harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \mathcal { F } ^ { \mathsf { t } } ( x ) = \sum _ { j = 1 } ^ { J } \mathcal { F } ^ { j } ( x - 1 ) = \frac { \rho ^ { x } } { \rho - 1 } l _ { \rho } ( x ) W + \sum _ { \lambda \in \Gamma } \frac { \lambda ^ { x } } { \lambda - 1 } l _ { \lambda } ( x ) W _ { \lambda } \Big ( \sum _ { i = 1 } ^ { J } \mathrm { u } _ { \lambda } ^ { i } \Big ) + o ( \gamma ^ { x } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { \tau , y } ( r > 2 ) } & { = 0 } \\ { P _ { \tau , y } ( r = 2 ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 \, , } & { y + \tau < 1 } \\ { ( 1 - y ) ( \tau + y - 1 ) \, , } & { y + \tau \geq 1 } \end{array} \right. \, , } \\ { P _ { \tau , y } ( r = 1 ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \tau \, , } & { y + \tau < 1 } \\ { ( 1 - y ) ( 2 - \tau - y ) + y ( \tau + y - 1 ) \, , } & { y + \tau \geq 1 } \end{array} \right. \, , } \\ { P _ { \tau , y } ( r = 0 ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 - \tau \, , } & { y + \tau < 1 } \\ { y ( 2 - \tau - y ) \, , } & { y + \tau \geq 1 } \end{array} \right. \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega _ { r } } & { { } = 1 + \frac { 3 } { 2 } \hat { k } ^ { 2 } + \frac { 1 5 } { 8 } \hat { k } ^ { 4 } + \frac { 1 4 7 } { 1 6 } \hat { k } ^ { 6 } , } \\ { \gamma } & { { } = - \sqrt { \frac { \pi } { 8 } } \left( \frac { 1 } { \hat { k } ^ { 3 } } - 6 \hat { k } \right) \exp \left[ - \frac { 1 } { 2 \hat { k } ^ { 2 } } - \frac { 3 } { 2 } - 3 \hat { k } ^ { 2 } - 1 2 \hat { k } ^ { 4 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { i } ^ { ( I ) } } & { { } = A _ { i } + \frac { 1 } { 2 } B _ { j k } \partial _ { j } B _ { i k } , } \\ { A _ { i } ^ { ( I + ) } } & { { } = A _ { i } - \frac { 1 } { 2 } B _ { j k } \partial _ { j } B _ { i k } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ i ~ } \, \mathcal { I } _ { _ { S C } } \, \xi = < \hat { \mathbf { q } } _ { 1 } ^ { A _ { 1 } \dagger } , \boldsymbol { \hat { \mathcal { F } } } _ { 3 } ^ { | B _ { 1 } | ^ { 2 } A _ { 1 } } > = } \\ { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( \overline { { \hat { \eta } } } _ { 1 } ^ { A _ { 1 } \dagger } \hat { \mathcal { F } } _ { 3 _ { \mathrm { ~ d ~ y ~ n ~ } } } ^ { | B _ { 1 } | ^ { 2 } A _ { 1 } } + \overline { { \hat { \Phi } } } _ { 1 } ^ { A _ { 1 } \dagger } \hat { \mathcal { F } } _ { 3 _ { \mathrm { ~ k ~ i ~ n ~ } } } ^ { | B _ { 1 } | ^ { 2 } A _ { 1 } } \right) \, r \mathrm { ~ d ~ } r . } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ( a ) } & { \leq \mathbb { E } _ { n \in [ N ] _ { q } } \nu ( n ) + O \left( \operatorname* { m a x } _ { \chi \neq \chi _ { 0 } } \left| \mathbb { E } _ { n \in [ N ] _ { q } } \nu ( n ) \overline { { \chi } } ( n ) \right| \sum _ { \chi \pmod { q } } \left| \mathbb { E } _ { b \in B } \chi ( b ) \right| ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | C | \geq } & { | P _ { 4 } ( r ) | - 1 0 | \mathcal { E } | \cdot | P _ { 3 } ( r ) | - 2 | \mathcal { E } | ^ { 5 } \cdot | P _ { 1 } ( r ) | - | \mathcal { E } | ^ { 2 } \cdot | P _ { 2 } ( r ) | } \\ { \geq } & { \left( 0 . 