harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \, \mathrm { d } \mu ( \alpha ) } & { \triangleq \frac { 1 } { 2 \pi } \frac { 4 } { S _ { o } ^ { 2 } } \left( 1 - \eta ^ { 2 } \right) ^ { \alpha } \left( 1 - t \right) ^ { \alpha } \, \widetilde { h } ( t ) ^ { 2 \chi _ { h } \alpha } \, \mathrm { d } V } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \pi } \left( 1 - \eta ^ { 2 } \right) ^ { \alpha } \left( 1 - t \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } \chi _ { o } + \alpha } \, \widetilde { h } ( t ) ^ { \left( 2 \alpha + 1 \right) \chi _ { h } } \, \mathrm { d } \phi \, \mathrm { d } \eta \, \mathrm { d } t } \end{array}
t _ { { { \kappa } } } = 1 - i { \Gamma _ { 0 } } \sum _ { j , j ^ { \prime } } ^ { } { { { G _ { j , j ^ { \prime } } } ( \omega _ { \kappa } ) e ^ { i \omega _ { \kappa } / c ( { z _ { j ^ { \prime } } } - { z _ { j } } ) } } } ,
A ( \mathbf { r } _ { 1 } - l \mathbf { e } _ { y } , \mathbf { r } _ { 2 } - l \mathbf { e } _ { y } ) \approx \sqrt { I _ { 1 L } ( \mathbf { r } _ { 1 } | \mathbf { r } _ { 2 } ) + I _ { 1 R } ( \mathbf { r } _ { 1 } | \mathbf { r } _ { 2 } ) }
\begin{array} { r l } { \mathcal { \ell } T _ { \overset { . } { 2 } \overset { . } { 3 } } ^ { 3 } } & { { } = 0 = \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 3 } } ^ { 1 } \left( n \right) \sin \mathcal { \ell } \omega _ { \overset { . } { 3 } } \left( n \right) e _ { \overset { . } { 2 } } ^ { 2 } \left( n + \overset { . } { 3 } \right) + 2 \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 2 } } ^ { 3 } \left( n \right) \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 2 } } ^ { 3 } \left( n \right) \sin ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 } \mathcal { \ell } \omega _ { \overset { . } { 2 } } \left( n \right) e _ { \overset { . } { 3 } } ^ { 3 } \left( n + \overset { . } { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { R _ { 0 } ( \Delta ; \varepsilon ) = - \int _ { z _ { 1 } ( \Delta ) } ^ { z _ { 2 } ( \Delta ) } \frac { \sqrt { f _ { \Delta } ( z ) } ( \sqrt { 2 ( 2 - \varepsilon ^ { 2 } f _ { \Delta } ( z ) ) } - 1 ) } { \sqrt { 2 ( 2 - \varepsilon ^ { 2 } f _ { \Delta } ( z ) } ( \sqrt { 2 - \varepsilon ^ { 2 } f _ { \Delta } ( z ) } + \sqrt 2 ) } \, d z , } \\ { R _ { 1 } ( \Delta ; \varepsilon ) = - \int _ { z _ { 1 } ( \Delta ) } ^ { z _ { 2 } ( \Delta ) } \frac { \sqrt { f _ { \Delta } ( z ) } ( \sqrt { 2 ( 2 - \varepsilon ^ { 2 } f _ { \Delta } ( z ) ) } - 1 ) z } { \sqrt { 2 ( 2 - \varepsilon ^ { 2 } f _ { \Delta } ( z ) } ( \sqrt { 2 - \varepsilon ^ { 2 } f _ { \Delta } ( z ) } + \sqrt 2 ) } \, d z . } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { i \Sigma ^ { \sigma \sigma } ( p ) } } & { { = } } & { { \displaystyle + \lambda ^ { 2 } v ^ { 2 } \int \left[ c _ { k \wedge p } ^ { 2 } \left( 1 8 D _ { k } ^ { \sigma } D _ { k + p } ^ { \sigma } + 2 D _ { k } ^ { Z } D _ { k + p } ^ { Z } \right) + 4 D _ { k } ^ { W } D _ { k + p } ^ { W } \right] } } \\ { { } } & { { } } & { { \displaystyle - \frac { 1 } { 2 } g ^ { 2 } \int ( k + 2 p ) ^ { 2 } \left[ s _ { k \wedge p } ^ { 2 } D _ { k } ^ { Z } D _ { k + p } ^ { \sigma } + c _ { k \wedge p } ^ { 2 } D _ { k } ^ { Z } D _ { k + p } ^ { Z } + D _ { k } ^ { W } D _ { k + p } ^ { W } \right] } } \\ { { } } & { { } } & { { \displaystyle + \frac { n } { 4 } g ^ { 4 } v ^ { 2 } \int \left[ 2 c _ { k \wedge p } ^ { 2 } D _ { k } ^ { Z } D _ { k + p } ^ { Z } + D _ { k } ^ { W } D _ { k + p } ^ { W } \right] } } \\ { { } } & { { } } & { { \displaystyle - \frac { 1 } { 8 } g ^ { 4 } v ^ { 2 } \int \left[ 2 c _ { k \wedge p } ^ { 2 } D _ { k } ^ { Z } D _ { k + p } ^ { Z } + D _ { k } ^ { W } D _ { k + p } ^ { W } \right] } } \\ { { } } & { { } } & { { \displaystyle + \lambda \int \left[ ( 1 + 2 c _ { k \wedge p } ^ { 2 } ) D _ { k } ^ { \sigma } + ( 2 - c _ { k \wedge p } ) D _ { k } ^ { Z } + 2 D _ { k } ^ { W } \right] } } \\ { { } } & { { } } & { { \displaystyle + \frac { n } { 2 } g ^ { 2 } \int \left[ D _ { k } ^ { W } + D _ { k } ^ { Z } \right] , } } \end{array}
C _ { B M V } ( w ) = \left[ \begin{array} { l l l } { { 1 } } & { { w - 1 } } & { { w } } \\ { { 1 } } & { { - 1 } } & { { 0 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } & { { - 1 } } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { g _ { i , 1 } ( x , u ) } & { = u ^ { T } ( Q _ { i } ( x ) ^ { T } Q _ { i } ( x ) - b _ { i } ( x ) b _ { i } ( x ) ^ { T } ) u + r _ { i } ( x ) ^ { 2 } } \\ & { \quad + 2 ( Q _ { i } ( x ) ^ { T } r _ { i } ( x ) - c _ { i } ( x ) b _ { i } ( x ) ) ^ { T } u - c _ { i } ( x ) ^ { 2 } , } \\ { g _ { i , 2 } ( x , u ) } & { = - b _ { i } ( x ) ^ { T } u - c _ { i } ( x ) . } \end{array}
\left[ \begin{array} { l l l l } { W + \Sigma _ { p } } & { 0 } & { G ^ { \top } } & { H ^ { \top } } \\ { 0 } & { \Sigma _ { s } } & { 0 } & { I } \\ { G } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { H } & { I } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { p _ { d } } \\ { p _ { s } } \\ { p _ { y } } \\ { p _ { z } } \end{array} \right] = - \left[ \begin{array} { l } { r _ { 1 } } \\ { r _ { 2 } } \\ { r _ { 3 } } \\ { r _ { 4 } } \end{array} \right]
\begin{array} { r } { \alpha _ { n } ( \tau ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \! \mathrm { d } \omega \, J _ { n } ( \omega ) \Big ( \coth \big ( \frac { \beta \hbar \omega } { 2 } \big ) \cos ( \omega \tau ) - i \sin ( \omega \tau ) \Big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { a ( { \vec { k } } ) } & { { } = \left( E { \widetilde { \phi } } ( { \vec { k } } ) + i { \widetilde { \pi } } ( { \vec { k } } ) \right) , } \\ { a ^ { \dagger } ( { \vec { k } } ) } & { { } = \left( E { \widetilde { \phi } } ( { \vec { k } } ) - i { \widetilde { \pi } } ( { \vec { k } } ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \psi _ { i } ( \mathbf r ) } & { { } = } & { \sum _ { j } c _ { i j } \phi _ { j } ( \mathbf r ) } \\ { \langle \phi _ { a } | g _ { i } ^ { \sigma } \rangle } & { { } = } & { \sum _ { j } c _ { i j } \left[ F _ { a j } ^ { \sigma } - \varepsilon _ { i } ^ { \sigma } S _ { a j } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left< X \right> _ { t } } & { = } & { \left\langle \Psi \right\vert \exp ( i H _ { n p } ^ { \downarrow } / t ) X \exp ( - i H _ { n p } ^ { \downarrow } / t ) \left\vert \Psi \right\rangle } \\ & { = } & { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { ( i \omega t / 2 ) ^ { n } } { n ! } \left[ H _ { n p } , X \right] _ { n } } \\ & { = } & { \sqrt { 2 } \Delta _ { g } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \mu \mathrm { { s i n } } ( \sqrt { \Delta _ { g } \omega t / 2 } ) P } \\ & { } & { + { \mathrm { c o s } } ( \sqrt { \Delta _ { g } \omega t / 2 } ) X , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H } & { { } = T + U + V + \sum _ { \ell \neq \kappa = 1 } ^ { L } \frac { \zeta _ { \ell } \zeta _ { \kappa } } { 2 \left\| R _ { \ell } - R _ { \kappa } \right\| } } \\ { T } & { { } \approx \sum _ { i = 1 } ^ { \eta } \mathrm { Q F T } _ { j } \left( \sum _ { p \in G } \frac { \left\| k _ { p } \right\| ^ { 2 } } { 2 } \mathinner { | { p } \rangle } \! \! \mathinner { \langle { p } | } _ { j } \right) \mathrm { Q F T } _ { j } ^ { \dagger } } \\ { U } & { { } = - \sum _ { j = 1 } ^ { \eta } \sum _ { \ell = 1 } ^ { L } \sum _ { p \in G } \frac { \zeta _ { \ell } } { \left\| R _ { \ell } - r _ { p } \right\| } \mathinner { | { p } \rangle } \! \! \mathinner { \langle { p } | } _ { j } } \\ { V } & { { } = \sum _ { j \neq k = 1 } ^ { \eta } \sum _ { p , q \in G } \frac { 1 } { 2 \left\| r _ { p } - r _ { q } \right\| } \mathinner { | { p } \rangle } \! \! \mathinner { \langle { p } | } _ { j } \mathinner { | { q } \rangle } \! \! \mathinner { \langle { q } | } _ { k } } \end{array}
\begin{array} { r } { \int \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \epsilon ^ { n } f ^ { ( n ) } d \mathbf { v } = 0 = \int \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \epsilon ^ { n } f ^ { ( n ) } \mathbf { v } ^ { 2 } d \mathbf { v } } \\ { \int \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \epsilon ^ { n } f ^ { ( n ) } v _ { i } d \mathbf { v } = 0 , \qquad i \in \{ x , y , z \} . } \end{array}
\begin{array} { r } { { { { \mathrm { \boldmath ~ { \cal ~ T } ~ } } } } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) = \left( \begin{array} { l l } { \bar { F } ^ { - * } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) } & { F ^ { + } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) } \\ { \bar { F } ^ { + * } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) } & { F ^ { - } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m i n } \quad \int _ { 0 } ^ { 1 } \tilde { f } _ { 0 } { \big ( \textbf { x } ; \Phi _ { \xi _ { 1 } } ^ { - 1 } ( \gamma ) , \Phi _ { \xi _ { 2 } } ^ { - 1 } ( \gamma ) , \ldots , \Phi _ { \xi _ { n } } ^ { - 1 } ( \gamma ) \big ) } d \gamma } \\ & { \mathrm { s . t . } } \\ & { \qquad \tilde { f } _ { k } { \big ( \textbf { x } ; \Phi _ { \xi _ { 1 } } ^ { - 1 } ( \gamma ) , \Phi _ { \xi _ { 2 } } ^ { - 1 } ( \gamma ) , \ldots , \Phi _ { \xi _ { n } } ^ { - 1 } ( \gamma ) \big ) } \leq 0 , k = 1 , 2 , \ldots K . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { B } _ { 0 } ( t , x , \gamma , \tau , k ) } & { : = \left( \frac { p ^ { \prime } ( \varrho ^ { \mathrm { i n } } ( x ) ) \varrho ^ { \mathrm { i n } } ( x ) } { 1 - \rho _ { f ^ { \mathrm { i n } } } ( x ) } - \frac { p ^ { \prime } ( \varrho ( t , x ) ) \varrho ( t , x ) } { 1 - \rho _ { f } ( t , x ) } \right) \int _ { 0 } ^ { + \infty } e ^ { - ( \gamma + i \tau ) s } \frac { i k } { 1 + \vert k \vert ^ { 2 } } \cdot \left( \mathcal { F } _ { v } \nabla _ { v } f \right) ( t , x , k s ) \, \mathrm { d } s . } \end{array}
\Psi ( s ) = \theta ( 4 { M _ { H } } ^ { 2 } - s ) \frac { 3 } { 2 } c t g \left( \frac { \varphi } { 2 } \right) ( \varphi - \frac { \pi } { 3 } ) - \theta ( s - 4 { M _ { H } } ^ { 2 } ) \frac { 3 } { 2 } \frac { 1 - x } { 1 + x } \log ( x )
1 = D ^ { 2 } = \frac { d Y _ { * } ^ { 2 + \alpha } } { H _ { * } ^ { 2 } T _ { * } ^ { \alpha } } \stackrel { } = \frac { d Y _ { * } ^ { 2 - 3 \alpha } } { H _ { * } ^ { 2 - \alpha n } } \stackrel { } = \frac { d \big ( \frac { M } { 2 } \big ) ^ { 2 - 3 \alpha } } { H _ { * } ^ { 4 - \alpha ( n + 3 ) } } \quad \Leftrightarrow \quad H _ { * } ^ { 4 - \alpha ( n + 3 ) } = d \big ( \frac { M } { 2 } \big ) ^ { 2 - 3 \alpha } .
