harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { A _ { 3 } \cap C _ { 1 } = \left\{ \begin{array} { l l } { \sigma ^ { 2 } / 2 - \sigma z \leq x \leq - \sigma z + \sigma ^ { 2 } / 2 + \sigma ^ { 2 m } r / 2 \qquad \textrm { i f } z < \sigma / 2 - \sigma ^ { 2 m - 1 } r / 2 } \\ { \sigma ^ { 2 m } r / 2 < x \leq - \sigma z + \sigma ^ { 2 } / 2 + \sigma ^ { 2 m } r / 2 \qquad \textrm { i f } \sigma / 2 - \sigma ^ { 2 m - 1 } r / 2 \leq z \leq \sigma / 2 } \end{array} \right. , } \end{array}
A = \left[ \begin{array} { l l } { - \alpha ( \gamma _ { 2 } - \gamma _ { 1 } ) } & { - ( \gamma _ { 3 } - \gamma _ { 1 } ) } \\ { \gamma _ { 2 } - \gamma _ { 1 } } & { - \alpha ( \gamma _ { 3 } - \gamma _ { 1 } ) } \end{array} \right] , \quad \xi = \left[ \begin{array} { l } { \alpha ( ( \gamma _ { 2 } - \gamma _ { 1 } ) m _ { 2 } ^ { 2 } + ( \gamma _ { 3 } - \gamma _ { 1 } ) m _ { 3 } ^ { 2 } ) m _ { 2 } + ( \gamma _ { 3 } - \gamma _ { 1 } ) ( 1 - m _ { 1 } ) m _ { 3 } } \\ { \alpha ( ( \gamma _ { 2 } - \gamma _ { 1 } ) m _ { 2 } ^ { 2 } + ( \gamma _ { 3 } - \gamma _ { 1 } ) m _ { 3 } ^ { 2 } ) m _ { 3 } - ( \gamma _ { 2 } - \gamma _ { 1 } ) ( 1 - m _ { 1 } ) m _ { 2 } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { \| \mathcal P _ { \gamma } ^ { \perp } f ^ { ( s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma } ) _ { \xi } } ^ { 2 } + \| f \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma ; \varepsilon } ^ { - } ) _ { \xi } } ^ { 2 } } & { \lesssim \| \mathcal P _ { \gamma } ^ { \perp } g _ { \alpha } ^ { ( s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma } ) _ { \xi } } ^ { 2 } + \| g _ { \alpha } ^ { ( s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma ; \varepsilon } ^ { - } ) _ { \xi } } ^ { 2 } } \\ & { \quad + \eta \| \mathcal P _ { \gamma } f ^ { ( s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \mathcal H _ { \sigma } ) _ { \xi } } ^ { 2 } . } \end{array}
\mathbf { C } ^ { 2 } { \equiv } \{ ( p ( \mathrm { h } ) , p ( \mathrm { t } ) ) ^ { \mathrm { T } } ~ { | } ~ p ( \mathrm { h } ) , p ( \mathrm { t } ) { \ge } 0 ~ \& ~ p ( \mathrm { h } ) { + } p ( \mathrm { t } ) { = } 1 \}
\textrm { a r g m i n } _ { P , O } \sum _ { \boldsymbol { q } } - \log \left( p \left[ m \left( \boldsymbol { q } \right) \left| I \left( \boldsymbol { q } \right) \right. \right] \right) - \log \left( p \left[ I \left( \boldsymbol { q } \right) \right] \right) .
\begin{array} { r l } { \sum _ { j } K ( j | i ) \frac { u ( j , t ) } { u ( i , t ) } [ S ( j , t ) - S ( i , t ) ] } & { = - \frac { d S ( i , t ) } { d t } } \\ { \sum _ { j } K ( i | j ) \frac { v ( j , t ) } { v ( i , t ) } [ S ( i , t ) - S ( j , t ) ] } & { = - \frac { d S ( i , t ) } { d t } } \\ { \sum _ { j } K ( i | j ) \frac { u ( i , t ) } { u ( j , t ) } P ( j , t ) - \sum _ { j } K ( } & { j | i ) \frac { u ( j , t ) } { u ( i , t ) } P ( i , t ) } \\ & { = \frac { d P ( i , t ) } { d t } } \end{array}
U - U _ { T } = \frac { 3 U _ { T } ^ { 1 / 2 } } { 4 R ^ { 3 / 2 } } r ^ { 2 } = \frac { 3 U _ { T } ^ { 1 / 2 } } { 4 R ^ { 3 / 2 } } ( X ^ { 2 } + Y ^ { 2 } ) .
