harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
S = \int _ { \tau ^ { \prime } } ^ { \tau ^ { \prime \prime } } d \tau ( \dot { x ^ { \mu } } p _ { \mu } + \frac { i } { 2 } ( \dot { \theta ^ { \mu } } \theta _ { \mu } + \dot { \theta _ { 5 } } \theta _ { 5 } ) - N { \cal H } - M { \cal Q } _ { 0 } ) - \frac { i } { 2 } \theta ( \tau ^ { \prime \prime } ) \cdot \theta ( \tau ^ { \prime } ) - [ B ] _ { \tau ^ { \prime } } ^ { \tau ^ { \prime \prime } } ,
\delta \theta ^ { \mu \nu } = - \theta ^ { \mu \alpha } \epsilon _ { \alpha \beta } \theta ^ { \beta \nu } - \frac { 1 } { 4 } \theta ^ { \mu \alpha } \epsilon _ { \alpha \gamma } \theta ^ { \gamma \rho } \epsilon _ { \rho \beta } \theta ^ { \beta \nu } = - \theta ^ { \mu \alpha } \delta \theta _ { \alpha \beta } ^ { - 1 } \theta ^ { \beta \nu } + O ( \epsilon ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } { \left| \frac { 2 \mu _ { i } } { n _ { i } } - \frac { 2 } { n } \right| } & { = \frac { 2 } { n n _ { i } } | \mu _ { i } n - n _ { i } | } \\ & { \le \frac { 2 } { n n _ { i } } \cdot ( b - a ) \overline { { f } } n ^ { 0 . 0 6 } } \\ & { \le \frac { 4 } { n ^ { 1 . 1 } ( b - a ) \overline { { f } } } \cdot ( b - a ) \underline { { f } } n ^ { 0 . 0 6 } } \\ & { = \frac { 4 \overline { { f } } } { n ^ { 1 . 0 4 } \underline { { f } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { i } ( r , \theta ) } & { { } = \underbrace { \sum _ { n = - \infty } ^ { - 1 } A _ { n } g _ { \mathrm { I } , i } ( \theta , n ) \ r ^ { \frac { n } { 2 } } } _ { \mathrm { ~ s ~ u ~ p ~ e ~ r ~ s ~ i ~ n ~ g ~ u ~ l ~ a ~ r ~ t ~ e ~ r ~ m ~ s ~ } } + \underbrace { A _ { 0 } g _ { \mathrm { I } , i } ( \theta , 0 ) } _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ a ~ n ~ s ~ l ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ s ~ } } + \underbrace { A _ { 1 } g _ { \mathrm { I } , i } ( \theta , 1 ) \sqrt { r } } _ { \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ g ~ u ~ l ~ a ~ r ~ } } + \underbrace { \sum _ { n = 2 } ^ { \infty } A _ { n } g _ { \mathrm { I } , i } ( \theta , n ) \ r ^ { \frac { n } { 2 } } } _ { \mathrm { ~ s ~ u ~ b ~ s ~ i ~ n ~ g ~ u ~ l ~ a ~ r ~ t ~ e ~ r ~ m ~ s ~ } } } \end{array}
\Delta l ^ { a } \le \frac { c _ { 0 } } { 2 0 f _ { \mathrm { m a x } } } = 3 . 4 3 ~ \mathrm { m m } , ~ ~ \Delta t ^ { a } \le \frac { 1 } { 2 0 f _ { \mathrm { m a x } } } = 1 \cdot 1 0 ^ { - 5 } ~ \mathrm { s }
\begin{array} { r l } { \check { u } _ { \pm } ^ { \prime \prime } + 2 \mathfrak { w } _ { \pm } ^ { - 1 } \mathfrak { w } _ { \pm } ^ { \prime } \check { u } _ { \pm } ^ { \prime } + \left[ \widetilde { \omega } ^ { 2 } - \check { V } - \frac { 1 } { 4 } ( 1 - a ^ { 2 } ) ^ { 2 } ( 1 + O ( r - 1 ) ) + ( 1 - a ^ { 2 } ) O ( ( r - 1 ) ^ { 2 } ) \right] \check { u } _ { \pm } = } & { \: \mathfrak { w } _ { \pm } ^ { - 1 } H } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { i j } ^ { - } } & { { } \equiv \frac { e ^ { - ( \beta _ { i } + \beta _ { j } ) } } { e ^ { - ( \alpha _ { i } + \alpha _ { j } ) } + e ^ { - ( \beta _ { i } + \beta _ { j } ) } } \equiv \frac { y _ { i } y _ { j } } { x _ { i } x _ { j } + y _ { i } y _ { j } } , } \\ { p _ { i j } ^ { + } } & { { } \equiv \frac { e ^ { - ( \alpha _ { i } + \alpha _ { j } ) } } { e ^ { - ( \alpha _ { i } + \alpha _ { j } ) } + e ^ { - ( \beta _ { i } + \beta _ { j } ) } } \equiv \frac { x _ { i } x _ { j } } { x _ { i } x _ { j } + y _ { i } y _ { j } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { A P F } } & { { } = { \frac { N _ { \mathrm { a t o m s } } V _ { \mathrm { a t o m } } } { V _ { \mathrm { u n i t ~ c e l l } } } } = { \frac { 4 \cdot { \frac { 4 } { 3 } } \pi r ^ { 3 } } { \left( { 2 { \sqrt { 2 } } r } \right) ^ { 3 } } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \vec { E } _ { \mathrm { a t } } \propto \sqrt { T } \exp \left( i \phi \right) \cos \left( \frac { \varphi } { 2 } \right) \vec { e } _ { + } + i \sin \left( \frac { \varphi } { 2 } \right) \vec { e } _ { - } . } \end{array}
\delta _ { \ell } \simeq \left\{ \begin{array} { l l } { { - \frac { \pi \alpha } { 2 } \left\{ 1 - 2 \frac { \gamma ( \ell + 1 , k ^ { 2 } \theta / 2 ) } { \ell ! } - \frac { 1 } { \ell ! } \left( \frac { k ^ { 2 } \theta } { 2 } \right) ^ { \ell } e ^ { - k ^ { 2 } \theta / 2 } \right\} } } & { { \quad ( \ell > 0 ) } } \\ { { \frac { \pi \alpha } { 2 } ( 1 - e ^ { - k ^ { 2 } \theta / 2 } ) } } & { { \quad ( \ell = 0 ) } } \\ { { \frac { \pi \alpha } { 2 } } } & { { \quad ( \ell < 0 ) } } \end{array} \right.
f ^ { 2 } \equiv ( f \cdot f ) = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { F _ { i } ^ { ( N ) } } { m _ { i } ^ { 2 } } = \frac { \Lambda ^ { ( N ) } } { \prod _ { i = 1 } ^ { N } m _ { i } ^ { 2 } } \; ,
\begin{array} { r l r } { \tilde { \Omega } _ { \mathrm { g y r o } } ^ { ( f ) } } & { { } = } & { \frac { H ( s ) \left[ \Omega _ { 1 2 9 } ( s ) - R \Omega _ { 1 3 1 } ( s ) \right] } { 1 + R } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { | T _ { \alpha } ^ { \gamma _ { R } } f ( x , t + \lambda ) | } \\ { \sim } & { \left| \int e \left[ x \cdot \xi + R ^ { 1 - 2 \alpha } t ^ { \alpha } \tilde { \mu } \left( \frac { t } { R ^ { 2 } } \right) \cdot \xi + t | \xi | ^ { 2 } \right] \left[ e \left( R ^ { 1 - 2 \alpha } \lambda ^ { \alpha } \mu \left( \frac { \lambda } { R ^ { 2 } } \right) \cdot \xi + \lambda | \xi | ^ { 2 } \right) \widehat { f } ( \xi ) \right] d \xi \right| } \\ { : = } & { | T _ { \alpha } ^ { \gamma _ { R } } f _ { \lambda } ( x , t ) | , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \frac { d x } { d t } } } & { { } = k x } \\ { { \frac { d x } { x } } } & { { } = k \, d t } \\ { \int _ { x ( 0 ) } ^ { x ( t ) } { \frac { d x } { x } } } & { { } = k \int _ { 0 } ^ { t } \, d t } \\ { \ln { \frac { x ( t ) } { x ( 0 ) } } } & { { } = k t . } \end{array}
\int \frac { \mathrm { d } ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \int \frac { \mathrm { d } ^ { 4 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } A _ { \mu } ^ { a } ( - p ) R _ { k , \mu \nu } ^ { a b } ( p , - q ) A _ { \nu } ^ { b } ( q ) \: .
