harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\underline { { P } } ^ { ( B , E ) } ( A ) \equiv \underline { { P } } ^ { B } ( A \mid E ) : = \operatorname* { i n f } _ { P \in \mathcal { P } } \frac { P ( A \cap E ) } { P ( E ) } \quad \mathrm { a n d } \quad \overline { { P } } ^ { ( B , E ) } ( A ) \equiv \overline { { P } } ^ { B } ( A \mid E ) = \operatorname* { s u p } _ { P \in \mathcal { P } } \frac { P ( A \cap E ) } { P ( E ) } ,
\begin{array} { r l } { f _ { t } ^ { ( 3 ) } ( X ) } & { = ( X - \alpha ) ( X - \phi ( \alpha ) ) ( X - \phi ^ { 2 } ( \alpha ) ) } \\ & { = X ^ { 3 } + \left( \frac { 1 } { \alpha } + \frac { 1 } { 1 + \alpha } - \alpha + 1 \right) X ^ { 2 } + \left( \frac { 1 } { \alpha } + \frac { 1 } { 1 + \alpha } - \alpha - 2 \right) X - 1 } \\ & { = X ^ { 3 } - ( t - 1 ) X ^ { 2 } - ( t + 2 ) X - 1 } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( a b ) ^ { - 1 / 2 } \| P \| \leq 1 } & { \quad \Leftrightarrow \quad \left( \begin{array} { l l } { a \, \mathrm { I d } } & { P } \\ { P ^ { * } } & { b \, \mathrm { I d } } \end{array} \right) \succcurlyeq 0 . } \\ { ( a b ) ^ { - 1 / 2 } \| P \| \leq \beta } & { \quad \Leftrightarrow \quad \left( \begin{array} { l l } { a \, \mathrm { I d } } & { P } \\ { P ^ { * } } & { b \, \mathrm { I d } } \end{array} \right) \succcurlyeq ( 1 - \beta ) \left( \begin{array} { l l } { a \, \mathrm { I d } } & { 0 } \\ { 0 } & { b \, \mathrm { I d } } \end{array} \right) . } \end{array}
P _ { i , t } ( \theta ) = \frac { \theta ^ { \hat { S } _ { i , t } } ( 1 - \theta ) ^ { \hat { F } _ { i , t } } P _ { 0 } ( \theta ) I _ { j , t } ( \theta ) } { \int _ { 0 } ^ { 1 } y ^ { \hat { S } _ { i , t } } ( 1 - y ) ^ { \hat { F } _ { i , t } } P _ { 0 } ( y ) I _ { j , t } ( y ) \, \mathrm { ~ d ~ } y } , \quad \theta \in [ 0 , 1 ] ,
H = \frac { 1 } { 2 } | \omega | \left( - \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial R e \varphi ^ { 2 } } + R e \varphi + I m \pi ^ { 2 } - \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial I m \pi ^ { 2 } } \right) \ \ \ .
\eta _ { * } ( R , Z , t ) \, = \, \chi _ { 0 } \bigl ( \epsilon ^ { \sigma _ { 0 } } ( R ^ { 2 } { + } Z ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } \bigr ) \, \eta _ { \mathrm { a p p } } ( R , Z , t ) \, , \qquad \phi _ { * } ( \cdot , t ) \, = \, \mathrm { B S } ^ { \epsilon } [ \eta _ { * } ( \cdot , t ) ] \, ,
\begin{array} { r } { \varepsilon _ { \mathrm { l } } = \sqrt { \gamma _ { \mathrm { e x } } P _ { \mathrm { l } } / \hbar \omega _ { \mathrm { l } } } , \quad \varepsilon _ { \mathrm { p } } = \sqrt { \gamma _ { \mathrm { e x } } P _ { \mathrm { p } } / \hbar \omega _ { \mathrm { p } } } , } \end{array}
\alpha _ { s } ( \mu ) = \frac { 4 \pi } { \beta _ { 0 } \ln ( \mu ^ { 2 } / \Lambda _ { Q C D } ^ { 2 } ) } \left[ 1 - \frac { \beta _ { 1 } \ln [ \ln ( \mu ^ { 2 } / \Lambda _ { Q C D } ^ { 2 } ) ] } { \beta _ { 0 } ^ { 2 } \ln ( \mu ^ { 2 } / \Lambda _ { Q C D } ^ { 2 } ) } \right]
