harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { l c r } { { P ( W _ { 2 } ) = ( y ^ { 2 } + x ^ { 3 } + z ^ { 6 } + \mu x y z ) + w ( x ^ { { \frac { 3 } { 2 } } } z ^ { { \frac { 3 } { 2 } } } ) + w ^ { 2 } ( y + x z ) + w ^ { 3 } x ^ { { \frac { 1 } { 2 } } } z ^ { { \frac { 1 } { 2 } } } + w ^ { 4 } . } } \end{array}
\begin{array} { r } { { \bf W } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) = \left( \begin{array} { l l } { W ^ { p , p } } & { W ^ { p , v } } \\ { W ^ { v , p } } & { W ^ { v , v } } \end{array} \right) ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) , } \end{array}
S = \frac { 1 } { 2 } \int d ^ { 4 } x \int _ { - 1 / \alpha } ^ { 1 / \alpha } \left( - e ^ { - 2 \sigma ( z ) } \delta ^ { I J } \partial _ { I } \Phi \partial _ { J } \Phi + \Phi \partial _ { z } \left( e ^ { - 4 \sigma ( z ) } \partial _ { z } \Phi \right) + M _ { 5 } ^ { 2 } e ^ { - 4 \sigma ( z ) } \Phi ^ { 2 } \right)
\begin{array} { r l } { { ^ { \mathrm { t } } u } ( \delta _ { x } \circ T ) ( y ) } & { = u ( y ) ( \delta _ { x } \circ T ) = ( T _ { 1 } ^ { \ast } u ) ( y ) ( \delta _ { x } ) = \psi _ { 2 } ^ { - 1 } ( g ) ( y ) ( \delta _ { x } ) = { ^ { t } ( R _ { g } ^ { t } ) } ( y ) ( \delta _ { x } ) } \\ & { = \delta _ { x } ( y \circ g ) = y ( g ( x ) ) = \mathcal { J } ( g ( x ) ) ( y ) . } \end{array}
\phi ( r ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \mathrm { ~ i f ~ } 0 \leq r \leq \frac { 1 } { 3 } , } \\ { \frac { 1 } { 2 } + 5 4 \Big ( r - \frac { 1 } { 2 } \Big ) ^ { 3 } - \frac { 9 } { 2 } \Big ( r - \frac { 1 } { 2 } \Big ) } & { \mathrm { ~ i f ~ } \frac { 1 } { 3 } < r \leq \frac { 2 } { 3 } , } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ i f ~ } r > \frac { 2 } { 3 } . } \end{array} \right.
\frac { C } { \chi } = \frac { ( 2 + \sqrt { 3 } ) F } { 4 } , \quad \gamma = \frac { 1 + F } { \sqrt { 4 + 2 \sqrt { 3 } } \sqrt { F } } , \quad B = \frac { F } { 2 } + ( \sqrt { 3 } - 1 ) ( F + 1 ) ,
\begin{array} { r l } { \psi ^ { n - k } \left( \frac { t } { \vartheta n } \right) } & { = \exp \left( - \frac { t ^ { 2 } } { 2 } \right) \left[ 1 - ( \alpha _ { k } ^ { 2 } - 1 ) \frac { t ^ { 2 } } { 2 } - \frac { \iota ( \alpha _ { k } t ) ^ { 3 } } { 6 \sqrt { n - k } } \mathbb { E } \left( \frac { \ell _ { 1 } } { \sigma _ { \ell } } \right) ^ { 3 } \right] } \\ & { \qquad + O \left( ( \alpha _ { k } ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } p ( t ) \exp { ( - t ^ { 2 } / 2 ) } \right) + o \left[ \frac { ( | t | ^ { 3 } + t ^ { 6 } ) } { \sqrt { n } } \exp ( - ( \alpha _ { k } t ) ^ { 2 } / 4 ) \right] . } \end{array}
{ \cal W } _ { D E } = \frac { - 4 } { \eta ^ { 2 } ( T ) \eta ^ { 2 } ( \frac { U ^ { \prime } } { 3 } ) 3 } ( \partial _ { T } \log \eta ( T ) ) ( \partial _ { U ^ { \prime } } \log \eta ( \frac { U ^ { \prime } } { 3 } ) )
\Gamma _ { 2 } \left( x \right) \equiv \int _ { C _ { \zeta x } } { d z ^ { \nu } } \, a _ { \nu } \left( z \right) \equiv \int _ { 0 } ^ { 1 } { d \lambda \, x ^ { i } } a _ { i } \left( { \lambda x } \right) = 0 .
