harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
2 \delta _ { a c } \delta _ { b d } - \delta _ { a b } \delta _ { c d } - \delta _ { a d } \delta _ { c b } = C _ { a b } ^ { e } C _ { c d } ^ { f } \delta _ { e f } + C _ { c b } ^ { e } C _ { a d } ^ { f } \delta _ { e f } .
d n _ { 1 } = \left[ \varepsilon _ { 1 } \left( 1 - n _ { 1 } \right) - \varepsilon _ { 2 } n _ { 1 } \right] a t d t + \sqrt { 2 a t n _ { 1 } \left( 1 - n _ { 1 } \right) } d W _ { 1 , t } \, .
\int _ { \Omega _ { 0 } } P _ { i J } w _ { i , J } d V - \int _ { \Omega _ { 0 } } { w _ { i } f _ { i } } d V - \int _ { \partial \Omega _ { h _ { i } } ^ { 0 } } w _ { i } T _ { i } d S + \lambda _ { i } \int _ { \Omega _ { f } } \left( w _ { i } ^ { + } - w _ { i } ^ { - } \right) d V + \eta _ { i } \int _ { \Omega _ { f } } \left( u _ { i } ^ { + } - u _ { i } ^ { - } \right) d V
\begin{array} { r l r } { { \mathcal C } ( t ) } & { { } = } & { \sum _ { n } \delta g _ { n } ^ { 2 } \Big \{ \coth \left( \frac { \beta \hbar \omega _ { n } } { 2 } \right) \left( 1 - \cos ( \omega _ { n } t ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { h _ { \parallel } ^ { \parallel , \, \alpha \beta } } & { { } = } & { \frac { 3 \chi u ^ { \alpha } u ^ { \beta } + \lambda _ { \perp } \Delta ^ { \alpha \beta } + \delta \lambda \, l ^ { \alpha } l ^ { \beta } } { 4 \varepsilon } , } \\ { h _ { \nu } ^ { \parallel , \, \alpha \beta } } & { { } = } & { ( \chi + \lambda _ { \perp } ) u ^ { ( \alpha } \delta _ { \nu } ^ { \beta ) } + \delta \lambda \, l ^ { ( \alpha } u ^ { \beta ) } l _ { \nu } , } \\ { h _ { \parallel } ^ { \mu , \, \alpha \beta } } & { { } = } & { \frac { ( \chi _ { \perp } + \lambda _ { \perp } ) \Delta ^ { \mu ( \alpha } u ^ { \beta ) } + ( \delta \lambda + \delta \chi ) \, l ^ { \mu } l ^ { ( \alpha } u ^ { \beta ) } } { 4 \varepsilon } , } \\ { h _ { \nu } ^ { \mu , \, \alpha \beta } } & { { } = } & { C _ { \nu } ^ { \mu \alpha \beta } , } \\ { h _ { b } ^ { a , \, \alpha \beta } } & { { } = } & { \delta _ { b } ^ { a } g ^ { \alpha \beta } , \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \delta _ { b } ^ { a } = \delta _ { \lambda } ^ { \mu } \delta _ { \sigma } ^ { \nu } \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ n ~ } a = \mu \nu \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } b = \lambda \sigma , } \\ { h _ { \parallel } ^ { a , \, \alpha \beta } } & { { } = } & { h _ { \mu } ^ { a , \, \alpha \beta } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { c c } { 0 \leq \theta \leq \theta _ { r } : } & { j ^ { + } = j ^ { - } / \alpha = \frac { 1 } { \left( 1 + \cos \theta _ { r } \right) } > 0 , } \\ { \theta _ { r } < \theta \leq \pi : } & { j ^ { + } = j ^ { - } = 0 , } \end{array}
\Delta g _ { j } ( x ) = \pm \left( \frac { \Lambda ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } \right) \frac { 1 } { \beta _ { 0 } } \int _ { x } ^ { 1 } \frac { \d y } { y } C _ { j } ^ { I R 1 } ( y ) g ( x / y ) \; ,
\bigwedge _ { i = 0 } ^ { n - 1 } \mathbf { v } _ { i } = { \left| \begin{array} { l l l } { v _ { 1 } { } ^ { 1 } } & { \cdots } & { v _ { 1 } { } ^ { n } } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { v _ { n - 1 } { } ^ { 1 } } & { \cdots } & { v _ { n - 1 } { } ^ { n } } \\ { \mathbf { e } _ { 1 } } & { \cdots } & { \mathbf { e } _ { n } } \end{array} \right| } .
