harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \xi _ { n } ^ { F } = U _ { n } ^ { - 1 } ( R _ { 0 } ^ { n } ) - \int _ { 0 } ^ { T } \mathcal { H } _ { n } ^ { 0 } ( X _ { 0 } , z ( t ) ) + \mathcal { H } _ { n } ^ { \mathrm { m } } ( z ( t ) ) + \mathcal { H } _ { n } ^ { \mathrm { v } } ( \gamma ( t ) ) d t \; , } \\ & { \xi _ { n } ^ { V } = \frac 1 2 \int _ { 0 } ^ { T } \mathrm { T r } \left[ ( \gamma ^ { n } ( t ) + \eta _ { n } z ^ { n } ( t ) ( z ^ { n } ( t ) ) ^ { \top } ) d \langle X \rangle _ { t } \right] + \int _ { 0 } ^ { T } ( X _ { t } - X _ { 0 } ) \cdot \left( - \dot { z } ^ { n } ( t ) + c _ { n } ^ { 0 } - A _ { 0 } z ^ { n } ( t ) \right) d t + z ^ { n } ( T ) \cdot \left( X _ { T } - X _ { 0 } \right) \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d ( T _ { * } \nu _ { x _ { 0 } } ) ( z ) } & { = T _ { * } [ ( 1 + h ( x _ { 0 } , z ) ) d \bar { \nu } _ { x _ { 0 } } ^ { \varepsilon } ( z ) ] } \\ & { = ( 1 + h ( x _ { 0 } , T ^ { - 1 } z ) ) d ( T _ { * } \bar { \nu } _ { x _ { 0 } } ^ { \varepsilon } ) ( z ) } \\ & { = ( 1 + h ( y , z ) + O ( \delta \varepsilon ^ { 2 } ) ) d ( T _ { * } \bar { \nu } _ { x _ { 0 } } ^ { \varepsilon } ) ( z ) } \\ & { = ( 1 + h ( y , z ) + O ( \delta \varepsilon ^ { 2 } ) ) \frac { d ( T _ { * } \bar { \nu } _ { x _ { 0 } } ^ { \varepsilon } ) } { d \bar { \nu } _ { y } ^ { \varepsilon } } ( z ) d \bar { \nu } _ { y } ^ { \varepsilon } ( z ) } \\ & { = ( 1 + h ( y , z ) + O ( \delta \varepsilon ^ { 2 } ) ) ( 1 + O ( \delta \varepsilon ^ { 2 } ) d \bar { \nu } _ { y } ^ { \varepsilon } ( z ) } \\ & { = ( 1 + h ( y , z ) + O ( \delta \varepsilon ^ { 2 } ) ) d \bar { \nu } _ { y } ^ { \varepsilon } ( z ) } \\ & { = ( 1 + O ( \delta \varepsilon ^ { 2 } ) ) d \nu _ { y } ^ { \varepsilon } ( z ) . } \end{array}
\hat { r } _ { u i } = N R _ { u i } = \sum _ { v = 1 } ^ { N } \frac { s _ { u v } ^ { \alpha } ( t ) } { \sum _ { w } s _ { u w } ^ { \alpha } ( t ) } \frac { \hat { r } _ { v i } ^ { \beta } ( t ) } { \sum _ { j } \hat { r } _ { v j } ^ { \beta } ( t ) } .
\begin{array} { r l } & { \nu _ { \tau + 1 , i + 1 } ^ { ( k ) } = \nabla f ^ { ( k ) } ( x _ { \tau + 1 , i + 1 } ^ { ( k ) } , \mathcal { \mathcal { B } } _ { \tau + 1 , i + 1 } ^ { ( k ) } ) + ( 1 - \alpha _ { \tau + 1 , i + 1 } ) ( \nu _ { \tau + 1 , i } ^ { ( k ) } - \nabla f ^ { ( k ) } ( x _ { \tau + 1 , i } ^ { ( k ) } , \mathcal { \mathcal { B } } _ { \tau + 1 , i + 1 } ^ { ( k ) } ) ) } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { \hbar \rightarrow 0 } \sum _ { k = 1 } ^ { k _ { 0 } } \mathbb { E } \bigg [ \Big \lVert \sum _ { \boldsymbol { x } \in \mathcal { X } _ { \neq } ^ { k } } \mathcal { I } _ { 0 , 0 } ^ { \gamma } ( k , \boldsymbol { x } , t ; \hbar ) \varphi - \mathcal { I } _ { \infty } ^ { \gamma } ( k , \boldsymbol { x } , t ; \hbar ) \varphi \Big \rVert _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } ^ { 2 } \bigg ] ^ { \frac { 1 } { 2 } } = 0 .
