harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \frac { e ^ { i \left( n \theta + b \right) } } { n - 3 \nu _ { x } } = - \frac { \pi } { \sin { 3 \pi \nu _ { x } } } e ^ { i \left( b + 3 \nu _ { x } \left( \theta - \pi \right) \right) } ,
\begin{array} { r l } { J _ { z } } & { { } = \frac { 4 \tilde { t } ^ { 2 } } { U _ { \uparrow \downarrow } } - \frac { 4 \tilde { t } ^ { 2 } } { U _ { \uparrow \uparrow } } - \frac { 4 \tilde { t } ^ { 2 } } { U _ { \downarrow \downarrow } } } \\ { J _ { x y } } & { { } = - \frac { 4 \tilde { t } ^ { 2 } } { U _ { \uparrow \downarrow } } } \end{array}
M ^ { 2 } ( a _ { 0 0 } ( a _ { 1 2 } a _ { 5 6 } - a _ { 3 3 } a _ { 4 6 } ) + a _ { 6 9 } ( a _ { 3 3 } a _ { 4 9 } - a _ { 1 2 } a _ { 5 9 } ) ) ] = 0
\begin{array} { r l r } { { \mathcal H } } & { = } & { v _ { x } \sigma _ { x } \pi _ { x } + v _ { y } \sigma _ { y } \pi _ { y } + \left( v _ { t x } \pi _ { x } + v _ { t y } \pi _ { y } \right) I + U I + M \sigma _ { z } } \\ & { = } & { \left( \begin{array} { l l } { v _ { t x } \pi _ { x } + v _ { t y } \pi _ { y } + U + M } & { v _ { x } \pi _ { x } - i v _ { y } \pi _ { y } } \\ { v _ { x } \pi _ { x } + i v _ { y } \pi _ { y } } & { v _ { t x } \pi _ { x } + v _ { t y } \pi _ { y } + U - M } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tau _ { 5 } } & { { } = \frac { 1 } { 5 0 4 0 } \left| 5 7 8 8 f _ { i - 2 } ^ { 2 } + f _ { i - 2 } \left( - 4 5 6 8 1 f _ { i - 1 } + 6 4 8 4 3 f _ { i } - 3 8 9 4 7 f _ { i + 1 } + 8 2 0 9 f _ { i + 2 } \right) + f _ { i - 1 } \left( 9 3 4 8 3 f _ { i - 1 } \right. \right. } \end{array}
E _ { s } ^ { a } \; = \; \Pi ^ { a } \: E _ { s } \: + \: s \: \frac { \varepsilon } { 2 \mu _ { k } } \left( \Pi ^ { a } \: E _ { s } \: { \cal { B } } _ { 0 } \: E _ { \bar { s } } + E _ { \bar { s } } \: { \cal { B } } _ { 0 } \: \Pi ^ { a } \: E _ { s } \right) \: + \: { \cal { O } } ( \varepsilon ^ { 2 } )
\| \rho ( t , \cdot ) - \hat { \rho } ( t , \cdot ) \| _ { L ^ { 1 } ( ( a , b ) ) } \leq \| \rho _ { 0 } - \hat { \rho } _ { 0 } \| _ { L ^ { 1 } ( ( a - L _ { f } t , b + L _ { f } t ) ) } + 2 \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { - 1 } ^ { 1 } L _ { g } \left( \mathbb { 1 } _ { ( - 1 , - \sigma ) } \omega _ { - 1 } + \mathbb { 1 } _ { ( \sigma , 1 ) } \omega _ { 1 } \right) | \rho - \hat { \rho } | \textrm { \, d } x \textrm { \, d } s .