\frac { r _ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ c ~ r ~ i ~ } } } { r _ { \mathrm { { o } } } } \sim \Bigg ( \frac { V _ { 0 } ^ { 2 } } { | 3 w + 1 | } \Bigg ) ^ { \frac { 1 } { | 3 w + 1 | } } \equiv \frac { r _ { \mathrm { { \scriptsize d f } } } } { r _ { \mathrm { { o } } } } ,
M _ { 0 } \boldsymbol { v } _ { 3 } = ( 0 , \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ( \nu _ { 0 } + \nu _ { 2 } ) \nu _ { 0 } \Delta , - \frac { 1 } { 2 } ( \nu _ { 0 } + \nu _ { 2 } ) i U _ { 0 } \Delta , 0 , 0 , 0 ) ^ { T } ,
\begin{array} { r l } & { ~ \log \mathbb { E } \exp ( \theta _ { 1 } X _ { n } ( t _ { 1 } ) + \theta _ { 2 } X _ { n } ( t _ { 2 } ) ) } \\ { = } & { ~ ( e ^ { - \tilde { \theta } _ { 1 } - \tilde { \theta } _ { 2 } } - e ^ { - \tilde { \theta } _ { 1 } } ) \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { 1 } } \bar { F } ( n _ { 2 } - j ) + ( e ^ { - \tilde { \theta } _ { 1 } } - 1 ) \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { 1 } } \bar { F } ( n _ { 1 } - j ) + ( e ^ { - \tilde { \theta } _ { 2 } } - 1 ) \sum _ { j = n _ { 1 } + 1 } ^ { n _ { 2 } } \bar { F } ( n _ { 2 } - j ) } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ + ( e ^ { \tilde { \theta } _ { 1 } + \tilde { \theta } _ { 2 } } - 1 ) \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } ( \bar { F } ( j ) - \bar { F } ( n _ { 1 } + j ) ) + ( e ^ { \tilde { \theta } _ { 2 } } - 1 ) \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } ( \bar { F } ( n _ { 1 } + j ) - \bar { F } ( n _ { 2 } + j ) ) + o ( 1 ) } \end{array}
j _ { \mu } ( x ) = = - \frac { i e } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \int d ^ { 4 } k e ^ { - i k \cdot x } \left( \frac { p _ { \mu } ^ { i } } { p ^ { i } \cdot k } - \frac { p _ { \mu } ^ { f } } { p ^ { f } \cdot k } \right) ,
p = \frac { v _ { 0 } ^ { 2 } \sin ( 2 \alpha ) } { 2 a } + \sqrt { \frac { ( v _ { 0 } ^ { 2 } \sin ( 2 \alpha ) ) ^ { 2 } } { 4 a ^ { 2 } } + \frac { 2 z _ { 0 } ( v _ { 0 } \cos \alpha ) ^ { 2 } } { a } }
C _ { 1 } \equiv C _ { 1 } ( m _ { b } ^ { 2 } , \, m _ { t } ^ { 2 } , \, \hat { s } , \, m _ { \tilde { b } _ { m } } ^ { 2 } , \, m _ { \tilde { g } } ^ { 2 } , \, m _ { \tilde { t } _ { n } } ^ { 2 } )
\begin{array} { r l r } { m _ { \mathbf { p } - } ^ { ( 0 ) } } & { { } = } & { - \frac { i \left( 2 I _ { p } \right) ^ { 1 / 4 } } { 4 \pi ^ { 2 } } \int d ^ { 3 } \mathbf { r } d \eta \, { \cal S } ( \eta ) \, { \cal P } _ { - } \frac { \mathbf { r } \cdot \mathbf { E } ( \eta ) } { r } } \end{array}
H ( \textbf { k } _ { \mathrm { ~ s ~ p ~ } } , t _ { \mathrm { ~ s ~ p ~ } } , s _ { \mathrm { ~ s ~ p ~ } } ) = \frac { 1 } { \sqrt { \operatorname* { d e t } \left[ 2 \pi i \partial _ { 2 } S ^ { \mu } | _ { \textbf { k } _ { \mathrm { ~ s ~ p ~ } } , t _ { \mathrm { ~ s ~ p ~ } } , s _ { \mathrm { ~ s ~ p ~ } } } \right] } }
\delta _ { \eta } q _ { i } ^ { a } = \{ q _ { i } ^ { a } , \eta \phi \} = \eta \epsilon ^ { a b } q _ { i } ^ { b } \ \ , \ \ \delta _ { \eta } p _ { i } ^ { a } = \{ p _ { i } ^ { a } , \eta \phi \} = \eta \epsilon ^ { a b } p _ { i } ^ { b } \ \ , \ \ \delta _ { \eta } \lambda = \dot { \eta } \ \ ,
\begin{array} { r l } { \left( \phi _ { \mu \nu } ^ { \alpha \beta } ( \theta ) \, p \right) } & { = ( \phi p ) _ { \mathrm { h f s } } + ( \phi _ { \mu \nu } p ) _ { \mathrm { s r } } + \left( \phi _ { \mu \nu } ^ { \alpha \beta } ( \theta ) \, p \right) _ { \mathrm { Z } } } \\ & { + ( \phi _ { \mu \nu } p ) _ { \mathrm { d h } } + ( \phi _ { \mu \nu } p ) _ { \mathrm { q h } } } \end{array}
