harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathcal { R } = \mathcal { R } _ { f } - \mathcal { R } _ { r } = k _ { f , 0 } \Pi _ { i = 1 } ^ { N } \left( \frac { C _ { i } } { c _ { 0 } } \right) ^ { a _ { i } } - k _ { r , 0 } \Pi _ { i = 1 } ^ { N } \left( \frac { C _ { i } } { c _ { 0 } } \right) ^ { b _ { i } }
I ( Q ^ { 2 } , T ) = \frac { 1 } { 8 } \int _ { 0 } ^ { s _ { 0 } ( T ) } \; d x \int _ { - x } ^ { x } \; d y \frac { ( x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) } { ( Q ^ { 4 } + 2 x Q ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } F ( x , y , Q ^ { 2 } , T ) \; ,
\mathrm { x _ { A } \mathrm { \overline { { y } } _ { A } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } \mathrm { y _ { B } ( \mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { A } \mathrm { \overline { { s } } _ { B } - \mathrm { s _ { A } \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { z } } _ { B } ) } } } } } } } } } }
R = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { n } P ( x _ { i } , x _ { j } ) g ( u ( x _ { j } ) - u ( x _ { i } ) ) = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { n } p _ { i } q _ { j } g ( u ( x _ { j } ) - u ( x _ { i } ) ) + \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \theta _ { i , j } g ( u ( x _ { j } ) - u ( x _ { i } ) )
= { \frac { q _ { \mathrm { t o t } } } { R } } + { \frac { 1 } { R ^ { 3 } } } \sum _ { \alpha = x , y , z } P _ { \alpha } R _ { \alpha } + { \frac { 1 } { 2 R ^ { 5 } } } \sum _ { \alpha , \beta = x , y , z } Q _ { \alpha \beta } R _ { \alpha } R _ { \beta } + \cdots
\begin{array} { r l } & { r _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L } = \frac { \mathbf { U } _ { i + 1 , j } - \mathbf { U } _ { i , j } } { \mathbf { U } _ { i , j } - \mathbf { U } _ { i - 1 , j } } \equiv \frac { \Delta _ { + } } { \Delta _ { - } } \mathbf { U } _ { i , j } } \\ & { r _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R } = \frac { \mathbf { U } _ { i + 1 , j } - \mathbf { U } _ { i , j } } { \mathbf { U } _ { i + 2 , j } - \mathbf { U } _ { i + 1 , j } } \equiv \frac { \Delta _ { - } } { \Delta _ { + } } \mathbf { U } _ { i + 1 , j } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i , j \in V ^ { \circ } } \mathbb { P } ( \sigma _ { i } \sigma _ { j } \ne \widetilde { \sigma } _ { i } \widetilde { \sigma } _ { j } ) } & { \ge \frac { 1 } { | E | p } \sum _ { i , j \in V ^ { \circ } } \mathbb { P } ( \sigma _ { i } \sigma _ { j } \ne \sigma _ { i } ^ { \prime } \sigma _ { j } ^ { \prime } ) } \\ & { = \frac { | V ^ { \circ } | ^ { 2 } } { 2 | E | p } ( 1 - \mathbb { E } ( R ( p ) ^ { 2 } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathcal { E } ( t ) \leq } & { \mathcal { O } \left( T ^ { \nu - 1 } \right) + \mathcal { O } \left( T ^ { - 2 ( \sigma - \nu ) } \right) } \\ & { + \widetilde { \mathcal { O } } \left( \operatorname* { m a x } _ { t \in [ T ] } \tau _ { m i x } ^ { \theta _ { t } } \log T _ { \operatorname* { m a x } } \right) \mathcal { O } \left( T ^ { - \nu } \right) } \\ & { \quad + \widetilde { \mathcal { O } } \left( \operatorname* { m a x } _ { t \in [ T ] } \tau _ { m i x } ^ { \theta _ { t } } \frac { \log T _ { \operatorname* { m a x } } } { T _ { \operatorname* { m a x } } } \right) . } \end{array}
S _ { P } [ { \bar { x } } ; { \hat { g } } ] = { \frac { 1 } { 4 \pi \alpha ^ { \prime } } } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } { \frac { 2 n \pi } { \mathrm { s i n h } ( 2 n \pi / l ) } } \left[ ( | x _ { n } ^ { i } | ^ { 2 } + | x _ { n } ^ { f } | ^ { 2 } ) \mathrm { C o s h } ( 2 n \pi / l ) - 2 \mathrm { R e } ( x _ { n } ^ { i } \cdot x _ { n } ^ { f * } ) \right] \quad .
