harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \nabla ^ { 2 } { \mathbf B } - \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } { \mathbf B } } { \partial t ^ { 2 } } } & { { } = - \mu _ { 0 } \nabla \times { \mathbf J } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left( \mathbb { E } \tau _ { \xi } ^ { p } ( \mathcal { U } _ { \Pi } ) \right) ^ { 1 / p } } & { \lesssim } & { \Upsilon \sqrt { \frac { \xi } { \prod _ { i = 1 } ^ { M } I _ { i } } } \left( \sqrt { \log \prod _ { i = 1 } ^ { M } I _ { i } } \sqrt { \log \prod _ { j = 1 } ^ { N } J _ { j } } \cdot \log \xi \right) } \\ & { } & { + \Upsilon ^ { 2 } \frac { \xi } { \prod _ { i = 1 } ^ { M } I _ { i } } \left( \log \prod _ { i = 1 } ^ { M } I _ { i } \right) \left( \log \prod _ { j = 1 } ^ { N } J _ { j } \right) \cdot \log ^ { 2 } \xi } \\ & { } & { + \Upsilon \sqrt { \frac { p \xi } { \prod _ { i = 1 } ^ { M } I _ { i } } } + \Upsilon ^ { 2 } \frac { p \xi } { \prod _ { i = 1 } ^ { M } I _ { i } } . } \end{array}
J ( \mathscr { G } , \mathscr { G } _ { \mathrm { m o d e l } } ) = \frac { \vert { \mathscr { E } } \cap { \mathscr { E } _ { \mathrm { m o d e l } } } \vert } { \vert { \mathscr { E } } \cup { \mathscr { E } } _ { \mathrm { m o d e l } } \vert }
\hat { H } = \frac { { \hat { p } } ^ { 2 } } { 2 \mu } + \frac { 1 - \rho } { 1 + \rho } \frac { e B } { 2 \mu } { \hat { l } } _ { z } + \frac { e ^ { 2 } B ^ { 2 } } { 8 \mu } r ^ { 2 } + { \hat { V } } _ { h - e } ( r ) - \frac { \left( e \mathbf { B } \times \mathbf { K } \right) \cdot \mathbf { r } } { M } ,
\begin{array} { r l } { ( \partial \overrightarrow { x } / \partial \zeta ) | _ { i , j , k } = 0 . 1 2 5 * ( } & { { } + \overrightarrow { x } | _ { i + 1 , j + 1 , k } + \overrightarrow { x } | _ { i + 1 , j , k } + \overrightarrow { x } | _ { i + 1 , j + 1 , k + 1 } + \overrightarrow { x } | _ { i + 1 , j , k + 1 } } \\ { ( \partial \overrightarrow { x } / \partial \eta ) | _ { i , j , k } = 0 . 5 * ( } & { { } + \overrightarrow { x } | _ { i , j + 1 , k } + \overrightarrow { x } | _ { i , j + 1 , k + 1 } - \overrightarrow { x } | _ { i , j , k } - \overrightarrow { x } | _ { i , j , k + 1 } ) } \\ { ( \partial \overrightarrow { x } / \partial \xi ) | _ { i , j , k } = 0 . 5 * ( } & { { } + \overrightarrow { x } | _ { i , j + 1 , k + 1 } + \overrightarrow { x } | _ { i , j , k + 1 } - \overrightarrow { x } | _ { i , j , k } - \overrightarrow { x } | _ { i , j + 1 , k } ) . } \end{array}
\mathcal { L } _ { H D } ( \pmb { \theta } ) = \frac { 1 } { N _ { L D } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { L D } } { \left\| \mathbf { y } _ { H } ( \mathbf { x } _ { L D } ^ { i } ) - \mathbf { y } _ { H D } ^ { i , * } \right\| ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { G _ { n + 1 } ( W _ { 1 } ^ { a ( n ) } , . . . , W _ { n } ^ { a ( n ) } , y c _ { n } ( a ) ) } & { \geq n ^ { 3 } \int _ { 0 } ^ { a ( n ) } \int _ { u } ^ { a ( n ) } \int _ { v } ^ { a ( n ) } f _ { n } ( u , v , w ) d F _ { n } ( w ) d F _ { n } ( v ) d F _ { n } ( u ) } \\ & { + n ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { a ( n ) } \int _ { u } ^ { a ( n ) } f _ { n } ( u , v , y c _ { a } ( z ) ) d F _ { n } ( v ) d F _ { n } ( u ) } \\ & { \geq ( 1 - A ) m _ { n } ( a ( n ) ) + ( 1 - A ) m _ { n } a y ^ { 3 - \alpha 3 / 2 } ( 1 + o ( 1 ) ) , } \end{array}
T = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { l l } { { 1 } } & { { 1 } } \\ { { - 1 } } & { { 1 } } \end{array} \right) , ~ ~ ~ \tilde { m } _ { t _ { 1 , 2 } } ^ { 2 } = \tilde { m } ^ { 2 } + m _ { t } ^ { 2 } \pm A _ { t } \tilde { m } m _ { t } \ .
