harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
Q _ { \operatorname* { m a x } } ( { t _ { i } } , g , \tau _ { i } \setminus \{ { t _ { i } } \} ) = \operatorname* { m a x } _ { \ell } \frac { \binom { N _ { t } p _ { { t _ { i } } , \ell } } { g } a _ { g , \ell } ^ { t _ { i } } } { \binom { N _ { t _ { i } } } { n _ { t _ { i } } } } \prod _ { s \in \tau _ { i } \setminus \{ { t _ { i } } \} } \frac { b _ { g } ^ { s } } { \binom { N _ { s } } { n _ { s } } }
\rho _ { p } = \psi ^ { \dagger } \psi , \qquad \vec { j } = \frac { \hbar } { 2 m _ { e } i } [ \psi ^ { \dagger } \vec { \nabla } \psi - ( \vec { \nabla } \psi ^ { \dagger } ) \psi ] - \frac { e } { m _ { e } } \vec { A } \rho _ { p } .
\psi _ { m , k , j + 1 / 2 } = \left\{ \begin{array} { l l } { \psi _ { m , k , j , R } , } & { \mu _ { m } > 0 , } \\ { \psi _ { m , k , j + 1 , L } , } & { \mu _ { m } < 0 \; , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \langle \cos ^ { 2 } ( \theta ) \rangle _ { l _ { 0 } , m _ { 0 } } ( \tau ) } & { { } = \frac { 1 } { 3 } \sum _ { l ^ { \prime } = 0 } ^ { \infty } \frac { ( 2 l ^ { \prime } + 3 ) ( 2 l ^ { \prime } - 1 ) + [ l ^ { \prime } ( l ^ { \prime } + 1 ) - 3 m _ { 0 } ^ { 2 } ] } { ( 2 l ^ { \prime } + 3 ) ( 2 l ^ { \prime } - 1 ) } | a ( l _ { 0 } , m _ { 0 } , l ^ { \prime } ) | ^ { 2 } } \end{array}
\mathcal { K } ^ { \top } = ( { \mathcal { H } } ^ { \top } , \nu _ { 1 } \mathcal { D } _ { x } ^ { \top } , \nu _ { 2 } \mathcal { D } _ { y } ^ { \top } , \nu _ { 3 } \mathcal { D } _ { z } ^ { \top } , \nu _ { 4 } \mathcal { D } _ { B } ^ { \top }
\left\{ \begin{array} { l l } & { \dot { \rho } _ { k } ^ { V } = - \beta _ { B } \rho _ { k } ^ { V } k \Theta _ { B } - \beta _ { W } \rho _ { k } ^ { V } k \Theta _ { W } , } \\ & { \dot { \rho } _ { k } ^ { B } = \beta _ { B } \rho _ { k } ^ { V } k \Theta _ { B } - \beta _ { W } \rho _ { k } ^ { B } k \Theta _ { W } , } \\ & { \dot { \rho } _ { k } ^ { D } = \beta _ { W } \rho _ { k } ^ { V } k \Theta _ { W } - \beta _ { B } \rho _ { k } ^ { D } k \Theta _ { B } - \epsilon \rho _ { k } ^ { D } - \gamma _ { p } \rho _ { k } ^ { D } , } \\ & { \dot { \rho } _ { k } ^ { D _ { B } } = \beta _ { B } \rho _ { k } ^ { D } k \Theta _ { B } + \beta _ { W } \rho _ { k } ^ { B } k \Theta _ { W } - \epsilon \rho _ { k } ^ { D _ { B } } - \gamma _ { p } \rho _ { k } ^ { D _ { B } } , } \\ & { \dot { \rho } _ { k } ^ { W } = \epsilon \rho _ { k } ^ { D } - \beta _ { B } \rho _ { k } ^ { W } k \Theta _ { B } - \mu \rho _ { k } ^ { W } , } \\ & { \dot { \rho } _ { k } ^ { W _ { B } } = \epsilon \rho _ { k } ^ { D _ { B } } + \beta _ { B } \rho _ { k } ^ { W } k \Theta _ { B } - \mu \rho _ { k } ^ { W _ { B } } , } \\ & { \dot { \rho } _ { k } ^ { P } = \mu \rho _ { k } ^ { W _ { B } } + \mu \rho _ { k } ^ { W } + \gamma _ { p } \rho _ { k } ^ { D _ { B } } + \gamma _ { p } \rho _ { k } ^ { D } , } \end{array} \right.