\eta _ { H } ( 0 ) = - 1 - 2 \, \mu ( \gamma ) , \ \ \ \zeta _ { H } ( 0 ) = - 1 , \ \ \, z e t a _ { H } ^ { \prime } ( 0 ) = 2 \ln \left| \frac { \sqrt { c } \, \ell [ \gamma ] } { 2 \sin ( \sqrt { c } \, \ell [ \gamma ] ) } \right| ,
\left( \frac { d ^ { 2 } \hat { R } } { d \hat { t } ^ { 2 } } \frac { 1 } { \hat { R } } \right) _ { K S } = \left( \frac { a } { 2 } \right) ^ { 2 } \left[ 1 - \frac { 9 6 } { a ^ { 2 } \mathrm { ~ W ~ e ~ } } \right] \, .
i \frac { \partial U ( \mathbf { r } ) } { \partial z } + \frac { \nabla _ { \bot } ^ { 2 } U ( \mathbf { r } ) } { 2 k _ { p } } + \kappa N _ { a } \int \rho _ { e g } ^ { ( 3 2 ) } ( R ) | U ( \mathbf { r _ { \bot } ^ { \prime } } , z ) | ^ { 2 } d \mathbf { r } _ { \bot } ^ { \prime } U ( \mathbf { r } ) = 0
J _ { y _ { 1 } ^ { \prime } y _ { 1 } } ^ { x } = W _ { y _ { 1 } ^ { \prime } y _ { 1 } } ^ { x } p \left( y _ { 1 } ^ { \prime } , x \right) - W _ { y _ { 1 } y _ { 1 } ^ { \prime } } ^ { x } p \left( y _ { 1 } , x \right)
\left( \begin{array} { l } { V ( \textbf { x } ^ { * } ) - \bar { V } } \\ { \left. \frac { \mathrm { d } V } { \mathrm { d } \textbf { x } } \right| _ { \textbf { x } ^ { * } } } \\ { \left. \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } V } { \mathrm { d } \textbf { x } ^ { 2 } } \right| _ { \textbf { x } ^ { * } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \textbf { k } _ { \mathrm { e x t , x } } ^ { T } ( \textbf { x } ^ { * } ) } \\ { \frac { \mathrm { d } \textbf { k } _ { \mathrm { e x t , x } } ^ { T } ( \textbf { x } ^ { * } ) } { \mathrm { d } \textbf { x } ^ { * } } } \\ { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \textbf { k } _ { \mathrm { e x t , x } } ^ { T } ( \textbf { x } ^ { * } ) } { \mathrm { d } { \textbf { x } ^ { * } } ^ { 2 } } } \end{array} \right) \textbf { w } _ { \mathrm { e x t } }
i { \cal M } = \int _ { \xi _ { 1 } } ^ { 1 } \frac { d x } { x } G _ { g / p } ( x ) \int _ { \xi _ { 2 } } ^ { 1 } \frac { d y } { y } G _ { g / p } ( y ) \ \i { \cal M } ^ { \mathrm { h a r d } } ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { A } } & { { } = \Re \left[ \mathbf { E } ^ { * } \left( \boldsymbol { \kappa } \cdot \left( \sum _ { s } \boldsymbol { \chi } _ { s } \cdot \mathbf { E } \right) \right) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { 1 } ( { \bf z } ) } & { = ( z _ { 1 } - r _ { 1 } ) ( z _ { 2 } - 4 . 2 i ) ( z _ { 3 } + 2 ) ( z _ { 4 } - 5 i ) ( z _ { 5 } - 3 . 5 ) } \\ { f _ { 2 } ( { \bf z } ) } & { = ( z _ { 1 } - 3 . 9 ) ( z _ { 2 } - r _ { 2 } ) ( z _ { 3 } + 2 . 5 i ) ( z _ { 4 } - 3 . 2 i ) ( z _ { 5 } - 4 . 2 ) } \\ { f _ { 3 } ( { \bf z } ) } & { = ( z _ { 1 } + 5 . 2 i ) ( z _ { 2 } - 4 ) ( z _ { 3 } - r _ { 3 } ) ( z _ { 4 } - 4 i ) ( z _ { 5 } - 7 . 1 ) } \\ { f _ { 4 } ( { \bf z } ) } & { = ( z _ { 1 } - 3 ) ( z _ { 2 } - 7 i ) ( z _ { 3 } + 4 ) ( z _ { 4 } - r _ { 4 } ) ( z _ { 5 } - 5 i ) } \\ { f _ { 5 } ( { \bf z } ) } & { = ( z _ { 1 } - 5 . 