harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
z ^ { \textsf { T } } I z = { \left[ \begin{array} { l l } { a } & { b } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { a } \\ { b } \end{array} \right] } = a ^ { 2 } + b ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \mathrm { V a r } ( X _ { 4 } ) } & { \lesssim \sum _ { i , j , k , \ell } \beta _ { i } ^ { 2 } \theta _ { i } ^ { 2 } \beta _ { j } ^ { 2 } \theta _ { j } ^ { 2 } \beta _ { k } ^ { 2 } \theta _ { k } ^ { 2 } \beta _ { \ell } ^ { 2 } \theta _ { \ell } ^ { 2 } \cdot \theta _ { j } \theta _ { k } \theta _ { \ell } \theta _ { i } \lesssim \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 8 } . } \end{array}
P _ { u } x = u u ^ { \mathrm { T } } x _ { \parallel } + u u ^ { \mathrm { T } } x _ { \perp } = u \left( \mathrm { s i g n } ( u ^ { \mathrm { T } } x _ { \parallel } ) \| x _ { \parallel } \| \right) + u \cdot 0 = x _ { \parallel }
\boldsymbol { f } ( \boldsymbol { k } _ { 3 } , y ) = - \sum _ { \boldsymbol { k } _ { 1 } + \boldsymbol { k } _ { 2 } = \boldsymbol { k } _ { 3 } } \boldsymbol { u } ( \boldsymbol { k } _ { 1 } , y ) \cdot \nabla \boldsymbol { u } ( \boldsymbol { k } _ { 2 } , y ) .
\begin{array} { r l } { \left| \nu _ { m } ( a , b ) - \nu ( a , b ) \right| } & { \leq \frac { 1 } { 2 } \left( \int _ { [ 0 , 1 ] } | ( C _ { m } - C _ { \infty } ) ( \textbf { 1 } , x ^ { ( a ) } , \textbf { 1 } ) | d x ^ { ( a ) } + \int _ { [ 0 , 1 ] } | ( C _ { m } - C _ { \infty } ) ( \textbf { 1 } , x ^ { ( b ) } , \textbf { 1 } ) | d x ^ { ( b ) } \right) } \\ & { + \int _ { [ 0 , 1 ] } | ( C _ { m } - C _ { \infty } ) ( 1 , \dots , \underbrace { x } _ { \textrm { a t h i n d e x } } , 1 , \dots , 1 , \underbrace { x } _ { \textrm { b t h i n d e x } } , \dots , 1 ) | d x . } \end{array}
\left. \phantom { \frac { 1 } { \mu _ { 2 } } } E _ { \theta , \phi } \right| _ { r = R } = 0 \left. \phantom { \frac { 1 } { \mu _ { 2 } } } \Rightarrow \phi ( s ) \right| _ { s = s _ { 0 } } = 0 , \quad \forall \, l \geq 1 .
\begin{array} { r l } { \partial _ { i } ( g _ { 1 } , \ldots , g _ { m } ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { ( g _ { 2 } , \ldots , g _ { m } ) } & { i = 0 } \\ { ( g _ { 1 } , \ldots , g _ { i } g _ { i + 1 } , \ldots , g _ { m } ) } & { 0 < i < m } \\ { ( g _ { 1 } , \ldots , g _ { m - 1 } ) } & { i = m , } \end{array} \right. } \\ { \sigma _ { i } ( g _ { 1 } , \ldots , g _ { m } ) } & { = ( g _ { 1 } , \ldots , g _ { i } , 1 , g _ { i + 1 } , \ldots , g _ { m } ) , \quad i = 0 , \ldots , m . } \end{array}
\left[ \begin{array} { l l l l } { p _ { 0 , 0 } ^ { X } } & { 0 } & { p _ { 0 , 1 } ^ { X } ( 1 - p _ { s } ) } & { p _ { 0 , 1 } ^ { X } p _ { s } } \\ { p _ { 0 , 0 } ^ { X } p _ { s } } & { p _ { 0 , 0 } ^ { X } ( 1 - p _ { s } ) } & { 0 } & { p _ { 0 , 1 } ^ { X } } \\ { p _ { 1 , 0 } ^ { X } } & { 0 } & { p _ { 1 , 1 } ^ { X } ( 1 - p _ { s } ) } & { p _ { 1 , 1 } ^ { X } p _ { s } } \\ { p _ { 1 , 0 } ^ { X } p _ { s } } & { p _ { 1 , 0 } ^ { X } ( 1 - p _ { s } ) } & { 0 } & { p _ { 1 , 1 } ^ { X } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { \sum _ { \mathbf { x } \in \{ 0 , 1 \} ^ { n / p } : \ w ( \mathbf { x } ) = z } ( - 1 ) ^ { \mathbf { x } \cdot ( \pi \cdot \mathbf { s } _ { \ell } ) } } & { = \sum _ { \mathbf { x } \in \{ 0 , 1 \} ^ { n } : \ w ( \mathbf { x } ) = z } ( - 1 ) ^ { ( \pi \cdot \mathbf { x } ) \cdot ( \pi \cdot \mathbf { s } _ { \ell } ) } } \\ & { = \sum _ { \mathbf { x } \in \{ 0 , 1 \} ^ { n } : \ w ( \mathbf { x } ) = z } ( - 1 ) ^ { \mathbf { x } \cdot \mathbf { s } _ { \ell } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 \tilde { \Gamma } _ { I J 0 } } & { = \left( \begin{array} { c c c } { 0 } & { \partial _ { j } c } & { \partial _ { \rho } c } \\ { \partial _ { i } c } & { t ( \partial _ { i } b _ { j } + \partial _ { j } b _ { i } - 2 g _ { i j } ) } & { t ( \partial _ { \rho } b _ { i } - 2 a _ { i } ) } \\ { \partial _ { \rho } c } & { t ( \partial _ { \rho } b _ { j } - 2 a _ { j } ) } & { 0 } \end{array} \right) \, , } \\ { 2 \tilde { \Gamma } _ { I J k } } & { = \left( \begin{array} { c c c } { 2 b _ { k } - \partial _ { k } c } & { t \left( 2 g _ { j k } + \partial _ { j } b _ { k } - \partial _ { k } b _ { j } \right) } & { t ( 2 a _ { k } + \partial _ { \rho } b _ { k } ) } \\ { t ( 2 g _ { i k } + \partial _ { i } b _ { k } - \partial _ { k } b _ { i } ) } & { 2 t ^ { 2 } \gamma _ { i j k } } & { t ^ { 2 } ( \partial _ { \rho } g _ { i k } + F _ { i k } ) } \\ { t ( 2 a _ { k } + \partial _ { \rho } b _ { k } ) } & { t ^ { 2 } \left( \partial _ { \rho } g _ { j k } + F _ { j k } \right) } & { 2 t ^ { 2 } \partial _ { \rho } a _ { k } } \end{array} \right) \, , } \\ { 2 \tilde { \Gamma } _ { I J \infty } } & { = \left( \begin{array} { c c c } { 2 - \partial _ { \rho } c } & { t ( 2 a _ { j } - \partial _ { \rho } b _ { j } ) } & { 0 } \\ { t ( 2 a _ { i } - \partial _ { \rho } b _ { i } ) } & { t ^ { 2 } ( \partial _ { i } a _ { j } + \partial _ { j } a _ { i } - \partial _ { \rho } g _ { i j } ) } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \, , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l r } { \frac { \partial c } { \partial t } } & { { } = D \nabla ^ { 2 } c - \gamma c } & { \quad \forall x \mathrm { ~ i ~ n ~ } [ 0 , \infty ) } \\ { \left. \frac { \partial c } { \partial x } \right| _ { 0 } } & { { } = - \frac { \omega } { 2 D } } \\ { \left. \frac { \partial c } { \partial x } \right| _ { x \rightarrow \infty } } & { { } = 0 } \\ { c ( x , 0 ) } & { { } = 0 } & { \forall x \mathrm { ~ i ~ n ~ } [ 0 , \infty ) } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { S _ { n , j } = \left[ \begin{array} { l } { \sum _ { i = 1 } ^ { \ell } \frac { 1 } { \alpha _ { n } ^ { i } } W _ { i } ^ { [ 1 , j ] } + \sum _ { i = 0 } ^ { x } \alpha _ { n } ^ { i } Z _ { 1 , i } } \\ { \vdots } \\ { \sum _ { i = 1 } ^ { \ell } \frac { 1 } { \alpha _ { n } ^ { i } } W _ { i } ^ { [ \frac { P } { B } , j ] } + \sum _ { i = 0 } ^ { x } \alpha _ { n } ^ { i } Z _ { \frac { P } { B } , i } } \end{array} \right] , } \end{array}
\langle \widetilde { \psi } _ { \pm } ( \beta ) | = \frac { 1 } { \sqrt { 2 ( \varepsilon _ { \pm } - \frac { \omega } { 2 } ) ( \varepsilon _ { \pm } - h _ { z } ) } } \left( \begin{array} { l l } { h _ { x } + i \gamma / 2 } & { \varepsilon _ { \pm } - h _ { z } } \end{array} \right) .
