harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { h _ { i 1 } ( x _ { i 1 } , d _ { i } ) = 0 . 1 5 e ^ { x _ { i 1 } } + 0 . 2 \cos ^ { 3 } ( x _ { i 1 } ) + d _ { i } ^ { 2 } , } \\ & { d _ { i } ( t ) = \sqrt { 0 . 3 } \sin ( 2 t ) , \; i = 1 , 2 ; } \\ & { h _ { i 1 } ( x _ { i 1 } , d _ { i } ) = 0 . 2 x _ { i 1 } ^ { 3 } + 0 . 2 x _ { i 1 } ^ { 2 } + d _ { i } , } \\ & { d _ { i } ( t ) = 0 . 2 \cos ( 2 t ) , \; i = 3 , 4 , 5 ; } \\ & { h _ { i 2 } ( x _ { i 1 } , x _ { i 2 } , d _ { i } ) = 0 . 3 x _ { i 1 } + 0 . 2 e ^ { 0 . 0 1 x _ { i 2 } } + d _ { i } , } \\ & { d _ { i } ( t ) = 0 . 2 \sin ( t ) , \; i = 1 , 2 ; } \\ & { h _ { i 2 } ( x _ { i 1 } , x _ { i 2 } , d _ { i } ) = 0 . 3 x _ { i 1 } + 0 . 2 e ^ { - 0 . 1 x _ { i 2 } } + d _ { i } ^ { 3 } , } \\ & { d _ { i } ( t ) = \sqrt [ 3 ] { 0 . 2 } \sin ( t ) , \; i = 3 , 4 , 5 ; } \\ & { w _ { i } ( t ) = \cos ( t ) , i = 1 , 2 , \; w _ { i } ( t ) = 0 . 1 t e ^ { - t } , i = 3 , 4 , 5 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( p ) } & { = \frac { F _ { t } ( p ) - F ( p ) } t } \\ & { \leq \frac { F _ { t } ( p _ { t , * } ) + \alpha \rho ( \lambda _ { F _ { t } , \alpha } ( p ) ) - F ( p ) } t } \\ & { = f ( p _ { t , * } ) + \frac { F ( p _ { t , * } ) - F ( p ) + \alpha \rho ( \lambda _ { F _ { t } , \alpha } ( p ) ) } t } \\ & { \leq f ( p _ { t , * } ) + \frac { \theta + \alpha \rho ( \lambda _ { F _ { t } , \alpha } ( p ) ) } t . } \end{array}
{ \cal L } = \frac { G } { \sqrt { 2 } } \left[ \bar { e } \gamma _ { \alpha } ( 1 - \gamma _ { 5 } ) \nu \left( J _ { 1 } ^ { \alpha } + { \mathrm { i } } J _ { 2 } ^ { \alpha } \right) + \mathrm { h . c . } + \bar { \nu } \gamma _ { \alpha } ( 1 - \gamma _ { 5 } ) \nu \left( x V _ { 3 } ^ { \alpha } - A _ { 3 } ^ { \alpha } + y J _ { s } ^ { \alpha } \right) \right]
{ \cal L } = { \cal L } _ { \mathrm { M } } ^ { ( 2 ) } + { \cal L } _ { \mathrm { M B } } ^ { ( 0 ) } + { \cal L } _ { \mathrm { M B } } ^ { ( 1 ) } + { \cal L } _ { \mathrm { M B } } ^ { ( 2 ) } + { \cal L } _ { \mathrm { M B } } ^ { ( 3 ) } + { \cal L } _ { \mathrm { M T } } ^ { ( 1 ) } + { \cal L } _ { \mathrm { M B T } } ^ { ( 1 ) } + \ldots
{ \frac { 1 } { v } } = { \frac { 1 } { \lambda ^ { 3 } } } g _ { 3 / 2 } ( f ) + { \frac { \langle n _ { 0 } \rangle } { V } } \Leftrightarrow { \frac { \langle n _ { 0 } \rangle } { V } } \lambda ^ { 3 } = { \frac { \lambda ^ { 3 } } { v } } - g _ { 3 / 2 } ( f )
\begin{array} { r l } & { \sum _ { c y c } \left( \left( \nabla _ { X } R \right) \left( Y , Z \right) + R \left( T \left( X , Y \right) , Z \right) \right) = \sum _ { c y c } \left( \nabla _ { X } \left( R \left( Y , Z \right) \right) - R \left( Y , Z \right) \nabla _ { X } - R \left( \left[ X , Y \right] , Z \right) \right) } \\ & { = \sum _ { c y c } \left( \nabla _ { X } \nabla _ { Y } \nabla _ { Z } - \nabla _ { X } \nabla _ { Z } \nabla _ { Y } - \nabla _ { X } \nabla _ { \left[ Y , Z \right] } - \nabla _ { Y } \nabla _ { Z } \nabla _ { X } + \nabla _ { Z } \nabla _ { Y } \nabla _ { X } \right. } \\ & { \mathrm { ~ \ \ \ \ } + \nabla _ { \left[ Y , Z \right] } \nabla _ { X } - \nabla _ { \left[ X , Y \right] } \nabla _ { Z } + \nabla _ { Z } \nabla _ { \left[ X , Y \right] } + \nabla _ { \left[ \left[ X , Y \right] , Z \right] } ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { B \delta ^ { - 1 } \int _ { 1 + \frac { \delta } { 2 } } ^ { 1 + \delta } | u ^ { \prime } | ^ { 2 } \, d r \leq } & { \: 2 B \int _ { 1 + \frac { \delta } { 2 } } ^ { 1 + \delta } \delta ^ { - 1 } | u ^ { \prime } + i \widetilde { \omega } u | ^ { 2 } + \delta ^ { - 1 } \widetilde { \omega } ^ { 2 } | u | ^ { 2 } \, d r } \\ { \leq } & { \: 2 B \int _ { 1 + \frac { \delta } { 2 } } ^ { 1 + \delta } \delta ^ { 1 - \epsilon } ( r - 1 ) ^ { - 2 + \epsilon } | u ^ { \prime } + i \widetilde { \omega } u | ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } \left( \frac { \delta } { 2 } \right) ^ { - 1 - \epsilon } ( r - 1 ) ^ { \epsilon } \Lambda | u | ^ { 2 } \, d r . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { n } = } & { \int _ { \Delta _ { n } } \left( 1 - 1 _ { { \textrm { s u p p } } ( \widetilde { q } _ { \theta } ) } ( \phi ) \right) p ( \phi ) \, \mathcal { D } [ \phi ] } \\ { = } & { \frac { 1 } { Z } \left( \int _ { \Delta _ { n } } e ^ { - S ( \phi ) } \, \mathcal { D } [ \phi ] - \int _ { { \Delta _ { n } } \cap { { { \textrm { s u p p } } ( \widetilde { q } _ { \theta } ) } } } e ^ { - S ( \phi ) } \, \mathcal { D } [ \phi ] \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sqrt { I + n + 1 } \left( \begin{array} { l } { \prod _ { j = i } ^ { K } f _ { j , n } ( \mathcal { Q } _ { I , n } ) - \prod _ { j = i } ^ { K } f _ { j , n } } \\ { i = 0 , \ldots , K } \end{array} \right) \overset { d } { \longrightarrow } \mathcal { N } \left( 0 , \mathbf { \Sigma } _ { K , \prod f _ { j } } ^ { ( 1 ) } \right) } \end{array}
T r K _ { H _ { 2 } ^ { \alpha } } = \alpha T r K _ { H _ { 2 } } + \alpha { \frac { e ^ { - { \bar { s } / 4 } } } { ( 4 \pi \bar { s } ) ^ { 1 / 2 } } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d y \cosh y f ( y , \alpha ) e ^ { - { y ^ { 2 } / \bar { s } } } ~ ~ ,
( A _ { 1 } + A _ { 2 } i ) ^ { \frac { 1 } { n } } = \left( A ^ { \frac { 1 } { n } } \cos \frac { \theta } { n } \right) + \left( A ^ { \frac { 1 } { n } } \sin \frac { \theta } { n } \right) i ,
y _ { n } ( \phi ) = \frac { e ^ { 2 \sigma ( \phi ) } } { N _ { n } } \left[ J _ { \nu } \left( { \frac { m _ { n } } { k } } e ^ { \sigma ( \phi ) } \right) + b _ { n \nu } Y _ { \nu } \left( { \frac { m _ { n } } { k } } e ^ { \sigma ( \phi ) } \right) \right] ,
\begin{array} { r l } { d _ { \mathcal { S } ^ { p , C } } ^ { q } ( X , Y ) } & { = d _ { \mathcal { S } ^ { p } } ^ { q } ( T _ { C } ( X ) , T _ { C } ( Y ) ) } \\ & { \ge 2 ^ { \frac { 1 - q } { q } } \textstyle { \left\| \bigoplus _ { i = 1 } ^ { j } T _ { C } ( K ( a _ { i } , b _ { i } ) ) \right\| _ { p } } } \\ & { = 2 ^ { \frac { 1 - q } { q } } \textstyle { \left\| \bigoplus _ { i = 1 } ^ { j } K ( a _ { i } , b _ { i } ) \right\| _ { p , C } } } \end{array}
\mathscr { L } _ { 2 } ( \mathbf { U } ; \mathbf { G } ) = \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 } \frac { r _ { 2 } ( \mathbf { U } + \epsilon \mathbf { G } ) - r _ { 2 } ( \mathbf { U } ) } { \epsilon } = \frac { \partial g _ { 1 , j } } { \partial x _ { j } } .
