harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { r _ { 1 } : \quad \varnothing \stackrel { k _ { 2 } } { \longrightarrow } \mathrm { X } _ { 1 } , } \\ & { r _ { 2 } : \quad \mathrm { X } _ { 1 } + \mathrm { X } _ { 2 } \stackrel { k _ { 2 } } { \longrightarrow } \mathrm { X } _ { 2 } , } \\ & { r _ { 3 } : \quad \mathrm { X } _ { 2 } \stackrel { k _ { 3 } } { \longrightarrow } 2 \mathrm { X } _ { 2 } , } \\ & { r _ { 4 } : \quad \mathrm { X } _ { 1 } + 2 \mathrm { X } _ { 2 } \stackrel { k _ { 4 } } { \longrightarrow } \mathrm { X } _ { 1 } , } \\ & { \mathbf { k } = \left[ 1 , 1 , 1 , \frac { 1 } { 2 } \right] . } \end{array}
\partial _ { \mu _ { g y } } \left\langle \tilde { \psi } _ { 1 } ^ { 2 } \right\rangle = \left\langle \partial _ { \mu _ { g y } } \tilde { \psi } _ { 1 } ^ { 2 } \right\rangle = 2 \left\langle \tilde { \psi _ { 1 } } \partial _ { \mu _ { g y } } \tilde { \psi } _ { 1 } \right\rangle
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l r } { C _ { 1 } ( z ) } & { { } = } & { \kappa \exp [ - ( z - z _ { 1 } ) ^ { 2 } / \xi ^ { 2 } ] , } \\ { C _ { 2 } ( z ) } & { { } = } & { \kappa \exp [ - ( z - z _ { 2 } ) ^ { 2 } / \xi ^ { 2 } ] . } \end{array} } \end{array}
\mathbf { \delta E } = \left( \frac { 1 } { 7 } r ^ { 2 } \sum _ { m } \frac { i \dot { A } _ { m } } { m } e ^ { i m \varphi } \right) \hat { r } - \left( \frac { r \dot { S } } { 2 } + \frac { 8 r ^ { 2 } } { 2 1 } \sum _ { m } \dot { A } _ { m } e ^ { i m \varphi } \right) \hat { \varphi } .
\begin{array} { r l r } { A ( \alpha , \beta , e , \mu ) } & { : = } & { \frac { 1 } { 1 - \alpha ^ { 2 } \mu ^ { 2 } } \sqrt { \frac { 1 - ( 1 - e ^ { 2 } ) \mu ^ { 2 } } { ( 1 - 4 \mu ^ { 2 } ) \left[ 1 - \frac { 1 } { 2 } \kappa ^ { 2 } ( 3 + e ) \mu ^ { 2 } \right] } } B ( \alpha , \beta , e , \mu ) ^ { - 1 / 2 } , } \\ { B ( \alpha , \beta , e , \mu ) } & { : = } & { \left[ 1 + \frac { \mu ^ { 2 } ( 1 - e ^ { 2 } ) ( 1 - \kappa ^ { 2 } \mu ^ { 2 } ) } { ( 1 - 4 \mu ^ { 2 } ) [ 1 - ( 1 - e ^ { 2 } ) \mu ^ { 2 } ] [ 1 - \frac { 1 } { 2 } \kappa ^ { 2 } ( 3 + e ) \mu ^ { 2 } ] } \right] ^ { - 1 } , } \\ { C ( \alpha , \beta , e , \mu ) } & { : = } & { \frac { 1 } { 1 - \alpha ^ { 2 } \mu ^ { 2 } } \frac { 1 } { 1 - \frac { 1 } { 2 } \kappa ^ { 2 } ( 3 + e ) \mu ^ { 2 } } } \\ & { \times } & { \left\{ 1 + \frac { 1 - \beta ^ { 2 } } { 2 } ( 3 + e ) ( 1 - \alpha ^ { 2 } \mu ^ { 2 } ) + \mu ^ { 2 } \frac { 1 - e ^ { 2 } + ( 1 - \beta ^ { 2 } ) \left[ 3 + e ^ { 2 } - \alpha ^ { 2 } ( 1 - e ^ { 2 } ) \mu ^ { 2 } \right] } { 1 - 4 \mu ^ { 2 } } \right\} . \qquad } \end{array}
\left\{ \left\{ \begin{array} { l l } { { { \mu } ^ { 2 } x ^ { 3 } + z \mu ( 2 - \mu ) x ^ { 2 } + ( 1 - 2 \mu ) x - z = 0 } } \\ { { { \mu } ^ { 2 } x ^ { 2 } - 2 z { \mu } ^ { 2 } x - ( 1 + 2 \mu ) = 0 } } \end{array} \right. \right. ,
