harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { A _ { p } } & { = \{ a \in ( \mathbf { O } _ { g } / p ) ^ { \times } \, \mid \, \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } x \in Z _ { g } ( \mathbf { O } _ { g } / p ) , \mathrm { ~ \mathcal { F } _ p ~ i s ~ l i s s e ~ a t ~ a x ~ } \} , } \\ { B _ { p } } & { = \{ a \in \mathbf { O } _ { g } / p \, \mid \, \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } x \in Z _ { g } ( \mathbf { O } _ { g } / p ) , \mathrm { ~ \mathcal { F } _ p ~ i s ~ l i s s e ~ a t ~ a + x ~ } \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } [ C _ { n - 1 } ] } & { \geq \mathcal { L } [ C _ { n } ] + \nabla \mathcal { L } [ C _ { n } ] ( C _ { n - 1 } - C _ { n } ) + \frac { \lambda } { 2 } \| C _ { n - 1 } - C _ { n } \| ^ { 2 } } \\ & { = \mathcal { L } [ C _ { n } ] + \tau ( \frac { \tau \lambda } { 2 } + 1 ) \| \nabla \mathcal { L } [ C _ { n } ] \| ^ { 2 } \, . } \end{array}
S ^ { \mp , a , p } ( x , x ^ { \prime } ) = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \, d z \, \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \, \frac { d p _ { 3 } } { 2 \pi } \, e ^ { - i p _ { 3 } y ^ { 3 } } S _ { Q } ^ { \mp , a , p } \; , \quad y _ { \mu } = x _ { \mu } - x _ { \mu } ^ { \prime } \; ,
S _ { p h } ( z ) = \iint _ { S } \frac { I ( { { \bf r } ^ { \prime } } ) f ( | z { \bf e } _ { z } - { \bf r ^ { \prime } } | ) } { 4 \pi | z { \bf e } _ { z } - { \bf r ^ { \prime } } | ^ { 2 } } d ^ { 2 } r ^ { \prime } ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { H } ( \tilde { A } _ { { { \tilde { X } } } , \tilde { W } , \tilde { Z } , N } | \tilde { A } _ { { { \tilde { X } } } } ) } & { = \mathbb { E } _ { \tilde { X } } [ \mathcal { H } ( \tilde { A } _ { { { \tilde { X } } } , \tilde { W } , \tilde { Z } , N } | \tilde { A } _ { { { \tilde { X } } } } = \tilde { a } _ { \tilde { X } } ] } \\ & { = \log _ { 2 } \pi e + \frac { 1 } { 2 } \log _ { 2 } \left( { \sum _ { k = 1 } ^ { K } B _ { k } ^ { 2 } \sigma _ { \textrm { A } } ^ { 2 } + C ^ { 2 } \sigma _ { \textrm { c o v } } ^ { 2 } } \right) } \\ & { \, \, + \frac { 1 } { 2 } \log _ { 2 } \left( { { \sum _ { k = 1 } ^ { K } \bigg ( \frac { B _ { k } } { \sqrt { 1 + A ^ { 2 } } } + \frac { B _ { k } ^ { \prime } A } { \sqrt { 1 + A ^ { 2 } } } \bigg ) ^ { 2 } } \sigma _ { \textrm { A } } ^ { 2 } + C ^ { 2 } \sigma _ { \textrm { c o v } } ^ { 2 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tau ^ { ( n + 1 ) } ( i , j ) } & { = } \\ { \frac { 1 } { \Omega ( i , j ) } } & { \left[ 1 + W ^ { + 0 } ( i , j ) \thinspace \tau ^ { ( n ) } \left( i + 1 , j \right) + \thinspace W ^ { 0 + } \thinspace ( i , j ) \thinspace \tau ^ { ( n ) } \left( i , j + 1 \right) + W ^ { - 0 } \thinspace ( i , j ) \thinspace \tau ^ { ( n ) } \left( i - 1 , j \right) + W ^ { 0 - } \thinspace ( i , j ) \thinspace \tau ^ { ( n ) } ( i , j - 1 ) \right] , } \\ { i } & { = 0 , 1 , \dots , N q ; \thinspace j = 0 , 1 , \dots , N ( 1 - q ) , } \end{array}
G _ { 0 } ^ { - 1 } ( \vec { p } ) \; = \; \frac { E _ { p } ^ { 3 } } { m ^ { 2 } } \; \frac { \displaystyle \frac { s } { 4 } - E _ { p } ^ { 2 } + i \epsilon } { 2 E _ { p } ^ { 2 } - \displaystyle \frac { s } { 4 } } \; .
