harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { 1 = } & { \operatorname* { l i m s u p } _ { N \to \infty } \frac { 1 } { N } \# \left\{ 1 \leq n \leq N : z _ { B _ { n } } = ( 0 , 1 ) \right\} } \\ & { \leq \operatorname* { l i m s u p } _ { N \to \infty } \frac { 1 } { N } \# \left\{ 1 \leq n \leq N : x _ { R _ { n } } = 1 \mathrm { ~ o r ~ } y _ { R _ { n } } = 1 \right\} } \\ & { \leq \operatorname* { l i m s u p } _ { N \to \infty } \frac { 1 } { N } \# \left\{ 1 \leq n \leq N : x _ { R _ { n } } = 1 \right\} + \operatorname* { l i m s u p } _ { N \to \infty } \frac { 1 } { N } \# \left\{ 1 \leq n \leq N : y _ { R _ { n } } = 1 \right\} . } \end{array}
Q _ { \alpha A } = T _ { A } ^ { \, \, \, \, a } Q _ { \alpha a } , \quad Q _ { \dot { \alpha } \bar { A } } = T _ { \bar { A } } ^ { \, \, \, \, \dot { a } } Q _ { \dot { \alpha } \dot { a } } , \quad T _ { \bar { A } } ^ { \, \, \, \, \dot { a } } = \left( T _ { A } ^ { \, \, \, \, a } \right) ^ { * }
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } _ { n } = } & { { \bf C } i ^ { n / 2 - 1 } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \frac { d ( \omega \tau ) } { ( \omega \tau ) ^ { D / 2 } } J _ { n / 2 } [ \frac { U _ { \mathrm { p } } } { \hbar \omega } \omega \tau \gamma ( \omega \tau ) \alpha ( \omega \tau ) ] } \\ & { \exp \{ i [ \mathbb { S } ^ { ( \tau ) } ( \omega \tau ) + n / 2 ] \omega \tau \} , } \end{array}
E _ { L P } ( k ) = \frac { \widetilde { E } _ { X } + \widetilde { E } _ { C } ( k ) } { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \sqrt { ( \widetilde { E } _ { C } ( k ) - \widetilde { E } _ { X } ) ^ { 2 } + 4 g _ { 0 } ^ { 2 } } ,
\Gamma _ { f } ^ { G } = \lambda _ { G } \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { \frac { 1 } { 2 } z _ { f } \epsilon _ { P } ^ { 2 } ( 1 + 2 \lambda _ { W } ^ { 2 } ) } } & { { 0 } } \\ { { \frac { 1 } { 2 } z _ { f } \epsilon _ { P } ^ { 2 } ( 1 + 2 \lambda _ { W } ^ { 2 } ) } } & { { y _ { f } \epsilon _ { G } ^ { 2 } ( 1 + 2 \lambda _ { W } ^ { 2 } ) e ^ { i \phi } } } & { { \frac { 1 } { 2 } x _ { f } \epsilon _ { G } ^ { 2 } \sqrt { 1 + 2 \lambda _ { W } ^ { 2 } } } } \\ { { 0 } } & { { \frac { 1 } { 2 } x _ { f } \epsilon _ { G } ^ { 2 } \sqrt { 1 + 2 \lambda _ { W } ^ { 2 } } } } & { { w _ { f } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { { m } \ddot { y } _ { n } = } & { { } F _ { L } ( y _ { n + 1 } - y _ { n } ) - F _ { L } ( y _ { n } - y _ { n - 1 } ) } \\ { + } & { { } { \eta } ( \dot { y } _ { n + 1 } - \dot { y } _ { n } ) - { \eta } ( \dot { y } _ { n } - \dot { y } _ { n - 1 } ) . } \end{array}
V _ { K M } = \left( \begin{array} { c c c } { { c _ { 1 2 } c _ { 1 3 } } } & { { s _ { 1 2 } c _ { 1 3 } } } & { { s _ { 1 3 } e ^ { - i \delta _ { 1 3 } } } } \\ { { - s _ { 1 2 } c _ { 2 3 } - c _ { 1 2 } s _ { 2 3 } s _ { 1 3 } e ^ { i \delta _ { 1 3 } } } } & { { c _ { 1 2 } c _ { 2 3 } - s _ { 1 2 } s _ { 2 3 } s _ { 1 3 } e ^ { i \delta _ { 1 3 } } } } & { { s _ { 2 3 } c _ { 1 3 } } } \\ { { s _ { 1 2 } s _ { 2 3 } - c _ { 1 2 } c _ { 2 3 } s _ { 1 3 } e ^ { i \delta _ { 1 3 } } } } & { { - c _ { 1 2 } s _ { 2 3 } - s _ { 1 2 } c _ { 2 3 } s _ { 1 3 } e ^ { i \delta _ { 1 3 } } } } & { { c _ { 2 3 } c _ { 1 3 } } } \end{array} \right) .
