harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \prod _ { i , j } \frac { 1 + y _ { i } z _ { j } } { 1 - x _ { i } z _ { j } } \frac { 1 + x _ { i } w _ { j } } { 1 - y _ { i } w _ { j } } s _ { \nu ; a , b } ( x / y ) } & { = \sum _ { \nu \subset \lambda } s _ { \lambda ; a , b } ( x / y ) \widehat { s } _ { \lambda / \nu ; a , b } ( z / w ) , } \\ { \prod _ { i , j } \frac { 1 + y _ { i } z _ { j } } { 1 - x _ { i } z _ { j } } \frac { 1 + x _ { i } w _ { j } } { 1 - y _ { i } w _ { j } } \widehat { s } _ { \mu ; a , b } ( z / w ) } & { = \sum _ { \mu \subset \lambda } \widehat { s } _ { \lambda ; a , b } ( z / w ) s _ { \lambda / \mu ; a , b } ( x / y ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p ^ { - } } & { { } \equiv \frac { e ^ { - \beta } } { e ^ { - \alpha } + e ^ { - \beta } } \equiv \frac { y } { x + y } , } \\ { p ^ { + } } & { { } \equiv \frac { e ^ { - \alpha } } { e ^ { - \alpha } + e ^ { - \beta } } \equiv \frac { x } { x + y } . } \end{array}
\frac { \ddot { a } } { a } \, + \, 2 \left( \frac { \dot { a } } { a } \right) ^ { \! \! 2 } = \, \frac { 1 } { a ^ { 3 } } \, \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } a } { \mathrm { d } \eta ^ { 2 } } \, + \, \frac { 1 } { a ^ { 4 } } \left( \frac { \mathrm { d } a } { \mathrm { d } \eta } \right) ^ { \! \! 2 } = \, 4 \pi \, G ( \rho - p ) \, .
\left\{ \begin{array} { r c l } { { G ^ { ( 1 0 - n ) } } } & { { = } } & { { ( - 1 ) ^ { \left[ n / 2 \right] } { } ^ { \star } G ^ { ( n ) } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { H ^ { ( 7 ) } } } & { { = } } & { { e ^ { - 2 \phi } { } ^ { \star } H \, , } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \widetilde R _ { N } ( { \bf 0 } ) } & { = } & { - { \bf Q } ^ { [ N - 1 , N ] } ( { \bf Q } ^ { [ N , N ] } - s { \bf I } ) ^ { - 1 } , } \\ { \widetilde { \bf R } ^ { ( n ) } ( s ) } & { = } & { - { \bf Q } ^ { [ n - 1 , n ] } ( { \bf Q } ^ { [ n , n ] } - s { \bf I } + \widetilde { \bf R } ^ { ( n + 1 ) } ( s ) { \bf Q } ^ { [ n + 1 , n ] } ) ^ { - 1 } . } \end{array}
O _ { 2 } = { \langle } ( ( \stackrel { \leftrightarrow } { \pi } : \vec { q } ^ { \: * } \otimes { \vec { u } _ { k } ^ { \: m l * } ) } . { \vec { f } _ { l } ^ { ( 1 ) } } ) . { \vec { f } _ { m } ^ { ( 2 ) * } } { \rangle } .
{ \bf \chi } = \left( \begin{array} { c } { { \chi ^ { - } } } \\ { { \chi ^ { -- } } } \\ { { \chi ^ { 0 } } } \end{array} \right) \sim \left( { \bf 3 } , { \bf - 1 } \right) , \qquad { \bf \rho } = \left( \begin{array} { c } { { \rho ^ { + } } } \\ { { \rho ^ { 0 } } } \\ { { \rho ^ { + + } } } \end{array} \right) \sim \left( { \bf 3 } , { \bf 1 } \right) , \qquad { \bf \eta } = \left( \begin{array} { c } { { \eta ^ { 0 } } } \\ { { \eta _ { 1 } ^ { - } } } \\ { { \eta _ { 2 } ^ { + } } } \end{array} \right) \sim \left( { \bf 3 } , { \bf 0 } \right) .
