harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\Gamma = - \frac { 1 } { 2 } \operatorname * { l i m } _ { L ^ { 2 } \rightarrow \infty } \frac { 1 } { ( 4 \pi ) ^ { w } } \int _ { 1 / L ^ { 2 } } ^ { \infty } \frac { d s } { s ^ { w + 1 } } \exp ( - s m ^ { 2 } ) \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } s ^ { n } \int d ^ { \scriptscriptstyle { 2 w } } x \sqrt { g } \, \hat { a } _ { n } ( x )
\begin{array} { r l } { ( H ^ { ( 1 ) } ( \boldsymbol { m } , \mathcal { P } , \boldsymbol { m } ^ { \prime } ) \widetilde { \boldsymbol { m } } ) _ { j } } & { = \Re \left( \mathcal { G } _ { \boldsymbol { m } , \omega } \left( \begin{array} { l } { \beta _ { j } u ( \boldsymbol { m } ) } \\ { \beta _ { j } u ( \boldsymbol { m } ) \vert _ { \partial \Omega } } \end{array} \right) \, , \, \mathscr { S } _ { m , \omega } ^ { * } \left( \begin{array} { l } { \mathcal { R } ( \mathcal { P } ) ^ { * } \mathcal { R } ( \mathcal { P } ) v ( \boldsymbol { m } , \boldsymbol { m } ^ { \prime } ) } \\ { 0 } \end{array} \right) \right) _ { \Omega \times \partial \Omega } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { b _ { 2 } ( E ) = a _ { 1 } ^ { 2 } + 4 a _ { 2 } , b _ { 4 } ( E ) = a _ { 1 } a _ { 3 } + 2 a _ { 4 } , b _ { 6 } ( E ) = a _ { 3 } ^ { 2 } + 4 a _ { 6 } , } \\ & { b _ { 8 } ( E ) = a _ { 1 } ^ { 2 } a _ { 6 } + 4 a _ { 2 } a _ { 6 } - a _ { 1 } a _ { 3 } a _ { 4 } + a _ { 2 } a _ { 3 } ^ { 2 } - a _ { 4 } ^ { 2 } . } \end{array}
\mathbb { E } \left[ \pmb { \mathscr { G } } _ { j _ { i } } ^ { ( i ) } \otimes \pmb { \mathscr { G } } _ { j _ { i } } ^ { ( i ) } \right] = \mathbb { E } \left[ \pmb { \mathscr { G } } _ { j _ { i } } ^ { ( i ) } \right] \otimes \mathbb { E } \left[ \pmb { \mathscr { G } } _ { j _ { i } } ^ { ( i ) } \right] + \mathbb { E } \left[ \left( \pmb { \mathscr { G } } _ { j _ { i } } ^ { ( i ) } - \mathbb { E } \left[ \pmb { \mathscr { G } } _ { j _ { i } } ^ { ( i ) } \right] \right) \otimes \left( \pmb { \mathscr { G } } _ { j _ { i } } ^ { ( i ) } - \mathbb { E } \left[ \pmb { \mathscr { G } } _ { j _ { i } } ^ { ( i ) } \right] \right) \right] ,
\begin{array} { r } { \bar { \bf P } _ { \mathrm { F i e l d } } = \hbar k \frac { \mathcal N } { V } \left( \frac { r } { R } \hat { \bf r } + \frac { m } { k r } \hat { \bf \Phi } + \hat { \bf z } \right) . } \end{array}
B ^ { E } = \left( \begin{array} { l l l } { { 0 } } & { { a F } } & { { 0 } } \\ { { a ^ { * } F } } & { { { \frac { 1 6 } { 3 } } E } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { { \frac { 2 } { 3 } } D } } \end{array} \right)
\frac { \varepsilon _ { m } ^ { 2 } } { \kappa _ { m } ^ { \prime } \tau _ { m } } \simeq \varepsilon _ { m } ^ { - \gamma } a _ { m } ^ { - 1 } \tau _ { m } ^ { - 1 } \simeq \varepsilon _ { m - 1 } ^ { ( 2 - \beta ) ( q - 1 ) - q \gamma - 2 \delta } \, .
