harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
K _ { \mu \nu } = \sum _ { \lambda \sigma } \phi _ { \mu } ( \mathbf { r } _ { P } ) ^ { * } \phi _ { \lambda } ( \mathbf { r } _ { P } ) M _ { P Q } \phi _ { \sigma } ( \mathbf { r } _ { Q } ) ^ { * } \phi _ { \nu } ( \mathbf { r } _ { Q } ) P _ { \lambda \sigma }
\begin{array} { r l } { F _ { j ( k _ { \pm 1 } ) } } & { = - e _ { 2 } j ( k _ { \pm 1 } ) } \\ & { \le e _ { 2 } ( 2 e ^ { - \frac 1 2 \kappa \xi \eta ( s - \tilde { s } _ { 0 } ) } j ( k _ { \pm 1 } , \tilde { s } _ { 0 } ) + \frac 2 { \beta \kappa \xi \eta } ( \tilde { w } ( 1 ) + c _ { 1 } ^ { \ast } + c _ { 2 } ^ { \ast } ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ \mathbf { a } _ { X } ( \psi ^ { a } , \psi ^ { e } ) ] ( x ) } & { = \mathrm { { e x p } } \bigg \{ j 2 \pi \frac { d _ { s } } { \lambda } \bigg ( \lfloor ( x - 1 ) / X _ { y } \rfloor \sin \psi ^ { a } \sin \psi ^ { e } } \\ & { + ( ( x - 1 ) { \mathrm { m o d } } X _ { y } ) \cos \psi ^ { e } \bigg ) \bigg \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \epsilon _ { 2 , 1 } } & { = \psi ( \bar { t } , \bar { x } + \tilde { \xi } _ { s } , \bar { y } + \tilde { \eta } _ { s } , \bar { z } + \tilde { \zeta } _ { s } ) - \psi ( \bar { t } , \bar { x } , \bar { y } , \bar { z } + \tilde { \zeta } _ { s } ) } \\ & { \mathrm { ~ \ ~ \ } - ( \psi ( \bar { t } , \bar { x } + \tilde { \xi } _ { s } , \bar { y } + \tilde { \eta } _ { s } , \bar { z } ) - \psi ( \bar { t } , \bar { x } , \bar { y } , \bar { z } ) ) } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \big \langle D _ { x } \psi ( \bar { t } , \bar { x } + \theta \tilde { \xi } _ { s } , \bar { y } + \theta \tilde { \eta } _ { s } , \bar { z } + \tilde { \zeta } _ { s } ) - D _ { x } \psi ( \bar { t } , \bar { x } + \theta \tilde { \xi } _ { s } , \bar { y } + \theta \tilde { \eta } _ { s } , \bar { z } ) , \tilde { \xi } _ { s } \big \rangle d \theta } \\ & { \mathrm { \ ~ \ ~ \ } + \int _ { 0 } ^ { 1 } \big \langle D _ { y } \psi ( \bar { t } , \bar { x } + \theta \tilde { \xi } _ { s } , \bar { y } + \theta \tilde { \eta } _ { s } , \bar { z } + \tilde { \zeta } _ { s } ) - D _ { y } \psi ( \bar { t } , \bar { x } + \theta \tilde { \xi } _ { s } , \bar { y } + \theta \tilde { \eta } _ { s } , \bar { z } ) , \tilde { \eta } _ { s } \big \rangle d \theta } \\ & { : = \int _ { 0 } ^ { 1 } \big \langle \delta _ { x } \psi ( \tilde { \zeta } _ { s } ; \bar { t } , \bar { x } + \theta \tilde { \xi } _ { s } , \bar { y } + \theta \tilde { \eta } _ { s } ) , \tilde { \xi } _ { s } \big \rangle d \theta + \int _ { 0 } ^ { 1 } \big \langle \delta _ { y } \psi ( \tilde { \zeta } _ { s } ; \bar { t } , \bar { x } + \theta \tilde { \xi } _ { s } , \bar { y } + \theta \tilde { \eta } _ { s } ) , \tilde { \eta } _ { s } \big \rangle d \theta } \end{array}
\begin{array} { r } { \Phi _ { v \omega _ { z } } ^ { b _ { x } , b _ { y } } ( k _ { i } , k _ { j } , y ) : = \frac { 1 } { ( 2 b _ { x } + 1 ) ( 2 b _ { z } + 1 ) } \sum _ { m = - b _ { x } } ^ { b _ { x } } \sum _ { n = - b _ { z } } ^ { b _ { z } } \Phi _ { v \omega _ { z } } ( k _ { i + m } , k _ { j + n } , y ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lambda _ { 1 , 2 } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } ( U + \widehat { U } \pm \sqrt { ( U + \widehat { U } ) ^ { 2 } - 4 U \widehat { U } } ) = \frac { 1 } { 2 } ( U + \widehat { U } \pm \sqrt { ( U - \widehat { U } ) ^ { 2 } } ) } \\ & { = } & { \langle U \rangle _ { 0 } \pm \sqrt { ( \langle U \rangle _ { 1 } ) ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { P _ { n \kappa } ( r ) } & { { } = N _ { n \kappa } r ^ { | \kappa | } \left\{ 1 - \frac { ( E _ { n \kappa } - V _ { 0 } ) ( E _ { n \kappa } + 2 c ^ { 2 } + V _ { 0 } ) } { 2 c ^ { 2 } ( 1 + 2 | \kappa | ) } r ^ { 2 } + \cdots \right\} } \\ { Q _ { n \kappa } ( r ) } & { { } = N _ { n \kappa } r ^ { | \kappa | } \left\{ - \frac { E _ { n \kappa } - V _ { 0 } } { c ( 1 + 2 | \kappa | ) } r + \left[ \frac { ( E _ { n \kappa } - V _ { 0 } ) ^ { 2 } ( E _ { n \kappa } + 2 c ^ { 2 } + V _ { 0 } ) } { 2 c ^ { 3 } ( 1 + 2 | \kappa | ) ( 3 + 2 | \kappa | ) } + \frac { V _ { 2 } } { c ( 3 + 2 | \kappa | ) } \right] r ^ { 3 } + \cdots \right\} \, . } \end{array} } \end{array}
g _ { n } ^ { ( p ) } ( r ) = \frac { k _ { n } ( \alpha L ) i _ { n } ( \alpha r ) - i _ { n } ( \alpha L ) k _ { n } ( \alpha r ) } { k _ { n } ( \alpha L ) i _ { n } ( \alpha R ) - i _ { n } ( \alpha L ) k _ { n } ( \alpha R ) }
\begin{array} { r l } { \frac { \delta P _ { a a } } { \delta t } = } & { { } n _ { a } * M _ { a a } - n _ { a } * T _ { a a } ( M _ { a a } + M _ { a b } ) } \\ { \frac { \delta P _ { b b } } { \delta t } = } & { { } n _ { b } * M _ { b b } - n _ { b } * T _ { b b } ( M _ { b a } + M _ { b b } ) } \\ { \frac { \delta P _ { a b } } { \delta t } = } & { { } n _ { a } * M _ { a b } + n _ { b } * M _ { b a } - n _ { a } * T _ { a b } ( M _ { a a } + M _ { a b } ) - n _ { b } * T _ { b a } * ( M _ { b b } + M _ { b a } ) } \end{array}
r _ { 4 } ( n ) = 8 \sum _ { \stackrel { d \mid n } { 4 \, \nmid \, d } } d = 8 ( 2 + ( - 1 ) ^ { n } ) \sum _ { \stackrel { d \mid n } { 2 \, \nmid \, d } } d = { \left\{ \begin{array} { l l } { 8 \sigma ( n ) } & { { \mathrm { i f ~ } } n { \mathrm { ~ i s ~ o d d ~ } } } \\ { 2 4 \sigma \left( { \frac { n } { 2 ^ { \nu } } } \right) } & { { \mathrm { i f ~ } } n { \mathrm { ~ i s ~ e v e n ~ } } } \end{array} \right. } ,
e T _ { \mu \nu } = { \tilde { \overline { { \Psi } } } _ { L } } { \gamma _ { \mu } } i \left( D _ { \nu } - \frac { 1 } { 2 } \Gamma _ { \alpha \nu } ^ { \alpha } \right) { \tilde { \Psi } } _ { L } - \frac { i } { 2 } g _ { \mu \nu } \partial _ { \alpha } ( { \tilde { \overline { { \Psi } } } } _ { L } \gamma ^ { \alpha } { \tilde { \Psi } _ { L } } ) . \nonumber \,
\begin{array} { r l r l r l r l r l r l r l } & { \ell _ { 5 } \cup \ell _ { 6 } , } & & { \ell _ { 1 } \cup \ell _ { 2 } \cup \ell _ { 3 } \cup \ell _ { 4 } , } & & { \ell _ { 5 6 } , } & & { \ell _ { 1 2 } \cup \ell _ { 2 3 } \cup \ell _ { 3 4 } \cup \ell _ { 1 4 } , } & & { \ell _ { 1 6 } \cup \ell _ { 2 5 } \cup \ell _ { 3 6 } \cup \ell _ { 4 5 } , } & & { \mathrm { a n d } } & & { \ell _ { 1 3 5 } \cup \ell _ { 2 4 6 } . } \end{array}
- \frac { 1 } { \mathsf { A } } \, d p _ { j } \wedge d \psi _ { j } = K _ { ( p _ { j } , \psi _ { j } ) } \sqrt { \mathsf { G } _ { p _ { j } } \mathsf { G } _ { \psi _ { j } } } \, d p _ { j } \wedge d \psi _ { j } \, ,
\frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } h ( s ) d s \leq \frac { \tilde { B } } { K \lambda } + \frac { 1 } { T } ( 2 M - \frac { \tilde { B } } { K \lambda } ) \frac { 1 } { \lambda } - \frac { 1 } { T } ( 2 M - \frac { \tilde { B } } { K \lambda } ) \frac { 1 } { \lambda } e ^ { - \lambda T } \leq \frac { \tilde { B } } { K \lambda } + \frac { A } { T } .
