harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \mathcal { H } ( \hat { \pi } _ { t } ^ { N _ { k } } \lVert \pi _ { t } ^ { N _ { k } } ) } & { = \frac { d } { d t } \left( \frac { 1 } { n _ { k } m _ { k } } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { k } } \sum _ { j = 1 } ^ { m _ { k } } \log \left( \frac { \varrho _ { i j } ( 0 ) \omega _ { i j } ( 0 ) } { \omega _ { i j } ( t ) } \right) \varrho _ { i j } ( 0 ) \omega _ { i j } ( 0 ) \right) } \\ & { = - \frac { 1 } { n _ { k } m _ { k } } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { k } } \sum _ { j = 1 } ^ { m _ { k } } \frac { d } { d t } \log ( \omega _ { i j } ( t ) ) { \varrho } _ { i j } ( 0 ) \omega _ { i j } ( 0 ) } \\ & { = - \frac { \kappa } { n _ { k } m _ { k } } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { k } } \sum _ { j = 1 } ^ { m _ { k } } ( \mathcal { U } _ { \pi } ( \pi _ { t } ^ { N _ { k } } , \nu _ { t } ^ { N _ { k } } ; Z _ { i j } , \tilde { Z } _ { i j } ) - \overline { { \mathcal { U } } } _ { \pi , i } ) \varrho _ { i j } ( 0 ) \omega _ { i j } ( 0 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \bar { \cal { H } } \, m _ { ( 2 , 1 ; 4 , 2 ) } = } } & { { \varepsilon _ { ( 2 , 1 ; 4 , 2 ) } \, m _ { ( 2 , 1 ; 4 , 2 ) } + 2 \beta \, m _ { ( 3 , 1 ; 3 , 2 ) } - 4 \beta \, m _ { ( 3 , 2 ; 2 , 2 ) } + 4 \beta \, m _ { ( 2 , 1 ; 3 , 3 ) } } } \\ { { } } & { { + 8 \beta \, m _ { ( 2 , 1 ; 3 , 2 , 1 ) } + 2 4 \beta \, m _ { ( 2 , 1 ; 2 , 2 , 2 ) } + 4 \beta \, m _ { ( 2 , 1 ; 4 , 1 , 1 ) } \, . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } \rho _ { { e g } } ( \textbf { r } , \tau ) } & { { } = - i \Delta \omega _ { { e g } } \rho _ { { e g } } ( \textbf { r } , \tau ) - i \sum _ { s } \Omega _ { s } ^ { ( + ) } ( \textbf { r } , \tau ) \left( \sum _ { e ^ { \prime } } \rho _ { { e e ^ { \prime } } } ( \textbf { r } , \tau ) T _ { { e ^ { \prime } g } s } - \sum _ { g ^ { \prime } } T _ { { e g ^ { \prime } } s } \rho _ { { g ^ { \prime } g } } ( \textbf { r } , \tau ) \right) } \end{array}
{ \frac { d { \hat { \sigma } } _ { g g } ^ { ( 1 r ) } } { d ^ { 2 } p _ { a \perp } d ^ { 2 } p _ { b \perp } } } \ = \ \left[ { \frac { N _ { c } \alpha _ { s } } { p _ { a \perp } ^ { 2 } } } \right] \left[ { \frac { \bar { \alpha } _ { s } } { \pi } } \int { \frac { d ^ { 2 } k _ { 1 \perp } d y _ { 1 } } { k _ { 1 \perp } ^ { 2 } } } \, { \frac { 1 } { 2 } } \delta ^ { ( 2 ) } ( p _ { a \perp } + k _ { 1 \perp } + p _ { b \perp } ) \right] \left[ { \frac { N _ { c } \alpha _ { s } } { p _ { b \perp } ^ { 2 } } } \right] \ .