\begin{array} { r l r } { = } & { { } } & { ( p _ { 0 } ^ { + \prime } / v _ { 0 ( 2 ) } ^ { \prime } ) ^ { 2 } - \Sigma ( p _ { k } ^ { + \prime } / v _ { 0 ( 2 ) } ^ { \prime } ) ^ { 2 } - k _ { e g } ^ { 2 } \Sigma ( P _ { j } ^ { + \prime } / v _ { 0 ( 2 ) } ^ { \prime } ) ^ { 2 } ~ , } \end{array}
\left( \mathbf { 1 } _ { A } - \mathbf { 1 } _ { A _ { 1 } } \right) \left( \mathbf { 1 } _ { A } - \mathbf { 1 } _ { A _ { 2 } } \right) \cdots \left( \mathbf { 1 } _ { A } - \mathbf { 1 } _ { A _ { n } } \right) ,
\begin{array} { r l } { 0 } & { { } = \big ( \nabla \cdot [ r \vec { U } ^ { m + 1 } ] , ~ q \big ) = \int _ { \mathscr { R } _ { - } ^ { m } } \nabla \cdot [ r \vec { U } ^ { m + 1 } ] \, \mathrm { d } r \mathrm { d } z - \omega ^ { m } \int _ { \mathscr { R } } \nabla \cdot [ r \vec { U } ^ { m + 1 } ] \, \mathrm { d } r \mathrm { d } z } \end{array}
\gamma = \frac { 1 } { 3 } \int \! \! \! \! \int \frac { { \bar { \eta } } k ^ { 4 } u _ { 1 } } { { \omega ^ { 2 } + { \bar { \eta } } ^ { 2 } k ^ { 4 } } } \; \mathrm { d } \vec { k } \, \mathrm { d } \omega \, ,
\begin{array} { r l } { q _ { m } \sim } & { \mathrm { B e t a } ( A _ { q } , B _ { q } ) , m = 1 : \infty , } \\ { b _ { m } \sim } & { \mathrm { B e r n o u l l i } ( q _ { m } ) , } \\ { \mathbb { K } \sim } & { \, \mathrm { G a m m a } ( \alpha _ { \mathbb { K } } , \beta _ { \mathbb { K } } ) , } \\ { \mathbf { P } _ { \mathrm { i n } } \sim } & { \, \mathrm { D i r i c h l e t } ( \alpha _ { \Pi } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \widetilde { \mathrm { K } } _ { \overline { { \alpha } } \overline { { \beta } } } : = \frac { 1 } { 2 } \jmath _ { \overline { { \alpha } } } ^ { \alpha } \jmath _ { \overline { { \beta } } } ^ { \beta } ( \widetilde { \nabla } _ { \alpha } \nu _ { \beta } + g _ { \alpha \gamma } \widetilde { \nabla } _ { \beta } \nu ^ { \gamma } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d C _ { 0 } } { d \tau } } & { { } = - \varepsilon \gamma _ { 0 } ( \zeta + 1 ) C _ { 0 } + \varepsilon \gamma _ { 0 } ( \zeta + \gamma _ { 1 } ) C _ { 1 } + { f _ { 0 } } , } \\ { \frac { d C _ { 1 } } { d \tau } } & { { } = \zeta \phi - ( \zeta + \gamma _ { 1 } ) C _ { 1 } . } \end{array}
C _ { 6 } ^ { ( 2 0 0 ) } \approx 6 . 4 9 9 \, 0 2 6 \, 7 0 5 \, 4 0 5 \, 8 3 9 \, 3 1 3 \, 1 2 8 \, 1 9 4 \, 6 0 4 \, 1 3
\mathrm { E } ( \mathrm { 2 } ) = \sum _ { d = 1 } ^ { \infty } d { \frac { 6 } { \pi ^ { 2 } d ^ { 2 } } } = { \frac { 6 } { \pi ^ { 2 } } } \sum _ { d = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { d } } .