\Psi _ { E } ^ { ( - ) } = \left( \begin{array} { l } { { e ^ { i \frac { \theta } { 2 } } \sum f _ { n } e ^ { i \left( n + \frac { 1 } { 2 } \right) \theta } } } \\ { { e ^ { - i \frac { \theta } { 2 } } \sum g _ { n } e ^ { i \left( n + \frac { 1 } { 2 } \right) \theta } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \Vert S _ { 0 , t _ { k _ { 0 } + 1 } } \Vert _ { X \to X } } & { = \exp ( C _ { 1 } \sqrt \xi ) , } \\ { \Vert S _ { t _ { k } , t _ { k - 1 } } \Vert _ { X \to X } } & { = 3 \pi c ( \frac \xi { k ^ { 2 } } ) ^ { \gamma } , } \\ { \Vert S _ { t _ { 1 } , t } \Vert _ { X \to X } } & { = 2 \frac 1 { 1 - c \sqrt { \hat { \lambda } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma _ { \tau } } & { = \frac 1 6 K ^ { - 1 } M ^ { - 1 } m ^ { - 1 - \frac \delta 2 } \lVert \mathbf Q _ { T _ { 0 } + \tau - 1 } \rVert _ { 1 } } \\ & { \le \frac 1 6 K ^ { - 1 } M ^ { - 1 } m ^ { - 1 - \frac \delta 2 } \cdot 3 K M m } \\ & { = \frac 1 2 m ^ { - \frac \delta 2 } } \\ & { \le \frac 1 2 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \boldsymbol { \mathbf { u } } _ { \ell } ^ { \mathrm { n e w } } - \boldsymbol { \mathbf { u } } _ { \ell } ^ { \star } } & { = } & { \boldsymbol { \mathbf { S } } _ { \ell } ^ { \nu _ { 2 } } \left( \left( J _ { \ell } ^ { \nu _ { 1 } } ( \boldsymbol { \mathbf { u } } _ { \ell } ^ { \mathrm { o l d } } , \boldsymbol { \mathbf { b } } _ { \ell } ) - \boldsymbol { \mathbf { u } } _ { \ell } ^ { \star } \right) - \boldsymbol { \mathbf { p } } _ { \ell } \left( \boldsymbol { \mathbf { A } } _ { \ell - 1 } \right) ^ { - 1 } \boldsymbol { \mathbf { r } } _ { \ell } \boldsymbol { \mathbf { A } } _ { \ell } \left( \boldsymbol { \mathbf { S } } _ { \ell } ^ { \nu _ { 1 } } ( \boldsymbol { \mathbf { u } } _ { \ell } ^ { \mathrm { o l d } } ) - \boldsymbol { \mathbf { u } } _ { \ell } ^ { \star } ) \right) \right) } \\ & { = } & { \boldsymbol { \mathbf { S } } _ { \ell } ^ { \nu _ { 2 } } \left( \mathrm { i d } - \boldsymbol { \mathbf { p } } _ { \ell } \left( \boldsymbol { \mathbf { A } } _ { \ell - 1 } \right) ^ { - 1 } \boldsymbol { \mathbf { r } } _ { \ell } \boldsymbol { \mathbf { A } } _ { \ell } \right) \left( \boldsymbol { \mathbf { S } } _ { \ell } ^ { \nu _ { 1 } } ( \boldsymbol { \mathbf { u } } _ { \ell } ^ { \mathrm { o l d } } - \boldsymbol { \mathbf { u } } _ { \ell } ^ { \star } ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \{ \tilde { \mathcal { F } } , \tilde { H } \} ( \eta , \phi _ { \partial } , \Sigma ) = } & { { } ( - 1 ) ^ { n - 1 } \int _ { \Omega } ( \ast d \eta ) \wedge \big ( \ast \frac { \delta \tilde { H } } { \delta \eta } + d N _ { \phi } ( \frac { \delta \tilde { H } } { \delta \phi _ { \partial } } ) \big ) \wedge \big ( \ast \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \eta } + d N _ { \phi } ( \frac { \delta \tilde { \mathcal { F } } } { \delta \phi _ { \partial } } ) \big ) } \\ { : = } & { { } T _ { 1 } + T _ { 2 } + T _ { 3 } . } \end{array}