\begin{array} { r l } { \mathbf { F } _ { \mathrm { R R , c l a s s i c a l } } } & { { } = \frac { 2 } { 3 } \alpha _ { f } \xi _ { L } \bigg \lbrace \gamma \bigg [ \bigg ( \frac { \partial } { \partial t } + \frac { \mathbf { p } } { \gamma } \cdot \nabla \bigg ) \mathbf { E } + \frac { \mathbf { p } } { \gamma } \times \bigg ( \frac { \partial } { \partial t } + \frac { \mathbf { p } } { \gamma } \cdot \nabla \bigg ) \mathbf { B } \bigg ] } \end{array}
\begin{array} { r } { \log { \cal L } _ { h } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \log \bigl ( \frac { N _ { h } S _ { h } ( c _ { i } , t _ { i } ) + N _ { B } B ( c _ { i } , t _ { i } ) } { N _ { h } + N _ { B } } \bigr ) } \\ { + \log P _ { N } ( N _ { h } + N _ { B } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { T } _ { \boldsymbol { x } , i } = \mathbf { T } _ { i } + \sum _ { \mathbf { s } \in \mathcal { D } } \frac { \operatorname { S i m } \big ( \mathbf { T } _ { i } , \boldsymbol { x } ( \mathbf { s } ) \mathbf { W } _ { \mathrm { ~ K ~ } } \big ) } { \sum _ { \mathbf { s ^ { \prime } } \in \mathcal { D } } \operatorname { S i m } \big ( \mathbf { T } _ { i } , \boldsymbol { x } ( \mathbf { s ^ { \prime } } ) \mathbf { W } _ { \mathrm { ~ K ~ } } \big ) } \left( \boldsymbol { x } ( \mathbf { s } ) \mathbf { W } _ { \mathrm { ~ V ~ } } \right) , } \end{array}
\mathrm { ~ l ~ o ~ g ~ } _ { 1 0 } [ \Gamma ^ { \mathrm { ~ e ~ m ~ } } ( \omega ; t = - 1 0 0 , 0 , 1 0 0 , 2 0 0 , 3 0 0 , 4 0 0 \mathrm { ~ ~ ~ f ~ s ~ } )
{ \begin{array} { r l } { ( 1 - z ) f _ { n } ( z ) } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { n } a _ { k } ( 1 - z ) z ^ { k } = \sum _ { k = 0 } ^ { n } a _ { k } z ^ { k } - \sum _ { k = 0 } ^ { n } a _ { k } z ^ { k + 1 } = a _ { 0 } + \sum _ { k = 1 } ^ { n } a _ { k } z ^ { k } - \sum _ { k = 1 } ^ { n + 1 } a _ { k - 1 } z ^ { k } } \\ & { = a _ { 0 } - a _ { n } z ^ { n + 1 } + \sum _ { k = 1 } ^ { n } ( a _ { k } - a _ { k - 1 } ) z ^ { k } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \left( \frac { 1 } { - \omega _ { 1 } } \partial _ { \sigma } - \epsilon \partial _ { \sigma } + \epsilon \partial _ { \theta } - \epsilon ^ { 2 } \omega _ { 1 } \partial _ { \sigma } - \epsilon ^ { 3 } \omega _ { 1 } ^ { 2 } \partial _ { \sigma } \right) \frac { 1 } { \epsilon } D } & { { } = \frac { \gamma } { \epsilon } \left[ - D + ( I _ { 0 } + I _ { 1 } D ) | E | ^ { 2 } \right] . } \end{array}
\phi ( x ^ { \prime } , x ^ { \prime \prime } ) = \exp \left[ i e \int _ { x ^ { \prime \prime } } ^ { x ^ { \prime } } d x _ { \mu } A ^ { \mu } ( x ) \right] = \exp \left( i { \frac { e } { 2 } } x _ { \mu } ^ { \prime \prime } F ^ { \mu \nu } x _ { \nu } ^ { \prime } \right)
