ^ { C _ { 1 } ( T - t ) } \delta ^ { - 1 } \psi ( x _ { 0 } , y , z _ { 0 } ) + ( C _ { 0 } / 2 ) e ^ { C _ { 1 } ( T - t _ { 0 } ) } \delta ^ { - 1 } \psi ( x _ { 0 } , y _ { 0 } , z _ { 0 } ) . } \end{array}
Z ( t ^ { \prime } , t ; N _ { 0 } + { \frac { 3 } { 2 } } ) \simeq - { \frac { 1 } { t ^ { \prime } ( t + t ^ { \prime } ) } } ( N _ { 0 } + { \frac { 3 } { 2 } } ) ^ { - i ( t ^ { \prime } + t ) } .
\begin{array} { r } { u ( x , y ) = \operatorname { t a n h } ( \sin ( \rho \, x ^ { \prime } ) + 0 . 1 \, \cos ( \rho \, x ^ { \prime } ) + 0 . 6 \, \cos ( \rho \, y ^ { \prime } ) ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Lambda _ { 0 } ( v , \alpha , \beta ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } B _ { * } ^ { n } ( v , \alpha , \beta ) } \\ & { \ge t \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } B _ { * } ^ { n } ( v , \alpha _ { 1 } , \beta _ { 1 } ) + ( 1 - t ) \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } B _ { * } ^ { n } ( v , \alpha _ { 2 } , \beta _ { 2 } ) } \\ & { = t \Lambda _ { 0 } ( v , \alpha _ { 1 } , \beta _ { 1 } ) + ( 1 - t ) \Lambda _ { 0 } ( v , \alpha _ { 2 } , \beta _ { 2 } ) . } \end{array}
\Omega _ { g } ( z _ { 0 } , b ) = { \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } } } \left[ 9 b ^ { 2 } \ln \left( 1 + { \frac { z _ { 0 } } { 3 b } } \right) - { \frac { 3 z _ { 0 } } { 2 } } b - z _ { 0 } ^ { 2 } \ln \left( 1 + { \frac { 3 b } { z _ { 0 } } } \right) \right] .
\begin{array} { r } { \operatorname { \mathbb P } ( \mathcal { D } ) \ge \operatorname { \mathbb P } ( \mathcal { A } \mathcal { B } \mathcal { C } \mathcal { D } ) \ge \operatorname { \mathbb P } ( \mathcal { A } \mathcal { B } \mathcal { C } \mathcal { F } ) \ge 1 - \operatorname { \mathbb P } ( ( \mathcal { A } \mathcal { B } \mathcal { C } ) ^ { c } ) - \operatorname { \mathbb P } ( \mathcal { F } ^ { c } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i \neq j } \sum _ { m } | ( Z _ { m i } ^ { \xi } ) ^ { * } Z _ { m j } ^ { \xi } r _ { \xi , m } | ^ { 2 } = \, } & { \sum _ { i \neq j } \sum _ { m } ( Z _ { m i } ^ { \xi } ) ^ { * } Z _ { m j } ^ { \xi } r _ { \xi , m } \sum _ { n } ( Z _ { n j } ^ { \xi } ) ^ { * } Z ^ { x } i _ { n i } r _ { \xi , n } } \\ { = \, } & { \sum _ { m n } r _ { \xi , m } r _ { \xi , n } \sum _ { i \neq j } ( Z _ { m i } ^ { \xi } Z _ { n j } ^ { \xi } ) ^ { * } Z _ { n i } ^ { \xi } Z _ { m j } ^ { \xi } . } \end{array}
K \rightarrow K + \frac { \Gamma ( 0 ) } { ( 4 \pi ) ^ { 3 / 2 } } [ \frac { - \pi ^ { 3 / 2 } } { 6 } + \frac { \sqrt { \pi } } { 2 } \int _ { S ^ { 2 } } \frac { \lambda } { 2 } \hat { \phi } ^ { 2 } d s ] .
