harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \Delta _ { 2 } ( k ) = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { \delta _ { 2 } ( k ) } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , \qquad \Delta _ { 3 } ( k ) = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { \delta _ { 2 } ( k ) } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \delta _ { 3 } ( \lambda ) } \end{array} \right) . } \end{array}
\hat { p } _ { \sigma _ { 1 } } \wedge \hat { p } _ { \sigma _ { 2 } } \wedge \ldots \wedge \hat { p } _ { \sigma _ { d } } = \textrm { s g n } ( \sigma ) \hat { p } _ { B _ { 1 } } \wedge \hat { p } _ { B _ { 2 } } \wedge \ldots \wedge \hat { p } _ { B _ { d } } ,
\begin{array} { r l } { q _ { 3 / 4 } ( n , \frac { i \Gamma + \Delta } { \hbar \omega } ) } & { { } = ( \frac { 1 } { 1 8 } ) ^ { 1 / 4 } \frac { 1 } { 1 2 6 0 \sqrt { \zeta _ { n } - \zeta _ { 0 } } } [ 1 0 3 ( \zeta _ { n } ^ { 2 } - \zeta _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { p _ { t o t , z ( T _ { h } ) } } { p _ { t o t , x } } } & { = \frac { 1 + M _ { z ( T _ { h } ) } ^ { 2 } } { 1 + M _ { x } ^ { 2 } } \frac { p _ { z ( T _ { h } ) } } { p _ { u } } = } \\ & { = \left( \frac { B _ { z ( T _ { h } ) } } { B _ { x } } \right) ^ { \kappa _ { e f f } ^ { x \rightarrow z ( T _ { h } ) } } } \end{array}
\dot { \vec { x } } = \frac { \partial \Omega ( \vec { k } , \vec { x } ) } { \partial \vec { k } } , \ \ \dot { \vec { k } } = - \frac { \partial \Omega ( \vec { k } , \vec { x } ) } { \partial \vec { x } } = - \epsilon \frac { \partial \Omega _ { 0 } ( \vec { k } , \vec { x } ) } { \partial \vec { x } } .
\begin{array} { r } { E _ { 3 } ^ { \ell } \left( \rho v _ { 1 } ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } - \rho v _ { 1 } ^ { \ell } \right) + E _ { 3 } ^ { \ell + 1 } \left( \rho v _ { 1 } ^ { \ell + 1 } - \rho v _ { 1 } ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } \right) + \alpha _ { i k } ^ { \ell } \frac { 1 } { 2 } \tilde { v } _ { A \, 1 } ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } \left( A _ { i k } ^ { \ell + 1 } - A _ { i k } ^ { \ell } \right) } \\ { + \alpha _ { i k } ^ { \ell + 1 } \frac { 1 } { 2 } \tilde { v } _ { A \, 1 } ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } \left( A _ { i k } ^ { \ell + 1 } - A _ { i k } ^ { \ell } \right) = \rho v _ { 1 } ^ { \ell + 1 } E _ { 3 } ^ { \ell + 1 } - \rho v _ { 1 } ^ { \ell } E _ { 3 } ^ { \ell } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { H _ { \cdot : \cdot } ( \mathbf { x } , \mathbf { p } ) = \left( \frac { \mathbf { p } _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 M _ { 1 } } + \frac { \mathbf { p } _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 M _ { 0 } } - \frac { m _ { 1 } } { | \mathbf { x } _ { 1 } - \frac { \mathbf { x } _ { 0 } } { 2 } | } - \frac { m _ { 1 } } { | \mathbf { x } _ { 1 } + \frac { \mathbf { x } _ { 0 } } { 2 } | } - \frac { 1 } { | \mathbf { x } _ { 0 } | } \right) } \\ & { + \left( \frac { \mathbf { p } _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 M _ { 2 } } - \frac { m _ { 1 } m _ { 2 } } { | \mathbf { x } _ { 2 } - \frac { 2 \mathbf { x } _ { 1 } } { m _ { 1 } + 2 } | } - \frac { m _ { 2 } } { | \mathbf { x } _ { 2 } + \frac { m _ { 1 } \mathbf { x } _ { 1 } } { m _ { 1 } + 2 } - \frac { \mathbf { x } _ { 0 } } { 2 } | } - \frac { m _ { 2 } } { | \mathbf { x } _ { 2 } + \frac { m _ { 1 } \mathbf { x } _ { 1 } } { m _ { 1 } + 2 } + \frac { \mathbf { x } _ { 0 } } { 2 } | } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega _ { 0 } } & { = \omega _ { 3 } = \omega _ { 5 } = \omega _ { 7 } = \omega _ { 1 } = 1 . 0 } \\ { \omega _ { 1 } } & { = 1 . 1 9 , } \\ { \omega _ { 2 } } & { = \omega _ { 1 0 } = \omega _ { 1 2 } = 1 . 6 } \\ { \omega _ { 4 } } & { = \omega _ { 6 } = \omega _ { 8 } = 1 . 2 } \\ { \omega _ { 1 6 } } & { = \omega _ { 1 7 } = \omega _ { 1 8 } = 1 . 9 8 } \end{array}
\begin{array} { r l } { | I _ { 3 } | } & { { } \leqslant C \left| ( \varphi _ { 1 } - \varphi _ { 2 } ) \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { B _ { \varphi _ { 1 } } ^ { c } ( 3 d ) } ( \partial _ { x } K ) \big ( \varphi _ { 1 } + ( 1 - s ) ( \varphi _ { 2 } - \varphi _ { 1 } ) , \varphi ^ { \prime } \big ) \big ( g ( \varphi _ { 1 } ) - g ( \varphi ^ { \prime } ) \big ) f ( \varphi ^ { \prime } ) d \varphi ^ { \prime } d s \right| } \end{array}
H _ { 1 - X } = { \frac { 1 } { \operatorname { E } \left[ { \frac { 1 } { 1 - X } } \right] } } = { \frac { \beta - 1 } { \alpha + \beta - 1 } } { \mathrm { ~ i f ~ } } \beta > 1 , { \mathrm { ~ a n d ~ } } \alpha > 0 .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { N } } & { \left( \| \hat { \psi } ( a , b , \, \psi ^ { 0 } ) ( t _ { 1 } ) - \psi ^ { ( \sigma ) } \| _ { N } + \| \hat { u } ( a , b , \, \psi ^ { 0 } ) ( t _ { 1 } ) - u ^ { ( \sigma ) } \| _ { N } \right) ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { 1 } { \alpha ( 1 - \alpha ) ( b - a ) } \mathcal V ( N , \, t _ { 0 } , \, b , \, \hat { \psi } ^ { 0 } ) } \\ & { \leq \frac { 1 } { \alpha ( 1 - \alpha ) ( b - a ) } \frac { \mathcal C _ { 0 } ^ { 2 } } { ( 1 - \alpha ) ( b - a ) } \frac { 1 } { N } \sum _ { k = 1 } ^ { N } \| \psi ^ { 0 } - \psi ^ { ( \sigma ) } \| . . } \end{array}
a _ { \bar { \alpha } } e ^ { \bar { \alpha } } = a _ { \gamma } L ^ { \gamma } { } _ { \bar { \alpha } } L ^ { \bar { \alpha } } { } _ { \beta } e ^ { \beta } = a _ { \gamma } \delta ^ { \gamma } { } _ { \beta } e ^ { \beta } = a _ { \beta } e ^ { \beta }
\left\{ \begin{array} { l l } { a _ { 1 , j } = 2 , } & { j > 1 , } \\ { a _ { i , j } = a _ { i - 1 , j } + a _ { i , j - 1 } + a _ { i - 1 , j - 1 } , } & { j > i + 1 , \quad i > 1 , } \\ { a _ { i , j } = a _ { i - 1 , j } + a _ { i - 1 , j - 1 } + 2 ( - 1 ) ^ { i - 1 } , } & { j = i + 1 , \quad i > 1 , } \\ { a _ { i , j } = - a _ { j , i } , } & { j \leq i . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \epsilon _ { \mathrm { i } } ^ { ( t ) } } & { { } = J _ { \mathrm { i } } \frac { \sigma _ { \mathrm { f } } } { E ^ { * } } } \\ { \epsilon _ { \mathrm { i } } ^ { ( c ) } } & { { } = - K _ { \mathrm { i } } \pi ^ { 2 } \tilde { l } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { ~ d ~ } \overline { { \boldsymbol { x } } } _ { p } } { \mathrm { ~ d ~ } t } + \frac { \mathrm { ~ d ~ } \boldsymbol { x } _ { p } ^ { \prime } } { \mathrm { ~ d ~ } t } } & { { } = \overline { { \boldsymbol u } } _ { p } + \boldsymbol u _ { p } ^ { \prime } , } \\ { \frac { \mathrm { ~ d ~ } \overline { { \boldsymbol { u } } } _ { p } } { \mathrm { ~ d ~ } t } + \frac { \mathrm { ~ d ~ } \boldsymbol { u } _ { p } ^ { \prime } } { \mathrm { ~ d ~ } t } } & { { } = \frac { 1 } { S t } \left( \overline { { f } } _ { 1 } + f _ { 1 } ^ { \prime } \right) \left( \overline { { \boldsymbol u } } + \boldsymbol u ^ { \prime } - \overline { { \boldsymbol u } } - \boldsymbol u ^ { \prime } \right) , } \\ { \frac { \mathrm { ~ d ~ } \overline { T } _ { p } } { \mathrm { ~ d ~ } t } + \frac { \mathrm { ~ d ~ } T _ { p } ^ { \prime } } { \mathrm { ~ d ~ } t } } & { { } = \frac { 2 c _ { r } } { 3 P r S t } \left( \overline { { f } } _ { 2 } + f _ { 2 } ^ { \prime } \right) \left( \overline { { T } } + T ^ { \prime } - \overline { { T } } _ { p } - T _ { p } ^ { \prime } \right) , } \end{array}
\sum _ { k _ { n } = 0 } ^ { m _ { n } } ( - 1 ) ^ { k _ { n } } \left( \frac { d } { d t } \right) ^ { k _ { n } } \frac { \partial L _ { 0 } } { \partial x _ { n } ^ { ( k _ { n } ) } } = 0 \ , \ \ n = 1 , 2 , \cdots \ .
\rho _ { \scriptscriptstyle 0 R } = \frac { 1 } { 4 } , \; \; \; \; \dot { H } = - \frac { \mu _ { \Lambda } ^ { 2 } } { 4 } = - \frac { 4 } { 3 } \, \rho _ { \scriptscriptstyle R M } .
\frac { 1 } { 2 } H ( r ) \, \dot { x } ^ { n } \dot { x } ^ { n } - \frac { 1 } { 2 H ( r ) } \biggl ( C _ { 1 } + \frac { C _ { 2 } } { r } \biggr ) ^ { 2 } + { \cal A } _ { m } \dot { x } ^ { m } \ .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } } & { \left\{ \frac { 1 } { N } \sum _ { \nu = 1 } ^ { N } 3 5 x _ { 1 } + 4 0 x _ { 2 } + 1 6 y _ { 1 } ^ { \nu } + 1 9 y _ { 2 } ^ { \nu } + 4 7 y _ { 3 } ^ { \nu } + 5 4 y _ { 4 } ^ { \nu } \right\} } \\ { \mathrm { s . t . ~ } } & { x _ { 1 } + y _ { 1 } ^ { \nu } + y _ { 3 } ^ { \nu } - u _ { 1 } ^ { \nu } = \xi _ { 1 } ^ { \nu } } \\ & { x _ { 2 } + y _ { 2 } ^ { \nu } + y _ { 4 } ^ { \nu } - u _ { 2 } ^ { \nu } = \xi _ { 2 } ^ { \nu } } \\ & { 2 y _ { 1 } ^ { \nu } + y _ { 2 } ^ { \nu } + u _ { 3 } ^ { \nu } = \xi _ { 3 } ^ { \nu } } \\ & { y _ { 1 } ^ { \nu } + 2 y _ { 2 } ^ { \nu } + u _ { 4 } ^ { \nu } = \xi _ { 4 } ^ { \nu } , } \\ & { x _ { 1 } , x _ { 2 } , y _ { 1 } ^ { \nu } , y _ { 2 } ^ { \nu } , y _ { 3 } ^ { \nu } , y _ { 4 } ^ { \nu } , u _ { 1 } ^ { \nu } , u _ { 2 } ^ { \nu } , u _ { 3 } ^ { \nu } , u _ { 4 } ^ { \nu } \in \mathbb { Z } _ { + } . } \end{array}
\bar { \hat { v } } = - p + \frac { 2 p \cdot ( 2 n + 1 ) ! } { ( n ! ) ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { 2 } + \frac { ( 1 - p ) ( 2 q - 1 ) } { 2 } + \frac { \bar { \hat { v } } } { 2 } } x ^ { n } ( 1 - x ) ^ { n } d x .
