harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \gamma _ { \mu , i } } & { = \frac { ( \lambda _ { \mu } ^ { \alpha } - \lambda _ { i - 1 } ) } { a _ { i - 1 } } \gamma _ { \mu , i - 1 } + \frac { 1 } { a _ { i - 1 } } \sum _ { \mu _ { 2 } = 1 } ^ { \mu - 1 } \gamma _ { \mu _ { 2 } , i - 1 } [ a ] _ { \mu _ { 2 } } ^ { \mu - 1 } h _ { \alpha - \mu + \mu _ { 2 } } ( \lambda _ { \mu _ { 2 } } , \ldots , \lambda _ { \mu } ) } \\ & { = \frac { ( \lambda _ { \mu } ^ { \alpha } - \lambda _ { i - 1 } ) } { a _ { i - 1 } } \sum _ { \mu _ { 2 } = 1 } ^ { \mu - 1 } [ a ] _ { \mu _ { 2 } } ^ { \mu - 1 } h _ { \alpha - \mu + \mu _ { 2 } } ( \lambda _ { \mu _ { 2 } } , \ldots , \lambda _ { \mu } ) \sum _ { \kappa _ { 1 } = 0 } ^ { i - 3 } \frac { [ \lambda _ { \mu } ^ { \alpha } - \lambda _ { x } ] _ { i - 1 - \kappa _ { 1 } } ^ { i - 2 } } { [ a ] _ { i - 2 - \kappa _ { 1 } } ^ { i - 2 } } \gamma _ { \mu _ { 2 } , i - 2 - \kappa _ { 1 } } } \\ & { + \frac { 1 } { a _ { i - 1 } } \sum _ { \mu _ { 2 } = 1 } ^ { \mu - 1 } \gamma _ { \mu _ { 2 } , i - 1 } [ a ] _ { \mu _ { 2 } } ^ { \mu - 1 } h _ { \alpha - \mu + \mu _ { 2 } } ( \lambda _ { \mu _ { 2 } } , \ldots , \lambda _ { \mu } ) } \\ & { = \sum _ { \mu _ { 2 } = 1 } ^ { \mu - 1 } [ a ] _ { \mu _ { 2 } } ^ { \mu - 1 } h _ { \alpha - \mu + \mu _ { 2 } } ( \lambda _ { \mu _ { 2 } } , \ldots , \lambda _ { \mu } ) \sum _ { \kappa _ { 1 } = 0 } ^ { i - 3 } \frac { [ \lambda _ { \mu } ^ { \alpha } - \lambda _ { x } ] _ { i - 1 - \kappa _ { 1 } } ^ { i - 1 } } { [ a ] _ { i - 2 - \kappa _ { 1 } } ^ { i - 1 } } \gamma _ { \mu _ { 2 } , i - 2 - \kappa _ { 1 } } } \\ & { + \frac { 1 } { a _ { i - 1 } } \sum _ { \mu _ { 2 } = 1 } ^ { \mu - 1 } \gamma _ { \mu _ { 2 } , i - 1 } [ a ] _ { \mu _ { 2 } } ^ { \mu - 1 } h _ { \alpha - \mu + \mu _ { 2 } } ( \lambda _ { \mu _ { 2 } } , \ldots , \lambda _ { \mu } ) } \\ & { = \sum _ { \mu _ { 2 } = 1 } ^ { \mu - 1 } [ a ] _ { \mu _ { 2 } } ^ { \mu - 1 } h _ { \alpha - \mu + \mu _ { 2 } } ( \lambda _ { \mu _ { 2 } } , \ldots , \lambda _ { \mu } ) \sum _ { \kappa _ { 1 } = 1 } ^ { i - 2 } \frac { [ \lambda _ { \mu } ^ { \alpha } - \lambda _ { x } ] _ { i - \kappa _ { 1 } } ^ { i - 1 } } { [ a ] _ { i - 1 - \kappa _ { 1 } } ^ { i - 1 } } \gamma _ { \mu _ { 2 } , i - 1 - \kappa _ { 1 } } } \\ & { + \sum _ { \mu _ { 2 } = 1 } ^ { \mu - 1 } [ a ] _ { \mu _ { 2 } } ^ { \mu - 1 } h _ { \alpha - \mu + \mu _ { 2 } } ( \lambda _ { \mu _ { 2 } } , \ldots , \lambda _ { \mu } ) \frac { 1 } { a _ { i - 1 } } \gamma _ { \mu _ { 2 } , i - 1 } } \\ & { = \sum _ { \mu _ { 2 } = 1 } ^ { \mu - 1 } [ a ] _ { \mu _ { 2 } } ^ { \mu - 1 } h _ { \alpha - \mu + \mu _ { 2 } } ( \lambda _ { \mu _ { 2 } } , \ldots , \lambda _ { \mu } ) \sum _ { \kappa _ { 1 } = 0 } ^ { i - 2 } \frac { [ \lambda _ { \mu } ^ { \alpha } - \lambda _ { x } ] _ { i - \kappa _ { 1 } } ^ { i - 1 } } { [ a ] _ { i - 1 - \kappa _ { 1 } } ^ { i - 1 } } \gamma _ { \mu _ { 2 } , i - 1 - \kappa _ { 1 } } } \end{array}
d \sigma ^ { e x p } = \frac { \alpha } { 2 \pi ^ { 2 } } \int _ { \Omega ( \theta _ { 0 } ) } ^ { } \sigma _ { 0 } ( q ^ { 2 } ) \frac { ( s + t _ { 1 } ) ^ { 2 } + ( s + t _ { 2 } ) ^ { 2 } } { t _ { 1 } t _ { 2 } } \frac { d ^ { 3 } k } { s \omega }
