harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\epsilon _ { \mathrm { h f } } ^ { ( \nu ) } ( F ) = \big \langle \Psi _ { F , m _ { F } } ^ { ( \nu ) } \big | H _ { \mathrm { h f } } ^ { ( \nu ) } \big | \Psi _ { F , m _ { F } } ^ { ( \nu ) } \big \rangle ,
\begin{array} { r l r } { \phi } & { { } = } & { \frac { 1 } { 1 + \exp ( w _ { \mathrm { b } } ) } , } \\ { w _ { \mathrm { b } } } & { { } = } & { - \frac { \mu } { k _ { \mathrm { B } } T } } \end{array}
\begin{array} { r l } { B \left( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { m + 1 } \right) - B \left( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { m } \right) } & { = \Gamma \left( \frac { 1 } { 2 } \right) \left( \frac { \Gamma \left( \frac { 1 } { m + 1 } \right) } { \Gamma \left( \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { m + 1 } \right) } - \frac { \Gamma \left( \frac { 1 } { m } \right) } { \Gamma \left( \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { k } \right) } \right) } \\ & { \geq \operatorname* { l i m } _ { s \to \infty } \Gamma \left( \frac { 1 } { 2 } \right) \left( \frac { \Gamma \left( \frac { 1 } { s + 1 } \right) } { \Gamma \left( \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { s + 1 } \right) } - \frac { \Gamma \left( \frac { 1 } { s } \right) } { \Gamma \left( \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { s } \right) } \right) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { s \to \infty } \Gamma \left( \frac { 1 } { s + 1 } \right) - \Gamma \left( \frac { 1 } { s } \right) = 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { v _ { \perp } ( t = 0 ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { 0 . 2 \sqrt { 2 \pi } } \exp \left( - 0 . 5 \frac { ( r - 5 ) ^ { 2 } } { 0 . 2 } \right) , } \\ { v _ { \parallel } ( t = 0 ) } & { { } = } & { 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \bigg ( \bigg | 2 \int _ { 0 } ^ { t } ( X _ { s } ^ { i , \tau } - Y _ { s } ^ { i , \tau } ) I _ { 2 } ^ { s } \, \mathrm { d } s \bigg | \bigg ) } & { \le \frac { C } { ( N - 1 ) \tau } \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { \substack { j = 1 } } ^ { N } \mathbb { E } ( | X _ { s } ^ { j , \tau } - Y _ { s } ^ { j , \tau } | ^ { 2 } + | X _ { s } ^ { i , \tau } - Y _ { s } ^ { i , \tau } | ^ { 2 } ) \, \mathrm { d } s } \\ & { \le \frac { C } { \tau } \int _ { 0 } ^ { t } \operatorname* { s u p } _ { i = 1 , \ldots , N } \mathbb { E } ( | X _ { s } ^ { i , \tau } - Y _ { s } ^ { i , \tau } | ^ { 2 } ) \, \mathrm { d } s , } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { i } ( r ) } & { = \frac { 1 } { M } \sum _ { j } \frac { D _ { \mathrm { m i n } , i } D _ { \mathrm { m i n } , j } } { d _ { \mathrm { m e a n } } } , \quad | \boldsymbol { r } _ { i } - \boldsymbol { r } _ { j } | = r \pm \Delta r , } \\ { C ( r ) } & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { i } C _ { i } ( r ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \widehat { Q } ( r _ { i } ) } & { = } & { P _ { n } \odot ( r _ { i } \ominus r _ { 1 } ) \odot \cdots \odot r _ { i } ^ { \circ } \odot \cdots \odot ( r _ { i } \ominus r _ { n } ) } \\ & { = } & { ( P _ { n } \odot r _ { 1 } \odot \cdots \odot r _ { i - 1 } \odot r _ { i } ^ { \odot n - i + 1 } ) ^ { \circ } } \\ & { = } & { ( P _ { n - i } \odot r _ { i } ^ { \odot n - i } ) ^ { \circ } , } \end{array}
