harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \ \mathcal { G } ^ { \lambda } ( s ^ { \lambda } ; A _ { 1 } \sqcup A _ { 2 } ) + \int _ { \{ T \} \times \mathbb { T } ^ { d } \cap ( A _ { 1 } \sqcup A _ { 2 } ) } \Big [ s ^ { \lambda } ( T , z ) g ( z ) + \frac { 1 } { 2 \beta } \Phi \big ( s ^ { \lambda } ( T , z ) \big ) \Big ] d z } \\ { \leq } & { \ \mathcal { G } ^ { \lambda } ( s _ { 1 } ^ { \lambda } ; A _ { 1 } ) + \int _ { \{ T \} \times \mathbb { T } ^ { d } \cap A _ { 1 } } \Big [ s _ { 1 } ^ { \lambda } ( T , z ) g ( z ) + \frac { 1 } { 2 \beta } \Phi \big ( s _ { 1 } ^ { \lambda } ( T , z ) \big ) \Big ] d z } \\ & { \ + \mathcal { G } ^ { \lambda } ( s _ { 2 } ^ { \lambda } ; A _ { 2 } ) + \int _ { \{ T \} \times \mathbb { T } ^ { d } \cap A _ { 2 } } \Big [ s _ { 2 } ^ { \lambda } ( T , z ) g ( z ) + \frac { 1 } { 2 \beta } \Phi \big ( s _ { 2 } ^ { \lambda } ( T , z ) \big ) \Big ] d z } \\ & { \ + \mathcal { G } ^ { \lambda } ( s ^ { \lambda } ; { \Delta } _ { 2 r } \cap \Gamma _ { K \lambda } ) + \mathcal { N } ^ { \lambda } ( s ^ { \lambda } ; A _ { 1 } , A _ { 2 } ) . } \end{array}
\delta ( f ^ { a } ( A ) ) \, \to \, \exp - \frac { 1 } { 2 \xi } \int d ^ { 4 } x \, ( \partial _ { \mu } A _ { \mu } ^ { a } ) ^ { 2 } \, = \, \int \mathcal { D } B \, \exp - \int d ^ { 4 } x \left( i B ^ { a } \partial _ { \mu } A _ { \mu } ^ { a } + \frac { \xi } { 2 } B ^ { a } B ^ { a } \right) \; ,
\begin{array} { r l } { f _ { m } } & { { } = \tilde { f } _ { m } / \rho _ { r } , } \\ { \ensuremath { f ^ { \mathrm { ~ e ~ q ~ } } } _ { m } } & { { } = \tilde { f } _ { m } ^ { \mathrm { { e q } } } / \rho _ { r } , } \\ { t } & { { } = \tilde { t } / ( L / e _ { r } ) , } \\ { \ensuremath { \mathbf { e } } } & { { } = \tilde { \vec { e } } / e _ { r } , } \\ { \nabla } & { { } = L \tilde { \nabla } , \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } \\ { \tau } & { { } = \tilde { \tau } / t _ { c } . } \end{array}
\frac { \partial C [ g , t ] } { \partial t } = - \frac { 1 } { 1 2 } \beta ^ { i } { \cal G } _ { i j } \beta ^ { j } ~ , \qquad \beta ^ { i } = { \cal G } ^ { i j } \frac { \partial C [ g , t ] } { \partial g ^ { j } }
d \Gamma = \frac { G ^ { 2 } \left| V _ { u b } \right| ^ { 2 } } { ( 2 \pi ) ^ { 5 } M _ { B } } L ^ { \mu \nu } W _ { \mu \nu } \frac { d ^ { 3 } P _ { e } } { 2 E _ { e } } \frac { d ^ { 3 } P _ { \nu } } { 2 E _ { \nu } } .