\begin{array} { r l } { 2 - 2 T _ { n } ( \frac { 1 + s + s ^ { 2 } } { 2 s } ) } & { = 2 - 2 n \sum _ { k = 0 } ^ { n } ( - 2 ) ^ { k } \frac { ( n + k - 1 ) ! } { ( n - k ) ! ( 2 k ) ! } ( 1 - \frac { 1 + s + s ^ { 2 } } { 2 s } ) ^ { k } } \\ & { = 2 - 2 n \sum _ { k = 0 } ^ { n } ( 2 ) ^ { k } \frac { ( n + k - 1 ) ! } { ( n - k ) ! ( 2 k ) ! } ( \frac { 1 - s + s ^ { 2 } } { 2 s } ) ^ { k } } \\ & { = - 2 n \sum _ { k = 1 } ^ { n } ( 2 ) ^ { k } \frac { ( n + k - 1 ) ! } { ( n - k ) ! ( 2 k ) ! } ( \frac { 1 - s + s ^ { 2 } } { 2 s } ) ^ { k } } \\ & { = - 2 ( \frac { 1 - s + s ^ { 2 } } { 2 s } ) n \sum _ { k = 1 } ^ { n } ( 2 ) ^ { k } \frac { ( n + k - 1 ) ! } { ( n - k ) ! ( 2 k ) ! } ( \frac { 1 - s + s ^ { 2 } } { 2 s } ) ^ { k - 1 } } \\ & { = \frac { - ( 1 - s + s ^ { 2 } ) } { s } n \sum _ { k = 1 } ^ { n } ( 2 ) ^ { k } \frac { ( n + k - 1 ) ! } { ( n - k ) ! ( 2 k ) ! } ( \frac { 1 - s + s ^ { 2 } } { 2 s } ) ^ { k - 1 } } \\ & { = \frac { - ( 1 - s + s ^ { 2 } ) } { s } n \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } ( 2 ) ^ { k + 1 } \frac { ( n + k ) ! } { ( n - k - 1 ) ! ( 2 k + 2 ) ! } ( \frac { 1 - s + s ^ { 2 } } { 2 s } ) ^ { k } } \\ & { = \frac { - ( 1 - s + s ^ { 2 } ) } { s } n \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \frac { 2 ( n + k ) ! } { ( n - k - 1 ) ! ( 2 k + 2 ) ! } \sum _ { l = 0 } ^ { 2 k } ( - 1 ) ^ { l } \left( \begin{array} { l } { k ; 3 } \\ { l } \end{array} \right) s ^ { l - k } } \\ & { = \frac { - ( 1 - s + s ^ { 2 } ) } { s } n \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \frac { 2 ( n + k ) ! } { ( n - k - 1 ) ! ( 2 k + 2 ) ! } \sum _ { l = - k } ^ { k } ( - 1 ) ^ { l + k } \left( \begin{array} { l } { k ; 3 } \\ { l + k } \end{array} \right) s ^ { l } } \\ & { = - \frac { 1 - s + s ^ { 2 } } { s } \sum _ { l = - n + 1 } ^ { n - 1 } \ \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } ( - 1 ) ^ { l + k } \frac { 2 n ( n + k ) ! } { ( n - k - 1 ) ! ( 2 k + 2 ) ! } \left( \begin{array} { l } { k ; 3 } \\ { l } \end{array} \right) s ^ { l } } \\ & { = - \frac { 1 - s + s ^ { 2 } } { s } \sum _ { l = - n + 1 } ^ { n - 1 } \ \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } ( - 1 ) ^ { l + k } \frac { 2 n ( n + k ) ! } { ( n - k - 1 ) ! ( 2 k + 2 ) ! } \left( \begin{array} { l } { k ; 3 } \\ { l + k } \end{array} \right) s ^ { l } } \\ & { = - \frac { 1 - s + s ^ { 2 } } { s } \sum _ { l = - n + 1 } ^ { n - 1 } \ \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } ( - 1 ) ^ { l + k } \frac { 2 n ( n + k ) ! } { ( n - k - 1 ) ! ( 2 k + 2 ) ! } \left( \begin{array} { l } { k ; 3 } \\ { l + k } \end{array} \right) s ^ { l } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { e ^ { \beta ( t ) | k | ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \| \partial _ { y } u _ { k } ( t ) \| _ { L ^ { 2 } } } & { \leq e ^ { \beta ( t ) | k | ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \bigg ( \| \partial _ { y } f _ { k } \| _ { L ^ { 2 } } + \Big ( \frac { 1 2 } { \sigma } \Big ) ^ { 3 } e ^ { \frac { \sigma } { 4 } | k | ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \big ( \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime } \| _ { L ^ { \infty } } + \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime } \| _ { L ^ { \infty } } \big ) \| ( \partial _ { t } + 1 ) \partial _ { y } \psi _ { k } \| _ { L ^ { 2 } } \bigg ) } \\ & { \leq e ^ { \beta ( t ) | k | ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \| \partial _ { y } f _ { k } \| _ { L ^ { 2 } } + \Big ( \frac { 1 2 } { \sigma } \Big ) ^ { 3 } e ^ { \alpha ( t ) | k | ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \big ( \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime } \| _ { L ^ { \infty } } + \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime } \| _ { L ^ { \infty } } \big ) \| ( \partial _ { t } + 1 ) \partial _ { y } \psi _ { k } \| _ { L ^ { 2 } } . } \end{array}
I _ { 4 } = \frac { \mathrm { ~ a ~ n ~ t ~ i ~ - ~ s ~ y ~ m ~ m ~ e ~ t ~ r ~ i ~ c ~ n ~ o ~ n ~ l ~ i ~ n ~ e ~ a ~ r ~ t ~ e ~ r ~ m ~ \# ~ 2 ~ } } { \mathrm { ~ l ~ i ~ n ~ e ~ a ~ r ~ t ~ r ~ a ~ n ~ s ~ i ~ t ~ t ~ i ~ m ~ e ~ } } \simeq L \frac { 8 } { 2 1 } \frac { \omega _ { m - m ^ { \prime } } } { m \Omega _ { d } } \frac { r A _ { m - m ^ { \prime } } } { B _ { 0 } } \frac { \delta f _ { m ^ { \prime } } } { { \delta f _ { m } } } \frac { \partial } { \partial L } \log \delta f _ { m ^ { \prime } } \simeq 1 .
