harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \sigma _ { x } ^ { ( i ) } } & { = \mathrm { I d } ^ { \otimes ( i - 1 ) } \otimes \sigma _ { x } \otimes \mathrm { I d } ^ { \otimes ( N - i ) } , } \\ { \sigma _ { z } ^ { ( i ) } } & { = \mathrm { I d } ^ { \otimes ( i - 1 ) } \otimes \sigma _ { z } \otimes \mathrm { I d } ^ { \otimes ( N - i ) } , } \\ { \sigma _ { z } ^ { ( i ) } \sigma _ { z } ^ { ( j ) } } & { = \mathrm { I d } ^ { \otimes ( i - 1 ) } \otimes \sigma _ { z } \otimes \mathrm { I d } ^ { \otimes ( j - i - 1 ) } \otimes \sigma _ { z } \otimes \mathrm { I d } ^ { \otimes ( N - j ) } , } \end{array}
R ( S ) = \frac { 1 } { 2 } D _ { \mathrm { N } } ^ { \alpha } \big \{ { T ( S ) \big \} } + \frac { 1 } { 2 } \bigg ( D _ { \mathrm { N } } ^ { \alpha } \big \{ { T ( S ) \big \} } \bigg ) ^ { * } = R e \bigg \{ { D _ { \mathrm { N } } ^ { \alpha } \big \{ { T ( S ) \big \} } \bigg \} } ,
\begin{array} { r } { g _ { N } ( \omega , T ) = \frac { \left| 1 + ( - 1 ) ^ { 1 + N } e ^ { i \omega T } + 2 \sum _ { j = 1 } ^ { N } ( - 1 ) ^ { j } e ^ { i \omega t _ { j } } \right| ^ { 2 } } { ( \omega T ) ^ { 2 } } . } \end{array}
\mathbf { D } _ { k , \sigma } + \mathbf { D } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { ~ T ~ } } = 4 \left[ \int w _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { ~ T ~ } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \left( \rho _ { \sigma } ^ { \mathrm { ~ d ~ a ~ t ~ a ~ } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) - \rho _ { \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \right) \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } \, d \boldsymbol { \textbf { r } } \right] f ( \mathbf { E } _ { k , \sigma } ) \, ,
\begin{array} { r l } { \left( \mathcal { L } _ { \hat { A } } + \Pi _ { \hat { N } } \right) ( \hat { \Sigma } ) } & { \le - \hat { C } ^ { \top } \hat { C } \mathrm { ~ a n d ~ } \left( \mathcal { L } _ { \hat { A } } + \Pi _ { \hat { N } } \right) ( \hat { \Sigma } ^ { - 1 } ) \le - \hat { \Sigma } ^ { - 1 } \hat { B } \hat { B } ^ { \top } \hat { \Sigma } ^ { - 1 } \; . } \end{array}
\frac { 1 } { 2 } K ( k ^ { 2 } ) = \frac { 1 } { 2 } K _ { 1 1 } ( k ^ { 2 } ) + K _ { 2 0 } ( k ^ { 2 } ) - K _ { 1 1 0 } ( k ^ { 2 } ) - K _ { 2 0 0 } ( k ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r } { \Vert \mathrm { d i v } _ { x } \left[ j _ { f } - \rho _ { f } u + u \right] \Vert _ { \mathrm { H } ^ { \ell } } \lesssim \Vert f \Vert _ { \mathcal { H } _ { r } ^ { \ell + 1 } } + \Vert f \Vert _ { \mathcal { H } _ { r } ^ { \ell + 1 } } \Vert u \Vert _ { \mathrm { H } ^ { \ell + 1 } } + \Vert u \Vert _ { \mathrm { H } ^ { \ell + 1 } } , } \end{array}
p _ { 1 } \Theta p _ { 2 } + p _ { 1 } \Theta q _ { \parallel } + p _ { 2 } \Theta q _ { \parallel } = p _ { 1 } \Theta p _ { 2 } - q _ { \parallel } \Theta q _ { \parallel } = p _ { 1 } \Theta p _ { 2 } ~ ,
\begin{array} { r l } { \Omega _ { 1 } } & { { } = A _ { 1 } \sqrt { \mathcal { P } } , } \\ { \Omega _ { 2 } } & { { } = A _ { 2 } \sqrt { \frac { 1 + \mathcal { P } } { 2 } } , } \\ { \Omega _ { 3 } } & { { } = A _ { 3 } \sqrt { \frac { 1 - \mathcal { P } } { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 \Gamma _ { t _ { i } j } ^ { k } } & { = \mathrm { s u s p } ( g ) ^ { k \alpha } ( \mathrm { s u s p } ( g ) _ { t _ { i } \alpha , j } + \mathrm { s u s p } ( g ) _ { \alpha j , t _ { i } } - \mathrm { s u s p } ( g ) _ { t _ { i } j , \alpha } ) } \\ & { = \mathrm { s u s p } ( g ) ^ { k \alpha } \mathrm { s u s p } ( g ) _ { \alpha j , t _ { i } } } \\ & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathrm { i f ~ } \mathrm { m a x } \{ j , k \} > 0 , } \\ { \sum _ { \alpha < 0 } g ^ { k \alpha } g _ { j \alpha , t _ { i } } } & { \mathrm { i f ~ } \operatorname* { m a x } \{ j , k \} \leq 0 . