harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\frac { \Delta n ^ { ( 1 ) } \left( \omega \right) } { n _ { r } } = \frac { \sigma _ { \nu } \left\vert M _ { 2 1 } \right\vert ^ { 2 } } { 2 n _ { r } ^ { 2 } \epsilon _ { 0 } } \frac { \Delta E - \hslash \omega } { \left( \Delta E - \hslash \omega \right) ^ { 2 } + \left( \hslash \Gamma _ { 2 1 } \right) ^ { 2 } }
\lambda _ { a } \equiv l _ { j _ { a } } \, - \sum _ { q = 1 } ^ { a - 1 } k _ { j _ { q } j _ { a } } ; \; \theta _ { a } = \sum _ { j } ( l _ { j } \, - \sum _ { q = 1 } ^ { a } k _ { j _ { q } j } ) x _ { j } , \; \rho _ { j _ { a } } = \sum _ { j } k _ { j _ { a } j } x _ { j } .
\begin{array} { r l } { \Omega _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } } & { = \frac { 1 } { 2 } \int _ { \Sigma } ( n ^ { \alpha } \delta _ { \alpha \beta \zeta } ^ { \lambda \eta \sigma } g ^ { \beta \rho } g ^ { \zeta \phi } \delta g _ { \eta \rho } \wedge \nabla _ { \lambda } \delta g _ { \sigma \phi } - n ^ { \alpha } g ^ { \beta \mu } g ^ { \sigma \lambda } \nabla _ { \lambda } ( \delta g _ { \alpha \beta } \wedge \delta g _ { \mu \sigma } ) ) \mathrm { v o l } _ { \gamma } } \\ & { \quad - \frac { 1 } { 2 } \int _ { \partial \Sigma } \overline { { m } } _ { \overline { { \alpha } } } \overline { { g } } ^ { \overline { { \alpha } } \overline { { \beta } } } \jmath _ { \overline { { \beta } } } ^ { \beta } ( \iota _ { \nu } \delta g ) _ { \beta } \wedge \delta g \; \mathrm { v o l } _ { \overline { { \gamma } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \mathbb { I } _ { 1 } : \mathbb { I } _ { 2 } ) _ { a b c d } } & { = \sum _ { x = 1 } ^ { 3 } \sum _ { y = 1 } ^ { 3 } \Big ( \frac { 1 } { 3 } \delta _ { a b } \delta _ { x y } \Big ) \Big ( \frac { 1 } { 2 } \delta _ { x d } \delta _ { y c } + \frac { 1 } { 2 } \delta _ { x c } \delta _ { y d } - \frac { 1 } { 3 } \delta _ { x y } \delta _ { c d } \Big ) } \\ & { = \sum _ { x = 1 } ^ { 3 } \sum _ { y = 1 } ^ { 3 } \Big ( \frac { 1 } { 6 } \delta _ { a b } \delta _ { x y } \delta _ { x d } \delta _ { y c } + \frac { 1 } { 6 } \delta _ { a b } \delta _ { x y } \delta _ { x c } \delta _ { y d } - \frac { 1 } { 9 } \delta _ { a b } \delta _ { x y } \delta _ { x y } \delta _ { c d } \Big ) } \\ & { = \frac { 2 } { 6 } \delta _ { a b } \delta _ { c d } - \frac { 1 } { 3 } \delta _ { a b } \delta _ { c d } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { h _ { v e x } } & { { } } & { = \epsilon _ { v e x } \exp \left( - \alpha _ { v e x } r _ { i j } ^ { 2 } \right) , \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ n ~ b ~ e ~ a ~ d ~ - ~ p ~ a ~ i ~ r ~ ( ~ i ~ j ~ ) ~ n ~ o ~ t ~ b ~ o ~ u ~ n ~ d ~ t ~ o ~ T ~ o ~ p ~ o ~ - ~ I ~ I ~ } , } \end{array}
\begin{array} { r } { F _ { n _ { i / f } } ( n , \nu _ { i , f } ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } r ^ { 4 } e ^ { - \nu _ { i / f } r } R _ { n _ { i , f } 0 } ( r ) \: _ { 1 } F _ { 1 } ( 2 - n ; 4 ; 2 \nu _ { i / f } r ) d r , } \end{array}
( ( \mathbf { a } \times \mathbf { b } ) \cdot \mathbf { c } ) \; ( ( \mathbf { d } \times \mathbf { e } ) \cdot \mathbf { f } ) = \operatorname* { d e t } \left[ { \left( \begin{array} { l } { \mathbf { a } } \\ { \mathbf { b } } \\ { \mathbf { c } } \end{array} \right) } \cdot { \left( \begin{array} { l l l } { \mathbf { d } } & { \mathbf { e } } & { \mathbf { f } } \end{array} \right) } \right] = \operatorname* { d e t } { \left[ \begin{array} { l l l } { \mathbf { a } \cdot \mathbf { d } } & { \mathbf { a } \cdot \mathbf { e } } & { \mathbf { a } \cdot \mathbf { f } } \\ { \mathbf { b } \cdot \mathbf { d } } & { \mathbf { b } \cdot \mathbf { e } } & { \mathbf { b } \cdot \mathbf { f } } \\ { \mathbf { c } \cdot \mathbf { d } } & { \mathbf { c } \cdot \mathbf { e } } & { \mathbf { c } \cdot \mathbf { f } } \end{array} \right] }
