harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left. \begin{array} { r l } { { \bf u } } & { { } = \breve { { \bf u } } \quad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \quad \mathcal { S } _ { 1 } , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad { \bf T } _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } { \bf n } _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } = \breve { { \bf t } } _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } \quad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \quad \mathcal { S } _ { 2 } ; } \\ { \bar { c } } & { { } = \breve { \bar { c } } \quad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \quad \mathcal { S } _ { 3 } , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad - { \bf j } _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } \cdot { \bf n } _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } = \breve { j } \quad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \quad \mathcal { S } _ { 4 } ; } \\ { \phi } & { { } = \breve { \phi } \quad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \quad \mathcal { S } _ { 5 } , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad - \textbf { d } _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } \cdot { \bf n } _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } = \breve { \varpi } \quad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \quad \mathcal { S } _ { 6 } ; } \\ { \bar { \xi } } & { { } = \breve { \bar { \xi } } \quad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \quad \mathcal { S } _ { 7 } , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \lambda _ { \xi } \nabla \bar { \xi } \cdot { \bf n } _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } = 0 \quad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \quad \mathcal { S } _ { 8 } ; } \\ { \mathrm { ~ d ~ } } & { { } = \breve { \mathrm { ~ d ~ } } \quad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \quad \mathcal { S } _ { 9 } , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad { \nabla \mathrm { ~ d ~ } } \cdot { \bf n } _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } = 0 \quad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \quad \mathcal { S } _ { 1 0 } . } \end{array} \right\}
a _ { 1 1 } = \frac { c } { \varepsilon } ( M - 1 - T ( N - 1 ) ) , a _ { 1 2 } = \frac { 1 } { \varepsilon } \binom { N - 1 } { M - 1 } T ^ { M } ( 1 - T ) ^ { N - M + 1 } b ,
\vec { B } \left( \vec { r } \right) = \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } \int _ { l } \int _ { s } j \left[ d \vec { l } \times \left( \vec { r } - \vec { r } ^ { \prime } \right) \right] d \vec { l } \left| \vec { r } - \vec { r } ^ { \prime } \right| ^ { - 3 } d s ,
h \sim ( 3 ; 0 , - { \frac { 1 } { 3 } } ; 0 , 0 ) , ~ ~ ~ h ^ { c } \sim ( 3 ^ { * } ; 0 , 0 ; 0 . { \frac { 1 } { 3 } } ) , ~ ~ ~ S \sim ( 1 ; 0 , { \frac { 1 } { 3 } } ; 0 , - { \frac { 1 } { 3 } } ) .
\phi ( x , t ) = { \frac { 4 } { \beta } } \tan ^ { - 1 } \left\{ \exp \left[ { \frac { \alpha _ { 0 } } { ( 1 - v ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } } } ( x - q _ { 0 } - v t ) \right] \right\}
\sum _ { n = 1 } ^ { p } a _ { n } ^ { + } + \sum _ { n = 1 } ^ { q } a _ { n } ^ { - } = a _ { \sigma ( 1 ) } + \cdots + a _ { \sigma ( m _ { 1 } ) } + a _ { \sigma ( m _ { 1 } + 1 ) } + \cdots + a _ { \sigma ( n _ { 1 } ) } ,
