harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } _ { 0 } ( z ) } & { = \mathcal { F } _ { \mathrm { i n } } ( z ) , } \\ { \mathcal { F } _ { j } ( z ) } & { = \mathcal { B } ( z ; z _ { j } ) \mathcal { F } _ { j - 1 } ( z ) , \quad \mathrm { f o r } \ 1 \leq j \leq n _ { 0 } , } \\ { \mathcal { F } _ { \mathrm { o u t } } ( z ) } & { = d _ { 0 } \mathcal { F } _ { n _ { 0 } } ( z ) . } \end{array}
\mathcal { I F } \left( \boldsymbol { y } , \boldsymbol { \lambda } _ { n , \beta } \left( \boldsymbol { T } _ { n , \beta } ( \underline { { F } } _ { \boldsymbol { \theta } _ { 2 } } ) \right) \right) = \boldsymbol { \Sigma } _ { 2 1 , \beta } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } ) \boldsymbol { U } _ { n , \beta } \left( \boldsymbol { T } _ { n , \beta } ( \underline { { F } } _ { \boldsymbol { \theta } _ { 2 } } ) \right) .
A = { \frac { 1 } { 2 } } { \Big | } \operatorname* { d e t } \left( 2 t _ { 0 } { \vec { f } } _ { 1 } , { \frac { 2 } { t _ { 0 } } } { \vec { f } } _ { 2 } \right) { \Big | } = 2 { \Big | } \operatorname* { d e t } \left( { \vec { f } } _ { 1 } , { \vec { f } } _ { 2 } \right) { \Big | }
{ \cal J } _ { 0 } = \frac { 1 } { 4 } \{ a ^ { + } , a ^ { - } \} , \quad { \cal J } _ { + } = \frac { 1 } { 2 } a ^ { + 2 } , \quad { \cal J } _ { - } = \frac { 1 } { 2 } a ^ { - 2 } .
F _ { i } ^ { p o l y } = - \int _ { V _ { o u t } } \frac { \partial v _ { k i } ^ { t r a n s } } { \partial x _ { j } } \tau _ { k j } ^ { e x } d V ; \qquad T _ { i } ^ { p o l y } = - \int _ { V _ { o u t } } \frac { \partial v _ { k i } ^ { r o t } } { \partial x _ { j } } \tau _ { k j } ^ { e x } d V
\gamma = \left( - \mathcal { M } _ { \sf N U F E B } ( \mathcal { D V } _ { \mathrm { b e s t } } ) + \mu ( \mathcal { D V } ; \{ \mathcal { D V } _ { l } , ( \mathcal { N } _ { \mathrm { b i o } } ) _ { l } \} _ { l } , \theta ) - \Xi \right) / \sigma \left( \mathcal { D V } ; \{ \mathcal { D V } _ { l } , ( \mathcal { N } _ { \mathrm { b i o } } ) _ { l } \} _ { l } , \theta \right)
\displaystyle \boldsymbol { \beta } = \bigl [ \begin{array} { l l } { 0 . 8 5 } & { 0 . 0 0 } \\ { 0 . 0 0 } & { 0 . 8 8 } \end{array} \bigr ] , \boldsymbol { \epsilon } _ { t } \sim \bigl [ \begin{array} { l l } { 1 . 0 0 } & { 0 . 8 6 } \\ { 0 . 8 6 } & { 1 . 5 0 } \end{array} \bigr ]
( \tilde { 1 } \tilde { 3 } \tilde { 5 } ) , ( \tilde { 1 } \tilde { 4 } \tilde { 6 } ) , ( \tilde { 2 } \tilde { 4 } \tilde { 5 } ) , ( \tilde { 2 } \tilde { 3 } \tilde { 6 } )
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \eta / \partial U _ { 1 } } { \partial \eta / \partial U _ { 4 } } } & { = - \frac { \left| \begin{array} { l l l } { a _ { \theta _ { 1 } } ( \theta , U _ { 2 } ) } & { a _ { \theta _ { 1 } } ( \theta , U _ { 3 } ) } & { a _ { \theta _ { 1 } } ( \theta , U _ { 4 } ) } \\ { a _ { \theta _ { 2 } } ( \theta , U _ { 2 } ) } & { a _ { \theta _ { 2 } } ( \theta , U _ { 3 } ) } & { a _ { \theta _ { 2 } } ( \theta , U _ { 4 } ) } \\ { a _ { \theta _ { 3 } } ( \theta , U _ { 2 } ) } & { a _ { \theta _ { 3 } } ( \theta , U _ { 3 } ) } & { a _ { \theta _ { 3 } } ( \theta , U _ { 4 } ) } \end{array} \right| } { \left| \begin{array} { l l l } { a _ { \theta _ { 1 } } ( \theta , U _ { 1 } ) } & { a _ { \theta _ { 1 } } ( \theta , U _ { 2 } ) } & { a _ { \theta _ { 1 } } ( \theta , U _ { 3 } ) } \\ { a _ { \theta _ { 2 } } ( \theta , U _ { 1 } ) } & { a _ { \theta _ { 2 } } ( \theta , U _ { 2 } ) } & { a _ { \theta _ { 2 } } ( \theta , U _ { 3 } ) } \\ { a _ { \theta _ { 3 } } ( \theta , U _ { 1 } ) } & { a _ { \theta _ { 3 } } ( \theta , U _ { 2 } ) } & { a _ { \theta _ { 3 } } ( \theta , U _ { 3 } ) } \end{array} \right| } \cdot \frac { a _ { U } ( \theta , U _ { 1 } ) } { a _ { U } ( \theta , U _ { 4 } ) } } \\ & { = - \frac { f _ { 1 } ( \theta ) f _ { 2 } ( \theta , U _ { 2 } ) f _ { 2 } ( \theta , U _ { 3 } ) f _ { 2 } ( \theta , U _ { 4 } ) } { f _ { 1 } ( \theta ) f _ { 2 } ( \theta , U _ { 1 } ) f _ { 2 } ( \theta , U _ { 2 } ) f _ { 2 } ( \theta , U _ { 3 } ) } \cdot \frac { g _ { 1 } ( \theta ) g _ { 2 } ( U _ { 1 } ) g _ { 3 } ( \theta , U _ { 1 } ) } { g _ { 1 } ( \theta ) g _ { 2 } ( U _ { 4 } ) g _ { 3 } ( \theta , U _ { 4 } ) } } \end{array}
\begin{array} { r } { W ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \nu \left( \frac { \sigma - \mu ^ { 2 } } { \sigma - 2 \mu x + x ^ { 2 } } H ( x ) + \frac { ( \mu - x ) ^ { 2 } } { \sigma - 2 \mu x + x ^ { 2 } } H ( \frac { \sigma - \mu x } { \mu - x } ) \right) } & { \mathrm { i f ~ } x \in [ 0 , \mu ) ; } \\ { \nu ( H ( \mu ) + \lambda ( \sigma - \mu ^ { 2 } ) ) } & { \mathrm { i f ~ } x = \mu . } \end{array} \right. } \end{array}
E \frac { d N } { d ^ { 4 } x d ^ { 3 } p } = \sum _ { u , d , . . . } e _ { q } ^ { 2 } \frac { 8 } { 3 \pi ^ { 5 } } \alpha \alpha _ { s } E \, T \, e ^ { - E / T } ( J _ { T } - J _ { L } ) ,
\frac { \nabla p } { \rho _ { d } } \sim \nu _ { d } \nabla ^ { 2 } u _ { d } \sim \frac { \nu _ { d } } { D \tau } ; \frac { \nabla p } { \rho _ { d } } \sim \frac { p } { D \rho _ { d } } ; p \sim \frac { \sigma } { D } \Rightarrow \tau \sim \frac { \mu _ { d } D } { \sigma } ~ ( \textrm { h i g h v i s c o s i t y , l o w s p e e d } )
\begin{array} { r } { k ( \mathbf { x } _ { I } , \mathbf { x } _ { J } ) = \exp { \left( - \frac { \vert \vert \mathbf { x } _ { I } - \mathbf { x } _ { J } \vert \vert _ { 1 } } { \sigma } \right) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { D _ { y j } } \boldsymbol { \dot { a } _ { n } } } & { { } = \boldsymbol { J _ { j } } \dot { \textbf { p } } + \boldsymbol { K _ { j } } \textbf { p } + \boldsymbol { L _ { j } } \textbf { z } + ( r ( y ) ( \boldsymbol { W _ { y j } } + \boldsymbol { W _ { I y j } } ) - \boldsymbol { A _ { y j } } ) \boldsymbol { a _ { n } } } \\ { \dot { \textbf { z } } } & { { } = \boldsymbol { E _ { j } } \textbf { z } + \boldsymbol { F _ { j } } \textbf { p } + \frac { \textbf { G } } { U } ( \boldsymbol { W _ { y j } } + \boldsymbol { W _ { I _ { y } j } } ) \boldsymbol { a _ { n } } } \end{array}
\mathbf { F } _ { \mathrm { c e n t r i f u g a l } } ^ { \prime } = - m { \boldsymbol { \omega } } \times ( { \boldsymbol { \omega } } \times \mathbf { r } ^ { \prime } ) = m ( \omega ^ { 2 } \mathbf { r } ^ { \prime } - ( { \boldsymbol { \omega } } \cdot \mathbf { r } ^ { \prime } ) { \boldsymbol { \omega } } )
i \hbar \frac { \partial \psi ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ r ~ } ~ , ~ t ~ } ) } { \partial t } = - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \nabla ^ { 2 } \psi ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ r ~ } ~ , ~ t ~ } ) \; \; \; ; \; \; \; - i \hbar \frac { \partial \psi ^ { * } ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ r ~ } ~ , ~ t ~ } ) } { \partial t } = - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \nabla ^ { 2 } \psi ^ { * } ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ r ~ } ~ , ~ t ~ } ) \; .
