harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l } { z _ { i } ^ { \ell + 1 } ( x _ { \alpha } ) } \\ { z _ { i } ^ { \ell + 1 } ( x _ { \beta } ) } \end{array} \right] \sim \mathcal { N } \left( 0 , \frac { 2 } { n _ { \ell } } \left[ \begin{array} { l l } { \| { { \varphi } _ { \alpha } ^ { \ell } } \| ^ { 2 } } & { \langle { { \varphi } _ { \alpha } ^ { \ell } } , { { \varphi } _ { \beta } ^ { \ell } } \rangle } \\ { \langle { { \varphi } _ { \alpha } ^ { \ell } } , { { \varphi } _ { \beta } ^ { \ell } } \rangle } & { \| { { \varphi } _ { \beta } ^ { \ell } } \| ^ { 2 } } \end{array} \right] \right) = : \mathcal { N } \left( 0 , K ^ { \ell } \right) , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l l } { \operatorname* { m i n } } & { x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } + x _ { 3 } ^ { 2 } } \\ { \mathit { s . t . } } & { g ( x , u ) = 2 \sin ( 4 u ) - x _ { 1 } - x _ { 2 } \exp ( x _ { 3 } u ) - \exp ( x _ { 2 } u ) \geq 0 \quad \forall u \in U ( x ) , } \\ & { x \in X = [ - 5 , 5 ] ^ { 3 } , } \\ & { U ( x ) = \{ u \in \mathbb { R } : 0 \leq u \leq 1 , x _ { 2 } + 1 - 2 u \geq 0 \} . } \end{array} \right.
\sum _ { u \in U } a _ { t u ^ { - 1 } } = a _ { t } + \sum _ { i = 0 } ^ { s - 1 } a _ { t e _ { 1 } ^ { i } g _ { 1 } ^ { - 1 } e _ { 1 } ^ { - i } } = \sum _ { i = 0 } ^ { s - 1 } a _ { t ( e _ { 1 } ^ { i } g ) g _ { 1 } ( e _ { 1 } ^ { i } g ) ^ { - 1 } } = \sum _ { i = 0 } ^ { s - 1 } a _ { g _ { 1 } ( e _ { 1 } ^ { i } g ) ^ { - 1 } t ( e _ { 1 } ^ { i } g ) } .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { k \to 0 } \tilde { j } _ { \parallel } ( k , t ) = } & { { } \exp \left( - \frac { 6 \nu } { h ^ { 2 } \kappa } \right) \times } \\ { = } & { { } \exp \left( - \frac { 1 2 \nu } { h ^ { 2 } \kappa } \right) = \tilde { j } _ { \perp } ( k , t ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac 1 2 \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \| { \tilde { u } } _ { x } \| ^ { 2 } + \frac 1 2 \| { \tilde { u } } _ { x x } \| ^ { 2 } \le C \| { \tilde { u } } _ { x } \| ^ { 2 } \| { \tilde { v } } _ { x } \| ^ { 2 } + C \big ( \| { \tilde { u } } _ { x } \| ^ { 2 } + \| { \tilde { v } } _ { x } \| ^ { 2 } + | \alpha ^ { \prime } | \big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { E = \frac { 1 } { 2 } \left( m _ { 1 } \, ( \mathbf { v } _ { 1 } ) ^ { 2 } + m _ { 2 } \, ( \mathbf { v } _ { 2 } ) ^ { 2 } - m _ { 1 } \, ( \mathbf { u } _ { 1 } ) ^ { 2 } - m _ { 2 } \, ( \mathbf { u } _ { 2 } ) ^ { 2 } \right) = 0 } \\ & { 2 \, E = \left( m _ { 1 } \, \left[ ( \mathbf { v } _ { 1 } ) ^ { 2 } - ( \mathbf { u } _ { 1 } ) ^ { 2 } \right] + m _ { 2 } \, \left[ ( \mathbf { v } _ { 2 } ) ^ { 2 } - ( \mathbf { u } _ { 2 } ) ^ { 2 } \right] \right) = 0 } \\ & { 2 \, E = \left( m _ { 1 } \, \left[ \mathbf { v } _ { 1 } - \mathbf { u } _ { 1 } \right] \cdot \left[ \mathbf { v } _ { 1 } + \mathbf { u } _ { 1 } \right] + m _ { 2 } \, \left[ \mathbf { v } _ { 2 } - \mathbf { u } _ { 2 } \right] \cdot \left[ \mathbf { v } _ { 2 } + \mathbf { u } _ { 2 } \right] \right) = 0 } \\ & { \mathrm { w i t h } \quad \mathbf { v } _ { 1 } - \mathbf { u } _ { 1 } = - \frac { \lambda } { m _ { 1 } } \, \mathbf n \quad , \mathbf { v } _ { 2 } - \mathbf { u } _ { 2 } = \frac { \lambda } { m _ { 2 } } \, \mathbf n } \\ & { \left[ ( \mathbf v _ { 2 } - \mathbf { v } _ { 1 } ) + ( \mathbf u _ { 2 } - \mathbf u _ { 1 } ) \right] \cdot \mathbf n = 0 } \end{array}
