harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \left\| \overline { { \nabla } } f ( x , y ) \right\| } & { = \left\| \nabla _ { x } f ( x , y ) - \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x , y ) [ \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x , y ) ] ^ { - 1 } \nabla _ { y } f ( x , y ) \right\| } \\ & { \leq \left\| \nabla _ { x } f ( x , y ) \right\| + \left\| \nabla _ { x y } ^ { 2 } g ( x , y ) \right\| \left\| [ \nabla _ { y y } ^ { 2 } g ( x , y ) ] ^ { - 1 } \right\| \left\| \nabla _ { y } f ( x , y ) \right\| } \\ & { \leq \ell _ { f , 0 } + \frac { \ell _ { f , 0 } \ell _ { g , 1 } } { \mu _ { g } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { 1 } \left( u _ { M } - u _ { 0 } | \alpha \right) } & { { } = e ^ { - \frac { \alpha ^ { 2 } } { 2 } ( s _ { M } - s _ { 0 } ) } e ^ { \tilde { \alpha } ( u _ { M } - u _ { 0 } ) } , } \end{array}
\operatorname { t r } ( \mathbf { A } \mathbf { B } ) = \sum _ { i j } a _ { i j } b _ { j i } \quad { \mathrm { a n d } } \quad \operatorname { t r } ( \mathbf { B } \mathbf { A } ) = \sum _ { i j } b _ { i j } a _ { j i }
\begin{array} { r } { \frac { d } { d \epsilon _ { r } } \mathrm { ~ t ~ a ~ n ~ } \theta = ( i ^ { * } + \epsilon _ { i } ) \left( \frac { c ( a l _ { i } - \alpha p _ { r } b ) } { ( ( \alpha p _ { r } m - l _ { i } ) \epsilon _ { r } + \alpha p _ { r } c ) ^ { 2 } } \right) > 0 } \end{array}
\begin{array} { r } { \nabla r \cdot \nabla r = 1 , \quad \nabla \theta \cdot \nabla r = 0 , \quad \nabla r \cdot \nabla \theta = 0 , \quad \nabla \theta \cdot \nabla \theta = \frac { 1 } { r ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { m } _ { k } } & { { } = \epsilon ^ { 2 } \pi \int d \mathbf { q } \int d \mathbf { p } \omega _ { k } \Gamma _ { p q k } ^ { 2 } m _ { k } m _ { p } m _ { q } \left( \omega _ { q } m _ { q } ^ { - 1 } + \omega _ { p } m _ { p } ^ { - 1 } + \omega _ { k } m _ { k } ^ { - 1 } \right) \delta \left( \omega _ { p , q , k } \right) \delta \left( \mathbf { k } + \mathbf { q } + \mathbf { p } \right) . } \end{array}
| \hat { A _ { 1 } } | ^ { - 2 } ( t ) = | \hat { A _ { 1 } } | ^ { - 2 } ( 0 ) e ^ { - 2 h ( t ) } + 2 b _ { 0 } \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { - 2 \left( h ( t ) - h ( t ^ { \prime } ) \right) } d t ^ { \prime }
u _ { \rho } = \frac { \rho } { \rho _ { 0 } } = \left[ 1 - \frac { 3 } { 2 } ( 1 - \Omega _ { \Lambda } ^ { 0 } ) ( 1 + w ) \ln \left( \frac { a } { a _ { 0 } } \right) \right] ^ { 2 } \, .