1 6 | P _ { 4 } ( r ) | - 1 0 | \mathcal { E } | \cdot | P _ { 3 } ( r ) | \right) + \left( 0 . 8 2 | P _ { 4 } ( r ) | - 2 | \mathcal { E } | ^ { 5 } \cdot | P _ { 1 } ( r ) | \right) + \left( 0 . 0 1 | P _ { 4 } ( r ) | - | \mathcal { E } | ^ { 2 } \cdot | P _ { 2 } ( r ) | \right) } \\ { : = } & { I ^ { \prime \prime } + I I ^ { \prime \prime } + I I I ^ { \prime \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { T : } & { = T ( a , q , x , g ) } \\ & { = \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \lambda _ { g } ( m ) \chi ( m ) e \left( \frac { - a m } { q } \right) e ( - m x ) h ^ { * } \left( \frac { m } { N } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { \tau ( \overline { { \chi } } ) } \sum _ { \beta \bmod p } \overline { { \chi } } ( \beta ) \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \lambda _ { g } ( m ) e \left( \frac { ( \beta q - a p ) m } { p q } \right) e ( - m x ) h ^ { * } \left( \frac { m } { N } \right) . } \end{array}
\epsilon _ { R P A } ( { \bf { q } } , \omega ) = 1 + \frac { v _ { { \bf { q } } } } { V } \sum _ { { \bf { k } } } \frac { { \bar { n } } _ { { \bf { k } } + { \bf { q } } / 2 } - { \bar { n } } _ { { \bf { k } } - { \bf { q } } / 2 } } { \omega - \frac { { \bf { k . q } } } { m } }
\mathbb { E } \Big \lVert V _ { \tilde { \theta } _ { T } } \! - \! V _ { \theta _ { i } ^ { * } } \Big \rVert _ { \bar { D } } ^ { 2 } \le \tilde { \mathcal { O } } \Big ( \frac { G ^ { 2 } } { K ^ { 2 } T ^ { 2 } } \! + \! \frac { \sigma ^ { 2 } } { \nu ^ { 2 } N K T } \! + \! \frac { \sigma ^ { 2 } } { { \nu } ^ { 4 } K T ^ { 2 } } \! + \! Q ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) \Big ) ,
\rho _ { \mathrm { m i n } } [ n ^ { ( 1 ) } ] ( { \bf r } ) = \arg \operatorname* { m i n } _ { \rho } \left\{ { \cal E } ^ { ( 1 ) } \left[ \rho , n ^ { ( 1 ) } \right] \left\vert \int \rho ( { \bf r } ) = N _ { e } \right. \right\} ,
{ \bf A } = \pi e ^ { 2 \Phi _ { \infty } ^ { \prime } } \bigg [ ( { \vec { \beta } } ^ { T } L { \vec { \beta } } ) ( { \vec { \alpha } } ^ { T } L { \vec { \alpha } } ) - ( { \vec { \beta } } ^ { T } L { \vec { \alpha } } ) ^ { 2 } \bigg ] ^ { \frac { 1 } { 2 } } \ ,
\begin{array} { r l } & { \eta _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L / R } = \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial \mathbf { F } _ { i + 1 / 2 , j } } { \partial \mathbf { W } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L / R , 0 } } \Psi _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L / R } } \\ & { \beta _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L / R } = \frac { \partial \mathbf { F } _ { i + 1 / 2 , j } } { \partial \mathbf { W } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L / R , 0 } } \left( \mathbf { E } + \frac { 1 } { 2 } \Psi _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L / R } \right) } \end{array}