\begin{array} { r l } { \left\| \sum _ { k , j } \nabla \varphi _ { k , j } \odot w _ { k , j } \right\| _ { L ^ { 2 } ( Q _ { r } ) } ^ { 2 } } & { \le \sum _ { p , i } \left\| \sum _ { k , j } \nabla \varphi _ { k , j } \odot w _ { k , j } \right\| _ { L ^ { 2 } ( q _ { p , i } ) } ^ { 2 } } \\ & { \lesssim \delta ^ { \frac { 1 } { 2 } } \| e ( u ) \| _ { L ^ { 2 } ( Q _ { r _ { 1 } } ) } ^ { 2 } + \| e ( u ) \| _ { L ^ { 2 } ( Q _ { r } \setminus Q _ { r _ { - 2 } } ) } ^ { 2 } \lesssim \delta ^ { \frac { 1 } { 2 } } \| e ( u ) \| _ { L ^ { 2 } ( Q _ { 1 } ) } ^ { 2 } . } \end{array}
{ \frac { d } { d t } } \left( \mathbf { p } \times \mathbf { L } \right) = { \frac { d \mathbf { p } } { d t } } \times \mathbf { L } = f ( r ) \mathbf { \hat { r } } \times \left( \mathbf { r } \times m { \frac { d \mathbf { r } } { d t } } \right) = f ( r ) { \frac { m } { r } } \left[ \mathbf { r } \left( \mathbf { r } \cdot { \frac { d \mathbf { r } } { d t } } \right) - r ^ { 2 } { \frac { d \mathbf { r } } { d t } } \right] ,
\begin{array} { r l } { h ( 2 ( m + 1 ) ) } & { = \frac { 1 } { 2 ^ { m } \sqrt { e } } \int _ { 0 } ^ { \infty } t ^ { - \frac { 1 } { 2 } } ( t + 1 ) ^ { m } e ^ { - \frac { t } { 2 } } \mathrm { d } t } \\ & { = \sqrt { \frac { \pi } { e } } \frac { 1 } { 2 ^ { m } } U \left( \frac { 1 } { 2 } , m + \frac { 3 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { 1 2 } ( \phi , \delta , N ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \left\{ 1 + N \cos \left( 2 \phi + \delta \right) \right\} \, , } \\ { \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \quad } & { { } N \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \delta } : = \int \! \! \mathrm { d } \omega _ { i } \mathrm { d } \omega _ { s } f ( \omega _ { i } ) f ( \omega _ { s } ) F _ { 1 } ( \omega _ { i } , \omega _ { s } ) \bar { F } _ { 2 } ( \omega _ { i } , \omega _ { s } ) \, . } \end{array}
W _ { \mathbf { N } } \left( r \right) \approx \eta _ { \perp } \frac { M ^ { 2 } } { q ^ { 2 } } \frac { \Omega \omega } { \left( l + n \right) } \left( \frac { \omega _ { c } ^ { 2 } - \Omega ^ { 2 } } { 4 } \right) r ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { d \omega _ { j } ^ { i } } & { = \omega _ { k } ^ { i } \wedge \omega _ { j } ^ { k } + \frac { 1 } { 2 } \mathcal { R } _ { j k l } ^ { i } \ \omega ^ { k } \wedge \omega ^ { l } ; } \\ { d \theta _ { j } ^ { i } } & { = \theta _ { k } ^ { i } \wedge \theta _ { j } ^ { k } + \frac { 1 } { 2 } \mathcal { \widetilde { R } } _ { j k l } ^ { i } \ \theta ^ { k } \wedge \theta ^ { l } ; } \end{array}
\langle \widehat { \sigma } ( m , 0 ) \rangle ^ { \alpha \beta } = A \left( \frac { M } { \pi } \right) ^ { - 2 h _ { \sigma } } \langle \sigma ( z , \bar { z } ) \rangle _ { \mathbb { H } } ^ { \alpha \beta } + B \left( \frac { M } { \pi } \right) ^ { - 2 h _ { \sigma _ { \varepsilon } } } \langle \sigma _ { \varepsilon } ( z , \bar { z } ) \rangle _ { \mathbb { H } } ^ { \alpha \beta } + \dots
\lambda _ { 1 } ( \Phi _ { 1 } ) + \lambda _ { 2 } ( \Phi _ { 2 } ) = - 2 \int _ { 0 } ^ { r _ { 0 } } d r \; ( \Phi ^ { \prime } \cdot \Phi ^ { \prime } + M ^ { 3 } e ^ { - 2 A } R _ { g } ) ~ .
