harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \tilde { p } ( { \bf { y } } | { \bf { z } } _ { t } = { \bf { A } } { \bf { x } } _ { t } ) \approx \frac { e ^ { \frac { ( h _ { m } ^ { F } ) ^ { 2 } } { 2 \tau ^ { F } } } } { 2 } \Big [ \mathrm { e r f c } ( \frac { - \tilde { u } _ { y _ { m } } } { \sqrt { 2 } } ) - \mathrm { e r f c } ( \frac { - \tilde { l } _ { y _ { m } } } { \sqrt { 2 } } ) \Big ] , } \end{array}
\kappa _ { R , I B } [ \mathrm { c m } ^ { 2 } / \mathrm { g } ] = 4 . 4 7 2 8 3 ~ 1 0 ^ { 8 } \frac { Z ^ { * 3 } \rho [ \mathrm { g } / \mathrm { c m } ^ { 3 } ] } { ( A [ \mathrm { g } ) ^ { 2 } ] \left( h \nu [ \mathrm { e V } ] \right) ^ { 3 } \left( T [ \mathrm { e V } ] \right) ^ { 1 / 2 } } .
V _ { 0 } ( U ) + V _ { 1 } ( U , T ) = \left( - \widetilde { m } _ { U } ^ { 2 } + \gamma _ { U } T ^ { 2 } \right) U ^ { 2 } - T E _ { U } U ^ { 3 } + \frac { \lambda _ { U } } { 2 } U ^ { 4 } ,
\frac { \left| m ^ { \prime } \omega - m \omega ^ { \prime } \right| } { \operatorname* { m a x } \left( \left| m ^ { \prime } \omega \right| , | m ^ { \prime } m | , | m \omega ^ { \prime } | \right) } \leq \frac { | m ^ { \prime \prime } | | \omega | + | m | | \omega ^ { \prime \prime } | } { | m | \operatorname* { m a x } ( | m ^ { \prime } | , | \omega ^ { \prime } | ) }
\begin{array} { r l } { . . . - \frac { 2 C _ { - 2 } } { w ^ { 3 } } - \frac { C _ { - 1 } } { w ^ { 2 } } } & { { } = - \frac { 1 } { \lambda \sigma } \left( 1 + \frac { 2 \left( \lambda - 1 \right) + \mu \left( \gamma - 1 \right) } { 2 \gamma \left( 1 + V _ { 0 } \right) } \right) } \end{array}
- \frac 1 { 2 \Gamma \left( \frac 1 2 \right) } \sum _ { j = 0 } ^ { d } \frac { a _ { j } } { j - d - 1 } - \frac 1 { 4 \Gamma \left( \frac 1 2 \right) } r _ { d + 1 } \left( - \frac 1 2 \right) +
\begin{array} { r } { \Gamma _ { 0 \to j } ^ { ( 1 ) } = \frac { 2 \pi } { \hbar ^ { 2 } } \sum _ { i } \big | V _ { j 0 } ^ { i } \big | ^ { 2 } \, \delta ( \varepsilon _ { j 0 } - \omega _ { i } ) . } \end{array}
\begin{array} { c c } { \Delta S _ { n - 1 } = } & { S _ { n } ( r ) - S _ { n - 1 } ( r ) } \\ { \Delta S _ { n - 2 } = } & { S _ { n - 1 } ( r ) - S _ { n - 2 } ( r ) } \\ { \vdots \quad \qquad \vdots } & { \vdots } \\ { \Delta S _ { 1 } = } & { S _ { 2 } ( r ) - S _ { 1 } ( r ) } \end{array}
T _ { + p - \dot { p } } ^ { - \dot { q } } = \frac { \chi } { 2 } \tilde { \gamma } _ { \dot { q } p } ^ { i } \Omega _ { - \dot { p } } ^ { - 2 i } , \ T _ { + q + p } ^ { - \dot { q } } = \frac { \chi } { 2 } \left( \tilde { \gamma } _ { \dot { q } q } ^ { i } \Omega _ { + p } ^ { - 2 i } + q \leftrightarrow p \right) .