\hat { H } \hat { S } \frac { \mathrm { d } \hat { b } } { \mathrm { d } \hat { t } } = \hat { F } - \hat { Q } \hat { b } = \hat { F } - \hat { A } \bigg \lvert \hat { b } \hat { H } - \frac { \Delta \hat { p } } { \hat { \rho } _ { 0 } } \bigg \rvert ^ { 1 / 2 } \hat { b } ,
\begin{array} { r l } { \dot { p } _ { C C } = } & { \sum _ { k _ { C } = 0 } ^ { k } { \frac { 2 k _ { C } } { k N } \mathcal { P } \left( \Delta p _ { C C } = \frac { 2 k _ { C } } { k N } \right) } + \sum _ { k _ { C } = 0 } ^ { k } { \left( - \frac { 2 k _ { C } } { k N } \right) \mathcal { P } \left( \Delta p _ { C C } = - \frac { 2 k _ { C } } { k N } \right) } } \\ { = } & { ~ \frac { 2 p _ { C D } } { k N } ( 1 - w _ { R } ) [ 1 + ( k - 1 ) ( q _ { C | D } - q _ { C | C } ) ] + \mathcal { O } ( \delta ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { + } & { { } \left( \phi _ { i , j } - \phi _ { i - 1 , j } - \Psi _ { i - 1 , j } ^ { y } \right) V _ { i - 1 , j } - \left( \phi _ { i + 1 , j } - \phi _ { i , j } - \Psi _ { i , j } ^ { y } \right) V _ { i , j } = 0 , } \end{array}
\Gamma _ { i j } ^ { i } = \frac { 1 } { h _ { i } } \frac { \partial h _ { i } } { \partial u _ { j } } , \qquad \Gamma _ { i i } ^ { j } = ( 2 \delta _ { i j } - 1 ) \frac { h _ { i } } { h _ { j } ^ { 2 } } \frac { \partial h _ { i } } { \partial u _ { j } } .
\begin{array} { r l } { x ^ { ( \pm ) } ( z ) } & { { } = U _ { G } ^ { ( \pm ) } ( z ) ^ { \dag } \frac { 1 } { 2 } w ( z ) ( a _ { x } + a _ { x } ^ { \dag } ) U _ { G } ^ { ( \pm ) } ( z ) , } \\ { \frac { \partial } { \partial x } } & { { } = \frac { 1 } { w _ { 0 } } ( a _ { x } - a _ { x } ^ { \dag } ) , } \\ { ( U _ { G } ) ^ { ( \pm ) } ( z ) _ { n _ { x } ^ { \prime } , n _ { y } ^ { \prime } , n _ { x } , n _ { y } } } & { { } = e ^ { \pm i \Psi _ { G } ( z ) ( n _ { x } + n _ { y } + 1 ) } \delta _ { n _ { x } ^ { \prime } , n _ { x } } \delta _ { n _ { y } ^ { \prime } , n _ { y } } , } \end{array}
{ \hat { F } } _ { m } = \sum _ { p q s t } { ^ { 2 } F _ { m } ^ { p q ; s t } { \hat { a } } _ { p } ^ { \dagger } { \hat { a } } _ { q } ^ { \dagger } { \hat { a } } _ { t } ^ { } { \hat { a } } _ { s } ^ { } }
K ( r ) = \frac { 1 } { r } \int _ { 1 } ^ { \infty } \exp ( - 2 m r \xi ( \frac { 1 } { \xi ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 \xi ^ { 4 } } ) ( \xi ^ { 2 } - 1 ) ^ { 1 / 2 } d \xi
\begin{array} { r } { t : = \langle \tau _ { \mathrm { a r r i v a l } } - \tau _ { \mathrm { r e q u e s t } } \rangle = t _ { \mathrm { w a l k } } + t _ { \mathrm { w a i t } } + t _ { \mathrm { d r i v } } \, } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu _ { n } } & { \le \sum _ { { ( i , j ) \in [ n ] ^ { 2 } : i < j } } \operatorname* { P r } ( \tilde { { H } } _ { i } ^ { ( 1 ) } = \tilde { { H } } _ { j } ^ { ( 1 ) } ) } \\ & { \le n ^ { 2 } \operatorname* { m a x } _ { { ( i , j ) \in [ n ] ^ { 2 } : i < j } } \operatorname* { P r } ( \tilde { { H } } _ { i } ^ { ( 1 ) } = \tilde { { H } } _ { j } ^ { ( 1 ) } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { = } & { { } \int _ { \Gamma } \Big ( \tilde { e } _ { \Sigma } ^ { 2 } \wedge \big ( ( - 1 ) ^ { n - 1 } \mathrm { t r } _ { \Gamma } ( e _ { v } ^ { 1 } ) + f _ { b } ^ { 1 } \big ) + ( - 1 ) ^ { n } \mathrm { t r } _ { \Gamma } ( e _ { v } ^ { 2 } ) \wedge \big ( - \tilde { e } _ { \Sigma } ^ { 1 } + e _ { b } ^ { 1 } \big ) \Big ) = 0 . } \end{array}
{ \mathrm { M i n i m i z e } } = { \left\{ \begin{array} { l l } { f _ { 1 } \left( { \boldsymbol { x } } \right) = 1 - \exp \left[ - \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( x _ { i } - { \frac { 1 } { \sqrt { n } } } \right) ^ { 2 } \right] } \\ { f _ { 2 } \left( { \boldsymbol { x } } \right) = 1 - \exp \left[ - \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( x _ { i } + { \frac { 1 } { \sqrt { n } } } \right) ^ { 2 } \right] } \end{array} \right. }
\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( \sum _ { l = 1 } ^ { n } \frac { x ^ { l } } { l ^ { a } } \right) \left( \sum _ { m = 1 } ^ { n } \frac { y ^ { m } } { m ^ { b } } \right) \frac { z ^ { n } } { n ^ { c } } = \sum _ { \substack { l , m , n \geq 1 \, l , m \leq n ; \, \operatorname* { g c d } ( l , m , n ) = 1 } } \frac { 1 } { ( l ^ { a } m ^ { b } n ^ { c } ) } \log \left( \frac { 1 } { 1 - x ^ { l } y ^ { b } z ^ { c } } \right) .
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \, \mathrm { d } Y _ { t } = - ( k _ { \scriptscriptstyle { H K } } * \rho _ { t } ) ( Y _ { t } ) \, \mathrm { d } t + \sigma ( t , Y _ { t } ) \, \mathrm { d } B _ { t } ^ { 1 } + \nu \, \mathrm { d } W _ { t } , \quad Y _ { 0 } = X _ { 0 } ^ { 1 } , } \\ { \rho _ { t } \; \mathrm { i s \, t h e \, c o n d i t i o n a l \, d e n s i t y \, o f } \, Y _ { t } \, \mathrm { g i v e n } \, \mathcal { F } _ { t } ^ { W } , } \end{array} \right. } \end{array}
\left\langle { \bf u } \cdot { \bf f ^ { \prime } } + { \bf u } ^ { \prime } \cdot { \bf f } + { \frac { \rho } { \rho ^ { \prime } } } { \bf u } \cdot { \bf f ^ { \prime } } + { \frac { \rho ^ { \prime } } { \rho } } { \bf u } ^ { \prime } \cdot { \bf f } \right\rangle \simeq 4 \varepsilon \, .
\phi _ { S E 2 } ^ { C P V } ( x ) = - { \frac { g ^ { 2 } C _ { F } } { 2 \pi ( 1 - x ) P ^ { + } } } \phi ( x ) { \frac { 1 } { { \cal E } - \omega ( 1 - x ) - \omega ( x ) + i \epsilon } }
{ \mathrm { R e l a t i v e ~ c h a n g e } } ( x , x _ { \mathrm { r e f e r e n c e } } ) = { \frac { \mathrm { A c t u a l ~ c h a n g e } } { | x _ { \mathrm { r e f e r e n c e } } | } } = { \frac { \Delta } { | x _ { \mathrm { r e f e r e n c e } } | } } = { \frac { x - x _ { \mathrm { r e f e r e n c e } } } { | x _ { \mathrm { r e f e r e n c e } } | } } .
