harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \sum _ { n } | \hat { \rho } _ { n } ( \mathbf { b } ) | } & { = \sum _ { n } \frac { 1 } { N } \sqrt { \left( \sum _ { \mathbf { k } } C _ { n , n } ^ { \mathbf { k } , \mathbf { k } + \mathbf { b } } \right) ^ { 2 } + \left( \sum _ { \mathbf { k } } D _ { n , n } ^ { \mathbf { k } , \mathbf { k } + \mathbf { b } } \right) ^ { 2 } } , } \\ { \sum _ { n } \frac { \partial | \hat { \rho } _ { n } ( \mathbf { b } ) | } { \partial U _ { i , j } ^ { \mathbf { k } } } } & { = \sum _ { n , \mathbf { h } } \frac { \partial | \hat { \rho } _ { n } ( \mathbf { b } ) | } { \partial C _ { n , n } ^ { \mathbf { h } , \mathbf { h } + \mathbf { b } } } \left( \frac { \partial C _ { n , n } ^ { \mathbf { h } , \mathbf { h } + \mathbf { b } } } { \partial X _ { i , j } ^ { \mathbf { k } } } + i \frac { \partial C _ { n , n } ^ { \mathbf { h } , \mathbf { h } + \mathbf { b } } } { \partial Y _ { i , j } ^ { \mathbf { k } } } \right) + \frac { \partial | \hat { \rho } _ { n } ( \mathbf { b } ) | } { \partial D _ { n , n } ^ { \mathbf { h } , \mathbf { h } + \mathbf { b } } } \left( \frac { \partial D _ { n , n } ^ { \mathbf { h } , \mathbf { h } + \mathbf { b } } } { \partial X _ { i , j } ^ { \mathbf { k } } } + i \frac { \partial D _ { n , n } ^ { \mathbf { h } , \mathbf { h } + \mathbf { b } } } { \partial Y _ { i , j } ^ { \mathbf { k } } } \right) . } \end{array}
\left[ a _ { \alpha } , a _ { \beta } ^ { \dagger } \right] = \delta _ { \alpha \beta } \ , \left[ a _ { \alpha } , a _ { \beta } \right] = \left[ a _ { \alpha } ^ { \dagger } , a _ { \beta } ^ { \dagger } \right] = 0 \ , \ \left( \alpha , \beta = 1 , \cdots N + 1 \right) \ ,
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { 2 } [ \check { Z } _ { g , t + 1 } ^ { 2 } - \check { Z } _ { g , t } ^ { 2 } ] \leq \frac { 1 } { 2 } \operatorname* { m a x } [ ( \frac { \eta _ { g } } { R _ { g } } ) ^ { 2 } , \check { x } _ { g , m a x } ^ { 2 } ] } \\ { + \check { Z } _ { g , t } [ \frac { \eta _ { g } } { R _ { g } } - \check { x } _ { g , t } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( ( n _ { 3 } , g _ { 3 } ) \otimes ( n _ { 2 } , g _ { 2 } ) ) \otimes ( n _ { 1 } , g _ { 1 } ) } & { = ( n _ { 3 } \rho ( g _ { 3 } ) [ n _ { 2 } ] R _ { g _ { 3 } , g _ { 2 } } ( * ) \rho ( g _ { 3 } g _ { 2 } ) [ n _ { 1 } ] R _ { g _ { 3 } g _ { 2 } , g _ { 1 } } ( * ) , g _ { 3 } g _ { 2 } g _ { 1 } ) \to } \\ { ( n _ { 3 } , g _ { 3 } ) \otimes ( ( n _ { 2 } , g _ { 2 } ) \otimes ( n _ { 1 } , g _ { 1 } ) ) } & { = ( n _ { 3 } \rho ( g _ { 3 } ) [ n _ { 2 } \rho ( g _ { 2 } ) [ n _ { 1 } ] R _ { g _ { 2 } , g _ { 1 } } ( * ) ] R _ { g _ { 3 } , g _ { 2 } g _ { 1 } } ( * ) , g _ { 3 } g _ { 2 } g _ { 1 } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { \bf \Gamma } _ { 1 2 } ( { \bf