harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
M = - 2 m _ { V } \xi ^ { \prime \dagger } ( q _ { V } \phi - \vec { d } _ { E } \cdot \vec { E } - \frac { 1 } { 2 } x _ { E } ^ { i j } E ^ { i j } - \vec { d } _ { M } \cdot \vec { B } - \frac { 1 } { 2 } x _ { M } ^ { i j } B ^ { i j } ) \xi \, .
\frac { d \sigma } { d t } = { \cal N } _ { 3 g } v \frac { ( 1 - x ) ^ { 0 } } { R ^ { 4 } { \cal { M } } ^ { 4 } } F _ { 3 g } ^ { 2 } ( t ) ( s - m _ { p } ^ { 2 } ) ^ { 2 }
\left. \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \widehat { A } \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \omega t } \, \mathrm { d } t \right| _ { r = 0 } = \frac { \sqrt { \hbar \nu } } { c } \, \mathrm { i } \left( \widehat { a } _ { - \nu } \cosh \zeta + \widehat { a } _ { \nu } ^ { \dagger } \sinh \zeta \right) \, , \quad \nu = \frac { a _ { 1 } } { a _ { 0 } H _ { 0 } } \, \omega \, .
\Psi = { \beta ( x ) } ^ { \nu } e ^ { - \frac { Y ^ { 2 } } { 2 } } { \tau _ { 2 } } ^ { \alpha } \tau _ { 3 } \exp ( - \frac { a } { 2 } \tau _ { 2 } ^ { 2 } - b \tau _ { 2 } ) \left\{ \begin{array} { c } { { p _ { n } ^ { \{ k \} } ( \tau _ { 2 } ) \ , \ k = 0 , 1 , 2 , \ldots n } } \\ { { \phi _ { \{ k \} } ( \tau _ { 2 } , \tau _ { 3 } , \ldots ) } } \end{array} \ , \right.
\cos \left( { \frac { c } { R } } \right) = \cos \left( { \frac { a } { R } } \right) \cos \left( { \frac { b } { R } } \right) + \sin \left( { \frac { a } { R } } \right) \sin \left( { \frac { b } { R } } \right) \cos \gamma \ .
( m _ { \tilde { L } } ^ { 2 } ) _ { 3 2 } \simeq - \frac 1 { 8 \pi ^ { 2 } } ( 3 m _ { 0 } ^ { 2 } + a _ { 0 } ^ { 2 } ) V _ { D 3 3 } ^ { \ast } V _ { D 3 2 } f _ { \nu _ { 3 } } ^ { 2 } \log \frac { M _ { \mathrm { g r a v } } } { M _ { \nu _ { 3 } } } ,
\begin{array} { r l } { w _ { i + 1 } } & { = w _ { i } + \bigg ( \frac { L _ { i + 1 } } { L _ { i } } - 1 \bigg ) w _ { i } + \sigma _ { w } R _ { i + 1 } - \left\lfloor \frac { w _ { i } } { L _ { i } } + \frac { \sigma _ { w } R _ { i + 1 } } { L _ { i + 1 } } + \frac { 1 } { 2 } \right\rfloor L _ { i + 1 } \, , } \\ { L _ { i + 1 } } & { = \overline { { L } } + \sigma _ { L } S _ { i + 1 } \, , } \end{array}
\left| \left( \mathcal P _ { \mathrm { r } , \mathrm { ~ s ~ i ~ m ~ p ~ l ~ e ~ } } ^ { n } + \mathcal P _ { \mathrm { b } , \mathrm { ~ s ~ i ~ m ~ p ~ l ~ e ~ } } ^ { n } + \mathcal P _ { \mathrm { p } , \mathrm { ~ s ~ i ~ m ~ p ~ l ~ e ~ } } ^ { n } \right) - \left( \mathcal P _ { \mathrm { r } , \mathrm { ~ s ~ i ~ m ~ p ~ l ~ e ~ } } ^ { 0 } + \mathcal P _ { \mathrm { b } , \mathrm { ~ s ~ i ~ m ~ p ~ l ~ e ~ } } ^ { 0 } + \mathcal P _ { \mathrm { p } , \mathrm { ~ s ~ i ~ m ~ p ~ l ~ e ~ } } ^ { 0 } \right) \right| \, , \quad n = 0 , 1 0 , 2 0 , \hdots \, ,
