harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { n _ { 1 } ( z ) } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { n _ { \mathrm { m a x } } } & { 0 < z < L _ { 1 } } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right. } \\ { n _ { 2 } ( z ) } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { n _ { \mathrm { m a x } } } & { L _ { 1 } < z < L } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { t _ { b _ { 2 } } - t _ { b _ { 1 } } } & { { } \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad t = t _ { 1 } } \\ { t _ { b _ { j + 1 } } - t _ { b _ { j } } } & { { } \quad \mathrm { ~ e ~ l ~ s ~ e ~ i ~ f ~ } \quad t \in ( t _ { b _ { j } } , t _ { b _ { j + 1 } } ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { { } } & { { } \underset { ( x , y ) \sim \gamma ^ { * } } { \mathbf { E } } \Big [ f ^ { * } ( x ) - f ^ { * } ( y ) \Big ] = \underset { ( x , y ) \sim \gamma ^ { * } } { \mathbf { E } } | | x - y | | _ { 1 } } \\ { \Leftrightarrow } & { { } \underset { ( x , y ) \sim \gamma ^ { * } } { \mathbf { E } } \Big [ f ^ { * } ( x ) - f ^ { * } ( y ) \Big ] - \underset { ( x , y ) \sim \gamma ^ { * } } { \mathbf { E } } | | x - y | | _ { 1 } = 0 } \\ { \Leftrightarrow } & { { } \underset { ( x , y ) \sim \gamma ^ { * } } { \mathbf { E } } \Big [ f ^ { * } ( x ) - f ^ { * } ( y ) - | | x - y | | _ { 1 } \Big ] = 0 } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \partial L ^ { ( \infty , G ) } } { \partial u } = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle 1 + \frac { G } { 2 G - 1 } \left( \frac { 1 - G } { G } ( 1 - u ) ^ { \frac { 1 } { G } - 2 } - 1 \right) , } & { \mathrm { i f ~ } G \neq \frac { 1 } { 2 } , } \\ { \displaystyle - \log ( 1 - u ) , } & { \mathrm { i f ~ } G = \frac { 1 } { 2 } . } \end{array} \right. } \end{array}
W _ { 1 } ^ { b o x } = \frac { 5 g ^ { 2 } } { 2 4 \pi ^ { 2 } } \ell n \left[ \frac { 2 ( 1 - x ) \nu } { m q ^ { 2 } } - 1 \right] ; W _ { 1 } ^ { c r o s s } = \frac { 5 g ^ { 2 } } { 2 4 \pi ^ { 2 } }
| \sum _ { \kappa \subset \overline { { \Omega } } _ { 1 1 } } \Vert I _ { N } u - u \Vert _ { L ^ { 2 } ( \kappa ) } ^ { 2 } | \le C \sum _ { \kappa \subset \overline { { \Omega } } _ { 1 1 } } \Vert I _ { N } S - S \Vert _ { L ^ { 2 } ( \kappa ) } ^ { 2 } + C \sum _ { \kappa \subset \overline { { \Omega } } _ { 1 1 } } \Vert I _ { N } E - E \Vert _ { L ^ { 2 } ( \kappa ) } ^ { 2 } \le C N ^ { - 2 ( k + 1 ) } .