T _ { 4 } ( f ) ( z ) \lesssim \left\{ \begin{array} { l l } { \sum _ { j = 1 } ^ { l } \int _ { E _ { j } } ( r ^ { \prime } ) ^ { - n _ { j } } | f ( z ^ { \prime } ) | d \mu ( z ^ { \prime } ) + \int _ { K } | f ( z ^ { \prime } ) | d \mu ( z ^ { \prime } ) , } & { z \in K } \\ { \sum _ { j = 1 } ^ { l } \int _ { E _ { j } } \operatorname* { m i n } \left( r ^ { - n _ { i } } ( r ^ { \prime } ) ^ { 1 - n _ { j } } ; r ^ { 1 - n _ { i } } ( r ^ { \prime } ) ^ { - n _ { j } } \right) | f ( z ^ { \prime } ) | d \mu ( z ^ { \prime } ) + } \\ { r ^ { - n _ { i } } \int _ { K } | f ( z ^ { \prime } ) | d \mu ( z ^ { \prime } ) , } & { z \in E _ { i } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \left| \frac { \mathbf { x } _ { i } ^ { \top } \mathbf { x } _ { i ^ { \prime } } } { d } \right| \left( \gamma \cdot \left| \left( \frac { 1 } { m } \sum _ { j = 1 } ^ { m } \sigma ^ { \prime } ( Z _ { j } ( \mathbf { x } _ { i } ; \mathbf { W } _ { 0 } ) ) \sigma ^ { \prime } ( Z _ { j } ( \mathbf { x } _ { i ^ { \prime } } ; \mathbf { W } _ { 0 } ) ) \right) - \mathbb E [ \sigma ^ { \prime } ( Z _ { 1 } ( \mathbf { x } _ { i } ; \mathbf { W } _ { 0 } ) ) \sigma ^ { \prime } ( Z _ { 1 } ( \mathbf { x } _ { i ^ { \prime } } ; \mathbf { W } _ { 0 } ) ) ] \right| \right. } \\ & { \qquad \qquad \qquad \left. + ( 1 - \gamma ) \cdot \left[ \left( \frac { 1 } { \sum _ { j = 1 } ^ { m } \widetilde \lambda _ { j } } - 1 \right) \sum _ { j = 1 } ^ { m } \widetilde \lambda _ { j } + \sum _ { j = m + 1 } ^ { \infty } \widetilde \lambda _ { j } \right] \right) } \\ & { = \left| \frac { \mathbf { x } _ { i } ^ { \top } \mathbf { x } _ { i ^ { \prime } } } { d } \right| \left( \gamma \cdot \left| \left( \frac { 1 } { m } \sum _ { j = 1 } ^ { m } \sigma ^ { \prime } ( Z _ { j } ( \mathbf { x } _ { i } ; \mathbf { W } _ { 0 } ) ) \sigma ^ { \prime } ( Z _ { j } ( \mathbf { x } _ { i ^ { \prime } } ; \mathbf { W } _ { 0 } ) ) \right) - \mathbb E [ \sigma ^ { \prime } ( Z _ { 1 } ( \mathbf { x } _ { i } ; \mathbf { W } _ { 0 } ) ) \sigma ^ { \prime } ( Z _ { 1 } ( \mathbf { x } _ { i ^ { \prime } } ; \mathbf { W } _ { 0 } ) ) ] \right| \right. } \\ & { \qquad \qquad \qquad \left. + ( 1 - \gamma ) \cdot 2 \cdot \left[ 1 - \sum _ { j = 1 } ^ { m } \widetilde \lambda _ { j } \right] \right) } \end{array}
A ^ { ( \mu ) } ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ r ~ } ~ , ~ t ~ } ) = \sum _ { a = 1 } ^ { 3 } A _ { a } ^ { ( \mu ) } ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ r ~ } ~ , ~ t ~ } ) \frac { \tau ^ { ( a ) } } { 2 } = A ^ { ( \mu ) } \cdot \frac { \tau } { 2 } \; ,
\begin{array} { r l r } & { } & { | \mu _ { N } ( A \times \mathbb { U } ) - \mu _ { N } \mathbb { P } ( A ) | } \\ & { } & { = \bigg | { \frac { 1 } { N } } \bigg ( ( \mu _ { 0 } ( A \times \mathbb { U } ) + \cdots + \mu \mathbb { P } ^ { ( N - 1 ) } ( A ) ) - ( v _ { 0 } \mathbb { P } ( A ) + \cdots + v \mathbb { P } ^ { N } ( A ) ) \bigg ) \bigg | } \\ & { } & { \leq { \frac { 1 } { N } } | \mu _ { 0 } ( A \times \mathbb { U } ) - \mu _ { 0 } \mathbb { P } ^ { N } ( A ) | \to 0 . } \end{array}