\begin{array} { r l } { 0 = } & { \int \frac { \partial F _ { k } } { \partial x } ( x , z ) \frac { \partial G _ { k } } { \partial y } ( z , y ) \mu _ { k } ( x , y ; d z ) - \int \frac { \partial F _ { k } } { \partial x } ( x , z ) \mu _ { k } ( x , y ; d z ) \int \frac { \partial G _ { k } } { \partial y } ( z , y ) } \\ { = } & { 2 ^ { - 1 } \int \int \left( \frac { \partial F _ { k } } { \partial x } ( x , z ) - \frac { \partial F _ { k } } { \partial x } ( x , z ^ { \prime } ) \right) \left( \frac { \partial G _ { k } } { \partial y } ( z , y ) - \frac { \partial G _ { k } } { \partial y } ( z ^ { \prime } , y ) \right) \mu _ { k } ( x , y ; d z ) \mu _ { k } ( x , y ; d z ^ { \prime } ) . } \end{array}
\begin{array} { l l l l } { { \mathrm { f o r ~ } \phi = + 1 } } & { { ~ : ~ } } & { { ( i ^ { k } , 1 , \pm 1 , \pm 1 , \pm 1 , 1 ) } } & { { , ( k = 0 , . . . , 3 ) ~ , } } \\ { { \mathrm { f o r ~ } \phi = - 1 } } & { { ~ : ~ } } & { { ( i ^ { k } e ^ { i \pi / 4 } , 1 , \pm 1 , \pm 1 , \pm 1 , 1 ) } } & { { , ( k = 0 , . . . , 3 ) \; , } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \nabla ^ { \bot } \cdot \nabla _ { \bot } } & { { } = \nabla _ { \bot } \cdot \nabla ^ { \bot } = 0 , } & { u ^ { \bot } \cdot u _ { \bot } } & { { } = u _ { \bot } \cdot u ^ { \bot } = 0 , } \\ { \widehat { n } \times ( J u _ { \bot } ) } & { { } = \widehat { J } u ^ { \bot } , } & { \widehat { n } \times u ^ { \bot } } & { { } = - u _ { \bot } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \nu } _ { \alpha } \left( \mathbf { D } - \frac { 1 } { d } ( \mathrm { d i v } \mathbf { v } _ { \alpha } ) \mathbf { I } \right) : \left( \mathbf { D } - \frac { 1 } { d } ( \mathrm { d i v } \mathbf { v } _ { \alpha } ) \mathbf { I } \right) = } & { { } ~ 0 , } \\ { \tilde { \nu } _ { \alpha } \left( \lambda _ { \alpha } + \frac { 2 } { d } \right) \left( \mathrm { d i v } \mathbf { v } _ { \alpha } \right) ^ { 2 } = } & { { } ~ 0 , } \\ { R _ { \alpha { \beta } } \| \mathbf { w } _ { \alpha } - \mathbf { w } _ { \beta } \| ^ { 2 } = } & { { } ~ 0 , } \\ { \hat { m } _ { \alpha } \left( g _ { \alpha } - g _ { N } \right) ^ { 2 } = } & { { } ~ 0 , } \end{array}
\psi ( \mathbf { r } ) - \bar { \psi } = \sum _ { n = 1 } ^ { N } \underbrace { \eta _ { n } \mathcal { B } _ { n } } _ { \widetilde { \eta } _ { n } } e ^ { \mathrm { i } \mathbf { k } _ { n } \cdot \mathbf { r } } + \mathrm { ~ c ~ . ~ c ~ . ~ } ,
\bar { C } ( \hat { \varpi } , \hat { p } ) = { 2 { \hat { f } _ { * } } ( \hat { \varpi } , \hat { p } ) } / \big ( { \hat { \varpi } ^ { 2 } + \hat { p } ^ { 4 } { \hat { f } _ { * } } ^ { 2 } ( \hat { \varpi } , \hat { p } ) } \big )
I _ { 0 } \left[ A _ { \alpha } ^ { \; \; ( \lambda ) } \right] = \int d ^ { 3 } x \varepsilon ^ { \alpha \beta \gamma } A _ { \alpha ( \lambda ) } \partial _ { \beta } A _ { \gamma } ^ { \; \; ( \lambda ) } , \; \delta _ { \epsilon } A _ { \alpha } ^ { \; \; ( \lambda ) } = \partial _ { \alpha } \epsilon ^ { ( \lambda ) } ,
\begin{array} { r l } { \hat { \Psi } ( \mathbf { x } ) } & { { } = \left( \hat { \Psi } _ { + 1 } ( \mathbf { x } ) , \, \hat { \Psi } _ { 0 } ( \mathbf { x } ) , \, \hat { \Psi } _ { - 1 } ( \mathbf { x } ) \right) ^ { T } } \end{array}
