harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
c \mathcal { B } _ { l m } ^ { \mathrm { ~ F ~ } } = f _ { \mathrm { ~ F ~ } } \mathcal { E } \left( P _ { L M } ^ { \mathrm { ~ B ~ } } \delta _ { l ( L + 1 ) } \delta _ { m M } + M _ { L M } ^ { \mathrm { ~ B ~ } } \delta _ { l ( L - 1 ) } \delta _ { m M } \right) .
x _ { 2 } = r _ { x } e ^ { i \theta _ { x } } , \qquad y _ { 2 } = r _ { y } e ^ { i \theta _ { y } } , \qquad u _ { 2 } = r _ { u } e ^ { i \theta _ { u } } , \qquad v _ { 2 } = r _ { v } e ^ { i \theta _ { v } } .
2 r ^ { 2 } + l ^ { 2 } ( E ^ { 2 } + K ) = \sqrt { 4 l ^ { 2 } \mu + l ^ { 4 } ( E ^ { 2 } + K ) ^ { 2 } } \cosh { [ 2 l ^ { - 1 } ( \pm w + w _ { 0 } ) ] } ,
\begin{array} { r l } { \tau _ { s } } & { { } = \sqrt { \frac { \rho _ { l } d _ { 0 } ^ { 3 } } { \sigma } } \, , } \\ { \tau _ { v l } } & { { } = \rho _ { l } d _ { 0 } ^ { 2 } / \mu _ { l } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f _ { Z , W } ( z ^ { \prime } , w ^ { \prime } ) } & { = } & { \iint \mathrm d z \mathrm d w f _ { Z , W } ( z , w ) \delta ( z ^ { \prime } - z ) \delta ( w ^ { \prime } - w ) } \\ & { = } & { \iint \mathrm d x \mathrm d y \frac { \partial ( x , y ) } { \partial ( z , w ) } f _ { Z , W } ( z , w ) \delta ( z ^ { \prime } - z ) \delta ( w ^ { \prime } - w ) } \\ & { = } & { \iint \mathrm d x \mathrm d y f _ { X , Y } ( x , y ) \delta ( z ^ { \prime } - z ( x , y ) ) \delta ( w ^ { \prime } - w ( x , y ) ) \; . } \end{array}
W = c X ( { \bf 5 ^ { * } } ) _ { i } v ^ { a } \Phi ( { \bf 1 0 } ) _ { a } \bar { H } ( { \bf 5 ^ { * } } ) , \qquad W = c ^ { \prime } v ^ { a } \Phi ( { \bf 1 0 } ) _ { a } v ^ { b } \Phi ( { \bf 1 0 } ) _ { b } H ( { \bf 5 } ) ,
S _ { \alpha \beta } ( t - t ^ { \prime } ) = \frac { 1 } { 2 } \langle \Delta \hat { I } _ { \alpha } ( t ) \Delta \hat { I } _ { \beta } ( t ^ { \prime } ) + \Delta \hat { I } _ { \beta } ( t ^ { \prime } ) \Delta \hat { I } _ { \alpha } ( t ) \rangle ,
\begin{array} { r l } & { A : = R _ { \phi } ^ { 2 } , \quad B : = R _ { \mu } R _ { \phi } ^ { 2 } , \quad C : = R _ { \phi } ^ { 2 } R _ { \mu } , \quad D : = R _ { \phi } ( 1 - R _ { \phi } ) + R _ { \phi } R _ { \mu } , } \\ & { E : = R _ { \phi } R _ { \mu } ( 1 + R _ { \mu } ) , \quad F : = R _ { \phi } R _ { \mu } ( 1 - R _ { \mu } ) , \quad G : = R _ { \phi } R _ { \mu } ( 1 + R _ { \mu } ) } \\ & { H : = R _ { \mu } ( 1 - R _ { \phi } ) - R _ { \mu } R _ { \phi } , \quad I : = R _ { \mu } ^ { 2 } , \quad J : = R _ { \mu } ( 1 - R _ { \mu } ) \quad K : = R _ { \mu } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { H = \sum _ { p q } \tilde { h } _ { p q } A _ { p q } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { p q r s } \tilde { g } _ { p q r s } ( A _ { p q } A _ { r s } - \delta _ { q r } A _ { p s } ) , } \end{array}