A ( L , \theta _ { z } ) = 2 \, R \, H \, \sin \theta _ { z } ~ \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } + 2 \, R ^ { 2 } | \cos \theta _ { z } | ~ [ \cos ^ { - 1 } x - 3 \, x \, \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } ] \; \Theta \bigl [ L _ { m a x } ( \theta _ { z } ) - L \bigr ] \; ,
\begin{array} { r l } & { \sum _ { q \in \mathcal { B } _ { k } } \mathcal { H } ^ { d - 1 } ( Z ( u ) \cap q \cap K ) } \\ & { = \sum _ { q \in \mathcal { B } _ { k } , q \neq q _ { 0 } } \mathcal { H } ^ { d - 1 } ( Z ( u ) \cap q \cap K ) + \mathcal { H } ^ { d - 1 } ( Z ( u ) \cap q _ { 0 } \cap K ) } \\ & { \le \sum _ { q \in \mathcal { B } _ { k } , q \neq q _ { 0 } } C _ { 0 } N _ { u } ^ { * * } ( q ) ^ { \beta } s ( q ) ^ { d - 1 } + C _ { 0 } ( 2 / 3 ) ^ { \beta } N _ { u } ^ { * * } ( Q ) ^ { \beta } s ( q _ { 0 } ) ^ { d - 1 } } \\ & { \le \bigg \{ \frac { 2 ^ { k ( d - 1 ) } - 1 } { 2 ^ { k ( d - 1 ) } } ( 1 + \varepsilon ) ^ { \beta k } + \frac { ( 2 / 3 ) ^ { \beta } } { 2 ^ { k ( d - 1 ) } } \bigg \} C _ { 0 } N _ { u } ^ { * * } ( Q ) ^ { \beta } S ( Q ) ^ { d - 1 } . } \end{array}
r ^ { 2 } \left[ - \nabla ^ { 2 } \Phi _ { ( s ) } ^ { \prime } + ( D - 2 ) \partial ^ { c } \Phi _ { ( s ) } ^ { \prime } \partial _ { c } \ln r + \frac { 2 ( D - 4 ) \Lambda } { ( D - 1 ) ( D - 2 ) } \Phi _ { ( s ) } ^ { \prime } \right] - ( D - 2 ) K \Phi _ { ( s ) } ^ { \prime } = C r ,
\Omega = { \frac { \mathrm { V } } { \mathrm { A } } } = { \frac { 1 } { \mathrm { S } } } = { \frac { \mathrm { W } } { { \mathrm { A } } ^ { 2 } } } = { \frac { { \mathrm { V } } ^ { 2 } } { \mathrm { W } } } = { \frac { \mathrm { s } } { \mathrm { F } } } = { \frac { \mathrm { H } } { \mathrm { s } } } = { \frac { { \mathrm { J } } { \cdot } { \mathrm { s } } } { { \mathrm { C } } ^ { 2 } } } = { \frac { { \mathrm { k g } } { \cdot } { \mathrm { m } } ^ { 2 } } { { \mathrm { s } } { \cdot } { \mathrm { C } } ^ { 2 } } } = { \frac { \mathrm { J } } { { \mathrm { s } } { \cdot } { \mathrm { A } } ^ { 2 } } } = { \frac { { \mathrm { k g } } { \cdot } { \mathrm { m } } ^ { 2 } } { { \mathrm { s } } ^ { 3 } { \cdot } { \mathrm { A } } ^ { 2 } } }
f l i p ( A ) = \left[ \begin{array} { c c c c } { a _ { 1 , 4 } } & { a _ { 1 , 3 } } & { a _ { 1 , 2 } } & { a _ { 1 , 1 } } \\ { a _ { 2 , 4 } } & { a _ { 2 , 3 } } & { a _ { 2 , 2 } } & { a _ { 2 , 1 } } \\ { a _ { 3 , 4 } } & { a _ { 3 , 3 } } & { a _ { 3 , 2 } } & { a _ { 3 , 1 } } \end{array} \right] \mathrm { , ~ } A ^ { \circ } = \left[ \begin{array} { c c c } { a _ { 1 , 4 } } & { a _ { 2 , 4 } } & { a _ { 3 , 4 } } \\ { a _ { 1 , 3 } } & { a _ { 2 , 3 } } & { a _ { 3 , 3 } } \\ { a _ { 1 , 2 } } & { a _ { 2 , 2 } } & { a _ { 3 , 2 } } \\ { a _ { 1 , 1 } } & { a _ { 2 , 1 } } & { a _ { 3 , 1 } } \end{array} \right] .
