harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { A _ { 0 } \left( \tilde { \gamma } _ { 3 } , v _ { 3 } \right) = } & { 1 5 \left[ \left( \delta _ { 3 } ^ { 2 } - { \frac { \delta _ { 3 } ^ { 2 } } { \delta _ { 1 } ^ { 2 } } } - \left( 1 - \delta _ { 1 } ^ { 2 } \right) \right) \, \sin ^ { 2 } \left( v _ { 3 } - \tilde { \gamma } _ { 3 } \right) + \left( 1 - \delta _ { 1 } ^ { 2 } \right) \right] } \\ { B _ { 0 } \left( \tilde { \gamma } _ { 3 } , v _ { 3 } \right) = } & { { 3 0 \, \frac { \delta _ { 3 } } { \delta _ { 1 } } \, \left( 1 - \delta _ { 1 } ^ { 2 } \right) \, \cos \left( v _ { 3 } - \tilde { \gamma } _ { 3 } \right) \, \sin \left( v _ { 3 } - \tilde { \gamma } _ { 3 } \right) } } \\ { C _ { 0 } \left( \tilde { \gamma } _ { 3 } , v _ { 3 } \right) = } & { \left( { 1 5 \, \frac { \delta _ { 3 } ^ { 2 } } { \delta _ { 1 } ^ { 2 } } } - 1 2 \, \delta _ { 3 } ^ { 2 } - 3 \, \delta _ { 1 } ^ { 2 } \right) \, \sin ^ { 2 } \left( v _ { 3 } - \tilde { \gamma } _ { 3 } \right) + 6 \, \delta _ { 1 } ^ { 2 } - 5 } \end{array}
\psi _ { i } ( x ) = \partial \varphi _ { i } ( x ) = \pi _ { i } ( x ) + \varphi _ { i } ^ { \prime } ( x ) , \ \ \ { \overline { { \psi } } } _ { i } ( x ) = { \overline { { \partial } } } \varphi _ { i } ( x ) = \pi _ { i } ( x ) - \varphi _ { i } ^ { \prime } ( x ) .
\left\{ \begin{array} { r c l } { { { \cal D } _ { a } \hat { \cal M } } } & { { = } } & { { \partial _ { a } { \cal M } - A _ { ( 1 ) a } \left[ { \cal E } { \cal M } + { \cal M } { \cal E } ^ { T } \right] \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { { \cal D } _ { y } { \cal M } } } & { { = } } & { { K ^ { 3 / 4 } \left( { \cal E } { \cal M } + { \cal M } { \cal E } ^ { T } \right) \, . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { x ^ { ( k + 1 ) } \! = \! \operatorname* { m a x } ( W ^ { ( k ) } x ^ { ( k ) } + b ^ { ( k ) } , 0 ) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array} { l l } { x ^ { ( k + 1 ) } \geq W ^ { ( k ) } x ^ { ( k ) } + b ^ { ( k ) } } \\ { x ^ { ( k + 1 ) } \leq W ^ { ( k ) } x ^ { ( k ) } + b ^ { ( k ) } - l ^ { ( k ) } \odot ( \mathrm { 1 } _ { n _ { k + 1 } } - t ^ { ( k ) } ) } \\ { x ^ { ( k + 1 ) } \geq 0 , \quad x ^ { ( k + 1 ) } \leq u ^ { ( k ) } \odot t ^ { ( k ) } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { P } _ { \textrm { I } } ( t ) } & { { } = \sum _ { \mathbf { k , k ^ { \prime } , k ^ { \prime \prime } } } \sum _ { u , v , r , s } \sum _ { \alpha , \beta } \langle \psi _ { r \mathbf { k } } | \Psi _ { \alpha \mathbf { k ^ { \prime } } } ( t _ { 0 } ) \rangle \langle \Psi _ { \alpha \mathbf { k ^ { \prime } } } ( t ) | \psi _ { u \mathbf { k } } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta g _ { \mathrm { 2 e l , l a d - W } } ^ { ( 2 ) } } & { { } = } & { \frac { 1 } { m _ { a } } \sum _ { b } \sum _ { P , Q } ( - 1 ) ^ { P + Q } \frac { i } { \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } \omega } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \frac { 1 } { - \omega _ { 1 } } \partial _ { \sigma } - \epsilon ( \partial _ { \sigma } + \partial _ { \theta } ) + \epsilon ^ { 3 } \omega _ { 2 } \partial _ { 0 } + \omega ^ { 4 } \omega _ { 3 } \partial _ { 0 } \right) \frac { 1 } { \epsilon } D } & { = \gamma \left[ \frac { - 1 } { \epsilon } D + ( I _ { 0 } + I _ { 1 } \frac { \epsilon } { \epsilon } D ) \frac { 1 } { \epsilon } | E | ^ { 2 } \right] , } \end{array}