+ \left[ m _ { 1 } \left( \varepsilon ^ { \mu , \mu } + \varepsilon ^ { \widetilde { \mu } , \widetilde { \mu } } \right) + m _ { 2 } \left( \varepsilon ^ { 0 , 0 } + \frac 1 2 \varepsilon ^ { [ \mu \nu ] , [ \mu \nu ] } + \varepsilon ^ { \widetilde { 0 } , \widetilde { 0 } } \right) \right] _ { A B } \Psi _ { B } ( x ) \biggr \} = 0
\begin{array} { r l } { \int _ { t _ { e n d } } ^ { \infty } \exp { ( - b e ^ { \beta t _ { e n d } } ( t - t _ { e n d } + \frac { \beta } { 2 } ( t - t _ { e n d } ) ^ { 2 } ) ) ) } d t } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } \exp { ( - \frac { \beta } { 2 } b e ^ { \beta t _ { e n d } } ( \frac { 2 } { \beta } u + u ^ { 2 } ) ) ) } d u } \\ & { = \exp { \bigg ( \frac { \mu ( t _ { e n d } , m = 0 ) } { 2 \beta } \bigg ) } \int _ { 0 } ^ { \infty } \exp { ( - \frac { 1 } { 2 } \mu ( t _ { e n d } , m = 0 ) \beta ( u + 1 / \beta ) ^ { 2 } ) } d u } \\ & { = \exp { \bigg ( \frac { \mu ( t _ { e n d } , m = 0 ) } { 2 \beta } \bigg ) } \sqrt { \frac { 2 \pi } { \mu ( t _ { e n d } , m = 0 ) \beta } } \bigg ( 1 - \Theta ( 0 ; - \frac { 1 } { \beta } , \frac { 1 } { \sqrt { \mu ( t _ { e n d } , m = 0 ) \beta } } ) \bigg ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pi _ { \alpha } = } & { { } ~ \phi _ { \alpha } \mu _ { \alpha } - \hat { \Psi } _ { \alpha } } \\ { \mu _ { \alpha } : = } & { { } ~ \frac { \partial \hat { \Psi } _ { \alpha } } { \partial \phi _ { \alpha } } - \mathrm { d i v } \left( \frac { \partial \hat { \Psi } _ { \alpha } } { \partial \nabla \phi _ { \alpha } } \right) , } \end{array}
\varepsilon _ { r e m a i n } \left( X , P \right) = \sum _ { s = 0 } ^ { \infty } \sum _ { k = 0 } ^ { s } \varepsilon _ { s , k } ^ { \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { k } } \, \left( \kappa p _ { \kappa } - w p _ { w } - \frac { w } { \kappa } B \right) ^ { s - k } \, ( p _ { \mu _ { 1 } } + A _ { \mu _ { 1 } } ) \cdots ( p _ { \mu _ { k } } + A _ { \mu _ { k } } ) .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { E } _ { [ \imath ] } , \mathbf { P } _ { [ \imath ] } , \mathbf { U } _ { \mathrm { r } / \mathrm { t } } , \mathbf { V } _ { [ \imath ] , k } , \mathbf { R } _ { [ \imath ] , \mathrm { s } } , p _ { n } , \rho _ { 2 } } \quad } & { \mathrm { T r } ( \mathbf { E } _ { [ \imath ] } ^ { - 1 } ) + \frac { 1 } { 2 \rho _ { 2 } } \sum _ { n = 1 } ^ { N - 1 } ( p _ { n } - p _ { n } ^ { 2 } ) } \\ { \mathrm { s . t . } \qquad } & { , , , - , , , } \\ & { \sum _ { n = 1 } ^ { N - 1 } p _ { n } = 1 . } \end{array}
P ^ { v i r } = \frac { N ( N - 1 ) } { 4 V } 2 \pi { ( 2 \sigma ) } ^ { 2 } { \hat { g } } ( 2 \sigma ) \left\langle { ( v _ { 1 } ^ { r } ) } ^ { 2 } H ( \textbf { v } ) \right\rangle \frac { N } { N - 1 }
\int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \sigma X ^ { i } ( \sigma ) \hat { P } _ { i } ( \sigma ) = x _ { 0 } ^ { i } \hat { p } _ { 0 } ^ { i } + \frac { g _ { i j } } { 2 \sqrt { \alpha ^ { \prime } } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left\{ \left( \chi _ { n } ^ { i } \alpha _ { - n } ^ { j } + \bar { \chi } _ { n } ^ { i } \tilde { \alpha } _ { - n } ^ { j } \right) + \left( \bar { \chi } _ { n } ^ { i } \alpha _ { n } ^ { j } + \chi _ { n } ^ { i } \tilde { \alpha } _ { n } ^ { j } \right) \right\} ~ .
