harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\int _ { f _ { \mathrm { c } } ^ { h } - R _ { s } / 2 } ^ { f _ { \mathrm { c } } ^ { h } + R _ { s } / 2 } \int _ { f _ { \mathrm { c } } ^ { h } - R _ { s } / 2 } ^ { f _ { \mathrm { c } } ^ { h } + R _ { s } / 2 } \int _ { f _ { \mathrm { c } } ^ { h } - R _ { s } / 2 } ^ { f _ { \mathrm { c } } ^ { h } + R _ { s } / 2 } | P _ { \mathrm { I N T } _ { 1 } } ( f _ { 1 } ) | ^ { 2 } P _ { \mathrm { I N T } _ { h } } ( f _ { 2 } ) P _ { \mathrm { I N T } _ { h } } ^ { \ast } ( f _ { 2 } ^ { \prime } ) P _ { \mathrm { I N T } _ { h } } ( f - f _ { 1 } + f _ { 2 } ) P _ { \mathrm { I N T } _ { h } } ^ { \ast } ( f - f _ { 1 } + f _ { 2 } ^ { \prime } )
\begin{array} { r l } { | ( b ( y ) - b _ { B } ) I _ { \gamma } f _ { 2 } ( y ) | } & { \lesssim | ( b ( y ) - b _ { B } ) | \int _ { 2 B ^ { c } } \frac { | f ( z ) | } { | x - z | ^ { n - \gamma } } d z } \\ & { \lesssim | ( b ( y ) - b _ { B } ) | \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } | 2 ^ { j + 1 } B | ^ { \frac { \gamma } { n } - 1 } \int _ { 2 ^ { j + 1 } B \backslash 2 ^ { j } B } | f ( z ) | d z } \\ & { \lesssim | ( b ( y ) - b _ { B } ) | \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } | 2 ^ { j + 1 } B | ^ { \frac { \gamma } { n } - 1 } \| f \chi _ { 2 ^ { j + 1 } B } \| _ { L ^ { p _ { 1 } ( \cdot ) } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } \| \chi _ { 2 ^ { j + 1 } B } \| _ { L ^ { p _ { 1 } ^ { \prime } ( \cdot ) } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } . } \\ { | I _ { \gamma } \left( ( b ( y ) - b _ { B } ) f _ { 2 } \right) ( y ) | } & { \lesssim \int _ { 2 B ^ { c } } \frac { | f ( z ) | | ( b ( y ) - b _ { B } ) | } { | x - z | ^ { n - \gamma } } d z } \\ & { \lesssim \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } | 2 ^ { j + 1 } B | ^ { \frac { \gamma } { n } - 1 } \int _ { 2 ^ { j + 1 } B \backslash 2 ^ { j } B } | f ( z ) | | ( b ( y ) - b _ { B } ) | d z } \\ & { \lesssim \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } | 2 ^ { j + 1 } B | ^ { \frac { \gamma } { n } - 1 } \| f \chi _ { 2 ^ { j + 1 } B } \| _ { L ^ { p _ { 1 } ( \cdot ) } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } \| ( b ( y ) - b _ { B } ) \chi _ { 2 ^ { j + 1 } B } \| _ { L ^ { p _ { 1 } ^ { \prime } ( \cdot ) } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { j , k } } & { = - \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 N - 3 } } \partial _ { x _ { j } } ^ { \alpha } | x - x _ { j } | \partial _ { x _ { k } } ^ { \beta + m } | y - x _ { k } | \partial _ { x _ { j } } ^ { l } \big ( \psi ( x , \mathbf { \hat { x } } ) \psi ( y , \mathbf { \hat { x } } ) \Phi ( x , y , \mathbf { \hat { x } } ) \big ) \, d \mathbf { \hat { x } } } \end{array}
I _ { c s } = \frac { 1 } { 4 \pi } T r \int _ { M } \left[ \frac { 1 } { a _ { + } } A ^ { + } \wedge \left( d A ^ { + } + \frac { 2 } { 3 } A ^ { + } \wedge A ^ { + } \right) + \frac { 1 } { a _ { - } } A ^ { - } \wedge \left( d A ^ { - } + \frac { 2 } { 3 } A ^ { - } \wedge A ^ { - } \right) \right]