{ \vec { W } } _ { i } ^ { n + 1 } = { \vec { W } } _ { i } ^ { n } - \frac { \Delta t } { \Omega _ { i } } \sum _ { j \in N ( i ) } { { \vec { F } } _ { i j } ^ { e q } { \cal A } _ { i j } } + \frac { \Delta t } { \Omega _ { i } } \boldsymbol { W } _ { i } ^ { f r } + { \vec { S } } _ { i } ,
\left\langle \left[ \sigma _ { + } [ Q ^ { W } ] \right] ^ { q } \left[ \sigma _ { - } [ Q ^ { W } ] \right] ^ { n - q } \right\rangle _ { Q ^ { \mu } } \; = \; \left\langle \left[ \sigma _ { + } [ Q ^ { W } ] \right] ^ { n - q } \left[ \sigma _ { - } [ Q ^ { W } ] \right] ^ { q } \right\rangle _ { Q ^ { \mu } } \; .
\begin{array} { r l } & { \left\langle \mathscr { L } _ { \vec { c } } ( \vec { \varphi } ) \mathfrak { D } ( \vec { \varphi } ) , \vec { \varphi } \right\rangle = - 2 d ^ { \prime } ( | { \vec { c } } | ) , \qquad \left\langle \mathscr { L } _ { \vec { c } } ( \vec { \varphi } ) \mathfrak { D } ( \vec { \varphi } ) , \mathfrak { D } ( \vec { \varphi } ) \right\rangle = - d ^ { \prime \prime } ( | { \vec { c } } | ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { X _ { 1 } } ^ { \varepsilon } X _ { 1 } } & { = c _ { 1 2 } ^ { 1 } X _ { 2 } - \varepsilon ^ { 2 } c _ { \theta 1 } ^ { 1 } X _ { \theta } ; } \\ { \nabla _ { X _ { 1 } } ^ { \varepsilon } X _ { 2 } } & { = - c _ { 1 2 } ^ { 1 } X _ { 1 } + \frac { 1 } { 2 } ( - c _ { 1 2 } ^ { \theta } - \varepsilon ^ { 2 } c _ { \theta 2 } ^ { 1 } - \varepsilon ^ { 2 } c _ { \theta 1 } ^ { 2 } ) X _ { \theta } } \\ { \nabla _ { X _ { 2 } } ^ { \varepsilon } X _ { 1 } } & { = c _ { 1 2 } ^ { 2 } X _ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ( c _ { 1 2 } ^ { \theta } - \varepsilon ^ { 2 } c _ { \theta 2 } ^ { 1 } - \varepsilon ^ { 2 } c _ { \theta 1 } ^ { 2 } ) X _ { \theta } } \\ { \nabla _ { X _ { 2 } } ^ { \varepsilon } X _ { 2 } } & { = - c _ { 1 2 } ^ { 2 } X _ { 2 } - \varepsilon ^ { 2 } c _ { \theta 2 } ^ { 2 } X _ { \theta } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \bf E } \left( z ^ { S \left( x \right) } \right) } & { { } = } & { \overline { { \alpha } } ^ { x } + \alpha \sum _ { y = 0 } ^ { x - 1 } \overline { { \alpha } } ^ { y } z ^ { x - y } = \overline { { \alpha } } ^ { x } + \alpha \overline { { \alpha } } ^ { x } z \frac { 1 - \left( z / \overline { { \alpha } } \right) ^ { x } } { \overline { { \alpha } } - z } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { M } _ { \mathrm { M } , n } = } & { { } \prod _ { m = 1 } ^ { M } \left[ ( \mathcal { G } _ { n } - | \mathbf { k } _ { n } | ^ { 2 } + q _ { m } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + b _ { m } \right] } \\ { = } & { { } \, ( \mathcal { G } _ { n } ^ { 2 } + b _ { n } ) \prod _ { m \neq