\begin{array} { r l } { \tilde { F } _ { + } ( \overline { t } , \overline { x } , \overline { v } _ { + } ) } & { = \frac { Z V _ { + } ^ { 3 } } { N } F _ { + } ( t , x , v ) , } \\ { \tilde { F } _ { - } ( \overline { t } , \overline { x } , \overline { v } _ { - } ) } & { = \frac { V _ { - } ^ { 3 } } { N } F _ { - } ( t , x , v ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } V _ { n } \langle \mathcal { H } ( u ) \rangle _ { n } V _ { n } ^ { T } = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { 1 } { n ^ { 3 } } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { - 1 } \\ { - 1 } & { 1 } \end{array} \right) \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } \bigg ( \frac { a ( \beta + 1 ) } { \beta - a ( \beta + 1 ) } \bigg ) ^ { 2 } \delta _ { k } ^ { 2 } a _ { k + 1 } ^ { 2 } \mathbb { E } \big [ \epsilon _ { k + 1 } ( u ) ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } \big ] } \\ & { \quad \quad = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { 1 } { n ^ { 3 } } \cdot \frac { a ^ { 2 } ( 1 - a ) ( \beta + 1 ) ^ { 3 } u ^ { T } u } { d ( \beta - a ( \beta + 1 ) ) ^ { 2 } ( 1 - a ( \beta + 1 ) + \beta ) } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { - 1 } \\ { - 1 } & { 1 } \end{array} \right) \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } \delta _ { k } ^ { 2 } a _ { k + 1 } ^ { 2 } \mu _ { k + 1 } ^ { 2 } \quad \mathbb { P } \mathrm { - a . s . } } \end{array}
H _ { s } = P ^ { 2 } / ( 2 M ) + U ( R ) + p _ { c } ^ { 2 } / 2 + \omega _ { c } ^ { 2 } / 2 \left( q _ { c } + \sqrt { 2 / ( \hbar \omega _ { c } ^ { 3 } } ) \chi \mu ( R ) \right) ^ { 2 }
S \supset \int \mathrm { d } x ^ { 4 } \mathrm { d } y ~ \bar { Q } [ i \Gamma _ { M } \partial ^ { M } + \Phi ^ { Q } ( y ) ] Q + \bar { U } [ i \Gamma _ { M } \partial ^ { M } + \Phi ^ { U } ( y ) ] U + \kappa H Q ^ { c } U ,
\Upsilon _ { n , m } ( \rho ) = \frac { ( - ) ^ { k } } { \sqrt { \pi } } \frac { k ! } { \sqrt { n ! } \sqrt { m ! } } L _ { k } ^ { ( | m - n | ) } ( \rho ^ { 2 } ) \rho ^ { | m - n | } e ^ { - \rho ^ { 2 } / 2 } ,
\begin{array} { r l } { f } & { = ( i + 1 ) x ^ { 5 } y - 5 x ^ { 4 } y ^ { 2 } + 5 ( 1 - i ) x ^ { 3 } y ^ { 3 } + 5 i x ^ { 2 } y ^ { 4 } - ( i + 1 ) x y ^ { 5 } } \\ { g } & { = x ^ { 8 } + 4 ( i - 1 ) x ^ { 7 } y - 1 4 i x ^ { 6 } y ^ { 2 } + 1 4 ( i + 1 ) x ^ { 5 } y ^ { 3 } - 2 1 x ^ { 4 } y ^ { 4 } + 1 4 ( 1 - i ) x ^ { 3 } y ^ { 5 } } \\ & { + 1 4 i x ^ { 2 } y ^ { 6 } - 4 ( i + 1 ) x y ^ { 7 } + y ^ { 8 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \eta _ { T } T } \frac { \sigma ^ { 2 } } { 3 2 b L ^ { 2 } \eta _ { 0 } } } & { \leq \bigg ( \frac { 4 8 \lambda L I ^ { 2 } } { \rho T } + \frac { \lambda L } { \rho K ^ { 2 / 3 } T ^ { 2 / 3 } } \bigg ) \times \frac { \sigma ^ { 2 } } { 3 2 b L ^ { 2 } } \times \frac { w _ { 0 } ^ { 1 / 3 } } { \kappa } } \\ & { \leq \bigg ( \frac { 4 8 \lambda L I ^ { 2 } } { \rho T } + \frac { \lambda L } { \rho K ^ { 2 / 3 } T ^ { 2 / 3 } } \bigg ) \times \frac { \sigma ^ { 2 } } { 3 2 b L ^ { 2 } } \times \frac { 4 8 \lambda L I ^ { 2 } } { \rho } } \\ & { \leq \frac { 7 2 \lambda ^ { 2 } I ^ { 4 } } { b \rho ^ { 2 } T } \sigma ^ { 2 } + \frac { 3 \lambda ^ { 2 } I ^ { 2 } } { 2 b \rho ^ { 2 } K ^ { 2 / 3 } T ^ { 2 / 3 } } \sigma ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { N } ^ { \prime } = \bigg [ h _ { P } ^ { Q } + } & { \big ( U _ { P R } ^ { Q S } - U _ { P R } ^ { S Q } \big ) \gamma _ { S } ^ { R } } \\ { + } & { \big ( L _ { P R T } ^ { Q S U } - L _ { P R T } ^ { S Q U } - L _ { P R T } ^ { U S Q } \big ) } \\ & { \times \big ( - \gamma _ { S } ^ { R } \gamma _ { U } ^ { T } + \gamma _ { U } ^ { R } \gamma _ { S } ^ { T } - \frac { 1 } { 2 } \gamma _ { S U } ^ { R T } \big ) \bigg ] \tilde { a } _ { Q } ^ { P } } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { 0 } , \partial _ { t } E _ { 0 } , C E _ { 0 } } & { \in L _ { - \nu } ^ { 2 } ( \mathbb { R } , \mathscr { H } _ { 0 } ) } \\ { \lVert E _ { 0 } \rVert _ { - \nu , 0 } , \lVert \partial _ { t } E _ { 0 } \rVert _ { - \nu , 0 } , \lVert C E _ { 0 } \rVert _ { - \nu , 0 } } & { \lesssim \lVert g \rVert _ { - \nu , 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left[ B _ { m } ^ { 2 } ( t ) \right] \leq 2 \mathbb { E } \left[ L ( \Theta ( 0 ) ) \right] + 2 C t + 2 V t ( f ^ { \operatorname* { m a x } } - f ^ { * } ) } \\ & { \mathbb { E } \left[ G _ { m } ^ { 2 } ( t ) \right] \leq 2 \mathbb { E } \left[ L ( \Theta ( 0 ) ) \right] + 2 C t + 2 V t ( f ^ { \operatorname* { m a x } } - f ^ { * } ) } \end{array}
\Psi \propto { \left( \begin{array} { l } { ( 1 + \gamma ) r ^ { \gamma - 1 } e ^ { - C r } } \\ { ( 1 + \gamma ) r ^ { \gamma - 1 } e ^ { - C r } } \\ { i Z \alpha r ^ { \gamma - 1 } e ^ { - C r } ( x - i y + z ) / r } \\ { i Z \alpha r ^ { \gamma - 1 } e ^ { - C r } ( x + i y - z ) / r } \end{array} \right) }
\xi _ { \omega _ { \mathrm { c a l } } } = \frac { ( \Gamma _ { 1 2 9 } - \Gamma _ { 1 3 1 } ) \omega _ { 1 2 9 } - ( \Gamma _ { 1 2 9 } + R \Gamma _ { 1 3 1 } ) \omega _ { \mathrm { c a l } } } { ( 1 + R ) \Gamma _ { \mathrm { R b } } } .
b _ { i } = \left\{ \begin{array} { l l } { ( \beta _ { 2 } - \alpha _ { 1 } ) ( \alpha _ { 1 } - \alpha _ { 2 } ) } & { i = 2 , } \\ { ( \beta _ { 3 } - \alpha _ { 2 } ) ( \beta _ { 3 } - \beta _ { 2 } ) } & { i = 3 , } \\ { \frac { ( \beta _ { 4 } - \alpha _ { 1 } ) ( \beta _ { 3 } - \beta _ { 4 } ) ( \alpha _ { 2 } + \beta _ { 2 } - \beta _ { 3 } - \beta _ { 4 } ) } { \beta _ { 4 } - \beta _ { 2 } } } & { i = 4 , } \\ { ( \beta _ { j } - \alpha _ { 1 } ) ( \beta _ { j } - \alpha _ { 2 } ) } & { j \in \{ 2 , 3 , 4 \} \mathrm { ~ a n d ~ } 4 < i \in 3 \mathbb { Z } + j , } \end{array} \right.
