harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \left[ \left( { \frac { m \pi } { a } } \right) ^ { 4 } Y _ { m } \sin { \frac { m \pi x } { a } } - 2 \left( { \frac { m \pi } { a } } \right) ^ { 2 } { \cfrac { d ^ { 2 } Y _ { m } } { d y ^ { 2 } } } \sin { \frac { m \pi x } { a } } + { \frac { d ^ { 4 } Y _ { m } } { d y ^ { 4 } } } \sin { \frac { m \pi x } { a } } \right] = 0
\begin{array} { r l } { J _ { 1 } = } & { { } f _ { \mathrm { ~ Q ~ I ~ } } + ( A - A _ { \mathrm { ~ t ~ a ~ r ~ g ~ e ~ t ~ } } ) ^ { 2 } + \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } ( 0 , \Delta - \Delta _ { * } ) ^ { 2 } + \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } ( 0 , \epsilon - \epsilon _ { * } ) ^ { 2 } . } \end{array}
( \Omega _ { g } ) _ { h c } \approx \left\{ \begin{array} { c c c c } { { 1 6 v / 9 } } & { { = } } & { { { 2 / 3 \pi } ( { H _ { i n f l } / { M _ { P l } } } ) ^ { 2 } } } & { { R D } } \\ { { v / \pi ^ { 2 } } } & { { = } } & { { { 3 / 8 \pi ^ { 2 } } ( { H _ { i n f l } / { M _ { P l } } } ) ^ { 2 } } } & { { M D } } \end{array} \right.
{ \mathcal { H } } _ { \mathrm { J C } } = \underbrace { \hbar \omega _ { r } \left( a ^ { \dagger } a + { \frac { 1 } { 2 } } \right) } _ { \mathrm { c a v i t y ~ t e r m } } + \underbrace { { \frac { 1 } { 2 } } \hbar \omega _ { a } \sigma _ { z } } _ { \mathrm { a t o m i c ~ t e r m } } + \underbrace { \hbar g \left( \sigma _ { + } a + a ^ { \dagger } \sigma _ { - } \right) } _ { \mathrm { i n t e r a c t i o n ~ t e r m } }
\begin{array} { r l } { W _ { \varepsilon } ^ { i } ( \xi , T ) } & { { } = \int _ { D } \mathbb { E } \left[ \left. \tilde { Q } _ { j } ^ { i } ( T ) 1 _ { \{ T < T _ { \xi } \} } \right| \tilde { X } _ { T } ^ { \xi } = \eta \right] W _ { \varepsilon } ^ { j } ( \eta , 0 ) p _ { u } ( 0 , \eta , T , \xi ) \textrm { d } \eta } \end{array}
V _ { 0 } ^ { \operatorname* { m a x } } = 0 . 3 8 5 \left( \frac { d _ { \mathrm { H e } } } { l _ { \mathrm { R } } } \right) ^ { 2 \beta / \left( \pi + 2 \beta \right) } \lambda \sqrt { \frac { 4 \pi \rho _ { \mathrm { H e } } g h _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 3 } } { \varepsilon _ { \mathrm { H e } } - 1 } } ,
\begin{array} { l l } { { \widehat { \cal O } _ { 1 } = Y _ { d } Y _ { d } Y _ { d } L ^ { + + } } } & { { \widehat { \cal O } _ { 2 } = \Delta _ { a } Y _ { d } Y _ { d } L ^ { + + } } } \\ { { \widehat { \cal O } _ { 3 } = \Delta _ { a } \Delta _ { a } \Delta _ { a } L ^ { + + } } } & { { \widehat { \cal O } _ { 4 } = \Delta _ { a } \Delta _ { a } \Delta _ { b } \chi ^ { + } } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle x _ { s , a } ^ { i } \leq \sum _ { a ^ { \prime } \in \mathcal { A } } x _ { s , a ^ { \prime } } ^ { i } } \\ { \displaystyle x _ { s , a } ^ { i } \leq \frac { w _ { i } } { 1 - \gamma } \pi _ { s , a } } \\ { \displaystyle x _ { s , a } ^ { i } \geq 0 } \\ { \displaystyle x _ { s , a } ^ { i } \geq \frac { w _ { i } } { 1 - \gamma } ( \pi _ { s , a } - 1 ) + \sum _ { a ^ { \prime } \in \mathcal { A } } x _ { s , a ^ { \prime } } ^ { i } } \end{array} \right.