\begin{array} { r } { M = \left( \begin{array} { l l } { - ( 1 + i \zeta _ { 0 } ) + i | a _ { 0 } | ^ { 2 } + 2 i | b _ { 0 } | ^ { 2 } } & { i \beta } \\ { i \beta } & { - ( 1 + i \zeta _ { 0 } ) + i | b _ { 0 } | ^ { 2 } + 2 i | a _ { 0 } | ^ { 2 } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { e _ { \ell } } \sigma ( x ) \frac { \partial u ^ { ( k ) } ( x ) } { \partial \nu ( x ) } d S ( x ) } & { = I _ { \ell } ^ { ( k ) } , \qquad x \in e _ { \ell } } \\ { \sigma ( x ) \frac { \partial u ^ { ( k ) } ( x ) } { \partial \nu ( x ) } } & { = 0 , \qquad x \notin \bigcup _ { \ell = 1 } ^ { L } e _ { \ell } } \\ { u ^ { ( k ) } ( x ) + z _ { \ell } \sigma ( x ) \frac { \partial u ^ { ( k ) } ( x ) } { \partial \nu ( x ) } } & { = V _ { \ell } ^ { ( k ) } , \qquad x \in e _ { \ell } . } \end{array}
\aligned \frac { d } { d t } E [ u ] = \int R e ( \partial _ { r } \bar { u } ) ( \partial _ { r } u _ { t } ) r d r + \int ( \frac { m + A _ { \theta } [ u ] } { r } ) ^ { 2 } R e ( \bar { u } u _ { t } ) r d r \, - \int | u | ^ { 2 } R e ( \bar { u } u _ { t } ) r d r - \int \frac { m + A _ { \theta } [ u ] } { r } | u | ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { r } R e ( \bar { u } u _ { t } ) r ^ { \prime } d r ^ { \prime } d r \, = - \langle ( \partial _ { r r } + \frac { 1 } { r } \partial _ { r } ) \bar { u } , u _ { t } \rangle + \langle ( \frac { m + A _ { \theta } [ u ] } { r } ) ^ { 2 } u , u _ { t } \rangle - \langle | u | ^ { 2 } u , u _ { t } \rangle - \int _ { 0 } ^ { \infty } | u | ^ { 2 } \int _ { r } ^ { \infty } \frac { m + A _ { \theta } [ u ] } { r } R e ( \bar { u } u _ { t } ) d r r ^ { \prime } d r ^ { \prime } \, = - \langle ( \partial _ { r r } + \frac { 1 } { r } \partial _ { r } ) \bar { u } , u _ { t } \rangle + \langle ( \frac { m + A _ { \theta } [ u ] } { r } ) ^ { 2 } u , u _ { t } \rangle - \langle | u | ^ { 2 } u , u _ { t } \rangle + \langle A _ { t } [ u ] \bar { u } , u _ { t } \rangle = \langle i u _ { t } , u _ { t } \rangle = 0 . \endaligned
\begin{array} { r l } { \Xi } & { { } = \sum _ { N } ( z e ^ { - \beta E _ { s } } ) ^ { 2 N } \frac { 1 } { N ! } \prod _ { i = 1 } ^ { N } L \int _ { - x _ { T } / 2 } ^ { x _ { T } / 2 } \mathrm { d } x \, e ^ { 2 \beta E _ { s } } } \end{array}
( \sin ^ { 2 } \theta _ { W } ) _ { l q } = { \frac { e ^ { 2 } } { g _ { 1 2 } ^ { 2 } } } + { \frac { e ^ { 2 } } { g _ { 2 } ^ { 2 } } } { \frac { v _ { 1 } ^ { 2 } } { u ^ { 2 } } } - { \frac { e ^ { 2 } } { g _ { 4 } ^ { 2 } } } { \frac { v _ { 1 } ^ { 2 } } { w ^ { 2 } } } .
