harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \dot { m } ( t ) } & { = } & { \lambda ( t ) [ m - \operatorname { t a n h } ( \beta J m ) ] , } \\ { \dot { \lambda } ( t ) } & { = } & { \lambda ( t ) [ 1 - m \operatorname { t a n h } ( \beta J m ) ] - b ( \lambda ( t ) - \lambda _ { 0 } ) } \\ & { - } & { \frac { \lambda ( t ) [ m - \operatorname { t a n h } ( \beta J m ) ] ^ { 2 } } { 1 - m \operatorname { t a n h } ( \beta J m ) } , } \\ { p _ { m } } & { = } & { \frac { m - \operatorname { t a n h } ( \beta J m ) } { 1 - m \operatorname { t a n h } ( \beta J m ) } , } \\ { p _ { \lambda } } & { = } & { 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Theta _ { m } ( \mathbf { x } _ { i } , \mathbf { x } _ { i ^ { \prime } } ; \mathbf { W } _ { 0 } ) = } \\ & { \quad \left( \frac { \mathbf { x } _ { i } ^ { \top } \mathbf { x } _ { i ^ { \prime } } } { d } \right) \times \left( \frac { \gamma } { m } \sum _ { j = 1 } ^ { m } \sigma ^ { \prime } ( Z _ { j } ( \mathbf { x } _ { i } ; \mathbf { W } _ { 0 } ) ) \sigma ^ { \prime } ( Z _ { j } ( \mathbf { x } _ { i ^ { \prime } } ; \mathbf { W } _ { 0 } ) ) \right. + \frac { ( 1 - \gamma ) } { \sum _ { k = 1 } ^ { m } \widetilde \lambda _ { k } } \left. \sum _ { j = 1 } ^ { m } \widetilde \lambda _ { j } \sigma ^ { \prime } ( Z _ { j } ( \mathbf { x } _ { i } ; \mathbf { W } _ { 0 } ) ) \sigma ^ { \prime } ( Z _ { j } ( \mathbf { x } _ { i ^ { \prime } } ; \mathbf { W } _ { 0 } ) ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle \sigma ^ { 2 } \right\rangle = \frac { \zeta ^ { 2 } } { 2 \theta } \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } } & { { } \frac { 2 ^ { - m } } { N } \sum _ { u = 0 } ^ { m } \binom { m } { u } \mathrm { t r a c e } \left( U ( C ^ { u } ) ^ { T } C ^ { m - u } U \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \omega ^ { ' } \rightarrow \gamma ( 1 - \beta ) \omega } & { { } = } & { \sqrt { \frac { 1 - \beta } { 1 + \beta } } \omega } \\ { k ^ { ' } \rightarrow \gamma ( 1 - \beta ) k } & { { } = } & { \sqrt { \frac { 1 - \beta } { 1 + \beta } } k , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { F _ { 2 } } & { { } = } & { - \left\{ 2 u ^ { 2 } \left\{ ( { \bf S } _ { i } \cdot \hat { \bf n } ) { \bf S } _ { f } \cdot \left[ \hat { \bf n } \times \hat { \bf a } \right] + ( { \bf S } _ { f } \cdot \hat { \bf n } ) { \bf S } _ { i } \cdot \left[ \hat { \bf n } \times \hat { \bf a } \right] \right\} + 2 u ( 2 + u ) \right. } \end{array}
- \int _ { 0 } ^ { \sigma } d s \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { d \omega } { 2 \pi } \frac { s } { ( 4 \pi ) ^ { \frac { D - 1 } { 2 } } } ( \omega ^ { 2 } + s ^ { 2 } ) ^ { \frac { D - 3 } { 2 } } \Gamma ( - \frac { D - 3 } { 2 } ) \mathrm { t r } \mathrm { \boldmath ~ 1 ~ } .
