harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { i k _ { x } \hat { u } + \frac { \partial \hat { v } } { \partial y } + \frac { \partial \hat { w } } { \partial z } } & { { } = 0 , } \\ { \omega \hat { u } + i U k _ { x } \hat { u } + \frac { \partial U } { \partial y } \hat { v } + \frac { \partial U } { \partial z } \hat { w } } & { { } + \frac { \partial \hat { u } } { \partial y } V + \frac { \partial \hat { u } } { \partial z } W } \\ { \omega \hat { v } + i U k _ { x } \hat { v } + \frac { \partial V } { \partial y } \hat { v } } & { { } + \frac { \partial V } { \partial z } \hat { w } + \frac { \partial \hat { v } } { \partial y } V + \frac { \partial \hat { v } } { \partial z } W } \\ { \omega \hat { w } + i U k _ { x } \hat { w } + \frac { \partial W } { \partial y } \hat { v } } & { { } + \frac { \partial W } { \partial z } \hat { w } + \frac { \partial \hat { w } } { \partial y } V + } \\ { \frac { \partial \hat { w } } { \partial z } W = - \frac { \partial \hat { p } } { \partial z } } & { { } - \frac { P r } { \Pi _ { s } } \sin \alpha \left( - k _ { x } ^ { 2 } \hat { w } + \frac { \partial ^ { 2 } \hat { w } } { \partial y ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } \hat { w } } { \partial z ^ { 2 } } + \hat { b } \cot \alpha \right) , } \\ { \omega \hat { b } + i U k _ { x } \hat { b } + \frac { \partial B } { \partial y } \hat { v } } & { { } + \frac { \partial B } { \partial z } \hat { w } + \frac { \partial \hat { b } } { \partial y } V + \frac { \partial \hat { b } } { \partial z } W } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { R L } } & { = [ R _ { T } - R L ( t ) ] \ell ( t ) k _ { + } - R L ( t ) k _ { - } + B _ { c } ( R L , \ell ) \xi _ { c } ( t ) , } \\ { \dot { x } ^ { * } } & { = [ X _ { T } - x ^ { * } ( t ) ] R L ( t ) { k _ { \mathrm { f } } } - x ^ { * } ( t ) { k _ { \mathrm { r } } } + B _ { x } ( R L , x ^ { \ast } ) \xi _ { x } ( t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { g ( x , y ) = \frac { \imath \, e } { 2 \hbar \omega } e ^ { \imath k _ { i , x } . x } } & { { } } & { \left[ \frac { 1 } { \frac { \omega } { v } - k _ { i , z } } + \frac { r _ { A u } } { \frac { \omega } { v } - k _ { r , z } } e ^ { \imath ( k _ { r , z } - \frac { \omega } { v } ) z _ { t } } + \frac { a _ { 1 } } { \frac { \omega } { v } - k _ { r , z } } ( 1 - e ^ { \imath ( k _ { r , z } - \frac { \omega } { v } ) z _ { t } } ) \right. } \end{array}
\varpi _ { m , k , l } ^ { ( q ) } \left( \lambda , \nu _ { m } , | h _ { m , k } | ^ { 2 } , | h _ { m , k } ^ { J } | ^ { 2 } \right) = \left\{ \begin{array} { r l } & { - \lambda p _ { m , k , l } ^ { ( q ) } \left( | h _ { m , k } | ^ { 2 } , | h _ { m , k } ^ { J } | ^ { 2 } \right) } \\ & { \; \; + \left( 1 - \nu _ { m } \right) r _ { l } , { \mathrm { i f } } \, q = 1 ; } \\ & { - \lambda p _ { m , k , l } ^ { ( q ) } \left( | h _ { m , k } | ^ { 2 } , | h _ { m , k } ^ { J } | ^ { 2 } \right) } \\ & { \; \; + \left( 1 + \nu _ { m } \chi \right) r _ { l } , { \mathrm { i f } } \, q = 2 . } \end{array} \right.
A = \frac { 8 \alpha G M } { ( \beta q ) ^ { 3 / 2 } } , ~ B = \frac { 4 \alpha G } { \beta ^ { 2 } } , ~ C = \frac { \beta q } { 2 \alpha } , ~ g ( x ) = 2 \arctan \left( \frac { 1 } { x } \right) - x \ln \left( 1 + \frac { 1 } { x ^ { 2 } } \right) .
