harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
g _ { \mathrm { D O S } , \mathrm { L i ^ { + } } } ^ { T } ( \epsilon ) = M \, p ^ { T } ( \epsilon - \epsilon _ { \mathrm { s } } ) = ( M / k T ) \, \exp [ ( \epsilon - \epsilon _ { \mathrm { s } } ) / k T ] / \left( 1 + \exp [ ( \epsilon - \epsilon _ { \mathrm { s } } ) / k T ] \right) ^ { 2 }
L \left( m ^ { 2 } ( \beta ) , \beta \right) = \beta ^ { - D } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } g ( D , k ) \left( m ( \beta ) \beta \right) ^ { 2 k + 2 } \int _ { m ( \beta ) \beta } ^ { \infty } d \tau \frac { \tau ^ { D - 5 - 2 k } } { e ^ { \tau } - 1 } .
\begin{array} { r l } { \int _ { - \delta } ^ { \delta } | \kappa _ { \beta } ( t ) | \, e ^ { v t } \, d t } & { \le \frac { 4 e ^ { v \delta } } { \pi \beta } \, \int _ { 0 } ^ { \delta } \, \log \left( \frac { e ^ { \pi t / \beta } + 1 } { t \pi / \beta } \right) \, d t \le \frac { 4 e ^ { ( v + \pi / \beta ) \delta } } { \pi ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varphi _ { C T S } ( t ; \theta _ { 1 } ) } & { = \exp \left( \mathrm { i } t \mu + \delta _ { + } \left( ( \lambda _ { + } - \mathrm { i } t ) \log ( 1 - \mathrm { i } t / \lambda _ { + } ) + \mathrm { i } t \right) \right. } \\ & { \ \left. + \delta _ { - } \left( ( \lambda _ { - } + \mathrm { i } t ) \log ( 1 + \mathrm { i } t / \lambda _ { - } ) - \mathrm { i } t \right) \right) . } \end{array}
{ \cal A } _ { 1 } = A _ { 1 } e ^ { i \phi _ { 1 } } + A _ { 2 } e ^ { i \phi _ { 2 } } , \qquad \Psi _ { 1 } = B _ { 1 } e ^ { i \psi } + B _ { 2 } e ^ { - i \psi } .
\chi : \{ ( V _ { i _ { 0 } } , E _ { i _ { 1 } } , F _ { i _ { 2 } } ) \, | \, i _ { k } = 1 , \cdots , M _ { k } ( k = 0 , 1 , 2 ) , \, E _ { i _ { 1 } } \cap F _ { i _ { 2 } } = E _ { i _ { 1 } } , \, V _ { i _ { 0 } } \cap E _ { i _ { 1 } } = V _ { i _ { 0 } } \} \longrightarrow X
\begin{array} { r l r } { O _ { i } } & { : = } & { \Big \{ ( v , \{ r _ { m } \} , \{ \mathfrak { q } _ { k , m } \} ) \mathrm { ~ w i t h ~ } | v - \bar { V } | < 1 / i ; \ | r _ { m } | < 1 / i , m = 0 , 1 , \ldots , M ; \mathrm { ~ a n d ~ } } \\ & { } & { \operatorname* { m a x } _ { j = 1 , \ldots , i } \left| \int _ { [ 0 , 1 ] } g _ { j } ( \alpha ) \; \mathrm { d } \mathfrak { q } _ { k , m } \right| < 1 / i , m = 0 , 1 , \ldots , M - 1 \mathrm { ~ a n d ~ } k = 0 , \ldots , m \Big \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { 2 } } & { { } = \alpha { D _ { 3 } } = - 2 { D _ { 3 1 1 ^ { \prime } } } + { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } 1 \bar { 2 } ^ { \prime } \mathrm { { 3 } } } } + { D _ { 3 1 \bar { 2 } ^ { \prime } \mathrm { { 3 } } } } + { D _ { 2 ^ { \prime } 1 ^ { \prime } } } - { D _ { 3 } } , } \\ { q _ { 3 ^ { ' } } } & { { } = \beta { D _ { 2 ^ { \prime } } } = { D _ { 3 1 \bar { 2 } ^ { \prime } 3 1 } } - 2 { D _ { 3 1 } } + { D _ { 2 ^ { \prime } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { u _ { x } } & { { } \propto } & { \sin ( k _ { x } x ) \cos ( k _ { y } y ) \cos ( k _ { z } z ) \cos ( \sigma t ) \, , } \\ { u _ { y } } & { { } \propto } & { \cos ( k _ { x } x ) \sin ( k _ { y } y ) \cos ( k _ { z } z ) \cos ( \sigma t ) \, , } \\ { u _ { z } } & { { } \propto } & { \cos ( k _ { x } x ) \cos ( k _ { y } y ) \sin ( k _ { z } z ) \cos ( \sigma t ) \, , } \end{array}
\left( \sum _ { k = 1 } ^ { K } \lambda _ { k } \: F _ { k } \right) ^ { * } \; = \; \sum _ { k = 1 } ^ { K } \overline { { { \lambda _ { k } } } } \: F _ { k } ^ { * } \; \stackrel { ( \ref { e q : 4 7 } ) } { = } \; \sum _ { k = 1 } ^ { K } \lambda _ { k } \: F _ { k } \; .