\begin{array} { l } { \displaystyle \psi _ { 0 } ( \boldsymbol { r } ) \, = \, \mathrm { F G } _ { N } \left( \frac { r } { a } \right) \, = \, \frac { \Gamma \left( N , N \frac { r ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } \right) } { \Gamma ( N ) } \, , } \end{array}
\left[ \frac { \operatorname * { d e t } \bar { W } _ { 1 } ^ { \prime \prime } ( \varphi _ { \mathrm { s c } } ) } { \operatorname * { d e t } \bar { W } _ { 1 } ^ { \prime \prime } ( \varphi _ { v } ) } \right] ^ { - \frac { 1 } { 2 } } = \Omega _ { \mathrm { t r a n s . } } \Omega _ { \mathrm { r o t . } } \exp \left\{ - \frac { 1 } { 2 } \ln \left[ \frac { \left( \prod _ { n = 1 } ^ { + \infty } \omega _ { n } ^ { 2 } \right) ^ { 1 2 } \prod _ { i } ^ { \prime } \prod _ { n = - \infty } ^ { + \infty } ( \omega _ { n } ^ { 2 } + E _ { i } ^ { 2 } ( \varphi _ { \mathrm { s c } } ) ) } { \prod _ { j } \prod _ { l = - \infty } ^ { + \infty } ( \omega _ { l } ^ { 2 } + E _ { j } ^ { 2 } ( \varphi _ { v } ) ) } \right] \right\} \: ,
\begin{array} { r l } { \mathbf E _ { i = k } H _ { m } ( \pi _ { W } \eta ^ { ( { T ^ { n ^ { \prime } } } \omega ) , x , i } ) } & { = \mathbf E _ { i = k } \frac { 1 } { m } H ( \eta ^ { ( { T ^ { n ^ { \prime } } } \omega ) , x , i } , \pi _ { W } ^ { - 1 } { \mathcal D } _ { m } ) } \\ & { = \mathbf E _ { i = k } \frac { 1 } { m } H ( \eta _ { x , i } ^ { ( { T ^ { n ^ { \prime } } } \omega ) } , T _ { D _ { k } ( x ) } ^ { - 1 } \pi _ { W } ^ { - 1 } { \mathcal D } _ { m } ) } \\ & { = \mathbf E _ { i = k } \frac { 1 } { m } H ( \eta _ { x , i } ^ { ( { T ^ { n ^ { \prime } } } \omega ) } , \pi _ { W } ^ { - 1 } T _ { D _ { k } ( \pi _ { W } x ) } ^ { - 1 } { \mathcal D } _ { m } ) + O ( 1 / m ) } \\ & { = \mathbf E _ { i = k } \frac { 1 } { m } H ( \pi _ { W } \eta _ { x , i } ^ { ( { T ^ { n ^ { \prime } } } \omega ) } , { \mathcal D } _ { m + k } ) + O ( 1 / m ) } \\ & { = \frac { 1 } { m } H ( \pi _ { W } \eta ^ { ( { T ^ { n ^ { \prime } } } \omega ) } , { \mathcal D } _ { m + k } | { \mathcal D } _ { k } ) + O ( 1 / m ) . } \end{array}
\Omega \sim \int { \left( \prod _ { n = N _ { s } } ^ { N _ { \mathrm { d o f } } } { \mathrm { d } \Delta \tilde { r } _ { n } } \right) \delta ( G _ { N _ { s } } ) \prod _ { p = 1 } ^ { N _ { s } - 1 } { \int { \mathrm { d } \Delta \tilde { r } _ { p } \; \delta ( G _ { p } ) } } } .
V _ { C K M } = \left( \begin{array} { c c c } { { 1 - \lambda ^ { 2 } / 2 } } & { { \lambda } } & { { A \lambda ^ { 3 } ( \rho - i \eta ) } } \\ { { - \lambda } } & { { 1 - \lambda ^ { 2 } / 2 } } & { { A \lambda ^ { 2 } } } \\ { { A \lambda ^ { 3 } ( 1 - \rho - i \eta ) } } & { { - A \lambda ^ { 2 } } } & { { 1 } } \end{array} \right) + { \cal { O } } ( \lambda ^ { 4 } ) .
