harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { E _ { 2 } ( h _ { 0 } , h _ { 1 } , \eta _ { 3 } , \phi , t ) } & { = \left( \frac { \theta _ { k } - \phi } { \log h _ { 1 } } + \frac { \operatorname* { m a x } \left\{ 0 , \frac { \log ( h _ { 0 } h _ { 1 } ) } { \log h _ { 1 } } \right\} } { \log t } \right) \left( C _ { k } ( \eta _ { 3 } , h _ { 1 } ) + D _ { k } ( \eta _ { 3 } , h _ { 1 } ) h _ { 1 } ^ { 2 / K - k / ( K - 1 ) } \right) } \\ & { \qquad \qquad + \frac { 1 } { \log t } \frac { h _ { 1 } ^ { 1 - k / ( 2 K - 2 ) } } { h _ { 1 } ^ { 1 - k / ( 2 K - 2 ) } - 1 } h _ { 0 } ^ { k / ( 2 K - 2 ) - 1 } t ^ { 1 / ( k K - 2 K + 2 ) - \phi } } \end{array}
\begin{array} { r } { X _ { \mathit { E } } ^ { T } \{ I - X _ { \mathit { F } } ( X _ { \mathit { F } } ^ { T } X _ { \mathit { F } } ) ^ { - 1 } X _ { \mathit { F } } ^ { T } \} X _ { \mathit { E } } \hat { \theta } _ { Y : \mathit { E } . \mathit { F } } = X _ { \mathit { E } } ^ { T } \{ I - X _ { \mathit { F } } ( X _ { \mathit { F } } ^ { T } X _ { \mathit { F } } ) ^ { - 1 } X _ { \mathit { F } } ^ { T } \} Y . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { d i a g } \left( \textbf { m } \right) \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } \textbf { M } } \\ { \mathrm { d i a g } \left( \pmb { \gamma } \right) \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } \textbf { Z } } \end{array}
\operatorname { L i } _ { 4 } ( { \frac { 1 } { 2 } } ) = { \frac { 1 } { 3 6 0 } } \pi ^ { 4 } - { \frac { 1 } { 2 4 } } ( \ln 2 ) ^ { 4 } + { \frac { 1 } { 2 4 } } \pi ^ { 2 } ( \ln 2 ) ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 } } \zeta ( { \bar { 3 } } , { \bar { 1 } } ) ,
\frac { \textrm { d } } { \textrm { d } t } \left( \frac { E ( t ) } { E _ { 0 } } \right) = - \frac { 4 \gamma } { v _ { 0 } ^ { 2 } + \omega _ { 0 } ^ { 2 } x _ { 0 } ^ { 2 } } \dot { x } ( t ) ^ { 2 } \, .
\begin{array} { r l } { \xi } & { { } = \frac { - 1 } { c _ { \phi } f _ { s } } { \star \tilde { \xi } } + \frac { 1 } { f _ { s } } { \cal M } , } \\ { \psi } & { { } = \frac { ( - ) ^ { p + 1 } } { c _ { \phi } m ^ { 2 } } { \star \tilde { \xi } _ { \psi } } + \frac { 1 } { m ^ { 2 } } { \cal J } _ { e } ^ { \prime } , } \end{array}
\mathcal { L } = \alpha _ { 0 } \mathcal { L } _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ c ~ o ~ n ~ } } + \alpha _ { 1 } \mathcal { L } _ { \mathrm { ~ m ~ e ~ a ~ n ~ } } + \alpha _ { 2 } \mathcal { L } _ { \mathrm { ~ k ~ i ~ n ~ e ~ t ~ i ~ c ~ } } ,
\begin{array} { r l } { - \frac { \partial S } { \partial t } } & { = - \frac { D } { 2 R } \frac { \partial ^ { 2 } R } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { D } { 2 } \left( \frac { \partial S } { \partial x } \right) ^ { 2 } } \\ { \frac { \partial R } { \partial t } } & { = - \frac { D } { 2 } \left( 2 \frac { \partial R } { \partial x } \frac { \partial S } { \partial x } + R \frac { \partial ^ { 2 } S } { \partial x ^ { 2 } } \right) } \end{array}
\mathrm { w i t h ~ } \; \; \; \omega _ { l , m , n } \equiv \sqrt { \Biggl ( \frac { l \pi } { 2 L _ { x } } \Biggr ) ^ { 2 } + \Biggl ( \frac { m \pi } { 2 L _ { y } } \Biggr ) ^ { 2 } + \Biggl ( \frac { n \pi } { 2 L _ { z } } \Biggr ) ^ { 2 } } \; \; ,
