harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { c l } { { } } & { { K _ { 2 } ( z _ { 2 } ) W _ { 2 1 } ^ { \Omega _ { z _ { 2 } } , \wedge ^ { m } ( \Omega _ { - z _ { 1 } } ) } K _ { + \, 1 } ^ { ( m ) } ( z _ { 1 } ) W _ { 1 2 } ^ { \wedge ^ { m } ( \Omega _ { z _ { 1 } } ) , \Omega _ { z _ { 2 } } } } } \\ { { = } } & { { W _ { 2 1 } ^ { \Omega _ { - z _ { 2 } } , \wedge ^ { m } ( \Omega _ { - z _ { 1 } } ) } K _ { + \, 1 } ^ { ( m ) } ( z _ { 1 } ) W _ { 1 2 } ^ { \wedge ^ { m } ( \Omega _ { z _ { 1 } } ) , \Omega _ { - z _ { 2 } } } K _ { 2 } ( z _ { 2 } ) , } } \\ { { } } & { { K _ { + \, 2 } ^ { ( m ) } ( z _ { 2 } ) W _ { 2 1 } ^ { \wedge ^ { m } ( \Omega _ { z _ { 2 } } ) , \wedge ^ { m } ( \Omega _ { - z _ { 1 } } ) } K _ { + \, 1 } ^ { ( m ) } ( z _ { 1 } ) W _ { 1 2 } ^ { \wedge ^ { m } ( \Omega _ { z _ { 1 } } ) , \wedge ^ { m } ( \Omega _ { z _ { 2 } } ) } } } \\ { { = } } & { { W _ { 2 1 } ^ { \wedge ^ { m } ( \Omega _ { - z _ { 2 } } ) , \wedge ^ { m } ( \Omega _ { - z _ { 1 } } ) } K _ { + \, 1 } ^ { ( m ) } ( z _ { 1 } ) W _ { 1 2 } ^ { \wedge ^ { m } ( \Omega _ { z _ { 1 } } ) , \wedge ^ { m } ( \Omega _ { - z _ { 2 } } ) } K _ { + \, 2 } ^ { ( m ) } ( z _ { 2 } ) . } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \langle A _ { 1 } A _ { - 1 } \rangle } _ { 0 } = } \\ & { - \frac { f ( V ) ^ { 2 } } { 4 Z } \mathrm { c s c h } ^ { 3 } ( \mu _ { 0 } ) \left[ 2 \left( V ^ { 2 } + 2 V - 1 \right) \sinh ( \mu _ { 0 } [ V + 1 ] ) \right. } \\ & { \left. - ( V + 1 ) \left\{ V \sinh ( \mu _ { 0 } [ V + 3 ] ) + ( V + 2 ) \sinh ( \mu _ { 0 } [ V - 1 ] ) \right\} \right] , } \\ & { { \langle A _ { 1 } \rangle } _ { 0 } = } \\ & { \frac { f ( V ) } { Z } \mathrm { c s c h } ^ { 2 } ( \mu _ { 0 } ) [ V \sinh ( \mu _ { 0 } ( V + 2 ) ) - ( V + 2 ) \sinh ( \mu _ { 0 } V ) ] , } \\ & { { \langle J _ { x } ^ { + } \rangle } _ { 0 } = \frac { 2 \sinh ( \mu _ { 0 } ) } { 2 \cosh ( \mu _ { 0 } ) + 1 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { A } : = \left[ \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } \\ { - a } & { 1 } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } \\ { 0 } & { - a } & { 1 } & { \ldots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { \ldots } & { 0 } & { - a } & { 1 } \end{array} \right] . } \end{array}
