harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\pi ( x ) \propto \exp \left[ - \frac { x ^ { \intercal } C ^ { - 1 } x } { 2 } \right] , \; x \in \mathbb { R } ^ { n } , \; x _ { i } \in \left\{ \begin{array} { l l } { ( 0 , 1 0 ) } & { \forall \; i \; \mathrm { ~ o ~ d ~ d ~ } } \\ { ( - 1 0 , 1 0 ) } & { \forall \; i \; \mathrm { ~ e ~ v ~ e ~ n ~ } } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r l r } { \textbf { ( n o S V ) } : \sigma _ { r } \left( t , x _ { t } , y _ { t } \right) } & { = } & { h ( \delta ) \left[ a ( t ) f ( t , t + \delta ) + b ( t ) \right] , } \\ { \textbf { ( S V ) } : \sigma _ { r } \left( t , x _ { t } , y _ { t } \right) } & { = } & { \sqrt { z _ { t } } h ( \delta ) \left[ a ( t ) f ( t , t + \delta ) + b ( t ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\| ( \mathcal { M } _ { 4 } + \mathcal { M } _ { 5 } ) ( - \partial _ { z } ^ { 2 } - ( \partial _ { v } - t \partial _ { z } ) ^ { 2 } ) ^ { - \frac 1 2 } P _ { \neq } \Big ( \mathcal { S } _ { 2 } [ \Pi ] + \mathcal { S } _ { a } [ \Pi ] \Big ) \right\| _ { 2 } . } \end{array}
\overline { { Q } } = \left[ \overline { { \rho } } \quad \overline { { \rho } } \tilde { u } \quad \overline { { \rho } } \tilde { v } \quad \overline { { \rho } } \tilde { w } \quad \check { e } \right] ^ { T } \quad \mathrm { ~ . ~ }
\Delta \mathbf { E } _ { j } = \mathbf { E } _ { j } ^ { + } - \mathbf { E } _ { j } = - 4 \pi c _ { j } \frac { q } { V _ { g } } \int _ { t } ^ { t + \Delta t } \frac { c \vec { p } ( \tau ) } { \sqrt { 1 + p ^ { 2 } ( \tau ) } } d \tau = c _ { j } \Delta \mathbf { E } ,
L _ { i n t e r a c t i o n } = \mid F _ { i m } \mid ^ { 2 } + h _ { i m } ^ { \ast } [ ( X ^ { 4 } ) ^ { 2 } + ( X ^ { 5 } ) ^ { 2 } ] _ { m n } h _ { i n } + D _ { i j m n } h _ { i m } ^ { \ast } h _ { j n } + f e r m i o n s
\alpha _ { \mathrm { G } } = \bigg \langle \frac { R _ { i } } { R _ { i } ^ { \mathrm { r e f } } } \Big / \frac { G _ { i } } { G _ { i } ^ { \mathrm { r e f } } } \bigg \rangle ^ { \mathrm { D , B - c e l l s } }
\alpha ( \vec { x } ^ { ( j ) } ) = \frac { j - 1 } { \sum _ { k = 1 } ^ { j - 1 } \left\{ \frac { 1 } { 2 } [ 1 - \vec { x } ^ { ( j ) } \cdot \vec { x } ^ { ( k ) } / ( | \vec { x } ^ { ( j ) } | | \vec { x } ^ { ( k ) } | ) ] \right\} ^ { - 1 } } ,
Q \left( \vec { \alpha } \right) = \left\lbrace \begin{array} { l l } { 1 } & { \left( P \left( \vec { \alpha } \right) \ast P \left( \vec { \alpha } \right) \neq 0 \right) } \\ { 0 } & { ( P \left( \vec { \alpha } \right) \ast P \left( \vec { \alpha } \right) = 0 ) } \end{array} \right. ,