{ \cal A } ( g _ { 1 } g _ { 2 } ) ^ { \alpha \beta } \: = \: { \cal A } ( g _ { 2 } ) ^ { \alpha \beta } \: + \: g _ { 2 } ^ { * } { \cal A } ( g _ { 1 } ) ^ { \alpha \beta } \: - \: \theta ( g _ { 1 } , g _ { 2 } ) ^ { \alpha } \: + \: \theta ( g _ { 1 } , g _ { 2 } ) ^ { \beta } \: + \: d \log \Omega _ { \alpha \beta } ^ { g _ { 1 } , g _ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \int _ { X } \boldsymbol { \rho } ( \vec { x } _ { z } , \omega ) d \vec { x } _ { z } } & { { } = \int _ { X } \boldsymbol { \rho } ( \vec { x } _ { 0 } , \omega ) d \vec { x } _ { 0 } } \end{array}
\delta = \int \frac { d s } { s } e ^ { - b ^ { 2 } s } \frac { 2 \cos 2 v s + 6 \cos 2 c s - \cos v s ( 2 \cosh 3 c s + 6 \cosh c s ) } { 1 6 \sinh ^ { 3 } c s \sin v s }
d s ^ { 2 } = { \frac { U ^ { 2 } } { \sqrt { 4 \pi g N } } } \left[ - \left( 1 - { \frac { U _ { 0 } ^ { 4 } } { U ^ { 4 } } } \right) d t ^ { 2 } + d y _ { i } d y ^ { i } \right] + { \frac { \sqrt { 4 \pi g N } } { U ^ { 2 } } } \left( 1 - { \frac { U _ { 0 } ^ { 4 } } { U ^ { 4 } } } \right) ^ { - 1 } d U ^ { 2 } + \sqrt { 4 \pi g N } d \Omega _ { 5 } .
\begin{array} { r l } { a _ { \operatorname* { m i n } } } & { : = \operatorname* { i n f } \{ a ( \lambda ; \underline { X } ) \colon ( \lambda , \underline { X } ) \in \mathcal { D } _ { C } \} \, , } \\ { a _ { \operatorname* { m i n } } ^ { \infty } } & { : = \operatorname* { i n f } \{ a ( \lambda ; \underline { X } ) \colon ( \lambda , \underline { X } ) \in \mathcal { D } _ { C } ^ { \infty } \} \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Tilde { x } _ { \lambda } } & { = \Tilde { x } _ { 0 } + \int _ { 0 } ^ { \lambda } \psi _ { 0 } ( s ) d s \Tilde { Y _ { 0 } } - h _ { t a m , \gamma } ( \Tilde { x } _ { 0 } ) \int _ { 0 } ^ { \lambda } \int _ { 0 } ^ { s } e ^ { - \gamma ( s - u ) } d u d s + \sqrt { 2 \gamma \beta ^ { - 1 } } \int _ { 0 } ^ { \lambda } e ^ { - \gamma t } \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { \gamma s } d W _ { s } d t } \\ & { = \Tilde { x } _ { 0 } + \psi _ { 1 } ( \lambda ) \Tilde { Y _ { 0 } } - h _ { t a m , \gamma } ( \Tilde { x } _ { 0 } ) \frac { 1 } { \gamma } \int _ { 0 } ^ { \lambda } e ^ { - \gamma s } ( e ^ { \gamma s } - 1 ) d s + \sqrt { 2 \gamma \beta ^ { - 1 } } \int _ { 0 } ^ { \lambda } e ^ { - \gamma t } \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { \gamma s } d W _ { s } d t } \\ & { = \Tilde { x } _ { 0 } + \psi _ { 1 } ( \lambda ) \Tilde { Y _ { 0 } } - h _ { t a m , \gamma } ( \Tilde { x } _ { 0 } ) \int _ { 0 } ^ { \lambda } \psi _ { 1 } ( s ) d s + \sqrt { 2 \gamma \beta ^ { - 1 } } \int _ { 0 } ^ { \lambda } e ^ { - \gamma t } \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { \gamma s } d W _ { s } d t } \\ & { = \Tilde { x } _ { 0 } + \psi _ { 1 } ( \lambda ) \Tilde { Y _ { 0 } } - \psi _ { 2 } ( \lambda ) h _ { t a m , \gamma } ( \Tilde { x } _ { 0 } ) + \sqrt { 2 \gamma \beta ^ { - 1 } } \int _ { 0 } ^ { \lambda } e ^ { - \gamma t } M _ { t } d t } \end{array}
