harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \tilde { M } _ { 1 } } & { = ( B \beta + \beta \sigma ) \frac { 4 K ( k _ { 1 } ) } { \sqrt { B } } - 1 6 \sigma \sqrt { B } ( E ( k _ { 1 } ) - ( 1 - k _ { 1 } ^ { 2 } ) K ( k _ { 1 } ) ) + 8 \beta \sqrt { B } ( E ( k _ { 1 } ) - K ( k _ { 1 } ) ) } \\ { M _ { 3 } } & { = - ( B + \sigma ) \beta \frac { 4 K ( k _ { 1 } ) } { \sqrt { B } } - 8 ( 2 ( \beta - 1 ) \sqrt { B } + \frac { \sigma \beta } { \sqrt { B } } ) ( E ( k _ { 1 } ) - K ( k _ { 1 } ) ) - \frac { 1 6 ( \beta - 1 ) \sqrt { B } } { 3 } ( - 2 ( 1 + k _ { 1 } ^ { 2 } ) E ( k _ { 1 } ) + ( 2 + k _ { 1 } ^ { 2 } ) K ( k _ { 1 } ) ) } \\ { M _ { 4 } } & { = \frac { 4 K ( k _ { 1 } ) } { \sqrt { B } } \sigma \chi _ { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { E ^ { ( + ) } ( z > \ell ) } & { = \left[ E _ { \mathrm { i n } } ^ { ( + ) } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } k _ { z } z } - \mathrm { i } \frac { \widetilde \Gamma ( \mathbf { k } _ { \parallel } ) } { 2 d } \left( \beta _ { \mathbf { k } _ { \parallel } } ^ { L } + \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } q _ { z } \ell } \beta _ { \mathbf { k } _ { \parallel } } ^ { R } \right) \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } q _ { z } z } \right] \approx t _ { c } E _ { \mathrm { i n } } ^ { ( + ) } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } k _ { z } z } , } \\ { E ^ { ( + ) } ( 0 < z < \ell ) } & { = \left[ E _ { \mathrm { i n } } ^ { ( + ) } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } k _ { z } z } - \mathrm { i } \frac { \widetilde \Gamma ( { \mathbf { k } _ { \parallel } } ) } { 2 d } \left( \beta _ { \mathbf { k } _ { \parallel } } ^ { L } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } q _ { z } z } + \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } q _ { z } ( \ell - z ) } \beta _ { \mathbf { k } _ { \parallel } } ^ { R } \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { c } { s _ { 0 } ^ { \prime } ( \vec { x } , \vec { x } ^ { \prime } , z , \omega ) } \\ { s _ { 1 } ^ { \prime } ( \vec { x } , \vec { x } ^ { \prime } , z , \omega ) } \\ { s _ { 2 } ^ { \prime } ( \vec { x } , \vec { x } ^ { \prime } , z , \omega ) } \\ { s _ { 3 } ^ { \prime } ( \vec { x } , \vec { x } ^ { \prime } , z , \omega ) } \end{array} \right) } & { = \left[ 1 - \mathcal { P } \right] \left( \begin{array} { c } { s _ { 0 } ^ { \prime } ( \vec { x } , \vec { x } ^ { \prime } , z , \omega ) } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) + \mathcal { P } \left( \begin{array} { c } { s _ { 0 } ^ { \prime } ( \vec { x } , \vec { x } ^ { \prime } , z , \omega ) } \\ { s _ { 1 } ^ { \prime } ( \vec { x } , \vec { x } ^ { \prime } , z , \omega | \mathcal { P } ) } \\ { s _ { 2 } ^ { \prime } ( \vec { x } , \vec { x } ^ { \prime } , z , \omega | \mathcal { P } ) } \\ { s _ { 3 } ^ { \prime } ( \vec { x } , \vec { x } ^ { \prime } , z , \omega | \mathcal { P } ) } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { B ( u ; w _ { h } , v - P _ { h } v ) } & { = } & { ( \boldsymbol { a } _ { y } ( u ) w _ { h } , \nabla ( v - P _ { h } v ) ) + ( \boldsymbol { a } _ { \boldsymbol { z } } ( u ) \nabla w _ { h } , \nabla ( v - P _ { h } v ) ) } \\ & { } & { + ( f _ { y } ( u ) w _ { h } , v - P _ { h } v ) + ( f _ { \boldsymbol { z } } ( u ) \nabla w _ { h } , v - P _ { h } v ) } \\ & { = } & { ( ( \nabla \cdot \boldsymbol { a } _ { y } ( u ) ) w _ { h } , v - P _ { h } v ) + ( \boldsymbol { a } _ { y } ( u ) \cdot \nabla w _ { h } , v - P _ { h } v ) } \\ & { } & { + ( f _ { y } ( u ) w _ { h } , v - P _ { h } v ) + ( f _ { \boldsymbol { z } } ( u ) \nabla w _ { h } , v - P _ { h } v ) } \\ & { \lesssim } & { \| w _ { h } \| _ { 1 } \| v - P _ { h } v \| _ { 0 } } \\ & { \lesssim } & { h \| w _ { h } \| _ { 1 } \| v \| _ { 1 } . } \end{array}
\tilde { f } ( k ) = \operatorname { T r } [ \rho _ { A } ( 1 - \rho _ { A } ) ^ { k } ] = \sum _ { m = 0 } ^ { k } \frac { ( - 1 ) ^ { m } k ! } { m ! ( k - m ) ! } \operatorname { T r } { ( \rho _ { A } ^ { m + 1 } ) } .
