harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
U _ { \tau } ^ { \mathrm { b i g } } = \left[ \begin{array} { l l } { U _ { \nu _ { 1 } } ^ { \mathrm { b i g } } } & { 0 } \\ { 0 } & { U _ { \nu _ { 2 } } ^ { \mathrm { b i g } } } \end{array} \right] U _ { \tau } \quad \textrm { a n d } \quad V _ { \tau } ^ { \mathrm { b i g } } = \left[ \begin{array} { l l } { V _ { \nu _ { 1 } } ^ { \mathrm { b i g } } } & { 0 } \\ { 0 } & { V _ { \nu _ { 2 } } ^ { \mathrm { b i g } } } \end{array} \right] V _ { \tau } \, .
\begin{array} { r l } & { \Psi _ { \mathrm { F e r m i N e t } } ^ { \mathrm { A G P s } } \left( \mathbf { r } _ { 1 } ^ { \uparrow } , \dots , \mathbf { r } _ { p + 1 } ^ { \uparrow } , \mathbf { r } _ { 1 } ^ { \downarrow } , \dots , \mathbf { r } _ { p } ^ { \downarrow } \right) } \\ & { = \sum _ { k } \omega _ { k } \operatorname* { d e t } \left( \begin{array} { c c c c } { \varphi ^ { k } ( \mathbf { r } _ { 1 } ^ { \uparrow } , \mathbf { r } _ { 1 } ^ { \downarrow } ; \{ \mathbf { r } _ { / 1 } ^ { \uparrow } \} ; \{ \mathbf { r } _ { / 1 } ^ { \downarrow } \} ) } & { \cdots } & { \varphi ^ { k } ( \mathbf { r } _ { 1 } ^ { \uparrow } , \mathbf { r } _ { p } ^ { \downarrow } ; \{ \mathbf { r } _ { / 1 } ^ { \uparrow } \} ; \{ \mathbf { r } _ { / p } ^ { \downarrow } \} ) } & { \phi _ { 1 } ^ { k \uparrow } ( \mathbf { r } _ { 1 } ^ { \uparrow } ; \{ \mathbf { r } _ { / 1 } ^ { \uparrow } \} ; \{ \mathbf { r } ^ { \downarrow } \} ) } \\ { \varphi ^ { k } ( \mathbf { r } _ { 2 } ^ { \uparrow } , \mathbf { r } _ { 1 } ^ { \downarrow } ; \{ \mathbf { r } _ { / 2 } ^ { \uparrow } \} ; \{ \mathbf { r } _ { / 1 } ^ { \downarrow } \} ) } & { \cdots } & { \varphi ^ { k } ( \mathbf { r } _ { 2 } ^ { \uparrow } , \mathbf { r } _ { p } ^ { \downarrow } ; \{ \mathbf { r } _ { / 2 } ^ { \uparrow } \} ; \{ \mathbf { r } _ { / p } ^ { \downarrow } \} ) } & { \phi _ { 1 } ^ { k \uparrow } ( \mathbf { r } _ { 2 } ^ { \uparrow } ; \{ \mathbf { r } _ { / 2 } ^ { \uparrow } \} ; \{ \mathbf { r } ^ { \downarrow } \} ) } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { \varphi ^ { k } ( \mathbf { r } _ { p + 1 } ^ { \uparrow } , \mathbf { r } _ { 1 } ^ { \downarrow } ; \{ \mathbf { r } _ { / p + 1 } ^ { \uparrow } \} ; \{ \mathbf { r } _ { / 1 } ^ { \downarrow } \} ) } & { \cdots } & { \varphi ^ { k } ( \mathbf { r } _ { p + 1 } ^ { \uparrow } , \mathbf { r } _ { p } ^ { \downarrow } ; \{ \mathbf { r } _ { / p + 1 } ^ { \uparrow } \} ; \{ \mathbf { r } _ { / p } ^ { \downarrow } \} ) } & { \phi _ { 1 } ^ { k \uparrow } ( \mathbf { r } _ { p + 1 } ^ { \uparrow } ; \{ \mathbf { r } _ { / p + 1 } ^ { \uparrow } \} ; \{ \mathbf { r } ^ { \downarrow } \} ) } \end{array} \right) } \end{array}