2 i ) ( z _ { 2 } - 4 ) ( z _ { 3 } + 4 . 7 5 i ) ( z _ { 4 } - 8 ) ( z _ { 5 } - r _ { 4 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { ( B ^ { z } ) _ { i + \frac 1 2 , j + \frac 1 2 } ^ { n + 1 } - ( B ^ { z } ) _ { i + \frac 1 2 , j + \frac 1 2 } ^ { n } } { \Delta t } } & { = } \\ & { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! - \left( \frac { ( E ^ { y } ) _ { i + 1 , j + \frac 3 2 } ^ { n } - ( E ^ { y } ) _ { i , j + \frac 3 2 } ^ { n } + ( E ^ { y } ) _ { i + 1 , j + \frac 1 2 } ^ { n } - ( E ^ { y } ) _ { i , j + \frac 1 2 } ^ { n } } { 2 \Delta x } \right. } \\ & { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! - \left. \frac { ( E ^ { x } ) _ { i + \frac 3 2 , j + 1 } ^ { n } - ( E ^ { x } ) _ { i + \frac 3 2 , j } ^ { n } + ( E ^ { x } ) _ { i + \frac 1 2 , j + 1 } ^ { n } - ( E ^ { x } ) _ { i + \frac 1 2 , j } ^ { n } } { 2 \Delta y } \right) } \\ { \frac { ( E ^ { x } ) _ { i + \frac 1 2 , j } ^ { n + 1 } - ( E ^ { x } ) _ { i + \frac 1 2 , j } ^ { n } } { \Delta t } } & { = \frac { ( B ^ { z } ) _ { i + \frac 1 2 , j + \frac 1 2 } ^ { n + 1 } - ( B ^ { z } ) _ { i + \frac 1 2 , j - \frac 1 2 } ^ { n + 1 } + ( B ^ { z } ) _ { i - \frac 1 2 , j + \frac 1 2 } ^ { n + 1 } - ( B ^ { z } ) _ { i - \frac 1 2 , j - \frac 1 2 } ^ { n + 1 } } { 2 \Delta y } } \\ { \frac { ( E ^ { y } ) _ { i , j + \frac 1 2 } ^ { n + 1 } - ( E ^ { y } ) _ { i , j + \frac 1 2 } ^ { n } } { \Delta t } } & { = - \frac { ( B ^ { z } ) _ { i + \frac 1 2 , j + \frac 1 2 } ^ { n + 1 } - ( B ^ { z } ) _ { i - \frac 1 2 , j + \frac 1 2 } ^ { n + 1 } + ( B ^ { z } ) _ { i + \frac 1 2 , j - \frac 1 2 } ^ { n + 1 } - ( B ^ { z } ) _ { i - \frac 1 2 , j - \frac 1 2 } ^ { n + 1 } } { 2 \Delta x } } \end{array}
\Pi _ { \mu \nu } ^ { s i n g } ( p ) \sim \frac { A g ^ { \mu \nu } \tilde { p } ^ { 2 } + B \tilde { p } ^ { \mu } \tilde { p } ^ { \nu } } { \xi ^ { 2 } ( \tilde { p } ^ { 2 } ) ^ { 2 } }
\begin{array} { l l l } { { } } & { { \ } } & { { \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } { \left( \sigma _ { i } , \rho _ { j } \right) } _ { K . G . } a _ { o u t } \left( \overline { { { \rho } } } _ { j } \right) + { \left( \sigma _ { i } , \overline { { { \rho } } } _ { j } \right) } _ { K . G . } a _ { o u t } ^ { \dagger } \left( \rho _ { j } \right) } } \\ { { } } & { { = } } & { { a _ { o u t } \left( \overline { { { C \sigma } } } _ { i } \right) - a _ { o u t } ^ { \dagger } \left( \overline { { { D \sigma } } } _ { i } \right) \; , } } \end{array}
\sum _ { { \substack { n \leq x + 1 \, \chi \neq \chi _ { 0 } \, \textit { \chi i s p r i m i t i v e } } } } \lambda _ { f } ^ { 4 } ( n ) \chi ( n ) = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { 1 + \epsilon - i T } ^ { 1 + \epsilon + i T } F _ { f } ( s , \ \chi ) \frac { ( x + 1 ) ^ { s } } { s } \ \mathrm { d } s + O \left( \frac { x ^ { 1 + \epsilon } } { T } \right) ,
