harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { N ^ { 2 } } \sum _ { \mu , \nu } \langle \mathrm { d i a g } ( \tilde { S } _ { \nu } ^ { t } ) G \mathrm { d i a g } ( \tilde { S } _ { \mu } ^ { t } ) G \rangle \langle \mathrm { d i a g } \tilde { S } _ { \mu } G A \mathrm { d i a g } ( \tilde { S } _ { \nu } ) G A \rangle = } \\ & { = \frac { 1 } { N ^ { 2 } } \sum _ { \mu , \nu } \langle \mathrm { d i a g } ( \hat { \tilde { S } } _ { \nu } ^ { t } ) G \mathrm { d i a g } ( \hat { \tilde { S } } _ { \mu } ^ { t } ) G \rangle \langle \mathrm { d i a g } \tilde { S } _ { \mu } G A \mathrm { d i a g } ( \tilde { S } _ { \nu } ) G A \rangle } \\ & { + \frac { 1 } { N ^ { 2 } } \sum _ { \mu , \nu } \langle \mathrm { d i a g } ( \hat { \tilde { S } } _ { \nu } ^ { t } ) G G \rangle \langle C _ { \mu } \mathrm { d i a g } \tilde { S } _ { \mu } G A \mathrm { d i a g } ( \tilde { S } _ { \nu } ) G A \rangle } \\ & { + \frac { 1 } { N ^ { 2 } } \sum _ { \mu , \nu } \langle G \mathrm { d i a g } ( \hat { \tilde { S } } _ { \mu } ^ { t } ) G \rangle \langle \mathrm { d i a g } \tilde { S } _ { \mu } G A C _ { \nu } \mathrm { d i a g } ( \tilde { S } _ { \nu } ) G A \rangle } \\ & { + \frac { 1 } { N ^ { 2 } } \sum _ { \mu , \nu } \langle G G \rangle \langle C _ { \mu } \mathrm { d i a g } \tilde { S } _ { \mu } G A C _ { \nu } \mathrm { d i a g } ( \tilde { S } _ { \nu } ) G A \rangle } \end{array}
\begin{array} { r } { { \cal E } = \frac { \hbar \omega _ { p } \vert c \vert ^ { 2 } \vert \Psi _ { p } \vert ^ { 2 } + \hbar \omega _ { h } \vert d \vert ^ { 2 } \vert \Psi _ { h } \vert ^ { 2 } } { \vert c \vert ^ { 2 } \vert \Psi _ { p } \vert ^ { 2 } + \vert d \vert ^ { 2 } \vert \Psi _ { h } \vert ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { E ^ { * } ( F _ { i , j } ^ { * } | C _ { i , j } ^ { * } , \mathcal { F } _ { I , n } ^ { * } ) = \widehat { f } _ { j , n } ^ { * } , \quad V a r ^ { * } ( F _ { i , j } ^ { * } | C _ { i , j } ^ { * } , \mathcal { F } _ { I , n } ^ { * } ) = \frac { \widehat { \sigma } _ { j , n } ^ { 2 } } { C _ { i , j } ^ { * } } , \quad i = - n , \dots , I , \ j = I - i , \dots , I + n - 1 , } \end{array}
- { \biggl ( } \gamma ^ { 2 } - \frac { \omega ^ { 2 } } { \alpha ^ { 2 } } { \biggr ) } \alpha ^ { 2 } \rho ^ { 2 } d t ^ { 2 } + \frac { d \rho ^ { 2 } } { \alpha ^ { 2 } \rho ^ { 2 } } + { \biggl ( } \gamma ^ { 2 } - \frac { \omega ^ { 2 } } { \alpha ^ { 2 } } { \biggr ) } \rho ^ { 2 } d \varphi ^ { 2 } + \alpha ^ { 2 } \rho ^ { 2 } d z ^ { 2 } \: ,
g ^ { i j } B ^ { 2 } { \partial } _ { y } + \Gamma _ { k } ^ { i j } B ^ { 2 } u _ { y } ^ { k } - \frac 1 2 g ^ { i \ell } B ^ { 2 } \left( g _ { \ell m } \frac { { \partial } B ^ { - 2 } } { { \partial } u ^ { k } } + g _ { k m } \frac { { \partial } B ^ { - 2 } } { { \partial } u ^ { \ell } } - g _ { \ell k } \frac { { \partial } B ^ { - 2 } } { { \partial } u ^ { m } } \right) g ^ { m j } B ^ { 2 } u _ { y } ^ { k }