E _ { \mathrm { ~ d ~ i ~ p ~ } } ^ { ( + ) } ( z ) = - \frac { 3 \pi \Gamma _ { 0 } } { k _ { 0 } d } \sum _ { j } G ( z \hat { e } _ { z } - \mathbf { r } _ { j } ) \beta _ { j } = - \frac { 3 \pi \Gamma _ { 0 } } { k _ { 0 } d \mathcal { N } } \sum _ { \mathbf { q } } \left[ \widetilde { G } ^ { L } ( \mathbf q ; z ) \beta _ { \mathbf q } ^ { L } + \widetilde { G } ^ { R } ( \mathbf q ; z ) \beta _ { \mathbf q } ^ { R } \right] ,
\begin{array} { r l } { [ } & { x _ { i _ { 1 } } ^ { { ( L ) } ^ { * } } z _ { i _ { 1 } } ^ { { ( L ) } ^ { * } } x _ { i _ { 2 } } ^ { { ( L ) } ^ { * } } z _ { i _ { 2 } } ^ { { ( L ) } ^ { * } } \mathellipsis x _ { i _ { 2 ^ { d L } } } ^ { { ( L ) } ^ { * } } z _ { i _ { 2 ^ { d L } } } ^ { { ( L ) } ^ { * } } } \\ & { x _ { i _ { 1 } } ^ { { ( L - 1 ) } ^ { * } } z _ { i _ { 1 } } ^ { { ( L - 1 ) } ^ { * } } x _ { i _ { 2 } } ^ { { ( L - 1 ) } ^ { * } } z _ { i _ { 2 } } ^ { { ( L - 1 ) } ^ { * } } \mathellipsis x _ { i _ { 2 ^ { d ( L - 1 ) } } } ^ { { ( L - 1 ) } ^ { * } } z _ { i _ { 2 ^ { d ( L - 1 ) } } } ^ { { ( L - 1 ) } ^ { * } } } \\ & { \mathellipsis } \\ & { x _ { i _ { 1 } } ^ { { ( 2 ) } ^ { * } } z _ { i _ { 1 } } ^ { { ( 2 ) } ^ { * } } x _ { i _ { 2 } } ^ { { ( 2 ) } ^ { * } } z _ { i _ { 2 } } ^ { { ( 2 ) } ^ { * } } \mathellipsis x _ { i _ { 2 ^ { 2 d } } } ^ { { ( 2 ) } ^ { * } } z _ { i _ { 2 ^ { 2 d } } } ^ { { ( 2 ) } ^ { * } } } \\ & { x _ { i _ { 1 } } ^ { { ( 1 ) } ^ { * } } x _ { i _ { 2 } } ^ { { ( 1 ) } ^ { * } } \mathellipsis x _ { i _ { 2 ^ { d } } } ^ { { ( 1 ) } ^ { * } } ] ^ { * } . } \end{array}
\vec { q } _ { m } ^ { \prime } = \left( \begin{array} { l } { \sin ( \psi ) \sin ( \theta ) \cos ( \varphi ) } \\ { \sin ( \psi ) \sin ( \theta ) \sin ( \varphi ) } \\ { \sin ( \psi ) \cos ( \theta ) } \\ { \cos ( \psi ) } \end{array} \right)
\mathcal { G } _ { \mu \nu } = \eta _ { M N } \partial _ { \mu } X ^ { M } \partial _ { \nu } X ^ { N } - 2 \eta _ { M N } \partial _ { \mu } X ^ { M } \overline { { { \theta } } } \Gamma ^ { N } \partial _ { \nu } \theta + \eta _ { M N } ( \overline { { { \theta } } } \Gamma ^ { M } \partial _ { \mu } \theta ) ( \overline { { { \theta } } } \Gamma ^ { N } \partial _ { \nu } \theta )
\textnormal { F F B o u n d a r y t e r m } = - \int _ { \cal M } d ^ { d } x \partial _ { 0 } \sqrt g \left( \frac { 1 } { d _ { f } ! } F ^ { 0 \mu _ { 2 } . . . \mu _ { d _ { f } } } A _ { \mu _ { 2 } . . . \mu _ { d _ { f } } } \right) .