\frac { 1 } { \sin \theta } \frac { \partial } { \partial \theta } \left( \sin \theta \frac { \partial Z } { \partial \theta } \right) + \frac { 1 } { \sin ^ { 2 } \theta } \frac { \partial ^ { 2 } Z } { \partial \varphi ^ { 2 } } - \left( \frac { c _ { 1 } } { \cos ^ { 2 } \frac { \theta } { 2 } } + \frac { c _ { 2 } } { \sin ^ { 2 } \frac { \theta } { 2 } } \right) Z = - A Z ,
\begin{array} { r l } { V _ { x y } ( t ) = } & { \frac { I _ { 0 } \Delta R _ { A H E } H _ { \mathrm { d l } } H _ { x } } { 2 { H _ { k } } ^ { 2 } } } \\ & { - \frac { I _ { 0 } \Delta R _ { A H E } \left( 3 H _ { \mathrm { d l } } ^ { 2 } - 8 H _ { k } ^ { 2 } + 4 H _ { x } ^ { 2 } \right) } { 8 H _ { k } ^ { 2 } } \sin ( \omega t ) } \\ & { - \frac { I _ { 0 } \Delta R _ { A H E } H _ { \mathrm { d l } } H _ { x } } { 2 { H _ { k } } ^ { 2 } } \cos ( 2 \omega t ) . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { { \lambda } ^ { 2 } u + c _ { 1 } u _ { x x } = 0 , } & { x \in ( 0 , l _ { 1 } ) , } \\ { \rho { \lambda } ^ { 2 } v + \alpha v _ { x x } - \gamma \beta p _ { x x } - d _ { 2 } z = 0 , } & { x \in ( l _ { 1 } , l _ { 2 } ) , } \\ { \mu { \lambda } ^ { 2 } p + \beta p _ { x x } - \gamma \beta v _ { x x } = 0 , } & { x \in ( l _ { 1 } , l _ { 2 } ) , } \\ { { \lambda } ^ { 2 } y + c _ { 2 } y _ { x x } = 0 , } & { x \in ( l _ { 2 } , L ) , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \left( \rho _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ L ~ } , 0 } + \Delta _ { \mathrm { ~ L ~ } } \rho _ { \mathrm { ~ T ~ } } c \right) x + \left( \rho _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ G ~ } , 0 } + \Delta _ { \mathrm { ~ G ~ } } \rho _ { \mathrm { ~ T ~ } } c \right) ( 1 - x ) } & { { } = ( 1 - c ) \rho _ { \mathrm { ~ T ~ } } } \\ { \left[ \rho _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ L ~ } , 0 } - \rho _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ G ~ } , 0 } + ( \Delta _ { \mathrm { ~ L ~ } } - \Delta _ { \mathrm { ~ G ~ } } ) \rho _ { \mathrm { ~ T ~ } } c \right] x } & { { } = ( 1 - c - \Delta _ { \mathrm { ~ G ~ } } c ) \rho _ { \mathrm { ~ T ~ } } - \rho _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ G ~ } , 0 } , } \end{array}
g ( t , x , y , m ) = \frac { k _ { 0 } e ^ { a ( m - M _ { 0 } ) } } { \frac { ( t + c ) ^ { 1 + \omega } } { e ^ { t / \tau } } ( ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) + d e ^ { \gamma ( m - M _ { 0 } ) } ) ^ { 1 + \rho } } .
\alpha = \frac { \sigma _ { v v } } { 2 ( \sigma _ { v v } \sigma _ { x x } - \sigma _ { x v } ^ { 2 } ) } , \quad \beta = \frac { \sigma _ { x x } } { 2 ( \sigma _ { v v } \sigma _ { x x } - \sigma _ { x v } ^ { 2 } ) }
\Gamma _ { 8 } ^ { \prime } = \left\{ ( x _ { i } ) \in \mathbb { Z } ^ { 8 } \cup ( \mathbb { Z } + { \frac { 1 } { 2 } } ) ^ { 8 } : { { \textstyle \sum _ { i } } x _ { i } } \equiv 2 x _ { 1 } \equiv 2 x _ { 2 } \equiv 2 x _ { 3 } \equiv 2 x _ { 4 } \equiv 2 x _ { 5 } \equiv 2 x _ { 6 } \equiv 2 x _ { 7 } \equiv 2 x _ { 8 } \; ( { \mathrm { m o d ~ } } 2 ) \right\} .
\sin ^ { 2 } \theta _ { \mathrm { e f f } } ^ { \mathrm { l e p t } } = \frac { 1 } { 4 } \left( 1 - \frac { \mathrm { R e } \, ( g _ { V } ) } { \mathrm { R e } \, ( g _ { A } ) } \right) .
{ \cal L } _ { \mathrm { N J L } } = - \frac { G } { 2 } \left( \bar { \psi } \gamma _ { \mu } \frac { \lambda ^ { \alpha } } { 2 } \psi \right) \left( \bar { \psi } \gamma ^ { \mu } \frac { \lambda ^ { \alpha } } { 2 } \psi \right) ,
\begin{array} { r l } { f ^ { p b } ( \alpha ) } & { = \operatorname* { m i n } \bigg \{ \operatorname* { m a x } \bigg \{ 0 , 1 - \frac { 1 - p _ { m i n } } { 1 - p _ { m a x } } \alpha , \frac { p _ { m i n } } { p _ { m a x } } ( 1 - \alpha ) \bigg \} , } \\ & { \operatorname* { m a x } \bigg \{ 0 , 1 - \frac { p _ { m a x } } { p _ { m i n } } \alpha , \frac { 1 - p _ { m a x } } { 1 - p _ { m i n } } ( 1 - \alpha ) \bigg \} \bigg \} . } \end{array}
{ \mathcal { L } } _ { S M } = ( D _ { \mu } H ) ^ { + } D ^ { \mu } H - e ^ { - \frac { 2 \xi ( x ) } { f _ { 0 } } } U ( H ) - \frac { 1 } { 4 } e ^ { \frac { 2 \xi ( x ) } { f _ { 0 } } } F _ { \mu \nu } ^ { a } F ^ { a \mu \nu } + . .