\operatorname* { m i n } _ { w \in W } \frac { 1 } { D } \sum _ { k = 1 } ^ { D } \frac { 1 } { N ^ { \prime } } \| \tilde { \mathcal { G } } _ { w } ( \mathcal { A } _ { k } ) - \{ u _ { k } ^ { i } \} _ { 1 \leqslant i \leqslant N ^ { \prime } } \| _ { 2 } ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l r } { M _ { 3 , x x x } ^ { e q } } & { = } & { \sum _ { i } { f _ { i } ^ { e q } v _ { i x } ^ { 3 } } = \rho { u _ { x } } \left( { 3 R T + u _ { x } ^ { 2 } } \right) , } \\ { M _ { 3 , y y y } ^ { e q } } & { = } & { \sum _ { i } { f _ { i } ^ { e q } v _ { i y } ^ { 3 } } = \rho { u _ { y } } \left( { 3 R T + u _ { y } ^ { 2 } } \right) , } \\ { M _ { 3 , x x y } ^ { e q } } & { = } & { \sum _ { i } { f _ { i } ^ { e q } v _ { i x } ^ { 2 } { v _ { i y } } } = \rho { u _ { y } } \left( { R T + u _ { x } ^ { 2 } } \right) , } \\ { M _ { 3 , x y y } ^ { e q } } & { = } & { \sum _ { i } { f _ { i } ^ { e q } { v _ { i x } } v _ { i y } ^ { 2 } } = \rho { u _ { x } } \left( { R T + u _ { y } ^ { 2 } } \right) , } \end{array}
\mathbf { M } _ { \mathrm { e f f } } ( \omega ) = \mathbf { M } _ { \mathrm { O O } } - \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } } \left[ \mathbf { K } _ { \mathrm { O I } } \left( \omega ^ { 2 } \mathbf { M } _ { \mathrm { I I } } - \mathbf { K } _ { \mathrm { I I } } \right) ^ { - 1 } \mathbf { K } _ { \mathrm { I O } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { O O } } \right] \, ,
\begin{array} { r l } { \bar { P } ^ { - 1 } ( x , y ) } & { = \frac { x } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } h ( x , y ) , \quad \bar { \kappa } _ { 3 } ( x , y ) = - \frac { y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \left( 2 ( X _ { 0 } - x X _ { 0 } ^ { \prime } ) + \sqrt { 5 } \right) , } \\ { ( \bar { P } ^ { - 1 } ) _ { z } ( x , y ) } & { : = - \frac { \bar { P } _ { z } } { \bar { P } ^ { 2 } } ( x , y ) = \frac { 1 } { ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \left( ( x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) \left( X _ { 0 } + \textstyle \frac { \sqrt { 5 } } { 2 } \right) + 2 x y ^ { 2 } X _ { 0 } ^ { \prime } \right) + \sqrt { 5 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Lambda ^ { I } _ { i } \Lambda ^ { J } _ { j } \underbrace { \tilde { \nabla } _ { - } \cdots \tilde { \nabla } _ { - } } _ { n } \tilde { R } _ { - I J - } = } & { \underbrace { \tilde { \nabla } _ { - } \cdots \tilde { \nabla } _ { - } } _ { n } \tilde { R } _ { - i j - } + \Lambda ^ { + } _ { i } \underbrace { \tilde { \nabla } _ { - } \cdots \tilde { \nabla } _ { - } } _ { n } \tilde { R } _ { - + j - } } \\ & { + \Lambda ^ { + } _ { j } \underbrace { \tilde { \nabla } _ { - } \cdots \tilde { \nabla } _ { - } } _ { n } \tilde { R } _ { - i + - } + \Lambda ^ { + } _ { i } \Lambda ^ { + } _ { j } \underbrace { \tilde { \nabla } _ { - } \cdots \tilde { \nabla } _ { - } } _ { n } \tilde { R } _ { - + + - } } \\ { = } & { \underbrace { \tilde { \nabla } _ { - } \cdots \tilde { \nabla } _ { - } } _ { n } \tilde { R } _ { - i j - } \, , } \end{array}