\left\{ \begin{array} { l l l l } { ^ { ^ C } \mathcal { D } _ { 0 ^ { + } } ^ { ^ \alpha } y ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , t ) = \left( \partial _ { x _ { 1 } } ^ { 2 } + \partial _ { x _ { 2 } } ^ { 2 } \right) y ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , t ) , } & { ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , t ) \in Q _ { T } , \ \alpha \in ] 0 , 1 ] , } \\ { y ( \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } , t ) = 0 , } & { ( \xi _ { 1 } , \xi _ { 2 } , t ) \in \Sigma _ { T } , } \\ { y ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , 0 ) = y _ { 0 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) , } & { ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \in \Omega . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { b _ { k } ^ { * } = \frac { \beta _ { 1 } + \beta _ { 2 } ( x _ { 0 } - \pi _ { k } ) } { 2 \beta _ { 2 } } + \frac { \sqrt { ( \beta _ { 1 } + \beta _ { 2 } ( x _ { 0 } - \pi _ { k } ) ) ^ { 2 } + 4 \beta _ { 2 } \pi _ { k } ( \beta _ { 1 } + \beta _ { 2 } x _ { 0 } + 1 ) } } { 2 \beta _ { 2 } } , \forall k , } \end{array}
\frac { \mathrm d } { \mathrm d t } z = \left[ \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { I } & { 0 } & { 0 } \\ { - I } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { I } \\ { 0 } & { 0 } & { - I } & { 0 } \end{array} \right) - \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \Psi _ { 1 } ( z ) } & { 0 } & { \Psi _ { c } ( z ) } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \Psi _ { c } ^ { \top } ( z ) } & { 0 } & { \Psi _ { 2 } ( z ) } \end{array} \right) \right] \frac { \partial \mathcal H ^ { N } ( z ) } { \partial z } .
\begin{array} { r l } { { \psi } _ { 0 } \left( x \right) } & { = \sin \left( \frac { \lambda \pi } { \ell } x \right) \, , \quad { \psi } _ { 1 } \left( x \right) = { \pi } \sin \left( \frac { \lambda \pi } { \ell } x \right) \, , } \\ { f \left( x , t \right) } & { = { \pi } ^ { 2 } \left[ 1 + \frac { { \lambda } ^ { 2 } } { { \ell } ^ { 2 } } \left( \alpha \left( t \right) + \frac { { \lambda } ^ { 2 } { \pi } ^ { 2 } } { 2 \ell } { \mathrm { e } } ^ { 2 \pi t } \beta \left( t \right) \right) \right] \sin \left( \frac { \lambda \pi } { \ell } x \right) { \mathrm { e } } ^ { \pi t } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { M I } [ A , B ] } & { { } = } & { \sum _ { b } p ( b ) \sum _ { a } \Bigg [ p ( a | b ) \ln \Big ( p ( a | b ) \Big ) \Bigg ] - \sum _ { a } p ( a ) \ln \Big ( p ( a ) \Big ) , } \end{array}
\overline { { \mathrm { I U I } } } _ { j k } ^ { \mathrm { o n e } } = \sum _ { m \neq k } ^ { K } \frac { ( \beta _ { j j k } - t _ { j j k } ) } { t _ { j j m } ( M - K ) } + \sum _ { l \neq j } ^ { L } \sum _ { m \neq k } ^ { K } \frac { \zeta _ { j } \beta _ { l j k } } { \zeta _ { l } t _ { l l m } ( M - K ) } + \sum _ { l \neq j } ^ { L } \frac { \zeta _ { j } \beta _ { l j k } } { \zeta _ { l } t _ { l l k } ( M - K ) } \left( 1 - \frac { t _ { l l k } \beta _ { l j k } } { \beta _ { l l k } ^ { 2 } } \right)
