harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { c _ { m } } & { { } = { \frac { V + c _ { m } ^ { \prime } } { 1 + { \frac { V c _ { m } ^ { \prime } } { c ^ { 2 } } } } } = { \frac { V + { \frac { c } { n } } } { 1 + { \frac { V c } { n c ^ { 2 } } } } } = { \frac { c } { n } } { \frac { 1 + { \frac { n V } { c } } } { 1 + { \frac { V } { n c } } } } } \end{array}
H = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( - { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } } { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \mathbf { r } _ { i } ^ { 2 } } } + V ( \mathbf { r } _ { i } ) \right) + \sum _ { i < j } { \frac { 4 \pi \hbar ^ { 2 } a _ { s } } { m } } \delta ( \mathbf { r } _ { i } - \mathbf { r } _ { j } ) ,
\omega _ { p } ^ { 2 } = \frac { e ^ { 2 } } { \pi ^ { 2 } \hbar ^ { 2 } } \sum _ { i } \int d ^ { 3 } k \ \left( \frac { \partial E _ { i } ( \mathbf { k } ) } { \partial \mathbf { k } } \right) ^ { 2 } \ \delta ( E _ { i } ( \mathbf { k } ) - E _ { F } )
\delta E ^ { \mathrm { p o l } } ~ = \alpha ( Z \alpha ) E _ { F } ~ \Bigl ( - \frac { 4 \mu } { \pi ^ { 2 } } \Bigr ) \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { d v } { 1 - v ^ { 2 } } ~ v ^ { 2 } \Bigl ( 1 - \frac { v ^ { 2 } } { 3 } \Bigr ) \int _ { 0 } ^ { 1 } { d z }
v _ { m _ { k + 1 } } ( x ) : = \sigma \left( \mathcal { F } ^ { - 1 } \left( R _ { \phi } \cdot \left( \mathcal { F } v _ { m _ { k } } ( x ) \right) \right) ( x ) + \left( \mathcal { U ^ { * } } v _ { m _ { k } } \right) ( x ) + W \left( v _ { m _ { k } } ( x ) \right) \right) , \quad \forall x \in D .
\begin{array} { r l } { \dot { \mathbf V } } & { { } = - { \mathbb { W } } ^ { - 1 } \bar { D F } ^ { - \top } \nabla _ { \mathbf { H } } H , } \\ { \dot { \mathbf H } } & { { } = \bar { D F } ^ { - 1 } { \mathbf { V } } , } \end{array}
\langle \varphi | \chi \rangle _ { { \cal L } } ^ { l } = ( 2 l - 1 ) \int _ { | z | < 1 } \frac { d z d \bar { z } } { 2 \pi i } ( 1 - z \bar { z } ) ^ { 2 l - 2 } \overline { { { \varphi ( \bar { z } ) } } } \chi ( \bar { z } )
( x _ { \theta } ^ { - } \otimes t ) ^ { \lambda _ { 1 } + 1 } ( x _ { \alpha _ { 2 } } ^ { - } \otimes t ) ^ { \mu _ { 2 } - \lambda _ { 1 } - 1 } v _ { \lambda , \mu } = \sum _ { d = 0 } ^ { \lambda _ { 1 } } { \binom { \mu _ { 2 } } { d } } ( x _ { \alpha _ { 1 } } \otimes 1 ) ^ { \lambda _ { 1 } + 1 - d } ( x _ { \theta } ^ { - } \otimes t ) ^ { d } ( x _ { \alpha _ { 2 } } ^ { - } \otimes t ) ^ { \mu _ { 1 } - d } v _ { \lambda , \mu } .
