harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathcal { P } _ { q } ( p _ { 1 } , \, \dots , \, p _ { N } ) = \frac { \sum _ { j = 1 } ^ { \lfloor q N \rfloor } p _ { j } - q } { 1 - q } = \frac { F _ { \lfloor q N \rfloor } - q } { 1 - q } .
\begin{array} { r l } { a \circ \Phi _ { \gamma , \varepsilon } ^ { t } ( x , q _ { 0 } ) = } & { \frac { ( ( 2 \pi ) ^ { d } \rho ) ^ { k + r - n } \pi ^ { \frac { n } { 2 } } } { \varepsilon ^ { n } } \int _ { [ 0 , t ] _ { \leq } ^ { n } } \int _ { \mathbb { R } ^ { n d } } e ^ { i \hbar ^ { - 1 } \langle x _ { 0 } - y _ { 0 } , q _ { 0 } \rangle } \prod _ { i = 1 } ^ { n } e ^ { \frac { 1 } { 4 } \varepsilon ^ { - 2 } \frac { 1 } { 2 } ( q _ { i } ^ { 2 } - q _ { i - 1 } ^ { 2 } ) } } \\ & { \times \prod _ { i = 1 } ^ { n } \Psi _ { \alpha _ { \sigma _ { i } ^ { 1 } } } ^ { \gamma } ( q _ { i } , q _ { i - 1 } ) \overline { { \Psi _ { { \tilde { \alpha } } _ { \sigma _ { i } ^ { 2 } } } ^ { \gamma } ( q _ { i } , q _ { i - 1 } ) } } \prod _ { i = 1 } ^ { n + 1 } \prod _ { m = \sigma _ { i - 1 } ^ { 2 } + 1 } ^ { \sigma _ { i } ^ { 2 } - 1 } \overline { { \Psi _ { { \tilde { \alpha } } _ { m } } ^ { \gamma } ( q _ { i - 1 } , q _ { i - 1 } ) } } } \\ & { \times \prod _ { m = \sigma _ { i - 1 } ^ { 1 } + 1 } ^ { \sigma _ { i } ^ { 1 } - 1 } \Psi _ { \alpha _ { m } } ^ { \gamma } ( q _ { i - 1 } , q _ { i - 1 } ) \prod _ { i = 1 } ^ { n + 1 } \frac { ( s _ { i - 1 } - s _ { i } ) ^ { \sigma _ { i } ^ { 1 } - \sigma _ { i - 1 } ^ { 1 } - 1 } } { ( \sigma _ { i } ^ { 1 } - \sigma _ { i - 1 } ^ { 1 } - 1 ) ! } \frac { ( s _ { i - 1 } - s _ { i } ) ^ { \sigma _ { i } ^ { 2 } - \sigma _ { i - 1 } ^ { 2 } - 1 } } { ( \sigma _ { i } ^ { 2 } - \sigma _ { i - 1 } ^ { 2 } - 1 ) ! } } \\ & { \times a ( x + y _ { 0 } - t q _ { 0 } - \sum _ { i = 1 } ^ { n } s _ { i } ( q _ { i } - q _ { i - 1 } ) , q _ { n } ) \, d \boldsymbol { q } _ { 1 , n } d \boldsymbol { s } _ { n , 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \xi _ { n , i } = } & { \alpha _ { 1 } q ! n ^ { - q / 2 } \tilde { \Sigma } _ { 1 } ^ { - 1 / 2 } ( q ) \sum _ { l \in \mathcal { L } } \sum _ { 1 \le i _ { 1 } < \cdots < i _ { q - 1 } < i } H _ { l , q } ^ { ( t ) } ( X _ { i _ { 1 } } , \ldots , X _ { i _ { q - 1 } } , X _ { i } ) } \\ & { + \alpha _ { 2 } Q ! n ^ { - Q / 2 } \tilde { \Sigma } _ { 1 } ^ { - 1 / 2 } ( Q ) \sum _ { l \in \mathcal { L } } \sum _ { 1 \le i _ { 1 } < \cdots < i _ { Q - 1 } < i } H _ { l , Q } ^ { ( t ) } ( X _ { i _ { 1 } } , \ldots , X _ { i _ { Q - 1 } } , X _ { i } ) } \\ { \overset { \Delta } { = } } & { \alpha _ { 1 } q ! \xi _ { n , i } ^ { ( 1 ) } + \alpha _ { 2 } Q ! \xi _ { n , i } ^ { ( 2 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { V } _ { \mathrm { i n t } } \equiv V _ { L } ( R ) } & { = { \displaystyle \sum _ { L = 0 } ^ { \infty } } ( - 1 ) ^ { L } \frac { 4 \pi } { R ^ { 2 L + 1 } ( 2 L + 1 ) } r _ { 1 } ^ { L } r _ { 2 } ^ { L } } \\ & { \times { \displaystyle \sum _ { m = - L } ^ { L } } B _ { 2 L } ^ { L + m } \, Y _ { L } ^ { m } ( \hat { \boldsymbol { r } } _ { 1 } ) \, Y _ { L } ^ { - m } ( \hat { \boldsymbol { r } } _ { 2 } ) \, \, . } \end{array}
