harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\int _ { M } ( \Phi _ { 1 } ( x , t ) - x ) F ( \Phi _ { 2 } ( x , t ) ) \mathrm { d } x = \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { M } u _ { 1 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , t ) F ( x _ { 2 } ) \mathrm { d } x \mathrm { d } s + \mathsf { R } _ { F } ( t ) ,
\frac { \partial \langle \tilde { P } \rangle } { \partial \tilde { r } } = \frac { \partial \tilde { h } } { \partial \tilde { r } } = \frac { \partial \langle C \rangle } { \partial \tilde { r } } = \frac { \partial \tilde { w } } { \partial \tilde { r } } = \tilde { u } = \langle \tilde { u } \rangle = 0 .
\prod _ { i = 1 } ^ { l / 2 } ( I _ { 0 } ^ { 2 } + I _ { 1 } + w _ { i } I _ { 0 } ) ( I _ { 0 } - c ) = I _ { 0 } ^ { l + 1 } + I _ { 0 } ^ { l - 1 } I _ { 1 } + \cdots = 0 ,
\begin{array} { r } { \frac { ( \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } ) | \Delta v _ { n } \Delta v _ { n } ^ { * } | } { \overline { { \mathcal { Q } } } ( G _ { n } , G _ { * , n } ) } \leq \operatorname* { m i n } \biggr \{ \frac { ( \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } ) | \Delta v _ { n } ^ { * } | } { \lambda _ { n } | \Delta v _ { n } - \Delta v _ { n } ^ { * } | } , \frac { ( \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } ) | \Delta v _ { n } | } { \lambda _ { n } ^ { * } | \Delta v _ { n } - \Delta v _ { n } ^ { * } | } , \frac { ( \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } ) | \Delta v _ { n } ^ { * } | } { \lambda _ { n } | \Delta \mu _ { n } - \Delta \mu _ { n } ^ { * } | ^ { 2 } } , } \\ { \frac { ( \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } ) | \Delta v _ { n } | } { \lambda _ { n } ^ { * } | \Delta \mu _ { n } - \Delta \mu _ { n } ^ { * } | ^ { 2 } } \biggr \} = B . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { j \geq k } \| u _ { 0 } ^ { k } - u _ { 0 } ^ { j } \| _ { s - 1 , j } ^ { 2 } \| u _ { 0 } ^ { k } \| _ { \widetilde { s + 1 } } ^ { 2 } \leq C _ { \kappa } \operatorname* { s u p } _ { j \geq k } \| u _ { 0 } ^ { k } - u _ { 0 } ^ { j } \| _ { s - 1 } ^ { 2 } \| u _ { 0 } ^ { k } \| _ { s + 1 } ^ { 2 } } \\ { \leq } & { C _ { \kappa , s } \operatorname* { s u p } _ { j \geq k } \| u _ { 0 } ^ { k } - u _ { 0 } ^ { j } \| _ { s - 1 } ^ { 2 } k ^ { 2 } \| u _ { 0 } ^ { k } \| _ { s } ^ { 2 } \leq C _ { \kappa , s } \operatorname* { s u p } _ { j \geq k } \| u _ { 0 } ^ { k } - u _ { 0 } ^ { j } \| _ { s - 1 } ^ { 2 } k ^ { 2 } \| u _ { 0 } \| _ { s } ^ { 2 } } \\ { \leq } & { C _ { \kappa , s } \operatorname* { s u p } _ { j \geq k } \| u _ { 0 } ^ { k } - u _ { 0 } ^ { j } \| _ { s } ^ { 2 } \| u _ { 0 } \| _ { s } ^ { 2 } \leq C _ { \kappa , s } \| u _ { 0 } - u _ { 0 } ^ { k } \| _ { s } ^ { 2 } \| u _ { 0 } \| _ { s } ^ { 2 } \to 0 \quad \mathrm { a s ~ } k \to \infty . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { T _ { A } ^ { \mu \nu } ( q , p ) } & { { } = } & { \frac { i } { M } \, \epsilon ^ { \mu \nu \alpha \beta } \, q _ { \alpha } \mathtt { s } _ { \beta } \, S _ { 1 } ( \nu , Q ^ { 2 } ) + \frac { i } { M ^ { 3 } } \, \epsilon ^ { \mu \nu \alpha \beta } \, q _ { \alpha } ( p \cdot q \ \mathtt { s } _ { \beta } - \mathtt { s } \cdot q \ p _ { \beta } ) \, S _ { 2 } ( \nu , Q ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \Phi \left( 2 \right) \right\rangle = } & { { } a \left| 0 \right\rangle \otimes \left| \textrm { A l i c e m e a s u r e d 0 } \right\rangle \otimes \left| \textrm { B o b r e c e i v e d 0 } \right\rangle + } \end{array}
- \frac { 4 k y _ { 1 } ( y _ { 1 } ^ { 2 } - 3 y _ { 2 } ^ { 2 } ) } { \zeta ( y _ { 1 } ^ { 2 } + y _ { 2 } ^ { 2 } ) } b _ { 2 k } = L _ { 2 k } ^ { a s } ,
\begin{array} { l c r } { { L _ { H } = \int d ^ { 2 } x \sum _ { h y p e r m u l t } [ | D _ { \mu } \varphi _ { H } | ^ { 2 } + | V \varphi _ { H } | ^ { 2 } + \overline { { { \psi } } } _ { H } \gamma ^ { \mu } D _ { \mu } \psi _ { H } + \overline { { { \psi } } } _ { H } V { \psi } _ { H } + \overline { { { \psi } } } _ { V } V { \psi } _ { H } } } \\ { { + \overline { { \varphi } } _ { H } D \varphi _ { H } ] } } \end{array}
\lambda _ { 2 } ( ( \mathcal { D } ^ { - 1 } \mathcal { A } ) ^ { \top } \mathcal { D } ^ { - 1 } \mathcal { A } ) = \operatorname* { m i n } _ { f \in \mathrm { s p a n } ( \mathbf { 1 } _ { \mathcal { V } } ) ^ { \bot } \setminus \{ \mathbf { 0 } \} } \frac { \langle \mathcal { L } ^ { \top } \mathcal { L } f , f \rangle } { \langle f , f \rangle } = \frac { 1 } { ( \Delta - 1 ) ^ { 2 } } .
( 1 + \kappa \nu ) ( 2 \kappa ) ^ { \nu } { \frac { \Gamma { \big ( } { \frac { 1 } { 2 \kappa } } + { \frac { \nu } { 2 } } { \big ) } } { \Gamma { \big ( } { \frac { 1 } { 2 \kappa } } - { \frac { \nu } { 2 } } { \big ) } } } { \frac { \alpha \beta ^ { \nu } } { \Gamma { \big ( } \nu { \big ) } } } \int _ { 0 } ^ { x } z ^ { \alpha \nu - 1 } \exp _ { \kappa } ( - \beta z ^ { \alpha } ) d z
\mathbf { F ( f _ { L } ) } = \frac { 1 } { 8 4 0 } ( 5 6 8 \mathbf { f } _ { j } - 1 4 6 \mathbf { f } _ { j - 1 } + 2 2 \mathbf { f } _ { j - 2 } + 2 \mathbf { f } _ { j - 3 } - \mathbf { f } _ { j - 4 } + 4 8 4 \mathbf { f } _ { j + 1 } - 1 0 4 \mathbf { f } _ { j + 2 } + 1 6 \mathbf { f } _ { j + 3 } - \mathbf { f } _ { j + 4 } ) ,
\begin{array} { r l } & { r _ { 1 } : \quad \mathrm { X } _ { 2 } + \mathrm { X } _ { 2 } \stackrel { k _ { 1 } } { \rightarrow } \mathrm { Z } , \quad r _ { 2 } : \quad \mathrm { Z } \stackrel { k _ { 2 } } { \rightarrow } \mathrm { X } _ { 2 } + \mathrm { X } _ { 2 } , } \\ & { r _ { 3 } : \quad \mathrm { X } _ { 1 } + \mathrm { Z } \stackrel { k _ { 3 } } { \rightarrow } \nu _ { i 3 } \mathrm { X } _ { 2 } + \nu _ { j 3 } \mathrm { X } _ { 2 } + \nu _ { k 3 } \mathrm { X } _ { 1 } + \sum _ { \ell \in \{ 3 , \dots , 1 0 \} } \nu _ { \ell 3 } \mathrm { X } _ { \ell } + \nu _ { z 3 } \mathrm { Z } , } \end{array}
g _ { c d } ^ { ( 2 ) } ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) = \frac { 1 } { 2 } \{ 1 - \cos [ 2 m ( \varphi + \varphi ^ { \prime } ) ] \} [ 1 - \cos ( 4 m \varphi _ { 0 } ) ] .