\begin{array} { r } { [ M ] _ { ( t + t _ { 0 } ) \wedge S _ { r , t _ { 0 } } } - [ M ] _ { t _ { 0 } } \leq \int _ { t _ { 0 } } ^ { ( t + t _ { 0 } ) \wedge S _ { r , t _ { 0 } } } \| \Sigma ( Z _ { s } ) \| _ { \mathrm { o p } } \| \nabla g _ { \delta } ( Z _ { s } ) \| _ { d + 1 } ^ { 2 } d s \leq \widetilde C _ { 1 } t \quad \mathrm { a . s . } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha } & { { } = \cos \left( \frac { \varphi } { 2 } \right) - \mathrm { i } \, n _ { z } \sin \left( \frac { \varphi } { 2 } \right) } \\ { \beta } & { { } = - \mathrm { i } \, n _ { x y } \sin \left( \frac { \varphi } { 2 } \right) . } \end{array}
\nabla \times \bar { \bar { \varepsilon } } ^ { - 1 } ( \nabla \times \vec { H } ) - \omega ^ { 2 } \mu _ { 0 } \vec { H } = \nabla \times \bar { \bar { \varepsilon } } ^ { - 1 } \vec { J } _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ t ~ } }
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \| g ^ { * } ( x _ { i } ^ { + } ) - W _ { { \bar { S } } } f _ { \theta } ( x _ { i } ^ { + } ) \| } & { = \frac { 1 } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \sqrt { \sum _ { k = 1 } ^ { r } ( ( g _ { i } - A _ { i } w _ { \bar { S } } ) _ { k } ) ^ { 2 } } } \\ & { \le \sqrt { \frac { 1 } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \sum _ { k = 1 } ^ { r } ( ( g _ { i } - A _ { i } w _ { \bar { S } } ) _ { k } ) ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { 1 } { \sqrt { m } } \sqrt { \sum _ { i = 1 } ^ { m } \sum _ { k = 1 } ^ { r } ( ( g _ { i } - A _ { i } w _ { \bar { S } } ) _ { k } ) ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { 1 } { \sqrt { m } } \| g - A w _ { \bar { S } } \| _ { 2 } } \\ & { = \frac { 1 } { \sqrt { m } } \| g - A ( A ^ { \top } A ) ^ { \dagger } A ^ { \top } g \| _ { 2 } = \frac { 1 } { \sqrt { m } } \| ( I - A ( A ^ { \top } A ) ^ { \dagger } A ^ { \top } ) g \| _ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \langle F _ { x _ { 0 } } ^ { N } , W ^ { N } \rangle ^ { 2 } } { | | W ^ { N } | | ^ { 2 } ( \lambda + | | F _ { x _ { 0 } } ^ { N } | | ^ { 2 } ) } = \frac { ( \frac { 1 } { N } \langle F _ { x _ { 0 } } ^ { N } , W ^ { N } \rangle ) ^ { 2 } } { \frac { 1 } { N } | | W ^ { N } | | ^ { 2 } ( \frac { \lambda } { N } + \frac { 1 } { N } | | F _ { x _ { 0 } } ^ { N } | | ^ { 2 } ) } \xrightarrow [ N \rightarrow \infty ] r _ { \infty } ( x _ { 0 } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { T r \big [ { \rho } _ { 0 } ^ { 1 / 2 } \, \rho _ { 1 } ^ { 1 / 2 } \big ] = \, 1 - \frac { 2 \eta ^ { 1 / 2 } \theta } { \bar { n } } + \mathcal { O } ( \theta ^ { 2 } \eta ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { C _ { d } ( X , t ) = \frac { 1 } { m _ { a } } \frac { d m _ { l } ( x , t ) } { d t } = \frac { 4 \pi \rho _ { l } K } { \rho _ { 0 } { l _ { \eta } } ^ { 3 } } \sum _ { \beta = 1 } ^ { \Delta } S ( X _ { \beta } , t ) r ( X , t ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { G _ { 1 } - G _ { 2 } } & { { } = } & { - \, \frac { r \omega } { B } \left( \frac { r g } { q \beta ^ { 2 } } - \frac { \cos \vartheta } { h } \right) - \frac { r \omega } { B \beta ^ { 2 } } \left( \frac { \cos \vartheta } { h } - \frac { r } { q ^ { 2 } } \right) } \end{array}
\Phi : \left\{ \begin{array} { l } { { \Omega } \rightarrow \mathbb { R } } \\ { { \boldsymbol { x } } \mapsto \Phi ( { \boldsymbol { x } } ) } \end{array} \right. \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad { \boldsymbol { M } } : \left\{ \begin{array} { l } { { \mathcal { B } } \rightarrow { \mathcal { S } } ^ { d - 1 } } \\ { { \boldsymbol { x } } \mapsto { \boldsymbol { M } } ( { \boldsymbol { x } } ) } \end{array} \right. .
