harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
H [ \mathrm { ~ \bf ~ p ~ } _ { a } - q _ { a } \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { a } ) , \; \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { a } ] \psi ( \{ \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { a } \} ) = E \psi ( \{ \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { a } \} )
\begin{array} { r l } { U _ { x } ^ { \prime } } & { { } = { \frac { 1 } { D ^ { \prime } } } \left[ C _ { y } ^ { \prime } ( { B _ { x } ^ { \prime } } ^ { 2 } + { B _ { y } ^ { \prime } } ^ { 2 } ) - B _ { y } ^ { \prime } ( { C _ { x } ^ { \prime } } ^ { 2 } + { C _ { y } ^ { \prime } } ^ { 2 } ) \right] , } \\ { U _ { y } ^ { \prime } } & { { } = { \frac { 1 } { D ^ { \prime } } } \left[ B _ { x } ^ { \prime } ( { C _ { x } ^ { \prime } } ^ { 2 } + { C _ { y } ^ { \prime } } ^ { 2 } ) - C _ { x } ^ { \prime } ( { B _ { x } ^ { \prime } } ^ { 2 } + { B _ { y } ^ { \prime } } ^ { 2 } ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \bf C } A } & { = B , ~ { \bf C } _ { k \ell } = \int _ { D } u _ { k } \varphi _ { k } \varphi _ { l } d x , \quad \forall k , l , } \\ { B _ { k } } & { = \int _ { D } \lambda _ { k } u _ { k } \varphi _ { k } d z + \int _ { \partial D } g _ { k } \frac { \partial u _ { k } } { \partial \nu } d \sigma ( z ) , \forall k . } \end{array}
\begin{array} { r l } { U } & { { } = \frac { 3 } { 2 } N _ { e } T _ { e } + \frac { 3 } { 2 } N _ { i } T _ { i } + T _ { e } C _ { e e } \cdot ( S _ { e e } - 1 ) + T _ { e } C _ { e i } \cdot S _ { i e } + T _ { i } C _ { i i } \cdot ( S _ { i i } - 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \chi _ { \mathrm { ~ L ~ o ~ S ~ } } ^ { \mathrm { ~ h ~ o ~ m ~ } } ( E } & { { } : y ) = H ( \phi ) - H \left[ \sqrt { \phi ( \phi - \theta ^ { 2 } / b ) } \right] , } \\ { \chi _ { \mathrm { ~ L ~ o ~ S ~ } } ^ { \mathrm { ~ h ~ e ~ t ~ } } ( E } & { { } : y ) = H ( \phi ) - H \left( \phi - \frac { \theta ^ { 2 } } { b + 1 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { v } } & { = \sqrt { 1 - \biggl ( \frac { 1 } { 1 - v _ { 0 } ^ { 2 } } - \frac { 3 \chi _ { \gamma } } { 8 } \log { \biggl [ \frac { \mathcal { C } [ \tilde { W } _ { \mathrm { p a i r } } ( \chi _ { \gamma } ) ] ( 1 - r ) } { \mathcal { C } [ \tilde { W } _ { \mathrm { p a i r } } ( \chi _ { \gamma } ) ] - \mathcal { C } [ \tilde { I } _ { p p } ( \bar { v } _ { 0 } , \chi _ { \gamma } ) ] } \biggr ] } \biggr ) ^ { - 1 } } , } \end{array}
{ \cal H } ^ { T } = \frac { 4 G _ { F } } { \sqrt { 2 } } V _ { u b } V _ { u q } ^ { * } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } c _ { i } ( \mu ) O _ { i } ^ { ( u ) } , \qquad { \cal H } ^ { P } = - \frac { 4 G _ { F } } { \sqrt { 2 } } V _ { t b } V _ { t q } ^ { * } \sum _ { i = 3 } ^ { 6 } c _ { i } ( \mu ) O _ { i } ,
\operatorname* { m i n } _ { x ^ { m } \neq x ^ { n } } | x ^ { m } - x ^ { n } | \leq \frac { 1 } { 2 } \operatorname* { m i n } _ { x ^ { m } \neq x ^ { n } } | x ^ { m } - x ^ { n } | + | x _ { i } ( t ) - x _ { j } ( t ) | \, .