I _ { 2 } ( y , a , b , d ) = \frac { 1 } { a } h ( d ) \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \int d p \, p ^ { d - 3 } \frac { 1 } { \sqrt { \vec { p } ^ { \, 2 } + m ^ { 2 } + ( \frac { n \pi } { a } ) ^ { 2 } } } \frac { \cosh ( ( b - 2 y ) \sqrt { \vec { p } ^ { \, 2 } + m ^ { 2 } + ( \frac { n \pi } { a } ) ^ { 2 } } ) } { \sinh ( b \sqrt { \vec { p } ^ { \, 2 } + m ^ { 2 } + ( \frac { n \pi } { a } ) ^ { 2 } } ) }
\frac { 1 } { M ^ { ( p ) } } : = S ^ { ( p ) } - \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \sum _ { j = 1 } ^ { 3 } \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \sum _ { \ell = 1 } ^ { 3 } S _ { i j k \ell } \alpha _ { i j } ^ { ( p ) } \alpha _ { k \ell } ^ { ( p ) } \, ,
\begin{array} { r l } & { \oplus \bigl ( T _ { f } ^ { \vee , + } ( 1 - r ) \otimes \xi _ { 1 } ^ { - 1 } \xi _ { 2 } ^ { - \mathbf { c } } \Psi _ { W _ { 2 } } ^ { 1 - \mathbf { c } } \bigr ) , } \\ & { \oplus T _ { f } ^ { \vee , + } ( 1 - r ) \otimes \xi _ { 1 } ^ { - 1 } \xi _ { 2 } ^ { - \mathbf { c } } \Psi _ { W _ { 2 } } ^ { 1 - \mathbf { c } } , } \end{array}
\mathrm { s _ { A } \mathrm { \overline { { s } } _ { B } \mathrm { z _ { A } \mathrm { \overline { { z } } _ { B } \mathrm { x _ { A } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } \mathrm { y _ { A } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } } } } } } } } }
\begin{array} { r l } { \gamma _ { B } ( z ) } & { = \operatorname* { i n f } \{ \lambda > 0 \mid \frac { z } { \lambda } \in B \} } \\ & { = \operatorname* { i n f } \{ \lambda > 0 \mid \| z - \lambda ( \bar { y } - \bar { \zeta } ) \| ^ { 2 } \leq \lambda ^ { 2 } r ^ { 2 } \} } \\ & { = \operatorname* { i n f } \{ \lambda > 0 \mid ( \bar { 2 } \zeta ^ { T } \bar { y } - \| \bar { y } \| ^ { 2 } ) \lambda ^ { 2 } + 2 \lambda ( \bar { y } - \bar { \zeta } ) ^ { T } z - \| z \| ^ { 2 } \geq 0 \} } \\ & { = \left\{ \begin{array} { r l r } & { \frac { \| z \| ^ { 2 } } { 2 ( \bar { y } - \bar { \zeta } ) ^ { T } z } , } & { \| \bar { y } \| ^ { 2 } = 2 \zeta ^ { T } \bar { y } } \\ & { \frac { - ( \bar { y } - \bar { \zeta } ) ^ { T } z + \sqrt { ( ( \bar { y } - \bar { \zeta } ) ^ { T } z ) ^ { 2 } + ( 2 \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } - \| \bar { y } \| ^ { 2 } ) \| z \| ^ { 2 } } } { 2 \bar { \zeta } ^ { T } \bar { y } - \| \bar { y } \| ^ { 2 } } , } & { \| \bar { y } \| ^ { 2 } \neq 2 \zeta ^ { T } \bar { y } \ . } \end{array} \right. } \end{array}
\mathbb E \left[ \sum _ { t = 1 } ^ { T } \langle \mathbf g _ { t } , \vec { \theta } _ { t } \rangle \right] - \mathbb E \left[ \sum _ { t = 1 } ^ { T } g _ { t , a _ { t } } \right] \le ( 1 + V ) \mathbb E \left[ \eta _ { T } ^ { - 1 } \ln \frac 1 { \beta _ { T } } \right] + e \mathbb E \left[ \sum _ { t = 1 } ^ { T } \eta _ { t } \lVert \mathbf g _ { t } \rVert _ { 2 } ^ { 2 } \right] + \mathbb E \left[ \sum _ { t = 1 } ^ { T } \gamma _ { t } \langle \mathbf g _ { t } , \mathbf e _ { t } \rangle \right] .