\begin{array} { r l } { \hat { V } _ { \mathbf { k } } ( t ) } & { { } = \frac { \partial \hat { \mathcal { H } } _ { \mathbf { k } } ^ { ( 0 ) } } { \partial k _ { \alpha _ { 1 } } } e A _ { \alpha _ { 1 } } ( t ) + \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \hat { \mathcal { H } } _ { \mathbf { k } } ^ { ( 0 ) } } { \partial k _ { \alpha _ { 1 } } \partial k _ { \alpha _ { 2 } } } e ^ { 2 } A _ { \alpha _ { 1 } } ( t ) A _ { \alpha _ { 2 } } ( t ) + \hdots } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { H } _ { n } ^ { \mathrm { v } } ( \gamma ^ { n } ) = \operatorname* { s u p } _ { b \geq 0 } \left\{ \operatorname* { s u p } _ { \beta ^ { n } \colon b = \frac 1 2 \bar { \beta } \bar { \beta } ^ { \top } } \left\{ \frac 1 2 \mathrm { T r } [ ( \bar { \beta } \bar { \beta } ^ { \top } ) \gamma ^ { n } ] - c _ { n } ^ { \mathrm { v } } ( \beta ) \right\} \right\} = \operatorname* { s u p } _ { b \geq 0 } \left\{ \mathrm { T r } [ b \gamma ^ { n } ] - \operatorname* { i n f } _ { \beta ^ { n } \colon b = \frac 1 2 \bar { \beta } \bar { \beta } ^ { \top } } \left\{ c _ { n } ^ { \mathrm { v } } ( \beta ) \right\} \right\} \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textnormal { v o l } ( \mathcal { A } ( G ) ) } & { = \frac { 1 } { n ! } \sum _ { x \in \{ 0 , 1 \} ^ { n } } ( - 1 ) ^ { \textnormal { w t } ( x ) } ( n - ( x _ { 1 } + \ldots + x _ { n } ) ) ^ { n } = \frac { 1 } { n ! } \sum _ { x \in \{ 0 , 1 \} ^ { n } } ( - 1 ) ^ { \textnormal { w t } ( x ) } ( n - \textnormal { w t } ( x ) ) ^ { n } } \\ & { = \frac { 1 } { n ! } \sum _ { i = 0 } ^ { n } ( - 1 ) ^ { i } ( n - i ) ^ { n } \binom { n } { i } = \sum _ { i = 0 } ^ { n } ( - 1 ) ^ { i } \binom { n } { i } [ x ^ { n } ] e ^ { ( n - i ) x } = [ x ^ { n } ] ( e ^ { x } - 1 ) ^ { n } = 1 , } \end{array}
\prod _ { k = 1 } ^ { n } \sin { \frac { \left( 2 k - 1 \right) \pi } { 4 n } } = \prod _ { k = 1 } ^ { n } \cos { \frac { \left( 2 k - 1 \right) \pi } { 4 n } } = { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 ^ { n } } }
P = \left( \begin{array} { c c c } { 1 _ { N / 3 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \sqrt { R } \; 1 _ { N / 3 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 _ { N / 3 } } \end{array} \right) ,
C _ { 7 } ^ { e f f } ( m _ { b } ) = \varrho ^ { - \frac { 1 6 } { 2 3 } } [ C _ { 7 } ( m _ { W } ) + \frac { 8 } { 3 } ( \varrho ^ { \frac { 2 } { 2 3 } } - 1 ) C _ { 8 } ( m _ { W } ) ] + C _ { 2 } ( m _ { W } ) \sum _ { i = 1 } ^ { 8 } h _ { i } \varrho ^ { - a _ { i } } ,
T _ { \mathrm { B H } } = \frac { \hbar c ^ { 3 } } { 8 \pi k _ { \mathrm { B } } G M } \approx 6 . 1 7 \times 1 0 ^ { - 8 } \left( \frac { M _ { \odot } } { M } \right) \ \mathrm { K } .