\mathbf { a } = { \frac { \operatorname { d } } { \operatorname { d } t } } \, \mathbf { v } _ { \mathrm { g } } = { \frac { \operatorname { d } } { \operatorname { d } t } } \left( \nabla _ { k } \, \omega \left( \mathbf { k } \right) \right) = \nabla _ { k } { \frac { \operatorname { d } \omega \left( \mathbf { k } \right) } { \operatorname { d } t } } = \nabla _ { k } \left( { \frac { \operatorname { d } \mathbf { k } } { \operatorname { d } t } } \cdot \nabla _ { k } \, \omega ( \mathbf { k } ) \right) ,
\begin{array} { r } { I _ { a b c d } = \sum _ { \kappa , \lambda , \mu , \nu = 1 } ^ { M } C _ { \kappa a } \, C _ { \lambda b } ^ { * } \, C _ { \mu c } \, C _ { \nu d } ^ { * } \, I _ { \kappa \lambda \mu \nu } ^ { \mathrm { N R } } \, . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { u _ { t } = k u _ { x x } } & { ( x , t ) \in [ 0 , \infty ) \times ( 0 , \infty ) } \\ { u ( x , 0 ) = 0 } & { I C } \\ { u ( 0 , t ) = h ( t ) } & { B C } \end{array} \right.
\hat { \theta } ( \mu ) = \int \hat { \Omega } ^ { ( 2 , 0 ) } \propto \int \frac { \psi _ { 0 } } { W ^ { ( 1 ) } ( B ^ { \prime } , b _ { 3 } , b _ { 4 } , b _ { 5 } ) } \omega _ { K 3 } \ ,
\begin{array} { r l } & { [ Z ^ { n } ] \simeq \exp \Biggl \{ - \frac { N \beta ^ { 2 } \sigma _ { _ { J } } ^ { 2 } } { 2 } \sum _ { \alpha < \beta } q _ { \alpha \beta } ^ { 2 } - \frac { N \beta \mu _ { _ { J } } } { 2 } \sum _ { \alpha } m _ { \alpha } ^ { 2 } + N l o g T r e ^ { L ^ { \prime } } } \\ & { + \frac { N n \beta ^ { 2 } \sigma _ { _ { J } } ^ { 2 } } { 4 } + \frac { N n \beta ^ { 2 } \sigma _ { _ { \Delta } } ^ { 2 } } { 1 2 } \Biggr \} \simeq 1 + N n \Biggl \{ - \frac { \beta ^ { 2 } \sigma _ { _ { J } } ^ { 2 } } { 2 n } \sum _ { \alpha < \beta } q _ { \alpha \beta } ^ { 2 } } \\ & { - \frac { \beta \mu _ { _ { J } } } { 2 n } \sum _ { \alpha } m _ { \alpha } ^ { 2 } + \frac { 1 } { n } l o g T r e ^ { L ^ { \prime } } + \frac { \beta ^ { 2 } \sigma _ { _ { J } } ^ { 2 } } { 4 } + \frac { \beta ^ { 2 } \sigma _ { _ { \Delta } } ^ { 2 } } { 1 2 } \Biggr \} , } \end{array}
{ \begin{array} { r l r } { \phi ( 0 , x _ { 0 } ) } & { = x _ { 0 } } & { \forall x _ { 0 } \in { \mathcal { M } } } \\ { { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } } { \Big | } _ { t = t _ { 0 } } \phi ( t , x _ { 0 } ) } & { = f ( t _ { 0 } , \phi ( t _ { 0 } , x _ { 0 } ) ) } & { \forall x _ { 0 } \in { \mathcal { M } } , t _ { 0 } \in I } \end{array} }
\to \bigoplus _ { i = 1 } ^ { \ell - 1 } ( ( M ^ { 1 } \otimes _ { R } A ^ { 1 } \otimes _ { R } N ^ { 1 } ) \otimes _ { R } \cdots \otimes _ { R } ( M ^ { n } \otimes _ { R } A ^ { n } \otimes _ { R } N ^ { n } ) ) _ { ( \sigma _ { i } ( ( t ^ { 1 } ) \cdot \alpha ^ { 1 } \cdot ( s ^ { 1 } ) ) , \dots , \sigma _ { i } ( ( t ^ { n } ) \cdot \alpha ^ { n } \cdot ( s ^ { n } ) ) ) } .