\begin{array} { r l } { k ( \mu _ { i } , \mu _ { j } ) } & { \geq k ( \hat { \mu } _ { i } ^ { [ M ] } , \hat { \mu } _ { j } ^ { [ M ] } ) - | k ( \mu _ { i } , \mu _ { j } ) - k ( \hat { \mu } _ { i } ^ { [ M ] } , \hat { \mu } _ { j } ^ { [ M ] } ) | } \\ & { \geq k ^ { [ M ] } ( \vec { x } _ { i } ^ { [ M ] } , \vec { x } _ { j } ^ { [ M ] } ) - | k ( \hat { \mu } _ { i } ^ { [ M ] } , \hat { \mu } _ { j } ^ { [ M ] } ) - k ^ { [ M ] } ( \vec { x } _ { i } ^ { [ M ] } , \vec { x } _ { j } ^ { [ M ] } ) | } \\ & { \quad - | k ( \mu _ { i } , \mu _ { j } ) - k ( \hat { \mu } _ { i } ^ { [ M ] } , \hat { \mu } _ { j } ^ { [ M ] } ) | } \end{array}
\underline { { { 3 } } } _ { q } \otimes \underline { { { 3 } } } _ { \overline { { { q } } } } ^ { * } \otimes \underline { { { 8 } } } _ { 1 } \otimes \underline { { { 8 } } } _ { 2 } \otimes \cdots \otimes \underline { { { 8 } } } _ { n }
\begin{array} { r l r l } { ( e _ { s } v ) _ { 1 } } & { \in V ( a _ { i - 1 } ) \otimes V ( b _ { j } ) , } & { ( z v ) _ { 1 } } & { \in V ( a _ { i - 2 } ) \otimes V ( b _ { j } ) , } \\ { ( e _ { s } v ) _ { 2 } } & { \in V ( a _ { i } ) \otimes V ( b _ { j - 1 } ) , } & { ( z v ) _ { 2 } } & { \in V ( a _ { i } ) \otimes V ( b _ { j - 2 } ) , } \\ { ( e _ { s } v ) _ { 3 } } & { \in V ( a _ { i } ) \otimes V ( b _ { j - 2 } ) . } & & { } \end{array}
\psi _ { k } ^ { i n } = \frac { 1 } { \sqrt { \pi k _ { s } } } 2 ^ { n _ { s } - 1 } \Gamma \left( n _ { s } \right) a _ { s } ^ { - m } e ^ { - l \phi _ { s } / 2 } \left( \frac k { k _ { s } } \right) _ { . } ^ { - n _ { s } }
\begin{array} { r l r } { \delta \pi _ { \rho } ^ { x x } } & { { } = } & { - \frac { \alpha _ { \ast s } } { 2 q H } \kappa \left( \kappa m _ { o } \right) ^ { 2 } \rho ^ { 3 \Gamma - 2 } } \\ { \delta \pi _ { \rho } ^ { z z } } & { { } = } & { - \frac { \alpha _ { \ast s } } { 2 q H } \kappa \left( \kappa m _ { o } \right) ^ { 2 } \rho ^ { 3 \Gamma - 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { 0 } = } & { { } \left( \begin{array} { c c c c } { \mathbf { k } \cdot \mathbf { w } _ { s d } } & { \mathbf { k } ^ { T } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \mathbf { k } \cdot \mathbf { w } _ { s d } \mathbf { I } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \mathbf { k } ^ { T } } \\ { - \epsilon Z c _ { I A } ^ { 2 } \mathbf { k } } & { 0 } & { ( c _ { I A } ^ { 2 } + c _ { s i } ^ { 2 } ) \mathbf { k } } & { 0 } \end{array} \right) } \\ { T _ { 1 } = } & { { } \left( \begin{array} { c c c c } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \epsilon Z ^ { 2 } c _ { I A } ^ { 2 } \mathbf { k } } & { 0 } & { - Z c _ { I A } ^ { 2 } \mathbf { k } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) } \end{array}
\Delta _ { 3 } = - \frac { 1 } { 4 \pi } + \frac { 7 } { 2 \pi } l n ( \frac { M _ { G } } { M _ { V } } ) - \frac { 1 } { 1 2 \pi } l n ( \frac { M _ { G } } { M _ { 5 } } ) - \frac { 1 } { 4 \pi } l n ( \frac { M _ { G } } { M _ { 2 } 4 } ) + \Delta _ { 3 } ^ { N R O } ,
\delta \varepsilon _ { 0 } = \langle 0 | H _ { B } | 0 \rangle = - g ^ { 4 } \left[ { \frac { 5 } { 8 } } \mu ^ { 4 } \left( \frac { 1 } { m _ { 1 } ^ { 3 } } + \frac { 1 } { m _ { 2 } ^ { 3 } } \right) + \frac { \mu ^ { 3 } } { m _ { 1 } m _ { 2 } } \right] .