Q = \int d ^ { 2 } x \left( \begin{array} { c } { { \sqrt { 2 } ( D _ { 0 } \phi ^ { * } - i F ^ { * } ) \psi _ { \uparrow } - i ( \partial _ { 0 } N + f _ { 0 } - i G ) \chi _ { \uparrow } + \sqrt { 2 } ( D _ { - } \phi ) ^ { * } \psi _ { \downarrow } - i ( \partial _ { + } N + f _ { + } ) \chi _ { \downarrow } } } \\ { { \sqrt { 2 } ( D _ { 0 } \phi ^ { * } + i F ^ { * } ) \psi _ { \downarrow } - i ( \partial _ { 0 } N + f _ { 0 } + i G ) \chi _ { \downarrow } - \sqrt { 2 } ( D _ { + } \phi ) ^ { * } \psi _ { \uparrow } + i ( \partial _ { - } N + f _ { - } ) \chi _ { \uparrow } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \dot { P } _ { i } ^ { I } = } & { { } - P _ { i } ^ { I } + \beta ^ { ( 1 ) } \sum _ { j } A _ { i j } ^ { ( 1 ) } P _ { i j } ^ { S I } + \frac 1 2 \sum _ { j , l } \left[ A _ { i j l } ^ { ( 1 , 0 ) } \beta ^ { ( 1 ) } ( P _ { i j l } ^ { S S I } + P _ { i j l } ^ { S I S } + 2 P _ { i j l } ^ { S I I } ) + A _ { i j l } ^ { ( 0 , 1 ) } \beta ^ { ( 2 ) } P _ { i j l } ^ { S I I } \right] } \\ { \dot { P } _ { i j } ^ { S I } = } & { { } - ( 1 + \beta ^ { ( 1 ) } ) P _ { i j } ^ { S I } + P _ { i j } ^ { I I } - \beta ^ { ( 1 ) } \sum _ { l \neq j } A _ { i l } ^ { ( 1 ) } P _ { j \underline { { i } } l } ^ { I S I } + \beta ^ { ( 1 ) } \sum _ { l \neq i } A _ { j l } ^ { ( 1 ) } P _ { i \underline { { j } } l } ^ { S S I } } \\ { \dot { P } _ { i j l } ^ { S S I } = } & { { } - ( 1 + 2 A _ { i j l } ^ { ( 1 , 0 ) } \beta ^ { ( 1 ) } ) P _ { i j l } ^ { S S I } + P _ { i j l } ^ { I S I } + P _ { i j l } ^ { S I I } } \\ { \dot { P } _ { i j l } ^ { S I I } = } & { { } - ( 2 + 2 A _ { i j l } ^ { ( 1 , 0 ) } \beta ^ { ( 1 ) } + A _ { i j l } ^ { ( 0 , 1 ) } \beta ^ { ( 2 ) } ) P _ { i j l } ^ { S I I } + A _ { i j l } ^ { ( 1 , 0 ) } \beta ^ { ( 1 ) } ( P _ { i j l } ^ { S S I } + P _ { i j l } ^ { S I S } ) + P _ { i j l } ^ { I I I } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta \mathbf { t } _ { n } } & { = \Delta t \hat { \sigma } \left( \mathbf { W } _ { 1 } \mathbf { y } _ { n - 1 } + \mathbf { V } _ { 1 } \mathbf { u } _ { n } + \mathbf { b } _ { 1 } \right) } \\ { \overline { { \Delta \mathbf { t } _ { n } } } } & { = \Delta t \hat { \sigma } \left( \mathbf { W } _ { 2 } \mathbf { y } _ { n - 1 } + \mathbf { V } _ { 2 } \mathbf { u } _ { n } + \mathbf { b } _ { 2 } \right) } \\ { \mathbf { z } _ { n } } & { = \left( 1 - \boldsymbol { \Delta } \mathbf { t } _ { n } \right) \odot \mathbf { z } _ { n - 1 } + \Delta \mathbf { t } _ { n } \odot \sigma \left( \mathbf { W } _ { z } \mathbf { y } _ { n - 1 } + \mathbf { V } _ { z } \mathbf { u } _ { n } + \mathbf { b } _ { z } \right) } \\ { \mathbf { y } _ { n } } & { = \left( 1 - \overline { { \boldsymbol { \Delta } } } _ { n } \right) \odot \mathbf { y } _ { n - 1 } + \overline { { \boldsymbol { \Delta } } } _ { n } \odot \sigma \left( \mathbf { W } _ { y } \mathbf { z } _ { n } + \mathbf { V } _ { y } \mathbf { u } _ { n } + \mathbf { b } _ { y } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left( 1 - \frac { S } { B _ { 0 } } - \frac { A _ { p } r } { B _ { 0 } } \right) \frac { \partial f _ { 0 } } { \partial t } } & { { } = } & { - \left[ \frac { \partial \delta f _ { p } } { \partial t } + i p \Omega _ { d } \delta f _ { p } + \left( \frac { 8 r ^ { 2 } \dot { A } _ { p } } { 2 1 B _ { 0 } } - i p \frac { \mu A _ { p } } { q B _ { 0 } \gamma } + \frac { r \dot { S } } { 2 B _ { 0 } } \delta _ { p 0 } \right) \frac { \partial f _ { 0 } } { \partial r } \right] } \end{array}