\begin{array} { r l } { p G _ { n } = - [ \nu ( n ^ { 2 } + k ^ { 2 } ) + i n U _ { 0 } ] G _ { n } } & { + \frac { k } { 2 } \left( \frac { 1 } { ( n - 1 ) ^ { 2 } + k ^ { 2 } } - 1 \right) G _ { n - 1 } } \\ & { - \frac { k } { 2 } \left( \frac { 1 } { ( n + 1 ) ^ { 2 } + k ^ { 2 } } - 1 \right) G _ { n + 1 } + i k B _ { 0 } ( n ^ { 2 } + k ^ { 2 } ) H _ { n } , } \\ { p H _ { n } = - [ \eta ( n ^ { 2 } + k ^ { 2 } ) + i n U _ { 0 } ] H _ { n } } & { - \frac { k } { 2 } \, H _ { n - 1 } + \frac { k } { 2 } \, H _ { n + 1 } + \frac { i k B _ { 0 } } { n ^ { 2 } + k ^ { 2 } } \, G _ { n } . } \end{array}
\Delta \psi _ { d _ { i } } ^ { * } ( t _ { k } ) = \psi _ { d _ { i } } ^ { * } ( t _ { k } ^ { + } ) - \psi _ { d _ { i } } ^ { * } ( t _ { k } ^ { - } ) = - \gamma \psi _ { d _ { i } } ^ { * } ( t _ { k } ^ { - } ) , \ k = 1 , . . . , h , \ i = 1 , . . . , n ,
\begin{array} { r l } & { d _ { i + 1 } + D _ { i + 1 } } \\ { } & { ~ ~ = d _ { i } + \delta _ { i + 1 } + D _ { i } + \Delta _ { i + 1 } } \\ { } & { ~ ~ = d _ { i } + f _ { 9 } ( c _ { i } , D _ { i } , F _ { i } ) + D _ { i } + ( \ell ^ { \mathrm { o u t } } - D _ { i } ) } \\ { } & { ~ ~ = d _ { i } + \frac { c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) - ( \ell ^ { \mathrm { o u t } } - D _ { i } ) \cdot \big ( \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) \big ) } { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } + D _ { i } + ( \ell ^ { \mathrm { o u t } } - D _ { i } ) } \\ { } & { ~ ~ = d _ { i } + D _ { i } + \frac { c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) } { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } + ( \ell ^ { \mathrm { o u t } } - D _ { i } ) \cdot \left( - \, \frac { \big ( \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) \big ) } { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } + 1 \right) } \\ { } & { ~ ~ = d _ { i } + D _ { i } + \frac { c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) } { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } + ( \ell ^ { \mathrm { o u t } } - D _ { i } ) \cdot \frac { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } } \\ { } & { ~ ~ > d _ { i } + D _ { i } + \frac { c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) } { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } + f _ { 1 2 } ( c _ { i } , X _ { i } , F _ { i } ) \cdot \frac { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } } \\ { } & { ~ ~ = d _ { i } + D _ { i } + \frac { c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) } { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } + \frac { c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) - f _ { 7 } ( c _ { i } , X _ { i } , F _ { i } ) \cdot \mu ( F ^ { * } \setminus X _ { i } ) } { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) } \cdot \frac { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } } \\ { } & { ~ ~ = d _ { i } + D _ { i } + \frac { c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) } { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } \cdot \left( 1 + \frac { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) } \right) - f _ { 7 } ( c _ { i } , X _ { i } , F _ { i } ) \cdot \frac { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) } } \\ { } & { ~ ~ = d _ { i } + D _ { i } + \frac { c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) } { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) } - f _ { 7 } ( c _ { i } , X _ { i } , F _ { i } ) \cdot \frac { \mu ( F _ { i } \setminus F ^ { * } ) } { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) } } \\ { } & { ~ ~ = d _ { i } + D _ { i } + \frac { c _ { i } ( F ^ { * } ) - c _ { i } ( F _ { i } ) } { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) } - f _ { 7 } ( c _ { i } , X _ { i } , F _ { i } ) \cdot \left( \frac { \mu ( F ^ { * } \setminus F _ { i } ) } { \mu ( F ^ { * } ) - \mu ( F _ { i } ) } - 1 \right) } \\ { } & { ~ ~ = d _ { i } + D _ { i } + f _ { 1 2 } ( c _ { i } , X _ { i } , F _ { i } ) + f _ { 7 } ( e _ { i } , X _ { i } , F _ { i } ) } \\ { } & { ~ ~ \ge \ell ^ { \mathrm { i n } } . } \end{array}
k _ { \phi , s } = \frac { 1 } { 2 r } \left( l _ { 1 } + l _ { 2 } + \frac { ( l _ { 1 } - l _ { 2 } ) ( 1 - { b } ^ { 2 } ) } { 1 + { b } ^ { 2 } + 2 { b } { \cos \{ ( l _ { 1 } - l _ { 2 } ) \phi \} } } \right) ,
\begin{array} { r l r } { X ^ { ( 1 ) } ( t ) } & { { } = } & { \frac { \gamma _ { \mathrm { R b } } \langle S _ { z } \rangle J _ { 1 } } { \sqrt { 2 } \Gamma _ { \mathrm { R b } } } \left[ ( J _ { 2 } - J _ { 0 } ) \sin ( \theta _ { \mathrm { a c } } - \theta _ { 1 } ) b _ { x } ( t ) \right. } \end{array}
\mathbb { E } \left[ \sum _ { \mathbf { j } \in \Omega _ { t } } \left( x _ { \mathbf { j } } - \prod _ { d = 1 } ^ { D } \pmb { \mathscr { G } } _ { j _ { d } } ^ { ( d ) } \right) ^ { 2 } \right] = \pmb { \mathscr { X } } _ { \Omega _ { t } } ^ { T } \left( \pmb { \mathscr { X } } _ { \Omega _ { t } } - 2 \pmb { \mathscr { A } } _ { \Omega _ { t } } \right) + \sum _ { \mathbf { j } \in \Omega _ { t } } \prod _ { d = 1 } ^ { D } \left( \mathbb { E } \left[ \pmb { \mathscr { G } } _ { j _ { d } } ^ { ( d ) } \right] \otimes \mathbb { E } \left[ \pmb { \mathscr { G } } _ { j _ { d } } ^ { ( d ) } \right] + \pmb { \mathscr { V } } _ { j _ { d } } ^ { ( d ) } \right) .
\begin{array} { r } { \langle \rho _ { a 1 , a 1 } ^ { 2 \, 0 } \rangle = - \sum _ { M } \rho _ { a 1 M , a 1 M } ( 2 - 3 M ^ { 2 } ) \frac { 1 } { \sqrt { 6 } } \, . } \end{array}
\tilde { p } _ { g } ( \beta ) = \frac { \kappa g p _ { g } ( \beta ) } { n [ 1 - p _ { n } ( \beta ) ] \phi + [ 1 - p _ { g } ( \beta ) ] g } = \frac { \alpha \kappa p _ { g } ( \beta ) } { \phi [ 1 - p _ { n } ( \beta ) ] + \alpha [ 1 - p _ { g } ( \beta ) ] } ,
{ \cal L } _ { \mathrm { H } } = D _ { \mu } H ^ { \dagger } D ^ { \mu } H - m _ { H } ^ { 2 } H ^ { \dagger } H - \lambda ( H ^ { \dagger } H ) ^ { 2 } - h _ { t } ( \overline { { { \psi } } } _ { L } H t _ { R } + h . c . ) \, \, \, ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { T r } \rho c _ { x _ { 1 } } ^ { \dagger } c _ { x _ { 2 } } } & { = \langle c _ { x _ { 1 } } ^ { \dagger } c _ { x _ { 2 } } \rangle } \\ & { = \sum _ { k _ { 1 } k _ { 2 } } \langle c _ { k _ { 1 } } ^ { \dagger } c _ { k _ { 2 } } \rangle e ^ { i ( k _ { 2 } x _ { 2 } - k _ { 1 } x _ { 1 } ) } } \\ & { = \sum _ { k < 0 } e ^ { i k ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) } } \\ & { \simeq \frac { i } { x _ { 1 } - x _ { 2 } } , } \end{array}