{ \mathcal { H } } _ { \mathrm { ~ T ~ C ~ } } = \omega _ { c } \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } + \sum _ { j } \nu \hat { b } _ { j } ^ { \dagger } \hat { b } _ { j } + \sum _ { j } g _ { j } ( \hat { a } ^ { \dagger } \hat { b } _ { j } + \hat { b } _ { j } ^ { \dagger } \hat { a } ) ,
\begin{array} { r l } { \partial J _ { \boldsymbol { \lambda } } ( \beta ^ { 0 } ) } & { = \left\{ v \in \mathbb { R } ^ { p } : v \in \partial J _ { \boldsymbol { \lambda } } ( 0 ) \mathrm { ~ a n d ~ } U _ { \beta ^ { 0 } } ^ { T } ( v - \Lambda _ { 0 } ) = 0 \right\} } \\ & { = \partial J _ { \boldsymbol { \lambda } } ( 0 ) \cap ( \Lambda _ { 0 } + \langle U _ { \beta ^ { 0 } } \rangle ^ { \perp } ) , } \end{array}
F _ { 2 , c } ( Z _ { 2 } ) = \eta _ { 0 } + ( \mathrm { R e ( a _ { 2 } ) + \ e t a _ { 1 } ) \overline { { Z } } _ { 2 } + O ( \ e t a ) \overline { { Z } } _ { 2 } ^ { 2 } + \left( a _ { 3 } - i a _ { 2 } \mathrm { I m ( a _ { 2 } ) + O ( \ e t a ) } \right) \overline { { Z } } _ { 2 } ^ { 3 } + O \left( \overline { { Z } } _ { 2 } ^ { 4 } \right) , }
- { \cal L } _ { \mathrm { m a s s } } = \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { f } } { \big [ } \mu _ { L i } ^ { 2 } | \phi _ { i } | ^ { 2 } + \mu _ { R i } ^ { 2 } | { \bar { \phi } } _ { i } | ^ { 2 } + \mu _ { i } ^ { 2 } ( \phi _ { i } { \bar { \phi } } _ { i } + \phi _ { i } ^ { \ast } { \bar { \phi } } _ { i } ^ { \ast } ) { \big ] } + m _ { \lambda } ( \lambda \lambda + \bar { \lambda } \bar { \lambda } ) .
\theta _ { \textrm { n o i s e } } = \tan ^ { - 1 } \! \left( \frac { \ell _ { \textrm { n o i s e } } } { \Delta } \right) \approx \frac { \ell _ { \textrm { n o i s e } } } { \Delta } = \frac { 2 \pi } { \Delta } \left( \frac { A _ { \textrm { n o i s e } } } { A _ { \textrm { o b j e c t } } } \right) ^ { \! \! 1 / ( \gamma - \beta ) } \! \! \! .
\begin{array} { r l } { \hat { v } _ { \mathrm { P S } } ^ { \| } } & { { } = \frac { 1 } { 4 \pi \hat { \eta } ^ { \mathrm { e } } } \frac { 1 } { { 1 + \hat { \lambda } ^ { 2 } } } ( \mathbf { e } _ { z } \times \mathbf { n } - \hat { \lambda } \mathbf { n } ) \cdot \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { P S } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { r _ { n } ( n ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 - m n } & { n \in [ 0 , \frac { 1 - q } { m } ] } \\ { q } & { n \in [ \frac { 1 - q } { m } , 1 - \frac q m ] } \\ { m ( 1 - n ) } & { n \in [ 1 - \frac q m , 1 ] } \end{array} \right. } \end{array}
\frac { 1 } { n } H \left( \nu ^ { ( \omega , n ^ { \prime } ) } , { \mathcal D } _ { ( q + 1 ) n } \right) = \frac { 1 } { n } H \left( p _ { \omega _ { 1 } } \otimes \cdots \otimes p _ { \omega _ { n ^ { \prime } } } \right) = \frac { n ^ { \prime } } { n } \cdot \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n ^ { \prime } } H ( p _ { \omega _ { i } } ) } { n ^ { \prime } } = : s ( \omega , n ) .