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { s \to \infty } \, \frac 1 s \sum _ { i = 1 } ^ { \delta s r - 1 } \log _ { q } \big ( { \textstyle 1 + \frac { s - 1 } { i } } \big ) } & { = \int _ { 0 } ^ { \delta r } \log _ { q } \big ( { \textstyle 1 + \frac { 1 } { x } } \big ) \: d x } \\ & { = \delta r \: \log _ { q } \left( 1 + \frac { 1 } { \delta r } \right) + \log _ { q } ( 1 + \delta r ) . } \end{array}
F = \frac { K } { 2 } Q _ { i j , k } ^ { 2 } + \frac { a } { 2 } Q _ { i j } Q _ { i j } - \frac { b } { 3 } Q _ { i j } Q _ { j k } Q _ { k i } + \frac { c } { 4 } ( Q _ { i j } Q _ { i j } ) ^ { 2 } ,
I _ { 1 } = 2 \pi \int \int d ^ { 2 } \sigma _ { 1 } \, d ^ { 2 } \sigma _ { 2 } \, G _ { F } ( X _ { 1 } - X _ { 2 } ) \, \sqrt { \gamma _ { 1 } } \, \sqrt { \gamma _ { 2 } } \ C _ { \mathrm { t o t } } ( X _ { 1 } , X _ { 2 } ) \, ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { I } } & { { } = \operatorname* { l i m } _ { R \to \infty } \iint _ { \partial C _ { R } \cap S } U ( \boldsymbol { r ^ { \prime } } ) \frac { \partial G _ { 2 D } ( \boldsymbol { r } - \boldsymbol { r ^ { \prime } } ) } { \partial n } } \end{array}
{ \frac { M _ { P l } } { m } } = \left( { \frac { 3 n ^ { 3 } P _ { k } ^ { S } } { 1 2 8 \pi } } \right) ^ { { \frac { 1 } { n - 4 } } } \left( { \frac { \phi } { M _ { P l } } } \right) ^ { - { \frac { n + 2 } { n - 4 } } } = \left( { \frac { 3 n ^ { 3 } P _ { k } ^ { S } } { 1 2 8 \pi } } \right) ^ { { \frac { 1 } { n - 4 } } } \left( { \frac { 4 \pi } { n L } } \right) ^ { { \frac { n + 2 } { 2 ( n - 4 ) } } } ,
\begin{array} { r l r } { p ( a x ) = \sum _ { n = 0 } ^ { m } r _ { n } ( a x ) ^ { n } } & { = \sum _ { n = 0 } ^ { m } r _ { n } \left( \sum _ { i = 0 } ^ { n } \gamma _ { n , i } x ^ { n - i } \right) } \\ & { = \sum _ { j = 0 } ^ { m } \left( \sum _ { n = j } ^ { m } r _ { n } \gamma _ { n , n - j } \right) x ^ { j } } & { \mathrm { w h e r e ~ } j : = n - i , } \end{array}
\mathrm { l o g } ( f ( \mathrm { S } ) ) = \frac { 2 ( B + C ) } { A ^ { 2 } } \mathrm { l o g } ( 1 + \mathrm { S } ) - \frac { 2 ( B + C ) } { A ^ { 2 } } \mathrm { S } - 2 \mathrm { l o g } ( 1 + \mathrm { S } ) .
\hat { W } = \exp { ( i \delta Y _ { a } \otimes \hat { H } ) } , ~ ~ \hat { M } _ { k l } ^ { i j } = Z _ { a } \otimes \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \hat { a } _ { j } ^ { \dagger } \hat { a } _ { l } ^ { } \hat { a } _ { k } ^ { }
\begin{array} { r } { \| \pmb { \nu } \| _ { 0 } : = \# \Big \{ t \big | \deg ( \phi _ { \nu _ { t } } ) \neq 0 \Big \} \qquad \mathrm { f o r } ~ \pmb { \nu } \in ( \mathbb { N } \times \mathbb { Z } _ { m } ) _ { \mathrm { o r d } } ^ { \mathcal { B } } . } \end{array}
V ^ { \eta _ { a } , \eta _ { b } } \ : \ \ \ V _ { 1 } ^ { \eta _ { a } , \eta _ { b } } + V _ { 2 } ^ { - \eta _ { a } , \eta _ { b } } + V _ { 3 } ^ { \eta _ { a } , - \eta _ { b } } + V _ { 4 } ^ { - \eta _ { a } , - \eta _ { b } } \ ,
a \simeq \frac { i } { 2 } \nu \; \mathrm { b l o c k \, d i a g } \left( 0 , \sum _ { i } n _ { i } \sigma _ { i } \right) \times \left( 1 - \frac { g \sum _ { i } n _ { i } ^ { 2 } c _ { i } ^ { 2 } } { 8 \pi r } \right) .
