harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \int _ { S } f d h _ { k } ^ { * } ( \mu _ { k } ^ { \perp } ) } & { = \int _ { S \setminus U _ { 1 } } f d h _ { k } ^ { * } ( \mu _ { k } ^ { \perp } ) } \\ & { = \int _ { h _ { k } ^ { - 1 } ( S \setminus U _ { 1 } ) } f \circ h _ { k } d \mu _ { k } ^ { \perp } } \\ & { = \int _ { g _ { k } \circ h _ { k } ^ { - 1 } ( S \setminus U _ { 1 } ) } f \circ h _ { k } \circ g _ { k } ^ { - 1 } d \mu _ { k } ^ { \perp } } \\ & { = \int _ { S \setminus U _ { 2 } } f \circ h _ { k } \circ g _ { k } ^ { - 1 } d \mu _ { k } ^ { \perp } } \\ { \left| \int _ { S } f d \nu _ { \mathfrak { p } } ^ { \perp } - \int _ { S } f d h _ { k } ^ { * } ( \mu _ { k } ^ { \perp } ) \right| } & { \leq \left| \int _ { S } f d \nu _ { \mathfrak { p } } ^ { \perp } - \int _ { S \setminus U _ { 2 } } f \circ h _ { k } \circ g _ { k } ^ { - 1 } d \mu _ { k } ^ { \perp } \right| } \\ & { \leq \left| \int _ { S \setminus U _ { 2 } } f d \left( \nu _ { \mathfrak { p } } ^ { \perp } - \mu _ { k } ^ { \perp } \right) \right| + \int _ { S \setminus U _ { 2 } } \left| f - f \circ h _ { k } \circ g _ { k } ^ { - 1 } \right| d \mu _ { k } ^ { \perp } } \\ & { \leq \left| \int _ { S \setminus U _ { 2 } } f d \left( \nu _ { \mathfrak { p } } ^ { \perp } - \mu _ { k } ^ { \perp } \right) \right| + \mu _ { k } ^ { \perp } ( S ) \| f - f \circ h _ { k } \circ g _ { k } ^ { - 1 } \| _ { S \setminus U _ { 2 } } } \\ & { \xrightarrow [ k \to + \infty ] 0 } \end{array}
\left[ \operatorname* { m a x } \left( 0 , \operatorname* { m i n } \left( A \right) \right) ^ { 6 } , \operatorname* { m a x } \left( \left| \operatorname* { m a x } \left( A \right) \right| , \left| \operatorname* { m i n } \left( A \right) \right| \right) ^ { 6 } \right]
\begin{array} { r } { \Dot { \theta } = \omega - \sigma \left( B _ { 1 } ^ { \top } ( V ^ { 0 } ) ^ { \top } \right) ^ { - } \sin \left( V ^ { 0 } B _ { 1 } W _ { 1 } ^ { - 1 } \theta - U ^ { 0 } B _ { 1 } W _ { 1 } ^ { - 1 } \alpha \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( X _ { i j } ^ { 2 } - X _ { i j } ) ( X _ { i j ^ { \prime } } ^ { 2 } - X _ { i j ^ { \prime } } ) } & { = \sum _ { r _ { 1 } \neq s _ { 1 } } \sum _ { r _ { 2 } \neq s _ { 2 } } B _ { i j r _ { 1 } } B _ { i j s _ { 1 } } B _ { i j ^ { \prime } r _ { 2 } } B _ { i j ^ { \prime } s _ { 2 } } } \\ & { = \sum _ { r _ { 1 } , s _ { 1 } , r _ { 2 } , s _ { 2 } \, d i s t . } B _ { i j r _ { 1 } } B _ { i j s _ { 1 } } B _ { i j ^ { \prime } r _ { 2 } } B _ { i j ^ { \prime } s _ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( C _ { 1 } - C _ { 3 } ) ^ { 2 } = } & { \frac { \| c \| ^ { 4 } } { B ^ { 6 } } \left( 2 B ^ { 3 } - B ^ { 2 } A + A ^ { 3 } - \frac { r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } } { \| c \| ^ { 2 } } 3 ( B ^ { 2 } A - A ^ { 3 } ) + \left( \frac { r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } } { \| c \| ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } 2 A ^ { 3 } \right) ^ { 2 } } \\ { = } & { \frac { 1 } { B ^ { 6 } \| c \| ^ { 4 } } \left( 2 \| c \| ^ { 4 } B ^ { 3 } - ( 3 r ^ { 2 } \| c \| ^ { 2 } - 2 \| c \| ^ { 4 } ) B ^ { 2 } A + ( 2 r ^ { 4 } - r ^ { 2 } \| c \| ^ { 2 } ) A ^ { 3 } \right) ^ { 2 } } \end{array}