H = \frac { \vec { P } _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 \mu _ { 1 2 } } + \frac { \vec { P } _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 \mu _ { 1 2 3 } } + V ( \vec { \rho } _ { 1 } , \vec { \rho } _ { 2 } )
\mathbf { A } ( \mathbf { r } , t ) = { \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } } \iint { \frac { \delta ( t ^ { \prime } - t _ { r } ^ { \prime } ) } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | } } q \mathbf { v } _ { s } ( t ^ { \prime } ) \delta ^ { 3 } ( \mathbf { r ^ { \prime } } - \mathbf { r } _ { s } ( t ^ { \prime } ) ) \, d ^ { 3 } \mathbf { r } ^ { \prime } d t ^ { \prime }
\operatorname { c o v } ( \mathbf { X } , \mathbf { Y } ) = \operatorname { K } _ { \mathbf { X } \mathbf { Y } } = \operatorname { E } \left[ ( \mathbf { X } - \operatorname { E } [ \mathbf { X } ] ) ( \mathbf { Y } - \operatorname { E } [ \mathbf { Y } ] ) ^ { \mathrm { { T } } } \right] .
\begin{array} { r l } { \tau \left( r \right) = } & { { } \int \Bigg [ 2 N \Bigg [ \int \frac { \exp \Bigg [ { - 2 N \left( \int \frac { \left( \left( 1 - r \right) p + r \right) \left( 1 - r \right) ^ { q } + \left( 1 - p \right) ( r ^ { 1 + q } + r ^ { q } ) - p \left( 1 - r \right) } { \left( \left( 1 - r \right) p - r \right) \left( 1 - r \right) ^ { q } + \left( 1 - p \right) ( r ^ { 1 + q } - r ^ { q } ) - p \left( 1 - r \right) } \mathrm { d } r \right) } \Bigg ] } { \left( \left( 1 - r \right) p - r \right) \left( 1 - r \right) ^ { q } + \left( 1 - p \right) ( r ^ { 1 + q } - r ^ { q } ) - p \left( 1 - r \right) } \mathrm { d } r \Bigg ] } \end{array}
C ( z ) = { \frac { 1 } { 1 - z } } { \frac { 1 } { 1 - z ^ { 5 } } } { \frac { 1 } { 1 - z ^ { 1 0 } } } { \frac { 1 } { 1 - z ^ { 2 5 } } } { \frac { 1 } { 1 - z ^ { 5 0 } } } ,
\frac { \partial u } { \partial t } = - \frac { \partial p } { \partial x } + \frac { \delta _ { S t } ^ { 2 } } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial y ^ { 2 } } , \ \ \ \ \ \frac { \partial w } { \partial t } = - \frac { \partial p } { \partial z } + \frac { \delta _ { S t } ^ { 2 } } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } w } { \partial y ^ { 2 } } ,
| S | \geqslant \frac { 1 } { 1 5 } \cdot \delta ^ { \frac { 1 } { 4 } } n ^ { 3 } \cdot \delta ^ { \frac { 1 } { 3 } } n \cdot | A _ { T } ( \delta ^ { 1 / 4 } ) \setminus B _ { T } ( \delta ^ { 1 / 3 } ) | \geqslant \frac { 1 } { 1 5 } \cdot \delta ^ { \frac { 1 } { 4 } } n ^ { 3 } \cdot \delta ^ { \frac { 1 } { 3 } } n \cdot \frac { 1 } { 5 } \delta ^ { \frac { 1 } { 4 } } n ^ { 2 } = \frac { 1 } { 7 5 } \delta ^ { \frac { 5 } { 6 } } n ^ { 6 } .