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } u _ { y } + u _ { x } \partial _ { x } u _ { y } } & { { } = 0 , } \\ { \left[ \frac { c _ { s } ^ { + } - u _ { x } } { \rho } \partial _ { t } \rho + \partial _ { t } u _ { x } \right] + c _ { s } ^ { + } \left[ \frac { c _ { s } ^ { + } - u _ { x } } { \rho } \partial _ { x } \rho + \partial _ { x } u _ { x } \right] } & { { } = 0 , } \\ { \left[ \frac { c _ { s } ^ { - } - u _ { x } } { \rho } \partial _ { t } \rho + \partial _ { t } u _ { x } \right] + c _ { s } ^ { - } \left[ \frac { c _ { s } ^ { - } - u _ { x } } { \rho } \partial _ { x } \rho + \partial _ { x } u _ { x } \right] } & { { } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { n R } & { = \log \Theta - n \epsilon \geq H ( M ) - n \epsilon \geq I ( X ^ { n } , M ) - n \epsilon } \\ & { \overset { a } { \geq } I ( X ^ { n } , \hat { X } ^ { n } ) - n \epsilon } \\ & { \overset { \geq } \sum _ { i } H ( X _ { i } ) - \sum _ { i } H ( X _ { i } | \hat { X } _ { i } ) - n \epsilon } \\ & { = \sum _ { i } I ( X _ { i } ; \hat { X } _ { i } ) - n \epsilon } \\ & { \overset { b } { \geq } n I ( X _ { Q } ; \hat { X } _ { Q } ) - n \epsilon } \\ & { \overset { c } { = } n I ( P _ { \hat { X } _ { Q } } , P _ { X _ { Q } | \hat { X } _ { Q } } ) - n \epsilon } \\ & { \overset { d } { \geq } n I ( P _ { \hat { X } _ { Q } } , { W } _ { X | \hat { X } } ) - n \Tilde { \epsilon } ( \epsilon ) - n \epsilon , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \alpha \beta ( \alpha - \beta ) \lambda _ { 2 } ^ { f } } & { = } & { 2 ( 3 \alpha ^ { 2 } - 4 \alpha \beta - \alpha + 2 \beta ) ( \lambda _ { 1 } ^ { f } ) ^ { 2 } + 2 \alpha ( \alpha - 1 ) \lambda _ { 1 } \lambda _ { 1 } ^ { f } } \\ & { + } & { 2 \alpha ( - 2 \alpha - 2 \beta + 1 ) ( \alpha - \beta ) \lambda _ { 1 } ^ { f } - 4 \beta ( \alpha - 1 ) ( \alpha - \beta ) \lambda _ { 1 } } \\ & { + } & { \beta ( \alpha - \beta ) ( 4 \alpha ^ { 2 } - 3 \alpha + 2 \beta ) . } \end{array}
T ^ { \mu \nu } \sqrt { - g } = \mu \int d ^ { 2 } \zeta \sqrt { - \gamma } \gamma ^ { a b } x _ { , a } ^ { \mu } x _ { , b } ^ { \nu } \delta ^ { ( 4 ) } ( x ^ { \sigma } - x ^ { \sigma } ( \zeta ^ { a } ) ) ~ .
\begin{array} { l l } { { z _ { 1 } = \cot \omega \cos \frac { \theta } { 2 } e ^ { i \frac { \psi + \phi } { 2 } } } } \\ { { z _ { 2 } = \cot \omega \sin \frac { \theta } { 2 } e ^ { i \frac { \psi - \phi } { 2 } } } } \end{array}
\begin{array} { l c l l } { { \mathrm { f l o o r } } } & { { \mathrm { S U ( 2 / 1 ) } } } & { { \mathrm { f i e l d } } } & { { \mathrm { h e l i c i t y } } } \\ { { \mid \mathrm { g n d } > } } & { { ( 0 ~ - \frac { 7 } { 2 } ) } } & { { e _ { \mu } ^ { a } } } & { { + 2 } } \\ { { \mid \mathrm { 1 s t } > } } & { { ( 1 ~ - \frac { 7 } { 2 } ) } } & { { 2 \Psi _ { \mu } } } & { { + \frac { 3 } { 2 } } } \\ { { \mid \mathrm { 2 n d } > } } & { { ( 0 ~ - \frac { 5 } { 2 } ) } } & { { A _ { \mu } } } & { { + 