\begin{array} { r l } { h \left( E ^ { r } \times _ { i = 1 } ^ { d - r } X _ { i } \right) } & { = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { \log \left| \mathcal { P } \left( \Delta _ { n } , E ^ { r } \times _ { i = 1 } ^ { d - r } X _ { i } \right) \right| } { \left| \Delta _ { n } \right| } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { \log \left| \mathcal { P } \left( \Delta _ { n } , \times _ { i = 1 } ^ { d - r } X _ { i } \right) \right| \prod _ { j = 1 } ^ { n } \left| \mathcal { P } \left( \Delta _ { j - 1 } , \times _ { i = 1 } ^ { d - r } X _ { i } \right) \right| ^ { r d ^ { n - j } } } { 1 + d + \cdots + d ^ { n } } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { \sum _ { j = 1 } ^ { n } r d ^ { n - j } \log \left| \mathcal { P } \left( \Delta _ { j - 1 } , \times _ { i = 1 } ^ { d - r } X _ { i } \right) \right| } { 1 + d + \cdots + d ^ { n } } + \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { \log \left| \mathcal { P } \left( \Delta _ { n } , \times _ { i = 1 } ^ { d - r } X _ { i } \right) \right| } { 1 + d + \cdots + d ^ { n } } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { \sum _ { j = 1 } ^ { n } r d ^ { - j } \log \left| \mathcal { P } \left( \Delta _ { j - 1 } , \times _ { i = 1 } ^ { d - r } X _ { i } \right) \right| } { 1 + d ^ { - 1 } + \cdots + d ^ { - n } } } \\ & { = r ( d - 1 ) \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \frac { \log \left| \mathcal { P } \left( \Delta _ { j - 1 } , \times _ { i = 1 } ^ { d - r } X _ { i } \right) \right| } { d ^ { j + 1 } } . } \end{array}
\Lambda _ { \cal Q } ^ { H } [ q ] = { \hat { \lambda } } _ { q } + { \hat { h } } _ { q } , \, L a m b d a _ { \cal Q } ^ { S _ { \pm } } [ q ] = { \hat { f } } _ { Q } ^ { \pm } + { \hat { \lambda } } _ { Q } ^ { \pm }
\mathcal { U } _ { i } ^ { \infty } = U _ { i } ^ { \infty } , ~ \mathcal { U } _ { i + 3 } ^ { \infty } = \itOmega _ { i } ^ { \infty } , ~ \mathcal { G } _ { i j k } = \itGamma _ { i j k } ^ { U } , ~ \mathcal { G } _ { i + 3 , j k } = \itGamma _ { i j k } ^ { \itOmega } .
\begin{array} { r l } { q ( \boldsymbol { x } ) = } & { \prod _ { j = 1 } ^ { n } q ( x _ { j } | \boldsymbol { x } _ { < j } ) } \\ { \mathrm { w i t h } } & { \ \ \ q ( x _ { j } | \boldsymbol { x } _ { < j } ) = \frac { q ( \boldsymbol { x } _ { \le j } ) } { \sum _ { x _ { j } } q ( \boldsymbol { x } _ { \le j } ) } } \\ & { \ \ \ q ( \boldsymbol x _ { \le j } ) : = \sum _ { \alpha _ { j } } \tilde { \psi } _ { L } ^ { \alpha _ { j } } ( \boldsymbol x _ { \le j } ) \tilde { \psi } _ { L } ^ { \alpha _ { j } } ( \boldsymbol x _ { \le j } ) ^ { * } } \\ & { \ \ \ \tilde { \psi } _ { L } ^ { \alpha _ { j } } ( \boldsymbol x _ { \le j } ) : = \sum _ { \boldsymbol { \alpha } _ { < j } } \prod _ { i = 1 } ^ { j } \tilde { \psi } ^ { \alpha _ { i - 1 } \alpha _ { i } } ( x _ { i } | \boldsymbol x _ { < i } ) } \end{array}
( x , y ) = \frac { ( \delta x ^ { * } , y ^ { * } ) } { \delta L ^ { * } } , \quad ( u , v ) = \frac { ( \delta u ^ { * } , v ^ { * } ) } { \delta U ^ { * } } , \quad p = \frac { p ^ { * } } { \rho ^ { * } ( U ^ { * } ) ^ { 2 } } , \quad T _ { i , j } = \frac { \tau _ { i ^ { * } , j ^ { * } } ^ { * } L ^ { * } } { \mu _ { 0 } ^ { * } U ^ { * } } ,