\int _ { 0 } ^ { \bar { Q } _ { \mathrm { 6 C } } } P ( \bar { Q } _ { \mathrm { 6 , \, H e x } } ^ { ( i ) } ) d \bar { Q } _ { \mathrm { 6 , \, H e x } } ^ { ( i ) } = \int _ { \bar { Q } _ { \mathrm { 6 C } } } ^ { 1 } P ( \bar { Q } _ { \mathrm { 6 , \, L i q } } ^ { ( i ) } ) d \bar { Q } _ { \mathrm { 6 , \, L i q } } ^ { ( i ) }
\begin{array} { r l } { \tilde { H } } & { { } = \frac { \tilde { b } _ { 1 } ^ { 2 } \tilde { \tau } - \log \tilde { a } _ { 1 } } { 2 \pi ^ { 2 } } } \\ { \tilde { g } } & { { } = 2 \pi ^ { 2 } \frac { \tilde { H } } { \tilde { b } _ { 1 } \tilde { \tau } } } \\ { \tilde { \sigma } ^ { 2 } } & { { } = \frac { \tilde { \tau } } { 2 \pi ^ { 2 } } - \frac { \tilde { H } } { \tilde { g } ^ { 2 } } . } \end{array}
\frac { b _ { 0 i } } { b _ { 0 j } } = \frac { f _ { i } } { f _ { j } } \sqrt { \frac { \eta _ { j } ^ { ( 2 ) } \eta _ { j } ^ { ( 1 ) } } { \eta _ { i } ^ { ( 1 ) } \eta _ { i } ^ { ( 2 ) } } } \sqrt { \frac { r _ { i j } } { r _ { j i } } } \, .
{ \cal { L } } _ { \mathrm { e f f } } = { \cal { L } } _ { \mathrm { g a u g e ~ t h e o r y } } + \theta \frac { g ^ { 2 } } { 3 2 \pi ^ { 2 } } G _ { a } ^ { \mu \nu } \tilde { G } _ { a \mu \nu } ~ .
\left\{ \begin{array} { l } { { m _ { 1 } , \ldots , m _ { r - M + n - 3 } \geq 0 } } \\ { { m _ { r - M + n - 2 } = \ldots = m _ { r - 3 } = 0 } } \\ { { m _ { j } \equiv \operatorname * { m i n } ( a - 1 , r - j - 2 ) + \operatorname * { m i n } ( b - 1 , r - j - 2 ) . } } \end{array} \right.
\big [ z _ { i j } \big ] _ { \underline { { \mathbf { J } } } } = i \frac { \delta Z } { \delta \phi _ { i j } } \Big | _ { \boldsymbol { \phi } = 0 } = i \left\langle \frac { \delta \ln H } { \delta \phi _ { i j } } \right\rangle \Big | _ { \boldsymbol { \phi } = 0 } = i \big \langle V _ { i j } \big \rangle \big | _ { \boldsymbol { \phi } = 0 }
\begin{array} { r l } { \mathsf { C } } & { \ge \operatorname* { m a x } _ { P _ { X } , \alpha } \mathsf { I } ( T ; Y ) - \mathsf { I } ( T ; S ) } \\ & { = \operatorname* { m a x } _ { P _ { X } , \alpha } \mathsf { h } ( T | S ) - \mathsf { h } ( T | Y ) } \\ & { = \operatorname* { m a x } _ { P _ { X } , \alpha } \mathsf { h } ( X ) - \mathsf { h } ( T | Y ) } \\ & { \overset { \mathrm { ( a ) } } { \ge } \operatorname* { m a x } _ { P _ { X } , \alpha , \hat { T } ( Y ) } \mathsf { h } ( X ) - \frac { 1 } { 2 } \log \Bigl ( 2 \pi e \mathbb { E } \bigl [ \bigl ( T - \hat { T } ( Y ) \bigr ) ^ { 2 } \bigr ] \Bigr ) } \\ & { \overset { \mathrm { ( b ) } } { \ge } \operatorname* { m a x } _ { P _ { X } , \alpha } \mathsf { h } ( X ) - \frac { 1 } { 2 } \log \bigl ( 2 \pi e \mathrm { L M M S E } ( T , Y ) \bigr ) } \\ & { \overset { \mathrm { ( c ) } } { = } \operatorname* { m a x } _ { P _ { X } } \mathsf { h } ( X ) - \frac { 1 } { 2 } \log \Bigl ( \frac { 2 \pi e \mathbb { V } [ X ] \sigma ^ { 2 } } { \mathbb { V } [ X ] + \sigma ^ { 2 } } \Bigr ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { s } f _ { j m \lambda } ( k ) } & { { } = f _ { j m - \lambda } ( k ) ( - 1 ) ^ { j } } \\ { I _ { t } f _ { j m \lambda } ( k ) } & { { } = - f _ { j - m \lambda } ^ { * } ( k ) ( - 1 ) ^ { j + m } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { R ( \tau ) } & { { } = } & { \frac { 3 } { 2 \tau } - \frac { 2 } { 3 } \alpha _ { S } \sqrt { \pi m } \tau ^ { - \frac { 1 } { 2 } } + \frac { 4 \pi ^ { 2 } } { 9 6 m } \langle \frac { \alpha _ { S } } { \pi } G G \rangle \; \tau ^ { 2 } \; . } \end{array}
{ \cal A } _ { \mu } ~ = ~ \left( \begin{array} { l } { { B _ { \mu A } } } \\ { { V ^ { A } { } _ { \mu } } } \end{array} \right) { } ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ { \cal F } _ { \mu \nu } ~ = ~ \left( \begin{array} { l } { { H _ { \mu \nu A } } } \\ { { V ^ { A } { } _ { \mu \nu } } } \end{array} \right)
\tilde { I } _ { 1 } ^ { \zeta } ( t ) = I _ { 1 } ^ { \zeta } ( t ) - \left[ \left( a ( t ) \Lambda \vphantom { ^ 2 } \right) ^ { 2 } - M ^ { 2 } ( t ) \ln \left( a ( t ) \Lambda \vphantom { ^ 2 } \right) \right] / ( 8 \pi ^ { 2 } ) \, .
\begin{array} { r l r } { \mathfrak { P } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } + 4 \, \sum _ { n } \sum _ { n ^ { \prime } } \, \lambda _ { n 1 } \, \lambda _ { n ^ { \prime } \bar { 1 } } \, ( S _ { n 1 , n ^ { \prime } \bar { 1 } } ^ { + } ) ^ { 2 } } \end{array}
\dot { S } ( t ) = - \sum _ { k = R , L } \int _ { 0 } ^ { \ell } \mathrm { d } x ~ \frac { \partial P _ { k } ( x , t ) } { \partial t } \left( \log \left( \frac { P _ { k } ( x , t ) } { \bar { P } } \right) + 1 \right) .
\begin{array} { r l r } { F _ { 3 } } & { { } = } & { 4 \left[ 1 + u + ( 1 + u + \frac { u ^ { 2 } } { 2 } ) { S } _ { i f } - \frac { u ^ { 2 } } { 2 } ( { \bf S } _ { i } \cdot \hat { \bf n } ) ( { \bf S } _ { f } \cdot \hat { \bf n } ) \right] \mathrm { K } _ { \frac { 2 } { 3 } } ( u ^ { \prime } ) } \end{array}
U ( R ) = - 0 . 0 2 1 0 8 8 R ^ { 2 } + 0 . 0 0 3 3 1 0 8 R ^ { 4 } + 0 . 0 3 3 1 6 1 + 3 . 6 7 4 9 \times 1 0 ^ { - 6 } R + H _ { l s } ( R ) ,
g _ { 1 , 0 , n } e ^ { i \xi _ { 1 , 0 , n } } = \frac { \sqrt 2 R } { 8 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } { m _ { x } ( \theta ) \left( \sqrt { \beta _ { x } ( \theta ) } \right) ^ { 3 } \exp \left( i \left( - \left( \nu _ { x } - n \right) \theta + \chi _ { x } ( \theta ) \right) \right) d \theta } .
