harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { k _ { \alpha \beta , i j } ^ { \left( \beta , 1 \right) } ( \boldsymbol { \xi } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ) } & { = } & { \left( M _ { \alpha , i } M _ { \beta , j \ast } \right) ^ { 1 / 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { r _ { \alpha } } \sum _ { l = 1 } ^ { r _ { \beta } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } \times \mathbb { R } _ { + } \times \mathbb { S } ^ { 2 } } \left\vert \mathbf { g } \right\vert \sigma _ { i j , k l } ^ { \alpha \beta } \mathbf { 1 } _ { \left\vert \mathbf { g } \right\vert ^ { 2 } > 2 \widetilde { \Delta } I _ { k l , i j } ^ { \alpha \beta } } } \\ & { } & { \times \delta _ { 1 } \left( \sqrt { \left\vert \mathbf { g } \right\vert ^ { 2 } - 2 \widetilde { \Delta } I _ { k l , i j } ^ { \alpha \beta } } - \left\vert \mathbf { g } ^ { \prime } \right\vert \right) \delta _ { 3 } \left( \mathbf { G } _ { \alpha \beta } - \mathbf { G } _ { \alpha \beta } ^ { \prime } \right) d \mathbf { G } _ { \alpha \beta } ^ { \prime } d \left\vert \mathbf { g } ^ { \prime } \right\vert d \boldsymbol { \omega } } \\ & { = } & { \left( M _ { \alpha , i } M _ { \beta , j \ast } \right) ^ { 1 / 2 } \left\vert \mathbf { g } \right\vert \sum _ { k = 1 } ^ { r _ { \alpha } } \sum _ { l = 1 } ^ { r _ { \beta } } \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } \sigma _ { i j , k l } ^ { \alpha \beta } \left( \left\vert \mathbf { g } \right\vert , \cos \theta \right) \mathbf { 1 } _ { \left\vert \mathbf { g } \right\vert ^ { 2 } > 2 \widetilde { \Delta } I _ { k l , i j } ^ { \alpha \beta } } \, d \boldsymbol { \omega } \mathrm { , } } \\ & { } & { \mathrm { ~ w i t h ~ } \cos \theta = \boldsymbol { \omega } \cdot \frac { \mathbf { g } } { \left\vert \mathbf { g } \right\vert } \mathrm { , ~ } \mathbf { g } = \boldsymbol { \xi } - \boldsymbol { \xi } _ { \ast } \mathrm { , ~ } \mathbf { G } _ { \alpha \beta } = \frac { m _ { \alpha } \boldsymbol { \xi } + m _ { \beta } \boldsymbol { \xi } _ { \ast } } { m _ { \alpha } + m _ { \beta } } \mathrm { , } } \\ { \mathrm { ~ } } & { } & { \mathrm { a n d ~ } \widetilde { \Delta } I _ { k l , i j } ^ { \alpha \beta } = \frac { m _ { \alpha } + m _ { \beta } } { m _ { \alpha } m _ { \beta } } \Delta I _ { k l , i j } ^ { \alpha \beta } \mathrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { I } } & { = } & { \mathcal { M } _ { \bf u } \mathcal { U } ( 0 ) + \mathcal { M } _ { \bf d } \mathcal { U } ( \tau _ { c } ) } \\ & { = } & { \mathcal { C } _ { \bf u d } e ^ { \hat { \kappa } _ { \bf d } \tau _ { c } } + \mathcal { C } _ { \bf u u } + \mathcal { C } _ { \bf d d } + \mathcal { C } _ { \bf d u } e ^ { - \hat { \kappa } _ { \bf u } \tau _ { c } } . } \end{array}
E _ { \mathrm { { s i g } } } ( t ) = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { n } a _ { n } \left[ e ^ { - \mathrm { { i } } ( n \omega _ { \mathrm { { S B } } } t + \phi _ { n } ) } e ^ { - \mathrm { { i } } \omega _ { 0 } t } + e ^ { \mathrm { { i } } ( n \omega _ { \mathrm { { S B } } } t + \phi _ { n } ) } e ^ { \mathrm { { i } } \omega _ { 0 } t } \right] .