\begin{array} { r l } { \nabla _ { S } p \cdot X } & { = \left( \sum _ { i , j = 1 } ^ { 2 } g ^ { i j } \frac { \partial p } { \partial u _ { i } } \frac { \partial \textbf { x } } { \partial u _ { j } } \right) \cdot \left( \sum _ { k = 1 } ^ { 2 } a ^ { k } \frac { \partial \textbf { x } } { \partial u _ { k } } \right) } \\ & { = \sum _ { i , j , k = 1 } ^ { 2 } g ^ { i j } \frac { \partial p } { \partial u _ { i } } a ^ { k } G _ { j k } } \\ & { = \sum _ { i , k = 1 } ^ { 2 } \delta _ { i k } \frac { \partial p } { \partial u _ { i } } a ^ { k } } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } a ^ { i } \frac { \partial p } { \partial u _ { i } } . } \end{array}
\Psi _ { q } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } , \dots , z _ { N } ) = A \prod _ { i , j , i > j } ^ { N , N } ( z _ { i } - z _ { j } ) ^ { q } e ^ { - \sum _ { i } ^ { N } \frac { | z _ { i } | ^ { 2 } } { 4 l ^ { 2 } } } ,
\begin{array} { r l } { F _ { A } ( x ) } & { = F _ { A } ( u _ { y } ^ { * } ) + \rho ( u _ { y } ^ { * } , y ) ^ { \beta } \Lambda _ { F _ { A } } ^ { \beta } ( y , A ) + \rho ( y , x ) ^ { \beta } S ( x , y ) } \\ & { > F _ { A } ( u _ { y } ^ { * } ) + \rho ( u _ { y } ^ { * } , y ) ^ { \beta } \Lambda _ { F _ { A } } ^ { \beta } ( x , A ) + \rho ( y , x ) ^ { \beta } \Lambda _ { F _ { A } } ^ { \beta } ( x , A ) } \\ & { \geq F _ { A } ( u _ { y } ^ { * } ) + \rho ( u _ { y } ^ { * } , x ) ^ { \beta } \Lambda _ { F _ { A } } ^ { \beta } ( x , A ) ~ , } \end{array}
\rho \left[ { \frac { \partial \left( { \overline { { u _ { i } } } } + u _ { i } ^ { \prime } \right) } { \partial t } } + \left( { \overline { { u _ { j } } } } + u _ { j } ^ { \prime } \right) { \frac { \partial \left( { \overline { { u _ { i } } } } + u _ { i } ^ { \prime } \right) } { \partial x _ { j } } } \right] = - { \frac { \partial \left( { \bar { p } } + p ^ { \prime } \right) } { \partial x _ { i } } } + \mu \left[ { \frac { \partial ^ { 2 } \left( { \overline { { u _ { i } } } } + u _ { i } ^ { \prime } \right) } { \partial x _ { j } \partial x _ { j } } } \right] .
[ X , Y ] _ { \beta \gamma } = - g ^ { 2 } \sum _ { \kappa ^ { \prime } \cdot \gamma = 1 , \ \kappa ^ { \prime } \cdot \beta = 0 } \left[ x ( ( \beta - \gamma + \kappa ^ { \prime } ) \cdot q ) y ( - \kappa ^ { \prime } \cdot q ) - y ( ( \beta - \gamma + \kappa ^ { \prime } ) \cdot q ) x ( - \kappa ^ { \prime } \cdot q ) \right] ,
S ( k , \omega ) = \sum _ { e } \frac { 2 \pi } { k } \left| 1 - \frac { \chi _ { e } } { \epsilon } \right| ^ { 2 } f _ { e } \left( \frac { \omega } { k } \right) + \sum _ { i } \frac { 2 \pi Z _ { i } } { k } f _ { i } \left( \frac { \omega } { k } \right) \ ,
J _ { F } = \int d ^ { 2 } x [ \psi ^ { \dagger } ( - i \partial _ { \theta } + a ( r ) - { \frac { 1 } { 2 } } \sigma _ { 3 } - n ) \psi + \chi ^ { \dagger } ( - i \partial _ { \theta } - { \frac { 1 } { 2 } } \sigma _ { 3 } ) \chi ] .