\begin{array} { r l } { \nabla _ { 2 } \mathcal { U } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } , { \mathbf { r } _ { 2 } } ) = \bar { g } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } ) \big [ } & { { } - \nabla _ { 1 } \, u ( { \mathbf { r } _ { 1 } } , { \mathbf { r } _ { 2 } } ) \, \bar { g } ( { \mathbf { r } _ { 2 } } ) } \end{array}
E _ { m i n } ^ { i s o } = \left( \gamma _ { m i n } ^ { i s o } - 1 \right) m c ^ { 2 } = \left[ \left( 1 + \left( \frac { q B R _ { C } } { \kappa _ { c r } ^ { 2 } m c } \right) ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } - 1 \right] m c ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { A _ { x } } & { { } = \langle \hat { j } _ { x } \rangle = ( 1 / 2 ) \sum _ { s } \left( \langle \hat { \sigma } _ { s } ^ { 1 2 } \rangle + \langle \hat { \sigma } _ { s } ^ { 2 1 } \rangle \right) , } \\ { A _ { y } } & { { } = \langle \hat { j } _ { y } \rangle = ( i / 2 ) \sum _ { s } \left( \langle \hat { \sigma } _ { s } ^ { 1 2 } \rangle - \langle \hat { \sigma } _ { s } ^ { 2 1 } \rangle \right) , } \\ { A _ { z } } & { { } = \langle \hat { j } _ { z } \rangle = ( 1 / 2 ) \sum _ { s } \left( 2 \langle \hat { \sigma } _ { s } ^ { 2 2 } \rangle - 1 \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi _ { T ^ { s _ { i } } ( v _ { i } ) } ( v _ { i } ) } & { = \phi _ { T ^ { s _ { i } } } ( \pi _ { \mathcal { P } } ( \overline { { r _ { i } } } ) ) } \\ & { = \pi _ { \mathcal { P } } ( \sigma ^ { | s _ { i } | } ( \overline { { r _ { i } } } ) ) } \\ & { = \pi _ { \mathcal { P } } ( \overline { { r _ { i + 1 } } } ) } \\ & { = a _ { i + 1 } ( 0 ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial s _ { n \ell } } { \partial p _ { i } } = } & { { } } & { - \left[ k _ { o } J _ { \ell } ^ { \prime \prime } \left( k _ { o } r _ { n } \right) \frac { \partial r _ { n } } { \partial p _ { i } } - \frac { \partial \Gamma _ { n \ell } } { \partial p _ { i } } J _ { \ell } \left( k _ { o } r _ { n } \right) \right. } \\ { \frac { \partial \Gamma _ { n \ell } } { \partial p _ { i } } = } & { { } } & { \xi _ { n } \frac { k _ { n } ^ { 2 } } { k _ { o } } \frac { \partial r _ { n } } { \partial p _ { i } } \left[ \frac { J _ { \ell } ^ { \prime \prime } \left( k _ { n } r _ { n } \right) } { J _ { \ell } \left( k _ { n } r _ { n } \right) } - \frac { J _ { \ell } ^ { \prime } \left( k _ { n } r _ { n } \right) ^ { 2 } } { J _ { \ell } \left( k _ { n } r _ { n } \right) ^ { 2 } } \right] } \end{array}
\sqrt { C _ { s } ^ { n } C _ { n } ^ { 2 } } C _ { n - 2 } ^ { 2 } \Phi ^ { n } + 2 \sqrt { C _ { s } ^ { n - 2 } } C _ { n - 2 } ^ { 2 } C _ { s - n + 2 } ^ { 2 } \Phi ^ { n - 2 } + \sqrt { C _ { s } ^ { n - 4 } } C _ { s - n + 4 } ^ { 2 } C _ { s - n + 2 } ^ { 2 } \Phi ^ { n - 4 } = 0 ,
\left( \begin{array} { c } { { ( - 1 6 . 5 9 \mp 5 . 3 4 3 i ) \times 1 0 ^ { - 4 } } } \\ { { ( - 2 . 9 7 0 \pm 1 . 1 3 6 i ) \times 1 0 ^ { - 3 } } } \\ { { - 0 . 3 4 8 5 \pm 0 . 3 3 9 2 i } } \\ { { 0 . 8 7 3 6 } } \\ { { 0 } } \\ { { 0 } } \\ { { 0 } } \\ { { 0 } } \\ { { \ldots } } \end{array} \right) .
\begin{array} { l } { \Pi _ { C } = \frac { x - y r + z \sigma + \rho } { 1 + \rho } } \\ { \Pi _ { D } = \frac { ( 1 + r ) ( x + \rho ) + \sigma z } { 1 + \rho } } \\ { \Pi _ { L } = \sigma } \end{array} .
\psi ^ { \prime \prime } + [ 3 { \cal H } - 2 \frac { \varphi ^ { \prime \prime } } { \varphi ^ { \prime } } ] \psi ^ { \prime } + [ 4 { \cal H } ^ { \prime } - 4 { \cal H } \frac { \varphi ^ { \prime \prime } } { \varphi ^ { \prime } } ] \psi - \partial _ { \alpha } \partial ^ { \alpha } \psi = 0 .
\mathbb { E } N _ { \alpha } ( T , \infty ) = ( 1 + o ( 1 ) ) \times \left\{ \begin{array} { l l } & { \frac { \sqrt { 1 + \alpha } } { 2 \pi } \log \left( \frac { 1 } { T - 1 / 2 } \right) , \mathrm { ~ i f ~ } \alpha > - 1 , } \\ & { \frac { 1 } { \pi } \sqrt { \log \left( \frac { 1 } { T - 1 / 2 } \right) } , \mathrm { ~ i f ~ } \alpha = - 1 , } \\ & { c , \mathrm { ~ i f ~ } \alpha < - 1 , } \end{array} \right.