n } ^ { M } \left[ ( q _ { m } ^ { 2 } - | \mathbf { k } _ { n } | ^ { 2 } + \mathcal { G } _ { n } ) ^ { 2 } + b _ { m } \right] ) } \\ { \approx } & { { } \, ( \mathcal { G } _ { n } ^ { 2 } + b _ { n } ) \underbrace { \prod _ { m \neq n } ^ { M } \left[ ( q _ { m } ^ { 2 } - | \mathbf { k } _ { n } | ^ { 2 } ) ^ { 2 } + b _ { m } \right] } _ { \Gamma _ { n } } } \\ { \equiv } & { { } \, \Gamma _ { n } \left[ ( \nabla ^ { 2 } + 2 \mathrm { i } \mathbf { k } _ { n } \cdot \nabla ) ^ { 2 } + b _ { n } \right] , } \end{array}
| J _ { 2 } | \leq C \left\| v _ { x } \right\| _ { L ^ { \infty } } \left\| h _ { x x } \right\| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } \leq \left\| \partial _ { x } ^ { 3 } v \right\| _ { L ^ { 2 } } \left\| h _ { x x } \right\| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } .
\delta \bar { S } _ { \pm \mu \nu } = \bar { \tau } _ { \pm ( T ) } T _ { ( T ) \mu \nu } + \bar { \tau } _ { \pm ( L T ) } T _ { ( L T ) \mu \nu } + \bar { \tau } _ { \pm ( L L ) } T _ { ( L L ) \mu \nu } + \bar { \tau } _ { \pm ( Y ) } T _ { ( Y ) \mu \nu } ,
\left\langle S ^ { \prime } ( t ) \right| { \cal O } \left| S ( t ) \right\rangle = \left\langle S ^ { \prime } ( 0 ) \right| e ^ { i t \hat { H } } { \cal O } e ^ { - i t \hat { H } } \left| S ( 0 ) \right\rangle \; \; .
R \approx 1 - \frac { 2 \omega \delta _ { 0 } } { c } \left( 1 - \frac { 1 } { 2 } \eta ^ { 2 } \right) + 2 \left( \frac { \omega \delta _ { 0 } } { c } \right) ^ { 2 } \left( 1 - \eta ^ { 2 } \right) \, .
\begin{array} { r l } { O _ { m l k } = } & { { } \pi _ { 1 2 } \langle \vec { \nabla } ( \vec { f } _ { l } ^ { ( 1 ) } \cdot \vec { f } _ { m } ^ { ( 2 ) ^ { * } } ) \cdot \vec { u } _ { k } ^ { \: m l * } \rangle + } \end{array}
\begin{array} { r l } { Y _ { T } ^ { \lambda } - Y _ { t } ^ { \lambda } } & { = \lambda _ { t } \left( \frac { 1 - e ^ { - \theta _ { \lambda } ( T - t ) } } { \theta _ { \lambda } } \right) + \int _ { t } ^ { T } \frac { 1 - e ^ { - \theta _ { \lambda } ( T - u ) } } { \theta _ { \lambda } } d ( \rho g _ { u } ^ { r } + g _ { u } ^ { \lambda } ) } \end{array}
R ( z ) = { \frac { \ell ( z ) } { 2 \pi i } } \int _ { C } { \frac { f ( t ) } { ( t - z ) ( t - z _ { 0 } ) \cdots ( t - z _ { k } ) } } d t = { \frac { \ell ( z ) } { 2 \pi i } } \int _ { C } { \frac { f ( t ) } { ( t - z ) \ell ( t ) } } d t .
\hat { V } ( t ) = g \hat { \sigma } \hat { b } _ { 2 } + i \hslash \dot { \mu } _ { 1 } ( t ) \hat { b } _ { 1 } ^ { \dagger } \hat { b } _ { 1 } + i \hslash \dot { \mu } _ { 2 } ( t ) \left( \hat { \sigma } ^ { \dagger } \hat { \sigma } - \hat { b } _ { 2 } ^ { \dagger } \hat { b } _ { 2 } \right) + i \hslash \dot { \mu } _ { 3 } ( t ) ,
\overline { { \mathsf { L } } } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } = \frac { 1 } { 8 } \omega ^ { 2 } M _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } | \hat { X } | ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } \hat { F } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ^ { \dagger } \hat { X } + \mathrm { ~ c ~ . ~ c ~ . ~ } \, .