p _ { \mathrm { s c a t } } \simeq \frac { 1 } { 2 } \gamma _ { 7 \mathrm { p } } t \left( \frac { | \Omega _ { 4 5 9 } | ^ { 2 } } { 4 \Delta _ { 7 \mathrm { p } } ^ { 2 } } + \frac { | \Omega _ { 4 5 9 } | ^ { 2 } } { 4 ( \Delta _ { 7 \mathrm { p } } - \omega _ { \mathrm { q } } ) ^ { 2 } } \right) ,
\begin{array} { r } { \lambda _ { c } = \frac { 2 D } { x _ { 0 } } \left[ \frac { D + x _ { 0 } \frac { \alpha } { \beta } \sqrt { \alpha + \beta } \sqrt { D } } { 2 D + x _ { 0 } \frac { \alpha } { \beta } \sqrt { \alpha + \beta } \sqrt { D } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( B ^ { 2 } - A ^ { 2 } ) ^ { 3 } + ( 2 B ^ { 3 } - 2 A ^ { 3 } - 3 A ( B ^ { 2 } - A ^ { 2 } ) ) ( B ^ { 2 } A - A ( B ^ { 2 } - A ^ { 2 } ) - ( 1 - \mu ) B ^ { 3 } ) } \\ { = } & { ( B ^ { 2 } - A ^ { 2 } ) ^ { 3 } + ( 2 B ^ { 3 } + A ^ { 3 } - 3 A B ^ { 2 } ) ( A ^ { 3 } - ( 1 - \mu ) B ^ { 3 } ) } \\ { = } & { - ( 1 - 2 \mu ) B ^ { 6 } + 3 ( 1 - \mu ) B ^ { 5 } A - 3 B ^ { 4 } A ^ { 2 } + ( 1 + \mu ) B ^ { 3 } A ^ { 3 } } \\ { = } & { - B ^ { 3 } \left( ( 1 - 2 \mu ) B ^ { 3 } + 3 ( 1 - \mu ) B ^ { 2 } A - 3 B A ^ { 2 } + ( 1 + \mu ) A ^ { 3 } \right) } \\ { \leq } & { 0 } \end{array}
{ \cal L } _ { t o t } ^ { \prime \prime } = { \cal L } _ { 0 } ^ { m } { } ^ { \prime } [ A , \Lambda ] + i \bar { C } ^ { \mu } ( \partial _ { \mu } C ^ { \prime } - m C _ { \mu } ) - i B ^ { ( 1 ) } C ^ { \prime } + m \bar { d } d .
\begin{array} { r l r } { \frac { 1 } { Z _ { i } } \sum _ { n ^ { \prime } \in \mathcal { V } _ { a } } \hat { U } _ { n n ^ { \prime } } ( t _ { i } } & { { } , t _ { i - 1 } ) P _ { n ^ { \prime } } ( t _ { i - 1 } ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad n \in \mathcal { V } _ { r } } \\ { 0 } & { { } } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array}
F \left( \frac { t _ { 0 } } { 2 } - \frac { \pi } { 4 } , \frac { c ^ { 2 } - a ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \right) = - \frac { 1 } { 2 } \log { \left( \frac { h ^ { 2 } } { 2 c ^ { 2 } } \left( 1 - \frac { h ^ { 2 } } { \varepsilon ^ { 2 } } \right) \right) } + \ensuremath { \operatorname { O } \left( 1 \right) } ,
\begin{array} { r l r } { { \cal A } _ { 4 } } & { = } & { \left( \begin{array} { c c c c c c c c c c } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - 2 c _ { 1 } X } & { 0 } & { 0 } & { c _ { 2 } } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { c _ { 2 } } & { - 2 c _ { 1 } X } & { 0 } & { 0 } \\ { c _ { 2 } } & { - 2 c _ { 1 } X } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { c _ { 2 } } & { - 2 c _ { 1 } X } & { 0 } \\ { 0 } & { c _ { 2 } } & { 0 } & { - 2 c _ { 1 } X } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { c _ { 2 } } & { 0 } & { - 2 c _ { 1 } X } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { c _ { 2 } } & { - 2 c _ { 1 } X } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { c _ { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { - 2 c _ { 1 } X } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { c _ { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { - 2 c _ { 1 } X } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { c _ { 2 } } & { 0 } & { 0 } & { - 