\left\{ \mu \frac { \partial } { \partial \mu } + \left( \beta _ { p } - d _ { p } p \right) \, \frac { \partial } { \partial p } + \gamma _ { i } \int d ^ { 4 } x \sqrt { - g } \; \Phi _ { i } \, \frac { \delta } { \delta \Phi _ { i } } \right\} \, \Gamma \left[ g _ { \alpha \beta } , p , \Psi _ { i } , \mu \right] = 0 \, .
\mathrm { ~ a ~ c ~ c ~ u ~ r ~ a ~ c ~ y ~ } = \frac { \mathrm { ~ c ~ o ~ r ~ r ~ e ~ c ~ t ~ p ~ r ~ e ~ d ~ i ~ c ~ t ~ i ~ o ~ n ~ s ~ } } { \mathrm { ~ a ~ l ~ l ~ p ~ r ~ e ~ d ~ i ~ c ~ t ~ i ~ o ~ n ~ s ~ } }
\begin{array} { r l } { \frac { A } { A _ { t h } } } & { { } = \frac { \eta _ { \gamma } \sqrt { 2 } \left[ 2 g ^ { 2 } \left( 1 - \sqrt { 1 - g ^ { - 2 } } \right) \right] ^ { 1 / ( \gamma - 1 ) } } { \sqrt { 1 - \sqrt { 1 - g ^ { - 2 } } } } , } \\ { \left( \frac { \bar { \rho } } { \rho _ { 0 } } \right) ^ { 1 - \gamma } } & { { } = 2 g ^ { 2 } \left( 1 - \sqrt { 1 - g ^ { - 2 } } \right) , } \\ { c _ { s } } & { { } = \frac { c _ { s 0 } } { \sqrt { 2 g ^ { 2 } \left( 1 - \sqrt { 1 - g ^ { - 2 } } \right) } } , } \\ { \mathcal { M } ^ { 2 } } & { { } = \frac { 2 } { \gamma - 1 } \left( 2 g ^ { 2 } \left( 1 - \sqrt { 1 - g ^ { - 2 } } \right) - 1 \right) . } \end{array}
d s ^ { 2 } ~ = ~ g _ { u { \bar { u } } } \, | d u | ^ { 2 } \ ; \qquad g _ { u { \bar { u } } } = 2 \, \mathrm { I m } \, { \bar { \cal N } } ( u ) \, | f ^ { ( 1 ) } ( u ) | ^ { 2 } \,
\left[ F _ { \pi } ^ { ( \pi ) } ( \mu ) \right] ^ { 2 } = \left[ F _ { \pi } ^ { ( \pi ) } ( \Lambda ) \right] ^ { 2 } - \frac { N _ { f } } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } \left( \Lambda ^ { 2 } - \mu ^ { 2 } \right) \ ,
\begin{array} { r l r } { z ^ { \prime } ( s ) } & { = } & { - k _ { 2 } y ^ { \prime } ( s ) + x ( s ) ^ { \tilde { N } - 1 } [ \tilde { N } x ^ { \prime } ( s ) \tilde { a } ( x ( s ) , y ( s ) ) } \\ & { } & { + x ( s ) ( \tilde { a } _ { x } ( x ( s ) , y ( s ) ) x ^ { \prime } ( s ) + \tilde { a } _ { y } ( x ( s ) , y ( s ) ) y ^ { \prime } ( s ) ) ] } \\ & { } & { + y ^ { \prime } ( s ) [ x ( s ) \tilde { b } ( x ( s ) , y ( s ) ) + x ( s ) y ( s ) \tilde { b } _ { y } ( x ( s ) , y ( s ) ) } \\ & { } & { + 2 y ( s ) \tilde { c } ( y ( s ) ) + y ^ { 2 } ( s ) \tilde { c } ^ { \prime } ( y ( s ) ) ] } \\ & { } & { + y ( s ) [ x ^ { \prime } ( s ) \tilde { b } ( x ( s ) , y ( s ) ) + x ( s ) x ^ { \prime } ( s ) \tilde { b } _ { x } ( x ( s ) , y ( s ) ) ] } \\ { \mathrm { s o ~ } z ^ { \prime } ( s ) + k _ { 2 } y ^ { \prime } ( s ) } & { \leq } & { C _ { 1 } x ( s ) ^ { N - 1 } + C _ { 2 } | y ^ { \prime } ( s ) | + C _ { 3 } | y ( s ) | } \\ & { \leq } & { C _ { 1 } x ( s ) ^ { \tilde { N } - 1 } + C _ { 2 } ( 1 + \beta ) k _ { 2 } z ^ { \prime } ( s ) + C _ { 3 } B x ( s ) ^ { \tilde { N } } } \\ { \mathrm { s o ~ } H z ^ { \prime } ( s ) } & { \leq } & { C _ { 1 } x ( s ) ^ { \tilde { N } - 1 } + C _ { 2 } ( 1 + \beta ) k _ { 2 } z ^ { \prime } ( s ) + C _ { 3 } B x ( s ) ^ { \tilde { N } } } \end{array}