\hat { f } _ { \mathrm { ~ A ~ L ~ E ~ } } ( x _ { 1 } ) : = \int _ { x _ { m i n } } ^ { x _ { 1 } } \int \frac { \partial \hat { \phi } ( z _ { 1 } , x _ { 2 } ) } { \partial z _ { 1 } } p ( x _ { 2 } | z _ { 1 } ) d x _ { 2 } d z _ { 1 } - \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ s ~ t ~ a ~ n ~ t ~ } \, .
f _ { 1 } \left( e ^ { - \frac { \pi } { s } } \right) = \sqrt { s } f _ { 1 } \left( e ^ { - \pi s } \right) , \; \; f _ { 3 } \left( e ^ { - \frac { \pi } { s } } \right) = f _ { 3 } \left( e ^ { - \pi s } \right) , \; \; f _ { 2 } \left( e ^ { - \frac { \pi } { s } } \right) = f _ { 4 } \left( e ^ { - \pi s } \right) .
\begin{array} { r l } { \Phi ( \omega ) \frac { d ^ { 2 } } { A } \leq } & { { } \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } } \ln \left( 1 + \frac { \zeta _ { A } \zeta _ { B } } { 4 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\Vert C _ { n } \left( \frac { f - F _ { n - 1 } } { F _ { n - 1 } } \right) \right\Vert _ { 2 } } & { = \left( \lambda _ { \operatorname* { m a x } } \left( C _ { n } \left( \frac { f - F _ { n - 1 } } { F _ { n - 1 } } \right) ^ { H } C _ { n } \left( \frac { f - F _ { n - 1 } } { F _ { n - 1 } } \right) \right) \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { = \left( \lambda _ { \operatorname* { m a x } } \left( C _ { n } \left( \left\vert \frac { f - F _ { n - 1 } } { F _ { n - 1 } } \right\vert ^ { 2 } \right) \right) \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { \leq \left( \operatorname* { m a x } _ { x } { \left\vert \frac { f ( x ) - F _ { n - 1 } ( x ) } { F _ { n - 1 } ( x ) } \right\vert ^ { 2 } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \leq \left\Vert \frac { f - F _ { n - 1 } } { F _ { n - 1 } } \right\Vert _ { \infty } . } \end{array}
\sum q ^ { \frac { 1 } { 2 } p ^ { 2 } } = \sum _ { n } q ^ { \frac { 1 5 } { 2 } \left( 2 n + \frac { 5 m _ { 1 } + 3 m _ { 3 } } { 3 0 } \right) ^ { 2 } } = \sum _ { n } q ^ { 3 0 \left( n + \frac { 5 m _ { 1 } + 3 m _ { 3 } } { 6 0 } \right) ^ { 2 } } = \theta _ { 5 m _ { 1 } + 3 m _ { 3 } , 3 0 } \: ( \tau ) .
\begin{array} { r l } { R ^ { x } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ; y ) } & { \colon V ( x _ { 2 } , y _ { 1 } ) \otimes V ( x _ { 1 } , y _ { 2 } ) \to V ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) \otimes V ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) , } \\ { R ^ { y } ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ; x ) } & { \colon V ( x _ { 1 } , y _ { 2 } ) \otimes V ( x _ { 2 } , y _ { 1 } ) \to V ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) \otimes V ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) , } \\ { R ^ { x , y } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ; y _ { 1 } , y _ { 2 } ) } & { \colon V ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) \otimes V ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) \to V ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) \otimes V ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \dot { V } _ { 1 } ( x _ { 1 } ) } & { \leq } & { - 2 q _ { 1 } \| x _ { 1 } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , \pi ) } ^ { 2 } + 2 \| x _ { 1 } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , \pi ) } \| x _ { 2 } \| _ { L ^ { 4 } ( 0 , \pi ) } ^ { 2 } } \\ & { = } & { - 2 q _ { 1 } V _ { 1 } ( x _ { 1 } ) + 2 \sqrt { V _ { 1 } ( x _ { 1 } ) } \sqrt { V _ { 2 } ( x _ { 2 } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { I _ { c i p r } ( j ) = \frac { \sum _ { { \bf r \in \mathcal { A } } } [ | \psi _ { j } ( { \bf r } , 1 ) | ^ { 4 } + | \psi _ { j } ( { \bf r } , 2 ) | ^ { 4 } ] } { \sum _ { { \bf r } } [ | \psi _ { j } ( { \bf r } , 1 ) | ^ { 2 } + | \psi _ { j } ( { \bf r } , 2 ) | ^ { 2 } ] } . } \end{array}
\Re e ( f _ { j } | 1 - y e ^ { \hat { \rho } _ { + } } | ^ { 2 } ) = - 2 \varepsilon \frac { 1 - \cos ( \mu _ { a } ( 2 j ) ) } { \sin ( \mu _ { a } ( 2 j ) ) } + O ( \varepsilon ^ { 2 } ) .