\begin{array} { l c l } { { { \mathcal L } ^ { \frac { 1 } { 3 } } } } & { { = } } & { { \Sigma _ { i = - 1 } b _ { i + 1 } \star p ^ { - i } } } \\ { { } } & { { = } } & { { { \Sigma } _ { i = - 1 } a _ { i + 1 } p ^ { - i } } } \end{array}
\ln ( \Omega ) = N \cdot \ln ( N ) - N - \sum _ { j = 1 } ^ { n } \bigg [ g _ { j } \frac { N } { Z } e ^ { \beta E _ { j } } \cdot \ln \big ( g _ { j } \frac { N } { Z } \big ) \bigg ] - \beta \sum _ { j = 1 } ^ { n } \bigg [ g _ { j } \frac { N } { Z } e ^ { \beta E _ { j } } \cdot E _ { j } ) \bigg ] + \sum _ { j = 1 } ^ { n } \bigg [ g _ { j } \frac { N } { Z } e ^ { \beta E _ { j } } \bigg ] + \sum _ { j = 1 } ^ { n } \bigg [ \ln ( g _ { j } ) \cdot g _ { j } \frac { N } { Z } e ^ { \beta E _ { j } } \bigg ]
\hat { \delta } _ { V } ( z - z ^ { \prime } ) = \int d k \Theta ( \Lambda - | k | ) \xi _ { V } ^ { * } ( k , z ^ { \prime } ) \xi _ { V } ( k , z ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \Lambda } ^ { \Lambda } d k e ^ { i k ( z - z ^ { \prime } ) } = \frac { 1 } { \pi } \frac { \sin [ \Lambda ( z - z ^ { \prime } ) ] } { ( z - z ^ { \prime } ) }
\begin{array} { r } { \tilde { \ell } _ { 2 } ( \boldsymbol { v } ) = \tilde { \ell } _ { 2 } ( \Pi _ { h } \boldsymbol { v } ) + \tilde { \ell } _ { 2 } ( \boldsymbol { v } - \Pi _ { h } \boldsymbol { v } ) = \tilde { \ell } _ { 2 } ( \Pi _ { h } \boldsymbol { v } ) + \tilde { \ell } _ { 2 } ( \nabla \varphi ) + \tilde { \ell } _ { 2 } ( \boldsymbol { z } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pi ( A _ { t } ( x _ { t } ) ) } & { \geq C _ { 2 } ( \theta + o ( 1 ) ) x _ { t } t ^ { - \delta / \alpha - \delta ( \alpha + \delta ) } \int _ { x _ { t } } ^ { \infty } z ^ { - ( 2 + \alpha + \delta ) } \mathrm { d } u } \\ & { \geq C _ { 3 } t ^ { - \delta / \alpha - \delta ( \alpha + \delta ) } x _ { t } ^ { - ( \alpha + \delta ) } , } \end{array}
\left( \xi _ { 0 } \partial _ { \xi _ { 0 } } + \beta _ { g } ^ { \xi _ { 0 } } g \partial _ { g } - 2 \beta _ { g } ^ { \xi _ { 0 } } \right) ( 1 + \tilde { \Pi } ( p ^ { 2 } , \kappa ^ { 2 } , \xi _ { o } ) ) = 0
\begin{array} { r } { \mu _ { \alpha } ( F ) = \frac { \sin ( \pi \alpha ) } { \pi \alpha } \frac { \left( \gamma _ { \mathrm { r } } \cosh \left[ q F b / ( 2 k _ { \mathrm { B } } T ) \right] \right) ^ { \alpha } b \operatorname { t a n h } [ q F b / ( 2 k _ { \mathrm { B } } T ) ] } { q F } , } \end{array}
\begin{array} { r } { K _ { G } ( \alpha , \beta ) = \frac { \Gamma ( | \alpha _ { C _ { 0 } } | + \beta ) \prod _ { C \in \mathcal { C } _ { G ^ { \prime } } ^ { + } } \Gamma ( | \alpha _ { C } | + \beta ) } { \Gamma ( \beta ) ^ { m ^ { \prime } } \prod _ { i \in V } \Gamma ( \alpha _ { i } ) \Gamma ( | \alpha _ { \mathfrak { p a } ( i _ { 0 } ) } | + \beta ) \prod _ { S \in \mathcal { S } _ { G ^ { \prime } } ^ { - } } \Gamma ( | \alpha _ { S } | + \beta ) } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { - ( d _ { 1 } + q _ { 1 } ) + d _ { 1 } \frac { u _ { 2 } ^ { * } } { u _ { 1 } ^ { * } } + r _ { 1 } \left( 1 - \frac { u _ { 1 } ^ { * } } { k _ { 1 } } \right) = 0 , } \\ { ( d _ { 1 } + q _ { 1 } ) \left( \frac { u _ { 1 } ^ { * } } { u _ { 2 } ^ { * } } - 1 \right) - d _ { 1 } \left( 1 - \frac { u _ { 3 } ^ { * } } { u _ { 2 } ^ { * } } \right) + r _ { 2 } \left( 1 - \frac { u _ { 2 } ^ { * } } { k _ { 2 } } \right) = 0 , } \\ { ( d _ { 1 } + q _ { 1 } ) \frac { u _ { 2 } ^ { * } } { u _ { 3 } ^ { * } } - d _ { 1 } + r _ { 3 } \left( 1 - \frac { u _ { 3 } ^ { * } } { k _ { 3 } } \right) = 0 . } \end{array} \right.
