harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \begin{array} { r l } { 1 \wedge a _ { i } } & { = a _ { i } \wedge 1 = a _ { i } } \\ { a _ { 1 } \wedge a _ { 2 } \wedge \cdots \wedge a _ { r } } & { = { \frac { 1 } { r ! } } \sum _ { \sigma \in { \mathfrak { S } } _ { r } } \operatorname { s g n } ( \sigma ) a _ { \sigma ( 1 ) } a _ { \sigma ( 2 ) } \cdots a _ { \sigma ( r ) } , } \end{array} }
\mathbf { A } ^ { + } \left[ \begin{array} { l } { \psi _ { m , k , j , L } } \\ { \psi _ { m , k , j , R } } \\ { \psi _ { m , k + 1 / 2 , j , L } } \\ { \psi _ { m , k + 1 / 2 , j , R } } \end{array} \right] = \mathbf { b } ^ { + } \; .
{ \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { a , b } \int { \frac { d ^ { 3 } \mathrm { \bf ~ k } } { 2 \omega _ { k } } } { \frac { d ^ { 3 } \mathrm { \bf ~ k } ^ { \prime } } { 2 \omega _ { k ^ { \prime } } } } \langle \Psi | a ^ { a } ( \mathrm { \bf ~ k } ) a ^ { b } ( \mathrm { \bf ~ k } ^ { \prime } ) | \Psi \rangle \, i \! \int d ^ { 4 } x e ^ { i p \cdot x } \langle \Psi | T \{ \eta ( x ) \, \overline { { { \eta } } } ( 0 ) \} | \Psi \, \pi ^ { a } ( \mathrm { \bf ~ k } ) \pi ^ { b } ( \mathrm { \bf ~ k } ^ { \prime } ) \rangle ,
\int _ { \Gamma ( p , \theta ) } { \frac { d k } { k } } { \frac { d ^ { 2 } k _ { \perp } } { { { k } _ { \perp } } ^ { 2 } } } { \frac { 2 C _ { V } \alpha _ { s } } { \pi } } e ^ { - w ( p , \theta ) + w ( p , \theta _ { k } ) } G ( p , \theta _ { k } ; \{ u \} ) G ( k , \theta _ { k } ; \{ u \} ) ,
\theta ^ { \varepsilon } ( x , t ) = \int _ { D } p _ { \kappa } ^ { D } ( 0 , \eta , t , x ) \theta ^ { \varepsilon } ( \eta , 0 ) \mathrm { d } \eta + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { D } p _ { \kappa } ^ { D } ( s , \eta , t , x ) \beta _ { \varepsilon } ( \eta , s ) \mathrm { d } \eta \mathrm { d } s
I _ { 3 } \, = \, - \int _ { \Omega _ { \epsilon } } \bigl ( W _ { \epsilon } \tilde { \eta } - \tilde { \phi } \bigr ) \bigl \{ \tilde { \phi } \, , \tilde { \zeta } \bigr \} \, \mathrm { d } X \, = \, - \int _ { \Omega _ { \epsilon } } \bigl \{ W _ { \epsilon } \tilde { \eta } \, , \tilde { \phi } \bigr \} \tilde { \zeta } \, \mathrm { d } X \, .