2 c _ { 1 } X } & { 1 } \end{array} \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \bar { \mu } R _ { 1 } + \mu R _ { 2 } \stackrel { \mathrm { ( a ) } } { \geq } \bar { \mu } I _ { q } ( X ; U ) + \mu H _ { q } ( Y | U ) } \\ & { \geq } & { \operatorname* { m i n } _ { q \in { \cal P } ( p _ { X Y } ) } \left[ \bar { \mu } I _ { q } ( X ; U ) + \mu H _ { q } ( Y | U ) \right] } \\ & { = } & { { R } ^ { ( \mu ) } ( p _ { X Y } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ln \Big ( \frac { J } { J _ { 0 } } \Big ) } & { { } = \frac { 1 } { E _ { 0 } } \Big ( E _ { a p } - \beta \ln \Big ( \frac { J _ { s } t ^ { 1 - \alpha } } { Q ^ { * } ( 1 - \alpha ) } \Big ) \Big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { U } ^ { - 1 } } & { \left[ \tilde { U } ( \phi ) ( 1 - \kappa ) \right] = U ^ { - 1 } \left( 1 - \epsilon \mathrm { l o g } _ { 1 - \kappa } ( \tilde { U } ( \phi ) ( 1 - \kappa ) ) \right) } \\ & { = U ^ { - 1 } \left( 1 - \epsilon \mathrm { l o g } _ { 1 - \kappa } \left( ( 1 - \kappa ) ^ { \left( \frac { 1 - U ( \phi ) } { \epsilon } + 1 \right) } \right) \right) } \\ & { = U ^ { - 1 } \left( 1 - \epsilon { \left( \frac { 1 - U ( \phi ) } { \epsilon } + 1 \right) } \right) } \\ & { = { U } ^ { - 1 } \left[ { U } ( \phi ) - \epsilon \right] . } \end{array}
\mathbf { Q } = \left( \mathbf { 0 } , \, \mathbf { v } \right) , \qquad \mathbb { F } ( \mathbf { Q } ) = \left( \mathbf { v } , \, \mathbf { v } \otimes \mathbf { v } - \frac 1 { \mathrm { ~ R ~ e ~ } } \left( \nabla \mathbf { v } - p \mathbf { I } \right) \right) ,
\frac { d ^ { 2 } f } { d x ^ { 2 } } + \frac { a ^ { 2 } - 6 a + 2 - ( a ^ { 2 } - 8 a + 2 ) x ^ { a } } { 2 x ( 1 - x ^ { a } ) } \frac { d f } { d x } + \frac { \lambda ^ { 2 } } { x ^ { 4 - a } ( 1 - x ^ { a } ) ^ { 2 } } f - \frac { l ( l + a ) } { x ^ { 2 } ( 1 - x ^ { a } ) } f = 0 \, .
\begin{array} { r } { \Sigma _ { i j } ^ { ( 2 ) } ( \varepsilon _ { 0 } ) = \sum _ { a m n } \frac { g _ { a i m n } \tilde { g } _ { m n a j } } { \varepsilon _ { a 0 } - \varepsilon _ { m n } } + \sum _ { a b m } \frac { \tilde { g } _ { m i a b } g _ { a b m j } } { \varepsilon _ { m 0 } - \varepsilon _ { a b } } \, , } \end{array}
\int _ { \mathcal { O } } | f \, g | \leq \| f \| _ { 0 , \mathrm { p } ; \mathcal { O } } \, \| g \| _ { 0 , \mathrm { q } ; \mathcal { O } } \quad \forall \, f \in \mathrm { L } ^ { \mathrm { p } } ( \mathcal { O } ) , \, \forall \, g \in \mathrm { L } ^ { \mathrm { q } } ( \mathcal { O } ) , \quad \mathrm { w i t h } \quad \frac { 1 } { \mathrm { p } } + \frac { 1 } { \mathrm { q } } = 1 \, .
\prod _ { p { \mathrm { ~ p r i m e } } } { \frac { 1 } { 1 - p ^ { - s } } } = { \frac { 1 } { 1 - 2 ^ { - s } } } \cdot { \frac { 1 } { 1 - 3 ^ { - s } } } \cdot { \frac { 1 } { 1 - 5 ^ { - s } } } \cdot { \frac { 1 } { 1 - 7 ^ { - s } } } \cdot { \frac { 1 } { 1 - 1 1 ^ { - s } } } \cdots { \frac { 1 } { 1 - p ^ { - s } } } \cdots
