harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r l r l } { \sin { \frac { \pi } { 3 2 } } } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { 2 - { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 } } } } } } } } } & { \quad \sin { \frac { 3 \pi } { 1 6 } } } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { 2 - { \sqrt { 2 - { \sqrt { 2 } } } } } } } & { \quad \sin { \frac { 1 1 \pi } { 3 2 } } } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 - { \sqrt { 2 - { \sqrt { 2 } } } } } } } } } \\ { \sin { \frac { \pi } { 1 6 } } } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { 2 - { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 } } } } } } } & { \quad \sin { \frac { 7 \pi } { 3 2 } } } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { 2 - { \sqrt { 2 - { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 } } } } } } } } } & { \quad \sin { \frac { 3 \pi } { 8 } } } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 } } } } } \\ { \sin { \frac { 3 \pi } { 3 2 } } } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { 2 - { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 - { \sqrt { 2 } } } } } } } } } & { \quad \sin { \frac { \pi } { 4 } } } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { 2 } } } & { \quad \sin { \frac { 1 3 \pi } { 3 2 } } } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 - { \sqrt { 2 } } } } } } } } } \\ { \sin { \frac { \pi } { 8 } } } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { 2 - { \sqrt { 2 } } } } } & { \quad \sin { \frac { 9 \pi } { 3 2 } } } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 - { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 } } } } } } } } } & { \quad \sin { \frac { 7 \pi } { 1 6 } } } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 } } } } } } } \\ { \sin { \frac { 5 \pi } { 3 2 } } } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { 2 - { \sqrt { 2 - { \sqrt { 2 - { \sqrt { 2 } } } } } } } } } & { \quad \sin { \frac { 5 \pi } { 1 6 } } } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 - { \sqrt { 2 } } } } } } } & { \quad \sin { \frac { 1 5 \pi } { 3 2 } } } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 } } } } } } } } } \end{array}
\mathsf { A R B } _ { \mathcal P } \hat { P } _ { \mathrm { o p t } } ^ { - 1 } \to \left| \frac { \sqrt 2 } { \mathsf { a c v } _ { 0 } } \mathcal D \left( \frac { 1 } { \sqrt 2 \, \mathsf { a c v } _ { 0 } } \right) - 1 \right| .
\begin{array} { r } { \lVert t ^ { 1 - \theta } \Delta _ { \mathcal { D } } e ^ { t \Delta _ { \mathcal { D } } } f \rVert _ { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) } \lesssim _ { p , n , s } t ^ { - ( \theta - \eta ) } K ( t ^ { 1 - \eta } , f , \dot { \mathrm { H } } ^ { s + 2 \eta , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) , \dot { \mathrm { H } } ^ { s + 2 , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } ) ) \mathrm { . ~ } } \end{array}
\frac { d \sigma _ { a s } } { d \cos \theta } = 6 4 \pi ^ { 3 } ~ \frac { f _ { a s } ^ { 2 } } { 3 s ^ { 4 } } ~ | \Psi _ { s } ( 0 ) \Psi _ { a } ( 0 ) | ^ { 2 } \left( 1 - \frac { 4 M ^ { 2 } } { s } \right) ^ { 3 / 2 } ( 2 - \sin ^ { 2 } \theta ) .