\Big \langle J _ { \mu } ^ { ( l ) } ( x ) J _ { \nu } ^ { ( l ^ { \prime } ) } ( y ) \Big \rangle = \delta _ { l l ^ { \prime } } \; \; { \cal F } _ { \mu \nu } ^ { ( l ) } ( x , y ) \; \; \; \; l = 1 , 2 , . . . N ^ { 2 } \; ,
\begin{array} { r l } { \mathsf M _ { \sigma ( { \boldsymbol j } ) \sigma ( { \boldsymbol k } ) } ^ { ( \mathfrak { q } ) } } & { = \int _ { \mathcal { X } _ { \mathfrak { q } } } \phi _ { \sigma ( { \boldsymbol j } ) } ( { \boldsymbol x } _ { \mathfrak { q } } ) \phi _ { \sigma ( { \boldsymbol k } ) } ( { \boldsymbol x } _ { \mathfrak { q } } ) \lambda ( { \boldsymbol x } _ { \mathfrak { q } } ) \mathrm { d } { \boldsymbol x } _ { \mathfrak { q } } } \\ & { = \sum _ { \ell = 1 } ^ { | \mathfrak { u } ( { \mathfrak { q } } ) | } \sum _ { \ell ^ { \prime } = 1 } ^ { | \mathfrak { u } ( { \mathfrak { q } } ) | } \mathsf { P } _ { \sigma ( { \boldsymbol j } ) \ell } ^ { ( \mathfrak { q } ) } \mathsf { P } _ { \sigma ( { \boldsymbol k } ) \ell ^ { \prime } } ^ { ( \mathfrak { q } ) } \, \int _ { \mathcal { X } _ { \mathfrak { q } } } \phi _ { u _ { \ell } ( \mathfrak { q } ) } ( { \boldsymbol x } _ { \mathfrak { q } } ) \phi _ { u _ { \ell ^ { \prime } } ( \mathfrak { q } ) } ( { \boldsymbol x } _ { \mathfrak { q } } ) \lambda ( { \boldsymbol x } _ { \mathfrak { q } } ) \mathrm { d } { \boldsymbol x } _ { \mathfrak { q } } } \\ & { = \sum _ { \ell = 1 } ^ { | \mathfrak { u } ( { \mathfrak { q } } ) | } \sum _ { \ell ^ { \prime } = 1 } ^ { | \mathfrak { u } ( { \mathfrak { q } } ) | } \mathsf { P } _ { \sigma ( { \boldsymbol j } ) \ell } ^ { ( \mathfrak { q } ) } \mathsf { P } _ { \sigma ( { \boldsymbol k } ) \ell ^ { \prime } } ^ { ( \mathfrak { q } ) } \, \delta ( \ell , \ell ^ { \prime } ) = \sum _ { \ell = 1 } ^ { | \mathfrak { u } ( { \mathfrak { q } } ) | } \mathsf { P } _ { \sigma ( { \boldsymbol j } ) \ell } ^ { ( \mathfrak { q } ) } \mathsf { P } _ { \sigma ( { \boldsymbol k } ) \ell } ^ { ( \mathfrak { q } ) } , } \end{array}
{ \left( \begin{array} { l l } { ( m c ^ { 2 } - E + e \phi ) } & { c \sigma \cdot \left( \mathbf { p } - { \frac { e } { c } } \mathbf { A } \right) } \\ { - c { \boldsymbol { \sigma } } \cdot \left( \mathbf { p } - { \frac { e } { c } } \mathbf { A } \right) } & { \left( m c ^ { 2 } + E - e \phi \right) } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { \psi _ { + } } \\ { \psi _ { - } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) } .