{ \mathrm { ~ \begin{array} { c c c c c c c c c c c } { ~ } & { ~ } & { ~ \vdots ~ } & { ~ } & { ~ \vdots ~ } & { ~ } & { ~ \vdots ~ } & { ~ } & { ~ } \\ { ~ } & { ~ } & { ~ \uparrow ~ } & { ~ } & { ~ \uparrow ~ } & { ~ } & { ~ \uparrow ~ } & { ~ } & { ~ } \\ { ~ \cdots } & { ~ \rightarrow ~ } & { ~ \mathcal { V } _ { i , j } ~ } & { ~ \overset { d ^ h } { \rightarrow } ~ } & { ~ \mathcal { V } _ { i , j } ~ } & { ~ \overset { d ^ h } { \rightarrow } ~ } & { ~ \mathcal { V } _ { i , j } ~ } & { ~ \rightarrow ~ } & { ~ 0 ~ } \\ { ~ } & { ~ } & { ~ d ^ v \uparrow ~ } & { ~ } & { ~ d ^ v \uparrow ~ } & { ~ } & { ~ d ^ v \uparrow ~ } & { ~ } & { ~ } \\ { ~ \cdots } & { ~ \rightarrow ~ } & { ~ \mathcal { V } _ { i , j } ~ } & { ~ \overset { d ^ h } { \rightarrow } ~ } & { ~ \mathcal { V } _ { i , j } ~ } & { ~ \overset { d ^ h } { \rightarrow } ~ } & { ~ \mathcal { V } _ { i , j } ~ } & { ~ \rightarrow } & { ~ 0 ~ } \\ { ~ } & { ~ } & { ~ d ^ v \uparrow ~ } & { ~ } & { ~ d ^ v \uparrow ~ } & { ~ } & { ~ d ^ v \uparrow ~ } & { ~ } & { ~ } \\ { ~ \cdots } & { ~ \rightarrow ~ } & { ~ \mathcal { V } _ { i , j } ~ } & { ~ \overset { d ^ h } { \rightarrow } ~ } & { ~ \mathcal { V } _ { i , j } ~ } & { ~ \overset { d ^ h } { \rightarrow } } & { ~ \mathcal { V } _ { i , j } ~ } & { ~ \rightarrow ~ } & { ~ 0 ~ } \\ { ~ } & { ~ } & { ~ \uparrow ~ } & { ~ } & { ~ \uparrow ~ } & { ~ } & { ~ \uparrow ~ } & { ~ } & { ~ } \\ { ~ } & { ~ } & { ~ 0 ~ } & { ~ } & { ~ 0 ~ } & { ~ } & { ~ 0 ~ } & { ~ } & { ~ } \\ { ~ } & { ~ } & { ~ \mathrm { \small { \texttt { " - ~ 2 ~ c o l u m n " } } } ~ } & { ~ } & { ~ \mathrm { \small { \texttt { " - ~ 1 ~ c o l u m n " } } } ~ } & { ~ } & { ~ \mathrm { \small { \texttt { " l a s t ~ c o l u m n " } } } ~ } & { ~ } & { ~ } \end{array} ~ } }
< 0 | a _ { 1 } \left( \vec { p } _ { 1 } \right) { \phi } _ { 1 } ( x ) a _ { 1 } ^ { + } \left( \vec { q } _ { 1 } \right) a _ { 1 } ^ { + } \left( \vec { q } _ { 1 } ^ { \, ^ { \prime } } \right) | 0 > < 0 | a _ { 2 } \left( \vec { p } _ { 2 } \right) { \phi } _ { 2 } ( x ) a _ { 2 } ^ { + } \left( \vec { q } _ { 2 } \right) a _ { 2 } ^ { + } \left( \vec { q } _ { 2 } ^ { \, ^ { \prime } } \right) | 0 >
V _ { \mathrm { ~ H ~ A ~ } } ( q ) = V | _ { q _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } } + V ^ { \prime } | _ { q _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } } ^ { T } \cdot x _ { r } + x _ { r } ^ { T } \cdot V ^ { \prime \prime } | _ { q _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } } \cdot x _ { r } / 2 ,
\gamma _ { q q ^ { \prime } } ^ { i } { \cal E } _ { r } ^ { q ^ { \prime } } + \gamma _ { r q ^ { \prime } } ^ { i } { \cal E } _ { q } ^ { q ^ { \prime } } = { \frac { 2 } { D - 2 } } \delta _ { q r } \gamma _ { s q ^ { \prime } } ^ { i } { \cal E } _ { s } ^ { q ^ { \prime } } .
