harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \Delta \nu _ { x } } & { = } & { \frac { R C _ { S C } \beta _ { x } } { 2 ^ { 1 / 2 } \sigma _ { x } ^ { 2 } \gamma \sigma _ { z } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d u \; \Big \langle \cos ^ { 2 } \phi _ { x } \left[ \frac { 1 } { [ ( \sigma _ { y } ^ { 2 } / \sigma _ { x } ^ { 2 } - 1 ) u + 1 ] } \frac { u } { [ ( 1 - \sigma _ { x } ^ { 2 } / \gamma ^ { 2 } \sigma _ { z } ^ { 2 } ) u + \sigma _ { x } ^ { 2 } / \gamma ^ { 2 } \sigma _ { z } ^ { 2 } ] } \right] ^ { 1 / 2 } } \\ & { } & { \exp \left[ - \frac { 2 \beta _ { x } J _ { x } \cos ^ { 2 } \phi _ { x } } { 2 \sigma _ { x } ^ { 2 } } u - \frac { 2 \beta _ { y } J _ { y } \cos ^ { 2 } \phi _ { y } } { 2 \sigma _ { y } ^ { 2 } } \frac { u } { 2 \sigma _ { y } ^ { 2 } [ ( 1 - \sigma _ { x } ^ { 2 } / \sigma _ { y } ^ { 2 } ) u + \sigma _ { x } ^ { 2 } / \sigma _ { y } ^ { 2 } ] } \right. } \\ & { } & { \left. - \frac { \gamma ^ { 2 } z ^ { 2 } u } { 2 \gamma ^ { 2 } \sigma _ { z } ^ { 2 } [ ( 1 - \sigma _ { x } ^ { 2 } / \gamma ^ { 2 } \sigma _ { z } ^ { 2 } ) u + \sigma _ { x } ^ { 2 } / \gamma ^ { 2 } \sigma _ { z } ^ { 2 } ] } \right] \rangle _ { \phi _ { x } , \phi _ { y } , s } } \end{array}
\operatorname { S t e k } _ { D } ( \Sigma ) \sim \operatorname { S t e k } ( { \mathbb { D } } ( \mathbf L _ { S } ) ) \sqcup \operatorname { S t e k } ( { \mathbb { D } } ( \mathbf L _ { S } ) ) \sqcup \operatorname { S t e k } ( { \mathbb { D } } ( 2 \mathbf L _ { 2 } ) ) \sqcup \operatorname { S t e k } _ { D } ( { \mathbb { D } } _ { \scriptscriptstyle { \frac { 1 } { 2 } } } ( \mathbf L _ { 1 } ) ) \sqcup \operatorname { S t e k } _ { D } ( { \mathbb { D } } _ { \scriptscriptstyle { \frac { 1 } { 2 } } } ( \mathbf L _ { 1 } ) ) \sqcup \operatorname { S t e k } _ { D } ( { \mathbb { D } } _ { \scriptscriptstyle { \frac { 1 } { 2 } } } ( 2 \mathbf L _ { 3 } ) )
\begin{array} { r l r } { J _ { \tau } ^ { i j } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } & { = } & { \left( \frac { 1 } { \left( 2 \pi \right) ^ { m / 2 } \left\vert \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right\vert ^ { 1 / 2 } } \right) ^ { \tau } \frac { 1 } { \left( 1 + \tau \right) ^ { ( m / 2 ) + 2 } } } \\ & { } & { \left[ \left( \tau + 1 \right) t r a c e \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \boldsymbol { \theta } } \left( \frac { \partial \boldsymbol { \mu } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \boldsymbol { \theta } } \right) ^ { T } \right) \right. } \\ & { } & { \left. + \Delta _ { \tau } ^ { i } \Delta _ { \tau } ^ { j } + \frac { 1 } { 2 } t r a c e \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { j } } \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { i } } \right) \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { \lVert a _ { j } - a \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s + 2 \eta , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } + \lVert b _ { j } - b \rVert _ { [ \dot { \mathrm { H } } ^ { s + 2 \eta , p } \cap \dot { \mathrm { H } } ^ { s + 2 \varepsilon , p } ] ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \xrightarrow [ j \rightarrow + \infty ] 0 \mathrm { . ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } & { } & { \rho \omega ^ { 2 } } & { = } & & { C _ { i j q l } k _ { q } k _ { l } p _ { j } p _ { i } } \\ { \Longrightarrow \; } & { } & { \rho \frac { \partial ( \omega ^ { 2 } ) } { \partial k _ { m } } } & { = } & & { C _ { i j q l } p _ { j } p _ { i } \frac { \partial ( k _ { q } k _ { l } ) } { \partial k _ { m } } } \\ { \Longrightarrow \; } & { } & { 2 \rho \omega \frac { \partial \omega } { \partial k _ { m } } } & { = } & & { C _ { i j q l } p _ { j } p _ { i } \left( k _ { q } \frac { \partial k _ { l } } { \partial k _ { m } } + k _ { l } \frac { \partial ( k _ { q } ) } { \partial k _ { m } } \right) } \\ & { } & & { = } & & { C _ { i j q l } p _ { j } p _ { i } ( k _ { q } \delta _ { l m } + k _ { l } \delta _ { q m } ) } \\ & { } & & { = } & & { C _ { i j q m } p _ { j } p _ { i } k _ { q } + C _ { i j m l } p _ { j } p _ { i } k _ { l } } \end{array}
\begin{array} { r } { \Vert \nabla _ { x } ^ { q } \mathrm { K } _ { G _ { [ q ] } } ^ { \mathrm { f r i c } } [ H ] \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathrm { L } ^ { 2 } ( \mathbb T ^ { d } ) ) } \leq C \Vert \mathcal { G } \Vert _ { T , s _ { 1 } , s _ { 2 } } \Vert H \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathrm { L } ^ { 2 } ( \mathbb T ^ { d } ) ) } , } \end{array}
L _ { _ { ( 2 ) } } ( q , \dot { q } , \alpha , \dot { \lambda } _ { _ { ( 1 ) } } , \dot { \lambda } _ { _ { ( 2 ) } } ) = L _ { _ { ( 2 ) } } ( Q _ { _ { ( 2 ) } } ) = \Delta _ { _ { ( 2 ) } } ^ { ^ A } \dot { Q } _ { _ { ( 2 ) } } ^ { ^ A } - W ( Q _ { _ { ( 1 ) } } ) \; ,
\begin{array} { r l } { \langle K ; N , S , I , G , F _ { 1 } , I _ { H } , F , M | } & { T _ { q = 0 } ^ { 2 } ( I _ { H } , S ) | K ^ { \prime } ; N ^ { \prime } , S , I , G ^ { \prime } , F _ { 1 } ^ { \prime } , I _ { H } , F ^ { \prime } , M ^ { \prime } \rangle } \\ & { = \delta _ { F , F ^ { \prime } } \delta _ { M , M ^ { \prime } } } \\ & { \times ( - 1 ) ^ { F _ { 1 } ^ { \prime } + F ^ { \prime } + I _ { H } } \left\{ \begin{array} { c c c } { I _ { H } } & { F _ { 1 } } & { F ^ { \prime } } \\ { F _ { 1 } ^ { \prime } } & { I _ { H } } & { 1 } \end{array} \right\} \sqrt { I _ { H } ( I _ { H } + 1 ) ( 2 I _ { H } + 1 ) } } \\ & { \times \sqrt { ( 2 F _ { 1 } + 1 ) 5 ( 2 F _ { 1 } ^ { \prime } + 1 ) } \left\{ \begin{array} { c c c } { N } & { N ^ { \prime } } & { 2 } \\ { G } & { G ^ { \prime } } & { 1 } \\ { F _ { 1 } } & { F _ { 1 } ^ { \prime } } & { 1 } \end{array} \right\} } \\ & { \times ( - 1 ) ^ { N - K } \sqrt { ( 2 N + 1 ) ( 2 N ^ { \prime } + 1 ) } \left( \begin{array} { c c c } { N } & { 2 } & { N ^ { \prime } } \\ { - K } & { 0 } & { K ^ { \prime } } \end{array} \right) } \\ & { \times ( - 1 ) ^ { G + I + 1 + S } \sqrt { ( 2 G + 1 ) ( 2 G ^ { \prime } + 1 ) } \left\{ \begin{array} { c c c } { S } & { G ^ { \prime } } & { I } \\ { G } & { S } & { 1 } \end{array} \right\} \sqrt { S ( S + 1 ) ( 2 S + 1 ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \prod _ { m = 0 } ^ { j } S _ { n - 2 m } = \left( \begin{array} { l l } { - \frac { ( j + 1 ) \lambda + j \mu } { \mu ( n + 1 ) [ n + 1 - 2 ( j + 1 ) ] \prod _ { m = 1 } ^ { j } ( n + 1 - 2 m ) ^ { 2 } } } & { \qquad - \frac { ( j + 1 ) ( \lambda + \mu ) } { \mu ( n + 1 ) \prod _ { m = 1 } ^ { j + 1 } ( n + 1 - 2 m ) ^ { 2 } } } \\ { \frac { ( j + 1 ) ( \lambda + \mu ) } { \mu [ n + 1 - 2 ( j + 1 ) ] \prod _ { m = 1 } ^ { j } ( n + 1 - 2 m ) ^ { 2 } } } & { \qquad \frac { ( j + 1 ) \lambda + ( j + 2 ) \mu } { \mu \prod _ { m = 1 } ^ { j + 1 } ( n + 1 - 2 m ) ^ { 2 } } } \end{array} \right) } \end{array}
