harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { R ( N , i ) } & { \leq N \sum _ { k = 2 } ^ { \infty } k \mathbb { P } ( \mathcal { A } _ { k } ^ { N } ) \int _ { 0 } ^ { \infty } \omega e ^ { \lambda _ { 1 } ( t _ { N } - s ) } \left( \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { ( 1 - y ) y ^ { i - 1 } } { 1 - d _ { 1 } y / b _ { 1 } } d y \right) f _ { T _ { N } ^ { k } } ( s ) d s } \\ & { \leq \omega \frac { b _ { 1 } } { \lambda _ { 1 } } N ^ { 1 + \lambda _ { 1 } t } \sum _ { k = 2 } ^ { \infty } k \mathbb { P } ( \mathcal { A } _ { k } ^ { N } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( x _ { 0 } , t _ { 0 } ; S , - T ^ { - } , T ^ { + } ) : = } & { B _ { t _ { 0 } } ( x _ { 0 } , S ) \times \left( [ t _ { 0 } - T ^ { - } , t _ { 0 } + T ^ { + } ] \cap ( - \infty , 1 ) \right) } \\ { Q ( x _ { 0 } , t _ { 0 } ; S , - T ^ { - } , T ^ { + } ) : = } & { \left\{ d _ { t } ( x , x _ { 0 } ) \le S , \, t \in [ t _ { 0 } - T ^ { - } , t _ { 0 } + T ^ { + } ] \cap ( - \infty , 1 ) \right\} } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \Pi } _ { \mathrm { ~ b ~ u ~ r ~ n ~ } } = \left\{ \begin{array} { l l } { \hat { \Pi } _ { \mathrm { ~ b ~ u ~ r ~ n ~ } , \mathrm { ~ l ~ o ~ w ~ } } = \hat { \Pi } _ { \mathrm { ~ b ~ u ~ r ~ n ~ } , 0 } , \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \mathbf { x } > \mathbf { x } _ { \mathcal { R } } , } \\ { \hat { \Pi } _ { \mathrm { ~ b ~ u ~ r ~ n ~ } , \mathrm { ~ h ~ i ~ g ~ h ~ } } = 1 0 \hat { \Pi } _ { \mathrm { ~ b ~ u ~ r ~ n ~ } , 0 } , \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \mathbf { x } \le \mathbf { x } _ { \mathcal { R } } , } \end{array} \right. } \end{array}
f _ { \mathrm { ~ I ~ } , 1 2 } ( \theta , n ) = f _ { \mathrm { ~ I ~ } , 2 1 } ( \theta , n ) = \frac { n } { 2 } \left\{ \left( \frac { n } { 2 } - 1 \right) \sin \left( \left( \frac { n } { 2 } - 3 \right) \theta \right) - \left[ \frac { n } { 2 } + ( - 1 ) ^ { n } \right] \sin \left( \left( \frac { n } { 2 } - 1 \right) \theta \right) \right\}
\begin{array} { r l r } { \left\vert U _ { t \xi } ^ { \left( s \right) } \nabla ^ { k } \theta _ { A \left( t \right) s } \right\vert } & { \leq } & { e ^ { C t \left\vert \xi \right\vert } \left\vert \nabla ^ { k } \theta _ { s } \right\vert } \\ { \left\vert \left( U _ { t \xi } ^ { \left( s \right) } \int _ { 0 } ^ { t } \left( U _ { \tau \xi } ^ { \left( s \right) } \right) ^ { - 1 } d \tau \right) \nabla ^ { k } d \xi \right\vert } & { \leq } & { t e ^ { C t \left\vert \xi \right\vert } \left\vert \nabla ^ { k } d \xi \right\vert } \end{array}
{ \begin{array} { l } { \mathbf { f u n c t i o n } \; { \mathrm { C l a s s } } ( \phi , \, n ) } \\ { \quad { \begin{array} { r l } { \mathbf { i n p u t } \! : \; \, } & { \phi { \mathrm { ~ i s ~ a ~ t r a n s f o r m e d ~ f o r m u l a ~ o f ~ t h e ~ f o r m ~ } } \phi ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } , Y _ { 1 } , \ldots , Y _ { m } ) ; } \\ & { n { \mathrm { ~ s p e c i f i e s ~ t h a t ~ a ~ c l a s s ~ o f ~ } } n { \mathrm { - t u p l e s ~ i s ~ r e t u r n e d . } } } \\ { \; \; \; \; \mathbf { o u t p u t } \! : \; \, } & { { \mathrm { c l a s s ~ } } A { \mathrm { ~ o f ~ } } n { \mathrm { - t u p l e s ~ s a t i s f y i n g ~ } } } \\ & { \, \forall x _ { 1 } \cdots \, \forall x _ { n } [ ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) \in A \iff \phi ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } , Y _ { 1 } , \ldots , Y _ { m } ) ] . } \end{array} } } \\ { \mathbf { b e g i n } } \\ { \quad \mathbf { c a s e } \; \phi \; \mathbf { o f } } \\ { \qquad { \begin{array} { r l r l } { { 2 } x _ { i } \in x _ { j } : \; \; } & { \mathbf { r e t u r n } \; \, E _ { i , j , n } ; } & & { { \mathrm { / / ~ } } E _ { i , j , n } \; \, = \{ ( x _ { 1 } , \dots , x _ { n } ) : x _ { i } \in x _ { j } \} } \\ { x _ { i } \in Y _ { k } : \; \; } & { \mathbf { r e t u r n } \; \, E _ { i , Y _ { k } , n } ; } & & { { \mathrm { / / ~ } } E _ { i , Y _ { k } , n } = \{ ( x _ { 1 } , \dots , x _ { n } ) : x _ { i } \in Y _ { k } \} } \\ { \neg \psi : \; \; } & { \mathbf { r e t u r n } \; \, \complement _ { V ^ { n } } { \mathrm { C l a s s } } ( \psi , \, n ) ; } & & { { \mathrm { / / ~ } } \complement _ { V ^ { n } } { \mathrm { C l a s s } } ( \psi , \, n ) = V ^ { n } \setminus { \mathrm { C l a s s } } ( \psi , \, n ) } \\ { \psi _ { 1 } \land \psi _ { 2 } : \; \; } & { \mathbf { r e t u r n } \; \, { \mathrm { C l a s s } } ( \psi _ { 1 } , \, n ) \cap { \mathrm { C l a s s } } ( \psi _ { 2 } , \, n ) ; } & & { } \\ { \; \; \; \; \, \exists x _ { n + 1 } ( \psi ) : \; \; } & { \mathbf { r e t u r n } \; \, D o m ( { \mathrm { C l a s s } } ( \psi , \, n + 1 ) ) ; } & & { { \mathrm { / / ~ } } x _ { n + 1 } { \mathrm { ~ i s ~ f r e e ~ i n ~ } } \psi ; { \mathrm { ~ C l a s s } } ( \psi , \, n + 1 ) } \\ & { \ } & & { { \mathrm { / / ~ r e t u r n s ~ a ~ c l a s s ~ o f ~ } } ( n + 1 ) { \mathrm { - t u p l e s } } } \end{array} } } \\ { \quad \mathbf { e n d } } \\ { \mathbf { e n d } } \end{array} }
C F _ { X } = \frac { i } { m _ { \rho } ^ { 2 } - q ^ { 2 } } \, f _ { \rho } f _ { \rho } ^ { T } m _ { \rho } ^ { 3 } \left[ q _ { \nu } ( q _ { \kappa } g _ { \lambda \beta } - q _ { \lambda } g _ { \kappa \beta } ) ( X _ { + } ^ { ( 1 ) } + X _ { - } ^ { ( 1 ) } ) + q _ { \beta } ( q _ { \lambda \nu } - q _ { \lambda } g _ { \kappa \nu } ) ( X _ { + } ^ { ( 1 ) } - X _ { - } ^ { ( 1 ) } ) \right] ,
\begin{array} { r l } { \alpha _ { m } ( C ; \, \varphi ^ { 1 } , \dots , \varphi ^ { m } ) ( \mathbf { t } ) : = } & { \bigcirc _ { T } \left( \mathbf { e } ^ { | b | } , \varphi _ { S _ { 1 } } ^ { 1 } \left( \rho _ { 1 } \left( \mathbf { t } ^ { 1 } \right) \right) , \dots , \varphi _ { S _ { m } } ^ { m } \left( \rho _ { m } \left( \mathbf { t } ^ { m } \right) \right) \right) } \\ { : = } & { \bigcirc _ { T ( C , \mathbf { t } ) } \left( \mathbf { e } ^ { | b ( C ) | } , \varphi _ { S _ { 1 } ( C , \mathbf { t } ) } ^ { 1 } \left( \rho _ { 1 } ( C ) \left( \mathbf { t } ^ { C , 1 } \right) \right) , \dots , \varphi _ { S _ { m } ( C , \mathbf { t } ) } ^ { m } \left( \rho _ { m } ( C ) \left( \mathbf { t } ^ { C , m } \right) \right) \right) . } \end{array}
[ W ] = \sigma _ { * } \left( 1 1 S + \left( { \frac { 1 1 } { 2 } } r + 1 8 \right) E \right) + ( 9 6 - \sum _ { i } \kappa _ { i } ^ { 2 } ) ( F - N ) + ( 3 8 - \sum _ { i } \kappa _ { i } ^ { 2 } ) N .