\sum _ { k = 1 } ^ { \infty } T _ { 2 n , 2 k - 1 } \frac { v _ { 2 k - 1 } ^ { ( \kappa ) } } { \sqrt { 2 k - 1 } } = - \frac { v _ { 2 n } ^ { ( \kappa ) } } { \sqrt { 2 n } } \operatorname { t a n h } \left( \frac { \kappa \pi } { 4 } \right) \, ,
\forall \omega _ { p } \in { \textstyle \bigwedge } ^ { p } V , \omega _ { n - p } \in { \textstyle \bigwedge } ^ { n - p } V , ( \varphi ^ { \mathrm { T } } \omega _ { n - p } ) \wedge \omega _ { p } = \omega _ { n - p } \wedge ( \varphi \omega _ { p } )
\sum _ { \ell = 1 } ^ { k + 1 } ( - 1 ) ^ { \ell } W _ { i _ { 1 } , \dots , i _ { k - 1 } , j _ { \ell } } W _ { j _ { 1 } , \dots , { \widehat { j _ { \ell } } } , \dots j _ { k + 1 } } = 0 ,
\hat { H } _ { f } = \int d \mathbf { r } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \omega _ { f } \hbar \omega _ { f } \hat { \mathbf { f } } ^ { \dagger } \left( \mathbf { r } , \omega _ { f } \right) \cdot \hat { \mathbf { f } } \left( \mathbf { r } , \omega _ { f } \right)
\kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 4 } } = \lambda _ { 3 , 4 } ( \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 3 } } \cdot \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 3 } } ) + \frac { 1 } { \chi - 2 } \left( ( \lambda _ { 1 , 2 } ( \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 4 } } ) \cdot \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 2 } } + \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 2 } } \cdot \lambda _ { 1 , 2 } ( \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 4 } } ) \right) - \frac { 1 } { \chi ( \chi - 2 ) } \kappa _ { e ^ { 2 } } \cdot \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 2 } } \cdot \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { F _ { 0 } ( \vec { x } ) = } & { G _ { 0 } ( u _ { \bot } x _ { 1 } + ( 1 - u _ { \bot } ) ( 1 - T _ { 1 } ) x _ { 2 } , ( u _ { \Delta } x _ { 3 } ) ^ { 2 } + ( ( 1 - u _ { \Delta } ) ( 1 - T _ { 1 } ) x _ { 4 } ) ^ { 2 } + 2 u _ { \Delta } ( 1 - u _ { \Delta } ) ( 1 - T _ { 1 } ) ( 1 - T _ { 1 } ^ { 2 } ) x _ { 5 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \{ \mathbf { u } _ { 0 } , \; . . . , \; \mathbf { u } _ { n - 1 } \} } & { = \underset { \mathbf { u } } { \mathrm { m i n } } \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } ( \mathbf { x } _ { k } - \mathbf { x } _ { r e f , \; k } ) ^ { T } \mathbf { Q } ( \mathbf { x } _ { k } - \mathbf { x } _ { r e f , \; k } ) + \mathbf { u } _ { k } \mathbf { R } \mathbf { u } _ { k } , } \\ { \mathrm { s . t . } \quad \dot { \mathbf { x } } _ { k } } & { = \mathbf { f } ( \mathbf { x } _ { k } , \mathbf { u } _ { k } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { r _ { i } } & { = } & { \sum _ { \rho _ { j } } \sum _ { \varphi _ { j } } \frac { a _ { i j } \cos { \left( \psi _ { j } - \psi _ { i } \right) } \left[ \lambda r _ { j } + \rho _ { j } \cos { \left( \Delta \varphi _ { j } \right) } \right] } { \sqrt { ( \lambda r _ { j } ) ^ { 2 } + 2 \lambda r _ { j } \rho _ { j } \cos \left( \Delta \varphi _ { j } \right) + \rho ^ { 2 } } } - \sum _ { \rho _ { j } } \sum _ { \varphi _ { j } } \frac { a _ { i j } \sin { \left( \psi _ { j } - \psi _ { i } \right) } \rho _ { j } \sin { \left( \Delta \varphi _ { j } \right) } } { \sqrt { ( \lambda r _ { j } ) ^ { 2 } + 2 \lambda r _ { j } \rho _ { j } \cos \left( \Delta \varphi _ { j } \right) + \rho ^ { 2 } } } , } \\ { 0 } & { = } & { \sum _ { \rho _ { j } } \sum _ { \varphi _ { j } } \frac { a _ { i j } \sin { \left( \psi _ { j } - \psi _ { i } \right) } \left[ \lambda r _ { j } + \rho _ { j } \cos { \left( \Delta \varphi _ { j } \right) } \right] } { \sqrt { ( \lambda r _ { j } ) ^ { 2 } + 2 \lambda r _ { j } \rho _ { j } \cos \left( \Delta \varphi _ { j } \right) + \rho ^ { 2 } } } + \sum _ { \rho _ { j } } \sum _ { \varphi _ { j } } \frac { a _ { i j } \cos { \left( \psi _ { j } - \psi _ { i } \right) } \rho _ { j } \sin { \left( \Delta \varphi _ { j } \right) } } { \sqrt { ( \lambda r _ { j } ) ^ { 2 } + 2 \lambda r _ { j } \rho _ { j } \cos \left( \Delta \varphi _ { j } \right) + \rho ^ { 2 } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { W ^ { + } ( \Delta ) \equiv } & { { } W _ { + + } + W _ { + - } } \\ { = } & { { } \frac { N } { 2 } \left( q - \Delta \right) \left( 1 - q + \Delta \right) } \\ { W ^ { - } ( \Delta ) } & { { } \equiv W _ { - + } + W _ { -- } } \end{array}
{ S _ { \alpha \beta } ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } , t h } } = \frac { 2 e ^ { 2 } } { h } \int d E ( f ( E ) ( 1 - f ( E ) ) \times - ( T _ { \alpha \beta } ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } } + T _ { \beta \alpha } ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } } ) .
\begin{array} { r l } { e _ { 1 } } & { \mapsto - e _ { 1 } - e _ { 3 } - e _ { 4 } - e _ { 5 } - e _ { 6 } } \\ { e _ { 2 } } & { \mapsto e _ { 3 } + e _ { 4 } + e _ { 5 } } \\ { e _ { 3 } } & { \mapsto - e _ { 2 } - e _ { 3 } - e _ { 4 } } \\ { e _ { 4 } } & { \mapsto - e _ { 4 } - e _ { 5 } } \\ { e _ { 5 } } & { \mapsto e _ { 4 } } \\ { e _ { 6 } } & { \mapsto e _ { 1 } + e _ { 2 } + e _ { 3 } + e _ { 4 } + e _ { 5 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { 1 } ^ { ( k - 1 ) } } & { = \frac { 1 } { \gamma _ { 1 } } \left( \hat { w } _ { 1 } ^ { ( k - 1 ) } \left( \frac { \gamma _ { 1 } } { \sigma _ { 1 } } + \sqrt { \frac { \kappa _ { 2 } } { \kappa _ { 1 } } } \frac { \gamma _ { 2 } } { \sigma _ { 2 } } \right) - \sqrt { \frac { \kappa _ { 2 } } { \kappa _ { 1 } } } \frac { \hat { w } _ { 2 } ^ { ( k - 1 ) } } { \sigma _ { 2 } } \right) , } \\ { C _ { i } ^ { ( k - 1 ) } } & { = \frac { 1 } { \sigma _ { i } } \left( \hat { w } _ { i } ^ { ( k - 1 ) } \left( \frac { \gamma _ { i } } { \sigma _ { i } } + \sqrt { \frac { \kappa _ { i + 1 } } { \kappa _ { i } } } \frac { \gamma _ { i + 1 } } { \sigma _ { i + 1 } } \right) - \frac { \hat { w } _ { i - 1 } ^ { ( k - 1 ) } } { \sigma _ { i } } - \sqrt { \frac { \kappa _ { i + 1 } } { \kappa _ { i } } } \frac { \hat { w } _ { i + 1 } } { \sigma _ { i + 1 } } \right) , \quad i = 2 , \ldots , N - 1 , } \\ { D _ { i } ^ { ( k - 1 ) } } & { = \frac { 1 } { \sigma _ { i } } \left( \hat { w } _ { i - 1 } ^ { ( k - 1 ) } \left( \frac { \gamma _ { i } } { \sigma _ { i } } + \sqrt { \frac { \kappa _ { i - 1 } } { \kappa _ { i } } } \frac { \gamma _ { i - 1 } } { \sigma _ { i - 1 } } \right) - \sqrt { \frac { \kappa _ { i - 1 } } { \kappa _ { i } } } \frac { \hat { w } _ { i - 2 } ^ { ( k - 1 ) } } { \sigma _ { i - 1 } } - \frac { \hat { w } _ { i } } { \sigma _ { i } } \right) , \quad i = 2 , \ldots , N - 1 , } \\ { D _ { N } ^ { ( k - 1 ) } } & { = \frac { 1 } { \gamma _ { N } } \left( \hat { w } _ { N - 1 } ^ { ( k - 1 ) } \left( \sqrt { \frac { \kappa _ { N - 1 } } { \kappa _ { N } } } \frac { \gamma _ { N - 1 } } { \sigma _ { N - 1 } } + \frac { \gamma _ { N } } { \sigma _ { N } } \right) - \sqrt { \frac { \kappa _ { N - 1 } } { \kappa _ { N } } } \frac { \hat { w } _ { N - 2 } ^ { ( k - 1 ) } } { \sigma _ { N - 1 } } \right) . } \end{array}
