harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { a } & { : = \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } } \\ { b } & { : = \alpha _ { 2 } \beta _ { 1 } + \alpha _ { 1 } \beta _ { 2 } } \\ { c } & { : = \beta _ { 1 } + \beta _ { 2 } + \theta _ { 1 } + \theta _ { 2 } } \\ { d } & { : = \gamma _ { 1 } \beta _ { 1 } + \gamma _ { 2 } \beta _ { 2 } - b + \epsilon } \\ { \epsilon } & { : = \beta _ { 1 } \beta _ { 2 } + \beta _ { 1 } \theta _ { 2 } + \beta _ { 2 } \theta _ { 1 } \, . } \end{array}
\int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } } \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } \partial _ { t } f _ { n } \Phi \, \mathrm { d } v \, \mathrm { d } t = \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } } \int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } \left( \nabla ^ { 2 } \Phi : A [ f _ { n } ] f _ { n } \right) + 2 \nabla \Phi \cdot \nabla a [ f _ { n } ] f _ { n } \, \mathrm { d } v \, \mathrm { d } t .
\begin{array} { r l } { \left( n \land \bigvee _ { i \in I } p ^ { i } \right) ^ { \alpha + 1 } } & { = \left( n \land \bigvee _ { i \in I } p ^ { i } \right) \left( n \land \bigvee _ { i \in I } p ^ { i } \right) ^ { \alpha } , } \\ & { = n \left( \left( n \land \bigvee _ { i \in I } p ^ { i } \right) ^ { \alpha } \right) \land \bigvee _ { i \in I } p ^ { i } \left( \left( n \land \bigvee _ { i \in I } p ^ { i } \right) ^ { \alpha } \right) , } \\ & { = n \land n \left( \left( \bigvee _ { i \in I } p ^ { i } \right) ^ { \alpha } \right) \land \bigvee _ { i \in I } p ^ { i } n \land p ^ { i } \left( \left( \bigvee _ { i \in I } p ^ { i } \right) ^ { \alpha } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { 1 } \mathrm { ~ E ~ \" ~ o ~ t ~ v ~ \" ~ o ~ s ~ n ~ u ~ m ~ b ~ e ~ r ~ } } & { { } = E o = \frac { \Delta \rho g d ^ { 2 } } { \sigma } } \\ { \mathrm { ~ M ~ o ~ r ~ t ~ o ~ n ~ n ~ u ~ m ~ b ~ e ~ r ~ } } & { { } = M o = \frac { g \mu _ { l } ^ { 4 } \Delta \rho } { \rho _ { l } ^ { 2 } \sigma ^ { 3 } } } \\ { \mathrm { ~ C ~ o ~ n ~ f ~ i ~ n ~ e ~ m ~ e ~ n ~ t ~ r ~ a ~ t ~ i ~ o ~ } } & { { } = C _ { r } = \frac { W } { d } } \\ { \mathrm { ~ c ~ e ~ n ~ t ~ e ~ r ~ t ~ o ~ c ~ e ~ n ~ t ~ e ~ r ~ d ~ i ~ s ~ t ~ a ~ n ~ c ~ e ~ } } & { { } = h _ { d } = \frac { h } { d } } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } & { R _ { \phantom { a } b c d } ^ { a } = h _ { c } ^ { \mu } \partial _ { \mu } \omega _ { \phantom { a } b d } ^ { a } - h _ { d } ^ { \nu } \partial _ { \nu } \omega _ { \phantom { a } b c } ^ { a } + \omega _ { \phantom { a } f c } ^ { a } \omega _ { \phantom { a } b d } ^ { f } - \omega _ { \phantom { a } f d } ^ { a } \omega _ { \phantom { a } b c } ^ { f } = 0 . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { n _ { x } , n _ { y } } ^ { ( \pm ) } \left( x , y , z \right) = a ( z ) H _ { n _ { x } } \left( \frac { \sqrt { 2 } x } { w ( z ) } \right) H _ { n _ { y } } } & { \left( \frac { \sqrt { 2 } y } { w ( z ) } \right) } \\ { \exp \left[ - \frac { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } { w ( z ) ^ { 2 } } \right] } & { \exp \left[ \mp i k \frac { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } { 2 R _ { u } ( z ) } \right] \exp \left[ \pm i ( n _ { x } + n _ { y } + 1 ) \Psi _ { G } \right] , } \end{array}
{ \cal Z } = \int \! [ d q ^ { i } d p _ { i } ] ~ \delta ( \Omega _ { a } ) \delta ( \Gamma ^ { b } ) \operatorname * { d e t } | \{ \Gamma ^ { b } , \Omega _ { a } \} | ~ e ^ { i \! \! \int \! \! d x ( p \dot { q } - H _ { c } ) }