H _ { A F } = \sum _ { q , i } \frac { \Omega _ { i } } { 2 } \left[ ( \epsilon _ { q , \rightarrow } \hat { \mathcal { R } } + e ^ { i \phi _ { i } } \epsilon _ { q , \leftarrow } \hat { \mathcal { R } } ^ { \dag } ) \Sigma _ { q } ^ { \dag } + h . c . \right]
\begin{array} { r l } { \hat { R } } & { = \hat { R } _ { 2 } = - \frac { p } { 2 } - \sqrt { \frac { p ^ { 2 } } { 4 } - q } } \\ & { = \frac { \beta n _ { \mathrm { s i t e s } } + \alpha n _ { \mathrm { v e s } } + \gamma } { 2 \alpha \beta } - \sqrt { \frac { ( \beta n _ { \mathrm { s i t e s } } + \alpha n _ { \mathrm { v e s } } + \gamma ) ^ { 2 } } { ( 2 \alpha \beta ) ^ { 2 } } - \frac { n _ { \mathrm { v e s } } n _ { \mathrm { s i t e s } } } { \alpha \beta } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ( Z , \Omega ) = } & { \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left[ \mathcal { B } ( | u _ { j } | ^ { 2 } , d _ { j } ) + \frac { \beta _ { 1 } } { 2 } \left\| u _ { j } - \mathcal { F } ( \omega \circ S _ { j } z ) + \frac { \Lambda _ { j } } { \beta _ { 1 } } \right\| _ { 2 } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 \beta _ { 1 } } \| \Lambda _ { j } \| _ { 2 } ^ { 2 } \right] } \\ & { + \lambda ( \| v \| _ { 1 } - \alpha \| v \| _ { 2 , 1 } ) + \frac { \beta _ { 2 } } { 2 } \left\| v - \nabla z + \frac { y } { \beta _ { 2 } } \right\| _ { 2 } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 \beta _ { 2 } } \| y \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { \geq \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left[ \mathcal { B } ( | u _ { j } | ^ { 2 } , d _ { j } ) - \frac { 1 } { 2 \beta _ { 1 } } \| \Lambda _ { j } \| _ { 2 } ^ { 2 } \right] - \frac { 1 } { 2 \beta _ { 2 } } \| y \| _ { 2 } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \Delta _ { g } u _ { k } + A u _ { k } } & { = A u _ { k - 1 } + F ( \cdot , u _ { k - 1 } ) \; \mathrm { i n } \; M , k \in \mathbb { N } , } \\ { \frac { \partial u _ { k } } { \partial \nu } + B u _ { k } } & { = B u _ { k - 1 } - \sigma u _ { k - 1 } + G ( \cdot , u _ { k - 1 } ) \; \mathrm { o n } \; \partial M , k \in \mathbb { N } . } \end{array}
\hat { L } ( 0 ) = 1 + \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left( \frac { 1 } { n ! } \right) ^ { 2 } \lambda _ { i _ { 1 } \ldots i _ { n } } ^ { a _ { 1 } \ldots a _ { n } } ( \hat { E } _ { i _ { 1 } \ldots i _ { n } } ^ { a _ { 1 } \ldots a _ { n } } ) ^ { \dagger }
f ^ { \mathrm { ~ T ~ P ~ E ~ } } ( t ) = \frac { \Theta _ { \mathrm { ~ T ~ P ~ E ~ } } } { \sqrt { 2 \pi } \, \sigma _ { \mathrm { ~ T ~ P ~ E ~ } } } \mathrm { ~ e ~ } ^ { - \frac { t ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { \mathrm { ~ T ~ P ~ E ~ } } ^ { 2 } } } ,
