harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
P _ { i n c } = \frac { 1 } { 2 } \Re \left\{ \alpha ^ { * } ( | E _ { 1 } ^ { i n c } | ^ { 2 } + E _ { 1 } ^ { i n c } G ^ { * } ( d ) I _ { 2 } ^ { * } ) \right\} + \frac { 1 } { 2 } \Re \left\{ \alpha ^ { * } ( | E _ { 2 } ^ { i n c } | ^ { 2 } + E _ { 2 } ^ { i n c } G ^ { * } ( d ) I _ { 1 } ^ { * } ) \right\}
G = \int _ { \Omega } \left\{ \rho _ { f } \phi - \frac { \epsilon ( \mathbf { x } ) } { 2 } \left| \nabla \phi \right| ^ { 2 } - \beta ^ { - 1 } \sum _ { j = 1 } ^ { M } c _ { j } ^ { \infty } \left( e ^ { - \beta q _ { j } \phi } - 1 \right) \lambda \right\} d \mathbf { x }
\sigma _ { l } = \int _ { r = 0 } ^ { r _ { m a x } } \mathop { r } \mathop { d r } \sqrt { \int _ { \theta = 0 } ^ { 2 \pi } \left( \mathop { d \theta } \left( f ( r , \theta ) - \overline { { f } } ( r ) \right) \right) ^ { 2 } } \, ,
\Pi _ { \mu \nu } ( k ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \frac { e ^ { 2 } } { v ^ { 2 } } ( g _ { \mu \nu } - \frac { k _ { \mu } k _ { \nu } } { k ^ { 2 } } ) | k | \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \: \sqrt { x ( 1 - x ) }
\begin{array} { r l r } { \lambda _ { 1 } ^ { 2 } + \lambda _ { 2 } ^ { 2 } + \lambda _ { 3 } ^ { 2 } } & { { } = } & { \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { y } } { 2 } \right) } \\ { ( \lambda _ { 4 } ^ { \prime \prime } ) ^ { 2 } + ( \lambda _ { 5 } ^ { \prime \prime } ) ^ { 2 } + ( \lambda _ { 8 } ) ^ { 2 } } & { { } = } & { \frac { 4 } { 3 } - \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { y } } { 2 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { D u = \nabla u d \mathcal { L } ^ { n } \mathbin { \vrule h e i g h t 1 . 6 e x d e p t h 0 p t w i d t h 0 . 1 3 e x \vrule h e i g h t 0 . 1 3 e x d e p t h 0 p t w i d t h 1 . 3 e x } \Omega + D ^ { s } u , \quad D ^ { s } u = D ^ { j } u \mathbin { \vrule h e i g h t 1 . 6 e x d e p t h 0 p t w i d t h 0 . 1 3 e x \vrule h e i g h t 0 . 1 3 e x d e p t h 0 p t w i d t h 1 . 3 e x } J _ { u } + D ^ { c } u } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \ddot { \bf d } ( t ) } & { { } = } & { \int { \left( \frac { \delta H } { \delta \phi _ { k } ^ { \uparrow } } \nabla \phi _ { k } ^ { \uparrow } + \frac { \delta H } { \delta \phi _ { k } ^ { \uparrow * } } \nabla \phi _ { k } ^ { \uparrow * } \right) \ \mathrm { d } { \bf x } } + } \end{array}
\hat { L } ^ { ( \phi ^ { N } ) } : = a ^ { 2 } \dot { \varphi } _ { 0 } ^ { 2 } \partial _ { y } { \frac { 1 } { a ^ { 2 } \dot { \varphi } _ { 0 } ^ { 2 } } } \partial _ { y } a ^ { 2 } - { \frac { 2 \kappa } { 3 } } a ^ { 2 } \dot { \varphi } _ { 0 } ^ { 2 } .
