harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \partial _ { i } \tilde { E _ { i } } } & { { } = } & { \tilde { \rho } \; , } \\ { { } \partial _ { i } \tilde { B _ { i } } } & { { } = } & { 0 \; , } \\ { { } \partial _ { \tau } \tilde { B } _ { x } } & { { } = } & { \tau ^ { - 1 } \partial _ { \eta } \tilde { E _ { y } } - \tau \partial _ { y } \tilde { E _ { \eta } } \; , } \\ { { } \partial _ { \tau } \tilde { B } _ { y } } & { { } = } & { \tau \partial _ { x } \tilde { E _ { \eta } } - \tau ^ { - 1 } \partial _ { \eta } \tilde { E _ { x } } \; , } \\ { { } \partial _ { \tau } \tilde { B } _ { \eta } } & { { } = } & { \tau ^ { - 1 } \partial _ { y } \tilde { E _ { x } } - \tau ^ { - 1 } \partial _ { x } \tilde { E _ { y } } \; , } \\ { { } \partial _ { \tau } \tilde { E } _ { x } } & { { } = } & { \tau \partial _ { y } \tilde { B _ { \eta } } - \tau ^ { - 1 } \partial _ { \eta } \tilde { B _ { y } } - \tau ^ { - 1 } \tilde { V } ^ { x } \; , } \\ { { } \partial _ { \tau } \tilde { E } _ { y } } & { { } = } & { \tau ^ { - 1 } \partial _ { \eta } \tilde { B _ { x } } - \tau \partial _ { x } \tilde { B _ { \eta } } - \tau ^ { - 1 } \tilde { V } ^ { y } \; , } \\ { { } \partial _ { \tau } \tilde { E } _ { \eta } } & { { } = } & { \tau ^ { - 1 } \partial _ { x } \tilde { B _ { y } } - \tau ^ { - 1 } \partial _ { y } \tilde { B _ { x } } - \tau ^ { - 1 } \tilde { V } ^ { \eta } \; , } \end{array}
\frac { I _ { 3 3 } ^ { p } } { m R ^ { 2 } } = - \frac { m _ { 0 } } { m } \left( \frac { R } { r } \right) ^ { 3 } \left( \hat { x } _ { 3 } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 3 } \right) \ , \quad \frac { I _ { 1 3 } ^ { p } } { m R ^ { 2 } } = - \frac { m _ { 0 } } { m } \left( \frac { R } { r } \right) ^ { 3 } \hat { x } _ { 1 } \hat { x } _ { 3 } \ .
\begin{array} { r l } { U _ { \mathrm { ~ \tiny ~ T ~ R ~ S ~ } } H ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ T ~ } } ( \textbf { k } ) U _ { \mathrm { ~ \tiny ~ T ~ R ~ S ~ } } ^ { - 1 } } & { { } = H ( - \textbf { k } ) , } \\ { U _ { \mathrm { ~ \tiny ~ P ~ H ~ S ~ } } H ^ { * } ( \textbf { k } ) U _ { \mathrm { ~ \tiny ~ P ~ H ~ S ~ } } ^ { - 1 } } & { { } = - H ( - \textbf { k } ) , } \\ { S H ^ { \dag } ( \textbf { k } ) S ^ { - 1 } } & { { } = - H ( \textbf { k } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { i x } ( t ) } & { { } = \frac { c _ { i } } { 4 \omega _ { i } } \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } Q _ { y } ( t ^ { \prime } ) \Bigl ( e ^ { - \lambda _ { 2 } ( t - t ^ { \prime } ) } + e ^ { \lambda _ { 2 } ( t - t ^ { \prime } ) } \Bigr ) + \frac { c _ { i } } { 4 \omega _ { i } } \frac { \sqrt { \dot { \gamma } - \omega _ { i } } } { \sqrt { \omega _ { i } } } \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } Q _ { x } ( t ^ { \prime } ) \Bigl ( e ^ { - \lambda _ { 2 } ( t - t ^ { \prime } ) } - e ^ { \lambda _ { 2 } ( t - t ^ { \prime } ) } \Bigr ) } \end{array}
\langle \sigma _ { \mathrm { s c a t t } } v _ { \mathrm { r e l } } \rangle \simeq 1 2 8 \pi \alpha _ { 1 } ^ { 2 } \frac { E _ { \mathrm { L S P } } ^ { 2 } T _ { R } ^ { 2 } } { m _ { \tilde { e } _ { R } } ^ { 4 } m _ { \mathrm { L S P } } ^ { 2 } } ,