I = \left( \begin{array} { l l l l } { \mathcal { O } ^ { \times } } & { t \mathcal { O } } & { \dots } & { t \mathcal { O } } \\ { \mathcal { O } } & { \mathcal { O } ^ { \times } } & { \dots } & { t \mathcal { O } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \mathcal { O } } & { \mathcal { O } } & { \dots } & { \mathcal { O } ^ { \times } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \mathbf { e } _ { N } - \alpha \mathbf { e } _ { 0 } = ~ } & { { } ( j - 1 ) \alpha \mathbf { e } _ { 0 } + \sum _ { n = 1 } ^ { m } \pm ( \mathbf { e } _ { n } - \alpha \mathbf { e } _ { 0 } ) , } \\ { \sigma _ { N } - \beta \sigma _ { 0 } = ~ } & { { } ( j - 1 ) \beta \sigma _ { 0 } + \sum _ { n = 1 } ^ { m } \pm ( \sigma _ { n } - \beta \sigma _ { 0 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { N ^ { - 2 \vartheta } \sum _ { k = 0 } ^ { M - 1 } 2 ^ { ( 2 \vartheta \sigma - 2 \delta ) k } + 2 ^ { ( d - 2 \delta ) M } } & { \leq \left\{ \begin{array} { l l } { c N ^ { - \frac { 2 \vartheta ( 2 \delta - d ) } { 2 \vartheta \sigma - d } } } & { \mathrm { i f ~ } \delta < \vartheta \sigma , } \\ { c N ^ { - 2 \vartheta } \log ( N ) } & { \mathrm { i f ~ } \delta = \vartheta \sigma , } \\ { c N ^ { - 2 \vartheta } } & { \mathrm { i f ~ } \delta > \vartheta \sigma . } \end{array} \right. } \end{array}
V _ { ( \infty ^ { p } , - 1 ) } ^ { ( M ) } ( \psi ) = \oint _ { 0 } \frac { d \zeta } { \zeta ^ { M + 1 } } V \left[ \left( \frac { ( \zeta + 1 ) } { \zeta ^ { p - 1 } } \right) ^ { L _ { 0 } } \psi , \zeta \right] \, .
Y _ { { \cal O } _ { } ^ { [ \mu ] } } ^ { [ k ] } = { \frac { 1 } { 3 } } \left[ Y _ { { \cal O } _ { i i } ^ { [ u ] } } ^ { [ k ] } + Y _ { { \cal O } _ { i i } ^ { [ d ] } } ^ { [ k ] } \right] = Y _ { { \cal O } _ { i i } ^ { [ d ] } } ^ { [ k ] } - Y _ { { \cal O } _ { i i } ^ { [ e ] } } ^ { [ k ] } \ .
S _ { j , 2 2 ( 0 , 0 ) } = \big [ H _ { 0 } ^ { ( 2 ) } ( k _ { 0 } b ) / H _ { 0 } ^ { ( 1 ) } ( k _ { 0 } b ) \big ] \cdot ( A _ { 0 } ^ { \mathrm { ~ I ~ I ~ I ~ } } / B _ { 0 } ^ { \mathrm { ~ I ~ I ~ I ~ } } ) .
\begin{array} { r l } { \delta \dot { \mathcal { P } } ( z , t ) = } & { { } D \partial _ { z } ^ { 2 } \delta \mathcal { P } ( z , t ) - \frac { Q _ { s } } { \pi R _ { 0 } ^ { 2 } } \partial _ { z } \delta \mathcal { P } ( z , t ) - } \end{array}
w _ { I } ^ { m } : = ( P _ { H } ^ { 1 } - I ) \overline { { \partial } } \Psi ( \widetilde { t } ^ { m } ) , \textrm w _ { I I } ^ { m } : = \overline { { \partial } } \Psi ( \widetilde { t } ^ { m } ) - \Psi _ { t } ( \widetilde { t } ^ { m - \frac { 1 } { 2 } } ) , \textrm { a n d } w _ { I I I } ^ { m } : = \Delta \psi ( \widetilde { t } ^ { m - \frac { 1 } { 2 } } ) - \frac { 1 } { 2 } ( \Delta \Psi ( \widetilde { t } ^ { m } ) + \Delta \Psi ( \widetilde { t } ^ { m - 1 } ) ) .