x } , { \bf s } , x _ { 3 , S } ) = \tilde { \bf G } _ { 1 2 } ( { \bf x } , { \bf s } , x _ { 3 , S } ) \tilde { \bf \Delta } _ { 1 } ( { \bf s } , x _ { 3 , F } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { P r = \frac { \nu } { \kappa } , \quad T a = \frac { 2 \eta ^ { 2 } \Omega _ { i } ^ { 2 } d ^ { 4 } } { \nu ^ { 2 } ( 1 - \eta ^ { 2 } ) } , \quad G = \frac { g \beta \Delta T d ^ { 3 } } { \nu ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ | { \texttt X } | ^ { 2 D } | \Omega _ { \varepsilon } ] } & { \leq C N ^ { - \frac { 1 } { 2 } + \varepsilon } \| { \boldsymbol u } \| _ { \infty } ^ { 2 } \mathbb { E } [ | { \texttt X } | ^ { 2 D - 1 } | \Omega _ { \varepsilon } ] + C N ^ { - 1 + 4 \varepsilon } \| { \boldsymbol u } \| _ { \infty } ^ { 4 } \mathbb { E } [ | { \texttt X } | ^ { 2 D - 2 } | \Omega _ { \varepsilon } ] } \\ & { \quad + C N ^ { - 2 + 1 0 \varepsilon } \| { \boldsymbol u } \| _ { \infty } ^ { 6 } \mathbb { E } [ | { \texttt X } | ^ { 2 D - 3 } | \Omega _ { \varepsilon } ] + C N ^ { - 3 + 1 4 \varepsilon } \| { \boldsymbol u } \| _ { \infty } ^ { 8 } \mathbb { E } [ | { \texttt X } | ^ { 2 D - 4 } | \Omega _ { \varepsilon } ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { 0 } ( t ) } & { { } = \sum _ { j = 1 } ^ { N } | c _ { j 0 } ( t ) | ^ { 2 } , } \\ { d _ { 1 } ( t ) } & { { } = \sum _ { j = 1 } ^ { N } | c _ { j j } ( t ) | ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { D _ { s x , \mathrm { R B D } } } & { { } = } & { D _ { s y , \mathrm { R B D } } = 2 D _ { \mathrm { R B D } } ^ { \mathrm { 2 D } } = \frac { \pi \Gamma ( \frac { 5 } { 6 } ) } { \Gamma ( \frac { 1 } { 3 } ) } ( 1 - f _ { s } ) \frac { b } { B _ { 0 } } l _ { \perp } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle \mathcal { O } _ { R _ { 1 } , R _ { 2 } , \mu _ { 1 } , \nu _ { 1 } } ^ { R } ( X , Y ) \right. } & { \left. ( \mathcal { O } _ { S _ { 1 } , S _ { 2 } , \mu _ { 2 } , \nu _ { 2 } } ^ { S } ( X , Y ) ) ^ { \dagger } \right\rangle = } \\ & { m ! n ! \delta ^ { R S } \delta _ { R _ { 1 } S _ { 1 } } \delta _ { R _ { 2 } S _ { 2 } } \delta _ { \nu _ { 1 } \nu _ { 2 } } \mathcal { O } _ { R _ { 1 } , R _ { 2 } , \mu _ { 1 } , \mu _ { 2 } } ^ { R } ( B _ { x } , B _ { y } ) } \end{array}
\hat { H } = \hat { K } _ { F } ( R ) + V ^ { \prime } ( R ) + \hat { K } _ { M } ( R , \omega ) + \hat { K } _ { F M } ( R , \omega ) + \hat { K } _ { M , r o t } ( \omega , r ) + \hat { K } _ { M , v i b } ( r ) + V ( R , \omega , r ) .
S _ { s i } = \oint _ { 0 } { \frac { d z } { 2 \pi i } } { \frac { 1 } { z ^ { s - 1 } } } \oint _ { 0 } { \frac { d w } { 2 \pi i } } { \frac { 1 } { w ^ { i + 2 } } } { \frac { ( f ^ { \prime } ( z ) ) ^ { 2 } ( f ^ { \prime } ( w ) ) ^ { - 1 } } { f ( z ) - f ( w ) } } \biggl ( { \frac { f ( w ) } { f ( z ) } } \biggr ) ^ { 3 } .