\begin{array} { r l } { q _ { u } + q _ { w } } & { \leq \ell - | \overline { { X } } _ { a } | - p _ { u } + \ell - | \overline { { X } } _ { a } | - p _ { w } } \\ & { \leq \ell - | \overline { { X } } _ { a } | - 1 + \ell - | \overline { { X } } _ { a } | - 1 } \\ & { = 2 ( \ell - | \overline { { X } } _ { a } | - 1 ) } \\ & { \leq | Y \setminus \overline { { Y } } _ { a } | - 2 } \\ & { \leq | Y \setminus Y ^ { * } | - 1 \, . } \end{array}
\begin{array} { l l } { { | V _ { u d } | = 1 - \lambda ^ { 2 } / 2 , } } & { { | V _ { u b } / V _ { c b } | = 0 . 0 8 5 \pm 0 . 0 2 } } \\ { { | V _ { c b } | = 0 . 0 3 9 5 \pm 0 . 0 0 1 7 } } & { { | V _ { u s } | = \lambda = 0 . 2 1 9 6 . } } \end{array}
{ \cal S } _ { H } = \int d ^ { 4 } x \left\{ - \eta ^ { \mu \nu } D _ { \mu } H ^ { \dagger } D _ { \nu } H - \lambda \left( H ^ { 2 } - v _ { 0 } ^ { 2 } e ^ { - 2 k | y _ { i } | } \right) ^ { 2 } \right\}
\frac { \partial ^ { 2 } \vec { V } ^ { \prime } } { \partial t ^ { 2 } } = \left( c ^ { 2 } + \frac { \lambda + \mu } { \bar { \rho } } \frac { \partial } { \partial t } \right) \nabla \left( \nabla \cdot \vec { V } ^ { \prime } \right) + \frac { \mu } { \bar { \rho } } \frac { \partial } { \partial t } \nabla ^ { 2 } \vec { V } ^ { \prime }
\begin{array} { r l } { { e _ { 1 } } } & { { = { \frac { \pi ^ { 2 } } { 1 2 \omega ^ { 2 } } } \left( \theta _ { 3 } ( 0 ) ^ { 4 } + \theta _ { 4 } ( 0 ) ^ { 4 } \right) } } \\ { { } } & { { = { \frac { \pi ^ { 2 } } { 1 2 \omega ^ { 2 } } } \prod _ { n = 1 } ^ { \infty } ( 1 - q ^ { 2 n } ) ^ { 4 } \left( \prod _ { n = 1 } ^ { \infty } ( 1 + q ^ { 2 n - 1 } ) ^ { 8 } + \prod _ { n = 1 } ^ { \infty } ( 1 - q ^ { 2 n - 1 } ) ^ { 8 } \right) } } \\ { { e _ { 2 } } } & { { = { \frac { \pi ^ { 2 } } { 1 2 \omega ^ { 2 } } } \left( \theta _ { 2 } ( 0 ) ^ { 4 } - \theta _ { 4 } ( 0 ) ^ { 4 } \right) } } \\ { { } } & { { = { \frac { \pi ^ { 2 } } { 1 2 \omega ^ { 2 } } } \prod _ { n = 1 } ^ { \infty } ( 1 - q ^ { 2 n } ) ^ { 4 } \left( 1 6 q \prod _ { n = 1 } ^ { \infty } ( 1 + q ^ { 2 n } ) ^ { 8 } - \prod _ { n = 1 } ^ { \infty } ( 1 - q ^ { 2 n - 1 } ) ^ { 8 } \right) } } \\ { { e _ { 3 } } } & { { = - { \frac { \pi ^ { 2 } } { 1 2 \omega ^ { 2 } } } \left( \theta _ { 2 } ( 0 ) ^ { 4 } + \theta _ { 3 } ( 0 ) ^ { 4 } \right) } } \\ { { } } & { { = - { \frac { \pi ^ { 2 } } { 1 2 \omega ^ { 2 } } } \prod _ { n = 1 } ^ { \infty } ( 1 - q ^ { 2 n } ) ^ { 4 } \left( 1 6 q \prod _ { n = 1 } ^ { \infty } ( 1 + q ^ { 2 n } ) ^ { 8 } + \prod _ { n = 1 } ^ { \infty } ( 1 + q ^ { 2 n - 1 } ) ^ { 8 } \right) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { H o m } ( f ^ { * } L , f ^ { * } L ^ { \prime } ) } & { \simeq \mathrm { H o m } ( L , f _ { * } f ^ { * } L ^ { \prime } ) } \\ & { \simeq \mathrm { H o m } ( L , f _ { * } \bf { 1 } _ { \bf { A } _ { X } ^ { 1 } } \otimes L ^ { \prime } ) } \\ & { \simeq \mathrm { H o m } ( L , L ^ { \prime } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { k ( L , \tau ) \Delta \tau = \operatorname* { m i n } \left( 1 , \frac { P ^ { \mathrm { i n } } ( L ) \rho _ { L _ { \mathrm { t s } } } ( \tau _ { 0 } | L , \tau ) \Delta \tau \ \Delta L } { n _ { \tau , \Delta L } } \right) } \end{array}
T _ { \rho \sigma \mu \nu } ^ { ( 4 ) a b c d } ( p _ { 1 } , p _ { 2 } ; k _ { 1 } , k _ { 2 } ) = C _ { 1 } \gamma _ { \rho \sigma \mu \nu } ^ { ( 1 ) } + C _ { 2 } \gamma _ { \rho \sigma \mu \nu } ^ { ( 2 ) } + C _ { 3 } \gamma _ { \rho \sigma \mu \nu } ^ { ( 3 ) }
\begin{array} { r l r } { J _ { u p } } & { { } \propto } & { \langle \eta ^ { \uparrow } v _ { \uparrow } \rangle \, , } \\ { J _ { d o w n } } & { { } \propto } & { \langle \eta ^ { \downarrow } v _ { \downarrow } \rangle \, . } \end{array}