\mathcal { C } [ i _ { 1 } , j _ { 2 } , i _ { 3 } ] = \sum _ { k _ { 2 } } \mathcal { A } [ i _ { 1 } , k _ { 2 } , i _ { 3 } ] \mathbf { B } [ k _ { 2 } , j _ { 2 } ] = : \langle \mathcal { A } [ i _ { 1 } , k _ { 2 } , i _ { 3 } ] , \mathbf { B } [ k _ { 2 } , j _ { 2 } ] \rangle _ { k _ { 2 } \in [ n _ { 2 } ] }
\left( \Lambda ^ { \mu } ( Q _ { 1 } , Q _ { 2 } ) \right) _ { j i } ^ { 1 } \equiv \delta _ { 1 i } \, \delta _ { 1 j } \, \gamma ^ { \mu } + \left( \hat { \Lambda } ^ { \mu } ( Q _ { 1 } , Q _ { 2 } ) \right) _ { j i } ^ { 1 }
\begin{array} { r } { \langle \psi _ { i } | \mathrm { P } ( E ) | \psi _ { k } \rangle = \frac { i } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \! d \omega \, \sum _ { n } \frac { \langle \psi _ { i } \psi _ { n } | R ( \omega ) | \psi _ { n } \psi _ { k } \rangle } { E - \omega - \varepsilon _ { n } ( 1 - i 0 ) } } \end{array}
X _ { \mathbf { h } , J } ^ { ( d , \bot ) } ( t ) = \sum _ { \substack { ( \mathbf { j } , \mathbf { k } ) \in ( \mathbb { Z } ^ { d } ) ^ { 2 } \, \displaystyle \operatorname* { m a x } _ { \ell \in [ \! [ 1 , d ] \! ] } j _ { \ell } \geq J } } \varepsilon _ { \textbf { j } , \textbf { k } } \, \mathcal { K } _ { \textbf { j } , \textbf { k } } ^ { ( d , \mathbf { h } ) } ( t ) ,
\begin{array} { r l } { M _ { j t } ( \theta _ { D C } ) } & { = \sum _ { z = 0 } ^ { \infty } \left( - 1 \right) ^ { z } \frac { ( j t ) _ { z } } { z ! } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left[ z _ { L } \; p _ { \mathrm { { L O S } } } ^ { j t } ( r _ { x } ) \right. } \\ & { + \left. z _ { N } \left( 1 - p _ { \mathrm { L O S } } \left( r _ { x } \right) \right) ^ { j t } \right] \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \eta ^ { 2 } } } \exp \left( \frac { - r _ { x } ^ { 2 } } { 2 \eta ^ { 2 } } \right) d r _ { x } , } \end{array}
0 \longrightarrow \widetilde { H } _ { \mathrm { f , I w } } ^ { 2 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T , \Delta _ { 0 } ) \xrightarrow { \pi _ { T } ^ { \prime } } \widetilde { H } _ { \mathrm { f , I w } } ^ { 2 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , \mathrm { I n d } _ { K / \mathbb { Q } } \, T , \Delta _ { \mathrm { C M } } ) \xrightarrow { j _ { T } ^ { \prime } } \widetilde { H } _ { \mathrm { f , I w } } ^ { 2 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T \otimes \epsilon _ { K } , \Delta _ { \emptyset } ) \longrightarrow 0
F _ { m } ( \phi ) = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \; f _ { m m _ { 2 } \ldots m _ { n } } ^ { ( n ) } \phi _ { m _ { 2 } } \ldots \phi _ { m _ { n } } , \; \; \; \; \; \; \tilde { F } _ { m } ( \tilde { \phi } ) = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \; f _ { m m _ { 2 } \ldots m _ { n } } ^ { ( n ) } \tilde { \phi } _ { m _ { n } } \ldots \tilde { \phi } _ { m _ { 2 } }
