harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { { \cal { E } } ^ { ( 5 , 0 ) } ( \infty ) } & { { } = \frac { 4 } { 3 } \Big ( \frac { 1 9 } { 3 0 } - 2 \ln \alpha - \ln k _ { 0 } ( \mathrm { H } ) \Big ) \frac { 2 } { \pi } } \end{array}
M _ { c } = \sqrt { \frac { d } { \kappa } } \left( \begin{array} { c c } { \frac { \left( E - i \bar { \gamma } \right) ^ { 2 } } { w ^ { 2 } } - \kappa } & { \frac { - ( E - i \bar { \gamma } ) } { w } } \\ { \frac { E - i \bar { \gamma } } { w } } & { - 1 } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \Tilde { \rho } _ { a e } } & { = \rho _ { a e } e ^ { - i \omega _ { C } t } } \\ { \Tilde { \rho } _ { b e } } & { = \rho _ { b e } e ^ { - i \omega _ { P } t } } \\ { \Tilde { \rho } _ { c e } } & { = \rho _ { c e } e ^ { i \omega _ { C } t } } \\ { \Tilde { \rho } _ { a b } } & { = \rho _ { a b } e ^ { - i ( \omega _ { C } - \omega _ { P } ) t } } \\ { \Tilde { \rho } _ { b c } } & { = \rho _ { b c } e ^ { i ( \omega _ { C } - \omega _ { P } ) t } . } \end{array}
M _ { d i a g } ^ { S U ( 2 \mathrm { ~ } i n \mathrm { ~ } 3 ) } = \left( \begin{array} { c c c } { { e ^ { i \delta _ { 2 7 } ^ { 3 / 2 } } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { e ^ { i \delta _ { 2 7 } ^ { 1 / 2 } } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { e ^ { i \delta _ { 8 } ^ { 1 / 2 } } } } \end{array} \right)
\begin{array} { c } { { \phi ^ { + } = ( e ^ { c } , \mu ^ { c } , \tau ^ { c } , - i \lambda _ { W } ^ { + } , - i \lambda _ { V } ^ { + } , \tilde { \eta } _ { 1 } ^ { \prime + } , \tilde { \eta } _ { 2 } ^ { + } , \tilde { \rho } ^ { + } , \tilde { \chi } ^ { \prime + } ) ^ { T } , } } \\ { { \phi ^ { - } = ( e , \mu , \tau , - i \lambda _ { W } ^ { - } , - i \lambda _ { V } ^ { - } , \tilde { \eta } _ { 1 } ^ { - } , \tilde { \eta } _ { 2 } ^ { \prime - } , \tilde { \rho } ^ { \prime - } , \tilde { \chi } ^ { - } ) ^ { T } , } } \end{array}
\boldsymbol { i } \hbar \frac { \partial \vec { \psi } } { \partial t } = \left( - \frac { { \hbar } ^ { 2 } } { 2 } \nabla ^ { 2 } + \frac { p } { \rho _ { 0 } } + V _ { F } ( \boldsymbol { x } ) - \frac { { \hbar } ^ { 2 } } { 8 \rho _ { 0 } ^ { 2 } } | \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { s } | ^ { 2 } \right) \boldsymbol { \psi } .