\begin{array} { r } { \mathbf F _ { 1 } = - \int [ p _ { x } \delta ( y ) \delta ( z ) \delta ^ { \prime } ( x ) + p _ { y } \delta ( x ) \delta ( z ) \delta ^ { \prime } ( y ) } \\ { + p _ { z } \delta ( x ) \delta ( y ) \delta ^ { \prime } ( z ) ] \mathbf E \, \mathrm { d } ^ { 3 } \mathbf r . } \end{array}
C = - \frac { 4 i } { g } \frac { 1 } { I _ { 2 } } [ B , F ] + \Omega \Bigl ( \frac { 1 } { 2 } a ^ { 1 } \lambda _ { 1 } + \frac { 1 } { 2 } a ^ { 2 } \lambda _ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } a ^ { 3 } \lambda _ { 3 } + \frac { 1 } { 2 } a ^ { 8 } \lambda _ { 8 } \Bigr ) \Omega ^ { \dagger } .
\begin{array} { r } { \mathcal { L } ^ { 5 } = \mathcal { D } _ { \omega } - ( \mathcal { B } _ { 0 , * } + \varepsilon ^ { 2 } \mathcal { B } _ { 1 , * } + \mathcal { B } _ { 2 , * } ) + \varepsilon ^ { 2 } \left( \mathcal { D } _ { \overline { { \omega } } } ( A _ { 1 , * } ) - [ \mathcal { B } _ { 0 , * } , A _ { 1 , * } ] - \mathcal { B } _ { 4 , * } \right) + \mathcal { Q } _ { 1 , * } + \mathcal { W } _ { * } , } \end{array}
\eta _ { \mp } ^ { 2 } \frac { d ^ { 2 } W _ { \mp } } { d \eta _ { \mp } ^ { 2 } } + \eta _ { \mp } ( 1 - \eta _ { \mp } ) \frac { d W _ { \mp } } { d \eta _ { \mp } } \pm \left[ \frac { \alpha _ { 1 } ^ { - 1 } + \alpha _ { 2 } } { \gamma } \mp \frac { \alpha _ { 2 } ^ { 2 } } { \gamma ^ { 2 } } \right] W _ { \mp } = 0 ,
\begin{array} { r l r } { A } & { { } = } & { \frac { n _ { e } ^ { 0 } \sigma _ { e } ^ { 0 } \; J } { k _ { v b - } } } \\ { B } & { { } = } & { \frac { \left( n _ { e } ^ { - } \sigma _ { e } ^ { - } + n _ { s } ^ { - } \sigma _ { s } ^ { - } \right) J } { k _ { c b 0 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { { d i v } } _ { \Gamma } ( \pi _ { S } P _ { \Gamma } ) } & { = { \mathrm { g r a d } } _ { \Gamma } \pi _ { S } + \pi _ { S } H _ { \Gamma } n _ { \Gamma } , } \\ { 2 D _ { \Gamma } ( v _ { S } ) } & { = P _ { \Gamma } \{ ( \nabla v _ { S } ) + ^ { t } ( \nabla v _ { S } ) \} P _ { \Gamma } = P _ { \Gamma } \{ ( \nabla _ { \Gamma } v _ { S } ) + ^ { t } ( \nabla _ { \Gamma } v _ { S } ) \} P _ { \Gamma } . } \end{array}
M \left( v _ { i } ^ { m } v _ { j } ^ { n } \right) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \left( u _ { i } + w _ { i } \right) ^ { m } \left( u _ { j } + w _ { j } \right) ^ { n } f ( \mathbf { w } ) d \mathbf { w } .