\begin{array} { r l } { u _ { i } ^ { > } \left( m , \omega \right) = } & { { } \; u _ { i } ^ { > } \left( x , y , z , m , t , \omega \right) } \\ { = } & { { } \int \hat { u } _ { i } \left( x , y , m ^ { \prime } , \omega ^ { \prime } \right) \delta \left( | \omega ^ { \prime } | - \omega \right) \Theta \left( | m ^ { \prime } | - | m | \right) } \end{array}
d s ^ { 2 } = { \frac { l _ { 1 } l _ { 2 } } { \sqrt { \alpha } } } \, e ^ { Q ( \alpha , \beta ) / 2 } \, ( - d \alpha ^ { 2 } + d \beta ^ { 2 } ) + \alpha { \left( e ^ { V ( \alpha , \beta ) } d x ^ { 2 } + e ^ { - V ( \alpha , \beta ) } d y ^ { 2 } \right) } ,
\operatorname * { l i m } _ { \beta \to 0 } \sum _ { n = 0 } \frac { e ^ { - \beta ( n + 1 / 2 ) } } { n ! } H _ { n } ( \xi _ { 1 } x _ { 1 } ) H _ { n } ( \xi _ { 2 } x _ { 2 } ) \exp \Bigl [ - \frac { \xi _ { 1 } ^ { 2 } x _ { 1 } ^ { 2 } + \xi _ { 2 } ^ { 2 } x _ { 2 } ^ { 2 } } { 4 } \Bigr ] = \sqrt { \frac { \pi } { 2 } } \delta \Bigl ( \frac { \xi _ { 1 } } { 2 } x _ { 1 } - \frac { \xi _ { 2 } } { 2 } x _ { 2 } \Bigr ) .
\begin{array} { r } { d \sigma ^ { ( 1 ) } = \frac { R _ { 1 } c _ { V 2 } } { ( c _ { V } \rho ) ^ { 2 } } ( \rho _ { 2 } d \rho _ { 1 } - \rho _ { 1 } d \rho _ { 2 } ) , } \\ { d \sigma ^ { ( 2 ) } = - \frac { R _ { 2 } c _ { V 1 } } { ( c _ { V } \rho ) ^ { 2 } } ( \rho _ { 2 } d \rho _ { 1 } - \rho _ { 1 } d \rho _ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \tilde { Q } u - \tilde { Q } u ^ { * } \| } & { = \| E ^ { - 1 } ( v E \left[ Q u \right] ) - E ^ { - 1 } ( v E \left[ Q u ^ { * } \right] ) \| } \\ & { = \| \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( \frac { 1 } { v ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } ( Q v - Q v ^ { * } ) e ^ { - v t } d t \right) e ^ { v t } v d v \| } \\ & { \leq \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( \frac { 1 } { v } \int _ { 0 } ^ { \infty } \| Q u - Q u ^ { * } \| e ^ { - v t } d t \right) e ^ { v t } d p } \\ & { \leq \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( \frac { 1 } { v } \int _ { 0 } ^ { \infty } \delta \| u - u ^ { * } \| e ^ { - v t } d t \right) e ^ { v t } d v } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { v } \mathcal { L } ( \delta \| u - u ^ { * } \| ) e ^ { v t } d v } \\ { = \mathcal { L } ^ { - 1 } \left\{ \frac { 1 } { v } \mathcal { L } ( \delta \| u - u ^ { * } \| ) \right\} = \delta t _ { 0 } \| u - u ^ { * } \| = \Delta \| u - u ^ { * } \| . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \{ v _ { i } ( \vec { r \, } ) , v _ { j } ( \vec { r } \, ^ { \prime } ) \} } & { { } = \epsilon _ { i j k } \, \omega _ { k } ( \vec { r \, } ) \, \delta ( \vec { r } - \vec { r } \, ^ { \prime } ) \, , } \\ { \{ v _ { i } ( \vec { r \, } ) , \ell _ { j } ( \vec { r } \, ^ { \prime } ) \} } & { { } = \partial _ { i } \ell _ { j } ( \vec { r \, } ) \, \delta ( \vec { r } - \vec { r } \, ^ { \prime } ) \, , } \\ { \{ v _ { i } ( \vec { r \, } ) , M _ { j } ( \vec { r } \, ^ { \prime } ) \} } & { { } = \partial _ { i } M _ { j } ( \vec { r \, } ) \, \delta ( \vec { r } - \vec { r } \, ^ { \prime } ) \, , } \\ { \{ \ell _ { i } ( \vec { r \, } ) , \ell _ { j } ( \vec { r } \, ^ { \prime } ) \} } & { { } = \epsilon _ { i j k } \, \ell _ { k } ( \vec { r \, } ) \, \delta ( \vec { r } - \vec { r } \, ^ { \prime } ) \, , } \\ { \{ \ell _ { i } ( \vec { r \, } ) , M _ { j } ( \vec { r } \, ^ { \prime } ) \} } & { { } = \epsilon _ { i j k } \, M _ { k } ( \vec { r \, } ) \, \delta ( \vec { r } - \vec { r } \, ^ { \prime } ) \, , } \end{array}
