harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\int _ { \tau _ { 1 } } ^ { \tau _ { 2 } } \mathbf { F } _ { \mathrm { r a d } } \cdot \mathbf { v } d t = - { \frac { \mu _ { 0 } q ^ { 2 } } { 6 \pi c } } { \frac { d \mathbf { v } } { d t } } \cdot \mathbf { v } { \bigg | } _ { \tau _ { 1 } } ^ { \tau _ { 2 } } + \int _ { \tau _ { 1 } } ^ { \tau _ { 2 } } { \frac { \mu _ { 0 } q ^ { 2 } } { 6 \pi c } } { \frac { d ^ { 2 } \mathbf { v } } { d t ^ { 2 } } } \cdot \mathbf { v } d t = - 0 + \int _ { \tau _ { 1 } } ^ { \tau _ { 2 } } { \frac { \mu _ { 0 } q ^ { 2 } } { 6 \pi c } } \mathbf { \dot { a } } \cdot \mathbf { v } d t
d \mathbb { P } _ { N , \beta } ^ { \mathbb { C } } ( \boldsymbol { \zeta } ) \propto e ^ { - \frac { \beta } { 2 } \mathbf { H } _ { N } ^ { \mathbb { C } } ( \boldsymbol { \zeta } ) } \prod _ { j = 1 } ^ { N } \, d A ( \zeta _ { j } ) , \qquad d \mathbb { P } _ { N , \beta } ^ { \mathbb { H } } ( \boldsymbol { \zeta } ) \propto e ^ { - \frac { \beta } { 2 } \mathbf { H } _ { N } ^ { \mathbb { H } } ( \boldsymbol { \zeta } ) } \prod _ { j = 1 } ^ { N } \, d A ( \zeta _ { j } ) ,
\begin{array} { r l r } { G _ { m \ell } } & { { } = } & { P _ { \ell } ( \cos \theta _ { 0 } ) P _ { m } ( \cos \theta _ { 0 } ) \biggl [ \ell ( \ell + 1 ) m ( m + 1 ) \sin \theta _ { 0 } g _ { m \ell } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \mathrm { ~ l ~ e ~ n ~ . ~ } } ^ { \mu \alpha } ( \omega ) = \frac { i e ^ { 2 } } { \hslash } \int [ d \mathbf { k } ] } & { { } \left( \sum _ { a b } f _ { a b } \frac { v _ { a b } ^ { \mu } v _ { b a } ^ { \alpha } } { \epsilon _ { b a } ( \omega - \epsilon _ { b a } ) } \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \nabla } V \vert _ { r < R _ { \mathrm { ~ f ~ } } } } & { { } = \frac { 3 \omega _ { \mathrm { ~ r ~ } } + \omega _ { \mathrm { ~ f ~ } } } { 2 } B _ { 0 } r ( 2 \sin \theta \cos \theta \cos \phi \mathbf { \hat { r } } + \cos 2 \theta \cos \phi \boldsymbol { \hat { \theta } } - \cos \theta \sin \phi \boldsymbol { \hat { \phi } } ) } \end{array}
R = \int T _ { \nu \mu } ( c ( c , x _ { 0 } , \tau ) ) \frac { \partial c ^ { \mu } ( c ( x , x _ { 0 } , t ) , x _ { 0 } , \tau ) } { \partial t } \frac { \partial c ^ { \nu } ( c , x _ { 0 } , \tau ) } { \partial \tau } d \tau
C _ { m _ { d } } ( \xi ) \; = \; \frac { 1 } { 2 \pi } \int d ^ { 2 } p \; \hat { C } _ { m _ { d } } ( p ) \; e ^ { i p \xi } \; = \; \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \int d ^ { 2 } p \; \frac { 1 } { p ^ { 2 } + m _ { d } ^ { 2 } } \; e ^ { i p \xi } \; ,
\begin{array} { c c l } { | \psi _ { \mathrm { ~ p ~ h ~ o ~ } } ^ { m } ( z _ { j } ) \rangle } & { = } & { \mathcal { F T } ^ { - 1 } \left[ \sum _ { p } ^ { n _ { \mathrm { ~ m ~ o ~ d ~ e ~ } } } ( \hat { a } _ { p } ^ { \dagger } | \phi _ { 0 } \rangle \langle \phi _ { 0 } | \hat { a } _ { p } ) | \psi ^ { m } \rangle \right] } \end{array}