\alpha _ { n } = \left( \begin{array} { l } { \alpha _ { 1 } ^ { n } } \\ { \alpha _ { 2 } ^ { n } } \\ { \alpha _ { 3 } ^ { n } } \end{array} \right) , \ \ \beta _ { n } = \left( \begin{array} { l } { \beta _ { 1 } ^ { n } } \\ { \beta _ { 2 } ^ { n } } \\ { \beta _ { 3 } ^ { n } } \end{array} \right) , \ \ \gamma _ { n } = \left( \begin{array} { l } { \gamma _ { 1 } ^ { n } } \\ { \gamma _ { 2 } ^ { n } } \\ { \gamma _ { 3 } ^ { n } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \frac { \Delta _ { 2 2 } ( k ) } { \Delta _ { 1 1 } ( k ) } = } & { \; \frac { \delta ( \omega ) ^ { 3 } } { \delta ( \omega ^ { 2 } ) ^ { 3 } } + \sum _ { j = 1 } ^ { N } ( c _ { 2 1 , j } \ln _ { \omega } ( k - \omega ) + d _ { 2 1 , j } ^ { \pm } ) ( k - \omega ) ^ { j } } \\ & { + O ( ( k - \omega ) ^ { N + 1 } \ln ( k - \omega ) ) , \qquad k \to \omega , \ | k | \gtrless 1 , } \\ { \frac { \Delta _ { 3 3 } ( k ) } { \Delta _ { 1 1 } ( k ) } = } & { \; 1 + \sum _ { j = 1 } ^ { N } ( c _ { 3 1 , j } \ln _ { \omega } ( k - \omega ) + d _ { 3 1 , j } ^ { \pm } ) ( k - \omega ) ^ { j } } \\ & { + O ( ( k - \omega ) ^ { N + 1 } \ln ( k - \omega ) ) , \qquad k \to \omega , \ | k | \gtrless 1 , } \\ { \frac { \Delta _ { 3 3 } ( k ) } { \Delta _ { 2 2 } ( k ) } = } & { \; \frac { \delta ( \omega ^ { 2 } ) ^ { 3 } } { \delta ( \omega ) ^ { 3 } } + \sum _ { j = 1 } ^ { N } ( c _ { 3 2 , j } \ln _ { \omega } ( k - \omega ) + d _ { 3 2 , j } ^ { \pm } ) ( k - \omega ) ^ { j } } \\ & { + O ( ( k - \omega ) ^ { N + 1 } \ln ( k - \omega ) ) , \qquad k \to \omega , \ | k | \gtrless 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { - \infty } ^ { \infty } | \mathcal { V } _ { 1 } ( t , \xi ) | d \xi } & { { } \leq \mathbb { E } \left[ \int _ { - \infty } ^ { \infty } | \mathcal { V } _ { 0 } ( t , \mathcal { A } _ { t , \xi } ) | \mathcal { B } ^ { \lambda } ( t , \xi ) d \xi \right] = \int _ { - \infty } ^ { \infty } | \mathcal { V } _ { 0 } ( t , \sigma ) | \mathbb { E } [ \mathcal { B } ^ { \lambda - 1 } ( t , \Phi _ { t , \sigma } ) ] d \sigma } \end{array}
S = \frac { s } { 2 \pi } \int d \phi d y \, { \mathrm { T r } } \, [ g ^ { - 1 } \partial _ { z } g g ^ { - 1 } \partial _ { \bar { z } } g ] + \frac { i s } { 1 2 \pi } \int { \mathrm { T r } } \, ( G ^ { - 1 } d G ) ^ { 3 } \, ,
\begin{array} { r l } { F _ { 0 } ( \vec { x } ) = } & { { } G _ { 0 } ( u _ { \bot } x _ { 1 } + ( 1 - u _ { \bot } ) ( 1 - T _ { 1 } ) x _ { 2 } , ( u _ { \Delta } x _ { 3 } ) ^ { 2 } + ( ( 1 - u _ { \Delta } ) ( 1 - T _ { 1 } ) x _ { 4 } ) ^ { 2 } + 2 u _ { \Delta } ( 1 - u _ { \Delta } ) ( 1 - T _ { 1 } ) ( 1 - T _ { 1 } ^ { 2 } ) x _ { 5 } ) } \end{array}
\frac { d \mathbf { X } _ { 1 } } { d t } = - \frac { d \mathbf { X } _ { 2 } } { d t } = - \frac { \beta \mu } { 2 } C _ { X } ( \mathbf { P } ) ( \mathbf { P } - \mathcal { P } _ { * } ) ( D _ { 1 , 2 } - D _ { 0 , 1 } ) .
