harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { A _ { W , 1 } ^ { \langle 1 \rangle , ( 1 ) } = \{ \Delta _ { 1 , 1 } ^ { \langle 1 \rangle } + w _ { 1 , 1 } ^ { \langle 1 \rangle } , \Delta _ { 1 , 2 } ^ { \langle 1 \rangle } + w _ { 1 , 2 } ^ { \langle 1 \rangle } , w _ { 3 , 1 } ^ { \langle 1 \rangle } , w _ { 3 , 2 } ^ { \langle 1 \rangle } , w _ { 4 , 1 } ^ { \langle 1 \rangle } , w _ { 4 , 2 } ^ { \langle 1 \rangle } \} } \\ & { A _ { W , 1 } ^ { \langle 2 \rangle , ( 1 ) } = \{ \Delta _ { 1 , 1 } ^ { \langle 2 \rangle } + w _ { 1 , 1 } ^ { \langle 2 \rangle } , \Delta _ { 1 , 2 } ^ { \langle 2 \rangle } + w _ { 1 , 2 } ^ { \langle 2 \rangle } , \Delta _ { 3 , 1 } ^ { \langle 2 \rangle } + w _ { 3 , 1 } ^ { \langle 2 \rangle } , \Delta _ { 3 , 2 } ^ { \langle 2 \rangle } + w _ { 3 , 2 } ^ { \langle 2 \rangle } , w _ { 4 , 1 } ^ { \langle 2 \rangle } , w _ { 4 , 2 } ^ { \langle 2 \rangle } \} } \end{array}
f _ { \mathrm { t o } } = \left[ 5 4 1 8 3 2 . 4 9 \pm 0 . 2 3 _ { \mathrm { s t a t } } \left( ^ { + 0 . 0 5 } _ { - 0 . 2 4 } \right) _ { \mathrm { s y s } } \right] \ensuremath { \, \mathrm { ~ G ~ H ~ z ~ } } ,
\begin{array} { r c l } { { W _ { z } \left( \begin{array} { c c } { { a } } & { { a + \bar { \epsilon } _ { j } } } \\ { { a + \bar { \epsilon } _ { j } } } & { { a + 2 \bar { \epsilon } _ { j } } } \end{array} \right) } } & { { = } } & { { \displaystyle \frac { h ( z + w ) } { h ( w ) } , } } \\ { { { } ~ } } & { { ~ } } & { { ~ } } \\ { { W _ { z } \left( \begin{array} { c c } { { a } } & { { a + \bar { \epsilon } _ { j } } } \\ { { a + \bar { \epsilon } _ { j } } } & { { a + \bar { \epsilon } _ { j } + \bar { \epsilon } _ { k } } } \end{array} \right) } } & { { = } } & { { \displaystyle \frac { h ( a _ { j k } w - z ) } { h ( a _ { j k } w ) } ~ ~ ~ ~ ( j \neq k ) , } } \\ { { { } ~ } } & { { ~ } } & { { ~ } } \\ { { W _ { z } \left( \begin{array} { c c } { { a } } & { { a + \bar { \epsilon } _ { k } } } \\ { { a + \bar { \epsilon } _ { j } } } & { { a + \bar { \epsilon } _ { j } + \bar { \epsilon } _ { k } } } \end{array} \right) } } & { { = } } & { { \displaystyle \frac { h ( z ) } { h ( w ) } \frac { \sqrt { h ( a _ { j k } w + w ) } \sqrt { h ( a _ { j k } w - w ) } } { h ( a _ { j k } w ) } ~ ~ ~ ~ ( j \neq k ) . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { 1 } } & { : = ( \Theta _ { h } * f , u _ { h } ) _ { L _ { h } ^ { 2 } ( h \mathbb { Z } ^ { d } ) } - ( \Theta _ { h } * f , \tilde { u } _ { h } ) _ { L _ { h } ^ { 2 } ( h \mathbb { Z } ^ { d } ) } , } \\ { J _ { 2 } } & { : = ( \Theta _ { h } * f , \tilde { u } _ { h } ) _ { L _ { h } ^ { 2 } ( h \mathbb { Z } ^ { d } ) } - ( \Theta _ { h } * f , \tilde { \theta } _ { h } * u ) _ { L _ { h } ^ { 2 } ( h \mathbb { Z } ^ { d } ) } , } \\ { J _ { 3 } } & { : = ( \Theta _ { h } * f , \tilde { \theta } _ { h } * u ) _ { L _ { h } ^ { 2 } ( h \mathbb { Z } ^ { d } ) } - ( f , \tilde { \theta } _ { h } * u ) _ { L _ { h } ^ { 2 } ( h \mathbb { Z } ^ { d } ) } , } \\ { J _ { 4 } } & { : = ( f , \tilde { \theta } _ { h } * u ) _ { L _ { h } ^ { 2 } ( h \mathbb { Z } ^ { d } ) } - ( f , \tilde { \theta } _ { h } * u ) _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } , } \\ { J _ { 5 } } & { : = ( f , \tilde { \theta } _ { h } * u ) _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } - ( f , u ) _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } . } \end{array}
\mathbf { f } ( \underline { { x } } ) = \mathbf { A } _ { d + 1 } \cdot \mathbf { \alpha } \left( \ldots \left( \mathbf { A } _ { 2 } \cdot \left( \mathbf { \alpha } \left( \mathbf { A } _ { 1 } \underline { { x } } + \underline { { b } } _ { 1 } \right) \right) + \underline { { b } } _ { 2 } \right) \ldots \right) + \underline { { b } } _ { d + 1 } .
