harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \nabla f _ { x } ^ { q } ( y ) } & { = F _ { q } v _ { q } , } \\ { \nabla ^ { 2 } f _ { x } ^ { q } ( y ) } & { = F _ { q } v _ { q } ^ { \otimes 2 } + C _ { q } F _ { q } \mathbf { I } _ { d } , } \\ { \nabla ^ { 3 } f _ { x } ^ { q } ( y ) } & { = F _ { q } v _ { q } ^ { \otimes 3 } + C _ { q } F _ { q } \sum _ { \textup { s y m } } v _ { q } \otimes \mathbf { I } _ { d } , } \\ { \nabla ^ { 4 } f _ { x } ^ { q } ( y ) } & { = F _ { q } v _ { q } ^ { \otimes 4 } + C _ { q } F _ { q } \sum _ { \textup { s y m } } v _ { q } ^ { \otimes 2 } \otimes \mathbf { I } _ { d } + 3 C _ { q } ^ { 2 } F _ { q } \mathbf { I } _ { d } \otimes \mathbf { I } _ { d } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k - 1 - 2 i , 2 k - 1 + 4 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 4 k - 1 - 2 i , 2 k - 2 + 4 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 4 k - 1 - 2 i , 2 k - 3 + 4 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 4 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 - 2 i , 2 k + 4 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 2 , 1 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 - 2 i , 2 k - 1 + 4 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 2 , 2 } } \end{array}
d s ^ { 2 } = - 4 d x ^ { + } \, d x ^ { - } + \sum _ { i = 1 } ^ { 8 } ( d x ^ { i } ) ^ { 2 } - \left( \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } ( x ^ { i } ) ^ { 2 } + 2 \sum _ { i = 5 } ^ { 8 } ( x ^ { i } ) ^ { 2 } \right) ( d x ^ { + } ) ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { g ( x ) } & { : = \frac { 1 } { \alpha - 1 } \ln ( 1 + \alpha ( \alpha - 1 ) x ) , } \\ { \frac { d } { d x } g ( x ) } & { = \frac { \alpha } { 1 + \alpha ( \alpha - 1 ) x } , } \\ { \frac { d ^ { 2 } } { d x ^ { 2 } } g ( x ) } & { = - \frac { \alpha ^ { 2 } ( \alpha - 1 ) } { ( 1 + \alpha ( \alpha - 1 ) x ) ^ { 2 } } . } \end{array}
< g ( { \vec { \theta } } ^ { 1 } ) g ^ { * } ( { \vec { \theta } } ^ { 1 } ) + g ( { \vec { \theta } } ^ { 2 } ) g ^ { * } ( { \vec { \theta } } ^ { 2 } ) > = \mp \{ C _ { 3 } + D _ { 3 } \} \ ,
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \operatorname* { m a x } } & { } & { \quad t } \\ & { } & { \quad \sum _ { k \in { \mathcal K } _ { 0 } } a _ { i k } \prod _ { j \in A _ { k } } x _ { j } } & { \ge t } \\ { \forall i \in [ m ] } & { } & { \quad \sum _ { k \in { \mathcal K } _ { i } } a _ { i k } \prod _ { j \in A _ { k } } x _ { j } } & { \ge 0 } \\ { \forall j \in [ n ] } & { } & { \quad x _ { j } } & { \in \{ 0 , 1 \} , } \end{array}
R _ { \mathrm { B H } } = \frac { 1 } { M _ { D } } \; \left( \frac { M _ { \mathrm { B H } } } { M _ { D } } \right) ^ { \frac { 1 } { n + 1 } } \; \left( \frac { 2 ^ { n } \pi ^ { \frac { n - 3 } { 2 } } \Gamma ( \frac { n + 3 } { 2 } ) } { n + 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { n + 1 } } \; ,
\int \mathbb { P } \frac { | \nabla \eta _ { 2 } | ^ { 2 } } { \eta _ { 2 } } \leq \frac { ( 1 + \delta ) ^ { 2 } } { \delta ^ { 2 } r _ { 2 } ^ { 2 } } \left( \int _ { B ( z , r _ { 2 } ) } \mathbb { P } \lambda _ { 2 } \, d x - m \right) \leq \frac { ( 1 + \delta ) ^ { 2 } \cdot ( 2 ( 1 + \delta ) ^ { 3 N } - 1 ) } { \delta ^ { 2 } r _ { 2 } ^ { 2 } } \cdot m = \frac { C ( \delta ) } { r _ { 2 } ^ { 2 } } \cdot m .