\begin{array} { r l r } { \ensuremath { \mathbf { n } } _ { 2 } ^ { \ensuremath { \mathrm { e l } } / \ensuremath { \mathrm { v p } } } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } & { = } & { \ensuremath { \mathbf { n } } _ { 1 } ^ { \ensuremath { \mathrm { e l } } } ( x _ { 1 } , x _ { 1 } ) \otimes \ensuremath { \mathbf { n } } _ { 1 } ^ { \ensuremath { \mathrm { v p } } } ( x _ { 2 } , x _ { 2 } ) } \\ & { } & { - \ensuremath { \mathbf { X } } \; \left( \ensuremath { \mathbf { n } } _ { 1 } ^ { \ensuremath { \mathrm { e l } } } ( x _ { 2 } , x _ { 1 } ) \otimes \ensuremath { \mathbf { n } } _ { 1 } ^ { \ensuremath { \mathrm { v p } } } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \dot { v } _ { m , n } } & { { } = } & { - g \left( v _ { m , n + 1 } + v _ { m , n - 1 } \right) - \kappa \left( e ^ { - i n \phi } v _ { m - 1 , n } + e ^ { i n \phi } v _ { m + 1 , n } \right) - 2 g v _ { m , n } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { n R \overset { ( a ) } { \leq } I ( M ; Y _ { 1 } ^ { n } | S _ { 1 } ^ { n } ) + n \epsilon _ { n } } \\ & { \leq \sum _ { i = 1 } ^ { n } \big ( H ( Y _ { 1 , i } | S _ { 1 , i } ) - H ( Y _ { 1 , i } | Y _ { 1 } ^ { i - 1 } , S _ { 1 } ^ { n } , M , X _ { i } ) + \epsilon _ { n } \big ) } \\ & { \overset { ( b ) } { = } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \big ( H ( Y _ { 1 , i } | S _ { 1 , i } ) - H ( Y _ { 1 , i } | S _ { 1 , i } , X _ { i } ) + \epsilon _ { n } \big ) } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( I ( X _ { i } ; Y _ { 1 , i } | S _ { 1 , i } ) + \epsilon _ { n } ) } \end{array}
\frac { f _ { \pi } ^ { 2 } ( T ) } { f _ { \pi } ^ { 2 } ( 0 ) } \simeq \frac { < \bar { q } q > _ { T } } { < \bar { q } q > } \simeq \frac { s _ { 0 } ( T ) } { s _ { 0 } ( 0 ) } .
\begin{array} { r l } { h _ { \tau } ( t + ( 2 - r ) \tau , t ) } & { = t ^ { \frac { 1 } { 2 - r } } ( t + ( 2 - r ) \tau ) ^ { \frac { 1 - r } { 2 - r } } - t - ( 2 - r ) \tau + \tau } \\ & { \geq t ^ { \frac { 1 } { 2 - r } } \big ( t ^ { \frac { 1 - r } { 2 - r } } + ( 1 - r ) \tau t ^ { - \frac { 1 } { 2 - r } } \big ) - t + ( r - 1 ) \tau = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \phi + a \partial _ { x } u } & { { } = A _ { 1 1 } ^ { c } \partial _ { x x } \phi + A _ { 1 2 } ^ { c } \partial _ { x x } u } \\ { \partial _ { t } u + a \partial _ { x } \phi + u \partial _ { x } u } & { { } = A _ { 2 1 } ^ { c } \partial _ { x x } \phi + A _ { 2 2 } ^ { c } \partial _ { x x } u } \end{array}
\mathbf { D } = \left[ \begin{array} { l l l } { \parallel \mathbf { h } _ { 1 } \parallel } & { \hdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { \hdots } & { \parallel \mathbf { h } _ { P } \parallel } \end{array} \right]
q ( t ) = q _ { \mathrm { { c o n v } } } ( t ) + q _ { \mathrm { { c o n d } } } ( t ) = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \left( v T - \frac { 1 } { \sqrt { R a P r } } \frac { \partial T } { \partial y } \right) \ \mathrm { { d } x . }
\begin{array} { r l } { m ( t _ { n } ) } & { { } = a _ { n } \sigma ( t _ { n } ) + a _ { n - 1 } \sigma ( t _ { n - 1 } ) + \cdots + a _ { n , n } \sigma ( t _ { n } ) \sigma ( t _ { n } ) + a _ { n , n - 1 } \sigma ( t _ { n } ) \sigma ( t _ { n - 1 } ) + \cdots . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { D } } & { { } = { } \rho v _ { 0 } \left( 1 - E \right) { v _ { n } } { S _ { p } } + \frac { 1 } { v _ { 0 } } \left( p _ { 0 } - p _ { I I I } \right) \frac { { v _ { n } } } { E } { S _ { p } } . } \end{array}
\sigma _ { \, i j } ^ { \, 2 } = \delta _ { \, i j } \, \sigma _ { \, i } ^ { \, e x p } \sigma _ { \, j } ^ { \, e x p } + \delta _ { \, i j } \sum _ { k } R _ { \, k i } ^ { \, t h r } R _ { \, k j } ^ { \, t h r } \, ( \Delta \ln C _ { \, k i } ) ^ { \, 2 } + \sum _ { m n } R _ { \, m i } ^ { \, t h r } \, R _ { \, n j } ^ { \, t h r } \sum _ { k } \alpha _ { \, m k } \, \alpha _ { \, n k } \, ( \Delta \ln X _ { \, k } ) ^ { \, 2 } \ .