\langle \hat { E } _ { t ^ { \prime } i ^ { \prime } } \Psi ^ { ( 0 ) } | \hat { H } _ { \mathrm { ~ D ~ } } - E ^ { ( 0 ) } | \hat { E } _ { t i } \Psi ^ { ( 0 ) } \rangle = - f _ { i i ^ { \prime } } D _ { t ^ { \prime } t } + \delta _ { i i ^ { \prime } } K _ { t ^ { \prime } t } ^ { + }
\begin{array} { r l } & { \langle f _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { \kappa } - F _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] , \kappa } , F _ { t , { h _ { 2 } } } - f _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { { h _ { 2 } } } \rangle _ { L _ { 2 } } } \\ & { \le \vert \vert f _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { { h _ { 2 } } } - F _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] , { h _ { 2 } } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } \vert \vert F _ { t , { h _ { 2 } } } - f _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { { h _ { 2 } } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } } \\ & { \le \vert \vert f _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { { h _ { 2 } } } - F _ { ( s _ { k } , \eta _ { k } ] , { h _ { 2 } } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } \Big ( \vert \vert F _ { t , { h _ { 2 } } } - f _ { [ \eta _ { k } + 1 , e _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { { h _ { 2 } } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } + \vert \vert f _ { [ \eta _ { k } + 1 , e _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { { h _ { 2 } } } - f _ { [ s _ { k } + 1 , \eta _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { { h _ { 2 } } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } \Big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \psi ( t ) \rangle = \frac { 1 } { 2 } \big [ e ^ { - i \Delta E _ { g g } t / \hbar } } & { | g _ { 0 } ^ { ( 1 ) } ; g _ { 0 } ^ { ( 2 ) } \rangle + e ^ { - i \Delta E _ { e e } t / \hbar } | e _ { 0 } ^ { ( 1 ) } ; e _ { 0 } ^ { ( 2 ) } \rangle } \\ & { + | g _ { 0 } ^ { ( 1 ) } ; e _ { 0 } ^ { ( 2 ) } \rangle + | e _ { 0 } ^ { ( 1 ) } ; g _ { 0 } ^ { ( 2 ) } \rangle \big ] } \end{array}
\begin{array} { l c l } { { 0 } } & { { = } } & { { { { \mathcal L } _ { 3 } } ( u ) \star K [ a ] - K [ a ] \star { { \mathcal L } _ { 3 } } ( V ) } } \\ { { } } & { { = } } & { { \{ u _ { 2 } - V _ { 2 } \} p } } \\ { { } } & { { + } } & { { \{ 6 \theta a _ { 2 } ^ { \prime } + u _ { 3 } - V _ { 3 } \} p ^ { 0 } } } \\ { { } } & { { + } } & { { \{ 1 2 { \theta } ^ { 2 } a _ { 2 } ^ { \prime \prime } + 6 \theta a _ { 3 } ^ { \prime } \} p ^ { - 1 } } } \\ { { } } & { { + } } & { { \{ 1 8 { \theta } ^ { 2 } a _ { 3 } ^ { \prime \prime } + 6 \theta a _ { 4 } ^ { \prime } + 2 0 { \theta } ^ { 3 } a _ { 2 } ^ { \prime \prime \prime } + u _ { 3 } a _ { 2 } + 2 \theta u _ { 2 } a _ { 2 } ^ { \prime } + 4 \theta a _ { 2 } u _ { 2 } ^ { \prime } - a _ { 2 } V _ { 3 } \} p ^ { - 2 } } } \\ { { } } & { { + } } & { { \{ 1 2 \theta ^ { 2 } u _ { { 2 } } ^ { \prime } a _ { { 2 } } ^ { \prime } + 3 8 { \theta } ^ { 3 } a _ { 3 } ^ { \prime \prime \prime } + 2 4 { \theta } ^ { 2 } a _ { 4 } ^ { \prime \prime } - a _ { 3 } V _ { 3 } + 2 8 { \theta } ^ { 4 } a _ { 2 } ^ { ( 4 ) } + 6 { \theta } a _ { 5 } ^ { \prime } + u _ { 3 } a _ { 3 } + 6 { \theta } u _ { 2 } ^ { \prime } a _ { 3 } } } \\ { { } } & { { - } } & { { 4 { \theta } ^ { 2 } u _ { 2 } ^ { \prime \prime } a _ { 2 } + 2 { \theta } V _ { 3 } ^ { \prime } a _ { 2 } + 4 { \theta } ^ { 2 } a _ { 2 } ^ { \prime \prime } u _ { 2 } + 2 { \theta } u _ { 2 } a _ { 3 } ^ { \prime } - 2 { \theta } a _ { 2 } ^ { \prime } V _ { 3 } + 2 { \theta } u _ { 3 } ^ { \prime } a _ { 2 } + 2 { \theta } a _ { 2 } ^ { \prime } u _ { 3 } \} p ^ { - 3 } } } \\ { { } } & { { } } & { { . . . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \mathrm { i } \omega P } & { { } = - \Omega Q - \frac { \Gamma } { 2 } P + \sqrt { \Gamma } P _ { \mathrm { i n } } - 2 \alpha g _ { \mathrm { o m , 0 } } X } \\ { - \mathrm { i } \omega Q } & { { } = \Omega P - \frac { \Gamma } { 2 } Q + \sqrt { \Gamma } Q _ { \mathrm { i n } } } \\ { 0 } & { { } = - \frac { \kappa } { 2 } X + \sqrt { \kappa } X _ { \mathrm { i n } } } \\ { 0 } & { { } = - \frac { \kappa } { 2 } Y - \sqrt { \kappa } Y _ { \mathrm { i n } } - 2 \alpha g _ { \mathrm { o m } , 0 } Q , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \hat { h } _ { i } ( \boldsymbol { r } _ { 1 } ) + \sum _ { j = 1 } \int d \boldsymbol { r } _ { 2 } \psi _ { j } ^ { * } ( \boldsymbol { r } _ { 2 } ) ( r _ { 1 2 } ^ { - 1 } - \hat { K } ( \boldsymbol { r } _ { 1 } , \boldsymbol { r } _ { 2 } ) ) \mathcal { P } _ { 2 } \phi _ { j } ( \boldsymbol { r } _ { 2 } ) } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { j , k = 1 } \int \int d \boldsymbol { r } _ { 2 } d \boldsymbol { r } _ { 3 } \psi _ { j } ^ { * } ( \boldsymbol { r } _ { 2 } ) \psi _ { k } ^ { * } ( \boldsymbol { r } _ { 3 } ) \hat { L } ( \boldsymbol { r } _ { 1 } , \boldsymbol { r } _ { 2 } , \boldsymbol { r } _ { 3 } ) \mathcal { P } _ { 3 } \phi _ { j } ( \boldsymbol { r } _ { 2 } ) \phi _ { k } ( \boldsymbol { r } _ { 3 } ) } \\ & { - \sum _ { j = 1 } \epsilon _ { i j } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { i = 1 } ^ { n } r _ { i } p _ { i , j } ^ { t } \big ( ( 1 + x _ { i , j } ) \log ( 1 + x _ { i , j } ) - x _ { i , j } \big ) \geq \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } r _ { i } p _ { i , j } ^ { t } \frac { x _ { i , j } ^ { 2 } } { 1 + x _ { i , j } / 3 } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { ( r _ { i } p _ { i , j } ^ { t } ) ^ { 2 } x _ { i , j } ^ { 2 } } { r _ { i } p _ { i , j } ^ { t } ( 1 + x _ { i , j } / 3 ) } } \\ & { \quad \ge \frac { 1 } { 2 } \frac { 1 } { \sum _ { i = 1 } ^ { n } r _ { i } p _ { i , j } ^ { t } ( 1 + x _ { i , j } / 3 ) } \Big ( \sum _ { i = 1 } ^ { n } r _ { i } p _ { i , j } ^ { t } x _ { i , j } \Big ) ^ { 2 } = \frac { 3 } { 4 \sum _ { i = 1 } ^ { n } r _ { i } p _ { i , j } ^ { t } + 2 \sum _ { i = 1 } ^ { n } r _ { i } \overline { { p } } _ { i , j } ^ { t + 1 } } \Big ( \sum _ { i = 1 } ^ { n } r _ { i } \big ( \overline { { p } } _ { i , j } ^ { t + 1 } - p _ { i , j } ^ { t } \big ) \Big ) ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { L ( \Theta ( t + 1 ) ) - L ( \Theta ( t ) ) = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { M } ( B _ { m } ^ { 2 } ( t + 1 ) + G _ { m } ^ { 2 } ( t + 1 ) - B _ { m } ^ { 2 } ( t ) - G _ { m } ^ { 2 } ( t ) ) } \\ & { \leq \frac { 1 } { 2 } \sum _ { m = 1 } ^ { M } P _ { m , \mathrm { a v g } } ^ { 2 } + P _ { m } ^ { 2 } ( t ) + 2 G _ { m } ( t ) ( P _ { m } ( t ) - P _ { m , \mathrm { a v g } } ) + a _ { m } ^ { 2 } ( t ) } \\ & { \; \; \; \; + ( R _ { m } ( t ) + d _ { m } ( t ) ) ^ { 2 } + 2 B _ { m } ( t ) ( a _ { m } ( t ) - R _ { m } ( t ) - d _ { m } ( t ) ) } \\ & { \leq C + \sum _ { m = 1 } ^ { M } G _ { m } ( t ) ( P _ { m } ( t ) - P _ { m , \mathrm { a v g } } ) + B _ { m } ( t ) ( a _ { m } ( t ) - R _ { m } ( t ) - d _ { m } ( t ) ) , } \end{array}
\mathcal { I } _ { H } ( t , u ) = \mathbf { 1 } _ { \left\{ \theta _ { 1 } \leq \lambda _ { H } s _ { k } ^ { H } ( t ) i ( \tau _ { k } ^ { H } ( t ) ) , \, \theta _ { 2 } \leq \frac { s _ { \ell } ^ { W } ( t ) } { S ( t ) } \right\} } .
\begin{array} { r l } { Q _ { \pm , \mu \nu } ^ { N H } = } & { { } \frac { 1 } { 2 } \Big ( Q _ { \pm , \mu \nu } ^ { L R } + Q _ { \pm , \mu \nu } ^ { R L } \Big ) } \\ { = } & { { } \frac { 1 } { 2 } \Big ( \langle \partial _ { \mu } \psi _ { n } ^ { L } | \partial _ { \nu } \psi _ { n } ^ { R } \rangle - \langle \partial _ { \mu } \psi _ { n } ^ { L } | \psi _ { n } ^ { R } \rangle \langle \psi _ { n } ^ { L } | \partial _ { \nu } \psi _ { n } ^ { R } \rangle + \langle \partial _ { \mu } \psi _ { n } ^ { R } | \partial _ { \nu } \psi _ { n } ^ { L } \rangle - \langle \partial _ { \mu } \psi _ { n } ^ { R } | \psi _ { n } ^ { L } \rangle \langle \psi _ { n } ^ { R } | \partial _ { \nu } \psi _ { n } ^ { L } \rangle \Big ) } \\ { \Omega _ { \pm } ^ { z , N H } = } & { { } \frac { 1 } { 2 } \Big ( \Omega _ { \pm } ^ { z , L R } + \Omega _ { \pm } ^ { z , R L } \Big ) } \\ { = } & { { } \frac { 1 } { 2 } \Big ( i \langle \partial _ { k _ { x } } \psi _ { n } ^ { L } | \partial _ { k _ { y } } \psi _ { n } ^ { R } \rangle - i \langle \partial _ { k _ { y } } \psi _ { n } ^ { L } | \partial _ { k _ { x } } \psi _ { n } ^ { R } \rangle + i \langle \partial _ { k _ { x } } \psi _ { n } ^ { R } | \partial _ { k _ { y } } \psi _ { n } ^ { L } \rangle - i \langle \partial _ { k _ { y } } \psi _ { n } ^ { R } | \partial _ { k _ { x } } \psi _ { n } ^ { L } \rangle \Big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi _ { \mathrm { e x t } } } & { = \int _ { R } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { l } B ( \mathbf { r } ) \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } y } \\ & { = \frac { \mu _ { 0 } I } { 2 \pi } \left[ l \ln \left( \frac { l + \sqrt { l ^ { 2 } + R ^ { 2 } } } { R } \right) + R - \sqrt { l ^ { 2 } + R ^ { 2 } } \right] } \\ & { \approx \frac { \mu _ { 0 } I l } { 2 \pi } \left[ \ln \left( \frac { 2 l } { R } \right) - 1 \right] , } \end{array}