\begin{array} { r l } { T _ { a } ^ { \varphi } f ( x ) } & { : = \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } e ^ { i \varphi ( x , \xi ) } \, a ( x , \xi ) \widehat { f } ( \xi ) \, ( 1 - \chi ( \xi ) ) \, \mathrm { d } \xi + \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } e ^ { i \varphi ( x , \xi ) } \, a ( x , \xi ) \widehat { f } ( \xi ) \, \chi ( \xi ) \, \mathrm { d } \xi } \\ & { = T _ { \mathrm { h i g h } } f ( x ) + T _ { \mathrm { l o w } } f ( x ) . } \end{array}
\mathrm { S y m } _ { \Omega } = \sigma _ { 1 } ^ { \ddag } \mathfrak { U } \left( r ^ { \ddag } \right) \cup \sigma _ { 2 } ^ { \ddag } \mathfrak { U } \left( r ^ { \ddag } \right) \cup \cdots \cup \sigma _ { m ^ { \ddag } } ^ { \ddag } \mathfrak { U } \left( r ^ { \ddag } \right)
\bar { u } ( p _ { 2 } ^ { \prime } ) \mathcal { O } ^ { \mu \nu } u ( p _ { 2 } ) \, k _ { 1 \mu } = 0 = \bar { u } ( p _ { 2 } ^ { \prime } ) \mathcal { O } ^ { \mu \nu } u ( p _ { 2 } ) \, k _ { \nu } .
\chi _ { r , s ; \ell } ^ { ( P , P ^ { \prime } ; N ) } ( q ) = q ^ { - \frac { c } { 2 4 } + \Delta _ { r , s } + \frac { \ell ( N - \ell ) } { 2 N ( N + 2 ) } } \hat { \chi } _ { r , s ; \ell } ^ { ( P , P ^ { \prime } ; N ) } ( q )
\tilde { \gamma } ^ { a } p _ { 0 a } = 0 = \tilde { \gamma } ^ { a } f ^ { \mu } { } _ { a } p _ { 0 \mu } = ( \tilde { \gamma } ^ { m } f ^ { \alpha } { } _ { m } + \tilde { \gamma } ^ { h } f ^ { \alpha } { } _ { h } ) p _ { 0 \alpha } + ( \tilde { \gamma } ^ { m } f ^ { \sigma } { } _ { m } + \tilde { \gamma } ^ { h } f ^ { \sigma } { } _ { h } ) p _ { 0 \sigma } ,
D _ { J } ^ { \, I } \Phi ^ { [ a _ { 1 } , \ldots , a _ { N - 1 } ] } ( x _ { A } , \theta _ { p + 1 } , \ldots , \theta _ { N } , \bar { \theta } ^ { 1 } , \ldots , \bar { \theta } ^ { N - q } , u ) = 0 \; , \quad 1 \leq I < J \leq N \; .
\begin{array} { r } { \dot { \Theta } = \Omega - \sigma ^ { \uparrow } \boldsymbol { \delta } \sin \left( \boldsymbol { d } \Theta \right) - \sigma ^ { \downarrow } \boldsymbol { d } \sin \left( \boldsymbol { \delta } \Theta \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { L _ { \epsilon } } & { \leqslant C \| \nabla f \| _ { L ^ { \infty } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } \int _ { \partial B _ { \epsilon } } | \Phi ( y ) | d S ( y ) } \\ & { \leqslant \left\{ \begin{array} { l l } { C \epsilon | \log \epsilon | \quad } & { \mathrm { i f } \; n = 2 } \\ { C \epsilon \quad } & { \mathrm { i f } \; n > 2 } \end{array} \right. } \end{array}
2 \frac { 1 } { 2 } V _ { p + 1 } \int _ { l \to \infty } d l \left( 4 \pi ^ { 2 } \alpha ^ { \prime } \right) ^ { - \frac { p + 1 } { 2 } } 2 ^ { p - 4 } l ^ { \frac { p - 9 } { 2 } } .