\beta P = \sum _ { i } B _ { i } ( T ) \xi _ { i } + \sum _ { i } \left( B _ { i i } \xi _ { i } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { j \neq i } B _ { i j } \xi _ { i } \xi _ { j } \right) . . . , \nonumber
\frac { \partial ( \rho \mathbf { u } ) } { \partial t } + \nabla \cdot ( \rho \mathbf { u } \mathbf { u } ) = - \nabla p + \nabla \cdot [ \zeta ( \nabla \mathbf { u } + \nabla \mathbf { u } ^ { T } ) ] + \mathbf { F _ { s } } + \mathbf { F _ { b } }
{ \begin{array} { c c } { { \begin{array} { r l } { u ( T ) } & { = { \frac { \alpha T } { \sqrt { 1 + \left( { \frac { \alpha T } { c } } \right) ^ { 2 } } } } } \\ & { = c \operatorname { t a n h } \left( \operatorname { a r s i n h } { \frac { \alpha T } { c } } \right) } \\ { X ( T ) } & { = { \frac { c ^ { 2 } } { \alpha } } \left( { \sqrt { 1 + \left( { \frac { \alpha T } { c } } \right) ^ { 2 } } } - 1 \right) } \\ & { = { \frac { c ^ { 2 } } { \alpha } } \left( \cosh \left( \operatorname { a r s i n h } { \frac { \alpha T } { c } } \right) - 1 \right) } \\ { c \tau ( T ) } & { = { \frac { c ^ { 2 } } { \alpha } } \ln \left( { \sqrt { 1 + \left( { \frac { \alpha T } { c } } \right) ^ { 2 } } } + { \frac { \alpha T } { c } } \right) } \\ & { = { \frac { c ^ { 2 } } { \alpha } } \operatorname { a r s i n h } { \frac { \alpha T } { c } } } \end{array} } } & { { \begin{array} { r l } { u ( \tau ) } & { = c \operatorname { t a n h } { \frac { \alpha \tau } { c } } } \\ { X ( \tau ) } & { = { \frac { c ^ { 2 } } { \alpha } } \left( \cosh { \frac { \alpha \tau } { c } } - 1 \right) } \\ { c T ( \tau ) } & { = { \frac { c ^ { 2 } } { \alpha } } \sinh { \frac { \alpha \tau } { c } } } \end{array} } } \end{array} }
\begin{array} { r } { | \overline { { A } } _ { i } ^ { t } - \underbar { A } _ { i } ^ { t } | \leq \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathrm { ~ i f ~ } B ^ { t } \leq \sum _ { i = 1 } ^ { N } \underbar { Y } _ { i } ^ { t } , } \\ { 4 \sqrt { \frac { ( T - t ) } { { \xi } } } \operatorname { s t d } ( X _ { i } ^ { \tau } ) } & { \mathrm { ~ i f ~ } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \underbar { Y } _ { i } ^ { t } \leq B ^ { t } \leq \sum _ { i = 1 } ^ { N } \overline { { Y } } _ { i } ^ { t } , } \\ { 4 \sqrt { \frac { ( T - t ) } { { \xi } } } \operatorname { s t d } ( X _ { i } ^ { \tau } ) } & { \mathrm { ~ i f ~ } B ^ { t } \geq \sum _ { i = 1 } ^ { N } \overline { { Y } } _ { i } ^ { t } } \end{array} \right. } \end{array}
1 _ { N _ { B } } ( x _ { \eta } ^ { - 1 } x g _ { A } x ^ { - 1 } x _ { \zeta } ) \beta _ { i , j } ( x _ { \eta } ^ { - 1 } x g _ { A } x ^ { - 1 } x _ { \zeta } ) \phi ( x ) = 1 _ { N } ( g _ { A } ) 1 _ { N _ { B } } ( x _ { \eta } ^ { - 1 } x _ { \zeta } ) \beta _ { i j } ( x _ { \eta } ^ { - 1 } x _ { \zeta } ) \phi ( x ) .
