harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { G _ { 1 } \tilde { A } _ { 1 } G _ { 2 } = } & { M _ { 1 } \tilde { A } _ { 1 } M _ { 2 } + ( G _ { 1 } - M _ { 1 } ) \tilde { A } _ { 1 } M _ { 2 } - \underline { { G _ { 1 } \tilde { A } _ { 1 } M _ { 2 } W G _ { 2 } } } } \\ & { + G _ { 1 } \tilde { A } _ { 1 } M _ { 2 } \mathcal { S } [ G _ { 2 } - M _ { 2 } ] G _ { 2 } + G _ { 1 } \mathcal { S } [ G _ { 1 } \tilde { A } _ { 1 } M _ { 2 } ] G _ { 2 } \, , } \end{array}
U ( \mathrm { S M A } ) = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 . 9 9 4 } } & { { 0 . 0 5 0 } } & { { - 0 . 1 0 1 i } } \\ { { - 0 . 0 3 5 - 0 . 0 7 1 i } } & { { 0 . 7 0 6 - 0 . 0 0 4 i } } & { { 0 . 7 0 4 } } \\ { { 0 . 0 3 5 - 0 . 0 7 1 i } } & { { - 0 . 7 0 6 - 0 . 0 0 4 i } } & { { 0 . 7 0 4 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r } { m - 2 n } & { = } & { \frac 1 2 \sum _ { i = 2 } ^ { n - 1 } i v _ { i } - 2 \sum _ { i = 2 } ^ { n - 1 } v _ { i } \; \; = \; \; \sum _ { i = 2 } ^ { n - 1 } \frac { i - 4 } { 2 } v _ { i } } \\ & { = } & { - v _ { 2 } - \frac 1 2 v _ { 3 } + \frac 1 2 v _ { 5 } + v _ { 6 } + \frac 3 2 v _ { 7 } + 2 v _ { 8 } + \frac 5 2 v _ { 9 } + \sum _ { i = 1 0 } ^ { n - 1 } \frac { i - 4 } { 2 } v _ { i } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \ell ( \hat { z } , z ^ { * } ) \leq \exp \left( - \left( 1 - o ( 1 ) \right) J _ { \operatorname* { m i n } } \right) + 2 n ^ { - 3 } , } \\ { \mathrm { a n d ~ } \quad } & { \mathbb { E } \ell ( \hat { z } , z ^ { * } ) \geq \exp \left( - \left( 1 + o ( 1 ) \right) J _ { \operatorname* { m i n } } \right) - 2 n ^ { - 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \psi } _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } ( { \bf E } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } , c , \xi , \nabla \xi , \textbf { d } _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } , \mathrm { ~ d ~ } , \nabla \mathrm { ~ d ~ } ) } & { { } = g ( \mathrm { ~ d ~ } ) \psi _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } ^ { \mathrm { ~ m ~ + ~ } } ( { \bf E } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } , \xi ) + \psi _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } ^ { \mathrm { ~ m ~ - ~ } } ( { \bf E } ^ { \mathrm { ~ e ~ } } , \xi ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lVert a - E ( a ) \rVert _ { 2 , K } } & { < \Big \lVert a - \frac { 1 } { k } \sum _ { i = 1 } ^ { k } u _ { i } a u _ { i } ^ { * } \Big \rVert _ { 2 , K } + \varepsilon } \\ & { \le \frac { 1 } { k } \sum _ { i = 1 } ^ { k } \lVert a u _ { i } - u _ { i } a \rVert _ { 2 , K } + \varepsilon } \\ & { \le \operatorname* { s u p } _ { b \in \mathcal { M } _ { 1 } } \lVert [ a , b ] \rVert _ { 2 , K } + \varepsilon . } \end{array}
\delta _ { \bf a } { \cal L } _ { 0 } = \mu \dot { \bf x } \cdot \delta _ { \bf a } \dot { \bf x } + \frac { \mu } { R ^ { 2 } } \, { \bf x } \cdot \delta _ { \bf a } { \bf x } = \frac { \mu } { R } \, { \bf a } \cdot \frac { d } { d t } \left[ { \bf x } \sinh \left( \frac { t } { R } \right) \right] .