{ \left. \tilde { T } \right| _ { \tilde { t } = 0 } } = 1 , ~ ~ { \left. \tilde { T } \right| _ { \tilde { x } = 0 } } = 1 , ~ ~ { \left. { \frac { { \partial \tilde { T } } } { { \partial \tilde { x } } } } \right| _ { \tilde { x } = 1 } } = 0 .
\begin{array} { r l r } { U ( \vec { x } ) } & { { } = } & { \frac { G M } { r } \Big \{ 1 - \sum _ { \ell = 2 } ^ { \infty } J _ { \ell } \Big ( \frac { R } { r } \Big ) ^ { \ell } P _ { \ell } \Big ( \frac { { \vec { k } } _ { 3 } \cdot { \vec { x } } } { r } \Big ) \Big \} + { \cal O } ( c ^ { - 4 } ) , } \end{array}
f _ { 1 } ( n ) = { \frac { 1 } { 2 n } } , \ f _ { 2 } ( n ) = { \frac { n / 2 } { n ^ { 2 } + 1 } } , \ f _ { 3 } ( n ) = { \frac { ( n / 2 ) ^ { 2 } + 1 } { ( n ^ { 2 } + 5 ) n / 2 } } .
\begin{array} { r l } { \phi _ { S , j } ^ { d e t } ( f ) } & { { } = 2 \pi \nu _ { S } \int _ { t _ { j } - T _ { p } / 2 } ^ { t _ { j } + T _ { p } / 2 } g ( t ) \cos ( 2 \pi f t + \theta ) d t } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { { t ^ { \prime } } } \\ { { x ^ { \prime } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { r l } { { a } } & { { b } } \\ { { c } } & { { d } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { t } } \\ { { x } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l r } & { } & { { \mathbb { P } } ( n ^ { 1 / 2 } | \hat { { \boldsymbol \theta } } _ { n } - { \boldsymbol \theta } | _ { \infty } > q _ { 1 - \alpha } ^ { B } ) } \\ & { \leq } & { { \mathbb { P } } ( n ^ { 1 / 2 } | \hat { { \boldsymbol \theta } } _ { n } - { \boldsymbol \theta } | _ { \infty } > q _ { 1 - \alpha - 3 \beta _ { n , p } } ) + { \mathbb { P } } ( q _ { 1 - \alpha } ^ { B } \leq q _ { 1 - \alpha - 3 \beta _ { n , p } } ) } \\ & { \leq } & { \alpha + 3 \beta _ { n , p } + o ( 1 ) } \end{array}
\frac { s _ { i } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } } { s _ { i } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } } > \frac { \xi _ { k } ^ { \mathrm { ~ u ~ } } \; s ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } , k } } { \xi _ { k } ^ { \mathrm { ~ d ~ } } \; s ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } , k } } \qquad
= { \hat { a } } _ { j } ^ { \dagger } { \hat { a } } _ { l } ^ { \dagger } \, { \hat { a } } _ { i } { \hat { a } } _ { k } + \delta _ { i l } { \hat { a } } _ { j } ^ { \dagger } \, { \hat { a } } _ { k } + \delta _ { k l } { \hat { a } } _ { j } ^ { \dagger } \, { \hat { a } } _ { i } + \delta _ { i j } { \hat { a } } _ { l } ^ { \dagger } { \hat { a } } _ { k } + \delta _ { i j } \delta _ { k l }