\frac { d } { d t } \frac { \partial \ell } { \partial \dot { r } ^ { I } } - \frac { \partial \ell } { \partial r ^ { I } } = \frac { \partial l } { \partial u ^ { \beta } } \mathcal { B } _ { I J } ^ { \beta } \dot { r } ^ { J } + Q _ { I } , \ \ I = \bar { m } + 1 , \ldots , n
\begin{array} { r l } & { \mathsf { E } _ { P _ { X } ^ { n } } \Big [ \big \langle - \log P _ { \hat { X } ^ { n } } ^ { * } ( \mathcal { B } _ { D } ( X ^ { n } ) ) \big \rangle _ { \varepsilon } \Big ] } \\ { * } & { = ( 1 - \varepsilon ) n R ( P _ { X } , D ) - \sqrt { \frac { \mathrm { V } ( P _ { X } , D ) } { 2 \pi } } \exp \bigg ( - \frac { \mathrm { Q } ^ { - 1 } ( \varepsilon ) ^ { 2 } } { 2 } \bigg ) + O ( \log n ) . } \end{array}
w _ { c b } ^ { t h } \approx \pi - \tan ^ { - 1 } \left( \sqrt { \frac { \tilde { m } _ { c } } { \tilde { m } _ { u } \tilde { m } _ { d } \tilde { m } _ { s } } } \left[ ( 1 - \sqrt { \frac { \delta _ { u } ^ { * } } { \delta _ { d } ^ { * } } } ) \right] \right) ,
P ( a l i a s | \bar { k } , \chi ) = \frac { 1 } { 2 } \left( 1 + \operatorname { t a n h } \left[ 4 \log _ { 1 0 } \bar { k } + b _ { 0 } \chi ^ { 2 } + b _ { 1 } \chi + b _ { 2 } \right] \right)
\begin{array} { r l } { S ^ { \mathrm { D R C } } } & { { } = \sqrt { 2 e \frac { e \eta P _ { \mathrm { D C } } ^ { \mathrm { D R C } } } { 2 \hbar \omega _ { 0 } } } / D ^ { \mathrm { D R C } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigl [ ( v , \hat { A } ) , \, ( w , \hat { A } ) \bigr ] } & { { } = \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \left\{ \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } v ( \mathbf { x } ) w ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) \bigl [ \hat { A } ( \mathbf { x } ) , \, \hat { A } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) \bigr ] \mathrm { d } \mathbf { x } ^ { \prime } \right\} \mathrm { d } \mathbf { x } , } \end{array}
\left. D _ { \vec { k } _ { 2 } } F \right| _ { \vec { k } _ { 2 } = \vec { k } } = \left| T _ { \vec { k } , \vec { k } _ { 1 } } ^ { \vec { k } , \vec { k } _ { 3 } } \right| ^ { 2 } \vec { q } \cdot \vec { \nabla } _ { \vec { k } } n _ { \vec { k } } .
\left( \begin{array} { c } { t _ { ( 0 , 0 ) } ^ { ( 0 , 0 ) } } \\ { t _ { ( 0 , 0 ) } ^ { ( 0 , 1 ) } } \\ { t _ { ( 0 , 0 ) } ^ { ( 1 , 0 ) } } \\ { t _ { ( 0 , 0 ) } ^ { ( 1 , 1 ) } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { 1 } \\ { 1 } \\ { 1 } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { c } { t _ { ( 0 , 1 ) } ^ { ( 0 , 0 ) } } \\ { t _ { ( 0 , 1 ) } ^ { ( 0 , 1 ) } } \\ { t _ { ( 0 , 1 ) } ^ { ( 1 , 0 ) } } \\ { t _ { ( 0 , 1 ) } ^ { ( 1 , 1 ) } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { t _ { ( 1 , 0 ) } ^ { ( 0 , 0 ) } } \\ { t _ { ( 1 , 0 ) } ^ { ( 0 , 1 ) } } \\ { t _ { ( 1 , 0 ) } ^ { ( 1 , 0 ) } } \\ { t _ { ( 1 , 0 ) } ^ { ( 1 , 1 ) } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { e } \\ { e } \\ { e } \\ { e } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { c } { t _ { ( 1 , 1 ) } ^ { ( 0 , 0 ) } } \\ { t _ { ( 1 , 1 ) } ^ { ( 0 , 1 ) } } \\ { t _ { ( 1 , 1 ) } ^ { ( 1 , 0 ) } } \\ { t _ { ( 1 , 1 ) } ^ { ( 1 , 1 ) } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { e ^ { 2 } } \\ { e ^ { 2 } } \\ { e ^ { 2 } } \\ { e ^ { 2 } } \end{array} \right) .