\begin{array} { r } { \mathrm { d } S = Y _ { A } \mathrm { d } X ^ { A } = Y _ { 1 } \mathrm { d } X ^ { 1 } + Y _ { 2 } \mathrm { d } X ^ { 2 } + . . . + Y _ { N } \mathrm { d } X ^ { N } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { k _ { 1 } , \dots , k _ { d } } { \binom { d } { k _ { 1 } , \dots , k _ { d } } } } & { F ( \underbrace { z _ { 1 } , \dots , z _ { 1 } } _ { k _ { 1 } } , \dots , \underbrace { z _ { d } , \dots , z _ { d } } _ { k _ { d } } ) \lambda _ { 1 } ^ { k _ { 1 } } \cdots \lambda _ { d } ^ { k _ { d } } } \\ & { = \sum _ { k _ { 1 } , \dots , k _ { d } } { \binom { d } { k _ { 1 } , \dots , k _ { d } } } \operatorname { M V o l } _ { \Sigma , \omega , * } ( \underbrace { z _ { 1 } , \dots , z _ { 1 } } _ { k _ { 1 } } , \dots , \underbrace { z _ { d } , \dots , z _ { d } } _ { k _ { d } } ) \lambda _ { 1 } ^ { k _ { 1 } } \cdots \lambda _ { d } ^ { k _ { d } } } \end{array}
\eta _ { \nu } = \frac { n _ { \nu } } { n _ { \gamma } } = 3 . 6 \left( \frac { 0 . 0 7 e V } { m _ { \nu } } \right) \left( \frac { \Omega _ { \nu } h ^ { 2 } } { 0 . 0 1 } \right) ,
\delta f _ { \bf k } ( t ) = 2 e k \int _ { 0 } ^ { t } \, d t ^ { \prime } \, G _ { R } ( t - t ^ { \prime } ; { \bf k } ) A ( t ^ { \prime } ) \bar { f } _ { \bf k } ( t ^ { \prime } ) + A _ { \bf k } \bar { f } _ { \bf k } ( t ) + B _ { \bf k } \bar { f } _ { \bf k } ^ { * } ( t ) \, ,
W _ { 0 } ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 2 } , \omega ) = \int \varepsilon ^ { - 1 } ( \mathbf { r } _ { 1 } , \mathbf { r } _ { 3 } , \omega ) v ( \mathbf { r } _ { 3 } , \mathbf { r } _ { 2 } ) d \mathbf { r } _ { 3 }
S = \int d ^ { d } x d t \left[ { \frac { 1 } { 2 } } E ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 4 } } B _ { i j } B _ { i j } - { \frac { m ^ { 2 } } { 2 } } A ^ { 2 } + { \frac { m ^ { 2 } } { 2 } } \phi ^ { 2 } \right]
S _ { \sigma } = - \frac { k } { 4 \pi } \int _ { M } d \tau d \sigma \; \eta ^ { \alpha \beta } \mathrm { T r } [ g ^ { - 1 } \partial _ { \alpha } g \; g ^ { - 1 } \partial _ { \beta } g ] - \frac { k } { 6 \pi } \int _ { B } \mathrm { T r } [ g ^ { - 1 } d g \wedge g ^ { - 1 } d g \wedge g ^ { - 1 } d g ] .
\check { X } _ { t _ { n + 1 } } ^ { \theta } = \check { X } _ { t _ { n } } ^ { \theta } + b ( t _ { n } , \check { X } _ { t _ { n } } ^ { \theta } , \alpha _ { t _ { n } } ( \check { X } _ { t _ { n } } ^ { \theta } ; \theta _ { n } ) ) \Delta t + \sigma ( t _ { n } , \check { X } _ { t _ { n } } ^ { \theta } , \alpha _ { t _ { n } } ( \check { X } _ { t _ { n } } ^ { \theta } ; \theta _ { n } ) ) \Delta \check { W } _ { t _ { n } } .
