harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\epsilon \left( \phi \right) = { \frac { 1 } { 1 6 \pi } } \left( \frac { m _ { P l } } { \mu } \right) ^ { 2 } \left( { \frac { \left( \phi / \mu \right) ^ { ( m - 1 ) } } { 1 - \left( 1 / m \right) \left( \phi / \mu \right) ^ { m } } } \right) ^ { 2 } \simeq { \frac { 1 } { 1 6 \pi } } \left( \frac { m _ { P l } } { \mu } \right) ^ { 2 } \left( \frac { \phi } { \mu } \right) ^ { 2 ( m - 1 ) } .
\mathbb { M } _ { ( N + 1 ) , \nu } \left( \begin{array} { l } { b _ { \nu } ^ { ( 1 ) } } \\ { 0 } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { a _ { \nu } ^ { ( N + 2 ) } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r } { \left\langle w _ { i } \left( \mathbf { r } \right) w _ { j } \left( \mathbf { r } ^ { \prime } \right) \right\rangle } & { { } = } & { \delta \left( t - t ^ { \prime } \right) \delta _ { i j } \left( \mathbf { x } - \mathbf { x } ^ { \prime } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 \, \gamma _ { 1 } = } & { { } \left[ \mathrm { ~ P ~ r ~ } _ { + } + \mathrm { ~ P ~ r ~ } _ { - } \right] , } \\ { \gamma _ { 2 } = } & { { } \left[ \mathrm { ~ P ~ r ~ } _ { + } - \mathrm { ~ P ~ r ~ } _ { - } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta h _ { \mathrm { e f f } } ( t ) = } & { { } \langle \mathrm { H G } _ { 0 1 } ^ { y } | h _ { y } \rangle \langle \mathrm { H G } _ { 0 0 } ^ { x } | h _ { x } \rangle \delta y _ { c } ( t ) } \end{array}
V _ { 4 } ( \varphi _ { c } ) = \frac { 1 } { 2 v _ { s } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } v _ { s } ^ { 2 } + \frac { 3 u ^ { 2 } v _ { s } ^ { 4 } } { 6 4 \pi ^ { 2 } } [ \mathrm { l n } \frac { v _ { s } ^ { 2 } u } { M ^ { 2 } } - 1 ] ,
\begin{array} { r l } { L ( x ( t ) , y ( t ) , \eta ) - L ( \xi , \psi , \lambda ( t ) ) } & { = o \Big ( \frac { 1 } { \sqrt { t } } \Big ) \ \mathrm { a s ~ t \to + \infty ~ } ; } \\ { \lVert ( \dot { x } ( t ) , \dot { y } ( t ) , \dot { \lambda } ( t ) ) \rVert } & { = o \Big ( \frac { 1 } { \sqrt { t } } \Big ) \ \mathrm { a s ~ t \to + \infty ~ } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\lVert \mathbf { w } _ { t } - \mathbf { w } _ { t ^ { \prime } } \right\rVert ^ { k - 1 } = ( t - t ^ { \prime } ) ^ { k - 1 } \left\lVert \frac { 1 } { t - t ^ { \prime } } \sum _ { s = t ^ { \prime } } ^ { t - 1 } \mathbf { w } _ { s + 1 } - \mathbf { w } _ { s } \right\rVert ^ { k - 1 } } & { \leq ( t - t ^ { \prime } ) ^ { k - 2 } \sum _ { s = t ^ { \prime } } ^ { t - 1 } \left\lVert \mathbf { w } _ { s + 1 } - \mathbf { w } _ { s } \right\rVert ^ { k - 1 } } \\ & { \leq \eta ^ { k - 1 } ( t - t ^ { \prime } ) ^ { k - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta g _ { \mathrm { r e d , 2 e l , l a d - W } } ^ { ( 2 ) } } & { { } = } & { - \frac { 1 } { m _ { a } } \sum _ { b } \frac { i } { \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } \omega } \end{array}
( \eta _ { 1 } , \eta _ { 2 } , \eta _ { 3 } , \eta _ { 4 } ) \sim \left\{ \begin{array} { c c } { { ( + , + , + , + ) , } } & { { \qquad ( \mathrm { a } ) } } \\ { { ( - , + , + , + ) , } } & { { \qquad ( \mathrm { b } ) } } \\ { { ( + , - , + , + ) , } } & { { \qquad ( \mathrm { c } ) } } \\ { { ( + , + , - , + ) , } } & { { \qquad ( \mathrm { d } ) } } \\ { { ( + , - , + , - ) . } } & { { \qquad ( \mathrm { e } ) } } \end{array} \right.