\Phi _ { o } = - G m _ { o } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { ( 4 n - 1 ) ! ! } { 2 ^ { 2 n } ( n ! ) ^ { 2 } } \frac { ( R R _ { o } ) ^ { 2 n } } { ( R ^ { 2 } + R _ { o } ^ { 2 } + z ^ { 2 } ) ^ { 2 n + \frac { 1 } { 2 } } } ,
\begin{array} { r l r } & { \delta _ { M _ { i } ^ { ( n ) } } \phi } & { = - t ^ { n + 1 } \partial _ { i } \phi } \\ & { \delta _ { M _ { i } ^ { ( n ) } } \chi } & { = - t ^ { n + 1 } \partial _ { i } \chi - \frac { i ( n + 1 ) } { \sqrt { 2 } } t ^ { n } \sigma _ { i } \phi } \\ & { \delta _ { M _ { i } ^ { ( n ) } } \varphi } & { = - t ^ { n + 1 } \partial _ { i } \varphi } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sqrt { \frac { I _ { n } ^ { F _ { 2 } } } { I _ { n } ^ { F _ { 1 } } } } = \frac { | Q _ { n } ^ { F _ { 2 } } | } { | Q _ { n } ^ { F _ { 1 } } | } = } & { { } \lambda ^ { \frac { D - 2 } { 4 } } \exp [ ( 1 - \lambda ^ { - \frac { 1 } { 2 } } ) x _ { 1 / 4 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ a , 1 _ { ( v _ { 0 } , j ) } ] } & { \cong \{ j _ { 1 } f _ { 1 } c B a \} + H _ { l } ^ { - 1 } ( l _ { 1 } ) \cdot \omega + H _ { l } ^ { 1 } ( k _ { 1 } ) \cdot \omega ^ { * } + H _ { l } ^ { 1 } ( c ) + H _ { l } ^ { 1 } ( B ) + \{ a \} } \\ & { \cong L _ { 0 1 } \cdot \omega + H _ { l } ( N _ { 1 } ) \cdot \omega ^ { * } + H _ { l } ^ { 1 } ( c ) + L _ { 2 0 } + \mathbf 1 . } \end{array}
\exp ( \beta S _ { H K } ) = \prod _ { p } \sum _ { j = 0 , 1 / 2 , . . } ( 2 j + 1 ) \frac { \sin ( j + \frac { 1 } { 2 } ) \theta _ { p } } { \sin \frac { \theta _ { p } } { 2 } } \exp [ - j ( j + 1 ) / 2 \beta \, ] \, ,
\begin{array} { r l } & { \omega ^ { - \alpha } ( \mathbf v _ { 0 } - \langle \mathbf v _ { 0 } \rangle ) - \omega ^ { - \gamma } \nabla _ { \mathbf y } \cdot \textbf { D } ( \mathbf I + \omega ^ { 1 - \gamma } \nabla _ { \mathbf y } \boldsymbol { \chi } ) + \omega ^ { 1 - \gamma - \alpha } \mathbf v _ { 0 } \cdot ( \nabla _ { \mathbf y } \boldsymbol { \chi } ) = 0 , \quad \mathbf y \in \mathcal B , } \\ & { \mathbf n \cdot \textbf { D } ( \mathbf I + \omega ^ { 1 - \gamma } \nabla _ { \mathbf y } \boldsymbol { \chi } ) = 0 , \quad \mathbf y \in \mathcal B , } \end{array}
\tilde { \xi } ( \boldsymbol { k } , \boldsymbol { k } ^ { \prime } ) = \mathcal { N } \tilde { \eta } ( \boldsymbol { k } ) \tilde { \eta } ( \boldsymbol { k } ^ { \prime } ) \left[ e ^ { i m ( \tilde { \varphi } + \tilde { \varphi } ^ { \prime } ) } - e ^ { - i m ( \tilde { \varphi } + \tilde { \varphi } ^ { \prime } ) } \right] e ^ { - i k _ { z } z _ { 0 } } ,
a _ { i j } = \left\{ \begin{array} { l l } { w _ { i i } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ i ~ = ~ j ~ } , } \\ { w _ { i j } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ i ~ \rightarrow ~ j ~ } , } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } . } \end{array} \right.
\frac { { \partial H } } { { \partial { \varphi _ { i } } } } = \int _ { { E _ { i } ^ { 1 } } } { { e ^ { - \frac { { { d ^ { 2 } } } } { { { \gamma ^ { 2 } } } } } } \left( { - 2 \frac { d } { { { \gamma ^ { 2 } } } } } \right) \frac { { \partial d } } { { \partial { \varphi _ { i } } } } \rho \left( \theta \right) } + \int _ { { E _ { i } ^ { 2 } } } { { e ^ { - \frac { { { d ^ { 2 } } } } { { { \gamma ^ { 2 } } } } } } \left( { - 2 \frac { d } { { { \gamma ^ { 2 } } } } } \right) \frac { { \partial d } } { { \partial { \varphi _ { i } } } } \rho \left( \theta \right) }