( \mathrm { s _ { A } \mathrm { z _ { A } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { z } } _ { B } \mathrm { x _ { B } ^ { 2 } \mathrm { y _ { B } ^ { 2 } + \mathrm { z _ { A } \mathrm { x _ { A } ^ { 2 } \mathrm { y _ { A } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { s } } _ { B } \mathrm { z _ { B } ^ { 2 } ) } } } } } } } } } }
{ \textstyle \frac { 3 ^ { 3 } } { 2 0 } } m ^ { 2 } \hat { \epsilon } \hat { C } \left( i _ { \hat { k } } \hat { C } \right) ^ { 4 } = { \textstyle \frac { 3 ^ { 4 } } { 2 0 } } m ^ { 2 } \epsilon B ^ { 5 } \, ,
\begin{array} { r l } { \left| \sum _ { n = 1 } ^ { \lceil t ^ { 1 / 2 } \rceil } n ^ { - s } \right| } & { \le \sum _ { n = 1 } ^ { n _ { 0 } } n ^ { - \sigma } + \int _ { n _ { 0 } } ^ { \lceil t ^ { 1 / 2 } \rceil } x ^ { - \sigma } \mathrm { d } x = \sum _ { n = 1 } ^ { n _ { 0 } } n ^ { - \sigma } + \frac { ( t ^ { 1 / 2 } + 1 ) ^ { 1 - \sigma } - n _ { 0 } ^ { 1 - \sigma } } { 1 - \sigma } } \\ & { \le \sum _ { n = 1 } ^ { n _ { 0 } } n ^ { - \sigma } + \frac { 2 K - 2 } { k } \left( t ^ { k / ( 4 K - 4 ) } ( 1 + t _ { 0 } ^ { - 1 / 2 } ) ^ { 1 - \sigma } - n _ { 0 } ^ { k / ( 2 K - 2 ) } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } [ N ^ { 2 } ] = } & { \sum _ { S = 0 } ^ { n } d ^ { n } \binom n S ( d - 1 ) ^ { n - S } \left( ( 1 - p ) \frac { \binom S k } { \binom n k } + ( 1 - p ) ^ { 2 } ( 1 - \frac { \binom S k } { \binom n k } ) \right) ^ { r n \ln d - 1 } \cdot } \\ & { \left( p \frac { \binom S k } { \binom n k } + p ^ { 2 } ( 1 - \frac { \binom S k } { \binom n k } ) \right) . } \end{array}
e _ { 0 } \in [ 0 . 0 2 5 , 0 . 0 5 , 0 . 0 7 5 , 0 . 1 , 0 . 2 5 , 0 . 5 , 0 . 7 5 , 1 . 0 , 2 . 5 , 5 . 0 , 7 . 5 , 1 0 ]
\Lambda _ { N _ { c } , N _ { c } } = \left( \prod _ { a } m _ { a } ^ { \frac 1 { 2 N _ { c } } } \right) \cdot \Lambda _ { N _ { c } , N _ { f } } ^ { \frac { 3 N _ { c } - N _ { f } } { 2 N _ { c } } } \; .
{ \frac { m _ { M } - m _ { Q } } { 2 } } = \sum _ { m } E _ { 1 / 2 } ^ { ( m ) } \, | \tau _ { 1 / 2 } ^ { ( m ) } ( w ) | ^ { 2 } + 2 \sum _ { n } E _ { 3 / 2 } ^ { ( n ) } \, | \tau _ { 3 / 2 } ^ { ( n ) } ( w ) | ^ { 2 } \, ,
{ \Pi } = S + { \bar { S } } - \frac { \delta _ { G S } } { 8 \pi ^ { 2 } } \log \left( ( T + { \bar { T } } ) ( U ^ { \prime } + { \bar { U } } ^ { \prime } ) - ( B + { \bar { C } } ) ( C + { \bar { B } } ) \right) + ( m o d u l a r f u n c t i o n ) .
