harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { = } & { { } \int _ { \partial \Omega } \tilde { e } _ { \Sigma } ^ { j } \wedge e _ { \phi } ^ { i } + ( - 1 ) ^ { n } \int _ { \partial \Omega } \langle d N _ { \phi } ( e _ { \phi } ^ { j } ) , \delta N _ { \beta } ( \omega ) \rangle _ { \Lambda ^ { 1 } } \wedge e _ { \phi } ^ { i } . } \end{array}
\delta \varphi ^ { i } ( y ) = \sum _ { k } \int d ^ { 2 } x \ \left( \Lambda _ { k } ( x ) \phi _ { k } ^ { i ( 0 ) } ( x , y ) + \dot { \Lambda } _ { k } ( x ) \phi _ { k } ^ { i ( 1 ) } ( x , y ) + \ddot { \Lambda } _ { k } ( x ) \phi _ { k } ^ { i ( 2 ) } ( x , y ) \right) ,
{ M } = \left( \begin{array} { c c c } { { \sqrt { \frac { 1 } { 2 } } \pi ^ { 0 } + \sqrt { \frac { 1 } { 6 } } \eta } } & { { \pi ^ { + } } } & { { K ^ { + } \nonumber } } \\ { { \pi ^ { - } } } & { { - \sqrt { \frac { 1 } { 2 } } \pi ^ { 0 } + \sqrt { \frac { 1 } { 6 } } \eta } } & { { K ^ { 0 } } } \\ { { K ^ { - } } } & { { { \bar { K } } ^ { 0 } } } & { { - \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } \eta } } \end{array} \right)
\Omega _ { 1 } = \left( \begin{array} { c c } { { I } } & { { \gamma } } \\ { { 0 } } & { { I } } \end{array} \right) \quad \Omega _ { 2 } = \left( \begin{array} { c c } { { I } } & { { 0 } } \\ { { \alpha } } & { { I } } \end{array} \right) \quad \Omega _ { 3 } = \left( \begin{array} { c c } { { { A ^ { - 1 } } ^ { T } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { A } } \end{array} \right)
\frac { { \Delta } ^ { 2 } u \left( x , { t } _ { k - 1 } \right) } { { \tau } ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 2 } q \left( { t } _ { k } \right) \left( \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } u \left( x , { t } _ { k + 1 } \right) } { \mathrm { d } { x } ^ { 2 } } + \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } u \left( x , { t } _ { k - 1 } \right) } { \mathrm { d } { x } ^ { 2 } } \right) = f \left( x , { t } _ { k } \right) + { R } _ { 1 , k } \left( x , \tau \right) + { R } _ { 2 , k } \left( x , \tau \right) \, ,
\langle E _ { i } \rangle = { \frac { k _ { B } T } { 2 } } { \frac { \int d x \, \, x ^ { 2 } \, \, e ^ { - { \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } } } { \int d x \, \, e ^ { - { \frac { x ^ { 2 } } { 2 } } } } } = { \frac { k _ { B } T } { 2 } }
\mathrm { V a r } _ { \omega } \left[ T _ { S _ { \nu _ { n } - 1 } } ^ { r } - \mathrm { E } _ { \omega } T _ { S _ { \nu _ { n } - 1 } } ^ { r } - \sum _ { k = 1 } ^ { \nu _ { n } - 1 } \xi _ { k } ^ { 2 } ( 2 \vartheta _ { k } - 1 ) \right] \leq \mathrm { V a r } _ { \omega } \left[ \sum _ { k = 1 } ^ { C d _ { n } } \left( U _ { \xi _ { k } } - 2 \xi _ { k } ^ { 2 } \vartheta _ { k } \right) \right] .