\begin{array} { r l } { { \bf A } ( t ) } & { { } = { \bf e } _ { \mathrm { B D } } A _ { 0 } \sin ( \Omega t ) , } \\ { \delta v ( t ) } & { { } = \delta _ { v } \cos ( n _ { 2 } \Omega t + \phi _ { 2 } ) . } \end{array}
\ensuremath { \frac { \partial \phi ( \vec { x } ) } { \partial t } } = - S \phi ( \vec { x } ) + \mathcal F ^ { ( 1 ) } ( \vec { x } ) \phi ( \vec { x } ) + \mathcal F ^ { ( 2 ) } ( \vec { x } ) \phi ^ { [ 2 ] } ( \vec { x } ) + \mathcal F ^ { ( 3 ) } ( \vec { x } ) \phi ^ { [ 3 ] } ( \vec { x } ) .
\begin{array} { r l r } { \mathrm { { r a d } } ^ { 2 } ( \widehat { G ( \sigma ) } ) } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i , j \in [ k ] } \mu _ { i } \mu _ { j } D ( \widehat { G ( p _ { i } ) } , \widehat { G ( p _ { j } ) } ) \; \; \leq \; \; \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i , j \in [ k ] } \lambda _ { i } \lambda _ { j } D ( \widehat { G ( p _ { i } ) } , \widehat { G ( p _ { j } ) } ) , } \\ & { \leq } & { \sum _ { i , j \in [ k ] } \frac { \lambda _ { i } \lambda _ { j } } { 2 } \ensuremath { \left( ( 1 + { \varepsilon } ) D ( \widehat { p _ { i } } , \widehat { p _ { j } } ) \right) } , } \\ & { = } & { ( 1 + { \varepsilon } ) { \mathrm { r a d } } ^ { 2 } ( \widehat { \sigma } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { 1 - [ 1 - \varepsilon _ { 1 } ] _ { + } \ast ( 1 - \varepsilon _ { 2 } ) ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 1 + \alpha \upsilon x ) e ^ { - \upsilon x } , } & { \mathrm { ~ i f ~ } \alpha \le 1 , \upsilon _ { 1 } = \upsilon _ { 2 } = : \upsilon , } \\ { e ^ { - \upsilon _ { 2 } x } + \frac { \alpha \upsilon _ { 2 } } { \upsilon _ { 1 } - \upsilon _ { 2 } } \bigl ( e ^ { - \upsilon _ { 2 } x } - e ^ { - \upsilon _ { 1 } x } \bigr ) , } & { \mathrm { ~ i f ~ } \alpha \le 1 , \upsilon _ { 1 } \neq \upsilon _ { 2 } , } \\ { \alpha ( 1 - \ln \alpha + \upsilon x ) e ^ { - \upsilon x } , } & { \mathrm { ~ i f ~ } \alpha > 1 , \upsilon _ { 1 } = \upsilon _ { 2 } = : \upsilon , } \\ { \frac { 1 } { \upsilon _ { 1 } - \upsilon _ { 2 } } \bigl ( \alpha ^ { \upsilon _ { 2 } / \upsilon _ { 1 } } \upsilon _ { 1 } e ^ { - \upsilon _ { 2 } x } - \alpha \upsilon _ { 2 } e ^ { - \upsilon _ { 1 } x } \bigr ) , } & { \mathrm { ~ i f ~ } \alpha > 1 , \upsilon _ { 1 } \neq \upsilon _ { 2 } . } \end{array} \right. } \end{array}
B = { \left[ \begin{array} { l l l } { - 2 } & { 2 } & { - 3 } \\ { 0 } & { 0 } & { 4 . 5 } \\ { 2 } & { 0 } & { - 1 } \end{array} \right] } , \quad C = { \left[ \begin{array} { l l l } { - 2 } & { 2 } & { - 3 } \\ { 0 } & { 0 } & { 4 . 5 } \\ { 0 } & { 2 } & { - 4 } \end{array} \right] } , \quad D = { \left[ \begin{array} { l l l } { - 2 } & { 2 } & { - 3 } \\ { 0 } & { 2 } & { - 4 } \\ { 0 } & { 0 } & { 4 . 5 } \end{array} \right] } .