\boldsymbol { \lambda } _ { \Sigma _ { 1 } } ^ { ( i _ { 1 } , S , i _ { 2 } ) } = [ \boldsymbol { \lambda ^ { \prime } } _ { \Sigma _ { 1 } } ^ { ( i _ { 1 } , S , i _ { 2 } ) } ] \colon ( \iota _ { 0 } ^ { \Sigma _ { 1 } } , \Sigma _ { 1 } \times I , \iota _ { 1 } ^ { \Sigma _ { 1 } } ) \bullet ( i _ { 1 } , S , i _ { 2 } ) \implies ( i _ { 1 } , S , i _ { 2 } ) ,
{ \frac { g _ { s } ^ { 2 } } { M _ { \tilde { q } } ^ { 2 } } } ( T ^ { a } T ^ { b } ) _ { i j } { \overline { { d } } } _ { R } ^ { i } { \tilde { g } } ^ { a } { \overline { { { \tilde { g } } } } } ^ { b } s _ { L } ^ { j } ,
\left[ \langle A _ { m _ { 0 } } \rangle \Phi ^ { 2 } \vert _ { F } ~ + ~ \langle A _ { g _ { 0 } } \rangle \Phi ^ { 3 } \vert _ { F } ~ + ~ h . c . \right] { } ~ + ~ 2 R e ( \langle F _ { m _ { 0 } } \rangle A ^ { 2 } ~ + ~ \langle F _ { g _ { 0 } } \rangle A ^ { 3 } )
\begin{array} { r l } { \mu _ { A } ( x ) + \mu _ { A } ( - x ) } & { = \sum _ { \psi \in \ensuremath { \operatorname { H o m } } _ { n } ^ { d } } \lambda _ { n , d } ( \psi ) \big ( \mu _ { \psi ( A ) } ( \psi ( x ) ) + \mu _ { \psi ( A ) } ( - \psi ( x ) ) \big ) } \\ & { = \sum _ { \psi \in \ensuremath { \operatorname { H o m } } _ { n } ^ { d } } \lambda _ { n , d } ( \psi ) \big ( \mu _ { \psi ( A ^ { \prime } ) } ( \psi ( x ) ) + \mu _ { \psi ( A ^ { \prime } ) } ( - \psi ( x ) ) \big ) } \\ & { = \mu _ { A ^ { \prime } } ( x ) + \mu _ { A ^ { \prime } } ( - x ) } \end{array}
\frac { d } { d t } \left( \begin{array} { c } { x _ { r } } \\ { x _ { u } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { a _ { 1 1 } } & { a _ { 1 2 } } \\ { a _ { 2 1 } } & { a _ { 2 2 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { f _ { \mathrm { ~ A ~ S ~ M ~ } } ( G , z ) } & { { } = \mathcal { F } ^ { - 1 } \left\{ G \cdot H _ { \mathrm { ~ A ~ S ~ M ~ } } ( z ) \right\} } \\ { I _ { z } } & { { } = \mathrm { ~ U ~ n ~ e ~ t ~ } \left( f _ { \mathrm { ~ A ~ S ~ M ~ } } ( G , z ) , \: f _ { \mathrm { ~ A ~ S ~ M ~ } } ( G _ { \mathrm { ~ 1 ~ s ~ t ~ o ~ r ~ d ~ e ~ r ~ } } , z ) \right) , } \end{array}
e ^ { T ^ { 0 } + \lambda T ^ { \angle } } = e ^ { T ^ { 0 } } ( I + \lambda T ^ { \angle } + \frac { \lambda ^ { 2 } } { 2 ! } ( T ^ { \angle } ) ^ { 2 } + \ldots + \frac { \lambda ^ { N } } { N ! } ( T ^ { \angle } ) ^ { N } )
[ V _ { A } ^ { B } , \bar { \Omega } ] ( - 1 ) ^ { \varepsilon _ { B } } + [ \bar { V } _ { A } ^ { B } , \Omega ] ( - 1 ) ^ { \varepsilon _ { B } } + i \hbar \delta _ { A } ^ { B } = i \hbar V _ { A } ^ { C } \bar { V } _ { C } ^ { B } + i \hbar \bar { V } _ { A } ^ { C } V _ { C } ^ { B } .