\mathbf { E } ( \mathbf { r } , \omega ) = i \mu _ { 0 } \omega \int d \mathbf { r } ^ { \prime } G ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } , \omega ) [ - e \mathbf { J } ( \mathbf { r } ^ { \prime } , \omega ) ] ,
\begin{array} { r l r } { \vec { u } _ { k } } & { = } & { \frac { c \vec { p } _ { k } } { \sqrt { m _ { k } ^ { 2 } c ^ { 2 } + \vec { p } _ { k } ^ { \, 2 } } } \, , } \\ { u _ { k l } } & { = } & { \frac { c \sqrt { \left( p _ { k } \cdot p _ { l } \right) ^ { 2 } - m _ { k } ^ { 2 } m _ { l } ^ { 2 } c ^ { 4 } } } { p _ { k } ^ { 0 i } p _ { l } ^ { 0 j } } \, , } \\ { \vec { p } _ { k l } ^ { \, s } } & { = } & { \gamma _ { k l } \, \vec { \beta } _ { k l } \, p _ { k } ^ { 0 } - \frac { 1 } { \beta _ { k l } ^ { 2 } } \, ( \gamma _ { k l } - 1 ) \, \left( \vec { p } _ { k } \cdot \vec { \beta } _ { k l } \right) \, \vec { \beta } _ { k l } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( i ) } & { \le \lambda _ { k } \left( 1 + \frac { 5 T \beta _ { k } \mu _ { g } } { 1 6 } + \frac { \delta _ { k } } { \lambda _ { k } } \right) \mathbb { E } [ \| y _ { k + 1 } - y _ { \lambda , k } ^ { * } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] - \lambda _ { k } \mathcal { I } _ { k } } \\ & { \quad + \underbrace { O ( \xi ^ { 2 } l _ { \lambda , 0 } ^ { 2 } ) \frac { \lambda _ { k } \alpha _ { k } ^ { 2 } } { \mu _ { g } T \beta _ { k } } \| q _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } + O ( \xi ^ { 2 } l _ { * , 0 } ^ { 2 } ) \lambda _ { k } ( \alpha _ { k } ^ { 2 } \sigma _ { f } ^ { 2 } + \beta _ { k } ^ { 2 } \sigma _ { g } ^ { 2 } ) + O \left( \frac { l _ { f , 0 } ^ { 2 } } { \mu _ { g } ^ { 3 } } \right) \cdot \frac { \delta _ { k } } { \lambda _ { k } ^ { 2 } } } _ { ( i i i ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigg | A _ { y 1 } - A _ { y 2 } \bigg | } & { = \bigg | \frac { R m L } { 2 } \bigg | } \\ { \bigg | B _ { y 1 } - B _ { y 2 } \bigg | } & { = \bigg | R L - \frac { R m L } { 2 } - \frac { R ( L - m L ) ^ { 2 } } { 2 m L } \bigg | } \\ { \bigg | C _ { y 1 } - C _ { y 2 } \bigg | } & { = \bigg | \frac { ( L - m L ) ^ { 2 } R } { 2 m L } \bigg | } \end{array}
\mathrm { ~ M ~ S ~ E ~ } = \frac { 1 } { N _ { S } } ( \sum _ { { s _ { i } } \in S _ { 1 } } \left( { \mathrm { ~ p ~ r ~ e ~ d ~ } } _ { 1 } - t _ { s _ { i } } \right) ^ { 2 } + \sum _ { { s _ { i } } \in S _ { 0 } } \left( { \mathrm { ~ p ~ r ~ e ~ d ~ } } _ { 0 } - t _ { s _ { i } } \right) ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l r } { k _ { \alpha \beta , i j } ^ { \left( \alpha \right) } ( \boldsymbol { \xi } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ) } & { = } & { \sum _ { k , l = 1 } ^ { r _ { \beta } } \int _ { \left( \mathbb { R } ^ { 3 } \right) ^ { 2 } } \frac { w _ { \alpha \beta } ( \boldsymbol { \xi } _ { \ast } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ^ { \prime } , I _ { j } ^ { \alpha } , I _ { l } ^ { \beta } \left\vert \boldsymbol { \xi } , \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } , I _ { i } ^ { \alpha } , I _ { k } ^ { \beta } \right. ) } { \left( M _ { \alpha , i } M _ { \alpha , j \ast } \right) ^ { 1 / 2 } } \, d \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } d \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ^ { \prime } } \\ & { = } & { \sum _ { k , l = 1 } ^ { r _ { \beta } } \int _ { \left( \mathbb { R } ^ { 3 } \right) ^ { 2 } } \frac { w _ { \alpha \beta } ( \boldsymbol { \xi } _ { \ast } , \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } , I _ { j } ^ { \alpha } , I _ { k } ^ { \beta } \left\vert \boldsymbol { \xi } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ^ { \prime } , I _ { i } ^ { \alpha } , I _ { l } ^ { \beta } \right. ) } { \left( M _ { \alpha , i } M _ { \alpha , j \ast } \right) ^ { 1 / 2 } } \, d \boldsymbol { \xi } ^ { \prime } d \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ^ { \prime } \, } \\ & { = } & { k _ { \alpha \beta , j i } ^ { \left( \alpha \right) } ( \boldsymbol { \xi } _ { \ast } , \boldsymbol { \xi } ) } \end{array}
\underline { { { \mathrm { d e t } } } } ( \mathrm { \bf ~ u } ) = \frac { 4 q ^ { 2 } } { ( q ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } } \tilde { t } ^ { 2 } - q ^ { 2 } \tilde { x } ^ { 2 } - q ^ { 2 } \tilde { y } ^ { 2 } - \frac { 2 ( q ^ { 4 } + 1 ) q ^ { 2 } } { ( q ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } } \tilde { z } ^ { 2 } + 2 q \left( \frac { q ^ { 2 } - 1 } { q ^ { 2 } + 1 } \right) ^ { 2 } \tilde { t } \tilde { z } .