c _ { 1 } = \left( \frac { \sigma } { \pi } \right) ^ { 1 / 2 } \left( 1 + \frac { 2 \mu } { \pi ^ { 1 / 2 } } + . . . \right) , ~ ~ c _ { 2 } = \frac { 4 } { \pi } \left( 1 + \frac { 4 - \pi } { \pi ^ { 1 / 2 } } \mu + . . . \right) ,
\begin{array} { r l } { \rho ( t , x ) = } & { \frac { 1 } { { ( 4 \pi \beta \frac { t ( T - t ) } { T } } ) ^ { \frac { d } { 2 } } } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \frac { e ^ { - \frac { 1 } { 2 \beta } ( \frac { 1 } { 2 } \| z - x _ { 0 } \| ^ { 2 } + \frac { \| x - z \| ^ { 2 } } { 2 ( T - t ) } + \frac { \| x - y \| ^ { 2 } } { 2 t } ) } } { \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } e ^ { - \frac { 1 } { 2 \beta } ( \frac { 1 } { 2 } \| \tilde { y } - x _ { 0 } \| ^ { 2 } + \frac { \| y - \tilde { y } \| ^ { 2 } } { 2 T } ) } d \tilde { y } } \rho _ { 0 } ( y ) d y d z } \\ { = } & { \frac { 1 } { { ( 4 \pi \beta \frac { t ( T - t + 1 ) } { T + 1 } } ) ^ { \frac { d } { 2 } } } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } e ^ { - \frac { 1 } { 4 \beta \frac { t ( T - t + 1 ) } { T + 1 } } ( x - \frac { \frac { y } { t } + \frac { x _ { 0 } } { T - t + 1 } } { \frac { 1 } { t } + \frac { 1 } { T - t + 1 } } ) ^ { 2 } } \rho _ { 0 } ( y ) d y . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ i 2 k _ { 0 } \partial _ { z } + \left( \nabla _ { X _ { 2 } } ^ { 2 } - \nabla _ { X _ { 1 } } ^ { 2 } \right) + k _ { 0 } ^ { 2 } \left( \epsilon _ { 1 } ( \vec { x } _ { 2 } , z ) - \epsilon _ { 1 } ( \vec { x } _ { 1 } , z ) \right) \right] E _ { i } ( \vec { x } _ { 1 } , z , \omega ) _ { T } E _ { j } ^ { * } ( \vec { x } _ { 2 } , z , \omega ) _ { T } = } & { { } 0 , ~ i , j \in \{ X , Y \} } \end{array}
\tilde { E } _ { i } [ \eta | t ] = - \frac { 2 } { \bar { N } } \epsilon _ { i j \rho \sigma } \dot { \eta } ^ { j } ( t ) \int \delta \xi d s \, \omega ( \xi ( s ) ) E ^ { \rho } [ \xi | s ] \omega ^ { - 1 } ( \xi ( s ) ) \dot { \xi } ^ { \sigma } ( s ) \dot { \xi } ^ { - 2 } ( s ) \delta ( \xi ( s ) - \eta ( t ) ) ,
C ^ { \Lambda _ { 0 } } = ( I \otimes \mathrm { t r } ) \{ [ I \otimes \pi _ { \Lambda _ { 0 } } ( q ^ { 2 h _ { \rho } } ) ] \Gamma \} = \sum _ { s , t } \mathrm { t r } ( \pi _ { \Lambda _ { 0 } } ( q ^ { 2 h _ { \rho } } a _ { s } b _ { t } ) ) b _ { s } a _ { t }
< \overline { { { \psi } } } _ { L } ^ { ( { \cal N } ) } \ldots \overline { { { \psi } } } _ { L } ^ { ( 1 ) } \psi _ { R } ^ { ( 1 ) } \ldots \psi _ { R } ^ { ( { \cal N } ) } > = ( \frac { e ^ { \gamma } } { 4 \pi } ) ^ { \cal N } ( \sqrt { \frac { \cal N } { \pi } } e _ { c } ) ^ { \cal N } \quad .
\begin{array} { r l } & { { \mathbf c } ^ { \top } \mathbb { M } _ { 1 } \frac { \partial { \mathbf a } } { \partial t } = \int \frac { \partial { \mathbf A } _ { h } } { \partial t } \cdot { \mathbf C } \mathrm { d } { \mathbf x } } \\ & { = \int \left( - \frac { 1 } { n _ { h } } \left( { \nabla } \times ( { \nabla } \times { \mathbf A } _ { h } ) \right) \times \left( { \nabla } \times { \mathbf A } _ { h } \right) - \frac { 1 } { n _ { h } } \int ( { \mathbf A } _ { h } - { \mathbf p } ) f \mathrm { d } { \mathbf p } \times \left( { \nabla } \times { \mathbf A } _ { h } \right) \right) ^ { \top } { \mathbf C } \mathrm { d } { \mathbf x } } \\ & { = - \underbrace { \int \left( \frac { 1 } { n _ { h } } \left( { \nabla } \times ( { \nabla } \times { \mathbf A } _ { h } ) \right) \times \left( { \nabla } \times { \mathbf A } _ { h } \right) \right) ^ { \top } { \mathbf C } \mathrm { d } { \mathbf x } } _ { \mathrm { t e r m ~ 1 } } - \underbrace { \int \left( \frac { 1 } { n _ { h } } \int ( { \mathbf A } _ { h } - { \mathbf p } ) f \mathrm { d } { \mathbf p } \times \left( { \nabla } \times { \mathbf A } _ { h } \right) \right) ^ { \top } { \mathbf C } \mathrm { d } { \mathbf x } } _ { \mathrm { t e r m ~ 2 } } . } \end{array}
\Lambda = \bar { \epsilon } _ { 1 } ^ { \prime } \Gamma ^ { \mu } \theta _ { 1 } \bar { \epsilon } _ { 2 } \Gamma _ { \mu } \theta _ { 2 } - \bar { \epsilon } _ { 1 } \Gamma ^ { \mu } \theta _ { 1 } \bar { \epsilon } _ { 2 } ^ { \prime } \Gamma _ { \mu } \theta _ { 2 } .