\frac { 1 } { A ( q ^ { 2 } ) } = 1 - \frac { e ^ { 2 } ( \xi - \xi _ { 0 } ) } { 1 6 q } + \left( \frac { e ^ { 2 } ( \xi - \xi _ { 0 } ) } { 8 \pi q } \right) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 3 } \left( \frac { e ^ { 2 } ( \xi - \xi _ { o } ) } { 8 \pi q } \right) ^ { 4 } + \ldots
\begin{array} { r l } { \langle \lambda _ { \gamma } , S u _ { \gamma } - S u _ { * } \rangle _ { \mathcal { Y } ^ { * } , \mathcal { Y } } } & { \ge \gamma \left[ 0 . 5 \| ( S u _ { \gamma } - y _ { \operatorname* { m a x } } ) _ { + } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega , D ) } ^ { 2 } - 0 . 5 | D | P \frac { 1 } { c } \varepsilon ^ { 3 } \right] . } \end{array}
\mathbf { P } = \left\{ \begin{array} { l l } { \left( \begin{array} { r r r } { 1 } & { 2 } & { 1 } \\ { 2 } & { 4 } & { 2 } \\ { 1 } & { 2 } & { 1 } \end{array} \right) \mathrm { ~ , ~ i ~ f ~ } k _ { l } \in \{ - 1 , 1 \} } \\ { \left( \begin{array} { r r r } { 2 } & { 4 } & { 2 } \\ { 4 } & { 8 } & { 4 } \\ { 2 } & { 4 } & { 2 } \end{array} \right) \mathrm { ~ , ~ i ~ f ~ } k _ { l } = 0 } \end{array} \right.
\left\langle T _ { 0 0 } ( x ) \right\rangle = \frac { 1 } { 4 } \sum _ { n } \omega _ { n } \left| \phi _ { n } \right| ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } \sum _ { n } \frac { 1 } { \omega _ { n } } \left| \vec { \nabla } \phi _ { n } \right| ^ { 2 }
\begin{array} { r l r } & { } & { K _ { 2 } ( G , \pi ^ { \leq s } ) - K _ { 2 } ( G , \pi ^ { < s } ) } \\ & { = } & { \frac { 1 } { n ( \pi ^ { < s } , \gamma , G ) + 1 } \left( \left( \sum _ { t < s : p _ { t } = \gamma , x _ { t } \in G } V ( \gamma , y _ { t } ) \right) + V ( \gamma , y _ { s } ) \right) ^ { 2 } - \frac { 1 } { n ( \pi ^ { < s } , \gamma , G ) } \left( \sum _ { t < s : p _ { t } = \gamma , x _ { t } \in G } V ( \gamma , y _ { t } ) \right) ^ { 2 } } \\ & { \leq } & { \frac { 1 } { n ( \pi ^ { < s } , \gamma , G ) } \left( \left( \sum _ { t < s : p _ { t } = \gamma , x _ { t } \in G } V ( \gamma , y _ { t } ) \right) + V ( \gamma , y _ { s } ) \right) ^ { 2 } - \frac { 1 } { n ( \pi ^ { < s } , \gamma , G ) } \left( \sum _ { t < s : p _ { t } = \gamma , x _ { t } \in G } V ( \gamma , y _ { t } ) \right) ^ { 2 } } \\ & { \leq } & { \frac { 1 } { n ( \pi ^ { < s } , \gamma , G ) } \left( 2 V ( \gamma , y _ { s } ) R ( \pi ^ { < s } , G , \gamma ) + V ( \gamma , y _ { s } ) ^ { 2 } \right) . } \end{array}
{ \bf w } _ { \mathrm { m d r p } } = \frac { D ^ { - 1 } { \bf 1 } _ { n } } { { \bf 1 } _ { n } ^ { \top } D ^ { - 1 } { \bf 1 } _ { n } } = \left( 1 - \frac { { \bf 1 } _ { n } ^ { \top } V ^ { - 1 } \eta } { 2 } \right) \frac { V ^ { - 1 } { \bf 1 } _ { n } } { { \bf 1 } _ { n } ^ { \top } V ^ { - 1 } { \bf 1 } _ { n } } + \frac 1 2 V ^ { - 1 } \eta .