\nabla _ { x _ { t } } \log { p _ { t } ( x _ { t } | E _ { y } ) } = \frac { D _ { \theta , \mathrm { c o n s } } ( \hat { x } _ { t } , \sigma _ { t } ) - \hat { x } _ { t } } { s _ { t } \sigma _ { t } ^ { 2 } } + ( I - V V ^ { T } ) \frac { - \alpha } { s _ { t } \sigma _ { t } ^ { 2 } } \nabla _ { \hat { x } _ { t } } \| C D _ { \theta } ( \hat { x } _ { t } , \sigma _ { t } ) - y \| ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { 8 \pi \, T _ { \, \, \, i } ^ { i } = } & { { } R _ { \, \, \, i } ^ { i } - \frac { 1 } { 2 } R } \\ { = } & { { } g ^ { 0 0 } \bigg [ 2 \frac { \ddot { a } } { a } + \left( \frac { \dot { a } } { a } \right) ^ { 2 } \bigg ] + g ^ { l l } \frac { \partial _ { l } ^ { 2 } R } { R } - g ^ { l l } \left( \frac { \partial _ { l } R } { R } \right) ^ { 2 } + g ^ { i i } \left( \frac { \partial _ { i } R } { R } \right) ^ { 2 } } \\ { = } & { { } g ^ { 0 0 } \bigg [ 2 \frac { \ddot { a } } { a } + \left( \frac { \dot { a } } { a } \right) ^ { 2 } \bigg ] - \frac { 1 } { a ^ { 2 } R ^ { 2 } } \frac { \partial _ { l } ^ { 2 } R } { R } + \frac { 1 } { a ^ { 2 } R ^ { 2 } } \left( \frac { \partial _ { l } R } { R } \right) ^ { 2 } - \frac { 1 } { a ^ { 2 } R ^ { 2 } } \left( \frac { \partial _ { i } R } { R } \right) ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { c } { \nu ^ { m / 2 } } \mathbb { E } \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq \tau \leq T } | \Pi _ { N } B ( \xi _ { N } , \xi _ { N } ) | ^ { m } \leq \frac { c } { \nu ^ { m / 2 } } \mathbb { E } \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq \tau \leq T } | B ( \xi _ { N } , \xi _ { N } ) | ^ { m } } & { \leq \frac { c } { \nu ^ { m / 2 } } \mathbb { E } \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq \tau \leq T } | \nabla \xi _ { N } | ^ { 2 m } } \\ & { \leq C ( 1 + | \xi _ { 0 } | ^ { 4 m } + | \nabla \xi _ { 0 } | ^ { 2 m } ) , } \end{array}
\prod _ { i = 1 } ^ { n } f \left[ w _ { i } ( y _ { 1 } , y _ { 2 } , \dots , y _ { n } ) ; \theta \right] = | J | g _ { 1 } ( y _ { 1 } ; \theta ) H \left[ w _ { 1 } ( y _ { 1 } , y _ { 2 } , \dots , y _ { n } ) , \dots , w _ { n } ( y _ { 1 } , y _ { 2 } , \dots , y _ { n } ) \right] .
\check { R } ^ { \prime } = \sum _ { I \neq J } e _ { J I } \otimes e _ { I J } + \sum _ { I } ( - 1 ) ^ { p _ { I } } q ^ { 1 - 2 p _ { I } } e _ { I I } \otimes e _ { I I } + ( q - q ^ { - 1 } ) \sum _ { I < J } e _ { I I } \otimes e _ { J J }
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { \xi } \| \nabla f _ { \xi } ( w ^ { \prime } ) - \nabla f _ { \xi } ( w ) \| ^ { 2 } } \\ & { \le \| w ^ { \prime } - w \| ^ { 2 } \mathbb { E } _ { \xi } \int _ { 0 } ^ { 1 } \big ( L _ { 0 } + L _ { 1 } \| \nabla f _ { \xi } ( w _ { \theta } ) \| ^ { \alpha } \big ) ^ { 2 } d \theta } \\ & { \le 2 \| w ^ { \prime } - w \| ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } L _ { 0 } ^ { 2 } + L _ { 1 } ^ { 2 } \mathbb { E } _ { \xi } \| \nabla f _ { \xi } ( w _ { \theta } ) \| ^ { 2 \alpha } d \theta } \\ & { \overset { ( i ) } { \le } \| w ^ { \prime } - w \| ^ { 2 } \mathbb { E } _ { \xi } \big ( \overline { { K } } _ { 0 } ^ { 2 } + \overline { { K } } _ { 1 } ^ { 2 } \| \nabla f _ { \xi } ( w ) \| ^ { 2 \alpha } + \overline { { K } } _ { 2 } ^ { 2 } \| w ^ { \prime } - w \| ^ { \frac { 2 \alpha } { 1 - \alpha } } \big ) } \\ & { \overset { ( i i ) } { \le } \| w ^ { \prime } - w \| ^ { 2 } \mathbb { E } _ { \xi } \big ( \overline { { K } } _ { 0 } + \overline { { K } } _ { 1 } \| \nabla f _ { \xi } ( w ) \| ^ { \alpha } + \overline { { K } } _ { 2 } \| w ^ { \prime } - w \| ^ { \frac { \alpha } { 1 - \alpha } } \big ) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d \langle S _ { + } \rangle } { d t } } & { = } & { \left[ - i \Omega _ { 0 } - i \gamma _ { \mathrm { R b } } B _ { \mathrm { a c } } \cos ( \omega _ { 0 } t + \theta _ { \mathrm { a c } } ) - \Gamma _ { \mathrm { R b } } \right] \langle S _ { + } \rangle } \\ & { } & { + i \gamma _ { \mathrm { R b } } b _ { \mathrm { c } } ( t ) \langle S _ { z } \rangle , } \end{array}
\Gamma _ { r a d } ( \mathcal { M } 1 , I _ { e } \to I _ { g } ) = \frac { \gamma } { 1 + \alpha } = \frac { k _ { 0 } ^ { 3 } \mu _ { 0 } } { 3 \pi \hbar } \mathcal { B } ( \mathcal { M } 1 , I _ { e } \to I _ { g } ) .
