harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { V ( \tau , H ) = } & { \; P \left( \begin{array} { l l l } { \tilde { H } _ { \alpha \alpha } } & { \tilde { H } _ { \alpha \beta } } & { \Omega _ { 0 } ( d ) \circ \tilde { H } _ { \alpha \gamma } } \\ { \tilde { H } _ { \alpha \beta } ^ { T } } & { \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { k \rightarrow \infty } \Omega ( \epsilon ^ { k } , d ^ { k } ) _ { \beta \beta } \circ \tilde { H } _ { \beta \beta } } & { 0 } \\ { \tilde { H } _ { \alpha \gamma } ^ { T } \circ \Omega _ { 0 } ( d ) ^ { T } } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) P ^ { T } } \\ & { \; + \tau P \left( \begin{array} { l l l } { \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { k \rightarrow \infty } \mathcal { D } ( \epsilon ^ { k } , d ^ { k } ) _ { \alpha } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { k \rightarrow \infty } \mathcal { D } ( \epsilon ^ { k } , d ^ { k } ) _ { \beta } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) P ^ { T } . } \end{array}
\{ Q , { \tilde { Q } } _ { 3 } \} = - \psi _ { l } { \dot { x } } _ { i } f _ { i j , l } \psi _ { j } - i { \dot { x } } _ { l } ( { \dot { x } } _ { i } f _ { i l } - i f _ { l j k } \psi _ { j } \psi _ { k } ) \ ,
\begin{array} { r } { x = \frac { \epsilon } { k } \frac { \cosh \beta } { \sinh \alpha } \sin \theta + \frac { \epsilon ^ { 2 } } { 4 k } \frac { \cosh 2 \beta } { \sinh ^ { 2 } \alpha } \left( { 2 \theta } + { \mathcal { B } \sin 2 \theta } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left| \partial _ { v } ^ { m _ { 1 } } \partial _ { v ^ { \prime } } ^ { m - m _ { 1 } } \Phi _ { 1 } ( v , v ^ { \prime } , k ) \right| \leq C ( k ) \Gamma _ { s _ { 0 } } ( m ) ( 2 M ) ^ { m } | k | ^ { m } . } \end{array}
t _ { + , \ensuremath { \mathrm { s s } } } = \frac { \Omega _ { + + } ^ { 0 } - \left( \Omega _ { + - } ^ { 0 } \right) ^ { 2 } / \Omega _ { -- } ^ { 0 } } { \Omega _ { + + } ^ { 0 } + \Omega _ { -- } ^ { 0 } - 2 \Omega _ { + - } ^ { 0 } }
\begin{array} { r l } { < \times ~ x _ { 1 } ~ C _ { 1 } > < + ~ x _ { 2 } ~ C _ { 2 } > } & { { } < + ~ C _ { 3 } ~ x _ { 1 } > < \times ~ x _ { 2 } ~ C _ { 4 } > < C _ { 5 } > . } \end{array}
\begin{array} { r } { \arg \operatorname* { i n f } _ { \beta } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left\{ \left\lvert \frac { y _ { i } - \exp \left( \int _ { 0 } ^ { 1 } x _ { i } ( t ) \beta ( t ) \mathrm { d } t \right) } { y _ { i } } \right\rvert \ \times \ \left\lvert \frac { y _ { i } - \exp \left( \int _ { 0 } ^ { 1 } x _ { i } ( t ) \beta ( t ) \mathrm { d } t \right) } { \exp \left( \int _ { 0 } ^ { 1 } x _ { i } ( t ) \beta ( t ) \mathrm { d } t \right) } \right\vert \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 0 } ^ { | s | } \overline { { \mathbb { E } } } _ { p } ^ { J + | s | - k } [ { \tilde { \upphi } } _ { k } ] ( \tau ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \sum _ { k = 0 } ^ { | s | } \overline { { \mathbb { E } } } _ { p } ^ { J + | s | - k } [ { \tilde { \upphi } } _ { k , n } ] ( \tau ) } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \left\langle f ^ { \mathrm { X } } , u ^ { \mathrm { X } } ( t ) \right\rangle } & { = \left\langle T ^ { \mathrm { X } } ( t ) f ^ { \mathrm { X } } , u _ { 0 } ^ { \mathrm { X } } \right\rangle + } \\ { \left\langle f ^ { \mathrm { Y } } , u ^ { \mathrm { Y } } ( t ) \right\rangle } & { = \left\langle T ^ { \mathrm { Y } } ( t ) f ^ { \mathrm { Y } } , u ^ { \mathrm { Y } } \right\rangle + } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { N ^ { 2 } } \sum _ { \mu , \nu } \langle \mathrm { d i a g } ( \hat { \tilde { S } } _ { \nu } ^ { t } ) G \mathrm { d i a g } ( \hat { \tilde { S } } _ { \mu } ^ { t } ) G \rangle \langle \mathrm { d i a g } \tilde { S } _ { \mu } G A \mathrm { d i a g } ( \tilde { S } _ { \nu } ) G A \rangle } \\ & { + \frac { 1 } { N ^ { 2 } } \sum _ { \nu } \langle \mathrm { d i a g } ( \hat { \tilde { S } } _ { \nu } ^ { t } ) G G \rangle \langle G A \mathrm { d i a g } ( \tilde { S } _ { \nu } ) G A \rangle } \\ & { + \frac { 1 } { N ^ { 2 } } \sum _ { \mu } \langle G \mathrm { d i a g } ( \hat { \tilde { S } } _ { \mu } ^ { t } ) G \rangle \langle \mathrm { d i a g } \tilde { S } _ { \mu } G A G A \rangle } \\ & { + \frac { 1 } { N ^ { 2 } } \langle G G \rangle \langle G A G A \rangle . } \end{array}
\hat { \mathcal { H } } _ { \mathbf { k } } ( t ) = \hat { \mathcal { H } } _ { \mathbf { k } + e \mathbf { A } ( t ) } ^ { ( 0 ) } \equiv \hat { \mathcal { H } } _ { \mathbf { k } } ^ { ( 0 ) } + \hat { V } _ { \mathbf { k } } ( t ) \mathrm { ~ , ~ }
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 } \big \| } & { ( \partial _ { t } + 1 ) \partial _ { y } \psi _ { k } ( \tau ) \big \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \big \| \partial _ { y } ^ { 2 } \psi _ { k } ( \tau ) \big \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + \int _ { 0 } ^ { \tau } \big \| \partial _ { y } ^ { 2 } \psi _ { k } ( t ) \big \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } d t } \\ { \leq } & { \Big ( | k | \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime } \| _ { L ^ { \infty } } \| \Phi _ { \mathrm { i n , k } } \| _ { L ^ { 2 } } + \| u _ { t , \mathrm { i n } , k } \| _ { L ^ { 2 } } + \big ( 1 + | k | \| U _ { \mathrm { s h } } \| _ { L ^ { \infty } } \big ) \| u _ { \mathrm { i n } , k } \| _ { L ^ { 2 } } \Big ) \| \omega _ { \tau , k } ( 0 ) \| _ { L ^ { 2 } } } \\ & { + \| u _ { \mathrm { i n } , k } \| _ { L ^ { 2 } } \| \partial _ { t } \omega _ { \tau , k } ( 0 ) \| _ { L ^ { 2 } } + | k | \Big ( \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime \prime } \| _ { L ^ { \infty } } + 2 \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime } \| _ { L ^ { \infty } } \Big ) \int _ { 0 } ^ { \tau } \| ( \partial _ { t } + 1 ) \partial _ { y } \psi _ { k } ( t ) \| _ { L ^ { 2 } } \| \omega _ { \tau , k } ( t ) \| _ { L ^ { 2 } } d t . } \end{array}
E _ { \mathrm { e l } } [ n ] \equiv \operatorname* { m i n } _ { \{ \mathbf { r } _ { 1 } \dots \mathbf { r } _ { N } \} } \left\{ \sum _ { i , j > i } ^ { N } \frac { 1 } { | \mathbf { r } _ { i } - \mathbf { r } _ { j } | } - \sum _ { i = 1 } ^ { N } v _ { \mathrm { H } } ( \mathbf { r } _ { i } ; [ n ] ) + U _ { \mathrm { ~ H ~ } } [ n ] \right\} ,