\begin{array} { r l } & { \sum _ { i } \int _ { B ( x _ { i } , r ) } \fint _ { B ( x , r ) } | f ( x ) - f _ { B ( x _ { i } , r ) } | ^ { 2 } d \mu ( y ) \, d \mu ( x ) } \\ { = } & { \sum _ { i } \int _ { B ( x _ { i } , r ) } | f ( x ) - f _ { B ( x _ { i } , r ) } | ^ { 2 } d \mu ( x ) } \\ { \le } & { C r ^ { d _ { w } } \sum _ { i } \operatorname* { l i m i n f } _ { \varepsilon \to 0 } E _ { d _ { w } / 2 , B ( x _ { i } , \lambda r ) } ( f , \varepsilon ) \le C r ^ { d _ { w } } \operatorname* { l i m i n f } _ { \varepsilon \to 0 } E _ { d _ { w } / 2 , X } ( f , \varepsilon ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { \Gamma _ { T \hat { \mathcal { G } } } ^ { 2 } } ( \Gamma _ { T \hat { \mathcal { G } } } ^ { 1 } ( T \mathbf { v } ) ) } & { = J _ { \Gamma _ { T \hat { \mathcal { G } } } ^ { 2 } } ( T _ { r o t } \Gamma _ { \hat { \mathcal { G } } } ^ { 1 } ( \mathbf { v } ) ) } \\ & { = T _ { r o t } J _ { \Gamma _ { T \hat { \mathcal { G } } } ^ { 2 } } ( T _ { r o t } ^ { - 1 } T _ { r o t } \Gamma _ { \hat { \mathcal { G } } } ^ { 1 } ( \mathbf { v } ) ) T _ { r o t } ^ { - 1 } } \\ & { = T _ { r o t } J _ { \Gamma _ { T \hat { \mathcal { G } } } ^ { 2 } } ( \Gamma _ { \hat { \mathcal { G } } } ^ { 1 } ( \mathbf { v } ) ) T _ { r o t } ^ { - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \dot { a } _ { i } ^ { R } ( t ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { R e } C _ { i } ^ { 1 } + \frac { 1 } { M ^ { 2 } } C _ { i } ^ { 2 } + C _ { i } ^ { 3 } + \displaystyle \sum _ { j = 1 } ^ { n } \left( \frac { 1 } { R e } L _ { i j } ^ { 1 } + \frac { 1 } { M ^ { 2 } } L _ { i j } ^ { 2 } + L _ { i j } ^ { 3 } \right) a _ { j } ^ { R } ( t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vec { I } _ { b } } & { { } = ( I _ { b _ { 1 } } , I _ { b _ { 2 } } , \dots , I _ { b _ { N _ { p } } } , 0 , \dots , 0 ) ^ { T } , } \\ { \vec { I } _ { f } } & { { } = ( I _ { f _ { 1 } } , I _ { f _ { 2 } } , \dots , I _ { f _ { N _ { p } } } ) ^ { T } , } \end{array}
2 i \ z _ { 1 2 } ^ { - 1 } z _ { 1 3 } ^ { - 3 / 4 } z _ { 1 4 } ^ { - 3 / 4 } z _ { 1 5 } ^ { - 1 / 2 } z _ { 2 3 } ^ { - 3 / 4 } z _ { 2 4 } ^ { - 3 / 4 } z _ { 2 5 } ^ { - 1 / 2 } z _ { 3 4 } ^ { - 1 } z _ { 3 5 } ^ { - 1 / 2 } z _ { 4 5 } ^ { - 1 / 2 } \cdot ( z _ { 1 4 } z _ { 2 3 } - z _ { 1 3 } z _ { 2 4 } )
\lambda ^ { ^ { S , A } } = \left( \begin{array} { l } { { \zeta _ { \lambda } \Theta _ { [ j ] } \phi _ { _ L } ^ { \ast } ( p ^ { \mu } ) } } \\ { { \phi _ { _ L } ( p ^ { \mu } ) } } \end{array} \right) \, \, , \quad \rho ^ { ^ { S , A } } = \left( \begin{array} { l } { { \phi _ { _ R } ( p ^ { \mu } ) } } \\ { { ( \zeta _ { \rho } \Theta _ { [ j ] } ) ^ { \ast } \phi _ { _ R } ^ { \ast } ( p ^ { \mu } ) } } \end{array} \right) \, \, .
