harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
d s ^ { 2 } = \left( 1 - { \frac { r _ { \mathrm { { s } } } } { r } } \right) c ^ { 2 } d t ^ { 2 } - \left( 1 - { \frac { r _ { \mathrm { { s } } } } { r } } \right) ^ { - 1 } d r ^ { 2 } - r ^ { 2 } ( { \textrm { s i n } } ^ { 2 } \theta d \phi ^ { 2 } + d \theta ^ { 2 } )
\begin{array} { r l } & { \prod _ { j = 1 } ^ { n } | \eta _ { j } - \eta _ { j - 1 } | ^ { 1 - 2 H } = | \eta _ { 1 } | ^ { 1 - 2 H } \prod _ { j = 2 } ^ { n } | \eta _ { j } - \eta _ { j - 1 } | ^ { 1 - 2 H } \leq | \eta _ { 1 } | ^ { 1 - 2 H } \prod _ { j = 2 } ^ { n } \left( | \eta _ { j - 1 } | ^ { 1 - 2 H } + | \eta _ { j } | ^ { 1 - 2 H } \right) } \\ & { = | \eta _ { 1 } | ^ { 1 - 2 H } \sum _ { J \subset \{ 2 , \dots , n \} } \bigg ( \prod _ { j \in J } | \eta _ { j - 1 } | ^ { 1 - 2 H } \bigg ) \bigg ( \prod _ { j \in S / J } | \eta _ { j } | ^ { 1 - 2 H } \bigg ) = \sum _ { a \in \mathcal { D } _ { n } } \prod _ { j = 1 } ^ { n } | \eta _ { j } | ^ { a _ { j } } , } \end{array}
\delta ( m _ { W } ) = \frac { \sum _ { k } \frac { X _ { k } \hat { S } _ { m , k } ( m _ { W } ) } { V a r ( X _ { k } ) } } { \sqrt { \sum _ { k } \frac { \hat { S } _ { m , k } ( m _ { W } ) ^ { 2 } } { V a r ( X _ { k } ) } } } = \frac { \sigma _ { e s t } } { \sqrt { V a r ( \sigma _ { e s t } ) } } .
\Lambda ^ { \mu } ( p , p ^ { \prime } ) = - \frac { 2 i } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \sum _ { K } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \int _ { 0 } ^ { x } d y \int d ^ { 4 } k \, \bar { \Gamma } _ { K } \frac { k \llap / \gamma ^ { \mu } k \llap / } { [ k ^ { 2 } - P ^ { 2 } ] ^ { 3 } } \bar { \Gamma } _ { K } + \Lambda _ { c } ^ { \mu } ( p , p ^ { \prime } ) ,
\begin{array} { r l } { g _ { 1 } ( x ) } & { = k _ { 1 } ( x _ { 0 } ) + \frac { 1 } { \sqrt { x } } + \frac { 1 } { x } , } \\ { g _ { 2 } ( q ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 3 1 7 . 5 0 1 + 0 . 5 9 3 \log \log { q } ( \log { q } ) ^ { 2 } + 0 . 0 7 5 8 \sqrt { q } \log { q } + 2 . 7 5 1 \log { q } } & { \mathrm { i f ~ } q < 1 0 ^ { 3 0 } , } \\ { 1 . 7 7 7 + 0 . 5 9 3 \log \log { q } ( \log { q } ) ^ { 2 } + 0 . 0 0 0 2 7 8 \sqrt { q } \log { q } + \log { q } } & { \mathrm { i f ~ } q \geq 1 0 ^ { 3 0 } . } \end{array} \right. } \end{array}
\Psi _ { w } \left( \begin{array} { l l } { \alpha _ { + + } } & { \alpha _ { + - } } \\ { \alpha _ { - + } } & { \alpha _ { -- } } \end{array} \right) = ( - 1 ) ^ { w ( \alpha ) } \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { - 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { X _ { + + } ^ { \alpha } } & { X _ { + - } ^ { \alpha } } \\ { X _ { - + } ^ { \alpha } } & { X _ { -- } ^ { \alpha } } \end{array} \right) = ( - 1 ) ^ { w ( \alpha ) } \left( \begin{array} { l l } { - X _ { - + } ^ { \alpha } } & { - X _ { -- } ^ { \alpha } } \\ { X _ { + + } ^ { \alpha } } & { X _ { + - } ^ { \alpha } } \end{array} \right) , \quad \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } \alpha \in \operatorname { A r c } ( \mathbf { \Sigma } ) .