u _ { i j } ( r ) = \left\{ \begin{array} { l l } { r < a } & { \infty } \\ { a \le r < 2 a } & { \left( \frac { 1 0 } { z } \right) \epsilon _ { i j } ^ { \mathrm { ~ M ~ F ~ } } } \\ { r \ge 2 a } & { 0 , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \nabla \cdot \boldsymbol { u } } & { { } = 0 , } \\ { \rho \left( \frac { \partial \boldsymbol { u } } { \partial t } + \boldsymbol { u } \cdot \nabla \boldsymbol { u } \right) } & { { } = - \nabla p + \mu \nabla ^ { 2 } \boldsymbol { u } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \overleftarrow { \tilde { F } } _ { m } ( \sigma _ { q _ { m } } ) = \overleftarrow { \tilde { F } } _ { 0 } ( \sigma _ { q _ { m } } ) + \sum _ { m ^ { \prime } < m } \lambda ( F _ { 0 } ( \sigma _ { q _ { m } } ) , Q _ { m ^ { \prime } } ) P _ { m ^ { \prime } } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \int \sec \theta \, d \theta } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \ln { \frac { 1 + \sin \theta } { 1 - \sin \theta } } + C } \\ & { = \ln { { \bigl | } \sec \theta + \tan \theta \, { \bigr | } } + C } \\ & { = \ln { \left| \, { \tan } { \biggl ( } { \frac { \theta } { 2 } } + { \frac { \pi } { 4 } } { \biggr ) } \right| } + C , } \end{array} }
\widetilde { \mathbf { p } } _ { k } ^ { \mathrm { i n } } = \sum _ { r = 0 } ^ { k } \sqrt { \rho _ { p r } ^ { \mathrm { i n } } } \, [ \mathbf { c } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { r } \, \widetilde { \mathbf { O } } _ { p r } ^ { \mathrm { i n } } \, \overline { { \mathbf { Z } } } _ { p r } ^ { \mathrm { i n } } + \sum _ { r = 0 } ^ { k } [ \mathbf { c } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { r } \widetilde { \boldsymbol { \Delta } } _ { p r } ^ { \mathrm { i n } }
\begin{array} { r l } & { V ( \bar { y } _ { \bar { x } ^ { ( j ) } = 0 } ^ { ( j ) } ) = V ( \bar { y } ^ { ( j ) } ) + V ( \bar { \psi } ^ { ( j ) } ) ( ( \bar { x } ^ { ( j ) } ) ^ { 2 } + V ( \bar { x } ^ { ( j ) } ) ) } \\ & { V \left( \frac { w _ { e } + w _ { t } ^ { ( j ) } } { 2 } \right) = \frac { 1 } { 4 } V \left( w _ { t } ^ { ( j ) } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { H ^ { ( 0 ) } | J _ { \tau } , m \rangle ^ { ( 0 ) } } & { { } = E _ { J _ { \tau } , m } ^ { ( 0 ) } | J _ { \tau } , m \rangle ^ { ( 0 ) } , } \\ { ( J _ { X } ^ { 2 } + J _ { Y } ^ { 2 } + J _ { Z } ^ { 2 } ) | J _ { \tau } , m \rangle ^ { ( 0 ) } } & { { } = \hbar ^ { 2 } J ( J + 1 ) | J _ { \tau } , m \rangle ^ { ( 0 ) } , } \\ { J _ { y } | J _ { \tau } , m \rangle ^ { ( 0 ) } } & { { } = \hbar m | J _ { \tau } , m \rangle ^ { ( 0 ) } } \end{array}