\begin{array} { r l } { \frac { \partial P _ { e } } { \partial t } = } & { { } - V \frac { \partial P _ { e } } { \partial r } - \gamma _ { e } \frac { 1 } { A } \frac { \partial \left( A V \right) } { \partial r } P _ { e } + ( \gamma _ { e } - 1 ) Q _ { e } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { 1 \le t \le \epsilon n / 2 } 2 ^ { n } \exp ( n H ( t / n ) ) ( q ( t / n ) ) ^ { \alpha _ { c } n } } & { \le n \cdot \operatorname* { m a x } _ { 1 / n \le t \le \epsilon / 2 } 2 ^ { n } \exp ( n H ( t / n ) ) \cdot ( q ( t / n ) ) ^ { \alpha _ { c } n } } \\ & { \le n \cdot 2 ^ { n } \exp ( n H ( 1 / n ) ) \cdot ( q ( 1 / n ) ) ^ { \alpha _ { c } n } } \\ & { \le n \cdot \exp ( - \Omega ( \sqrt { n } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega ( { \mathbf v } ) } & { = \int _ { \Omega } \frac { \nu } { 2 } { \mathcal { D } } ( { \mathbf u } ) : { \mathcal { D } } ( { \mathbf v } ) + ( { \mathbf u } \cdot \nabla { \mathbf u } ) \cdot { \mathbf v } - p { { \nabla \cdot } \, } { \mathbf v } \, d { \mathbf x } , } \\ { \beta ( { \mathbf v } ) } & { = \oint _ { { \partial \Omega } } \big ( ( \nu { \mathcal { D } } ( { \mathbf u } ) - p I ) { \mathbf v } \big ) \cdot { \mathbf n } \, d s , } \end{array}
\begin{array} { r } { t \psi _ { d - 1 } ^ { ( 1 ) } + i g \psi _ { d } ^ { ( 2 ) } + t \psi _ { d + 1 } ^ { ( 2 ) } = E ( \beta ) \psi _ { d } ^ { ( 2 ) } , } \\ { t \psi _ { d - 2 } ^ { ( 1 ) } + t \psi _ { d } ^ { ( 2 ) } = E ( \beta ) \psi _ { d - 1 } ^ { ( 1 ) } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { \medskip \frac 1 2 \left( - \lambda ^ { 2 } + A + B ( \lambda \sigma + \zeta - \frac { B } 4 \sigma ^ { 2 } ) \right) \gamma ^ { 2 } + \kappa ( \gamma \gamma _ { x x } - \frac 1 2 \gamma _ { x } ^ { 2 } ) = F ( \lambda ) } \\ { \frac { B } 2 \sigma \gamma - \lambda \gamma + \beta = G ( \lambda ) } \end{array} \, , \right.
\frac { \mathrm { d } n _ { \chi } } { \mathrm { d } t } + 3 H n _ { \chi } = - \langle \sigma _ { A } v \rangle \left[ \left( n _ { \chi } \right) ^ { 2 } - \left( n _ { \chi } ^ { \mathrm { e q } } \right) ^ { 2 } \right] ,
\tau : = \frac { q } { V _ { 1 } } t , \quad \varepsilon : = \frac { V _ { 1 } } { V _ { 0 } } , \quad \zeta : = \frac { q ^ { \prime } } { q } , \quad f _ { 0 } : = \frac { N F V _ { 1 } } { q V _ { 0 } } .
\begin{array} { r l } { T h ( V ) } & { = \int _ { \mathcal U _ { n } } h ( U ) \, T ( K _ { U } ^ { S } ) ( V ) d U = \int _ { \mathcal U _ { n } } h ( U ) \, T ( K _ { I d } ^ { S } \circ L _ { U ^ { - 1 } } ) ( V ) \, d U } \\ & { = \int _ { \mathcal U _ { n } } h ( U ) \, T ( K _ { I d } ^ { S } ) \circ L _ { U ^ { - 1 } } ( V ) d U = c \int _ { \mathcal U _ { n } } h ( U ) \, K _ { I d } ^ { H } \circ L _ { U ^ { - 1 } } ( V ) d U } \\ & { = c \int _ { \mathcal U _ { n } } h ( U ) \, { K _ { U } ^ { H } ( V ) } \, d U = c \, \pi _ { 1 , 0 } ( h ) ( V ) \, , } \end{array}
\mathbf { \tilde { A } _ { 0 } } = \mathbf { A _ { 0 , \mathcal { S } \mathcal { S } } } - \mathbf { A _ { 0 , \mathcal { S } \mathcal { \bar { S } } } } \mathbf { A _ { 0 , \mathcal { \bar { S } } \mathcal { \bar { S } } } } ^ { - 1 } \mathbf { A _ { 0 , \mathcal { \bar { S } } \mathcal { { S } } } } .
U _ { e f f } ( \phi _ { 0 } ) = \frac { e ^ { 2 } \kappa ^ { 2 } } { 2 } ( 1 + \frac { e ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } ( \ln ( \frac { \alpha | \phi _ { 0 } | } { \Lambda } ) ^ { 2 } + \frac { 3 } { 2 } ) ) .