\begin{array} { r l } { H _ { 7 } } & { \le \sum _ { k = t - \tau } ^ { t } \left( 1 + \alpha h _ { 1 } \right) ^ { t - k } \left( c _ { t } ( k ) + M _ { 3 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) \right) \quad ( l \le t ) } \\ & { = \sum _ { k ^ { \prime } = 0 } ^ { \tau } \left( 1 + \alpha h _ { 1 } \right) ^ { \tau - k ^ { \prime } } \left( c _ { t } ( k ^ { \prime } + t - \tau ) + M _ { 3 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) \right) \quad ( \mathrm { ~ c h a n g i n g ~ i n d e x ~ k ~ i n t o ~ k ^ { \prime } ~ w i t h ~ k ^ { \prime } ~ = ~ k + \tau ~ - t ~ } ) } \\ & { \stackrel { ( a ) } { \le } 2 4 \sum _ { k ^ { \prime } = 0 } ^ { \tau } \left( 1 + \alpha h _ { 1 } \right) ^ { \tau - k ^ { \prime } } \left[ \frac { d _ { 2 } ^ { 2 } } { N K } + 4 L _ { 2 } ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } \rho ^ { 2 k ^ { \prime } K } + M _ { 3 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) \right] } \\ & { = 2 4 \left[ \left( \frac { d _ { 2 } ^ { 2 } } { N K } + M _ { 3 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) \right) \frac { \left( 1 + \alpha h _ { 1 } \right) ^ { \tau + 1 } - 1 } { \alpha h _ { 1 } } + 4 L _ { 2 } ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } \left( 1 + \alpha h _ { 1 } \right) ^ { \tau } \sum _ { k ^ { \prime } = 0 } ^ { \tau } \left( \frac { \rho ^ { 2 K } } { 1 + \alpha h _ { 1 } } \right) ^ { k ^ { \prime } } \right] } \\ & { \leq 2 4 \left[ \left( \frac { d _ { 2 } ^ { 2 } } { N K } + M _ { 3 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) \right) \frac { \left( 1 + \alpha h _ { 1 } \right) ^ { \tau + 1 } - 1 } { \alpha h _ { 1 } } + 4 L _ { 2 } ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } \left( 1 + \alpha h _ { 1 } \right) ^ { \tau } \sum _ { k ^ { \prime } = 0 } ^ { \tau } \rho ^ { 2 k ^ { \prime } K } \right] \quad ( 1 + \alpha h _ { 1 } \ge 1 ) } \\ & { \leq 2 4 \left[ \left( \frac { d _ { 2 } ^ { 2 } } { N K } + M _ { 3 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) \right) \frac { \left( 1 + \alpha h _ { 1 } \right) ^ { \tau + 1 } - 1 } { \alpha h _ { 1 } } + 4 L _ { 2 } ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } \left( 1 + \alpha h _ { 1 } \right) ^ { \tau } \frac { 1 } { 1 - \rho ^ { 2 } } \right] . } \end{array}
\delta \sigma _ { i } = \kappa \sqrt { \frac { \pi } { 2 k } } \; e ^ { i ( 2 | p _ { i } | + 1 ) \pi / 4 } \; \frac { \sqrt { - k \eta } } { \bar { a } _ { i } } \; { H _ { | p _ { i } | } } ^ { ( 1 ) } \left( - k \eta \right) \, .