H = \frac { 1 } { l _ { 4 } } \frac { \sqrt { 1 - 4 \omega _ { 4 } M / l _ { 4 } ^ { 2 } } \sinh ( 2 \tau / l _ { 4 } ) } { 1 - \sqrt { 1 - 4 \omega _ { 4 } M / l _ { 4 } ^ { 2 } } \cosh ( 2 \tau / l _ { 4 } ) } ,
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { ( \theta , \alpha ) \in K } \| \widehat { W } _ { g } ( \theta , \alpha ) ( - \Delta + H _ { \mathrm { f } } + 1 ) ^ { - 1 } \| \leq C _ { K } | g | } \\ & { \operatorname* { s u p } _ { ( \theta , \alpha ) \in K } \| ( - \Delta + H _ { \mathrm { f } } + 1 ) ^ { - 1 } \widehat { W } _ { g } ( \theta , \alpha ) \| \leq C _ { K } | g | } \end{array}
\begin{array} { r } { \xi _ { n ^ { \prime } \bar { 1 } } ( \vec { r } ) = \psi _ { n ^ { \prime } \bar { 1 } } ( \vec { r } ) - 2 \, \sum _ { n } \, S _ { n 1 , n ^ { \prime } \bar { 1 } } ^ { + } \, \psi _ { n 1 } ( \vec { r } ) \quad , } \end{array}
\begin{array} { r } { { \frac { \partial g _ { n } } { \partial \phi } } = \mathrm { ~ r ~ e ~ a ~ l ~ } ( - 4 { \bf G } _ { n } ^ { H } \mathrm { ~ d ~ i ~ a ~ g ~ } ( c o n j ( { { \bf A } _ { n } } e ^ { j \phi } ) ) { { \bf A } _ { n } } \mathrm { ~ d ~ i ~ a ~ g ~ } ( j e ^ { j \phi } ) ) . } \end{array}
T _ { a } ( x ) = \cos \left( { \frac { \pi a } { 2 } } \right) + a \sum _ { j = 1 } { \frac { ( 2 x ) ^ { j } } { 2 j } } \cos \left( \, { \frac { \, \pi \, ( a - j ) \, } { 2 } } \, \right) { \binom { \frac { \, a + j - 2 \, } { 2 } } { j - 1 } }
x \, \frac { d ^ { 2 } } { d x ^ { 2 } } \, f _ { k } ( x ) \, + \, \left[ \left( 2 - \frac 1 k \right) x + 1 \right] \, \frac d { d x } f _ { k } ( x ) \, + \, \left( 1 - \frac 1 k \right) \left( x + 1 \right) \, f _ { k } ( x ) = \, f _ { k - 1 } ( x ) \, ,
\begin{array} { r l r } { Z } & { = \frac { \partial } { \partial x } F ( x , z , w ) \in \mathbb { R } ^ { s \times n } \; , } \\ { M } & { = \frac { \partial } { \partial z } F ( x , z , w ) \in \mathbb { R } ^ { s \times s } } & { \textrm { s t r i c t l y l o w e r t r i a n g u l a r } \; , } \\ { L } & { = \frac { \partial } { \partial w } F ( x , z , w ) \in \mathbb { R } ^ { s \times s } } & { \textrm { s t r i c t l y l o w e r t r i a n g u l a r } \; , } \\ { a } & { = \frac { \partial } { \partial x } \varphi ( x , z ) \in \mathbb { R } ^ { n } \; , } & { b = \frac { \partial } { \partial z } \varphi ( x , z ) \in \mathbb { R } ^ { s } \; . } \end{array}
\delta R _ { M N } ( h ) = - { \frac { 1 } { 2 } } ( \bar { \nabla } _ { M } \bar { \nabla } _ { N } h _ { ~ ~ P } ^ { P } + \bar { \nabla } ^ { P } \bar { \nabla } _ { P } h _ { M N } - \bar { \nabla } ^ { P } \bar { \nabla } _ { N } h _ { M P } - \bar { \nabla } ^ { P } \bar { \nabla } _ { M } h _ { N P } ) ,
j ^ { - \ell } \left[ \widehat { H } _ { \ell } ^ { ( 2 ) } ( k L ) + j \widehat { H } _ { \ell } ^ { ( 2 ) \prime } ( k L ) \right] b _ { \ell } ( k ) = \frac { 2 e ^ { - j k L } } { j k L } c _ { \ell } ( k )
S _ { r } ^ { \alpha } = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \left( \begin{array} { l l } { { f _ { I } ^ { \Lambda } + \mathrm { i } h _ { \Lambda I } } } & { { \bar { f } _ { I } ^ { \Lambda } + \mathrm { i } \bar { h } _ { \Lambda I } } } \\ { { f _ { I } ^ { \Lambda } - \mathrm { i } h _ { \Lambda I } } } & { { \bar { f } _ { I } ^ { \Lambda } - \mathrm { i } \bar { h } _ { \Lambda I } } } \end{array} \right)
{ J _ { 5 } ^ { \mu } } = - \sum _ { r = 0 , 2 , . . . } { \tilde { \overline { { \Psi } } } } _ { L _ { r } } \gamma ^ { \mu } \tilde { \Psi } _ { L _ { r } } + \sum _ { s = 1 , 3 , . . . } { \tilde { \overline { { \Phi } } } } _ { L _ { s } } \sigma ^ { 3 } \gamma ^ { \mu } \tilde { \Phi } _ { L _ { s } } .