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { d } { d t } w _ { i } ( t ) = - p _ { i } \frac { d } { d t } \ln f _ { 0 } ( z _ { i } ( t ) ) \; \; , } \\ & { } & { \frac { d } { d t } p _ { i } ( t ) = p _ { i } \frac { d } { d t } \ln f _ { 0 } ( z _ { i } ( t ) ) \; \; , } \\ & { } & { \frac { d } { d t } ( w _ { i } ( t ) + p _ { i } ( t ) ) = 0 \; \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d p _ { i } } { d t } = } & { \sum _ { j = 1 } ^ { n } \omega _ { i j } \Big [ \frac { p _ { j } } { \pi _ { j } } - \frac { p _ { i } } { \pi _ { i } } \Big ] } \\ { = } & { \sum _ { j = 1 } ^ { n } \omega _ { i j } \frac { \frac { p _ { j } } { \pi _ { j } } - \frac { p _ { i } } { \pi _ { i } } } { \phi ^ { \prime } \left( \frac { p _ { j } } { \pi _ { j } } \right) - \phi ^ { \prime } \left( \frac { p _ { i } } { \pi _ { i } } \right) } \Big [ \phi ^ { \prime } \left( \frac { p _ { j } } { \pi _ { j } } \right) - \phi ^ { \prime } \left( \frac { p _ { i } } { \pi _ { i } } \right) \Big ] } \\ { = } & { \sum _ { j = 1 } ^ { n } \theta _ { i j } ( \omega , p ) \Big [ \phi ^ { \prime } \left( \frac { p _ { j } } { \pi _ { j } } \right) - \phi ^ { \prime } \left( \frac { p _ { i } } { \pi _ { i } } \right) \Big ] } \\ { = } & { \sum _ { j = 1 } ^ { n } \theta _ { i j } ( \omega , p ) ( \partial _ { p _ { j } } - \partial _ { p _ { i } } ) \mathrm { D } _ { \phi } ( p \| \pi ) , } \end{array}
\boldsymbol { W _ { 3 } } ^ { i } \leftarrow \{ \boldsymbol { W } _ { C _ { i } } ^ { 1 , 2 , 3 } , \texttt { r o t a t e - b a c k } ( \boldsymbol { W } _ { R _ { i } } ^ { 4 } ) , \texttt { r o t a t e - b a c k } ( \boldsymbol { W } _ { R _ { i } } ^ { 5 } ) \}
A _ { 1 } ^ { \alpha , i } \equiv \frac { 1 + \sigma _ { 3 } } { 2 } \otimes \psi _ { - 1 / 2 } ^ { \alpha , i } | 0 , k \rangle ~ , ~ A _ { 2 } ^ { \alpha , i } \equiv \frac { 1 - \sigma _ { 3 } } { 2 } \otimes \psi _ { - 1 / 2 } ^ { \alpha , i } | 0 , k \rangle
\langle \mathcal { O } _ { \sigma _ { 1 } , \sigma _ { 2 } , \sigma _ { 3 } } ( \bar { \Lambda } , Z ) \overline { { \mathcal { O } _ { \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } , \tau _ { 3 } } ( \bar { \Lambda } , Z ) } } \rangle \, = \sum _ { \alpha _ { l } , \gamma \in S _ { m } } \mathcal { O } _ { \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \alpha _ { 3 } } ( \bar { \Lambda } , \Lambda ) \prod _ { l = 1 } ^ { 3 } \delta ( \alpha _ { l } ^ { - 1 } \sigma _ { l } \gamma \tau _ { l } ^ { - 1 } ) \, .
