harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { { \ensuremath { \mathbb E } } \left[ e ^ { \gamma X _ { t } ( x ) + \overline { \gamma } X _ { t } ( y ) - \frac { \gamma ^ { 2 } } { 2 } K _ { t } ( x ) - \frac { \overline { \gamma } ^ { 2 } } { 2 } K _ { t } ( y ) } \right] } & { = e ^ { | \gamma | ^ { 2 } K _ { t } ( x , y ) } , } \\ { { \ensuremath { \mathbb E } } \left[ e ^ { \sqrt { 2 d } X _ { r } ( x ) - d K _ { r } ( x ) + | \gamma | ^ { 2 } K _ { t } ^ { * } ( x , y ) } \right] } & { = e ^ { | \gamma | ^ { 2 } K _ { t } ^ { * } ( x , y ) } . } \end{array}
\zeta _ { 1 } = \frac { 1 } { 4 } + \frac { d _ { 1 } m _ { 2 } + d _ { 2 } m _ { 3 } + d _ { 3 } } { c _ { 1 } m _ { 2 } + c _ { 2 } m _ { 3 } + c _ { 3 } m _ { 2 } m _ { 3 } + c _ { 4 } } ,
\mathcal { G } _ { d / s , \Psi } ^ { k } ( t ) = \Theta ( t ) \sum _ { j = 1 } ^ { { M } } \sum _ { \ell = 0 } ^ { m _ { j } - 1 } \alpha _ { j } ^ { \ell , k , s / d } ( \Psi ) \frac { 1 } { \ell ! } e ^ { \lambda _ { j } t } t ^ { \ell } ,
\mathcal I _ { G } = \frac { \beta _ { G } } { \gamma } , \qquad \mathcal I _ { H } = \sum _ { k } \widehat { \pi } _ { k } ^ { H } i _ { H } ( k ) , \qquad \mathcal I _ { W } = \sum _ { k } \widehat { \pi } _ { k } ^ { W } i _ { W } ( k ) .
{ \mathcal H } _ { { \mathrm { \boldmath ~ \scriptstyle { \ x i } ~ } } } = \mu ^ { - 2 } H _ { \mathrm { \boldmath ~ \scriptstyle { ~ \ x i } ~ } / \mu } = - \nabla _ { \mathrm { ~ \boldmath ~ \scriptstyle { ~ \ x i } ~ } } ^ { 2 } - \lambda \, { \mathcal W } ( \mathrm { \boldmath ~ \ x i ~ } ) \; ,
\begin{array} { r l } { \textbf { H } _ { d e m } \left( \textbf { r } \right) } & { = - \frac { M _ { S } } { 4 \pi } 2 \pi R ^ { 2 } \nabla _ { \textbf { r } } \cos \theta \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } \frac { R ^ { l } } { r ^ { l + 1 } } \int _ { 0 } ^ { \pi } d \theta ^ { \prime } \sin \theta ^ { \prime } P _ { l } \left( \cos \gamma \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { z _ { x } } & { ~ = ~ \frac { ( u + x ) ^ { 2 } ( u + v ) } { 2 \sqrt { 2 } ( u + x ) ( u + v ) + ( v + x ) ^ { 2 } - ( u + x ) ^ { 2 } - ( u + v ) ^ { 2 } } } \\ & { ~ = ~ \frac { ( u + x ) ^ { 2 } ( u + v ) } { 2 \sqrt { 2 } ( u + x ) ( u + v ) + 2 v x - 2 u x - 2 u v - 2 u ^ { 2 } } } \\ & { ~ = ~ \frac { ( u + x ) ^ { 2 } ( u + v ) } { 2 \sqrt { 2 } ( u + v ) ( u + x ) + 2 ( v - u ) ( u + x ) - 4 u v } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { \mu \lambda } } & { \rightarrow R _ { \mu \lambda } + 2 c _ { 2 } \stackrel { \{ \} } { \nabla } _ { [ \lambda } P _ { \mu ] } + c _ { 1 } ( 1 - n ) \stackrel { \{ \} } { \nabla } _ { \mu } P _ { \lambda } + c _ { 1 } ^ { 2 } ( n - 1 ) P _ { \mu } P _ { \lambda } \, , } \\ { R } & { \rightarrow R + c _ { 1 } ( 1 - n ) \stackrel { \{ \} } { \nabla } ^ { \mu } P _ { \mu } + c _ { 1 } ^ { 2 } ( n - 1 ) P ^ { \mu } P _ { \mu } \, . } \end{array}
\omega _ { 2 } = - { } ^ { * } \omega _ { 2 } ~ ~ , ~ ~ \int _ { { \cal C } _ { 1 } } \omega _ { 2 } = 1 ~ ~ , ~ ~ \int { } ^ { * } \omega _ { 2 } \wedge \omega _ { 2 } = \frac { 1 } { 2 }
{ \cal A } _ { 4 } = { } _ { 4 1 i } \langle V _ { 3 } | ~ _ { j 2 3 } \langle V _ { 3 } | Y _ { - 2 } ^ { ( i ) } Y _ { - 2 } ^ { ( j ) } \frac { b _ { o } ^ { ( i ) } } { L ^ { ( i ) } } W Q \frac { b _ { o } ^ { ( i ) } } { L ^ { ( i ) } } | V _ { 2 } \rangle _ { i j } | \tilde { A } _ { 4 } \rangle _ { 4 } | \tilde { A } _ { 1 } \rangle _ { 1 } | \tilde { A } _ { 2 } \rangle _ { 2 } | \tilde { A } _ { 3 } \rangle _ { 3 } .
