harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left( \begin{array} { c c } { { 2 A _ { [ { \tt i } } { } ^ { [ { \tt I } } \delta _ { { \tt j } ] } { } ^ { { \tt J } ] } } } & { { \Sigma _ { \tt i j K L } } } \\ { { \Sigma ^ { \tt k l I J } } } & { { 2 A _ { [ { \tt k } } { } ^ { [ { \tt K } } \delta _ { { \tt l } ] } { } ^ { { \tt L } ] } } } \end{array} \right)
( r + \lambda _ { 1 } , . . . , r + \lambda _ { q } , ( r + p ) ^ { \lambda _ { p } ^ { \prime } - q } , ( r + p - 1 ) ^ { \lambda _ { p - 1 } ^ { \prime } - \lambda _ { p } ^ { \prime } } , . . . , r ^ { N - \lambda _ { 1 } ^ { \prime } } )
U = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \left( 1 - \gamma ^ { 5 } \gamma ^ { 0 } \right) = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \, } } } { \left( \begin{array} { l l } { I _ { 2 } } & { I _ { 2 } } \\ { - I _ { 2 } } & { I _ { 2 } } \end{array} \right) } .
\begin{array} { r l } { { \varpi _ { \mathsf { A S } } } } & { \doteq \int _ { S } \int _ { - 1 } ^ { 1 } ( L _ { \ell } \mathbb { d } { \mathsf { a } } _ { i } ( u , x ) ) \wedge \mathbb { d } { \mathsf { a } } ^ { i } ( u , x ) d u \ { \boldsymbol { v o l } } _ { S } } \\ & { = 2 i \int _ { S } \mathbb { G } ( \mathbb { d } { \mathsf { a } } _ { i } ( x ) , \mathbb { d } { \mathsf { a } } ^ { i } ( x ) ) { \boldsymbol { v o l } } _ { S } } \\ & { = 2 i \int _ { S } \operatorname* { l i m } _ { N , M \to \infty } \mathbb { G } ( S _ { N } [ \mathbb { d } { \mathsf { a } } _ { i } ( x ) ] , S _ { M } [ \mathbb { d } { \mathsf { a } } ^ { i } ( x ) ] ) { \boldsymbol { v o l } } _ { S } } \\ & { = 2 i \int _ { S } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \mathbb { d } \, \widetilde { { \mathsf { a } } } _ { i } ^ { * } ( k , x ) \wedge \mathbb { d } \, \widetilde { { \mathsf { a } } } ^ { i } ( k , x ) { \boldsymbol { v o l } } _ { S } , } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { x ^ { n } e ^ { x } } { ( e ^ { x } - 1 ) ^ { 4 } } } \mathrm { d } x = { \frac { n ! } { 6 } } { \bigl ( } \zeta ^ { n - 2 } - 3 \zeta ^ { n - 1 } + 2 \zeta ^ { n } { \bigr ) } = n ! { \frac { \zeta ( n - 2 ) - 3 \zeta ( n - 1 ) + 2 \zeta ( n ) } { 6 } } .
\begin{array} { r } { \mathbb { P } _ { \theta , \mu } ( o _ { l + 1 } = o _ { i } ^ { + } | \tau _ { l } ) = \frac { 1 + \varepsilon \sigma \mu _ { i } } { 2 K } , \qquad \mathbb { P } _ { \theta , \mu } ( o _ { l + 1 } = o _ { i } ^ { - } | \tau _ { l } ) = \frac { 1 - \varepsilon \sigma \mu _ { i } } { 2 K } , \qquad \forall i \in [ K ] . } \end{array}
d ^ { 2 } \mathbf { F } = - { \frac { k I I ^ { \prime } } { 2 r ^ { 2 } } } \left[ \left( 3 - k \right) { \hat { \mathbf { r } } } _ { 1 } \left( d \mathbf { s } \, d \mathbf { s } ^ { \prime } \right) - 3 \left( 1 - k \right) { \hat { \mathbf { r } } } _ { 1 } \left( \mathbf { \hat { r } } _ { 1 } d \mathbf { s } \right) \left( \mathbf { \hat { r } } _ { 1 } d \mathbf { s } ^ { \prime } \right) - \left( 1 + k \right) d \mathbf { s } \left( \mathbf { \hat { r } } _ { 1 } d \mathbf { s } ^ { \prime } \right) - \left( 1 + k \right) d \mathbf { s } ^ { \prime } \left( \mathbf { \hat { r } } _ { 1 } d \mathbf { s } \right) \right] .