\begin{array} { r l } { \mathrm { i } t _ { \mathrm { R } } \frac { \partial \tilde { A } } { \partial \tilde { t } } - } & { { } \frac { \beta _ { 2 } L } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \tilde { A } } { \partial \tilde { \tau } ^ { 2 } } + \gamma L | \tilde { A } | ^ { 2 } \tilde { A } } \\ { = } & { { } - \mathrm { i } \frac { \alpha } { 2 } \tilde { A } + \mathrm { i } \sqrt { \kappa P _ { \mathrm { i n } } } + [ \theta - V ( \tilde { \tau } ) ] \tilde { A } } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q } & { = \left[ \begin{array} { l } { \boldsymbol { q } _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { \boldsymbol { q } _ { L } } \end{array} \right] , \ \ \ K = \left[ \begin{array} { l } { \boldsymbol { k } _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { \boldsymbol { k } _ { L } } \end{array} \right] , \ \ \ V = \left[ \begin{array} { l } { \boldsymbol { v } _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { \boldsymbol { v } _ { L } } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { | \Phi _ { a } | = | \int 2 N _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } \vec { B _ { a } } \cdot { d \vec { A } } | = 2 N _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } \mathrm { ~ V ~ } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } g \sqrt { 2 \rho _ { D M } } B _ { 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { x } ( \theta , \phi ) } & { { } = \int _ { - \frac { b } { 2 } } ^ { \frac { b } { 2 } } \int _ { - \frac { a } { 2 } } ^ { \frac { a } { 2 } } E _ { \mathrm { a p e } , x } ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } ) \cdot e ^ { j ( k _ { x } x ^ { \prime } + k _ { y } y ^ { \prime } ) } \mathrm { d } x ^ { \prime } \mathrm { d } y ^ { \prime } } \\ { f _ { y } ( \theta , \phi ) } & { { } = \int _ { - \frac { b } { 2 } } ^ { \frac { b } { 2 } } \int _ { - \frac { a } { 2 } } ^ { \frac { a } { 2 } } E _ { \mathrm { a p e } , y } ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } ) \cdot e ^ { j ( k _ { x } x ^ { \prime } + k _ { y } y ^ { \prime } ) } \mathrm { d } x ^ { \prime } \mathrm { d } y ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi _ { n } } & { { } : = 2 \left\lceil \log _ { 2 } \binom { K _ { n } + 4 } { 4 } \right\rceil , } \\ { K _ { n } } & { { } : = \operatorname* { m a x } \left\{ 1 , 2 n d _ { \mathrm { ~ e ~ t ~ } } \frac { 1 + 2 \sqrt { \vartheta } + 2 \vartheta } { 1 - 2 \sqrt { \vartheta / f _ { \mathrm { e t } } } } \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varphi ( t ) \approx } & { { } \frac { A _ { 0 } } { R } \sqrt { \frac { \tau _ { 0 } } { \tau } } \exp { \left( - \frac { ( t - t _ { s } ) ^ { 2 } } { 2 \tau ^ { 2 } } \right) } } \end{array}
m _ { H ^ { \pm } } ^ { 2 } = m _ { W } ^ { 2 } \left( 1 - { \frac { 2 \lambda ^ { 2 } } { g _ { 2 } ^ { 2 } } } \right) + { \frac { 2 ( A _ { \lambda } \lambda u - \kappa \lambda u ^ { 2 } ) } { \sin 2 \beta } } .
\begin{array} { r l r } { E _ { \textrm { r e c o } } ^ { \nu _ { e } } } & { { } = } & { E _ { \textrm { c o r r e c t e d } } ^ { \textrm { e l e c t r o n } } + \sum _ { \textrm { t r a c k s } } E _ { \textrm { r a n g e } } ^ { \textrm { p r o t o n } } } \\ { E _ { \textrm { r e c o } } ^ { \nu _ { \mu } } } & { { } = } & { E _ { \textrm { r a n g e } } ^ { \textrm { m u o n } } + \sum _ { \textrm { o t h e r t r a c k s } } E _ { \textrm { r a n g e } } ^ { \textrm { p r o t o n } } + 0 . 1 0 5 \; \textrm { G e V } } \end{array}
\theta _ { x } ( l ) = { \frac { - 1 } { \sqrt { { \beta _ { x } } ( l ) \beta _ { x } ( 0 ) } } } ( s i n { \Delta { \mu } } + \alpha _ { x } ( l ) c o s { \Delta { \mu } } ) x ( 0 ) + \sqrt { \frac { { \beta _ { x } } ( 0 ) } { \beta _ { x } ( l ) } } ( c o s { \Delta { \mu } } - \alpha _ { x } ( l ) s i n { \Delta { \mu } } ) \theta _ { x } ( 0 ) + \xi D _ { x } ^ { \prime } ,
A _ { i } ^ { \pm } ( t , x ) = \sqrt { \frac { 2 } { V } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } a _ { i , n } ^ { \pm } \sin ( k _ { n } x ) \frac { e ^ { \pm i \omega _ { n } t } } { \sqrt { 2 \omega _ { n } } } , \qquad k _ { n } = \omega _ { n } = \frac { \pi n } { L _ { x } } , \qquad i \in \{ y , z \} .
