harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathcal { R } \sim \langle ( \hat { \mu } _ { s } \textbf { . } \hat { \mathcal { E } } _ { s } ) ( \hat { \mu } _ { c } \textbf { . } \hat { \mathcal { E } } _ { c } ) ( \hat { \mu } _ { b } \textbf { . } \hat { \mathcal { E } } _ { b } ) ( \hat { \mu } _ { a } \textbf { . } \hat { \mathcal { E } } _ { a } ) \rangle
P _ { s } ^ { 2 } = { \frac { 1 } { 2 \alpha _ { 1 1 1 } } } \left[ - \alpha _ { 1 1 } \pm { \sqrt { \alpha _ { 1 1 } ^ { 2 } - 4 \alpha _ { 0 } \alpha _ { 1 1 1 } \left( T - T _ { 0 } \right) } } \right]
b _ { i } ( { \bf { q } } ) = \sum _ { { \bf { k } } } [ b _ { i } ( { \bf { q } } ) , a _ { { \bf { k } } } ^ { \dagger } ( { \bf { q } } ) ] a _ { { \bf { k } } } ( { \bf { q } } ) - \sum _ { { \bf { k } } } [ b _ { i } ( { \bf { q } } ) , a _ { { \bf { k } } } ( - { \bf { q } } ) ] a _ { { \bf { k } } } ^ { \dagger } ( - { \bf { q } } )
V _ { \eta } ( \underline { { q } } , x _ { c } ) = V ( \underline { { q } } ) + \frac { \omega _ { c } ^ { 2 } } { 2 } \biggl ( x _ { c } + \sqrt { \frac { \hbar } { 2 \omega _ { c } ^ { 3 } } } \, g _ { N } \, d ( \underline { { q } } ) \biggr ) ^ { 2 } \quad .
\begin{array} { r l } { \left( \left( \sum _ { i = 0 } ^ { d } \Gamma _ { i } ^ { T } \otimes A ^ { i } \right) \cdot F \right) _ { i x ( s ) , i x ( t ) } = } & { \sum _ { r = 1 } ^ { b } \left( \sum _ { i = 0 } ^ { d } ( \Gamma _ { i } ^ { T } ) _ { s , r } \cdot A ^ { i } \right) f ( A ) _ { r , t } = \sum _ { r = 1 } ^ { b } g _ { s , r } ( A ) f _ { r , t } ( A ) = \delta _ { s , t } Q ( A ) , } \end{array}
\frac { \partial } { \partial \zeta _ { i } } \frac { \partial } { \partial \zeta _ { j } } \left[ G _ { i j } { h } \delta P ^ { { h } } \right] = \frac { \partial } { \partial \zeta _ { j } } \left[ C _ { j i } u _ { i } ^ { \star \star \star } \right]
\begin{array} { r l r l } { T _ { x } \mathbb { R } ^ { m } } & { = \textrm { d } ( \varphi ^ { - 1 } ) _ { \varphi ( x ) } ( T _ { \varphi ( x ) } \mathbb { R } ^ { m } ) } \\ & { = \textrm { d } ( \varphi ^ { - 1 } ) _ { \varphi ( x ) } ( T _ { \varphi ( x ) } P + T _ { \varphi ( x ) } Q ) } \\ & { = T _ { x } S + \textrm { d } ( \varphi ^ { - 1 } ) _ { \varphi ( x ) } ( T _ { \varphi ( x ) } Q ) ) } \\ & { = T _ { x } S + \textrm { K e r } ( \textrm { d } f _ { x } ) . } & & { \mathrm { ( P r o p e r t y ~ ) } } \end{array}
g ( q ^ { \prime } , q ) = g ( \gamma ) = \left( \begin{array} { c c } { { \frac { 1 + \gamma } { 2 } } } & { { \frac { 1 - \gamma } { 2 } } } \\ { { \frac { 1 - \gamma } { 2 } } } & { { \frac { 1 + \gamma } { 2 } } } \end{array} \right) \; ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } \left( S \! \! \to \! \! W \right) } & { \leq \sum _ { t = 1 } ^ { T } \log \left( f _ { t } ( 0 ) V _ { 1 } ( d , R _ { t } ) + \int _ { \overline { { \mathcal { B } _ { 1 } } } ( 0 , R _ { t } ) } \operatorname* { s u p } _ { x _ { t } \in \mathcal { B } _ { 1 } ( 0 , R _ { t } ) } f _ { t } ( w _ { t } - x _ { t } ) \mathrm { d } w _ { t } \right) } \\ & { = \sum _ { t = 1 } ^ { T } \log \left( \frac { V _ { 1 } ( d , R _ { t } ) } { ( 2 \pi \sigma ^ { 2 } ) ^ { \frac { d } { 2 } } } + \int _ { \overline { { \mathcal { B } _ { 1 } } } ( 0 , R _ { t } ) } \operatorname* { s u p } _ { x _ { t } \in \mathcal { B } _ { 1 } ( 0 , R _ { t } ) } \frac { 1 } { ( 2 \pi \sigma _ { t } ^ { 2 } ) ^ { \frac { d } { 2 } } } \exp \left\lbrace - \frac { \| w _ { t } - x _ { t } \| _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { t } ^ { 2 } } \right\rbrace \mathrm { d } w _ { t } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { s y m b } _ { k } ( P _ { \mu } ) ( x , \xi ) } & { = \mathrm { s y m b } _ { k } \left( \psi _ { \mu } \cdot \xi ( | | \mathrm { -- } | | ) s _ { \mu } ( \mathrm { -- } \, , \, \mathrm { -- } ) \right) ( x , \xi ) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { \lambda \rightarrow \infty } \frac { \psi _ { \mu } ( x ) \chi ( | | \lambda \xi | | ) s _ { \mu } ( x , \lambda \xi ) } { \lambda ^ { k } } } \\ & { = \psi _ { \mu } ( x ) \chi ( | | \lambda \xi | | ) s _ { \mu } ( x , \xi ) = \psi _ { \mu } ( x ) s _ { \mu } ( x , \xi ) . } \end{array}
{ { \psi } _ { k } ^ { i n } } ^ { \prime } S ^ { 2 } = \frac { n _ { s } \sqrt { k _ { s } } } { \sqrt { \pi } } 2 ^ { - n _ { s } } \Gamma \left( - n _ { s } \right) a _ { s } ^ { m } e ^ { l \phi _ { s } / 2 } \left( \frac k { k _ { s } } \right) ^ { n _ { s } } = c o n s t .
\begin{array} { r } { e ^ { - \frac { t ^ { 2 } } { 2 } q _ { P } ( \phi ) } = \operatorname* { l i m } _ { N } \mathbb { E } _ { N } ^ { V , P } \left[ e ^ { \mathrm { i } t \sqrt { N } \int \Xi \phi _ { N } d \hat { \mu } _ { N } } \right] e ^ { - \mathrm { i } t \sqrt { N } \int \Xi \phi _ { N } d \mu _ { P } } = \operatorname* { l i m } _ { N } \mathbb { E } _ { N } ^ { V , P } \left[ \mathbf { 1 } _ { \mathcal { E } _ { N } } e ^ { \mathrm { i } t \sqrt { N } \int \Xi \phi _ { N } d \hat { \mu } _ { N } } \right] e ^ { - \mathrm { i } t \sqrt { N } \int \Xi \phi _ { N } d \mu _ { P } } \, , } \end{array}
\hat { \phi } _ { 1 } ^ { \prime } = \frac { \phi } { \sqrt { 2 \mathrm { T r } \phi ^ { 2 } } } , \ \ \hat { \phi } _ { 2 } ^ { \prime } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 [ - 2 ( \mathrm { T r } \hat { \phi } _ { 1 } ^ { \prime } { } ^ { 3 } ) ^ { 2 } + \mathrm { T r } \hat { \phi } _ { 1 } ^ { \prime } { } ^ { 4 } ] } } [ - 2 ( \mathrm { T r } \hat { \phi } _ { 1 } ^ { \prime } { } ^ { 3 } ) \hat { \phi } _ { 1 } ^ { \prime } + \hat { \phi } _ { 1 } ^ { \prime } { } ^ { 2 } ]
\int _ { \overline { \mathbb { B } } _ { r } \times \overline { \mathbb { B } } _ { r } } \lvert \nabla _ { x } d _ { u _ { k } } ( x , y ) \rvert ^ { p } + \lvert \nabla _ { y } d _ { u _ { k } } ( x , y ) \rvert ^ { p } \mathrm { d } x \mathrm { d } y = \int _ { \overline { \mathbb { B } } _ { r } \times \overline { \mathbb { B } } _ { r } } e ^ { 2 p u _ { k } ( x ) } + e ^ { 2 p u _ { k } ( y ) } \mathrm { d } x \mathrm { d } y \leqslant C ( p , r ) .