\begin{array} { r } { \mu _ { d , c } ^ { ( \kappa ) } [ i ] = \eta _ { d , c } ^ { ( \kappa ) } [ i ] \left[ { \Delta \frac { { \bar { \mu } _ { d , c } ^ { ( \kappa ) } [ i ] } } { { \bar { \eta } _ { d , c } ^ { ( \kappa ) } [ i ] } } + ( 1 - \Delta ) \frac { { \mu _ { d , c } ^ { ( \kappa - 1 ) } [ i ] } } { { \eta _ { d , c } ^ { ( \kappa - 1 ) } [ i ] } } } \right] , } \end{array}
| \lambda _ { i } | < 1 \ \ \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ l ~ l ~ } \ \ \lambda _ { i } \in \mathrm { ~ e ~ i ~ g ~ } \ \textbf { J } ( f _ { 1 } , f _ { 2 } ) \Big | _ { \Phi = \Phi ^ { * } , \ N = N ^ { * } } ,
\begin{array} { r l } { n _ { e } } & { { } \simeq 1 + \phi + \frac { 1 } { 2 } \phi ^ { 2 } + \frac { 1 } { 6 } \phi ^ { 3 } + \cdots , } \\ { z _ { d } } & { { } \simeq 1 + c _ { 1 } \phi + c _ { 2 } \phi ^ { 2 } + c _ { 3 } \phi ^ { 3 } + \cdots . } \end{array}
\mathcal { D } _ { t } ( x ) = \frac { \theta ^ { x } ( 1 - \theta ) ^ { t - x } R _ { t } ^ { i } } { \int _ { 0 } ^ { 1 } y ^ { x } ( 1 - y ) ^ { t - x } R _ { t } ^ { i } \, \mathrm { ~ d ~ } y } , \quad \theta \in [ 0 , 1 ] .
\begin{array} { r l } { r _ { 1 } \coloneq \, } & { \{ ( v , 0 , v ) ~ | ~ v \in \iota _ { \mathbb { B } } ( \Gamma ) \} ~ \cup } \\ & { \{ ( ( \sigma x . \varphi , \varepsilon ) , b , ( \varphi [ \sigma x . \varphi / x ] , a ) ~ | ~ a \in O _ { x } ( \varphi ) \} ~ \cup } \\ & { \{ ( ( \sigma x . \varphi , 0 a ) , 0 , ( \varphi [ \sigma x . \varphi / x ] , a ) ~ | ~ a \in N ( \varphi ) \} ~ \cup } \\ & { \{ ( ( \sigma x . \varphi , 0 a ) , 0 , ( \varphi [ \sigma x . \varphi / x ] , a ^ { \prime } 0 a ) ~ | ~ a \in N ( \varphi ) , a ^ { \prime } \in O _ { X } ( \varphi ) \} } \end{array}
\begin{array} { r } { u _ { k _ { 1 } } ^ { \prime \prime } ( r ) - U ( r ) u _ { k _ { 1 } } ( r ) + k _ { 1 } ^ { 2 } u _ { k _ { 1 } } ( r ) = 0 , } \\ { u _ { k _ { 2 } } ^ { \prime \prime } ( r ) - U ( r ) u _ { k _ { 2 } } ( r ) + k _ { 2 } ^ { 2 } u _ { k _ { 2 } } ( r ) = 0 . } \end{array}
H _ { v } = \sum _ { i = 1 } ^ { 3 N - 6 ( 5 ) } \left( - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial Q _ { i } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } \lambda _ { i } Q _ { i } ^ { 2 } \right)
\operatorname * { l i m } _ { \lambda \to \infty } \left[ \mathrm { R e } \, \Gamma ( \varphi , \lambda ) \right] _ { \lambda - d e p } \; = \; \varphi _ { 1 } ^ { 2 } \operatorname * { l i m } _ { \lambda \to \infty } \frac { \pi } { 2 } \, \sum _ { n _ { 1 } } \, \frac { \tau _ { 2 } ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } } { ( \lambda ^ { 2 } + \tau _ { 2 } ^ { 2 } n _ { 1 } ^ { 2 } ) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \,
{ \begin{array} { r l r l } { { 4 } \operatorname* { l i m i n f } _ { n \to \infty } x _ { n } } & { = \infty } & & { \; \; { \mathrm { ~ i m p l i e s ~ } } \; \; \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } x _ { n } = \infty , } \\ { \operatorname* { l i m s u p } _ { n \to \infty } x _ { n } } & { = - \infty } & & { \; \; { \mathrm { ~ i m p l i e s ~ } } \; \; \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } x _ { n } = - \infty . } \end{array} }