\mathbf { H } \left( { \widehat { \theta \, } } \right) = { \left[ \begin{array} { l l l l } { \left. { \frac { \partial ^ { 2 } \ell } { \partial \theta _ { 1 } ^ { 2 } } } \right| _ { \theta = { \widehat { \theta \, } } } } & { \left. { \frac { \partial ^ { 2 } \ell } { \partial \theta _ { 1 } \, \partial \theta _ { 2 } } } \right| _ { \theta = { \widehat { \theta \, } } } } & { \dots } & { \left. { \frac { \partial ^ { 2 } \ell } { \partial \theta _ { 1 } \, \partial \theta _ { k } } } \right| _ { \theta = { \widehat { \theta \, } } } } \\ { \left. { \frac { \partial ^ { 2 } \ell } { \partial \theta _ { 2 } \, \partial \theta _ { 1 } } } \right| _ { \theta = { \widehat { \theta \, } } } } & { \left. { \frac { \partial ^ { 2 } \ell } { \partial \theta _ { 2 } ^ { 2 } } } \right| _ { \theta = { \widehat { \theta \, } } } } & { \dots } & { \left. { \frac { \partial ^ { 2 } \ell } { \partial \theta _ { 2 } \, \partial \theta _ { k } } } \right| _ { \theta = { \widehat { \theta \, } } } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \left. { \frac { \partial ^ { 2 } \ell } { \partial \theta _ { k } \, \partial \theta _ { 1 } } } \right| _ { \theta = { \widehat { \theta \, } } } } & { \left. { \frac { \partial ^ { 2 } \ell } { \partial \theta _ { k } \, \partial \theta _ { 2 } } } \right| _ { \theta = { \widehat { \theta \, } } } } & { \dots } & { \left. { \frac { \partial ^ { 2 } \ell } { \partial \theta _ { k } ^ { 2 } } } \right| _ { \theta = { \widehat { \theta \, } } } } \end{array} \right] } ,
m _ { 1 } \mathrm { t r } ( \lambda ^ { 1 } \lambda ^ { 1 } ) + m _ { 2 } \mathrm { t r } ( \lambda ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } ) + m _ { 3 } \mathrm { t r } ( \lambda ^ { 3 } \lambda ^ { 3 } ) + m _ { 4 } \mathrm { t r } ( \lambda ^ { 4 } \lambda ^ { 4 } ) + c . c .
\left\{ \begin{array} { r c l } { { 3 F ^ { 2 } ( A ) + F ^ { 2 } ( B ) } } & { { = } } & { { 0 \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \sqrt { 3 } F ( A ) - s ( \alpha ) { } ^ { \star } F ( B ) } } & { { = } } & { { 0 \, . } } \end{array} \right.
\mathsf { A C V } _ { \mathcal P } ^ { 2 } \hat { P } _ { \mathrm { o p t } } ^ { - 1 } \sim \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \left( \sum _ { \ell = 0 } ^ { k } ( 2 ( k - \ell ) + 1 ) ! ! \, b _ { \ell } \right) \mathsf { a c v } _ { 0 } ^ { 2 k } ,
\left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \partial \eta } { \partial \theta _ { 1 } } = - \frac { \partial \eta } { \partial U _ { 1 } } \frac { a _ { \theta _ { 1 } } ( \theta , U _ { 1 } ) } { a _ { U } ( \theta , U _ { 1 } ) } - \frac { \partial \eta } { \partial U _ { 2 } } \frac { a _ { \theta _ { 1 } } ( \theta , U _ { 2 } ) } { a _ { U } ( \theta , U _ { 2 } ) } - \frac { \partial \eta } { \partial U _ { 3 } } \frac { a _ { \theta _ { 1 } } ( \theta , U _ { 3 } ) } { a _ { U } ( \theta , U _ { 3 } ) } = 0 } \\ { \frac { \partial \eta } { \partial \theta _ { 2 } } = - \frac { \partial \eta } { \partial U _ { 1 } } \frac { a _ { \theta _ { 2 } } ( \theta , U _ { 1 } ) } { a _ { U } ( \theta , U _ { 1 } ) } - \frac { \partial \eta } { \partial U _ { 2 } } \frac { a _ { \theta _ { 2 } } ( \theta , U _ { 2 } ) } { a _ { U } ( \theta , U _ { 2 } ) } - \frac { \partial \eta } { \partial U _ { 3 } } \frac { a _ { \theta _ { 2 } } ( \theta , U _ { 3 } ) } { a _ { U } ( \theta , U _ { 3 } ) } = 0 } \end{array} \right.