U _ { i } ( \theta _ { i } , z _ { i } ) = - U _ { 0 } \left( S + \alpha \sigma \cos \left( { \frac { 2 \pi z _ { i } } { d } } \right) \right) \left( { \frac { 3 } { 2 } } \cos ^ { 2 } \left( \theta _ { i } \right) - { \frac { 1 } { 2 } } \right)
\ensuremath { \beta = \sqrt { \frac { 1 } { 2 } n _ { 0 } a _ { 1 1 } ^ { 3 } } \left( \frac { a _ { 1 2 } ^ { 2 } + \frac { 4 } { 5 } d _ { 1 } d _ { 2 } } { a _ { 1 1 } ^ { 2 } } \right) }
\begin{array} { r } { \frac { \nabla S } { 2 k _ { \mathrm { b } } } = v / \frac { d } { d t } \langle \delta x ^ { 2 } ( t ) \rangle = \frac { v } { 2 D ( F ) } = \operatorname { t a n h } [ q F b / ( 2 k _ { \mathrm { B } } T ) ] / b , } \end{array}
\begin{array} { r l } { r } & { { } = { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } } \\ { \theta } & { { } = \arctan \left( { \frac { \sqrt { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } { z } } \right) } \\ { \varphi } & { { } = \arctan \left( { \frac { y } { x } } \right) } \end{array}
f _ { r } ( \omega ; \tau ) = \frac { \delta d _ { r } ^ { * } ( \omega ; \tau ) \delta \bar { d } _ { { r } } ^ { b } ( \omega ; \tau ) } { | \delta d _ { { r } } ^ { b } ( \omega ; \tau ) | ^ { 2 } + \epsilon } , \mathrm { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ f ~ o ~ r ~ a ~ l ~ l ~ } \omega ~ \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } ~ \tau .
\displaystyle \left\{ \begin{array} { l } { \displaystyle \frac { 1 } { | W | } \int _ { { \mathcal { O } } \times W ^ { * } } A ^ { t } ( y ) \left( \nabla \boldsymbol { v _ { 0 } } + \nabla _ { y } \widehat { \boldsymbol v } ( x , y ) \right) \colon \left( \nabla \boldsymbol \varphi + \nabla _ { y } \boldsymbol \psi \right) d x \, d y } \\ { - \displaystyle \frac { 1 } { | W | } \int _ { { \mathcal { O } } \times W ^ { * } } \hat { q } ( x , y ) \left( \operatorname { d i v } ( \boldsymbol \varphi ) + \operatorname { d i v _ { y } } ( \boldsymbol \psi ) \right) d x \, d y = \Theta \, \int _ { { \mathcal { O } } } ( \boldsymbol { \boldsymbol { u } _ { 0 } } - \boldsymbol { u _ { d } } ) \cdot \boldsymbol \varphi \, d x , } \\ { a n d , \displaystyle \int _ { { \mathcal { O } } } \operatorname { d i v } ( \boldsymbol { v _ { 0 } } ) \, w \, d x = 0 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \sum _ { t = \hat { N } } ^ { \hat { N } + k } \left\| x _ { t } \right\| ^ { 4 } } & { \leqslant \frac { 1 } { \eta } \left( - V ( x _ { \hat { N } + k + 1 } , K _ { \hat { N } + k + 1 } ) + V ( x _ { \hat { N } } , K _ { \hat { N } } ) \right) } \\ & { \leqslant \frac { 1 } { \eta } V ( x _ { \hat { N } } , K _ { \hat { N } } ) = \frac { 1 } { \eta } \left( V _ { m } ^ { 2 } ( x _ { \hat { N } } ) + a _ { 0 } V _ { a } ( K _ { \hat { N } } ) \right) } \\ & { \leqslant \frac { 1 } { \eta } \left( \hat { c } ^ { 2 } + \frac { 4 a _ { 0 } } { \theta } \bar { W } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 3 } { 2 \Delta t } } & { \| A ^ { 1 / 2 } ( u ^ { k } - v ^ { k } ) \| _ { 0 , 2 , { \mathcal T } } ^ { 2 } + \gamma | A ^ { 1 / 2 } ( u ^ { k } - v ^ { k } ) | _ { 1 , 2 , { \mathcal T } } ^ { 2 } } \\ & { \le \frac { \lambda _ { M } L } { \lambda _ { m } ^ { 1 / 2 } } \bigg ( \frac { 2 d } { \zeta } \bigg ) ^ { 1 / 2 } | A ^ { 1 / 2 } v ^ { k } | _ { 1 , \infty , { \mathcal T } } \| A ^ { 1 / 2 } ( u ^ { k } - v ^ { k } ) \| _ { 0 , 2 , { \mathcal T } } | A ^ { 1 / 2 } ( u ^ { k } - v ^ { k } ) | _ { 1 , 2 , { \mathcal T } } } \\ & { \le \frac { 3 } { 2 \Delta t } \| A ^ { 1 / 2 } ( u ^ { k } - v ^ { k } ) \| _ { 0 , 2 , { \mathcal T } } ^ { 2 } + \frac { \Delta t } { 3 } \frac { d \lambda _ { M } ^ { 2 } L ^ { 2 } } { \lambda _ { m } \zeta } | A ^ { 1 / 2 } v ^ { k } | _ { 1 , \infty , { \mathcal T } } ^ { 2 } | A ^ { 1 / 2 } ( u ^ { k } - v ^ { k } ) | _ { 1 , 2 , { \mathcal T } } ^ { 2 } . } \end{array}
- i \mathcal { M } ^ { ( n ) } ( n , D ) = \frac { \Gamma \big ( 4 n + 2 - \frac { D } { 2 } \big ) } { 2 ^ { D + 4 n + 2 } \Gamma ( 4 n ) \sqrt { \pi ^ { D } } m _ { \mathrm { H } } ^ { 8 n - D } v ^ { 2 } } J ( n , D ) \, .
F ( t ) = \delta ^ { 2 } \left( \partial ^ { 0 } \tilde { \phi } _ { d \, ( \rightarrow ) } ^ { ( 1 ) } \, \partial ^ { \xi } \tilde { \phi } _ { d \, ( \rightarrow ) } ^ { ( 1 ) } \right) \mid _ { \xi = 1 + \delta } .
\begin{array} { r l r } { \sqrt { k } ( \widehat { R } _ { k , n } - 1 ) } & { = } & { \sqrt { k } \big ( { R } _ { k , n } - 1 ) } \\ & { } & { + \, \sqrt { k } \Big [ \big ( \widehat { R } _ { k , n } - R _ { k , n } \big ) - \big ( f ( X _ { ( n - k ) } , X _ { ( n - 2 k ) } ) - 1 \big ) \Big ] } \\ & { } & { + \, \sqrt { k } \big ( f ( X _ { ( n - k ) } , X _ { ( n - 2 k ) } ) - 1 \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { Y } _ { f , t } ^ { - } ( s , a ) = \mathbb { E } _ { \pi ^ { b } } \left[ W _ { t } ^ { * } Y _ { t } | S _ { t } = s , A _ { t } = a \right] \mathrm { ~ w h e r e ~ } W _ { t } ^ { * } = \alpha _ { t } \mathbb { I } \left[ Y _ { t } > Z _ { t } ^ { 1 - \tau } \right] + \beta _ { t } \mathbb { I } \left[ Y _ { t } \leq Z _ { t } ^ { 1 - \tau } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { Q _ { 0 } } & { { } = } & { 6 \, \mathrm { G e V } , \quad Q _ { 0 } ^ { 2 } \cong 4 0 \, \mathrm { G e V } ^ { 2 } , } \\ { Q _ { 1 } } & { { } = } & { 4 0 0 0 \, \mathrm { G e V } , \quad Q _ { 1 } ^ { 2 } \cong 2 \times 1 0 ^ { 7 } \, \mathrm { G e V } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left( \begin{array} { c } { \mathcal { E } _ { x } } \\ { \mathcal { E } _ { y } } \end{array} \right) } & { { } = } & { \mathrm { e } ^ { i ( k z - \omega t ) } \left( \begin{array} { c } { { E } _ { x } ^ { 0 } \mathrm { e } ^ { i \delta _ { x } } } \\ { { E } _ { y } ^ { 0 } \mathrm { e } ^ { i \delta _ { y } } } \end{array} \right) , } \end{array}
