harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left| \left( ( \chi _ { \sharp } ) _ { m ^ { \prime } } ^ { \omega ^ { \prime } } \frac { ( h _ { \sharp } ) _ { m ^ { \prime } } ^ { \omega ^ { \prime } } - h _ { 0 } } { v } ( { \omega ^ { \prime } } - \omega _ { r } ^ { \prime } ) - ( 1 - ( \chi _ { \sharp } ) _ { m ^ { \prime } } ^ { \omega ^ { \prime } } ) W _ { 0 } \right) ( { \widehat { u } } _ { m ^ { \prime } } ^ { \omega ^ { \prime } } ) \right| \lesssim | m ^ { \prime \prime } | \left( v | { \widehat { u } } _ { m ^ { \prime } } ^ { \omega ^ { \prime } } | + | m ^ { \prime } | ^ { - 1 } | \chi _ { \overline { { r } } ^ { \sharp } } ( W _ { 0 } { \widehat { u } } ) _ { m ^ { \prime } } ^ { \omega ^ { \prime } } | \right) ,
\label [ i n e q u a l i t y ] { e q : t h e t a 0 e m p r i s k b o u n d } \widehat { R } _ { S } ( \theta _ { 0 } ) - \operatorname* { i n f } _ { \theta \in \Theta } \widehat { R } _ { S } ( \theta ) \leq | \widehat { R } _ { S } ( \theta _ { 0 } ) - R ( \theta _ { 0 } ) | + \operatorname* { i n f } _ { \zeta > 0 } | R ( \theta _ { \zeta } ) - \widehat { R } _ { S } ( \theta _ { \zeta } ) | .
\begin{array} { r l } { \left| \hat { \nu } _ { n , m } ^ { o } - \nu _ { m } \right| } & { \leq \frac { 1 } { k } \sum _ { i = 1 } ^ { k } \left| \bigvee _ { j = 1 } ^ { d } U _ { m , i , j } - \mathbb { E } \left[ \bigvee _ { j = 1 } ^ { d } U _ { m , i , j } \right] \right| + \frac { 1 } { k } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left| \frac { 1 } { d } \sum _ { j = 1 } ^ { d } U _ { m , i , j } - \mathbb { E } \left[ \frac { 1 } { d } \sum _ { j = 1 } ^ { d } U _ { m , i , j } \right] \right| } \\ & { \triangleq E _ { 1 } + E _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 \leqslant \rho _ { n , \Omega } ( r ) } & { \leqslant \frac { C _ { 0 } } { ( \Omega - \kappa _ { 2 } ) ^ { \theta } } \int _ { r } ^ { 1 } \frac { 1 } { s ^ { 2 n + 1 } } \int _ { 0 } ^ { s } \frac { \tau ^ { 2 n + 1 } } { ( 1 - \tau ) ^ { 1 - \theta } } d \tau } \\ & { \leqslant \frac { C _ { 0 } } { ( \Omega - \kappa _ { 2 } ) ^ { \theta } } \int _ { r } ^ { 1 } \frac { 1 } { s ^ { 2 n + 1 } } \int _ { 0 } ^ { s } \frac { \tau ^ { 2 n + 1 } } { ( 1 - s ) ^ { 1 - \theta } } d \tau } \\ & { \leqslant \frac { C _ { 0 } ( 1 - r ) ^ { \theta } } { \theta \, n ( \Omega - \kappa _ { 2 } ) ^ { \theta } } \cdot } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \dot { I } ^ { J _ { 2 } } } } & { { } = 3 2 4 \, 2 2 0 \, \mathrm { m a s \, y r } ^ { - 1 } , } \\ { \sigma _ { \dot { \Omega } ^ { J _ { 2 } } } } & { { } = 8 7 \, 9 1 8 \, \mathrm { m a s \, y r } ^ { - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { l } { { a _ { 0 } = \cos ( { \frac { \beta } { 2 } } ) \cos ( { \frac { \alpha + \gamma } { 2 } } ) } } \\ { { a _ { 1 } = \sin ( { \frac { \beta } { 2 } } ) \sin ( { \frac { \alpha - \gamma } { 2 } } ) } } \\ { { a _ { 2 } = - \sin ( { \frac { \beta } { 2 } } ) \cos ( { \frac { \alpha - \gamma } { 2 } } ) } } \\ { { a _ { 3 } = - \cos ( { \frac { \beta } { 2 } } ) \sin ( { \frac { \alpha + \gamma } { 2 } } ) . } } \end{array}
