harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
G \left[ \, x - x _ { 0 } \ ; M _ { 0 } \, \right] = { \frac { i } { 2 M _ { 0 } } } \, \int _ { 0 } ^ { \infty } d s \exp \left\{ \, i \, { \frac { M _ { 0 } } { 2 } } \, s \, ( p + 1 ) \, \right\} \, K _ { c m } \left( \, x - x _ { 0 } \ ; s \, \right) \, K \left( \, \sigma \ ; s \, \right) \ .
\begin{array} { r l r } { { \partial _ { t } f } + V ( p ) { \partial _ { q } f } } & { { } = } & { 0 , \, \, \, \, \mathrm { f o r } \, \, \, \Delta t / 2 } \\ { { \partial _ { t } f } + U ( q ) { \partial _ { p } f } } & { { } = } & { 0 , \, \, \, \, \mathrm { f o r } \, \, \, \Delta t / 2 } \\ { { \partial _ { t } f } - \mathcal { L } ( q , p ) } & { { } = } & { 0 , \, \, \, \, \mathrm { f o r } \, \, \Delta t } \\ { { \partial _ { t } f } + U ( q ) { \partial _ { p } f } } & { { } = } & { 0 , \, \, \, \, \mathrm { f o r } \, \, \, \Delta t / 2 } \\ { { \partial _ { t } f } + V ( p ) { \partial _ { q } f } } & { { } = } & { 0 , \, \, \, \, \mathrm { f o r } \, \, \, \Delta t / 2 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { \tau \to \infty } \psi ( \tau ) } & { { } = \operatorname* { l i m } _ { \tau \to \infty } \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } [ - ( \hat { H } _ { 0 } - E _ { T } ) \tau ] \psi _ { T } \propto \psi _ { 0 } ^ { ( 0 ) } . } \end{array}
\Theta ( X , X ^ { \prime } , h ) = \left[ { \begin{array} { c c } { \sum _ { i } \lambda _ { i } ^ { 0 } [ \hat { X } ] _ { i } [ \hat { X ^ { \prime } } ] _ { i } } & { \sum _ { i } \lambda _ { i } [ \hat { X } ] _ { i } [ \hat { X ^ { \prime } } ] _ { i } } \\ { \sum _ { i } \lambda _ { i } [ \hat { X } ] _ { i } [ \hat { X ^ { \prime } } ] _ { i } } & { \sum _ { i } \lambda _ { i } ^ { 2 } [ \hat { X } ] _ { i } [ \hat { X ^ { \prime } } ] _ { i } } \end{array} } \right]
\begin{array} { r } { [ \mathbb { Y } 1 1 _ { i j } \delta _ { r } ^ { 2 } + \mathbb { Y } 1 2 _ { i j } \delta _ { \theta } ^ { 2 } + \mathbb { Y } 1 3 _ { i j } \delta _ { r } + \mathbb { Y } 1 4 _ { i j } \delta _ { \theta } + \mathbb { Y } 1 5 _ { i j } \delta _ { r } \delta _ { \theta } } \\ { + \mathbb { Y } 1 6 _ { i j } \delta _ { r } \delta _ { \theta } ^ { 2 } + \mathbb { Y } 1 7 _ { i j } \delta _ { r } ^ { 2 } \delta _ { \theta } + \mathbb { Y } 1 8 _ { i j } \delta _ { r } ^ { 2 } \delta _ { \theta } ^ { 2 } ] \Omega _ { i j } ^ { n + 1 } } \\ { = [ \mathbb { Y } 2 1 _ { i j } \delta _ { r } ^ { 2 } + \mathbb { Y } 2 2 _ { i j } \delta _ { \theta } ^ { 2 } + \mathbb { Y } 2 3 _ { i j } \delta _ { r } + \mathbb { Y } 2 4 _ { i j } \delta _ { \theta } + \mathbb { Y } 2 5 _ { i j } \delta _ { r } \delta _ { \theta } } \\ { + \mathbb { Y } 2 6 _ { i j } \delta _ { r } \delta _ { \theta } ^ { 2 } + \mathbb { Y } 2 7 _ { i j } \delta _ { r } ^ { 2 } \delta _ { \theta } + \mathbb { Y } 2 8 _ { i j } \delta _ { r } ^ { 2 } \delta _ { \theta } ^ { 2 } ] \Omega _ { i j } ^ { n } , } \end{array}
{ \bf q } _ { 0 } ( \boldsymbol { \gamma } ) = { \bf q } ( \bar { \boldsymbol { \gamma } } _ { 0 } ) \qquad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \qquad { \bf p } _ { 0 } ( \boldsymbol { \gamma } ) = { \bf p } ( \bar { \boldsymbol { \gamma } } _ { 0 } ) \, .