\mathbf { A } ^ { - 1 } = { \left[ \begin{array} { l l } { a } & { b } \\ { c } & { d } \end{array} \right] } ^ { - 1 } = { \frac { 1 } { \operatorname* { d e t } \mathbf { A } } } { \left[ \begin{array} { l l } { \, \, \, d } & { \! \! - b } \\ { - c } & { \, a } \end{array} \right] } = { \frac { 1 } { a d - b c } } { \left[ \begin{array} { l l } { \, \, \, d } & { \! \! - b } \\ { - c } & { \, a } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r l } { \| \bar { M } ^ { - 1 } - ( \mathbb { E } \{ \bar { M } \} ) ^ { - 1 } \| } & { \le \| \bar { M } ^ { - 1 } \| \| ( \mathbb { E } \{ \bar { M } \} ) ^ { - 1 } \| \| \bar { M } - \mathbb { E } \{ \bar { M } \} \| } \\ & { = \frac { 1 } { \lambda _ { \operatorname* { m i n } } ( \bar { M } ) } \frac { 1 } { \lambda _ { \operatorname* { m i n } } ( \mathbb { E } \{ \bar { M } \} ) } \| \bar { M } - \mathbb { E } \{ \bar { M } \} \| } \\ & { \le \frac { \varepsilon _ { M , n } } { \lambda _ { \operatorname* { m i n } } ( \mathbb { E } \{ \bar { M } \} ) ( \lambda _ { \operatorname* { m i n } } ( \mathbb { E } \{ \bar { M } \} ) - \varepsilon _ { M , n } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { A } } & { { } = \Re \left[ - \mathbf { E } ^ { * } \left( \boldsymbol { \kappa } \cdot \mathbf { E } \right) - \mathbf { E } \left( \boldsymbol { \kappa } \cdot \mathbf { n } _ { r } \times \left( \mathbf { n } _ { r } \times \mathbf { E } ^ { * } \right) \right) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { \nu , J } = \ } & { \omega _ { e } \left( \nu + \frac 1 2 \right) - \omega _ { e } x _ { e } \left( \nu + \frac 1 2 \right) ^ { 2 } } \\ & { + \omega _ { e } y _ { e } \left( \nu + \frac 1 2 \right) ^ { 3 } + \omega _ { e } z _ { e } \left( \nu + \frac 1 2 \right) ^ { 4 } } \\ & { + B _ { e } \left[ J ( J + 1 ) \right] - \alpha _ { e } \left( \nu + \frac 1 2 \right) \left[ J ( J + 1 ) \right] } \\ & { + \gamma _ { e } \left( \nu + \frac 1 2 \right) ^ { 2 } \left[ J ( J + 1 ) \right] } \\ & { - \mathcal { D } _ { e } \left[ J ( J + 1 ) \right] ^ { 2 } + \beta _ { e } \left( \nu + \frac 1 2 \right) \left[ J ( J + 1 ) \right] ^ { 2 } } \\ & { + H _ { e } \left[ J ( J + 1 ) \right] ^ { 3 } - D _ { e } \ , } \end{array}
\begin{array} { r } { \dot { \mathbf { \eta } } = \left[ J \mathbf { f } ( \mathbf { x } _ { s } ) - \nu J \mathbf { g } ( \mathbf { x } _ { s } ) \right] \mathbf { \eta } = K ( \nu ) \mathbf { \eta } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { n _ { 1 } } & { \geq 1 + \log _ { 2 } ( M _ { d , { \varepsilon } / 3 } ) , } \\ { m _ { 1 } } & { \geq \log _ { 2 } ( C _ { 2 } ^ { 2 } d ^ { 2 } ( { \varepsilon } / 3 ) ^ { - 1 } ) , } \\ { m _ { 2 } } & { \geq 1 + \log _ { 2 } ( M _ { d , { \varepsilon } / 3 } ) + \log _ { 2 } ( C _ { 2 } d ^ { 2 } ( { \varepsilon } / 3 ) ^ { - 1 } ) , } \end{array}
S ^ { \mathrm { g r a v . } } = - { \frac { T _ { K K 1 1 } } { 2 } } \int d ^ { 7 } \hat { \xi } \sqrt { | \hat { \gamma } | } \ \left[ \hat { \hat { k } } ^ { 4 / 7 } \hat { \gamma } ^ { \hat { \imath } \hat { \jmath } } \hat { D } _ { \hat { \imath } } \hat { \hat { X } } ^ { \hat { \hat { \mu } } } \hat { D } _ { \hat { \jmath } } \hat { \hat { X } } ^ { \hat { \hat { \nu } } } \hat { \hat { g } } _ { \hat { \hat { \mu } } \hat { \hat { \nu } } } - 5 \right] \, ,