d s _ { 1 1 } ^ { 2 } = h ^ { - 2 / 3 } ( - d t ^ { 2 } + d x _ { 8 } ^ { 2 } + d x _ { 9 } ^ { 2 } ) + h ^ { 1 / 3 } ( d x _ { 1 } ^ { 2 } + \cdots + d x _ { 7 } ^ { 2 } + d x _ { 1 1 } ^ { 2 } ) ,
{ \cal L } _ { N N \rho } = - \overline { { { \Psi } } } \left\{ G _ { N N \rho } ^ { V } \, \gamma ^ { \mu } \vec { \phi } _ { \mu } ^ { ( \rho ) } \ - \, f r a c { G _ { N N \rho } ^ { T } } { 2 m } \, \sigma ^ { \mu \nu } \partial _ { \nu } \vec { \phi } _ { \mu } ^ { ( \rho ) } \right\} \cdot \vec { \tau } \Psi
\int _ { \Omega } \nu \frac { \partial \omega ^ { h } } { \partial y } w _ { x } ^ { h } d \Omega - \int _ { \Omega } \omega ^ { h } u _ { y } ^ { h } w _ { x } ^ { h } d \Omega - \int _ { \Omega } \frac { \partial w _ { x } ^ { h } } { \partial x } P ^ { h } d \Omega + \int _ { \Gamma } P ^ { h } w _ { x } ^ { h } d y = \int _ { \omega } f _ { x } w _ { x } ^ { h } d \Omega
\mathrm { ~ P ~ C ~ } _ { i } \equiv \frac { \rho _ { i } ^ { \mathrm { ~ ( ~ i ~ n ~ ) ~ } } } { \rho _ { i } ^ { \mathrm { ~ ( ~ o ~ u ~ t ~ ) ~ } } } = \exp \left( \beta \mu _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ } , i } ^ { \mathrm { ~ ( ~ o ~ u ~ t ~ ) ~ } } - \beta \mu _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ } , i } ^ { \mathrm { ~ ( ~ i ~ n ~ ) ~ } } \right) ,
\begin{array} { r l } { C } & { = \operatorname* { s u p } _ { x \in \bar { M } , u ( x ) \in [ \operatorname* { m i n } _ { \bar { M } } u _ { - } , \operatorname* { m a x } _ { \bar { M } } u _ { + } ] } \lvert F ( x , u ( x ) ) \rvert ; } \\ { D _ { 1 } } & { = \operatorname* { s u p } _ { x \in \bar { M } , u ( x ) \in [ \operatorname* { m i n } _ { \bar { M } } u _ { - } , \operatorname* { m a x } _ { \bar { M } } u _ { + } ] } \left\lvert G ( x , u ( x ) ) \right\rvert ; } \\ { D _ { 2 } } & { = \operatorname* { s u p } _ { x \in \bar { M } , u ( x ) \in [ \operatorname* { m i n } _ { \bar { M } } u _ { - } , \operatorname* { m a x } _ { \bar { M } } u _ { + } ] } \left\lvert \nabla G ( x , u ( x ) ) \right\rvert ; } \end{array}
\begin{array} { r l } & { T V ^ { a , b * } ( P ) \mathbb { E } _ { P } \big [ ( \xi _ { t } ^ { a , b } ( P ) ) ^ { 2 } \big ] - \mathbb { E } _ { P } \Bigg [ \sum _ { k \in \{ a , b \} } \frac { \big ( Y _ { t } ^ { k } - \mu ^ { k } ( P ) ( X _ { t } ) \big ) ^ { 2 } } { w ^ { * } ( k | X _ { t } ) } + \Big ( \mu ^ { a } ( P ) ( X _ { t } ) - \mu ^ { b } ( P ) ( X _ { t } ) - \Delta ^ { a , b } ( P ) \Big ) ^ { 2 } \Bigg ] } \\ & { \to 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega _ { V } } V | G ^ { - 1 } ( v ) | ^ { k } d x } & { = \int _ { \Omega _ { V } } V \biggl ( \frac 1 2 | v | ^ { k } + | G ^ { - 1 } ( v ) | ^ { k } - \frac 1 2 | v | ^ { k } \biggr ) d x } \\ & { \ge \frac 1 2 \int _ { \Omega _ { V } } V | v | ^ { k } d x + \int _ { \{ | v | \ge \sigma \} \cap \Omega _ { V } } V \biggl ( | G ^ { - 1 } ( v ) | ^ { k } - \frac 1 2 | v | ^ { k } \biggr ) d x } \\ & { \ge \frac { 1 } { 2 } d _ { j } r _ { j } ^ { k } - \frac 1 2 \int _ { \{ | v | \ge \sigma \} \cap \Omega _ { V } } V | v | ^ { k - p ^ { * } + p ^ { * } } d x } \\ & { \ge \frac 1 2 d _ { j } r _ { j } ^ { k } - \frac 1 2 \| V \| _ { L ^ { \infty } ( \Omega _ { V } ) } \sigma ^ { k - p ^ { * } } \| v \| _ { p ^ { * } } ^ { p ^ { * } } = \frac 1 2 d _ { j } r _ { j } ^ { k } - c r _ { j } ^ { p ^ { * } } , \quad c > 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { x _ { o d } ( t ) } & { { } = } & { x _ { 0 } e ^ { - \gamma t } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left( \frac { \gamma } { \alpha } \frac { ( \alpha t ) ^ { 2 n + 1 } } { ( 2 n + 1 ) ! } + \frac { ( \alpha t ) ^ { 2 n } } { ( 2 n ) ! } \right) } \end{array}
\stackrel { \mathrm { G } } { \tau } _ { \alpha \beta } { } ^ { \! i } = \frac { 1 } { 4 m i } \left[ \left( D ^ { i } \overline { { { \Psi } } } \right) \sigma _ { \alpha \beta } \Psi - \overline { { { \Psi } } } \sigma _ { \alpha \beta } \left( D ^ { i } \Psi \right) \right] \, ,
V _ { 3 d } = \frac { \int \int _ { S _ { h } } I ( \rho , z , \phi = 4 5 ^ { \circ } ) d \rho d z } { \int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } I ( \rho , z , \phi = 4 5 ^ { \circ } ) d \rho d z } .
\begin{array} { r l r } { V _ { A B } } & { { } = } & { E _ { A B } - ( E _ { A } + E _ { B } ) \, , } \\ { V _ { A B C } } & { { } = } & { E _ { A B C } - ( E _ { A } + E _ { B } + E _ { C } ) \, , } \\ { V _ { A B C D } } & { { } = } & { E _ { A B C D } - ( E _ { A } + E _ { B } + E _ { C } + E _ { D } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( f + h ) ( x _ { k } ) - ( f + h ) ( x _ { k } + s _ { k } ) } & { \geq \eta _ { 1 } ( \varphi ( 0 ; x _ { k } ) + \psi ( 0 ; x _ { k } ) - ( \varphi ( s _ { k } ; x _ { k } ) + \psi ( s _ { k } ; x _ { k } ) ) ) } \\ & { \geq \eta _ { 1 } \kappa _ { \textup { m d c } } \xi _ { 1 } ( x _ { k } , \nu _ { k } ^ { - 1 } ) } \\ & { \geq \eta _ { 1 } \kappa _ { \textup { m d c } } \xi _ { 1 } ( x _ { k } , \nu _ { \operatorname* { m i n } } ^ { - 1 } ) } \\ & { \geq \eta _ { 1 } \kappa _ { \textup { m d c } } \epsilon ^ { 2 } . } \end{array}
{ \cfrac { \partial \mathbf { b } ^ { i } } { \partial q ^ { j } } } = - \Gamma _ { j k } ^ { i } ~ \mathbf { b } ^ { k } ~ ; ~ ~ { \boldsymbol { \nabla } } \mathbf { b } _ { i } = \Gamma _ { i j } ^ { k } ~ \mathbf { b } _ { k } \otimes \mathbf { b } ^ { j } ~ ; ~ ~ { \boldsymbol { \nabla } } \mathbf { b } ^ { i } = - \Gamma _ { j k } ^ { i } ~ \mathbf { b } ^ { k } \otimes \mathbf { b } ^ { j }