\psi _ { \varphi \varphi \pi \varphi \ldots \pi _ { N } } ( \stackrel { \rightharpoonup } { x _ { 1 } } , \ldots , \stackrel { \rightharpoonup } { x _ { N } } ) \rightarrow ( - 1 ) ^ { \# ( \pi - \mathrm { i n d i c e s } ) } \psi _ { \varphi \varphi \pi \varphi \ldots \pi _ { N } } ( - \stackrel { \rightharpoonup } { x _ { 1 } } , \ldots , \stackrel { \rightharpoonup } { x _ { N } } ) \ \ \ .
\begin{array} { r l } { \mathcal { M } _ { e , \beta } ( \Omega ) : } & { = \{ m \in \mathcal { M } _ { \beta } ( \Omega ) : \textrm { m i s e r g o d i c } \} , } \\ { \mathcal { M } _ { e , \beta } ( Y _ { u } ) : } & { = \{ \mu \in \mathcal { M } _ { \beta } ( Y _ { u } ) : \textrm { \mu i s e r g o d i c } \} , } \\ { \mathcal { M } _ { \beta , v _ { 2 } } ( Y _ { u } ) : } & { = \{ \mu \in \mathcal { M } _ { \beta } ( Y _ { u } ) : \mu ( X _ { u } \backslash ( X _ { u } + v _ { 2 } ) ) = 1 \} , } \\ { \mathcal { M } _ { e , \beta , v _ { 2 } } ( Y _ { u } ) : } & { = \mathcal { M } _ { e , \beta } ( Y _ { u } ) \cap \mathcal { M } _ { \beta , v _ { 2 } } ( Y _ { u } ) . } \end{array}
Z [ J ] = \int { \cal D } \phi \exp \{ - \int d ^ { \nu } r [ { \frac { 1 } { 2 } } \partial _ { \tau } \phi _ { r } \partial _ { \tau } \phi _ { r } + { \frac { 1 } { 2 } } \partial _ { \vec { x } } \phi _ { r } \partial _ { \vec { x } } \phi _ { r } + V ( \phi _ { r } ) - J _ { r } \phi _ { r } ] \}
\rho = \sqrt [ 2 \xi ] { \lambda ^ { 2 } + \eta ^ { 2 } } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \varphi _ { \pm } = \pm \frac { 1 - \frac { 1 } { \pi } \arctan \frac { \eta } { \lambda } } { \xi } \pi ,
J _ { Z } ( \lambda , t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { P ^ { ( \infty ) } ( \lambda ) J _ { S } \left( P ^ { ( \infty ) } ( \lambda ) \right) ^ { - 1 } , } & { \qquad \lambda \in \left( \gamma _ { \pm 2 } \cup \gamma _ { 1 } \right) , } \\ { P ( \lambda , t ) \left( P ^ { ( \infty ) } ( \lambda ) \right) ^ { - 1 } , } & { \qquad \lambda \in \partial D ( - 2 \lambda _ { 0 } , \delta ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { 0 \ge } & { \int _ { \widetilde { M _ { 2 \varepsilon } ^ { 3 } } } \left[ \frac { | \nabla ^ { 2 } \tilde { u } _ { \varepsilon } + f _ { \varepsilon } | \nabla \tilde { u } _ { \varepsilon } | g | ^ { 2 } } { | \nabla \tilde { u } _ { \varepsilon } | } + | \nabla \tilde { u } _ { \varepsilon } | \left( R + \frac { 3 ( 1 2 - c ^ { - 1 } ) } { 6 - c ^ { - 1 } } f _ { \varepsilon } ^ { 2 } \right) - \frac { 3 ( 8 - c ^ { - 1 } ) } { 6 - c ^ { - 1 } } \langle \nabla \tilde { u } _ { \varepsilon } , \nabla f _ { \varepsilon } \rangle \right] d V . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { a } } ( B _ { t _ { n } } ; W ) } & { : = \frac { 1 } { 2 } \left[ a ( \tilde { B } _ { t _ { n + 1 } } ; W ) + a ( B _ { t _ { n } } ; W ) \right] , } \\ { \overline { { \sigma } } ( B _ { t _ { n } } ; W ) } & { : = \frac { 1 } { 2 } \left[ \sigma ( \tilde { B } _ { t _ { n + 1 } } ; W ) + \sigma ( B _ { t _ { n } } ; W ) \right] , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l l l l l l l l l l l l l l l l } { \displaystyle y _ { t } ^ { i } + \mathcal { D } _ { b _ { i } ^ { - } } ^ { \alpha } ( \beta ^ { i } \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } y ^ { i } ) + q ^ { i } y ^ { i } } & { = } & { f ^ { i } } & { \mathrm { i n } } & { Q _ { i } : = ( a , b _ { i } ) \times ( 0 , T ) , \, i = 1 , \dots , n , } \\ { \displaystyle ( I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } y ^ { i } ) ( a , \cdot ) - ( I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } y ^ { j } ) ( a , \cdot ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , ~ i \neq j = 1 , \dots , n , } \\ { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( \beta ^ { i } \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } y ^ { i } ) ( a , \cdot ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , } \\ { \displaystyle ( I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } y ^ { 1 } ) ( b _ { 1 } ^ { - } , \cdot ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , } \\ { \displaystyle ( I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } y ^ { i } ) ( b _ { i } ^ { - } , \cdot ) } & { = } & { u _ { i } } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , \; i = 2 , \dots , m } \\ { \displaystyle ( \beta ^ { i } \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } y ^ { i } ) ( b _ { i } ^ { - } , \cdot ) } & { = } & { v _ { i } } & { \mathrm { i n } } & { ( 0 , T ) , \; i = m + 1 , \dots , n , } \\ { \displaystyle y ^ { i } ( \cdot , 0 ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ( a , b _ { i } ) , ~ ~ i = 1 , \dots , n , } \end{array} \right.
\eta _ { \kappa } \equiv - \partial _ { s } \ln \nu _ { \kappa } = - \frac { \hat { g } _ { \kappa } } { 8 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } d y \, \frac { \eta _ { \kappa } \hat { m } ( y ) + 2 y \, \hat { m } ^ { \prime } ( y ) } { y ^ { 3 / 2 } \big ( 1 + \hat { m } ( y ) \big ) ^ { 2 } } \, ,
\begin{array} { r } { H = \left( \begin{array} { l l l l l l l } { \ddots } & { V _ { L } ^ { l } } & & & & & \\ { ( V _ { L } ^ { l } ) ^ { \dagger } } & { H _ { L } ^ { l } } & { V _ { L } ^ { l } } & & & & \\ & { ( V _ { L } ^ { l } ) ^ { \dagger } } & { H _ { L } ^ { l } } & { V _ { \mathrm { L S } } ^ { l } } & & & \\ & & { ( V _ { \mathrm { L S } } ^ { l } ) ^ { \dagger } } & { H _ { S } } & { V _ { \mathrm { L S } } ^ { r } } & & \\ & & & { ( V _ { \mathrm { L S } } ^ { r } ) ^ { \dagger } } & { H _ { L } ^ { r } } & { V _ { L } ^ { r } } & \\ & & & & { ( V _ { L } ^ { r } ) ^ { \dagger } } & { H _ { L } ^ { r } } & { V _ { L } ^ { r } } \\ & & & & & { ( V _ { L } ^ { r } ) ^ { \dagger } } & { \ddots } \end{array} \right) , } \end{array}
\mathrm { t r } \, E _ { m n } ^ { \pm } = \mathrm { t r } \, H _ { n } = \mathrm { t r } \, ( E _ { m n } ^ { \pm } \, E _ { m n } ^ { \pm } ) = \mathrm { t r } \, ( H _ { n } \, E _ { m n } ^ { \pm } ) = 0 ,