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \in \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \partial \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! B \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \cap \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \Sigma \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { s } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { r l r } { z ( t ) } & { = } & { { \cal T } _ { q } ( t - s _ { i } ) { \cal K } _ { i } ( s _ { i } , z _ { s _ { i } } ) + \int _ { s _ { i } } ^ { t } { \cal S } _ { q } ( t - e ) { \cal F } ( e , z _ { e } ) d e } \\ & { } & { + \int _ { s _ { i } } ^ { t } { \cal S } _ { q } ( t - e ) { \cal G } ( e , z _ { e } ) d \hat { \cal W } ( e ) + \int _ { s _ { i } } ^ { t } { \cal S } _ { q } ( t - e ) \sigma ( e ) d { \cal B } ^ { \hat { \cal H } } ( e ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { E ( u + v ) - E ( u ) } \\ { = } & { \int _ { \Omega } \left( \frac { 1 } { 2 } | \nabla u + \nabla v | ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } | \nabla u | ^ { 2 } \right) + \int _ { \Omega } \left( \frac { 1 } { 2 } V | u + v | ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } V | u | ^ { 2 } \right) } \\ & { \qquad \qquad + \int _ { \Omega } \left( \frac { \beta } { 4 } | u + v | ^ { 4 } - \frac { \beta } { 4 } | u | ^ { 4 } \right) } \\ { = } & { \int _ { \Omega } \left( \nabla u \cdot \nabla v + V u v + \beta | u | ^ { 2 } u v \right) } \\ & { \qquad \qquad + \frac { 1 } { 2 } \int _ { \Omega } \left( | \nabla v | ^ { 2 } + V | v | ^ { 2 } \right) + \int _ { \Omega } \left( \frac { 3 \beta } { 2 } | u | ^ { 2 } | v | ^ { 2 } + \beta | v | ^ { 2 } u v + \frac { \beta } { 4 } | v | ^ { 4 } \right) } \\ { = } & { \left( \nabla _ { H ^ { 1 } } E ( u ) , v \right) _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } } \\ & { \qquad \qquad + \frac { 1 } { 2 } \int _ { \Omega } \left( | \nabla v | ^ { 2 } + V | v | ^ { 2 } \right) + \int _ { \Omega } \left( \frac { 3 \beta } { 2 } | u | ^ { 2 } | v | ^ { 2 } + \beta | v | ^ { 2 } u v + \frac { \beta } { 4 } | v | ^ { 4 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( { { { \tilde { X } } } _ { 1 } ^ { \prime } } , { { X } _ { 2 } ^ { \prime } } ) } & { \approx ( { { { \tilde { X } } } _ { 1 } } , { { X } _ { 2 } } ) \! + \! \biggl ( \sum _ { k = 1 } ^ { K } B _ { k } { \tilde { W } _ { k } } , \sum _ { k = 1 } ^ { K } B _ { k } ^ { ' } { { W } _ { | | k } } \biggr ) } \\ & { = ( { { { \tilde { X } } } _ { 1 } } , { { X } _ { 2 } } ) \! + \! \sqrt { \sum _ { k = 1 } ^ { K } \bigg ( \frac { B _ { k } } { \sqrt { 1 + A ^ { 2 } } } + \frac { B _ { k } ^ { \prime } A } { \sqrt { 1 + A ^ { 2 } } } \bigg ) ^ { 2 } } { { W _ { | | } } } \textbf { i } _ { I M } + \sqrt { \sum _ { k = 1 } ^ { K } B _ { k } ^ { 2 } } { W _ { \perp } } \textbf { i } _ { Q } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \| Q ^ { k + 1 } - Q ^ { * } \| _ { \mu } ^ { 2 } } & { \leq } & { \left( 1 - ( 1 - \gamma ) \beta + \frac { 9 \beta ^ { 2 } } { \lambda _ { 0 } } \right) \| Q ^ { k } - Q ^ { * } \| _ { \mu } ^ { 2 } + \frac { 1 2 \beta \sigma _ { k } ^ { 2 } \log ( 1 / \delta _ { 0 } ) } { ( 1 - \gamma ) \lambda _ { 0 } | \mathcal { D } _ { k } | } ( 1 + \beta ( 1 - \gamma ) ) } \\ & { \leq } & { \left( 1 - \frac { ( 1 - \gamma ) ^ { 2 } \lambda _ { 0 } } { 3 6 } \right) \| Q ^ { k } - Q ^ { * } \| _ { \mu } ^ { 2 } + \frac { 1 8 \beta \sigma _ { k } ^ { 2 } \log ( 1 / \delta _ { 0 } ) } { ( 1 - \gamma ) \lambda _ { 0 } | \mathcal { D } _ { k } | } . } \end{array}
\langle T _ { \mu } ^ { \nu } ( x ) \rangle _ { R e n . } ( \mu ) - \langle T _ { \mu } ^ { \nu } ( x ) \rangle _ { R e n . } ( \mu ^ { \prime } ) = \frac 1 { 1 6 \pi ^ { 2 } } \frac 1 { \sqrt { g } } \frac { \delta } { \delta g ^ { \mu \nu } } \int d ^ { 4 } x \sqrt { g } a _ { 2 } ( x ) \ln ( \mu / \mu ^ { \prime } ) \ ,
V ^ { \left( 3 + 1 \right) } = \left( \begin{array} { l l } { { \ U ^ { \left( 3 \right) } \ } } & { { \ 0 \ } } \\ { { \ 0 \ } } & { { \ 1 \ } } \end{array} \right) K ^ { \left( 3 + 1 \right) } .
