harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { p _ { n } \mapsto \prod _ { i = 1 } ^ { n } } & { \Psi _ { \alpha _ { \sigma _ { i } ^ { 1 } } } ^ { \gamma } ( q _ { i } + \hbar p _ { n } , q _ { i - 1 } + \hbar p _ { n } ) \prod _ { i = 1 } ^ { n + 1 } \prod _ { m = \sigma _ { i - 1 } ^ { 1 } + 1 } ^ { \sigma _ { i } ^ { 1 } - 1 } \Psi _ { \alpha _ { m } } ^ { \gamma } ( q _ { i - 1 } + \hbar p _ { n } , q _ { i - 1 } + \hbar p _ { n } ) } \\ & { \times a ( y + y _ { 0 } - \frac { 1 } { 2 } t \hbar p _ { n } , \frac { 1 } { 2 } \hbar p _ { n } + q _ { n } ) . } \end{array}
\langle x _ { i _ { 1 } } \dots x _ { i _ { n } } \rangle = ( - i ) ^ { n } \left. { \frac { \partial ^ { n } \phi ( { \bf u } ) } { \partial u _ { i _ { 1 } } \dots \partial u _ { i _ { n } } } } \right| _ { { \bf u } = 0 } \, .
\partial _ { \mu } ( \sqrt { g } R ^ { \mu } ) = - \frac { 1 } { 3 g ^ { 3 } } \widetilde { \beta } ( g ) ( F \widetilde { F } ) - \frac { \tilde { b } ( g ) } { 4 8 \pi ^ { 2 } } ( B \widetilde { B } ) + \frac { \tilde { c } ( g ) - a ( g ) } { 2 4 \pi ^ { 2 } } R \widetilde { R } + \frac { 5 a ( g ) - 3 \tilde { c } ( g ) } { 9 \pi ^ { 2 } } ( V \widetilde { V } )
{ \mathbf { u } } ( { \mathbf { x } } , t ) = { \mathbf { u } } _ { + + } ( { \mathbf { x } } , t ) \cup { \mathbf { u } } _ { + - } ( { \mathbf { x } } , t ) \cup { \mathbf { u } } _ { - + } ( { \mathbf { x } } , t ) \cup { \mathbf { u } } _ { -- } ( { \mathbf { x } } , t ) \, .
\int _ { C _ { h } ^ { - } } { f ( z ) d z } - \int _ { C _ { h } ^ { + } } { f ( z ) d z } = 2 \int _ { a } ^ { b } { f ( x ) d x } + 2 \pi i \left[ \sum _ { k } { \mathrm { R e s } } _ { { \mathrm { I m } } z _ { f , k } < 0 } f ( z ) - \sum _ { k } { \mathrm { R e s } } _ { { \mathrm { I m } } z _ { f , k } > 0 } f ( z ) \right] .
\begin{array} { r l } & { C ^ { - 1 } \leq \frac { \rho _ { \alpha } ( x ) } { ( x - E _ { - } ^ { \alpha } ) ^ { t _ { - } ^ { \alpha } } ( E _ { + } ^ { \alpha } - x ) ^ { t _ { + } ^ { \alpha } } } \leq C , \quad \forall x \in [ E _ { - } ^ { \alpha } , E _ { + } ^ { \alpha } ] , } \\ & { C ^ { - 1 } \leq \frac { \rho _ { \beta } ( x ) } { ( x - E _ { - } ^ { \beta } ) ^ { t _ { - } ^ { \beta } } ( E _ { + } ^ { \beta } - x ) ^ { t _ { + } ^ { \beta } } } \leq C , \quad \forall x \in [ E _ { - } ^ { \beta } , E _ { + } ^ { \beta } ] . } \end{array}
{ \frac { d ^ { 2 } f ( r ) } { d r ^ { 2 } } } - \left[ { \frac { l ( l + 1 ) + 2 G Q ^ { 2 } E ^ { 2 } - G ^ { 2 } s ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } } - { \frac { 2 G s E } { r } } - E ^ { 2 } \right] f ( r ) ~ = ~ 0 ~ ~ .