\int _ { 0 } ^ { \infty } d r J _ { 0 } ( q r ) J _ { 0 } ( q ^ { \prime } r ) = \frac 1 { q + q ^ { \prime } } F \left[ \frac 1 { 2 } ; \frac 1 { 2 } ; 1 ; \frac { 4 q q ^ { \prime } } { ( q + q ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \right] ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { u } _ { 2 , 0 } ^ { \mathrm { ( S ) } } ( x - t , y ) } & { = \frac { ( x - t ) \exp ( - r ^ { 2 } / 2 ) [ 1 - \exp ( - r ^ { 2 } / 2 ) ] } { r ^ { 2 } } \mathbf { e } _ { x } + \frac { y \exp ( - r ^ { 2 } / 2 ) [ 1 - \exp ( - r ^ { 2 } / 2 ) ] } { r ^ { 2 } } \mathbf { e } _ { y } } \\ & { \equiv \frac { \exp ( - r ^ { 2 } / 2 ) [ 1 - \exp ( - r ^ { 2 } / 2 ) ] } { r } \mathbf { e } _ { r } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { P } _ { x , y } \Big ( \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , \lambda ] } | X _ { t } ^ { \varepsilon } - x | > \frac { \eta } { 2 } , \nu _ { \lambda } ^ { \varepsilon } \leq K \lambda / \varepsilon ^ { 2 } \Big ) } & { \leq \mathbf { P } _ { x , y } \Big ( \operatorname* { m a x } _ { k \leq K \lambda \varepsilon ^ { - 2 } } \Big | \sum _ { j = 1 } ^ { k } ( X _ { \tau _ { k } ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } - X _ { \tau _ { k - 1 } ^ { \varepsilon } } ^ { \varepsilon } ) \Big | > \frac { \eta } { 2 } - 2 \| d \| _ { \infty } \varepsilon \Big ) } \\ & { \leq \mathbf { P } _ { x , y } \Big ( \operatorname* { m a x } _ { k \leq K \lambda \varepsilon ^ { - 2 } } \Big | \sum _ { j = 1 } ^ { k } \Delta _ { k } ^ { \varepsilon } \Big | > \frac { \eta } { 2 } - 2 \| d \| _ { \infty } \varepsilon - C _ { 1 } K \lambda \Big ) } \\ & { \leq \frac { C _ { 2 } K \lambda } { ( \eta / 2 - 2 \| d \| _ { \infty } \varepsilon - C _ { 1 } K \lambda ) ^ { 2 } } \to 0 , \quad \varepsilon \to 0 , \lambda \to 0 . } \end{array}
\big \vert \big ( G _ { 1 } \mathcal { S } [ ( G _ { 1 } - M _ { 1 } ) A _ { 1 } ^ { \circ _ { 1 , 2 } } ] G _ { 2 } \mathring { A } _ { 2 } G _ { 3 } \big ) _ { \boldsymbol { x } \boldsymbol { y } } \big \vert \prec \frac { 1 } { \sqrt { N \eta ^ { 3 } } } \left( 1 + \frac { \psi _ { 1 } ^ { \mathrm { a v } } \psi _ { 1 } ^ { \mathrm { i s o } } } { N \eta } \right) \, ,
y _ { t } ^ { i } = \frac { s ^ { i } \xi _ { t } ^ { i } + \rho _ { t } \sum _ { j \in N ( i ) } w _ { i j } y _ { t - 1 } ^ { j } } { s ^ { i } + \rho _ { t } \sum _ { j \in N ( i ) } w _ { i j } } ,
\begin{array} { r l } { \dot { \delta m _ { i } } } & { { } = - \delta a _ { i } ( t ) / ( \alpha { \tau _ { \mathrm { m } } } ) + \eta _ { m _ { i } } ( t ) , } \\ { \dot { \delta x ^ { \ast } } } & { { } = \gamma \sum _ { i = 1 } ^ { R _ { \mathrm { T } } } \delta a _ { i } ( t ) - \delta x ^ { * } ( t ) / \tau _ { r } + \eta _ { x } ( t ) , } \end{array}
\overline { { G } } = \left\{ \begin{array} { c } { \overline { { \rho } } \tilde { w } } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { u } \tilde { w } - { \tau } _ { x z } ^ { m o d } } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { v } \tilde { w } - { \tau } _ { y z } ^ { m o d } } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { w } ^ { 2 } + \overline { { p } } - { \tau } _ { z z } ^ { m o d } + \frac { 1 } { 3 } \sigma _ { z z } } \\ { \left( \check { e } + \overline { { p } } - { \tau } _ { z z } ^ { m o d } + \frac { 1 } { 3 } \sigma _ { z z } \right) \tilde { w } - { \tau } _ { x z } ^ { m o d } \tilde { u } - { \tau } _ { y z } ^ { m o d } \tilde { v } + q _ { z } ^ { m o d } } \end{array} \right\} \, \mathrm { ~ , ~ }