\left( \mathcal { M } \times \Omega \right) _ { \mathbf { t } } \ni \left( x , \omega , s \right) \longmapsto \overline { { \mathbf { S } } } ^ { t } \left( x , \omega , s \right) : = \left( \overline { { \mathbf { R } } } ^ { \overline { { N } } _ { s + t } \left( x , \omega \right) } \left( x , \omega \right) , s + t - \mathbf { \bar { s } } _ { \overline { { N } } _ { s + t } \left( x , \omega \right) } \left( x , \omega \right) \right) \in \left( \mathcal { M } \times \Omega \right) _ { \mathbf { \bar { t } } } \ ,
\begin{array} { r l } { \mathbf H _ { i i } } & { = [ ( m - 1 ) d i a g ( \mathbf u ^ { \circledast ^ { m - 2 } } ) - \alpha \mathbf I _ { n } ] _ { i i } } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { ( m - 1 ) a ^ { m - 2 } - \alpha = \sigma _ { a } > 0 , \quad \quad u _ { i } = a > 0 } \\ { ( m - 1 ) b ^ { m - 2 } - \alpha = \sigma _ { b } < 0 , \quad \quad u _ { i } = b < 0 } \end{array} \right. . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left| \big ( G _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } ^ { \prime } E _ { - } G _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } G _ { 2 } \big ) _ { \boldsymbol { x } \boldsymbol { y } } \right| \prec \frac { 1 } { \eta } \left( 1 + \frac { \psi _ { 2 } ^ { \mathrm { i s o } } } { \sqrt { N \eta } } \right) + \big ( | e _ { 1 } + e _ { 2 } | + | \eta _ { 1 } - \eta _ { 2 } | \big ) \sum _ { \sigma } \left| \big ( G _ { 1 } E _ { \sigma } G _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } G _ { 2 } \big ) _ { \boldsymbol { x } \boldsymbol { y } } \right| \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega ( t ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \omega _ { \mathrm { m i n } } , \ } & { \mathrm { i f } \ t < T _ { \mathrm { p u l s e } } - T _ { \mathrm { r a m p } } , } \\ { \omega _ { \mathrm { m a x } } + \frac { ( \omega _ { \mathrm { m i n } } - \omega _ { \mathrm { m a x } } ) t } { T _ { \mathrm { r a m p } } } - \frac { ( T _ { \mathrm { p u l s e } } - T _ { \mathrm { r a m p } } ) ( \omega _ { \mathrm { m i n } } - \omega _ { \mathrm { m a x } } ) } { T _ { \mathrm { r a m p } } } , \ } & { \mathrm { i f } \ T _ { \mathrm { p u l s e } } - T _ { \mathrm { r a m p } } \leq t \leq T _ { \mathrm { p u l s e } } , } \\ { \omega _ { \mathrm { m i n } } , \ } & { \mathrm { i f } \ t > T _ { \mathrm { p u l s e } } , } \end{array} \right. } \\ { \lambda ( t ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \lambda _ { \mathrm { m a x } } , \ } & { \mathrm { i f } \ t < T _ { \mathrm { p u l s e } } - T _ { \mathrm { r a m p } } , } \\ { \lambda _ { \mathrm { m a x } } + \frac { ( \lambda _ { \mathrm { m i n } } - \lambda _ { \mathrm { m a x } } ) t } { T _ { \mathrm { r a m p } } } - \frac { ( T _ { \mathrm { p u l s e } } - T _ { \mathrm { r a m p } } ) ( \lambda _ { \mathrm { m i n } } - \lambda _ { \mathrm { m a x } } ) } { T _ { \mathrm { r a m p } } } , \ } & { \mathrm { i f } \ T _ { \mathrm { p u l s e } } - T _ { \mathrm { r a m p } } \leq t \leq T _ { \mathrm { p u l s e } } , } \\ { \lambda _ { \mathrm { m i n } } , \ } & { \mathrm { i f } \ t > T _ { \mathrm { p u l s e } } . } \end{array} \right. } \end{array}