\begin{array} { r l } { p _ { \mathbf { W } } ( 1 , \mathbf { w } ) } & { { } = \langle 1 [ \phi ] | \prod _ { n = 1 } ^ { M } \delta \bigl ( \hat { W } _ { n } - w _ { n } \bigr ) | 1 [ \phi ] \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { e _ { \mathrm { e n v } } ( \theta _ { \mathrm { C } } , \theta _ { \mathrm { T } } ) } & { { } = e _ { \mathrm { d i p } } ( R _ { * } , \infty ) - e _ { \mathrm { d i p } } ( R _ { * } , r _ { \mathrm { e q } } ^ { \theta _ { \mathrm { C } } - \theta _ { \mathrm { T } } } ) , } \\ { e _ { \mathrm { f b } } ( \theta _ { \mathrm { C } } , \theta _ { \mathrm { T } } ) } & { { } = e _ { \mathrm { d i p } } ( R _ { * } , r _ { \mathrm { e q } } ^ { \theta _ { \mathrm { C } } - \theta _ { \mathrm { T } } } ) - e _ { \mathrm { d i p } } ( R _ { * } , r _ { \mathrm { e q } } ^ { \theta _ { \mathrm { C } } + \theta _ { \mathrm { T } } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { a } _ { \kappa } ( z , \varphi ) } & { = \hat { a } _ { \kappa } ( z , \widehat { \varphi } ) + \alpha \, \hat { a } _ { \kappa } ( z , \mathrm { i } u ) = m ( f , \widehat { \varphi } ) + \alpha \, \hat { a } _ { \kappa } ( z , \mathrm { i } u ) } \\ & { = m ( f , \varphi ) - \alpha \, m ( f , \mathrm { i } u ) + \alpha \, a _ { A } ( z , \mathrm { i } u ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \nabla ^ { 2 } \phi ^ { ( l ) } + \left( { \omega / c _ { \mathrm { L } } ^ { ( l ) } } \right) ^ { 2 } \phi ^ { ( l ) } = 0 \quad \mathrm { i n ~ } \Omega ^ { ( l ) } , } \\ { \nabla ^ { 2 } \psi ^ { ( l ) } + \left( { \omega / c _ { \mathrm { T } } ^ { ( l ) } } \right) ^ { 2 } \psi ^ { ( l ) } = 0 \quad \mathrm { i n ~ } \Omega ^ { ( l ) } , } \end{array}
\left[ { \frac { d n _ { d } ( \omega , D ) } { d \omega } } \right] _ { \mathrm { d i v } } = r _ { d } { \frac { \Gamma \left( 1 - \frac D 2 \right) } { ( 4 \pi ) ^ { D / 2 } } } { \frac { m ^ { D - 4 } } { \kappa } } \int _ { \Sigma } \left[ 2 \left( m ^ { 2 } + { \frac { R } { 1 2 } } - { \frac { R _ { i i } } { 8 } } \right) - { \frac { \omega ^ { 2 } } { \kappa ^ { 2 } } } P \right] ~ ~ ~ .
\begin{array} { r l } & { \mathcal A _ { u _ { c } , u } ( m \frac { T } { M } , n \frac { 1 } { N T } ) } \\ & { = \int _ { m \frac { T } { M } } ^ { m \frac { T } { M } + T _ { u } } u _ { c } ( t ) u ^ { * } ( t - m \frac { T } { M } ) e ^ { - j 2 \pi n \frac { 1 } { N T } ( t - m \frac { T } { M } ) } d t , } \\ & { = \delta ( n ) \delta ( m ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { R _ { O Z } ( t ) = \left( \begin{array} { c c c } { \cos \frac { m _ { 3 } t } { I _ { 3 } } } & { - \sin \frac { m _ { 3 } t } { I _ { 3 } } } & { 0 } \\ { \sin \frac { m _ { 3 } t } { I _ { 3 } } } & { \cos \frac { m _ { 3 } t } { I _ { 3 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) . } \end{array}
L \approx { \frac { S } { \left( { \frac { \varphi } { \theta } } + 1 \right) S \sin \theta - 1 } } = 1 \left/ \left( \left( { \frac { \varphi } { \theta } } + 1 \right) \sin \theta - { \frac { 1 } { S } } \right) \right.