\mathrm { \boldmath ~ V ~ } ^ { ( 0 ) } = \left( \begin{array} { r r } { { C _ { F } \, { ^ { Q Q } V ^ { ( 0 ) } } } } & { { 2 T _ { F } N _ { f } \, { ^ { Q G } V ^ { ( 0 ) } } } } \\ { { C _ { F } \, { ^ { G Q } V ^ { ( 0 ) } } } } & { { C _ { A } \, { ^ { G G } V ^ { ( 0 ) } } } } \end{array} \right) , \quad \mathrm { \boldmath ~ g ~ } = \left( \begin{array} { r r } { { C _ { F } \, { ^ { Q Q } g } } } & { { 0 } } \\ { { C _ { F } \, { ^ { G Q } g } } } & { { C _ { A } \, { ^ { G G } g } } } \end{array} \right) ,
{ \frac { 1 } { Z } } \int _ { \mathbf { x } ( 0 ) = x } f ( \mathbf { x } ) e ^ { - { \frac { m } { 2 } } \int | { \dot { \mathbf { x } } } | ^ { 2 } d t } \, { \mathcal { D } } \mathbf { x }
\begin{array} { r } { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } , \mathbb { C } ^ { n } ) = \dot { \mathrm { H } } _ { \sigma } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } , \mathbb { C } ^ { n } ) \oplus \overline { { \nabla \dot { \mathrm { H } } ^ { s + 1 , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } , \mathbb { C } ^ { n } ) } } \mathrm { , ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { d f } & { { } = { \frac { \partial f } { \partial t } } \, d t + \left( { \frac { \partial f } { \partial x } } \, d x + { \frac { \partial f } { \partial y } } \, d y + { \frac { \partial f } { \partial z } } \, d z \right) + \left( { \frac { \partial f } { \partial p _ { x } } } \, d p _ { x } + { \frac { \partial f } { \partial p _ { y } } } \, d p _ { y } + { \frac { \partial f } { \partial p _ { z } } } \, d p _ { z } \right) } \end{array}
\gamma _ { \mu } \gamma _ { \nu } \gamma _ { \rho } = g _ { \mu \nu } \gamma _ { \rho } + g _ { \nu \rho } \gamma _ { \mu } - g _ { \mu \rho } \gamma _ { \nu } + i \epsilon _ { \sigma \mu \nu \rho } \gamma ^ { \sigma } \gamma _ { 5 } \qquad \mathrm { i n ~ } D = 4
\mathbf E _ { P } = \frac { \eta _ { P } } { \mu _ { 0 } } \left( \nabla \times { \mathbf B _ { P } } \right) = \mathbf E _ { W } = \frac { \eta _ { W } } { \mu _ { 0 } } \left( \nabla \times { \mathbf B _ { W } } \right) \qquad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \quad \Gamma ^ { P W } .
\begin{array} { r l } { C ( \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } , \lambda _ { 3 } ) } & { = { \frac { \left[ \pi \mu \gamma ( b ^ { 2 } ) \, b ^ { 2 - 2 b ^ { 2 } } \right] ^ { ( Q - \beta _ { 1 } - \beta _ { 2 } - \beta _ { 3 } ) / b } \Upsilon _ { 0 } \Upsilon ( 2 \beta _ { 1 } ) \Upsilon ( 2 \beta _ { 2 } ) \Upsilon ( 2 \beta _ { 3 } ) } { \Upsilon ( \beta _ { 1 } + \beta _ { 2 } + \beta _ { 3 } - Q ) \Upsilon ( Q + \beta _ { 1 } - \beta _ { 2 } - \beta _ { 3 } ) \Upsilon ( \beta _ { 1 } + \beta _ { 2 } - \beta _ { 3 } ) \Upsilon ( \beta _ { 1 } - \beta _ { 2 } + \beta _ { 3 } ) } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { d e t } ( c _ { i } ^ { B } ( x _ { j } ) ) _ { 1 \leq i , j \leq n } } & { = \prod _ { 1 \leq i < j \leq n } ( x _ { i } - x _ { j } ) ( 1 - a _ { j } b _ { i } ) , } \\ { \operatorname* { d e t } ( c _ { i } ^ { C } ( x _ { j } ) ) _ { 1 \leq i , j \leq n } } & { = \prod _ { 1 \leq i < j \leq n } ( x _ { j } - x _ { i } ) ( 1 - a _ { i } b _ { j } ) . } \end{array}