\mathcal { L } _ { 0 } = \{ 0 , \dotsc , L - 1 = 3 ^ { T ^ { \prime } } - 1 \} ^ { \times 2 } , \ \ \mathcal { L } _ { 1 } = \{ 0 , \dotsc , 3 ^ { T ^ { \prime } - 1 } - 1 \} ^ { \times 2 } , \ \dotsc \ , \mathcal { L } _ { T } = \{ 0 , \dotsc , 3 ^ { T ^ { \prime } - T } - 1 \} ^ { \times 2 } .
\begin{array} { r l } & { \big ( E _ { { \theta _ { 0 } } + h } [ \widehat \theta ] - E _ { \theta _ { 0 } } [ \widehat \theta ] \big ) ^ { 2 } } \\ & { \leq h ^ { 2 } ( F ( { \theta _ { 0 } } ) + o ( 1 ) ) \operatorname { V a r } _ { \theta _ { 0 } } ( X ) \wedge h ^ { 2 } ( F ( { \theta _ { 0 } } ) + o ( 1 ) ) \operatorname { V a r } _ { \theta _ { 0 } + h } ( X ) . } \end{array}
\tilde { K } ( i Q , \kappa ; T , \mu ) \sim \tilde { K } _ { 0 } ( i Q , \kappa ) + \sum _ { n } C _ { n } ( Q ^ { 2 } , m ^ { 2 } ( \kappa ) , g ^ { 2 } ( \kappa ) , \kappa ) \langle [ O _ { n } ] _ { \kappa } \rangle _ { T , \mu } \, ,
\begin{array} { r l } { \rho \partial _ { t } v _ { i } + v _ { i } \partial _ { t } \rho } & { { } = - v _ { i } \nabla \cdot ( \rho v ) - \rho v \cdot \nabla v _ { i } + \mu \Delta v _ { i } - \nabla p + \rho g v } \\ { \rho \partial _ { t } v _ { i } + \rho v \cdot \nabla v _ { i } } & { { } = - \nabla p + \rho g + \mu \Delta v _ { i } } \end{array}
{ \cal M } ^ { 2 } = \left( \begin{array} { c c } { { M _ { Z } ^ { 2 } } } & { { \gamma M _ { Z } ^ { 2 } } } \\ { { \gamma M _ { Z } ^ { 2 } } } & { { M _ { Z ^ { \prime } } ^ { 2 } } } \end{array} \right) \, ,
{ \frac { D ^ { 2 } } { < n > ^ { 2 } } } = { \frac { < \nu ^ { 2 } > - < \nu > ^ { 2 } } { < \nu > ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { < \nu > } } { \frac { d ^ { 2 } } { \bar { n } ^ { 2 } } } \ \ ,
\mathrm { ~ P ~ e ~ r ~ c ~ e ~ n ~ t ~ a ~ g ~ e ~ Y ~ i ~ e ~ l ~ d ~ } = \frac { \mathrm { ~ A ~ c ~ t ~ u ~ a ~ l ~ Y ~ i ~ e ~ l ~ d ~ } } { \mathrm { ~ T ~ h ~ e ~ o ~ r ~ e ~ t ~ i ~ c ~ a ~ l ~ Y ~ i ~ e ~ l ~ d ~ } } .
n ( r ) = g \int \frac { d ^ { 3 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \left[ 1 + \exp \left( \frac { q ^ { 2 } } { 2 m T } + \frac { V ( r ) } { T } - \frac { \mu } { T } \right) \right] ^ { - 1 } .
\sigma _ { \nu N \to \mu ^ { + } \mu ^ { - } \nu N } = \frac { Z ^ { 2 } \alpha ^ { 3 } } { 1 8 \pi ^ { 2 } } \mu _ { \nu } ^ { 2 } \ln ^ { 4 } \left( \frac { E _ { \nu } } { m _ { \mu } } \right) \; \; ,
\begin{array} { r c l } { \kappa _ { R } \, \partial _ { t } U } & { = } & { \frac { D _ { U } } { L ^ { 2 } } \, \Delta _ { \bf x } U - \, \kappa _ { U } U \, , } \\ { \kappa _ { R } \, \partial _ { t } V } & { = } & { \frac { D _ { V } } { L ^ { 2 } } \, \Delta _ { \bf x } V - \, \kappa _ { V } V \, , } \end{array} \qquad { \Large \Leftrightarrow } \qquad \begin{array} { r c l l } { \partial _ { t } u } & { = } & { D _ { u } \Delta _ { \bf x } u - \sigma _ { u } u , \quad } & { { \bf x } \in \Omega \backslash \bigcup _ { j = 1 } ^ { m } \Omega _ { j } \, , } \\ { \partial _ { t } v } & { = } & { D _ { v } \Delta _ { \bf x } v - \sigma _ { v } v , \quad } & { { \bf x } \in \Omega \backslash \bigcup _ { j = 1 } ^ { m } \Omega _ { j } \, , } \end{array}