\begin{array} { r l } { \lefteqn { \int _ { \Omega } | x - y | ^ { 2 } d \pi - \int _ { B _ { R } } | \nabla \phi | ^ { 2 } } } \\ & { \le 2 \big ( \int _ { \Omega } | x - y | ^ { 2 } d \pi \big ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Big ( \big ( \int _ { \Omega } | x - y | ^ { 2 } d \pi \big ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } - \big ( \int _ { B _ { R } } | \nabla \phi | ^ { 2 } \big ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { P _ { \mathrm { f a c } } ^ { \mathrm { B o x } } = \prod _ { b = 1 } ^ { N _ { b } } \exp \left( - \left[ \sum _ { j = 1 } ^ { B _ { b } } { \Delta U _ { j } } \right] ^ { + } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varphi ^ { \prime } ( 1 ) } & { = \underbrace { ( 1 - \vartheta ) + \vartheta \varrho ^ { r + 1 } } _ { = \varrho \mathrm { ~ b y ~ ( ) } } + \vartheta ( r + 1 ) \varrho ^ { r } \varphi ^ { \prime } ( 1 ) = \frac { \varrho } { 1 - ( r + 1 ) \underbrace { \vartheta \varrho ^ { r } } _ { = 1 - ( 1 - \vartheta ) \varrho ^ { - 1 } } } } \\ & { = \frac { \varrho ^ { 2 } } { ( 1 - \vartheta ) ( r + 1 ) - r \varrho } \quad ( \mathrm { m u l t i p l y i n g ~ b y ~ } \frac { \varrho } { \varrho } ) . } \end{array}
\mathbf { n } \times ( \mathbf { L } \times \mathbf { n } ) = \mathbf { L } ( \mathbf { n } \cdot \mathbf { n } ) - \mathbf { n } ( \mathbf { n } \cdot \mathbf { L } ) = \mathbf { L } - \mathbf { n } ( \mathbf { n } \cdot \mathbf { L } )
\begin{array} { r l } { F ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ) } & { { } = \sum _ { \lambda } \sqrt { r _ { \lambda } } \, u _ { \lambda } ^ { ( 1 ) } ( \omega _ { 1 } ) u _ { \lambda } ^ { ( 2 ) } ( \omega _ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { \infty } d t u _ { d p } ( x = 0 , t ) = u _ { d p } ^ { \ast } ( x = 0 , \sigma = 0 ) = - \frac { \Gamma _ { p } ( 1 - \chi ) \ell _ { p } } { D _ { s } } . } \end{array}
\frac { d } { d t } \mathbb { E } \left[ \left[ Q _ { i } ^ { w } \right] _ { t } \right] = \mathbb { E } \left[ \frac { \lambda N } { M } \sum _ { \substack { v \in \mathcal { N } _ { w } \, X _ { v } ( t ) = i - 1 } } \sum _ { w ^ { \prime } \in \mathcal { N } _ { v } } \frac { q _ { i - 1 } ^ { w ^ { \prime } } ( t ) ^ { d } - q _ { i } ^ { w ^ { \prime } } ( t ) ^ { d } } { Q _ { i - 1 } ^ { w ^ { \prime } } ( t ) - Q _ { i } ^ { w ^ { \prime } } ( t ) } + \left( Q _ { i } ^ { w } ( t ) - Q _ { i } ^ { w } ( t ) \right) \right] .
\begin{array} { r l } & { \quad _ { 5 } + _ { 4 } + _ { 8 } + _ { 4 } + _ { 4 } } \\ & { \qquad \qquad + _ { 2 , 1 } + _ { 2 } + _ { 1 0 } + _ { 1 6 } + _ { 6 } + _ { 2 , 2 } + _ { 3 } } \\ & { = \delta ( q , j > m - n ) \alpha _ { 1 } e _ { p , j } ^ { ( 2 ) } [ - 2 ] e _ { i , q } ^ { ( 2 ) } + \delta ( q , j > m - n ) \alpha _ { 1 } e _ { p , j } ^ { ( 2 ) } [ - 2 ] e _ { i , q } ^ { ( 1 ) } } \\ & { \quad + \delta ( q , j > m - n ) \alpha _ { 1 } e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] e _ { i , q } ^ { ( 2 ) } + \delta ( q , j > m - n ) \alpha _ { 1 } e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] e _ { i , q } ^ { ( 1 ) } } \\ & { = \delta ( q , j > m - n ) \alpha _ { 1 } ( \partial W _ { p , j } ^ { ( 1 ) } ) _ { ( - 1 ) } W _ { i , q } ^ { ( 1 ) } . } \end{array}
\operatorname* { l i m i n f } _ { \delta \to 0 } \operatorname* { s u p } _ { W : | W | < \delta } \sum _ { i } \left( \frac { | W | } { | V _ { i } | } \right) ^ { q } \frac { | W _ { i } | } { | W | } \leq \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq p \leq 1 } \left( 2 \sqrt \frac { ( 1 - p ) b _ { \star } \Lambda _ { 1 } ^ { + } } { c _ { \star } a _ { \star } \Lambda _ { 1 } ^ { - } } + 2 \sqrt { \frac { p b _ { \diamond } } { c _ { \diamond } a \gamma } } + 4 \sqrt { \frac { p b h } { c a \gamma } } \right) .