\begin{array} { c c l } { { \cal K \mit _ { M I J } } } & { { \equiv } } & { { \frac { z _ { M } ^ { 2 } \ln z _ { M } } { ( z _ { M } - 1 ) ( z _ { M } - z _ { I } ) ( z _ { M } - z _ { J } ) } + \frac { z _ { I } ^ { 2 } \ln z _ { I } } { ( z _ { M } - 1 ) ( z _ { I } - z _ { J } ) ( z _ { I } - z _ { M } ) } } } \\ { { } } & { { } } & { { \frac { z _ { J } ^ { 2 } \ln z _ { J } } { ( z _ { J } - 1 ) ( z _ { J } - z _ { I } ) ( z _ { J } - z _ { M } ) } } } \end{array}
\sigma _ { y } \eta _ { s p } \{ t _ { 1 } \sin [ ( q _ { x } - q _ { y } ) b ] J _ { 1 } ( 2 K _ { x } ) [ K _ { x } + K _ { y } \cos ( \varphi ) ] + t _ { 2 } \sin ( q _ { x } b ) \{ J _ { 0 } ( K _ { y } ) J _ { 1 } ( K _ { x } ) [ K _ { x } + K _ { y } \cos ( \varphi ) ] -
\left[ \begin{array} { l } { V _ { c } } \\ { 0 } \end{array} \right] = R _ { c v } \left[ \begin{array} { l } { I _ { c } } \\ { I _ { v } } \end{array} \right] + M _ { c v , c v } \left[ \begin{array} { l } { \dot { I } _ { c } } \\ { \dot { I } _ { v } } \end{array} \right] + M _ { c v , g } \dot { I } _ { g }
f _ { \mu } = - \frac { 1 } { 2 } p _ { \alpha } \partial _ { \mu } g ^ { \alpha \beta } p _ { \beta } - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 4 } \partial _ { \mu } \left( \partial _ { \alpha } \Gamma ^ { \alpha } + \frac { 1 } { 2 } \Gamma _ { \alpha } \Gamma ^ { \alpha } \right) \, ,
\left\{ \begin{array} { l l } { T = - \gamma _ { 1 } ( 1 - h _ { 1 } ) - \gamma _ { 2 } ( 1 + | h _ { 2 } | ) - 2 ( h _ { 1 } - | h _ { 2 } | ) > 0 } \\ { D \propto - \gamma _ { 1 } | h _ { 2 } | ( 1 - h _ { 1 } ) + \gamma _ { 2 } h _ { 1 } ( 1 + | h _ { 2 } | ) - 2 h _ { 1 } | h _ { 2 } | > 0 } \end{array} \right.
O _ { 8 L } = { \frac { g _ { s } } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } } ~ m _ { b } \bar { s } _ { L } ^ { \alpha } \sigma ^ { \mu \nu } T _ { \alpha \beta } ^ { a } b _ { R } ^ { \beta } ~ G _ { \mu \nu } ^ { a } ,
\begin{array} { r l } { \Vert \b _ { i } - \b _ { j } \Vert _ { 2 } } & { = \Vert \b _ { i } - \b _ { i ^ { \prime } } + \b _ { i ^ { \prime } } - \b _ { j ^ { \prime } } + \b _ { j } - \b _ { j } \Vert _ { 2 } } \\ & { \ge \Vert \b _ { i ^ { \prime } } - \b _ { j ^ { \prime } } \Vert _ { 2 } - \Vert \b _ { i } - \b _ { i ^ { \prime } } \Vert _ { 2 } - \Vert \b _ { j } - \b _ { j } \Vert _ { 2 } } \\ & { \ge c ^ { \prime } - \frac { 1 2 c _ { g } \sqrt { L } } { \sqrt { \sigma } } n ^ { - \gamma } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Psi _ { \textnormal { \tiny { F C } } } ( \theta ) } & { = \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } \log \Big ( D \big ( \theta , \theta ^ { \prime } , 0 , \varphi ^ { \prime } \big ) \Big ) \Omega _ { \textnormal { \tiny { F C } } } ( \theta ^ { \prime } ) \sin ( \theta ^ { \prime } ) d \theta ^ { \prime } d \varphi ^ { \prime } } \\ & { = \frac { \omega _ { N } } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \theta _ { 0 } } \log \Big ( D \big ( \theta , \theta ^ { \prime } , 0 , \varphi ^ { \prime } \big ) \Big ) \sin ( \theta ^ { \prime } ) d \theta ^ { \prime } d \varphi ^ { \prime } } \\ & { \quad + \frac { \omega _ { S } } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { \theta _ { 0 } } ^ { \pi } \log \Big ( D \big ( \theta , \theta ^ { \prime } , 0 , \varphi ^ { \prime } \big ) \Big ) \sin ( \theta ^ { \prime } ) d \theta ^ { \prime } d \varphi ^ { \prime } } \\ & { \quad + \frac { \widetilde { \gamma } } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } \log \Big ( D \big ( \theta , \theta ^ { \prime } , 0 , \varphi ^ { \prime } \big ) \Big ) \sin ( 2 \theta ^ { \prime } ) d \theta ^ { \prime } d \varphi ^ { \prime } . } \end{array}
