harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { f ( t _ { p _ { 1 } } , t _ { p _ { 2 } } ) } \\ { = } & { \sum _ { m _ { 1 } = 1 } ^ { M } \log _ { 2 } \Bigg [ \sum _ { m _ { 2 } = 1 } ^ { M } \exp \Big ( - 2 [ t _ { p _ { 1 } } , t _ { p _ { 2 } } ] \Big [ \begin{array} { c } { \sqrt { \rho ^ { \prime } } \mathcal { R } ( \mathbf { z } _ { m _ { 1 } } \! - \! \mathbf { z } _ { m _ { 2 } } ) } \\ { \sqrt { \rho ^ { \prime } } \mathcal { I } ( \mathbf { z } _ { m _ { 1 } } \! - \! \mathbf { z } _ { m _ { 2 } } ) } \end{array} \Big ] } \\ & { - \Big \| \Big [ \begin{array} { c } { \sqrt { \rho ^ { \prime } } \mathcal { R } ( \mathbf { z } _ { m _ { 1 } } \! - \! \mathbf { z } _ { m _ { 2 } } ) } \\ { \sqrt { \rho ^ { \prime } } \mathcal { I } ( \mathbf { z } _ { m _ { 1 } } \! - \! \mathbf { z } _ { m _ { 2 } } ) } \end{array} \Big ] \Big \| ^ { 2 } \Big ) \Bigg ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { E } \, [ \, f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k + 1 ) } ) \, ] \le \, } & { \mathrm { E } \, [ \, f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) \, ] - \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathrm { E } \, [ \, \nabla f ( \widetilde \mathbf { x } ^ { ( k ) } ) _ { i } \, d _ { i } ^ { ( k ) } - \frac { 1 } { 2 } \, L \, ( d _ { i } ^ { ( k ) } ) ^ { 2 } \, ] . } \end{array}
{ \mathcal { H } } _ { \mathrm { S O } } = { \frac { 1 } { 2 } } \left( { \frac { Z e ^ { 2 } } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } \right) \left( { \frac { g _ { s } } { 2 m _ { e } ^ { 2 } c ^ { 2 } } } \right) { \frac { { \vec { L } } \cdot { \vec { S } } } { r ^ { 3 } } }
\begin{array} { r l r l r l r } { ( 1 - | R _ { X } | ) ^ { \lambda } = ( 1 - | R _ { Y } | ) ^ { \lambda } ~ , } & { { } } & { - 1 \le R _ { X } \le 1 ~ , } & { { } } & { - 1 \le R _ { Y } \le 1 , } & { { } } & { \textrm { s g n } ~ R _ { X } = \textrm { s g n } ~ R _ { Y } ~ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \| \nabla f _ { \xi } ( w _ { \theta } ) \| ^ { 2 } } & { \overset { ( i ) } { \le } 2 \mathbb { E } \| \nabla f _ { \xi } ( w _ { \theta } ) - \nabla f _ { \xi } ( w ) \| ^ { 2 } + 2 \mathbb { E } \| \nabla f _ { \xi } ( w ) \| ^ { 2 } } \\ & { \overset { ( i i ) } { \le } \Big ( \frac { L _ { 0 } ^ { 2 } } { L _ { 1 } ^ { 2 } } + 2 \mathbb { E } _ { \xi } \| \nabla f _ { \xi } ( w ) \| ^ { 2 } \Big ) \big ( \exp ( 1 2 L _ { 1 } ^ { 2 } \| w ^ { \prime } - w \| ^ { 2 } ) - 1 \big ) + 2 \mathbb { E } \| \nabla f _ { \xi } ( w ) \| ^ { 2 } } \end{array}
{ \frac { m ! } { ( 2 m - 1 ) ! ! } } \left\{ - 1 / 2 \partial _ { t } ^ { 2 } + { \cal Z } ^ { F _ { m - 2 } } ( t ) + \partial _ { t } ^ { - 1 } { \cal Z } ^ { F _ { m - 2 } } ( t ) \partial _ { t } \right\} ^ { m } \cdot 1 = t ,
2 \times q _ { \Sigma } ^ { \ast } ( 2 6 5 0 ) + [ q _ { \Xi _ { C } } ^ { \ast } ( 2 5 5 0 ) + q _ { S } ^ { \ast } ( 2 6 5 0 ) ] + [ q _ { \Xi } ^ { \ast } ( 2 7 5 0 ) + q _ { S } ^ { \ast } ( 2 6 5 0 ) ]
\nabla _ { m } \eta _ { n _ { 1 } \dots n _ { q } } = - K _ { m \, n _ { 1 } } { } ^ { p } \eta _ { p n _ { 2 } \dots n _ { q } } - K _ { m \, n _ { 2 } } { } ^ { p } \eta _ { n _ { 1 } p \dots n _ { q } } - \dots - K _ { m \, n _ { q } } { } ^ { p } \eta _ { n _ { 1 } \dots n _ { q - 1 } p } ,
\begin{array} { r } { \widetilde { H } _ { 1 } = \frac { g } { 8 } \left( \left( J \frac { \partial \xi _ { 1 } } { \partial x _ { 1 } } \right) _ { i , j } + \left( J \frac { \partial \xi _ { 1 } } { \partial x _ { 1 } } \right) _ { i + m , j } \right) \Bigg \{ ( h _ { i + m , j } + h _ { i , j } ) \left[ ( h + b ) _ { i + m , j } - ( h + b ) _ { i , j } \right] \Bigg \} = 0 . } \end{array}
( { \frac { 1 1 } { 5 } } ) = + 1 : \qquad { \frac { 1 } { 2 } } \left( 5 ( { \frac { 1 1 } { 5 } } ) + 3 \right) = 4 , \quad { \frac { 1 } { 2 } } \left( 5 ( { \frac { 1 1 } { 5 } } ) - 3 \right) = 1 .