\begin{array} { r l } { \mathsf { P } _ { U } \left\{ \mathsf { P } _ { \mathcal { S } } \left\{ U \in [ - | \delta | , \, | \delta | ] + \frac { \, v ^ { \star } } { 2 } \right\} \le \alpha \right\} } & { = \mathsf { P } _ { U } \left\{ \mathsf { P } _ { \mathcal { S } } \left\{ | \delta | \ge \left| U - \frac { v ^ { \star } } { 2 } \right| \right\} \le \alpha \right\} } \\ & { = \mathsf { P } _ { U } \left\{ 2 \left[ 1 - \Phi \left( \sqrt { 2 } \left| U - \frac { v ^ { \star } } { 2 } \right| \right) \right] \le \alpha \right\} } \\ & { = \mathsf { P } _ { U } \left\{ \sqrt { 2 } \left| U - \frac { \, v ^ { \star } } { 2 } \right| \ge \Phi ^ { - 1 } \left( 1 - \frac { \alpha } { 2 } \right) \right\} } \\ & { = 2 \left[ 1 - \left( 1 - \frac { \alpha } { 2 } \right) \right] } \\ & { = \alpha . } \end{array}
\Omega _ { j } ( x _ { n } ) \overline { { { \Omega } } } _ { i } ( x _ { m } ) = \delta _ { i , j } \frac { \delta _ { m , n } } { \Delta x _ { n } } \pm q ^ { \pm 1 } \hat { { \cal R } } _ { i k j l } ( q ) \overline { { { \Omega } } } _ { l } ( x _ { m } ) \Omega _ { k } ( x _ { n } )
\begin{array} { r l } { \Theta ( r ) } & { { } = - \frac { r ^ { 4 } } { 7 0 } \int _ { r } ^ { \infty } \frac { \rho ( \tau ) } { \tau } ~ \mathrm { d } \tau + \frac { r ^ { 2 } } { 3 0 } \int _ { r } ^ { \infty } \tau \rho ( \tau ) ~ \mathrm { d } \tau } \end{array}
\epsilon _ { { \bf u } , k } = \frac { \int _ { \Theta } { \widetilde \lambda } _ { k } ^ { 2 } \left( \theta \right) \mathrm { d } { \cal P } \left( \theta \right) } { \sum _ { i = 1 } ^ { k } \int _ { \Theta } { \widetilde \lambda } _ { i } ^ { 2 } \left( \theta \right) \mathrm { d } { \cal P } \left( \theta \right) } = \frac { { \bf { Z } } _ { k } } { \mathrm { { T r } } \left( { \bf { Z } } \right) } ,
R = 2 f ( x ) ^ { - 1 } \partial _ { x } ^ { 2 } f ( x ) = \frac { 2 b ^ { 2 } ( 3 p - 2 - p \operatorname { t a n h } ^ { 2 } ( b x ) ) } { \cosh ^ { 2 } ( b x ) ( 1 - p \, \operatorname { t a n h } ^ { 2 } ( b x ) ) ^ { 2 } } \, .
\int \operatorname { a r c c s c } ( a x ) \, d x = x \operatorname { a r c c s c } ( a x ) + { \frac { 1 } { a } } \, \operatorname { a r c t a n h } \, { \sqrt { 1 - { \frac { 1 } { a ^ { 2 } x ^ { 2 } } } } } + C
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } \theta _ { t } } { \mathrm { d } t } } & { = \int \Bigl ( \kappa ( \theta _ { t } , \theta ^ { \prime } , \rho _ { t } ) \rho _ { t } ( \theta ^ { \prime } ) P ( \theta _ { t } , \theta ^ { \prime } , \rho _ { t } ) \nabla _ { \theta ^ { \prime } } \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } ( \theta ^ { \prime } ) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad + \nabla _ { \theta ^ { \prime } } \cdot ( \kappa ( \theta _ { t } , \theta ^ { \prime } , \rho _ { t } ) P ( \theta _ { t } , \theta ^ { \prime } , \rho _ { t } ) ) \rho _ { t } ( \theta ^ { \prime } ) \Bigr ) \mathrm { d } \theta ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t + 1 ) } ~ , ~ { \boldsymbol p } _ { + } ~ \rangle = } & { \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ~ , ~ { \boldsymbol p } _ { + } ~ \rangle + \eta \cdot \langle ~ ~ \mathbb { E } _ { v \in \Omega _ { + } } \mathcal { M } ^ { ( t ) } ( v ; { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ) - \mathbb { E } _ { v \in \Omega _ { - } } \mathcal { M } ^ { ( t ) } ( v ; { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ) ~ , ~ ~ { \boldsymbol p } _ { + } ~ \rangle } \\ { = } & { \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ~ , ~ { \boldsymbol p } _ { + } ~ \rangle + \eta \cdot \langle ~ ~ \mathbb { E } _ { v \in \Omega _ { + } } \mathcal { M } ^ { ( t ) } ( v ; { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ) ~ , ~ ~ { \boldsymbol p } _ { + } ~ \rangle } \\ { = } & { \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ~ , ~ { \boldsymbol p } _ { + } ~ \rangle + \eta \cdot \langle ~ ~ \mathbb { E } _ { v \in \Omega _ { + } } \mathcal { M } ^ { ( t ) } ( v ; { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ) ~ , ~ ~ { \boldsymbol p } _ { + } ~ \rangle } \\ { \ge } & { \langle ~ { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ~ , ~ { \boldsymbol p } _ { + } ~ \rangle + \eta \| { \boldsymbol p } _ { + } \| _ { 2 } ^ { 2 } . } \end{array}
{ \frac { 1 } { 2 } } F ^ { 2 } \equiv { \frac { 1 } { 2 \cdot 4 ! } } \int _ { { \cal S } } F _ { \mu \nu \rho \sigma } F ^ { \mu \nu \rho \sigma } \sqrt { \sigma } \ d ^ { n } y = { \frac { 1 } { 2 } } F _ { 0 } ^ { 2 } \ e ^ { - n \psi ( x ) } ,
\Delta _ { n , j } = \frac { \sum _ { \Delta \boldsymbol { r } } \Big ( | C _ { n , j } ( \Delta \boldsymbol { r } ) | - \left\langle | C _ { n , j } ( \Delta \boldsymbol { r } ) | \right\rangle \Big ) \Delta \boldsymbol { r } } { \sum _ { \boldsymbol { r } } \left| O _ { n , j } ( \boldsymbol { r } ) \right| ^ { 2 } } ,
( 2 a ) ^ { - s } s \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { k } } { ( k \pi ) ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d u \, e ^ { - u } \left[ \zeta \left( s + 1 , \frac 3 2 + \frac { c } { 2 a } - \frac { i u } { 2 k \pi } \right) + \zeta \left( s + 1 , \frac 3 2 + \frac { c } { 2 a } + \frac { i u } { 2 k \pi } \right) \right] =
Z = { V _ { p + 1 } } \Gamma ( 0 ) { { ( 2 \pi { \alpha ^ { 2 } } \mathrm { T } ) } ^ { - 1 / 2 } } \int { \frac { d \tau } { \tau } } { { \left( { \frac { \mathrm { T } } { 4 \pi \tau } } \right) } ^ { ( p + 2 ) / 2 } } \exp \left( - \mathrm { T } { \mathcal { Y } ^ { 2 } } \tau \right) { { | \eta ( i \tau ) | } ^ { 1 - d } } ,
\epsilon ^ { * \rho 2 } ( k 1 , \nu ) \, \epsilon ^ { \rho 1 } ( k 2 , \nu ) = \frac { 1 } { 2 } \, ( g _ { \perp } ^ { \rho 1 \, \rho 2 } + \nu \, { \cal P } ^ { \rho 1 \, \rho 2 } ) .
I _ { a b } = \left( \begin{array} { l l l l l l l l l l } { { 1 } } & { { 3 } } & { { 7 } } & { { 1 3 } } & { { 2 2 } } & { { 3 5 } } & { { 5 3 } } & { { 7 7 } } & { { 1 0 8 } } & { { 1 4 7 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 3 } } & { { 7 } } & { { 1 3 } } & { { 2 2 } } & { { 3 5 } } & { { 5 3 } } & { { 7 7 } } & { { 1 0 8 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 3 } } & { { 7 } } & { { 1 3 } } & { { 2 2 } } & { { 3 5 } } & { { 5 3 } } & { { 7 7 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 3 } } & { { 7 } } & { { 1 3 } } & { { 2 2 } } & { { 3 5 } } & { { 5 3 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 3 } } & { { 7 } } & { { 1 3 } } & { { 2 2 } } & { { 3 5 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 3 } } & { { 7 } } & { { 1 3 } } & { { 2 2 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 3 } } & { { 7 } } & { { 1 