\mathrm { ~ I ~ n ~ i ~ t ~ i ~ a ~ l ~ } ~ \Delta { \bf n } = ( { \bf K } _ { 0 } { \bf J } ) ^ { - 1 } { \bf K } _ { 0 } ( { \bf q } _ { \mathrm { m i n } } [ { \bf n } ] - { \bf n } ) = { \bf 0 }
\textstyle \mathbf { I P C } + \bigwedge _ { i = 0 } ^ { n } { \bigl ( } { \bigl ( } p _ { i } \to \bigvee _ { j \neq i } p _ { j } { \bigr ) } \to \bigvee _ { j \neq i } p _ { j } { \bigr ) } \to \bigvee _ { i = 0 } ^ { n } p _ { i }
\begin{array} { r l } & { ( B ( q , q ^ { \prime } , k ) + B ( q ^ { \prime } , q , k ) ) = \frac { i \omega _ { k , q + q ^ { \prime } } } { M ( \omega _ { p h } ^ { 2 } ( q ) - \omega _ { p h } ^ { 2 } ( q ^ { \prime } ) ) } \left( A ( q , q ^ { \prime } , k ) - A ( q ^ { \prime } , q , k ) \right) , } \\ & { 2 \frac { ( C ( q , q ^ { \prime } , k ) + C ( q ^ { \prime } , q , k ) ) } { M } = - i \omega _ { k , q + q ^ { \prime } } \left( A ( q , q ^ { \prime } , k ) + A ( q ^ { \prime } , q , k ) \right) + \frac { i \omega _ { k , q + q ^ { \prime } } \left( \omega _ { p h } ^ { 2 } ( q ) + \omega _ { p h } ^ { 2 } ( q ^ { \prime } ) \right) } { \omega _ { p h } ^ { 2 } ( q ) - \omega _ { p h } ^ { 2 } ( q ^ { \prime } ) } \left( A ( q , q ^ { \prime } , k ) - A ( q ^ { \prime } , q , k ) \right) } \end{array}
\sigma _ { 8 } = { \frac { i } { 4 } } \left( { \frac { \overline { { { w } } } _ { 1 } d w _ { 1 } + \overline { { { w } } } _ { 2 } d w _ { 2 } } { 2 ( 1 + | w | ^ { 2 } ) } } - c . c . \right) .
w _ { 1 } ( x | y ^ { \prime } ) = \left\{ \begin{array} { l } { { w _ { 0 } } [ e ^ { - { \frac { ( x - f _ { 1 } ( y ^ { \prime } ) ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } } + e ^ { - { \frac { ( x - f _ { 2 } ( y ^ { \prime } ) ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } } ] , \quad 0 < x < y ^ { \prime } \; , } \\ { 0 , \quad \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ s ~ i ~ d ~ e ~ , ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \tilde { \rho } _ { \alpha } \grave { \mathbf { v } } _ { \alpha } + \tilde { \rho } _ { \alpha } \mathrm { d i v } \mathbf { v } _ { \alpha } } & { { } = ~ \gamma _ { \alpha } , } \\ { \tilde { \rho } _ { \alpha } \grave { \mathbf { v } } _ { \alpha } - \mathrm { d i v } \mathbf { T } _ { \alpha } - \tilde { \rho } _ { \alpha } \mathbf { b } _ { \alpha } } & { { } = ~ \mathbf { p } _ { \alpha } , } \\ { \tilde { \rho } _ { \alpha } \grave { \epsilon } _ { \alpha } - \mathbf { T } _ { \alpha } : \nabla \mathbf { v } _ { \alpha } + \mathrm { d i v } \mathbf { q } _ { \alpha } - \tilde { \rho } _ { \alpha } r _ { \alpha } } & { { } = ~ \breve { e } _ { \alpha } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| e _ { 1 } \| _ { L ^ { 2 } } } & { \leq \int _ { 0 } ^ { \tau } \int _ { 0 } ^ { s } \left\| e ^ { i ( \tau - s ) \Delta } P _ { N } \left( d B ( e ^ { i ( s - \sigma ) \Delta } v ( \sigma ) ) [ e ^ { i ( s - \sigma ) \Delta } B ( v ( \sigma ) ) ] \right) \right\| _ { L ^ { 2 } } \mathrm { d } \sigma \mathrm { d } s } \\ & { \leq C ( M _ { 2 } ) \int _ { 0 } ^ { \tau } \int _ { 0 } ^ { s } \| B ( v ( \sigma ) ) \| _ { L ^ { 2 } } \mathrm { d } \sigma \mathrm { d } s \leq C ( M _ { 2 } ) \tau ^ { 2 } \operatorname* { m a x } _ { 0 \leq \sigma \leq \tau } \| B ( v ( \sigma ) ) \| _ { L ^ { 2 } } } \\ & { \leq C ( M _ { 2 } ) \tau ^ { 2 } C ( M _ { 2 } ) \operatorname* { m a x } _ { 0 \leq \sigma \leq \tau } \| v ( \sigma ) \| _ { L ^ { 2 } } \leq C ( M _ { 2 } ) \tau ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { | \mathcal { Q } ( \mathcal { C } _ { j + 1 } ) | = | \mathcal { Q } ( \mathcal { C } _ { j } ) \cap \mathcal { Q } ( \mathcal { C } _ { j } + \mathbf { x } ) | = | \mathcal { Q } ( \mathcal { C } _ { j } ) \cap ( \mathcal { Q } ( \mathcal { C } _ { j } ) + \mathbf { x } ) | \leq | \mathcal { Q } ( \mathcal { C } _ { j } ) | ^ { 2 } / 2 ^ { n } } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { a } \mathrm { d } x \left( P _ { R } ^ { [ 1 ] } ( x ) + P _ { L } ^ { [ 1 ] } ( x ) \right) + \int _ { a } ^ { \ell } \mathrm { d } x \left( P _ { R } ^ { [ 2 ] } ( x ) + P _ { L } ^ { [ 2 ] } ( x ) \right) = 1 .
\begin{array} { r l } { r ^ { 2 } ( n ) } & { { } = \frac { 1 + \sin 2 \gamma } { 2 } , } \\ { l ^ { 2 } ( n ) } & { { } = \frac { 1 - \sin 2 \gamma } { 2 } , } \\ { \phi ( n ) } & { { } = 2 ( \alpha - \varphi ) + \pi \, ( \mathrm { m o d } \, 2 \pi ) . } \end{array}
\frac { 1 } { p ^ { 2 } } \left( ( p ^ { 2 } ) ^ { 3 } \ \left( 1 - \frac { M ^ { 2 } } { p ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \ - ( \frac { g ^ { 2 } C _ { F } } { 4 \pi ^ { 4 } } ) ^ { 2 } \ ( C _ { f } ^ { 2 } ) \right) \Psi _ { i } ^ { f } ( p ) = 0 ,
\Delta ^ { \tilde { q } } ( k ) \ = \ \Delta _ { + } ^ { \tilde { q } } ( k ) \, { \bf 1 } _ { 2 } \ + \, D e l t a _ { - } ^ { \tilde { q } } ( k ) \, U ^ { q } \, \tau _ { 3 } \, U ^ { q \dagger } \, ,
\begin{array} { r } { \overline { { \sigma } } _ { \mathrm { i n t e r } } ^ { 2 } = \frac { \sum _ { x } \sigma _ { \mathrm { i n t e r } } ^ { 2 } ( x ) \mathrm { I } ( x ) } { \sum _ { x } I ( x ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { p _ { r } } & { { } = } & { \frac { 1 } { r ^ { 4 } ( 3 r + { r _ { 0 } } ) } \left\lbrace \alpha { r _ { 0 } } e ^ { \mu ( { r _ { 0 } } - r ) } \left( - 2 r ^ { 2 } \left( e ^ { \mu ( r - { r _ { 0 } } ) } - 1 \right) + 3 r { r _ { 0 } } + { r _ { 0 } } ^ { 2 } \right) \right\rbrace } \end{array}
\widetilde V _ { V } \ = \ \widetilde V _ { V } ^ { ( 1 ) } + \widetilde V _ { V } ^ { ( 2 ) } \ = \, g a m m a _ { 1 L } \gamma _ { 2 L } ( \frac { \alpha } { 2 P _ { L } r } - \frac { \alpha ^ { 2 } } { 2 P _ { L } ^ { 2 } r ^ { 2 } } ) \ .
