harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } & { } & { a ( { p } , { q } ) : = ( { p } , { q } ) , } \\ & { } & { b ( \boldsymbol { u } , { q } ) : = ( \mathrm { c u r l } ~ \boldsymbol { u } , { q } ) , } \\ & { } & { c ( \boldsymbol { u } , \boldsymbol { v } ) : = ( \beta \boldsymbol { u } , \boldsymbol { v } ) , } \\ & { } & { d ( \boldsymbol { v } , { p } ) : = ( \mathrm { c u r l } ~ \boldsymbol { v } , \alpha { p } ) , } \end{array}
( 0 , 0 ) , \; ( 0 , \frac { 1 } { 2 } ) , \; ( 0 , \frac { i } { 2 } ) , \; \ldots , \; ( \frac { 1 } { 2 } + \frac { i } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } + \frac { i } { 2 } ) .
\begin{array} { r } { \frac { d A } { d t } = - \mathrm { ~ i ~ } \, \left( 2 \lambda - \left( \alpha _ { _ - } ^ { 2 } \chi _ { _ - } + \alpha _ { _ + } ^ { 2 } \chi _ { _ + } \right) f ^ { 2 } \right) A + \mathrm { ~ i ~ } \, \left( \zeta _ { _ { D C } } \lambda + \mu _ { _ { D C } } \right) \alpha _ { _ - } ^ { 2 } f ^ { 2 } } \\ { + \mathrm { ~ i ~ } \, \nu _ { _ { D C } } | A | ^ { 2 } A + \mathrm { ~ i ~ } \, \xi _ { _ { D C } } | B | ^ { 2 } A , } \end{array}
\begin{array} { l } { { Z _ { h } = \left( - \mu \right) ^ { s } \; \frac { \Gamma ( - s ) } { 2 a } \int D \tilde { \Phi } e ^ { - \int \frac { 1 } { 8 \pi } ( \partial \tilde { \Phi } ) ^ { 2 } + Q \hat { R } ^ { h = 0 } \tilde { \Phi } } ( \int \sqrt { \hat { g } } e ^ { 2 a \tilde { \Phi } } ) ^ { s } \times } } \\ { { \nonumber } } \\ { { \qquad \times \prod _ { i = 1 } ^ { 2 h + 2 } e ^ { 2 \gamma _ { i } \tilde { \Phi } ( a _ { i } , \bar { a } _ { i } ) } \int D \varphi \prod _ { i = 1 } ^ { 2 h + 2 } \sigma _ { 0 , \epsilon _ { i } } ( a _ { i } , \bar { a } _ { i } ) e ^ { - \int \frac { 1 } { 8 \pi } ( \partial \varphi ) ^ { 2 } } } } \end{array}
( k _ { 1 } - k _ { 2 } ) _ { \mu } T _ { \mu \nu } ^ { A V } ( k _ { 1 } , m ; k _ { 2 } , m ) = - 2 m i T _ { \nu } ^ { P V } ( k _ { 1 } , m ; k _ { 2 } , m ) - i T ^ { S } ( k _ { 1 } , m ) - i T ^ { S } ( k _ { 2 } , m )
\left\{ \begin{array} { l l l } { ( \nu _ { 1 } ) _ { s } ^ { \prime } } & { = } & { k _ { 1 } \nu _ { 2 } } \\ { ( \nu _ { i } ) _ { s } ^ { \prime } } & { = } & { - k _ { i - 1 } \nu _ { i - 1 } + k _ { i } \nu _ { i + 1 } , \quad 2 \leq i \leq 2 m - 2 } \\ { ( \nu _ { 2 m - 1 } ) _ { s } ^ { \prime } } & { = } & { - k _ { 2 m - 2 } \nu _ { 2 m - 2 } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \Delta V ( z ^ { r } ) = \frac { 1 } { 2 } \big ( z ^ { r } ( k + 1 ) ^ { \top } z ^ { r } ( k + 1 ) - z ^ { r } ( k ) ^ { \top } z ^ { r } ( k ) \big ) } \\ { = } & { \frac { 1 } { 2 } \big ( z ^ { \top } ( M _ { f } ^ { r } ( k ) - \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } Z ^ { \ell } B _ { f } ^ { \ell } ) ^ { \top } ( M _ { f } ^ { r } ( k ) - \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } Z ^ { \ell } B _ { f } ^ { \ell } ) z ^ { r } - ( z ^ { r } ) ^ { \top } z ^ { r } \big ) } \\ { = } & { \frac { 1 } { 2 } \big ( ( z ^ { r } ) ^ { \top } ( M _ { f } ^ { r } ( k ) ^ { \top } M _ { f } ^ { r } - h M _ { f } ^ { r } ( k ) ^ { \top } \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } Z ^ { \ell } B _ { f } ^ { \ell } } \\ & { ~ - h B _ { f } ^ { r } ( k ) ^ { \top } \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } Z ^ { \ell } M _ { f } ^ { r } ( k ) + h ^ { 2 } B _ { f } ^ { r } ( k ) ^ { \top } \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } Z ^ { \ell } \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } Z ^ { \ell } B _ { f } ^ { r } ( k ) ) z ^ { r } } \\ & { ~ ~ ~ - ( z ^ { r } ) ^ { \top } z ^ { r } \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \psi ( \hat { t } _ { 1 } , \hat { t } _ { 2 } , \ldots , \hat { t } _ { g } ) \otimes \phi ( t _ { 1 } , t _ { 2 } , \ldots , t _ { g } ) \right) \cdot \gamma _ { i } = \psi ( \hat { t } _ { 1 } , \hat { t } _ { 2 } , \ldots , \hat { t } _ { g } ) \hat { t } _ { i } ^ { - 1 } \otimes \phi ( t _ { 1 } q _ { 1 , i } ^ { - 1 } , t _ { 2 } q _ { 2 , i } ^ { - 1 } , \ldots , t _ { g } q _ { g , i } ^ { - 1 } ) , } \end{array}
\widehat { W } _ { t } = \mu D _ { t } ^ { - 1 / 2 } W _ { t } D _ { t } ^ { - 1 / 2 } + \left( 1 - \mu \right) \Xi _ { t - \Delta t _ { \textrm { s } } } \Xi _ { t - \Delta t _ { \textrm { s } } } ^ { \textrm { T } } .
\begin{array} { r } { E _ { p h } ( k _ { r } , r ) = m c ^ { 2 } + \frac { \hbar ^ { 2 } k _ { r } ^ { 2 } } { 2 m } + \frac { 1 } { 2 } m \Omega ^ { 2 } r ^ { 2 } - m c ^ { 2 } \frac { n _ { 2 } } { n ^ { 3 } } I ( r ) , } \end{array}
B ^ { T } A ^ { - 1 } 2 ( P ^ { T } M ) ^ { T } P ^ { T } C _ { h } ( \Phi \boldsymbol { a } ) = \boldsymbol { b } ( \boldsymbol { a } ) ^ { T } ( P ^ { T } M ) ^ { - 1 } P ^ { T } C _ { h } ( \Phi \boldsymbol { a } )
\Sigma _ { + } \ : \ - 1 + \tilde { \epsilon } \left( \tilde { x } ^ { 3 } - \frac { 3 } { 4 } \tilde { u } _ { 0 } ^ { 4 } \tilde { x } - \frac { 1 } { 4 } ( \tilde { u } _ { 0 } ^ { 6 } + \tilde { u } _ { 1 } ) - \frac { 1 } { 4 } ( \zeta + \frac { 1 } { \zeta } ) \right) + { \cal O } ( \tilde { \epsilon } ^ { 2 } ) = 0 \ ,
\Sigma _ { k } ( \omega + i 0 ) - \Sigma _ { k } ( 0 ) = \omega \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d \omega ^ { \prime } \; \frac { \rho _ { k } ( \omega ^ { \prime } ) } { \omega ^ { \prime } \; ( \omega - \omega ^ { \prime } + i 0 ) } \; .