{ { \bf { \bar { m } } } ^ { * } } = { \bf { \bar { m } } } - { \bf { S } } ( { \bf { \bar { m } } } - { { \bf { \bar { m } } } ^ { e q } } ) + ( { \bf { I } } - \frac { { \bf { S } } } { 2 } ) \Delta t { \bf { \tilde { F } } } ,
P = ( y - 1 ) \left( y + \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } , \quad - \frac { 1 } { 2 } \leq y \leq 1 , \quad \kappa = \frac { 3 } { 2 } \lambda ^ { 2 } \geq \frac { 1 } { 2 } .
\mathcal { N } _ { \psi } ^ { - 1 } = \int D \psi \exp \{ - ( 1 / 2 ) \int \mathrm { d } \mathbf { r } \int \mathrm { d } \mathbf { r ^ { ' } } \psi ( \mathbf { r } ) C ^ { - 1 } ( \mathbf { r } , \mathbf { r ^ { ' } } ) \psi ( \mathbf { r ^ { ' } } ) \}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ R ( T ) ] } & { = O ( T ^ { 1 - \alpha / 2 } \sqrt { \log ( | \mathcal { D } | T ) } ) + O \left( \frac { \ln ( 1 / \delta ) \gamma _ { T } T ^ { 1 - \alpha } \sqrt { \log ( k T ) } } { \epsilon } \right) } \\ & { + O ( \sqrt { \gamma _ { T } T ^ { 1 - \alpha } \log ( | \mathcal { D } ) T ) } + O ( \sqrt { \gamma _ { T } T } ) . } \end{array}
\mathscr { Z } _ { 2 } ^ { ( 1 ) } = \sigma ^ { 2 } \left( - \frac { 3 a _ { 1 } ^ { 2 } \mathcal { G } ^ { 4 } \mu m _ { 0 } ^ { 4 } \iota _ { c } ^ { 2 } } { 8 L _ { * } ^ { 6 } } + \frac { a _ { 1 } ^ { 2 } \mathcal { G } ^ { 4 } \mu m _ { 0 } ^ { 4 } } { 8 L _ { * } ^ { 6 } } - \frac { 3 \delta L ^ { 2 } \mathcal { G } ^ { 2 } m _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 L _ { * } ^ { 4 } } - \frac { \mathcal { G } ^ { 2 } \mu m _ { 0 } ^ { 2 } } { L _ { * } ^ { 2 } } \right)
\Bigl ( \frac { d } { d u } + 2 k ~ \mathrm { s n } ( u , k ) \Bigr ) \Bigl ( - \frac { d } { d u } + 2 k ~ \mathrm { s n } ( u , k ) \Bigr ) \phi ( u ) = ( \frac { m _ { F } } { \omega } ) ^ { 2 } \phi ( u )
\begin{array} { r } { P _ { n } \left( \frac { 1 } { \sqrt { n _ { 2 } } } \sum _ { i = n _ { 1 } + 1 } ^ { n } \frac { \dot { \hat { q } } _ { \theta _ { n } } ( Z _ { i } ) } { \hat { q } _ { \theta _ { n } } ( Z _ { i } ) } \le t \right) = { \mathbb E } _ { n } \left[ P _ { n } \left( \frac { 1 } { \sqrt { n _ { 2 } } } \sum _ { i = n _ { 1 } + 1 } ^ { n } \frac { \dot { \hat { q } } _ { \theta _ { n } } ( Z _ { i } ) } { \hat { q } _ { \theta _ { n } } ( Z _ { i } ) } \le t \Big | Z _ { 1 } , \dots , Z _ { n _ { 1 } } \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { m i n } _ { \theta } \mathcal { L } _ { \mu } ( \theta ) \! \! \! } & { = } & { \! \! \! \| Q ( \theta ) - T ^ { \pi } Q ( \theta ) \| _ { \mu } ^ { 2 } } \\ & { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = } & { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbb { E } _ { ( s , a ) \sim \mu } \big [ \left( Q ( s , a ; \theta ) - T ^ { \pi } Q ( s , a ; \theta ) \right) ^ { 2 } \big ] , } \end{array}
\langle \Sigma \rangle + \langle S \rangle = \mathrm { d i a g } ( - \frac { 5 } { 3 } \Sigma _ { 0 } , - \frac { 5 } { 3 } \Sigma _ { 0 } , - \frac { 5 } { 3 } \Sigma _ { 0 } , 0 , 0 ) .