\begin{array} { r l } { \mathcal { U } _ { n , m } ^ { \epsilon } ( x , y , z ) \approx } & { { } \mathrm { i } ^ { m } \bigg ( \mathcal { U } _ { n , m } - \mathrm { i } \frac { \epsilon } { 2 } \Big ( A _ { n } \mathcal { U } _ { n + 2 , m } + B _ { n } \mathcal { U } _ { n - 2 , m } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left| Z _ { ( \frac { 1 } { 3 } , \frac { 1 } { 2 } ] , G } \right| \leqslant \frac { n } { 6 } + 5 } \\ & { \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, - \operatorname* { m a x } \left( \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } ^ { 1 ( 4 ) } \right| \! + \! \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } ^ { 3 ( 4 ) } \right| + \operatorname* { m i n } \left( \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } ^ { 1 ( 4 ) } \right| , \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } ^ { 3 ( 4 ) } \right| \right) , 3 \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } ^ { 0 ( 4 ) } \right| , 3 \left| A _ { ( \frac { 2 } { 3 } , 1 ] } ^ { 2 ( 4 ) } \right| \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \Delta t \rangle _ { s h o r t } = } & { { } \int _ { 0 } ^ { t _ { o n } } S _ { 1 } ( t , m = 0 ) - S _ { 1 } ( t , m ) d t + S _ { 1 } \int _ { t _ { o n } } ^ { t _ { e n d } } S _ { 2 } ( t , m = 0 ) - S _ { 2 } ( t , m ) d t + } \end{array}
\hat { \omega } ( 1 , 1 , \epsilon ) = \frac { - 1 } { 2 } \int _ { \Gamma _ { i } } \frac { d t } { w } \ , \ \ \, e p s i l o n = 2 \frac { 1 + k ^ { 2 } } { 1 - k ^ { 2 } }
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { m a x } | B _ { x } | } & { { } \approx } & { \frac { \mu _ { 0 } } { 2 } \int _ { 0 } ^ { R } \int _ { - \Delta x } ^ { \Delta x } \frac { | j _ { \theta } | r ^ { 2 } \mathrm { d } x \mathrm { d } r } { ( r ^ { 2 } + x ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } } \end{array}
\left| \alpha - { \frac { p } { q } } \right| = \left| { \frac { f ( { \frac { p } { q } } ) } { f ^ { \prime } ( x _ { 0 } ) } } \right| \geq { \frac { 1 } { M q ^ { n } } } > { \frac { A } { q ^ { n } } } \geq \left| \alpha - { \frac { p } { q } } \right|
R _ { i j } ^ { V } = - \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } + \frac { 2 } { 3 } k \delta _ { i j } = \left( \begin{array} { l l l } { \zeta _ { 1 1 k l } \frac { \partial \overline { { u } } _ { l } } { \partial x _ { k } } } & { \zeta _ { 1 2 k l } \frac { \partial \overline { { u } } _ { l } } { \partial x _ { k } } } & \\ { \zeta _ { 2 1 k l } \frac { \partial \overline { { u } } _ { l } } { \partial x _ { k } } } & { \zeta _ { 2 2 k l } \frac { \partial \overline { { u } } _ { l } } { \partial x _ { k } } } & \\ & & { 0 } \end{array} \right) .
n _ { b } ( r , \xi ) = \left\{ N _ { b } / \left[ ( 2 \pi ) ^ { 3 / 2 } \sigma _ { r } ^ { 2 } \sigma _ { z } \right] \right\} e ^ { - r ^ { 2 } / \left( 2 \sigma _ { r } ^ { 2 } \right) } e ^ { - \xi ^ { 2 } / \left( 2 \sigma _ { z } ^ { 2 } \right) }
\gamma _ { \lambda } = - \epsilon \, \frac { \hat { \mathbf { e } } _ { \lambda } ^ { \dagger } \, { \boldsymbol { \cdot } } \, { \mathbf { Q } } ( \mathbf { x } , \mathbf { k } _ { r } ) \, { \boldsymbol { \cdot } } \, \hat { \mathbf { e } } _ { \lambda } } { \partial D _ { \lambda } / \partial \omega }