\begin{array} { r l r } { B } & { = } & { - 2 \pi N _ { \mathrm { A } } \int \left\langle \mathrm { e } ^ { - \beta \overline { { U _ { 2 } } } ( r _ { 1 2 } ) } - 1 \right\rangle r _ { 1 2 } ^ { 2 } ~ \mathrm { d } r _ { 1 2 } } \\ { B _ { \varepsilon } } & { = } & { \frac { 8 \pi ^ { 2 } } { 3 } N _ { \mathrm { A } } ^ { 2 } \int \left\langle \overline { { \Delta \alpha _ { 2 } } } ( r ) \mathrm { e } ^ { - \beta \overline { { U _ { 2 } } } ( r _ { 1 2 } ) } \right\rangle r _ { 1 2 } ^ { 2 } \mathrm { d } r _ { 1 2 } } \\ { C } & { = } & { - \frac { 8 \pi ^ { 2 } } { 3 } N _ { \mathrm { A } } ^ { 2 } \int \left\langle \left[ \mathrm { e } ^ { - \beta \overline { { U _ { 3 } } } ( r _ { 1 2 } , r _ { 1 3 } , r _ { 2 3 } ) } - \sum _ { i < j } \mathrm { e } ^ { - \beta \overline { { U _ { 2 } } } ( r _ { i j } ) } + 2 - 3 ( \mathrm { e } ^ { - \beta \overline { { U _ { 2 } } } ( r _ { 1 2 } ) } - 1 ) ( \mathrm { e } ^ { - \beta \overline { { U _ { 2 } } } ( r _ { 1 3 } ) } - 1 ) \right] \right\rangle ~ \mathrm { d } \Omega _ { 3 } } \\ { C _ { \varepsilon } } & { = } & { \frac { 1 6 \pi ^ { 2 } } { 9 } N _ { \mathrm { A } } ^ { 3 } \int \left\langle \left[ \left( \frac { \beta | \overline { { \mathbf { m } _ { 3 } } } | ^ { 2 } } { 3 } + \overline { { \Delta \alpha _ { 3 } } } \right) \mathrm { e } ^ { - \beta \overline { { U _ { 3 } } } } - \sum _ { i < j } \overline { { \Delta \alpha _ { 2 } } } ( r _ { i j } ) \mathrm { e } ^ { - \beta \overline { { U _ { 2 } } } ( r _ { i j } ) } - \right. \right. } \\ & { } & { \left. \left. 6 \left( \mathrm { e } ^ { - \beta \overline { { U _ { 2 } } } ( r _ { 1 2 } ) } - 1 \right) \overline { { \Delta \alpha _ { 2 } } } ( r _ { 1 3 } ) \mathrm { e } ^ { - \beta \overline { { U _ { 2 } } } ( r _ { 1 3 } ) } \right] \right\rangle ~ \mathrm { d } \Omega _ { 3 } , } \end{array}
z _ { \check { A } } ^ { \mu } ( \tau , \vec { \sigma } ) = \partial _ { \check { A } } z ^ { \mu } ( \tau , \vec { \sigma } ) , \quad \quad \partial _ { \check { B } } z _ { \check { A } } ^ { \mu } - \partial _ { \check { A } } z _ { \check { B } } ^ { \mu } = 0 ,
V _ { 0 } ( F , \phi ; F _ { T } , t ) = - F \, \mathrm { l n } \left( \frac { \phi ^ { ( N _ { c } - N _ { f } ) } \mathrm { d e t } ( t ) } { \Lambda ^ { ( 3 N _ { c } - N _ { f } ) } } \right) - \phi \mathrm { T r } \left[ F _ { T } t ^ { - 1 } \right] + \mathrm { h . c . } \ .
\begin{array} { r l r } { I _ { \mathrm { V } } ^ { ( \pm ) } } & { { } = } & { I _ { 0 } \biggl ( \frac { 2 W } { e \xi } - 4 \frac { B } { B _ { \phi } } \biggr ) , } \\ { I _ { \mathrm { A V } } ^ { ( \pm ) } } & { { } = } & { I _ { 0 } \biggl ( \frac { 2 W } { e \xi } + 4 \frac { B } { B _ { \phi } } \biggr ) . } \end{array}
\Tilde { R } _ { \mathrm { i n } } ^ { ( n ) } ( \Delta \mathbf { k } _ { \parallel } , \mathbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } ) \equiv \Tilde { R } ^ { ( n ) } ( \mathbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } + \Delta \mathbf { k } _ { \parallel } , \mathbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } )
S ^ { \mathrm { F F } } \approx \frac { k _ { \mathrm { d } } ^ { 2 } } { 4 \pi } \sum _ { l \neq 0 } ^ { \infty } \frac { e ^ { i k _ { \mathrm { d } } R _ { l } } } { R _ { l } } e ^ { - i k _ { \mathrm { d } } z _ { \mathrm { p } } ^ { 2 } / R _ { l } } \! \left[ 1 - \frac { x _ { l } ^ { 2 } } { R _ { l } ^ { 2 } } \right] ,
V ( \phi , \sigma ) = \frac { 3 \mu ^ { 4 } } { 2 \lambda } - \frac 1 2 \mu ^ { 2 } \left( \phi ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } \right) + \frac { \lambda } { 2 4 } \left( \phi ^ { 4 } + 3 \sigma ^ { 4 } + 6 \phi ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } \right) \; .