{ } _ { 2 } F _ { 1 } ( a , b ; 2 b ; z ) = ( 1 - z ) ^ { - { \frac { a } { 2 } } } { } _ { 2 } F _ { 1 } \left( { \frac { 1 } { 2 } } a , b - { \frac { 1 } { 2 } } a ; b + { \frac { 1 } { 2 } } ; { \frac { z ^ { 2 } } { 4 z - 4 } } \right)
\begin{array} { r l r } { \psi ( \tau _ { 2 } ) } & { { } = } & { \delta _ { \psi } = : \ \psi _ { 0 2 } \mathrm { ~ \normalsize ~ a ~ n ~ d ~ } } \\ { \theta ( \tau _ { 2 } ) } & { { } = } & { \left( \delta _ { \theta } - \frac { \eta } { \Delta } \right) e ^ { - \Delta \nu _ { 2 } } + \frac { \eta } { \Delta } = : \theta _ { 0 2 } . } \end{array}
\gamma = \sum _ { p = 0 } ^ { D } \sum _ { i _ { p } = 1 } ^ { N _ { p } } \gamma ( c _ { p } ^ { i _ { p } } ) c _ { p } ^ { i _ { p } } \equiv \gamma _ { i _ { p } } ^ { ( p ) } \: c _ { p } ^ { i _ { p } } ,
\begin{array} { r l r } { H ( x , p ) } & { = } & { \frac { 1 } { 2 \rho ^ { 2 } } \left[ - \left( \rho ^ { 2 } + 2 M _ { H } r \right) p _ { t } ^ { 2 } + 4 M _ { H } r p _ { t } p _ { r } + 2 a _ { H } p _ { r } p _ { \varphi } + \Delta p _ { r } ^ { 2 } + p _ { \vartheta } ^ { 2 } + \frac { p _ { \varphi } ^ { 2 } } { \sin ^ { 2 } \vartheta } \right] . } \end{array}
A = - \frac { 1 } { \mathrm { V o l } ( T ^ { k } ) } \, \frac { v ^ { 4 } } { T _ { A } ^ { 3 } } \, \frac { \pi ^ { \frac { k - 1 } { 2 } } \Gamma \left( \frac { 7 - k } { 2 } \right) } { 4 R ^ { 7 - k } } .
S _ { x } ( \omega ) = \frac { q ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } \omega ^ { 2 } } { ( { \tau _ { \mathrm { r } } } ^ { - 2 } + \omega ^ { 2 } ) ( { \tau _ { \mathrm { m } } } ^ { - 2 } + \omega ^ { 2 } ) } S _ { \ell } ( \omega ) + \frac { \alpha ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } \langle \eta _ { m } ^ { 2 } \rangle } { ( { \tau _ { \mathrm { r } } } ^ { - 2 } + \omega ^ { 2 } ) ( { \tau _ { \mathrm { m } } } ^ { - 2 } + \omega ^ { 2 } ) } + \frac { \langle \eta _ { m } ^ { 2 } \rangle } { { \tau _ { \mathrm { r } } } ^ { - 2 } + \omega ^ { 2 } } .
g = \displaystyle \prod _ { j = 1 } ^ { n } g _ { j } ^ { ( 1 ) } = \displaystyle \prod _ { j = 1 } ^ { n } \Biggl ( { \frac { a _ { 0 } ^ { ( j ) } + e ^ { - { k _ { j } } ( r + i t ) } } { \bar { a } _ { 0 } ^ { ( j ) } + e ^ { { k _ { j } } ( r + i t ) } } } \Biggr )
\begin{array} { r l } { Z _ { q } ^ { \mathcal { S } , \ast } ( g _ { k _ { 1 } } g _ { k _ { 2 } } ) } & { = Z _ { q } ( g _ { k _ { 1 } } g _ { k _ { 2 } } + ( - 1 ) ^ { k _ { 2 } } g _ { k _ { 1 } } \ast _ { \hbar } g _ { k _ { 2 } } - g _ { k _ { 2 } } g _ { k _ { 1 } } ) } \\ & { \equiv Z _ { q } ( g _ { k _ { 1 } } g _ { k _ { 2 } } - g _ { k _ { 2 } } g _ { k _ { 1 } } ) } \\ & { \equiv ( - 1 ) ^ { k _ { 2 } } \binom { k _ { 1 } + k _ { 2 } } { k _ { 1 } } Z _ { q } ( g _ { k _ { 1 } + k _ { 2 } } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \partial _ { x } ^ { 2 } + \frac { \omega ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \right) G _ { B } ( x , x ^ { \prime } , \omega ) = \frac { \omega ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \delta ( x - x ^ { \prime } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \cal Z } } & { = } & { \operatorname* { d e t } ^ { - 1 } A \int { \cal D } [ d , d ^ { * } ] \exp ( - \sum _ { \alpha } d _ { \alpha } ^ { * } A _ { \alpha } d _ { \alpha } ) \times { \cal Z } _ { i m p } \int { \cal D } [ c , c ^ { * } ; f , f ^ { * } ] e ^ { - \sum _ { i } S _ { i m p } ^ { i } [ c , c ^ { * } ; f , f ^ { * } ] } \times } \\ & { } & { \times [ 1 + \sum _ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } } d _ { \alpha _ { 1 } } ^ { * } \langle c _ { \alpha _ { 1 } } c _ { \alpha _ { 2 } } ^ { * } \rangle _ { i m p } d _ { \alpha _ { 2 } } + \frac { 1 } { 4 } \sum _ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } \alpha _ { 3 } \alpha _ { 4 } } \langle c _ { \alpha _ { 1 } } c _ { \alpha _ { 2 } } ^ { * } c _ { \alpha _ { 3 } } c _ { \alpha _ { 4 } } ^ { * } \rangle _ { i m p } d _ { \alpha _ { 1 } } ^ { * } d _ { \alpha _ { 2 } } d _ { \alpha _ { 3 } } ^ { * } d _ { \alpha _ { 4 } } + \mathrm { h i g h e r ~ o r d e r s } ] } \\ & { = } & { { \cal Z } _ { i m p } \operatorname* { d e t } ^ { - 1 } A \int { \cal D } [ d , d ^ { * } ] \exp ( - \sum _ { \alpha } d _ { \alpha } ^ { * } ( A _ { \alpha } + g _ { \alpha } ) d _ { \alpha } - V [ d , d ^ { * } ] ) , } \end{array}
( M _ { K ^ { 0 } } ^ { 2 } - M _ { K ^ { + } } ^ { 2 } ) _ { Q C D } = M _ { K ^ { 0 } } ^ { 2 } - M _ { K ^ { + } } ^ { 2 } + M _ { \pi ^ { + } } ^ { 2 } - M _ { \pi ^ { 0 } } ^ { 2 } + \delta ( M _ { \pi ^ { + } } ^ { 2 } - M _ { \pi ^ { 0 } } ^ { 2 } )
\begin{array} { l l l } { M _ { m d } ^ { \varepsilon e c } \mapsto - M _ { m d } ^ { \varepsilon e c } , \enspace } & { M _ { e d } ^ { \varepsilon m c } \mapsto - M _ { e d } ^ { \varepsilon m c } , \enspace } & { M _ { m d } ^ { e \varepsilon c } \mapsto - M _ { m d } ^ { e \varepsilon c } , \enspace } \\ { M _ { \varepsilon d } ^ { e m c } \mapsto - M _ { \varepsilon d } ^ { e m c } , \enspace } & { M _ { e d } ^ { m \varepsilon c } \mapsto - M _ { e d } ^ { m \varepsilon c } , \enspace } & { M _ { \varepsilon d } ^ { m e c } \mapsto - M _ { \varepsilon d } ^ { m e c } , } \end{array}
G _ { \mathrm { s e } } = \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \frac { \sigma ^ { S } w l } { \lambda } \mathrm { c s c h } \left( \frac { t } { \lambda } \right) } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } { R _ { \mathrm { p e } } ^ { ( 1 , 2 ) } } & { = R _ { \mathrm { a s y } } ^ { ( 1 , 2 ) } ( \tau _ { \mathrm { L B } } , \bar { n } _ { \mathrm { U B } } , \bar { n } _ { B } ^ { \mathrm { U B } } ) , } \\ { R _ { \mathrm { p e } } ^ { ( 3 ) } } & { = R _ { \mathrm { a s y } } ^ { ( 3 ) } ( \tau _ { \mathrm { L B } } , \bar { n } _ { \mathrm { U B } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \Psi | \hat { h } _ { i } | \Psi \rangle } & { { } = \operatorname { T r } \left[ \mathcal { M } _ { 1 , i _ { 0 } } \circ \dotsb \circ \mathcal { M } _ { \tau - 1 , i _ { \tau - 2 } } \circ \mathcal { M } _ { \tau , i _ { \tau - 1 } } \circ \dotsb \circ \mathcal { M } _ { T , i _ { T - 1 } } ( { \hat { \rho } } ^ { ( T ) } ) \, \cdot \, \hat { h } \, \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha ^ { j } = } & { \widetilde { \alpha } ^ { j } ( \mathbf { a } _ { j } ) } \\ { = } & { \overline { { \alpha } } ^ { j } \left( 1 - \frac { 1 } { 2 ^ { n _ { \alpha _ { j } } } } \right) a _ { 0 } ^ { j } + \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { \alpha _ { j } } } \frac { \overline { { \alpha } } ^ { j } } { 2 ^ { i } } a _ { i } ^ { j } } \\ & { \quad \mathbf { a } ^ { j } \in \{ 0 , 1 \} ^ { n _ { \alpha _ { j } } + 1 } } \end{array}