\begin{array} { r l r } & { k _ { 1 } = \sqrt { ( 1 - R _ { 1 } ) ( 1 - R _ { 2 } ) ( 1 - l _ { a } ) } e ^ { i \phi } - \sqrt { R _ { 1 } R _ { 2 } ( 1 - l _ { b } ) } , } & \\ & { k _ { 2 } = i \sqrt { R _ { 1 } ( 1 - R _ { 2 } ) ( 1 - l _ { a } ) } e ^ { i \phi } + i \sqrt { ( 1 - R _ { 1 } ) R _ { 2 } ( 1 - l _ { b } ) } , } & \\ & { k _ { 3 } = i \sqrt { ( 1 - R _ { 2 } ) l _ { a } } e ^ { i \phi } , } & \\ & { k _ { 4 } = - \sqrt { R _ { 2 } l _ { b } } , } & \\ & { h _ { 1 } = i \sqrt { R _ { 1 } ( 1 - R _ { 2 } ) ( 1 - l _ { b } ) } + i \sqrt { ( 1 - R _ { 1 } ) R _ { 2 } ( 1 - l _ { a } ) } e ^ { i \phi } , } & \\ & { h _ { 2 } = \sqrt { ( 1 - R _ { 1 } ) ( 1 - R _ { 2 } ) ( 1 - l _ { b } ) } - \sqrt { R _ { 1 } R _ { 2 } ( 1 - l _ { a } ) } e ^ { i \phi } , } & \\ & { h _ { 3 } = - \sqrt { R _ { 2 } l _ { a } } e ^ { i \phi } , } & \\ & { h _ { 4 } = i \sqrt { ( 1 - R _ { 2 } ) l _ { b } } . } & \end{array}
\boldsymbol { Q } _ { \boldsymbol { w } } ^ { * } \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } w _ { 1 } \boldsymbol { Q } _ { 1 } + w _ { 2 } \boldsymbol { Q } _ { 2 } + \cdots + w _ { 9 } \boldsymbol { Q } _ { 9 } .
\begin{array} { r l } { V _ { \lambda , \lambda ^ { \prime } } ( R , \theta ) = } & { { } \frac { 1 } { R ^ { 5 } } C _ { 5 } ^ { \lambda , \lambda ^ { \prime } } \; { \cal C } _ { 2 , \lambda ^ { \prime } - \lambda } ( \gamma , 0 ) } \end{array}
K ( ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) , ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) , t ) = { \frac { 1 } { 4 \pi t } } ( \exp ( - { \frac { ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) ^ { 2 } + ( y _ { 1 } - y _ { 2 } ) ^ { 2 } } { 4 t } } ) - \exp ( - { \frac { ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) ^ { 2 } + ( y _ { 1 } + y _ { 2 } ) ^ { 2 } } { 4 t } } ) )
\begin{array} { r l } & { \alpha Z \mathrm { ~ a n d ~ } \beta W \mathrm { ~ a r e ~ i n d e p e n d e n t } } \\ & { \iff \mathbb { P } ( \alpha Z \in A , \beta W \in B ) = \mathbb { P } ( \alpha Z \in A ) \ \mathbb { P } ( \beta W \in B ) , \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ B o r e l ~ s u b s e t s ~ } A , B } \\ & { \iff \mathbb { P } ( Z \in \frac { 1 } { \alpha } A , W \in \frac { 1 } { \beta } B ) = \mathbb { P } ( Z \in \frac { 1 } { \alpha } A ) \ \mathbb { P } ( W \in \frac { 1 } { \beta } B ) , \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ B o r e l ~ s u b s e t s ~ } A , B } \\ & { \iff \mathbb { P } ( Z \in A ^ { \prime } , W \in B ^ { \prime } ) = \mathbb { P } ( Z \in A ^ { \prime } ) \ \mathbb { P } ( W \in B ^ { \prime } ) , \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ B o r e l ~ s u b s e t s ~ } A ^ { \prime } , B ^ { \prime } } \\ & { \iff Z \mathrm { ~ a n d ~ } W \mathrm { ~ a r e ~ i n d e p e n d e n t } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \{ 0 \} \cap \mathcal { B } ( \mathbf { x } , \rho ) | \times 1 } & { + ( q ^ { k ^ { * } } - 1 ) [ | ( \mathcal { B } ( 0 , \rho ) \backslash { \{ 0 \} } ) \cap \mathcal { B } ( \mathbf { x } , \rho ) | q ^ { - n } } \\ & { + | \mathcal { B } ( \mathbf { x } , \rho ) \backslash { \mathcal { B } ( 0 , \rho ) } | q ^ { - n ( 1 - \tau ) } \zeta ( n ) ] > q ^ { 2 \epsilon + 2 } } \end{array}
d ( E O M [ \phi _ { i } ; \phi _ { 1 } , . . , \phi _ { i - 1 } , \phi _ { i + 1 } , . . . , \phi _ { n } ] , \mathcal { L } _ { X } E O M [ \phi _ { i } ; \phi _ { 1 } , . . , \phi _ { i - 1 } , \phi _ { i + 1 } , . . . , \phi _ { n } ] ; h , k )