\begin{array} { r l r l } & { \beta _ { 1 2 } ^ { ( 1 ) } = \frac { e ^ { \frac { 3 \pi i } { 4 } } e ^ { \frac { \pi \hat { \nu } _ { 1 } } { 2 } } e ^ { 2 \pi \nu _ { 1 } } \sqrt { 2 \pi } q _ { 3 } } { ( e ^ { \pi \hat { \nu } _ { 1 } } - e ^ { - \pi \hat { \nu } _ { 1 } } ) \Gamma ( - i \hat { \nu } _ { 1 } ) } , } & & { \beta _ { 2 1 } ^ { ( 1 ) } = \frac { e ^ { - \frac { 3 \pi i } { 4 } } e ^ { \frac { \pi \hat { \nu } _ { 1 } } { 2 } } \sqrt { 2 \pi } \bar { q } _ { 3 } } { ( e ^ { \pi \hat { \nu } _ { 1 } } - e ^ { - \pi \hat { \nu } _ { 1 } } ) \Gamma ( i \hat { \nu } _ { 1 } ) } , } \\ & { \beta _ { 1 2 } ^ { ( 2 ) } = \frac { e ^ { \frac { 3 \pi i } { 4 } } e ^ { \frac { \pi \hat { \nu } _ { 2 } } { 2 } } e ^ { 2 \pi ( \nu _ { 4 } - \nu _ { 2 } ) } \sqrt { 2 \pi } ( \bar { q } _ { 6 } - \bar { q } _ { 2 } \bar { q } _ { 5 } ) } { ( e ^ { \pi \hat { \nu } _ { 2 } } - e ^ { - \pi \hat { \nu } _ { 2 } } ) \Gamma ( - i \hat { \nu } _ { 2 } ) } , } & & { \beta _ { 2 1 } ^ { ( 2 ) } = \frac { e ^ { - \frac { 3 \pi i } { 4 } } e ^ { \frac { \pi \hat { \nu } _ { 2 } } { 2 } } e ^ { 2 \pi \nu _ { 2 } } \sqrt { 2 \pi } ( q _ { 6 } - q _ { 2 } q _ { 5 } ) } { ( e ^ { \pi \hat { \nu } _ { 2 } } - e ^ { - \pi \hat { \nu } _ { 2 } } ) \Gamma ( i \hat { \nu } _ { 2 } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { s ^ { \gamma _ { M } L } \leq s ^ { \gamma _ { M } \big ( \frac { 1 } { \alpha _ { M } } \log _ { s } \big ( \frac { c _ { 1 } } { \sqrt { b _ { w } } \, \varepsilon ( s ^ { \alpha _ { M } } - 1 ) } \big ) + 1 \big ) } } & { \ = \varepsilon ^ { - \frac { \gamma _ { M } } { \alpha _ { M } } } \bigg ( \frac { c _ { 1 } } { \sqrt { b _ { w } } ( s ^ { \alpha _ { M } } - 1 ) } \bigg ) ^ { \frac { \gamma _ { M } } { \alpha _ { M } } } s ^ { \gamma _ { M } } } \\ & { \ \leq \varepsilon ^ { - 2 } \bigg ( \frac { c _ { 1 } } { \sqrt { b _ { w } } ( s ^ { \alpha _ { M } } - 1 ) } \bigg ) ^ { \frac { \gamma _ { M } } { \alpha _ { M } } } s ^ { \gamma _ { M } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ \boldsymbol { \Psi } _ { \mathrm { R } } ^ { \theta } ] _ { q , \beta } = } & { \frac { 1 } { \sqrt { N _ { \mathrm { R } } } } e ^ { j \left( \frac { 2 \pi l _ { \beta } ^ { x } } { L _ { \mathrm { R } } ^ { x } } r _ { q } ^ { x } + \frac { 2 \pi l _ { \beta } ^ { y } } { L _ { \mathrm { R } } ^ { y } } r _ { q } ^ { y } + \gamma _ { \mathrm { R } } ( l _ { \beta } ^ { x } , l _ { \beta } ^ { y } ) r _ { q } ^ { z } \right) } } \\ & { \times F _ { \mathrm { R } , q } ^ { \theta } \left( \hat { \theta } _ { \mathrm { R } } ( l _ { \beta } ^ { x } , l _ { \beta } ^ { y } ) , \hat { \phi } _ { \mathrm { R } } ( l _ { \beta } ^ { x } , l _ { \beta } ^ { y } ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { s _ { p } ^ { 1 } = - \sum _ { \alpha _ { p } = 1 } ^ { 4 } { \omega _ { \alpha _ { p } } \ln { \omega _ { \alpha _ { p } } } } , } \\ { s _ { p q } ^ { 2 } = - \sum _ { \alpha _ { p q } = 1 } ^ { 1 6 } { \omega _ { \alpha _ { p q } } \ln { \omega _ { \alpha _ { p q } } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla \times \nabla \times { \mathbf B } + \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } { \mathbf B } } { \partial t ^ { 2 } } } & { { } = \mu _ { 0 } \nabla \times { \mathbf J } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \xi _ { N , \delta } ^ { n } = \xi _ { N , \delta } ^ { n - 1 } + \delta [ \nu \Delta \xi _ { N , \delta } ^ { n } - \Pi _ { N } ( \mathbf { u } _ { N , \delta } ^ { n - 1 } } & { \cdot \nabla \xi _ { N , \delta } ^ { n } ) ] + \sum _ { k = 1 } ^ { d } \Pi _ { N } \sigma _ { k } ( W ^ { k } ( t _ { n } ) - W ^ { k } ( t _ { n - 1 } ) ) , } \\ { \mathbf { u } _ { N , \delta } ^ { n - 1 } } & { = \mathcal { K } \ast \xi _ { N , \delta } ^ { n - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { S _ { \mathrm { { U V } } } = \int \mathrm { d } { k } \ \overline { { \gamma } } _ { \alpha , { k } } \frac { \left( i \omega \delta _ { \alpha , \alpha ^ { \prime } } - h _ { \alpha , \alpha ^ { \prime } , \mathbf { k } } \right) } { 2 } \gamma _ { \alpha ^ { \prime } , { k } } + S _ { \phi } + S _ { \mathrm { I n t } } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \mathcal { Z } } } & { = \sum _ { N = 0 } ^ { \infty } \exp ( N ( \mu - \varepsilon ) / k _ { \mathrm { B } } T ) = \sum _ { N = 0 } ^ { \infty } [ \exp ( ( \mu - \varepsilon ) / k _ { \mathrm { B } } T ) ] ^ { N } } \\ & { = { \frac { 1 } { 1 - \exp ( ( \mu - \varepsilon ) / k _ { \mathrm { B } } T ) } } . } \end{array} }
{ \left\{ \begin{array} { l l } { \bullet \ast { \tilde { S } } : { \mathcal { D } } ( \mathbb { R } ^ { n } ) \to { \mathcal { D } } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } \\ { f \mapsto f \ast { \tilde { S } } } \end{array} \right. } \qquad { \left\{ \begin{array} { l l } { \bullet \ast { \tilde { T } } : { \mathcal { D } } ( \mathbb { R } ^ { n } ) \to C ^ { \infty } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } \\ { f \mapsto f \ast { \tilde { T } } } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { u ( \vec { x } , t ) } & { { } = \operatorname* { i n f } _ { \vec { a } } \mathbb { E } \left\{ \int _ { t } ^ { T } \mathcal { L } ( \vec { x } , \tau ) [ m ] e ^ { \gamma ( t - \tau ) } d \tau + e ^ { \gamma ( t - T ) } c _ { T } ( \vec { x } _ { T } ) \right\} } \end{array}
f ( \bar { \beta } ) \equiv \int _ { 0 } ^ { \infty } d x \frac { 1 } { \sqrt { \bar { \beta } ^ { 2 } + x ^ { 2 } } \left[ \exp \left( \sqrt { \bar { \beta } ^ { 2 } + x ^ { 2 } } \right) - 1 \right] } .
\left| \mathrm { L F } _ { \mathbb H } ^ { ( \beta _ { 2 W + 2 } , 0 ) , ( \alpha , i ) } ( 1 ) \right| \cdot \mathbb E \left[ | \psi _ { \eta } ^ { \prime } ( i ) | ^ { 2 \Delta _ { \alpha } - 2 } \right] = C _ { W } \cdot \int _ { 0 } ^ { \infty } \left| \mathrm { Q D } _ { 1 , 1 } ( \alpha , \gamma ; \ell ) \right| \left| \mathcal M _ { 0 , 2 } ^ { \mathrm { d i s k } } ( W ; 1 , \ell ) \right| d \ell .
\begin{array} { r l } { - \lambda ^ { \prime } ( p ) } & { > \operatorname* { m a x } \left( \sqrt { \frac { 0 \vee \left( - \lambda ^ { \prime \prime } ( p ) ( \bar { \mu } - \lambda ( p ) \right) ) } { 2 } } ~ , ~ \frac { p \lambda ^ { \prime \prime } ( p ) } { 2 } \right) , } \\ { \lambda ^ { \prime } ( p ) } & { > \operatorname* { m a x } _ { \mu \in [ \underline { { \mu } } , \bar { \mu } ] } \left( 2 g ( \mu ) \frac { \lambda ^ { \prime \prime } ( p ) \lambda ( p ) } { \lambda ^ { \prime } ( p ) } - \frac { 4 \lambda ( p ) ( \mu - \lambda ( p ) ) } { h _ { 0 } C } \right) . } \end{array}
\lambda _ { l , m } = 4 R \int _ { 0 } ^ { 1 } d u \frac { 1 + u } { ( 1 - u ) ^ { 3 } } e ^ { - \frac { 4 R u } { ( 1 - u ) ^ { 2 } } } ( \tilde { B f } ) _ { l , m } ( u ) \, .