\rho = \frac { 1 } { \eta } = \left( \frac { \pi \nu } { 2 \omega _ { 0 } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { \omega _ { 0 } } \ln { \frac { 8 \omega _ { 0 } ^ { 3 } } { \epsilon \nu ^ { 2 } } } \right) ^ { - 1 } .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { \mathrm { d e g } ( p ) < k } \| p ( \mathbf { A } ) \mathbf { b } - r _ { j } ( \mathbf { A } ) \mathbf { b } \| _ { 2 } } & { = \operatorname* { m i n } _ { \mathrm { d e g } ( p ) < k } \| p ( \mathbf { A } ) \mathbf { b } - m _ { j + 1 , q } ( \mathbf { A } ) r _ { q } ( \mathbf { A } ) \mathbf { b } \| _ { 2 } } \\ & { \leq \operatorname* { m i n } _ { \mathrm { d e g } ( p ) < k - ( q - j ) } \| m _ { j + 1 , q } ( \mathbf { A } ) p ( \mathbf { A } ) \mathbf { b } - m _ { j + 1 , q } ( \mathbf { A } ) r _ { q } ( \mathbf { A } ) \mathbf { b } \| _ { 2 } } \\ & { \leq \| m _ { j + 1 , q } ( \mathbf { A } ) \| _ { 2 } \cdot \operatorname* { m i n } _ { \mathrm { d e g } ( p ) < k - ( q - j ) } \| p ( \mathbf { A } ) \mathbf { b } - r ( \mathbf { A } ) \mathbf { b } \| _ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta r _ { S E } ^ { ( \alpha ) } } & { { } = } & { \frac { \partial \Sigma ^ { \gamma } ( q ^ { 2 } ) } { \partial q ^ { 2 } } ( 0 ) + 2 \frac { c _ { w } } { s _ { w } } \frac { \Sigma ^ { \gamma Z } ( 0 ) } { M _ { Z } ^ { 2 } } + \frac { c _ { w } ^ { 2 } } { s _ { w } ^ { 2 } } ( \frac { \Sigma ^ { W } ( M _ { W } ^ { 2 } ) } { M _ { W } ^ { 2 } } - \frac { \Sigma ^ { Z } ( M _ { Z } ^ { 2 } ) } { M _ { Z } ^ { 2 } } ) } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { 0 } & { \equiv \delta { \mathcal { L } } } \\ & { = \delta \left( - \sum _ { i } k _ { \mathrm { B } } \rho _ { i } \ln \rho _ { i } \right) + \delta \left( \lambda _ { 1 } - \sum _ { i } \lambda _ { 1 } \rho _ { i } \right) + \delta \left( \lambda _ { 2 } U - \sum _ { i } \lambda _ { 2 } \rho _ { i } E _ { i } \right) } \\ & { = \sum _ { i } { \bigg [ } \delta { \Big ( } - k _ { \mathrm { B } } \rho _ { i } \ln \rho _ { i } { \Big ) } + \delta { \Big ( } \lambda _ { 1 } \rho _ { i } { \Big ) } + \delta { \Big ( } \lambda _ { 2 } E _ { i } \rho _ { i } { \Big ) } { \bigg ] } } \\ & { = \sum _ { i } \left[ { \frac { \partial } { \partial \rho _ { i } } } { \Big ( } - k _ { \mathrm { B } } \rho _ { i } \ln \rho _ { i } { \Big ) } \, \delta ( \rho _ { i } ) + { \frac { \partial } { \partial \rho _ { i } } } { \Big ( } \lambda _ { 1 } \rho _ { i } { \Big ) } \, \delta ( \rho _ { i } ) + { \frac { \partial } { \partial \rho _ { i } } } { \Big ( } \lambda _ { 2 } E _ { i } \rho _ { i } { \Big ) } \, \delta ( \rho _ { i } ) \right] } \\ & { = \sum _ { i } { \bigg [ } - k _ { \mathrm { B } } \ln \rho _ { i } - k _ { \mathrm { B } } + \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } E _ { i } { \bigg ] } \, \delta ( \rho _ { i } ) . } \end{array} }
V _ { 4 } ( \vec { x } ) = - { \frac { \alpha } { \rho } } + \sqrt { \frac { 2 } { \rho } } \bigg ( \beta _ { 1 } \cos { \frac { \phi } { 2 } } + \beta _ { 2 } \sin { \frac { \phi } { 2 } } \bigg ) \enspace .