\begin{array} { r l } { \bar { \sigma } ^ { 2 } } & { > \hat { \sigma } _ { A _ { p } } ^ { 2 } ( p - 1 ) - \sum _ { i \in A _ { p } } \beta _ { \mathrm { l } } ( T _ { i } ( p - 1 ) ) } \\ & { \geq \sigma _ { A _ { p } } ^ { 2 } - 2 \sum _ { i \in A _ { p } } \beta _ { \mathrm { l } } ( T _ { i } ( p - 1 ) ) } \\ { \Longrightarrow \qquad } & { \Delta _ { A _ { p } } ^ { \mathrm { v } } \leq 2 \sum _ { i \in A _ { p } \setminus S ^ { \star } } \beta _ { \mathrm { l } } ( T _ { i } ( p - 1 ) ) } \end{array}
\operatorname* { m i n } _ { w , b } \qquad \frac { 1 } { N _ { r } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { r } } | \frac { d x } { d t } ( t ^ { i } ) - f ( t ^ { i } , x ( t ^ { i } ) ) | ^ { 2 } + | x ( 0 ) - x _ { 0 } | ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \exp ( - X ) \exp ( i \pi H ) } & { { } = \exp \left( { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { - 1 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } \right) \exp \left( i \pi { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) } \right) } \end{array}
\sin \left( { \frac { \pi } { 4 0 } } \right) = \sin \left( 4 . 5 ^ { \circ } \right) = { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { 2 - { \sqrt { 2 + { \sqrt { \frac { 5 + { \sqrt { 5 } } } { 2 } } } } } } }
P _ { 1 , 0 , \psi } ( R , V ) = P _ { \delta , v _ { \mathrm { ~ t ~ h ~ r ~ } } } ( R , V ) = \frac { \pi \tau _ { m } R ( 1 + v _ { \mathrm { ~ t ~ h ~ r ~ } } ^ { 2 } ) } { ( \pi \tau _ { m } R ) ^ { 2 } + ( V - v _ { \mathrm { ~ t ~ h ~ r ~ } } ) ^ { 2 } } \quad \stackrel { v _ { \mathrm { ~ t ~ h ~ r ~ } } \to \infty } { \longrightarrow } \quad \pi \tau _ { m } R \, .
p M ( \tilde { h } ^ { k _ { 1 } } ( e _ { m _ { 1 } } ^ { ( j _ { 1 } ) } ) , e _ { m _ { 2 } + \bar { m } } ^ { ( j _ { 2 } - \frac { k _ { 2 } + k _ { 3 } + i + 1 } { 2 } , \frac { k _ { 2 } + k _ { 3 } - i + 1 } { 2 } ) } ) = \sqrt { \frac { ( 2 j _ { 1 } - k _ { 1 } ) ! } { ( 2 j _ { 1 } ) ! k _ { 1 } ! } } p M ( e _ { m _ { 1 } } ^ { ( j _ { 1 } - \frac { k _ { 1 } } { 2 } , \frac { k _ { 1 } } { 2 } ) } , e _ { m _ { 2 } + \bar { m } } ^ { ( j _ { 2 } - \frac { k _ { 2 } + k _ { 3 } + i + 1 } { 2 } , \frac { k _ { 2 } + k _ { 3 } - i + 1 } { 2 } ) } )
q _ { \mathrm { L O } } ( M ) \approx \left[ \frac { q _ { 1 } p _ { 1 } A ^ { 2 } } { 2 } + q _ { 2 } A \right] \alpha _ { s } ( M ) = \frac { \alpha } { 2 \pi } \frac { \alpha _ { s } ( M ) } { 2 \pi } \left[ \frac { k _ { q } ^ { ( 0 ) } P _ { q q } ^ { ( 0 ) } } { 2 } L _ { M } ^ { 2 } + k _ { q } ^ { ( 1 ) } L _ { M } \right] ,
\int \frac { d ^ { 3 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } q ^ { \alpha } q ^ { \beta } \psi _ { 2 m } ( { \bf q } ) = e _ { m } ^ { \alpha \beta } \sqrt { \frac { 1 5 } { 8 \pi } } R _ { D } ^ { \prime \prime } ( 0 ) ,
\begin{array} { r l r } { \mathcal E = \oint _ { l } ^ { } { \vec { E } \, \cdot \, \vec { d l } } + \oint _ { l } ( \vec { v } _ { c } \times \vec { B } ) \cdot \vec { d l } } & { { } = } & { \int _ { S } \nabla \times \vec { E } \, \cdot \, \hat { n } \, d S + \oint _ { l } ( \vec { v } _ { c } \times \vec { B } ) \cdot \vec { d l } } \end{array}
\begin{array} { r } { ( \nabla ^ { 2 } c ) _ { i , j , k } \approx ( \nabla _ { h } ^ { 2 } c ) _ { i , j , k } = \frac { c _ { i - 1 , j , k } - 2 c _ { i , j , k } + c _ { i + 1 , j , k } } { \Delta x ^ { 2 } } + \frac { c _ { i , j - 1 , k } - 2 c _ { i , j , k } + c _ { i , j + 1 , k } } { \Delta y ^ { 2 } } + \frac { c _ { i , j , k - 1 } - 2 c _ { i , j , k } + c _ { i , j , k + 1 } } { \Delta z ^ { 2 } } } \end{array}
{ T } _ { f } ( s , t ) = { \beta } _ { f } ( 0 ) { \frac { \left( 1 + { e } ^ { - i \pi { \alpha } _ { f } ( t ) } \right) } { \Gamma ( { \alpha } _ { f } ( t ) ) \mathrm { s i n } \pi { \alpha } _ { f } ( t ) } } \left( { { \frac { s } { { s } _ { 0 } } } } \right) ^ { { \alpha } _ { f } ( t ) } .
