harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } & { } & { \hat { H } _ { 0 } ( t ) = ( E _ { 1 } ( t ) + \hat { B } _ { 1 } ) | 1 \rangle \langle 1 | + ( E _ { 2 } ( t ) + \hat { B } _ { 2 } ) | 2 \rangle \langle 2 | + \hat { H } _ { b } , } \\ & { } & { \hat { H } _ { c } ( t ) = \hat { J } ( t ) | 2 \rangle \langle 1 | + \hat { J } ^ { \dagger } ( t ) | 1 \rangle \langle 2 | . } \end{array}
\begin{array} { r } { S _ { c } ( ^ { 1 5 3 } \mathrm { { E u } ) \sim 1 0 \times 1 0 ^ { - 8 } \ e t a \ e n s u r e m a t h { \, \mathrm { e \, f m ^ { 3 } } } \approx 1 0 ^ { - 7 } \ e t a \ e n s u r e m a t h { \, \mathrm { e \, f m ^ { 3 } } } . } } \end{array}
B = - \frac { 1 } { 8 } \bar { D } ( 1 - \gamma _ { 5 } ) D ( W _ { a } ^ { * } ) ^ { 2 } = ( D ^ { a } ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } ( F _ { \mu \nu } ^ { a } ) ^ { 2 } - \frac { i } { 2 } F _ { \mu \nu } ^ { a } \tilde { F } _ { \mu \nu } ^ { a } + O ( \theta )
\begin{array} { r l } { \operatorname* { P r } ( A _ { [ j ] } \! = \! a ) } & { = \sum _ { r \in \mathcal { A } _ { ( j - 1 ) } } \log _ { b } \! \left( 1 + \frac { 1 } { r b + a } \right) } \\ & { = \log _ { b } \! \Bigg ( \prod _ { r \in \mathcal { A } _ { ( j - 1 ) } } \frac { ( a + 1 ) b ^ { - 1 } + r } { a b ^ { - 1 } + r } \Bigg ) } \\ & { = \log _ { b } \left( \frac { \Gamma \left( ( a + 1 ) b ^ { - 1 } + b ^ { j - 1 } \right) \Gamma \left( a b ^ { - 1 } + b ^ { j - 2 } \right) } { \Gamma \left( ( a + 1 ) b ^ { - 1 } + b ^ { j - 2 } \right) \Gamma \left( a b ^ { - 1 } + b ^ { j - 1 } \right) } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { s _ { n } } & { { } \geq n R _ { \infty } - \sqrt { n } \Delta _ { \mathrm { ~ a ~ e ~ p ~ } } \left( p _ { \mathrm { ~ e ~ c ~ } } \varepsilon _ { \mathrm { ~ s ~ } } ^ { 2 } / 3 , d \right) } \end{array}
e ^ { a } e ^ { b } \hat { \Omega } _ { b , a } ^ { ~ ~ i } = 0 \quad \rightarrow \quad \hat { \Omega } _ { b , a } ^ { ~ ~ i } = \hat { \Omega } _ { a , b } ^ { ~ i } = { \nabla } _ { b } E _ { a } ^ { ~ \underline { { b } } } u _ { \underline { { b } } } ^ { ~ i } ,
1 + { \frac { 2 4 } { 6 0 } } + { \frac { 5 1 } { 6 0 ^ { 2 } } } + { \frac { 1 0 } { 6 0 ^ { 3 } } } = { \frac { 3 0 5 4 7 0 } { 2 1 6 0 0 0 } } = 1 . 4 1 4 2 1 { \overline { { 2 9 6 } } } .
\begin{array} { r } { { J } _ { \Xi } : \mathbb { R } ^ { \Xi } \times \mathbb { R } ^ { | \Xi | } \to \mathbb { R } ^ { | \Xi | } , \quad { J } _ { \Xi } ( \boldsymbol { \mathbf { x } } , \boldsymbol { \mathbf { b } } ) = \left( \mathrm { i d } - \theta \boldsymbol { \mathbf { B } } _ { \Xi } ^ { - 1 } \boldsymbol { \mathbf { A } } _ { \Xi } \right) \boldsymbol { \mathbf { u } } + \theta \boldsymbol { \mathbf { B } } _ { \Xi } ^ { - 1 } \boldsymbol { \mathbf { b } } . } \end{array}
\mathcal { L } \boldsymbol { \Gamma } _ { \nu } = - 5 E \mathrm { d i a g } \left[ \frac { ( b / c - c / b ) ^ { 2 } } { b ^ { 2 } + c ^ { 2 } } , \frac { ( a / c - c / a ) ^ { 2 } } { a ^ { 2 } + c ^ { 2 } } , \frac { ( a / b - b / a ) ^ { 2 } } { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } \right] \, \boldsymbol { \omega } .