V ^ { R } = \left( \begin{array} { l l l } { { e ^ { i \alpha } 0 . 9 8 4 } } & { { - e ^ { i \alpha } 0 . 1 5 1 } } & { { e ^ { i \gamma } 0 . 0 9 } } \\ { { e ^ { i ( \alpha - \gamma ) } ( - 0 . 0 3 3 e ^ { i \delta } - 0 . 0 8 6 7 ) } } & { { - e ^ { i ( \alpha - \gamma ) } ( 0 . 2 1 7 e ^ { i \delta } - 0 . 0 1 3 3 ) } } & { { 0 . 9 7 1 } } \\ { { e ^ { i ( \alpha - \gamma ) } ( 0 . 1 4 8 e ^ { i \delta } - 0 . 0 1 9 6 ) } } & { { - e ^ { i ( \alpha - \gamma ) } ( - 0 . 9 6 3 e ^ { i \delta } - 0 . 0 0 3 0 ) } } & { { 0 . 2 1 9 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } & { \lambda _ { 3 } + \lambda _ { 4 } = - 2 \lambda _ { 1 } , } \\ & { ( \lambda _ { 3 } + \lambda _ { 4 } ) ( \lambda _ { 2 } ^ { 2 } + \lambda _ { 1 } ^ { 2 } ) + 2 \lambda _ { 3 } \lambda _ { 4 } \lambda _ { 1 } = - 2 \lambda _ { 1 } ( \lambda _ { 2 } ^ { 2 } + \lambda _ { 1 } ^ { 2 } - \lambda _ { 3 } \lambda _ { 4 } ) < 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \beta \left( g ( u ^ { ( 0 ) } ) \mu ^ { ( 1 ) } + g ^ { \prime } ( u ^ { ( 0 ) } ) u ^ { ( 1 ) } \mu ^ { ( 0 ) } \right) } & { = } & { M _ { 0 } \nabla \cdot \left( \nabla \mu ^ { ( 1 ) } + w ^ { ( 0 ) } \nabla u ^ { ( 1 ) } + w ^ { ( 1 ) } \nabla u ^ { ( 0 ) } \right) , } \\ { \mu ^ { ( 1 ) } } & { = } & { q ^ { \prime \prime } ( u ^ { ( 0 ) } ) u ^ { ( 1 ) } + h ( u ^ { ( 0 ) } ) f _ { c l } ^ { d } ( x , y , u ^ { ( 0 ) } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 4 } } & { = \int _ { i / N } ^ { ( i + 1 ) / N } f _ { \sigma } ( x ) ~ d x = \int _ { i / N } ^ { ( i + 1 ) / N } \left[ 1 - Q \left( \frac { x } { \sigma } \right) - Q \left( \frac { 1 - x } { \sigma } \right) \right] d x } \\ & { = \frac { 1 } { N } - \int _ { i / N } ^ { ( i + 1 ) / N } Q \left( \frac { x } { \sigma } \right) d x - \int _ { 1 - ( i + 1 ) / N } ^ { 1 - i / N } Q \left( \frac { x } { \sigma } \right) d x } \\ & { = \frac { 1 } { N } - \left[ \frac { ( i + 1 ) } { N } Q \left( \frac { i + 1 } { N \sigma } \right) - \frac { i } { N } Q \left( \frac { i } { N \sigma } \right) - \frac { \sigma } { \sqrt { 2 \pi } } e ^ { — \frac { \gamma } { 2 } \frac { ( i + 1 ) ^ { 2 } } { N ^ { 2 } } } + \frac { \sigma } { \sqrt { 2 \pi } } e ^ { — \frac { \gamma } { 2 } \frac { i ^ { 2 } } { N ^ { 2 } } } \right] } \\ & { - \left[ ( 1 - \frac { i } { N } ) Q \left( \frac { 1 - \frac { i } { N } } { \sigma } \right) - ( 1 - \frac { i + 1 } { N } ) Q \left( \frac { 1 - \frac { i + 1 } { N } } { \sigma } \right) - \frac { \sigma } { \sqrt { 2 \pi } } e ^ { — \frac { \gamma } { 2 } ( 1 - \frac { i } { N } ) ^ { 2 } } + \frac { \sigma } { \sqrt { 2 \pi } } e ^ { — \frac { \gamma } { 2 } ( 1 - \frac { i + 1 } { N } ) ^ { 2 } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { m \to \infty } \operatorname* { l i m } _ { \tau \to 0 } \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left\| \mathcal { L } _ { m n } ^ { \tau } \varphi - \mathcal { L } \varphi \right\| _ { L _ { \mu } ^ { 2 } } = \operatorname* { l i m } _ { \tau \to 0 } \operatorname* { l i m } _ { m \to \infty } \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left\| \mathcal { L } _ { m n } ^ { \tau } \varphi - \mathcal { L } \varphi \right\| _ { L _ { \mu } ^ { 2 } } = 0 . } \end{array}