{ \bf m } _ { p } = \frac { v } { \cos \psi } \frac { \partial { \cal H } _ { s } } { \partial { \bf p } } = \frac { d { \bf q } } { d t } \, , \quad { \bf m } _ { q } = \frac { v } { \cos \psi } \frac { \partial { \cal H } _ { s } } { \partial { \bf q } } = - \frac { d { \bf p } } { d t } \, ,
\begin{array} { r l } { - { C _ { k - 1 } ^ { n - 1 } } \left( f ^ { \mathrm { S D P } } ( X ) + n \log \left( { C _ { k - 1 } ^ { n - 1 } } \right) \right) } & { = { C _ { k - 1 } ^ { n - 1 } } \left( \log ( \operatorname* { d e t } ( X ) ) - n \log \left( { C _ { k - 1 } ^ { n - 1 } } \right) \right) } \\ & { \ge \sum _ { i = 1 } ^ { { C _ { k - 1 } ^ { n - 1 } } } \log ( \operatorname* { d e t } ( Z _ { i } ) ) = - f ^ { \mathrm { F W } ( k ) } ( \mathcal { Y } ) . } \end{array}
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \varepsilon \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \in \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \bar { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \varepsilon \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ] \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { r } { ( \boldsymbol { J } - E _ { 0 } { \boldsymbol { J ^ { S } } } ) ^ { \mathrm { T } } \boldsymbol { \bar { t } } = E _ { 0 } { \boldsymbol { \eta ^ { S } } } - \boldsymbol { \eta } . } \end{array}
W = \int _ { \gamma } \mathbf { F } ( \mathbf { r } ) \cdot \mathrm { d } \mathbf { r } = \int _ { \gamma } \left( k q \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \frac { Q _ { i } ( \mathbf { r } - \mathbf { p } _ { i } ) } { \left| \mathbf { r } - \mathbf { p } _ { i } \right| ^ { 3 } } } \right) \cdot \mathrm { d } \mathbf { r } = k q \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( Q _ { i } \int _ { \gamma } { \frac { \mathbf { r } - \mathbf { p } _ { i } } { \left| \mathbf { r } - \mathbf { p } _ { i } \right| ^ { 3 } } } \cdot \mathrm { d } \mathbf { r } \right)
L ( t ) = A \left( - e ^ { \left( - \frac { ( t - t _ { 0 } ) } { \tau _ { r } } \right) } + e ^ { \left( - \frac { ( t - t _ { 0 } ) } { \tau _ { f } } \right) } \right) + B \left( - e ^ { \left( - \frac { ( t - t _ { 0 } ) } { \tau _ { r } } \right) } + e ^ { \left( - \frac { ( t - t _ { 0 } ) } { \tau _ { s } } \right) } \right)
\begin{array} { r l } { W _ { \mathcal N } ^ { 2 , p } ( \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , m ) = } & { \left\{ u \in W _ { l o c } ^ { 2 , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { N + 1 } ) : u , \ y ^ { \alpha _ { 1 } } \Delta _ { x } u , y ^ { \alpha _ { 2 } } \left( D _ { y y } u + c \frac { D _ { y } u } y \right) \in L _ { m } ^ { p } \right\} . } \end{array}
[ a _ { m } , \tilde { a } _ { n } ] = [ a _ { m } ^ { \dagger } , \tilde { a } _ { n } ^ { \dagger } ] = [ \psi _ { \dot { \alpha } } , \tilde { \psi } _ { \dot { \beta } } ] _ { + } = [ \psi _ { \dot { \alpha } } ^ { \dagger } , \tilde { \psi } _ { \dot { \beta } } ^ { \dagger } ] _ { + } = 0
\Delta \varphi = { \frac { \partial ^ { 2 } \varphi } { \partial x ^ { 2 } } } + { \frac { \partial ^ { 2 } \varphi } { \partial y ^ { 2 } } } = 0 \qquad { \mathrm { a n d } } \qquad \Delta \psi = { \frac { \partial ^ { 2 } \psi } { \partial x ^ { 2 } } } + { \frac { \partial ^ { 2 } \psi } { \partial y ^ { 2 } } } = 0 \, .