\vec { f } _ { F } ^ { ( 1 ) } ( x ; \omega ) = \frac { 1 + i \gamma ^ { 1 } } { 2 } \vec { f } _ { F } ( x ; \omega ) = \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { c } { { \vec { f } _ { F } ^ { + } ( x ; \omega ) - \vec { f } _ { F } ^ { - } ( x ; \omega ) } } \\ { { - \vec { f } _ { F } ^ { + } ( x ; \omega ) + \vec { f } _ { F } ^ { - } ( x ; \omega ) } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r } { F ( x ) } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } p \, \log ^ { 2 } x + p \, \log x \, \log ^ { 2 } ( \sqrt { a } + \sqrt { b } ) - \log x \, \log \frac { \left( a - b \right) ^ { 2 } } { 4 } - 2 \, \mathrm { L i } _ { 2 } \left( \frac { - 2 f _ { 1 } ( x ) } { ( \sqrt { a } - \sqrt { b } ) ^ { 2 } } \right) - } \\ & { } & { - 2 \, \mathrm { L i } _ { 2 } \left( \frac { - 2 f _ { 1 } ( x ) } { ( \sqrt { a } + \sqrt { b } ) ^ { 2 } } \right) - 2 p \, \mathrm { L i } _ { 2 } \left( \frac { - f _ { 2 } ( x ) } { 2 \sqrt { a b } } \right) + 2 p \, \mathrm { L i } _ { 2 } \left( \frac { 2 f _ { 2 } ( x ) } { ( \sqrt { a } + \sqrt { b } ) ^ { 2 } } \right) - } \\ & { } & { - \left\{ \log f _ { 1 } ( x ) + \log \left( 1 + \frac { 2 f _ { 1 } ( x ) } { ( \sqrt { a } + \sqrt { b } ) ^ { 2 } } \right) - 2 \log \left( 1 + \frac { 2 f _ { 1 } ( x ) } { ( \sqrt { a } - \sqrt { b } ) ^ { 2 } } \right) \right\} \log f _ { 1 } ( x ) - } \\ & { } & { - p \left\{ \log f _ { 2 } ( x ) - \log \left( 1 - \frac { 2 f _ { 2 } ( x ) } { ( \sqrt { a } + \sqrt { b } ) ^ { 2 } } \right) + 2 \log \left( 1 - \frac { f _ { 2 } ( x ) } { 2 \sqrt { a b } } \right) \right\} \log f _ { 2 } ( x ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { W _ { h } ^ { \mathrm { F Z Z T } } \left( x _ { 1 } , \ldots , x _ { h } \right) \simeq \exp \left( \sum _ { i = 1 } ^ { h } \mathsf { A } _ { \mathrm { D } } \left( \zeta _ { \alpha _ { i } } ( x _ { i } ) \right) + \frac { 1 } { 2 } \, \sum _ { i = 1 } ^ { h } \sum _ { j = 1 } ^ { h } \mathsf { A } _ { \mathrm { A } } \left( \upzeta _ { \alpha _ { i } } ( x _ { i } ) , \upzeta _ { \alpha _ { j } } ( x _ { j } ) \right) + \cdots \right) . } \end{array}
R = \frac { \displaystyle e ^ { \alpha t } + e ^ { - \alpha t } } { \displaystyle e ^ { \alpha t } \frac { 1 } { R _ { \infty } } - e ^ { - \alpha t } R _ { \infty } } = \frac { \sinh { \alpha t } } { a \sinh { \alpha t } + b \cosh { \alpha t } }
( \psi _ { M } ) _ { \mathrm { L } } = \frac { 1 } { 2 } ( 1 - \gamma _ { 5 } ) \psi _ { M } = \left( \begin{array} { c } { { \xi _ { a } } } \\ { { 0 } } \end{array} \right) ~ ; ~ ~ ~ ~ { \overline { { { ( \psi _ { M } ) _ { \mathrm { L } } } } } } = \overline { { { \psi _ { M } } } } \frac { 1 } { 2 } ( 1 + \gamma _ { 5 } ) = ( 0 ~ ~ \dot { \xi } _ { a } ) ~ .