m ( p ) = 3 g _ { s } ^ { 2 } f _ { 1 } . f _ { 2 } [ \mu ^ { 2 } \partial _ { m } ^ { 2 } ] \int \frac { - i d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \frac { m ( p - k ) } { ( m ^ { 2 } + k ^ { 2 } ) [ m ^ { 2 } ( p - k ) + ( p - k ) ^ { 2 } ] }
\begin{array} { r l r } { \frac { d s _ { n } } { d t } } & { { } = } & { - s _ { n } \sum _ { k } \beta _ { n k } i _ { k } } \\ { \frac { d i _ { n } } { d t } } & { { } = } & { + s _ { n } \sum _ { k } \beta _ { n k } i _ { k } - \gamma i _ { n } } \\ { \frac { d r _ { n } } { d t } } & { { } = } & { + \gamma i _ { n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { n } \bigg [ \bigg | \mathcal { B } _ { t _ { 2 } } ^ { n } ( \varphi ) - \mathcal { B } _ { t _ { 1 } } ^ { n } ( \varphi ) - c _ { 3 } \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \big ( \overrightarrow { \xi } _ { j } ^ { \ell } ( s ) \big ) ^ { 2 } \nabla ^ { 1 , n } T _ { v _ { n } ^ { 1 } s } ^ { - } \varphi _ { j } ^ { n } d s \bigg | ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { \quad \lesssim \bigg ( \frac { ( t _ { 2 } - t _ { 1 } ) \ell } { n } + \frac { ( t _ { 2 } - t _ { 1 } ) ^ { 2 } n } { \ell ^ { 2 } } \bigg ) \| \partial _ { x } \varphi \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } . } \end{array}
L _ { 2 } = \{ y : ( \exists y ^ { \prime } < _ { l e x } y ) ( \exists x ) [ \operatorname* { m a x } \{ q ^ { - 1 } ( | y ^ { \prime } | ) , q ^ { - 1 } ( | y | ) \} \leq | x | \leq \operatorname* { m i n } \{ p ^ { - 1 } ( | y | ) , p ^ { - 1 } ( | y ^ { \prime } | ) \} \mathrm { ~ a n d ~ } ( x , y ) \in L \mathrm { ~ a n d ~ } ( x , y ^ { \prime } ) \in L \}
( D s ) _ { \beta \gamma } = \delta _ { \beta , \gamma } ( D s ) _ { \beta } , \quad ( D s ) _ { \beta } = - i \sum _ { \lambda \in \Delta _ { s } , \ \beta \cdot \lambda = 1 } \left[ g _ { s _ { 1 } } z _ { d } ^ { ( 1 / 2 ) } ( \lambda \cdot q , \xi ) + g _ { s _ { 2 } } z _ { d } ^ { ( 1 / 4 ) } ( \lambda \cdot q , \xi ) \right] ,
\begin{array} { r l } { - } & { { } \alpha \sum _ { L M } B ( E L ) \sum _ { n } \frac { \left< \zeta | F _ { L } Y _ { L M } | n \right> \left< n | F _ { L } Y _ { L M } | \xi \right> } { E _ { n } - m + \mathrm { s g n } ( E _ { n } ) \omega _ { L } } \ . } \end{array}
L \left( \zeta \left( t ^ { \prime } \right) , \dot { \zeta } \left( t ^ { \prime } \right) \right) + a = \sigma _ { a } \left( \zeta \left( t ^ { \prime } \right) , \dot { \zeta } \left( t ^ { \prime } \right) \right) = \sigma _ { \gamma ^ { \prime } , a } ^ { + } \left( s ^ { \prime } \right) \frac { \dot { \zeta } ( t ^ { \prime } ) \dot { \gamma } ^ { \prime } ( s ^ { \prime } ) } { | \dot { \gamma } ^ { \prime } ( s ^ { \prime } ) | ^ { 2 } } .