\frac { \chi \beta c \sqrt { 1 - r ^ { 2 } } \sqrt { 2 \mu _ { 0 } \rho _ { \mathrm { D M } } } X _ { a } } { \sqrt { 1 + 2 r \cos \left( \frac { \omega _ { a } L } { c } \right) + r ^ { 2 } } } \sqrt { 1 + 4 \frac { 1 + ( 1 + r ) \cos \left( \frac { \omega L } { 2 c } \right) } { 1 + 2 r \cos \left( \frac { \omega L } { c } \right) + r ^ { 2 } } } \equiv \chi S ( \omega , \omega _ { a } ; \rho _ { \mathrm { D M } } , X _ { a } ; L , r ) \, ,
s = { \frac { \Delta z } { 0 . 0 6 } } = 8 . 3 { \frac { V ^ { 2 } } { g } } , \quad { \mathrm { o r } } \quad s = 8 . 3 { \frac { 8 8 ^ { 2 } } { 3 2 . 2 } } \approx 2 0 0 0 { \mathrm { f t } } .
{ \frac { d N _ { i } } { d ^ { 4 } x } } = \sum _ { K , \ell } \sigma _ { k \ell } \ \rho _ { k } ( x ) \ \rho _ { \ell } ( x ) - \sum _ { k } \sigma _ { i k } \ \rho _ { i } ( x ) \ \rho _ { k } ( x ) \ .
\begin{array} { r } { \lambda ( E ; \{ p \} ) = \left\{ \begin{array} { l l } { p _ { N + 1 } , \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } E < p _ { 1 } } \\ { \frac { ( E - p _ { k - 1 } ) } { p _ { k } - p _ { k - 1 } } p _ { N + k } + \frac { ( p _ { k } - E ) } { p _ { k } - p _ { k - 1 } } p _ { N + k - 1 } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } p _ { k - 1 } \le E < p _ { k } , \ k = 2 , \ldots , N } \\ { p _ { 2 N } , \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } E \ge p _ { N } . } \end{array} \right. } \end{array}
\| Ḋ \mathrm Ḋ E Ḍ Ḍ _ { h } - Ḋ \mathrm Ḋ E Ḍ Ḍ \| _ { Ḋ } L ^ { 2 } Ḍ / \| \mathrm Ḋ E Ḍ \| _ { Ḋ } L ^ { 2 } Ḍ
{ \cal M } = \left( \begin{array} { l l l l l } { { 0 } } & { { m } } & { { 2 m } } & { { 3 m } } & { { \cdots } } \\ { { m } } & { { 1 / R } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \cdots } } \\ { { 2 m } } & { { 0 } } & { { 2 / R } } & { { 0 } } & { { \cdots } } \\ { { \vdots } } \end{array} \right) ,
\{ z _ { 1 } ^ { p } z _ { 2 } ^ { q } , \frac { \bar { z } _ { 1 } ^ { r } \bar { z } _ { 2 } ^ { s } \epsilon _ { i j } \bar { z } _ { i } d \bar { z } _ { j } } { ( z _ { 1 } \bar { z } _ { 1 } + z _ { 2 } \bar { z } _ { 2 } ) ^ { r + s + 2 } } \} _ { \pi } = ( r + s + 2 ) ( q z _ { 1 } \bar { z } _ { 1 } - p z _ { 2 } \bar { z } _ { 2 } ) \frac { z _ { 1 } ^ { p - 1 } z _ { 2 } ^ { q - 1 } \bar { z } _ { 1 } ^ { r } \bar { z } _ { 1 } ^ { s } \epsilon _ { i j } \bar { z } _ { i } d \bar { z } _ { j } } { ( z _ { 1 } \bar { z } _ { 1 } + z _ { 2 } \bar { z } _ { 2 } ) ^ { r + s + 3 } } .
\begin{array} { r l r l r l r l r l r l } & { \ell _ { 5 } \cup \ell _ { 6 } , } & & { \ell _ { 1 } \cup \ell _ { 2 } \cup \ell _ { 3 } \cup \ell _ { 4 } , } & & { \ell _ { 5 6 } , } & & { \ell _ { 1 3 } \cup \ell _ { 2 4 } , } & & { \mathrm { a n d } } & & { \ell _ { 1 2 5 } \cup \ell _ { 2 3 6 } \cup \ell _ { 3 4 5 } \cup \ell _ { 1 4 6 } . } \end{array}
E _ { 0 } \approx \frac { E ^ { \ast } } { \gamma } = \left( \frac { d _ { \mathrm { H e } } ^ { \ast } } { l _ { \mathrm { R } } } \right) ^ { 2 \beta / \left( \pi + 2 \beta \right) } \lambda \sqrt { \frac { 4 \pi \rho _ { \mathrm { H e } } g h } { \varepsilon _ { \mathrm { H e } } - 1 } } .