{ \begin{array} { r l } { I } & { = 2 \pi \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 } \left[ 0 - { \frac { e ^ { ( i k _ { 0 } - \epsilon ) { \left| z ^ { \prime } - z \right| } } } { i k _ { 0 } - \epsilon } } \right] } \\ & { = - 2 \pi { \frac { e ^ { i k _ { 0 } { \left| z ^ { \prime } - z \right| } } } { i k _ { 0 } } } } \\ & { = 2 \pi i { \frac { e ^ { i k _ { 0 } { \left| z ^ { \prime } - z \right| } } } { k _ { 0 } } } . } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \partial _ { t } \tilde { \nu } _ { t } } & { { } + } & { \langle { \bf { u } } \rangle \cdot \nabla \tilde { \nu } _ { t } = c _ { b 1 } f _ { r } \tilde { \Omega } \tilde { \nu } _ { t } - c _ { w 1 } f _ { w } \left[ \frac { \tilde { \nu } _ { t } } { \ell } \right] ^ { 2 } } \end{array}
\xi _ { u \pm } ^ { i } = \frac { r _ { e } } { 2 \pi \gamma _ { \pm } } \frac { N _ { \mp } \beta _ { u \pm } ^ { * } } { \overline { { \sigma } } _ { u \mp } ( \overline { { \sigma } } _ { x \mp } + \overline { { \sigma } } _ { y \mp } ) } ,
0 = \partial _ { \lambda } \partial ^ { \lambda } a ^ { \mu } + \partial _ { \tau } \epsilon ^ { \mu } = \partial _ { \lambda } \partial ^ { \lambda } a ^ { \mu } + \partial _ { \tau } ( \sigma \partial _ { \tau } a ^ { \mu } ) = ( \partial _ { \lambda } \partial ^ { \lambda } + \sigma \partial _ { \tau } ^ { 2 } ) a ^ { \mu } .
k _ { i } = \mathcal { H } \left( \, \, \mathbf { Q } _ { E } ^ { n } + { \Delta t } \sum _ { i = 1 } ^ { s } \tilde { a } _ { i j } \, k _ { j } , \quad \mathbf { Q } _ { I } ^ { n } + { \Delta t } \sum _ { i = 1 } ^ { s } a _ { i j } \, k _ { j } \, \, \right) , \qquad 1 \leq i \leq s .
{ \begin{array} { r l } { S ( X : Q ) } & { = S ( X ) + S ( Q ) - S ( X Q ) } \\ & { = S ( X ) + S ( \rho ) + \operatorname { t r } \left( \rho ^ { X Q } \log \rho ^ { X Q } \right) } \\ & { = S ( X ) + S ( \rho ) + \operatorname { t r } \left( \sum _ { x = 1 } ^ { n } p _ { x } \log p _ { x } | x \rangle \langle x | \otimes \rho _ { x } \right) + \operatorname { t r } \left( \sum _ { x = 1 } ^ { n } p _ { x } | x \rangle \langle x | \otimes \rho _ { x } \log \rho _ { x } \right) } \\ & { = S ( X ) + S ( \rho ) + \underbrace { \operatorname { t r } \left( \sum _ { x = 1 } ^ { n } p _ { x } \log p _ { x } | x \rangle \langle x | \right) } _ { - S ( X ) } + \operatorname { t r } \left( \sum _ { x = 1 } ^ { n } p _ { x } \rho _ { x } \log \rho _ { x } \right) } \\ & { = S ( \rho ) + \sum _ { x = 1 } ^ { n } p _ { x } \underbrace { \operatorname { t r } \left( \rho _ { x } \log \rho _ { x } \right) } _ { - S ( \rho _ { x } ) } } \\ & { = S ( \rho ) - \sum _ { x = 1 } ^ { n } p _ { x } S ( \rho _ { x } ) , } \end{array} }
p _ { \mathrm { R N N } } \left( \boldsymbol { \sigma } ; \mathcal { W } \right) = \left| \langle \boldsymbol { \sigma } \left| \Psi _ { \mathcal { W } } \right. \rangle \right| ^ { 2 } = \left| \Psi _ { \mathrm { R N N } } \left( \boldsymbol { \sigma } ; \mathcal { W } \right) \right| ^ { 2 }
S _ { u l } = \eta _ { u } \pi r _ { e } f _ { u l } W _ { l } \left( 1 - e ^ { - \nu _ { u l } / \nu _ { T } } \right) = \frac { \eta _ { u } W _ { u } \Gamma _ { u l } E _ { u l } } { 4 \pi \tilde { B } _ { u l } } .