\begin{array} { r } { \Delta ( p ) : = \lambda ( p ) ^ { - 1 } \parallel \! \sigma _ { B } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \Phi _ { B } \Big ( \Phi _ { A } ^ { \dag } \big ( \rho _ { A } ^ { \frac { 1 } { 2 p ^ { \prime } } } \sigma _ { A } ^ { - \frac { 1 } { 2 p ^ { \prime } } } \big ) \rho \Phi _ { A } ^ { \dag } \big ( \sigma ^ { - \frac { 1 } { 2 p ^ { \prime } } } \rho _ { A } ^ { \frac { 1 } { 2 p ^ { \prime } } } \big ) \Big ) \sigma _ { B } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \! \parallel _ { L _ { 1 } ^ { p } ( { \mathcal R } \subset { \mathcal { B } } , \sigma _ { { \mathrm { t r } } } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A } & { { } = } & { \chi ( \theta ) \, \left[ { \cal S } \sin ^ { 2 } \theta + { \cal P } \cos ^ { 2 } \theta \right] \, , } \\ { B } & { { } = } & { { \cal R } { \cal L } \, \sin ^ { 2 } \theta + { \cal S } { \cal P } \, [ \chi ( \theta ) + \cos ^ { 2 } \theta ] \, , } \\ { C } & { { } = } & { { \cal P R L } \, , } \end{array}
\mathrm { ~ S ~ P ~ T ~ R ~ } _ { \mathrm { ~ A ~ S ~ I ~ C ~ } } = \sqrt { \mathrm { ~ S ~ P ~ T ~ R ~ } _ { \mathrm { ~ m ~ e ~ a ~ s ~ u ~ r ~ e ~ d ~ } } ^ { 2 } - \frac { \mathrm { ~ C ~ T ~ R ~ } _ { \mathrm { ~ R ~ e ~ f ~ } } ^ { 2 } } { 2 } }
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial \langle c _ { k } ^ { s } c _ { k ^ { \prime } } ^ { s ^ { \prime } } c _ { k ^ { \prime \prime } } ^ { s ^ { \prime \prime } } \rangle } { \partial t } } & { = } & { \left\langle \frac { \partial c _ { k } ^ { s } } { \partial t } c _ { k ^ { \prime } } ^ { s ^ { \prime } } c _ { k ^ { \prime \prime } } ^ { s ^ { \prime \prime } } \right\rangle + \left\langle c _ { k } ^ { s } \frac { \partial c _ { k ^ { \prime } } ^ { s ^ { \prime } } } { \partial t } c _ { k ^ { \prime \prime } } ^ { s ^ { \prime \prime } } \right\rangle + \left\langle c _ { k } ^ { s } c _ { k ^ { \prime } } ^ { s ^ { \prime } } \frac { \partial c _ { k ^ { \prime \prime } } ^ { s ^ { \prime \prime } } } { \partial t } \right\rangle } \\ & { = } & { i \epsilon \int _ { { \mathbb { R } } ^ { 6 } } \sum _ { s _ { p } s _ { q } } L _ { - k p q } ^ { - s s _ { p } s _ { q } } \langle c _ { k ^ { \prime } } ^ { s ^ { \prime } } c _ { k ^ { \prime \prime } } ^ { s ^ { \prime \prime } } c _ { p } ^ { s _ { p } } c _ { q } ^ { s _ { q } } \rangle e ^ { i \Omega _ { k , p q } t } \delta _ { k , p q } \mathrm { d } { \bf p } \mathrm { d } { \bf q } } \\ & { + } & { i \epsilon \int _ { { \mathbb { R } } ^ { 6 } } \sum _ { s _ { p } s _ { q } } L _ { - k ^ { \prime } p q } ^ { - s ^ { \prime } s _ { p } s _ { q } } \langle c _ { k } ^ { s } c _ { k ^ { \prime \prime } } ^ { s ^ { \prime \prime } } c _ { p } ^ { s _ { p } } c _ { q } ^ { s _ { q } } \rangle e ^ { i \Omega _ { k ^ { \prime } , p q } t } \delta _ { k ^ { \prime } , p q } \mathrm { d } { \bf p } \mathrm { d } { \bf q } } \\ & { + } & { i \epsilon \int _ { { \mathbb { R } } ^ { 6 } } \sum _ { s _ { p } s _ { q } } L _ { - k ^ { \prime \prime } p q } ^ { - s ^ { \prime \prime } s _ { p } s _ { q } } \langle c _ { k } ^ { s } c _ { k ^ { \prime } } ^ { s ^ { \prime } } c _ { p } ^ { s _ { p } } c _ { q } ^ { s _ { q } } \rangle e ^ { i \Omega _ { k ^ { \prime \prime } , p q } t } \delta _ { k ^ { \prime \prime } , p q } \mathrm { d } { \bf p } \mathrm { d } { \bf q } \, . } \end{array}
\textit { m } _ { i } \frac { \textit { d } \dot { \textbf { \textit { r } } _ { i } ^ { e } } } { \textit { d t } } = \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { i } } \textbf { \textit { R } } ^ { o } \textbf { \textit { f } } _ { i j } + \sum _ { s = 1 } ^ { M _ { i } } \textbf { \textit { f } } _ { i s } ^ { e } + \textbf { \textit { g } } _ { i } ,
\left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \rho } { 3 } | x | ^ { 3 } + \frac { 1 - \rho } { 2 } x ^ { 2 } + \frac { ( \rho - 1 ) ^ { 3 } } { 6 \rho ^ { 2 } } } & { \mathrm { i f ~ } | x | \leq 1 , } \\ { - \frac { \rho } { 3 } | x | ^ { 3 } + \frac { 1 + \rho } { 2 } x ^ { 2 } - 2 \rho | x | + \frac { ( \rho - 1 ) ^ { 3 } + 4 \rho ^ { 3 } } { 6 \rho ^ { 2 } } } & { \mathrm { i f ~ } 1 \leq | x | \leq \frac { 3 } { 2 } , } \\ { \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + \frac { \rho } { 4 } | x | + \frac { 4 ( \rho - 1 ) ^ { 3 } + 1 1 \rho ^ { 3 } } { 2 4 \rho ^ { 2 } } } & { \mathrm { i f ~ } \frac { 3 } { 2 } \leq | x | , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { V _ { L } } & { = \sum _ { \lambda \kappa } ( L \vert \lambda \kappa ) D _ { \lambda \kappa } , } \\ { D _ { K } } & { = \sum _ { L } ( \ensuremath \mathbf { V } ^ { - 1 } ) _ { K L } V _ { L } , } \\ { J _ { \mu \nu } } & { \overset { \mathrm { D F } } { \approx } \sum _ { K } ( \mu \nu \vert K ) D _ { K } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname { e r f c } ( z ) \approx 1 - \operatorname { s g n } ( z ) { \sqrt { 1 - \exp \left( - z ^ { 2 } { \frac { 4 / \pi + a z ^ { 2 } } { 1 + a z ^ { 2 } } } \right) } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \hat { \mathbf { v } } _ { \mathrm { ~ p ~ } } } { \partial \mathbf { \hat { v } } } } & { { } = \frac { \partial \hat { \mathbf { v } } _ { \mathrm { ~ p ~ } } } { \partial \mathrm { ~ \textbf ~ { ~ F ~ } ~ } _ { \mathrm { ~ R ~ e ~ L ~ U ~ } } ( \mathbf { h } ) } \cdot \frac { \partial \mathrm { ~ \textbf ~ { ~ F ~ } ~ } _ { \mathrm { ~ R ~ e ~ L ~ U ~ } } ( \mathbf { h } ) } { \partial \mathbf { h } } \cdot \frac { \partial \mathbf { h } } { \partial \hat { \mathbf { v } } } } \end{array}
Z ( \omega ) - \frac { \mathfrak { I m } ( Z ( \omega ) ) } { \omega T ( \omega ) } - \frac { i } { T ( \omega ) } Z ^ { \prime } ( \omega ) - Z _ { 0 } ( \omega ) = \int _ { T ( \omega ) } ^ { \infty } K ( s ) \left( e ^ { - i \omega s } + \frac { \sin ( \omega s ) - \omega s e ^ { - i \omega s } } { 2 \pi n } \right) d s .