\forall ( s , i ) , ( s ^ { \prime } , i ^ { \prime } ) \in \Omega ( n ) , \quad \left( Q _ { \lambda , \gamma } ( n ) \right) _ { ( s , i ) , ( s ^ { \prime } , i ^ { \prime } ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { \begin{array} { r l } { - \lambda s i - \gamma i \; \; } & { { } \mathrm { ~ i ~ f ~ } ( s ^ { \prime } , i ^ { \prime } ) = ( s , i ) ; } \\ { \lambda s i \; \; } & { { } \mathrm { ~ i ~ f ~ } ( s ^ { \prime } , i ^ { \prime } ) = ( s - 1 , i + 1 ) ; } \\ { \gamma i \; \; } & { { } \mathrm { ~ i ~ f ~ } ( s ^ { \prime } , i ^ { \prime } ) = ( s , i - 1 ) ; } \\ { 0 \; \; } & { { } \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ . ~ } } \end{array} } \end{array} \right.
\left| t \right> = ( 1 - w _ { 1 } - w _ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } \left| 0 \right> + w _ { 1 } ^ { 1 / 2 } e ^ { i \phi _ { 1 } } \left| 1 \right> + w _ { 2 } ^ { 1 / 2 } e ^ { i \phi _ { 2 } } \left| 2 \right>
\mathrm { ~ e ~ r ~ f ~ } \left( \frac { \pm \sqrt { \rho \mathrm { ~ l ~ n ~ } ( t ) + 2 C \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } \left[ \kappa \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } ( \rho ) \right] \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } ( \rho ) } } { \sqrt { \rho } } \right) = \frac { \sqrt { \rho } \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } \left[ \frac { 2 C \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } [ \kappa \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } ( \rho ) ] \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } ( \rho ) } { \rho } - \frac { \kappa \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } ( \rho ) } { 2 } \right] a ( t ) } { \sqrt { \pi } \sqrt { \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } ( \rho ) } } + C _ { 1 }
\Delta T = \frac { L } { \beta c } \frac { \Delta m ^ { 2 } } { 2 p ^ { 2 } } \sim \frac { L } { c } \frac { \Delta m ^ { 2 } } { 2 p ^ { 2 } } , P I D p o w e r = \frac { \Delta T } { \sigma _ { t o t } } ,
\mathbb { A } ^ { R } = \frac { \sqrt { \lambda ^ { 2 } - 1 } } { 4 ( C - \lambda ^ { 3 } + \lambda ) } , \; \; \mathbb { B } ^ { R } = \frac { \sqrt { \lambda ^ { 2 } - 1 } ( \lambda ^ { 2 } + 1 ) } { 4 ( C + \lambda ^ { 3 } - \lambda - 2 C \lambda ^ { 2 } ) } , \; \; \mathbb { C } ^ { R } = \frac { ( \lambda ^ { 2 } - 1 ) ^ { 3 / 2 } } { 4 ( C + \lambda ^ { 3 } - \lambda - 2 C \lambda ^ { 2 } ) } ,
\delta [ \mathrm { C C S D T } ] = ( U _ { 3 } ^ { \mathrm { a d } } [ \mathrm { C C S D T } ] - U _ { 3 } ^ { \mathrm { a d } } [ \mathrm { C C S D } ] ) / U _ { 3 } ^ { \mathrm { a d } } [ \mathrm { C C S D } ] \times 1 0 0 \