\begin{array} { r l } { \left| \frac { d ^ { k } } { d z ^ { k } } \frac { p ( z ) ^ { n } } { p ( r z ) } \right| \le c } & { \ | p ( 0 ) | ^ { n - 1 } \ \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } 0 \le k < n , z \in \mathbb { D } , \ \mathrm { ~ a n d ~ } } \\ { \int _ { | z | < 1 } \left| \frac { d ^ { n } } { d z ^ { n } } \frac { p ( z ) ^ { n } } { p ( r z ) } \right| ^ { 2 } } & { \frac { d A ( z ) } { \pi } \le c \ | p ( 0 ) | ^ { 2 n - 2 } . } \end{array}
\alpha ( \tau ) = { \frac { 1 } { 6 } } \left[ { \frac { \mathrm { e } ^ { \tau } } { \ 1 - { \frac { \lambda } { 8 } } \mathrm { e } ^ { 2 \tau } } } - \mathrm { e } ^ { \tau } - { \frac { 5 \lambda } { 4 } } { \frac { \mathrm { e } ^ { 3 \tau } } { \left( 1 - { \frac { \lambda } { 8 } } \mathrm { e } ^ { 2 \tau } \right) ^ { 2 } } } \right]
\begin{array} { r l } { \left( \mathcal { Q } [ \{ u _ { i } \} _ { i = 1 } ^ { d _ { 1 } } , \{ v _ { i } \} _ { i = 1 } ^ { k } , \{ w _ { i } \} _ { i = 1 } ^ { d } ] \right) ^ { 2 } } & { = } \\ { 1 + \mathop { \sum _ { 1 \leq | \alpha | = | \beta | = } } _ { | \gamma | \leq \operatorname* { m i n } \{ d , k \} } \frac { | \alpha | ! | \beta | ! | \gamma | ! } { \alpha ! \beta ! \gamma ! } } & { \left| u ^ { \alpha } v ^ { \beta } w ^ { \gamma } ( \tilde { u } \cdot \nabla _ { t } ) ^ { \alpha } Q _ { | \alpha | } ( t , \tilde { v } _ { \beta } , \tilde { w } _ { \gamma } ) \right| ^ { 2 } . } \end{array}
{ \tilde { \cal L } } _ { W } = - 8 ( D - 2 ) ^ { 2 } \int d r e ^ { ( D - 1 ) A } \left( \left( { \frac { \partial W } { \partial \phi } } \right) ^ { 2 } - \kappa ^ { D - 2 } \left( { \frac { D - 1 } { D - 2 } } \right) W ^ { 2 } \right) \ .
\theta _ { 0 } = 5 8 . 1 \times 1 0 ^ { - 3 } \lambda ^ { 6 / 5 } \left[ \int _ { 0 } ^ { L } z ^ { 5 / 3 } C _ { n } ^ { 2 } ( z ) d z \right] ^ { - 3 / 5 } .
\begin{array} { r l r } & { } & { L _ { \beta } = \sum _ { a _ { 1 } } p ( a _ { 1 } ) \ln p ( a _ { 1 } ) + \frac { 1 } { \beta } \sum _ { a _ { 1 } } p ( a _ { 1 } ) \sum _ { a _ { 2 } b } p ( a _ { 2 } , b ) \ln \sum _ { c } p ^ { \beta } ( a _ { 2 } , c | a _ { 1 } ) p ^ { \beta } ( b | c ) , } \\ & { } & { \sum _ { c } p ( a _ { 2 } , c | a _ { 1 } ) p ( b | c ) = p ( a _ { 2 } , b ) . } \end{array}
\alpha \equiv \alpha ( 0 ) \simeq { \frac { \alpha _ { 0 } ( \Lambda ^ { 2 } ) } { 1 - { \frac { \alpha _ { 0 } ( \Lambda ^ { 2 } ) } { 3 \pi } } \log { \frac { m ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 2 } } } } }
\int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { x ^ { 2 } } { s ^ { 2 } } \frac { e ^ { - \sqrt { 2 } x } } { \sqrt { 2 \pi s } } e ^ { \frac { - x ^ { 2 } } { 4 s } } \widehat { \theta } ( d x ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi s } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { x } { \sqrt { s } } \frac { x e ^ { - \sqrt { 2 } x } } { s ^ { \frac { 3 } { 2 } } } e ^ { \frac { - x ^ { 2 } } { 4 s } } \widehat { \theta } ( d x ) .
