harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
a _ { n } \sim { \frac { B ( r ) } { r ^ { \alpha } \Gamma ( \beta ) } } \, n ^ { \beta - 1 } ( 1 / r ) ^ { n } \sim { \frac { B ( r ) } { r ^ { \alpha } } } { \binom { n + \beta - 1 } { n } } ( 1 / r ) ^ { n } = { \frac { B ( r ) } { r ^ { \alpha } } } \left( \! \! { \binom { \beta } { n } } \! \! \right) ( 1 / r ) ^ { n } \, ,
\begin{array} { r l r } { \int _ { \gamma ^ { - } } \kappa u _ { \tau } ^ { 2 } } & { { } = \int _ { \gamma ^ { - } } \kappa u _ { \tau } ^ { 2 } \ d S , } & { \int _ { \Omega } \omega ^ { 2 } = \int _ { \Omega } \omega ^ { 2 } \ d y } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { j } W _ { i j } ^ { + } = 1 , \sum _ { j } W _ { i j } ^ { - } = 1 \ \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ n ~ y ~ i ~ , ~ } } \\ { \sum _ { i } W _ { i j } ^ { + } = 1 , \sum _ { i } W _ { i j } ^ { - } = 1 \ \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ n ~ y ~ j ~ . ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ | | \mathcal { H } _ { i } ( x ^ { k } , y ^ { k + 1 } ) | | ^ { 2 } | \mathcal { F } ^ { k } \right] } & { = \left\| \overline { { \mathcal { H } } } ( x ^ { k } , y ^ { k + 1 } ) \right\| ^ { 2 } + \mathbb { E } \left[ | | \mathcal { H } _ { i } ( x ^ { k } , y ^ { k + 1 } ) - \overline { { \mathcal { H } } } ( x ^ { k } , y ^ { k + 1 } ) | | ^ { 2 } | \mathcal { F } ^ { k } \right] } \\ & { \leq \left( \left\| \overline { { \mathcal { H } } } ( x ^ { k } , y ^ { k + 1 } ) - \overline { { \nabla } } f ( x , y ) \right\| + \left\| \overline { { \nabla } } f ( x , y ) \right\| \right) ^ { 2 } + \tilde { \sigma } _ { f } ^ { 2 } } \\ & { \leq \big ( \kappa _ { g } \ell _ { f , 1 } \left( \left( \kappa _ { g } - 1 \right) / \kappa _ { g } \right) ^ { N } + \ell _ { f , 0 } + \ell _ { g , 1 } \frac { 1 } { \mu _ { g } } \ell _ { f , 0 } \big ) ^ { 2 } + \tilde { \sigma } _ { f } ^ { 2 } } \\ & { \leq \big ( \ell _ { f , 0 } + \frac { \ell _ { f , 0 } \ell _ { g , 1 } } { \mu _ { g } } + \frac { \ell _ { f , 1 } \ell _ { g , 1 } } { \mu _ { g } } \big ) ^ { 2 } + \tilde { \sigma } _ { f } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { b } ^ { i j } ( \theta _ { 0 } ) } & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \bigg ( \frac { \partial } { \partial \alpha _ { i } } b \left( X _ { s } ^ { 0 } , H \left( X _ { s - \cdot } ^ { 0 } \right) , \theta _ { 0 } \right) \bigg ) ^ { \top } [ \sigma \sigma ^ { \top } ] ^ { - 1 } \left( X _ { s } ^ { 0 } , H \left( X _ { s - \cdot } ^ { 0 } \right) , \beta _ { 0 } \right) \bigg ( \frac { \partial } { \partial \alpha _ { j } } b \left( X _ { s } ^ { 0 } , H \left( X _ { s - \cdot } ^ { 0 } \right) , \theta _ { 0 } \right) \bigg ) \, \mathrm { d } s , } \\ { I _ { \sigma } ^ { i j } ( \theta _ { 0 } ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \mathrm { t r } \Bigg [ \bigg ( \frac { \partial } { \partial \beta _ { i } } [ \sigma \sigma ^ { \top } ] \bigg ) [ \sigma \sigma ^ { \top } ] ^ { - 1 } \bigg ( \frac { \partial } { \partial \beta _ { j } } [ \sigma \sigma ^ { \top } ] \bigg ) [ \sigma \sigma ^ { \top } ] ^ { - 1 } \left( X _ { s } ^ { 0 } , H \left( X _ { s - \cdot } ^ { 0 } \right) , \beta _ { 0 } \right) \Bigg ] \, \mathrm { d } s . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat { \deg } ( \operatorname { g r } ( V _ { n } ) ) } & { = - \int _ { \Omega } \ln \| \bigwedge _ { \alpha \in \Gamma ( V _ { n } ) } s _ { ( n , \alpha ) } \| _ { \widehat { n \varphi } _ { \omega } , \operatorname* { d e t } } \nu ( \mathrm { d } \omega ) } \\ & { = \int _ { \Omega } \widehat { \deg } _ { \omega } ( \operatorname { g r } ( V _ { n } ) _ { \omega } , \widehat { n \varphi } _ { \omega } , \eta _ { n , \omega } ) \nu ( \mathrm { d } \omega ) , } \end{array}
^ \star \hat { C ^ { \prime } } _ { ( 3 ) } ^ { i } \equiv \frac { 1 } { 3 ! } \epsilon ^ { i j k l } \hat { C ^ { \prime } } _ { j k l } = \sqrt { \operatorname * { d e t } A } [ ( A ^ { - 1 } ) ^ { t } \; ^ { \star } \hat { C } _ { ( 3 ) } ) ] ^ { i } ,
\begin{array} { r l r } { 2 c ^ { \prime } \; = \; \mathrm { r a n k } \left[ \left( \begin{array} { c } { B _ { t } } \\ { B _ { r } } \\ { 0 } \end{array} \right) \left( B _ { t } ^ { T } A ^ { T } \; \; 0 \; \; B _ { r } ^ { T } \right) \right. } & { - } & { \left. \left( \begin{array} { c } { A B _ { t } } \\ { 0 } \\ { B _ { r } } \end{array} \right) \left( B _ { t } ^ { T } \; \; B _ { r } ^ { T } \; \; 0 \right) \right] . } \end{array}
\psi _ { j } ( C _ { r } ^ { \vee } , t ) = \frac { 4 \sinh 2 j t ( \cosh ( 2 w _ { 1 } t ) \, \cosh ( 2 w _ { 2 } t ) - \cos ^ { 2 } ( x t ) ) } { \sinh 2 t \, \cosh h t } .
T _ { F } ( \bar { z } ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( G ^ { + } ( \bar { z } ) + G ^ { - } ( \bar { z } ) ) = i \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \tilde { \rho } ^ { i } \tilde { \sigma } ^ { i } \tilde { \psi } ^ { i } + \mathrm { ~ h . c . }
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } \| x ^ { k } - x ^ { * } \| ^ { 2 } } & { \leq } & { \left( 1 - \gamma \mu \right) ^ { k } \| x ^ { 0 } - x ^ { * } \| ^ { 2 } + 2 \sum _ { j = 0 } ^ { k - 1 } \left( 1 - \gamma \mu \right) ^ { j } \gamma ^ { 2 } \sigma _ { f } ^ { * } } \\ & { \leq } & { \left( 1 - \gamma \mu \right) ^ { k } \| x ^ { 0 } - x ^ { * } \| ^ { 2 } + \frac { 2 \gamma \sigma _ { f } ^ { * } } { \mu } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | u | ^ { 2 } } & { = \lambda ^ { 2 } + \left( \frac { \alpha } { 1 + \alpha ^ { 2 } } | \dot { m } | + \dot { e } \cdot D m \right) ^ { 2 } + \left( D m \cdot ( m \wedge \dot { e } ) + \frac { | \dot { m } | } { 1 + \alpha ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } } \\ & { = \lambda ^ { 2 } + \left( \dot { e } \cdot D m + \frac { \alpha | \dot { m } | } { 1 + \alpha ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } + \left( \dot { e } \cdot ( D m _ { u } \wedge m ) + \frac { | \dot { m } | } { 1 + \alpha ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } . } \end{array}
N \sum _ { i j k } \int _ { x } \Biggl [ \tilde { A } _ { i j } ^ { \mu } ( x ) \tilde { A } _ { \mu k l } ( x ) \tilde { A } _ { j k } ^ { \nu } ( x ) \tilde { A } _ { \nu l i } ( x ) W ^ { i j k l } + \tilde { A } _ { i j } ^ { \mu } ( x ) \tilde { A } _ { \mu j k } ( x ) \tilde { A } _ { k l } ^ { \nu } ( x ) \tilde { A } _ { \nu l i } ( x ) L ^ { i j k l } \Biggr ] .