a _ { i j } = \left\{ \begin{array} { c c } { t _ { i j } } & { \quad \textrm { i f } \quad 1 \leq i , j \leq n } \\ { \quad } & { \quad } \\ { c _ { k j } } & { \quad \textrm { i f } \quad i = n + k \quad \textrm { a n d } \quad 1 \leq j \leq n } \\ { \quad } & { \quad } \\ { s _ { k c } } & { \quad \textrm { i f } \quad i = n + k \quad \textrm { a n d } \quad j = n + c } \\ { \quad } & { \quad } \\ { 0 } & { \quad \textrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \partial _ { \alpha } J _ { 1 } } & { { } = } & { - \int _ { l _ { b _ { 1 0 } } } ^ { l _ { b _ { 2 0 } } } \frac { 2 \mu \partial _ { \alpha } B _ { 1 } } { \sqrt { 2 ( { \cal E } - \mu B _ { 0 } - Z e \Phi _ { 0 } / m ) } } \mathrm { d } l \, , } \\ { \partial _ { s } J _ { 0 } } & { { } = } & { - \int _ { l _ { b _ { 1 0 } } } ^ { l _ { b _ { 2 0 } } } \frac { 2 \mu \partial _ { s } B _ { 0 } } { \sqrt { 2 ( { \cal E } - \mu B _ { 0 } - Z e \Phi _ { 0 } / m ) } } \mathrm { d } l \, } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \mathcal { H } } = B \sum _ { i = 1 } ^ { N } \hat { \ell } _ { i } ^ { 2 } + \sum _ { i = 1 } ^ { N - 1 } \sum _ { j > i } ^ { N } \hat { V } _ { i j } , } \end{array}
\boldsymbol y _ { t } = \boldsymbol f ( \boldsymbol x _ { t } ) = \left\{ \begin{array} { c l } { 1 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \boldsymbol x _ { t } \mathrm { ~ i ~ s ~ n ~ o ~ r ~ m ~ a ~ l ~ , ~ } } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \boldsymbol x _ { t } \mathrm { ~ i ~ s ~ m ~ o ~ t ~ i ~ o ~ n ~ - ~ i ~ n ~ f ~ l ~ u ~ e ~ n ~ c ~ e ~ d ~ . ~ } } \end{array} \right.
{ \begin{array} { r l } { \phi ( \mathbf { r } , t ) } & { = { \frac { 1 } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } } \int \mathrm { d } ^ { 3 } x ^ { \prime } { \frac { \rho \left( \mathbf { r } ^ { \prime } , t _ { r } \right) } { \left| \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } \right| } } } \\ { \mathbf { A } ( \mathbf { r } , t ) } & { = { \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } } \int \mathrm { d } ^ { 3 } x ^ { \prime } { \frac { \mathbf { j } \left( \mathbf { r } ^ { \prime } , t _ { r } \right) } { \left| \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } \right| } } , } \end{array} }
D ^ { b a } = 2 ( { \frac { 1 } { \eta + B } } ) ^ { a b } - \eta ^ { a b } \, \, \, \, , \, \, \, \, D ^ { i j } = - \delta ^ { i j } \, \, \, \, , \, \, \, \, { D ^ { \mu } } _ { \alpha } D ^ { \nu \alpha } = \eta ^ { \mu \nu } ,