R _ { m } = \frac { E _ { r , m } ^ { n } - S _ { m } ^ { n } } { E _ { r , t o t } ^ { n } } - \left\lfloor \frac { E _ { r , m } ^ { n } + S _ { m } ^ { n } } { E _ { r , t o t } ^ { n } } \right\rfloor
{ \frac { { } _ { 2 } F _ { 1 } ( a + 1 , b ; c + 1 ; z ) } { { } _ { 2 } F _ { 1 } ( a , b ; c ; z ) } } = { \cfrac { 1 } { 1 + { \cfrac { { \frac { ( a - c ) b } { c ( c + 1 ) } } z } { 1 + { \cfrac { { \frac { ( b - c - 1 ) ( a + 1 ) } { ( c + 1 ) ( c + 2 ) } } z } { 1 + { \cfrac { { \frac { ( a - c - 1 ) ( b + 1 ) } { ( c + 2 ) ( c + 3 ) } } z } { 1 + { \cfrac { { \frac { ( b - c - 2 ) ( a + 2 ) } { ( c + 3 ) ( c + 4 ) } } z } { 1 + { } \ddots } } } } } } } } } }
\frac { \partial } { \partial t } \Big ( \frac { \delta \vec { B } } { B } \Big ) = \partial _ { \| } \delta \vec { v } _ { \! \! \perp } - \big ( \nabla _ { \perp } \! \! \cdot \delta \vec { v } _ { \perp } \big ) \vec { e } _ { \| }
\begin{array} { r } { | r _ { j } + \tilde { r } _ { j } \mod 2 d _ { j } L | = \operatorname* { m i n } \{ r _ { j } + \tilde { r } _ { j } , 2 d _ { j } L - r _ { j } - \tilde { r } _ { j } \} \geq | r _ { j } - \tilde { r } _ { j } | . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { R _ { + + } ( k _ { x } ) } & { { } = } & { R _ { -- } ( k _ { x } ) \simeq \frac { 1 } { 2 } \left( 1 - \frac { n _ { 2 } } { n _ { 1 } } \right) - i \frac { \pi } { 2 } \left( \frac { 2 } { n _ { 1 } } - \frac { n _ { 2 } } { n _ { \perp } ^ { 2 } } - \frac { n _ { 2 } } { n _ { | | } ^ { 2 } } \right) \frac { k _ { x } } { K } + { \cal O } \left( \frac { k _ { x } ^ { 2 } } { K ^ { 2 } } \right) , } \\ { R _ { + - } ( k _ { x } ) } & { { } = } & { R _ { - + } ( k _ { x } ) \simeq - i \frac { \pi } { 2 } n _ { 2 } \left( \frac { 1 } { n _ { \perp } ^ { 2 } } - \frac { 1 } { n _ { \parallel } ^ { 2 } } \right) \frac { k _ { x } } { K } + { \cal O } \left( \frac { k _ { x } ^ { 2 } } { K ^ { 2 } } \right) , } \end{array}
\Delta E _ { n } ^ { ( 1 ) } [ \chi \, ] = \frac { \langle V \rangle ( 2 - n ) } { ( 4 \pi ) ^ { \frac { n } { 2 } } \Gamma \left( \frac { n } { 2 } \right) } \int _ { 0 } ^ { \infty } ( \omega ( k ) - m ) k ^ { n - 3 } \, d k = \frac { \langle V \rangle m ^ { n - 1 } } { ( 4 \pi ) ^ { \frac { n + 1 } { 2 } } } \Gamma \Bigl ( \frac { 1 - n } { 2 } \Bigr )
\frac { \partial F } { \partial t } = \frac { \partial } { \partial \mathbf { J } } \cdot \left[ \frac { \left\langle \delta \mathbf { J \otimes } \delta \mathbf { J } \right\rangle } { 2 \delta t } \cdot \frac { \partial F } { \partial \mathbf { J } } \right]
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } _ { W \hat { W } } ( \ell ) } & { \geq \operatorname* { s u p } _ { \lambda > 0 } \rho \left( 1 - \frac { I _ { \varphi } ( W , \hat { W } ) + \mathcal { P } _ { W } \mathcal { P } _ { \hat { W } } ( \{ \ell \geq \rho \} ) \cdot \varphi ^ { \star } ( 0 ) + \mathcal { P } _ { W } \mathcal { P } _ { \hat { W } } ( \{ \ell < \rho \} ) \cdot \varphi ^ { \star } ( \lambda ) } { \lambda } \right) } \\ & { = \rho \left( 1 - \operatorname* { i n f } _ { \lambda > 0 } \frac { I _ { \varphi } ( W , \hat { W } ) + \mathcal { P } _ { W } \mathcal { P } _ { \hat { W } } ( \{ \ell \geq \rho \} ) \cdot \varphi ^ { \star } ( 0 ) + \mathcal { P } _ { W } \mathcal { P } _ { \hat { W } } ( \{ \ell < \rho \} ) \cdot \varphi ^ { \star } ( \lambda ) } { \lambda } \right) } \\ & { = \rho \left( 1 - \mathcal { P } _ { W } \mathcal { P } _ { \hat { W } } ( \{ \ell < \rho \} ) \operatorname* { i n f } _ { \lambda > 0 } \frac { \frac { I _ { \varphi } ( W , \hat { W } ) + \mathcal { P } _ { W } \mathcal { P } _ { \hat { W } } ( \{ \ell \geq \rho \} ) \cdot \varphi ^ { \star } ( 0 ) } { \mathcal { P } _ { W } \mathcal { P } _ { \hat { W } } ( \{ \ell < \rho \} ) } + \varphi ^ { \star } ( \lambda ) } { \lambda } \right) } \\ & { = \rho \left( 1 - \mathcal { P } _ { W } \mathcal { P } _ { \hat { W } } ( \{ \ell < \rho \} ) \varphi ^ { - 1 } \left( \frac { I _ { \varphi } ( W , \hat { W } ) + \mathcal { P } _ { W } \mathcal { P } _ { \hat { W } } ( \{ \ell \geq \rho \} ) \cdot \varphi ^ { \star } ( 0 ) } { \mathcal { P } _ { W } \mathcal { P } _ { \hat { W } } ( \{ \ell < \rho \} ) } \right) \right) , } \end{array}
{ \frac { \alpha _ { S } } { 2 \pi } } \bar { P } _ { q g } ( \omega , \alpha _ { S } ) = \gamma _ { g g } ^ { 2 } ( \bar { \alpha } _ { S } , \omega ) \tilde { S } _ { \mathrm { b o x } } ^ { q } \left( \omega , \gamma _ { g g } ( \bar { \alpha } _ { S } , \omega ) \right)
{ \frac { R } { Q _ { o } } } = { \frac { V ^ { 2 } } { \omega _ { o } U } } = { \frac { 2 \left( \int { { \overrightarrow { E } } \cdot d l } \right) ^ { 2 } } { \omega _ { o } \mu _ { o } \int { | { \overrightarrow { H } } | ^ { 2 } d V } } } = { \frac { 2 k } { \omega _ { o } } }
\int _ { \sum _ { i } \alpha _ { i } | \langle \hat { n } _ { i } , \hat { x } \rangle | < \beta _ { d } } \left| \sum _ { i } \alpha _ { i } | \langle \hat { n } _ { i } , \hat { x } \rangle | - \beta _ { d } \right| d S _ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \left\lVert \sum _ { i } \alpha _ { i } | \langle \hat { n } _ { i } , \hat { x } \rangle | - \beta _ { d } \right\rVert _ { L ^ { 1 } } ,
\begin{array} { r l } { d _ { t } \sigma _ { t } } & { = d _ { t } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } v _ { t } ( u ) \, d u } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } v _ { t } \rho _ { t } \left( ( - \rho _ { t } + 2 h ) d t + \sqrt { 2 } d B _ { t } \right) \, d u } \\ & { = \left( - \int \rho _ { t } ^ { 2 } d s + 2 h _ { t } \int \rho _ { t } d s \right) d t + ( \int \rho _ { t } d s ) \sqrt { 2 } d B _ { t } } \\ & { = - \left( \int \rho _ { t } ^ { 2 } d s \right) d t + 4 \pi h _ { t } d t + 2 \sqrt { 2 } \pi d B _ { t } , } \end{array}
\lambda _ { k } ^ { * } = \frac { \langle A A _ { i _ { k } , : } ^ { \top } , A x ^ { k } - A A ^ { \dagger } b \rangle } { \| A A _ { i _ { k } , : } ^ { \top } \| _ { 2 } ^ { 2 } \gamma _ { k } } = \frac { \langle A A _ { i _ { k } , : } ^ { \top } , A x ^ { k } - b \rangle } { \| A A _ { i _ { k } , : } ^ { \top } \| _ { 2 } ^ { 2 } \gamma _ { k } } = \frac { \langle A A _ { i _ { k } , : } ^ { \top } , r ^ { k } \rangle } { \| A A _ { i _ { k } , : } ^ { \top } \| _ { 2 } ^ { 2 } \gamma _ { k } } .
