harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { ( 1 - p ) ^ { C _ { 1 } k _ { 1 } ^ { \zeta _ { \mathrm { h h } } } / 1 6 } } & { \le 1 / 2 , \qquad \mathrm { a n d ~ } \qquad ( C _ { 1 } / 4 ) k _ { 1 } ^ { \zeta _ { \mathrm { h h } } } } & { \le \exp \big ( p \beta c _ { d } 2 ^ { - d } \big ( C _ { 1 } ^ { - 1 / ( \tau - 1 ) } k _ { 1 } \big ) ^ { ( 2 + \sigma - \tau ) \gamma _ { \mathrm { h h } } } / 8 \big ) . } \end{array}
\theta ^ { a } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { a , a ^ { \prime } , c } \left( \mathrm { l n } \frac { W _ { a ^ { \prime } a } ^ { c } } { W _ { a a ^ { \prime } } ^ { c } } \right) ^ { 2 } W _ { a ^ { \prime } a } ^ { c } p \left( a ^ { \prime } , c \right) .
\beta _ { \mathcal { R } } = - \int { \frac { \delta \mathcal { L } _ { \mathrm { w } } } { \hbar \delta \left( \partial _ { \tau } \hat { \varsigma } ^ { \dagger } \right) } \nabla \hat { \varsigma } ^ { \dagger } \cdot d \boldsymbol { r } } \sim \varDelta k
H = \sum _ { k , \sigma } \epsilon _ { k } c _ { k \sigma } ^ { \dagger } c _ { k \sigma } + \sum _ { \sigma } \epsilon _ { \sigma } d _ { \sigma } ^ { \dagger } d _ { \sigma } + U d _ { \uparrow } ^ { \dagger } d _ { \uparrow } d _ { \downarrow } ^ { \dagger } d _ { \downarrow } + \sum _ { k , \sigma } V _ { k } ( d _ { \sigma } ^ { \dagger } c _ { k \sigma } + c _ { k \sigma } ^ { \dagger } d _ { \sigma } )
\displaystyle \Gamma ( \mathbf { r _ { E } } , \mathbf { r _ { S } } ) = \sqrt { \frac { \Delta r ^ { 2 } ( \mathbf { r _ { E } } , \mathbf { r _ { S } } ) } { \delta r ^ { 2 } } + \frac { \Delta D ^ { 2 } ( \mathbf { r _ { E } } , \mathbf { r _ { S } } ) } { \delta D ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l r } { \partial \hat { P } _ { H } w ( { \boldsymbol { x } } ) } & { = } & { B ( u _ { h } ; \hat { P } _ { H } w , g _ { H } ^ { \boldsymbol { x } } ) } \\ & { = } & { B ( u _ { h } ; w , g _ { H } ^ { \boldsymbol { x } } ) } \\ & { = } & { ( \boldsymbol { a } _ { y } ( u _ { h } ) w , \nabla g _ { H } ^ { \boldsymbol { x } } ) + ( \boldsymbol { a } _ { \boldsymbol { z } } ( u _ { h } ) \nabla w , \nabla g _ { H } ^ { \boldsymbol { x } } ) + ( f _ { y } ( u _ { h } ) w , g _ { H } ^ { \boldsymbol { x } } ) + ( f _ { \boldsymbol { z } } ( u _ { h } ) \nabla w , g _ { H } ^ { \boldsymbol { x } } ) } \\ & { \lesssim } & { \| w \| _ { 1 , \infty } \| g _ { H } ^ { \boldsymbol { x } } \| _ { 1 , 1 } } \\ & { \lesssim } & { \mid \log H \mid \| w \| _ { 1 , \infty } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d n _ { u } ^ { \perp } } & { = \bar { \omega } ^ { 2 } \wedge \bar { \omega } ^ { 3 } \wedge \cdots \wedge \bar { \omega } ^ { n } } \\ & { = ( \sin \theta \omega ^ { 1 } + \cos \theta \omega ^ { 2 } ) \wedge \omega ^ { 3 } \wedge \cdots \wedge \omega ^ { n } } \\ & { = \sin \theta \omega ^ { 1 } \wedge \omega ^ { 3 } \wedge \cdots \wedge \omega ^ { n } + \cos \theta \omega ^ { 2 } \wedge \omega ^ { 3 } \wedge \cdots \wedge \omega ^ { n } } \\ & { = \sin \theta \omega ^ { 1 } \wedge \omega ^ { 3 } \wedge \cdots \wedge \omega ^ { n } + \cos \theta d \Sigma _ { q } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { i } \rightarrow D _ { i } ^ { \mathrm { ( u p ) } } = \left\{ \begin{array} { l l } { D _ { + i } - \frac { 1 } { 2 } \Delta x _ { i } D _ { + i } D _ { + i } } & { \mathrm { i f ~ } \beta ^ { i } > 0 } \\ { D _ { - i } + \frac { 1 } { 2 } \Delta x _ { i } D _ { - i } D _ { - i } } & { \mathrm { i f ~ } \beta ^ { i } < 0 } \end{array} \right. . } \end{array}