Y ( E _ { \mathrm { i } } , \theta ) = \int Y _ { \mathrm { D } } \left( E _ { \mathrm { i } } , \theta , \alpha , \beta \right) \, d \Omega = \iint Y _ { \mathrm { D } } \left( E _ { \mathrm { i } } , \theta , \alpha , \beta \right) \sin \alpha \, d \alpha \, d \beta .
\begin{array} { l } { { f _ { 0 } ^ { 0 } ( s ) - f _ { 0 } ^ { 2 } ( s ) - 1 . 6 9 3 2 6 9 f _ { 1 } ^ { 1 } ( s ) } } \\ { { \qquad - { \frac { 1 } { 3 } } \left( f _ { 0 } ^ { 0 } ( t ) + 2 f _ { 0 } ^ { 2 } ( t ) \right) + 4 . 7 5 1 6 7 6 f _ { 1 } ^ { 1 } ( t ) > 0 , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { \varrho } } \left[ \int _ { \Omega } ( \textbf { \textup { u } } \cdot \textbf { \textup { U } } ) ( t , \cdot ) \ \textup { d } x \right] _ { t = 0 } ^ { t = \tau } } & { = \overline { { \varrho } } \int _ { 0 } ^ { \tau } \int _ { \Omega } \left( \textbf { \textup { u } } \cdot \partial _ { t } \textbf { \textup { U } } + ( \textbf { \textup { u } } \otimes \textbf { \textup { u } } ) : \nabla _ { x } \textbf { \textup { U } } \right) \textup { d } x \textup { d } t } \\ & { - 2 \mu ( \overline { { \vartheta } } ) \int _ { 0 } ^ { \tau } \int _ { \Omega } \mathbb { D } _ { x } \textbf { \textup { u } } : \mathbb { D } _ { x } \textbf { \textup { U } } \ \textup { d } x \textup { d } t - A \int _ { 0 } ^ { \tau } \int _ { \Omega } \vartheta ^ { ( 1 ) } \nabla _ { x } G \cdot \textbf { \textup { U } } \ \textup { d } x \textup { d } t } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { \tau } \int _ { \overline { { \Omega } } } \nabla _ { x } \textbf { \textup { U } } : \textup { d } \mathfrak { R } \ \textup { d } t , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } \mathbf { c } _ { 0 } + \mathrm { P e } ^ { 2 } \partial _ { x } \left\langle u \Delta _ { \mathbf { y } } ^ { - 1 } u \right\rangle _ { \mathbf { y } , \tau } \mathbf { D } ^ { - 1 } \partial _ { x } \mathbf { c } _ { 0 } = \partial _ { x } ( \mathbf { D } \partial _ { x } \mathbf { c } _ { 0 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( 2 A _ { 1 } + A _ { 2 } ) q _ { 1 2 3 - 4 5 6 } } & { { } = ( 2 A _ { 1 } + A _ { 2 } ) \left[ q _ { 1 2 3 - 4 } + q _ { 1 2 3 - 5 } + q _ { 1 2 3 - 6 } \right] } \end{array}
\tilde { F } _ { 1 } ( S , P , T ) = F _ { 1 } ( S , P ) \quad \tilde { F } _ { 2 } ( S , P , T ) = F _ { 2 } ( S , P ) \quad \tilde { F } _ { 3 } ( S , P , T ) = T + S - F _ { 1 } ( S , P ) .