{ f ^ { ( 1 2 , - 1 2 ) } ( \Omega , \bar { \Omega } ) = { \frac { c } { \sqrt { \Omega _ { 2 } } } } \left( { \frac { \partial } { \partial \alpha } } \right) ^ { 2 4 } \sum _ { m , n } \int { \frac { d t } { t } } t ^ { 2 3 / 2 } \left. e ^ { - t | m + n \Omega | ^ { 2 } + \alpha ( m + n \bar { \Omega } ) } \right| _ { \alpha = 0 } , }
{ \frac { d } { d x } } \left( { { c } _ { 1 } } { { f } _ { 1 } } \left( x \right) + { { c } _ { 2 } } { { f } _ { 2 } } \left( x \right) + \cdots + { { c } _ { n } } { { f } _ { n } } \left( x \right) \right) = { { c } _ { 1 } } { \frac { d { { f } _ { 1 } } \left( x \right) } { d x } } + { { c } _ { 2 } } { \frac { d { { f } _ { 2 } } \left( x \right) } { d x } } + \cdots + { { c } _ { n } } { \frac { d { { f } _ { n } } \left( x \right) } { d x } }
f _ { 3 } = 0 . 1 \frac { x _ { 3 } ^ { 2 } } { ( x _ { 1 } + 2 ) ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } + 0 . 2 } + 0 . 1 \frac { x _ { 3 } ^ { 2 } } { ( x _ { 1 } - 2 ) ^ { 2 } + 0 . 2 }
\operatorname { P r o b } _ { i } \left( \lambda _ { k } ^ { \left( q \right) } \right) \sim \left( \lambda _ { k } ^ { \left( q \right) } \right) ^ { \beta ^ { \left( q \right) } \left( i \right) } = \alpha \left( i \right) \left( \lambda _ { k } ^ { \left( q \right) } \right) ^ { \beta ^ { \left( q \right) } \left( i \right) }
\begin{array} { r } { c _ { s } ^ { 2 } = \frac { \langle \sigma ^ { ( k ) } \rangle p _ { + } + \sigma ^ { ( 1 ) } p _ { * 2 } + \sigma ^ { ( 2 ) } p _ { * 1 } } { 2 p _ { + } - b } \frac { \rho ( \varepsilon - \varepsilon _ { 0 } ) + p _ { + } } { \rho } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \det g _ { \tilde { C } } ^ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } } { \det g _ { C } ^ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } } } & { = \frac { \det \left( \tilde { A } - 2 G _ { \tilde { C } i } ^ { s _ { 1 } } G _ { i \tilde { C } } ^ { s _ { 2 } } \right) } { \operatorname* { d e t } \left( \tilde { A } \right) } \left( \tilde { D } - \tilde { C } \tilde { A } ^ { - 1 } \tilde { B } \right) ^ { - 1 } } \\ & { = \operatorname* { d e t } \left( \mathbb { I } - 2 G _ { \tilde { C } i } ^ { s _ { 1 } } G _ { i \tilde { C } } ^ { s _ { 2 } } \tilde { A } ^ { - 1 } \right) \left( g ^ { - 1 , s _ { 1 } , s _ { 2 } } \right) _ { i i } } \\ & { = \left( 1 - 2 G _ { i \tilde { C } } ^ { s _ { 2 } } \tilde { A } ^ { - 1 } G _ { \tilde { C } i } ^ { s _ { 1 } } \right) \left( g ^ { - 1 , s _ { 1 } , s _ { 2 } } \right) _ { i i } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { S \in \dot { \mathcal { R } } } \frac { 1 } { \mathbb { E } _ { P } \left[ \left( S ^ { a } ( Y _ { t } , A _ { t } , X _ { t } ) \right) ^ { 2 } \right] } \leq \mathbb { E } _ { P } \left[ \left( \widetilde { \psi } _ { P } ^ { a } ( Y _ { t } , A _ { t } , X _ { t } ) \right) ^ { 2 } \right] . } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { \widetilde b _ { 1 } ( s ) } { \widetilde a _ { 1 1 } ( s ) } d s = 0 , \; \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { \widetilde b _ { j } ( s ) } { \widetilde a _ { 1 1 } ( s ) } \exp \left( \int _ { 0 } ^ { s } \frac { \widetilde b _ { 1 } ( t ) } { \widetilde a _ { 1 1 } ( t ) } \, d t \right) d s = 0 , \mathrm { ~ f o r ~ } j = 2 , \dots , d .