\begin{array} { r l } { \Vert Y _ { t } - Y _ { t - 1 } \Vert _ { t - 1 , \psi _ { 2 } } } & { \leq \Vert Y _ { t } - \mathbb E _ { t - 1 } [ Y _ { t } ] \Vert _ { t - 1 , \psi _ { 2 } } + \frac { \textrm { D } _ { \operatorname* { m a x } } } { 2 \sqrt { \log ( 2 ) } } } \\ & { \leq 1 + 2 \Vert \Sigma _ { t } \Vert ^ { 1 / 2 } + \frac { \textrm { D } _ { \operatorname* { m a x } } } { 2 \sqrt { \log ( 2 ) } } } \\ & { \leq \frac { \textrm { D } _ { \operatorname* { m a x } } } { 2 \sqrt { \log ( 2 \textrm { P } ) } } + \frac { \textrm { D } _ { \operatorname* { m a x } } } { 2 \sqrt { \log ( 2 ) } } } \\ & { \le \textrm { D } _ { \operatorname* { m a x } } ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \widehat { \mathcal { G } } _ { ( i ) } ( \beta _ { ( i ) } ) \equiv \frac { \partial } { \partial \beta _ { ( i ) } } \mathcal { \hat { L } } _ { ( i ) } ( \beta _ { ( i ) } ) , \mathrm { ~ a n d ~ s e t \ } \widehat { \mathcal { G } } _ { ( i ) } = \widehat { \mathcal { G } } _ { ( i ) } ( \beta _ { ( i ) } ^ { \ast } ) } \\ & { } & { \widehat { \mathcal { H } } _ { ( i ) } ( \beta _ { ( i ) } ) \equiv \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \beta _ { ( i ) } \partial \beta _ { ( i ) } ^ { \prime } } \mathcal { \hat { L } } _ { ( i ) } ( \beta _ { ( i ) } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \! \left( \begin{array} { l l l l l l } { \! \! \{ 0 \! \sim \! 4 \} \! \! } & { \! \! \{ 1 \} \! \! } & { \! \! \{ 1 \} \! \! } & { \! \! \{ 2 \! \sim \! 4 \} \! \! } & { \! \! \{ 2 \! \sim \! 4 \} \! \! } & { \! \! \{ 2 \! \sim \! 4 \} \! \! } \\ { \! \! \{ 1 \} \! \! } & { \! \! \{ 0 \! \sim \! 4 \} \! \! } & { \! \! \{ 1 \} \! \! } & { \! \! \{ 2 \! \sim \! 4 \} \! \! } & { \! \! \{ 2 \! \sim \! 4 \} \! \! } & { \! \! \{ 2 \! \sim \! 4 \} \! \! } \\ { \! \! \{ 1 \} \! \! } & { \! \! \{ 1 \} \! \! } & { \! \! \{ 0 \! \sim \! 4 \} \! \! } & { \! \! \{ 2 \! \sim \! 4 \} \! \! } & { \! \! \{ 2 \! \sim \! 4 \} \! \! } & { \! \! \{ 2 \! \sim \! 4 \} \! \! } \\ { \! \! \{ 2 \! \sim \! 4 \} \! \! } & { \! \! \{ 2 \! \sim \! 4 \} \! \! } & { \! \! \{ 2 \! \sim \! 4 \} \! \! } & { \! \! \{ 0 \! \sim \! 4 \} \! \! } & { \! \! \{ 4 \} \! \! } & { \! \! \{ 4 \} \! \! } \\ { \! \! \{ 2 \! \sim \! 4 \} \! \! } & { \! \! \{ 2 \! \sim \! 4 \} \! \! } & { \! \! \{ 2 \! \sim \! 4 \} \! \! } & { \! \! \{ 4 \} \! \! } & { \! \! \{ 0 \! \sim \! 4 \} \! \! } & { \! \! \{ 4 \} \! \! } \\ { \! \! \{ 2 \! \sim \! 4 \} \! \! } & { \! \! \{ 2 \! \sim \! 4 \} \! \! } & { \! \! \{ 2 \! \sim \! 4 \} \! \! } & { \! \! \{ 4 \} \! \! } & { \! \! \{ 4 \} \! \! } & { \! \! \{ 0 \! \sim \! 4 \} \! \! } \end{array} \right) \! \! , \! \! \left( \begin{array} { l l l l l l } { \! \! \{ 0 \! \sim \! 4 \} \! \! } & { \! \! \{ 5 \} \! \! } & { \! \! \{ 5 \} \! \! } & { \! \! \{ 2 \! \sim \! 4 \} \! \! } & { \! \! \{ 2 \! \sim \! 4 \} \! \! } & { \! \! \{ 2 \! \sim \! 4 \} \! \! } \\ { \! \! \{ 5 \} \! \! } & { \! \! \{ 5 \} \! \! } & { \! \! \{ 5 \} \! \! } & { \! \! \{ 5 \} \! \! } & { \! \! \{ 5 \} \! \! } & { \! \! \{ 5 \} \! \! } \\ { \! \! \{ 5 \} \! \! } & { \! \! \{ 5 \} \! \! } & { \! \! \{ 5 \} \! \! } & { \! \! \{ 5 \} \! \! } & { \! \! \{ 5 \} \! \! } & { \! \! \{ 5 \} \! \! } \\ { \! \! \{ 2 \! \sim \! 