= N b _ { m } ^ { * } ( 0 ) b _ { m } ( 0 ) \sum _ { \boldsymbol { R _ { p } } } e ^ { - i { \boldsymbol { k \cdot R _ { p } } } } \ \int d ^ { 3 } r \ \varphi _ { m } ^ { * } ( { \boldsymbol { r - R _ { p } } } ) \varphi _ { m } ( { \boldsymbol { r } } )
\begin{array} { r l } & { \frac { ( \vert \vert ( f _ { \eta _ { k } + 1 } - f _ { \eta _ { k } } ) \ast \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \vert \vert _ { L ^ { 2 } } ) ^ { 3 } \mathbb { E } ( \vert \vert F _ { t , { h _ { 2 } } } - f _ { \eta _ { k + 1 } } \ast \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \vert \vert _ { L ^ { 2 } } ^ { 3 } ) } { \kappa _ { k } ^ { 3 } \mathbb { E } ( \vert \vert F _ { t , { h _ { 2 } } } - f _ { \eta _ { k + 1 } } \ast \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \vert \vert _ { L ^ { 2 } } ^ { 3 } ) } } \\ { \le } & { \frac { ( \vert \vert f _ { \eta _ { k } + 1 } - f _ { \eta _ { k } } \vert \vert _ { L ^ { 2 } } \vert \vert \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \vert \vert _ { L ^ { 1 } } ) ^ { 3 } \mathbb { E } ( \vert \vert F _ { t , { h _ { 2 } } } - f _ { \eta _ { k + 1 } } \ast \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \vert \vert _ { L ^ { 2 } } ^ { 3 } ) } { \kappa _ { k } ^ { 3 } \mathbb { E } ( \vert \vert F _ { t , { h _ { 2 } } } - f _ { \eta _ { k + 1 } } \ast \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \vert \vert _ { L ^ { 2 } } ^ { 3 } ) } } \\ { \le } & { C _ { K } . } \end{array}
\mathrm { ~ z ~ i ~ g ~ z ~ a ~ g ~ : ~ } \quad k _ { x } = \frac { 4 \pi q } { m a \sqrt { 3 } } , \quad \mathrm { ~ a ~ r ~ m ~ c ~ h ~ a ~ i ~ r ~ : ~ } \quad k _ { y } = \frac { 2 \pi q } { m a }
\begin{array} { r l } { I ( \sigma ) } & { = \int _ { C } f ( z ) e ^ { \sigma g ( z _ { s } ) + \frac { 1 } { 2 } \sigma g ^ { \prime \prime } ( z _ { s } ) ( z - z _ { s } ) ^ { 2 } + . . . } \mathrm { d } z , } \\ & { \approx e ^ { \sigma g ( z _ { s } ) } \int _ { C } f ( z ) e ^ { \frac { 1 } { 2 } \sigma g ^ { \prime \prime } ( z _ { s } ) ( z - z _ { s } ) ^ { 2 } } \mathrm { d } z . } \end{array}
\pi _ { C - C } ( k _ { i } ) = \frac { \sum _ { m = 0 } ^ { k _ { i - 1 } } ( k _ { i } - m ) C _ { k _ { i } , m } } { \sum _ { m = 0 } ^ { k _ { i - 1 } } C _ { k _ { i } , m } } \cdot R + \frac { \sum _ { m = 0 } ^ { k _ { i - 1 } } m C _ { k _ { i } , m } } { \sum _ { m = 0 } ^ { k _ { i - 1 } } C _ { k _ { i } , m } } \cdot S .
X ( y , \omega ) = C _ { 1 } \sin ( k _ { \mathrm { s } } y ) + C _ { 2 } \cos ( k _ { \mathrm { s } } y ) + C _ { 3 } e ^ { k _ { \mathrm { e } } y } + C _ { 4 } e ^ { - k _ { \mathrm { e } } y }
\bigl ( \frac { v _ { x } } { v } \bigr ) _ { x x } = \frac { v _ { x x x } } { v } - 3 \frac { v _ { x } v _ { x x } } { v ^ { 2 } } + 2 \frac { v _ { x } ^ { 3 } } { v ^ { 3 } } ,