\begin{array} { r l r } { q _ { m } } & { { } \to } & { \pi \left( \frac { 3 \Gamma } { 2 \Omega k a } \right) ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \rho | x | } { ( x ^ { 2 } + \rho ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } \left[ \frac { 2 x ^ { 2 } + \rho ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + \rho ^ { 2 } } J _ { 0 } ( s ( \rho ) ) \right. } \\ { s ( \rho ) } & { { } = } & { k a \frac { \rho } { \sqrt { x ^ { 2 } + \rho ^ { 2 } } } \sqrt { m _ { y } ^ { 2 } + m _ { z } ^ { 2 } } } \end{array}
\tilde { h } _ { I J K } \rightarrow \prod _ { i = 1 } ^ { N } \left( i c _ { i } M ^ { i } + d _ { i } \right) ^ { - ( n _ { I } ^ { i } + n _ { J } ^ { i } + n _ { K } ^ { i } + 1 ) } \tilde { h } _ { I J K } .
\begin{array} { r l } { \mathbf { J } _ { \mathrm { e d d y } } } & { = \sigma ( \mathbf { E } _ { 1 } - \boldsymbol { \nabla } V + \mathbf { v } \times \mathbf { B } _ { 0 } ) = \frac { 1 } { 2 } \sigma ( \omega _ { \mathrm { r } } - \omega _ { \mathrm { f } } ) B _ { 0 } [ z \mathbf { \hat { x } } - x \mathbf { \hat { z } } ] } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \sigma ( \omega _ { \mathrm { r } } - \omega _ { \mathrm { f } } ) [ ( \mathbf { B } _ { 0 } \boldsymbol { \cdot } \mathbf { r } ) \mathbf { \hat { z } } - z \mathbf { B } _ { 0 } ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } \boldsymbol { u } + ( \boldsymbol { u } \cdot \nabla ) \boldsymbol { u } + \frac { 1 } { \mathrm { R o } } f \boldsymbol { u } ^ { \perp } } & { = - \frac { \alpha } { \mathrm { F r } ^ { 2 } } \nabla ( ( 1 + \mathfrak { s } b ) \zeta ) + \frac { \mathfrak { s } } { 2 \, \mathrm { F r } ^ { 2 } } ( \alpha \zeta - h ) \nabla b , } \\ { \frac { \partial } { \partial t } \eta + \nabla \cdot ( \eta \boldsymbol { u } ) } & { = 0 , } \\ { \frac { \partial } { \partial t } b + ( \boldsymbol { u } \cdot \nabla ) b } & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r l r } { \Gamma _ { v } ^ { - 1 } \nabla f ( x ) = \nabla ^ { 2 } f ( y ) [ v ] + r ( x ) } & { } & { \mathrm { w h e r e } } & { } & { r ( x ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } \big ( \Gamma _ { \tau v } ^ { - 1 } \circ \nabla ^ { 2 } f ( \gamma ( \tau ) ) \circ \Gamma _ { \tau v } ^ - \nabla ^ { 2 } f ( y ) \big ) [ v ] \mathrm { d } \tau . } \end{array}
\begin{array} { r l } { w _ { \delta } ^ { m } ( x ) } & { = \operatorname* { m a x } \left( \ln \mathbb { E } _ { x } \left[ e ^ { \int _ { 0 } ^ { \delta } ( f ( X _ { s } ) - \lambda _ { \delta } ^ { m } ) d s + 1 _ { \{ X _ { \delta } \in B _ { m } \} } w _ { \delta } ^ { m } ( X _ { \delta } ) + 1 _ { \{ X _ { \delta } \notin B _ { m } \} } M w _ { \delta } ^ { m } ( X _ { \delta } ) } \right] \right. , } \\ & { \phantom { = = } M w _ { \delta } ^ { m } ( x ) \Big ) , \quad x \in B _ { m } . } \end{array}
n _ { \mathrm { t o t } } = \left[ \frac { 2 P } { \gamma _ { \mathrm { r } } } - \frac { 2 \gamma _ { \mathrm { c } } } { R } \right] + \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { m } \frac { P R ^ { m } } { \gamma _ { \mathrm { r } } ^ { m + 1 } } \left( | \psi _ { \mathrm { t o t } } | ^ { 2 } \right) ^ { m } .