\begin{array} { r } { A ( x , t ) = \mathrm { { e } } ^ { \mathrm { { i } } \int \beta ( t ) d t } \frac { \mathrm { { e } } ^ { \theta } } { 1 + \frac { \gamma ( t ) } { 2 \alpha ( t ) ( k + k ^ { \ast } ) ^ { 2 } } \mathrm { { e } } ^ { \theta + \theta ^ { \ast } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { d ( \theta ) } & { \equiv D ( \zeta ^ { ( 1 ) } , \zeta ^ { ( 2 ) } , \zeta ^ { ( 3 ) } , \zeta ^ { ( 4 ) } ) = D _ { 1 } ( \zeta ^ { ( 1 ) } , \zeta ^ { ( 2 ) } , \zeta ^ { ( 3 ) } , \zeta ^ { ( 4 ) } ) + D _ { 2 } ( \zeta ^ { ( 1 ) } , \zeta ^ { ( 2 ) } , \zeta ^ { ( 3 ) } , \zeta ^ { ( 4 ) } ) } \\ & { = \frac { 3 } { 2 s ^ { 3 } } - \frac { 2 1 } { 2 s ^ { 2 } } - \frac { 9 } { 4 s } + \mathcal { O } ( 1 ) . } \end{array}
K _ { k } ( \alpha ) \approx \delta _ { k } \left( 1 + \frac { 4 g ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } } { \delta _ { k } ^ { 2 } } + \mathcal { O } \left( \left( \frac { 4 g \alpha } { \delta _ { k } } \right) ^ { 4 } \right) \right)
\begin{array} { r } { \mathsf { T } _ { n } ( A , \alpha ) \! = \! \! \left( \prod _ { i = 1 } ^ { n + 1 } A , \left\langle \alpha \circ \mathsf { S } ( \pi _ { 1 } ) , \alpha \circ \mathsf { S } \left( \pi _ { 1 } + \pi _ { 4 } \right) \circ \partial _ { A \times A } \circ \mathsf { S } ( \langle \pi _ { 1 } , \pi _ { 2 } \rangle ) , \hdots , \alpha \circ \mathsf { S } \left( \pi _ { 1 } + \pi _ { 4 } \right) \circ \partial _ { A \times A } \circ \mathsf { S } ( \langle \pi _ { 1 } , \pi _ { n + 1 } \rangle ) \right\rangle \! \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { \mathbb S ^ { 2 } } m ( \Omega ) \left[ \big ( \partial _ { t } + \Omega \cdot \nabla _ { x } \big ) \beta ( g ( t , x , \Omega ) ) - L \big ( \beta ( g ( t , x , \cdot ) ) \big ) ( \Omega ) \right] \, \mathrm { d } \Omega = 0 , \quad \forall x \in \mathbb { R } ^ { 3 } ; } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \boldsymbol { j } _ { i } \cdot \boldsymbol { n } = - \gamma _ { i } \mathcal { R } , i = 1 \cdots N , } & { \mathrm { ~ o ~ n ~ ~ ~ } \Gamma , } \\ { \mathbb { C } _ { p } \frac { d ( \phi - \phi _ { p } ) } { d t } = - I _ { e x } - \Delta z F \mathcal { R } = \frac { g } { F } ( \tilde { \mu } _ { e x } - \tilde { \mu } _ { e } ) - \Delta z F \mathcal { R } , } & { \mathrm { ~ o ~ n ~ ~ ~ } \Gamma } \\ { \mathcal { R } = k _ { f , 0 } e ^ { - \frac { \Delta Z F } { R T } \beta ( \Delta \phi ) } \left( \frac { C _ { e } } { c _ { e , 0 } } \right) ^ { \Delta z } \Pi _ { i = 1 } ^ { N } \left( \frac { C _ { i } } { c _ { 0 } } \right) ^ { a _ { i } } - k _ { r , 0 } e ^ { \frac { \Delta Z F } { R T } ( 1 - \beta ) ( \Delta \phi ) } \Pi _ { i = 1 } ^ { N } \left( \frac { C _ { i } } { c _ { 0 } } \right) ^ { b _ { i } } , } & { \mathrm { ~ o ~ n ~ ~ ~ } \Gamma } \\ { \boldsymbol { D } \cdot \boldsymbol { n } = \mathbb { C } _ { p } ( \phi - \phi _ { p } ) , } & { \mathrm { ~ o ~ n ~ ~ ~ } \Gamma } \\ { \boldsymbol { j } _ { i } \cdot \boldsymbol { n } = 0 , \phi = 0 , } & { \mathrm { ~ o ~ n ~ ~ ~ } \partial \Omega / \Gamma . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \sum _ { k \geq 2 } k \mathbb { P } ( \mathcal { A } _ { k } ^ { N } ) } & { = \frac { \gamma _ { N } } { 1 - \gamma _ { N } } \frac { 1 } { ( 1 - 2 p _ { N } ) x _ { N } } \left( x _ { N } - 1 + 2 p _ { N } \right) } \\ & { = \frac { \gamma _ { N } } { 1 - \gamma _ { N } } \frac { 1 } { ( 1 - 2 p _ { N } ) x _ { N } } \left( \frac { \lambda _ { 0 } } { \delta _ { 0 } } + 4 \frac { b _ { 0 } d _ { 0 } } { \lambda _ { 0 } \delta _ { 0 } } \gamma _ { N } + \underset { N \to \infty } { o } ( \gamma _ { N } ) - \frac { \lambda _ { 0 } } { \delta _ { 0 } } - \frac { 2 b _ { 0 } } { \delta _ { 0 } } \gamma _ { N } \right) } \\ & { = \frac { 2 b _ { 0 } \delta _ { 0 } ^ { 2 } } { \lambda _ { 0 } ^ { 3 } } \gamma _ { N } ^ { 2 } + \underset { N \to \infty } { o } ( \gamma _ { N } ^ { 2 } ) , } \end{array}
- \frac { m } { N g ^ { 2 } } = \frac { \langle \bar { q } q \rangle } { N } = \sum _ { n } \bar { \varphi } _ { n } ( x ) \varphi _ { n } ( x ) \frac { 1 } { \mathrm { e } ^ { \beta ( \epsilon _ { n } - \mu ) } + 1 } \ .
c _ { G _ { k } / U ( 1 ) ^ { \ell } } = \frac { k - 1 } { k + h } h \ell , \, \quad \quad \Delta ( \Lambda , \lambda ) = \frac { ( \Lambda \cdot ( \Lambda + 2 \rho ) ) } { 2 ( k + h ) } - \frac { ( \lambda \cdot \lambda ) } { 2 k } \; .
\delta _ { h } S = \int _ { { \cal M } ^ { 1 + 1 } } \left( { \frac { 1 } { 2 } } \hat { E } ^ { I } \wedge \hat { E } ^ { -- } i _ { \delta } f ^ { + + I } - { \frac { 1 } { 2 } } \hat { E } ^ { I } \wedge \hat { E } ^ { -- } i _ { \delta } f ^ { + + I } + m j _ { 1 } \wedge \hat { E } ^ { i } i _ { \delta } f ^ { i } \right)
\begin{array} { r } { m _ { i } \mathrm { d } x _ { i } ^ { v } = - \nabla _ { i } U \mathrm { d } t - \gamma m _ { i } x _ { i } ^ { v } \mathrm { d } t + \sqrt { 2 m _ { i } \gamma k _ { B } T } \mathrm { d } B _ { t } . } \end{array}
\begin{array} { r } { A _ { k } ^ { ( \varsigma ) } = \int _ { 0 } ^ { \infty } { \bar { \lambda } _ { k } \left( r \right) e ^ { - \sum _ { \ell \in \mathcal { K } } { \bar { \Lambda } _ { \ell } \left( \left[ 0 , \chi _ { k , \ell } ^ { ( \varsigma ) } \left( r \right) \right] \right) } } \, \mathrm { d } r } , ~ ~ k \in \mathcal { K } , ~ ~ \varsigma \in \{ \mathrm { S A } , \mathrm { V A } \} , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { \beta } _ { D } } & { { } = } & { - \frac { \omega _ { 0 } k _ { 0 } ^ { 2 } } { 1 6 \sigma ^ { 4 } } ( 2 \sigma ^ { 6 } - 1 3 \sigma ^ { 4 } + 1 2 \sigma ^ { 2 } - 9 ) } \\ { \hat { \beta } } & { { } = } & { \beta \, { c _ { \mathrm { g } } } = \hat { \beta } _ { D } + \omega _ { 0 } k _ { 0 } ^ { 2 } \frac { \mu _ { g } ^ { 2 } } { 8 \sigma ^ { 2 } \nu } = \hat { \beta } _ { D } - \frac { k _ { 0 } \mu _ { g } } { 4 \sigma h } D } \\ { \beta _ { D } } & { { } = } & { \frac { \hat { \beta } _ { D } } { c _ { g } } } \\ { \beta } & { { } = } & { \frac { \omega _ { 0 } k _ { 0 } ^ { 2 } } { 1 6 \sigma ^ { 4 } c _ { g } } \left\{ 9 - 1 0 \sigma ^ { 2 } + 9 \sigma ^ { 4 } - \frac { 2 \sigma ^ { 2 } c _ { g } ^ { 2 } } { g h - c _ { g } ^ { 2 } } \left[ 4 \frac { c _ { p } ^ { 2 } } { c _ { g } ^ { 2 } } + 4 \frac { c _ { p } } { c _ { g } } ( 1 - \sigma ^ { 2 } ) + \frac { g h } { c _ { g } ^ { 2 } } ( 1 - \sigma ^ { 2 } ) ^ { 2 } \right] \right\} } \end{array}