F ^ { \mu \nu } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { - { \frac { 1 } { c } } E _ { x } } & { - { \frac { 1 } { c } } E _ { y } } & { - { \frac { 1 } { c } } E _ { z } } \\ { { \frac { 1 } { c } } E _ { x } } & { 0 } & { - B _ { z } } & { B _ { y } } \\ { { \frac { 1 } { c } } E _ { y } } & { B _ { z } } & { 0 } & { - B _ { x } } \\ { { \frac { 1 } { c } } E _ { z } } & { - B _ { y } } & { B _ { x } } & { 0 } \end{array} \right] } { \mathrm { ( S I ~ u n i t s , ~ s i g n a t u r e ~ } } ( + , - , - , - ) { \mathrm { ) } } .
\begin{array} { l l l l l l l l l l l } { C _ { c } ^ { \infty } ( U ) } & { \to } & { C _ { c } ^ { k } ( U ) } & { \to } & { C _ { c } ^ { 0 } ( U ) } & { \to } & { L _ { c } ^ { \infty } ( U ) } & { \to } & { L _ { c } ^ { p } ( U ) } & { \to } & { L _ { c } ^ { 1 } ( U ) } \\ { \downarrow } & { } & { \downarrow } & { } & { \downarrow } & { } & { } & { } & { } & { } & { } \\ { C ^ { \infty } ( U ) } & { \to } & { C ^ { k } ( U ) } & { \to } & { C ^ { 0 } ( U ) } & { } & { } & { } & { } & { } & { } \end{array}
\left( - \omega ^ { 2 } + i \omega \Gamma + \omega _ { m } ^ { 2 } - \frac { 2 \beta } { I } P _ { \mathrm { o p t } } \tau _ { 0 } [ \omega ] ( 1 + G [ \omega ] ) \right) \delta \theta [ \omega ] = \frac { 1 } { I } \left( \tau _ { \mathrm { { t h } } } [ \omega ] - 2 \beta P _ { \mathrm { o p t } } \tau _ { 0 } [ \omega ] G [ \omega ] \theta _ { n } [ \omega ] \right) ,
\begin{array} { r l r } { \Vert \varphi _ { t } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( 0 , \ell ) ) } ^ { 2 } } & { \leq } & { 2 \left( C _ { 6 } ^ { 2 } ( \exp ( T / \rho _ { 0 } ) - 1 ) + \frac { \ell ^ { 3 } } { 3 } \right) \ G ( \theta ) , } \\ { \Vert \varphi _ { x x } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( 0 , \ell ) } ^ { 2 } } & { \leq } & { \frac { T C _ { 6 } ^ { 2 } } { r _ { 0 } } \exp ( T / \rho _ { 0 } ) \ G ( \theta ) , } \\ { \Vert \varphi _ { x x t } \Vert _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( 0 , \ell ) ) } ^ { 2 } } & { \leq } & { \frac { C _ { 6 } ^ { 2 } } { 2 \kappa _ { 0 } } \exp ( T / \rho _ { 0 } ) \ G ( \theta ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbf P ^ { 1 } = A ^ { \prime } \mathbf P ^ { 1 } A + A ^ { \prime } \mathbf P ^ { d } A + Q , } \\ & { \mathbf P ^ { 2 } = - M ^ { \prime } \Upsilon ^ { - 1 } M , } \\ & { \mathbf P ^ { i } = A ^ { \prime } \mathbf P ^ { i - 1 } A , i = 3 , \cdots , d + 1 , } \\ & { \Upsilon = R + \sum _ { i = 1 } ^ { d + 1 } B ^ { \prime } \mathbf P ^ { i } B + \bar { B } ^ { \prime } \mathbf P ^ { 1 } \bar { B } > 0 , } \\ & { M = \sum _ { i = 1 } ^ { d + 1 } B ^ { \prime } \mathbf P ^ { i } A + \bar { B } ^ { \prime } \mathbf P ^ { 1 } \bar { A } } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { \lambda } ^ { - } } & { ( 0 ; \lambda ) \wedge \tilde { \mathcal { U } } ^ { - } ( 0 ; \lambda ) - u _ { \lambda } ^ { - } ( - R ; \lambda ) \wedge \tilde { \mathcal { U } } ^ { - } ( - R ; \lambda ) } \\ & { = \int _ { - R } ^ { 0 } \Big ( ( A _ { \lambda } ( x ; \lambda ) - \mu _ { - } ^ { \prime } ( \lambda ) I ) u ^ { - } ( x ; \lambda ) \Big ) \wedge \tilde { \mathcal { U } } ^ { - } ( x ; \lambda ) d x . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { d _ { E } ( \varphi x , \varphi x ^ { \prime } ) } \\ & { = d _ { C _ { n } } ( i , j ) + d _ { Y } ( F _ { \pi } ^ { - 1 } ( 1 , 2 ) \circ \dots \circ F _ { \pi } ^ { - 1 } ( i - 1 , i ) x , \theta F _ { \pi } ^ { - 1 } ( 1 , 2 ) \circ \dots \circ F _ { \pi } ^ { - 1 } ( j - 1 , j ) x ^ { \prime } ) } \\ & { = d _ { C _ { n } } ( i , j ) + d _ { Y } ( F _ { \pi } ^ { - 1 } ( 1 , 2 ) \circ \dots \circ F _ { \pi } ^ { - 1 } ( i - 1 , i ) x , F _ { \pi } ( n , 1 ) \circ \dots \circ F _ { \pi } ( j , j + 1 ) x ^ { \prime } ) } \\ & { = d _ { C _ { n } } ( i , j ) + d _ { Y } ( x , F _ { \pi } ( i - 1 , i ) \circ \dots \circ F _ { \pi } ( 1 , 2 ) \circ F _ { \pi } ( n , 1 ) \circ \dots \circ F _ { \pi } ( j , j + 1 ) x ^ { \prime } ) } \\ & { = d _ { X } ( x , x ^ { \prime } ) . } \end{array}
{ } [ \, { \bf T } _ { \Lambda } , { \bf T } _ { \Sigma } \, \} \equiv { \bf T } _ { \Lambda } { \bf T } _ { \Sigma } \mp { \bf T } _ { \Sigma } { \bf T } _ { \Lambda } = f _ { \Lambda \Sigma } { } ^ { \Delta } { \bf T } _ { \Delta } \, ,
\exp \left\{ - \frac { 1 } { 2 } \Bigl [ \tau ^ { \prime } - \tau - ( \bar { \theta } ^ { \prime } - \bar { \theta } ) \theta + \bar { \theta } ( \theta ^ { \prime } - \theta ) \Bigr ] ^ { 2 } + ( \theta ^ { \prime } - \theta ) ( \bar { \theta } ^ { \prime } - \bar { \theta } ) \right\} .
\begin{array} { r l } { \mu = } & { 1 \! - e ^ { \! - \sqrt [ \gamma ] { \frac { 1 } { n ( n \! - 1 ) } \sum _ { i , j = 1 \atop i \neq j } ^ { n } \left[ \! - \log \left( 1 \! - \overline { { \eta } } _ { 2 } \right) \right] ^ { \gamma } } } , } \\ { \eta = } & { e ^ { \! - \sqrt [ \gamma ] { \frac { 1 } { n ( n \! - 1 ) } \sum _ { i , j = 1 \atop i \neq j } ^ { n } \left[ \! - \log \left( \overline { { \eta } } _ { 1 } \! - \overline { { \eta } } _ { 2 } \! + 1 \! - \overline { { \eta } } _ { 3 } \right) \right] ^ { \gamma } } } } \\ & { \quad \! - e ^ { \! - \sqrt [ \gamma ] { \frac { 1 } { n ( n \! - 1 ) } \sum _ { i , j = 1 \atop i \neq j } ^ { n } \left[ \! - \log \left( 1 \! - \overline { { \eta } } _ { 3 } \right) \right] ^ { \gamma } } } , } \\ { \nu = } & { e ^ { \! - \sqrt [ \gamma ] { \frac { 1 } { n ( n \! - 1 ) } \sum _ { i , j = 1 \atop i \neq j } ^ { n } \left[ \! - \log \left( 1 \! - \overline { { \eta } } _ { 3 } \right) \right] ^ { \gamma } } } , } \end{array}
u _ { 3 } ^ { ( g v K P ) } = \frac { 6 e ^ { - \frac { t ^ { 2 } } { 2 } } } { 1 + \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ h ~ } ( 4 e ^ { - \frac { t ^ { 2 } } { 2 } + x + \sqrt { 3 } y } ) } .