\begin{array} { r l } { y _ { 1 } } & { { } = x _ { 1 } } \\ { y _ { 2 } } & { { } = 5 x _ { 3 } } \\ { y _ { 3 } } & { { } = 4 x _ { 2 } ^ { 2 } - 2 x _ { 3 } } \\ { y _ { 4 } } & { { } = x _ { 3 } \sin x _ { 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { N _ { p o s t } ^ { m a x } } & { { } = \frac { 2 F _ { m a x } ^ { * } S _ { c } } { D ^ { * } ( S _ { c } - 1 ) } - N _ { p r e } } \\ { N _ { p r e } ^ { m a x } } & { { } = \frac { F _ { m a x } ^ { * } S _ { c } } { D ^ { * } ( S _ { c } - 1 ) } \, , } \end{array}
\left( \Omega _ { i } ^ { k } \right) ^ { \mathrm { p e r t } } f _ { i } ^ { k } ( \vec { x } , t ) = f _ { i } ^ { k } ( \vec { x } , t ) + \frac { A _ { k } } { 2 } | \vec { F } ^ { k } ( \vec { x } , t ) | \left( w _ { i } \cos ^ { 2 } ( \phi _ { i } ^ { k } ) - B _ { i } \right) .
\begin{array} { r l r } { E _ { 0 } } & { = } & { \frac { \Vert x ^ { 0 } - x ^ { * } \Vert ^ { 2 } + 2 \gamma _ { 0 } ( F ( x ^ { 0 } ) - \operatorname* { i n f } F ) } { 2 } } \\ & { \geq } & { E _ { T } \geq \sum _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \gamma _ { t } ( 1 - 4 \gamma _ { t } L _ { \operatorname* { m a x } } ) \mathbb { E } \left[ F ( x ^ { t } ) - \operatorname* { i n f } F \right] - 2 \sigma _ { F } ^ { * } \sum _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \gamma _ { t } ^ { 2 } } \\ & { \geq } & { ( 1 - 4 \gamma _ { 0 } L _ { \operatorname* { m a x } } ) \sum _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \gamma _ { t } \mathbb { E } \left[ F ( x ^ { t } ) - \operatorname* { i n f } F \right] - 2 \sigma _ { F } ^ { * } \sum _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \gamma _ { t } ^ { 2 } . } \end{array}
f ( x ) = \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } a _ { i } K _ { x _ { i } } ( x ) \quad { \mathrm { w h e r e } } \quad \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \operatorname* { s u p } _ { p \geq 0 } \left\| \sum _ { i = n } ^ { n + p } a _ { i } K _ { x _ { i } } \right\| _ { H _ { 0 } } = 0 .
v ( r ) = \sqrt { \frac { G m } { r } } , \qquad \frac { v ( r ) } { c } = \sqrt { \frac { G } { c ^ { 2 } } \cdot \frac { m } { r } } , \qquad \frac { v ^ { 2 } ( r ) } { c ^ { 2 } } = \frac { 1 } { x } .
S _ { D } = - \int d ^ { 4 } \sigma ( \sqrt { - \mathrm { d e t } \, ( G _ { \mu \nu } + \tilde { \cal F } _ { \mu \nu } ^ { \prime } ) } + \int ( C _ { 4 } ^ { \prime } + C _ { 2 } ^ { \prime } \wedge \tilde { \cal F } ^ { \prime } - \frac { 1 } { 2 } C _ { 0 } \tilde { F } ^ { \prime } \wedge \tilde { F } ^ { \prime } ) .
\begin{array} { r l } & { \Big \{ ( L _ { 1 } , L _ { 2 } ) : ~ L _ { i } \geq \sqrt { \mathrm { V } ( D _ { i } | P _ { X } ) } \mathrm { Q } ^ { - 1 } ( \operatorname* { m i n } \{ \varepsilon _ { 1 } , \varepsilon _ { 2 } \} ) \Big \} } \\ { * } & { \subseteq \mathcal { L } _ { \mathrm { s e p } } ( R _ { 1 } ^ { * } , R _ { 2 } ^ { * } , D _ { 1 } , D _ { 2 } , \varepsilon _ { 1 } , \varepsilon _ { 2 } ) } \\ { * } & { \subseteq \Big \{ ( L _ { 1 } , L _ { 2 } ) : ~ L _ { i } \geq \sqrt { \mathrm { V } ( D _ { i } | P _ { X } ) } \mathrm { Q } ^ { - 1 } ( \varepsilon _ { i } ) \Big \} . } \end{array}
{ \sf M } = { \sf d i a g } \left\{ \mathrm { e } ^ { i \alpha _ { 1 } } , \, \mathrm { e } ^ { i \alpha _ { 2 } } , \, \mathrm { e } ^ { i \alpha _ { 3 } } , \, \mathrm { e } ^ { i \alpha _ { 4 } } \, \right\} \qquad ( 0 \leq \alpha _ { i } < \pi \mathrm { ~ ~ m o d ~ ~ } \pi )
\left\{ \tilde { O } _ { k } ^ { ( m ) } \right\} = \left\{ \tilde { O } _ { k } ~ \Big | ~ [ \sigma _ { q _ { \epsilon _ { m } } ( j ) } ^ { x } , \tilde { O } _ { k } ] = 0 ~ \forall ~ j = 1 , \dots , n _ { \epsilon _ { m } } \right\} .