H _ { 0 } [ \phi , \pi ] \equiv \frac { 1 } { 2 } \int d x \left( \pi \left( x \right) ^ { 2 } + \phi \left( x \right) \left( m ^ { 2 } - \nabla _ { x } ^ { 2 } \right) \phi \left( x \right) \right) ,
\begin{array} { r } { H _ { m } \left( \frac { 1 } { \sigma _ { j } } \int _ { \mathbb { R } } q _ { R , t } ( \lambda ) W ( d \lambda ) \right) H _ { n } \left( \frac { 1 } { \sigma _ { j } } \int _ { \mathbb { R } } q _ { I , t } ( \lambda ) W ( d \lambda ) \right) = \sigma _ { j } ^ { - ( m + n ) } I _ { m } \left( q _ { R , t } ^ { \otimes m } \right) I _ { n } \left( q _ { I , t } ^ { \otimes n } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sqrt { I + n - j } \left( \widehat f _ { j , n } ^ { * } - \widehat f _ { j , n } \right) } & { = \sqrt { I + n - j } \left( \frac { \sum _ { i = - n } ^ { I - j - 1 } C _ { i , j } F _ { i , j } ^ { * } } { \sum _ { k = - n } ^ { I - j - 1 } C _ { k , j } } - \frac { \sum _ { i = - n } ^ { I - j - 1 } C _ { i , j } } { \sum _ { k = - n } ^ { I - j - 1 } C _ { k , j } } \widehat f _ { j , n } \right) } \\ & { = \sum _ { i = - n } ^ { I - j - 1 } \frac { C _ { i , j } \left( F _ { i , j } ^ { * } - \widehat f _ { j , n } \right) } { \frac { 1 } { \sqrt { I + n - j } } \sum _ { k = - n } ^ { I - j - 1 } C _ { k , j } } } \\ & { = : \sum _ { i = - n } ^ { I - j - 1 } Z _ { i , n } . } \end{array}
\alpha \, L ^ { 4 } = \frac { ( \eta ^ { 2 } - 1 ) ^ { 4 } ( \eta ^ { 2 } + 1 ) } { 2 4 \eta ^ { 4 } [ \eta ^ { 2 } - 1 - ( \eta ^ { 2 } + 1 ) \log { \eta } ] }
\begin{array} { r l } { \mathcal { R } _ { N } ( \mathcal { G } _ { C + 1 } ( \mathcal { U } , \mathcal { V } ) ) } & { \leq \frac { 1 } { 2 } \left[ \mathcal { R } _ { N } ( \mathcal { U } ) + \mathcal { R } _ { N } ( \mathcal { V } ) \right. } \\ & { \qquad \left. + \mathcal { R } _ { N } ( \mathcal { U } ) + \mathcal { R } _ { N } ( \mathcal { V } ) \right] } \\ & { = \mathcal { R } _ { N } ( \mathcal { U } ) + \mathcal { R } _ { N } ( \mathcal { V } ) } \end{array}
T \left( \vartheta | \vartheta _ { 1 } , \vartheta _ { 2 } , \ldots , \vartheta _ { N } \right) _ { a _ { 1 } a _ { 2 } \ldots a _ { N } } ^ { b _ { 1 } b _ { 2 } \ldots b _ { N } } = \prod _ { j = 1 } ^ { N } S _ { b _ { j } a _ { j } } ^ { a _ { j + 1 } b _ { j + 1 } } \left( \vartheta - \vartheta _ { j } \right)
\begin{array} { r l } { A } & { { } = \zeta \frac { 1 } { a } ( 1 - \chi ) ( 1 - 2 \chi ) , } \\ { B } & { { } = 3 \gamma ^ { - 1 } \chi ( K + K ^ { \prime } ) , } \\ { z } & { { } = z _ { i } , } \\ { \tilde { z } } & { { } = \tilde { z } _ { i } , } \\ { r } & { { } = | z _ { i } | . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } _ { \boldsymbol { \alpha } } \left( I _ { \beta } ^ { \boldsymbol { \alpha } } f \right) ( \boldsymbol { u } ) = } & { \ c ( \boldsymbol { \alpha } ) e _ { \boldsymbol { \alpha } } ( \boldsymbol { u } ) \mathcal { F } ( e _ { \boldsymbol { \alpha } } I _ { \beta } ^ { \boldsymbol { \alpha } } f ) ( \widetilde { \boldsymbol { u } } ) } \\ { = } & { \ \frac { 1 } { \gamma ( \beta ) } c ( \boldsymbol { \alpha } ) e _ { \boldsymbol { \alpha } } ( \boldsymbol { u } ) \mathcal { F } \left( e _ { \boldsymbol { \alpha } } f * \left( \frac { 1 } { | \boldsymbol { \cdot } | ^ { n - \beta } } \right) \right) ( \widetilde { \boldsymbol { u } } ) . } \end{array}