\begin{array} { r l } & { C _ { 1 } ( \xi ) = a _ { 2 } \left( \frac { a _ { 1 } \xi ^ { 2 } e ^ { \frac { \xi ^ { 2 } } { 4 \kappa _ { 1 } } - \frac { \xi ^ { 2 } \left( \kappa _ { 1 } + \kappa _ { 3 } \right) } { 8 \kappa _ { 1 } \kappa _ { 3 } } } } { 8 \kappa _ { 2 } \left( a _ { 1 } e ^ { \frac { \xi ^ { 2 } } { 4 \kappa _ { 1 } } } + 1 \right) ^ { 3 / 2 } } + \frac { e ^ { - \frac { \xi ^ { 2 } \left( \kappa _ { 1 } + \kappa _ { 3 } \right) } { 8 \kappa _ { 1 } \kappa _ { 3 } } } } { \sqrt { a _ { 1 } e ^ { \frac { \xi ^ { 2 } } { 4 \kappa _ { 1 } } } + 1 } } + \mathcal { O } \left( \kappa _ { 2 } ^ { - 2 } \right) \right) , } \\ & { C _ { 2 } ( \xi ) = a _ { 2 } \left( \frac { a _ { 1 } e ^ { \frac { 1 } { 8 } \xi ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { \kappa _ { 1 } } - \frac { 1 } { \kappa _ { 3 } } \right) } } { \sqrt { c _ { 1 } e ^ { \frac { \xi ^ { 2 } } { 4 \kappa _ { 1 } } } + 1 } } - \frac { a _ { 1 } \xi ^ { 2 } e ^ { \frac { 1 } { 8 } \xi ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { \kappa _ { 1 } } - \frac { 1 } { \kappa _ { 3 } } \right) } \left( a _ { 1 } e ^ { \frac { \xi ^ { 2 } } { 4 \kappa _ { 1 } } } + 2 \right) } { 8 \kappa _ { 2 } \left( a _ { 1 } e ^ { \frac { \xi ^ { 2 } } { 4 \kappa _ { 1 } } } + 1 \right) ^ { 3 / 2 } } + \mathcal { O } \left( \kappa _ { 2 } ^ { - 2 } \right) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { i n f } _ { c \geq 1 } \operatorname* { i n f } _ { \alpha \leq h _ { a } ( c ) } g _ { a } ( \alpha , c ) } & { = \operatorname* { m i n } \left( \operatorname* { i n f } _ { c \in [ 1 , c _ { a } ^ { * } ] } g _ { a } ( h _ { a } ( c ) , c ) , \operatorname* { i n f } _ { c \geq c _ { a } ^ { * } } \log ( 1 + \alpha _ { a } \log c ) \right) } \\ & { = \operatorname* { m i n } \left( \operatorname* { i n f } _ { c \in [ 1 , c _ { a } ^ { * } ] } g _ { a } ( h _ { a } ( c ) , c ) , \log ( 1 + \alpha _ { a } \log c _ { a } ^ { * } ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho ( \mathfrak { s } , v , \mathbb { A } ^ { a } ) \approx } & { \rho ( \mathfrak { s } , v , 0 ) + \frac { \partial \rho } { \partial \mathbb { A } ^ { a } } \mathbb { A } ^ { a } \, , } \\ { P ( \mathfrak { s } , v , \mathbb { A } ^ { a } ) \approx } & { P ( \mathfrak { s } , v , 0 ) + \frac { \partial P } { \partial \mathbb { A } ^ { a } } \mathbb { A } ^ { a } \, . } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { H } \sigma _ { - , s } ^ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } \frac { \partial \phi _ { - , s } ( - L , y , S O C ) } { \partial x } d y = \int _ { 0 } ^ { H } \sigma _ { - , l } ^ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } \frac { \partial \phi _ { - , l } ( 0 , y , S O C ) } { \partial x } d y = \pm i _ { a v g } H
\begin{array} { r l r } { S _ { x } } & { { } = } & { \mathcal { O } ( \epsilon ^ { 3 / 2 } ) \, , } \\ { S _ { y } } & { { } = } & { \epsilon \alpha ^ { 2 } y z \rho _ { 0 } + \mathcal { O } ( \epsilon ^ { 3 / 2 } ) } \\ { S _ { z } } & { { } = } & { - \rho _ { 0 } + \epsilon ^ { 1 / 2 } \frac { \alpha \rho _ { 0 } } { \omega } + \epsilon \frac { \alpha ^ { 2 } } { 2 } \left( \rho _ { 0 } ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) - 2 z ^ { 2 } - \rho _ { 0 } / \omega ^ { 2 } \right) + \mathcal { O } ( \epsilon ^ { 3 / 2 } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sin ( - x ) } & { { } = - \sin x } \\ { \cos ( - x ) } & { { } = \cos x } \\ { \tan ( - x ) } & { { } = - \tan x } \\ { \cot ( - x ) } & { { } = - \cot x } \\ { \csc ( - x ) } & { { } = - \csc x } \\ { \sec ( - x ) } & { { } = \sec x . } \end{array}