\begin{array} { r l } { \frac 1 { R _ { b b } ^ { ( { \mathbb B } \backslash b ) } } } & { = - z - \sum _ { \alpha , \beta } ^ { ( { \mathbb B } ) } H _ { b \alpha } R _ { \alpha \beta } ^ { ( { \mathbb B } ) } H _ { \beta b } } \\ & { = \frac { 1 } { s _ { b } ( \theta , z ) } + \sum _ { \beta } S _ { b \beta } \; ( z \mathfrak { s } _ { \beta } ( \theta , z ) ) - \sum _ { \alpha , \beta } ^ { ( { \mathbb B } ) } H _ { b \alpha } R _ { \alpha \beta } ^ { ( { \mathbb B } ) } H _ { \beta b } } \\ & { = \frac { 1 } { s _ { b } ( \theta , z ) } - \sum _ { \beta } ^ { ( { \mathbb B } ) } ( H _ { b \beta } R _ { \beta \beta } ^ { ( { \mathbb B } ) } H _ { \beta b } - S _ { b \beta } \; ( z \mathfrak { s } _ { \beta } ( \theta , z ) ) ) - \sum _ { \alpha \neq \beta } ^ { ( { \mathbb B } ) } H _ { b \alpha } R _ { \alpha \beta } ^ { ( { \mathbb B } ) } H _ { \beta b } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { p } _ { t _ { 1 } t _ { 2 } } ^ { ( A ) } } & { = \sum _ { u } S _ { u } ^ { t _ { 1 } } S _ { u } ^ { t _ { 2 } } + 2 \sum _ { j } S _ { j } ^ { t _ { 1 } } S _ { j } ^ { t _ { 2 } } , } \\ { \tilde { p } _ { u _ { 1 } u _ { 2 } } ^ { ( B ) } } & { = \sum _ { t } S _ { u _ { 2 } } ^ { t } S _ { u _ { 1 } } ^ { t } + 2 \sum _ { i } S _ { u _ { 1 } } ^ { i } S _ { u _ { 2 } } ^ { i } . } \end{array}
\int _ { \mathcal { X } } \int _ { \mathcal { Y } } \frac { p ^ { 2 } ( \mathbf { x } , \mathbf { y } ) } { p ^ { 2 } ( \mathbf { x } ) } d \mathbf { x } d \mathbf { y } = \mathbb { E } _ { p ( X , Y ) } \left[ \frac { p ( X , Y ) } { p ^ { 2 } ( X ) } \right] \approx \frac { 1 } { M } \sum _ { j = 1 } ^ { M } \frac { p ( \mathbf { x } _ { j } , \mathbf { y } _ { j } ) } { p ^ { 2 } ( \mathbf { x } _ { j } ) } .
\left[ \mathbf { J } _ { m k l } ^ { o } \left( \boldsymbol { x } \right) \right] _ { p q } = 2 \left( \sigma ^ { r } \right) ^ { - 2 } \textrm { R e } \left[ \left( \frac { \partial \boldsymbol { \mu } _ { m } ^ { r } } { \partial \theta _ { k p } ^ { r } } \right) ^ { H } \left( \frac { \partial \boldsymbol { \mu } _ { m } ^ { r } } { \partial \theta _ { l q } ^ { r } } \right) \right] ,
B _ { 2 } = { \mathrm I m } \; V _ { t b } V _ { 4 b } ^ { * } V _ { 4 b ^ { \prime } } V _ { t b ^ { \prime } } ^ { * } = c _ { 1 } c _ { 2 } s _ { 2 } c _ { 3 } s _ { 3 } c _ { 6 } s _ { 6 } ^ { 2 } \sin \delta _ { 1 } \, .