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { B _ { 2 1 } } & { = } & { - \int _ { - \pi + \theta } ^ { - 4 S c + \theta } d \theta _ { 2 } \, \mathrm { s i n } { \frac { \theta _ { 2 } - \theta } { 2 } } \, \mathrm { e } ^ { i n _ { 2 } \theta _ { 2 } } } \\ { B _ { 2 2 } } & { = } & { \int _ { - \pi + \theta } ^ { - 4 S c + \theta } d \theta _ { 2 } \, \mathrm { c o s } ( \theta _ { 2 } - \theta ) \, \mathrm { e } ^ { i n _ { 2 } \theta _ { 2 } } } \\ { B _ { 2 3 } } & { = } & { \int _ { - \pi + \theta } ^ { - 4 S c + \theta } d \theta _ { 2 } \, \mathrm { s i n } ( \theta _ { 2 } - \theta ) \, \mathrm { e } ^ { i n _ { 2 } \theta _ { 2 } } } \\ { B _ { 3 1 } } & { = } & { \int _ { 4 S c + \theta } ^ { \pi + \theta } d \theta _ { 2 } \, \mathrm { s i n } { \frac { \theta _ { 2 } - \theta } { 2 } } \mathrm { e } ^ { i n _ { 2 } \theta _ { 2 } } } \\ { B _ { 3 2 } } & { = } & { \int _ { 4 S c + \theta } ^ { \pi + \theta } d \theta _ { 2 } \, \mathrm { c o s } ( \theta _ { 2 } - \theta ) \, \mathrm { e } ^ { i n _ { 2 } \theta _ { 2 } } } \\ { B _ { 3 3 } } & { = } & { \int _ { 4 S c + \theta } ^ { \pi + \theta } d \theta _ { 2 } \, \mathrm { s i n } ( \theta _ { 2 } - \theta ) \, \mathrm { e } ^ { i n _ { 2 } \theta _ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { S } _ { q q } ^ { \mathrm { o u t } } [ \omega ] = } & { \frac { 1 } { 2 } | H _ { 0 } ^ { q } [ \omega ] | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } | H _ { \mathrm { G } } ^ { q } [ \omega ] | ^ { 2 } } \\ { \bar { S } _ { p p } ^ { \mathrm { o u t } } [ \omega ] = } & { \frac { 1 } { 2 } | H _ { 0 } ^ { p } [ \omega ] | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } | H _ { \mathrm { G } } ^ { p } [ \omega ] | ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { s } = \frac { n _ { * } } { 2 \{ \log ( e p / s ^ { * } ) + t \} } \land \frac { \left( \frac { 1 } { 1 2 C _ { 1 } } \frac { \kappa _ { L } } { \gamma \kappa _ { U } ^ { 2 } \sigma _ { x } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } n _ { * } } { \log ( e p / s ^ { * } ) + t } \land \frac { n _ { \dagger } } { \{ \log ( e p / s ^ { * } ) + t \} \sqrt { \phi _ { * } } ( \gamma / \kappa _ { L } ) \kappa _ { U } ^ { 3 / 2 } \sigma _ { x } ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { s c } } & { { } = \frac { \eta ^ { 2 } k ^ { 2 } \rho } { 1 6 } \frac { 2 } { \pi k \rho } | e ^ { - j k \rho - j \frac { \pi } { 4 } } | ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \varphi ( \left| I _ { 1 } \right| ^ { 2 } + \left| I _ { 2 } \right| ^ { 2 } ) + 2 \Re \left\{ | I 1 | \cdot | I _ { 2 } | e ^ { - j k d \cos ( \varphi ) - \angle ( I _ { 1 } , I _ { 2 } ) } \right\} } \end{array}
( \alpha _ { i , i + 1 } ) _ { y } = \alpha _ { i + 1 } ( \alpha _ { i } ) _ { y } - \theta _ { i } \theta _ { i + 1 } ( \bar { \phi } _ { i } ^ { ( 2 } + \bar { \alpha } _ { i - 1 } - \bar { \alpha } _ { i + 2 } )
m _ { e e } = \sum _ { i } | U _ { e i } | ^ { 2 } m _ { i } = m _ { 1 } ~ c _ { 1 } ^ { 2 } c _ { 3 } ^ { 2 } + m _ { 2 } ~ s _ { 1 } ^ { 2 } c _ { 3 } ^ { 2 } + m _ { 3 } ~ s _ { 3 } ^ { 2 } .