\mathbf { \mathrm { P } } = { \frac { \mathrm { d } \mathbf { \tau } } { \mathrm { d } t } } = { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } } \left( { \frac { \mathrm { d } \mathbf { L } } { \mathrm { d } t } } \right) = { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \mathbf { L } } { \mathrm { d } t ^ { 2 } } } = { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } ( I \cdot \mathbf { \omega } ) } { \mathrm { d } t ^ { 2 } } }
E ( \omega , \theta ) = \int 4 \pi r ^ { 2 } \; d r \left[ - { \frac { 1 } { 2 } } { \omega ^ { \prime } } ^ { 2 } + F ^ { 2 } \left( { \theta ^ { \prime } } ^ { 2 } + 2 { \frac { \sin ^ { 2 } \theta } { r ^ { 2 } } } \right) + { \frac { e } { 2 \pi ^ { 2 } } } { \frac { \omega } { r ^ { 2 } } } \sin ^ { 2 } { \theta } \theta ^ { \prime } \right] .
\begin{array} { r } { \left( \mathbf { u } \cdot \nabla \xi - \mathbf { u } _ { N } \cdot \nabla \xi _ { N } , \zeta _ { N } \right) = \left( \mathbf { u } \cdot \nabla Q _ { N } \xi , \zeta _ { N } \right) + \left( Q _ { N } \mathbf { u } \cdot \nabla \Pi _ { N } \xi , \zeta _ { N } \right) + \left( \mathbf { v } _ { N } \cdot \nabla \Pi _ { N } \xi , \zeta _ { N } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \| \tilde { p } ^ { j } ( \cdot , t ) \| _ { L ^ { \infty } ( I _ { j } ) } } & { \leq c ( k _ { t } ) } & & { \quad \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } t \in I _ { j } \, , } \\ { \| \tilde { p } ^ { j } ( \cdot , s + \delta ) - \tilde { p } ^ { j } ( \cdot ; s ) \| _ { L ^ { \infty } ( I _ { j } ) } } & { \leq c ( k _ { t } ) \, \delta \tau ^ { - 1 } } & & { \quad \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } s \in I _ { j } \mathrm { ~ w i t h ~ } s + \delta \in I _ { j } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \langle \mathbf { k } \rangle } & { = \frac { i } { \hbar } \langle \mathbf { k } ( \mathbf { H } ^ { \dagger } ( \mathbf { k } ) - \mathbf { H } ( \mathbf { k } ) ) \rangle - \frac { i } { \hbar } \langle \mathbf { k } \rangle \langle \mathbf { H } ^ { \dagger } ( \mathbf { k } ) - \mathbf { H } ( \mathbf { k } ) \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } & { u _ { x } ^ { ( j ) } + v _ { y } ^ { ( j ) } = 0 , } \\ & { \rho ^ { ( j ) } \bigg [ u _ { t } ^ { ( j ) } + u ^ { ( j ) } ~ u _ { x } ^ { ( j ) } + v ^ { ( j ) } ~ u _ { y } ^ { ( j ) } \bigg ] = - p _ { x } ^ { ( j ) } + \mu ^ { ( j ) } ~ ( u _ { x x } ^ { ( j ) } + u _ { y y } ^ { ( j ) } ) + \rho ^ { ( j ) } \, g \, \sin { \theta } , } \\ & { \rho ^ { ( j ) } \bigg [ v _ { t } ^ { ( j ) } + u ^ { ( j ) } ~ v _ { x } ^ { ( j ) } + v ^ { ( j ) } ~ v _ { y } ^ { ( j ) } \bigg ] = - p _ { y } ^ { ( j ) } + \mu ^ { ( j ) } ~ ( v _ { x x } ^ { ( j ) } + v _ { y y } ^ { ( j ) } ) - \rho ^ { ( j ) } \, g \, \cos { \theta } , } \end{array}
= { \frac { 2 0 0 ! } { { 1 1 5 ! } \times { 8 5 ! } } } \times { \frac { { 1 1 5 ! } \times { 8 5 ! } } { 2 0 1 ! } } = { \frac { 1 } { 2 0 1 } } = 0 . 0 0 4 9 7 5 . . . .
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ E ~ N ~ R ~ M ~ S ~ E ~ } _ { k } = \frac { 1 } { S } \sum _ { s = 1 } ^ { S } \left\{ \frac { 1 } { y _ { s k } } \sqrt { \frac { \sum _ { n = 1 } ^ { N } ( \hat { y } _ { s k } ^ { n } - y _ { s k } ) ^ { 2 } } { N } } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { T } ( \theta , \mathcal { S } ) ^ { 2 } } & { { } = \mathcal { E } _ { T } ^ { i n t 1 } ( \theta , \mathcal { S } _ { i n t } ) ^ { 2 } + \mathcal { E } _ { T } ^ { i n t 2 } ( \theta , \mathcal { S } _ { i n t } ) ^ { 2 } + \mathcal { E } _ { T } ^ { i n t 3 } ( \theta , \mathcal { S } _ { i n t } ) ^ { 2 } } \end{array}
{ \cal Z } ( t , A , \beta ) ~ \sim ~ { \frac { t ^ { 4 } } { \beta ^ { \frac { 9 } { 2 } } } } ~ e ^ { { \frac { \pi } { \sqrt { 2 } } } ~ \beta ~ A } ~ A ^ { - { \frac { 7 } { 2 } } } .