\begin{array} { r l } { \mathbf { \Phi } _ { i } ( t ) = } & { { } ( \phi _ { i , j } ( \boldsymbol { x } _ { i , q } , t ) , ) \in \mathbb { R } ^ { Q _ { x } \times J _ { n } } , \quad \mathbf { \Phi } _ { i , 0 } = \mathbf { \Phi } _ { i } ( t _ { i , 0 } ) , \quad \mathbf { \Phi } _ { i , 1 } = \mathbf { \Phi } _ { i } ( t _ { i , Q _ { t } } ) , } \\ { \mathbf { L } _ { i } ( t ) = } & { { } ( \mathcal { L } \phi _ { i , j } ( \boldsymbol { x } _ { i , q } , t ) , ) \in \mathbb { R } ^ { Q _ { x } \times J _ { n } } , \quad \mathbf { L } _ { i } = [ \mathbf { L } _ { i } ( t _ { i , 0 } ) ^ { \top } , \cdots , \mathbf { L } _ { i } ( t _ { i , Q _ { t } - 1 } ) ^ { \top } ] ^ { \top } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left( \frac { d m } { d t } \right) } & { { } = } & { \left( \frac { d m } { d t } \right) _ { d } + \left( \frac { d m } { d t } \right) _ { c } + \left( \frac { d m } { d t } \right) _ { t } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ^ { 5 } } & { = ( \mathcal { D } _ { \omega } - \partial _ { x } D ) - \varepsilon ( \partial _ { x } S _ { 1 } - [ \mathcal { D } _ { \omega } - \partial _ { x } D , \mathfrak { A } _ { 1 } ] ) } \\ & { \ - \varepsilon ^ { 2 } \left( \partial _ { x } S _ { 2 } - [ \mathfrak { A } _ { 1 } , \partial _ { x } S _ { 1 } ] - [ \mathcal { D } _ { \omega } - \partial _ { x } D , \mathfrak { A } _ { 2 } ] - \frac { 1 } { 2 } [ [ \mathcal { D } _ { \omega } - \partial _ { x } D , \mathfrak { A } _ { 1 } ] , \mathfrak { A } _ { 1 } ] \right) , } \end{array}
\left\langle \mathbf { B } \right\rangle ^ { 2 } \ll \left\langle \mathbf { U } \right\rangle ^ { 2 } , \quad \textrm { h e n c e a l s o } \quad \left\langle \mathbf { b } ^ { \prime 2 } \right\rangle \ll \left\langle \mathbf { u } ^ { \prime 2 } \right\rangle ,
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } \frac { \P \left( \sum _ { k = 1 } ^ { \tau } \boldsymbol Z ^ { ( k ) } \in t A \right) } { \P \left( Z _ { ( i ) } ^ { \oplus } > t \right) } } } \\ & { } & { = \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \P ( \tau = n ) \frac { \P \left( \bigcap _ { j \in S } \left\{ \sum _ { k = 1 } ^ { n } Z _ { j } ^ { ( k ) } > t x _ { j } \right\} \right) } { \P \left( Z _ { ( i ) } ^ { \oplus } > t \right) } . } \end{array}
= \frac { 1 } { \left( \rho _ { b } + 1 \right) \left( \rho _ { k } + 1 \right) } \left( \underset { \Delta _ { 1 } } { \underbrace { \rho _ { k } \mathbf { \bar { h } } _ { r , k } ^ { H } \mathbf { A } \bar { \Theta } \mathbf { \bar { h } } _ { r , k } } } + \underset { \Delta _ { 2 } } { \underbrace { \sqrt { \rho _ { k } } \mathbf { \bar { h } } _ { r , k } ^ { H } \mathbf { A } \bar { \Theta } \mathbf { \tilde { h } } _ { r , k } } } + \underset { \Delta _ { 3 } } { \underbrace { \sqrt { \rho _ { k } } \mathbf { \tilde { h } } _ { r , k } ^ { H } \mathbf { A } \bar { \Theta } \mathbf { \bar { h } } _ { r , k } } } + \underset { \Delta _ { 4 } } { \underbrace { \mathbf { \tilde { h } } _ { r , k } ^ { H } \mathbf { A } \bar { \Theta } \mathbf { \tilde { h } } _ { r , k } } } \right)
E = \left( \sigma _ { 1 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { j = { N _ { 1 } } } \frac { 1 } { 2 } | \boldsymbol { e _ { 0 } } \times \boldsymbol { e _ { 1 } } | _ { j } \right) _ { 1 2 } - \cos \theta _ { \mathrm { { e } } } \left( \sigma _ { 1 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { { k = N _ { 2 } } } \frac { 1 } { 2 } | \boldsymbol { e _ { 0 } } \times \boldsymbol { e _ { 1 } } | _ { k } \right) _ { 1 \mathrm { { S } } } .