\partial _ { v } \phi = \frac { u } { u v + \alpha } - \frac { a ^ { 2 } } { 2 } ( \frac { 2 } { \pi } \tan ^ { - 1 } \frac { v - v _ { 0 } } { \lambda } + 1 ) f ( u - u _ { 0 } ) + { \cal O } ( \lambda ) \; .
\left< W ( C ) \right> _ { \mathrm { l o w - e n e r g y } } = \int D h _ { \mu \nu } \exp \left\{ - \int d ^ { 3 } x \left[ \frac { 1 } { 6 \zeta } H _ { \mu \nu \lambda } ^ { 2 } + g ^ { 2 } h _ { \mu \nu } ^ { 2 } - 2 \pi i h _ { \mu \nu } \Sigma _ { \mu \nu } \right] \right\} .
\begin{array} { r l r } { \eta _ { i l } = \frac { m a x ( D ^ { f f } ( \theta ) ) } { D _ { u n i } ^ { f f } ( \theta _ { o n } ) } } & { { } } & { \eta _ { p } = \frac { P _ { r e f } } { P _ { i n c } } } \end{array}
J = J _ { - \pi / 4 } \left( \pi / 2 \right) R \left( \theta \right) J _ { \pi / 4 } \left( \pi / 2 \right) = \left[ \begin{array} { c c } { e ^ { i \theta } } & { 0 } \\ { 0 } & { e ^ { - i \theta } } \end{array} \right] = J _ { 0 } \left( 2 \theta \right) .
\hat { \Psi } ( m , z ) = N _ { m } \sqrt { \frac { g ( z ) } { k } } \left[ \left\{ \begin{array} { c } { { 1 } } \\ { { B } } \\ { { e ^ { 2 i q z _ { l } } } } \\ { { e ^ { 2 i q z _ { l } } B } } \end{array} \right\} H _ { 2 } ^ { + } \left( \frac { m } { k } g ( z ) \right) + \left\{ \begin{array} { c } { { A } } \\ { { C } } \\ { { e ^ { 2 i q z _ { l } } A } } \\ { { e ^ { 2 i q z _ { l } } C } } \end{array} \right\} H _ { 2 } ^ { - } \left( \frac { m } { k } g ( z ) \right) \right]
A ^ { T } = \Gamma _ { t } ^ { T } \cdots \Gamma _ { 1 } ^ { T } = ( - \eta ) ^ { t } { \cal C } \Gamma _ { t } \cdots \Gamma _ { 1 } = \eta ^ { t } { \cal C } A ^ { - 1 } { \cal C } ^ { - 1 } = ( - ) ^ { t ( t + 1 ) / 2 } \eta ^ { t } { \cal C } A { \cal C } ^ { - 1 } \, .