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathbb { P } ( W _ { l } \geq 4 L ( s _ { 2 } - s _ { 1 } + 1 ) ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ) } \\ & { = } & { \mathbb { E } [ \mathbb { P } ( W _ { l } \geq 4 L ( s _ { 2 } - s _ { 1 } + 1 ) ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) | \sigma _ { 0 } ) ] } \\ & { \leq } & { e ^ { - 8 L ^ { 2 } ( s _ { 2 } - s _ { 1 } + 1 ) ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r c l } { f ( \mu _ { e 1 } , { \bf e } _ { 1 } ^ { T } \Theta _ { v } ^ { - 1 } ( ( \mu _ { e 1 } ) ^ { 2 } , ( \mu _ { e 2 } ) ^ { 2 } ) ^ { T } ) - { \bf e } _ { 1 } ^ { T } \Theta _ { u } ( \mu _ { e 1 } , \mu _ { e 2 } ) ^ { T } } & { = } & { 0 } \\ { f ( \mu _ { e 2 } , { \bf e } _ { 2 } ^ { T } \Theta _ { v } ^ { - 1 } ( ( \mu _ { e 1 } ) ^ { 2 } , ( \mu _ { e 2 } ) ^ { 2 } ) ^ { T } ) - { \bf e } _ { 2 } ^ { T } \Theta _ { u } ( \mu _ { e 1 } , \mu _ { e 2 } ) ^ { T } } & { = } & { 0 \, . } \end{array}
G ^ { A B } ( p ) = [ ( G _ { 0 } ) ^ { - 1 } + i \Pi _ { \mathrm { g h } } ( p ^ { 2 } ) ] _ { A B } ^ { - 1 } = { \frac { 1 } { - i p ^ { 2 } + i \Pi _ { \mathrm { g h } } ( p ^ { 2 } ) } } \delta ^ { A B } = ( - i ) { \frac { G _ { \mathrm { g h } } ( - p ^ { 2 } ) } { - p ^ { 2 } } } \delta ^ { A B } ,
\begin{array} { r l r } { \frac { 4 . 4 M k c a l } { f a m i l y } \cdot \frac { 1 a c r e } { 1 . 9 M k c a l } } & { { } \textrm { ~ ~ o r ~ ~ } } & { \frac { 4 . 4 M k c a l } { f a m i l y } \cdot \frac { 1 . 9 M k c a l } { 1 a c r e } } \end{array}
\mathcal { M V } : \cdots \stackrel { \partial _ { k - 1 } } \rightarrow H _ { \mathrm { r e l ~ } } ^ { k } \left( { \bar { Z } } _ { 2 } ; \bar { F } \right) \stackrel { e _ { k } } { \rightarrow } H ^ { k } \left( { \bar { Z } } ; \bar { F } \right) \stackrel { r _ { k } } { \rightarrow } H _ { \mathrm { a b s } } ^ { k } \left( { \bar { Z } } _ { 1 } ; \bar { F } \right) \stackrel { \partial _ { k } } { \rightarrow } \cdots .