\delta \left( Z _ { \; \; \beta _ { 2 } } ^ { \alpha _ { 1 } } \eta _ { \alpha _ { 1 } } ^ { * } + \frac 1 2 C _ { \beta _ { 2 } } ^ { \alpha _ { 0 } \beta _ { 0 } } \Phi _ { \alpha _ { 0 } } ^ { * } \Phi _ { \beta _ { 0 } } ^ { * } \right) = D _ { \; \; \beta _ { 2 } } ^ { \alpha _ { 2 } } \Phi _ { \alpha _ { 2 } } ^ { * } ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \left\{ \left[ A _ { 1 } ( \textbf { p } ) \cap A _ { 2 } ( \textbf { p } ) \right] ^ { c } \right\} = \mathbb { P } \left\{ A _ { 1 } ( \textbf { p } ) ^ { c } \cup A _ { 2 } ( \textbf { p } ) ^ { c } \right\} } & { = \mathbb { P } \left\{ A _ { 1 } ( \textbf { p } ) ^ { c } \right\} + \mathbb { P } \left\{ A _ { 2 } ( \textbf { p } ) ^ { c } \right\} - \mathbb { P } \left\{ A _ { 1 } ( \textbf { p } ) ^ { c } \cap A _ { 2 } ( \textbf { p } ) ^ { c } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { M } _ { 1 } ^ { ( - 2 ) } = B \mathfrak { m } _ { 1 } ^ { ( 0 ) } , } \\ & { \mathcal { M } _ { 1 } ^ { ( - 1 ) } = B \mathfrak { m } _ { 1 } ^ { ( 1 ) } + A \mathfrak { m } _ { 1 } ^ { ( 0 ) } , } \\ & { \mathcal { M } _ { 1 } ^ { ( 0 ) } = B \mathfrak { m } _ { 1 } ^ { ( 2 ) } + A \mathfrak { m } _ { 1 } ^ { ( 1 ) } + \mathfrak { m } _ { 1 } ^ { ( 0 ) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { i ^ { * } = \frac { ( u - \bar { \beta } c _ { i } ^ { r } ) \pm \sqrt { ( \bar { \beta } c _ { i } ^ { r } - u ) ^ { 2 } + 4 u c _ { i } ^ { r } ( \bar { \beta } - \alpha ) } } { 2 u c _ { i } ^ { r } } , \ r ^ { * } = \frac { i ^ { * } \alpha p _ { r } } { l _ { i } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { 0 } ( x ) } & { { } = 1 } \\ { U _ { 1 } ( x ) } & { { } = 2 x } \\ { U _ { 2 } ( x ) } & { { } = 4 x ^ { 2 } - 1 } \\ { U _ { 3 } ( x ) } & { { } = 8 x ^ { 3 } - 4 x } \\ { U _ { 4 } ( x ) } & { { } = 1 6 x ^ { 4 } - 1 2 x ^ { 2 } + 1 } \\ { U _ { 5 } ( x ) } & { { } = 3 2 x ^ { 5 } - 3 2 x ^ { 3 } + 6 x } \\ { U _ { 6 } ( x ) } & { { } = 6 4 x ^ { 6 } - 8 0 x ^ { 4 } + 2 4 x ^ { 2 } - 1 } \\ { U _ { 7 } ( x ) } & { { } = 1 2 8 x ^ { 7 } - 1 9 2 x ^ { 5 } + 8 0 x ^ { 3 } - 8 x } \\ { U _ { 8 } ( x ) } & { { } = 2 5 6 x ^ { 8 } - 4 4 8 x ^ { 6 } + 2 4 0 x ^ { 4 } - 4 0 x ^ { 2 } + 1 } \\ { U _ { 9 } ( x ) } & { { } = 5 1 2 x ^ { 9 } - 1 0 2 4 x ^ { 7 } + 6 7 2 x ^ { 5 } - 1 6 0 x ^ { 3 } + 1 0 x } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \big ( V _ { \epsilon } ^ { ( t ) } \big ) = \frac { ( t - 1 ) q _ { \epsilon } ^ { t } } { q _ { \epsilon } ^ { t } - 1 } - \frac { q _ { \epsilon } ^ { t } - q _ { \epsilon } } { ( q _ { \epsilon } - 1 ) ( q _ { \epsilon } ^ { t } - 1 ) } \xrightarrow { \epsilon \rightarrow + \infty } t - 1 } \\ & { \mathrm { V a r } \big ( V _ { \epsilon } ^ { ( t ) } \big ) = \frac { ( t - 1 ) ^ { 2 } q _ { \epsilon } ^ { t } } { q _ { \epsilon } ^ { t } - 1 } - \frac { 2 \mathbb { E } \big ( V _ { \epsilon } ^ { ( t ) } \big ) } { q _ { \epsilon } - 1 } + \frac { q _ { \epsilon } ^ { t } - q _ { \epsilon } } { ( q _ { \epsilon } ^ { t } - 1 ) ( q _ { \epsilon } - 1 ) } - \Big ( \mathbb { E } \big ( V _ { \epsilon } ^ { ( t ) } \big ) \Big ) ^ { 2 } \xrightarrow { \epsilon \rightarrow + \infty } 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I = } & { { } \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \frac { \pi } { a } } e ^ { \frac { b ^ { 2 } } { 4 a } + c } \left( 1 - \mathrm { ~ e ~ r ~ f ~ } \left( { \frac { 2 a x _ { 1 } - b } { 2 \sqrt { a } } } \right) \right) } \\ { = } & { { } \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \frac { \pi } { a } } \ e ^ { \frac { b ^ { 2 } } { 4 a } + c } \ \mathrm { ~ e ~ r ~ f ~ c ~ } \left( { \frac { 2 a x _ { 1 } - b } { 2 \sqrt { a } } } \right) . } \end{array}
\ddot { A } = 4 \pi \ddot { g } _ { \theta \theta } = 4 \pi r ^ { 2 } [ - 2 N \dot { K } _ { \theta } ^ { \theta } - 2 \dot { N } { K } _ { \theta } ^ { \theta } + 4 N ^ { 2 } ( { K } _ { \theta } ^ { \theta } ) ^ { 2 } ] e ^ { 2 c } .
\begin{array} { r l r } { { \cal E } _ { \delta , h } ^ { ( 1 ) } ( t ) } & { \leq } & { \frac { 1 } { 2 } \Big ( 2 \| u _ { h } ^ { \prime } ( t ) \| ^ { 2 } + \| A _ { h } ^ { 1 / 2 } u _ { h } ( t ) \| ^ { 2 } + ( \beta + \delta \alpha + \delta ^ { 2 } ) \| u _ { h } ( t ) \| ^ { 2 } \Big ) } \\ & { \leq } & { \| u _ { h } ^ { \prime } ( t ) \| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 \lambda _ { 1 } } ( 1 + \beta + \delta \alpha + \delta ^ { 2 } ) \| A _ { h } ^ { 1 / 2 } u _ { h } ( t ) \| ^ { 2 } \Big ) } \\ & { \leq } & { \frac { 1 } { 2 \lambda _ { 1 } } \big ( 2 \lambda _ { 1 } + ( 2 \delta + 7 \delta ^ { 2 } + 3 \delta ^ { 3 } \big ) \; { \cal E } _ { h } ^ { ( 1 ) } ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \frac { 1 } { 4 \pi } + \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m = - n } ^ { n } C _ { n , m } \left[ 1 + \tau D _ { r } n ( n + 1 ) \right] Y _ { n } ^ { m } + } & { { } } \\ { \mathrm { ~ P ~ e ~ } _ { f } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \sum _ { m = - n } ^ { n } C _ { n , m } \mathcal { H } ( Y _ { n } ^ { m } ) } & { { } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vert \Psi \rangle _ { A _ { 1 } A _ { 2 } } = } & { { } \frac { 1 } { 2 } \left( \vert 0 0 \rangle _ { A _ { 1 } } \vert 1 1 \rangle _ { A _ { 2 } } - \vert 0 1 \rangle _ { A _ { 1 } } \vert 1 0 \rangle _ { A _ { 2 } } \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \left\langle P ^ { - 1 } A ( x ^ { k } - x ^ { * } ) , y ^ { k } - y ^ { k - 1 } \right\rangle \right| } & { \leq \beta \| x ^ { k } - x ^ { * } \| _ { ( \tau ^ { k + 1 } ) ^ { - 1 } } ^ { 2 } \| y ^ { k } - y ^ { k - 1 } \| _ { ( P \Sigma ^ { k + 1 } ) ^ { - 1 } } ^ { 2 } } \\ & { \leq \beta ( 1 + \eta ^ { k } ) \| x ^ { k } - x ^ { * } \| _ { ( \tau ^ { k } ) ^ { - 1 } } ^ { 2 } \| y ^ { k } - y ^ { k - 1 } \| _ { ( P \Sigma ^ { k + 1 } ) ^ { - 1 } } ^ { 2 } . } \end{array}