{ \begin{array} { r l } & { \nabla _ { \delta } \nabla _ { \gamma } T ^ { \alpha _ { 1 } \cdots \alpha _ { r } } _ { \beta _ { 1 } \cdots \beta _ { s } } - \nabla _ { \gamma } \nabla _ { \delta } T ^ { \alpha _ { 1 } \cdots \alpha _ { r } } _ { \beta _ { 1 } \cdots \beta _ { s } } } \\ { = } & { R ^ { \alpha _ { 1 } } _ { \rho \delta \gamma } T ^ { \rho \alpha _ { 2 } \cdots \alpha _ { r } } _ { \beta _ { 1 } \cdots \beta _ { s } } + \ldots + R ^ { \alpha _ { r } } _ { \rho \delta \gamma } T ^ { \alpha _ { 1 } \cdots \alpha _ { r - 1 } \rho } _ { \beta _ { 1 } \cdots \beta _ { s } } - R ^ { \sigma } _ { \beta _ { 1 } \delta \gamma } T ^ { \alpha _ { 1 } \cdots \alpha _ { r } } _ { \sigma \beta _ { 2 } \cdots \beta _ { s } } - \ldots - R ^ { \sigma } _ { \beta _ { s } \delta \gamma } T ^ { \alpha _ { 1 } \cdots \alpha _ { r } } _ { \beta _ { 1 } \cdots \beta _ { s - 1 } \sigma } } \end{array} }
Z _ { g } ^ { ( 1 ) } = - \frac 1 2 Z _ { A } ^ { ( 1 ) } = - \frac { 1 1 } 3 \frac { ( \mu ^ { - \epsilon } g _ { \mathrm { R } } ) ^ { 2 } } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } \epsilon } .
\begin{array} { r l r l } { W _ { p , i \nu } ^ { \mathrm { ~ 2 ~ h ~ 1 ~ p ~ } } } & { { } = W _ { p i } ^ { \nu } , } & { W _ { p , a \nu } ^ { \mathrm { ~ 2 ~ p ~ 1 ~ h ~ } } } & { { } = W _ { p a } ^ { \nu } . } \end{array}
\frac { A ( \bar { B } _ { d } \to \pi ^ { + } \pi ^ { - } ) } { A ( B _ { d } \to \pi ^ { + } \pi ^ { - } ) } = \left. \frac { A ( b \to u \bar { u } d ) } { A ( \bar { b } \to \bar { u } u \bar { d } ) } \right| _ { \mathrm { T r e e } } = \frac { V _ { u b } } { V _ { u b } ^ { * } } = e ^ { - 2 i \gamma } ~ .
S [ \phi _ { t } ] \approx S [ \xi _ { t _ { 0 } } ] + \langle \! \langle \, ( \phi _ { t } - \xi _ { t _ { 0 } } ) , \, S ^ { \prime } [ \xi _ { t _ { 0 } } ] \, \rangle \! \rangle + { \frac { 1 } { 2 } } \langle \! \langle \, ( \phi _ { t } - \xi _ { t _ { 0 } } ) , \, S ^ { \prime \prime } [ \xi _ { t _ { 0 } } ] \, ( \phi _ { t } - \xi _ { t _ { 0 } } ) \, \rangle \! \rangle \, ,
\epsilon ^ { 2 } \; \approx \; \frac { ( 1 + \tan ^ { 2 } \theta _ { \mathrm { a t m } } ) ^ { 3 } } { | \tan ^ { 2 } \theta _ { \mathrm { s u n } } - \cot ^ { 2 } \theta _ { \mathrm { s u n } } | } \cdot \frac { \Delta m _ { \mathrm { s u n } } ^ { 2 } } { \Delta m _ { \mathrm { a t m } } ^ { 2 } } \; ,
\lambda \left( \mu \right) = \left( \frac { \mu } { \mu _ { 0 } } \right) ^ { \epsilon } \lambda \left( \mu _ { 0 } \right) \left\{ 1 + \frac { a \lambda \left( \mu _ { 0 } \right) } { \epsilon } \left[ \left( \frac { \mu } { \mu _ { 0 } } \right) ^ { \epsilon } - 1 \right] \right\}
m _ { W } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } g ^ { 2 } v ^ { 2 } , \quad m _ { Z } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } ~ \frac { g ^ { 2 } v ^ { 2 } } { \cos ^ { 2 } \theta _ { W } } ~ .
{ \cal L } _ { \mathrm { d } \; \mathrm { m a s s } } = d _ { L } ^ { c } D _ { 0 } d _ { L } + \left( M \overline { { { d _ { L } ^ { \prime } } } } d _ { L } ^ { \prime } + m \overline { { { d _ { L } ^ { \prime } } } } d _ { L } \right) .