\Lambda = \left[ \begin{array} { l l l l } { 2 - 2 \cos \frac { \pi } { N + 1 } } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } \\ { 0 } & { 2 - 2 \cos \frac { 2 \pi } { N + 1 } } & { 0 } & { \cdots } \\ { 0 } & { 0 } & { \ddots } & { \cdots } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l r } { \hat { R } _ { 2 } ^ { ( + 2 ) } } & { { } = } & { \sum _ { D ( + 2 ) } ^ { { \mathrm { ~ d ~ e ~ n ~ o ~ m ~ . ~ } \neq 0 } } \frac { | \Phi _ { D ( + 2 ) } ^ { ( 0 ) } \rangle \langle \Phi _ { D ( + 2 ) } ^ { ( 0 ) } | } { E _ { \gamma } ^ { ( 0 ) } - E _ { D ( + 2 ) } ^ { ( 0 ) } } , } \\ { \hat { R } _ { 2 } ^ { ( \pm 0 ) } } & { { } = } & { \sum _ { D ( \pm 0 ) } ^ { { \mathrm { ~ d ~ e ~ n ~ o ~ m ~ . ~ } \neq 0 } } \frac { | \Phi _ { D ( \pm 0 ) } ^ { ( 0 ) } \rangle \langle \Phi _ { D ( \pm 0 ) } ^ { ( 0 ) } | } { E _ { \gamma } ^ { ( 0 ) } - E _ { D ( \pm 0 ) } ^ { ( 0 ) } } , } \\ { \hat { R } _ { 2 } ^ { ( - 2 ) } } & { { } = } & { \sum _ { D ( - 2 ) } ^ { { \mathrm { ~ d ~ e ~ n ~ o ~ m ~ . ~ } \neq 0 } } \frac { | \Phi _ { D ( - 2 ) } ^ { ( 0 ) } \rangle \langle \Phi _ { D ( - 2 ) } ^ { ( 0 ) } | } { E _ { \gamma } ^ { ( 0 ) } - E _ { D ( - 2 ) } ^ { ( 0 ) } } , } \end{array}
{ \frac { g \left[ u _ { 1 } ( x _ { 1 } , \dots , x _ { n } ) , \dots , u _ { n } ( x _ { 1 } , \dots , x _ { n } ) ; \theta \right] } { | J ^ { * } | } } = g _ { 1 } \left[ u _ { 1 } ( x _ { 1 } , \dots , x _ { n } ) ; \theta \right] { \frac { h ( u _ { 2 } , \dots , u _ { n } \mid u _ { 1 } ) } { | J ^ { * } | } }
\begin{array} { r l } & { \Delta \Psi _ { k } ( 1 + \gamma ) ^ { - k } } \\ & { \quad \le \left( - \frac { 1 + \gamma } { 2 L } + \frac { \gamma ^ { 2 } } { 2 \mu ( 1 + \gamma ) } \right) \| \nabla f _ { k } ( x _ { k } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { \qquad + \frac { \mu \gamma } { 2 } \left( \frac { \gamma } { 1 + \gamma } - 1 \right) \| x _ { k } - x ^ { * } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { \mu } { 2 } \left( \frac { 1 } { 1 + \gamma } - 1 \right) \| z _ { k } - x ^ { * } \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ & { \qquad + \frac { \mu \gamma } { 1 + \gamma } \langle z _ { k } - x ^ { * } , x _ { k } - x ^ { * } \rangle } \\ & { \quad \le - \frac { \mu \gamma } { 2 ( 1 + \gamma ) } \big ( \| x _ { k } - x ^ { * } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \| z _ { k } - x ^ { * } \| _ { 2 } ^ { 2 } - 2 \langle z _ { k } - x ^ { * } , x _ { k } - x ^ { * } \rangle \big ) } \\ & { \quad = - \frac { \mu \gamma } { 2 ( 1 + \gamma ) } \| ( x _ { k } - x ^ { * } ) - ( z _ { k } - x ^ { * } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } \le 0 , } \end{array}
\left( T ^ { - 1 } \right) ^ { 2 } = v _ { 0 ^ { \prime } } + \vec { \gamma } \cdot \vec { v } = \gamma ^ { m } v _ { m } , \quad \mathrm { { w i t h \, \, \, \, } } v _ { 0 ^ { \prime } } ^ { 2 } - \vec { v } ^ { 2 } = 1 . \mathrm { { \, } }
\| u _ { M } ^ { B } ( \boldsymbol { x } , t ) - u _ { e } ( \boldsymbol { x } , t ) \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega \times [ t _ { n } , t _ { n + 1 } ] ) } \leq \epsilon , \quad \forall \; n = 0 , \cdots , N .