g ^ { D } = \left( \begin{array} { c c } { { g _ { i j } + g _ { t s } { \Gamma ^ { t } } _ { i } { \Gamma ^ { s } } _ { j } } } & { { { \Gamma ^ { t } } _ { j } g _ { t i } } } \\ { { { \Gamma ^ { t } } _ { i } g _ { t j } } } & { { g _ { i j } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r l r l r } & { } & { b _ { i } } & { : = ( a _ { i } + a _ { i + 8 } ) + ( a _ { i + 4 } + a _ { i + 1 2 } ) } & & { ( 0 \leq i \leq 3 ) , } \\ & { } & { c _ { i } } & { : = ( a _ { i } + a _ { i + 8 } ) - ( a _ { i + 4 } + a _ { i + 1 2 } ) } & & { ( 0 \leq i \leq 3 ) , } \\ & { } & { d _ { i } } & { : = a _ { i } - a _ { i + 8 } } & & { ( 0 \leq i \leq 7 ) . } & \end{array}
\begin{array} { r l r } { R _ { 1 } } & { { } = } & { R _ { a } \frac { ( \eta _ { 0 } ^ { 2 } - \xi _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } { ( \eta _ { 0 } ^ { 2 } - 1 ) ^ { 3 / 2 } } } \\ { R _ { 2 } } & { { } = } & { R _ { a } \frac { ( \eta _ { 0 } ^ { 2 } - \xi _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } } { ( \eta _ { 0 } ^ { 2 } - 1 ) ^ { 1 / 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| u \| _ { L _ { 2 } ( ( 0 , T ) , W ^ { 2 , 2 } ( \Omega ) ) } + \| \mathbf { D } _ { t } ^ { \nu } u \| _ { L _ { 2 } ( \Omega _ { T } ) } + \sum _ { i = 1 } ^ { M } \| \mathbf { D } _ { t } ^ { \nu _ { i } } u \| _ { L _ { 2 } ( \Omega _ { T } ) } + \sum _ { j = 1 } ^ { N } \| \mathbf { D } _ { t } ^ { \mu _ { j } } u \| _ { L _ { 2 } ( \Omega _ { T } ) } } \\ & { \leq C [ 1 + \| u _ { 0 } \| _ { W ^ { 2 , 2 } ( \Omega ) } + [ \underset { t \in [ 0 , T ] } { \operatorname* { s u p } } I _ { t } ^ { \nu } \| g \| _ { L _ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } ] ^ { \frac { 1 } { 2 } } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \Psi _ { 0 } \rangle } & { { } = \left. | \frac { \pi } { 2 } , 0 \rangle \rangle _ { 1 } \right. \left. | \frac { \pi } { 2 } , 0 \rangle \rangle _ { 2 } \right. } \end{array}
E _ { \mathrm { F } } ^ { ( d ) } = { \frac { 2 \pi \hbar ^ { 2 } } { m } } \left( { \frac { 1 } { g _ { s } } } \Gamma \left( { \frac { d } { 2 } } + 1 \right) { \frac { N } { V } } \right) ^ { 2 / d }
\begin{array} { r l } & { I ( n _ { 1 } , n _ { 2 } , n _ { 3 } , n _ { 4 } , n _ { 5 } ) \equiv \int \frac { d ^ { \mathrm { 3 } } r _ { 1 } } { \pi ^ { 3 / 2 } } \int \frac { d ^ { \mathrm { 3 } } r _ { 2 } } { \pi ^ { 3 / 2 } } r _ { 1 A } ^ { n _ { 1 } } r _ { 1 B } ^ { n _ { 2 } } r _ { 2 A } ^ { n _ { 3 } } r _ { 2 B } ^ { n _ { 4 } } r _ { 1 2 } ^ { n _ { 5 } } } \\ & { \times e ^ { - a _ { 1 A } r _ { 1 A } ^ { 2 } - a _ { 1 B } r _ { 1 B } ^ { 2 } - a _ { 2 A } r _ { 2 A } ^ { 2 } - a _ { 2 B } r _ { 2 B } ^ { 2 } - a _ { 1 2 } r _ { 1 2 } ^ { 2 } } , } \end{array}
\sqrt { \kappa } = \sqrt { \frac { 4 \pi \left( w _ { i } q _ { r } \right) ^ { 2 } } { w _ { i } m _ { r } \gamma V _ { g } } \xi } = \sqrt { \frac { 4 \pi q _ { r } ^ { 2 } n _ { i } ^ { p } } { m _ { r } \gamma } } ,