\Psi [ \vec { \mathbb { A } } ( x ) + \vec { \mathbb { a } } ( x ) ] = \Psi [ \vec { \mathbb { A } } ( x ) ] + \int \vec { \mathbb { a } } : { \frac { \delta \Psi [ \vec { \mathbb { A } } ( x ) ] } { \delta \vec { \mathbb { A } } ( x ) } } \, d ^ { \, 3 } x
\begin{array} { r l r l } { u ^ { n - 1 } \frac { \d ^ { 3 } u } { \d y ^ { 3 } } } & { { } = y } & { } & { { } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad y \in ( 0 , y _ { \theta } ) , } \\ { \frac { \d u } { \d y } } & { { } = 0 } & { } & { { } \mathrm { ~ a ~ t ~ } \quad y = 0 , } \\ { ( u , \frac { \d u } { \d y } ) } & { { } = ( 0 , - \theta ) } & { } & { { } \mathrm { ~ a ~ t ~ } \quad y = y _ { \theta } , } \\ { \int _ { 0 } ^ { y _ { \theta } } u \, \d y } & { { } = 1 . } \end{array}
E \left( \exp \left( \left[ { \boldsymbol { v } } \right] _ { \times } \right) { \boldsymbol { R } } \right) \approx E \left( { \boldsymbol { R } } \right) + \left( { \boldsymbol { \omega } } \left( { \boldsymbol { R } } \right) \times { \boldsymbol { L } } \right) \cdot { \boldsymbol { v } }
\begin{array} { r l } { q _ { i + } } & { = \frac { 1 } { 2 } \Bigg ( ( x _ { i } ^ { 2 } + s _ { i } ^ { 2 } ) + \sqrt { ( x _ { i } ^ { 2 } + s _ { i } ^ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 \mu ( 2 \theta \mu E _ { i i } + \mu ) } \Bigg ) } \\ & { \leq \frac { 1 } { 2 } \Bigg ( ( x _ { i } ^ { 2 } + s _ { i } ^ { 2 } ) + ( x _ { i } ^ { 2 } + s _ { i } ^ { 2 } ) + 2 \mu \sqrt { ( 2 \theta E _ { i i } + 1 ) } \Bigg ) } \\ & { \leq \frac { 1 } { 2 } \Bigg ( ( x _ { i } ^ { 2 } + s _ { i } ^ { 2 } ) + ( x _ { i } ^ { 2 } + s _ { i } ^ { 2 } ) + 2 \mu \sqrt { 2 } \Bigg ) } \\ & { = ( x _ { i } ^ { 2 } + s _ { i } ^ { 2 } ) + \sqrt { 2 } \mu . } \end{array}
\hat { H } = \sum _ { i j } ^ { 2 L } h _ { i j } ^ { ( 1 ) } \, \hat { c } _ { i } ^ { \dagger } \hat { c } _ { j } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i j k l } ^ { 2 L } h _ { i j k l } ^ { ( 2 ) } \, \hat { c } _ { i } ^ { \dagger } \hat { c } _ { k } ^ { \dagger } \hat { c } _ { l } \hat { c } _ { j } .
\left( \begin{array} { c } { M _ { r } } \\ { M _ { \theta } } \\ { M _ { \phi } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c c } { \sin \theta \cos \phi } & { \sin \theta \sin \phi } & { \cos \theta } \\ { \cos \theta \cos \phi } & { \cos \theta \sin \phi } & { - \sin \theta } \\ { - \sin \phi } & { \cos \phi } & { 0 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { M _ { x } } \\ { M _ { y } } \\ { M _ { z } } \end{array} \right) \rightarrow \begin{array} { c } { M _ { r } = M _ { S } \cos \theta } \\ { M _ { \theta } = - M _ { S } \sin \theta } \end{array}
E = \mu \int d \sigma \sqrt { \frac { e ^ { 2 \gamma } ( - \chi ^ { 2 } ) } { V } \left( { \rho ^ { \prime } } ^ { 2 } + { z ^ { \prime } } ^ { 2 } \right) + \rho ^ { 2 } \varphi ^ { \prime \; 2 } } .