\begin{array} { r l } { q _ { m } \sim } & { { } \, \mathrm { B e t a } \left( A _ { q } , B _ { q } \right) , \, \, m = 1 : \infty , } \\ { b _ { m } \sim } & { { } \, \mathrm { B e r n o u l l i } \left( q _ { m } \right) , } \\ { D \sim } & { { } \, \mathrm { I n v G a m m a } \left( \alpha _ { D } , \beta _ { D } \right) , } \\ { \boldsymbol { r } _ { k } ^ { m } \sim } & { { } \, \mathrm { N o r m a l } \left( \boldsymbol { r } _ { k - 1 } ^ { m } , 2 D \Delta t _ { k } \right) , } \\ { \mu _ { 0 } \sim } & { { } \, \mathrm { G a m m a } \left( \alpha _ { \mu } , \beta _ { \mu } \right) , } \\ { \mu _ { \mathcal { B } } \sim } & { { } \, \mathrm { G a m m a } \left( \alpha _ { b } , \beta _ { \mathcal { B } } \right) . } \end{array}
\omega _ { A B } = \epsilon _ { A } \, \frac { \mathsf { G } _ { A , B } } { 2 \mathsf { G } _ { A } \sqrt { \mathsf { G } _ { B } } } \, \vartheta ^ { A } - \epsilon _ { B } \, \frac { \mathsf { G } _ { B , A } } { 2 \mathsf { G } _ { B } \sqrt { \mathsf { G } _ { A } } } \, \vartheta ^ { B } \quad ( \mathrm { ~ n ~ o ~ ~ ~ s ~ u ~ m ~ m ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ ~ ~ o ~ n ~ } ~ A ~ \mathrm { ~ o ~ r ~ } ~ B ) \, .
< \bar { 0 } | \eta _ { \hat { \alpha } \hat { \beta } } : \bar { T } ^ { \hat { \alpha } \hat { \beta } } : | _ { P _ { 0 } } | \bar { 0 } > = - < \bar { 0 } | : \bar { T } ^ { \hat { 1 } \hat { 1 } } : | _ { P _ { 0 } } | \bar { 0 } > = - \frac { 1 } { \sinh ^ { 2 } ( \chi ) } < \bar { 0 } | : T ^ { \hat { 0 } \hat { 0 } } : | _ { P _ { 0 } } | \bar { 0 } >
\begin{array} { r l r } { \lambda _ { F } ( x ) } & { = } & { \lambda _ { F } ( x U ( T - \theta ) ^ { e } ) + \lambda _ { F } ( x V G ) } \\ & { = } & { \lambda _ { F } ( ( x U \bmod G ) ( T - \theta ) ^ { e } ) + \lambda _ { F } ( ( x V \bmod ( T - \theta ) ^ { e } ) G ) } \\ & { = } & { \lambda _ { G } ( x U ) + \lambda _ { ( T - \theta ) ^ { e } } ( x V ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { x } ( A u ) ^ { ( 1 ) } } & { = 0 } \\ { \rho \, \partial _ { x } ( A u ^ { 2 } ) ^ { ( 1 ) } + A ^ { ( 1 ) } \, \partial _ { x } p ^ { ( 1 ) } } & { = 0 } \\ { p ^ { ( 1 ) } - F ( A ^ { ( 1 ) } ) + \tau _ { r } \, E _ { 0 } \, G ( A ^ { ( 1 ) } ) \, \partial _ { x } ( A u ) ^ { ( 1 ) } } & { = 0 } \\ { \partial _ { x } ( \boldsymbol { \hat { A u } } ) } & { = 0 } \\ { \rho \, \partial _ { x } ( \boldsymbol { \hat { A u } ^ { 2 } } ) + \boldsymbol { \hat { A } } \, \partial _ { x } \boldsymbol { \hat { p } } } & { = 0 } \\ { \boldsymbol { \hat { p } } - \boldsymbol { F } ( \boldsymbol { \hat { A } } ) + \tau _ { r } \, E _ { 0 } \, \boldsymbol { G } ( \boldsymbol { \hat { A } } ) \, \partial _ { x } ( \boldsymbol { \hat { A u } } ) } & { = 0 \, , } \end{array}