\times \exp \left( 2 \sum _ { b , b ^ { \prime } = 1 } ^ { N } \sum _ { j , j ^ { \prime } = 1 } ^ { n _ { b } , n _ { b ^ { \prime } } } \Big ( \delta _ { n } ( x _ { j } ^ { ( b ) } ) \! - \! \delta _ { n } ( y _ { j } ^ { ( b ) } ) , \Big [ ( \frac { e \pi } { \pi \! + \! g N } ) ^ { 2 } \tilde { Q } + g \tilde { C } \Big ] \Big [ \delta _ { n } ( x _ { j ^ { \prime } } ^ { ( b ^ { \prime } ) } ) \! - \! \delta _ { n } ( y _ { j ^ { \prime } } ^ { ( b ^ { \prime } ) } ) \Big ] \Big ) \right)
i \frac { d A _ { n } } { d \tilde { t } } = \mu _ { n } A _ { n } + \mu _ { n , n + 1 } A _ { n + 1 } + \mu _ { n , n - 1 } A _ { n - 1 } + \kappa _ { n } W _ { n } ^ { 2 } Q _ { n } A _ { n } .
M _ { \nu } ^ { \prime } \sim \left( \begin{array} { c c c } { { \epsilon ^ { 2 } } } & { { \epsilon } } & { { \epsilon } } \\ { { \epsilon } } & { { m _ { 2 ( 0 ) } } } & { { 0 } } \\ { { \epsilon } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) m _ { D } ^ { 2 } / m _ { R } .
\begin{array} { r l } & { = \langle \langle \nabla _ { x } \rangle ^ { s } \{ \partial _ { v _ { i } } ( \Phi _ { i j } * _ { v } F _ { + } ) F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , 0 ) } \} , \partial _ { v _ { j } } F ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \rangle _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } } \\ & { \quad + \langle \langle \nabla _ { x } \rangle ^ { s } \{ v _ { j } \partial _ { v _ { i } } ( \Phi _ { i j } * _ { v } F _ { + } ) F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } - 2 , 0 ) } \} , F ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \rangle _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } } \\ & { \lesssim \| \langle \nabla _ { x } \rangle ^ { s } \{ \sigma ^ { - \frac { 1 } { 2 } } ( \nabla _ { v } \cdot \Phi * _ { v } F _ { + } ) F _ { + } \} \| _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } \| \sigma ^ { \frac { 1 } { 2 } } \nabla _ { v } F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \| _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } } \\ & { \quad + \| \langle \nabla _ { x } \rangle ^ { s } \{ v _ { j } \partial _ { v _ { i } } ( \Phi _ { i j } * _ { v } F _ { + } ) F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } - 2 , 0 ) } \} \| _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } \| F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \| _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } } \\ & { \lesssim \| \sigma ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \nabla _ { v } ( - \Delta _ { v } ) ^ { - 1 } F _ { + } ^ { ( 0 , s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } L _ { v } ^ { \infty } } \| F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \| _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } \| F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \dot { \mathcal H } _ { \sigma } ) _ { v } } } \\ & { \quad + \| \nabla _ { v } ( - \Delta _ { v } ) ^ { - 1 } F _ { + } ^ { ( 0 , s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } L _ { v } ^ { \infty } } \| F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \| _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } \| F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \| _ { L _ { x , v } ^ { 2 } } } \\ & { \lesssim \| \langle v \rangle ^ { \frac { 3 } { 2 } } \nabla _ { v } ( - \Delta _ { v } ) ^ { - 1 } F _ { + } ^ { ( 0 , s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } L _ { v } ^ { \infty } } ( 1 + \| F _ { + } ^ { ( m _ { 1 } , s ) } \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( \dot { \mathcal H } _ { \sigma } ) _ { v } } ) . } \end{array}
\overline { { v ^ { 2 } ( t ) } } = \sum _ { i } \bigg ( e ^ { 2 \beta _ { i } t / M } \bigg ( v _ { i } ^ { 2 } ( 0 ) + \sum _ { j } \frac { B _ { i j } ^ { 2 } } { 2 M \beta _ { i } } \bigg ) - \sum _ { j } \frac { B _ { i j } ^ { 2 } } { 2 M \beta _ { i } } \bigg )
X _ { t } = \sum _ { i = 0 } ^ { n - 1 } \frac { ( t - a ) ^ { i } x _ { i } } { \Gamma ( i + 1 ) } + \frac { 1 } { \Gamma ( \nu ) } \int _ { a } ^ { t } ( t - s ) ^ { \nu - 1 } f \left( s , X _ { s } \right) \mathrm { d } s + \frac { 1 } { \Gamma ( \nu ) } \int _ { a } ^ { t } ( t - s ) ^ { \nu - 1 } g \left( s , X _ { s } \right) \mathrm { d } C _ { s } ,
\begin{array} { r l r } { \hat { \mathcal { M } } _ { 1 } ( \delta _ { \mathrm { f s } } ) } & { { } \equiv } & { \hat { \mathcal { M } } ( { \bf \hat { n } _ { 1 } } , \delta _ { \mathrm { f s } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \ensuremath { \mathbf { n } } _ { 2 } ^ ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } & { = } & { \ensuremath { \mathbf { n } } _ { 1 } ^ ( x _ { 1 } , x _ { 1 } ) \otimes \ensuremath { \mathbf { n } } _ { 1 } ^ ( x _ { 2 } , x _ { 2 } ) } \\ & { } & { - \ensuremath { \mathbf { X } } \; \left( \ensuremath { \mathbf { n } } _ { 1 } ^ ( x _ { 2 } , x _ { 1 } ) \otimes \ensuremath { \mathbf { n } } _ { 1 } ^ ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \right) . } \end{array}
h _ { P } ^ { ( S M ) } = { \frac { - 1 } { 2 \mu } } { \frac { 1 } { r ^ { 2 } } } { \frac { d } { d r } } ( r ^ { 2 } { \frac { d } { d r } } ) + { \frac { 1 } { \mu r ^ { 2 } } } - { \frac { 4 \alpha _ { s } } { 3 r } } - V _ { P } ^ { ( S M ) } .
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \left( \frac { 1 } { 2 } \vert \tilde { T } ( x , y , \hat { \theta } ) \vert ^ { 2 } \right) \leq } & { - \omega \vert T ( x , \hat { \theta } ) \vert ^ { 2 } + \epsilon \left( \vert \theta \vert ^ { 2 } - r \right) ^ { + } - M ( x , y , \hat { \theta } ) \left( y - k ( x , \hat { \theta } ) \right) ^ { 2 } } \\ & { + \left( y - k ( x , \hat { \theta } ) \right) \sum _ { j = 1 } ^ { p } \left( \varphi _ { n + 1 , j } ( x , y ) - \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { \partial k } { \partial x _ { i } } ( x , \hat { \theta } ) \varphi _ { i , j } ( x ) \right) \left( \hat { \theta } _ { j } - \theta _ { j } \right) } \end{array}
, t h e v a r i a t i o n a l e q u a t i o n h a s c o n s t a n t c o e f f i c i e n t s a n d t h e c o e f f i c i e n t m a t r i x h a s r a n k 1 . T h e n t h e v a r i a t i o n a l e q u a t i o n c a n b e i n t e g r a t e d e x p l i c i t l y a s a b o v e . M o r e o v e r , b y a s i m i l a r c a l c u l a t i o n , w e f i n d t h a t t h e
