harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \left\langle j \left\| K ^ { ( 1 ) } \right\| j \right\rangle } & { { } = i { \frac { j _ { 1 } j _ { 0 } } { \sqrt { j ( j + 1 ) } } } , } \\ { \left\langle j \left\| K ^ { ( 1 ) } \right\| j - 1 \right\rangle } & { { } = - B _ { j } \xi _ { j } { \sqrt { j ( 2 j - 1 ) } } , } \\ { \left\langle j - 1 \left\| K ^ { ( 1 ) } \right\| j \right\rangle } & { { } = B _ { j } \xi _ { j } ^ { - 1 } { \sqrt { j ( 2 j + 1 ) } } , } \end{array}
\boldsymbol { \hat { \sigma } } _ { j } ( \hat { U } _ { \hat { H } _ { \mathrm { s i m } } } ) \equiv \mathrm { ~ t ~ r ~ } _ { \mathrm { ~ F ~ S ~ } } ( \hat { U } _ { \hat { H } _ { \mathrm { s i m } } } \left[ | n \rangle \langle n | \bigotimes \hat { \sigma } _ { j } \right] \hat { U } _ { \hat { H } _ { \mathrm { s i m } } } ^ { \dagger } )
H = \sum _ { n } ( ( 1 - \nu ) n a _ { n } ^ { + } a _ { n } + \nu N a _ { n } ^ { + } a _ { n } ) + \sum _ { m n } ( \nu a _ { m } ^ { + } a _ { n } ^ { + } a _ { n + m } + a _ { m + n } ^ { + } a _ { m } ^ { + } a _ { n } )
\left( \begin{array} { c } { { \left( \overline { { { D ^ { 0 } } } } \rightarrow K ^ { + } \pi ^ { - } \right) } } \\ { { \left( \overline { { { D ^ { 0 } } } } \rightarrow K ^ { 0 } \pi ^ { 0 } \right) } } \\ { { \left( \overline { { { D ^ { 0 } } } } \rightarrow K ^ { 0 } \eta _ { 8 } \right) } } \end{array} \right) = M ^ { S U ( 3 ) } \left( \begin{array} { c } { { \left( \overline { { { D ^ { 0 } } } } \rightarrow \left\{ K ^ { + } \pi ^ { - } \right\} \right) } } \\ { { \left( \overline { { { D ^ { 0 } } } } \rightarrow \left\{ K ^ { 0 } \pi ^ { 0 } \right\} \right) } } \\ { { \left( \overline { { { D ^ { 0 } } } } \rightarrow \left\{ K ^ { 0 } \eta _ { 8 } \right\} \right) } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r l } { ( \mathcal L ^ { p } ( X ; A _ { 0 } ) , \mathcal L ^ { p } ( X ; A _ { 1 } ) ) _ { \theta , q } } & { \subset \mathcal L ^ { p } ( X ; ( A _ { 0 } , A _ { 1 } ) _ { \theta , q } ) } & & { \mathrm { i f ~ } 1 \leq q \leq p \leq \infty , } \\ { ( \mathcal L ^ { p } ( X ; A _ { 0 } ) , \mathcal L ^ { p } ( X ; A _ { 1 } ) ) _ { \theta , q } } & { \supset \mathcal L ^ { p } ( X ; ( A _ { 0 } , A _ { 1 } ) _ { \theta , q } ) } & & { \mathrm { i f ~ } 1 \leq p \leq q \leq \infty , } \end{array}
\mathcal { M } _ { L } = \frac { \partial ( L _ { 0 } , \ell _ { 0 } , L _ { 2 } , \ell _ { 2 } ) ^ { L } | _ { \mathcal { S } ^ { M } } } { \partial ( L _ { 0 } , \ell _ { 0 } , L _ { 2 } , \ell _ { 2 } ) ^ { R } | _ { \mathcal { S } ^ { M } } } = O \left[ \begin{array} { c c c c } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { \beta } & { \frac { \beta } { \chi ^ { 3 } } } & { \beta } & { \frac { \beta } { \chi } } \\ { \beta \chi } & { \frac { \beta } { \chi ^ { 2 } } } & { \beta \chi } & { \beta } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { \vert j ( k _ { 0 } , \tilde { s } _ { 1 } ) \vert } & { \le \frac { 2 d ^ { 2 } } { \eta ^ { 2 } } \exp ( - \frac \kappa { 2 ^ { 5 } } \xi \eta ^ { 2 } ) j ( k _ { 0 } , \tilde { s } _ { 0 } ) } \\ & { + \frac { c ^ { 2 } } \beta \textbf { ( } ( c _ { 1 } + \tilde { c } _ { 2 } ) ( \frac { d } \eta ) ^ { \gamma _ { 1 } } + ( c _ { 2 } + \tilde { c } _ { 1 } ) ( \frac { d } \eta ) ^ { \gamma _ { 2 } } \textbf { ) } } \end{array}