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathbf { k } } _ { \mathrm { u } } ^ { d } ( B _ { \sigma _ { 0 } } ) } & { = \sum _ { ( { \mathbf { M } } , \mu ) } { \mathbf { k } } _ { \mathrm { u } } ^ { d } ( B _ { \sigma _ { 0 } } , ( { \mathbf { M } } , \mu ) ) } \\ & { = \sum _ { ( { \mathbf { M } } , \mu ) } \left| \mathrm { I r r } ^ { d } ( B ) \cap { \mathcal { E } } ( { \mathbf { G } } ^ { F } , ( { \mathbf { M } } , \mu ) ) \right| } \\ & { = { \mathbf { k } } _ { \mathrm { u } } ^ { d } ( B ) - { \mathbf { k } } _ { \mathrm { c , u } } ^ { d } ( B ) } \end{array}
\begin{array} { r } { w _ { 0 } ( x ) = 1 + O ( x ) , \, \, \, w _ { 2 } ( x ) = - \sum K _ { k l } \big ( \frac { 1 } { 2 \pi i } \big ) ^ { 2 } ( \log x _ { k } ) ( \log x _ { l } ) w _ { 0 } ( x ) + \cdots } \\ { w _ { k } ^ { ( 1 ) } ( x ) = \frac { 1 } { 2 \pi i } ( \log x _ { k } ) w _ { 0 } ( x ) + O ( x ) , \qquad \qquad \qquad \qquad } \end{array}
\Gamma _ { W Z } ( g ) = { \frac { 1 } { 3 } } \int d ^ { 3 } x \epsilon ^ { i j k } t r \left[ g ^ { - 1 } \partial _ { i } g \; g ^ { - 1 } \partial _ { j } g \; g ^ { - 1 } \partial _ { k } g \right]
\begin{array} { r l } { { \frac { d } { d t } } \left( { \frac { \partial L } { \partial { \dot { \mathbf { q } } } } } { \frac { \partial \varphi } { \partial \mathbf { q } } } { \dot { \mathbf { q } } } T \right) } & { { } = \left( { \frac { d } { d t } } { \frac { \partial L } { \partial { \dot { \mathbf { q } } } } } \right) { \frac { \partial \varphi } { \partial \mathbf { q } } } { \dot { \mathbf { q } } } T + { \frac { \partial L } { \partial { \dot { \mathbf { q } } } } } \left( { \frac { d } { d t } } { \frac { \partial \varphi } { \partial \mathbf { q } } } \right) { \dot { \mathbf { q } } } T + { \frac { \partial L } { \partial { \dot { \mathbf { q } } } } } { \frac { \partial \varphi } { \partial \mathbf { q } } } { \ddot { \mathbf { q } } } \, T } \end{array}
\begin{array} { r l r } { Y ( \Delta t ) } & { { } \equiv } & { \langle \Delta v _ { L } ( | \Delta \mathbf { v } | ^ { 2 } + | \Delta \mathbf { b } | ^ { 2 } ) - 2 \Delta b _ { L } ( \Delta \mathbf { v } \cdot \Delta \mathbf { b } ) \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } & { g ( \boldsymbol { \xi } ) = \delta _ { i j } - \left[ \operatorname { t a n h } ( \tau \boldsymbol { \xi } ) \operatorname { t a n h } ( \tau \boldsymbol { \xi } ) ^ { \top } \right] _ { i j } } \\ & { = \left[ \begin{array} { l l l } { 1 - \operatorname { t a n h } ( \tau \xi _ { 1 } ) \operatorname { t a n h } ( \tau \xi _ { 1 } ) } & { \cdots } & { - \operatorname { t a n h } ( \tau \xi _ { 1 } ) \operatorname { t a n h } ( \tau \xi _ { n } ) } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { - \operatorname { t a n h } ( \tau \xi _ { n } ) \operatorname { t a n h } ( \tau \xi _ { 1 } ) } & { \cdots } & { 1 - \operatorname { t a n h } ( \tau \xi _ { n } ) \operatorname { t a n h } ( \tau \xi _ { n } ) } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { \pm , \mu \nu } ^ { N H } = } & { \frac { 1 } { 2 } \Big ( Q _ { \pm , \mu \nu } ^ { L R } + Q _ { \pm , \mu \nu } ^ { R L } \Big ) } \\ { = } & { \frac { 1 } { 2 } \Big ( \langle \partial _ { \mu } \psi _ { n } ^ { L } | \partial _ { \nu } \psi _ { n } ^ { R } \rangle - \langle \partial _ { \mu } \psi _ { n } ^ { L } | \psi _ { n } ^ { R } \rangle \langle \psi _ { n } ^ { L } | \partial _ { \nu } \psi _ { n } ^ { R } \rangle + \langle \partial _ { \mu } \psi _ { n } ^ { R } | \partial _ { \nu } \psi _ { n } ^ { L } \rangle - \langle \partial _ { \mu } \psi _ { n } ^ { R } | \psi _ { n } ^ { L } \rangle \langle \psi _ { n } ^ { R } | \partial _ { \nu } \psi _ { n } ^ { L } \rangle \Big ) } \\ { \Omega _ { \pm } ^ { z , N H } = } & { \frac { 1 } { 2 } \Big ( \Omega _ { \pm } ^ { z , L R } + \Omega _ { \pm } ^ { z , R L } \Big ) } \\ { = } & { \frac { 1 } { 2 } \Big ( i \langle \partial _ { k _ { x } } \psi _ { n } ^ { L } | \partial _ { k _ { y } } \psi _ { n } ^ { R } \rangle - i \langle \partial _ { k _ { y } } \psi _ { n } ^ { L } | \partial _ { k _ { x } } \psi _ { n } ^ { R } \rangle + i \langle \partial _ { k _ { x } } \psi _ { n } ^ { R } | \partial _ { k _ { y } } \psi _ { n } ^ { L } \rangle - i \langle \partial _ { k _ { y } } \psi _ { n } ^ { R } | \partial _ { k _ { x } } \psi _ { n } ^ { L } \rangle \Big ) } \end{array}
( { 1 _ { - } 2 _ { - } } ) \equiv ( g _ { 1 } ) _ { - } { } ^ { i } \epsilon _ { i j } ( g _ { 2 } ) _ { - } { } ^ { j } = e ^ { - i { ( \phi _ { 1 } + \phi _ { 2 } ) / 2 } } \frac { \tau _ { 1 } - \tau _ { 2 } } { \sqrt { ( 1 + | \tau _ { 1 } | ^ { 2 } ) ( 1 + | \tau _ { 2 } | ^ { 2 } ) } }
\begin{array} { r l } & { \nabla _ { h } \Delta _ { h } \tilde { \phi } ^ { n + 1 } = \varepsilon ^ { - 2 } ( \nabla _ { h } { \cal L } ^ { n + 1 } - \nabla _ { h } \tilde { \mu } ^ { n + 1 } ) , } \\ & { ( \tilde { \boldsymbol { u } } ^ { n + 1 } , A _ { h } \phi ^ { n } \nabla _ { h } { \cal L } ^ { n + 1 } ) \ge - \| \tilde { \boldsymbol { u } } ^ { n + 1 } \| _ { 2 } \cdot \| \phi ^ { n } \| _ { \infty } \cdot \| \nabla _ { h } { \cal L } ^ { n + 1 } \| _ { 2 } } \\ { \ge } & { - \| \tilde { \boldsymbol { u } } ^ { n + 1 } \| _ { 2 } \cdot \| \nabla _ { h } { \cal L } ^ { n + 1 } \| _ { 2 } \ge - \frac { 1 } { 4 \gamma } \| \tilde { \boldsymbol { u } } ^ { n + 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } - \gamma \| \nabla _ { h } { \cal L } ^ { n + 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } . } \end{array}
\vec { { ^ P } \omega _ { P } } = \left[ \begin{array} { l l l l l } { \dot { \beta } + \dot { \theta } } & { } & { \dot { \phi } \, \cos ( \beta + \theta ) } & { } & { - \dot { \phi } \, \sin ( \beta + \theta ) } \end{array} \right] ^ { \intercal } { }
\frac { d N _ { X } } { d m _ { \bot } } = \left. \frac { d N _ { X } } { d m _ { \bot } } \right| _ { \mathrm { d i r e c t } } + \sum _ { \forall R \rightarrow X + 2 + \cdots } \left. \frac { d N _ { X } } { d m _ { \bot } } \right| _ { R \rightarrow X + 2 + \cdots } .