f ( x ) = x ^ { 2 } + 3 x + 4 + { \frac { 2 x ^ { 6 } - 4 x ^ { 5 } + 5 x ^ { 4 } - 3 x ^ { 3 } + x ^ { 2 } + 3 x } { ( x - 1 ) ^ { 3 } ( x ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } } }
X _ { i + 1 } = X _ { i } - { \frac { f ( X _ { i } ) } { f ^ { \prime } ( X _ { i } ) } } = X _ { i } - { \frac { 1 / X _ { i } - D } { - 1 / X _ { i } ^ { 2 } } } = X _ { i } + X _ { i } ( 1 - D X _ { i } ) = X _ { i } ( 2 - D X _ { i } ) ,
\begin{array} { r l r } { \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } h _ { 1 , 1 } ( x ) \, \mathrm { d } x + 2 \int _ { 0 } ^ { 1 } h _ { 1 , 2 , ( 0 ) } ( x ) \, \mathrm { d } x } \\ & { = } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } h _ { 1 , 1 } ( x ) \, \mathrm { d } x + \int _ { 0 } ^ { 1 } h _ { 1 , 2 , ( 0 ) } ( x ) \, \mathrm { d } x + \int _ { 0 } ^ { 1 } h _ { 1 , 2 , ( 1 ) } ( x ) \, \mathrm { d } x } \\ & { = } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } h _ { 1 } ( x ) \, \mathrm { d } x } \\ & { = } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } 1 - ( 1 - x ) ^ { p } \, \mathrm { d } x } \\ & { = } & { \frac { p } { p + 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { s } _ { a b } } & { { } = \frac { 1 } { s _ { a a } + s _ { a b } s _ { a b } } = \frac { s _ { a b } + s _ { a a } - s _ { a a } } { s _ { a b } + s _ { a a } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigg | \int _ { x } ^ { x + h ^ { \nu / 2 } } \mathbf { D } _ { s } ^ { \nu } u ( z , s ) d z \bigg | } & { \leq C [ 1 + h ^ { \frac { \nu } { 2 } } ] \bigg [ 1 + \| u _ { 0 } \| _ { W ^ { 2 , 2 } ( \Omega ) } + \bigg ( \underset { t \in [ 0 , T ] } { \operatorname* { s u p } } I _ { t } ^ { \nu } ( \| g \| _ { L _ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } ) ( t ) \bigg ) ^ { 1 / 2 } + \underset { t \in [ 0 , T ] } { \operatorname* { s u p } } \| g \| _ { L _ { 2 } ( \Omega ) } \bigg ] } \\ & { + \bigg [ \sum _ { i = 1 } ^ { M } \varrho _ { i } I _ { s } ^ { \nu - \nu _ { i } } + \sum _ { j = 1 } ^ { N } \gamma _ { j } I _ { s } ^ { \nu - \mu _ { j } } \bigg ] \bigg | \int _ { x } ^ { x + h ^ { \nu / 2 } } \mathbf { D } _ { s } ^ { \nu } u ( z , s ) d z \bigg | . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } G _ { 0 } ( x , t ) } & { { } = \frac { d } { d t } \int _ { 0 } ^ { t } d t _ { 1 } Q ( t - t _ { 1 } ) \frac { d } { d x } \frac { D _ { \alpha } } { k _ { \mathrm { B } } } \left[ - ( \nabla S ) G _ { 0 } ( x , t _ { 1 } ) + k _ { \mathrm { B } } \frac { d } { d x } G _ { 0 } ( x , t _ { 1 } ) \right] . } \end{array}
E ^ { t h } ( T , b , s , s _ { 3 } ) = V T ^ { 4 } \left( \frac { b } { 2 \pi ^ { 2 } } \sum _ { s _ { 3 } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } d x \, f r a c { \sqrt { x ^ { 2 } + b ( n + 1 / 2 + s _ { 3 } ) } } { \exp \left( \sqrt { x ^ { 2 } + b ( n + 1 / 2 + s _ { 3 } ) } \right) - ( - 1 ) ^ { 2 s } } \right) ,
- \frac { \lambda _ { J } } { \gamma } \frac { d f } { d \lambda _ { J } } \; \; = \; \; \frac { 1 } { N ^ { 2 } } \frac { \langle H _ { A d } \rangle } { L } \Big / e ^ { 2 } \frac { N } { 2 } \; \equiv \; \; \rho _ { A d } \; \; .