\begin{array} { r l } { \int ( s g ^ { * } + t m ^ { * } + 1 ) ^ { - 2 } \mathrm { d } H ( s , t ) } & { \geq \int _ { R _ { n _ { k } } } ( s g ^ { * } + t m ^ { * } + 1 ) ^ { - 2 } \mathrm { d } H ( u , t ) } \\ & { \geq H ( R _ { n _ { k } } ) M ^ { 2 } 2 ^ { 2 n _ { k } } } \\ & { \geq 2 ^ { k } 4 ^ { - n _ { k } } \alpha M ^ { 2 } 2 ^ { 2 n _ { k } } } \\ & { \geq M ^ { 2 } \alpha 2 ^ { k } \to \infty . } \end{array}
X ( \mathbf { \Sigma } ) \xrightarrow [ \cong ] { \Psi _ { w } ^ { * } } \overline { { \mathcal { R } } } _ { \operatorname { S L } _ { 2 } } ( \mathbf { \Sigma } ) \xrightarrow [ \cong ] { \varphi _ { \Gamma } } ( \operatorname { S L } _ { 2 } ( \mathbb { C } ) ) ^ { 2 g - 2 + n } \times ( \operatorname { S L } _ { 2 } ^ { 1 } ) ^ { | \mathcal { A } | } .
\begin{array} { r l r } { \mathrm { ~ R ~ e ~ } { \left\{ \sigma _ { y y } ( \Omega ) \right\} } } & { { } = } & { - \frac { 4 \hbar v _ { F } ^ { 2 } \sigma _ { 0 } } { g \Omega } \sum _ { \eta _ { 1 } , \eta _ { 2 } = \pm } \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \frac { d \phi } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } d K \, \left\{ f ^ { \mathrm { e q } } \left( g + K \left[ \sin { ( \phi ) } + \eta _ { 1 } \right] \right) - f ^ { \mathrm { e q } } \left( g + K \left[ \sin { ( \phi ) } + \eta _ { 1 } \right] - \hbar \Omega \right) \right\} } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { p ( y _ { 0 } , \cdots , y _ { k } ) } & { = \int p ( y _ { 0 } , \cdots , y _ { k } | x _ { 0 } , \cdots , x _ { k } ) p ( x _ { 0 } , \cdots , x _ { k } ) d x _ { 0 } \cdots d x _ { k } } \\ { p ( y _ { 0 } , \cdots , y _ { k } | x _ { 0 } , \cdots , x _ { k } ) } & { = \prod _ { l = 0 } ^ { k } p ( y _ { l } | x _ { l } ) } \\ { p ( x _ { 0 } , \cdots , x _ { k } ) } & { = p _ { 0 } ( x _ { 0 } ) \prod _ { l = 1 } ^ { k } p ( x _ { l } | x _ { l - 1 } ) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { R _ { m , n } ^ { \kappa , \rho } ( | z | ^ { 2 } ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { z ^ { n - m } R _ { m } ^ { \kappa , \rho , m , n } ( | z | ^ { 2 } ) , } & { m \leq n } \\ { \overline { { z } } ^ { m - n } R _ { n } ^ { \kappa , \rho , m , n } ( | z | ^ { 2 } ) , } & { m \geq n } \end{array} \right. = z ^ { n - m \wedge n } \overline { { z } } ^ { m - m \wedge n } R _ { m \wedge n } ^ { \kappa , \rho , m , n } ( | z | ^ { 2 } ) . } \end{array}
\frac { \partial ^ { 2 } } { \partial p ^ { j } \partial p ^ { k } } T _ { a } ( p ) \: \frac { q ^ { j } } { 2 } \frac { q ^ { k } } { 2 } \; = \; - \frac { \partial } { \partial p ^ { j } } \left( ( p q ) \: T _ { a } ^ { ( 1 ) } ( p ) \right) \frac { q ^ { j } } { 2 } \; = \; ( p q ) ^ { 2 } \: T _ { a } ^ { ( 2 ) } ( p ) \: - \: \frac { q ^ { 2 } } { 2 } \: T _ { a } ^ { ( 1 ) } ( p ) \; \; \; .