{ \begin{array} { r l } { { \frac { d } { d t } } \langle X \rangle } & { = { \frac { d } { d t } } \langle \psi | X | \psi \rangle = { \frac { 1 } { m } } \langle \psi | P | \psi \rangle = { \frac { 1 } { m } } \langle P \rangle } \\ { { \frac { d } { d t } } \langle P \rangle } & { = { \frac { d } { d t } } \langle \psi | P | \psi \rangle = \langle \psi | ( - \nabla V ) | \psi \rangle = - \langle \nabla V \rangle \, . } \end{array} }
\sqrt { \mathfrak { C _ { \mathrm { b i a s } } ^ { ( 1 ) } } } \left( \gamma _ { 0 } ^ { 2 } \mathfrak { C _ { \mathrm { b i a s } } ^ { ( 2 , 2 ) } } \right) ^ { \frac { 1 - \rho } { 2 } } \le L ^ { \frac { \rho } { 2 } } ( \underline { { c } } ^ { - \frac { 1 } { 4 } - \frac { 1 - \rho } { 1 - \delta } } \vee \underline { { c } } ^ { - \frac { 3 } { 2 } - \frac { 1 - \rho } { 1 - \delta } - \frac { 2 \delta } { 1 - \delta } } ) \bar { \Psi } ^ { 1 - \frac { \rho } { 2 } + \frac { 5 - 2 \rho } { 2 } r + ( 3 - \rho ) \frac { \delta r } { 1 - \delta } } .
\begin{array} { r l } { V ( \mathbf { w } ) } & { = \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathbb { R } ^ { N } } \left( U ( x ) - \sum _ { j = 1 } ^ { N } x ^ { j } w ^ { j } \right) = U ( x ^ { * } ) - \sum _ { j = 1 } ^ { N } x ^ { j , * } w ^ { j } } \\ & { = \frac { N ^ { 2 } } { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { N } e ^ { - \alpha _ { j } x ^ { j , * } } \right) ^ { 2 } - \sum _ { j = 1 } ^ { N } x ^ { j , * } w ^ { j } } \\ & { = \frac { N ^ { 2 } } { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { w ^ { j } } { \alpha _ { j } } - \sum _ { j = 1 } ^ { N } x ^ { j , * } \cdot h \alpha _ { j } e ^ { - \alpha _ { j } x ^ { j , * } } } \\ & { = \frac { N ^ { 2 } } { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { w ^ { j } } { \alpha _ { j } } + \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left( \log \frac { w ^ { j } } { \alpha _ { j } } - \frac { 1 } { 2 } \log \left( \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { w ^ { j } } { \alpha _ { j } } \right) \right) \frac { w ^ { j } } { \alpha _ { j } } } \\ & { = \frac { N ^ { 2 } } { 2 } + \sum _ { j = 1 } ^ { N } \, \frac { w ^ { j } } { \alpha _ { j } } \log \frac { w ^ { j } } { \alpha _ { j } } - \frac { 1 } { 2 } \left[ \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { w ^ { j } } { \alpha _ { j } } + \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { w ^ { j } } { \alpha _ { j } } \log \left( \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { w ^ { j } } { \alpha _ { j } } \right) \right] . } \end{array}
\partial _ { \mu } A ^ { \mu } = \frac { 3 g ^ { 2 } } { 3 2 \pi ^ { 2 } } \epsilon _ { \mu \nu \rho \sigma } { \cal G } _ { a } ^ { \mu \nu } { \cal G } _ { a } ^ { \rho \sigma } , \quad \epsilon _ { 0 1 2 3 } = 1 ,