\boldsymbol x _ { \mathfrak T } ^ { 1 } = \boldsymbol x _ { \mathfrak T } \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \boldsymbol x _ { \mathfrak T } ^ { k } = H _ { \mathfrak T } ^ { k - 1 } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } k \geq 2 ,
\begin{array} { r l r l r l } { D } & { { } = \frac { \sigma ( \beta ( \delta _ { D } + 2 \delta _ { E } ) + \delta _ { D } \sigma ) } { ( \beta + \sigma ) ( 3 \beta + \sigma ) } } & { \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } & { { } } & { \chi } & { { } = - \frac { \delta _ { E } ( 3 \beta + \sigma ) ^ { 2 } } { \sigma ( \beta ( \delta _ { D } + 2 \delta _ { E } ) + \delta _ { D } \sigma ) } \; , } \end{array}
\begin{array} { l l } { \hat { H } = } & { \sum _ { i , j } [ { ( A _ { 0 } \ { \delta } _ { i , j } + A _ { 2 } \ { \delta } _ { i , j \pm 2 } ) \hat { \alpha } _ { i } ^ { { \dagger } } \hat { \alpha } _ { j } } } \\ & { + { ( B _ { 0 } { \delta } _ { i , j } + B _ { 2 } { \delta } _ { i , j \pm 2 } ) \hat { \beta } _ { i } ^ { { \dagger } } \hat { \beta } _ { j } } ] } \end{array}
\left\Vert g - g ^ { * } \right\Vert _ { a _ { u ^ { * } } ( \Omega ) } \leq \left( C _ { 3 } ^ { 2 } + \beta C _ { 1 } ^ { 4 } \left( C _ { u } + \left\Vert u ^ { * } \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } \right) \left\Vert g \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } \right) \left\Vert u - u ^ { * } \right\Vert _ { a _ { u ^ { * } } ( \Omega ) } .
\begin{array} { r l } { k _ { 1 } } & { { } = f ( t _ { n } , y _ { n } ) , } \\ { k _ { 2 } } & { { } = f ( t _ { n } + c _ { 2 } h , y _ { n } + h ( a _ { 2 1 } k _ { 1 } ) ) , } \\ { k _ { 3 } } & { { } = f ( t _ { n } + c _ { 3 } h , y _ { n } + h ( a _ { 3 1 } k _ { 1 } + a _ { 3 2 } k _ { 2 } ) ) , } \\ { k _ { s } } & { { } = f ( t _ { n } + c _ { s } h , y _ { n } + h ( a _ { s 1 } k _ { 1 } + a _ { s 2 } k _ { 2 } + \cdots + a _ { s , s - 1 } k _ { s - 1 } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial h _ { t } } { \partial w _ { h } } } & { { } = \frac { \partial f ( x _ { t } , h _ { t - 1 } ; w _ { h } ) } { \partial w _ { h } } + \frac { \partial f ( x _ { t } , h _ { t - 1 } ; w _ { h } ) } { \partial x _ { t } } \underbrace { \frac { \partial g ( h _ { t - 1 } ) } { \partial h _ { t - 1 } } \frac { \partial h _ { t - 1 } } { \partial w _ { h } } } _ { \frac { \partial x _ { t } } { \partial w _ { h } } } + \frac { \partial f ( x _ { t } , h _ { t - 1 } ; w _ { h } ) } { \partial h _ { t - 1 } } \frac { \partial h _ { t - 1 } } { \partial w _ { h } } \implies } \end{array}
N _ { \nu } ( r , \alpha _ { t } ) = 2 \pi N _ { \nu } ^ { 0 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d E _ { \nu } f _ { \nu } ( E ) \left( Q _ { 0 } ( r , E _ { \nu } ) - \cos \alpha _ { t } Q _ { 1 } ( r , E _ { \nu } ) \right) .