s [ n ] \ \triangleq \ T \int _ { \frac { 1 } { T } } S _ { \frac { 1 } { T } } ( f ) \cdot e ^ { i 2 \pi f n T } \, d f = T \underbrace { \int _ { - \infty } ^ { \infty } S ( f ) \cdot e ^ { i 2 \pi f n T } \, d f } _ { \triangleq \, s ( n T ) } .
\begin{array} { r } { \sum _ { j } \sum _ { k } \left( D ^ { ( n ) } F _ { j k , j ^ { \prime } k ^ { \prime } } + M ^ { ( n ) } G _ { j k , j ^ { \prime } k ^ { \prime } } \right) \phi _ { j ^ { \prime } k ^ { \prime } } ^ { ( n ) } = b _ { j ^ { \prime } k ^ { \prime } } ^ { ( n ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \textup { \texttt { t a i l } } \big ( u _ { + } ; z _ { 0 } , r , \frac { r } { 2 } \big ) } \\ & { } & { \quad \le c \, r ^ { \frac { s p - \operatorname* { m i n } \{ s p , 1 \} - n } { p - 1 } } \Big ( \iint _ { U _ { r } } [ u ( \cdot , x , t ) ] _ { W ^ { \sigma , p - 1 } ( B _ { r } ) } ^ { p - 1 } \, \mathrm { d } \mu \Big ) ^ { \frac { 1 } { p - 1 } } + c \, \| u \| _ { L ^ { p - 1 } ( Q _ { r } ( z _ { 0 } ) ; \nu ) } } \\ & { } & { \qquad + c \, \Big ( \frac { r } { R } \Big ) ^ { \frac { s p } { p - 1 } } \textup { \texttt { t a i l } } _ { \infty } ( u _ { - } ; z _ { 0 } , R , r ) + c \, r ^ { \frac { s p } { p - 1 } } \big ( \| u \| _ { L ^ { \gamma - 1 } ( Q _ { r } ( z _ { 0 } ) ; \nu ) } ^ { \frac { \gamma - 1 } { p - 1 } } + \| \textup { \texttt { h } } \| _ { L ^ { \infty } ( Q _ { r } ) } ^ { \frac { 1 } { p - 1 } } \big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu _ { s _ { i _ { 1 } } \cdots s _ { i _ { m } } } ( b ) } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { m } \mu _ { s _ { i _ { 1 } } \cdots s _ { i _ { k } } } - \mu _ { s _ { i _ { 1 } } \cdots s _ { i _ { k - 1 } } } = \sum _ { k = 1 } ^ { m } { \varepsilon } _ { i _ { k } } ( \sigma _ { s _ { i _ { m } } \cdots s _ { i _ { k - 1 } } } ( b ) ) s _ { i _ { 1 } } \cdots s _ { i _ { k - 1 } } \alpha _ { i _ { k } } ^ { \vee } = w \cdot { \operatorname { w t } } ( \sigma _ { w ^ { - 1 } } ( b ) ) . } \end{array}
P _ { \nu } [ \cos ( \theta ) ] \approx { \frac { \Gamma ( \nu + 1 ) } { \Gamma ( \nu + { \frac { 3 } { 2 } } ) } } \sqrt { \frac { 2 } { \pi \sin ( \theta ) } } \cos ( ( \nu + { \frac { 1 } { 2 } } ) \theta - { \frac { \pi } { 4 } } )
\left[ { \frac { d n _ { s } ( \omega , \mu ) } { d \omega } } \right] _ { \mathrm { d i v } } = { \frac { 1 } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } \kappa } } \int _ { \Sigma } \left[ 2 b + a \left( { \frac { \omega ^ { 2 } } { \kappa ^ { 2 } } } P + 2 \left( \frac 1 6 - \xi \right) R \right) \right] ~ ~ ~ ,