\sigma ^ { 2 } ( \sqrt { s } y , \sqrt { s } y ^ { \prime } ) = s \left( ( y - y ^ { \prime } ) ^ { 2 } - \frac s 3 R _ { \mu \lambda \nu \rho } ( p _ { 0 } ) ( y - y ^ { \prime } ) ^ { \mu } ( y - y ^ { \prime } ) ^ { \nu } y ^ { \lambda } y ^ { \rho } + O ( s ^ { 3 / 2 } ) \right) ~ ~ ~ ,
\begin{array} { r } { \lambda ^ { 2 } + \lambda \ ( r e ^ { \alpha L _ { g } N _ { 0 , g } } + e ^ { - T _ { \mathrm { ~ r ~ t ~ } } / T _ { 2 } } ) + } \\ { e ^ { - T _ { \mathrm { ~ r ~ t ~ } } / T _ { 2 } } ( r e ^ { \alpha L _ { g } N _ { 0 , g } } + 1 - e ^ { \alpha L _ { g } N _ { 0 , g } } ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left< \Tilde { T } ^ { ( 0 ) } \hat { \mathbf { y } } \cdot \hat { \pmb { \theta } } \right> } & { { } = } & { \hat { \mathbf { y } } \cdot \hat { \mathbf { b } } \left< \Tilde { T } ^ { ( 0 ) } \cos \varphi ^ { ( 0 ) } \right> - \hat { \mathbf { y } } \cdot \hat { \mathbf { n } } \left< \Tilde { T } ^ { ( 0 ) } \sin \varphi ^ { ( 0 ) } \right> = 0 } \end{array}
\frac { \mathrm { d } Z } { \mathrm { d } \zeta } = \frac { 1 } { \zeta ^ { 2 } } + \frac { 3 } { 2 } \frac { 1 } { \zeta ^ { 4 } } + \frac { 1 5 } { 4 } \frac { 1 } { \zeta ^ { 6 } } + \cdots ,
\begin{array} { r } { 2 v _ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { n } a _ { n - j } ^ { n } v _ { j } \ge a _ { 0 } ^ { ( n ) } v _ { n } ^ { 2 } + \sum _ { k = 1 } ^ { n } p _ { n - k } ^ { ( n ) } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { k } a _ { k - j } ^ { ( k ) } v _ { j } \right) ^ { 2 } - \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } p _ { n - 1 - k } ^ { ( n - 1 ) } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { k } a _ { k - j } ^ { ( k ) } v _ { j } \right) ^ { 2 } . } \end{array}
2 . 2 1 c _ { 0 } = \frac { 1 } { 6 4 \pi ^ { 2 } } \left[ - \frac { 2 } { n - 4 } - \gamma _ { E } - \ell n \left( \frac { m ^ { 2 } } { 4 \pi \mu ^ { 2 } } \right) + \frac { 1 } { 2 } \right] , \; c _ { 1 } = \frac { 1 } { 3 8 4 \pi ^ { 2 } } ;
\begin{array} { r l r } { \widetilde x } & { = } & { \frac { \chi } { 3 a _ { 1 } ^ { 2 } r _ { 1 } m } - \frac { \sqrt [ 3 ] { \psi + \sqrt { \psi ^ { 2 } + 4 \left( \varphi - \chi ^ { 2 } \right) ^ { 3 } } } } { 3 \sqrt [ 3 ] { 2 } , a _ { 1 } ^ { 2 } r _ { 1 } m } } \\ & { } & { + \frac { \sqrt [ 3 ] { 2 } \left( \varphi - \chi ^ { 2 } \right) } { 3 a _ { 1 } ^ { 2 } r _ { 1 } m \sqrt [ 3 ] { \psi + \sqrt { \psi ^ { 2 } + 4 \left( \varphi - \chi ^ { 2 } \right) ^ { 3 } } } } , } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { ( x , y ) \to ( p , q ) } { \Bigl ( } f _ { 1 } ( x , y ) , f _ { 2 } ( x , y ) , f _ { 3 } ( x , y ) { \Bigr ) } = \left( \operatorname* { l i m } _ { ( x , y ) \to ( p , q ) } f _ { 1 } ( x , y ) , \operatorname* { l i m } _ { ( x , y ) \to ( p , q ) } f _ { 2 } ( x , y ) , \operatorname* { l i m } _ { ( x , y ) \to ( p , q ) } f _ { 3 } ( x , y ) \right) .