\begin{array} { r l } { \hat { Z } = } & { \underset { Z } { \arg \operatorname* { m a x } } ~ \langle Z , T _ { 1 } B + T _ { 2 } A \rangle } \\ & { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } \quad Z \succeq 0 } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad Z _ { i i } = 1 , \quad i \in [ n ] } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \langle Z , \mathbf { J } \rangle = 0 . } \end{array}
E _ { N N } ^ { j } ( t ) = x _ { j } ( t ) - \boldsymbol { \mathcal { X } } _ { \boldsymbol { \theta } _ { 2 } ^ { \ast } } ^ { j } ( \boldsymbol { y } ( t ) , \boldsymbol { \mathcal { Z } } _ { \boldsymbol { \theta } _ { 1 } ^ { \ast } } ( \boldsymbol { y } ( t ) ) ) ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { m } _ { i , t + 1 } } & { = \mathbf { m } _ { i , t } + \eta _ { t } \mathrm { E } _ { \mathbf { m } _ { j , t } \sim q _ { t } } [ \nabla _ { \mathbf { m } _ { j , t } } \log \pi ( \mathbf { m } _ { j , t } ) k ( \mathbf { m } _ { j , t } , \mathbf { m } _ { i , t } ) + \nabla _ { \mathbf { m } _ { j , t } } k ( \mathbf { m } _ { j , t } , \mathbf { m } _ { i , t } ) ] } \\ & { = \mathbf { m } _ { i , t } + \frac { \eta _ { t } } { N } \sum _ { j = 1 } ^ { N } [ \nabla _ { \mathbf { m } _ { j , t } } \log \pi ( \mathbf { m } _ { j , t } ) k ( \mathbf { m } _ { j , t } , \mathbf { m } _ { i , t } ) + \nabla _ { \mathbf { m } _ { j , t } } k ( \mathbf { m } _ { j , t } , \mathbf { m } _ { i , t } ) ] } \\ & { = \mathbf { m } _ { i , t } + \eta _ { t } \phi _ { t } ^ { \ast } ( \mathbf { m } _ { i , t } ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { s _ { k } } & { = 6 s _ { k - 1 } - s _ { k - 2 } , } & { { \mathrm { w i t h ~ } } s _ { 0 } } & { = 0 { \mathrm { ~ a n d ~ } } s _ { 1 } = 1 ; } \\ { t _ { k } } & { = 6 t _ { k - 1 } - t _ { k - 2 } + 2 , } & { { \mathrm { w i t h ~ } } t _ { 0 } } & { = 0 { \mathrm { ~ a n d ~ } } t _ { 1 } = 1 . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathcal E ( \mathrm { T a m } _ { n } ) } & { = \mathbb E ( N ) } \\ & { = \mathbb P ( A _ { \zeta } \cap A ^ { \prime } ) \mathbb E ( N \mid A _ { \zeta } \cap A ^ { \prime } ) + \mathbb P ( \neg A ^ { \prime } ) \mathbb E ( N \mid \neg A ^ { \prime } ) + \mathbb P ( A ^ { \prime } \setminus A _ { \zeta } ) \mathbb E ( N \mid A ^ { \prime } \setminus A _ { \zeta } ) } \\ & { \leq \mathbb P ( A _ { \zeta } \cap A ^ { \prime } ) ( \zeta n / p + o ( n ) ) + O ( n ^ { 2 } e ^ { - p \sqrt { n } / 3 } ) + \mathbb P ( A ^ { \prime } \setminus A _ { \zeta } ) ( n / p + o ( n ) ) } \\ & { = \mathbb P ( A _ { \zeta } \cap A ^ { \prime } ) \zeta n / p + \mathbb P ( A ^ { \prime } \setminus A _ { \zeta } ) n / p + o ( n ) } \\ & { \leq \mathbb P ( A _ { \zeta } ) \zeta n / p + ( 1 - \mathbb P ( A _ { \zeta } ) ) n / p + o ( n ) } \\ & { = \zeta n / p + ( 1 - \mathbb P ( A _ { \zeta } ) ) ( 1 - \zeta ) n / p + o ( n ) } \\ & { \leq \zeta n / p + \left( \frac { 1 - \zeta } { \zeta } ( \overline { \rho } _ { p } + o ( 1 ) ) \right) ( 1 - \zeta ) n / p + o ( n ) } \\ & { = \frac { 1 } { p } \left( \zeta + \frac { ( 1 - \zeta ) ^ { 2 } } { \zeta } \overline { \rho } _ { p } \right) n + o ( n ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \| \Delta u \| ^ { 2 } + \| p \| _ { 1 } ^ { 2 } + \| \nabla \Delta \varphi \| ^ { 2 } \leq c ( \| u _ { t } \| _ { L _ { \varrho ( \varphi ) } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \| \nabla \varphi _ { t } \| ^ { 2 } + \| \nabla \varphi \| ^ { 2 } ) + C ( 1 + \mathcal { E } _ { 0 } ^ { 2 } ( t ) ) \mathcal { E } _ { 0 } ( t ) \mathcal { D } _ { 0 } ( t ) \, . } \end{array}
V _ { v , v ^ { \prime } } + W _ { v , v ^ { \prime } } = \frac { 1 } { 2 } M \left( \omega _ { r } ^ { 2 } + \Omega _ { v , v ^ { \prime } } ^ { 2 } \right) \left( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right) + \frac { 1 } { 2 } M \omega _ { z } ^ { 2 } z ^ { 2 } - U _ { v , v ^ { \prime } } .