\begin{array} { r l } { \| x _ { t _ { j _ { s } } } \| } & { \leq L _ { f } ( 1 + L _ { \pi } ) \kappa \rho ^ { t _ { j _ { s } } - t _ { j _ { s } - 1 } } \| x _ { t _ { j _ { s } - 1 } } \| + L _ { f } ( ( 1 + L _ { \pi } ) \beta w _ { \operatorname* { m a x } } + w _ { \operatorname* { m a x } } + \bar { \pi } _ { 0 } ) } \\ & { \leq \sqrt { \frac { \gamma _ { 1 } } { 2 } } \| x _ { t _ { j _ { s } - 1 } } \| + L _ { f } ( ( 1 + L _ { \pi } ) \beta w _ { \operatorname* { m a x } } + w _ { \operatorname* { m a x } } + \bar { \pi } _ { 0 } ) } \\ & { \leq \sqrt { \frac { \gamma _ { 1 } } { 2 } } \sqrt { \frac { \gamma _ { 0 } } { 2 } } ^ { j _ { s } - j _ { s - 1 } - 1 } \| x _ { t _ { j _ { s - 1 } } } \| + \sqrt { \frac { \gamma _ { 1 } } { 2 } } \frac { \beta w _ { \operatorname* { m a x } } } { 1 - \sqrt { \gamma _ { 0 } / 2 } } + L _ { f } ( ( 1 + L _ { \pi } ) \beta w _ { \operatorname* { m a x } } + w _ { \operatorname* { m a x } } + \bar { \pi } _ { 0 } ) } \end{array}
\frac { s _ { 0 } - s _ { \mathrm { c r o s s } } } { s _ { 0 } } \lesssim \varepsilon _ { R S } \left( \log \frac { 1 } { \varepsilon _ { R S } } + \log \frac { k _ { - 1 } + k _ { 2 } } { k _ { 2 } } \right) + \cdots
\begin{array} { r l } { E _ { \mathrm { { t o t } } } ( t ) } & { = E _ { \mathrm { s i g } } ( t ) + E _ { \mathrm { { L O } } } ( t ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \left[ \sum _ { n } a _ { n } e ^ { - { \mathrm { i } } ( n \omega _ { \mathrm { { S B } } } t + \phi _ { n } ) } + b e ^ { - { \mathrm { i } } ( \Delta \omega t + \phi _ { \mathrm { L O } } ) } \right] e ^ { - { \mathrm { i } } \omega _ { 0 } t } + \frac { 1 } { 2 } \left[ \sum _ { n } a _ { n } e ^ { \mathrm { { i } } ( n \omega _ { \mathrm { S B } } t + \phi _ { n } ) } + b e ^ { \mathrm { { i } } ( \Delta \omega t + \phi _ { \mathrm { L O } } ) } \right] e ^ { { \mathrm { i } } \omega _ { 0 } t } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i \in [ n ] } I ( X _ { i } ; \hat { X } _ { i } ) } & { = I ( X _ { J } ; \hat { X } _ { J } , J ) , } \\ { \mathsf { E } [ d ( X ^ { n } , \hat { X } ^ { n } ) ] } & { = \mathsf { E } [ d ( X _ { J } , \hat { X } _ { J } ) ] , } \\ { \Big | \sum _ { i \in [ n ] } H ( X _ { i } ) - H ( X ^ { n } ) \Big | } & { \leq \frac { | \mathcal { X } | \log ( n + 1 ) } { n } + \alpha + \beta , } \end{array}
\mathcal { L } _ { X } \omega ^ { i } = \sum _ { j = 0 } ^ { 2 } \left\langle \mathcal { L } _ { X } \omega ^ { i } , X _ { j } \right\rangle \omega ^ { j } = \sum _ { j = 0 } ^ { 2 } \left\langle \omega ^ { i } , \mathcal { L } _ { - X } X _ { j } \right\rangle \omega ^ { j } = \sum _ { j = 0 } ^ { 2 } \left\langle \omega ^ { i } , \left[ - X , X _ { j } \right] \right\rangle \omega ^ { j } ,