\varepsilon _ { i j } = \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \sum _ { \ell = 1 } ^ { 3 } \left[ S _ { i j k \ell } ^ { 0 } + m _ { 1 } \phi \left( H _ { i j k \ell } + \Delta H _ { i j k \ell } \right) \right] \sigma _ { k \ell } \, ,
S = - \frac { 1 } { g ^ { 2 } } \mathrm { t r } \left( \frac { 1 } { 4 } [ A _ { \mu } , A _ { \nu } ] ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \bar { \psi } \Gamma ^ { \mu } [ A _ { \mu } , \psi ] \right) ,
\left( \begin{array} { l l } { r } & { \epsilon } \\ { \epsilon } & { \delta } \end{array} \right) \otimes p ^ { \perp } \otimes I _ { k } = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { \epsilon } \\ { \epsilon } & { 0 } \end{array} \right) \otimes p ^ { \perp } \otimes I _ { k } + \left( \begin{array} { l l } { r } & { 0 } \\ { 0 } & { \delta } \end{array} \right) \otimes p ^ { \perp } \otimes I _ { k } \in \mathcal { C } _ { 2 k } ^ { n } .
\dot { \hat { \mathbf { X } } } = \mathrm { d e x p } _ { \hat { \mathbf { X } } } ^ { - 1 } ( \hat { \mathbf { V } } { ^ { \mathrm { s } } } ) , \ \ \dot { \hat { \mathbf { X } } } = \mathrm { d c a y } _ { \hat { \mathbf { X } } } ^ { - 1 } ( \hat { \mathbf { V } } { ^ { \mathrm { s } } } ) ,
\bar { \psi } ( s , z ) = \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \exp { ( \lambda _ { i } z ) } \frac { 1 } { | \mathscr { D } ( s ) | } \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } A d j ( \mathscr { D } ( s ) ) _ { i j } \mathscr { R } _ { j } ( s )
\{ i , j , k , l \} < \{ N _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ e ~ r ~ } , 1 } , N _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ e ~ r ~ } , 2 } , N _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ e ~ r ~ } , 3 } , N _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ e ~ r ~ } , 4 } \}
\begin{array} { r l } & { X _ { t + 1 } ^ { p } = \left( 1 - \rho _ { p } \right) \cdot \mu _ { p } + \rho _ { p } \cdot X _ { t } ^ { p } + \epsilon _ { t } ^ { p } } \\ & { X _ { t + 1 } ^ { n } = \left( 1 - \rho _ { n } \right) \cdot \mu _ { n } + \rho _ { n } \cdot X _ { t } ^ { n } + \epsilon _ { t } ^ { n } } \\ & { ( \epsilon _ { t } ^ { p } , \epsilon _ { t } ^ { n } ) ^ { T } \sim \mathcal { N } \left( \pmb { 0 } , \pmb { \Sigma } \right) } \\ & { Y _ { t } ^ { p } = \mathrm { e x p } \left( X _ { t } ^ { p } \right) \ \ ; \ \ Y _ { t } ^ { n } = \mathrm { e x p } \left( X _ { t } ^ { n } \right) } \\ & { W _ { t } = Y _ { t } ^ { p } - Y _ { t } ^ { n } } \end{array}
\frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \partial _ { 3 } \mathcal { L } ( t , b ( t ) , b ^ { \prime } ( t ) ) = - \beta e ^ { - \beta t } u ^ { \prime } ( b ^ { \prime } ( t ) - \gamma b ( t ) - \omega ) + ( b ^ { \prime \prime } ( t ) - \gamma b ^ { \prime } ( t ) ) e ^ { - \beta t } u ^ { \prime \prime } ( b ^ { \prime } ( t ) - \gamma b ( t ) - \omega ) .