f _ { \vec { k } } ( \Omega ) ~ = ~ - \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } ~ ( 2 l + 1 ) ~ \int d r ~ r ^ { 2 } ~ U ( r ) ~ \frac { f ( r ) } { r } ~ j _ { l } ( k r ) ~ i ^ { l } \int d \theta \sin \theta P _ { l } ( \cos \theta ) \int d \phi ~ Y _ { l m } ( \theta , \phi ) ~ ,
\begin{array} { r c l } { { { \cal A } ( \omega ; \omega _ { \bot } ) } } & { { = } } & { { \displaystyle \int d x _ { 0 } d x _ { 3 } ~ e ^ { i ( \omega x _ { 0 } - \sqrt { \omega ^ { 2 } - \omega _ { \bot } ^ { 2 } } x _ { 3 } ) } \tau ( x _ { 0 } ) g ( x _ { 0 } , x _ { 3 } ^ { 2 } ; \omega _ { \bot } ) . } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { h ( \partial M , g ) ( x _ { 0 } ) ( e _ { 1 } , e _ { 1 } ) \geq \operatorname* { m a x } \{ | h ( \partial M , g ) ( x _ { 0 } ) ( e _ { 2 } , e _ { 2 } ) | , \dots , | h ( \partial M , g ) ( x _ { 0 } ) ( e _ { n - 1 } , e _ { n - 1 } ) | \} , } \\ & { \qquad h ( \partial M , g ) ( x _ { 0 } ) ( e _ { 1 } , e _ { 1 } ) > 0 , \qquad \mathrm { a n d } \qquad - h ( \partial M , g ) ( x _ { 0 } ) ( e _ { 2 } , e _ { 2 } ) > 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { r l } { [ c ] \partial _ { t } \int _ { 0 } ^ { + \infty } f ^ { \varepsilon } ( x , s , t ) \, d s } & { { } + \partial _ { x } \left( c ( x ) \int _ { 0 } ^ { + \infty } V ( s ) f ^ { \varepsilon } ( x , s , t ) \, d s \right) = 0 , } \\ { \partial _ { t } \int _ { 0 } ^ { + \infty } s f ^ { \varepsilon } ( x , s , t ) \, d s } & { { } + \partial _ { x } \left( c ( x ) \int _ { 0 } ^ { + \infty } s V ( s ) f ^ { \varepsilon } ( x , s , t ) \, d s \right) } \end{array} \right. } \end{array}
\eta _ { s , i } = \left\{ \begin{array} { r l } { \eta _ { H , i } = \eta _ { L , i } \quad } & { \mathrm { i f } \quad i \leq \mathrm { m i n } ( r _ { H } , r _ { L } ) } \\ { \eta _ { H , i } \quad } & { \mathrm { i f } \quad r _ { L } < i \leq r _ { H } } \\ { \eta _ { L , i } \quad } & { \mathrm { i f } \quad r _ { H } < i \leq r _ { L } . } \end{array} \right.
\left\{ \begin{array} { l l } { w _ { i r } \leq \left( \sum _ { k \in \mathcal { O } _ { r } } ( \widehat \beta _ { k } ^ { 0 } + \Delta _ { r k } \cdot \widehat \beta _ { k } ^ { \Delta } ) \right) \cdot s _ { i r } } \\ { w _ { i r } \geq \left( \sum _ { k \in \mathcal { O } _ { r } } ( \widehat \beta _ { k } ^ { 0 } + \Delta _ { r k } \cdot \widehat \beta _ { k } ^ { \Delta } ) \right) \cdot s _ { i r } - M _ { i r } ^ { w } \cdot x _ { a } } \\ { w _ { i r } \leq ( 1 - \widehat { \Lambda } ) \cdot \left( \sum _ { k \in \mathcal { O } _ { r } } ( \widehat \beta _ { k } ^ { 0 } + \Delta _ { r k } \cdot \widehat \beta _ { k } ^ { \Delta } ) \right) \cdot s _ { i r } + M _ { i r } ^ { w } \cdot ( 1 - x _ { a } ) } \\ { w _ { i r } \geq ( 1 - \widehat { \Lambda } ) \cdot \left( \sum _ { k \in \mathcal { O } _ { r } } ( \widehat \beta _ { k } ^ { 0 } + \Delta _ { r k } \cdot \widehat \beta _ { k } ^ { \Delta } ) \right) \cdot s _ { i r } } \end{array} \right. \qquad a \in \mathcal { A } , i \in \mathcal { N } _ { a } , r \in \mathcal { R } _ { i } \cap \mathcal { R } _ { a }