\left\{ \begin{array} { l } { { \lambda } ^ { 2 } u + c _ { 1 } u _ { x x } = F ^ { 1 } , } \\ { { \lambda } ^ { 2 } \rho v + \alpha _ { 1 } v _ { x x } + \gamma \mu { \lambda } ^ { 2 } p - i { \lambda } d _ { 2 } v = F ^ { 5 } , } \\ { { \lambda } ^ { 2 } \mu \alpha p + \alpha _ { 1 } \beta p _ { x x } + \rho \gamma \beta { \lambda } ^ { 2 } v - i { \lambda } \gamma \beta d _ { 2 } v = F ^ { 6 } , } \\ { { \lambda } ^ { 2 } y + c _ { 2 } y _ { x x } = F ^ { 4 } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \left| \sum _ { \alpha < \nu \le \beta } \frac { e ( \phi _ { r } ( \nu ) ) } { | g _ { r } ^ { \prime \prime } ( x _ { \nu } ) | ^ { 1 / 2 } } \right| } & { \le \pi ^ { 1 / 2 } h ^ { 3 / 2 } \frac { a ^ { 3 / 2 } } { ( t r ) ^ { 1 / 2 } } \operatorname* { m a x } _ { \alpha < L \le \beta } S _ { \phi _ { r } } ( \lfloor \alpha \rfloor , L ) } \\ & { \le c _ { 3 } a ^ { - 1 / 5 } ( t r ) ^ { 1 1 / 3 0 } + c _ { 4 } a ^ { - 1 1 / 2 0 } ( t r ) ^ { 6 1 / 1 2 0 } } \end{array}
X _ { k _ { 1 } , k _ { 2 } , k _ { 3 } } = \sum _ { n _ { 1 } = 0 } ^ { N _ { 1 } - 1 } \sum _ { n _ { 2 } = 0 } ^ { N _ { 2 } - 1 } \sum _ { n _ { 3 } = 0 } ^ { N _ { 3 } - 1 } x _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } , n _ { 3 } } \cos \left[ { \frac { \pi } { N _ { 1 } } } \left( n _ { 1 } + { \frac { 1 } { 2 } } \right) k _ { 1 } \right] \cos \left[ { \frac { \pi } { N _ { 2 } } } \left( n _ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } \right) k _ { 2 } \right] \cos \left[ { \frac { \pi } { N _ { 3 } } } \left( n _ { 3 } + { \frac { 1 } { 2 } } \right) k _ { 3 } \right] , \quad { \mathrm { f o r ~ } } k _ { i } = 0 , 1 , 2 , \dots , N _ { i } - 1 .
{ \frac { 1 } { \sum _ { n ^ { \prime } , k ^ { \prime } } \exp \! \left[ { - { \frac { ( E _ { n ^ { \prime } } - E ) ^ { 2 } - ( E _ { n } - E ) ^ { 2 } } { 2 \varepsilon ^ { 2 } } } } \right] } } \longrightarrow \left\{ \begin{array} { l } { { 0 \mathrm { , ~ i f ~ } | E _ { n ^ { \prime } } - E | < | E _ { n } - E | \mathrm { ~ f o r ~ s o m e ~ } n ^ { \prime } } } \\ { { ( \sum _ { n ^ { \prime } } \kappa _ { n ^ { \prime } } \delta _ { | E _ { n ^ { \prime } } - E | , | E _ { n } - E | } ) ^ { - 1 } \mathrm { , ~ o t h e r w i s e } } } \end{array} \right. .
\sigma _ { d _ { i } } ^ { ( 2 ) } ( x _ { i } ) \sim \gamma _ { 0 } ^ { d _ { i } } ( x _ { i } ) \sim [ c _ { 1 } ( { \cal L } _ { i } ) ] ^ { d _ { i } } , \quad \gamma _ { 0 } ( x _ { i } ) \sim c _ { 1 } ( { \cal L } _ { i } ) .
Q ( z ) = \left( \begin{array} { l l } { { E _ { l } } } & { { - m ( z ) } } \\ { { m ( z ) ^ { \ast } } } & { { - E _ { l } } } \end{array} \right) ; \; E _ { l } = + \sqrt { E ^ { 2 } - p _ { t } ^ { 2 } }
n _ { l } \simeq 9 \times 1 0 ^ { 1 1 } \: \mathcal { A } \left( \frac { n _ { i , \mathrm { c } } } { n _ { 0 } } \right) \left( \frac { M _ { \mathrm { B H } } } { 1 0 ^ { 7 } \: \mathrm { { M } _ { \odot } } } \right) ^ { - 1 } \left( \frac { \Theta _ { e } } { 0 . 2 } \right) ^ { 3 / 2 } \left( \frac { \ln { \Lambda _ { e } } } { 2 3 } \right) ^ { - 1 } .
\dot { \theta } _ { i } ^ { r } = \eta _ { i } , \quad \langle \eta _ { i } \rangle = 0 , \: \: \langle \eta _ { i } ( t ) \eta _ { j } ( t ^ { \prime } ) \rangle = \frac { 1 } { \tau } \delta _ { i j } \delta ( t - t ^ { \prime } ) .