\sigma ( b ^ { 2 } ) = { \frac { \pi ^ { 2 } } { 3 } } \left[ b ^ { 2 } \alpha _ { s } ( Q ^ { 2 } ) x G _ { T } ( x , Q ^ { 2 } ) \right] _ { x = Q ^ { 2 } / s , Q ^ { 2 } = \lambda / b ^ { 2 } } \ ,
\begin{array} { r l } { { \pi _ { 0 } , \pi _ { j } : } } & { { i [ p ^ { 2 } \delta Z _ { \phi } - m ^ { 2 } \delta _ { \pi } ] } } \\ { { \sigma : } } & { { i [ ( p ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) \delta Z _ { \phi } - m ^ { 2 } \delta _ { \sigma } ] . } } \end{array}
\delta \bar { \theta } ^ { A } ( \sigma ) = - \bar { \epsilon } ^ { A } + \bar { \kappa } ^ { B } ( \sigma ) ( { \bf 1 } \, \delta ^ { B A } + \Gamma ^ { B A } ( \sigma ) ) + f ^ { A } { } _ { B C } \Lambda ^ { B } ( \sigma ) \bar { \theta } ^ { C } ( \sigma ) \, .
\langle 0 | { \cal O } _ { 1 } ^ { \chi _ { c J } } ( { } ^ { 3 } \! P _ { J } ) | 0 \rangle = ( 2 J + 1 ) \frac { 9 } { 2 \pi } | R _ { \chi _ { c } } ^ { \prime } ( 0 ) | ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { ( \phi _ { V } ) _ { * } ( v _ { X } ^ { 0 } ( \phi _ { V } ^ { * } ( y ) ; \rho ) ) ( j ) } & { = \sum _ { i \in \phi _ { V } ^ { - 1 } ( j ) } v _ { X } ^ { 0 } ( y \circ \phi _ { V } ; \rho ) ( i ) = \sum _ { i \in \phi _ { V } ^ { - 1 } ( j ) } \rho ( i ) \, y ( \phi _ { V } ( i ) ) } \\ & { = \left( \sum _ { i \in \phi _ { V } ^ { - 1 } ( j ) } \rho ( i ) \right) y ( j ) = v _ { Y } ^ { 0 } ( y ; ( \phi _ { V } ) _ { * } ( \rho ) ) ( j ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { y _ { c } } & { = } & { \mp \sqrt { \frac { p _ { 4 } + p _ { 1 } ^ { 2 } p _ { 2 } - \sqrt { ( p _ { 4 } + p _ { 1 } ^ { 2 } p _ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 p _ { 1 } ^ { 2 } p _ { 4 } ( p _ { 2 } - p _ { 1 } p _ { 3 } N _ { 0 } ) } } { 2 p _ { 1 } ^ { 2 } p _ { 4 } } } , } \\ { \Delta N } & { = } & { - \frac { p _ { 1 } N _ { 0 } } { 1 + \left( p _ { 1 } y _ { c } \right) ^ { 2 } } y _ { c } , } \\ { N } & { = } & { \frac { N _ { 0 } } { 1 - \left( p _ { 1 } y _ { c } \right) ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \Psi } ( x ) _ { | \nu = 5 / 2 , \delta = - 1 , E = 4 } ~ = ~ \frac { \exp \left( - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } \right) I _ { 0 } \left( \frac { x ^ { 2 } } { 2 } \right) } { ( 2 4 - 6 ~ x ^ { 2 } + x ^ { 4 } ) ~ I _ { 0 } \left( \frac { x ^ { 2 } } { 2 } \right) - x ^ { 2 } ~ ( x ^ { 2 } - 4 ) ~ I _ { 1 } \left( \frac { x ^ { 2 } } { 2 } \right) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { { \bf E } ( { \bf r } , \omega ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \int d \omega ^ { \prime } \int d { \bf r } ^ { \prime } G ( { \bf r } , { \bf r } ^ { \prime } , \omega , \omega ^ { \prime } ) \cdot { \bf J } ( { \bf r } ^ { \prime } , \omega ^ { \prime } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { B } ( \mathbf { r } , t ) } & { { } = { \boldsymbol { \nabla } } \times \mathbf { A } ( \mathbf { r } , t ) } \\ { \mathbf { E } ( \mathbf { r } , t ) } & { { } = - { \boldsymbol { \nabla } } \phi ( \mathbf { r } , t ) - { \frac { \partial \mathbf { A } ( \mathbf { r } , t ) } { \partial t } } , } \end{array}
\mathbb { P } \left( \left\lVert \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \boldsymbol { \epsilon } _ { t } \boldsymbol { \epsilon } _ { t } ^ { \prime } - \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { E } \boldsymbol { \epsilon } _ { t } \boldsymbol { \epsilon } _ { t } ^ { \prime } \right\rVert _ { \operatorname* { m a x } } \leq y \right) \geq 1 - C _ { 1 } N ^ { 2 } \exp \left( - C _ { 2 } T y ^ { 2 } \right) .