K ( \Phi ^ { \dagger } , \Phi ) \rightarrow K ( \Phi ^ { \dagger } , \Phi ) + { \frac { 2 n \pi \Lambda } { g } } \left( \Phi ^ { \dagger } + \Phi \right) + \left( { \frac { 2 n \pi \Lambda } { g } } \right) ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { j \boxtimes k \subset ( \alpha \boxtimes \beta ) \bullet ( j ^ { \prime } \boxtimes k ^ { \prime } ) } & { \Leftrightarrow N _ { \alpha \boxtimes \beta , j ^ { \prime } \boxtimes k ^ { \prime } } ^ { j \boxtimes k } \neq 0 \Leftrightarrow N _ { \alpha , j ^ { \prime } } ^ { j } \neq 0 \mathrm { ~ a n d ~ } N _ { \beta , k ^ { \prime } } ^ { k } \neq 0 } \\ & { \Leftrightarrow j \subset \alpha \otimes j ^ { \prime } \mathrm { ~ a n d ~ } k \subset \beta \otimes k ^ { \prime } \Leftrightarrow j ^ { \prime } \subset \overline { { \alpha } } \otimes j \mathrm { ~ a n d ~ } k ^ { \prime } \subset \overline { { \beta } } \otimes k } \\ & { \Leftrightarrow N _ { \overline { { \alpha } } , j } ^ { j ^ { \prime } } \neq 0 \mathrm { ~ a n d ~ } N _ { \overline { { \beta } } , k } ^ { k ^ { \prime } } \neq 0 \Leftrightarrow N _ { \overline { { \alpha } } \boxtimes \overline { { \beta } } , j \boxtimes k } ^ { j ^ { \prime } \boxtimes k ^ { \prime } } = N _ { \overline { { \alpha \boxtimes \beta } } , j \boxtimes k } ^ { j ^ { \prime } \boxtimes k ^ { \prime } } \neq 0 } \\ & { \Leftrightarrow j ^ { \prime } \boxtimes k ^ { \prime } \subset ( \overline { { \alpha \boxtimes \beta } } ) \bullet ( j \boxtimes k ) . } \end{array}
\nabla _ { [ \bar { k } } T _ { { \bar { \jmath } } ] { \bar { \imath } } { \bar { s } } } = \nabla _ { [ \bar { k } } ( e ^ { G } \overline { { { W } } } _ { { \bar { \jmath } } ] { \bar { \imath } } \bar { s } } ) \ ,
\frac { 1 } { \pi } s \, I m \, \left[ \Pi ^ { L } ( s ) \right] _ { \pi + 3 \pi } = 2 f _ { \pi } ^ { 2 } m _ { \pi } ^ { 4 } \left[ \delta ( s - m _ { \pi } ^ { 2 } ) + \frac { 8 s } { 3 \left( 8 \pi f _ { \pi } \right) ^ { 4 } } \theta \left( s - 9 m _ { \pi } ^ { 2 } \right) \right]
{ \cal L } = - \left( \overline { { { q } } } _ { L } ^ { 3 } \ , \ \overline { { { \chi } } } _ { L } \right) \left( \begin{array} { r l } { { 0 \; \; \; } } & { { \xi _ { \chi } H } } \\ { { m _ { \chi t } } } & { { m _ { \chi \chi } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { t _ { R } } } \\ { { \chi _ { R } } } \end{array} \right) + \mathrm { h . c . }
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \| \nabla f ( x ^ { \mathrm { o u t } } ) \| ^ { 2 } = \frac { 1 } { R } \sum _ { r = 1 } ^ { R } \mathbb { E } \| \nabla f ( x _ { \hat { r } - 1 } ) \| ^ { 2 } \leq } & { \ \frac { 2 ( f ( x _ { 0 } ) - f ( x _ { * } ) ) } { \eta K R } - \frac { 1 } { 4 \eta ^ { 2 } } \frac { 1 } { K R } \sum _ { r = 1 } ^ { R } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \| x _ { k , r - 1 } - x _ { k - 1 , r } \| ^ { 2 } } \\ & { + 2 e \left( \sigma _ { 1 } ^ { 2 } C _ { 1 } ^ { 2 } d + K ^ { 2 } T \sigma _ { 2 } ^ { 2 } C _ { 2 } ^ { 2 } d \frac { 1 } { K R } \sum _ { r = 1 } ^ { R } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } \| x _ { k , r - 1 } - x _ { k - 1 , r } \| ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| b _ { T , \mathcal { D } } - b _ { T , N } | _ { \mathcal { D } } \| _ { L ^ { q } ( \Omega ; \mathcal { C } ^ { t } ( \overline { \mathcal { D } } ) ) } } & { \le \| b _ { T } - b _ { T , N } \| _ { L ^ { q } ( \Omega ; \mathcal { C } ^ { t } ) } } \\ & { \le \mathbb { E } \left( \| b _ { T } - b _ { T , N } \| _ { \mathcal { C } ^ { t } } ^ { q _ { 0 } } \right) ^ { \frac { 1 } { q _ { 0 } } } } \\ & { \le \mathbb { E } \left( \| b _ { T } - b _ { T , N } \| _ { B _ { q _ { 0 } } ^ { t _ { 0 } } } ^ { q _ { 0 } } \right) ^ { \frac { 1 } { q _ { 0 } } } } \\ & { \le \left( \sum _ { j = N + 1 } ^ { \infty } 2 ^ { j q _ { 0 } ( t _ { 0 } - \frac { d } { q _ { 0 } } - s + \frac { d } { p } + \frac { \gg } { q _ { 0 } } ) } \right) ^ { \frac { 1 } { q _ { 0 } } } } \\ & { = 2 ^ { N ( t - s + \frac { d } { p } + \frac { \gg } { q _ { 0 } } ) } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } 2 ^ { j q _ { 0 } ( t - s + \frac { d } { p } + \frac { \gg } { q _ { 0 } } ) } \right) ^ { \frac { 1 } { q _ { 0 } } } . } \end{array}
p \left[ I \right] = \exp \left[ - \lambda \left( \sqrt { \left| \tilde { \psi } _ { n + 1 } \right| ^ { 2 } } - \sqrt { \left| \tilde { \psi } _ { n } \right| ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \right] , \; \; \; \textrm { ( p r o x i m a l p r i o r ) }
\begin{array} { r l } { \mathcal { \ell } T _ { \overset { . } { 2 } \overset { . } { 3 } } ^ { 1 } } & { { } = 0 = - \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 2 } } ^ { 2 } \left( n \right) \sin \mathcal { \ell } \omega _ { \overset { . } { 2 } } \left( n \right) e _ { \overset { . } { 3 } } ^ { 3 } \left( n + \overset { . } { 2 } \right) + 2 \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 2 } } ^ { 1 } \left( n \right) \widehat { \omega } _ { \overset { . } { 2 } } ^ { 3 } \left( n \right) \sin ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 } \mathcal { \ell } \omega _ { \overset { . } { 2 } } \left( n \right) e _ { \overset { . } { 3 } } ^ { 3 } \left( n + \overset { . } { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { H } } & { = \mathbf { G } \mathbf { F } = \left[ \begin{array} { l l l l } { \mathbf { I } _ { R } } & { \sqrt { \rho _ { 1 } } \mathbf { G } _ { 1 } } & { \ldots } & { \sqrt { \rho _ { K } } \mathbf { G } _ { K } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { \mathbf { F } _ { 0 } } \\ { \mathbf { F } _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { \mathbf { F } _ { K } } \end{array} \right] . } \end{array}
\overline { \chi } ^ { 2 } = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left[ \frac { ( \varphi _ { p r e d } ^ { i } - \varphi _ { t r u e } ^ { i } ) ^ { 2 } } { \Delta \varphi ^ { i \, 2 } } + \frac { ( D _ { p r e d } ^ { i } - D _ { t r u e } ^ { i } ) ^ { 2 } } { \Delta D ^ { i \, 2 } } \right] ,
\begin{array} { r } { { P T E } \equiv \frac { P _ { \mathrm { L } } } { P _ { \mathrm { i n } } } = \frac { | I _ { 2 } | ^ { 2 } R _ { \mathrm { L } } } { \mathfrak { R e } \{ V _ { 1 } I _ { 1 } ^ { * } \} } . } \end{array}
{ S _ { 1 4 } ^ { s h } = S _ { 1 4 } ^ { \uparrow \uparrow , s h } + S _ { 1 4 } ^ { \uparrow \downarrow , s h } + S _ { 1 4 } ^ { \downarrow \uparrow , s h } + S _ { 1 4 } ^ { \downarrow \downarrow , s h } } ,
\mathrm { ~ H ~ o ~ s ~ a ~ k ~ i ~ } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) = \Big ( 1 - 8 x _ { 1 } + 7 { x _ { 1 } } ^ { 2 } - \frac { 7 } { 3 } { x _ { 1 } } ^ { 3 } + \frac { 1 } { 4 } { x _ { 1 } } ^ { 4 } \Big ) { x _ { 2 } } ^ { 2 } \exp ( - x _ { 2 } ) .