\frac { \partial \mathbf { u } } { \partial t } + \mathbf { u } \cdot \triangledown \mathbf { u } = - \frac { \triangledown P } { \rho } + \triangledown \nu _ { \mathit { e f f } } \triangledown \mathbf { u } + \frac { \mathbf { S } } { \tau }
\begin{array} { r l } & { ( a e k ) ^ { t - 1 } ( a f h ) ^ { w - j } ( b d k ) ^ { j - t } ( c d h ) ^ { s + 1 } ( b f g ) ^ { r + 1 } ( c e g ) ^ { m - i - 2 } } \\ & { = ( a e k ) ^ { t - 1 } * D _ { q } * ( a f h ) ^ { w - j } ( b d k ) ^ { j - t } ( c d h ) ^ { s + 1 } ( b f g ) ^ { r + 1 } ( c e g ) ^ { m - i - 2 } } \\ & { = ( a e k ) ^ { t } ( a f h ) ^ { w - j } ( b d k ) ^ { j - t } ( c d h ) ^ { s + 1 } ( b f g ) ^ { r + 1 } ( c e g ) ^ { m - i - 2 } } \\ & { - q * ( a e k ) ^ { t - 1 } ( a f h ) ^ { w - j + 1 } ( b d k ) ^ { j - t } ( c d h ) ^ { s + 1 } ( b f g ) ^ { r + 1 } ( c e g ) ^ { m - i - 2 } } \\ & { - q * ( a e k ) ^ { t - 1 } b d k ( a f h ) ^ { w - j } ( b d k ) ^ { j - t } ( c d h ) ^ { s + 1 } ( b f g ) ^ { r + 1 } ( c e g ) ^ { m - i - 2 } } \\ & { + q ^ { 2 } * ( a e k ) ^ { t - 1 } b f g ( a f h ) ^ { w - j } ( b d k ) ^ { j - t } ( c d h ) ^ { s + 1 } ( b f g ) ^ { r + 1 } ( c e g ) ^ { m - i - 2 } } \\ & { + q ^ { 2 } * ( a e k ) ^ { t - 1 } c d h ( a f h ) ^ { w - j } ( b d k ) ^ { j - t } ( c d h ) ^ { s + 1 } ( b f g ) ^ { r + 1 } ( c e g ) ^ { m - i - 2 } } \\ & { - q ^ { 3 } * ( a e k ) ^ { t - 1 } c e g ( a f h ) ^ { w - j } ( b d k ) ^ { j - t } ( c d h ) ^ { s + 1 } ( b f g ) ^ { r + 1 } ( c e g ) ^ { m - i - 2 } } \end{array}
{ \cal C } _ { 0 } = i \, \int d { \bf { r } } \, { \textstyle { \cal X } ^ { \alpha } } ( { \bf r } ) \, j _ { 0 } ^ { \alpha } ( { \bf r } ) \; \; \; \; \; \mathrm { a n d } \; \; \; \; \; \; \; { \bar { \cal C } } = i \, \int d { \bf { r } } \, \overline { { { { \cal Y } ^ { \alpha } } } } ( { \bf r } ) \, j _ { 0 } ^ { \alpha } ( { \bf r } )
A _ { N , i j } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \mathrm { ~ , ~ } v _ { i } \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } v _ { j } \mathrm { ~ a ~ r ~ e ~ a ~ d ~ j ~ a ~ c ~ e ~ n ~ t ~ } } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ , ~ } \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \rho + ( \partial _ { r } \rho ) u + ( \partial _ { r } u ) \rho + \frac { 2 u \rho } { r } } & { { } = 0 \ , } \\ { \partial _ { t } u + ( u \partial _ { r } ) u } & { { } = - \frac { 1 } { \rho } \partial _ { r } P + g \ , } \\ { P } & { { } = P ( \rho ) \ . } \end{array}
\operatorname* { s u p } _ { \gamma \in \Gamma ( M ) } \int _ { M } \hat { q _ { 1 } } ( x ) \hat { q _ { 2 } } ( \gamma ( x ) ) \sqrt { | D \gamma | } \langle \overline { { q _ { 1 } } } ( x ) , \overline { { q _ { 2 } } } ( \gamma ( x ) ) \rangle d m \leq \operatorname* { s u p } _ { ( A , B ) \in \mathcal { A } } \sum _ { i = 1 } ^ { t _ { 1 } } \sum _ { j = 1 } ^ { t _ { 0 } } \sqrt { A _ { i j } B _ { i j } } \langle u _ { i } \cdot v _ { j } \rangle .