D ( \chi _ { 1 } \rightarrow \gamma \widetilde { G } ) \simeq 1 . 8 \times 1 0 ^ { - 3 } \, | N _ { 1 1 } ^ { ' } | ^ { - 2 } \, \sqrt { E _ { \chi _ { 1 } } ^ { 2 } / m _ { \chi _ { 1 } } ^ { 2 } - 1 } \, ( m _ { \widetilde { G } } / 1 \; \mathrm { e V } ) ^ { 2 } \, ( 1 0 0 \; \mathrm { G e V } / m _ { \chi _ { 1 } } ) ^ { 5 } \; \mathrm { c m } ,
\begin{array} { r l } { E ( x _ { 1 } ) } & { = \gamma \cos { \theta _ { L G } } + \gamma _ { \mathrm { b l } } ( \zeta _ { \mathrm { d } } ) + g _ { \mathrm { b r u s h } } ( { \zeta _ { \mathrm { d } } } ) } \\ { E ( x _ { 4 } ) } & { = \gamma + \gamma _ { \mathrm { b l } } ( \zeta _ { \mathrm { p } } ) + f _ { \mathrm { w e t } } ( h _ { \mathrm { p } } , \zeta _ { \mathrm { p } } ) + g _ { \mathrm { b r u s h } } ( { \zeta _ { \mathrm { p } } } ) . } \end{array}
\langle r ^ { 2 } \rangle _ { A } = - \frac { 6 } { G _ { A } ( 0 ) } \ \frac { \mathrm { d } G _ { A } ( Q ^ { 2 } ) } { \mathrm { d } Q ^ { 2 } } \Bigg \vert _ { Q ^ { 2 } = 0 } = \frac { 1 } { G _ { A } ( 0 ) } \int r ^ { 4 } \mathrm { d } r \ [ A _ { 0 } ( r ) + \frac { 2 } { 5 } A _ { 2 } ( r ) ] + \frac { 3 } { 4 M _ { N } ^ { 2 } } \, .
c _ { 1 } \frac { \Gamma ( c ) \Gamma ( a - b ) } { \Gamma ( a ) \Gamma ( c - b ) } + c _ { 2 } \frac { \Gamma ( 2 - c ) \Gamma ( a - b ) } { \Gamma ( a - c + 1 ) \Gamma ( 1 - b ) } = 0 .
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { l i m } _ { \omega \rightarrow - c _ { \mathrm { i } } k - 0 } F ( \omega ) = \infty , } & { { } } & { \operatorname* { l i m } _ { \omega \rightarrow - c _ { \mathrm { i } } k + 0 } F ( \omega ) = - \infty , } \\ { \operatorname* { l i m } _ { \omega \rightarrow c _ { \mathrm { i } } k - 0 } F ( \omega ) = - \infty , } & { { } } & { \operatorname* { l i m } _ { \omega \rightarrow c _ { \mathrm { i } } k + 0 } F ( \omega ) = \infty , } \\ { \operatorname* { l i m } _ { \omega \rightarrow ( v _ { 0 } \ominus c _ { \mathrm { e } } ) k - 0 } F ( \omega ) = \infty , } & { { } } & { \operatorname* { l i m } _ { \omega \rightarrow ( v _ { 0 } \ominus c _ { \mathrm { e } } ) k + 0 } F ( \omega ) = - \infty , } \\ { \operatorname* { l i m } _ { \omega \rightarrow ( v _ { 0 } \oplus c _ { \mathrm { e } } ) k - 0 } F ( \omega ) = - \infty , } & { { } } & { \operatorname* { l i m } _ { \omega \rightarrow ( v _ { 0 } \oplus c _ { \mathrm { e } } ) k + 0 } F ( \omega ) = \infty . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat { S } _ { k } } & { = \left( \sum _ { l = 1 } ^ { k } \lambda ^ { k - l } \Delta v _ { l } \Delta q _ { l } ^ { \top } \right) \Bigg ( \sum _ { l = 1 } ^ { k } \lambda ^ { k - l } \Delta q _ { l } \Delta q _ { l } ^ { \top } \Bigg ) ^ { - 1 } } \\ & { = \left( \lambda \underbrace { \sum _ { l = 1 } ^ { k - 1 } \lambda ^ { k - 1 - l } \Delta v _ { l } \Delta q _ { l } ^ { \top } } _ { \widehat { S } _ { k - 1 } F _ { k - 1 } ^ { - 1 } } + \Delta v _ { k } \Delta q _ { k } ^ { \top } \right) F _ { k } } \\ & { = \left( \lambda \widehat { S } _ { k - 1 } F _ { k - 1 } ^ { - 1 } + \Delta v _ { k } \Delta q _ { k } ^ { \top } \right) F _ { k } } \\ & { = \left( \widehat { S } _ { k - 1 } \Big ( F _ { k } ^ { - 1 } - \Delta q _ { k } \Delta q _ { k } ^ { \top } \Big ) + \Delta v _ { k } \Delta q _ { k } ^ { \top } \right) F _ { k } } \\ & { = \widehat { S } _ { k - 1 } + \Big ( \Delta v _ { k } - \widehat { S } _ { k - 1 } \Delta q _ { k } \Big ) \Delta q _ { k } ^ { \top } F _ { k } , } \end{array}