\frac { \partial \ln g _ { k } } { \partial \ln k ^ { 2 } } = - \frac { 2 . 6 \cdot 3 g _ { k } ^ { 2 } / ( 4 \pi ) ^ { 2 } \cdot ( 2 . 7 - 3 g _ { k } ^ { 2 } / ( 4 \pi ) ^ { 2 } ) } { ( 4 . 8 - 3 g _ { k } ^ { 2 } / ( 4 \pi ) ^ { 2 } ) ( 0 . 8 1 - 3 g _ { k } ^ { 2 } / ( 4 \pi ) ^ { 2 } ) } \: ,
\begin{array} { r l } { = } & { { } \frac { 1 - \mathcal { P } _ { 1 2 } } { 2 \sqrt { 3 } } \frac { C _ { \frac { 1 } { 2 } \sigma _ { 2 } , \frac { 1 } { 2 } \sigma _ { 1 } } ^ { S _ { A } - \Sigma _ { A } } } { \Pi _ { S _ { A } } } \sum _ { a L } \frac { 1 } { \Pi _ { L } } \frac { \langle \Psi _ { A \ell _ { 1 } E _ { 1 } } ^ { ^ { 2 S _ { a } + 1 } L ^ { \bar { \pi } _ { a } } ( - ) } \| \mathcal { O } _ { 1 } \| \Phi _ { a } \rangle \, \langle \Psi _ { a \ell _ { 2 } E _ { 2 } } ^ { { ^ 1 P ^ { o } } ( - ) } \| \mathcal { O } _ { 1 } \| g \rangle } { E _ { g } + \omega - E _ { a } - E _ { 2 } + i 0 ^ { + } } \sum _ { M M _ { a } } C _ { L _ { A } M _ { A } , \ell _ { 1 } m _ { 1 } } ^ { L M } C _ { L _ { a } M _ { a } , \ell _ { 2 } m _ { 2 } } ^ { 1 \mu } C _ { L _ { a } M _ { a } , 1 \nu } ^ { L M } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \exp _ { \mu _ { 2 } } ( x ) } & { = { \frac { 1 } { \beta ( \mu _ { 1 } + \frac { 1 } { 2 } , \mu _ { 2 } - \mu _ { 1 } ) } } \times } \\ & { \int _ { - 1 } ^ { 1 } \exp _ { \mu _ { 1 } } ( x t ) | t | ^ { 2 \mu _ { 1 } } ( 1 - t ) ^ { \mu _ { 2 } - \mu _ { 1 } - 1 } ( 1 + t ) ^ { \mu _ { 2 } - \mu _ { 1 } } \, d t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ^ { \mathrm { ~ e ~ v ~ e ~ n ~ t ~ } } ( \Phi , \mathbf { \boldsymbol { \theta } } | \mathcal { D } _ { \mathrm { ~ o ~ b ~ s ~ } } ) } & { { } = \mathrm { ~ P ~ o ~ i ~ s ~ } ( n _ { \mathrm { ~ o ~ b ~ s ~ } } ; \mu _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ } } ) } \\ { \times } & { { } \prod _ { i = 1 } ^ { n _ { \mathrm { ~ o ~ b ~ s ~ } } } \left[ \mu _ { s } ( \Phi , \boldsymbol { \theta } ) f _ { s } ( \boldsymbol { x } _ { i } ) + \sum _ { b } \mu _ { b } ( \boldsymbol { \theta } ) f _ { b } ( \boldsymbol { x } _ { i } ) \right] } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { x } _ { 0 } ^ { R } = q _ { 3 } } \\ { \mathbf { x } _ { 1 } ^ { R } = q _ { 1 } - q _ { 2 } } \\ { \mathbf { x } _ { 2 } ^ { R } = \frac { m _ { 1 } q _ { 1 } + m _ { 2 } q _ { 2 } } { m _ { 1 } + m _ { 2 } } - \frac { 1 } { 2 } q _ { 3 } , } \end{array} \right. \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { p } _ { 0 } ^ { R } = P _ { 3 } + \frac { P _ { 1 } } 2 + \frac { P _ { 2 } } 2 } \\ { \mathbf { p } _ { 1 } ^ { R } = - \frac { m _ { 1 } } { m _ { 1 } + m _ { 2 } } P _ { 2 } + \frac { m _ { 2 } } { m _ { 1 } + m _ { 2 } } P _ { 1 } } \\ { \mathbf { p } _ { 2 } ^ { R } = P _ { 2 } + P _ { 1 } . } \end{array} \right.