\begin{array} { r l } { \left\langle x , { \frac { 1 } { 2 \pi i } } \oint _ { C } { \frac { \varphi } { \lambda I - L } } d \lambda \right\rangle } & { { } = { \frac { 1 } { 2 \pi i } } \oint _ { C } d \lambda \left\langle x , { \frac { \varphi } { \lambda I - L } } \right\rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { \normalfont ~ I m } } & { \left[ \widetilde { G } \left( x - \frac { \pi } { 2 x } ( 1 - \varepsilon ) i \right) \right] } \\ & { = \mathrm { \normalfont ~ I m } \left[ G \left( x - \frac { \pi } { 2 x } ( 1 - \varepsilon ) i \right) - 2 \pi i \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } ( x ^ { 2 } - \frac { \pi ^ { 2 } } { 4 x ^ { 2 } } ( 1 - \varepsilon ) ^ { 2 } ) } e ^ { \frac { \pi } { 2 } ( 1 - \varepsilon ) i } \right] } \\ & { = \mathrm { \normalfont ~ I m } \left[ G \left( x - \frac { \pi } { 2 x } ( 1 - \varepsilon ) i \right) \right] - \sqrt { 2 \pi } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } ( x ^ { 2 } - \frac { \pi ^ { 2 } } { 4 x ^ { 2 } } ( 1 - \varepsilon ) ^ { 2 } ) } \sin \frac { \pi \varepsilon } { 2 } } \end{array}
w _ { i } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 / 3 } & { i = 1 } \\ { 1 / 1 8 } & { i = 2 , . . . \, , 7 } \\ { 1 / 3 6 } & { i = 8 , . . . \, , 1 9 } \end{array} \right.
\begin{array} { l l l l } { { { \cal O } _ { 7 \tilde { g } , \tilde { g } } \, = } } & { { \! e \, g _ { s } ^ { 2 } ( \mu ) \, ( \bar { s } \sigma ^ { \mu \nu } P _ { R } b ) \, F _ { \mu \nu } \, , } } & { { \quad { \cal O } _ { 7 \tilde { g } , \tilde { g } } ^ { \prime } \, = } } & { { \! e \, g _ { s } ^ { 2 } ( \mu ) \, ( \bar { s } \sigma ^ { \mu \nu } P _ { L } b ) \, F _ { \mu \nu } \, , } } \\ { { } } & { { } } \\ { { { \cal O } _ { 8 \tilde { g } , \tilde { g } } \, = } } & { { \! g _ { s } ( \mu ) \, g _ { s } ^ { 2 } ( \mu ) \, ( \bar { s } \sigma ^ { \mu \nu } T ^ { a } P _ { R } b ) \, G _ { \mu \nu } ^ { a } \, , } } & { { \quad { \cal O } _ { 8 \tilde { g } , \tilde { g } } ^ { \prime } \, = } } & { { \! g _ { s } ( \mu ) \, g _ { s } ^ { 2 } ( \mu ) \, ( \bar { s } \sigma ^ { \mu \nu } T ^ { a } P _ { L } b ) \, G _ { \mu \nu } ^ { a } \, . } } \end{array}
I ^ { ( n ) } = \int d ^ { D } k \frac { 1 } { k ^ { 4 n } ( k ^ { 2 } - m _ { \mathrm { H } } ^ { 2 } ) } \frac { 1 } { ( p - k ) ^ { 4 n } ( ( p - k ) ^ { 2 } - m _ { \mathrm { H } } ^ { 2 } ) }
\theta _ { q } = i \hbar \ _ { q } < \zeta | d | \zeta > _ { q } = \frac { i \hbar } { 2 } \ ( _ { q } < \zeta | T _ { i } ^ { + } | \zeta > _ { q } d \zeta - \ _ { q } < \zeta | T _ { i } ^ { - } | \zeta > _ { q } d \bar { \zeta } ) .