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { 1 } ^ { \prime } ( \mathbf { r } _ { 1 } , \ldots , \mathbf { r } _ { N } ; \mathbf { r } _ { 1 } ^ { \prime } , \ldots , \mathbf { r } _ { N } ^ { \prime } ) = \; } & { { } \Gamma _ { 1 } ( \mathbf { r } _ { 1 } , \ldots , \mathbf { r } _ { N } ; \mathbf { r } _ { 1 } ^ { \prime } , \ldots , \mathbf { r } _ { N } ^ { \prime } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { Q } & { = } & { \Phi ( \mu ^ { k } ( \tilde { Q } _ { \bar { s } ( k + 1 ) } ^ { ( k ) } ) : \bar { s } ( k + 1 ) ) } \\ & { \equiv } & { \sum _ { \bar { s } ( k + 1 ) \subset { \cal S } ^ { k + 1 } ( d ) } \bar { \phi } _ { \bar { s } ( k + 1 ) } \mu ^ { k } ( \tilde { Q } _ { \bar { s } ( k + 1 ) } ^ { ( k ) } ) } \\ & { = } & { \sum _ { \bar { s } ( k + 1 ) , \mid s _ { k + 1 } \mid \geq 1 } \bar { \phi } _ { \bar { s } ( k + 1 ) } \mu ^ { k } ( \tilde { Q } _ { \bar { s } ( k + 1 ) } ^ { ( k ) } ) + \sum _ { \bar { s } ( k + 1 ) , \mid s _ { k + 1 } \mid = 0 } \bar { \phi } _ { \bar { s } ( m + 1 ) } Q _ { \bar { s } ( m ) } ^ { ( m ) } ( 0 ( s _ { m } ) ) , } \end{array}
d e t [ { \bf M _ { \ell } M _ { \ell } ^ { \dagger } , M _ { \nu } M _ { \nu } ^ { \dagger } } ] = - 2 i J ( m _ { \tau } ^ { 2 } - m _ { \mu } ^ { 2 } ) ( m _ { \mu } ^ { 2 } - m _ { e } ^ { 2 } ) ( m _ { e } ^ { 2 } - m _ { \tau } ^ { 2 } ) ( m _ { 3 } ^ { 2 } - m _ { 2 } ^ { 2 } ) ( m _ { 2 } ^ { 2 } - m _ { 1 } ^ { 2 } ) ( m _ { 1 } ^ { 2 } - m _ { 3 } ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l } { \triangle R _ { s g } = \, } & { \mathcal { R } ( \mathbf { L } + \mathbf { L } _ { s g } , \mathbf { H } _ { s } , \mathcal { F } ( \mathbf { L } + \mathbf { L } _ { s g } , \mathbf { H } _ { s } , \mathbf { F } _ { s } ^ { \mathrm { A } } ) ) } \\ & { - \mathcal { R } ( \mathbf { L } , \mathbf { H } _ { s } , \mathcal { F } ( \mathbf { L } , \mathbf { H } _ { s } , \mathbf { F } _ { s } ^ { \mathrm { A } } ) ) . } \end{array}
R \equiv \frac { \sigma ( e ^ { + } e ^ { - } \rightarrow q \bar { q } ) } { \sigma ( e ^ { + } e ^ { - } \rightarrow \mu ^ { + } \mu ^ { - } ) } = 2 \tilde { N } _ { c } N _ { f } \left( \frac { N _ { c } } { \tilde { N } _ { c } } \right) ^ { 2 } = 2 N _ { c } N _ { f } \frac { N _ { c } } { N _ { f } - N _ { c } }
\begin{array} { r l r l } { \alpha _ { 1 } } & { { } = 0 } & { \beta _ { 2 1 } } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } } \\ { \alpha _ { 2 } } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } } & { \beta _ { 3 2 } } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } } \\ { \alpha _ { 3 } } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } } & { \beta _ { 4 3 } } & { { } = 1 } \\ { \alpha _ { 4 } } & { { } = 1 } & { } & { { } } \end{array}
\sigma _ { 0 } \, \, = \, \, \frac { \alpha ^ { 2 } \alpha _ { S } ^ { 2 } ( \mu _ { 0 } ) \left( \sum q _ { i } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \sum | M ^ { ( 1 ) } | ^ { 2 } } { 6 4 \pi Q ^ { 2 } } \, \, ,
\left| \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \ln \left| \rho ( \lambda , \theta ) \right| \! \, d \lambda \right| \leq 2 \pi ^ { 2 } \mu _ { s } d \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { { c o s } \left( \ t h e t a \right) , } } & { \! \! \mathrm { { T E } } } \\ { 1 / \mathrm { { c o s } \left( \ t h e t a \right) , } } & { \! \! \mathrm { { T M } } } \end{array} \right. \triangleq \mathrm { { R B } \left( \ t h e t a \right) . }