M = \frac { 1 } { \sqrt { 1 + { \bf \bar { w } } \cdot { \bf w } - { \frac { 1 } { 4 } } ( { \bf w } \times { \bf { \bar { w } } } ) ^ { 2 } } } \left( \begin{array} { c c } { { 1 - { \frac { i } { 2 } } ( { \bf w } \times { \bf \bar { w } } ) \cdot { \bf \sigma } } } & { { - { \bf w } \cdot { \bf \sigma } } } \\ { { { \bf \bar { w } } \cdot { \bf \sigma } } } & { { 1 + { \frac { i } { 2 } } ( { \bf w } \times { \bf \bar { w } } ) \cdot { \bf \sigma } } } \end{array} \right)
M ^ { 2 } = - g ^ { 4 } C _ { 2 } ( R ) C ( R ^ { \prime } ) \int _ { q } \int _ { k 5 5 } { \frac { N ( k , k ^ { 5 } , { \hat { k } } ^ { 5 } , q ) } { ( k ^ { 2 } ) ( k ^ { 2 } - ( k ^ { 5 } ) ^ { 2 } ) ( k ^ { 2 } - ( { \hat { k } } ^ { 5 } ) ^ { 2 } ) ( q ^ { 2 } - m _ { 1 } ^ { 2 } ) ( ( q - k ) ^ { 2 } - m _ { 2 } ^ { 2 } ) } }
\overline { { \rho } } ( x ) = \rho _ { 0 } + \varepsilon \rho _ { 1 } ( x ) = \rho _ { 0 } \left( 1 + \frac { h _ { 0 } } { H } \frac { \mathrm { P e } ^ { \star } } { \sqrt { 1 + ( \mathrm { P e } ^ { \star } ) ^ { 2 } } } \cos ( k _ { 0 } x + \varphi ) \right) ,
V _ { \mathrm { e f f } } ( \sigma , 0 ) = { \frac { N } { 2 g ^ { 2 } } } \sigma ^ { 2 } - 2 N \int { \frac { d ^ { 2 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } } \left\{ \sqrt { k ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } } + { 2 T } \ln \left[ 1 + \exp ( - \sqrt { k ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } } / T ) \right] \right\} \, .
{ \frac { 1 } { N } } \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \operatorname* { g c d } ( n , m ) = \prod _ { p ^ { \alpha } | | n } \left( 1 + \alpha - { \frac { \alpha } { p } } \right)
\begin{array} { r l } { \beta _ { i , \, m } ^ { \prime } } & { = \sum _ { n \in \mathscr { D } _ { m } } \beta _ { i + 1 , \, n } \gamma _ { \mathrm { s y s } , \, i , \, m , \, n } \gamma _ { \mathrm { p a r } , \, i , \, m , \, n } P ( a _ { i , \, m , \, n } ) } \\ { \beta _ { L _ { d 1 } , \, m } } & { = 1 } \\ { \beta _ { i , \, m } } & { = \left. \beta _ { i , \, m } ^ { \prime } \middle / \left( \sum _ { m = 0 } ^ { S _ { E } - 1 } \beta _ { i , \, m } ^ { \prime } \right) . \right. } \end{array}
\hat { \Pi } _ { 0 } \hat { a } \hat { \Pi } _ { 0 } = \alpha _ { 0 } e ^ { \gamma } \sum _ { m = 0 } ^ { q - 1 } \sqrt { \frac { { \cal N } _ { m + 1 } } { { \cal N } _ { m } } } | \psi _ { m + 1 } \rangle \langle \psi _ { m } | \approx \alpha _ { 0 } e ^ { \gamma } \sum _ { m = 0 } ^ { q - 1 } | \psi _ { m + 1 } \rangle \langle \psi _ { m } | ,
\begin{array} { r l r } & { } & { | S ( \sigma _ { 0 } ) \cap [ z _ { t } , z _ { t } ^ { \prime } ] ^ { 2 } | \geq | S ( \sigma _ { 0 } ) \cap [ \lceil z _ { t } \rceil , \lfloor z _ { t } ^ { \prime } \rfloor ] ^ { 2 } | } \\ & { \geq } & { | [ \lceil z _ { t } \rceil , \lfloor z _ { t } ^ { \prime } \rfloor ] \cap \mathbb { N } ^ { * } | - | \mathcal { D } _ { \lceil z _ { t } \rceil - 1 } ( \sigma _ { 0 } ) | - | \mathcal { D } _ { \lfloor z _ { t } ^ { \prime } \rfloor } ^ { \prime } ( \sigma _ { 0 } ) | } \\ & { \geq } & { \lfloor z _ { t } ^ { \prime } \rfloor - \lceil z _ { t } \rceil + 1 - 2 C _ { 1 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } \geq L _ { 0 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } - 1 - \frac { 1 } { 4 } L _ { 0 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } } \\ & { = } & { \frac { 3 } { 4 } L _ { 0 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } - 1 \geq \frac { 1 } { 2 } L _ { 0 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } . } \end{array}
I ( k ) = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \int d p _ { \parallel } p _ { \parallel } d \varphi _ { 1 } \int d p _ { \perp } p _ { \perp } d \varphi _ { 2 } \frac { e ^ { i \Theta p _ { \parallel } k _ { \parallel } \sin \varphi _ { 1 } } e ^ { i \Theta p _ { \perp } k _ { \perp } \sin \varphi _ { 2 } } } { p _ { \parallel } ^ { 2 } + p _ { \perp } ^ { 2 } } .