{ \boldsymbol { p } } = \pi \alpha _ { \sf p h } \varrho _ { 0 } { R _ { 0 } } ^ { 2 } \Gamma \bigl ( \varpi ^ { 2 } + \chi ^ { 2 } \bigr ) { \boldsymbol { e } } \, , \qquad | { \boldsymbol { e } } | = 1 \, .
\begin{array} { r } { f _ { T } ( k _ { x } . k _ { p } ) \rightarrow f _ { T } ( k _ { x } . k _ { p } ) e ^ { - \frac { 1 } { 2 } \sigma ^ { 2 } ( k _ { x } ^ { 2 } + k _ { p } ^ { 2 } ) } \ \ \mathrm { w i t h } \ \ \sigma > \sqrt { { \lambda } / { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { D _ { t } ^ { N } ( \rho _ { S } f ) + \mathrm { { d i v } } _ { \Gamma } ( \rho _ { S } f v _ { S } ) = \rho _ { S } D _ { t } ^ { S } f , } \\ & { D _ { t } ^ { N } ( \rho _ { S } v _ { S } ) + { \mathrm { d i v } } _ { \Gamma } ( \rho _ { S } v _ { S } \otimes v _ { S } ) = \rho _ { S } D _ { t } ^ { S } v _ { S } . } \end{array}
\begin{array} { r } { t = \tau t ^ { \prime } \, , \qquad \vec { x } = L \vec { x } ^ { \prime } \, , \qquad \vec { p } = M v _ { m } \vec { p } ^ { \prime } \, , \qquad \vec { F } = \frac { L } { \tau ^ { 2 } } \vec { F } ^ { \prime } \, , \qquad C = \frac { C ^ { \prime } } { \tau _ { f } ^ { - 1 } } \, , \qquad } \end{array}
\begin{array} { r l r } { H _ { N } ^ { \mathrm { d i p } } } & { { } = } & { - \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N } \mathbf { m } _ { 1 } ( i ) + \sum _ { i < j } \mathbf { m } _ { 2 } ( i , j ) + \right. } \\ { H _ { N } ^ { \mathrm { p o l } } } & { { } = } & { - \frac { 1 } { 2 } \mathbf { E } _ { 0 } \cdot \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N } \boldsymbol { \alpha } _ { 1 } ( i ) + \sum _ { i < j } \boldsymbol { \alpha } _ { 2 } ( i , j ) + \right. } \end{array}
\left. + \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } d x ^ { i } d x ^ { i } + \frac { N \alpha ^ { \prime } } { 4 } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } ( \hat { \theta } ^ { i } - A _ { B P S } ^ { i } ) ^ { 2 } \right) \, .
\begin{array} { r } { e ^ { i h ^ { - 1 } t \psi ( h ^ { 2 } P _ { m } ) } \varphi ( - h ^ { 2 } \Delta _ { g } ) \chi _ { \kappa } ^ { ( 1 ) } = e ^ { i h ^ { - 1 } t \psi ( h ^ { 2 } P _ { m } ) } \chi _ { \kappa } ^ { ( 2 ) } \mathrm { O p } _ { h } ^ { \kappa } ( a _ { \kappa } ) \chi _ { \kappa } ^ { ( 1 ) } + h ^ { N } e ^ { i h ^ { - 1 } t \psi ( h ^ { 2 } P _ { m } ) } R _ { 1 , \kappa , N } ( h ) } \end{array}
\nabla \cdot ( \mathbf { a } \cdot \mathbf { b } ) = ( \nabla \cdot \mathbf { a } ) \cdot \mathbf { b } + { \frac { 1 } { 2 } } \left( \mathbf { a } ^ { \mathsf { T } } : \nabla \mathbf { b } + \mathbf { a } : ( \nabla \mathbf { b } ) ^ { \mathsf { T } } \right)
\frac { d \Gamma } { d s d \Delta } \; = \; \frac { 1 } { 5 1 2 \pi ^ { 3 } m _ { K } ^ { 3 } } \; | A _ { 2 } ^ { + } | ^ { 2 } \; \frac { 1 } { 2 } \; \left[ \lambda ( s , m _ { K } ^ { 2 } , m _ { \pi } ^ { 2 } ) - \Delta ^ { 2 } \right] .