\hat { z } _ { m } q ^ { m } \; = \; [ q ] _ { 0 } ^ { 1 } \qquad \mathrm { a n d } \qquad \hat { z } _ { m } \hat { z } _ { n } q ^ { m } q ^ { n } \; = \; \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } [ q q ] _ { 0 } ^ { 2 } - \sqrt { \frac { 1 } { 3 } } [ q q ] _ { 0 } ^ { 0 } .
\frac { G _ { f } } { \sqrt { 2 } } = \frac { \pi \alpha \left( 1 - \Delta g \right) ^ { 2 } } { 2 M _ { W } ^ { 2 } \left( 1 - M _ { W } ^ { 2 } / M _ { Z } ^ { 2 } \right) \left( 1 + c _ { W } ^ { 2 } \delta \rho / s _ { W } ^ { 2 } \right) } + \frac { g _ { t } ^ { 2 } } { 8 m _ { W _ { h } } ^ { 2 } } \, \, .
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( \mathcal E _ { k } ) } & { \leq \mathbb { P } \big ( \frac { 2 ( j + 1 ) s _ { k } } { t _ { k } } X > \operatorname* { m i n } _ { 1 \leq i \leq j } Y _ { i } \big ) \leq j \mathbb { P } \big ( Y _ { 1 } < 2 ( j + 1 ) \frac { s _ { k } } { t _ { k } } X \big ) } \\ & { = j \mathbb { E } \Big [ \mathbb { P } \big ( W _ { 1 } < 2 ( j + 1 ) \frac { s _ { k } } { t _ { k } } X \big ) ^ { M ( I _ { 1 } ) } \Big ] } \\ & { = j \, \mathrm { e } ^ { - \frac { \theta } { j + 1 } t _ { k } } \, \exp \big ( \frac { \theta } { j + 1 } t _ { k } \mathbb { P } \big ( W _ { 1 } < 2 ( j + 1 ) \frac { s _ { k } } { t _ { k } } X \big ) \big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \mathcal { N } } { \partial u _ { \alpha } } } & { { } = \mathcal { M } \left( \mathcal { G } ^ { \sigma } + \mathcal { G } ^ { q } \right) \left( \frac { C _ { \alpha } } { v _ { T } } \right) - \mathcal { M } \left\{ \frac { 2 q _ { \alpha } } { 5 p v _ { T } ^ { 2 } } \left( \frac { C ^ { 2 } } { 2 } - \frac { 5 } { 2 } \right) + \frac { 2 } { 5 p v _ { T } ^ { 2 } } q _ { \beta } C _ { \beta } C _ { \alpha } + \frac { \sigma _ { \alpha \beta } C _ { \beta } } { p v _ { T } } \right\} , } \\ { \frac { \partial \mathcal { N } } { \partial T } } & { { } = \mathcal { M } \left\{ \mathcal { G } ^ { \sigma } \left( \frac { C ^ { 2 } - 7 } { 2 T } \right) + \mathcal { G } ^ { q } \left( \frac { C ^ { 2 } - 9 } { 2 T } \right) \right\} - \mathcal { M } \left( \frac { q _ { \alpha } C _ { \alpha } } { p v _ { T } T } \right) . } \end{array}
\mu _ { r } = \left( \begin{array} { c c c } { 1 4 } & { 1 2 . 4 i } & { 0 } \\ { - 1 2 . 4 i } & { 1 4 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right)
\frac { ( s - M _ { Z } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { ( s - M _ { Z } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + ( M _ { Z } \Gamma ) ^ { 2 } } ~ ~ \times ~ ~ \frac { ( m _ { f \bar { f } } ^ { 2 } - M _ { Z } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { ( m _ { f \bar { f } } ^ { 2 } - M _ { Z } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + ( M _ { Z } \Gamma ) ^ { 2 } }
{ \cal C } _ { k } ( \eta ) = \frac { 1 } { \sqrt { k } } \biggl [ c _ { + } e ^ { - i k ( \eta + \eta _ { 1 } ) } + c _ { - } e ^ { i k ( \eta + \eta _ { 1 } ) } \biggr ] , ~ ~ ~ \eta > - \eta _ { 1 } ,
\begin{array} { r l } { \| u ( t + n _ { 0 } ) - P u ( t + n _ { 0 } ) \| } & { \leq \| u ( t + n _ { 0 } ) - S ( t ) u ( n _ { 0 } ) \| + \| S ( t ) u ( n _ { 0 } ) - P S ( t ) u ( n _ { 0 } ) \| } \\ & { \qquad \qquad + \| P S ( t ) u ( n _ { 0 } ) - P u ( t + n _ { 0 } ) \| } \\ & { \leq \frac { 2 } { 3 ( k + 1 ) } + \| S ( t ) u ( n _ { 0 } ) - P S ( t ) u ( n _ { 0 } ) \| . } \end{array}
\frac { V _ { L } } { N } = \{ \frac { M } { 4 \pi } - \frac { 1 } { g ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 4 \pi L } \ln ( 2 - 2 \cos ( 2 \pi \delta ) \} \sigma + O ( \sigma ^ { 3 / 2 } ) ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ( \delta \neq 0 ) .