4 \} \! \! } & { \! \! \{ 5 \} \! \! } & { \! \! \{ 5 \} \! \! } & { \! \! \{ 0 \! \sim \! 4 \} \! \! } & { \! \! \{ 2 \} \! \! } & { \! \! \{ 2 \} \! \! } \\ { \! \! \{ 2 \! \sim \! 4 \} \! \! } & { \! \! \{ 5 \} \! \! } & { \! \! \{ 5 \} \! \! } & { \! \! \{ 2 \} \! \! } & { \! \! \{ 0 \! \sim \! 4 \} \! \! } & { \! \! \{ 2 \} \! \! } \\ { \! \! \{ 2 \! \sim \! 4 \} \! \! } & { \! \! \{ 5 \} \! \! } & { \! \! \{ 5 \} \! \! } & { \! \! \{ 2 \} \! \! } & { \! \! \{ 2 \} \! \! } & { \! \! \{ 0 \! \sim \! 4 \} \! \! } \end{array} \right) \! \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } _ { k } [ u _ { k } ( x ) ] } & { { } = f _ { k } ( x ) , x \in \Omega _ { k } , } \\ { \mathcal { B } _ { k } [ u _ { k } ( x ) ] } & { { } = b _ { k } ( x ) , x \in \partial \Omega _ { k } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigl ( [ \vec { u } - \vec { w } ] \cdot \nabla \vec { u } , ~ \vec { \chi } \, r \bigr ) _ { \mathscr { R } _ { \pm } ( t ) } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \left[ \bigl ( ( [ \vec { u } - \vec { w } ] \cdot \nabla ) \vec { u } , ~ \vec { \chi } \, r \bigr ) _ { \mathscr { R } _ { \pm } ( t ) } - \bigl ( ( [ \vec { u } - \vec { w } ] \cdot \nabla ) \vec { \chi } , ~ \vec { u } \, r \bigr ) _ { \mathscr { R } _ { \pm } ( t ) } \right] + \frac { 1 } { 2 } \bigl ( \vec { u } - \vec { w } , ~ \nabla ( \vec { u } \cdot \vec { \chi } ) r \bigr ) _ { \mathscr { R } _ { \pm } ( t ) } } \end{array}
\{ u \overset { \pi } \longrightarrow { \mathcal C } _ { \mathrm { b b } } \} : = \left\{ \begin{array} { r l } & { \mathrm { ~ \exists ~ a ~ p a t h ~ i n ~ { \mathcal ~ G } _ { n , 2 } ~ f r o m ~ u ~ t o ~ s o m e ~ v e r t e x ~ i n ~ { \mathcal ~ C } _ \mathrm { b b } ( n , k _ n ) ~ , ~ w i t h ~ a l l } } \\ & { \mathrm { v e r t i c e s ~ ( e x c e p t ~ u ~ ) ~ h a v i n g ~ m a r k ~ i n ~ { \mathbb ~ R } ^ + \setminus [ m _ w , ~ 2 m _ w ) ~ } } \end{array} \right\} .
\left\{ \begin{array} { r c l } { { \delta \hat { C } } } & { { = } } & { { d \hat { \chi } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { d e l t a \hat { \tilde { C } } } } & { { = } } & { { d \hat { \tilde { \chi } } + \frac { 1 } { 2 } d \hat { \chi } \hat { C } \, . } } \end{array} \right.
A _ { e \mu } ^ { C P } \equiv \frac { P ( \nu _ { e } \rightarrow \nu _ { \mu } ) - P ( \bar { \nu } _ { e } \rightarrow \bar { \nu } _ { \mu } ) } { P ( \nu _ { e } \rightarrow \nu _ { \mu } ) + P ( \bar { \nu } _ { e } \rightarrow \bar { \nu } _ { \mu } ) } \,
S ^ { 3 } = \left\{ ( x _ { 0 } , x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) \in \mathbb { R } ^ { 4 } : x _ { 0 } ^ { 2 } + x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } + x _ { 3 } ^ { 2 } = 1 \right\} .