\frac { { \dot { \lambda } } _ { Q } } { \lambda _ { Q } } + \frac { { 3 \dot { T } } } { T } + \frac { 1 } { \tau } = R _ { 2 } \frac { a _ { 1 } } { b _ { 1 } } \frac { \lambda _ { g } } { \lambda _ { Q } } ( 1 - \frac { \lambda _ { Q } \lambda _ { \bar { Q } } } { \lambda _ { g } ^ { 2 } } )
\begin{array} { r l } { \langle 0 | \exp \left( i \sum _ { n = 1 } ^ { M } \alpha _ { n } \hat { W } _ { n } \right) | 0 \rangle } & { = \langle 0 | e ^ { \hat { A } + \hat { B } } | 0 \rangle } \\ & { = e ^ { \frac { 1 } { 2 } [ \hat { A } , \hat { B } ] } \underbrace { \langle 0 | e ^ { \hat { B } } \, e ^ { \hat { A } } | 0 \rangle } _ { = \, 1 } } \\ & { = \exp \left[ - \frac { 1 } { 4 } \sum _ { n = 1 } ^ { M } \alpha _ { n } ^ { 2 } \bigl ( f _ { n } , f _ { n } \bigr ) \right] , } \end{array}
f ( \{ t _ { n } , \kappa _ { n } \} _ { n = 1 } ^ { N } ) = \prod _ { n = 1 } ^ { N } f _ { \kappa _ { n } } ( \Delta t _ { n } ) \prod _ { k = 1 } ^ { K } \Big [ 1 - F _ { k } ( \Delta t _ { n } ) \Big ] ^ { 1 - \delta { \kappa _ { n } , k } } ,
\begin{array} { r l } { \hat { Z } = } & { \underset { Z } { \arg \operatorname* { m a x } } ~ \langle Z , R \rangle } \\ & { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } \quad Z \succeq 0 } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad Z _ { i i } = 1 , \quad i \in [ n ] } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \langle Z , \mathbf { J } \rangle = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \gamma _ { 1 } } { \Delta _ { 1 } + \omega } = \frac { \gamma _ { 2 } } { \Delta _ { 2 } + \omega } , } \\ { g _ { a } = \sqrt { | \Omega _ { a } ^ { ( 1 ) } \Omega _ { a } ^ { ( 2 ) } | } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ ( \overline { { \mathcal { L } } } _ { T } ^ { \prime \prime } ) ^ { 2 } ] } & { = \frac { 1 } { T ^ { 2 } } \mathbb { E } [ ( \int _ { 0 } ^ { T } B ( t ) W ( t ) d t ) ( \int _ { 0 } ^ { T } B ( s ) W ( s ) d s ) ] } \\ & { \overset { ( a ) } = \frac { 1 } { T ^ { 2 } } \mathbb { E } [ \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { 0 } ^ { T } B ( t ) W ( t ) B ( s ) W ( s ) d t d s ] } \\ & { \overset { ( b ) } = \frac { 1 } { T ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { 0 } ^ { T } \mathbb { E } [ B ( t ) B ( s ) ] \mathbb { E } [ W ( t ) W ( s ) ] d t d s } \\ & { \overset { ( c ) } \leq \frac { 1 } { T ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { 0 } ^ { T } \mathbb { E } [ B ( t ) B ( s ) ] d t d s ] } \\ & { \overset { ( d ) } = \frac { 1 } { T ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { 0 } ^ { T } \mathrm { C o v } [ B ( t ) , B ( s ) ] d t d s } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { W _ { ( \mathcal { C } ^ { \bot } , \pi ) } ( x , y ; \widetilde { \mathbb { P } } ) = x ^ { s \frac { m } { 2 } } + \sum _ { i = 1 } ^ { s } \frac { m ^ { \pi ( i + 1 ) + \cdots + \pi ( s ) } } { | \mathcal { C } | } \left( \frac { y } { x } \right) ^ { ( s - i ) \frac { m } { 2 } } } & \\ & { \left[ \left( 2 \sum _ { j = 1 } ^ { \frac { m } { 2 } - 1 } \beta _ { i j } \left( \frac { y } { x } \right) ^ { j } + \gamma _ { i } \left( \frac { y } { x } \right) ^ { \frac { m } { 2 } } \right) W _ { ( \mathcal { C } _ { i } , \pi ) } ( x , x ; \mathbb { P } ) + \left( 2 \sum _ { j = 