\begin{array} { r l } { c _ { n , k } ^ { * } } & { = c _ { n , k } + c _ { n , k - 1 } } \\ & { = c _ { n - 1 , k } + c _ { n - 1 , k - 1 } + c _ { n - 1 , k - 2 } - c _ { n - 2 , k - 2 } } \\ & { \phantom { = } c _ { n - 1 , k - 1 } + c _ { n - 1 , k - 2 } + c _ { n - 1 , k - 3 } - c _ { n - 2 , k - 3 } } \\ & { = c _ { n - 1 , k } ^ { * } + c _ { n - 1 , k - 1 } ^ { * } + c _ { n - 1 , k - 2 } ^ { * } - c _ { n - 2 , k - 2 } ^ { * } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d \epsilon } E _ { S } ( \varphi _ { 0 1 } ^ { v + \epsilon h } ) | _ { \epsilon = 0 } } & { = \partial _ { \epsilon } E _ { S } ( \varphi _ { 0 \epsilon } ^ { w } \circ \varphi _ { 0 1 } ^ { v } ) | _ { \epsilon = 0 } } \\ & { = \big ( \overline { { \partial } } E _ { S } ( \varphi _ { 0 1 } ^ { v } ) | w \big ) } \\ & { = \sum _ { i = 0 } ^ { d } \Big ( \overline { { \partial } } E _ { S } ( \varphi _ { 0 1 } ^ { v } ) | w _ { i } \Big ) } \\ & { = \sum _ { i = 0 } ^ { d } \int _ { 0 } ^ { 1 } \Big ( \overline { { \partial } } E _ { S } ( \varphi _ { 0 1 } ^ { v } ) | \mathrm { A d } _ { \varphi _ { t 1 } ^ { v } } h _ { i } ( t ) \Big ) d t } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \Big ( \mathrm { A d } _ { \varphi _ { t 1 } ^ { v } } ^ { \ast } \overline { { \partial } } E _ { S } ( \varphi _ { 0 1 } ^ { v } ) | h ( t ) \Big ) d t } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \left\langle \mathrm { A d } _ { \varphi _ { t 1 } ^ { v } } ^ { T } \overline { { \nabla } } ^ { V } E _ { S } ( \varphi _ { 0 1 } ^ { v } ) , h ( t ) \right\rangle _ { V } d t . } \end{array}
( { \mathbf { \mathbf { \mathbf { K } } } } \otimes { \mathbf { \mathbf { \mathbf { I } } } } _ { N _ { t } } ) : { \mathbf { \mathbf { \mathbf { U } } } } ^ { ( l ) } = { \mathbf { \mathbf { \mathbf { F } } } } ^ { e x t } + { \mathbf { \mathbf { \mathbf { F } } } } ^ { p , ( l - 1 ) }
\hat { O } = \sum _ { p q } o _ { p q } \hat { a } _ { p } ^ { \dagger } \hat { a } _ { q } + \sum _ { p q r s } o _ { p q r s } \hat { a } _ { p } ^ { \dagger } \hat { a } _ { q } ^ { \dagger } \hat { a } _ { r } \hat { a } _ { s } + . . .
\begin{array} { r } { \ell _ { 2 } ( \Pi _ { h } \boldsymbol { v } ) - d ( \Pi _ { h } \boldsymbol { v } , \boldsymbol { p } _ { h } ) - c ( \boldsymbol { u } _ { h } , \Pi _ { h } \boldsymbol { v } ) = \ell _ { 2 , h } ( \Pi _ { h } \boldsymbol { v } ) - d _ { h } ( \Pi _ { h } \boldsymbol { v } , \boldsymbol { p } _ { h } ) - c _ { h } ( \boldsymbol { u } _ { h } , \Pi _ { h } \boldsymbol { v } ) = 0 . } \end{array}
A ( r , \xi ) \approx e ^ { \xi } \left( 2 \sqrt { e ^ { u } - 1 } + e ^ { u } \left[ \pi - 2 \arctan \sqrt { e ^ { u } - 1 } \, \right] \right) - 2 \pi \approx 4 e ^ { \xi + u / 2 } - 2 \pi ,
\left( \frac { \dot { a } _ { 0 } } { a _ { 0 } } \right) ^ { 2 } + \frac { K } { a _ { 0 } ^ { 2 } } = 2 k ^ { 2 } \left[ \left( \frac { k _ { 0 } } { k } \mathrm { c o t h } ( k b ) - 1 \right) + \mathrm { c o t h } ( k b ) \bar { \rho } _ { 0 M } \right] ,