\begin{array} { r l } { u _ { j } } & { { } = \omega ^ { d } - \kappa _ { j } \left( P _ { j } ^ { \mathrm { m e s } } - P _ { j } ^ { d } \right) , } \\ { v _ { j } } & { { } = E _ { j } ^ { d } - \chi _ { j } \left( Q _ { j } ^ { \mathrm { m e s } } - Q _ { j } ^ { d } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left< \dot { S } \right> } & { { } \simeq \frac { \rho C _ { p } \kappa ^ { 2 } \nu } { g a \alpha H ^ { 3 } } ( R + 2 R _ { c } \left< Z \right> ) \frac { \Delta T } { T _ { h } } } \end{array}
Q _ { L } = \frac { 4 5 7 \pi } { 1 0 0 8 0 } G _ { F } ^ { 2 } C ^ { 2 } \left( C _ { V } ^ { 2 } + 3 C _ { A } ^ { 2 } \right) M _ { 1 } ^ { \ast } M _ { 2 } ^ { \ast } \mu _ { l } T ^ { 6 } \Theta \left( p _ { F l } + p _ { F 2 } - p _ { F 1 } \right) ,
\delta u = \frac { \mu } { \sqrt { 2 } \pi } \phi ( r ) , \quad \quad \delta B = \frac { \mu } { 2 \pi } \phi ( r ) , \quad \quad \delta P = - \frac { \mu ^ { 2 } ( 1 + r ^ { 2 } ) } { 8 \pi ^ { 2 } } \phi ( r ) ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \nu _ { 1 } \mathbb { E } _ { t - 2 \tau } \Big \lVert V _ { \bar { \theta } _ { t } } - V _ { \theta ^ { * } } \Big \rVert _ { \bar { D } } ^ { 2 } } & { \le ( \frac { 1 } { \alpha } - \nu _ { 1 } ) \mathbb { E } _ { t - 2 \tau } \Big \lVert \bar { \theta } _ { t } - \theta ^ { * } \Big \rVert ^ { 2 } - \frac { 1 } { \alpha } \mathbb { E } _ { t - 2 \tau } \Big \lVert \bar { \theta } _ { t + 1 } - \theta ^ { * } \Big \rVert ^ { 2 } + \frac { 9 + 2 8 \tau ^ { 2 } } { N K } \alpha d _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { + \alpha ^ { 2 } \left( 3 6 L _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { 1 0 8 \tau } { 1 - \rho ^ { 2 } } L _ { 2 } ^ { 2 } + 4 L _ { 1 } G ^ { 2 } + 2 L _ { 2 } G \right) } \\ & { + \frac { \alpha ^ { 2 } c _ { 6 } } { K } \left[ c _ { 3 } ^ { 2 } + \frac { 2 c _ { 3 } L _ { 2 } \rho } { 1 - \rho } + 8 c _ { 1 } ^ { 2 } ( K - 1 ) H ^ { 2 } \right] + 4 B ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) G + \nu _ { 1 } \Gamma ^ { 2 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { ~ f ~ i ~ n ~ d ~ : ~ } } & { { } \zeta _ { i } ^ { l } } & { \forall \; i \; \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \; p _ { i } = k } \\ { \mathrm { ~ s ~ . ~ t ~ . ~ : ~ } } & { { } } & { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \zeta _ { i } ^ { l } \; s _ { i } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } \; \delta _ { p _ { i } , k } = \xi _ { k } ^ { \mathrm { ~ u ~ } } \; s ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } , k } \quad , } \end{array}
{ } ^ { * } \! F _ { \mu \nu } ( x ) = \partial _ { \nu } \tilde { A } _ { \mu } ( x ) - \partial _ { \mu } \tilde { A } _ { \nu } ( x ) + i \tilde { g } \, [ \tilde { A } _ { \mu } ( x ) , \tilde { A } _ { \nu } ( x ) ] ,
\begin{array} { r l } { v _ { i , i } ^ { * } ( t ) = } & { ( n - 1 ) ^ { - 1 } \sum _ { j \neq i } \mathbb { E } \{ e ^ { \pi _ { i j } ^ { * } ( t ) } \} , \quad ~ i \in [ n ] , } \\ { v _ { n + j , n + j } ^ { * } ( t ) = } & { ( n - 1 ) ^ { - 1 } \sum _ { i \neq j } \mathbb { E } \{ e ^ { \pi _ { i j } ^ { * } ( t ) } \} , \quad ~ j \in [ n - 1 ] , } \\ { v _ { i , n + j } ^ { * } ( t ) = } & { v _ { n + j , i } ( t ) = ( n - 1 ) ^ { - 1 } \mathbb { E } \{ e ^ { \pi _ { i j } ^ { * } ( t ) } \} , ~ i \in [ n ] , ~ j \in [ n - 1 ] , ~ i \neq j , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \dot { \rho } = [ \alpha h _ { 1 } + ( 1 - \alpha ) h _ { 2 } ] \rho ( 1 - \rho ) - \Delta \alpha ( 1 - \alpha ) ( h _ { 1 } - h _ { 2 } ) ( \rho - \frac { 1 } { 2 } ) } \\ { \dot { \Delta } = ( h _ { 1 } - h _ { 2 } ) \rho ( 1 - \rho ) - \Delta \bigg [ [ ( 1 - \alpha ) h _ { 1 } + \alpha h _ { 2 } ] ( \rho - \frac { 1 } { 2 } ) + \frac { 1 } { 2 } \bigg ] } \end{array} \right.