L = \kappa \varepsilon ^ { \mu \nu \lambda } v _ { \mu } ^ { ( 1 ) } \partial _ { \nu } v _ { \lambda } ^ { ( 2 ) } + D _ { \mu } \phi ^ { \star } D ^ { \mu } \phi + D _ { \mu } \chi ^ { \star } D ^ { \mu } \chi - V ( \phi , \chi ) \; \; ,
\begin{array} { r l } { \Xi _ { \mathcal M ( \rho ) \boxtimes _ { s , t } \sigma } ( \vec { p } , \vec { q } ) = } & { \Xi _ { \mathcal M ( \rho ) } ( s \vec { p } , s \vec { q } ) \; \Xi _ { \sigma } ( t \vec { p } , t \vec { q } ) } \\ { = } & { \Xi _ { \rho } ( s \vec { p } , s \vec { q } ) \; \Xi _ { \sigma } ( t \vec { p } , t \vec { q } ) \delta _ { ( \vec { p } , \vec { q } ) \in S } } \\ { = } & { \Xi _ { \rho \boxtimes _ { s , t } \sigma } ( \vec { p } , \vec { q } ) \delta _ { ( \vec { p } , \vec { q } ) \in S } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( D _ { 2 } - \lambda D _ { 1 } ) ( e ^ { 0 } \zeta ) } & { = a ^ { 1 } \zeta + \tilde { { \partial } _ { x } } ( f ^ { 1 } ) \zeta - ( \hat { E } ( P _ { 2 } ) - \lambda \hat { E } ( P _ { 1 } ) ) ( e ^ { 0 } ) } \\ & { = a ^ { 1 } \zeta - ( \hat { E } ( P _ { 2 } ) - \lambda \hat { E } ( P _ { 1 } ) ) ( e ^ { 0 } ) - u ^ { i , 1 } \theta _ { i } f ^ { 1 } + { \partial } _ { x } ( f ^ { 1 } \zeta ) , } \end{array}
t = \frac { \langle { \bf \hat { E } _ { o u t } ^ { + } ( { \bf r } ) } \rangle _ { s s } } { \langle { \bf \hat { E } _ { i n } ^ { + } ( { \bf r } ) } \rangle _ { s s } } = 1 + i \frac { \beta \gamma } { 2 \Omega } \rho _ { e g }
( \mathbf { W } ^ { i } - \mathbf { G } ) \cdot ( \mathbf { W } ^ { i } - \mathbf { G } ) - ( \mathbf { W } ^ { 1 } - \mathbf { G } ) \cdot ( \mathbf { W } ^ { 1 } - \mathbf { G } ) = 0 , \quad i = 2 , \ldots , 5 .
\begin{array} { r l } { F _ { \varepsilon } ( w ) } & { = ( 1 - b ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ( \mathbf { x } _ { i } - \mathbf { x } _ { j } ) \frac { v ^ { 2 } } { 2 } - q ^ { 1 / 4 } ( u _ { i } - u _ { j } ) v + O ( \varepsilon ^ { 1 / 2 } v ) } \\ & { = q ^ { 1 / 2 } ( \mathbf { x } _ { i } - \mathbf { x } _ { j } ) v ^ { 2 } - q ^ { 1 / 2 } ( u _ { i } - u _ { j } ) v + O ( \varepsilon ^ { 1 / 2 } v ) , } \end{array}
\kappa _ { x y } = - \kappa _ { y x } = \frac { \omega c \mu _ { 0 } l \cos { \phi } ( 2 l ^ { 2 } \sin ^ { 2 } { \phi } + d ^ { 2 } ) } { V L [ \omega ^ { 2 } - \omega _ { 0 } ^ { 2 } + i \omega ( R / L ) ] }
\sum _ { j \neq ( 0 , 0 ) } a _ { j } \langle x _ { \perp } | \mathrm { H G } _ { j } \rangle \rightarrow \sum _ { j \neq ( 0 , 0 ) } a _ { j } ( 1 + 2 i k \hat { h } ) | \mathrm { H G } _ { j } \rangle ,