\delta \Omega ( L ) = \left( { \frac { g B _ { t } } { 2 } } \right) ^ { 2 } { \frac { 2 i l ^ { 2 } } { 8 \omega ^ { 2 } } } \left( { \frac { \overline { { \omega } } _ { p } ^ { 2 } } { \overline { { n } } _ { e } } } \right) ^ { 2 } e ^ { - i L / l } I _ { 1 } + \left( { \frac { g B _ { t } } { 2 } } \right) ^ { 2 } { \frac { i l ^ { 2 } } { 4 \omega ^ { 2 } } } \left( { \frac { \overline { { \omega } } _ { p } ^ { 2 } } { \overline { { n } } _ { e } } } \right) ^ { 2 } ( I _ { 2 } - I _ { 3 } )
\begin{array} { r l } { R _ { k } } & { = \upalpha _ { k } \, u ^ { k } + \sum _ { p = 1 } ^ { k - 1 } \upalpha _ { k , p } \, u ^ { k - p - 1 } \, \frac { { \mathrm { d } } ^ { 2 p } u } { { \mathrm { d } } z ^ { 2 p } } \, g _ { s } ^ { 2 p } + } \\ & { + \sum _ { p _ { 1 } = 4 } ^ { k + 1 } \sum _ { p _ { 2 } = 0 } ^ { p _ { 1 } - 4 } \upalpha _ { k , p _ { 1 } , p _ { 2 } } \, u ^ { k + 1 - p _ { 1 } } \, \frac { { \mathrm { d } } ^ { 2 p _ { 1 } - p _ { 2 } - 7 } u } { { \mathrm { d } } z ^ { 2 p _ { 1 } - p _ { 2 } - 7 } } \, \frac { { \mathrm { d } } ^ { p _ { 2 } + 1 } u } { { \mathrm { d } } z ^ { p _ { 2 } + 1 } } \, g _ { s } ^ { 2 p _ { 1 } - 6 } + \cdots , } \end{array}
| J , M , S , L \rangle = \! \sum _ { \lambda _ { B } , \lambda _ { C } } \! \sqrt { \frac { 2 L + 1 } { 2 J + 1 } } \: \langle L 0 S \lambda | J \lambda \rangle \: \langle J _ { B } \lambda _ { B } J _ { C } - \! \! \lambda _ { C } | S \lambda \rangle \: | J , M , \lambda _ { B } , \lambda _ { C } \rangle
\begin{array} { r l } { \langle T _ { \tilde { h } } , \varphi \rangle } & { = - \int _ { \mathbb R ^ { d } } \hat { f } ( \boldsymbol u ) \int _ { \mathbb R ^ { d } } \varphi ( \boldsymbol u - \boldsymbol v ) \, \delta ( \boldsymbol v ) \, \mathrm { d } \boldsymbol v \, \mathrm d \boldsymbol u } \\ & { = \int _ { \mathbb R ^ { d } } \hat { f } ( \boldsymbol u ) \int _ { \mathbb R ^ { d } } \varphi ( \boldsymbol v ) \, \delta ( \boldsymbol u - \boldsymbol v ) \, \mathrm { d } \boldsymbol v \, \mathrm d \boldsymbol u = \int _ { \mathbb R ^ { d } } \hat { f } ( \boldsymbol u ) \, \varphi ( \boldsymbol u ) \, \mathrm d \boldsymbol u . } \end{array}
\left\{ Q _ { \alpha } , Q _ { \beta } \right\} = \left( \gamma ^ { \mu \nu \lambda } \right) _ { \alpha \beta } \, Z _ { \mu \nu \lambda } + \left( \gamma ^ { \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { 7 } } \right) _ { \alpha \beta } \, Z _ { \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { 7 } } ^ { + } ,