\left\{ \begin{array} { l c l } { d _ { t } v _ { t } } & { = } & { v _ { t } \rho _ { t } \left( ( - \rho _ { t } + 2 h _ { t } ) d t + \sqrt { 2 } d B _ { t } \right) } \\ { \big [ d _ { t } , \partial _ { s } \big ] } & { = } & { \rho _ { t } \left( ( 3 \rho _ { t } - 2 h _ { t } ) d t - \sqrt { 2 } d B _ { t } \right) \partial _ { s } - \sqrt { 2 } \rho _ { t } d B _ { t } \partial _ { s } d _ { t } } \\ { d _ { t } T _ { t } } & { = } & { - \frac { 1 } { v _ { t } } ( \partial _ { u } \rho _ { t } ) \nu _ { t } d t } \\ { d _ { t } \rho _ { t } ( s ) } & { = } & { ( \partial _ { s } ^ { 2 } \rho _ { t } ) d t + \rho _ { t } ^ { 2 } ( ( 3 \rho _ { t } - 2 h _ { t } ) d t - \sqrt { 2 } d B _ { t } ) } \end{array} \right.
\forall v , w \in V ^ { 1 } : \forall x , y \in V ^ { 3 } : \eta \left( \begin{array} { l } { v } \\ { x } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { w } \\ { y } \end{array} \right) = \langle v , w \rangle - \langle x , y \rangle .
\begin{array} { r l } { H _ { \mathrm { e f f } } = } & { - \Delta _ { 1 } a _ { 1 } ^ { \dagger } a _ { 1 } - \Delta _ { 2 } a _ { 2 } ^ { \dagger } a _ { 2 } - \delta b ^ { \dagger } b } \\ & { + ( g _ { l } a _ { 1 } b ^ { \dagger } + g _ { r } a _ { 2 } b ^ { \dagger } + g _ { a } e ^ { - i \theta } a _ { 1 } ^ { \dagger } a _ { 2 } ) + \mathrm { H . c . } , } \end{array}
t _ { \widehat { m } \widehat { k } } ^ { \left[ V \right] } = \frac { E ^ { \prime 1 1 / 4 } V _ { o } ^ { 3 / 4 } \varDelta \gamma ^ { 1 / 4 } \mu ^ { \prime } } { K _ { I c } ^ { 4 } }
\begin{array} { r l } { \rho _ { \mathrm { E n } } } & { = \left( \frac { X _ { \mathrm { M g O } } } { \rho _ { \mathrm { M g O } } } + \frac { X _ { \mathrm { S i O 2 } } } { \rho _ { \mathrm { S i O 2 } } } \right) ^ { - 1 } } \\ { \rho _ { \mathrm { E n } } } & { = \left( \frac { 0 . 5 } { 0 . 1 0 7 0 } + \frac { 0 . 5 } { 0 . 0 7 9 7 } \right) ^ { - 1 } \; \mathrm { a t ~ A } ^ { - 3 } } \\ & { = \; 0 . 0 9 1 3 \; \mathrm { a t ~ A } ^ { - 3 } } \\ & { = 3 . 0 5 \; \mathrm { g ~ c m } ^ { - 3 } . } \end{array}
2 r a _ { r , n } = ( r + 2 ) ( r + 1 ) a _ { r + 2 , n } - \sum _ { k = 1 } ^ { n - r } \lambda _ { k } a _ { r , n - k } + \sum _ { k = 1 } ^ { r + 1 } ( - 1 ) ^ { k - 1 } a _ { r + 1 - k , n - k }
\begin{array} { r l } { { \mathbb E } \, \hat { m } _ { 0 } + \frac { 1 } { \alpha } } & { = { \mathbb E } \left( \frac { 1 } { \alpha N } \sum _ { \ell = 0 } ^ { N - 1 } \hat { \Phi } _ { \ell } ^ { \alpha } \right) } \\ & { \to \frac { \Gamma ( \alpha + 1 ) } { \alpha } \int _ { \mathbb T } \Phi ( \theta ) ^ { \alpha } \frac { \mathrm { d } \theta } { 2 \pi } \quad \mathrm { ~ a s ~ } \ N \to \infty , } \end{array}
J _ { N , p , q } ^ { \mathrm { V a r } , \mathrm { A } } ( \varepsilon ) = \underset { x \in \mathcal { X } } { \mathrm { m i n i m i z e } } \left( \sqrt { \frac { 1 } { N } { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { N } } F \left( x , \widehat { \xi } _ { i } \right) ^ { 2 } - \frac { 1 } { N ^ { 2 } } \left( { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { N } } F \left( x , \widehat { \xi } _ { i } \right) \right) ^ { 2 } } + \varepsilon \gamma _ { x , F } \right) ^ { 2 } .