\begin{array} { r l } { U _ { 1 } | v _ { 2 1 } , v _ { 3 1 } , \ U _ { 1 } | v _ { 2 1 } , v _ { 3 2 } , \ U _ { 1 } | v _ { 3 1 } , v _ { 3 2 } } & { \ \sim \ \mathcal { N } \left( \frac { 2 u _ { 1 } - u _ { 2 } - u _ { 3 } } { 3 } , \frac { 1 } { 3 } \right) ; } \\ { U _ { 2 } | v _ { 2 1 } , v _ { 3 1 } , \ U _ { 2 } | v _ { 2 1 } , v _ { 3 2 } , \ U _ { 2 } | v _ { 3 1 } , v _ { 3 2 } } & { \ \sim \ \mathcal { N } \left( \frac { 2 u _ { 2 } - u _ { 1 } - u _ { 3 } } { 3 } , \frac { 1 } { 3 } \right) ; } \\ { U _ { 3 } | v _ { 2 1 } , v _ { 3 1 } , \ U _ { 3 } | v _ { 2 1 } , v _ { 3 2 } , \ U _ { 3 } | v _ { 3 1 } , v _ { 3 2 } } & { \ \sim \ \mathcal { N } \left( \frac { 2 u _ { 3 } - u _ { 1 } - u _ { 2 } } { 3 } , \frac { 1 } { 3 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( M \varphi ) ( \boldsymbol { X } ) = } & { { } \varphi ^ { \prime } ( \boldsymbol { X } ) ( A \boldsymbol { X } + \boldsymbol { F } ( \boldsymbol { X } , \varphi ( \boldsymbol { X } ) ) } \end{array}
\tilde { \chi } _ { 0 } ^ { 2 } = \left\{ \left\{ \begin{array} { l l } { { { \frac { - m _ { \chi } ^ { 2 } - g \phi _ { 0 } ^ { 2 } } { \lambda _ { \chi } } } } } & { { \mathrm { f o r } \quad m _ { \chi } ^ { 2 } + g \phi _ { 0 } ^ { 2 } < 0 } } \\ { { 0 } } & { { \mathrm { o t h e r w i s e } } } \end{array} \right. \right.
\begin{array} { r } { \hat { \boldsymbol { \wp } } _ { m , \mathrm { e f f } } = N ^ { - 1 / 2 } \sum _ { \ell } e ^ { i 2 \pi m \ell / N } \hat { \boldsymbol { \wp } } _ { \ell } , \qquad { } \qquad { } \Gamma _ { m } = | \hat { \boldsymbol { \wp } } _ { m , \mathrm { e f f } } | ^ { 2 } \Gamma _ { 0 } . } \end{array}
\epsilon ( z ) = \left\{ \begin{array} { c c } { { \epsilon _ { 1 } , } } & { { z < 0 , } } \\ { { \epsilon _ { 3 } , } } & { { 0 < z < a , } } \\ { { \epsilon _ { 2 } , } } & { { a < z . } } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l } { \rVert d _ { i } \tilde { \beta } ( i ) [ \hat { \textbf { \i } } ] \rVert _ { s } } & { \le _ { \mathtt { p e } , s } \varepsilon \left( \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } + \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } \right) , } \\ { \rVert d _ { i } ( M _ { x } ( \tilde { \beta } ) - M _ { \varphi , x } ( \tilde { \beta } ) ( i _ { 0 } ) ) [ \hat { \textbf { \i } } ] \rVert _ { s } } & { \le _ { \mathtt { p e } , s } \varepsilon ^ { 2 } \left( \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } + \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathop { \mathbb { E } } \| \hat { { \mathbf { x } } } ^ { k } \| ^ { 2 } } & { \leq \bar { \gamma } ^ { k } \| \hat { { \mathbf { x } } } ^ { 0 } \| ^ { 2 } + \frac { 4 \alpha ^ { 2 } c _ { 2 } ^ { 2 } L \lambda ^ { 4 } n } { ( 1 - \gamma ) } \textstyle \sum _ { \ell = 0 } ^ { k - 1 } \bar { \gamma } ^ { k - 1 - \ell } \mathop { \mathbb { E } } \tilde { f } ( \bar { x } ^ { \ell } ) } \\ & { ~ + \textstyle \sum _ { \ell = 0 } ^ { k - 1 } \bar { \gamma } ^ { k - 1 - \ell } \left( \alpha ^ { 2 } c _ { 2 } ^ { 2 } \lambda ^ { 4 } n \sigma ^ { 2 } \right) } \\ & { \leq \bar { \gamma } ^ { k } \| \hat { { \mathbf { x } } } ^ { 0 } \| ^ { 2 } + \frac { 4 \alpha ^ { 2 } c _ { 2 } ^ { 2 } L \lambda ^ { 4 } n } { ( 1 - \gamma ) } \textstyle \sum _ { \ell = 0 } ^ { k - 1 } \bar { \gamma } ^ { k - 1 - \ell } \mathop { \mathbb { E } } \tilde { f } ( \bar { x } ^ { \ell } ) } \\ & { \quad + \frac { \alpha ^ { 2 } c _ { 2 } ^ { 2 } \lambda ^ { 4 } n \sigma ^ { 2 } } { 1 - \bar { \gamma } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { \mathrm { ~ D ~ } } = } & { { } \sum _ { k _ { 1 } , k _ { 2 } , k _ { 1 } ^ { \prime } , k _ { 2 } ^ { \prime } } | k _ { 1 } , k _ { 2 } \rangle \langle k _ { 1 } ^ { \prime } , k _ { 2 } ^ { \prime } | \langle k _ { 1 } , k _ { 2 } | \psi _ { n _ { c } n _ { d } } ( \tau ) \rangle } \end{array}