\begin{array} { r } { \theta _ { s } ^ { \operatorname* { s u p } , \varlimsup } = \operatorname* { s u p } _ { V \in \mathcal { G } ( s , d ) } \varlimsup _ { n \to \infty } \frac { 1 } { n } a _ { 1 , n } ( V ) , \quad \theta _ { s } ^ { \operatorname* { s u p } , \varliminf } = \operatorname* { s u p } _ { V \in \mathcal { G } ( s , d ) } \varliminf _ { n \to \infty } \frac { 1 } { n } a _ { 1 , n } ( V ) } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { \mathcal { F } _ { 3 2 } = } & & { ( s _ { 5 } + s _ { 3 1 } ) \otimes 1 } \\ & { } & & { \qquad + ( s _ { 2 } + s _ { 3 } + s _ { 4 } + s _ { 2 1 } ) \otimes e _ { 1 } + ( s _ { 1 } + s _ { 3 } + s _ { 1 1 } ) \otimes e _ { 2 } + ( 1 + s _ { 1 } + s _ { 2 } ) \otimes e _ { 1 1 } , } \\ & { \mathcal { F } _ { 2 2 1 } = } & & { ( s _ { 5 } + s _ { 3 1 } ) \otimes 1 } \\ & { } & & { \qquad + ( s _ { 3 } + s _ { 4 } + s _ { 2 1 } ) \otimes e _ { 1 } + ( s _ { 1 } + s _ { 3 } + s _ { 1 1 } ) \otimes e _ { 2 } } \\ & { } & & { \qquad + s _ { 2 } \otimes e _ { 1 1 } + s _ { 2 } \otimes e _ { 3 } + ( 1 + s _ { 1 } ) \otimes e _ { 2 1 } , } \\ & { \mathcal { F } _ { 2 1 1 1 } = } & & { ( s _ { 5 } + s _ { 3 1 } ) \otimes 1 } \\ & { } & & { \qquad + ( s _ { 3 } + s _ { 4 } + s _ { 2 1 } ) \otimes e _ { 1 } + ( s _ { 3 } + s _ { 1 1 } ) \otimes e _ { 2 } } \\ & { } & & { \qquad + s _ { 2 } \otimes e _ { 1 1 } + s _ { 2 } \otimes e _ { 3 } + s _ { 1 } \otimes e _ { 2 1 } + s _ { 1 } \otimes e _ { 4 } + 1 \otimes e _ { 3 1 } ; } \end{array}
\bar { \psi } _ { 2 } ^ { \nu _ { 1 } \cdots \nu _ { j _ { 2 } } } \Gamma \psi ^ { \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { j _ { 1 } } } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N } f _ { i } ( \omega ) t _ { \nu _ { 1 } \cdots \nu _ { j _ { 2 } } ; \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { j _ { 1 } } } ^ { i } \right)
\begin{array} { r l r } { E _ { I I I , p } ( { \bf r } ) } & { { } = } & { t _ { 1 2 } t _ { 2 1 } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( r _ { 2 1 } ) ^ { 2 n } e ^ { \imath \Phi _ { m } ( n + \frac { 1 } { 2 } ) } e ^ { \imath \, { \bf k _ { i } } . ( { \bf r } - \Delta { \bf r } _ { m } - ( n + \frac { 1 } { 2 } ) \Delta { \bf r } ) } } \end{array}
\mathrm { S K L } _ { \mathrm { i n t } } ^ { \mathrm { D a y ( N i g h t ) } } = 2 \int _ { 0 } ^ { d _ { \mathrm { m a x } } } \mathrm { S K L } _ { d } ^ { \mathrm { D a y ( N i g h t ) } } \, \, \mathrm { d } d
\begin{array} { r } { \hat { B } = \frac { 1 } { 2 c ^ { 2 } } \sum _ { i > j } \left[ \frac { \nabla _ { i } \cdot \nabla _ { j } } { r _ { i j } } + \frac { \textbf { r } _ { i j } \cdot ( \textbf { r } _ { i j } \cdot \nabla _ { j } ) \nabla _ { i } } { r _ { i j } ^ { 3 } } \right] , } \end{array}
\Delta _ { i } = - 2 \frac { n q _ { 0 } - m + 1 - ( r _ { c } / r _ { w } ) ^ { 2 m } } { [ n q _ { 0 } - m + 1 - ( r _ { c } / r _ { s } ) ^ { 2 m } ] [ 1 - ( r _ { s } / r _ { w } ) ^ { 2 m } ] } .