S = - { \frac { \cal A } { 8 \pi ^ { 3 / 2 } } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \, { \frac { d s } { s ^ { 3 / 2 } } } \, e ^ { - m ^ { 2 } s } \, \left[ | { \cal F } | \coth \left( | { \cal F } | s \right) - { \frac { 1 } { s } } \right]
\begin{array} { r l r l r l } { \nabla \cdot ( \epsilon _ { n } ( u ) \nabla \psi ) + ( p _ { n } - u ^ { p _ { n } } ) ^ { 1 / ( 2 m + 1 ) } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { c } } c _ { j } ^ { \infty } q _ { j } e ^ { - \beta \psi q _ { j } } + \rho } & { = 0 } & & { \mathrm { i n } } & & { \Omega ; } \\ { \psi } & { = \psi _ { D } } & & { \mathrm { o n } } & & { \partial \Omega ; } \\ { \nabla \cdot \left( \theta | \nabla u | ^ { p _ { n } - 2 } \nabla u \right) - u ^ { p _ { n } - 1 } V _ { m , n } ( u , \psi ) } & { = 0 } & & { \mathrm { i n } } & & { \Omega _ { \mathrm { t } } ; } \\ { u } & { = 1 } & & { \mathrm { i n } } & & { \Omega _ { \mathrm { i } } \cup \Sigma _ { 1 } ; } \\ { u } & { = 0 } & & { \mathrm { i n } } & & { \Omega _ { \mathrm { e } } \cup \Sigma _ { 0 } } \end{array}
K _ { y } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } \, , \quad K _ { z } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] }
{ \left( \begin{array} { l l } { \mathrm { { L i } } } & { \mathrm { { B e } } } \\ { \mathrm { { N a } } } & { \mathrm { { M g } } } \end{array} \right) } \otimes { \left( \begin{array} { l l } { \mathrm { { L i } } } & { \mathrm { { B e } } } \\ { \mathrm { { N a } } } & { \mathrm { { M g } } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l l l } { \mathrm { { L i _ { 2 } } } } & { \mathrm { { L i B e } } } & { \mathrm { { B e L i } } } & { \mathrm { { B e _ { 2 } } } } \\ { \mathrm { { L i N a } } } & { \mathrm { { L i M g } } } & { \mathrm { { B e N a } } } & { \mathrm { { B e M g } } } \\ { \mathrm { { N a L i } } } & { \mathrm { { N a B e } } } & { \mathrm { { M g L i } } } & { \mathrm { { M g B e } } } \\ { \mathrm { { N a _ { 2 } } } } & { \mathrm { { N a M g } } } & { \mathrm { { M g N a } } } & { \mathrm { { M g _ { 2 } } } } \end{array} \right) }
\begin{array} { r } { Q = \frac { 1 } { 4 \pi } \int \mathrm { ~ \boldmath ~ n ~ } \cdot \left( \partial _ { 1 } \mathrm { ~ \boldmath ~ n ~ } \times \partial _ { 2 } \mathrm { ~ \boldmath ~ n ~ } \right) \: d ^ { 2 } x , } \end{array}
\vec { v _ { 1 } } \cdot \vec { v _ { 1 } } = \vec { v _ { 2 } } \cdot \vec { v _ { 2 } } = \vec { v _ { 3 } } \cdot \vec { v _ { 3 } } = \vec { v _ { 4 } } \cdot \vec { v _ { 4 } } = - 1
\frac { 2 } { 3 } \frac { ( \Delta \phi _ { 1 } ) ^ { 2 } } { \pi ^ { 2 } } - \frac { 8 } { 9 } \frac { \Delta \phi _ { 1 } \Delta \psi } { \pi ^ { 2 } } + \frac { 1 6 } { 9 } \frac { ( \Delta \psi ) ^ { 2 } } { \pi ^ { 2 } } = 1 ,
y ( x ) = A \ \mathrm { e } ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 4 } } \, \mathrm { M } \left( \frac { a } { 2 } + \frac { 1 } { 4 } , \frac { 1 } { 2 } , \frac { x ^ { 2 } } { 2 } \right) + B \ x \ \mathrm { e } ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 4 } } \, \mathrm { M } \left( \frac { a } { 2 } + \frac { 3 } { 4 } , \frac { 3 } { 2 } , \frac { x ^ { 2 } } { 2 } \right) \, ,
\hat { f } ^ { \lambda } ( l ) = \frac { 1 } { h _ { n } ^ { \lambda } } \int _ { - 1 } ^ { 1 } ( 1 - x ^ { 2 } ) ^ { \lambda - \frac { 1 } { 2 } } f ( x ) C _ { l } ^ { \lambda } ( x ) d x ,