I [ f _ { 1 } , f _ { 2 } , \dots , f _ { m } ] = \int _ { \Omega } { \mathcal { L } } ( x _ { 1 } , \dots , x _ { n } , f _ { 1 } , \dots , f _ { m } , f _ { 1 , 1 } , \dots , f _ { 1 , n } , \dots , f _ { m , 1 } , \dots , f _ { m , n } ) \, \mathrm { d } \mathbf { x } \, \! ~ ; ~ ~ f _ { i , j } : = { \cfrac { \partial f _ { i } } { \partial x _ { j } } }
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } [ P ^ { \prime } ] = \mathrm { ~ E ~ } \left[ \left( P ^ { \prime } \sqrt { \frac { \mathrm { ~ E ~ } [ I ^ { 2 } ] } { \mathrm { ~ E ~ } [ P ^ { 2 } ] } } - I \right) ^ { 2 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - \frac { \partial A ( z ) } { \partial z } } & { { } = \left< - \nabla U \cdot \frac { \nabla \xi } { | \nabla \xi | ^ { 2 } } + { k _ { \mathrm { B } } T } \left[ \nabla \cdot \frac { \nabla \xi } { | \nabla \xi | ^ { 2 } } \right] \right> _ { z } } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { ( s , P , Q ) \not = ( s ^ { \prime } , P ^ { \prime } , Q ^ { \prime } ) } \xi _ { s , P , Q } ( v ) \sum _ { { \mathcal O } _ { N _ { \bullet } } \in T _ { s , P , Q } } v ^ { - \langle \hat { P } + \hat { Q } , \hat { P } + \hat { Q } \rangle } \zeta _ { K _ { P } \oplus K _ { Q } ^ { * } , M _ { s \bullet } } ^ { N _ { \bullet } } ( v ) I _ { N _ { \bullet } } ^ { * } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( ( \gamma - \omega _ { 0 } ) + 2 \omega _ { 0 } ) ^ { k } } & { { } = } & { \sum _ { i = 0 } ^ { k } \binom { k } { i } ( \gamma - \omega _ { 0 } ) ^ { k - i } ( 2 \omega _ { 0 } ) ^ { i } } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { P _ { J } ( w _ { n + 1 } \vert w _ { E } ) } & { { } \propto \exp \left[ - \left\vert \frac { w _ { E } - w _ { n + 1 } } { w _ { E } c _ { E } } \right\vert ^ { \gamma } \right. } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vert u _ { 1 } ( d ) \vert } & { \le 3 ( c \eta ) ^ { - \gamma _ { 2 } } L M , } \\ { \vert u _ { 2 } ( d ) \vert } & { \le 7 \pi ( c \eta ) ^ { \gamma _ { 1 } } L M , } \\ { \vert u _ { 3 } ( d ) \vert } & { \le 7 \pi ( \frac 5 \eta ) ^ { 2 } ( c \eta ) ^ { \gamma _ { 1 } } L M + 2 M _ { 1 } , } \\ { \vert w ( k _ { n } , d ) \vert } & { \le 7 \pi ( \frac 5 \eta ) ^ { \vert n \vert - 1 } ( c \eta ) ^ { \gamma _ { 1 } } L M + 2 M _ { n } , } \\ { \vert j ( k _ { n } , d ) \vert } & { \le \frac 4 { \beta \eta ^ { 2 } } ( 7 \pi ( \frac 5 \eta ) ^ { \vert n \vert - 1 } ( c \eta ) ^ { \gamma _ { 1 } } L M + 2 M _ { n } ) , } \\ { \vert j ( k _ { 0 } , d ) \vert } & { \le \frac { 4 } \beta \operatorname* { m i n } ( \kappa _ { k _ { 0 } } \pi d ^ { 2 } , 1 ) ( c \eta ) ^ { - \gamma _ { 2 } } L M . } \end{array}