\begin{array} { r } { v ^ { \mathrm { T F E } } = \mu ( c _ { \mathrm { m a x } } ) H ^ { \mathrm { T F E } } \int _ { 0 } ^ { c _ { \mathrm { m a x } } } \cfrac { \mathrm { d } c } { \mu ( c ) } , } \\ { v ^ { \mathrm { K o v a l } } = H ^ { \mathrm { K o v a l } } \left[ a M ^ { 1 / 4 } + ( 1 - a ) \right] ^ { 4 } , } \end{array}
n _ { \mathrm { i s o c h o r i c } } ( T ) = \frac { 2 A _ { C } } { \bar { m } \, A _ { \mathrm { f f } } } \frac { E _ { r } T _ { \mathrm { C , e f f } } } { a T ^ { 4 } - 9 \ensuremath { E _ { r , \mathrm { s } } } } \, T ^ { 3 . 5 } .
\begin{array} { r } { \boldsymbol { \Lambda } = \left[ \begin{array} { l l l } { - \epsilon _ { 3 3 } \nabla _ { 2 } } & { - \epsilon _ { 1 5 } \frac { \partial } { \partial \theta } } & { - \frac { \epsilon _ { 1 5 } } { \sin \theta } \frac { \partial } { \partial \Theta } } \end{array} \right] ^ { T } , } \\ { \boldsymbol { \chi } = \left[ \begin{array} { l l l l l l } { e _ { 3 3 } \nabla _ { 2 } } & { e _ { 3 1 } \nabla _ { 2 } } & { e _ { 3 1 } \nabla _ { 2 } } & { e _ { 1 5 } \frac { \partial } { \partial \theta } } & { \frac { e _ { 1 5 } } { \sin \theta } \frac { \partial } { \partial \Theta } } & { 0 } \end{array} \right] ^ { T } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Vert f _ { \varepsilon } \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } \left( 0 , T ; \mathcal { H } _ { r } ^ { m - 1 } \right) } ^ { 2 } } & { \leq \Vert f ^ { \mathrm { i n } } \Vert _ { \mathcal { H } _ { r } ^ { m - 1 } } ^ { 2 } + C \Vert f _ { \varepsilon } \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } \left( 0 , T ; \mathcal { H } _ { r } ^ { m - 1 } \right) } ^ { 2 } \Bigg ( T + \sqrt { T } \Vert u _ { \varepsilon } \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { m - 1 } ) } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad + \sqrt { T } \Lambda \left( \Vert \varrho _ { \varepsilon } \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { m - 2 } ) } \right) \Vert \varrho _ { \varepsilon } \Vert _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { m } ) } \Bigg ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { t _ { 1 ( 2 ) } } & { { } = } & { j \omega C _ { n m } } \\ { \epsilon _ { n } } & { { } = } & { j \omega \left( C _ { n } + \left( \sum _ { m } C _ { n m } - \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } L _ { n } } \right) \right) . } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { \mathbf { h } \to \mathbf { 0 } } { \frac { \| \mathbf { f } ( \mathbf { x _ { 0 } } + \mathbf { h } ) - \mathbf { f } ( \mathbf { x _ { 0 } } ) - \mathbf { J } \mathbf { ( h ) } \| _ { \mathbf { R } ^ { n } } } { \| \mathbf { h } \| _ { \mathbf { R } ^ { m } } } } = 0 .