\begin{array} { r l } & { \underset { u _ { i } , \phi _ { i } } { \mathrm { m i n i m i z e } } \quad \Pi _ { T } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \Pi _ { i } ( u _ { i } , \phi _ { i } ) . } \\ & { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } \quad \sum _ { i = 1 } ^ { N } u _ { i } = u _ { T } , \qquad \sum _ { i = 1 } ^ { N } \phi _ { i } = \phi _ { T } , \qquad u _ { i } ^ { m i n } \leq u _ { i } \leq u _ { i } ^ { m a x } , \qquad \phi _ { i } ^ { m i n } \leq \phi _ { i } \leq \phi _ { i } ^ { m a x } . } \end{array}
I ( \mu ^ { 2 } ) = - \mathrm { T r } _ { - } \left( \Gamma _ { 7 } \frac { \mu ^ { 2 } } { - ( \Gamma \cdot \Delta ) ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } } \right) = - \mathrm { T r } \left( P _ { - } \Gamma _ { 7 } \frac { \mu ^ { 2 } } { - ( \Gamma \cdot \Delta ) ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } } \right)
\begin{array} { r } { J = \frac 1 { 4 s ^ { 2 } } \left( \begin{array} { c c } { 4 B ( 2 x + L ) } & { \left( 2 x + L \right) ^ { 2 } } \\ { 4 B ( 2 x - L ) } & { \left( 2 x - L \right) ^ { 2 } } \end{array} \right) . } \end{array}
\Delta E _ { i } ^ { \mathrm { ~ K ~ o ~ o ~ p ~ m ~ a ~ n ~ s ~ } } = \left\{ \begin{array} { l l } { E ^ { \mathrm { ~ K ~ o ~ o ~ p ~ m ~ a ~ n ~ s ~ } } ( N ) - E _ { i } ^ { \mathrm { ~ K ~ o ~ o ~ p ~ m ~ a ~ n ~ s ~ } } ( N - 1 ) } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ o ~ c ~ c ~ u ~ p ~ i ~ e ~ d ~ o ~ r ~ b ~ i ~ t ~ a ~ l ~ s ~ } } \\ { E _ { i } ^ { \mathrm { ~ K ~ o ~ o ~ p ~ m ~ a ~ n ~ s ~ } } ( N + 1 ) - E ^ { \mathrm { ~ K ~ o ~ o ~ p ~ m ~ a ~ n ~ s ~ } } ( N ) } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ e ~ m ~ p ~ t ~ y ~ o ~ r ~ b ~ i ~ t ~ a ~ l ~ s ~ } } \end{array} \right.
+ 2 \Re \{ 2 \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } ^ { \ast } \} \mathbb { E } \{ | b _ { \mathrm { x } } | ^ { 2 } \} \mathbb { E } \{ b _ { \mathrm { x } } ^ { \ast } b _ { \mathrm { y } } \} + \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } ^ { \ast } \} \mathbb { E } \{ | b _ { \mathrm { y } } | ^ { 2 } \} \mathbb { E } \{ b _ { \mathrm { x } } ^ { \ast } b _ { \mathrm { y } } \} \}
\begin{array} { r l } { \bigl [ \underset { \vphantom { \bigl [ } k } { \hat { A } } , \, \bigl [ \underset { \vphantom { \bigl [ } k - 1 } { \hat { A } } , \, \ldots \bigl [ \underset { \vphantom { \bigl [ } 2 } { \hat { A } } , \, \bigl [ \underset { \vphantom { \bigl [ } 1 } { \hat { A } } , \, \hat { B } \bigr ] \bigr ] \ldots \bigr ] \bigr ] } & { = \sum _ { n = 1 } ^ { M } \alpha _ { n } ^ { k } \hat { \phi } _ { n \nu } ^ { \dagger } , \qquad ( k = 1 , 2 , \ldots , D ) , } \end{array}
\tilde { E } _ { \mathrm { ~ L ~ } } ( \chi , \mathrm { ~ R ~ m ~ } ) = - \frac { k _ { 1 } } { s _ { 1 } } \frac { H _ { 2 } ^ { \mathrm { ~ M ~ } } } { u _ { \mathrm { ~ r ~ m ~ s ~ } } ^ { 2 } } + \frac { k _ { 1 } \Delta H } { s _ { 1 } u _ { \mathrm { ~ r ~ m ~ s ~ } } ^ { 2 } } .
i N _ { c } \int ^ { \mathrm { r e g } } \frac { d ^ { 4 } \ell } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \frac { \mathrm { T r } [ H \gamma \cdot ( \ell - k + m ) \bar { H } ] } { [ ( \ell - k ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } + i \epsilon ] [ v \cdot \ell + i \epsilon ] } = \mathrm { T r } [ \bar { H } \Pi _ { H } ( v \cdot k ) H ] .