\frac { J ( \hat { T } ) } { K _ { 0 } } ~ ~ = ~ ~ \operatorname* { l i m } _ { \Delta \to \infty } \frac { N ( \hat { T } , \Delta ) } { \Delta } ~ ~ = ~ ~ \operatorname* { l i m } _ { \Delta \to \infty } \frac { | \bigcup _ { i \in [ n ] } { \cal M } _ { \hat { T } _ { i } , \Delta } | } { \Delta } ~ ~ \leq ~ ~ \operatorname* { l i m } _ { \Delta \to \infty } \sum _ { i \in [ n ] } \frac { | { \cal M } _ { \hat { T } _ { i } , \Delta } | } { \Delta } ~ ~ = ~ ~ \sum _ { i \in [ n ] } \frac { 1 } { \hat { T } _ { i } } \ .
\frac { 1 } { \Delta _ { t } } \int _ { \Omega } { \delta p \frac { \partial U _ { p } } { \partial p } \cdot d p } d \Omega + \frac { 1 } { \Delta _ { t } } \int _ { \Omega } { \delta p \frac { \partial U _ { p } } { \partial \nabla p } \cdot d p } d \Omega - \int _ { \Omega } { \delta \nabla p \cdot \frac { \partial j _ { p } } { \partial p } d p } d \Omega - \int _ { \Omega } { \delta \nabla p \cdot \frac { \partial j _ { p } } { \partial \nabla p } d \nabla p } d \Omega - \int _ { \Omega } { \delta p \frac { \partial r _ { p } } { \partial p } \cdot d p } d \Omega - \int _ { \Gamma } { \delta p \frac { \partial q } { \partial p } \cdot d p } d \Gamma = 0
\begin{array} { r l } { \frac { 2 } { 3 } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } g ( \eta ) } & { a v \partial _ { a } \varphi ( \eta ) \textup { d } \eta + \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } g ( \eta ) v ^ { 2 } \partial _ { v } \varphi ( \eta ) \textup { d } \eta - ( 1 - \gamma ) \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } v r ( \eta ) ( c _ { 0 } v ^ { \frac { 2 } { 3 } } - a ) g ( \eta ) \partial _ { a } \varphi ( \eta ) \textup { d } \eta } \\ & { = ( 1 - \gamma ) \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } K ( \eta , \eta ^ { \prime } ) g ( \eta ) g ( \eta ^ { \prime } ) v [ \varphi ( \eta + \eta ^ { \prime } ) - \varphi ( \eta ) ] \textup { d } \eta ^ { \prime } \textup { d } \eta . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \alpha } } & { { } = \frac { 3 \sinh \alpha } { \cosh \gamma + 2 \cosh \alpha } , } \\ { i \hat { \beta } } & { { } = \frac { \cosh \gamma - \cosh \alpha } { \cosh \gamma + 2 \cosh \alpha } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { f _ { j m \lambda } ( k ) = - \sqrt { \frac { \epsilon _ { 0 } } { c \hbar } } \frac { \sqrt { 2 \pi } ( - i ) ^ { j } } { k ^ { 2 } } \big ( a _ { j m } ( k ) + \lambda b _ { j m } ( k ) \big ) } \\ & { g _ { j m \lambda } ( k ) = - \sqrt { \frac { \epsilon _ { 0 } } { c \hbar } } \frac { \sqrt { 2 \pi } ( - i ) ^ { j } } { k ^ { 2 } } \big ( p _ { j m } ( k ) + \lambda q _ { j m } ( k ) \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { P } \left[ | \hat { E } _ { 0 } - \mathbb { E } \left[ X _ { 1 } \right] | \ge \epsilon / 2 \right] \le 2 e ^ { - \epsilon ^ { 2 } K / ( 8 w ^ { 2 } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | a _ { 1 } | } & { \leq } & { | b | \left( 1 - \left( \frac { 1 - \lambda } { \rho ( \rho + l ) } \right) \frac { r ^ { 2 } } { 2 } - 2 x ^ { 2 } \left( \frac { 1 - \lambda } { \rho ( \rho + l ) } \right) r \right) + | b | \left( 2 | x y | \left( \frac { 1 - \lambda } { \rho ( \rho + l ) } \right) r \right) } \\ & { = } & { | b | \left( 1 - r \left( \frac { 1 - \lambda } { \rho ( \rho + l ) } \right) \left( \frac { r } { 2 } + 2 x ^ { 2 } - 2 | x y | \right) \right) } \\ & { = } & { | b | \left( 1 - \frac { r } { 2 } \left( \frac { 1 - \lambda } { \rho ( \rho + l ) } \right) \left( r + 4 x ^ { 2 } - 4 | x y | \right) \right) \leq | b | } \end{array}
C _ { X } ( 0 , \Delta ) _ { \Delta > \tau } \sim \frac { \alpha _ { 1 } ( \alpha _ { 1 } - 1 ) \delta ^ { ( \alpha _ { 1 } + 3 ) / 2 } } { \alpha _ { 1 } + 1 } \Delta ^ { ( \alpha _ { 1 } - 3 ) / 2 } .
\begin{array} { r l } { m _ { k } } & { \triangleq \frac { H ( Y ) - I ( Y ; U _ { k } ) } { I ( X ; Y ) - I ( X ; U _ { k } ) } } \\ & { = \frac { H ( Y ) - I ( Y ; U _ { k } ) } { I ( Z _ { k } ; Y ) } } \\ & { \leq \frac { \operatorname* { m i n } \bigg \{ H ( Y ) , \left( 1 - \sum _ { y } \operatorname* { m i n } _ { z } p _ { Y | Z _ { k } } ( y | z ) \right) \operatorname* { m i n } \{ H ( Z _ { k } ) , \log | \mathcal { Y } | \} \bigg \} } { I ( Z _ { k } ; Y ) } , } \end{array}
\forall t \geqslant 0 , \quad \forall x \in \mathbb { T } , \quad \Big [ \partial _ { t } z _ { k } ( t , x ) - U \big ( t , z _ { k } ( t , x ) \big ) \Big ] \cdot \big ( J \partial _ { x } z _ { k } ( t , x ) \big ) = 0 .
\tilde { T } _ { \cdot \, \nu } ^ { \mu \, \cdot } = \frac { i } { 2 } \left[ \overline { { { \psi } } } \gamma ^ { \hat { \alpha } } e _ { \hat { \alpha } } ^ { \mu } \partial _ { \nu } \psi - ( \overline { { { \partial _ { \nu } \psi } } } ) \gamma ^ { \hat { \alpha } } e _ { \hat { \alpha } } ^ { \mu } \psi \right]
\begin{array} { r l r } { S _ { 1 } } & { = } & { \int \int d \rho d { \cal E } _ { N } ~ \rho \sqrt { 1 + \rho ^ { 2 } / R _ { a } ^ { 2 } } ( { \cal E } _ { F } - { \cal E } _ { N } ) { \cal E } _ { N } T ( { \cal E } _ { N } , \rho ) } \\ { S _ { 2 } } & { = } & { \int \int d \rho d { \cal E } _ { N } ~ \rho \sqrt { 1 + \rho ^ { 2 } / R _ { a } ^ { 2 } } ( { \cal E } _ { F } - { \cal E } _ { N } ) T ( { \cal E } _ { N } , \rho ) . } \end{array}
\boldsymbol { \pi } _ { a ^ { \prime } + a _ { } } = a _ { } \Delta t { } \left[ \mathbf { f } _ { b ^ { \prime } } + \mathbf { w } _ { b ^ { \prime } } \boldsymbol { \pi } _ { b ^ { \prime } } ^ { \prime } \right] + \boldsymbol { \pi } _ { a ^ { \prime } }
y _ { 3 } ^ { \prime } \cdot P = { \frac { 2 } { 3 } } ( y _ { 3 } \cdot P + y _ { 2 } \cdot y _ { 3 } + y _ { 2 } ^ { 2 } ) - { \frac { 1 } { 3 } } y _ { 3 } ^ { 2 }
N _ { \mathrm { e t t } } ^ { \mathrm { r a n k } } ( i , \ell ) \times N _ { \mathrm { r a d } } ^ { \mathrm { r a n k } } ( \ell ^ { \prime } ) \times N _ { \mathrm { e t t } } ^ { \mathrm { r a n k } } ( i , \ell ^ { \prime \prime } )