{ \begin{array} { r l r l r l } & { \operatorname { I } ( p _ { 1 } p _ { 2 } ) } & { = \ } & { \operatorname { I } ( p _ { 1 } ) + \operatorname { I } ( p _ { 2 } ) } & & { \quad { \mathrm { S t a r t i n g ~ f r o m ~ p r o p e r t y ~ 3 } } } \\ & { p _ { 2 } \operatorname { I } ^ { \prime } ( p _ { 1 } p _ { 2 } ) } & { = \ } & { \operatorname { I } ^ { \prime } ( p _ { 1 } ) } & & { \quad { \mathrm { t a k i n g ~ t h e ~ d e r i v a t i v e ~ w . r . t } } \ p _ { 1 } } \\ & { \operatorname { I } ^ { \prime } ( p _ { 1 } p _ { 2 } ) + p _ { 1 } p _ { 2 } \operatorname { I } ^ { \prime \prime } ( p _ { 1 } p _ { 2 } ) } & { = \ } & { 0 } & & { \quad { \mathrm { t a k i n g ~ t h e ~ d e r i v a t i v e ~ w . r . t } } \ p _ { 2 } } \\ & { \operatorname { I } ^ { \prime } ( u ) + u \operatorname { I } ^ { \prime \prime } ( u ) } & { = \ } & { 0 } & & { \quad { \mathrm { i n t r o d u c i n g } } \, u = p _ { 1 } p _ { 2 } } \\ & { ( u \mapsto u \operatorname { I } ^ { \prime } ( u ) ) ^ { \prime } } & { = \ } & { 0 } \end{array} }
f ( x ) * g ( x ) = \left. \exp \left( \frac { i \theta } { 2 } ( \partial _ { x _ { 1 } } \partial _ { y _ { 2 } } - \partial _ { x _ { 2 } } \partial _ { y _ { 1 } } ) \right) \; f ( x ) \; g ( y ) \right| _ { y = x }
\begin{array} { r l } { \{ [ \mathrm { t r } ( B _ { 1 } Y ) } & { , \ \cdots , \ \mathrm { t r } ( B _ { k } Y ) ] : ~ Y \in { \mathbb S } ^ { n + p } , ~ Y \succeq 0 , \ \mathrm { r a n k } ( Y ) = n , } \\ & { \mathrm { t r } ( E ^ { i , j } Y ) = \delta _ { i , j } , ~ \forall 1 \le i \le j \le n , ~ n + 1 \le i \le j \le n + p \} } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( u , v ) \in C _ { b } ( \mathbb { R } : H ^ { 1 } ( \mathbb { R } ) ) \times C _ { b } ( \mathbb { R } : H ^ { 1 } ( \mathbb { R } ) ) } \\ & { ( J ^ { m } u , J ^ { m } v ) \in C ( \mathbb { R } : L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) ) \times C ( \mathbb { R } : L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) ) , \ \ m = 1 , 2 , \ldots , n . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb E \left[ \left. L _ { t } - L _ { t - 1 } \right\rvert \mathcal F _ { t - 1 } \right] } & { \le \frac { ( k + 1 ) M ^ { 2 } } 2 + \langle \mathbf Q _ { t - 1 } , \vec { \lambda } _ { t } - \vec { \sigma } _ { t } \odot \mathbf p _ { t } \rangle } \\ & { = \frac { ( k + 1 ) M ^ { 2 } } 2 + \langle \mathbf Q _ { t - 1 } , \vec { \lambda } _ { t } \rangle - \mathbb E \left[ \left. Q _ { t - 1 , a _ { t } } S _ { t , a _ { t } } \right\rvert \mathcal F _ { t - 1 } \right] } \end{array}
d _ { \mathrm { h } } ^ { 2 } ( p ^ { \prime } , q ^ { \prime } ) \gtrsim \sum _ { i \in \mathcal { E } } ( \sqrt { q _ { i } ^ { \prime } } - \sqrt { p _ { i } ^ { \prime } } ) ^ { 2 } \gtrsim \sum _ { i \in \mathcal { E } } q _ { i } \delta _ { i } ^ { 2 } \gtrsim \sum _ { i \in \mathcal { E } } ( \sqrt { q _ { i } } - \sqrt { p _ { i } } ) ^ { 2 } \gtrsim \tau ,
g ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) \triangleq f ( \mathbf { r } ) = f \left( x _ { 1 } { \frac { \mathbf { a } _ { 1 } } { a _ { 1 } } } + x _ { 2 } { \frac { \mathbf { a } _ { 2 } } { a _ { 2 } } } + x _ { 3 } { \frac { \mathbf { a } _ { 3 } } { a _ { 3 } } } \right) .