\begin{array} { l l l } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 1 } } & { { - { \frac { 2 } { 3 } } } } & { { - { \frac { 1 } { 3 } } } } \\ { { { \frac { 1 } { 2 } } } } & { { - { \frac { 2 } { 3 } } } } & { { - { \frac { 1 } { 6 } } } } \end{array}
S = S _ { 1 } + S _ { 2 } , \: \: S _ { 1 } = \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { \alpha } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \beta } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] , \: \: S _ { 2 } = \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \alpha } \\ { 0 } & { \beta } & { 0 } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { R _ { 1 } ( \Delta ) } & { { } = \left| s _ { 1 2 , 1 } s _ { 2 1 , 1 } + s _ { 1 1 , 1 } \right| ^ { 2 } \left| 1 - \frac { s _ { 1 2 , 1 } s _ { 2 1 , 1 } } { s _ { 1 2 , 1 } s _ { 2 1 , 1 } + s _ { 1 1 , 1 } } \frac { \kappa ^ { \mathrm { e x t 1 } } } { \kappa / 2 - i \Delta } \right| ^ { 2 } } \end{array}
- \frac { 1 } { r _ { c } ^ { 2 } } \frac { d } { d \phi } \left( e ^ { - 4 \sigma } \frac { d } { d \phi } \chi ^ { ( n , \, l ) } ( \phi ) \right) + e ^ { - 4 \sigma } \left( \frac { l } { R } \right) ^ { 2 } \chi ^ { ( n , \, l ) } ( \phi ) = e ^ { - 2 \sigma } m _ { n l } ^ { 2 } \chi ^ { ( n , \, l ) } ( \phi ) .
t _ { \infty } ^ { ( x ) } = \frac { L _ { x } } { c _ { g , 0 } - c _ { g , N } \cos ( \theta _ { 0 } ) } , \quad t _ { \infty } ^ { ( y ) } = \frac { L _ { y } } { 2 c _ { g , 0 } \sin ( \theta _ { 0 } ) } .
\begin{array} { r l } { V _ { i } ^ { \mathrm { T K } } ( t + \Delta t ) c _ { i } ^ { \mathrm { T K } } ( t + \Delta t ) = V _ { i } ^ { \mathrm { T K } } ( t ) c _ { i } ^ { \mathrm { T K } } ( t ) } & { + \sum _ { j \in L _ { \mathrm { i n } } } q _ { \mathrm { i n } } ^ { j } ( t ) c _ { \mathrm { i n } } ^ { j } ( t ) \Delta t + V _ { i } ^ { \mathrm { B _ { \mathrm { T K } } } } ( t + \Delta t ) c _ { i } ^ { \mathrm { B _ { \mathrm { T K } } } } ( t + \Delta t ) } \\ & { - \sum _ { k \in L _ { \mathrm { o u t } } } q _ { \mathrm { o u t } } ^ { k } ( t ) c _ { i } ^ { \mathrm { T K } } ( t ) \Delta t + R _ { \mathrm { M S } } ^ { \mathrm { T K } } ( c _ { i } ^ { \mathrm { T K } } ( t ) ) V _ { i } ^ { \mathrm { T K } } ( t ) \Delta t , } \end{array}
\begin{array} { r l } { k } & { { } ^ \infty _ { m T G D } = D _ { m T G D } \sqrt { \frac { \left( \mathbf { x } _ { 0 } ^ { - } \right) ^ { T } \left( \mathbf { \Sigma } ^ { -- } \right) ^ { - 2 } \mathbf { x } _ { 0 } ^ { - } / ( 2 \pi ^ { 3 } ) } { \operatorname* { d e t } ( \mathbf { \Sigma } ) \operatorname* { d e t } ( \mathbf { B } ) \operatorname* { d e t } \left[ \left( { \mathbf { \Sigma } } ^ { - 1 } \right) ^ { + + } \right] } } \ e ^ { - \Delta U } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { \mathrm { ~ d ~ i ~ v ~ } } } & { { } = \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { \mathrm { ~ d ~ i ~ v ~ } } } P _ { n } } \\ { \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } } \\ { P _ { n } } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 - \frac { t _ { \mathrm { o v e r } } - \Delta t } { t _ { \mathrm { f } } } } & { : t _ { \mathrm { o v e r } } < t _ { \mathrm { f } } ^ { \mathrm { ~ ( ~ d ~ i ~ v ~ ) ~ } } } \\ { 0 } & { : \mathrm { ~ e ~ l ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right. } \\ { t _ { \mathrm { o v e r } } } & { { } = \operatorname* { i n f } \left\{ t \geq 0 : \boldsymbol { \dot { s } } _ { t } ^ { ( \mathrm { ~ s ~ i ~ m ~ } ) } \not \in \left[ \dot { \boldsymbol { s } } _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } , \dot { \boldsymbol { s } } _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } \right] \right\} \enspace . } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } \mathrm { ~ E ~ I ~ } ( \boldsymbol { x } ) \Bigg ( 1 - \frac { \gamma } { \hphantom { e } \vphantom { \big | } \sqrt { k + \gamma ^ { 2 } } \hphantom { e } } \Bigg ) = \mathrm { ~ E ~ I ~ } ( \boldsymbol { x } ) ,
{ \begin{array} { r l } { { \mathcal { F } } \left\{ \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } T \cdot x ( n T ) \cdot \delta ( t - n T ) \right\} } & { = { \mathcal { F } } \left\{ x ( t ) \cdot T \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \delta ( t - n T ) \right\} } \\ & { = X ( f ) * { \mathcal { F } } \left\{ T \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \delta ( t - n T ) \right\} } \\ & { = X ( f ) * \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } \delta \left( f - { \frac { k } { T } } \right) } \\ & { = \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } X \left( f - { \frac { k } { T } } \right) . } \end{array} }
\left\{ \begin{array} { l l l } { \left( 0 , 1 , 0 \right) , \left( \frac { d } { d - 1 } , 0 , \frac { 1 } { d - 1 } \right) , \left( 0 , - \frac { 1 } { d - 1 } , 0 \right) , \left( \frac { d } { d - 1 } , 0 , - \frac { 1 } { d - 1 } \right) , } \\ { \left( 0 , 0 , 1 \right) , \left( \frac { d } { d - 1 } , \frac { 1 } { d - 1 } , 0 \right) , \left( 0 , 0 , - \frac { 1 } { d - 1 } \right) , \left( \frac { d } { d - 1 } , - \frac { 1 } { d - 1 } , 0 \right) , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathbb { i } _ { \mathbb { X } } \boldsymbol { \omega } } & { = \Big ( \mathrm { t r } ( X _ { E } \mathbb { d } A _ { \ell } ) - \mathrm { t r } ( \mathbb { d } E X _ { \ell } ) + } \\ & { \qquad \qquad + \mathrm { t r } ( ( \mathcal { L } _ { \ell } \hat { X } ^ { i } - \mathcal { D } ^ { i } X _ { \ell } ) \mathbb { d } \hat { A } _ { i } ) - \mathrm { t r } ( ( \mathcal { L } _ { \ell } \mathbb { d } \hat { A } ^ { i } - \mathcal { D } ^ { i } \mathbb { d } A _ { \ell } ) \hat { X } _ { i } ) \Big ) { \boldsymbol { v o l } } _ { \Sigma } . } \end{array}
K ( \theta ) = \frac { s _ { \frac { 1 } { 2 } } ( \theta ) s _ { \frac { 1 + a } { 2 } } ( \theta ) s _ { \frac { 2 - a } { 2 } } ( \theta ) } { s _ { \frac { 1 - E } { 2 } } ( \theta ) s _ { \frac { 1 + E } { 2 } } ( \theta ) s _ { \frac { 1 - F } { 2 } } ( \theta ) s _ { \frac { 1 + F } { 2 } } ( \theta ) } \, \, \, ,
f _ { \mathrm { D } } ( t ) = \frac { 8 } { \pi } \frac { h t \left( t ^ { 2 } - h ^ { 2 } \right) } { \left( t ^ { 2 } + h ^ { 2 } \right) ^ { 3 } } \, , \quad g _ { \mathrm { D } } ( t ) = \frac { 4 } { \pi } \frac { h ^ { 2 } \left( 3 t ^ { 2 } - h ^ { 2 } \right) } { \left( t ^ { 2 } + h ^ { 2 } \right) ^ { 3 } } \, .