\begin{array} { r } { S _ { j } = \frac { - P _ { j + 1 } } { \lambda - \tilde { Q } _ { j + 1 } - } \frac { R _ { j + 1 } P _ { j + 2 } } { \lambda - \tilde { Q } _ { j + 2 } - } \ldots \frac { R _ { N - 1 } P _ { N } } { \lambda - \tilde { Q } _ { N } } , \; j \in \{ 1 , 2 , \dots , N - 2 \} , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \textbf { i } _ { \{ N 1 + \} } \circ \mathbb { N } ^ { + } = } & { { } } & { ( i N _ { 1 0 } ^ { i + } \textbf { i } _ { \{ N 1 + \} } + N _ { 1 0 } ^ { + } \textbf { i } _ { \{ N 1 + \} } } \end{array}
\begin{array} { r l } { 7 \sqrt [ 7 ] { \frac { a b c ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ( a + b + c ) } { 2 4 } } = } & { 7 \left[ \sqrt [ 3 ] { a b c } . \left( \sqrt [ 6 ] { \frac { a b c ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) } { 8 } } \right) ^ { 4 } . \frac { a + b + c } { 3 } . \sqrt [ 3 ] { \frac { ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) } { 8 } } \right] ^ { \frac { 1 } { 7 } } } \\ & { \le \sqrt [ 3 ] { a b c } + \sqrt [ 3 ] { ( \sqrt { a } + \sqrt { b } ) ^ { 2 } ( \sqrt { c } + \sqrt { b } ) ^ { 2 } ( \sqrt { a } + \sqrt { c } ) ^ { 2 } } + \frac { a + b + c } { 3 } + \sqrt [ 3 ] { \frac { ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) } { 8 } } } \\ & { \le \frac { a + b + c } { 3 } + \frac { a + b + c } { 3 } + \sqrt [ 3 ] { a b c } + \frac { \sum _ { c y c } ( \sqrt { a } + \sqrt { b } ) ( \sqrt { a } + \sqrt { c } ) } { 3 } } \\ & { = a + b + c + \sqrt { a b } + \sqrt { b c } + \sqrt { c a } + \sqrt [ 3 ] { a b c } . } \end{array}
l _ { \mathrm { c } } ^ { + } = 2 \pi w \left( \frac { 2 } { \tilde { \chi } + \Bigl [ \tilde { \chi } ^ { 2 } + \frac { 2 \sigma w ^ { 2 } } { D } \bigl ( 1 - \frac { \mu } { \mu _ { * } } \bigr ) \Bigr ] ^ { 1 / 2 } } \right) ^ { \frac 1 2 } \; ,
A = \left( \begin{array} { l l } { { \; \; 1 } } & { { - \frac { m _ { Z } ^ { 2 } s _ { 2 W } ( M ^ { \prime } + \mu s _ { 2 \beta } ) } { 2 ( M ^ { \prime } - M ) ( M ^ { 2 } - \mu ^ { 2 } ) } } } \\ { { - \frac { m _ { Z } ^ { 2 } s _ { 2 W } ( M + \mu s _ { 2 \beta } ) } { 2 ( M ^ { \prime } - M ) ( M ^ { 2 } - \mu ^ { 2 } ) } } } & { { \; \; 1 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } & { \| \varphi \| _ { H ^ { s } } = \sqrt { \sum _ { | \alpha | \leq s } \| D ^ { \alpha } \varphi \| ^ { 2 } } , } \\ & { c _ { s } \Big ( \sum _ { \boldsymbol { k } \in 2 \pi \mathbb { Z } ^ { 2 } } ( 1 + | \boldsymbol { k } | ^ { 2 s } ) | \hat { \varphi } _ { \boldsymbol { k } } | ^ { 2 } \Big ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \leq \| \varphi \| _ { H ^ { s } } \leq C _ { s } \Big ( \sum _ { \boldsymbol { k } \in 2 \pi \mathbb { Z } ^ { 2 } } ( 1 + | \boldsymbol { k } | ^ { 2 s } ) | \hat { \varphi } _ { \boldsymbol { k } } | ^ { 2 } \Big ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { \theta } _ { Y : \mathit { E } } } & { = } & { ( X _ { \mathit { E } } ^ { T } X _ { \mathit { E } } ) ^ { - 1 } X _ { \mathit { E } } ^ { T } Y } \\ { \hat { \theta } _ { \mathit { F } : \mathit { E } } } & { = } & { ( X _ { \mathit { E } } ^ { T } X _ { \mathit { E } } ) ^ { - 1 } X _ { \mathit { E } } ^ { T } X _ { F } } \end{array}
\rho \left( { \frac { { \partial { \bf { u } } } } { { \partial t } } + { \bf { u } } \cdot \nabla { \bf { u } } } \right) = - \nabla p + \nabla \cdot \left[ { \mu \left( { \nabla { \bf { u } } + \nabla { { \bf { u } } ^ { \mathrm { T } } } } \right) } \right] + { { \bf { F } } _ { s } } + { \bf { G } } ,
V ( \phi , R ) = 4 ( T - 1 ) k e ^ { - 1 2 \alpha ^ { 2 } \phi / ( 1 + 2 \alpha ^ { 2 } ) } \left( \cosh R \right) ^ { ( 4 - 4 \alpha ^ { 2 } ) / ( 1 + 2 \alpha ^ { 2 } ) } .
\boldsymbol { u } ( \boldsymbol { r _ { 0 } } ) = \frac { 1 } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { - \pi / 2 } ^ { \pi / 2 } \frac { \gamma \hat { \phi } \times ( \boldsymbol { r _ { 0 } } - \boldsymbol { r } ) } { | \boldsymbol { r _ { 0 } } - \boldsymbol { r } | ^ { 3 } } \rho d s \, d \phi
\widetilde { \Psi } _ { R } ^ { c } ( x ; k ) = \left( \begin{array} { c } { { \frac { \Psi _ { R } ^ { 1 } ( x ) } { \frac { \pi } { L } ( k + \frac { 1 } { 2 } ) - g q } } } \\ { { \frac { \Psi _ { R } ^ { 2 } ( x ) } { \frac { \pi } { L } ( k + \frac { 1 } { 2 } ) + g q } } } \end{array} \right) ^ { c } ,
\operatorname* { l i m } _ { H \to 0 } \frac { \mathcal { E } _ { \mathrm { ~ 1 ~ d ~ } } [ { a } ] } { H } = R \int _ { - L } ^ { L } \Big ( w ( { a } , \lambda ( { a } ) ) - \frac { 1 } { 2 } P ^ { * } { a } ^ { 2 } \lambda ( { a } ) - N ^ { * } \lambda ( { a } ) + \frac { 1 } { 2 } R ^ { 2 } \frac { w _ { 2 } ( { a } , \lambda ( { a } ) ) } { \lambda ( { a } ) } { a } ^ { \prime } ( Z ) ^ { 2 } \Big ) \, d Z .
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { s \to 0 } \, \, \langle V _ { p } \rangle = \langle V _ { p } \rangle ^ { \mathrm { ~ w ~ a ~ l ~ l ~ } } = - \frac { R e _ { p } \langle S _ { 1 2 } \rangle ( \kappa ) } { 3 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } d k _ { w } \, \, e ^ { - 2 k _ { w } } k _ { w } ( 3 k _ { w } ^ { 2 } - 2 k _ { w } + 3 ) . } \end{array}
\frac { A _ { 1 } } { A _ { 0 } } = \frac { 2 k _ { 0 } ( 1 - \frac { A } { 2 B } ) } { k _ { 1 } + k _ { 0 } + \frac { k _ { 1 } A } { 2 ( A + B ) } - \frac { A k _ { 0 } } { 2 B } }
W _ { q } \approx 8 \ln ( 2 ) A \left( \frac { L _ { \mathrm { b s } } } { \lambda _ { q } } \right) ^ { 2 } \left\{ \frac { 1 } { 2 b ^ { 2 } } - \frac { \cos ( 2 b l ) } { 2 b ^ { 2 } } \exp ( - l ^ { 2 } ) \right\}
V _ { \lambda } = \operatorname* { l i m } _ { \Delta \theta _ { \lambda } \to 0 } \frac { Z ( C _ { g } ^ { \prime } , C _ { w } , T + \Delta \theta _ { \lambda } \Phi _ { \lambda } ) - Z ( C _ { g } ^ { \prime } , C _ { w } , T ) } { \Delta \theta _ { \lambda } } .