\begin{array} { r } { \boldsymbol { \mathcal { D } } ( \mathbf { x } , \omega ) = \int \mathrm { d } \mathbf { x } ^ { \prime } \varepsilon ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } , \omega ) \boldsymbol { \mathcal { E } } ( \mathbf { x } ^ { \prime } , \omega ) . } \end{array}
{ \frac { 1 } { 2 } } \left\{ \left( { \frac { \sigma _ { 0 } } { \sigma _ { 1 } } } \right) ^ { 2 } + { \frac { ( \mu _ { 1 } - \mu _ { 0 } ) ^ { 2 } } { \sigma _ { 1 } ^ { 2 } } } - 1 + 2 \ln { \frac { \sigma _ { 1 } } { \sigma _ { 0 } } } \right\}
{ \begin{array} { r l } { \int _ { a } ^ { b } f ( x ) \, d x } & { \approx { \frac { 1 } { 3 } } h \sum _ { i = 1 } ^ { n / 2 } { \big [ } f ( x _ { 2 i - 2 } ) + 4 f ( x _ { 2 i - 1 } ) + f ( x _ { 2 i } ) { \big ] } } \\ & { = { \frac { 1 } { 3 } } h { \big [ } f ( x _ { 0 } ) + 4 f ( x _ { 1 } ) + 2 f ( x _ { 2 } ) + 4 f ( x _ { 3 } ) + 2 f ( x _ { 4 } ) + \dots + 2 f ( x _ { n - 2 } ) + 4 f ( x _ { n - 1 } ) + f ( x _ { n } ) { \big ] } } \\ & { = { \frac { 1 } { 3 } } h \left[ f ( x _ { 0 } ) + 4 \sum _ { i = 1 } ^ { n / 2 } f ( x _ { 2 i - 1 } ) + 2 \sum _ { i = 1 } ^ { n / 2 - 1 } f ( x _ { 2 i } ) + f ( x _ { n } ) \right] . } \end{array} }
{ \cal L } = - { \frac { 1 } { 4 } } F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } \, + { \frac { \kappa } { 4 } } \epsilon ^ { \mu \nu \alpha } A _ { \mu } F _ { \nu \alpha } \, + { \frac { 1 } { 2 } } | D _ { \mu } \Phi | ^ { 2 } - \frac { m ^ { 2 } } { 2 } | \Phi | ^ { 2 } \, ,
\begin{array} { r l } { Y ^ { T } Y - z I } & { = ( X + \lambda { \boldsymbol u } { \boldsymbol v } ^ { T } ) ^ { T } ( X + \lambda { \boldsymbol u } { \boldsymbol v } ^ { T } ) - z I } \\ & { = ( X ^ { T } X - z I ) ( I + ( X ^ { T } X - z I ) ^ { - 1 } ( \lambda X ^ { T } { \boldsymbol u } { \boldsymbol v } ^ { T } + \lambda { \boldsymbol v } { \boldsymbol u } ^ { T } X + \lambda ^ { 2 } \| { \boldsymbol u } \| ^ { 2 } { \boldsymbol v } { \boldsymbol v } ^ { T } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { L } ( \mathbf { w } ) \approx \mathcal { L } ^ { o } + \frac { 1 } { 2 } \, ( \mathbf { w } - \mathbf { w } ^ { o } ) ^ { \sf T } { \mathbf { H } ^ { o } } ( \mathbf { w } - \mathbf { w } ^ { o } ) } \end{array}
\bar { F } _ { 2 \, 2 } ^ { - 2 } ( i ) = \frac { 1 } { 8 } \sqrt { 1 5 } ( \cos i ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } \sqrt { 1 5 } \cos i + \frac { 1 } { 8 } \sqrt { 1 5 }
\rho _ { X , Y } = { \frac { \operatorname { E } ( X Y ) - \operatorname { E } ( X ) \operatorname { E } ( Y ) } { { \sqrt { \operatorname { E } ( X ^ { 2 } ) - \operatorname { E } ( X ) ^ { 2 } } } \cdot { \sqrt { \operatorname { E } ( Y ^ { 2 } ) - \operatorname { E } ( Y ) ^ { 2 } } } } }