{ \bf X } \; = \; { \bf x } + \epsilon \, G _ { 1 } ^ { { \bf x } } + \epsilon ^ { 2 } \, G _ { 2 } ^ { { \bf x } } + \frac { 1 } { 2 } \, \epsilon ^ { 2 } \, { \sf G } _ { 1 } \cdot { \sf d } G _ { 1 } ^ { { \bf x } } + \cdots ,
E _ { c } ( { \boldsymbol { k } } ) \approx E _ { c 0 } + { \frac { ( \hbar k ) ^ { 2 } } { 2 m } } + { \frac { \hbar ^ { 2 } } { { E _ { g } } m ^ { 2 } } } \sum _ { n } { | \langle u _ { c , 0 } | \mathbf { k } \cdot \mathbf { p } | u _ { n , 0 } \rangle | ^ { 2 } }
d \sigma ( u , \upsilon ) = \frac { d u } { 2 ( \mu _ { r } b \upsilon ) ^ { 2 } } [ ( \bar { \Sigma } _ { S } + \bar { \Sigma } _ { V } ~ \frac { \upsilon ^ { 2 } } { < \upsilon ^ { 2 } > } ) ~ F ^ { 2 } ( u )
\mathcal { A } ( t ) = \left( \frac { { { \mathcal { E } } _ { 0 } } } { \omega } \right) { { \sin } ^ { 2 } } \left( \frac { \pi ( t - { { t } _ { i } } ) } { \tau } \right) \sin \left( \omega ( t - { { t } _ { i } } ) \right)
T _ { + } \mathrm { d } S _ { + } + T _ { - } \mathrm { d } S _ { - } = \mathrm { d } E _ { + } + \mathrm { d } E _ { - } - \Phi _ { + } \mathrm { d } Q _ { + } - \Phi _ { - } \mathrm { d } Q _ { - } + ( p _ { + } + p _ { - } ) \mathrm { d } V .
\begin{array} { r l } { f _ { p } ^ { \mathrm { i n } } \left( p ^ { \mathrm { i n } } , p ^ { \mathrm { o u t } } , w _ { p } , \tau , \gamma \right) } & { = \left[ g _ { x 1 } \left( [ p ^ { \mathrm { i n } } ] _ { 1 } , \gamma \right) , \; [ w _ { p } ] _ { 1 } \right] , } \\ { f _ { p } ^ { \mathrm { o u t } } \left( p ^ { \mathrm { i n } } , p ^ { \mathrm { o u t } } , w _ { p } , \tau , \gamma \right) } & { = \left[ g _ { z 1 } \left( [ p ^ { \mathrm { o u t } } ] _ { 1 } , \tau , h \left( [ p ^ { \mathrm { o u t } } ] _ { 2 } , [ w _ { p } ] _ { 1 } \right) \right) , \; 0 \right] , } \\ { f _ { q } ^ { \mathrm { i n } } \left( q ^ { \mathrm { i n } } , q ^ { \mathrm { o u t } } , w _ { q } , \tau , \gamma \right) } & { = \left[ \left( [ \tau ] _ { 1 } [ w _ { q } ] _ { 1 } [ q ^ { \mathrm { o u t } } ] _ { 1 } + [ \gamma ] _ { 1 } [ q ^ { \mathrm { i n } } ] _ { 1 } \right) / \left( [ \tau ] _ { 1 } [ w _ { q } ] _ { 1 } ^ { 2 } + [ \gamma ] _ { 1 } \right) \; , 0 \right] , } \\ { f _ { q } ^ { \mathrm { o u t } } \left( q ^ { \mathrm { i n } } , q ^ { \mathrm { o u t } } , w _ { q } , \tau , \gamma \right) } & { = \left[ [ w _ { q } ] _ { 1 } \left( [ \tau ] _ { 1 } [ w _ { q } ] _ { 1 } [ q ^ { \mathrm { o u t } } ] _ { 1 } + [ \gamma ] _ { 1 } [ q ^ { \mathrm { i n } } ] _ { 1 } \right) / \left( [ \tau ] _ { 1 } [ w _ { q } ] _ { 1 } ^ { 2 } + [ \gamma ] _ { 1 } \right) , \; [ w _ { q } ] _ { 1 } [ q ^ { \mathrm { i n } } ] _ { 2 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ~ = ~ } & { \mathcal { L } _ { \mathrm { r e s } } ( \widehat { U } , G ) + \lambda \times M S E \left( \widehat { U } - U ^ { \mathrm { e x } } \right) } \\ & { + \mathrm { M S E } \left( E _ { \theta } ( \widehat { U } ) - \widehat { H } \right) } \\ & { + \mathrm { M S E } \left( D _ { \theta } ( E ( \widehat { U } ) ) - \widehat { U } \right) } \\ & { + \beta \times | | J _ { f _ { \theta } } ( H ^ { * } ) | | _ { \mathrm { F } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi _ { m , k + 1 } } & { { } = \psi _ { m , k } + \epsilon _ { k + 1 } \left( \xi _ { m , k + 1 } - 1 - \psi _ { m , k } \right) \mathrm { ~ } } \\ { \theta _ { m , k + 1 } } & { { } = \theta _ { m , k } + \epsilon _ { k + 1 } \left( \xi _ { m , k + 1 } - \theta _ { m , k } \right) . } \end{array}
M _ { \mathrm { { c o n } } } = - \mathrm i \pi \mu _ { 1 s , E + \omega } \mu _ { E + \omega , E } \int e ^ { i E t } F _ { \mathrm { { I R } } } ( t ) F _ { \mathrm { { H 1 7 } } } ( t ) c _ { 1 s } ( t ) \, \mathrm d t
\begin{array} { r l } { J _ { t , x } ( Z , u ) } & { = \int _ { t } ^ { T } \left( \frac { u ^ { 2 } } { 2 } ( \omega , s ) + V ( Z _ { s } ) \right) \mathrm { d } s + S ( Z _ { T } ) , } \\ { d Z _ { s } } & { = u ( \omega , s ) \mathrm { d } s + \nu ^ { 1 / 2 } d W ( s ) , \quad Z _ { t } = x \mathrm { ~ a n d ~ } 0 \leq t \leq s \leq T , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \kappa _ { \lambda } \int _ { B _ { R } } \zeta } & { = \int _ { \bar { \Omega } \cap \{ X ( - 1 ) \in \bar { B } _ { R } \} } \zeta ( X ( - 1 ) ) d \mathbb { P } , } \\ { \kappa _ { \mu } \int _ { B _ { R } } \zeta } & { = \int _ { \bar { \Omega } \cap \{ X ( 2 ) \in \bar { B } _ { R } \} } \zeta ( X ( 2 ) ) d \mathbb { P } . } \end{array}
\delta ^ { 5 } { \mathbf q } = 2 i ( { \mathbf q } + ( m , 0 , 0 ) ) \tilde { \omega } ( x ) \ , \qquad \delta ^ { 5 } { \mathbf { \bar { q } } } = - 2 i ( { \mathbf { \bar { q } } } + ( m , 0 , 0 ) ) \tilde { \omega } ( x )
\begin{array} { r } { v _ { i } ^ { \ell } \left( \sigma _ { i k } ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } - \sigma _ { i k } ^ { \ell } \right) + v _ { i } ^ { \ell + 1 } \left( \sigma _ { i k } ^ { \ell + 1 } - \sigma _ { i k } ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } \right) + \alpha _ { i k } ^ { \ell } \frac { 1 } { 2 } A _ { i m } ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } \left( v _ { m } ^ { \ell + 1 } - v _ { m } ^ { \ell } \right) } \\ { + \alpha _ { i k } ^ { \ell + 1 } \frac { 1 } { 2 } A _ { i m } ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } \left( v _ { m } ^ { \ell + 1 } - v _ { m } ^ { \ell } \right) = v _ { i } ^ { \ell + 1 } \sigma _ { i k } ^ { \ell + 1 } - v _ { i } ^ { \ell } \sigma _ { i k } ^ { \ell } . } \end{array}
\{ \Psi _ { 2 } ^ { 2 } , \Psi _ { 3 } ^ { 2 } \} \stackrel { \Sigma } { = } 0 , ~ ~ ~ ~ \{ \Psi _ { 2 } ^ { 2 } , \Psi _ { 2 } ^ { 4 } \} \stackrel { \Sigma } { = } 0 , ~ ~ ~ ~ \{ \Psi _ { 2 } ^ { 3 } , \Psi _ { 3 } ^ { 1 } \} \stackrel { \Sigma } { = } 0
\begin{array} { r l } { D = } & { { } - \left( \delta + \bar { \delta } _ { \mathrm { f } } \right) T - \left( \frac { 4 } { \pi } - \frac { 2 \pi - 4 } { \pi } \epsilon \right) \left( \delta + \bar { \delta } _ { \mathrm { p } } \right) \tau } \end{array}