\begin{array} { r l } { \| \mathrm { e } ^ { 2 u _ { l } } \alpha _ { l } - \mathrm { e } ^ { 2 u _ { \infty } } \alpha _ { \infty } \| _ { L ^ { 2 } ( M , \bar { g } ) } } & { \le \| \mathrm { e } ^ { 2 u _ { l } } ( \alpha _ { l } - \alpha _ { \infty } ) \| _ { L ^ { 2 } ( M , \bar { g } ) } + \| \alpha _ { \infty } ( \mathrm { e } ^ { 2 u _ { l } } - \mathrm { e } ^ { 2 u _ { \infty } } ) \| _ { L ^ { 2 } ( M , \bar { g } ) } } \\ & { \le \| \mathrm { e } ^ { 2 u _ { l } } \| _ { L ^ { \infty } ( M , \bar { g } ) } | \alpha _ { l } - \alpha _ { \infty } | A ^ { \frac 1 2 } + | \alpha _ { \infty } | \| \mathrm { e } ^ { 2 u _ { l } } - \mathrm { e } ^ { 2 u _ { \infty } } \| _ { L ^ { 2 } ( M , \bar { g } ) } } \\ & { \to 0 \quad \mathrm { f o r ~ } l \to \infty . } \end{array}
V ^ { i } = C ^ { i } p ^ { i } + V _ { \mathrm { { r e f 0 } } } ^ { i } \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad i \in \{ \mathrm { a r t , P } ; \ \mathrm { a r t , S } ; \ \mathrm { v e n , S } \} .
\begin{array} { r l } { \left. \frac { \partial e _ { x } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } } { \partial x } \right| _ { x \to x _ { i } ^ { + } } } & { { } = - 6 \frac { \phi ^ { i + 1 , j , k } - \phi ^ { i , j , k } } { \Delta x ^ { 2 } } - 2 \frac { e _ { x } ^ { i + 1 , j , k } + 2 e _ { x } ^ { i , j , k } } { \Delta x } , } \\ { \left. \frac { \partial e _ { x } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } } { \partial x } \right| _ { x \to x _ { i } ^ { - } } } & { { } = - 6 \frac { \phi ^ { i - 1 , j , k } - \phi ^ { i , j , k } } { \Delta x ^ { 2 } } + 2 \frac { e _ { x } ^ { i - 1 , j , k } + 2 e _ { x } ^ { i , j , k } } { \Delta x } , } \end{array}
\operatorname * { d e t } ( \theta ^ { a } \tilde { \theta } _ { b } ) = ( \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } ) ^ { { \cal N } } ( { \cal N } + 1 ) ! \, \displaystyle { \prod _ { a = 1 } ^ { { \cal N } } \theta ^ { a } \tilde { \theta } _ { a } } \, .