\frac { d \mathrm { ~ h ~ e ~ l ~ p ~ e ~ r ~ } } { d \eta _ { f } } ( \eta _ { f } , \lambda ) = \frac { \sqrt { \pi } \exp { ( - \eta _ { f } ) } \sqrt { \lambda } \mathrm { ~ e ~ r ~ f ~ c ~ } \left( \frac { \lambda - \sqrt { \eta _ { f } ^ { 2 } + \sqrt { \lambda } + 1 } } { 2 \sqrt { \lambda } } \right) + \frac { \left( \exp { ( - \eta _ { f } ) } + 1 \right) \eta _ { f } \exp { \left( - \frac { \left( \sqrt { \eta _ { f } ^ { 2 } + \sqrt { \lambda } + 1 } - \lambda \right) ^ { 2 } } { 4 \lambda } \right) } } { \sqrt { \eta _ { f } ^ { 2 } + \sqrt { \lambda } + 1 } } } { \left( \exp { ( - \eta _ { f } ) } + 1 \right) ^ { 2 } } .
| \langle \eta _ { t + h } ^ { H } , g \rangle - \langle \eta _ { t } ^ { H } , g \rangle | \leq | \langle \eta _ { t + h } ^ { H } , g - g _ { N } \rangle | + | \langle \eta _ { t + h } ^ { H } , g _ { N } \rangle - \langle \eta _ { t } ^ { H } , g _ { N } \rangle | + | \langle \eta _ { t } ^ { H } , g - g ^ { N } \rangle | .
\begin{array} { r l } { \mathcal { N } ^ { ( 2 ) } = ~ } & { \nabla \cdot \left[ ( \mathbf { V } ^ { ( 1 ) } \cdot \nabla _ { 3 } ) \mathbf { u } ^ { ( 1 ) } \right] ^ { \prime } - \nabla ^ { 2 } \left[ ( \mathbf { V } ^ { ( 1 ) } \cdot \nabla _ { 3 } ) w ^ { ( 1 ) } \right] , } \\ { \mathcal { F } ^ { ( 2 ) } = ~ } & { - \nabla ^ { 2 } ( \mathbf { u } ^ { ( 1 ) } \cdot \nabla \zeta ^ { ( 1 ) } ) - [ \nabla ^ { 2 } ( \partial _ { t } + \mathbf { U } \cdot \nabla ) { P ^ { ( 1 ) } } ^ { \prime } - \nabla ^ { 2 } w { ^ { ( 1 ) } } ^ { \prime } ] \zeta - \zeta ^ { ( 1 ) } \nabla ^ { 2 } ( \mathbf { U } ^ { \prime } \cdot \nabla ) P ^ { ( 1 ) } } \\ & { + ( \partial _ { t } + \mathbf { U } \cdot \nabla ) \nabla \cdot [ ( \mathbf { V } ^ { ( 1 ) } \cdot \nabla _ { 3 } ) \mathbf { u } ^ { ( 1 ) } ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \underline { { \Delta } } ( \widetilde { \theta } ) } & { = \operatorname* { i n f } _ { \psi _ { 0 } , \psi _ { 1 } } \int _ { { \cal { S } } } [ F ( \widetilde { \theta } + \alpha ) - F ( \alpha ) ] \sum _ { x _ { 1 } \in \{ 0 , 1 \} } q _ { x _ { 1 } } \sum _ { x _ { 2 } \in \{ 0 , 1 \} } \sum _ { y _ { 1 } \in \{ 0 , 1 \} } \psi _ { x _ { 1 } } ( x _ { 2 } , y _ { 1 } , \alpha ) d \mu ( \alpha ) , } \\ { \overline { { \Delta } } ( \widetilde { \theta } ) } & { = \operatorname* { s u p } _ { \psi _ { 0 } , \psi _ { 1 } } \int _ { { \cal { S } } } [ F ( \widetilde { \theta } + \alpha ) - F ( \alpha ) ] \sum _ { x _ { 1 } \in \{ 0 , 1 \} } q _ { x _ { 1 } } \sum _ { x _ { 2 } \in \{ 0 , 1 \} } \sum _ { y _ { 1 } \in \{ 0 , 1 \} } \psi _ { x _ { 1 } } ( x _ { 2 } , y _ { 1 } , \alpha ) d \mu ( \alpha ) , } \end{array}
{ \kappa } = \left| - \tan { \delta } \left( 1 - \frac { 1 + { \lambda } ^ { 4 } { \gamma } _ { K } \displaystyle { \frac { \sin { \Delta } } { \sin { \delta } } } } { 1 - { \lambda } ^ { 4 } { \gamma } _ { K } \displaystyle { \frac { \cos { \Delta } } { \cos { \delta } } } } \right) \right| .