V _ { 5 } ^ { \lambda \mu \nu } ( x ) = S y m m { \operatorname * { l i m } _ { \epsilon \rightarrow 0 } } \{ \bar { \psi } ( x + \epsilon / 2 ) \frac { 1 } { 2 } [ \gamma ^ { \lambda } , \sigma ^ { \mu \nu } ] \gamma _ { 5 } U _ { P } ( x + \epsilon / 2 , x - \epsilon / 2 ) \psi ( x - \epsilon / 2 ) \} .
\begin{array} { c l } { \displaystyle \alpha _ { 0 } = } & { \displaystyle - \frac { 1 } { 6 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { L } { \int _ { 0 } ^ { L } { m _ { x } ( s ^ { \prime } ) m _ { x } ( s ) \beta _ { x } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( s ^ { \prime } ) \beta _ { x } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( s ) } } } \\ & { \displaystyle \times \left( \frac { \cos { 3 \left( \pi \nu _ { x } - \left| \chi _ { x } ( s ^ { \prime } ) - \chi _ { x } ( s ) \right| \right) } } { \sin { 3 \pi \nu _ { x } } } + \frac { 3 \cos { \left( \pi \nu _ { x } - \left| \chi _ { x } ( s ^ { \prime } ) - \chi _ { x } ( s ) \right| \right) } } { \sin { \pi \nu _ { x } } } \right) d s ^ { \prime } d s . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \frac { d r } { d \hat { \tau } } } & { = \cos \psi r v , } \\ { \frac { d v } { d \hat { \tau } } } & { = ( 2 r E - \frac 1 2 v ^ { 2 } - \bar { V } ( \psi ) ) \cos \psi + \cos \psi r \big ( \mathbf { x } \cdot \partial _ { \mathbf { x } } U _ { 2 } \big ) , } \\ { \frac { d \psi } { d \hat { \tau } } } & { = \hat { w } , } \\ { \frac { d \hat { w } } { d \hat { \tau } } } & { = - \frac 1 2 v \hat { w } \cos \psi - \bar { V } ^ { \prime } ( \psi ) \cos ^ { 2 } \psi - \sin \psi \cos \psi ( 2 r E - v ^ { 2 } - 2 \bar { V } ( \psi ) ) } \\ & { \quad + \cos ^ { 2 } \psi r ( \partial _ { \mathbf { x } _ { 0 } } U _ { 2 } \cdot \mathbf { x } _ { 1 } - \partial _ { \mathbf { x } _ { 1 } } U _ { 2 } \cdot \mathbf { x } _ { 0 } ) , } \\ { \frac { d L _ { 2 } } { d \hat { \tau } } } & { = - \cos \psi r ^ { 3 / 2 } \frac { \partial } { \partial \ell _ { 2 } } U _ { 2 } , } \\ { \frac { d \ell _ { 2 } } { d \hat { \tau } } } & { = \cos \psi r ^ { 3 / 2 } ( - \frac { M _ { 2 } k _ { 2 } ^ { 2 } } { L _ { 2 } ^ { 3 } } + \frac { \partial } { \partial L _ { 2 } } U _ { 2 } ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { = 4 \pi \varepsilon \langle F _ { - } | _ { \xi = \varepsilon v } F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } , F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \rangle _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } } \\ & { \lesssim \varepsilon \| \langle \varepsilon v \rangle ^ { \frac { 3 } { 4 } } F _ { - } | _ { \xi = \varepsilon v } \| _ { L _ { x } ^ { \infty } L _ { v } ^ { 6 } } \| \langle \varepsilon v \rangle ^ { - \frac { 3 } { 4 } } F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } L _ { v } ^ { 3 } } \| F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \| _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } } \\ & { \lesssim \varepsilon ^ { \frac { 1 } { 2 } } \| F _ { - } ^ { ( \frac { 