X ( t ) = a _ { 1 } + a _ { 2 } t + a _ { 3 } \mathrm { { s i n } ( 2 \ p i t ) + a _ { 4 } \mathrm { { c o s } ( 2 \ p i t ) + a _ { 5 } \mathrm { { s i n } ( 4 \ p i t ) + a _ { 6 } \mathrm { { c o s } ( 4 \ p i t ) + a _ { 7 } \mathrm { { s i n } ( 6 \ p i t ) + a _ { 8 } \mathrm { { c o s } ( 6 \ p i t ) + a _ { 9 } \mathrm { { s i n } ( 8 \ p i t ) + a _ { 1 0 } \mathrm { { c o s } ( 8 \ p i t ) } } } } } } } }
\tau ^ { ( n ) } = \underset { \tau > 0 } { \operatorname { a r g m i n } } ~ \mathcal { J } _ { 2 } ( \iota ( c _ { s , i } ) - \tau \nabla ^ { { H } ^ { 1 } } \mathcal { J } _ { 2 } ( \iota ( c _ { s , i } ) ) ) ,
X = \left( \begin{array} { l l l l l } { c _ { 1 , 1 } } & { 0 } & { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { c _ { 2 , 1 } } & { c _ { 2 , 2 } } & { 0 } & { \dots } & { 0 } \\ { c _ { 3 , 1 } } & { c _ { 3 , 2 } } & { c _ { 3 , 3 } } & { \dots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { c _ { n , 1 } } & { c _ { n , 2 } } & { c _ { n , 3 } } & { \dots } & { c _ { n , n } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ R _ { t } ] } & { \leq \mathbb { E } \left[ \sum _ { X \in { \bf X } _ { { \bf S } _ { t } , Y } } \left| \boldsymbol { V } _ { t , X } ( \tilde { \boldsymbol { \theta } } _ { t , X } - \boldsymbol { \theta } _ { X } ^ { * } ) \right| L _ { f _ { X } } ^ { ( 1 ) } \right] + p _ { \mathrm { e r r o r } } } \\ & { \leq \mathbb { E } \left[ \sum _ { X \in { \bf X } _ { { \bf S } _ { t } , Y } } \left\| \boldsymbol { V } _ { t , X } \right\| _ { M _ { t - 1 , X } ^ { - 1 } } \left\| \tilde { \boldsymbol { \theta } } _ { t , X } - \boldsymbol { \theta } _ { X } ^ { * } \right\| _ { M _ { t - 1 , X } } L _ { f _ { X } } ^ { ( 1 ) } \right] + p _ { \mathrm { e r r o r } } } \\ & { \leq 2 \rho \cdot \mathbb { E } \left[ \sum _ { X \in { \bf X } _ { { \bf S } _ { t } , Y } } \left\| \boldsymbol { V } _ { t , X } \right\| _ { M _ { t - 1 , X } ^ { - 1 } } L _ { f _ { X } } ^ { ( 1 ) } \right] + p _ { \mathrm { e r r o r } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \overline { { y _ { 1 } * _ { r } y _ { 2 } } } ( x ) = \overline { { y _ { 1 } * _ { r } y _ { 2 } ( \bar { x } ) } } = \overline { { ( y _ { 1 } \otimes y _ { 2 } ) ( r ( \bar { x } ) } } ) } \\ { = } & { \sum v ^ { \Vert | x _ { 1 } | , | x _ { 2 } | \Vert } \overline { { y _ { 1 } ( \overline { { x _ { 2 } } } ) y _ { 2 } ( \overline { { x _ { 1 } } } ) } } = v ^ { \Vert | y _ { 1 } | , | y _ { 2 } | \Vert } \sum \overline { { y _ { 1 } ( \overline { { x _ { 2 } } } ) y _ { 2 } ( \overline { { x _ { 1 } } } ) } } , } \\ & { v ^ { \Vert | y _ { 1 } | , | y _ { 2 } | \Vert } \overline { { y _ { 2 } } } * _ { r } \overline { { y _ { 1 } } } ( x ) = v ^ { \Vert | y _ { 1 } | , | y _ { 2 } | \Vert } ( \overline { { y _ { 2 } } } \otimes \overline { { y _ { 1 } } } ) ( r ( x ) ) } \\ { = } & { v ^ { \Vert | y _ { 1 } | , | y _ { 2 } | \Vert } \sum \overline { { y _ { 2 } } } ( x _ { 1 } ) \overline { { y _ { 1 } } } ( x _ { 2 } ) = v ^ { \Vert | y _ { 1 } | , | y _ { 2 } | \Vert } \sum \overline { { y _ { 2 } ( \overline { { x _ { 1 } } } ) } } \overline { { y _ { 1 } ( \overline { { x _ { 2 } } } ) } } , } \end{array}