\begin{array} { r } { u _ { \mathrm { ~ C ~ B ~ } } ( x , 0 , t ) = c \left( 1 + \frac { \ell _ { B } ^ { 2 } } { 4 } \partial _ { x } ^ { 2 } \right) \rho _ { \mathrm { ~ C ~ B ~ } } ( x , 0 , t ) + \cdots . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { f } _ { \lambda , \ell m } ( \hat { \mathbf { r } } ) } & { { } = \frac { \mathbf { m } _ { \ell m } ( \hat { \mathbf { r } } ) + \lambda \mathbf { n } _ { \ell m } ( \hat { \mathbf { r } } ) } { \sqrt { 2 } } } \end{array}
{ \hat { X } } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , . . . , k _ { r } ) = \sum _ { n _ { 1 } = 0 } ^ { N _ { 1 } - 1 } \sum _ { n _ { 2 } = 0 } ^ { N _ { 2 } - 1 } \dots \sum _ { n _ { r } = 0 } ^ { N _ { r } - 1 } x ( n _ { 1 } , n _ { 2 } , . . . , n _ { r } ) \mathrm { { c a s } } ( { \frac { 2 \pi n _ { 1 } k _ { 1 } } { N _ { 1 } } } ) \dots \mathrm { { c a s } } ( { \frac { 2 \pi n _ { r } k _ { r } } { N _ { r } } } ) .
\prod _ { p } \left( 1 - { \frac { 3 } { p ^ { 3 } } } + { \frac { 2 } { p ^ { 4 } } } + { \frac { 1 } { p ^ { 5 } } } - { \frac { 1 } { p ^ { 6 } } } \right) = 0 . 6 7 8 2 3 4 . . .
\mathbb { P } ( \neg { \mathcal A } _ { \mathrm { b b } } ) \le \mathbb { P } ( \neg { \mathcal A } _ { \mathrm { p o i } } ) + \mathbb { P } ( J = \infty \mid { \mathcal A } _ { \mathrm { p o i } } ) + \sum _ { i = 1 } ^ { n ^ { \prime } / k } \mathbb { P } ( J = i \mid { \mathcal A } _ { \mathrm { p o i } } ) \mathbb { P } ( \neg { \mathcal A } _ { \mathrm { b b } } \mid \{ J = i \} \cap { \mathcal A } _ { \mathrm { p o i } } ) .
\begin{array} { r } { f \in \mathscr { C } \left( [ 0 , T ] ; \mathcal { H } _ { r } ^ { m - 1 } \right) , \ \ \varrho \in \mathscr { C } ( [ 0 , T ] ; \mathrm { H } ^ { m - 1 } ) , \ \ \ u \in \mathscr { C } \left( [ 0 , T ] ; \mathrm { H } ^ { m } \right) \cap \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { m + 1 } ) , \ \ \vartheta \in \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { m } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( g , v ) ^ { * } \widetilde { \varphi } ( g w + v ) } & { = \left[ ( 1 , v ) \cdot ( g , 0 ) \right] ^ { * } \widetilde { \varphi } ( g w + v ) } \\ & { = g ^ { * } \left[ ( 1 , v ) ^ { * } \widetilde { \varphi } ( g w + v ) \right] } \\ & { = g ^ { * } \left[ ( 1 , v ) ^ { * } ( ( 1 , - g w - v ) ^ { * } \varphi ) \right] } \\ & { = g ^ { * } \left[ ( 1 , - g w ) ^ { * } \varphi \right] = \left[ ( 1 , - g w ) \cdot ( g , 0 ) \right] ^ { * } \varphi } \\ & { = ( g , - g w ) ^ { * } \varphi = \left[ ( g , 0 ) \cdot ( 1 , - w ) \right] ^ { * } \varphi } \\ & { = ( 1 , - w ) ^ { * } ( g ^ { * } \varphi ) = ( 1 , - w ) ^ { * } \varphi = \widetilde { \varphi } ( w ) . } \end{array}
S ( \mathbf { q } , t ) = S ^ { \mathrm { m a g } } ( \mathbf { q } , t ) + \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } S ^ { \mathrm { e x t } } ( \mathbf { q } , \omega ) \cos ( \omega \tau ) \Pi ( t - \tau ; a ) \ \mathrm { d } \omega \ \mathrm { d } \tau
\begin{array} { r l } { \Vert G ( \bar { D } ) - \hat { G } \Vert _ { F } } & { \le 6 c _ { g } n ^ { 1 - \gamma } , } \\ { \left\Vert \sqrt { | G ( \bar { D } ) | } - \sqrt { | \hat { G } | } \right\Vert _ { F } } & { \le \frac { 6 c _ { g } n ^ { 1 - \gamma } } { \sqrt { \sigma n } } = c _ { g } ^ { \prime } n ^ { 1 / 2 - \gamma } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \alpha } & { = - \mu _ { \mathrm { L } } \alpha ^ { 2 } ( K - 2 \Theta ) + \beta ^ { i } \partial _ { i } \alpha } \\ { \partial _ { t } \beta ^ { i } } & { = \mu _ { \mathrm { S } } \alpha ^ { 2 } \tilde { \Gamma } ^ { i } - \eta \beta ^ { i } + \beta ^ { j } \partial _ { j } \beta ^ { i } . } \end{array}
| \langle f \mid g \rangle | ^ { 2 } = { \Big ( } { \frac { 1 } { 2 } } \langle \{ { \hat { A } } , { \hat { B } } \} \rangle - \langle { \hat { A } } \rangle \langle { \hat { B } } \rangle { \Big ) } ^ { 2 } + { \Big ( } { \frac { 1 } { 2 i } } \langle [ { \hat { A } } , { \hat { B } } ] \rangle { \Big ) } ^ { 2 } \, .