\begin{array} { r } { \ddot { A _ { 3 } } = I _ { 1 3 } I _ { 1 2 } A _ { 3 } | A _ { 1 } | ^ { 2 } - ( \alpha _ { 2 } + \alpha _ { 3 } ) \dot { A } _ { 3 } - \alpha _ { 2 } \alpha _ { 3 } A _ { 3 } \mathrm { \, , } } \end{array}
N ^ { \prime } : = \prod _ { ( a ^ { \prime } \to Ḋ j ^ { \prime } Ḍ \to a ^ { \prime \prime } ) \in P _ { Ḋ } j ^ { \prime } Ḍ } \dot { x } _ { a ^ { \prime } } \qquad \mathrm { a n d } \qquad N ^ { \prime \prime } : = \prod _ { ( a ^ { \prime } \to Ḋ j ^ { \prime } Ḍ \to a ^ { \prime \prime } ) \in P _ { Ḋ } j ^ { \prime } Ḍ } \dot { x } _ { a ^ { \prime \prime } } ,
\begin{array} { r l } { \int _ { n } ^ { + \infty } x ^ { - \beta } \log ( x + 1 ) ^ { \gamma } d x } & { = \frac { n ^ { 1 - \beta } } { \beta - 1 } \log ( n + 1 ) ^ { \gamma } - \int _ { n } ^ { + \infty } \frac { x ^ { 1 - \beta } } { 1 - \beta } \gamma \frac { 1 } { x } \log ( x + 1 ) ^ { \gamma - 1 } d x } \\ & { = \frac { n ^ { 1 - \beta } } { \beta - 1 } \log ( n + 1 ) ^ { \gamma } + \frac { \gamma } { \beta - 1 } \int _ { n } ^ { + \infty } x ^ { - \beta } \log ( x + 1 ) ^ { \gamma - 1 } d x . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { a } _ { 1 \pm , 2 \pm } = \left( i \Delta - \frac { \kappa } { 2 } \right) } & { { } a _ { 1 \pm , 2 \pm } + \zeta a _ { 2 \pm , 1 \pm } + i U | a _ { 1 \pm , 2 \pm } | ^ { 2 } a _ { 1 \pm , 2 \pm } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } _ { t } u _ { z } = } & { { } v _ { \mathrm { A } } \partial _ { z } b _ { z } + \boldsymbol { b } _ { \perp } \cdot \nabla _ { \perp } b _ { z } + \frac { Z m _ { e } } { m _ { i } } d _ { i } \mathrm { d } _ { t } \nabla _ { \perp } \times \boldsymbol { b } _ { \perp } } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { t } \underbrace { \left[ \begin{array} { c } { \rho } \\ { \rho u _ { i } } \\ { \rho e _ { o } } \end{array} \right] } _ { \bf Q } = - \partial _ { x _ { j } } \underbrace { \left[ \begin{array} { c } { \rho u _ { j } } \\ { \rho u _ { j } u _ { i } } \\ { \rho u _ { j } e _ { o } } \end{array} \right] } _ { { \bf E } _ { j } ^ { ( c ) } } - \partial _ { x _ { j } } \underbrace { \left[ \begin{array} { c } { 0 } \\ { P \delta _ { i j } } \\ { P u _ { j } } \end{array} \right] } _ { { \bf E } _ { j } ^ { ( p ) } } + \partial _ { x _ { j } } \underbrace { \left[ \begin{array} { c } { 0 } \\ { \tau _ { i j } } \\ { \tau _ { j k } u _ { k } + q _ { j } } \end{array} \right] } _ { { \bf E } _ { j } ^ { ( v ) } } = \mathcal { R } _ { \mathrm { ~ o ~ } } } \end{array}
M _ { R } = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { \lambda ^ { 1 6 } } } & { { \lambda ^ { 1 2 } } } \\ { { \lambda ^ { 1 6 } } } & { { \lambda ^ { 8 } } } & { { - ( \lambda ^ { 4 } + \lambda ^ { 1 2 } ) } } \\ { { \lambda ^ { 1 2 } } } & { { - ( \lambda ^ { 4 } + \lambda ^ { 1 2 } ) } } & { { 1 } } \end{array} \right) v _ { R }
\begin{array} { r l } { \tan ( 2 \theta ) } & { = \frac { \sin ( 2 \theta ) } { \cos ( 2 \theta ) } } \\ & { = \frac { 2 \sin \theta \cos \theta } { \cos ^ { 2 } \theta - \sin ^ { 2 } \theta } } \\ & { = \frac { 2 \left( \frac { \sqrt { 5 } } { 3 } \right) \left( - \frac { 2 } { 3 } \right) } { \left( - \frac { 2 } { 3 } \right) ^ { 2 } - \left( \frac { \sqrt { 5 } } { 3 } \right) ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { \frac { - 4 \sqrt { 5 } } { 9 } } { \frac { 4 } { 9 } - \frac { 5 } { 9 } } } \\ & { = \frac { - 4 \sqrt { 5 } } { 4 - 5 } } \\ & { = 4 \sqrt { 5 } } \end{array}
\left( { \frac { 1 } { 0 ! } } + { \frac { C _ { 1 } } { 1 ! } } + { \frac { C _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 ! } } + \cdots \right) \left( 1 + C _ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } C _ { 2 } ^ { 2 } + \cdots \right) \cdots
B = \frac { 1 } { e } Q = - \frac { i } { e } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d x ~ J _ { 2 } ^ { E M } ( x , 0 ) = \frac { 1 } { \sqrt { \pi } } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d x \sum _ { i } \chi _ { i } ^ { \prime } = \frac { 1 } { \sqrt { \pi } } \sum _ { i } [ \chi _ { i } ( \infty , 0 ) - \chi _ { i } ( - \infty , 0 ) ] .