\left\{ \begin{array} { r c l } { { \delta C ^ { ( 5 ) } } } & { { = } } & { { 1 5 \partial \Lambda ^ { ( 0 ) } B ^ { 2 } + 3 0 \partial \Lambda ^ { ( 2 ) } B + 5 \partial \Lambda ^ { ( 4 ) } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \delta \tilde { B } } } & { { = } } & { { 6 \partial \Lambda ^ { ( 0 ) } \left( C ^ { ( 5 ) } - 5 C ^ { ( 3 ) } B \right) - 3 0 \partial \Lambda ^ { ( 2 ) } C ^ { ( 3 ) } + 6 \partial \tilde { \Lambda } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \delta C ^ { ( 7 ) } } } & { { = } } & { { 3 \cdot 5 \cdot 7 \partial \Lambda ^ { ( 0 ) } B ^ { 3 } + 3 ^ { 2 } \cdot 5 \cdot 7 \partial \Lambda ^ { ( 2 ) } B ^ { 2 } } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { + 3 \cdot 5 \cdot 7 \partial \Lambda ^ { ( 4 ) } B + 7 \partial \Lambda ^ { ( 6 ) } \, . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \frac { \partial { \widetilde { T } _ { c } } } { \partial { \bf n } } \vert _ { \widetilde { z } = 0 , 1 } = \, - \, b \, \widetilde { T } _ { c } [ \widetilde { z } = 0 , 1 ] \ . \ \ \ } \end{array}
{ F _ { \mathrm { ~ D ~ } } } = \left\{ \begin{array} { c l } { { F _ { \mathrm { ~ D ~ ( ~ W ~ e ~ n ~ , ~ Y ~ u ~ ) ~ } } } } & { \ \phi \leq 0 . 3 } \\ { \operatorname* { m i n } ( { F _ { \mathrm { ~ D ~ ( ~ W ~ e ~ n ~ , ~ Y ~ u ~ ) ~ } } } , { F _ { \mathrm { ~ D ~ ( ~ E ~ r ~ g ~ u ~ n ~ , ~ O ~ r ~ n ~ i ~ n ~ g ~ ) ~ } } } ) } & { \ \phi > 0 . 3 \, . } \end{array} \right.
d g ( t ) = \left( { \frac { \partial g } { \partial t } } + \mu { \frac { \partial g } { \partial S } } + { \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } } { \frac { \partial ^ { 2 } g } { \partial S ^ { 2 } } } + h ( t ) \int _ { \Delta g } \left( \Delta g \eta _ { g } ( \cdot ) \, d { \Delta } g \right) \, \right) d t + { \frac { \partial g } { \partial S } } \sigma \, d W ( t ) + d J _ { g } ( t ) .
x = { \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { - 3 } \\ { 4 } \end{array} \right] } \quad { \mathrm { a n d } } \quad y = { \left[ \begin{array} { l } { - 2 0 } \\ { 6 0 } \\ { - 8 0 } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r } { \check { \boldsymbol { \mathbf { A } } } _ { \Xi ; r _ { \Xi } } \in \mathbb { R } ^ { | \Xi | \times | \Xi | } \quad \mathrm { w i t h } \quad ( \check { \boldsymbol { \mathbf { A } } } _ { \Xi ; r _ { \Xi } } ) _ { \xi , \eta } : = \left\{ \begin{array} { l l } { A _ { \xi , \eta } = a ( \chi _ { \xi } , \chi _ { \eta } ) , } & { \mathrm { d i s t } ( \xi , \eta ) \le r _ { \Xi } , } \\ { 0 , } & { \mathrm { d i s t } ( \xi , \eta ) > r _ { \Xi } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { v b p _ { b } } & { = ( x p _ { b } q _ { a } + z r _ { a } r _ { b } ) ( y q _ { b } + z r _ { b } ) } \\ & { = x y p _ { b } q _ { a } q _ { b } + x z p _ { b } q _ { a } r _ { b } + y z q _ { b } r _ { a } r _ { b } + z ^ { 2 } r _ { a } r _ { b } ^ { 2 } } \\ & { = x y p _ { b } q _ { a } q _ { b } + z ( x p _ { b } q _ { a } r _ { b } + y q _ { b } r _ { a } r _ { b } + z r _ { a } r _ { b } ^ { 2 } ) } \\ & { = x y p _ { b } q _ { a } q _ { b } + z ( x p _ { b } q _ { a } r _ { b } + ( y q _ { b } + z r _ { b } ) r _ { a } r _ { b } ) } \\ & { = x y p _ { b } q _ { a } q _ { b } + z ( x p _ { b } q _ { a } r _ { b } + b p _ { b } r _ { a } r _ { b } ) } \\ & { = x y p _ { b } q _ { a } q _ { b } + ( x q _ { a } + b r _ { a } ) z p _ { b } r _ { b } } \\ & { = x y p _ { b } q _ { a } q _ { b } + a p _ { a } z p _ { b } r _ { b } } \\ & { = x y p _ { b } q _ { a } q _ { b } + a z p _ { a } p _ { b } r _ { b } , } \end{array}
\ \frac { \left( m _ { 3 } ^ { D } \, ^ { 2 } \mathrm { c } ^ { 2 } + m _ { 2 } ^ { D } \, ^ { 2 } \mathrm { s } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } { M _ { 3 } \, ^ { 2 } } + \ \frac { 2 ( m _ { 3 } ^ { D } \, ^ { 2 } - m _ { 2 } ^ { D } \, ^ { 2 } ) ^ { 2 } \mathrm { c } ^ { 2 } \mathrm { s } ^ { 2 } \, { \cos 2 \delta } } { M _ { 2 } \, M _ { 3 } } ~ \cdot
\begin{array} { r l } { S _ { \mathrm { m i s } } = } & { { } ~ \frac { g _ { A } } { \Delta } ( a ^ { \dagger } \sigma _ { A } - \sigma _ { A } ^ { \dagger } a ) + \frac { g _ { B } } { \Delta } ( b ^ { \dagger } \sigma _ { B } - \sigma _ { B } ^ { \dagger } b ) } \end{array}
< X _ { c \bar { c } } ( p ^ { \prime } , \epsilon ) \vert A _ { \mu } \vert B _ { c } ( p ) > \equiv i v \epsilon _ { \mu \nu \rho \sigma } \epsilon ^ { * \nu } ( p + p ^ { \prime } ) ^ { \rho } ( p - p ^ { \prime } ) ^ { \sigma } \; ,
\left( \begin{array} { l l } { { a ^ { * } } } & { { b ^ { * } } } \\ { { c ^ { * } } } & { { d ^ { * } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { { a } } & { { c } } \\ { { b } } & { { d } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } & { \sum _ { m , n } c _ { n m } Q _ { 1 } ^ { n } Q _ { 2 } ^ { m } = \frac { \sqrt { 2 } } { \pi ^ { 3 / 2 } } \left( \frac { V _ { 0 } } { \kappa + 1 } \right) ^ { \kappa + 1 } \times } \\ & { \times \sum _ { \mu } \sum _ { \nu = 0 } ^ { \mu } \left( \begin{array} { l } { \kappa + 1 } \\ { \mu } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \mu } \\ { \nu } \end{array} \right) \frac { \omega _ { 1 } ^ { 2 ( \mu - \nu ) } \omega _ { 2 } ^ { 2 \nu } } { ( 2 V _ { 0 } ) ^ { \mu } } Q _ { 1 } ^ { 2 ( \mu - \nu ) } Q _ { 2 } ^ { 2 \nu } \, ; } \end{array}
J ^ { ( c o l l ) } = ( N - 1 ) \, \int d \theta _ { 2 } \int _ { \odot } d \vec { r } _ { 2 } \, \bigg [ v _ { 0 } \left[ \hat { n } ( \theta ) \cdot \partial _ { \vec { r } } + \hat { n } ( \theta _ { 2 } ) \cdot \partial _ { \vec { r } _ { 2 } } \right] P _ { 2 } ( \vec { r } , \theta , \vec { r } _ { 2 } , \theta _ { 2 } , t ) \bigg ] \, ,