\begin{array} { r l } { u _ { \operatorname* { i n f } } ( x ) = } & { \: e ^ { i \omega r _ { * } } ( 1 + \varepsilon _ { + } ( r _ { * } ) ) , } \\ { | \varepsilon _ { + } ( r _ { * } ) | \leq } & { \: C _ { m } | r | ^ { - 1 } , } \\ { \left| \frac { d \varepsilon _ { + } } { d r _ { * } } ( r _ { * } ) \right| \leq } & { \: C _ { m } | r | ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta ^ { 2 } S _ { n } = } & { { } - \frac { \hbar ^ { 2 } \tau _ { n } } { \mu } ( { \bf P } - P _ { x } \hat { x } ) ^ { 2 } + \frac { \partial ^ { 2 } S _ { \mathrm { s c } } } { \partial P _ { n } ^ { 2 } } \bar { P } ^ { 2 } + \frac { \partial ^ { 2 } S _ { \mathrm { s c } } ^ { ( t , \tau ) } } { \partial t _ { n } ^ { 2 } } \delta t ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda _ { 2 } = } & { \tau _ { ( 1 ) } \tau _ { ( 2 ) } \, , } \\ { \lambda _ { 1 } = } & { \tau _ { ( 1 ) } + \tau _ { ( 2 ) } \, , } \\ { \zeta = } & { \zeta _ { ( 1 ) } + \zeta _ { ( 2 ) } \, , } \\ { \chi = } & { \zeta _ { ( 1 ) } \tau _ { ( 2 ) } + \zeta _ { ( 2 ) } \tau _ { ( 1 ) } \, . } \end{array}
\Sigma _ { o } = g ^ { 2 } N T \int \! \! { \frac { d ^ { 3 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } { \frac { 1 } { p ^ { 2 } } } { \frac { 3 m ^ { 2 } } { p ^ { 2 } + 3 m ^ { 2 } } } \int _ { \Omega } { \frac { 3 m ^ { 2 } } { ( Y Q ) ^ { 2 } } } { \frac { Q _ { o } } { Y Q + \vec { e } \vec { p } } }
{ \cal F } _ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } } = \langle \Psi | E _ { s } ^ { \dagger } ( \tau - T _ { s } ) E _ { i } ( \tau - T _ { i } ) { \cal N } _ { s } ( \omega ^ { \prime } ) { \cal E } _ { i } ^ { \dagger } ( \omega ) E _ { s } ( t - T _ { s } ) | \Psi \rangle
\begin{array} { r l r l } { { 2 } - \Delta u ( \vec { x } ) } & { { } = f ( \vec { x } ) \quad } & { } & { { } \mathrm { ~ i ~ n ~ } \Omega \, , } \\ { u ( \vec { x } ) } & { { } = 0 \quad } & { } & { { } \mathrm { ~ o ~ n ~ } \partial \Omega \, . } \end{array}
\left| { { X _ { P M } } } \mathrm { ~ + ~ } i { { P _ { P M } } } \right\rangle = \left| \delta { { X } _ { I } } + X _ { A _ { 1 } } + i \left( \delta { { P } _ { I } } + P _ { A _ { 1 } } \right) \right\rangle .
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial v _ { 1 } } { \partial t } = - \frac { 1 } { \rho } \left( \frac { 1 } { k _ { x } } \frac { \partial \sigma } { \partial x } + \Psi _ { x } \right) , } \\ & { \frac { \partial v _ { 3 } } { \partial t } = - \frac { 1 } { \rho } \left( \frac { 1 } { k _ { z } } \frac { \partial \sigma } { \partial z } + \Psi _ { z } \right) , } \\ & { \frac { \partial \Psi _ { x } } { \partial t } = - \left( \frac { d _ { x } } { k _ { x } } + \alpha _ { x } \right) \Psi _ { x } - \frac { d _ { x } } { k _ { x } ^ { 2 } } \frac { \partial \sigma } { \partial x } , } \\ & { \frac { \partial \Psi _ { z } } { \partial t } = - \left( \frac { d _ { z } } { k _ { z } } + \alpha _ { z } \right) \Psi _ { z } - \frac { d _ { z } } { k _ { z } ^ { 2 } } \frac { \partial \sigma } { \partial z } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { s } p \left( \left. u , s \right| u _ { 0 } \right) = f ( u _ { 0 } ) \partial _ { u _ { 0 } } p \left( \left. u , s \right| u _ { 0 } \right) + \frac { 1 } { 2 } \partial _ { u _ { 0 } } ^ { 2 } p \left( \left. u , s \right| u _ { 0 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \to \mathbf x + \frac { i \mathbf p \cdot d \mathbf { x } ^ { \prime } } { \hbar } \mathbf x - \mathbf x \frac { i \mathbf p \cdot d \mathbf { x } ^ { \prime } } { \hbar } } \\ & { = \mathbf x + \left( \frac { i } { \hbar } \right) \left[ \mathbf p \cdot d \mathbf x ^ { \prime } , \, \mathbf x \right] } \\ & { = \mathbf x + d \mathbf x ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \bf F } _ { \omega _ { 0 } } \left( { \bf u } _ { \Sigma } \right) - { \bf F } _ { \omega _ { 0 } } \left( { \bf u } _ { 2 } \right) } & { { } \approx } & { { \cal B } _ { 2 } \mathbf { u } _ { 1 } , } \\ { { \bf H } _ { \omega _ { 0 } } \left( { \bf u } _ { \Sigma } \right) - { \bf H } _ { \omega _ { 0 } } \left( { \bf u } _ { 1 } \right) } & { { } \approx } & { { \cal C } _ { 2 } \mathbf { u } _ { 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { h _ { \xi } ( 0 ) - h _ { \xi } ( \mathrm { d i a m } ( \Omega ) ) } & { = h _ { \xi } ^ { \prime } ( c _ { \xi } ) ( 0 - \mathrm { d i a m } ( \Omega ) ) } \\ & { = \mathrm { d i a m } ( \Omega ) ( n - k - 1 + \sigma ) \xi ^ { n - k - 1 } ( \xi + c _ { \xi } ) ^ { k - n - \sigma } } \\ & { \le \mathrm { d i a m } ( \Omega ) ( n - k - 1 + \sigma ) \xi ^ { - \sigma - 1 } . } \end{array}
\frac { \partial V ( \rho ) } { \partial \rho } = \rho \left[ \frac { 2 } { G } - \frac { 2 R } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } f ( \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } ) \mathrm { E i } \left( - \frac { \rho ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 2 } } \right) \right] = 0 .