1 } ^ { \frac { m } { 2 } - 1 } \left( \frac { y } { x } \right) ^ { j } L W _ { \mathcal { C } _ { i } ^ { ' } , \pi } ^ { j } + \left( \frac { y } { x } \right) ^ { \frac { m } { 2 } } L W _ { \mathcal { C } _ { i } ^ { ' } , \pi } ^ { \frac { m } { 2 } } \right) x ^ { s \frac { m } { 2 } } \right] , } & \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \Big \lVert \bar { \theta } _ { t + 1 } - \theta ^ { * } \Big \rVert ^ { 2 } } & { \le ( 1 + \zeta _ { 1 } ) \mathbb { E } \Big \lVert \bar { \theta } _ { t } - \theta ^ { * } \Big \rVert ^ { 2 } + 2 \alpha \mathbb { E } \langle \bar { g } ( \bar { \theta } _ { t } ) , \bar { \theta } _ { t } - \theta ^ { * } \rangle + 6 \alpha ^ { 2 } \mathbb { E } \Big \lVert \bar { g } ( \bar { \theta } _ { r } ) \Big \rVert ^ { 2 } } \\ & { + 1 0 8 \frac { \alpha ^ { 4 } } { K \alpha _ { g } ^ { 2 } } ( 6 + \frac { 1 } { \zeta _ { 1 } } ) ( \sigma ^ { 2 } + 3 K B ^ { 2 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) + 2 K G ^ { 2 } ) + \frac { 2 \alpha ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { N K } + 2 \alpha B ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) G + 6 \alpha ^ { 2 } B ^ { 2 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) } \\ & { \le ( 1 + \alpha \nu - 2 \alpha \nu ) \mathbb { E } \Big \lVert \bar { \theta } _ { t } - \theta ^ { * } \Big \rVert ^ { 2 } + 2 4 \alpha ^ { 2 } \mathbb { E } \Big \lVert V _ { \bar { \theta } _ { t } } - V _ { \theta ^ { * } } \Big \rVert _ { \bar { D } } ^ { 2 } + \frac { 2 \alpha ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { N K } \quad ( \mathrm { L e m m a ~ ~ a n d ~ } ) } \\ & { + 1 0 8 \frac { \alpha ^ { 4 } } { K \alpha _ { g } ^ { 2 } } ( 6 + \frac { 1 } { \alpha \nu } ) ( \sigma ^ { 2 } + 3 K B ^ { 2 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) + 2 K G ^ { 2 } ) + 2 \alpha B ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) G + 6 \alpha ^ { 2 } B ^ { 2 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) } \\ & { \le ( 1 - \frac { \alpha \nu } { 2 } ) \mathbb { E } \Big \lVert \bar { \theta } _ { t } - \theta ^ { * } \Big \rVert ^ { 2 } - \frac { \alpha \nu } { 2 } \mathbb { E } \Big \lVert \bar { \theta } _ { t } - \theta ^ { * } \Big \rVert ^ { 2 } + 2 4 \alpha ^ { 2 } \mathbb { E } \Big \lVert V _ { \bar { \theta } _ { t } } - V _ { \theta ^ { * } } \Big \rVert _ { \bar { D } } ^ { 2 } + \frac { 2 \alpha ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { N K } } \\ & { + 1 0 8 \frac { \alpha ^ { 4 } } { K \alpha _ { g } ^ { 2 } } ( 6 + \frac { 1 } { \alpha \nu } ) ( \sigma ^ { 2 } + 3 K B ^ { 2 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) + 2 K G ^ { 2 } ) + 2 \alpha B ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) G + 6 \alpha ^ { 2 } B ^ { 2 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) } \\ & { \stackrel { ( a ) } { \le } ( 1 - \frac { \alpha \nu } { 2 } ) \mathbb { E } \Big \lVert \bar { \theta } _ { t } - \theta ^ { * } \Big \rVert ^ { 2 } - \frac { \alpha \nu } { 2 } \mathbb { E } \Big \lVert V _ { \bar { \theta } _ { t } } - V _ { \theta ^ { * } } \Big \rVert _ { \bar { D } } ^ { 2 } + \frac { \alpha \nu } { 4 } \mathbb { E } \Big \lVert V _ { \bar { \theta } _ { t } } - V _ { \theta ^ { * } } \Big \rVert _ { \bar { D } } ^ { 2 } + \frac { 2 \alpha ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { N K } } \\ & { + 1 0 8 \frac { \alpha ^ { 4 } } { K \alpha _ { g } ^ { 2 } } ( 6 + \frac { 1 } { \alpha \nu } ) ( \sigma ^ { 2 } + 3 K B ^ { 2 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) + 2 K G ^ { 2 } ) + 2 \alpha B ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) G + 6 \alpha ^ { 2 } B ^ { 2 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) , } \end{array}
