harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\frac { \tau _ { g } ( z ) } { \tau } \approx \sum _ { i = j } ^ { N } \epsilon _ { i } \sqrt { 1 - \frac { z } { h ^ { i } } } = \epsilon \left\langle \sqrt { 1 - \frac { z } { h ^ { i } } } \right\rangle _ { \epsilon } \approx \epsilon \sqrt { 1 - \frac { z } { h } } ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { V a r } ( Y _ { 6 } ) } & { = \frac { 8 } { v } \sum _ { j , s ( d i s t ) } \Bigl ( \sum _ { i , k , \ell ( d i s t ) \notin \{ j \} } \eta _ { i } \widetilde { \Omega } _ { j k } \widetilde { \Omega } _ { k \ell } \widetilde { \Omega } _ { \ell i } \Bigr ) ^ { 2 } \cdot \mathrm { V a r } ( W _ { j s } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \left| e _ { m } ^ { B } \right| \right| _ { 2 } } & { { } = \left| \left| e ^ { B } - R _ { m } ( B ) \right| \right| _ { 2 } \leq 1 + R _ { m } ( \left| \left| B \right| \right| _ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \omega ^ { \lambda } ( x ) } & { > } & { \int _ { \Omega \cap B _ { \lambda } ( 0 ) } \left( K _ { \Omega } ^ { \frac { n } { 2 } } ( x ^ { \lambda } , y ^ { \lambda } ) - K _ { \Omega } ^ { \frac { n } { 2 } } ( x , y ^ { \lambda } ) \right) \left( f ( y , u _ { \lambda } ( y ) ) - f ( y , u ( y ) ) \right) \mathrm d y } \\ & { \geq } & { \int _ { \Omega _ { \lambda } ^ { - } } \left( K _ { \Omega } ^ { \frac { n } { 2 } } ( x ^ { \lambda } , y ^ { \lambda } ) - K _ { \Omega } ^ { \frac { n } { 2 } } ( x , y ^ { \lambda } ) \right) \left( f ( y , u _ { \lambda } ( y ) ) - f ( y , u ( y ) ) \right) \mathrm d y } \\ & { \geq } & { \int _ { \Omega _ { \lambda } ^ { - } } K _ { \Omega } ^ { \frac { n } { 2 } } ( x ^ { \lambda } , y ^ { \lambda } ) \left( f ( y , u _ { \lambda } ( y ) ) - f ( y , u ( y ) ) \right) \mathrm d y } \\ & { \geq } & { \int _ { \Omega _ { \lambda } ^ { - } } K _ { \Omega } ^ { \frac { n } { 2 } } ( x ^ { \lambda } , y ^ { \lambda } ) h _ { \lambda } ( y ) \omega ^ { \lambda } ( y ) \mathrm d y } \\ & { \geq } & { C \int _ { \Omega _ { \lambda } ^ { - } \, \cap \, B _ { \frac { C _ { 0 } ( \lambda + 1 ) ^ { 2 } } { 2 } } ( x ) } \frac { ( 1 + \lambda ) ^ { 2 \varepsilon } } { | x - y | ^ { \varepsilon } } h _ { \lambda } ( y ) \omega ^ { \lambda } ( y ) \mathrm d y + C \int _ { \Omega _ { \lambda } ^ { - } \, \setminus \, B _ { \frac { C _ { 0 } ( \lambda + 1 ) ^ { 2 } } { 2 } } ( x ) } h _ { \lambda } ( y ) \omega ^ { \lambda } ( y ) \mathrm d y . } \end{array}
\begin{array} { c } { { T _ { f i } ( t ) = - \epsilon \int _ { 0 } ^ { t } d t _ { \beta } i T _ { f i } ^ { \bar { n } } ( t - t _ { \beta } ) , } } \\ { { i T _ { f i } ^ { \bar { n } } ( \tau ) = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } ( - i ) ^ { k } \int _ { t _ { \beta } } ^ { t } d t _ { 1 } . . . \int _ { t _ { \beta } } ^ { t _ { k - 1 } } d t _ { k } < f \mid H ( t _ { 1 } ) . . . H ( t _ { k } ) \mid 0 \bar { n } _ { p } > , } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathrm { V a r } ( \alpha ) \ge \left[ F ^ { - 1 } \right] _ { 1 1 } = \frac { F _ { 2 2 } } { F _ { 1 1 } F _ { 2 2 } - \left[ F _ { 1 2 } \right] ^ { 2 } } , } \\ & { } & { \mathrm { V a r } ( h ) \ge \left[ F ^ { - 1 } \right] _ { 2 2 } = \frac { F _ { 1 1 } } { F _ { 1 1 } F _ { 2 2 } - \left[ F _ { 1 2 } \right] ^ { 2 } } . } \end{array}
