harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathbf { a } = ( \mathbf { a } \cdot \widehat { \mathbf { \xi } } ) \widehat { \mathbf { \xi } } + ( \mathbf { a } \cdot \widehat { \mathbf { \xi } } ^ { \perp } ) \widehat { \mathbf { \xi } } ^ { \perp }
\Phi ^ { \mathrm { ( B e s ) } } ( \zeta ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { - i } \\ { - i } & { 1 } \end{array} \right) ( \mathbf { I } + O ( \zeta ^ { - 1 } ) ) e ^ { \frac { \pi i \sigma _ { 3 } } { 4 } } e ^ { - i \zeta \sigma _ { 3 } } \left\{ \begin{array} { r l r l } & { e ^ { - \frac { \alpha \pi i \sigma _ { 3 } } { 2 } } , } & { \zeta } & { \in \Lambda _ { 1 } \cup \Lambda _ { 2 } , } \\ & { e ^ { \frac { \alpha \pi i \sigma _ { 3 } } { 2 } } , } & { \zeta } & { \in \Lambda _ { 3 } \cup \Lambda _ { 4 } , } \\ & { e ^ { \frac { \alpha \pi i \sigma _ { 3 } } { 2 } } \sigma _ { 1 } \sigma _ { 3 } , } & { \zeta } & { \in \Lambda _ { 5 } \cup \Lambda _ { 6 } , } \\ & { e ^ { - \frac { \alpha \pi i \sigma _ { 3 } } { 2 } } \sigma _ { 1 } \sigma _ { 3 } , } & { \zeta } & { \in \Lambda _ { 7 } \cup \Lambda _ { 8 } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } W } & { { } = - \frac { \partial F } { \partial W } \partial _ { x } W , } \\ { \partial _ { t x } W } & { { } = - ( \frac { \partial ^ { 2 } F } { \partial W ^ { 2 } } \partial _ { x } W ) \partial _ { x } W - \frac { \partial F } { \partial W } \partial _ { x x } W , } \\ { \partial _ { t t } W } & { { } = - ( \frac { \partial ^ { 2 } F } { \partial W ^ { 2 } } \partial _ { t } W ) \partial _ { x } W - \frac { \partial F } { \partial W } \partial _ { x t } W , } \end{array}
\varrho - \textstyle { \frac { 3 } { 4 } } = - \textstyle { \frac { 3 } { 4 } } \displaystyle \left\{ | g _ { \mathrm { L R } } ^ { \mathrm { V } } | ^ { 2 } + | g _ { \mathrm { R L } } ^ { \mathrm { V } } | ^ { 2 } \right\} + 2 \left( | g _ { \mathrm { L R } } ^ { \mathrm { T } } | ^ { 2 } + | g _ { \mathrm { R L } } ^ { \mathrm { T } } | ^ { 2 } \right) + R e \left( g _ { \mathrm { L R } } ^ { \mathrm { S } } g _ { \mathrm { L R } } ^ { \mathrm { T * } } + g _ { \mathrm { R L } } ^ { \mathrm { S } } g _ { \mathrm { R L } } ^ { \mathrm { T * } } \right) \; .
+ \left( y _ { 1 } ^ { \epsilon } y _ { 2 } ^ { - \epsilon } x _ { 1 } ^ { \epsilon } x _ { 2 } ^ { - \epsilon } - 1 \right) 4 x _ { 2 } t ( e p _ { 1 } ) \biggr ) \frac { \not p _ { 2 } } { s } v _ { 2 } \biggr ] - \biggl [ 1 \leftrightarrow 2 \biggr ] \biggr \} .