M _ { m } \left( \begin{array} { l } { q _ { m } } \\ { p _ { m } } \end{array} \right) = \alpha \left( \begin{array} { l } { \tilde { q } _ { m } } \\ { \tilde { p } _ { m } } \end{array} \right) , \qquad \left( \begin{array} { l } { q _ { m } } \\ { p _ { m } } \end{array} \right) = M _ { m } \left( \begin{array} { l } { \tilde { q } _ { m } } \\ { \tilde { p } _ { m } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \xi ^ { * } } & { = \frac { \sum _ { \vec { \mathbf { k } } } k ^ { ( 3 ) } S _ { \vec { \mathbf { k } } } ^ { * } \left[ \beta _ { 3 } ( k ^ { ( 3 ) } - 1 ) W _ { 3 , 2 } ^ { * } + \beta _ { 2 } ( k ^ { ( 3 ) } - 1 ) \frac { k ^ { ( 2 , \mathrm { n e s t e d } ) } } { k ^ { ( 3 ) } } W _ { 2 , 1 } ^ { * ( \mathrm { n e s t e d } ) } + \beta _ { 2 } k ^ { ( 2 , \mathrm { f r e e } ) } W _ { 2 , 1 } ^ { * ( \mathrm { f r e e } ) } \right] } { \sum _ { \vec { \mathbf { k } } } k ^ { ( 3 ) } S _ { \vec { \mathbf { k } } } ^ { * } } \equiv F _ { 1 } ( \xi ^ { * } , \{ S _ { \vec { \mathbf { k } } } ^ { * } \} ) ~ , } \\ & { S _ { \vec { \mathbf { k } } } ^ { * } = \frac { { \mu } P _ { \vec { \mathbf { k } } } } { \mu + \beta _ { 3 } k ^ { ( 3 ) } W _ { 3 , 2 } ^ { * } + \beta _ { 2 } k ^ { ( 2 , \mathrm { n e s t e d } ) } W _ { 2 , 1 } ^ { * ( \mathrm { n e s t e d } ) } + \beta _ { 2 } k ^ { ( 2 , \mathrm { f r e e } ) } W _ { 2 , 1 } ^ { * ( \mathrm { f r e e } ) } } \equiv F _ { 2 } ( \xi ^ { * } , \{ S _ { \vec { \mathbf { k } } } ^ { * } \} ) ~ , } \end{array}
\hat { R } ( t ) = r _ { 0 } ( t ) \mathbf { 1 } + \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left( \frac { 1 } { n ! } \right) ^ { 2 } r _ { a _ { 1 } \ldots a _ { n } } ^ { i _ { 1 } \ldots i _ { n } } ( t ) \hat { E } _ { i _ { 1 } \ldots i _ { n } } ^ { a _ { 1 } \ldots a _ { n } }
W [ Y ] = \int \frac { d ^ { 4 } x } { 3 2 \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d T } { T ^ { 3 } } \rho ( T , \Lambda ^ { 2 } ) e ^ { - T K } \mathrm { t r } \left( e ^ { - T M \tau _ { 3 } } [ 1 - f _ { 1 } ( T , B ) + f _ { 2 } ( T , B ) - \tilde { f } _ { 3 } ( T , B ) + \ldots ] \right) ,
\psi ^ { ( 0 ) } ( { \vec { r } } _ { 2 } , { \vec { r } } _ { 1 } ) = \psi _ { n _ { 2 } , l _ { 2 } , m _ { 2 } } ( { \vec { r } } _ { 1 } ) \psi _ { n _ { 1 } , l _ { 1 } , m _ { 1 } } ( { \vec { r } } _ { 2 } )
\mathopen { } \mathclose \bgroup \left\| { \boldsymbol { \chi } } _ { m , k } ^ { \kappa } \aftergroup \egroup \right\| _ { L ^ { \infty } ( \ensuremath { \mathbb { R } } \times \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } ) } + \varepsilon _ { m } \mathopen { } \mathclose \bgroup \left\| \nabla { \boldsymbol { \chi } } _ { m , k } ^ { \kappa } \aftergroup \egroup \right\| _ { L ^ { \infty } ( \ensuremath { \mathbb { R } } \times \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } ) } \leq \frac { C a _ { m } \varepsilon _ { m } ^ { 3 } } { \kappa } .