\nu _ { b b } = 4 \sqrt { 2 \pi } n _ { b 0 } e ^ { 4 } \ln \Lambda _ { b b } / 4 8 \pi ^ { 2 } \varepsilon _ { 0 } ^ { 2 } m _ { e } ^ { 1 / 2 } T _ { b } ^ { 3 / 2 } \sim 3 . 9 \times 1 0 ^ { 5 } \ \mathrm { H z }
\begin{array} { r l r } { V _ { \mathrm { ~ s ~ } } ( t ) } & { { } = } & { \big ( V _ { \mathrm { ~ s ~ } } ( 0 ) - V _ { \mathrm { ~ B ~ } } \big ) \times \exp ( - t / R C ) + V _ { \mathrm { ~ B ~ } } } \end{array}
\begin{array} { r } { q ( { a } , R ) : = - \bar { \sigma } _ { 3 3 } = \int _ { { b } } ^ { \bar { \lambda } _ { 1 } } \frac { w _ { 1 } ( \tilde { \lambda } _ { 1 } , \lambda ) } { \tilde { \lambda } _ { 1 } ^ { 2 } \lambda - 1 } \, d \tilde { \lambda } _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { 1 } ( t ) = \left( 1 + \frac { t ^ { 2 } } { \nu } \right) ^ { - \frac { \nu + 1 } { 2 } } } & { \implies S _ { 1 } ( \omega ) \propto \mid \omega \mid ^ { \nu / 2 } K _ { \nu / 2 } ( \mid \omega \mid \sqrt { \nu } ) } \\ { \mathcal { E } _ { 2 } ( r ) = _ { 2 } F _ { 1 } \left( \frac { 3 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } + \nu , 1 , - \frac { r ^ { 2 } } { 2 \nu } \right) } & { \implies S _ { 2 } ( k ) \propto k ^ { \nu + 1 } K _ { \nu - 1 } ( k \sqrt { 2 \nu } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \nabla F ( x , \sigma ( x ) ) \! - \! \nabla F ( x ^ { \prime } , \sigma ( x ^ { \prime } ) ) \| \! } & { \le \! L _ { 0 } \| x - x ^ { \prime } \| } \\ { \left\| \nabla _ { 1 } f _ { i } ( x _ { i } , y _ { i } ) - \nabla _ { 1 } f _ { i } ( x _ { i } ^ { \prime } , y _ { i } ^ { \prime } ) \right\| \! } & { \le \! L _ { 1 } \left\| \left[ \begin{array} { l } { x _ { i } - x _ { i } ^ { \prime } } \\ { y _ { i } - y _ { i } ^ { \prime } } \end{array} \right] \right\| } \\ { \| \nabla _ { 2 } f _ { i } ( x _ { i } , y _ { i } ) - \nabla _ { 2 } f _ { i } ( x _ { i } ^ { \prime } , y _ { i } ^ { \prime } ) \| \! } & { \le \! L _ { 2 } \left\| \left[ \begin{array} { l } { x _ { i } - x _ { i } ^ { \prime } } \\ { y _ { i } - y _ { i } ^ { \prime } } \end{array} \right] \right\| , } \end{array}
X ^ { - \alpha } \sum _ { \substack { m _ { 1 } , m _ { 2 } \leqslant z \, ( m _ { 1 } , m _ { 2 } ) = 1 } } \frac { r ( m _ { 1 } ) r ( m _ { 2 } ) } { ( m _ { 1 } m _ { 2 } ) ^ { 1 / 2 - \alpha } } \sum _ { ( d , m _ { 1 } m _ { 2 } ) = 1 } r ( d ) ^ { 2 } d ^ { \alpha } \Big / \left( \sum _ { m \leqslant X } \frac { t ( m ) } { \sqrt { m } } \right) ^ { 2 } \sum _ { d } r ( d ) ^ { 2 } \leqslant \exp \Big ( - ( 1 + o ( 1 ) ) \frac { 3 2 \log X } { ( \log \log X ) ^ { 4 } } \Big ) .
D \circ f _ { \theta } ^ { \mathrm { ~ d ~ o ~ w ~ n ~ s ~ c ~ a ~ l ~ e ~ } } ( q _ { \mathrm { ~ h ~ r ~ } } ) \approx S _ { \mathrm { ~ l ~ r ~ } } \qquad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \qquad D \circ f _ { \theta } ^ { \mathrm { ~ a ~ c ~ r ~ o ~ s ~ s ~ } } \circ D ^ { + } ( q _ { \mathrm { ~ l ~ r ~ } } ) \approx S _ { \mathrm { ~ l ~ r ~ } } .