\Gamma _ { 1 , Q C D } = \Gamma _ { 1 } \cdot \frac { m _ { q } ^ { 2 } ( M _ { H } ^ { 2 } ) } { m _ { q , 0 } ^ { 2 } } \, \left[ 1 + \frac { \alpha _ { s } ( M _ { H } ^ { 2 } ) } { \pi } C _ { F } \, \left( \Delta _ { S , P } + 3 \log \frac { M _ { H } } { m _ { q , 0 } } \right) \, \right] \ ,
\begin{array} { r l } { - \int _ { 0 } ^ { \tau } \int _ { 0 } ^ { 1 } } & { \Big [ \partial _ { y } ^ { 2 } \big ( ( \partial _ { t } + 1 ) ( \partial _ { t } + i k U _ { \mathrm { s h } } ( y ) ) - \partial _ { y } ^ { 2 } \big ) \partial _ { y } \psi _ { k } \Big ] ( t , y ) \overline { { \omega _ { \tau , k } ( t , y ) } } d y d t } \\ & { = - \int _ { 0 } ^ { \tau } \int _ { 0 } ^ { 1 } \Big [ \big ( ( \partial _ { t } + 1 ) ( \partial _ { t } + i k U _ { \mathrm { s h } } ( y ) ) - \partial _ { y } ^ { 2 } \big ) \partial _ { y } \psi _ { k } \Big ] ( t , y ) \overline { { \partial _ { y } ^ { 2 } \omega _ { \tau , k } ( t , y ) } } d y d t . } \end{array}
\frac { 1 } { ( p + k ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } } = \frac { 1 } { ( p + k _ { 0 } ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } } - \frac { \Delta ^ { 2 } + 2 p \cdot \Delta } { [ ( p + k _ { 0 } ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } ] ^ { 2 } } + \frac { [ \Delta ^ { 2 } + 2 p \cdot \Delta ] ^ { 2 } } { [ ( p + k _ { 0 } ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } ] ^ { 3 } } - \dots
\begin{array} { r l } { - \frac { \gamma ^ { n + 1 / 2 } - \gamma ^ { n - 1 / 2 } } { h } } & { = \overline { { \nabla } } \phi ^ { n } \cdot \frac { u ^ { n + 1 / 2 } + u ^ { n - 1 / 2 } } { 2 } } \\ & { = \overline { { \nabla } } \phi ( x ^ { n + 1 / 2 } , x ^ { n - 1 / 2 } ) \cdot \frac { x ^ { n + 1 / 2 } - x ^ { n - 1 / 2 } } { h } } \\ & { = \frac { \phi ( x ^ { n + 1 / 2 } ) - \phi ( x ^ { n - 1 / 2 } ) } { h } . } \end{array}
f _ { N } ^ { \prime } = \left\{ \left\{ \begin{array} { l l } { { \pi ^ { - 1 / 2 } \sum _ { n = 0 } ^ { N } { \frac { \left( - 1 \right) ^ { n } } { n ! } } \left( { \frac { \lambda } { 4 } } x ^ { 4 } \right) ^ { n } e ^ { - x ^ { 2 } } } } & { { f o r | x | < x _ { c , N } } } \\ { { 0 } } & { { f o r | x | > x _ { c , N } } } \end{array} \right. \right. .
\begin{array} { r } { \| J ^ { 6 } \| _ { C ^ { 1 } ( \mathbb { R } ^ { 2 } ) } \leq C ( R , | \boldsymbol { X } | _ { * } , \| \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \boldsymbol { X } \| _ { C ^ { 0 } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } , \| \mathcal { T } \| _ { C ^ { 1 } } ) \| \nabla _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } ( \rho _ { n } \boldsymbol { Y } ) \| _ { C ^ { 0 } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } . } \end{array}
H ^ { t } = 2 K \tau \left( \frac { d ^ { 2 } U } { d z ^ { 2 } } \frac { d V } { d z } - \frac { d ^ { 2 } V } { d z ^ { 2 } } \frac { d U } { d z } \right) + f \frac { d \, \overline { { w ^ { 2 } } } } { d z } \, \tau + 2 \alpha g \overline { { \omega _ { z } ^ { \prime } \theta ^ { \prime } } } \, \tau .