\begin{array} { r l } { \mathbf { v } _ { 1 } ^ { \prime } } & { { } = \mathbf { v } _ { 1 } - { \frac { 2 m _ { 2 } } { m _ { 1 } + m _ { 2 } } } \ { \frac { \langle \mathbf { v } _ { 1 } - \mathbf { v } _ { 2 } , \, \mathbf { x } _ { 1 } - \mathbf { x } _ { 2 } \rangle } { \| \mathbf { x } _ { 1 } - \mathbf { x } _ { 2 } \| ^ { 2 } } } \ ( \mathbf { x } _ { 1 } - \mathbf { x } _ { 2 } ) , } \\ { \mathbf { v } _ { 2 } ^ { \prime } } & { { } = \mathbf { v } _ { 2 } - { \frac { 2 m _ { 1 } } { m _ { 1 } + m _ { 2 } } } \ { \frac { \langle \mathbf { v } _ { 2 } - \mathbf { v } _ { 1 } , \, \mathbf { x } _ { 2 } - \mathbf { x } _ { 1 } \rangle } { \| \mathbf { x } _ { 2 } - \mathbf { x } _ { 1 } \| ^ { 2 } } } \ ( \mathbf { x } _ { 2 } - \mathbf { x } _ { 1 } ) } \end{array}
\mathcal { L } _ { \mathcal { I C } } = \frac { 1 } { N _ { \mathcal { I C } } } \sum _ { \{ 0 \} \times \Omega } \mathopen | \mathcal { U } _ { \Theta } ( 0 , x ) - \mathcal { U } ( 0 , x ) \mathclose | ^ { 2 } .
M _ { i } ( M ) \simeq 3 \epsilon m _ { i 0 } \left\{ \ln ( \frac { 1 } { M _ { x } ^ { 2 } \epsilon ^ { 2 } \xi _ { 0 } ^ { 2 } } ) + \ln ( \frac { M _ { x } ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } ) \right\} ,
\begin{array} { r } { \lambda _ { \mathrm { N S , \pm } } = \frac { 1 } { 2 T _ { 2 } } \left\{ \alpha / \alpha _ { c } - 2 \pm \left[ ( \alpha / \alpha _ { c } ) ^ { 2 } - ( \epsilon T _ { 2 } ) ^ { 2 } \right] ^ { 1 / 2 } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | \mathrm { P o r t \ 4 ^ { \prime } } \rangle } & { { } = } & { \hat { \mathcal { D } } ( { \bf \hat { n } _ { 3 } } , \delta \phi _ { \mathrm { p } } ) | \mathrm { P o r t \ 4 } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigl ( \partial _ { t } + \ensuremath { \mathbf { b } } _ { m - 1 } \cdot \nabla \bigr ) \tilde { \theta } _ { m } } & { { } = \sum _ { k \in 2 \ensuremath { \mathbb { Z } } + 1 } \! \! ( \partial _ { t } \xi _ { m , k } \tilde { \Chi } _ { m , k } ) \cdot \nabla \bigl ( T _ { m - 1 } \circ X _ { m - 1 , l _ { k } } \bigr ) \circ X _ { m - 1 , l _ { k } } ^ { - 1 } } \end{array}
{ \cal A } _ { j } \cong \frac { \pi } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \, \int \frac { d ^ { 3 } p } { E _ { j } ( { \bf p } ) } \; \psi ( E _ { j } ( { \bf p } ) , { \bf p } ) \; \, e ^ { - i \phi _ { j } ( { \bf p } ) - \gamma _ { j } ( { \bf p } ) } \, ,
\begin{array} { r l } & { \quad - D _ { k } ( \alpha ^ { k - 1 } ) + D _ { k - 1 } ( \alpha ^ { k - 1 } ) } \\ & { \leq \kappa \langle x ^ { k - 1 } , y ^ { k - 1 } - y ^ { k - 2 } \rangle + \frac { \kappa } { 2 } \| e _ { ( k - 1 ) } ^ { T _ { k - 1 } } \| ^ { 2 } + \kappa \| y ^ { k - 1 } - y ^ { k - 2 } \| ^ { 2 } + \frac { \kappa } { 2 } \| y ^ { k - 2 } \| ^ { 2 } - \frac { \kappa } { 2 } \| y ^ { k - 1 } \| ^ { 2 } . } \end{array}