M _ { 0 } \; = \; \frac { c } { 3 } \left( \begin{array} { l l l } { { 1 } } & { { 1 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 1 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 1 } } & { { 1 } } \end{array} \right) \; ,
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } ( x _ { 1 } , \dots , x _ { k - 1 } , x _ { k + 1 } , \dots , x _ { t } ) } & { : = \int _ { 0 } ^ { ( 1 - \eta ) \kappa } G ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { k - 1 } , y , x _ { k + 1 } , \ldots , x _ { t } ) \, d y , } \\ { I _ { 2 } ( x _ { 1 } , \dots , x _ { k - 1 } , x _ { k + 1 } , \dots , x _ { t } ) } & { : = \int _ { ( 1 - \eta ) \kappa } ^ { \kappa } G ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { k - 1 } , y , x _ { k + 1 } , \ldots , x _ { t } ) \, d y , } \\ { I _ { 3 } ( \mathbf { x } ) } & { : = \int _ { \kappa } ^ { x _ { k } } G ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { k - 1 } , y , x _ { k + 1 } , \ldots , x _ { t } ) \, d y , } \end{array}
( 7 6 ) \frac { \operatorname * { d e t } ^ { \prime } A } { \operatorname * { d e t } ^ { \prime } B } = \operatorname * { l i m } _ { \lambda \to 0 } \frac { \operatorname * { d e t } ( A - \lambda ) } { \operatorname * { d e t } ( B - \lambda ) } .
\begin{array} { r l r l } { { 2 } } & { { } W _ { i j } ^ { ( 0 ) } ( Q ) } & { } & { { } = \left( E _ { i } + V \right) \delta _ { i j } = E _ { i } + \sum _ { \alpha } \frac { 1 } { 2 } \omega _ { \alpha } Q _ { \alpha } ^ { 2 } \quad ; \alpha = 1 , 3 , 5 , 7 , 8 , 9 , 1 2 . } \end{array}
\begin{array} { c } { { s \left( \lambda , \mu \right) = \frac t { \lambda - \mu } \left( \phi \left( \lambda \right) ^ { - 1 } - \phi \left( \mu \right) ^ { - 1 } \right) , } } \\ { { a \left( \lambda , \mu \right) = \frac t { \lambda - \mu } \left( \phi \left( \lambda \right) ^ { - 1 } - \phi \left( \mu \right) ^ { - 1 } \right) . } } \end{array}
\mathrm { \ s l ~ S } _ { E } = { \frac { 1 } { \lambda } } \int d ^ { 3 } x \, \varepsilon ^ { \mu \nu \rho } \, E _ { \mu } ^ { \underline { { { \alpha } } } } \, \omega _ { \nu \rho } ^ { \underline { { { \beta } } } } \, \eta _ { \underline { { { \alpha } } } \underline { { { \beta } } } } ,
\begin{array} { r l } { g = g _ { b } } & { = - \frac { \Delta _ { b } } { r ^ { 2 } } d \bar { t } ^ { 2 } + 2 \frac { \Delta _ { b } } { r ^ { 2 } } F _ { t } ^ { \prime } ( r ) d \bar { t } d r + \Big ( \frac { r ^ { 2 } } { \Delta _ { b } } - \frac { \Delta _ { b } } { r ^ { 2 } } F _ { t } ^ { \prime } ( r ) ^ { 2 } \Big ) d r ^ { 2 } + r ^ { 2 } d \theta ^ { 2 } + r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta d \varphi ^ { 2 } , } \\ { g ^ { - 1 } = g _ { b } ^ { - 1 } } & { = - \Big ( \frac { r ^ { 2 } } { \Delta _ { b } } - \frac { \Delta _ { b } } { r ^ { 2 } } F _ { t } ^ { \prime } ( r ) ^ { 2 } \Big ) \partial _ { \bar { t } } ^ { 2 } + 2 \frac { \Delta _ { b } } { r ^ { 2 } } F _ { t } ^ { \prime } ( r ) \partial _ { \bar { t } } \partial _ { r } + \frac { \Delta _ { b } } { r ^ { 2 } } \partial _ { r } ^ { 2 } + \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \partial _ { \theta } ^ { 2 } + \frac { 1 } { r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } \partial _ { \varphi } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F ( t ) + 2 f ( t ) = F ( t ) + 2 k \big ( x ( t ) - X ( t ) \big ) + 2 k _ { c } \big ( \theta ( t ) - \Theta ( t ) \big ) } & { { } = M _ { 0 } \, \ddot { X } ( t ) \, , } \\ { T ( t ) + 2 t ( t ) = T ( t ) + 2 k _ { c } \big ( x ( t ) - X ( t ) \big ) + 2 k _ { t } \big ( \theta ( t ) - \Theta ( t ) \big ) } & { { } = I _ { 0 } \, \ddot { \Theta } ( t ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E _ { \vartheta } ^ { ( \alpha ) } ( \boldsymbol { r } _ { d } , \omega ) } & { { } = } & { \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } \int _ { V _ { \alpha } } d ^ { 3 } \boldsymbol { r } ^ { \prime } \, \, \frac { e ^ { i \frac { \omega } { c } | \boldsymbol { r } _ { d } - \boldsymbol { r } ^ { \prime } | } } { \boldsymbol { r } _ { d } - \boldsymbol { r } ^ { \prime } } \sin \vartheta _ { d } ^ { \prime } \, \, \rho _ { \alpha } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) \, \, \hat { \ddot { d } } _ { z } ( \omega ; [ E _ { e x t } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) ] ) \, . } \end{array}
\Big | h ( \frac { j } { 2 K ^ { d } } ) - h ( \frac { j - 1 } { 2 K ^ { d } } ) \Big | \le \operatorname* { m a x } \Big \{ \omega _ { \widetilde { f } } ( \frac { \sqrt { d } } { K } ) , \, \frac { \omega _ { \widetilde { f } } ( { \sqrt { d } } ) } { K } \Big \} \le \omega _ { \widetilde { f } } ( \frac { \sqrt { d } } { K } ) = \omega _ { f } ( \frac { \sqrt { d } } { K } )
\begin{array} { r l } { \tilde { \ell } \tilde { Q } _ { \ell } [ \Sigma _ { d - p + 1 } ] } & { { } = ( - ) ^ { p q + q + 1 } \tilde { \ell } \int _ { \Sigma _ { d - p + 1 } } \mathrm { d } V } \end{array}
S ^ { ( N ) } \left[ { \bf r } _ { 1 } , \dots { \bf r } _ { N - 1 } \right] ( { \bf r } ^ { \prime \prime } , { \bf r } ^ { \prime } ; t ^ { \prime \prime } , t ^ { \prime } ) \equiv S ^ { ( N ) } \left[ { \bf r } _ { 1 } , \dots { \bf r } _ { N - 1 } \right] ( { \bf r } ^ { \prime \prime } , { \bf r } ^ { \prime } ; t ^ { \prime \prime } - t ^ { \prime } ) \; ,
\begin{array} { r } { d X ^ { 0 } = d \left( c t \right) = \left( \frac { d \ln c } { d \ln t } + 1 \right) c d t \equiv \tilde { c } d t \quad \textrm { a n d } \quad \delta c \equiv \frac { \tilde { c } } { c } = \left( \frac { d \ln c } { d \ln t } + 1 \right) \, , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { ( \mu - b ) ( \mu - c ) { \frac { d ^ { 2 } M } { d \mu ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { 2 } } \left[ 2 \mu - ( b + c ) \right] { \frac { d M } { d \mu } } + \left[ k ^ { 2 } \mu ^ { 2 } + \alpha _ { 3 } \mu - \alpha _ { 2 } \right] M = 0 } \\ & { ( b - \nu ) ( c - \nu ) { \frac { d ^ { 2 } N } { d \nu ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { 2 } } \left[ 2 \nu - ( b + c ) \right] { \frac { d N } { d \nu } } + \left[ k ^ { 2 } \nu ^ { 2 } + \alpha _ { 3 } \nu - \alpha _ { 2 } \right] N = 0 } \\ & { ( b - \lambda ) ( \lambda - c ) { \frac { d ^ { 2 } \Lambda } { d \lambda ^ { 2 } } } - { \frac { 1 } { 2 } } \left[ 2 \lambda - ( b + c ) \right] { \frac { d \Lambda } { d \lambda } } - \left[ k ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } + \alpha _ { 3 } \lambda - \alpha _ { 2 } \right] \Lambda = 0 } \end{array} }
\mathrm { ~ \bf ~ L ~ } = \sum _ { a = 1 } ^ { N } \mathrm { ~ \bf ~ l ~ } _ { a } \equiv \sum _ { a = 1 } ^ { N } \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { a } \times ( - i \hbar \nabla _ { \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { a } } )
\xi = \frac { E ( R ) | _ { \chi \gg 1 } } { E ( R ) | _ { \sigma = 0 } } = \frac 1 { 2 n } \left( \sqrt { \epsilon } \frac { J _ { 0 } ( \sqrt { \epsilon } \omega R / c ) } { J _ { 1 } ( \sqrt { \epsilon } \omega R / c ) } - \frac { Y _ { 0 } ( \omega R / c ) } { Y _ { 1 } ( \omega R / c ) } \right) .