\begin{array} { r l } & { \left| b ( t , x _ { 1 } , y _ { 1 } , e _ { i } ) - b ( t , x _ { 2 } , y _ { 2 } , e _ { i } ) \right| \vee \left| \sigma ( t , x _ { 1 } , y _ { 1 } , e _ { i } ) - \sigma ( t , x _ { 2 } , y _ { 2 } , e _ { i } ) \right| } \\ & { \vee \left\| \eta ( t , x _ { 1 } , y _ { 1 } , e _ { i } , z ) - \eta ( t , x _ { 2 } , y _ { 2 } , e _ { i } , z ) \right\| _ { J } \vee \left\| \gamma ( t , x _ { 1 } , y _ { 1 } , e _ { i } ) - \gamma ( t , x _ { 2 } , y _ { 2 } , e _ { i } ) \right\| _ { S } } \\ & { \leq C ( \left| x _ { 1 } - x _ { 2 } \right| + \left| y _ { 1 } - y _ { 2 } \right| ) . } \end{array}
\Sigma ( z _ { n o z z l e } ) = \left( \begin{array} { l l } { \sigma _ { x } ( z _ { n o z z l e } ) } & { \rho _ { x \theta } ( z _ { n o z z l e } ) } \\ { \rho _ { x \theta } ( z _ { n o z z l e } ) } & { \sigma _ { \theta } ( z _ { n o z z l e } ) } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { \| | \mathcal D | ^ { 1 / 2 } [ P _ { \gamma } ^ { + } - P _ { \gamma ^ { \prime } } ^ { + } - d P _ { \gamma ^ { \prime } } ^ { + } ( \gamma - \gamma ^ { \prime } ) ] \| _ { \mathcal { B } ( \mathcal { H } ) } \leq \frac { \pi ^ { 2 } \alpha _ { c } ^ { 2 } } { 8 c ^ { 3 } } ( 1 - \kappa ) ^ { - 1 / 2 } \lambda _ { 0 } ^ { - 3 / 2 } \| \gamma - \gamma ^ { \prime } \| _ { X _ { c } } ^ { 2 } . } \end{array}
\hat { h } _ { \vec { b } } ^ { \mathrm { e } } C _ { n _ { \vec { b } } } ( \varphi _ { \vec { b } } ) = g _ { \mathrm { e f f } } ^ { 2 } n _ { \vec { b } } ( n _ { \vec { b } } + 2 ) C _ { n _ { \vec { b } } } ( \varphi _ { \vec { b } } ) ,
N _ { \mathrm { R , e s c } } = \mathrm { e r f } \left( \frac { v _ { \mathrm { e s c } } } { \sqrt { 2 } \sigma _ { v } } \right) - \sqrt { \frac { 2 } { \pi } } \frac { v _ { \mathrm { e s c } } } { \sigma _ { v } } { - \frac { v _ { \mathrm { e s c } } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { v } ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l } { V ( I ; \tau ) } & { = \sum _ { \sigma \in \mathfrak { S } _ { n } } U ( e _ { \sigma ( 1 ) } , \dotsc , e _ { \sigma ( n ) } ; 0 , \tau ) \cdot e _ { \sigma ( 1 ) } * \cdots * e _ { \sigma ( n ) } \, , } \\ { V ^ { \smash { \mathrm { s d } } } ( I ; \tau ) } & { = \sum _ { x \in P _ { I } } U ^ { \smash { \mathrm { s d } } } ( x _ { 1 } , \dotsc , x _ { n } ; 0 , \tau ) \cdot x _ { 1 } * \cdots * x _ { n } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle d \overline { { X } } _ { t } ^ { n , i } = \overline { { \alpha } } _ { t } ^ { n , i } d t + d W _ { t } ^ { i } , \displaystyle } \\ { \displaystyle d \overline { { Y } } _ { t } ^ { n , i } = - \bigg ( \frac { 1 } { n } D _ { x } L ^ { i } \big ( \overline { { X } } _ { t } ^ { n , i } , \overline { { \alpha } } _ { t } ^ { n , i } ) + \frac { 1 } { n } D _ { m } \mathcal { F } \big ( \overline { { m } } _ { t } ^ { n } , \overline { { X } } _ { t } ^ { n , i } \big ) + \frac { 1 } { n } E _ { t } ^ { \mathcal { F } , i } \bigg ) d t + \overline { { Z } } _ { t } ^ { n , i } d W _ { t } ^ { i } , } \\ { \overline { { X } } _ { 0 } ^ { n , i } = \xi ^ { i } , \quad \overline { { Y } } _ { T } ^ { n , i } = \frac { 1 } { n } D _ { m } \mathcal { G } \big ( \overline { { m } } _ { T } ^ { n } , \overline { { X } } _ { T } ^ { n , i } \big ) + \frac { 1 } { n } E _ { T } ^ { \mathcal { G } , i } , } \end{array} \right.