\Psi = { \left( \begin{array} { l } { g _ { n , k } ( r ) r ^ { - 1 } \Omega _ { k , m } ( \theta , \phi ) } \\ { i f _ { n , k } ( r ) r ^ { - 1 } \Omega _ { - k , m } ( \theta , \phi ) } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { g _ { n , k } ( r ) r ^ { - 1 } { \sqrt { ( k + { \frac { 1 } { 2 } } - m ) / ( 2 k + 1 ) } } Y _ { k , m - 1 / 2 } ( \theta , \phi ) } \\ { - g _ { n , k } ( r ) r ^ { - 1 } \operatorname { s g n } k { \sqrt { ( k + { \frac { 1 } { 2 } } + m ) / ( 2 k + 1 ) } } Y _ { k , m + 1 / 2 } ( \theta , \phi ) } \\ { i f _ { n , k } ( r ) r ^ { - 1 } { \sqrt { ( - k + { \frac { 1 } { 2 } } - m ) / ( - 2 k + 1 ) } } Y _ { - k , m - 1 / 2 } ( \theta , \phi ) } \\ { - i f _ { n , k } ( r ) r ^ { - 1 } \operatorname { s g n } k { \sqrt { ( - k + { \frac { 1 } { 2 } } - m ) / ( - 2 k + 1 ) } } Y _ { - k , m + 1 / 2 } ( \theta , \phi ) } \end{array} \right) }
G = i g _ { \mu \bar { \nu } } \, d z ^ { \mu } \wedge d \bar { z } ^ { \bar { \nu } } = { \frac { i } { \sqrt { F _ { 2 } F _ { 6 } } } } h _ { \mu \bar { \nu } } \, d z ^ { \mu } \wedge d \bar { z } ^ { \bar { \nu } } \equiv { \frac { K } { \sqrt { F _ { 2 } F _ { 6 } } } }
\begin{array} { r l } { c _ { R 1 } = } & { \frac { L _ { f t } } { 2 } + \frac { H _ { f t } } { 6 } \sqrt { { M _ { F } } L _ { P x } } , } \\ { c _ { R 2 } = } & { \frac { H _ { f x } } { 6 } + 2 L _ { 2 f } \sqrt { | S _ { 1 } | } \Big ( \sum _ { ( j _ { 1 } , j _ { 2 } ) \in S _ { 2 } } \kappa _ { j _ { 1 } j _ { 2 } } ^ { - 2 / 3 } \Big ) ^ { 3 / 4 } + \frac { L _ { 2 f } } { 2 } \sqrt { { M _ { F } } L _ { P x } } . } \end{array}
\mathbb { P } _ { f } \big [ A _ { \Gamma } \in A _ { \mathcal { F } } \big ] = \operatorname* { l i m } _ { N \rightarrow \infty } \left( \frac { f ( N ) - k } { f ( N ) } \right) ^ { f ( N ) \left( \frac { N - 1 } { 2 N h ( N ) } \right) } = \operatorname* { l i m } _ { N \rightarrow \infty } e ^ { - k \left( \frac { N - 1 } { 2 N h ( N ) } \right) } = 1 .
\begin{array} { r l } & { \hat { L } _ { 2 } ( V , \delta _ { 2 } ) = \frac { 1 } { N _ { b } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { b } } \left( \operatorname* { m a x } \left\{ \delta \tilde { V } _ { b } ( t _ { i } , x _ { i } ) + \delta _ { 2 } , 0 \right\} \right) ^ { 2 } } \\ & { \delta \tilde { V } _ { b } ( t _ { i } , x _ { i } ) = \operatorname* { m a x } _ { j \in [ 1 , N _ { 0 } ] } \{ V ( t _ { 0 } , \xi _ { j } ) \} - V ( t _ { i } , x _ { i } ) \, , } \end{array}
X _ { i j } ( x , y ) ~ = ~ e ^ { 2 } \left( \begin{array} { c c c c } { { - 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { e ^ { 2 } } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { e ^ { 2 } } } & { { 0 } } & { { - 1 } } \end{array} \right) \delta ( x - y ) ~ \equiv X _ { i j } ^ { 0 } \delta ( x - y ) .