g _ { 1 } ^ { c t r } ( { \bf d } ) : = \left[ \begin{array} { l l l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { \dots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \dots } & { 1 } \\ { - a _ { 0 } } & { - a _ { 1 } } & { - a _ { 2 } } & { \dots } & { - a _ { 2 n - 1 } } \end{array} \right] _ { 2 n \times 2 n } ,
S = \frac { \pi ( \beta q ) ^ { 2 } } { C ^ { 2 } \alpha G } \int \frac { 1 + C x _ { + } ^ { 2 } } { x _ { + } } d x _ { + } = \frac { \pi r _ { + } ^ { 2 } } { G } + \frac { 4 \pi \alpha } { G } \ln \left( \frac { r _ { + } } { \sqrt { \beta q } } \right) + C o n s t ,
{ \frac { f l } { k _ { \mathrm { B } } T } } = { \mathcal { L } } ^ { - 1 } { \left( { \frac { R } { N l } } \right) } \approx 3 { \frac { R } { N l } } + { \frac { 1 } { 5 } } \left( { \frac { R } { N l } } \right) ^ { 2 } \sin \left( { \frac { 7 R } { 2 N l } } \right) + { \frac { \left( { \frac { R } { N l } } \right) ^ { 3 } } { 1 - { \frac { R } { N l } } } } ,
\left\{ \begin{array} { r l } & { y = x + K ( 3 . 6 - 4 . 8 x + 1 . 8 x ^ { 2 } - 0 . 2 x ^ { 3 } ) , } \\ & { z = y + K ( 3 . 6 - 4 . 8 y + 1 . 8 y ^ { 2 } - 0 . 2 y ^ { 3 } ) , } \\ & { x = z + K ( 3 . 6 - 4 . 8 z + 1 . 8 z ^ { 2 } - 0 . 2 z ^ { 3 } ) , } \\ & { { x \neq y , ~ x \neq z , } } \\ & { x > 0 , ~ y > 0 , ~ z > 0 , ~ K > 0 , } \end{array} \right.
\mathrm { c a y } ( \mathbf { a d } _ { \mathbf { X } } ) = \left( \begin{array} { c c } { \mathrm { c a y } \left( \tilde { \mathbf { x } } \right) } & { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { A } \left( \mathbf { x } , \mathbf { y } \right) } & { \mathrm { c a y } \left( \tilde { \mathbf { x } } \right) } \end{array} \right)
\left( p _ { 0 } ^ { 2 } - m ^ { 2 } - p _ { z } ^ { 2 } - \frac { l ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } - V ( r ) + \frac 1 r \partial _ { r } + \partial _ { r } ^ { 2 } \right) \phi _ { l } ( p _ { 0 } , p _ { z } , r ) \ \ = \ 0 \ ,
{ \frac { \partial f } { \partial y } } - { \frac { d } { d x } } \left( { \frac { \partial f } { \partial y ^ { \prime } } } \right) + . . . + ( - 1 ) ^ { n } { \frac { d ^ { n } } { d x ^ { n } } } \left[ { \frac { \partial f } { \partial y ^ { ( n ) } } } \right] = 0 .
\begin{array} { r } { \hat { \mathcal { E } } _ { z } = - e _ { 0 } \frac { v _ { 0 } } { i \omega } \left( \partial _ { x } \Psi \hat { a } _ { \mathrm { H } } + \partial _ { y } \Psi \hat { a } _ { \mathrm { V } } \right) , } \end{array}
[ m _ { 1 } + \tilde { m } _ { 1 } ] \ddot { u } + [ \mu + \dot { m } _ { 1 } ] \dot { u } + k u = - [ m _ { 1 } + \tilde { m } _ { 1 } + \Delta m ] g - 2 a k - \mu ( V _ { 0 } + \dot { y } _ { 1 } ) . \; \;
c _ { 4 2 } = [ D _ { 4 } ( x ) , D _ { 2 } ( y ) ] _ { P } = - \frac { \partial } { \partial y _ { k } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d \tau \frac { \partial c _ { k } } { \partial \tau } \delta ( y _ { 1 } - c _ { 1 } ) \delta ( y _ { 2 } - c _ { 2 } ) \delta ( y _ { 3 } - c _ { 3 } )