{ \begin{array} { r l } { = } & { { \frac { 1 } { \sqrt { 1 - \rho ^ { 2 } } } } \exp \left( - { \frac { ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } ) \rho ^ { 2 } - 2 a b \rho } { 2 ( 1 - \rho ^ { 2 } ) } } \right) } \\ & { { \mathrm { w h e r e ~ } } \rho \in ( - 1 , 1 ) } \\ & { { \mathrm { w h e r e ~ } } a = { \sqrt { 2 } } \operatorname { e r f } ^ { - 1 } ( { 2 u - 1 } ) } \\ & { { \mathrm { w h e r e ~ } } b = { \sqrt { 2 } } \operatorname { e r f } ^ { - 1 } ( { 2 v - 1 } ) } \\ & { { \mathrm { w h e r e ~ } } \operatorname { e r f } ( z ) = { \frac { 2 } { \sqrt { \pi } } } \int _ { 0 } ^ { z } \exp ( - t ^ { 2 } ) \, d t } \end{array} }
{ \frac { f _ { r } } { f _ { s } } } = { \frac { 1 - { \frac { | \mathbf { v _ { r } } | } { \mathbf { | C | } } } \cos ( \theta _ { \mathbf { C , v _ { r } } } ) } { 1 - { \frac { | \mathbf { v _ { s } } | } { \mathbf { | C | } } } \cos ( \theta _ { \mathbf { C , v _ { s } } } ) } } { \sqrt { \frac { 1 - ( v _ { s } / c ) ^ { 2 } } { 1 - ( v _ { r } / c ) ^ { 2 } } } }
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { y } , \eta , \boldsymbol { \alpha } } } & { \quad f ( \mathbf { y } ) + q ( \eta ) } \\ { \mathrm { s . t . } } & { \quad W ^ { j } + \mathbf { w } ^ { j ^ { \intercal } } \mathbf { y } - \eta + \alpha ^ { j } = 0 , \quad j = 1 , \dots , k } \\ & { \quad \underline { { \eta } } \leq \eta \leq \overline { { \eta } } } \\ & { \quad \alpha ^ { j } \geq 0 } \\ & { \quad \mathbf { y } \in \{ 0 , 1 \} ^ { n _ { y } } , \eta \in \mathbb { R } , \boldsymbol { \alpha } \in \mathbb { R } ^ { k } } \end{array}
\begin{array} { r } { L _ { 1 } \underline { { \stackrel { \gamma } { \cap } } } L _ { 2 } : = \left\{ \vec { x } \, \vec { y } ^ { \gamma _ { 2 } } \, | \, \vec { x } \in L _ { 1 } , \vec { y } \in L _ { 2 } , \forall _ { ( a , b ) \in \gamma } \, x _ { a } = y _ { b } \right\} } \end{array}
\frac { m } { \mu } = \left\{ \begin{array} { l c r } { { \displaystyle \frac { 2 } { 3 } \kappa _ { 1 } ^ { 2 } } } & { { \mathrm { i f } } } & { { \displaystyle - \frac { 9 } { 8 } < \alpha < 0 } } \\ { { \displaystyle \frac { 4 } { 3 } | \alpha | } } & { { \mathrm { i f } } } & { { \displaystyle \alpha \le - \frac { 9 } { 8 } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { 0 \geqslant } & { \lambda _ { 1 } \langle \nabla f ( x _ { k } ) ; d _ { k - 1 } \rangle } \\ & { + \lambda _ { 2 } \bigg [ f ( x _ { k } ) - f ( x _ { k - 1 } ) + \gamma _ { k - 1 } \langle \nabla f ( x _ { k } ) ; \, d _ { k - 1 } \rangle + \frac { 1 } { 2 L } \| \nabla f ( x _ { k - 1 } ) - \nabla f ( x _ { k } ) \| ^ { 2 } } \\ & { \quad \quad \quad + \frac { \mu } { 2 ( 1 - \mu / L ) } \| \gamma _ { k - 1 } d _ { k - 1 } - \frac { 1 } { L } ( \nabla f ( x _ { k - 1 } ) - \nabla f ( x _ { k } ) ) \| ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { + \lambda _ { 3 } \bigg [ f ( x _ { k - 1 } ) - f ( x _ { k } ) - \gamma _ { k - 1 } \langle \nabla f ( x _ { k - 1 } ) ; \, d _ { k - 1 } \rangle + \frac { 1 } { 2 L } \| \nabla f ( x _ { k - 1 } ) - \nabla f ( x _ { k } ) \| ^ { 2 } } \\ & { \quad \quad \quad + \frac { \mu } { 2 ( 1 - \mu / L ) } \| \gamma _ { k - 1 } d _ { k - 1 } - \frac { 1 } { L } ( \nabla f ( x _ { k - 1 } ) - \nabla f ( x _ { k } ) ) \| ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { + \lambda _ { 4 } \big [ \langle \nabla f ( x _ { k - 1 } ) ; \, \nabla f ( x _ { k } ) \rangle - \| \nabla f ( x _ { k } ) \| ^ { 2 } + \beta _ { k - 1 } \langle \nabla f ( x _ { k - 1 } ) ; \, d _ { k - 1 } \rangle \big ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho \hat { \psi } ^ { \mathrm { I I } } = } & { { } ~ \left( \frac { \rho _ { 1 } \kappa _ { 1 } } { 2 \varepsilon } + \frac { \rho _ { 2 } \kappa _ { 2 } } { 2 \varepsilon } \right) F ( \phi ) + \frac { \rho _ { 1 } \kappa _ { 1 } \varepsilon + \rho _ { 2 } \kappa _ { 2 } \varepsilon } { 4 } \| \nabla \phi \| ^ { 2 } } \end{array}
\mathbf { y } = ( { \bar { \mathbf { x } } } - { \boldsymbol { \mu } } ) ^ { \prime } { \mathbf { \Sigma } } _ { \bar { \mathbf { x } } } ^ { - 1 } ( { \bar { \mathbf { x } } } - { \boldsymbol { \mathbf { \mu } } } ) = ( { \bar { \mathbf { x } } } - { \boldsymbol { \mu } } ) ^ { \prime } ( { \mathbf { \Sigma } } / n ) ^ { - 1 } ( { \bar { \mathbf { x } } } - { \boldsymbol { \mathbf { \mu } } } )
\begin{array} { r l } { \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \mathsf { E } [ U _ { i } ^ { \prime } ( T _ { n } ^ { \prime } ) \! - \! U _ { i } ( t _ { 0 } ^ { ( n ) } ) \! \mid \! \theta = i ] \le - U _ { i } ( 0 ) \! + \! \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } B p _ { f } ^ { n \! - \! 1 } = } & { B \! + \! \frac { B p _ { f } } { 1 \! - \! p _ { f } } \! - \! U _ { i } ( 0 ) = B \! + \! 2 ^ { - C _ { 2 } } \frac { 1 \! - \! 2 ^ { - N C _ { 2 } } } { 1 \! - \! 2 ^ { - C _ { 2 } } } B - U _ { i } ( 0 ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \tilde { \wp } _ { 0 , 3 } = p _ { M _ { \cal A } ^ { ( n ) } Z ^ { n } K _ { 1 } ^ { n } K _ { 2 } ^ { n } } \biggl \{ ( M _ { \cal A } ^ { ( n ) } , Z ^ { n } , K _ { 1 } ^ { n } , K _ { 2 } ^ { n } ) \in { \cal T } _ { i } , } \\ & { \qquad \quad \displaystyle \eta \geq \frac { 1 } { n } \sum _ { t = 1 } ^ { n } \log \frac { p _ { K _ { 1 , t } K _ { 2 , t } | V _ { 3 , t } } ( K _ { 1 , t } , K _ { 2 , t } | V _ { 3 , t } ) } { p _ { K _ { 1 , t } K _ { 2 , t } | U _ { 3 , t } } ( K _ { 1 , t } , K _ { 2 , t } | U _ { 3 , t } ) } , } \\ & { \qquad \quad \displaystyle \eta \geq \frac { 1 } { n } \sum _ { t = 1 } ^ { n } \log \frac { Q _ { Z _ { t } } ( Z _ { t } ) } { p _ { Z _ { t } } ( Z _ { t } ) } , } \\ & { \displaystyle R _ { \cal A } + \eta \geq \frac { 1 } { n } \sum _ { t = 1 } ^ { n } \log \frac { \tilde { Q } _ { Z _ { t } | U _ { t } } ( Z _ { t } | U _ { t } ) } { p _ { Z _ { t } } ( Z _ { t } ) } , } \\ & { \qquad \quad \displaystyle \eta \geq \left. \frac { 1 } { n } \sum _ { t = 1 } ^ { n } \log \frac { \mathrm { e } ^ { - ( R _ { 1 } + R _ { 2 } ) } } { p _ { K _ { 1 , t } K _ { 2 , t } | V _ { 3 , t } } ( K _ { 1 , t } , K _ { 2 , t } | V _ { 3 , t } ) } \right\} } \\ & { \leq p _ { M _ { \cal A } ^ { ( n ) } , Z ^ { n } , K _ { 1 } ^ { n } , K _ { 2 } ^ { n } } \left\{ ( M _ { \cal A } ^ { ( n ) } , Z ^ { n } , K _ { 1 } ^ { n } , K _ { 2 } ^ { n } ) \in { \cal T } _ { i } , \right. } \\ & { \quad \eta \geq \frac { 1 } { n } \sum _ { t = 1 } ^ { n } \log \frac { Q _ { Z _ { t } } ( X _ { t } ) } { p _ { Z _ { t } } ( Z _ { t } ) } , } \\ & { \quad R _ { \cal A } + \eta \geq \frac { 1 } { n } \sum _ { t = 1 } ^ { n } \log \frac { \tilde { Q } _ { Z _ { t } | U _ { t } } ( Z _ { t } | U _ { t } ) } { p _ { Z _ { t } } ( Z _ { t } ) } , } \\ & { \quad 2 \eta \geq \left. \frac { 1 } { n } \sum _ { t = 1 } ^ { n } \log \frac { \mathrm { e } ^ { - ( R _ { 1 } + R _ { 2 } ) } } { p _ { K _ { 1 , t } K _ { 2 , t } | U _ { 3 , t } } ( K _ { 1 , t } , K _ { 2 , t } | U _ { 3 , t } ) } \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { \mathcal { G } } ^ { I J } } & { = } & { \tilde { \Pi } ^ { I J } , } \\ { \tilde { \mathcal { D } } _ { a } } & { = } & { - q _ { a b } D _ { c } \tilde { \pi } ^ { b c } - \frac { 1 } { 2 } \Gamma _ { a I J } \tilde { \Pi } ^ { I J } } \\ & { } & { - \frac { 1 } { 2 q } q _ { a b } \tilde { \Pi } ^ { b I } \tilde { \Pi } ^ { c J } \nabla _ { c } \tilde { \Pi } _ { I J } , } \\ { \tilde { \tilde { \mathcal { H } } } } & { = } & { - \sigma q R - Q _ { a b c d } \tilde { \pi } ^ { a b } \tilde { \pi } ^ { c d } + 2 \sigma q \Lambda } \\ & { } & { + \frac { 1 } { 4 } \tilde { \Pi } ^ { I J } \left( \tilde { \Pi } _ { I J } + 2 \sigma n _ { I } n ^ { K } \tilde { \Pi } _ { J K } \right) , } \end{array}
( i \gamma ^ { \mu } \partial _ { \mu } - m _ { 1 } ) \Psi _ { 1 } = 2 \pi \lambda \varepsilon _ { \mu \nu } J _ { 2 } ^ { \nu } \gamma ^ { \mu } \Psi _ { 1 } , \quad ( i \gamma ^ { \mu } \partial _ { \mu } - m _ { 2 } ) \Psi _ { 2 } = 2 \pi \lambda \varepsilon _ { \nu \mu } J _ { 1 } ^ { \nu } \gamma ^ { \mu } \Psi _ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { A } _ { 2 0 } ( L _ { f } ) = } & { { } \rho _ { 2 0 } / \rho _ { 0 0 } } \\ { = } & { { } \sqrt { \frac { 5 } { ( 2 L _ { f } + 3 ) ( L _ { f } + 1 ) L _ { f } ( 2 L _ { f } - 1 ) } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \, e ^ { - \nu \cdot r } \sqrt { \| \Lambda x \| ^ { 2 } + R ( t _ { \varepsilon } + r ; x ) } } & { \leqslant \frac { \mathcal { W } _ { \Lambda _ { 0 } , p } ( A ( t _ { \varepsilon } + r ; ( \tilde { \mathcal { G } } _ { 0 } , x ) ) , \tilde { \mathcal { G } } ) } { \varepsilon } \leqslant { \sqrt { 2 } } e ^ { - \nu \cdot r } \Big ( \| \Lambda x \| + \mathbb { E } [ \| \Lambda \tilde { \mathcal { G } } _ { + } \| ] \Big ) , } \end{array}
| r ^ { 4 } { \alpha } | _ { 2 , S } \lesssim \left\{ \begin{array} { r l } & { \epsilon _ { 0 } r ^ { \frac { 7 - s } { 2 } } , \qquad \qquad s \in ( 6 , 7 ) , } \\ & { \epsilon _ { 0 } ( \log r ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } , \qquad \; \; \, s = 7 , } \\ & { \epsilon _ { 0 } | u | ^ { \frac { 7 - s } { 2 } } , \qquad \quad \; \, s > 7 , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathcal { M } } \mathrm { d } ^ { 2 } \big ( T ^ { n , s } , \exp ( \nabla h _ { \delta } ^ { n , t } ) \big ) \mu ^ { n , s } \, \mathrm { d } \mathrm { m } \lesssim } & { \, W _ { 2 } ^ { 2 } \big ( \nu ^ { m } , \exp ( \nabla h _ { \delta } ^ { n , t } ) _ { \# } \mu ^ { n , s } \big ) } \\ & { + W _ { 2 } \big ( \nu ^ { m } , \exp ( \nabla h _ { \delta } ^ { n , t } ) _ { \# } \mu ^ { n , s } \big ) W _ { 2 } \big ( \mu ^ { n , s } , \nu ^ { m } \big ) , } \end{array}
\tilde { \psi } _ { 0 , i } = { \psi } _ { 0 } ^ { \prime \prime } \left( { x } _ { i } \right) \approx \frac { - { \psi } _ { 0 } \left( { x } _ { i - 1 } \right) + { 1 6 } { \psi } _ { 0 } \left( { x } _ { i - 1 / 2 } \right) - { 3 0 } { \psi } _ { 0 } \left( { x } _ { i } \right) + { 1 6 } { \psi } _ { 0 } \left( { x } _ { i + 1 / 2 } \right) - { \psi } _ { 0 } \left( { x } _ { i + 1 } \right) } { { 3 } { h } ^ { 2 } } \, .