h ( t , \tau ) = - { \frac { 1 } { 2 } } \langle { \hat { b } } _ { s } ^ { \dagger } ( t ) \rangle e ^ { i ( \omega _ { 0 } - \omega _ { 1 } ) t } e ^ { i \phi } - { \frac { 1 } { 2 } } \Omega \int _ { 0 } ^ { \tau } d t ^ { ' } [ f ( t , t ^ { ' } ) + g ( t , t ^ { ' } ) ] e ^ { 2 \beta ( t ^ { ' } - \tau ) }
e ^ { - 2 \hat { \phi } } = e ^ { - 2 \hat { \phi } _ { 0 } } + { \frac { 2 \tilde { m } _ { k } } { r } } \ , \qquad A _ { u } = ( A _ { u } ) _ { 0 } + { \frac { 2 \hat { m } _ { k } } { r } } \ , \qquad A _ { i } = ( A _ { i } ) _ { 0 } + { \frac { 2 ( q _ { k } ) _ { i } } { r } } \ , \qquad i = 4 , \dots 9 .
\frac { 1 } { \prod _ { n = 1 } ^ { \infty } n ^ { N _ { n } } N _ { n } ! } \prod _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( \frac { N _ { n } ! } { \prod _ { s _ { n } = 1 } ^ { \infty } \left( s _ { n } ^ { M _ { n , s _ { n } } } M _ { n , s _ { n } } ! \right) } \right)
\begin{array} { r } { \left\{ \tilde { \Sigma } _ { R _ { j } } ^ { j } ( \tau ) : = \frac { e ^ { \tau / 2 } } { \sqrt { R _ { j } } } \left( \Sigma _ { R _ { j } } ^ { j } - R _ { j } e ^ { - \tau } e _ { n + 1 } \right) \right\} _ { \tau \geq 0 } , \ \ \mathrm { ~ d e f i n e d ~ o n ~ } \bigcup _ { \tau \geq 0 } \mathbb { R } ^ { n } \times \left( - \infty , \sqrt { R _ { j } } ( e ^ { \tau / 2 } - e ^ { - \tau / 2 } ) \right) \times \{ \tau \} ; } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { N } _ { G } ^ { \mathrm { 4 t h } } ( \mathrm { ~ \boldmath ~ d ~ } ) } & { { } \approx \frac { ( 2 M - 1 ) ! ! } { \prod _ { j = 1 } ^ { N } d _ { j } ! } \, \sum _ { K = 0 } ^ { \infty } \frac { H _ { K } \left( 1 / 2 \right) } { K ! } \left( - \frac { \sum _ { j = 1 } ^ { N } \binom { d _ { j } } { 2 } } { 2 M } \right) ^ { K } } \end{array}
\mathbf { C } = { \left( \begin{array} { l l l l } { c _ { 1 1 } } & { c _ { 1 2 } } & { \cdots } & { c _ { 1 p } } \\ { c _ { 2 1 } } & { c _ { 2 2 } } & { \cdots } & { c _ { 2 p } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { c _ { m 1 } } & { c _ { m 2 } } & { \cdots } & { c _ { m p } } \end{array} \right) }
\begin{array} { r l r } { P ( t | \lambda , \vec { r } , \vec { \tau } , x ) } & { = } & { \frac { r _ { k } \lambda e ^ { - z } ( 1 - e ^ { - z } ) ^ { x - 1 } \: _ { 1 } F _ { 1 } \left( 1 - x ; 2 ; \frac { - \lambda e ^ { - z } } { 1 - e ^ { - z } } \right) } { \sum _ { j = 1 } ^ { x } \frac { \binom { x - 1 } { j - 1 } \lambda ^ { j } } { j ! } B _ { \theta } ( j , x - j + 1 ) } , } \end{array}
D _ { \mathrm { e m } } ^ { \left( d \right) } = \frac { \mathrm { d } N _ { \mathrm { e m } } ^ { \left( d \right) } } { \mathrm { d } \omega } = \frac { 1 } { 2 ^ { d } } \left[ \frac { d \left( d - 1 \right) L ^ { d } \omega ^ { d - 1 } } { \pi ^ { d / 2 } \Gamma \left( \frac { d } { 2 } + 1 \right) c ^ { d } } + \frac { d \left( d - 1 \right) \left( 3 - d \right) L ^ { d - 1 } \omega ^ { d - 2 } } { \pi ^ { \left( d - 1 \right) / 2 } \Gamma \left( \frac { d - 1 } { 2 } + 1 \right) c ^ { d - 1 } } \right] \, .