{ [ } L _ { n } , \psi ( L _ { - 1 } \xi | z ) { ] } = \sum _ { k = - 1 } ^ { l ( n ) } z ^ { n - k } \left( { n + 1 \atop k + 1 } \right) \left( \frac { n - k } { z } \psi ( L _ { k } \xi | z ) + \psi ( L _ { - 1 } L _ { k } \xi | z ) \right)
\delta { \cal P } _ { \Delta i _ { 1 } \cdots i _ { p - 2 k - 1 } } = - \tilde { \gamma } _ { i _ { 1 } \cdots i _ { p - 2 k - 1 } } ^ { ( \Delta ) } , \; \Delta = 1 , 2 , \; k = 0 , \ldots , a ,
\begin{array} { r l } { Q } & { = \displaystyle { \sum _ { j } \sum _ { k , \, | \xi ^ { k } | = 1 } Q _ { k } ^ { j } ( x ) \xi ^ { k } \frac { \partial } { \partial x _ { j } } + \sum _ { j } \sum _ { k , \iota _ { 1 } , \ldots , \iota _ { k } } \frac { 1 } { k ! } Q _ { \iota _ { 1 } , \ldots , \iota _ { k } } ^ { j } ( x ) \xi ^ { 1 } \odot \cdots \odot \xi ^ { k } \frac { \partial } { \partial \xi ^ { j } } } } \\ & { = \displaystyle { \sum _ { k , \, | \xi ^ { k } | = 1 } \xi ^ { k } \left( \sum _ { j } Q _ { k } ^ { j } ( x ) \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \right) + \cdots } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | k _ { 1 } ( x ) - k _ { 2 } ( x ) | } & { \leq } & { \left( 1 + \bar { \beta } _ { 2 } \mathrm { e } ^ { \bar { \beta } _ { 2 } } \right) \mathrm { e } ^ { \bar { \beta } _ { 1 } x } \| \beta _ { 1 } - \beta _ { 2 } \| _ { \infty } } \\ & { \leq } & { \mathrm { e } ^ { 3 B } \| \beta _ { 1 } - \beta _ { 2 } \| _ { \infty } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { t } } & { \leq \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } ( 1 + \frac { 1 } { I } ) ^ { t - \ell } \bigg ( \frac { 6 4 I \tau ^ { 2 } C _ { f } ^ { 2 } \zeta _ { g , y y } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } + 3 2 I \tau ^ { 2 } \zeta _ { f } ^ { 2 } + \frac { 2 \tau ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { b _ { x } } + 1 2 8 I ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \tau ^ { 2 } \tilde { L } _ { 2 } ^ { 2 } \sum _ { \bar { \ell } = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \ell - 1 } D _ { \bar { \ell } } + 1 2 8 I ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } \tau ^ { 2 } \tilde { L } _ { 2 } ^ { 2 } \sum _ { \bar { \ell } = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \ell - 1 } B _ { \bar { \ell } } \bigg ) } \\ & { \leq \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } \bigg ( \frac { 1 9 2 I \tau ^ { 2 } C _ { f } ^ { 2 } \zeta _ { g , y y } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } + 9 6 I \tau ^ { 2 } \zeta _ { f } ^ { 2 } + \frac { 6 \tau ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { b _ { x } } + 3 8 4 I ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \tau ^ { 2 } \tilde { L } _ { 2 } ^ { 2 } \sum _ { \bar { \ell } = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \ell - 1 } D _ { \bar { \ell } } + 3 8 4 I ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } \tau ^ { 2 } \tilde { L } _ { 2 } ^ { 2 } \sum _ { \bar { \ell } = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \ell - 1 } B _ { \bar { \ell } } \bigg ) } \end{array}
G _ { k } ( \omega ) = 2 \pi \sum _ { n , n ^ { \prime } = 0 } \Gamma _ { n ^ { \prime } , n } p ( \tau ( E _ { n ^ { \prime } } - E _ { n } - \omega ) ) \delta ( \mathbf { p } _ { n ^ { \prime } } - \mathbf { p } _ { n } - \bf k ) ,