\begin{array} { r l } { \int _ { s - w } ^ { s + w } x e ^ { - x ^ { 2 } / \sigma ^ { 2 } } d x } & { { } = \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } \left( e ^ { - ( w - s ) ^ { 2 } / \sigma ^ { 2 } } - e ^ { - ( w + s ) ^ { 2 } / \sigma ^ { 2 } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \gamma , u : \Sigma _ { x : A ( \gamma ) } B ( \gamma , x ) \vdash f ^ { \Sigma } ( \gamma , u ) } & { \equiv \langle f _ { 1 } ( \gamma , \pi _ { 1 } u ) , f _ { 2 } ( \gamma , \pi _ { 1 } u , \pi _ { 2 } u ) \rangle } \\ & { = \langle \alpha ( \gamma ) ^ { * } f _ { 1 } ^ { \prime } ( \gamma , \pi _ { 1 } u ) , \alpha ( \gamma ) ^ { * } f _ { 2 } ^ { \prime } ( \gamma , \pi _ { 1 } u , \pi _ { 2 } u ) \rangle } \\ & { = \alpha ( \gamma ) ^ { * } \langle f _ { 1 } ^ { \prime } ( \gamma , \pi _ { 1 } u ) , f _ { 2 } ^ { \prime } ( \gamma , \pi _ { 1 } u , \pi _ { 2 } u ) \rangle } \\ & { \equiv \alpha ( \gamma ) ^ { * } f ^ { \Sigma } ( \gamma , u ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { m _ { q } ( D _ { H } , D _ { 6 } ) } & { = } & { m _ { q } ( x y F , ( z - 2 y ) ^ { 2 } y F + ( z - 2 x ) ^ { 2 } x F + ( x - y ) ^ { 2 } ( x - 2 y ) ^ { 2 } x y ) } \\ & { = } & { 2 m _ { q } ( x , z - 2 y ) + 2 m _ { q } ( y , z - 2 x ) + 2 m _ { q } ( F , x - y ) + 2 m _ { q } ( F , x - 2 y ) } \\ & { } & { + 2 m _ { q } ( x , y ) + 2 m _ { q } ( F , x ) + 2 m _ { q } ( F , y ) } \end{array}
\frac { 1 } { 3 } \langle \theta \rangle ^ { 2 } \leq \operatorname* { m a x } _ { \psi } \left[ R ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } \frac { \textrm { T r } [ \hat { W } ^ { 2 } ] } { R ^ { 2 } } \right] = \operatorname* { m a x } _ { \psi } \left[ 1 - \frac { 1 } { 4 } \left( \frac { 1 } { 6 } + \frac { 1 } { 2 } ( \cos ^ { 2 } \psi - \sin ^ { 2 } \psi ) ^ { 2 } \right) \right] \ .
\begin{array} { r l r } { \mathbf { W } \cdot { \mathbf B } = } & { { } ~ 0 } & { \qquad \mathrm { ~ i ~ n ~ } \quad \Omega ^ { W } , } \\ { \nabla ^ { 2 } { \varphi } = } & { { } ~ \nabla \cdot \left( \mathbf { W } \times { \mathbf B } \right) } & { \qquad \mathrm { ~ i ~ n ~ } \quad \Omega ^ { W } , } \\ { \mathbf { Z } = } & { { } ~ \nabla \varphi - \mathbf { W } \times { \mathbf B } } & { \qquad \mathrm { ~ i ~ n ~ } \quad \Omega ^ { W } , } \\ { \nabla \times \mathbf { Z } = } & { { } - \nabla \times ( \mathbf { W } \times { \mathbf B } ) = ~ \mathbf { 0 } } & { \qquad \mathrm { ~ i ~ n ~ } \quad \Omega ^ { W } , } \\ { \mathbf { W } = } & { { } ~ \mathbf { 0 } } & { \qquad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \quad \partial \Omega ^ { W } , } \\ { \varphi = } & { { } ~ 0 } & { \qquad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \quad \partial \Omega ^ { W } , } \\ { \mathbf { Z } = } & { { } ~ \mathbf { 0 } } & { \qquad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \quad \partial \Omega ^ { W } . } \end{array}
\big \langle \boldsymbol { \mathcal { G } } ( \boldsymbol { w } _ { h } ) , \mathring { \boldsymbol { \chi } } _ { h } \big \rangle = ( y _ { h } ^ { n } - y _ { h } ^ { n - 1 } , \mathring { \chi } _ { h } ) _ { \Omega } + \tau a _ { \mathcal { D } } ( \boldsymbol { w } _ { h } , \mathring { \boldsymbol { \chi } } _ { h } ) , \quad \forall \boldsymbol { \chi } _ { h } \in \boldsymbol { M } _ { h } .