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } [ \langle s ^ { D } , \sigma _ { t } ^ { - 1 } ( X _ { t } ^ { D } - e ^ { - t / 2 } X _ { 0 } ^ { D } ) \rangle ] } & { = } & { \mathbb { E } [ \langle \mathbb { E } [ \sigma _ { t } ^ { - 1 } ( X _ { t } ^ { D } - e ^ { - t / 2 } X _ { 0 } ^ { D } ) | X _ { t } ^ { D } ] , \sigma _ { t } ^ { - 1 } ( X _ { t } ^ { D } - e ^ { - t / 2 } X _ { 0 } ^ { D } ) \rangle ] } \\ & { = } & { \mathbb { E } [ \| \mathbb { E } [ \sigma _ { t } ^ { - 1 } ( X _ { t } ^ { D } - e ^ { - t / 2 } X _ { 0 } ^ { D } ) | X _ { t } ^ { D } ] \| ^ { 2 } ] } \\ & { = } & { \mathbb { E } [ \| s ^ { D } \| ^ { 2 } ] , } \end{array}
\frac { 1 } { N } \sum _ { q \in \mathcal { M } _ { w } } \left( \sum _ { v \in \mathcal { Z } _ { q } } \psi \left( x _ { u } , x _ { v } \right) \right) = \frac { 1 } { N } \sum _ { q \in \mathcal { M } _ { w } } \left( \sum _ { v \in \mathcal { Z } _ { q } } \psi ^ { \prime } \left( x _ { w } , x _ { v } \right) \right) =
\begin{array} { r l } { \operatorname { T r } ( V _ { 2 } \cdot \dot { \Sigma } _ { t } ) } & { { } = \frac { \hbar } { 2 } \operatorname { T r } [ V _ { 2 } \cdot ( m ^ { - 1 } \cdot \mathcal { A } \cdot \mathcal { B } ^ { - 1 } + \mathcal { B } ^ { - 1 } \cdot \mathcal { A } \cdot m ^ { - 1 } ) ] } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \hat { f } } _ { 3 } ( \omega ) \ } & { { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \ \int _ { - \infty } ^ { \infty } f ( x ) \, e ^ { - i \omega x } \, d x = { \hat { f } } _ { 1 } \left( { \frac { \omega } { 2 \pi } } \right) = { \sqrt { 2 \pi } } \, { \hat { f } } _ { 2 } ( \omega ) } \\ { f ( x ) } & { = { \frac { 1 } { 2 \pi } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } { \hat { f } } _ { 3 } ( \omega ) \, e ^ { i \omega x } \, d \omega } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \| \phi ( \mathbf { L } ) } & { \mathrm { E } _ { W } ( ( \mathrm { E } _ { W } ^ { * } \phi ( \mathbf { L } ) \mathrm { E } _ { W } + \gamma N \mathbf { I } _ { N } ) ^ { - 1 } - ( \mathrm { E } _ { W } ^ { * } p _ { \phi , m - 1 } ^ { ( \mathrm { k r } ) } ( \mathbf { L } ) \mathrm { E } _ { W } + \gamma N \mathbf { I } _ { N } ) ^ { - 1 } ) \mathrm { y } \| _ { 2 } } \\ & { \dot { \leq } \| \phi ( \mathbf { L } ) \mathrm { E } _ { W } \| _ { 2 } \| ( \mathrm { E } _ { W } ^ { * } ( \phi ( \mathbf { L } ) - p _ { \phi , m - 1 } ^ { ( \mathrm { k r } ) } ( \mathbf { L } ) ) \mathrm { E } _ { W } \| _ { 2 } \| ( \mathrm { E } _ { W } ^ { * } \phi ( \mathbf { L } ) \mathrm { E } _ { W } + \gamma N \mathbf { I } _ { N } ) ^ { - 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } \| \mathrm { y } \| _ { 2 } } \\ & { \dot { \leq } \frac { \phi _ { \operatorname* { m a x } } \| \mathrm { y } \| _ { 2 } } { ( \phi _ { \operatorname* { m i n } } + \gamma N ) ^ { 2 } } \left\| \phi ( \mathbf { L } ) \mathrm { E } _ { W } - p _ { \phi , m - 1 } ^ { ( \mathrm { k r } ) } ( \mathbf { L } ) \mathrm { E } _ { W } \right\| _ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \dot { \theta } _ { i } = - | \Gamma | \sum _ { j \in \Omega _ { i } } \sin ( \theta _ { j } - \theta _ { i } ) = - | \Gamma | \sum _ { j = 1 } ^ { N } a _ { i j } \, \sin ( \theta _ { j } - \theta _ { i } ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { g \left( n , \frac { \partial } { \partial t } \nabla _ { \tau _ { i } } \tau _ { i } \right) } & { = g ( n , \nabla _ { \dot { \tau _ { i } } } \tau _ { i } ) + g ( n , \nabla _ { \tau _ { i } } \dot { \tau _ { i } } ) + ( \nabla _ { \tau _ { i } } \sigma ) ( n , \tau _ { i } ) - \frac { 1 } { 2 } ( \nabla _ { n } \sigma ) ( \tau _ { i } , \tau _ { i } ) } \\ & { = 2 g ( n , \nabla _ { \dot { \tau _ { i } } } \tau _ { i } ) + ( \nabla _ { \tau _ { i } } \sigma ) ( n , \tau _ { i } ) - \frac { 1 } { 2 } ( \nabla _ { n } \sigma ) ( \tau _ { i } , \tau _ { i } ) . } \end{array}
| \Psi _ { \mathrm { ~ T ~ C ~ C ~ } } \rangle = e ^ { T } | \Phi _ { \mathrm { ~ 0 ~ } } \rangle = e ^ { T _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ t ~ } } + T _ { \mathrm { ~ C ~ A ~ S ~ } } } | \Phi _ { \mathrm { ~ 0 ~ } } \rangle = e ^ { T _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ t ~ } } } e ^ { T _ { \mathrm { ~ C ~ A ~ S ~ } } } | \Phi _ { \mathrm { ~ 0 ~ } } \rangle ,
\langle f _ { 1 } ( M _ { i _ { 1 } } ) f _ { 2 } ( M _ { i _ { 2 } } ) \dots f _ { n } ( M _ { i _ { n } } ) \rangle = 0 \ \mathrm { i f } \left\{ \left\{ \begin{array} { l l } { { \langle f _ { i } ( M _ { i _ { k } } ) \rangle = 0 } } & { { \mathrm { f o r a l l } k = 1 , \dots , n - 1 } } \\ { { \mathrm { a n d } \ i _ { k } \neq i _ { k + 1 } } } & { { \ k = 1 , \dots , n } } \end{array} \right. \right. .
\begin{array} { r l } { i \left( \begin{array} { c } { \dot { \psi } _ { 1 , k } } \\ { \dot { \psi } _ { 2 , k } } \end{array} \right) _ { k } = } & { { } E a \left( i \frac { d } { d k } - \frac { N } { 4 } \right) \left( \begin{array} { c } { \psi _ { 1 , k } } \\ { \psi _ { 2 , k } } \end{array} \right) } \end{array}
a F _ { A 1 2 } / \mathcal { F } _ { A _ { 2 } } + ( n _ { 1 } + a F _ { A 1 1 } / \mathcal { F } _ { A _ { 2 } } ) d _ { B } F _ { A 0 2 } / \mathcal { F } _ { A _ { 1 } }
\begin{array} { r } { \operatorname* { m i n } _ { \omega ^ { * } } \, \sum _ { \tau _ { p } } \sum _ { \alpha } \left| \left| \frac { H _ { f i t } ^ { 2 } ( \alpha ) - H _ { p o d } ^ { 2 } ( \alpha ) } { H _ { f i t } ^ { 2 } ( \alpha ) } \right| \right| _ { 2 } \, . } \end{array}
e _ { \mu } ^ { a } = e ^ { \frac { \rho ( x ) } { 2 } } \delta _ { \mu } ^ { a } , \quad e _ { a } ^ { \mu } = e ^ { - \frac { \rho ( x ) } { 2 } } \delta _ { a } ^ { \mu } , \quad \omega _ { m , a b } = \frac { 1 } { 2 } ( \eta _ { a m } \partial _ { b } \rho ( x ) - \eta _ { b m } \partial _ { a } \rho ( x ) ) , \quad \omega _ { c , a b } = e _ { c } ^ { m } \omega _ { m , a b } = e ^ { - \frac { \rho ( x ) } { 2 } } \omega _ { c , a b } .