\begin{array} { r l } { \rho _ { 0 } ( K _ { 1 } ( k _ { 1 } ) ) f } & { = f ( z _ { 1 } , z _ { 2 } , \cos ( k _ { 1 } ) z _ { 3 } - 2 ^ { - 1 } \sin ( k _ { 1 } ) z _ { 4 } , 2 \sin ( k _ { 1 } ) z _ { 3 } + \cos ( k _ { 1 } ) z _ { 4 } ) , } \\ { \rho _ { 0 } ( K _ { 2 } ( k _ { 2 } ) ) f } & { = \exp ( \imath \alpha k _ { 2 } ) f ( \exp ( - 2 \imath k _ { 2 } ) z _ { 1 } , z _ { 2 } , \exp ( - \imath k _ { 2 } ) z _ { 3 } , \exp ( - \imath k _ { 2 } ) z _ { 4 } ) , } \\ { \rho _ { 0 } ( K _ { 3 } ( k _ { 3 } ) ) f } & { = \exp ( \imath k _ { 3 } ) f ( z _ { 1 } , \exp ( - 2 \imath k _ { 3 } ) z _ { 2 } , \exp ( - \imath k _ { 3 } ) z _ { 3 } , \exp ( - \imath k _ { 3 } ) z _ { 4 } ) , } \\ { \rho _ { 0 } ( A _ { 1 } ( a _ { 1 } ) ) f } & { = f ( z _ { 1 } , z _ { 2 } , \exp ( - a _ { 1 } ) z _ { 3 } , \exp ( a _ { 1 } ) z _ { 4 } ) , } \\ { \rho _ { 0 } ( A _ { 3 } ( a _ { 3 } ) ) f } & { = ( \cosh ( a _ { 3 } ) + \sinh ( a _ { 3 } ) z _ { 2 } ) } \\ & { \times f ( z _ { 1 } , \operatorname { t a n h } ( a _ { 3 } ) + \cosh ( a _ { 3 } ) ^ { - 2 } z _ { 2 } , \cosh ( a _ { 3 } ) ^ { - 1 } z _ { 3 } , \cosh ( a _ { 3 } ) ^ { - 1 } z _ { 4 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { L , M } ^ { ( \ell ^ { \prime } m ^ { \prime } , \ell m ) } ( \rho ) = } & { \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { - 1 } ^ { 1 } \mathrm { d } \eta \mathrm { d } \phi \, Y _ { \ell ^ { \prime } } ^ { m ^ { \prime } * } ( \eta , \phi ) \sqrt { \frac { 4 \pi } { 2 L + 1 } } Y _ { L } ^ { M } ( \eta , \phi ) Y _ { \ell } ^ { m } ( \eta , \phi ) \left[ \rho ( \rho + R ) + \frac { R ^ { 2 } } { 4 } ( 1 - \eta ^ { 2 } ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { I _ { c , \mathrm { v e c } } ( C ) \approx \frac { \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { a } \in A } Z ^ { \prime } ( \mathbf { a } ) } { \operatorname* { m a x } _ { \mathbf { a } \in A } Z ^ { \prime } ( \mathbf { a } ) } } \end{array}
E _ { q } ^ { n , \nu } ( \rho ) = \frac { 2 \pi ^ { 2 } } { b _ { n , \nu } } \frac { 1 } { \vert \rho \vert } \int { d z d \bar { z } \ e ^ { \frac { i } { 2 } ( \bar { q } \rho + q \bar { \rho } ) } \ E ^ { n , \nu } \left( \! z \! + \! \rho / 2 , z \! - \! \rho / 2 \right) } \ ,
W ^ { \Omega _ { z _ { 1 } } , \wedge ^ { m } ( \Omega _ { z _ { 2 } } ) } ( v ^ { ( d , a ) } \otimes v ^ { ( d _ { m } , d ) } ) = \sum _ { a _ { m } } v ^ { ( d _ { m } , a _ { m } ) } \otimes v ^ { ( a _ { m } , a ) } W ^ { ( 1 , m ) } \left( \left. \begin{array} { c c } { { d _ { m } } } & { { d } } \\ { { a _ { m } } } & { { a } } \end{array} \right| z _ { 1 } - z _ { 2 } \right) ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ S ~ W ~ M ~ S ~ E ~ } = } & { { } \sum _ { b = 0 , 1 } { \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } \left( \left\{ t _ { s _ { i } } \middle | s _ { i } \in S _ { b } \right\} \right) \left( \frac { N _ { S _ { b } } } { N _ { S } } \right) ^ { 2 } } } \\ { = } & { { } \sum _ { b = 0 , 1 } { ( \frac { N _ { S _ { b } } } { N _ { S } } \sum _ { s _ { i } \in S _ { b } } t _ { s _ { i } } ^ { 2 } - \frac { 1 } { N _ { S } } ( \sum _ { s _ { i } \in S _ { b } } t _ { s _ { i } } ) ^ { 2 } ) } . } \end{array}
\delta _ { 0 } \left( \frac { R ^ { 2 } } { 4 \phi ^ { 2 } } \eta _ { i j } d \phi ^ { i } d \phi ^ { j } \right) = \frac { R ^ { 2 } } { 4 \phi ^ { 2 } } \phi ^ { i } \left( d \alpha d \phi ^ { j } + d \phi ^ { j } d \alpha \right) \eta _ { i j }
[ \ell _ { \mu } ^ { 2 } , \, q \cdot \! \nu ] = - i \left[ 2 ( \mu \cdot \nu ) \, \ell _ { \mu } + \sum _ { \rho \in \Delta _ { + } } g _ { | \rho | } ( \rho \cdot \mu ) ( \rho ^ { \vee } \! \cdot \nu ) \frac { \ell _ { \mu } ^ { 2 } - \ell _ { s _ { \rho } ( \mu ) } ^ { 2 } } { \ell _ { \mu } - \ell _ { s _ { \rho } ( \mu ) } } \check { s } _ { \rho } \right] .