\sqrt { 2 } f _ { \tilde { \rho } } m _ { \tilde { \rho } } ^ { 3 } f _ { f _ { 1 } } m _ { f _ { 1 } } g _ { 2 } e ^ { - ( { \frac { m _ { f _ { 1 } } ^ { 2 } } { M _ { 1 } ^ { 2 } } } + { \frac { m _ { \tilde { \rho } } ^ { 2 } } { M _ { 2 } ^ { 2 } } } ) } = { \frac { f _ { \pi } } { \sqrt { 2 } } } \{ [ \Phi _ { \bot } ^ { \prime } ( u _ { 0 } ) - 2 { \tilde { \Phi } } _ { \bot } ^ { \prime } ( u _ { 0 } ) ] M ^ { 4 } + { \frac { 1 } { 3 6 } } < 0 | g _ { s } ^ { 2 } G ^ { 2 } | 0 > \phi _ { \pi } ^ { \prime } ( u _ { 0 } ) M ^ { 2 } \} \; ,
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } \operatorname* { m i n } ( x , y ) \operatorname { P D F } ( x ) \operatorname { P D F } ( y ) \, d x \, d y } \\ { = } & { 2 \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { y } x \operatorname { P D F } ( x ) \operatorname { P D F } ( y ) \, d x \, d y = \nu - \frac { 2 \Gamma \left( \frac { \nu + 1 } { 2 } \right) } { \sqrt { \pi } \Gamma \left( \frac { \nu } { 2 } \right) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tau ( E ) } & { { } } & { = \mathrm { I m } \{ \mathrm { i } \mathfrak { T } ( E ) \} = \mathrm { R e } \{ \mathfrak { T } ( E ) \} = - \mathcal { H } \{ \mathrm { I m } \{ \mathfrak { T } ( E ) \} \} } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left[ \left( g \left( V _ { T } , \int _ { 0 } ^ { T } V _ { t } \mathrm { d } t , \int _ { 0 } ^ { T } r _ { t } \mathrm { d } t \right) - g \left( V _ { T } , \sum _ { i = 0 } ^ { T / h - 1 } V _ { i h } h , \sum _ { i = 0 } ^ { T / h - 1 } \hat { r } _ { i h } h \right) \right) ^ { 2 } \right] } \\ & { \leq 2 \mathbb { E } \left[ \left( e ^ { - \sum _ { i = 0 } ^ { T / h - 1 } \hat { r } _ { i h } h } - e ^ { - \int _ { 0 } ^ { T } r _ { t } \mathrm { d } t } \right) ^ { 2 } \hat { \phi } ^ { 2 } \right] + 2 \mathbb { E } \left[ e ^ { - 2 \int _ { 0 } ^ { T } r _ { t } \mathrm { d } t } ( \hat { \phi } - \phi ) ^ { 2 } \right] } \\ & { \leq 2 \mathbb { E } \left[ \left( e ^ { - \sum _ { i = 0 } ^ { T / h - 1 } \hat { r } _ { i h } h } - e ^ { - \int _ { 0 } ^ { T } r _ { t } \mathrm { d } t } \right) ^ { 2 } \right] + 2 \mathbb { E } \left[ e ^ { - 2 \int _ { 0 } ^ { T } r _ { t } \mathrm { d } t } ( \hat { \phi } - \phi ) ^ { 2 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - \sum _ { K _ { L } \bigcup K _ { R } } ( \pmb { q } _ { h } \cdot \pmb { \nu } , p _ { h } ) _ { e } + \sum _ { K _ { L } \bigcup K _ { R } } ( \widehat { \pmb { q } } _ { h } \cdot \pmb { \nu } , p _ { h } ) _ { e } + \sum _ { K _ { L } \bigcup K _ { R } } ( \widehat { p } _ { h } , \pmb { \nu } \cdot \pmb { q } _ { h } ) _ { e } } \\ { = } & { - ( \pmb { q } _ { h } ^ { L } \cdot \pmb { \nu } ^ { L } , p _ { h } ^ { L } ) _ { e } + ( \pmb { q } _ { h } ^ { R } \cdot \pmb { \nu } ^ { L } , p _ { h } ^ { R } ) _ { e } + ( \pmb { q } _ { h } ^ { R } \cdot \pmb { \nu } ^ { L } , p _ { h } ^ { L } ) _ { e } - ( \pmb { q } _ { h } ^ { R } \cdot \pmb { \nu } ^ { L } , p _ { h } ^ { R } ) _ { e } } \\ & { + ( \pmb { q } _ { h } ^ { L } \cdot \pmb { \nu } ^ { L } , p _ { h } ^ { L } ) _ { e } - ( \pmb { q } _ { h } ^ { R } \cdot \pmb { \nu } ^ { L } , p _ { h } ^ { L } ) _ { e } = 0 . } \end{array}