H = \Delta \exp \left\{ \frac { \alpha i } { 4 \hbar } \int d ^ { 4 } x \, G _ { \mu \nu } ^ { a } { \cal M } _ { a b } ^ { - 1 } \left( \frac { 1 } { 2 } \delta _ { c } ^ { b } ( \eta ^ { \mu \rho } \eta ^ { \nu \sigma } - \eta ^ { \mu \sigma } \eta ^ { \nu \rho } ) + \frac { \alpha } { 2 } \varepsilon ^ { \mu \nu \rho \sigma } { \cal C } _ { c } ^ { b } \right) G _ { \rho \sigma } ^ { c } \right\} ,
I _ { T O P } = \mathrm { T r } \int _ { X } \left( \tau R ^ { + } \wedge R ^ { + } + \overline { { \tau } } R ^ { - } \wedge R ^ { - } \right) = \mathrm { T r } \int _ { X } \left( \tau R ^ { + } \wedge R ^ { + } + \overline { { \tau } } \overline { { { R ^ { + } } } } \wedge \overline { { { R ^ { + } } } } \right) ,
\begin{array} { r l } { \rho _ { \sigma } ( { \bf r } ) } & { = \sum _ { k , \sigma } f _ { k } ^ { \sigma } \vert \Phi _ { k } ^ { \sigma } ( { \bf r } ) \vert ^ { 2 } = \sum _ { i , j } \left( \sum _ { k } f _ { k } ^ { \sigma } c _ { \sigma , i } ^ { ( k ) } c _ { \sigma , j } ^ { ( k ) } \right) \phi _ { i } ( { \bf r } ) \phi _ { j } ( { \bf r } ) } \\ & { = \sum _ { i , j } D _ { i j } ^ { \sigma } \phi _ { i } ( { \bf r } ) \phi _ { j } ( { \bf r } ) , } \end{array}
\mathcal { Z } _ { i } \equiv \frac { \mathcal { Z } _ { i , 1 } } { \mathcal { Z } _ { i , 0 } } = \prod _ { k = 1 } ^ { N _ { T } - 1 } \frac { \mathcal { Z } _ { i , \beta _ { k + 1 } } } { \mathcal { Z } _ { i , \beta _ { k } } }
\begin{array} { r l } { K \left( \rho \right) } & { { } = a _ { 1 } b _ { 1 } \sin \left( \left( \nu - \beta \right) \pi \right) + a _ { 1 } b _ { 2 } \rho ^ { \alpha + \beta } \sin \left( \left( \alpha + \nu \right) \pi \right) + a _ { 1 } b _ { 3 } \rho ^ { 2 \left( \alpha + \beta \right) } \sin \left( \left( 2 \alpha + \beta + \nu \right) \pi \right) } \end{array}
Z _ { 6 } = Z _ { 2 } ^ { 6 } + { \binom { 5 } { 2 } } { \frac { \lambda _ { 4 } ( \mu ) ^ { 2 } } { 2 \pi \alpha \lambda _ { 6 } ( \mu ) } } Z _ { 2 } ^ { 7 } \ln \left( \frac { \Lambda } { \mu } \right) ,
i \frac { d } { d t } \left( \begin{array} { c } { { \nu _ { e } } } \\ { { \nu _ { \mu } } } \\ { { \nu _ { \tau } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c c } { { c _ { 1 1 } + \sqrt { 2 } \ G _ { F } N _ { e } } } & { { b _ { 1 2 } } } & { { b _ { 1 3 } } } \\ { { b _ { 1 2 } } } & { { c _ { 2 2 } } } & { { b _ { 2 3 } } } \\ { { b _ { 1 3 } } } & { { b _ { 2 3 } } } & { { c _ { 3 3 } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { \nu _ { e } } } \\ { { \nu _ { \mu } } } \\ { { \nu _ { \tau } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \delta _ { 1 } } & { = \operatorname* { m i n } _ { 1 \leq j \leq m } \, \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq k \leq n } \, \sigma _ { L } \, ( 1 - a _ { 1 j } , b _ { 1 } , a _ { k j } , b _ { k } ) = \operatorname* { m i n } ( 0 , 0 . 