\begin{array} { r l } { F _ { A } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) = } & { \sum _ { k _ { 1 } , k _ { 2 } } z _ { 1 } ^ { k _ { 1 } } z _ { 2 } ^ { k _ { 2 } } \sum _ { k _ { 2 } \leq t _ { 2 } , \ k _ { 1 } + k _ { 2 } \leq t _ { 1 } + t _ { 2 } } B ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) \binom { t _ { 2 } } { k _ { 2 } } \sum _ { 0 \leq s \leq t _ { 2 } - k _ { 2 } } \binom { t _ { 2 } - k _ { 2 } } { s } \binom { t _ { 1 } } { k _ { 1 } - s } } \\ { = } & { \sum _ { t _ { 1 } , t _ { 2 } } B ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) \sum _ { k _ { 2 } \leq t _ { 2 } } \binom { t _ { 2 } } { k _ { 2 } } z _ { 2 } ^ { k _ { 2 } } \sum _ { 0 \leq s \leq t _ { 2 } - k _ { 2 } , \ 0 \leq k _ { 1 } - s \leq t _ { 1 } } \binom { t _ { 2 } - k _ { 2 } } { s } \binom { t _ { 1 } } { k _ { 1 } - s } z _ { 1 } ^ { k _ { 1 } } } \\ { = } & { \sum _ { t _ { 1 } , t _ { 2 } } B ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) \sum _ { k _ { 2 } \leq t _ { 2 } } \binom { t _ { 2 } } { k _ { 2 } } z _ { 2 } ^ { k _ { 2 } } ( z _ { 1 } + 1 ) ^ { t _ { 1 } + t _ { 2 } - k _ { 2 } } } \\ { = } & { \sum _ { t _ { 1 } , t _ { 2 } } B ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) ( z _ { 1 } + 1 ) ^ { t _ { 1 } + t _ { 2 } } ( \frac { z _ { 2 } } { z _ { 1 } + 1 } + 1 ) ^ { t _ { 2 } } } \\ { = } & { F _ { B } ( z _ { 1 } + 1 , z _ { 1 } + z _ { 2 } + 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { v } _ { 1 } ( t ) } & { { } = C K \sin \big ( \omega { v } _ { 1 } ( t ) \big ) e ^ { - \nu { v } _ { 1 } ( t ) ^ { 2 } } } \\ { \dot { x } _ { 1 } ( t ) } & { { } = v _ { 1 } ( t ) , } \\ { \dot { v } _ { 2 } ( t ) } & { { } = C K \sin \big ( \omega { v } _ { 2 } ( t ) \big ) e ^ { - \nu { v } _ { 2 } ( t ) ^ { 2 } } } \\ { \dot { x } _ { 2 } ( t ) } & { { } = v _ { 2 } ( t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { r , r ^ { \prime } } } & { { } = \operatorname* { m a x } _ { \xi \in [ r , r ^ { \prime } ] } \| \partial _ { 2 } \mathcal { R } _ { 2 } ( t _ { * } ; \xi ) \| = \operatorname* { m a x } _ { \xi \in [ r , r ^ { \prime } ] } \| \mathcal { A } ^ { \prime } ( t _ { * } + \xi ) - \mathcal { A } ^ { \prime } ( t _ { * } ) \| } \end{array}
f ( \Gamma ^ { g } ) = \operatorname* { i n f } _ { \substack { \gamma \in \Gamma _ { x _ { 0 } , R } ^ { g } \, \gamma \notin \mathrm { E } ( G ) } } d _ { Y } ( p _ { Y } ( \gamma ) y _ { 0 } , y _ { 0 } ) = \operatorname* { i n f } _ { \substack { \gamma \in \Gamma _ { g ^ { - 1 } x _ { 0 } , R } \, \gamma \notin \mathrm { E } ( G ) } } d _ { Y } ( p _ { Y } ( \gamma ) y _ { 0 } , y _ { 0 } ) .