\begin{array} { r } { c _ { \phi _ { f } } ^ { i f } = \langle \phi _ { f } \vert \phi _ { f } ^ { \mathrm { I } } ( t ) \rangle = \langle \phi _ { f } \vert U _ { \mathrm { I } } ( \eta , t ) \vert \phi _ { i } \rangle } \end{array}
S = \frac { 1 } { 2 \kappa _ { 5 } ^ { 2 } } \int d z \, d ^ { 4 } x \, \sqrt { g } \left( \frac { 1 } { 2 e ^ { 2 } } g ^ { i j } g ^ { k l } F _ { i k } ^ { a } F _ { j l } ^ { a } + \frac { 1 } { 2 } \left( { \cal M } ^ { 2 } \right) _ { a b } \, g ^ { i j } A _ { i } { } ^ { a } A _ { j } { } ^ { b } \right)
\mathrm { ~ T ~ R ~ } \Leftrightarrow \, \stackrel { \leftrightarrow } { \mathcal { S } } = \stackrel { \leftrightarrow } { \sigma } _ { z } \, \left( \stackrel { \leftrightarrow } { \mathcal { S } ^ { \star } } \right) ^ { - 1 } \, \stackrel { \leftrightarrow } { \sigma } _ { z } \, ,
V _ { S 0 } = \tilde { V } _ { S 0 } \left( 1 + \frac { 1 } { \pi } \, Q _ { 5 5 } ^ { - 1 } \ln { \bigg | \frac { f } { f _ { 0 } } \bigg | } + \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } } \, Q _ { 5 5 } ^ { - 2 } \ln ^ { 2 } { \bigg | \frac { f } { f _ { 0 } } \bigg | } \right) ,
F _ { 3 } ( q ^ { 2 } ) ( \overline { { { \Psi } } } _ { p } \gamma _ { 5 } \sigma _ { \mu \nu } \Psi _ { \Sigma ^ { + } } - \overline { { { \Psi } } } _ { \Sigma ^ { + } } \gamma _ { 5 } \sigma _ { \mu \nu } \Psi _ { p } ) q ^ { \nu } A ^ { \mu }
\begin{array} { r l } { \mathcal Z _ { j + 1 } } & { = \mathcal Z _ { j + 1 } ( k _ { \mathfrak u _ { 1 } ^ { j } } , k _ { \mathfrak u _ { 1 1 } ^ { j } } , k _ { \mathfrak u _ { 2 1 } ^ { j } } , k _ { \mathfrak u _ { 2 2 } ^ { j } } , t _ { \mathfrak u _ { 1 } ^ { j } } , t _ { \mathfrak u _ { 2 1 } ^ { j } } , t _ { \mathfrak u _ { 2 2 } ^ { j } } , k [ \mathcal U ] , t [ \mathcal V ] ) } \\ & { : = ( C ^ { + } \delta ^ { 1 / 4 } ) ^ { - n _ { * } } \exp ( - \pi i \cdot \delta L ^ { 2 \gamma } t _ { \mathfrak u _ { 1 } ^ { j } } \Gamma ) \sum _ { ( \mathtt { i n d } _ { j } , \mathscr B _ { j } ) } \mathcal K _ { ( \mathtt { s g n } _ { j } , \mathtt { i n d } _ { j } , \mathscr B _ { j } ) } ^ { ( \mathbb U _ { j } , Z , W ) } ( k _ { \mathfrak u _ { 1 } ^ { j } } , k _ { \mathfrak u _ { 1 1 } ^ { j } } , k _ { \mathfrak u _ { 2 1 } ^ { j } } , k _ { \mathfrak u _ { 2 2 } ^ { j } } , t _ { \mathfrak u _ { 1 } ^ { j } } , t _ { \mathfrak u _ { 2 1 } ^ { j } } , t _ { \mathfrak u _ { 2 2 } ^ { j } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \mu _ { m * } , d _ { m * } ) ( \mathrm { p r } _ { \ell * } , \mathrm { p r } _ { 1 * } , \mathrm { p r } _ { 1 * } ) \tilde { \kappa } _ { m \ell } ^ { ( 1 ) } } & { = ( \pi _ { \ell * } , \mathrm { p r } _ { 1 * } , \mathrm { p r } _ { 1 * } ) ( \mu _ { m \ell * } , d _ { m \ell * } ) \tilde { \kappa } _ { m } ^ { ( 1 ) } } \\ & { = \phi ( m \ell ) ( \pi _ { \ell * } , \mathrm { p r } _ { 1 * } , \mathrm { p r } _ { 1 * } ) \kappa _ { m } ^ { ( 1 ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \prod _ { n = 1 } ^ { \infty } ( 1 + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } a _ { n , k } \lambda ^ { k } ) = } & { \quad ( 1 + a _ { 1 , 1 } \lambda + a _ { 1 , 2 } \lambda ^ { 2 } + a _ { 1 , 3 } \lambda ^ { 3 } + \cdots ) } \\ & { \cdot \; ( 1 + a _ { 2 , 1 } \lambda + a _ { 2 , 2 } \lambda ^ { 2 } + a _ { 2 , 3 } \lambda ^ { 3 } + \cdots ) } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \vdots } \\ & { \cdot \; ( 1 + a _ { N , 1 } \lambda + a _ { N , 2 } \lambda ^ { 2 } + a _ { N , 3 } \lambda ^ { 3 } + \cdots ) } \\ & { \cdot \; ( 1 + 0 \lambda + 0 \lambda ^ { 2 } + 0 \lambda ^ { 3 } + \cdots ) } \\ & { \cdot \; ( 1 + 0 \lambda + 0 \lambda ^ { 2 } + 0 \lambda ^ { 3 } + \cdots ) } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \vdots } \\ { = } & { \prod _ { n = 1 } ^ { N } ( 1 + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } a _ { n , k } \lambda ^ { k } ) = 1 + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } X _ { k } \lambda ^ { k } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } } & { \int _ { 0 } ^ { T } d t _ { 1 } \; e ^ { - t H } e ^ { t _ { 1 } H } \; { \epsilon } V _ { \Psi } \; e ^ { - t _ { 1 } H } = \int _ { 0 } ^ { T } d t _ { 1 } \; \Pi _ { 0 } \; { \epsilon } V _ { \Psi } \; e ^ { - t _ { 1 } H } } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { T } d t _ { 1 } \; \sum v _ { k } ^ { 0 } { v _ { k } ^ { 0 } } ^ { \ast } \; { \epsilon } V _ { \Psi } e ^ { - t _ { 1 } H } = \sum v _ { k } ^ { 0 } \left[ \int _ { 0 } ^ { T } d t _ { 1 } \; e ^ { - t _ { 1 } H } G _ { + } G _ { - } \mu _ { 2 } ( { \epsilon } \Psi , v _ { k } ^ { 0 } ) \right] ^ { \ast } } \\ & { \approx \sum v _ { k } ^ { 0 } \left[ \int _ { 0 } ^ { \infty } d t _ { 1 } \; e ^ { - t _ { 1 } H } G _ { + } G _ { - } \mu _ { 2 } ( { \epsilon } \Psi , v _ { k } ^ { 0 } ) \right] ^ { \ast } = \sum v _ { k } ^ { 0 } \left[ K G _ { - } \mu _ { 2 } ( { \epsilon } \Psi , v _ { k } ^ { 0 } ) \right] ^ { \ast } } \\ & { = \sum v _ { k } ^ { 0 } \; { { \epsilon } v _ { k } ^ { 1 } } ^ { \ast } . } \end{array}
\overline { { \u { Q } } } _ { \u { \tau } } = \boldsymbol { Q } _ { \u { \tau } } \boldsymbol { I } = \sum _ { i , j \in \mathcal { I } } Q _ { i j } \left[ \tau \right] \boldsymbol { e } _ { i } \otimes \boldsymbol { E } _ { j }
\begin{array} { r l r } { \Phi _ { \tau } ( \mathbf { X } ) } & { { } = } & { \int _ { \Omega } d \mathbf { X } ^ { \prime } G _ { \tau } ( \mathbf { X } , \mathbf { X } ^ { \prime } ) \Phi _ { 0 } ( \mathbf { X } ^ { \prime } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { L } _ { \operatorname { M C N P } } ( \mathcal { G } _ { \theta } | u _ { 0 } ) = \sum _ { t = 0 } ^ { T - \Delta t } \sum _ { p = 1 } ^ { P } \Bigg \| \mathcal { G } _ { \theta } ( u _ { 0 } , t + \Delta t ) ( \boldsymbol { x } _ { p } ) - } \\ { \mathbb { E } _ { \boldsymbol { \xi } _ { p } } \left[ \mathcal { G } _ { \theta } ( u _ { 0 } , t ) ( \boldsymbol { \xi } _ { p , t } ) + \int _ { t } ^ { t + \Delta t } f ( \boldsymbol { \xi } _ { p , s } , s ) d s \right] \Bigg \| _ { 2 } , } \end{array}
\int _ { \Gamma _ { i } } \mathbf { \mathcal { F } } ( \mathbf { W } ^ { n } ) \boldsymbol { \widetilde { \eta } } _ { i } \, \mathrm { d S } = \displaystyle \sum _ { N _ { j } \in { \cal K } _ { i } } \displaystyle \int _ { \Gamma _ { i j } } { \mathcal { Z } } ( \mathbf { W } ^ { n } , { \boldsymbol { \tilde { \eta } } } _ { i j } ) \, \mathrm { d S } .