\begin{array} { r l } { | C | \geq } & { | P _ { 4 } ( r ) | - 1 0 | \mathcal { E } | \cdot | P _ { 3 } ( r ) | - 2 | \mathcal { E } | ^ { 5 } \cdot | P _ { 1 } ( r ) | - | \mathcal { E } | ^ { 2 } \cdot | P _ { 2 } ( r ) | } \\ { \geq } & { \left( 0 . 0 1 9 1 | P _ { 4 } ( r ) | - 1 0 | \mathcal { E } | \cdot | P _ { 3 } ( r ) | \right) + \left( 0 . 9 8 | P _ { 4 } ( r ) | - 2 | \mathcal { E } | ^ { 5 } \cdot | P _ { 1 } ( r ) | \right) + \left( 0 . 0 0 0 9 | P _ { 4 } ( r ) | - | \mathcal { E } | ^ { 2 } \cdot | P _ { 2 } ( r ) | \right) } \\ { : = } & { I ^ { \prime \prime \prime } + I I ^ { \prime \prime \prime } + I I I ^ { \prime \prime \prime } . } \end{array}
\hat { \mathcal { H } } = - \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { t _ { x } } & { 0 } & { t _ { y } } \\ { t _ { x } } & { 0 } & { t _ { y } } & { 0 } \\ { 0 } & { t _ { y } } & { 0 } & { t _ { x } } \\ { t _ { y } } & { 0 } & { t _ { x } } & { 0 } \end{array} \right) \mathrm { ~ . ~ }
\left[ \! \! { \begin{array} { r } { 3 } \\ { - 5 } \\ { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} } \right] , \; \left[ \! \! { \begin{array} { r } { - 2 } \\ { 1 } \\ { 0 } \\ { - 7 } \\ { 1 } \\ { 0 } \end{array} } \right] , \; \left[ \! \! { \begin{array} { r } { 8 } \\ { - 4 } \\ { 0 } \\ { 9 } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array} } \right]
\left[ e ^ { + 2 \sqrt { \pi } \sqrt { \frac { \pi } { \pi + g } } \big ( \delta ( x ) , C _ { m _ { d } } \alpha \big ) + i \theta } \; + \; e ^ { - 2 \sqrt { \pi } \sqrt { \frac { \pi } { \pi + g } } \big ( \delta ( x ) , C _ { m _ { d } } \alpha \big ) - i \theta } \right] \; .