\left[ \operatorname* { m a x } \left( 0 , \operatorname* { m i n } \left( A \right) \right) , \operatorname* { m a x } \left( \left| \operatorname* { m a x } \left( A \right) \right| , \left| \operatorname* { m i n } \left( A \right) \right| \right) \right]
\begin{array} { r l } { P ( x _ { 2 } ) - P ( x _ { 1 } ) } & { = - G ( x _ { 2 } ) f _ { + } ^ { \prime } ( x _ { 2 } ) + G ( x _ { 1 } ) f _ { + } ^ { \prime } ( x _ { 1 } ) + [ \int _ { x _ { 1 } } ^ { x _ { 2 } } \tilde { G } ( t ) f _ { + } ^ { \prime } ( t ) d t ] } \\ & { = - G ( x _ { 2 } ) f _ { + } ^ { \prime } ( x _ { 2 } ) + G ( x _ { 1 } ) f _ { + } ^ { \prime } ( x _ { 1 } ) + f _ { + } ^ { \prime } ( x _ { 2 } ) ( G ( x _ { 2 } ) - G ( x _ { 1 } ) ) } \\ & { = G ( x _ { 1 } ) ( f _ { + } ^ { \prime } ( x _ { 1 } ) - f _ { + } ^ { \prime } ( x _ { 2 } ) ) \leq 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 } & { \geq - \int _ { M } \Delta u _ { k } \psi } \\ & { = \int _ { M } g ( \nabla u _ { k } , \nabla \psi ) } \\ & { = ( s - 1 ) \int _ { M } \varphi ^ { 2 } u _ { k } ^ { s - 2 } | \nabla u _ { k } | ^ { 2 } + 2 \int _ { M } \varphi u _ { k } ^ { s - 1 } g ( \nabla u _ { k } , \nabla \varphi ) } \\ & { \ge ( s - 1 - \varepsilon ) \int _ { M } \varphi ^ { 2 } u _ { k } ^ { s - 2 } | \nabla u _ { k } | ^ { 2 } - \varepsilon ^ { - 1 } \int _ { M } u _ { k } ^ { s } | \nabla \varphi | ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { l } { E ^ { * } = \frac { 1 2 ( \omega ^ { 2 } - \omega _ { b } ^ { 2 } ) ( \rho _ { i } H + m _ { a d d } ) } { H ^ { 3 } } \frac { L _ { b } } { 2 . 3 6 5 } } \\ { \omega _ { b } ^ { 2 } = \frac { \rho _ { w } g } { \rho _ { i } H + m _ { a d d } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega _ { 2 } ( f _ { 1 } , \dots , f _ { n } ) } & { = \left( \begin{array} { l } { g _ { 1 } } \\ { 0 } \end{array} \right) \wedge \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { h _ { 1 } } \end{array} \right) \wedge \dots \wedge \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { h _ { n - 1 } } \end{array} \right) \wedge \tilde { \sigma } _ { 1 } \wedge \dots \wedge \tilde { \sigma } _ { n } } \\ & { = g _ { 1 } \wedge ( M h _ { 1 } ) \wedge \dots \wedge ( M h _ { n - 1 } ) e _ { n + 1 } \dots \wedge e _ { 2 n } , } \end{array}
\left\langle T _ { 1 1 } ( \vec { x } ) \right\rangle = - \frac { 1 } { 3 2 \pi ^ { 2 } } F _ { 0 } ( \vec { x } ) - \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \left( D _ { 1 } ( \vec { x } ) - D _ { 2 } ( \vec { x } ) \right) + \frac { 1 } { 6 4 \pi ^ { 2 } } \left( F _ { 1 } ( \vec { x } ) - F _ { 2 } ( \vec { x } ) \right)
\Sigma _ { n } = \left[ \begin{array} { c c c c c } { 2 } & { - 1 } & & & \\ { - 1 } & { 2 } & { - 1 } & & \\ & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & \\ & & { - 1 } & { 2 } & { - 1 } \\ & & & { - 1 } & { 2 } \end{array} \right] , \quad \mathrm { w i t h } \quad \left( \Sigma _ { n } ^ { - 1 } \right) _ { i j } = \left\{ \begin{array} { l c l } { \frac { 1 } { n + 1 } ( n - i + 1 ) j , } & & { \mathrm { ~ i f ~ j \leq ~ i ~ } } \\ { \frac { 1 } { n + 1 } i ( n - j + 1 ) , } & & { \mathrm { ~ o t h e r w i s e . } } \end{array} \right.