\sigma : = - m ^ { a } \delta l _ { a } = - m ^ { a } m ^ { b } \nabla _ { b } l _ { a } \, , \quad \rho : = - m ^ { a } { \bar { \delta } } l _ { a } = - m ^ { a } { \bar { m } } ^ { b } \nabla _ { b } l _ { a } \, ;
u _ { 1 } ^ { \prime } ( 0 , s ) = - \frac { 1 } { 1 + ( ( 1 - s ) r ) ^ { \gamma _ { p } } } \left( 1 + \gamma _ { p } ( 1 + ( 1 - s ) r ) \frac { ( ( 1 - s ) r ) ^ { \gamma _ { p } } } { 1 + ( ( 1 - s ) r ) ^ { \gamma _ { p } } } \right) < 0 \; ,
\begin{array} { r l } & { \int _ { D _ { i } } \cdots \int _ { D _ { i } } p ( t _ { m } , x _ { 1 } , x _ { 0 } ) \prod _ { j = 2 } ^ { m } p ( t _ { m } , x _ { j } , x _ { j - 1 } ) d x } \\ & { = \int _ { D _ { i } - \omega } \cdots \int _ { D _ { i } - \omega } p ( t _ { m } , x _ { 1 } ^ { \prime } , ( y _ { 0 } - \omega , z _ { 0 } ) ) \prod _ { j = 2 } ^ { m } p ( t _ { m } , x _ { j } ^ { \prime } , x _ { j - 1 } ^ { \prime } ) d x ^ { \prime } } \\ & { \le { \small \int _ { \rho ^ { - 1 } ( ( \rho ( D _ { i } - \omega ) ) ^ { \# } ) } \cdots \int _ { \rho ^ { - 1 } ( ( \rho ( D _ { i } - \omega ) ) ^ { \# } ) } p ( t _ { m } , x _ { 1 } ^ { \prime } , \rho ^ { \prime } ) \prod _ { j = 2 } ^ { m } p ( t _ { m } , x _ { j } ^ { \prime } , x _ { j - 1 } ^ { \prime } ) d x ^ { \prime } } } \\ & { = \int _ { \rho ^ { - 1 } ( ( \rho ( D _ { i } - \omega ) ) ^ { \# } ) + \omega } \cdots \int _ { \rho ^ { - 1 } ( ( \rho ( D _ { i } - \omega ) ) ^ { \# } ) + \omega } p ( t _ { m } , x _ { 1 } , x _ { 0 } ^ { \# } ) \prod _ { j = 2 } ^ { m } p ( t _ { m } , x _ { j } , x _ { j - 1 } ) d x } \end{array}
\begin{array} { r l } & { d u _ { n } + \theta _ { \rho } ( \| u _ { n } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v _ { n } - \partial _ { z } v _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \left( u _ { n } \partial _ { x } u _ { n } + w _ { n } \partial _ { z } u _ { n } + \partial _ { x } p _ { n } - \frac 1 n \Delta u _ { n } \right) d t } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad = \theta _ { \rho } ( \| u _ { n } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } v _ { n } - \partial _ { z } v _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \sigma ( u _ { n } ) d W , } \\ & { \partial _ { z } p _ { n } = 0 , } \\ & { \partial _ { x } u _ { n } + \partial _ { z } w _ { n } = 0 , } \\ & { u _ { n } ( 0 ) = u _ { 0 } , } \end{array}
\operatorname* { m a x } _ { \beta \in \mathbb { R } ^ { | \mathit { F } | } } \frac { \alpha ^ { T } X _ { \mathit { E } } ^ { T } X _ { \mathit { F } } \beta } { \| X _ { \mathit { E } } \alpha \| _ { 2 } \| X _ { \mathit { F } } \beta \| _ { 2 } } = R ( X _ { \mathit { E } } \alpha , X _ { \mathit { F } } ) = \frac { \| P _ { \mathit { F } } X _ { \mathit { E } } \alpha \| _ { 2 } } { \| X _ { \mathit { E } } \alpha \| _ { 2 } } .