{ \left\lVert { D ^ { i _ { 1 } } Y _ { r } \hat { \otimes } D ^ { i _ { 2 } } Y _ { r } \hat { \otimes } \cdots \hat { \otimes } D ^ { i _ { \theta } } Y _ { r } } \right\rVert } _ { \infty } \preceq { \left\lVert { \boldsymbol { \hat { X } } _ { t } } \right\rVert } _ { p - v a r ; [ 0 , 1 ] } ^ { \theta } \Gamma ( i _ { 1 } ) \Gamma ( i _ { 2 } ) \cdots \Gamma ( i _ { \theta } ) \exp ( \theta \Xi ) .
\begin{array} { r } { I \dot { \boldsymbol \Omega } = [ I { \boldsymbol \Omega } , { \boldsymbol \Omega } ] + b [ { \bf K } , { \bf z } ( 0 ) ] , } \\ { \dot { \bf K } = - [ { \boldsymbol \Omega } , { \bf K } ] , \qquad \qquad } \end{array}
J = A ^ { * } T ^ { 3 } \exp \left( - \frac { \bar { \phi } _ { B } - \frac { \delta _ { P } ^ { 2 } } { 2 k _ { B } T } } { k _ { B } T } \right) [ \exp \left( \frac { q V } { \eta k _ { B } T } - 1 \right) ]
\begin{array} { r l } { S ( g ) } & { \approx K _ { S } ( - 2 . 6 g \bar { g } _ { 0 } + 1 2 . 9 g \bar { g } _ { 1 } - 6 . 9 g \bar { g } _ { 2 } ) e \cdot \mathrm { f m } ^ { 3 } \, , } \\ { S ( \bar { \theta } ) } & { \approx - K _ { S } \bar { \theta } \ e \cdot \mathrm { f m } ^ { 3 } \, , } \\ { S ( \tilde { d } ) } & { \approx 1 0 ^ { 4 } K _ { S } ( 0 . 5 0 \tilde { d } _ { u } - 0 . 5 4 \tilde { d } _ { d } ) \ e \cdot \mathrm { f m } ^ { 2 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { p _ { \mathrm { t o t } } ^ { r } = - \rho _ { \Lambda } - 4 \int _ { r } ^ { \infty } \d u \frac { \rho _ { E } ( u ) } { u } , \quad p _ { \mathrm { t o t } } ^ { \perp } = - \rho _ { \Lambda } + 2 \rho _ { E } - 4 \int _ { r } ^ { \infty } \d u \frac { \rho _ { E } ( u ) } { u } . } \end{array}
\sqrt { \frac { 2 5 } { 4 } + 4 \kappa ^ { 2 } \tilde { \omega } _ { m , \pm } ^ { 2 } } = \frac { \left| 8 \left( m + \frac 1 2 \right) \pm \sqrt { 2 5 + 4 \left( 2 9 - 4 \left( m + \frac 1 2 \right) ^ { 2 } \right) \kappa ^ { 2 } + 6 4 ( \kappa ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \right| } { 2 ( 1 + 4 \kappa ^ { 2 } ) } .
\frac { \partial ^ { 2 } f _ { N T S } ( z ; \theta ) } { \partial \theta \partial \theta ^ { \prime } } = \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \theta \partial \theta ^ { \prime } } \left( f _ { N } ( z ; \mu + \beta y , y ) \mathrm { e } ^ { - \lambda y - \lambda ^ { \alpha } \delta \Gamma ( - \alpha ) } f _ { S } ( y ; \alpha , \delta ) \right) \mathrm { d } y .
\mathrm { ~ E ~ C ~ A ~ P ~ E ~ } = \left( \frac { 1 - e ^ { - \varepsilon H } } { \varepsilon H } \right) \mathrm { ~ C ~ A ~ P ~ E ~ } - \left( 1 - \frac { 1 - e ^ { - \varepsilon H } } { \varepsilon H } \right) \mathrm { ~ N ~ C ~ A ~ P ~ E ~ }
\Lambda ^ { \dagger } \rho \Lambda = \left( P \, e ^ { i \int ^ { t } d t ^ { \prime } A _ { 0 } ( t ^ { \prime } ) } \right) ^ { \dagger } \rho \left( P \, e ^ { i \int ^ { t } d t ^ { \prime } A _ { 0 } ( t ^ { \prime } ) } \right)
\begin{array} { r l r } { V _ { 5 } } & { { } = } & { \sum _ { m \neq n , 0 } g _ { m 0 } \langle \hat { e } _ { 0 } \hat { \sigma } _ { n } ^ { - } \hat { \sigma } _ { m } ^ { - } \rangle } \\ { V _ { 6 } } & { { } = } & { \sum _ { m \neq n , 0 } g _ { m 0 } \langle \hat { \sigma } _ { n } ^ { - } \hat { \sigma } _ { m } ^ { - } \rangle = { \cal C } _ { n } ^ { - } } \\ { V _ { 7 } } & { { } = } & { \sum _ { m \neq n , 0 } g _ { m n } \langle \hat { \sigma } _ { 0 } ^ { - } \hat { e } _ { n } \hat { \sigma } _ { m } ^ { - } \rangle } \\ { V _ { 8 } } & { { } = } & { \sum _ { m \neq n , 0 } g _ { m n } \langle \hat { \sigma } _ { 0 } ^ { - } \hat { \sigma } _ { m } ^ { - } \rangle = { \cal C } _ { - n } ^ { - } } \end{array}
\operatorname { C h } \left( \operatorname { T o r } _ { i } ^ { A ^ { [ n ] } } ( A _ { + } ^ { \alpha } , k ) \right) = \sum _ { \substack { \beta ^ { 1 } , \dots , \beta ^ { n } \, | \beta ^ { 1 } | = \cdots = | \beta ^ { n } | = i \, \beta ^ { 1 } \wedge \cdots \wedge \beta ^ { n } = 1 ^ { i } } } s _ { \underline { { \beta } } \cdot \alpha } ( \underline { { \mathbf { x } } } ) .