H _ { \nu } ^ { N S I } = \sqrt { 2 } G _ { F } \left( n _ { u } + n _ { d } \right) \left( \begin{array} { l l } { - \epsilon _ { D } } & { \epsilon _ { N } } \\ { \epsilon _ { N } ^ { * } } & { \epsilon _ { D } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { 0 } & { \in a _ { ( n - 2 ) ( n - 2 ) } b _ { ( n - 2 ) ( n - 1 ) } + a _ { ( n - 2 ) ( n - 1 ) } b _ { ( n - 1 ) ( n - 1 ) } + a _ { ( n - 2 ) n } b _ { n ( n - 1 ) } \mathrm { ~ a n d ~ } } \\ { 0 } & { \in a _ { ( n - 2 ) ( n - 2 ) } b _ { ( n - 2 ) n } + a _ { ( n - 2 ) ( n - 1 ) } b _ { ( n - 1 ) n } + a _ { ( n - 2 ) n } b _ { n n } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { p } } & { { } = { \frac { \partial G _ { 2 } } { \partial \mathbf { q } } } } \\ { \mathbf { Q } } & { { } = { \frac { \partial G _ { 2 } } { \partial \mathbf { P } } } } \\ { K } & { { } = H + { \frac { \partial G _ { 2 } } { \partial t } } } \end{array}
{ \cal L } _ { b u l k } = M ^ { 3 } \left\{ - \frac { 1 } { 2 } K ( \chi ) ( \partial _ { y } \chi ) ^ { 2 } - V ( \chi ) + \sum _ { \vec { n } } \frac { a _ { \vec { n } } ( \chi ) } { M ^ { | n | } } ( \partial \chi ) ^ { n _ { 1 } } . . . ( \partial ^ { N } \chi ) ^ { n _ { N } } \right\} ,
\left[ \begin{array} { l } { f _ { \partial } } \\ { e _ { \partial } } \end{array} \right] = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left[ \begin{array} { l } { \mathcal { L } _ { 2 } x _ { 2 } ( L ) - \mathcal { L } _ { 2 } x _ { 2 } ( 0 ) } \\ { - \mathcal { L } _ { 1 } x _ { 1 } ( L ) + \mathcal { L } _ { 1 } x _ { 1 } ( 0 ) } \\ { \mathcal { L } _ { 1 } x _ { 1 } ( L ) + \mathcal { L } _ { 1 } x _ { 1 } ( 0 ) } \\ { \mathcal { L } _ { 2 } x _ { 2 } ( L ) + \mathcal { L } _ { 2 } x _ { 2 } ( 0 ) } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { P _ { \textrm { a v a } } ( \epsilon , \eta , h = 0 ; J _ { i } , N ) } & { { } = \left( \frac { 1 } { 1 + e ^ { - \epsilon } } \right) ^ { N } \left( 1 - \left( \frac { 1 } { 1 + e ^ { - \epsilon } } \right) ^ { N } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial \mathcal { K } } { \partial t } + \overline { { u } } _ { j } \frac { \partial \mathcal { K } } { \partial x _ { j } } } & { { } = } & { \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left( ( \nu + \frac { \nu _ { T } } { \sigma _ { \mathcal { K } } } ) \frac { \partial \mathcal { K } } { \partial x _ { j } } \right) + \mathcal { P } - \varepsilon } \\ { \frac { \partial \varepsilon } { \partial t } + \overline { { u } } _ { j } \frac { \partial \varepsilon } { \partial x _ { j } } } & { { } = } & { \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left( ( \nu + \frac { \nu _ { T } } { \sigma _ { \mathcal { \varepsilon } } } ) \frac { \partial \varepsilon } { \partial x _ { j } } \right) + C _ { \varepsilon 1 } \frac { \varepsilon } { \mathcal { K } } \mathcal { P } - C _ { \varepsilon 2 } \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { \mathcal { K } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \dot { x } } & { = } & { x \left( g ( x ) - g ( x ^ { * } ) - q _ { 1 } ( y _ { 1 } - y _ { 1 } ^ { * } ) - q _ { 2 } ( y _ { 2 } - y _ { 2 } ^ { * } ) - \hdots - q _ { n } ( y _ { n } - y _ { n } ^ { * } ) \right) , } \\ { \dot { y } _ { 1 } } & { = } & { y _ { 1 } \left( c _ { 1 } q _ { 1 } ( x - x ^ { * } ) - m _ { 1 1 } ( y _ { 1 } - y _ { 1 } ^ { * } ) - m _ { 1 2 } ( y _ { 2 } - y _ { 2 } ^ { * } ) - \hdots - m _ { 1 n } ( y _ { n } - y _ { n } ^ { * } ) \right) , } \\ { \dot { y } _ { 2 } } & { = } & { y _ { 2 } \left( c _ { 2 } q _ { 2 } ( x - x ^ { * } ) - m _ { 2 1 } ( y _ { 1 } - y _ { 1 } ^ { * } ) - m _ { 2 2 } ( y _ { 2 } - y _ { 2 } ^ { * } ) - \hdots - m _ { 2 n } ( y _ { n } - y _ { n } ^ { * } ) \right) , } \\ & { \vdots } & \\ { \dot { y } _ { n } } & { = } & { y _ { n } \left( c _ { n } q _ { n } ( x - x ^ { * } ) - m _ { n 1 } ( y _ { 1 } - y _ { 1 } ^ { * } ) - m _ { n 2 } ( y _ { 2 } - y _ { 2 } ^ { * } ) - \hdots - m _ { n n } ( y _ { n } - y _ { n } ^ { * } ) \right) , } \end{array}