{ \cal L } = - \frac { 1 } { 2 } \, ( \partial _ { \mu } \Phi ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \, \frac { m ^ { 2 } \, c ^ { 2 } } { \hbar ^ { 2 } } \, \Phi ^ { 2 } - \frac { g ^ { 2 } } { \hbar ^ { 2 } } \, V ( \Phi ) \, ,
\left[ \begin{array} { c } { M _ { x y } ^ { + } } \\ { M _ { z } ^ { + } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c } { 2 \alpha ^ { * } \beta M _ { z } + \alpha ^ { * } { { } ^ { 2 } } M _ { x y } - \beta { { } ^ { 2 } } M _ { x y } ^ { * } } \\ { \left( \left| \alpha \right| { { } ^ { 2 } } - \left| \beta \right| { { } ^ { 2 } } \right) M _ { z } - 2 \mathrm { R e } \left( \alpha \beta M _ { x y } ^ { * } \right) } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l r } { { \cal T } ^ { < a b > } \Big ( 2 m _ { a } m _ { b } + k _ { a } k _ { b } \Big ) = { \cal T } ^ { \prime } { } ^ { < a b > } \Big ( 2 m _ { a } ^ { \prime } m _ { b } ^ { \prime } + k _ { a } ^ { \prime } k _ { b } ^ { \prime } \Big ) } & { { } = } & { \Big ( { \cal T } _ { 1 1 } ^ { \prime } - { \cal T } _ { 2 2 } ^ { \prime } \Big ) \cos 2 \phi _ { \xi } + 2 { \cal T } _ { 1 2 } ^ { \prime } \sin 2 \phi _ { \xi } , } \end{array}
\theta _ { 8 } = ( - 2 1 . 5 \pm 2 . 4 ) ^ { \circ } \ , \ \theta _ { 0 } = ( - 7 . 0 \pm 2 . 7 ) ^ { \circ } \ , \ \tilde { f } _ { 0 } = ( 1 . 2 1 \pm 0 . 0 7 ) f _ { \pi } \ .
\begin{array} { r l } { \left( \frac { \delta } { \delta \zeta _ { 1 } } \left[ G _ { 1 1 } \frac { \delta \phi } { \delta \zeta _ { 1 } } \right] \right) _ { i , j , k } = } & { { } \left[ G _ { 1 1 } \frac { \delta \phi } { \delta \zeta _ { 1 } } \right] _ { i + 1 / 2 , j , k } - \left[ G _ { 1 1 } \frac { \delta \phi } { \delta \zeta _ { 1 } } \right] _ { i - 1 / 2 , j , k } } \\ { = } & { { } + G _ { 1 1 } ^ { 2 } | _ { i + 1 , j , k } [ \phi | _ { i + 1 , j , k } - \phi | _ { i , j , k } ] } \end{array}
\left\{ \begin{array} { c } { X _ { 1 } \mapsto \boldsymbol { \gamma } ( X _ { 1 } ) = Y _ { 1 } } \\ { \quad } \\ { X _ { 2 } \mapsto \boldsymbol { \gamma } ( X _ { 2 } ) = Y _ { 1 } + 2 Y _ { 2 } } \\ { \quad } \\ { X _ { 3 } \mapsto \boldsymbol { \gamma } ( X _ { 3 } ) = 2 Y _ { 3 } } \\ { \quad } \\ { X _ { 4 } \mapsto \boldsymbol { \gamma } ( X _ { 4 } ) = 2 Y _ { 4 } } \end{array} \right.