{ \begin{array} { l l l } { n T \tau _ { E } } & { \geq } & { { \frac { 1 2 \cdot 1 4 ^ { 2 } \cdot \mathrm { { k e V } } ^ { 2 } } { 1 . 1 \cdot 1 0 ^ { - 2 4 } { \frac { \mathrm { { m } } ^ { 3 } } { \mathrm { { m } } ^ { 3 } } { { s } } } 1 4 ^ { 2 } \cdot 3 5 0 0 \cdot \mathrm { { k e V } } } } \approx 3 \cdot 1 0 ^ { 2 1 } { \mathrm { k e V ~ s } } / { \mathrm { m } } ^ { 3 } } \end{array} } ( 3 . 5 \cdot 1 0 ^ { 2 8 } { \mathrm { K ~ s } } / { \mathrm { m } } ^ { 3 } )
\begin{array} { r l r } & { } & { \partial _ { \mu } \Big ( \sqrt { - g } \Psi ^ { \nu \mu } \Big ) + \sqrt { - g } \frac { m ^ { 2 } } { \hbar ^ { 2 } } \Psi ^ { \nu } + \sqrt { - g } \frac { i } { \hbar } A _ { \mu } \Psi ^ { \nu \mu } + \sqrt { - g } \frac { i } { \hbar } e F ^ { \nu \mu } \Psi _ { \mu } + \hbar ^ { 2 } \beta \partial _ { 0 } \partial _ { 0 } \partial _ { 0 } \Big ( \sqrt { - g } g ^ { 0 0 } \Psi ^ { 0 \nu } \Big ) } \\ & { } & { - \hbar ^ { 2 } \beta \partial _ { i } \partial _ { i } \partial _ { i } \Big ( \sqrt { - g } g ^ { i i } \Psi ^ { i \nu } \Big ) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { E } _ { x , y } \Big [ \Big ( f ( X _ { t } ^ { \varepsilon } , Y _ { t } ^ { \varepsilon } ) - f ( X _ { s } ^ { \varepsilon } , Y _ { s } ^ { \varepsilon } ) - \int _ { s } ^ { t } A f ( X _ { u } ^ { \varepsilon } , Y _ { u } ^ { \varepsilon } ) \, \mathrm { d } u \Big ) \prod _ { j = 1 } ^ { l } h _ { j } ( X _ { s _ { j } } ^ { \varepsilon } , Y _ { s _ { j } } ^ { \varepsilon } ) \Big ] \to 0 , \quad \varepsilon \to 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { L _ { + } ^ { \uparrow } } & { = } & { \{ A \in \O ( 1 , 3 ) : \operatorname* { d e t } ( A ) = 1 \mathrm { ~ a n d ~ } a _ { 0 0 } \geq 1 \} } \\ { L _ { - } ^ { \uparrow } } & { = } & { \{ A \in \O ( 1 , 3 ) : \operatorname* { d e t } ( A ) = - 1 \mathrm { ~ a n d ~ } a _ { 0 0 } \geq 1 \} } \\ { L _ { + } ^ { \downarrow } } & { = } & { \{ A \in \O ( 1 , 3 ) : \operatorname* { d e t } ( A ) = 1 \mathrm { ~ a n d ~ } a _ { 0 0 } \leq - 1 \} } \\ { L _ { - } ^ { \downarrow } } & { = } & { \{ A \in \O ( 1 , 3 ) : \operatorname* { d e t } ( A ) = - 1 \mathrm { ~ a n d ~ } a _ { 0 0 } \leq - 1 \} } \end{array}
\mathcal { A } _ { 1 } = \mathcal { K } _ { a } + \mathcal { O } _ { a } + \mathcal { S } _ { a } + \mathcal { S } _ { b } \ , \quad \mathcal { B } _ { 1 } = \mathcal { K } _ { b } \ , \quad \mathcal { C } _ { 1 } = \mathcal { R } _ { a } \ ,
\stackrel { \circ } { \vec { A } } \stackrel { \mathrm { ~ d ~ e ~ f ~ } } { = } \frac { D } { D t } \vec { A } - \boldsymbol { \Omega } ^ { T } \cdot \vec { A } - \vec { A } \cdot \boldsymbol { \Omega } = \boldsymbol { 0 } .