4 , 0 . 3 5 , 0 . 2 5 ) = 0 , } \\ { \delta _ { 2 } } & { = \operatorname* { m i n } _ { 1 \leq j \leq m } \, \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq k \leq n } \, \sigma _ { L } \, ( 1 - a _ { 2 j } , b _ { 2 } , a _ { k j } , b _ { k } ) = \operatorname* { m i n } ( 0 . 4 5 , 0 . 6 5 , 0 . 7 5 , 0 . 6 5 ) = 0 . 4 5 , } \\ { \delta _ { 3 } } & { = \operatorname* { m i n } _ { 1 \leq j \leq m } \, \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq k \leq n } \, \sigma _ { L } \, ( 1 - a _ { 3 j } , b _ { 3 } , a _ { k j } , b _ { k } ) = \operatorname* { m i n } ( 0 . 2 , 0 , 0 , 0 . 2 ) = 0 , } \\ { \delta _ { 4 } } & { = \operatorname* { m i n } _ { 1 \leq j \leq m } \, \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq k \leq n } \, \sigma _ { L } \, ( 1 - a _ { 4 j } , b _ { 4 } , a _ { k j } , b _ { k } ) = \operatorname* { m i n } ( 0 , 0 , 0 , 0 ) = 0 . } \end{array}
\mathcal { H } _ { \mathrm { R a m a n } } = \hbar \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \frac { \Omega _ { 0 } } { 2 } } \\ { 0 } & { - \delta - \omega _ { B } } & { 0 } & { - \frac { \Omega _ { 1 } ( 1 + \epsilon ) } { 2 \sqrt { 2 } } } \\ { 0 } & { 0 } & { - \delta + \omega _ { B } } & { \frac { \Omega _ { 1 } ( 1 - \epsilon ) } { 2 \sqrt { 2 } } } \\ { \frac { \Omega _ { 0 } } { 2 } } & { - \frac { \Omega _ { 1 } ( 1 + \epsilon ) } { 2 \sqrt { 2 } } } & { \frac { \Omega _ { 1 } ( 1 - \epsilon ) } { 2 \sqrt { 2 } } } & { - \Delta } \end{array} \right) ,
S ( \omega , t ) = \mathrm { ~ R ~ e ~ } \left[ \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } \int _ { 0 } ^ { t - t ^ { \prime } } d \tau \langle a _ { \delta } ^ { \dagger } ( t ^ { \prime } ) a _ { \delta } ( t ^ { \prime } + \tau ) \rangle e ^ { i ( \omega - \omega _ { \mathrm { L } } ) \tau } \right] ,
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ i ~ } \, \mathcal { I } _ { _ { S C } } \, \nu = < \hat { \mathbf { q } } _ { 1 } ^ { A _ { 1 } \dagger } , \boldsymbol { \hat { \mathcal { F } } } _ { 3 } ^ { | A _ { 1 } | ^ { 2 } A _ { 1 } } > = } \\ { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( \overline { { \hat { \eta } } } _ { 1 } ^ { A _ { 1 } \dagger } \hat { \mathcal { F } } _ { 3 _ { \mathrm { ~ d ~ y ~ n ~ } } } ^ { | A _ { 1 } | ^ { 2 } A _ { 1 } } + \overline { { \hat { \Phi } } } _ { 1 } ^ { A _ { 1 } \dagger } \hat { \mathcal { F } } _ { 3 _ { \mathrm { ~ k ~ i ~ n ~ } } } ^ { | A _ { 1 } | ^ { 2 } A _ { 1 } } \right) \, r \mathrm { ~ d ~ } r , } \end{array}
\partial _ { \mu } \langle T _ { 0 } ^ { \mu \nu } \rangle = \frac { \lambda } { 4 ! 2 } \partial ^ { \nu } \{ G ^ { 2 2 2 1 } ( x , x , x , x ) + G ^ { 1 1 1 2 } ( x , x , x , x ) \} \ .