\mathfrak { C } ( R , t ) = \frac { \int _ { \mathcal { V } } \alpha ( x ^ { \prime } , z ^ { \prime } ) C ( x ^ { \prime } , z ^ { \prime } , t ) d \mathcal { V } } { \int _ { \mathcal { V } } \alpha ( x ^ { \prime } , z ^ { \prime } ) d \mathcal { V } } \, .
\begin{array} { r } { 3 [ 2 \phi ( R _ { j } ^ { l } g _ { i k } + 2 R _ { k } ^ { l } g _ { i j } ) + \lambda ( R _ { j } ^ { x } R _ { x } ^ { l } g _ { i k } + R _ { k } ^ { y } R _ { y } ^ { l } g _ { i j } + R _ { k } ^ { l } R _ { i j } ) ] } \\ { - \lambda R _ { i j } R ^ { i j } ( \delta _ { k } ^ { l } g _ { i j } - \delta _ { j } ^ { l } g _ { i k } ) + \lambda R ( \delta _ { k } ^ { l } R _ { i j } - \delta _ { j } ^ { l } R _ { i k } ) = 0 . } \end{array}
{ \frac { x } { L _ { 0 } } } = { \frac { 4 } { 3 } } - { \frac { 4 } { 3 { \sqrt { { \frac { F P } { k _ { B } T } } + 1 } } } } - { \frac { 1 0 e ^ { \sqrt [ { 4 } ] { 9 0 0 { \frac { k _ { B } T } { F P } } } } } { { \sqrt { \frac { F P } { k _ { B } T } } } \left( e ^ { \sqrt [ { 4 } ] { 9 0 0 { \frac { k _ { B } T } { F P } } } } - 1 \right) ^ { 2 } } } + { \frac { \left( { \frac { F P } { k _ { B } T } } \right) ^ { 1 . 6 2 } } { 3 . 5 5 + 3 . 8 \left( { \frac { F P } { k _ { B } T } } \right) ^ { 2 . 2 } } } + { \frac { F } { K _ { 0 } } }
\begin{array} { r l r l } & { \mathbf { u } = \kappa \left[ \begin{array} { l } { - x z } \\ { 0 } \\ { x ^ { 2 } / 2 } \end{array} \right] \, , } & & { \boldsymbol { P } = - \kappa \left[ \begin{array} { l l l } { [ 4 1 z + 2 0 \sqrt { 8 2 } \, \mathrm { s e c h } ( \sqrt { 4 1 / 2 } ) \sinh ( \sqrt { 8 2 } z ) ] / 1 6 8 1 } & { 0 } & { x } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - x } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] \, , } \end{array}
{ \hat { Z } } ( x _ { 0 } ) = { \left( \begin{array} { l } { z _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { z _ { n } } \end{array} \right) } ^ { \prime } { \left( \begin{array} { l l l } { c ( x _ { 1 } , x _ { 1 } ) } & { \cdots } & { c ( x _ { 1 } , x _ { n } ) } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { c ( x _ { n } , x _ { 1 } ) } & { \cdots } & { c ( x _ { n } , x _ { n } ) } \end{array} \right) } ^ { - 1 } { \left( \begin{array} { l } { c ( x _ { 1 } , x _ { 0 } ) } \\ { \vdots } \\ { c ( x _ { n } , x _ { 0 } ) } \end{array} \right) } .
\begin{array} { r l r } { a _ { k } ( t + 1 ) } & { { } = } & { [ 1 - f ( t ) ] a _ { k } ( t ) - f ( t ) b _ { k } ( t ) } \\ { b _ { k } ( t + 1 ) } & { { } = } & { [ 1 - f ( t ) ] b _ { k } ( t ) - f ( t ) a _ { k } ( t ) . } \end{array}
\alpha ^ { ( 2 ) } = \frac { 2 \sqrt { 2 } \pi } { v ^ { 2 / 3 } } \left( \frac { \kappa } { 4 \pi } \right) ^ { 2 / 3 } \int _ { { \cal { C } } _ { \omega } } { ( ( 1 0 S + ( 5 r + 1 4 ) { \cal { E } } ) \sigma - 2 8 6 F ) }