k _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } } ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { x ^ { \prime } } ) = \sigma _ { f } ^ { 2 } \cdot \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } \Big ( \frac { - \lVert \boldsymbol { x } - \boldsymbol { x ^ { \prime } } \rVert } { \ell } \Big ) ,
\begin{array} { c l l l c } { { A _ { \bar { q } } = ~ ~ 0 . 9 8 8 C _ { \bar { q } } + 0 . 8 6 0 } } \\ { { B _ { \bar { q } } = - 1 . 1 1 7 C _ { \bar { q } } - 0 . 8 4 6 } } \\ { { D _ { \bar { q } } = - 1 . 1 2 9 C _ { \bar { q } } + 0 . 0 1 4 3 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { x } \left[ \ln ^ { 3 } ( t ) - 3 \ln ^ { 2 } ( t ) \ln ( 1 - t ) + 3 \ln ( t ) \ln ^ { 2 } ( 1 - t ) - \ln ^ { 3 } ( 1 - t ) \right] \frac { d t } { 1 - t } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta \Tilde { G } ^ { T , \mathrm { c o r r } } ( \omega ) } & { { } = \frac { 1 } { 6 \pi \eta } \left[ \sum _ { \vec { n } , \vec { n } \neq 0 } \frac { \mathrm { e } ^ { - \alpha \vert \vec { n } \vert L } } { \vert \vec { n } \vert L } \right] - \frac { 2 } { 3 \eta \alpha ^ { 2 } L ^ { 3 } } \, . } \end{array}
\left\Vert \theta _ { h } ^ { n } \right\Vert ^ { 2 } + \left\Vert \theta _ { h } ^ { n } - \theta _ { h } ^ { \ast n - 1 } \right\Vert ^ { 2 } - \left\Vert \theta _ { h } ^ { n - 1 } \right\Vert ^ { 2 } \leq \Delta t C \displaystyle \left( \frac { \Delta t ^ { 1 / 2 } \left\Vert \mathbf { u } \right\Vert _ { L ^ { \infty } ( L ^ { \infty } ( D ) ^ { d } ) } } { h } \right) ^ { 2 } \left( \frac { h ^ { m + 1 } } { \Delta t ^ { 1 / 2 } } \right) ^ { 2 } \left\vert c \right\vert _ { L ^ { \infty } ( H ^ { m + 1 } ( D ) ) } ^ { 2 } + \frac { \Delta t } { 2 } \left\Vert \theta _ { h } ^ { n } \right\Vert ^ { 2 } .
M = \left( \frac { 2 \sqrt { 2 } } { 3 } \right) ~ \frac { m ^ { 3 } } { \lambda } + ~ \hbar m \left[ \frac { 1 } { 6 } \sqrt { \frac { 3 } { 2 } } - \frac { 3 } { \pi \sqrt { 2 } } \right]
\begin{array} { r l } & { \| \nabla \Phi ( u ) \| _ { L ^ { \infty } ( [ 0 , T ] ; L ^ { 2 } ( { \mathbf R } ^ { 2 } ) ) } \leq C \| \nabla \mathcal { N } ( \psi ) \| _ { N ^ { 0 } ( [ 0 , T ] \times { \mathbf R } ^ { 2 } ) } } \\ & { \leq C \left( T + T ^ { \frac { 1 } { q _ { 1 } ^ { \prime } } } Z _ { T } ( \psi ) ^ { 2 \alpha } \right) \| \nabla \psi \| _ { L _ { t } ^ { \infty } L _ { x } ^ { 2 } } \leq C \left( T + T ^ { \frac { 1 } { q _ { 1 } ^ { \prime } } } ( 2 \sqrt { 2 R } + M ) ^ { 2 \alpha } \right) ( 2 \sqrt { 2 R } + M ) . } \end{array}
\Phi _ { i } ^ { \mathrm { p o l e } } ( \omega , \omega ^ { \prime } , w ) = \frac { \bar { \Lambda } \, \phi _ { i } ( w ) \, F ^ { 2 } } { ( \omega - 2 \bar { \Lambda } + i \epsilon ) ( \omega ^ { \prime } - 2 \bar { \Lambda } + i \epsilon ) } \, ,
\begin{array} { r l r } { \sigma _ { X } ^ { 2 } } & { { } = } & { \langle \Delta X ^ { 2 } \rangle = \mathcal { D } _ { x } z ^ { \prime 2 } , } \\ { \sigma _ { Y } ^ { 2 } } & { { } = } & { \langle \Delta Y ^ { 2 } \rangle = \mathcal { D } _ { y } z ^ { \prime 2 } . } \end{array}
I _ { 3 } \equiv - { \frac { 1 } { 2 } } \left\{ { \frac { 2 } { \pi } } { \cal P } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d q \ q ^ { 2 } \ P _ { + } ( q ) - { \frac { 8 } { 3 } } ( K _ { 0 } ^ { + } ) ^ { 3 } + [ ( + ) \leftrightarrow ( - ) ] \right\}