Q _ { 1 } ( x ) ( Q _ { 2 } ( x ) ) = \int { \frac { d ^ { 2 } k } { 2 \pi { \sqrt { 2 \omega ( k ) } } } } [ e ^ { - i k x } a ( k ) ( b ( k ) ) + e ^ { i k x } a ^ { + } ( k ) ( b ^ { + } ( k ) ) ] ,
\begin{array} { r l } { \alpha ( J _ { v } ) } & { < \alpha \left( ( 1 - v ^ { * } ) \left[ H ( \underline { o } ^ { v ^ { * } } ) - \widetilde K [ H _ { \operatorname* { m i n } } ] \right] \right) } \\ & { < \alpha \left( ( 1 - v ^ { * } ) \left[ H _ { \operatorname* { m i n } } - \widetilde K [ H _ { \operatorname* { m i n } } ] \right] \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } } & { \lesssim \left( \frac { v ^ { \frac { \zeta } { \alpha } - 1 } } { ( u - s ) ^ { \frac { \zeta + j } { \alpha } } ( t - u ) ^ { \frac { k } { \alpha } } } \right) ^ { q ^ { \prime } } \Vert \bar { p } _ { \alpha } ( t - u , \cdot - y ) \bar { p } _ { \alpha } ( u - s , x - \cdot ) \Vert _ { p ^ { \prime } } ^ { q ^ { \prime } } , } \\ { I _ { 3 } } & { \lesssim \left( \frac { v ^ { \frac { \zeta } { \alpha } - 1 } } { ( u - s ) ^ { \frac { j } { \alpha } } ( t - u ) ^ { \frac { \zeta + k } { \alpha } } } \right) ^ { q ^ { \prime } } \Vert \bar { p } _ { \alpha } ( t - u , \cdot - y ) \bar { p } _ { \alpha } ( u - s , x - \cdot ) \Vert _ { p ^ { \prime } } ^ { q ^ { \prime } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { w _ { 4 } } & { = } & { m _ { 1 } W _ { 1 4 } + m _ { 5 } W _ { 5 4 } + m _ { 6 } W _ { 6 4 } , } \\ { w _ { 5 } } & { = } & { m _ { 4 } W _ { 4 5 } + m _ { 6 } W _ { 6 5 } , } \\ { w _ { 1 } } & { = } & { m _ { 4 } W _ { 4 1 } , } \\ { w _ { 1 } } & { = } & { w _ { 4 } , } \\ { w _ { 4 } } & { = } & { w _ { 5 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l } { J _ { \ell } } \\ { J _ { r } } \end{array} \right) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { \sqrt { k } } \left( \beta \gamma + \frac { \left( k - 1 \right) } { 2 } \gamma ^ { - 1 } \partial \gamma \right) , } \\ { \frac { 1 } { \sqrt { k } } \left( \beta \gamma + \frac { \left( - k - 1 \right) } { 2 } \gamma ^ { - 1 } \partial \gamma \right) . } \end{array} \right. } \end{array}
\omega _ { i } = \frac { { P _ { i } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ D ~ } } \times \epsilon _ { \gamma , i } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ D ~ } } } } { { P _ { i } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ M ~ C ~ } } \times \epsilon _ { \gamma , i } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ M ~ C ~ } } } } \times \frac { { P _ { \mathrm { ~ \tiny ~ g ~ a ~ s ~ } } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ M ~ C ~ } } \times \epsilon _ { \gamma , \mathrm { ~ \tiny ~ g ~ a ~ s ~ } } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ M ~ C ~ } } } } { { P _ { \mathrm { ~ \tiny ~ g ~ a ~ s ~ } } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ D ~ } } \times \epsilon _ { \gamma , \mathrm { ~ \tiny ~ g ~ a ~ s ~ } } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ D ~ } } } } .