{ S _ { 1 2 } ^ { s h } } = - 4 \frac { e ^ { 2 } } { h } \int d E \sum _ { \gamma , \delta = 1 , 2 } f _ { \gamma } f _ { \delta } T r ( s _ { 1 \gamma } ^ { \dagger } s _ { 1 \delta } s _ { 2 \delta } ^ { \dagger } s _ { 2 \gamma } ) .
\begin{array} { r } { \hat { x } = \frac { L \left( \sqrt { n _ { 1 } } - \sqrt { n _ { 2 } } \right) } { 2 \left( \sqrt { n _ { 1 } } + \sqrt { n _ { 2 } } \right) } , \quad \hat { B } = \frac { s ^ { 2 } \left( \sqrt { n _ { 1 } } + \sqrt { n _ { 2 } } \right) ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { h } _ { 0 } } & { { } = ( \boldsymbol { x } , t ) } \\ { \boldsymbol { z } _ { l } } & { { } = W _ { l } \boldsymbol { h } _ { l - 1 } + b _ { l } , } \\ { \boldsymbol { h } _ { l } } & { { } = \phi ( W _ { l } \boldsymbol { h } _ { l - 1 } + b _ { l } ) , \; \; \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \; \; l = 1 , 2 , \cdots L , \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } \\ { \boldsymbol { o } } & { { } = W _ { L + 1 } \boldsymbol { h } _ { L } + b _ { L + 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { { 3 } } & { \mathrm { R } ^ { \mathrm { p } } = } & & { \frac { \partial v _ { \mathrm { k } } } { \partial x _ { \mathrm { k } } } } & & { = 0 } \\ & { \mathrm { R } ^ { \mathrm { c } } = } & & { \frac { \partial c } { \partial t } + \frac { \partial v _ { \mathrm { k } } c } { \partial x _ { \mathrm { k } } } } & & { = 0 } \\ & { \mathrm { R } _ { \mathrm { i } } ^ { \mathrm { v _ { \mathrm { i } } } } = } & & { \frac { \partial \rho v _ { \mathrm { i } } } { \partial t } + \frac { \partial v _ { \mathrm { k } } \rho v _ { \mathrm { i } } } { \partial x _ { \mathrm { k } } } + \frac { \partial } { \partial x _ { \mathrm { k } } } \bigg [ p ^ { \mathrm { e f f } } \delta _ { \mathrm { i k } } - 2 \mu ^ { \mathrm { e f f } } S _ { \mathrm { i k } } \bigg ] - \rho g _ { \mathrm { i } } } & & { = 0 } \\ & { \mathrm { R } ^ { \mathrm { k } } = } & & { \frac { \partial \rho k } { \partial t } + \frac { \partial v _ { \mathrm { k } } \rho k } { \partial x _ { \mathrm { k } } } - \mathrm { D } ^ { \mathrm { k } } - \mathrm { P } ^ { \mathrm { k } } + \mathrm { R } ^ { \mathrm { k } } } & & { = 0 } \\ & { \mathrm { R } ^ { \mathrm { \ v a r e p s i l o n } } = } & & { \frac { \partial \rho \varepsilon } { \partial t } + \frac { \partial v _ { \mathrm { k } } \rho \varepsilon } { \partial x _ { \mathrm { k } } } - \mathrm { D } ^ { \mathrm { \ v a r e p s i l o n } } - \mathrm { P } ^ { \mathrm { \ v a r e p s i l o n } } + \mathrm { R } ^ { \mathrm { \ v a r e p s i l o n } } } & & { = 0 \, . } \end{array}
h ( x , t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { - h _ { 0 } \left( \left( \frac { 2 x - L } { 2 a } + \frac { 1 } { 2 a } \cos \left( \frac { \sqrt { 2 g h _ { 0 } } t } { a } \right) \right) ^ { 2 } - 1 \right) } & { x _ { 1 } ( t ) < x < x _ { 1 } ( t ) + 2 a } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right. \, ,