\begin{array} { r l } { E _ { k } ( t ) = \frac { 1 } { 2 } M ( t ) \dot { h } ( t ) ^ { 2 } } & { { } = \frac { \pi } { 2 } \rho R ^ { 2 } h ( t ) \dot { h } ( t ) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb P [ E _ { t + 1 , z } ^ { s t a r t } | { \cal Y } _ { t + 1 } , B _ { t } , { \mathbf { x } } _ { t z } ^ { h e l i } ] } & { = } & { \frac { \mathbb P [ { \cal Y } _ { t + 1 } | E _ { t + 1 , z } ^ { s t a r t } , B _ { t } , { \mathbf { x } } _ { t z } ^ { h e l i } ] \mathbb P [ E _ { t + 1 , z } ^ { s t a r t } | B _ { t } , { \mathbf { x } } _ { t z } ^ { h e l i } ] } { \mathbb P [ { \cal Y } _ { t + 1 } | B _ { t } , { \mathbf { x } } _ { t z } ^ { h e l i } ] } , } \\ { \mathbb P [ E _ { t + 1 , z } ^ { b u r n } | { \cal Y } _ { t + 1 } , B _ { t } , { \mathbf { x } } _ { t z } ^ { h e l i } ] } & { = } & { \frac { \mathbb P [ { \cal Y } _ { t + 1 } | E _ { t + 1 , z } ^ { b u r n } , B _ { t } , { \mathbf { x } } _ { t z } ^ { h e l i } ] \mathbb P [ E _ { t + 1 , z } ^ { b u r n } | B _ { t } , { \mathbf { x } } _ { t z } ^ { h e l i } ] } { \mathbb P [ { \cal Y } _ { t + 1 } | B _ { t } , { \mathbf { x } } _ { t z } ^ { h e l i } ] } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 5 , 2 } } & { \le O _ { p } \Big ( \frac { 1 } { \sqrt { T } } \sqrt { \frac { \log ( T ) } { \kappa ^ { \frac { p } { r } } } } \Big ) \Big ( O _ { p } ( \sqrt { \widetilde { r } \kappa _ { k } ^ { - \frac { p } { r } } } ( \log ( \widetilde { r } \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { r } + 2 } ) + 1 ) ) + O _ { p } ( \kappa _ { k } ^ { \frac { - p } { 2 r } } ) \Big ) = o _ { p } ( \widetilde { r } \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { r } + 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p } & { = { \sum _ { m = - \frac { { M = 1 } } { 2 } } ^ { \frac { { M = 1 } } { 2 } } { \left( { \frac { { \partial { a _ { m } } ( r , \theta ) } } { { \partial r } } } \right) } ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { { 4 { \pi ^ { 2 } } } } { { { \lambda ^ { 2 } } } } \sum _ { m = - \frac { { M - 1 } } { 2 } } ^ { \frac { { M - 1 } } { 2 } } { \left[ { 1 - \frac { { { m ^ { 2 } } { \varepsilon _ { T } } ^ { 2 } { { \cos } ^ { 2 } } \theta } } { { 1 - 2 m { \varepsilon _ { T } } \sin \theta + { { ( m { \varepsilon _ { T } } ) } ^ { 2 } } } } } \right] } , } \end{array}
\operatorname { d e x p } _ { - \mathbf Z ( t ) } \left( \dot { \mathbf Z } ( t ) \right) = \exp \left( \mathbf Z ( t ) \right) ^ { - 1 } \frac { \mathrm { d } } { t } \exp \left( \mathbf Z ( t ) \right) \quad \mathrm { a n d } \quad \operatorname { d e x p } _ { \mathbf Z ( t ) } \left( \dot { \mathbf Z } ( t ) \right) = \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \exp \left( \mathbf Z ( t ) \right) \exp \left( \mathbf Z ( t ) \right) ^ { - 1 } \, ,
\begin{array} { r l } { R _ { s } ^ { S D A } } & { = \mathrm { l o g } _ { 2 } \left( \frac { p | h _ { 0 } | ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } \right) - \mathrm { E i } \left( - \frac { | h _ { 0 } | ^ { 2 } } { \underset { k } { \operatorname* { m a x } } | \alpha _ { k } g _ { k } h _ { k } | ^ { 2 } } \right) \mathrm { l o g } _ { 2 } e . } \end{array}