\begin{array} { r l r } { R _ { 1 } } & { { } = } & { \int _ { 2 \pi } f _ { r } \left( 0 , 0 ; \theta _ { r } , \phi _ { r } \right) \mathrm { d } \Omega _ { r } , } \\ { R } & { { } = } & { \frac { 1 } { \pi } \int _ { 2 \pi } \int _ { 2 \pi } f _ { r } \left( \theta _ { i } , \phi _ { i } ; \theta _ { r } , \phi _ { r } \right) \mathrm { d } \Omega _ { r } \mathrm { d } \Omega _ { i } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { X _ { 2 } ( t - ) \biggl [ \phi ^ { ' } ( t , e _ { i } ) + \phi ( t , e _ { i } ) \biggl ( 2 u ^ { * } ( t ) + \sigma _ { 2 } ^ { 2 } ( t , e _ { i } ) + \int _ { \mathbb { R } _ { 0 } } \eta ^ { 2 } ( t - , e _ { i } , z ) \nu ( d z ) \biggr ) } \\ & { \quad + \sum _ { j = 1 } ^ { D } ( \phi ( t , e _ { j } ) - \phi ( t , e _ { i } ) ) \mu _ { i j } ( t ) \biggr ] = 0 . } \end{array}
\int { \cal D } A { \cal D } [ \Lambda ] { \cal D } \lambda \quad e ^ { F ( A , \psi , \overline { { \psi } } , \phi ) } e ^ { ( A , d \lambda + i \ast d \Lambda ) } = \int { \cal D } A _ { h } e ^ { F ( A _ { h } , \psi , \overline { { \psi } } , \phi ) } .
A _ { 0 } = 0 , \; A _ { D } = E x ^ { 0 } , \; A _ { i } = A _ { i } ^ { \perp } = - H _ { j } \, x _ { i + 1 } \, \delta _ { i , 2 j - 1 } , \; j = 1 , \ldots , [ d / 2 ] - 1 , \; i = 1 , \ldots , D - 1 .
\begin{array} { r l r } & { } & { \left. \nabla \cdot \left( - 2 \alpha _ { s } F \kappa ^ { 2 } \rho _ { s } ^ { 2 \Gamma - 1 } \left[ \mathbf { e } _ { R } \mathbf { e } _ { R } + \mathbf { e } _ { \varphi } \mathbf { e } _ { \varphi } \right] \right) = \right. } \\ & { } & { \left. \left( \frac { 2 \alpha _ { s } F \kappa ^ { 2 } \rho _ { s } ^ { 2 \Gamma - 1 } } { R } - \frac { 1 } { R } \frac { \partial } { \partial R } \left( 2 \alpha _ { s } F \kappa ^ { 2 } \rho _ { s } ^ { 2 \Gamma - 1 } R \right) , 0 , 0 \right) , \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { 4 \pi } \langle \Delta _ { x } \psi , ( \gamma e ^ { \gamma \psi } - \frac { 1 } { 4 \pi } \Delta _ { x } ) ^ { - 1 } ( e ^ { \gamma \psi } \psi ) \rangle _ { L _ { x } ^ { 2 } } } \\ & { = - \langle ( \gamma e ^ { \gamma \psi } - \frac { 1 } { 4 \pi } \Delta _ { x } ) \psi , ( \gamma e ^ { \gamma \psi } - \frac { 1 } { 4 \pi } \Delta _ { x } ) ^ { - 1 } ( e ^ { \gamma \psi } \psi ) \rangle _ { L _ { x } ^ { 2 } } } \\ & { \quad + \gamma \langle e ^ { \gamma \psi } \psi , ( \gamma e ^ { \gamma \psi } - \frac { 1 } { 4 \pi } \Delta _ { x } ) ^ { - 1 } ( e ^ { \gamma \psi } \psi ) \rangle _ { L _ { x } ^ { 2 } } } \\ & { = - \langle \psi , e ^ { \gamma \psi } \psi \rangle _ { L _ { x } ^ { 2 } } - \gamma \langle e ^ { \gamma \psi } \psi , ( \gamma e ^ { \gamma \psi } - \frac { 1 } { 4 \pi } \Delta _ { x } ) ^ { - 1 } ( e ^ { \gamma \psi } \psi ) \rangle _ { L _ { x } ^ { 2 } } \leq 