P ( t , \vec { z } ) = \sum _ { \vec { n } } p _ { \vec { n } } ( t ) z _ { s _ { 1 } } ^ { n _ { s _ { 1 } } } z _ { s _ { 2 } } ^ { n _ { s _ { 2 } } } \ldots z _ { s _ { \ell } } ^ { n _ { s _ { \ell } } } \equiv \sum _ { \vec { n } } p _ { \vec { n } } ( t ) \vec { z } ^ { \, \vec { n } } \, ,
\begin{array} { r l } { \int _ { \Sigma _ { \tau } } ( 1 - r ^ { - 1 } ) ^ { \delta } \mathcal { E } _ { 1 + \epsilon } [ \widehat { \phi } ] \, r ^ { 2 } d \sigma d r \leq } & { \: C ( 1 + \tau ) ^ { - 1 - \nu _ { m } + \eta } D ^ { ( 1 ) } [ \phi ] , } \\ { \int _ { \Sigma _ { \tau } } ( 1 - r ^ { - 1 } ) ^ { \delta } \mathcal { E } _ { 1 + \epsilon } [ K \widehat { \phi } ] \, r ^ { 2 } d \sigma d r \leq } & { \: C ( 1 + \tau ) ^ { - 3 - \nu _ { m } + \eta } D ^ { ( 1 ) } [ \phi ] , } \\ { \int _ { \Sigma _ { \tau } \cap \{ r \geq r _ { I } \} } r ^ { 2 } | L \widehat { \psi } | ^ { 2 } \, d \sigma d r \leq } & { \: C ( 1 + \tau ) ^ { - 1 - \nu _ { m } + \eta } D ^ { ( 1 ) } [ \phi ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \ \ \ \ \mathcal { T } _ { i } \left( T ^ { H } M _ { i } , g ^ { T Z _ { i } } , h ^ { F _ { i } } \right) } \\ & { = - \int _ { 0 } ^ { + \infty } \left( f ^ { \wedge } \left( C _ { t , i } ^ { \prime } , h ^ { E _ { i } } \right) - \frac { \chi ^ { \prime } ( Z _ { i } , F _ { i } ) } { 2 } - \frac { \chi ( Z _ { i } , F _ { i } ) \dim Z - 2 \chi ^ { \prime } ( Z _ { i } , F _ { i } ) } { 4 } f ^ { \prime } \left( \frac { \sqrt { - 1 } \sqrt { t } } { 2 } \right) \right) \frac { d t } { t } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { E _ { a _ { 1 } a _ { 2 } } ^ { ( 1 , 0 ) } ( z ) B _ { b _ { 1 } b _ { 2 } } ^ { ( r , s ) } ( 0 ) \sim - \frac { 1 } { z } \sum _ { u , v } \sum _ { c } \binom { r + s } { r } ^ { - 1 } \binom { u + v } { u } \binom { r + s - u - v - 1 } { r - u } } \\ & { \times \left( \frac { r + s - u - v } { r + s + 1 } \delta _ { a _ { 2 } b _ { 1 } } E _ { a _ { 1 } c } ^ { ( u , v ) } B _ { c b _ { 2 } } ^ { ( r - u , s - v - 1 ) } ( 0 ) + \frac { u + v + 1 } { r + s + 1 } \delta _ { a _ { 1 } b _ { 2 } } E _ { b _ { 1 } c } ^ { ( u , v ) } B _ { c a _ { 2 } } ^ { ( r - u , s - v - 1 ) } ( 0 ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { e M S M - I } ( \mathbf { F } _ { l - 1 } ) } & { { } = g _ { \mathrm { i n } } ( \mathbf { V } _ { \mathrm { i n } } ^ { T } \mathbf { A } _ { \mathrm { i n } } ) } \end{array}
| \Psi _ { 0 } \rangle \approx | \Psi _ { 0 } ^ { \epsilon } \rangle = \sum _ { I , J } C _ { I J } | \Phi _ { I } ^ { A } \Phi _ { J } ^ { B } \rangle \quad \mathrm { ~ s ~ u ~ c ~ h ~ t ~ h ~ a ~ t ~ } \quad | C _ { I J } | > \epsilon
\mathbb { P } [ P _ { X } ( c ) \geq p _ { X } ^ { \mathrm { m i n } } ] \leq \mathrm { e } ^ { - s _ { x } p _ { X } ^ { \mathrm { m i n } } } M _ { P _ { X } ( c ) } ( s _ { x } ) \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ l ~ l ~ } \quad s _ { x } > 0 \, .