\begin{array} { r l } { ( \delta _ { \tau } e _ { c } ^ { n } , \mathcal { J } _ { h } ( \delta _ { \tau } e _ { c } ^ { n } ) ) _ { \Omega } } & { + a _ { \mathcal { D } } ( \boldsymbol { e } _ { \mu } ^ { n } , \boldsymbol { \mathcal { J } } _ { h } ( \delta _ { \tau } e _ { c } ^ { n } ) ) + \kappa a _ { \mathcal { D } } ( \boldsymbol { e } _ { c } ^ { n } , \delta _ { \tau } \boldsymbol { e } _ { c } ^ { n } ) } \\ & { = ( \delta _ { \tau } ( \Pi _ { h } c ^ { n } ) - ( \partial _ { t } c ) ^ { n } , \mathcal { J } _ { h } ( \delta _ { \tau } e _ { c } ^ { n } ) ) _ { \Omega } + a _ { \mathcal { D } } ( \boldsymbol { \pi } _ { h } \mu ^ { n } - \boldsymbol { \mu } ^ { n } , \boldsymbol { \mathcal { J } } _ { h } ( \delta _ { \tau } e _ { c } ^ { n } ) ) } \\ & { \quad - ( ( c ^ { n } ) ^ { 3 } - ( c _ { h } ^ { n } ) ^ { 3 } , \delta _ { \tau } e _ { c } ^ { n } ) _ { \Omega } + ( c ^ { n } - c _ { h } ^ { n - 1 } , \delta _ { \tau } e _ { c } ^ { n } ) _ { \Omega } + ( e _ { \mu } ^ { n } , \delta _ { \tau } e _ { c } ^ { n } ) _ { \Omega } . } \end{array}
\mathrm { d } _ { t } u _ { z } = \frac { 1 } { n } v _ { \mathrm { A } } \cos \theta \partial _ { x } b _ { z } + \frac { Z m _ { e } } { m _ { i } } d _ { i } \mathrm { d } _ { t } \frac { \partial _ { x } b _ { y } } { n } ,
\begin{array} { r l } { P _ { N | k } ^ { \mathrm { ( i r ) } } } & { { } = \frac { \tau _ { \mathrm { m } } } { \tau _ { \mathrm { d } } } \binom { k } { N } B _ { N \frac { \tau _ { \mathrm { d } } } { \tau _ { \mathrm { m } } } , 1 } \left( k - N + 1 , N + 1 \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathcal { P } _ { X Y } ( E ) } { \mathcal { P } _ { X } \mathcal { P } _ { Y } ( E ) } } & { \leq \exp \left( D _ { \infty } ( \mathcal { P } _ { X Y } \| \mathcal { P } _ { X } \mathcal { P } _ { Y } ) \right) = \operatorname* { s u p } _ { F } \frac { \mathcal { P } _ { X Y } ( F ) } { \mathcal { P } _ { X } \mathcal { P } _ { Y } ( F ) } } \end{array}
R = \sum _ { \alpha \in \Phi } c ( \alpha ) \frac { w ^ { \prime } ( \alpha ( q ) ) } { w ( \alpha ( q ) ) } e _ { \alpha } \otimes e _ { - \alpha } + \sum _ { \alpha \in \Phi } d ( \alpha ) w ( \alpha ( q ) ) h _ { \alpha } \otimes e _ { \alpha }
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l c } { \rho ( x ) \phi _ { t t } - \mu ( x ) \phi _ { t } + ( r ( x ) \phi _ { x x } ) _ { x x } - ( \kappa ( x ) \phi _ { x x t } ) _ { x x } = 0 , ~ ( x , t ) \in \Omega _ { T } , } \\ { \phi ( x , T ) = 0 , ~ \phi _ { t } ( x , T ) = 0 , ~ \qquad \qquad \quad \quad x \in ( 0 , \ell ) , } \\ { \phi ( 0 , t ) \ = 0 , ~ \phi _ { x } ( 0 , t ) = 0 , ~ \qquad \quad \quad \; \ \qquad t \in [ 0 , T ] , } \\ { \left[ r ( x ) \phi _ { x x } - \kappa ( x ) \phi _ { x x t } \right] _ { x = \ell } \quad = 0 , } \\ { \qquad \left[ \big ( - r ( x ) \phi _ { x x } + \kappa ( x ) \phi _ { x x t } \big ) _ { x } \right] _ { x = \ell } = \xi ( t ) , ~ \quad t \in [ 0 , T ] , } \end{array} \right. } \end{array}