\begin{array} { r l } { y _ { i } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \mathrm { l o g } \left( \frac { \delta _ { 1 } + E _ { i } + p _ { \| i } } { \delta _ { 1 } + E _ { i } - p _ { \| , i } } \right) , } \\ { E _ { \perp , i } } & { { } = \sqrt { m _ { i } ^ { 2 } + p _ { \perp , i } ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \eta _ { \pm 1 } } & { = } & { \left( 2 \nu \textrm { s i n c \, } { \Phi } \left[ \cos ( \xi _ { \mathsf { S } } + \varphi _ { 0 } / 2 ) \cos \Phi - \xi _ { \mathsf { G } } \sin ( \xi _ { S } + \varphi _ { 0 } / 2 ) \textrm { s i n c \, } { \Phi } \right] \right) ^ { 2 } } \\ { \nu } & { = } & { \frac { \beta n _ { \pm 1 } d _ { \mathsf { G } } } { 2 n _ { 0 } \sqrt { c _ { 0 } c _ { \pm 1 } } } } \\ { \xi _ { \ell } } & { = } & { \frac { d _ { \ell } \beta ( c _ { 0 } - c _ { \pm 1 } ) } { 2 } ; \ell = \mathsf { G , S } } \\ { \Phi } & { = } & { \sqrt { \nu ^ { 2 } + \xi _ { \mathsf { G } } ^ { 2 } } } \\ { c _ { 0 } } & { = } & { \cos ( \theta ) , \quad c _ { \mp 1 } = \sqrt { 1 - ( \sin \theta \pm G / \beta ) ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { l } } & { = D _ { l } \varphi _ { l } + M _ { l } ^ { - 1 } t _ { l , R } \left( \frac { 1 } { 2 } ( 1 - \sqrt { T _ { r } } c _ { 1 , R } ) ( t _ { r , L } ^ { T } \varphi _ { r } - t _ { l , R } ^ { T } \varphi _ { l } ) + \frac { \sqrt { T _ { r } } } { 2 } c _ { 2 , R } ( t _ { r , L } ^ { T } D _ { r } \varphi _ { r } - t _ { l , R } ^ { T } D _ { l } \varphi _ { l } ) \right) + S T _ { l , L } , } \\ { q _ { r } } & { = D _ { r } \varphi _ { r } + M _ { r } ^ { - 1 } t _ { r , L } \left( \frac { 1 } { 2 } ( 1 + \sqrt { T _ { r } } c _ { 1 , L } ) ( t _ { r , L } ^ { T } \varphi _ { r } - t _ { l , R } ^ { T } \varphi _ { l } ) - \frac { \sqrt { T _ { r } } } { 2 } c _ { 2 , L } ( t _ { r , L } ^ { T } D _ { r } \varphi _ { r } - t _ { l , R } ^ { T } D _ { l } \varphi _ { l } ) \right) + S T _ { r , R } . } \end{array}
\langle A _ { Y } \rangle ^ { 2 } = { \frac { 2 \langle A _ { X } \rangle ^ { 2 } } { ( 6 4 \pi ^ { 2 } ) ^ { 2 } ( \lambda _ { X } / r ^ { 2 } ) \langle A _ { X } \rangle ^ { 4 } / \Lambda ^ { 8 } - 3 } }
W _ { T } = T ( A _ { \eta } \eta \overline { { { \eta } } } + A _ { \xi } \xi \overline { { { \xi } } } + A _ { \zeta } \zeta \overline { { { \zeta } } } + A _ { \chi } \chi \overline { { { \chi } } } + A _ { \omega } \omega \overline { { { \omega } } } ) + P ( I , S , T )
\phi \frac { \partial S _ { \alpha } } { \partial t } + S _ { \alpha } \left( b \frac { \partial \epsilon _ { k k } } { \partial t } + \frac { 1 } { M } \frac { \partial p } { \partial t } \right) + \nabla \cdot \mathbf { q } _ { \alpha } = 0 ,