\phi _ { S S } / 2 = \tan ^ { - 1 } \left( u \frac { \sinh ( 8 m \gamma x ) } { \cosh ( 8 m \gamma u t ) } \right) , \, \, \, \phi _ { S \overline { { { S } } } } / 2 = \tan ^ { - 1 } \left( \frac { 1 } { u } \frac { \sinh ( 8 m \gamma u t ) } { \cosh ( 8 m \gamma x ) } \right) ,
\! \! \! K ( E ) = \tan \delta _ { l } ( E ) = \frac { F _ { l } ^ { ( 1 ) } ( R _ { m } ) - Z ( R _ { m } ) F _ { l } ^ { ( 1 ) } ( R _ { m } ) } { F _ { l } ^ { ( 2 ) } ( R _ { m } ) - Z ( R _ { m } ) F _ { l } ^ { ( 2 ) } ( R _ { m } ) }
\begin{array} { r c l c r c l } { { \delta \bar { c } } } & { { = } } & { { B _ { + } } } & { { \quad \quad } } & { { \delta \psi _ { - } } } & { { = } } & { { i c \psi _ { - } \nonumber } } \\ { { \delta c } } & { { = } } & { { 0 } } & { { \quad \quad } } & { { \delta \psi _ { - } ^ { \dag } } } & { { = } } & { { - i \psi _ { - } ^ { \dag } c \nonumber } } \\ { { \delta \theta } } & { { = } } & { { - c } } & { { \quad \quad } } & { { \delta \psi _ { + } } } & { { = } } & { { 0 \nonumber } } \\ { { \delta B _ { + } } } & { { = } } & { { 0 } } & { { \quad \quad } } & { { \delta \psi _ { + } ^ { \dag } } } & { { = } } & { { 0 \nonumber } } \\ { { \delta A _ { + } } } & { { = } } & { { 0 } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { \quad . } } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { \Omega \to \infty } \frac { S _ { c , d } ^ { ( h , g ) } [ ( p ( G _ { 1 } ) , . . . . , p ( G _ { \Omega ^ { 1 + a } } ) ] } { S _ { c , d } ^ { ( h , g ) } [ ( p ( G _ { 1 } ) , . . . . , p ( G _ { \Omega } ) ) ] } \Omega ^ { a ( c - 1 ) } = ( 1 + a ) ^ { d } .
T = \frac { \pm 4 \Omega _ { 0 } \sin \Omega _ { 0 } \sin \Omega _ { 0 } r } { ( r \sin \Omega _ { 0 } \mp \sin \Omega _ { 0 } r ) ( \cos \Omega _ { 0 } \mp \cos \Omega _ { 0 } r ) } ,
\mathcal { M } _ { \bar { \tau } _ { \eta } } \ni \left( x , s \right) \longmapsto \overline { { S } } _ { \eta } ^ { t } \left( x , s \right) : = \left( \bar { R } _ { \eta } ^ { \bar { n } _ { \eta } \left( x , t + s \right) } \left( x \right) , t + s - \bar { \sigma } _ { \eta } ^ { \bar { n } _ { \eta } \left( x , s + t \right) } \left( x \right) \right) \in \mathcal { M } _ { \bar { \tau } _ { \eta } } \ , \; t \geq 0 \ ,
\left( \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { r _ { i } ^ { 2 } } \frac { \partial } { \partial r _ { i } } r _ { i } ^ { 2 } \frac { \partial } { \partial r _ { i } } + \frac { 1 } { r _ { i } ^ { 2 } \, \sin \psi } \, \frac { \partial } { \partial \psi } \, \sin \psi \, \frac { \partial } { \partial \psi } - \frac { r _ { i } ^ { 2 } } { g ^ { 2 } } \right) \! + \frac { 2 } { g ^ { 2 } } \, E \right) \Psi ( r _ { 1 } , r _ { 2 } , \psi ) = 0 \; .
\mathrm { P r } ( a _ { i } , b _ { i } ) = \kappa ^ { a _ { i } } ( 1 - \kappa ) ^ { 1 - a _ { i } } \phi \delta _ { b _ { i } , 1 } + \delta _ { a _ { i } , 0 } ( 1 - \phi ) \delta _ { b _ { i } , 0 } .