\begin{array} { r l } & { \frac { ( \rho - \kappa \theta ) } { 2 \rho ( \gamma - \kappa ) \theta } \| \nabla \psi _ { 1 / \rho } ( z ^ { k } ) \| ^ { 2 } } \\ & { \quad \leq \psi _ { 1 / \rho } ( z ^ { k } ) - \mathbb { E } _ { k } [ \psi _ { 1 / \rho } ( z ^ { k + 1 } ) ] + \frac { \rho \beta } { ( \gamma - \kappa ) \theta ^ { 2 } } \{ \psi ( x ^ { k } ) - \mathbb { E } _ { k } [ \psi ( x ^ { k + 1 } ) ] \} } \\ & { \qquad + \frac { \rho ( 2 \rho \beta ^ { 2 } \theta ^ { - 1 } + \gamma \beta \theta ) } { 2 ( \gamma - \kappa ) \theta ^ { 2 } } \{ \| x ^ { k } - x ^ { k - 1 } \| ^ { 2 } - \mathbb { E } _ { k } [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \| ^ { 2 } ] \} } \\ & { \qquad + \frac { 2 \rho L _ { f } ^ { 2 } } { ( \gamma - \kappa ) ^ { 2 } \theta ^ { 2 } } - \frac { \rho ( \gamma \theta ^ { 2 } - 2 \theta ( \rho + \kappa \beta ) - 2 \rho \beta ^ { 2 } \theta ^ { - 1 } ) } { 2 ( \gamma - \kappa ) \theta ^ { 2 } } \mathbb { E } _ { k } [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \| ^ { 2 } ] + \frac { \rho \mathbb { E } _ { k } [ \varepsilon _ { k } ] } { ( \gamma - \kappa ) \theta ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \theta _ { m } T _ { s _ { \alpha } } - T _ { s _ { \alpha } } \theta _ { s _ { \alpha } ( m ) } = \left( ( { q _ { F } } ^ { \lambda ( \alpha ^ { \# } ) } - 1 ) + \theta _ { - h _ { \alpha } ^ { \vee } } ( { q _ { F } } ^ { ( \lambda ( \alpha ^ { \# } ) + \lambda ^ { * } ( \alpha ^ { \# } ) ) / 2 } - { q _ { F } } ^ { ( \lambda ( \alpha ^ { \# } ) - \lambda ^ { * } ( \alpha ^ { \# } ) ) / 2 } ) \right) \frac { \theta _ { m } - \theta _ { s _ { \alpha } ( m ) } } { \theta _ { 0 } - \theta _ { - 2 h _ { \alpha } ^ { \vee } } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 2 \pi R _ { \mathrm { ~ c ~ u ~ t ~ } } } { \Omega \theta _ { \nu \lambda \omega } } \frac { 2 ^ { l _ { \mu \kappa } } \pi ^ { 5 / 2 } f _ { l _ { \mu \nu \kappa \lambda } } N _ { \mu } N _ { \nu } N _ { \kappa } N _ { \lambda } e ^ { - s ^ { * } } \theta _ { \mu \nu \kappa \lambda \omega } ^ { 3 / 2 } ( \theta _ { \nu \lambda \omega } R _ { \mathrm { ~ c ~ u ~ t ~ } } ) ^ { l _ { \mu \nu } + l _ { \kappa \lambda } - 2 } } { \alpha _ { \mu \nu } ^ { l _ { \mu } + 3 / 2 } \alpha _ { \kappa \lambda } ^ { l _ { \kappa } + 3 / 2 } \alpha _ { \nu } ^ { l _ { \nu } } \alpha _ { \lambda } ^ { l _ { \lambda } } } < \tau . } \end{array}
A _ { \cdot \wedge \tau _ { r _ { 1 } } ( A ^ { ( 1 , X ) } ) } ^ { ( 1 ) } - z _ { \infty } - \int _ { 0 } ^ { \cdot \wedge \tau _ { r _ { 1 } } ( A ^ { ( 1 , X ) } ) } \Sigma ^ { 1 / 2 } ( A _ { u } ^ { ( 1 ) } ) { \mathrm d } A _ { u } ^ { ( 3 ) } - \int _ { 0 } ^ { \cdot \wedge \tau _ { r _ { 1 } } ( A ^ { ( 1 , X ) } ) } \phi ( A _ { u } ^ { ( 1 ) } ) { \mathrm d } A _ { u } ^ { ( 2 ) } \equiv \mathbf { 0 } , \quad \mathrm { ~ Q _ { * } ^ { 3 , r _ 1 } ~ - a . s . }
\begin{array} { r l } { H } & { { } = \sum _ { i } E _ { i } \left| \mathfrak { h } _ { i } \right> \! \left< \mathfrak { h } _ { i } \right| + \sum _ { u } E _ { u } \left| \mathfrak { T } _ { u } \right> \! \left< \mathfrak { T } _ { u } \right| + [ \ensuremath { { \cal E } } ( t + \tau _ { 1 2 } ) e ^ { i \varphi _ { 1 } } + \ensuremath { { \cal E } } ( t ) e ^ { i \varphi _ { 2 } } + \mathrm { h . c . } ] M \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi ( \xi _ { 1 } + p P , \xi _ { 2 } + q Q ) } & { = \phi ( ( \xi _ { 1 } + p P - j J ) + j J , ( \xi _ { 2 } + q Q - k K ) + k K ) } \\ & { \overset { = } \phi ( T _ { j , k } ( \xi _ { 1 } + p P - j J , \xi _ { 2 } + q Q - k K ) ) } \\ & { \overset { = } \phi _ { j , k } ( \xi _ { 1 } + p P - j J , \xi _ { 2 } + q Q - k K ) \, , } \end{array}