\begin{array} { r } { \overline { { W } } = \mathrm { s p a n } \left( \left\{ \partial _ { u ^ { 2 } } , \partial _ { x ^ { 5 } } + \partial _ { x ^ { 3 } } , \partial _ { u ^ { 1 } } , \partial _ { x ^ { 4 } } , \right. \right. } \\ { \quad \left. \left. x ^ { 1 } \partial _ { x ^ { 1 } } + ( x ^ { 2 } + 1 ) \partial _ { x ^ { 2 } } \right\} \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { n _ { p } } ( \zeta , \Gamma ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { { g ( k , \Gamma ) { d _ { k } } E ( k , \Gamma ) d k } } { { 1 + \exp [ E ( k , \Gamma ) / \zeta ] } } } , } \\ & { U _ { p } ( \zeta , \Gamma ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { { { g ( k , \Gamma ) } { E ( k , \Gamma ) } { d _ { k } } { E ( k , \Gamma ) } d k } } { { 1 + \exp [ { E ( k , \Gamma ) } / \zeta ] } } } , } \\ & { C _ { p } ( \zeta , \Gamma ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } { g ( k , \Gamma ) E ( k , \Gamma ) { d _ { \zeta } } F ( k , \Gamma , \zeta ) { d _ { k } } E ( k , \Gamma ) d k } , } \\ & { P _ { p } ( \zeta , \Gamma ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { { g ( k , \Gamma ) { d _ { k } } E ( k , \Gamma ) \sqrt { { E ^ { 2 } } ( k , \Gamma ) - 1 } } } { { 1 + \exp [ E ( k , \Gamma ) / \zeta ] } } } d k , } \end{array}
\begin{array} { l } { { ^ { W _ { k } = W \left[ \left( F ( u _ { k } , V _ { k } ( \sigma ^ { + } ) ) + F ( u _ { k } , V _ { k } ( \sigma ^ { - } ) ) - F ( u _ { k } , v _ { k - 1 } ) \right) , u _ { k } \right] } } } \\ { { _ { \bar { W } _ { k } = \bar { W } \left[ \left( \bar { F } ( U _ { k } ( \sigma ^ { + } ) , v _ { k } ) + \bar { F } ( U _ { k } ( \sigma ^ { - } ) , v _ { k } ) - \bar { F } ( u _ { k - 1 } , v _ { k } ) \right) , v _ { k } \right] . } } } \end{array}
m _ { 4 ; 1 } ^ { \mathrm { S U S Y , D R } } ( - , \mp , \pm , + ) = c _ { \Gamma } m _ { 4 ; 0 } ^ { \mathrm { S U S Y } } ( - , \mp , \pm , + ) N _ { c } F _ { 1 } ^ { - \mp } ( \varepsilon , s _ { 1 2 } , s _ { 1 3 } , s _ { 1 4 } ) ,
\tau ( x ) = { \frac { \Gamma { \bigl ( } { \frac { \nu + 1 } { 2 } } { \bigr ) } } { \Gamma { \bigl ( } { \frac { \nu } { 2 } } { \bigr ) } { \sqrt { \pi \nu } } } } { \Bigl ( } 1 + { \frac { x ^ { 2 } } { \nu } } { \Bigr ) } ^ { - { \frac { \nu + 1 } { 2 } } }
\Vert \big [ \Sigma ^ { \le r } ( y , z , \lambda ) \big ] _ { 1 1 } \Vert _ { L ^ { \infty } } \le \sum _ { n } \sum _ { r ^ { \prime } = 0 } ^ { r } \sum _ { \{ \sigma \} } C ^ { n } \lambda ^ { n } \gamma ^ { - j _ { { \cal T } } } \gamma ^ { - s _ { + , R , 1 } - s _ { + , R , 2 } - s _ { - , R , 1 } - s _ { - , R , 2 } } e ^ { - c ^ { \prime } [ d _ { j , \sigma ( p ) } ( y , z ) ] ^ { \alpha } } ,
p _ { L B _ { s \approx \ell } } ( s ; \mu _ { t } , \ell ) = \left\{ \Theta \left[ s - \left( \ell - \frac { \Delta \ell } { 2 } \right) \right] - \Theta \left[ s - \left( \ell + \frac { \Delta \ell } { 2 } \right) \right] \right\} \mu _ { t } e ^ { - \mu _ { t } s } .