\begin{array} { r l } { \| { \mathcal K } ^ { \gamma , \beta } F \| _ { \mathcal { G } _ { \mathrm { c o h } ; K , \bar { \lambda } } ^ { ( \alpha + \beta ) \wedge 0 , \gamma + \beta } } } & { \lesssim \mathrm { c s t } _ { K , \bar { \lambda } } \| F \| _ { \mathcal { G } _ { \mathrm { c o h } ; K ^ { \prime } , \bar { \lambda } ^ { \prime } } ^ { \alpha , \gamma } } , } \\ { \| { \mathcal K } ^ { \gamma , \beta } F \| _ { \mathcal { G } _ { K , \bar { \lambda } } ^ { ( \bar { \alpha } + \beta ) \wedge 0 ; ( \alpha + \beta ) \wedge 0 , \gamma + \beta } } } & { \lesssim \mathrm { c s t } _ { K , \bar { \lambda } } \| F \| _ { \mathcal { G } _ { K ^ { \prime } , \bar { \lambda } ^ { \prime } } ^ { \bar { \alpha } ; \alpha , \gamma } } , } \end{array}
A _ { f a c t } = - { \frac { G _ { F } } { \sqrt { 2 } } } V _ { c b } V _ { c s } ^ { * } { { a _ { 2 } } } \langle J / \psi \left| ( \overline { { { c } } } c ) _ { V } \right| 0 \rangle \langle K \left| ( \overline { { { s } } } b ) _ { V } \right| { B } \rangle ~ ~ ,
\begin{array} { r l } { \Delta } & { = \left| \frac { 1 } { m _ { 1 } } \sum _ { j \in M _ { 1 } } f ^ { * } ( Z _ { j } ) - \frac { 1 } { m _ { 0 } } \sum _ { i \in M _ { 0 } } f ^ { * } ( Z _ { i } ) \right| } \\ & { = \left| \frac { 1 } { n _ { 1 } } \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { 1 } } f _ { M } ^ { * } ( Z _ { j } ) - \frac { 1 } { n _ { 0 } } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { 0 } } f _ { M } ^ { * } ( Z _ { i } ) \right| . } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { f } ^ { + } \mathbf { A } ^ { ( 0 ) } + R _ { b } ^ { + } \beta } & { { } = \alpha } \\ { R _ { f } ^ { + } \mathbf { A } ^ { ( 0 ) } + T _ { b } ^ { + } \beta } & { { } = \mathbf { B } ^ { ( 0 ) } , } \end{array}
\Delta f = f _ { p r o b e } - f _ { d r i v e } \left\{ \begin{array} { l l } { < 0 } & { \mathrm { ~ ( ~ S ~ t ~ o ~ k ~ e ~ s ~ ) ~ } } \\ { > 0 } & { \mathrm { ~ ( ~ A ~ n ~ t ~ i ~ s ~ t ~ o ~ k ~ e ~ s ~ ) ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \mathrm { E C A P E } _ { A } = \frac { V _ { S R } ^ { 2 } } { 2 } + \frac { - 1 - \psi - \frac { 2 \psi } { V _ { S R } ^ { 2 } } \mathrm { N C A P E } } { 4 \frac { \psi } { V _ { S R } ^ { 2 } } } + } \\ { \frac { \sqrt { \left( 1 + \psi + \frac { 2 \psi } { V _ { S R } ^ { 2 } } N C A P E \right) ^ { 2 } + 8 \frac { \psi } { V _ { S R } ^ { 2 } } \left( \mathrm { C A P E } - \psi \mathrm { N C A P E } \right) } } { 4 \frac { \psi } { V _ { S R } ^ { 2 } } } . } \end{array}
{ } _ { N } \! \langle \varrho _ { n } ^ { \prime } , \bar { \varrho } _ { n } ^ { \prime } | \varrho _ { n } , \bar { \varrho } _ { n } \rangle _ { N } = \prod _ { \mu = 0 } ^ { p } \delta ( \mathrm { R e } \varrho _ { n \mu } ^ { \prime } - \mathrm { R e } \varrho _ { n \mu } ) \delta ( \mathrm { I m } \varrho _ { n \mu } ^ { \prime } - \mathrm { I m } \varrho _ { n \mu } ) ~ .
\bar { \cal A } _ { i } \equiv \frac { { \cal A } _ { i } ( H _ { 2 } ^ { 0 } ) B ( H _ { 2 } ^ { 0 } \rightarrow \tilde { \chi } \tilde { \chi } ) + { \cal A } _ { i } ( H _ { 3 } ^ { 0 } ) B ( H _ { 3 } ^ { 0 } \rightarrow \tilde { \chi } \tilde { \chi } ) } { \sqrt { B ( H _ { 2 } ^ { 0 } \rightarrow \tilde { \chi } \tilde { \chi } ) + B ( H _ { 3 } ^ { 0 } \rightarrow \tilde { \chi } \tilde { \chi } ) } } .