\begin{array} { r } { 1 + \frac { \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } } { \lambda _ { n } } m _ { 1 } ^ { n } \to 0 , \ \biggr [ 1 + \frac { \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } } { \lambda _ { n } } ( m _ { 1 } ^ { n } ) ^ { 2 } \biggr ] + m _ { 2 } ^ { n } + \frac { \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } } { \lambda _ { n } } m _ { 3 } ^ { n } \to 0 , } \\ { \biggr ( 1 + \frac { \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } } { \lambda _ { n } } ( m _ { 1 } ^ { n } ) ^ { 3 } \biggr ) / 6 + \biggr ( m _ { 2 } ^ { n } + \frac { \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } } { \lambda _ { n } } m _ { 1 } ^ { n } m _ { 3 } ^ { n } \biggr ) / 2 \to 0 , } \\ { \biggr ( 1 + \frac { \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } } { \lambda _ { n } } ( m _ { 1 } ^ { n } ) ^ { 4 } \biggr ) / 2 4 + \biggr ( m _ { 2 } ^ { n } + \frac { \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } } { \lambda _ { n } } ( m _ { 3 } ^ { n } ) ^ { 2 } \biggr ) / 4 + \biggr ( ( m _ { 2 } ^ { n } ) ^ { 2 } + \frac { \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } } { \lambda _ { n } } ( m _ { 3 } ^ { n } ) ^ { 2 } \biggr ) / 8 \to 0 . } \end{array}
\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { n ^ { s } } } = \prod _ { p } ^ { \infty } { \frac { 1 } { 1 - p ^ { - s } } } { \mathrm { ~ f o r ~ } } s > 1 \, \, \ ( p { \mathrm { ~ i s ~ p r i m e ~ n u m b e r ) } }
\begin{array} { r } { \hat { \mathcal { R } } _ { 1 } ^ { \prime } ( \delta \phi ) = \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathrm { e } ^ { i \delta \phi } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \left< t ^ { - d } W _ { 1 } ( \frac { x } { t } ) \ast \phi , \psi \right> \right| } & { \leq \int _ { | x | \leq t } \left| t ^ { - d } W _ { 1 } ( \frac { x } { t } ) \left( \Tilde { \phi } \ast \psi \right) \right| d x + \int _ { | x | > t } \left| t ^ { - d } W _ { 1 } ( \frac { x } { t } ) \left( \Tilde { \phi } \ast \psi \right) \right| d x } \\ & { \lesssim \frac { 1 } { t ^ { d - \epsilon } } + \frac { \| W _ { 1 } \| _ { L ^ { \infty } } \| \Tilde { \phi } \ast \psi \| _ { L ^ { 1 } } } { t ^ { d } } \lesssim t ^ { - \alpha } , } \end{array}
S _ { \mathrm { e f f } } ^ { \mathrm { 1 - l o o p } } [ X , \xi ] = - \sum _ { i < j } t r \bigl ( \frac { S _ { ( i j ) } ^ { 4 } } { 4 } + \frac { S _ { ( i j ) } ^ { 8 } } { 8 } \bigr ) .