\quad ( 7 ) \qquad \qquad { \frac { d { \bar { \rho } } _ { i } } { d t } } + { \frac { 1 } { \Delta x _ { i } } } \left[ f _ { i + { \frac { 1 } { 2 } } } - f _ { i - { \frac { 1 } { 2 } } } \right] = 0 ,
E = { \frac { 1 } { 2 } } m _ { f } \dot { x } ^ { 2 } + V ( x ) ; \ \ \ \ V ( x ) = E [ 1 - { \frac { 1 + { \frac { E } { 2 m _ { f } } } H _ { F } } { ( 1 + { \frac { E } { m _ { f } } } H _ { F } ) ^ { 2 } } } ] + { \frac { J _ { \parallel } ^ { 2 } } { 2 m _ { f } x ^ { 2 } } } { \frac { 1 } { ( 1 + { \frac { E } { m _ { f } } } H _ { F } ) ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { { f } _ { \mathrm { ~ u ~ p ~ } , \omega } ^ { \mathrm { ~ D ~ C ~ } } ( z ) = } \\ { \quad \quad { f } _ { \mathrm { ~ u ~ p ~ } , \omega } ( 0 ) \cos ( | \kappa _ { \mathrm { ~ D ~ C ~ } } | z ) - i { f } _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ } , \omega } ( 0 ) \sin ( | \kappa _ { \mathrm { ~ D ~ C ~ } } | z ) } \\ { { f } _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ } , \omega } ^ { \mathrm { ~ D ~ C ~ } } ( z ) = } \\ { \quad \quad - i { f } _ { \mathrm { ~ u ~ p ~ } , \omega } ( 0 ) \sin ( | \kappa _ { \mathrm { ~ D ~ C ~ } } | z ) + { f } _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ } , \omega } ( 0 ) \cos ( | \kappa _ { \mathrm { ~ D ~ C ~ } } | z ) } \end{array} \right. , } \end{array}
\frac { 1 } { 2 } \left\lVert \partial _ { t } \boldsymbol { v } \right\rVert _ { H } ^ { 2 } + \frac { d } { d t } U \, \leq c _ { 8 } \left\lVert \boldsymbol { v } \right\rVert _ { \frac { 2 r } { r - 2 } } ^ { 2 } \left\lVert \boldsymbol { v } \right\rVert _ { W ^ { 1 , r } ( \Omega ) } ^ { 2 } + \left\lVert \boldsymbol { f } \right\rVert _ { 2 } ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { k } \sum _ { i \in S _ { k } } \frac { N _ { i } ^ { 2 } \| \Omega _ { i } \| ^ { 2 } } { n _ { k } ^ { 4 } \bar { N } _ { k } ^ { 4 } } } & { \leq \sum _ { k } \frac { 1 } { n _ { k } ^ { 2 } \bar { N } _ { k } ^ { 2 } } \| \mu _ { k } \| ^ { 2 } } \\ { \sum _ { k } \sum _ { i \in S _ { k } } \frac { N _ { i } ^ { 3 } \| \Omega _ { i } \| _ { 3 } ^ { 3 } } { n _ { k } ^ { 4 } \bar { N } _ { k } ^ { 4 } } } & { \leq \sum _ { k } \frac { 1 } { n _ { k } \bar { N } _ { k } } \| \mu _ { k } \| _ { 3 } ^ { 3 } } \\ { \sum _ { k } \sum _ { i \in S _ { k } } \frac { N _ { i } ^ { 4 } \| \Omega _ { i } \| _ { 4 } ^ { 4 } } { n _ { k } ^ { 4 } \bar { N } _ { k } ^ { 4 } } } & { \leq \sum _ { k } \| \mu _ { k } \| _ { 4 } ^ { 4 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { B _ { r } ( r , \theta , \phi ) = B _ { r } ( R _ { S S } , \theta , \phi _ { 0 } ) ( R _ { S S } / r ) ^ { 2 } , } \\ & { B _ { \theta } ( r , \theta , \phi ) = 0 , } \\ & { B _ { \phi } ( r , \theta , \phi ) = B _ { r } ( r , \theta , \phi ) ( \Omega / V _ { \mathrm { S W } } ) ( r - R _ { S S } ) \sin \theta . } \end{array}
\Psi ( t , \theta , \varphi ) = c \cos ( \theta ) + \widetilde { \Psi } ( t , \theta , \varphi - c t ) , \qquad U ( t , \theta , \varphi ) = c \sin ( \theta ) \mathbf { e } _ { \varphi } + \widetilde { U } ( t , \theta , \varphi - c t ) .