h ^ { + } ( m _ { 1 } ) = 4 \pi | V _ { \mathbf { p } _ { 1 } , \mathbf { p } _ { 2 } } ^ { \mathbf { p } } | _ { \triangle ^ { + } , m ^ { + } } ^ { 2 } \, f _ { p 1 2 , \triangle ^ { + } , m ^ { + } } \, k _ { 1 } k _ { 2 } / S _ { \triangle } ,
\left. + \underset { \Delta _ { 1 , 3 } } { \underbrace { \sqrt { \rho _ { b } } \sqrt { \rho _ { k } } \mathbf { \bar { h } } _ { r , k } ^ { H } \Theta ^ { H } \mathbf { \tilde { G } } ^ { H } \mathbf { \bar { G } } \Theta \bar { \Theta } } } + \underset { \Delta _ { 1 , 4 } } { \underbrace { \sqrt { \rho _ { k } } \mathbf { \bar { h } } _ { r , k } ^ { H } \Theta ^ { H } \mathbf { \tilde { G } } ^ { H } \mathbf { \tilde { G } } \Theta \bar { \Theta } } } \right)
\begin{array} { r l } { \mu _ { N - 1 } } & { = { \frac { \sin ( \varphi _ { 1 } ) } { \sin ( \theta _ { N } ) } } \lambda _ { 1 } + { \frac { \sin ( \varphi _ { 1 } ) \sin ( \theta _ { 3 } ) + \sin ( \varphi _ { 3 } ) \sin ( \theta _ { 2 } ) } { \sin ( \theta _ { N } ) \sin ( \theta _ { 2 } + \theta _ { 3 } ) } } \lambda _ { 2 } + { \frac { \sin ( \varphi _ { 3 } ) } { \sin ( \theta _ { N } ) } } \lambda _ { 3 } + \sum _ { 4 \leq j \leq N - 2 } { \frac { \sin ( \varphi _ { j } ) } { \sin ( \theta _ { N } ) } } \lambda _ { j } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \vec { m } _ { 5 } ( \xi _ { 1 } ) - \vec { m } _ { 5 } ( \xi _ { 2 } ) | } & { \le _ { \alpha } \mathtt { M } ^ { - 3 } \left( | \vec { m } _ { 3 , r } ( \xi _ { 1 } ) - \vec { m } _ { 3 , r } ( \xi _ { 2 } ) | + | \vec { m } _ { 3 , 3 } ( \xi _ { 1 } ) - \vec { m } _ { 3 , 3 } ( \xi _ { 2 } ) | + | \vec { m } _ { 4 } ( \xi _ { 1 } ) - \vec { m } _ { 4 } ( \xi _ { 2 } ) | \right) } \\ & { \overset { , , } { \le _ { \alpha , \nu , S _ { 0 } ^ { + } } } \mathtt { M } | \xi _ { 1 } - \xi _ { 2 } | ( | \xi _ { 1 } | + | \xi _ { 2 } | ) ^ { \alpha - 3 } + \mathtt { M } ^ { - 1 } | \xi _ { 1 } - \xi _ { 2 } | ( | \xi _ { 1 } | + | \xi _ { 2 } | ) ^ { \alpha - 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { G } \left( \mathbf { r } , \omega _ { 0 } \right) = } & { { } \frac { e ^ { i k _ { 0 } r } } { 4 \pi k _ { 0 } ^ { 2 } r ^ { 3 } } \Bigl [ \left( k _ { 0 } ^ { 2 } r ^ { 2 } + i k _ { 0 } r - 1 \right) \mathbf { 1 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \Omega _ { \Lambda } ^ { \it e } \equiv \Omega _ { \lambda } ( \infty ) = \Omega _ { \Lambda } ^ { 0 } - \int _ { 1 } ^ { \infty } \d b \frac { \Omega _ { e } ^ { \prime } ( b ) } { b ^ { 3 } } . } \end{array}
\begin{array} { l l } & { ( a _ { 0 } + a _ { 1 } t + a _ { 2 } t ^ { 2 } ) ( b _ { 0 } + b _ { 1 } t + b _ { 2 } t ^ { 2 } ) } \\ { = } & { ( a _ { 0 } \star b _ { 0 } + a _ { 1 } \star b _ { - 1 } + a _ { 2 } \star b _ { - 2 } ) } \\ { + } & { ( a _ { 0 } \star b _ { 1 } + a _ { 1 } \star b _ { 0 \phantom { - } } + a _ { 2 } \star b _ { - 1 } ) t } \\ { + } & { ( a _ { 0 } \star b _ { 2 } + a _ { 1 } \star b _ { 1 \phantom { - } } + a _ { 2 } \star b _ { 0 } \phantom { - } ) t ^ { 2 } , } \end{array}
K ( t ) = \kappa N f ( 1 - f ) ( 1 - p ) X _ { T } \frac { 1 } { 1 - { \tau _ { \mathrm { r } } } / { \tau _ { \mathrm { m } } } } \left( - e ^ { - \tau / { \tau _ { \mathrm { m } } } } + e ^ { - \tau / { \tau _ { \mathrm { r } } } } \right) .