\begin{array} { r l r } { \Delta } & { { } = } & { | y _ { 2 } - y _ { 1 } | } \\ { W } & { { } = } & { \frac { A _ { 1 } \sigma _ { 1 } + A _ { 2 } \sigma _ { 2 } } { A _ { 1 } + A _ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \nabla } ^ { * } \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { u } ^ { * } } & { { } = 0 , } \\ { \rho ^ { * } ( \boldsymbol { u } ^ { * } \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { \nabla } ^ { * } \boldsymbol { u } ^ { * } ) } & { { } = - \nabla ^ { * } p ^ { * } + \boldsymbol { \nabla } ^ { * } \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { \tau } ^ { * } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { E _ { i } ( a _ { i } , b _ { i } ) } & { { } \! = \! } & { { \frac { 1 } { 2 } } \, \left( \mathrm { E r f } \left[ { \frac { a _ { i } } { \sqrt 2 } } \sqrt { \frac { \operatorname* { d e t } C _ { i - 1 } } { \operatorname* { d e t } C _ { i } } } \right] + \mathrm { E r f } \left[ { \frac { b _ { i } } { \sqrt 2 } } \sqrt { \frac { \operatorname* { d e t } C _ { i - 1 } } { \operatorname* { d e t } C _ { i } } } \right] \right) \, , } \\ { F _ { i } ( a _ { i } , b _ { i } ) } & { { } \! = \! } & { { \frac { 1 } { 6 \sqrt { 2 \pi } } } \sqrt { \frac { \operatorname* { d e t } C _ { i - 1 } } { \operatorname* { d e t } C _ { i } } } \left[ \left( 1 - a _ { i } ^ { 2 } { \frac { \operatorname* { d e t } C _ { i - 1 } } { \operatorname* { d e t } C _ { i } } } \right) e ^ { - { \frac { a _ { i } ^ { 2 } \, \operatorname* { d e t } C _ { i - 1 } } { 2 \operatorname* { d e t } C _ { i } } } } - \left( 1 - b _ { i } ^ { 2 } { \frac { \operatorname* { d e t } C _ { i - 1 } } { \operatorname* { d e t } C _ { i } } } \right) e ^ { - { \frac { b _ { i } ^ { 2 } \, \operatorname* { d e t } C _ { i - 1 } } { 2 \operatorname* { d e t } C _ { i } } } } \right] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { G ( w ; \rho _ { A } ) = \frac { a _ { 0 } } { 2 } } & { { } + } & { \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \bigg \{ \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \frac { \tilde { f } ( m ) } { m } C _ { c o s } ( n , m ) \cos { \bigg ( \frac { 2 \pi n w } { T } \bigg ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { W _ { k } ^ { 1 : N _ { l } , l } } & { = } & { \left( \frac { g ( x _ { k } ^ { 1 , l } , y _ { k } ) } { \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { l } } g ( x _ { k } ^ { j , l } , y _ { k } ) } , \dots , \frac { g ( x _ { k } ^ { N _ { l } , l } , y _ { k } ) } { \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { l } } g ( x _ { k } ^ { j , l } , y _ { k } ) } \right) } \\ { \bar { W } _ { k } ^ { 1 : N _ { l } , l - 1 } } & { = } & { \left( \frac { g ( \bar { x } _ { k } ^ { 1 , l - 1 } , y _ { k } ) } { \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { l } } g ( \bar { x } _ { k } ^ { j , l - 1 } , y _ { k } ) } , \dots , \frac { g ( \bar { x } _ { k } ^ { N _ { l } , l - 1 } , y _ { k } ) } { \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { l } } g ( \bar { x } _ { k } ^ { j , l - 1 } , y _ { k } ) } \right) } \\ { W _ { k } ^ { 1 : N _ { l } , l , a } } & { = } & { \left( \frac { g ( x _ { k } ^ { 1 , l , a } , y _ { k } ) } { \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { l } } g ( x _ { k } ^ { j , l , a } , y _ { k } ) } , \dots , \frac { g ( x _ { k } ^ { N _ { l } , l , a } , y _ { k } ) } { \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { l } } g ( x _ { k } ^ { j , l , a } , y _ { k } ) } \right) . } \end{array}
- \frac { i } { 2 } \left( \frac { n + 2 } { n ^ { 2 } } \right) \Delta ^ { a b } \left[ n \tau _ { 1 \cdots n a b } + \left( n - 1 \right) \tau _ { 1 \cdots a n b } + \cdots + 0 \cdot \tau _ { a 1 \cdots n b } \right] + \mathrm { c y c } _ { 1 \cdots n }
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { [ b ] \partial _ { t } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \varphi ( s ) f ( x , s , t ; Y ) \, d s } & { { } + \partial _ { x } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \varphi ( s ) c ( x ; Y ) V ( s ) f ( x , s , t ; Y ) \, d s } \end{array} } \end{array}
\mathrm { ~ v ~ a ~ r ~ } ( X ) _ { \mathrm { ~ i ~ s ~ o ~ t ~ r ~ o ~ p ~ i ~ c ~ } } = \frac { 9 } { 1 5 } \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \left[ \frac { v _ { { \mathrm { s } } \parallel } - v _ { { \mathrm { s } } \bot } } { 2 v _ { { \mathrm { s } } \bot } + v _ { { \mathrm { s } } \parallel } } ( Z - Z _ { 0 } ) \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \right] ^ { 2 } ; \quad \mathrm { ~ v ~ a ~ r ~ } ( Z ) _ { \mathrm { ~ i ~ s ~ o ~ t ~ r ~ o ~ p ~ i ~ c ~ } } = \frac { 4 } { 5 } \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \left[ \frac { v _ { { \mathrm { s } } \parallel } - v _ { { \mathrm { s } } \bot } } { 2 v _ { { \mathrm { s } } \bot } + v _ { { \mathrm { s } } \parallel } } ( Z - Z _ { 0 } ) \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \right] ^ { 2 } .
0 \leq { \frac { M ^ { 2 } } { s } } = { \frac { Q ^ { 2 } ( \alpha + x _ { 1 } - x ) } { x ( \nu - Q ^ { 2 } ) } } = { \frac { \alpha + x _ { 1 } - x } { ( 1 - x ) } } \equiv \lambda \sim 0 . 0 5 - 0 . 1 \ \ .
\begin{array} { r l } { R _ { 1 } h } & { = \Pi _ { S ^ { \perp } } O p ^ { W } ( \mathfrak { a } ) \Pi _ { S } O p ^ { W } ( \mathfrak { b } ) h , \mathrm { ~ w i t h ~ \mathfrak { a } , \mathfrak { b } \in ~ \mathfrak { B } ^ m _ 1 ~ f o r ~ s o m e ~ m \in ~ \mathbb { R } ~ } , } \\ { R _ { 2 } h } & { = \sum _ { | j | \le C } \int _ { 0 } ^ { 1 } ( h , g _ { j } ( \tau ) ) _ { L ^ { 2 } } \chi _ { j } ( \tau ) d \tau , } \end{array}
\begin{array} { r } { D ( i , j ) = \frac { 1 } { 2 } [ D _ { 1 } ^ { 2 } ( i , j ) + D _ { 2 } ^ { 2 } ( i , j ) + D _ { 3 } ^ { 2 } ( i , j ) + D _ { 4 } ^ { 2 } ( i , j ) ] ^ { 1 / 2 } } \end{array}