3 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 3 } } & { { 7 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 3 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { \Sigma _ { u } ^ { q G } ( 0 ; q < 1 ) = \frac { \sigma _ { m a x } ^ { q G } } { _ 2 F _ { 1 } \left( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { q - 1 } ; \frac { 5 - 3 q } { 2 - 2 q } ; \left( \frac { \sigma _ { m i n } ^ { q G } } { \sigma _ { m i n } ^ { q G } } \right) ^ { 2 } \right) } , } \end{array}
\frac { \partial ^ { 2 } \Xi ^ { a } } { \partial B _ { c } \partial B _ { b } } = - 4 \beta _ { ( e q ) } ^ { a } \beta _ { ( e q ) } ^ { b } \beta _ { ( e q ) } ^ { c } G ^ { \prime } + 2 \left( g ^ { a b } \beta _ { ( e q ) } ^ { c } + g ^ { a c } \beta _ { ( e q ) } ^ { b } \right) G + 4 \beta _ { ( e q ) } ^ { a } g ^ { b c } F ^ { \prime }
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathcal { D } _ { u } ^ { t _ { j } , r _ { i } , \lambda _ { k } } ( y _ { r } , \rho y _ { r } ) \varphi _ { r } ( y _ { r } ) d y _ { r } \approx \frac { 1 } { N _ { s i m } } \sum _ { s = 1 } ^ { N _ { s i m } } \mathcal { D } _ { u } ^ { t _ { j } , r _ { i } , \lambda _ { k } } ( Y _ { s } ^ { r } , \rho Y _ { s } ^ { r } ) \frac { \gamma _ { r } } { c _ { r } Y _ { s } ^ { r } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { \Gamma _ { 1 } } \frac { \partial u ( \boldsymbol { x } ) } { \partial \boldsymbol { n } } u ^ { s } ( \boldsymbol { x ; y } ) d \Gamma - \int _ { \Gamma _ { 2 } } \frac { \partial u ^ { s } ( \boldsymbol { x ; y } ) } { \partial \boldsymbol { n } } u ( \boldsymbol { x } ) d \Gamma = \int _ { \Gamma _ { 1 } } \frac { \partial u ^ { s } ( \boldsymbol { x ; y } ) } { \partial \boldsymbol { n } } \bar { u } ( \boldsymbol { x } ) d \Gamma } \\ & { - \int _ { \Gamma _ { 2 } } \bar { q } u ^ { s } ( \boldsymbol { x ; y } ) d \Gamma - \int _ { \Omega } f ( \boldsymbol { x } ) u ^ { s } ( \boldsymbol { x ; y } ) d \Omega , \quad \boldsymbol { y } \in \mathbb { R } ^ { n _ { d } } \backslash ( \Omega \cup \Gamma ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { | T _ { n 3 } | } & { = \big | \sum _ { i j k } \overline { { \Omega } } _ { i k } \overline { { \Omega } } _ { j k } - \sum _ { i j k ( n o t \, d i s t . ) } \overline { { \Omega } } _ { i k } \overline { { \Omega } } _ { j k } \big | = \big | \sum _ { i j k ( n o t \, d i s t . ) } \overline { { \Omega } } _ { i k } \overline { { \Omega } } _ { j k } \big | } \\ & { \lesssim \big | \sum _ { i j } \overline { { \Omega } } _ { i i } \overline { { \Omega } } _ { j i } \big | + \big | \sum _ { i k } \overline { { \Omega } } _ { i k } ^ { 2 } \big | + \big | \sum _ { i } \overline { { \Omega } } _ { i i } ^ { 2 } \big | = 0 + o ( \alpha n ^ { 3 / 2 } ) + n = o ( \alpha n ^ { 3 / 2 } ) , } \end{array}
\langle W _ { \mathrm { S L } } \rangle = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \langle w _ { i i } \rangle = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { ( s _ { i } ^ { * } ) ^ { 2 } } { 2 W ^ { * } } = \frac { N \overline { { s ^ { * 2 } } } } { 2 W ^ { * } } = { \overline { { s ^ { * 2 } } } }