\begin{array} { r l } { \mathcal { U } ( \pi ^ { * } , \nu _ { t } ) \leq } & { \mathcal { U } ( \pi _ { t } , \nu _ { t } ) + \int \mathcal { U } _ { \pi } ( \pi _ { t } , \nu _ { t } ; z , \tilde { z } ) d ( \pi ^ { * } - \pi _ { t } ) } \\ { = } & { \mathcal { U } ( \pi _ { t } , \nu _ { t } ) + \int \mathcal { U } _ { \pi } ( \pi _ { t } , \nu _ { t } ; z , \tilde { z } ) d ( \pi ^ { * } - \hat { \pi } _ { t } ) } \\ & { + \int \mathcal { U } _ { \pi } ( \pi _ { t } , \nu _ { t } ; z , \tilde { z } ) d ( \hat { \pi } _ { t } - \pi _ { t } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { s _ { 2 1 } } & { { } = \Big ( \frac { - i } { \hbar } \Big ) ^ { 2 } \sum _ { m } \int d k _ { m ^ { \prime } } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d t _ { 1 } \int _ { - \infty } ^ { t _ { 1 } } d t _ { 2 } \Big \langle \phi _ { f } \Big \vert { \cal V } _ { 2 } ^ { \mathrm { I } } ( t _ { 1 } ) \Big \vert \phi _ { m } \Big \rangle \Big \langle \phi _ { m } \Big \vert { \cal V } _ { 1 } ^ { \mathrm { I } } ( t _ { 2 } ) \Big \vert \phi _ { i } \Big \rangle , } \end{array}
+ \frac { 1 } { 2 } \Phi ^ { - \frac { D - 3 } { D - 2 } } g ^ { i j } D _ { i } A ^ { \alpha } \cdot D _ { j } A _ { \alpha } + q \Phi ^ { - \frac { 1 } { 2 } } ( \overline { { { \psi } } } _ { + } A \psi _ { + } + \overline { { { \psi } } } _ { - } A \psi _ { - } ) - M \Phi ^ { - \frac { 1 } { 2 ( D - 2 ) } } ( \psi _ { + } ^ { + } \psi _ { - } + \psi _ { - } ^ { + } \psi _ { + } )
\psi _ { 1 } = \frac { 3 } { 2 \sqrt { 2 } } ( f _ { 1 } + f _ { 2 } ) - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } f \ , \, p s i _ { 2 } = \frac { 2 } { 3 } \bar { \phi } + \frac { 1 } { 4 \sqrt { 2 } } ( f _ { 1 } + f _ { 2 } ) + \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } } f .
\begin{array} { r } { \rho ^ { - n - 1 } \left| \int _ { B _ { \rho } ( x ) \cap S _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } } f _ { \varepsilon } \langle y - x , \nabla u _ { \varepsilon } \rangle \right| \leq C \rho ^ { - \frac { n } { q _ { 0 } } } \left( 1 + \frac { \mu _ { \varepsilon } ( B _ { \rho } \cap S _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } ) } { \rho ^ { n } } \right) \leq \tilde { C } \rho ^ { - \frac { n } { q _ { 0 } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Xi } & { { } = \int \mathrm { D } \phi _ { \mathrm { p } 1 } \mathrm { D } w _ { \mathrm { p } 1 } \mathrm { D } \phi _ { \mathrm { p } 2 } \mathrm { D } w _ { \mathrm { p } 2 } \mathrm { D } \phi _ { \mathrm { s } } \mathrm { D } w _ { \mathrm { s } } \mathrm { D } \eta \mathrm { D } \psi \mathrm { d } \mathbf { f } _ { 1 } \mathrm { d } \mathbf { f } _ { 2 } \frac { 1 } { v ^ { 2 N } } \sum _ { n _ { \gamma } = 0 } ^ { \infty } \prod _ { \gamma } \frac { e ^ { \mu _ { \gamma } n _ { \gamma } } } { n _ { \gamma } ! v ^ { n _ { \gamma } } } \int \prod _ { j = 1 } ^ { 2 } \mathrm { D } \{ \mathbf { R } _ { j } \} \prod _ { \kappa = 1 } ^ { n _ { \gamma } } \mathrm { d } \mathbf { r } _ { \gamma , \kappa } } \end{array}