\begin{array} { r } { \beta _ { c } \equiv \frac { \pi | \Lambda | } { 2 \sigma _ { a } } = \pi ^ { 3 } | \Lambda | , \ \ \ \kappa _ { c } \equiv \frac { 4 | \Lambda | } { Z _ { i } ^ { 0 } } = \frac { 4 | \Lambda | } { \sqrt { 2 \pi N } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { B _ { c 1 } = \frac { \epsilon ( 0 ) } { \mu _ { z } ( 0 ) } = \frac { B _ { \phi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d k \tilde { \psi } _ { X = 0 } ( 0 , k ) } { ( 8 / W ^ { 2 } ) \int _ { - W / 2 } ^ { W / 2 } d x \tilde { \psi } _ { X = 0 } ( x , 0 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f ^ { * } u ( \phi ) } & { = } & { \int _ { X } u ( f ( x ) ) \phi ( x ) \, d x = \int _ { X } \int _ { \mathbb { F } ^ { n } } \mathcal { F } u ( \eta ) \chi ( f ( x ) \cdot \eta ) \, d \eta \, \phi ( x ) \, d x } \\ & { = } & { \int _ { \mathbb { F } ^ { n } } \mathcal { F } u ( \eta ) \, I _ { \phi } ( \eta ) \, d \eta \, , } \\ { I _ { \phi } ( \eta ) } & { = } & { \int _ { X } \chi ( f ( x ) \cdot \eta ) \phi ( x ) \, d x \, . } \end{array}
{ R } _ { 1 2 } ( u - v ) Z _ { 2 1 } ^ { - 1 } T _ { 1 } ( u ) Z _ { 1 2 } ^ { - 1 } T _ { 2 } ( v ) = Z _ { 1 2 } ^ { - 1 } T _ { 2 } ( v ) Z _ { 2 1 } ^ { - 1 } T _ { 1 } ( u ) { R } _ { 1 2 } ( u - v ) \ll { b q y b e t }
\forall _ { q \in s _ { 2 } ^ { A } } \ \ \ \rho _ { q } ( \mathbf { r } ) = \sum _ { q ^ { \prime } \in s _ { 2 } ^ { A } } n _ { q ^ { \prime } } \ \varphi _ { q ^ { \prime } } ( \mathbf { r } ) ^ { 2 } \ , \ \ \ \ \ N _ { q } = \sum _ { q ^ { \prime } \in s _ { 2 } ^ { A } } n _ { q ^ { \prime } } ,
B _ { r } ^ { h f } = \frac { E _ { 0 } ^ { h f } } { J _ { 1 } \left( p _ { 0 1 } \right) } \frac { \omega \varepsilon _ { 0 } \mu _ { 0 } } { k _ { \perp } ^ { 2 } } \frac { J _ { 1 } \left( k _ { \perp } r \right) } { r } \cos ( \omega t - \varphi + \psi _ { 0 } ) ,
\begin{array} { r l } { \Psi _ { \partial } \equiv \omega _ { k } \frac { \partial \mathit { { E } } _ { k } ^ { R } } { \partial \omega _ { k } } e ^ { i \phi _ { k } } J _ { n + 1 } + \omega _ { k } \frac { \partial \mathit { { E } } _ { k } ^ { L } } { \partial \omega _ { k } } } & { { } e ^ { - i \phi _ { k } } J _ { n - 1 } + 2 \Psi _ { \partial } ^ { z } , } \end{array}
\frac { \partial { \psi } _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } ^ { \mathrm { ~ m ~ } } ( E _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } , E _ { 2 } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } , E _ { 3 } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } , \xi , \mathrm { ~ d ~ } ) } { \partial { \mathrm { ~ E ~ } _ { i } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } } }
V _ { u s } \simeq O ( 1 ) \ \frac { m _ { d } } { m _ { s } } , \quad V _ { c b } \simeq O ( 1 ) \ \frac { m _ { s } } { m _ { b } } , \quad V _ { u b } \simeq O ( 1 ) \ \frac { m _ { d } } { m _ { b } } .
\frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d t } \langle T ^ { 2 } \rangle _ { V , t } + \frac { 1 } { 2 } \langle \boldsymbol { \nabla } \cdot ( \boldsymbol { u _ { c p } } T ^ { 2 } ) \rangle _ { V , t } = \sqrt { \frac { 1 } { R a P r } } \langle T \boldsymbol { \nabla } \cdot ( { \tilde { \lambda _ { c p } } \boldsymbol { \nabla } T } ) \rangle _ { V , t } .