\Delta ( p _ { 0 } ) = { \frac { g ^ { 2 } } { 1 8 \pi ^ { 2 } } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d q _ { 0 } \, \ln { \frac { \mu } { | p _ { 0 } - q _ { 0 } | } } \cdot { \frac { \Delta ( q _ { 0 } ) } { \sqrt { q _ { 0 } ^ { 2 } + \Delta ^ { 2 } ( q _ { 0 } ) } } }
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } X _ { i j } ^ { 4 } } & { = N _ { i } \Omega _ { i j } + 1 0 N _ { i } ( N _ { i } - 1 ) \Omega _ { i j } ^ { 2 } + 3 N _ { i } ( N _ { i } - 1 ) ( N _ { i } - 2 ) \Omega _ { i j } ^ { 3 } } \\ & { \quad + N _ { i } ( N _ { i } - 1 ) ( N _ { i } - 2 ) ( N _ { i } - 3 ) \Omega _ { i j } ^ { 4 } . } \end{array}
\frac { f _ { j ^ { * } } \left( x ^ { k } + \bar { \lambda } _ { k } [ p ( x ^ { k } ) - x ^ { k } ] \right) - f _ { j ^ { * } } ( x ^ { k } ) } { \bar { \lambda } _ { k } } > \left( \frac { - \zeta } { 1 - \zeta } \right) \frac { o ( \bar { \lambda } _ { k } \| p ( x ^ { k } ) - x ^ { k } \| ) } { \bar { \lambda } _ { k } } , \quad \forall k \in \mathbb { K } _ { 3 } .
\begin{array} { r l } { \left[ 2 i q _ { i j } \frac { \partial } { \partial z } + 2 i \Omega \frac { \partial } { \partial t } + ( \Omega _ { i j k } ^ { 2 } - \Omega ^ { 2 } + i \Omega \Gamma _ { i j k } ) \right] } & { { } c _ { k } ^ { i j } } \end{array}
\begin{array} { r l } { p ( c | z _ { 1 } , z _ { 2 } , . . . , z _ { t } ) } & { { } = \frac { p ( z _ { 1 } , z _ { 2 } , . . . , z _ { t } | c ) p ( c ) } { p ( z _ { 1 } , z _ { 2 } , . . . , z _ { t } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \ln \frac { p \left( \bar { \Omega } _ { t , t + \tau } ( \Gamma ; t ) = A \right) } { p \left( \bar { \Omega } _ { t , t + \tau } ( \Gamma ; t ) = - A \right) } } & { { } = } & { \ln \frac { p \left( \bar { \Omega } _ { 0 , 2 t + \tau } ( \Gamma ; 0 ) = \frac { A \tau } { 2 t + \tau } \right) } { p \left( \bar { \Omega } _ { 0 , 2 t + \tau } ( \Gamma ; 0 ) = - \frac { A \tau } { 2 t + \tau } \right) } } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \mu } _ { a , i } = \frac { 1 } { 2 \delta \theta _ { i } } \Big ( \hat { d } _ { a } | _ { \theta = \theta _ { * } + \delta \theta _ { i } } - \hat { d } _ { a } | _ { \theta = \theta _ { * } - \delta \theta _ { i } } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { 0 } } & { { } = V ( q _ { t } ) , } \\ { V _ { 1 , i } } & { { } = V ^ { \prime } ( q _ { t } ) _ { i } + V ^ { \prime \prime \prime } ( q _ { t } ) _ { i j k } \Sigma _ { t , j k } / 2 , \mathrm { ~ } } \\ { V _ { 2 } } & { { } = V ^ { \prime \prime } ( q _ { t } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left[ \frac { C _ { \mathrm { { Q } , 3 } } } { C _ { \mathrm { Q } , 2 } } \left( \frac { N T O L } { C _ { \alpha } } \right) ^ { 2 } \left( \eta + \gamma ( 1 + \delta ) \right) \right] \kappa ^ { \ast 3 } + \left[ N T O L ( \eta + \frac { \gamma ( 1 + \delta ) } { 2 } ) \right] \kappa ^ { \ast 2 } } \\ { - } & { \left[ N \left( \eta T O L + \frac { C _ { \mathrm { { Q } , 3 } } } { C _ { \mathrm { Q } , 2 } } \frac { C _ { \mathrm { { Q } , 1 } } } { N ^ { \beta } } ( \eta + \gamma ( 1 + \delta ) ) \right) \right] \kappa ^ { \ast } - \frac { \gamma ( 1 + \delta ) C _ { \mathrm { Q } , 1 } C _ { \alpha } ^ { 2 } } { 2 N ^ { \beta } T O L } = 0 . } \end{array}
\hat { \mathrm { G } } _ { \mathrm { e x } } \equiv \hat { \mathrm { G } } + j _ { \mathrm { e x , 0 } } = \partial _ { 1 } \hat { \mathrm { E } } + e _ { + } \hat { j } _ { + } + e _ { - } \hat { j } _ { - } + j _ { \mathrm { e x , 0 } } .