\begin{array} { r l } { \Theta } & { ( { j , k } ; \theta , 2 n + 1 ) } \\ & { : = \operatorname* { i n f } \left\{ \sum _ { i } \nu _ { i } ^ { \theta } ; \nu \in \mathcal { M } _ { j , k } ^ { c } ( S ^ { 2 n + 1 } ) , \mathrm { s u p p } ( \nu ) = \{ x _ { i } \} \subset S ^ { 2 n + 1 } , \nu _ { i } = \nu ( x _ { i } ) \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial M _ { x ^ { \prime } } } { \partial t } } & { { } = } & { \frac { - M _ { x ^ { \prime } } } { T _ { 2 } } - \left[ \left( \gamma \textbf { B } + \omega \hat { z } \right) \times \textbf { M } \right] _ { x ^ { \prime } } , } \\ { \frac { \partial M _ { y ^ { \prime } } } { \partial t } } & { { } = } & { \frac { - M _ { y ^ { \prime } } } { T _ { 2 } } - \left[ \left( \gamma \textbf { B } + \omega \hat { z } \right) \times \textbf { M } \right] _ { y ^ { \prime } } , } \\ { \frac { \partial M _ { z } } { \partial t } } & { { } = } & { \frac { - M _ { z } } { T _ { 1 } } - \left[ \left( \gamma \textbf { B } + \omega \hat { z } \right) \times \textbf { M } \right] _ { z } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { F ^ { ( 3 ) } [ - A _ { 0 } , - A _ { 1 } , \delta _ { v } , n _ { 1 } , n _ { 2 } , l ] = F ^ { ( 3 ) } [ A _ { 0 } , A _ { 1 } , \delta _ { v } , n _ { 1 } , n _ { 2 } , - l ] } \\ & { = F ^ { ( 3 ) } [ A _ { 0 } , ( - ) ^ { n _ { 1 } + 1 } A _ { 1 } , ( - ) ^ { n _ { 2 } } \delta _ { v } , n _ { 1 } , n _ { 2 } , l ] ( - ) ^ { l } . } \end{array}
\sum _ { k } \epsilon _ { k } \delta n _ { k } = { \frac { 2 } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } \int d ^ { 2 } { \hat { k } } \int _ { p _ { \mathrm { { F } } } } ^ { p _ { \mathrm { { F } } } ^ { \prime } ( { \hat { k } } ) } v _ { \mathrm { { F } } } ( p ^ { \prime } - p _ { \mathrm { { F } } } ) p ^ { 2 } d p ^ { \prime } = { \frac { p _ { \mathrm { { F } } } ^ { 2 } v _ { \mathrm { { F } } } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } \sum _ { l m } ( \delta \phi _ { l m } ) ^ { 2 } { \frac { 4 \pi } { 2 l + 1 } } { \frac { ( l + m ) ! } { ( l - m ) ! } }
\frac { G } { m \Omega ^ { 2 } } = \frac { 1 } { \pi \varepsilon _ { 0 } } \left( \frac { k _ { 0 } ^ { 2 } w _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } - 1 \right) ^ { 2 } \alpha k _ { 0 } ^ { 3 } .
\begin{array} { r l } { \bar { U } _ { n } ^ { [ 1 ] } } & { = R _ { n } ^ { [ 1 ] } \hat { Y } _ { n } ^ { [ 1 ] } } \\ & { = \left( \left[ \begin{array} { l l l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right] + \alpha _ { n } ^ { \ell } \bar { Z } ^ { [ 1 ] } \right) \left[ \begin{array} { l } { U _ { n } ^ { [ 2 , 1 ] } } \\ { 0 } \\ { U _ { n } ^ { [ 4 , 1 ] } } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right] } \\ & { = \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { U _ { n } ^ { [ 2 , 1 ] } } \\ { 0 } \\ { U _ { n } ^ { [ 4 , 1 ] } } \\ { 0 } \end{array} \right] + P _ { \alpha _ { n } } ( \ell ) = \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { \sum _ { i = 1 } ^ { \ell } \frac { 1 } { \alpha _ { n } ^ { i } } \Delta _ { i } ^ { [ 2 , 1 ] } } \\ { 0 } \\ { \sum _ { i = 1 } ^ { \ell } \frac { 1 } { \alpha _ { n } ^ { i } } \Delta _ { i } ^ { [ 4 , 1 ] } } \\ { 0 } \end{array} \right] + P _ { \alpha _ { n } } ( \ell ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \frac { \varepsilon _ { \mathrm { i n } } } { \varepsilon _ { \mathrm { o u t } } } \bigg ( \frac { k _ { x } k _ { y } } { \gamma } E _ { x } + \frac { k _ { y } ^ { 2 } } { \gamma } E _ { y } \bigg ) + \gamma E _ { y } } & { = \mathrm { i } \omega \mu _ { 0 } H _ { x } } \\ { - \gamma E _ { x } + \frac { \varepsilon _ { \mathrm { i n } } } { \varepsilon _ { \mathrm { o u t } } } \bigg ( \frac { k _ { x } ^ { 2 } } { \gamma } E _ { x } + \frac { k _ { x } k _ { y } } { \gamma } E _ { y } \bigg ) } & { = \mathrm { i } \omega \mu _ { 0 } H _ { y } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left[ \| \mathsf { h } _ { I _ { \ell } } ( u ) - \mathsf { h } _ { I _ { \ell } } ( u ^ { \prime } ) - \mathsf { h } ( u ) + \mathsf { h } ( u ^ { \prime } ) \| ^ { 2 } \right] } \\ & { = \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathbb { E } \left[ \| \mathsf { h } _ { i } ( u ) - \mathsf { h } _ { i } ( u ^ { \prime } ) \| ^ { 2 } \right] - \| \mathsf { h } ( u ) - \mathsf { h } ( u ^ { \prime } ) \| ^ { 2 } } \\ & { \qquad \leq \| u - u ^ { \prime } \| ^ { 2 } \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } L _ { i } ^ { 2 } - \| \mathsf { h } ( u ) - \mathsf { h } ( u ^ { \prime } ) \| ^ { 2 } \; . } \end{array}
\mathrm { ο π ό τ ε ~ } f ( x ) = f _ { 1 } ( x ) + \mathrm { i } f _ { 2 } ( x ) = f _ { 1 } ( x ) + \displaystyle \sum _ { k = 1 } ^ { \nu } \frac { \alpha _ { k } } { 2 \pi } \mathfrak { g } _ { k } ( x ) + \mathrm { i } f _ { 2 } ( x ) + \mathrm { i } \sum _ { k = 1 } ^ { \nu } \frac { \beta _ { k } } { 2 \pi } \mathfrak { g } _ { k } ( x ) - \widehat { \mathfrak { g } } ( x ) .
\begin{array} { r l } { \ell _ { * } S = } & { \ell _ { * } i _ { 1 * } s ( Z _ { 1 } , \mathbb { P } ^ { 1 5 } ) + \ell _ { * } i _ { 2 * } s ( Z _ { 2 } , \mathbb { P } ^ { 1 5 } ) } \\ { = } & { \ell _ { 1 * } s ( Z _ { 1 } , \mathbb { P } ^ { 1 5 } ) + \ell _ { 2 * } s ( Z _ { 2 } , \mathbb { P } ^ { 1 5 } ) } \\ { = } & { \ell _ { 1 * } s ( Z _ { 1 } , \mathbb { P } ^ { 1 5 } ) + \ell _ { 1 * } s ( Z _ { 1 } , \mathbb { P } ^ { 1 5 } ) } \\ { = } & { 2 \ell _ { 1 * } s ( Z _ { 1 } , \mathbb { P } ^ { 1 5 } ) , } \end{array}
\frac { { \dot { \lambda } } _ { g } } { \lambda _ { g } } + \frac { { 3 \dot { T } } } { T } + \frac { 1 } { \tau } = R _ { 3 } ( 1 - \lambda _ { g } ) - 2 R _ { 2 } ( 1 - \frac { \lambda _ { Q } \lambda _ { \bar { Q } } } { \lambda _ { g } ^ { 2 } } ) ,
A _ { C P } ^ { d i r e c t } ( B _ { d } ^ { 0 } \to f ) \equiv \frac { 1 - | \xi _ { f } | ^ { 2 } } { 1 + | \xi _ { f } | ^ { 2 } } = \frac { 1 - | \mu _ { f } | ^ { 2 } } { 1 + | \mu _ { f } | ^ { 2 } } \, ,
a _ { 1 } ^ { \prime } = a _ { 1 } + { \frac { 2 } { g ^ { \prime } } } { \frac { \partial \Gamma _ { 0 } } { \partial \rho } } \ , \quad a _ { 2 } ^ { \prime } = a _ { 2 } + { \frac { 2 } { g ^ { \prime } } } { \frac { \partial \Gamma _ { 0 } } { \partial z } } \ , \quad a _ { 3 } ^ { \prime } = a _ { 3 } \ ,
A = \sum _ { i j } \int g _ { i } g _ { j } W _ { i j } e ^ { - E _ { i } / T } e ^ { - E _ { j } / T } \frac { d ^ { 3 } p _ { i } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } 2 E _ { i } } \frac { d ^ { 3 } p _ { j } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } 2 E _ { j } } ,