\frac { g _ { s } ^ { 2 } } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } \ \left( V _ { u s } \frac { m _ { s } } { v } \ A _ { s } \tan \beta \right) \, f r a c { m _ { \tilde { g } } } { m _ { \tilde { q } } ^ { 2 } } \cdot ( \bar { s } ( x ) \ P _ { L } \ u ( x ) ) \ H ^ { - } ( x ) ,
\begin{array} { r l r } { \hbar \partial _ { t } \check { q } } & { = } & { 2 \check { p } \check { q } , } \\ { \hbar \partial _ { t } \check { p } } & { = } & { - \check { p } ^ { 2 } - \frac { t _ { X _ { 1 } ^ { ( 1 ) } , 0 } ^ { 2 } } { \check { q } ^ { 2 } } + ( t ^ { 2 } - \hbar + 2 t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , 0 } ) + 4 t \check { q } + 3 \check { q } ^ { 2 } . } \end{array}
\mathrm { ~ M ~ S ~ D ~ } ( \tau _ { \ell } ) = \frac { 1 } { N _ { \mathrm { s } } - \ell } \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { \mathrm { s } } - \ell } ( x _ { n + \ell } - x _ { n } ) ^ { 2 } \, ,
\begin{array} { r } { V _ { \alpha \beta } = V _ { \alpha \beta } ^ { \oplus } + V _ { \alpha \beta } ^ { \leftmoon } + V _ { \alpha \beta } ^ { \astrosun } + V _ { \alpha \beta } ^ { \mathrm { M W } } + \langle V _ { \alpha \beta } ^ { \mathrm { c o s } } \rangle \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Gamma ( x _ { 1 } ^ { \prime } , x _ { 2 } ^ { \prime } ; x _ { 1 } , x _ { 2 } ) = { \binom { A } { 2 } } \int d x _ { 3 } \ldots d x _ { A } } & { { } \Psi ^ { * } ( x _ { 1 } ^ { \prime } , x _ { 2 } ^ { \prime } , \ldots , x _ { A } ) } \\ { \times } & { { } \Psi ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , \ldots , x _ { A } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { i } ^ { a u x } } & { { } = R _ { i j } ^ { F U } U _ { j } ^ { a u x } + R _ { i j } ^ { F \omega } \omega _ { j } ^ { a u x } } \\ { T _ { i } ^ { a u x } } & { { } = R _ { i j } ^ { T U } U _ { j } ^ { a u x } + R _ { i j } ^ { T \omega } \omega _ { j } ^ { a u x } } \end{array}
f ( \hat { m } ^ { 2 } , \epsilon ) = - 1 6 { \frac { e ^ { \gamma \epsilon } \Gamma ( { \frac { 5 } { 2 } } ) } { \Gamma ( { \frac { 5 } { 2 } } - \epsilon ) } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d x \left[ { \frac { x ^ { 4 - 2 \epsilon } } { ( x ^ { 2 } + \hat { m } ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } } } { \frac { 1 } { e ^ { 2 \pi ( x ^ { 2 } + \hat { m } ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } } - 1 } } - { \frac { x ^ { 3 - 2 \epsilon } } { e ^ { 2 \pi x } - 1 } } \right] \, ,