\begin{array} { r } { \hat { H } = \int d ^ { 3 } { \bf r } \left[ \frac { 1 } { 2 } \hat { { \bf E } } \cdot \hat { { \bf D } } + \frac { 1 } { 2 } \hat { { \bf B } } \cdot \hat { { \bf H } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \! \! a _ { i } \frac { \, \mathrm { d } x _ { i } } { \, \mathrm { d } t } } & { = - \nu _ { 0 } a _ { i } ^ { 2 } x _ { i } - c ( a _ { i } - a _ { k } ) x _ { j } y _ { k } + c ( a _ { i } - a _ { j } ) y _ { j } x _ { k } } \\ & { \quad + a _ { i } b _ { i } x _ { j } x _ { k } - 2 c ^ { 2 } y _ { j } y _ { k } + a _ { i } ( y _ { i } - z _ { i } ) , } \\ { \! \! a _ { i } \frac { \, \mathrm { d } y _ { i } } { \, \mathrm { d } t } } & { = - a _ { k } b _ { k } x _ { j } y _ { k } - a _ { j } b _ { j } y _ { j } x _ { k } + c ( a _ { k } - a _ { j } ) y _ { j } y _ { k } } \\ & { \quad - a _ { i } x _ { i } - \nu _ { 0 } a _ { i } ^ { 2 } y _ { i } , } \\ { \! \! \frac { \, \mathrm { d } z _ { i } } { \, \mathrm { d } t } } & { = g _ { 0 } a _ { i } x _ { i } - b _ { k } x _ { j } ( z _ { k } - h _ { k } ) - b _ { j } ( z _ { j } - h _ { j } ) x _ { k } } \\ & { + c y _ { j } ( z _ { k } - h _ { k } ) - c ( z _ { j } - h _ { j } ) y _ { k } - \kappa _ { 0 } a _ { i } z _ { i } + F _ { i } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \ensuremath { \mathcal { S } } ^ { 4 } : \left\{ \begin{array} { l } { \ensuremath { \mathcal { S } } _ { k } ^ { 4 } : \left\{ \begin{array} { l } { \dot { \tilde { x } } _ { k } = - \xi ( \tilde { x } _ { k } ) + \frac { 1 } { k } \big ( - \tilde { x } _ { k } + \tilde { x } _ { k } ^ { 2 } \tilde { y } _ { k } | u | - \frac { 1 } { k ^ { 2 } } \tilde { x } _ { k } ^ { 3 } \big ) , } \\ { \dot { \tilde { y } } _ { k } = - \xi ( \tilde { y } _ { k } ) - \frac { 1 } { k } \tilde { y } _ { k } . } \end{array} \right. } \\ { k = 1 , 2 , \ldots } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { F ( z , u , v ) } & { : = \sum _ { T \in \mathcal { F } } \frac { z ^ { | T | } u ^ { \mathrm { ~ \# ~ U ~ i n ~ T ~ } } v ^ { \mathrm { ~ \# ~ V ~ i n ~ T ~ } } } { | T | ! } = \sum _ { n \ge 1 } \sum _ { 0 \le k \le n } \sum _ { m \ge 0 } \frac { n ^ { n - 1 } } { n ! } \binom { n } { k } \mathbb { P } \{ R _ { n } ^ { ( k ) } = m \} z ^ { n } u ^ { k } v ^ { m } , } \\ { G ( z , u ) } & { : = \sum _ { T \in \mathcal { G } } \frac { z ^ { | T | } u ^ { \mathrm { ~ \# ~ U ~ i n ~ T ~ } } } { | T | ! } = \sum _ { n \ge 1 } \sum _ { 0 \le k \le n } \frac { n ^ { n - 1 } } { n ! } \binom { n } { k } z ^ { n } u ^ { k } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \psi _ { 2 } ^ { i , j + 1 } } & { = } & { \psi _ { 2 } ^ { i , j } - i ^ { - \alpha } \xi _ { \alpha } ( \psi _ { 2 } ^ { i + 1 , j } - 2 \psi _ { 2 } ^ { i , j } + \psi _ { 2 } ^ { i - 1 , j } ) + i ^ { - \alpha } \beta _ { \alpha } ( V _ { 2 } ^ { j } \psi _ { 1 } ^ { i , j } + V _ { 2 } ^ { j + 1 } \psi _ { 1 } ^ { i , j + 1 } ) } \\ & { - } & { \sum _ { k = 1 } ^ { j } [ ( k + 1 ) ^ { ( 1 - \alpha ) } - k ^ { ( 1 - \alpha ) } ] [ \psi _ { 2 } ^ { i , j + 1 - k } - \psi _ { 2 } ^ { i , j - k } ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial } { \partial y } \int _ { 0 } ^ { 1 } ( a - y ) \Psi ( y , y + \tau ( a - y ) ) d \tau = - \Psi ( y , a ) } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { 1 } ( a - y ) \left[ \frac { \partial } { \partial y } \Psi ( y , y + \tau ( a - y ) ) + \frac { \partial } { \partial z } \Psi ( y , y + \tau ( a - y ) ) \right] d \tau , } \end{array}
T _ { \mathrm { g a s } } = \frac { 9 . 3 7 \ \mathrm { k e V } } { \beta ( 5 X + 3 ) } \left( \frac { M } { 1 0 ^ { 1 5 } h ^ { - 1 } M _ { \odot } } \right) ^ { 2 / 3 } ( 1 + z ) \left( \frac { \Omega _ { 0 } } { \Omega ( z ) } \right) ^ { 1 / 3 } \Delta _ { c } ^ { 1 / 3 } ,
\frac { \delta \omega _ { \mathrm { ~ L ~ } } } { \omega _ { 0 , \mathrm { ~ L ~ } } } = \left( 1 + \epsilon _ { n \omega _ { \mathrm { ~ L ~ } } , \mathrm { ~ B ~ } } \right) ^ { - 1 } \left( \frac { \frac { \pi } { 2 } + \delta \phi _ { \mathrm { ~ B ~ } } ^ { \mathrm { ~ t ~ h ~ e ~ r ~ m ~ a ~ l ~ } } - \delta \phi _ { \mathrm { ~ B ~ } } ^ { \mathrm { ~ s ~ h ~ o ~ t ~ } } } { \omega _ { 0 , \mathrm { ~ L ~ } } \tau _ { 0 , \mathrm { ~ B ~ } } } - \left( 1 + \epsilon _ { n L , \mathrm { ~ B ~ } } \right) h _ { \mathrm { ~ B ~ } } ^ { \mathrm { ~ a ~ c ~ o ~ u ~ s ~ t ~ i ~ c ~ } } - \left( \epsilon _ { n x , \mathrm { ~ B ~ } } - 1 \right) \frac { \delta x } { x _ { 0 } } \right) .
\begin{array} { r l } & { ( \star _ { \eta } \Theta _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( t ) } } ) ^ { \sigma } = 2 \mathrm { e } _ { K } ^ { \sigma } \mathrm { e } _ { L } ^ { \mu } \delta \omega _ { \mu } ^ { K L } , } \\ & { ( \star _ { g } \Theta _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } ) ^ { \mu } = ( \star _ { g } \iota _ { W } \mathrm { v o l } _ { g } ) ^ { \mu } = W ^ { \mu } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | f _ { O _ { i } } ( x ) - f _ { O _ { i } } ( x | _ { \mathcal { S } _ { i } ( r ) } ) | } & { \le 4 \beta ( C + c ^ { \prime } ) \, h \, ( 2 r _ { 0 } + k _ { 0 } ) ^ { D } \, \| O _ { i } \| _ { \infty } \sum _ { | l | \ge r + k _ { 0 } } \, e ^ { - | l | / \xi } } \\ & { = 4 \beta ( C + c ^ { \prime } ) \, h \, ( 2 r _ { 0 } + k _ { 0 } ) ^ { D } \, \| O _ { i } \| _ { \infty } \sum _ { a > r + k _ { 0 } } \, \binom { a + D - 1 } { D - 1 } \, e ^ { - a / \xi } } \\ { \ } & { \le 4 \beta ( C + c ^ { \prime } ) \, h \, ( 2 r _ { 0 } + k _ { 0 } ) ^ { D } \, D ^ { D - 1 } \| O _ { i } \| _ { \infty } \sum _ { a > r + k _ { 0 } } \, a ^ { D - 