\left\{ \begin{array} { r l r } { d \phi _ { L } ( t , x ) } & { = \nabla \cdot V ^ { \prime } \left( \nabla \phi _ { L } \right) ( t , x ) + \sqrt { 2 } X _ { n } ( x ) + \sqrt { 2 } d W _ { n } ( t , x ) } & { ~ ~ \mathrm { f o r } ~ ~ ( t , x ) \in ( n , n + 1 ) \times \mathbb { T } _ { L } , } \\ { \phi _ { L } ( 0 , x ) } & { = \phi ( x ) } & { \mathrm { f o r } ~ ~ x \in \mathbb { T } _ { L } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { n \geq c _ { 1 } \left( \frac { d } { \zeta ^ { 2 ( 1 - 1 / k ) } \alpha ^ { 2 ( 1 - 1 / k ) } } + \frac { k ^ { 2 } \alpha ^ { 2 - 2 / k } d \log d } { \zeta ^ { 2 - 4 / k } \kappa _ { 2 } ^ { 2 } } + \frac { \kappa _ { 2 } ^ { 2 } d \log d } { \alpha ^ { 2 / k } } + \frac { d + \log ( 1 / \zeta ) } { \tilde { \alpha } ^ { 2 } } \right) \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left. \operatorname { B T } \right| _ { x = x _ { L } } ^ { x = x _ { R } } = } & { \left. \left( \lambda _ { 2 } { w } _ { 2 } ^ { 2 } + \lambda _ { 3 } { w } _ { 3 } ^ { 2 } + \lambda _ { 4 } { w } _ { 4 } ^ { 2 } + \lambda _ { 5 } { w } _ { 5 } ^ { 2 } \right) \right| _ { x = x _ { R } } } \\ & { - \left. \left( \lambda _ { 2 } { w } _ { 2 } ^ { 2 } + \lambda _ { 3 } { w } _ { 3 } ^ { 2 } + \lambda _ { 4 } { w } _ { 4 } ^ { 2 } + \lambda _ { 5 } { w } _ { 5 } ^ { 2 } \right) \right| _ { x = x _ { L } } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } { \frac { \partial \mathbf { Q } _ { E } } { \partial t } } & { { } = \mathcal { H } \left( \mathbf { Q } _ { E } , \mathbf { Q } _ { I } \right) } \\ { \frac { \partial \mathbf { Q } _ { I } } { \partial t } } & { { } = \mathcal { H } \left( \mathbf { Q } _ { E } , \mathbf { Q } _ { I } \right) } \end{array} \right. ,
\left\{ \begin{array} { c } { \zeta _ { 2 \mp 2 } ^ { + } = - 2 \pi \phantom { } _ { 0 } f _ { 2 } t _ { 0 } - 2 \omega _ { e 0 } \pm 2 \omega _ { o 0 } - \phantom { } _ { 0 } \gamma _ { 2 2 \mp 2 } , } \\ { \zeta _ { 2 \mp 2 } ^ { - } = - 2 \pi \phantom { } _ { 0 } f _ { 2 } t _ { 0 } + 2 \omega _ { e 0 } \mp 2 \omega _ { o 0 } + \phantom { } _ { 0 } \gamma _ { 2 2 \mp 2 } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { t _ { n } } { | \hat { X } _ { t _ { n + 1 } } ^ { \pi } | ^ { 2 } } = } & { \mathbb { E } _ { t _ { n } } \left| \hat { X } _ { t _ { n } } ^ { \pi } + b ( t _ { n } , \hat { X } _ { t _ { n } } ^ { \pi } , \varphi _ { n } ( \hat { X } _ { t _ { n } } ^ { \pi } ) ) \Delta t _ { n } + \sigma ( t _ { n } , \hat { X } _ { t _ { n } } ^ { \pi } , \varphi _ { n } ( \hat { X } _ { t _ { n } } ^ { \pi } ) ) \Delta W _ { t _ { n } } \right. } \\ & { \left. + \int _ { E } \beta ( \hat { X } _ { t _ { n } } ^ { \pi } , \varphi _ { n } ( \hat { X } _ { t _ { n } } ^ { \pi } ) , e ) \tilde { \mu } ( d e , ( t _ { n } , t _ { n + 1 } ] ) \right| ^ { 2 } } \\ { \leq } & { \mathbb { E } _ { t _ { n } } | \hat { X } _ { t _ { n } } ^ { \pi } | ^ { 2 } + 2 \Delta t _ { n } \mathbb { E } _ { t _ { n } } \left\{ \left( b ( t _ { n } , \hat { X } _ { t _ { n } } ^ { \pi } , \varphi _ { n } ( \hat { X } _ { t _ { n } } ^ { \pi } ) ) \right) ^ { T } \hat { X } _ { t _ { n } } ^ { \pi } \right\} } \\ & { + \mathbb { E } _ { t _ { n } } \left\{ b ^ { 2 } ( t _ { n } , \hat { X } _ { t _ { n } } ^ { \pi } , \varphi _ { n } ( \hat { X } _ { t _ { n } } ^ { \pi } ) ) ( \Delta t _ { n } ) ^ { 2 } \right\} + \mathbb { E } _ { t _ { n } } \left\{ \sigma ^ { 2 } ( t _ { n } , \hat { X } _ { t _ { n } } ^ { \pi } , \varphi _ { n } ( \hat { X } _ { t _ { n } } ^ { \pi } ) ) \Delta t _ { n } \right\} } \\ & { + \int _ { E } \beta ^ { 2 } ( \hat { X } _ { t _ { n } } ^ { \pi } , \varphi _ { n } ( \hat { X } _ { t _ { n } } ^ { \pi } ) , e ) \lambda ( d e ) \Delta t _ { n } } \\ { \leq } & { [ 1 + A _ { 1 } h ] | \hat { X } _ { t _ { n } } ^ { \pi } | ^ { 2 } + A _ { 2 } h | \varphi _ { n } ( \hat { X } _ { t _ { n } } ^ { \pi } ) | ^ { 2 } + [ b _ { 0 } + \sigma _ { 0 } + \beta _ { 0 } + b _ { 0 } h ] h } \\ { \leq } & { [ 1 + A _ { 1 } h + A _ { 2 } h G ( \varphi ) ] | \hat { X } _ { t _ { n } } ^ { \pi } | ^ { 2 } + [ b _ { 0 } + \sigma _ { 0 } + \beta _ { 0 } + b _ { 0 } h + A _ { 2 } H ( \varphi ) ] h , } \end{array}
\psi \left( x , y , 0 \right) = \operatorname { t a n h } { \frac { 1 - \sqrt { \left( x - 1 . 3 5 \right) ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } { \sqrt { 2 } \delta } } + \operatorname { t a n h } { \frac { 1 - \sqrt { \left( x + 1 . 2 5 \right) ^ { 2 } + y ^ { 2 } } } { \sqrt { 2 } \delta } } + 1 .
\Tilde { \eta } _ { L } ( \mathbf { x } , t ) = \frac { 1 } { m n } \sum _ { j = - m / 2 } ^ { m / 2 - 1 } \sum _ { k = - n / 2 } ^ { n / 2 - 1 } e ^ { i ( x \mu _ { j } + y \nu _ { k } - \omega ( \mu _ { j } , \nu _ { k } ) t ) } Y _ { j + 1 , k + 1 } .
\operatorname* { m i n } _ { \tilde { \phi } \in \mathcal { V } _ { 0 } } J ( \nabla \tilde { \phi } ) , ~ ~ ~ ~ ~ J ( \nabla \tilde { \phi } ) = \int _ { \Omega } \left( \int _ { 0 } ^ { | \nabla ( \psi _ { 0 } + \tilde { \phi } ) | } \chi ( a ) ~ d a + \frac { Y } { H } | \nabla ( \psi _ { 0 } + \tilde { \phi } ) | \right) ~ d \Omega .