\begin{array} { r l } { \mathbf { \bar { J } } _ { \theta } ( \mathbf { u } , \mathbf { x } ) } & { = \frac { \partial \Phi } { \partial \mathbf { u } } = \left( \mathbf { J } _ { \theta } ( \mathbf { u } , \mathbf { x } ) , \mathbf { n } \cdot \nabla \right) ^ { \top } } \\ & { = \left( \mathsf { D } \nabla ^ { 2 } + \gamma \left( \mathbf { j } _ { \hat { \mathbf { F } } } ( \mathbf { u } ) + \theta \mathbf { j } _ { \mathbf { G } } ( \mathbf { u } , \mathbf { x } ) \right) , \mathbf { n } \cdot \nabla \right) ^ { \top } . } \end{array}
( a _ { 1 } ) = \left| { \frac { 1 } { 2 { \sqrt { \pi } } } } \int _ { \pi D _ { y } ^ { 2 } } ^ { \infty } e ^ { - z } z ^ { - 1 / 2 } d z \right| < { \frac { e ^ { - \pi D _ { y } ^ { 2 } } } { 2 \pi D _ { y } } } .
H = - M + \frac { 1 } { 2 M } \left( P - \sum _ { n , m = 1 } ^ { \infty } G _ { m n } p _ { n } q _ { m } \right) ^ { 2 } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( \frac { p _ { n } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { \Omega _ { n } ^ { 2 } q _ { n } ^ { 2 } } { 2 } \right)
P _ { \varphi } \; \equiv \; \frac { \partial L } { \partial \dot { \varphi } } \; = \; \left( \frac { e } { c } \, { \bf A } \; + \; m \, \dot { \bf x } \right) \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, \frac { \partial \bf x } { \partial \varphi }
\begin{array} { r l r } { E 1 _ { P V } ( T ) } & { { } = } & { \sum _ { n \ge 1 0 } \frac { \langle 7 S _ { 1 / 2 } | D | n P _ { 1 / 2 } \rangle \langle n P _ { 1 / 2 } | H _ { W } | 6 S _ { 1 / 2 } \rangle } { ( E _ { 6 S _ { 1 / 2 } } - E _ { n P _ { 1 / 2 } } ) } } \end{array}
0 = \pi ^ { - \mu } \gamma _ { 1 } ^ { * } Q \gamma _ { 2 } = \gamma _ { 1 } ^ { * } Q \gamma _ { 2 } ^ { \prime } \equiv ( a - b i ) p ^ { n - 1 } \pi ^ { \prime } \overline { { \pi ^ { \prime } } } q _ { 1 } + ( a ^ { \prime } - b ^ { \prime } i ) p ^ { n - 1 - \mu } \pi ^ { \prime } \overline { { \pi ^ { \prime } } } q _ { 2 } \qquad \bmod p ^ { n - \mu } ,
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \| W f _ { \theta } ( { \bar { x } } _ { i } ) - { \bar { y } } _ { i } \| } & { \le L _ { S } ( w ) + \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \| { \tilde { W } } ( f _ { \theta } ( { \bar { x } } _ { i } ) - f _ { \theta } ( x _ { i } ) ) \| } \\ & { \quad + \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \| \varphi ( x _ { i } ) \| + \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \| \varphi ( { \bar { x } } _ { i } ) \| . } \end{array}
\left( \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { 2 \partial + i ( T _ { 1 } + i T _ { 2 } ) } } \\ { { 2 \bar { \partial } + i ( T _ { 1 } - i T _ { 2 } ) } } & { { 0 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { { c } } \\ { { \bar { b } } } \end{array} \right) = ( \partial \! \! \! / + i T \! \! \! \! / ) \psi = 0 \ .