1 } \, e ^ { - a / \xi } } \\ & { \le 4 \beta ( C + c ^ { \prime } ) \, h \, ( 2 r _ { 0 } + k _ { 0 } ) ^ { D } ( D - 1 ) ! ( 2 \xi ) ^ { D - 1 } \, D ^ { D - 1 } \| O _ { i } \| _ { \infty } \sum _ { a > r + k _ { 0 } } \, \, e ^ { - \frac { a } { 2 \xi } } } \\ & { \le 4 \beta ( C + c ^ { \prime } ) \, h \, ( 2 r _ { 0 } + k _ { 0 } ) ^ { D } ( D - 1 ) ! ( 2 \xi ) ^ { D - 1 } \, D ^ { D - 1 } \| O _ { i } \| _ { \infty } \, \frac { e ^ { - \frac { r + k _ { 0 } + 1 } { 2 \xi } } } { 1 - e ^ { - \frac { 1 } { 2 \xi } } } } \\ & { \equiv C _ { 1 } \, e ^ { - \frac { r } { 2 \xi } } \, \| O _ { i } \| _ { \infty } \, , } \end{array}
S = \frac { 1 } { 1 6 \pi } \, \int \; \left\{ ( - { \it R } + \, 2 \partial _ { \mu } \Phi \partial ^ { \mu } \Phi ) - \alpha ^ { \prime } \exp ( - 2 \Phi ) ( F _ { a \mu \nu } \, F _ { a } ^ { \mu \nu } - \beta { G } ) \right\} \, \sqrt { - g } d ^ { 4 } x \; ,
\begin{array} { r l } { | a \mathrm { { R a } } \langle \omega \partial _ { 1 } T \rangle | } & { { } = | a \mathrm { { R a } } \langle \omega \partial _ { 1 } ( \eta + \theta ) \rangle | \leq \frac { 1 } { 2 } \langle | \nabla \eta | ^ { 2 } \rangle + \frac { 1 } { 2 } \langle | \nabla \theta | ^ { 2 } \rangle + a ^ { 2 } \mathrm { { R a } } ^ { 2 } \langle | \omega | ^ { 2 } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat { \mathrm { d e g } } _ { + } ( \overline { E } _ { n } ) } & { \leqslant \sum _ { i = 1 } ^ { r _ { n } } \operatorname* { m a x } ( \widehat \mu _ { i } ( \overline { E } _ { n } ) , 0 ) + 1 / 2 \cdot r _ { n } \ln ( r _ { n } ) } \\ & { \leqslant \sum _ { i = 1 } ^ { r _ { n } } \operatorname* { m a x } ( \widehat \mu _ { i } ^ { \prime } ( \overline { E } _ { n } ) , 0 ) + ( C + 1 / 2 ) \cdot r _ { n } \ln ( r _ { n } ) } \\ & { = n \int _ { 0 } ^ { + \infty } \dim _ { K } ( E _ { n } ^ { t } ) d t + C \cdot r _ { n } \ln ( r _ { n } ) + \delta ( \overline { E } _ { n } ) } \\ & { \leqslant n \int _ { 0 } ^ { \widehat \mu _ { \operatorname* { m a x } } ^ { a s y } ( D , g ) } \mathrm { v o l } ( E _ { \bullet } ^ { t } ) { n ^ { d } } d t + O ( n ^ { d } ) + ( C + 1 / 2 ) \cdot r _ { n } \ln ( r _ { n } ) } \\ & { = \widehat { \mathrm { v o l } } ( D , g ) \frac { n ^ { d + 1 } } { ( d + 1 ) ! } + O ( n ^ { d } ) + ( C + 1 / 2 ) \cdot r _ { n } \ln ( r _ { n } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \partial _ { t } \tau _ { 2 } } & { { } \approx } & { - \left\langle \boldsymbol { \theta } _ { 2 } ^ { \dagger } \cdot \left( { \cal B } _ { 2 } - { \cal B } _ { 0 } \right) \mathbf { u } _ { 1 } \right\rangle _ { 2 } } \end{array}
G _ { 5 } ^ { ( n ) } | i _ { 1 } i _ { 2 } \cdots i _ { n } \rangle = ( e _ { i _ { 1 } } + e _ { i _ { 2 } } + \cdots + e _ { i _ { n } } ) | i _ { 1 } i _ { 2 } \cdots i _ { n } \rangle \ .