\langle n _ { i } | \hat { a } _ { i } = \sqrt { n _ { i } + 1 } \langle n _ { i } + 1 | \; \; \; \; , \; \; \; \; \langle n _ { i } | \hat { a } _ { i } ^ { + } = \sqrt { n _ { i } } \langle n _ { i } - 1 |
\frac { \Omega _ { e q } } { n } = \frac { 1 + \frac { 1 5 } { 2 } e ^ { 2 } + \frac { 4 5 } { 8 } e ^ { 4 } + \frac { 5 } { 1 6 } e ^ { 6 } } { \left( 1 + 3 e ^ { 2 } + \frac { 3 } { 8 } e ^ { 4 } \right) \big ( 1 - e ^ { 2 } \big ) ^ { 3 / 2 } } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ^ { p } ( \Omega ) \ } & { \mathrm { i s \ t h e \ c o m p l e t i o n \ o f } \ \left\{ u \in \mathcal C _ { c } ^ { \infty } ( \Omega ) : \Vert u \Vert _ { p } ^ { p } : = \int _ { \Omega } \lvert u \rvert ^ { p } d x < \infty \right\} , } \\ { \mathcal { L } ^ { p } ( \Omega , g ) \ } & { \mathrm { i s \ t h e \ c o m p l e t i o n \ o f } \ \left\{ u \in \mathcal C _ { c } ^ { \infty } ( \Omega ) : \Vert u \Vert _ { p , g } ^ { p } : = \int _ { \Omega } \left\lvert u \right\rvert ^ { p } d \mathrm { V o l } _ { g } < \infty \right\} , } \\ { \mathcal { L } ^ { p } ( M , g ) \ } & { \mathrm { i s \ t h e \ c o m p l e t i o n \ o f } \ \left\{ u \in \mathcal C ^ { \infty } ( M ) : \Vert u \Vert _ { p , g } ^ { p } : = \int _ { M } \left\lvert u \right\rvert ^ { p } d \mathrm { V o l } _ { g } < \infty \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { v _ { \theta , i = 1 } } & { = } & { \frac { 2 r \Omega _ { 1 } \Delta x + ( 4 v _ { \theta , i = 2 } - v _ { \theta , i = 3 } ) b ^ { i n } } { 2 \Delta x + 3 b ^ { i n } } , } \\ { v _ { \theta , i = N } } & { = } & { \frac { 2 r \Omega _ { 2 } \Delta x + ( 4 v _ { \theta , i = N - 1 } - v _ { \theta , i = N - 2 } ) b ^ { o u t } } { 2 \Delta x + 3 b ^ { o u t } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ u _ { 2 } ^ { \prime } \ell , u _ { 2 } , g _ { 2 } ] \odot [ u _ { 1 } ^ { \prime } k , u _ { 1 } ; g _ { 1 } ] } & { = [ u _ { 1 } ^ { \prime } k u _ { 2 } ^ { \prime } \ell , u _ { 1 } u _ { 2 } ; g _ { 1 } g _ { 2 } ] = [ u _ { 1 } ^ { \prime } u _ { 2 } ^ { \prime } \sigma _ { 2 } ^ { \prime } ( k ) \ell , u _ { 1 } u _ { 2 } ; g _ { 1 } g _ { 2 } ] } \\ & { = [ u _ { 1 } ^ { \prime } u _ { 2 } ^ { \prime } \ell \sigma _ { 2 } ( k ) , u _ { 1 } u _ { 2 } ; g _ { 1 } g _ { 2 } ] } \end{array}
\varepsilon _ { p } = \kappa _ { T } N _ { 0 } ^ { 2 } \left( | \nabla z _ { r } | ^ { 2 } - \frac { \partial z _ { r } } { \partial z } \right) \left( \frac { R _ { \rho } - \tau } { R _ { \rho } - 1 } \right) = \kappa _ { T } N _ { 0 } ^ { 2 } { \cal F } \left( \frac { R _ { \rho } - \tau } { R _ { \rho } - 1 } \right) .