\begin{array} { r l } { C } & { { } ( \tau , \tau ^ { \prime } ) = } \\ { = } & { { } \left\{ \begin{array} { l l } { D \frac { ( ( 1 - \alpha ) \gamma \tau ^ { \prime } ) ^ { - \frac { \alpha } { \alpha - 1 } } ( ( 1 - \alpha ) \gamma \tau ) ^ { \frac { - 2 \alpha + \beta + 1 } { 1 - \alpha } } } { \gamma ( 1 - 3 \alpha + \beta ) } } & { \ \mathrm { f o r } \ \tau < \tau ^ { \prime } } \\ { D \frac { ( ( 1 - \alpha ) \gamma \tau ) ^ { - \frac { \alpha } { \alpha - 1 } } ( ( 1 - \alpha ) \gamma \tau ^ { \prime } ) ^ { \frac { - 2 \alpha + \beta + 1 } { 1 - \alpha } } } { \gamma ( 1 - 3 \alpha + \beta ) } } & { \ \mathrm { f o r } \ \tau > \tau ^ { \prime } } \\ { \sigma _ { L } ^ { 2 } ( \tau ) } & { \ \mathrm { f o r } \ \tau = \tau ^ { \prime } \ . } \end{array} \right. } \end{array}
\left[ { \frac { d ^ { 2 } } { d r ^ { 2 } } } + { \frac { 2 } { r } } { \frac { d } { d r } } - { \frac { ( l ( l + 1 ) + 2 ) } { r ^ { 2 } } } \right] b _ { l } + { \frac { 2 l ( l + 1 ) } { r ^ { 3 } } } c _ { l } = M ^ { 2 } b _ { l } ,
\rho _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ( \textbf { x } , t ) = \frac { 1 } { 1 + \hat { u } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ( \mathbf { x } , t ) } ( 2 \rho _ { \bot } ( \textbf { x } , t ) + \rho _ { \parallel } ( \textbf { x } , t ) ) ,
{ \begin{array} { r l } { { \hat { \mathcal { P } } } _ { 1 } } & { = i \left( { \frac { \cos \gamma } { \sin \beta } } { \frac { \partial } { \partial \alpha } } - \sin \gamma { \frac { \partial } { \partial \beta } } - \cot \beta \cos \gamma { \frac { \partial } { \partial \gamma } } \right) } \\ { { \hat { \mathcal { P } } } _ { 2 } } & { = i \left( - { \frac { \sin \gamma } { \sin \beta } } { \frac { \partial } { \partial \alpha } } - \cos \gamma { \frac { \partial } { \partial \beta } } + \cot \beta \sin \gamma { \frac { \partial } { \partial \gamma } } \right) } \\ { { \hat { \mathcal { P } } } _ { 3 } } & { = - i { \frac { \partial } { \partial \gamma } } , } \end{array} }
{ \cal L } _ { \mathrm { e f f } } ^ { \Delta S = 1 , 2 } \; = \; - \frac { 1 } { \cal Z } \int { \cal D } \psi { \cal D } \psi ^ { \dagger } { \cal H } _ { \mathrm { e f f } } ^ { \Delta S = 1 , 2 } \exp \left[ \int d ^ { 4 } x \psi ^ { \dagger } D \psi \right] .
w ( \left| \boldsymbol { r } _ { i j } \right| ) = \frac { e ^ { - { \left( \frac { \left| \boldsymbol { r } _ { i j } \right| } { r _ { m } } \right) } ^ { 2 } } - e ^ { - 1 } } { 1 - e ^ { - 1 } } ,
\begin{array} { c } { { \alpha = \left( \begin{array} { c c } { { \cos \left( \theta \right) } } & { { U \sin \left( \theta \right) } } \\ { { - U \sin \left( \theta \right) } } & { { \cos \left( \theta \right) } } \end{array} \right) , } } \\ { { \beta = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { V \sin \left( \theta \right) } } \\ { { V \sin \left( \theta \right) } } & { { 0 } } \end{array} \right) , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { \xi } } & { = - \frac { \partial \phi } { \partial \mathbf { n } } } \\ { E _ { \eta } } & { = - \frac { \partial \phi } { \partial \eta } = - \frac { \phi _ { 2 } - \phi _ { 1 } } { d _ { 1 2 } } } \\ { E _ { \tau } } & { = - \frac { \partial \phi } { \partial \tau } = - \frac { \phi _ { 3 } - \phi _ { 1 } } { d _ { 1 3 } \sin ( \alpha ) } + \frac { \phi _ { 2 } - \phi _ { 1 } } { d _ { 1 2 } \tan ( \alpha ) } } \end{array}
\begin{array} { r } { S _ { * } S _ { h } ( t _ { 0 } , t _ { * } ) + \int _ { t _ { * } } ^ { t _ { 0 } } d t ^ { \prime } D ^ { * } N _ { p r e } S _ { h } ( t _ { 0 } , t ^ { \prime } ) = S _ { c } \, . } \end{array}
\alpha _ { f _ { 1 } } ^ { \prime } \approx \left( \frac { \rho _ { c } } { R _ { \mathrm { c o n f } } } \right) ^ { 2 } \alpha _ { P } ^ { \prime } \approx 0 . 0 2 8 \mathrm { ~ G e V } ^ { - 2 } .