\begin{array} { r l } { X g \left( Y , Z \right) } & { = g \left( \nabla _ { X } Y , Z \right) + g \left( Y , \nabla _ { X } Z \right) , } \\ { Y g \left( Z , X \right) } & { = g \left( \nabla _ { Y } Z , X \right) + g \left( Z , \nabla _ { Y } X \right) , } \\ { Z g \left( X , Y \right) } & { = g \left( \nabla _ { Z } X , Y \right) + g \left( X , \nabla _ { Z } Y \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { i a , j b } ^ { \mathrm { ~ B ~ S ~ E ~ } } } & { { } = A _ { i a , j b } + \Xi _ { i a , j b } } \\ { B _ { i a , j b } ^ { \mathrm { ~ B ~ S ~ E ~ } } } & { { } = B _ { i a , j b } + \Xi _ { i a , b j } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad \ | | \langle \, \cdot \, , w _ { j } ^ { \pm } \rangle w _ { j } ^ { \pm } - \langle \, \cdot \, , v _ { j } ^ { \pm } \rangle v _ { j } ^ { \pm } | | _ { 0 , 0 } } \\ & { \leq | | \langle \, \cdot \, , w _ { j } ^ { \pm } - v _ { j } ^ { \pm } \rangle | | _ { \mathrm { d u a l } } | | w _ { j } ^ { \pm } | | _ { 0 } + | | \langle \, \cdot \, , v _ { j } ^ { \pm } \rangle | | _ { \mathrm { d u a l } } | | v _ { j } ^ { \pm } - w _ { j } ^ { \pm } | | _ { 0 } } \\ & { \leq \left( 2 + | | v _ { j } - w _ { j } | | _ { 0 } \right) | | v _ { j } + w _ { j } | | _ { 0 } < 2 . 5 \mu _ { 0 } / C 1 0 ^ { - j } . } \end{array}
\{ u _ { i } ( \vec { x } ) , \, \dot { u } _ { j } ( \vec { y } ) \} ^ { * } = \left( - \delta _ { i j } + { \frac { \partial _ { i } ^ { x } \partial _ { j } ^ { x } } { \nabla ^ { 2 } } } \right) \delta ( \vec { x } - \vec { y } )
\begin{array} { r l } { D ^ { 3 } I _ { i } ( s , z ) = } & { { } \frac { R e \Omega } { d ^ { 8 } } \Bigg ( - d ^ { 8 } ( 1 + s R e P r ) \lambda _ { i } ^ { 2 } + d ^ { 6 } \Big ( ( 1 + s R e P r ) \big ( 2 - 4 ( z - z _ { d } ) \lambda _ { i } \big ) - 2 \lambda _ { i } ^ { 2 } \Big ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \boldsymbol { j } _ { \pm } \cdot \boldsymbol { e } _ { r } | _ { r = R + 0 } } & { { } = } & { 0 , } \\ { \boldsymbol { j } _ { \pm } \cdot \boldsymbol { e } _ { r } | _ { r = R - 0 } } & { { } = } & { \nabla ^ { \mathrm { s } } \cdot \boldsymbol { j } _ { \pm } ^ { \mathrm { s } } , } \end{array}
\operatorname { E } ( y ^ { m } ) = { \frac { B ( { \frac { 1 } { 2 } } p + m , { \frac { 1 } { 2 } } \nu - m ) } { B ( { \frac { 1 } { 2 } } p , { \frac { 1 } { 2 } } \nu ) } } = { \frac { \Gamma { \big ( } { \frac { 1 } { 2 } } p + m { \big ) } \; \Gamma { \big ( } { \frac { 1 } { 2 } } \nu - m { \big ) } } { \Gamma { \big ( } { \frac { 1 } { 2 } } p { \big ) } \; \Gamma { \big ( } { \frac { 1 } { 2 } } \nu { \big ) } } } , \; \nu / 2 > m
\int \operatorname { a r c o s h } ( a x ) ^ { n } \, d x = x \operatorname { a r c o s h } ( a x ) ^ { n } - { \frac { n { \sqrt { a x + 1 } } { \sqrt { a x - 1 } } \operatorname { a r c o s h } ( a x ) ^ { n - 1 } } { a } } + n ( n - 1 ) \int \operatorname { a r c o s h } ( a x ) ^ { n - 2 } \, d x
\mathbf { q } ( \mathbf { x } , 0 ) = \left[ \begin{array} { l } { \rho } \\ { u } \\ { v } \\ { B _ { x } } \\ { B _ { y } } \\ { P } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 1 - y \delta u } \\ { 1 + x \delta u } \\ { - y \delta B } \\ { \phantom { - } x \delta B } \\ { 1 + \delta P } \end{array} \right]