\begin{array} { r l r l } & { \big | e ^ { \beta - z ^ { 3 } ( \zeta q _ { o } ( z t ^ { - 1 / 3 } ) + q _ { e } ( z t ^ { - 1 / 3 } ) ) } - e _ { 1 2 , N } ( x , t , z ) \big | e ^ { - a t ^ { 1 / 3 } | z | ^ { 2 } } \leq C | z | ^ { N + 1 } , } & & { | z | \leq t ^ { \frac { 1 } { 1 2 } } , } \\ & { | e _ { 1 2 , N } ( x , t , z ) | e ^ { - a t ^ { 1 / 3 } | z | ^ { 2 } } \leq C , } & & { | z | \leq t ^ { 1 / 3 } . } \end{array}
S _ { \mathrm { b o s o n i c } } = \frac { 1 } { 2 \kappa _ { 1 1 } ^ { 2 } } \int d ^ { 1 1 } x ( - g ) ^ { 1 / 2 } \bigl ( R - \frac { 1 } { 2 } | F _ { 4 } ^ { M } | ^ { 2 } \bigr ) - \frac { 1 } { 6 } \int A _ { 3 } ^ { M } \wedge F _ { 4 } ^ { M } \wedge F _ { 4 } ^ { M } ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { K } _ { x x y z } ^ { ' } } & { { } = \widetilde { \Pi } _ { x x y z } ^ { ' } - \widetilde { \Pi } _ { x x } ^ { ' } \widetilde { \Pi } _ { y z } ^ { ' } - 2 \widetilde { \Pi } _ { x y } ^ { ' } \widetilde { \Pi } _ { x z } ^ { ' } , } \\ { \mathcal { K } _ { x x y y } ^ { ' } } & { { } = \widetilde { \Pi } _ { x x y y } ^ { ' } - \widetilde { \Pi } _ { z z } ^ { ' } \widetilde { \Pi } _ { x y y } ^ { ' } - 2 \widetilde { \Pi } _ { x y } ^ { ' } \widetilde { \Pi } _ { x y } ^ { ' } , } \\ { \mathcal { K } _ { x y y z z } ^ { ' } } & { { } = \widetilde { \Pi } _ { x y y z z } ^ { ' } - \widetilde { \Pi } _ { y y z z } ^ { ' } \widetilde { \Pi } _ { x y y } ^ { ' } - \widetilde { \Pi } _ { y y } ^ { ' } \widetilde { \Pi } _ { x z z } ^ { ' } } \\ { \mathcal { K } _ { x x y y z z } ^ { ' } } & { { } = \widetilde { \Pi } _ { x x y y z z } ^ { ' } - 4 \widetilde { \Pi } _ { x y z } ^ { ' } \widetilde { \Pi } _ { x y z } ^ { ' } - \widetilde { \Pi } _ { x x } ^ { ' } \widetilde { \Pi } _ { y y z z } ^ { ' } } \end{array}
U = \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { e ^ { - i \frac { p } { 2 } } } } \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array} { c c } { { \frac 1 { \sqrt 2 } } } & { { \frac 1 { \sqrt 2 } } } \\ { { \frac { - 1 } { \sqrt 2 } } } & { { \frac 1 { \sqrt 2 } } } \end{array} \right)
e ^ { \lambda \hat { b } _ { 2 } ^ { \dagger } \hat { b } _ { 2 } } \hat { b } _ { 2 } ^ { \dagger } = e ^ { \lambda } \hat { b } _ { 2 } ^ { \dagger } e ^ { \lambda \hat { b } _ { 2 } ^ { \dagger } \hat { b } _ { 2 } } ,
- 2 \ln \mathcal { L } _ { 2 0 2 0 } \equiv \chi ^ { 2 } ( s _ { 1 2 } ^ { 2 } ) + \chi ^ { 2 } ( s _ { 1 3 } ^ { 2 } ) + \chi ^ { 2 } ( s _ { 2 3 } ^ { 2 } , \delta _ { \mathrm { C P } } )
\begin{array} { r l } { W _ { \mathrm { C } } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k \neq l } ^ { N } \sum _ { \mathbf { n } \in \mathbb { Z } ^ { 3 } } \frac { 4 \pi } { \mathbf { k } _ { \mathbf { n } } ^ { 2 } } \frac { \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \mathbf { k } _ { \mathbf { n } } \cdot ( \mathbf { r } _ { k } - \mathbf { r } _ { l } ) } } { L ^ { 3 } } } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { \Delta \alpha \to 0 } \int _ { a } ^ { b } { \frac { f ( x , \alpha + \Delta \alpha ) - f ( x , \alpha ) } { \Delta \alpha } } \, d x = \int _ { a } ^ { b } { \frac { \partial } { \partial \alpha } } f ( x , \alpha ) \, d x ,