A ( r , \xi ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 2 \pi ( \cosh r - 1 ) } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } r \leq \xi , \medskip } \\ { 2 \pi ( \cosh r - 1 ) + 2 \sqrt { 2 ( \cosh r - \cosh \xi ) \, e ^ { \xi } } - 2 \cosh r \arctan \left[ \sqrt { 2 ( \cosh r - \cosh \xi ) \, e ^ { - \xi } } \right] + } & { \medskip } \\ { \displaystyle + \; 2 \arctan \left[ \frac { \sqrt { 2 ( \cosh r - \cosh \xi ) \, e ^ { - \xi } } } { \cosh r - e ^ { - \xi } } \right] - 2 \cosh r \arctan \left[ \cosh r \frac { \sqrt { 2 ( \cosh r - \cosh \xi ) \, e ^ { - \xi } } } { \cosh r - e ^ { - \xi } } \right] + } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } r > \xi . \medskip } \\ { \displaystyle + \; O ( e ^ { - R } ) } & { } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \Psi ^ { - 1 } \Phi \Psi \Phi ^ { - 1 } ( \sigma ) = \Psi ^ { - 1 } \Phi \Psi ( \sigma ) \cdot ( - \lambda ) } & { = \Psi ^ { - 1 } \Phi ( \sigma ^ { \prime } ) \cdot ( - \lambda ^ { \prime \prime } - \lambda ) } \\ & { = \Psi ^ { - 1 } ( \sigma ^ { \prime } ) \cdot ( \lambda ^ { \prime } - \lambda ^ { \prime \prime } - \lambda ) = \sigma \cdot ( \lambda ^ { \prime } - \lambda ) . } \end{array}
Q _ { \mathrm { h e a t } } \approx ( 1 0 ) \times ( 1 0 ^ { - 3 } ) ^ { 2 } \times 8 . 5 \rho _ { 0 } T _ { 0 } \Omega = 4 . 3 \times 1 0 ^ { - 5 } \rho _ { 0 } H _ { z } ^ { 2 } \Omega ^ { 3 }
\begin{array} { r l } { \dot { \varphi _ { p } } = \gamma ^ { - 1 } \left\{ \left[ \gamma _ { 0 } - \gamma + b ( \xi ) \right] + \right. } & { { } \frac { g _ { 0 } ^ { h f } } { k _ { \perp } ^ { * } } u _ { z } \left( 1 - \gamma ^ { - 2 } - u _ { z } ^ { 2 } \right) ^ { - 1 / 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha } & { { } = \frac { 1 } { P r } \alpha _ { 1 } + ( 1 + L e ) \alpha _ { 2 } , } \\ { \beta } & { { } = \frac { 1 } { P r ^ { 2 } } \beta _ { 1 } + \frac { 1 + L e } { P r } \beta _ { 2 } + ( 1 + L e ^ { 2 } ) \beta _ { 3 } + L e \beta _ { 4 } , } \\ { \gamma } & { { } = ( 1 - L e ) \gamma _ { 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle g g \vert { \bf v } \vert g u \rangle } & { = - 0 . 3 9 5 1 \, i \frac { t r _ { 0 } } { \hbar } { \bf e } _ { x } \, , } \\ { \langle g g \vert { \bf v } \vert u g \rangle } & { = - 0 . 1 5 3 3 \, i \frac { t r _ { 0 } } { \hbar } { \bf e } _ { y } \, , } \\ { \langle g u \vert { \bf v } \vert u u \rangle ^ { ( 1 ) } } & { = - 0 . 4 6 7 0 \, i \frac { t r _ { 0 } } { \hbar } { \bf e } _ { y } \, , } \\ { \langle g u \vert { \bf v } \vert u u \rangle ^ { ( 2 ) } } & { = - 0 . 5 0 0 1 \, i \frac { t r _ { 0 } } { \hbar } { \bf e } _ { y } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { F _ { k } ( \tau ) = \sum _ { \rho = K } ^ { \infty } \binom { \rho - 1 } { K - 1 } \epsilon ^ { \rho - K } ( 1 - \epsilon ) ^ { K } \left[ e ^ { - 2 \theta _ { k } \tau } \gamma ( \mu \tau , \rho ) \! + \! \left( \frac { \mu } { 2 \theta _ { k } + \mu } \right) ^ { \rho } ( 1 \! - \! \gamma ( ( 2 \theta _ { k } \! + \! \mu ) \tau , \rho ) \right] , } \end{array}
\Theta = { \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } } \left[ 2 ( 2 a - c ) R _ { \mu \nu } R ^ { \mu \nu } + { \frac { 1 } { 3 } } ( c - 3 a ) R ^ { 2 } + ( c - a ) R _ { \mu \nu \rho \sigma } R ^ { \mu \nu \rho \sigma } \right] + { \frac { c } { 6 \pi ^ { 2 } } } ( F _ { \mu \nu } ) ^ { 2 } .