\begin{array} { r l r l } & { \left( \varphi _ { 3 } ( z ) ^ { { \beta } } \right) _ { + } = \left( \varphi _ { 3 } ( z ) ^ { { \beta } } \right) _ { - } e ^ { 2 \pi i { \beta } } , \quad } & { z } & { \in ( z _ { 2 , - } , z _ { 1 , - } ) , } \\ & { \left( \varphi _ { 3 } ( z ) ^ { { \beta } } \right) _ { + } = \left( \varphi _ { 3 } ( z ) ^ { { \beta } } \right) _ { - } , \quad } & { z } & { \in ( z _ { 1 , - } , z _ { 2 , + } ) . } \end{array}
\overline { { { \Psi } } } _ { L } \partial \! \! \! / \Psi _ { L } \to \overline { { { \Psi } } } _ { L } e ^ { - i \beta ( \hat { C } _ { + } ^ { \dagger } - \hat { C } _ { - } ^ { \dagger } ) } e ^ { i \beta ( \hat { C } _ { + } - \hat { C } _ { - } ) } \partial \! \! \! / \Psi _ { L } ,
\begin{array} { r l r l } { t _ { 1 } } & { = - \frac { \lambda ^ { 3 } + 2 - 2 \sqrt { \lambda ^ { 3 } + 1 } } { \lambda ^ { 3 } } , } & & { t _ { 2 } = - t _ { 1 } , } \\ { A _ { 1 } } & { = \frac { \lambda ^ { 3 } + 2 - 2 \sqrt { \lambda ^ { 3 } + 1 } } { 4 \sqrt { \lambda ^ { 3 } + 1 } } , } & & { B _ { 1 } = \frac { - \lambda ^ { 3 } - 2 - 2 \sqrt { \lambda ^ { 3 } + 1 } } { 4 \sqrt { \lambda ^ { 3 } + 1 } } , } \\ { A _ { 2 } } & { = \frac { - \lambda ^ { 3 } + 2 + 2 \sqrt { \lambda ^ { 3 } + 1 } } { 4 \sqrt { \lambda ^ { 3 } + 1 } } , } & & { B _ { 2 } = \frac { \lambda ^ { 3 } - 2 + 2 \sqrt { \lambda ^ { 3 } + 1 } } { 4 \sqrt { \lambda ^ { 3 } + 1 } } . } \end{array}
r = \frac { N _ { 0 } M _ { 1 1 } + N _ { 0 } N _ { s } M _ { 1 2 } - M _ { 2 1 } - N _ { s } M _ { 2 2 } } { N _ { 0 } M _ { 1 1 } + N _ { 0 } N _ { s } M _ { 1 2 } + M _ { 2 1 } + N _ { s } M _ { 2 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \mathscr { F } _ { u b } \left( K , L \right) } & { = \left\{ f : T _ { f } \mathrm { ~ i s ~ c l o s a b l e } \right\} , \; \mathrm { a n d } } \\ { \mathscr { F } _ { b } \left( K , L \right) } & { = \left\{ f : T _ { f } \mathrm { ~ i s ~ b o u n d e d ~ f r o m ~ \ensuremath { \mathscr { H } _ { K } } ~ i n t o ~ \ensuremath { \mathscr { H } _ { L } } } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { r _ { k } } s _ { k } = - \frac { p _ { k } } { r _ { k } ^ { 2 } \theta } , \ \ \partial _ { \varepsilon _ { k } } s _ { k } = \frac { 1 } { \theta } , \ \ k = 1 , 2 ; } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \qquad \mathscr { L } _ { 1 } ( \dot { g } , \dot { A } ) = D _ { g } \mathrm { R i c } ( \dot { g } ) - 2 D _ { ( g , d A ) } T ( \dot { g } , \dot { A } ) , } \\ & { \qquad \mathscr { L } _ { 2 } ( \dot { g } , \dot { A } ) = D _ { ( g , A ) } ( \delta _ { ( \cdot ) } d ( \cdot ) ) ( \dot { g } , \dot { A } ) . } \end{array}
\left\vert c _ { k , l } ^ { j } \right\vert \leq C _ { H } ( \boldsymbol { f } ) \left( n _ { k } ^ { j } \right) ^ { \alpha + \frac { 1 } { 2 } } , \quad \left\vert d _ { k , l } ^ { j } \right\vert \leq C _ { H } ( \boldsymbol { f } ) \left( n _ { k } ^ { j } \right) ^ { \alpha + \frac { 1 } { 2 } }
N _ { e } \approx \frac { 3 } { 2 } \int _ { x _ { e n d } } ^ { x _ { s t a r t } } \frac { x + ( 1 - x ) \ln ( 1 - x ) } { [ 2 ( x - 1 ) \ln ( 1 - x ) - x ] ( 1 - x ) } d x .