\begin{array} { r l } { K ( \psi , \eta , w ) } & { : = H _ { \zeta } \circ G _ { \delta } ( \psi , \eta , w ) , } \\ { \mathbb { D } [ \hat { \textbf { \i } } ] } & { : = \left( \begin{array} { l } { \omega \cdot \partial _ { \varphi } \hat { \psi } ( \varphi ) } \\ { \omega \cdot \partial _ { \varphi } \hat { \eta } ( \varphi ) } \\ { \omega \cdot \partial _ { \varphi } \hat { w } ( \varphi ) } \end{array} \right) - \left( \begin{array} { l } { \frac { 1 } { 2 \pi } \left( \partial _ { \eta } ^ { 2 } ( K ) ( i _ { t r i v } ( \varphi ) ) [ \hat { \eta } ] + ( \partial _ { \eta } ( \nabla _ { w } K ) ( i _ { t r i v } ( \varphi ) ) ) ^ { T } [ \hat { w } ] \right) } \\ { 0 } \\ { \partial _ { x } ( \nabla _ { w } ^ { 2 } ( K ) ( i _ { t r i v } ( \varphi ) ) [ \hat { w } ] ) + \partial _ { \eta } ( \nabla _ { w } K ) ( i _ { t r i v } ( \varphi ) ) [ \hat { \eta } ] } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { S } = \frac { S } { S _ { 0 } } , \tilde { K } = \frac { T } { L _ { y } ^ { 2 } S _ { 0 } } \mathbf { A } \cdot K \cdot \mathbf { A } , \tilde { Q } = \frac { T Q } { S _ { 0 } h _ { 0 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { v _ { 1 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } & { = 1 - e ^ { \lambda x _ { 1 } } \cos ( 2 \pi x _ { 2 } ) } \\ { v _ { 2 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } & { = \frac { \lambda } { 2 \pi } e ^ { \lambda x _ { 1 } } \sin ( 2 \pi x _ { 2 } ) } \\ { p ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } & { = \frac { 1 } { 2 } ( 1 - e ^ { 2 \pi x _ { 1 } } ) } \end{array}
F _ { e } = n _ { 0 } \left( \frac { m _ { e } } { 2 \pi } \right) ^ { 3 / 2 } \left( T _ { 0 e \parallel } T _ { 0 e \perp } ^ { 2 } \right) ^ { - 1 / 2 } \exp \left( - \frac { m _ { e } v _ { g y , \parallel } ^ { 2 } } { 2 T _ { 0 e \parallel } } - \frac { m _ { e } v _ { \perp } ^ { 2 } } { 2 T _ { 0 e \perp } } \right) ,
\left( \begin{array} { l } { { a _ { D } } } \\ { { a } } \end{array} \right) \longrightarrow M _ { 1 } \left( \begin{array} { l } { { a _ { D } } } \\ { { a } } \end{array} \right) - 2 \, { \frac { m } { \sqrt { 2 } } } \, s _ { 1 } \sigma _ { 1 } .
\begin{array} { r l } { \frac { E _ { t , n } - E _ { t - \tau , n } } \tau } & { \geq A e ^ { - A \tau } E _ { t , n } + \frac { 1 } { 2 } e ^ { A ( t - \tau ) } \sum _ { x \in { \mathbb { Z } } _ { h } ^ { d } } ( V _ { n } ( t , x ) + V _ { n } ( t - \tau , x ) - V ( t , x ) - V ( t - \tau , x ) ) \times } \\ & { \qquad \qquad ( \partial _ { t } ^ { \tau } V _ { n } ( t , x ) - \partial _ { t } ^ { \tau } V ( t , x ) ) \varphi ( | x | ) } \\ & { = A e ^ { - A \tau } E _ { t , n } + e ^ { A ( t - \tau ) } \sum _ { x \in { \mathbb { Z } } _ { h } ^ { d } } ( V _ { n } ( t , x ) - V ( t , x ) ) ( \partial _ { t } ^ { \tau } V _ { n } ( t , x ) - \partial _ { t } ^ { \tau } V ( t , x ) ) \varphi ( | x | ) } \\ & { \qquad \qquad - \frac { \tau } 2 e ^ { A ( t - \tau ) } \sum _ { x \in { \mathbb { Z } } _ { h } ^ { d } } \left| \partial _ { t } ^ { \tau } V _ { n } ( t , x ) - \partial _ { t } ^ { \tau } V ( t , x ) \right| ^ { 2 } \varphi ( | x | ) } \\ & { = : A e ^ { - A \tau } E _ { t , n } + e ^ { A ( t - \tau ) } X _ { t , n } - \frac { \tau } 2 e ^ { A ( t - \tau ) } Y _ { t , n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { b _ { m } } & { = \int _ { 0 } ^ { \frac { \| l _ { 1 } \| } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \frac { \| l _ { 2 } \| } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \frac { \| l _ { 3 } \| } { 2 } } g ( - u , - v , - w ) \cdot \sin { \left( - \frac { 2 \pi m _ { 1 } } { \| l _ { 1 } \| } u \right) } \cos { \left( - \frac { 2 \pi m _ { 2 } } { \| l _ { 2 } \| } v \right) } \cos { \left( - \frac { 2 \pi m _ { 3 } } { \| l _ { 3 } \| } w \right) } d u d v d w + } \\ & { \quad \int _ { 0 } ^ { \frac { \| l _ { 1 } \| } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \frac { \| l _ { 2 } \| } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \frac { \| l _ { 3 } \| } { 2 } } g ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) \cdot \sin { \left( \frac { 2 \pi m _ { 1 } } { \| l _ { 1 } \| } x _ { 1 } \right) } \cos { \left( \frac { 2 \pi m _ { 2 } } { \| l _ { 2 } \| } x _ { 2 } \right) } \cos { \left( \frac { 2 \pi m _ { 3 } } { \| l _ { 3 } \| } x _ { 3 } \right) } d x _ { 1 } d x _ { 2 } d x _ { 3 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \delta \left< \hat { \mathcal X } \right> } & { { } = } & { \Omega _ { a } \frac { d } { d \Omega _ { a } } \left. \left< \hat { \mathcal X } \right> \right| _ { \Omega _ { a } = 0 } } \end{array}
M _ { i j } ^ { ( \mathrm { ~ d ~ e ~ c ~ a ~ y ~ } ) } = \Gamma _ { \mathrm { ~ L ~ } _ { 3 } } e _ { i } ^ { ( \mathrm { ~ L ~ } _ { 3 } ) } \otimes e _ { j } ^ { ( \mathrm { ~ L ~ } _ { 3 } ) } + \Gamma _ { \mathrm { ~ K ~ } } e _ { i } ^ { ( \mathrm { ~ K ~ } ) } \otimes e _ { j } ^ { ( \mathrm { ~ K ~ } ) } + \frac { \Gamma _ { \mathrm { ~ L ~ } _ { 3 } } + \Gamma _ { \mathrm { ~ K ~ } } } { 2 } \left( e _ { i } ^ { ( \mathrm { ~ L ~ } _ { 3 } ) } \otimes e _ { j } ^ { ( \mathrm { ~ K ~ } ) } + e _ { i } ^ { ( \mathrm { ~ K ~ } ) } \otimes e _ { j } ^ { ( \mathrm { ~ L ~ } _ { 3 } ) } \right) ,
\phi _ { i \leftarrow j } ^ { \mathrm { ~ R ~ 1 ~ } } ( \tau ; t ) = \phi _ { i \leftarrow j } ^ { \mathrm { ~ R ~ 2 ~ } } ( \tau ; t ) = \phi _ { i \leftarrow j } ^ { \mathrm { ~ R ~ 3 ~ } } ( \tau ; t ) = \lambda \rho _ { j } ( t ) .
\begin{array} { r } { E _ { \varepsilon } ( \Omega _ { 1 } , \{ x _ { 1 } \} ) + E _ { \varepsilon } ( \Omega _ { 2 } , \{ x _ { 2 } \} ) = 4 \pi \left( \varepsilon ^ { 2 } + ( 1 - \varepsilon ^ { 3 } ) ^ { \frac { 2 } { 3 } } \right) , } \end{array}
Z [ \lambda _ { i } ] \equiv \langle e ^ { i \int d ^ { 4 } x \lambda _ { i } ( x ) { \cal O } _ { i } ( x ) } \rangle _ { C F T } = Z _ { I I B } [ \operatorname * { l i m } _ { z \to 0 } ( \chi _ { i } ( x , z ) z ^ { \Delta _ { i } - 4 } ) = \lambda _ { i } ( x ) ] .