\int d ^ { 4 } x \sqrt { - g } g ^ { \mu \nu } \partial _ { \mu } \bar { r } ^ { a } \partial _ { \nu } r ^ { a } \sim \int d ^ { 4 } \tilde { x } \eta ^ { \mu \nu } \tilde { \partial } _ { \mu } \bar { r } ^ { a } \tilde { \partial } _ { \nu } r ^ { a } \ .
I = \frac { \bar { \beta } } { \sqrt { \pi } } e ^ { - \bar { m } ^ { 2 } \pi } \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { \left( \bar { t } _ { f } \right) ^ { 2 k - 1 } \left( - 1 \right) ^ { k + 1 } } { \left( 2 k - 1 \right) \left( k - 1 \right) ! } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d u u ^ { ( 2 k - 5 ) / 2 } } { u + \pi } e ^ { - u \bar { m } ^ { 2 } - \frac { \bar { \beta } ^ { 2 } } { 4 u } }
\begin{array} { r } { C _ { i } = \frac { \tilde { Q } _ { 0 } \phi _ { i - 1 } ^ { i - 1 } ( 0 ) - R _ { 0 } P _ { 1 } \phi _ { i - 2 } ^ { i - 1 } ( 0 ) } { \prod _ { j = 0 } ^ { i - 1 } R _ { j } } , } \end{array}
2 { \frac { \mu } { R ^ { 2 } } } u = \arctan { \frac { \mu r ^ { 2 } / R ^ { 2 } - E ^ { 2 } R ^ { 2 } / 2 \mu } { \sqrt { ( E ^ { 2 } - { \frac { \mu ^ { 2 } } { R ^ { 2 } } } ) r ^ { 2 } - { \frac { \mu ^ { 2 } } { R ^ { 4 } } } r ^ { 4 } + { \frac { \mu ^ { 2 } M } { R ^ { 2 } } } } } } .
\mathcal { R } = \bigoplus _ { i } M a t _ { n _ { i } } ( \mathbf { C } ) \otimes 1 _ { m _ { i } } \, \, \, \, \, \, i n \, \, \, \mathcal { H } = \oplus \mathcal { H } _ { n _ { i } } \otimes \mathcal { H } _ { m _ { i } }
\begin{array} { r l } { V ^ { \alpha } ( \mathbf { s } ) \leq } & { \mathbb { E } _ { g ^ { \prime } } [ \sum _ { t = 1 } ^ { T - 1 } \! \! \alpha ^ { t - 1 } C ( \mathbf { s } _ { t } , \! u _ { t } ; \beta ) | \mathbf { s } ] } \\ & { + \! \mathbb { E } _ { g ^ { \prime } } [ \sum _ { t = T } ^ { \infty } \! \! \alpha ^ { t - 1 } C ( \mathbf { s } _ { t } , \! u _ { t } ; \beta ) | \mathbf { 0 } ] } \\ { \leq } & { c _ { \mathbf { s } , \mathbf { 0 } } ( g ) + \mathbb { E } _ { g _ { \alpha } } ( \alpha ^ { ( T - 1 ) } ) V ^ { \alpha } ( \mathbf { 0 } ) } \\ { \leq } & { c _ { \mathbf { s } , \mathbf { 0 } } ( g ) + V ^ { \alpha } ( \mathbf { 0 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial u } { \partial x } + \frac { \partial w } { \partial z } = 0 } \\ & { \frac { \partial u } { \partial t } = - \frac { \partial p } { \partial x } + \frac { 1 } { R e } \left( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial z ^ { 2 } } \right) u } \\ & { \frac { \partial w } { \partial t } = - \frac { \partial p } { \partial z } + \frac { 1 } { R e } \left( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial z ^ { 2 } } \right) w - \left( \frac { g L } { U ^ { 2 } } \right) \rho } \\ & { \frac { \partial \rho } { \partial t } + \left( \frac { d \rho _ { b } } { d z } \right) w = \frac { 1 } { R e P r } \left( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial z ^ { 2 } } \right) \rho } \end{array}
\int _ { \Omega } \delta ( { \cal L } ) \sqrt { g } \; d ^ { 4 } x = \int _ { \Omega } J ^ { \mu \nu } { } _ { \lambda \rho } \left\{ - 2 \nabla _ { \mu } \nabla ^ { \lambda } ( \delta g ) _ { \nu } { } ^ { \rho } + R _ { \mu \nu } { } ^ { \sigma \lambda } ( \delta g ) _ { \sigma } { } ^ { \rho } \right\} \sqrt { g } \; d ^ { 4 } x .