\begin{array} { r l r } { \Delta g _ { \mathrm { i n t } } } & { { } = } & { \Delta g _ { \mathrm { i n t } } ^ { ( 0 ) } + \Delta g _ { \mathrm { i n t } } ^ { ( 1 ) } + \Delta g _ { \mathrm { i n t } } ^ { ( 2 ) } + \Delta g _ { \mathrm { i n t } } ^ { ( 3 + ) } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { A } } & { { } = A ^ { n } \boldsymbol { e } - \Delta t \, \tilde { \mathcal { A } } \, \partial _ { x } ( \boldsymbol { A u } ) } \\ { \boldsymbol { A u } } & { { } = ( A u ) ^ { n } \boldsymbol { e } - \Delta t \, \tilde { \mathcal { A } } \, \partial _ { x } \left( \boldsymbol { A u ^ { 2 } } \right) - \Delta t \, \tilde { \mathcal { A } } \, \frac { \boldsymbol { A } } { \rho } \partial _ { x } \boldsymbol { p } } \\ { \boldsymbol { p } } & { { } = p ^ { n } \boldsymbol { e } - \Delta t \, \mathcal { A } \, E _ { 0 } \boldsymbol { G } ( \boldsymbol { A } ) \partial _ { x } ( \boldsymbol { A u } ) - \frac { \Delta t \, \mathcal { A } } { \tau _ { r } } \left( \boldsymbol { p } - \boldsymbol { F } ( \boldsymbol { A } ) \right) } \end{array}
G \equiv \operatorname* { l i m } _ { t \to + \infty } \frac { \alpha _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } ^ { - } ( t ) } { \alpha _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ( t ) } = \frac { \mathcal { A } [ \alpha _ { s s } ] } { \alpha _ { s s } } = \frac { 1 } { \sqrt { \eta } } .
| | { \textbf { a } } | | \leq | | { \textbf { a } } - { \tilde { \textbf { x } } } _ { k _ { j } } | | + | | { \tilde { \textbf { x } } } _ { k _ { j } } | | \leq \beta \cdot | | { \textbf { a } } - { \tilde { \textbf { x } } } _ { k _ { j } } | | _ { 2 } + { \frac { | | { \textbf { x } } _ { k _ { j } } | | } { | | { \textbf { x } } _ { k _ { j } } | | _ { 2 } } } \ { \overset { j \to \infty } { \to } } \ 0
\begin{array} { r l r } { \left( d ^ { \omega } \right) ^ { \ast } \left( T ^ { \left( A s , \omega \right) } \right) } & { = } & { 0 } \\ { \left\Vert \xi _ { \left( s , \omega \right) } \right\Vert _ { W ^ { k , r } } } & { < } & { \zeta } \\ { \left\Vert \xi _ { \left( s , \omega \right) } \right\Vert _ { W ^ { k , r } } } & { \leq } & { 2 \beta N \left\Vert T ^ { \left( s , \omega \right) } \right\Vert _ { W ^ { \left( k - 1 \right) , r } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { r _ { 0 } \to - \infty } } & { \Psi _ { P } ^ { \mathbb { P } ^ { 1 } } = q _ { + } e ^ { i Y } = q _ { + } \Psi _ { + } } \\ { \operatorname* { l i m } _ { r _ { 0 } \to + \infty } } & { \Psi _ { P } ^ { \mathbb { P } ^ { 1 } } = q _ { - } e ^ { - i Y } = q _ { - } \Psi _ { - } . } \end{array}
\begin{array} { c } { { \left\{ M _ { 1 } , M _ { 2 } \right\} = a M _ { 1 } M _ { 2 } - M _ { 1 } M _ { 2 } a , } } \\ { { a = \frac 1 2 \left( r - r ^ { * } \right) . } } \end{array}
F _ { B } ^ { ( 2 ) } [ \{ b \} _ { r } , \{ b ^ { \prime } \} _ { s } ; \{ d \} _ { t } ; c ; x , y ] \ = \, s u m _ { m = 0 } ^ { \infty } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { ( b _ { 1 } ) _ { m } . . . ( b _ { r } ) _ { m } ( b _ { 1 } ^ { \prime } ) _ { n } . . . ( b _ { s } ^ { \prime } ) _ { n } } { ( d _ { 1 } ) _ { m } . . . ( d _ { t } ) _ { m } \ ( c ) _ { m + n } } \ \frac { x ^ { m } } { m ! } \frac { y ^ { n } } { n ! }