{ \frac { 2 e ^ { \mathbf { x } ^ { \prime } { \boldsymbol { \Sigma } } ^ { - 1 } { \boldsymbol { \mu } } } } { ( 2 \pi ) ^ { \frac { k } { 2 } } | { \boldsymbol { \Sigma } } | ^ { 0 . 5 } } } { \Big ( } { \frac { \mathbf { x } ^ { \prime } { \boldsymbol { \Sigma } } ^ { - 1 } \mathbf { x } } { 2 + { \boldsymbol { \mu } } ^ { \prime } { \boldsymbol { \Sigma } } ^ { - 1 } { \boldsymbol { \mu } } } } { \Big ) } ^ { \frac { v } { 2 } } K _ { v } { \Big ( } { \sqrt { ( 2 + { \boldsymbol { \mu } } ^ { \prime } { \boldsymbol { \Sigma } } ^ { - 1 } { \boldsymbol { \mu } } ) ( \mathbf { x } ^ { \prime } { \boldsymbol { \Sigma } } ^ { - 1 } \mathbf { x } ) } } { \Big ) }
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \langle \tilde { \rho } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ; t ) \rangle _ { E } } { \partial t } } & { { } = - \frac { 2 J i } { \hbar } ( \cos ( k _ { 1 } ) - \cos ( k _ { 2 } ) ) \langle \tilde { \rho } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ; t ) \rangle _ { E } } \end{array}
\left( u , \frac { d ^ { 3 } v } { d x ^ { 3 } } \right) _ { \Omega } = \left. u \frac { d ^ { 2 } v } { d x ^ { 2 } } \right| _ { x = x _ { L } } ^ { x = x _ { R } } - \frac { 1 } { 2 } \left. \frac { d u } { d x } \frac { d v } { d x } \right| _ { x = x _ { L } } ^ { x = x _ { R } } + \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { d ^ { 2 } u } { d x ^ { 2 } } , \frac { d v } { d x } \right) _ { \Omega } - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { d u } { d x } , \frac { d ^ { 2 } v } { d x ^ { 2 } } \right) _ { \Omega } .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { \phi } ~ } & { J } \\ { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } ~ } & { G _ { 1 } = \int _ { Y } C ( \chi _ { \phi } ) e _ { y } ( { w _ { 1 1 } } ) \cdot e _ { y } ( \tilde { { v _ { 1 } } } ) d { y } + \int _ { Y } C ( \chi _ { \phi } ) e _ { 1 1 } \cdot e _ { y } ( \tilde { { v _ { 1 } } } ) d { y } = 0 } \\ & { G _ { 2 } = \int _ { Y } C ( \chi _ { \phi } ) e _ { y } ( { w _ { 2 2 } } ) \cdot e _ { y } ( \tilde { { v _ { 2 } } } ) d { y } + \int _ { Y } C ( \chi _ { \phi } ) e _ { 2 2 } \cdot e _ { y } ( \tilde { { v _ { 2 } } } ) d { y } = 0 } \\ & { G _ { 3 } = \int _ { Y } C ( \chi _ { \phi } ) e _ { y } ( { w _ { 3 3 } } ) \cdot e _ { y } ( \tilde { { v _ { 3 } } } ) d { y } + \int _ { Y } C ( \chi _ { \phi } ) e _ { 3 3 } \cdot e _ { y } ( \tilde { { v _ { 3 } } } ) d { y } = 0 } \\ & { G = \int _ { Y } \chi _ { \phi } ( { y } ) d { y } - V _ { \mathrm { m a x } } \leq 0 } \end{array}
\mathcal { F } \colon \mathcal { A } \mathrm { \sf ~ l g } _ { \mathbb { P } _ { 2 } ^ { \mathrm { n u } } } ^ { \mathrm { g r } } \simeq \mathrm { A l g } _ { { \widetilde { \mathbb { P } _ { 2 } ^ { \mathrm { n u } } } } } ^ { \mathrm { g r } } [ W _ { \mathrm { q i s } } ^ { - 1 } ] \rightleftarrows \mathrm { O p } _ { \mathrm { C o m m } / } [ W _ { \mathrm { q i s } } ^ { - 1 } ] : \mathcal { P } \mathrm { o l } ( - )
( \gamma ^ { 2 } + k _ { 0 } ^ { 2 } \varepsilon _ { \mathrm { i n } } ) ( \beta ^ { 2 } - \gamma ^ { 2 } - k _ { 0 } ^ { 2 } \varepsilon _ { \mathrm { o u t } } ) = \beta ^ { 2 } \gamma ^ { 2 }
V _ { e x t } ( s ) \approx - E _ { l } s \left[ 1 - \frac { s } { R _ { a } } ( 1 - \frac { \rho _ { 0 } ^ { 2 } } { R _ { a } ^ { 2 } } ) + \frac { 4 } { 3 } \frac { s ^ { 2 } } { R _ { a } ^ { 2 } } ( 1 - \frac { 5 } { 2 } \frac { \rho _ { 0 } ^ { 2 } } { R _ { a } ^ { 2 } } ) \right] .