I _ { \pi } ( \underline { { { k } } } ) = D _ { \pi } ( \underline { { { k } } } ) - ( 1 { - } e ^ { - \underline { { { k } } } ^ { 0 } \beta } ) \int { \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } \, L _ { \mathrm { f u l l } } ( \underline { { { k } } } , p ) \, S _ { \mathrm { f r e e } } ( p ) \, { \frac { D _ { \pi } ( p ) } { 2 \Sigma _ { I } ( p ) } } \, \; .
\mathsf { A C V } ^ { 2 } \hat { P } _ { \delta } ^ { - 1 } = \frac { 2 } { ( 1 - \zeta ) ^ { 2 } } \left( \frac { 1 } { n _ { 1 } - 1 } + \frac { \zeta ^ { 2 } } { n _ { 2 } - 1 } \right) ,
M ^ { \mu \nu } = \left[ \vert \tau _ { 1 } - \tau _ { 2 } \vert - \Delta _ { \theta } \, ( t _ { 2 } + t _ { 3 } ) ( \tau _ { 1 } - \tau _ { 2 } ) ^ { 2 } - ( \epsilon - \eta ) ^ { 2 } { \frac { \theta ^ { 2 } } { 4 } } \Delta _ { \theta } \, ( t _ { 2 } + t _ { 3 } ) \, \right] ^ { \mu \nu } \ .
\begin{array} { r l } { h _ { + } ( d ) } & { = \int _ { R } ^ { \infty } \int _ { S ( \tilde { w } _ { d } ) } \frac { 1 } { ( 2 \pi \sigma ^ { 2 } ) ^ { \frac { d } { 2 } } } e ^ { - \frac { ( \tilde { w } _ { d } - R ) ^ { 2 } } { 2 d \sigma ^ { 2 } } } \mathrm { d } w ^ { d - 1 } \mathrm { d } w _ { d } } \\ & { = \frac { 1 } { ( 2 \pi \sigma _ { t } ^ { 2 } ) ^ { \frac { d } { 2 } } } \int _ { R } ^ { \infty } e ^ { - \frac { ( \tilde { w } _ { d } - R ) ^ { 2 } } { 2 d \sigma ^ { 2 } } } \left( \int _ { S ( \tilde { w } _ { d } ) } \mathrm { d } w ^ { d - 1 } \right) \mathrm { d } w _ { d } } \\ & { \stackrel { \mathrm { ( a ) } } = \frac { 1 } { ( 2 \pi \sigma ^ { 2 } ) ^ { \frac { d } { 2 } } ( ( d - 1 ) ! ) } \int _ { R } ^ { \infty } \tilde { w } _ { d } ^ { d - 1 } e ^ { - \frac { ( \tilde { w } _ { d } - R ) ^ { 2 } } { 2 d \sigma ^ { 2 } } } \mathrm { d } w _ { d } } \\ & { \stackrel { \mathrm { ( b ) } } = \frac { 1 } { ( 2 \pi \sigma ^ { 2 } ) ^ { \frac { d } { 2 } } ( ( d - 1 ) ! ) } R ^ { d - 1 } ( \sigma \sqrt { 2 d } ) \sum _ { i = 0 } ^ { d - 1 } { \binom { d - 1 } { i } } \left( \frac { \sigma \sqrt { 2 d } } { R } \right) ^ { i } \frac { \Gamma ( ( i + 1 ) / 2 ) } { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { s \to 0 } \frac { d u } { d s } = \left( \frac { e } { 2 \pi } \right) ^ { 2 } \left[ \left( \frac { 2 + \Gamma } { \Gamma } \right) \ln ( 1 + \Gamma ) - 2 \right] , } \end{array}
u _ { j } ( t , x ) : = \frac { A _ { j } } { L _ { j } } e ^ { i \gamma _ { j } + i L _ { j } \beta _ { j } \cdot y _ { j } - i \frac { B _ { j } } { 4 } | y _ { j } | ^ { 2 } } v _ { j } ( s _ { j } , y _ { j } ) , \quad \mathrm { w i t h ~ } \quad \left| \begin{array} { r l } & { \frac { \textnormal { d } s _ { j } } { \textnormal { d } t } : = \frac { 1 } { L _ { j } ^ { 2 } } , } \\ & { y _ { j } : = \frac { x - X _ { j } } { L _ { j } } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \jmath ( x , y | R _ { 1 } ^ { * } , R _ { 2 } ^ { * } , D _ { 1 } , D _ { 2 } ) } & { : = - \log \bigg ( \sum _ { w } P _ { W } ^ { * } ( w ) \exp \Big ( \xi _ { 1 } ^ { * } ( R _ { 1 } ^ { * } - \jmath ( x , D _ { 1 } | w ) ) } \\ { * } & { \qquad \qquad \qquad + \xi _ { 2 } ^ { * } ( R _ { 2 } ^ { * } - \jmath ( y , D _ { 2 } | w ) ) \Big ) \bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { G } _ { 0 } ( u = \mathrm { C } , \phi ^ { \mathrm { C } } ) = - ( \mathbf { B } _ { 0 } ^ { \mathrm { C } } \cdot \phi _ { 0 } ^ { \mathrm { C } } ) \cdot ( \ln \mathbf { B } _ { 0 } ^ { \mathrm { C } } \cdot \phi _ { 0 } ^ { \mathrm { C } } - \ln \mathbf { C } ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \ln ( \mathbf { C } _ { 1 } \mathbf { C } _ { 2 } ) - \ln \frac { 1 } { 2 } } \\ { \mathbf { G } _ { 0 } ( u = \mathrm { D } , \phi ^ { \mathrm { D } } ) = - ( \mathbf { B } _ { 0 } ^ { \mathrm { D } } \cdot \phi _ { 0 } ^ { \mathrm { D } } ) \cdot ( \ln \mathbf { B } _ { 0 } ^ { \mathrm { D } } \cdot \phi _ { 0 } ^ { \mathrm { D } } - \ln \mathbf { C } ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \ln ( \mathbf { C } _ { 3 } \mathbf { C } _ { 4 } ) - \ln \frac { 1 } { 2 } } \end{array}