\int \mathcal { D } \, \underline { { \Psi } } _ { \, b } ^ { \dagger } \, \mathcal { D } \, \underline { { \Psi } } _ { \, b } \, e ^ { - \widetilde { S } _ { B } \left[ \underline { { \Psi } } _ { \, b } ^ { \dagger } , \underline { { \Psi } } _ { \, b } \right] } = C \left( \operatorname* { d e t } \, \cal A \right) ^ { - 1 }
{ \begin{array} { r l r l } { \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { W _ { 0 } ( x ) } { x { \sqrt { x } } } } \, d x } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { u } { u e ^ { u } { \sqrt { u e ^ { u } } } } } ( u + 1 ) e ^ { u } \, d u } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { u + 1 } { \sqrt { u e ^ { u } } } } d u } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { u + 1 } { \sqrt { u } } } { \frac { 1 } { \sqrt { e ^ { u } } } } d u } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } u ^ { \frac { 1 } { 2 } } e ^ { - { \frac { u } { 2 } } } d u + \int _ { 0 } ^ { \infty } u ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } e ^ { - { \frac { u } { 2 } } } d u } \\ & { = 2 \int _ { 0 } ^ { \infty } ( 2 w ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } e ^ { - w } \, d w + 2 \int _ { 0 } ^ { \infty } ( 2 w ) ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } e ^ { - w } \, d w } & & { \quad ( u = 2 w ) } \\ & { = 2 { \sqrt { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } w ^ { \frac { 1 } { 2 } } e ^ { - w } \, d w + { \sqrt { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } w ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } e ^ { - w } \, d w } \\ & { = 2 { \sqrt { 2 } } \cdot \Gamma \left( { \frac { 3 } { 2 } } \right) + { \sqrt { 2 } } \cdot \Gamma \left( { \frac { 1 } { 2 } } \right) } \\ & { = 2 { \sqrt { 2 } } \left( { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { \pi } } \right) + { \sqrt { 2 } } \left( { \sqrt { \pi } } \right) } \\ & { = 2 { \sqrt { 2 \pi } } . } \end{array} }
| \psi ( 0 , 0 ) \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } \operatorname * { d e t } S } \left\{ | k _ { 1 } \rangle _ { r } \otimes | k _ { 2 } \rangle _ { l } - | k _ { 2 } \rangle _ { r } \otimes | k _ { 1 } \rangle _ { l } \right\} \, ,
J _ { 4 , \mathrm { D I S } } ^ { ( a ) , \mathrm { f i n } } ( 0 ) = { \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 2 } } } \left( \gamma _ { \mathrm { D I S } } + i \pi \right) \coth \gamma _ { \mathrm { D I S } } \, \ln \left( { \frac { \bar { \mu } ^ { 2 } } { \lambda ^ { 2 } } } \right) .
x _ { W K B } ( t ) = \frac { c } { \left( \omega ^ { 2 } ( t ) - \frac { \Gamma ^ { 2 } } { 4 } \right) ^ { 1 / 4 } } e ^ { - \Gamma t / 2 } e ^ { i \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \sqrt { \omega ^ { 2 } \left( t ^ { \prime } \right) - \frac { \Gamma ^ { 2 } } { 4 } } d t ^ { \prime } }
d s ^ { 2 } = - c ^ { 2 } \left( 1 - { \frac { 2 G M } { r c ^ { 2 } } } \right) \, d t ^ { 2 } + { \frac { d r ^ { 2 } } { 1 - { \frac { 2 G M } { r c ^ { 2 } } } } } + r ^ { 2 } ( d \theta ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \theta \, d \varphi ^ { 2 } ) .