E _ { n , \kappa } ( Z _ { \mathrm { c } _ { \mathrm { p } } } ) = m _ { e } c ^ { 2 } ( n - | \kappa | ) \left( n ^ { 2 } - 2 | \kappa | n + 2 \kappa ^ { 2 } \right) ^ { - 1 / 2 } \ge 0 ,
V ( s ) = 1 + a _ { 1 } s + . . . a _ { n } s ^ { n } + \frac { s ^ { n + 1 } } { \pi } \int _ { 4 m _ { \pi } ^ { 2 } } ^ { \infty } \frac { I m V ( z ) d z } { ( z ) ^ { n + 1 } ( z - s - i \epsilon ) }
\left\langle i \right| F ( p , q , m ) \left| i \right\rangle = \left\langle i \right| Y _ { 0 } \left| i \right\rangle - \frac { e ^ { 2 } } { \pi } \left\langle i \right| \beta m \left( \frac 3 2 \ln ( A _ { 0 } ) + \frac 1 { 4 A _ { 0 } ^ { 2 } } - \frac 1 4 \right) \left| { i } \right\rangle ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { x } [ U ^ { p } ( \bar { X } _ { n \gamma } ) ] } & { \le \theta ^ { - p } \left( p - 1 + \theta U ( x ) + \theta \left( 1 + \frac { 8 d L } { \underline { { c } } } \right) ^ { \frac { 1 } { 1 - r } } + 2 \theta d L \right) ^ { p } } \\ & { \le \left( \frac { p - 1 } { \theta } + U ( x ) + \left( 1 + \frac { 8 d L } { \underline { { c } } } \right) ^ { \frac { 1 } { 1 - r } } + 2 d L \right) ^ { p } } \\ & { \le \left( U ( x ) + c _ { p } ( 1 + \sigma ^ { 2 } ) \left( d L + \left( 1 + \frac { d L } { \underline { { c } } } \right) ^ { \frac { 1 } { 1 - r } } \right) \right) ^ { p } . } \end{array}
\begin{array} { r } { { \hat { A } } ^ { \pm } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ) = \frac { | \hat { \zeta } _ { \pm } ^ { ( 2 ) } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ) | } { a _ { 1 } a _ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \mathcal { E } _ { 1 } ( p _ { h } ^ { n } - p _ { I } ^ { n } ) | } & { = \rho _ { p } \left| \big ( \mathbf n _ { h } \cdot \nabla ( p _ { I } ^ { n } - p ^ { n } ) , \mathbf n _ { h } \cdot \nabla ( p _ { h } ^ { n } - p _ { I } ^ { n } ) \big ) _ { \omega _ { \Gamma } ^ { n } } + \big ( ( \mathbf n _ { h } - \mathbf n ) \cdot \nabla p ^ { n } , \mathbf n _ { h } \cdot \nabla ( p _ { h } ^ { n } - p _ { I } ^ { n } ) \big ) _ { \omega _ { \Gamma } ^ { n } } \right| } \\ & { \leq C \rho _ { p } ( h ^ { 2 m + 1 } + h ^ { 2 q } ) + \frac 1 2 \rho _ { p } \| \mathbf n _ { h } \cdot \nabla ( p _ { h } ^ { n } - p _ { I } ^ { n } ) \| _ { \omega _ { \Gamma } ^ { n } } ^ { 2 } } \\ & { \leq C ( h ^ { 2 m + 2 } + h ^ { 2 q + 1 } ) + \frac 1 2 \rho _ { p } \| \mathbf n _ { h } \cdot \nabla ( p _ { h } ^ { n } - p _ { I } ^ { n } ) \| _ { \omega _ { \Gamma } ^ { n } } ^ { 2 } . } \end{array}
| \Omega _ { \theta } > = \sum _ { \ell = - \infty } ^ { + \infty } \, e ^ { i \ell \theta } \, e ^ { - \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } A _ { + , n } ^ { \dagger } A _ { - , n } ^ { \dagger } } \, | n _ { + } = \ell , n _ { - } = \ell ; 0 > _ { \Phi } \ ,
{ \small \left[ \begin{array} { l l } { \mathfrak { q } _ { 1 } } & { - \mathfrak { q } _ { 2 } } \\ { \mathfrak { q } _ { 2 } } & { \mathfrak { q } _ { 1 } } \end{array} \right] } [ f ] = \left[ \begin{array} { l l } { \mathfrak { q } _ { 1 } } & { - \mathfrak { q } _ { 2 } } \\ { \mathfrak { q } _ { 2 } } & { \phantom { - } \mathfrak { q } _ { 1 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] \! = \! { \small \left[ \begin{array} { l l } { \mathfrak { q } _ { 1 } } & { 0 } \\ { \mathfrak { q } _ { 2 } } & { 0 } \end{array} \right] } \simeq { \small \left[ \begin{array} { l } { \mathfrak { q } _ { 1 } } \\ { \mathfrak { q } _ { 2 } } \end{array} \right] } \! = \! \left[ \begin{array} { c c } { c \! + \! \upbeta ^ { 2 3 } \imath \! - \! \upbeta ^ { 1 3 } \jmath \! + \! \upbeta ^ { 1 2 } k } & { 0 } \\ { \upbeta ^ { 0 1 2 3 } \! - \! \upbeta ^ { 0 1 } \imath \! - \! \upbeta ^ { 0 2 } \jmath - \upbeta ^ { 0 3 } k } & { 0 } \end{array} \right] .
{ { \gamma ^ { \mu } } _ { \alpha } } ^ { \beta } = - \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { { { \bar { \sigma } } ^ { \mu } } _ { a \dot { b } } } } \\ { { { \sigma ^ { \mu } } ^ { \dot { a } b } } } & { { 0 } } \end{array} \right) .