\gamma ^ { [ 1 ] } = \widehat { q } _ { 2 } \cdot \Pi ( q _ { 1 } ) \cdot \frac { v _ { 1 } } { \vert q _ { 1 } \vert } + \widehat { q } _ { 1 } \cdot \Pi ( q _ { 2 } ) \cdot \frac { v _ { 2 } } { \vert q _ { 2 } \vert } ,
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \frac { d } { d s } \Big | _ { s = 0 } \mathcal F ( u + s \varphi ) } \\ & { = \int _ { \Omega } \sum _ { \alpha } F _ { p _ { \alpha } } ( x , \{ D ^ { \delta } u \} ) D ^ { \alpha } \varphi \, d x } \\ & { = \int _ { \Omega } \left[ \sum _ { \alpha } ( - 1 ) ^ { | \alpha | } D ^ { \alpha } \left( F _ { p _ { \alpha } } ( x , \{ D ^ { \delta } u \} ) \right) \right] \varphi \, d x } \end{array}
G _ { d } = \frac { G _ { \mathrm { F } } } { \sqrt { 2 } } \left( \frac { G _ { \mathrm { F } } M _ { W } ^ { 2 } } { \sqrt { 1 2 8 } \pi ^ { 2 } } \right) \left[ ( V _ { t d } V _ { t b } ^ { \ast } ) ^ { 2 } + \frac { M _ { W } ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 2 } } e ^ { - i 2 \psi _ { d } } \right] \equiv | R _ { d } | e ^ { - i \phi _ { d } ^ { \mathrm { N P } } } ,
\varepsilon _ { \cal { K } } = \nu \left\langle { \left( { \frac { \partial U ^ { j } } { \partial x ^ { i } } } \right) ^ { 2 } } \right\rangle + \eta \left\langle { \left( { \frac { \partial B ^ { j } } { \partial x ^ { i } } } \right) ^ { 2 } } \right\rangle ,
\int _ { 0 } ^ { 1 } \ln ^ { 2 } \Gamma ( x ) d x = { \frac { \gamma ^ { 2 } } { 1 2 } } + { \frac { \pi ^ { 2 } } { 4 8 } } + { \frac { 1 } { 3 } } \gamma L _ { 1 } + { \frac { 4 } { 3 } } L _ { 1 } ^ { 2 } - \left( \gamma + 2 L _ { 1 } \right) { \frac { \zeta ^ { \prime } ( 2 ) } { \pi ^ { 2 } } } + { \frac { \zeta ^ { \prime \prime } ( 2 ) } { 2 \pi ^ { 2 } } } ,
\begin{array} { r l } { \mathbb E \left( \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , \tau _ { j , k } ^ { T } ] } \| u ^ { k } - u ^ { j } \| _ { s } ^ { 2 } \right) } & { \leq C _ { \kappa } \mathbb E \left( \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , \tau _ { j , k } ^ { T } ] } \| u ^ { k } - u ^ { j } \| _ { s , j } ^ { 2 } \right) } \\ & { = C _ { \kappa } \mathbb E \left( \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , \tau _ { j , k } ^ { T } ] } \| U \| _ { s , j } ^ { 2 } \right) } \\ & { \leq C _ { \rho , \kappa , T } \mathbb E \left( \| U _ { 0 } \| _ { s , j } ^ { 2 } + \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , \tau _ { j , k } ^ { T } ] } \| u ^ { k } \| _ { s + 1 } ^ { 2 } \| U \| _ { s - 1 } ^ { 2 } \right) } \\ & { \leq C _ { \rho , \kappa , T } \mathbb E \left( \| u _ { 0 } ^ { k } - u _ { 0 } ^ { j } \| _ { s } ^ { 2 } + \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , \tau _ { j , k } ^ { T } ] } \| u ^ { k } \| _ { s + 1 } ^ { 2 } \| U \| _ { s - 1 } ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\left| V _ { v _ { 0 } } - V _ { v _ { 0 } ^ { ' } } \right| _ { L _ { t , p } } ^ { p } \leqslant c _ { p } \left| V _ { v _ { 0 } } - V _ { v _ { 0 } ^ { ' } } \right| _ { C ( \mathcal { \bar { L } } ; \mathbb { R } ^ { 4 } ) } ^ { p } + c _ { p } ( t ) \int _ { 0 } ^ { t } \left| V _ { v _ { 0 } } - V _ { v _ { 0 } ^ { ' } } \right| _ { L _ { s , p } } ^ { p } d s .