\begin{array} { r } { u = ( x _ { 1 } - \bar { x } _ { 1 } ) \, \cos \theta + ( x _ { 2 } - \bar { x } _ { 2 } ) \, \sin \theta } \\ { v = ( x _ { 2 } - \bar { x } _ { 2 } ) \, \cos \theta - ( x _ { 1 } - \bar { x } _ { 1 } ) \, \sin \theta } \end{array}
J = [ \operatorname * { d e t } ( { \frac { \partial \bar { g } _ { \mu \nu } } { \partial l _ { i } } } , { \frac { \partial \bar { g } _ { \mu \nu } } { \partial l _ { j } } } ) { \cal D } \mathrm { e t } ^ { \prime } ( \bar { F } ^ { \dagger } \bar { F } ) ] ^ { \frac { 1 } { 2 } } / V \; ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { \partial R ^ { g } ( \omega _ { \tau } , T _ { w } , \omega _ { t } ) } { \partial \omega _ { t } } | _ { \omega _ { t } = \omega _ { t } ^ { \textrm { m a x } } } } \\ & { = } & { \frac { - C ( 0 ) \omega _ { t } + C ( T _ { w } ) \omega _ { \tau } } { C ^ { 2 } ( 0 ) - C ^ { 2 } ( T _ { w } ) } \times R ^ { g } ( \omega _ { \tau } , T _ { w } , \omega _ { t } ) = 0 . } \end{array}
t r ( \overline { { { \pi } } } ( x ) \gamma _ { 5 } ) = N _ { C } t r ^ { \prime } \int d ^ { 4 } x < x | \overline { { { \pi } } } ( x ) \gamma _ { 5 } | x > ~ \Rightarrow ~ N _ { C } \int d ^ { 4 } x ~ t r ^ { \prime } ~ ( \overline { { { \pi } } } ( x ) \gamma _ { 5 } ~ \zeta _ { s } ( x ) ) ~ ,
G _ { N C } ( p ^ { 1 } , \dots , p ^ { n } ) = \exp \left( \frac { i } { 2 } \, \sum _ { l < m } \theta ^ { \mu \nu } p _ { \mu } ^ { l } p _ { \nu } ^ { m } \right) G ( p ^ { 1 } , \dots , p ^ { n } )
{ \cal L } = \int d ^ { 4 } \theta \left( M _ { i j } ^ { \dag } M ^ { j i } + \beta X M _ { i j } ^ { \dag } M ^ { j i } \right) - \alpha ^ { 3 } \int d ^ { 2 } \theta \, \mathrm { P f } M + \mathrm { h . c . } .
\begin{array} { r l r } { \frac { d p \left( t , \tau \right) } { d t } } & { = } & { \left. \rho ^ { \left( s \left( \tau \right) \right) } \left( \xi \right) \right\vert _ { p \left( t , \tau \right) } } \\ & { = } & { \left. \frac { d } { d \varepsilon } \exp _ { s \left( \tau \right) } \left( \varepsilon \xi \right) \circ _ { s \left( \tau \right) } p \left( t , \tau \right) \right\vert _ { \varepsilon = 0 } } \\ & { = } & { \left. \frac { d } { d \varepsilon } p \left( \varepsilon , \tau \right) \circ _ { s \left( \tau \right) } p \left( t , \tau \right) \right\vert _ { \varepsilon = 0 } \mathrm { , } } \end{array}
\alpha _ { \Lambda } = \left. \frac { P _ { \nu _ { T } } ^ { - \Lambda } } { P _ { \nu _ { F } } ^ { \Lambda } + \beta _ { \Lambda } P _ { \nu _ { F } } ^ { - \Lambda } } \right\vert _ { z _ { \lambda } } , \: \: \: \: \alpha _ { \Lambda } = \left. \frac { d _ { z } P _ { \nu _ { T } } ^ { - \Lambda } } { d _ { z } P _ { \nu _ { F } } ^ { \Lambda } + \beta _ { \Lambda } d _ { z } P _ { \nu _ { F } } ^ { - \Lambda } } \right\vert _ { z _ { \lambda } } .
M _ { \nu } = m _ { 0 } \left( \begin{array} { l l l } { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 / 2 } } & { { 1 / 2 } } \\ { { 0 } } & { { 1 / 2 } } & { { 1 / 2 } } \end{array} \right) .