3 } { 4 } , 0 ) } \| _ { L _ { x } ^ { \infty } L _ { \xi } ^ { 6 } } \| \langle \varepsilon v \rangle ^ { - \frac { 3 } { 4 } } F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } L _ { v } ^ { 3 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { \alpha } ( L | | \overline { { M } } ) + R _ { \alpha } ( L _ { \pi } | | \overline { { M } } ) } & { \leqslant 2 R _ { \alpha } ( L | | M ^ { f ^ { * } } ) + 2 R _ { \alpha } ( M ^ { f ^ { * } } | | \overline { { M } } ) , } \\ { R _ { \alpha } ( \overline { { M } } | | L ) + R _ { \alpha } ( \overline { { M } } | | L _ { \pi } ) } & { \leqslant 2 R _ { \alpha } ( \overline { { M } } | | M ^ { f } ) + 2 R _ { \alpha } ( M ^ { f } | | L ) , } \end{array}
U _ { B } ^ { ( 1 , 2 ) } \, = \, - ( e ^ { 2 } / 4 \pi ) ( { \bf \alpha } _ { 1 } { \bf \cdot } { \bf \alpha } _ { 2 } \, + \, { \bf \alpha } _ { 1 } { \bf \cdot \hat { r } \alpha } _ { 2 } \cdot { \bf \hat { r } } ) / 2 r , \quad ( { \bf r \, = \, r } _ { 1 } - { \bf r } _ { 2 } )
\begin{array} { r l } & { f _ { 1 } ( y ) f _ { 2 } ( y ) f _ { 3 } ( y ) - f _ { 1 } ( y ^ { \prime } ) f _ { 2 } ( y ^ { \prime } ) f _ { 3 } ( y ^ { \prime } ) } \\ & { = ( f _ { 1 } ( y ) - f _ { 1 } ( y ^ { \prime } ) ) f _ { 2 } ( y ) f _ { 3 } ( y ) + f _ { 1 } ( y ^ { \prime } ) ( f _ { 2 } ( y ) - f _ { 2 } ( y ^ { \prime } ) ) f _ { 3 } ( y ) + f _ { 1 } ( y ^ { \prime } ) f _ { 2 } ( y ^ { \prime } ) ( f _ { 3 } ( y ) - f _ { 3 } ( y ^ { \prime } ) ) } \end{array}
{ \cal { F } } ( q _ { 1 } , q _ { 2 } ) = \int d ^ { 4 } X \, d ^ { 4 } Y \ e ^ { - i q _ { 1 } X } \, e ^ { i p Y } \langle 0 | T \left\{ j ( X ) \, j ( Y ) \, j ( 0 ) \right\} | 0 \rangle ,
{ \left| \begin{array} { l l l l } { V _ { 1 1 } - \Delta E _ { j } } & { V _ { 1 2 } } & { \dots } & { V _ { 1 N } } \\ { V _ { 2 1 } } & { V _ { 2 2 } - \Delta E _ { j } } & { \dots } & { V _ { 2 N } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { V _ { N 1 } } & { V _ { N 2 } } & { \dots } & { V _ { N N } - \Delta E _ { j } } \end{array} \right| } .
\epsilon + \frac { \epsilon ^ { \gamma _ { 5 } } } { \delta ^ { 2 } } \, \lesssim \, \mathfrak { R } _ { \epsilon } ( t ) \, , \qquad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \quad \mathfrak { R } _ { \epsilon } ( t ) \, : = \, \epsilon + \frac { \epsilon ^ { \gamma _ { 3 } } } { \delta } \, .
\begin{array} { r } { \bigg | \sum _ { k \geqslant 2 } \binom { m } { k } ( - 1 ) ^ { k } ( 1 - \rho _ { s } ( u ) ) ^ { k } - \sum _ { k \geqslant 2 } \binom { m } { k } ( - 1 ) ^ { k } \prod _ { j = 0 } ^ { k - 1 } \left( 1 - \langle \pi _ { s } , { \iota } _ { \epsilon _ { k } } ^ { u + j \epsilon _ { k } } \rangle \right) \bigg | \lesssim \epsilon ^ { \alpha } . } \end{array}
\tilde { n } ( X , p _ { 0 } ) = \tilde { n } ( p _ { 0 } ) = \left\{ \begin{array} { c c } { { \lambda _ { q } n _ { F } ( | p _ { 0 } | ) } } & { { p _ { 0 } > 0 } } \\ { { 1 - \lambda _ { q } n _ { F } ( | p _ { 0 } | ) ) } } & { { p _ { 0 } < 0 } } \end{array} \right. .