\small \mathrm { C I } = \left( \widehat { x _ { \mathrm { n e w } } ^ { \intercal } \beta } - z _ { \alpha / 2 } \sqrt { \widehat { \mathrm { V } } } , \quad \widehat { x _ { \mathrm { n e w } } ^ { \intercal } \beta } + z _ { \alpha / 2 } \sqrt { \widehat { \mathrm { V } } } \right) \quad \mathrm { w i t h } \quad \widehat { \mathrm { V } } = \frac { 1 } { n } \widehat { u } ^ { \intercal } \widehat { \Sigma } ^ { G } \widehat { u } ,
S _ { 0 } = M _ { Z } ^ { 2 } + \frac { \Gamma _ { Z } ^ { 2 } } { M _ { Z } ^ { 2 } } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \Biggl ( \frac { \Gamma _ { Z } } { M _ { Z } } \Biggr ) ^ { k } C _ { k } ^ { \star } ( M _ { i } )
\lvert R _ { N } ( \lvert x \rvert ) \rvert \le \frac { 4 } { \pi } \left( \frac { 1 } { \lvert x \rvert } \right) ^ { N + 1 } \left( \left\lvert \frac { d ^ { N } } { d T ^ { N } } \frac { 1 } { \sqrt { T ^ { 2 } - 1 } } \right\rvert \right)
\begin{array} { r l } { e _ { 1 } ^ { t } A _ { 2 k + 1 } e _ { 2 } } & { = - \frac { 1 } { S _ { k } } \frac { b ( \lambda ^ { n + 1 } - \lambda ^ { - n + 1 } ) } { 1 - \lambda ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { \lambda - 1 } { \lambda ^ { - k } - \lambda ^ { k + 1 } } \frac { b ( \lambda ^ { 2 k + 2 } - \lambda ^ { - 2 k } ) } { 1 - \lambda ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { b } { 1 + \lambda } \frac { \lambda ^ { - 2 k } - \lambda ^ { 2 k + 2 } } { \lambda ^ { - k } - \lambda ^ { k + 1 } } } \\ & { = \frac { b } { 1 + \lambda } ( \lambda ^ { - k } + \lambda ^ { k + 1 } ) = b R _ { k } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left( \frac { \partial } { \partial t } + \widetilde { \mathcal { L } } ( 1 2 ) \right) \widetilde { g } _ { i i } ( 1 2 ) \begin{array} { r l } { [ t ] } & { + \sum _ { \gamma } \left( \int \mathrm { d } [ 3 ] \; \widetilde { \mathcal { V } } _ { i \gamma } ( 1 3 ) \, f _ { i } ( 1 ) \, \widetilde { g } _ { \gamma i } ( 3 2 ) \right) } \\ & { + \sum _ { \gamma } \left( \int \mathrm { d } [ 3 ] \; \widetilde { \mathcal { V } } _ { \gamma i } ( 3 2 ) \, f _ { i } ( 2 ) \, \widetilde { g } _ { i \gamma } ( 1 3 ) \right) } \\ & { = - \widetilde { \mathcal { V } } _ { i i } ( 1 2 ) \, f _ { i } ( 1 ) f _ { i } ( 2 ) \, . } \end{array} } \end{array}
\rho _ { 0 } = 1 + \frac { 3 G _ { F } } { 8 { \sqrt 2 } \pi ^ { 2 } } \left( m _ { t ^ { \prime } } ^ { 2 } + m _ { b ^ { \prime } } ^ { 2 } - \frac { 4 m _ { t ^ { \prime } } ^ { 2 } m _ { b ^ { \prime } } ^ { 2 } } { m _ { t ^ { \prime } } ^ { 2 } - m _ { b ^ { \prime } } ^ { 2 } } \ln \frac { m _ { t ^ { \prime } } } { m _ { b ^ { \prime } } } \right) .