\begin{array} { r } { \big ( ( q _ { 0 } < \dots < q _ { m } ; t _ { 0 } , \dots , t _ { m } ) \cdot ( \overline { { q _ { 0 } } } < \dots < \overline { { q _ { k } } } ; \overline { { t } } _ { 0 } , \dots , \overline { { t } } _ { k } ) \big ) = } \\ { = ( q _ { 0 } \cdot \overline { { q _ { 0 } } } < \dots < q _ { 0 } \cdot \overline { { q _ { k } } } < \dots < q _ { m } \cdot \overline { { q _ { 0 } } } \dots < q _ { m } \cdot \overline { { q _ { k } } } ; t _ { 0 } \cdot \overline { { t } } , \dots , t _ { m } \cdot \overline { { t } } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle t \rangle ^ { 3 } \| \partial _ { v } P _ { 0 } ( \Pi \Upsilon _ { 1 } ) \| _ { \mathcal { G } ^ { s , \sigma - 6 } } \lesssim \| \mathcal { M } _ { 0 0 } \partial _ { v } P _ { 0 } ( \Pi \Upsilon _ { 1 } ) \| _ { L ^ { 2 } } . } \end{array}
{ \frac { \partial L } { \partial x } } = - { \frac { \partial V } { \partial x } } \, , \quad { \frac { \partial L } { \partial { \dot { x } } } } = m { \dot { x } } \, , \quad { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } } \left( { \frac { \partial L } { \partial { \dot { x } } } } \right) = m { \ddot { x } } \, ,
\begin{array} { r l } & { \tau _ { r } \frac { d u _ { k j i } } { d t } = - u _ { k j i } + c _ { k j i } \sum _ { l = 1 } ^ { N } w _ { l k i } ( u _ { l k i } - \alpha ) ^ { + } + b _ { k j i } ( u _ { 0 0 k } - \alpha ) ^ { + } + U _ { k j i } = } \\ & { = - d _ { k j i } u _ { k j i } + c _ { k j i } \sum _ { l = 1 } ^ { N } w _ { l k i } a ( u _ { l k i } ) + b _ { k j i } a ( u _ { 0 0 k } ) + U _ { k j i } } \end{array}
\psi _ { a , b ; \mathscr { n } } ( x ) = e ^ { - | x | } J _ { \alpha _ { a , b } } \! \left( k _ { a , b ; \mathscr { n } } e ^ { - | x | } \right) \quad , \quad \mathscr { n } \in \mathbb { Z } _ { + } ^ { * } \quad , \quad \omega _ { a , b } \geq - \frac { 1 } { 4 } \; .
\begin{array} { r } { \psi _ { \mathrm { c r i t } } / ( 2 \pi ) = \left( 0 . 2 6 \pm 0 . 0 2 \right) + \left( 0 . 8 6 \pm 0 . 0 4 \right) \times \theta _ { \mathrm { E } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta I _ { j } } & { { } = \frac { ( - 1 ) ^ { j + 1 } } { \Sigma } \iiint _ { V _ { j } } \mathrm { d } \Sigma \mathrm { d } z ~ \nabla \phi _ { j } \cdot \nabla ( \delta \phi _ { j } ) - \frac { 1 } { \Sigma } \iint \mathrm { d } \Sigma ~ \frac { 1 } { | \nabla \Gamma | } \frac { \partial \xi } { \partial t } \left. \delta \phi _ { j } \right| _ { z = \xi } } \end{array}
{ \mathbb E } \Big [ \# \big \{ z \in \mathcal { L } _ { r } : \, \sigma ( \mathcal { D } ^ { \infty } ( z ) ) > 0 \big \} \Big ] \geq \frac { { \mathbb E } \Big [ \sum _ { z \in \mathcal { L } _ { r } } \sigma ( \mathcal { D } ^ { \infty } ( z ) ) \Big ] ^ { 2 } } { { \mathbb E } \Big [ \sum _ { z \in \mathcal { L } _ { r } } \sigma ( \mathcal { D } ^ { \infty } ( z ) ) ^ { 2 } \Big ] } .