c _ { p } { \bf J } _ { T } = - \left( L _ { \eta \eta } - \frac { L ^ { 2 } } { L _ { s s } } \right) \nabla T + \left( L + L _ { s s } \hat { \mu } _ { T } \right) \frac { T { \bf J } _ { s } } { L _ { s s } }
\sigma _ { a b } ( x ) = \int d y ^ { - } | x ^ { - } - y ^ { - } | \big [ \psi _ { a } ( x ^ { + } , y ^ { - } ) \psi _ { b } ^ { \dagger } ( x ^ { + } , y ^ { - } ) - { \frac { 1 } { N } } \delta _ { a b } \psi _ { c } ( x ^ { + } , y ^ { - } ) \psi _ { c } ^ { \dagger } ( x ^ { + } , y ^ { - } ) \big ] .
\begin{array} { r } { \bigg | \mathbb { E } \{ X _ { i } ( t ) \} - \frac { 1 } { r _ { 0 } n } \sum _ { j \in \mathcal { V } _ { r } } X _ { j } ( 0 ) \bigg | = o _ { n } ( 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \varphi _ { 1 } , \varphi _ { 2 } : \ensuremath { \mathbb { Z } } / p \ensuremath { \mathbb { Z } } \oplus \ensuremath { \mathbb { Z } } / p \ensuremath { \mathbb { Z } } \longrightarrow \textup { O } ( 5 , \overline { { \mathbb { F } _ { q } } } ) } \\ { \mathrm { g i v e n ~ b y ~ } } & { \varphi _ { 1 } ( ( 1 , 0 ) ) = X _ { 1 } , \varphi _ { 1 } ( ( 0 , 1 ) ) = X _ { a } } \\ & { \varphi _ { 2 } ( ( 1 , 0 ) ) = X _ { a } , \varphi _ { 2 } ( ( 0 , 1 ) ) = X _ { 1 } . } \end{array}
\phi _ { n \kappa m } ( \boldsymbol { r } ) = \frac { 1 } { r } \left( \begin{array} { l } { f _ { n \kappa } { ( r ) } \Omega _ { \kappa m } { ( \boldsymbol { \hat { n } } ) } } \\ { i g _ { n \kappa } { ( r ) } \tilde { \Omega } _ { \kappa m } { ( \boldsymbol { \hat { n } } ) } } \end{array} \right) \, ,
{ \cal { U } } = \left( \begin{array} { c c } { { \cos { \frac { \theta } { 2 } } } } & { { \sin { \frac { \theta } { 2 } } } } \\ { { - \sin { \frac { \theta } { 2 } } } } & { { \cos { \frac { \theta } { 2 } } } } \end{array} \right)
\operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \big < \beta \big > _ { K , u , \beta _ { S } , n } = \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \frac { 3 ( n - 1 ) } { 2 K } = \frac { 3 } { 2 k }
\begin{array} { r l } { \frac { | \nabla ( \mathbb { P } \eta _ { i } ) | ^ { 2 } } { \mathbb { P } \eta _ { i } } } & { = \frac { | \eta _ { i } \nabla \mathbb { P } + \mathbb { P } \nabla \eta _ { i } | ^ { 2 } } { \mathbb { P } \eta _ { i } } = \frac { \eta _ { i } ^ { 2 } | \nabla \mathbb { P } | ^ { 2 } + 2 \eta _ { i } \mathbb { P } \nabla \mathbb { P } \cdot \nabla \eta _ { i } + \mathbb { P } ^ { 2 } | \nabla \eta _ { i } | ^ { 2 } } { \mathbb { P } \eta _ { i } } } \\ & { = \eta _ { i } \frac { | \nabla \mathbb { P } | ^ { 2 } } { \mathbb { P } } + 2 \nabla \mathbb { P } \cdot \nabla \eta _ { i } + \mathbb { P } \frac { | \nabla \eta _ { i } | ^ { 2 } } { \eta _ { i } } } \end{array}