\begin{array} { r l } { \mathscr { F } _ { p } ^ { \boldsymbol { g } } ( { \mathbf { V } _ { Q _ { 0 } } ^ { \dagger } } ) } & { = T _ { f } ^ { \vee } \otimes \xi _ { 1 } ^ { - 1 } \Psi _ { T _ { 1 } } \otimes \bigl ( \xi _ { 2 } ^ { - 1 } \Psi _ { T _ { 2 } } \oplus \xi _ { 2 } ^ { - \mathbf { c } } \Psi _ { T _ { 2 } } ^ { \mathbf { c } } \bigr ) \otimes \varepsilon _ { \mathrm { c y c } } ^ { 1 - r } ( \Psi _ { T _ { 1 } } ^ { - 1 / 2 } \Psi _ { T _ { 2 } } ^ { - 1 / 2 } \circ \mathscr { V } ) } \\ & { = \bigl ( T _ { f } ^ { \vee } ( 1 - r ) \otimes \xi _ { 1 } ^ { - 1 } \xi _ { 2 } ^ { - 1 } \Psi _ { W _ { 1 } } ^ { 1 - \mathbf { c } } \bigr ) \oplus \bigl ( T _ { f } ^ { \vee } ( 1 - r ) \otimes \xi _ { 1 } ^ { - 1 } \xi _ { 2 } ^ { - \mathbf { c } } \Psi _ { W _ { 2 } } ^ { 1 - \mathbf { c } } \bigr ) . } \end{array}
\langle p \, | \, \phi ( 0 ) \phi ( z ) \, | \, p \rangle | _ { z ^ { 2 } = 0 } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \, \frac 1 { 2 } \left( e ^ { - i x ( p z ) } + e ^ { i x ( p z ) } \right) \, f ( x ) \, d x \, ,
\mathcal { K } ( I ; \mu , \nu ) = \frac { 2 \nu } { \mu \Gamma ( \nu ) } \left( \sqrt { \frac { I } { \mu } \nu } \right) ^ { \nu - 1 } K _ { \nu - 1 } \left( 2 \sqrt { \frac { I } { \mu } \nu } \right) ,
\gamma \cdot \left( \begin{array} { c c } { { \Psi ^ { 3 } } } \\ { { \Psi ^ { 4 } } } \end{array} \right) = R _ { D _ { 2 } } ^ { r e g } ( \gamma ) ^ { - 1 } \cdot \left( \begin{array} { c c } { { \Psi ^ { 3 } } } \\ { { \Psi ^ { 4 } } } \end{array} \right) \cdot R _ { D _ { 2 } } ^ { r e g } ( \gamma ) .
\begin{array} { r } { M _ { Y ^ { ( n ) } } ( t ) = \Phi \left( \frac { - \mu } { \sigma } \right) + e ^ { \mu \lambda ^ { ( n ) } ( e ^ { t } - 1 ) + \frac { \sigma ^ { 2 } ( \lambda ^ { ( n ) } e ^ { t } - \lambda ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } } { 2 } } \left[ 1 - \Phi \left( \frac { - \mu } { \sigma } - \sigma \lambda ^ { ( n ) } ( e ^ { t } - 1 ) \right) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { \xi \xi } v } & { = u _ { x x } \varphi _ { \xi } ^ { 2 } + 2 u _ { x y } \varphi _ { \xi } \psi _ { \xi } + u _ { y y } \psi _ { \xi } ^ { 2 } + u _ { x } \varphi _ { \xi \xi } + u _ { y } \psi _ { \xi \xi } , } \\ { \partial _ { \eta \eta } v } & { = u _ { x x } \varphi _ { \eta } ^ { 2 } + 2 u _ { x y } \varphi _ { \eta } \psi _ { \eta } + u _ { y y } \psi _ { \eta } ^ { 2 } + u _ { x } \varphi _ { \eta \eta } + u _ { y } \psi _ { \eta \eta } . } \end{array}
\overline { { v } } _ { c a p , l } = \frac { 1 } { \int h \, d x } \int h \frac { \partial p _ { l } } { \partial x } \bigg ( \frac { h ^ { 2 } } { 6 } - \frac { h \zeta } { 2 } - \frac { \xi ^ { 2 } } { 2 } + \zeta \xi - \frac { H } { m } h \bigg ) \, d x ,
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle { \frac { d { \vec { x } } _ { P } } { d t } } ( t ) = { \vec { u } } _ { P } ( { \vec { x } } _ { P } ( t ) , t ) } \\ { { \vec { x } } _ { P } ( t _ { 0 } ) = { \vec { x } } _ { P 0 } } \end{array} \right.