V = \sum _ { \operatorname * { m i n } \{ Q \bar { q } \} } \left[ \sigma \, ( r _ { Q \bar { q } } - r _ { 0 } ) \, \theta ( r _ { Q \bar { q } } - r _ { 0 } ) - \frac { 3 } { 4 } \, \alpha _ { s } \, \left( \frac { 1 } { r _ { Q \bar { q } } } - \frac { 1 } { r _ { 0 } } \right) \theta ( r _ { 0 } - r _ { Q \bar { q } } ) \right] \, ,
d s ^ { 2 } = - N ^ { 2 } \, d t ^ { 2 } + r ^ { 2 } \, d \phi ^ { 2 } + { \frac { 1 } { N ^ { 2 } } } \, d r ^ { 2 } ; ~ ~ ~ ~ N ^ { 2 } = r ^ { 2 } - 8 G M \ \ ,
\begin{array} { r l } & { B ( x , t ) = y _ { 1 } ( x , t ) \left( \begin{array} { l l l } { \omega } & { \omega ^ { 2 } } & { 1 } \\ { \omega } & { \omega ^ { 2 } } & { 1 } \\ { \omega } & { \omega ^ { 2 } } & { 1 } \end{array} \right) , } \\ & { A ( x , t ) = y _ { 2 } ( x , t ) \left( \begin{array} { l l l } { \omega ^ { 2 } } & { \omega } & { 1 } \\ { \omega ^ { 2 } } & { \omega } & { 1 } \\ { \omega ^ { 2 } } & { \omega } & { 1 } \end{array} \right) + y _ { 3 } ( x , t ) \left( \begin{array} { l l l } { \omega ^ { 2 } } & { 1 } & { \omega } \\ { 1 } & { \omega } & { \omega ^ { 2 } } \\ { \omega } & { \omega ^ { 2 } } & { 1 } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\lVert ( T _ { k } + \lambda I ) ^ { - \frac 1 2 } ( T _ { k } - T _ { k , N } ) \right\rVert _ { \mathrm { O p } ( L ^ { 2 } ( \mathcal { X } ) ) } } & { \le \frac { 2 \kappa ^ { 5 } } { \sqrt { N } } \left( \frac { \kappa ^ { 5 } } { \sqrt { \lambda N } } + \sqrt { \gamma _ { T _ { k } } ( \lambda ) } \right) \log ( 2 / \delta ) } \\ & { = : C _ { 1 } ( N , \gamma ) \log ( 2 / \delta ) , } \end{array}
F _ { h k l } = 4 ( f _ { Z } + f { _ Y } e ^ { { \pi } i ( h + k + l ) } + f { _ X } e ^ { \frac { { \pi } i } { 2 } ( h + k + l ) } + f _ { X ^ { \prime } } e ^ { - \frac { { \pi } i } { 2 } ( h + k + l ) } ) .
\lambda _ { W } \ll 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array} { l l l } { { \alpha < 0 : E _ { W } \rightarrow \infty : } } & { { \mathrm { U V - f r e e , } } } \\ { { \alpha > 0 : E _ { W } \rightarrow 0 : } } & { { \mathrm { I R - f r e e . } } } \end{array} \right.