E ( k _ { h } , k _ { z } ) \sim k _ { h } ^ { - 1 . 6 9 } k _ { z } ^ { - 1 } ~ ~ ~ ~ \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } ~ ~ ~ ~ E ( \omega , k _ { z } ) \sim \omega ^ { - 1 . 6 9 } k _ { z } ^ { - 1 . 6 9 } .
u = \frac { A ^ { 4 / 3 } } { B } \, \frac { s } { \tau ^ { 4 / 3 } } = - \frac { 1 } { 3 } A ^ { 1 / 3 } \, \frac { y ^ { \prime } } { y ^ { 4 / 3 } } = - \left( \frac { 1 6 } { 3 } \right) ^ { 1 / 3 } y ^ { - 4 / 3 } y ^ { \prime } .
\begin{array} { r l } { p ( x , 0 ) = } & { { } 0 . 5 ( \operatorname { t a n h } ( x / 1 0 ) + 1 . 1 ) } \\ { n ( x , 0 ) = } & { { } 0 . 2 5 ( \operatorname { t a n h } ( - x / 1 0 ) + 1 . 1 ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Gamma ( z , t ) } & { { } = } & { \frac { \pi } { \tau _ { T } } \exp \left( - \sigma _ { 0 } \frac { \langle 2 \mathcal E ( z , t ) ^ { 2 } \rangle } { \omega ^ { 3 } } \right) \left[ \frac { 2 \kappa ^ { 3 } } { \sqrt { \langle 2 \mathcal E ( z , t ) ^ { 2 } \rangle } } \right] ^ { 2 Z / \kappa } } \end{array}
\gamma ^ { 2 } \vartheta _ { c } ^ { 4 } \simeq \dot { \vartheta } _ { s } ^ { 2 } l _ { 0 } , \quad l _ { c } \simeq \frac { l _ { 0 } } { \gamma ^ { 2 } \vartheta _ { c } ^ { 2 } } \simeq \frac { 1 } { \gamma } \sqrt { \frac { l _ { 0 } } { \dot { \vartheta } _ { s } ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ^ { 2 } : = } & { \frac { 1 } { \rho ( \varphi ) } ( \Phi _ { 2 } ) ^ { - 1 } \mathcal { L } ^ { 1 } \Phi _ { 2 } [ h ] = \mathcal { D } _ { \omega } - \Pi _ { S ^ { \perp } } \partial _ { x } M _ { 2 } [ h ] + R _ { 2 } [ h ] , } \\ & { M _ { 2 } [ h ] = d _ { 1 } \Lambda ^ { \alpha - 1 } + d _ { 2 } h + \Upsilon _ { d _ { 3 } } ^ { \alpha - 3 } h , } \end{array}
u ( x , y , 0 ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { ~ t ~ a ~ n ~ h ~ } \left( \frac { y - \pi / 2 } { \delta } \right) , } & { y \leq \pi } \\ { \mathrm { ~ t ~ a ~ n ~ h ~ } \left( \frac { 3 \pi / 2 - y } { \delta } \right) , } & { y > \pi } \end{array} \right. , \quad v ( x , y , 0 ) = \epsilon \sin ( x ) ,
\begin{array} { r l r } { p _ { \mathrm { l i m } } } & { { } \equiv } & { \frac { 1 } { 4 p ( x ) ^ { 2 } } \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } p } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } - \frac { 3 } { 1 6 p ( x ) ^ { 3 } } \bigl ( \frac { \mathrm { d } p } { \mathrm { d } x } \bigl ) ^ { 2 } } \end{array}