\begin{array} { r l r } { G _ { n } ( \gamma \cdot \widetilde { x } ) } & { = } & { \widetilde { p } ( \widetilde { g } ^ { n } ( \gamma \cdot \widetilde { x } ) ) = \widetilde { p } ( \varphi ^ { n } ( \gamma ) \cdot \widetilde { g } ^ { n } ( \widetilde { x } ) ) } \\ & { = } & { \varphi ^ { n } ( \gamma ) \cdot \widetilde { p } ( \widetilde { g } ^ { n } ( \widetilde { x } ) ) = \varphi ^ { n } ( \gamma ) \cdot G _ { n } ( \widetilde { x } ) } \end{array}
\left( \begin{array} { l l l l } { s _ { 0 } t _ { 0 } } & { s _ { 0 } t _ { 1 } } & { s _ { 0 } t _ { 2 } } & { s _ { 0 } t _ { 3 } } \\ { s _ { 0 } t _ { 4 } } & { s _ { 0 } t _ { 5 } } & { s _ { 0 } t _ { 6 } } & { s _ { 0 } t _ { 7 } } \\ { s _ { 1 } t _ { 0 } } & { s _ { 1 } t _ { 1 } } & { s _ { 1 } t _ { 2 } } & { s _ { 1 } t _ { 3 } } \\ { s _ { 1 } t _ { 4 } } & { s _ { 1 } t _ { 5 } } & { s _ { 1 } t _ { 6 } } & { s _ { 1 } t _ { 7 } } \end{array} \right) .
\frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left( \begin{array} { l } { t } \\ { \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ( t ) } \\ { \eta \bigl ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ( t ) \bigr ) } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { f \bigl ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ( t ) \bigr ) } \\ { \eta ^ { \prime } \bigl ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ( t ) \bigr ) f \bigl ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ( t ) \bigr ) } \end{array} \right) .
A ( \mathbf { g } ) = \frac { \left\lVert \mathbf { g } - \frac { 1 } { 3 } \mathrm { ~ T ~ r ~ } \mathbf { g } \right\rVert } { \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } \mathrm { ~ T ~ r ~ } \mathbf { g } } ,
J ^ { ( 3 ) } ( 3 ; 1 , 1 , 1 ) = - \frac { \mathrm { i } \pi ^ { 2 } } { 2 m _ { 1 } m _ { 2 } m _ { 3 } } \; \frac { \Omega ^ { ( 3 ) } } { \sqrt { D ^ { ( 3 ) } } } ,
\begin{array} { r l } { { \Big [ } \frac { \eta } { \mu _ { 0 } } ( \nabla \times { \mathbf B } ) \times \mathbf { n } _ { P \rightarrow W } { \Big ] } } & { { } = { \Big [ } { \mathbf E } \times \mathbf { n } _ { P \rightarrow W } { \Big ] } + \left( { \mathbf V } _ { i \perp , P } \times { \mathbf B } _ { P } \right) \times \mathbf { n } _ { P \rightarrow W } = \left( { \mathbf V } _ { i \perp , P } \times { \mathbf B } _ { P } \right) \times \mathbf { n } _ { P \rightarrow W } } \\ { { \Big [ } \frac { \eta } { \mu _ { 0 } } ( \nabla \times { \mathbf B } ) \cdot \mathbf { n } _ { P \rightarrow W } { \Big ] } } & { { } = { \Big [ } { \mathbf E } \cdot \mathbf { n } _ { P \rightarrow W } { \Big ] } + \left( { \mathbf V } _ { i \perp , P } \times { \mathbf B } _ { P } \right) \cdot \mathbf { n } _ { P \rightarrow W } } \end{array}
\phi _ { - } ( \sigma ) = L \int _ { 0 } ^ { \sigma } \frac { d x } { r _ { - } ^ { 2 } ( x ) } = \pm \sqrt { \frac { L ^ { 2 } } { m ^ { 2 } + L ^ { 2 } } } F [ \psi _ { - } ( r _ { - } ( \sigma ) ) , \; \sqrt { \frac { m ^ { 2 } } { m ^ { 2 } + L ^ { 2 } } } \; ] .