\begin{array} { r l } { { \bf A } ^ { - 1 } } & { = \left( \begin{array} { l l } { ( \boldsymbol { \Phi } ^ { T } { \bf N } \boldsymbol { \Phi } ) ^ { - 1 } } & { - ( \boldsymbol { \Phi } ^ { T } { \bf N } \boldsymbol { \Phi } ) ^ { - 1 } \boldsymbol { \Phi } ^ { T } { \bf P } _ { \phi } \boldsymbol { \chi } _ { 1 } } \\ { - ( { \bf P } _ { \phi } \boldsymbol { \chi } _ { 1 } ) ^ { T } \boldsymbol { \Phi } ( \boldsymbol { \Phi } ^ { T } { \bf N } \boldsymbol { \Phi } ) ^ { - 1 } } & { 1 + ( { \bf P } _ { \phi } \boldsymbol { \chi } _ { 1 } ) ^ { T } \boldsymbol { \Phi } ( \boldsymbol { \Phi } ^ { T } { \bf N } \boldsymbol { \Phi } ) ^ { - 1 } \boldsymbol { \Phi } ^ { T } { \bf P } _ { \phi } \boldsymbol { \chi } _ { 1 } } \end{array} \right) } \\ & { = \left( \begin{array} { l l } { \boldsymbol { \Phi } ^ { - 1 } { \bf N } ^ { - 1 } \boldsymbol { \Phi } ^ { - T } } & { - \boldsymbol { \Phi } ^ { - 1 } { \bf N } ^ { - 1 } { \bf P } _ { \phi } \boldsymbol { \chi } _ { 1 } } \\ { - ( { \bf P } _ { \phi } \boldsymbol { \chi } _ { 1 } ) ^ { T } { \bf N } ^ { - 1 } \boldsymbol { \Phi } ^ { - T } } & { 1 + ( { \bf P } _ { \phi } \boldsymbol { \chi } _ { 1 } ) ^ { T } { \bf N } ^ { - 1 } { \bf P } _ { \phi } \boldsymbol { \chi } _ { 1 } } \end{array} \right) } \\ & { = \frac { 1 } { J } \left( \begin{array} { l l } { J \boldsymbol { \Phi } ^ { - 1 } { \bf N } ^ { - 1 } \boldsymbol { \Phi } ^ { - T } } & { - \boldsymbol { \Phi } ^ { - 1 } { \bf P } _ { \phi } \boldsymbol { \chi } _ { 1 } } \\ { - ( { \bf P } _ { \phi } \boldsymbol { \chi } _ { 1 } ) ^ { T } \boldsymbol { \Phi } ^ { - T } } & { J + | { \bf P } _ { \phi } \boldsymbol { \chi } _ { 1 } | ^ { 2 } } \end{array} \right) } \\ & { = \frac { 1 } { J } \left( \begin{array} { l l } { J \boldsymbol { \Phi } ^ { - 1 } { \bf N } ^ { - 1 } \boldsymbol { \Phi } ^ { - T } } & { - \boldsymbol { \Phi } ^ { - 1 } { \bf P } _ { \phi } \boldsymbol { \chi } _ { 1 } } \\ { - ( { \bf P } _ { \phi } \boldsymbol { \chi } _ { 1 } ) ^ { T } \boldsymbol { \Phi } ^ { - T } } & { 1 } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { D } _ { 1 } ^ { 1 } ( t _ { 0 } ) = } & { \sum _ { \alpha \in \mathbb { N } ^ { k _ { 0 } } \times \{ 1 \} } \left( \frac { i \lambda } { \hbar } \right) ^ { | \alpha | } \int _ { [ 0 , t _ { 0 } ] ^ { | \alpha | } } \boldsymbol { 1 } _ { [ 0 , t ] _ { \leq } ^ { k } } ( s _ { k , \beta _ { k } } , \dots , s _ { 1 , \beta _ { 1 } } ) U _ { \hbar , \lambda } ( - s _ { k , \beta _ { k } } ) U _ { \hbar , 0 } ( s _ { k , \beta _ { k } } ) } \\ & { \phantom { \sum _ { \alpha \in \mathbb { N } ^ { k _ { 0 } } \times \{ 1 \} } } \times \Big [ \prod _ { m = 1 } ^ { k } \boldsymbol { 1 } _ { [ 0 , s _ { m - 1 , \beta _ { m - 1 } } - s _ { m , \beta _ { m } } ] } \big ( \sum _ { i = \beta _ { m - 1 } + 1 } ^ { \beta _ { m } - 1 } s _ { m , i } \big ) \Big \{ \prod _ { i = \beta _ { m - 1 } + 1 } ^ { \beta _ { m } } U _ { \hbar , 0 } ( - s _ { m , \beta _ { i } } ) ) V _ { \hbar , x _ { m } } \Big \} } \\ & { \phantom { \sum _ { \alpha \in \mathbb { N } ^ { k _ { 0 } } \times \{ 1 \} } } \times \Big \{ \prod _ { i = \beta _ { m - 1 } + 1 } ^ { \beta _ { m } } U _ { \hbar , 0 } ( s _ { m , i } ) ) \Big \} \Big ] \, \prod _ { m = 1 } ^ { k } d \boldsymbol { s } _ { m , ( \beta _ { m - 1 } + 1 , \beta _ { m } ) } U _ { \hbar , 0 } ( - t _ { 0 } ) } \\ { = } & { \mathcal { E } _ { 0 , 0 } ^ { k _ { 0 } } ( \boldsymbol { x } , t _ { 0 } ; \hbar ) , } \end{array}