\boldsymbol { z } = \left[ \begin{array} { c } { t } \\ { \boldsymbol { x } } \end{array} \right] \in { \mathcal W } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \boldsymbol { Z } = \left[ \begin{array} { c } { t } \\ { \boldsymbol { X } } \end{array} \right] \in { \mathcal W } _ { 0 }
\begin{array} { r l } { \ln \left( s _ { \mathrm { G M D } } \right) = } & { \ln ( s ) - \frac { 3 } { 2 } } \\ & { + \frac { s ^ { 2 } } { 2 w _ { 1 } w _ { 2 } } \left[ \left( 1 + \frac { w _ { 1 } + w _ { 2 } } { 2 s } \right) ^ { 2 } \ln \left( 1 + \frac { w _ { 1 } + w _ { 2 } } { 2 s } \right) \right. } \\ & { \left. + \left( 1 - \frac { w _ { 1 } + w _ { 2 } } { 2 s } \right) ^ { 2 } \ln \left( 1 - \frac { w _ { 1 } + w _ { 2 } } { 2 s } \right) \right. } \\ & { \left. - \left( 1 + \frac { w _ { 1 } - w _ { 2 } } { 2 s } \right) ^ { 2 } \ln \left( 1 + \frac { w _ { 1 } - w _ { 2 } } { 2 s } \right) \right. } \\ & { \left. - \left( 1 - \frac { w _ { 1 } - w _ { 2 } } { 2 s } \right) ^ { 2 } \ln \left( 1 - \frac { w _ { 1 } - w _ { 2 } } { 2 s } \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { | X _ { 1 2 } | \leq C ( | k - k _ { 1 } | ^ { N } + t ^ { - 2 N / 3 } ) e ^ { - c t | k - k _ { 1 } | ^ { 2 } } + C e ^ { - c t ^ { 1 / 3 } | z | ^ { 2 } } \times \left\{ \begin{array} { l l } { | z | ^ { N + 1 } , } & { | z | \leq t ^ { \frac { 1 } { 1 2 } } , } \\ { 1 , } & { | z | \geq t ^ { \frac { 1 } { 1 2 } } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left| \left( r _ { f } ^ { 2 } - | v - u _ { f } | ^ { 2 } \right) ^ { \frac n 2 } - \left( r _ { g } ^ { 2 } - | v - u _ { g } | ^ { 2 } \right) ^ { \frac n 2 } \right| } \\ & { \quad = \frac n 2 \left| \left( r _ { f } ^ { 2 } - | v - u _ { f } | ^ { 2 } - r _ { g } ^ { 2 } + | v - u _ { g } | ^ { 2 } \right) \int _ { 0 } ^ { 1 } \left\{ \theta \left( r _ { f } ^ { 2 } - | v - u _ { f } | ^ { 2 } \right) + ( 1 - \theta ) \left( r _ { g } ^ { 2 } - | v - u _ { g } | ^ { 2 } \right) \right\} ^ { \frac n 2 - 1 } d \theta \right| } \\ & { \quad \le \frac n 2 \left| \left( r _ { f } - r _ { g } \right) \left( r _ { f } + r _ { g } \right) \int _ { 0 } ^ { 1 } \left\{ \theta \left( r _ { f } ^ { 2 } - | v - u _ { f } | ^ { 2 } \right) + ( 1 - \theta ) \left( r _ { g } ^ { 2 } - | v - u _ { g } | ^ { 2 } \right) \right\} ^ { \frac n 2 - 1 } d \theta \right| } \\ & { \qquad + \frac n 2 \left| ( u _ { f } - u _ { g } ) \left( 2 v - u _ { f } - u _ { g } \right) \int _ { 0 } ^ { 1 } \left\{ \theta \left( r _ { f } ^ { 2 } - | v - u _ { f } | ^ { 2 } \right) + ( 1 - \theta ) \left( r _ { g } ^ { 2 } - | v - u _ { g } | ^ { 2 } \right) \right\} ^ { \frac n 2 - 1 } d \theta \right| . } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { - 1 } ^ { \xi ( s ) } c ( \rho ( s , x ) ) \textrm { \, d } x = \int _ { \xi ( s ) } ^ { \xi ( t ) } c ( \rho ( s , x ) ) \textrm { \, d } x + \int _ { \xi ( t ) } ^ { 1 } c ( \rho ( s , x ) ) \textrm { \, d } x } \\ { \int _ { - 1 } ^ { \xi ( s ) } c ( \rho ( t , x ) ) \textrm { \, d } x = - \int _ { \xi ( s ) } ^ { \xi ( t ) } c ( \rho ( t , x ) ) \textrm { \, d } x + \int _ { \xi ( t ) } ^ { 1 } c ( \rho ( t , x ) ) \textrm { \, d } x } \end{array}