\sigma { _ \phi } ^ { 2 } = { \frac { 1 } { N + 1 } } \sum _ { i = 0 } ^ { N } \left( \phi _ { i } - \langle \phi \rangle \right) ^ { 2 } = { \frac { 1 } { N + 1 } } \sum _ { i = 0 } ^ { N } \phi _ { i } ^ { 2 } - \left( { \frac { 1 } { N + 1 } } \sum _ { i = 0 } ^ { N } \phi _ { i } \right) ^ { 2 }
G ( x , x _ { 0 } , t ) = \operatorname { R e } \ \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \ _ { n } \mathbf { D } _ { l } ( _ { n } \mathbf { D } _ { l } ) _ { 0 } \ \sum _ { m = - l } ^ { l } Y _ { l } ^ { m } ( \theta , \psi ) Y _ { l } ^ { m } ( \theta _ { 0 } , \psi _ { 0 } ) \ \frac { e ^ { \operatorname { i } _ { n } \omega _ { l } t } } { \operatorname { i } ( _ { n } \omega _ { l } ) ( _ { n } I _ { l } ) } .
\begin{array} { r l } { \left( \frac { \omega _ { \mathrm { ~ P ~ B ~ C ~ } } } { c } \right) ^ { 2 } } & { { } = \eta _ { y y } k _ { x } ^ { 2 } - \left( \eta _ { x y } + \eta _ { y x } \right) k _ { x } k _ { y } + \eta _ { x x } k _ { y } ^ { 2 } , } \\ { q } & { { } = - \frac { \eta _ { x y } + \eta _ { y x } } { 2 \eta _ { y y } } = \frac { \varepsilon _ { x y } + \varepsilon _ { y x } } { 2 \varepsilon _ { x x } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \frac { \Delta ^ { 2 } F ( P _ { 0 } ) } { \Delta _ { 1 } P ^ { 2 } } } } & { { } = { \frac { \Delta F ^ { \prime } ( P _ { 0 } ) } { \Delta _ { 1 } P } } = { \frac { { \frac { \Delta F ( P _ { 1 } ) } { \Delta _ { 1 } P } } - { \frac { \Delta F ( P _ { 0 } ) } { \Delta _ { 1 } P } } } { \Delta _ { 1 } P } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { 1 - { \mathbb { P } } ( \mathcal { A } _ { 3 } ) } \\ & { \leq } & { { \mathbb { P } } \left\{ \| \Gamma S ( U _ { 1 } ) \| < 1 - \epsilon \mathrm { ~ o r ~ } \| \Gamma S ( U _ { 1 } ) \| > 1 + \epsilon , \mathcal { A } _ { 1 } \right\} + { \mathbb { P } } ( \mathcal { A } _ { 1 } ^ { c } ) } \\ & { = } & { { \mathbb { P } } \left\{ \| \Gamma U _ { 1 } \| < ( 1 - \epsilon ) \| U _ { 1 } \| \mathrm { ~ o r ~ } \| \Gamma U _ { 1 } \| > ( 1 + \epsilon ) \| U _ { 1 } \| , \mathcal { A } _ { 1 } \right\} + { \mathbb { P } } ( \mathcal { A } _ { 1 } ^ { c } ) } \\ & { \leq } & { { \mathbb { P } } \left( \| \Gamma U _ { 1 } \| < ( 1 - \epsilon ) \left\{ p + \epsilon p ^ { ( 1 + \delta ) / 2 } \right\} \mathrm { ~ o r ~ } \| \Gamma U _ { 1 } \| > ( 1 + \epsilon ) \left\{ p - \epsilon p ^ { ( 1 - \delta ) / 2 } \right\} \right) } \\ & { } & { + { \mathbb { P } } ( \mathcal { A } _ { 1 } ^ { c } ) } \\ & { \leq } & { c _ { 1 } \exp \{ - c _ { 2 } p ^ { \delta \alpha / ( 4 \alpha + 4 ) } \} \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { M } _ { \mathrm { c o m p } } ( r , t ) = } & { { } \; \mathcal { M } _ { 0 } ( r , t ) + \mathrm { ~ P ~ e ~ } ^ { - 2 / 3 } \mathcal { M } _ { 1 } ( r , t ) + \tilde { \mathcal { M } } _ { 0 } \left( \mathrm { ~ P ~ e ~ } ^ { 2 / 3 } ( 1 - r ) , t \right) + \mathrm { ~ P ~ e ~ } ^ { - 1 / 3 } \tilde { \mathcal { M } } _ { 1 } \left( \mathrm { ~ P ~ e ~ } ^ { 2 / 3 } ( 1 - r ) , t \right) + } \end{array}
d s ^ { 2 } = H ( x - \frac { 1 } { A r } ) A ^ { 2 } r ^ { 2 } d u ^ { 2 } - 2 d u d r - 2 A r ^ { 2 } d u d x + r ^ { 2 } \left( G ^ { - 1 } ( x ) d x ^ { 2 } + G ( x ) d \varphi ^ { 2 } \right) \quad .