\begin{array} { r l } { t _ { c } = } & { { } \frac { \sqrt { A + B } } { A } - \frac { B } { 2 A ^ { 3 / 2 } } \log \left( \frac { \sqrt { A + B } + \sqrt { A } } { \sqrt { A + B } - \sqrt { A } } \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { 2 I m \int _ { \mathbb { R } } J ( | u | ^ { 2 p } u ) ( \overline { { J u } } ) d x = \frac { 4 ( 2 - p ) t } { ( p + 1 ) } \| u \| _ { L ^ { 2 ( p + 1 ) } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 ( p + 1 ) } - \frac { d } { d t } \left[ \frac { 4 t ^ { 2 } } { ( p + 1 ) } \| u \| _ { L ^ { 2 ( p + 1 ) } ( \mathbb { R } ) } ^ { 2 ( p + 1 ) } \right] . } \end{array}
L ( \mathbf { u } _ { \mathrm { ~ e ~ s ~ t ~ } } , \mathbf { u } ) = \left\langle \frac { \left\Vert \mathbf { u } - \mathbf { u } _ { \mathrm { ~ e ~ s ~ t ~ } } \right\Vert _ { 2 } ^ { 2 } } { \left\Vert \mathbf { u } \right\Vert _ { 2 } ^ { 2 } } \right\rangle _ { \mathbf { u } , \eta } .
\frac { c \hat { b } } { e B _ { \parallel } } \times \mu _ { g y } \nabla _ { g y } B ( X _ { g y } ) \boldsymbol { \cdot } \nabla _ { g y } F _ { e } = \frac { c \hat { b } } { e B _ { \parallel } } \times \mu _ { g y } \nabla _ { g y } B ( X _ { g y } ) \boldsymbol { \cdot } \nabla _ { \perp g y } \delta F _ { e } = 0 .
\frac { d p _ { i } ( t ) } { d t } = - p _ { i } ( t ) + p _ { i } ( t ) U _ { i } ( t ) - \tau _ { i } [ \frac { d p _ { i } ( t ) } { d t } U _ { i } ( t ) + p _ { i } ( t ) \frac { d U _ { i } ( t ) } { d t } ] ,
\sum _ { i = 1 } ^ { k ^ { \prime } } ( - 1 ) ^ { h + i + 1 } \operatorname* { d e t } ( ( M _ { i , h } ^ { \prime } ) _ { \mathbb { Z } _ { m } } ) ( m _ { i , k ^ { \prime } + 1 } x _ { k ^ { \prime } + 1 } ^ { 1 } + \dots + m _ { i , k } x _ { k } ^ { 1 } ) = \operatorname* { d e t } ( ( M ^ { \prime } ) _ { \mathbb { Z } _ { m } } ) x _ { j } ^ { 1 } .
\tilde { \mathcal { J } } = \frac { J _ { m } ^ { \prime } ( \tilde { U } ) } { \tilde { U } J _ { m } ( \tilde { U } ) } \, , \qquad \tilde { \mathcal { K } } = \frac { K _ { m } ^ { \prime } ( \tilde { W } ) } { \tilde { W } K _ { m } ( \tilde { W } ) } \, .