\begin{array} { r l } { - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { b , c , k } \frac { d \gamma ^ { b } } { d \tau } \frac { d \gamma ^ { c } } { d \tau } h ^ { k a } \left( \frac { \partial \alpha } { \partial x ^ { b } } h _ { c k } + \frac { \partial \alpha } { \partial x ^ { c } } h _ { k b } \right) } & { = - \sum _ { b , c , k } \frac { d \gamma ^ { b } } { d \tau } \frac { d \gamma ^ { c } } { d \tau } \frac { \partial \alpha } { \partial x ^ { b } } h ^ { k a } h _ { c k } } \\ & { = - \sum _ { b , k } \frac { d \gamma ^ { b } } { d \tau } \frac { d \gamma ^ { a } } { d \tau } \frac { \partial \alpha } { \partial x ^ { b } } } \\ & { = - \frac { d \gamma ^ { a } } { d \tau } \frac { d \alpha } { d \tau } . } \end{array}
q ( { \pmb x } ) = \frac { 1 } { 8 \pi } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { M _ { \alpha \, { \pmb \alpha } _ { n } } ( { \pmb \xi } ) } { n ! } \nabla _ { { \pmb \alpha } _ { n } } P _ { \alpha } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } )
\left\langle \phi ( k _ { 1 } ) \phi ( k _ { 2 } ) \phi ( k _ { 3 } ) \phi ( k _ { 4 } ) \right\rangle = { \frac { \displaystyle \int e ^ { - S } \phi ( k _ { 1 } ) \phi ( k _ { 2 } ) \phi ( k _ { 3 } ) \phi ( k _ { 4 } ) D \phi } { Z } }
\begin{array} { r l } { \langle \hbar ^ { - 1 / d } x _ { j } \rangle } & { = ( 1 + | \hbar ^ { - 1 / d } x _ { j } - x + x | ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { \leq \sqrt { 2 } ( \langle \hbar ^ { - 1 / d } x _ { j } - x \rangle + \hbar ^ { - 1 } R ) \leq \sqrt { 2 } ( 1 + \hbar ^ { - 1 } R ) \langle \hbar ^ { - 1 / d } x _ { j } - x \rangle . } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { { U ( x ) } } \\ { { \Psi ( x ) } } \end{array} \right) \mapsto \left( \begin{array} { c } { { V _ { R } ( x ) U ( x ) V _ { L } ^ { \dagger } ( x ) } } \\ { { \exp [ - i \Theta ( x ) ] K [ V _ { L } ( x ) , V _ { R } ( x ) , U ( x ) ] \Psi ( x ) } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { { R _ { U } } ( u ) = } & { { } \frac { { 4 \cos { { \left[ { \frac { u } { 2 } } \right] } ^ { 2 } } \left( { - 8 7 + 3 6 \cos \left[ u \right] - 1 0 2 \cos \left[ { 2 u } \right] - 4 8 \cos \left[ { 3 u } \right] - 1 5 \cos \left[ { 4 u } \right] } \right) \sin { { \left[ { \frac { u } { 2 } } \right] } ^ { 4 } } } } { { 3 { u ^ { 2 } } } } } \\ { + } & { { } \frac { { 4 \cos { { \left[ { \frac { u } { 2 } } \right] } ^ { 2 } } \sin { { \left[ { \frac { u } { 2 } } \right] } ^ { 4 } } \left( { - 3 2 4 \sin \left[ u \right] + 2 4 \left( { \sin \left[ { 2 u } \right] + \sin \left[ { 3 u } \right] } \right) - 3 \sin \left[ { 4 u } \right] } \right) } } { { 3 u } } } \\ { + } & { { } \frac { { 4 \cos { { \left[ { \frac { u } { 2 } } \right] } ^ { 2 } } \sin { { \left[ { \frac { u } { 2 } } \right] } ^ { 4 } } \left( { - 1 3 2 \sin \left[ u \right] + 7 2 \sin \left[ { 2 u } \right] + 4 8 \sin \left[ { 3 u } \right] + 1 5 \sin \left[ { 4 u } \right] } \right) } } { { 3 { u ^ { 3 } } } } } \\ { + } & { { } \frac { 4 } { 3 } \cos { \left[ { \frac { u } { 2 } } \right] ^ { 2 } } \sin { \left[ { \frac { u } { 2 } } \right] ^ { 4 } } \left\{ \begin{array} { l } { 7 2 + 5 6 \cos \left[ u \right] + 1 6 \cos \left[ { 2 u } \right] } \\ { + 4 8 \left[ \begin{array} { l } { \left( { 7 + 6 \cos \left[ u \right] - \cos \left[ { 2 u } \right] } \right) \mathrm { { C i } } \left[ u \right] - 2 \left( { 5 + 3 \cos \left[ u \right] - 2 \cos \left[ { 2 u } \right] } \right) \mathrm { { C i } } \left[ { 2 u } \right] + \cos \left[ { 2 u } \right] \log \left[ { \frac { { 2 7 } } { { 1 6 } } } \right] } \\ { + \log \left[ { \frac { { 1 0 2 4 } } { { 2 7 } } } \right] + \cos \left[ u \right] \log \left[ { 6 4 } \right] + 6 \mathrm { { C i } } \left[ { 3 u } \right] \sin { \left[ u \right] ^ { 2 } } } \\ { - 3 \left( { \sin \left[ u \right] + \sin \left[ { 2 u } \right] } \right) \left( { \mathrm { { S i } } \left[ u \right] - 2 \mathrm { { S i } } \left[ { 2 u } \right] + \mathrm { { S i } } \left[ { 3 u } \right] } \right) } \end{array} \right] } \end{array} \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { x } } & { { } = \frac { r } { \omega _ { 0 } \sigma _ { \eta } ^ { 2 } } \left[ \frac { 2 x y } { \sigma _ { \eta } \sigma _ { 0 } } \sin \Psi _ { 1 } ( 0 , 2 ) - \cos \Psi _ { 1 } ( 2 , 1 ) \right] , } \\ { \mathcal { E } _ { y } } & { { } = \frac { r \sigma _ { 0 } } { \sigma _ { \eta } } T _ { 1 } ( 2 ) + \frac { 1 } { \omega _ { 0 } \sigma _ { \eta } } T _ { 2 } , } \\ { \mathcal { E } _ { z } } & { { } = \frac { \sigma _ { 0 } } { \sigma _ { \eta } } \left[ \frac { 2 r y } { \sigma _ { \eta } \sigma _ { 0 } } \cos \Psi _ { 1 } ( 0 , 1 ) + \sin \Psi _ { 1 } ( 1 , 0 ) \right] . } \end{array}
\mathcal { H } ( t _ { f } ) - \mathcal { H } ( t _ { 0 } ) = \underbrace { - \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { f } } \dot { \boldsymbol { q } } \cdot \boldsymbol { G } \boldsymbol { q } \, d t } _ { \mathrm { ~ W ~ o ~ r ~ k ~ d ~ o ~ n ~ e ~ b ~ y ~ t ~ h ~ e ~ n ~ o ~ n ~ c ~ o ~ n ~ s ~ e ~ r ~ v ~ a ~ t ~ i ~ v ~ e ~ l ~ o ~ a ~ d ~ s ~ } } ,
u - \mathrm { i } v = { \frac { d w } { d z } } = - { \frac { \mathrm { i } \Gamma } { 2 c } } \cot \left( { \frac { \pi z } { c } } \right) \rightarrow \mp { \frac { \Gamma } { 2 c } } , \qquad \mathrm { a s } ~ y \rightarrow \pm \infty .
\begin{array} { r l } { a } & { = \frac { \lambda ^ { \prime } \sqrt { 2 \Omega ^ { 2 } + 2 \delta ^ { 2 } + 8 \lambda ^ { 2 } } } { 2 \Omega ^ { 2 } } , ~ b = - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } , } \\ { c } & { = \frac { \delta \sqrt { 8 \lambda ^ { 2 } + 2 \delta ^ { 2 } } } { 2 \lambda ^ { 2 } } , ~ d = \frac { \lambda ^ { \prime } \sqrt { 2 \Omega ^ { 2 } + 2 \delta ^ { 2 } + 8 \lambda ^ { 2 } } } { 2 \Omega ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varrho } & { = \int \sum _ { \alpha } f _ { \alpha } \operatorname { d } ^ { 3 } \! \vec { p } \quad \mathrm { a n d } } \\ { \vec { j } } & { = \int \sum _ { \alpha } f _ { \alpha } \vec { v } _ { \alpha } \operatorname { d } ^ { 3 } \! \vec { p } \quad \mathrm { w i t h } \quad \vec { v } _ { \alpha } = \frac { \vec { p } } { m _ { \alpha } } \left( 1 + \frac { p ^ { 2 } } { m _ { \alpha } ^ { 2 } c ^ { 2 } } \right) ^ { - 1 / 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { q ( T + \delta _ { T } ) - q ( T ) \approx \delta _ { T } \textbf { J } \cdot [ \textbf { E } ( T + \delta _ { T } ) + \textbf { E } ( T ) ] / 2 } \\ { h ( T + \delta _ { T } ) - h ( T ) \approx \delta _ { T } [ U _ { T } ( T + \delta _ { T } ) + U _ { T } ( T ) ] / 2 . } \end{array}
\mathbf { P } ( t ) = \mathbf { P } _ { 0 } + \int _ { 0 } ^ { t } \mathbf { V } ( \tau ) d \tau = \mathbf { P } _ { 0 } + \int _ { 0 } ^ { t } ( \mathbf { V } _ { 0 } + \mathbf { A } \tau ) d \tau = \mathbf { P } _ { 0 } + \mathbf { V } _ { 0 } t + { \frac { 1 } { 2 } } \mathbf { A } t ^ { 2 } .