\mid \langle f _ { P } \mid H _ { c } \rangle \mid ^ { 2 } = N _ { c } ^ { n + 1 } g _ { s } ^ { 2 n } ( p , p ^ { \prime } ) _ { k _ { 1 } } ( k _ { 2 h } , k _ { 2 e } ) _ { k _ { 2 } } \cdots ( k _ { n h } , k _ { n e } ) _ { k _ { n } }
\begin{array} { r l } { | G _ { C } ( \boldsymbol { x } , t ) - f ( \boldsymbol { x } , t ) | } & { { } = | \sum _ { j = 1 } ^ { \tilde { N } } \frac { 1 } { 2 } \tilde { u } _ { j } ( 2 \tilde { \sigma } ( ( \boldsymbol { \tilde { k } } _ { j } ^ { x } ) ^ { \top } \boldsymbol { x } + \tilde { k } _ { j } ^ { t } t + \tilde { b _ { j } } ) - 1 ) - f ( \boldsymbol { x } , t ) | = | \tilde { G } _ { J } ( \boldsymbol { x } , t ) - f ( x , t ) | < \frac { \epsilon } { 2 } < \epsilon . } \end{array}
{ \sigma _ { i j } } = \mu \left( { \frac { { \partial { u _ { i } } } } { { \partial { x _ { j } } } } + \frac { { \partial { u _ { j } } } } { { \partial { x _ { i } } } } - \frac { 2 } { 3 } \frac { { \partial { u _ { k } } } } { { \partial { x _ { k } } } } { \delta _ { i j } } } \right) ,
\begin{array} { r l } { g \ast C } & { = ( \frac { v } { u } C _ { 2 1 } , \frac { u } { v } C _ { 1 2 } , \frac { v } { w } C _ { 2 3 } - \frac { \lambda v } { u w } C _ { 2 1 } - \frac { 1 0 ( a + b ) } { w } , \frac { u } { w } C _ { 1 3 } ^ { ( 1 ) } - \frac { a u } { v w } C _ { 1 2 } - \frac { 6 \lambda } { w } , \frac { u } { w } C _ { 1 3 } ^ { ( 2 ) } - \frac { b u } { v w } C _ { 1 2 } - \frac { 5 \lambda } { w } ) } \\ { g \ast N } & { = ( \frac { u } { w } N _ { 1 3 } , \frac { v } { w } N _ { 2 3 } ^ { ( 1 ) } , \frac { v } { w } N _ { 2 3 } ^ { ( 2 ) } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \delta \delta f ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } & { = } & { - \delta f ( [ x _ { 1 } , x _ { 2 } ] ) + ( - 1 ) ^ { x _ { 1 } f } [ x _ { 1 } , \delta f ( x _ { 2 } ) ] + [ \delta f ( x _ { 1 } ) , x _ { 2 } ] } \\ & { = } & { [ f , [ x _ { 1 } , x _ { 2 } ] ] - ( - 1 ) ^ { x _ { 1 } f } [ x _ { 1 } , [ f , x _ { 2 } ] ] - [ [ f , x _ { 1 } ] , x _ { 2 } ] } \\ & { = } & { 0 . } \end{array}
{ \frac { d \sigma _ { 0 } } { d y \, d { \bar { y } } \, d p _ { 1 \perp } ^ { 2 } d p _ { 2 \perp } ^ { 2 } d \phi } } \, = \, x _ { A } ^ { 0 } x _ { B } ^ { 0 } \, f _ { \mathrm { e f f } } ( x _ { A } ^ { 0 } , \mu ^ { 2 } ) f _ { \mathrm { e f f } } ( x _ { B } ^ { 0 } , \mu ^ { 2 } ) \, { \frac { d \hat { \sigma } _ { g g } } { d p _ { 1 \perp } ^ { 2 } d p _ { 2 \perp } ^ { 2 } d \phi } } \ ,
\frac { \partial A _ { 1 } } { \partial C } = \frac { 1 } { 1 - \alpha } \left( \frac { u _ { 4 } } { v _ { 4 } } \right) ^ { \frac { \alpha } { 1 - \alpha } } \left( \frac { v _ { 4 } \frac { \partial u _ { 4 } } { \partial C } - u _ { 4 } \frac { \partial v _ { 4 } } { \partial C } } { ( v _ { 4 } ) ^ { 2 } } \right) ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { J } _ { \mathtt { P T } } ^ { \mathtt { ( m ) } } } & { = \imath _ { \xi } L _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } - \imath _ { \mathrm { X } _ { \xi } } \Theta _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } + \imath _ { \xi } L _ { \mathtt { P T } } ^ { \mathtt { ( m ) } } - \imath _ { \mathrm { X } _ { \xi } } \mathrm { d } \Theta _ { \mathtt { C P } } ^ { \mathtt { ( m ) } } } \\ & { = \mathcal { J } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } + \imath _ { \xi } ( \imath _ { A } \mathrm { v o l } _ { g } ) + \mathcal { L } _ { \xi } ( \imath _ { Z } \mathrm { v o l } _ { g } ) - \mathrm { d } ( \imath _ { \xi } \imath _ { Z } \mathrm { v o l } _ { g } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ \mathrm { I } - \mathbb { P } ] f } & { = \operatorname* { l i m } _ { \lambda \rightarrow 0 } \mathrm { d } \mathrm { d } ^ { \ast } ( \lambda \mathrm { I } - \Delta _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } ) ^ { - 1 } f } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { \lambda \rightarrow 0 } - \Delta _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } ( \lambda \mathrm { I } - \Delta _ { \mathcal { H } , \mathfrak { t } } ) ^ { - 1 } f } \\ & { = f \mathrm { . ~ } } \end{array}
\Delta T = - \frac { T _ { m } } { q _ { m } } \left( \frac { 1 } { \rho _ { s } ^ { 0 } } - \frac { 1 } { \rho _ { l } ^ { 0 } } \right) \Delta P _ { l } \approx \left( - 7 . 1 6 \times 1 0 ^ { - 8 } \, \mathrm { K \, P a ^ { - 1 } } \right) \Delta P _ { l } \; ,
\begin{array} { r l } { \frac 1 6 } & { = { \bf b } ^ { \{ F \} , T } { \bf A } ^ { \{ F , \sigma \} } { \bf c } ^ { \{ S \} } = ( e _ { s ^ { \{ S \} } } ^ { T } \otimes b ^ { \{ F \} , T } ) \left( \sum _ { k = 0 } ^ { n _ { \Omega } - 1 } \Omega ^ { \{ k \} } \otimes A ^ { \{ F \} } c ^ { \{ F \} \times k } \right) c ^ { \{ S \} } } \\ & { = e _ { s ^ { \{ S \} } } ^ { T } \left( \sum _ { k = 0 } ^ { n _ { \Omega } - 1 } \Omega ^ { \{ k \} } \frac { 1 } { ( k + 1 ) ( k + 2 ) } \right) c ^ { \{ S \} } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { j } _ { H } ( s | z _ { 0 } ) } & { { } = \mathcal { E } _ { H } ( z _ { 0 } ) \bigl [ 1 - s \langle \mathcal { T } _ { H } ( z _ { 0 } ) \rangle + O ( s ^ { 2 } ) \bigr ] , } \\ { \tilde { j } _ { 0 } ( s | z _ { 0 } ) } & { { } = \mathcal { E } _ { 0 } ( z _ { 0 } ) \bigl [ 1 - s \langle \mathcal { T } _ { 0 } ( z _ { 0 } ) \rangle + O ( s ^ { 2 } ) \bigr ] , } \end{array}
W = \frac { Q \bar { Q } } { M _ { * } } \left( \frac { f _ { \phi } } { ( n + 2 ) ! } \, \frac { \phi ^ { n + 2 } } { M _ { * } ^ { n } } + f _ { \psi } \, \psi _ { \mathrm { e x } } \bar { \psi } _ { \mathrm { e x } } \right) ,
\nabla \psi = { \left( \begin{array} { l } { { \frac { \partial } { \partial x _ { 1 } } } , \ldots , \ { \frac { \partial } { \partial x _ { n } } } } \end{array} \right) } \psi = { \frac { \partial \psi } { \partial x _ { 1 } } } \mathbf { e } _ { 1 } + \ldots + { \frac { \partial \psi } { \partial x _ { n } } } \mathbf { e } _ { n } .