\b { x } ( t ) \approx \mathbb { P } _ { : } \b { x } ( t ) = \b { V } \left( \b { P } ^ { \mathrm { T } } \b { V } \right) ^ { - 1 } \b { P } ^ { \mathrm { T } } \b { x } ( t ) = \b { V } \left( \b { P } ^ { \mathrm { T } } \b { V } \right) ^ { - 1 } \b { a } ( t )
\left. \mathrm { T r } K _ { \delta } ^ { ( 0 ) } ( s ) \right| _ { { \cal C } _ { \beta } } = { \frac { \beta } { 2 \pi } } \left. \mathrm { T r } K ^ { ( 0 ) } ( s ) \right| _ { R ^ { 2 } } + { \frac { 1 } { 8 \pi i s } } \int _ { 0 } ^ { \infty } r d r \int _ { A } d z { \frac { \exp i { \frac { ( \delta - \pi ) } { \beta } } z } { \sin { \frac { \pi } { \beta } } z } } \exp { \frac { r ^ { 2 } \sin ^ { 2 } { \frac { z } { 2 } } } { s } } ~ ~ ~ ,
\tan { \frac { E _ { 1 2 } } { 2 } } = { \frac { \sin { \frac { 1 } { 2 } } ( \beta _ { 2 } + \beta _ { 1 } ) } { \cos { \frac { 1 } { 2 } } ( \beta _ { 2 } - \beta _ { 1 } ) } } \tan { \frac { \omega _ { 1 2 } } { 2 } } .
\begin{array} { r l } & { ( \| x \| _ { 1 } + \| y \| _ { 1 } ) \| x - y \| _ { 1 } - \| x - y \| _ { 1 } ^ { 2 } - 2 \langle x , y \rangle \| x - y \| _ { 1 } } \\ { = } & { ( \| x ^ { \prime } \| _ { 1 } + \| y ^ { \prime } \| _ { 1 } ) \| x ^ { \prime } - y ^ { \prime } \| _ { 1 } - \| x ^ { \prime } - y ^ { \prime } \| _ { 1 } ^ { 2 } - 2 \langle x ^ { \prime } , y ^ { \prime } \rangle \| x ^ { \prime } - y ^ { \prime } \| _ { 1 } } \\ { = } & { ( \| x ^ { \prime } \| _ { 1 } + \| y ^ { \prime } \| _ { 1 } ) ( \| x ^ { \prime } \| _ { 1 } - \| y ^ { \prime } \| _ { 1 } ) - ( \| x ^ { \prime } \| _ { 1 } - \| y ^ { \prime } \| _ { 1 } ) ^ { 2 } - 2 \langle x ^ { \prime } , y ^ { \prime } \rangle ( \| x ^ { \prime } \| _ { 1 } - \| y ^ { \prime } \| _ { 1 } ) } \\ { = } & { 2 ( \| x ^ { \prime } \| _ { 1 } - \| y ^ { \prime } \| _ { 1 } ) ( \| y ^ { \prime } \| _ { 1 } - \langle x ^ { \prime } , y ^ { \prime } \rangle ) } \\ { = } & { 2 \sum _ { i } ( x _ { i } ^ { \prime } - y _ { i } ^ { \prime } ) \sum _ { i } ( 1 - x _ { i } ^ { \prime } ) y _ { i } ^ { \prime } \geq 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Phi ( { \boldsymbol y } ) = \frac { 1 } { 4 } \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } B _ { i j } ( y _ { i } - y _ { j } ) ^ { 2 } + \sum _ { k = 1 } ^ { N } ( \sigma _ { k } u _ { k } y _ { k } + \frac { 1 } { 2 } ( \lambda _ { k } - 1 ) y _ { k } ^ { 2 } ) . } \end{array}
P ( \vec { k } _ { 1 } , \dots , \vec { k } _ { n } \, | \, \rho ) \approx \frac { N ^ { n } } { n ! } \sum _ { i } s _ { i } \exp \left( - N \int _ { D } I ( \vec { R } _ { i } \vec { k } ) \, \mathrm d \vec { k } \right) \prod _ { j = 1 } ^ { n } I ( \vec { R } _ { i } \vec { k } _ { j } )