L ^ { a } { } _ { b } = \left( \begin{array} { c c } { { \cosh v } } & { { \sinh v } } \\ { { \sinh v } } & { { \cosh v } } \end{array} \right) _ { \, \; b } ^ { \! \! a } \; = \; \delta _ { b } ^ { a } + \epsilon ^ { a } { } _ { b } \, v + \mathcal { O } ( v ^ { 2 } ) \, ,
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { 1 } ^ { ( - ) } = } & { - { \sum _ { i j } } ^ { \prime } \frac { 3 L _ { i } T _ { i j j } ^ { ( - ) } } { 3 ! D _ { i i } ^ { ( - ) } D _ { j j } ^ { ( - ) } } - { \sum _ { i j } } ^ { \prime } \frac { 3 Q _ { i i j j } ^ { ( - ) } } { 4 ! D _ { i i } ^ { ( - ) } D _ { j j } ^ { ( - ) } } } \\ & { + { \sum _ { i j k } } ^ { \prime } \frac { 9 T _ { i i j } ^ { ( - ) } T _ { j k k } ^ { ( - ) } + 6 [ T _ { i j k } ^ { ( - ) } ] ^ { 2 } } { 2 ! ( 3 ! ) ^ { 2 } D _ { i i } ^ { ( - ) } D _ { j j } ^ { ( - ) } D _ { k k } ^ { ( - ) } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | | \chi u | | _ { 0 } } & { \leq \mathrm { l o w } ^ { - 1 } \sqrt { 2 } \operatorname* { m a x } \{ | | [ h \mathrm { s u s p } ( Q ) h , \chi ] | | _ { 0 , 0 } , | | \chi | | _ { \infty } \} \left( | | u | | _ { 0 } ^ { 2 } + | | h \mathrm { s u s p } ( Q ) h | | _ { 0 } ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } } \\ & { = \mathrm { l o w } ^ { - 1 } \sqrt { 2 } \operatorname* { m a x } \{ | | [ h \mathrm { s u s p } ( Q ) h , \chi ] | | _ { 0 , 0 } , | | \chi | | _ { \infty } \} | | ( h \mathrm { s u s p } ( Q ) h + i ) u | | _ { 0 } } \end{array}
\omega _ { 3 0 } \left( q \right) = \sqrt { \frac { I _ { 5 / 2 } ( \eta ) } { I _ { 3 / 2 } ( \eta ) } } \Omega _ { s } \left( q ; \eta \right) \ , \quad \omega _ { 4 0 } \left( q \right) = \sqrt { \frac { I _ { 7 / 2 } ( \eta ) } { I _ { 5 / 2 } ( \eta ) } } \Omega _ { s } \left( q ; \eta \right) \ ,
\begin{array} { r l } { \left( \dot { E } ( t ) + \eta \dot { E } ( t - \tau ) \right) = } & { { } \left[ i f \chi ( D ( t ) ) - 1 - i \delta \right] E ( t ) + \eta \left[ i f \chi ( D ( t - 1 ) ) - 1 - i \delta \right] E ( t - \tau ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \beta ( x ) \phi ^ { \prime \prime } ( n ^ { + } / \varepsilon ) 1 _ { \{ \arg x \in [ \alpha , \alpha + \frac { \pi } { 2 } ] \} } \textrm { d } x } & { { } = \frac { 1 } { \varepsilon ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \beta ( \tau ^ { + } , n ^ { + } ) \phi ^ { \prime \prime } ( n ^ { + } / \varepsilon ) \textrm { d } n ^ { + } \textrm { d } \tau ^ { + } } \end{array}
= \nabla _ { \boldsymbol { \theta } _ { t } } \left( - \ln { p ( \boldsymbol { \theta } _ { t } ) } - \frac { | D | } { | \hat { D } | } \sum _ { ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { y } ) \in \hat { D } } \ln { p ( \boldsymbol { y } | \boldsymbol { x } , \boldsymbol { \theta } _ { t } ) } \right)
( \alpha \, Q _ { I } \, Q _ { \bar { J } } ) ^ { * } = { \bar { \alpha } } \, Q _ { j _ { l } } Q _ { j _ { l - 1 } } \ldots Q _ { j _ { 1 } } \, Q _ { { \overline { { i } } _ { k } } } Q _ { { \overline { { i } } _ { k - 1 } } } \ldots Q _ { { \overline { { i } } _ { 1 } } } ,
\; \; \; \; \; ( ( ( 2 ) ( 1 1 ^ { \prime } ) ( 3 2 ^ { \prime } ) ) \pm ( ( 2 ) ( 1 2 ^ { \prime } ) ( 3 1 ^ { \prime } ) ) ) , \; \; \; \; ( ( ( 3 ) ( 1 1 ^ { \prime } ) ( 2 2 ^ { \prime } ) ) \pm ( ( 3 ) ( 1 2 ^ { \prime } ) ( 2 1 ^ { \prime } ) ) ) \; \}
\begin{array} { c c } { { \Phi _ { 1 } ^ { ( 1 ) } = P _ { y } } } & { { \Phi _ { 1 } ^ { ( 2 ) } = P _ { z } } } \\ { { \Phi _ { 2 } ^ { ( 1 ) } = z } } & { { \Phi _ { 2 } ^ { ( 2 ) } = y } } \end{array} .