c = { \frac { q _ { 0 } l _ { 0 } + q _ { 1 } l _ { 1 } + q _ { 2 } l _ { 2 } + q _ { 3 } l _ { 3 } } { q _ { 0 } ^ { 2 } + q _ { 1 } ^ { 2 } + q _ { 2 } ^ { 2 } + q _ { 3 } ^ { 2 } } }
\mathcal { F } _ { i } = \omega _ { i } \left[ A + \mathbf { B } \cdot \mathbf { e } _ { i } + \frac { 1 } { 2 } \mathbf { C } : ( \mathbf { e } _ { i } \mathbf { e } _ { i } - \mathbf { I } ) \right] \, ,
\varphi _ { + } ^ { i } = \lambda _ { q } ^ { 1 } \gamma _ { q \dot { q } } ^ { i } \theta _ { \dot { q } } ^ { 1 - } , \ \varphi _ { - } ^ { i } = - \lambda _ { q } ^ { 2 } \gamma _ { q \dot { q } } ^ { i } \theta _ { \dot { q } } ^ { 2 + } ,
H _ { o p } | \Phi \rangle = ( K _ { o p } + U _ { o p } ) | \Phi \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { N ! } } \int \prod _ { a = 1 } ^ { N } d ^ { 3 } r _ { a } \left[ \sum _ { a = 1 } ^ { N } h _ { a } \right] \Phi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 1 } , \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 2 } , \dots , \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { N } ) \prod _ { a } ^ { N } \hat { \psi } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { a } ) | 0 \rangle
\begin{array} { r l } { \Vert \mathcal { I } _ { i n } ^ { 0 } \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { 1 } ) } \Vert } & { \leq \Lambda ( T , R ) \Vert f ^ { \mathrm { i n } } \Vert _ { \mathcal { H } _ { r } ^ { m + 1 } } , } \\ { \Vert \mathcal { I } _ { \mathcal { R } _ { 0 } } ^ { 0 } \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { 1 } ) } + \Vert \mathcal { I } _ { \mathcal { R } _ { 1 } } ^ { 0 } \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { 1 } ) } } & { \leq \Lambda ( T , R ) , } \\ { \Vert \mathscr { R } _ { I } \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T , \mathrm { H } ^ { 1 } ) } } & { \leq \Lambda ( T , R ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { h _ { \ast } ^ { \prime } \left[ \xi , \eta \right] ^ { \left( q \right) } } & { = } & { \left[ h _ { \ast } ^ { \prime } \xi , h _ { \ast } ^ { \prime } \eta \right] ^ { h \left( q \right) } } \\ { h _ { \ast } ^ { \prime } \left[ \xi , \eta , \gamma \right] ^ { \left( q \right) } } & { = } & { \left[ h _ { \ast } ^ { \prime } \xi , h _ { \ast } ^ { \prime } \eta , h _ { \ast } ^ { \prime } \gamma \right] ^ { h \left( q \right) } . } \end{array}
\delta \Lambda \sim \left[ e ^ { - \phi } \left( { \frac { M _ { c } } { M _ { s } } } \right) ^ { 1 + n / 2 } \right] ^ { a + b } \; \left( { \frac { \tau } { M _ { c } ^ { p + 1 } } } \right) ^ { a } \; M _ { c } ^ { 4 + n } ,