\mathbf { P } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) = \left[ p _ { k , \sigma } ^ { ( 1 ) } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) ~ \middle | p _ { k , \sigma } ^ { ( 2 ) } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) ~ \middle | \cdots ~ \middle | p _ { k , \sigma } ^ { ( m _ { k , \sigma } ) } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \right]
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { x , y , a , b } } & { \theta + { c } ^ { 2 } ( a + b ) + } \\ & { \sum _ { j \in B } \sum _ { i \in B } \sum _ { t \in T } \lambda _ { b t } ^ { 1 } ( x _ { i j t } - 1 ) + } \\ & { \sum _ { j \in B } \sum _ { t \in T } \lambda _ { t } ^ { 2 } ( y _ { j t } - p ) } \\ { \mathrm { s . t . ~ } \ } & { \mathrm { ( 1 d ) ~ - ~ ( 1 k ) , ~ ( 1 3 c ) ~ - ~ ( 1 3 f ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } ( s _ { 1 } - s _ { 2 } ) ( t ^ { * } ) } & { \leq - ( s _ { 1 } - s _ { 2 } ) ( t ^ { * } ) ( D ( t ^ { * } ) + m ) + ( s _ { 1 } - s _ { 2 } ) ( t ^ { * } - \tau ) \frac { x _ { 2 } ( t ^ { * } ) p ( s _ { 2 } ) ( t ^ { * } ) } { ( x _ { 2 } + y _ { 2 } ) ( t ^ { * } - \tau ) } } \\ & { \quad + C _ { 0 } p ( s _ { 2 } ( t ^ { * } ) ) e ^ { - \int _ { 0 } ^ { t ^ { * } } D ( r ) \, d r } } \\ & { < - w ( t ^ { * } ) ( D ( t ^ { * } ) + m ) + w ( t ^ { * } - \tau ) \frac { x _ { 2 } ( t ^ { * } ) p ( s _ { 2 } ) ( t ^ { * } ) } { ( x _ { 2 } + y _ { 2 } ) ( t ^ { * } - \tau ) } + \frac { \varepsilon } { 2 } w ( t ^ { * } ) } \\ & { = w ( t ^ { * } ) \left( - D ( t ^ { * } ) - m + \frac { x _ { 2 } ( t ^ { * } ) p ( s _ { 2 } ) ( t ^ { * } ) } { ( x _ { 2 } + y _ { 2 } ) ( t ^ { * } ) } e ^ { \tau \varepsilon } + \frac { \varepsilon } { 2 } \right) } \\ & { < w ( t ^ { * } ) \left( - D ( t ^ { * } ) + \frac { x _ { 2 } ( t ^ { * } ) p ( s _ { 2 } ) ( t ^ { * } ) } { ( x _ { 2 } + y _ { 2 } ) ( t ^ { * } ) } - \varepsilon \right) } \\ & { = \frac { d } { d t } w ( t ^ { * } ) } \end{array}
K _ { i k } \, K _ { k j } ~ = ~ K _ { i j } ~ , ~ ~ ~ ~ t _ { 0 } ^ { k l } \, K _ { i j } ~ = ~ e ^ { \, { \frac { i } { 2 } } \, ( \, \alpha _ { i k } + \alpha _ { k j } + \alpha _ { j l } + \alpha _ { l i } \, ) \, } ~ K _ { i j } \, t _ { 0 } ^ { k l } ~ .