\begin{array} { r l } { \mathrm { d i s t } ( \mathscr { D } _ { t } ^ { i } , \mathscr { D } _ { t } ^ { j } ) } & { \geq \| M _ { t } ^ { i } - M _ { t } ^ { j } \| - \mathrm { d i a m } ( \mathscr { D } _ { t } ^ { i } ) - \mathrm { d i a m } ( \mathscr { D } _ { t } ^ { j } ) } \\ & { \geq \| M _ { t } ^ { i } - M _ { t } ^ { j } \| - 2 ( \xi _ { l } - \xi _ { l - 1 } ) - | D ^ { i } | - | D ^ { j } | } \\ & { \geq \big \| M _ { \xi _ { l - 1 } } ^ { i } - M _ { \xi _ { l - 1 } } ^ { j } \big \| - O \left( ( \xi _ { l } - \xi _ { l - 1 } ) ^ { 2 } \right) . } \end{array}
{ \int _ { 0 } ^ { ( I _ { p - 3 } \vec { m } + n \vec { e } _ { 1 } ) _ { i } } - \int _ { 0 } ^ { ( I _ { p - 3 } \vec { m } + n \vec { e } _ { 1 } - 2 \vec { m } ) _ { i } } - \int _ { 0 } ^ { 2 m _ { i } } }
\begin{array} { r l r } { h _ { x x } } & { { } = } & { \frac { 1 } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \left[ x ^ { 2 } \left( f ^ { - 1 } e ^ { 2 \gamma } - 1 \right) + y ^ { 2 } \left( f ^ { - 1 } - f \frac { \omega ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } - 1 \right) \right] , } \\ { h _ { y y } } & { { } = } & { \frac { 1 } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \left[ y ^ { 2 } \left( f ^ { - 1 } e ^ { 2 \gamma } - 1 \right) + x ^ { 2 } \left( f ^ { - 1 } - f \frac { \omega ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } - 1 \right) \right] , } \\ { h _ { z z } } & { { } = } & { \left( f ^ { - 1 } e ^ { 2 \gamma } - 1 \right) , } \\ { h _ { x y } } & { { } = } & { \frac { x y } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \left[ \left( f ^ { - 1 } e ^ { 2 \gamma } - 1 \right) - \left( f ^ { - 1 } - f \frac { \omega ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } } - 1 \right) \right] , } \\ { h _ { x z } } & { { } = } & { 0 , } \\ { h _ { y z } } & { { } = } & { 0 . } \end{array}
\mathcal { H } _ { L + T _ { \mathrm { i n i } } } ( w _ { \mathrm { d , e x t } } ) g = \left[ \begin{array} { l } { U _ { \mathrm { h p } } } \\ { U _ { \mathrm { h f } } } \\ { Y _ { p } } \\ { Y _ { f } } \\ { U _ { \mathrm { n l } } } \end{array} \right] g = \left[ \begin{array} { l } { u _ { \mathrm { h , i n i } } } \\ { u _ { \mathrm { h } } } \\ { y _ { \mathrm { i n i } } } \\ { y _ { \mathrm { r } } } \\ { u _ { \mathrm { n l } } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } _ { ( 1 + 6 \varepsilon ) \beta , p } \left( | K _ { 2 n } ^ { \mathrm { m a x } } | \geq ( 1 - 2 \varepsilon ) L ^ { 2 d n } \right) } & { \geq \mathbb { P } _ { ( 1 - \varepsilon ) ^ { 2 } ( 1 + 6 \varepsilon ) \beta , p ^ { \prime } } \left( | K _ { n } ^ { \mathrm { m a x } } | \geq ( 1 - \varepsilon ) L ^ { d n } \right) } \\ & { \geq \mathbb { P } _ { \beta , p ^ { \prime } } \left( | K _ { n } ^ { \mathrm { m a x } } | \geq ( 1 - \varepsilon ) L ^ { d n } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \lvert q _ { 1 } \rvert ^ { 2 } = \tau _ { 1 } ^ { 2 } \big ( 1 - X _ { 1 } \mathrm { ~ s ~ e ~ c ~ h ~ } ^ { 2 } \frac { \xi _ { 1 } } { 2 } \big ) , ~ ~ \lvert q _ { 2 } \rvert ^ { 2 } = \tau _ { 2 } ^ { 2 } \big ( 1 - X _ { 2 } \mathrm { ~ s ~ e ~ c ~ h ~ } ^ { 2 } \frac { \xi _ { 1 } } { 2 } \big ) , } \end{array}
\| \mathcal { A } _ { \beta - 1 } v _ { 2 } ^ { \varepsilon } ( t ) - \int _ { 0 } ^ { t } \mathcal { A } _ { \beta - 1 } \mathcal { T } _ { \beta - 1 } ( t - s ) \left[ \mathcal { B } ( s ) - \mathcal { B } ( t ) \right] d s \| _ { \beta - 1 } \leq l l _ { 0 } \int _ { 0 } ^ { \varepsilon } \sigma ^ { \eta - 1 } d \sigma \rightarrow 0 \mathrm { ~ a s ~ } \varepsilon \rightarrow 0 .