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } ( \rho _ { \alpha } \mathbf { v } _ { \alpha } ) + \mathrm { d i v } \left( \rho _ { \alpha } \mathbf { v } _ { \alpha } \otimes \mathbf { v } _ { \alpha } \right) + \nabla p } & { { } } \\ { - \mathrm { d i v } \left( \nu _ { \alpha } \left( 2 \mathbf { D } _ { \alpha } + \lambda _ { \alpha } \mathrm { d i v } \mathbf { v } _ { \alpha } \right) \right) - \rho _ { \alpha } \mathbf { b } } & { { } = ~ 0 , } \\ { \mathrm { d i v } \mathbf { v } _ { \alpha } } & { { } = ~ 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \tilde { \cal O } } \left( \left( \frac { \sqrt { \lambda + \kappa } } { \sqrt { \lambda } } \left( \frac { 1 } { \delta } + \frac { a _ { 1 } } { \lambda + \kappa } + \frac { b _ { 1 } } { \sqrt { \lambda + \kappa } } \right) r _ { Q } + \frac { \sqrt { \lambda + \kappa } } { \sqrt { \lambda } } U _ { d } \right) \log \frac { 1 } { \epsilon } \right) } \\ & { = { \tilde { \cal O } } \left( \frac { r _ { Q } } { \sqrt { \lambda } } \log \frac { 1 } { \epsilon } \left( \left( \frac { 1 } { \delta } + \frac { U _ { d } } { r _ { Q } } \right) \sqrt { \lambda + \kappa } + \frac { a _ { 1 } } { \sqrt { \lambda + \kappa } } + b _ { 1 } \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - Z _ { 1 } ^ { 2 } + Z _ { 2 } ^ { 2 } } & { { } = 4 ( 1 - 1 / r ) } \\ { Z _ { 3 } } & { { } = \int d r ( r ^ { 2 } + r + 1 ) r ^ { - 3 / 2 } } \\ { Z _ { 4 } ^ { 2 } + Z _ { 5 } ^ { 2 } + Z _ { 6 } ^ { 2 } } & { { } = r ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { s _ { 0 } } & { { } = x _ { 0 } + x _ { 1 } + x _ { 2 } , } \\ { s _ { 1 } } & { { } = x _ { 0 } + \xi x _ { 1 } + \xi ^ { 2 } x _ { 2 } , } \\ { s _ { 2 } } & { { } = x _ { 0 } + \xi ^ { 2 } x _ { 1 } + \xi x _ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { c c c c c } { { D \, \Phi ( 0 ) = D _ { 0 } \, \Phi ( 0 ) } } & { { ; } } & { { Y \, \Phi ( 0 ) = y _ { 0 } \, \Phi ( 0 ) } } & { { ; } } & { { J _ { 2 } \, \Phi ( 0 ) = j \, \Phi ( 0 ) \, . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ^ { ( 2 ) } ( x _ { j } ) } & { = \displaystyle \frac { 1 } { ( \Delta x ) ^ { 2 } } \sum _ { \ell = - r } ^ { r } c _ { \ell } ^ { ( r ) } f ( x _ { j } + \ell \Delta x ) } \\ & { = \displaystyle \frac { 1 } { ( \Delta x ) ^ { 2 } } \sum _ { \ell = - r } ^ { r } c _ { \ell } ^ { ( r ) } \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } \frac { \ell ^ { i } ( \Delta x ) ^ { i } } { i ! } f ^ { ( i ) } ( x _ { j } ) } \\ & { = \displaystyle \frac { 1 } { ( \Delta x ) ^ { 2 } } \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } \frac { ( \Delta x ) ^ { i } } { i ! } f ^ { ( i ) } ( x _ { j } ) \sum _ { \ell = - r } ^ { r } c _ { \ell } ^ { ( r ) } \ell ^ { i } , } \end{array}
\sum _ { k = 0 } ^ { 3 } { { { \left( { \frac { { \partial { R _ { k } } } } { { \partial { \bf { \bar { v } } } } } } \right) } ^ { \dag } } \cdot { { { \bf { \bar { v } } } } ^ { \dag } } } - \frac { { \partial J } } { { \partial { \bf { \bar { v } } } } } = 0 .