U ( t ) = U ( t _ { 0 } ) , \quad a ( t ) = a ( t _ { 0 } ) \left[ 1 + \frac { | a _ { 0 } | a ( t _ { 0 } ) ^ { 3 } \lambda ^ { 4 } } / { \partial 7 2 | U | ^ { 3 } } ( t - t _ { 0 } ) \right] ^ { - 1 / 3 } ,
m _ { A _ { 5 } } ^ { 2 } ( \mathrm { f e r m i o n } ) \approx - \frac { 3 g ^ { 2 } \zeta ( 3 ) } { 4 \pi ^ { 4 } } \, \frac { 1 } { R _ { 5 } ^ { 2 } } \sum _ { i } 2 Q _ { i } ^ { 2 } \; ,
\langle s _ { 1 } \cdot \cdot \cdot s _ { N } | \Psi \rangle = \left( { \frac { B } { 4 } } \right) ^ { N / 4 } e ^ { - B \sum _ { i } s _ { i } ^ { 2 } / 2 } e ^ { - { \frac { 1 } { 4 B } } \sum _ { i } \left( { \frac { \partial } { \partial s _ { i } } } \right) ^ { 2 } } \Psi ( \sqrt { 2 B } s _ { 1 } , \cdot \cdot \cdot , \sqrt { 2 B } s _ { N } ) .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ y _ { k + 1 } - y _ { \lambda , k } ^ { * } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] } & { \le ( 1 - 3 \beta _ { k } \mu _ { g } / 4 ) \mathbb { E } [ \| z _ { k } - y _ { k } ^ { * } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] - \frac { \alpha _ { k } } { \lambda _ { k } l _ { g , 1 } } \| q _ { k } ^ { y } \| ^ { 2 } } \\ & { \quad + 2 \alpha _ { k } ^ { 2 } \mathbb { E } [ \| \tilde { e } _ { k } ^ { y } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] - 2 \alpha _ { k } \mathbb { E } [ \langle \tilde { e } _ { k } ^ { y } , y _ { k } - y _ { \lambda , k } ^ { * } \rangle | \mathcal { F } _ { k } ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \varepsilon = \frac { 1 } { 1 6 \sqrt { \pi ^ { 3 } } \sigma _ { \mathrm { h P F } } ^ { 3 } \phi _ { 0 } } \left( 2 \tilde { \chi } _ { i j } + \frac { 1 } { \kappa } \right) . } \end{array}
\phi ^ { ( \mathfrak { n } _ { i } , \mathfrak { n } _ { j } ) } ( x _ { i } , x _ { j } ) = \frac { 1 } { 2 \pi \mathrm { i } } \oint _ { \gamma _ { \rho } } \mathrm { d } w \, \frac { \theta ^ { x _ { i } - x _ { j } } \varphi ( w ) ^ { t _ { i } - t _ { j } } } { w ^ { x _ { i } - x _ { j } - n _ { j } + n _ { i } + 1 } } \prod _ { k = n _ { i } + 1 } ^ { n _ { j } } ( v _ { k } - w ) ^ { - 1 } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { Z } ( z ) } & { { } = \sqrt { \epsilon _ { c } } \; \frac { \mathcal { Z } ( 0 ) \cos ( \sqrt { \epsilon _ { c } } \, k z ) - \sqrt { \epsilon _ { c } } \sin ( \sqrt { \epsilon _ { c } } \, k z ) } { \mathcal { Z } ( 0 ) \sin ( \sqrt { \epsilon _ { c } } \, k z ) + \sqrt { \epsilon _ { c } } \cos ( \sqrt { \epsilon _ { c } } \, k z ) } . } \end{array}