( \mathrm { ~ \bf ~ P ~ } _ { f } ) _ { i } = \epsilon _ { 0 } \int d ^ { 3 } r \, E _ { j } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \partial _ { i } A _ { j } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) + \int d ^ { 3 } r \rho ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) A _ { i } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) ) = \epsilon _ { 0 } \int d ^ { 3 } r \, E _ { j } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \partial _ { i } A _ { j } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) + \sum _ { a = 1 } ^ { N } q _ { a } A _ { i } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { a } )
{ \begin{array} { r l } { \langle f \mid g \rangle - \langle g \mid f \rangle = } & { \int _ { - \infty } ^ { \infty } \psi ^ { * } ( x ) \, x \cdot \left( - i \hbar { \frac { d } { d x } } \right) \, \psi ( x ) \, d x } \\ & { - \int _ { - \infty } ^ { \infty } \psi ^ { * } ( x ) \, \left( - i \hbar { \frac { d } { d x } } \right) \cdot x \, \psi ( x ) \, d x } \\ { = } & { i \hbar \cdot \int _ { - \infty } ^ { \infty } \psi ^ { * } ( x ) \left[ \left( - x \cdot { \frac { d \psi ( x ) } { d x } } \right) + { \frac { d ( x \psi ( x ) ) } { d x } } \right] \, d x } \\ { = } & { i \hbar \cdot \int _ { - \infty } ^ { \infty } \psi ^ { * } ( x ) \left[ \left( - x \cdot { \frac { d \psi ( x ) } { d x } } \right) + \psi ( x ) + \left( x \cdot { \frac { d \psi ( x ) } { d x } } \right) \right] \, d x } \\ { = } & { i \hbar \cdot \int _ { - \infty } ^ { \infty } \psi ^ { * } ( x ) \psi ( x ) \, d x } \\ { = } & { i \hbar \cdot \int _ { - \infty } ^ { \infty } | \psi ( x ) | ^ { 2 } \, d x } \\ { = } & { i \hbar } \end{array} }
{ \tilde { h } } _ { \mu \nu } ( \mathbf { r } , t ) = 4 G \int { \frac { T _ { \mu \nu } ( \mathbf { r } ^ { \prime } , t _ { r } ) } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | } } \mathrm { d } ^ { 3 } \mathbf { r } ^ { \prime }
f _ { \mathrm { S E I } } = \frac { \frac { 3 } { 2 } | \mathbf { M } _ { \mathrm { S E I , e l } } ^ { \mathrm { d e v } } | ^ { 2 } } { \sigma _ { \mathrm { Y , S E I } } ^ { 2 } } - 1 \leq 0
\begin{array} { r l } { \Delta ^ { * } \psi } & { { } = - \mu _ { 0 } R J _ { \phi } } \\ { J _ { \phi } } & { { } = R P ^ { \prime } ( \psi ) + \frac { F F ^ { \prime } ( \psi ) } { \mu _ { 0 } R } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { r a n k } ( P 2 P _ { j k } ^ { ( L ) } ) } & { \leq \operatorname* { m i n } \{ \mathrm { r a n k } ( K _ { j i } ^ { ( L ) } ) , \mathrm { r a n k } ( K _ { i i } ^ { ( L ) } ) , \mathrm { r a n k } ( K _ { i k } ^ { ( L ) } \} } \\ & { \leq \mathcal { O } \left( \log ( N ) \log ^ { d } ( \log ( N ) ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \mathcal { A } } & { : = \Sigma _ { E } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } ( A _ { 1 1 } - A _ { 1 2 } A _ { 2 2 } ^ { - 1 } A _ { 2 1 } ) \Sigma _ { E } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } , } & { \mathcal { B } } & { : = \Sigma _ { E } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } ( B _ { 1 } - A _ { 1 2 } A _ { 2 2 } ^ { - 1 } B _ { 2 } ) , } \\ { \mathcal { C } } & { : = ( C _ { 1 } - C _ { 2 } A _ { 2 2 } ^ { - 1 } A _ { 2 1 } ) \Sigma _ { E } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } , } & { \mathcal { D } } & { : = D - C _ { 2 } A _ { 2 2 } ^ { - 1 } B _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \oint _ { \tilde { \gamma } } \frac { f ( z ) } { z - z _ { 0 } } } & { { } \approx f ( z _ { 0 } ) \oint _ { \tilde { \gamma } } \frac { 1 } { z - z _ { 0 } } \, \mathrm { d } z } \end{array}