\begin{array} { r l } { \b { W _ { o } } } & { { } = \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { \b { A } ^ { * } t } e ^ { \b { A } t } ~ \mathrm { d } t = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \b { H } ( i \omega ) ^ { * } \b { H } ( i \omega ) ~ \mathrm { d } \omega , } \\ { \b { W _ { c } } } & { { } = \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { \b { A } t } e ^ { \b { A } ^ { * } t } ~ \mathrm { d } t = \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \b { H } ( i \omega ) \b { H } ( i \omega ) ^ { * } ~ \mathrm { d } \omega . } \end{array}
B _ { \mathrm { n } } ( Q ^ { 2 } ) = B _ { \mathrm { n } } ( \mu ^ { 2 } ) \mathrm { e x p } \Biggl \{ - \int _ { \alpha _ { \mathrm { s } } ( \mu ^ { 2 } ) } ^ { \alpha _ { \mathrm { s } } ( Q ^ { 2 } ) } \frac { d \alpha } { \beta ( \alpha ) } \gamma _ { \mathrm { n } } ( \alpha ) \Biggr \} \approx B _ { \mathrm { n } } ( \mu ^ { 2 } ) \Biggl \{ \frac { \ln ( Q ^ { 2 } / \Lambda _ { \mathrm { Q C D } } ^ { 2 } ) } { \ln ( \mu ^ { 2 } / \Lambda _ { \mathrm { Q C D } } ^ { 2 } ) } \Biggr \} ^ { - \gamma _ { \mathrm { n } } } .
\begin{array} { r } { \left| \sum _ { \varrho _ { \chi } } \frac { ( x + h ) ^ { \varrho _ { \chi } + 1 } - x ^ { \varrho _ { \chi } + 1 } } { h \varrho _ { \chi } ( \varrho _ { \chi } + 1 ) } \right| \leq \left( \frac { \log { x } } { 8 \pi } + \frac { \log { q } } { 2 \pi } + k _ { 1 } ( x _ { 0 } ) \right) \sqrt { x } \log { x } + k _ { 2 } ( x _ { 0 } ) \sqrt { x } \log { q } . } \end{array}
2 2 : { \bigg ( } { \frac { 2 } { 3 } } + { \frac { 1 } { 3 0 } } { \bigg ) } + x = 1 \; \; \; \rightarrow \; \; \; x = { \frac { 1 } { 5 } } + { \frac { 1 } { 1 0 } }
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { A } } & { { } = A ^ { n } \boldsymbol { e } - \Delta t \, \tilde { \mathcal { A } } \, \partial _ { x } ( \boldsymbol { A u } ) } \\ { \boldsymbol { A u } } & { { } = ( A u ) ^ { n } \boldsymbol { e } - \Delta t \, \tilde { \mathcal { A } } \, \partial _ { x } \left( \boldsymbol { A u ^ { 2 } } \right) - \Delta t \, \tilde { \mathcal { A } } \, \frac { \boldsymbol { A } } { \rho } \, \partial _ { x } \boldsymbol { F } ( \boldsymbol { A } ) + \Delta t \, \tilde { \mathcal { A } } \, \frac { \boldsymbol { A } } { \rho } \, \partial _ { x } \left( \eta \, \boldsymbol { G } ( \boldsymbol { A } ) \partial _ { x } ( \boldsymbol { A u } ) \right) \, , } \end{array}
\sum _ { \nu } \left[ a _ { \nu } ^ { ( \ell ) } \mathbf { n } _ { e \nu k _ { \ell } } ^ { ( \textrm { o u t w a r d } ) } + b _ { \nu } ^ { ( \ell ) } \mathbf { n } _ { e \nu k _ { \ell } } ^ { ( \textrm { i n w a r d } ) } \right]
- \beta _ { q , i n } \operatorname { t a n h } [ \alpha ( \mathbf { x } _ { q , 1 } - \Delta _ { c } - \mu ) ] - B + \gamma ( \mathbf { x } _ { q , 1 } - \Delta _ { c } ) = \beta _ { q , o u t } \operatorname { t a n h } [ \alpha ( \mathbf { x } _ { 0 } - \mu ) ] ,
\begin{array} { r } { \alpha ( X , \tilde { X } ) = \operatorname* { m i n } \left( 1 , \, \frac { \mu _ { \mathrm { a u g } } ( \tilde { X } ) p _ { \theta } ( X \mid \tilde { X } ^ { p } ) } { \mu _ { \mathrm { a u g } } ( X ) p _ { \theta } ( \tilde { X } \mid X ^ { p } ) } \right) } \end{array}
\partial _ { u } ^ { 2 } \mathscr L _ { \omega } ( \mathbf 1 ) ( u , u ) = \frac 1 2 \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } | \nabla q | ^ { 2 } \, { \mathrm { d } } x - 2 \gamma ^ { 2 } \kappa \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } ( \Sigma \star q ) q \, { \mathrm { d } } x + \frac 1 2 \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } | \nabla p | ^ { 2 } \, { \mathrm { d } } x .