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , \hat { T } ] } \| F _ { + } ^ { \varepsilon } ( t ) - F _ { + } ^ { 0 } ( t ) \| _ { \mathfrak E ^ { \prime } } \lesssim _ { M } \sqrt { \varepsilon } \delta + \varepsilon } \\ { \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , \hat { T } ] } \varepsilon \mathscr E _ { - , 2 } ^ { \varepsilon } ( t ) + \int _ { 0 } ^ { \hat { T } } \mathscr D _ { - , 2 } ^ { \varepsilon } ( t ) d t \lesssim _ { M } \varepsilon ( \delta ^ { 2 } + \varepsilon ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { v } = \left\{ \begin{array} { l l } { v ^ { ( 3 ) } , } & { k \in \hat { \Gamma } \setminus \bar { \mathcal { D } } , } \\ { m ^ { \omega k _ { 4 } } , } & { k \in \partial \mathcal { D } _ { \omega k _ { 4 } } , } \\ { m ^ { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } , } & { k \in \partial \mathcal { D } _ { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } , } \\ { m _ { - } ^ { \omega k _ { 4 } } v ^ { ( 3 ) } ( m _ { + } ^ { \omega k _ { 4 } } ) ^ { - 1 } , } & { k \in \hat { \Gamma } \cap \mathcal { D } _ { \omega k _ { 4 } } , } \\ { m _ { - } ^ { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } v ^ { ( 3 ) } ( m _ { + } ^ { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } ) ^ { - 1 } , } & { k \in \hat { \Gamma } \cap \mathcal { D } _ { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } . } \end{array} \right. } \end{array}
W [ { \Phi } ] = \frac { 1 } { 2 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d x ^ { + } \int _ { 0 } ^ { L } d x _ { 1 } ^ { - } \int _ { 0 } ^ { L } d x _ { 2 } ^ { - } { \Phi } ^ { \star , + + } ( x _ { 1 } ^ { - } , x ^ { + } | x _ { 2 } ^ { - } , x ^ { + } ) ( { \pi } _ { ( 1 ) } ^ { - } + { \pi } _ { ( 2 ) } ^ { - }
\begin{array} { r l r } { \sigma ^ { ( 2 a ) } ( \omega ) } & { { } = } & { - \frac { 4 \pi } { 1 2 c \omega } \int _ { 0 } ^ { \infty } \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } q \; q ^ { 2 } \left( V ^ { \prime \prime } ( q ) + ( 2 / q ) V ^ { \prime } ( q ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { [ \mathbf { W } _ { 1 } ^ { - 1 } ] _ { \mathrm { R T } } = - \mathbf { W } _ { \mathrm { R R } } ^ { - 1 } \mathbf { W } _ { \mathrm { R T } } \left( \mathbf { W } _ { \mathrm { T T } } - \mathbf { W } _ { \mathrm { T R } } \mathbf { W } _ { \mathrm { R R } } ^ { - 1 } \mathbf { W } _ { \mathrm { R T } } \right) ^ { - 1 } } \\ { = - \mathbf { W } _ { \mathrm { R R } } ^ { - 1 } \mathbf { W } _ { \mathrm { R T } } \mathbf { W } _ { \mathrm { T T } } ^ { - 1 } \left( \mathbf { I } - \mathbf { W } _ { \mathrm { T R } } \mathbf { W } _ { \mathrm { R R } } ^ { - 1 } \mathbf { W } _ { \mathrm { R T } } \mathbf { W } _ { \mathrm { T T } } ^ { - 1 } \right) ^ { - 1 } } \\ { = - \mathbf { W } _ { \mathrm { R R } } ^ { - 1 } \mathbf { W } _ { \mathrm { R T } } \mathbf { W } _ { \mathrm { T T } } ^ { - 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \left( \mathbf { W } _ { \mathrm { T R } } \mathbf { W } _ { \mathrm { R R } } ^ { - 1 } \mathbf { W } _ { \mathrm { R T } } \mathbf { W } _ { \mathrm { T T } } ^ { - 1 } \right) ^ { k } } \\ { = - \mathbf { W } _ { \mathrm { R R } } ^ { - 1 } \mathbf { W } _ { \mathrm { R T } } \mathbf { W } _ { \mathrm { T T } } ^ { - 1 } - \mathbf { W } _ { \mathrm { R R } } ^ { - 1 } \mathbf { W } _ { \mathrm { R T } } \mathbf { W } _ { \mathrm { T T } } ^ { - 1 } \mathbf { W } _ { \mathrm { T R } } \mathbf { W } _ { \mathrm { R R } } ^ { - 1 } \mathbf { W } _ { \mathrm { R T } } \mathbf { W } _ { \mathrm { T T } } ^ { - 1 } - \dots . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R 1 _ { \textrm { d e t } } ^ { \textrm { F i b r e } } } & { { } = R ^ { \textrm { F i b r e } } \ \eta _ { \textrm { w g } } ^ { \textrm { F i b r e } } \ \eta _ { \textrm { g r a t i n g } } ^ { \textrm { F i b r e } } \ \eta _ { \textrm { d e t } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { F ( \boldsymbol { z } ) = \operatorname { c o l } \Big \{ \operatorname { c o l } \{ \sum _ { k = 1 } ^ { q _ { i } } [ \sigma _ { i } ] _ { k } \nabla _ { x _ { i } } \Lambda _ { i , k } ( x _ { i } , \boldsymbol { x } _ { - i } ) \} } & { _ { i = 1 } ^ { N } , } \\ { \operatorname { c o l } \{ - \Lambda _ { i } ( x _ { i } , \boldsymbol { x } _ { - i } ) + \nabla \Psi _ { i } ^ { * } ( \sigma _ { i } ) \} } & { _ { i = 1 } ^ { N } \Big \} . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l r } { w ( x ) } & { = } & { \frac { \cosh \left( x / D \right) } { D \cosh \left( L / ( 2 D ) \right) } \int _ { 0 } ^ { \frac L 2 } \sinh \left( \frac { L - 2 \xi } { 2 D } \right) \, u ( \xi ) \, d \xi - \frac 1 D \int _ { 0 } ^ { x } \sinh \left( \frac { x - \xi } D \right) \, u ( \xi ) \, d \xi + \mathcal { O } ( \varepsilon ) \, , } \\ { r ( x ) } & { = } & { \frac { \sinh \left( x / D \right) } { D \cosh \left( L / ( 2 D ) \right) } \int _ { 0 } ^ { \frac L 2 } \sinh \left( \frac { L - 2 \xi } { 2 D } \right) \, u ( \xi ) \, d \xi - \frac 1 D \int _ { 0 } ^ { x } \cosh \left( \frac { x - \xi } D \right) \, u ( \xi ) \, d \xi + \mathcal { O } ( \varepsilon ) \, , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r } { P _ { k } ^ { \prime } = \int _ { E _ { i } ^ { 2 } \cup E _ { i } ^ { 3 } } { f \left( { d \left( { { \varphi _ { i } } , \theta } \right) } \right) \rho \left( \theta \right) d \theta } - \int _ { s _ { \beta } ^ { * } } ^ { { s _ { \beta } } } { f \left( { d \left( { { \varphi _ { \beta } } , \theta } \right) } \right) \rho \left( \theta \right) d \theta } - \int _ { { s _ { i } } } ^ { s _ { \beta } ^ { * } } { f \left( { d \left( { { \varphi _ { \alpha } } , \theta } \right) } \right) \rho \left( \theta \right) d \theta } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { \nabla } \cdot \mathbf { E } } & { { } = \rho - \mathbf { \nabla } \theta \cdot \mathbf { B } , } \\ { \mathbf { \nabla } \times \mathbf { B } - \partial _ { t } \mathbf { E } } & { { } = \mathbf { j } + ( \partial _ { t } \theta ) \mathbf { B } + \mathbf { \nabla } \theta \times \mathbf { E } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { A l k } & { { } = [ H C O _ { 3 } ^ { - } ] + 2 [ C O _ { 3 } ^ { - } ] = [ \ensuremath { \mathrm { C O _ { 2 } } } ( a q ) ] \left( \frac { k _ { 1 } } { [ H ^ { + } ] } + \frac { 2 k _ { 1 } k _ { 2 } } { [ H ^ { + } ] ^ { 2 } } \right) } \end{array}