\mu _ { B H ^ { + } } ^ { \mathrm { { e x } } } = \mu _ { B } ^ { \mathrm { { e x } } } + \Delta G _ { B H ^ { + } } ^ { \mathrm { { G P D } } } - \Delta G _ { B H ^ { + } } ^ { p K _ { a } } + \mu _ { H ^ { + } } ^ { \mathrm { { e x } } }
\begin{array} { r } { P ^ { \pm } ( F D = 1 | T _ { 1 } = t _ { 1 } , T _ { 2 } = t _ { 2 } , d _ { 1 } = H ^ { + } ) = \left\{ \begin{array} { c c } { 0 , } & { t _ { 1 } > t _ { 2 } , } \\ { 1 / 2 , } & { t _ { 1 } = t _ { 2 } , } \\ { 1 , } & { t _ { 1 } < t _ { 2 } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { W _ { \mathrm { d i p o l e } } ( t , { \Delta } t ) = k _ { \mathrm { d i p } } ( \mathbf { \hat { d } _ { \mathrm { e x t } } } ( t + { \Delta } t ) - \mathbf { \hat { d } _ { \mathrm { e x t } } } ( t ) ) \cdot \mathbf { \hat { d } _ { \mathrm { i n t } } } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l l l } { ^ { ^ { R L } } \mathcal { D } _ { T ^ { - } } ^ { ^ \alpha } \psi _ { 1 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , t ) } & { = } & { \left( \partial _ { x _ { 1 } } ^ { 2 } + \partial _ { x _ { 2 } } ^ { 2 } \right) \psi _ { 1 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , t ) } & { ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , t ) \in Q _ { T } , } \\ & & { - \chi _ { _ { D } } f ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \langle \mathcal { S } _ { \alpha } ( t ) \sum _ { s = 1 } ^ { 2 } \partial _ { x _ { s } } ( \chi _ { _ \omega } ^ { * } h _ { s } ) , f \rangle _ { _ { L ^ { 2 } ( D ) } } , } & { \alpha \in ] 0 , 1 ] , } \\ { \psi _ { 1 } ( \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } , t ) } & { = } & { 0 , } & { ( \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } , t ) \in \Sigma _ { T } , } \\ { \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow T ^ { - } } \mathcal { I } _ { _ { T ^ { - } } } ^ { ^ { 1 - \alpha } } \psi _ { 1 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , t ) } & { = } & { 0 , } & { ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \in \Omega . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { = } & { { } 2 i \sin ( m \phi \lambda _ { 0 } ) \int _ { - \pi / \phi } ^ { + \pi / \phi } \frac { d \lambda } { 2 \pi } e ^ { i m \phi \lambda } \mathrm { ~ I ~ m ~ } [ \theta _ { 2 } ( \lambda + i ) ] } \\ { = } & { { } \frac { 2 \sin ( m \phi \lambda _ { 0 } ) } { m \phi } \int _ { - \pi / \phi } ^ { + \pi / \phi } \frac { d \lambda } { 2 \pi } e ^ { i m \phi \lambda } \frac { 2 \phi \cosh ( \phi ) \sinh ^ { 2 } ( \phi ) \sin ( \phi \lambda ) } { ( \cos ( \phi \lambda ) - \cosh ( \phi ) ) ( \cos ( \phi \lambda ) - \cosh ( 3 \phi ) ) } } \\ { = } & { { } 2 i \frac { \sin ( m \phi \lambda _ { 0 } ) } { m \phi } \sinh ( m \phi ) e ^ { - 2 m \phi } = \Theta ( m ) . } \end{array}
G ( x ^ { \prime } , t ^ { \prime } ; x ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) = \frac { 1 } { 2 } \int \frac { d k ^ { \prime \prime } } { 2 \pi } \frac { 1 } { \sqrt { k ^ { 2 } + 4 } } \frac { i k ^ { \prime \prime } + 2 \sigma _ { 1 } } { i k ^ { \prime \prime } - 2 \sigma _ { 1 } } e ^ { - 2 i k ^ { \prime \prime } x ^ { \prime } } .