\begin{array} { r l r } & { } & { m _ { \alpha } \left\vert \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } \right\vert ^ { 2 } + m _ { \beta } \left\vert \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ^ { \prime } \right\vert ^ { 2 } } \\ & { = } & { m _ { \alpha } \left\vert \mathbf { w } \right\vert ^ { 2 } + m _ { \beta } \left\vert \widetilde { \mathbf { w } } \right\vert ^ { 2 } + \left( m _ { \alpha } + m _ { \beta } \right) \left( r ^ { 2 } + \chi q \right) - \left( 3 m _ { \alpha } + m _ { \beta } \right) q r } \\ & { } & { + \frac { m _ { \alpha } ^ { 2 } + 6 m _ { \alpha } m _ { \beta } + m _ { \beta } ^ { 2 } } { 4 m _ { \beta } } q ^ { 2 } + m _ { \beta } \left( \chi ^ { 2 } - 2 \chi r \right) } \\ & { = } & { m _ { \alpha } \left\vert \mathbf { w } \right\vert ^ { 2 } + m _ { \beta } \left\vert \widetilde { \mathbf { w } } \right\vert ^ { 2 } + \left( m _ { \alpha } + m _ { \beta } \right) \left( r - \frac { 2 m _ { \beta } \chi + \left( 3 m _ { \alpha } + m _ { \beta } \right) q } { 2 \left( m _ { \alpha } + m _ { \beta } \right) } \right) ^ { 2 } } \\ & { } & { + \frac { m _ { \alpha } m _ { \beta } } { m _ { \alpha } + m _ { \beta } } \left( \chi + \frac { m _ { \alpha } - m _ { \beta } } { 2 m _ { \beta } } q \right) ^ { 2 } \mathrm { , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathscr H ^ { n - 1 } ( G ) } & { \leq \mathscr H ^ { n - 1 } \left( \left\{ w \in S ^ { n - 1 } ( 0 , 1 ) : \int _ { \gamma _ { w } | _ { [ r , R ] } } \rho \, d s \geq 1 \right\} \right) } \\ & { \leq \int _ { S ^ { n - 1 } ( 0 , 1 ) } \int _ { r } ^ { R } \rho ( x + t w ) \, d t d \mathscr H ^ { n - 1 } ( w ) \lesssim _ { n } r ^ { - n + 1 } \| \rho \| _ { L ^ { 1 } ( B ( x , R ) ) } . } \end{array}
\lambda _ { 1 , 2 } = \frac { \mathrm { t r } \left( \underline { { \boldsymbol { \Phi } } } \right) } { 2 } \pm \sqrt { \left( \frac { \mathrm { t r } \left( \underline { { \boldsymbol { \Phi } } } \right) } { 2 } \right) ^ { 2 } - \mathrm { d e t } \left( \underline { { \boldsymbol { \Phi } } } \right) } ,
{ \frac { 1 } { 2 ^ { s } } } \zeta ( s ) = { \frac { 1 } { 2 ^ { s } } } + { \frac { 1 } { 4 ^ { s } } } + { \frac { 1 } { 6 ^ { s } } } + { \frac { 1 } { 8 ^ { s } } } + { \frac { 1 } { 1 0 ^ { s } } } + \ldots
\begin{array} { r l r } { H _ { \gamma , 0 } } & { { } = } & { i \left[ ( u + v \cos k _ { x } ) \sigma _ { x } + v \sin k _ { x } \sigma _ { y } + t _ { 1 } \cos k _ { y } \sigma _ { 0 } \right] \tau _ { z } } \\ { H _ { g , 0 } } & { { } = } & { i H _ { g , \mathrm { 2 D } } \tau _ { z } . } \end{array}
T r ~ K _ { M _ { \beta } } ( s ) | _ { s \rightarrow 0 } = { \frac { 1 } { ( 4 \pi s ) ^ { d / 2 } } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left( a _ { n } + a _ { \beta , n } \right) s ^ { n } ~ ~ ~ .