\vec { q } _ { 1 } ^ { z } = \frac { 1 } { 2 \sqrt { Q ^ { 2 } } } \left( [ Q ^ { 2 } - m _ { 1 } ^ { 2 } - m _ { 2 } ^ { 2 } ] ^ { 2 } - 4 m _ { 1 } ^ { 2 } m _ { 2 } ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } .
{ \left[ \begin{array} { l l l l l } { \lambda _ { 1 } } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \lambda _ { 1 } } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \lambda _ { 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \lambda _ { 2 } } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \lambda _ { 2 } } \end{array} \right] } ^ { n } = { \left[ \begin{array} { l l l l l } { \lambda _ { 1 } ^ { n } } & { { \binom { n } { 1 } } \lambda _ { 1 } ^ { n - 1 } } & { { \binom { n } { 2 } } \lambda _ { 1 } ^ { n - 2 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \lambda _ { 1 } ^ { n } } & { { \binom { n } { 1 } } \lambda _ { 1 } ^ { n - 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \lambda _ { 1 } ^ { n } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \lambda _ { 2 } ^ { n } } & { { \binom { n } { 1 } } \lambda _ { 2 } ^ { n - 1 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \lambda _ { 2 } ^ { n } } \end{array} \right] } ,
\sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \, U _ { n } ( x ) { \frac { \; t ^ { n } \, } { n ! } } = e ^ { t x } \left( \cosh \left( \, t \, { \sqrt { x ^ { 2 } - 1 \, } } \, \right) + { \frac { x } { \, { \sqrt { x ^ { 2 } - 1 \, } } \, } } \sinh \left( \, t \, { \sqrt { x ^ { 2 } - 1 \, } } \, \right) \, \right) ~ .
{ \begin{array} { r l } { { \frac { d } { d t } } \left( { \frac { \partial L } { \partial { \dot { \mathbf { q } } } } } { \frac { \partial \varphi } { \partial \mathbf { q } } } { \dot { \mathbf { q } } } T \right) } & { = \left( { \frac { d } { d t } } { \frac { \partial L } { \partial { \dot { \mathbf { q } } } } } \right) { \frac { \partial \varphi } { \partial \mathbf { q } } } { \dot { \mathbf { q } } } T + { \frac { \partial L } { \partial { \dot { \mathbf { q } } } } } \left( { \frac { d } { d t } } { \frac { \partial \varphi } { \partial \mathbf { q } } } \right) { \dot { \mathbf { q } } } T + { \frac { \partial L } { \partial { \dot { \mathbf { q } } } } } { \frac { \partial \varphi } { \partial \mathbf { q } } } { \ddot { \mathbf { q } } } \, T } \\ & { = { \frac { \partial L } { \partial \mathbf { q } } } { \frac { \partial \varphi } { \partial \mathbf { q } } } { \dot { \mathbf { q } } } T + { \frac { \partial L } { \partial { \dot { \mathbf { q } } } } } \left( { \frac { \partial ^ { 2 } \varphi } { ( \partial \mathbf { q } ) ^ { 2 } } } { \dot { \mathbf { q } } } \right) { \dot { \mathbf { q } } } T + { \frac { \partial L } { \partial { \dot { \mathbf { q } } } } } { \frac { \partial \varphi } { \partial \mathbf { q } } } { \ddot { \mathbf { q } } } \, T . } \end{array} }
\overline { { q } } ( 4 ) = \left[ \begin{array} { l } { \overline { { p } } ( 4 ) _ { 1 } } \\ { \overline { { p } } ( 4 ) _ { 2 } + t } \end{array} \right] \mathrm { , ~ } \overline { { q } } ( n - 1 ) = \left[ \begin{array} { l } { \overline { { p } } ( n - 1 ) _ { 1 } + s } \\ { \overline { { p } } ( n - 1 ) _ { 2 } } \end{array} \right] \mathrm { ~ a n d ~ } \overline { { q } } ( n ) = \left[ \begin{array} { l } { \overline { { p } } ( n ) _ { 1 } + r } \\ { \overline { { p } } ( n ) _ { 2 } - r } \end{array} \right]
\Phi ( x , \gamma ) = \sqrt { \frac \pi 2 } ( 2 j + 1 ) \int _ { - \infty } ^ { + \infty } e ^ { - ( x - y ) ^ { 2 } / 2 } \frac { \gamma ^ { 2 } } { y ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } / 4 } d y \, .