\frac { \gamma _ { 1 } E _ { c } ( u + t ^ { + } v ) } { \gamma _ { 1 } E _ { c } \sqrt { M ^ { 2 } - 1 } } = \frac { - ( \gamma u ( u + t ^ { + } v ) - 2 E _ { c } ) } { - ( v + \gamma _ { 1 } u \sqrt { M ^ { 2 } - 1 } ) } = \frac { - ( \gamma v ( u + t ^ { + } v ) - 2 E _ { c } t ^ { + } ) } { ( u - \gamma _ { 1 } v \sqrt { M ^ { 2 } - 1 } ) } = \frac { \gamma _ { 1 } ( u + t ^ { + } v ) } { \gamma _ { 1 } \sqrt { M ^ { 2 } - 1 } } = ( u + t ^ { + } v ) ~ \tan { \beta } .
\operatorname * { l i m } _ { V \to \infty } G _ { H } = \operatorname * { l i m } _ { V \to \infty } \frac { 1 } { V } \sum _ { p } H ( p ) = \int \frac { d ^ { d } p } { ( 2 \pi ) ^ { d } } H ( p ) = \tilde { H } ( 0 ) ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { \partial P ( x , a , t ) } { \partial t } = D \frac { \partial ^ { 2 } P ( x , a , t ) } { \partial x ^ { 2 } } , \quad x > 0 , } \\ & { } & { Q ( a , t ) = \nu P ( 0 , a , t ) , } \\ & { } & { \left[ \frac { \partial Q ( a , t ) ) } { \partial a } + \frac { \partial Q ( a , t ) } { \partial t } + \delta ( a ) Q ( 0 , t ) \right] = D \partial _ { x } P ( 0 , a , t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { u _ { 1 } } \widetilde { \tau } _ { u _ { 2 } } \psi ( x ) } & { = R _ { u _ { 1 } } \mathcal { L } ( \tau _ { u _ { 2 } } ^ { * } \psi ) ( x ) } \\ & { = \mathcal { L } ( R _ { u _ { 1 } } \tau _ { u _ { 2 } } ^ { * } \psi ) ( x ) } \\ & { = \mathcal { L } ( \tau _ { u _ { 2 } } ^ { * } \psi ) ( x ) } \\ & { = \widetilde { \tau } _ { u _ { 2 } } \psi ( x ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E \left[ \prod _ { j = 1 } ^ { 2 } \left( \Delta _ { k } X ^ { \varepsilon } \right) ^ { i _ { j } } \Bigg | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } \right] } & { = E \left[ \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } \left\{ \sum _ { \tilde { \sigma } \in G ( 2 ) } \left( \Delta _ { s } X ^ { \varepsilon } \right) ^ { i _ { \tilde { \sigma } ( 1 ) } } b _ { s , H } ^ { i _ { \tilde { \sigma } ( 2 ) } } + \varepsilon ^ { 2 } [ \sigma \sigma ^ { \top } ] _ { s , H } ^ { i _ { 1 } i _ { 2 } } \right\} \, \mathrm { d } s \Bigg | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } \right] } \\ & { = \sum _ { \tilde { \sigma } \in G ( 2 ) } E \left[ \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } \left( \Delta _ { s } X ^ { \varepsilon } \right) ^ { i _ { \tilde { \sigma } ( 1 ) } } \left( b _ { s , H } - b _ { t _ { k - 1 } , H } \right) ^ { i _ { \tilde { \sigma } ( 2 ) } } \, \mathrm { d } s \Bigg | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } \right] } \\ & { \quad + \sum _ { \tilde { \sigma } \in G ( 2 ) } E \left[ \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } \left( \Delta _ { s } X ^ { \varepsilon } \right) ^ { i _ { \tilde { \sigma } ( 1 ) } } \, \mathrm { d } s \Bigg | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } \right] b _ { t _ { k - 1 } , H } ^ { i _ { \tilde { \sigma } ( 2 ) } } } \\ & { \quad + \varepsilon ^ { 2 } E \left[ \int _ { t _ { k - 1 } } ^ { t _ { k } } \left\{ [ \sigma \sigma ^ { \top } ] _ { s , H } ^ { i _ { 1 } i _ { 2 } } - [ \sigma \sigma ^ { \top } ] _ { t _ { k - 1 } , H } ^ { i _ { 1 } i _ { 2 } } \right\} \, \mathrm { d } s \Bigg | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } \right] } \\ & { \quad + \varepsilon ^ { 2 } n ^ { - 1 } [ \sigma \sigma ^ { \top } ] _ { t _ { k - 1 } , H } ^ { i _ { 1 } i _ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { \eta } ( \mathbf { e } ) } & { + \sum _ { j \in \mathcal { P } ( k ) } A ^ { j } \left[ W ^ { j } - \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { \rho } } \widetilde { w } _ { i } ^ { j } \rho _ { i } \right) + \widetilde { \alpha } ^ { j } ( \mathbf { a } ^ { j } ) - \widetilde { \eta } ( \mathbf { e } ) \right] ^ { 2 } } \\ & { + B \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { \rho } } \frac { \rho _ { i } } { n _ { \rho } } - V \right) ^ { 2 } \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { \mathrm { e f f } } } & { = H _ { \mathrm { R o t } } + H _ { \mathrm { S R } } + H _ { \ell } + H _ { \mathrm { H y p } } + H _ { \mathrm { Z e e m a n } } + H _ { \mathrm { S t a r k } } + H _ { \mathrm { O D T } } } \\ { H _ { \mathrm { R o t } } } & { = B \left( \vec { N } ^ { 2 } - \ell ^ { 2 } \right) } \\ { H _ { \mathrm { S R } } } & { = \gamma \left( \vec { N } \cdot \vec { S } - N _ { z } S _ { z } \right) } \\ { H _ { \ell } } & { = - q _ { \ell } \left( N _ { + } ^ { 2 } e ^ { - i 2 \phi } + N _ { - } ^ { 2 } e ^ { i 2 \phi } \right) } \\ { H _ { \mathrm { H y p } } } & { = b _ { F } \vec { I } \cdot \vec { S } + \frac { c } { 3 } \left( 3 I _ { z } S _ { z } - \vec { I } \cdot \vec { S } \right) } \\ { H _ { \mathrm { Z e e m a n } } } & { = g _ { S } \mu _ { B } B _ { Z } S _ { Z } } \\ { H _ { \mathrm { S t a r k } } } & { = - \mu _ { Z } E _ { Z } } \\ { H _ { \mathrm { O D T } } } & { = - \vec { d } \cdot \vec { E } _ { \mathrm { O D T } } } \end{array}
S \simeq \frac { \bar { g } _ { a \gamma } \, ( 2 \pi ) ^ { 4 } \delta ^ { 4 } ( q - q ^ { \prime } ) } { \sqrt { 2 \omega V \, 2 E _ { a } V } } \, \sqrt { Z _ { L } } \, ( \ell \tilde { F } q ) ,
f ^ { \mathrm { ~ M ~ B ~ } } ( \vec { p } _ { 1 } ^ { \prime } ) f ^ { \mathrm { ~ M ~ B ~ } } ( \vec { p } _ { 2 } ^ { \prime } ) = f ^ { \mathrm { ~ M ~ B ~ } } ( \vec { p } _ { 1 } ) f ^ { \mathrm { ~ M ~ B ~ } } ( \vec { p } _ { 2 } )
\begin{array} { r l } { | ( I - S _ { t } ) u | _ { \Omega , r } } & { \leq | ( I - S _ { t } ^ { 0 } ) ( \chi _ { 0 } u ) | _ { \Omega , r } + \sum _ { \nu = 1 } ^ { M } | \chi _ { \nu } ( I - S _ { t } ^ { \nu } ) ( \chi _ { \nu } u ) | _ { \Omega , r } } \\ & { \lesssim t ^ { s - r } \left( | \chi _ { 0 } u | _ { \Omega , s } + | ( \chi _ { \nu } u ) \circ \Phi _ { \nu } | _ { \omega , s } \right) \lesssim t ^ { s - r } | u | _ { \Omega , s } . \quad 0 < r \leq s , } \end{array}
\tilde { H } \simeq { H } _ { \mathrm { d p } } + { H } _ { \mathrm { p h } } + \frac { 1 } { 2 } [ S , H _ { \mathrm { d p } \textrm { - } \mathrm { p h } } ] \equiv \tilde { H } _ { \mathrm { d p } } + \tilde { H } _ { \mathrm { p h } } .