\left( \begin{array} { c } { { t ^ { \prime } } } \\ { { z ^ { \prime } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { - \frac { 2 \lambda } { \sqrt { \mu } } } } \\ { { \frac { \sqrt { \mu } } { 2 \lambda } } } & { { \frac { 2 \lambda } { \sqrt { \mu } } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { t } } \\ { { z } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \hat { H } } & { = \hat { \Gamma } ^ { \dag } U \left( \sigma _ { z } \otimes I _ { 2 N } \right) U ^ { \dag } \hat { \Gamma } } \\ & { = 2 \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( \hat { \tilde { c } } _ { i \uparrow } ^ { \dag } \hat { \tilde { c } } _ { i \uparrow } + \hat { \tilde { c } } _ { i \downarrow } ^ { \dag } \hat { \tilde { c } } _ { i \downarrow } - 1 \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { u } _ { 0 } d _ { 1 } + \mathbf { u } _ { 1 } d _ { \Gamma } + \mathbf { u } _ { \frac { 1 } { 2 } } d _ { \frac { 1 } { 2 } } + \mathbf { W } ^ { 0 } | _ { \rho = + \infty } = \mathbf { v } _ { 1 } ^ { + } - \mathbf { v } _ { 1 } ^ { - } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| u _ { * , \bot } ^ { \top } U _ { 0 } \| _ { 2 } \leq } & { ~ \| u _ { * , \bot } ^ { \top } U _ { \tau } \| _ { 2 } \| \Lambda \| } \\ { \leq } & { ~ 3 \sqrt { k } \epsilon \cdot \| \Lambda \| } \\ { \leq } & { ~ 3 \sqrt { k } \epsilon \cdot 2 } \\ { = } & { ~ 6 \sqrt { k } \epsilon } \\ { \leq } & { ~ \frac { 1 } { 1 0 } , } \end{array}
\forall \mathbf { u } \in \mathbb { R } ^ { n } , \mathbf { u } ^ { T } \left( \mathbf { X } + \mathbf { Y } \right) \mathbf { u } = \mathbf { u } ^ { T } \mathbf { X } \mathbf { u } + \mathbf { u } ^ { T } \mathbf { Y } \mathbf { u } \geq 0
\begin{array} { r l r } { h _ { \mathrm { p } } } & { { } : = } & { \left( \begin{array} { c c } { P _ { \Lambda _ { l } } } & { 0 } \\ { 0 } & { P _ { \Lambda _ { l } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { - \mu _ { \mathrm { p } , 0 } \mathbf { 1 } } & { - \gamma \mathbf { 1 } } \\ { - \gamma \mathbf { 1 } } & { - \epsilon _ { \mathrm { p } } \Delta - \mu _ { \mathrm { p } , 1 } \mathbf { 1 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { P _ { \Lambda _ { l } } } & { 0 } \\ { 0 } & { P _ { \Lambda _ { l } } } \end{array} \right) } \\ { h _ { \mathrm { r - p } } } & { { } : = } & { \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { P _ { \{ - l - 1 , - l , l , l + 1 \} } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 2 \vartheta \mathbf { 1 } - \vartheta \Delta } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { P _ { \{ - l - 1 , - l , l , l + 1 \} } } \end{array} \right) } \\ { h _ { \mathrm { r } } } & { { } : = } & { \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { P _ { \Lambda _ { L } \backslash \Lambda _ { l } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - \epsilon _ { \mathrm { r } } \Delta - \mu _ { \mathrm { r } } \mathbf { 1 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { P _ { \Lambda _ { L } \backslash \Lambda _ { l } } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { u } ^ { t + 1 } - \mathbf { u } ^ { t } } & { = \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in [ m ] } ( \mathbf { x } _ { i , K } ^ { t } - \mathbf { x } _ { i , K } ^ { t - 1 } ) } \\ & { = \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in [ m ] } ( \mathbf { x } _ { i , K } ^ { t } - \mathbf { x } _ { i , 0 } ^ { t } - \lambda \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t - 1 } ) } \\ & { = \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in [ m ] } ( - \lambda \gamma \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \frac { \gamma _ { k } } { \gamma } \tilde { \mathbf { g } } _ { i , k } ^ { t } + \lambda \gamma \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t } - \lambda \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t - 1 } ) } \\ & { = - \lambda \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in [ m ] } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \frac { \gamma _ { k } } { \gamma } \left( \gamma \tilde { \mathbf { g } } _ { i , k } ^ { t } + ( 1 - \gamma ) \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t - 1 } \right) . } \end{array}
\Delta G _ { b } ( \boldsymbol { \mathbf { r } } - \boldsymbol { \mathbf { r } } ^ { \prime } , \omega ) + k _ { b } ^ { 2 } G _ { b } ( \boldsymbol { \mathbf { r } } - \boldsymbol { \mathbf { r } } ^ { \prime } , \omega ) = - \delta ( \boldsymbol { \mathbf { r } } - \boldsymbol { \mathbf { r } } ^ { \prime } ) .