\begin{array} { r l } { \mu _ { i j j j j j } ^ { ( 5 ) } ( t ) } & { { } = \frac { 2 9 \Delta _ { i } ^ { - } ( t ; \mathcal { E } _ { j } ) - 2 6 \Delta _ { i } ^ { - } ( t ; 2 \mathcal { E } _ { j } ) + 9 \Delta _ { i } ^ { - } ( t ; 3 \mathcal { E } _ { j } ) - \Delta _ { i } ^ { - } ( t ; 4 \mathcal { E } _ { j } ) } { 7 2 0 \mathcal { E } _ { j } ^ { 5 } } + O ( \mathcal { E } _ { j } ^ { 4 } ) . } \end{array}
\varphi _ { \alpha } ( \lambda , \omega ) \sim { \frac { 1 } { ( 4 \pi ) ^ { d / 2 } } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left[ a _ { n } ( \omega ) ~ { \frac { \lambda ^ { d / 2 - n + \alpha - 1 } } { \Gamma \left( \frac d 2 - n + \alpha \right) } } + b _ { n } ( \omega ) ~ { \frac { \lambda ^ { ( d - 1 ) / 2 - n + \alpha - 1 } } { \Gamma \left( { \frac { d - 1 } { 2 } } - n + \alpha \right) } } \right] .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , \hat { T } _ { \varepsilon } ] } ( \| \frac { 1 } { n _ { + } ^ { \varepsilon } ( t ) } \| _ { L _ { x } ^ { \infty } } + \| F _ { + } ^ { \varepsilon } ( t ) \| _ { \mathfrak E } ) } & { \leq 2 M , } \\ { \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , \hat { T } _ { \varepsilon } ] } \| F _ { + } ^ { \varepsilon } ( t ) - F _ { - } ^ { 0 } ( t ) \| _ { \mathfrak E ^ { \prime } } } & { \leq \kappa } \\ { \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , \hat { T } _ { \varepsilon } ] } \sqrt { { \mathscr E } _ { - , 2 } ^ { \varepsilon } ( t ) } } & { \leq \kappa , } \\ { \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , \hat { T } _ { \varepsilon } ] } | \ln ( \frac { \gamma ^ { \varepsilon } ( t ) } { \beta _ { i n } } ) | } & { \leq \eta , } \\ { \int _ { 0 } ^ { \hat { T } _ { \varepsilon } } \| \partial _ { t } ( n _ { - } ^ { \varepsilon } - e ^ { \gamma ^ { \varepsilon } \psi ^ { \varepsilon } } ) \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } d t } & { \leq 1 . } \end{array}
M I _ { i j } = \left\{ \begin{array} { l l } { \ln \frac { s _ { i } ^ { \mathrm { o u t } } } { w _ { i j } } - \ln \frac { s _ { j } ^ { \mathrm { i n } } } { w _ { i j } } , } & { j \in \mathscr { V } _ { i } ^ { \mathrm { o u t } } } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ s ~ } } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l } { C _ { \nu \mu } } & { = \frac { m } { N } \left\langle { N \mathrm { d i a g } \tilde { S } _ { \nu } ^ { \circ } N \mathrm { d i a g } \tilde { S } _ { \mu } } \right\rangle + \frac { 1 } { N } \left\langle { ( G - m I ) N \mathrm { d i a g } \tilde { S } _ { \nu } ^ { \circ } N \mathrm { d i a g } \tilde { S } _ { \mu } } \right\rangle + \left\langle { G - m I } \right\rangle \delta _ { \nu \mu } } \\ & { = m \left[ S _ { \nu \mu } - \frac { 1 } { N } \right] + \mathcal O _ { \prec } \left( \frac { 1 } { N ^ { 3 / 2 } \eta ^ { 1 / 2 } } \right) + \delta _ { \nu \mu } \mathcal O _ { \prec } \left( \frac { 1 } { N \eta } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { z } _ { j , \mathbb { P } , w } ^ { ( i + 1 ) } } & { { } = \mathrm { P r } \left( \mathbb { P } , E _ { 0 } ^ { w } | \mathbf { \hat { A } } _ { j } , \boldsymbol { \lambda } ^ { ( i ) } \right) } \end{array}