= E _ { m } - \ { \frac { \beta _ { m } + \sum _ { { \boldsymbol { R _ { n } } } \neq 0 } \sum _ { l } e ^ { i { \boldsymbol { k } } \cdot { \boldsymbol { R _ { n } } } } \gamma _ { m , l } ( { \boldsymbol { R _ { n } } } ) } { \ \ 1 + \sum _ { \boldsymbol { R _ { n } \neq 0 } } \sum _ { l } e ^ { i { \boldsymbol { k \cdot R _ { n } } } } \alpha _ { m , l } ( { \boldsymbol { R _ { n } } } ) } } \ ,
\begin{array} { r l } { a _ { \mathrm { ~ B ~ A ~ } } } & { { } = \frac { \mathrm { ~ d ~ } a _ { \mathrm { ~ B ~ A ~ } } } { \mathrm { ~ d ~ } I _ { \mathrm { ~ B ~ A ~ } } } \, I _ { \mathrm { ~ B ~ A ~ } } } \\ { a _ { \mathrm { ~ A ~ B ~ } } } & { { } = \frac { \partial a _ { \mathrm { ~ A ~ B ~ } } } { \partial I _ { \mathrm { ~ A ~ B ~ } } } \, I _ { \mathrm { ~ A ~ B ~ } } + a _ { \mathrm { ~ A ~ B ~ } } ^ { \mathrm { ~ d ~ a ~ r ~ k ~ } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathsf { A C V } _ { \mathcal P } G _ { \mathrm { o p t } } } & { { } = \sqrt { 1 + a } \, \mathsf { a c v } _ { 0 } + \frac { 6 + a + b } { 2 \sqrt { 1 + a } } \mathsf { a c v } _ { 0 } ^ { 3 } + \mathcal O ( \mathsf { a c v } _ { 0 } ^ { 5 } ) , } \\ { \mathsf { A R B } _ { \mathcal P } G _ { \mathrm { o p t } } } & { { } = \mathsf { a c v } _ { 0 } ^ { 2 } + 3 \mathsf { a c v } _ { 0 } ^ { 4 } + \mathcal O ( \mathsf { a c v } _ { 0 } ^ { 6 } ) , } \end{array}
\mathrm { ~ F ~ l ~ o ~ w ~ } _ { H _ { T } } : = \mathcal { L } _ { * } \left( \overline { { \mathcal { S } \mathrm { ~ o ~ l ~ } } } \right) = \big \{ \mathfrak { X } _ { H _ { T } } \in \mathbf { T } _ { \mathfrak { s } = \mathcal { L } ( \mathfrak { u } ) } \mathbb { P } _ { C } \ \backslash \ \mathfrak { X } _ { H _ { T } } = \mathcal { L } _ { * } \overline { { \mathbf { X } } } _ { E L } \forall \overline { { \mathbf { X } } } _ { E L } \in \overline { { \mathcal { S } \mathrm { ~ o ~ l ~ } } } \big \} .
\begin{array} { r l } { ^ { ( 0 ) } \langle J , \kappa , m | H ^ { ( 0 ) } | J ^ { \prime } , \kappa ^ { \prime } , m ^ { \prime } \rangle ^ { ( 0 ) } } & { = \delta _ { J J ^ { \prime } } \delta _ { m m ^ { \prime } } \Bigg ( \frac { 1 } { 2 } ( A + B ) J ( J + 1 ) \delta _ { \kappa \kappa ^ { \prime } } + \left[ C - \frac { 1 } { 2 } ( A + B ) \right] k ^ { 2 } \delta _ { \kappa \kappa ^ { \prime } } } \\ & { + \frac { 1 } { 4 } ( A - B ) } \\ & { \times \Big \{ \sqrt { [ J ( J + 1 ) - ( \kappa + 1 ) \kappa ] [ J ( J + 1 ) - ( \kappa + 2 ) ( \kappa + 1 ) ] } \delta _ { \kappa \kappa ^ { \prime } - 2 } } \\ & { + \sqrt { [ J ( J + 1 ) - ( \kappa - 1 ) \kappa ] [ J ( J + 1 ) - ( \kappa - 2 ) ( \kappa - 1 ) ] } \delta _ { \kappa \kappa ^ { \prime } + 2 } \Big \} \Bigg ) . } \end{array}
A = \left[ \frac { 1 } { 3 } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } ( \mathbf { x } _ { i } ^ { \psi \mathrm { D M } } - \mathbf { x } _ { i } ^ { \mathrm { \ v a r r h o D M } } ) ^ { 2 } \right] ^ { 1 / 2 }