\begin{array} { r l r l r l } { G _ { \{ i \} } } & { = G _ { \{ j \} } \left( I ^ { N } \otimes I ^ { m } \right) } & { \, } & { \Leftrightarrow \, } & { G _ { \{ i \} } } & { = G _ { \{ j \} } , } \\ { E _ { \{ i \} } } & { = E _ { \{ j \} } I ^ { n } } & { \, } & { \Leftrightarrow \, } & { E _ { \{ i \} } } & { = E _ { \{ j \} } . } \end{array}
\delta _ { G } ( y ) = \frac { C } { \sqrt y } \left[ 2 a _ { 2 } C ^ { 2 } + \frac { \beta _ { 1 } } { \beta _ { 0 } ^ { 2 } } [ \ln ( 2 y ) + 2 ] \right] + \frac { C ^ { 2 } } { y } \left[ a _ { 3 } C ^ { 2 } - \frac { a _ { 1 } \beta _ { 1 } } { \beta _ { 0 } ^ { 2 } } [ \ln ( 2 y ) + 1 ] \right] ;
\left\{ \begin{array} { l } { \dot { x } ^ { * } ( t ) = \nabla _ { p } H \left( t , x ^ { * } ( t ) , p ^ { * } ( t ) , \theta ^ { * } ( t ) \right) , \quad x ^ { * } \left( t _ { 0 } \right) = x _ { 0 } } \\ { \dot { p } ^ { * } ( t ) = - \nabla _ { x } H \left( t , x ^ { * } ( t ) , p ^ { * } ( t ) , \theta ^ { * } ( t ) \right) , \quad p ^ { * } \left( t _ { f } \right) = - \nabla _ { x } \Phi \left( x ^ { * } \left( t _ { f } \right) \right) } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { t \, \| u - \mathrm { a v } ( u ; B _ { r } ) \| _ { L ^ { 2 } ( B _ { r } ) } } & { \le t \, \| u - v \| _ { L ^ { 2 } ( B _ { r } ) } + t \, \| v - \mathrm { a v } ( v ; B _ { r } ) \| _ { L ^ { 2 } ( B _ { r } ) } + t \, \| \mathrm { a v } ( v ; B _ { r } ) - \mathrm { a v } ( u ; B _ { r } ) \| _ { L ^ { 2 } ( B _ { r } ) } } \\ & { \le 2 \, r \, \left( \| u - v \| _ { L ^ { 2 } ( B _ { r } ) } + \| \mathrm { a v } ( v ; B _ { r } ) - \mathrm { a v } ( u ; B _ { r } ) \| _ { L ^ { 2 } ( B _ { r } ) } \right) + t \, \| v - \mathrm { a v } ( v ; B _ { r } ) \| _ { L ^ { 2 } ( B _ { r } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle \, \Psi ( \gamma P J ) \, \| { \bf T } ^ { ( 1 ) } \| \, \Psi ( \gamma ^ { \prime } P ^ { \prime } J ^ { \prime } ) \, \rangle } & { { } = } & { } \\ { \sum _ { j , k } c _ { j } c _ { k } ^ { \prime } \; \langle \, \Phi ( \gamma _ { j } P J ) \, \| { \bf T } ^ { ( 1 ) } \| \, \Phi ( \gamma _ { k } ^ { \prime } P ^ { \prime } J ^ { \prime } ) \, \rangle , } \end{array}
V _ { \mathrm { d i p o l e } } = - { \frac { 1 5 } { 3 2 } } \pi ^ { 3 } i \bar { \Theta } _ { 1 } \Gamma ^ { 0 i j } \Theta _ { 1 } \bar { \Theta } _ { 2 } \Gamma ^ { 0 i k } \Theta _ { 2 } \partial _ { j } \partial _ { k } \left\{ { \frac { 1 } { r ^ { 7 } } } \right\} \; ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { H e s s } _ { R ^ { 2 } g } ( f ) ( \Bar { e _ { i } } , \Bar { e _ { i } } ) } & { = R ^ { 2 } g ( \nabla _ { \Bar { e _ { i } } } \mathrm { g r a d } _ { R ^ { 2 } g } ( f ) , \Bar { e _ { i } } ) } \\ & { = g ( \nabla _ { { e _ { i } } } \mathrm { g r a d } _ { R ^ { 2 } g } ( f ) , e _ { i } ) } \\ & { = R ^ { - 2 } g ( \nabla _ { { e _ { i } } } \mathrm { g r a d } _ { g } ( f ) , e _ { i } ) = R ^ { - 2 } \mathrm { H e s s } _ { g } ( f ) ( e _ { i } , e _ { i } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { x \in \mathbb X } \bigg ( n _ { x } \kappa _ { E } \frac { \mu ( x ) } { \alpha ( x ) } + \kappa _ { I } \alpha ( x ) + n _ { x } \sum _ { \nu _ { j } \to \nu _ { j } ^ { \prime } } \kappa _ { j } } & { \binom { x - \nu _ { j } ^ { \prime } + \nu _ { j } } { \nu _ { j } } \frac { \alpha ( x - \nu _ { j } ^ { \prime } + \nu _ { j } ) } { \alpha ( x ) } \bigg ) } \\ & { = \sum _ { x \in \mathbb X } \bigg ( \kappa _ { I } \mu ( x ) + n _ { x } \kappa _ { E } + n _ { x } \sum _ { \nu _ { j } \to \nu _ { j } ^ { \prime } } \kappa _ { j } \binom { x } { \nu _ { j } } \bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { e v } ^ { \mathrm { t r o p } } \colon { \mathcal { M } } _ { \omega , \boldsymbol { \gamma } } ^ { \mathrm { t r o p } } } & { \longrightarrow \prod _ { i = 1 } ^ { r } M _ { \mathbb { R } } / ( \gamma _ { i } ^ { \perp } ) _ { \mathbb { R } } \simeq \mathbb { R } ^ { r } } \\ { h } & { \longmapsto ( [ h ( L _ { i } ) ] ) _ { i } \, , } \end{array}
{ \frac { d S ^ { ( 1 ) } } { d \ln M ^ { 2 } } } = { \frac { \lambda } { 6 4 \pi ^ { 2 } } } \int d ^ { 4 } x \mu ^ { 2 } \phi _ { c l } ^ { 2 } ( x ) + { \frac { \lambda ^ { 2 } } { 2 5 6 \pi ^ { 2 } } } \int d ^ { 4 } x \phi _ { c l } ^ { 4 } ( x ) \, \, .
F _ { 0 } = 2 m _ { w } r _ { \mathrm { c } } \phi _ { 0 } \omega = \frac { 1 } { m d } \sqrt { \frac { m _ { t } ( m _ { t } I _ { A } - m ^ { 2 } d ^ { 2 } ) ( \bar { M } _ { w } + m g d \sin \bar { \theta } _ { \mathrm { e } } ) } { \mu \sin 2 ( \bar { \theta } _ { \mathrm { e } } - \beta ) } }
Q _ { \textrm { s c } } ^ { \texttt { P } } = \frac { 2 } { | k _ { h } R _ { N } | } \left[ | a _ { 0 } ^ { ( N + 1 ) } | ^ { 2 } + 2 \sum _ { \nu = 1 } ^ { \infty } | a _ { \nu } ^ { ( N + 1 ) } | ^ { 2 } \right]
\begin{array} { l l } { { m \dot { u } ^ { \alpha } + \displaystyle \frac { 1 } { c ^ { 2 } } S ^ { \alpha \sigma } \ddot { u } _ { \sigma } = f ^ { \alpha } } } \\ { { \dot { S } ^ { \alpha \beta } - \displaystyle \frac { 1 } { c ^ { 2 } } S ^ { \alpha \sigma } \dot { u } _ { \sigma } u ^ { \beta } + \displaystyle \frac { 1 } { c ^ { 2 } } S ^ { \beta \sigma } \dot { u } _ { \sigma } u ^ { \alpha } = 0 } } \end{array}
Z ( 0 , l _ { \alpha } ) = \exp \left[ i V ^ { \zeta } ( - i \delta / \delta l _ { \alpha } ) \right] \left[ \exp \left( - { \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } } { \cal J } ^ { \zeta } \right) \int [ d \zeta ] e ^ { i \bar { S } _ { 1 } } \right] .