\partial _ { z } ^ { * } R ^ { * } = \tau _ { r z } ^ { * } = w ^ { * } = ( \boldsymbol { u } _ { s } ^ { * } \cdot \boldsymbol { \hat { z } } ) \Gamma = 0 \quad \mathrm { a t } \quad z ^ { * } = \{ 0 , L ^ { * } \} ,
\frac { ( \mathrm { ~ c ~ r ~ o ~ s ~ s ~ - ~ h ~ e ~ l ~ i ~ c ~ i ~ t ~ y ~ e ~ f ~ f ~ e ~ c ~ t ~ } ) } { ( \mathrm { ~ d ~ i ~ f ~ f ~ e ~ r ~ e ~ n ~ t ~ i ~ a ~ l ~ - ~ r ~ o ~ t ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ e ~ f ~ f ~ e ~ c ~ t ~ } ) } = \frac { \| { \nabla \times ( \gamma \nabla \times { \bf { U } } ) } \| } { \| { \nabla \times ( { \bf { U } } \times { \bf { B } } ) } \| } .
\lambda _ { M } ^ { i + 1 } = \frac { \left[ K _ { v } ( \lambda _ { M } ^ { i } ) + K _ { r } + 3 \right] \rho } { 4 \left( \rho E - \frac { 1 } { 2 } \rho \vec { U } ^ { 2 } \right) } \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad \lambda _ { M } ^ { 0 } = \frac { \left( K _ { r } + 3 \right) \rho } { 4 \left( \rho E - \frac { 1 } { 2 } \rho \vec { U } ^ { 2 } \right) } .
{ \frac { d } { d \xi } } P _ { \mathrm { d i f f } } ( x , y ) = C _ { F } F ^ { 2 } \, \left\{ - D ^ { 2 } ( x , y ) + \left[ D ( x , z ) D ( z , y ) - D ( x , z ) - D ( z , y ) \right] ^ { 2 } \right\} \, .
\begin{array} { r l } { A _ { 0 } ( t ; x ) } & { = U _ { 0 } + \int _ { 0 } ^ { t } ( - \gamma A _ { 0 } ( s ; x _ { 0 } ) ) \mathrm { d } s + L ( t ) , } \\ { A _ { 1 } ( t ; x ) } & { = x _ { 1 } + \int _ { 0 } ^ { t } ( - A _ { 2 } ( s ; x ) - \nu A _ { 1 } ( s ; x ) ) \mathrm { d } s + A _ { 0 } ( t ) , } \\ { A _ { n } ( t ; x ) } & { = x _ { n } + \int _ { 0 } ^ { t } ( { A _ { n - 1 } ( s ; x ) } - A _ { n + 1 } ( s ; x ) - \nu A _ { n } ( s ; x ) ) \mathrm { d } s , \quad n \geqslant 2 , \, t \geqslant 0 . } \end{array}
Z [ \mu , F _ { i } , { \cal R } ] = \frac { 1 } { V ( \mu ) } \int _ { \cal F } \frac { d \tau d { \bar { \tau } } } { ( \mathrm { I m } \tau ) ^ { 2 } } Z [ \mu , F _ { i } , { \cal R } ; \tau , { \bar { \tau } } ]
c ( n _ { 1 } n _ { 2 } n k ) ^ { * } = \eta ( n _ { 1 } n _ { 2 } n k ) c ( { \tilde { n } } _ { 1 } { \tilde { n } } _ { 2 } n k ) / F ( { \tilde { n } } _ { 1 } { \tilde { n } } _ { 2 } n k )
\begin{array} { r l } { P ( \mathbf { o } _ { 1 : T } , \mathbf { s } _ { 1 : T } , \mathbf { u } _ { 1 : T } , A , B ) } & { { } = P ( \mathbf { s } _ { 1 } ; D ) P ( \mathbf { \pi } ) P ( A ) P ( B ) P ( D ) \prod _ { t = 1 } ^ { T - 1 } P ( \mathbf { o } _ { t + 1 } | \mathbf { s } _ { t + 1 } ; A ) P ( \mathbf { s } _ { t + 1 } | \mathbf { s } _ { t } , \mathbf { u } _ { t } ; B ) } \end{array}
\langle k _ { 1 } , k _ { 2 } , k _ { 3 } | V | p \rangle = ( 1 6 \pi ^ { 3 } ) \delta ^ { 3 } ( p - k _ { 1 } - k _ { 2 } - k _ { 3 } ) \; \Theta \bigl ( p ^ { -- } k _ { 1 } ^ { -- } k _ { 2 } ^ { -- } k _ { 3 } ^ { - } \bigr ) \; u _ { 4 } ( - k _ { 1 } , - k _ { 2 } , - k _ { 3 } , p ) \; .