{ \bf D } _ { 1 } ^ { \perp } = { \bf Q } { \bf D } ^ { ( 1 ) } { \bf Q } ^ { T } ~ ~ \mathrm { ~ F ~ i ~ r ~ s ~ t ~ - ~ o ~ r ~ d ~ e ~ r ~ r ~ e ~ s ~ p ~ o ~ n ~ s ~ e ~ b ~ a ~ c ~ k ~ t ~ o ~ t ~ h ~ e ~ o ~ r ~ i ~ g ~ i ~ n ~ a ~ l ~ o ~ r ~ t ~ h ~ o ~ g ~ o ~ n ~ a ~ l ~ b ~ a ~ s ~ i ~ s ~ - ~ s ~ e ~ t ~ r ~ e ~ p ~ r ~ e ~ s ~ e ~ n ~ t ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ ( ~ * ~ ) ~ }
\nu _ { \mathrm { ~ e ~ } \mathrm { ~ - ~ } \mathrm { ~ D ~ } } = n _ { \mathrm { ~ e ~ } } \left\langle v _ { \mathrm { ~ e ~ } } \sigma _ { \mathrm { ~ e ~ } \mathrm { ~ - ~ } \mathrm { ~ D ~ } } ( v _ { \mathrm { ~ e ~ } } ) \right\rangle
\begin{array} { l l } & { \sum _ { l = 0 } ^ { L } y _ { a + 1 } ^ { l } - \sum _ { l = 0 } ^ { L } y _ { a } ^ { l } ( 1 - \mu ) ^ { l } = 0 \quad \forall a = 1 , \cdots , D - 2 , } \\ & { \sum _ { l = 0 } ^ { L } \left( 1 - ( 1 - \mu ) ^ { l } \right) y _ { D } ^ { l } - \sum _ { l = 0 } ^ { L } y _ { D - 1 } ^ { l } ( 1 - \mu ) ^ { l } = 0 , } \\ & { - \sum _ { l = 0 } ^ { L } y _ { 1 } ^ { l } ( 1 - \mu ) ^ { l } + \sum _ { a = 2 } ^ { D } \sum _ { l = 0 } ^ { L } y _ { a } ^ { l } \left( 1 - ( 1 - \mu ) ^ { l } \right) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ell ^ { \mathrm { i n } } - d _ { i } - D _ { i } } & { > f _ { 7 } ( c _ { i } , X _ { i } , F _ { i } ) + f _ { 1 2 } ( c _ { i } , X _ { i } , F _ { i } ) } \\ { } & { = \frac { c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) - f _ { 7 } ( c _ { i } , X _ { i } , F _ { i } ) \cdot \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { P \left( X _ { i } \right) = \frac { e ^ { \beta _ { i } \int ^ { X _ { i } } i \left( \mathbf { Y } : \tilde { X _ { i } } \right) d \tilde { X } _ { i } } } { Z _ { i } } } \\ & { = \frac { e ^ { \beta _ { i } \int ^ { X _ { i } } d \tilde { X } _ { i } i \left( \mathbf { Y } : \tilde { X _ { i } } \right) \int _ { \mathbb { R } ^ { m } } { P ( \mathbf { Y } | \tilde { X } _ { i } ) d \mathbf { Y } } } } { \int d X _ { i } e ^ { \beta _ { i } \int ^ { X _ { i } } d \tilde { X } _ { i } i \left( \mathbf { Y } : \tilde { X _ { i } } \right) \int _ { \mathbb { R } ^ { m } } { P ( \mathbf { Y } | \tilde { X } _ { i } ) d \mathbf { Y } } } } } \\ & { = \frac { e ^ { - \beta _ { i } \int ^ { X _ { i } } S \left( \mathbf { Y } \mid X = \tilde { X } _ { i } \right) d \tilde { X } _ { i } - \beta _ { i } \int ^ { X _ { i } } d \tilde { X } _ { i } \int _ { \mathbb { R } ^ { m } } d \mathbf { Y } P ( \mathbf { Y } | \tilde { X } _ { i } ) \ln p ( \mathbf { Y } ) } } { \int d X _ { i } e ^ { - \beta _ { i } \int ^ { X _ { i } } S \left( \mathbf { Y } \mid X = \tilde { X } _ { i } \right) d \tilde { X } _ { i } - \beta _ { i } \int ^ { X _ { i } } d \tilde { X } _ { i } \int _ { \mathbb { R } ^ { m } } d \mathbf { Y } P ( \mathbf { Y } | \tilde { X } _ { i } ) \ln p ( \mathbf { Y } ) } } } \\ & { = \frac { e ^ { - \beta _ { i } \int ^ { X _ { i } } d \tilde { X } _ { i } S ( \mathbf { Y } | X = \tilde { X } _ { i } ) - \beta _ { i } ^ { \prime } X _ { i } } } { Z _ { i } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( 1 - \mu _ { 0 } n _ { R E } \frac { p _ { \| } ^ { 2 } } { \gamma m } \frac { 1 } { B _ { \| } ^ { * } B } \right) \left( \Delta ^ { * } \Psi ^ { * } + \frac { p _ { \| } } { q R } \right) = - \mu _ { 0 } n _ { R E } q \frac { p _ { \| } } { \gamma m } \frac { \bar { F } } { B _ { \| } ^ { * } } . } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { \delta _ { \omega } V ^ { a } } } & { { = } } & { { \omega ^ { b } \partial _ { b } V ^ { a } - V ^ { b } \partial _ { b } \omega ^ { a } + { \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } } \partial _ { b } \omega ^ { b } V ^ { a } , } } \\ { { \delta _ { \omega } X } } & { { = } } & { { \omega ^ { a } \partial _ { a } X . } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { R = \frac { 3 \| \Sigma _ { l } ^ { - 1 } \| ( \epsilon ^ { \prime } + C _ { 1 } ) \epsilon + L \epsilon ^ { \prime } / C _ { 2 } } { L - 3 \| \Sigma _ { l } ^ { - 1 } \| C _ { 1 } \epsilon ^ { \prime } } } \\ { \Rightarrow \quad } & { 3 \| \Sigma _ { l } ^ { - 1 } \| R C _ { 1 } \epsilon ^ { \prime } - R L = - \frac { \epsilon ^ { \prime } L } { C _ { 2 } } - 3 \| \Sigma _ { l } ^ { - 1 } \| \epsilon C _ { 1 } - 3 \| \Sigma _ { l } ^ { - 1 } \| \epsilon \epsilon ^ { \prime } } \\ { \Rightarrow \quad } & { 3 \| \Sigma _ { l } ^ { - 1 } \| ( \epsilon ^ { \prime } ( \epsilon + R C _ { 1 } ) + \epsilon C _ { 1 } ) + \frac { \epsilon ^ { \prime } } { C _ { 2 } } L = R L } \\ { \Rightarrow \quad } & { \frac { 3 \| \Sigma _ { l } ^ { - 1 } \| } { L } ( \epsilon ^ { \prime } ( \epsilon + R C _ { 1 } ) + \epsilon C _ { 1 } ) + \frac { \epsilon ^ { \prime } } { C _ { 2 } } = R , } \end{array}
{ \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } } { \frac { a } { A } } = - { \frac { a } { 4 \alpha } } \left[ \cot \left( { \frac { k a } { 2 } } - { \frac { \alpha a } { 2 } } \right) - \cot \left( { \frac { k a } { 2 } } + { \frac { \alpha a } { 2 } } \right) \right]
\begin{array} { r } { f _ { \tau \tau } + \left( D ^ { 2 } - \frac { g ^ { 2 } \Omega } { 2 \omega \gamma } S _ { 0 } \right) f + \left( \frac { g } { 2 } \right) ^ { 2 } f ^ { 3 } = 0 . } \end{array}
\mathrm { A T R C } _ { \Omega , \beta } ^ { \eta _ { \tau } , \eta _ { \tau \tau ^ { \prime } } } ( \omega _ { \tau } , \omega _ { \tau \tau ^ { \prime } } ) = \frac { 1 } { Z } \cdot 2 ^ { k ^ { \eta _ { \tau } } ( \omega _ { \tau } ) + k ^ { \eta _ { \tau \tau ^ { \prime } } } ( \omega _ { \tau \tau ^ { \prime } } ) } \prod _ { e \in E } a ( \omega _ { \tau } ( e ) , \omega _ { \tau \tau ^ { \prime } } ( e ) ) ,
p _ { \mu _ { 1 } } \Gamma _ { n } ^ { \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } . . . \mu _ { n } } ( p ^ { 1 } , p ^ { 2 } , . . . , p ^ { n } ) \varepsilon _ { \mu _ { 2 } } ( p ^ { 2 } ) . . . \varepsilon _ { \mu _ { n } } ( p ^ { n } ) = 0 ,
E \sim \int ^ { \infty } d s \left( c _ { 1 } ( h ^ { \prime } ) ^ { 2 } + c _ { 2 } e ^ { - 2 s } ( \sin h ) ^ { 2 } + c _ { 3 } ( \sin h ) ^ { 2 } ( h ^ { \prime } ) ^ { 2 } + c _ { 4 } e ^ { - 2 s } ( \sin h ) ^ { 4 } \right) .