\begin{array} { r l r } { G _ { c } ^ { R } ( \tau ) } & { { } = } & { - i \Theta ( \tau ) e ^ { - i ( \epsilon _ { c } + E _ { N } ^ { c o r r } ) \tau } N _ { c } ( \tau ) } \\ { C _ { c } ^ { R } ( \tau ) } & { { } = } & { i \int _ { 0 } ^ { \tau } \left< \Phi \left| ( H _ { N } e ^ { T ( \tau ^ { \prime } ) } ) _ { C } \right| \Phi \right> d \tau ^ { \prime } . } \end{array}
\sqrt { \Delta ^ { \ell } \big ( \mathbb { I } - \Delta ^ { \ell } \big ) \; } \cdot V ^ { \ell } = \frac { 1 } { V _ { B Z } } \, \sum _ { \mathbf { k } } \Delta _ { \mathbf { k } } ^ { \ell , t } \cdot R ^ { \ell } { ^ \dagger } \cdot \epsilon _ { \mathbf { k } } ,
U _ { ( 1 2 ) } \diamond \hat { X } \diamond U _ { ( 1 2 ) } ^ { - 1 } = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \left( \frac { i } { \hbar } \right) ^ { k } \frac { 1 } { k ! } \underbrace { [ A _ { ( 1 2 ) } , [ A _ { ( 1 2 ) } , \ldots [ A _ { ( 1 2 ) } , } _ { \mathrm { k - t i m e s } } \hat { X } ] \ldots ] ]
\begin{array} { r l } { \nabla _ { \lambda } H ( \lambda | d ) = } & { { } \mathbb { E } \left[ \frac { \nabla _ { \lambda } h ( X , \phi ( X ) , \nabla _ { x } \phi ( X ) , \dots ; \lambda ) } { q ( X ) } \middle | d , \lambda \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { C _ { \mathrm { ~ L ~ F ~ } } = c _ { 1 } e ^ { - c _ { 2 } \sqrt { f } } \; \; \mathrm { ~ r ~ e ~ s ~ p ~ . ~ } \; \; R _ { \mathrm { ~ L ~ F ~ } } = c _ { 1 } e ^ { - c _ { 2 } \sqrt { f } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { d ( \overline { { \sigma } } ( s _ { 0 } ) , \overline { { \sigma } } ( s ) ) } & { \le d ( \overline { { \sigma } } ( s _ { 0 } ) , F _ { T _ { 0 } } ( \sigma ( s _ { 0 } ) ) ) + d ( F _ { T _ { 0 } } ( \sigma ( s _ { 0 } ) ) , F _ { T _ { 0 } } ( \sigma ( s ) ) ) + d ( F _ { T _ { 0 } } ( \sigma ( s ) ) , \overline { { \sigma } } ( s ) ) } \\ & { \le \alpha \epsilon + \alpha \epsilon + 2 \alpha \epsilon ( 1 + \epsilon _ { 0 } ^ { - 1 } ) \le \epsilon . } \end{array}
\Gamma ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , k _ { 3 } ) = \int d z _ { 1 } d z _ { 2 } d z _ { 3 } d \sigma \delta ( 1 - z _ { 1 } - z _ { 2 } - z _ { 3 } ) { \frac { h ( \sigma , z _ { 1 } , z _ { 2 } , z _ { 3 } ) } { \sigma + z _ { 1 } k _ { 1 } ^ { 2 } + z _ { 2 } k _ { 2 } ^ { 2 } + z _ { 3 } k _ { 3 } ^ { 2 } } } ~ .
\begin{array} { r l } { \phi ( t ) } & { { } = \int _ { 0 } ^ { t } \gamma \big [ B _ { 0 } + \sqrt { 2 } B _ { \mathrm { ~ s ~ e ~ n ~ } } ^ { \mathrm { ~ r ~ m ~ s ~ } } \big [ \cos \omega _ { m } \tau \big ] \big ] d \tau } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } _ { \mathrm { M L M C } } } & { = \left\{ \{ \mathcal { M } _ { 1 } , \mathcal { M } _ { 2 } \} , \{ \mathcal { M } _ { 2 } , \mathcal { M } _ { 3 } \} , \{ \mathcal { M } _ { 3 } \} \right\} , } \\ { \mathcal { G } _ { \mathrm { M F M C } } } & { = \left\{ \{ \mathcal { M } _ { 1 } , \mathcal { M } _ { 2 } , \mathcal { M } _ { 3 } \} , \{ \mathcal { M } _ { 2 } , \mathcal { M } _ { 3 } \} , \{ \mathcal { M } _ { 3 } \} \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { F } _ { \mathcal { P } _ { \mathrm { s } | k } \left( \gamma \right) } \left( x \right) } & { = \mathbb { P } \left( \mathcal { P } _ { \mathrm { s } | k } \left( \gamma \right) > x \right) } \\ & { = \mathbb { P } \left( \frac { \gamma N _ { 0 } } { l _ { k } ^ { \left( \varsigma \right) } \left( Y _ { 0 , k } \right) } < \omega _ { k , x } \right) } \\ & { \overset { ( b ) } { = } \mathbb { P } \left( Y _ { 0 , k } < \dot { l } _ { k } ^ { \left( \varsigma \right) } \left( \frac { \gamma N _ { 0 } } { \omega _ { k , x } } \right) \right) } \\ & { = F _ { Y _ { 0 , k } } \left( \dot { l } _ { k } ^ { \left( \varsigma \right) } \left( \frac { \gamma N _ { 0 } } { \omega _ { k , x } } \right) \right) , } \end{array}
X _ { h } : = \left\{ \begin{array} { l l } { { 1 , } } & { { \mathrm { a t ~ t h e ~ j u m p ~ o f ~ t h e ~ 1 s t ~ t y p e , ~ a n d } } } \\ { { \Psi _ { w _ { \phi ^ { \prime \prime } ( h - 1 ) } , w _ { \phi ^ { \prime \prime } ( h ) } } ^ { g ( d ) } , } } & { { \mathrm { a t ~ t h e ~ j u m p ~ o f ~ t h e ~ 2 n d ~ t y p e . } } } \end{array} \right.