\begin{array} { r l r l } { \sum _ { k } \Psi _ { k } } & { \le \sum _ { k } \frac { 4 \varepsilon ^ { 2 } } { d } + 2 5 6 \frac { \varepsilon ^ { 3 } } { d ^ { 2 } } \sqrt { k } + 3 2 \frac { \varepsilon ^ { 2 } \sqrt { k } } { d \sqrt { d } } \sqrt { \Psi _ { k } } } \\ & { \le 4 \frac { N \varepsilon ^ { 2 } } { d } + 2 5 6 \frac { N \varepsilon ^ { 3 } } { d ^ { 2 } } \sqrt { N } + 3 2 \sum _ { k } \frac { \varepsilon ^ { 2 } \sqrt { k } } { d \sqrt { d } } \sqrt { \Psi _ { k } } } \\ & { \le 4 \frac { N \varepsilon ^ { 2 } } { \sqrt { c ^ { \prime } } d ^ { 2 } } \sqrt { \sum _ { k \le N } \Psi _ { k } } + 2 5 6 \frac { N \varepsilon ^ { 2 } } { d ^ { 2 } } \sqrt { c d ^ { 5 / 2 } } + 3 2 \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { d \sqrt { d } } \sqrt { \sum _ { k } k } \sqrt { \sum _ { k } \Psi _ { k } } } & & { ( \mathrm { C a u c h y - S c h w a r t z } ) } \\ & { \le \left( \frac { 8 } { \sqrt { c ^ { \prime } d } } + \frac { 5 1 2 } { \sqrt { c ^ { \prime } } d ^ { 1 / 4 } } + 3 2 \right) \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { d \sqrt { d } } \sqrt { \sum _ { k } k } \sqrt { \sum _ { k } \Psi _ { k } } } \\ & { \le C ^ { \prime } \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { d \sqrt { d } } N \sqrt { \sum _ { k } \Psi _ { k } } } \end{array}
0 . 0 2 5 \leq - \langle { 0 } | { \frac { \beta ( \alpha _ { s } ) } { 4 \alpha _ { s } } } G _ { \mu \nu } ^ { a } G _ { \mu \nu } ^ { a } | { 0 } \rangle \leq 0 . 0 3 3 \ ( G e V ^ { 4 } ) ,
\Delta \Sigma ^ { \prime } = \Delta \Sigma - \frac { \delta a _ { 8 } } { 4 } \left( 1 - { \cal O } ( 2 ) \left( \frac { \alpha _ { s } ( Q ^ { 2 } ) } { \pi } \right) ^ { 2 } \right) \approx \Delta \Sigma - \frac { \delta a _ { 8 } } { 4 } .
\frac { 1 } { p ^ { 2 } + i \varepsilon } \rightarrow - \frac { 1 } { \vec { p } ^ { 2 } + \xi ^ { 2 } } , \frac { 1 } { D _ { \Delta } ( p ) } \rightarrow - \frac { \vec { p } ^ { 2 } + \xi ^ { 2 } + M ^ { 2 } - m _ { p } ^ { 2 } + 2 i m _ { p } \xi } { ( \vec { p } ^ { 2 } + \xi ^ { 2 } + M ^ { 2 } - m _ { p } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + 4 m _ { p } ^ { 2 } \xi ^ { 2 } } .