\mathrm { \boldmath ~ J ~ } = \underbrace { \mathrm { \boldmath ~ J ~ } ^ { \mathrm { s o l } } + \mathrm { \boldmath ~ g ~ } } _ { \mathrm { \boldmath ~ J ~ } _ { \mathrm { l i g h t } } } \! \! \! \! \! \overbrace { \ \ \ + \mathrm { \boldmath ~ S ~ } _ { \mathrm { h e a v y } } } ^ { \mathrm { \boldmath ~ G ~ } } \ ,
{ \begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { 1 } g ( x ) x ^ { s - 1 } \, d x } & { = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \int _ { \frac { 1 } { n + 1 } } ^ { \frac { 1 } { n } } ( x ( n + 1 ) - 1 ) x ^ { s - 1 } \, d x } \\ & { = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { n ^ { - s } ( s - 1 ) + ( n + 1 ) ^ { - s - 1 } ( n ^ { 2 } + 2 n + 1 ) + n ^ { - s - 1 } s - n ^ { 1 - s } } { ( s + 1 ) s ( n + 1 ) } } } \\ & { = { \frac { \zeta ( s + 1 ) } { s + 1 } } - { \frac { 1 } { s ( s + 1 ) } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathcal { Z } _ { m , n } ^ { \kappa , \rho } ( z , \overline { { z } } ) } & { = \frac { ( - 1 ) ^ { m + n } } { ( \kappa + m + 1 ) _ { n } } z ^ { - \rho } ( 1 - | z | ^ { 2 } ) ^ { - \kappa } \frac { \partial ^ { m } } { \partial z ^ { m } } \left( z ^ { \rho } \frac { \partial ^ { n } } { \partial \overline { { z } } ^ { n } } \left( ( 1 - | z | ^ { 2 } ) ^ { \kappa + m + n } \right) \right) } \\ & { = \frac { ( - 1 ) ^ { m + n } m ! } { ( \kappa + m + 1 ) _ { n } } z ^ { - \rho } ( 1 - | z | ^ { 2 } ) ^ { - \kappa } \sum _ { j = 0 } ^ { m } \frac { ( - \rho ) _ { j } } { j ! ( m - j ) ! } z ^ { \rho - j } \frac { \partial ^ { m - j + n } } { \partial z ^ { m - j } \partial \overline { { z } } ^ { n } } \left( ( 1 - | z | ^ { 2 } ) ^ { \kappa + j + m - j + n } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { F ( { \boldsymbol x } ) _ { i } = \lambda _ { i } x _ { i } - \lambda _ { i } \sum _ { j = 1 } ^ { N } A _ { i j } x _ { j } + ( 1 - \lambda _ { i } ) ( x _ { i } - u _ { i } ) . } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { B _ { x } } \\ { B _ { y } } \\ { B _ { z } } \end{array} \right] = \frac { B _ { d } } { 2 r ^ { 5 } } \left[ \begin{array} { l } { 3 x z } \\ { 3 y z } \\ { 3 z ^ { 2 } - r ^ { 2 } } \end{array} \right] ,
\bar { A } _ { k + 1 } ( x ) = i \sqrt { x } ( x ^ { 2 } - 1 ) \partial _ { x } \bar { A } _ { k } + i \int \frac { 9 x ^ { 2 } + 4 \nu ^ { 2 } - 1 } { 1 6 x \sqrt { x } } \bar { A } _ { k } d x \, ,
\left[ { \begin{array} { c c c } { 0 . 0 0 3 0 0 } & { 5 9 . 1 4 } & { 5 9 . 1 7 } \\ { 5 . 2 9 1 } & { - 6 . 1 3 0 } & { 4 6 . 7 8 } \end{array} } \right]
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ \AE ~ } _ { \alpha } ^ { ( Z ) } ( r ) = - Z \, W \, \left( ( 0 . 9 2 3 + 1 . 5 6 8 \, \alpha ) \, \exp \left( - ( 0 . 2 4 1 + 1 . 