\Big [ \prod _ { i = 1 } ^ { N } | x _ { i } | ^ { \alpha _ { i } } | 1 - x _ { i } | ^ { \beta _ { i } } \Big ] \Big [ \prod _ { 1 \leq j < k \leq N } ( x _ { k } - x _ { j } ) ^ { 2 \gamma _ { j , k } } \Big ] \Big [ \prod _ { \mathrm { F } \in \mathcal { F } ( K _ { \ell , m , n } ) } x _ { \mathrm { F } } ^ { d _ { \mathrm { F } } } \Big ] \in L ^ { 1 } ( \triangle _ { \ell , m , n } , \, \mathrm { d } x _ { 1 } \cdots \, \mathrm { d } x _ { N } )
\begin{array} { r l } { \tan ^ { - 1 } x = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n } { \frac { x ^ { 2 n + 1 } } { 2 n + 1 } } } & { { } = x - { \frac { x ^ { 3 } } { 3 } } + { \frac { x ^ { 5 } } { 5 } } - { \frac { x ^ { 7 } } { 7 } } + \cdots } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( \mu _ { n } ) _ { n \in \mathbb { N } } \subset \mathcal { P } \left( \mathbb { R } \right) , \mu _ { n } \rightharpoonup \mu \in \mathcal { P } \left( \mathbb { R } \right) } \\ & { ( b _ { n } ) _ { n \in \mathbb { N } } \subset B , b _ { n } ( \cdot ) = c _ { n } \in \mathbb { R } , b _ { n } \to b ( \cdot ) = c \in \mathbb { R } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { E } _ { \mathrm { T } } ( \mathbf { r } ) = \sum _ { j } b _ { j } ^ { \mathrm { J } } \mathbf { e } _ { j } ^ { - } ( \mathbf { r } _ { \perp } ) \exp ( - i \beta _ { j } ( z - z _ { \mathrm { J } } ) ) \ ( z < z _ { \mathrm { J } } ) , } \end{array}
\ln Z = \frac { V } { ( 2 \pi ) ^ { d } } \: \sqrt { \frac { \alpha ^ { \prime } c } { \hbar } } \: \int _ { m _ { 0 } } ^ { \infty } \: d m \: \rho ( m ) \: \int d ^ { d } k \ln \left\lbrace \frac { 1 + \exp \left\lbrack - \beta _ { H } \left( m ^ { 2 } c ^ { 4 } + k ^ { 2 } \hbar ^ { 2 } c ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \right\rbrack } { 1 - \exp \left\lbrack - \beta _ { H } \left( m ^ { 2 } c ^ { 4 } + k ^ { 2 } \hbar ^ { 2 } c ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \right\rbrack } \right\rbrace
V ^ { * } = \frac { n ^ { 2 } q ^ { 2 } V _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 m \Omega ^ { 2 } r _ { 0 } ^ { 2 } } \left( \frac { r } { r _ { 0 } } \right) ^ { 2 n - 2 } + q U _ { 0 } \left( \frac { r } { r _ { 0 } } \right) ^ { n } \cos \left( n \varphi \right)
\Gamma _ { \textrm { P I E } } = \textrm { d i a g } \left[ \left( \frac { \left| P \right| ^ { 2 } } { \alpha } \left( \frac { \operatorname* { m a x } \left( \left| P \right| \right) } { \left| P \right| } - 1 \right) \right) ^ { 1 / 2 } \right]
\begin{array} { r l } & { \frac { d } { d \varepsilon } \bigg \vert _ { \varepsilon = 0 } \Gamma ( g + \varepsilon h ) _ { a b } ^ { c } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { d } { d \varepsilon } \bigg \vert _ { \varepsilon = 0 } ( g + \varepsilon h ) ^ { c d } \right) ( \partial _ { a } g _ { b d } + \partial _ { b } g _ { a d } - \partial _ { d } g _ { a b } ) } \\ & { \quad \, + \frac { 1 } { 2 } g ^ { c d } \left\{ \partial _ { a } \left( \frac { d } { d \varepsilon } \bigg \vert _ { \varepsilon = 0 } ( g + \varepsilon h ) _ { b d } \right) + \partial _ { b } \left( \frac { d } { d \varepsilon } \bigg \vert _ { \varepsilon = 0 } ( g + \varepsilon h ) _ { a d } \right) - \partial _ { d } \left( \frac { d } { d \varepsilon } \bigg \vert _ { \varepsilon = 0 } ( g + \varepsilon h ) _ { a b } \right) \right\} } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { d } { d \varepsilon } \bigg \vert _ { \varepsilon = 0 } ( g + \varepsilon h ) ^ { c d } \right) ( \partial _ { a } g _ { b d } + \partial _ { b } g _ { a d } - \partial _ { d } g _ { a b } ) + \frac { 1 } { 2 } g ^ { c d } ( \partial _ { a } h _ { b d } + \partial _ { b } h _ { a d } - \partial _ { d } h _ { a b } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { \{ \mathbf { e } _ { i } \} } & { = { \left\{ \mathbf { e } _ { 0 } , \mathbf { e } _ { 1 } , \mathbf { e } _ { 2 } , \mathbf { e } _ { 3 } , \mathbf { e } _ { 4 } , \mathbf { e } _ { 5 } , \mathbf { e } _ { 6 } , \mathbf { e } _ { 7 } , \mathbf { e } _ { 8 } \right\} } } \\ & { } & { = \frac { \Delta x } { \Delta t } \left\{ \begin{array} { r r r r r r r r r } { 0 } & { - 1 } & { - 1 } & { - 1 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { - 1 } & { - 1 } & { - 1 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } \end{array} \right\} } \\ & { \{ \mathrm { w } _ { i } \} } & { = { \left\{ \frac { 4 } { 9 } , \frac { 1 } { 3 6 } , \frac { 1 } { 9 } , \frac { 1 } { 3 6 } , \frac { 1 } { 9 } , \frac { 1 } { 3 6 } , \frac { 1 } { 9 } , \frac { 1 } { 3 6 } , \frac { 1 } { 9 } \right\} } } \end{array}
\begin{array} { r l } { k ^ { 2 } } & { { } = \frac { \tilde { G } ^ { - 1 } - \tilde { G } _ { m } ^ { - 1 } } { P _ { N } ^ { 2 } ( 0 ) ( 1 - \tilde { G } ^ { - 1 } ) + \tilde { G } _ { m } ^ { - 1 } - 1 } , } \\ { A } & { { } = \frac { 1 } { ( 1 + k ^ { 2 } ) ( 1 - \tilde { G } _ { m } ^ { - 1 } ) } . } \end{array}
\hat { \Phi } _ { d } = \left( \begin{array} { c c c } { { \Phi ^ { \prime } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \Phi ^ { \prime } } } \end{array} \right) \, ; \, \, \, \, \, \, \hat { \Phi } _ { n d } = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { \Phi ^ { \prime \prime } } } \\ { { - \Phi ^ { \prime \prime } } } & { { 0 } } \end{array} \right) \, ;
\frac { \tilde { \gamma } ^ { 2 } } { 1 - \tilde { \gamma } ^ { 2 } } + \frac { e ^ { 2 \mu _ { 1 } } \left( \gamma \Lambda t \right) ^ { 2 } } { \left( 1 - \tilde { \gamma } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } = \frac { \gamma ^ { 2 } } { 1 - \gamma ^ { 2 } } ,
\operatorname { c s g n } ( z ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { { \mathrm { i f ~ } } \mathrm { R e } ( z ) > 0 , } \\ { - 1 } & { { \mathrm { i f ~ } } \mathrm { R e } ( z ) < 0 , } \\ { \operatorname { s g n } ( \mathrm { I m } ( z ) ) } & { { \mathrm { i f ~ } } \mathrm { R e } ( z ) = 0 } \end{array} \right. }
U ( P ) = { \frac { 1 } { 4 \pi } } \int _ { S } \left[ U { \frac { \partial } { \partial n } } \left( { \frac { e ^ { i k s } } { s } } \right) - { \frac { e ^ { i k s } } { s } } { \frac { \partial U } { \partial n } } \right] d S ,
v _ { x } ( z ) = \frac { v _ { w } } { \eta _ { s } ( \phi ) ^ { 1 / 4 } I } , \qquad I = \frac { 4 } { \pi d _ { w } } \int _ { - d _ { w } / 2 } ^ { d _ { w } / 2 } \frac { S ( z ) \, d z } { \eta _ { s } ( \phi ( z ) ) ^ { 1 / 4 } } .