U _ { b } = a r g m i n _ { \tilde { U _ { b } } } \left( \frac { 1 } { N _ { U } } \sum \left( \bar { P _ { i } } - \hat { P _ { i } } ( \phi , \widetilde { U _ { b } } , \bar { \gamma _ { i } } ) \right) ^ { 2 } \right)
\begin{array} { r l } { = } & { { } \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { + \lambda } ^ { + \infty } \left[ f \partial _ { p } \left( p \sqrt { p ^ { 2 } - \lambda ^ { 2 } } u ( p , t ) \partial _ { p } \zeta \right) \right] d p d t } \\ { = } & { { } \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { + \lambda } ^ { + \infty } \left[ f \partial _ { p } \left( \gamma ( p ) u ( p , t ) \partial _ { p } \zeta \right) \right] d p d t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { J } ^ { S } } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { 3 ( 2 J + 1 ) } } \alpha _ { J } ^ { ( 0 ) } , } \\ { \alpha _ { J } ^ { T } } & { { } = - \sqrt { \frac { 2 J ( 2 J - 1 ) } { 3 ( J + 1 ) ( 2 J + 1 ) ( 2 J + 3 ) } } \alpha _ { J } ^ { ( 2 ) } , } \end{array}
\varphi ( s , r ) = \frac { ( 2 \pi ) ^ { ( k _ { 1 } - k _ { 2 } ) ^ { 2 } } } { 2 ^ { 2 k _ { 1 } k _ { 2 } } k _ { 1 } ! k _ { 2 } ! } \, \frac { \operatorname * { d e t } \left[ J _ { 0 } ( s _ { p 1 } r _ { p ^ { \prime } 1 } ) \right] _ { p , p ^ { \prime } = 1 , \ldots , k _ { 1 } } \operatorname * { d e t } \left[ J _ { 0 } ( s _ { q 2 } r _ { q ^ { \prime } 2 } ) \right] _ { q , q ^ { \prime } = 1 , \ldots , k _ { 2 } } } { B _ { k _ { 1 } k _ { 2 } } ( s ^ { 2 } ) B _ { k _ { 1 } k _ { 2 } } ( r ^ { 2 } ) } \ ,
V ( \Phi , \Phi _ { 3 } ) = { \frac { \lambda } { 4 } } ( \sum _ { a = 1 } ^ { 3 } \Phi _ { a } ^ { 2 } - v ^ { 2 } ) ^ { 2 } + { \frac { \kappa ^ { 2 } } { 8 } } ( \Phi _ { 3 } - v ) ^ { 4 } + { \frac { 1 } { 2 } } \mu ^ { 2 } | \Phi | ^ { 2 }
\Bigg [ \begin{array} { r l } & { f _ { u } ( \mathbf { x } ) } \\ & { \mathbf { y } _ { l , u } } \end{array} \Bigg ] \sim \mathcal { N } \Bigg ( \Bigg [ \begin{array} { r l } & { f ( \mathbf { x } ) } \\ & { f ( \mathbf { X } _ { T _ { l } } ) } \end{array} \Bigg ] , \Bigg [ \begin{array} { r l r } & { k ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ) \quad } & { \mathbf { k } ( \mathbf { x } , \mathbf { X } _ { T _ { l } } ) ^ { \top } } \\ & { \mathbf { k } ( \mathbf { x } , \mathbf { X } _ { T _ { l } } ) } & { \mathbf { K } _ { \mathbf { X } _ { T _ { l } } \mathbf { X } _ { T _ { l } } } + \lambda \mathbf { I } } \end{array} \Bigg ] \Bigg ) ,
\begin{array} { r l } { \| \partial _ { x _ { 2 } } ^ { 3 } \tilde { \phi } \| _ { p } } & { { } \leq C \left( \| \nabla \tilde { f } \| _ { p } + \| \kappa \| _ { \infty } \| \partial _ { x _ { 2 } } ^ { 2 } \tilde { \phi } \| _ { p } + \| \partial _ { x _ { 1 } } \tilde { \phi } \| _ { W ^ { 2 , p } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } f _ { n } \nabla \cdot ( \theta \phi ) \, d x = } & { { } \int _ { \Omega } \left( \eta _ { \varepsilon _ { n } } \ast f \right) \nabla \cdot ( \theta \phi ) \, d x = \int _ { \Omega } f \nabla \cdot \left[ \eta _ { \varepsilon _ { n } } \ast ( \theta \phi ) \right] \, d x = \int _ { \Omega } f \nabla \cdot \left[ \theta \left( \frac { \eta _ { \varepsilon _ { n } } \ast ( \theta \phi ) } { \theta } \right) \right] \, d x } \\ { \leq } & { { } \left\| ( \eta _ { \varepsilon _ { n } } \ast \theta ) / \theta \right\| _ { L ^ { \infty } ( \Omega ) } \int _ { \Omega } \theta d | D f ( x ) | . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } \{ f _ { 1 } \} h ( \varphi ) - I _ { 1 } \{ f _ { 2 } \} h ( \varphi ) = } & { { } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } K _ { 1 } \{ f _ { 1 } , f _ { 2 } \} ( \varphi , \varphi ^ { \prime } ) \big ( f _ { 1 } ^ { \prime } ( \varphi ) - f _ { 1 } ^ { \prime } ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) h ( \varphi ^ { \prime } ) d \varphi ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { n } I ( X ^ { n } ; J _ { k } | \mathcal { C } _ { n } ) } & { \le R _ { k } - K _ { k } - I ( Y _ { k } ; U _ { k } | X ) + \epsilon _ { n } + \delta _ { n } } \\ & { = R _ { k } + R _ { k ^ { \prime } } - ( R _ { k ^ { \prime } } + K _ { k } ) - I ( Y _ { k } ; U _ { k } | X ) + \epsilon _ { n } + \delta _ { n } } \\ & { \le \epsilon _ { n } + \delta _ { n } { , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { P } _ { \mathrm { e } , n } ( M ) } & { = \operatorname* { P r } \{ Z < ( \operatorname* { m a x } \{ 0 , r _ { 1 } \} ) ^ { 2 } \} + \operatorname* { P r } \{ Z > r _ { 2 } ^ { 2 } \} } \\ { * } & { \qquad + \int _ { ( \operatorname* { m a x } \{ 0 , r _ { 1 } \} ) ^ { 2 } } ^ { r _ { 2 } ^ { 2 } } \! \! \! ( 1 - \Psi ( n , z ) ) ^ { M } f _ { Z } ( z ) \, \mathrm { d } z . } \end{array}
\zeta \left( \begin{array} { r c r } { { s _ { 1 } } } & { { \ldots } } & { { s _ { k } } } \\ { { \sigma _ { 1 } } } & { { \ldots } } & { { \sigma _ { k } } } \end{array} \right) : = \sum _ { n _ { j } > n _ { j + 1 } > 0 } \quad \prod _ { j = 1 } ^ { k } \frac { \sigma _ { j } ^ { n _ { j } } } { n _ { j } ^ { s _ { j } } }
\begin{array} { r l } { \widetilde { H } _ { 1 } = \ } & { \frac { g } { 2 } \left( \left( J \frac { \partial \xi _ { 1 } } { \partial x _ { 1 } } \right) _ { i , j } + \left( J \frac { \partial \xi _ { 1 } } { \partial x _ { 1 } } \right) _ { i + m , j } \right) \Bigg [ \frac { 1 } { 4 } \left( h _ { i , j } ^ { 2 } + h _ { i + m , j } ^ { 2 } \right) - \frac { 1 } { 2 } h _ { i , j } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \left( ( h b ) _ { i , j } + ( h b ) _ { i + m , j } \right) } \\ & { - \frac { 1 } { 4 } \left( { h } _ { i , j } + { h } _ { i + m , j } \right) \left( { b } _ { i , j } + { b } _ { i + m , j } \right) + \frac { 1 } { 2 } h _ { i , j } \left( { b } _ { i , j } + { b } _ { i + m , j } \right) - ( h b ) _ { i , j } \Bigg ] , } \\ { \widetilde { H } _ { 2 } = \ } & { \frac { g } { 2 } \left( \left( J \frac { \partial \xi _ { 1 } } { \partial x _ { 1 } } \right) _ { i , j } + \left( J \frac { \partial \xi _ { 1 } } { \partial x _ { 1 } } \right) _ { i - m , j } \right) \Bigg [ \frac { 1 } { 4 } \left( h _ { i , j } ^ { 2 } + h _ { i - m , j } ^ { 2 } \right) - \frac { 1 } { 2 } h _ { i , j } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \left( ( h b ) _ { i , j } + ( h b ) _ { i - m , j } \right) } \\ & { - \frac { 1 } { 4 } \left( { h } _ { i , j } + { h } _ { i - m , j } \right) \left( { b } _ { i , j } + { b } _ { i - m , j } \right) + \frac { 1 } { 2 } h _ { i , j } \left( { b } _ { i , j } + { b } _ { i - m , j } \right) - ( h b ) _ { i , j } \Bigg ] , } \\ { \widetilde { H } _ { 3 } = \ } & { \frac { g } { 2 } \left( \left( J \frac { \partial \xi _ { 2 } } { \partial x _ { 1 } } \right) _ { i , j } + \left( J \frac { \partial \xi _ { 2 } } { \partial x _ { 1 } } \right) _ { i , j + m } \right) \Bigg [ \frac { 1 } { 4 } \left( h _ { i , j } ^ { 2 } + h _ { i , j + m } ^ { 2 } \right) - \frac { 1 } { 2 } h _ { i , j } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \left( ( h b ) _ { i , j } + ( h b ) _ { i , j + m } \right) } \\ & { - \frac { 1 } { 4 } \left( { h } _ { i , j } + { h } _ { i , j + m } \right) \left( { b } _ { i , j } + { b } _ { i , j + m } \right) + \frac { 1 } { 2 } h _ { i , j } \left( { b } _ { i , j } + { b } _ { i , j + m } \right) - ( h b ) _ { i , j } \Bigg ] , } \\ { \widetilde { H } _ { 4 } = \ } & { \frac { g } { 2 } \left( \left( J \frac { \partial \xi _ { 2 } } { \partial x _ { 1 } } \right) _ { i , j } + \left( J \frac { \partial \xi _ { 2 } } { \partial x _ { 1 } } \right) _ { i , j - m } \right) \Bigg [ \frac { 1 } { 4 } \left( h _ { i , j } ^ { 2 } + h _ { i , j - m } ^ { 2 } \right) - \frac { 1 } { 2 } h _ { i , j } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \left( ( h b ) _ { i , j } + ( h b ) _ { i , j - m } \right) } \\ & { - \frac { 1 } { 4 } \left( { h } _ { i , j } + { h } _ { i , j - m } \right) \left( { b } _ { i , j } + { b } _ { i , j - m } \right) + \frac { 1 } { 2 } h _ { i , j } \left( { b } _ { i , j } + { b } _ { i , j - m } \right) - ( h b ) _ { i , j } \Bigg ] . } \end{array}
V _ { r i n g } ( \phi _ { 0 } ) = \frac { 1 } { 2 4 } ( 4 \lambda + 3 e ^ { 2 } + g ^ { 2 } ) ( T ^ { 2 } - T _ { b } ^ { 2 } ) \phi _ { 0 } ^ { 2 } - \frac { T } { 1 2 \pi } ( 2 M _ { T } ^ { 3 } + M _ { L } ^ { 3 } + m _ { 1 } ^ { 3 } + m _ { 2 } ^ { 3 } ) + \frac { 1 } { 4 } \lambda \phi _ { 0 } ^ { 4 } ,
L = - \sum _ { x \sim \mathrm { ~ d ~ a ~ t ~ a ~ } } \log \left( D _ { E } \left( x \right) \right) - \sum _ { \left\{ G \right\} \sim \textsc { H e r w i g } , \, z \sim p \left( z \right) } \log \left( 1 - D _ { E } \left( \left\{ G \left( z , \lambda \right) \right\} \right) \right) \, ,
\begin{array} { r l } { \varphi _ { C T S } ( t ; \theta ) : = \mathbb { E } _ { \theta } \left[ \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } t X } \right] } & { = \exp \left( \mathrm { i } t \mu + \delta _ { + } \Gamma ( - \alpha ) \left( ( \lambda _ { + } - \mathrm { i } t ) ^ { \alpha } - \lambda _ { + } ^ { \alpha } + \mathrm { i } t \alpha \lambda _ { + } ^ { \alpha - 1 } \right) \right. } \\ & { \ \left. + \delta _ { - } \Gamma ( - \alpha ) \left( ( \lambda _ { - } + \mathrm { i } t ) ^ { \alpha } - \lambda _ { - } ^ { \alpha } - \mathrm { i } t \alpha \lambda _ { - } ^ { \alpha - 1 } \right) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { \rho _ { v } ( x ) } } & { { = } } & { { \exp [ i m v \cdot x ] P _ { v } ^ { + } \eta ( x ) } } \\ { { R _ { v } ( x ) } } & { { = } } & { { \exp [ i m v \cdot x ] P _ { v } ^ { - } \eta ( x ) } } \end{array}