\int _ { 0 } ^ { 1 } x ^ { { \frac { s } { 2 } } - 1 } \left\{ { \frac { 1 } { \sqrt { x } } } \psi \left( { \frac { 1 } { x } } \right) + { \frac { 1 } { 2 { \sqrt { x } } } } - { \frac { 1 } { 2 } } \right\} \, d x + \int _ { 1 } ^ { \infty } x ^ { { \frac { s } { 2 } } - 1 } \psi ( x ) \, d x
\frac { \langle \mathrm { ~ S ~ N ~ R ~ } ( \iota ) \rangle _ { \iota } } { \mathrm { ~ S ~ N ~ R ~ } ( \iota = \pi / 2 ) } = \frac { \langle \sin ^ { 2 } \iota ( 1 7 + \cos ^ { 2 } \iota ) \rangle } { 1 7 } \approx 0 . 5 0
1 - ( 1 - q ^ { * } ) \, \psi _ { q ^ { * } } ^ { * } \cdot C ( G _ { i } ) = [ p _ { q ^ { * } } ( G _ { i } , \psi _ { q ^ { * } } ^ { * } ) Z _ { q ^ { * } } ( \psi _ { q ^ { * } } ^ { * } ) ] ^ { 1 - q ^ { * } }
H _ { e f f } = - \frac { 2 g ^ { 4 } \Delta E ^ { 2 } } { M \omega _ { p h } ^ { 2 } \left( \Delta E ^ { 2 } - \omega _ { p h } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } \sum _ { q ^ { \prime } } Q _ { q ^ { \prime } } Q _ { - q ^ { \prime } } \sum _ { q } n _ { \uparrow , q } n _ { \downarrow , - q }
\begin{array} { l c l } { { \frac { \partial } { \partial t _ { 1 } } { u _ { 2 } } } } & { { = } } & { { { u _ { 2 } ^ { \prime } } } } \\ { { \frac { \partial } { \partial t _ { 1 } } { u _ { 3 } } } } & { { = } } & { { { u _ { 3 } ^ { \prime } } } } \\ { { \frac { \partial } { \partial t _ { 2 } } { u _ { 2 } } } } & { { = } } & { { 2 { u _ { 3 } ^ { \prime } } - 2 \theta u _ { 2 } ^ { \prime \prime } } } \\ { { \frac { \partial } { \partial t _ { 2 } } { u _ { 3 } } } } & { { = } } & { { - \frac { 2 } { 3 } u _ { 2 } u _ { 2 } ^ { \prime } - \frac { 8 } { 3 } \theta ^ { 2 } u _ { 2 } ^ { \prime \prime \prime } + 2 \theta u _ { 3 } ^ { \prime \prime } } } \\ { { \frac { \partial } { \partial t _ { 4 } } { u _ { 2 } } } } & { { = } } & { { \frac { 4 } { 3 } \{ ( u _ { 2 } u _ { 3 } ) ^ { \prime } - \theta ( u _ { 2 } ^ { \prime \prime } u _ { 2 } + u _ { 2 } ^ { ' 2 } ) + 2 { \theta } ^ { 2 } u _ { 3 } ^ { \prime \prime \prime } - 2 { \theta } ^ { 3 } u _ { 2 } ^ { ( 4 ) } \} } } \\ { { \frac { \partial } { \partial t _ { 4 } } { ( u _ { 3 } - \theta u _ { 2 } ^ { \prime } ) } } } & { { = } } & { { \frac { 4 } { 3 } \{ u _ { 3 } u _ { 3 } ^ { \prime } - \frac { 1 } { 3 } u _ { 2 } ^ { 2 } u _ { 2 } ^ { \prime } - \theta ( u _ { 2 } ^ { \prime } u _ { 3 } ^ { \prime } + u _ { 2 } ^ { \prime \prime } u _ { 3 } ) - \theta ^ { 2 } ( u _ { 2 } ^ { \prime } u _ { 2 } ^ { \prime \prime } + u _ { 2 } u _ { 2 } ^ { \prime \prime \prime } ) - \frac { 2 } { 3 } \theta ^ { 4 } u _ { 2 } ^ { ( 5 ) } . } } \end{array}
g _ { \mathrm { ~ c ~ } } = \sqrt { \frac { \omega _ { \mathrm { ~ c ~ } } } { 2 } \frac { 1 } { \sum _ { k } \frac { \sinh \left( \beta \delta _ { k } \right) } { \delta _ { k } \left[ \cosh \left( \beta \left( \overline { { \epsilon } } _ { k } - \mu \right) \right) + \cosh \left( \beta \delta _ { k } \right) \right] } } } .