{ \cal G } _ { 0 } ( \omega , { \bf k } ; z , z ^ { \prime } ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { d q } { 2 \pi } \, \frac { e ^ { i q ( z - z ^ { \prime } ) } } { \omega ^ { 2 } + { \bf k } ^ { 2 } + q ^ { 2 } + m ^ { 2 } } = \frac { e ^ { - \sigma | z - z ^ { \prime } | } } { 2 \sigma } \, ,
\begin{array} { r c l } { { { \cal K } \cdot v \otimes v ^ { \prime } } } & { { = } } & { { q ^ { - \mu \nu / 2 } v \otimes v ^ { \prime } } } \\ { { } } & { { = } } & { { q ^ { - 2 H \otimes H } v \otimes v ^ { \prime } ~ . } } \end{array}
{ \frac { \frac { 8 \ { \mathrm { h o u s e s } } } { 1 0 0 \ { \mathrm { d a y s } } } } { 6 \ { \mathrm { b u i l d e r s } } } } = { \frac { \frac { 2 0 \ { \mathrm { h o u s e s } } } { x } } { 1 0 \ { \mathrm { b u i l d e r s } } } } ,
\ \mathbf { u } ( \mathbf { X } , t ) = \mathbf { b } ( \mathbf { X } , t ) + \mathbf { x } ( \mathbf { X } , t ) - \mathbf { X } \qquad { \mathrm { o r } } \qquad u _ { i } = \alpha _ { i J } b _ { J } + x _ { i } - \alpha _ { i J } X _ { J }
\begin{array} { r l } & { \log \left( { \mathbb E } ^ { { \mathbb Q } } \left[ e ^ { i \upsilon \alpha _ { 1 } ( Y _ { T } ^ { r } - Y _ { t } ^ { r } ) + i \upsilon \alpha _ { 2 } ( Y _ { T } ^ { \lambda } - Y _ { t } ^ { \lambda } ) + i \upsilon \alpha _ { 3 } r _ { T } + i \upsilon \alpha _ { 4 } \lambda _ { T } } | { \mathcal F } _ { t } \right] \right) } \\ & { \ \ \ = \int _ { t } ^ { T } \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( e ^ { i \upsilon \psi _ { u } ^ { r } ( T , \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \alpha _ { 3 } , \alpha _ { 4 } ) y } - 1 \right) \varphi _ { r } ( y ) d y d u } \\ & { \ \ \ \ \ \ \ + \int _ { t } ^ { T } \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( e ^ { i \upsilon \psi _ { u } ^ { \lambda } ( T , \alpha _ { 2 } , \alpha _ { 4 } ) y } - 1 \right) \varphi _ { \lambda } ( y ) d y d u } \\ & { \ \ \ \ \ \ \ + i \upsilon \xi _ { r } ( T - t , r _ { t } , \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 3 } ) + i \upsilon \xi _ { \lambda } ( T - t , \lambda _ { t } , \alpha _ { 2 } , \alpha _ { 4 } ) . } \end{array}
\{ ( \mathbf { r } , \mathbf { e } ) | \mathbf { r } \in V _ { \mathrm { ~ s ~ a ~ m ~ p ~ } } , \| \mathbf { e } \| = 1 \} = \{ \mathbf { r } | \mathbf { r } \in V _ { \mathrm { ~ s ~ a ~ m ~ p ~ } } \} \times \{ \mathbf { e } | \| \mathbf { e } \| = 1 \}
\Gamma _ { \mathrm { R R } } = - \frac { \nu _ { Q \mathrm { ~ - ~ } \mathrm { H e } , i } } { \nu _ { Q \mathrm { ~ - ~ } \mathrm { H e } , i } + \nu _ { Q \mathrm { ~ - ~ } Q , i } } \frac { ( \mu / m _ { Q } ) \Delta E _ { \mathrm { R R } } W _ { \mathrm { R R } } } { ( \eta + \kappa - 3 ) k _ { \mathrm { B } } T } N - \frac { \nu _ { Q \mathrm { ~ - ~ } Q , i } } { \nu _ { Q \mathrm { ~ - ~ } \mathrm { H e } , i } + \nu _ { Q \mathrm { ~ - ~ } Q , i } } W _ { \mathrm { R R } } N .