\begin{array} { r } { P _ { \lambda , \nu } ( \xi , U ; \eta ) = P _ { 0 } ( \xi , U ; \eta ) \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ l ~ l ~ } \quad \xi \in \mathbb { S } ^ { 2 } , ~ U \in \mathbb { R } ^ { 8 } , ~ \eta \in \mathbb { R } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { L } _ { i j m } ^ { k l n } = \int } & { { } \mathrm { ~ d ~ } { \mathbf { r } _ { 1 } } \mathrm { ~ d ~ } { \mathbf { r } _ { 2 } } \mathrm { ~ d ~ } { \mathbf { r } _ { 3 } } \, \phi _ { k } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } ) \phi _ { l } ( { \mathbf { r } _ { 2 } } ) \phi _ { n } ( { \mathbf { r } _ { 3 } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { L } } & { { } = } & { - \, \hbar c ^ { 2 } \left( \partial _ { \mu } \Phi ^ { + } + \mathrm { i } \frac { q } { \hbar } \Phi ^ { + } A _ { \mu } \right) \! \left( \partial ^ { \mu } \Phi - \mathrm { i } \frac { q } { \hbar } A ^ { \mu } \Phi \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left( L ( \theta _ { m + 1 } ) | \mathcal { L } _ { m - 1 } \right) \leq } & { { } L ( \theta _ { m } ) - \eta _ { m } \left| \nabla _ { \theta } L ( \theta _ { m } ) \right| ^ { 2 } \frac { Z _ { m } ^ { 3 } } { \widetilde { Z } _ { \lfloor m / N \rfloor * N } ^ { 3 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigg [ L _ { 0 } ( Y ) \log { ( n ) } + Q _ { 0 } ( Y ) + \frac { \log { ( n ) } } { n } L _ { 1 } ( Y ) + } & { { } \cdots \bigg ] \frac { \Gamma ( \frac { n } { 2 } - 1 ) } { \chi ^ { n / 2 - 1 } } \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ n ~ e ~ v ~ e ~ n ~ } , } \\ { \bigg [ R _ { 0 } ( Y ) + \frac { \log { ( n ) } } { n } M _ { 1 } ( Y ) + \frac { R _ { 1 } ( Y ) } { n } + } & { { } \cdots \bigg ] \frac { \Gamma ( \frac { n - 1 } { 2 } ) } { \chi ^ { ( n - 1 ) / 2 } } \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ n ~ o ~ d ~ d ~ } . } \end{array}
M _ { \infty } \left( \begin{array} { l } { \nu _ { \infty , - 1 } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } } \\ { \vdots } \\ { \nu _ { \infty , r _ { \infty } - 3 } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \frac { 2 \alpha _ { \infty , 2 r _ { \infty } - 3 } } { ( 2 r _ { \infty } - 3 ) } } \\ { \frac { 2 \alpha _ { \infty , 2 r _ { \infty } - 5 } } { ( 2 r _ { \infty } - 5 ) } } \\ { \vdots } \\ { \frac { 2 \alpha _ { \infty , 1 } } { 1 } } \end{array} \right) \, \mathrm { ~ w i t h ~ } \, M _ { \infty } = \left( \begin{array} { l l l l l } { t _ { \infty , 2 r _ { \infty } - 3 } } & { 0 } & { \dots } & & { 0 } \\ { t _ { \infty , 2 r _ { \infty } - 5 } } & { t _ { \infty , 2 r _ { \infty } - 3 } } & { 0 } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \ddots } & & { \vdots } \\ { t _ { \infty , 3 } } & & { \ddots } & { \ddots } & { 0 } \\ { t _ { \infty , 1 } } & { t _ { \infty , 3 } } & { \dots } & & { t _ { \infty , 2 r _ { \infty } - 3 } } \end{array} \right)