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { u ( \mathbf { x } , t _ { 0 } ) = u _ { 0 } ( \mathbf { x } ) , \quad \forall \mathbf { x } \in \Omega } \\ { u ( \mathbf { x } , t ) = \mathcal { B } ( \mathbf { x } , t ) , \quad \forall \mathbf { x } \in \partial \Omega , t \in [ t _ { 0 } , t _ { 1 } ] , } \end{array} \right. } \end{array}
\int x _ { k _ { 1 } } \cdots x _ { k _ { 2 N } } \, \exp { \left( - { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { i , j = 1 } ^ { n } A _ { i j } x _ { i } x _ { j } \right) } \, d ^ { n } x = { \sqrt { \frac { ( 2 \pi ) ^ { n } } { \operatorname* { d e t } A } } } \, { \frac { 1 } { 2 ^ { N } N ! } } \, \sum _ { \sigma \in S _ { 2 N } } ( A ^ { - 1 } ) _ { k _ { \sigma ( 1 ) } k _ { \sigma ( 2 ) } } \cdots ( A ^ { - 1 } ) _ { k _ { \sigma ( 2 N - 1 ) } k _ { \sigma ( 2 N ) } }
V \left( G ^ { 2 } \right) = \frac { G ^ { 2 } } 4 + \frac 3 { 1 6 \pi ^ { 2 } } g ^ { 2 } \frac { G ^ { 2 } } { 3 2 } \ln \frac { g ^ { 2 } G ^ { 2 } } { \mu ^ { 4 } } ,
\begin{array} { r l } { \Pi _ { N } ^ { \mathrm { i r } } ( \alpha ) = \frac { \tau _ { \mathrm { m } } } { \tau _ { \mathrm { d } } | \alpha | ^ { 2 } } } & { { } \sum _ { f = 0 } ^ { N } \binom { N } { f } p ^ { N - f } ( 1 { - } p ) ^ { f + 1 } } \end{array}
v ( \mathbf { p , } i ) = N _ { \mathbf { p } } \left[ \begin{array} { c } { { \frac { ( \overrightarrow { \mathbf { \sigma } } \mathbf { \cdot p } ) } { \omega _ { p } + m } } } \\ { { 1 } } \end{array} \right] \chi _ { i } ,
\left\{ \begin{array} { l l } & { \dot { x } _ { i 1 } ( t ) = x _ { i 2 } ( t ) + h _ { i 1 } ( x _ { i 1 } ( t ) , d _ { i } ( t ) ) , } \\ & { \dot { x } _ { i 2 } ( t ) = h _ { i 2 } ( x _ { i 1 } ( t ) , x _ { i 2 } ( t ) , d _ { i } ( t ) ) + u _ { i } ( t ) , } \\ & { y _ { i } ( t ) = x _ { i 1 } ( t ) + w _ { i } ( t ) , \; i \in \{ 1 , \cdots , 5 \} , } \end{array} \right.