H = \frac { m ^ { n - 4 } } { ( 4 \pi ) ^ { \frac { n } { 2 } } } \left[ \frac { \Gamma \left( 2 - \frac { n } { 2 } \right) } { n - 3 } + \left( 1 - { \frac { p ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } } \right) \ln \left( 1 - { \frac { p ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } } \right) + \left( 1 - { \frac { p ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } \ln \left( 1 - { \frac { p ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } } \right) + \cdots \right] ,
\begin{array} { r l } & { \mathbf { P } ^ { ( 1 , + ) } ( z ) \mathbf { P } ^ { ( \infty ) } ( z ) ^ { - 1 } } \\ & { = \mathbf { W } ^ { ( + ) } ( z ) \left( \begin{array} { l l } { 1 + \frac { { \beta } ( { \beta } + 1 ) } { 2 | x | ^ { 2 } \varphi _ { 2 } ^ { 2 } } + O \left( | x | ^ { - 4 } \right) } & { \frac { e ^ { i \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } x ^ { 2 } } | x | ^ { 2 { \beta } } } { h _ { 0 } ^ { - 1 } s _ { * } } \left( \frac { { \beta } } { | x | \varphi _ { 2 } } + O \left( | x | ^ { - 3 } \right) \right) } \\ { \frac { h _ { 0 } ^ { - 1 } s _ { * } } { e ^ { i \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } x ^ { 2 } } | x | ^ { 2 { \beta } } } \left( \frac { 1 } { | x | \varphi _ { 2 } } + O \left( | x | ^ { - 3 } \right) \right) } & { 1 - \frac { { \beta } ( { \beta } - 1 ) } { 2 | x | ^ { 2 } \varphi _ { 2 } ^ { 2 } } + O \left( | x | ^ { - 4 } \right) } \end{array} \right) \mathbf { W } ^ { ( + ) } ( z ) ^ { - 1 } } \\ & { = \mathbf { I } + \mathbf { G } ^ { ( + ) } ( z ) | x | ^ { - 1 } + O \left( | x | ^ { - 2 } \right) , } \end{array}
\left( \rho , u , p \right) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 0 . 4 4 5 , 0 . 6 9 8 , 3 . 5 2 8 ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } 0 \leq x < 0 . 5 , } \\ { ( 0 . 5 , 0 , 0 . 5 7 1 ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } 0 . 5 \leq x \leq 1 , } \end{array} \right.
r _ { 2 } ^ { \prime \mu } = w ^ { \prime } \left( u _ { 0 } ^ { \prime } K _ { 1 } ^ { \prime \mu } + u _ { \parallel } ^ { \prime } K _ { 2 } ^ { \prime \mu } \right) + w ^ { \prime 2 } K _ { 3 } ^ { \prime \mu } ,
\begin{array} { r } { I _ { i } \frac { d \boldsymbol \omega _ { i } ^ { p } } { d t } = \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { i } ^ { c } } { \textbf { T } _ { i j } ^ { c } } + \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { i } ^ { c u t } } { \textbf { T } _ { i j } ^ { d - d } } + \textbf { T } _ { i } ^ { m e } + \textbf { T } _ { i } ^ { h } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( \boldsymbol p ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } r ( \boldsymbol p ) ^ { T } r ( \boldsymbol p ) \approx \mathcal { F } \left[ \boldsymbol p ; \hat { \eta } _ { 1 , 0 } , \hat { \eta } _ { 0 , 1 } \right] , } \\ { r _ { m } ( \boldsymbol p ) } & { { } = \frac { \mathcal { R } \left[ \boldsymbol p ; \hat { \eta } _ { 1 , 0 } , \hat { \eta } _ { 0 , 1 } \right] ( \alpha _ { m _ { 1 } } , \alpha _ { m _ { 2 } } ) } { \sqrt { M _ { 1 } M _ { 2 } } } , } \end{array}
\begin{array} { c } { { Q 7 ^ { \mathrm { b a r e } } } } \\ { { ( 7 , 0 , 2 ) } } \end{array} \, \, \, \left\{ \begin{array} { r c l } { { d \hat { s } _ { I I B } ^ { 2 \ \mathrm { b } } } } & { { = } } & { { H \left[ H ^ { - 1 / 2 } \left( \eta _ { i j } d y ^ { i } d y ^ { j } - d y ^ { 2 } \right) - H ^ { 1 / 2 } d \omega d \overline { { { \omega } } } \right] \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \hat { \lambda } ^ { \mathrm { b } } } } & { { = } } & { { + i H ^ { - 1 } \, . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { R } \, } & { = \, \frac { 8 } { \pi } \left( \frac { 1 } { 2 } 0 . 9 7 ^ { 3 } - \frac { 1 } { 6 } 0 . 9 7 ^ { 3 5 } + \frac { 1 } { 1 0 } 0 . 9 7 ^ { 9 9 } - \cdots \right) } \\ & { > \frac { 8 } { \pi } \left( \frac { 1 } { 2 } 0 . 9 7 ^ { 3 } - \frac { 1 } { 6 } 0 . 9 7 ^ { 3 5 } \right) } \\ & { \approx 1 . 0 1 5 9 0 > 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { C } ( x _ { 0 } ) } & { { } : = \underset { p ( a _ { 0 } ^ { { T _ { e } } - 1 } \mid x _ { 0 } ) } { \operatorname* { m a x } } \; \; I ( X _ { { T _ { e } } } ; A _ { 0 } ^ { { T _ { e } } - 1 } | x _ { 0 } ) . } \end{array}
\bar { \eta } = 1 0 , p = 0 . 9 , q = - 0 . 1 , a = 2 . 5 , \delta _ { \psi } = 0 . 0 5 , \delta _ { \theta } = 0 . 1 , p _ { r } = 0 . 0 3 , l _ { i } = 0 . 0 0 0 0 1 .