\begin{array} { r l r } { \! h _ { m , k } ^ { d } } & { = \! \sqrt { \epsilon _ { o } \left( d _ { m } ^ { d } \right) ^ { - \alpha _ { d } } } \tilde { h } ^ { d } , \forall m , k , } & \\ { \! h _ { \iota , \kappa } ^ { b r } } & { = \! \sqrt { \epsilon _ { o } \left( d _ { \iota , \kappa } ^ { b r } \right) ^ { - \alpha _ { b r } } } \left( \! \sqrt { \frac { K _ { 1 } } { 1 \! + \! K _ { 1 } } } h _ { l o s } ^ { b r } \! + \! \sqrt { \frac { 1 } { 1 \! + \! K _ { 1 } } } h _ { n l o s } ^ { b r } \! \right) , \forall \iota , \kappa , } & \\ { \! h _ { \iota , \kappa , m } ^ { r u } } & { = \! \sqrt { \epsilon _ { o } \left( d _ { \iota , \kappa , m } ^ { r u } \right) ^ { - \alpha _ { r u } } } \left( \! \sqrt { \frac { K _ { 2 } } { 1 \! + \! K _ { 2 } } } h _ { l o s } ^ { r u } \! + \! \sqrt { \frac { 1 } { 1 \! + \! K _ { 2 } } } { h } _ { n l o s } ^ { r u } \! \right) , \forall \iota , \kappa , m , } & \\ { \! h _ { m , k } ^ { J d } } & { = \! \sqrt { \epsilon _ { o } \left( d _ { m } ^ { J d } \right) ^ { - \alpha _ { J d } } } \tilde { h } ^ { J d } , \forall m , k , } & \\ { \! h _ { \iota , \kappa } ^ { J r } } & { = \! \sqrt { \epsilon _ { o } \left( d _ { \iota , \kappa } ^ { J r } \right) ^ { - \alpha _ { J r } } } \left( \! \sqrt { \frac { K _ { 3 } } { 1 \! + \! K _ { 3 } } } h _ { l o s } ^ { J r } \! + \! \sqrt { \frac { 1 } { 1 \! + \! K _ { 3 } } } h _ { n l o s } ^ { J r } \! \right) , \forall \iota , \kappa , } & \end{array}
\mathbb { E } [ J ^ { i } ( \mathsf { u } ^ { i \star } , \mathsf { u } ^ { - i \star } ) ] = \frac { 1 } { 2 } \alpha _ { 0 } ^ { i } \mathbb { E } [ ( x _ { 0 } - \mathbb { E } [ x _ { 0 } ] ) ^ { 2 } ] + \frac { 1 } { 2 } \bar { \alpha } _ { 0 } ^ { i } \mathbb { E } [ x _ { 0 } ] ^ { 2 } + \beta _ { 0 } ^ { i } \mathbb { E } [ x _ { 0 } ] + \gamma _ { 0 } ^ { i }
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { d S S H } = } & { { } \sum _ { x \ne 0 } \omega _ { o } a _ { x } ^ { \dagger } a _ { x } + \sum _ { x } \omega _ { o } b _ { x } ^ { \dagger } b _ { x } + \sum _ { x \ne 0 } v \big ( a _ { x } ^ { \dagger } b _ { x } + b _ { x } ^ { \dagger } a _ { x } \big ) } \end{array}
E _ { \mathcal { P } } ^ { \pm } \mathcal { P } F = \left( \begin{array} { l l } { E _ { P } ^ { \pm } } & { - E _ { P } ^ { \pm } R E _ { Q - S E _ { P } ^ { \pm } R } ^ { \pm } } \\ { 0 } & { E _ { Q - S E _ { P } ^ { \pm } R } ^ { \pm } } \end{array} \right) L ^ { - 1 } L \left( \begin{array} { l l } { P } & { R } \\ { 0 } & { Q - S E _ { P } ^ { \pm } R } \end{array} \right) F = F