, i s o b t a i n e d b y c o m b i n g t h e s t a t e s f r o m b o t h l a y e r s , i . e . \ b y m u l t i p l y i n g t h e l i n e s o f b o t h c o m b s b y o u t p u t w e i g h t s , a n d m e a s u r i n g t h e s u m w i t h a p h o t o d i o d e . T o t h i s p u r p o s e , w e h a v e d e f i n e d
\left[ \begin{array} { l l l l l l l } { K _ { x _ { 1 } x _ { 1 } } } & & & { K _ { x _ { 1 } u } } & { ( G _ { x _ { 1 } } ^ { 1 } ) ^ { \top } } & & \\ & { \ddots } & & { \vdots } & & { \ddots } & \\ & & { K _ { x _ { N } x _ { N } } } & { K _ { x _ { N } u } } & & & { ( G _ { x _ { N } } ^ { N } ) ^ { \top } } \\ { K _ { u x _ { 1 } } } & { \hdots } & { K _ { u x _ { N } } } & { K _ { u u } } & { ( G _ { u } ^ { 1 } ) ^ { \top } } & { \hdots } & { ( G _ { u } ^ { 1 } ) ^ { \top } } \\ { G _ { x _ { 1 } } ^ { 1 } } & & & { G _ { u } ^ { 1 } } & & & \\ & { \ddots } & & { \vdots } & & & \\ & & { G _ { x _ { N } } ^ { N } } & { G _ { u } ^ { N } } & & & \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { p _ { x _ { 1 } } } \\ { \vdots } \\ { p _ { x _ { N } } } \\ { p _ { u } } \\ { p _ { y } ^ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { p _ { y } ^ { N } } \end{array} \right] = - \left[ \begin{array} { l } { \hat { r } _ { 1 } ^ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { \hat { r } _ { 1 } ^ { N } } \\ { \hat { r } _ { 2 } } \\ { \hat { r } _ { 3 } ^ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { \hat { r } _ { 3 } ^ { N } } \end{array} \right] \; ,
\begin{array} { r l } { f _ { B ^ { + } } ( x ) + f _ { B ^ { - } } ( x ) } & { { } \leq \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } t } } \left( \Theta _ { _ { E } } \left[ 3 , 0 , e x p \left\lbrace - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 4 L ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } t } \right) \right\rbrace \right] - \exp \left\lbrace - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 4 L ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } t } \right) \right\rbrace \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { { 1 } } & { [ X _ { i + 3 } , [ X _ { i } , X _ { i + 1 } ] ] = \lambda _ { i + 2 } [ X _ { i + 3 } , X _ { i + 2 } ] = \lambda _ { i + 2 } \lambda _ { i + 4 } X _ { i + 4 } } \\ & { [ X _ { i } , [ X _ { i + 1 } , X _ { i + 3 } ] ] = [ X _ { i } , 0 ] = 0 } \\ & { [ X _ { i } , [ X _ { i + 3 } , X _ { i } ] ] = \left\{ \begin{array} { l l } { [ X _ { i + 1 } , 0 ] = 0 } & { n > 4 } \\ { \lambda _ { i + 1 } [ X _ { i + 1 } , X _ { i + 1 } ] = 0 } & { n = 4 } \end{array} \right. } \end{array}
\lambda _ { R } < \rho > ^ { 2 } = - 6 m _ { R } ^ { 2 } - \frac { 9 e ^ { 4 } } { 8 \pi ^ { 2 } } < \rho > ^ { 2 } \ln \frac { e ^ { 2 } < \rho > ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } ,
\eta _ { \nu } ^ { \operatorname* { m a x } } = \operatorname* { m a x } _ { n \mathbf { k } } \left( \tilde { f } _ { n \mathbf { k } } \left| \epsilon _ { n \mathbf { k } } ^ { \mathrm { ~ D ~ F ~ T ~ } } - \epsilon _ { n \mathbf { k } } ^ { \mathrm { ~ W ~ a ~ n ~ } } \right| \right) ,
F _ { \mathrm { C O } _ { 2 } } ( t ) = F _ { 2 \times \mathrm { C O } _ { 2 } } \frac { \log ( C _ { \mathrm { C O } _ { 2 } } ( t ) / C _ { \mathrm { C O } _ { 2 } , \mathrm { r e f } } ) } { \log 2 } .