{ \cal L } = { \frac { i } { 2 } } \overline { { { \psi } } } \gamma ^ { \mu } ( \partial _ { \mu } \psi ) - { \frac { i } { 2 } } ( \partial _ { \mu } \overline { { { \psi } } } ) \gamma ^ { \mu } \psi - m ( \overline { { { \psi } } } \psi ) - e A _ { \mu } ( \overline { { { \psi } } } \gamma ^ { \mu } \psi ) ,
\begin{array} { r l } & { \rho _ { 0 } : \sigma \mapsto 1 , \tau \mapsto 1 , } \\ & { \rho _ { 1 } : \sigma \mapsto - 1 , \tau \mapsto 1 , } \\ & { \rho _ { 2 } : \sigma \mapsto \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { - 1 } & { - 1 } \end{array} \right] , \tau \mapsto \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { - 1 } & { - 1 } \end{array} \right] , } \\ & { \rho _ { 3 } : \sigma \mapsto \left[ \begin{array} { l l l } { - 1 } & { - 1 } & { - 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right] , \tau \mapsto \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { - 1 } & { - 1 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] , } \\ & { \rho _ { 4 } : \sigma \mapsto \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { - 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } & { 0 } \end{array} \right] , \tau \mapsto \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { - 1 } & { - 1 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P V _ { e } } & { = \nabla _ { h } ^ { 2 } \psi + f ^ { 2 } \frac { \partial } { \partial z } \left[ \frac { 1 } { N _ { u } ^ { 2 } } \left( \frac { \partial \psi } { \partial z } + \frac { g L _ { v } } { \theta _ { 0 } f c _ { p } } M \right) H _ { u } + \frac { 1 } { N _ { s } ^ { 2 } } \left( \frac { \partial \psi } { \partial z } \right) H _ { s } \right] } \\ & { = \nabla _ { h } ^ { 2 } \psi + f ^ { 2 } \frac { \partial } { \partial z } \left[ \frac { 1 } { N _ { s } ^ { 2 } } \frac { \partial \psi } { \partial z } + \left( \frac { 1 } { N _ { s } ^ { 2 } } - \frac { 1 } { N _ { u } ^ { 2 } } \right) { \operatorname* { m i n } } _ { 0 } \, \left( \frac { - g } { f \theta _ { 0 } } \cdot \frac { d \tilde { \theta } _ { e } / d z } { d \tilde { q } _ { t } / d z } M - \partial _ { 3 } p \right) \right] } \\ { P V _ { e } } & { = \frac { 1 } { f } \Delta _ { h } p + f \left[ \frac { 1 } { N _ { u } ^ { 2 } } \left( \partial _ { 3 } p + B _ { q } M \right) H _ { u } + \frac { 1 } { N _ { s } ^ { 2 } } \left( \partial _ { 3 } p \right) H _ { s } \right] } \\ & { = \frac { 1 } { f } \Delta _ { h } p + f \partial _ { 3 } \left[ \frac { 1 } { N _ { s } ^ { 2 } } \partial _ { 3 } p + \left( \frac { 1 } { N _ { s } ^ { 2 } } - \frac { 1 } { N _ { u } ^ { 2 } } \right) { \operatorname* { m i n } } _ { 0 } \, \left( \frac { B _ { \theta _ { e } } C _ { \theta _ { e } } } { C _ { q } } M - \partial _ { 3 } p \right) \right] } \\ { P V _ { e } } & { = \Delta _ { h } p + \partial _ { 3 } \left[ \frac { 1 } { 2 } ( \partial _ { 3 } p + M ) H _ { u } + ( \partial _ { 3 } p ) H _ { s } \right] } \\ & { = \Delta _ { h } p + \partial _ { 3 } \left[ \partial _ { 3 } p + \frac { 1 } { 2 } { \operatorname* { m