\begin{array} { r l } & { \| \mathcal { L } ^ { - 1 } \left\{ \frac { \exp ( 2 l s ^ { \alpha } ) \cosh ( ( l _ { 1 } - l _ { 2 } ) s ^ { \alpha } ) } { \cosh ( l _ { 1 } s ^ { \alpha } ) \cosh ( l _ { 2 } s ^ { \alpha } ) } \right\} \| _ { L ^ { 1 } ( 0 , t ) } } \\ & { \leq 2 \left[ 1 + \frac { L ( t ) } { 2 l _ { 1 } } \right] \left[ 1 + \frac { L ( t ) } { 2 l _ { 2 } } \right] \left[ \exp \left( - 2 \Lambda \left( \frac { l _ { 1 } - l } { t ^ { \nu } } \right) ^ { \beta } \right) + \exp \left( - 2 \Lambda \left( \frac { l _ { 2 } - l } { t ^ { \nu } } \right) ^ { \beta } \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \bf E } \left( \tau _ { 0 , 0 } \right) } & { { } = } & { \overline { { \alpha } } z ^ { \prime } \left( 1 \right) / \left( b _ { 0 } \alpha \right) = \frac { \mu _ { \delta } } { b _ { 0 } \left( \mu _ { \delta } - \mu _ { \beta } \right) } \mathrm { ~ i ~ f ~ } \mu _ { \beta } < \mu _ { \delta } \mathrm { ~ ( ~ p ~ o ~ s ~ i ~ t ~ i ~ v ~ e ~ r ~ e ~ c ~ u ~ r ~ r ~ e ~ n ~ c ~ e ~ ) ~ , ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { a } & { = P _ { 1 } x _ { 1 } \otimes \cdots \otimes P _ { i } x _ { i } \otimes \cdots \otimes P _ { n } x _ { n } } \\ { a ^ { \prime } } & { = P _ { 1 } x _ { 1 } \otimes \cdots \otimes P _ { i } x _ { i } ^ { \prime } \otimes \cdots \otimes P _ { n } x _ { n } } \\ { a ^ { \prime \prime } } & { = P _ { 1 } x _ { 1 } \otimes \cdots \otimes ( P _ { i } x _ { i } \oplus P _ { i } x _ { i } ^ { \prime } ) \otimes \cdots \otimes P _ { n } x _ { n } } \end{array}
\varepsilon _ { m } ^ { - 1 } : = \Big \lceil \Lambda ^ { \frac { q ^ { m } } { q - 1 } } \Big \rceil = \Big \lceil \exp \bigl ( \frac { q ^ { m } } { q - 1 } \log \Lambda \bigr ) \Big \rceil , \quad \forall m \in \ensuremath { \mathbb { N } } \, .
\begin{array} { r l } { \bar { \sigma } _ { a b } = } & { { } - \rho \frac { \partial f } { \partial \nabla _ { b } q _ { d c } } \nabla _ { a } q _ { d c } + q _ { a d } \nabla _ { c } \left( \rho \frac { \partial f } { \partial \nabla _ { c } { q } _ { b d } } \right) - q _ { b d } \nabla _ { c } \left( \rho \frac { \partial f } { \partial \nabla _ { c } { q } _ { a d } } \right) } \end{array}
V _ { \mathrm { o u t } } = { \frac { R _ { \mathrm { 1 } } + R _ { \mathrm { 2 } } } { R _ { \mathrm { 1 } } } } V _ { \mathrm { i n } } \! = { \frac { 1 } { \beta } } V _ { \mathrm { i n } }
d s ^ { 2 } = - \frac { 1 } { \kappa _ { + } ^ { 2 } r ^ { 2 } } ( r + r _ { + } ) ^ { 2 } ( r ^ { 2 } + r _ { - } ^ { 2 } ) e ^ { - 2 \frac { r _ { - } } { r _ { + } } \arctan \frac { r } { r _ { - } } } d U d V + r ^ { 2 } d \Sigma _ { q } ^ { 2 } .