e ^ { { \frac { - i } { 8 \pi ^ { 2 } } } \int ( f e ^ { 2 } \psi \tilde { F } ^ { \mu \nu } \; F _ { \mu \nu } + { \frac { 1 } { 3 } } \; f ^ { 3 } \; \psi \tilde { G } ^ { \mu \nu } G _ { \mu \nu } ) d ^ { 4 } x }
\mathrm { B e } = { \frac { { \dot { S } } _ { \mathrm { g e n } , \, \Delta T } ^ { \prime } } { { \dot { S } } _ { \mathrm { g e n } , \, \Delta T } ^ { \prime } + { \dot { S } } _ { \mathrm { g e n } , \, \Delta p } ^ { \prime } } } = { \frac { 1 } { 1 + B r } }
\begin{array} { r l } { \mathbf { F } _ { i j } ^ { C } } & { { } = A \omega _ { c } ( r _ { i j } ) \mathbf { e } _ { i j } + B \left( \rho _ { i } + \rho _ { j } \right) \omega _ { d } ( \mathbf { r } _ { i j } ) \mathbf { e } _ { i j } , } \\ { \mathbf { F } _ { i j } ^ { D } } & { { } = - \gamma \omega _ { D } ( r _ { i j } ) \left( \mathbf { e } _ { i j } \cdot \mathbf { v } _ { i j } \right) \mathbf { e } _ { i j } , } \\ { \mathbf { F } _ { i j } ^ { R } } & { { } = \beta \omega _ { R } ( r _ { i j } ) ( d t ) ^ { - 1 / 2 } \xi _ { i j } \mathbf { e } _ { i j } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma ^ { a b c } ( 0 , \omega , - \omega ) } & { { } = - \frac { g _ { s } e ^ { 3 } } { 2 V } \sum _ { s s ^ { \prime } } \left[ \frac { X _ { s } ^ { b } \Pi _ { s s ^ { \prime } } ^ { a } X _ { s ^ { \prime } } ^ { c * } } { \left( \hbar \omega - E _ { s } + i \eta \right) \left( \hbar \omega - E _ { s ^ { \prime } } - i \eta \right) } + \frac { V _ { s } ^ { a * } X _ { s s ^ { \prime } } ^ { b } X _ { s ^ { \prime } } ^ { c } } { - E _ { s } \left( \hbar \omega - E _ { s ^ { \prime } } + i \eta \right) } + \frac { V _ { s } ^ { a } X _ { s s ^ { \prime } } ^ { b * } X _ { s ^ { \prime } } ^ { c * } } { - E _ { s } \left( - \hbar \omega - E _ { s ^ { \prime } } - i \eta \right) } \right] } \end{array}
\Delta \rho _ { p e r t } ^ { 2 } \simeq \frac { 1 6 } { 8 1 } { \it l n } \left[ \frac { \alpha _ { s } ( \mu _ { q m } ) } { \alpha _ { s } ( m _ { c } ) } \right] \simeq 0 . 1 3 ~ .
\frac { d \hat { \phi } _ { j } } { d t } = - \omega _ { j } \left( p _ { j } \right) - K _ { e } \sin \left( \omega _ { e } t + 2 \hat { \phi } _ { j } \right) \, + \sum _ { j , j ^ { \prime } } \Omega _ { j , j ^ { \prime } } \sqrt { p _ { j ^ { \prime } } / p _ { j } } \sin \left( \hat { \phi } _ { j ^ { \prime } } - \hat { \phi } _ { j } + \beta _ { j , j ^ { \prime } } \right)
{ \begin{array} { r l } { P _ { 0 , 0 } } & { = 1 } \\ { P _ { i , i - 1 } } & { = { \frac { N - i } { r \cdot i + N - i } } \cdot { \frac { i } { N } } } \\ { P _ { i , i } } & { = 1 - P _ { i , i - 1 } - P _ { i , i + 1 } } \\ { P _ { i , i + 1 } } & { = { \frac { r \cdot i } { r \cdot i + N - i } } \cdot { \frac { N - i } { N } } } \\ { P _ { N , N } } & { = 1 . } \end{array} }
\tau \equiv \left\{ \begin{array} { l l } { { \kappa ^ { - 1 / 2 } | \tan ( \kappa ^ { 1 / 2 } \eta ) | } } & { { \mathrm { f o r } \ \kappa > 0 } } \\ { { | \eta | } } & { { \mathrm { f o r } \ \kappa = 0 } } \\ { { | \kappa | ^ { - 1 / 2 } | \operatorname { t a n h } ( | \kappa | ^ { 1 / 2 } \eta ) | } } & { { \mathrm { f o r } \ \kappa < 0 } } \end{array} \right. \ .