i n } } _ { 0 } \, \left( M - \partial _ { 3 } p \right) \right] = \Delta p + \frac { 1 } { 2 } \partial _ { 3 } { \operatorname* { m i n } } _ { 0 } \, \left( M - \partial _ { 3 } p \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Gamma _ { N V ^ { - } } } & { { } = } & { J ( n _ { e x } ^ { - } \sigma _ { e x } ^ { - } + n _ { s } ^ { - } \sigma _ { s } ^ { - } + n _ { g } ^ { - } \sigma _ { g } ^ { - } ) } \\ { \Gamma _ { N V ^ { 0 } } } & { { } = } & { J ( n _ { e x } ^ { 0 } \sigma _ { e x } ^ { 0 } ) . } \end{array}
\Delta _ { \parallel , \perp } ( \alpha ) = \frac { D _ { \parallel , \perp } ( \alpha ) } { D _ { 0 T } } \, \, \, \, { \textrm { a n d } } \, \, \, \, \Delta _ { R } ( \alpha ) = \frac { D _ { R } ( \alpha ) } { D _ { 0 R } } .
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \mu ^ { 2 } } \log L _ { n } ( \theta ) } & { { } = } & { - \frac { n ( 1 - \rho ) } { \gamma ^ { 2 } ( 1 + \rho ) } , } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \mu \rho } \log L _ { n } ( \theta ) } & { { } = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( C _ { 1 } ( x _ { i - 1 } - \mu ) + C _ { 2 } ( x _ { i } - x _ { i - 1 } \rho - \mu ( 1 - \rho ) ) \right) , } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \mu \gamma ^ { 2 } } \log L _ { n } ( \theta ) } & { { } = } & { C _ { 3 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - x _ { i - 1 } \rho - \mu ( 1 - \rho ) ) , } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \rho ^ { 2 } } \log L _ { n } ( \theta ) } & { { } = } & { \frac { n ( 1 + \rho ^ { 2 } ) } { ( 1 - \rho ^ { 2 } ) ^ { 2 } } + C _ { 4 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - x _ { i - 1 } \rho - \mu ( 1 - \rho ) ) ( x _ { i - 1 } - \mu ) - \frac { 1 } { \gamma ^ { 2 } ( 1 - \rho ^ { 2 } ) } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i - 1 } - \mu ) ^ { 2 } } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \rho \gamma ^ { 2 } } \log L _ { n } ( \theta ) } & { { } = } & { C _ { 5 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - x _ { i - 1 } \rho - \mu ( 1 - \rho ) ) ( x _ { i - 1 } - \mu ) + \frac { \rho } { \gamma ^ { 4 } ( 1 - \rho ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - x _ { i - 1 } \rho - \mu ( 1 - \rho ) ) ^ { 2 } , } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial ( \gamma ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \log L _ { n } ( \theta ) } & { { } = } & { \frac { n } { 2 \gamma ^ { 4 } } - \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - x _ { i - 1 } \rho - \mu ( 1 - \rho ) ) ^ { 2 } } { \gamma ^ { 6 } ( 1 - \rho ^ { 2 } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { x } ( \tilde { \tau } ) } & { { } = 2 \tilde { k } _ { x } ( 0 ) \tilde { \tau } - \tilde { \tau } ^ { 2 } , \quad \tilde { k } _ { x } ( \tilde { \tau } ) = \tilde { k } _ { x } ( 0 ) - \tilde { \tau } , } \\ { \tilde { y } ( \tilde { \tau } ) } & { { } = \tilde { y } _ { 0 } + 2 \tilde { k } _ { y } ( 0 ) \tilde { \tau } , \quad \tilde { k } _ { y } ( \tilde { \tau } ) = \tilde { k } _ { y } ( 0 ) . } \end{array}
{ \cal L } _ { i n t } = \lambda \sin \gamma \cos \gamma \left( \frac { e } { \cos \theta \sin \theta } \frac { \sin ^ { 2 } \phi } { 2 } \right) { \bar { \tau } } _ { L } { \gamma } _ { \mu } e _ { L } Z ^ { \mu } + h . c . ~ ~ .