\frac { \partial f } { \partial \mu } = \left\{ \begin{array} { l r } { k [ f ( \mu + s ) - f ( \mu - s ) ] } & { \mathrm { ~ p ~ a ~ r ~ a ~ m ~ e ~ t ~ e ~ r ~ \ s ~ h ~ i ~ f ~ t ~ } } \\ { \frac { f ( \mu + \Delta \mu ) - f ( \mu ) } { \Delta \mu } } & { \mathrm { ~ f ~ i ~ n ~ i ~ t ~ e ~ \ d ~ i ~ f ~ f ~ e ~ r ~ e ~ n ~ t ~ i ~ a ~ l ~ } } \end{array} \right.
\delta a = \iiiint _ { \mathcal W } \left\{ \left( \frac { 1 } { 2 } { \boldsymbol v } ^ { \star } { \boldsymbol v } - \alpha - \Omega \right) \, \hat { \delta } \rho + \rho \, \hat { \delta } \left( \frac { 1 } { 2 } { \boldsymbol v } ^ { \star } { \boldsymbol v } - \alpha - \Omega \right) \right\} d w _ { \boldsymbol z }
C ( x , t ) = \frac { 1 } { 2 \sqrt { \pi t } } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \frac { \mathrm { ~ H ~ e ~ a ~ v ~ i ~ s ~ i ~ d ~ e ~ } ( 3 - x _ { 0 } ) \cdot \mathrm { ~ H ~ e ~ a ~ v ~ i ~ s ~ i ~ d ~ e ~ } ( 3 + x _ { 0 } ) \cdot ( 9 - x _ { 0 } ^ { 2 } ) } { 9 } \cdot e ^ { \frac { ( x - x _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 4 D t } } d x _ { 0 } .
\begin{array} { r l } { 0 = } & { \partial _ { j } T _ { \, \, \, j } ^ { i } + \frac { 1 } { 2 } g ^ { i i } ( \partial _ { i } g _ { i i } ) ( T _ { \, \, \, i } ^ { i } - T _ { \, \, \, j } ^ { j } ) + g ^ { i i } ( \partial _ { j } g _ { i i } ) T _ { \, \, \, j } ^ { i } + \partial _ { t } T _ { \, \, \, i } ^ { 0 } + \frac { 3 } { 2 } g ^ { i i } ( \partial _ { 0 } g _ { i i } ) T _ { \, \, \, i } ^ { 0 } } \\ { = } & { \partial _ { j } T _ { \, \, \, j } ^ { i } + \frac { 1 } { R } \frac { \mathrm { d } R } { \mathrm { d } x ^ { i } } ( T _ { \, \, \, i } ^ { i } - T _ { \, \, \, j } ^ { j } ) + \frac { 2 } { R } \frac { \mathrm { d } R } { \mathrm { d } x ^ { j } } T _ { \, \, \, j } ^ { i } + \partial _ { t } T _ { \, \, \, i } ^ { 0 } + 3 \, \frac { \dot { a } } { a } T _ { \, \, \, i } ^ { 0 } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { { \overline { { { R } } } \, u ^ { \prime } \, R \, u = u \, R \, u ^ { \prime } \, R \, , } } \\ { { \overline { { { R } } } \, d u ^ { \prime } \, R \, u = u \, R \, d u ^ { \prime } \, R \, , } } \\ { { \overline { { { R } } } \, u ^ { \prime } \, R \, d u = d u \, R \, u ^ { \prime } \, R \, , } } \\ { { \overline { { { R } } } \, d u ^ { \prime } \, R \, d u = - d u \, R \, d u ^ { \prime } \, R \, . } } \end{array} \right.