\begin{array} { r l r } & { } & { [ C ( y , z ) - e ^ { i k _ { F } ^ { 0 } ( x _ { 0 } - y _ { 0 } ) + i { \bf k } _ { F } \cdot ( { \bf x } - { \bf y } ) } C ( x , z ) ] _ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } } } \\ & { } & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } d t ( y _ { 0 } - x _ { 0 } ) \Big [ \frac { \partial } { \partial x _ { 0 } } C ( ( t y _ { 0 } + ( 1 - t ) x _ { 0 } , { \bf y } ) , z ) \Big ] _ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } } } \\ & { } & { + \frac 1 2 \sum _ { a , b = 1 \cdots 3 } ( y ^ { ( a ) } - x ^ { ( a ) } ) ( y ^ { ( b ) } - x ^ { ( b ) } ) \Big [ \partial _ { x ^ { ( a ) } } \partial _ { { x } ^ { ( b ) } } C ( ( x _ { 0 } , { \bf x } ) , z ) \Big ] _ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } } } \\ & { } & { + \int _ { 0 } ^ { 1 } d t ( 1 - t ) \sum _ { a , b = 1 \cdots 3 } ( y ^ { ( a ) } - x ^ { ( a ) } ) ( y ^ { ( b ) } - x ^ { ( b ) } ) \Big [ \partial _ { y ^ { ( a ) } } \partial _ { { y } ^ { ( b ) } } C ( ( x _ { 0 } , t { \bf y } + ( 1 - t ) { \bf x } ) , z ) \Big ] _ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } } } \\ & { } & { + [ C ( ( x _ { 0 } , { \bf x } ) , z ) ] _ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } } [ 1 - e ^ { i k _ { F } ^ { 0 } ( x _ { 0 } - y _ { 0 } ) + i { \bf k } _ { F } \cdot ( { \bf x } - { \bf y } ) } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { a ^ { \prime } } & { { } = a { \sqrt { 1 - { \frac { | F _ { x } | } { \mu F _ { n } } } } } , } & { { \mathrm { f o r ~ } } | F _ { x } | \leq \mu F _ { n } } \\ { \xi } & { { } = - \operatorname { s i g n } ( F _ { x } ) \, { \frac { \mu ( a - a ^ { \prime } ) } { R } } , } & { { \mathrm { i . e . ~ } } | \xi | \leq { \frac { \mu a } { R } } } \\ { F _ { x } } & { { } = - \operatorname { s i g n } ( \xi ) \, \mu F _ { n } \left( 1 - \left( 1 + { \frac { R | \xi | } { \mu a } } \right) ^ { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { C } _ { E } ( n ) } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } k \pi _ { k } ( n ) } \\ & { = \left[ \frac { P _ { E } ^ { \mathrm { N S } } - \big ( P _ { E } ^ { \mathrm { N S } } \big ) ^ { n + 1 } - n \big ( P _ { E } ^ { \mathrm { N S } } \big ) ^ { n } + n \big ( P _ { E } ^ { \mathrm { N S } } \big ) ^ { n + 1 } } { \Big ( 1 - P _ { E } ^ { \mathrm { N S } } \Big ) ^ { 2 } } + \frac { \big ( P _ { E } ^ { \mathrm { N S } } \big ) ^ { n } \Big ( n + P _ { E } ^ { \mathrm { A S } } - n P _ { E } ^ { \mathrm { A S } } \Big ) } { \Big ( 1 - P _ { E } ^ { \mathrm { A S } } \Big ) ^ { 2 } } \right] } \\ & { \times \Bigg [ 1 + \frac { P _ { E } ^ { \mathrm { N S } } - \big ( P _ { E } ^ { \mathrm { N S } } \big ) ^ { n } } { 1 - P _ { E } ^ { \mathrm { N S } } } + \frac { \big ( P _ { E } ^ { \mathrm { N S } } \big ) ^ { n } } { 1 - P _ { E } ^ { \mathrm { A S } } } \Bigg ] ^ { - 1 } . } \end{array}
C _ { 1 1 1 1 } ^ { t } = C _ { 2 2 2 2 } ^ { t } = C _ { 3 3 3 3 } ^ { t } = 0 . 1 8 , ~ C _ { 1 1 2 2 } ^ { t } = C _ { 2 2 3 3 } ^ { t } = C _ { 3 3 1 1 } ^ { t } = - 0 . 0 4 5
S _ { p h } + S _ { i n t } = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } d s \sum _ { k } \sum _ { r } \sum _ { l } ( \dot { q } _ { r l } ^ { 2 } ( { \bf k } ) + k ^ { 2 } q _ { r l } ^ { 2 } ( { \bf k } ) + 2 q _ { r l } ( { \bf k } ) J _ { r l } ( { \bf k } )
\textstyle \left[ { \frac { 3 k + 0 } { 3 ^ { n + 1 } } } , { \frac { 3 k + 3 } { 3 ^ { n + 1 } } } \right] = \left[ { \frac { k + 0 } { 3 ^ { n } } } , { \frac { k + 1 } { 3 ^ { n } } } \right]
\begin{array} { r l } { \psi _ { k } ( v ) } & { = \psi \left( \sum _ { i = 1 } ^ { k - 2 } \mathrm { t r } ( v _ { i , i + 1 } ) \right) , } \\ { \psi _ { N _ { n ^ { k } , 2 k n } ^ { 0 } } ( v ) } & { = \psi \left( \sum _ { i = 1 } ^ { k - 1 } \mathrm { t r } ( v _ { i , i + 1 } ) - \mathrm { t r } ( y _ { 0 } ) + \mathrm { t r } ( z ) \right) , } \end{array}
\omega ^ { ( 1 ) } ( t ) = \frac { g ^ { 2 } t } { ( 2 \pi ) ^ { ( D - 1 ) } } \frac { N } { 2 } \int \frac { d ^ { D - 2 } k } { \vec { k } ^ { 2 } ( \vec { q } - \vec { k } ) ^ { 2 } } ~ .