( t _ { \mathrm { ~ i ~ o ~ n ~ } } ^ { i } < t _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ c ~ } } ^ { i , j } \; \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \; t _ { \mathrm { ~ i ~ o ~ n ~ } } ^ { i } < t _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ c ~ } } ^ { i , k } )
\begin{array} { r l } { z _ { 0 } } & { = ( x _ { 0 } , x _ { d } , \ldots , x _ { ( N - 1 ) d } ) , } \\ { z _ { 1 } } & { = ( x _ { 1 } , x _ { 1 + d } , \ldots , x _ { 1 + ( N - 1 ) d } ) , } \\ & { \cdots } \\ { z _ { t } } & { = ( x _ { t } , x _ { t + d } , \ldots , x _ { t + ( N - 1 ) d } ) , } \\ & { \cdots } \\ { z _ { L - 1 - ( N - 1 ) d } } & { = ( x _ { L - 1 - ( N - 1 ) d } , x _ { L - 1 - ( N - 2 ) d } , \ldots , x _ { L - 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \textup { d } \sigma } { \textup { d } \Omega } = \, } & { \frac { 1 } { 2 } \Big [ | a | ^ { 2 } + | b | ^ { 2 } + | c | ^ { 2 } + | d | ^ { 2 } + | e | ^ { 2 } + | f | ^ { 2 } \Big ] , } \\ { \frac { \textup { d } \sigma } { \textup { d } \Omega } A _ { y } = \, } & { \mathrm { R e } ( a ^ { * } \, e + b ^ { * } \, f ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \overline { { G } } _ { f } ^ { L } \left( s \right) = i a \left( s \right) ^ { - 1 } \quad , \quad \overline { { G } } _ { b } ^ { L } \left( s \right) = i \widetilde { a } \left( s \right) ^ { - 1 } \; . } \end{array}
\begin{array} { c c } { \operatorname* { m i n } _ { \psi _ { - 1 } } } & { \frac { 1 } { \| Z \| _ { F } ^ { 2 } } \underbrace { \sum _ { m = 0 } ^ { N / 2 - 1 } \| Z ^ { T } R ^ { 2 m } ( \psi _ { - 1 } ) \| ^ { 2 } } _ { M E _ { 1 } } + \lambda ^ { 2 } \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } ( \psi _ { - 1 } ) } \\ { \mathrm { ~ s ~ . ~ t ~ . ~ } } & { \psi _ { - 1 } ^ { T } R ^ { 2 m } ( \psi _ { - 1 } ) = \delta _ { m 0 } , \quad m = 0 , \hdots , N / 2 - 1 , } \end{array}
f _ { 1 \, . \, . \, n } ^ { \prime } ( x ) = f _ { 1 } ^ { \prime } \left( f _ { 2 \, . \, . \, n } ( x ) \right) \; f _ { 2 } ^ { \prime } \left( f _ { 3 \, . \, . \, n } ( x ) \right) \cdots f _ { n - 1 } ^ { \prime } \left( f _ { n \, . \, . \, n } ( x ) \right) \; f _ { n } ^ { \prime } ( x ) = \prod _ { k = 1 } ^ { n } f _ { k } ^ { \prime } \left( f _ { ( k + 1 \, . \, . \, n ) } ( x ) \right)
\begin{array} { r } { \mathcal { P } _ { n } = \int _ { \mathbb { C } ^ { l } } d ^ { 2 l } \boldsymbol { \alpha } \, P ( \alpha _ { l } ) P ( \alpha _ { l - 1 } ) \ldots P ( \alpha _ { 1 } ) \, \Lambda _ { n } \big ( \boldsymbol { \alpha } ^ { l } \big ) . } \end{array}
{ \bf E ^ { d i a g } } ( M _ { G } ^ { } ) = \left( \begin{array} { c c c } { { S _ { e } ( \mu ) \lambda _ { e } ( \mu ) } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { S _ { e } ( \mu ) \lambda _ { \mu } ( \mu ) } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { S _ { \tau } ( \mu ) \lambda _ { \tau } ( \mu ) } } \end{array} \right) \; ,
F _ { e + \frac { 1 } { 2 } } = ( 1 - \alpha _ { e + \frac { 1 } { 2 } } ) F _ { e + \frac { 1 } { 2 } } ^ { \mathrm { ~ L ~ W ~ } } + \alpha _ { e + \frac { 1 } { 2 } } f _ { e + \frac { 1 } { 2 } } , \qquad \alpha _ { e + \frac { 1 } { 2 } } \in [ 0 , 1 ]