\begin{array} { r l r l r l } { { 3 } \zeta _ { i } ^ { n } ( t ) } & { = \frac { 1 } { \sqrt { n } } \left( \lambda _ { i } ^ { n } ( t ) - n \lambda _ { i } ^ { * } \right) , } & & { \quad i = 1 , \dots , I , } & & { \quad t \ge 0 , } \\ { \kappa _ { j } ^ { n } ( t ) } & { = \frac { 1 } { \sqrt { n } } \left( \mu _ { j } ^ { n } ( t ) - n \mu _ { j } ^ { * } \right) , } & & { \quad j = 1 , \dots , J , } & & { \quad t \ge 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \psi ( e _ { i + 8 } ) \psi ( e _ { i + 8 } ) = \psi ( e _ { i + 8 } ^ { 2 } ) = - 1 , } \\ { \psi ( e _ { i + 8 } ) \psi ( e _ { j + 8 } ) = - \psi ( e _ { i + 8 } ) \psi ( e _ { j + 8 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathbb { I } \left\{ { \check { z } _ { i } \neq z _ { i } ^ { * } } \right\} } } & { \geq { \mathbb { I } \left\{ { \sum _ { j : z _ { j } ^ { * } = 1 } ( A _ { i j } - \mathbb { E } A _ { i j } ) - \sum _ { j \neq i : z _ { j } ^ { * } = 2 } ( A _ { i j } - \mathbb { E } A _ { i j } ) \geq \frac { p - q } { 2 } n + X - p } \right\} } } \\ & { = { \mathbb { I } \left\{ { \sum _ { j : z _ { j } ^ { * } = 1 } ( A _ { i j } - \mathbb { E } A _ { i j } ) - \sum _ { j \neq i : z _ { j } ^ { * } = 2 } ( A _ { i j } - \mathbb { E } A _ { i j } ) - ( X - p ) \geq \frac { p - q } { 2 } n } \right\} } . } \end{array}
( m _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ e ~ r ~ } } , m _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ r ~ a ~ } } ) = ( 0 . 2 0 , 0 . 8 0 ) , ( 0 . 2 2 , 0 . 7 8 ) \dots , ( 0 . 5 0 , 0 . 5 0 )
\begin{array} { r l } & { \lambda _ { i } ^ { - 1 } = \frac { 1 } { 2 } \left( d ( \textbf { R } _ { i - 1 } , \textbf { R } _ { i } ) + d ( \textbf { R } _ { i } , \textbf { R } _ { i + 1 } \right) ) } \\ & { \lambda _ { 0 } ^ { - 1 } = d ( \textbf { R } _ { 0 } , \textbf { R } _ { 1 } ) ; ~ \lambda _ { L - 1 } ^ { - 1 } = d ( \textbf { R } _ { L - 2 } , \textbf { R } _ { L - 1 } ) . } \end{array}
( T + V _ { \textrm { C o u l o m b } } ) \, \widetilde \psi _ { n } + \langle \widetilde \psi _ { n } | \Sigma | \widetilde \psi _ { n } \rangle \widetilde \psi _ { n } = \widetilde { E } _ { n } \, \widetilde \psi _ { n }
\mathrm { \mathop { V a r } } [ \hat { P } _ { \mathrm { c o n v } } ( y ) \mid \theta _ { t } ] = \frac { 1 } { n _ { \mathrm { e x p } } } \left( P ( y \mid \theta _ { t } ) - P ( y \mid \theta _ { t } ) ^ { 2 } \right) ,
{ \boldsymbol { F } } ( { \boldsymbol { r } } ) = { \frac { q } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } \int \mathrm { d } q ^ { \prime } { \frac { { \boldsymbol { r } } - { \boldsymbol { r ^ { \prime } } } } { | { \boldsymbol { r } } - { \boldsymbol { r ^ { \prime } } } | ^ { 3 } } } .