\begin{array} { r l } { h ^ { 0 } ( \mathcal { Z } ^ { \prime } , \mathcal { O } _ { \mathcal { Z } ^ { \prime } } ( Q ^ { \prime } H ) ) } & { \leq h ^ { 0 } ( \mathcal { Z } ^ { \prime } , \mathcal { O } _ { \mathcal { Z } ^ { \prime } } ( Q ^ { \prime } \mu ^ { * } ( k ( K _ { \mathcal { Z } _ { W } } + B _ { W } + M _ { W } ) ) ) ) } \\ & { = h ^ { 0 } ( \mathcal { Z } _ { W } , \mathcal { O } _ { \mathcal { Z } _ { W } } ( Q ^ { \prime } k ( K _ { \mathcal { Z } _ { W } } + B _ { W } + M _ { W } ) ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { 1 } { Z _ { 1 } } P _ { n } } & { { } ( t _ { 1 } ) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad n \in \mathcal { V } _ { r } } \\ { 0 } & { { } } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array}
{ \cal L } _ { G F } ^ { ( 2 ) } ~ = ~ \frac { \kappa } { 2 \pi } \epsilon ^ { m n } A _ { n } { \dot { A } } _ { m } + \pi _ { a } { \dot { z } } _ { a } + \pi _ { a } ^ { * } \dot { z ^ { * } } _ { a } + \Omega _ { 1 } ^ { ( 0 ) } \dot { \alpha } + \Omega _ { 2 } ^ { ( 1 ) } \dot { \beta } + \Omega _ { 3 } ^ { ( 1 ) } \dot { \gamma } + \Omega _ { 4 } ^ { ( 2 ) } \dot { \sigma } - { \cal H } ^ { ( 2 ) }
\begin{array} { r l r } { \epsilon _ { \mathrm { i n } } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 \mu _ { 0 } } \int d { \bf S } _ { \mathrm { i n } } \cdot [ ( \lambda ^ { 2 } { \bf B } ) \times \mathrm { r o t } { \bf B } ] = \epsilon _ { \mathrm { i n } } ^ { \mathrm { ( C ) } } + \epsilon _ { \mathrm { i n } } ^ { \mathrm { ( V ) } } . } \end{array}
\varphi ^ { ( l ) } = \frac { 1 } { R _ { o } ^ { l + 1 } } \sum _ { m = - l } ^ { l } \sqrt { \frac { 4 \pi } { 2 l + 1 } } \mathcal { Q } _ { m } ^ { ( l ) } \mathcal { Y } _ { ( l m ) } ^ { * } ( \Theta , \Phi )
D _ { \phi } = D _ { \phi } ^ { ( 2 ) } + \frac { \lambda ^ { 1 } } { N ^ { 2 } } \sum _ { n = 3 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n 2 ^ { n } } \frac { V _ { n } } { N ^ { n } } T r _ { p } ( 6 \Sigma _ { \phi } ^ { ( 1 ) } ( p ) N ^ { 2 / 3 } ) ^ { n } .
\Gamma _ { \gamma \to a } \ = \ \frac { g _ { a \gamma \gamma } ^ { 2 } T \kappa ^ { 2 } } { 3 2 \pi ^ { 2 } } \, \frac { | { \bf k } | } { \omega } \int d \Omega \, \frac { | { \bf k } \times { \bf p } | ^ { 2 } } { { \bf q } ^ { 2 } ( { \bf q } ^ { 2 } + \kappa ^ { 2 } ) } \, ,
\begin{array} { r } { K _ { \mathrm { A } } = K _ { \mathrm { B } } c _ { p z c } ^ { 2 } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad } \\ { K _ { \mathrm { B } } = - \frac { c _ { \mathrm { z e t a } } } { \Gamma \lambda k _ { 2 } ( c _ { \mathrm { p z c } } ^ { 2 } - c _ { \mathrm { z e t a } } ^ { 2 } ) + ( c _ { \mathrm { p z c } } ^ { 2 } + c _ { \mathrm { z e t a } } ^ { 2 } ) } , } \end{array}
\frac { \vec { p ^ { 2 } } } { 2 m } \psi ( \vec { p } ) - \frac { \alpha } { 2 \pi ^ { 2 } } \int d ^ { 3 } \vec { p ^ { \prime } } \frac { \psi ( \vec { p ^ { \prime } } ) } { ( \vec { p } - \vec { p ^ { \prime } } ) ^ { 2 } } = E \psi ( \vec { p } ) .