{ P } _ { K ^ { \prime \prime } } = - \left\langle { \widetilde { u ^ { \prime \prime } { } ^ { \ell } u ^ { \prime \prime } { } ^ { m } } \frac { \partial \widetilde { u } ^ { m } } { \partial x ^ { \ell } } } \right\rangle = - { P } _ { \tilde { K } } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { X } = } & { { } \alpha _ { 1 } F _ { \mathrm { ~ p ~ } } \left[ - 1 + 2 \alpha _ { 3 } ^ { 2 } \alpha _ { 1 } ^ { * } \left( \alpha _ { 2 } ^ { * } - \alpha _ { 2 } \right) \left( G _ { 1 2 } G _ { 2 1 } - G _ { 1 1 } G _ { 2 2 } \right) ^ { 2 } - \mathrm { ~ i ~ } \alpha _ { 3 } \left[ 2 \alpha _ { 1 } ^ { * } \left( G _ { 1 1 } ^ { 2 } + G _ { 1 2 } G _ { 2 1 } \right) + \left( \alpha _ { 2 } ^ { * } - \alpha _ { 2 } \right) \left( G _ { 1 2 } G _ { 2 1 } + G _ { 2 2 } ^ { 2 } \right) \right] \right. } \\ { \mathcal { Y } = } & { { } - \left( 1 + \alpha _ { 2 } ^ { * } \alpha _ { 1 } ^ { * } J _ { 1 } ^ { 2 } \right) \left( 1 + \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } J _ { 1 } ^ { 2 } \right) + \alpha _ { 3 } ^ { 2 } \left( G _ { 1 2 } G _ { 2 1 } - G _ { 1 1 } G _ { 2 2 } \right) ^ { 2 } \left( \left( \alpha _ { 1 } - \alpha _ { 1 } ^ { * } \right) \left( - \alpha _ { 2 } ^ { * } + \alpha _ { 2 } \right) + 4 \alpha _ { 2 } ^ { * } \alpha _ { 1 } \alpha _ { 1 } ^ { * } \alpha _ { 2 } J _ { 1 } ^ { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { l } { \omega ^ { \prime } = 2 ( 1 - \mathcal { E } _ { 0 } ) , } \\ { \displaystyle E ^ { \prime } = \frac { \alpha ^ { 5 / 2 } 1 2 Z ^ { 3 } } { ( 2 \mathcal { E } _ { 0 } + 1 ) ( 2 \mathcal { E } _ { 0 } + 2 ) } . } \end{array}
\mathrm { ~ R ~ E ~ R ~ } \approx \frac { d } { d x } \int _ { - \infty } ^ { x } \frac { 1 } { \sigma \sqrt { 2 \pi } } \exp \left( \frac { - \alpha ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right) d \alpha \bigg \rvert _ { x = 0 } = \frac { 1 } { \sigma \sqrt { 2 \pi } } \exp \left( \frac { - x ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right) \bigg \rvert _ { x = 0 } = \frac { 1 } { \sigma \sqrt { 2 \pi } } ,
\begin{array} { r l } { \kappa _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ^ { w } } & { { } = \frac { 1 } { t _ { p } } \frac { c } { \varepsilon } \int _ { t ^ { n + 1 } - t _ { p } } ^ { t ^ { n + 1 } } \frac { 1 } { 3 } c _ { 2 } ( t ) \mathrm { d } t } \end{array}
\frac { \partial M } { \partial c _ { n } ^ { \mathrm { i n } } } = - 2 \sum _ { \textbf { r } , \textbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } } \mathrm { I m } \left\{ \left[ 1 + \ln \frac { I _ { \mathrm { S M T } } } { I _ { 0 } } ( \textbf { r } ) \right] \psi _ { \mathrm { S M T } } ^ { * } ( \textbf { r } ) { \psi } _ { \mathrm { S M T } } ^ { \mathrm { i n } } ( \textbf { r } , \textbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } ) e ^ { i \phi _ { \mathrm { i n } } ( \textbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } ) } \right\} Z _ { n } ( \textbf { k } _ { \parallel } ^ { \mathrm { i n } } / k _ { 0 } ^ { \mathrm { m a x } } ) ,
S _ { \Delta \Phi , \mathrm { ~ A ~ } } ^ { \mathrm { ~ a ~ c ~ o ~ u ~ s ~ t ~ i ~ c ~ } } = \left| \omega _ { 0 , \mathrm { ~ L ~ } } \tau _ { 0 } \left( \Delta \epsilon _ { n \omega _ { \mathrm { ~ L ~ } } } + \Delta \epsilon _ { n L } \right) \right| ^ { 2 } S _ { h h } ^ { \mathrm { ~ a ~ c ~ o ~ u ~ s ~ t ~ i ~ c ~ } } .