{ \big \langle } ( \Delta N ) ^ { 2 } { \big \rangle } = k _ { \mathrm { { B } } } T \left( { \frac { d \langle N \rangle } { d \mu } } \right) _ { V , T } = \langle N \rangle { \big ( } 1 - \langle N \rangle { \big ) } .
\begin{array} { l } { { Y _ { 2 } R _ { 1 2 } K _ { 1 } R _ { 2 1 } = R _ { 1 2 } K _ { 1 } R _ { 1 2 } ^ { - 1 } Y _ { 2 } + q ^ { 2 } R _ { 1 2 } { \cal P } \quad , } } \\ { { \tilde { Y } _ { 2 } R _ { 2 1 } ^ { - 1 } K _ { 1 } R _ { 2 1 } = R _ { 1 2 } K _ { 1 } R _ { 2 1 } \tilde { Y } _ { 2 } + q ^ { - 2 } R _ { 1 2 } { \cal P } \quad . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sigma _ { n } ^ { 2 } } & { = } & { \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq j , \ell \leq p } \zeta _ { 1 } ^ { - 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \mathbb { E } } \{ W _ { i , j } W _ { i , \ell } - { \mathbb { E } } ( W _ { i , j } W _ { i , \ell } ) \} ^ { 2 } } \\ & { \lesssim } & { \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq j , \ell \leq p } \zeta _ { 1 } ^ { - 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \mathbb { E } } \{ | W _ { i , j } W _ { i , \ell } | ^ { 2 } \} \lesssim n \, . } \end{array}
K \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \{ \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \in \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \ensuremath { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbb { R } } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 2 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! : \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , r \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \leq \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! | \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! - \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! | \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \leq \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! r \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \} \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \subset \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! D \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! . \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\left( \begin{array} { c } { { 0 } } \\ { { g ^ { \prime } \gamma _ { d } ^ { \alpha } B _ { \alpha } \psi _ { l L } } } \end{array} \right) + \frac { M _ { i } + \eta _ { i } } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c } { { \psi _ { 1 R } } } \\ { { \psi _ { 1 R } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { W ^ { \prime } [ \tilde { \phi } ] } & { { } = \frac { 1 } { 2 \phi _ { 0 } } \int \mathrm { d } ^ { 3 } \mathbf { r } \sum _ { t } ^ { M } \sum _ { t ^ { \prime } } ^ { M } \sum _ { i } ^ { N _ { t } } \sum _ { j } ^ { N _ { t ^ { \prime } } } \chi _ { t t ^ { \prime } } \phi _ { i } ( \mathbf { r } ) \phi _ { j } ( \mathbf { r } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lvert x \rvert ^ { 2 } } & { { } = \frac { A ^ { 2 } } { ( \omega _ { 0 } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } ) ^ { 2 } + ( \gamma _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } \omega ) ^ { 2 } } . } \end{array}
\left( \cos ( \varphi ) \partial _ { \tau } - \sin ( \varphi ) \partial _ { \sigma } \right) X _ { 1 } | _ { \sigma = \pi } = \left( \sin ( \varphi ) \partial _ { \tau } + \cos ( \varphi ) \partial _ { \sigma } \right) X _ { 5 } | _ { \sigma = \pi } = 0 .