\begin{array} { r l } & { \mathsf { P } \biggl [ \operatorname* { s u p } _ { \tau \in [ 0 , t ] } \{ \rho _ { S } ( \theta ) \tau - S ( t - \tau , t ) \} > b \biggr ] } \\ { = } & { \mathsf { P } \Bigl [ e ^ { \theta \operatorname* { s u p } _ { \tau \in [ 0 , t ] } \{ \rho _ { S } ( \theta ) \tau - S ( t - \tau , t ) \} } > e ^ { \theta b } \Bigr ] } \\ { = } & { \mathsf { P } \biggl [ \operatorname* { s u p } _ { \tau \in [ 0 , t ] } \Bigl \{ e ^ { \theta ( \rho _ { S } ( \theta ) \tau - S ( t - \tau , t ) ) } \Bigr \} > e ^ { \theta b } \biggr ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \omega ^ { * } ) ^ { \top } x ^ { i } + \tilde { b } } & { = ( \omega ^ { * } ) ^ { \top } x ^ { i } + \Vert \omega ^ { * } \Vert \operatorname* { m a x } _ { j \in [ 1 , N ] } \Vert x ^ { j } \Vert + 1 + \delta } \\ & { \geq - \Vert \omega ^ { * } \Vert \Vert x ^ { i } \Vert + \Vert \omega ^ { * } \Vert \operatorname* { m a x } _ { j \in [ 1 , N ] } \Vert x ^ { j } \Vert + 1 + \delta } \\ & { > 1 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \binom { \alpha - 1 } { k } _ { q } + \binom { \alpha - 1 } { k - 1 } _ { q } } & { = \frac { [ \alpha - 1 ] _ { q } [ \alpha - 2 ] _ { q } \cdots [ \alpha - k ] _ { q } } { [ k ] _ { q } ! } + \frac { [ \alpha - 1 ] _ { q } [ \alpha - 2 ] _ { q } \cdots [ \alpha - k + 1 ] _ { q } } { [ k - 1 ] _ { q } ! } } \\ & { = \left( \frac { [ \alpha - k ] _ { q } } { [ \alpha ] _ { q } } + \frac { [ k ] _ { q } } { [ \alpha ] _ { q } } \right) \frac { [ \alpha ] _ { q } [ \alpha - 1 ] _ { q } \cdots [ \alpha - k + 1 ] _ { q } } { [ k ] _ { q } ! } } \\ & { = \left( \frac { ( 1 - \{ \alpha - k \} _ { q } ) + ( 1 - q ^ { k } ) } { 1 - \{ \alpha \} _ { q } } \right) \binom { \alpha } { k } _ { q } } \end{array}
\begin{array} { r l } { q } & { = \sum _ { r = 0 } ^ { m _ { n } } \operatorname* { P r } ( \tilde { { H } } _ { 1 } ^ { ( 1 ) } = r ) \operatorname* { P r } ( \tilde { { H } } _ { s + 1 } ^ { ( 1 ) } = r | \tilde { { H } } _ { 1 } ^ { ( 1 ) } = r ) } \\ & { = \sum _ { r = 0 } ^ { m _ { n } } \binom { m } { r } ( 1 - u _ { 1 } ) ^ { r } u _ { 1 } ^ { m _ { n } - r } \operatorname* { P r } ( \tilde { { H } } _ { s + 1 } ^ { ( 1 ) } = r | \tilde { { H } } _ { 1 } ^ { ( 1 ) } = r ) } \end{array}
F ^ { ( 1 ) } ( m _ { b } , 0 , \mu ) = - { \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } f ^ { 2 } } } m _ { b } ^ { 2 } \left( { \frac { 1 1 } { 3 } } + \ln { \frac { m _ { b } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } } \right) .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { ( \Pi _ { h } y _ { h } , \nabla _ { \! h } v _ { h } ) _ { \Omega } } & { = - ( \textup { d i v } \, y _ { h } , \Pi _ { h } v _ { h } ) _ { \Omega } } \\ & { = ( f _ { h } , \Pi _ { h } v _ { h } ) _ { \Omega } } \\ & { = ( \boldsymbol { \mathcal { A } } _ { h } ( \cdot , \nabla _ { \! h } u _ { h } ^ { \textit { c r } } ) , \nabla _ { \! h } v _ { h } ) _ { \Omega } } \\ & { = ( \Pi _ { h } z _ { h } ^ { \textit { r t } } , \nabla _ { \! h } v _ { h } ) _ { \Omega } \, . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { x ( j ) - x ( j - 1 ) = \int _ { j - 1 } ^ { j } x ^ { \prime } ( s ) \, \mathrm { d } { s } } & { \geq \int _ { j - 1 } ^ { j } \left( a ( s ) \cdot x ( s ) ^ { \frac { p - k } { p } } + b ( s ) \right) \, \mathrm { d } { s } } \\ & { \ge \int _ { j - 1 } ^ { j } \left( a ( j ) \cdot x ( j - 1 ) ^ { \frac { p - k } { p } } + b ( j ) \right) \, \mathrm { d } { s } \ge x _ { j } - x _ { j - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial f _ { 0 } } { \partial t } } & { { } = } & { \sum _ { m } \left[ \left( \frac { m \mu r } { \gamma q B _ { E } R _ { E } } \right) ^ { 2 } \frac { \partial } { \partial r } \left( \frac { D \tau _ { c } ^ { 2 } r ^ { 4 } } { R _ { E } ^ { 4 } } \frac { \partial f _ { 0 } } { \partial r } \right) + \left( \frac { 8 } { 2 1 } \right) ^ { 2 } \frac { r ^ { 2 } } { R _ { E } ^ { 2 } } \frac { \partial } { \partial r } \left( \frac { D r ^ { 8 } } { B _ { E } ^ { 2 } R _ { E } ^ { 4 } } \frac { \partial f _ { 0 } } { \partial r } \right) - \frac { 1 } { 3 } m ^ { 2 } \Omega _ { d } ^ { 2 } \tau _ { c } ^ { 2 } \frac { D r ^ { 9 } } { B _ { E } ^ { 2 } R _ { E } ^ { 6 } } \frac { \partial f _ { 0 } } { \partial r } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sigma ^ { ( 2 b ) } ( \omega ) = \frac { \pi ^ { 2 } } { 3 c \omega ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 6 } } \! \! \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } \ensuremath { \mathbf { q } } _ { 1 } \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } \ensuremath { \mathbf { q } } _ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } p _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } p _ { 2 } \; p _ { 1 } ^ { 2 } p _ { 2 } ^ { 2 } \phantom { x x x } } \\ { \times \left( \ensuremath { \mathbf { D } } V ( \ensuremath { \mathbf { q } } _ { 1 } , \ensuremath { \mathbf { q } } _ { 2 } ) \right) ^ { 2 } \delta ^ { \prime \prime } \! ( \omega + E _ { 0 } ^ { \mathrm { ~ H ~ F ~ } } - p _ { 1 } ^ { 2 } / 2 - p _ { 2 } ^ { 2 } / 2 - V ( \ensuremath { \mathbf { q } } _ { 1 } , \ensuremath { \mathbf { q } } _ { 2 } ) ) } \\ { \times \tilde { \rho } _ { \phi , \mathrm { ~ W ~ } } ( q _ { 1 } , p _ { 1 } ) \tilde { \rho } _ { \phi , \mathrm { ~ W ~ } } ( q _ { 2 } , p _ { 2 } ) . \; \; } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { q \to 1 } \left( \Omega _ { u } ^ { q G } \left( \Delta _ { u } ; q < 1 \right) \right) } & { { } = \operatorname* { l i m } _ { q \to 1 } \left( \Omega _ { u } ^ { q G } \left( \Delta _ { u } ; q > 1 \right) \right) } \end{array}
\int x ^ { 2 } \arcsin ( a x ) \, d x = { \frac { x ^ { 3 } \arcsin ( a x ) } { 3 } } + { \frac { \left( a ^ { 2 } x ^ { 2 } + 2 \right) { \sqrt { 1 - a ^ { 2 } x ^ { 2 } } } } { 9 \, a ^ { 3 } } } + C
Q _ { 1 1 } ^ { * } = r _ { Q } \cos { 2 \theta } , \quad Q _ { 1 2 } ^ { * } = r _ { Q } \sin { 2 \theta } ; \quad P _ { 1 } ^ { * } = r _ { P } \cos { \theta } , \quad P _ { 2 } ^ { * } = r _ { P } \sin { \theta } .