\begin{array} { r l } { v \cdot \nabla _ { x } \mathfrak { F } - \varepsilon ^ { - 1 } Q [ \mathfrak { F } , \mathfrak { F } ] = } & { - \varepsilon ^ { - 1 } \Big ( Q _ { \mathrm { g a i n } } [ \mathfrak { F } , \mathfrak { F } ] - Q _ { \mathrm { g a i n } } [ \mathfrak { F } _ { + } , \mathfrak { F } _ { + } ] \Big ) + \mathfrak { z } \displaystyle \iint _ { \Omega \times \mathbb { R } ^ { 3 } } \varepsilon ^ { - 1 } \Big ( Q _ { \mathrm { g a i n } } [ \mathfrak { F } , \mathfrak { F } ] - Q _ { \mathrm { g a i n } } [ \mathfrak { F } _ { + } , \mathfrak { F } _ { + } ] \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { c c c c } { \Phi _ { \mathcal { M } _ { 1 } \times \mathcal { M } _ { 2 } } \colon } & { ( ( 0 , 1 ) ^ { \dim ( \mathcal { M } _ { 1 } ) + \dim ( \mathcal { M } _ { 2 } ) } , \operatorname { u n i f } ) } & { \longrightarrow } & { ( \mathcal { M } _ { 1 } \times \mathcal { M } _ { 2 } , \operatorname { u n i f } ) , } \\ & { ( x , y ) } & { \longmapsto } & { ( \Phi _ { \mathcal { M } _ { 1 } } ( x ) , \Phi _ { \mathcal { M } _ { 2 } } ( y ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d ^ { 2 } } { d t ^ { 2 } } | _ { t = 0 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathcal { E } ( h _ { i } \circ ( f _ { i } ^ { t } ) ^ { - 1 } ) } & { = 4 \textrm { R e } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \int _ { \mathbb { D } } ( \alpha _ { i } P ( \dot { \mu } _ { i } ) ) _ { z } ( \alpha _ { i } P ( \dot { \mu } _ { i } ) ) _ { \overline { { z } } } d x d y + 4 \sum _ { i = 1 } ^ { n } \int _ { \mathbb { D } } | ( \alpha _ { i } P ( \dot { \mu } _ { i } ) ) _ { \overline { { z } } } | ^ { 2 } d x d y } \\ & { = 4 \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathcal { F } ( \alpha _ { i } P ( \dot { \mu } _ { i } ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\lVert \rho \right\rVert _ { L _ { \mathcal { F } ^ { w } } ^ { 2 } ( [ 0 , T ] ; W ^ { 1 , 2 } ( \mathbb { R } ) ) } + \left\lVert \rho \right\rVert _ { S _ { \mathcal { F } ^ { w } } ^ { \infty } ( [ 0 , T ] ; L ^ { 1 } ( \mathbb { R } ) \cap L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) ) } \le C \quad \mathrm { a n d } } \\ & { \left\lVert \rho ^ { \tau } \right\rVert _ { L _ { \mathcal { F } ^ { w } } ^ { 2 } ( [ 0 , T ] ; W ^ { 1 , 2 } ( \mathbb { R } ) ) } + \left\lVert \rho ^ { \tau } \right\rVert _ { S _ { \mathcal { F } ^ { w } } ^ { \infty } ( [ 0 , T ] ; L ^ { 1 } ( \mathbb { R } ) \cap L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) ) } \le C , } \end{array}
S _ { C S } [ A ] = \frac { i s } { 4 \pi } \int d ^ { 3 } x \, { \mathrm { T r } } \, ( \dot { A } _ { \tau } A _ { \phi } - \dot { A } _ { \phi } A _ { \tau } + 2 A _ { y } F _ { \tau \phi } ) \, ,
\begin{array} { r l } { 0 = - } & { { } ( 1 + i \alpha ) E _ { t 0 } - i \frac { \xi } { 2 } E _ { r 0 } } \\ { + } & { { } i ( \sum _ { \mu _ { 1 } , \mu _ { 2 } } E _ { t \mu _ { 1 } } E _ { t \mu _ { 2 } } E _ { t ( \mu _ { 1 } + \mu _ { 2 } ) } ^ { * } + 2 E _ { t 0 } \sum _ { \mu _ { 3 } } I _ { r \mu _ { 3 } } ) + F _ { t } } \\ { 0 = - } & { { } ( 1 + i \alpha ) E _ { r 0 } - i \frac { \xi } { 2 } E _ { t 0 } } \\ { + } & { { } i ( \sum _ { \mu _ { 1 } , \mu _ { 2 } } E _ { r \mu _ { 1 } } E _ { r \mu _ { 2 } } E _ { r ( \mu _ { 1 } + \mu _ { 2 } ) } ^ { * } + 2 E _ { r 0 } \sum _ { \mu _ { 3 } } I _ { t \mu _ { 3 } } ) + F _ { r } . } \end{array}
u _ { t } ^ { i } - J _ { 2 } ^ { i k } \delta _ { u ^ { k } } H _ { 0 } ( u ) = { \cal O } _ { j } ^ { i } ( r ^ { l } ) \, \Big [ r _ { t } ^ { j } - J _ { 1 } ^ { j k } \delta _ { r ^ { k } } H _ { 0 } \Big | _ { u ^ { m } = M ^ { m } ( r ^ { n } ) } \Big ]