\phi _ { b \mu _ { 0 } \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { p + 1 } } ( X ) \equiv g _ { b } \int d ^ { p + 1 } \xi _ { b } M _ { b \mu _ { 0 } \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { p + 1 } } G ( ( X - X _ { b } ) ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } & { \mathcal { E } _ { 3 } = M \, \Gamma \left( m _ { h _ { 1 } } + \frac { 1 } { 2 } \right) \Gamma \left( m _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } \right) \Gamma \left( m _ { 1 } + \frac { 1 } { 2 } \right) } \\ & { \times \sqrt { \frac { \Omega _ { m _ { h _ { 1 } } } \Omega _ { m _ { 0 } } \Omega _ { m _ { 1 } } } { m _ { h _ { 1 } } m _ { 0 } m _ { 1 } } } / \left[ \Gamma \left( m _ { h _ { 1 } } \right) \Gamma \left( m _ { 0 } \right) \Gamma \left( m _ { 1 } \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { m _ { 4 } - m _ { 6 } , } \\ & { } & { \mu _ { 5 } ( m _ { 4 } , m _ { 5 } , m _ { 6 } ) , } \\ & { } & { m _ { 4 } ^ { 8 } m _ { 5 } ^ { 2 } - m _ { 4 } ^ { 8 } m _ { 6 } ^ { 2 } - 4 m _ { 4 } ^ { 6 } m _ { 5 } ^ { 2 } m _ { 6 } ^ { 2 } - 3 m _ { 4 } ^ { 6 } m _ { 6 } ^ { 4 } + 6 m _ { 4 } ^ { 4 } m _ { 5 } ^ { 2 } m _ { 6 } ^ { 4 } - 4 m _ { 4 } ^ { 2 } m _ { 5 } ^ { 2 } m _ { 6 } ^ { 6 } + m _ { 5 } ^ { 2 } m _ { 6 } ^ { 8 } , } \\ & { } & { 4 m _ { 4 } ^ { 8 } m _ { 5 } ^ { 2 } - 4 m _ { 4 } ^ { 8 } m _ { 6 } ^ { 2 } - m _ { 4 } ^ { 6 } m _ { 5 } ^ { 2 } m _ { 6 } ^ { 2 } - 1 2 m _ { 4 } ^ { 6 } m _ { 6 } ^ { 4 } - 9 m _ { 4 } ^ { 4 } m _ { 5 } ^ { 2 } m _ { 6 } ^ { 4 } + 5 m _ { 4 } ^ { 2 } m _ { 5 } ^ { 2 } m _ { 6 } ^ { 6 } + m _ { 5 } ^ { 2 } m _ { 6 } ^ { 8 } , } \\ & { } & { m _ { 4 } ^ { 8 } m _ { 5 } ^ { 2 } - m _ { 4 } ^ { 8 } m _ { 6 } ^ { 2 } - 4 m _ { 4 } ^ { 6 } m _ { 5 } ^ { 2 } m _ { 6 } ^ { 2 } - 3 1 m _ { 4 } ^ { 6 } m _ { 6 } ^ { 4 } + 6 m _ { 4 } ^ { 4 } m _ { 5 } ^ { 2 } m _ { 6 } ^ { 4 } - 3 1 m _ { 4 } ^ { 4 } m _ { 6 } ^ { 6 } - 4 m _ { 4 } ^ { 2 } m _ { 5 } ^ { 2 } m _ { 6 } ^ { 6 } - m _ { 4 } ^ { 2 } m _ { 6 } ^ { 8 } + m _ { 5 } ^ { 2 } m _ { 6 } ^ { 8 } , } \\ & { } & { 3 m _ { 4 } ^ { 8 } m _ { 5 } ^ { 4 } - 4 3 m _ { 4 } ^ { 8 } m _ { 5 } ^ { 2 } m _ { 6 } ^ { 2 } - 1 2 m _ { 4 } ^ { 6 } m _ { 5 } ^ { 4 } m _ { 6 } ^ { 2 } + 4 0 m _ { 4 } ^ { 8 } m _ { 6 } ^ { 4 } - \cdots \mathrm { ( 8 ~ o t h e r ~ t e r m s ) } , } \\ & { } & { 4 5 m _ { 4 } ^ { 8 } m _ { 5 } ^ { 4 } + 9 5 5 m _ { 4 } ^ { 8 } m _ { 5 } ^ { 2 } m _ { 6 } ^ { 2 } - 1 8 0 m _ { 4 } ^ { 6 } m _ { 5 } ^ { 4 } m _ { 6 } ^ { 2 } - 1 0 0 0 m _ { 4 } ^ { 8 } m _ { 6 } ^ { 4 } + \cdots \mathrm { ( 8 ~ o t h e r ~ t e r m s ) } , } \\ & { } & { 3 m _ { 4 } ^ { 8 } m _ { 5 } ^ { 4 } - 2 4 m _ { 4 } ^ { 8 } m _ { 5 } ^ { 2 } m _ { 6 } ^ { 2 } - 1 2 m _ { 4 } ^ { 6 } m _ { 5 } ^ { 4 } m _ { 6 } ^ { 2 } + 2 1 m _ { 4 } ^ { 8 } m _ { 6 } ^ { 4 } + \cdots \mathrm { ( 8 ~ o t h e r ~ t e r m s ) } , } \\ & { } & { 2 1 6 m _ { 4 } ^ { 8 } m _ { 5 } ^ { 6 } - 8 6 1 m _ { 4 } ^ { 8 } m _ { 5 } ^ { 4 } m _ { 6 } ^ { 2 } - 8 6 4 m _ { 4 } ^ { 6 } m _ { 5 } ^ { 6 } m _ { 6 } ^ { 2 } + 2 1 4 5 m _ { 4 } ^ { 8 } m _ { 5 } ^ { 2 } m _ { 6 } ^ { 4 } + \cdots \mathrm { ( 1 2 ~ o t h e r ~ t e r m s ) } . } \end{array}