\tau _ { 1 , 2 } = - \frac { 1 } { \omega _ { 0 } - \gamma } W _ { 0 , - 1 } \left( - \frac { \omega _ { 0 } - \gamma } { \omega e ^ { \frac { \omega _ { 0 } - \gamma } { \omega _ { 0 } } } } \right) - \frac { 1 } { \omega _ { 0 } } ,
M _ { \mathrm { L } } ( z , t ) = e ^ { \gamma \tilde { t } } z ^ { - 5 / 2 } M _ { 0 } \cos { \bigg [ \frac { \pi } { \ln { ( R _ { \mathrm { M } } ) } } \ln { \bigg ( \frac { z } { z _ { 0 } } \bigg ) } \bigg ] } ,
\begin{array} { r l r } { \frac { d N } { d t } } & { { } = } & { 2 k _ { \mathrm { o n } } - k _ { \mathrm { o f f } } ^ { ( 0 ) } \ N - k _ { \mathrm { o f f } } ^ { ( 1 ) } \ y _ { c } \ \Delta N , } \\ { \frac { d \Delta N } { d t } } & { { } = } & { - k _ { \mathrm { o f f } } ^ { ( 0 ) } \Delta N - k _ { \mathrm { o f f } } ^ { ( 1 ) } \ N y _ { c } . } \end{array}
j _ { p + q } = k _ { 0 , p } \cdot k _ { 0 , q } + \sum _ { i = 1 } ^ { \operatorname* { m i n } ( p , q ) } { \mathrm { a b } } _ { 2 } \cdots { \mathrm { a b } } _ { i + 1 } \times k _ { i , p } \cdot k _ { i , q } .
\begin{array} { r l } & { \mathcal { H } \big ( [ [ \nu _ { t + 1 } ( \Pi _ { t + 1 } ) | m _ { t } , u _ { t } ] ] , [ [ \nu _ { t + 1 } ( \Pi _ { t + 1 } ) | \nu _ { t } ( \sigma _ { t } ( m _ { t } ) ) , u _ { t } ] ] \big ) } \\ { \leq } & { \mathcal { H } \big ( [ [ \nu _ { t + 1 } ( \Pi _ { t + 1 } ) | m _ { t } , u _ { t } ] ] , [ [ \Pi _ { t + 1 } | m _ { t } , u _ { t } ] ] \big ) + } \\ & { \mathcal { H } \big ( [ [ \Pi _ { t + 1 } | m _ { t } , u _ { t } ] ] , [ [ \Pi _ { t + 1 } | \nu _ { t } ( \sigma _ { t } ( m _ { t } ) ) , u _ { t } ] ] \big ) + } \\ & { \mathcal { H } \big ( [ [ \Pi _ { t + 1 } | \nu _ { t } ( \sigma _ { t } ( m _ { t } ) ) , u _ { t } ] ] , [ [ \nu _ { t + 1 } ( \Pi _ { t + 1 } ) | \nu _ { t } ( \sigma _ { t } ( m _ { t } ) ) , u _ { t } ] ] \big ) } \\ { \leq } & { 2 \gamma _ { t + 1 } + \mathcal { H } \big ( [ [ \Pi _ { t + 1 } | m _ { t } , u _ { t } ] ] , [ [ \Pi _ { t + 1 } | \nu _ { t } ( \sigma _ { t } ( m _ { t } ) ) , u _ { t } ] ] \big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A } & { { } = } & { \frac { F _ { \theta } } { 3 \nu } \frac { ( 2 a - R _ { 1 } ) ( R _ { 2 } - b ) R _ { 1 } ^ { 3 } + ( 2 b + R _ { 2 } ) ( R _ { 1 } + a ) R _ { 2 } ^ { 3 } } { R _ { 1 } ^ { 2 } ( a - R _ { 1 } ) ( R _ { 2 } - b ) + R _ { 2 } ^ { 2 } ( b + R _ { 2 } ) ( R _ { 1 } + a ) } , } \\ { B } & { { } = } & { - \frac { F _ { \theta } } { 3 \nu } \frac { ( 2 a - R _ { 1 } ) R _ { 1 } ^ { 3 } } { R _ { 1 } + a } + A _ { 2 } \frac { R _ { 1 } ^ { 2 } ( a - R _ { 1 } ) } { R _ { 1 } + a } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { L ( s , \ \mathrm { { s y m } } ^ { 4 } f \otimes \chi ) = } & { \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { \lambda _ { { \mathrm { s y m } } ^ { 4 } f } ( n ) \chi ( n ) } { n ^ { s } } } \\ { = } & { \prod _ { p } \prod _ { 0 \leq j \leq 4 } \left( 1 - \frac { \alpha _ { f } ^ { 4 - 2 j } ( p ) \chi ( p ) } { p ^ { s } } \right) ^ { - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { z } } & { { } = \int _ { - \cosh ^ { - 1 } ( l / R ) } ^ { \cosh ^ { - 1 } ( l / R ) } \frac { ( \Delta V - 2 \rho J z ) I } { 2 \cosh ^ { - 1 } ( l / R ) } \, d \tau } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d } { d t } \left[ \frac 1 2 ( \Omega _ { 1 } + i \Omega _ { 2 } ) ^ { 2 } - \frac { b } { I _ { 2 } } ( K _ { 1 } + i K _ { 2 } ) \right] = - i \left[ \phi ( \Omega _ { 1 } + i \Omega _ { 2 } ) ^ { 2 } - \frac { b } { I _ { 2 } } ( K _ { 1 } + i K _ { 2 } ) \right] \Omega _ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } G ( s , t ) } & { { } = ( \nu + \mu b _ { n } e ^ { \alpha t } ) s G ( s , t ) + \lambda \partial _ { s } G ( s , t ) - ( \nu + \mu b _ { n } e ^ { \alpha t } ) G ( s , t ) - \lambda s \partial _ { s } G ( s , t ) } \end{array}
V ( t ) = V _ { 0 } { H * h } ( t ) = { \frac { V _ { 0 } } { \sqrt { \pi } } } \int _ { - \infty } ^ { \frac { \sigma t } { 2 } } e ^ { - \tau ^ { 2 } } d \tau = { \frac { V _ { 0 } } { 2 } } \left[ 1 + \mathrm { e r f } \left( { \frac { \sigma t } { 2 } } \right) \right] \quad \Longleftrightarrow \quad { \frac { V ( t ) } { V _ { 0 } } } = { \frac { 1 } { 2 } } \left[ 1 + \mathrm { e r f } \left( { \frac { \sigma t } { 2 } } \right) \right] .
\frac { d \mathbf { u } } { d t } = \texttt { v e c } \left( \gamma ( \mathcal { G } _ { \mathbf { u } } , \hat { \mathcal { G } } ) \right) , \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \mathbf { u } ( 0 ) = \mathbf { z }
\begin{array} { r l } { \mathcal { I } _ { y } ( x , w ) } & { { } = - \frac { 1 } { 4 \pi } \iint _ { \mathcal { S } _ { p } } \frac { ( w - u ) \sin { ( \beta ) } } { \left( \left( x - v \right) ^ { 2 } + \left( w - u \right) ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \mathrm { d } u \mathrm { d } v } \end{array}
\begin{array} { r l } { i U _ { t } + V + ( | U | ^ { 2 } + | V | ^ { 2 } ) U } & { { } = i \gamma | V | ^ { 2 } U , } \\ { i V _ { t } + U + ( | U | ^ { 2 } + | V | ^ { 2 } ) V } & { { } = - i \gamma | U | ^ { 2 } V . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha F _ { 2 , d } ^ { [ 4 ] } ( \alpha , \alpha , \alpha , 1 , \beta ) } & { = ( \alpha - 1 ) F _ { 2 , d } ^ { [ 4 ] } ( \alpha , \alpha , \alpha , 1 , \beta ) + F _ { 2 , d } ^ { [ 4 ] } ( \alpha , \alpha , \alpha , 1 , \beta ) } \\ & { = F _ { 2 , d } ^ { [ 3 ] } ( \alpha , \alpha , \alpha , \beta ) - F _ { 2 , d } ^ { [ 3 ] } ( \alpha , \alpha , 1 , \beta ) + F _ { 2 , d } ^ { [ 4 ] } ( \alpha , \alpha , \alpha , 1 , \beta ) . } \end{array}
X _ { L } ( a , b ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { q ^ { L / 2 } X _ { L - 1 } ( a , b - 1 ) + q ^ { ( L - 1 ) / 2 } X _ { L - 1 } ( a , b + 1 ) } } & { { } } \\ { { \qquad \qquad \qquad \qquad \, + ( 1 - q ^ { L - 1 } ) X _ { L - 2 } ( a , b ) \quad } } & { { b = 1 , \ldots , r - 3 } } \\ { { q ^ { L / 2 } X _ { L - 1 } ( a , b - 1 ) + X _ { L - 2 } ( a , b ) } } & { { b = r - 2 , } } \end{array} \right.