u _ { \mathrm { ~ 4 ~ t ~ h ~ o ~ r ~ d ~ e ~ r ~ } } ^ { ( i + 1 ) } = u ^ { ( i ) } \mp \left( \frac { 2 8 2 5 } { 2 7 , 6 4 8 } \frac { 1 } { \hat { \rho } _ { 1 } \hat { c } _ { 1 } } + \frac { 1 8 , 5 7 5 } { 4 8 , 3 8 4 } \frac { 1 } { \hat { \rho } _ { 3 } \hat { c } _ { 3 } } + \frac { 1 3 , 5 2 5 } { 5 5 , 2 9 6 } \frac { 1 } { \hat { \rho } _ { 4 } \hat { c } _ { 4 } } + \frac { 2 7 7 } { 1 4 , 3 3 6 } \frac { 1 } { \hat { \rho } _ { 5 } \hat { c } _ { 5 } } + \frac { 1 } { 4 } \frac { 1 } { \hat { \rho } _ { 6 } \hat { c } _ { 6 } } \right) \Delta p ^ { ( i ) } .
{ \begin{array} { c c c } & { \left[ 5 , 1 2 , 1 3 \right] } & \\ { A } & { B } & { C } \\ { \left[ 4 5 , 2 8 , 5 3 \right] } & { \left[ 5 5 , 4 8 , 7 3 \right] } & { \left[ 7 , 2 4 , 2 5 \right] } \end{array} } \quad \quad \quad \quad \quad \quad { \begin{array} { c c c } { } & { \left[ 5 , 1 2 , 1 3 \right] } & { } \\ { A ^ { \prime } } & { B ^ { \prime } } & { C ^ { \prime } } \\ { \left[ 9 , 4 0 , 4 1 \right] } & { \left[ 3 5 , 1 2 , 3 7 \right] } & { \left[ 1 1 , 6 0 , 6 1 \right] } \end{array} }
\begin{array} { r } { J ( \boldsymbol { y } ) = \sum _ { \textrm { e x p e r i m e n t s } } \sum _ { n = 0 } ^ { 2 } \sum _ { j = 0 } ^ { N _ { \mathrm { T } } } \left( \hat { P } _ { n } ( j \Delta t ; \boldsymbol { y } ) - P _ { n } ( j \Delta t ) \right) ^ { 2 } \Delta t _ { e } , } \end{array}
Q \; \approx \; \frac { I } { \rho \frac { q } { m } } \; \approx \; \frac { 3 2 \pi K \gamma ^ { 2 } } { \rho \frac { q } { m } \varepsilon _ { 0 } ^ { 2 } E ^ { * ^ { 3 } } } \frac { \varepsilon } { ( \varepsilon - 1 ) ^ { 2 } } .
\langle X ^ { \delta } ( \tau ) X ^ { \delta } ( \tau + T ) \rangle = \alpha \delta \frac { \alpha - 1 } { 2 T ^ { 1 - \alpha } } \mathrm { B } \left( \frac { \delta } { T } ; \frac { \alpha + 1 } { 2 } , 1 - \alpha \right)
i \hbar \dot { \psi } = \hat { H } _ { P } \psi , \qquad \hat { H } _ { P } = - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m _ { e } } [ \vec { \nabla } - \frac { i e } { \hbar } \vec { A } ] ^ { 2 } + \mu \vec { B } \cdot \vec { \sigma } + e \Phi = \hat { H } _ { S } ~ I + \mu \vec { B } \cdot \vec { \sigma }
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { \lambda \geq 1 } \alpha ( \lambda ) } & { = \frac { p _ { 1 } } { p _ { 1 } + p _ { 2 } } , \ } \\ { \mathrm { a n d } \quad \operatorname* { i n f } _ { \lambda \geq 1 } \alpha ( \lambda ) } & { = \frac { p _ { 1 } } { p _ { 1 } + p _ { 2 } } - \frac { p _ { 2 } } { p _ { 1 } + p _ { 2 } } \operatorname* { l i m } _ { \lambda \to \infty } \alpha _ { 1 } ( \lambda ) } \\ & { = \frac { p _ { 1 } } { p _ { 1 } + p _ { 2 } } - \frac { p _ { 2 } } { p _ { 1 } + p _ { 2 } } \operatorname* { l i m } _ { \lambda \to \infty } \frac { ( \lambda - 1 ) \, \int _ { 0 } ^ { 1 } h _ { 1 } \left( \frac { c _ { 0 , 1 } t } { c _ { 0 , 2 } \lambda } \right) \, ( 1 - t ) \, f _ { Z } \left( \frac { c _ { 0 , 1 } t } { c _ { 0 , 2 } \lambda } \right) d t } { c _ { 0 , 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } h _ { 2 } \left( \frac { c _ { 0 , 1 } t } { c _ { 0 , 2 } \lambda } \right) ( 1 - t ) ^ { 2 } \, f _ { Z } \left( \frac { c _ { 0 , 1 } t } { c _ { 0 , 2 } \lambda } \right) d t } } \\ & { = - \infty . } \end{array}
r _ { 0 } = \sqrt { 2 M ^ { 2 } - ( { Q _ { e } } ^ { 2 } e ^ { 2 \phi _ { 0 } } + { Q _ { m } } ^ { 2 } e ^ { - 2 \phi _ { 0 } } ) } = \sqrt { 2 | Q _ { e } | | Q _ { m } | } ~ ~ .