- \frac { i w ^ { 3 } } { 2 \sqrt { 2 } \pi } e ^ { - \frac { w ^ { 2 } ( k _ { x } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } ) } { 4 } } ( k _ { y } \hat { \mathbf { x } } - k _ { x } \hat { \mathbf { y } } )
\begin{array} { r l r } { \left. \delta Z _ { 2 } \right| _ { u _ { 2 } } } & { { } = } & { - 4 \pi V \beta \int \left\langle \overline { { \delta u _ { 2 } } } \mathrm { e } ^ { - \beta \overline { { U _ { 2 } } } } \right\rangle r _ { 1 2 } ^ { 2 } \mathrm { d } r _ { 1 2 } } \\ { \left. \delta Z _ { 3 } \right| _ { u _ { 2 } } } & { { } = } & { - 8 \pi ^ { 2 } V \beta \int \left\langle \sum _ { i < j } \overline { { \delta u _ { 2 } } } ( r _ { i j } ) \mathrm { e } ^ { - \beta \overline { { U _ { 3 } } } } \right\rangle \mathrm { d } \Omega _ { 3 } } \\ { \left. \delta Z _ { 3 } \right| _ { u _ { 3 } } } & { { } = } & { - 8 \pi ^ { 2 } V \beta \int \left\langle \overline { { \delta u _ { 3 } } } \mathrm { e } ^ { - \beta \overline { { U _ { 3 } } } } \right\rangle \mathrm { d } \Omega _ { 3 } , } \end{array}
\boldsymbol { a } _ { \mathcal { T } _ { \overline { { I } } } } ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { r } , t ) = \boldsymbol { a } _ { \mathit { \Pi } _ { \overline { { I } } } } ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { r } , t )
\begin{array} { r l } { \widehat { \Delta } _ { 1 } ( \lambda ) } & { = \frac { 1 } { ( g ( \lambda ) - g _ { 0 } ) ^ { 1 / 2 } } P ^ { ( \infty ) } ( \lambda ) B _ { 0 } \left( P ^ { ( \infty ) } ( \lambda ) \right) ^ { - 1 } , } \\ { \widehat { \Delta } _ { 2 } ( \lambda ) } & { = \frac { 1 } { ( g ( \lambda ) - g _ { 0 } ) ^ { 1 / 2 } } \left[ Z _ { 1 } ( \lambda ) , P ^ { ( \infty ) } ( \lambda ) B _ { 0 } \left( P ^ { ( \infty ) } ( \lambda ) \right) ^ { - 1 } \right] + \frac { 1 } { ( g ( \lambda ) - g _ { 0 } ) ^ { 3 / 2 } } P ^ { ( \infty ) } ( \lambda ) B _ { 1 } \left( P ^ { ( \infty ) } ( \lambda ) \right) ^ { - 1 } , } \end{array}
a _ { i } ( \lambda ) = \Big ( 1 , \lambda , \lambda ^ { 2 } , \ldots , \lambda ^ { \frac { k _ { i + 1 } } { k _ { i } } - 1 } \Big ) , \qquad b _ { i } ( \lambda ) = \Big ( 0 , 1 , \varphi _ { i } ( 2 ) \lambda , \varphi _ { i } ( 3 ) \lambda ^ { 2 } , \ldots , \varphi _ { i } \big ( \frac { k _ { i + 1 } } { k _ { i } } - 1 \big ) \lambda ^ { \frac { k _ { i + 1 } } { k _ { i } } - 2 } \Big ) ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { B a d } } & { = \mathbb Q ( \{ Y ( B _ { 3 T } \setminus B _ { T / 2 } ) > \rho _ { 0 } T ^ { d } \} ) } \\ & { \quad + \mathbb Q ( \{ Y ( B _ { 2 T } \setminus B _ { T } ) < \rho _ { 0 } ^ { - 1 } T ^ { d } \} ) + \mathbb Q ( \{ Y ( B _ { R } \setminus B _ { R - 1 } ) \geq ( 1 - \rho _ { 0 } ^ { - 1 } ) n \} ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } ( \nabla \cdot \boldsymbol { \sigma } ) \cdot \boldsymbol { \nu } } & { = \int _ { \Omega } \partial _ { k } ( \sigma _ { i k } ) \nu _ { i } d \Omega } \\ & { = - \int _ { \Omega } \sigma _ { i k } \partial _ { k } \nu _ { i } d \Omega + \int _ { \Omega } \partial _ { k } ( \sigma _ { i k } \nu _ { i } ) d \Omega } \\ & { = - \int _ { \Omega } ( \boldsymbol { \sigma ^ { e } } + \boldsymbol { \sigma ^ { o } } ) : ( \nabla \boldsymbol { \nu } ) d \Omega + \int _ { \partial \Omega } \boldsymbol { \nu } \cdot ( \boldsymbol { \sigma ^ { e } } + \boldsymbol { \sigma ^ { o } } ) \cdot \boldsymbol { n } d s } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { m n } } & { { } = E _ { 0 } \sum _ { p = 1 } ^ { N _ { s } } { \left( \frac { \partial G _ { p } } { \partial \Delta \tilde { r } _ { m } } \, \frac { \partial G _ { p } } { \partial \Delta \tilde { r } _ { n } } + G _ { p } \frac { \partial ^ { 2 } G _ { p } } { \partial \Delta \tilde { r } _ { m } \partial \Delta \tilde { r } _ { n } } \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial \gamma _ { m } } } & { = - \boldsymbol { a } _ { m } ^ { \sf H } \boldsymbol { \Sigma } ^ { - 1 } \boldsymbol { a } _ { m } + \frac { 1 } { L b } \sum _ { \ell = 1 } ^ { L } \| \boldsymbol { a } _ { m } ^ { \sf H } \boldsymbol { \Sigma } ^ { - 1 } \boldsymbol { y } _ { \ell } \| _ { 2 } ^ { 2 } u ( \boldsymbol { y } _ { \ell } ^ { \sf H } \boldsymbol { \Sigma } ^ { - 1 } \boldsymbol { y } _ { \ell } ; \cdot ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } & { ( i ) ~ C _ { L } | \mathrm { \boldmath ~ w ~ } _ { i } - \mathrm { \boldmath ~ w ~ } _ { j } | \le | \mathrm { \boldmath ~ v ~ } _ { i } - \mathrm { \boldmath ~ v ~ } _ { j } | \le | \mathrm { \boldmath ~ w ~ } _ { i } - \mathrm { \boldmath ~ w ~ } _ { j } | , } \\ & { ( i i ) ~ C _ { L } ^ { 2 } | \mathrm { \boldmath ~ w ~ } _ { i } - \mathrm { \boldmath ~ w ~ } _ { j } | ^ { 2 } \le \langle \mathrm { \boldmath ~ w ~ } _ { i } - \mathrm { \boldmath ~ w ~ } _ { j } , \mathrm { \boldmath ~ v ~ } _ { i } - \mathrm { \boldmath ~ v ~ } _ { j } \rangle \le | \mathrm { \boldmath ~ w ~ } _ { i } - \mathrm { \boldmath ~ w ~ } _ { j } | ^ { 2 } , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lg ( s w _ { J } ( v ^ { J } ) ^ { - 1 } ) } & { = } & { \lg ( v ^ { J } w _ { J } ^ { - 1 } s ) = \lg ( v ^ { J } ) + \lg ( w _ { J } ^ { - 1 } s ) = \lg ( v ^ { J } ) + \lg ( s w _ { J } ) } \\ { \lg ( w _ { J } ( v ^ { J } ) ^ { - 1 } ) } & { = } & { \lg ( v ^ { J } w _ { J } ^ { - 1 } ) = \lg ( v ^ { J } ) + \lg ( w _ { J } ^ { - 1 } ) = \lg ( v ^ { J } ) + \lg ( w _ { J } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { z _ { j } ^ { j } ( t ) = \frac { \zeta _ { i } ^ { C } ( { b } ^ { S B , i } ( \gamma _ { i } ^ { i } ) ) } { \zeta _ { j } ^ { C } ( { b } ^ { S B , j } ( \gamma _ { j } ^ { j } ) ) \zeta _ { i } ^ { C } ( { b } ^ { S B , i } ( \gamma _ { i } ^ { i } ) ) - \mathcal { E } ^ { 2 } } \Big [ w _ { j } ^ { P } ( t ) F _ { j j } ( \gamma _ { j } ^ { j } , \gamma _ { i } ^ { i } ) - w _ { i } ^ { P } ( t ) F _ { j i } ( \gamma _ { i } ^ { i } ) + F _ { j 0 } ( \gamma _ { i } ^ { i } ) \Big ] \; , } \\ & { z _ { j } ^ { i } ( t ) = \frac { \eta _ { P } } { \eta _ { P } + \eta _ { i } } \left( w _ { j } ^ { P } ( t ) - z _ { j } ^ { j } ( t ) \right) \; , } \\ & { \gamma _ { j } ^ { j } ( t ) = \hat { m } _ { j } ( z ( t ) , t ) \; , } \end{array}
\begin{array} { r } { L _ { \beta } = \frac { \sum _ { \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } } { \frac { ( \lambda _ { n } ^ { * } - \lambda _ { n } ) ( - \Delta \mu _ { n } ^ { * } ) ^ { \alpha _ { 1 } } ( - \Delta v _ { n } ^ { * } ) ^ { \alpha _ { 2 } } + \lambda _ { n } ( \Delta \mu _ { n } - \Delta \mu _ { n } ^ { * } ) ^ { \alpha _ { 1 } } ( \Delta v _ { n } - \Delta v _ { n } ^ { * } ) ^ { \alpha _ { 2 } } } { 2 ^ { | \alpha _ { 2 } | } \alpha _ { 1 } ! \alpha _ { 2 } ! } } } { \mathcal { Q } ( G _ { n } , G _ { * , n } ) } \to 0 } \end{array}
\hat { A } _ { 4 } = \frac { 1 } { 2 4 k _ { 1 } } \left( - 2 k _ { 2 } \hat { A } 2 - 6 k _ { 2 } \hat { A } _ { 3 } - 2 k _ { 3 } \hat { A } _ { 2 } + \hat { A } _ { 1 } \hat { d } _ { 0 } - 1 2 k _ { 1 } \hat { A } _ { 3 } \right) .
\begin{array} { r l r l } { \tilde { \mathbf { U } } } & { : = \left[ \begin{array} { l } { \tilde { \boldsymbol { \Phi } } } \\ { \tilde { \mathbf { K } } } \end{array} \right] , } & { \mathbf { L } } & { : = \left[ \begin{array} { l l } { \beta \tilde { \mathbf { D } } ^ { ( 1 ) } } & { \mathbb { I } } \\ { \tilde { \mathbf { D } } ^ { ( 2 ) } } & { \beta \tilde { \mathbf { D } } ^ { ( 1 ) } } \end{array} \right] ; } \end{array}
\langle { \cal O } \rangle = { \frac { ( a r _ { + } ) ^ { \Delta } } { ( a ^ { 2 } + ( 1 + a ^ { 2 } ) \sinh ^ { 2 } [ r _ { + } ( t + \phi ) / 2 ] ) ^ { \Delta / 2 } ( a ^ { 2 } + ( 1 + a ^ { 2 } ) \sinh ^ { 2 } [ r _ { + } ( t - \phi ) / 2 ] ) ^ { \Delta / 2 } } }
\left\vert \nabla ^ { k } X \left( t \right) \right\vert \lesssim e ^ { \left( k + 1 \right) C t \left\vert \xi \right\vert } \sum _ { k ^ { \prime } + k ^ { \prime \prime } = k } p _ { k ^ { \prime } - 1 } \left( t \right) \left( \left\vert \nabla ^ { k ^ { \prime \prime } } X _ { 0 } \right\vert + t \left\vert \nabla ^ { k ^ { \prime \prime } } Y \right\vert \right) ,
{ \frac { d ^ { 2 } } { d r ^ { 2 } } } \psi _ { K , K } + { \frac { 2 } { r } } { \frac { d } { d r } } \psi _ { K , K } + \left[ \, q _ { \pi } ^ { 2 } - { \frac { K ( K + 1 ) } { r ^ { 2 } } } - V _ { \pi } ( r ) \, \right] \psi _ { K , K } = 0 \ ,