\begin{array} { r l } { | \nabla ^ { 2 } \mathcal { N } - \nabla ^ { 2 } \phi | ^ { 2 } } & { \leq \left( | | \nabla \mathcal { N } | | ^ { \frac { a } { 2 } } + | | \nabla \phi | | ^ { \frac { b } { 2 } } \right) ^ { 2 } | | \nabla \mathcal { N } - \nabla \phi | | ^ { 2 } } \\ & { \leq \left( | | \nabla \mathcal { N } | | ^ { a } + | | \nabla \phi | | ^ { b } + 2 | | \nabla \mathcal { N } | | ^ { \frac { a } { 2 } } | | \nabla \phi | | ^ { \frac { b } { 2 } } \right) | | \nabla \mathcal { N } - \nabla \phi | | ^ { 2 } } \\ & { \leq 2 \left( | | \nabla \mathcal { N } | | ^ { a } + | | \nabla \phi | | ^ { b } \right) | | \nabla \mathcal { N } - \nabla \phi | | ^ { 2 } } \end{array}
i \frac { \partial } { \partial t } \phi _ { v } ( \vec { r ^ { \prime } } , t ) = \left[ - \frac { { \nabla } _ { r ^ { \prime } } ^ { 2 } } { 2 m } - \frac { m } { 2 } \left( \frac { \ddot { a } } { a } \right) { \vec { r ^ { \prime } } } ^ { 2 } \right] \ \phi _ { v } ( \vec { r ^ { \prime } } , t ) .
\frac { \lambda _ { 2 } } { \lambda _ { 1 } } = \frac { \left( \mathrm { M a } _ { 2 } ^ { 2 } \gamma _ { 2 } \right) / 2 + \gamma _ { 2 } / \left( \gamma _ { 2 } - 1 \right) } { \left( \mathrm { M a } _ { 1 } ^ { 2 } \gamma _ { 1 } \right) / 2 + \gamma _ { 1 } / \left( \gamma _ { 1 } - 1 \right) } ,
\left\{ \begin{array} { l l l } { \operatorname* { m i n } } & { - ( x _ { 3 } - x _ { 1 } ) ( x _ { 4 } - x _ { 2 } ) } \\ { \mathit { s . t . } } & { g ( x , u ) = \cos ( u _ { 1 } ) \sin ( u _ { 2 } ) - \frac { u _ { 1 } } { u _ { 2 } ^ { 2 } + 1 } - \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \alpha _ { i } u _ { i } ( 1 - u _ { i } ) \geq 0 \quad \forall u \in U ( x ) , } \\ & { x \in X , } \end{array} \right.
H _ { c } ^ { r } \, = \, \int \left[ ( \pi _ { a } \pi _ { a } ) ( \phi ^ { b } \phi ^ { b } ) \, - \, ( \phi ^ { a } \pi _ { a } ) ( \phi ^ { b } \pi _ { b } ) \, - \, \phi ^ { a } \partial _ { i } \partial _ { i } \phi ^ { a } { \frac { 1 } { \phi ^ { b } \phi ^ { b } } } \right] d x \, .
\begin{array} { r l } & { \sum _ { t = 1 } ^ { T ^ { \star } } e _ { i h } ^ { t } \geq \sum _ { t = 1 } ^ { T ^ { \star } } e _ { i ( h + 1 ) } ^ { t } , \, \mathrm { { i f } } \, H _ { \operatorname* { m a x } , i } > 1 , } \\ & { \quad \quad \quad \quad \forall { \, h = 1 \sim ( H _ { \operatorname* { m a x } , i } - 1 ) , ~ T ^ { \star } = 1 \sim M } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { E ^ { ' } } } & { = \mathbf { E } } \\ { \mathbf { D ^ { ' } } } & { = \mathbf { D } } \\ { \mathbf { \rho _ { f } ^ { ' } } } & { = \mathbf { \rho _ { f } } } \\ { \mathbf { P ^ { ' } } } & { = \mathbf { P } } \\ { \mathbf { H ^ { ' } } } & { = \mathbf { H } - v ^ { \mathbf { r } } \times \mathbf { D } } \\ { \mathbf { J _ { f } ^ { ' } } } & { = \mathbf { J _ { f } } - \rho _ { \mathbf { f } } v ^ { \mathbf { r } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { a _ { \theta _ { 1 } } ( \theta , U _ { i } ) a _ { \theta _ { 2 } } ( \theta , U _ { n } ) - a _ { \theta _ { 1 } } ( \theta , U _ { n } ) a _ { \theta _ { 2 } } ( \theta , U _ { i } ) } & { = \frac { a _ { U } ( \theta , U _ { i } ) } { C _ { 2 } ( \theta ) D _ { 2 } ( U _ { i } ) } A ( \theta , U _ { n } ) C _ { 1 } ( \theta ) D _ { 1 } ( U _ { i } , U _ { n } ) } \\ & { = a _ { U } ( \theta , U _ { i } ) A ( \theta , U _ { n } ) C ( \theta ) D ( U _ { i } , U _ { n } ) } \end{array}