\begin{array} { r l } { \psi _ { \lambda } ( x ) \int _ { y = 0 } ^ { x } \varphi _ { \lambda } ( y ) v _ { 1 } ( y ) d y } & { = \psi _ { \lambda } ( x ) \int _ { y = 0 } ^ { x } \left( v _ { 1 } ( y ) ^ { 2 } + O ( \tilde { \xi } ) ( 1 + L e ^ { - 2 \beta y } ) \right) d y } \\ & { = \psi _ { \lambda } ( x ) \left( \int _ { y = 0 } ^ { x } v _ { 1 } ( y ) ^ { 2 } d y + O ( \tilde { \xi } L ) ( 1 \wedge y ) \right) } \\ & { = v _ { 1 } ( x ) \int _ { y = 0 } ^ { x } v _ { 1 } ( y ) ^ { 2 } d y + O ( \tilde { \xi } L ) ( 1 \wedge x \wedge ( L - y ) ) e ^ { - \beta x } } \\ & { = v _ { 1 } ( x ) \left( \int _ { y = 0 } ^ { x } v _ { 1 } ( y ) ^ { 2 } d y + O ( \tilde { \xi } L ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { { v _ { I } } _ { t } } { v _ { 0 } } } & { { } = \left( \omega ^ { 2 } \gamma _ { 0 } + \cos ^ { 2 } { ( \beta ) } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { a } \cdot \nabla _ { \mathbf { x } } \tau ( \mathbf { x } , \mathbf { y } ) = \mathbf { a } \cdot \mathbf { \xi } } & { = ( \mathbf { a } \cdot \widehat { \mathbf { \xi } } ) \widehat { \mathbf { \xi } } \cdot \mathbf { \xi } + 0 } \\ & { = ( \mathbf { a } \cdot \mathbf { \xi } ) | \mathbf { \xi } | } \\ & { = ( \mathbf { a } \cdot \widehat { \xi } ) | \nabla _ { \mathbf { x } } \tau ( \mathbf { x } , \mathbf { y } ) | \; . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \gamma _ { a } } & { { } = } & { v _ { c m } ^ { 2 } , } \\ { \gamma _ { b } } & { { } = } & { 2 \left( v _ { 1 } \cos \alpha - v _ { 1 } ^ { ' } \right) C , } \\ { \gamma _ { c } } & { { } = } & { v _ { 1 } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \alpha - C ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { \mathrm { y } } } & { { } = - g , } \\ { v _ { \mathrm { y } } } & { { } = v _ { 0 } \sin \left( \theta \right) - g t , } \\ { y } & { { } = y _ { 0 } + v _ { 0 } \sin \left( \theta \right) t - { \frac { 1 } { 2 } } g t ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { T \rightarrow \infty } \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } \psi \circ \pi \circ \varphi _ { t } ( x _ { 0 } ) \, \mathrm { d } t = \int _ { \Omega ^ { \prime } } \psi ( x ^ { \prime } ) \, \mathrm { d } \pi _ { * } \mu ( x ^ { \prime } ) ~ \forall x _ { 0 } \in \Omega } \end{array}
| { \cal M } | ^ { 2 } \approx { \frac { 9 \pi ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } C _ { 2 } ( R ) ^ { 2 } } { p ^ { 4 } } } + { \frac { 2 7 \pi \alpha ^ { 3 } C _ { 2 } ( R ) ^ { 3 } } { 2 p ^ { 4 } } } \left( 1 + \ln \left( { \frac { p ^ { 2 } } { q ^ { 2 } } } \right) \right) ~ ,
H = \frac { 1 } { 2 } g ^ { \mu \nu } p _ { \mu } p _ { \nu } = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { L ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } - \frac { E ^ { 2 } } { f ( r ) } + \frac { \dot { r } ^ { 2 } } { f ( r ) } \right) = 0 ,