\psi _ { i + 1 } - 2 \psi _ { i } + \psi _ { i - 1 } = { \frac { a ^ { 2 } } { 1 2 } } A _ { i + 1 } \psi _ { i + 1 } + { \frac { 5 a ^ { 2 } } { 6 } } A _ { i } \psi _ { i } + { \frac { a ^ { 2 } } { 1 2 } } A _ { i - 1 } \psi _ { i - 1 }
\begin{array} { r l } { \mu \left\lvert ( P _ { m } ( w ( t _ { n } ) - w ( t ) , w ( t ) ) _ { L ^ { 2 } } \right\rvert } & { = \mu \left\lvert ( w ( t _ { n } ) - w ( t ) , P _ { m } w ( t ) ) _ { L ^ { 2 } } \right\rvert } \\ & { = \mu \left\lvert \left( \int _ { t _ { n } } ^ { t } \frac { \partial w } { \partial s } d s , P _ { m } w ( t ) \right) _ { L ^ { 2 } } \right\rvert } \\ & { \leq \mu \left( \int _ { t _ { n } } ^ { t } \left\| \frac { \partial w } { \partial s } ( s ) \right\| _ { V ^ { \prime } } d s \right) \| w ( t ) \| _ { H ^ { 1 } } } \\ & { \leq \frac { \nu } { 6 } \| w ( t ) \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } + \frac { c \mu ^ { 2 } } { \nu } \left( \int _ { t _ { n } } ^ { t } \left\| \frac { \partial w } { \partial s } ( s ) \right\| _ { V ^ { \prime } } d s \right) ^ { 2 } . } \end{array}
S = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } , j _ { 3 } , m _ { 1 } , m _ { 2 } , m _ { 3 } } \left| { A _ { j _ { 1 } j _ { 2 } j _ { 3 } } ^ { m _ { 1 } m _ { 2 } m _ { 3 } } } \right| ^ { 2 } + \frac { \l } { 4 ! } \sum _ { j _ { 1 } . . . j _ { 6 } , m _ { 1 } . . . m _ { 6 } } ( - 1 ) ^ { \sum _ { i } m _ { i } } A _ { j _ { 1 } j _ { 2 } j _ { 3 } } ^ { - m _ { 1 } - m _ { 2 } - m _ { 3 } } A _ { j _ { 3 } j _ { 5 } j _ { 4 } } ^ { m _ { 3 } - m _ { 5 } m _ { 4 } } A _ { j _ { 4 } j _ { 2 } j _ { 6 } } ^ { - m _ { 4 } m _ { 2 } m _ { 6 } } A _ { j _ { 6 } j _ { 5 } j _ { 1 } } ^ { - m _ { 6 } m _ { 5 } m _ { 1 } }
\begin{array} { r l r } { \nabla \cdot { \bf B } } & { { } = } & { 0 \, , \quad \nabla \cdot { \bf D } = 0 \, , } \\ { \partial _ { \tau } { \bf D } } & { { } = } & { \nabla \times { \bf B } \, , \quad \partial _ { \tau } { \bf B } = - \nabla \times { \bf D } \, , } \end{array}
\Psi _ { { \bf 8 } , A } = \left( \begin{array} { c c } { { i \lambda _ { a } } } & { { \epsilon _ { a e } \psi ^ { e } } } \\ { { - \bar { \kappa } _ { a } } } & { { i \epsilon _ { a e } \bar { \chi } ^ { e } } } \end{array} \right) _ { e , a = A = 1 , 2 } , \quad \Psi _ { { \bf 8 } , B } = \left( \begin{array} { c c } { { - \epsilon _ { b d } \psi ^ { d } } } & { { i \lambda _ { b } } } \\ { { i \epsilon _ { b d } \bar { \chi } ^ { d } } } & { { \bar { \kappa } _ { b } } } \end{array} \right) _ { d , b = B + 2 = 3 , 4 } ,
W ^ { 2 } ( \eta ) = \omega _ { k } ^ { 2 } ( \eta ) - \frac { 1 } { 2 } \biggl [ \frac { W ^ { \prime \prime } } { W } - \frac { 3 } { 2 } \biggl ( \frac { W ^ { \prime } } { W } \biggr ) ^ { 2 } \biggr ] .
\delta S \ \simeq \ { \frac { \log \Lambda } { 1 6 \pi ^ { 2 } } } \ \int d ^ { 4 } \theta \ e ^ { 2 K / 3 M _ { P } ^ { 2 } } \, S i g m a ^ { + } \Sigma \ P _ { I J } \, \bar { P } ^ { I J } .