1 3 \mu ^ { 2 } \frac { d x } { d \mu ^ { 2 } } = - \beta _ { 0 } x ^ { 2 } S ( x ) , \; \; \beta _ { 0 } = 1 1 / 1 2 - n _ { f } / 6 , \; \; x \equiv \alpha _ { s } ( \mu ) / \pi
\begin{array} { r l } { \int \eta ^ { 2 } | R c _ { \tilde { g } _ { i } } | ^ { 2 } e ^ { - \tilde { f } _ { i } } \, d V _ { \tilde { g } _ { i } } = } & { \int \eta ^ { 2 } \langle \frac { \tilde { g } _ { i } } { 2 s _ { i } } - \mathrm { H e s s } \, \tilde { f } _ { i } , R c _ { \tilde { g } _ { i } } \rangle e ^ { - \tilde { f } _ { i } } \, d V _ { \tilde { g } _ { i } } } \\ { = } & { \int \left( \frac { 1 } { 2 s _ { i } } \eta ^ { 2 } R _ { \tilde { g } _ { i } } + 2 \eta R c _ { \tilde { g } _ { i } } ( \nabla _ { \tilde { g } _ { i } } \eta , \nabla _ { \tilde { g } _ { i } } \tilde { f } _ { i } ) \right) e ^ { - \tilde { f } _ { i } } \, d V _ { \tilde { g } _ { i } } } \\ { \le } & { \int \left( \frac { 1 } { 2 s _ { i } } \eta ^ { 2 } R _ { \tilde { g } _ { i } } + \frac { 1 } { 2 } \eta ^ { 2 } | R c _ { \tilde { g } _ { i } } | ^ { 2 } + 2 | \nabla _ { \tilde { g } _ { i } } \eta | ^ { 2 } | \nabla _ { \tilde { g } _ { i } } \tilde { f } _ { i } | ^ { 2 } \right) e ^ { - \tilde { f } _ { i } } \, d V _ { \tilde { g } _ { i } } , } \end{array}
y ^ { 2 } = x ^ { 3 } + x ^ { 2 } ( \frac { \Lambda _ { 1 } ^ { 4 } \Lambda _ { 3 } ^ { 4 } } { M _ { 3 } ^ { 2 } } + \Lambda _ { 2 } ^ { 4 } - M _ { 1 } M _ { 2 } + \frac { T ^ { 2 } } { M _ { 3 } } ) + x \frac { \Lambda _ { 1 } ^ { 4 } \Lambda _ { 2 } ^ { 4 } \Lambda _ { 3 } ^ { 4 } } { M _ { 3 } ^ { 2 } } . \nonumber
{ \begin{array} { l l } { S } & { S } \\ { S 1 0 _ { H } { \overline { { 1 0 } } } _ { H } } & { S 1 0 _ { H } ^ { \alpha \beta } { \overline { { 1 0 } } } _ { H \alpha \beta } } \\ { 1 0 _ { H } 1 0 _ { H } H _ { d } } & { \epsilon _ { \alpha \beta \gamma \delta \epsilon } 1 0 _ { H } ^ { \alpha \beta } 1 0 _ { H } ^ { \gamma \delta } H _ { d } ^ { \epsilon } } \\ { { \overline { { 1 0 } } } _ { H } { \overline { { 1 0 } } } _ { H } H _ { u } } & { \epsilon ^ { \alpha \beta \gamma \delta \epsilon } { \overline { { 1 0 } } } _ { H \alpha \beta } { \overline { { 1 0 } } } _ { H \gamma \delta } H _ { u \epsilon } } \\ { H _ { d } 1 0 1 0 } & { \epsilon _ { \alpha \beta \gamma \delta \epsilon } H _ { d } ^ { \alpha } 1 0 _ { i } ^ { \beta \gamma } 1 0 _ { j } ^ { \delta \epsilon } } \\ { H _ { d } { \bar { 5 } } 1 } & { H _ { d } ^ { \alpha } { \bar { 5 } } _ { i \alpha } 1 _ { j } } \\ { H _ { u } 1 0 { \bar { 5 } } } & { H _ { u \alpha } 1 0 _ { i } ^ { \alpha \beta } { \bar { 5 } } _ { j \beta } } \\ { { \overline { { 1 0 } } } _ { H } 1 0 \phi } & { { \overline { { 1 0 } } } _ { H \alpha \beta } 1 0 _ { i } ^ { \alpha \beta } \phi _ { j } } \end{array} }
p _ { \mathrm { g r } } = \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \epsilon \frac { ( v _ { 0 } - c _ { \mathrm { i } } ) ^ { 2 } - c _ { \mathrm { e } } ^ { 2 } } { c _ { \mathrm { i } } ( v _ { 0 } - c _ { \mathrm { e } } ) } } \omega _ { \mathrm { p e } }