\begin{array} { r l r } { \! \! } & { x _ { \Delta + 1 , \Lambda } \! = \! \sum _ { b = 0 } ^ { M } x _ { \Delta , b } P _ { \Lambda } ( \Lambda ) , } & { \forall 1 \! \leq \! \Delta \! < \! k } \\ { \! \! } & { x _ { \Delta + 1 , \Lambda } \! = \! ( \sum _ { b = 0 } ^ { M } x _ { \Delta , b } \! - \! ( 1 \! - \! p ) \! \! \! \sum _ { b = h _ { { l _ { k } } - 1 } } ^ { M } \! \! x _ { \Delta , b } ) P _ { \Lambda } ( \Lambda ) , } & { \forall k \! \leq \! \Delta \! < \! \delta _ { l _ { k } } } \\ { \! \! } & { \cdots } \\ { \! \! } & { x _ { \Delta + 1 , \Lambda } \! = \! ( \sum _ { b = 0 } ^ { M } x _ { \Delta , b } \! - \! ( 1 \! - \! p ) \! \! \sum _ { b = h _ { L } } ^ { M } \! \! x _ { \Delta , b } ) P _ { \Lambda } ( \Lambda ) , } & { \forall \delta _ { L } \! \leq \! \Delta } \\ { \! \! } & { \sum _ { \Delta = 1 } ^ { \infty } \sum _ { \Lambda = 0 } ^ { M } x _ { \Delta , \Lambda } = 1 } & \end{array}
\begin{array} { r l } { n _ { \mathrm { t o t a l } } ( t ) } & { { } = n _ { \mathrm { j i t t e r } } ( t ) + n _ { \mathrm { A M } } ( t ) + n _ { \mathrm { P I } } ( t ) , } \\ { c ( t ) } & { { } = F _ { \mathrm { p u r e } } ( t ) + n _ { \mathrm { t o t a l } } ( t ) . } \end{array}
\int _ { - R _ { s } / 2 } ^ { R _ { s } / 2 } \int _ { - R _ { s } / 2 } ^ { R _ { s } / 2 } \int _ { - R _ { s } / 2 } ^ { R _ { s } / 2 } | P _ { \mathrm { C O I } } ( f _ { 1 } ) | ^ { 2 } P _ { \mathrm { C O I } } ^ { \ast } ( f _ { 2 } ) P _ { \mathrm { C O I } } ( f - f _ { 1 } + f _ { 2 } ) P _ { \mathrm { C O I } } ^ { \ast } ( f _ { 2 } ^ { \prime } ) P _ { \mathrm { C O I } } ^ { \ast } ( f - f _ { 1 } - f _ { 2 } ^ { \prime } ) \mu ( f _ { 1 } , f _ { 2 } , f ) \mu ^ { \ast } ( f _ { 2 } ^ { \prime } , - f _ { 1 } , f ) d f _ { 1 } d f _ { 2 } d f _ { 2 } ^ { \prime }
\begin{array} { r l } { B _ { 1 } U } & { = \left( \begin{array} { l l } { \tilde { W } } & { - \tilde { W } \tilde { V } } \\ { \tilde { V } } & { \tilde { W } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l l } { \mathbf { 1 } _ { n } } & { \mathbf { 0 } } & { U _ { R , u } } \\ { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 1 } _ { n } } & { U _ { R , l } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l } { \mathbf { 1 } _ { n } } & { \mathbf { 0 } } & { \tilde { W } U _ { R , u } - \tilde { W } \tilde { V } U _ { R , l } } \\ { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 1 } _ { n } } & { \tilde { V } U _ { R , u } + \tilde { W } U _ { R , l } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l } { \mathbf { 1 } _ { n } } & { \mathbf { 0 } } & { U _ { R , u } P _ { 1 } } \\ { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 1 } _ { n } } & { U _ { R , l } P _ { 1 } } \end{array} \right) . } \end{array}
e ^ { i \nu \phi } J _ { \nu } ( R ) = \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } J _ { k } ( \rho ) J _ { \nu + k } ( r ) e ^ { i k \varphi } , \quad R = \sqrt { r ^ { 2 } + \rho ^ { 2 } - 2 r \rho \cos \varphi } , \quad e ^ { 2 i \phi } = \frac { r - \rho e ^ { - i \varphi } } { r - \rho e ^ { i \varphi } } .