\begin{array} { r l } { - i \omega \mathbf { D } ( \mathbf { r } , \omega ) } & { { } = \nabla \times \mathbf { H } ( \mathbf { r } , \omega ) , ~ ~ ~ \nabla \cdot \mathbf { D } ( \mathbf { r } , \omega ) = 0 , } \\ { i \omega \mathbf { B } ( \mathbf { r } , \omega ) } & { { } = \nabla \times \mathbf { E } ( \mathbf { r } , \omega ) , ~ ~ ~ \nabla \cdot \mathbf { B } ( \mathbf { r } , \omega ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \mathbf { m } + \mathrm { d i v } \left( \mathbf { m } \otimes \mathbf { v } \right) + \nabla p - \mathrm { d i v } \left( \nu \left( 2 \mathbf { D } + \lambda \mathrm { d i v } \mathbf { v } \right) \right) - \rho \mathbf { b } } & { { } } \\ { + \frac { \phi } { 2 } \nabla \left( \mu _ { 1 } ^ { \mathrm { I } } - \mu _ { 2 } ^ { \mathrm { I } } \right) + \frac { 1 } { 2 } \nabla \left( \mu _ { 1 } ^ { \mathrm { I } } + \mu _ { 2 } ^ { \mathrm { I } } \right) } & { { } } \\ { - \mathrm { d i v } \left( \hat { \nu } \left( 2 \mathbf { A } + \lambda \left( \mathrm { d i v } \mathbf { J } \right) \mathbf { I } \right) + \breve { \nu } \left( 2 \mathbf { B } + \lambda \left( \mathbf { J } \cdot \nabla \phi \right) \mathbf { I } \right) \right) } & { { } } \\ { + \mathrm { d i v } \left( \frac { \rho \mathbf { J } \otimes \mathbf { J } } { 2 \rho _ { 1 } \rho _ { 2 } ( 1 - \phi ^ { 2 } ) } \right) } & { { } = ~ 0 . } \end{array}
\mathbf { B } ( \mathbf { r } ) = { \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } } I \int _ { C } { \frac { d { \boldsymbol { \ell } } \times \mathbf { r ^ { \prime } } } { | \mathbf { r ^ { \prime } } | ^ { 3 } } }
\begin{array} { r l } { { \hat { H } } } & { { } = - { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 } } \sum _ { j = 1 } ^ { N } { \frac { 1 } { m _ { j } } } \nabla _ { j } ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 8 \pi \varepsilon _ { 0 } } } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \sum _ { i \neq j } { \frac { q _ { i } q _ { j } } { | \mathbf { r } _ { i } - \mathbf { r } _ { j } | } } } \end{array}
S _ { \nu _ { 1 } \nu _ { 2 } ; \omega _ { 1 } \omega _ { 2 } } \equiv { } _ { \textrm { o u t } } \langle \nu _ { 1 } \nu _ { 2 } | \omega _ { 1 } \omega _ { 2 } \rangle _ { \textrm { i n } }
\begin{array} { r } { \frac { \partial \bar { \boldsymbol { \sigma } } _ { B ( 3 ) } } { \partial \mathcal { E } } = 2 \sigma _ { o } \gamma \, \mathrm { ~ s ~ e ~ c ~ h ~ } ^ { 2 } \left( \gamma \, \mathcal { E } \right) \, . } \end{array}
\mathrm { I J I } _ { i j } = \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { m } \operatorname* { m i n } \left[ \pi _ { i k } ^ { \mathrm { i n } } , \; \pi _ { j k } ^ { \mathrm { i n } } \right] } { \sum _ { k = 1 } ^ { m } \operatorname* { m a x } \left[ \pi _ { i k } ^ { \mathrm { i n } } , \; \pi _ { j k } ^ { \mathrm { i n } } \right] } \quad , \qquad \mathrm { O J I } _ { i j } = \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { m } \operatorname* { m i n } \left[ \pi _ { i k } ^ { \mathrm { o u t } } , \; \pi _ { j k } ^ { \mathrm { o u t } } \right] } { \sum _ { k = 1 } ^ { m } \operatorname* { m a x } \left[ \pi _ { i k } ^ { \mathrm { o u t } } , \; \pi _ { j k } ^ { \mathrm { o u t } } \right] } \quad .