+ ( k _ { 1 } + k _ { 2 } ) u _ { 1 } u _ { 2 } \sin [ ( k _ { 1 } + k _ { 2 } ) s ] + ( k _ { 1 } - k _ { 2 } ) u _ { 1 } u _ { 2 } \sin [ ( k _ { 1 } - k _ { 2 } ) s ] ]
Q ( x ) = \sum _ { n \leq x } \sum _ { d ^ { 2 } \mid n } \mu ( d ) = \sum _ { d \leq x } \mu ( d ) \sum _ { n \leq x , d ^ { 2 } \mid n } 1 = \sum _ { d \leq x } \mu ( d ) \left\lfloor { \frac { x } { d ^ { 2 } } } \right\rfloor ;
\begin{array} { r l } & { \left\| \nabla _ { \omega } \mathcal { L } ( \omega _ { 2 } ) - \nabla _ { \omega } \mathcal { L } ( \omega _ { 1 } ) \right\| _ { 2 } = \left\| \sum _ { j = 1 } ^ { N } \beta _ { 1 } ( S _ { j } z ^ { t } ) ^ { * } \circ ( \omega _ { 2 } - \omega _ { 1 } ) \circ ( S _ { j } z ^ { t } ) \right\| _ { 2 } } \\ & { \leq \left[ \sum _ { j = 1 } ^ { N } \beta _ { 1 } \left\| ( S _ { j } z ^ { t } ) ^ { * } \circ ( S _ { j } z ^ { t } ) \right\| _ { \infty } \right] \| \omega _ { 2 } - \omega _ { 1 } \| _ { 2 } \leq \beta _ { 1 } N C ^ { 2 } \| \omega _ { 2 } - \omega _ { 1 } \| _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm e ^ { 2 \pi \mathrm i \boldsymbol t \boldsymbol x } = \sum _ { \boldsymbol \ell \in \mathbb Z ^ { d } } \mathrm e ^ { 2 \pi \mathrm i \boldsymbol t \boldsymbol y _ { \boldsymbol \ell } } \, \mathrm { s i n c } \left( 2 M \pi \left( \boldsymbol x - \boldsymbol y _ { \boldsymbol \ell } \right) \right) , \quad \boldsymbol x \in \mathbb C ^ { d } , } \end{array}
\mathrm { ~ S ~ S ~ I ~ M ~ } ( \vec { u } , \, \vec { v } ) = \frac { 1 } { M } \sum _ { i = 1 } ^ { M } \frac { ( 2 \mu _ { \vec { u } _ { i } } \mu _ { \vec { v } _ { i } } + c _ { 1 } ) ( 2 \sigma _ { \vec { u } _ { i } \vec { v } _ { i } } + c _ { 2 } ) } { ( { \mu _ { \vec { u } _ { i } } ^ { 2 } } + { \mu _ { \vec { v } _ { i } } ^ { 2 } } + c _ { 1 } ) ( { \sigma _ { \vec { u } _ { i } } ^ { 2 } } + { \sigma _ { \vec { v } _ { i } } ^ { 2 } } + c _ { 2 } ) } ,
\begin{array} { r l } { \eta _ { \mathrm { ~ w ~ a ~ l ~ l ~ } } } & { { } = \frac { u _ { \mathrm { ~ L ~ J ~ } } ^ { \mathrm { ~ w ~ a ~ l ~ l ~ - ~ i ~ o ~ n ~ } } } { u _ { \mathrm { ~ e ~ l ~ e ~ c ~ } } } \quad = \frac { 6 \pi \epsilon _ { i w } \sigma _ { i w } ^ { 2 } \rho _ { w } } { 5 z e \psi _ { D } } \sim \frac { \epsilon _ { i w } \sigma _ { i w } ^ { 2 } \rho _ { w } } { z e \psi _ { D } } \quad \mathrm { ~ ( ~ n ~ u ~ m ~ e ~ r ~ i ~ c ~ a ~ l ~ f ~ a ~ c ~ t ~ o ~ r ~ s ~ r ~ e ~ m ~ o ~ v ~ e ~ d ~ ) ~ } } \end{array}
\delta \Psi \bigg ( \phi ^ { A } , \, \phi _ { A } ^ { * } ; \, \frac { \delta _ { l } } { \delta \phi ^ { A } } , \, \frac { \delta } { \delta \phi _ { A } ^ { * } } \bigg ) = \delta \Psi \bigg ( \varphi ^ { i } , \, \psi ^ { \alpha } , \, \phi _ { A } ^ { * } ; \, \frac { \delta _ { l } } { \delta \varphi ^ { i } } , \, \frac { \delta _ { l } } { \delta \psi ^ { \alpha } } , \, \frac { \delta } { \delta \phi _ { A } ^ { * } } \bigg )