\begin{array} { r l } { \prod _ { i \leq j } ( 1 + t x _ { i } x _ { j } ) } & { = \sum _ { \pi \operatorname { A S C } } t ^ { | \pi | / 2 } s _ { \pi } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) , } \\ { \prod _ { i < j } ( 1 + t x _ { i } x _ { j } ) } & { = \sum _ { \pi \operatorname { A S C } } t ^ { | \pi | / 2 } s _ { \pi ^ { \prime } } ( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n } ) . } \end{array}
V _ { \mathrm { e f f } } ( \phi _ { R } ) = \pi ^ { 2 } \zeta ^ { 2 } \phi _ { R } ^ { 4 } \left( \ln { \frac { \phi _ { R } ^ { 2 } } { v _ { R } ^ { 2 } } } - { \frac { 1 } { 2 } } \right) + { \frac { 1 } { 4 } } ( \zeta - 1 ) m _ { h } ^ { 2 } \phi _ { R } ^ { 2 } ( 1 - { \frac { \phi _ { R } ^ { 2 } } { 2 v _ { R } ^ { 2 } } } )
J _ { i } \overset { \mathbf { L } } { \otimes } _ { \Pi } J _ { j } \overset { \mathbf { L } } { \otimes } _ { \Pi } J _ { i } \simeq J _ { i } \otimes _ { \Pi } J _ { j } \otimes _ { \Pi } J _ { i } \simeq J _ { i } J _ { j } J _ { i } = J _ { j } J _ { i } J _ { j } \simeq J _ { j } \otimes _ { \Pi } J _ { i } \otimes _ { \Pi } J _ { j } \simeq J _ { j } \overset { \mathbf { L } } { \otimes } _ { \Pi } J _ { i } \overset { \mathbf { L } } { \otimes } _ { \Pi } J _ { j } ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { S } _ { i } ^ { ( j ) , - } } & { { } = \mathbf { U } _ { i } ^ { ( j ) } \mathbf { \Sigma } _ { i } ^ { ( j ) } \left[ \mathbf { V } _ { i } ^ { ( j ) } \right] ^ { \top } , } \\ { \widehat { \mathbf { A } } _ { i } ^ { ( j ) } } & { { } = \left[ \mathbf { U } _ { i } ^ { ( j ) } \right] ^ { \top } \mathbf { S } _ { i } ^ { ( j ) , + } \mathbf { V } _ { i } ^ { ( j ) } \left[ \mathbf { \Sigma } _ { i } ^ { ( j ) } \right] ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda _ { i } } & { = \langle \nabla _ { \partial _ { i } } \nu , \partial _ { i } \rangle } \\ & { = \langle \nabla _ { \partial _ { i } } \cos \theta \partial _ { t } + \sin \theta \partial _ { r } , \partial _ { i } \rangle } \\ & { = \cos \theta \langle \nabla _ { \partial _ { i } } \partial _ { t } , \partial _ { i } \rangle + \sin \theta \langle \nabla _ { \partial _ { i } } \partial _ { r } , \partial _ { i } \rangle } \\ & { = \sin \theta \langle \nabla _ { \partial _ { i } } \partial _ { r } , \partial _ { i } \rangle } \\ & { = \left( \frac { 1 } { - r } + O ( r ) \right) \sin \theta , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( { \bf K } _ { E } ) _ { i , j } } & { = { \mathbb E } \left[ \int _ { a _ { i } } ^ { a _ { i + 1 } } \int _ { a _ { j } } ^ { a _ { j + 1 } } E ( r ) E ^ { * } ( r ^ { \prime } ) \mathrm { d } r \mathrm { d } r ^ { \prime } \right] = ( a _ { i + 1 } - a _ { i } ) ( a _ { j + 1 } - a _ { j } ) K _ { E } ( r _ { i } , r _ { j } ) , } \end{array}
{ \frac { | E _ { n } | } { | S _ { n } | } } \leq { \big [ } 2 \varepsilon + O ( n \varepsilon ^ { 2 } ) { \big ] } { \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n } | x _ { i } | } { \left| \sum _ { i = 1 } ^ { n } x _ { i } \right| } } .