4 0 5 \, \alpha ) ^ { 2 } \, r ^ { 2 } \right) + \frac { \mathrm { E r f } ( \alpha \, r ) } { r } \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d L } { d t } } & { { } = } & { \frac { 1 } { \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } } \frac { \cosh \left( \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } L \right) - 1 } { \sinh \left( \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } L \right) } ( \sigma _ { f } + \sigma _ { b } ) - \tilde { \chi } \int _ { x _ { b } } ^ { x _ { f } } \frac { \sinh \left[ \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } ( x _ { f } - x ^ { \prime } ) \right] + \sinh \left[ \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } ( x ^ { \prime } - x _ { b } ) \right] } { \sinh \left( \tilde { \xi } ^ { 1 / 2 } L \right) } c ( x ^ { \prime } , t ) d x ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { \delta ( x _ { i } ) } } & { { = } } & { { x _ { i } \otimes 1 + q ^ { - h _ { i } } \otimes x _ { i } \ , } } \\ { { \delta ( y _ { i } ) } } & { { = } } & { { y _ { i } \otimes q ^ { h _ { i } } + 1 \otimes y _ { i } \ , } } \\ { { \delta ( h _ { i } ) } } & { { = } } & { { h _ { i } \otimes 1 + 1 \otimes h _ { i } \ , } } \\ { { \delta ( d ) } } & { { = } } & { { d \otimes 1 + 1 \otimes d \ , } } \end{array}
c _ { 2 r } ^ { \nu } ( h ^ { 2 } ) = c _ { - 2 r } ^ { - \nu } ( h ^ { 2 } ) \; \; \; a n d \; \; \; \frac { c _ { 2 r } ^ { \nu } ( h ^ { 2 } ) } { c _ { 0 } ^ { \nu } ( h ^ { 2 } ) } = \frac { c _ { - 2 r } ^ { - \nu } ( h ^ { 2 } ) } { c _ { 0 } ^ { - \nu } ( h ^ { 2 } ) }
\begin{array} { r } { T _ { 2 , 2 } ^ { ( n ) } \leq \frac { C } { n } + \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \mathbb { E } \left( \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } C _ { 1 } e ^ { - l \delta C _ { 2 } } \rho _ { \varepsilon , s , \alpha } ( \xi _ { N , \delta } ^ { k } ( \xi _ { 0 } ) , \xi _ { N , \delta } ^ { k - 1 } ( \xi _ { 0 } ) ) \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F } & { ( \mathbf { w } ^ { ( n + 1 ) } ) \leq F ( \mathbf { w } ^ { ( n ) } ) + \frac { 1 } { \xi | \mathcal { K } ^ { ( n ) } | } \sum _ { k \in \mathcal { K } ^ { ( n ) } } \Big [ ( 1 - \eta ) \big ( F _ { k } ( \mathbf { w } ^ { ( n ) } ) } \\ & { \quad - F _ { k } ( \mathbf { w } ^ { ( n ) } + \mathbf { z } _ { k } ^ { ( n ) * } ) + \nabla F _ { k } ( \mathbf { w } ^ { ( n ) } + \mathbf { z } _ { k } ^ { ( n ) * } ) ^ { T } \mathbf { z } _ { k } ^ { ( n ) * } \big ) + \frac { ( u - M \xi ) } { 2 } \| \mathbf { z } _ { k } ^ { ( n ) } \| ^ { 2 } \Big ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { ( | u ^ { k } | ^ { 2 p } u ^ { k } - | u ^ { j } | ^ { 2 p } u ^ { j } ) ( \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } ) } } \\ & { = } & { ( | u ^ { k } | ^ { p } - | u ^ { j } | ^ { p } ) ( | u ^ { k } | ^ { p } + | u ^ { j } | ^ { p } ) u ^ { k } ( \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } ) + | u ^ { j } | ^ { 2 p } \left| u ^ { k } - u ^ { j } \right| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left[ A p \right] _ { i , j } } & { { } = } & { \frac { 1 } { \Delta x } \left[ M _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } \frac { p _ { i + 1 , j } - p _ { i , j } } { \Delta x } - M _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j } \frac { p _ { i , j } - p _ { i - 1 , j } } { \Delta x } \right] } \end{array}
\sum _ { ( S , I ) \in \mathbb { S } } \gamma S I n _ { S , I } ^ { X } - \sum _ { ( S , I ) \in \mathbb { S } } \gamma S ( I + 1 ) n _ { S , I + 1 } ^ { X } \mathbf { 1 } _ { \left\{ S + I < n _ { \operatorname* { m a x } } \right\} } = \gamma n _ { 1 , 1 } ^ { X } .