{ \partial _ { \mathrm { t } } ^ { 2 } E _ { \mathrm { a } } } + 2 \Gamma { \partial _ { \mathrm { t } } E _ { \mathrm { a } } } + \Omega _ { \mathrm { p } } ^ { 2 } E _ { \mathrm { a } } = \Omega _ { \mathrm { p } } ^ { 2 } \left[ \mathscr { E } _ { 0 } + \mathscr { E } _ { 2 } \cos ( 2 \omega _ { 0 } t ) \right]
\begin{array} { r l } { \omega c _ { \alpha } \left\langle \mathbb { G } _ { \alpha } ( x , z ) , \mathbb { G } _ { \alpha } ( x , y ) \right\rangle } & { = \Im \{ \mathbb { G } _ { \alpha } ( y , z ) \} + \mathbb { W } _ { \alpha } ^ { r } ( y , z ) , \quad \alpha = p , s , } \\ { \omega \left\langle \mathbb { G } _ { p } ( x , z ) , \mathbb { G } _ { s } ( x , y ) \right\rangle } & { = \mathbb { W } _ { p s } ^ { r } ( y , z ) , } \\ { \omega \left\langle \mathbb { G } _ { s } ( x , z ) , \mathbb { G } _ { p } ( x , y ) \right\rangle } & { = \mathbb { W } _ { s p } ^ { r } ( y , z ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \beta = \sqrt { \left| \frac { t - \sqrt { g ^ { 2 } - \Delta ^ { 2 } } } { t + \sqrt { g ^ { 2 } - \Delta ^ { 2 } } } \right| } e ^ { i \theta } , \quad \theta \in [ 0 , 2 \pi ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { - \sum _ { k = 0 } ^ { n } \mu _ { k } \int _ { \mathcal { I } } e ^ { i k \theta } \log \tilde { \Phi } ( e ^ { i \theta } ) d \theta } \\ { \geq } & { - \sum _ { k = 0 } ^ { n } \mu _ { k } \int _ { \mathcal { I } } e ^ { i k \theta } \left( \tilde { \Phi } ( e ^ { i \theta } ) - 1 \right) d \theta } \\ { = } & { - \sum _ { k = 0 } ^ { n } \mu _ { k } \tilde { r } _ { k } } \end{array}
\sum _ { j \not = i } \sum _ { \pm } \int _ { B _ { i } , \pm } \big ( 1 + f _ { j } ( \partial _ { j } u ) \big ) ^ { \frac { 1 + \omega _ { 1 } ^ { \pm } } { \omega _ { 1 } ^ { \pm } - \beta _ { 1 } } } \Gamma ^ { ( \delta _ { i } - 1 ) \frac { 1 + \omega _ { 1 } ^ { \pm } } { \omega _ { 1 } ^ { \pm } - \beta _ { 1 } } } ( | \partial _ { j } u | ) \leq c \, ,
\begin{array} { r l } { p } & { { } = - \frac { k _ { \mathrm { a } } ^ { 2 } } { 3 } - c _ { \mathrm { a } } k _ { \mathrm { a } } - 1 , } \\ { q } & { { } = \frac { 2 k _ { \mathrm { a } } ^ { 3 } } { 2 7 } + \frac { c _ { \mathrm { a } } k _ { \mathrm { a } } ^ { 2 } } { 3 } - \frac { 2 k _ { \mathrm { a } } } { 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m i n f } _ { \rho \rightarrow \infty } \frac { \displaystyle { \# G ( \rho ) } } { \displaystyle { \eta ( H ( \rho ) ) } } } & { \geq \operatorname* { l i m i n f } _ { \rho \rightarrow \infty } \frac { \displaystyle { \# G ^ { \prime } ( \rho ) - C } } { \displaystyle { \eta ( H ( \rho ) ) } } } \\ & { = \operatorname* { l i m i n f } _ { n \rightarrow \infty } \frac { \displaystyle { \# G ^ { \prime } ( | t _ { n } | ) - C } } { \displaystyle { \eta ( H ( | t _ { n } | ) ) } } \ \ ( \mathrm { f o r } \ | t _ { n } | \leq \rho < | t _ { n + 1 } | ) } \\ & { = \operatorname* { l i m i n f } _ { n \rightarrow \infty } \frac { \displaystyle { \frac { \displaystyle 1 } { \displaystyle n } ( \# G ^ { \prime } ( | t _ { n } | ) - C ) } } { \displaystyle { \frac { \displaystyle 1 } { \displaystyle n } ( \eta ( H ( | t _ { n } | ) ) ) } } } \\ & { \geq \frac { \operatorname* { l i m i n f } _ { n \rightarrow \infty } \frac { \displaystyle 1 } { \displaystyle n } ( \# G ^ { \prime } ( | t _ { n } | ) ) } { \operatorname* { l i m s u p } _ { n \rightarrow \infty } \frac { \displaystyle 1 } { \displaystyle n } ( \eta ( H ( | t _ { n } | ) ) ) } } \\ & { \geq \frac { \displaystyle { \operatorname* { l i m i n f } _ { n \rightarrow \infty } \frac { \displaystyle 1 } { \displaystyle n } ( q - 1 ) \ \# \left\{ j : 1 \leq j \leq n , \ | b _ { j } | \geq \frac { 1 } { \delta } \right\} } } { \displaystyle { \operatorname* { l i m s u p } _ { n \rightarrow \infty } \frac { \displaystyle 1 } { \displaystyle n } \left( \log _ { q } | t _ { n } | - m _ { 0 } ^ { \prime } - t \right) q ^ { m _ { 0 } + 1 } ( q - 1 ) } } \ ( \mathrm { b y } \ ( ) \ \mathrm { a n d } \ ( ) ) } \\ & { \geq \frac { \displaystyle { \operatorname* { l i m i n f } _ { n \rightarrow \infty } \frac { \displaystyle 1 } { \displaystyle n } \ \# \left\{ j : 1 \leq j \leq n , \ | b _ { j } | \geq \frac { 1 } { \delta } \right\} } } { \displaystyle { \operatorname* { l i m s u p } _ { n \rightarrow \infty } \frac { \displaystyle 1 } { \displaystyle n } \left( \log _ { q } | b _ { 1 } b _ { 2 } \cdots b _ { n } | - m _ { 0 } ^ { \prime } - t \right) q ^ { m _ { 0 } + 1 } } } \ ( \mathrm { b y } \ ( ) ) } \\ & { \geq \frac { \displaystyle { \operatorname* { l i m i n f } _ { n \rightarrow \infty } \frac { \displaystyle 1 } { \displaystyle n } \ \# \left\{ j : 1 \leq j \leq n , \ | b _ { j } | \geq \frac { 1 } { \delta } \right\} } } { \displaystyle { \operatorname* { l i m s u p } _ { n \rightarrow \infty } \frac { \displaystyle 1 } { \displaystyle n } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { n } \deg ( b _ { j } ) - m _ { 0 } ^ { \prime } - t \right) q ^ { m _ { 0 } + 1 } } } } \\ & { = \frac { e ( \delta ) } { \alpha ^ { + } } q ^ { - ( m _ { 0 } + 1 ) } . } \end{array}
d \bigl ( f ^ { j } ( y ) , \mathcal { O } \bigr ) \leq d \bigl ( f ^ { j } ( y ) , f ^ { j } ( z ) \bigr ) < \frac { \Delta _ { \lambda \iota , \, \theta } ( \mathcal { O } ) } { C _ { 2 } ^ { 2 } } \leq \frac { \lambda \iota } { C _ { 2 } ^ { 2 } } \leq \operatorname* { m i n } \biggl \{ C _ { 2 } \delta _ { 0 } , \, \frac { \iota } { 8 \operatorname { L I P } _ { d } ( f ) } \biggr \} .