\begin{array} { r l r } { \frac { 1 } { C } \sum _ { i = 1 } ^ { M } \operatorname* { P r } ( \theta \! = \! i ) \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \mathsf { E } [ U _ { i } ^ { \prime } ( T _ { n } ^ { \prime } ) \! - \! U _ { i } ^ { \prime } ( t _ { 0 } ^ { ( n ) } ) \! \mid \! \theta \! = \! i ] } & { \le \frac { 1 } { C } \sum _ { i = 1 } ^ { M } \operatorname* { P r } ( \theta \! = \! i ) \left( U _ { i } ( 0 ) \! + \! B \! + \! 2 ^ { - C _ { 2 } } \frac { 1 \! - \! 2 ^ { - N C _ { 2 } } } { 1 - 2 ^ { - C _ { 2 } } } B \right) } & \\ & { = \frac { B } { C } \left( 1 \! + \! 2 ^ { - C _ { 2 } } \frac { 1 \! - \! 2 ^ { - N C _ { 2 } } } { 1 \! - \! 2 ^ { - C _ { 2 } } } \right) - \frac { \mathsf { E } [ U _ { i } ( 0 ) ] } { C } \, . } & \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial \tilde { u } } { \partial t } ( t , x ) - { \mathcal { D } } [ \, { \tilde { u } } \, ] ( t , x ) = 0 , \quad t \in ( 0 , t ^ { * } ) , \ x \in \mathbb { R } , } \\ & { \tilde { u } ( t , x ) \ge a w ( t , x ) , \quad t \in [ 0 , t ^ { * } ] , \ x \le R _ { 0 } + R _ { C } , } \\ & { \tilde { u } ( 0 , x ) > a w ( 0 , x ) , \quad x \in \mathbb { R } . } \end{array}
\mathcal { S } _ { v _ { 2 1 } ^ { \star } , v _ { 3 2 } ^ { \star } } = \left\{ z : \left| z - \left[ \lambda _ { 1 } \left( \frac { v _ { 2 1 } ^ { \star } } { 2 } \right) + \lambda _ { 2 } \left( \frac { v _ { 2 1 } ^ { \star } - v _ { 3 2 } ^ { \star } } { 3 } \right) \right] \right| \le \left| Z - \left[ \lambda _ { 1 } \left( \frac { v _ { 2 1 } ^ { \star } } { 2 } \right) + \lambda _ { 2 } \left( \frac { v _ { 2 1 } ^ { \star } - v _ { 3 2 } ^ { \star } } { 3 } \right) \right] \right| \right\} ,
\begin{array} { r l } { | \Delta G _ { n + 1 } ( \xi , \eta ) | \leq } & { \left( | I _ { 1 } | + | I _ { 2 } | \right) + \left( | I _ { 3 } | + | I _ { 4 } | \right) } \\ { \leq } & { \frac { { { { \overline { { \Lambda } } } } } } { 4 ( n + 3 ) } \frac { M ^ { n + 2 } } { ( n + 2 ) ! } ( \xi + \eta ) ^ { n + 3 } { + } \frac { { \overline { { f } } } } { 2 ( n + 3 ) } \frac { M ^ { n + 2 } } { ( n + 2 ) ! } ( \xi + \eta ) ^ { n + 3 } } \\ { \leq } & { \left( \frac { { { { \overline { { \Lambda } } } } } } { 2 ( n + 3 ) } + \frac { { \overline { { f } } } } { n + 3 } \right) \frac { M ^ { n + 2 } } { ( n + 2 ) ! } ( \xi + \eta ) ^ { n + 2 } } \\ { \leq } & { \frac { M ^ { n + 3 } } { ( n + 2 ) ! } \left( \xi + \eta \right) ^ { n + 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { E } ( t ) } & { { } = \left[ i f \chi - 1 - i \delta \right] E ( t ) + h Y ( t ) , } \\ { \dot { D } ( t ) } & { { } = \gamma \left[ - D ( t ) + \Im ( \chi ) | E | ^ { 2 } \right] , } \\ { Y ( t ) } & { { } = \eta e ^ { i \varphi } \left[ E ( t - \tau ) - Y ( t - \tau ) \right] + Y _ { 0 } \sqrt { 1 - \eta ^ { 2 } } , } \end{array}
c _ { * } = \frac { | \textbf { E } | } { | \textbf { B } | } = \frac { \Phi _ { B } } { \Phi _ { E } } \omega _ { C } \tau _ { L } \left( \frac { 1 } { \mu _ { 0 } \epsilon _ { 0 } } \right) = \frac { \Phi _ { B } } { \Phi _ { E } } \omega _ { C } \tau _ { L } c ^ { 2 } ,
\begin{array} { r } { \frac { d } { d z } \frac { I _ { \nu + \frac { 1 } { 2 } } ( z ) } { \sqrt { z } } = \frac { I _ { \nu + \frac { 3 } { 2 } } ( z ) } { \sqrt { z } } + \frac { \nu I _ { \nu + \frac { 1 } { 2 } } ( z ) } { z ^ { \frac { 3 } { 2 } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { z _ { 0 } } & { { } = ( x _ { 0 } , x _ { d } , \ldots , x _ { ( N - 1 ) d } ) , } \\ { z _ { 1 } } & { { } = ( x _ { 1 } , x _ { 1 + d } , \ldots , x _ { 1 + ( N - 1 ) d } ) , } \\ { z _ { t } } & { { } = ( x _ { t } , x _ { t + d } , \ldots , x _ { t + ( N - 1 ) d } ) , } \\ { z _ { L - 1 - ( N - 1 ) d } } & { { } = ( x _ { L - 1 - ( N - 1 ) d } , x _ { L - 1 - ( N - 2 ) d } , \ldots , x _ { L - 1 } ) . } \end{array}
A _ { k } ( t , r , \theta , \varphi ) = \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } \sum _ { m = - l } ^ { l } \Bigr [ c _ { l } ( r ) \partial _ { k } Y _ { l m } ( \theta , \varphi ) + T _ { l } ( r ) \varepsilon _ { k p } \partial ^ { p } Y _ { l m } ( \theta , \varphi ) \Bigr ] e ^ { i \omega t } .