\begin{array} { r l r } { \kappa _ { 1 } } & { { } = } & { \alpha ^ { 2 } + \frac { 4 } { 3 } i \left( \mathcal { A } + \frac { i 2 ^ { 1 / 3 } \mathcal { C } } { \mathcal { B } } - \frac { i \mathcal { B } } { 2 ^ { 1 / 3 } } \right) , } \\ { \kappa _ { 2 } } & { { } = } & { \alpha ^ { 2 } + \frac { 4 } { 3 } i \left( \mathcal { A } - \frac { ( i + \sqrt { 3 } ) \mathcal { C } } { ( 2 ^ { 2 / 3 } ) \mathcal { B } } + \frac { ( i - \sqrt { 3 } ) \mathcal { B } } { 2 ^ { 4 / 3 } } \right) , } \\ { \kappa _ { 3 } } & { { } = } & { \alpha ^ { 2 } + \frac { 4 } { 3 } i ( \mathcal { A } - \frac { ( i - \sqrt { 3 } ) \mathcal { C } } { ( 2 ^ { 2 / 3 } ) \mathcal { B } } + \frac { ( i + \sqrt { 3 } ) \mathcal { B } } { 2 ^ { 4 / 3 } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { q } _ { t } } & { { } = m ^ { - 1 } \cdot p _ { t } , } \\ { \dot { p } _ { t } } & { { } = - \langle \hat { V } ^ { \prime } \rangle , } \\ { \dot { A } _ { t } } & { { } = - A _ { t } \cdot m ^ { - 1 } \cdot A _ { t } - \langle \hat { V } ^ { \prime \prime } \rangle , } \\ { \dot { \gamma } _ { t } } & { { } = T ( p _ { t } ) - \langle \hat { V } \rangle + ( \hbar / 4 ) \operatorname * { T r } [ \langle \hat { V } ^ { \prime \prime } \rangle \cdot \left( \operatorname { I m } A _ { t } \right) ^ { - 1 } ] } \end{array}
\begin{array} { r } { { \mathrm { K L } } \Bigl [ \rho _ { a _ { t } } \Big \Vert \rho _ { \mathrm { p o s t } } \Bigr ] \leq e ^ { - 2 \alpha t } { \mathrm { K L } } \Bigl [ \rho _ { a _ { 0 } } \Big \Vert \rho _ { \mathrm { p o s t } } \Bigr ] + ( 1 - e ^ { - 2 \alpha t } ) { \mathrm { K L } } \Bigl [ \rho _ { a _ { \star } } \Big \Vert \rho _ { \mathrm { p o s t } } \Bigr ] , } \end{array}
M _ { 1 } ^ { u } \sim m _ { t } \left( \begin{array} { c c c } { { \epsilon ^ { | - 4 \alpha _ { 1 } - 2 \alpha _ { 2 } | } } } & { { \epsilon ^ { | - 3 \alpha _ { 1 } | } } } & { { \epsilon ^ { | - \alpha _ { 2 } - 2 \alpha _ { 1 } | } } } \\ { { \epsilon ^ { | - 3 \alpha _ { 1 } | } } } & { { \epsilon ^ { 2 | \alpha _ { 2 } - \alpha _ { 1 } | } } } & { { \epsilon ^ { | \alpha _ { 2 } - \alpha _ { 1 } | } } } \\ { { \epsilon ^ { | - \alpha _ { 2 } - 2 \alpha _ { 1 } | } } } & { { \epsilon ^ { | \alpha _ { 2 } - \alpha _ { 1 } | } } } & { { 1 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r l } & { p _ { t } ^ { \mathrm { { e } } } \leq C ^ { \mathrm { e } } z _ { t } ^ { \mathrm { { o o } } } } & { \forall ~ } & { t \in \mathcal { T } } \\ & { p _ { t } ^ { \mathrm { e } } \geq P ^ { \mathrm { { m i n } } } z _ { t } ^ { \mathrm { o o } } } & { \forall ~ } & { t \in \mathcal { T } } \\ & { z _ { t } ^ { \mathrm { { s u } } } \geq z _ { t } ^ { \mathrm { o o } } - z _ { t - 1 } ^ { \mathrm { { o o } } } } & { \forall ~ } & { t \in \mathcal { T } \backslash 1 } \\ & { z _ { t = 1 } ^ { \mathrm { s u } } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla \times \left( \frac { { \mathbf { j } } \times { \mathbf { b } } } { \rho } \right) } & { = \frac { \nabla \rho \times \nabla ( b _ { \phi } ^ { 2 } / 2 ) } { \rho ^ { 2 } } - { \mathbf { e } } _ { \phi } \partial _ { z } ( b _ { \phi } ^ { 2 } / \rho \varpi ) } \\ & { = - \nabla \left( \frac { 1 } { \rho \varpi ^ { 2 } } \right) \times \nabla { \mathcal { L } } \ . } \end{array}
B ( j ) = - { \pi } ^ { 2 j + 1 } \left( \frac { \Gamma ( 1 - b ^ { 2 } ) } { \Gamma ( 1 + b ^ { 2 } ) } \right) ^ { 2 j + 1 } \frac { 2 j + 1 } { \pi } \frac { \Gamma \left( 1 + b ^ { 2 } ( 2 j + 1 ) \right) } { \Gamma \left( 1 - b ^ { 2 } ( 2 j + 1 ) \right) } ; \ \ b ^ { 2 } = \frac { 1 } { k - 2 } .