\Psi _ { ( \alpha ) } ^ { j } ( x ) = ( \frac { \mu } { 2 \pi } ) ^ { 1 / 2 } : e ^ { - i \sqrt { \pi } \{ \int _ { - \infty } ^ { x } d z ^ { 1 } \Pi _ { j } ( z ) + \gamma _ { \alpha \alpha } ^ { 5 } \Phi _ { j } ( x ) \} } : .
\begin{array} { r l r } { E _ { r } } & { { } = } & { E _ { 0 } + \partial _ { \lambda } E _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \lambda } ^ { 2 } E _ { 0 } + \frac { 1 } { 6 } \partial _ { \lambda } ^ { 3 } E _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 4 } \partial _ { \lambda } ^ { 4 } E _ { 0 } + \frac { 1 } { 1 2 0 } \partial _ { \lambda } ^ { 5 } E _ { 0 } + . . . } \\ { E _ { l } } & { { } = } & { E _ { 0 } - \partial _ { \lambda } E _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \lambda } ^ { 2 } E _ { 0 } - \frac { 1 } { 6 } \partial _ { \lambda } ^ { 3 } E _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 4 } \partial _ { \lambda } ^ { 4 } E _ { 0 } - \frac { 1 } { 1 2 0 } \partial _ { \lambda } ^ { 5 } E _ { 0 } + . . . . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { i n f } _ { \mathfrak { g } \in \mathbb { A } } J ( \mathfrak { g } ) } & { \geq J ^ { h } ( \hat { G } ) - C \epsilon _ { 1 } ( h ) } \\ & { \geq J ^ { h } ( G ^ { h , m } ) - C \epsilon _ { 1 } ( h ) - \sqrt { \epsilon _ { m } ^ { h , R } + C _ { h } \frac { 1 } { R } } } \\ & { \geq \operatorname* { i n f } _ { G \in \mathbb { U } ^ { h , m } } J ^ { h } ( G ) - C \epsilon _ { 1 } ( h ) - \sqrt { \epsilon _ { m } ^ { h , R } + C _ { h } \frac { 1 } { R } } , } \end{array}
( z ^ { A } ( t _ { 1 } ) , z ^ { B } ( t _ { 2 } ) ) _ { \cal H } = T _ { L } ( t _ { 2 } , t _ { 1 } ) _ { C } ^ { A } \Omega ^ { C B } = \Omega ^ { A C } T _ { R } ( t _ { 2 } , t _ { 1 } ) _ { C } ^ { B }
\begin{array} { r } { d _ { F } ( \rho _ { 0 } ( \gamma _ { i _ { 2 } } ) \phi ( \rho ( \gamma _ { i _ { 1 } } x ) , \rho _ { 0 } ( \gamma _ { i _ { 2 } } ) \phi ( \rho ( \gamma _ { i _ { 1 } } ) y ) ) > \lambda d _ { F } ( \phi ( \rho ( \gamma _ { i _ { 1 } } ) x ) , \phi ( \rho ( \gamma _ { i _ { 1 } } ) y ) ) > \lambda ^ { 2 } d _ { F } ( \phi ( x ) , \phi ( y ) ) . } \end{array}
g _ { 1 } = 3 \uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3 = 3 \uparrow \uparrow \uparrow ( 3 \uparrow \uparrow \uparrow 3 ) = 3 \uparrow \uparrow ( 3 \uparrow \uparrow ( 3 \uparrow \uparrow \ \dots \ ( 3 \uparrow \uparrow 3 ) \dots ) )
\begin{array} { r l } { \langle g , - \mathcal L _ { * } g \rangle _ { \nu _ { 0 , \rho } } } & { = \rho N ^ { 2 - 2 n } \Big ( \sum _ { x \in V } r ( x ) H ( x / N ) ^ { 2 } - \sum _ { x \ne y \in V } r ( x , y ) H ( x / N ) H ( y / N ) \Big ) } \\ & { = \rho N ^ { - 2 n } \sum _ { x \in V } H ( x / N ) \Big ( - N ^ { 2 } \sum _ { y \ne x } r ( x , y ) \big ( H ( y / N ) - H ( x / N ) \big ) \Big ) } \\ & { = \rho N ^ { - n } \langle H , L ^ { N } H \rangle _ { \mu _ { N } } } \\ & { \leq \rho N ^ { - n } \| H \| _ { L ^ { 2 } ( \mu _ { N } ) } \, \| L ^ { N } H \| _ { L ^ { 2 } ( \mu _ { N } ) } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb E _ { \widehat Z \sim \widehat { \mathbb P } } \left[ \| D ^ { k } \ell ( \widehat Z ) \| ^ { q _ { k } } \right] } & { \leq \mathbb E _ { \widehat Z \sim \widehat { \mathbb P } } \left[ G ( 1 + \| \widehat Z \| ^ { p - k } ) ^ { q _ { k } } \right] \leq \mathbb E _ { \widehat Z \sim \widehat { \mathbb P } } \left[ G ( 2 + \| \widehat Z \| ) ^ { p } \right] } \\ & { \leq G ^ { \prime } + \mathbb E _ { \widehat Z \sim \widehat { \mathbb P } } \left[ \| \widehat Z - \widehat z _ { 0 } \| ^ { p } \right] \leq G ^ { \prime } + \mathbb E _ { \widehat Z \sim \widehat { \mathbb P } } \left[ c ( \widehat Z , \widehat z _ { 0 } ) \right] \leq \infty \quad \forall k \in [ p - 1 ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal E ( J ( P _ { n } ) ) } & { = \mathbb E \left( \operatorname* { m a x } _ { \mathcal C \in \mathrm { M C } ( P _ { n } ) } \sum _ { x \in \mathcal C } G _ { x } \right) } \\ & { = \sum _ { m \geq 0 } \mathbb { P } \left( \operatorname* { m a x } _ { \mathcal C \in \mathrm { M C } ( P _ { n } ) } \sum _ { x \in \mathcal C } G _ { x } > m \right) } \\ & { = \sum _ { 0 \leq m < \eta \mu n / p } \mathbb { P } \left( \operatorname* { m a x } _ { \mathcal C \in \mathrm { M C } ( P _ { n } ) } \sum _ { x \in \mathcal C } G _ { x } > m \right) + \sum _ { m \geq \eta \mu n / p } \mathbb { P } \left( \operatorname* { m a x } _ { \mathcal C \in \mathrm { M C } ( P _ { n } ) } \sum _ { x \in \mathcal C } G _ { x } > m \right) } \\ & { \leq \frac { \eta \mu n } { p } + 1 + o ( 1 ) . } \end{array}
L _ { m } ( \lambda ) = 1 + \Delta { \cal L } \left( m \frac { R } { N } , \lambda \right) + O ( \Delta ^ { 2 } ) \quad , \quad \bar { L } _ { m } ( \lambda ^ { - 1 } ) = 1 + \Delta \bar { \cal L } \left( m \frac { R } { N } , \lambda ^ { - 1 } \right) + O ( \Delta ^ { 2 } ) \, ,
\begin{array} { r l } { v _ { x } } & { = G _ { u } ( u _ { R } ( x , \epsilon , b ^ { s } ) , \epsilon ^ { 2 } ) v + G ( u _ { R } + v , \epsilon ^ { 2 } ) - G ( u _ { R } , \epsilon ^ { 2 } ) - G _ { u } ( u _ { R } ( x ; \epsilon , b ^ { s } ) , \epsilon ^ { 2 } ) v } \\ & { = : G _ { u } ( u _ { R } ( x ; \epsilon , b ^ { s } ) , \epsilon ^ { 2 } ) v + H _ { R } ( v , \epsilon ^ { 2 } ) . } \end{array}
\biggl | \Bigl ( \mathbf { g } _ { \hat { k } } ^ { T } \boldsymbol { \Theta } _ { 0 } \mathbf { H } + \mathbf { f } _ { \hat { k } } ^ { T } \Bigr ) \mathbf { w } _ { \hat { k } } ^ { ( 0 ) } \biggr | \leqslant \biggl | \mathbf { g } _ { \hat { k } } ^ { T } \boldsymbol { \Theta } _ { 0 } \mathbf { H } \mathbf { w } _ { \hat { k } } ^ { ( 0 ) } \biggr | + \biggl | \mathbf { f } _ { \hat { k } } ^ { T } \mathbf { w } _ { \hat { k } } ^ { ( 0 ) } \biggr | .