\begin{array} { r l } { \left| \mathbb { E } \! \left[ \mathrm { C a p } _ { M } ( X [ 0 , n ^ { \varepsilon / 2 } ) ) \right] - n ^ { \varepsilon / 2 } \mathbb { E } \! \left[ \mathrm { C a p } _ { M } ( U _ { \pi } ) \right] \right| } & { = \left| \mathbb { E } \! \left[ \mathrm { C a p } _ { M } ( X [ 0 , n ^ { \varepsilon / 2 } ) ) \right] - \sum _ { i = 0 } ^ { n ^ { \varepsilon / 2 } } \mathbb { E } \! \left[ \mathrm { C a p } _ { M } ( X _ { i } ) \right] \right| } \\ & { \leq \mathbb { P } _ { \pi } \! \left( \exists 0 \leq t _ { 1 } < t _ { 2 } \leq M - 1 : Z _ { t _ { 1 } } \cap X [ 0 , n ^ { \varepsilon / 2 } ) \neq \emptyset \mathrm { ~ a n d ~ } Z _ { t _ { 2 } } \cap X [ 0 , n ^ { \varepsilon / 2 } ) \neq \emptyset \right) } \\ & { \leq \left( \frac { M n ^ { \varepsilon / 2 } } { \delta n } \right) ^ { 2 } \leq \frac { 2 M n ^ { \varepsilon / 2 } } { \delta ^ { 3 } n } \cdot n ^ { \varepsilon / 2 } \mathbb { E } \! \left[ \mathrm { C a p } _ { M } ( U _ { \pi } ) \right] . } \end{array}
| R _ { k } ( z ) | \leqslant \sum _ { j = k + 1 } ^ { \infty } { \frac { M _ { r } | z - c | ^ { j } } { r ^ { j } } } = { \frac { M _ { r } } { r ^ { k + 1 } } } { \frac { | z - c | ^ { k + 1 } } { 1 - { \frac { | z - c | } { r } } } } \leqslant { \frac { M _ { r } \beta ^ { k + 1 } } { 1 - \beta } } , \qquad { \frac { | z - c | } { r } } \leqslant \beta < 1 .
\frac \delta { \delta \varphi _ { n } \left( \mathbf { x } \right) } \left\{ F ^ { n } + F ^ { n - 1 } \right\} + T j _ { n } \left( \mathbf { x } \right) = { } _ { { } _ { \! \! \! \! \! \! \! c } } \; \, 0 ,
p _ { c } ( y _ { c } , z _ { c } , t ) = \hat { p } _ { c } ( \xi _ { p c } , \eta _ { p c } ) p _ { c 0 } ( t ) , \mathrm { ~ ~ ~ w h e r e ~ } \xi _ { p c } = y _ { c } / W _ { p } , ~ \eta _ { p c } = z _ { c } / H _ { p } ,
\begin{array} { r } { p _ { k + 1 / 2 } = \left[ F _ { k } - \gamma \frac { p _ { k } } { m } + f _ { k } \right] \frac { \Delta } { 2 } } \\ { q _ { k + 1 } = q _ { k } + \frac { p _ { k + 1 / 2 } \Delta } { m } } \\ { p _ { k + 1 } = \left[ F _ { k + 1 } - \gamma \frac { p _ { k + 1 } } { m } + f _ { k + 1 } \right] \frac { \Delta } { 2 } } \\ { f _ { k } = \sqrt { \frac { 2 k _ { \mathrm { B } } T \gamma } { \Delta } } \xi _ { k } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 2 c } { B _ { 0 } \lambda } = - e \beta _ { e } u _ { y e } = e \beta _ { i } u _ { y i } , } \\ & { \frac { 2 c } { B _ { 0 } \lambda } = e \beta _ { e } u _ { x e } = e \beta _ { i } u _ { x i } , } \\ & { a = \frac { 1 } { 2 } = a _ { e } \exp \left[ - \frac { \beta _ { e } m _ { e } ( u _ { x e } ^ { 2 } + u _ { y e } ^ { 2 } ) } { 2 } \right] = a _ { i } \exp \left[ - \frac { \beta _ { i } m _ { i } ( u _ { x i } ^ { 2 } + u _ { y i } ^ { 2 } ) } { 2 } \right] , } \\ & { b = b _ { e } \exp \left( - \frac { \beta _ { e } m _ { e } u _ { y e } ^ { 2 } } { 2 } \right) = b _ { i } \exp \left( - \frac { \beta _ { i } m _ { i } u _ { y i } ^ { 2 } } { 2 } \right) , } \\ & { n _ { 0 } = n _ { 0 e } \exp \left( \frac { \beta _ { e } m _ { e } u _ { y e } ^ { 2 } } { 2 } \right) = n _ { 0 i } \exp \left( \frac { \beta _ { i } m _ { i } u _ { y i } ^ { 2 } } { 2 } \right) , } \\ & { \frac { B _ { 0 } ^ { 2 } } { 8 \pi } = n _ { 0 } \left( \frac { 1 } { \beta _ { e } } + \frac { 1 } { \beta _ { i } } \right) . } \end{array}