\begin{array} { r l } { u ( y , z ) } & { { } = - { \frac { G } { 4 \mu h } } ( y - h ) ( y ^ { 2 } - 3 z ^ { 2 } ) , } \\ { Q } & { { } = { \frac { G h ^ { 4 } } { 6 0 { \sqrt { 3 } } \mu } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ } } } & { { } = 1 0 ^ { 3 } \frac { n _ { p } L ^ { 3 } \lVert \boldsymbol { \mathcal { G } } \rVert ^ { 2 } \dot { \mathcal { G } } _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } { \Delta ^ { 8 } } M _ { \mathcal { H } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { W _ { n } ^ { - } } & { { } = \sum _ { p } w _ { p } \chi _ { p } ( x _ { n - 1 } ) } \\ { \Psi _ { n } } & { { } = \sum _ { q ^ { \prime } } \psi _ { q ^ { \prime } } \chi { _ q ^ { \prime } } ( x _ { n - 1 } ) = \psi ( x _ { n - 1 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { \, [ \delta _ { Q } ( \varepsilon _ { 1 } ) , \delta _ { Q } ( \varepsilon _ { 2 } ) ] } } & { { = } } & { { \delta _ { R } ( \xi = 2 \varepsilon _ { 2 } \varepsilon _ { 1 } e ^ { - 1 } ) + \delta _ { Q } ( \varepsilon = - 2 \varepsilon _ { 2 } \varepsilon _ { 1 } e ^ { - 1 } \chi ) , } } \\ { { \, [ \delta _ { R } ( \xi _ { 1 } ) , \delta _ { R } ( \xi _ { 2 } ) ] } } & { { = } } & { { \delta _ { R } ( \xi = \xi _ { 2 } \dot { \xi } _ { 1 } - \xi _ { 1 } \dot { \xi } _ { 2 } ) , } } \\ { { \, [ \delta _ { R } ( \xi _ { 1 } ) , \delta _ { Q } ( \varepsilon _ { 2 } ) ] } } & { { = } } & { { \delta _ { Q } ( \varepsilon = - \xi _ { 1 } \dot { \varepsilon _ { 2 } } ) . } } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle O \rangle _ { \alpha } : = \int \mathrm { ~ d ~ } \alpha \; P ( \alpha ) \; O \; , \quad \langle O \rangle _ { \beta } : = \int \mathrm { ~ d ~ } \beta \; P ( \beta ) \; O \; , \quad \langle O \rangle _ { \alpha , \beta } : = \int \mathrm { ~ d ~ } \alpha \mathrm { ~ d ~ } \beta \; P ( \alpha ) P ( \beta ) \; O \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { n } a _ { n } \phi _ { n } } & { \rightarrow \sum _ { n } e ^ { i \alpha \gamma _ { 5 } } a _ { n } \phi _ { n } \approx \sum _ { n } ( 1 + i \alpha \gamma _ { 5 } ) a _ { n } \phi _ { n } \Rightarrow } \\ { a _ { m } } & { \rightarrow a _ { m } + i \sum _ { n } a _ { n } \int d ^ { 2 } x \phi _ { m } ^ { \dagger } ( x ) \alpha \gamma _ { 5 } \phi _ { n } ( x ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \omega \| _ { L _ { t } ^ { \infty } ( L _ { x } ^ { p } ) } } & { { } \leq \| \tilde { \omega } \| _ { L _ { t } ^ { \infty } ( L _ { x } ^ { p } ) } = \| \hat { \omega } + \Lambda \| _ { L _ { t } ^ { \infty } ( L _ { x } ^ { p } ) } \leq \| \hat { \omega } \| _ { L _ { t } ^ { \infty } ( L _ { x } ^ { p } ) } + | \Omega | ^ { \frac { 1 } { p } } \Lambda \leq C ( \| \omega _ { 0 } \| _ { p } + \mathrm { { R a } } + \Lambda ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu _ { i } ^ { 2 } } & { { } = 1 - \left( \frac { r _ { 0 } + \sum _ { i ^ { \prime } = 0 } ^ { i - 1 } \Delta r _ { i ^ { \prime } } } { r _ { 0 } + \sum _ { i ^ { \prime } = 0 } ^ { i } \Delta r _ { i ^ { \prime } } } \right) ^ { 2 } \left( \frac { n _ { i - 1 } } { n _ { i } } \right) ^ { 2 } \left( 1 - \mu _ { i - 1 } ^ { 2 } \right) } \end{array}
{ \mathbf { B } } = { \left( \begin{array} { l l l l l l } { w } & { 1 } & { w ^ { 2 } } & { 1 } & { w ^ { 2 } } & { w ^ { 2 } } \\ { w } & { 1 } & { w } & { 1 } & { 1 } & { w } \\ { w } & { w } & { w ^ { 2 } } & { w ^ { 2 } } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 1 } \\ { w ^ { 2 } } & { 1 } & { w ^ { 2 } } & { w ^ { 2 } } & { w } & { w ^ { 2 } } \\ { w ^ { 2 } } & { 1 } & { w ^ { 2 } } & { w } & { w ^ { 2 } } & { w } \end{array} \right) } .