{ \frac { d I ^ { h } } { d t } } + \sum a ^ { h f } \left( \pi _ { z } ^ { f } { \frac { d z ^ { f } } { d t } } + \pi _ { P } ^ { f } { \frac { d p } { d t } } \right) = E _ { q } ^ { h } { \frac { d q } { d t } } + E _ { z } ^ { h } { \frac { d z ^ { h } } { d t } }
\begin{array} { r } { \textbf { m } _ { i } = 4 \pi r ^ { 3 } \frac { \chi - 1 } { \chi + 2 } \left[ \textbf { H } _ { 0 } + \textbf { H } ( \textbf { x } _ { i } ) \right] \qquad ( i = 1 , \cdots , N ) , } \end{array}
f _ { M } \, \sqrt { m _ { M } } = F \left( 1 - d _ { M } \frac { \bar { \Lambda } } { 6 m _ { Q } } + \frac { G _ { K } } { 2 m _ { Q } } + d _ { M } \, \frac { G _ { \Sigma } } { m _ { Q } } \right) .
Q = \frac { 1 } { 2 } [ \overline { { \Omega } } _ { i j } \overline { { \Omega } } _ { i j } - ( \overline { { S } } _ { i j } - \frac { 1 } { 3 } \delta _ { i j } \overline { { S } } _ { k k } ) ( \overline { { S } } _ { i j } - \frac { 1 } { 3 } \delta _ { i j } \overline { { S } } _ { l l } ) ] ,
Z ^ { I } = Z _ { \infty } ^ { I } + \sum _ { a = 1 } ^ { a = 5 } { \frac { q ^ { I } { } _ { a } } { | \vec { x } - \vec { \underline { { { x } } } } _ { a } | } } \, \ , \qquad Q ^ { 5 } = \sum _ { a = 1 } ^ { a = 5 } q ^ { 5 } { } _ { a } = Q ^ { 7 } = \sum _ { a = 1 } ^ { a = 5 } q ^ { 7 } { } _ { a } = 0 \ ,
\begin{array} { r } { \frac { \gamma + 1 } { 2 \gamma ^ { 2 } ( \gamma - 1 ) } \rho ^ { \gamma + \theta } - \frac { 1 } { \gamma - 1 } \left( \bar { \rho } \right) ^ { \gamma - 1 } \rho ^ { \theta + 1 } + \frac { \gamma + 1 } { \gamma ^ { 2 } } \left( \bar { \rho } \right) ^ { \gamma } \rho ^ { \theta } - \frac { 1 } { 2 \gamma ^ { 2 } } \left( \bar { \rho } \right) ^ { 2 \gamma } \frac { 1 } { \rho ^ { \theta + 1 } } \geq 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { G _ { k , n ; l , m } = \sum _ { i = \mathrm { m a x } \left\lbrace k , l \right\rbrace } ^ { k + l } \binom { i } { 2 i - k - l } \binom { 2 i - k - l } { i - k } } \\ & { \times \frac { [ \eta _ { \mathrm { r r } } ( n ) ] ^ { k } [ \eta _ { \mathrm { r r } } ( m ) ] ^ { l } \left[ 1 - \eta _ { \mathrm { r r } } ( n ) \right] ^ { i - k } \left[ 1 - \eta _ { \mathrm { r r } } ( m ) \right] ^ { i - l } } { \left[ \eta _ { \mathrm { r r } } ( n ) + \eta _ { \mathrm { r r } } ( m ) - \eta _ { \mathrm { r r } } ( n ) \eta _ { \mathrm { r r } } ( m ) \right] ^ { i + 1 } } . } \end{array}
Z ( t ) = { \frac { \Gamma ^ { 3 } ( { \frac { 1 } { 4 } } ) } { 2 ^ { 7 / 4 } \pi ^ { 3 / 2 } } } { \frac { 1 } { g ^ { 3 / 2 } \hbar ^ { 3 } t ^ { 9 / 4 } } } ,
\sqrt { - g } T ^ { \mu \nu } = \frac { 1 } { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } \int d \tau d \sigma \left( { \dot { x } } ^ { \mu } { \dot { x } } ^ { \nu } - x ^ { \mu \prime } x ^ { \nu \prime } \right) \delta ^ { ( D ) } \left( x - x ( \tau , \sigma ) \right)