| \alpha | = \alpha _ { 1 } + \cdots + \alpha _ { n } , \quad \alpha ! = \alpha _ { 1 } ! \cdots \alpha _ { n } ! , \quad { \boldsymbol { x } } ^ { \alpha } = x _ { 1 } ^ { \alpha _ { 1 } } \cdots x _ { n } ^ { \alpha _ { n } }
\begin{array} { r l } & { \ 2 I m \int _ { \mathbb { R } } J ( | u | ^ { 2 p } u ) ( \overline { { J u } } ) d x = - \frac { 4 p t } { ( p + 1 ) } \int _ { \mathbb { R } } | u | ^ { 2 ( p + 1 ) } d x - 4 t ^ { 2 } \int _ { \mathbb { R } } | u | ^ { 2 p } \ \frac { d } { d t } ( | u | ^ { 2 } ) d x } \\ { = } & { \ - \frac { 4 p t } { ( p + 1 ) } \int _ { \mathbb { R } } | u | ^ { 2 ( p + 1 ) } d x - \frac { 4 t ^ { 2 } } { ( p + 1 ) } \frac { d } { d t } \int _ { \mathbb { R } } | u | ^ { 2 ( p + 1 ) } d x . } \end{array}
\widehat { \nabla \phi } ( x ) = \int _ { 0 } ^ { L _ { S } } \sigma _ { S } ( e ) \frac 1 { 2 L } \cot \Big ( \frac { x - z _ { S } ( e ) } { L / \pi } \Big ) \, \mathrm { d } e + \int _ { 0 } ^ { L _ { B } } \sigma _ { B } ( e ) \frac 1 { 2 L } \cot \Big ( \frac { x - z _ { B } ( e ) } { L / \pi } \Big ) \, \mathrm { d } e \, ,
l _ { i j } ^ { \prime } = l _ { 0 } \left( 1 - \frac { \Delta _ { \mathrm { C M } } } { 2 } \left( 2 - | \hat { \mathbf { l } } _ { i j } \cdot \mathbf { s } _ { i } | ^ { 2 } - | \hat { \mathbf { l } } _ { i j } \cdot \mathbf { s } _ { j } | ^ { 2 } \right) \right) .
S = \frac { 1 } { 1 6 \pi G _ { N } } \int d ^ { 4 } x \sqrt { - g } \left( - \chi R + \frac { \omega ( \chi ) } { \chi } \; ( \nabla \chi ) ^ { 2 } \right) + S _ { M } ( { \cal M } , \; g _ { \mu \nu } ) \; ,
\frac { \mathrm { i } } { 2 } \frac { \langle M _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } ^ { { 1 , 2 } } M _ { 2 } ^ { * } E _ { - } \rangle } { \langle M _ { 1 } E _ { - } M _ { 2 } ^ { * } E _ { - } \rangle } + \frac { 1 } { 2 \mathrm { i } } \frac { \langle M _ { 1 } \mathring { A } _ { 1 } ^ { { 1 , 2 } } M _ { 2 } E _ { - } \rangle } { \langle M _ { 1 } E _ { - } M _ { 2 } ^ { * } E _ { - } \rangle } \frac { 1 + \langle M _ { 1 } E _ { - } M _ { 2 } ^ { * } E _ { - } \rangle } { 1 + \langle M _ { 1 } E _ { - } M _ { 2 } E _ { - } \rangle } = \mathcal { O } \big ( | e _ { 1 } + e _ { 2 } | + \eta _ { 1 } + \eta _ { 2 } \big )
\begin{array} { r l } { \kappa } & { { } = k _ { 0 } \, { \sqrt { n _ { 1 } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta _ { \mathrm { i } } \, - \, n _ { 2 } ^ { 2 } } } } \\ { k _ { x \! } } & { { } = n _ { 1 } k _ { 0 } \sin \theta _ { \mathrm { i } } ~ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { y _ { n + 1 } ^ { 0 } } & { : = g _ { p e r } ( n \Delta t ) + g _ { c h a o s } ^ { ( 0 ) } \left( y _ { n } ^ { 0 } , \ldots , y _ { n } ^ { Q } \right) } \\ { y _ { n + 1 } ^ { 1 } } & { : = y _ { n } ^ { 0 } } \\ { \vdots } & { = \vdots } \\ { y _ { n + 1 } ^ { Q } } & { : = y _ { n } ^ { Q - 1 } } \end{array}