\begin{array} { r l } { E ^ { W } = } & { \; e ^ { \alpha \hat { \tau } } v _ { j , 0 } ^ { Y } - m ^ { P } ( z ) ^ { - 1 } m ^ { P } ( 0 ) ( e ^ { \alpha \hat { \tau } } v _ { j , 0 } ^ { Y } ) m ^ { P } ( 0 ) ^ { - 1 } m ^ { P } ( z ) } \\ { = } & { \; e ^ { \alpha \hat { \tau } } v _ { j , 0 } ^ { Y } - \Big ( m ^ { P } ( 0 ) + z \partial _ { z } m ^ { P } ( 0 ) \Big ) ^ { - 1 } m ^ { P } ( 0 ) ( e ^ { \alpha \hat { \tau } } v _ { j , 0 } ^ { Y } ) m ^ { P } ( 0 ) ^ { - 1 } \Big ( m ^ { P } ( 0 ) + z \partial _ { z } m ^ { P } ( 0 ) \Big ) + O ( z ^ { 2 } ) } \\ { = } & { \; e ^ { \alpha \hat { \tau } } v _ { j , 0 } ^ { Y } - \Big ( I - z m ^ { P } ( 0 ) ^ { - 1 } \partial _ { z } m ^ { P } ( 0 ) \Big ) ( e ^ { \alpha \hat { \tau } } v _ { j , 0 } ^ { Y } ) \Big ( I + z m ^ { P } ( 0 ) ^ { - 1 } \partial _ { z } m ^ { P } ( 0 ) \Big ) + O ( z ^ { 2 } ) } \\ { = } & { \; z E _ { 1 } ^ { W } + O ( z ^ { 2 } ) , \qquad z \in Y _ { 5 } \cup Y _ { 7 } , } \end{array}
\lambda = \pm \sqrt { \frac { c _ { 2 } + ( 1 1 + \frac { n ( n ^ { 2 } - 1 ) } { 2 4 } + \frac { 3 n ( 1 2 - n ) } { 2 } ) c _ { 1 } ^ { 2 } } { 6 n ( 1 2 - n ) } }
\langle 0 | 0 \rangle _ { S } = \exp { \left( - { \frac { 1 } { 2 } } \int d x ~ d x ^ { \prime } \left[ S _ { [ \mu \nu ] \lambda } ( x ) \Delta ( x - x ^ { \prime } ) S _ { [ \mu \nu ] \lambda } ( x ^ { \prime } ) + { \frac { 2 } { 3 - N } } S _ { [ \mu \alpha ] \alpha } ( x ) \Delta ( x - x ^ { \prime } ) S _ { [ \mu \beta ] \beta } ( x ^ { \prime } ) \right] \right) }
\begin{array} { r } { \left| \frac { \partial S } { \partial \mathbf { x } } \right| = \sqrt { \left( \frac { \partial S } { \partial r } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { 1 } { r } \frac { \partial S } { \partial \theta } \right) ^ { 2 } } = \sqrt { q _ { r } ^ { 2 } ( r ) + \left( \frac { q _ { \theta } } { r } \right) ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \psi _ { \mathrm { t } } } ( s ) = } & { { } 1 - \, _ { 2 } F _ { 1 } \left[ 1 , \alpha , \alpha + 1 , - \gamma _ { \mathrm { r t } } ( F ) / s \right] } \\ { \sim } & { { } 1 - \frac { \pi \alpha } { \sin \pi \alpha } \left( \frac { s } { \gamma _ { \mathrm { r t } } ( F ) } \right) ^ { \alpha } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lVert t ^ { 1 - \theta } \mathring { \mathbb { A } } _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } e ^ { - t { \mathbb { A } } _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } } f \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } } & { \lesssim _ { p , n , s } t ^ { - \theta } \lVert a \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } + t ^ { 1 - \theta } \lVert { \Delta } _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } b \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \mathrm { . ~ } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { D } \left( P _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ s ~ s ~ } } \Vert P _ { \mathrm { ~ f ~ r ~ e ~ e ~ } } \right) = \Delta S - \frac { \Delta U } { T _ { \mathrm { ~ f ~ r ~ e ~ e ~ } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { R e } V _ { 2 } } & { = - \mathcal { A } \cdot m ^ { - 1 } \cdot \mathcal { A } + \mathcal { B } \cdot m ^ { - 1 } \cdot \mathcal { B } , } \\ { \operatorname { I m } V _ { 2 } } & { = - \mathcal { A } \cdot m ^ { - 1 } \cdot \mathcal { B } - \mathcal { B } \cdot m ^ { - 1 } \cdot \mathcal { A } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { \chi } _ { 0 } ( \boldsymbol { x } ) } & { { } = - \frac { 3 } { 2 } \Theta \int _ { 0 } ^ { \infty } d y f _ { 0 } ( y ; \Theta ) \displaystyle \sum _ { \nu = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { 2 \nu + 1 } \left( \frac { x } { 2 y } \right) ^ { 2 \nu } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { d \partial _ { z } v ^ { 1 } = - \theta _ { \rho } ( \| u ^ { 1 } \| _ { s - 2 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v ^ { 1 } - \partial _ { z } v _ { 0 } ^ { 1 } \| _ { L ^ { \infty } } ) ( \partial _ { z } u ^ { 1 } \partial _ { x } v ^ { 1 } + u ^ { 1 } \partial _ { x z } v ^ { 1 } + \partial _ { z } w ^ { 1 } \partial _ { z } v ^ { 1 } + w ^ { 1 } \partial _ { z z } v ^ { 1 } - \nu \partial _ { z z } \partial _ { z } v ^ { 1 } ) d t } \\ & { + \theta _ { \rho } ( \| u ^ { 1 } \| _ { s - 2 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v ^ { 1 } - \partial _ { z } v _ { 0 } ^ { 1 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \partial _ { z z } \sigma ( u ^ { 1 } ) d W : = B _ { 1 } d t + B _ { 2 } d W . } \end{array}
\langle s _ { z } \rangle _ { \beta \to \infty } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \quad Q < Q _ { \mathrm { c r i t } } ^ { \mathrm { O R } } } \\ { Q _ { \mathrm { c r i t } } ^ { \mathrm { O R } } / Q } & { \quad Q \geq Q _ { \mathrm { c r i t } } ^ { \mathrm { O R } } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \dot { x } _ { i } } & { { } = \sum _ { j = 1 } ^ { N } M _ { i j } ( x _ { j } - x _ { i } ) + \sigma _ { i } ( u _ { i } - x _ { i } ^ { p } ) x _ { i } , \ \ \sigma _ { i } \in [ 0 , \infty ] , } \\ { x _ { i 0 } } & { { } = x _ { i } ( 0 ) , \ \ i = 1 , . . . , N , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varphi ( v , X w ) } & { = ( - 1 ) ^ { \bar { X } \bar { v } } \varphi ( X ^ { \dagger } v , w ) } \\ & { = ( - 1 ) ^ { \bar { X } ( \bar { v } + \bar { w } ) + \bar { v } \bar { w } } \varphi ( w , X ^ { \dagger } v ) ^ { \star } } \\ & { = ( - 1 ) ^ { ( \bar { X } + \bar { w } ) \bar { v } } \varphi ( ( X ^ { \dagger } ) ^ { \dagger } w , v ) ^ { \star } } \\ & { = \varphi ( v , ( X ^ { \dagger } ) ^ { \dagger } w ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \textup { T w o s t e p H P O } } { \textup { ( T r a d i t i o n a l ) o n e s t e p H P O } } } & { = \frac { \textup { S t e p 1 H P O + S t e p 2 H P O } } { \textup { ( T r a d i t i o n a l ) o n e s t e p H P O } } } \\ & { \approx \frac { p _ { s u b s e t } \cdot X + ( p _ { r e t r a i n } \cdot n _ { t r i a l s } ) \cdot \bar { x } } { X } } \\ & { = p _ { s u b s e t } + p _ { r e t r a i n } , } \end{array}