{ \begin{array} { r l r l } & { { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } } \left( u + 2 { \sqrt { g h } } \right) = g \left( S - S _ { f } \right) } & & { { \mathrm { a l o n g } } \quad { \frac { \mathrm { d } x } { \mathrm { d } t } } = u + { \sqrt { g h } } \quad { \mathrm { a n d } } } \\ & { { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } } \left( u - 2 { \sqrt { g h } } \right) = g \left( S - S _ { f } \right) } & & { { \mathrm { a l o n g } } \quad { \frac { \mathrm { d } x } { \mathrm { d } t } } = u - { \sqrt { g h } } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathbf { G } ( \omega ) } & { = \mathbf { G ^ { ( 0 ) } } ( \omega ) + \mathbf { G ^ { ( 0 ) } } ( \omega ) \mathbf { \Sigma } ( \omega ) \mathbf { G } ( \omega ) } \\ & { = \mathbf { G ^ { ( 0 ) } } ( \omega ) + \mathbf { G ^ { ( 0 ) } } ( \omega ) \mathbf { \Sigma } ( \omega ) \mathbf { G ^ { ( 0 ) } } ( \omega ) } \\ & { + \mathbf { G ^ { ( 0 ) } } ( \omega ) \mathbf { \Sigma } ( \omega ) \mathbf { G ^ { ( 0 ) } } ( \omega ) \mathbf { \Sigma } ( \omega ) \mathbf { G ^ { ( 0 ) } } ( \omega ) + \ldots } \end{array}
\mathbf { a } _ { M } = - \sum _ { k = 0 } ^ { n } \mu _ { M _ { k } } \frac { \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { M _ { k } } } { \lVert \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { M _ { k } } \rVert ^ { 3 } } ,
n _ { \mu _ { 1 } } . . . n _ { \mu _ { n + i } } \langle P ^ { \prime } | i \partial ^ { \mu _ { n + 1 } } . . . i \partial ^ { \mu _ { n + i } } \overline { { \psi } } i \stackrel { \leftrightarrow } { D } ^ { \mu _ { 1 } } \cdots i \stackrel { \leftrightarrow } { D } ^ { \mu _ { n - 1 } } \gamma ^ { \mu _ { n } } \psi | P \rangle = 2 ( 2 \xi ) ^ { i } a _ { n } ( \xi , t ) \ .
\begin{array} { r l } { \mathbf { h } _ { i } ^ { ( t + 1 ) } } & { { } = \boldsymbol { f } \left( \mathbf { x } _ { i } ^ { ( t ) } , \sum _ { j \neq i } \mathbf { m } _ { i j } ^ { ( t + 1 ) } \right) } \\ { \mathbf { h } _ { i j } ^ { ( t + 1 ) } } & { { } = \boldsymbol { g } \left( \mathbf { x } _ { i j } ^ { ( t ) } , \mathbf { m } _ { i j } ^ { ( t + 1 ) } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { k } = } & { \bigg [ \rho _ { \pi ^ { ( k ) } } ( F ^ { ( k ) } , F ^ { ( k - 1 ) } W _ { k } ) + \left( 1 - \frac { 1 } { r _ { k } ^ { \ast } } \right) \bigg ( \rho _ { \pi ^ { ( k ) } } ( F ^ { ( k ) } , G ^ { ( k ) } ) \rho _ { \pi ^ { ( k ) } } ( F ^ { ( k - 1 ) } W _ { k } , G ^ { ( k - 1 ) } ) \rho _ { \pi ^ { ( k ) } } ( G ^ { ( k ) } , G ^ { ( k - 1 ) } ) } \\ & { - \rho _ { \pi ^ { ( k ) } } ( F ^ { ( k ) } , G ^ { ( k ) } ) \rho _ { \pi ^ { ( k ) } } ( F ^ { ( k - 1 ) } W _ { k } , G ^ { ( k ) } ) - \rho _ { \pi ^ { ( k ) } } ( F ^ { ( k - 1 ) } W _ { k } , G ^ { ( k - 1 ) } ) \rho _ { \pi ^ { ( k ) } } ( F ^ { ( k ) } , G ^ { ( k - 1 ) } ) \bigg ) \bigg ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \textnormal { d } Q _ { u } } { \textnormal { d } z } } & { { } = - q _ { i } \, , } \\ { \frac { \textnormal { d } ( M _ { u } + M _ { u } ^ { \prime } + P _ { u } ) } { \textnormal { d } z } } & { { } = B _ { u } - m _ { i } \, , } \\ { \frac { \textnormal { d } ( F _ { u } + F _ { u } ^ { \prime } ) } { \textnormal { d } z } } & { { } = - f _ { i } \, . } \end{array}
\frac { 1 } { \gamma \cdot p - m } \, \, \gamma \cdot k \, \, \frac { 1 } { \gamma \cdot ( p + k ) - m } \, = \, \frac { 1 } { \gamma \cdot p - m } \, - \, \frac { 1 } { \gamma \cdot ( p + k ) - m } .