L = \int \! d ^ { 2 } \theta \, [ W ^ { A } \Psi _ { A } + \delta _ { a b } Y ^ { a } Y ^ { b } + d ^ { 2 } \bar { \theta } \, \delta _ { A B } { \cal V } ^ { A } { \cal V } ^ { B } ] + \mathrm { c . c . }
\langle v _ { i } \omega _ { j } \rangle = \frac { \varepsilon _ { i k l } } { 4 \pi } \int _ { V } \frac { r _ { l } } { r ^ { 3 } } \langle \omega _ { k } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) \omega _ { j } ( \mathbf { x } ) \rangle \mathrm { d } ^ { 3 } \mathbf { x } ^ { \prime } ,
\psi ( \rho , w ) = { \frac { 1 - \rho } { \sqrt \rho } } \exp \left( { \frac { \ln ^ { 2 } \rho } { 2 \ln w } } \right) \prod _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( 1 - w ^ { n } \rho ) ( 1 - w ^ { n } / \rho ) } { ( 1 - w ^ { n } ) ^ { 2 } } } \, .
\begin{array} { r } { \bar { x } ^ { k } \; \overset { \mathrm { d e f } } { = } \; \sum _ { i = 0 } ^ { k - 1 } p _ { i } x ^ { i } , \quad \mathrm { a n d } \quad p _ { k } \overset { \mathrm { d e f } } { = } \frac { \gamma _ { k } ( 1 - 2 \gamma _ { k } L _ { \operatorname* { m a x } } ) } { \sum _ { i = 0 } ^ { t - 1 } \gamma _ { i } ( 1 - 2 \gamma _ { i } L _ { \operatorname* { m a x } } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { i = 2 } ^ { N } \left( \begin{array} { l } { N } \\ { i } \end{array} \right) \pi _ { l } ^ { N } ( \{ \omega _ { N } \, | \, \omega _ { N } \mathrm { ~ i s ~ d e g e n e r a t e ~ a n d ~ } I = [ i ] \} ) } \\ { \leq } & { \sum _ { i = 2 } ^ { N } i \left( \begin{array} { l } { N } \\ { i } \end{array} \right) \pi _ { l } ^ { N } ( \{ \omega _ { N } \, | \, I = [ i ] \mathrm { ~ a n d ~ } \{ \delta _ { j } \} _ { j \in [ i - 1 ] } \mathrm { ~ i s ~ a n ~ e s s e n t i a l ~ s e t ~ f o r ~ } \omega _ { N } \} ) . } \end{array}
\Delta \epsilon _ { \sigma } ^ { \mathrm { ~ m ~ o ~ d ~ e ~ l ~ } } = \frac { 1 } { N _ { \sigma } } \sum _ { i } ^ { N _ { \sigma } } | \epsilon _ { i , \sigma } ^ { \mathrm { ~ e ~ x ~ a ~ c ~ t ~ } } - ( \epsilon _ { i , \sigma } ^ { \mathrm { ~ m ~ o ~ d ~ e ~ l ~ } } + \Delta \mu ^ { \mathrm { ~ m ~ o ~ d ~ e ~ l ~ } } ) | \, ,
\int _ { 0 } ^ { T } d \sigma _ { 1 } \left[ \delta ( \sigma - \sigma _ { 1 } ) \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \sigma _ { 1 } ^ { 2 } } - 4 B ( \sigma _ { 1 } , \sigma ) \right] \Delta ^ { ( N ) } ( \sigma _ { 1 } , \sigma ^ { \prime } ) = \delta ( \sigma - \sigma ^ { \prime } ) ,
j _ { 1 } = d \xi ^ { m } \varepsilon _ { m n } \int _ { \partial { \cal M } ^ { 2 } } d { \tilde { \xi } } ^ { n } ( \tau ) \delta ^ { 2 } \left( \xi - { \tilde { \xi } } ( \tau ) \right) ~ = \varepsilon _ { m n } d \xi ^ { m } j ^ { n } , \qquad
g _ { \perp } ^ { \rho \sigma } ( 2 \hat { x } ^ { \mu } \hat { x } ^ { \nu } + g _ { \perp } ^ { \mu \nu } ) - \hat { x } ^ { \rho } ( \hat { x } ^ { \{ \mu } g _ { \perp } ^ { \nu \} \sigma } - \hat { x } _ { \perp } ^ { \mu \nu } ) - \hat { x } ^ { \sigma } ( \hat { x } ^ { \{ \mu } g _ { \perp } ^ { \nu \} \rho } - \hat { x } _ { \perp } ^ { \mu \nu } ) - ( g _ { \perp } ^ { \rho \{ \mu } g _ { \perp } ^ { \nu \} \sigma } - g _ { \perp } ^ { \rho \sigma } g _ { \perp } ^ { \mu \nu } ) = 0 ,