G ( { \bf x } , { \bf x } _ { S } , t ) = G ^ { + , + } ( { \bf x } , { \bf x } _ { S } , t ) + G ^ { - , + } ( { \bf x } , { \bf x } _ { S } , t ) + G ^ { + , - } ( { \bf x } , { \bf x } _ { S } , t ) + G ^ { - , - } ( { \bf x } , { \bf x } _ { S } , t ) ,
L = \operatorname* { m a x } _ { A , w } \left[ A - \frac { ( 4 A + w ^ { 2 } - 2 w \sqrt { 2 \chi ( 1 - w ^ { 2 } ) } ) ^ { 2 } } { 1 6 w ^ { 2 } } \right] = \frac { \chi ^ { 1 / 2 } } { 2 \sqrt { 2 } } .
\begin{array} { r } { { S c i n t } = \sqrt { { T E C _ { s w } \cdot k _ { s w } } ^ { 2 } + { T E C _ { i o n } \cdot k _ { i o n } } ^ { 2 } + { P C a l } ^ { 2 } + { B p r } ^ { 2 } + { A i r m } ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { R } ( \hat { \gamma } _ { n } ) = \frac { n - 1 } { 2 \hat { s } _ { 0 } ^ { 2 } } \left[ \hat { Q } _ { b } - \frac { n ( n + 1 ) } { \textrm { C a } \hat { s } _ { 0 } } \right] . } \end{array}
{ \hat { s } } ^ { 2 } = { \frac { 1 } { 4 } } ( { \hat { a } } _ { ( 1 ) ( 1 ) } - { \hat { a } } _ { ( 2 ) ( 2 ) } ) ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } ( { \hat { a } } _ { ( 1 ) ( 2 ) } { \hat { a } } _ { ( 2 ) ( 1 ) } + { \hat { a } } _ { ( 2 ) ( 1 ) } { \hat { a } } _ { ( 1 ) ( 2 ) } ) ,
w ( l , \mu ) \: = \; \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \! \! d p \int _ { \mu } ^ { \infty } \! \! d x \; \mathrm { e } ^ { \textstyle - l p ^ { 2 } - \sqrt { x } \, l } \; = \; \frac { 2 \sqrt { \pi } } { l ^ { 5 / 2 } } \; \mathrm { e } ^ { \textstyle - \sqrt { \mu } \, l } \; \left[ 1 + \sqrt { \mu } \, l \right] ,
\mathbf { F } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ( \omega ) = \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { ~ O ~ } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ O ~ I ~ } } \left( \omega ^ { 2 } \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } } - \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } } \right) ^ { - 1 } \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { ~ I ~ } } \, ,
\frac { { \left| R _ { a , b } \right| } ^ { 2 } } { \sqrt { m _ { 1 } } } + \frac { { \left| T _ { a , b } \right| } ^ { 2 } } { \sqrt { m _ { 2 } } } = \frac { 1 } { \sqrt { m _ { 1 } } } \quad .
\begin{array} { r l r } { [ X , Y ] } & { = } & { \sum _ { i , j } \bigg [ X ^ { i } \frac { \partial } { \partial x ^ { i } } , Y ^ { j } \frac { \partial } { \partial x ^ { j } } \bigg ] } \\ & { = } & { \sum _ { i , j } Y ^ { j } \bigg [ X ^ { i } \frac { \partial } { \partial x ^ { i } } , \frac { \partial } { \partial x ^ { j } } \bigg ] + X ^ { i } \frac { \partial Y ^ { j } } { \partial x ^ { i } } \frac { \partial } { \partial x ^ { j } } } \\ & { = } & { \sum _ { i , j } - Y ^ { j } \frac { \partial X ^ { i } } { \partial x ^ { j } } \frac { \partial } { \partial x ^ { i } } + X ^ { i } \frac { \partial Y ^ { j } } { \partial x ^ { i } } \frac { \partial } { \partial x ^ { j } } } \\ & { = } & { \sum _ { i } \left( \sum _ { j } \frac { \partial Y _ { i } } { \partial x ^ { j } } X ^ { j } - \sum _ { j } Y ^ { j } \frac { \partial X ^ { i } } { \partial x ^ { j } } \right) \frac { \partial } { \partial x ^ { i } } . } \end{array}