\begin{array} { r l } { E ( \pi \eta | ( 1 + \varepsilon ) ^ { 2 } ) } & { { } = \int _ { 0 } ^ { \pi \eta } \! \! \! \! \! d \theta \ \sqrt { 1 \! - \! ( 1 \! + \! \varepsilon ) ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A _ { x } ( t ) } & { { } = } & { \sum _ { n = - 5 } ^ { 5 } ( - 1 ) ^ { n } A _ { n } \exp \left( - 2 \ln 2 { \frac { ( t - n T / 2 ) ^ { 2 } } { \tau _ { x } ^ { 2 } } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \big ( D ^ { - 1 } \partial _ { x } H \big ) ^ { 2 } } & { { } = s ^ { 4 - \alpha ( n + 3 ) } ( H ^ { n - 1 } \partial _ { x } ^ { 3 } H ) ^ { \alpha } } & { } & { { } \mathrm { ~ a ~ t ~ } \quad x = 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta _ { L , N } ( x ) } & { { } = \frac { 1 } { L } \sum _ { k = \left( \frac { N - 1 } { 2 } \right) } ^ { \frac { N - 1 } { 2 } } e ^ { i \frac { 2 \pi } { L } k x } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { W } _ { 2 } \left( \mu _ { k \eta } , \pi \right) } & { \le C \sqrt { d } \sqrt [ 4 ] { \left( d ^ { 2 } \frac { \omega _ { \nabla U } ( r ) } { r } \eta + \frac { ( \omega _ { \nabla U } ( r ) ) ^ { 2 } } { N _ { B } } \right) k \eta + r \sqrt { d } } + e ^ { C d } \exp \left( - \frac { k \eta } { C \Bar { c } _ { \mathrm { P } } ( d ) } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { \ \| u - u _ { 0 } - a \Psi _ { 1 } \| _ { L _ { \mu _ { 1 } + \gamma / 2 } ^ { 2 } , S , z _ { 0 } / 1 2 } } & & { } \\ { \leq } & { \ C ( S , \gamma , \alpha ) \Big ( \| \eta _ { z _ { 0 } } \cdot ( \mathscr { R } ( v ) - \mathscr { R } ( u _ { 0 } ) ) \| _ { L _ { \mu _ { 1 } + \gamma / 2 - 1 } ^ { 2 } , S , z _ { 0 } / 1 2 } } & & { + | a | \cdot \| T _ { S } \Psi _ { 1 } \| _ { L _ { \mu _ { 1 } + \gamma / 2 - 1 } ^ { 2 } , S , z _ { 0 } / 1 2 } } \\ & { \ } & & { + \| a \Psi _ { 1 } ( \cdot , z _ { 0 } / 1 2 ) \| _ { L ^ { 2 } ( S ) } \cdot z _ { 0 } ^ { - \mu _ { 1 } - \gamma / 2 - 1 / 2 } \Big ) } \\ { \leq } & { \ C ( S , \gamma , \alpha ) ( 1 + \delta z _ { 0 } ^ { - \gamma } ) ( 1 + | a | ) \cdot z _ { 0 } ^ { \gamma / 2 } . } & & { } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { 1 1 } } & { = \frac { a b c } { 3 } \frac { 1 } { k h } \frac { ( 1 – k _ { r } ) } { 1 + L _ { 1 } ^ { 1 } ( a ) ( k _ { r } - 1 ) } \frac { \partial T } { \partial x } } \\ { B _ { 1 2 } } & { = \frac { a b c } { 3 } \frac { 1 } { h \sqrt { k ^ { 2 } – h ^ { 2 } } } \frac { ( 1 – k _ { r } ) } { 1 + L _ { 1 } ^ { 2 } ( a ) ( k _ { r } - 1 ) } \frac { \partial T } { \partial y } } \\ { B _ { 1 3 } } & { = \frac { a b c } { 3 } \frac { 1 } { k \sqrt { k ^ { 2 } – h ^ { 2 } } } \frac { ( 1 – k _ { r } ) } { 1 + L _ { 1 } ^ { 3 } ( a ) ( k _ { r } - 1 ) } \frac { \partial T } { \partial z } } \end{array}