G _ { { \bf a } , k ^ { 2 } } ( x , x ^ { \prime } ) = { \frac { \imath } { 4 } } H _ { 0 } ^ { ( 1 ) } ( k | x - x ^ { \prime } | ) - { \frac { \pi } { 8 } } { \frac { \bf a } { ( 2 \pi + { \bf a } C + { \bf a } \ln { \frac { k } { 2 \imath \mu } } ) } } H _ { 0 } ^ { ( 1 ) } ( k | x | ) H _ { 0 } ^ { ( 1 ) } ( k | x ^ { \prime } | )
\begin{array} { r l } { G ^ { ( n ) } ( r + \Delta r , r _ { 1 } + \Delta r _ { 1 } , x + \Delta x ) } & { { } = \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \sum _ { i + j + k = m } \overline { { g } } _ { i , j , k } ^ { ( n ) } ( \Delta r ) ^ { i } ( \Delta r _ { 1 } ) ^ { j } ( \Delta x ) ^ { k } . } \end{array}
d s ^ { 2 } = ( 1 - \lambda ) ^ { \frac { 2 } { 1 + \alpha ^ { 2 } } } \lbrace d r ^ { 2 } + r ^ { 2 } d \theta ^ { 2 } + r ^ { 2 } s i n ^ { 2 } \theta d \varphi ^ { 2 } \rbrace - { \frac { d t ^ { 2 } } { ( 1 - \lambda ) ^ { \frac { 2 } { 1 + \alpha ^ { 2 } } } } }
\mathbf { f } _ { \mathbf { p } } ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \mathbf { f } ( \boldsymbol { \psi } ( s ) ) d s = \left( f _ { \rho } ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } , \mathbf { f } _ { \rho \mathbf { v } } ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } , f _ { \rho S } ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } , \mathbf { 0 } , \mathbf { 0 } \right) ^ { T } ,
n _ { S , I } ^ { X } ( 0 ) = \sum _ { n = S + I } ^ { n _ { \operatorname* { m a x } } } p _ { n , S } ^ { X } \sum _ { \mathbf { v } \in \mathbb { B } ( n - S , I ) } \langle \nu , h \rangle ^ { \# \mathbf { v } } \langle \nu , 1 - h \rangle ^ { ( n - S ) - \# \mathbf { v } } .
\begin{array} { r l } { \left\langle a ^ { 2 } \left( t \right) \right\rangle } & { = \left\langle a ^ { 2 } \left( 0 \right) \right\rangle + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { t } \left\langle w \left( \tau \right) w \left( \tau ^ { \prime } \right) \right\rangle d \tau d \tau ^ { \prime } } \\ & { = \left\langle a ^ { 2 } \left( 0 \right) \right\rangle + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { t } \delta \left( \tau - \tau ^ { \prime } \right) d \tau d \tau ^ { \prime } . } \end{array}
G ^ { \nu _ { \tau } \rightarrow \nu _ { \tau } } ( E , E _ { y } , X ) = \Biggl [ { \frac { F _ { \nu } ( E _ { y } , X ) } { { \cal L } _ { \nu } ^ { i n t } } } \Biggr ] { \frac { d n ^ { N C } } { d E } } ( E _ { y } , E ) \ .