= \frac { \overrightarrow { q _ { 1 } } ^ { 2 } \overrightarrow { q _ { 2 } } ^ { 2 } ( 1 - 2 x ) ^ { 2 } } { \overrightarrow { \Delta } ^ { 2 } ( \overrightarrow { k _ { 1 } } - x \overrightarrow { \Delta } ) ^ { 2 } } \, + \frac { 4 x ^ { 2 } ( 1 - x ) ^ { 2 } ( \overrightarrow { q _ { 1 } } ^ { 2 } \overrightarrow { \Delta } - \overrightarrow { \Delta } ^ { 2 } \overrightarrow { q _ { 1 } } \, , \, \overrightarrow { k _ { 1 } } - x \overrightarrow { \Delta } ) ^ { 2 } } { \overrightarrow { \Delta } ^ { 4 } ( \overrightarrow { k _ { 1 } } - x \overrightarrow { \Delta } ) ^ { 4 } } .
\Omega _ { 3 } = { \frac { 1 } { 3 R ^ { 2 } } } \varepsilon _ { \hat { m } \hat { n } \hat { p } \hat { q } } X ^ { \hat { m } } d X ^ { \hat { n } } d X ^ { \hat { p } } d X ^ { \hat { q } } \, , \qquad \tilde { \Omega } _ { 3 } = { \frac { 1 } { 3 R ^ { 2 } } } \varepsilon _ { \hat { m } ^ { \prime } \hat { n } ^ { \prime } \hat { p } ^ { \prime } \hat { q } ^ { \prime } } X ^ { \hat { m } ^ { \prime } } d X ^ { \hat { n } ^ { \prime } } d X ^ { \hat { p } ^ { \prime } } d X ^ { \hat { q } ^ { \prime } } \, ,
\begin{array} { r l } & { R \mathrm { - } \mathrm { P r o j } : = \left\{ \, M \in R \mathrm { - } \mathrm { M o d } \mid M \mathrm { ~ i s ~ p r o j e c t i v e } \, \right\} ; } \\ & { R \mathrm { - } \mathrm { F p d } : = \left\{ \, M \in R \mathrm { - } \mathrm { M o d } \mid \operatorname { p r o j . d i m } _ { R } M < \infty \, \right\} ; } \\ & { R \mathrm { - } \mathrm { M o d } _ { \mathcal { P } } : = \left\{ \, M \in R \mathrm { - } \mathrm { M o d } \mid M \mathrm { ~ h a s ~ n o ~ n o n - z e r o ~ d i r e c t ~ s u m m a n d ~ i n ~ R \mathrm { - } \mathrm { P r o j } ~ } \, \right\} ; } \\ & { R \mathrm { - } \mathrm { M o d } _ { \mathrm { f p d } } : = \left\{ \, M \in R \mathrm { - } \mathrm { M o d } \mid M \mathrm { ~ h a s ~ n o ~ n o n - z e r o ~ d i r e c t ~ s u m m a n d ~ i n ~ R \mathrm { - } \mathrm { F p d } ~ } \, \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H ^ { ( 0 ) } | J _ { \tau } , m \rangle ^ { ( 0 ) } } & { = E _ { J _ { \tau } , m } ^ { ( 0 ) } | J _ { \tau } , m \rangle ^ { ( 0 ) } , } \\ { ( J _ { X } ^ { 2 } + J _ { Y } ^ { 2 } + J _ { Z } ^ { 2 } ) | J _ { \tau } , m \rangle ^ { ( 0 ) } } & { = \hbar ^ { 2 } J ( J + 1 ) | J _ { \tau } , m \rangle ^ { ( 0 ) } , } \\ { J _ { y } | J _ { \tau } , m \rangle ^ { ( 0 ) } } & { = \hbar m | J _ { \tau } , m \rangle ^ { ( 0 ) } } \end{array}
I ( x ; { \widetilde s } , n , d ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } \tau ^ { { \frac { n - 1 } { 2 } } } e ^ { - x ^ { 2 } \tau } \; d \tau = x ^ { - n - 1 } \Gamma \left( { \frac { 1 + n } { 2 } } \right) .