\begin{array} { r l } { M _ { n } ( r _ { D } , \theta _ { D } ) } & { { } = \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \Pi _ { \left[ \frac { \theta _ { d } } { \Omega } , \frac { \theta _ { d } + \alpha } { \Omega } \right] } ( t ) \Pi _ { [ 0 , R ] } ( r _ { d } ) e ^ { - i \Omega t } ( r ) \mathrm { d } t } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { s } \mathcal { F } ( \phi ^ { * } + s \psi ) | _ { s = 0 } } & { = ( \ln ( 1 + \phi ^ { * } + \beta ) - \ln ( 1 - \phi ^ { * } - \beta ) , \psi ) - ( \theta _ { 0 } \phi ^ { n } + \varepsilon ^ { 2 } \Delta _ { h } \phi ^ { * } , \psi ) } \\ & { + ( \mathcal { L } _ { h } ^ { - 1 } ( \phi ^ { * } - \phi ^ { n } + \beta ) , \psi ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { j } = } & { { } - \frac { k _ { j } } { L R _ { 0 } } \left[ \int _ { - L } ^ { L } \delta R ( z ) \cos \left( k _ { j } z \right) d z \right] , } \\ { \Theta _ { j } = } & { { } - \frac { k _ { j } } { L R _ { 0 } } \left[ \int _ { - L } ^ { L } \delta R ( z ) \sin \left( k _ { j } z \right) d z \right] , } \end{array}
\mathcal { U } _ { a } \hat { \mathcal { F } } _ { a } + \hat { \mathcal { U } } _ { a } \mathcal { F } _ { a } ^ { \textrm { p r o p } } + \hat { \mathcal { U } } _ { a } \mathcal { F } _ { a } ^ { \infty } = \hat { \mathcal { U } } _ { a } \mathcal { F } _ { a } ,
\begin{array} { r l r } { \dot { \theta } _ { 1 } } & { { } = } & { \omega _ { 1 } , } \\ { \dot { \theta } _ { 2 } } & { { } = } & { \omega _ { 2 } , } \\ { \dot { \omega } _ { 1 } } & { { } = } & { \frac { K } { 2 } \sin ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 1 } ) , } \\ { \dot { \omega } _ { 2 } } & { { } = } & { \frac { K } { 2 } \sin ( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } ) . } \end{array}
\tilde { \Omega } _ { p , q } : = \tilde { T } _ { p , q } ( \tilde { \Omega } _ { 0 , 0 } ) = \left\{ \boldsymbol { \xi } \in \mathbb { R } ^ { 2 } \, \vert \, \tilde { T } _ { p , q } ^ { - 1 } ( \boldsymbol { \xi } ) \in \tilde { \Omega } _ { 0 , 0 } \right\} \, , \qquad \forall \, p , q \in \mathbb { Z } \, ,
{ \widetilde R } _ { 3 } \left( x , t \right) = \int _ { { t } _ { k } } ^ { t } \int _ { { t } _ { k } } ^ { { s } _ { 1 } } \int _ { { t } _ { k } } ^ { { s } _ { 2 } } { \left( { u } ^ { { \prime } { \prime } { \prime } } \left( x , { s } _ { 3 } \right) - { u } ^ { { \prime } { \prime } { \prime } } \left( x , { t } _ { k } \right) \right) } { \mathrm { d } { s } _ { 3 } } { \mathrm { d } { s } _ { 2 } } { \mathrm { d } { s } _ { 1 } } \, .