V ( t ) = \frac { 3 g t N _ { c } \, k \pi R ^ { 2 } R _ { c } ^ { 2 } \, ( z _ { 0 } - \frac { 1 } { 2 } g t ^ { 2 } ) } { 2 ( R _ { c } ^ { 2 } + ( z _ { 0 } - \frac { 1 } { 2 } g t ^ { 2 } ) ^ { 2 } ) ^ { 5 / 2 } } \, \, .
f _ { 0 } = f _ { 0 } ( r , t ) = \langle f ( r , \varphi , t ) \rangle = \frac { 1 } { 2 \pi \Delta t } \int _ { t - \Delta t / 2 } ^ { t + \Delta t / 2 } d t ^ { \prime } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \varphi f ( r , \varphi , t ^ { \prime } )
\begin{array} { r l } { d y } & { = \left( \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \epsilon ^ { k } H _ { k } ( u ^ { j } , u ^ { j , 1 } , \ldots , u ^ { j , k } ) \right) d x , } \\ { w ^ { i } } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \epsilon ^ { k } K _ { k } ^ { i } ( u ^ { j } , u ^ { j , 1 } , \ldots , u ^ { j , k } ) , \quad i = 1 , \ldots , N , } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { 0 } } & { { } = a _ { 2 } ^ { \dagger } a _ { 3 } - a _ { 3 } ^ { \dagger } a _ { 2 } , } \\ { G _ { 1 } } & { { } = a _ { 0 } ^ { \dagger } a _ { 1 } - a _ { 1 } ^ { \dagger } a _ { 0 } , } \\ { G _ { 2 } } & { { } = a _ { 0 } ^ { \dagger } a _ { 2 } ^ { \dagger } a _ { 3 } a _ { 1 } - a _ { 1 } ^ { \dagger } a _ { 3 } ^ { \dagger } a _ { 2 } a _ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { 8 \zeta \lambda } { \mu } f } & { = } & { 1 + \lambda ^ { 3 } + \zeta \big [ 6 + \zeta + ( 2 + \zeta ) \lambda ^ { 3 } \big ] + r ^ { 2 } ( 1 + \zeta ) ^ { 2 } \tau ^ { 2 } } \\ & { } & { + 2 ( - 1 + \zeta ) \sin [ 2 \psi _ { 0 } ] \left( - r ( 1 + \zeta ) \tau - r ( - 1 + \zeta ) \tau \cos [ 2 \psi ] - ( - 1 + \zeta ) \lambda ^ { 3 / 2 } \sin [ 2 \psi ] \right) } \\ & { } & { + \left( - 1 + \zeta ^ { 2 } \right) \left( \left( 1 - \lambda ^ { 3 } + r ^ { 2 } \tau ^ { 2 } \right) \cos [ 2 \psi ] + 2 r \lambda ^ { 3 / 2 } \tau \sin [ 2 \psi ] \right) } \\ & { } & { + \cos [ 2 \psi _ { 0 } ] \bigg [ \left( - 1 + \zeta ^ { 2 } \right) \left( - 1 + \lambda ^ { 3 } + r ^ { 2 } \tau ^ { 2 } \right) + ( - 1 + \zeta ) ^ { 2 } \left( - \left( 1 + \lambda ^ { 3 } - r ^ { 2 } \tau ^ { 2 } \right) \cos [ 2 \psi ] + 2 r \lambda ^ { 3 / 2 } \tau \sin [ 2 \psi ] \right) \bigg ] . } \end{array}