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } E } & { { } = \left( \mu \frac { \partial E } { \partial \epsilon } + \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } E } { \partial \epsilon ^ { 2 } } \right) \mathrm { d } t + \sigma \frac { \partial E } { \partial \epsilon } \mathrm { d } { W } } \end{array}
\Pi _ { j } ^ { u } = - \int _ { 0 } ^ { f _ { j } } \langle \varphi _ { j } \rvert \hat { h } ^ { \mathrm { ~ D ~ F ~ T ~ } } ( f ) \lvert \varphi _ { j } \rangle d f + f _ { j } \eta _ { j } = - \left( E ^ { \mathrm { D F T } } [ \rho ] - E ^ { \mathrm { D F T } } [ \rho - \rho _ { i } ] \right) + f _ { j } \eta _ { j }
\mathrm { ~ N ~ N ~ } ( \ \cdot \ ; \Theta ) = L _ { n _ { L } } ( \ \cdot \ ; \Theta _ { n _ { L } } ) \circ \varphi _ { n _ { L } - 1 } \left( L _ { n _ { L } - 1 } ( \ \cdot \ ; \Theta _ { n _ { L } - 1 } ) \right) \circ \cdots \varphi _ { 1 } \left( L _ { 1 } ( \ \cdot \ ; \Theta _ { 1 } ) \right) ,
{ \frac { \mathrm { d } \sigma } { \mathrm { d } \Omega } } ( \theta , \varphi ) = { \frac { 1 } { n t \Delta \Omega } } { \frac { F _ { \mathrm { o u t } } ( \theta , \varphi ) } { F _ { \mathrm { i n c } } } } .
\begin{array} { r l r } { \hat { l } _ { + } \Psi _ { n } ^ { m } ( r , \phi , z ) = } & { { } } & { 2 \sqrt { 2 } \frac { z } { w _ { 0 } } \hbar \sqrt { n - m } \Psi _ { n } ^ { m + 1 } ( r , \phi , z ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \chi _ { \mathrm { D U N E } } ^ { 2 } ( V _ { \alpha \beta } , \boldsymbol { \theta } , o ) } & { { } = } & { \sum _ { c } \chi _ { \mathrm { D U N E } , c } ^ { 2 } ( V _ { \alpha \beta } , \boldsymbol { \theta } , o ) \; , } \\ { \chi _ { \mathrm { T 2 H K } } ^ { 2 } ( V _ { \alpha \beta } , \boldsymbol { \theta } , o ) } & { { } = } & { \sum _ { c } \chi _ { \mathrm { T 2 H K } , c } ^ { 2 } ( V _ { \alpha \beta } , \boldsymbol { \theta } , o ) \; , } \\ { \chi _ { \mathrm { D U N E } + \mathrm { T 2 H K } } ^ { 2 } ( V _ { \alpha \beta } , \boldsymbol { \theta } , o ) } & { { } = } & { \chi _ { \mathrm { D U N E } } ^ { 2 } ( V _ { \alpha \beta } , \boldsymbol { \theta } , o ) + \chi _ { \mathrm { T 2 H K } } ^ { 2 } ( V _ { \alpha \beta } , \boldsymbol { \theta } , o ) \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { i } \left( m , \omega \right) = } & { \; u _ { i } \left( x , y , z , m , t , \omega \right) } \\ { = } & { \int \hat { u } _ { i } \left( x , y , m ^ { \prime } , \omega ^ { \prime } \right) \delta \left( | m ^ { \prime } | - | m | \right) \delta \left( | \omega ^ { \prime } | - | \omega | \right) } \\ & { \qquad \qquad e ^ { 2 \pi \textrm { \fontfamily { c m t t } \selectfont i } ( m ^ { \prime } z - \omega ^ { \prime } t ) } d m ^ { \prime } d \omega ^ { \prime } } \\ { \hat { u } _ { i } \left( x , y , m ^ { \prime } , \omega ^ { \prime } \right) } & { = \int u _ { i } \left( x , y , z , t \right) e ^ { - 2 \pi \textrm { \fontfamily { c m t t } \selectfont i } \left( m ^ { \prime } z - \omega ^ { \prime } t \right) } d z \; d t \quad \textrm { . } } \end{array}
F ( r ) = - \frac { w } { \kappa } \left[ B _ { \frac { r ^ { \kappa } } { r ^ { \kappa } + 1 } } \left( \frac { - 1 } { p + 1 } , 1 - \frac { 2 } { \kappa } \right) + 2 B _ { \frac { r ^ { \kappa } } { r ^ { \kappa } + 1 } } \left( \frac { p } { p + 1 } , - \frac { 2 } { \kappa } \right) \right] \! .