G ^ { \pm } ( t _ { 1 } | d _ { 1 } = H ^ { + } ) = \int _ { ( t _ { 1 } , \infty ) ^ { N - 1 } } g ^ { \pm } ( t _ { 1 } , t _ { 2 } , \ldots , t _ { N } | d _ { 1 } = H ^ { + } ) \, d t _ { 2 } \cdots d t _ { N } ,
\begin{array} { r l } { \left| \left( A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } + A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } \right) \cap ( 4 \! \cdot \! \mathbf { N } ) \right| } & { \geqslant \operatorname* { m a x } \left( \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } ^ { 1 ( 4 ) } \right| + \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } ^ { 3 ( 4 ) } \right| , 2 \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } ^ { 0 ( 4 ) } \right| , 2 \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } ^ { 2 ( 4 ) } \right| \right) - 1 } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathrm { T r } { \left( v _ { y } A ( \omega ; \mathbf { k } ) v _ { y } A ( \omega - \Omega ; \mathbf { k } ) \right) } = F ( \omega ) F ( \omega - \Omega ) v _ { F } ^ { 2 } \frac { 3 } { 3 2 } \Bigg \{ 1 6 \left( g - \hbar \omega \right) ^ { 2 } \left( g - \hbar \omega + \hbar \Omega \right) ^ { 2 } } \\ & { } & { + 4 \sqrt { 2 } \hbar v _ { F } k \left( g - \hbar \omega \right) \left( 2 g - 2 \hbar \omega + \hbar \Omega \right) \left( g - \hbar \omega + \hbar \Omega \right) \cos { ( \varphi ) } - 3 ( \hbar v _ { F } k ) ^ { 2 } \left[ ( \hbar \Omega ) ^ { 2 } + \left( 2 g - 2 \hbar \omega + \hbar \Omega \right) ^ { 2 } \cos { ( 2 \varphi ) } \right] } \\ & { } & { - 2 \sqrt { 2 } ( \hbar v _ { F } k ) ^ { 3 } \left( 2 g - 2 \hbar \omega + \hbar \Omega \right) \cos { ( 3 \varphi ) } + 2 ( \hbar v _ { F } k ) ^ { 4 } \cos ^ { 2 } { ( \varphi ) } \left[ 2 - \cos { ( 2 \varphi ) } \right] \Bigg \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| x ( t _ { n + 1 } ) - \tilde { x } ( t _ { n + 1 } ) \| } & { \le \| x ( t _ { n } ) - \tilde { x } ( t _ { n } ) \| + \int _ { t _ { n } } ^ { t _ { n } + h _ { n } } \| f ( x ( s ) , y ( s ) ) - f ( \tilde { x } ( s ) , \tilde { y } , \lambda ) ( s ) , \tilde { y } ( s ) ) \| d s } \\ & { \le \| x ( t _ { n } ) - \tilde { x } ( t _ { n } ) \| + L \int _ { t _ { n } } ^ { t _ { n } + h _ { n } } | y ( s ) - \tilde { y } ( s ) | d s + L \int _ { t _ { n } } ^ { t _ { n } + h _ { n } } \| x ( s ) - \tilde { x } ( s ) \| d s } \\ & { \le \| x ( t _ { n } ) - \tilde { x } ( t _ { n } ) \| + L h _ { n } \kappa _ { n } + L \int _ { t _ { n } } ^ { t _ { n } + h _ { n } } \| x ( s ) - \tilde { x } ( s ) \| d s . } \end{array}
\frac { d } { d t } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { \mathcal { O } } \varphi ( v ) \bar { g } ( v , w , t ) \, d v \, d w = \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { \mathcal { O } } w \left\langle \frac { \varphi ( v ^ { \prime } ) + \varphi ( v _ { \ast } ^ { \prime } ) } { 2 } - \varphi ( v ) \right\rangle \bar { g } ( v , w , t ) \, d v \, d w .