R _ { \phi \phi } ^ { p } ( \Delta z ; y _ { 0 } ) = \frac { \langle { \phi ^ { \prime } ( x , y _ { 0 } , z , t ) \phi ^ { \prime } ( x , y _ { 0 } , z + \Delta z , t ) } \rangle } { \langle { \phi ^ { 2 } } \rangle } ,
\left\{ \begin{array} { l l } { u _ { k } ( y , x _ { 3 } ) \in L ^ { 2 } ( ( 0 , L ) ; H ^ { 1 } ( C ) ) , \quad \displaystyle - \Delta _ { y } ^ { \prime } u _ { k } ( y , x _ { 3 } ) = \lambda _ { k } u _ { k } \, \, \, \, \mathrm { i n } \, \, D \times ( 0 , L ) , } \\ { u _ { k } = v _ { k } \quad \mathrm { o n } \, \, \, \partial D \times ( 0 , L ) , } \\ { v _ { k } \in H _ { 0 } ^ { 1 } ( 0 , L ) ) , \quad \displaystyle - \frac { d ^ { 2 } v _ { k } } { d x _ { 3 } ^ { 2 } } = \lambda _ { k } v _ { k } + \frac { \lambda _ { k } } { \vert C \setminus D \vert } \displaystyle \int _ { D } u _ { k } \ d y \quad \mathrm { i n } \, \, \, ( 0 , L ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \operatorname* { s u p } _ { s \in [ 0 , \bar { \tau } _ { n } ^ { \mathrm { X } } ] } \left\langle \mathbf { 1 } , \nu ^ { \mathrm { X } } ( s ) \right\rangle ^ { p } } & { { } \leq \mathbb { E } \left\langle \mathbf { 1 } , \nu _ { 0 } ^ { \mathrm { X } } \right\rangle ^ { p } + } \end{array}
\begin{array} { r } { \big \vert \big \langle \big ( G _ { 2 } A _ { 2 } ^ { \circ _ { 2 , 3 } } G _ { 3 } - M ( w _ { 2 } , A _ { 2 } ^ { \circ _ { 2 , 3 } } , w _ { 3 } ) \big ) E _ { \sigma } \big \rangle \big \vert \prec \frac { 1 } { N \eta } + \frac { 1 } { | e _ { 2 } - \sigma e _ { 3 } | + \eta _ { 2 } + \eta _ { 3 } } \cdot \frac { \psi _ { 1 } ^ { \mathrm { a v } } } { N \eta ^ { 1 / 2 } } \, . } \end{array}
\begin{array} { l } { \displaystyle 2 \pi ^ { 2 } \int _ { S _ { 2 } ^ { R + } \cup S _ { 2 } ^ { R - } \cup S _ { 3 } ^ { R + } \cup S _ { 3 } ^ { R - } } \varphi ^ { 2 } \, d x } \\ { \displaystyle \le \cfrac { 1 } { 2 } \int _ { S _ { 2 } ^ { R + } \cup S _ { 2 } ^ { R - } \cup S _ { 3 } ^ { R + } \cup S _ { 3 } ^ { R - } } ( \partial _ { x _ { 1 } } \varphi ) ^ { 2 } \, d x + \cfrac { 1 } { 2 } \int _ { S _ { 2 } ^ { R + } \cup S _ { 2 } ^ { R - } } ( \partial _ { x _ { 3 } } \varphi ) ^ { 2 } \, d x + \cfrac { 1 } { 2 } \int _ { S _ { 3 } ^ { R + } \cup S _ { 3 } ^ { R - } } ( \partial _ { x _ { 2 } } \varphi ) ^ { 2 } \, d x . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | r \rangle } & { { } = | r \rangle ^ { ( 0 ) } + \sum _ { q \ne r } \frac { { } ^ { ( 0 ) } \langle q | V | r \rangle ^ { ( 0 ) } } { E _ { r } ^ { ( 0 ) } - E _ { q } ^ { ( 0 ) } } | q \rangle ^ { ( 0 ) } + \dots } \\ { E _ { r } } & { { } = E _ { r } ^ { ( 0 ) } + { } ^ { ( 0 ) } \langle r | V | r \rangle ^ { ( 0 ) } + \dots , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { 2 \Delta t } ( \| { \bf u } _ { j } ^ { n + 1 } \| ^ { 2 } - \| { \bf u } _ { j } ^ { n } \| ^ { 2 } ) + \frac { \nu _ { \operatorname* { m i n } } } { 2 } \| \nabla { \bf u } _ { j } ^ { n + 1 } \| ^ { 2 } + \frac { \kappa _ { \operatorname* { m a x } } } { 2 } ( \| { \bf u } _ { j } ^ { n + 1 } \| _ { \Gamma } ^ { 2 } - \| { \bf u } _ { j } ^ { n } \| _ { \Gamma } ^ { 2 } ) \le \frac { 1 } { 2 \nu _ { \operatorname* { m i n } } } \| { \bf f } _ { j } ^ { n + 1 } \| _ { - 1 } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { n _ { i } v _ { i } } ^ { ( \mathrm { P I } ) } ( E _ { \gamma } ) } & { { } = \sigma _ { \mathrm { T } } \frac { \pi c ^ { 3 } E _ { \gamma } } { 2 } \sum _ { \lambda _ { f } } \int \mathrm { d } v _ { f } } \end{array}