\Phi _ { i j k } ^ { l , n + \frac { 1 } { 2 } } = \mathrm { m i n m o d } \left( \Delta \hat { f } _ { i j k } ^ { l , n - \frac { 1 } { 2 } } , \Delta \hat { f } _ { i j k } ^ { l , n + \frac { 1 } { 2 } } , \Delta \hat { f } _ { i j k } ^ { l , n + \frac { 3 } { 2 } } \right) ,
\begin{array} { r l } & { 2 ^ { 1 2 } ( d = 2 ) , \quad 1 ^ { 4 } 2 ^ { 2 } 4 ^ { 4 } ( d = 2 ) , \quad 1 ^ { - 4 } 2 ^ { 6 } 4 ^ { 4 } ( d = 2 ) , \quad 4 ^ { 6 } ( d = 4 ) , \quad 2 ^ { 3 } 6 ^ { 3 } ( d = 2 , 6 ) , } \\ & { 6 ^ { 4 } ( d = 2 , 6 ) , \quad 1 ^ { 2 } 2 ^ { 1 } 4 ^ { 1 } 8 ^ { 2 } ( d = 2 , 4 ) , \quad 1 ^ { - 2 } 2 ^ { 3 } 4 ^ { 1 } 8 ^ { 2 } ( d = 2 , 4 ) , \quad 2 ^ { 2 } 1 0 ^ { 2 } ( d = 2 , 1 0 ) , } \\ & { 1 ^ { 1 } 2 ^ { 2 } 3 ^ { 1 } 4 ^ { - 2 } 1 2 ^ { 2 } ( d = 2 , 6 ) , \quad 1 ^ { - 1 } 2 ^ { 3 } 3 ^ { - 1 } 4 ^ { - 2 } 6 ^ { 1 } 1 2 ^ { 2 } ( d = 2 , 6 ) , \quad 1 ^ { - 2 } 2 ^ { 2 } 3 ^ { 2 } 4 ^ { 1 } 1 2 ^ { 1 } ( d = 2 , 6 ) , } \\ & { 1 ^ { 2 } 3 ^ { - 2 } 4 ^ { 1 } 6 ^ { 2 } 1 2 ^ { 1 } ( d = 2 , 6 ) , \quad 1 2 ^ { 2 } ( d = 4 , 1 2 ) , \quad 4 ^ { 1 } 2 0 ^ { 1 } ( d = 4 , 2 0 ) , \quad 1 ^ { - 1 } 2 ^ { 2 } 4 ^ { - 1 } 5 ^ { 1 } 2 0 ^ { 1 } ( d = 2 , 1 0 ) , } \\ & { 1 ^ { 1 } 2 ^ { 1 } 4 ^ { - 1 } 5 ^ { - 1 } 1 0 ^ { 1 } 2 0 ^ { 1 } ( d = 2 , 1 0 ) , \quad 2 ^ { 1 } 2 2 ^ { 1 } ( d = 2 , 2 2 ) , } \\ & { 1 ^ { - 1 } 2 ^ { 1 } 3 ^ { 1 } 4 ^ { 1 } 8 ^ { - 1 } 2 4 ^ { 1 } ( d = 2 , 4 , 6 , 1 2 ) , \quad 1 ^ { 1 } 3 ^ { - 1 } 4 ^ { 1 } 6 ^ { 1 } 8 ^ { - 1 } 2 4 ^ { 1 } ( d = 2 , 4 , 6 , 1 2 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma \varepsilon ^ { - 1 / 2 } ( 1 - p / 2 ) ^ { t } \bar { \mathcal { S } } _ { n _ { j } } ( y , z _ { j } ) } & { = 2 \sigma \varepsilon ^ { - 1 / 2 } \frac { 1 } { 2 \pi \mathrm { i } } \oint _ { \gamma _ { \delta } } \mathrm { d } w \, \frac { ( 1 - w ) ^ { z _ { j } - y + n _ { j } - 1 } } { 2 ^ { y - z _ { j } + 1 } w ^ { n _ { j } } } \frac { ( 1 - p / 2 ) ^ { t } } { ( 1 - p + p ( 1 - w ) ) ^ { t } } } \\ & { = 2 \sigma \varepsilon ^ { - 1 / 2 } \frac { 1 } { 2 \pi \mathrm { i } } \oint _ { \gamma _ { \delta } } \mathrm { d } w \, e ^ { F _ { \varepsilon } ( w ) } = \frac { 1 } { 2 \pi \mathrm { i } } \oint _ { \gamma _ { r } } \mathrm { d } v \, e ^ { F _ { \varepsilon } ( 1 / 2 ( 1 + \varepsilon ^ { 1 / 2 } v / \sigma ) ) } , } \end{array}
{ \bf H } _ { A A } = \left( \begin{array} { l l l l l } { 0 } & & { t _ { 1 a b } e ^ { i x _ { 2 a b } { \bf a } _ { 1 } \cdot { \bf k } } } & & { t _ { 1 a c } e ^ { i x _ { 2 a c } { \bf a } _ { 2 } \cdot { \bf k } } } \\ { t _ { 1 a b } e ^ { - i x _ { 2 a b } { \bf a } _ { 1 } \cdot { \bf k } } } & & { 0 } & & { t _ { 1 b c } e ^ { i x _ { 2 b c } { \bf a } _ { 3 } \cdot { \bf k } } } \\ { t _ { 1 a c } e ^ { - i x _ { 2 a c } { \bf a } _ { 2 } \cdot { \bf k } } } & & { t _ { 1 b c } e ^ { - i x _ { 2 b c } { \bf a } _ { 3 } \cdot { \bf k } } } & & { 0 } \end{array} \right) ,