{ \cal A } _ { \gamma ^ { * } d } ^ { ( 2 ) } = - \frac { 1 } { \pi M } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d z | \psi _ { d } ( { \bf 0 } _ { \perp } , z ) | ^ { 2 } \sum _ { X } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d k _ { z } \, T _ { \gamma ^ { * } N \rightarrow X N } \frac { e ^ { i k _ { z } z } } { \nu ^ { 2 } - ( q _ { z } + k _ { z } ) ^ { 2 } - M _ { X } ^ { 2 } + i \epsilon } T _ { X N \rightarrow \gamma ^ { * } N } .
\dot { \mathbf { X } } _ { \mathcal { B } } = \left[ \begin{array} { l } { \dot { \psi } _ { 2 } } \\ { \dot { p } _ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { \dot { \psi } _ { N } } \\ { \dot { p } _ { N } } \end{array} \right] \, ,
\int d ^ { 6 } x \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left( \bar { \sigma } _ { \nu } ^ { * ( n ) } d _ { ( n ) } ^ { \mu } + \bar { \sigma } ^ { * ( n ) } d _ { ( n ) } + \mu _ { ( n ) } ^ { * } \theta _ { ( n ) } \right)
\begin{array} { r l } { | I _ { f , 8 } ^ { 1 } | } & { { } \lesssim \sum _ { 0 < k < k _ { M } } \sum _ { l } \int _ { \mathbb { R } ^ { 4 } } e ^ { - c \lambda _ { \mathcal { D } } | \eta - \eta ^ { \prime } | ^ { s _ { 0 } } } \mathrm { A } _ { k } ( \eta ) \Big ( \mathbf { 1 } _ { | \xi ^ { \prime } | \geq 4 | k , \eta | } + \mathbf { 1 } _ { 4 | \xi ^ { \prime } | \leq | k , \eta | } + \mathbf { 1 } _ { \frac 1 4 | k , \eta | \leq | \xi ^ { \prime } | \leq 4 | k , \eta | } \Big ) } \end{array}
- 2 \mathbb { E } \{ \left| a _ { \mathrm { x } } \right| ^ { 2 } \} \left| \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } \} \right| ^ { 2 } + \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } \} \mathbb { E } ^ { * } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } \left| a _ { \mathrm { x } } \right| ^ { 2 } \} - \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } ^ { 2 } \} \mathbb { E } ^ { * } \{ a _ { \mathrm { x } } a _ { \mathrm { y } } \} \mathbb { E } \{ a _ { \mathrm { x } } ^ { * } a _ { \mathrm { y } } \}
{ x } _ { \gamma _ { k } } \xrightarrow [ { C ( [ 0 , 1 ] ; \mathbb { R } ^ { n } ) } ] { \textnormal { u n i f o r m l y } } { \bar { x } } \; \; \mathrm { a n d } \; \; ( \dot { x } _ { \gamma _ { k } } , \xi _ { \gamma _ { k } } ) \xrightarrow [ { L ^ { 2 } ( [ 0 , 1 ] ; \mathbb { R } ^ { n } \times \mathbb { R } ^ { + } ) } ] { \textnormal { s t r o n g l y } } ( \dot { \bar { x } } , \bar { \xi } ) .