\begin{array} { r l } & { p _ { i } ^ { ( \lambda ) } ( u , { z } , k _ { i } ) : = \frac { p _ { i } ( u , { z } , k _ { i } ) \exp \left\{ - \lambda \tilde { \omega } _ { p _ { i } } ^ { ( \mu ) } ( z , k _ { i } | u ) \right\} } { \mathrm { E } _ { p _ { i } } \left[ \exp \left\{ - \lambda \tilde { \omega } _ { p _ { i } } ^ { ( \mu ) } ( { Z } , K _ { i } | U ) \right\} \right] } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 = } & { \ ( - y _ { 2 } z _ { 3 } + y _ { 2 } z _ { 4 } + y _ { 3 } z _ { 2 } - y _ { 3 } z _ { 4 } - y _ { 4 } z _ { 2 } + y _ { 4 } z _ { 3 } ) u _ { 1 } + ( x _ { 2 } z _ { 3 } - x _ { 2 } z _ { 4 } - x _ { 3 } z _ { 2 } + x _ { 3 } z _ { 4 } + x _ { 4 } z _ { 2 } - x _ { 4 } z _ { 3 } ) v _ { 1 } } \\ & { + ( - x _ { 2 } y _ { 3 } + x _ { 2 } y _ { 4 } + x _ { 3 } y _ { 2 } - x _ { 3 } y _ { 4 } - x _ { 4 } y _ { 2 } + x _ { 4 } y _ { 3 } ) w _ { 1 } + ( y _ { 1 } z _ { 3 } - y _ { 1 } z _ { 4 } - y _ { 3 } z _ { 1 } + y _ { 3 } z _ { 4 } + y _ { 4 } z _ { 1 } - y _ { 4 } z _ { 3 } ) u _ { 2 } } \\ & { + ( - x _ { 1 } z _ { 3 } + x _ { 1 } z _ { 4 } + x _ { 3 } z _ { 1 } - x _ { 3 } z _ { 4 } - x _ { 4 } z _ { 1 } + x _ { 4 } z _ { 3 } ) v _ { 2 } + ( x _ { 1 } y _ { 3 } - x _ { 1 } y _ { 4 } - x _ { 3 } y _ { 1 } + x _ { 3 } y _ { 4 } + x _ { 4 } y _ { 1 } - x _ { 4 } y _ { 3 } ) w _ { 2 } } \\ & { + ( - y _ { 1 } z _ { 2 } + y _ { 1 } z _ { 4 } + y _ { 2 } z _ { 1 } - y _ { 2 } z _ { 4 } - y _ { 4 } z _ { 1 } + y _ { 4 } z _ { 2 } ) u _ { 3 } + ( x _ { 1 } z _ { 2 } - x _ { 1 } z _ { 4 } - x _ { 2 } z _ { 1 } + x _ { 2 } z _ { 4 } + x _ { 4 } z _ { 1 } - x _ { 4 } z _ { 2 } ) v _ { 3 } } \\ & { + ( - x _ { 1 } y _ { 2 } + x _ { 1 } y _ { 4 } + x _ { 2 } y _ { 1 } - x _ { 2 } y _ { 4 } - x _ { 4 } y _ { 1 } + x _ { 4 } y _ { 2 } ) w _ { 3 } + ( y _ { 1 } z _ { 2 } - y _ { 1 } z _ { 3 } - y _ { 2 } z _ { 1 } + y _ { 2 } z _ { 3 } + y _ { 3 } z _ { 1 } - y _ { 3 } z _ { 2 } ) u _ { 4 } } \\ & { + ( - x _ { 1 } z _ { 2 } + x _ { 1 } z _ { 3 } + x _ { 2 } z _ { 1 } - x _ { 2 } z _ { 3 } - x _ { 3 } z _ { 1 } + x _ { 3 } z _ { 2 } ) v _ { 4 } + ( x _ { 1 } y _ { 2 } - x _ { 1 } y _ { 3 } - x _ { 2 } y _ { 1 } + x _ { 2 } y _ { 3 } + x _ { 3 } y _ { 1 } - x _ { 3 } y _ { 2 } ) w _ { 4 } } \end{array}
\Phi _ { k } ^ { - } = \left( { \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { { u _ { k } \left( { \vec { r } , \Omega } \right) } } } \\ { { 0 } } & { { { v _ { k } \left( { \vec { r } , \Omega } \right) } } } \end{array} } \right) .