I \leq | \mathcal { E } | \cdot \operatorname* { m i n } \left\{ q ^ { d - 1 } , | \mathcal { E } | \right\} \cdot | P _ { 1 } ( r ) | \cdot | \mathcal { E } | ^ { 2 } \cdot \operatorname* { m i n } \left\{ 1 . 5 q ^ { d - 1 } , | \mathcal { E } | \right\} = | \mathcal { E } | ^ { 3 } \cdot | P _ { 1 } ( r ) | \cdot \operatorname* { m i n } \left\{ q ^ { d - 1 } , | \mathcal { E } | \right\} \cdot \operatorname* { m i n } \left\{ 1 . 5 q ^ { d - 1 } , | \mathcal { E } | \right\} .
\begin{array} { r l } & { \mathcal { J } _ { c h } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } , \omega _ { 4 } ) = } \\ & { \int _ { 0 } ^ { L _ { c h } } d z \, { f } _ { c h , \omega _ { 1 } } ^ { * } ( z ) { f } _ { c h , \omega _ { 2 } } ^ { * } ( z ) { f } _ { c h , \omega _ { 3 } } ( z ) { f } _ { c h , \omega _ { 4 } } ( z ) e ^ { i \Delta k z } } \end{array}
\tilde { u } = \frac { 1 } { 2 } \mathrm { T r } \Phi ^ { 2 } = \frac { 1 } { 8 \Lambda _ { 1 } ^ { 2 } } M _ { A f C g } M _ { B h D i } \epsilon ^ { f g } \epsilon ^ { C B } \epsilon ^ { h i } \epsilon ^ { D A } .
\underline { { { A } } } = a _ { 0 } ( t ) - \frac 1 2 a _ { 2 } ( t ) r ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 ! } a _ { 4 } ( t ) r ^ { 4 } - \frac { 1 } { 6 ! } a _ { 6 } ( t ) r ^ { 6 } .
\begin{array} { r l r } { \hat { \mathbf { E } } _ { e } = J ^ { - 1 } \left\{ \begin{array} { c } { \overline { { \rho } } U } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { u } U + \overline { { p } } \xi _ { x } } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { v } U + \overline { { p } } \xi _ { y } } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { w } U + \overline { { p } } \xi _ { z } } \\ { \left( \overline { { e } } + \overline { { p } } \right) U - \overline { { p } } \xi _ { t } } \end{array} \right\} \, \mathrm { , } } & { \hat { \mathbf { F } } _ { e } = J ^ { - 1 } \left\{ \begin{array} { c } { \overline { { \rho } } V } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { u } V + \overline { { p } } \eta _ { x } } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { v } V + \overline { { p } } \eta _ { y } } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { w } V + \overline { { p } } \eta _ { z } } \\ { \left( \overline { { e } } + \overline { { p } } \right) V - \overline { { p } } \eta _ { t } } \end{array} \right\} \, \mathrm { , } } & { \hat { \mathbf { G } } _ { e } = J ^ { - 1 } \left\{ \begin{array} { c } { \overline { { \rho } } W } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { u } W + \overline { { p } } \zeta _ { x } } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { v } W + \overline { { p } } \zeta _ { y } } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { w } W + \overline { { p } } \zeta _ { z } } \\ { \left( \overline { { e } } + \overline { { p } } \right) W - \overline { { p } } \zeta _ { t } } \end{array} \right\} \, \mathrm { . } } \end{array}