{ ^ I \! { \cal O } _ { \rho } } ( \kappa , - \kappa ) = \bar { \psi } ( - \kappa n ) { ^ I \! { \mit \Gamma } _ { \rho } } \psi ( \kappa n ) , \qquad { ^ I \! { \cal K } _ { \rho } } ( \kappa , - \kappa ) = \bar { \psi } ( - \kappa n ) \, { ^ I \! { \mit \Gamma } _ { + } } i \! \stackrel { \leftrightarrow } { \partial } \! \! { } _ { \rho } ^ { \perp } \, \psi ( \kappa n ) ,
E _ { T } ^ { h a d } \leq E _ { T \, m a x } \; \; \; \; \mathrm { i n s i d e } \; \; \; \; \left( y - y _ { \gamma } \right) ^ { 2 } + \left( \phi - \phi _ { \gamma } \right) ^ { 2 } \leq R ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } _ { n } = } & { { } { \bf C } \frac { 2 \pi \hbar } { \mu } \int _ { 0 } ^ { T _ { \mathrm { T H z } } } \frac { d t } { T _ { \mathrm { T H z } } } e ^ { i ( \Omega + n \omega ) t } \int \frac { d P _ { x } d P _ { y } } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \texttt { w } _ { j , \ell } } & { \ge } & { ( u _ { \ell } - \texttt { k } _ { j } ) \chi _ { \{ u _ { \ell } > k _ { j + 1 } \} } } \\ & { \ge } & { ( k _ { j + 1 } - \texttt { k } _ { j } ) \chi _ { \{ u _ { \ell } > k _ { j + 1 } \} } } \\ & { = } & { \frac { k _ { j + 1 } - k _ { j } } { 2 } \chi _ { \{ u _ { \ell } > k _ { j + 1 } \} } } \\ & { \ge } & { \frac { \texttt { k } } { 2 ^ { j + 2 } } \chi _ { \{ u _ { \ell } > k _ { j + 1 } \} } . } \end{array}
\overline { { u ^ { \prime } u ^ { \prime } } } ( y ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } \Phi _ { u u } ( k _ { x } , y ) \mathrm { d } k _ { x } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } k _ { x } \Phi _ { u u } ( k _ { x } , y ) \mathrm { d } ( \ln k _ { x } ) .
\begin{array} { r l r } { \mathcal { R } ( K ( \Omega + \mathcal { S } ( K ) ) ^ { - 1 } ) } & { \subset } & { \left( { \frac { { { \mu ^ { 2 } } + { \lambda _ { \operatorname* { m i n } } } ( { A ^ { T } } A ) } } { { \gamma + { \lambda _ { \operatorname* { m i n } } } ( { A ^ { T } } A ) } } - \bar { \eta } , 1 + \bar { \eta } } \right) } \\ { \mathcal { I } ( K ( \Omega + \mathcal { S } ( K ) ) ^ { - 1 } ) } & { \subset } & { \left( - \frac { 1 } { 2 \sqrt { \gamma } } , \frac { 1 } { 2 \sqrt { \gamma } } \right) } \end{array}
\left( \mathrm { \boldmath ~ \bar { ~ } H ~ } \! \cdot \! \mathrm { \boldmath ~ X ~ } \! \cdot \! \mathrm { \boldmath ~ H ~ } ^ { t } \right) \left( \mathrm { \boldmath ~ \bar { ~ } h ~ } \! \cdot \! \mathrm { \boldmath ~ X ~ } \! \cdot \! \mathrm { \boldmath ~ h ~ } ^ { t } \right) - \left( \mathrm { \boldmath ~ \bar { ~ } H ~ } \! \cdot \! \mathrm { \boldmath ~ X ~ } \! \cdot \! \mathrm { \boldmath ~ h ~ } ^ { t } \right) \left( \mathrm { \boldmath ~ \bar { ~ } h ~ } \! \cdot \! \mathrm { \boldmath ~ X ~ } \! \cdot \! \mathrm { \boldmath ~ H ~ } ^ { t } \right) = \sigma ,
K _ { \mathrm { l i n e a r } } ( f _ { \mathrm { * , L F } } , f _ { \mathrm { * , L F } } ^ { \prime } ) = \sigma _ { 1 } ^ { 2 } f _ { \mathrm { * , L 1 } } f _ { \mathrm { * , L 1 } } ^ { \prime } + \sigma _ { 2 } ^ { 2 } f _ { \mathrm { * , L 2 } } f _ { \mathrm { * , L 2 } } ^ { \prime } ,
\theta _ { i } = ( \nu _ { i } , \gamma _ { i 1 } , \dots , \gamma _ { i d _ { 3 } } , \beta _ { i 1 1 } , \dots , \beta _ { i 1 \tau } , \dots , \beta _ { i d _ { 2 } 1 } , \dots , \beta _ { i d _ { 2 } \tau } , \alpha _ { i 1 1 } , \dots , \alpha _ { i 1 \tau } , \dots , \alpha _ { i d _ { 1 } 1 } , \dots , \alpha _ { i d _ { 1 } \tau } ) ^ { \mathrm { \scriptscriptstyle T } } .