m _ { L L } = \left( \begin{array} { c c c } { { ( 1 - 2 \delta _ { 1 } - 2 \delta _ { 2 } ) } } & { { - \delta _ { 1 } } } & { { - \delta _ { 1 } } } \\ { { - \delta _ { 1 } } } & { { - \delta _ { 2 } } } & { { ( 1 - \delta _ { 2 } ) } } \\ { { - \delta _ { 1 } } } & { { ( 1 - \delta _ { 2 } ) } } & { { - \delta _ { 2 } } } \end{array} \right) m _ { 0 }
\mathbf { K } _ { \mathrm { O O } } = 2 \mathbf { K } \, , \quad \mathbf { K } _ { \mathrm { I I } } = \left[ \begin{array} { l l } { 2 \mathbf { K } } & { - \mathbf { K } } \\ { - \mathbf { K } } & { 2 \mathbf { K } } \end{array} \right] \, , \quad \mathbf { K } _ { \mathrm { O I } } = - \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { K } } & { \mathbf { K } } \end{array} \right] \, , \quad \mathbf { K } = \left[ \begin{array} { l l } { k } & { k _ { c } } \\ { k _ { c } } & { k _ { t } } \end{array} \right] \, .
\begin{array} { r l r } { r } & { < } & { \left( \frac { c _ { 2 } q _ { 2 } - a _ { 2 } \mu _ { 2 } } { a _ { 1 } \mu _ { 2 } - a _ { 2 } \mu _ { 2 } + c _ { 2 } q _ { 2 } } \right) ^ { 2 } \frac { K q _ { 1 } ( \mu _ { 2 } ( c _ { 1 } q _ { 1 } - a _ { 1 } \mu _ { 1 } ) - \mu _ { 1 } ( c _ { 2 } q _ { 2 } - a _ { 2 } \mu _ { 2 } ) ) } { m _ { 1 } ( K ( c _ { 2 } q _ { 2 } - a _ { 2 } \mu _ { 2 } ) - \mu _ { 2 } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 \sum _ { \ell = 1 } ^ { i } ( - 1 ) ^ { \ell - 1 } s _ { i - \ell , j - \ell - 1 } } & { = 2 \sum _ { \ell = 1 } ^ { i - 1 } ( - 1 ) ^ { \ell - 1 } s _ { i - \ell , j - \ell - 1 } + 2 ( - 1 ) ^ { i - 1 } s _ { 0 , j - i - 1 } } \\ & { = 2 \sum _ { \ell = 1 } ^ { i - 1 } ( - 1 ) ^ { \ell - 1 } \left( s _ { i - \ell - 1 , j - \ell - 1 } + s _ { i - \ell - 1 , j - \ell - 2 } + s _ { i - \ell , j - \ell - 2 } \right) + 2 ( - 1 ) ^ { i - 1 } s _ { 0 , j - i - 1 } } \\ & { = 2 \left( \sum _ { \ell = 1 } ^ { i - 1 } ( - 1 ) ^ { \ell - 1 } s _ { i - \ell - 1 , j - \ell - 1 } \right) + 2 \left( \sum _ { \ell = 1 } ^ { i - 1 } ( - 1 ) ^ { \ell - 1 } s _ { i - \ell - 1 , j - \ell - 2 } \right) + 2 \left( \sum _ { \ell = 1 } ^ { i } ( - 1 ) ^ { \ell - 1 } s _ { i - \ell , j - \ell - 2 } \right) . } \end{array}
[ X / G ] ( Y ) = { \left\{ \begin{array} { l l l } { Z } & { { \xrightarrow { \Phi } } } & { X } \\ { \downarrow } & { } & { \downarrow } \\ { Y } & { { \xrightarrow { \phi } } } & { [ X / G ] } \end{array} \right\} }
\frac { \dot { \sigma } } { R ^ { 2 } - 1 } = \frac { \dot { \sigma } G ^ { 2 } } { R ^ { 2 } W ^ { 2 } } = - \frac { \dot { \sigma } \eta _ { G } ^ { 2 } \eta _ { U } } { 2 \sigma _ { 0 } R ^ { 2 } W ^ { 2 } } \frac { 1 } { U } \approx - \frac { \dot { \sigma } \eta _ { G } ^ { 2 } \eta _ { U } } { 2 \sigma _ { 0 } } \frac { 1 } { \tilde { U } } .