\begin{array} { r l } { h } & { \! = \! \left[ m _ { 0 } - 2 t _ { z } - 4 t _ { | | } \left( \sin ^ { 2 } \frac { k _ { x } a } { 2 } + \sin ^ { 2 } \frac { k _ { y } a } { 2 } \right) \right] \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } \! + \! \lambda _ { | | } \sin ( k _ { x } a ) \sigma _ { x } \otimes \tau _ { x } \! + \! \lambda _ { | | } \sin ( k _ { y } a ) \sigma _ { y } \otimes \tau _ { x } , } \\ & { \! = \! \left\{ m _ { 0 } - 2 t _ { z } - 4 t _ { | | } + 2 t _ { | | } \left[ \cos ( k _ { x } a ) + \cos ( k _ { y } a ) \right] \right\} \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } \! + \! \lambda _ { | | } \sin ( k _ { x } a ) \sigma _ { x } \otimes \tau _ { x } \! + \! \lambda _ { | | } \sin ( k _ { y } a ) \sigma _ { y } \otimes \tau _ { x } } \\ & { \! = \! \left[ ( m _ { 0 } - 2 t _ { z } - 4 t _ { | | } ) + t _ { | | } \left( e ^ { i k _ { x } a } + e ^ { - i k _ { x } a } + e ^ { i k _ { y } a } + e ^ { - i k _ { y } a } \right) \right] \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } } \\ & { ~ ~ ~ \! - \! i \frac { \lambda _ { | | } } { 2 } \left( e ^ { i k _ { x } a } + e ^ { - i k _ { x } a } \right) \sigma _ { x } \otimes \tau _ { x } \! - \! i \frac { \lambda _ { | | } } { 2 } \left( e ^ { i k _ { y } a } + e ^ { - i k _ { y } a } \right) \sigma _ { y } \otimes \tau _ { x } } \\ & { \! = \! M _ { 0 } + T _ { x } e ^ { i k _ { x } a } + T _ { x } ^ { \dagger } e ^ { - i k _ { x } a } + T _ { y } e ^ { i k _ { y } a } + T _ { y } ^ { \dagger } e ^ { - i k _ { y } a } , } \\ { M _ { 0 } } & { \! = \! \left( m _ { 0 } - 2 t _ { z } - 4 t _ { | | } \right) \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } , } \\ { T _ { x } } & { \! = \! t _ { | | } \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } \! - \! i \frac { \lambda _ { | | } } { 2 } \sigma _ { x } \otimes \tau _ { x } , ~ ~ T _ { x } ^ { \dagger } \! = \! t _ { | | } \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } \! + \! i \frac { \lambda _ { | | } } { 2 } \sigma _ { x } \otimes \tau _ { x } , } \\ { T _ { y } } & { \! = \! t _ { | | } \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } \! - \! i \frac { \lambda _ { | | } } { 2 } \sigma _ { y } \otimes \tau _ { x } , ~ ~ T _ { y } ^ { \dagger } \! = \! t _ { | | } \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } \! + \! i \frac { \lambda _ { | | } } { 2 } \sigma _ { y } \otimes \tau _ { x } , } \\ { T _ { z } } & { \! = \! t _ { z } \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } \! - \! i \frac { \lambda _ { z } } { 2 } \sigma _ { z } \otimes \tau _ { x } , ~ ~ T _ { z } ^ { \dagger } \! = \! t _ { z } \sigma _ { 0 } \otimes \tau _ { z } \! + \! i \frac { \lambda _ { z } } { 2 } \sigma _ { z } \otimes \tau _ { x } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { 2 } \| \partial _ { t } u + \sigma u \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \| \partial _ { t } u ^ { * } + \sigma u ^ { * } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } ^ { 2 } - \int _ { 0 } ^ { t } \left( ( \partial _ { \tau } p + \sigma p ) , \, \nabla ( \partial _ { \tau } u + \sigma u ) \right) _ { \Omega _ { \rho } ^ { + } } \, d \tau } \\ { \leq } & { \frac { 1 } { 2 } \| \partial _ { t } u | _ { t = 0 } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \| \partial _ { t } u ^ { * } | _ { t = 0 } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \rho } ^ { + } ) } ^ { 2 } + \int _ { 0 } ^ { t } \left( \partial _ { \tau } f + \sigma f , \, \partial _ { \tau } u + \sigma u \right) _ { \Omega _ { \rho } ^ { + } } \, d \tau . } \end{array} } \end{array}
\int d ^ { \, 4 } p \ P _ { j } ( \, \vec { p } \, ) \ e ^ { \, - \alpha _ { s } \, p ^ { 2 } \, - \sum _ { k , v = 1 } ^ { n + 1 } \, A _ { k v } ^ { \, j } \, p _ { k } p _ { v } } \quad ,
( \mathcal { G } ^ { \prime \prime } ) ^ { c } = \Big \{ ( \omega , m ) \ | \ m \omega \in ( - \frac { 3 \xi _ { \ell } } { 4 } m ^ { 2 } , - \frac { \xi _ { \ell } } { 2 } m ^ { 2 } ) \cup ( \frac { a m ^ { 2 } } { 2 M r _ { + } } + \frac { \xi _ { r } } { 2 } m ^ { 2 } , \frac { a m ^ { 2 } } { 2 M r _ { + } } + \frac { 3 \xi _ { r } } { 4 } m ^ { 2 } ) \Big \}
\begin{array} { r l } & { \quad ( w _ { i , i } ^ { ( 2 ) } ) _ { ( - 1 ) } w _ { i , i } ^ { ( 1 ) } t ^ { 2 } } \\ & { = ( w _ { i , i } ^ { ( 1 ) } ) _ { ( - 1 ) } w _ { i , i } ^ { ( 2 ) } t ^ { 2 } - \partial ( w _ { i , i } ^ { ( 1 ) } ) _ { ( 0 ) } w _ { i , i } ^ { ( 2 ) } t ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \partial ^ { 2 } ( w _ { i , i } ^ { ( 1 ) } ) _ { ( 1 ) } w _ { i , i } ^ { ( 2 ) } t ^ { 2 } - \frac { 1 } { 6 } \partial ^ { 3 } ( w _ { i , i } ^ { ( 1 ) } ) _ { ( 2 ) } w _ { i , i } ^ { ( 2 ) } t ^ { 2 } } \\ & { = ( w _ { i , i } ^ { ( 1 ) } ) _ { ( - 1 ) } w _ { i , i } ^ { ( 2 ) } t ^ { 2 } - 0 + \frac { 1 } { 2 } \partial ^ { 2 } ( \alpha _ { 1 } w _ { i , i } ^ { ( 1 ) } + w _ { i , i } ^ { ( 1 ) } + \sum _ { x \leq m - n } w _ { x , x } ^ { ( 1 ) } ) t ^ { 2 } - 0 } \\ & { = ( w _ { i , i } ^ { ( 1 ) } ) _ { ( - 1 ) } w _ { i , i } ^ { ( 2 ) } t ^ { 2 } + \alpha _ { 1 } w _ { i , i } ^ { ( 1 ) } + w _ { i , i } ^ { ( 1 ) } + \sum _ { x \leq m - n } w _ { x , x } ^ { ( 1 ) } } \end{array}
+ q \exp ( - \sqrt { 2 \kappa } \phi ) ( \overline { { { \psi } } } _ { + } A \psi _ { + } + \overline { { { \psi } } } _ { - } A \psi _ { - } ) + M \exp \! \Big ( - \sqrt { \frac { \kappa } { 2 } } \phi \Big ) ( \psi _ { + } ^ { + } \psi _ { - } + \psi _ { - } ^ { + } \psi _ { + } )
\begin{array} { r l } & { \frac { \tilde { g } ( t ) \lambda ^ { 2 } ( t ) } { \mu ( t ) \lambda ( t ) - \dot { \lambda } ( t ) } \ = \ \frac { \left( \dot { \lambda } ( t ) \varepsilon ^ { 2 } ( t ) - \dot { \varepsilon } ( t ) + \frac { \big ( 2 \dot { \lambda } ( t ) \varepsilon ( t ) - \lambda ( t ) \dot { \varepsilon } ( t ) \big ) ^ { 2 } ( 2 a + c \gamma ) \gamma } { \lambda ^ { 2 } ( t ) \varepsilon ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( t ) } \right) \lambda ^ { 2 } ( t ) } { - \frac { \dot { \varepsilon } ( t ) \lambda ( t ) } { 2 \varepsilon ( t ) } + \left( \alpha - \gamma \right) \sqrt { \varepsilon ( t ) } \lambda ( t ) - \dot { \lambda } ( t ) } } \\ { = \ } & { 2 \frac { \dot { \lambda } ( t ) \varepsilon ^ { 3 } ( t ) \sqrt { \varepsilon ( t ) } \lambda ^ { 2 } ( t ) - \dot { \varepsilon } ( t ) \varepsilon ( t ) \sqrt { \varepsilon ( t ) } \lambda ^ { 2 } ( t ) + \big ( 2 \dot { \lambda } ( t ) \varepsilon ( t ) - \lambda ( t ) \dot { \varepsilon } ( t ) \big ) ^ { 2 } ( 2 a + c \gamma ) \gamma } { - \dot { \varepsilon } ( t ) \sqrt { \varepsilon ( t ) } \lambda ( t ) + 2 \left( \alpha - \gamma \right) \varepsilon ^ { 2 } ( t ) \lambda ( t ) - 2 \dot { \lambda } ( t ) \varepsilon ( t ) \sqrt { \varepsilon ( t ) } } } \\ { = \ } & { 2 \frac { \dot { \lambda } ( t ) \varepsilon ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( t ) \lambda ( t ) - \frac { \dot { \varepsilon } ( t ) \lambda ( t ) } { \sqrt { \varepsilon ( t ) } } + \left( \frac { 2 \dot { \lambda } ( t ) \varepsilon ( t ) - \lambda ( t ) \dot { \varepsilon } ( t ) } { \varepsilon ( t ) \sqrt { \lambda ( t ) } } \right) ^ { 2 } ( 2 a + c \gamma ) \gamma } { \frac { - \dot { \varepsilon } ( t ) } { \varepsilon ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( t ) } + 2 \left( \alpha - \gamma \right) - \frac { 2 \dot { \lambda } ( t ) } { \lambda ( t ) \sqrt { \varepsilon ( t ) } } } \to 0 \mathrm { ~ a s ~ } t \to + \infty \mathrm { ~ b y ~ } , \mathrm { ~ a n d ~ } , } \end{array}
\hat { \mathbf { F } } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { \mathrm { H L L C } } = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { \hat { F } } ^ { \mathbf { L } } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad \hat { S } ^ { L } \geq 0 , } \\ { \mathbf { \hat { F } } ^ { * \mathbf { L } } = \mathbf { \hat { F } } ^ { \mathbf { L } } + \hat { S } ^ { L } \left( \mathbf { Q } ^ { * \mathbf { L } } - \mathbf { Q } ^ { \mathbf { L } } \right) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad \hat { S } ^ { L } \leq 0 \leq \hat { S } ^ { * } , } \\ { \mathbf { \hat { F } } ^ { * \mathbf { R } } = \mathbf { \hat { F } } ^ { \mathbf { R } } + \hat { S } ^ { R } \left( \mathbf { Q } ^ { * \mathbf { R } } - \mathbf { Q } ^ { \mathbf { R } } \right) } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad \hat { S } ^ { * } \leq 0 \leq \hat { S } ^ { R } , } \\ { \mathbf { \hat { F } } ^ { \mathbf { R } } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad \hat { S } ^ { R } \leq 0 } \end{array} \right.
6 \pi \mathrm { i } \oint _ { | s | = m _ { \tau } ^ { 2 } } ( 1 - s / m _ { \tau } ^ { 2 } ) ^ { 2 } ( 1 + 2 s / m _ { \tau } ^ { 2 } ) \Pi ( s ) \frac { \mathrm { d } s } { m _ { \tau } ^ { 2 } }
\bigg \vert \frac { \delta \Sigma _ { m } } { \Sigma _ { 0 } } \bigg \vert = 2 \left( \frac { 1 2 8 } { 9 \pi ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \left( \frac { \beta } { \Omega _ { \mathrm { p } } } \right) ^ { 2 } \cot \alpha \sim 4 . 2 \left( \frac { \beta } { \Omega _ { \mathrm { p } } } \right) ^ { 2 } \cot \alpha ,
\begin{array} { r } { V _ { o u t } ( s ) = \frac { 2 \Im _ { i j } \omega _ { m } ^ { 5 / 2 } \sqrt { \zeta _ { m } k _ { B } T } ( N _ { A } / M _ { m } ) } { ( \omega _ { m } ^ { 2 } + 2 \zeta _ { m } \omega _ { m } s + s ^ { 2 } ) ( \omega _ { k } ^ { 2 } + 2 \zeta \omega _ { k } s + s ^ { 2 } ) } } \end{array}