\frac { 1 } { 2 } m \gamma _ { 0 } \beta _ { r } ^ { 2 } + V _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ( r ) = \frac { 1 } { 2 } m \gamma _ { 0 } \beta _ { \perp } ^ { 2 } + V _ { P } ( r ) = \mathcal { E } _ { \perp } \, ,
\begin{array} { r l } { \hat { H } } & { { } = - J \sum \hat { a } _ { x + 1 , y } ^ { \dagger } { \hat { a } _ { x , y } } ^ { - 2 i \pi \alpha y } + \hat { a } _ { x , y } ^ { \dagger } { \hat { a } _ { x + 1 , y } } ^ { 2 i \pi \alpha y } } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { 3 } } & { { } = \int _ { \{ u > \frac { 1 } { m } \} } \frac { 1 } { \lvert u \rvert ^ { s } } \lvert u \partial _ { x } u _ { n } - u \partial _ { x } u \rvert ^ { s } \psi } \end{array}
\frac { \partial U _ { 1 } / \partial \theta } { \partial U _ { 2 } / \partial \theta } = \frac { - \frac { \partial g _ { 1 } } { \partial \theta } / \frac { \partial g _ { 1 } } { \partial U _ { 1 } } } { - \frac { \partial g _ { 2 } } { \partial \theta } / \frac { \partial g _ { 2 } } { \partial U _ { 2 } } } = - \frac { \partial \eta / \partial U _ { 2 } } { \partial \eta / \partial U _ { 1 } } = h ( U _ { 1 } , U _ { 2 } ) .
\begin{array} { r } { h ^ { \mathrm { S E } } = \sum _ { i , k } ^ { \varepsilon _ { i } , \varepsilon _ { k } > 0 } | \psi _ { i } \rangle \langle \psi _ { i } | \frac { 1 } { 2 } \Big [ \Sigma _ { R } ( \varepsilon _ { i } ) + \Sigma _ { R } ( \varepsilon _ { k } ) \Big ] | \psi _ { k } \rangle \langle \psi _ { k } | \, , } \end{array}
- 2 { \frac { 1 } { { \kappa ^ { \prime } } ^ { 2 } } } R ( \eta _ { \mu \nu } + \kappa ^ { \prime } \sqrt { Z } \phi _ { \mu \nu } ) = - 2 { \frac { Z } { \kappa ^ { 2 } } } R ( \eta _ { \mu \nu } + \kappa \phi _ { \mu \nu } )
\frac { 1 } { 4 ! } ( \int _ { D } ) ^ { 4 } \langle F _ { c } ^ { 2 } F _ { t } ^ { 2 } \rangle = \frac { 1 } { 4 ! } r ^ { 4 } ( - e ^ { 4 } ) \langle n ^ { 2 } \rangle ( \int _ { D } ) ^ { 4 } \; e ^ { 2 } [ \delta ^ { 2 } ( x - y ) + 5 \; \mathrm { p e r m u t . } ] = - \frac { e ^ { 6 } } { 4 } r ^ { 4 } \langle n ^ { 2 } \rangle \Delta ^ { 3 }
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } | u | ^ { 3 } \mathrm { d } x \mathrm { d } t \leq C ( R ) T ^ { \frac { 1 } { 2 } } \varepsilon ^ { 3 N + \frac { 7 } { 8 } } . } \end{array}
\sigma _ { 3 } = \sum _ { l = 1 } ^ { 2 } S _ { 1 2 3 } \: e ^ { - \alpha _ { l } r _ { 1 2 } - \beta _ { l } r _ { 2 3 } - \gamma _ { l } r _ { 3 1 } } \sum _ { \substack { 0 \le i \le j \le k \le 2 \, i + j + k \le 4 } } A _ { l , i j k } \: S _ { 1 2 3 } \: r _ { 1 2 } ^ { i } r _ { 2 3 } ^ { j } r _ { 3 1 } ^ { k } ,
\left| A _ { [ \frac { 2 } { 3 } ] } \right| + | Z _ { B } | + \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } ^ { 1 ( 3 ) } \right| + \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } ^ { 2 ( 3 ) } \right| + \operatorname* { m i n } \left( \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } ^ { 1 ( 3 ) } \right| , \left| A _ { ( \frac { 1 } { 2 } , 1 ] } ^ { 2 ( 3 ) } \right| \right) - 3 \leqslant \left\lceil \frac { n } { 3 } \right\rceil .