\begin{array} { r l } { \langle \widetilde { \Psi } | \sigma _ { z } | \widetilde { \Psi } \rangle } & { { } = \left\langle \sigma _ { z } \right\rangle \cos ( 2 \Omega _ { \mathrm { ~ R ~ 0 ~ } } t _ { \mathrm { ~ R ~ } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \left[ \langle N | \hat { V } _ { 1 } \hat { P } _ { 1 } \hat { V } _ { 1 } | N \rangle \right] } \\ & { } & { = \sum _ { i } ^ { \mathrm { d e n o m . } = 0 } { F _ { i } F _ { i } } \Big [ \langle Q _ { i } \rangle _ { 1 } \langle Q _ { i } \rangle _ { - 1 } \Big ] + \sum _ { i } ^ { \mathrm { d e n o m . } = 0 } { F _ { i } F _ { i } } \Big [ \langle Q _ { i } \rangle _ { - 1 } \langle Q _ { i } \rangle _ { 1 } \Big ] } \\ & { } & { = \sum _ { i } ^ { \mathrm { d e n o m . } = 0 } { \tilde { F } _ { i } \tilde { F } _ { i } } { f _ { i } } + \sum _ { i } ^ { \mathrm { d e n o m . } = 0 } { \tilde { F } _ { i } \tilde { F } _ { i } } { ( f _ { i } + 1 ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { U ( z ) } & { { } \triangleq \beta \int _ { h _ { m i n } } ^ { h _ { m a x } } \int _ { - L } ^ { L } \int _ { - L } ^ { L } u _ { 1 } \left( \frac { \mathbf { x } } { h } \right) p ( h ) d x d y d h + U _ { \infty } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( - 1 ) ^ { m } \int _ { \mathbb R ^ { d } } f _ { m } ( \xi ) [ W _ { 1 } ^ { \mathscr { A } } ( \xi ) \otimes \cdots \otimes W _ { m } ^ { \mathscr { A } } ( \xi ) ] \, d \xi } \\ & { = ( - 1 ) ^ { m } \sum _ { \iota : \mathscr { A } \to \{ 1 , \ldots , d \} } c _ { d } ^ { ( \iota ) } \int _ { \mathbb R ^ { d } } | \xi | ^ { 2 m - k } f _ { m } ( \xi ) [ W _ { 1 } ^ { \mathscr { A } , \iota } \otimes \cdots \otimes W _ { m } ^ { \mathscr { A } , \iota } ] \, d \xi } \end{array}
S _ { l 2 } \left( \theta + \theta _ { h } + 3 \theta _ { H } \right) S _ { l 2 } \left( \theta - \theta _ { h } - 3 \theta _ { H } \right) \! \! = \! \! S _ { l 1 } \left( \theta \right) S _ { l 1 } \left( \theta + 2 \theta _ { H } \right) S _ { l 1 } \left( \theta - 2 \theta _ { H } \right) ,
\hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { ~ I ~ } } = \mathbf { A } \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ I ~ O ~ } } \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { ~ O ~ } } - \mathbf { A } \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { ~ I ~ } } \, , \qquad \mathbf { A } = \left( \omega ^ { 2 } \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } } - \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } } \right) ^ { - 1 } \, .
\begin{array} { r } { V _ { t + 1 } - V _ { t } \leq - \eta _ { t + 1 } V _ { t } + 2 \sigma _ { g } ^ { 2 } \eta _ { t + 1 } ^ { 2 } + 1 2 ( 2 L _ { g } ^ { 2 } + \sigma _ { h } ^ { 2 } + D _ { h } ^ { 2 } \gamma ^ { 2 H } ) { \mathbb E } \left[ \left\| \theta _ { t + 1 } - \theta _ { t } \right\| ^ { 2 } \right] + 2 4 D _ { g } ^ { 2 } \gamma ^ { 2 { H } } . } \end{array}
r _ { d } = { \displaystyle \left\{ \begin{array} { c c } { { < P _ { e e } > } } & { { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \nu _ { e } \rightarrow \nu _ { \mu } } } \\ { { \displaystyle { { \frac { < { P } _ { e e } > } { 1 - < { P } _ { e s } > } } } } } & { { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \nu _ { e } \rightarrow \nu _ { \mu } , \nu _ { s } } } \\ { { \sim 1 } } & { { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \nu _ { e } \rightarrow \nu _ { s } } } \end{array} \right. }
J ( z ) = \frac { 1 } { k + \check { g } } \{ \frac { ( \check { g } - 1 ) } { ( \check { g } - 2 ) } S _ { a } ^ { a } + ( k + 1 ) \psi ^ { a } \psi _ { a } - ( k - \check { g } + 2 ) \psi ^ { + } \psi _ { + } \} ( z )