F _ { p } \left( 2 ^ { S } \right) = \left\{ \begin{array} { l l } { 2 ^ { - \zeta _ { p } ( S - d ) } \int \Lambda _ { p } ^ { ( S + 1 ) } \circ \Lambda _ { p } ^ { ( S + 2 ) } \circ \cdots \circ \Lambda _ { p } ^ { ( d ) } [ d \nu _ { p } ] , } & { 0 \le S < d ; } \\ { 1 , } & { S \ge d . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \tilde { \nabla } _ { i } \tilde { R } _ { - + M N } } & { = - \tilde { \Gamma } ^ { j } _ { i - } \tilde { R } _ { j + M N } - \tilde { \Gamma } ^ { j } _ { i + } \tilde { R } _ { - j M N } = \frac { 1 } { t } \psi _ { i } ^ { j } \tilde { R } _ { + j M N } - \frac { 1 } { t } ( \delta ^ { j } _ { i } - \rho \psi ^ { j } _ { i } ) \tilde { R } _ { - j M N } } \\ & { = - \frac { \rho } { t } \psi _ { i } ^ { j } \tilde { R } _ { - j M N } - \frac { 1 } { t } ( \delta ^ { j } _ { i } - \rho \psi _ { i } ^ { j } ) \tilde { R } _ { - j M N } = - \frac { 1 } { t } \tilde { R } _ { - i M N } \, , } \\ { \tilde { \nabla } _ { - } \tilde { R } _ { - + M N } } & { = - \tilde { \Gamma } ^ { j } _ { -- } \tilde { R } _ { j + M N } - \tilde { \Gamma } ^ { j } _ { - + } \tilde { R } _ { - j M N } = 0 \, , } \\ { \tilde { \nabla } _ { + } \tilde { R } _ { - + M N } } & { = - \tilde { \Gamma } ^ { j } _ { + - } \tilde { R } _ { j + M N } - \tilde { \Gamma } ^ { j } _ { + + } \tilde { R } _ { - j M N } = 0 \, , } \end{array}
u ( \boldsymbol { r } ) = \int _ { D } G ^ { t } ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { \xi } ) f ( \boldsymbol { \xi } ) - \int _ { \partial D } G ^ { t } \frac { \partial f } { \partial n } - f \frac { \partial G ^ { t } } { \partial n } d s
\begin{array} { r l } { \smash { \widetilde { f } } ( k _ { y } ) } & { = \int \frac { \mathrm { d } y } { \sqrt { 2 \pi } } f ( y ) \exp \left[ - i y \left( k _ { y } + \frac { 2 \pi } { \lambda } \sin \theta \right) \right] , } \\ { f ( y ) } & { = \int \frac { \mathrm { d } k _ { y } } { \sqrt { 2 \pi } } \smash { \widetilde { f } } ( k _ { y } ) \exp \left[ i y \left( k _ { y } + \frac { 2 \pi } { \lambda } \sin \theta \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \sigma _ { { p } } ( v _ { j } ) ( q , \zeta ^ { j } ) = \frac { \omega ( q , \zeta ^ { j } ) } { \omega ( x _ { j } ^ { o } , ( \xi _ { j } ^ { o } ) ^ { \sharp } ) } \sigma _ { { p } } ( Q ) ( q , \zeta ^ { j } , x _ { j } ^ { o } , ( \xi _ { j } ^ { o } ) ^ { \sharp } ) ) \sigma _ { { p } } ( v ) ( x _ { j } ^ { o } , ( \xi _ { j } ^ { o } ) ^ { \sharp } ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \tau } \int _ { \mathbb { S } ^ { n - 1 } } \Delta _ { \mathbb { S } ^ { n - 1 } } \psi \partial _ { \tau } \psi } & { = - \frac 1 2 \int _ { 0 } ^ { \tau } \int _ { \mathbb { S } ^ { n - 1 } } \partial _ { \tau } | \nabla _ { \theta } \psi | ^ { 2 } } \\ & { = \frac 1 2 \int _ { \mathbb { S } ^ { n - 1 } } \big ( | \nabla _ { \theta } \psi | ^ { 2 } ( 0 , \theta ) - | \nabla _ { \theta } \psi | ^ { 2 } ( \tau , \theta ) \big ) \, d \theta . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi ( \psi _ { t } ( l ) , c ( t , l ) \vartheta ) } & { = ( \varrho ( \psi _ { t } ( l ) ) \circ \varrho ( \psi _ { t } ( l ) ) ^ { - 1 } \circ \varphi _ { t } \circ \varrho ( l ) \circ \vartheta ) ( \sigma ( \tau ( q _ { \mathrm { f i x } } ( \psi _ { t } ( l ) ) ) ) ) } \\ & { = ( \varphi _ { t } \circ \varrho ( l ) \circ \vartheta ) ( \sigma ( \tau ( q _ { \mathrm { f i x } } ( l ) ) ) ) = \varphi _ { t } ( \Phi ( l , \vartheta ) ) } \end{array}
\frac { E } { N V } = \frac { 1 } { 2 } \dot { \phi } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } m _ { B } ^ { 2 } \phi ^ { 2 } + \frac { \lambda _ { B } } { 8 } \phi ^ { 4 } + \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } } \int \frac { k ^ { 2 } d k } { 2 \Omega _ { q } } \left[ | \dot { \phi } _ { q } ( \tau ) | ^ { 2 } + \omega _ { q } ^ { 2 } ( \tau ) | \phi _ { q } ( \tau ) | ^ { 2 } \right] - \frac { \lambda _ { B } } { 8 } \langle \pi ^ { 2 } \rangle ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { q _ { x , 1 } } & { { } = q _ { x , 0 } + h p _ { x , 0 } ~ ~ ~ ~ \mathrm { , a n d } } \\ { p _ { x , 1 } } & { { } = p _ { x , 0 } ( - h ) + p _ { x , 0 } ( 1 - h ^ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \phi ^ { 0 } ( \mathbf { x } ) = 0 . 5 + 0 . 5 \operatorname { t a n h } \left( \frac { r - \mathrm { ~ d ~ i ~ s ~ t ~ } ( \mathbf { x } , \mathbf { 0 } ) } { \epsilon / 3 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { T } & { : = } & { \operatorname* { l i m } _ { r \to \infty } \int _ { \{ r \} \times S ^ { 1 } } ( w | _ { \{ 0 \} \times S ^ { 1 } } ) ^ { * } \lambda } \\ { Q } & { : = } & { \operatorname* { l i m } _ { r \to \infty } \int _ { \{ r \} \times S ^ { 1 } } ( ( w | _ { \{ 0 \} \times [ 0 , 1 ] } ) ^ { * } \lambda \circ j ) . } \end{array}
\langle \tau _ { f } \rangle = \int _ { x _ { 0 } \in \lnot f } \int _ { 0 } ^ { \infty } \delta ( { x _ { t } \in f } ) p ( x _ { t } \mid x _ { 0 } , t ) t \, \mathrm { d } t \, \mathrm { d } x _ { 0 }
\begin{array} { r l } { \operatorname* { d e t } A _ { 2 k + 1 } } & { = \frac { ( \lambda ^ { 2 k + 1 } - 1 ) ( \lambda ^ { - 2 k - 1 } - 1 ) } { S _ { k } ^ { 2 } } } \\ & { = ( \lambda - 1 ) ^ { 2 } \frac { 2 - \lambda ^ { 2 k + 1 } - \lambda ^ { - 2 k - 1 } } { ( \lambda ^ { k + 1 } - \lambda ^ { - k } ) ^ { 2 } } \lambda ^ { k } = - \frac { ( \lambda - 1 ) ^ { 2 } } { \lambda } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \tilde { \ensuremath { { \mathbb E } } } \left[ \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \| \tilde { u } _ { t } \| _ { H } ^ { p } + \left( \int _ { 0 } ^ { T } \| \tilde { u } _ { t } \| _ { V } ^ { 2 } d t \right) ^ { p / 2 } \right] } \\ & { \leq \operatorname* { l i m i n f } _ { n \rightarrow \infty } \tilde { \ensuremath { { \mathbb E } } } \left[ \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \| \tilde { u } _ { t } ^ { n } \| _ { H } ^ { p } + \left( \int _ { 0 } ^ { T } \| \tilde { u } _ { t } ^ { n } \| _ { V } ^ { 2 } d t \right) ^ { p / 2 } \right] < \infty . } \end{array}
\textbf { B . } \, S ^ { v } + S ^ { l o g } = \sum _ { ( i , j ) } \left( \frac { \left( \pi _ { i j } ^ { ( l ) } \right) ^ { 2 } } { 2 s ^ { 2 } \left( l _ { i j } \right) ^ { 2 } } w _ { l } V _ { l } - \frac { 1 } { 2 } l o g ( w _ { l } ) \right)
\phi _ { \mathrm { X } } ^ { U } = \frac { v _ { \mathrm { Z , 1 } } ^ { U } } { s _ { \mathrm { Z , 1 } } ^ { L } } + \gamma \left( s _ { \mathrm { X , 1 } } ^ { L } , s _ { \mathrm { Z , 1 } } ^ { L } , \frac { v _ { \mathrm { Z , 1 } } ^ { U } } { s _ { \mathrm { Z , 1 } } ^ { L } } , \frac { \varepsilon _ { s e c } } { 2 1 } \right) ,
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { R _ { 2 } ^ { 2 } } \int _ { S _ { [ 0 , 2 R _ { 1 } ) ; ( R _ { 2 } , 2 R _ { 2 } ) } } \Gamma _ { 2 } ^ { - \frac { \mu _ { 2 } } { 2 } } \Gamma _ { 1 } ^ { \alpha + 1 } \, \mathrm { d } x } & { \leq \frac { c } { R _ { 2 } ^ { 2 } } \int _ { S _ { [ 0 , 2 R _ { 1 } ) ; ( R _ { 2 } , 2 R _ { 2 } ) } } | x _ { 2 } | ^ { 2 \kappa _ { 2 } ( \alpha + 1 ) } \, \mathrm { d } x } \\ & { \leq c R _ { 1 } R _ { 2 } ^ { 2 \kappa _ { 2 } ( \alpha + 1 ) - 1 } . } \end{array}
T _ { \perp } = - 2 \int d z T _ { y y } = \sqrt { \lambda _ { \phi } } \eta ^ { 3 } \int d \zeta \left[ X ^ { 2 } + \alpha _ { 1 } Y ^ { 2 } + \tilde { w } Y ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 4 } } ( X ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } + 2 \alpha _ { 2 } Y ^ { 2 } ( X ^ { 2 } - 1 ) + \alpha ^ { 3 } Y ^ { 2 } ( { \frac { 1 } { 2 } } Y ^ { 2 } + 1 ) \right] ,
p = - \frac { \sqrt { 2 } \, P } { 1 + P ^ { 2 } } \, B _ { 0 } ^ { 2 } + 2 \biggl ( \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } - \nu \biggr ) k ^ { 2 } - \frac { 3 } { \sqrt { 2 } } \, k ^ { 4 } + \cdots .
T = k U _ { \mathrm { O } } U _ { \mathrm { R } } ^ { * } + k \left| U _ { \mathrm { R } } \right| ^ { 2 } + k \left| U _ { \mathrm { O } } \right| ^ { 2 } + k U _ { \mathrm { O } } ^ { * } U _ { \mathrm { R } }
\left[ Q _ { 2 s + \tau , 2 t + \tau ^ { \prime } } ^ { \bar { \mu } , \bar { \nu } , \mu , \nu } \right] = \, \left[ g _ { 2 s + \tau , 2 t + \tau ^ { \prime } } ^ { \bar { \mu } , \bar { \nu } } \right] + \,
\omega _ { 0 } - \omega _ { \pm } \approx - \frac { \delta _ { 0 } } { t _ { \mathrm { R } } } \mp p \zeta _ { 1 } - \hat { D } _ { \mathrm { i n t } } ( \pm p ) + \frac { \delta _ { \pm } } { t _ { \mathrm { R } } } .