\begin{array} { r l } { | R ^ { \star } \psi | ^ { 2 } } & { = | v W _ { 0 } \psi | ^ { 2 } + | h _ { 0 } K ^ { \star } \psi | ^ { 2 } - 2 \mathfrak { R } \big ( v W _ { 0 } \psi h _ { 0 } \overline { { K ^ { \star } \psi } } \big ) } \\ { | \Phi ^ { \star } \psi | ^ { 2 } } & { = a ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta | K ^ { \star } \psi | ^ { 2 } + \left( \frac { \rho ^ { 2 } } { r ^ { 2 } + a ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \frac { 1 } { \sin ^ { 2 } \theta } \partial _ { \phi } \psi + 2 \frac { a \rho ^ { 2 } } { r ^ { 2 } + a ^ { 2 } } \mathfrak { R } \big ( K ^ { \star } \psi \overline { { \partial _ { \phi } \psi } } \big ) } \end{array}
\Pi = { \frac { \lambda ^ { 2 } T ^ { 2 } } { 2 4 } } \left( 1 - { \frac { 3 } { \pi } } { \frac { m } { T } } - { \frac { 3 } { 2 \pi ^ { 2 } } } \left( { \frac { m } { T } } \right) ^ { 2 } \ln \left( { \frac { m } { T } } \right) + \cdots \right) - m ^ { 2 } = { \cal O } ( \lambda m ^ { 2 } )
\dot { z } _ { p } = \Phi _ { x } ^ { \mathrm { ~ p ~ h ~ y ~ s ~ } } + i \Phi _ { y } ^ { \mathrm { ~ p ~ h ~ y ~ s ~ } } = \big ( x _ { \alpha } \dot { \alpha } _ { p } - y _ { \alpha } \dot { \beta } _ { p } + x _ { t } \big ) + i \big ( y _ { \alpha } \dot { \alpha } _ { p } + x _ { \alpha } \dot { \beta } _ { p } + y _ { t } \big ) ,
\begin{array} { r l r } { \frac { c ^ { 2 } k ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } } & { = } & { 1 - \frac { \widetilde { \omega } _ { p } ^ { 2 } } { \omega ( \omega - \omega _ { c } ) } \, , } \\ { \frac { c ^ { 2 } k ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } } & { = } & { 1 - \frac { \widetilde { \omega } _ { p } ^ { 2 } } { \omega ( \omega + \omega _ { c } ) } \, , } \end{array}
\underset { n \rightarrow \infty } { \operatorname* { l i m } \operatorname* { i n f } } \left( a _ { n } \right) + \underset { n \rightarrow \infty } { \operatorname* { l i m } \operatorname* { i n f } } \left( b _ { n } \right) \leq \underset { n \rightarrow \infty } { \operatorname* { l i m } \operatorname* { i n f } } \left( a _ { n } + b _ { n } \right)
\psi ( \mathbf { r } , t ) = { \left[ \begin{array} { l } { \psi _ { + , \, \sigma = s } ( \mathbf { r } , t ) } \\ { \psi _ { + , \, \sigma = s - 1 } ( \mathbf { r } , t ) } \\ { \vdots } \\ { \psi _ { + , \, \sigma = - s + 1 } ( \mathbf { r } , t ) } \\ { \psi _ { + , \, \sigma = - s } ( \mathbf { r } , t ) } \\ { \psi _ { - , \, \sigma = s } ( \mathbf { r } , t ) } \\ { \psi _ { - , \, \sigma = s - 1 } ( \mathbf { r } , t ) } \\ { \vdots } \\ { \psi _ { - , \, \sigma = - s + 1 } ( \mathbf { r } , t ) } \\ { \psi _ { - , \, \sigma = - s } ( \mathbf { r } , t ) } \end{array} \right] } \quad \rightleftharpoons \quad { \psi ( \mathbf { r } , t ) } ^ { \dagger } { \left[ \begin{array} { l l l l } { { \psi _ { + , \, \sigma = s } ( \mathbf { r } , t ) } ^ { \star } } & { { \psi _ { + , \, \sigma = s - 1 } ( \mathbf { r } , t ) } ^ { \star } } & { \cdots } & { { \psi _ { - , \, \sigma = - s } ( \mathbf { r } , t ) } ^ { \star } } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } { W _ { \mathrm { ~ P ~ a ~ r ~ t ~ i ~ c ~ l ~ e ~ } } ^ { C } = \frac { 1 } { 1 6 \pi } } & { { } \sum _ { j } \overline { n } _ { j } ^ { C } \omega _ { 0 p j } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { S t o r a g e : ~ } \underline { { x } } \leq \mathbb { E } [ x _ { k + 1 } ] = a ~ \mathbb { E } [ x _ { k } ] + \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } b ^ { i } ~ \mathbb { E } [ u _ { k } ^ { i } ] - L _ { k } , } \\ & { \mathrm { G e n e r a t i o n : ~ } \underline { { u } } ^ { i } \leq \mathbb { E } [ u _ { k } ^ { i } ] \leq \bar { u } ^ { i } , ~ i = 1 , 2 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S ^ { \prime } ( t ) = } & { { } \; - \beta \frac { S ( t ) } { N ( t ) } ( I ( t ) + \alpha Y ( t ) ) + \eta _ { 1 } P ( t ) , } \\ { I ^ { \prime } ( t ) = } & { { } \; \beta \frac { S ( t ) } { N ( t ) } ( I ( t ) + \alpha Y ( t ) ) - \gamma _ { 1 } I ( t ) , } \\ { T ^ { \prime } ( t ) = } & { { } \; \gamma _ { 1 } I ( t ) - \varepsilon T ( t ) , } \\ { P ^ { \prime } ( t ) = } & { { } \; \varepsilon T ( t ) - \nu \beta \frac { P ( t ) } { N ( t ) } ( I ( t ) + \alpha Y ( t ) ) - \eta _ { 1 } P ( t ) + \eta _ { 2 } R ( t ) , } \\ { Y ^ { \prime } ( t ) = } & { { } \; \nu \beta \frac { P ( t ) } { N ( t ) } ( I ( t ) + \alpha Y ( t ) ) - \gamma _ { 2 } Y ( t ) , } \\ { R ^ { \prime } ( t ) = } & { { } \; \gamma _ { 2 } Y ( t ) - \eta _ { 2 } R ( t ) , } \end{array}
\mathbb { E } { \left\lVert { D ^ { k } Y _ { t } } \right\rVert } _ { \infty } ^ { \xi / k } \preceq \left( \mathbb { E } \exp \left( \eta N _ { \alpha } ( \boldsymbol { \hat { X } } ) \right) \right) ^ { \frac { \xi } { \eta } } \left( \mathbb { E } { \left\lVert { \boldsymbol { \hat { X } } _ { t } } \right\rVert } _ { p - v a r ; [ 0 , 1 ] } ^ { ( b ( k ) + 1 ) q ^ { \prime } \xi / k } \right) ^ { 1 / q ^ { \prime } } < + \infty ,
\begin{array} { r l r } { { \mathbb { P } } ( T _ { n } > q _ { 1 - \alpha } ^ { B } \mid H _ { 1 } ) } & { \geq } & { { \mathbb { P } } ( n ^ { 1 / 2 } | { \boldsymbol \theta } | _ { \infty } - { T } _ { n } ^ { c } \geq q _ { 1 - \alpha } ^ { B } \mid H _ { 1 } ) } \\ & { = } & { { \mathbb { P } } ( { T } _ { n } ^ { c } \leq n ^ { 1 / 2 } | { \boldsymbol \theta } | _ { \infty } - q _ { 1 - \alpha } ^ { B } \mid H _ { 1 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda _ { k } ^ { T h } } & { = \frac { \int d ^ { 3 } r ~ f ^ { T h } ( \mathbf { r } ) \phi _ { k } ^ { V O I } ( \mathbf { r } ) } { \int d ^ { 3 } r ~ \phi _ { k } ^ { V O I } ( \mathbf { r } ) } , } \\ { \lambda _ { k } ^ { R a } } & { = \frac { \int d ^ { 3 } r ~ f ^ { R a } ( \mathbf { r } ) \phi _ { k } ^ { V O I } ( \mathbf { r } ) } { \int d ^ { 3 } r ~ \phi _ { k } ^ { V O I } ( \mathbf { r } ) } , } \end{array}