\mathcal { G } _ { i , j + 1 } ^ { ( 1 ) } = \left( \gamma _ { i j } \xi _ { 2 } + \varrho _ { i j } \xi _ { 3 } - \pi _ { i j } \lambda \right) _ { 1 \leq j \leq 2 } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \mathcal { G } _ { i , 4 } ^ { ( 1 ) } = \nu _ { i } ,
V = \iiint _ { D } d V = \int _ { a } ^ { b } \int _ { g ( z ) } ^ { f ( z ) } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } r \, d \theta \, d r \, d z = 2 \pi \int _ { a } ^ { b } \int _ { g ( z ) } ^ { f ( z ) } r \, d r \, d z = 2 \pi \int _ { a } ^ { b } { \frac { 1 } { 2 } } r ^ { 2 } \Vert _ { f ( z ) } ^ { g ( z ) } \, d z = \pi \int _ { a } ^ { b } f ( z ) ^ { 2 } - g ( z ) ^ { 2 } \, d z
\rho \frac { \partial \omega _ { \alpha } } { \partial t } + \rho ( \Vec { \boldsymbol { v } } \cdot \Vec { \boldsymbol { \nabla } } ) \omega _ { \alpha } + \Vec { \boldsymbol { \nabla } } \cdot \Vec { \boldsymbol { j } } _ { \alpha } = R _ { \alpha }
< r ^ { 2 } > _ { 1 } ^ { p } = \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } F _ { \pi } ^ { 2 } } \biggl [ - ( 5 g _ { A } ^ { 2 } + 1 ) \ln \frac { \omega _ { c } } { \lambda } - \frac { 7 } { 2 } g _ { A } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \biggr ] + \delta r _ { 1 p } ( \lambda ) \, \, \, ,
\Delta \tilde { \tau } = | \bar { \tilde { \tau } } _ { \mathrm { n u m . } } - \bar { \tilde { \tau } } _ { \mathrm { a n a . } } | = 0 . 0 3 7 7 - 0 . 0 3 6 5 = 0 . 0 0 1 2
P ^ { \prime } \left( p , \xi , t ; \mathbf { \lambda } \right) = \operatorname { t a n h } \left( \frac { { \bar { P } ^ { \prime } \left( p , \xi , t , \mathbf { \lambda } \right) } ^ { 2 } } { \Delta _ { p r o b } ^ { 2 } } \right) ,
| Q \hat { { \boldsymbol \theta } } _ { n } | _ { \infty } \leq \| Q \| _ { 1 } | | \hat { { \boldsymbol \theta } } _ { n } | _ { \infty } \lesssim \zeta _ { 1 } p ^ { - 1 } \| \Omega \| _ { 1 } | \hat { { \boldsymbol \theta } } _ { n } | _ { \infty } + O _ { p } ( \zeta _ { 1 } n ^ { - 1 / 2 } + \zeta _ { 1 } p ^ { - 1 / 6 } + \zeta _ { 1 } p ^ { - \delta / 2 } ) | \hat { { \boldsymbol \theta } } _ { n } | _ { \infty } .
\int _ { \mathcal { M } } \mathrm { d } \big ( \mu ^ { n , t + \frac { 1 } { n } } - \mu ^ { n , \frac { 1 } { n } } - ( \rho _ { t + \frac { 1 } { n } } - \rho _ { \frac { 1 } { n } } ) \big ) \, f \lesssim \Big ( \sum _ { k \geq 1 } \frac { e ^ { - \frac { 2 } { n } \lambda _ { k } } } { \lambda _ { k } } \big ( e ^ { - t \lambda _ { k } } - 1 \big ) ^ { 2 } \vert \widehat { \mu ^ { n } } ( k ) - \widehat { \rho } ( k ) \vert ^ { 2 } \Big ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } .
d \Phi = { \frac { 1 } { T } } d U + { \frac { P } { T } } d V + \sum _ { i = 1 } ^ { s } ( - { \frac { \mu _ { i } } { T } } ) d N _ { i } - { \frac { 1 } { T } } d U + { \frac { U } { T ^ { 2 } } } d T
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } ^ { \mathcal { I } } } & { { } { } = \frac { j } { \epsilon \omega } \int _ { S ^ { \prime } } \big [ k ^ { 2 } \mathbf { J } _ { \mathrm { ~ M ~ S ~ } } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) G ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) - \nabla ^ { \prime } \cdot \mathbf { J } _ { \mathrm { ~ M ~ S ~ } } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) \nabla ^ { \prime } G ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) \big ] d S ^ { \prime } , } \end{array}