\begin{array} { r c l } { { } } & { { } } & { { k _ { i } X _ { j } ^ { + } k _ { i } ^ { - 1 } = q _ { i } ^ { 1 / 2 } X _ { j } ^ { + } ~ , } } \\ { { } } & { { } } & { { X _ { i } ^ { + } X _ { j } ^ { - } - q _ { i } ^ { a _ { i j } / 2 } X _ { j } ^ { - } X _ { i } ^ { + } = \delta _ { i j } \displaystyle \frac { 1 - k _ { i } ^ { - 2 } } { 1 - q _ { i } ^ { - 1 } } ~ . } } \end{array}
{ \cal D } X ^ { \mu } = D X ^ { \mu } - \frac { l ^ { 2 } ( k _ { \rho } D X ^ { \rho } ) - ( k \cdot l ) ( l _ { \rho } D X ^ { \rho } ) } { k ^ { 2 } l ^ { 2 } - ( k \cdot l ) ^ { 2 } } \, k ^ { \mu } \ - \frac { k ^ { 2 } ( l _ { \rho } D X ^ { \rho } ) - ( k \cdot l ) ( k _ { \rho } D X ^ { \rho } ) } { k ^ { 2 } l ^ { 2 } - ( k \cdot l ) ^ { 2 } } \, l ^ { \mu } ,
( W ^ { 1 2 } ) ^ { 2 } = \phi ^ { 1 1 2 2 } + \ldots + \theta ^ { 1 \alpha } \theta ^ { 1 \beta } \theta ^ { 2 \gamma } \theta ^ { 2 \delta } A _ { [ \alpha \beta ] [ \gamma \delta ] } + \mathrm { \small ~ d . t . }
f _ { y } ( T ) = \frac { | y _ { 0 } - a _ { y } | \gamma _ { s } } { \sqrt { 2 \pi } } \frac { 1 } { T ^ { \gamma _ { s } / 2 + 1 } } \exp \Bigg ( - \frac { ( y _ { 0 } - a _ { y } ) ^ { 2 } } { 2 T ^ { \gamma _ { s } } } \Bigg ) .
\begin{array} { r l } { { \mathcal I } _ { 2 } } & { = { \mathcal J } _ { 1 } + { \mathcal J } _ { 2 } , } \\ { { \mathcal J } _ { 1 } } & { : = \int _ { \zeta } ^ { \alpha ( \mu ) } \frac { 1 } { \sqrt { G ( \xi ; \mu ) - G ( z ; \mu ) } } d z , \qquad { \mathcal J } _ { 2 } : = \int _ { \alpha ( \mu ) } ^ { \xi } \frac { 1 } { \sqrt { G ( \xi ; \mu ) - G ( z ; \mu ) } } d z . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { d } { d t } \mathscr X _ { - , r e g , \alpha } ^ { ( \eta ) } + \frac { 1 } { C _ { \eta } } \widetilde { \mathscr D } _ { - , \alpha } } \\ & { \quad \leq C _ { \eta } \{ \varepsilon \langle \| \partial _ { t } a \| _ { L _ { x } ^ { 2 } } + \| F _ { + } \| _ { \mathfrak D } ^ { 2 } \rangle \mathscr X _ { - , r e g , \alpha } ^ { ( \eta ) } + \varepsilon ^ { 2 } \langle \| F _ { + } \| _ { \mathfrak D } \rangle ^ { 2 } \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Sigma _ { \hat { x } } ^ { 1 } = \{ ( t , z , a , b ) \in M \times T \ | \ \Phi _ { 1 } ( t , z , a , b ) = 0 , \ \Phi _ { 3 } ( \hat { t } , \hat { z } , a , b ) = 0 \} , } \\ & { \Sigma _ { \hat { y } } ^ { 2 } = \{ ( t , z , a , b ) \in M \times T \ | \ \Phi _ { 1 } ( t , z , a , b ) = 0 , \ \Phi _ { 2 } ( t , z , \hat { a } , \hat { b } ) = 0 \} , } \end{array}
{ { \bf \Pi } ^ { \left( \mathrm { e } \right) } } : { \mathscr V } _ { h } \left( \Omega ^ { \left( \mathrm { e } \right) } \right) \rightarrow \left[ { \mathscr P } _ { 1 } \left( \Omega ^ { \left( \mathrm { e } \right) } \right) \right] ^ { d }
- \sum _ { \omega } N ^ { - \omega } \int _ { 1 - \epsilon } ^ { 1 } \frac { d s } { 2 s } G _ { \omega } ( s ^ { 3 } \tilde { t } ) \stackrel { \tilde { t } \rightarrow t _ { c } } { \sim } \frac { N ^ { - 3 / 2 } I ( t _ { c } ) ^ { 1 / 2 } L ( t _ { c } ) ^ { 3 / 2 } } { 4 M _ { T , c } K ^ { 2 } \kappa ( t , N ) ^ { 1 / 2 } } \sum _ { \omega } \mathrm { C a t } _ { \omega - 1 } \frac { \kappa ( t , N ) ^ { \omega - 1 } } { ( 1 - 2 / 3 \omega ) } \mathrm { ~ . }
\hat { \boldsymbol { \sigma } } \left( \hat { \mathbf { u } } , \hat { p } \right) = - \hat { p } I + \rho _ { f } \nu _ { f } \left( \hat { \nabla } \hat { \mathbf { u } } \mathbf { F } ^ { - 1 } + \mathbf { F } ^ { - T } \hat { \nabla } \hat { \mathbf { u } } ^ { T } \right) ,
\rho _ { 1 } ( \vec { x } , t ) = \bar { \rho } _ { 1 } \sum _ { n } \rho _ { 1 } ^ { n } ( \vec { x } ) f ^ { n } ( t ) , \qquad \rho _ { 2 } ( \vec { x } , t ) = \bar { \rho } _ { 2 } \sum _ { n } \rho _ { 2 } ^ { n } ( \vec { x } ) f ^ { n } ( t ) .