\operatorname * { l i m } _ { q \to 1 - 0 } R _ { 2 } ( a , b : q ) = \frac { 1 } { 1 2 \alpha } + \frac 1 2 \log \left\{ \prod _ { n = 0 } ^ { \infty } \left( \frac { n + \alpha } { n + \alpha + 1 } \right) ^ { 2 n + 2 \alpha + 1 } e ^ { 2 } \right\} ,
\begin{array} { r l } { A \big ( \theta _ { 0 } + \alpha \big ( \theta _ { 1 } - \theta _ { 0 } \big ) \big ) } & { = \log \Big ( \Gamma \Big ( \theta _ { 0 , a } + \alpha \big ( \theta _ { 1 , a } - \theta _ { 0 , a } \big ) + 1 \Big ) \Big ) } \\ & { - \Big ( \theta _ { 0 , a } + \alpha \big ( \theta _ { 1 , a } - \theta _ { 0 , a } \big ) + 1 \Big ) \log \Big ( \beta _ { 0 } + \alpha \big ( \beta _ { 1 } - \beta _ { 0 } \big ) \Big ) } \\ & { = \log \Big ( \Gamma \Big ( \alpha _ { 0 } + \alpha \big ( \alpha _ { 1 } - \alpha _ { 0 } \big ) \Big ) \Big ) } \\ & { - \Big ( \alpha _ { 0 } + \alpha \big ( \alpha _ { 1 } - \alpha _ { 0 } \big ) \Big ) \log \Big ( \beta _ { 0 } + \alpha \big ( \beta _ { 1 } - \beta _ { 0 } \big ) \Big ) } \end{array}
( h ^ { - 1 } \, \partial _ { n ^ { \alpha } } A ^ { 0 1 } \, h ) ^ { \bot } = \sum _ { \gamma , \beta } ( h ^ { - 1 } \phi _ { \gamma } \, h ) ^ { \dagger } \ ( \Delta ^ { - 1 } ) _ { \gamma \beta } \ \big \langle ( h ^ { - 1 } \phi _ { \beta } \, h ) ^ { \dagger } \, \big | \, h ^ { - 1 } \, \partial _ { n ^ { \alpha } } A ^ { 0 1 } \, h \big \rangle
{ \begin{array} { r l } { { \boldsymbol { \sigma } } } & { = { \frac { 2 } { J } } ~ \left[ \left( { \frac { \partial W } { \partial { \bar { I } } _ { 1 } } } + { \bar { I } } _ { 1 } ~ { \frac { \partial W } { \partial { \bar { I } } _ { 2 } } } \right) ~ { \bar { \boldsymbol { B } } } - { \frac { \partial W } { \partial { \bar { I } } _ { 2 } } } ~ { \bar { \boldsymbol { B } } } \cdot { \bar { \boldsymbol { B } } } \right] } \\ & { \qquad + \left[ { \frac { \partial W } { \partial J } } - { \frac { 2 } { 3 J } } \left( { \bar { I } } _ { 1 } ~ { \frac { \partial W } { \partial { \bar { I } } _ { 1 } } } + 2 ~ { \bar { I } } _ { 2 } ~ { \frac { \partial W } { \partial { \bar { I } } _ { 2 } } } \right) \right] { \boldsymbol { \mathit { 1 } } } } \end{array} }