\begin{array} { r l r } { T } & { \approx } & { \frac { 2 \omega \delta _ { 0 } } { c } \left( 1 - \frac { 1 } { 2 } \eta ^ { 2 } \right) - 2 \left( \frac { \omega \delta _ { 0 } } { c } \right) ^ { 2 } \left( 1 - \eta ^ { 2 } \right) } \\ & { + } & { | \rho | ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \left[ 1 - \frac { 2 \omega \delta _ { 0 } } { c } + 2 \left( \frac { \omega \delta _ { 0 } } { c } \right) ^ { 2 } \right] \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb E \int _ { 0 } ^ { T } G _ { Q } ^ { - } \Big ( V _ { k } x _ { k } ( s ) , V _ { k - 1 } x _ { k - 1 } ( s ) \Big ) \operatorname { e } ^ { c ( T - s ) } d s \quad \mathrm { a n d } } \\ & { \mathbb E \int _ { 0 } ^ { T } G _ { P ^ { - 1 } } ^ { + } \Big ( V _ { k } x _ { k } ( s ) , V _ { k - 1 } x _ { k - 1 } ( s ) \Big ) \operatorname { e } ^ { c ( T - s ) } d s } \end{array}
\rho ^ { N , S _ { L } } = \left( \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) \quad \quad \rho ^ { N , - S _ { L } } = \left( \begin{array} { l l } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) \, ,
( \mathbf { 1 } \otimes { \check { R } } ( u _ { 1 } , u _ { 2 } ) ) ( { \check { R } } ( u _ { 1 } , u _ { 3 } ) \otimes \mathbf { 1 } ) ( \mathbf { 1 } \otimes { \check { R } } ( u _ { 2 } , u _ { 3 } ) ) = ( { \check { R } } ( u _ { 2 } , u _ { 3 } ) \otimes \mathbf { 1 } ) ( \mathbf { 1 } \otimes { \check { R } } ( u _ { 1 } , u _ { 3 } ) ) ( { \check { R } } ( u _ { 1 } , u _ { 2 } ) \otimes \mathbf { 1 } )
A _ { 1 z } ( x , y , z ) = \frac { \tilde { B } _ { 1 } } { 4 \pi L _ { y } } \left[ 1 + \cos \left( \frac { 4 \pi ( y - L _ { y } / 4 ) } { L _ { y } } \right) \right] \sin \left( \frac { 2 \pi x } { L _ { x } } \right) f ( z )
\frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } } A ( \vec { x } ) \wedge F ( \vec { x } ) = \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } } J ^ { 3 } ( \vec { x } ) \wedge J ^ { 1 } ( \vec { x } ) \wedge J ^ { 2 } ( \vec { x } ) = \frac { 1 } { 2 4 \pi ^ { 2 } } \mathrm { t r } ( g ^ { \dagger } ( \vec { x } ) d g ( \vec { x } ) ) ^ { 3 } ,
\begin{array} { r l r } { \langle \hat { \bf l } \cdot \hat { \bf l } \rangle } & { { } = } & { \hbar ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { 6 } \left( \frac { L } { w _ { 0 } } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ( k w _ { 0 } ) ^ { 2 } \right) ( 2 n + | m | + 1 ) } \end{array}
\boldsymbol { C } _ { a , b } = - A _ { a , b } e ^ { - \ell \left| k _ { 1 } \right| } \frac { \boldsymbol { \kappa } _ { a , b ; 1 \perp } } { \dot { \boldsymbol { \vartheta } } _ { a , b ; 1 } ^ { T } \boldsymbol { \vartheta } _ { a , b ; 1 \perp } } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad B _ { a , b } = - A _ { a , b } e ^ { \ell \left( \left| k _ { 2 } \right| - \left| k _ { 1 } \right| \right) } \frac { \boldsymbol { \vartheta } _ { a , b ; 2 } ^ { T } \boldsymbol { \kappa } _ { a , b ; 1 \perp } } { \dot { \boldsymbol { \vartheta } } _ { a , b ; 1 } ^ { T } \boldsymbol { \vartheta } _ { a , b ; 1 \perp } } .