{ \cal B } _ { W Z W } ^ { ( \varphi , t ) } = \frac { \ell } { 8 \pi G } \int _ { \cal V } T r [ \partial _ { \varphi } ( Q _ { 2 } ^ { - 1 } \partial _ { [ r } Q _ { 2 } Q ^ { - 1 } \partial _ { t ] } Q ) + \partial _ { t } ( Q _ { 2 } ^ { - 1 } \partial _ { [ \varphi } Q _ { 2 } Q ^ { - 1 } \partial _ { r ] } Q ) ] d r \, d \varphi \, d t \quad .
a ( r , r ^ { \prime } ) = - \left( \frac { z + m } { 2 i k } \right) \left[ \Theta ( r - r ^ { \prime } ) e ^ { i k ( r - r ^ { \prime } ) } + \Theta ( r ^ { \prime } - r ) e ^ { - i k ( r - r ^ { \prime } ) } + \alpha \, e ^ { i k ( r + r ^ { \prime } ) } \right]
\frac { e ^ { 4 A _ { 0 } } } { 2 M _ { P l } ^ { 2 } } \left( 3 p _ { 0 } - \rho _ { 0 } + e ^ { - 2 A _ { 0 } } ( 3 p _ { * } - \rho _ { * } ) \right) = \kappa ^ { 2 } ( { \phi ^ { \prime } } _ { 0 } \varphi ^ { \prime } - 2 { \phi ^ { ' } } _ { 0 } ^ { 2 } F - \frac { \partial V } { \partial \phi } \varphi - 4 A ^ { \prime } \phi _ { 0 } ^ { \prime } \varphi ) .
\mathcal { H } _ { B } = \sum _ { i } \Bigl [ \frac { p _ { i } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \omega _ { i } ^ { 2 } \Bigl ( \mathbf { { q } } _ { i } - \frac { c _ { i } } { \omega _ { i } ^ { 2 } } \mathbf { { Q } } \Bigr ) ^ { 2 } \Bigr ]
f ( a \mathbf { i } + b \mathbf { j } + c \mathbf { k } ) = { \frac { 1 + \mathbf { i } + \mathbf { j } + \mathbf { k } } { 2 } } ( a \mathbf { i } + b \mathbf { j } + c \mathbf { k } ) { \frac { 1 - \mathbf { i } - \mathbf { j } - \mathbf { k } } { 2 } }
( \boldsymbol { v } \times \boldsymbol { B } ) ^ { \flat } = \boldsymbol { B } \mathbin { \lrcorner } \boldsymbol { v } \mathbin { \lrcorner } \Omega = - \boldsymbol { v } \mathbin { \lrcorner } \boldsymbol { B } \mathbin { \lrcorner } \Omega = - \boldsymbol { v } \mathbin { \lrcorner } \mathscr { B } .
\begin{array} { r l } { J _ { 1 } } & { { } = \left( p _ { 1 } - p _ { 2 } \right) ^ { 2 } + 4 e ^ { q _ { 1 } - q _ { 2 } } , } \\ { I _ { 1 } } & { { } = \frac { p _ { 1 } - p _ { 2 } + \sqrt { J _ { 1 } } } { p _ { 1 } - p _ { 2 } - \sqrt { J _ { 1 } } } \, \exp \left( { \sqrt { J _ { 1 } } \, \frac { q _ { 1 } + q _ { 2 } } { p _ { 1 } + p _ { 2 } } } \right) . } \end{array}
\left( { \frac { \partial P } { \partial T } } \right) _ { V } = - { \frac { \left( { \frac { \partial V } { \partial T } } \right) _ { P } } { \left( { \frac { \partial V } { \partial P } } \right) _ { T } } } = { \frac { \alpha } { \beta _ { T } } }
\begin{array} { r } { \varepsilon + \frac { \mathbf { p } \cdot \mathbf { A } ( \eta ) + A ( \eta ) ^ { 2 } / 2 } { \Lambda } + I _ { p } - c ^ { 2 } + \mathbf { r } \cdot \mathbf { E } ( \eta ) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } h } & { { } = \nabla \cdot \left[ \frac { h ^ { 3 } } { 3 \eta } \, \nabla \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta h } \right] \ \ - \ M \left[ \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta h } - \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta \zeta } \right] \ + \ U \nabla h } \\ { \partial _ { t } \zeta } & { { } = \nabla \cdot \left[ D \zeta \, \nabla \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta \zeta } \right] \ - \ M \left[ \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta \zeta } - \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta h } \right] \ + \ U \nabla \zeta , } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { \Delta x } ( x ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { u ( x _ { 2 j } ) + \left( D u _ { 2 j } \mp q _ { 2 j } \right) ( x - x _ { 2 j } ) , } & { x _ { 