\begin{array} { r l } { { \boldsymbol { \xi } } _ { p , t } ^ { m } } & { = { \boldsymbol { \xi } } _ { p , t + \Delta t } + \underbrace { \boldsymbol { \beta } [ u ] ( \boldsymbol { \xi } _ { p , t + \Delta t } , t + \Delta t ) \Delta t } _ { \mathrm { c o n v e c t i o n } } + \underbrace { \sqrt { 2 \kappa \Delta t } \boldsymbol { b } ^ { m } } _ { \mathrm { d i f f u s i o n } } , } \\ { \boldsymbol { b } ^ { m } } & { \sim \mathcal { N } ( \boldsymbol { 0 } , \boldsymbol { I } ) , \ { \boldsymbol { \xi } } _ { p , t + \Delta t } = \boldsymbol { x } _ { p } , } \end{array}
\mathcal { L } [ \boldsymbol { u } ] = - \frac { 1 } { 2 } \int _ { \mathbb { B } } \int _ { \mathbb { H } } \omega ( \boldsymbol { \xi } , \boldsymbol { \eta } ) \ \textup { d V } ^ { \prime } \textup { d V } + \int _ { \mathbb { B } } \boldsymbol { b } \cdot \boldsymbol { u } \ \textup { d V } \ ,
D = \frac { C _ { F } } { \pi } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \alpha _ { s } ^ { n + 1 } \Big [ \frac { 3 } { 4 } \left( \frac { Q ^ { 2 } e ^ { - 5 / 3 } } { \mu ^ { 2 } } \right) ^ { - 2 } \left( \frac { - \beta _ { 0 f } } { 2 } \right) ^ { 2 } \, n ! + \frac { 1 } { 3 } \frac { Q ^ { 2 } e ^ { - 5 / 3 } } { \mu ^ { 2 } } \beta _ { 0 f } ^ { n } \, n ! \, \left( n + \frac { 1 1 } { 6 } \right) \Big ] \, ,
v ( x , t ) = D _ { 0 } \frac { 1 } { H } \frac { \partial h } { \partial x } \, \, \, \, \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ i ~ n ~ F ~ o ~ u ~ r ~ i ~ e ~ r ~ s ~ p ~ a ~ c ~ e ~ } \, \, \, \, \tilde { v } ( k , \omega ) = i D _ { 0 } k \frac { \tilde { h ( k , \omega ) } } { H } .
\begin{array} { r } { N ^ { - 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { M - 1 } ( 1 + k ) 2 ^ { ( \sigma - 2 \delta ) k } + 2 ^ { ( d - 2 \delta ) M } \leq \left\{ \begin{array} { l l } { c N ^ { - \frac { 2 \delta - d } { \sigma - d } } \log ( N ) } & { \mathrm { i f ~ } \delta < \sigma / 2 , } \\ { c N ^ { - 1 } \log ^ { 2 } ( N ) } & { \mathrm { i f ~ } \delta = \sigma / 2 , } \\ { c N ^ { - 1 } } & { \mathrm { i f ~ } \delta > \sigma / 2 . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { c } _ { 1 } = } & { { } ~ c _ { K } \left( p ^ { ( i ) } , ~ \hat { \rho } _ { 1 } \right) , ~ \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } ~ \hat { \rho } _ { 1 } = ~ \rho ^ { ( i ) } , } \\ { \hat { c } _ { 2 } = } & { { } ~ c _ { K } \left( p ^ { ( i ) } + 0 . 5 \Delta \rho \hat { c } _ { 1 } ^ { 2 } , ~ \hat { \rho } _ { 2 } \right) , ~ \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } ~ \hat { \rho } _ { 2 } = ~ \rho ^ { ( i ) } + 0 . 5 \Delta \rho , } \\ { \hat { c } _ { 3 } = } & { { } ~ c _ { K } \left( p ^ { ( i ) } + 0 . 5 \Delta \rho \hat { c } _ { 2 } ^ { 2 } , ~ \hat { \rho } _ { 3 } \right) , ~ \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } ~ \hat { \rho } _ { 3 } = ~ \rho ^ { ( i ) } + 0 . 5 \Delta \rho , } \\ { \hat { c } _ { 4 } = } & { { } ~ c _ { K } \left( p ^ { ( i ) } + \Delta \rho \hat { c } _ { 3 } ^ { 2 } , ~ \hat { \rho } _ { 4 } \right) , ~ \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } ~ \hat { \rho } _ { 4 } = ~ \rho ^ { ( i ) } + \Delta \rho . } \end{array}