\alpha _ { 1 , 3 } = k _ { L 1 } \cos \theta , \quad \quad \alpha _ { 2 } = \sqrt { k _ { L 2 } ^ { 2 } - \xi ^ { 2 } } , \quad \quad \beta _ { 2 } = \sqrt { k _ { S 2 } ^ { 2 } - \xi ^ { 2 } }
{ J ^ { a } } _ { \mu } = \bar { d _ { L } ^ { \prime } } \bar { \gamma } _ { \mu } T _ { L } ^ { a } d _ { L } ^ { \prime } + \bar { d _ { R } ^ { \prime } } \bar { \gamma } _ { \mu } T _ { d _ { R } } ^ { a } d _ { R } ^ { \prime } \, \, \, .
\begin{array} { r l } { \hat { m } ( \vec { r } ) = } & { { } \hat { m } _ { + } ( \vec { r } ) + \hat { m } _ { - } ( \vec { r } ) , } \\ { \hat { m } _ { + } ( \vec { r } ) = } & { { } m _ { 0 } \sum _ { \mu , j } \vec { d } _ { \mu j } ^ { * } \hat { \Pi } _ { j \mu } ( \vec { r } ) } \\ { \hat { m } _ { - } ( \vec { r } ) = } & { { } \hat { m } _ { + } ( \vec { r } ) ^ { \dagger } . } \end{array}
\begin{array} { c } { { u _ { \vec { k } , \sigma } = ( \sqrt { \epsilon \left( k \right) + m } \omega _ { \sigma } , \sqrt { \epsilon \left( k \right) - m } \left( \vec { n } \vec { \sigma } \right) \omega _ { \sigma } ) , } } \\ { { v _ { - \vec { k } , \sigma } = ( - \sqrt { \epsilon \left( k \right) - m } \left( { \vec { n } } \cdot { \vec { \sigma } } \right) \omega _ { - \sigma } , \sqrt { \epsilon \left( k \right) + m } \omega _ { - \sigma } ) , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { 1 , 0 } ( x , y , t ) } & { { } = A ^ { \prime } ( t ) p _ { 1 , 0 } ^ { \mathrm { ~ ( ~ S ~ ) ~ } } ( x - t , y ) + A ( t ) p _ { 1 , 0 } ^ { \mathrm { ~ ( ~ T ~ ) ~ } } ( x - t , y ) , } \end{array}
I _ { \beta } ^ { ( \pm ) } ( \psi ; \, k ) = \pm \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { 0 } ^ { \infty } d k \, ^ { \prime } \, \frac { \psi ( k \, ^ { \prime } ) } { k \, ^ { \prime } - ( k \pm i \beta ) } ,
\hat { \Phi } = 2 \hat { S } _ { 0 } = c ( \hat { n } _ { \mathrm { ~ H ~ } } + \hat { n } _ { \mathrm { ~ V ~ } } ) = c ( \hat { a } _ { \mathrm { ~ H ~ } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { ~ H ~ } } + \hat { a } _ { \mathrm { ~ V ~ } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { ~ V ~ } } )
\begin{array} { r l r } { c _ { 1 } } & { { } = } & { \frac { W _ { 1 } } { ( 1 + W ) } , } \\ { c _ { 2 } } & { { } = } & { \frac { W _ { 1 } } { 2 ( 1 + W ) ^ { 3 } } , } \\ { c _ { 3 } } & { { } = } & { \frac { W _ { 1 } ( 2 W - 1 ) } { 6 ( 1 + W ) ^ { 5 } } , } \end{array}
\delta _ { a b } ^ { j } = { \frac { 1 } { \sqrt { m _ { j } } } } \sum _ { a ^ { \prime } } \operatorname { R e } \left[ c _ { a ^ { \prime } } ^ { * } d _ { a ^ { \prime } a } ^ { j } c _ { a } - c _ { a ^ { \prime } } ^ { * } d _ { a ^ { \prime } b } ^ { j } c _ { b } \right] ,
\begin{array} { r l } { \psi _ { 0 } ^ { \prime } ( l ) } & { { } = 1 } \\ { \tilde { \psi } _ { 0 } ^ { \prime } ( l ) } & { { } = e ^ { \frac { 3 } { 2 \sigma ^ { 2 } } [ l ^ { 2 } - 2 \left( a - \beta \sigma ^ { 2 } \right) l ] } } \\ { m _ { 0 } ^ { \prime } } & { { } = 2 z e ^ { \frac { \beta ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { 2 } - \beta a } } \end{array}