\begin{array} { r l } { \bigg | } & { C _ { \theta , \beta _ { 0 } } \left( C _ { \theta , \beta _ { 1 } } ^ { ( O _ { 1 } ) } ( \{ \textbf { u } ^ { ( O _ { 1 } ) } \} ^ { 1 / m } ) , \dots , C _ { \theta , \beta _ { G } } ^ { ( O _ { G } ) } ( \{ \textbf { u } ^ { ( O _ { G } ) } \} ^ { 1 / m } ) \right) ^ { m } } \\ & { - C _ { 0 , \beta _ { 0 } } \left( C _ { 0 , \beta _ { 1 } } ^ { ( O _ { 1 } ) } ( \textbf { u } ^ { ( O _ { 1 } ) } ) , \dots , C _ { 0 , \beta _ { G } } ^ { ( O _ { G } ) } ( \textbf { u } ^ { ( O _ { G } ) } ) \right) \bigg | , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \Big [ } ( \nabla \times { \mathbf E } ) \times \mathbf { n } _ { P \rightarrow W } { \Big ] } } & { { } = - \frac { \partial } { \partial t } \left( { \big [ } { \mathbf B } \times \mathbf { n } _ { P \rightarrow W } { \big ] } \right) , } \\ { { \Big [ } ( \nabla \times { \mathbf E } ) \cdot \mathbf { n } _ { P \rightarrow W } { \Big ] } } & { { } = - \frac { \partial } { \partial t } \left( { \big [ } { \mathbf B } \cdot \mathbf { n } _ { P \rightarrow W } { \big ] } \right) = { 0 } , } \\ { { \Big [ } ( \nabla \times { \mathbf B } ) \times \mathbf { n } _ { P \rightarrow W } { \Big ] } } & { { } = { \Big [ } \frac { \mu _ { 0 } } { \eta } { \mathbf E } \times \mathbf { n } _ { P \rightarrow W } { \Big ] } , } \\ { { \Big [ } ( \nabla \times { \mathbf B } ) \cdot \mathbf { n } _ { P \rightarrow W } { \Big ] } } & { { } = { \Big [ } \frac { \mu _ { 0 } } { \eta } { \mathbf E } \cdot \mathbf { n } _ { P \rightarrow W } { \Big ] } , } \\ { { \Big [ } \frac { \eta } { \mu _ { 0 } } ( \nabla \times { \mathbf B } ) \times \mathbf { n } _ { P \rightarrow W } { \Big ] } } & { { } = { \Big [ } { \mathbf E } \times \mathbf { n } _ { P \rightarrow W } { \Big ] } = \mathbf { 0 } , } \\ { { \Big [ } \frac { \eta } { \mu _ { 0 } } ( \nabla \times { \mathbf B } ) \cdot \mathbf { n } _ { P \rightarrow W } { \Big ] } } & { { } = { \Big [ } { \mathbf E } \cdot \mathbf { n } _ { P \rightarrow W } { \Big ] } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \displaystyle \Delta t \nu | | \nabla \mathbf { v } | | _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) } ^ { 2 } + \Delta t \gamma | | \mathbf { M } | | _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) } ^ { 2 } + \alpha | | \mathbf { G } | | _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) } ^ { 2 } + \frac { \lambda } { 2 } | | \nabla \mathbf { G } | | _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 \times 3 } ) } ^ { 2 } } \\ & { \displaystyle + \Delta t b _ { 0 } | | \nabla y | | _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 } ) } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } | | \nabla z | | _ { L ^ { 2 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 } ) } ^ { 2 } - C \left( \mathbf { F } _ { h } ^ { n } , \phi _ { h } ^ { n } \right) \leq ( \mathcal { P } ( \mathbf { v } , \mathbf { G } , \mathbf { M } , z , y ) , ( \mathbf { v } , \mathbf { G } , \mathbf { M } , z , y ) ) _ { X } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { t } = } & { \frac { \gamma M _ { t } ^ { 2 } } { 2 m _ { i } ( 1 + M _ { t } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \cdot \frac { p _ { t o t , u } ^ { 2 } } { q _ { \parallel , u } } } \\ & { \cdot \frac { ( 1 - f _ { m o m - l o s s } ) ^ { 2 } } { ( 1 - f _ { c o o l i n g } ) } \cdot \left( \frac { R _ { t } } { R _ { u } } \right) } \end{array}