\begin{array} { r } { S _ { \mathrm { ~ B ~ } } ( t ) - S _ { \mathrm { ~ B ~ } } ( 0 ) = k _ { \mathrm { ~ B ~ } } D _ { K L } \left( P _ { N } \left| \prod _ { n } ^ { N } P _ { 1 } \right. \right) \geq 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { 6 ( F ^ { n } - S _ { u v , 2 } ^ { n } ) } } & { { } = { \cal O } ( T e r m 3 ) ^ { n } + { \cal O } ( T e r m 4 ) ^ { n } | _ { r ^ { 3 } } + { \cal O } ( T e r m 5 ) ^ { n } | _ { r ^ { 3 } } + { \cal O } ( T e r m 6 ) ^ { n } + { \cal O } ( T e r m 7 ) ^ { n } , } \\ { { 6 ( 1 - S _ { u v , 2 } ^ { s } / S _ { 4 } ^ { s } ) F ^ { s } } } & { { } = { \cal O } ( T e r m 3 ) ^ { s } + { \cal O } ( T e r m 4 ) ^ { s } | _ { r ^ { 3 } } + { \cal O } ( T e r m 5 ) ^ { s } | _ { r ^ { 3 } } + { \cal O } ( T e r m 6 ) ^ { s } + { \cal O } ( T e r m 7 ) ^ { s } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { 2 k + 2 i , 4 k - 1 - 2 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 2 k - 1 + 2 i , 4 k - 1 - 2 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 2 , 1 } } \\ & { + v _ { 2 k - 2 + 2 i , 4 k - 1 - 2 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 3 , 1 } } \\ & { + v _ { 2 k + 2 i , 4 k - 2 - 2 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 2 k + 2 i , 4 k - 3 - 2 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 3 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { t _ { \ell } ( 2 ^ { \ell } - k ) } & { = \sin ^ { 2 } \left( \frac { \pi } { 2 } \cdot \left( \frac { 2 ^ { \ell } - k } { 2 ^ { \ell } } \right) \right) } \\ & { = \sin ^ { 2 } \left( \frac { \pi } { 2 } \cdot \left( 1 - \frac { k } { 2 ^ { \ell } } \right) \right) } \\ & { = \sin ^ { 2 } \left( \frac { \pi } { 2 } \cdot \left( - \frac { k } { 2 ^ { \ell } } \right) + \frac { \pi } { 2 } \right) } \\ & { = \cos ^ { 2 } \left( \frac { \pi } { 2 } \cdot \left( - \frac { k } { 2 ^ { \ell } } \right) \right) } & { \left( \cos ( x ) = \sin \left( x + \frac { \pi } { 2 } \right) \right) } \\ & { = \cos ^ { 2 } \left( \frac { \pi } { 2 } \cdot \frac { k } { 2 ^ { \ell } } \right) } & { \big ( \cos ( x ) = \cos ( - x ) \big ) } \\ & { = 1 - \sin ^ { 2 } \left( \frac { \pi } { 2 } \cdot \frac { k } { 2 ^ { \ell } } \right) } & { \big ( \cos ^ { 2 } ( x ) = 1 - \sin ^ { 2 } ( x ) \big ) } \\ & { = 1 - t _ { \ell } ( k ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } J ^ { t k _ { 1 } \ldots k _ { q } } + \partial _ { i } J ^ { i k _ { 1 } \ldots k _ { q } } } & { { } = 0 , } \\ { \partial _ { i } J ^ { t i k _ { 2 } \ldots k _ { q } } } & { { } = 0 . } \end{array}
t _ { 0 } h _ { e } ^ { R x } ( r , \theta ; \tau ) = - 2 L \sum _ { \zeta _ { p } } \frac { Q _ { e } ( { \bf r } ; \zeta _ { p } ) } { q _ { p } } e ^ { q _ { p } ( \tau + 1 ) } . \quad \mathrm { ~ [ ~ m ~ ] ~ }
\begin{array} { r l } { \big ( \mathcal { S } + 1 \big ) \big ( 1 + { F } _ { \mathrm { z i g } } \big ) } & { = \frac 1 2 \mathcal { K M O } ^ { \dagger } \mathcal { O M } ^ { \dagger } \mathcal { K } ^ { \dagger } } \\ & { = \frac 1 2 \mathcal { K M } \big ( 1 + F _ { 3 } \big ) \mathcal { M } ^ { \dagger } \mathcal { K } ^ { \dagger } } \\ & { = \frac 1 2 \mathcal { K M M } ^ { \dagger } \mathcal { K } ^ { \dagger } \big ( 1 + F _ { \mathrm { z i g } } \big ) } \\ & { = ( 1 + 2 \cos \big ( \frac 2 3 \pi \sqrt { \mathcal { Q } _ { \mathrm { z i g } } } \, \big ) \big ) \big ( 1 + F _ { \mathrm { z i g } } \big ) \ . } \end{array}
E ( z ) F ( w ) = \frac { 1 / p } { ( z - w ) ^ { p } } + \frac { H ^ { 0 } } { ( z - w ) ^ { p - 1 } } + \frac { H ^ { 1 } } { ( z - w ) ^ { p - 2 } } + \, \dots \, + \frac { H ^ { p - 2 } } { z - w } \, .