h _ { e m } ~ = ~ { \frac { 1 } { 4 } } \left( { \frac { e } { \sqrt { g } } } + m \sqrt { g } \right) ^ { 2 } , \qquad \bar { h } _ { e m } ~ = ~ { \frac { 1 } { 4 } } \left( { \frac { e } { \sqrt { g } } } - m \sqrt { g } \right) ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \mathscr F ( \beta _ { x } , \beta _ { y } , \beta _ { z } ) } & { = 3 + \cos \beta _ { x } + \cos \beta _ { y } + \cos \beta _ { z } - \cos \beta _ { x } \cos \beta _ { y } - \cos \beta _ { x } \cos \beta _ { z } - \cos \beta _ { y } \cos \beta _ { z } } \\ & { - 3 \cos \beta _ { x } \cos \beta _ { y } \cos \beta _ { z } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left( - M _ { \mathrm { e f f } } \omega ^ { 2 } + \sum _ { \mathbf { k } } \lambda _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } \right) \mathcal { S } ( \omega ) + \sum _ { \mathbf { k } } \lambda _ { \mathrm { c } } \omega _ { \mathbf { k } } q _ { \mathrm { \mathbf { k } } } ( \omega ) = - V _ { \omega } ^ { \prime } , } \\ & { \left[ ( \omega _ { \mathbf { k } } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } ) + \sum _ { j } \frac { \tilde { c } _ { \mathbf { k } , \zeta } ^ { 2 } } { \tilde { \omega } _ { \mathbf { k } , \zeta } ^ { 2 } } \right] q _ { \mathrm { \mathbf { k } } } ( \omega ) - \sum _ { \zeta } \tilde { c } _ { \mathbf { k } , \zeta } \tilde { x } _ { \mathbf { k } , \zeta } ( \omega ) + \lambda _ { \mathrm { c } } \omega _ { \mathbf { k } } \mathcal { S } ( \omega ) = 0 , } \\ & { ( - \omega ^ { 2 } + \tilde { \omega } _ { \mathbf { k } , \zeta } ^ { 2 } ) \tilde { x } _ { \mathbf { k } , \zeta } ( \omega ) - \tilde { c } _ { \mathbf { k } , \zeta } q _ { \mathrm { \mathbf { k } } } ( \omega ) = 0 , } \end{array}
h ( \tau ) = h _ { 0 } + \frac { \kappa \sqrt { \phi _ { 0 } } } { C } \, \frac { \operatorname { t a n h } ^ { 2 \omega } \frac { \tau } 2 - 1 } { \operatorname { t a n h } ^ { 2 \omega } \frac { \tau } 2 + 1 } ,
S = { \frac { 1 } { 8 \pi } } \int d x d y \left[ ( \partial _ { x } \Phi ) ^ { 2 } + ( \partial _ { y } \Phi ) ^ { 2 } + \Lambda ( 2 e ^ { - { \frac { i } { \sqrt { 2 } } } \beta \Phi } + e ^ { i \sqrt { 2 } \beta \Phi } ) \right]
\begin{array} { r l } { \mu _ { i j j j j j } ^ { ( 5 ) } ( t ) = \frac { 1 } { 1 2 0 } } & { \iiint \! \! \! \iint _ { - \infty } ^ { \infty } \epsilon _ { i j j j j j } ( - \omega ^ { ( 5 ) } ; \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } , \omega _ { 4 } , \omega _ { 5 } ) } \\ & { \times \tilde { F } ( \omega _ { 1 } ) \tilde { F } ( \omega _ { 2 } ) \tilde { F } ( \omega _ { 3 } ) \tilde { F } ( \omega _ { 4 } ) \tilde { F } ( \omega _ { 5 } ) \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } ( \omega _ { 1 } + \omega _ { 2 } + \omega _ { 3 } + \omega _ { 4 } + \omega _ { 5 } ) t } } \\ & { \times \mathrm { d } \omega _ { 1 } \mathrm { d } \omega _ { 2 } \mathrm { d } \omega _ { 3 } \mathrm { d } \omega _ { 4 } \mathrm { d } \omega _ { 5 } . } \end{array}
\frac { \Gamma _ { \mathrm { t o t } } ( B ^ { 0 } ) } { \Gamma _ { \mathrm { t o t } } ( B ^ { + } ) } = 1 + 0 . 0 5 \frac { f _ { B } ^ { 2 } } { ( 2 0 0 ~ \mathrm { M e V } ) ^ { 2 } } ~ ~ ~ ,