\mu \frac { d } { d \mu } \left( \begin{array} { c } { { m _ { s } \bar { s } s } } \\ { { m _ { s } ^ { 4 } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { \frac { 3 } { 2 \pi ^ { 2 } } } } \\ { { 0 } } & { { - 8 \frac { \alpha _ { s } } { \pi } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { m _ { s } \bar { s } s } } \\ { { m _ { s } ^ { 4 } } } \end{array} \right) \, .
\begin{array} { r l } & { { \Phi _ { 2 } } ( x ) = \frac { { { { { e } } ^ { - \kappa x } } } } { \alpha } \left[ { \left( { { d _ { 1 } } k _ { 2 1 } ^ { 2 } + { d _ { 3 } } } \right) \cos ( { k _ { 2 2 } } x ) - \left( { { d _ { 1 } } k _ { 1 1 } ^ { 2 } + { d _ { 3 } } } \right) \cos ( { k _ { 1 2 } } x ) } \right] } \\ & { + \frac { { { { { e } } ^ { - \kappa x } } } } { { \alpha { k _ { 1 2 } } } } \left[ { \left( { \alpha - E } \right) \left( { { d _ { 1 } } \kappa + { d _ { 2 } } } \right) - 2 \left( { { d _ { 3 } } \kappa + { d _ { 4 } } } \right) } \right] \sin ( { k _ { 1 2 } } x ) } \\ & { + \frac { { { { { e } } ^ { - \kappa x } } } } { { \alpha { k _ { 2 2 } } } } \left[ { \left( { \alpha + E } \right) \left( { { d _ { 1 } } \kappa + { d _ { 2 } } } \right) + 2 \left( { { d _ { 3 } } \kappa + { d _ { 4 } } } \right) } \right] \sin ( { k _ { 2 2 } } x ) . } \\ & { { \Psi _ { 2 } } ( x ) = \frac { { { { { e } } ^ { - \kappa x } } } } { \alpha } \left[ { \left( { { d _ { 1 } } + { d _ { 3 } } k _ { 2 1 } ^ { 2 } } \right) \cos ( { k _ { 2 2 } } x ) - \left( { { d _ { 1 } } + { d _ { 3 } } k _ { 1 1 } ^ { 2 } } \right) \cos ( { k _ { 1 2 } } x ) } \right] } \\ & { + \frac { { 2 { { { e } } ^ { - \kappa x } } } } { { \alpha { k _ { 2 2 } } } } \left[ { \kappa { d _ { 1 } } + { d _ { 2 } } + k _ { 2 1 } ^ { 2 } \left( { \kappa { d _ { 3 } } + { d _ { 4 } } } \right) } \right] \sin ( { k _ { 2 2 } } x ) } \\ & { - \frac { { 2 { { { e } } ^ { - \kappa x } } } } { { \alpha { k _ { 1 2 } } } } \left[ { \kappa { d _ { 1 } } + { d _ { 2 } } + k _ { 1 1 } ^ { 2 } \left( { \kappa { d _ { 3 } } + { d _ { 4 } } } \right) } \right] \sin ( { k _ { 1 2 } } x ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| x ( t ) \| _ { \alpha } } & { = \| ( \omega I - A ) ^ { \alpha } x ( t ) \| _ { X } } \\ & { \leq \| ( \omega I - A ) ^ { \alpha } T ( t ) x _ { 0 } \| _ { X } + \Big \| \int _ { 0 } ^ { \tau } ( \omega I - A ) ^ { \alpha } T _ { - 1 } ( \tau - s ) B u ( s ) d s \Big \| _ { X } } \\ & { \qquad \qquad + \int _ { 0 } ^ { t } \big \| ( \omega I - A ) ^ { \alpha } T ( t - s ) \big \| \big \| f ( x ( s ) , u ( s ) ) \big \| _ { X } d s . } \end{array}
\begin{array} { l l l } { { f _ { 0 } } } & { { = } } & { { x _ { 1 } x _ { 2 } x _ { 3 } x _ { 4 } \; , } } \\ { { f _ { 1 } } } & { { = } } & { { x _ { 1 } + x _ { 4 } + x _ { 1 } x _ { 4 } \left( Q ^ { 1 / 2 } + x _ { 2 } + x _ { 3 } \right) \; . } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { [ \varepsilon _ { a } + \varepsilon _ { b } ] t _ { i j } ^ { a b } } \\ & { \qquad - \sum _ { k l } \bigg [ \bigg ( F _ { i k } + \frac { W _ { i k } } { 2 } \bigg ) \delta _ { j l } + \delta _ { i k } \bigg ( F _ { j l } + \frac { W _ { j l } } { 2 } \bigg ) \bigg ] t _ { k l } ^ { a b } } \\ & { \qquad \qquad = - \mathbb { I } _ { i j a b } } \end{array}