1 2 [ \langle Q _ { i } \rangle _ { 1 } \langle Q _ { i } \rangle _ { - 1 } ] [ \langle Q _ { i } \rangle _ { 1 } \langle Q _ { i } \rangle _ { - 1 } ] [ \langle Q _ { i } ^ { 2 } \rangle _ { 0 } ]
K _ { X } ( z ) = \frac { 1 } { \phi _ { X } ( z _ { \mathrm { m } } / L _ { \mathrm { O } } ) } \frac { \langle w { \mit \Delta } X \rangle / \langle { \mit \Delta } X ^ { 2 } ( z ) \rangle } { \langle w { \mit \Delta } X \rangle / \langle { \mit \Delta } X ^ { 2 } ( z _ { \mathrm { m } } ) \rangle } .
\begin{array} { l l l l } { { U _ { \uparrow } } } & { { = } } & { { ( { \bar { u } _ { \uparrow } } U _ { \uparrow } ) u _ { \uparrow } + ( { \bar { u } _ { \downarrow } } U _ { \uparrow } ) u _ { \downarrow } + ( { \bar { v } _ { \uparrow } } U _ { \uparrow } ) v _ { \uparrow } + ( { \bar { v } _ { \downarrow } } U _ { \uparrow } ) v _ { \downarrow } } } \\ { { U _ { \downarrow } } } & { { = } } & { { \ldots } } \\ { { V _ { \uparrow } } } & { { = } } & { { \ldots } } \\ { { V _ { \downarrow } } } & { { = } } & { { \ldots } } \end{array}
\begin{array} { r l } { A ( P \Psi _ { 0 } ) } & { = \sum _ { j = 0 } ^ { N - 1 } \tilde { h } ^ { 2 j } \tilde { A } _ { j } ( P \Psi _ { 0 } ) + O _ { N } \left( \tilde { h } ^ { 2 N } | | P \Psi _ { 0 } | | \right) } \\ & { = \sum _ { j = 0 } ^ { N - 1 } \tilde { h } ^ { 2 j } \left( \sum _ { k = 0 } ^ { 2 N - 1 - 2 j } \tilde { h } ^ { k } A _ { j , k } ( P \Psi _ { 0 } ) + R _ { N , j } ( P \Psi _ { 0 } ) \right) + O _ { N } \left( \tilde { h } ^ { 2 N } | | P \Psi _ { 0 } | | \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \boldsymbol { V } = \frac { 1 } { K } \hat { \boldsymbol { H } } ^ { - 1 } \boldsymbol { V } _ { \pi } \hat { \boldsymbol { H } } ^ { - 1 } , } \\ & { } & { \boldsymbol { V } _ { \pi } = \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { \pi _ { i } } \left\{ - \omega _ { i } ( \hat { \boldsymbol { \theta } } _ { f u l l } ) + \omega _ { i } ( \hat { \boldsymbol { \theta } } _ { f u l l } ) ^ { - 1 } \right\} ^ { 2 } \boldsymbol { B } _ { i } \boldsymbol { B } _ { i } ^ { T } . } \end{array}
\lambda _ { | o _ { j } ^ { m - 1 } } ^ { m - 1 } = 1 + \frac { \operatorname* { m a x } _ { o \in \mathscr { T } ^ { m - 1 } } | o | - \operatorname* { m i n } _ { o \in \mathscr { T } ^ { m - 1 } } | o | } { | o _ { j } ^ { m - 1 } | } , \qquad j = 1 , \ldots , J _ { \mathscr { R } } ,
| A _ { n } ^ { \pm } ( \alpha ) | ^ { 2 } = { \frac { 1 } { 2 } } \left\{ e ^ { \mp i \pi \alpha / 2 } A _ { n } ^ { \pm } ( \alpha ) + e ^ { \pm i \pi \alpha / 2 } A _ { n } ^ { \pm \ * } ( \alpha ) \right\} ,
\widetilde { C } ( k , \omega ) = \frac { \sigma _ { 0 } ^ { 2 } \, \left( 1 + b \, k ^ { 2 } \right) \, \mathrm { e } ^ { - \epsilon k ^ { 2 } } } { \omega ^ { 2 } + \left[ \omega ^ { 2 } - \tilde { \omega } _ { 0 } ^ { 2 } \, \left( 1 + b k ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \right] ^ { 2 } \, \frac { \tilde { \tau } _ { c } ^ { 2 } } { ( 1 + b k ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } \, .