Z _ { \mathrm { e x p } } ( \omega ) = \frac { i \Omega } { \pi ( n _ { 2 } ( \omega ) - n _ { 1 } ( \omega ) ) } \int _ { 2 \pi n _ { 1 } ( \omega ) / \Omega } ^ { 2 \pi n _ { 2 } ( \omega ) / \Omega } e ^ { - i \Omega \eta } \mathfrak { I m } \left( Z ^ { 0 } ( \omega , \eta ) e ^ { i \Omega \eta } \right) d \eta + O ( \epsilon ) ,
\begin{array} { r } { f _ { \left. \Theta \right| L } \left( \theta \right) = \int _ { H _ { \mathrm { u } } } ^ { \infty } { \frac { f _ { \left. \Theta \right| L , \sqrt { y ^ { 2 } - H _ { \mathrm { u } } ^ { 2 } } } \left( \theta \right) \sum _ { k \in \mathcal { K } \backslash \left\{ \mathrm { b } \right\} } { A _ { k } ^ { \left( \varsigma \right) } f _ { Y _ { 0 , k } } \left( y \right) } } { 1 - A _ { \mathrm { b } } ^ { \left( \varsigma \right) } } \, \mathrm { d } y } , \quad \theta \in \left[ 0 , \pi \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { \xi } \| \nabla f _ { \xi } ( w ^ { \prime } ) - \nabla f _ { \xi } ( w ) \| ^ { 2 } } \\ & { = \mathbb { E } _ { \xi } \Big \| \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \big ( \nabla f _ { \xi } ( w _ { ( k + 1 ) / n } ) - \nabla f _ { \xi } ( w _ { k / n } ) \big ) \Big \| ^ { 2 } } \\ & { \overset { ( i ) } { \le } n \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \mathbb { E } _ { \xi } \big \| \nabla f _ { \xi } ( w _ { ( k + 1 ) / n } ) - \nabla f _ { \xi } ( w _ { k / n } ) \big \| ^ { 2 } } \\ & { \overset { ( i i ) } { \le } n \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \| w _ { ( k + 1 ) / n } - w _ { k / n } \| ^ { 2 } \mathbb { E } _ { \xi } \big ( \overline { { K } } _ { 0 } + \overline { { K } } _ { 1 } \| \nabla f _ { \xi } ( w _ { k / n } ) \| ^ { \alpha } + \overline { { K } } _ { 2 } \| w _ { ( k + 1 ) / n } - w _ { k / n } \| ^ { \frac { \alpha } { 1 - \alpha } } \big ) ^ { 2 } } \\ & { = \| w ^ { \prime } - w \| ^ { 2 } \mathbb { E } _ { \xi } \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \frac { 1 } { n } \big ( \overline { { K } } _ { 0 } + \overline { { K } } _ { 1 } \| \nabla f _ { \xi } ( w _ { k / n } ) \| ^ { \alpha } + \overline { { K } } _ { 2 } n ^ { - \frac { \alpha } { 1 - \alpha } } \| w ^ { \prime } - w \| ^ { \frac { \alpha } { 1 - \alpha } } \big ) ^ { 2 } , } \end{array}
{ \cal O } _ { i } ^ { n e w } = \frac { 1 6 \pi ^ { 2 } } { g _ { s } ^ { 2 } } { \cal O } _ { i } , \quad C _ { i } ^ { n e w } = \frac { g _ { s } ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } C _ { i } \quad \quad ( i = 7 , . . . , 1 0 ) .