\begin{array} { r l } { \mathbf { A } ^ { ( n ) } } & { = \alpha \exp ( \mathrm { i } q n W ) \mathbf { A } ^ { + } + \beta \exp ( - \mathrm { i } q n W ) \mathbf { A } ^ { - } + \mathbf { C } ^ { ( n ) } } \\ { \mathbf { B } ^ { ( n ) } } & { = \alpha \exp ( \mathrm { i } q n W ) \mathbf { B } ^ { + } + \beta \exp ( - \mathrm { i } q n W ) \mathbf { B } ^ { - } + \mathbf { D } ^ { ( n ) } } \end{array}
\int _ { \tau _ { e } } ^ { \tau _ { \infty } } d \tau ^ { \prime } E _ { 2 } ( \tau _ { \infty } - \tau ^ { \prime } ) = { \frac { 1 } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \tau _ { \infty } } d \tau ^ { \prime } E _ { 2 } ( \tau _ { \infty } - \tau ^ { \prime } ) .
\begin{array} { r l r } { \delta } & { { } = } & { \tilde { \delta } - \delta _ { S } , } \\ { \delta _ { S } } & { { } = } & { \frac { \left\vert \Omega _ { 2 } \right\vert ^ { 2 } - \left\vert \Omega _ { 1 } \right\vert ^ { 2 } } { 4 \Delta } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { D } _ { k - \frac { 1 } { 2 } } + \sigma ^ { - 1 } \sigma _ { 1 } g _ { k - \frac { 3 } { 2 } } d _ { \Gamma } = 0 \qquad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \Gamma ( 3 \delta ) , } \end{array}
\cot \vartheta _ { s } ( \zeta ) = - \frac { | \nabla \psi | ^ { 2 } } { B } \int _ { \varphi _ { 0 } } ^ { \varphi } \left( \frac { \mathrm { d } \iota } { \mathrm { d } \psi } + \frac { \partial D } { \partial \varphi } \right) \mathrm { d } \varphi ,
\begin{array} { r l } { { \frac { \partial P _ { 1 } } { \partial v } } - { \frac { \partial P _ { 2 } } { \partial u } } } & { { } = { \frac { \partial \psi } { \partial u } } \cdot ( \nabla \times \mathbf { F } ) \times { \frac { \partial \psi } { \partial v } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta { \bf H } ( \Delta { \bf P } ^ { n } ) } & { = \Delta { \bf H } ( \Delta { \bf P } ^ { n - 1 } + \underbrace { \Delta { \bf P } ^ { n } - \Delta { \bf P } ^ { n - 1 } } _ { \Delta _ { n } ( \Delta { \bf P } ) } ) } \\ & { = \Delta { \bf H } ( \Delta { \bf P } ^ { n - 1 } ) + \Delta { \bf H } ( \Delta _ { n } ( \Delta { \bf P } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { H } _ { j } = } & { { } \ \Psi _ { j } ^ { * } \left[ \hat { K } _ { j } + V ( \mathbf { x } ) - { \tilde { \mu } _ { j } } \right] \Psi _ { j } + \frac { G _ { j } } { 2 } | \Psi _ { j } | ^ { 4 } , } \\ { \mathcal { H } _ { I } = } & { { } \ G _ { 1 2 } | \Psi _ { 1 } | ^ { 2 } | \Psi _ { 2 } | ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \widehat { \nabla } f ( x _ { t } ) \| ^ { 2 } } & { = \| \nabla f ( x _ { t } ) \| ^ { 2 } + 2 \langle \xi _ { t } , \nabla f ( x _ { t } ) \rangle + \| \xi _ { t } \| ^ { 2 } } \\ { \Rightarrow \| \nabla f ( x _ { t } ) \| - \| \widehat { \nabla } f ( x _ { t } ) \| ^ { 2 } + \| \xi _ { t } \| ^ { 2 } } & { = 2 \langle \xi _ { t } , \nabla f ( x _ { t } ) \rangle . } \end{array}
R _ { t } ^ { i } = \frac { P _ { 0 } ( \theta ) I _ { i , t } ( \theta ) } { \int _ { 0 } ^ { 1 } P _ { 0 } ( y ) I _ { i , t } ( y ) \, \mathrm { ~ d ~ } y } , \quad \theta \in [ 0 , 1 ] .