\rho \left( \mathbf { x } , 0 \right) = 1 , \qquad \mathbf { u } \left( \mathbf { x } , 0 \right) = 0 , \qquad p \left( \mathbf { x } , 0 \right) = 1 0 ^ { 5 } + y g _ { 2 } , \qquad T \left( \mathbf { x } , 0 \right) = \left\lbrace \begin{array} { l r } { T _ { 0 } + 0 . 5 e ^ { - \frac { 1 } { 0 . 0 8 } r ^ { 2 } } } & { \mathrm { i f } \; r ^ { 2 } \le 0 . 2 , } \\ { T _ { 0 } } & { \mathrm { o t h e r w i s e } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { R _ { u } ( \lambda x + ( 1 - \lambda ) y ) } & { = \lambda x + ( 1 - \lambda ) y - 2 \langle \lambda x + ( 1 - \lambda ) y , u \rangle u } \\ & { = \lambda ( x - 2 \langle x , u \rangle u ) + ( 1 - \lambda ) ( y - 2 \langle y , u \rangle ) } \\ & { = \lambda R _ { u } ( x ) + ( 1 - \lambda ) R _ { u } ( y ) . } \end{array}
\vec { \phi } ( \tau , x ) = \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \left( f ^ { ( \perp ) } ( \tau , x ) \right) ^ { 2 } } } \left( \begin{array} { c } { { \sin f ^ { ( \parallel ) } ( \tau , x ) } } \\ { { f ^ { ( \perp ) } ( \tau , x ) } } \\ { { \cos f ^ { ( \parallel ) } ( \tau , x ) } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \hat { H } - \hat { H } _ { \nu } = \hat { H } ^ { \prime } = } & { { } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left[ \frac { \hat { P } _ { j } ^ { 2 } } { 2 M } + V ( \hat { R _ { j } } ) \right] + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \mathbf { k } } \left[ \hat { p } _ { \mathrm { \mathbf { k } } } ^ { 2 } + \omega _ { \mathbf { k } } ^ { 2 } \left( \hat { q } _ { \mathrm { \mathbf { k } } } + \frac { \lambda _ { \mathrm { c } } } { \omega _ { \mathbf { k } } } \hat { \mathcal { S } } \right) ^ { 2 } \right] + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \mathbf { k } , \zeta } \left[ \hat { \tilde { p } } _ { \mathbf { k } , \zeta } ^ { 2 } + \tilde { \omega } _ { \mathbf { k } , \zeta } ^ { 2 } \left( \hat { \tilde { x } } _ { \mathbf { k } , \zeta } - \frac { \tilde { c } _ { \mathbf { k } , \zeta } } { \tilde { \omega } _ { \mathbf { k } , \zeta } ^ { 2 } } \hat { q } _ { \mathrm { \mathbf { k } } } \right) ^ { 2 } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { Y ( \lambda , x ) } & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { - 1 } \end{array} \right) \lambda ^ { - \frac { \sigma _ { 3 } } { 4 } } \Psi ( \lambda , x ) \mathrm { e } ^ { - \theta _ { 0 } ( \lambda , x ) \sigma _ { 3 } } } \\ & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { - 1 } \end{array} \right) \lambda ^ { - \frac { \sigma _ { 3 } } { 4 } } | x | ^ { \frac { \sigma _ { 3 } } { 8 } } \Phi ( \lambda | x | ^ { - 1 / 2 } , x ) \mathrm { e } ^ { - | x | ^ { 5 / 4 } \theta ( \lambda | x | ^ { - 1 / 2 } ) \sigma _ { 3 } } } \\ & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { - 1 } \end{array} \right) \lambda ^ { - \frac { \sigma _ { 3 } } { 4 } } | x | ^ { \frac { \sigma _ { 3 } } { 8 } } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { \widetilde { \Phi } _ { 1 1 } ^ { ( 1 ) } ( x ) | x | ^ { - 1 / 4 } } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) S ( \lambda | x | ^ { - 1 / 2 } , x ) } \\ & { \times \mathrm { e } ^ { | x | ^ { 5 / 4 } \left( g ( \lambda | x | ^ { - 1 / 2 } ) - \theta ( \lambda | x | ^ { - 1 / 2 } ) \right) \sigma _ { 3 } } } \\ & { = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { - 1 } \end{array} \right) \lambda ^ { - \frac { \sigma _ { 3 } } { 4 } } | x | ^ { \frac { \sigma _ { 3 } } { 8 } } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { \widetilde { \Phi } _ { 1 1 } ^ { ( 1 ) } ( x ) | x | ^ { - 1 / 4 } } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) R ( \lambda | x | ^ { - 1 / 2 } , x ) P ^ { ( \infty ) } ( \lambda | x | ^ { - 1 / 2 } ) } \\ & { \times \mathrm { e } ^ { | x | ^ { 5 / 4 } \left( g ( \lambda | x | ^ { - 1 / 2 } ) - \theta ( \lambda | x | ^ { - 1 / 2 } ) \right) \sigma _ { 3 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad { \tilde { \cal O } } \left( \left( \frac { \sqrt { \lambda + \kappa } } { \sqrt { \lambda } } \left( \frac { 1 } { \delta } + m + \frac { a _ { 3 } } { \lambda + \kappa } + \frac { b _ { 3 } } { \sqrt { \lambda + \kappa } } \right) r _ { Q } + \frac { \sqrt { \lambda + \kappa } } { \sqrt { \lambda } } U _ { d } \right) \log \frac { 1 } { \epsilon } \right) } \\ & { = { \tilde { \cal O } } \left( \frac { r _ { Q } } { \sqrt { \lambda } } \log \frac { 1 } { \epsilon } \left( \left( \frac { 1 + \delta m } { \delta } + \frac { U _ { d } } { r _ { Q } } \right) \sqrt { \lambda + \kappa } + \frac { a _ { 3 } } { \sqrt { \lambda + \kappa } } + b _ { 3 } \right) \right) . } \end{array}
\| w _ { n } \| _ { L ^ { \infty } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \Omega ) ) } + \| w _ { n } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; H _ { \sharp } ^ { 1 } ( \Omega ) ) } + \| \partial _ { t } w _ { n } \| _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ; H _ { \sharp } ^ { - 1 } ( \Omega ) ) } \leq C _ { \Vec { B } , J } ( \| w _ { 0 } \| _ { 2 } + \| v _ { 0 } \| _ { 2 } + \| F \| _ { \infty } \sqrt { T } ) ,
\int _ { 1 } ^ { \rho } \frac { ( s ^ { 2 } - 1 ) ^ { n } } { s ^ { 2 } } d s = \int _ { 0 } ^ { \rho - 1 } \frac { ( y ^ { 2 } + 2 y ) ^ { n } } { ( y + 1 ) ^ { 2 } } d y = \frac { 2 ^ { n } ( \rho - 1 ) ^ { n + 1 } } { n + 1 } \, \mathrm { { A p p e l l } } F _ { 1 } [ n + 1 , 2 , - n , n + 2 , 1 - \rho , \frac { 1 - \rho } { 2 } ]
\begin{array} { r l } { \left| \iint _ { \mathbb { R } ^ { m } \times \{ y | \| y \| \geq r _ { y } \} } ( \hat { p } _ { t } - p _ { t } ) ( x ) f ( x , y ) q ( y ) d y d x \right| \leq } & { 2 \exp { \left( \frac { 2 C _ { 2 } } { \lambda _ { 2 } } \right) } \mathbb { P } [ \| \hat { y } \| ^ { 2 } \geq r _ { y } ^ { 2 } ] } \\ { \leq } & { 2 \exp { \left( \frac { 2 C _ { 2 } } { \lambda _ { 2 } } \right) } \exp { \left( - \frac { \lambda _ { 1 } r _ { y } ^ { 2 } } { 1 0 \lambda _ { 2 } } \right) } , } \end{array}
G _ { j } ( r , t ^ { \prime } ) = - ( \mu _ { 0 } c / 4 \pi ) \big [ \ddot { d } _ { j } ( t ^ { \prime } ) / ( r c ) + \dot { d } _ { j } ( t ^ { \prime } ) / { r ^ { 2 } } + d _ { j } ( t ^ { \prime } ) c / { r ^ { 3 } } \big ]
V _ { x ^ { - } , x ^ { + } } ^ { r , s } \left( g \right) = e ^ { i \left( s - i / 2 \right) \phi } f _ { r , s } \left( e ^ { \phi } \left( x ^ { + } - \gamma ^ { + } \right) \left( x ^ { - } + \gamma ^ { - } \right) \right) .