2 j } < x \leq x _ { 2 j + 1 } , } \\ { u ( x _ { 2 j + 2 } ) + \left( D u _ { 2 j } \pm q _ { 2 j } \right) ( x - x _ { 2 j + 2 } ) , } & { x _ { 2 j + 1 } < x \leq x _ { 2 j + 2 } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { f \in \mathcal { H } _ { i j } } \frac { 1 } { n } \sum _ { u = 1 } ^ { n } \mathbb { E } \Big [ \big ( G _ { f _ { \mathcal { F } } ^ { * } } ( u ) - G _ { f } ( u ) \big ) ^ { 2 } \Big ] } \\ { \leq } & { \frac { 2 } { n } \sum _ { u = 1 } ^ { n } \mathbb { E } \Big [ \big ( G _ { f _ { \mathcal { F } } ^ { * } } ( u ) - G _ { f ^ { * } } ( u ) \big ) ^ { 2 } \Big ] + \operatorname* { s u p } _ { f \in \mathcal { H } _ { i j } } \frac { 2 } { n } \sum _ { u = 1 } ^ { n } \mathbb { E } \Big [ \big ( G _ { f ^ { * } } ( u ) - G _ { f } ( u ) \big ) ^ { 2 } \Big ] } \\ { \leq } & { \frac { 2 } { n } \sum _ { u = 1 } ^ { n } \mathrm { V a r } \big ( G _ { f _ { \mathcal { F } } ^ { * } } ( u ) - G _ { f ^ { * } } ( u ) \big ) + \operatorname* { s u p } _ { f \in \mathcal { H } _ { i j } } \frac { 2 } { n } \sum _ { u = 1 } ^ { n } \mathrm { V a r } \big ( G _ { f ^ { * } } ( u ) - G _ { u } ( f ) \big ) } \\ & { + 2 e _ { \upsilon } ^ { 2 } ( f _ { \mathcal { F } } ^ { * } , f ^ { * } ) + 2 \operatorname* { s u p } _ { f \in \mathcal { H } _ { i j } } e _ { \upsilon } ^ { 2 } ( f , f _ { \mathcal { F } } ^ { * } ) } \\ { \leq } & { 4 C _ { 4 } \mathbb { E } ^ { \frac { 1 } { 1 + \gamma } } \big [ \Psi _ { u } ^ { \gamma } \big ] \operatorname* { s u p } _ { f \in \mathcal { H } _ { i j } } \big ( e _ { \upsilon } ( f , f ^ { * } ) \big ) ^ { \gamma / ( \gamma + 1 ) } + \operatorname* { s u p } _ { f \in \mathcal { H } _ { i j } } e _ { \upsilon } ^ { 2 } ( f , f _ { \mathcal { F } } ^ { * } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Sigma _ { v i b } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) } & { { } = i \sum _ { i , j } g _ { i } \bigg ( B _ { i j } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) + B _ { i j } ( \tau _ { 2 } , \tau _ { 1 } ) \bigg ) g _ { j } } \\ { \left[ \Sigma _ { C } \right] _ { i j } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) } & { { } = i \, g _ { i } \, P ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) \, g _ { j } } \end{array}
{ \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 2 } & { 0 } & { 6 } \\ { 0 } & { 2 } & { 9 } & { 4 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 4 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } ,
\left| \left( \mathcal P _ { \mathrm { r } } ^ { n } + \mathcal P _ { \mathrm { b } } ^ { n } + \mathcal P _ { \mathrm { p } } ^ { n } \right) - \left( \mathcal P _ { \mathrm { r } } ^ { 0 } + \mathcal P _ { \mathrm { b } } ^ { 0 } + \mathcal P _ { \mathrm { p } } ^ { 0 } \right) \right| \, , \quad n = 0 , 1 0 , 2 0 , \hdots \, ,
\begin{array} { r l } { \bigg \langle \left( ( \widetilde { I } ^ { X } ) ^ { [ 2 ] } ( \theta , \Delta t ) \right) ^ { 2 } \bigg \rangle } & { { } = T _ { L } ^ { 2 } \left[ 1 - \exp \left( - \frac { ( 1 - \theta ) \Delta t } { T _ { L } } \right) \right] ^ { 2 } \bigg \langle \left( ( I ^ { U } ) ^ { [ 2 ] } ( \theta \Delta t ) \right) ^ { 2 } \bigg \rangle } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r c l } { { g ^ { a b } \delta R _ { a b } } } & { { = } } & { { g _ { a b } \nabla ^ { 2 } \delta g ^ { a b } - \nabla _ { a } \nabla _ { b } \delta g ^ { a b } } } \\ { { \delta \sqrt { - g } } } & { { = } } & { { - { \frac { 1 } { 2 } } \, \sqrt { - g } \, g _ { a b } \, \delta g ^ { a b } \; . } } \end{array} \right.