\begin{array} { r l } { \big \langle \mathcal { L } _ { N } ^ { ( m - 1 ) } f \big \rangle _ { \nu _ { \gamma } ^ { N } } } & { = \sum _ { x \in \mathbb { T } _ { N } } \int _ { \eta \in \Omega _ { N } } r _ { N } ^ { ( m - 1 ) } ( \tau _ { x } \eta ) \sqrt { f } ( \eta ) \left( \nabla _ { x , x + 1 } \sqrt { f } \right) ( \eta ) \nu _ { \gamma } ^ { N } ( \mathrm { d } \eta ) } \\ & { \quad + \sum _ { x \in \mathbb { T } _ { N } } \int _ { \eta \in \Omega _ { N } } r _ { N } ^ { ( m - 1 ) } ( \tau _ { x } \eta ) \sqrt { f } ( \eta ^ { x , x + 1 } ) \left( \nabla _ { x , x + 1 } \sqrt { f } \right) ( \eta ) \nu _ { \gamma } ^ { N } ( \mathrm { d } \eta ) . } \end{array}
\sigma _ { i } ^ { * } = \operatorname* { m a x } \left( \sigma _ { i } ^ { * } , \sigma _ { i } ^ { n - 1 } , \left( 0 . 0 1 * \left( M _ { i , m a x } ^ { * } - M _ { i , m i n } ^ { * } \right) \right) ^ { 2 } \right) ,
\| P _ { 3 } B P _ { 3 } \| _ { 2 } = \| P _ { 4 } B P _ { 4 } \| _ { 2 } , \quad \| P _ { 2 } B P _ { 3 } \| _ { 2 } = \| P _ { 1 } B P _ { 4 } \| _ { 2 } , \quad \| P _ { 1 } B P _ { 3 } \| _ { 2 } = \| P _ { 2 } B P _ { 4 } \| _ { 2 } .
\begin{array} { r l } { C _ { 1 2 } } & { { } = \frac { w } { \omega _ { 0 } } \sqrt { \frac { 1 } { g _ { 1 } g _ { 2 } Z _ { 1 } Z _ { 2 } } } = 0 . 4 2 0 \, \mathrm { p F } , } \\ { C _ { 2 3 } } & { { } = \frac { w } { \omega _ { 0 } } \sqrt { \frac { 1 } { g _ { 2 } g _ { 3 } Z _ { 2 } Z _ { 3 } } } = 0 . 1 7 9 \, \mathrm { p F } , } \\ { C _ { 3 4 } } & { { } = \frac { w } { \omega _ { 0 } } \sqrt { \frac { 1 } { g _ { 3 } g _ { 4 } Z _ { 3 } Z _ { 4 } } } = 0 . 3 5 4 \, \mathrm { p F } . } \end{array}
- \beta { \cal F } ( \beta ) \simeq - \frac { 2 ^ { - 1 5 } \pi ^ { - 2 6 } } { ( 2 \alpha ^ { \prime } ) ^ { 1 3 } } \int _ { 0 } ^ { \varepsilon } d \tau _ { 2 } \tau _ { 2 } ^ { - 1 4 } \left[ \theta _ { 3 } \left( 0 , \frac { i \beta ^ { 2 } } { 4 \pi ^ { 2 } \tau _ { 2 } \alpha ^ { \prime } } \right) - 1 \right] e ^ { \frac { 4 \pi } { \tau _ { 2 } } } \tau _ { 2 } ^ { 5 1 / 2 }
\sum _ { m = - \infty } ^ { \infty } q ^ { k _ { 1 } m ^ { 2 } + k _ { 2 } m } = \frac { \left( q ^ { \frac { k _ { 1 } + 2 k _ { 2 } } { 4 } } , q ^ { \frac { k _ { 1 } - 2 k _ { 2 } } { 4 } } , q ^ { \frac { k _ { 1 } } { 2 } } : q ^ { \frac { k _ { 1 } } { 2 } } \right) _ { \infty } + \left( - q ^ { \frac { k _ { 1 } + 2 k _ { 2 } } { 4 } } , - q ^ { \frac { k _ { 1 } - 2 k _ { 2 } } { 4 } } , q ^ { \frac { k _ { 1 } } { 2 } } : q ^ { \frac { k _ { 1 } } { 2 } } \right) _ { \infty } } { 2 }
\frac { C _ { k } ^ { 2 } } { m _ { k } \omega _ { k } } \frac { 2 m _ { k } \omega _ { k } } { \hbar } \frac { 2 m \omega } { \hbar } \approx J ( \omega _ { k } ) \Delta \Rightarrow C _ { k } \approx \sqrt { J ( \omega _ { k } ) } .