\left[ \phi ( t , \, z ) , \dot { \phi } ( t , \, z ^ { \prime } ) \right] = i \delta ( z - z ^ { \prime } ) \, , \quad \left\{ \psi _ { \alpha } ( t , \, z ) , \bar { \psi } _ { \beta } ( t , \, z ^ { \prime } ) \right\} = \left( \gamma ^ { 0 } \right) _ { \alpha \beta } \delta ( z - z ^ { \prime } )
\begin{array} { r l } { I ^ { ( 1 ) } } & { { } = \int d ^ { D } k \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x d y d r d s d u d v } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { f } ( \boldsymbol { u } ) } & { = } & { x ^ { s \lfloor \frac { m } { 2 } \rfloor } \left[ 1 + \sum _ { i = 1 } ^ { s } \sum _ { \boldsymbol { v } \in D _ { i } } \chi ( \boldsymbol { u } \cdot \boldsymbol { v } ) \left( \frac { y } { x } \right) ^ { ( s - i ) \lfloor \frac { m } { 2 } \rfloor + w _ { ( L , \pi ) } ( \boldsymbol { v _ { i } } ) } \right] } \\ & { = } & { x ^ { s \lfloor \frac { m } { 2 } \rfloor } \left[ 1 + \sum _ { i = 1 } ^ { s } \sum _ { j = 1 } ^ { \lfloor \frac { m } { 2 } \rfloor } \sum _ { \boldsymbol { v } \in E _ { i j } } \left( \frac { y } { x } \right) ^ { ( s - i ) \lfloor \frac { m } { 2 } \rfloor + j } \chi ( \boldsymbol { u _ { i } } \cdot \boldsymbol { v _ { i } } + \cdots + \boldsymbol { u _ { s } } \cdot \boldsymbol { v _ { s } } ) \right] } \\ & { = } & { x ^ { s \lfloor \frac { m } { 2 } \rfloor } \left[ 1 + \sum _ { i = 1 } ^ { s } \sum _ { j = 1 } ^ { \lfloor \frac { m } { 2 } \rfloor } \left( \frac { y } { x } \right) ^ { ( s - i ) \lfloor \frac { m } { 2 } \rfloor + j } \sum _ { \boldsymbol { v } \in E _ { i j } } \chi ( \boldsymbol { u _ { i } } \cdot \boldsymbol { v _ { i } } + \cdots + \boldsymbol { u _ { s } } \cdot \boldsymbol { v _ { s } } ) \right] } \\ & { = } & { x ^ { s \lfloor \frac { m } { 2 } \rfloor } \left[ 1 + \sum _ { i = 1 } ^ { s } \sum _ { j = 1 } ^ { \lfloor \frac { m } { 2 } \rfloor } \left( \frac { y } { x } \right) ^ { ( s - i ) \lfloor \frac { m } { 2 } \rfloor + j } \sum _ { \textbf { 0 } \neq \boldsymbol { v _ { i } } \in V _ { i } \atop w _ { ( L , \pi ) } ( \boldsymbol { v _ { i } } ) = j } \chi ( \boldsymbol { u _ { i } } \cdot \boldsymbol { v _ { i } } ) \sum _ { \boldsymbol { v ^ { \prime } } \in \mathbb { Z } _ { m } ^ { \pi ( i + 1 ) + \cdots + \pi ( s ) } } \chi ( \boldsymbol { u ^ { \prime } } \cdot \boldsymbol { v ^ { \prime } } ) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { { \bf \tilde { Z } } _ { i } ^ { 0 } - { \bf Z } _ { i } ^ { 0 } = - \frac { 2 \Lambda \kappa } { 1 6 \Lambda ^ { 2 } + \kappa ^ { 2 } / 4 } { \bf \hat { n } } \times { \bf Z } _ { i } ^ { 0 } - \frac { \kappa ^ { 2 } / 4 } { 1 6 \Lambda ^ { 2 } + \kappa ^ { 2 } / 4 } { \bf Z } _ { i } ^ { 0 } . } \end{array}
\Im \int _ { \mathbb { T } ^ { 2 } } ( - \Delta ) ^ { s } \Bar { \psi } ( - \Delta ) ^ { s + 1 } \psi = \Im \left\langle ( - \Delta ) ^ { s } \psi , ( - \Delta ) ^ { s + 1 } \psi \right\rangle = \Im \left\langle ( - \Delta ) ^ { s + \frac { 1 } { 2 } } \psi , ( - \Delta ) ^ { s + \frac { 1 } { 2 } } \psi \right\rangle = 0 .