\frac { \partial ^ { 2 } { Z _ { 0 } } _ { l } ( r ) } { \partial r _ { * } ^ { 2 } } - V ( r ) { Z _ { 0 } } _ { l } ( r ) = - \frac { 4 \pi q _ { s } m _ { 0 } f ( r ) Y _ { l } ( 0 ) } { r ^ { ( d - 2 ) / 2 } } ( \frac { d t } { d \tau } ) _ { r _ { 0 } } ^ { - 1 } \delta ( r - r _ { 0 } ) \, ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } H ^ { \ell } } & { + \partial _ { j } \left[ H ^ { \ell } \overline { { u } } _ { j } ^ { \ell } + ( \overline { { p } } ^ { \ell } - \frac { 1 } { 2 } \overline { { u } } _ { i } ^ { \ell } \overline { { u } } _ { i } ^ { \ell } ) \overline { { \omega } } _ { j } ^ { \ell } - \nu \partial _ { j } H ^ { \ell } \right] + 2 \nu ( \partial _ { j } \overline { { u } } _ { i } ^ { \ell } ) ( \partial _ { j } \overline { { \omega } } _ { i } ^ { \ell } ) - \overline { { \omega } } _ { i } ^ { \ell } \overline { { f } } _ { i } ^ { \ell } - \overline { { u } } _ { i } ^ { \ell } \overline { { g } } _ { i } ^ { \ell } } \\ { = } & { - \! \partial _ { j } \! \left[ 2 \overline { { \omega } } _ { i } ^ { \ell } \tau _ { i j } ^ { \ell } + \epsilon _ { i j k } \overline { { u } } _ { i } ^ { \ell } \partial _ { m } \tau _ { k m } ^ { \ell } \right] + 2 \tau _ { i j } ^ { \ell } \partial _ { j } \overline { { \omega } } _ { i } ^ { \ell } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal L ^ { n + 1 } \left( B _ { \frac { r } { 2 } } \cap \left\{ \int _ { \varepsilon } ^ { \frac { r } { 4 } } \tilde { C } _ { \beta } \varepsilon \rho ^ { - M \gamma - n - 1 } \left( \int _ { B _ { 3 \rho ^ { 1 - \beta } } ( x ) } | f _ { \varepsilon } | ^ { 2 } \right) d \rho \geq \bar { \theta } _ { 0 } \right\} \right) } \\ & { \leq \mathcal L ^ { n + 1 } \left( B _ { \frac { r } { 2 } } \cap \left\{ C _ { \beta } \varepsilon ^ { 2 } \varepsilon ^ { - M \gamma - n \beta } \omega _ { \varepsilon } ( x ) \geq \bar { \theta } _ { 0 } \right\} \right) } \\ & { \leq C _ { \beta } \varepsilon ^ { 2 - ( M \gamma + n \beta ) } \bar { \theta } _ { 0 } ^ { - 1 } \| \omega _ { \varepsilon } \| _ { L ^ { 1 } ( B _ { \frac { r } { 2 } } ) } } \\ & { \leq C _ { \beta } \varepsilon ^ { 2 - ( M \gamma + n \beta ) } \bar { \theta } _ { 0 } ^ { - 1 } \| \omega _ { \varepsilon , \rho } ( x ) \| _ { L ^ { 1 } ( B _ { \frac { r _ { 1 } } { 2 } } ) } } \\ & { \leq C _ { \beta } \varepsilon ^ { 2 - ( M \gamma + n \beta ) } \bar { \theta } _ { 0 } ^ { - 1 } C ( \Lambda _ { 0 } , E _ { 0 } ) } \\ & { \rightarrow 0 , } \end{array}
{ \begin{array} { l r c l r } { \operatorname* { m a x } _ { x _ { T - 1 } } } & { E [ U ( W _ { T } ) ] } & \\ { { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } } } & { W _ { T } } & { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \xi _ { i T } x _ { i , T - 1 } } \\ & { \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i , T - 1 } } & { = } & { W _ { T - 1 } } \\ & { x _ { T - 1 } } & { \geq } & { 0 } \end{array} }