\kappa = { \frac { r _ { + } - r _ { - } } { 2 ( r _ { + } ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) } } = { \frac { \sqrt { M ^ { 2 } - Q ^ { 2 } - J ^ { 2 } / M ^ { 2 } } } { 2 M ^ { 2 } - Q ^ { 2 } + 2 M { \sqrt { M ^ { 2 } - Q ^ { 2 } - J ^ { 2 } / M ^ { 2 } } } } } ,
\begin{array} { r l } & { \Big \langle \tilde { u } ( t ) , \phi \Big \rangle + \int _ { 0 } ^ { t } \Big \langle \theta _ { \rho } ( \| \tilde { u } \| _ { s - 2 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } \tilde { v } - \partial _ { z } \tilde { v } _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) ( \tilde { u } \partial _ { x } \tilde { u } + \tilde { w } \partial _ { z } \tilde { u } - \nu \partial _ { z z } \tilde { u } ) , \phi \Big \rangle d t ^ { \prime } } \\ & { = \Big \langle \tilde { u } ( 0 ) , \phi \Big \rangle + \int _ { 0 } ^ { t } \Big \langle \theta _ { \rho } ( \| \tilde { u } \| _ { s - 2 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } \tilde { v } - \partial _ { z } \tilde { v } _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \sigma ( \tilde { u } ) , \phi \Big \rangle d \tilde { W } . } \end{array}
\tan { \frac { \mu _ { 2 } } 2 } = \frac { \bf { n } _ { 1 } \cdot ( \bf { n } _ { 2 } \times \bf { n } _ { 3 } ) } { ( \bf { n } _ { 2 } \times \bf { n } _ { 1 } ) \cdot ( \bf { n } _ { 2 } \times \bf { n } _ { 3 } ) } ,
P _ { { \bf k } _ { \perp } } ^ { \mathrm { b . t } } = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n + 1 } e ^ { - 2 n S _ { { \bf k } _ { \perp } } } = \frac { 1 } { e ^ { 2 S _ { { \bf k } _ { \perp } } } + 1 } ,
\frac { d } { d t } h _ { s } = h _ { s } \left[ 3 h _ { Q } ^ { 2 } + 4 h _ { s } ^ { 2 } + 3 h _ { D } ^ { 2 } - \left( 3 g _ { 2 } ^ { 2 } + \frac { 3 } { 5 } g _ { 1 } ^ { 2 } + 2 g _ { 1 ^ { ' } } ^ { 2 } ( Q _ { S } ^ { 2 } + Q _ { 1 } ^ { 2 } + Q _ { 2 } ^ { 2 } ) \right) \right] ;
\begin{array} { r } { \hat { f } = \underset { f \in { \cal { H } } _ { K } } { \arg \operatorname* { m i n } } \, \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \ell ( f ( x _ { i } ) , y _ { i } ) + \lambda \| f \| _ { { \cal { H } } _ { K } } , } \end{array}
0 = \int \mathrm { d } \Phi \, { \frac { \partial _ { r } } { \partial \Phi ^ { A } } } \left\{ \mathrm { e } ^ { { \frac { i } { \hbar } } \Sigma + { \frac { i } { \hbar } } J _ { A } \Phi ^ { A } } \, { \frac { \partial _ { l } \Sigma } { \partial K _ { A } } } \right\} .