\begin{array} { r l } { L ( t ) } & { : = - \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \downarrow 0 } \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } \left( \frac { \frac { \sigma ^ { 2 } } { 4 } - a } { \sqrt { X ( s ) + \varepsilon } } - \frac { \sigma ^ { 2 } } { 4 } \frac { \varepsilon } { ( X ( s ) + \varepsilon ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \right) d s } \\ & { = - \frac { \sigma ^ { 2 } } { 8 } \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \downarrow 0 } \int _ { 0 } ^ { t } \left( \frac { 1 - k } { \sqrt { X ( s ) + \varepsilon } } - \frac { \varepsilon } { \left( X ( s ) + \varepsilon \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \right) d s . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Vert \mathcal { C } _ { 2 } \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } } } & { \lesssim \left\Vert \nabla _ { x } \frac { \varrho } { 1 - \rho _ { f } } \right\Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } } \Vert j _ { f } - \rho _ { f } u \Vert _ { \mathrm { H } ^ { m } } + \left\Vert \frac { \varrho } { 1 - \rho _ { f } } \right\Vert _ { \mathrm { H } ^ { m } } \Vert \mathrm { d i v } _ { x } ( j _ { f } - \rho _ { f } u ) \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } } = \mathcal { C } _ { 2 , 1 } + \mathcal { C } _ { 2 , 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 \stackrel { ! } { = } \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 } \frac { E \left[ G + \varepsilon \delta G \right] - E \left[ G \right] } { \varepsilon } } & { { } = 2 \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } \omega \, \left( \left| H \left( \omega \right) \right| ^ { 2 } S _ { x , x } \left( \omega \right) + S _ { \xi , \xi } \left( \omega \right) \right) \times } \end{array}
W = n \left( \ln \frac { \lambda n } { 1 6 } - 1 + \frac { d } { 2 } \left( \ln \frac { \varepsilon } { d \pi } + 1 \right) + \varepsilon \frac { ( 3 d - 2 6 ) } { 1 2 } - \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { 1 4 4 d } ( 9 d ^ { 2 } - 5 5 6 d + 2 6 0 + 4 8 \pi ^ { 2 } ( d - 1 ) ) \right)
\begin{array} { r l r } { \frac { \vec { v } _ { 1 } \cdot \vec { v } _ { 2 } } { v _ { 1 } v _ { 2 } } } & { { } = } & { \cos \theta _ { 1 } \cos \theta _ { 2 } + \sin \theta _ { 1 } \sin \theta _ { 2 } \cos \phi _ { 2 } \quad , } \\ { \cos \theta _ { 1 , 2 } } & { { } = } & { \frac { v _ { \parallel 1 , 2 } } { v _ { 1 , 2 } } \quad , } \\ { v _ { 1 , 2 } } & { { } = } & { \sqrt { v _ { \parallel 1 , 2 } ^ { 2 } + v _ { \perp 1 , 2 } ^ { 2 } } \quad , } \end{array}
\mathbf { d x } = [ \mathbf { f } ( \mathbf { x } , t ) - \mathbf { g } ^ { 2 } ( t ) \nabla _ { \mathbf { x } ^ { ( t ) } } \log { \mathrm { ~ p ~ } ( \mathbf { x } ^ { ( t ) } ) } ] \mathrm { ~ d ~ t ~ } + \mathbf { g } ( t ) \mathbf { d w } .
\begin{array} { r l } { p _ { \mathrm { ~ s ~ e ~ l ~ e ~ c ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } } ( \mathbf { z } | \mathbf { x } ) } & { { } = \left( \prod _ { i ; z _ { i } = 1 } \exp ( - \beta U _ { \mathrm { ~ f ~ b ~ } } ( r _ { c , i } ) ) \right) \times \left( \prod _ { i ; z _ { i } = 0 } ( 1 - \exp ( - \beta U _ { \mathrm { ~ f ~ b ~ } } ( r _ { c , i } ) ) ) \right) } \\ { U _ { \mathrm { ~ s ~ e ~ l ~ e ~ c ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } } ( \mathbf { x } ; \mathbf { z } ) } & { { } = \left( \sum _ { i ; z _ { i } = 1 } U _ { \mathrm { ~ f ~ b ~ } } ( r _ { c , i } ) \right) + \left( - \beta ^ { - 1 } \sum _ { i ; z _ { i } = 0 } \log \left( 1 - \exp \left( - \beta U _ { \mathrm { ~ f ~ b ~ } } ( r _ { c , i } ) \right) \right) \right) } \end{array}
{ \left( \begin{array} { l l l l } { \gamma } & { v _ { 1 } \gamma } & { 0 } & { 0 } \\ { v _ { 1 } \gamma } & { \gamma } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } .
\begin{array} { r l } { F _ { \mathrm { H a l l } } = } & { 2 \mu _ { 0 } \alpha _ { 0 } \int _ { - ( l - z _ { 0 } ) } ^ { z _ { 0 } } \int _ { 0 } ^ { r _ { 2 } } \theta ( r , z ) \Big [ E _ { z } ( r , z ) \frac { \partial H _ { 0 , z } ( r , z ) } { \partial z } } \\ & { \quad + E _ { r } ( r , z ) \frac { \partial H _ { 0 , z } ( r , z ) } { \partial r } \Big ] r d r d z , } \end{array}
X _ { C P } = s _ { 1 } ^ { 2 } c _ { 1 } s _ { 2 } c _ { 2 } s _ { 3 } c _ { 3 } \frac { ( 1 + c _ { 1 } + c _ { 2 } + c _ { 3 } ) \sqrt { s _ { 1 } ^ { 2 } + s _ { 2 } ^ { 2 } + s _ { 3 } ^ { 2 } - 2 ( 1 - c _ { 1 } c _ { 2 } c _ { 3 } ) } } { ( 1 + c _ { 1 } ) ( 1 + c _ { 2 } ) ( 1 + c _ { 3 } ) }
{ \frac { d F } { d t } } = \sum _ { i } { \frac { \partial F ( T , V , N ) } { \partial N _ { i } } } { \frac { d N _ { i } } { d t } } = \sum _ { i } \mu _ { i } { \frac { d N _ { i } } { d t } } = - V R T \sum _ { r } ( \ln w _ { r } ^ { + } - \ln w _ { r } ^ { - } ) ( w _ { r } ^ { + } - w _ { r } ^ { - } ) \leq 0
\Sigma = - 3 g ^ { 2 } C _ { 2 } ( G ) q _ { m } q _ { n } \Delta ^ { - 1 } ( q ) \int \frac { d ^ { 4 } s } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \frac { ( \delta _ { m n } s ^ { 2 } - s _ { m } s _ { n } ) } { s ^ { 2 } ( s ^ { 2 } + s _ { 0 } ^ { 2 } ) ( s ^ { 2 } + 2 s q + q ^ { 2 } ) } .
\begin{array} { r } { f _ { Z _ { i } } ( Z ) = \frac { w ^ { 2 } } { 4 \sigma _ { s } ^ { 2 } } \cdot \frac { 1 } { Z } \bigg ( \frac { Z } { A _ { 0 } } \bigg ) ^ { \frac { w ^ { 2 } } { 4 \sigma _ { s } ^ { 2 } } } e ^ { - \frac { s _ { i } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { s } ^ { 2 } } } I _ { 0 } \left( \frac { s _ { i } } { \sigma _ { s } ^ { 2 } } \sqrt { - \frac { w ^ { 2 } } { 2 } \ln \frac { Z } { A _ { 0 } } } \right) } \\ { 0 \leq { Z } \leq { A _ { 0 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi _ { \xi , w } ( \zeta ) } & { = w \cdot \zeta + \frac { ( \xi _ { 1 } - \zeta _ { 1 } ) ^ { 2 } } { 2 ( \xi _ { 2 } - \zeta _ { 2 } ) } + \frac { \zeta _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 \zeta _ { 2 } } } \\ & { \quad + ( - 1 ) ^ { m + 1 } \frac { { \phi } ^ { ( m ) } ( 0 ) } { m ! } \delta ^ { m } \biggl ( \frac { ( \xi _ { 1 } - \zeta _ { 1 } ) ^ { m + 2 } } { t _ { l } ^ { m } ( \xi _ { 2 } - \zeta _ { 2 } ) ^ { m + 1 } } + \frac { \zeta _ { 1 } ^ { m + 2 } } { t _ { l } ^ { m } \zeta _ { 2 } ^ { m + 1 } } \biggl ) + R ( t _ { l } , \xi - \zeta , \zeta , \delta ) , } \end{array}
\frac { d N } { d t } = \frac { N _ { 0 } } { R + 1 } \left[ R c _ { 0 } \frac { 1 } { \tau _ { 0 } } e ^ { - \frac { t } { \tau _ { 0 } } } + c _ { h } \frac { 1 } { \tau _ { h } } e ^ { - \frac { t } { \tau _ { h } } } + c _ { c } \frac { 1 } { \tau _ { c } } e ^ { - \frac { t } { \tau _ { c } } } \right]
j _ { \mu } = p _ { \mu } - e A _ { \mu } + k _ { \mu } \left[ \frac { e ( A p ) } { ( k p ) } - \frac { e ^ { 2 } A ^ { 2 } } { 2 ( k p ) } - \frac 1 2 W ( k p ) ( A ^ { \prime } ) ^ { 2 } \right] .