\dot { \lambda } = \frac { \partial \lambda } { \partial t } + \frac { \partial \lambda } { \partial \mathbf { x } } \mathbf { u } \qquad \dot { \mathbf { v } } = \frac { \partial \mathbf { v } } { \partial t } + \frac { \partial \mathbf { v } } { \partial \mathbf { x } } \mathbf { u }
{ \begin{array} { r l } { c } & { = \arctan { \frac { \sqrt { ( \sin a \cos b - \cos a \sin b \cos \gamma ) ^ { 2 } + ( \sin b \sin \gamma ) ^ { 2 } } } { \cos a \cos b + \sin a \sin b \cos \gamma } } , } \\ { \alpha } & { = \arctan { \frac { \sin a \sin \gamma } { \sin b \cos a - \cos b \sin a \cos \gamma } } , } \\ { \beta } & { = \arctan { \frac { \sin b \sin \gamma } { \sin a \cos b - \cos a \sin b \cos \gamma } } , } \end{array} }
\begin{array} { r } { \left| { \mathcal I } ^ { \alpha , k } [ p ] ( m , x ; t ) \right| \leq \sqrt { 2 } C _ { d , B } \int _ { 0 } ^ { t } N ( p ; s , x _ { 0 } ) \frac { e ^ { - \frac { \| \tilde { x } - \tilde { x _ { 0 } } \| ^ { 2 } } { 4 t } } } { \sqrt { ( 2 \pi t ) ^ { d + 1 } } } \frac { e ^ { - \frac { ( m - x _ { 0 } ^ { 1 } ) ^ { 2 } } { 4 t } - \frac { ( m - x ^ { 1 } ) ^ { 2 } } { 4 ( t - s ) } } } { \sqrt { 2 \pi { ( t - s ) } } } d s . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla \left( v _ { | | } V + \frac { c _ { s } ^ { 2 } } { n _ { 0 } } N + \frac { \omega _ { p e } ^ { 2 } } { \mu c ^ { 2 } \omega ^ { 2 } } | \alpha _ { 1 } | ^ { 2 } | B _ { W } | ^ { 2 } \right) = } & { { } \nabla \left( v _ { | | } V + \frac { c _ { s } ^ { 2 } } { n _ { 0 } } N + \frac { \omega _ { p e } ^ { 2 } } { \mu c ^ { 2 } k ^ { 2 } } | B _ { W } | ^ { 2 } \right) = 0 \, . } \end{array}
\gamma ^ { \lambda } e ^ { \frac { g e _ { 0 } } { 4 } F _ { \alpha \beta } \gamma ^ { \alpha } \gamma ^ { \beta } } = \left( e ^ { - \frac { g e _ { 0 } } { 2 } F } \right) _ { \quad \rho } ^ { \lambda } \gamma ^ { \rho } ,
H _ { k } ( T ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbb { Z } } & { k = 0 , 2 } \\ { \mathbb { Z } \times \mathbb { Z } } & { k = 1 } \\ { \{ 0 \} } & { { \mathrm { o t h e r w i s e } } } \end{array} \right. }
\varepsilon \frac { \partial Y _ { i } ^ { * } } { \partial t ^ { * } } + \boldsymbol { \frac { \tau _ { \mathrm { m } } } { L _ { \mathrm { { c e l l } } } / V _ { \mathrm { i n } } } } \vec { V } ^ { * } \cdot \nabla ^ { * } Y _ { i } ^ { * } - D _ { \mathrm { e f f } } ^ { * } \left( \boldsymbol { \frac { \tau _ { \mathrm { m } } } { W _ { \mathrm { { c e l l } } } ^ { 2 } / D _ { \mathrm { { e f f } , 0 } } } } \frac { \partial ^ { 2 } Y _ { i } ^ { * } } { \partial x ^ { * 2 } } + \boldsymbol { \frac { \tau _ { \mathrm { m } } } { L _ { \mathrm { { c e l l } } } ^ { 2 } / D _ { \mathrm { { e f f } , 0 } } } } \frac { \partial ^ { 2 } Y _ { i } ^ { * } } { \partial y ^ { * 2 } } + \boldsymbol { \frac { \tau _ { \mathrm { m } } } { \delta _ { \mathrm { { F L } } } ^ { 2 } / D _ { \mathrm { { e f f } , 0 } } } } \frac { \partial ^ { 2 } Y _ { i } ^ { * } } { \partial z ^ { * 2 } } \right) = \frac { S _ { \mathrm { m } , i } ^ { * } } { \rho ^ { * } }
\psi _ { \mathrm { { L } } } = { \frac { 1 } { 2 } } \left( 1 - \gamma ^ { 5 } \right) \psi = { \left( \begin{array} { l l } { I _ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } \psi , \quad \psi _ { \mathrm { { R } } } = { \frac { 1 } { 2 } } \left( 1 + \gamma ^ { 5 } \right) \psi = { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { I _ { 2 } } \end{array} \right) } \psi .