\begin{array} { r l } { M } & { { } = \mathrm { ~ 1 ~ s ~ o ~ l ~ a ~ r ~ m ~ a ~ s ~ s ~ } = 2 \times 1 0 ^ { 3 3 } \, \mathrm { ~ g ~ } } \\ { a } & { { } = 1 0 ^ { 9 } \, \mathrm { ~ c ~ m ~ } } \\ { R } & { { } = 2 a = 2 \times 1 0 ^ { 9 } \, \mathrm { ~ c ~ m ~ } } \end{array}
M _ { a _ { 1 } a _ { 2 } \to a _ { 3 } \dots a _ { n } } ^ { ( 2 \mathrm { - c u t } ) } = \sum _ { k = 2 } ^ { n } \sum _ { \sigma } \sum _ { e , f = 1 } ^ { r } \frac { M _ { a _ { 1 } e \to a _ { \sigma ( 3 ) } \dots a _ { \sigma ( k ) } f } ^ { ( 0 ) } \ M _ { a _ { 2 } f \to a _ { \sigma ( k + 1 ) } \dots a _ { \sigma ( n ) } e } ^ { ( 0 ) } } { 8 m _ { e } m _ { f } | \sinh { \theta _ { e f } } | } .
\begin{array} { r l } { \kappa _ { \delta \boldsymbol { x } } ( \boldsymbol { f } , \boldsymbol { x } ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \rightarrow 0 } \operatorname* { s u p } _ { \Vert \delta \boldsymbol { x } \Vert = \epsilon } \left( \left. \frac { \Vert \boldsymbol { f } ( \tilde { \boldsymbol { x } } ) - \boldsymbol { f } ( \boldsymbol { x } ) \Vert } { \Vert \boldsymbol { f } ( \boldsymbol { x } ) \Vert } \right/ \frac { \Vert \tilde { \boldsymbol { x } } - \boldsymbol { x } \Vert } { \Vert \boldsymbol { x } \Vert } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \log \left[ \frac { ( \rho _ { n , r } * \phi ) \left( X _ { i } \right) } { ( \rho _ { n } * \phi ) \left( X _ { i } \right) } \right] } & { = \log \left[ \frac { \int _ { \Omega _ { r } } \phi \left( X _ { i } - y \right) \rho _ { n } \left( \mathrm { d } y \right) + \rho _ { n } \left( \Omega _ { r } ^ { \mathrm { c } } \right) \int _ { \Omega } \phi \left( X _ { i } - y \right) \mathrm { d } y } { \int _ { \Omega _ { r } } \phi \left( X _ { i } - y \right) \rho _ { n } \left( \mathrm { d } y \right) + \int _ { \Omega _ { r } ^ { \mathrm { c } } } \phi \left( X _ { i } - y \right) \rho _ { n } \left( \mathrm { d } y \right) } \right] } \\ & { = \log \left[ 1 + \frac { \rho _ { n } \left( \Omega _ { r } ^ { \mathrm { c } } \right) \int _ { \Omega } \phi \left( X _ { i } - y \right) \mathrm { d } y - \int _ { \Omega _ { r } ^ { \mathrm { c } } } \phi \left( X _ { i } - y \right) \rho _ { n } \left( \mathrm { d } y \right) } { ( \rho _ { n } * \phi ) \left( X _ { i } \right) } \right] } \\ & { \geq \log \left[ 1 + \frac { \rho _ { n } \left( \Omega _ { r } ^ { \mathrm { c } } \right) \left[ \underline { { \phi } } \left( \mathrm { d i a m } \left( \Omega \right) \right) - \overline { { \phi } } \left( r \right) \right] } { \left\Vert \phi \right\Vert _ { \infty } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { u ( x , t ) } & { { } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } s _ { + } ( \omega ) e ^ { - i ( k x + \omega t ) } \mathrm { d } \omega + \int _ { - \infty } ^ { \infty } s _ { - } ( \omega ) e ^ { i ( k x - \omega t ) } \mathrm { d } \omega } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \vphantom { \bigg ( } } } & { { \begin{array} { c c c c } { { \qquad \qquad g _ { 0 } ^ { c } \qquad \qquad } } & { { \quad \overline { { { g } } } \qquad \qquad } } & { { \qquad D _ { 0 } ^ { c } } } & { { } } \end{array} } } \\ { { M _ { g } = \begin{array} { l } { { g _ { 0 } } } \\ { { { \overline { { D } } ^ { c } } } } \\ { { { \overline { { g } } ^ { c } } } } \end{array} } } & { { \left( \begin{array} { c c c } { { O ( x ^ { 2 k - 3 - 2 e + \xi } ) } } & { { O ( \rho ) } } & { { O ( \rho \, x ^ { k + 2 - 2 e } ) } } \\ { { O ( \rho \, x ^ { 1 - k + \xi } ) } } & { { O ( \rho \, x ^ { - 3 k + 2 e } ) } } & { { O ( \rho \, x ^ { - 2 k + 2 } ) } } \\ { { O ( \rho ) } } & { { O ( \rho \, x ^ { - 2 k - 1 + 2 e - \xi } ) } } & { { O ( \rho \, x ^ { - k + 1 - \xi } ) } } \end{array} \right) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Bigl ( } & { { } F _ { \phi } ( \widetilde { A } x ) - F _ { \phi } ( \widetilde { A } v ) , F _ { \phi } ( \widetilde { A } x ) - F _ { \phi } ( \widetilde { A } v ) \Bigr ) _ { X } } \end{array}
( d - n \! + \! 1 ) I _ { n } ^ { ( d + 2 ) } \! = \! \left[ \! \frac { 2 \Delta _ { n } } { G _ { n - 1 } } \! + \! \sum _ { k = 1 } ^ { n } \frac { \partial _ { k } \Delta _ { n } } { G _ { n - 1 } } { \bf k ^ { - } } \! \right] I _ { n } ^ { ( d ) } ,
N \sim ( G k ) ^ { - 1 } \sim \left( { \frac { \mathrm { t h r e e \ r a d i u s } } { \mathrm { P l a n c k \ l e n g t h } } } \right) ^ { 2 } \sim \left( { \frac { H _ { o } ^ { - 1 } } { \mathrm { P l a n c k \ l e n g t h } } } \right) ^ { 2 } \sim 1 0 ^ { 1 2 2 } .
\begin{array} { r l } { \bar { x } _ { \alpha ^ { \prime } } } & { = \bar { x } _ { \alpha ^ { \prime } } - x _ { \alpha } ^ { \prime } + x _ { \alpha } ^ { \prime } - x _ { \alpha } + x _ { \alpha } } \\ & { \leq _ { 1 } \frac { \rho } { 2 } ( c _ { \alpha ^ { \prime } } - 2 c _ { \beta } - c _ { \alpha } ) + 2 \epsilon _ { P } + ( - 1 + \rho c _ { \leq \alpha } - \epsilon _ { Q } } \\ & { = - 1 + \rho c _ { \leq \alpha ^ { \prime } } - ( \epsilon _ { Q } - 2 \epsilon _ { P } ) \quad ( \because \ c _ { \leq \alpha } + ( c _ { \alpha ^ { \prime } } - 2 c _ { \beta } - c _ { \alpha } ) / 2 = c _ { \leq \alpha ^ { \prime } } ) } \\ & { < - 1 + \rho c _ { \leq \alpha ^ { \prime } } - \epsilon _ { P } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \mathbf { I } ^ { - 1 } ( { \mathbf { \hat { x } } } ) } = ( { \mathbf { K } ^ { H } } { \mathbf { C } ^ { - 1 } } { \mathbf { K } } ) ^ { - 1 } } \\ & { = \mathbf { F } _ { S } ^ { - 1 } \Big [ \sigma _ { n } ^ { 2 } \mathbf { \mathbf { \Phi } ^ { - 1 } } \mathbf { \tilde { W } } \mathbf { \Phi } + \frac { 1 } { \alpha ^ { 2 } } \mathbf { \Phi } ^ { - 1 } \mathbf { \tilde { W } } _ { D } ^ { H } \mathbf { D } _ { q } ^ { 2 } \mathbf { \tilde { W } } _ { D } \mathbf { \Phi } \Big ] ( \mathbf { F } _ { S } ^ { H } ) ^ { - 1 } , } \end{array}