\begin{array} { r l } & { \frac { \omega } { \hbar } \operatorname { t a n h } \left( \frac { \beta \hbar \omega } { 2 } \right) \equiv \frac { 1 } { 2 } \beta ^ { * } \omega ^ { 2 } } \\ & { \beta ^ { * } ( \beta , \omega ) = \frac { 2 } { \hbar \omega } \operatorname { t a n h } \left( \frac { \beta \hbar \omega } { 2 } \right) , } \end{array}
R = \sum _ { x = 1 } ^ { N } R _ { x } = \sum _ { x = 1 } ^ { N } \sum _ { a = 1 } ^ { 2 } R _ { x } ^ { ( a ) } = \sum _ { x = 1 } ^ { N } \sum _ { a = 1 } ^ { 2 } \psi _ { a , x + 1 } ^ { \dag } e ^ { i A } \psi _ { a , x } \quad .
\begin{array} { r l r l } & { \operatorname* { m i n } _ { \lambda _ { 0 } , \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } } } & & { \lambda _ { 0 } + \lambda _ { 1 } \mu + \lambda _ { 2 } \delta } \\ & { \mathrm { s . t . } } & & { M ( x ) : = \lambda _ { 0 } + \lambda _ { 1 } x + \lambda _ { 2 } | x - \mu | \geq f ( x ) , \ \forall x \in [ a , b ] . } \end{array}
U ( P _ { 1 } ) = - { \frac { \mathbf { i } } { \lambda } } { \frac { A e ^ { \mathbf { i } k ( g + b ) } } { g b } } 2 \pi \int _ { a } ^ { \infty } e ^ { \mathbf { i } k { \frac { 1 } { 2 } } \left( { \frac { 1 } { g } } + { \frac { 1 } { b } } \right) r ^ { 2 } } r \, d r .
D _ { l } = [ s _ { l } ( x ^ { \prime } ) e _ { l } ^ { \prime } ( x ) - s _ { l } ^ { \prime } ( x ^ { \prime } ) e _ { l } ( x ) ] ^ { 2 } - \xi ^ { 2 } [ s _ { l } ( x ^ { \prime } ) e _ { l } ^ { \prime } ( x ) + s _ { l } ^ { \prime } ( x ^ { \prime } ) e _ { l } ( x ) ] ^ { 2 } ,
D \; = \; \left( \begin{array} { c c c c } { { 0 } } & { { U _ { p } } } & { { 0 } } & { { - 1 } } \\ { { - U _ { p } ^ { \dagger } } } & { { 0 } } & { { - 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } & { { - 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \bar { \mathcal { E } } _ { t } } & { \leq C \mathcal { M } _ { 4 } ( t ) \int _ { t } ^ { \infty } K _ { s - t } \| w ^ { - 1 } \left( s , \cdot \right) \| _ { \underline { { L } } ^ { d } ( \mathbb { T } _ { L } ) } ^ { - 2 } \left\| P _ { \mathbf { a } } ( s , \cdot ) \right\| _ { L ^ { 2 } \left( \mathbb { T } _ { L } \right) } ^ { 2 } \, d s } \\ & { \leq C \mathcal { M } _ { 4 } ( t ) \int _ { t } ^ { \infty } K _ { s - t } \| w ^ { - 1 } \left( s , \cdot \right) \| _ { \underline { { L } } ^ { d } ( \mathbb { T } _ { L } ) } ^ { - 2 } \left\| \nabla P _ { \mathbf { a } } ( s , \cdot ) \right\| _ { L ^ { \frac { 2 d } { d + 2 } } \left( \mathbb { T } _ { L } \right) } ^ { 2 } \, d s } \\ & { \leq C \mathcal { M } _ { 4 } ( t ) L ^ { 2 } \int _ { t } ^ { \infty } K _ { s - t } \left\| w ( s , \cdot ) \nabla P _ { \mathbf { a } } ( s , \cdot ) \right\| _ { L ^ { 2 } \left( \mathbb { T } _ { L } \right) } ^ { 2 } \, d s . } \end{array}