\mathcal { D } ( A , B ) = \frac { 8 . 2 5 8 \cdot 1 0 ^ { - 3 } } { \sqrt { 2 } } \frac { \, T ^ { 3 / 2 } \sqrt { \frac { 1 } { M _ { \mathrm { A } } } + \frac { 1 } { M _ { \mathrm { B } } } } } { P _ { \mathrm { a t m } } \cdot \overline { { \Omega } } _ { A , B } } ,
\begin{array} { r l r } { \vec { u } _ { \mathrm { s p h e r e } } } & { { } = } & { \left( - 3 x + 6 x ^ { 2 } + \mathcal { O } ( \mathrm { c u b i c ~ t e r m s } ) \right) \hat { \vec { r } } } \end{array}
\sigma _ { 1 } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) \, , \sigma _ { 2 } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { - i } } \\ { { i } } & { { 0 } } \end{array} \right) \, , \sigma _ { 3 } = \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - 1 } } \end{array} \right) \, ,
+ q ^ { 2 } ( a _ { 1 } b _ { 2 } + a _ { 2 } b _ { 1 } ) + q ( r - 1 ) ( a _ { 2 } f _ { 1 } + a _ { 1 } f _ { 2 } ) + q ( r - 1 ) ( f _ { 1 } b _ { 2 } + f _ { 2 } b _ { 1 } ) + \frac { \phi _ { 1 } \phi _ { 2 } } { 2 } = 0 ;
d _ { \zeta , m } \equiv \left\{ \begin{array} { c } { T _ { \zeta , m } - T _ { \zeta , m - 1 } - \tau \left( \nu , \zeta , m - 1 , \ell _ { \zeta , m - 1 } \right) , \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } - 2 n < m \leq 2 n } \\ { T \equiv T _ { \zeta , - 2 n } - T _ { \zeta - 1 , 2 n } - \tau \left( \nu , \zeta - 1 , 2 n , \ell _ { \zeta - 1 , 2 n } \right) , \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } m = - 2 n , \zeta > 1 } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { a _ { i } } \parallel S _ { p a t } ( \lambda ) - S _ { p a t - m } ( \lambda ) \parallel ^ { 2 } } & { = \operatorname* { m i n } _ { a _ { i } } \int _ { \lambda _ { 1 } } ^ { \lambda _ { 2 } } | a _ { 0 } | S _ { b g } ( \lambda ) + \sum _ { i = 1 } ^ { M } a _ { i } S _ { i } ( \lambda ) - S _ { p a t - m } ( \lambda ) | ^ { 2 } \, d \lambda } \\ { \Rightarrow \operatorname* { m i n } _ { a } \parallel M a - b _ { m e a s } \parallel ^ { 2 } \Rightarrow a } & { = M ^ { + } b _ { m e a s } \mathrm { ~ w h e r e ~ } M ^ { + } = ( M ^ { T } M ) ^ { - 1 } M ^ { T } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu _ { i \setminus j } ^ { t } } & { { } = \sum _ { x _ { i } } \frac { p \left( x _ { i } ^ { 0 } \right) } { \tilde { \mathcal { Z } } _ { i j } } \left( 1 - \varepsilon _ { i } ^ { t } \right) \left( \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , x _ { i } ^ { t } } - \delta _ { x _ { i } ^ { t + 1 } , 1 } \right) e ^ { \sum _ { k \in \partial i \setminus j } \left( m _ { k \setminus i } ^ { t } \nu _ { k i } ^ { t } + x _ { i } ^ { t } \nu _ { i k } ^ { t } \mu _ { k \setminus i } ^ { t } \right) } p \left( O _ { i } ^ { t } \mid x _ { i } ^ { t } \right) } \end{array}
\mathrm { ~ v ~ a ~ r ~ } [ t _ { i } , G _ { 1 } ( \textbf { x } _ { i } , \mathcal { D } ) ] \approx \frac { 1 } { s } \: \sum _ { j } ^ { s } \: 0 . 5 \: ( t _ { i } - t _ { i } ^ { j } ) ^ { 2 }
\Delta _ { ( A Y ^ { \prime } } ^ { a } \Delta _ { B ) Z ^ { \prime } } ^ { a } = 0 , \; \; \mathrm { i . e . , } \; \; \; \; \Delta _ { A Y ^ { \prime } } ^ { a } \Delta _ { B Z ^ { \prime } } ^ { a } = \epsilon _ { A B } R _ { Y ^ { \prime } Z ^ { \prime } } \; .