\begin{array} { r l } { f _ { B ^ { - } } ( x ) } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } t } } \exp \left\lbrace - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { ( ( - 1 ) ^ { k } x - 2 k L ) - x _ { 0 } } { \sigma \sqrt { t } } \right) ^ { 2 } \right\rbrace } \\ & { \leq \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } t } } \exp \left\lbrace - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { - 2 L - 2 k L } { \sigma \sqrt { t } } \right) ^ { 2 } \right\rbrace } \\ & { = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } t } } \exp \left\lbrace - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { - 2 ( k + 1 ) L } { \sigma \sqrt { t } } \right) ^ { 2 } \right\rbrace } \\ & { = \sum _ { k = 2 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } t } } \exp \left\lbrace - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { - 2 k L } { \sigma \sqrt { t } } \right) ^ { 2 } \right\rbrace } \\ & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } t } } \left( \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \exp \left\lbrace - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 4 L ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } t } \right) \right\rbrace ^ { k ^ { 2 } } - 1 - \exp \left\lbrace - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 4 L ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } t } \right) \right\rbrace \right) } \\ & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } t } } \left( \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \Theta _ { _ { E } } \left[ 3 , 0 , e x p \left\lbrace - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 4 L ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } t } \right) \right\rbrace \right] - 1 - \exp \left\lbrace - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 4 L ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } t } \right) \right\rbrace \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \mathscr { e } } _ { 1 } \left[ X \right] } & { { } = \cos \left[ \breve { \theta } \left[ X \right] \right] \boldsymbol { \mathscr { x } } _ { 1 } + \sin \left[ \breve { \theta } \left[ X \right] \right] \boldsymbol { \mathscr { x } } _ { 2 } , } \\ { \boldsymbol { \mathscr { e } } _ { 2 } \left[ X \right] } & { { } = - \sin \left[ \breve { \theta } \left[ X \right] \right] \boldsymbol { \mathscr { x } } _ { 1 } + \cos \left[ \breve { \theta } \left[ X \right] \right] \boldsymbol { \mathscr { x } } _ { 2 } , } \\ { \boldsymbol { \mathscr { e } } _ { 3 } \left[ X \right] } & { { } = \boldsymbol { \mathscr { x } } _ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mu _ { n } } & { \le } & { \operatorname* { P r } \left\{ \frac { 1 } { n } \log \frac { 1 } { P _ { X ^ { n } | U ^ { n } } ( X ^ { n } | U ^ { n } ) } > R _ { 1 } - 2 \gamma \right\} } \\ & { \le } & { \operatorname* { P r } \left\{ \frac { 1 } { n } \log \frac { 1 } { P _ { X ^ { n } | U ^ { n } } ( X ^ { n } | U ^ { n } ) } > H ( X | U ) + \gamma \right\} } \\ & { \to } & { 0 . } \end{array}
f ( \mathbf x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \delta + \eta ~ , } & { \forall \mathbf x ^ { \prime } \in Q : | \mathbf x - \mathbf x ^ { \prime } | > r } \\ { \delta + \eta - \mathbf x ~ , } & { \exists \mathbf x ^ { \prime } \in Q : | \mathbf x - \mathbf x ^ { \prime } | \leq r \textnormal { ~ ~ a n d ~ ~ } \mathbf x \leq \mathbf x ^ { \prime } - \frac { r } { 2 } } \\ { \delta + \eta - r + \mathbf x ~ , } & { \exists \mathbf x ^ { \prime } \in Q : | \mathbf x - \mathbf x ^ { \prime } | \leq r \textnormal { ~ ~ a n d ~ ~ } \mathbf x > \mathbf x ^ { \prime } - \frac { r } { 2 } } \end{array} \right. ~ .