\mathrm { e } ^ { - S _ { \mathrm { i n d } } \left( \Sigma \right) } = { \frac { 1 } { Z \left( B _ { \mu \nu } \right) } } \ \int { \cal D } B _ { \mu \nu } \ \mathrm { e } ^ { - S _ { C } \left( B _ { \mu \nu } \right) + i \int _ { \Sigma } d \sigma _ { \mu \nu } B _ { \mu \nu } }
\begin{array} { r l } { \left| \int _ { h t } ^ { t ^ { 2 } } \frac { f ( x ) \sin ( t \log x ) } { x ^ { 1 + \sigma } } \mathrm { d } x \right| } & { = \left| \int _ { h t } ^ { t ^ { 2 } } \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \frac { \sin ( t \log x ) \sin ( 2 \pi m x ) } { \pi m x ^ { 1 + \sigma } } \mathrm { d } x \right| } \\ & { \le \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \pi m } \left| \int _ { h t } ^ { t ^ { 2 } } \frac { \sin ( t \log x ) \sin ( 2 \pi m x ) } { x ^ { 1 + \sigma } } \mathrm { d } x \right| } \\ & { \le \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \pi m } \frac { 8 \pi m h t } { ( h t ) ^ { \sigma } ( 4 \pi ^ { 2 } m ^ { 2 } h ^ { 2 } t ^ { 2 } - t ^ { 2 } ) } } \\ & { = \frac { 8 h ^ { 1 - \sigma } } { t ^ { 1 + \sigma } } \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } m ^ { 2 } h ^ { 2 } - 1 } = \frac { 4 h ^ { 1 - \sigma } ( 1 - \frac { 1 } { 2 h } \cot ( \frac { 1 } { 2 h } ) ) } { t ^ { 1 + \sigma } } . } \end{array}
\int _ { | c | = 1 } { \frac { \mathrm { d } c } { \mathcal { N } } } \, \Theta _ { a } P _ { b } = { \frac { N \pi _ { N } - 1 } { N - 1 } } \, \delta _ { a b } - { \frac { \pi _ { N } - 1 } { N - 1 } } ,
\begin{array} { r l } { \frac { ( n + k - 2 ) ( n + 2 k - 4 ) } { n + k - 3 } \| \mathbf { X } _ { - } u \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } } & { - \frac { k ( n + 2 k ) } { k + 1 } \| \mathbf { X } _ { + } u \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + \| Z ( u ) \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } } \\ & { = \langle R \nabla _ { \mathbb { V } } ^ { E } u , \nabla _ { \mathbb { V } } ^ { E } u \rangle _ { L ^ { 2 } } + \langle \mathcal { F } ^ { E } u , \nabla _ { \mathbb { V } } ^ { E } u \rangle _ { L ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { m _ { d p } = m _ { i } + w c _ { i } \int _ { 0 } ^ { \tau _ { D _ { s } } \pi / 4 } d t \frac { \hat { \Gamma } _ { p } ( 1 - \chi ) } { \sqrt { \pi D _ { s } t } + \frac { \hat { \Gamma } _ { p } ( 1 - \chi ) \ell _ { 0 } } { D _ { p } } } . } \end{array}
V _ { \mathrm { 0 , e x p } } = \frac { c _ { \mathrm { E } } \left( 1 - c _ { \mathrm { I } } \right) } { 1 - c _ { \mathrm { I } } c _ { \mathrm { E } } } V _ { \mathrm { 0 , t a r g , e i } } + \frac { 1 - c _ { \mathrm { E } } } { 1 - c _ { \mathrm { I } } c _ { \mathrm { E } } } V _ { \mathrm { 0 , t a r g , e e } } ,
\begin{array} { r l } { \widehat { \eta } _ { \gamma ^ { * } } ( t ) - \eta ^ { * } ( t ) = } & { [ V ( t ) ] ^ { - 1 } \underbrace { F ( \eta ^ { * } ( t ) , \gamma ^ { * } ( t ) ) } _ { B _ { 3 1 } ( t ) } } \\ & { + [ V ( t ) ] ^ { - 1 } \underbrace { \Bigg [ \frac { 1 } { 2 n } \sum _ { k = 1 } ^ { 2 n - 1 } \big ( \widehat { \eta } _ { k , \gamma ^ { * } } ( t ) - \eta _ { k } ^ { * } ( t ) \big ) \frac { \partial F ( \bar { \eta } ( t ) , \gamma ^ { * } ( t ) ) } { \partial \eta _ { k } ( t ) \partial \eta ( t ) ^ { \top } } \big ( \widehat { \eta } _ { \gamma ^ { * } } ( t ) - \eta ^ { * } ( t ) \big ) \Bigg ] } _ { B _ { 3 2 } ( t ) } , } \end{array}
\widetilde { A } _ { T } = ( j ^ { 4 } l ^ { 2 } + j ^ { 4 } b ^ { 4 } l ^ { 2 } + 6 j ^ { 2 } b ^ { 2 } l ^ { 2 } + l ^ { 2 } + ( j ^ { 2 } + j ^ { 2 } b ^ { 2 } + 1 ) \lambda _ { R } ^ { 2 } ) A
\operatorname* { l i m } _ { m \to \infty } \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \mathcal { E } _ { m , n } ( u _ { \mathrm { m i n } ; m , n } ) = \underset { u \in \mathcal X } { \mathrm { m i n } } \, \mathcal { E } ( u ) .