\frac { \partial } { { \partial x } } \left\langle { { { \left( { \frac { { \partial u } } { { \partial x } } } \right) } ^ { 2 } } { { \left( { \frac { { { \partial ^ { 2 } } u } } { { \partial { x ^ { 2 } } } } } \right) } } } \right\rangle = 0 \mathrm { { } } \Longrightarrow \mathrm { { } } 2 \left\langle { \left( \frac { \partial u } { \partial x } \right) \left( \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } \right) } \right\rangle = - \left\langle { \left( \frac { \partial u } { \partial x } \right) ^ { 2 } \left( \frac { \partial ^ { 3 } u } { \partial x ^ { 3 } } \right) } \right\rangle ,
\leq \; \omega ^ { \sum _ { a = 1 } ^ { N } 2 n _ { a } } \; \left\langle \prod _ { b = 1 } ^ { N } \left[ \chi _ { + } ^ { ( b ) } [ Q ^ { M , S } ] \right] ^ { q _ { b } } \left[ \chi _ { - } ^ { ( b ) } [ Q ^ { M , S } ] \right] ^ { 2 n _ { b } - q _ { b } } \right\rangle _ { Q ^ { M , S } } \; .
\begin{array} { r l } { p ( n _ { R } ^ { \prime } | n _ { R } ) } & { = \frac { p \bigg [ \Big ( n _ { R } \; \mathrm { i n } \; ( \alpha \cup \epsilon ) \Big ) \cap \Big ( n _ { R } ^ { \prime } \; \mathrm { i n } \; ( \epsilon \cup \delta ) \Big ) \bigg ] } { p \Big [ n _ { R } \; \mathrm { i n } \; ( \alpha \cup \epsilon ) \Big ] } } \\ & { = \frac { \sum _ { k = 0 } ^ { \operatorname* { m i n } ( n _ { R } , n _ { R } ^ { \prime } ) } p \big [ n _ { R } - k \; \mathrm { i n } \; \alpha \big ] p \big [ k \; \mathrm { i n } \; \epsilon \big ] p \big [ n _ { R } ^ { \prime } - k \; \mathrm { i n } \; \delta \big ] } { p \big [ n _ { R } \; \mathrm { i n } \; ( \alpha \cup \epsilon ) \big ] } } \end{array}
- \mathrm { \small ~ \displaystyle \frac { 1 } { 2 } ~ } \upsilon _ { k } + \mathrm { \small ~ \displaystyle \frac { 1 } { 2 } ~ } \sqrt { \smash [ b ] { \upsilon _ { k } ^ { 2 } - 4 k ^ { 2 } \ensuremath { \mathrm { \ t e x t s l { v } } _ { 0 } } ^ { 2 } } } \sim - \mathrm { \small ~ \displaystyle \frac { k ^ 2 \ensuremath { \mathrm { \ t e x t s l { v } } _ 0 } ^ 2 } { \upsilon + k ^ 2 \ensuremath { \mathcal { D } _ \perp } } ~ } \sim - \mathrm { \small ~ \displaystyle \frac { \ensuremath { \mathrm { \ t e x t s l { v } } _ 0 } ^ 2 } { \ensuremath { \mathcal { D } _ \perp } } ~ }
\begin{array} { r l } { \left\Vert u _ { \perp } \right\Vert _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } = } & { 1 - \left\Vert u _ { \parallel } \right\Vert _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } = 1 - \left| ( u , u ^ { * } ) _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \right| ^ { 2 } } \\ { = } & { 1 - \frac { 1 } { 4 } \left( \left\Vert u \right\Vert _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } + \left\Vert u ^ { * } \right\Vert _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } - \left\Vert u - u ^ { * } \right\Vert _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } \\ { = } & { 1 - \frac { 1 } { 4 } \left( 2 - \left\Vert u - u ^ { * } \right\Vert _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } \\ { = } & { \left\Vert u - u ^ { * } \right\Vert _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } \left\Vert u - u ^ { * } \right\Vert _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 4 } . } \end{array}