\begin{array} { r l } { 0 = \frac { \partial ( \log P ) } { \partial h } \left| _ { h ^ { * } } \right. } & { { } = \frac { \partial } { \partial h } \left( \sum _ { i , t } \left( ( - \eta s _ { i } J _ { i } h - \epsilon s _ { i } ) - \log ( 1 + e ^ { - ( \eta J _ { i } h + \epsilon ) } \right) \right) \left| _ { h ^ { * } } \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \psi _ { u } ( \mathcal { L } ) } & { : = } & { \P ( \boldsymbol R _ { s } \in ( - \mathcal { L } ) \mathrm { ~ f o r ~ s o m e ~ } s \in [ 0 , T ] ) } \\ & { = } & { \P ( u \boldsymbol b + s \boldsymbol p - \boldsymbol L ( s ) \in ( - \mathcal { L } ) \mathrm { ~ f o r ~ s o m e ~ } s \in [ 0 , T ] ) } \\ & { = } & { \P ( \boldsymbol L ( s ) - s \boldsymbol p \in ( u \boldsymbol b + \mathcal { L } ) \mathrm { ~ f o r ~ s o m e ~ } s \in [ 0 , T ] ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { A } [ \mathcal { I } ] } & { { } = } & { \sum _ { \alpha _ { 1 } = 1 } ^ { r _ { 1 } } \cdots \sum _ { \alpha _ { d - 1 } = 1 } ^ { r _ { d - 1 } } \mathcal { C } _ { 1 } [ 1 , i _ { 1 } , \alpha _ { 1 } ] \mathcal { C } _ { 2 } [ \alpha _ { 1 } , i _ { 2 } , \alpha _ { 2 } ] \cdots \mathcal { C } _ { d } [ \alpha _ { d - 1 } , i _ { d } , 1 ] } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { - } & { ( v ~ \kappa ^ { 2 } - \gamma _ { 1 } ~ v ~ ( 1 + t ^ { 2 } ) H + \gamma _ { 1 } ~ ( u t + v ) E _ { c } + 2 ~ \gamma _ { 1 } ~ t ^ { 2 } ~ v ~ E _ { c } ) ~ d \rho } \\ & { + } & { t ~ ( \gamma ~ \kappa ~ v + 2 ~ \gamma _ { 1 } ~ E _ { c } ) ~ d \rho u + t ~ ( - 2 t ~ E _ { c } + \gamma ~ v ~ ( t ~ v + u ) ) ~ d \rho v } \\ & { - } & { t ~ \gamma _ { 1 } ~ ( t v + u ) ~ d \rho E = 0 } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { { R ^ { 2 } = 2 \alpha ^ { \prime } q R , } } & { { ( 0 < q R < 1 ) } } \\ { { R ^ { 2 } = 2 \alpha ^ { \prime } ( 2 - q R ) . } } & { { ( 1 < q R < 2 ) } } \end{array} \right.
\alpha _ { i } ^ { n + 1 } = \alpha _ { i } ^ { n } \frac { \Delta E _ { i } ^ { \mathrm { K o o p m a n s } } - \lambda _ { i i } ( 0 , 1 ) } { \lambda _ { i i } ( \alpha _ { i } ^ { n } , 1 ) - \lambda _ { i i } ( 0 , 1 ) } ; \qquad \Delta E _ { i } ^ { \mathrm { K o o p m a n s } } = E ^ { \mathrm { K o o p m a n s } } ( N ) - E _ { i } ^ { \mathrm { K o o p m a n s } } ( N - 1 )
\begin{array} { r l } & { I ( \mathbf { g } ( \beta _ { l _ { 1 } } ) , \ldots , \mathbf { g } ( \beta _ { l _ { t } } ) ; \mathbf { e } _ { \iota , 1 } , \ldots , \mathbf { e } _ { \iota , \Delta } ) } \\ & { \leq \sum _ { i = 1 } ^ { m } \sum _ { j = 1 } ^ { \Delta } I ( \mathbf { g } ( \beta _ { l _ { 1 } } ) _ { ( i j ) } , \ldots , \mathbf { g } ( \beta _ { l _ { t } } ) _ { ( i j ) } ; ( \mathbf { e } _ { \iota , 1 } ) _ { ( i j ) } , \ldots , ( \mathbf { e } _ { \iota , \Delta } ) _ { ( i j ) } ) . } \end{array}
\left( \mathbf { M } ( \phi _ { i } , \phi _ { i } ) + \frac { \mathbf { t } _ { i } \mathbf { t } _ { i } ^ { T } } { \Gamma ( \phi _ { i } ) } \right) \cdot \mathbf { F } _ { i } ^ { \mathrm { h } } + \sum _ { j \ne i } \mathbf { M } ( \phi _ { i } , \phi _ { j } ) \cdot \mathbf { F } _ { j } ^ { \mathrm { h } } = - \frac { F ^ { \mathrm { d r } } ( \phi _ { i } ) } { \Gamma ( \phi _ { i } ) } \mathbf { t } _ { i } .