y ^ { ( n ) } = u _ { 1 } y _ { 1 } ^ { ( n ) } + \cdots + u _ { n } y _ { n } ^ { ( n ) } + u _ { 1 } ^ { \prime } y _ { 1 } ^ { ( n - 1 ) } + u _ { 2 } ^ { \prime } y _ { 2 } ^ { ( n - 1 ) } + \cdots + u _ { n } ^ { \prime } y _ { n } ^ { ( n - 1 ) } .
\begin{array} { r l } { { \mathbf { v } } _ { \mathrm { p r e } } ^ { \mathrm { \, f f } } ( \mathrm { R S } ) - { \mathbf { v } } _ { \mathrm { R S } } } & { = { \mathbf { v } } _ { \mathrm { p r e } } ^ { \mathrm { \, r s f } } ( \mathrm { R S } ) \; \; \mathrm { a n d } } \\ { { \mathbf { v } } _ { \mathrm { p r e } } ^ { \mathrm { \, f f } } ( \mathrm { F S } ) - { \mathbf { v } } _ { \mathrm { F S } } } & { = { \mathbf { v } } _ { \mathrm { p r e } } ^ { \mathrm { \, f s f } } ( \mathrm { F S } ) } \end{array}
k ^ { 2 } ( \omega ) \equiv \frac { \omega ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \epsilon _ { \mathrm { ~ L ~ } } ( \omega ) \simeq k _ { 0 } ^ { 2 } + \frac { 2 k _ { 0 } } { v } ( \omega - \omega _ { 0 } ) + D ( \omega - \omega _ { 0 } ) ^ { 2 } ,
\hat { H } _ { \sigma } = \int \mathrm { d } x ~ \hat { \psi } _ { \sigma } ^ { \dagger } ( x ) \left( - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \frac { \mathrm { d ^ { 2 } } } { \mathrm { d } x ^ { 2 } } + V ( x ) \right) \hat { \psi } _ { \sigma } ( x ) ,
\begin{array} { r l } { \phi ^ { * } h } & { = \left( \frac { d V } { 1 + V ^ { 2 } } - \frac { d U } { 1 + U ^ { 2 } } \right) \otimes \left( \frac { d V } { 1 + V ^ { 2 } } - \frac { d U } { 1 + U ^ { 2 } } \right) } \\ & { \quad \, - \left( \frac { d V } { 1 + V ^ { 2 } } + \frac { d U } { 1 + U ^ { 2 } } \right) \otimes \left( \frac { d V } { 1 + V ^ { 2 } } + \frac { d U } { 1 + U ^ { 2 } } \right) } \\ & { = - \frac { 2 } { ( 1 + U ^ { 2 } ) ( 1 + V ^ { 2 } ) } \left( d U \otimes d V + d V \otimes d U \right) } \\ & { = \frac { 2 } { ( 1 + U ^ { 2 } ) ( 1 + V ^ { 2 } ) } \tilde { g } _ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \vert \vert F _ { t , \widehat { \kappa } } - F _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] , \widehat { \kappa } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } ^ { 2 } - \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \vert \vert F _ { t , \kappa } - f _ { ( \eta _ { k } , e _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { \kappa } \vert \vert _ { L _ { 2 } } ^ { 2 } = o _ { p } ( \widetilde { r } \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { r } + 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { \mathrm { P } } \left( \Bar { \pi } ^ { r } \right) } & { \le \frac { 4 } { m \beta \left( d + \left( b + m \right) \beta \right) } } \\ & { \quad \times \left( 1 + a \frac { m \beta \left( d + \left( b + m \right) \beta \right) } { 4 } \frac { 8 \left( d + \left( b + m \right) \beta \right) } { m \beta } e ^ { \mathrm { O s c } _ { \Tilde { R } } \left( \beta \Bar { U } _ { r } \right) } \right) } \\ & { = \frac { 4 } { m \beta \left( d + \left( b + m \right) \beta \right) } } \\ & { \quad + \frac { 8 a \left( d + \left( b + m \right) \beta \right) } { m \beta } \exp \left( \beta \left( \frac { 2 5 } { 1 6 } \left\| \nabla U \right\| _ { \mathbb { M } } \left( 1 + \frac { 8 \left( d + \left( b + m \right) \beta \right) } { m \beta } \right) + U _ { 0 } \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d \eta } { d z } = \left[ - g _ { L } + \left( g _ { 0 } + g _ { L } \right) \tilde { J } ( \eta ; W ) / ( 2 \pi ) - 4 \epsilon _ { 3 } \eta ^ { 2 } / 3 \right] \eta . } \end{array}
\begin{array} { r l } { X _ { c } } & { { } = n _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ t ~ c ~ h ~ } , c } + n _ { \mathrm { ~ h ~ o ~ s ~ t ~ e ~ d ~ } , c } - n _ { \mathrm { ~ h ~ o ~ m ~ e ~ } , c } } \\ { \epsilon _ { c } } & { { } = \vec { 0 } } \end{array}
5 \pi ^ { 2 } \int _ { S _ { 2 } ^ { R \pm } } \varphi ^ { 2 } \, d x \le \int _ { S _ { 2 } ^ { R \pm } } ( \partial _ { x _ { 1 } } \varphi ) ^ { 2 } + ( \partial _ { x _ { 3 } } \varphi ) ^ { 2 } \, d x , \qquad 5 \pi ^ { 2 } \int _ { S _ { 3 } ^ { R \pm } } \varphi ^ { 2 } \, d x \le \int _ { S _ { 3 } ^ { R \pm } } ( \partial _ { x _ { 1 } } \varphi ) ^ { 2 } + ( \partial _ { x _ { 2 } } \varphi ) ^ { 2 } \, d x .