\begin{array} { r l } { T _ { t } ^ { 2 P M } = } & { { } \frac { 8 m _ { i } } { \gamma ^ { 2 } } \cdot \frac { q _ { \parallel , u } ^ { 2 } } { p _ { t o t , u } ^ { 2 } } \cdot \frac { ( 1 - f _ { c o o l i n g } ) ^ { 2 } } { ( 1 - f _ { m o m - l o s s } ) ^ { 2 } } } \\ { n _ { t } ^ { 2 P M } = } & { { } \frac { \gamma ^ { 2 } } { 3 2 m _ { i } } \cdot \frac { p _ { t o t , u } ^ { 3 } } { q _ { \parallel , u } ^ { 2 } } \cdot \frac { ( 1 - f _ { m o m - l o s s } ) ^ { 3 } } { ( 1 - f _ { c o o l i n g } ) ^ { 2 } } } \\ { \Gamma _ { t } ^ { 2 P M } = } & { { } \frac { \gamma } { 8 m _ { i } } \cdot \frac { p _ { t o t , u } ^ { 2 } } { q _ { \parallel , u } } \cdot \frac { ( 1 - f _ { m o m - l o s s } ) ^ { 2 } } { ( 1 - f _ { c o o l i n g } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left. \frac { d } { d t } p \circ _ { A \left( t \right) } q \right\vert _ { t = t _ { 0 } } } & { = } & { \left. \frac { d } { d t } \left( p \left( q A \left( t \right) \right) \right) / A \left( t \right) \right\vert _ { t = t _ { 0 } } } \\ & { = } & { \left. \frac { d } { d t } \left( p \left( q A \left( t \right) \right) \right) / A _ { 0 } \right\vert _ { t = t _ { 0 } } - \left. \frac { d } { d t } \left( \left( p \circ _ { A _ { 0 } } q \right) \cdot A \left( t \right) \right) / A _ { 0 } \right\vert _ { t = t _ { 0 } } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { y ^ { 2 } \xi ^ { \prime \prime } ( y ) + y \xi ^ { \prime } ( y ) + \left( y ^ { 2 } - \alpha _ { a , b } ^ { 2 } \right) \xi ( y ) = 0 } & { \tilde { E } \neq 0 } \\ { y ^ { 2 } \xi ^ { \prime \prime } ( y ) + y \xi ^ { \prime } ( y ) - \alpha _ { a , b } ^ { 2 } \xi ( y ) = 0 } & { \tilde { E } = 0 } \end{array} \right. \; ,
\begin{array} { r l } { \frac { 6 \beta + 5 \omega } { 1 1 } \phi _ { p } ( 0 ) } & { \le \left| \sum _ { | k | \le K } y ( k ) \hat { \phi } _ { p } ( k ) e ^ { 2 \pi \mathrm { i } k x } \right| \le ( \phi _ { p } * f _ { * } ) ( x ) + \left| \sum _ { | k | \le K } ( k ) \hat { \phi } _ { p } ( k ) e ^ { 2 \pi \mathrm { i } k x } - ( \phi _ { P } * f _ { * } ) ( x ) \right| } \\ & { < ( 1 + 1 0 ^ { - 4 } ) \phi _ { p } ( 0 ) \exp ( - \pi \frac { \tau ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } ) + \omega \phi _ { p } ( 0 ) + ( \epsilon + \exp ( - \pi \sigma ^ { 2 } ) ) \phi _ { p } ( 0 ) } \\ & { \le \left( ( 1 + 1 0 ^ { - 4 } ) \frac { \beta - \omega } { 1 2 } + \omega + \frac { \beta - \omega } { 3 } + \frac { \beta - \omega } { 1 2 } \right) \phi _ { p } ( 0 ) } \\ & { < \frac { 6 \beta + 5 \omega } { 1 1 } \phi _ { p } ( 0 ) , } \end{array}
S = s \Bigg ( S ^ { v } + S ^ { l o g } + R m ^ { 2 } ( \mathcal { M } ) + 0 . 7 5 N \left( V o l ( \mathcal { M } ) - V o l ( \mathcal { M } ) \vert _ { \lambda = 0 } \right) ^ { 2 } + \frac { \left( \pi ^ { ( s ) } \right) ^ { 2 } } { 2 N } + 1 5 N l o g ( s ) - S ^ { 0 } \Bigg )