g _ { \nu \nu ^ { \prime } } ^ { ( 2 ) } ( \boldsymbol { q } , \boldsymbol { p } ) \sim \frac { Z _ { \kappa } e ^ { 2 } } { \Omega \epsilon _ { \infty } } u _ { \boldsymbol { q } \kappa \nu } u _ { \boldsymbol { p } \kappa \nu ^ { \prime } } ,
\begin{array} { r } { \hat { H } _ { \mathrm { ~ n ~ h ~ } } = \left( \begin{array} { l l } { - 0 . 1 i } & { - 1 . 0 } \\ { - 1 . 0 } & { - 0 . 5 i } \end{array} \right) } \end{array}
\boxed { ( \Theta _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( t ) } } , \overline { { \theta } } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( t ) } } ) = \underline { { \widetilde { \Phi } } } ^ { * } \big ( \Theta _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } , \overline { { \theta } } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } \big ) + \underline { { \mathrm { d } } } \big ( \star _ { g } \mathcal { U } , 0 \big ) }
\left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \partial u } { \partial t } = D _ { 1 } \Delta u + \frac { r u } { u + N } ( 1 - \frac { u } { K } ) ( u - M ) - A \sqrt { u } v , \ \ \ x \in \Omega , t \textgreater 0 , } \\ { \frac { \partial v } { \partial t } = D _ { 2 } \Delta v + B \sqrt { u } v - D v ^ { 2 } , \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x \in \Omega , t \textgreater 0 , } \\ { u _ { \upsilon } = v _ { \upsilon } = 0 , \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ t \textgreater 0 , } \\ { u ( 0 , x ) = u _ { 0 } ( x ) \geq 0 , v ( 0 , x ) = v _ { 0 } ( x ) \geq 0 , \ \ \ \ \ \ \ \ \ x \in \Omega , } \end{array} \right.
f _ { ( i + 1 ) } = f _ { i } + \frac { f _ { i } ^ { \prime } } { 1 ! } h + \frac { f _ { i } ^ { \prime \prime } } { 2 ! } h ^ { 2 } + \frac { f _ { i } ^ { \prime \prime \prime } } { 3 ! } h ^ { 3 } + \ldots + \frac { f _ { i } ^ { n } } { n ! } h ^ { n } + R _ { n }
{ \boldsymbol { h } } ^ { ( 1 ) } \in \{ 0 , 1 \} ^ { F _ { 1 } } , { \boldsymbol { h } } ^ { ( 2 ) } \in \{ 0 , 1 \} ^ { F _ { 2 } } , \ldots , { \boldsymbol { h } } ^ { ( L ) } \in \{ 0 , 1 \} ^ { F _ { L } }
\mathrm { t a n } \delta _ { l } = \frac { 2 4 \pi \mu _ { a } C _ { 6 } E ^ { 2 } } { ( 2 l - 3 ) ( 2 l - 1 ) ( 2 l + 1 ) ( 2 l + 3 ) ( 2 l + 5 ) } ,
{ \bigl ( } c _ { 1 } \langle \phi _ { 1 } | + c _ { 2 } \langle \phi _ { 2 } | { \bigr ) } | \psi \rangle = c _ { 1 } \langle \phi _ { 1 } | \psi \rangle + c _ { 2 } \langle \phi _ { 2 } | \psi \rangle \, .