\begin{array} { r l } { { B _ { x } } ^ { ' } } & { = ( \sin x \cos y - \cos x \sin y ) \exp \left( \frac { - z } { s _ { 0 } } \right) ~ , } \\ { { B _ { y } } ^ { ' } } & { = - ( \cos x \sin y + \sin x \cos y ) \exp \left( \frac { - z } { s _ { 0 } } \right) ~ , } \\ { { B _ { z } } ^ { ' } } & { = 2 s _ { 0 } \sin x \sin y \exp \left( \frac { - z } { s _ { 0 } } \right) ~ . } \end{array}
\oint _ { 0 } \! \mathrm { d } w \, w ^ { n + \Delta _ { P } + \Delta _ { Q } - 1 } \oint _ { w } \! \mathrm { d } z \, \frac { 1 } { z - w } \, \, z ^ { \epsilon } \, P ( z ) \, Q ( w ) \, w ^ { - \epsilon } \, ,
\begin{array} { r } { \mathbf { E } _ { R } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } , \sigma ) = r t \mathbf { E } _ { 0 } ( \sigma ) [ e ^ { - i ( 2 \pi \sigma z _ { 1 } ) } + e ^ { - i ( 2 \pi \sigma z _ { 2 } ) } ] } \end{array}
\begin{array} { r } { n _ { \sigma , [ a , b ] } ( x ) = \frac { e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 2 \sigma } } } { \int _ { a } ^ { b } e ^ { - \frac { y ^ { 2 } } { 2 \sigma } } d y } \chi _ { [ a , b ] } ( x ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { m _ { v _ { 0 } v _ { L } } } & { { } = } & { L \left( 2 c ^ { H } - 1 \right) + 2 c ^ { H } \sum _ { I = 1 } ^ { L } \frac { c ^ { - I } \left( c ^ { I } - c \right) } { c - 1 } } \end{array}
\mathcal { A } \lesssim 1 0 \: \frac { H _ { z } } { L _ { T } } \left( \frac { T _ { i } } { T _ { e } } \right) ^ { 3 / 2 } \left( \frac { m _ { e } } { m _ { i } } \right) ^ { 1 / 2 } \left( \frac { n _ { \mathrm { i , c } } } { n _ { 0 } } \right) ^ { - 1 } ,
\begin{array} { r l r l } { s ( 2 n ) } & { = s ( n ) + t ( n - 1 ) , } & & { \quad ( n \geq 1 ) ; } \\ { s ( 2 n + 1 ) } & { = s ( n ) + t ( n ) , } & & { \quad ( n \geq 0 ) ; } \\ { t ( 2 n ) } & { = s ( n ) - t ( n - 1 ) , } & & { \quad ( n \geq 1 ) ; } \\ { t ( 2 n + 1 ) } & { = s ( n ) - t ( n ) , } & & { \quad ( n \geq 0 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \epsilon ( \omega , \boldsymbol { k } ) } & { { } \sim 1 + O ( 1 / \omega ^ { 2 } ) \, , } \\ { \xi ( \omega , \boldsymbol { k } ) } & { { } \sim 1 + O ( 1 / \omega ^ { 2 } ) \, , } \end{array}