v _ { 0 } ( \mathbf { r } \in \mathbf { r } _ { w } , t ) = - \frac { \mathcal { L } } { \beta \eta } \nabla _ { | | } \rho ( \mathbf { r } \in \mathbf { r } _ { w } , t ) \cdot \textbf { e } _ { z } \, ,
\Delta \, V _ { e f f } ( G ) \, = \, \frac { 1 } { 4 8 \pi ^ { 2 } } \ln \frac { m ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 2 } } \langle t r ( C _ { \mu \nu } ^ { a } ) ^ { 2 } \rangle _ { 0 } \, = \, - \frac { C _ { g } } { 2 4 } \ln \frac { m ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \xi } & { = ( - ) ^ { p q + p + q } \frac { 1 } { f _ { s } } { * \tilde { \mu } } + ( - ) ^ { p + 1 } \frac { c _ { \phi } } { \chi } u \wedge { * \tilde { \xi } } , } \\ { \psi } & { = \frac { ( - ) ^ { p q + q } } { m ^ { 2 } } { * \tilde { \mu } _ { \psi } } + \frac { c _ { \phi } } { \chi _ { \ell } } u \wedge { * \tilde { \xi } _ { \psi } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { w ( r ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 1 - \frac { r } { r _ { e } } ) ^ { 2 } } & { ( r < r _ { e } ) } \\ { 0 } & { ( \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } ) } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { l m } ^ { Y } ( r ) } & { = \frac { 1 } { \omega \mu _ { 0 } } \left[ \frac { \sqrt { l ( l + 1 ) } B _ { l m } ^ { X } ( r ) } { r } - i \frac { d B _ { l m } ^ { Z } ( r ) } { d r } \right] } \\ { B _ { l m } ^ { X } ( r ) } & { = \frac { \sqrt { l ( l + 1 ) } E _ { l m } ^ { Y } ( r ) } { \omega r } } \\ { B _ { l m } ^ { Z } ( r ) } & { = \frac { - i } { \omega } \frac { d E _ { l m } ^ { Y } ( r ) } { d r } } \\ { B _ { l m } ^ { Y } ( r ) } & { = - \frac { 1 } { \omega } \left[ \frac { \sqrt { l ( l + 1 ) } E _ { l m } ^ { X } ( r ) } { r } - i \frac { d E _ { l m } ^ { Z } ( r ) } { d r } \right] } \\ { D _ { l m } ^ { X } ( r ) } & { = - \frac { \sqrt { l ( l + 1 ) } B _ { l m } ^ { Y } ( r ) } { \omega \mu _ { 0 } r } } \\ { D _ { l m } ^ { Z } ( r ) } & { = \frac { i } { \omega \mu _ { 0 } } \frac { d B _ { l m } ^ { Y } ( r ) } { d r } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { T } \dot { g } ( s ) F _ { \psi } ( s ) d s = \int _ { 0 } ^ { T } \operatorname* { l i m } _ { h \rightarrow 0 } \frac { g ( s ) - g ( s - h ) } { h } F _ { \psi } ( s ) d s = \operatorname* { l i m } _ { h \rightarrow 0 } \int _ { 0 } ^ { T } \frac { g ( s ) - g ( s - h ) } { h } F _ { \psi } ( s ) d s . } \end{array}
L = \frac { 1 } { 2 } { \dot { \phi } } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } { { \phi } ^ { \prime } } ^ { 2 } - \frac { \lambda } { 4 } \left( \phi ^ { 2 } - \frac { m ^ { 2 } } { \lambda } \right) ^ { 2 } - \varepsilon \frac { m ^ { 3 } } { \sqrt \lambda } \phi ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| y _ { t } ^ { ( m ) } - y _ { x _ { t } ^ { ( m ) } } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } & { \leq ( 1 - \frac { \mu \gamma \alpha _ { t - 1 } } { 4 } ) \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - y _ { x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] - \frac { \gamma ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } } { 4 } \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \omega _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { \qquad + \frac { 9 \gamma \alpha _ { t - 1 } } { 2 \mu } \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \omega _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } , y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } ) \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { \qquad + \frac { 9 \kappa ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } } { \mu \gamma } \mathbb { E } \bigg [ \| \nu _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \| ^ { 2 } \bigg ] + \frac { 9 \kappa ^ { 2 } } { \mu \gamma \alpha _ { t - 1 } } \mathbb { E } \bigg [ \| \hat { x } _ { t } ^ { ( m ) } ) - \bar { x } _ { t } \| ^ { 2 } \bigg ] } \end{array}
E = { \frac { 1 } { 2 } } M v ^ { 2 } , \ \ \ \mathrm { a n d } \ \ P = M v \ \ \ \ \mathrm { w h e r e } \ \ M = m N ( 1 + { \frac { 1 } { 1 2 } } \lambda ^ { 2 } N ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } { \overline { { r } } _ { * } ^ { 1 } ( s , a ) } & { = \sum _ { a ^ { \prime } \in A ^ { 2 } } r ^ { 1 } ( s , a , a ^ { \prime } ) \overline { { \pi } } _ { * } ^ { 2 } ( s , a ^ { \prime } ) } \\ { \overline { { r } } _ { * } ^ { 2 } ( s , a ) } & { = \sum _ { a ^ { \prime } \in A ^ { 1 } } r ^ { 2 } ( s , a ^ { \prime } , a ) \overline { { \pi } } _ { * } ^ { 1 } ( s , a ^ { \prime } ) } \\ { \overline { { p } } _ { * } ^ { i } ( s ^ { \prime } | s , a ) } & { = \sum _ { a ^ { \prime } \in A ^ { j } } \mathbb P ( s _ { t + 1 } = s ^ { \prime } | S _ { t } = s , a _ { t } ^ { i } = a , a _ { t } ^ { j } = a ^ { \prime } ) \overline { { \pi } } _ { * } ^ { j } ( s , a ^ { \prime } ) \ , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P } & { { } = } & { K _ { \mathrm { b } } + K _ { \mathrm { f } } ( 1 - \phi - K _ { \mathrm { b } } / K _ { \mathrm { s } } ) ^ { 2 } / \phi _ { \mathrm { e f f } } + 4 G _ { \mathrm { b } } / 3 , } \\ { N } & { { } = } & { G _ { \mathrm { b } } , } \\ { R } & { { } = } & { \phi ^ { 2 } K _ { \mathrm { f } } / \phi _ { \mathrm { e f f } } , } \\ { Q } & { { } = } & { \phi K _ { \mathrm { f } } ( 1 - \phi - K _ { \mathrm { b } } / K _ { \mathrm { s } } ) / \phi _ { \mathrm { e f f } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \, \mathrm { d } } { \, \mathrm { d } t } \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } ( h _ { \ell } ^ { + } ) ^ { p } \, \mathrm { d } v } & { + c _ { 0 } \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } \left\vert \nabla ( h _ { \ell } ^ { + } ) ^ { \frac { p } { 2 } } \right\vert ^ { 2 } \langle v \rangle ^ { - 3 } \, \mathrm { d } v } \\ & { \leq C \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } ( h _ { \ell } ^ { + } ) ^ { p + 1 } \, \mathrm { d } v + C ( 1 + \ell ) \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } ( h _ { \ell } ^ { + } ) ^ { p } \, \mathrm { d } v + C \left( 1 + E ^ { \beta _ { 0 } } + \ell + \ell ^ { 2 } \right) \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } ( h _ { \ell } ^ { + } ) ^ { p - 1 } \, \mathrm { d } v . } \end{array}
\langle \cos ^ { 2 } ( \theta ) \rangle _ { l _ { 0 } } ( \tau ) = \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \cos ( 2 l _ { 0 } \tau ) J _ { 1 } \left( \mathrm { P } \sin ( 2 \tau ) \right) \, .
\begin{array} { r } { \varepsilon = \frac { 1 } { L _ { T } } \int \frac { \mathrm { d } ^ { 3 } \vec { r } } { V } \: \frac { 3 } { 2 } \frac { \delta T _ { e } } { T _ { 0 e } } v _ { E x } , \quad v _ { E x } = - \frac { \rho _ { e } v _ { \mathrm { t h } e } } { 2 } \frac { \partial \varphi } { \partial y } , } \end{array}