\begin{array} { r l } { \frac { \{ \{ [ u ^ { ( 0 ) } ] _ { i + \frac 1 2 } \} \} _ { j \pm \frac 1 2 } } { 4 \Delta x } + \frac { [ \{ v ^ { ( 0 ) } \} _ { i + \frac 1 2 } ] _ { j \pm 1 } } { 4 \Delta y } } & { = \frac 1 2 \{ \mathscr D _ { i + \frac 1 2 } ^ { ( 0 ) } \} _ { j \pm \frac 1 2 } = \frac { \mathscr D _ { i + \frac 1 2 , j + \frac 1 2 } ^ { ( 0 ) } + \mathscr D _ { i + \frac 1 2 , j - \frac 1 2 } ^ { ( 0 ) } } { 2 } } \\ { \frac { \{ [ u ^ { ( 0 ) } ] _ { i \pm 1 } \} _ { j + \frac 1 2 } } { 4 \Delta x } + \frac { [ \{ \{ v ^ { ( 0 ) } \} \} _ { i \pm \frac 1 2 } ] _ { j + \frac 1 2 } } { 4 \Delta y } } & { = \frac 1 2 \{ \mathscr D ^ { ( 0 ) } \} _ { i \pm \frac 1 2 , j + \frac 1 2 } = \frac { \mathscr D _ { i + \frac 1 2 , j + \frac 1 2 } ^ { ( 0 ) } + \mathscr D _ { i - \frac 1 2 , j + \frac 1 2 } ^ { ( 0 ) } } { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { f _ { 1 } ^ { ( \digamma ) } = H _ { 2 } ^ { - 2 M _ { a \digamma } } \left( - C ^ { - 1 } e _ { 1 } ^ { ( \digamma ) } + C ^ { - 1 / 2 } k _ { 1 } ^ { ( \digamma ) } e _ { 0 } ^ { ( \digamma ) } \right) H _ { 1 } ^ { k _ { 0 } ^ { ( \digamma ) } } , } \\ & { e _ { - 1 } ^ { ( \digamma ) } = H _ { 2 } ^ { 2 M _ { a \digamma } } \left( C f _ { - 1 } ^ { ( \digamma ) } - C ^ { 1 / 2 } k _ { - 1 } ^ { ( \digamma ) } f _ { 0 } ^ { ( \digamma ) } \right) H _ { 1 } ^ { - k _ { 0 } ^ { ( \digamma ) } } , } \\ & { f _ { - 1 } ^ { ( \digamma ) } = - C ^ { - 1 } H _ { 2 } ^ { 2 M _ { a \digamma } } H _ { 1 } ^ { - k _ { 0 } ^ { ( \digamma ) } } e _ { - 1 } ^ { ( \digamma ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal L _ { 2 } ^ { * } \tau _ { 1 } = - 1 \; \; \; \mathrm { ~ w i t h ~ } \tau _ { 1 } ( 1 ) = 0 \mathrm { ~ a n d ~ } \partial _ { r } \tau _ { 1 } ( 0 ) = 0 , } \\ & { \mathrm { ~ f o r ~ } \mathcal L _ { 2 } ^ { * } ( r ) : = \left( 1 - \frac { r ^ { \xi } } { 2 } \right) r ^ { \xi + 4 \gamma ^ { 2 } } \partial _ { r r } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t + 1 ) } ~ , ~ { \boldsymbol z } ~ \rangle - \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ~ , ~ { \boldsymbol z } ~ \rangle \le } & { \eta \cdot \mathbb { E } _ { v \in \mathcal { V } } y _ { v } \cdot \mathbb { E } _ { v } \langle ~ \mathcal { M } ( \mathcal { F } ( v ) ) ~ , ~ { \boldsymbol z } ~ \rangle . } \end{array}