\begin{array} { r l } { \widetilde { \Phi } _ { 2 } { ( \chi , s ) } } & { = \sum _ { h \leq Y _ { j } } \frac { \psi _ { 2 } ( h ) \chi ( h ) } { | h | ^ { s } } + \sum _ { Y _ { j } < h \leq T } \frac { \psi _ { 2 } ( h ) \chi ( h ) } { | h | ^ { s } } } \\ & { : = \widetilde { \Phi } _ { 2 j } ^ { ( 1 ) } { ( \chi , s ) } + \widetilde { \Phi } _ { 2 j } ^ { ( 2 ) } { ( \chi , s ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \left\langle \mathbf { U } \right\rangle } { \partial t } + \left( \left\langle \mathbf { U } \right\rangle \cdot \nabla \right) \left\langle \mathbf { U } \right\rangle = } & { { } - \nabla \left\langle \Pi \right\rangle - 2 \boldsymbol { \Omega } \times \langle \mathbf { U } \rangle + \left( \left\langle \mathbf { B } \right\rangle \cdot \nabla \right) \left\langle \mathbf { B } \right\rangle + \nu \nabla ^ { 2 } \left\langle \mathbf { U } \right\rangle } \end{array}
\begin{array} { r } { { \boldsymbol { M } } _ { l m } ^ { h } ( { \bf r } ) = h _ { l } ( k r ) \boldsymbol { X } _ { l m } ( { \bf r } ) , \qquad { \boldsymbol { N } } _ { l m } ^ { h } ( { \bf r } ) = \frac { \boldsymbol { \nabla } \times { \boldsymbol { M } } _ { l m } ^ { h } ( { \bf r } ) } { k } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sigma _ { k } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } m \, \sqrt { \left\langle \left( u ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } \right) ^ { 4 } \right\rangle - \left( \frac { k _ { B } T } { m } \right) ^ { 2 } } \, , } \end{array}
\ddot { \tau _ { i } } \tau _ { i } - \dot { \tau _ { i } } ^ { 2 } - \tau _ { i } ^ { \prime \prime } \tau _ { i } + { \tau ^ { \prime } } _ { i } ^ { 2 } = \tau _ { i - 1 } \tau _ { i + 1 } - \tau _ { i } ^ { 2 } , ~ ~ ~ ~ i = 0 , \dots , n
\begin{array} { r l } { | G _ { ( f _ { m } , g _ { m } ) } ( v ) - G ( v ) | } & { \le \int _ { D _ { h } } | g _ { 0 } - g _ { m } | | v | \, \mathrm { d } x + \int _ { D _ { h } } | g _ { m } \operatorname* { d e t } { \mathcal { J } _ { \mathcal { H } _ { m } } } - g _ { m } | | v | \, \mathrm { d } x } \\ & { \le C \| v \| _ { H ^ { 1 } ( D _ { h } ) ^ { 2 } } ( \| g _ { 0 } - g _ { m } \| _ { L ^ { 2 } ( D _ { h } ) ^ { 2 } } + \| g _ { m } \| _ { L ^ { 2 } ( D _ { h } ) ^ { 2 } } \| f _ { m } - f _ { 0 } \| _ { 1 , \infty } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | b ( \gamma _ { 2 } ) - b ( \gamma _ { 1 } ) | } & { \leq C \| \gamma _ { 1 } - \gamma _ { 2 } \| _ { C ^ { 2 , \alpha } ( \Omega ) } } \\ & { \qquad + D \| h _ { 1 } - h _ { 2 } \| _ { \mathcal B _ { 2 } ( \Omega ) } \left( \| \gamma _ { 2 } - g _ { S } ^ { m } \| _ { C ^ { 2 } ( \Omega ) } + \| ( h _ { 1 } , h _ { 2 } ) \| _ { \mathcal B _ { 2 } ( \Omega ) } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } { ( ( 1 - p ) A _ { 0 , 0 } , p A _ { 1 , 1 } ) } + \operatorname* { m i n } { ( ( 1 - p ) A _ { 1 , 0 } , p A _ { 0 , 1 } ) } } & { \leq \operatorname* { m i n } { ( ( 1 - p ) ( A _ { 0 , 0 } + A _ { 1 , 0 } ) , p ( A _ { 1 , 1 } + A _ { 0 , 1 } ) ) } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \operatorname* { m i n } { ( ( 1 - p ) ( B _ { 0 , 1 } + B _ { 0 , 0 } ) , p ( B _ { 1 , 1 } + B _ { 1 , 0 } ) ) } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } p ( B _ { 1 , 1 } + B _ { 1 , 0 } ) \; \mathrm { ~ b y ~ , } } \end{array}
\begin{array} { r } { \Omega _ { i } ^ { \prime } : = \left\{ \begin{array} { l l } { \Omega } & { \mathrm { ~ f o r ~ } i = 0 } \\ { \left\{ x \in \Omega | d ( x , \Omega ^ { \prime } ) < \frac { ( k - i ) r } { k } \right\} } & { \mathrm { ~ f o r ~ } i = 1 , . . . , k - 1 , } \\ { \Omega ^ { \prime } } & { \mathrm { ~ f o r ~ } i = k . } \end{array} \right. } \end{array}