{ \cal { M } } ^ { i j } = \frac { \partial B ^ { j } } { \partial x ^ { i } } + \frac { \partial B ^ { i } } { \partial x ^ { j } } - \frac { 2 } { 3 } \delta ^ { i j } \nabla \cdot { \bf { B } } = \frac { \partial B ^ { j } } { \partial x ^ { i } } + \frac { \partial B ^ { i } } { \partial x ^ { j } } ,
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } \partial _ { t } \phi _ { m } \pi \zeta \leq \int _ { 0 } ^ { T } | | \mathbf { v } _ { m } | | _ { L ^ { 6 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 } ) } | | \nabla \phi _ { m } | | _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times } ) } | | P _ { m } ^ { L } ( \pi ) | | _ { L ^ { 3 } ( \Omega ) } | \zeta | } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { T } | | b \left( \phi _ { m } \right) \nabla \mu _ { m } | | _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 2 } ) } | | \nabla P _ { m } ^ { L } ( \pi ) | | _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 2 } ) } | \zeta | } \\ & { \leq C \left( | | \mathbf { v } _ { m } | | _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; L ^ { 6 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 } ) ) } | | \nabla \phi _ { m } | | _ { L ^ { \infty } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \Omega ) ) } + | | b \left( \phi _ { m } \right) \nabla \mu _ { m } | | _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 2 } ) ) } \right) } \\ & { \times | | \pi | | _ { H ^ { 1 } ( \Omega ) } | | \zeta | | _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } . } \end{array}
\log \left( \vartheta _ { 1 } \left( z , \frac { i v + h } { k } \right) \right) - \log \left( \vartheta _ { 1 } \left( \frac { z } { i v } , \frac { 1 } { k } \left( H + \frac { i } { v } \right) \right) \right) - \frac { \pi i } { 2 } + \frac { H - h } { 4 k } + 3 \pi i s ( h , k ) + \frac { \pi i k z ^ { 2 } } { i v } = - \frac { 1 } { 2 } \log ( v ) .
H ( \mathrm { ~ \bf ~ p ~ } , \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) = \frac { 1 } { 2 m } \left( \mathrm { ~ \bf ~ p ~ } - q \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ r ~ } ~ , ~ t ~ } ) \right) ^ { 2 } + q A _ { 0 } ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ r ~ } ~ , ~ t ~ } ) \; ,
\mathbf { g } \left( \mathbf { x } \right) = { \left[ \begin{array} { l } { g _ { 1 } \left( \mathbf { x } \right) } \\ { \vdots } \\ { g _ { i } \left( \mathbf { x } \right) } \\ { \vdots } \\ { g _ { m } \left( \mathbf { x } \right) } \end{array} \right] } , \quad \mathbf { h } \left( \mathbf { x } \right) = { \left[ \begin{array} { l } { h _ { 1 } \left( \mathbf { x } \right) } \\ { \vdots } \\ { h _ { j } \left( \mathbf { x } \right) } \\ { \vdots } \\ { h _ { \ell } \left( \mathbf { x } \right) } \end{array} \right] } , \quad \mathbf { \mu } = { \left[ \begin{array} { l } { \mu _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { \mu _ { i } } \\ { \vdots } \\ { \mu _ { m } } \end{array} \right] } , \quad \mathbf { \lambda } = { \left[ \begin{array} { l } { \lambda _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { \lambda _ { j } } \\ { \vdots } \\ { \lambda _ { \ell } } \end{array} \right] } \quad { \mathrm { a n d } } \quad \mathbf { \alpha } = { \left[ \begin{array} { l } { \mu } \\ { \lambda } \end{array} \right] } .
- ( 2 \pi k _ { f } ) \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \mathrm { ~ } \frac { d q _ { 1 } } { 2 \pi } \mathrm { ~ } \frac { \Lambda _ { k + q _ { 1 } / 2 } ( - q _ { 1 } ) } { 2 \omega _ { R } ( q _ { 1 } ) ( \omega _ { R } ( q _ { 1 } ) + \omega _ { k + q _ { 1 } / 2 } ( q _ { 1 } ) ) ^ { 2 } ( \frac { m ^ { 3 } } { q _ { 1 } ^ { 4 } } ) ( c o s h ( \lambda ( q _ { 1 } ) ) - 1 ) }
\frac { 1 } { \tau _ { 0 } } = \Gamma _ { 0 } = \frac { 1 6 \pi } { 9 } \sqrt { \frac { 2 \Delta m _ { \pi } } { m _ { \pi ^ { + } } } } \frac { ( a _ { 0 } ^ { 0 } - a _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { m _ { \pi ^ { + } } ^ { 2 } } | \psi _ { + - } ( 0 ) | ^ { 2 } , \ \ \, \ \Delta m _ { \pi } = m _ { \pi ^ { + } } - m _ { \pi ^ { 0 } } .
\mathbf { \hat { F } } _ { n } = \mathbf { D } _ { n } \mathbf { M } _ { n } ^ { - 1 } \mathbf { Q } _ { n } \mathbf { \hat { w } } _ { n } ( x _ { n } ) = \mathbf { D } _ { n } \mathbf { M } _ { n } ^ { - 1 } \mathbf { Q } _ { n } \mathbf { L } _ { n } ( x _ { n } ) \mathbf { A } _ { n } .
\overline { { { U ( 1 , 0 ) } } } = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right)