\begin{array} { r l } { p _ { i } ^ { L } ( x ) } & { = ( 1 - \lambda _ { i } ) h _ { 0 } ( x ) + \lambda _ { i } \operatorname* { m a x } \{ f ( x | \mu _ { i } , \Sigma _ { i } ) - \eta , 0 \} , } \\ { p _ { i } ^ { U } ( x ) } & { = ( 1 - \lambda _ { i } ) h _ { 0 } ( x ) + \lambda _ { i } \operatorname* { m i n } \{ f ( x | \mu _ { i } , \Sigma _ { i } ) + \eta , H ( x ) \} . } \end{array}
\begin{array} { r } { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \psi _ { s } ( t , z ) = \frac { \sqrt { 2 } \eta ( z ) \exp [ i \chi ( t , z ) ] } { \left\{ [ 1 - \eta ^ { 2 } ( z ) / \eta _ { m } ^ { 2 } ] ^ { 1 / 2 } \cosh ( 2 x ) + 1 \right\} ^ { 1 / 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { P _ { \mathrm { o u t } } \left( \alpha \right) = \int _ { 0 } ^ { 1 } d \eta \frac { 1 } { \eta } P _ { \mathrm { i n } } \left( \frac { \alpha } { \sqrt { \eta } } \right) \mathcal { P } ( \eta ) . } \end{array}
\zeta = x ^ { 1 } + i x ^ { 2 } , \; \; \; { U } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( x ^ { 3 } - x ^ { 0 } ) , \; \; \; { V } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( x ^ { 3 } + x ^ { 0 } ) ,
{ \bf { B } } \longrightarrow \frac { { \bf { B } } } { B _ { 0 } } , \quad { \bf { x } } \longrightarrow \frac { \bf { x } } { L _ { 0 } } , \quad { \bf { v } } \longrightarrow \frac { \bf { v } } { v _ { A } } , \quad t \longrightarrow \frac { t } { \tau _ { A } } , \quad p \longrightarrow \frac { p } { \rho _ { 0 } { v _ { A } } ^ { 2 } } ~ .
p _ { j } \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( \zeta ^ { i } \aftergroup \egroup \right) = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \hat { p } _ { j k } \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( \zeta ^ { \alpha } \aftergroup \egroup \right) P _ { k } \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( \theta \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( \zeta ^ { 3 } \aftergroup \egroup \right) \aftergroup \egroup \right) ~ ,
\begin{array} { r } { d _ { j } = \left\{ \begin{array} { l l } { ( | \mathcal { F } ( P _ { j } z ) | + \mathfrak { N } ( 0 , s ^ { 2 } I _ { m ^ { 2 } \times m ^ { 2 } } ) ) ^ { 2 } , } & { \mathrm { ~ i f ~ n o i s e ~ i s ~ G a u s s i a n } , } \\ { \mathrm { P o i s s o n } ( | \mathcal { F } ( P _ { j } z _ { \zeta } ) | ^ { 2 } ) , } & { \mathrm { ~ i f ~ n o i s e ~ i s ~ P o i s s o n , } } \end{array} \right. } \end{array}
\log p ( \textbf { y } | \textbf { L } , \boldsymbol { \theta } ) = - \frac { 1 } { 2 } \textbf { y } ^ { \textrm { T } } k _ { y } ^ { - 1 } \textbf { y } - \frac { 1 } { 2 } \log | k _ { y } | - \frac { N _ { f } } { 2 } \log 2 \pi ,
| \alpha , P ^ { + } , P _ { \bot } , \lambda \rangle = \sum _ { n , \lambda _ { i } } \int ^ { \prime } \frac { \, d x _ { i } d ^ { 2 } k _ { \bot i } \, } { 2 ( 2 \pi ) ^ { 3 } } | n , x _ { i } P ^ { + } , x _ { i } P _ { \bot } + k _ { \bot i } , \lambda _ { i } \rangle \Phi _ { n / \alpha } ( x _ { i } , k _ { \bot i } , \lambda _ { i } ) \, ,