{ \langle \mathbf { r _ { e e } } ( t ) \cdot \mathbf { r _ { e e } } ( 0 ) \rangle } / { \langle \mathbf { r _ { e e } } ( 0 ) \cdot \mathbf { r _ { e e } } ( 0 ) \rangle } = A \exp \left( - t / \lambda \right)
A _ { T i } ^ { a } ( { \bf { r } } ) = \sum _ { { \bf { k } } ; s = 1 , 2 } \frac { \epsilon _ { i } ^ { s } ( { \bf { k } } ) } { \sqrt { 2 k } } \, [ a _ { s } ^ { a } ( { \bf { k } } ) e ^ { + i { \bf { k } } \cdot { \bf { r } } } + a _ { s } ^ { a \dagger } ( { \bf { k } } ) e ^ { - i { \bf { k } } \cdot { \bf { r } } } ] \; ,
\begin{array} { r l } & { \int _ { \mathbb { R } } \sin ^ { 2 } \left( \sqrt { \nu / 2 } | \eta | ^ { \frac \alpha 2 } \right) | \eta | ^ { 1 - 2 H - \alpha } \ensuremath { \mathrm { d } } \eta = 2 \int _ { 0 } ^ { \infty } \sin ^ { 2 } \left( \sqrt { \nu / 2 } \eta ^ { \frac \alpha 2 } \right) \eta ^ { 1 - 2 H - \alpha } \ensuremath { \mathrm { d } } \eta } \\ & { = \frac { 4 } { \alpha } \left( \frac { \nu } { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { \alpha } ( \alpha + 2 H - 1 ) } \int _ { 0 } ^ { \infty } \sin ^ { 2 } ( \eta ) \eta ^ { - \left( \frac { 2 } { \alpha } ( \alpha + 2 H - 2 ) + 1 \right) } \ensuremath { \mathrm { d } } \eta < \infty , } \end{array}
S = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( - i ) ^ { n } } { n ! } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d x _ { 1 } ^ { 4 } \cdots \int _ { - \infty } ^ { \infty } d x _ { n } ^ { 4 } T \left[ { \mathcal { H } } ( t _ { 1 } ) \cdots { \mathcal { H } } ( t _ { n } ) \right] .
+ i \Theta g _ { m } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } s _ { a } ^ { ( c ) } \int d ^ { 4 } x d ^ { 4 } y \hat { \Sigma } _ { \mu \nu } ^ { a } ( x ) { \cal D } _ { m } ^ { ( 4 ) } ( x - y ) \tilde { \cal F } _ { \mu \nu } ( y ) \Biggr ] ,
\begin{array} { r } { \mu _ { 0 } ^ { 2 } = \operatorname* { s u p } _ { \hat { \pmb f } } \frac { | | \hat { \pmb q } | | _ { E } } { | | \hat { \pmb f } | | _ { F } } = \operatorname* { s u p } _ { \hat { \pmb f } } \frac { | | \mathcal { R } \hat { \pmb f } | | _ { E } } { | | \hat { \pmb f } | | _ { F } } . } \end{array}
\mathcal { N } _ { n } ( t , \mathcal { N } _ { 0 } , r ) = \frac { r } { \lambda _ { n } } + \frac { 1 } { \lambda _ { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( \mathcal { N } _ { 0 } - \frac { r } { \lambda _ { i } } ) \prod _ { j \, \neq \, i } ^ { n } ( \frac { \lambda _ { j } } { \lambda _ { j } - \lambda _ { i } } ) e ^ { - \lambda _ { i } t } .
d s _ { \mathrm { c a n } } ^ { 2 } = \left( 1 + { \frac { 4 M } { r } } - { \frac { 4 g ^ { 2 } q ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } } \right) ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } d t ^ { 2 } - \left( 1 + { \frac { 4 M } { r } } - { \frac { 4 g ^ { 2 } q ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } d \vec { x } ^ { 2 } \ .