\left[ \begin{array} { c } { { X _ { \mu _ { 1 } } ^ { A _ { 1 } } } } \\ { { X _ { \mu _ { 2 } } ^ { A _ { 2 } } } } \end{array} \right] \rightarrow \left[ \begin{array} { c } { { X _ { \mu _ { 1 } } ^ { A _ { 1 } } } } \\ { { X _ { \mu _ { 2 } } ^ { A _ { 2 } } } } \end{array} \right] ^ { \prime } = \sqrt { ( X _ { \mu _ { 1 } } ^ { A _ { 1 } } ) ^ { 2 } + ( X _ { \mu _ { 2 } } ^ { A _ { 2 } } ) ^ { 2 } } \left[ \begin{array} { c } { { \sin ( \phi ) } } \\ { { \cos ( \phi ) } } \end{array} \right] ,
\ \sum _ { n _ { r } = 1 } ^ { \infty } \; \sum _ { k _ { r } = 1 } ^ { n _ { r } } \; { \binom { n _ { r } } { k _ { r } } } \; \frac { ( - ) ^ { k _ { r } } } { n _ { r } } \; k _ { r } \; E _ { r } ^ { k } \; = \; E _ { r } \; \cdot \; \sum _ { n ^ { \prime } = 0 } ^ { \infty } \; ( E - E _ { r } ) ^ { n ^ { \prime } } \; = \; E \; .
\begin{array} { r l r } { \mathrm { I } ( x , y , z = H , \theta , \phi ) } & { = } & { \mathrm { I } _ { t } \, \delta ( { \ensuremath { \boldsymbol } s } - { \ensuremath { \boldsymbol } s } _ { 0 } ) + \frac { \mathrm { I _ { D } } } { \pi } , \quad \pi / 2 \le \theta \le \pi , } \\ { \mathrm { I } ( x , y , z = 0 , \theta , \phi ) } & { = } & { 0 , \qquad 0 \le \theta \le \pi / 2 . } \end{array}
M _ { \mathrm { J } } = { \frac { 4 \pi } { 3 } } \rho R _ { \mathrm { J } } ^ { 3 } = { \frac { \pi } { 6 } } \cdot { \frac { c _ { s } ^ { 3 } } { G ^ { \frac { 3 } { 2 } } \rho ^ { \frac { 1 } { 2 } } } } \approx 2 { \mathrm { ~ M } } _ { \odot } \cdot \left( { \frac { c _ { s } } { 0 . 2 { \mathrm { ~ k m ~ s } } ^ { - 1 } } } \right) ^ { 3 } \left( { \frac { n } { 1 0 ^ { 3 } { \mathrm { ~ c m } } ^ { - 3 } } } \right) ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } .
\overline { { k _ { n n } ^ { ( 2 ) } } } ( h ) = \sum _ { h _ { i } , h _ { j } } \bigg ( \frac { \overline { { k ^ { ( 2 ) } } } ( h _ { i } ) + \overline { { k ^ { ( 2 ) } } } ( h _ { j } ) } { 2 } \bigg ) p ( h _ { i } , h _ { j } | h ) ,
\begin{array} { r l } { 2 \eta \mathbb { E } \left[ f ( x _ { t - 1 } ) - f ( x ^ { * } ) \right] } & { \leq \mathbb { E } \left[ \| x _ { t - 1 } - x ^ { * } \| _ { 2 } ^ { 2 } \right] - \mathbb { E } \left[ \| x _ { t } - x ^ { * } \| _ { 2 } ^ { 2 } \right] + \eta ^ { 2 } \alpha _ { 2 } ^ { \tt m } ( Q ) ^ { 2 } + 2 \eta D \beta _ { 2 } ^ { \tt m } ( Q ) . } \end{array}
\frac { 1 } { 2 \pi } \, \int _ { 0 } ^ { \mu } w _ { 1 } ^ { V } ( \epsilon ) \, \mathrm { d } \epsilon \; = \; \frac { \xi _ { \pi } ^ { V } } { m _ { c } ^ { 2 } } \mu _ { \pi } ^ { 2 } ( \mu ) \; - \; \frac { \xi _ { G } ^ { V } ( \mu ) } { m _ { c } ^ { 2 } } \mu _ { G } ^ { 2 } ( \mu ) \; \; .