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \| G _ { 1 1 } \| _ { \infty } } & { \leq } & { 1 + C _ { 1 1 , p } \| \tilde { p } \| _ { \infty } \Delta t ^ { 2 } N ^ { 2 } + C _ { 1 1 , q } \| \tilde { q } \| _ { \infty } \Delta t ^ { 2 } + C _ { 1 1 , p ^ { 2 } } \| \tilde { p } \| _ { \infty } ^ { 2 } \Delta t ^ { 2 } N ^ { 2 } + } \\ & { } & { C _ { 1 1 , p q } \| \tilde { p } \| _ { \infty } \| \tilde { q } \| _ { \infty } \Delta t ^ { 2 } + C _ { 1 1 , q ^ { 2 } } \| \tilde { q } \| _ { \infty } ^ { 2 } \Delta t ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { A } \| f ( s , x ) \| ^ { 2 } \nu ( d s , d x ) + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { A } h _ { 1 } ( \| f ( s , x ) \| ) ^ { 2 } \| f ( s , x ) \| ^ { 2 } \nu ( d s , d x ) } \\ & { \quad + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { A } h _ { 2 } ( \| f ( s , x ) \| ) \| f ( s , x ) \| ^ { 2 } \nu ( d s , d x ) < \infty . } \end{array}
k _ { 0 } - \frac { 1 } { 2 } \frac { M _ { \psi } ^ { 2 } } { k } \ln \left| \frac { k _ { 0 } + k } { k _ { 0 } - k } \right| = k - \frac { M _ { \psi } ^ { 2 } } { k } \left[ \frac { k _ { 0 } } { 2 k } \ln \left| \frac { k _ { 0 } + k } { k _ { 0 } - k } \right| - 1 \right] ,
\begin{array} { r l } { \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } } & { [ g _ { 2 , \textup { i n } } - g _ { 1 , \textup { i n } } ] ( \eta ) \varphi ( \eta , 0 ) \textup { d } \eta \leq \frac { \tilde { \delta } } { 4 C _ { \textup { n o r m } } } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } [ g _ { 2 , \textup { i n } } + g _ { 1 , \textup { i n } } ] ( \eta ) \textup { d } \eta + \frac { \tilde { \delta } } { 4 } \leq \frac { \tilde { \delta } } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \overline { { U _ { N } } } } & { { } = } & { \frac { 1 } { P } \sum _ { k = 1 } ^ { P } U _ { N } ( \mathbf { X } _ { N } ^ { ( k ) } ) } \\ { F _ { i } } & { { } = } & { \Lambda ^ { 3 } \left( \frac { P ^ { 3 / 2 } } { \Lambda ^ { 3 } } \right) ^ { P } \exp \left( - \frac { \pi P } { \Lambda ^ { 2 } } \sum _ { k = 1 } ^ { P } \Delta { \mathbf { r } _ { i } ^ { ( k ) } } ^ { 2 } \right) } \\ { \Delta { \mathbf { r } _ { i } ^ { ( k ) } } ^ { 2 } } & { { } \equiv } & { \left| \mathbf { x } _ { i } ^ { ( k + 1 ) } - \mathbf { x } _ { i } ^ { ( k ) } \right| ^ { 2 } , } \end{array}
\int _ { \mathcal { B } } \sum _ { m , \ell \in \mathcal { C } } \left| \int _ { r ^ { \star } \! } ^ { \infty } e ^ { i \omega x ^ { \star } } H ( x ^ { \star } ) \, d x ^ { \star } \right| ^ { 2 } \, d \omega \leq B ( r ^ { \star } \! , C _ { \mathcal { B } } , C _ { \mathcal { C } } ) \left( \int _ { \Sigma _ { 0 } } | \partial \Psi _ { \mathcal { T } } | ^ { 2 } + \varepsilon ^ { 2 } \mathcal { S } [ \widehat { \mathbf { u } } _ { \chi } ] \right) .