\iiint _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } | \psi ( \mathbf { r } ) | ^ { 2 } \mathrm { { d } } ^ { 3 } \mathbf { r } = \iiint _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \psi ( \mathbf { r } ) ^ { * } \psi ( \mathbf { r } ) \mathrm { { d } } ^ { 3 } \mathbf { r } < \infty
\sqrt { \int \big ( f ( \chi , \varepsilon ) - f _ { 0 } ( \chi , \varepsilon ) \big ) ^ { 2 } \, \mathrm { d } \varepsilon \left/ \int f _ { 0 } ( \chi , \varepsilon ) ^ { 2 } \, \mathrm { d } \varepsilon \right. } ,
J _ { s _ { m } } ( \Phi ( { \bar { n } } , p ) ) \sim { \frac { e ^ { - { \frac { p } { \bar { n } } } ( \beta - \operatorname { t a n h } \beta ) } } { ( 2 { \frac { p } { \bar { n } } } \pi \operatorname { t a n h } \beta ) ^ { ( 1 / 2 ) } } }
\begin{array} { r l r } { | \tilde { R } _ { 2 , 2 } ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { x } ) | } & { \le } & { C \int _ { \Pi } | u _ { 2 } | ^ { \upsilon _ { 2 } - 2 } \mathrm d u _ { 2 } \int _ { \mathbb { R } } \big | L \big ( \frac { u _ { 1 } } { \lambda } , u _ { 2 } ) - L ( 0 , u _ { 2 } ) \big | | ( 1 - \mathrm e ^ { \mathrm i x _ { 1 } u _ { 1 } } ) / u _ { 1 } | ^ { 2 } \mathrm d u _ { 1 } , = o ( 1 ) , } \end{array}
F ( z ) = \sum _ { k \geq 0 } { { \binom { 2 k } { k } } { \frac { ( - 1 ) ^ { k } } { k + 1 } } z ^ { - k } } \sum _ { n \geq 0 } { { \binom { n + k } { m + 2 k } } z ^ { n + k } }
\begin{array} { r l } & { z _ { 0 } \frac { \partial u _ { 1 } } { \partial t } + z _ { 0 } \left( u _ { 1 } \frac { \partial u _ { 1 } } { \partial x } + u _ { 2 } \frac { \partial u _ { 1 } } { \partial y } \right) + \frac { \partial p } { \partial x } - z _ { 1 } \left( \frac { \partial ^ { 2 } u _ { 1 } } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } u _ { 1 } } { \partial y ^ { 2 } } \right) = 0 , } \\ & { z _ { 0 } \frac { \partial u _ { 2 } } { \partial t } + z _ { 0 } \left( u _ { 1 } \frac { \partial u _ { 2 } } { \partial x } + u _ { 2 } \frac { \partial u _ { 2 } } { \partial y } \right) + \frac { \partial p } { \partial y } - z _ { 1 } \left( \frac { \partial ^ { 2 } u _ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } u _ { 2 } } { \partial y ^ { 2 } } \right) = 0 , } \\ & { \frac { \partial u _ { 1 } } { \partial x } + \frac { \partial u _ { 2 } } { \partial y } = 0 . } \end{array}
d s ^ { 2 } = H _ { p } ( u ) ^ { - 1 / 2 } [ - d t ^ { 2 } + ( d { { \vec { x } } ^ { \parallel } } ) ^ { 2 } ] + H _ { p } ( u ) ^ { 1 / 2 } ( d { { \vec { x } } ^ { \perp } } ) ^ { 2 } \quad ,
\operatorname { E } _ { p } ( g ( T ) ) = \sum _ { t = 0 } ^ { n } { g ( t ) { \binom { n } { t } } p ^ { t } ( 1 - p ) ^ { n - t } } = ( 1 - p ) ^ { n } \sum _ { t = 0 } ^ { n } { g ( t ) { \binom { n } { t } } \left( { \frac { p } { 1 - p } } \right) ^ { t } } .
M A E = \frac { 1 } { N _ { \mathrm { e v a l } } } \sum _ { q = 1 } ^ { N _ { \mathrm { e v a l } } } \left\lvert P _ { \mathrm { M L } } \left( \boldsymbol { X } _ { q } ^ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } \right) - { E } _ { q } ^ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } \right\rvert ~ .