u ( P ) = { \frac { 1 } { 4 \pi } } a ^ { 3 } \left( 1 - { \frac { \rho ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } \right) \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } { \frac { g ( \theta ^ { \prime } , \varphi ^ { \prime } ) \sin \theta ^ { \prime } } { ( a ^ { 2 } + \rho ^ { 2 } - 2 a \rho \cos \Theta ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } } d \theta ^ { \prime } \, d \varphi ^ { \prime }
\int _ { 0 } ^ { t } ( \partial _ { \tau } u _ { h } ( \tau ) , u _ { h } ( \tau ) ) _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } d \tau = \int _ { 0 } ^ { t } \frac { d } { d { \tau } } \frac { 1 } { 2 } | | u _ { h } ( \tau ) | | _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } d \tau = \frac { 1 } { 2 } | | u _ { h } ( t ) | | _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } | | u _ { h } ( 0 ) | | _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \lVert E \rVert _ { - \nu , 0 } } & { \lesssim \lVert g \rVert _ { - \nu , 0 } + \lVert h \rVert _ { - \nu , 0 } } \\ { \lVert H \rVert _ { - \nu , 0 } } & { \lesssim \lVert g \rVert _ { - \nu , 0 } + \lVert \varPhi \rVert _ { - \nu , 0 } + \lVert w \rVert _ { - \nu , 0 } } \\ { \lVert \partial _ { t } E \rVert _ { - \nu , 0 } } & { \lesssim \lVert g \rVert _ { - \nu , 0 } + \lVert \varPhi \rVert _ { - \nu , 0 } } \\ { \lVert \partial _ { t } H \rVert _ { - \nu , 0 } } & { \lesssim \lVert g \rVert _ { - \nu , 0 } + \lVert \varPsi \rVert _ { - \nu , 0 } . } \end{array}
| Q _ { t } ( m _ { t } , u _ { t } ) - \hat { Q } _ { t } ( \hat { \sigma } _ { t } ( m _ { t } ) , u _ { t } ) | = \big | \operatorname* { m a x } _ { m _ { t + 1 } \in [ [ M _ { t + 1 } | m _ { t } , u _ { t } ] ] } V _ { t + 1 } ( m _ { t + 1 } ) - \operatorname* { m a x } _ { \hat { \pi } _ { t + 1 } \in [ [ \hat { \Pi } _ { t + 1 } | \hat { \sigma } _ { t } ( m _ { t } ) , u _ { t } ] ] }
\begin{array} { r l } { U ^ { k + 1 } ( y ) } & { \leq ( 1 + \eta ^ { k } ) U ^ { k } ( y ) , } \\ { V ^ { k + 1 } ( x , z ) } & { \leq ( 1 + \eta ^ { k } ) V ^ { k } ( x , z ) , } \\ { \| ( x , z ) \| _ { N ^ { k } } ^ { 2 } } & { \geq \alpha \| ( x , z ) \| ^ { 2 } , } \\ { V ^ { k } ( x , z ) } & { \geq ( 1 - \beta ) \| ( x , z ) \| _ { N ^ { k } } ^ { 2 } , } \\ { \left| \left\langle P ^ { - 1 } A x , z \right\rangle \right| } & { \leq \beta \| x \| _ { ( \tau ^ { k } ) ^ { - 1 } } ^ { 2 } \| z \| _ { ( P \Sigma ^ { k } ) ^ { - 1 } } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \tau \partial _ { t } \mathbf q + \mathbf q = - \lambda \nabla T + \eta _ { 1 } \Delta \mathbf q + \eta _ { 2 } \nabla \nabla \cdot \mathbf q , \quad \lambda , \tau , \eta _ { 1 } , \eta _ { 2 } \in \mathbb { R ^ { + } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { E _ { \mathrm { V Q E - i n - D F T } } [ \Psi _ { \mathrm { V Q E } } ^ { \mathrm { A } } ; \boldsymbol { \gamma } ^ { \mathrm { A } } , \boldsymbol { \gamma } ^ { \mathrm { B } } ] = } \\ { \newline } & { E _ { \mathrm { V Q E } } [ \Psi _ { \mathrm { V Q E } } ^ { \mathrm { A } } ] + E _ { \mathrm { D F T } } [ \boldsymbol { \gamma } ^ { \mathrm { A } } + \boldsymbol { \gamma } ^ { \mathrm { B } } ] - E _ { \mathrm { D F T } } [ \boldsymbol { \gamma } ^ { \mathrm { A } } ] } \\ { \newline } & { + \mathrm { t r } [ ( \boldsymbol { \gamma } _ { \mathrm { e m b } } ^ { \mathrm { A } } - \boldsymbol { \gamma } ^ { \mathrm { A } } ) \, \boldsymbol { v } _ { \mathrm { e m b } } [ \boldsymbol { \gamma } ^ { \mathrm { A } } , \boldsymbol { \gamma } ^ { \mathrm { B } } ] ] + \alpha \, \mathrm { t r } [ \boldsymbol { \gamma } _ { \mathrm { e m b } } ^ { \mathrm { A } } \mathbf { P } ^ { \mathrm { B } } ] } \end{array}
\begin{array} { r } { \Omega ^ { C P D F + } = \sum _ { i , j } ( \langle f | u _ { i } ^ { + } | i ^ { P V } \rangle + \langle f | u _ { i } ^ { P V } | i ^ { + } \rangle } \\ { + \langle f | u _ { i } ^ { P V + } | i \rangle ) a _ { j } ^ { \dagger } a _ { i } } \end{array}
\psi _ { 1 1 0 M } = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } ( \psi _ { 1 M { \frac { 1 } { 2 } } { \frac { 1 } { 2 } } } - \psi _ { 1 M - { \frac { 1 } { 2 } } - { \frac { 1 } { 2 } } } ) ,
P _ { \mathrm { K R R } } ^ { ( 3 ) } \left( \boldsymbol { X } _ { q } \right) : = \sum _ { i _ { 3 } = 1 } ^ { N _ { \mathrm { t r a i n } } ^ { ( 3 ) } } \alpha _ { i _ { 3 } } ^ { ( 3 ) } k \left( \boldsymbol { X } _ { i _ { 3 } } , \boldsymbol { X } _ { q } \right)
\begin{array} { r } { a _ { 0 } ^ { \mathrm { A i r y } } ( \varphi , x ) = \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \varepsilon ^ { i } \left( \sum _ { j _ { k _ { 1 } } , \ldots , j _ { k _ { i } } \in S } \overline { { v } } _ { j _ { k _ { 1 } } } ( \varphi , x ) \cdots \overline { { v } } _ { j _ { k _ { i } } } ( \varphi , x ) \right) + O ( \varepsilon | \mathfrak { I } _ { \delta } | ) . } \end{array}
f _ { ( x , y , z ) } \left( E \right) = \sum _ { n } \delta \left( E - E _ { n } \right) \sum _ { a i } c _ { a , i } ^ { n } \left\vert \left\langle i \right\vert \hat { \mu } _ { ( x , y , z ) } \left\vert a \right\rangle \right\vert ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { [ c ] F _ { 1 } } & { { } = \sqrt { 2 } \cos ( y ) } \\ { F _ { 2 } } & { { } = 2 \cos ( n x ) \sin ( y ) } \\ { F _ { 3 } } & { { } = 2 \sin ( n x ) \sin ( y ) } \\ { F _ { 4 } } & { { } = \sqrt { 2 } \cos ( 2 y ) } \\ { F _ { 5 } } & { { } = 2 \cos ( n x ) \sin ( 2 y ) } \\ { F _ { 6 } } & { { } = 2 \sin ( n x ) \sin ( 2 y ) } \\ { F _ { 7 } } & { { } = 2 \cos ( 2 n x ) \sin ( y ) } \\ { F _ { 8 } } & { { } = 2 \sin ( 2 n x ) \sin ( y ) } \\ { F _ { 9 } } & { { } = 2 \cos ( 2 n x ) \sin ( 2 y ) } \\ { F _ { 1 0 } } & { { } = 2 \sin ( 2 n x ) \sin ( 2 y ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { S } & { = \operatorname* { m a x } \bigg ( \bigg | \frac { R m L } { 2 } \bigg | , \, \bigg | R L - \frac { R m L } { 2 } - \frac { R ( L - m L ) ^ { 2 } } { 2 m L } \bigg | , \, \bigg | \frac { ( L - m L ) ^ { 2 } R } { 2 m L } \bigg | \bigg ) } \\ { S } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \big | \frac { ( L - m L ) ^ { 2 } R } { 2 m L } \big | , } & { 0 < m < 1 - \frac { \sqrt { 1 2 } } { 6 } } \\ { \big | R L - \frac { R m L } { 2 } - \frac { R ( L - m L ) ^ { 2 } } { 2 m L } \big | , } & { 1 - \frac { \sqrt { 1 2 } } { 6 } \leq m \leq \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \right. } \end{array}