\begin{array} { r l } { \| ( a _ { 1 } , b _ { 1 } ) + ( a _ { 2 } , b _ { 2 } ) ( c , d ) \| } & { = \| ( a _ { 1 } + a _ { 2 } c , b _ { 1 } + b _ { 2 } d ) \| } \\ & { = \operatorname* { m a x } \{ \| a _ { 1 } + a _ { 2 } c \| , \| b _ { 1 } + b _ { 2 } d \| \} } \\ & { \geq \operatorname* { m a x } \{ \| a _ { 1 } \| , \| b _ { 1 } \| \} = \| ( a _ { 1 } , b _ { 1 } ) \| , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Sigma _ { h } ^ { 2 } ( \mathbf { x } ) } & { = k ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ) - \mathbf { k } ( \mathbf { x } , \mathbf { A } _ { h } ) ^ { \top } ( \mathbf { K } _ { \mathbf { A } _ { h } \mathbf { A } _ { h } } + \lambda \mathbf { W } _ { h } ^ { - 1 } ) ^ { - 1 } \mathbf { k } ( \mathbf { x } , \mathbf { A } _ { h } ) } \\ & { = \varphi ( \mathbf { x } ) ^ { \top } \varphi ( \mathbf { x } ) - \varphi ( \mathbf { x } ) ^ { \top } \Phi _ { h } ^ { \top } ( \Phi _ { h } \Phi _ { h } ^ { \top } + \lambda \mathbf { W } _ { h } ^ { - 1 } ) ^ { - 1 } \Phi _ { h } \varphi ( \mathbf { x } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ~ ~ ~ ~ \mathrm { t r } \left( \Lambda ^ { n } ( { \bf K } ) \right) } \\ & { = \frac { 1 } { n ! } \frac { 1 } { n ! } \sum _ { { \bf i } _ { 1 } , \cdots , { \bf i } _ { n } = 1 } ^ { ( m , m ^ { \prime } ) } \sum _ { \pi _ { 1 } \in \sigma _ { n } } \sum _ { \pi _ { 2 } \in \sigma _ { n } } ( - 1 ) ^ { \pi _ { 1 } + \pi _ { 2 } } } \\ & { ~ ~ ~ ~ \prod _ { k } \left( \langle { \bf C } _ { { \bf i } _ { \pi _ { 1 } ( k ) } } | { \bf K } { \bf C } _ { { \bf i } _ { \pi _ { 2 } ( k ) } } \rangle \right) } \\ & { = \frac { 1 } { n ! } \sum _ { { \bf i } _ { 1 } , \cdots , { \bf i } _ { n } = 1 } ^ { ( m , m ^ { \prime } ) } \sum _ { \pi \in \sigma _ { n } } ( - 1 ) ^ { \pi } \prod _ { k } \left( \langle { \bf C } _ { { \bf i } _ { k } } | { \bf K } { \bf C } _ { { \bf i } _ { \pi ( k ) } } \rangle \right) } \\ & { = \frac { 1 } { n ! } \sum _ { { i } _ { 1 } , \cdots , { i } _ { n } = 1 } ^ { m } \sum _ { { j } _ { 1 } , \cdots , { j } _ { n } = 1 } ^ { m ^ { \prime } } \sum _ { \pi \in \sigma _ { n } } ( - 1 ) ^ { \pi } \prod _ { k } { \bf K } _ { i _ { k } , j _ { k } , i _ { \pi ( k ) } , j _ { \pi ( k ) } } . } \end{array}
{ \bf \Phi } = \left[ \begin{array} { c } { { \, \, \varphi ^ { + } ( x ) \, } } \\ { { \, \, \varphi ^ { - } ( x ) \, } } \end{array} \right] , \, \, \, { \bf \Phi } ^ { T } = \Big [ \, \varphi ^ { + } ( x ) \, \, \, \varphi ^ { - } ( x ) \, \Big ] .
\begin{array} { r l } & { d _ { \omega ^ { * } ( P _ { r } , P _ { G _ { \hat { \theta } ^ { * } } } ) } ( P _ { r } , { P } _ { G _ { \hat { \theta } ^ { * } } } ) - d _ { \omega ^ { * } ( P _ { r } , P _ { G _ { \hat { \theta } ^ { * } } } ) } ( \hat { P } _ { r } , { P } _ { G _ { \hat { \theta } ^ { * } } } ) } \\ & { = \mathbb { E } _ { X \sim P _ { r } } [ \phi ( D _ { \omega ^ { * } ( \hat { \theta } ^ { * } ) } ( X ) ) ] + \mathbb { E } _ { X \sim P _ { G _ { \hat { \theta } ^ { * } } } } [ \psi ( D _ { \omega ^ { * } ( \hat { \theta } ^ { * } ) } ( X ) ) ] } \\ & { \quad - \left( \mathbb { E } _ { X \sim \hat { P } _ { r } } [ \phi ( D _ { \omega ^ { * } ( \hat { \theta } ^ { * } ) } ( X ) ) ] + \mathbb { E } _ { X \sim P _ { G _ { \hat { \theta } ^ { * } } } } [ \psi ( D _ { \omega ^ { * } ( \hat { \theta } ^ { * } ) } ( X ) ) ] \right) } \\ & { \le \left| \mathbb { E } _ { X \sim P _ { r } } [ \phi ( D _ { \omega ^ { * } ( \hat { \theta } ^ { * } ) } ( X ) ) ] - \mathbb { E } _ { X \sim \hat { P } _ { r } } [ \phi ( D _ { \omega ^ { * } ( \hat { \theta } ^ { * } ) } ( X ) ) ] \right| } \\ & { \le \operatorname* { s u p } _ { \omega \in \Omega } \left| \mathbb { E } _ { X \sim P _ { r } } [ \phi ( D _ { \omega } ( X ) ) ] - \mathbb { E } _ { X \sim \hat { P } _ { r } } [ \phi ( D _ { \omega } ( X ) ) ] \right| . } \end{array}