\begin{array} { r l r } { B ( u _ { h } ^ { k , 1 } ; e _ { H } ^ { k } , v _ { H } ) } & { = } & { B ( u _ { h } ^ { k , 1 } ; u _ { h } ^ { k + 1 } - u _ { h } ^ { k } , v _ { H } ) } \\ & { = } & { B ( u _ { h } ^ { k , 1 } ; u _ { h } ^ { k + 1 } - u _ { h } + u _ { h } - u _ { h } ^ { k } , v _ { H } ) } \\ & { = } & { B ( u _ { h } ^ { k , 1 } ; E _ { k } - E _ { k + 1 } , v _ { H } ) } \\ & { \lesssim } & { \| E _ { k } - E _ { k + 1 } \| _ { 1 } \| v _ { H } \| _ { 1 } } \\ & { \leq } & { \left( \| E _ { k } \| _ { 1 } + \| E _ { k + 1 } \| _ { 1 } \right) \| v _ { H } \| _ { 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { P _ { t } = \left\{ \begin{array} { l l } { \exp \left( - \frac { \Delta E } { k _ { B } T } \right) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \Delta E > 0 } \\ { 1 , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right. , } \end{array}
\frac { \delta ^ { n } \langle q _ { 2 } | q _ { 1 } \rangle } { \delta J _ { i _ { 1 } } \cdots \delta J _ { i _ { n } } } = = i ^ { n } \langle q _ { 2 } | T ( q ^ { i _ { 1 } } \cdots q ^ { i _ { n } } ) | q _ { 1 } \rangle
R ^ { D } ( \lambda ) = R ^ { C } ( \lambda ) \ ; \ L _ { 1 \ell } ^ { D } ( \lambda ) = R _ { 1 \ell } ^ { D } ( \lambda - i / 2 ) = F L _ { 1 \ell } ^ { A } ( \lambda ) F \ ; \, t i l d e { R } ^ { D } ( \lambda ) = \tilde { R } ^ { B } ( \lambda ) \ ;
\begin{array} { r l } { \pi _ { D | C } = } & { { } ~ \frac { 1 - w _ { I } } { k } \left( b + \sum _ { k _ { C } ^ { \prime } = 0 } ^ { k - 1 } { \frac { ( k - 1 ) ! } { k _ { C } ^ { \prime } ! ( k - k _ { C } ^ { \prime } - 1 ) ! } q _ { C | D } ^ { k _ { C } ^ { \prime } } q _ { D | D } ^ { k - k _ { C } ^ { \prime } - 1 } k _ { C } ^ { \prime } b } \right) } \\ { = } & { { } ~ \frac { 1 - w _ { I } } { k } [ 1 + ( k - 1 ) q _ { C | D } ] b . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 y _ { 2 } ^ { 2 } z _ { 1 } ^ { 2 } ( x _ { 1 } ^ { 2 } - p ^ { 2 } ) = c ^ { 2 } p ^ { 2 } x _ { 1 } ^ { 2 } x _ { 2 } ^ { 2 } } & { + 3 c ^ { 4 } p ^ { 2 } x _ { 1 } ^ { 2 } x _ { 2 } ^ { 2 } - c ^ { 2 } x _ { 1 } ^ { 4 } x _ { 2 } ^ { 2 } - 3 c ^ { 4 } x _ { 1 } ^ { 4 } x _ { 2 } ^ { 2 } + 2 x _ { 1 } ^ { 2 } y _ { 2 } ^ { 2 } - 2 c ^ { 2 } x _ { 1 } ^ { 2 } y _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { + 2 p ^ { 2 } x _ { 1 } ^ { 2 } y _ { 2 } ^ { 2 } - 2 x _ { 1 } ^ { 4 } y _ { 2 } ^ { 2 } - 2 p ^ { 2 } x _ { 2 } ^ { 2 } y _ { 2 } ^ { 2 } + 2 x _ { 1 } ^ { 2 } x _ { 2 } ^ { 2 } y _ { 2 } ^ { 2 } - 2 p ^ { 2 } y _ { 2 } ^ { 4 } + 2 x _ { 1 } ^ { 2 } y _ { 2 } ^ { 4 } . } \end{array}
\bar { \tau } _ { k } | \bar { g } _ { k } ^ { T } \bar { d } _ { k } | \leq \left( \frac { \operatorname* { m a x } \{ \kappa _ { H } , \kappa _ { y } \} } { \kappa _ { l } } + \frac { \sqrt { \bar { \tau } _ { k } } \left( 1 + \kappa _ { H } \zeta ^ { - 1 } \right) \kappa _ { \mathrm { F O } } \alpha _ { k } } { \sqrt { \kappa _ { l } } } \right) \Delta l ( x _ { k } , \bar { \tau } _ { k } , \bar { g } _ { k } , \bar { d } _ { k } ) .