0 = { \frac { \partial q _ { 1 } } { \partial x } } { \frac { \partial x } { \partial q _ { 2 } } } + { \frac { \partial q _ { 1 } } { \partial y } } { \frac { \partial y } { \partial q _ { 2 } } } + { \frac { \partial q _ { 1 } } { \partial z } } { \frac { \partial z } { \partial q _ { 2 } } } = { \frac { \partial x } { \partial q _ { 2 } } } { \frac { \partial q _ { 1 } } { \partial x } } + { \frac { \partial y } { \partial q _ { 2 } } } { \frac { \partial q _ { 1 } } { \partial y } } + { \frac { \partial z } { \partial q _ { 2 } } } { \frac { \partial q _ { 1 } } { \partial z } }
\begin{array} { r l r } & { } & { { \mathbb { E } } | p ^ { - 3 / 2 } \nu _ { i } ^ { - 1 } \Gamma _ { j } S ( U _ { i } ) S ( U _ { i } ) ^ { \top } \Gamma _ { \ell } ^ { \top } ( \| U _ { i } \| ^ { 2 } - p ) | } \\ & { \lesssim } & { p ^ { - 3 / 2 } \{ { \mathbb { E } } ( \nu _ { i } ^ { - 3 } ) \} ^ { 1 / 3 } \left( { \mathbb { E } } \left[ \left\{ \Gamma _ { j } S ( U _ { i } ) S ( U _ { i } ) ^ { \top } \Gamma _ { \ell } ^ { \top } \right\} ^ { 2 } \right] \right) ^ { 1 / 2 } \left[ { \mathbb { E } } \left\{ ( \| U _ { i } \| ^ { 2 } - p ) ^ { 6 } \right\} \right] ^ { 1 / 6 } } \\ & { \lesssim } & { \zeta _ { 1 } p ^ { - 7 / 6 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { b o d y } + N n } \mathbf { F } _ { i } } & { { } = 0 , } \\ { \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { b o d y } + N n } \left( ( \mathbf { y } _ { i } - \mathbf { x } _ { b } ) \times \mathbf { F } _ { i } + \mathbf { T } _ { i } \right) } & { { } = 0 , } \end{array}
| \bar { { \cal T } } | ^ { 2 } \; \approx \; { \frac { g _ { s } ^ { 2 } } { 5 4 ( 2 m _ { c } ) ^ { 4 } } } \; \xi _ { s } ^ { \dagger } \mathrm { \boldmath ~ \ s i g m a ~ } T _ { m \bar { m } } ^ { a } \eta _ { \bar { s } } \cdot \eta _ { \bar { s } } ^ { \dagger } \mathrm { \boldmath ~ \ s i g m a ~ } T _ { \bar { m } m } ^ { a } \xi _ { s } \, \left( 1 + 2 a \frac { { \bf q } ^ { 2 } } { m _ { c } ^ { 2 } } + \cdots \right) \; ,
K _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } \leq \mathcal { B } _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } : = - \Delta ( \eta _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } , \sigma _ { \mathrm { ~ P ~ } } ) \log _ { 2 } ( 1 - \eta _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } ) ,
\Delta t \, = \operatorname* { m i n } _ { C _ { i } } \left\lbrace \Delta t \, _ { i } \right\rbrace , \qquad \Delta t \, _ { i } = \textnormal { C F L } \frac { r _ { i } ^ { 2 } } { ( \left| \zeta \right| _ { \operatorname* { m a x } } + c _ { \alpha } ) r _ { i } + \operatorname* { m a x } \left\lbrace 2 \left| \nu \right| _ { \operatorname* { m a x } } , \frac { { c _ { p } } } { \kappa \rho } \right\rbrace } ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { l m } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } } & { { } = \mathrm { ~ E ~ } _ { 0 } \sqrt { \pi ( 2 l + 1 ) } i ^ { l } \left( \delta _ { m , 1 } + \delta _ { m , - 1 } \right) } \\ { \mathcal { B } _ { l m } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } } & { { } = \frac { \mathcal { E } } { c } \sqrt { \pi ( 2 l + 1 ) } i ^ { l + 1 } \left( \delta _ { m , 1 } - \delta _ { m , - 1 } \right) } \end{array}