+ \left| \begin{array} { l l l l } { \frac { 1 } { \left( 1 - y \right) \left( 1 - z \right) } } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { \frac { 1 } { \left( 1 - y ^ { 2 } \right) \left( 1 - z ^ { 2 } \right) } } & { \frac { 1 } { \left( 1 - y \right) \left( 1 - z \right) } } & { - 2 } & { 0 } \\ { \frac { 1 } { \left( 1 - y ^ { 3 } \right) \left( 1 - z ^ { 3 } \right) } } & { \frac { 1 } { \left( 1 - y ^ { 2 } \right) \left( 1 - z ^ { 2 } \right) } } & { \frac { 1 } { \left( 1 - y \right) \left( 1 - z \right) } } & { - 3 } \\ { \frac { 1 } { \left( 1 - y ^ { 4 } \right) \left( 1 - z ^ { 4 } \right) } } & { \frac { 1 } { \left( 1 - y ^ { 3 } \right) \left( 1 - z ^ { 3 } \right) } } & { \frac { 1 } { \left( 1 - y ^ { 2 } \right) \left( 1 - z ^ { 2 } \right) } } & { \frac { 1 } { \left( 1 - y \right) \left( 1 - z \right) } } \end{array} \right| \frac { t ^ { 4 } } { 4 ! }
\begin{array} { r l } & { \mathbb E \int _ { 0 } ^ { T } G _ { Q } ^ { - } \Big ( V _ { k } x _ { k } ( s ) , V _ { k - 1 } x _ { k - 1 } ( s ) \Big ) \operatorname { e } ^ { c ( T - s ) } d s \approx \mathbb E \int _ { 0 } ^ { T } G _ { Q } ^ { - } \Big ( V _ { k } x _ { k } ( s ) , V _ { k } x _ { k } ( s ) \Big ) \operatorname { e } ^ { c ( T - s ) } d s = 0 , } \\ & { \mathbb E \int _ { 0 } ^ { T } G _ { P ^ { - 1 } } ^ { + } \Big ( V _ { k } x _ { k } ( s ) , V _ { k - 1 } x _ { k - 1 } ( s ) \Big ) \operatorname { e } ^ { c ( T - s ) } d s \approx \mathbb E \int _ { 0 } ^ { T } \underbrace { G _ { P ^ { - 1 } } ^ { + } \Big ( V _ { k } x _ { k } ( s ) , V _ { k } x _ { k } ( s ) \Big ) } _ { = \, 4 G _ { P ^ { - 1 } } \big ( V _ { k } x _ { k } ( s ) \big ) } \operatorname { e } ^ { c ( T - s ) } d s . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta _ { 0 } } & { { } = - a r g \left[ \sum _ { \lambda _ { i } , l _ { o } , l _ { e } , k _ { o } } \rho _ { k _ { o } } \Theta ( l _ { o } , l _ { e } , k _ { o } , m ) f _ { \gamma _ { o } } f _ { \gamma _ { e } } e ^ { i ( \delta _ { \gamma _ { e } } - \delta _ { \gamma _ { o } } ) } \right] } \end{array}
{ } _ { 2 } F _ { 1 } ( \alpha , \beta ; \gamma ; z ) = 1 + \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { \alpha \dots ( \alpha + n ) \beta \dots ( \beta + n ) } { \gamma \dots ( \gamma + n ) ( n + 1 ) ! } \; z ^ { n + 1 } ,
\begin{array} { r l } { Q _ { \mathbf { r } , \mu _ { 1 } , \nu _ { 1 } } ^ { R } Q _ { \mathbf { s } , \mu _ { 2 } , \nu _ { 2 } } ^ { S } } & { = \frac { d _ { R } d _ { S } } { ( \mathbf { m } ! ) ^ { 2 } } \sum _ { \sigma , \tau \in S _ { \mathbf { m } } } \chi _ { \mathbf { r } , \mu _ { 1 } , \nu _ { 1 } } ^ { R } ( \sigma ) \chi _ { \mathbf { s } , \mu _ { 2 } , \nu _ { 2 } } ^ { S } ( \tau ) \sigma ^ { - 1 } \tau ^ { - 1 } } \\ & { = \frac { d _ { R } d _ { S } } { ( \mathbf { m } ! ) ^ { 2 } } \sum _ { \alpha \in S _ { \mathbf { m } } } \left[ \sum _ { \tau \in S _ { \mathbf { m } } } \chi _ { \mathbf { r } , \mu _ { 1 } , \nu _ { 1 } } ^ { R } ( \tau ^ { - 1 } \alpha ) \chi _ { \mathbf { s } , \mu _ { 2 } , \nu _ { 2 } } ^ { S } ( \tau ) \right] \alpha ^ { - 1 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vert u _ { 2 } - \tilde { u } _ { 2 } \vert } & { \le 2 \pi c \eta c _ { 1 } + \frac 2 \eta \vert w ( k _ { \pm 2 } ) \vert _ { L _ { s } ^ { \infty } } + \int j ( k _ { \pm 1 } ) } \\ & { \le 2 \pi c \eta c _ { 1 } + ( 1 2 + 1 0 \pi \frac 1 \beta ) c ^ { \gamma _ { 2 } } \eta ^ { - \gamma _ { 1 } } } \\ & { < ( 2 \pi + 1 ) c \eta c _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lefteqn { 2 \beta I m \int _ { \mathbb { R } } J ( | u | ^ { p - 1 } | v | ^ { p + 1 } u ) \overline { { J u } } d x } } \\ { = \ } & { - 4 \beta t \int _ { \mathbb { R } } | u | ^ { p + 1 } | v | ^ { p + 1 } d x - 4 \beta t \int _ { \mathbb { R } } x | u | ^ { p - 1 } \frac { d } { d x } ( | u | ^ { 2 } ) \ | v | ^ { p + 1 } d x } \\ & { \ - 4 \beta t ^ { 2 } \int _ { \mathbb { R } } | u | ^ { p - 1 } | v | ^ { p + 1 } \frac { d } { d t } ( | u | ^ { 2 } ) d x } \\ { = \ } & { - 4 \beta t \int _ { \mathbb { R } } | u | ^ { p + 1 } | v | ^ { p + 1 } d x - \frac { 8 \beta t } { ( p + 1 ) } \int _ { \mathbb { R } } x \, \frac { d } { d x } ( | u | ^ { p + 1 } ) \ | v | ^ { p + 1 } d x } \\ & { \ - \frac { 8 \beta t ^ { 2 } } { ( p + 1 ) } \int _ { \mathbb { R } } \frac { d } { d t } ( | u | ^ { p + 1 } ) \ | v | ^ { p + 1 } d x . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R e \{ \widetilde { C } _ { \phi _ { \alpha } } ( z ) \} } & { = k _ { \alpha , z } ^ { 2 } \left[ ( 1 - | z | ^ { 2 } ) ( 1 - R e \{ \bar { \alpha } z \} ) + 2 ( I m \{ \bar { \alpha } z \} ) ^ { 2 } \right] ^ { 2 } } \\ & { \qquad - k _ { \alpha , z } ^ { 2 } \left[ I m \{ \bar { \alpha } z \} ( 1 + | z | ^ { 2 } - 2 R e \{ \bar { \alpha } z \} ) \right] ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { L = } & { } & { \sum _ { s } \int \left( \left( \frac { e _ { s } } { c } \Vec { A } + m _ { s } v _ { \parallel } \Vec { b } \right) \cdot \Dot { \Vec { R } } + \frac { m _ { s } c } { e _ { s } } \mu \Dot { \theta } - H _ { s } \right) f _ { s } \mathrm { d } W \mathrm { d } V } \\ & { } & { + \int \frac { \tilde { E } ^ { 2 } - \tilde { B } _ { \perp } ^ { 2 } } { 8 \pi } \mathrm { d } V } \end{array}
\left[ \begin{array} { l l l l l l } { f _ { 0 } } & { f _ { 1 } } & { f _ { 2 } } & { f _ { 3 } } & { \ldots } & { f _ { \omega - 1 } } \\ { s _ { 0 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } \\ { 0 } & { s _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { s _ { 2 } } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \ddots } & { \ldots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \ldots } & { s _ { \omega - 2 } } & { 0 } \end{array} \right]
\begin{array} { r } { u = - \frac { 1 } { 2 \pi } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { i \kappa \sigma _ { j } } { z - z _ { j } } , \quad v _ { i } = - \frac { 1 } { 2 \pi } \sum _ { j , j \neq i } ^ { N } \frac { i \kappa \sigma _ { j } } { z _ { i } ( t ) - z _ { j } ( t ) } , } \end{array}