\begin{array} { r l } { b _ { k } ^ { * } \frac { 1 - b _ { k } ^ { * } q _ { k } \| q _ { k } \alpha \| } { 2 } - b _ { k } ( N ) \frac { 1 - b _ { k } ( N ) q _ { k } \| q _ { k } \alpha \| } { 2 } } & { = \frac { F ( b _ { k } ^ { * } q _ { k } \| q _ { k } \alpha \| ) - F ( b _ { k } ( N ) q _ { k } \| q _ { k } \alpha \| ) } { 2 q _ { k } \| q _ { k } \alpha \| } } \\ & { = \frac { ( b _ { k } ^ { * } - b _ { k } ( N ) ) ^ { 2 } q _ { k } \| q _ { k } \alpha \| } { 2 } + O \left( \frac { | b _ { k } ^ { * } - b _ { k } ( N ) | } { a _ { k + 1 } } \right) } \\ & { = \frac { ( b _ { k } ^ { * } - b _ { k } ( N ) ) ^ { 2 } } { 2 a _ { k + 1 } } + O \left( \frac { | b _ { k } ^ { * } - b _ { k } ( N ) | } { a _ { k + 1 } } \right) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { u _ { 1 } } & { = { \frac { v _ { 1 } + u _ { 1 } ^ { \prime } } { 1 + v _ { 1 } u _ { 1 } ^ { \prime } } } , } \\ { u _ { 2 } } & { = { \frac { u _ { 2 } ^ { \prime } } { ( 1 + v _ { 1 } u _ { 1 } ^ { \prime } ) } } { \frac { 1 } { V _ { 0 } } } = { \frac { u _ { 2 } ^ { \prime } } { 1 + v _ { 1 } u _ { 1 } ^ { \prime } } } { \sqrt { 1 - v _ { 1 } ^ { 2 } } } , } \\ { u _ { 3 } } & { = 0 } \end{array} }
\begin{array} { r l } { q ( \boldsymbol { x } ) = } & { { } \prod _ { j = 1 } ^ { n } q ( x _ { j } | \boldsymbol { x } _ { < j } ) } \\ { \mathrm { w i t h } } & { { } \ \ \ q ( x _ { j } | \boldsymbol { x } _ { < j } ) = \frac { q ( \boldsymbol { x } _ { \le j } ) } { \sum _ { x _ { j } } q ( \boldsymbol { x } _ { \le j } ) } } \end{array}
U = \frac { 1 } { 2 } \int \frac { d ^ { 3 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } v ( q ) \left[ S ( q ) - 1 \right] = \frac { e ^ { 2 } } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } d q \left[ S ( q ) - 1 \right] .
\textbf { J } \equiv \textbf { J } _ { q x } ( \textbf { x } ) = \left( \begin{array} { l l l } { \frac { \mathrm { ~ d ~ } q _ { 1 } } { \mathrm { ~ d ~ } x _ { 1 } } } & { \dots } & { \frac { \mathrm { ~ d ~ } q _ { 1 } } { \mathrm { ~ d ~ } x _ { f _ { x } } } } \\ { \vdots } & { } & { \vdots } \\ { \frac { \mathrm { ~ d ~ } q _ { f _ { q } } } { \mathrm { ~ d ~ } x _ { 1 } } } & { \dots } & { \frac { \mathrm { ~ d ~ } q _ { f _ { q } } } { \mathrm { ~ d ~ } x _ { f _ { x } } } } \end{array} \right)
\mathrm { s _ { A } \mathrm { z _ { A } \mathrm { \overline { { s } } _ { B } \mathrm { \overline { { z } } _ { B } ( \mathrm { x _ { A } ^ { 2 } \mathrm { y _ { A } ^ { 2 } + \mathrm { x _ { B } ^ { 2 } \mathrm { y _ { B } ^ { 2 } ) } } } } } } } }
h _ { ( 3 ) } = \left\{ \left\{ \begin{array} { l l } { { \Pi ^ { \mu } \, d \bar { \theta } _ { + } \Gamma _ { \mu } d \theta _ { + } } } & { { ( h e t e r o t i c ) } } \\ { { \Pi ^ { \mu } \, d \bar { \theta } \Gamma _ { \mu } \Gamma _ { 1 1 } d \theta } } & { { ( I I A ) } } \\ { { \tilde { S } _ { I J } \, \Pi ^ { \mu } \, d \bar { \theta } _ { + } ^ { I } \Gamma _ { \mu } d \theta _ { + } ^ { J } } } & { { ( I I B ) } } \end{array} \right. \right.