\begin{array} { r l } { J } & { = \sum _ { \tau = 1 } ^ { T _ { p } } \lambda _ { d i v } \| y ( \tau ) - y ^ { \mathrm { r e f } } \| ^ { 2 } + \sum _ { \tau = 1 } ^ { T _ { p } } \lambda _ { v } \| v ( \tau ) - v ^ { \mathrm { r e f } } \| ^ { 2 } \ \mathrm { ( e r r o r ) } } \\ & { + \sum _ { \tau = 0 } ^ { T _ { p } - 1 } \lambda _ { \delta } \| \delta ( \tau ) \| ^ { 2 } + \sum _ { \tau = 0 } ^ { T _ { p } - 1 } \lambda _ { a } \| a ( \tau ) \| ^ { 2 } \ \ \ \ \ \ \mathrm { ( c o n t r o l ~ e f f o r t ) } } \\ & { + \sum _ { \tau = 0 } ^ { T _ { p } - 1 } \lambda _ { \Delta \delta } \| \delta ( \tau ) - \delta ( \tau - 1 ) \| ^ { 2 } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathrm { ( s t e e r i n g ~ r a t e ) } } \\ & { + \sum _ { \tau = 0 } ^ { T _ { p } - 1 } \lambda _ { \Delta a } \| a ( \tau ) - a ( \tau - 1 ) \| ^ { 2 } , \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \mathrm { ( j e r k ) } } \end{array}
\mathbf { x } _ { \omega } ( t ) = e ^ { i \omega t } \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathbf { x } _ { \delta } ( t ^ { \prime } ) e ^ { - i \omega t ^ { \prime } } d t ^ { \prime } = \mathbf { x } _ { 0 } ( \omega ) e ^ { i \omega t } \, ,
\boldsymbol { \tau } ^ { * } = 2 \mu _ { 0 } ^ { * } \boldsymbol { \mathrm { E } } ^ { * } + 2 \alpha _ { 1 } ^ { * } \stackrel { \nabla ^ { * } } { \boldsymbol { \mathrm { E } } ^ { * } } + 4 \alpha _ { 2 } ^ { * } ( \boldsymbol { \mathrm { E } } ^ { * } \cdot \boldsymbol { \mathrm { E } } ^ { * } ) .
P e = \frac { { { u _ { c } } { R _ { c , 0 } } } } { { { D _ { p } } } } \sim \frac { { \sigma { R _ { c , 0 } } } } { { { \rho _ { l } } { v _ { l } } { D _ { p } } } } \frac { { \varepsilon _ { 0 } ^ { 3 } } } { { 1 + \varepsilon _ { 0 } ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l } { K ( x _ { f } , t _ { f } ; x _ { i } , t _ { i } ) } & { { } = \left( { \frac { m \omega } { 2 \pi i \hbar \sin \omega T } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \exp { \left( { \frac { i } { \hbar } } { \frac { 1 } { 2 } } m \omega { \frac { ( x _ { i } ^ { 2 } + x _ { f } ^ { 2 } ) \cos \omega T - 2 x _ { i } x _ { f } } { \sin \omega T } } \right) } } \end{array}
{ \cal M } _ { m } ^ { \mu } { \cal M } _ { n \mu } ^ { * } ( p _ { a } , p _ { b } , p _ { 1 } , p _ { 2 } , q ) \longrightarrow { \cal M } _ { m } ^ { \mu } { \cal M } _ { n \mu } ^ { * } ( s , t _ { 1 } , s _ { 2 } , s _ { 1 } , t _ { 2 } ) \equiv T _ { m n } \, .
\begin{array} { l l l } { { \widetilde { \cal O } _ { 4 1 } = Y _ { a } Y _ { a } Y _ { a } \chi ^ { - } } } & { { \widetilde { \cal O } _ { 4 2 } = Y _ { a } Y _ { a } Y _ { b } \xi } } & { { \widetilde { \cal O } _ { 4 3 } = Y _ { a } Y _ { a } Y _ { c } L ^ { -- } } } \\ { { \widetilde { \cal O } _ { 4 4 } = Y _ { a } Y _ { b } Y _ { b } \chi ^ { - } } } & { { \widetilde { \cal O } _ { 4 5 } = Y _ { a } Y _ { b } Y _ { b } \xi } } & { { \widetilde { \cal O } _ { 4 6 } = Y _ { b } Y _ { b } Y _ { b } \chi ^ { - } } } \\ { { \widetilde { \cal O } _ { 4 7 } = Y _ { b } Y _ { b } Y _ { b } \xi } } & { { \widetilde { \cal O } _ { 4 8 } = Y _ { b } Y _ { b } Y _ { c } L ^ { -- } } } & { { } } \end{array}
\mathbb { P } \Big ( \vert \partial _ { i j } ^ { 2 } u _ { \delta } ^ { n , t } ( x ) \vert \geq \frac { 1 } { 2 \log ^ { \nu } ( n ) } \Big ) \leq \mathbb { P } \Big ( \vert \partial _ { i j } ^ { 2 } \bar { u } _ { \delta } ^ { n , t } ( x ) \vert \geq \frac { 1 } { 4 \log ^ { \nu } ( n ) } \Big ) \quad \mathrm { f o r ~ a n y ~ x \in \mathcal { M } ~ , }