\begin{array} { r l } { I ^ { ( 1 ) } } & { = \{ ( i , j , k ) | \, i = 0 , 1 , . . . , N - 1 , \; j = 1 , 2 , . . . , N , \; k = 1 , 2 , . . . , N \} , } \\ { I ^ { ( 2 ) } } & { = \{ ( i , j , k ) | \, i = 1 , 2 , . . . , N , \; j = 0 , 1 , . . . , N - 1 , \; k = 1 , 2 , . . . , N \} , } \\ { I ^ { ( 3 ) } } & { = \{ ( i , j , k ) | \, i = 1 , 2 , . . . , N , \; j = 1 , 2 , . . . , N , \; k = 0 , 1 , . . . , N - 1 \} , } \\ { I ^ { ( 4 ) } } & { = \{ ( i , j , k ) | \, i = 1 , 2 , . . . , N , \; j = 1 , 2 , . . . , N , \; k = 1 , 2 , . . . , N \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta \mathbf { X } _ { 1 , 0 } ( t ) } & { { } = \int _ { - t _ { 0 } } ^ { t } \mathbf { u } _ { 1 , 0 } ( \mathbf { X } _ { 0 } , \tilde { t } ) \, d \tilde { t } , } \end{array}
\begin{array} { l } { { \operatorname * { l i m } _ { m \rightarrow 0 } \frac { 1 } { 4 8 } T r \left[ \gamma _ { \mu } \frac { \displaystyle \partial \left( \slash { q } ( 1 + \Sigma _ { V } ^ { \mathrm { R I } } ) \right) } { \displaystyle \partial q _ { \mu } } \right] _ { q ^ { 2 } = - \mu ^ { 2 } } = 1 } } \\ { { \operatorname * { l i m } _ { m \rightarrow 0 } \frac { 1 } { 1 2 } T r \left[ 1 - \Sigma _ { S } ^ { \mathrm { R I } } \right] _ { q ^ { 2 } = - \mu ^ { 2 } } = 1 { } , } } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \int _ { \alpha _ { \mathbb { X } } } ^ { \beta _ { \mathbb { X } } } \mathrm { D } \lambda \right) \oslash _ { \mathbb { X } } g _ { \mathbb { X } } ( 2 \pi ) = \frac { 1 } { 2 } \sin ^ { 2 } \frac { \beta - \alpha } { 2 } , } \end{array}
{ \begin{array} { l l l l } { e \mapsto { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) } } & { i \mapsto { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { \! \! \! \! - 1 } \end{array} \right) } } & { j \mapsto { \left( \begin{array} { l l } { \! \! \! - 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } \end{array} \right) } } & { k \mapsto { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { \! \! \! \! - 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) } } \\ { { \overline { { e } } } \mapsto { \left( \begin{array} { l l } { \! \! \! - 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { \! \! \! \! - 1 } \end{array} \right) } } & { { \overline { { i } } } \mapsto { \left( \begin{array} { l l } { \! \! \! - 1 } & { \! \! \! \! - 1 } \\ { \! \! \! - 1 } & { 1 } \end{array} \right) } } & { { \overline { { j } } } \mapsto { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { \! \! \! \! - 1 } \\ { \! \! \! - 1 } & { \! \! \! \! - 1 } \end{array} \right) } } & { { \overline { { k } } } \mapsto { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { \! \! \! - 1 } & { 0 } \end{array} \right) } . } \end{array} }
\underline { { \hat { E } } } _ { i } ^ { ( + ) } ( \mathbf { r } , \omega , t ) = \hat { U } _ { \mathrm { S P D C } } ^ { \dagger } ( t ) \hat { U } _ { 0 } ^ { \dagger } ( t ) \underline { { \hat { E } } } _ { i } ^ { ( + ) } ( \mathbf { r } , \omega ) \hat { U } _ { 0 } ( t ) \hat { U } _ { \mathrm { S P D C } } ( t ) ,
\mathbf { 0 } _ { \mathbf { x } _ { k } ^ { i } } = \nabla _ { \alpha _ { i } ^ { * } } f \left( R _ { \mathbf { x } _ { k } ^ { i - 1 } } \left( \alpha _ { i } ^ { * } \mathbf { p } _ { i } \right) \right) = \left\langle \nabla f \left( \mathbf { x } _ { k } ^ { i } \right) , \mathcal { P } _ { \alpha _ { i } ^ { * } \mathbf { p } _ { i } } \frac { d ( \alpha _ { i } ^ { * } \mathbf { p } _ { i } ) } { d \alpha _ { i } ^ { * } } \right\rangle _ { \mathbf { x } _ { k } ^ { i } } \approx \left\langle \mathbf { G } _ { k } ^ { i } , \mathcal { P } _ { \alpha _ { i } ^ { * } \mathbf { p } _ { i } } \mathbf { p } _ { i } \right\rangle _ { \mathbf { x } _ { k } ^ { i } } ,
\sum _ { I } ^ { N } c _ { I } | \Phi _ { I } \rangle = \sum _ { J = 1 } ^ { N _ { 1 } } c _ { J } | \Phi _ { J } ( n _ { m } = 0 ) \rangle + \sum _ { K = 1 } ^ { N _ { 2 } } c _ { K } | \Phi _ { K } ( n _ { m } = 1 ) \rangle