[ \{ \theta _ { P } ^ { \eta , * } \} _ { \eta = 1 } ^ { H } , \theta _ { I } ^ { * } , \theta _ { Q } ^ { * } ] = \underset { \{ \{ \theta _ { P } ^ { \eta } \} _ { \eta = 1 } ^ { H } , \theta _ { I } , \theta _ { Q } \} } { \mathrm { a r g m i n } } \sum _ { \eta = 1 } ^ { H } \mathcal { L } _ { \mathcal { D } ^ { \eta } } ( [ \theta _ { P } ^ { \eta } , \theta _ { I } , \theta _ { Q } ] ) .
\begin{array} { r l } { \sum _ { t = 1 } ^ { \tau } A _ { t } } & { \leq \sum _ { t = 1 } ^ { \tau } \left[ A _ { t } - \mathbb E _ { t - 1 } [ A _ { t } ] \right] + \eta \beta ^ { 2 } \sum _ { t = 1 } ^ { \tau } \big ( \mathbb E _ { t - 1 } [ \operatorname { t r } ( \Sigma _ { t } H _ { t } ) ] - \operatorname { t r } ( \Sigma _ { t } H _ { t } ) \big ) } \\ & { \qquad \qquad + \eta \beta ^ { 2 } \sum _ { t = 1 } ^ { \tau } \operatorname { t r } ( \Sigma _ { t } H _ { t } ) - \eta \sum _ { t = 1 } ^ { \tau } \Delta _ { t } + 6 \eta \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left| f _ { p } ^ { \mathrm { i n } } ( p ^ { \mathrm { i n } } , p ^ { \mathrm { o u t } } , w , \gamma _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } , \gamma _ { p k } ^ { \mathrm { o u t } } ) - f _ { p } ^ { \mathrm { i n } } ( p ^ { \mathrm { i n } } , p ^ { \mathrm { o u t } } , w , \overline { { \gamma } } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } , \overline { { \gamma } } _ { p k } ^ { \mathrm { o u t } } ) \right| } \\ & { \qquad \qquad \leq L _ { p } \left( 1 + \| ( p ^ { \mathrm { i n } } , p ^ { \mathrm { o u t } } , w ) \| \right) \left[ \left| \gamma _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } - \overline { { \gamma } } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } \right| + \left| \gamma _ { p k } ^ { \mathrm { o u t } } - \overline { { \gamma } } _ { p k } ^ { \mathrm { o u t } } \right| \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { 0 } ^ { ( 2 ) , n } = } & { \ \gamma _ { 0 } ^ { ( 2 ) , n } \bigg / \sqrt { \sum _ { n = 2 } ^ { + \infty } \left( \gamma _ { 0 } ^ { ( 2 ) , n } \right) ^ { 2 } } , \mathrm { ~ f o r ~ } n \geqslant 2 , } \\ { c _ { 3 } ^ { ( 2 ) , n } = } & { \ \gamma _ { 3 } ^ { ( 2 ) , n } \bigg / \sqrt { \sum _ { n = 0 } ^ { + \infty } \left( \gamma _ { 3 } ^ { ( 2 ) , n } \right) ^ { 2 } } , \mathrm { ~ f o r ~ } n \geqslant 0 } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { \tilde { H } } _ { 0 } } & { { } } & { = - \hbar \sum _ { n } \delta _ { 1 , n } \vert i _ { n } \rangle \langle i _ { n } \vert + ( \delta _ { 1 , n } + \delta _ { 2 , n } ) \vert r _ { n } \rangle \langle r _ { n } \vert } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta x _ { j } ( \omega ) } & { { } = \Delta z \sin ( \theta _ { j } ) \sin ( \zeta ( \omega ) ) , } \\ { \Delta y _ { j } ( \omega ) } & { { } = \Delta z \cos ( \theta _ { j } ) \sin ( \zeta ( \omega ) ) . } \end{array}
\mathcal L _ { p } ^ { \mathrm { K a t z } } ( \widetilde \rho ) = \left( \frac { \Omega _ { p } ( K ) } { \Omega ( K ) } \right) ^ { 2 \ell - 2 } \left( \frac { \sqrt { D _ { K } } } { 2 \pi } \right) ^ { 2 - \ell } ( 1 - \widetilde \rho ( \mathfrak { p } ) / p ) ( 1 - \widetilde \rho ^ { - 1 } ( \mathfrak { p } ^ { c } ) ) \cdot ( \ell - 1 ) ! \cdot L ( \widetilde \rho ^ { - 1 } , 0 ) , \qquad \forall \ell > 1 \, .