\begin{array} { r l l l l } { { { \bf ( i ) } } } & { { U } } & { { = } } & { { 0 , } } & { { { \displaystyle \phi ^ { 2 } = \frac { m _ { \phi } ^ { 2 } } { \lambda } ; } } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { { \bf ( i i ) } } } & { { \phi } } & { { = } } & { { 0 , } } & { { { \displaystyle U ^ { 2 } = \frac { 3 \widetilde { m } _ { U } ^ { 2 } } { \widetilde { g } _ { 3 } ^ { 2 } } ; } } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { { \bf ( i i i ) } } } & { { \phi ^ { 2 } } } & { { = } } & { { { \displaystyle \frac { m _ { \phi } ^ { 2 } - 3 \widetilde { m } _ { U } ^ { 2 } \widetilde { h } _ { t } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \beta / \widetilde { g } _ { 3 } ^ { 2 } } { \lambda - 3 \widetilde { h } _ { t } ^ { 4 } \sin ^ { 4 } \beta / \widetilde { g } _ { 3 } ^ { 2 } } , } } } & { { { \displaystyle U ^ { 2 } = \frac { \widetilde { m } _ { U } ^ { 2 } - m _ { \phi } ^ { 2 } \widetilde { h } _ { t } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \beta / \lambda } { \widetilde { g } _ { 3 } ^ { 2 } / 3 - \widetilde { h } _ { t } ^ { 4 } \sin ^ { 4 } \beta / \lambda } . } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { t _ { l } ( r _ { n } ) } & { = t _ { * } - r _ { 1 } ( t _ { * } ) n ^ { - 1 / 3 } - \Big ( r _ { 2 } ( t _ { * } ) + \frac { t _ { * } } { 6 } r _ { 1 } ( t _ { * } ) \Big ) n ^ { - 2 / 3 } + O ( n ^ { - 1 } ) } \\ { * [ 1 m m ] a ( r _ { n } ) } & { = n + ( a _ { 1 } ( t _ { * } ) + r _ { 1 } ( t _ { * } ) ) n ^ { 1 / 3 } + \Big ( a _ { 2 } ( t _ { * } ) + r _ { 2 } ( t _ { * } ) - r _ { 1 } ( t _ { * } ) a _ { 1 } ^ { \prime } ( t _ { * } ) \Big ) + O ( n ^ { - 1 / 3 } ) . } \end{array}
S _ { R ^ { 2 } , b u l k } ^ { ( 1 ) } = \frac { 1 } { 2 \kappa ^ { 2 } } \int d ^ { D } x \, \sqrt { - G } \frac { \alpha ^ { \prime } } { 4 } e ^ { \gamma \Phi } ( R ^ { M N P Q } R _ { M N P Q } - 4 R ^ { M N } R _ { M N } + R ^ { 2 } ) ~ .
\begin{array} { r l r } { U _ { r ^ { \prime } } ^ { \prime } \left( x , s \right) } & { { } \propto } & { \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) \quad , \quad \sigma ^ { 3 } U _ { r ^ { \prime } } ^ { \prime } \left( x , s \right) = + U _ { r ^ { \prime } } ^ { \prime } \left( x , s \right) } \\ { U _ { r ^ { \prime } } ^ { \prime } \left( x , s \right) } & { { } \propto } & { \left( \begin{array} { c } { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) \quad , \quad \sigma ^ { 3 } U _ { r ^ { \prime } } ^ { \prime } \left( x , s \right) = - U _ { r ^ { \prime } } ^ { \prime } \left( x , s \right) } \end{array}
C _ { p } ^ { ( 2 ) } = \frac { \gamma _ { \mathrm { R b } } \langle S _ { z } \rangle } { 4 \Gamma _ { \mathrm { R b } } } \left[ G _ { p } ^ { ( x ) } ( \theta _ { 1 } ) b _ { x 0 } e ^ { i ( \phi _ { x } - \theta _ { 2 } ) } - G _ { p } ^ { ( y ) } ( \theta _ { 1 } ) b _ { y 0 } e ^ { i ( \phi _ { y } - \theta _ { 2 } ) } \right] ,