\frac { \partial z _ { r } } { \partial S } = \left( \rho _ { 0 } ^ { \prime } ( z _ { r } ) + \frac { \rho _ { 0 } ( z _ { r } ) g } { c _ { s r } ^ { 2 } } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \rho } { \partial S } ( S , \theta , p _ { r } ) = - \frac { g \beta _ { r } } { N _ { 0 } ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \left\langle ( 1 + \Delta _ { h } ) ^ { 2 } u ^ { n } , \triangledown _ { \tau } u ^ { n } \right\rangle } & { = \left\langle ( 1 + \Delta _ { h } ) u ^ { n } , \triangledown _ { \tau } ( 1 + \Delta _ { h } ) u ^ { n } \right\rangle } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \Big ( \| ( 1 + \Delta _ { h } ) u ^ { n } \| ^ { 2 } - \| ( 1 + \Delta _ { h } ) u ^ { n - 1 } \| ^ { 2 } + \| \triangledown _ { \tau } ( ( 1 + \Delta _ { h } ) u ^ { n } ) \| ^ { 2 } \Big ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { S ( t ) } & { = \int _ { - \infty } ^ { \alpha } p ( t , x ) d x } \\ & { = \Phi \left( { \frac { \alpha - x _ { 0 } - \nu t } { \sigma { \sqrt { t } } } } \right) - e ^ { 2 \nu ( \alpha - x _ { 0 } ) / \sigma ^ { 2 } } \Phi \left( { \frac { - \alpha + x _ { 0 } - \nu t } { \sigma { \sqrt { t } } } } \right) } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial e ^ { s } ( { \bf k } ) } { \partial t } } & { { } = } & { \left( \frac { 1 + 2 \sin ^ { 2 } \theta _ { k } } { \sin \theta _ { k } } \right) ^ { 2 } \frac { \pi \epsilon ^ { 2 } } { 1 6 } \int _ { { \mathbb { R } } ^ { 6 } } \sum _ { s _ { p } s _ { q } } \delta ( \Omega _ { k p q } ) \delta ( { \bf k } + { \bf p } + { \bf q } ) \quad \quad } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \varphi _ { 1 } , \varphi _ { 2 } : \ensuremath { \mathbb { Z } } / p \ensuremath { \mathbb { Z } } \oplus \ensuremath { \mathbb { Z } } / p \ensuremath { \mathbb { Z } } \longrightarrow \textup { S p } ( 2 , \overline { { \mathbb { F } _ { q } } } ) } \\ { \mathrm { g i v e n ~ b y ~ } } & { \varphi _ { 1 } \left( ( 1 , 0 ) \right) = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ & { 1 } \end{array} \right) , \varphi _ { 1 } \left( ( 0 , 1 ) \right) = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { a } \\ & { 1 } \end{array} \right) , } \\ & { \varphi _ { 2 } \left( ( 1 , 0 ) \right) = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { a } \\ & { 1 } \end{array} \right) , \varphi _ { 2 } \left( ( 0 , 1 ) \right) = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ & { 1 } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \operatorname* { P r } \left\{ \frac { 1 } { n } \log \frac { P _ { U ^ { n } | Z ^ { n } } ( U ^ { n } | Z ^ { n } ) } { P _ { U ^ { n } } ( U ^ { n } ) } \ge R _ { 2 } - \gamma \right\} } } \\ & { \le } & { \operatorname* { P r } \left\{ \frac { 1 } { n } \log \frac { P _ { U ^ { n } | Z ^ { n } } ( U ^ { n } | Z ^ { n } ) } { P _ { U ^ { n } } ( U ^ { n } ) } \ge I ( U ; Z ) + \gamma \right\} } \\ & { \to } & { 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { V _ { 5 } = - \frac { \tau } { \kappa } \lambda ^ { + } \left\lbrace \alpha _ { 1 } \left( \xi _ { 1 } q _ { 2 } - \xi _ { 2 } q _ { 1 } \right) + \alpha _ { 2 } \left( \xi _ { 1 } q _ { 3 } - \xi _ { 3 } q _ { 1 } \right) \right\rbrace \quad \mathrm { f o r ~ a n y } ~ q = ( q _ { 1 } , q _ { 2 } , q _ { 3 } ) \in \mathbb { R } ^ { 3 } . } \end{array}