I _ { L } ^ { ( 3 ) } ( { \beta } _ { 0 } , \delta , \epsilon ) = \int _ { \delta - \epsilon } ^ { \delta + \epsilon } d { \beta } _ { 1 } \int _ { 0 } ^ { { \beta } _ { 0 } } { \beta } d { \beta } [ t _ { 0 } ^ { 2 } ( { \omega } , { \beta } ) + ( 2 { \beta } _ { z } ^ { 2 } / { \beta } ^ { 2 } - 1 ) t _ { 1 } ^ { 2 } ( { \omega } , { \beta } ) ] I _ { \alpha _ { 1 } } ^ { ( { \bf 2 3 } ) } ( { \beta } _ { 0 } , { \beta } )
\xi ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { r } ^ { \prime } , t ) = \mathcal { N } \eta _ { m } ( \boldsymbol { r } , t ) \eta _ { m } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } , t ) \left[ e ^ { i m ( \varphi + \varphi ^ { \prime } ) } e ^ { i 2 m \varphi _ { 0 } } + \mathrm { c . c . } \right] \! ,
\begin{array} { r } { \dot { \mathrm { N } } _ { p } ^ { s } ( \mathrm { d } , \mathbb { R } _ { + } ^ { n } , \Lambda ^ { k } ) = \overline { { \dot { \mathrm { R } } _ { p } ^ { s } ( \mathrm { d } , \mathbb { R } _ { + } ^ { n } , \Lambda ^ { k } ) } } ^ { \lVert \cdot \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } } \mathrm { , ~ } } \end{array}
Z ( \omega , \theta ) = \sum _ { n = 0 } ^ { N } \frac { Z _ { n } ( N , \omega ) e ^ { \theta n } } { n ! } = \sum _ { \sigma _ { m } = 0 , 1 } \exp \left( \sum _ { 0 \le m < k \le N - 1 } A _ { m k } \sigma _ { m } \sigma _ { k } + ( \theta + \eta ) \sum _ { m = 0 } ^ { N - 1 } \sigma _ { m } \right) ,
\begin{array} { r l } { \underbrace { \partial _ { t } D _ { 1 1 1 } ^ { n } } _ { T e r m 1 } + \underbrace { \left( \partial _ { r } + \frac { 2 } { r } \right) D _ { 1 1 1 1 } ^ { n } } _ { T e r m 2 } + \underbrace { \left( - \frac { 6 } { r } D _ { 1 1 2 2 } ^ { n } \right) } _ { T e r m 2 ^ { \prime } } = } & { { } \underbrace { - T _ { 1 1 1 } ^ { n } } _ { T e r m 3 } + \underbrace { 2 \nu _ { n } C ^ { n } } _ { T e r m 4 } + \underbrace { \left( - 2 \nu _ { n } Z _ { 1 1 1 } ^ { n } \right) } _ { T e r m 5 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { A _ { R _ { 1 } , R _ { 2 } } ( K _ { 1 } ^ { n } , K _ { 2 } ^ { n } | M _ { { \cal A } } ^ { ( n ) } ) } \\ & { : = \: ( \mathrm { e } ^ { n R _ { 1 } } - 1 ) p _ { K _ { 1 } ^ { n } | M _ { \cal A } ^ { ( n ) } } ( K _ { 1 } ^ { n } | M _ { { \cal A } } ^ { ( n ) } ) } \\ & { \quad + ( \mathrm { e } ^ { n R _ { 2 } } - 1 ) p _ { K _ { 2 } ^ { n } | M _ { { \cal A } } ^ { ( n ) } } ( K _ { 2 } ^ { n } | M _ { { \cal A } } ^ { ( n ) } ) } \\ & { \quad + ( \mathrm { e } ^ { n R _ { 1 } } - 1 ) ( \mathrm { e } ^ { n R _ { 2 } } - 1 ) p _ { K _ { 1 } ^ { n } K _ { 2 } ^ { n } | M _ { { \cal A } } ^ { ( n ) } } ( K _ { 1 } ^ { n } , K _ { 2 } ^ { n } | M _ { { \cal A } } ^ { ( n ) } ) . } \end{array}
R e \Sigma _ { R } = { \frac { - g ^ { 2 } } { 2 ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } \int d ^ { 4 } k { \cal P } \left( { \frac { \epsilon ( k _ { o } ) \delta ( k ^ { 2 } - m _ { D } ^ { 2 } ) h _ { D } ( k _ { o } ) } { ( ( k - q ) ^ { 2 } - m _ { S } ^ { 2 } ) } } + { \frac { \epsilon ( k _ { o } - q _ { o } ) \delta ( ( k - q ) ^ { 2 } - m _ { S } ^ { 2 } ) h _ { S } ( k _ { o } - q _ { o } ) } { ( k ^ { 2 } - m _ { D } ^ { 2 } ) } } \right) F .