\begin{array} { r l } { \dot { I } ^ { \mathrm { L T } } } & { { } \simeq 5 9 . 5 \, \mathrm { m a s \, y r } ^ { - 1 } , } \\ { \dot { \Omega } ^ { \mathrm { L T } } } & { { } \simeq 1 6 . 1 \, \mathrm { m a s \, y r } ^ { - 1 } , } \\ { \dot { \omega } ^ { J _ { 2 } } } & { { } = - 1 7 3 . 0 ^ { \circ } \, \mathrm { y r } ^ { - 1 } , } \\ { \dot { \omega } ^ { \mathrm { G E } } } & { { } = 3 . 2 \, \mathrm { a r c s e c \, y r } ^ { - 1 } , } \end{array}
e _ { B } = \frac { 1 } { A } \int _ { \Omega } \left| B _ { x } - B _ { x } ^ { \mathrm { e x a c t } } \right| + \left| B _ { y } - B _ { y } ^ { \mathrm { e x a c t } } \right| \ \mathrm { d } \mathbf { x } ,
\begin{array} { r l } { \tilde { Q } _ { j } ^ { i } ( \psi \circ \tau _ { T } ; s ) } & { { } = \delta _ { i j } + \int _ { 0 } ^ { s } \tilde { Q } _ { k } ^ { i } ( \psi \circ \tau _ { T } ; r ) q _ { j } ^ { k } ( \psi ( T - r ) , T - r ) \textrm { d } r } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { \pi ^ { e } } ( u _ { t } | s _ { t } , h _ { t - 1 } ) } & { = \int _ { \mathcal { U } } P _ { \pi ^ { e } } ( u _ { t - 1 } | s _ { t } , h _ { t - 1 } ) P _ { \pi ^ { e } } ( u _ { t } | s _ { t } , h _ { t - 1 } , u _ { t - 1 } ) d u } \\ & { = \int _ { \mathcal { U } } P _ { \pi ^ { e } } ( u _ { t - 1 } | s _ { t - 1 } , h _ { t - 2 } ) \frac { P _ { \pi ^ { e } } ( s _ { t } , u _ { t } | s _ { t - 1 } , u _ { t - 1 } , a _ { t - 1 } ) } { P _ { \pi ^ { e } } ( s _ { t } | s _ { t - 1 } , a _ { t - 1 } ) } d u , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pmb { \theta } ^ { k + 1 } } & { = \pmb { \theta } ^ { k } - \eta ^ { k } \nabla _ { \pmb { \theta } } \mathcal { L } ( \pmb { \theta } ^ { k } , \mathbf { w } ^ { k } ) } \\ { \mathbf { w } ^ { k + 1 } } & { = \mathbf { w } ^ { k } + \rho ^ { k } \nabla _ { \mathbf { w } } \mathcal { L } ( \pmb { \theta } ^ { k } , \mathbf { w } ^ { k } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \frac { \varepsilon _ { \mathrm { i n } } } { \varepsilon _ { \mathrm { o u t } } } \bigg ( \frac { k _ { x } k _ { y } } { \gamma } E _ { x } + \frac { k _ { y } ^ { 2 } } { \gamma } E _ { y } \bigg ) + \gamma E _ { y } } & { { } = \mathrm { i } \omega \mu _ { 0 } H _ { x } } \\ { - \gamma E _ { x } + \frac { \varepsilon _ { \mathrm { i n } } } { \varepsilon _ { \mathrm { o u t } } } \bigg ( \frac { k _ { x } ^ { 2 } } { \gamma } E _ { x } + \frac { k _ { x } k _ { y } } { \gamma } E _ { y } \bigg ) } & { { } = \mathrm { i } \omega \mu _ { 0 } H _ { y } } \end{array}
A ^ { * } ( z ^ { * } , t ^ { * } ) = \bar { A } ( 1 - 6 \overline { { u } } ) + a \mathrm { ~ c ~ n ~ } ^ { 2 } \left[ \frac { \sqrt { a } } { \bar { A } \sqrt { 1 2 m } } \left( z ^ { * } - 2 \left( \bar { A } - 6 \bar { A } \overline { { u } } + \frac { a ( 2 m - 1 ) } { 3 m } \right) t ^ { * } \right) , m \right] ,
\begin{array} { r l } & { I m \int _ { \mathbb { R } } ( | v ^ { k } | ^ { 2 p } v ^ { k } - | v ^ { j } | ^ { 2 p } v ^ { j } ) _ { x } ( \overline { { v ^ { k } - v ^ { j } } } ) _ { x } d x \leq \widetilde { N } _ { 1 } \left( \| v _ { x } ^ { j } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } + \| ( v ^ { k } - v ^ { j } ) _ { x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } \right) } \\ & { + \widetilde { N } _ { 2 } \left( \| ( ( v ^ { k } ) ^ { p } ) _ { x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } + \| ( v ^ { k } - v ^ { j } ) _ { x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } \right) + \widetilde { N } _ { 3 } \left( \| ( ( v ^ { k } ) ^ { p } ) _ { x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } + \| ( v ^ { k } - v ^ { j } ) _ { x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } \right) } \\ & { + \widetilde { N } _ { 4 } \left( \| ( ( v ^ { j } ) ^ { p } ) _ { x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 } + \| ( v ^ { k } - v ^ { j } ) _ { x } \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) } \right) } \end{array}