\begin{array} { r l } { I \ = \ } & { { } \int _ { 0 } ^ { + \infty } x e ^ { - \frac { ( x - Q ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \ d x } \\ { \ = \ } & { { } \int _ { - \frac { Q } { \sqrt { 2 } \sigma } . } ^ { + \infty } ( \sqrt { 2 } \sigma u + Q ) e ^ { - u ^ { 2 } } \sqrt { 2 } \sigma \ d u } \\ { \ = \ } & { { } 2 \sigma ^ { 2 } \int _ { - \frac { Q } { \sqrt { 2 } \sigma } } ^ { + \infty } u e ^ { - u ^ { 2 } } d x + \sqrt { 2 } \sigma Q \int _ { - \frac { Q } { \sqrt { 2 } \sigma } . } ^ { + \infty } e ^ { - u ^ { 2 } } d x } \\ { \ = \ } & { { } \sigma ^ { 2 } e ^ { - \frac { Q ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } + \sqrt { 2 \pi } \sigma Q \ \frac { 1 } { 2 } \left( \ 1 - \mathrm { ~ e ~ r ~ f ~ } \left( - \frac { Q } { \sqrt { 2 } \sigma } \right) \ \right) } \\ { \ = \ } & { { } \sigma ^ { 2 } e ^ { - \frac { Q ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } + \sqrt { 2 \pi } \sigma Q \ \frac { 1 } { 2 } \mathrm { ~ e ~ r ~ f ~ c ~ } \left( - \frac { Q } { \sqrt { 2 } \sigma } \right) } \\ { \ = \ } & { { } \sigma ^ { 2 } e ^ { - \frac { Q ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } + \sqrt { 2 \pi } \sigma Q \ g _ { N } . } \end{array}
\Lambda \partial _ { \Lambda } \Gamma _ { \Lambda } [ \Phi ] = \frac { i } { 2 } \mathrm { S T r } \left\{ ( \Lambda \partial _ { \Lambda } { \cal D } _ { \Lambda } ^ { - 1 } ) \left( \frac { \delta ^ { 2 } \Gamma _ { \Lambda } } { \delta \bar { \Phi } \delta \Phi } + { \cal D } _ { \Lambda } ^ { - 1 } \right) ^ { - 1 } \right\}
\begin{array} { r l } { \hat { U } _ { \mathrm { p o l } } ^ { \dagger } \hat { c } _ { u , \alpha } ^ { \dagger } \hat { c } _ { v , \alpha ^ { \prime } } \hat { U } _ { \mathrm { p o l } } } & { { } = ( \hat { U } _ { \mathrm { p o l } } ^ { \dagger } \hat { c } _ { u , \alpha } ^ { \dagger } \hat { U } _ { \mathrm { p o l } } ) ( \hat { U } _ { \mathrm { p o l } } ^ { \dagger } \hat { c } _ { v , \alpha ^ { \prime } } \hat { U } _ { \mathrm { p o l } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } A ( t ) } & { { } = - i g _ { \mathrm { c } } S _ { \mathrm { c } } ^ { * } ( t ) - i g _ { \mathrm { h } } S _ { \mathrm { h } } ( t ) , } \\ { \frac { d } { d t } S _ { \mathrm { c } } ( t ) } & { { } = - \frac { \gamma _ { \mathrm { c } } } { 2 } S _ { \mathrm { c } } ( t ) - i g _ { \mathrm { c } } A ^ { * } ( t ) D _ { \mathrm { c } } ( t ) , } \\ { \frac { d } { d t } D _ { \mathrm { c } } ( t ) } & { { } = 2 i g _ { \mathrm { c } } \left( A ^ { * } ( t ) S _ { \mathrm { c } } ^ { * } ( t ) - A ( t ) S _ { \mathrm { c } } ( t ) \right) - \gamma _ { \mathrm { c } } \left( D _ { \mathrm { c } } ( t ) + 1 \right) , } \\ { \frac { d } { d t } S _ { \mathrm { h } } ( t ) } & { { } = - \frac { \gamma _ { \mathrm { h } } } { 2 } S _ { \mathrm { h } } ( t ) - i g _ { \mathrm { h } } A ( t ) D _ { \mathrm { h } } ( t ) , } \\ { \frac { d } { d t } D _ { \mathrm { h } } ( t ) } & { { } = 2 i g _ { \mathrm { h } } \left( A ( t ) S _ { \mathrm { h } } ^ { * } ( t ) - A ^ { * } ( t ) S _ { \mathrm { h } } ( t ) \right) - \gamma _ { \mathrm { h } } \left( D _ { \mathrm { h } } ( t ) + 1 \right) . } \end{array}
\Hat { G } _ { i j } ( \vec { k } = \vec { 0 } , \omega ) = \int \mathrm { d } t \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \mathrm { d } \vec { r } \, \mathrm { e } ^ { i \omega t } G _ { i j } ( \vec { r } , t ) = \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \mathrm { d } \vec { r } \, \Tilde { G _ { i j } } ( \vec { r } , \omega ) \, .