- \frac { 6 } { R _ { p } } \int _ { r = R _ { p } } n _ { a \alpha } ( { \pmb x } ) d S ( { \pmb x } ) = 2 f ^ { n } \int _ { r = R _ { p } } n _ { a \alpha } ( \pmb x ) d S ( { \pmb x } ) + f ^ { t } \int _ { r = R _ { p } } ( \delta _ { a \alpha } - n _ { a \alpha } ( \pmb x ) ) d S ( { \pmb x } )
\mathcal { M } _ { R } = \frac { \partial ( L _ { 0 } , \ell _ { 0 } , L _ { 2 } , \ell _ { 2 } ) ^ { R } | _ { \mathcal { S } ^ { M } } } { \partial ( L _ { 0 } , \ell _ { 0 } , L _ { 2 } , \ell _ { 2 } ) ^ { L } | _ { \mathcal { S } ^ { M } } } = O \left[ \begin{array} { c c c c } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { \frac { 1 } { \chi ^ { 3 } } } & { \beta } & { \frac { 1 } { \beta ^ { 2 } \chi } } \\ { \chi } & { \frac { 1 } { \chi ^ { 2 } } } & { \beta \chi } & { \beta ^ { - 2 } } \end{array} \right] .
\mathbb { E } _ { { x } \sim { P } ( x ) } \left[ \mathbb { E } _ { z \sim P ( z \mid x ) } [ - \ln Q ( x \mid z ) ] \right] \sim \frac { 1 } { d } \sum _ { k = 1 } ^ { d } { \| x - \hat { x } \| } ^ { 2 }
F _ { 2 } ^ { \Theta } \, = \, - \frac { 4 \pi m _ { 1 } ^ { 2 } } { \Gamma _ { 1 1 } ^ { 2 } \hat { m } _ { 3 } \hat { m } _ { 7 } } \frac { \sin \frac { \pi } { 5 } } { \sin \frac { 2 \pi } { 5 } } \frac { \left( 2 \cos \frac { 2 \pi } { 5 } + 2 + \hat { m } _ { 3 } \hat { m } _ { 7 } \right) \, \left[ G _ { \frac { 2 } { 3 } } G _ { \frac { 2 } { 5 } } G _ { \frac { 1 } { 1 5 } } \left( \frac { 2 \pi i } { 5 } \right) \right] \left( \cos \frac { \pi } { 3 } \, \cos \frac { \pi } { 3 0 } \, \cos \frac { \pi } { 5 } \right) ^ { 2 } } { \sin \frac { 2 \pi } { 5 } \, \sin \frac { 8 \pi } { 1 5 } \, \sin \frac { \pi } { 6 } \, \sin \frac { 7 \pi } { 3 0 } }
s ( \phi _ { i } ) = - \frac { 1 } { 2 } \int _ { | p | \le k _ { c } } \frac { d p } { 2 \pi } \frac { \xi _ { i } ^ { - 2 } - p ^ { 2 } } { p ^ { 2 } + \xi _ { i } ^ { - 2 } }
M _ { Z } ^ { 2 } = { \frac { \pi \alpha } { \sqrt { 2 } G _ { \mu } \sin ^ { 2 } ( \theta ) \cos ^ { 2 } ( \theta ) } } \left\{ 1 - \delta _ { \alpha } + \delta _ { \mu } + { \frac { 2 s _ { 2 } ^ { 2 } - 1 } { s _ { 2 } ^ { 2 } } } \delta _ { W } + { \frac { 1 - s _ { 2 } ^ { 2 } } { s _ { 2 } ^ { 2 } } } \delta _ { Z } \right\} ,
\operatorname* { l i m } _ { \substack { t \to \infty \, \varepsilon \to 0 } } \overline { t } ^ { 1 / 2 } \operatorname* { m a x } _ { \substack { | x | \le R \, | x - y | \le e ^ { - t } + 2 \varepsilon } } { \ensuremath { \mathbb E } } \left[ \Big | e ^ { Z _ { 1 } ( x ) - \frac { { \ensuremath { \mathbb E } } [ Z _ { 1 } ^ { 2 } ( x ) ] } { 2 } } - e ^ { Z _ { 3 } ( x , y ) - \frac { { \ensuremath { \mathbb E } } [ Z _ { 3 } ^ { 2 } ( x , y ) ] } { 2 } } \Big | \mathbf { 1 } _ { { \ensuremath { \mathcal A } } _ { q , R } } \right] = 0 .