d P S _ { 3 } ( t \rightarrow W b g ) = { \frac { m _ { t } ^ { 2 } \pi ^ { 2 } } { 4 } } f _ { + } f _ { - } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x _ { g } \int _ { 0 } ^ { { \frac { f _ { - } ^ { 2 } x _ { g } ( 1 - x _ { g } ) } { f _ { + } ( 1 - f _ { - } x _ { g } ) } } } d ( 1 - x _ { W } ) \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } { \frac { d \phi _ { g } } { 2 \pi } }
\begin{array} { r l } { \bar { \mathcal { H } } } & { { } = \left( \mathcal { K } _ { a } + \mathcal { S } _ { a } \right) ( y _ { 1 } \overline { { y } } _ { 1 } + y _ { 2 } \overline { { y } } _ { 2 } ) + \mathcal { K } _ { b } ( y _ { 1 } \overline { { y } } _ { 1 } + y _ { 2 } \overline { { y } } _ { 2 } ) ^ { 2 } } \end{array}
\mathbf { F } _ { \mathrm { H L L D } } = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { F } ( \mathbf { U } _ { L } ) \, } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad S _ { L } ^ { l } \geq 0 } \\ { \mathbf { F } ( \mathbf { U } _ { L } ) + S _ { L } ^ { l } ( \mathbf { U } _ { L } ^ { \star } - \mathbf { U } _ { L } ) \, } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad S _ { L } ^ { l } < 0 \leq S _ { L } ^ { s } } \\ { \mathbf { F } ( \mathbf { U } _ { L } ) + S _ { L } ^ { l } ( \mathbf { U } _ { L } ^ { \star } - \mathbf { U } _ { L } ) + S _ { L } ^ { s } ( \mathbf { U } _ { L } ^ { \star \star } - \mathbf { U } _ { L } ^ { \star } ) \, } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad S _ { L } ^ { s } < 0 \leq S ^ { \star } } \\ { \mathbf { F } ( \mathbf { U } _ { R } ) + S _ { R } ^ { l } ( \mathbf { U } _ { R } ^ { \star } - \mathbf { U } _ { R } ) + S _ { R } ^ { s } ( \mathbf { U } _ { R } ^ { \star \star } - \mathbf { U } _ { R } ^ { \star } ) \, } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad S ^ { \star } < 0 \leq S _ { R } ^ { s } } \\ { \mathbf { F } ( \mathbf { U } _ { R } ) + S _ { R } ^ { l } ( \mathbf { U } _ { R } ^ { \star } - \mathbf { U } _ { R } ) \, } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad S _ { R } ^ { s } < 0 \leq S _ { R } ^ { l } } \\ { \mathbf { F } ( \mathbf { U } _ { R } ) \, } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad S _ { R } ^ { l } < 0 } \end{array} \right.