\partial _ { t } \rho + \partial _ { i } ( \rho v _ { i } ) = X ( \rho , v _ { j } , f ( x ) ) ~ , ~ ~ \partial _ { t } v _ { i } + ( v _ { j } \partial _ { j } ) v _ { i } = X _ { i } ( \rho , v _ { j } , g ( x ) ) ,
{ \begin{array} { r l } { { \widehat { T } } _ { \pm 2 } ^ { ( 2 ) } } & { = { \widehat { a } } _ { \pm 1 } { \widehat { b } } _ { \pm 1 } } \\ { { \widehat { T } } _ { \pm 1 } ^ { ( 2 ) } } & { = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \left( { \widehat { a } } _ { \pm 1 } { \widehat { b } } _ { 0 } + { \widehat { a } } _ { 0 } { \widehat { b } } _ { \pm 1 } \right) } \\ { { \widehat { T } } _ { 0 } ^ { ( 2 ) } } & { = { \frac { 1 } { \sqrt { 6 } } } \left( { \widehat { a } } _ { + 1 } { \widehat { b } } _ { - 1 } + { \widehat { a } } _ { - 1 } { \widehat { b } } _ { + 1 } + 2 { \widehat { a } } _ { 0 } { \widehat { b } } _ { 0 } \right) } \end{array} }
P _ { 2 } V ^ { \gamma } = \operatorname { c o n s t a n t } _ { 1 } = 6 . 3 1 ~ { \mathrm { P a } } \, { \mathrm { m } } ^ { 2 1 / 5 } = P \times ( 0 . 0 0 0 1 ~ { \mathrm { m } } ^ { 3 } ) ^ { \frac { 7 } { 5 } } ,
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \infty } | \partial _ { t } [ t S _ { n , m } ( t , { 1 } / { n } ) ] | d t } & { \le \frac { C } { m - n } \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( 1 + t \left( 1 - \cos \frac { 1 } { n } \right) \right) e ^ { - t \left( 1 - \cos \frac { 1 } { n } \right) } \sin \frac { 1 } { n } d t } \\ & { \le \frac { C } { n ( m - n ) } \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { \frac { - c t } { n ^ { 2 } } } d t \le C \frac { n } { m - n } . } \end{array}
\phi _ { \mathrm { o u t } } ^ { \mathrm { i d e a l } } ( y , z = h , \theta _ { \mathrm { i n } } ) = \psi ( \theta _ { \mathrm { i n } } ) - \frac { 2 \pi } { \lambda } \sqrt { f ^ { 2 } + \left( y - f \tan { \theta _ { \mathrm { i n } } } \right) ^ { 2 } } ,
\frac { \hat { Z } ( s ) } { R _ { p } } = \left( \sum _ { j \ge 1 } \frac { 4 \alpha _ { j } \sin ^ { 2 } \alpha _ { j } } { 2 \alpha _ { j } + \sin 2 \alpha _ { j } } \frac { s R _ { p } C } { \alpha _ { j } ^ { 2 } + s R _ { p } C } \right) ^ { - 1 } \, .
\tilde { \chi } _ { 1 } ^ { 0 } = N _ { 1 1 } \widetilde { B } + N _ { 1 2 } \widetilde { W } ^ { 3 } + N _ { 1 3 } \widetilde { H } _ { 1 } ^ { 0 } + N _ { 1 4 } \widetilde { H } _ { 2 } ^ { 0 }
\mathrm { I m } ( H _ { e \mu } ^ { G ^ { \prime } } H _ { \mu \tau } ^ { G ^ { \prime } } H _ { \tau e } ^ { G ^ { \prime } } ) = \mathrm { I m } ( H _ { e \mu } ^ { G } H _ { \mu \tau } ^ { G } H _ { \tau e } ^ { G } ) = 0 ,
\begin{array} { r l } { \frac { 8 \kappa } { \pi } \frac { e } { \rho ^ { 2 } } = } & { \Big ( 1 + \kappa \gamma + \mathcal { O } ( \gamma ^ { 2 } ) \Big ) - 8 e ^ { \mp i \pi \kappa } \frac { \Gamma ( \kappa ) } { \Gamma ( - \kappa ) } q _ { \gamma } ^ { 1 / 2 } ( 1 + \mathcal { O } ( \gamma ) ) } \\ & { + 2 ^ { 3 - 4 \kappa } e ^ { \mp 2 i \pi \kappa } \frac { \Gamma ( 2 \kappa ) } { \Gamma ( - 2 \kappa ) } q _ { \gamma } ( 1 + \mathcal { O } ( \gamma ) ) \, . } \end{array}