\mathcal { U } = \left( \begin{array} { l l l l } { ( w _ { 0 } ) _ { z } } & & & \\ & { ( w _ { 1 } ) _ { z } } & & \\ & & { \ddots } & \\ & & & { ( w _ { n } ) _ { z } } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & & & \\ { e ^ { w _ { 1 } - w _ { 0 } } } & { 0 } & & \\ & { \ddots } & { \ddots } & \\ & & { e ^ { w _ { n } - w _ { n - 1 } } } & { 0 } \end{array} \right)
U _ { \alpha i } = \left( \begin{array} { c c c c c } { { c _ { \omega } c _ { \phi } } } & { { } } & { { s _ { \omega } c _ { \phi } } } & { { } } & { { s _ { \phi } } } \\ { { - s _ { \omega } c _ { \psi } - c _ { \omega } s _ { \psi } s _ { \phi } } } & { { } } & { { c _ { \omega } c _ { \psi } - s _ { \omega } s _ { \psi } s _ { \phi } } } & { { } } & { { s _ { \psi } c _ { \phi } } } \\ { { s _ { \omega } s _ { \psi } - c _ { \omega } c _ { \psi } s _ { \phi } } } & { { } } & { { - c _ { \omega } s _ { \psi } - s _ { \omega } c _ { \psi } s _ { \phi } } } & { { } } & { { c _ { \psi } c _ { \phi } } } \end{array} \right) \ ,
\begin{array} { r l } { e ( x , y ) } & { { } = \sqrt { 1 - \left[ \frac { \theta _ { 2 } ^ { \textrm { ( e f f ) } } ( x , y ) } { \theta _ { 1 } ^ { \textrm { ( e f f ) } } ( x , y ) } \right] ^ { 2 } } } \end{array}
{ } \Sigma _ { A B } ^ { * } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) = ( - \alpha k _ { 3 } ) \left\{ \delta ( \tau - \tau ^ { \prime } ) + \alpha k _ { 3 } \left[ R _ { A A } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) R _ { B B } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) + R _ { A B } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) R _ { B A } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) \right] \right\} ^ { - 1 } \mu _ { A } ( \tau ^ { \prime } )
\Xi _ { 1 } ( \kappa ) = \operatorname * { l i m } _ { N \to \infty } \mu _ { 1 , N } ^ { 1 1 } ( \kappa ) = \operatorname * { l i m } _ { N \to \infty } \left[ \frac { \sinh \frac { \pi \kappa } { 2 } } { \sinh \frac { \pi N \kappa } { 4 } } \, e ^ { \frac { \pi N \kappa } { 4 } } - e ^ { \frac { \pi \kappa } { 2 } } \right] = - e ^ { - \frac { \pi | \kappa | } { 2 } } .
\begin{array} { r l r } { \frac { d \tau _ { \mathrm { A } } } { d t } } & { { } = } & { 1 - \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \Big [ \frac { { \vec { v } } _ { \mathrm { A } } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { G M _ { \mathrm { E } } } { r _ { \mathrm { A } } } \Big ( 1 - \sum _ { \ell = 2 } ^ { 4 } \Big ( \frac { R _ { \mathrm { E } } } { r _ { \mathrm { A } } } \Big ) ^ { \ell } J _ { \ell } P _ { \ell 0 } ( \cos \theta ) + \Big ( \frac { R _ { \mathrm { E } } } { r _ { \mathrm { A } } } \Big ) ^ { 2 } P _ { 2 2 } ( \cos \theta ) ( C _ { 2 2 } \cos 2 \phi + S _ { 2 2 } \sin 2 \phi ) + } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \partial _ { x _ { 1 } } ^ { \mu } \partial _ { x _ { 1 } } ^ { \nu } \frac { - 1 } { L ^ { 9 } } \sum _ { k _ { 1 } , k _ { 2 } , k _ { 3 } \in P _ { F } } \int e ^ { i k _ { 1 } ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) } e ^ { i k _ { 2 } ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) } g ( x _ { 2 } - x _ { 3 } ) \, \textnormal { d } x _ { 3 } } \\ & { = \frac { 1 } { L ^ { 9 } } \sum _ { k _ { 1 } , k _ { 2 } , k _ { 3 } \in P _ { F } } ( k _ { 1 } ^ { \mu } - k _ { 2 } ^ { \mu } ) ( k _ { 1 } ^ { \nu } - k _ { 2 } ^ { \nu } ) e ^ { i ( k _ { 1 } - k _ { 2 } ) x _ { 1 } } e ^ { i ( k _ { 2 } - k _ { 1 } ) x _ { 2 } } \int g ( x _ { 2 } - x _ { 3 } ) \, \textnormal { d } x _ { 3 } } \\ & { = O ( \rho ^ { 3 + 2 / 3 } a ^ { 3 } \log ( b / a ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } f ( X _ { t } ) } & { = f ^ { \prime } ( X _ { t } ) \, \mathrm { d } X _ { t } + \frac { 1 } { 2 } f ^ { \prime \prime } ( X _ { t } ) \, \mathrm { d } \left< X \right> _ { t } } \\ & { = - 2 \pi ^ { 2 } \xi ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } f ( X _ { t } ) \, \mathrm { d } t - 2 \pi i \xi \sigma f ( X _ { t } ) \, \mathrm { d } W _ { t } , } \end{array}
F : = \prod _ { v \in V _ { 0 } } \mathrm { O c c } _ { \mathrm { d e c } ( v ) , \mathcal { P } } \prod _ { v \in V _ { 3 } } \mathrm { O c c } _ { \mathrm { d e c } ( v ) , \mathrm { b r } ( v ) , \mathcal { P } ^ { \bullet } } \prod _ { v \in V _ { 1 } } \mathrm { O c c } _ { \mathrm { d e c } ( v ) , \mathcal { P } ^ { \bullet } } \prod _ { v \in V _ { 2 } } \mathrm { O c c } _ { \mathrm { d e c } ( v ) , \mathrm { r k } ( v ) , \mathcal { P } ^ { \bullet } }
\begin{array} { r } { \pmb { A } _ { \pmb { \nu } } ^ { \mathrm { B F } } ( x _ { i } ; \{ x _ { k } \} _ { k \neq i } ) : = \phi _ { \nu _ { 1 } } ( x _ { i } ) \prod _ { t = 2 } ^ { N } A _ { \nu _ { t } } ( \{ x _ { k } \} _ { k \neq i } ) \qquad \mathrm { f o r } ~ x _ { i } , x _ { k } \in \mathbb { R } \times \mathbb { Z } _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \underline { { f } } _ { r } ( K , \beta ^ { * } , \sigma ^ { 2 } ) } & { = G _ { r } + H _ { r } \Big ( G _ { r - 1 } + H _ { r - 1 } \big ( G _ { r - 2 } + \cdots + H _ { 2 } G _ { 1 } \big ) \Big ) } \\ & { \geq G _ { r } } \\ & { = 2 \bigg ( 1 - \Phi \big ( \sqrt { r K } \big ) \bigg ) } \\ & { = \mathrm { e r c f } \Big ( \sqrt { \frac { r K } { 2 } } \Big ) } \\ & { \underset { \textit { ( * * ) } } { \geq } \frac { 2 } { \sqrt { \pi } \Big ( \sqrt { \frac { r K } { 2 } } + \sqrt { \frac { r K } { 2 } + 2 } \Big ) } e ^ { - \frac { r K } { 2 } } } \\ & { = \frac { 2 \sqrt { 2 } } { \sqrt { \pi } \Big ( \sqrt { r K } + \sqrt { r K + 4 } \Big ) } e ^ { - \frac { r K } { 2 } } . } \end{array}
\mathbb { P } \{ \mathcal { T } _ { \ell } > t \} = \mathbb { P } \{ \ell _ { t } ^ { R } < \ell , ~ T _ { 0 } > t \} + \mathbb { P } \{ \ell _ { T _ { 0 } } ^ { R } < \ell , ~ T _ { 0 } < t \} .
\Omega = \int \mathrm { d } ^ { 3 } x \left( \pi _ { 0 } \eta ^ { 1 } - \left( \partial ^ { i } \pi _ { i } - g \mu _ { 0 } \left( \varphi , \bar { \varphi } , \pi , \bar { \pi } \right) \right) \eta ^ { 2 } \right) .