\begin{array} { r l r } { E } & { = } & { \left[ \begin{array} { c l r r } { \alpha } & { C \beta } & { - B \beta } \\ { - C \beta } & { \alpha } & { A \beta } \\ { B \beta } & { - A \beta } & { \alpha } \end{array} \right] } \\ & { = } & { \frac { a } { b } \left[ \begin{array} { c l r r } { \cos \theta } & { C \sin \theta } & { - B \sin \theta } \\ { - C \sin \theta } & { \cos \theta } & { A \sin \theta } \\ { B \sin \theta } & { - A \sin \theta } & { \cos \theta } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| F _ { t } ( t , p ) \| } & { = \| ( y _ { \mathcal { D } } - y ) _ { p } ^ { T } \Sigma _ { l } ^ { - 1 } ( y ^ { t } - y ^ { m } ) + ( y _ { p } ^ { t } ) ^ { T } \Sigma _ { l } ^ { - 1 } ( y _ { \mathcal { D } } - y ) \| } \\ & { = \| ( y _ { \mathcal { D } } - y ) _ { p } ^ { T } \Sigma _ { l } ^ { - 1 } ( y ^ { t } - y + y - y ( p ) + y ( p ) - y ^ { m } ) + ( y _ { p } ^ { t } ) ^ { T } \Sigma _ { l } ^ { - 1 } ( y _ { \mathcal { D } } - y ) \| } \\ & { \le \epsilon ^ { \prime } \left( \| \Sigma _ { l } ^ { - 1 } \| ( \epsilon + R C _ { 1 } ) + \frac { L } { 3 C _ { 2 } } \right) + C _ { 1 } \| \Sigma _ { l } ^ { - 1 } \| \epsilon } \\ & { \le \| \Sigma _ { l } ^ { - 1 } \| ( \epsilon ^ { \prime } ( \epsilon + R C _ { 1 } ) + \epsilon C _ { 1 } ) + \frac { \epsilon ^ { \prime } L } { 3 C _ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \delta \mathcal { L } _ { 1 } } & { { } = } & { \left\langle \left( \Gamma _ { r ^ { \prime \mu } } \right) _ { \mu } - \varepsilon \frac { \partial R } { \partial r ^ { \prime \mu } } \right\rangle _ { \phi ^ { \prime } } d r ^ { \prime \mu } } \end{array}
\| \partial ^ { p } C _ { 2 m } ^ { ( t , 1 ) } \| \leq \left( { \frac { 1 } { \Lambda ^ { 2 m - 6 } } } \right) P \left( l n { \frac { \Lambda } { \Lambda _ { R } } } \right) { \frac { 1 } { \Lambda ^ { p } } } \left( { \frac { M } { \Lambda } } \right) ^ { \epsilon }
\begin{array} { r } { \gamma _ { a b c d } ( k ) = \, Z \, \gamma _ { a } \gamma _ { b } ^ { * } \gamma _ { c } \gamma _ { d } ^ { * } ( - 1 ) ^ { m _ { a } + m _ { d } } \, \delta _ { m _ { a } - m _ { b } , m _ { d } - m _ { c } } \, [ ( l _ { a } + l _ { b } + k + 1 ) \mathrm { ~ m ~ o ~ d ~ } 2 ] \, [ ( l _ { c } + l _ { d } + k + 1 ) \mathrm { ~ m ~ o ~ d ~ } 2 ] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { 1 } { b _ { d } ^ { ( \alpha ) } } \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { d } } \int _ { \mathbb { { R } } ^ { d } } \| \omega \| _ { 2 } ^ { d + 1 + 2 \alpha } | \hat { g } ( \omega ) | ^ { 2 } d \omega } & { \geqslant } & { \int _ { { \mathbb B } ^ { d } ( R ) } \int _ { { \mathbb B } ^ { d } ( R ) } E _ { d } ^ { ( \alpha ) } ( x - y ) d \lambda ( y ) d \lambda ( x ) } \\ & { = } & { \int _ { { \mathbb B } ^ { d } ( R ) } \int _ { { \mathbb B } ^ { d } ( R ) } k _ { d } ^ { ( \alpha ) } ( x , y ) d \lambda ( y ) d \lambda ( x ) . } \end{array}
T = \frac { \rho } { 2 } \int \left( u \frac { \partial \psi } { \partial y } - v \frac { \partial \psi } { \partial x } - \psi \omega _ { z } \right) \; d A = \frac { \rho } { 2 } \int \frac { \partial ( u \psi ) } { \partial y } - \frac { \partial ( v \psi ) } { \partial x } \; d A = \frac { \rho } { 2 } \int \psi \omega _ { z } \; d A .
\frac { { { d } ^ { 4 } } \tilde { u } _ { z } } { d { { z } ^ { 4 } } } - 2 { { q } ^ { 2 } } \frac { { { d } ^ { 2 } } \tilde { u } _ { z } } { d { { z } ^ { 2 } } } + { { q } ^ { 4 } } \tilde { u } _ { z } = 0 .