\left( \eta _ { a } ^ { \prime } ( \sigma ) + i 4 \pi G \, \epsilon _ { a } ^ { ~ b } \, \eta _ { b } ( \sigma ) \, { \frac { \delta } { \delta \eta _ { 2 } ( \sigma ) } } + i 4 \pi G \, \eta _ { 3 } ( \sigma ) \, \epsilon _ { a b } \, { \frac { \delta } { \delta \eta _ { b } ( \sigma ) } } \right) \, \Psi ( \eta , q , X ) \hspace * { \fill }
\begin{array} { r l } { A } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( Z - X ) , \quad E = \frac { 1 } { \sqrt { 6 } } ( X - 2 Y + Z ) , } \\ { T } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } ( X + Y + Z ) . } \end{array}
\Delta E _ { 1 } \equiv - \frac { 1 } { 2 \mathrm { L } } \int _ { 0 } ^ { 2 \mathrm { L } } d z ( e _ { 1 } { \phi } _ { ( 1 ) } ^ { \mathrm { s e l f } } ( 0 , z ) + e _ { 2 } { \phi } _ { ( 2 ) } ^ { \mathrm { s e l f } } ( 0 , z ) ) ,
V = \left( \begin{array} { l l } { \frac { | \alpha | ^ { 2 } } { 2 } + \frac { 1 } { 4 } } & { 0 } \\ { 0 } & { \frac { | \alpha | ^ { 2 } } { 2 } + \frac { 1 } { 4 } } \end{array} \right) .
G _ { 1 } n _ { 1 } + G _ { 1 2 } n _ { 2 } - { \tilde { \mu } _ { 1 } } = 0 , \quad G _ { 2 } n _ { 2 } + G _ { 1 2 } n _ { 1 } - { \tilde { \mu } _ { 2 } } = 0 .
\frac { \overline { { u ^ { \prime } u ^ { \prime } } } } { u _ { \tau } ^ { 2 } } \Big | _ { y ^ { + } = y _ { p } ^ { + } } = A _ { C } + B _ { C } R e _ { \tau } ^ { - 1 / 4 } + O ( { y ^ { + } } ^ { 3 } ) ,
\begin{array} { r l } { C } & { = \frac { 1 } { K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } C _ { k } } \\ & { = \frac { 1 } { K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \log \left( 1 + \biggl \| \mathbf { g } _ { k } ^ { T } \boldsymbol { \Phi } ^ { \star } [ k ] \mathbf { H } + \mathbf { f } _ { k } ^ { T } \biggr \| ^ { 2 } \frac { P _ { d } } { \sigma _ { n } ^ { 2 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { 1 } = 7 , } & { { } { } \quad p _ { 1 } = 1 p _ { 0 } + 6 } \\ { p _ { 2 } = 1 3 , } & { { } { } \quad p _ { 2 } = 1 p _ { 1 } + 6 } \\ { p _ { 3 } = 1 9 , } & { { } { } \quad p _ { 3 } = 1 p _ { 2 } + 6 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } } & { \left( \iint \frac { d \mu _ { X , j } ( x ) d \mu _ { X , j } ( y ) } { | x - y | ^ { s } } \right) } \\ & { = \iint _ { ( [ t _ { 0 } - j ^ { - 1 } , t _ { 0 } + j ^ { - 1 } ] \cap I ) ^ { 2 } } \mathbb { E } \left[ \left( | X _ { d } ^ { H ( \cdot ) } ( t ) - X _ { d } ^ { H ( \cdot ) } ( u ) | ^ { 2 } + | t - u | ^ { 2 } \right) ^ { - \frac { s } { 2 } } \right] \, d t \, d u } \\ & { \leq c ^ { \prime \prime } \iint _ { ( [ t _ { 0 } - j ^ { - 1 } , t _ { 0 } + j ^ { - 1 } ] \cap I ) ^ { 2 } } | t - u | ^ { \frac { 1 } { d } - s - \frac { \overline { { H } } ( t _ { 0 } , \varepsilon ) } { d } } \, d t \, d u . } \end{array}
R _ { \mathrm { ~ p ~ l ~ u ~ s ~ } } = \frac { \lambda _ { k } } { 1 - \lambda _ { k } } \frac { \operatorname* { d e t } g _ { C + i } ^ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } } { \operatorname* { d e t } g _ { C } ^ { s _ { 1 } , s _ { 2 } } } .