\begin{array} { r l } { 0 \leq Q ( \Bar { w } _ { T } , \bar { w } _ { T } ^ { * } ) \leq } & { \frac { \lambda _ { 2 } \mu ^ { T } } { 1 - \mu } \left[ \mathrm { K L } ( \bar { p } _ { T } ^ { * } \| p _ { 0 } ) + \mathrm { K L } ( \bar { q } _ { T } ^ { * } \| q _ { 0 } ) \right] + 1 2 \epsilon + ( 1 0 \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } + 3 2 ) T ^ { - J } . } \end{array}
\Gamma ( \ell ^ { + } \ell ^ { - } ) = \Gamma ( \ell ^ { + } \ell ^ { - } ) ^ { S M } \left( 1 + 2 \Delta g \frac { g _ { V } + g _ { A } } { g _ { V } ^ { 2 } + g _ { A } ^ { 2 } } \right) \left( \frac { m _ { W } ^ { ( p h ) 2 } } { m _ { Z } ^ { ( p h ) 2 } \cos ^ { 2 } \theta _ { w } } \right)
\begin{array} { r l } { H _ { 0 } } & { { } = p S _ { x } ^ { 2 } + q S _ { y } ^ { 2 } , } \\ { U _ { \mathrm { I } } } & { { } = \exp ( - i \int _ { 0 } ^ { t } A S _ { z } \cos \omega \tau d \tau ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { | ( \eta _ { j } , \mu ) | ( \Omega ) = } & { \left| \left( \frac { \eta _ { j } } { \mu } d \mu , \mu \right) + ( \eta _ { j } ^ { s , \mu } , 0 ) \right| } \\ { = } & { \int _ { \Omega } \sqrt { 1 + \left| \frac { \eta _ { j } } { \mu } \right| ^ { 2 } } d \mu + | \eta _ { j } ^ { s , \mu } | ( \Omega ) \to \int _ { \Omega } \sqrt { 1 + \left| \frac { \eta } { \mu } \right| ^ { 2 } } d \mu + | \eta ^ { s , \mu } | ( \Omega ) = | ( \eta , \mu ) | ( \Omega ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { e } } & { \le 2 \epsilon + 2 ^ { n R } 2 ^ { k ( H ( X | Y ) + \epsilon ) } ( n - a ) 2 ^ { - ( n - a ) \left[ H ( X ) - \epsilon - H _ { b } ( \frac { k } { s _ { \operatorname* { m a x } } ( n - a ) } ) \right] } ( | \mathfrak { X } | - 1 ) ^ { ( n - a - \frac { k } { s _ { m a x } } ) } + \kappa _ { n } + \mu _ { n } } \end{array}
F ^ { \lambda } ( U , \, \Delta n ) = \langle \Psi _ { \lambda } ^ { \mathrm { ~ K ~ S ~ } } | \, \hat { \mathcal { T } } + \lambda \, U \, \sum _ { i } \hat { n } _ { i \uparrow } \hat { n } _ { i \downarrow } \, | \Psi _ { \lambda } ^ { \mathrm { ~ K ~ S ~ } } \rangle .
S _ { n } ^ { j } = \sum _ { q } \left( X _ { q } ^ { 1 } X _ { n - q } ^ { j } - X _ { q } ^ { j } X _ { n - q } ^ { 1 } \right) - 2 \pi R n X _ { n } ^ { j } = \sum _ { q } \left( [ X _ { q } ^ { 1 } , X _ { n - q } ^ { j } ] \right) - 2 \pi R n X _ { n } ^ { j }
f \left( \frac { \mathfrak { e } _ { 2 , ( 1 ) } } { \mathfrak { e } _ { 1 , ( 1 ) } ^ { 2 } } , \ldots , \frac { \mathfrak { e } _ { 2 , ( k ) } } { \mathfrak { e } _ { 1 , ( k ) } ^ { 2 } } , \frac { \mathfrak { e } _ { 3 , ( 1 ) } } { \mathfrak { e } _ { 1 , ( 1 ) } ^ { 3 } } , \ldots , \frac { \mathfrak { e } _ { 3 , ( k ) } } { \mathfrak { e } _ { 1 , ( k ) } ^ { 3 } } \right)
\begin{array} { r l r l } { x ^ { \prime } } & { { } = x , \quad } & { z ^ { \prime } } & { { } = { \frac { 1 + k ^ { 2 } } { 1 - k ^ { 2 } } } z - { \frac { 2 k R } { 1 - k ^ { 2 } } } , } \\ { y ^ { \prime } } & { { } = y , } & { R ^ { \prime } } & { { } = { \frac { 2 k z } { 1 - k ^ { 2 } } } - { \frac { 1 + k ^ { 2 } } { 1 - k ^ { 2 } } } R , } \end{array}