{ \frac { d } { d x } } \left( \int _ { a ( x ) } ^ { b ( x ) } f ( x , t ) d t \right) = f { \big ( } x , b ( x ) { \big ) } \cdot { \frac { d } { d x } } b ( x ) - f { \big ( } x , a ( x ) { \big ) } \cdot { \frac { d } { d x } } a ( x ) + \int _ { a ( x ) } ^ { b ( x ) } { \frac { \partial } { \partial x } } f ( x , t ) d t
\begin{array} { r l } { \frac { \partial E _ { t \mu } } { \partial t } = } & { { } - ( 1 + i ( \alpha + D _ { \mu } + I _ { t \mu } - 2 I ) ) E _ { t \mu } } \\ { \frac { \partial E _ { t ( - \mu ) } ^ { * } } { \partial t } = } & { { } - ( 1 - i ( \alpha + D _ { - \mu } + I _ { t ( - \mu ) } - 2 I ) ) E _ { t ( - \mu ) } ^ { * } } \end{array}
( x - x _ { 1 } ) ( x - x _ { 2 } ) ( x - x _ { 3 } ) = ( x - x _ { 2 } ) ( x - x _ { 1 } ) ( x - x _ { 3 } ) = ( x - x _ { 3 } ) ( x - x _ { 1 } ) ( x - x _ { 2 } )
\begin{array} { r } { w _ { 1 } ( R | T , \theta ) = \left( \frac { p _ { \theta } ( R , T ) } { p _ { \theta _ { 0 } } ( R , T ) } \right) \left( \frac { p _ { \theta _ { 0 } } ( T ) } { p _ { \theta } ( T ) } \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { s _ { p } ( \eta ) } & { \equiv } & { 2 J _ { - 1 } ( \eta ) \left[ J _ { p - 1 } ( \eta ) + J _ { - p - 1 } ( \eta ) \right] , } \\ { d _ { p } ( \eta ) } & { \equiv } & { 2 J _ { - 1 } ( \eta ) \left[ J _ { p - 1 } ( \eta ) - J _ { - p - 1 } ( \eta ) \right] , } \\ { s _ { p } ^ { \prime } ( \eta ) } & { \equiv } & { 2 \sum _ { n \neq 0 } n ^ { - 1 } J _ { n - 1 } ( \eta ) \left[ J _ { n + p - 1 } ( \eta ) + J _ { n - p - 1 } ( \eta ) \right] , } \\ { d _ { p } ^ { \prime } ( \eta ) } & { \equiv } & { 2 \sum _ { n \neq 0 } n ^ { - 1 } J _ { n - 1 } ( \eta ) \left[ J _ { n + p - 1 } ( \eta ) - J _ { n - p - 1 } ( \eta ) \right] , } \\ { k _ { p } ( \eta ) } & { \equiv } & { \frac { s _ { p } ( \eta ) } { d _ { p } ( \eta ) } , \quad k _ { p } ^ { \prime } ( \eta ) = \frac { s _ { p } ^ { \prime } ( \eta ) } { d _ { p } ( \eta ) } , } \\ { q _ { p } ( \eta ) } & { \equiv } & { \frac { d _ { p } ( \eta ) } { s _ { p } ( \eta ) } , \quad q _ { p } ^ { \prime } ( \eta ) = \frac { d _ { p } ^ { \prime } ( \eta ) } { s _ { p } ( \eta ) } . } \end{array}
\psi _ { \mathrm { S M T } } ( { \bf r } ) = \sum _ { { \bf k } _ { \mathrm { i n } } } e ^ { i \phi _ { \mathrm { i n } } ( \bf k _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } ) } { \psi } _ { \mathrm { S M T } } ^ { \mathrm { i n } } ( \textbf { r } _ { \parallel } , \textbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } )
\begin{array} { r l } { \left( { \frac { \partial P _ { m } } { \partial p _ { n } } } \right) _ { \mathbf { q } , \mathbf { p } } } & { { } = \left( { \frac { \partial q _ { n } } { \partial Q _ { m } } } \right) _ { \mathbf { Q } , \mathbf { P } } } \\ { \left( { \frac { \partial P _ { m } } { \partial q _ { n } } } \right) _ { \mathbf { q } , \mathbf { p } } } & { { } = - \left( { \frac { \partial p _ { n } } { \partial Q _ { m } } } \right) _ { \mathbf { Q } , \mathbf { P } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { M } \left( t \right) } & { { } = \mathcal { M } _ { 0 } + n _ { \mathrm { b } } \, \left( t - t _ { 0 } \right) , } \\ { \lambda } & { { } = \frac { 1 - \sqrt { 1 - e ^ { 2 } } } { e } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mu _ { f n } } & { = } & { \mu _ { f n } ^ { ( V T D M ) } \cdot \mu _ { f n } ^ { ( R O T , \, \Pi \rightarrow \Sigma , \, \Delta { M } = 0 , \, \Delta { J } = 0 , \pm 1 ) } \; , } \\ { \mu _ { f n } ^ { ( V T D M ) } } & { = } & { \left< ( 5 ) ^ { 2 } \Sigma ^ { + } \! , J _ { 5 \Sigma } , \Omega _ { 5 \Sigma } \! = \! 0 , \left\{ \nu _ { 5 \Sigma } \mathrm { \; o r \; } \mathcal { E } _ { 5 \Sigma } \right\} \left| \mu _ { ( 5 ) ^ { 2 } \Sigma ^ { + } \! , \mathrm { A } ^ { 2 } \Pi } ^ { ( E T D M ) } ( R ) \right| \mathrm { A } ^ { 2 } \Pi , J _ { \mathrm { A } } , \Omega _ { \mathrm { A } } \! = \! 1 , \left\{ \nu _ { \mathrm { A } } \mathrm { \; o r \; } \mathcal { E } _ { \mathrm { A } } \right\} \right> \; } \\ { \mu _ { f n } ^ { ( R O T , \, \Pi \rightarrow \Sigma , \, \Delta { M } = 0 , \, \Delta { J } = 0 , \pm 1 ) } } & { = } & { ( - 1 ) ^ { M _ { A } } \cdot \sqrt { ( 2 J _ { X } + 1 ) ( 2 J _ { A } + 1 ) } \cdot \left( \begin{array} { l l l } { J _ { A } } & { 1 } & { J _ { 5 \Sigma } } \\ { - M _ { A } } & { 0 } & { M _ { 5 \Sigma } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l l } { J _ { A } } & { 1 } & { J _ { 5 \Sigma } } \\ { - 1 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \; . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } [ Q ^ { ( n ) } ] = \frac { 2 \Bar { Y } ^ { ( n ) } C + \mathbb { E } [ ( { Y } ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } ] - 2 ( \Bar { Y } ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } - \Bar { Y } ^ { ( n ) } - 2 C \Bar { S } ^ { ( n ) } + \Bar { S } ^ { ( n ) } + \mathbb { E } [ ( S ^ { ( n ) } ) ^ { 2 } ] } { 2 ( \Bar { S } ^ { ( n ) } - \Bar { Y } ^ { ( n ) } ) } + \sum _ { i = 1 } ^ { C - 1 } \frac { 1 } { 1 - z _ { i } ^ { * } } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { r } & { = { \textstyle { \sqrt { { x _ { n } } ^ { 2 } + { x _ { n - 1 } } ^ { 2 } + \cdots + { x _ { 2 } } ^ { 2 } + { x _ { 1 } } ^ { 2 } } } } , } \\ { \varphi _ { 1 } } & { = \operatorname { a t a n 2 } \left( { \textstyle { \sqrt { { x _ { n } } ^ { 2 } + { x _ { n - 1 } } ^ { 2 } + \cdots + { x _ { 2 } } ^ { 2 } } } } , x _ { 1 } \right) , } \\ { \varphi _ { 2 } } & { = \operatorname { a t a n 2 } \left( { \textstyle { \sqrt { { x _ { n } } ^ { 2 } + { x _ { n - 1 } } ^ { 2 } + \cdots + { x _ { 3 } } ^ { 2 } } } } , x _ { 2 } \right) , } \\ & { \qquad \vdots } \\ { \varphi _ { n - 2 } } & { = \operatorname { a t a n 2 } \left( { \textstyle { \sqrt { { x _ { n } } ^ { 2 } + { x _ { n - 1 } } ^ { 2 } } } } , x _ { n - 2 } \right) , } \\ { \varphi _ { n - 1 } } & { = \operatorname { a t a n 2 } \left( x _ { n } , x _ { n - 1 } \right) . } \end{array} }