\begin{array} { r l } { \left\| \psi \left( \cdot , t _ { n } \right) - I _ { N } \psi ^ { n } \right\| _ { \alpha / 2 } } & { = \frac { 1 } { 2 } \left\| \varphi \left( \cdot , t _ { n } \right) + \overline { { \varphi \left( \cdot , t _ { n } \right) } } - I _ { N } \varphi ^ { n } - I _ { N } \overline { { \varphi ^ { n } } } \right\| _ { \alpha / 2 } } \\ & { \leq \left\| \varphi \left( \cdot , t _ { n } \right) - I _ { N } \varphi ^ { n } \right\| _ { \alpha / 2 } \lesssim \varepsilon ^ { 2 } \tau ^ { 2 } + \tau _ { 0 } ^ { m + \alpha / 2 } + h ^ { m } } \\ { \left\| \eta \left( \cdot , t _ { n } \right) - I _ { N } \eta ^ { n } \right\| } & { = \frac { 1 } { 2 } \left\| \langle \nabla \rangle _ { \alpha } \left( \varphi \left( \cdot , t _ { n } \right) - \overline { { \varphi \left( \cdot , t _ { n } \right) } } \right) - \langle \nabla \rangle _ { \alpha } \left( I _ { N } \varphi ^ { n } - I _ { N } \overline { { \varphi ^ { n } } } \right) \right\| } \\ & { \lesssim \left\| \varphi \left( \cdot , t _ { n } \right) - I _ { N } \varphi ^ { n } \right\| _ { \alpha / 2 } \lesssim \varepsilon ^ { 2 } \tau ^ { 2 } + \tau _ { 0 } ^ { m + \alpha / 2 } + h ^ { m } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { a _ { 1 } a _ { 2 } } [ 1 , 0 ] ( z ) B _ { b _ { 1 } b _ { 2 } } [ 0 , 1 ] ( 0 ) } & { \sim \frac { 1 } { z } \Bigl ( B _ { a _ { 1 } b _ { 2 } } [ 0 , 0 ] B _ { b _ { 1 } a _ { 2 } } [ 0 , 0 ] ( 0 ) } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { c } \delta _ { a _ { 2 } b _ { 1 } } B _ { a _ { 1 } c } [ 0 , 0 ] B _ { c b _ { 2 } } [ 0 , 0 ] ( 0 ) - \delta _ { a _ { 1 } b _ { 2 } } B _ { b _ { 1 } c } [ 0 , 0 ] B _ { c a _ { 2 } } [ 0 , 0 ] ( 0 ) \Bigr ) . } \end{array}
u ( p , s ) = U u _ { S } ( p , s ) = \sqrt { { \frac { E + m } { 2 m } } } \left( \begin{array} { c } { { ( 1 + { \frac { \sigma _ { 2 } { \bf \sigma p } } { E + m } } ) \chi _ { 1 } ( { \bf s } _ { 0 } ) } } \\ { { ( \sigma _ { 2 } - { \frac { \bf \sigma p } { E + m } } ) \chi _ { 1 } ( { \bf s } _ { 0 } ) } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \frac { { \mathscr Z } _ { \alpha \beta , \ldots , \alpha \beta } } { { \mathscr Z } _ { \mathrm { p e r t } } } } & { \simeq \frac { g _ { \mathrm { s } } ^ { \frac { \ell ^ { 2 } } { 2 } } } { \left( 2 \pi \right) ^ { \ell } \ell ! } \, \exp \Bigg ( \ell \left( { \mathcal A } _ { \alpha \beta } ^ { [ - 1 ] } ( x _ { n m } ) + { \mathcal A } _ { \alpha \beta } ^ { [ 0 ] } ( x _ { n m } ) \right) + \frac { 1 } { 2 } \left( \ell ^ { 2 } - \ell \right) \widehat { { \mathcal A } } _ { \alpha \beta , \alpha \beta } ^ { [ 0 ] } ( x _ { n m } , x _ { n m } ) \Bigg ) \times } \\ & { \times \int \prod _ { i = 1 } ^ { \ell } \mathrm { d } \lambda _ { i } \prod _ { i < j } \left( \lambda _ { i } - \lambda _ { j } \right) ^ { 2 } { \mathrm { e } } ^ { \frac { 1 } { 2 } g _ { \mathrm { s } } \sum _ { i = 1 } ^ { \ell } \lambda _ { i } ^ { 2 } \partial _ { x } ^ { 2 } { \mathcal A } _ { \alpha \beta } ^ { [ - 1 ] } ( x _ { n m } ) } + \cdots . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } m _ { p } } { \mathrm { d } t } } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { m _ { p , \mathrm { F e } , 0 } \, s / \tau _ { c } } & { \textbf { i f } \quad \; T _ { p } > T _ { \mathrm { { i g n } , } } \; Y _ { \mathrm { O 2 } , g } > 0 , } \\ { 0 } & { \textbf { e l s e } . } \end{array} \right. } \end{array}