\begin{array} { r l } { \rho _ { f } J \left( \partial _ { t } \hat { \mathbf { u } } + \hat { \nabla } \hat { \mathbf { u } } \mathbf { F } ^ { - 1 } \left( \hat { \mathbf { u } } - \partial _ { t } \hat { \mathbf { d } } _ { f } \right) \right) - \operatorname { d i v } \left( J \hat { \boldsymbol { \sigma } } \left( \hat { \mathbf { u } } , \hat { p } \right) \mathbf { F } ^ { - T } \right) } & { { } = J \rho _ { f } \vec { g } \quad } \\ { \operatorname { d i v } \left( J \mathbf { F } ^ { - 1 } \hat { \mathbf { u } } \right) } & { { } = 0 \quad } \end{array}
B _ { k } = \left( \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } \\ { - p _ { 1 2 } } & { 1 } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { \vdots } & { - p _ { 2 3 } } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { 1 } & { \vdots } \\ { - p _ { 1 k } } & { - p _ { 2 k } } & { \cdots } & { - p _ { k - 1 k } } & { 1 } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \Delta E _ { 2 8 D } = } & { { } - ( \frac { \Omega _ { D P } ^ { 2 } } { 4 ( E _ { P } - \nu _ { M W } ) } + \frac { \Omega _ { D P } ^ { 2 } } { 4 ( E _ { P } + \nu _ { M W } ) } ) } \end{array}
\mathbb { V } \left( A _ { \mathrm { ~ M ~ L ~ M ~ C ~ } } \right) = \sum _ { \ell = 0 } ^ { L } \mathbb { V } ( \widehat { Y } _ { \ell } ) = \sum _ { \ell = 0 } ^ { L } \mathbb { V } ( Y _ { \ell } ) / N _ { \ell }
\mathrm { R e } = 0 . 0 1 2 3 3 5 3 , \quad \mathrm { P e } _ { s } = 8 . 2 2 3 5 3 , \quad \mathrm { F r } = 0 . 0 0 0 1 2 4 6 0 5 , \quad \mathrm { S c } = 1 0 0 0 , \quad \frac { \mathrm { R e } } { \mathrm { F r ^ { 2 } } } = 7 9 4 4 6 8 .