\begin{array} { r l } { \sqrt { \frac { \lambda _ { 1 } ^ { s } ( \mathbb { R } \setminus \mathbb { Z } ) } { 2 \, s - 1 } } } & { \le \frac { \displaystyle n ^ { \frac { 1 } { 2 } - s } \, \sqrt { \frac { C } { s \, ( 1 - s ) } } \, \| u ^ { \prime } \| _ { L ^ { 2 } ( ( - 1 , 1 ) ) } ^ { s } + C \, \| u \| _ { L ^ { \infty } ( ( - 1 , 1 ) ) } \, \sqrt { 2 \, n + 1 } \, \varepsilon ^ { \frac { 1 } { 2 } - s } \, \sqrt { 2 \, s - 1 } } { \displaystyle n ^ { \frac { 1 } { 2 } } \, \sqrt { 2 \, s - 1 } \, \| u \| _ { L ^ { 2 } ( A _ { \varepsilon } ) } } } \\ & { \le \sqrt { \frac { C } { s \, ( 1 - s ) } } \, \frac { \| u ^ { \prime } \| _ { L ^ { 2 } ( ( - 1 , 1 ) ) } ^ { s } } { \| u \| _ { L ^ { 2 } ( A _ { \varepsilon } ) } } \, \frac { n ^ { - s } } { \sqrt { 2 \, s - 1 } } + C \, \frac { \| u \| _ { L ^ { \infty } ( ( - 1 , 1 ) ) } } { \| u \| _ { L ^ { 2 } ( A _ { \varepsilon } ) } } \, \sqrt { 3 } \, \varepsilon ^ { \frac { 1 } { 2 } - s } . } \end{array}
C ( t ) = - \frac { 1 } { 2 } - \frac { 2 \pi } { \Gamma } \int _ { 0 } ^ { \infty } \left[ \frac { 1 } { \kappa } \zeta _ { 1 1 } ^ { ( 1 ) } + \bar { r } \ln \bar { r } \zeta ^ { ( 0 ) } \right] d \bar { r } \, ,
\mathbf { A } ( \mathbf { r } , t ) = { \frac { 1 } { 4 \pi } } \int { \frac { \nabla \times \mathbf { B } ( { r } ^ { \prime } , t ) } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | } } \mathrm { d } ^ { 3 } \mathbf { r } ^ { \prime }
\frac { 1 } { m } \left[ d ( i \int _ { s _ { 2 } } ^ { s _ { 3 } } t _ { 0 } d s ) \right] ^ { 2 } = - m \sum _ { a , b = 1 } ^ { 8 } { y } _ { 0 } ^ { a } { y } _ { 0 } ^ { b } \rho _ { a } \rho _ { b } .
z _ { i } ( k + 1 ) = z _ { i } ( k ) ^ { b } f ( \frac { s _ { i } ( k ) } { d } ) < f ( \hat { x } ( 1 ) ) ^ { b } f ( \frac { S ( \hat { x } ( 1 ) , 1 ) } { d } ) = f ( \hat { x } ( 1 ) )
\begin{array} { r l } { \mathcal { J } _ { k ; k _ { 1 } , k _ { 2 } ; l } ^ { a ; \mu , \nu ; j _ { 1 } , j _ { 2 } } ( t , \xi ) = \sum _ { i ^ { \prime } = 1 , 2 } } & { \mathcal { J } _ { k ; k _ { 1 } , k _ { 2 } ; l } ^ { a ; \mu , \nu ; j _ { 1 } , j _ { 2 } ; i ^ { \prime } } ( t , \xi ) , \quad \mathcal { J } _ { k ; k _ { 1 } , k _ { 2 } ; l } ^ { a ; \mu , \nu ; j _ { 1 } , j _ { 2 } ; i ^ { \prime } } ( t , \xi ) : = \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } e ^ { i t \Phi _ { \mu , \nu } ^ { a } ( \xi , \eta ) } q _ { \mu , \nu } ^ { a } ( \xi - \eta , \eta ) } \\ & { \times \widehat { h _ { 1 , k _ { 1 } } ^ { \mu } } ( t , \xi - \eta ) \widehat { h _ { 2 , k _ { 2 } } ^ { \nu } } ( t , \eta ) \psi _ { k } ( \xi ) \varphi _ { l ; - m / 2 + \delta m } ( l _ { \mu , \nu } ( \xi , \eta ) ) \varphi _ { \mu , \nu } ^ { i ^ { \prime } } ( \xi , \eta ) d \eta . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { 2 } C ( \ensuremath { P _ { \mathrm { t o t } , 2 } } ) \triangleq } & { \operatorname* { m a x } _ { \{ p _ { m , 2 } \} } \operatorname* { m i n } _ { m = 1 , 2 , \ldots , M } \frac { \ensuremath { \tilde { \gamma } } _ { m , 2 } } { \ensuremath { \gamma _ { \mathrm { t h } } } } } & \\ { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } } & { \sum _ { m = 1 } ^ { M } p _ { m , 2 } \le \ensuremath { P _ { \mathrm { t o t } , 2 } } , } & \\ & { p _ { m , 2 } \ge 0 , \quad m = 1 , 2 , \ldots , M , } & \end{array}
J _ { N } = \frac { d N } { d t } = - \sum _ { \mu } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d \omega } { 2 \pi } \frac { \omega } { 3 \pi \varepsilon _ { 0 } c ^ { 3 } } \operatorname { I m } \left[ \Pi _ { \mu \mu } ^ { \mathrm { t o t } , < } ( \omega ) \right] .