{ \left[ \begin{array} { l l l } { a _ { 1 1 } } & { a _ { 1 2 } } & { a _ { 1 3 } } \\ { a _ { 2 1 } } & { a _ { 2 2 } } & { a _ { 2 3 } } \\ { a _ { 3 1 } } & { a _ { 3 2 } } & { a _ { 3 3 } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l l } { \ell _ { 1 1 } } & { 0 } & { 0 } \\ { \ell _ { 2 1 } } & { \ell _ { 2 2 } } & { 0 } \\ { \ell _ { 3 1 } } & { \ell _ { 3 2 } } & { \ell _ { 3 3 } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l l } { u _ { 1 1 } } & { u _ { 1 2 } } & { u _ { 1 3 } } \\ { 0 } & { u _ { 2 2 } } & { u _ { 2 3 } } \\ { 0 } & { 0 } & { u _ { 3 3 } } \end{array} \right] } .
\hat { c } _ { q } \in \{ \hat { c } _ { + k , + 1 } , \ \hat { c } _ { - k , - 1 } , \ \hat { c } _ { - k , + 1 } , \ \hat { c } _ { + k , - 1 } , \ \hat { c } _ { \pm 2 k _ { x } , 0 } \}
\begin{array} { r l } { G _ { i j } ( t - \tau ) } & { { } = \frac { a ^ { 2 } } { 2 \pi } e ^ { - \tilde { h } ( \alpha + i ) ( t - \tau ) } e ^ { - \frac { \lvert { \bf R } _ { i } - { \bf R } _ { j } \rvert ^ { 2 } } { 4 ( \alpha + i ) ( t - \tau ) } } \frac { 1 } { 2 ( \alpha + i ) ( t - \tau ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S ( \tau _ { 2 } ) = } & { { } \; \frac { 1 } { 4 } S _ { \infty } e ^ { ( - 1 - \sqrt { 2 } ) \tau _ { 2 } } \left( ( 2 + \sqrt { 2 } ) e ^ { 2 \sqrt { 2 } \tau _ { 2 } } + 2 - \sqrt { 2 } \right) - \frac { ( P _ { \infty } + T _ { \infty } ) e ^ { ( - 1 - \sqrt { 2 } ) \tau _ { 2 } } ( e ^ { 2 \sqrt { 2 } \tau _ { 2 } } - 1 ) } { 2 \sqrt { 2 } } + 1 , } \\ { P ( \tau _ { 2 } ) = } & { { } \; - \frac { S _ { \infty } e ^ { ( - 1 - \sqrt { 2 } ) \tau _ { 2 } } ( e ^ { 2 \sqrt { 2 } \tau _ { 2 } } - 1 ) } { 2 \sqrt { 2 } } - \frac { 1 } { 4 } ( P _ { \infty } + T _ { \infty } ) e ^ { ( - 1 - \sqrt { 2 } ) \tau _ { 2 } } \left( ( - 2 + \sqrt { 2 } ) e ^ { 2 \sqrt { 2 } \tau _ { 2 } } - 2 - \sqrt { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { d _ { \mathcal { H } _ { 2 } } \left( \mathbf { F } , \mathbf { N } \right) \leq \left\{ \begin{array} { l l } { \mathcal { O } ( 2 ^ { - \frac { J } { 2 } } ) } & { \ \textup { f o r } \ A ( r ) = r ^ { \nu } \ \textup { w i t h } \ \nu \in 2 \mathbb { N } , } \\ { \mathcal { O } ( J ^ { - \frac { \nu } { 2 } - \frac { 1 } { 4 } + \varepsilon } ) } & { \ \textup { f o r } \ A ( r ) = r ^ { \nu } \ \textup { w i t h } \ \nu \in ( 0 , \infty ) \setminus 2 \mathbb { N } , } \\ { \mathcal { O } ( J ^ { - \frac { 1 } { 4 } } ) } & { \ \textup { f o r } \ A ( r ) = \ln ( r ) } \end{array} \right. } \end{array}