\psi \rightarrow \psi + \sum _ { | n | = m } ( - \partial ) ^ { N - 2 } \frac { a _ { \vec { n } } ( \psi ) } { M ^ { | n | } } ( \partial \psi ) ^ { n _ { 1 } } . . . ( \partial ^ { N } \psi ) ^ { n _ { N } - 1 } .
\hat { C } \ G _ { r e t } ( X , Y ; { \bf v } , { \bf v ^ { \prime } } ) = \int { \frac { d \Omega _ { \bf v " } } { 4 \pi } } \ C ( { \bf v } , { \bf v " } ) \ G _ { r e t } ( X , Y ; { \bf v " } , { \bf v ^ { \prime } } )
\Lambda R \Lambda = \left[ \begin{array} { l l } { \lambda _ { 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { \lambda _ { 1 } ^ { - 1 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { r _ { 1 1 } } & { r _ { 1 2 } } \\ { r _ { 2 1 } } & { r _ { 2 2 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { \lambda _ { 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { \lambda _ { 1 } ^ { - 1 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { \lambda _ { 1 } ^ { 2 } r _ { 1 1 } } & { r _ { 1 2 } } \\ { r _ { 2 1 } } & { \lambda _ { 1 } ^ { - 2 } r _ { 2 2 } } \end{array} \right] .
U _ { 1 } P ^ { i } U _ { 1 } ^ { \dagger } = \int d ^ { 3 } x \left( - \partial _ { - } A _ { j } \partial _ { i } A _ { j } - i \sqrt { 2 } \psi _ { + } ^ { \dagger } \partial _ { i } \psi _ { + } - \frac { 1 } { 2 L } \pi \partial _ { i } a _ { - } \right) ,
0 . 7 7 7 7 \ldots \; = \; { \frac { 7 } { 1 0 } } \, + \, { \frac { 7 } { 1 0 0 } } \, + \, { \frac { 7 } { 1 0 0 0 } } \, + \, { \frac { 7 } { 1 0 0 0 0 } } \, + \, \cdots .
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ D ~ B ~ I ~ } } & { { } = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \operatorname* { m a x } _ { i \neq j } \left( \frac { s _ { i } + s _ { j } } { r _ { i j } } \right) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { r } & { : } & { { \frac { \partial u _ { r } } { \partial t } } + u _ { r } { \frac { \partial u _ { r } } { \partial r } } + { \frac { u _ { \phi } } { r } } { \frac { \partial u _ { r } } { \partial \phi } } + u _ { z } { \frac { \partial u _ { r } } { \partial z } } - { \frac { u _ { \phi } ^ { 2 } } { r } } } & { = - { \frac { 1 } { \rho } } { \frac { \partial P } { \partial r } } + { \frac { 1 } { r \rho } } { \frac { \partial \left( r \tau _ { r r } \right) } { \partial r } } + { \frac { 1 } { r \rho } } { \frac { \partial \tau _ { \phi r } } { \partial \phi } } + { \frac { 1 } { \rho } } { \frac { \partial \tau _ { z r } } { \partial z } } - { \frac { \tau _ { \phi \phi } } { r \rho } } + f _ { r } } \\ { \phi } & { : } & { { \frac { \partial u _ { \phi } } { \partial t } } + u _ { r } { \frac { \partial u _ { \phi } } { \partial r } } + { \frac { u _ { \phi } } { r } } { \frac { \partial u _ { \phi } } { \partial \phi } } + u _ { z } { \frac { \partial u _ { \phi } } { \partial z } } + { \frac { u _ { r } u _ { \phi } } { r } } } & { = - { \frac { 1 } { r \rho } } { \frac { \partial P } { \partial \phi } } + { \frac { 1 } { r \rho } } { \frac { \partial \tau _ { \phi \phi } } { \partial \phi } } + { \frac { 1 } { r ^ { 2 } \rho } } { \frac { \partial \left( r ^ { 2 } \tau _ { r \phi } \right) } { \partial r } } + { \frac { 1 } { \rho } } { \frac { \partial \tau _ { z \phi } } { \partial z } } + f _ { \phi } } \\ { z } & { : } & { { \frac { \partial u _ { z } } { \partial t } } + u _ { r } { \frac { \partial u _ { z } } { \partial r } } + { \frac { u _ { \phi } } { r } } { \frac { \partial u _ { z } } { \partial \phi } } + u _ { z } { \frac { \partial u _ { z } } { \partial z } } } & { = - { \frac { 1 } { \rho } } { \frac { \partial P } { \partial z } } + { \frac { 1 } { \rho } } { \frac { \partial \tau _ { z z } } { \partial z } } + { \frac { 1 } { r \rho } } { \frac { \partial \tau _ { \phi z } } { \partial \phi } } + { \frac { 1 } { r \rho } } { \frac { \partial \left( r \tau _ { r z } \right) } { \partial r } } + f _ { z } } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { { \mathbb { E } } \{ ( \zeta _ { 1 } ^ { - 1 } W _ { i , j } ) ^ { 2 } \} } & { = } & { \zeta _ { 1 } ^ { - 2 } { \mathbb { E } } \{ \| \Gamma U _ { i } \| ^ { - 2 } ( \Gamma _ { j } U _ { i } ) ^ { 2 } { \mathbb { I } } ( \mathcal { A } _ { 1 i } ) \} } \\ & { } & { + \zeta _ { 1 } ^ { - 2 } { \mathbb { E } } \{ \| \Gamma U _ { i } \| ^ { - 4 } ( \Gamma _ { j } U _ { i } ) ^ { 4 } { \mathbb { I } } ( \mathcal { A } _ { 1 i } ^ { c } ) \} } \\ & { \leq } & { \zeta _ { 1 } ^ { - 2 } \{ ( 1 + \epsilon ) \mathrm { t r } ( \Omega ) \} ^ { - 1 } { \mathbb { E } } \{ ( \Gamma _ { j } U _ { i } ) ^ { 2 } \} + \zeta _ { 1 } ^ { - 2 } { \mathbb { E } } \{ { \mathbb { I } } ( \mathcal { A } _ { 1 i } ^ { c } ) \} } \\ & { \leq } & { \zeta _ { 1 } ^ { - 2 } \omega _ { j j } \{ ( 1 + \epsilon ) \mathrm { t r } ( \Omega ) \} ^ { - 1 } + \zeta _ { 1 } ^ { - 2 } c _ { 1 } \exp \{ - c _ { 2 } p ^ { \delta / ( 4 + 4 \alpha ) } \} } \\ & { = } & { \zeta _ { 1 } ^ { - 2 } \omega _ { j j } \{ ( 1 + \epsilon ) \mathrm { t r } ( \Omega ) \} ^ { - 1 } \{ 1 + o ( 1 ) \} \, . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \sum _ { n = 1 } ^ { N } { \frac { a _ { n } } { n ^ { s } } } } & { = A ( N ) N ^ { - s } + \sum _ { n = 1 } ^ { N - 1 } A ( n ) ( n ^ { - s } - ( n + 1 ) ^ { - s } ) } \\ & { = ( A ( N ) - L ) N ^ { - s } + \sum _ { n = 1 } ^ { N - 1 } ( A ( n ) - L ) ( n ^ { - s } - ( n + 1 ) ^ { - s } ) } \\ & { = { \mathcal { O } } ( N ^ { \sigma + \varepsilon - s } ) + \sum _ { n = 1 } ^ { N - 1 } { \mathcal { O } } ( n ^ { \sigma + \varepsilon - s - 1 } ) } \end{array} }
\sum _ { s = 1 } ^ { S } \frac { p ( x \mid \theta _ { s } ) } { p ( x \mid \theta _ { t } ) } = C + \sum _ { s ( \ne t ) } \frac { L ( \theta _ { s } \mid x ) } { L ( \theta _ { t } \mid x ) } \le C + ( S - C ) \exp \big [ \frac { 1 } { 2 } \Delta \chi ^ { 2 } ( \theta _ { t } \mid x ) \big ]
{ \cal L } = \mu _ { q } [ \dot { c } \dot { c } ^ { * } + \frac { 1 } { 4 } ( c ^ { * } \dot { c } - c \dot { c } ^ { * } ) ^ { 2 } ] - \frac { i q } { 2 } ( c ^ { * } \dot { c } - c \dot { c } ^ { * } )
| \psi _ { \textrm { t o t } } \rangle \simeq | \textrm { g } _ { 1 } , 0 \rangle + \alpha | \textrm { g } _ { 2 } , 0 \rangle + \beta | \textrm { e } , 0 \rangle + \delta | \textrm { g } _ { 1 } , 1 \rangle