\begin{array} { r } { \xi _ { 2 } ( T ^ { c } ) \leq \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { ~ \sqrt { \frac { 4 n + 1 - \sqrt { 7 2 n - 6 3 } } { 2 } } ~ } } & { \quad \mathrm { i f ~ n ~ i s ~ e v e n , } } \\ { \mathrm { ~ \sqrt { \frac { 4 n + 1 - \sqrt { 7 2 n - 4 7 } } { 2 } } ~ } } & { \quad \mathrm { i f ~ n ~ i s ~ o d d . } } \end{array} \right. } \end{array}
\stackrel { \triangledown } { \vec { A } } = \frac { D } { D t } \vec { A } - \left( \boldsymbol { \nabla } \vec { u } \right) ^ { T } \cdot \vec { A } - \vec { A } \cdot \boldsymbol { \nabla } \vec { u } = \left( \beta - 1 \right) \left( \vec { A } \cdot \vec { E } + \vec { E } \cdot \vec { A } \right) .
\begin{array} { r l } { \alpha _ { \varepsilon } ( x , t ) = } & { \phi \left( \frac { x _ { d } } { \varepsilon } \right) \left( \kappa \Delta - \sum _ { j = 1 } ^ { d - 1 } u ^ { j } ( x , t ) \frac { \partial } { \partial x _ { j } } - \frac { \partial } { \partial t } - A \right) \gamma ( x _ { 1 } , \cdots , x _ { d - 1 } , t ) } \\ & { - \frac { 1 } { \varepsilon } \phi ^ { \prime } \left( \frac { x _ { d } } { \varepsilon } \right) \gamma ( x _ { 1 } , \cdots , x _ { d - 1 } , t ) u ^ { d } ( x , t ) + \kappa \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 } } \phi ^ { \prime \prime } \left( \frac { x _ { d } } { \varepsilon } \right) \gamma ( x _ { 1 } , \cdots , x _ { d - 1 } , t ) , } \end{array}
\frac { d x } { d t } = \frac { 1 } { 2 } ( c _ { 2 } - c _ { 1 } ) \sin ( 2 \alpha ) \cos \phi ; \qquad \frac { d y } { d t } = \frac { 1 } { 2 } ( c _ { 2 } - c _ { 1 } ) \sin ( 2 \alpha ) \sin \phi ; \qquad \frac { d z } { d t } = c _ { 1 } \sin ^ { 2 } \alpha + c _ { 2 } \cos ^ { 2 } \alpha
M _ { \mathrm { n o n - f } } ( \bar { B } \rightarrow J / \psi \bar { K } ) = { \frac { i } { f _ { K } } } \langle \psi | H _ { w } | \bar { B } _ { s } ^ { 0 } \rangle \Biggl \{ e ^ { i \delta _ { \psi \bar { K } } } + { \frac { \langle \psi | H _ { w } | \bar { B } _ { s } ^ { * 0 } \rangle } { \langle \psi | H _ { w } | \bar { B } _ { s } ^ { 0 } \rangle } } { \frac { m _ { B } ^ { 2 } - m _ { \psi } ^ { 2 } } { m _ { B _ { s } ^ { * } } ^ { 2 } - m _ { \psi } ^ { 2 } } } \sqrt { \frac { 1 } { 2 } } h \Biggr \} \, + \, \cdots ,
\begin{array} { r l } { u = \arg \operatorname* { m i n } _ { u \in \mathcal { U } } \quad } & { u ^ { T } Q u + M \delta ^ { 2 } } \\ { \textrm { s . t . } \quad } & { \dot { V } ( t , x , u ) \leq - k V ( t , x ) + \delta , } \\ & { \psi _ { i } ^ { r _ { i } } ( t , x , u ; \theta _ { \alpha _ { i } } ) \geq 0 , \; i \in \{ 1 , 2 , . . , N \} } \end{array}
\sigma _ { r , 3 } = \sigma _ { r , 1 } ^ { * } ; \, \, \sigma _ { r , 4 s + 3 } = \sigma _ { r , 4 s + 1 } ^ { * } ; \quad | \sigma _ { r , 4 s + 1 } | > | \sigma _ { r , 1 } | \quad ( s = 1 \ldots \frac { r - 1 } { 2 } ) \, .