\begin{array} { r l } { \psi _ { 2 , 2 } } & { \le C \left( \| q _ { 0 } \| _ { H ^ { 2 r } ( \Omega ) } + \| f \| _ { H ^ { 2 r - 2 } ( [ 0 , T ] \times \Omega ) } \right) + C \sum _ { i \ge r } \frac { ( i + 1 ) ^ { r } } { ( i + 1 ) ! } \epsilon ^ { i + 1 } \| t ^ { i + 1 - r } \partial _ { t } ^ { i } f \| _ { L _ { t , x } ^ { 2 } ( [ 0 , T ] \times \Omega ) } } \\ & { \quad \quad \quad \quad + C \sum _ { i + k \ge r - 2 } \frac { ( i + k + 2 ) ^ { r } } { ( i + k + 2 ) ! } \epsilon ^ { i } \bar { \epsilon } ^ { k + 2 } \| t ^ { i + k + 2 - r } \partial _ { t } ^ { i } \bar { \partial } ^ { k } f \| _ { L _ { t , x } ^ { 2 } ( [ 0 , T ] \times \Omega ) } + C \phi _ { 1 } ( f ) . } \end{array}
\delta l ^ { a } - D m ^ { a } = ( { \bar { \alpha } } + \beta - { \bar { \pi } } ) l ^ { a } + \kappa n ^ { a } - ( { \bar { \rho } } + \varepsilon - { \bar { \varepsilon } } ) m ^ { a } - \sigma { \bar { m } } ^ { a } \, ,
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { l } { \tilde { E } _ { u } } \\ { \tilde { E } _ { v } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { V ^ { \mathrm { T M } } } \\ { V ^ { \mathrm { T E } } } \end{array} \right) } & { { } = \left( \begin{array} { l l } { V _ { i ^ { \mathrm { T M } } } ^ { \mathrm { T M } } } & { V _ { i ^ { \mathrm { T E } } } ^ { \mathrm { T M } } } \\ { V _ { i ^ { \mathrm { T M } } } ^ { \mathrm { T E } } } & { V _ { i ^ { \mathrm { T E } } } ^ { \mathrm { T E } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { i _ { \mathrm { g } } ^ { \mathrm { T M } } } \\ { i _ { \mathrm { g } } ^ { \mathrm { T E } } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { a \left( s \right) = a _ { 1 } \left( s \right) + a _ { 2 } \left( s \right) \quad , \quad a \left( s ^ { \prime } \right) = a _ { 1 } \left( s \right) - a _ { 2 } \left( s \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \{ H , p _ { \vartheta } \} } & { = } & { - \frac { \partial H } { \partial \vartheta } = \frac { \cot \vartheta } { \rho ^ { 2 } } \left[ \frac { p _ { \varphi } ^ { 2 } } { \sin ^ { 2 } \vartheta } - a _ { H } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \vartheta ( 2 H + p _ { t } ^ { 2 } ) \right] , } \\ { \{ H , Q \} } & { = } & { \frac { \partial H } { \partial p _ { \vartheta } } \frac { \partial Q } { \partial \vartheta } = - \cot \vartheta \frac { p _ { \vartheta } } { \rho ^ { 2 } } \left[ \frac { p _ { \varphi } } { \sin \vartheta } - a _ { H } \sin \vartheta p _ { t } \right] , } \\ { \{ H , \cos ^ { 2 } \vartheta \} } & { = } & { \frac { \partial H } { \partial p _ { \vartheta } } \frac { \partial \cos ^ { 2 } \vartheta } { \partial \vartheta } = - 2 \cos \vartheta \sin \vartheta \frac { p _ { \vartheta } } { \rho ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla \phi _ { \alpha } \otimes \frac { \partial \hat { \Psi } _ { 1 } ^ { \mathrm { I } } } { \partial \nabla \phi _ { \alpha } } = } & { ~ \frac { \sigma _ { 1 } \varepsilon } { 2 } \nabla \phi \otimes \nabla \phi , } \\ { \nabla \phi _ { \alpha } \otimes \frac { \partial \hat { \Psi } _ { 2 } ^ { \mathrm { I } } } { \partial \nabla \phi _ { \alpha } } = } & { ~ \frac { \sigma _ { 2 } \varepsilon } { 2 } \nabla \phi \otimes \nabla \phi . } \end{array}
\phi = { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } \eta = { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } \sigma = { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } } \rho , \ \ \ \ F = \sqrt { 3 } { \cal F } ^ { 2 } = \sqrt { 3 } { \cal F } ^ { 3 } = \sqrt { 3 } \tilde { \cal F } ^ { 1 } .
{ \begin{array} { r l } { \nabla \cdot \mathbf { B } } & { = \nabla \cdot \left( \nabla \times \mathbf { A } \right) = 0 } \\ { \nabla \times \mathbf { E } } & { = \nabla \times \left( - \nabla \phi - { \frac { \partial \mathbf { A } } { \partial t } } \right) = - { \frac { \partial } { \partial t } } \left( \nabla \times \mathbf { A } \right) = - { \frac { \partial \mathbf { B } } { \partial t } } . } \end{array} }