\langle \, : a _ { n } ^ { i } \, ( a _ { m } ^ { j } ) ^ { \dagger } : \, \rangle _ { \beta , \gamma } = \langle \, : ( a _ { m } ^ { j } ) ^ { \dagger } \, a _ { n } ^ { i } : \, \rangle _ { \beta , \gamma } = \frac { \delta ^ { i j } \, \delta _ { n m } } { e ^ { \epsilon _ { n } } - 1 } \, ,
u ( x , t ) = \int \mathbb { E } \left[ K ( X _ { t } ^ { z } , x ) \wedge \omega ( z , 0 ) \right] \mathrm { d } z + \int _ { 0 } ^ { t } \int \mathbb { E } \left[ K ( X _ { t } ^ { \xi , s } , x ) \wedge g ( \xi , s ) \right] \mathrm { d } \xi \mathrm { d } s ,
\mathbf { R } _ { \mathrm { ~ { ~ d ~ i ~ a ~ g ~ } ~ } } ^ { - } = \left[ \begin{array} { l l l l } { \mathbf { A } _ { 0 } ^ { - } } & { \mathbf { A } _ { 1 } ^ { - } } & { \cdots } & { \mathbf { A } _ { N } ^ { - } } \end{array} \right]
{ \cal F } _ { m _ { 1 } m _ { 2 } } ^ { \pm } ( x , y , t ) = \frac { i } { { \hbar } ^ { 2 } } \frac { 1 } { ( { \varepsilon } _ { m _ { 1 } , \pm } \cdot \mathrm { s i g n } ( { \varepsilon } _ { m _ { 1 } , \pm } ) + { \varepsilon } _ { m _ { 2 } , \pm } \cdot \mathrm { s i g n } ( { \varepsilon } _ { m _ { 2 } , \pm } ) ) ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { B _ { t } - B _ { t - 1 } } & { \leq - \frac { \mu \gamma } { 2 } B _ { t - 1 } + \frac { 2 0 \kappa ^ { 2 } \eta ^ { 2 } } { \mu \gamma } D _ { t - 1 } + \frac { 2 0 \kappa ^ { 2 } \eta ^ { 2 } } { \mu \gamma } E _ { t - 1 } + \frac { 1 0 \kappa ^ { 2 } I \eta ^ { 2 } } { \mu \gamma } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } D _ { \ell } + \frac { 1 0 \kappa ^ { 2 } \eta ^ { 2 } G _ { 2 } ^ { 2 } } { \mu \gamma b _ { x } M } + \frac { 3 \gamma ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { b _ { y } } } \end{array}
\left[ z _ { 2 } { \tilde { \cal G } } _ { f ^ { ( 2 ) } } ^ { [ M - 1 / M ] } ( z _ { 2 } ) = \right] z _ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { M } { \tilde { \alpha } } _ { i } k ( z _ { 2 } , { \tilde { u } } _ { i } - u _ { 2 1 } ) = z _ { 2 } G _ { f ^ { ( 2 ) } } ^ { [ M - 1 / M ] } ( z _ { 2 } ) \ .
\mathcal { F } _ { \mathrm { D M } } ( f ) = 2 \left( \frac { f - f _ { \mathrm { D M } } } { \pi } \right) ^ { 1 / 2 } \left( \frac { 3 } { 1 . 7 f _ { \mathrm { D M } } v _ { \mathrm { ~ v ~ i ~ r ~ } } ^ { 2 } } \right) ^ { 3 / 2 } \exp \left( - \frac { 3 ( f - f _ { \mathrm { D M } } ) } { 1 . 7 f _ { \mathrm { D M } } v _ { \mathrm { ~ v ~ i ~ r ~ } } ^ { 2 } } \right) ,
\left\{ \begin{array} { r l r l } { \partial _ { t } P _ { \mathbf { a } } ( t , x ; s , y ) - \nabla \cdot \mathbf { a } \nabla P _ { \mathbf { a } } ( t , x ; s , y ) } & { = 0 } & { ~ ~ \mathrm { f o r } } & { ~ ~ ( t , x ) \in ( 0 , \infty ) \times \mathbb { T } _ { L } , } \\ { P _ { \mathbf { a } } ( s , x ; s , y ) } & { = \delta _ { y } ( x ) - \frac { 1 } { \left| \mathbb { T } _ { L } \right| } } & { ~ ~ \mathrm { f o r } } & { ~ ~ x \in \mathbb { T } _ { L } . } \end{array} \right.
{ \mathcal { M } } f ( s ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } x ^ { s - 1 } { \frac { 1 } { e ^ { x } - 1 } } d x = \int _ { 0 } ^ { \infty } x ^ { s - 1 } { \frac { e ^ { - x } } { 1 - e ^ { - x } } } d x = \int _ { 0 } ^ { \infty } x ^ { s - 1 } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } e ^ { - n x } d x = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } x ^ { s } e ^ { - n x } { \frac { d x } { x } } = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { n ^ { s } } } \Gamma ( s ) = \Gamma ( s ) \zeta ( s ) .