\begin{array} { r l r } { a _ { 1 } ( t ) } & { { } \! \! = \! \! } & { \xi _ { 1 } ^ { 2 } + \dot { \xi } _ { 1 } ^ { 2 } + \ddot { \xi } _ { 1 } ^ { \, 2 } , } \\ { a _ { 2 } ( t ) } & { { } \! \! = \! \! } & { { \big ( \dot { \xi } _ { 1 } \ddot { \xi } _ { 2 } - \ddot { \xi } _ { 1 } \dot { \xi } _ { 2 } \big ) } ^ { 2 } + { \big ( \ddot { \xi } _ { 1 } \xi _ { 2 } - \xi _ { 1 } \ddot { \xi } _ { 2 } \big ) } ^ { 2 } + { \big ( \xi _ { 1 } \dot { \xi } _ { 2 } - \dot { \xi } _ { 1 } \xi _ { 2 } \big ) } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \hat { \varepsilon } _ { S } } { \partial \varepsilon } } & { = - \frac { \hat { \varepsilon } _ { S } + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } } { \left\vert \varepsilon + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } \right\vert \sqrt { 1 + \theta } } } \\ { \frac { 1 } { D V ^ { \ast } } \frac { \partial \bar { F } } { \partial \hat { \varepsilon } _ { S } } } & { = - \kappa _ { E } ( \varepsilon - \hat { \varepsilon } _ { S } ) - \frac { \kappa _ { S } T } { \hat { \varepsilon } _ { S } + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } } = 0 } \\ { \frac { 1 } { D V ^ { \ast } } \frac { \partial \bar { F } } { \partial \varepsilon } } & { = \kappa _ { E } ( \varepsilon - \hat { \varepsilon } _ { S } ) } \\ { \frac { 1 } { D V ^ { \ast } } \frac { \partial \bar { F } ^ { \prime \prime } } { \partial \hat { \varepsilon } _ { S } } } & { = - \frac { 2 \kappa _ { S } T } { ( \hat { \varepsilon } _ { S } + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } ) ^ { 3 } } } \\ { \frac { 1 } { D V ^ { \ast } } \frac { \partial \bar { F } ^ { \prime \prime } } { \partial \varepsilon } } & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( D _ { i } + * _ { g } ) ^ { \lambda _ { i } - 1 } g ( z _ { i } ) \Bigr | _ { z _ { i } = 0 } \approx } & { \Bigg ( \partial _ { i } + 2 ( M - 1 ) \theta d _ { i } + \Big [ \theta ( N - M + 1 ) - \frac { 1 } { 2 } \Big ] d _ { i } ^ { ' } \Bigg ) ^ { \lambda _ { i } - 1 } g ( z _ { i } ) \Bigr | _ { z _ { i } = 0 } } \\ { \xrightarrow [ M \theta \rightarrow \gamma ] { N \theta \rightarrow q \gamma } } & { \Bigg ( \partial _ { i } + 2 \gamma d _ { i } + \Big [ ( q - 1 ) \gamma - \frac { 1 } { 2 } \Big ] d _ { i } ^ { ' } + * _ { g } \Bigg ) ^ { \lambda _ { i } - 1 } g ( z _ { i } ) \Bigr | _ { z _ { i } = 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \widehat { v } _ { 2 } = \sum _ { n = 0 } ^ { N } a _ { n } T _ { n } \left( y ^ { \prime } \right) , \; \widehat { v } = \sum _ { n = 0 } ^ { N } b _ { n } T _ { n } \left( y ^ { \prime } \right) \; \textnormal { a n d } \; \widehat { v } _ { 1 } = \sum _ { n = 0 } ^ { N } c _ { n } T _ { n } \left( y ^ { \prime } \right) , } \end{array}
\bar { \mathcal { A } } ( \boldsymbol { w } , \boldsymbol { z } ) = \bar { \mathcal { A } } ( \bar { \mathcal { A } } ^ { - 1 } \widetilde { \boldsymbol { w } } , \boldsymbol { z } ) = ( \bar { \mathcal { A } } \bar { \mathcal { A } } ^ { - 1 } \widetilde { \boldsymbol { w } } ) ( \boldsymbol { z } ) = ( \boldsymbol { q } _ { \boldsymbol { h } } - \boldsymbol { q } , \boldsymbol { z } ) _ { \boldsymbol { { L } } ^ { 2 } ( \Omega ) } .
\langle { \cal A } \rangle = - \frac { \Gamma ( D / 2 ) } { 2 \pi ^ { 1 + D / 2 } } \int \frac { d k } { 2 \pi } \int \frac { d ^ { D + 1 } q } { ( q ^ { 2 } ) ^ { D / 2 } } \, \left\langle \frac { \partial } { \partial q } \cdot \frac { \partial } { \partial q } \, e ^ { i q \cdot \partial u + i k u } \right\rangle .
L = { \sqrt { - g } } \left[ { \frac { R } { 2 \kappa ^ { 2 } } } - { \frac { 4 } { ( D - 2 ) \kappa ^ { 2 } } } ( \nabla \phi ) ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 4 } } \ e ^ { - \alpha _ { e } \phi } F ^ { 2 } \right]
J _ { n } \left( \frac { r _ { 1 } r _ { 2 } } { t } \right) \sim \sqrt { \frac { 2 t } { \pi r _ { 1 } r _ { 2 } } } \exp \left[ - i \left( \frac { r _ { 1 } r _ { 2 } } { t } + \frac { n ^ { 2 } t } { 2 r _ { 1 } r _ { 2 } } - \frac { n \pi } { 2 } \right) \right] .