\begin{array} { r } { v _ { \mathcal { U } _ { p } ^ { s } } ^ { * } ( s ) = \sum _ { a } \pi _ { \mathcal { U } _ { p } ^ { s } } ^ { * } ( a | s ) \Bigm [ - \bigm ( \alpha _ { s } + \gamma \beta _ { s } \kappa _ { q } ( v ) \bigm ) \lVert \pi _ { \mathcal { U } _ { p } ^ { s } } ^ { * } ( \cdot | s ) \rVert _ { q } + Q _ { \mathcal { U } _ { p } ^ { s } } ^ { * } ( s , a ) \Bigm ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ \frac { d \tilde { P } ( \alpha ) } { d \alpha } | _ { \alpha = 0 } \right] _ { ( s _ { t } , \eta _ { t } , a _ { t } , \eta _ { t + 1 } ) \to ( s _ { t } ^ { \prime } , \eta _ { t } ^ { \prime } , a _ { t } ^ { \prime } , \eta _ { t + 1 } ^ { \prime } ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { d \pi _ { 2 } ^ { \alpha } ( a _ { t } ^ { \prime } , \eta _ { t + 1 } ^ { \prime } | s _ { t } ^ { \prime } , \eta _ { t } ^ { \prime } ) } { d \alpha } | _ { \alpha = 0 } P ( s _ { t } ^ { \prime } | s _ { t } , a _ { t } ) , \ \mathrm { i f ~ } \eta _ { t } ^ { \prime } = \eta _ { t + 1 } } \\ { 0 , \ \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right. } \end{array}
{ \widehat { \boldsymbol { \Sigma } } } = { \frac { 1 } { n } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( { \mathbf { x } } _ { i } - { \overline { { \mathbf { x } } } } ) ( { \mathbf { x } } _ { i } - { \overline { { \mathbf { x } } } } ) ^ { T }
\begin{array} { r l } { \tau \frac { \phi ^ { n + 1 } - \phi ^ { n } } { \Delta t } = } & { - \kappa \Delta ^ { 2 } \phi ^ { n + 1 } - \kappa \nabla ^ { 2 } \frac { G ^ { \prime } ( \phi ^ { n } ) } { \epsilon ^ { 2 } } + \kappa \frac { G ^ { \prime \prime } ( \phi ^ { n } ) } { \epsilon ^ { 2 } } \left( \nabla ^ { 2 } \phi ^ { n } - \frac { G ^ { \prime } ( \phi ^ { n } ) } { \epsilon ^ { 2 } } \right) + \gamma \left( \nabla ^ { 2 } \phi ^ { n + 1 } - \frac { G ^ { \prime } ( \phi ^ { n } ) } { \epsilon ^ { 2 } } \right) } \\ & { - M _ { \mathrm { a r e a } } \left( \int \frac { \epsilon } { 2 } | \nabla \phi ^ { n } | ^ { 2 } + \frac { 1 } { \epsilon } G ( \phi ^ { n } ) \mathrm { d } \textbf { r } - P _ { 0 } \right) | \nabla \phi ^ { n } | + \alpha \tilde { a } | \nabla \phi ^ { n } | . } \end{array}
J _ { N } ( x ) \ \ = \ \ \frac { 1 } { N _ { c } ! } \, \, \epsilon ^ { \alpha _ { 1 } \cdots \alpha _ { N _ { c } } } \, \, \Gamma _ { J J _ { 3 } , T T _ { 3 } } ^ { \{ f _ { 1 } \cdots f _ { N _ { c } } \} } \, \, \psi _ { \alpha _ { 1 } f _ { 1 } } ( x ) \cdots \psi _ { \alpha _ { N _ { c } } f _ { N _ { c } } } ( x ) \, \, ,
\begin{array} { r l } { \tilde { U } } & { { } = \int _ { 0 } ^ { t _ { e } } \tilde { u } ( \kappa ( t ) , k ( t ) ) \, \mathrm { d } t + \tilde { U } _ { e } } \\ { \tilde { u } } & { { } = e ^ { - t / \tilde { \tau } _ { e c o n } } \left[ - \tilde { \alpha } \psi _ { i } - \beta \psi _ { s } ( \kappa - \kappa ^ { * } ) ^ { 2 } \right] } \\ { \tilde { \tau } _ { e c o n } } & { { } = \left( \frac { 1 } { \tau } + \frac { 1 } { \tau _ { e c o n } } \right) ^ { - 1 } } \\ { \tilde { \alpha } } & { { } = \alpha \left( 1 + \frac { 1 } { \tau / { \tau _ { e c o n } } + \tau } \right) } \\ { \tilde { U } _ { e } } & { { } = - \tilde { \alpha } e ^ { - t _ { e } / \tilde { \tau } _ { e c o n } } \Big [ \frac { \psi _ { s , e } } { s _ { e } } i _ { e } \, \left( \frac { 1 } { 1 / \tilde { \tau } _ { e c o n } + \eta } \right) } \end{array}