\begin{array} { r l } { \exp \left( \mathbf { y } _ { \alpha { } , a _ { } } ^ { } \right) } & { { } \approx \exp \left( \left[ a _ { } - \alpha { } \right] \Delta t \mathbf { w } _ { b _ { } } \right) = \mathbf { u } _ { b _ { } } ^ { a _ { } - \alpha { } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P \Bigg ( } & { \left\vert E _ { s ^ { \prime } \sim P _ { h } ( \cdot \vert s , a ) } \left[ u ( V _ { h + 1 } ( s ^ { \prime } ) - \lambda _ { h + 1 } ^ { * } ) \right] - E _ { s ^ { \prime } \sim \hat { P } _ { h } ^ { k } ( \cdot \vert s , a ) } \left[ u ( V _ { h + 1 } ( s ^ { \prime } ) - \lambda _ { h + 1 } ^ { * } ) \right] \right\vert } \\ & { \leq 8 \vert u ( H - h - \lambda _ { h + 1 } ^ { * } ) - u ( - \lambda _ { h + 1 } ^ { * } ) \vert \sqrt { \frac { S \log ( \frac { S A H K } { \delta } ) } { N _ { h } ^ { k } ( s , a ) } } \Bigg ) } \\ & { \forall ( s , a , h , k ) \in \mathcal { S } \times \mathcal { A } \times [ H ] \times [ K ] , \forall V _ { h + 1 } \in \mathcal { V } _ { h + 1 } , \lambda _ { h + 1 } ^ { * } \in [ 0 , H - h ] \Bigg ) \geq 1 - 2 \delta . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \nabla _ { g , a d _ { e } g } ^ { 2 } \beta - \nabla _ { a d _ { e } g , g } ^ { 2 } \beta = L _ { g } L _ { a d _ { e } g } \beta - L _ { \nabla _ { g } a d _ { e } g } \beta } \\ & { - \left( L _ { a d _ { e } g } L _ { g } \beta - L _ { \nabla _ { a d _ { e } g } g } \beta \right) = L _ { \left[ g , a d _ { e } g \right] } \beta = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { z \in [ 0 , p ] } | f _ { D _ { j } ^ { [ p ] } } ( z ) - \frac { 1 } { p } | } & { \leq \operatorname* { s u p } _ { x \in [ 0 , p ] } | f _ { X _ { 1 } ^ { [ p ] } } ( x ) - \frac { 1 } { p } | } \\ & { \leq \operatorname* { s u p } _ { x \in [ 0 , p ] } f _ { X _ { 1 } ^ { [ p ] } } ( x ) + \frac { 1 } { p } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathring { \nabla } _ { i } \Upsilon _ { j k } { } ^ { l } \ } & { { } = \ - \tilde { g } ^ { l r } \big ( \psi _ { i r s } - \frac 2 3 \mathring { R } _ { i ( r s ) } { } ^ { n } \psi _ { n } \big ) \Upsilon _ { j k } { } ^ { s } } \end{array}
{ \bf { j } } \times { \bf { B } } = \frac { { { \bf { B } } \cdot \nabla { \bf { B } } } } { { { \mu _ { 0 } } } } - \nabla \left( { \frac { { { B ^ { 2 } } } } { { 2 { \mu _ { 0 } } } } } \right) ,
\begin{array} { r l r } { \left[ \frac { u \left( n \right) } { n } \right] ^ { 2 } } & { { } = } & { \left( \frac { u ( \dot { N } ) } { \dot { N } } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { u ( A ) } { A } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { u ( \alpha _ { \mathrm { M C } } ) } { \alpha _ { \mathrm { M C } } } \right) ^ { 2 } } \end{array}
S ^ { \prime } = { \frac { N ^ { 2 } } { 1 6 \pi G _ { 1 0 } } } \int d ^ { 1 0 } x \sqrt { - G ^ { d u a l } } ( N e ^ { \phi } ) ^ { - { \frac { 6 } { 7 } } } \left[ { \cal R } ^ { d u a l } + { \frac { 1 6 } { 4 9 } } \partial _ { M } \phi \partial ^ { M } \phi - { \frac { 1 } { 2 \cdot 8 ! } } { \frac { 1 } { N ^ { 2 } } } F _ { M _ { 1 } \cdots M _ { 8 } } F ^ { M _ { 1 } \cdots M _ { 8 } } \right] .
t _ { u } ^ { * } ( q ) = \frac 1 q t _ { S S l } \left[ \log \frac { 1 } { \varepsilon _ { S S l } } + \log \frac { k _ { 1 } ( s _ { 0 } + K _ { M } ) ^ { 2 } } { q k _ { 2 } K _ { M } } + \cdots \right] ,