2 L _ { 9 } ^ { r } ( \mu ) + { \frac { 1 } { 9 6 \pi ^ { 2 } } } \left( l n { \frac { m _ { \pi } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } } + 1 \right) = F _ { \pi } ^ { 2 } \int _ { 4 m _ { \pi } ^ { 2 } } ^ { \infty } { \frac { d s ^ { \prime } } { s ^ { 2 } } } I m f _ { \pi } ( s ^ { \prime } )
\operatorname* { d e t } { \bf M } = \frac { L } { \pi ^ { 2 } } \int _ { r _ { 1 } } ^ { r _ { 2 } } \int _ { \vartheta _ { 1 } } ^ { \vartheta _ { 2 } } \left[ \Delta \rho ^ { 2 } E + 2 M _ { H } r ( r ^ { 2 } E - a _ { H } \hat { L } _ { z } ) \right] \frac { d \vartheta } { \sqrt { L ^ { 2 } - K ( \vartheta ) } } \frac { d r } { \Delta ( r ) \sqrt { R ( r ) } } ,
{ \begin{array} { r l } { f _ { i } ( x + h ) - f _ { i } ( x ) } & { = g _ { i } ( 1 ) - g _ { i } ( 0 ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } g _ { i } ^ { \prime } ( t ) \, d t } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { n } { \frac { \partial f _ { i } } { \partial x _ { j } } } ( x + t h ) h _ { j } \right) d t = \sum _ { j = 1 } ^ { n } \left( \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { \partial f _ { i } } { \partial x _ { j } } } ( x + t h ) \, d t \right) h _ { j } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { d _ { P } ( \mathbf { x } ) } & { : = \mathrm { d i s t } ( \mathbf { x } , \Sigma _ { P } ) = \operatorname* { m i n } \big \{ | x _ { j } | , \, 2 ^ { - 1 / 2 } | x _ { j } - x _ { k } | : j \in P , k \in P ^ { c } \big \} } \\ { \lambda _ { P } ( \mathbf { x } ) } & { : = \operatorname* { m i n } \{ 1 , \, d _ { P } ( \mathbf { x } ) \} } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ c ] \tilde { \boldsymbol { w } } } & { = \boldsymbol { w } ^ { i } - \mathsf { P } ( \mathcal { N ^ { \prime } } [ \boldsymbol { w } ^ { i } ] ) ^ { \top } \mathsf { Q } ^ { - 1 } ( \mathcal { N } [ \boldsymbol { w } ^ { i } ] - \mathsf { y } ^ { \boldsymbol { b } } ) \mathrm { ; } } \\ { \boldsymbol { w } ^ { i + 1 } } & { = \tilde { \boldsymbol { w } } + \mathsf { K } ( \mathsf { y } _ { j } - \mathsf { H } \tilde { \boldsymbol { w } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { y } _ { 1 } } & { { } = y _ { 2 } , } \\ { \dot { y } _ { 2 } } & { { } = \frac { 1 } { m } \left[ - c y _ { 2 } - k y _ { 1 } + F _ { p } \left( y _ { 3 } \right) + F _ { m } \left( y _ { 1 } , y _ { 3 } \right) + F _ { i } \left( y _ { 1 } \right) - F _ { 0 } \right] , } \\ { \dot { y } _ { 3 } } & { { } = \frac { 1 } { \beta V } \left[ Q - Q _ { v } \left( y _ { 1 } , y _ { 3 } \right) - Q _ { b } \left( y _ { 3 } \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } ^ { ( i + 1 ) } } & { { } = \left( { \hat { U } } ^ { ( i ) } \right) ^ { \dagger } ( t _ { \mathrm { ~ 1 ~ , ~ o ~ p ~ t ~ } } ^ { ( i ) } ) \hat { H } ^ { ( i ) } { \hat { U } } ^ { ( i ) } ( t _ { \mathrm { ~ 1 ~ , ~ o ~ p ~ t ~ } } ^ { ( i ) } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l r l } & { \mathcal { X } _ { 1 , 1 } ^ { \epsilon } = \Gamma _ { 1 } ^ { ( 4 ) } \cap D _ { \epsilon } ( \omega k _ { 4 } ) , } & & { \mathcal { X } _ { 1 , 2 } ^ { \epsilon } = \Gamma _ { 4 } ^ { ( 4 ) } \cap D _ { \epsilon } ( \omega k _ { 4 } ) , } & & { \mathcal { X } _ { 1 , 3 } ^ { \epsilon } = \Gamma _ { 6 } ^ { ( 4 ) } \cap D _ { \epsilon } ( \omega k _ { 4 } ) , } & & { \mathcal { X } _ { 1 , 4 } ^ { \epsilon } = \Gamma _ { 3 } ^ { ( 4 ) } \cap D _ { \epsilon } ( \omega k _ { 4 } ) . } \end{array}