\hat { H } ^ { \prime } = \frac { 1 } { 2 } \Sigma _ { i = 1 } ^ { Q } \hat { p } _ { i } \Omega _ { i } ( \vec { \hat { q } } ) + \Omega _ { i } ( \vec { \hat { q } } ) \hat { p } _ { i } = \hat { H } ^ { ' \dagger }
\int ^ { \alpha } \frac { d ^ { 3 } k } { { ( 2 \pi ) } ^ { 3 } } \frac { 1 } { \sqrt { k ^ { 2 } + M ^ { 2 } } } = \frac { 1 } { 8 \pi ^ { 2 } } \left\{ 2 \alpha ^ { 2 } - M ^ { 2 } \ln \alpha ^ { 2 } + ( 1 - 2 \ln 2 ) M ^ { 2 } + M ^ { 2 } \ln M ^ { 2 } \right\} ,
\phi ( x ) = \frac { 1 } { 2 \pi \sqrt { R _ { 2 } \sin \theta } } \sum _ { n _ { + } = 0 } ^ { \infty } \sum _ { n _ { 2 } = - \infty } ^ { \infty } [ e ^ { - i ( \frac { n _ { + } } { R _ { + } } Z _ { + } + \frac { n _ { 2 } } { R _ { 2 } } Z _ { 2 } ) } A ( n _ { + } , n _ { 2 } ) + e ^ { i ( \frac { n _ { + } } { R _ { + } } Z _ { + } + \frac { n _ { 2 } } { R _ { 2 } } Z _ { 2 } ) } A ^ { \dagger } ( n _ { + } , n _ { 2 } ) { ] } \, ,
\begin{array} { r l r } & { } & { c _ { 1 } ^ { 2 } a _ { 1 } + c _ { 2 } ^ { 2 } a _ { 2 } = 0 } \\ & { } & { \frac { 1 } { 2 } ( c _ { 1 } ^ { 2 } a _ { 1 } ^ { 2 } + c _ { 2 } ^ { 2 } a _ { 2 } ^ { 2 } ) + c _ { 1 } ^ { 2 } b _ { 1 } + c _ { 2 } ^ { 2 } b _ { 2 } = 0 } \\ & { } & { \frac { 1 } { 3 ! } ( c _ { 1 } ^ { 2 } a _ { 1 } ^ { 3 } + c _ { 2 } ^ { 2 } a _ { 2 } ^ { 3 } ) + c _ { 1 } ^ { 2 } a _ { 1 } b _ { 1 } + c _ { 2 } ^ { 2 } a _ { 2 } b _ { 2 } = 0 } \\ & { } & { \frac { 1 } { 4 ! } ( c _ { 1 } ^ { 2 } a _ { 1 } ^ { 4 } + c _ { 2 } ^ { 2 } a _ { 2 } ^ { 4 } ) + \frac { 1 } { 2 ! } ( c _ { 1 } ^ { 2 } a _ { 1 } ^ { 2 } b _ { 1 } + c _ { 2 } ^ { 2 } a _ { 2 } ^ { 2 } b _ { 2 } ) + \frac { 1 } { 2 ! } ( c _ { 1 } ^ { 2 } b _ { 1 } ^ { 2 } + c _ { 2 } ^ { 2 } b _ { 2 } ^ { 2 } ) = 0 , } \end{array}
\eta \sim \left\{ \begin{array} { c c c } { { 0 . 4 9 } } & { { \mathrm { ~ f o r ~ } } } & { { N = 0 , } } \\ { { 0 . 5 1 } } & { { \mathrm { ~ f o r ~ } } } & { { N = 1 , } } \\ { { 0 . 4 9 } } & { { \mathrm { ~ f o r ~ } } } & { { N = 3 , } } \end{array} \right.
\mathrm { R } = \sum _ { i } \frac { 1 } { T _ { 1 i } } \left( \sum _ { \alpha = x , y , z } \mathrm { I } _ { i \alpha } \otimes \mathrm { I } _ { i \alpha } ^ { \mathrm T } \right) - \frac { 3 } { 4 } \sum _ { i } \frac { 1 } { T _ { 1 i } } \textbf { 1 } _ { 2 N } ,
\mathcal { C } ( \theta _ { s } ^ { \mathrm { ~ L ~ y ~ } } , \theta _ { \mathrm { ~ 8 ~ B ~ } } ^ { \mathrm { ~ L ~ y ~ } } ) = \mathcal { G } ( \theta _ { \mathrm { ~ 8 ~ B ~ } } ^ { \mathrm { ~ L ~ y ~ } } ) \mathcal { G } ( \theta _ { s } ^ { \mathrm { ~ L ~ y ~ } } | m ( \theta _ { \mathrm { ~ 8 ~ B ~ } } ^ { \mathrm { ~ L ~ y ~ } } ) , w ( \theta _ { \mathrm { ~ 8 ~ B ~ } } ^ { \mathrm { ~ L ~ y ~ } } ) )