E [ S , Q ] = { \frac { ( n - 1 ) \omega _ { n - 1 } } { 1 6 \pi G l ^ { 2 } } } \left[ s ^ { \frac { n } { n - 1 } } + l ^ { 2 } s ^ { \frac { n - 2 } { n - 1 } } + q ^ { 2 } l ^ { 2 } s ^ { - { \frac { n - 2 } { n - 1 } } } \right] \ ,
\begin{array} { r } { \alpha ( h ) = \frac { 1 } { 1 + e ^ { ( h - h _ { \alpha } ) / \lambda _ { \alpha } } } } \\ { \beta ( h ) = \frac { 1 } { 1 + e ^ { ( h - h _ { \beta } ) / \lambda _ { \beta } } } } \\ { p a ( h ) _ { n o n - r a d i a l } = ( 1 - \alpha ) \, p a ( h ) _ { E U V I , C O R 1 } + \alpha [ ( 1 - \beta ) \, p a ( h ) _ { C O R 1 , C O R 2 } + \beta \, p a ( h ) _ { C O R 2 } ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } { \bf M } ( { \bf x } , t ) = } & { { } - \frac { \gamma \mu _ { 0 } } { 1 + \alpha ^ { 2 } } { \bf M } \times { \bf H } _ { \mathrm { e f f } } - \frac { \alpha \gamma \mu _ { 0 } } { M _ { s } ( 1 + \alpha ^ { 2 } ) } { \bf M } \times \left( { \bf M } \times { \bf H } _ { \mathrm { e f f } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { T ( r ) } & { { } = \frac { R _ { 2 } ^ { 2 } } { 4 D } \log r - \frac { r ^ { 2 } } { 8 D } + \frac { R _ { 1 } ^ { 2 } } { 8 D } - \frac { R _ { 2 } ^ { 2 } } { 4 D } \log R _ { 1 } } \end{array}
\sigma _ { i n e l } ( \gamma ^ { * } + p ) = { \frac { \alpha } { 3 \pi } } \left< \sigma \right> \int _ { m _ { 0 } ^ { 2 } } ^ { M _ { m a x } ^ { 2 } } R ( m ^ { 2 } ) { \frac { m ^ { 2 } } { ( m ^ { 2 } + Q ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } d m ^ { 2 } \ ,
Q _ { 2 } = { \frac { \pi R ^ { 4 } } { 1 6 \mu L } } \left( { \frac { p _ { 1 } ^ { 2 } - p _ { 2 } ^ { 2 } } { p _ { 2 } } } \right) = { \frac { \pi R ^ { 4 } ( p _ { 1 } - p _ { 2 } ) } { 8 \mu L } } { \frac { ( p _ { 1 } + p _ { 2 } ) } { 2 p _ { 2 } } } .
\begin{array} { r } { c ( \underline { { m } } _ { 2 } - \underline { { m } } _ { 1 } ) \underline { { g } } ^ { 2 } \int \frac { s t \mathrm { d } H ( s , t ) } { ( 1 + s \underline { { g } } + t \underline { { m } } _ { 1 } ) ( 1 + s \underline { { g } } + t \underline { { m } } _ { 2 } ) } + \underline { { m } } _ { 1 } - \underline { { m } } _ { 2 } = 0 . } \end{array}