\psi ^ { ( 5 ) } ( 1 ) + \frac { 4 5 } { 4 } \psi ^ { ( 4 ) } ( 1 ) + \frac { 2 3 5 } { 4 } \psi ^ { ( 3 ) } ( 1 ) + \frac { 9 7 5 } { 8 } \psi ^ { ( 2 ) } ( 1 ) + \frac { 1 6 3 5 } { 3 2 } \psi ^ { ( 1 ) } ( 1 ) = 0 .
\left( \tilde { E } _ { \mathrm { ~ m ~ o ~ l ~ } , 2 } - \tilde { E } _ { 2 2 } + \tilde { \lambda } ^ { 2 } \right) - \frac { 2 } { \pi } \left( \frac { 1 } { \tilde { R } _ { \mathrm { ~ h ~ o ~ m ~ } } ^ { \star } } + \frac { 1 } { \tilde { R } _ { \mathrm { ~ h ~ e ~ t ~ } } ^ { \star } } \right) \left( 1 - \frac { \pi } { 2 } \tilde { \lambda } \right) = 0 .
{ \boldsymbol { \sigma } } = \lambda _ { 1 } ~ { \cfrac { \partial W } { \partial \lambda _ { 1 } } } ~ \mathbf { n } _ { 1 } \otimes \mathbf { n } _ { 1 } + \lambda _ { 2 } ~ { \cfrac { \partial W } { \partial \lambda _ { 2 } } } ~ \mathbf { n } _ { 2 } \otimes \mathbf { n } _ { 2 } + \lambda _ { 3 } ~ { \cfrac { \partial W } { \partial \lambda _ { 3 } } } ~ \mathbf { n } _ { 3 } \otimes \mathbf { n } _ { 3 } - p ~ { \boldsymbol { \mathit { 1 } } }
\begin{array} { r l } { \mathbf { z } ^ { t + 1 } - \mathbf { z } ^ { t } } & { = ( \mathbf { u } ^ { t + 1 } - \mathbf { u } ^ { t } ) + \frac { 1 - \gamma } { \gamma } ( \mathbf { u } ^ { t + 1 } - \mathbf { u } ^ { t } ) - \frac { 1 - \gamma } { \gamma } ( \mathbf { u } ^ { t } - \mathbf { u } ^ { t - 1 } ) } \\ & { = \frac { 1 } { \gamma } ( \mathbf { u } ^ { t + 1 } - \mathbf { u } ^ { t } ) - \frac { 1 - \gamma } { \gamma } ( \mathbf { u } ^ { t } - \mathbf { u } ^ { t - 1 } ) } \\ & { = - \lambda \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in [ m ] } \left( \Bigl ( \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \frac { \gamma _ { k } } { \gamma } \tilde { \mathbf { g } } _ { i , k } ^ { t } \Bigr ) + \frac { 1 - \gamma } { \gamma } \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t - 1 } \right) - \frac { 1 - \gamma } { \gamma } ( \mathbf { u } ^ { t } - \mathbf { u } ^ { t - 1 } ) } \\ & { = - \lambda \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in [ m ] } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \frac { \gamma _ { k } } { \gamma } \tilde { \mathbf { g } } _ { i , k } ^ { t } - \frac { 1 - \gamma } { \gamma } \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in [ m ] } \lambda \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t - 1 } - \frac { 1 - \gamma } { \gamma } ( \mathbf { u } ^ { t } - \mathbf { u } ^ { t - 1 } ) } \\ & { = - \lambda \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in [ m ] } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \frac { \gamma _ { k } } { \gamma } \tilde { \mathbf { g } } _ { i , k } ^ { t } - \frac { 1 - \gamma } { \gamma } \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in [ m ] } ( \mathbf { u } ^ { t } - \mathbf { u } ^ { t - 1 } + \lambda \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t - 1 } ) } \\ & { = - \lambda \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in [ m ] } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \frac { \gamma _ { k } } { \gamma } \tilde { \mathbf { g } } _ { i , k } ^ { t } - \frac { 1 - \gamma } { \gamma } \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in [ m ] } ( \mathbf { x } _ { i , K } ^ { t - 1 } - \mathbf { x } _ { i , K } ^ { t - 2 } + \lambda \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t - 1 } ) } \\ & { = - \lambda \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in [ m ] } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \frac { \gamma _ { k } } { \gamma } \tilde { \mathbf { g } } _ { i , k } ^ { t } - \frac { 1 - \gamma } { \gamma } \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in [ m ] } ( \mathbf { x } _ { i , K } ^ { t - 1 } - \mathbf { x } _ { i , 0 } ^ { t - 1 } + \lambda \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t - 1 } - \lambda \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t - 2 } ) } \\ & { = - \lambda \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in [ m ] } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \frac { \gamma _ { k } } { \gamma } \tilde { \mathbf { g } } _ { i , k } ^ { t } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \begin{array} { r l } { A } & { { } \equiv \overline { { R } } _ { 1 } ( G , G ) + \overline { { R } } _ { 2 } ( G , G ) - \overline { { R } } _ { 1 } ( G , B ) - \overline { { R } } _ { 2 } ( G , B ) } \end{array} } \\ { \begin{array} { r l } { B } & { { } \equiv \overline { { R } } _ { 1 } ( G , B ) + \overline { { R } } _ { 2 } ( G , B ) + \overline { { R } } _ { 1 } ( B , G ) + \overline { { R } } _ { 2 } ( B , G ) } \end{array} } \\ { C \equiv \overline { { R } } _ { 1 } ( B , B ) + \overline { { R } } _ { 2 } ( B , B ) . } \end{array} \right. .
J ( y , e _ { i } , u _ { 1 } ^ { * , \lambda _ { 0 } } , u _ { 2 } ^ { * , \lambda _ { 0 } } ) \leq \operatorname* { i n f } _ { u _ { 2 } \in \Theta _ { 2 } } J ( y , e _ { i } , u _ { 1 } ^ { * } , u _ { 2 } ) \leq \operatorname* { s u p } _ { u _ { 1 } \in \Theta _ { 1 } } \biggl ( \operatorname* { i n f } _ { u _ { 2 } \in \Theta _ { 2 } } J ( y , e _ { i } , u _ { 1 } , u _ { 2 } ) \biggr ) .
\alpha _ { G } ( \sqrt s ) = \left( \frac { m _ { p } } { M _ { P } } \right) ^ { 2 } \left[ \left( \frac { s } { 2 m _ { p } ^ { 2 } } \right) ^ { 1 + b \ell n ( s / 4 m ^ { 2 } ) } - 1 \right]
\begin{array} { r l } { M _ { i j k } ^ { l m n } = } & { \int \mathrm { d } { \mathbf { r } _ { 1 } } \, \phi _ { i } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } ) \, \chi _ { l } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } ) } \\ & { \quad \int \mathrm { d } { \mathbf { r } _ { 2 } } \, \phi _ { j } ( { \mathbf { r } _ { 2 } } ) \, \chi _ { m } ( { \mathbf { r } _ { 2 } } ) \, \nabla _ { 1 } \mathcal { U } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } , { \mathbf { r } _ { 2 } } ) } \\ & { \quad \cdot \int \mathrm { d } { \mathbf { r } _ { 3 } } \, \phi _ { k } ( { \mathbf { r } _ { 3 } } ) \, \chi _ { n } ( { \mathbf { r } _ { 3 } } ) \, \nabla _ { 1 } \mathcal { U } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } , { \mathbf { r } _ { 3 } } ) \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \rho } _ { n } ( \mathbf { b } ) } & { { } = \frac { 1 } { N } \sum _ { \mathbf { k } , \mathbf { k } ^ { \prime } } \int _ { \mathbb { S } _ { \mathbf { 0 } } } e ^ { i ( \mathbf { k } ^ { \prime } - \mathbf { k } - \mathbf { b } ) ^ { T } \mathbf { r } } v _ { n , \mathbf { k } } ^ { * } ( \mathbf { r } ) v _ { n , \mathbf { k } ^ { \prime } } ( \mathbf { r } ) \mathrm { d } \mathbf { r } = \frac { 1 } { N } \sum _ { \mathbf { k } } \int _ { \mathbb { S } _ { \mathbf { 0 } } } v _ { n , \mathbf { k } } ^ { * } ( \mathbf { r } ) v _ { n , \mathbf { k } + \mathbf { b } } ( \mathbf { r } ) \mathrm { d } \mathbf { r } . } \end{array}