d s ^ { 2 } = \frac { X ^ { 1 / 2 } } { \rho } e ^ { 2 A ( r ) } d x _ { / / } ^ { 2 } + \frac { X ^ { 1 / 2 } } { \rho } \left( d r ^ { 2 } + \frac { L ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } } \left[ d \theta ^ { 2 } + \frac { \sin ^ { 2 } \theta } { X } d \phi ^ { 2 } + \frac { \rho ^ { 6 } \cos ^ { 2 } \theta } { X } d \Omega _ { 3 } ^ { 2 } \right] \right) ,
\begin{array} { l } { { { \cal H } ^ { \rho _ { 1 } } { } _ { r _ { 1 } \rho _ { 2 } ^ { \prime } r _ { 2 } \cdots \rho _ { n } ^ { \prime } r _ { n } } ( \widetilde { z _ { 2 1 } ^ { \prime } } , \widetilde { z _ { 3 1 } ^ { \prime } } , \cdots , \widetilde { z _ { n 1 } ^ { \prime } } ) \displaystyle { \prod _ { k = 2 } ^ { n } \bar { D } ^ { \rho _ { k } ^ { \prime } } { } _ { \rho _ { k } } ( \hat { \bar { L } } ( z _ { 1 - } ; g ) ) } } } \\ { { { } } } \\ { { = \Omega ( z _ { 1 } ; g ) ^ { - \eta _ { 1 } + \eta _ { 2 } + \cdots + \eta _ { n } } \Upsilon ( z _ { 1 } ; g ) ^ { - ( \kappa _ { 1 } + \kappa _ { 2 } + \cdots + \kappa _ { n } ) } { \cal H } ^ { \rho _ { 1 } ^ { \prime } } { } _ { r _ { 1 } ^ { \prime } \rho _ { 2 } r _ { 2 } ^ { \prime } \cdots \rho _ { n } r _ { n } ^ { \prime } } ( \widetilde { z _ { 2 1 } } , \widetilde { z _ { 3 1 } } , \cdots , \widetilde { z _ { n 1 } } ) } } \\ { { { } \ ~ ~ ~ ~ \times D _ { \rho _ { 1 } ^ { \prime } } { } ^ { \rho _ { 1 } } ( \hat { L } ( z _ { 1 + } ; g ) ) \displaystyle { \prod _ { k = 1 } ^ { n } D ^ { r _ { k } ^ { \prime } } { } _ { r _ { k } } ( \hat { u } ( z _ { 1 } ; g ) ) } \, . } } \end{array}
D _ { F } = \left( \begin{array} { c c } { { D _ { + } , } } & { { - \sqrt { 2 } e \phi } } \\ { { - \sqrt { 2 } e \phi ^ { * } , } } & { { \partial _ { - } } } \end{array} \right) \, , \qquad - D _ { F } ^ { \dag } = \left( \begin{array} { c c } { { D _ { - } , } } & { { \sqrt { 2 } e \phi } } \\ { { \sqrt { 2 } e \phi ^ { * } , } } & { { \partial _ { + } } } \end{array} \right) \, .
\begin{array} { r l } { \langle \Delta \hat { B } ^ { H } ( { \bf r } , t ) \rangle _ { t _ { 0 } } } & { { } = \frac { - i } { \hbar } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d t ^ { \prime } \, \theta ( t - t ^ { \prime } ) \int _ { \cal V } \mathrm { d } ^ { 3 } { \bf r } ^ { \prime } \, \langle \left[ \hat { B } ^ { I } ( { \bf r } , t ) , \hat { A } ^ { \mathrm { I } } ( { \bf r } ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) \right] \rangle _ { t _ { 0 } } \cdot \langle \hat { F } ( { \bf r } ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) \rangle _ { t _ { 0 } } , } \end{array}