\begin{array} { r l } { \frac { \left( \eta - 2 k + a \right) ! } { \left( \eta - k \right) ! } } & { { } \leq e \sqrt { 2 \pi \left( \eta - 2 k + a \right) } \left( \frac { \eta - 2 k + a } { e } \right) ^ { \eta - 2 k + a } \frac { 1 } { \left( \eta - k \right) ! } } \end{array}
k _ { \mathrm { ~ c ~ } } \sim ( k _ { \nu } ^ { 4 / 3 } k _ { \mathrm { ~ o ~ d ~ d ~ } } ^ { 2 / 3 } ) ^ { 1 / 2 } \sim \epsilon ^ { 1 / 4 } \nu ^ { - 1 / 2 } \nu _ { \mathrm { ~ o ~ d ~ d ~ } } ^ { - 1 / 4 } .
\mathbf { M } _ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } } \left[ s ^ { 2 } \widetilde { \mathbf { X } } _ { \mathrm { ~ I ~ } } - s \mathbf { X } _ { \mathrm { ~ I ~ } } ( 0 ) - \dot { \mathbf { X } } _ { \mathrm { ~ I ~ } } ( 0 ) \right] + \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ I ~ O ~ } } \widetilde { \mathbf { X } } _ { \mathrm { ~ O ~ } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } } \widetilde { \mathbf { X } } _ { \mathrm { ~ I ~ } } = \widetilde { \mathbf { F } } _ { \mathrm { ~ I ~ } } ( s ) \, .
z _ { 1 } \times z _ { 2 } = ( a _ { 1 } + b _ { 1 } i ) ( a _ { 2 } + b _ { 2 } i ) = ( a _ { 1 } \times a _ { 2 } ) + ( a _ { 1 } \times b _ { 2 } i ) + ( b _ { 1 } \times a _ { 2 } i ) + ( b _ { 1 } \times b _ { 2 } i ^ { 2 } ) = ( a _ { 1 } a _ { 2 } - b _ { 1 } b _ { 2 } ) + ( a _ { 1 } b _ { 2 } + b _ { 1 } a _ { 2 } ) i .
\delta q _ { e \perp } ^ { f } ( x , { \bf p } _ { \perp } ) = \delta q _ { e \perp } ^ { f } ( x , - { \bf p } _ { \perp } ) , ~ ~ ~ ~ ~ \ ~ ~ ~ ~ ~ \ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \delta q _ { o \perp } ^ { f } ( x , { \bf p } _ { \perp } ) = - \delta q _ { o \perp } ^ { f } ( x , - { \bf p } _ { \perp } ) .
C = \frac { \sqrt { k _ { B } T / 4 } } { A ^ { S O } } \tilde { V } _ { T _ { 2 } } = \frac { \sqrt { k _ { B } T / 4 } } { A ^ { S O } } \frac { \sqrt { 2 } } { \omega _ { T _ { 2 } } } V _ { T _ { 2 } } = 0 . 2
{ \lambda } _ { 1 , 2 } = \frac { M _ { 1 1 } + M _ { 2 2 } \pm i \sqrt { - 4 M _ { 1 2 } M _ { 2 1 } - { ( M _ { 1 1 } - M _ { 2 2 } ) } ^ { 2 } } } { 2 }
v _ { \bar { w } } ( w , \bar { w } ) = \psi _ { 1 } ( w ) - z ( w ) \frac { \partial \bar { w } } { \partial \bar { z } } \overline { { { \psi _ { 1 } ^ { \prime } ( w ) } } } + \overline { { { \psi _ { 2 } ( w ) } } } ,
\begin{array} { r l } { \vec { g } _ { 1 } = } & { { } \frac { r _ { i + 1 } - r _ { i - 1 } } { 2 r _ { i } \overline { { \triangle } } _ { r } } \vec { r } = \frac { r _ { i + 1 } - r _ { i - 1 } } { 2 \overline { { \triangle } } _ { r } } \hat { r } ; } \\ { \vec { g } _ { 2 } = } & { { } \frac { \sin \triangle _ { \theta } } { \overline { { \triangle } } _ { r } } A _ { \frac { \pi } { 2 } } \vec { r } = \frac { \sin \triangle _ { \theta } } { \overline { { \triangle } } _ { r } } r _ { i } \hat { \theta } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( \Delta t _ { k } | \lambda ) = } & { { } P ( n | N ) } \\ { \otimes } & { { } \left[ P ( \Delta t _ { \mathrm { e x t } } | \lambda ) \otimes P ( \Delta t _ { \mathrm { I R F } } | \tau _ { \mathrm { I R F } } , \sigma _ { \mathrm { I R F } } ^ { 2 } ) \right] , } \end{array}
\frac { \phi _ { \mathrm { c y } } } { \phi _ { \mathrm { v } } } = \exp \Big [ - \frac { a _ { \mathrm { p } } } { k _ { \mathrm { B } } T } \Big ( \frac { \kappa _ { \mathrm { d i f } } } { { 2 R _ { \mathrm { c y } } } ^ { 2 } } - \frac { \kappa _ { \mathrm { p i } } C _ { 0 } } { R _ { \mathrm { c y } } } \Big ) \Big ] .