\begin{array} { r l } { d { S _ { L } } } & { { } = \frac { 1 } { V _ { L } } \{ - ( F + F _ { L } ) S _ { 0 } + | q _ { L } | ( S _ { A } - S _ { L } ) \} d t } \\ { d { S _ { N } } } & { { } = \frac { 1 } { V _ { N } } \{ - ( F + F _ { N } ) S _ { 0 } + | q _ { N } | ( S _ { A } - S _ { N } ) \} d t } \\ { V _ { T o t a l } S _ { 0 } } & { { } = V _ { L } S _ { L } + V _ { A } S _ { A } + V _ { N } S _ { N } , } \\ { q _ { L } } & { { } = - k \left[ \alpha ( T _ { L } - T _ { A } ) - \beta ( S _ { L } - S _ { A } ) \right] , } \\ { q _ { N } } & { { } = - k \left[ \alpha ( T _ { N } - T _ { A } ) - \beta ( S _ { N } - S _ { A } ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { \epsilon } _ { K } ^ { \mathrm { i n t r } , \pm } ( I _ { y } ) } & { \approx } & { \frac { R ( 1 + K ) } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { \frac { \partial B _ { x } } { \partial y } } { B \rho } \sqrt { 2 I _ { y } \beta _ { y } } } \\ & { \times } & { e ^ { i [ K \Phi ( \theta ^ { \prime } ) \mp \nu _ { y } \phi _ { y } ( \theta ^ { \prime } ) \mp \psi _ { y 0 } ] } d \theta ^ { \prime } } \end{array}
i \hbar \frac { \partial \psi ^ { j } ( \textbf { x } _ { j } , t ) } { \partial t } = \left( - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m _ { j } } \Delta - G m _ { j } \sum _ { \underset { k \neq j } { k = 1 } } ^ { N } \frac { m _ { k } } { \mid \textbf { x } _ { j } - X ^ { k } ( t ) \mid } \right) \psi ^ { j } ( \textbf { x } _ { j } , t )
\begin{array} { r l } { \vert \vert F _ { { h _ { 2 } } , i } - f _ { i } * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } - F _ { { h _ { 1 } } , i } + f _ { i } * \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } \le } & { \vert \vert F _ { { h _ { 2 } } , i } - F _ { { h _ { 1 } } , i } \vert \vert _ { L _ { 2 } } + \vert \vert f _ { i } * \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } - f _ { i } * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } } \\ { = } & { O _ { p } ( \frac { T ^ { - \frac { r } { 2 r + p } } } { \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } + \frac { 1 } { 2 } } } \log ^ { \frac { r } { 2 r + p } } ( T ) ) } \end{array}
\frac { \left( 1 + \frac { 4 8 \omega \gamma \delta } { \tau ( 1 - L \gamma ) ^ { 2 } } \right) ^ { K } \| x _ { 0 } - x ^ { * } \| ^ { 2 } } { K \omega \gamma ( 1 - L ( \gamma + 4 \omega ) ) } + \frac { \left( 1 + \frac { 1 - L \gamma } { K } \left( 1 + \frac { 4 8 \omega \gamma \delta } { \tau ( 1 - L \gamma ) ^ { 2 } } \right) ^ { K } \right) \sigma _ { * } ^ { 2 } } { \tau ( 1 - L \gamma ) ( 1 - L ( \gamma + 4 \omega ) ) }
\small \widehat { x _ { \mathrm { n e w } } ^ { \intercal } \beta } - x _ { \mathrm { n e w } } ^ { \intercal } \beta = \underbrace { \widehat { u } ^ { \intercal } \frac { 1 } { n } X ^ { \intercal } \epsilon } _ { \mathrm { a s y m p ~ n o r m a l } } + \underbrace { \left( \widehat { \Sigma } \widehat { u } - x _ { \mathrm { n e w } } \right) ^ { \intercal } ( \beta - \widehat { \beta } ) } _ { \mathrm { r e m a i n i n g ~ b i a s } } .