\begin{array} { r l r } { \mathcal { S } _ { 0 } ( z ) = 0 , } & { } & \\ { \mathcal { G } _ { \nu } ( z ) = H _ { \nu } - z - \mathcal { S } _ { \nu } ( z ) , } & { \quad } & { \nu = 0 , \dots , N , } \\ { \mathcal { S } _ { \nu } ( z ) = A _ { \nu - 1 , \nu } \, \mathcal { G } _ { \nu - 1 } ^ { - 1 } ( z ) A _ { \nu - 1 , \nu } ^ { \dag } , } & { \quad } & { \nu = 1 , \dots , N . } \end{array}
\chi ( \lambda ) = \alpha _ { \mathrm { ~ s ~ t ~ a ~ t ~ i ~ c ~ } } + \sum _ { n = 0 , 1 , 2 } \frac { \alpha _ { n } \lambda _ { n } } { \mu _ { n } } \left[ \frac { 1 } { 1 - \frac { \lambda _ { n } ^ { 2 } } { \lambda ^ { 2 } } - i \frac { \lambda _ { n } ^ { 2 } } { \lambda \mu _ { n } } } - 1 \right]
d s ^ { 2 } = 4 { \frac { \sum _ { i } d x _ { i } ^ { 2 } } { ( 1 - \sum _ { i } x _ { i } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } = { \frac { 4 \lVert d \mathbf { x } \rVert ^ { 2 } } { { \bigl ( } 1 - \lVert \mathbf { x } \rVert ^ { 2 } { \bigr ) } ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l } { \partial _ { x } ^ { 2 } W _ { 3 } } & { = \frac { 1 } { ( \mathtt { N } _ { \alpha } + 1 ) ! } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { \tau } \partial _ { x } ^ { 2 } \left( \Psi _ { 3 } ( \tau - t ) \Phi _ { 4 } \Psi _ { 5 } \Psi _ { 6 } \right) ^ { T } O p ^ { W } ( \mathfrak { q } _ { \omega , \mathtt { N } _ { \alpha } - 2 } \star \mathfrak { a } ) \Psi _ { 3 } ( \tau - t ) \Phi _ { 4 } \Psi _ { 5 } \Psi _ { 6 } t ^ { \mathtt { N } _ { \alpha } - 2 } d t d \tau } \\ & { \ - \frac { 1 } { \mathtt { N } _ { \alpha } ! } \int _ { 0 } ^ { 1 } \partial _ { x } ^ { 2 } \left( \Psi _ { 3 } ( 1 - t ) \Phi _ { 4 } \Psi _ { 5 } \Psi _ { 6 } \right) ^ { T } O p ^ { W } ( \mathfrak { q } _ { M _ { 2 } , \mathtt { N } _ { \alpha } } \star \mathfrak { a } ) \Psi _ { 3 } ( 1 - t ) \Phi _ { 4 } \Psi _ { 5 } \Psi _ { 6 } t ^ { \mathtt { N } _ { \alpha } } d t . } \end{array}
\frac { E _ { 0 } \left( \ell , \mu , d \right) } { L ^ { d - 1 } } \approx - \frac { C \left( d \right) \, \left( 2 ^ { d } - 1 \right) \Gamma \left( d \right) \zeta _ { R } \left( d + 1 \right) } { 2 ^ { 3 d - 1 } \pi ^ { d / 2 } \Gamma \left( \frac { d } { 2 } \right) \, \ell ^ { d } } .