\Delta _ { N } = \frac { N ^ { 2 } - 1 } { 2 } ( [ \mathbf { X _ { 3 } ^ { N } } , [ \mathbf { X _ { 3 } ^ { N } } , \cdot ] ] - \frac { 1 } { 2 } [ \mathbf { X _ { + } ^ { N } } , [ \mathbf { X _ { - } ^ { N } } , \cdot ] ] - \frac { 1 } { 2 } [ \mathbf { X _ { - } ^ { N } } , [ \mathbf { X _ { + } ^ { N } } , \cdot ] )
\begin{array} { r } { H _ { s } ( s , \gamma ) = G _ { s s } - \frac { G _ { s \gamma } ^ { 2 } } { G _ { \gamma \gamma } } , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad H _ { \gamma } ( s , \gamma ) = G _ { \gamma \gamma } - \frac { G _ { s \gamma } ^ { 2 } } { G _ { s s } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { n _ { 3 } ( q _ { B } ) } & { { } = } & { 2 \chi ^ { ( B ) } \overset { * } { ( } q _ { B } ) \int d ^ { D } p _ { B } \frac { \chi ^ { ( A ) } ( \lvert \textbf { p } _ { B } - \textbf { q } _ { B } / 2 \rvert ) } { \left( E _ { 3 } + p _ { B } ^ { 2 } + q _ { B } ^ { 2 } \frac { \mathcal { A } + 2 } { 4 \mathcal { A } } \right) ^ { 2 } } , \ \ \ \ \ \ } \end{array}
H ^ { 1 } ( d P _ { 9 } , { \cal O } _ { d P _ { 9 } } ( 6 \sigma | _ { d P _ { 9 } } - F ) ) | _ { b _ { - 5 } } = H ^ { 0 } ( { \cal S } , { \cal O } _ { { \cal S } } ( 3 ) ) ^ { * }
W ^ { \mu ; \nu } ( s _ { p } ) = \sum _ { s _ { f i n } } \bar { u } ( p ^ { \prime } , s _ { f i n } ) V _ { p g g } ^ { \mu } ( p , t , x _ { P } ) u ( p , s _ { p } ) \bar { u } ( p , s _ { p } ) V _ { p g g } ^ { \star \, \nu } ( p , t , x _ { P } ) u ( p ^ { \prime } , s _ { f i n } ) ,
\begin{array} { r l } & { { \widetilde { \mu } ( \xi , \eta ) : = \mu ( x , y ) = \lambda _ { 0 } - c _ { 1 } \left( \frac { \xi + \eta } { 2 } \right) + c _ { 1 } \left( \frac { \xi - \eta } { 2 } \right) } , } \\ & { \widetilde { \mathcal { G } } ( z , \xi , \eta ) : = f \left( z , \frac { \xi - \eta } { 2 } \right) G \left( \frac { \xi + \eta } { 2 } + z , \frac { \xi + \eta } { 2 } - z \right) . } \end{array}
B _ { e , k _ { 0 } } = B _ { e , - k _ { 0 } } , ~ ~ ~ ~ ~ B _ { o , k _ { 0 } } = - B _ { o , - k _ { 0 } } , ~ ~ ~ ~ ~ ~ \frac { d M } { d k } | _ { k _ { 0 } } = - \frac { d M } { d k } | _ { - k _ { 0 } }
K _ { 3 } w _ { l , m } = - i { \frac { ( l - 1 ) ( l + 3 ) } { ( 2 l + 3 ) } } \ C _ { l + 1 , m } \ w _ { l + 1 , m } + i ( 2 l + 1 ) \ C _ { l , m } \ w _ { l - 1 , m } ,
d S ^ { 2 } = { H _ { 6 } } ^ { - 1 / 2 } [ d u d v - \mu ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } { z ^ { i } } ^ { 2 } d u ^ { 2 } + \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } d z ^ { i } d z ^ { i } + d \tilde { x } ^ { 2 } ] + { H _ { 6 } } ^ { 1 / 2 } ( d r ^ { 2 } + r ^ { 2 } d { \Omega _ { 2 } } ^ { 2 } ) ,
d [ \sigma ] = \prod _ { j = 1 } ^ { 2 } \prod _ { p , q } d ( \mathrm { R e } \, \sigma _ { p q } ^ { j j } ) d ( \mathrm { I m } \, \sigma _ { p q } ^ { j j } ) \prod _ { j \neq l } \prod _ { p , q } d \sigma _ { p q } ^ { j l * } d \sigma _ { p q } ^ { j l }
g ^ { - 1 } = { \frac { 4 } { \xi _ { i } ^ { n } \xi _ { j } ^ { m } \lambda _ { , \bar { z } } ^ { i } \lambda _ { , z } ^ { j } \{ \sigma _ { m } , \sigma _ { n } \} } } [ d \bar { z } \otimes d \bar { z } + d z \otimes d z + \xi _ { k } ^ { s } ( { \frac { \partial \sigma _ { s } } { \partial p } } d p - { \frac { \partial \sigma _ { s } } { \partial q } } d q ) \otimes d \lambda ^ { k } ] .