\begin{array} { r l } { | | X ( n _ { p } ) | | _ { 2 } \leq } & { { } 2 | | \Delta \tilde { \eta } _ { n _ { p } } ^ { ( 0 ) } | | _ { 2 } | | ( \mathbf { A } + \mathbf { B } ) \tilde { \eta } _ { n _ { p } } ^ { ( 0 ) } | | _ { 2 } } \end{array}
\zeta _ { c y l } ^ { D } ( - 1 ) = - \frac { 1 } { 4 \pi a } \left[ 0 . 4 1 5 5 7 4 - 0 . 0 6 0 8 9 7 - \frac { 1 } { 4 } \ln ( 2 \pi ) + 0 . 0 4 5 6 1 1 \right] = \frac { 0 . 0 0 1 2 1 3 } { a ^ { 2 } } \, { . }
\begin{array} { r } { E [ v , \mathbf { A } ] = \operatorname* { i n f } _ { \rho , \mathbf { j } ^ { \mathrm { p } } } \left\{ F _ { \bullet } [ \rho , \mathbf { j } ^ { \mathrm { p } } ] + \langle u [ v , \mathbf { A } ] , \rho \rangle + \langle \mathbf { A } , \mathbf { j } ^ { \mathrm { p } } \rangle \right\} . } \end{array}
2 \Lambda T ^ { \frac { 1 } { 2 } } \lVert \psi \rVert _ { L _ { [ 0 , T ] } ^ { \infty } L _ { x } ^ { \infty } } \lVert B \psi \rVert _ { L _ { [ 0 , T ] } ^ { 2 } L _ { x } ^ { \infty } } < m - \varepsilon
\mathbf { M } = \left( \begin{array} { l l l } { - \tilde { \alpha } _ { 1 } } & { \tilde { \alpha } _ { 2 } } & { \tilde { \gamma } _ { 1 } } \\ { \tilde { \alpha } _ { 1 } } & { - \tilde { \alpha } _ { 2 } } & { \tilde { \gamma } _ { 2 } } \\ { 0 } & { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) , \qquad ( u \mathbf { f } ) ( \mathbf { y } ) = \left( \begin{array} { l } { - ( \tilde { \beta _ { 1 } } + \theta _ { 1 } ) / S _ { 2 } + \theta _ { 2 } / S _ { 1 } + ( \nu _ { 1 } - \nu _ { 2 } ) / I } \\ { - ( \tilde { \beta _ { 2 } } + \theta _ { 2 } ) / S _ { 1 } + \theta _ { 1 } / S _ { 2 } + ( \nu _ { 2 } - \nu _ { 1 } ) / I } \\ { \tilde { \beta } _ { 1 } / S _ { 2 } + \tilde { \beta } _ { 2 } / S _ { 1 } } \end{array} \right) .
I _ { 1 } ( \Lambda ^ { 2 } ) \; = \; \int _ { 0 } ^ { \infty } \, q ^ { 2 } \mathrm { d } q ^ { 2 } \: \mathrm { e } \, ^ { - q ^ { 2 } / \Lambda ^ { 2 } } \, \rho ( q ^ { 2 } ) \; = \; \int _ { 0 } ^ { 1 } \mathrm { d } x \, \mathrm { d } y \; \left( \frac { m ^ { 2 } } { x } + \frac { m ^ { 2 } } { 1 - x } \right) \, G ( x , y ; \Lambda ) \; .
\mu _ { k } \propto \left( \frac { \eta } { \eta _ { \mathrm { c } } } \right) ^ { \alpha { _ { \pm } } } , \quad \alpha _ { \pm } = \frac { 1 } { 2 } \pm \sqrt { \frac { 1 } { 4 } + \beta ( 1 + \beta ) ( 1 - 6 \xi ) } \, .
{ \begin{array} { l r c l r } { \operatorname* { m a x } _ { x _ { t } } } & { E [ Q _ { t + 1 } ( W _ { t + 1 } , \xi _ { [ t + 1 ] } ) | \xi _ { [ t ] } ] } & \\ { { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } } } & { W _ { t + 1 } } & { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { n } \xi _ { i , t + 1 } x _ { i , t } } \\ & { \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i , t } } & { = } & { W _ { t } } \\ & { x _ { t } } & { \geq } & { 0 } \end{array} }
| { \tau } _ { 4 } \pm { \tau } _ { 1 } | , \; | { \tau } _ { 2 } \pm { \tau } _ { 1 } | , \; | { \tau } _ { 3 } \pm { \tau } _ { 2 } | , \; | { \tau } _ { 4 } \pm { \tau } _ { 3 } | \; \leq \frac { T } { 4 } \; ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { u _ { t } } } & { \| u _ { t } \| _ { 2 } } \\ { \mathrm { s . t . ~ } } & { \| e _ { t } + \frac { h \Delta _ { t } } { m } u _ { t } - \frac { \Delta _ { t } } { m } ( f _ { 0 } + f _ { 1 } ( e _ { t } + v _ { d } ) + f _ { 2 } ( e _ { t } + v _ { d } ) ^ { 2 } ) \| \leq ( 1 - \rho ) \| e _ { t } \| } \end{array}