{ \cal L } _ { p } ^ { \hbar } \left[ H \right] = - \sum _ { i = 0 } ^ { p } \, \frac { 2 } { \hbar } \, H \left( \phi _ { i } \right) \sin \left[ \frac { \hbar } { 2 } \, \stackrel { \leftarrow } { \partial } _ { a } ^ { ( i ) } \omega ^ { a b } \, \stackrel { \rightarrow } { \partial } _ { b } ^ { ( i ) } \right]
\partial _ { \Lambda } { \cal { G } } _ { \mathrm { a c } } ^ { \Lambda , \Lambda _ { 0 } } = \frac { 1 } { 2 } \int \frac { d { \bf { k } } } { ( 2 \pi ) ^ { D } } [ \partial _ { \Lambda } G _ { 0 } ^ { \Lambda , \Lambda _ { 0 } } ( { \bf { k } } ) ] \left[ \frac { \delta ^ { 2 } { \cal { G } } _ { \mathrm { a c } } ^ { \Lambda , \Lambda _ { 0 } } } { \delta \phi _ { \bf { k } } \delta \phi _ { - { \bf { k } } } } + \frac { \delta { \cal { G } } _ { \mathrm { a c } } ^ { \Lambda , \Lambda _ { 0 } } } { \delta \phi _ { \bf { k } } } \frac { \delta { \cal { G } } _ { \mathrm { a c } } ^ { \Lambda , \Lambda _ { 0 } } } { \delta \phi _ { - \bf { k } } } \right] \; .
\varphi _ { i j } \left( \theta + \frac { i \pi } { h } \right) + \varphi _ { i j } \left( \theta - \frac { i \pi } { h } \right) = \sum _ { k = 1 } ^ { r } I _ { i k } \varphi _ { k j } \left( \theta \right) - 2 \pi I _ { i j } \delta \left( \theta \right) \quad ,
{ \begin{array} { r l } { \oint _ { C } { \frac { 1 } { 1 + 3 \left( { \frac { 1 } { 2 } } \left( z + { \frac { 1 } { z } } \right) \right) ^ { 2 } } } \, { \frac { d z } { i z } } } & { = \oint _ { C } { \frac { 1 } { 1 + { \frac { 3 } { 4 } } \left( z + { \frac { 1 } { z } } \right) ^ { 2 } } } { \frac { 1 } { i z } } \, d z } \\ & { = \oint _ { C } { \frac { - i } { z + { \frac { 3 } { 4 } } z \left( z + { \frac { 1 } { z } } \right) ^ { 2 } } } \, d z } \\ & { = - i \oint _ { C } { \frac { d z } { z + { \frac { 3 } { 4 } } z \left( z ^ { 2 } + 2 + { \frac { 1 } { z ^ { 2 } } } \right) } } } \\ & { = - i \oint _ { C } { \frac { d z } { z + { \frac { 3 } { 4 } } \left( z ^ { 3 } + 2 z + { \frac { 1 } { z } } \right) } } } \\ & { = - i \oint _ { C } { \frac { d z } { { \frac { 3 } { 4 } } z ^ { 3 } + { \frac { 5 } { 2 } } z + { \frac { 3 } { 4 z } } } } } \\ & { = - i \oint _ { C } { \frac { 4 } { 3 z ^ { 3 } + 1 0 z + { \frac { 3 } { z } } } } \, d z } \\ & { = - 4 i \oint _ { C } { \frac { d z } { 3 z ^ { 3 } + 1 0 z + { \frac { 3 } { z } } } } } \\ & { = - 4 i \oint _ { C } { \frac { z } { 3 z ^ { 4 } + 1 0 z ^ { 2 } + 3 } } \, d z } \\ & { = - 4 i \oint _ { C } { \frac { z } { 3 \left( z + { \sqrt { 3 } } i \right) \left( z - { \sqrt { 3 } } i \right) \left( z + { \frac { i } { \sqrt { 3 } } } \right) \left( z - { \frac { i } { \sqrt { 3 } } } \right) } } \, d z } \\ & { = - { \frac { 4 i } { 3 } } \oint _ { C } { \frac { z } { \left( z + { \sqrt { 3 } } i \right) \left( z - { \sqrt { 3 } } i \right) \left( z + { \frac { i } { \sqrt { 3 } } } \right) \left( z - { \frac { i } { \sqrt { 3 } } } \right) } } \, d z . } \end{array} }
\small \begin{array} { r l } { \mathop { { } \mathbb { E } } \Big [ ( H - \mathop { { } \mathbb { E } } [ H ] ) ( H - \mathop { { } \mathbb { E } } [ H ] ) \Big ] } & { { } = \mathop { { } \mathbb { E } } \bigg [ \bigg ( \left. \frac { \partial f \left( P , E \right) } { \partial P } \right| _ { \mu _ { P } , \mu _ { E } } \left( P - \mu _ { P } \right) + \left. \frac { \partial f \left( P , E \right) } { \partial E } \right| _ { \mu _ { P } , \mu _ { E } } \left( E - \mu _ { E } \right) \bigg ) } \\ { K _ { H H } \left( \mathbf { X } , \mathbf { X } ^ { \prime } \right) } & { { } = \frac { 1 } { 4 } \left( V - V _ { 0 } \right) ^ { 2 } K _ { P P } \left( \mathbf { X } , \mathbf { X } ^ { \prime } \right) + K _ { E E } \left( \mathbf { X } , \mathbf { X } ^ { \prime } \right) + ( V - V _ { 0 } ) K _ { P E } \left( \mathbf { X } , \mathbf { X } ^ { \prime } \right) } \end{array}