\begin{array} { r l } { s ( \mathbb { P } , E _ { 0 } ^ { w } ) } & { { } = \frac { \Delta \Omega } { 4 \pi } \exp \left\{ - \gamma ( \boldsymbol { r } _ { 0 } , \boldsymbol { r } _ { 1 } , E _ { 0 } ^ { w } ) - \ldots - \gamma ( \boldsymbol { r } _ { n } , \boldsymbol { r } _ { d } , E _ { n } ^ { w } ) \right\} } \end{array}
p _ { i \alpha , j \beta } = R _ { i j } \left( \begin{array} { l l l } { q _ { 1 } P _ { 1 } } & { p _ { i 1 , j 2 } } & { p _ { i 1 , j 3 } } \\ { p _ { i 2 , j 1 } } & { q _ { 2 } P _ { 2 } } & { p _ { i 2 , j 3 } } \\ { p _ { i 3 , j 1 } } & { p _ { i 3 , j 2 } } & { q _ { 3 } P _ { 3 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { \lambda ( \boldsymbol { m } , \mathcal { P } , \omega , s , \boldsymbol { m } ^ { \prime } ) = \mathscr { S } _ { \boldsymbol { m } , \omega } ^ { * } \left( \begin{array} { l } { \mathcal { R } ( \mathcal { P } ) ^ { * } \boldsymbol { \varepsilon } ( \boldsymbol { m } , \mathcal { P } , \omega , s , \boldsymbol { m } ^ { \prime } ) } \\ { 0 } \end{array} \right) . } \end{array}
D _ { 1 } A _ { 0 1 } = - i ( A _ { 0 1 } ^ { 2 } A _ { 0 1 } ^ { \dag } + A _ { 0 1 } A _ { 0 1 } ^ { \dag } A _ { 0 1 } + A _ { 0 1 } ^ { \dag } A _ { 0 1 } ^ { 2 } )
\begin{array} { r l } & { \mathrm { L o c a l ~ c l i e n t ~ i ~ : } \quad p _ { i , t } = ( I - \lambda \nabla _ { y } ^ { 2 } G _ { i } ( x , y ^ { N } ; \zeta _ { i , t } ) ) p _ { t - 1 } } \\ & { \mathrm { S e r v e r ~ a g g r e g a t e s : } \quad p _ { t } = \frac { 1 } { | S _ { t } | } \sum _ { i \in S _ { t } } p _ { i , t } , } \end{array}
\sin { \left( \Omega ^ { \mathrm { ~ P ~ 2 ~ } } + 2 . 4 9 7 \right) } + 4 . 7 7 8 \cos { \left( \zeta ^ { \mathrm { ~ P ~ 2 ~ } } \right) } + \cos { \left( \cos { \left( \Omega ^ { \mathrm { ~ P ~ 2 ~ } } \right) } + 4 . 0 9 9 \right) }
u ( r ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \left( 1 - R / a \right) } { \sin ( k _ { 0 } R ) } \sin ( k _ { 0 } r ) } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } r < R , } \\ { 1 - r / a } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } r > R . } \end{array} \right.
\| \hat { u } _ { M } ( \boldsymbol { x } , t ) - u _ { M } ( \boldsymbol { x } , t ) \| _ { L ^ { 2 } } = \left( \sum _ { n = 1 } ^ { N _ { t } } \sum _ { i = 1 } ^ { J _ { n } } ( \hat { u } _ { n , i } - u _ { n , i } ) ^ { 2 } \int _ { \Omega \times [ 0 , T ] } \phi _ { n , i } ( \boldsymbol { x } , t ) ^ { 2 } \; \mathrm { d } \boldsymbol { x } \mathrm { d } t \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \le C _ { 1 } \| \boldsymbol { \hat { u } } - \boldsymbol { u } \| ,
I \left( t \right) = A _ { 1 } / \left( 1 + \exp \left( - \left( t - t _ { c } + w _ { 1 } / 2 \right) / w _ { 2 } \right) \right) \left[ 1 - 1 / \left( 1 + \exp \left( - \left( t - t _ { c } - w _ { 1 } / 2 \right) / w _ { 3 } \right) \right) \right]