\phi _ { 1 } ( x + y ) = { \frac { \biggl | \begin{array} { l l } { { \phi _ { 2 } ( x ) } } & { { \phi _ { 2 } ( y ) } } \\ { { \phi _ { 3 } ( x ) } } & { { \phi _ { 3 } ( y ) } } \end{array} \biggr | } { \biggl | \begin{array} { l l } { { \phi _ { 4 } ( x ) } } & { { \phi _ { 4 } ( y ) } } \\ { { \phi _ { 5 } ( x ) } } & { { \phi _ { 5 } ( y ) } } \end{array} \biggr | } }
\left. { \frac { d \sigma ^ { B F K L } } { d \sigma ^ { 2 G } } } \right| _ { Q ^ { 2 } > > q ^ { 2 } } \approx 0 . 0 1 \cdot { \frac { Q ^ { 2 } } { q ^ { 2 } } } { \frac { \exp { ( 2 \rho \ln { 4 } ) } } { \rho ^ { 3 } } } \ .
\begin{array} { r l } { k _ { 1 } } & { = k _ { \mathrm { N } } \cos \psi + \frac { ( k _ { z } - k _ { 3 } \cos \theta ) \sin \psi } { \sin \theta } = \frac { A _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } \sin \theta \left[ ( 1 - s _ { 1 } \cos 2 \phi ) \cos \theta \cos \psi + s _ { 1 } \sin \psi \sin 2 \phi \right] \; , } \\ { k _ { 2 } } & { = - k _ { \mathrm { N } } \sin \psi + \frac { ( k _ { z } - k _ { 3 } \cos \theta ) \cos \psi } { \sin \theta } = - \frac { A _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } \sin \theta [ ( 1 - s _ { 1 } \cos 2 \phi ) \cos \theta \sin \psi - s _ { 1 } \cos \psi \sin 2 \phi ] \; , } \\ { k _ { 3 } } & { = - \frac { A _ { 3 } ^ { 2 } } { 2 } \left[ ( 1 - s _ { 1 } \cos 2 \phi ) \sin ^ { 2 } { \theta } \sin { \psi } \cos \psi + s _ { 1 } ( \cos \theta \cos 2 \psi \sin 2 \phi + \sin 2 \psi \cos 2 \phi ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { y \in D ^ { \prime } } [ \mathbb { P } _ { y } ( \tau _ { D ^ { \prime } } \le t + \delta / 4 ) - \mathbb { P } _ { y } ( \tau _ { D _ { m } } \le t ) ) ] } \\ & { \le \operatorname* { s u p } _ { y \in D ^ { \prime } } [ \mathbb { P } _ { y } ( \tau _ { D ^ { \prime } } \le t + \delta / 4 ) - \mathbb { P } _ { y } ( \tau _ { D ^ { \prime } } \le t - \delta / 4 ) ] + \operatorname* { s u p } _ { y \in D ^ { \prime } } \mathbb { P } _ { y } ( | \tau _ { D _ { m } } - \tau _ { D ^ { \prime } } | > \delta / 4 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { X } } & { \triangleq \bigcap _ { i _ { x } = 1 } ^ { N _ { s } } \left\{ x : \alpha _ { x , i _ { x } } ^ { \top } x \leq \beta _ { x , i _ { x } } \right\} , } \\ { \mathcal { U } } & { \triangleq \bigcap _ { i _ { u } = 1 } ^ { N _ { c } } \left\{ u : \alpha _ { u , i _ { u } } ^ { \top } u \leq \beta _ { u , i _ { u } } \right\} , } \end{array}
\psi _ { 1 2 } = { \frac { 1 } { P _ { 1 2 0 } - E _ { 1 } - E _ { 2 } } } V _ { 1 2 } ( P _ { 1 2 0 } ) \, \psi _ { 1 2 } , \qquad ( p _ { 3 0 } - h _ { 3 } ) \, \psi _ { 3 } = 0 ,
p _ { D j } = - \left( \frac { k _ { D } z _ { j } } { z _ { 2 } - z _ { 1 } } \right) ^ { D + 1 } \frac { J _ { D } ( B _ { 1 } , B _ { 2 } ) } { 2 ^ { D - 1 } \pi ^ { D / 2 } \Gamma ( D / 2 ) } , \quad j = 1 , 2 .