\begin{array} { r l r } { { \bf e } _ { j } ^ { \{ r \} } } & { { } = } & { \left( r ^ { \prime } ( x _ { 1 } ) , 0 , 0 \right) , } \\ { { \bf e } _ { j } ^ { \{ \theta \} } } & { { } = } & { \left( 0 , r ( x _ { 1 } ) , 0 \right) , } \\ { { \bf e } _ { j } ^ { \{ \varphi \} } } & { { } = } & { \left( 0 , 0 , r ( x _ { 1 } ) \ \sin \theta \right) . } \end{array}
I _ { E C S } \sim \int d ^ { 3 } x \left[ f _ { 0 } \left( \partial _ { 1 } f _ { 2 } - \partial _ { 2 } f _ { 1 } \right) - f _ { 1 } \left( \partial _ { 0 } f _ { 2 } - \partial _ { 2 } f _ { 0 } \right) + f _ { 2 } \left( \partial _ { 0 } f _ { 1 } - \partial _ { 1 } f _ { 0 } \right) \right] \ .
\omega _ { l , \pm } ^ { > } = \frac { i } { 2 } \gamma \pm \sqrt { \Omega ^ { 2 } + \frac { 2 } { m } \left( K - \sqrt { K ^ { 2 } - \bar { K } ^ { 2 } } \cos \theta _ { l } \right) - \frac { \gamma ^ { 2 } } { 4 } } .
\lambda _ { 1 } = 1 . 0 \, \mu \mathrm { m } , \lambda _ { 2 } = 1 . 1 \, \mu \mathrm { m } , \lambda _ { 3 } = 1 . 2 \, \mu \mathrm { m } , \lambda _ { 4 } = 1 . 3 \, \mu \mathrm { m } , \lambda _ { 5 } = 1 . 4 \, \mu \mathrm { m }
\begin{array} { r l } { \frac { n + 2 k - 2 } { 2 } } & { - \left( c _ { k } \sqrt { n } + \frac { n + 6 k - 4 } { 3 } - 2 \right) } \\ & { = \frac { 2 } { 3 } \cdot \frac { n + 2 k - 2 } { 4 } - \frac { 3 c _ { k } \sqrt { n } + 4 k - 8 } { 3 } } \\ & { \geq \frac { 2 ( 2 c _ { k } \sqrt { n } + k ^ { 2 } + 2 k + 1 ) } { 3 } - \frac { 3 c _ { k } \sqrt { n } + 4 k - 8 } { 3 } } \\ & { = \frac { c _ { k } \sqrt { n } + 2 k ^ { 2 } + 1 0 } { 3 } } \\ & { > 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { h _ { 1 } } & { { } = \frac { g _ { 1 } } { C _ { 1 1 } + C _ { 1 2 } } = ( - 1 9 . 6 \pm 0 . 2 ) ~ \frac { \mathrm { M H z } } { \mathrm { G P a } } } \\ { h _ { 2 } } & { { } = \frac { g _ { 2 } } { C _ { 1 1 } - C _ { 1 2 } } = ( 4 . 0 4 \pm 1 . 2 ) ~ \frac { \mathrm { M H z } } { \mathrm { G P a } } \ , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f _ { \mathrm { ~ B ~ } } } & { { } \rightarrow } & { \sqrt { \frac { 2 \mu } { \pi \hbar ^ { 2 } k } } \sin ( k r - l \pi / 2 + \delta _ { l } ) } \\ { g _ { \mathrm { ~ B ~ } } } & { { } \rightarrow } & { - \sqrt { \frac { 2 \mu } { \pi \hbar ^ { 2 } k } } \cos ( k r - l \pi / 2 + \delta _ { l } ) } \end{array}
- 2 \Big ( P _ { n \rightarrow \Delta ^ { 0 } } + 2 P _ { p \rightarrow \Delta ^ { + } } \Big ) \frac { \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \Big ( g _ { 1 } ^ { n \rightarrow \Delta ^ { 0 } } ( x ) + g _ { 1 } ^ { p \rightarrow \Delta ^ { + } } ( x ) \Big ) } { \Gamma _ { p } - \Gamma _ { n } } = 0 . 9 5 6 - 0 . 9 2 1 \frac { \tilde { \Gamma } _ { p } - \tilde { \Gamma } _ { n } } { \Gamma _ { p } - \Gamma _ { n } } \ .