\Phi _ { 1 } ^ { [ n ] } ( \vec { x } _ { 2 } ) = \frac { k } { n ! } \left( - \frac { 1 } { c } \right) ^ { n } \int d ^ { 3 } x _ { 1 } \partial _ { t } ^ { n } \rho _ { 1 } ( \vec { x } _ { 1 } , t ) R ^ { n - 1 }
V _ { 1 } ( \rho _ { i } , 0 ) = \sum _ { j } { \frac { n _ { j } } { 6 4 \pi ^ { 2 } } } m _ { j } ^ { 4 } \left[ \log \left( { \frac { m _ { j } ^ { 2 } } { M _ { \mathrm { r e n } } ^ { 2 } } } \right) - { \frac { 3 } { 2 } } \right] ,
\begin{array} { r l } & { ( h _ { j - 2 } h _ { j - 3 } \cdots h _ { j - l } ) t _ { i , i + 1 } ^ { - \frac { j - i - 4 } { 2 } } t _ { j - l , j - l + 1 } ^ { - \frac { l - 1 } { 2 } } h _ { i } ^ { - 1 } \cdots h _ { j - l - 5 } ^ { - 1 } h _ { j - l - 3 } ^ { - 1 } h _ { j - l - 1 } h _ { j - l - 3 } h _ { j - l - 5 } \cdots h _ { i } } \\ & { \cdot ( h _ { j - l - 1 } h _ { j - l - 2 } \cdots h _ { i } ) t _ { i , i + 1 } ^ { \frac { l - 3 } { 2 } } t _ { i + 2 , i + 3 } ^ { \frac { j - i - 2 } { 2 } } = ( h _ { j - 2 } h _ { j - 3 } \cdots h _ { j - l - 2 } ) t _ { i , i + 1 } ^ { - \frac { j - i - 4 } { 2 } } t _ { j - l - 2 , j - l - 1 } ^ { - \frac { l + 1 } { 2 } } } \\ & { \cdot h _ { i } ^ { - 1 } \cdots h _ { j - l - 7 } ^ { - 1 } h _ { j - l - 5 } ^ { - 1 } h _ { j - l - 3 } h _ { j - l - 5 } h _ { j - l - 7 } \cdots h _ { i } ( h _ { j - l - 3 } h _ { j - l - 4 } \cdots h _ { i } ) t _ { i , i + 1 } ^ { \frac { l - 1 } { 2 } } t _ { i + 2 , i + 3 } ^ { \frac { j - i - 2 } { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { M } _ { 1 } } & { = \int _ { 0 } ^ { T } \big [ - \xi ^ { 2 } \sigma + s \xi \chi + B \beta \cos ( \phi ) + \beta \sigma \big ] d t } \\ { M _ { 3 } } & { = - \int _ { 0 } ^ { T } \big [ B + ( \beta - 1 ) B \cos ^ { 2 } \phi + \sigma \beta \cos \phi \big ] d t } \\ { M _ { 4 } } & { = \int _ { 0 } ^ { T } ( \xi + \sigma \chi ) d t . } \end{array}
\frac { \eta _ { N A = 0 . 2 2 } } { \eta _ { N A = 0 . 9 } } = \frac { \int _ { 0 } ^ { \theta _ { N A = 0 . 2 2 } } d \theta s i n ( \theta ) \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } I ( \theta , \phi ) d \phi } { \int _ { 0 } ^ { \theta _ { N A = 0 . 9 } } d \theta s i n ( \theta ) \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } I ( \theta , \phi ) d \phi }
( 1 - \eta ^ { 2 } ) ^ { - M / 2 } e ^ { - { \frac { \eta ^ { 2 } } { 1 - \eta ^ { 2 } } } x ^ { 2 } } H _ { M - 1 } ( { \frac { x } { \sqrt { 1 - \eta ^ { 2 } } } } ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( - \eta ^ { 2 } / 4 ) ^ { n } } { n ! } } H _ { 2 n + M - 1 } ( x ) .