K _ { i } \equiv \frac { i } { 2 } \partial _ { k } g _ { i \bar { j } } \bar { \chi } ^ { \bar { j } \beta } \chi _ { \beta } ^ { k } \qquad \qquad \bar { K } _ { \bar { j } } \equiv - \frac { i } { 2 } \partial _ { \bar { l } } g _ { i \bar { j } } \bar { \chi } ^ { \bar { l } \beta } \chi _ { \beta } ^ { i }
\hat { H } = \sum _ { m } E _ { m } | m \rangle \langle m | + \sum _ { j } \hat { V } _ { j } \otimes ( \hat { b } _ { j } + \hat { b } _ { j } ^ { \dagger } ) + \sum _ { j } \omega _ { j } \hat { b } _ { j } ^ { \dagger } \hat { b } _ { j } ,
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { R } } \left( \frac { d } { d y } K \left( \cdot , x _ { 1 } \right) \right) \left( \frac { d } { d y } K \left( \cdot , x _ { 2 } \right) \right) d y } & { = \int _ { \mathbb { R } } \chi _ { \left[ 0 , x _ { 1 } \right] } \left( y \right) \chi _ { \left[ 0 , x _ { 2 } \right] } \left( y \right) d y } \\ & { = \lambda \left( \left[ 0 , x _ { 1 } \right] \cap \left[ 0 , x _ { 2 } \right] \right) } \\ & { = x _ { 1 } \wedge x _ { 2 } = K \left( x _ { 1 } , x _ { 2 } \right) } \end{array}
\left\{ x ( 1 + x ) ^ { 2 } \frac { d ^ { 2 } } { d x ^ { 2 } } + ( 1 + x ) ( 3 x + 1 ) \frac { d } { d x } - \frac { m ^ { 2 } ( 1 + x ) ^ { 2 } } { 4 x } + m ( 1 + x ) + 2 + \lambda ^ { 2 } \rho ^ { 2 } \right\} \xi ^ { ( m ) } = 0
\begin{array} { r l r } { 2 } & { < } & { d i s t ( H _ { g } ( \widetilde { z } ) , H _ { g } ( \widetilde { x } ) ) \leq d i s t ( H _ { g } ( \widetilde { z } ) , H _ { g } ( \widetilde { y } ) ) + d i s t ( H _ { g } ( \widetilde { y } ) , H _ { g } ( \widetilde { x } ) ) } \\ & { \leq } & { 1 / 4 + d i s t ( H _ { g } ( \widetilde { y } ) , H _ { g } ( \widetilde { x } ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \phi + u \partial _ { x } \phi + a \partial _ { x } u } & { { } = A _ { 1 1 } \partial _ { x x } \phi + A _ { 1 2 } \partial _ { x x } u } \\ { \partial _ { t } u + a \partial _ { x } \phi + u \partial _ { x } u } & { { } = A _ { 2 1 } \partial _ { x x } \phi + A _ { 2 2 } \partial _ { x x } u } \\ { \partial _ { t } v + u \partial _ { x } v } & { { } = A _ { 3 3 } \partial _ { x x } v } \\ { \partial _ { t } s + u \partial _ { x } s } & { { } = A _ { 4 4 } \partial _ { x x } s } \end{array}
\mathrm { ~ P ~ } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , \cdots , x _ { m } ) = \frac { \Gamma ( \frac { n } { 2 } ) } { \pi ^ { \frac { m } { 2 } } \Gamma ( \frac { n - m } { 2 } ) } \, \Bigl ( 1 - \sum _ { i = 1 } ^ { m } x _ { i } ^ { 2 } \Bigr ) ^ { \frac { n - m - 2 } { 2 } } ,
G _ { \ddot { \alpha } } = \frac { 4 . 7 1 s ^ { 3 } + 5 . 1 1 s ^ { 2 } + 1 . 8 5 s + 0 . 0 9 } { s ^ { 2 } ( s ^ { 2 } + 0 . 3 5 s + 0 . 0 1 ) } .