\begin{array} { r l } { \mathbf { u } _ { 2 , 0 } ^ { \mathrm { ~ ( ~ S ~ ) ~ } } } & { { } = \frac { \Theta ( r ) } { r } \int _ { 0 } ^ { r } \tilde { r } \Theta ( \tilde { r } ) \, d \tilde { r } \, \mathbf { e } _ { r } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { Q } _ { t + 1 , z ^ { \prime } } } & { = } & { \mathbb { E } \left[ \frac { Y _ { t + 1 , z ^ { \prime } } - \varepsilon _ { t + 1 , z ^ { \prime } } } { c _ { z } } | \hat { y } _ { t + 1 , z ^ { \prime } } \right] , } \\ & { = } & { \frac { 1 } { c _ { z } } \mathbb { E } \left[ Y _ { t + 1 , z ^ { \prime } } | \hat { y } _ { t + 1 , z ^ { \prime } } \right] - \frac { 1 } { c _ { z } } \mathbb { E } \left[ \varepsilon _ { t + 1 , z ^ { \prime } } | \hat { y } _ { t + 1 , z ^ { \prime } } \right] , } \\ & { = } & { \frac { \hat { y } _ { t + 1 , z ^ { \prime } } } { c _ { z } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { z } & { { } \leftarrow \frac { z } { \sqrt { 2 } \lambda _ { D } } , } \\ { t } & { { } \leftarrow \omega _ { p } t , } \\ { v } & { { } \leftarrow \frac { v } { v _ { t h } } , } \\ { f } & { { } \leftarrow \frac { v _ { t h } } { n } f , } \\ { \varphi } & { { } \leftarrow \frac { e } { k _ { B } T } \varphi , } \end{array}
\sum _ { i = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { i } } { i ! } } = 1 - { \frac { 1 } { 1 ! } } + { \frac { 1 } { 2 ! } } - { \frac { 1 } { 3 ! } } + \cdots = { \frac { 1 } { e } }
\begin{array} { r l } { \langle \psi , \, \tilde { K } _ { \delta } \psi \rangle } & { = \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 d } } d u \, d v \, \overline { { \psi } } ( u + v / 2 ) \, f ( \sqrt { \delta } \, v ) \mathfrak { K } _ { 0 } \big ( u + F ( \delta \, u ) \, , \, v \big ) \, { \psi } ( u - v / 2 ) } \\ & { = \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } d y \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 d } } d u \, d v \, \overline { { \psi } } ( u + v / 2 ) \, f ( \sqrt { \delta } \, v ) \mathfrak { K } _ { 0 } \big ( u + F ( \delta \, u ) \, , \, v \big ) \, \times } \\ & { \qquad \qquad \times \left( \frac { \delta } { 4 \pi } \right) ^ { d / 2 } \, e ^ { - \delta \frac { | u - y | ^ { 2 } } { 4 } } \, { \psi } ( u - v / 2 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \Phi ( M , t ) } } & { { } \partial _ { 1 } ( \tilde { \psi } ( x , t ) x _ { 1 } ) F ^ { \prime } ( x _ { 2 } ) \mathrm { d } x _ { 1 } \mathrm { d } x _ { 2 } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { \Phi _ { c } ( M , t ) } \partial _ { 1 } ( \tilde { \psi } ( x , t ) x _ { 1 } ) F ^ { \prime } ( c ) \mathrm { d } x _ { 1 } \mathrm { d } c } \end{array}
2 U ( \tilde { a } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { { \tilde { a } } ^ { 2 } - { \tilde { \mu } } { \tilde { a } } ^ { 4 } \ \ \ } } & { { \mathrm { z \geq z _ { G U T } } } } \\ { { ( \tilde { a } - { \tilde { \gamma } } ) ^ { 2 } - { \tilde { \beta } } ^ { 2 } } } & { { \mathrm { z \leq z _ { G U T } } } } \end{array} \right.