\frac { F } { k _ { c } H } = \frac { l m } { n } \left( \frac { 1 } { a _ { c } + b _ { c } } \right) \left\{ \left( 1 - \frac { \delta } { H } \right) ^ { a _ { c } } - \left( 1 - \frac { \delta } { H } \right) ^ { - b _ { c } } \right\} ,
\begin{array} { r l r l r } { \Rightarrow \; } & { { } q v \mathrm { B } } & { = } & { { } \qquad \frac { \gamma _ { 0 } m _ { 0 } v ^ { 2 } } { \rho } } & { = \frac { p v } { \rho } } \\ { \Rightarrow \; } & { { } \mathrm { B } \rho } & { = } & { { } \qquad \frac { p } { q } } & { \; . } \end{array}
f ( x ) = c _ { 1 } \epsilon ( x ^ { 0 } ) \delta ( ( x ^ { 0 } ) ^ { 2 } - | { \bf x } | ^ { 2 } ) + c _ { 2 } \left( ( ( x ^ { 0 } + i 0 ) ^ { 2 } - | { \bf x } | ^ { 2 } ) ^ { - 1 } + ( ( x ^ { 0 } - i 0 ) ^ { 2 } - | { \bf x } | ^ { 2 } ) ^ { - 1 } \right) + c _ { 3 }
\begin{array} { r l r } { \Lambda _ { 2 } } & { = } & { \frac { 1 } { \sqrt { - 2 \, V _ { 0 } ^ { \prime \prime } } } \Bigg [ \frac { 1 } { 8 } \left( \frac { V _ { 0 } ^ { ( 4 ) } } { V _ { 0 } ^ { \prime \prime } } \right) \left( \frac { 1 } { 4 } + \alpha ^ { 2 } \right) - \frac { 1 } { 2 8 8 } \left( \frac { V _ { 0 } ^ { ( 3 ) } } { V _ { 0 } ^ { \prime \prime } } \right) ^ { 2 } \left( 7 + 6 0 \alpha ^ { 2 } \right) \Bigg ] , } \\ { \Lambda _ { 3 } } & { = } & { \frac { n + \frac { 1 } { 2 } } { - 2 \, V _ { 0 } ^ { \prime \prime } } \Bigg [ \frac { 5 } { 6 9 1 2 } \left( \frac { V _ { 0 } ^ { ( 3 ) } } { V _ { 0 } ^ { \prime \prime } } \right) ^ { 4 } \left( 7 7 + 1 8 8 \alpha ^ { 2 } \right) } \\ & { } & { - \frac { 1 } { 3 8 4 } \left( \frac { V _ { 0 } ^ { 2 } V _ { 0 } ^ { ( 4 ) } } { V _ { 0 } ^ { 3 } } \right) \left( 5 1 + 1 0 0 \alpha ^ { 2 } \right) + \frac { 1 } { 2 3 0 4 } \left( \frac { V _ { 0 } ^ { ( 4 ) } } { V _ { 0 } ^ { \prime \prime } } \right) ^ { 2 } \left( 6 7 + 6 8 \alpha ^ { 2 } \right) } \\ & { } & { + \frac { 1 } { 2 8 8 } \left( \frac { V _ { 0 } ^ { \prime \prime \prime } V _ { 0 } ^ { ( 5 ) } } { V _ { 0 } ^ { 2 } } \right) \left( 1 9 + 2 8 \alpha ^ { 2 } \right) - \frac { 1 } { 2 8 8 } \left( \frac { V _ { 0 } ^ { ( 6 ) } } { V _ { 0 } ^ { \prime \prime } } \right) \left( 5 + 4 \alpha ^ { 2 } \right) \Bigg ] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Omega _ { \mathrm { O p t } } = \sqrt { - \frac { 1 2 m } { \beta _ { 4 } } \pm \frac { 2 \sqrt { 6 } \sqrt { 6 m ^ { 2 } - \alpha \beta _ { 4 } P _ { 0 } } } { \beta _ { 4 } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \int _ { 0 } ^ { t _ { n } } A ( t _ { n + 1 } - \tau ) { \bf f } ( \tau ) d \tau } \\ & { } & { = \sum _ { l = 1 } ^ { L } \int _ { \tau _ { l } } ^ { \tau _ { l - 1 } } A ( t _ { n + 1 } - \tau ) { \bf f } ( \tau ) d \tau } \\ & { } & { \sim \sum _ { l = 1 } ^ { L } \sum _ { j = - N } ^ { N } \omega _ { j } ^ { l } A ( z _ { j } ^ { l } ) e ^ { z _ { j } ^ { l } ( t _ { n + 1 } - \tau _ { l - 1 } ) } { \bf y } ^ { \prime } ( \tau _ { l - 1 } , \tau _ { l } , z _ { j } ^ { l } ) . } \end{array}
E _ { C a s } ( v ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { l n } \Bigl ( 1 - e ^ { - 2 \pi x } \left( \frac { x - v } { x + v } \right) ^ { 2 } \Bigr ) d x - \frac { v } { \pi } \mathrm { l n } ( v T ) - \frac { v } { \pi } \gamma \, .