\begin{array} { r } { \overline { { \mathcal { L } } } _ { \Phi } = \Phi ^ { \dag } \left( x \right) D ^ { \mu } D _ { \mu } \Phi \left( x \right) + \Phi ^ { \dag } \left( x \right) \, \overrightarrow { B } \cdot \overrightarrow { \sigma } \, \Phi \left( x \right) \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { \rho } ^ { \Sigma _ { 2 } } ( u ) } & { = \left\{ \, v \in V \, \Big \vert \, \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to \infty } \frac { 1 } { t } \ln { \Vert \varphi _ { t } ^ { \rho } ( u ) - \varphi _ { t } ^ { \rho } ( v ) \Vert _ { V } } \leq \mu , \mathrm { ~ f o r ~ s o m e ~ } \mu \in [ \mu _ { 2 } , \mu _ { 1 } ) \, \right\} } \\ & { = \left\{ \, v \in V \, \Big \vert \, \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to \infty } \frac { 1 } { t } \ln { \Vert \varphi _ { t } ^ { \rho } ( u ) - \varphi _ { t } ^ { \rho } ( v ) \Vert _ { V } } \leq \mu , \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } \mu \in [ \mu _ { 2 } , \mu _ { 1 } ) \, \right\} } \\ & { = \left\{ \, v \in V \, \Big \vert \, \Vert \varphi _ { t } ^ { \rho } ( u ) - \varphi _ { t } ^ { \rho } ( v ) \Vert _ { V } \leq C e ^ { \mu t } \Vert u - v \Vert _ { V } \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } t \geq 0 \mathrm { ~ a n d ~ } \mu \in ( \mu _ { 2 } , \mu _ { 1 } ) \, \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { \mathbb { I \! D } } { \mathbf { G } } { ( \mathbf { x } ; \omega ) } d \mu _ { n } ( \mathbf { x } ) = \operatorname* { l i m } _ { a l l ~ v ( { \mathbb { I \! D } } _ { q } ) \uparrow 0 } \sum _ { q = 1 } ^ { M } { \mathbf { G } } ( \mathbf { x } ^ { ( q ) } ; \omega ) \mathrm { V o l } ( \mathbb { I \! D } _ { q } ) } \\ & { \int _ { \partial \mathbb { I \! D } } { \mathbf { G } } ( \mathbf { x } ; \omega ) d \mu _ { n - 1 } ( \mathbf { x } ) = \operatorname* { l i m } _ { a l l ~ \mathrm { A r e a } ( \partial \mathbb { I \! D } _ { q } ) \uparrow 0 } \sum _ { q = 1 } ^ { M } { \mathbf { G } } ( \mathbf { x } ^ { ( q ) } ; \omega ) A r e a ( \partial \mathbb { I \! D } _ { q } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { P } } & { } & { \left\{ n \Delta ( 1 ) > \epsilon \right\} \leq \mathbb { P } \left\{ \operatorname* { m a x } _ { \mathit { B } \subset \mathcal { B } , | \mathit { B } | = k } n R ^ { 2 } ( Y , X _ { \mathit { B } } ) > \epsilon \right\} } \\ & { } & { + \mathbb { P } \left\{ \operatorname* { m a x } _ { \mathit { B } \subset \mathcal { B } , | \mathit { B } | = k - 1 } n R ^ { 2 } ( Y , X _ { \mathit { B } } ) > \epsilon \right\} } \\ & { } & { + | \mathcal { A } | \operatorname* { m a x } _ { \mathit { A } \subseteq \mathcal { A } , | \mathit { A } | = 1 } \mathbb { P } \left\{ \operatorname* { m a x } _ { \mathit { B } \subset \mathcal { B } , | \mathit { B } | = k - 1 } n R ^ { 2 } ( X _ { \mathit { A } } , X _ { \mathit { B } } ) > \epsilon \right\} } \end{array}
Z = i \sqrt { 2 } \, \sum _ { i = 1 } ^ { N + 1 } T _ { i } \tilde { W } _ { \mathrm { e f f } } ( \langle \sigma \rangle _ { i } , m ) + { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \sum _ { i = 1 } ^ { N + 1 } m _ { i } S _ { i } \, .