\begin{array} { r l } { S _ { \mathrm { Q Q , \, o p t i c a l \, s i g n a l } } = } & { { } g _ { Y } ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 \pi } \frac { 1 } { 2 } 4 \Gamma \frac { 4 g _ { \mathrm { o m } } ^ { 2 } } { \Gamma \kappa } | \chi ( \omega ) | ^ { 2 } \left( | f ( \omega ) | ^ { 2 } + 1 \right) } \\ { S _ { \mathrm { Q Q , \, o p t i c a l \, n o i s e } } = } & { { } \frac { 1 } { 2 } 4 \Gamma \frac { 4 g _ { \mathrm { o m } } ^ { 2 } } { \Gamma \kappa } | \chi ( \omega ) | ^ { 2 } \Bigg [ \left( \frac { 1 - \eta } { \eta } \right) | f ( \omega ) \phi ( \omega ) | ^ { 2 } + \left| \phi ( \omega ) f ( \omega ) - g _ { X } g _ { Y } \right| ^ { 2 } + \left| - \phi ( \omega ) - g _ { Y } g _ { X } f ( \omega ) \right| ^ { 2 } \Bigg ] } \\ { S _ { \mathrm { Q Q , \, m e c h a n i c a l \, n o i s e } } = } & { { } \Gamma | \chi ( \omega ) | ^ { 2 } \left( 1 + | \phi ( \omega ) | ^ { 2 } \right) ( \bar { n } _ { \mathrm { t h } } + \frac { 1 } { 2 } ) } \\ { S _ { \mathrm { P P , \, o p t i c a l \, s i g n a l } } = } & { { } g _ { Y } ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 } 4 \Gamma \frac { 4 g _ { \mathrm { o m } } ^ { 2 } } { \Gamma \kappa } | \chi ( \omega ) | ^ { 2 } \left( | f ( \omega ) | ^ { 2 } + 1 \right) } \\ { S _ { \mathrm { P P , \, o p t i c a l \, n o i s e } } = } & { { } \frac { 1 } { 2 } 4 \Gamma \frac { 4 g _ { \mathrm { o m } } ^ { 2 } } { \Gamma \kappa } | \chi ( \omega ) | ^ { 2 } \left( \frac { 1 - \eta } { \eta } \right) \left( | f ( \omega ) | ^ { 2 } + 1 \right) } \\ { S _ { \mathrm { P P , \, m e c h a n i c a l \, n o i s e } } = } & { { } \Gamma | \chi ( \omega ) | ^ { 2 } \left( 1 + \left| 4 \phi ( \omega ) f ( \omega ) \frac { 1 } { \Omega } \frac { 4 g _ { \mathrm { o m } } ^ { 2 } } { \kappa \Gamma } + 1 \right| ^ { 2 } \right) \left( \bar { n } _ { \mathrm { t h } } + \frac { 1 } { 2 } \right) } \\ { S _ { \mathrm { P Q } } = } & { { } \frac { 4 g _ { \mathrm { o m } } ^ { 2 } } { \pi \kappa } | \chi ( \omega ) | ^ { 2 } \left( 1 + \frac { | f ( \omega ) | ^ { 2 } } { 4 } \left( 1 - \sqrt { \frac { 1 - \eta } { \eta } } \right) ^ { 2 } \right) \Re { ( \phi ( \omega ) ) } + } \end{array}
\frac { d S } { d t } = \frac { 1 } { 3 } k _ { B } \beta _ { f } \left[ \frac { { ( T _ { x } - T _ { y } ) } ^ { 2 } } { T _ { x } T _ { y } } + \frac { { ( T _ { x } - T _ { z } ) } ^ { 2 } } { T _ { x } T _ { z } } + \frac { { ( T _ { y } - T _ { z } ) } ^ { 2 } } { T _ { y } T _ { z } } \right] .