\begin{array} { r l } { \delta _ { l } ^ { ( \ell ) } = } & { { } \frac { \mathbf { 1 } ^ { T } A \mathbf { 1 } - \mathbf { 1 } ^ { T } D ^ { - 1 } A ^ { \ell } D \mathbf { 1 } } { \mathbf { 1 } ^ { T } \mathbf { 1 } } \, , } \end{array}
\Phi ( x ) = { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } } \cdot e ^ { - x ^ { 2 } / 2 } \left[ x + { \frac { x ^ { 3 } } { 3 } } + { \frac { x ^ { 5 } } { 3 \cdot 5 } } + \cdots + { \frac { x ^ { 2 n + 1 } } { ( 2 n + 1 ) ! ! } } + \cdots \right]
\begin{array} { r l } { T = } & { { } \frac { 1 } { 2 } m _ { 1 } \left( \dot { x } _ { 1 } + \dot { y } _ { 1 } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } m _ { 2 } \left( \dot { x } _ { 2 } + \dot { y } _ { 2 } \right) ^ { 2 } , } \\ { V = } & { { } m _ { 1 } g y _ { 1 } + m _ { 2 } g y _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { 1 } } & { \leq \frac { 1 6 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| \nabla _ { x } f ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } ) - \nabla _ { x } f ^ { ( m ) } ( \bar { x } _ { t } , \bar { y } _ { t } ) \bigg \| ^ { 2 } + \frac { 4 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| \nabla _ { x } f ^ { ( m ) } ( \bar { x } _ { t } , \bar { y } _ { t } ) - \nabla _ { x } f ( \bar { x } _ { t } , \bar { y } _ { t } ) \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { 1 6 L ^ { 2 } } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| x _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { x } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } + \bigg \| y _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { y } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] + 4 \zeta _ { f } ^ { 2 } } \end{array}
M _ { U } ^ { \scriptstyle \mathrm { m i n } } = \frac { M _ { p } \, g _ { U } } { { 2 \pi } \left| \eta \left( i \right) \right| ^ { 4 } } \times \frac { 1 } { \sqrt { 1 + g _ { U } ^ { 2 } \frac { Y ( 1 , 1 ) } { 1 6 \pi ^ { 2 } } } } \ .
\operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \frac { 1 } { N ( \lambda _ { j + 1 } - \lambda _ { j } ) } = \rho ( \lambda _ { j } ) , \qquad \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \frac { 1 } { N } \sum _ { l } f ( \lambda _ { l } ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } d \lambda \rho ( \lambda ) f ( \lambda ) ,
\left[ z _ { A } \, ( 1 - z _ { A } ) \, Q _ { A } ^ { 2 } + ( { { \bf p } } _ { A } + { { \bf k } } ) ^ { 2 } \right] \to { \frac { 1 - z _ { A } } { z _ { A } } } \, \left[ z _ { A } \, ( 1 - z _ { A } ) \, Q _ { A } ^ { 2 } + { { \bf p } } _ { A } ^ { 2 } \right] \,
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } } & { \left[ \left\lVert \nabla J ( \theta _ { t } ) \right\rVert ^ { 2 } \right] \leq \mathcal { O } \left( \frac { 1 } { \sqrt { T } } \right) + \mathcal { O } \left( \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathcal { E } ( t ) \right) + \widetilde { \mathcal { O } } \left( \sqrt { \operatorname* { m a x } _ { t \in [ T ] } \tau _ { m i x } ^ { \theta _ { t } } \frac { \log T _ { \operatorname* { m a x } } } { T _ { \operatorname* { m a x } } } } \right) + \mathcal { O } \left( \mathcal { E } _ { a p p } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H } & { \colon \Pi ( Y _ { M } ) \to \mathcal { A } , } \\ { H ^ { \prime } } & { \colon \Pi ( Y _ { M ^ { \prime } } ^ { \prime } ) \to \mathcal { A } , } \\ { f \circ \Pi ( p ) } & { \colon \Pi ( X _ { \Sigma } \times \underline { { \Delta } } ( 1 ) ) \to \mathcal { A } , } \\ { f ^ { \prime } \circ \Pi ( p ^ { \prime } ) } & { \colon \Pi ( X _ { \Sigma ^ { \prime } } ^ { \prime } \times \underline { { \Delta } } ( 1 ) ) \to \mathcal { A } , } \end{array}
\forall w \in \mathbf { C } : \qquad { \frac { 1 } { | f ( w ) | ^ { \frac { 1 } { n } } } } K _ { g } = { \frac { 1 } { n } } \Delta \log | f ( w ) | = { \frac { 1 } { n } } \Delta { \mathrm { R e } } ( \log f ( w ) ) = 0 ,
{ \boldsymbol { \sigma } } = 2 \left[ \left( { \cfrac { \partial W } { \partial I _ { 1 } } } + I _ { 1 } ~ { \cfrac { \partial W } { \partial I _ { 2 } } } \right) ~ { \boldsymbol { B } } - { \cfrac { \partial W } { \partial I _ { 2 } } } ~ { \boldsymbol { B } } \cdot { \boldsymbol { B } } \right] - p ~ { \boldsymbol { \mathit { 1 } } } ~ .
\sin ^ { 2 } \theta _ { W } ^ { \mathrm { N u T e V } } = \frac { 1 } { 2 } - \frac { R _ { \mathrm { N u T e V } } ^ { \nu } - r \, R _ { \mathrm { N u T e V } } ^ { \bar { \nu } } } { 1 - r } = \sin ^ { 2 } \theta _ { W } + \frac { N _ { \nu _ { e } } ^ { \mathrm { M C } } } { N _ { \nu _ { \mu } } ^ { \mathrm { C C } } } \, P _ { \nu _ { e } \to \nu _ { s } } \, .
| C ( N ; a _ { 1 , n } , \cdots , a _ { 2 ^ { k } - 1 , n } ) | ^ { 2 } \le \frac { C } { N ^ { k } } \sum _ { h _ { 1 } , \cdots , h _ { k - 2 } = 0 } ^ { N - 1 } \operatorname* { s u p } _ { t } \Big | \sum _ { h _ { k } = 0 } ^ { N - 1 } e ^ { 2 \pi i h _ { k } t } \prod _ { \underline { { \epsilon } } \in A _ { k - 1 } ^ { k } } a _ { \phi ( \underline { { \epsilon } } ) , \epsilon _ { k } h _ { k } + \sum _ { i = 1 } ^ { k - 2 } \epsilon _ { i } h _ { i } } \Big | ^ { 2 }
\begin{array} { l l } { R i c ( e _ { 1 } ^ { \prime } , e _ { 1 } ^ { \prime } ) = R i c ^ { r a n g e F _ { \ast } } ( e _ { 1 } ^ { \prime } , e _ { 1 } ^ { \prime } ) - ( g _ { 2 } ( \nabla ^ { N } g , e _ { 2 } ^ { \prime } ) ) ^ { 2 } + g _ { 2 } ( \nabla _ { e _ { 2 } ^ { \prime } } ^ { F \bot } e _ { 2 } ^ { \prime } , \nabla ^ { N } g ) - \nabla _ { e _ { 2 } ^ { \prime } } ^ { N } ( g _ { 2 } ( e _ { 2 } ^ { \prime } , \nabla ^ { N } g ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { \mathrm { a } } } & { { } = \frac { c _ { \mathrm { a } } ^ { 0 } V _ { \mathrm { a } } } { V _ { \mathrm { a } } + V _ { \mathrm { b } } } , } \\ { c _ { \mathrm { b } } } & { { } = \frac { c _ { \mathrm { b } } ^ { 0 } V _ { \mathrm { b } } } { V _ { \mathrm { a } } + V _ { \mathrm { b } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { V _ { 1 } } & { { } } & { = i g ( | 1 \rangle \langle 1 | - | L \rangle \langle L | ) , } \\ { V _ { 2 } } & { { } } & { = g ( | 1 \rangle \langle 2 | + | L \rangle \langle L - 1 | ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal F : = - \sum _ { \alpha < \beta } \log | z _ { \alpha } - z _ { \beta } | ^ { 2 } } & { { } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \alpha , \beta } \log | 1 - z _ { \alpha } \overline { { z } } _ { \beta } | ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { [ l _ { i } ^ { c } ] _ { s } } & { { } = - [ l _ { i } ] _ { s } - \sum _ { c , b = 1 } ^ { B { \nu } _ { i } } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { \nu _ { i } } \frac { \partial } { \partial \left[ d _ { i } ^ { 0 } \right] _ { s } } \left( \left[ \Delta _ { i } \left( \mathbf { 1 } - \Delta _ { i } \right) \right] _ { c b } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left[ \mathcal { D } _ { i } ^ { 0 } \right] _ { b c } + \mathrm { c . c . } \right) \dag } & { = - [ l _ { i } ] _ { s } - \sum _ { c , b = 1 } ^ { B { \nu } _ { i } } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { \nu _ { i } } \frac { \partial } { \partial \left[ d _ { i } ^ { 0 } \right] _ { s } } \left( \left[ \Delta _ { i } \left( \mathbf { 1 } - \Delta _ { i } \right) \right] _ { c b } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left[ \mathcal { D } _ { i } \right] _ { b \alpha } \left[ \mathcal { R } _ { i } \right] _ { c \alpha } + \mathrm { c . c . } \right) \dag , , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { | \tilde { \ell } _ { 2 } ( \boldsymbol { v } ) | \lesssim C _ { 1 } \left( \sum _ { \tau \in \mathcal { T } _ { h } } h _ { \tau } ^ { 2 } \left( \| R _ { 2 } \left( \boldsymbol { u } _ { h } , { p } _ { h } \right) \| _ { 0 , \tau } ^ { 2 } + \left\| R _ { 3 } ( \boldsymbol { u } _ { h } \right) \| _ { 0 , \tau } ^ { 2 } \right) \right. } } \\ & { } & { \left. \ \ \ + \sum _ { e \in \mathcal { E } _ { h } } h _ { e } \left( \| J _ { 1 } \left( { p } _ { h } \right) \| _ { 0 , e } ^ { 2 } + \| J _ { 2 } \left( \boldsymbol { u } _ { h } \right) \| _ { 0 , e } ^ { 2 } \right) + \sum _ { \tau \in \mathcal { T } } \| \boldsymbol { u } _ { h } - \boldsymbol { v } _ { h } ^ { c o n f } \| _ { 0 , \tau } ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } \| \boldsymbol { v } \| _ { \mathrm { c u r l } , \Omega } , } \end{array}
v _ { - } ( r ) = - \sqrt { r \frac { \partial \phi ( r , \cos \theta ) } { \partial r } _ { | { \cos \theta = 0 } } + \frac { 4 k ^ { 2 } \nu ^ { 2 } } { r ^ { 4 } } } \, - \, \frac { 2 k \nu } { r ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \big [ Y _ { n + 1 } Y _ { n + 1 } ^ { T } | \mathcal { F } _ { n } \big ] } & { = Y _ { n } Y _ { n } ^ { T } + 2 \mu _ { n + 1 } Y _ { n } \mathbb { E } \big [ X _ { n + 1 } ^ { T } | \mathcal { F } _ { n } \big ] + \mu _ { n + 1 } ^ { 2 } \mathbb { E } \big [ X _ { n + 1 } X _ { n + 1 } ^ { T } | \mathcal { F } _ { n } \big ] } \\ & { = \bigg ( 1 + \frac { 2 a ( \beta + 1 ) } { n } \bigg ) Y _ { n } Y _ { n } ^ { T } + \mu _ { n + 1 } ^ { 2 } \mathbb { E } \big [ X _ { n + 1 } X _ { n + 1 } ^ { T } | \mathcal { F } _ { n } \big ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial L o s s _ { f } } { \partial W _ { c } ^ { [ j ] } } } & { { } = \frac { \partial L o s s _ { f } } { \partial f } \cdot \frac { \partial f } { \partial ( c _ { 1 } ) } \cdot \frac { \partial c _ { 1 } } { \partial W _ { c } ^ { [ j ] } } , } \end{array}