\Gamma = \frac { 1 } { \tau _ { B _ { s } } } = \frac { \Gamma _ { H } + \Gamma _ { L } } { 2 } , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \Delta m = M _ { H } - M _ { L } ~ ~ ~ ~ ~ ~ \mathrm { a n d } ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \Delta \Gamma = \Gamma _ { H } - \Gamma _ { L } \; .
\begin{array} { r } { b _ { 0 } \left[ \frac { 1 - \Gamma _ { 0 } + \alpha _ { 0 } ^ { ( 2 ) } / \omega _ { 0 } ^ { 2 } } { b _ { 0 } } \delta \phi _ { 0 } - \frac { k _ { \parallel 0 } ^ { 2 } V _ { A } ^ { 2 } } { \omega _ { 0 } ^ { 2 } } \delta \psi _ { 0 } \right] = D _ { 2 } \delta \phi _ { 1 } \delta \phi _ { s } , } \end{array}
\pi _ { \mu } = \frac { \delta \mathcal { L } } { \delta \dot { Z } ^ { \mu } } = - \frac { 1 } { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } G _ { \mu \nu } \left( h ^ { \tau \tau } \dot { Z } ^ { \nu } + h ^ { \tau \sigma } Z ^ { \nu \prime } \right) \ ,
\mathrm { P R } ( n ) = \frac { \left( \sum _ { i = 1 } ^ { 2 \mathcal { N } } | \Psi _ { i } ( n ) | ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } { \sum _ { i = 1 } ^ { 2 \mathcal { N } } | \Psi _ { i } ( n ) | ^ { 4 } } .
R ( t ) = | a _ { S } | ^ { 2 } e ^ { - \gamma _ { S } t } + | a _ { L } \eta | ^ { 2 } e ^ { - \gamma _ { L } t } + 2 | a _ { S } | | a _ { L } | | \eta | e ^ { - ( \gamma _ { L } + \gamma _ { S } ) { \frac { t } { 2 } } } \cos ( \Delta m t + \varphi )
\begin{array} { r l r } { \hat { \eta } ^ { \prime } ( t ) } & { = } & { - \frac { \frac 1 2 { \sigma } _ { H } ^ { 2 } \Big ( w _ { \xi } ( \hat { \eta } ( t ) + , t ) + w ( \hat { \eta } ( t ) + , t ) \Big ) + \delta \Big ( w ( \hat { \eta } ( t ) + , t ) + \gamma \Big ) } { w ( \hat { \eta } ( t ) + , t ) } } \\ & { = } & { - \frac { \frac 1 2 { \sigma } _ { L } ^ { 2 } \Big ( w _ { \xi } ( \hat { \eta } ( t ) - , t ) + w ( \hat { \eta } ( t ) - , t ) \Big ) + \delta \Big ( w ( \hat { \eta } ( t ) - , t ) + \gamma \Big ) } { w ( \hat { \eta } ( t ) - , t ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { i } } & { { } = \Big ( \psi _ { 0 } ( n _ { i } + \beta + 2 ) - \psi _ { 0 } ( N + K \beta + 2 ) \Big ) ^ { 2 } \, + \psi _ { 1 } ( n _ { i } + \beta + 2 ) - \psi _ { 1 } ( N + K \beta + 2 ) \; ; } \end{array}
\begin{array} { r } { D _ { s = s _ { 0 } } \operatorname { b a r } _ { s } ( \mu ) = - Q _ { s _ { 0 } } ^ { - 1 } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } w _ { i } \left( D _ { s = s _ { 0 } } d _ { s } ( x _ { 0 } , z _ { i } ) \otimes \nabla _ { x = x _ { 0 } } ^ { s _ { 0 } } d _ { s _ { 0 } } ( x , z _ { i } ) + d _ { s _ { 0 } } ( x _ { 0 } , z _ { i } ) D _ { s = s _ { 0 } } \nabla _ { x = x _ { 0 } } ^ { s } d _ { s } ( x , z _ { i } ) \right) \right) } \end{array}