\left\{ \begin{array} { l l } { \alpha = ( \tau _ { D } - \tau _ { C } ) ( a - b ) ( c - d ) , } \\ { \beta = \tau _ { D } [ ( a - b ) d + ( b - 1 ) ( c - d ) ] + \tau _ { C } [ ( d - c ) b - ( d - 1 ) ( a - b ) ] + a - b - c + d , } \\ { \gamma = \tau _ { D } d ( b - 1 ) + \tau _ { C } b ( 1 - d ) + b - d } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m i n f } _ { T \to \infty } - \frac { 1 } { T } \log \mathbb { P } _ { P } \left( \widehat { a } _ { T } ^ { \mathrm { H I R } } \neq a ^ { * } ( P ) \right) \geq \frac { \left( \Delta ^ { 1 , 2 } ( P ) \right) ^ { 2 } } { 2 ( \sigma ^ { 1 } + \sigma ^ { 2 } ) ^ { 2 } } - o \left( \left( \Delta ^ { 1 , 2 } ( P ) \right) ^ { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { X ( x , k ) = I - \int _ { x } ^ { \infty } e ^ { ( x - x ^ { \prime } ) \widehat { \mathcal { L } ( k ) } } ( \mathsf { U } X ) ( x ^ { \prime } , k ) d x ^ { \prime } , } \\ & { X ^ { A } ( x , k ) = I + \int _ { x } ^ { \infty } e ^ { - ( x - x ^ { \prime } ) \widehat { \mathcal { L } ( k ) } } ( \mathsf { U } ^ { T } X ^ { A } ) ( x ^ { \prime } , k ) d x ^ { \prime } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \chi _ { i } ( \gamma , k ) } & { { } = \frac { \omega _ { p i } ^ { 2 } } { k ^ { 2 } } \int _ { C _ { L } } \frac { k ( d F _ { i 0 } / d v ) } { i \gamma - k v } \ d v } \end{array}
\kappa _ { L } \left( \frac { \mathrm { I m } ( V _ { t d } V _ { t s } ^ { * } ) } { \lambda ^ { 5 } } \eta _ { t } X _ { 0 } ( x _ { t } ) + \frac { \mathrm { I m } ( V _ { t ^ { \prime } d } V _ { t ^ { \prime } s } ^ { * } ) } { \lambda ^ { 5 } } \eta _ { t ^ { \prime } } X _ { 0 } ( x _ { t ^ { \prime } } ) \right) ^ { 2 } < 5 . 8 \times 1 0 ^ { - 5 } ,
\begin{array} { r l } { Q ( \varepsilon ^ { 2 } J _ { \varepsilon } ( F ( s ) ) ) } & { = Q \left( \sqrt { \frac { 2 \varepsilon ^ { 2 } } { Q ^ { \prime } ( 0 ) } F ( s ) } + \rho ( \varepsilon ^ { 2 } F ( s ) ) \right) } \\ & { = Q ^ { \prime } ( 0 ) \left[ \sqrt { \frac { 2 \varepsilon ^ { 2 } } { Q ^ { \prime } ( 0 ) } F ( s ) } + \rho ( \varepsilon ^ { 2 } F ( s ) ) \right] + o ( \varepsilon ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { i \hbar \frac { \partial \psi _ { m } } { \partial t } = \Bigg ( - \frac { \hbar ^ { 2 } \nabla ^ { 2 } } { 2 M } + U ( \vec { r } ) } & { { } - p m + q m ^ { 2 } + c _ { 0 } n \Bigg ) \psi _ { m } } \end{array}
F ^ { \dagger } H ^ { \dagger } H F ( p , q ) = \delta ( p , q ) \! \left( \! \! \! \begin{array} { c c c c } { { 3 } } & { { \! 0 } } & { { \! \! \! \! 2 e ^ { - i p _ { 1 } + i p _ { 2 } } } } & { { 2 e ^ { - i p _ { 1 } - i p _ { 2 } } } } \\ { { 0 } } & { { \! 3 } } & { { \! \! \! \! - 2 e ^ { + i p _ { 1 } + i p _ { 2 } } } } & { { 2 e ^ { + i p _ { 1 } - i p _ { 2 } } } } \\ { { 2 e ^ { + i p _ { 1 } - i p _ { 2 } } } } & { { \! - 2 e ^ { - i p _ { 1 } - i p _ { 2 } } } } & { { \! \! \! \! 3 } } & { { 0 } } \\ { { 2 e ^ { + i p _ { 1 } + i p _ { 2 } } } } & { { \! 2 e ^ { - i p _ { 1 } + i p _ { 2 } } } } & { { \! \! \! \! 0 } } & { { 3 } } \end{array} \! \! \! \right) \! ,
B = \left( \begin{array} { l l l l l } { b _ { 0 , 0 } } & { b _ { 0 , 1 } } & { b _ { 0 , 2 } } & { b _ { 0 , 3 } } & { b _ { 0 , 4 } } \\ { b _ { 1 , 0 } } & { b _ { 1 , 1 } } & { b _ { 1 , 2 } } & { b _ { 1 , 3 } } & { b _ { 1 , 4 } } \\ { b _ { 2 , 0 } } & { b _ { 2 , 1 } } & { b _ { 2 , 2 } } & { b _ { 2 , 3 } } & { b _ { 2 , 4 } } \\ { b _ { 3 , 0 } } & { b _ { 3 , 1 } } & { b _ { 3 , 2 } } & { b _ { 3 , 3 } } & { b _ { 3 , 4 } } \\ { b _ { 4 , 0 } } & { b _ { 4 , 1 } } & { b _ { 4 , 2 } } & { b _ { 4 , 3 } } & { b _ { 4 , 4 } } \end{array} \right) .