\begin{array} { r l } { \mathrm { P r } _ { + } } & { = N _ { - } \left( 1 - p \right) \, \frac { 4 \prod _ { i = 0 } ^ { 2 } \left( N _ { + } - i \right) } { \prod _ { i = 0 } ^ { 3 } \left( N - i \right) } + \frac { 2 \, N _ { - } \, p } { N } , } \\ { \mathrm { P r } _ { - } } & { = N _ { + } \left( 1 - p \right) \frac { 4 \prod _ { i = 0 } ^ { 2 } \left( N _ { - } - i \right) } { \prod _ { i = 0 } ^ { 3 } \left( N - i \right) } + \frac { 2 \, N _ { + } \, p } { N } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { i } ( A ) } & { { } = \operatorname* { m i n } _ { \dim ( U ) = n - i + 1 } \operatorname* { m a x } _ { \underset { \| x \| _ { 2 } = 1 } { x \in U } } \left\| A x \right\| _ { 2 } . } \\ { \sigma _ { i } ( A ) } & { { } = \operatorname* { m a x } _ { \dim ( U ) = i } \operatorname* { m i n } _ { \underset { \| x \| _ { 2 } = 1 } { x \in U } } \left\| A x \right\| _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left( \begin{array} { c } { T ^ { \mathcal { T } } \left( \begin{array} { c c c } { A ^ { N - 1 } B } & { \cdots } & { B } \end{array} \right) } \\ { T ^ { \mathcal { T } } \Theta \left( \begin{array} { c c c } { A ^ { N - 1 } B } & { \cdots } & { B } \end{array} \right) } \end{array} \right) U } \\ & { + \left( \begin{array} { c } { T ^ { \mathcal { T } } A ^ { N } } \\ { T ^ { \mathcal { T } } \Theta A ^ { N } } \end{array} \right) x ( 0 ) \leq 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Theta \Big ( \mathbf { C } _ { n } , \mathbf { C } _ { n ^ { \prime } } \Big ) ( \tau ) } \\ & { = \! \! \Theta \Big ( \psi _ { \gamma } ( S _ { n } ) , \psi _ { \gamma } ( S _ { n ^ { \prime } } ) \Big ) \! ( \tau \! - \! \gamma ) \! - \! \Theta \! \Big ( \psi _ { \gamma } ( S _ { n } ) , \! \psi _ { \gamma } ( S _ { n ^ { \prime } } ) \Big ) \! ( \tau - \gamma ) } \\ & { - \Theta \Big ( \psi _ { \gamma } ( S _ { n } ) , \psi _ { \gamma } ( S _ { n ^ { \prime } } ) \Big ) ( 2 \gamma - \tau ) . } \end{array}
F _ { \nu } ^ { \mathrm { a c c } } = \frac { 2 \pi \nu ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } k _ { \mathrm { B } } T _ { \mathrm { ~ U ~ } } \left[ 1 - \frac { ( k _ { \mathrm { B } } T _ { \mathrm { ~ U ~ } } ) ^ { 2 } } { 2 m c ^ { 2 } h \nu } \right] \sim \frac { h a \nu ^ { 2 } } { 2 \pi c ^ { 3 } } \left( 1 - \frac { k _ { \mathrm { B } } T _ { \mathrm { ~ U ~ } } } { 2 m c ^ { 2 } } \right) ,
\begin{array} { r } { ( y _ { h } , \nabla _ { \! h } v _ { h } ) _ { \Omega } = 0 \quad \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } v _ { h } \in \mathcal { S } _ { D } ^ { 1 , \textit { \textrm { c r } } } ( \mathcal { T } _ { h } ) \qquad \Rightarrow \qquad y _ { h } \in \mathcal { R } T _ { N } ^ { 0 } ( \mathcal { T } _ { h } ) \cap \mathcal { L } ^ { 0 } ( \mathcal { T } _ { h } ) ^ { d } \, . } \end{array}
\sum _ { i = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { i ^ { 2 } } } = { \frac { 1 } { 1 ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { 2 ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { 3 ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { 4 ^ { 2 } } } + \cdots = { \frac { \pi ^ { 2 } } { 6 } }