\left\{ Q _ { \alpha } , Q _ { \beta } \right\} = \left( \gamma ^ { \mu \nu } \right) _ { \alpha \beta } \, Z _ { \mu \nu } + \left( \gamma ^ { \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { 6 } } \right) _ { \alpha \beta } \, Z _ { \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { 6 } } ^ { + } ,
\begin{array} { r l } { c _ { f } ( c _ { f } ( A ) ) = } & { f ( c ( f ^ { - 1 } ( f ( c ( f ^ { - 1 } ( A ) ) ) ) ) ) = f ( c ( f ^ { - 1 } ( f ( C \cup D ) ) ) ) = } \\ { = } & { f ( c ( f ^ { - 1 } ( f ( C ) \cup f ( D ) ) ) ) = f ( c ( f ^ { - 1 } ( f ( C ) ) \cup f ^ { - 1 } ( f ( D ) ) ) ) = } \\ { = } & { f ( c ( f ( f ^ { - 1 } ( f ( C ) ) ) ) ) \cup f ( c ( f ^ { - 1 } ( f ( D ) ) ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { U } _ { n } ( x , z ) } & { = \left( \frac { 2 } { \pi } \right) ^ { 1 / 4 } \left( \frac { \exp ( \mathrm { i } ( 2 n + 1 ) \Psi ( z ) ) } { 2 ^ { n } n ! w ( z ) } \right) ^ { 1 / 2 } } \\ & { \times H _ { n } \left( \frac { \sqrt { 2 } x } { w ( z ) } \right) \exp \left( - \mathrm { i } \frac { k x ^ { 2 } } { 2 R _ { c } ( z ) } - \frac { x ^ { 2 } } { w ^ { 2 } ( z ) } \right) \, , } \end{array}
\Phi = \oint _ { C } \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } \cdot d \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } = \oint _ { C } \nabla \xi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \cdot d \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } = \int _ { \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { i } } ^ { \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { f } } \nabla \xi \cdot d \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } = \xi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { f } ) - \xi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { i } ) \; \; \; \mathrm { w i t h } \; \; \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { f } = \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { i } \; .
{ \begin{array} { r l r l } { { 2 } 0 } & { = \{ \} } & & { = \varnothing , } \\ { 1 } & { = \{ 0 \} } & & { = \{ \varnothing \} , } \\ { 2 } & { = \{ 0 , 1 \} } & & { = \{ \varnothing , \{ \varnothing \} \} , } \\ { 3 } & { = \{ 0 , 1 , 2 \} } & & { = \{ \varnothing , \{ \varnothing \} , \{ \varnothing , \{ \varnothing \} \} \} . } \end{array} }
S _ { p h } ( { \bf r } ) = \iiint _ { V } \frac { I ( { \bf r ^ { \prime } } ) f ( | { \bf r - \bf r ^ { \prime } } | ) } { 4 \pi | { \bf r - \bf r ^ { \prime } } | ^ { 2 } } d ^ { 3 } r ^ { \prime } ,
\begin{array} { r l } { \phi \to \phi _ { \mathrm { ~ S ~ } } = } & { { } \phi _ { \mathrm { ~ M ~ } } \left[ 1 + a _ { 2 0 } \Psi _ { 2 0 } ^ { ( 0 ) } + a _ { 0 2 } \Psi _ { 0 2 } ^ { ( 0 ) } + a _ { 1 1 } \Psi _ { 1 1 } ^ { ( 0 ) } \right. } \end{array}