\frac { \partial ^ { 2 } \varphi _ { f } } { \partial \zeta ^ { 2 } } \cong \frac { { \left( \varphi _ { f } \right) } _ { j + 1 } ^ { n } - 2 { \left( \varphi _ { f } \right) } _ { j } ^ { n } + { \left( \varphi _ { f } \right) } _ { j - 1 } ^ { n } } { { \left( \triangle \zeta \right) } ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { = } & { { } \| \tilde { A } _ { s } x _ { s } - \tilde { p } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \left\| \sqrt { \frac { \rho } { 2 } } x _ { s } - \sqrt { \frac { \rho } { 2 } } ( z ^ { ( k ) } - y _ { s } ^ { ( k ) } / \rho ) \right\| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ { = } & { { } \left\| \left( \begin{array} { c } { \tilde { A } _ { s } } \\ { \sqrt { \frac { \rho } { 2 } } I } \end{array} \right) x _ { s } - \left( \begin{array} { c } { \tilde { p } } \\ { \sqrt { \frac { \rho } { 2 } } ( z ^ { ( k ) } - y _ { s } ^ { ( k ) } / \rho ) } \end{array} \right) \right\| _ { 2 } ^ { 2 } , } \end{array}
k _ { D } ^ { * } ( | \mathbf { E } ^ { * } | ) = k _ { D } ^ { 0 * } F ( | \mathbf { E } ^ { * } | ) = k _ { D } ^ { 0 * } \frac { I _ { 1 } ( 4 \omega ( | \mathbf { E } ^ { * } | ) ) } { 2 \omega ( | \mathbf { E } ^ { * } | ) } , \ \ \ \ \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \ \ \ \ \omega ( | \mathbf { E } ^ { * } | ) = ( \frac { e _ { 0 } ^ { * 3 } | \mathbf { E } ^ { * } | } { 1 6 \pi \varepsilon ^ { * } k _ { B } ^ { * 2 } T ^ { * 2 } } ) ^ { 1 / 2 } ,
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , \hat { T } ] } \| F _ { + } ^ { \varepsilon } ( t ) - F _ { + } ^ { 0 } ( t ) \| _ { \mathfrak E ^ { \prime } } \lesssim _ { M } \varepsilon } \\ { \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , \hat { T } ] } \varepsilon \mathscr E _ { - , 2 } ^ { \varepsilon } ( t ) + \int _ { 0 } ^ { \hat { T } } \mathscr D _ { - , 2 } ^ { \varepsilon } ( t ) d t \lesssim _ { M } \varepsilon ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { W } _ { \mathrm { s } } ^ { \, 2 } } & { { } \stackrel { \mathrm { ~ \tiny ~ { ~ d ~ e ~ f ~ } ~ } } { = } ( { U } _ { \mathrm { s } } - \mathrm { i } { V } _ { \mathrm { s } } ) ^ { 2 } = \omega ^ { 2 } h ^ { 2 } + 2 \omega h { u } _ { \mathrm { s } } \, ( 1 - \mathrm { i } \eta _ { x } ) + { u } _ { \mathrm { s } } ^ { \, 2 } \, ( 1 - \mathrm { i } \eta _ { x } ) ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \textnormal { d } Q _ { i d } } { \textnormal { d } z _ { d } } } & { { } = q _ { i } - q _ { s } , } \\ { \frac { \textnormal { d } ( M _ { i d } + M _ { i d } ^ { \prime } + P _ { i d } ) } { \textnormal { d } z _ { d } } } & { { } = B _ { i d } + m _ { s } - m _ { i } , } \\ { \frac { \textnormal { d } ( F _ { i d } + F _ { i d } ^ { \prime } ) } { \textnormal { d } z _ { d } } } & { { } = f _ { s } - f _ { i } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { V } _ { \mathrm { { x c } } } ^ { \mathrm { { R S H } } } } & { { } = \alpha \hat { V } _ { \mathrm { { S R , } \ m u } } ^ { \mathrm { { F o c k } } } + ( 1 - \alpha ) V _ { \mathrm { { S R , } \ m u } } ^ { \mathrm { { D F A } } } \left( \rho \left( \boldsymbol { r } \right) \right) + ( \alpha + \beta ) \hat { V } _ { \mathrm { { L R , } \ m u } } ^ { \mathrm { { F o c k } } } } \end{array}