0 \longrightarrow \mathcal { O } _ { X } \longrightarrow \mathcal { E } x t _ { \mathcal { O } _ { X } } ^ { 1 } ( \mathcal { O } _ { X } \to L , \mathcal { O } _ { X } ) \longrightarrow \mathcal { E } x t _ { \mathcal { O } _ { X } } ^ { 1 } ( L , \mathcal { O } _ { X } ) \longrightarrow 0 ,
\frac { d f } { d p _ { k } } = \frac { \partial f } { \partial p _ { k } } - \sum _ { m = 1 } ^ { M _ { \mathrm { i n } } } 2 \mathrm { R e } \left( C _ { m } ^ { \mathrm { a d j } } \mathbf { A } ^ { - 1 } \frac { \partial \mathbf { A } } { \partial p _ { k } } \mathbf { A } ^ { - 1 } B _ { m } \right) .
\begin{array} { r l } & { \Sigma _ { i j } ( \Omega ) = \left[ \frac 1 { \Omega - H \otimes 1 - 1 \otimes H } \right] _ { i i , j j } , } \\ & { \Sigma _ { i } ^ { + } ( \Omega ) = \frac { 1 } { \gamma _ { \mathrm { 1 D } } ^ { 2 } } \left[ \frac { ( \omega _ { 0 } - H ) \otimes ( \omega _ { 0 } - H ) } { \Omega - H \otimes 1 - 1 \otimes H } \right] _ { 1 1 , i i } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { L I S ( \sigma | _ { ( \kappa + \alpha A _ { 1 } , \kappa + \alpha A _ { 2 } ] \times ( \kappa + \gamma B _ { 1 } , \kappa + \gamma B _ { 2 } ] } ) = N } \\ & { \leq } & { \sum _ { l = 1 } ^ { T _ { 1 } + T _ { 2 } - 1 } L I S ( \sigma | _ { [ \kappa + \alpha a _ { l - 1 } ( \Gamma ) , \kappa + \alpha c _ { l } ( \Gamma ) ] \times [ \kappa + \gamma b _ { l - 1 } ( \Gamma ) , \kappa + \gamma d _ { l } ( \Gamma ) ] } ) } \\ & { \leq } & { \operatorname* { m a x } _ { \Gamma \in \Pi _ { A _ { 1 } , A _ { 2 } ; B _ { 1 } , B _ { 2 } } ^ { T _ { 1 } , T _ { 2 } , K _ { 0 } } } \sum _ { l = 1 } ^ { T _ { 1 } + T _ { 2 } - 1 } L I S ( \sigma | _ { [ \kappa + \alpha a _ { l - 1 } ( \Gamma ) , \kappa + \alpha c _ { l } ( \Gamma ) ] \times [ \kappa + \gamma b _ { l - 1 } ( \Gamma ) , \kappa + \gamma d _ { l } ( \Gamma ) ] } ) . } \end{array}
\mathbf { A } ( \mathbf { r } , t ) = \nabla \times \int { \frac { \mathbf { B } ( \mathbf { r } ^ { \prime } , t ) } { 4 \pi R } } \operatorname { d } \! ^ { 3 } \mathbf { r } ^ { \prime } + \nabla \psi ( \mathbf { r } , t )
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \{ | \mathcal { S } ( X , Y , \varepsilon ) | \ge \delta r _ { 0 } n \} } & { { } \le \mathbb { P } \{ \| X - Y \| ^ { 2 } \ge \varepsilon ^ { 2 } \delta c _ { x } ^ { 2 } r _ { 0 } n \} } \end{array}
\begin{array} { r l } { A } & { = \int _ { \operatorname* { m i n } h } ^ { 1 + \operatorname* { m a x } h } \int _ { \gamma ^ { - } \cap \{ y _ { 2 } \leq z \} } n _ { - } \cdot ( \nabla T - u T ) \, d S \, d z } \\ { B } & { = \int _ { \operatorname* { m i n } h } ^ { 1 + \operatorname* { m a x } h } \int _ { \gamma ^ { + } \cap \{ y _ { 2 } \leq z \} } n _ { + } \cdot ( \nabla T - u T ) \, d S \, d z } \\ { C } & { = \int _ { \operatorname* { m i n } h } ^ { 1 + \operatorname* { m a x } h } \int _ { \Omega \cap \{ y _ { 2 } = z \} } n _ { + } \cdot ( \nabla T - u T ) \, d S \, d z . } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { E _ { k } ^ { + } } \\ { E _ { k } ^ { - } } \end{array} \right] _ { z = z _ { k } } = [ M _ { k i } ^ { \mathrm { s } } ] \left[ \begin{array} { l } { E _ { i } ^ { + } } \\ { E _ { i } ^ { - } } \end{array} \right] _ { z = z _ { i } } = [ I _ { k j } ] [ P _ { j } ^ { \mathrm { s } } ] [ I _ { j i } ] [ P _ { i } ^ { \mathrm { s } } ] \left[ \begin{array} { l } { E _ { i } ^ { + } } \\ { E _ { i } ^ { - } } \end{array} \right] _ { z = z _ { i } } ,
\left| \sum _ { s = 1 } ^ { t } U _ { s } ^ { t } \right| \leq \left( \frac { 4 } { 3 } + 2 \sqrt { \frac { 5 \left( \sigma / M \right) ^ { p } } { 1 - \beta } } \right) M \log \frac { 4 T } { \delta } ; \enskip \left| \sum _ { s = 1 } ^ { t } R _ { s } ^ { t } \right| \leq \left( \frac { 1 6 } { 3 } + 4 \sqrt { \frac { 5 \left( \sigma / M \right) ^ { p } } { 1 - \beta } } \right) M ^ { 2 } \log \frac { 4 T } { \delta } .