\begin{array} { r } { \Delta X = \left( 1 - \frac { \lambda } { \sqrt { 2 } } \right) \Delta x + \frac { \lambda ^ { 2 } } { 4 } \Delta x , } \\ { \Delta Y = \left( 1 - \frac { \lambda } { \sqrt { 2 } } \right) \Delta y + \frac { \lambda ^ { 2 } } { 4 } \Delta y , } \\ { \Delta Z = \left( 1 - \frac { \lambda } { \sqrt { 2 } } \right) \Delta z + \frac { \lambda ^ { 2 } } { 2 } \Delta z , } \end{array}
F _ { X _ { 1 } , X _ { 2 } } ( a , c ) + F _ { X _ { 1 } , X _ { 2 } } ( b , d ) - F _ { X _ { 1 } , X _ { 2 } } ( a , d ) - F _ { X _ { 1 } , X _ { 2 } } ( b , c ) = \operatorname { P } ( a < X _ { 1 } \leq b , c < X _ { 2 } \leq d ) = \int . . .
\left. \begin{array} { c c l } { { \pi _ { \underline { { { \underline { { { \alpha } } } } } } } = 0 \; - \; \mathrm { p r i m a r y } } } \\ { { \chi _ { \underline { { { \underline { { { \alpha } } } } } } } \equiv b _ { \underline { { { \underline { { { \alpha } } } } } } \beta } ( f _ { \beta \gamma \delta } p _ { \gamma } q _ { \delta } - v _ { \beta } ) = 0 \; - \; \mathrm { s e c o n d a r y } } } \\ { { \tilde { \chi } _ { \underline { { { \underline { { { \alpha } } } } } } } \equiv A _ { \underline { { { \underline { { { \alpha } } } } } } } = 0 \; - \; \mathrm { s e c o n d a r y } } } \end{array} \right\} \; \mathrm { I I - n d ~ c l a s s }
\begin{array} { r } { k _ { \mathrm { ~ T ~ F ~ } } ^ { 2 } = \frac { e ^ { 2 } m } { \varepsilon _ { 0 } \hbar ^ { 2 } \pi ^ { 2 } } ( 3 \pi ^ { 2 } n ) ^ { 1 / 3 } , } \end{array}
{ \cal A } _ { \{ k \} } ^ { 2 } = { \cal A } _ { \{ k \} } , \; \; \; \; \mathrm { i . e . } \; \; \; \; T _ { \ldots [ [ a _ { 1 } \ldots a _ { n } ] ] \ldots } = T _ { \ldots [ a _ { 1 } \ldots a _ { n } ] \ldots } .
f ^ { p } ( x ) = { \frac { d ^ { p } f } { d x ^ { p } } } = \operatorname* { l i m } _ { h \rightarrow 0 } { \frac { 1 } { h ^ { p } } } \sum _ { r = 0 } ^ { p } ( - 1 ) ^ { r } \binom { p } { r } f ( x - r h )
\begin{array} { r l } { { \bf H } _ { k + 1 } } & { \ensuremath { : = } \sum _ { p + q = k - 1 } \frac { ( k + 1 ) ! } { ( p + 1 ) ! ( q + 1 ) ! } [ \nabla ^ { p + 1 } \ensuremath { { \bf \tilde { C } } } ( \omega ) \cdot \ensuremath { { \bf \tilde { \Delta } } } ( \omega ) ] [ \nabla ^ { q + 1 } \ensuremath { { \bf \tilde { C } } } ( \omega ) \cdot \ensuremath { { \bf \tilde { \Delta } } } ( \omega ) ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { u } & { = \left[ \begin{array} { l } { \rho } \\ { \rho u } \\ { \rho v } \\ { E } \end{array} \right] } & { f ( u ) } & { = \left[ \begin{array} { l } { \rho u } \\ { p + \rho u ^ { 2 } } \\ { \rho u v } \\ { ( E + p ) u } \end{array} \right] } & { g ( u ) } & { = \left[ \begin{array} { l } { \rho v } \\ { \rho u v } \\ { p + \rho v ^ { 2 } } \\ { ( E + p ) v } \end{array} \right] } \end{array}