\delta = - \frac { \omega } { 2 } \mathrm { R e } \left( \sqrt { 1 - \frac { \omega _ { p } ^ { 2 } } { \omega \left( \omega + \omega _ { c } \right) } } - \sqrt { 1 - \frac { \omega _ { p } ^ { 2 } } { \omega \left( \omega - \omega _ { c } \right) } } \right) .
\begin{array} { r l r } { c _ { 1 } } & { { } = } & { - \frac { \lambda _ { p } \Omega _ { p } } { 2 \pi } , } \\ { c _ { 2 } } & { { } = } & { \frac { \lambda _ { p } } { 2 \pi } \left( \tilde { \epsilon } _ { 1 2 } - \frac { 1 } { 8 } \frac { \Omega _ { C } ^ { 2 } } { \tilde { \epsilon } _ { 1 - } } - \frac { 1 } { 8 } \frac { \Omega _ { C } ^ { 2 } } { \tilde { \epsilon } _ { 1 + } } \right) , } \\ { \sigma } & { { } = } & { \sqrt { \frac { k _ { B } T } { m _ { R } } } , } \\ { \Gamma ( z ) } & { { } = } & { \sqrt { \frac { 2 } { \pi } } \frac { e ^ { - z ^ { 2 } } } { 1 - \mathrm { ~ e ~ r ~ f ~ } \left( z \right) } - \sqrt { 2 } z , } \end{array}
M ^ { 2 } | \Psi \rangle = - ( \Gamma ^ { m } { \bf P } _ { m } ) ^ { 2 } | \Psi \rangle = T ^ { 2 } \left( \operatorname * { d e t } ( G + { \cal F } ) _ { a b } + P ^ { a } G _ { a b } P ^ { b } \right) | \Psi \rangle \ ,
\mathsf { \Pi } _ { [ [ s r ] _ { J } , [ p q ] _ { T } ] _ { K } } ^ { B A } = \langle A \| [ [ b _ { p } ^ { \dagger } \otimes b _ { q } ^ { \dagger } ] _ { T } \otimes [ b _ { s } \otimes b _ { r } ] _ { J } ] _ { K } \| B \rangle .
\begin{array} { r l } { 0 = } & { { } \frac { 2 \pi a } { \gamma } \left( ( p - p _ { \mathrm { e x t } } ) - \frac { E } { 1 - \nu ^ { 2 } } \frac { \left( a - \langle a \rangle \right) } { e } + \sigma _ { \mathrm { a c t i v e } } + \mu \frac { \langle \tau \rangle ^ { 2 } } { \tau _ { c } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { i } ^ { \lambda } ( \mathbf { X } , t ) = \int _ { \tau } d \tau \iint _ { \Sigma } } & { { } \lambda _ { 1 } \big [ U _ { j } ( \pmb { \xi } , \tau ) \big ] ~ \lambda _ { 2 } c _ { j k p q } ~ \lambda _ { 3 } \mathbf { G } _ { i p , q } ( \mathbf { X } , t ; \pmb { \xi } , \tau ) ~ \lambda _ { 4 } \nu _ { k } ~ d \Sigma ( \pmb { \xi } ) } \end{array}
P ( \Theta | \mathcal { D } , \mathcal { M } ) \propto P ( \mathcal { D } ^ { u } | \Theta ) P ( \mathcal { D } ^ { \partial } | \Theta ) P ( \mathcal { D } ^ { I } | \Theta ) P ( \mathcal { D } ^ { \Omega } , \mathcal { F } | \Theta ) P ( \mathcal { D } ^ { \Omega } , \mathcal { H } | \Theta ) P ( \theta ) P ( \Sigma )
\begin{array} { r } { S _ { R } = \int d ^ { 4 } x \, e \, \overline { { \mathcal { L } } } _ { R } \quad , \quad \overline { { \mathcal { L } } } _ { R } = \phi _ { R } ^ { \dag } \left( x \right) D ^ { \mu } D _ { \mu } \, \phi _ { R } \left( x \right) \; . } \end{array}
M _ { n } = \sum _ { f l } { \frac { 4 \pi ( 2 l + 1 ) } { l ^ { 2 } ( l + 1 ) ^ { 2 } } } \left| \int _ { 0 } ^ { \infty } d r \, r ^ { 2 } R _ { f l } ^ { * } ( r ) \phi _ { i } ( r ) \right| ^ { 2 } ( E _ { i } - E _ { f } ) ^ { n } \, ,
\mathcal { L } _ { \mathrm { ~ e ~ n ~ c ~ } } ( \alpha ) = \sum _ { n } \left[ \mathcal { L } _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ c ~ o ~ n ~ s ~ t ~ r ~ u ~ c ~ t ~ } } ( \mathbf { u } _ { t _ { n } } ) + \gamma \mathcal { L } _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ s ~ i ~ s ~ t ~ e ~ n ~ c ~ y ~ } } ( \theta _ { t _ { n } } ) \right] .