\left| \begin{array} { l l l l l } { { 2 \mu ^ { 2 } } } & { { - \mu ^ { 2 } } } & { { 0 } } \\ { { - \mu ^ { 2 } } } & { { 2 m ^ { 2 } } } & { { x _ { p ^ { \prime } } } } \\ { { 0 } } & { { x _ { p ^ { \prime } } } } & { { 0 } } \end{array} \right| = 0 .
\begin{array} { r l } { \partial _ { x } ( A u ) ^ { n } } & { = 0 } \\ { \rho \, \partial _ { x } ( A u ^ { 2 } ) ^ { n } + A ^ { n } \, \partial _ { x } p ^ { n } } & { = 0 \quad \implies \quad \boldsymbol { Q } ^ { n + 1 } = \boldsymbol { Q } ^ { n } } \\ { p ^ { n } - F ( A ^ { n } ) + \tau _ { r } \, E _ { 0 } \, G ( A ^ { n } ) \, \partial _ { x } ( A u ) ^ { n } } & { = 0 \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { \mathrm { 3 a } } ^ { \mathrm { r e l } , E } } & { { } = \tilde { S } _ { 1 2 3 } \: Z _ { 1 } ^ { \mathrm { r e l } , E } \, W _ { 1 } ^ { \mathrm { r e l } , E } \: D ( \eta ^ { \mathrm { r e l } } ; 1 , 3 , 3 ) } \end{array}
g _ { \rho } ( p _ { \rho } ^ { 2 } = 0 ) = 2 g _ { \rho \pi \pi } ( p _ { \rho } ^ { 2 } = 0 ; q _ { 1 } ^ { 2 } = 0 , q _ { 2 } ^ { 2 } = 0 ) \, F _ { \pi } ^ { 2 } ( 0 ) \ ,
\begin{array} { r l } { \| \nabla F _ { \mathcal { P } } ( x ) \| _ { 2 } \le } & { \alpha _ { 1 } + G ( \frac { 3 2 \log ( 2 T / \omega ) } { n \varepsilon } + \frac { C \log ( d n / \omega ) } { \sqrt { n } } ) , } \\ { \textup { s m i n } ( \nabla ^ { 2 } F _ { \mathcal { P } } ( x ) ) \ge } & { - \sqrt { \rho \alpha _ { 1 } } - M ( \frac { 3 2 \log ( 2 T / \omega ) } { n \varepsilon } + \frac { C \log ( d n / \omega ) } { \sqrt { n } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Pi _ { n } = \Big \{ e ^ { \mathrm { i } \theta \frac { \pi } { 2 } } \sigma _ { 0 } \otimes \cdots \otimes \sigma _ { n } : ~ } & { { } \theta \in \{ 0 , 1 , 2 , 3 \} , } \end{array}
\zeta = \frac { r _ { H } } { V _ { \mathrm { c e n t e r } } ^ { 2 } } \frac { \Delta V } { \Delta t } \sim \frac { r _ { H } } { S _ { r } } \frac { 2 V _ { \mathrm { { e x p } } } } { V _ { \mathrm { c e n t e r } } } ,