\forall n : \ \ \ \ - \Omega ^ { 2 } \hat { p } _ { n } + \mathrm { ~ i ~ } \left( \xi _ { n } \Omega \right) \frac { 2 M } { \rho b } \hat { \eta } _ { n } + \left( 1 + \frac { \gamma } { \rho g } k ^ { 2 } \right) g \hat { \eta } _ { n } = \frac { a \Omega ^ { 2 } } { 2 g } g \left( \hat { \eta } _ { n - 1 } + \hat { \eta } _ { n + 1 } \right) .
\begin{array} { r l r } { \widehat \iota _ { j { + 1 } } ( p _ { j + 1 } q _ { j + 1 } ) } & { = } & { ( \widehat \iota _ { j { + 1 , } 1 } ( p _ { j + 1 } q _ { j + 1 } ) , \widehat \iota _ { j { + 1 , } 2 } ( p _ { j + 1 } q _ { j + 1 } ) ) : } \\ { D _ { j } ( p _ { j + 1 } q _ { j + 1 } ) } & { \to } & { D _ { j + 1 } ( p _ { j + 1 } q _ { j + 1 } ) } \\ { I _ { j } ( p _ { j + 1 } q _ { j + 1 } ) } & { \to } & { I _ { j + 1 } ( p _ { j + 1 } q _ { j + 1 } ) : = \omega _ { j + 1 } ^ { - 1 } \big ( \omega _ { j } ( I _ { j } , p _ { j + 1 } q _ { j + 1 } ) , p _ { j + 1 } q _ { j + 1 } \big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \pi _ { t } , G \rangle = \langle \pi _ { 0 } , G \rangle } & { + \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { i \in \mathcal A _ { s } , y \in V } \big ( G ( y ) - G ( X _ { s } ^ { i } ) \big ) \, \mathcal N _ { i } ^ { X _ { s } ^ { i } , y } ( \mathrm { d } s ) } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { i \in \mathcal A _ { s } } G ( X _ { s } ^ { i } ) \, \mathcal N _ { i } ^ { b } ( \mathrm { d } s ) - \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { i \in \mathcal A _ { s } } G ( X _ { s } ^ { i } ) \, \mathcal N _ { i } ^ { d } ( \mathrm { d } s ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { | U _ { w } ( - h _ { t } ) - \| h _ { t } \| _ { \mathbb { H } } ^ { 2 } / 2 | } & { = \frac { t } { \sqrt { n \alpha _ { n } } } \left| U _ { w } ( \psi _ { n } ) + \frac { 1 } { 2 } \langle \psi _ { n } , h _ { t } \rangle _ { \mathbb { H } } \right| } \\ & { \leq \frac { t } { \sqrt { n \alpha _ { n } } } \rho _ { t } + \frac { t ^ { 2 } } { 2 n \alpha _ { n } } \| \psi _ { n } \| _ { \mathbb { H } } ^ { 2 } \leq t M _ { 0 } \sqrt { n \alpha _ { n } } \varepsilon _ { n } \zeta _ { n } + \frac { t ^ { 2 } } { 2 } \zeta _ { n } ^ { 2 } \to 0 . } \end{array}
\beta _ { \perp } ( z = 0 ) \approx \frac { z _ { 0 } } { \pi } \frac { \sin ( \sqrt { \vartheta _ { 0 } } \pi ) } { \sqrt { \vartheta _ { 0 } } \sin \mu } \left[ 1 + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { R e [ \vartheta _ { n } ] } { n ^ { 2 } - \vartheta _ { 0 } } \right] \, .
G _ { n } = \overline { { G } } _ { n } + \overline { { G } } _ { n } \widetilde U _ { n } \, \overline { { G } } _ { n } + \overline { { G } } _ { n } \widetilde U _ { n } \, \overline { { G } } _ { n } \widetilde U _ { n } \, \overline { { G } } _ { n } + \dots ,