{ \frac { d \hat { \sigma } } { d y _ { q } d y _ { 3 } d \phi _ { 3 } } } = { \frac { p _ { 3 T } ^ { 2 } E _ { q T } ^ { 2 } \hat { \cal J } _ { 3 } { \cal B } _ { \mathrm { l e p } } } { 2 ^ { 7 } \pi ^ { 4 } s _ { 1 2 } s _ { 3 4 } ( s _ { 1 2 } + M _ { V _ { l } } ^ { 2 } - s _ { 3 4 } ) } } \; ,
c = \frac { 3 v _ { s o u n d } } { \pi T L } \frac { \partial S } { \partial T } = \frac { 3 j _ { e f f } } { j _ { e f f } + 1 } \; ; \; \; \; \; j _ { e f f } = \frac { N - 1 } { 4 }
\begin{array} { r l } { \psi _ { P } ( r ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \exp ( 2 i k \delta \sqrt { \ell ^ { 2 } - r ^ { 2 } } ) , } & { r \le \ell , } \\ { 1 , } & { r > \ell , } \end{array} \right. } \\ & { \approx \left\{ \begin{array} { l l } { 1 + 2 i k \delta \sqrt { \ell ^ { 2 } - r ^ { 2 } } , ~ \, } & { r \le \ell , } \\ { 1 , } & { r > \ell . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { j } ^ { \mathrm { e l } } } & { = \sum _ { \ell = 1 } ^ { N } E _ { j } E _ { \ell } \left[ B _ { j , \ell } \sin ( \delta _ { j , \ell } ) + G _ { j , \ell } \cos ( \delta _ { j , \ell } ) \right] , } \\ { Q _ { j } ^ { \mathrm { e l } } } & { = \sum _ { \ell = 1 } ^ { N } E _ { j } E _ { \ell } \left[ - B _ { j , \ell } \cos ( \delta _ { j , \ell } ) + G _ { j , \ell } \sin ( \delta _ { j , \ell } ) \right] , } \end{array}
\rho _ { + } = 1 0 0 0 , \quad \rho _ { - } = 1 0 0 , \quad \mu _ { + } = 1 0 , \quad \mu _ { - } = 1 , \quad \gamma = 2 4 . 5 , \quad \vec { g } = ( 0 , - 0 . 9 8 ) ^ { T } .
\begin{array} { r } { | \mathcal { D } ^ { c o m , 2 } ( t , k , \xi , \xi _ { 1 } ) | \lesssim e ^ { - \lambda _ { \mathcal { D } } ^ { \prime } | \xi - \xi _ { 1 } | ^ { s _ { 0 } } } , } \end{array}
M = \left( \begin{array} { c c } { { \cosh t \, \sin \theta \, e ^ { i \phi } } } & { { i ( \sinh t + \cosh t \, \cos \theta ) } } \\ { { i ( - \sinh t + \cosh t \, \cos \theta ) } } & { { \cosh t \, \sin \theta \, e ^ { - i \phi } } } \end{array} \right) \, ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ( \mathbf { W } , \mu ) } & { = \| \mathbf { H } _ { \mathrm { e } } ^ { \mathrm { H } } ( \mathbf { Z } _ { \mathrm { R I S } } \! ) \mathbf { W } \| _ { \mathrm { F } } ^ { 2 } - 2 \mathrm { t r } ( \mathrm { R e } \{ \mathbf { H } _ { \mathrm { e } } ^ { \mathrm { H } } ( \mathbf { Z } _ { \mathrm { R I S } } \! ) \mathbf { W } \} + \mu ( \| \mathbf { W } \| _ { \mathrm { F } } ^ { 2 } - P ) , } \\ { \nabla \mathcal { L } ( \mathbf { W } , \mu ) } & { = \big ( \mathbf { H } _ { \mathrm { e } } \mathbf { H } _ { \mathrm { e } } ^ { \mathrm { H } } + \mu \mathbf { I } _ { M } \big ) \mathbf { W } - \mathbf { H } _ { \mathrm { e } } , } \end{array}
\sin ^ { 2 } 2 \theta _ { 0 } \stackrel { < } { \sim } 4 \times 1 0 ^ { - 5 } \left[ { \frac { e V ^ { 2 } } { | \delta m _ { \tau s } ^ { 2 } | } } \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } } .
A _ { C P } ^ { b \rightarrow s \gamma } ( \delta ) = \left. \frac { \Gamma ( \overline { { { B } } } \rightarrow X _ { s } \gamma ) - \Gamma ( B \rightarrow X _ { \overline { { { s } } } } \gamma ) } { \Gamma ( \overline { { { B } } } \rightarrow X _ { s } \gamma ) + \Gamma ( B \rightarrow X _ { \overline { { { s } } } } \gamma ) } \right| _ { E _ { \gamma } > ( 1 - \delta ) E _ { \gamma } ^ { \mathrm { m a x } } } \,
\begin{array} { r l } & { \underset { m , n \in \Theta _ { N } } { \mathbb { E } } ~ \underset { m ^ { \prime } , n ^ { \prime } \in \theta _ { N ^ { \prime } } } { \mathbb { E } } \int _ { \mathcal { M } } G ( \xi _ { R ^ { \prime } ( m ^ { \prime } , n ^ { \prime } ) } ( \chi ) \cdot \xi _ { R ( m , n ) } ( \chi ) ~ d \lambda ( x ) = } \\ & { \frac { \tilde { N } \cdot \tilde { N ^ { \prime } } } { | \Theta _ { N } | \cdot | \Theta _ { N ^ { \prime } } | } \cdot \underset { m , n \in \mathbb { Z } / \tilde { N } \mathbb { Z } } { \mathbb { E } } ~ \underset { m ^ { \prime } , n ^ { \prime } \in \mathbb { Z } / \tilde { N } ^ { \prime } \mathbb { Z } } { \mathbb { E } } \int _ { \mathcal { M } } G ( 1 _ { [ N ^ { \prime } ] } ( n ^ { \prime } ) \xi _ { R ^ { \prime } ( m ^ { \prime } , n ^ { \prime } ) } ) ( \chi _ { N ^ { \prime } } ) \cdot 1 _ { [ N ] } ( n ) \xi _ { R ( m , n ) } ( \chi _ { N } ) ~ d \lambda ( x ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \alpha _ { n } ^ { ( q ) } \; \; \; \; \beta _ { n } ^ { ( q ) } \right) } & { = ( 0 \; \; \; \; 1 ) { \left( \begin{array} { l l } { q - 1 } & { q } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) } ^ { n } } \\ & { = ( - 1 ) ^ { n } ( 0 \; \; \; \; 1 ) { \left( \begin{array} { l l } { [ n + 1 ] _ { - q } } & { - q [ n ] _ { - q } } \\ { - [ n ] _ { - q } } & { q [ n - 1 ] _ { - q } } \end{array} \right) } } \\ & { = ( - 1 ) ^ { n } ( - [ n ] _ { - q } \; \; \; \; q [ n - 1 ] _ { - q } ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { C } } & { = { \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N } w _ { i } } { \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N } w _ { i } \right) ^ { 2 } - \sum _ { i = 1 } ^ { N } w _ { i } ^ { 2 } } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } w _ { i } \left( \mathbf { x } _ { i } - \mu ^ { * } \right) ^ { T } \left( \mathbf { x } _ { i } - \mu ^ { * } \right) } \\ & { = { \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N } w _ { i } \left( \mathbf { x } _ { i } - \mu ^ { * } \right) ^ { T } \left( \mathbf { x } _ { i } - \mu ^ { * } \right) } { V _ { 1 } - ( V _ { 2 } / V _ { 1 } ) } } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \widetilde { \varphi } _ { \omega _ { M } } ( t ) } & { = \int _ { 0 } ^ { t } \varphi _ { \omega _ { M } } ( s ) d s \le \int _ { 0 } ^ { t } ( F _ { M } ( s ) + C ) d s = \widetilde { F } _ { M } ( t ) + C t \le F _ { M } ( k t ) + C t } \\ & { \le \varphi _ { \omega _ { M } } ( k t ) + C t + D \le 2 \varphi _ { \omega _ { M } } ( k t ) \le \varphi _ { \omega _ { M } } ( 2 k t ) . } \end{array}
\frac { \int _ { a ^ { \prime } } ^ { b ^ { \prime } } \exp ( - \phi ( t ) ) \textup { d } t } { \int _ { a ^ { \prime } } ^ { b ^ { \prime } } \sqrt { \phi ^ { \prime \prime } ( t ) } d t } \geq C \frac { \int _ { a } ^ { a ^ { \prime } } \exp ( - \phi ( t ) ) \textup { d } t \int _ { b ^ { \prime } } ^ { b } \exp ( - \phi ( t ) ) \textup { d } t } { \int _ { a } ^ { b } \exp ( - \phi ( t ) ) \textup { d } t } .