\tilde { \eta } ^ { ( + ) } = i ( 4 \pi ) ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } \int _ { - { \infty } } ^ { \infty } d k _ { 1 } k _ { 1 } ^ { - 1 } \eta ( k _ { 1 } ) \left( \mathrm { e } ^ { - i k \cdot x } - \theta ( \kappa - k _ { 0 } ) \right) ,
\begin{array} { r l r l } & { \partial _ { t } p _ { s } + G _ { 1 } ( t , x ) + G _ { 2 } ( t , x ) \cdot \nabla ^ { h } p _ { s } = - N h \Delta ^ { h } p _ { s } \qquad } & & { \mathrm { ~ i n ~ } ( 0 , T ) \times { \mathbb { R } } ^ { d } , } \\ & { p _ { s } ( T , x ) = \frac { q ( x + s e ) - q ( x ) } { s } \qquad } & & { \mathrm { ~ o n ~ } { \mathbb { R } } ^ { d } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { 1 \theta } } & { { } = \left( \frac { \gamma _ { - } + i \Omega } { \gamma _ { + } - i \Omega } + \frac { \gamma _ { 0 } ^ { 2 } \gamma _ { 1 } \gamma _ { + } \mathcal { X } \mathcal { H } } { Z ( \gamma _ { + } - i \Omega ) ^ { 2 } } \right) c _ { \theta } + . . . = } \end{array}
\gamma _ { i , \, j } = \sum _ { L } 2 L M _ { i , \, j } ^ { L , \, 1 } \frac { k _ { i } } { k _ { j } } + \left( \frac { \gamma _ { \phi } } { 2 } \nu ^ { i } - \sum _ { l } \beta _ { l } \frac { \partial \log { k _ { i } } } { \partial g _ { l } } \right) \delta _ { i , \, j } \ ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial P _ { 0 } ( x , p , t ) } { \partial t } = } & { { } \frac { \partial V _ { 0 } ( x , p ) } { \partial x } \frac { \partial P _ { 0 } ( x , p , t ) } { \partial p } - \frac { p } { m } \frac { \partial P _ { 0 } ( x , p , t ) } { \partial x } } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { 1 } ( t , x ) } & { = \frac 1 { 4 \pi } \int _ { 2 } ^ { t } \frac { 1 } { t - s } \int _ { | \bar { z } | = t - s } s ^ { - 3 } P \left( \frac { x - \bar { z } } { s } \right) \, d \sigma ( \bar { z } ) d s } \\ & { = \frac 1 { 4 \pi } \int _ { \frac 2 t } ^ { 1 } \frac { 1 } { 1 - \lambda } \int _ { | \bar { z } | = ( 1 - \lambda ) t } ( \lambda t ) ^ { - 3 } P \left( \frac { x - \bar { z } } { \lambda t } \right) \, d \sigma ( \bar { z } ) d \lambda } \\ & { = \frac 1 { 4 \pi } \int _ { \frac 2 t } ^ { 1 } \int _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } ( 1 - \lambda ) t ^ { - 1 } \lambda ^ { - 3 } P \left( \frac { x / t - ( 1 - \lambda ) \eta } { \lambda } \right) \, d \sigma ( \eta ) d \lambda } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla \cdot ( \tilde { g } ( \phi ) a \mathbf { v } ) } & { { } \approx \frac { \tilde { g } ( \phi _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } ) a _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } v _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { x } - \tilde { g } ( \phi _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j } ) a _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j } v _ { i - \frac { 1 } { 2 } , j } ^ { x } } { h _ { x } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma ^ { \mu } { ( \Lambda ^ { - 1 } ) ^ { \nu } } _ { \mu } \partial _ { \nu } R \psi _ { \mathrm { { R } } } ( x ) } & { { } = \sigma ^ { \mu } { ( \Lambda ^ { - 1 T } ) _ { \mu } } ^ { \nu } \partial _ { \nu } R \psi _ { \mathrm { { R } } } ( x ) } \end{array}