( \rho _ { x = 1 . 5 } , v _ { x = 1 . 5 } , T _ { x = 1 . 5 } , P _ { x = 1 . 5 } ) = ( 0 . 6 3 4 , 0 . 9 1 2 , 0 . 8 3 3 , 0 . 5 2 8 ) .
( \Delta M _ { K } ^ { 2 } ) _ { E T C } \simeq { \frac { g _ { E T C } ^ { 2 } \, \mathrm { R e } ( \theta _ { s d } ^ { 2 } ) } { 2 M _ { E T C } ^ { 2 } } } f _ { K } ^ { 2 } M _ { K } ^ { 2 }
\begin{array} { r } { \Bigg ( \left[ \begin{array} { c c } { I } & { 0 } \\ { T _ { 0 } } & { - I } \end{array} \right] + \left[ \begin{array} { c c } { L } & { S } \\ { R - H - M _ { 0 } } & { K } \end{array} \right] \Bigg ) \left[ \begin{array} { c } { \psi _ { 1 } } \\ { \psi _ { 2 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c } { \eta _ { 1 } } \\ { \eta _ { 2 } } \end{array} \right] , } \end{array}
l n \, K = - i s \lambda ^ { \prime } ( \gamma ^ { \mu } P _ { \mu } ^ { \prime } - m ) - { \frac { 1 } { s } } ( { \bar { \eta } } ^ { \prime \prime } - { \bar { \eta } } ^ { \prime } ) ( \eta ^ { \prime \prime } - \eta ^ { \prime } ) - l n \, s + \Phi \, ,
\begin{array} { r } { \frac { \partial } { \partial t } [ v _ { i } g ] = \dot { v } _ { i } g + \dot { g } v _ { i } = g e ^ { - t / { \tau _ { e c o n } } } \alpha \, O _ { n } \left[ e ^ { - \sigma t } A \right] } \end{array}
z _ { a } ^ { + } = ( A _ { a } ^ { ( + ) } ) ^ { 2 } \left[ \xi _ { a i } \operatorname { t a n h } \left( \lambda ^ { 2 } A _ { a } ^ { ( + ) } \xi _ { a i } ( \lambda _ { a } - \Lambda _ { a i } ) \right) + B _ { a } - \zeta _ { a i } \right] .
F _ { r } ^ { ( \pm ) } = \{ f _ { 1 } ^ { ( \pm ) } , \, g _ { 1 T } ^ { ( \pm ) } , \, g _ { 1 L } ^ { ( \pm ) } , \, f _ { 1 T } ^ { \perp ( \pm ) } , \, h _ { 1 } ^ { \perp ( \pm ) } , \, h _ { 1 L } ^ { \perp ( \pm ) } , \, h _ { 1 T } ^ { \perp ( \pm ) } , \, h _ { 1 T } ^ { ( \pm ) } \, \}
\partial ^ { \nu } \partial _ { \nu } F ^ { \alpha \beta } \, \ { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \ \, { \partial } ^ { 2 } F ^ { \alpha \beta } \, \ { \stackrel { \mathrm { d e f } } { = } } \ { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } { \frac { \partial ^ { 2 } F ^ { \alpha \beta } } { { \partial t } ^ { 2 } } } - \nabla ^ { 2 } F ^ { \alpha \beta } = 0 \, ,
i \frac { \partial } { \partial t } \widetilde { \psi } _ { 1 } ( k , t ) = \frac { 1 } { 2 } | k | ^ { \mu } \widetilde { \psi } _ { 1 } ( k , t ) + \gamma e ^ { i \omega t } \widetilde { \psi } _ { 2 } ( k , t ) ,
\operatorname* { m a x } F _ { \mathrm { m a x c u t } } = \operatorname* { m a x } _ { y } \sum _ { i , j } C _ { i j } \frac { 1 - y _ { i } y _ { j } } { 2 } = \operatorname* { m a x } _ { \bf y } - 0 . 5 { \bf y } ^ { T } C { \bf y } + \sum _ { i , j } C _ { i j } .