\mathrm { m ( \ n u _ { L } ^ { \ t a u } ) \; \approx \; \frac { ( 1 0 0 G e V ) ^ { 2 } ( 1 \; t o \; 1 . 4 4 ) } { \ l a m b d a _ { 3 3 } ( 4 . 5 \times 1 0 ^ { 1 4 } G e V ) \ e t a ^ { 2 } } \approx ( 1 / 4 5 ) e V ( 1 \; t o \; 1 . 4 4 ) / \ l a m b d a _ { 3 3 } \ e t a ^ { 2 } }
8 4 t _ { 1 } \frac { t _ { 3 } ^ { 2 } } { 2 ! } + 1 1 8 t _ { 3 } \frac { t _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 ! } + 3 0 t _ { 5 } \frac { t _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 ! } + 6 6 t _ { 1 } t _ { 2 } t _ { 4 }
\begin{array} { r l } { \operatorname { A v g } \hat { x } _ { i _ { \tau } } \otimes \hat { x } _ { i _ { \tau } } } & { { } \stackrel { } { = } \operatorname { A v g } \mathcal { M } _ { \tau + 1 , i _ { \tau } } ^ { \otimes 2 } \circ \dotsb \circ \mathcal { M } _ { T , i _ { T - 1 } } ^ { \otimes 2 } ( { \hat { \rho } } ^ { ( T ) } \otimes { \hat { \rho } } ^ { ( T ) } ) } \end{array}
s ( x , y ) = \sum _ { i = 1 } ^ { n } s ( x - x _ { \mathrm { ~ i ~ } } , y - y _ { \mathrm { ~ i ~ } } ) = \frac { F _ { z } ( x _ { \mathrm { ~ i ~ } } , y _ { \mathrm { ~ i ~ } } ) ( 1 - \nu ^ { 2 } ) } { \pi E \sqrt { ( x - x _ { \mathrm { ~ i ~ } } ) ^ { 2 } + ( y - y _ { \mathrm { ~ i ~ } } ) ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l r } { \mathcal { A } } & { = } & { i ( 3 a ^ { 2 } + 2 \beta ^ { 2 } ) , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \mathcal { B } = \mathcal { D } + \sqrt { 4 \mathcal { C } ^ { 3 } + \mathcal { D } ^ { 2 } } , } \\ { \mathcal { C } } & { = } & { - 9 a ^ { 4 } - 1 2 a ^ { 2 } \beta ^ { 2 } + 3 \alpha ^ { 2 } \beta ^ { 2 } - \beta ^ { 4 } , } \\ { \mathcal { D } } & { = } & { - 5 4 a ^ { 6 } - 1 0 8 a ^ { 4 } \beta ^ { 2 } - 7 2 a ^ { 2 } \beta ^ { 4 } + 1 8 \alpha ^ { 2 } \beta ^ { 4 } + 2 \beta ^ { 6 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { x } ^ { - 1 } \Psi _ { 3 } ( \tau ) ^ { - 1 } \mathcal { D } _ { \omega } ( \Psi _ { 3 } ( \tau ) ) } & { = Q _ { \omega } + W _ { \omega } , } \\ { Q _ { \omega } } & { = O p ^ { W } ( \mathfrak { q } _ { \omega , \le \mathtt { N } _ { \alpha } } ) , \quad \mathfrak { q } _ { \omega , \le N _ { \alpha } } : = \sum _ { n = 0 } ^ { \mathtt { N } _ { \alpha } - 2 } \frac { 1 } { ( n + 1 ) ! } \mathfrak { q } _ { \omega , n } , } \\ { \mathfrak { q } _ { \omega , 0 } } & { : = \mathcal { D } _ { \omega } \mathfrak { a } , \quad \mathfrak { q } _ { \omega , n } : = \mathfrak { q } _ { \omega , n - 1 } \star \mathfrak { a } , \mathrm { ~ f o r ~ n = 1 , \ldots , \mathtt { N } _ \alpha - 2 ~ } , } \\ { W _ { \omega } } & { = \frac { 1 } { ( \mathtt { N } _ { \alpha } - 2 ) ! } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { \tau } \Psi _ { 3 } ( \tau - t ) ^ { T } O p ^ { W } ( \mathfrak { q } _ { \omega , \mathtt { N } _ { \alpha } - 2 } \star \mathfrak { a } ) \Psi _ { 3 } ( \tau - t ) t ^ { \mathtt { N } _ { \alpha } - 2 } d t d \tau . } \end{array}
s \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \sigma \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( u \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! : \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! - \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \phi \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! - \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( u \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! + \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! / \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 2 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
V _ { \mathrm { { I S H E } } } = \frac { \theta _ { \mathrm { { S O T } } } \lambda _ { \mathrm { { S D } } } \operatorname { t a n h } ( \frac { t _ { \mathrm { { S I O } } } } { 2 \lambda _ { \mathrm { { S D } } } } ) L } { t _ { \mathrm { { S I O } } } \sigma _ { \mathrm { { S I O } } } } J _ { \mathrm { { S } } }