L _ { \mathrm { g c } } = \frac { 1 } { \epsilon } \left( \Psi ^ { * } \, \Theta ^ { \prime } - \psi ^ { * } \, \Phi ^ { \prime } \right) - \epsilon \, J \, R ^ { \prime } \, { \cal R } _ { R } ^ { * } - \left( \frac { 1 } { 2 } \, P _ { \| } ^ { 2 } + J \, B \right) ,
\Delta V = ( 2 r _ { m i n } ) ^ { 3 } \simeq 6 . 2 \cdot 1 0 ^ { - 3 3 } \mathrm { m ^ { 3 } } \quad \Rightarrow \quad \rho _ { p l a s m a } = \frac { m _ { p } } { \Delta V } \simeq 2 . 7 \cdot 1 0 ^ { 5 } ~ \mathrm { K g / m ^ { 3 } }
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ P ~ } ^ { \sharp } ( \theta , s ) = - \ln \left( \int \eta ( E ) \exp \big \{ - [ { \mathcal R } ( \mu _ { \mathrm { ~ { ~ \tiny ~ E ~ } ~ } } ) ] ( \theta , s ) \big \} d E \right) , } \end{array}
\mathcal { H } _ { n , J } ^ { 0 } : = \sum _ { \mathbf { j } \in \aleph _ { n , J } } 2 ^ { j _ { 1 } ( 1 - h _ { 1 } ) + \cdots + j _ { d } ( 1 - h _ { d } ) } \sum _ { \mathbf { k } \in \beth _ { n , T } } \left| \varepsilon _ { \mathbf { j } , \mathbf { k } } \right| \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \left| \mathcal { A } _ { \mathbf { j } , \mathbf { k } } ( t ) \right|
E ( { \mathbf { R } } , C , { \boldsymbol { \theta } } ) = \ensuremath { \langle { \psi ( { \boldsymbol { \theta } } ) } \rvert } H _ { \mathrm { ~ A ~ } } ( { \mathbf { R } } , C ) \ensuremath { \lvert { \psi ( { \boldsymbol { \theta } } ) } \rangle } ,
{ \textbf { P } } ( t ) = [ T ( t ) ] { \textbf { p } } = { \left\{ \begin{array} { l } { { \textbf { P } } } \\ { 1 } \end{array} \right\} } = { \left[ \begin{array} { l l } { A ( t ) } & { { \textbf { d } } ( t ) } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } { \left\{ \begin{array} { l } { { \textbf { p } } } \\ { 1 } \end{array} \right\} } .
\begin{array} { r l } & { \sum _ { x ^ { s : T } \in \{ 0 , 1 \} ^ { T - s + 1 } } \sum _ { y ^ { s : T - 1 } \in \{ 0 , 1 \} ^ { T - s } } \psi _ { x _ { 1 } } ( x ^ { 2 : T } , y ^ { T - 1 } , \alpha ) } \\ & { = F ( \widetilde { \theta } x _ { s - 1 } + \alpha ) ^ { y _ { s - 1 } } [ 1 - F ( \widetilde { \theta } x _ { s - 1 } + \alpha ) ] ^ { 1 - y _ { s - 1 } } \sum _ { x ^ { s : T } \in \{ 0 , 1 \} ^ { T - s + 1 } } \sum _ { y ^ { s - 1 : T - 1 } \in \{ 0 , 1 \} ^ { T - s + 1 } } \psi _ { x _ { 1 } } ( x ^ { 2 : T } , y ^ { T - 1 } , \alpha ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \nabla h ( Z ( t ) ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { s \rightarrow 0 } \frac { \nabla h \left( z _ { \mathbf { k } ( t ) + 1 } \right) - \nabla h \left( z _ { \mathbf { k } ( t ) } \right) } { \mathbf { t } _ { \mathbf { k } ( t ) + 1 } - t } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { s \rightarrow 0 } \frac { \nabla h \left( z _ { \mathbf { k } ( t ) + 1 } \right) - \nabla h \left( z _ { \mathbf { k } ( t ) } \right) } { s ^ { 1 / p } } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { s \rightarrow 0 } \frac { A _ { \mathbf { k } ( t ) + 1 } - A _ { \mathbf { k } ( t ) } } { s ^ { 1 / p } \left( 1 + \mu A _ { \mathbf { k } ( t ) } \right) } \left( \mu \nabla h \left( x _ { \mathbf { k } ( t ) + 1 } \right) - \mu \nabla h \left( z _ { \mathbf { k } ( t ) + 1 } \right) - \nabla f \left( x _ { \mathbf { k } ( t ) + 1 } \right) \right) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { s \rightarrow 0 } \frac { A \left( \mathbf { t } _ { \mathbf { k } ( t ) + 1 } \right) - A ( t ) } { s ^ { 1 / p } \left( 1 + \mu A ( t ) \right) } \left( \mu \nabla h \left( X ( t ) \right) - \mu \nabla h \left( X ( t ) \right) - \nabla f \left( X ( t ) \right) \right) } \\ & { = \frac { \dot { A } ( t ) } { 1 + \mu A ( t ) } \left( \mu \nabla h \left( X ( t ) \right) - \mu \nabla h \left( X ( t ) \right) - \nabla f \left( X ( t ) \right) \right) } \\ & { = \frac { C ^ { 1 / p } p } { \mu ^ { ( p - 1 ) / p } } \operatorname { t a n h } _ { p } ^ { p - 1 } \left( C ^ { 1 / p } \mu ^ { 1 / p } t \right) \left( \mu \nabla h \left( X ( t ) \right) - \mu \nabla h \left( X ( t ) \right) - \nabla f \left( X ( t ) \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \normalcolor S _ { i } } } & { { \normalcolor = } } & { { \normalcolor - \sigma \frac { \partial n _ { i } } { \partial x } - n _ { i } \frac { \partial \phi } { \partial x } , } } \\ { { \normalcolor S _ { d } } } & { { \normalcolor = } } & { { \normalcolor n _ { i } \hat { I } _ { e 0 } \left[ \delta _ { i } \delta _ { m } \sigma ^ { 1 / 2 } n _ { i } \left( 1 - \frac { \varphi _ { d } } { \sigma } \right) - \exp ( \phi + \varphi _ { d } ) \right] . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \nabla \cdot \boldsymbol { J } _ { \perp } } & { = } & { \left( \boldsymbol { B } \times \nabla p \right) \cdot \nabla \frac { 1 } { B ^ { 2 } } = \frac { d p } { d \psi } \left( B _ { z } \boldsymbol { B } _ { p } - B _ { p } ^ { 2 } \boldsymbol { \hat { z } } \right) \cdot \nabla \frac { 1 } { B ^ { 2 } } } \\ & { = } & { \boldsymbol { B } _ { p } \cdot \nabla \left( \frac { B _ { z } } { B ^ { 2 } } \frac { d p } { d \psi } \right) . } \end{array}
\frac { \partial \mathcal { L } } { \partial A _ { p } } - \sum _ { q } \, \partial _ { q } \left( \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial \left( \partial _ { q } A _ { p } \right) } \right) - \frac { d } { d t } \, \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial \dot { A } _ { p } } = 0
H = { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) } , \quad X = { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } , \quad Y = { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) } .
\frac { \partial \mathbf { v } } { \partial t } + \mathbf { v } \cdot \mathbf { \nabla \mathbf { v } } = - \mathbf { \nabla } P + \frac { P r } { R a ^ { 1 / 2 } } \mathbf { \nabla } ^ { 2 } \mathbf { v } + P r \Theta \mathbf { e } _ { z } ,
\begin{array} { r l } { \dot { \mathbf { R } } _ { I } } & { { } = \frac { \mathbf { P } _ { I } } { M _ { I } } } \\ { \dot { \mathbf { P } } _ { I } } & { { } = - \boldsymbol { \nabla } _ { I } E [ \mathbf { P } ^ { \mathrm { ~ e ~ } ^ { \prime } } ( t ) , \mathbf { P } ^ { \mathrm { ~ n ~ } ^ { \prime } } ( t ) , \{ \mathbf { R } _ { I } \} ] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| \mu _ { t - 1 , \mathcal { B } _ { x } } ^ { ( m ) } - \bar { \mu } _ { t - 1 , \mathcal { B } _ { x } } \bigg \| ^ { 2 } = \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| \mu _ { t - 1 , \mathcal { B } _ { x } } ^ { ( m ) } - \mu _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - \big ( \bar { \mu } _ { t - 1 , \mathcal { B } _ { x } } - \bar { \mu } _ { t - 1 } \big ) + \mu _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - \bar { \mu } _ { t - 1 } \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { \overset { ( a ) } { \leq } 2 \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| \mu _ { t - 1 , \mathcal { B } _ { x } } ^ { ( m ) } - \mu _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - \big ( \bar { \mu } _ { t - 1 , \mathcal { B } _ { x } } - \bar { \mu } _ { t - 1 } \big ) \bigg \| ^ { 2 } + 2 \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| \mu _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - \bar { \mu } _ { t - 1 } \bigg \| ^ { 2 } } \\ & { \overset { ( b ) } { \leq } 2 \underbrace { \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg \| \mu _ { t - 1 , \mathcal { B } _ { x } } ^ { ( m ) } - \mu _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } } _ { T _ { 1 } } + 4 \underbrace { \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \big \| \nabla h ^ { ( m ) } ( \bar { x } _ { t - 1 } ) - \nabla h ( \bar { x } _ { t - 1 } ) \big \| ^ { 2 } } _ { T _ { 2 } } } \\ & { \qquad \qquad + 4 \underbrace { \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \big \| \mu _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - \nabla h ^ { ( m ) } ( \bar { x } _ { t - 1 } ) + \nabla h ( \bar { x } _ { t - 1 } ) - \bar { \mu } _ { t - 1 } \bigg \| ^ { 2 } } _ { T _ { 3 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { f _ { \pm } ^ { m \ell } ( \tau , r ) : = \left( \tau + \frac { 4 } { r - 1 } + 1 \right) ^ { - \frac { 1 } { 2 } \mp \sqrt { \alpha _ { m \ell } } + i m } ( \tau + 1 ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } \mp \sqrt { \alpha _ { m \ell } } - i m } , } \\ { f _ { \pm , \mathrm { e x p } } ^ { m \ell } ( \tau , r ) : = \left( \tau + \frac { 4 } { r - 1 } + e ^ { r - 1 } \right) ^ { - \frac { 1 } { 2 } \mp \sqrt { \alpha _ { m \ell } } + i m } ( \tau + 1 ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } \mp \sqrt { \alpha _ { m \ell } } - i m } . } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l } { x _ { 1 } \; x _ { 2 } \; \dots \; x _ { m } } \end{array} \right] } ^ { \mathrm { { T } } } = { \left[ \begin{array} { l } { x _ { 1 } } \\ { x _ { 2 } } \\ { \vdots } \\ { x _ { m } } \end{array} \right] } \, ,
F ( \alpha , \beta , \gamma : x ) = \frac { \Gamma ( \gamma ) } { \Gamma ( \beta ) \Gamma ( \gamma - \beta ) } \int _ { 0 } ^ { 1 } u ^ { \beta - 1 } ( 1 - u ) ^ { \gamma - \beta - 1 } ( 1 - x u ) ^ { - \alpha } d u .
\displaystyle \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } f \left( \frac { 2 \pi n } { L } i \right) = \frac { L } { 2 \pi i } \int _ { - i \infty } ^ { i \infty } d p \, \frac { 1 } { 2 } \left[ f ( p ) + f ( - p ) \right] + \frac { L } { 2 \pi i } \int _ { - i \infty + \epsilon } ^ { i \infty + \epsilon } d p \, \frac { f ( p ) + f ( - p ) } { \exp { ( L p ) } - 1 } .
\begin{array} { r } { \dot { A _ { 2 } } = i I _ { 1 3 } A _ { 1 } A _ { 3 } ^ { * } - \alpha _ { 2 } A _ { 2 } \mathrm { \, , } } \\ { \dot { A _ { 3 } } = i I _ { 1 2 } A _ { 1 } A _ { 2 } ^ { * } - \alpha _ { 3 } A _ { 3 } \mathrm { \, , } } \end{array}
q _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ } } ( x _ { i } , V _ { j } ) = q _ { \mathrm { ~ s ~ i ~ } } ( x _ { i } , V _ { j } ) + q _ { \mathrm { ~ c ~ e ~ l ~ l ~ } } ( x _ { i } , V _ { j } ) - \{ J ( x _ { i } , V _ { j } ) \times V _ { j } \}
\boldsymbol { x } _ { t } ^ { * } = \mathcal { B } ( L ) ^ { * } \boldsymbol { \epsilon } _ { t } ^ { * } = \mathcal { B } ( 1 ) ^ { * } \boldsymbol { \epsilon } _ { t } ^ { * } - ( 1 - L ) \tilde { \mathcal { B } } ^ { * } ( L ) \boldsymbol { \epsilon } _ { t } ^ { * } , \mathrm { ~ w h e r e ~ } \tilde { \mathcal { B } } ^ { * } ( L ) = \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \tilde { \boldsymbol { B } } _ { j } ^ { * } L ^ { j } , \tilde { \boldsymbol { B } } _ { j } ^ { * } = \sum _ { k = j + 1 } ^ { \infty } \boldsymbol { B } _ { k } ^ { * } ,