\begin{array} { r l } { \Phi _ { 1 } ^ { - 1 } \mathcal { L } _ { \omega } \Phi _ { 1 } h } & { = \mathcal { D } _ { \omega } h - \Pi _ { S ^ { \perp } } \partial _ { x } \underbrace { \left( - \Psi _ { 1 } ^ { T } [ \mathcal { D } _ { \omega } \beta ( \varphi , \cdot ) ] h + \tilde { M } h \right) } _ { = : M _ { 1 } [ h ] } + \underbrace { \Phi _ { 1 } ^ { - 1 } \left( \mathcal { R } _ { \omega } - \mathcal { R } _ { M } \right) h + \Phi _ { 1 } ^ { - 1 } \mathcal { R } \Phi _ { 1 } h } _ { = : R _ { 1 } [ h ] } } \\ & { = \mathcal { D } _ { \omega } h - \Pi _ { S ^ { \perp } } \partial _ { x } M _ { 1 } [ h ] + R _ { 1 } [ h ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb E | F _ { s } ( P _ { i _ { s } j _ { s } } + 3 ) | } & { \leq \ln 2 + \frac { \beta } { N } \mathbb E \Bigl [ \sum _ { 1 \leq t \leq s - 1 } \sum _ { k = 1 } ^ { P _ { i _ { t } j _ { t } } } | y _ { i _ { t } j _ { t } } ^ { k } | + \sum _ { k = 1 } ^ { P _ { i _ { s } j _ { s } } + 3 } | y _ { i _ { s } j _ { s } } ^ { k } | + \sum _ { s + 1 \leq t \leq M } \sum _ { k = 1 } ^ { B _ { i _ { t } j _ { t } } } | y _ { i _ { t } j _ { t } } ^ { k } | \Bigr ] } \\ & { = \ln 2 + \frac { \beta } { N } \Bigl ( \frac { 2 \gamma M } { N } + 3 \Bigr ) \mathbb E | y | } \\ & { \leq \ln 2 + \beta \Bigl ( \gamma + \frac { 3 } { N } \Bigr ) \mathbb E | y | } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { { { { \tilde { R } } } _ { 1 } } , { { { R } } _ { 2 } } } ( { { { \tilde { r } } } _ { 1 } } , { { { r } } _ { 2 } } ) } & { = \int _ { \tilde { X } } \int _ { \tilde { W } } f _ { { { { \tilde { R } } } _ { 1 } } , { { { R } } _ { 2 } } } ( { { { \tilde { r } } } _ { 1 } } , { { { r } } _ { 2 } } | \tilde { x } , \tilde { w } ) f _ { { { \tilde { X } } } } ( \tilde { x } ) f _ { { { \tilde { W } } } } ( \tilde { w } ) \mathrm { d } { \tilde { w } } \mathrm { d } { \tilde { x } } } \\ & { = \! \! \int _ { \tilde { X } } \int _ { \tilde { W } } \! \! f _ { { { { \tilde { R } } } _ { 1 } } } ( { { { \tilde { r } } } _ { 1 } } | \tilde { x } , \tilde { w } ) f _ { { { { R } } _ { 2 } } } ( { { { r } } _ { 2 } } | \tilde { x } , \tilde { w } ) f _ { { { \tilde { X } } } } ( \tilde { x } ) f _ { { { \tilde { W } } } } ( \tilde { w } ) \mathrm { d } { \tilde { w } } \mathrm { d } { \tilde { x } } , } \end{array}
\bar { \bf { J } } = \frac { \partial { \bf r } } { \partial { \bf r } ^ { \prime } } = \left[ \begin{array} { l l l } { \frac { \partial x } { \partial x ^ { \prime } } } & { \frac { \partial x } { \partial y ^ { \prime } } } & { \frac { \partial x } { \partial z ^ { \prime } } } \\ { \frac { \partial y } { \partial x ^ { \prime } } } & { \frac { \partial y } { \partial y ^ { \prime } } } & { \frac { \partial y } { \partial z ^ { \prime } } } \\ { \frac { \partial z } { \partial x ^ { \prime } } } & { \frac { \partial z } { \partial y ^ { \prime } } } & { \frac { \partial z } { \partial z ^ { \prime } } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } { \mu ( F ) } & { = \frac { \alpha ( F \alpha \sigma _ { X } ^ { 2 } + \mu \sigma _ { F } ^ { 2 } ) } { \alpha ^ { 2 } \sigma _ { X } ^ { 2 } + \sigma _ { F } ^ { 2 } } } \\ { \sigma ( F ) ^ { 2 } } & { = \sigma _ { F } ^ { 2 } + \frac { \alpha ^ { 2 } \sigma _ { X } ^ { 2 } } { \alpha ^ { 2 } \sigma _ { X } ^ { 2 } + \sigma _ { F } ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { 2 } A _ { k } ^ { i } \mathbb { E } [ ( u _ { k } ^ { i } - \mathbb { E } [ u _ { k } ^ { i } ] ) ^ { 2 } ] + B _ { k } ^ { i } \mathbb { E } [ ( x _ { k } - \mathbb { E } [ x _ { k } ] ) ( u _ { k } ^ { i } - \mathbb { E } [ u _ { k } ^ { i } ] ) ] } \\ & { \quad = \frac { 1 } { 2 } A _ { k } ^ { i } \mathbb { E } \Big [ \big ( ( u _ { k } ^ { i } - \mathbb { E } [ u _ { k } ^ { i } ] ) + \frac { B _ { k } ^ { i } } { A _ { k } ^ { i } } ( x _ { k } - \mathbb { E } [ x _ { k } ] ) \big ) ^ { 2 } \Big ] } \\ & { \quad \quad - \frac { 1 } { 2 } \frac { ( B _ { k } ^ { i } ) ^ { 2 } } { A _ { k } ^ { i } } \mathbb { E } [ ( x _ { k } - \mathbb { E } [ x _ { k } ] ) ^ { 2 } ] , } \\ & { \frac { 1 } { 2 } D _ { k } ^ { i } \mathbb { E } [ u _ { k } ^ { i } ] ^ { 2 } + \big ( F _ { k } ^ { i } \mathbb { E } [ x _ { k } ] + G _ { k } ^ { i } \big ) \mathbb { E } [ u _ { k } ^ { i } ] } \\ & { \quad = \frac { 1 } { 2 } D _ { k } ^ { i } \big ( \mathbb { E } [ u _ { k } ^ { i } ] + \frac { 1 } { D _ { k } ^ { i } } \big ( F _ { k } \mathbb { E } [ x _ { k } ] + G _ { k } ^ { i } \big ) \big ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \frac { ( F _ { k } ^ { i } ) ^ { 2 } } { D _ { k } ^ { i } } \mathbb { E } [ x _ { k } ] ^ { 2 } } \\ & { \quad \quad - \frac { F _ { k } ^ { i } G _ { k } ^ { i } } { D _ { k } ^ { i } } \mathbb { E } [ x _ { k } ] - \frac { 1 } { 2 } \frac { ( G _ { k } ^ { i } ) ^ { 2 } } { D _ { k } ^ { i } } . } \end{array}
\frac { d \tilde { \sigma } _ { R } ^ { ( i ) } } { d \hat { t } } ( \hat { s } , \hat { t } ) = \frac { 2 \pi \alpha \alpha _ { s } ^ { 2 } e _ { Q } ^ { 2 } m _ { Q } ^ { 2 } } { 3 \hat { s } ^ { 2 } } { \cal C } ^ { ( i ) } \sum _ { j = 1 } ^ { 5 } w _ { j } ^ { ( i ) } \tilde { { \cal B } } _ { j } ,
\begin{array} { r l } { G _ { A B C D } ^ { ( 4 ) } ( \boldsymbol { r } _ { 1 } , \boldsymbol { r } _ { 2 } , \boldsymbol { r } _ { 3 } , \boldsymbol { r } _ { 4 } ) } & { { } = \left\langle \tilde { \Psi } \right| \hat { \psi } _ { A , L } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } _ { 1 } ) \hat { \psi } _ { B , L } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } _ { 2 } ) \hat { \psi } _ { C , L } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } _ { 3 } ) \hat { \psi } _ { D , L } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } _ { 4 } ) \hat { \psi } _ { D , L } ( \boldsymbol { r } _ { 4 } ) \hat { \psi } _ { C , L } ( \boldsymbol { r } _ { 3 } ) \hat { \psi } _ { B , L } ( \boldsymbol { r } _ { 2 } ) \hat { \psi } _ { A , L } ( \boldsymbol { r } _ { 1 } ) \left| \tilde { \Psi } \right\rangle , } \end{array}