r _ { E \tilde { n } _ { \bar { S } D } } ^ { 2 } = r _ { D , z w i t t e r } ^ { 2 } = { \frac { 3 e _ { D } } { 4 m ^ { 2 } } } = r _ { F o l d y , \tilde { n } _ { \bar { S } D } } ^ { 2 } ~ ~ ~ ,
M _ { D } ^ { \mathrm { i n v e r t e d } } = \left( \begin{array} { c c c } { { m _ { 0 } + m + \delta } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { m _ { 0 } + m } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { m _ { 0 } } } \end{array} \right) \; ,
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial \rho } { \partial t } } & { + } & { d i v ( \rho \mathbf { u } ) = 0 } \\ { \frac { \partial \rho \mathbf { u } } { \partial t } } & { + } & { \mathbf { d i v } ( \rho \mathbf { u } \otimes \mathbf { u } ) = - \mathbf { g r a d } p + \mathbf { d i v } \overline { { \overline { { \tau } } } } + \mathbf { f } } \\ { \frac { \partial \rho ( e + \mathbf { u } \cdot \mathbf { u } / 2 ) } { \partial t } } & { + } & { d i v ( \rho \, ( e + \mathbf { u } \cdot \mathbf { u } / 2 ) \, \mathbf { u } ) = } \\ & { - } & { d i v ( p \, \mathbf { u } ) + d i v ( \overline { { \overline { { \tau } } } } \mathbf { u } ) + d i v ( \lambda ( \theta ) \mathbf { g r a d } \theta ) + \mathbf { f } \cdot \mathbf { u } + q } \end{array}
\hat { \cal W } _ { \mu } \to U _ { \alpha } U _ { \beta } \hat { \cal W } _ { \mu } U _ { \beta } ^ { - 1 } U _ { \alpha } ^ { - 1 } + i ( \partial _ { \mu } U _ { \alpha } ) U _ { \alpha } ^ { - 1 } + i U _ { \alpha } ( \partial _ { \mu } U _ { \beta } ) U _ { \beta } ^ { - 1 } U _ { \alpha } ^ { - 1 } .
\begin{array} { r l } { \langle \delta \boldsymbol { q } \cdot \delta \boldsymbol { q } \rangle ( \boldsymbol { r } ) } & { = \langle \boldsymbol { q } ^ { + } \cdot \boldsymbol { q } ^ { + } \rangle - \langle \boldsymbol { q } ^ { + } \cdot \boldsymbol { q } ^ { - } \rangle + \langle \boldsymbol { q } ^ { - } \cdot \boldsymbol { q } ^ { - } \rangle - \langle \boldsymbol { q } ^ { - } \cdot \boldsymbol { q } ^ { + } \rangle , } \\ & { = 2 \big [ \langle \boldsymbol { q } \cdot \boldsymbol { q } \rangle - \langle \boldsymbol { q } ^ { + } \cdot \boldsymbol { q } ^ { - } \rangle ( \boldsymbol { r } ) \big ] , } \end{array}
{ \cal L } = - \frac { 1 } { 2 } R - \frac { 1 } { 4 } ( \partial _ { \mu } \phi ) ^ { 2 } + \frac { \alpha ^ { \prime } } { 8 g ^ { 2 } } e ^ { \phi } ( R _ { G B } ^ { 2 } - F ^ { \alpha \mu \nu } F _ { \, \, \mu \nu } ^ { \alpha } )
\begin{array} { r l r } { H _ { \mathrm { R } } } & { = } & { \hbar \Omega _ { \mathrm { v } } b ^ { \dagger } b + \hbar \tilde { \omega } _ { \mathrm { c a v } } \tilde { a } ^ { \dagger } \tilde { a } + \hbar \tilde { \omega } _ { \mathrm { L } } \tilde { l } ^ { \dagger } \tilde { l } + \frac { \hbar g _ { 0 } } { 2 } \sin ( 2 \varphi ) \cdot } \\ & { } & { ( \tilde { l } ^ { \dagger } \tilde { a } b ^ { \dagger } + \tilde { l } \tilde { a } ^ { \dagger } b ) . } \end{array}