\begin{array} { r l } & { \small { \left( \! \left( \begin{array} { l l l l l } { \{ 0 , 1 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 1 \} } \\ { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 2 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 3 \} } & { \{ 2 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 1 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 0 , 1 \} } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { l l l l l } { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 4 \} } & { \{ 4 \} } & { \{ 4 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 4 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 4 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 4 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 5 \} } \end{array} \right) \! \right) , } } \\ & { \small { \left( \! \left( \begin{array} { l l l l l } { \{ 0 \sim 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 1 \} } \\ { \{ 3 \} } & { \! \{ 0 \sim 3 \} \! } & { \{ 3 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \! \{ 0 \sim 3 \} \! } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 3 \} } & { \{ 1 \} } & { \{ 3 \} } & { \! \{ 0 \sim 3 \} \! } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 1 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 0 \sim 3 \} } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { l l l l l } { \{ 5 \} } & { \{ 4 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \\ { \{ 4 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 3 \} } \\ { \{ 5 \} } & { \{ 5 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 3 \} } & { \{ 5 \} } \end{array} \right) \! \right) . } } \end{array}
\| \mathcal { R } _ { 2 } ^ { ( t ) } ( \mathbf { x } ^ { ( 1 ) } ) \| _ { \infty } \leq 8 C ^ { 2 } \, { \eta } \, M _ { \eta } \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \| \mathcal { Q } _ { \lambda } ( P ^ { m } \mathbf { x } ^ { ( 1 ) } ) \| _ { \infty } .
\begin{array} { r l } { \partial _ { x _ { 2 } } ^ { 3 } \tilde { \phi } } & { = \frac { 1 } { 1 + ( h ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \partial _ { x _ { 2 } } \left( \partial _ { x _ { 2 } } ( ( 1 + ( h ^ { \prime } ) ^ { 2 } ) \partial _ { x _ { 2 } } \tilde { \phi } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 1 + ( h ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \partial _ { x _ { 2 } } \left( \tilde { L } \tilde { \phi } - \partial _ { x _ { 1 } } ^ { 2 } \tilde { \phi } + \partial _ { x _ { 1 } } ( h ^ { \prime } \partial _ { x _ { 2 } } \tilde { \phi } ) + \partial _ { x _ { 2 } } ( h ^ { \prime } \partial _ { x _ { 1 } } \tilde { \phi } ) \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 1 + ( h ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \partial _ { x _ { 2 } } \left( \tilde { f } - \partial _ { x _ { 1 } } ^ { 2 } \tilde { \phi } + \partial _ { x _ { 1 } } ( h ^ { \prime } \partial _ { x _ { 2 } } \tilde { \phi } ) + \partial _ { x _ { 2 } } ( h ^ { \prime } \partial _ { x _ { 1 } } \tilde { \phi } ) \right) . } \end{array}
S = \sum _ { i = 1 } ^ { k } { f \left( { { { S } _ { \lambda } } _ { i } } \right) \prod _ { l = 1 . l \ne i } ^ { k } { \frac { { { { S } _ { \lambda } } _ { l } } } { { { { { S } _ { \lambda } } _ { l } } } - { { { S } _ { \lambda } } _ { i } } } } } .