\begin{array} { r l } { E _ { \textrm { i n t } } } & { { } = E _ { \mathrm { N N } } + \int \rho _ { \textrm { s y s } } ( r ) \nu _ { \textrm { e n v } } ^ { \textrm { n u c } } d r + \int \rho _ { \textrm { e n v } } ( r ) \nu _ { \textrm { s y s } } ^ { \textrm { n u c } } d r } \end{array}
( f ) _ { 0 0 } = \frac { \beta \delta ( 2 + \delta ) } { ( 1 + \delta ) ^ { 2 } } \: ; \: ( f ) _ { 0 1 } = \frac { \beta \delta ^ { 2 } ( 3 + \delta ) } { \sqrt { 3 } ( 1 + \delta ) ^ { 3 } } ,
\begin{array} { r l } { W ( \delta { \mathcal F } _ { e } , \delta { \mathcal F } _ { i } ) = H _ { g y } ( g _ { e } , g _ { i } ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \int \mathrm { ~ d ~ } x \mathrm { ~ d ~ } y \sum _ { s } \frac { 1 } { n _ { 0 } } \int \mathrm { ~ d ~ } \hat { \mathcal { W } } \hat { \mathcal { F } } _ { { e q } _ { s } } \left( \frac { \tau _ { s } \beta _ { e } } { 2 } g _ { s } ^ { 2 } \right. } \end{array}
H ^ { 0 } ( \pi ^ { * } { \cal S } , { \cal O } _ { \pi ^ { * } { \cal S } } ( A ^ { \prime } \sigma | _ { \pi ^ { * } { \cal S } } - B ^ { \prime } F ) ) = H ^ { 0 } ( { \cal S } , \pi _ { * } { \cal O } _ { \pi ^ { * } { \cal S } } ( A ^ { \prime } \sigma | _ { \pi ^ { * } { \cal S } } - B ^ { \prime } F ) ) .
\textrm { o r d } \left( \epsilon _ { i , j } ^ { \ell } ( \iota _ { i } \circ \chi _ { \frac { e _ { j } } { e _ { i } } } ) ^ { \ast } \partial _ { y } ^ { \ell } f _ { i - 1 } ^ { k _ { i } } \right) > \textrm { o r d } \left( \epsilon _ { i , j } ( \iota _ { i } \circ \chi _ { \frac { e _ { j } } { e _ { i } } } ) ^ { \ast } \partial _ { y } f _ { i - 1 } ^ { k _ { i } } \right)
d _ { f } \mathscr { F } ( c , 0 ) \left[ \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } h _ { n } \cos ( \mathbf { m } n \varphi ) \right] = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \mathbf { m } n \left[ - c - ( \omega _ { N } - \omega _ { S } ) \frac { \mathbf { m } n - 1 } { 2 \mathbf { m } n } + \widetilde { \gamma } \right] h _ { n } \sin ( \mathbf { m } n \varphi ) .
\begin{array} { r l } { \left\langle w , \Delta u + \frac { \Delta t ^ { 2 } } { 4 } \hat { k } \hat { k } \Delta u B _ { z } \right\rangle + \frac { \Delta t } { 2 } \left\langle w , 2 \Omega \times \Delta u \right\rangle } & { } \\ { \qquad - \frac { \Delta t } { 2 } \left\langle \nabla \cdot w , \Delta p \right\rangle - \left\langle w , b \hat { k } \right\rangle } & { = - \tilde { R } _ { u } [ w ] , \quad \forall w \in \mathbb { W } _ { h } ^ { 2 } , } \\ { \nabla \cdot \Delta u } & { = 0 . } \end{array}
( ( s _ { 0 } : s _ { 1 } ) , ( t _ { 0 } : \dots : t _ { 7 } ) ) \mapsto \left( \begin{array} { l l l l } { s _ { 0 } t _ { 0 } } & { s _ { 0 } t _ { 1 } } & { s _ { 0 } t _ { 2 } } & { s _ { 0 } t _ { 3 } } \\ { s _ { 0 } t _ { 4 } } & { s _ { 0 } t _ { 5 } } & { s _ { 0 } t _ { 6 } } & { s _ { 0 } t _ { 7 } } \\ { s _ { 1 } t _ { 0 } } & { s _ { 1 } t _ { 1 } } & { s _ { 1 } t _ { 2 } } & { s _ { 1 } t _ { 3 } } \\ { s _ { 1 } t _ { 4 } } & { s _ { 1 } t _ { 5 } } & { s _ { 1 } t _ { 6 } } & { s _ { 1 } t _ { 7 } } \end{array} \right)
K _ { \mathbf { d } } = - 1 + \sum _ { \substack { 1 \le k \le n - 1 \, i _ { k } = 2 } } v ( 1 \mathbf w _ { i _ { 1 } } \cdots \mathbf w _ { i _ { k } } ) - \sum _ { \substack { 1 \le k \le n - 1 \, i _ { k } = 0 } } v ( 1 \mathbf w _ { i _ { 1 } } \cdots \mathbf w _ { i _ { k } } ) + \frac 1 \beta v ( d _ { 1 } \cdots d _ { m - 3 } ) + \frac 1 { \beta ^ { m - 1 } } .