\begin{array} { r l } { H ( t , \tau ) } & { = e ^ { - \int _ { \tau } ^ { t } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } \operatorname { t a n h } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } ( T - s ) \right) + \frac { 3 \sqrt { \mu } } { 2 } \coth \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } ( T - s ) \right) \right) \, d s } } \\ & { = e ^ { \left[ 3 \log \left( \sinh \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } ( T - s ) \right) \right) + \log \left( \cosh \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } ( T - s ) \right) \right) \right] _ { \tau } ^ { t } } } \\ & { = \frac { \sinh ^ { 3 } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } ( T - t ) \right) \cosh \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } ( T - t ) \right) } { \sinh ^ { 3 } \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } ( T - \tau ) \right) \cosh \left( \frac { \sqrt { \mu } } { 2 } ( T - \tau ) \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { c } ( U ) : } & { = \{ f \in C _ { c } ( G ( X ) ) : f ( \tilde { \omega } ) = 0 \mathrm { ~ f o r ~ a n y ~ } \tilde { \omega } \notin G ( X ) _ { U } \} } \\ & { = \{ T \in \mathbb { C } _ { u } [ X ] : \overline { { T } } ( \tilde { \omega } ) = 0 \mathrm { ~ f o r ~ a n y ~ } \tilde { \omega } \notin G ( X ) _ { U } \} . } \end{array}
\begin{array} { r } { \widehat { M } _ { s } ( { \boldsymbol { x } } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { M _ { s } , } & { { \boldsymbol { x } } \in { \mathcal { B } } , } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \dot { m } _ { \mathrm { F M } } } & { = } & { \alpha _ { \mathrm { M } } \pi r _ { \mathrm { p } } ^ { 2 } ( C _ { \mathrm { g } } \bar { c } _ { \mathrm { g } } - C _ { \mathrm { p } } \bar { c } _ { \mathrm { p } } ) } \\ { \dot { m } _ { \mathrm { C } } } & { = } & { 4 \pi r _ { \mathrm { p } } \mathcal { D } ( C _ { \mathrm { g } } - C _ { \mathrm { p } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { 1 3 } } & { = \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { ( 2 ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( 3 ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( 4 ) } ) ^ { 2 } } { | \zeta ^ { ( 2 ) } + \zeta ^ { ( 3 ) } + \zeta ^ { ( 4 ) } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } ( \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { ( 2 ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( 3 ) } ) ^ { 2 } } { | \zeta ^ { ( 2 ) } + \zeta ^ { ( 3 ) } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } + \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { ( 3 ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( 4 ) } ) ^ { 2 } } { | \zeta ^ { ( 3 ) } + \zeta ^ { ( 4 ) } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } + \frac { ( \zeta _ { 0 } ^ { ( 2 ) } + \zeta _ { 0 } ^ { ( 4 ) } ) ^ { 2 } } { | \zeta ^ { ( 2 ) } + \zeta ^ { ( 4 ) } | _ { g ^ { * } } ^ { 2 } } ) } \\ & { = R _ { 2 3 4 } ( \frac { 1 } { - \sin ^ { 2 } \theta } ( 1 + I _ { 2 } ) ) } \\ & { = - \frac { 1 } { 4 ( \cos \theta + 1 ) s ^ { 4 } } ( \frac { \cos ( { \theta } / { 2 } ) } { 2 \cos \theta } \frac { 1 } { s } + \frac { 5 } { 2 \cos \theta } + \frac { 2 \cos ( { \theta } / { 2 } ) } { \cos \theta } s + \frac { 2 } { \cos \theta } s ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ k ~ e ~ r ~ } ( { \bf D } ) = \mathrm { ~ k ~ e ~ r ~ } ( { \bf L } _ { [ 0 ] } ) \oplus \mathrm { ~ k ~ e ~ r ~ } ( { \bf L } _ { [ 1 ] } ) \oplus \mathrm { ~ k ~ e ~ r ~ } ( { \bf L } _ { [ 2 ] } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| \langle \partial _ { v } \rangle \mathrm { A } _ { 0 } P _ { 0 } ( \Upsilon _ { 2 } \Psi ) \right\| _ { 2 } } & { { } \lesssim \left\| \langle \partial _ { v } \rangle ^ { - 1 } \mathrm { A } _ { 0 } P _ { 0 } \Omega \right\| _ { 2 } + \left\| \langle \partial _ { v } \rangle ^ { - 1 } \mathrm { A } _ { 0 } ( h _ { 1 } \partial _ { v v } P _ { 0 } ( \Upsilon _ { 2 } \Psi ) ) \right\| _ { 2 } } \end{array}