\begin{array} { r l } & { \mathbf { E } \left[ \int _ { 0 } ^ { t \wedge \sigma _ { n } } \left( e ^ { 2 \alpha \left( \Bar { b } + d / \beta \right) s } \Bar { \mathcal { L } } ^ { r } V _ { \alpha } \left( \Bar { X } _ { s } ^ { r } \right) + 2 \alpha \left( \Bar { b } + d / \beta \right) e ^ { 2 \alpha \left( \Bar { b } + d / \beta \right) s } V _ { \alpha } \left( \Bar { X } _ { s } ^ { r } \right) \right) \mathrm { d } s \right] } \\ & { \le 4 \alpha e ^ { 2 \alpha ( \Bar { b } + d / \beta ) / ( \Bar { m } - 2 \alpha / \beta ) } \left( \Bar { b } + d / \beta \right) \mathbf { E } \left[ \int _ { 0 } ^ { t \wedge \sigma _ { n } } e ^ { 2 \alpha \left( \Bar { b } + d / \beta \right) s } \mathrm { d } s \right] } \\ & { \le 4 \alpha e ^ { 2 \alpha ( \Bar { b } + d / \beta ) / ( \Bar { m } - 2 \alpha / \beta ) } \left( \Bar { b } + d / \beta \right) \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { 2 \alpha \left( \Bar { b } + d / \beta \right) s } \mathrm { d } s } \end{array}
\beta _ { 0 } = \frac { 1 1 } { 1 2 } C _ { A } - \frac { 1 } { 3 } n _ { g e n } - \frac { 1 } { 2 4 } n _ { h } \; \; \; , \; \; \; \beta _ { 0 } ^ { \prime } = - \frac { 5 } { 9 } n _ { g e n } - \frac { 1 } { 2 4 } n _ { h }
\hat { g } ( z | h ) = \prod _ { i _ { 1 } \geq i _ { 2 } \geq \ldots \geq i _ { m } } \hat { g } _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } , \ldots , i _ { m } } ^ { ( h ) } ( k _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } , \ldots , i _ { m } } | h _ { i _ { 1 } } , h _ { i _ { 2 } } , \ldots , h _ { i _ { m } } ) .
\kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 5 } } = \lambda _ { 3 , 4 } ( \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 3 } } \cdot \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 4 } } ) + \frac { 1 } { \chi - 2 } \left( ( \lambda _ { 1 , 2 } ( \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 4 } } ) \cdot \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 3 } } + \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 2 } } \cdot \lambda _ { 1 , 2 } ( \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 5 } } ) \right) - \frac { 1 } { \chi ( \chi - 2 ) } \kappa _ { e ^ { 2 } } \cdot \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 2 } } \cdot \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 3 } } ,
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m } _ { M \to \infty } \left\| ( U ^ { T _ { s } } - P _ { M } U ^ { T _ { s } } P _ { M } ) g \right\| } \\ { \le } & { \operatorname* { l i m } _ { M \to \infty } \left\{ \left\| ( U ^ { T _ { s } } - P _ { M } U ^ { T _ { s } } ) g \right\| + \left\| ( P _ { M } U ^ { T _ { s } } - P _ { M } U ^ { T _ { s } } P _ { M } ) g \right\| \right\} } \\ { = } & { \operatorname* { l i m } _ { M \to \infty } \left\{ \left\| ( I - P _ { M } ) U ^ { T _ { s } } g \right\| + \left\| P _ { M } U ^ { T _ { s } } ( I - P _ { M } ) g \right\| \right\} = 0 . } \end{array}
\nabla \cdot \left( 2 \alpha _ { s } C \kappa ^ { 2 } \rho _ { s } ^ { 2 \Gamma - 1 } \mathbf { e } _ { \varphi } \mathbf { e } _ { \varphi } \right) = \left( \frac { 2 \alpha _ { s } C \kappa ^ { 2 } \rho _ { s } ^ { 2 \Gamma - 1 } } { R } , 0 , 0 \right) ,
\begin{array} { l l l } { n \tau _ { E } } & { \approx } & { n \cdot R \cdot { \sqrt { \frac { m _ { i } } { k _ { B } T } } } \geq { \frac { 1 2 } { E _ { \mathrm { { c h } } } } } \, { \frac { k _ { \mathrm { { B } } } T } { \langle \sigma v \rangle } } } \\ { n \cdot R } & { \gtrapprox } & { { \frac { 1 2 } { E _ { \mathrm { { c h } } } } } \, { \frac { \left( k _ { \mathrm { { B } } } T \right) ^ { 3 / 2 } } { \langle \sigma v \rangle \cdot m _ { i } ^ { 1 / 2 } } } } \\ { n \cdot R } & { \gtrapprox } & { { \frac { \left( k _ { \mathrm { { B } } } T \right) ^ { 3 / 2 } } { \langle \sigma v \rangle } } { \mathrm { ~ . } } } \end{array}