\rho = \frac { L _ { p } ^ { ( 3 - d ) } } { 4 \pi } \frac { ( d - 1 ) } { A } \, \left( k + \frac { A ^ { 2 } } { \ell ^ { 2 } } + \dot { A } ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } ,
\begin{array} { r l r } { f _ { \boldsymbol { q } n } / f _ { \boldsymbol { q } n } ^ { \prime } } & { = } & { e ^ { - \nu _ { \boldsymbol { q } n } d / 2 } / \cos ( \kappa _ { \boldsymbol { q } n } d / 2 ) , } \\ { f _ { \boldsymbol { q } n } / f _ { \boldsymbol { q } n } ^ { \prime \prime } } & { = } & { \cosh \left( \nu _ { \boldsymbol { q } n } \delta / 2 \right) / \cos ( \kappa _ { \boldsymbol { q } n } \delta / 2 ) . } \end{array}
E ( k ) \sim \left\{ \begin{array} { l l } { \epsilon ^ { 2 / 3 } k ^ { - 5 / 3 } \quad } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad k \ll k _ { \mathrm { ~ o ~ d ~ d ~ } } , } \\ { \epsilon ^ { 2 / 3 } k ^ { - 5 / 3 } \left( k / k _ { \mathrm { ~ o ~ d ~ d ~ } } \right) ^ { s } \quad } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad k \gg k _ { \mathrm { ~ o ~ d ~ d ~ } } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { k ( t ) } & { { } = } & { \frac { 2 | J | ^ { 2 } } { \hbar ^ { 2 } } \mathrm { R e } \left[ \int _ { 0 } ^ { t } d \tau e ^ { i ( \tilde { E } _ { 1 } - \tilde { E } _ { 2 } ) \tau / \hbar } \left( e ^ { - { \mathcal C } ( \tau ) } - e ^ { - { \mathcal C } _ { R , s } } \right) \right] } \end{array}
\left( \begin{array} { c c } { { \hat { K } } } & { { g } } \\ { { - g } } & { { \hat { F } } } \end{array} \right) \longrightarrow \left( \begin{array} { c c } { { \Lambda \hat { K } \Lambda ^ { t } } } & { { \Lambda g \Lambda ^ { t } } } \\ { { - \Lambda g \Lambda ^ { t } } } & { { \Lambda \hat { F } \Lambda ^ { t } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { \mathbf { H } = \left[ \begin{array} { l l l } { g ( \langle \omega _ { 1 } , x _ { 1 } \rangle + b _ { 1 } ) } & { \dots } & { g ( \langle \omega _ { N } , x _ { 1 } \rangle + b _ { N } ) } \\ { \vdots } & { \dots } & { \vdots } \\ { g ( \langle \omega _ { 1 } , x _ { n } \rangle + b _ { 1 } ) } & { \dots } & { g ( \langle \omega _ { N } , x _ { n } \rangle + b _ { N } ) } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { L } ( g , \dot { g } , \dot { q } q ^ { - 1 } , \chi _ { 0 } q ^ { - 1 } , a _ { 0 } ) } & { { } = \tilde { L } ( e , \dot { g } g ^ { - 1 } , ( \dot { q } q ^ { - 1 } ) g ^ { - 1 } , ( \chi _ { 0 } q ^ { - 1 } ) g ^ { - 1 } , a _ { 0 } g ^ { - 1 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { g } \in \bigg | - \frac { d _ { 2 } } { \iota _ { X } } K _ { Y } + \Big ( \frac { d _ { 2 } } { \iota _ { X } a _ { \xi } } - \frac { 2 } { a _ { \xi } } \Big ) E \bigg | } & { = \bigg | - \frac { 2 a _ { v } } { \iota _ { X } } K _ { Y } + \Big ( \frac { 2 a _ { v } } { \iota _ { X } a _ { \xi } } - \frac { 2 \iota _ { X } } { \iota _ { X } a _ { \xi } } \Big ) E \bigg | } \\ & { = \Bigg | - a _ { v } K _ { Y } + \frac { a _ { v } - 2 } { a _ { \xi } } E \bigg | } \\ & { = | - a _ { v } K _ { Y } + E | . } \end{array}