\mu _ { p } : = { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { \theta ^ { 2 } + { \frac { 2 \sigma ^ { 2 } } { \nu } } } } + { \frac { \theta } { 2 } } \quad \quad { \mathrm { a n d } } \quad \quad \mu _ { q } : = { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { \theta ^ { 2 } + { \frac { 2 \sigma ^ { 2 } } { \nu } } } } - { \frac { \theta } { 2 } } \quad .
E ( \eta , \vartheta ) = - \frac { M } { 2 \cos \frac { \pi } { 2 \lambda } } \left( \cos \left( \frac { \eta } { \lambda } \right) + \cosh \left( \frac { \vartheta } { \lambda } \right) - \frac { 1 } { 2 } \cos \left( \frac { \pi } { 2 \lambda } \right) + \frac { 1 } { 2 } \sin \left( \frac { \pi } { 2 \lambda } \right) - \frac { 1 } { 2 } \right) \, .
b = \int Q _ { \theta } ^ { t + d t } \ln \frac { Q _ { \theta } ^ { t + d t } ( x ) } { Q _ { \mathcal { L } } ^ { t } ( x ) } \, \approx \frac { 1 } { N } \sum _ { x \sim Q _ { \theta } ^ { t + d t } } \ln \frac { Q _ { \theta } ^ { t + d t } ( x ) } { Q _ { \mathcal { L } } ^ { t } ( x ) } ,
| l | - \beta + 2 \beta \, { \frac { A _ { 1 } } { B _ { 1 } } } \, { \frac { \Phi ( A _ { 1 } + 1 , B _ { 1 } + 1 ; \beta ) } { \Phi ( A _ { 1 } , B _ { 1 } ; \beta ) } } \sim \nu { \frac { \alpha - \xi _ { l } } { \alpha + \xi _ { l } } }
\begin{array} { r l r } { \hat { \bf L } } & { = } & { \epsilon \int d ^ { 3 } { \bf r } \ \hat { \bf E } ( { \bf r } \cdot \hat { \bf B } ) } \\ & { = } & { \frac { \epsilon } { v } \int d ^ { 3 } { \bf r } \ ( \hat { E } _ { x } , \hat { E } _ { y } , 0 ) \left( - x \hat { E } _ { y } + y \hat { E } _ { x } \right) } \\ & { = } & { 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathrm { S y m } _ { ( j _ { 1 } , j _ { 2 } , j _ { 3 } ) } \left[ e _ { j _ { 1 } } , \left[ e _ { j _ { 2 } } , e _ { j _ { 3 } + 1 } \right] \right] = 0 , } \\ & { } & { \mathrm { S y m } _ { ( j _ { 1 } , j _ { 2 } , j _ { 3 } ) } \left[ f _ { j _ { 1 } } , \left[ f _ { j _ { 2 } } , f _ { j _ { 3 } + 1 } \right] \right] = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle r _ { N } \rangle \equiv \sqrt { \langle r _ { N } ^ { 2 } \rangle } } & { \sim } & { A ^ { 1 / 3 } \, a _ { \mathrm { e f f } } \sim A ^ { 1 / 3 } \, \frac { 3 2 \pi \, m _ { \mathrm { n u c l e o n } } } { g _ { \pi N N } ^ { 2 } m _ { \pi } ^ { 2 } } } \\ & { \sim } & { 2 8 \, \mathrm { f m } \, \left( \frac { A } { 1 7 1 } \right) ^ { 1 / 3 } . } \end{array}