[ \mathbf { \Gamma } _ { m k l } ^ { \left( 1 \right) } ] _ { n n ^ { \prime } } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } { \sum _ { i ^ { \prime } = 1 } ^ { N } { [ \mathbf { \bar { F } } _ { l , \mathrm { u } } ] _ { i ^ { \prime } i } \mathbb { E } \{ \mathbf { \hat { h } } _ { m k , n } ^ { H } \mathbf { h } _ { m l , i ^ { \prime } } \mathbf { h } _ { m l , i } ^ { H } \mathbf { \hat { h } } _ { m k , n ^ { \prime } } \} } }
\begin{array} { r l r } { | \langle x y \rangle \pm \langle x z \rangle | } & { { } \le } & { 1 \pm \langle y z \rangle \; , } \\ { | \langle x z \rangle - \langle x w \rangle + \langle y z \rangle + \langle y w \rangle | } & { { } \le } & { | \langle x z \rangle - \langle x w \rangle | + | \langle y z \rangle + \langle y w \rangle | \le 2 \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { i } ^ { \prime \prime } ( t + 1 ) } & { \! - \! \frac { p } { q } ( U _ { i } ( t \! + \! 1 ) \! - \! C _ { 2 } ) } \\ & { = - \frac { p } { q } ( U _ { i } ( t ) + W _ { i } ( t + 1 ) - C _ { 2 } ) } \\ & { = \frac { p } { q } C _ { 2 } - \frac { p } { q } ( U _ { i } ( t ) + W _ { i } ( t + 1 ) ) } \\ & { \le \frac { p } { q } C _ { 2 } \le \frac { 1 } { q } \log _ { 2 } ( 2 q ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial \xi } \left( \hat { \xi } _ { x } \right) = \frac { ( \xi _ { x } ) _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j , k } - ( \xi _ { x } ) _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j , k } } { \Delta \xi } } & { = \frac { 1 } { 2 \Delta \xi } \left[ ( \xi _ { x } ) _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j , k } ^ { L } + ( \xi _ { x } ) _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j , k } ^ { R } \right] - \frac { 1 } { 2 \Delta \xi } \left[ ( \xi _ { x } ) _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j , k } ^ { L } + ( \xi _ { x } ) _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j , k } ^ { R } \right] } \\ & { = \frac { 1 } { 2 3 8 8 7 8 7 2 0 0 0 } [ - y _ { i - 5 , j - 5 , k - 5 } z _ { i - 5 , j - 5 , k } - 3 y _ { i - 5 , j - 5 , k - 4 } z _ { i - 5 , j - 5 , k } } \\ & { + \quad \cdots \quad + 3 y _ { i + 5 , j + 5 , k + 4 } z _ { i + 5 , j + 5 , k } + y _ { i + 5 , j + 5 , k + 5 } z _ { i + 5 , j + 5 , k } ] } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { R ( z ) } & { { } = \sum _ { \ell = - \nu _ { p } } ^ { n } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \alpha ( H , p , \ell ) . \beta ( D , p , k ) ~ ( z - p ) ^ { \ell + k } } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { l c r } { { ( | W _ { 1 } | ^ { 2 } + | Z _ { 2 } | ^ { 2 } ) - ( | Z _ { 1 } | ^ { 2 } + | W _ { 2 } | ^ { 2 } ) = R _ { 2 } } } \\ { { Z _ { 1 } W _ { 1 } + Z _ { 2 } W _ { 2 } = \overline { { { Z } } } _ { 1 } \overline { { { W } } } _ { 1 } + \overline { { { Z } } } _ { 2 } \overline { { { W } } } _ { 2 } = 0 , } } \end{array}
\sum _ { \gamma \in S _ { m _ { 1 } } \times \dots \times S _ { m _ { l } } } \delta ( T _ { p _ { 3 } ^ { \prime } } ^ { \mathcal { \vec { A } } } \gamma ^ { - 1 } \sigma _ { 1 } \gamma \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } ) = \frac { | T _ { p _ { 3 } ^ { \prime } } ^ { \mathcal { \vec { A } } } | \prod _ { \alpha = 1 } ^ { l } m _ { \alpha } ! } { | T _ { p _ { 1 } } ^ { \mathcal { \vec { A } } } | | T _ { p _ { 2 } ^ { \prime } } ^ { \mathcal { \vec { A } } } | } C _ { p _ { 1 } p _ { 2 } ^ { \prime } } ^ { p _ { 3 } ^ { \prime } ; \mathcal { \vec { A } } }