\begin{array} { r } { A ^ { \mathrm { L } , \mathrm { R } } = \frac { \omega } { 2 } \left( \alpha _ { e } ^ { \prime \prime } | \mathbf { E } | ^ { 2 } + \alpha _ { m } ^ { \prime \prime } | \mathbf { B } | ^ { 2 } \right) \mp \frac { 2 } { \varepsilon _ { 0 } } \kappa ^ { \prime \prime } \chi , } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { x _ { j , \mathrm { m i n } } } ^ { x _ { j , \mathrm { m a x } } } { \frac { \partial ^ { 2 } g _ { 1 , i } } { \partial x _ { j } \partial x _ { j } } r _ { 1 , i } } \mathrm { d } x _ { j } = \left[ \frac { \partial g _ { 1 , i } } { \partial x _ { j } } r _ { 1 , i } - g _ { 1 , i } \frac { \partial r _ { 1 , i } } { \partial x _ { j } } \right] _ { x _ { j } = x _ { j , \mathrm { m i n } } } ^ { x _ { j , \mathrm { m a x } } } + \int _ { x _ { j , \mathrm { m i n } } } ^ { x _ { j , \mathrm { m a x } } } { \frac { \partial ^ { 2 } r _ { 1 , i } } { \partial x _ { j } \partial x _ { j } } g _ { 1 , i } } \mathrm { d } x _ { j } , } \end{array}
\lambda ^ { \alpha } = - \frac { i } { 4 } { \bar { D } } ^ { 2 } L ^ { \alpha } \ , \qquad \Omega _ { \alpha \beta } = \frac { i } { 8 } { \bar { D } } ^ { 2 } D _ { ( \alpha } L _ { \beta ) } \ , \qquad \sigma = - \frac { i } { 2 4 } { \bar { D } } ^ { 2 } D ^ { \alpha } L _ { \alpha } \ .
\begin{array} { r l } { \hat { w } _ { 1 } ^ { ( k ) } } & { = - \theta _ { 1 } ^ { * } \left[ \hat { w } _ { 1 } ^ { ( k - 1 ) } \left( \sqrt { \frac { \kappa _ { 1 } } { \kappa _ { 2 } } } \left( \frac { \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } } { \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } } - 1 \right) + \sqrt { \frac { \kappa _ { 2 } } { \kappa _ { 1 } } } \left( \frac { \sigma _ { 1 } \gamma _ { 2 } } { \gamma _ { 1 } \sigma _ { 2 } } - 1 \right) \right) \right. } \\ & { \left. \kern - \nulldelimiterspace + \frac { \hat { w } _ { 2 } ^ { ( k - 1 ) } } { \sigma _ { 2 } } \left( \sqrt { \frac { \kappa _ { 3 } } { \kappa _ { 2 } } } \frac { \gamma _ { 3 } } { \sigma _ { 3 } } - \sqrt { \frac { \kappa _ { 2 } } { \kappa _ { 1 } } } \frac { \sigma _ { 1 } } { \gamma _ { 1 } } \right) - \sqrt { \frac { \kappa _ { 3 } } { \kappa _ { 2 } } } \frac { \hat { w } _ { 3 } ^ { ( k - 1 ) } } { \sigma _ { 2 } \sigma _ { 3 } } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \left( \boldsymbol { c u r l } _ { h } ~ \alpha \left( p _ { h } - p \right) , \boldsymbol { w } _ { b } \right) _ { \tau } = \left( \alpha ( p _ { h } - p ) , \mathrm { c u r l } _ { h } ~ \boldsymbol { w } _ { b } \right) _ { \tau } } } \\ & { \leqslant } & { \| \alpha \| _ { 0 , \infty } \left\| p _ { h } - p \right\| _ { 0 , \tau } \left\| \mathrm { c u r l } _ { h } ~ \boldsymbol { w } _ { b } \right\| _ { 0 , \tau } \lesssim h _ { \tau } ^ { - 1 } \| \alpha \| _ { 0 , \infty } \left\| p _ { h } - p \right\| _ { 0 , \tau } \| \boldsymbol { w } \| _ { 0 , \tau } . } \end{array}
\Theta ^ { A } = \left( \vartheta ^ { \alpha } , \widetilde { \vartheta } _ { \dot { \alpha } } \right) , \quad \partial _ { A } = \left( \partial _ { \alpha } , \widetilde { \partial } ^ { \dot { \alpha } } \right) , \quad \left\{ \partial _ { A } , \Theta ^ { B } \right\} = \delta _ { A } ^ { B }