\left( | H \rangle _ { 1 } | V \rangle _ { 2 } - | V \rangle _ { 1 } | H \rangle _ { 2 } \right) \otimes \left( | + m \rangle _ { 1 } | - m \rangle _ { 2 } - | - m \rangle _ { 1 } | + m \rangle _ { 2 } \right) / 2
\lambda = { \frac { 2 ^ { 2 / 3 } ( - 1 + 2 \sqrt { 7 } ) ( 1 + ( - 1 + \sqrt { 7 } ) e ^ { 2 h } + ( 2 + \sqrt { 7 } ) e ^ { 4 h } ) \Lambda ( Z , T ) } { 8 1 g _ { c } e ^ { 2 h } ( 1 + e ^ { 2 h } ) } } \epsilon ^ { - 2 / 3 } + { \cal O } ( \epsilon ^ { - 1 / 3 } ) \ ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 0 } ^ { k } \binom { k } { i } \frac { 1 } { [ a ] _ { i } [ b ] _ { k - i } } } & { = \sum _ { i = 0 } ^ { k } \binom { k } { i } \frac { ( a - k + k - i ) ! ( b - k + i ) ! } { a ! b ! } } \\ & { = \sum _ { i = 0 } ^ { k } \binom { k } { i } \frac { ( a - k + 1 ) ^ { ( k - i ) } ( a - k ) ! ( b - k + 1 ) ^ { ( i ) } ( b - k ) ! } { a ! b ! } } \\ & { = ( a + b - 2 k + 2 ) ^ { ( k ) } \frac { ( a - k ) ! ( b - k ) ! } { a ! b ! } } \\ & { = \frac { [ a + b - k + 1 ] _ { k } } { [ a ] _ { k } [ b ] _ { k } } , } \end{array}
D R ( s ) = 1 + \left( \frac { \Delta _ { 2 , \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } } { \Delta _ { 2 , \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } - 2 \right) \cdot \frac { e ^ { - ( s \cdot f ) ^ { 2 } } - e ^ { - f ^ { 2 } } } { 1 - e ^ { - f ^ { 2 } } }
\begin{array} { l } { Q : = \frac { \pi } { K ( k ) } = 2 - \frac { k ^ { 2 } } { 2 } + \mathcal { O } ( k ^ { 4 } ) , } \\ { \Omega : = c _ { 0 } Q = - 8 + 1 8 k ^ { 2 } + \mathcal { O } ( k ^ { 4 } ) , } \\ { \overline { { \phi } } : = \frac { 1 } { 2 K ( k ) } \int _ { 0 } ^ { 2 K ( k ) } \phi _ { 0 } ( x ) \, d x = k ^ { 2 } + \mathcal { O } ( k ^ { 4 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \partial _ { t } \phi _ { \alpha } \! + \! \textup { d i v } ( \phi _ { \alpha } v _ { \alpha } ) = } & { \textup { d i v } \big ( M _ { \alpha } \phi _ { \alpha } ^ { 2 } ( 1 - \phi _ { \alpha } ) ^ { 2 } \nabla \mu _ { \alpha } \big ) + S _ { \alpha } ( \phi _ { \mathbb { A } } ) } & & { \alpha \in { \mathbb { C } \mathbb { H } } } \\ { \mu _ { \alpha } = } & { \partial _ { \phi _ { \alpha } } \Psi ( \phi _ { \mathbb { C } \mathbb { H } } ) + \partial _ { \phi _ { \alpha } } \Phi ( \phi _ { \mathbb { A } } ) - \varepsilon _ { \alpha } ^ { 2 } \Delta \phi _ { \alpha } } & & { \alpha \in { \mathbb { C } \mathbb { H } } } \\ { \partial _ { t } \phi _ { \beta } \! + \! \textup { d i v } ( \phi _ { \beta } v _ { \beta } ) = } & { \textup { d i v } \big ( M _ { \beta } \nabla \big ( D _ { \beta } \phi _ { \beta } \! + \! \partial _ { \phi _ { \beta } } \Phi ( \phi _ { \mathbb { A } } ) \big ) \big ) \! + \! S _ { \beta } ( \phi _ { \mathbb { A } } ) } & & { \beta \in { \mathbb { R } \mathbb { D } } } \\ { \partial _ { t } \phi _ { \gamma } = } & { S _ { \gamma } ( \phi _ { \mathbb { A } } ) } & & { \gamma \in { \mathbb { O } \mathbb { D } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { Z } & { { } = \left( \omega _ { m } ^ { 2 } - \Omega ^ { 2 } - i \Omega \kappa _ { m } \right) , } \\ { a _ { a } } & { { } = \frac { a ( \Omega ) + a ^ { \dag } ( - \Omega ) } { \sqrt 2 } , \quad a _ { \phi } = \frac { a ( \Omega ) - a ^ { \dag } ( - \Omega ) } { i \sqrt 2 } , } \end{array}
n = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } } \Big ( \frac { 2 m _ { e } ^ { * } } { \hbar ^ { 2 } } \Big ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \sqrt { E - E _ { c } } ~ f _ { e } ( E ) \, d E ,
\begin{array} { r l } { B _ { \overset { . } { 1 } \overset { . } { 2 } } ^ { i } \left( n \right) } & { { } = \left( \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 1 } } ^ { i } \left( n \right) \sin \frac { 1 } { 2 } \mathcal { \ell } \omega _ { \overset { . } { 1 } } \left( n \right) \cos \frac { 1 } { 2 } \mathcal { \ell } \omega _ { \overset { . } { 2 } } \left( n + \overset { . } { 1 } \right) + \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 2 } } ^ { i } \left( n + \overset { . } { 1 } \right) \sin \frac { 1 } { 2 } \mathcal { \ell } \omega _ { \overset { . } { 2 } } \left( n + \overset { . } { 1 } \right) \cos \frac { 1 } { 2 } \mathcal { \ell } \omega _ { \overset { . } { 1 } } \left( n \right) \right. } \end{array}
\textstyle \eta _ { \mathrm { ~ b ~ i ~ } } : = \lambda _ { 2 } = \frac { \chi ^ { 2 } ( 1 + \chi ) ^ { 4 } } { 2 ( 1 + \chi ^ { 2 } ) ^ { 4 } } = \frac { 1 } { 2 \chi ^ { 2 } } + \frac { 2 } { \chi ^ { 3 } } + \mathcal { O } ( \chi ^ { - 4 } ) .
\begin{array} { r l } & { ( \theta ( \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 2 } ) \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 2 } - w _ { 2 \ } ^ { \ 1 2 } w _ { \ 2 } ^ { 2 \ } w _ { 1 \ } ^ { \ 2 } \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 2 } - w _ { 2 \ } ^ { \ 1 2 } U _ { 2 } ) U _ { 1 } = \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 2 } U _ { 1 } } \\ & { \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 2 } - w _ { 2 \ } ^ { \ 1 2 } w _ { \ 2 } ^ { 2 \ } w _ { 1 \ } ^ { \ 2 } \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 2 } - w _ { 2 \ } ^ { \ 1 2 } U _ { 2 } = \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 2 } } \\ & { \Rightarrow w _ { 2 \ } ^ { \ 1 2 } w _ { \ 2 } ^ { 2 \ } w _ { 1 \ } ^ { \ 2 } \bar { u } _ { 1 \ } ^ { \ 2 } = - w _ { 2 \ } ^ { \ 1 2 } U _ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int | \pi _ { n } ( \hat { h } ) - \hat { p } _ { \textsc { s k s } } ^ { n } ( \hat { h } ) | d \hat { h } } \\ & { \leq { \int } | \pi _ { n } ( \hat { h } ) - \pi _ { n } ^ { \hat { K } _ { n } } ( \hat { h } ) | d \hat { h } + { \int } | \pi _ { n } ^ { \hat { K } _ { n } } ( \hat { h } ) - \hat { p } _ { \textsc { s k s } } ^ { n , \hat { K } _ { n } } ( \hat { h } ) | d \hat { h } \ { + } { \int } | \hat { p } _ { \textsc { s k s } } ^ { n } ( \hat { h } ) - \hat { p } _ { \textsc { s k s } } ^ { n , \hat { K } _ { n } } ( \hat { h } ) | d \hat { h } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \log M ^ { * } ( n , D , \varepsilon ) } & { \leq n R ( P _ { X } , D ) + \sqrt { n \mathrm { V } ( P _ { X } , D ) } \mathrm { Q } ^ { - 1 } ( \varepsilon _ { n } ) } \\ { * } & { \qquad + C \log n + \log \frac { \log n } { 2 } + c } \\ & { = n R ( P _ { X } , D ) + \sqrt { n \mathrm { V } ( P _ { X } , D ) } \mathrm { Q } ^ { - 1 } ( \varepsilon ) + O ( \log n ) . } \end{array}