E ( t ) = \frac { 1 } { 2 } \int _ { \Omega } \tilde { \eta } ^ { 2 } + ( \tilde { D } + \varepsilon \tilde { \eta } ) | \tilde { \mathbf { u } } | ^ { 2 } - \sigma ^ { 2 } \left[ c \tilde { D } ^ { 2 } | \tilde { \nabla } \tilde { \eta } | ^ { 2 } + a \tilde { D } ^ { 3 } ( \tilde { \nabla } \! \cdot \! \tilde { \mathbf { u } } ) ^ { 2 } \right] \ ,
\langle \Psi _ { n } | { \hat { a } } _ { i } ^ { \dagger } { \hat { a } } _ { j } ^ { \dagger } { \hat { a } } _ { l } ^ { } { \hat { a } } _ { k } ^ { } ( { \hat { H } } - E _ { n } ) | \Psi _ { n } \rangle = 0
\Big ( { \cal D } ^ { 2 } - \lambda ^ { 2 } ( s _ { 2 } - 2 ) ( s _ { 2 } - 3 + d ) + \lambda ^ { 2 } \sum _ { A = 1 , 2 } s _ { A } - \lambda ^ { 2 } \Big ) | S \rangle = 0 \,
\begin{array} { r l } & { \sum _ { \sigma , \tau , \rho \in S _ { \mathbf { m } } } \sum _ { \gamma \in S _ { m _ { 1 } } \times \dots \times S _ { m _ { l } } } \delta \left( Q _ { \mathbf { r } , \mu _ { 1 } , \nu _ { 1 } } ^ { R } \sigma ^ { - 1 } \right) \delta \left( Q _ { \mathbf { s } , \nu _ { 2 } , \mu _ { 2 } } ^ { S } \tau \right) \mathcal { O } _ { \rho } ( B _ { l } ) \delta ( \rho ^ { - 1 } \gamma ^ { - 1 } \sigma \gamma \tau ^ { - 1 } ) } \\ { } & { = \sum _ { \rho \in S _ { \mathbf { m } } } \sum _ { \gamma \in S _ { m _ { 1 } } \times \dots \times S _ { m _ { l } } } \mathcal { O } _ { \rho } ( B _ { l } ) \delta ( \rho ^ { - 1 } \gamma ^ { - 1 } Q _ { \mathbf { r } , \mu _ { 1 } , \nu _ { 1 } } ^ { R } \gamma Q _ { \mathbf { s } , \nu _ { 2 } , \mu _ { 2 } } ^ { S } ) } \\ { } & { = h \sum _ { \rho \in S _ { \mathbf { m } } } \mathcal { O } _ { \rho } ( B _ { l } ) \delta ( \rho ^ { - 1 } Q _ { \mathbf { r } , \mu _ { 1 } , \nu _ { 1 } } ^ { R } Q _ { \mathbf { s } , \nu _ { 2 } , \mu _ { 2 } } ^ { S } ) } \\ & { = h \delta ^ { R S } \delta _ { \mathbf { r } \mathbf { s } } \delta _ { \nu _ { 1 } \nu _ { 2 } } \left( \sum _ { \rho \in S _ { \mathbf { m } } } \delta \left( Q _ { \mathbf { r } , \mu _ { 1 } , \mu _ { 2 } } ^ { R } \rho ^ { - 1 } \right) \mathcal { O } _ { \rho } ( B _ { l } ) \right) } \\ & { = h \delta ^ { R S } \delta _ { \mathbf { r } \mathbf { s } } \delta _ { \nu _ { 1 } \nu _ { 2 } } \mathcal { O } _ { \mathbf { r } , \mu _ { 1 } , \mu _ { 2 } } ^ { R } ( B _ { l } ) } \end{array}