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { 2 } \nabla ^ { 2 } \gamma _ { B } ^ { 2 } ( y ) = \frac { 1 } { \left( \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } \right) ^ { 3 } } \left( \left( \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } + \| \bar { y } \| ^ { 2 } \right) \bar { \zeta } \bar { \zeta } ^ { T } - \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } ( \bar { \zeta } \bar { y } ^ { T } + \bar { y } \bar { \zeta } ^ { T } ) + \left( \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } \right) ^ { 2 } I \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { { \frac { \mathrm { d } y _ { l k ; s } } { y _ { l k ; s } } } = { \frac { \mathrm { d } y _ { k l ; s } } { y _ { k l ; s } } } = { \frac { ( \gamma x _ { k l ; s } + ( - 1 ) ^ { s } x _ { k l ; s } ^ { 2 } ) \; \mathrm { d } x _ { k l ; s } } { \gamma x _ { k l ; s } + ( - 1 ) ^ { s } x _ { k l ; s } ^ { 2 } + ( - 1 ) ^ { s } y _ { k l ; s } y _ { l k ; s } } } } \end{array}
T = \frac { \Lambda } { ( \Lambda \tau ) ^ { 1 / 3 } } \left( 1 - \frac { \tilde { \eta } _ { l l } } { 2 ( \Lambda \tau ) ^ { 2 / 3 } } - \frac { \tilde { \eta } _ { l l } ( \tilde { \chi } _ { l } + 5 \tilde { \chi } _ { \perp } ) } { 2 4 ( \Lambda \tau ) ^ { 2 / 3 } } + \cdots \right) \, ,
\begin{array} { r l } { Z _ { \pm } } & { { } = \int d m _ { 1 } d m _ { 2 } \exp \left( - \displaystyle \frac { \beta \overline { { \lambda } } N } { 2 } \left( m _ { 1 } ^ { 2 } + m _ { 2 } ^ { 2 } \right) + N \int D z \ln \cosh \left( \beta \overline { { \lambda } } \sqrt { m _ { 1 } ^ { 2 } + m _ { 2 } ^ { 2 } } z \right) \right) . } \end{array}
( T _ { a b } ) _ { \mathrm { e x t . } } = \frac { \pi ^ { 3 } } { 1 6 \pi g ^ { 2 } G _ { 1 0 } } \mathrm { d i a g } \left[ 4 R ^ { 4 } , - 4 R ^ { 4 } , - 4 R ^ { 4 } \cos ^ { 2 } \theta , - 4 R ^ { 4 } \cos ^ { 2 } \theta \right] .
\left( \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } z } + \alpha ( f ) \right) \mathcal { L } ( z , f ) = 0 \quad \Rightarrow \quad \mathcal { L } ( z , f ) = \mathcal { G } ( z = 0 , f ) e ^ { - \alpha ( f ) z } = \mathcal { G } _ { 0 } ( f ) e ^ { - \alpha ( f ) z } = \mathcal { G } _ { 0 } ( f ) \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } z } \Lambda ( z , f ) \: ,
\begin{array} { r l r } { \beta } & { { } = } & { \frac { p c } { \sqrt { p ^ { 2 } c ^ { 2 } + m ^ { 2 } c ^ { 4 } } } } \\ { n } & { { } > } & { \frac { \sqrt { p ^ { 2 } c ^ { 2 } + m ^ { 2 } c ^ { 4 } } } { p c } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { z } } _ { \ast } ^ { i } } & { { } = - ( v _ { s } + v _ { \uparrow z } ^ { i } ) v _ { \downarrow z } ^ { i } - v _ { s } v _ { \uparrow z } ^ { i } , } \\ { h ^ { i } } & { { } = v _ { s } v _ { \uparrow z } ^ { i } - v _ { s } ^ { 2 } \ln ( 1 + v _ { \uparrow z } ^ { i } / v _ { s } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { 1 } \partial _ { x } \widetilde { p } _ { 1 } ( a _ { 1 } , s | a _ { 1 } ) } & { = - 2 \kappa _ { 1 } \widetilde { p } ( a _ { 1 } , s | a _ { 1 } ) + 1 , \quad D _ { 2 } \partial _ { x } \widetilde { p } _ { 2 } ( a _ { 1 } , s | a _ { 1 } ) = 2 \kappa _ { 1 } \widetilde { p } _ { 2 } ( a _ { 1 } , s | a _ { 1 } ) - 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p ( \vec { D } _ { i , d 2 } ^ { m } | b _ { i } ^ { m } , } & { { } a _ { i } ^ { m * } ) = \frac { 1 } { \sqrt { ( 2 \pi ) ^ { K } } | \sigma _ { i , d 2 } ^ { m } | } } \end{array}
- y ^ { \prime \prime } + \cot ( \eta / 2 ) y ^ { \prime } + \left[ \frac { 2 } { 3 } \ell ( \ell + 2 ) - \frac { 1 } { 4 } + \frac { 3 } { 4 } \tan ^ { 2 } ( \eta / 2 ) \right] y = 0 ,
L = - \bar { \psi } _ { _ { L } } \gamma \cdot \partial \psi _ { _ { L } } + \bar { \psi ^ { \prime } } _ { _ { L } } \gamma \cdot \partial \psi _ { _ { L } } ^ { \prime } - m \cdot \bar { \psi } _ { _ { L } } C \bar { \psi _ { _ { L } } ^ { \prime } } ^ { T } - m \cdot \psi _ { _ { L } } ^ { \prime \, T } C \psi _ { _ { L } }
\Delta E _ { N _ { q } } = \operatorname* { l i m } _ { \stackrel { \epsilon \rightarrow 0 } { g \rightarrow 1 } } \frac { i \epsilon g } { 2 } \frac { \partial } { \partial g } \log \left< N _ { q } ; 0 \right| S _ { \epsilon , g } \left| N _ { q } ; 0 \right> \, ,
\begin{array} { r l } { = } & { { } \alpha \int _ { - t _ { 0 } } ^ { t } \mathbf { u } _ { 1 , 0 } ( \mathbf { X } _ { 0 } , \tilde { t } ) \, d \tilde { t } + \alpha ^ { 2 } \int _ { - t _ { 0 } } ^ { t } [ \mathbf { u } _ { 2 , 0 } ( \mathbf { X } _ { 0 } , \tilde { t } ) + \Delta \mathbf { X } _ { 1 , 0 } ( \tilde { t } ) \cdot \nabla \mathbf { u } _ { 1 , 0 } ( \mathbf { X } _ { 0 } , \tilde { t } ) ] \, d \tilde { t } + \alpha \beta \int _ { - t _ { 0 } } ^ { t } \mathbf { u } _ { 1 , 1 } ( \mathbf { X } _ { 0 } , \tilde { t } ) \, d \tilde { t } . } \end{array}
\frac { \tau ^ { 2 } / r + 2 r } { ( \tau ^ { 2 } - r ^ { 2 } ) ^ { 5 / 2 } } \qquad , \qquad \frac { 3 \tau ^ { 2 } + 2 r ^ { 2 } } { ( \tau ^ { 2 } - r ^ { 2 } ) ^ { 7 / 2 } } \qquad \mathrm { e t c . }
\mathcal { N } = \frac { \tilde { \Lambda } _ { 2 2 } ^ { 2 } } { 8 \pi \tilde { \lambda } } + \frac { \tilde { \Lambda } _ { 2 } ^ { 2 } } { 8 \pi \sqrt { \tilde { \lambda } ^ { 2 } - \tilde { E } _ { 2 2 } + \tilde { E } _ { 1 3 } } } + 1 ,
I \left( \mathbf { Y } , \mathbf { X } \right) = \int P \left( \mathbf { X } , \mathbf { Y } \right) \ln \left( \frac { P \left( \mathbf { Y } \mid \mathbf { X } \right) } { P \left( \mathbf { Y } \right) } \right) d \mathbf { X } d \mathbf { Y }
u _ { i + 1 } ^ { \mathrm { ~ L ~ A ~ T ~ } } = u _ { i } ^ { \mathrm { ~ L ~ A ~ T ~ } } + \bigg ( \frac { L _ { i + 1 } } { L _ { i } } - 1 \bigg ) w _ { i } + \sigma _ { w } R _ { i + 1 } - \left\lfloor \frac { w _ { i } - u _ { i } ^ { \mathrm { ~ L ~ A ~ T ~ } } } { L _ { i } } + \frac { 1 } { 2 } \right\rfloor ( L _ { i + 1 } - L _ { i } )