{ \begin{array} { r l } { { \frac { \delta F [ \varphi ( x ) ] } { \delta \varphi ( y ) } } } & { = \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 } { \frac { F [ \varphi ( x ) + \varepsilon \delta ( x - y ) ] - F [ \varphi ( x ) ] } { \varepsilon } } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 } { \frac { e ^ { \int ( \varphi ( x ) + \varepsilon \delta ( x - y ) ) g ( x ) d x } - e ^ { \int \varphi ( x ) g ( x ) d x } } { \varepsilon } } } \\ & { = e ^ { \int \varphi ( x ) g ( x ) d x } \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 } { \frac { e ^ { \varepsilon \int \delta ( x - y ) g ( x ) d x } - 1 } { \varepsilon } } } \\ & { = e ^ { \int \varphi ( x ) g ( x ) d x } \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to 0 } { \frac { e ^ { \varepsilon g ( y ) } - 1 } { \varepsilon } } } \\ & { = e ^ { \int \varphi ( x ) g ( x ) d x } g ( y ) . } \end{array} }
\partial _ { t } \Psi \sigma _ { 2 1 } + \sigma _ { 1 } \partial _ { x } \Psi \sigma _ { 2 1 } + \sigma _ { 2 } \partial _ { y } \Psi \sigma _ { 2 1 } + \sigma _ { 3 } \partial _ { z } \Psi \sigma _ { 2 1 } = m \Psi ^ { \bullet } ~ .
\begin{array} { r l r } & { } & { \int \left( - \frac { 1 } { r } \nabla _ { \perp } \cdot \left( \frac { r } { B ^ { 2 } } \nabla _ { \perp } \Phi \right) \right) \tilde { \Lambda } r \mathrm { d } r \mathrm { d } \theta } \\ { = } & { } & { \int \frac { 1 } { B ^ { 2 } } \nabla _ { \perp } \hat { \Phi } \cdot \nabla _ { \perp } \tilde { \Lambda } r \mathrm { d } r \mathrm { d } \theta } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { 1 } ( d ^ { 0 } , \bar { \mathcal { S } } , K ) = } & { \Bigg \{ \mathbf { E } \in \mathbb { R } ^ { N } \mid \mathbf { E } = d ^ { 0 } + \sum _ { k = 1 } ^ { K } \left( 1 - 2 \omega _ { k } \right) \bar { \mathcal { S } } _ { k } } \\ & { \qquad 0 \leq \omega _ { k } \leq 1 , k \in \{ 1 , \ldots , K \} \Bigg \} } \end{array}
\begin{array} { r } { \Phi _ { n } ^ { \mathbf { c } } \! \! = \! \! \Big \{ \mathcal { U } ^ { \mathbf { a } , { n } , \mathbf { c } } : \mathbf { a } \in \{ 0 , 1 \} ^ { k + 1 } \Big \} , } \\ { \Delta _ { n } ^ { \mathbf { c } } \! \! = \! \! \Big \{ \left( \mathcal { V } ^ { \mathbf { a } , { n } , \mathbf { c } } \right) ^ { * } : \mathbf { a } \in \{ 0 , 1 \} ^ { k + 1 } \Big \} . } \end{array}
\begin{array} { c c c c c c c } { g _ { 1 } } & { = } & { X } & { Z } & { Z } & { X } & { I } \\ { g _ { 2 } } & { = } & { I } & { X } & { Z } & { Z } & { X } \\ { g _ { 3 } } & { = } & { X } & { I } & { X } & { Z } & { Z } \\ { g _ { 4 } } & { = } & { Z } & { X } & { I } & { X } & { Z } \end{array}
\begin{array} { r } { \alpha _ { l } = - \frac { 1 } { k } \tan \delta _ { l } \stackrel { E \rightarrow 0 } { \longrightarrow } - \frac { 3 \pi \mu C _ { 6 } k ^ { 3 } } { 1 6 \hbar ^ { 2 } ( l + 5 / 2 ) ( l + 3 / 2 ) ( l + 1 / 2 ) ( l - 1 / 2 ) ( l - 3 / 2 ) } } \end{array}
\langle T _ { \mu } ^ { \mu } \rangle _ { R } - ( T _ { \mu } ^ { \mu } ) _ { 0 } = 2 \pi m ^ { 2 } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \frac { d \theta } { 2 \pi } \left[ e ^ { - m R \cosh \theta } + e ^ { - 2 m R \cosh \theta } + { \cal O } ( e ^ { - 3 m R \cosh \theta } ) \right] \, \, \, .
\left[ r _ { \dot { J } } ^ { \dot { I } } , f _ { \dot { L } } ^ { \dot { K } } \right] = \sum _ { \dot { K } _ { 1 } \dot { K } _ { 2 } = \dot { K } } \delta _ { \dot { J } } ^ { \dot { K } _ { 2 } } f _ { \dot { L } } ^ { \dot { K } _ { 1 } \dot { I } } - \sum _ { \dot { L } _ { 1 } \dot { L } _ { 2 } = \dot { L } } \delta _ { \dot { L } _ { 2 } } ^ { \dot { I } } f _ { \dot { L } _ { 1 } \dot { J } } ^ { \dot { K } } .