\begin{array} { r } { p ( x ) = \frac { 1 } { 2 \sigma \sqrt { 2 \pi } } \left( \mathrm { ~ e ~ } ^ { - \frac { 1 } { 2 } ( x - \mu ) ^ { 2 } / \sigma ^ { 2 } } + \mathrm { ~ e ~ } ^ { - \frac { 1 } { 2 } ( x + \mu ) ^ { 2 } / \sigma ^ { 2 } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \cos \phi _ { \xi } = ( \boldsymbol { \mathrm { m } } \cdot \boldsymbol { \mathrm { e } } _ { x } ^ { \prime } ) , \qquad \sin \phi _ { \xi } = ( \boldsymbol { \mathrm { m } } \cdot \boldsymbol { \mathrm { e } } _ { y } ^ { \prime } ) . } \end{array}
\Gamma _ { n l o c } = - { \frac { 1 } { 8 \pi } } \int d ^ { 2 } x \sqrt { - G } \big \{ { \frac { 1 } { 1 2 } } R { \frac { 1 } { \nabla ^ { 2 } } } R - { \cal Q } { \frac { 1 } { \nabla ^ { 2 } } } R + { \cal Q } \beta ^ { ( 1 ) } { \cal Q } \big \} ,
\begin{array} { r l } { ( D _ { L ^ { 2 } , { \tiny \mathrm { c a p } } } ( \omega _ { N , d } ) ) ^ { 2 } } & { = c _ { d } \left( \int _ { \mathbb { S } ^ { d } } \int _ { \mathbb { S } ^ { d } } \| x - y \| d \sigma _ { d } ( x ) d \sigma _ { d } ( y ) - \frac { 1 } { N ^ { 2 } } \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } \| x _ { i } - x _ { j } \| \right) } \\ & { \leq c _ { d } \left( \int _ { \mathbb { S } ^ { d } } \int _ { \mathbb { S } ^ { d } } \| x - y \| d \sigma _ { d } ( x ) d \sigma _ { d } ( y ) \right) \left( 1 - \frac { 2 } { N ^ { 2 } } \sum _ { k = m } ^ { N - 1 } k \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq 2 m } \| w _ { i } ^ { ( k ) } \| _ { L ^ { \infty } ( 0 , T ; L ^ { \infty } ( 0 , \pi ) ) } \leq d ^ { k } \exp ( - A k ^ { 1 / ( 1 - \nu ) } ) \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq j \leq 2 m } \| w _ { j } ^ { ( 0 ) } \| _ { L ^ { \infty } ( 0 , T ; L ^ { \infty } ( 0 , \pi ) ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { \psi } ^ { m + 1 } ( u ) ( x ) } & { = \operatorname* { m a x } _ { y \in T ^ { - 1 } ( x ) } \bigl \{ \psi ( y ) + \operatorname* { m a x } _ { z \in T ^ { - m } ( y ) } \{ S _ { m } \psi ( z ) + u ( z ) \} \bigr \} } \\ & { = \operatorname* { m a x } _ { y \in T ^ { - 1 } ( x ) } \bigl \{ \operatorname* { m a x } _ { z \in T ^ { - m } ( y ) } \{ S _ { m + 1 } \psi ( z ) + u ( z ) \} \bigr \} } \\ & { = \operatorname* { m a x } _ { z \in T ^ { - ( m + 1 ) } ( x ) } \{ S _ { m + 1 } \psi ( z ) + u ( z ) \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \big \vert \langle G _ { 1 } A _ { 1 } G _ { 2 } A _ { 2 } \rangle \big \vert } & { \le \frac { 1 } { 2 N } \sum _ { | i | , | j | \le N } \frac { \vert \langle \boldsymbol { w } _ { i } , A _ { 1 } \boldsymbol { w } _ { j } \rangle \vert \, \vert \langle \boldsymbol { w } _ { j } , A _ { 2 } \boldsymbol { w } _ { i } \rangle \vert } { \vert \lambda _ { i } - w _ { 1 } \vert \, \vert \lambda _ { j } - w _ { 2 } \vert } } \\ & { \le \left( \frac { 1 } { 2 N } \sum _ { | i | , | j | \le N } \frac { \vert \langle \boldsymbol { w } _ { i } , A _ { 1 } \boldsymbol { w } _ { j } \rangle \vert ^ { 2 } } { \vert \lambda _ { i } - w _ { 1 } \vert \, \vert \lambda _ { j } - w _ { 2 } \vert } \right) ^ { 1 / 2 } \left( \frac { 1 } { 2 N } \sum _ { | i | , | j | \le N } \frac { \vert \langle \boldsymbol { w } _ { j } , A _ { 2 } \boldsymbol { w } _ { i } \rangle \vert ^ { 2 } } { \vert \lambda _ { i } - w _ { 1 } \vert \, \vert \lambda _ { j } - w _ { 2 } \vert } \right) ^ { 1 / 2 } } \\ & { \le \langle | G _ { 1 } | A _ { 1 } | G _ { 2 } | A _ { 1 } ^ { * } \rangle ^ { 1 / 2 } \langle | G _ { 1 } | A _ { 2 } ^ { * } | G _ { 2 } | A _ { 2 } \rangle ^ { 1 / 2 } \, . } \end{array}