\begin{array} { r l } & { \| G ^ { \star } - { G } _ { R } \| _ { L ^ { 2 } ( [ 0 , T ] ) } ^ { 2 } \le C \left( \| G ^ { \star } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathcal { I } _ { 1 } ) } ^ { 2 } + \| G ^ { \star } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathcal { I } _ { 3 } ) } ^ { 2 } + \| G _ { R } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathcal { I } _ { 1 } ) } ^ { 2 } + \| G _ { R } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathcal { I } _ { 3 } ) } ^ { 2 } \right) } \\ & { \le C \bigg ( \int _ { 0 } ^ { R ^ { - \frac { 2 } { 2 \alpha + 1 } } } ( G ^ { \star } ( t ) ) ^ { 2 } d t + R ^ { - 2 } + \int _ { 0 } ^ { R ^ { - \frac { 2 } { 2 \alpha + 1 } } } \big ( G ^ { \star } \big ( R ^ { - \frac { 2 } { 2 \alpha + 1 } } \big ) \big ) ^ { 2 } d t + R ^ { 4 } \int _ { T - R ^ { - 2 } } ^ { T } ( T - t ) ^ { 2 } d t \bigg ) } \\ & { \le C R ^ { - \frac { 2 ( 1 - 2 \alpha ) } { 2 \alpha + 1 } } , } \end{array}
\frac { \phi ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } - \phi ^ { n } } { \Delta t / 2 } = \alpha \left[ \frac { \partial ^ { 2 } \phi ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } \phi ^ { n } } { \partial y ^ { 2 } } \right]
\begin{array} { r l } { f _ { b } = } & { { } a \, { Q _ { \alpha \beta } } ^ { 2 } - b \, ( Q _ { \alpha \beta } Q _ { \beta \gamma } Q _ { \gamma \alpha } ) + c \, { Q _ { \alpha \beta } } ^ { 4 } , } \\ { f _ { e l } = } & { { } \frac { L _ { 1 } } { 2 } ( \partial _ { \gamma } Q _ { \alpha \beta } ) ^ { 2 } + \frac { L _ { 2 } } { 2 } \partial _ { \epsilon } Q _ { \nu \epsilon } \partial _ { \gamma } Q _ { \nu \gamma } } \\ { f _ { w } = } & { { } \frac { W } { 2 } \left( Q _ { \alpha \beta } - Q _ { \alpha \beta } ^ { 0 } \right) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { H } ( \textrm { H } ( \mathcal { Y } ) , \textrm { H } ( A ) ) } & { = \operatorname* { s u p } _ { u \in \partial B ( 0 , 1 ) } | h ( \textrm { H } ( \mathcal { Y } ) , u ) - h ( \textrm { H } ( A ) , u ) | = | h ( \textrm { H } ( \mathcal { Y } ) , u _ { 0 } ) - h ( \textrm { H } ( A ) , u _ { 0 } ) | } \\ & { = \bigg | \operatorname* { s u p } _ { y \in \textrm { H } ( \mathcal { Y } ) } y ^ { \top } u _ { 0 } - \operatorname* { s u p } _ { q \in \textrm { H } ( A ) } q ^ { \top } u _ { 0 } \bigg | } \end{array}
\psi _ { i j } ( x ^ { - } , 0 ) = \frac { 1 } { 2 \sqrt { \pi } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d k ^ { + } \left( b _ { i j } ( k ^ { + } ) \mathrm { e } ^ { - i k ^ { + } x ^ { - } } + b _ { j i } ^ { \dag } ( k ^ { + } ) \mathrm { e } ^ { i k ^ { + } x ^ { - } } \right) .
\begin{array} { r l r } { Z _ { p } ^ { - 1 } \equiv \mathbb { E } _ { \phi \sim p } \left[ \frac { q _ { \theta } ( \phi ) } { e ^ { - S ( \phi ) } } \right] \approx \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { q _ { \theta } ( \phi _ { i } ) } { e ^ { - S ( \phi _ { i } ) } } \equiv \hat { Z } _ { p } ^ { - 1 } \, , } & { } & { \phi _ { i } \sim p \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { \phi } } & { { } = \frac { \sqrt { \gamma _ { 1 } \gamma _ { 0 } } } { \gamma _ { + } - i \Omega } b _ { \phi } + \frac { \gamma _ { - } + i \Omega } { \gamma _ { + } - i \Omega } c _ { \phi } + } \\ { Z } & { { } = \omega _ { M } ^ { 2 } - \Omega - i \Omega \kappa _ { M } , } \\ { f _ { T } } & { { } = \frac { F _ { T } } { \sqrt { 2 \hbar m \omega _ { m } } } , } \\ { S _ { F _ { T } } } & { { } = 4 m \kappa _ { m } k _ { B } T . } \end{array}