\| \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { - i ( t - s ) \Delta _ { x } } F ( s ) d s \| _ { L _ { t } ^ { q } L _ { y _ { \alpha } } ^ { r , 2 } L _ { z _ { \alpha } } ^ { 2 } L _ { \hat { x } _ { \alpha } } ^ { 2 } } \lesssim \| F \| _ { L _ { t } ^ { \tilde { q } ^ { ' } } L _ { y _ { \alpha } } ^ { \tilde { r } ^ { ' } , 2 } L _ { z _ { \alpha } } ^ { 2 } L _ { \hat { x } _ { \alpha } } ^ { 2 } } ,
( ( \tilde { d } _ { k _ { o } , i } ^ { \mathrm { o f f } } ) ^ { \mathrm { r e l } } , ( \tilde { d } _ { i } ^ { \mathrm { m e c } } ) ^ { \mathrm { r e l } } , ( d _ { k , n } ^ { \mathrm { o f f } } ) ^ { \mathrm { r e l } } , ( d _ { k , n } ^ { \mathrm { l o c } } ) ^ { \mathrm { r e l } } , ( d _ { n } ^ { \mathrm { m e c } } ) ^ { \mathrm { r e l } } )
\mathbf { A } _ { i k } ^ { n o r m } = \sum _ { \substack { e _ { j } \in \mathcal { E } \, v _ { i } , v _ { k } \in e _ { j } \, v _ { i } \neq v _ { k } } } \frac { 1 } { | e _ { j } | - 1 } .
\begin{array} { r } { H _ { \mathrm { e f f } } = \sum _ { i j } \left( \Omega _ { i j } - i \frac { \Gamma _ { i j } } { 2 } \right) \hat { \sigma } _ { i } ^ { e g } \hat { \sigma } _ { j } ^ { g e } . } \end{array}
S _ { \mathrm { b r a n e } } = \int _ { \{ y = 0 \} } d ^ { 4 } x \left[ - \frac { h _ { I i } } { \sqrt { M _ { 5 } } } \bar { \Psi } _ { I } L _ { i } H - \frac { h _ { I i } ^ { c } } { \sqrt { M _ { 5 } } } \bar { \Psi } _ { I } ^ { c } L _ { i } H + \mathrm { h . c . } \right] \; .
\begin{array} { r l r } & { \frac { U _ { m k } - \bar { U } _ { m k } } { \underset { n } { \sum } w _ { n } ^ { 0 } } \rightarrow 0 , } & { a . s . } \\ & { \frac { T _ { m k } - \bar { T } _ { m k } } { \underset { n } { \sum } w _ { n } ^ { 1 } } \rightarrow 0 , } & { a . s . } \\ & { \frac { V _ { m k } - \bar { V } _ { m k } } { \underset { n } { \sum } w _ { n } ^ { 2 } } \rightarrow 0 , } & { a . s . } \end{array}
\begin{array} { r } { Z ( t ) u = \partial _ { x } \mathcal { B } ( t ) \Pi _ { S } \Psi ( t ) u = \partial _ { x } \mathcal { B } ( t ) \left( \sum _ { j \in S } ( \Psi ( t ) u , e ^ { \mathrm { i } j x } ) _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { T } ) } e ^ { \mathrm { i } j x } \right) = \sum _ { j \in S } ( u , \underbrace { \Psi ( t ) ^ { * } [ e ^ { \mathrm { i } j x } ] } _ { = : g _ { j } ( t ) } ) _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { T } ) } \underbrace { \partial _ { x } \mathcal { B } ( t ) [ e ^ { \mathrm { i } j x } ] } _ { = : \chi _ { j } ( t ) } . } \end{array}