S _ { \mathrm { b r } } = - \int { d ^ { n + 1 } x \, \sqrt { g _ { n + 1 } \, f ^ { n + 1 } ( \phi ) } \, { \mathcal { L } } _ { m } ( \psi , \nabla \psi , g _ { a b } f ( \phi ) ) } \, z ( \phi ) \, ,
J ^ { \mu \nu } \overline { { { \epsilon } } } ^ { I } \gamma _ { \nu } \gamma _ { \mu } \eta ^ { J } \epsilon _ { I J } = J ^ { \mu \nu } g _ { \mu \nu } \overline { { { \epsilon } } } ^ { I } \eta ^ { J } \epsilon _ { I J } = 0 \, .
e ^ { \check { W } } F ( \eta ) e ^ { - \check { W } } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n ! } [ \check { W } , [ \check { W } , \ldots , [ \check { W } , F ] \ldots ] ] = e ^ { \check { W } } F ( \eta ) \; .
{ \begin{array} { r l r l r l } { { 3 } \beta _ { 1 } + 1 \beta _ { 2 } + r _ { 1 } } & { } & { \; = \; } & { } & { 6 , } & { } \\ { \beta _ { 1 } + 2 \beta _ { 2 } + r _ { 2 } } & { } & { \; = \; } & { } & { 5 , } & { } \\ { \beta _ { 1 } + 3 \beta _ { 2 } + r _ { 3 } } & { } & { \; = \; } & { } & { 7 , } & { } \\ { \beta _ { 1 } + 4 \beta _ { 2 } + r _ { 4 } } & { } & { \; = \; } & { } & { 1 0 . } & { } \end{array} }
\begin{array} { r l r } & { } & { \exp \left( t _ { n } \log \left( \frac { n e } { t _ { n } } \right) \right) \exp \left( - \frac { 3 n } { 4 } \cdot \frac { ( \log { \lambda _ { b } } ) ^ { \theta } } { \lambda _ { a } } \right) } \\ & { } & { \; \; \leq \; \; \exp \left( n \frac { \log { \lambda _ { a } } } { \lambda _ { a } } \log \left( \frac { 2 n e | \log ( 1 - p ) | } { \log { \lambda _ { a } } } \right) \right) \exp \left( - \frac { 3 n } { 4 } \cdot \frac { ( \log { \lambda _ { b } } ) ^ { \theta } } { \lambda _ { a } } \right) } \\ & { } & { \; \; = \; \; \exp \left( n \frac { \log { \lambda _ { a } } } { \lambda _ { a } } \log \left( \frac { 2 e \lambda _ { b } } { \log { \lambda _ { a } } } \right) \right) \exp \left( - \frac { 3 n } { 4 } \cdot \frac { ( \log { \lambda _ { b } } ) ^ { \theta } } { \lambda _ { a } } \right) } \\ & { } & { \; \; \leq \; \; \exp \left( n \frac { \log { \lambda _ { a } } } { \lambda _ { a } } \log \left( 2 e \lambda _ { b } \right) \right) \exp \left( - \frac { 3 n } { 4 } \cdot \frac { ( \log { \lambda _ { b } } ) ^ { \theta } } { \lambda _ { a } } \right) } \\ & { } & { \; \; \leq \; \; \exp \left( n \frac { ( \log ( 2 e \lambda _ { b } ) ) ^ { 2 } } { \lambda _ { a } } \right) \exp \left( - \frac { 3 n } { 4 } \cdot \frac { ( \log { \lambda _ { b } } ) ^ { \theta } } { \lambda _ { a } } \right) } \\ & { } & { \; \; \leq \; \; \exp \left( - \frac { 3 n } { 8 } \cdot \frac { ( \log { \lambda } _ { b } ) ^ { \theta } } { \lambda _ { a } } \right) } \end{array}
\begin{array} { l } { { F _ { + } ( z ) = \left( \begin{array} { c c } { { - i x _ { + } { \cdot \tilde { \sigma } } \, \tau _ { + } } } & { { 2 \bar { \theta } _ { b } \, p _ { + } } } \\ { { 2 \theta ^ { a } \, \tau _ { + } } } & { { \delta _ { ~ b } ^ { a } \, p _ { + } } } \end{array} \right) } } \\ { { { } } } \\ { { F _ { - } ( z ) = \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - \bar { { \cal E } } } } \end{array} \right) F _ { + } ( - z ) ^ { t } \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - { \cal E } } } \end{array} \right) } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } & { \left( \frac { m ^ { 2 } } { 2 } - \lambda \right) q _ { m } + \gamma ( 2 \uppi ) ^ { d } \sigma _ { 1 , m } \int _ { R ^ { n } } \sigma _ { 2 } ( z ) \phi _ { m } ( z ) \, { \mathrm { d } } z = 0 , } \\ & { \left( \frac { 1 } { 2 } - \lambda \right) \phi _ { m } ( z ) + \gamma ( 2 \uppi ) ^ { d } \Gamma ( z ) \sigma _ { 1 , m } q _ { m } = 0 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } \delta \mathbf { U } _ { i , j } } { \mathrm { d t } } = } & { { } - \left( \xi _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L } + \xi _ { i , j + 1 / 2 } ^ { L } + \xi _ { i - 1 / 2 , j } ^ { R } + \xi _ { i , j - 1 / 2 } ^ { R } \right) \delta \mathbf { U } _ { i , j } } \end{array}
P = S T = { \left[ \begin{array} { l l l l } { { \frac { 2 } { { \mathrm { r i g h t } } - { \mathrm { l e f t } } } } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { { \frac { 2 } { { \mathrm { t o p } } - { \mathrm { b o t t o m } } } } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { { \frac { 2 } { { \mathrm { f a r } } - { \mathrm { n e a r } } } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { - { \frac { { \mathrm { l e f t } } + { \mathrm { r i g h t } } } { 2 } } } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { - { \frac { { \mathrm { t o p } } + { \mathrm { b o t t o m } } } { 2 } } } \\ { 0 } & { 0 } & { - 1 } & { - { \frac { { \mathrm { f a r } } + { \mathrm { n e a r } } } { 2 } } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l r l } { \psi ( { \mathbf { r } } ) = \operatorname* { d e t } \Phi } & { { } = \operatorname* { d e t } ( \varPhi \Omega ^ { T } ) } & { \varPhi , \Omega } & { { } \in \mathbb { R } ^ { N \times \eta } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 0 } & { = } & { 8 Q _ { 1 } ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 4 } Q _ { 1 } } { \partial \tau _ { \infty , 1 } ^ { 4 } } - 1 6 Q _ { 1 } \frac { \partial Q _ { 1 } } { \partial \tau _ { \infty , 1 } } \frac { \partial ^ { 3 } Q _ { 1 } } { \partial \tau _ { \infty , 1 } ^ { 3 } } - 1 2 Q _ { 1 } \left( \frac { \partial ^ { 2 } Q _ { 1 } } { \partial \tau _ { \infty , 1 } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } + 1 6 \left( \frac { \partial Q _ { 1 } } { \partial \tau _ { \infty , 1 } } \right) ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } Q _ { 1 } } { \partial \tau _ { \infty , 1 } ^ { 2 } } } \\ & { } & { - 8 Q _ { 1 } ( \tau _ { \infty , 1 } + 5 Q _ { 1 } ^ { 3 } ) \frac { \partial ^ { 2 } Q _ { 1 } } { \partial \tau _ { \infty , 1 } ^ { 2 } } + ( 8 \tau _ { \infty , 1 } - 2 0 Q _ { 1 } ^ { 3 } ) \left( \frac { \partial Q _ { 1 } } { \partial \tau _ { \infty , 1 } } \right) ^ { 2 } - 8 Q _ { 1 } \frac { \partial Q _ { 1 } } { \partial \tau _ { \infty , 1 } } } \\ & { } & { + 2 0 Q _ { 1 } ^ { 7 } + 1 2 \tau _ { \infty , 2 } Q _ { 1 } ^ { 5 } + 8 \tau _ { \infty , 1 } Q _ { 1 } ^ { 4 } + ( \tau _ { \infty , 2 } ^ { 2 } - 2 4 t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , 0 } + 1 2 \hbar ) Q _ { 1 } ^ { 3 } - \tau _ { \infty , 1 } ^ { 2 } Q _ { 1 } } \end{array}
\boldsymbol { F } _ { i j } ^ { e q } = \int \boldsymbol { u } \cdot \boldsymbol { n } _ { i j } \left[ C _ { 1 } g _ { 0 } ^ { \ast } + C _ { 2 } \boldsymbol { u } \cdot \frac { \partial g _ { t } } { \partial \vec { r } } + C _ { 3 } \frac { \partial g _ { t } } { \partial t } \right] { \vec { \psi } } \mathrm { d } \boldsymbol { \Xi } .