2 A ( { \bf r ^ { \prime \prime } } , { \bf r ^ { \prime } } , { \bf r } ) = ( { \bf r } ^ { \prime } - { \bf r } ) \times ( { \bf r } - { \bf r } ^ { \prime \prime } ) = { \bf r } ^ { \prime \prime } \times { \bf r } ^ { \prime } + { \bf r } ^ { \prime } \times { \bf r } + { \bf r } \times { \bf r } ^ { \prime \prime }
P ( \tilde { \mu } _ { L } - \tilde { \mu } _ { R } ) = \frac { 1 } { 4 } m _ { \tau } \mu \tan \beta \sin 2 \theta _ { L } \sin 2 \theta _ { R } \left( \frac { m _ { 2 } ^ { 2 } - m _ { 3 } ^ { 2 } } { m _ { 2 } ^ { 2 } m _ { 3 } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \ \ ,
\begin{array} { r l } { \Delta ^ { t - \sigma + 5 \zeta } } & { \leq 2 \sum _ { I \in \mathcal { A } _ { \theta } } \sum _ { B \in \mathcal { B } ( \mathbf { T } _ { 0 } ) } \mu ( \pi ^ { - 1 } ( I ) \cap ( B \cap K _ { 0 } \cap K _ { \theta } ) ) } \\ & { \stackrel { \lesssim } | \mathcal { A } _ { \theta } | \cdot | \mathcal { B } ( \mathbf { T } _ { 0 } ) | \cdot \Delta ^ { - \sigma } \cdot \delta ^ { t - O _ { \zeta } ( \epsilon ) } \stackrel { \lesssim } | \mathcal { A } _ { \theta } | \cdot \Delta ^ { - 2 \sigma } \cdot \delta ^ { t - O _ { \zeta } ( \epsilon ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \mathcal { F } ( \Phi _ { j , k } ) ( \xi ) | } & { \leq A _ { \alpha } ^ { d } \prod _ { i = 1 } ^ { d } | D _ { j _ { i } } | ^ { 1 / 2 } \cdot \exp \left( - a _ { \alpha } \big | | D _ { j _ { i } } | \xi _ { i } - k _ { i } \big | ^ { 1 - \alpha } \right) } \\ & { \le A _ { \alpha } ^ { d } \cdot \mathrm { d e t } ( M _ { j } ) ^ { 1 / 2 } \cdot \exp \left( - a _ { \alpha } \big | M _ { j } ( \xi - \xi _ { j , k } ) \big | ^ { 1 - \alpha } \right) , } \end{array}
T _ { \phantom { a _ { 1 } \ldots a _ { p } } b _ { 1 } \ldots b _ { q } } ^ { a _ { 1 } \ldots a _ { p } } = \sum _ { c _ { 1 } , \dots , c _ { p } } \sum _ { d _ { 1 } , \dots , d _ { q } } P _ { \phantom { a _ { 1 } } c _ { 1 } } ^ { a _ { 1 } } \cdots P _ { \phantom { a _ { p } } c _ { p } } ^ { a _ { p } } Q _ { \phantom { d _ { 1 } } b _ { 1 } } ^ { d _ { 1 } } \cdots Q _ { \phantom { d _ { q } } b _ { q } } ^ { d _ { q } } T _ { \phantom { c _ { 1 } \ldots c _ { p } } d _ { 1 } \ldots d _ { q } } ^ { c _ { 1 } \ldots c _ { p } } .
\begin{array} { r l } & { J ^ { \theta ^ { \star } } ( u ) - J ^ { \theta ^ { \star } } ( u ^ { \theta ^ { \star } } ) } \\ & { = \mathbb { E } \Bigg [ - \int _ { 0 } ^ { T } \big ( Z _ { t } ^ { \theta ^ { \star } , u } - Z _ { t } ^ { \theta ^ { \star } , u ^ { \theta ^ { \star } } } \big ) \big ( u _ { t } - u _ { t } ^ { \theta ^ { \star } } \big ) d t - \lambda \int _ { 0 } ^ { T } \big ( u _ { t } ^ { \theta ^ { \star } } - u _ { t } \big ) ^ { 2 } d t } \\ & { \qquad - \phi \int _ { 0 } ^ { T } \big ( Q _ { t } ^ { u } - Q _ { t } ^ { u ^ { \theta ^ { \star } } } \big ) ^ { 2 } d t - \varrho \big ( Q _ { T } ^ { u } - Q _ { T } ^ { u ^ { \theta ^ { \star } } } \big ) ^ { 2 } \Bigg ] . } \end{array}