\frac { d } { d \tau } \left( \frac { \dot { x } _ { i } ^ { \mu } ( \tau ) } { \sqrt { \dot { x } _ { i } ^ { 2 } ( \tau ) } } \right) = ( - 1 ) ^ { i + 1 } K _ { i } ( \tau ) \acute { x } _ { i } ^ { \mu } ( \tau ) \, \, \, \, \, ( i = 1 , 2 ) ,
\mu \mid x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } \sim { \mathcal { N } } \left( { \frac { { \frac { \sigma ^ { 2 } } { n } } \mu _ { 0 } + \sigma _ { 0 } ^ { 2 } { \bar { x } } } { { \frac { \sigma ^ { 2 } } { n } } + \sigma _ { 0 } ^ { 2 } } } , \left( { \frac { n } { \sigma ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { \sigma _ { 0 } ^ { 2 } } } \right) ^ { - 1 } \right)
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial } { \partial w ( \cdot ) } { \mathbb { E } } [ w ( \tilde { Y } ) ] = f _ { \tilde { Y } } ( z ) , } \\ & { \frac { \partial } { \partial w ( \cdot ) } { \mathbb { E } } \left[ e ^ { - 2 \theta _ { k } \Gamma ( K , \epsilon , w ) } \right] = \frac { \partial } { \partial w ( \cdot ) } { \mathbb { E } } \left[ e ^ { - 2 \theta _ { k } ( w ( \tilde { Y } ) + \tilde { Y } ) } \right] = - 2 \theta _ { k } e ^ { - 2 \theta _ { k } ( w ( z ) + z ) } f _ { \tilde { Y } } ( z ) , } \\ & { \frac { \partial } { \partial w ( \cdot ) } \int _ { 0 } ^ { \infty } \eta ( y ) w ( y ) d y = \eta ( z ) . } \end{array}
[ L _ { - 1 } , W _ { 0 } ^ { 3 } ] = ( \O _ { - 4 } ^ { 2 3 } ) _ { - 1 } = - 2 W _ { - 1 } ^ { 3 } \quad ; \quad [ L _ { - 1 } , W _ { 1 } ^ { 3 } ] = ( \O _ { - 4 } ^ { 2 3 } ) _ { 0 } = - 3 W _ { 0 } ^ { 3 }
\begin{array} { r } { \frac { \mathrm { d } v _ { p z } } { \mathrm { d } t } = - \frac { q _ { p } } { m _ { p } } \left( \frac { E _ { \xi } } { J _ { \xi } } \right) _ { \xi _ { p } } - \frac { \mu _ { p } } { m _ { p } } \left. \frac { \mathrm { d } B } { \mathrm { d } z } \right| _ { \xi _ { p } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \boldsymbol { \dot { Q } } _ { i } } & { = } & { \frac { 1 } { m _ { 0 } } \sum _ { j \ne 0 } \boldsymbol { P } _ { j } } \\ { \boldsymbol { \dot { V } } _ { i } } & { = } & { - G \sum _ { j \neq i , j > 0 } \frac { m _ { j } } { Q _ { i j } ^ { 3 } } \v Q _ { i j } \left( K ( Q _ { i j } ) - Q _ { i j } K ^ { \prime } ( Q _ { i j } ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { T ^ { E } ( \psi _ { 1 } ( u ) ) ( x ) ( y ) } & { = { ^ { \mathrm { t } } u } ( \delta _ { x } \circ T ) ( y ) = u ( y ) ( \delta _ { x } \circ T ) = \langle \delta _ { x } \circ T , J _ { 1 } ^ { - 1 } ( u ( y ) ) \rangle } \\ & { = \langle \delta _ { x } , T J _ { 1 } ^ { - 1 } ( u ( y ) ) \rangle = \langle [ J _ { 2 } \circ T \circ J _ { 1 } ^ { - 1 } ] ( u ( y ) ) , \delta _ { x } \rangle = \langle ( T _ { 1 } \circ u ) ( y ) , \delta _ { x } \rangle } \\ & { = \langle ( T _ { 1 } ^ { \ast } u ) ( y ) , \delta _ { x } \rangle = \psi _ { 2 } ^ { - 1 } ( g ) ( y ) ( \delta _ { x } ) = { ^ { t } ( \mathcal { J } ^ { - 1 } \circ R _ { g } ^ { t } ) } ( y ) ( \delta _ { x } ) } \\ & { = ( \mathcal { J } ^ { - 1 } \circ R _ { g } ^ { t } ) ( \delta _ { x } ) ( y ) = \mathcal { J } ^ { - 1 } ( \mathcal { J } ( g ( x ) ) ( y ) = g ( x ) ( y ) . } \end{array}