v _ { 2 } \cdot \frac { f ( x _ { 1 } ^ { a } ) } { f ( x _ { 1 } ^ { a } ) + f ( x _ { 2 } ^ { a } ) } + v _ { 2 } \cdot \frac { f ( x _ { 1 } ^ { c } ) } { f ( x _ { 1 } ^ { c } ) + f ( x _ { 3 } ^ { c } ) } + v _ { 3 } \cdot \frac { f ( x _ { 1 } ^ { d } ) } { f ( x _ { 1 } ^ { d } ) + f ( x _ { 2 } ^ { d } ) + f ( x _ { 3 } ^ { d } ) } - \frac { 1 } { 2 } \bigl ( x _ { 1 } ^ { a } + x _ { 1 } ^ { c } + x _ { 1 } ^ { d } \bigr ) ^ { 2 } ,
\begin{array} { r } { E _ { \mathrm { i n c } } ^ { \sigma } = \sum _ { \sigma ^ { \prime } = p , s } \delta _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } E _ { 0 , \mathbf { k } _ { \| } } ^ { \sigma ^ { \prime } } e ^ { i \mathbf { k } _ { \| } \cdot \mathbf { r } _ { \| } } e ^ { i k _ { z } z } \, , } \\ { E _ { \mathrm { r e f } } ^ { \sigma } = \sum _ { \sigma ^ { \prime } = p , s } r _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } ( \mathbf { k } _ { \| } ) E _ { 0 , \mathbf { k } _ { \| } } ^ { \sigma ^ { \prime } } e ^ { i \mathbf { k } _ { \| } \cdot \mathbf { r } _ { \| } } e ^ { - i k _ { z } z } \, , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \oint _ { \partial \Sigma } { \mathbf { F } ( \mathbf { x } ) \cdot \, \mathrm { d } \mathbf { \Gamma } } } & { = \oint _ { \gamma } { \mathbf { F } ( { \boldsymbol { \psi } } ( \mathbf { y } ) ) J _ { \mathbf { y } } ( { \boldsymbol { \psi } } ) \mathbf { e } _ { u } ( \mathbf { e } _ { u } \cdot \, \mathrm { d } \mathbf { y } ) + \mathbf { F } ( { \boldsymbol { \psi } } ( \mathbf { y } ) ) J _ { \mathbf { y } } ( { \boldsymbol { \psi } } ) \mathbf { e } _ { v } ( \mathbf { e } _ { v } \cdot \, \mathrm { d } \mathbf { y } ) } } \\ & { = \oint _ { \gamma } { \left( \left( \mathbf { F } ( { \boldsymbol { \psi } } ( \mathbf { y } ) ) \cdot { \frac { \partial { \boldsymbol { \psi } } } { \partial u } } ( \mathbf { y } ) \right) \mathbf { e } _ { u } + \left( \mathbf { F } ( { \boldsymbol { \psi } } ( \mathbf { y } ) ) \cdot { \frac { \partial { \boldsymbol { \psi } } } { \partial v } } ( \mathbf { y } ) \right) \mathbf { e } _ { v } \right) \cdot \, \mathrm { d } \mathbf { y } } } \end{array} }
\begin{array} { r } { e ^ { \hat { A } + \hat { B } } = e ^ { \hat { A } } \, e ^ { \hat { B } } \, e ^ { - \frac { 1 } { 2 } [ \hat { A } , \hat { B } ] } = e ^ { \hat { B } } \, e ^ { \hat { A } } \, e ^ { \frac { 1 } { 2 } [ \hat { A } , \hat { B } ] } , \qquad \mathrm { i f } \qquad [ \hat { A } , [ \hat { A } , \hat { B } ] ] = 0 = [ \hat { B } , [ \hat { A } , \hat { B } ] ] , } \end{array}
c _ { L } ^ { 2 } \nabla ( \nabla \cdot \mathbf { u } ) - c _ { T } ^ { 2 } \nabla \times ( \nabla \times \mathbf { u } ) = \frac { \partial ^ { 2 } \mathbf { u } } { \partial t ^ { 2 } } , \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \; z < 0 ,
\begin{array} { r l } { \int _ { 1 } ^ { r _ { H } } | \widetilde { X } \Pi _ { m \ell } | ^ { 2 } \, d r ^ { \prime } = } & { \: \frac { 1 } { 3 2 } | { \mathfrak { h } } _ { m \ell } | ^ { 2 } ( | c _ { + , m \ell } | ^ { 2 } + | c _ { - , m \ell } | ^ { 2 } ) + \frac { 1 } { 1 6 } | { \mathfrak { h } } _ { m \ell } | ^ { 2 } \Re \left( ( 2 + \sqrt { \alpha _ { m \ell } } ) ^ { - 1 } c _ { + , m \ell } \overline { { c _ { - , m \ell } } } e ^ { - \log 4 \sqrt { \alpha _ { m \ell } } } \right) } \\ { + } & { \: | { \mathfrak { h } } _ { m \ell } | ^ { 2 } O ( r _ { H } - 1 ) + \ldots } \\ { \geq } & { \: \frac { 1 } { 3 2 } | { \mathfrak { h } } _ { m \ell } | ^ { 2 } \left( 1 - \frac { 1 } { \sqrt { 4 + | \alpha _ { m \ell } | } } \right) ( | c _ { + , m \ell } | ^ { 2 } + | c _ { - , m \ell } | ^ { 2 } ) + O ( r _ { H } - 1 ) + \ldots } \\ { \geq } & { \: \frac { 1 } { 6 4 } | { \mathfrak { h } } _ { m \ell } | ^ { 2 } ( | c _ { + , m \ell } | ^ { 2 } + | c _ { - , m \ell } | ^ { 2 } ) } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l l l l l l l l l l l l l l l l } { \displaystyle { \mathcal D } _ { t } ^ { \gamma } y ^ { i } ( v , 0 ) + \mathcal { D } _ { b _ { i } ^ { - } } ^ { \alpha } ( \beta ^ { i } \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } y ^ { i } ( v , 0 ) ) + q ^ { i } y ^ { i } ( v , 0 ) } & { = } & { f ^ { i } } & { \mathrm { i n } } & { Q _ { i } , \, i = 1 , \dots , N , } \\ { \displaystyle I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } y ^ { i } ( a ^ { + } ; v , 0 ) - I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } y ^ { j } ( a ^ { + } ; v , 0 ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , ~ i \neq j = 1 , \dots , N , } \\ { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { N } \beta ^ { i } ( a ) \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } y ^ { i } ( a ^ { + } ; v , 0 ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , } \\ { \displaystyle I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } y ^ { 1 } ( b _ { 1 } ^ { - } ; v , 0 ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , } \\ { \displaystyle I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } y ^ { i } ( b _ { i } ^ { - } ; v , 0 ) } & { = } & { v ^ { i } } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , \; i = 2 , \dots , m } \\ { \displaystyle \beta ^ { i } ( b _ { i } ) \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } y ^ { i } ( b _ { i } ^ { - } ; v , 0 ) } & { = } & { v ^ { i } } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , \; i = m + 1 , \dots , N , } \\ { \displaystyle y ^ { i } ( 0 , \cdot ; v , 0 ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( a , b _ { i } ) , ~ ~ i = 1 , \dots , N , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { y _ { k } [ j ] = } & { h _ { k } x [ j ] + z _ { k } [ j ] } \\ { = } & { \left\{ { \begin{array} { l } { h _ { k } \sum _ { k ^ { \prime } = 1 } ^ { K } x _ { k ^ { \prime } } [ j ] + z _ { k } [ j ] , j = 1 , \ldots , N _ { 1 } } \\ { h _ { k } \sum _ { k ^ { \prime } = 2 } ^ { K } x _ { k ^ { \prime } } [ j ] + z _ { k } [ j ] , j = N _ { 1 } + 1 , \ldots , N _ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { h _ { k } \sum _ { k ^ { \prime } = k } ^ { K } x _ { k ^ { \prime } } [ j ] + z _ { k } [ j ] , j = N _ { k - 1 } + 1 , \ldots , N _ { k } } \end{array} } \right. , } \end{array}
\bigl \{ Q _ { \alpha } , \bar { Q } _ { \beta } \bigr \} = - 2 i \gamma _ { \alpha \beta } ^ { \mu } \frac { \partial } { \partial x ^ { \mu } } - i \sigma _ { \alpha \beta } ^ { \mu \nu } \frac { \partial } { \partial x ^ { \mu \nu } }
\begin{array} { r } { \| u \| _ { L ^ { p } ( \gamma ^ { - } , \gamma ^ { + } ) } ^ { p } = \int _ { h ( y _ { 1 } ) } ^ { 1 + h ( y _ { 1 } ) } | u ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ) | ^ { p } \ d y _ { 2 } . } \end{array}