\begin{array} { r } { \mathcal { L } ( \mathbf { u b } , \widetilde { \mathbf { u } } \mathbf { b } ) = \sqrt { \textstyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } | \mathbf { u b } - \widetilde { \mathbf { u } } \mathbf { b } | ^ { 2 } } , } \end{array}
| M _ { \mathrm { { s u b , s o f t } } } | ^ { 2 } = \frac { e ^ { 2 } } { 2 \pi ^ { 2 } } \bigl [ 2 ( L - 1 ) \log \frac { 2 E _ { \mathrm { m i n } } } { \sqrt { s } } + \frac { 3 } { 2 } L + \frac { \pi ^ { 2 } } { 3 } - 2 \bigr ]
\begin{array} { r } { \hat { \boldsymbol { \pi } } = \hat { \boldsymbol { \pi } } _ { 1 } - \hat { \boldsymbol { \pi } } _ { 2 } , \quad \quad \hat { \boldsymbol { \pi } } _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 } \hat { \boldsymbol { \pi } } , \quad \quad \hat { \boldsymbol { \pi } } _ { 2 } = - \frac { 1 } { 2 } \hat { \boldsymbol { \pi } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { p } } = p ^ { l } + \Delta p ^ { l } } & { { } = p ^ { l } - \frac { K _ { S } ^ { l } } { \phi ^ { l } } \Delta \phi ^ { l } } \\ { \sum _ { l } \Delta \phi ^ { l } } & { { } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { R } ( \boldsymbol { y ; \theta } ) = } & { \boldsymbol { C } ( \boldsymbol { y } ) \cdot \hat { \boldsymbol { u } } ( \boldsymbol { y } ) + \int _ { \Omega } \left[ - \boldsymbol { u } ^ { s } ( \boldsymbol { x ; y } ) \cdot \boldsymbol { f ( x ) } \right] d \Omega + \bar { \boldsymbol { I } } ( \boldsymbol { u , u } ^ { s } ) + \boldsymbol { I } ( \boldsymbol { \phi ( \boldsymbol { x ; \theta } ) , u } ^ { s } ) , \quad \boldsymbol { y } \in \Gamma , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb P \Big ( \sum _ { v \in \mathcal { C } ( 1 ) } X _ { v } \ge a \log n \Big ) } & { \le \sum _ { s = a \log n } ^ { ( a / q ) \log n } \mathbb P ( | \mathcal { C } ( 1 ) | = s ) \cdot \mathbb P ( \mathrm { B i n } ( s , q ) \ge a \log n ) + \mathbb P ( | \mathcal { C } ( 1 ) | \ge ( a / q ) \cdot \log n ) } \\ & { \le \sum _ { s = a \log n } ^ { ( a / q ) \log n } \exp \left( - \left( I _ { \lambda } + J _ { q } \left( \frac { a \log n } { s } \right) \right) \cdot s \right) + n ^ { - I _ { \lambda } \cdot \, a / q } } \\ & { \le \mathcal O ( \log n ) \cdot n ^ { - \operatorname* { i n f } _ { b \in ( a , a / q ] } b ( I _ { \lambda } + J _ { q } ( a / b ) ) } , } \end{array}
{ \frac { ( \Delta m ^ { 2 } ) _ { 1 2 } } { m _ { 0 } ^ { 2 } } } = 4 c ^ { 2 } I = { \frac { 3 c ^ { 2 } G _ { F } m _ { \tau } ^ { 2 } } { 4 \pi ^ { 2 } \sqrt 2 } } \ln { \frac { m _ { \xi } ^ { 2 } } { m _ { W } ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l } { \left\| \nabla _ { \omega } \mathcal { L } ( \omega ^ { t } ) \right\| _ { 2 } } & { \leq \beta _ { 1 } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left\| ( S _ { j } z ^ { t } ) ^ { * } \circ \left[ \mathcal { F } ^ { - 1 } \left( u _ { j } ^ { t + 1 } + \frac { \Lambda _ { j } ^ { t } } { \beta _ { 1 } } \right) - \omega ^ { t } \circ S _ { j } z ^ { t } \right] \right\| _ { 2 } } \\ & { \leq \beta _ { 1 } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \| z ^ { t } \| _ { \infty } \left( \| u _ { j } ^ { t + 1 } \| _ { 2 } + \frac { 1 } { \beta _ { 1 } } \| \Lambda _ { j } ^ { t } \| _ { 2 } + \| z ^ { t } \| _ { \infty } \| \omega ^ { t } \| _ { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle u ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } u ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } \rangle } & { { } = } & { \frac { 2 } { c _ { 3 } \, \Delta { t } ^ { 2 } } ( \langle r ^ { n } r ^ { n } \rangle - \langle r ^ { n } r ^ { n + 1 } \rangle ) \, , } \end{array}