D _ { \mathrm { R } } \simeq \exp \left( - 3 . 6 4 \sqrt { \frac { \Gamma } { \Gamma _ { \mathrm { f r } } } } \right) , \quad \eta _ { \mathrm { R } } \simeq 0 . 1 3 \exp \left( 3 . 6 4 \sqrt { \frac { \Gamma } { \Gamma _ { \mathrm { f r } } } } \right) ,
2 \pi i \rho ( \omega ) = \sum _ { i } \delta ( \omega - p _ { i } ) 2 \pi i \mathrm { R e s } [ f ( z = \omega ) ] + \sum _ { j } \Theta ( \omega - l _ { j } ) \Theta ( u _ { j } - \omega ) \mathrm { D i s c } [ f ( z = \omega ) ] ,
{ \cal L } _ { \mathrm { e f f } } = \sum _ { i , j } { \frac { 1 } { 2 } } K _ { \phi _ { i } , { \bar { \phi } } _ { j } } \nabla \phi _ { i } \cdot \nabla { \bar { \phi } } _ { j } - \mathrm { e } ^ { K } \left[ \ \sum _ { i , j } K ^ { \phi _ { i } \ { \bar { \phi } } _ { j } } ( D _ { \phi _ { i } } W ) ( D _ { { \bar { \phi } } _ { j } } W ) ^ { \dag } - 3 | W | ^ { 2 } \ \right]
\begin{array} { r l } { 1 - } & { \frac { 1 } { 4 ( \gamma ^ { 2 } - 1 ) \sqrt { \pi \operatorname* { m a x } \{ I _ { n } ^ { \prime \prime \prime } - \mu _ { n } , \mu _ { n } + K \} \gamma ^ { 2 } } } \left( \frac { 2 \gamma ^ { 2 } } { e ^ { \gamma ^ { 2 } - 1 } } \right) ^ { 2 } } \\ & { - \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi ( K + 1 ) } } \left( \frac { e } { K + 1 } \right) ^ { K + 1 } - \frac { 1 } { 4 ( \gamma ^ { 2 } - 1 ) \sqrt { \pi I _ { n } \gamma ^ { 2 } } } \left( \frac { 2 \gamma ^ { 2 } } { e ^ { \gamma ^ { 2 } - 1 } } \right) ^ { 2 } } \end{array}
T _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ a ~ i ~ n ~ } } \times M _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ a ~ i ~ n ~ - ~ e ~ x ~ t ~ r ~ a ~ } } + T _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ f ~ e ~ r ~ } } \times M _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ f ~ e ~ r ~ } }
{ \cal L } _ { W \phi } = - g \frac { F _ { 0 } } { 2 } [ { \cal W } _ { \mu } ^ { + } ( V _ { u d } \partial ^ { \mu } \pi ^ { - } + V _ { u s } \partial ^ { \mu } K ^ { - } ) + { \cal W } _ { \mu } ^ { - } ( V _ { u d } \partial ^ { \mu } \pi ^ { + } + V _ { u s } \partial ^ { \mu } K ^ { + } ) ] .
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } \big ( G _ { 1 } A _ { 1 } G ( w _ { 2 , s } ) A _ { 1 } ^ { * } G _ { 1 } ^ { * } \big ) _ { \boldsymbol { x } \boldsymbol { x } } \, \frac { \mathrm { d } s } { \sqrt { \eta _ { 2 } ^ { 2 } + s ^ { 2 } } } } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } \big ( G _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } ^ { w _ { 1 } , w _ { 2 , s } } G ( w _ { 2 , s } ) ( \mathring { A } _ { 1 } ^ { * } ) ^ { w _ { 2 , s } , w _ { 1 } } G _ { 1 } ^ { * } \big ) _ { \boldsymbol { x } \boldsymbol { x } } \, \frac { \mathrm { d } s } { \sqrt { \eta _ { 2 } ^ { 2 } + s ^ { 2 } } } + \mathcal { E } \, . } \end{array}