\frac { t _ { 0 } \log ( t + t _ { 0 } + 1 ) } { a \cosh ^ { 2 } ( \frac { t - t _ { 0 } } { a } ) } \le \frac { 4 t _ { 0 } \log ( t + t _ { 0 } + 1 ) } { a e ^ { 2 ( t - t _ { 0 } ) / a } } \le e ^ { - t / a } \cdot \frac { 8 t _ { 0 } \log ( t + t _ { 0 } + 1 ) } { e ^ { 2 t - 4 t _ { 0 } } } \le e ^ { - t / a } \frac { 8 t _ { 0 } \log ( 4 t _ { 0 } + 1 ) } { e ^ { 2 t _ { 0 } } } < e ^ { - t / a } .
Q _ { i i j j } ^ { ( + ) } = S _ { i i j j } ^ { ( 4 ) } ( \tilde { \bf { q } } _ { + } ) = \sum _ { \mu \nu \lambda \kappa } \frac { \partial ^ { 4 } S } { \partial \tilde { q } _ { \mu } \partial \tilde { q } _ { \nu } \partial \tilde { q } _ { \lambda } \tilde { q } _ { \kappa } } C _ { \mu i } C _ { \nu i } C _ { \lambda j } C _ { \kappa j } .
L _ { e f f } = m _ { b } C _ { R } ^ { D M } T _ { a b } ^ { A } \overline { { { s } } } ^ { a } [ \gamma ^ { \mu } , \gamma ^ { \nu } ] P _ { L } b ^ { b } G _ { \mu \nu } ^ { a } + ( L \leftrightarrow R ) + h . c
\begin{array} { r l } { f _ { o b j } \lbrace r _ { 1 . . . n } \rbrace _ { k } } & { { } = \left( \frac { \alpha } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \lvert { \bf { u } } _ { i , k } - { \bf { u } } _ { i , t h e o } \rvert } { \lvert { \bf { u } } _ { i , t h e o } \rvert } \right) _ { x } } \end{array}
W _ { i } \left( p _ { 1 } ^ { 2 } , k ^ { 2 } , p _ { 2 } ^ { 2 } \right) = W _ { i + 1 } \left( p _ { 2 } ^ { 2 } , k ^ { 2 } , p _ { 1 } ^ { 2 } \right) \quad ( i = 2 \, \, \mathrm { { o r } } \, \, 6 ) \, ,
\left[ \frac { \Gamma ( \frac { n } { 2 } - 1 ) } { 4 \pi ^ { \frac { n } { 2 } } } \right] ^ { 3 } \int _ { C } d ^ { n } \eta ^ { \prime } | \eta - \eta ^ { \prime } | ^ { 3 ( 2 - n ) } = \sum _ { N = 0 } ^ { \infty } \sum _ { \alpha = 0 } ^ { N } \frac { ( 2 a ) ^ { 6 - 2 n } { \pi } ^ { \frac { n } { 2 } } \Gamma ( 3 - n ) \Gamma ( N - 3 + \frac { 3 n } { 2 } ) } { \Gamma ( N + 3 - \frac { n } { 2 } ) \Gamma ( \frac { 3 n } { 2 } - 3 ) } Y _ { \alpha } ^ { N } ( { \eta } ) \int _ { C } d ^ { n } \eta ^ { \prime } Y _ { \alpha } ^ { N } ( \eta ^ { \prime } )
\mathscr { A } ( \rho , \vec { v } ; \vec { u } , \vec { \chi } ) = \frac { 1 } { 2 } \left[ \bigl ( \rho \, ( \vec { v } \cdot \nabla ) \vec { u } , ~ \vec { \chi } \, r \bigr ) - \bigl ( \rho \, ( \vec { v } \cdot \nabla ) \vec { \chi } , ~ \vec { u } \, r \bigr ) \right] .
\begin{array} { r } { \Delta \phi = 4 \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } - \arcsin ( \sqrt { \frac { - c } { b } } ) } \frac { 1 - b \cos ^ { 2 } \psi } { \sqrt { ( a + b \cos ^ { 2 } \psi ) ( c + b \cos ^ { 2 } \psi ) } } d \psi . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { 4 \, d x } { 1 + x ^ { 2 } } } } & { { } = 4 \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { d x } { 1 + x ^ { 2 } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { h \to 0 } { \frac { \operatorname { s g n } ( 0 + h ) - 2 \operatorname { s g n } ( 0 ) + \operatorname { s g n } ( 0 - h ) } { h ^ { 2 } } } } & { { } = \operatorname* { l i m } _ { h \to 0 } { \frac { \operatorname { s g n } ( h ) - 2 \cdot 0 + \operatorname { s g n } ( - h ) } { h ^ { 2 } } } } \end{array}