{ \cal L } = \cdots - \sum _ { i , j , k , l } \, \sum _ { a , a ^ { \prime } \! , b , b ^ { \prime } } \lambda _ { i j k l } \, a _ { i } ^ { * } S _ { a } ^ { - } a _ { j } ^ { \prime } S _ { a ^ { \prime } } ^ { + } \left( v _ { k } ^ { * } + b _ { k } ^ { * } S _ { b } ^ { 0 } \right) \left( v _ { l } + b _ { l } ^ { \prime } S _ { b ^ { \prime } } ^ { 0 } \right) .
C L _ { 0 } = \Delta k \int _ { 0 } \displaylimits ^ { + \infty } \left[ \frac { h _ { 0 } ^ { + } ( m _ { 1 } ^ { * + } ) } { | { g ^ { + } } ^ { \prime } ( m _ { 1 } ^ { * + } ) | } - 2 \frac { h _ { 0 } ^ { - } ( m _ { 1 } ^ { * - } ) } { | { g ^ { - } } ^ { \prime } ( m _ { 1 } ^ { * - } ) | } \right] \, d k _ { 1 } ,
Q _ { R } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 T _ { 2 } U _ { 2 } } } ( n _ { 2 } { \bar { U } } \tau + n _ { 1 } \tau - { \bar { U } } l _ { 1 } + l _ { 2 } ) , \; \; \; { \bar { Q } } _ { R } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 T _ { 2 } U _ { 2 } } } ( n _ { 2 } U \tau + n _ { 1 } \tau - U l _ { 1 } + l _ { 2 } ) .
{ \mathrm { R e l a t i v e ~ d i f f e r e n c e } } ( x , y ) = { \frac { \mathrm { A b s o l u t e ~ d i f f e r e n c e } } { | f ( x , y ) | } } = { \frac { | \Delta | } { | f ( x , y ) | } } = \left| { \frac { x - y } { f ( x , y ) } } \right| .
\begin{array} { r l } { \beta } & { { } = F ( s ) d x \wedge d y + d G ( s ) \wedge d \varphi , } \\ { B / f } & { { } = G ^ { \prime } ( s ) / \rho ( s ) ( y \partial _ { x } - x \partial _ { y } ) + F ( s ) / \rho ( s ) \partial _ { \varphi } , } \\ { f \mu } & { { } = \rho ( s ) d x \wedge d y \wedge d \varphi } \end{array}
\begin{array} { r l } { p ( \theta ^ { \parallel } , \phi ^ { \parallel } , \Theta _ { \mathrm { i } } ) } & { { } = \mathrm { a t a n 2 } \Big [ - \lambda \sin ( \Theta _ { \mathrm { i } } ) \sin ( \phi ^ { \parallel } ) , } \end{array}
u ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { e ^ { \mathrm { i } \rho \omega x / Z _ { 0 } } + \mathcal { R } e ^ { - \mathrm { i } \rho \omega x / Z _ { 0 } } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } x \leq 0 , } \\ { \mathcal { T } e ^ { \mathrm { i } \rho \omega x / Z _ { 0 } } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } x \geq \mathcal { L } . } \end{array} \right.
S \rightarrow { \tilde { S } } = S + \frac { i { { \hat { V } } _ { 1 } } ^ { J } ( { H _ { J } } ^ { ( 1 ) } + \Lambda _ { J K } { \hat { X } } ^ { K } ) } { { \hat { U } } _ { I } ^ { o } { \hat { X } } ^ { I } } .
\Gamma _ { \textrm { P I E } } = \textrm { d i a g } \left[ \left( \frac { \operatorname* { m a x } \left( \left| P \right| \right) } { \alpha \beta \left| P \right| } \left( \left| P \right| ^ { 2 } + \epsilon \right) - \frac { \left| P \right| ^ { 2 } } { \alpha } \right) ^ { 1 / 2 } \right]