\begin{array} { r c l } { A } & { = } & { k _ { - 1 } + k _ { 2 } + k _ { 1 } s + \frac { e _ { 0 } K _ { M } } { ( K _ { M } + s ) ^ { 2 } } ( k _ { - 1 } + k _ { 1 } s ) } \end{array}
| \, \overline { { u ^ { \textnormal { L , c r e s t } } } } \, | - | \, \overline { { u ^ { \textnormal { L , t r o u g h } } } } \, | = c \bigg [ 1 + \mathcal { C } _ { \alpha } ^ { 2 } \bigg ( 1 - \frac { 8 } { \pi ^ { 2 } } \bigg ) \bigg ] \epsilon ^ { 2 } > 0 .
\begin{array} { r l r } { \langle \Delta t \rangle } & { { } \approx \langle \Delta t \rangle _ { s h o r t } + \langle \Delta t \rangle _ { l o n g } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } ~ S _ { 2 } ( t _ { e n d } , m ) \approx S _ { 2 } ( t _ { e n d } , m = 0 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { v } _ { k } } & { \leq \lambda \Big [ 2 \epsilon x _ { k - 1 } x _ { k - 1 - g } + ( 1 - 2 \epsilon ) ( x _ { k - 1 } ) ^ { 2 } \Big ] - x _ { k } } \\ & { = \lambda \Big [ \epsilon x _ { k - 1 - g } ^ { 2 } + ( 1 - \epsilon ) x _ { k - 1 } ^ { 2 } - \epsilon ( x _ { k - 1 - g } - x _ { k - 1 } ) ^ { 2 } \Big ] - x _ { k } } \\ & { \leq \lambda \Big [ \epsilon x _ { k - 1 - g } ^ { 2 } + ( 1 - \epsilon ) x _ { k - 1 } ^ { 2 } \Big ] - x _ { k } } \\ & { \leq \lambda x _ { k - 1 - g } ^ { 2 } - x _ { k } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { w ( k , s ) } & { = 1 - \alpha k \int j ( \tau _ { 1 } , k ) \ d \tau _ { 1 } } \\ & { = 1 - \alpha ^ { 2 } k ^ { 2 } \int _ { s _ { 0 } } ^ { s } \int _ { s _ { 0 } } ^ { \tau _ { 1 } } \frac { 1 + \tau _ { 1 } ^ { 2 } } { 1 + \tau _ { 2 } ^ { 2 } } \exp ( - \kappa k ^ { 2 } ( \tau _ { 1 } - \tau _ { 2 } + \frac 1 3 ( \tau _ { 1 } ^ { 3 } - \tau _ { 2 } ^ { 3 } ) ) ) w ( k , \tau _ { 2 } ) d \tau _ { 2 } d \tau _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \rVert d _ { i } g _ { j } ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] \rVert _ { s _ { 0 } } \rVert \chi _ { j } ( i _ { 0 } ) \rVert _ { s } + \rVert d _ { i } g _ { j } ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] \rVert _ { s } \rVert \chi _ { j } ( i _ { 0 } ) \rVert _ { s _ { 0 } } + \rVert d _ { i } \chi _ { j } ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] \rVert _ { s _ { 0 } } \rVert g _ { j } ( i _ { 0 } ) \rVert _ { s } + \rVert d _ { i } \chi _ { j } ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] \rVert _ { s } \rVert g _ { j } ( i _ { 0 } ) \rVert _ { s _ { 0 } } } \\ & { \quad \le _ { s } \varepsilon ^ { b + 1 } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } + \varepsilon ^ { 2 b - 1 } \rVert \mathfrak { I } _ { \delta } \rVert _ { s + \mu _ { 0 } } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 0 } } . } \end{array}