s _ { n } ( \ensuremath { \mathbf { y } } ; \ensuremath { \mathbf { x } } , \boldsymbol { \lambda } , \mathbf { l } , \mathbf { c } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \lambda _ { i } \phi ( r ( \ensuremath { \mathbf { y } } , \ensuremath { \mathbf { x } } _ { i } , \textbf { l } ) ) + p ( \ensuremath { \mathbf { y } } , \mathbf { c } ) ,
\begin{array} { r l } { A _ { 1 } \cap B _ { 1 } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 \leq x \leq \frac { \sigma r } { 2 } \qquad \textrm { i f } 0 \leq z \leq \frac { \sigma } { 2 } } \\ { 0 \leq x \leq \left( \frac { \sigma r } { 2 } - \sigma z \right) \left( 1 - \frac { \sigma } { r } \right) ^ { - 1 } \qquad \textrm { i f } \frac { \sigma } { 2 } \leq z \leq \frac { r } { 2 } } \\ { - \sigma z \left( 1 - \frac { \sigma } { r } \right) ^ { - 1 } \leq x \leq \frac { \sigma r } { 2 } \qquad \textrm { i f } \frac { \sigma } { 2 } - \frac { r } { 2 } \leq z \leq 0 } \end{array} \right. , } \end{array}
\vec { J } ^ { ( n ) } = \sum _ { n } ( J _ { \rho } ^ { ( n ) } \hat { \rho } + J _ { \phi } ^ { ( n ) } \hat { \phi } ) e ^ { - j n K s ( \vec { \rho } ) } H _ { 1 } ^ { ( 2 ) } ( \tilde { k } _ { 0 } \rho )
A = \frac { 1 } { 2 } { \eta } _ { \mu \nu } ^ { j } \sigma _ { j } \partial _ { \mu } \ln \Biggl ( 1 + \sum _ { i = 1 } ^ { k } \frac { \lambda _ { i } ^ { 2 } } { | x + \alpha _ { i } | ^ { 2 } } \Biggr ) d x _ { \nu } .
\begin{array} { r l } { \dot { x } _ { \textup { F } } } & { = - x _ { \textup { F } } { + } \Phi ( W x _ { \textup { F } } + u _ { \textup { F } } ) : = f _ { \textup { F } } ( x _ { \textup { F } } , u _ { \textup { F } } ) , } \\ { \dot { x } _ { \textup { H } } } & { = { - } x _ { \textup { H } } { + } W \Phi ( x _ { \textup { H } } ) { + } u _ { \textup { H } } : = f _ { \textup { H } } ( x _ { \textup { H } } , u _ { \textup { H } } ) , } \end{array}
\vec { e } = \frac { { R e \left\{ ( E _ { x } ^ { ( \omega ) } , E _ { y } ^ { ( \omega ) } , E _ { z } ^ { ( \omega ) } ) \right\} } } { \sqrt { { \left| E _ { x } ^ { ( \omega ) } \right| ^ { 2 } } + { \left| E _ { y } ^ { ( \omega ) } \right| ^ { 2 } } + { \left| E _ { z } ^ { ( \omega ) } \right| ^ { 2 } } } }
S _ { E H } = \int _ { \cal M } \sqrt { - g } ~ \left( { \frac { m _ { P l } ^ { 2 } } { 1 6 \pi } } { \cal R } - 2 \Lambda + { \frac { 1 } { 2 } } \partial _ { \mu } \sigma \partial ^ { \mu } \sigma \right) ~ d ^ { 4 } x ~ ~ ~ ,
\begin{array} { r l } { H ^ { \prime } = } & { { } \sum _ { p q } h _ { p q } E _ { p q } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { p q r s } g _ { p q r s } e _ { p q r s } + h _ { n u c } } \\ { = } & { { } H ^ { l } + V ^ { ( 1 ) } + V ^ { ( 2 ) } , } \end{array}