\begin{array} { r l r } { G _ { j } ^ { I ^ { \prime } , I } = \langle I ^ { \prime } , j | \Delta V ( R , \omega , r ) | I , j \rangle } & { { } = } & { \langle I ^ { \prime } , j | \hat { R } ^ { - 1 } [ \hat { R } \Delta V ( R , \omega , r ) \hat { R } ^ { - 1 } ] \hat { R } | I , j \rangle } \end{array}
u _ { 1 } = 2 \exp \left( i \frac { z } { 2 { \hbar } c } \right) \mathrm { R e } \left[ \frac { 1 } { { \Gamma } ( 1 + i { \beta } ) } \exp \left( i \frac { z } { 2 { \hbar } c } \right) ( \frac { i z } { { \hbar } c } ) ^ { - 1 + i { \beta } } G ( 1 - i { \beta } , - i { \beta } ; \frac { i z } { { \hbar } c } ) \right] .
\begin{array} { r l } { \Delta \Tilde { G } ^ { T , \mathrm { s p h } } ( \omega ) } & { { } = \frac { 1 } { 3 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } r \int _ { 0 } ^ { \pi } \mathrm { d } \theta \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \mathrm { d } \phi r ^ { 2 } \sin \theta } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \psi ( \phi ) = \psi _ { + } ( \phi ) + \psi _ { - } ( \phi ) , } \\ & { f ( \phi ) = f _ { + } ( \phi ) + f _ { - } ( \phi ) , } \\ & { g ( \mathbf { F } ) = g _ { + } ( \mathbf { F } ) + g _ { - } ( \mathbf { F } ) , } \\ & { h ( \mathbf { F } ) = h _ { + } ( \mathbf { F } ) + h _ { - } ( \mathbf { F } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { h _ { f } ^ { 1 / 2 } \| J _ { 2 } ( \boldsymbol { v } _ { h } ) \| _ { L ^ { 2 } ( f ) } } } \\ & { } & { = h _ { f } ^ { 1 / 2 } \| [ [ ( \boldsymbol { f } - \kappa \boldsymbol { v } _ { h } ) ] ] \| _ { L ^ { 2 } ( f ) } } \\ & { } & { = h _ { f } ^ { 1 / 2 } \| [ [ ( \boldsymbol { f } - \kappa \boldsymbol { v } _ { H } + \kappa \boldsymbol { v } _ { H } - \kappa \boldsymbol { v } _ { h } ) ] ] \| _ { L ^ { 2 } ( f ) } } \\ & { } & { \leq h _ { f } ^ { 1 / 2 } ( \| [ [ ( \boldsymbol { f } - \kappa \boldsymbol { v } _ { H } ) ] ] \| _ { L ^ { 2 } ( f ) } + \| [ [ \kappa ( \boldsymbol { v } _ { H } - \boldsymbol { v } _ { h } ) ] ] \| _ { L ^ { 2 } ( f ) } ) } \\ & { } & { \leq h _ { f } ^ { 1 / 2 } \| J _ { 2 } ( \boldsymbol { v } _ { H } ) \| _ { L ^ { 2 } ( f ) } + h _ { f } ^ { 1 / 2 } ( \| \kappa ( \boldsymbol { v } _ { H } - \boldsymbol { v } _ { h } ) \vert _ { \tau _ { * } ^ { 1 } } \| _ { L ^ { 2 } ( f ) } + \| \kappa ( \boldsymbol { v } _ { H } - \boldsymbol { v } _ { h } ) \vert _ { \tau _ { * } ^ { 2 } } \| _ { L ^ { 2 } ( f ) } ) } \\ & { } & { \lesssim h _ { f } ^ { 1 / 2 } \| J _ { 2 } ( \boldsymbol { v } _ { H } ) \| _ { L ^ { 2 } ( f ) } + \| \kappa \boldsymbol { v } _ { H } - \kappa \boldsymbol { v } _ { h } \| _ { L ^ { 2 } ( \tau _ { * } ^ { 1 } \cup \tau _ { * } ^ { 2 } ) } . } \end{array}