\begin{array} { r } { Z _ { 1 2 } ^ { 1 } = \left[ \begin{array} { l l l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { - 1 } & { 0 } & { } & { } & { } \\ { 0 } & { } & { } & { } & { } \\ { \vphantom { \int ^ { 0 } } \smash [ t ] { \vdots } } & { } & { } & { } & { \vphantom { \int ^ { 0 } } \smash [ t ] { \vdots } } \\ { 0 } & { } & { } & { \cdots } & { 0 } \end{array} \right] , Z _ { 2 3 } ^ { 2 } = \left[ \begin{array} { l l l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { i } & { 0 } & { } & { } \\ { 0 } & { i } & { 0 } & { } & { } & { } \\ { 0 } & { 0 } & { } & { } & { } & { } \\ { \vphantom { \int ^ { 0 } } \smash [ t ] { \vdots } } & { } & { } & { } & { } & { \vphantom { \int ^ { 0 } } \smash [ t ] { \vdots } } \\ { 0 } & { } & { } & { } & { \cdots } & { 0 } \end{array} \right] . } \end{array}
\lambda _ { i } ( \mu R ) = \frac { 1 } { 9 6 \pi ^ { 2 } } \left\{ \big [ b _ { i } ^ { S } - 2 1 \, b _ { i } ^ { G } + 8 \, b _ { i } ^ { F } \big ] F _ { e } ( \mu R ) + \big [ \tilde { b } _ { i } ^ { S } - 2 1 \, \tilde { b } _ { i } ^ { G } + 8 \, \tilde { b } _ { i } ^ { F } \big ] F _ { o } \right\} \; ,
\begin{array} { r } { \widetilde { \psi } _ { v e c } ^ { r } \left( x ^ { m } \right) = U _ { v e c } \left( x ^ { m } , x _ { 0 } ^ { m } \right) \widetilde { \psi } _ { v e c } ^ { r } \left( x _ { 0 } ^ { m } \right) \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial S _ { 1 } } { \partial t } + c \frac { \partial S _ { 1 } } { \partial x } } & { { } = - r \frac { R _ { 2 } } { R _ { 1 } } \cos ( S _ { 1 } - S _ { 2 } ) } \\ { \frac { \partial S _ { 2 } } { \partial t } - c \frac { \partial S _ { 2 } } { \partial x } } & { { } = - r \frac { R _ { 1 } } { R _ { 2 } } \cos ( S _ { 1 } - S _ { 2 } ) } \\ { \frac { \partial R _ { 1 } } { \partial t } + c \frac { \partial R _ { 1 } } { \partial x } } & { { } = r R _ { 2 } \sin ( S _ { 2 } - S _ { 1 } ) } \\ { \frac { \partial R _ { 2 } } { \partial t } - c \frac { \partial R _ { 2 } } { \partial x } } & { { } = r R _ { 1 } \sin ( S _ { 1 } - S _ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { h } ^ { ( g ) } ( b , s | \eta ) } & { = \mathbb { E } \left[ \left\Vert \frac { 1 } { b } \sum _ { i = 1 } ^ { b } \left( I - \frac { \eta } { b - 1 } \sum _ { j \neq i } a _ { j } a _ { j } ^ { T } \right) \right\Vert ^ { s } \bigg | \eta \right] } \\ & { \leq \mathbb { E } \left[ \frac { 1 } { b } \sum _ { i = 1 } ^ { b } \left\Vert I - \frac { \eta } { b - 1 } \sum _ { j \neq i } a _ { j } a _ { j } ^ { T } \right\Vert ^ { s } \bigg | \eta \right] } \\ & { = \frac { 1 } { b } \sum _ { i = 1 } ^ { b } \mathbb { E } \left[ \left\Vert I - \frac { \eta } { b - 1 } \sum _ { j \neq i } a _ { j } a _ { j } ^ { T } \right\Vert ^ { s } \bigg | \eta \right] = \hat { h } ^ { ( g ) } ( b - 1 , s | \eta ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { ( \varepsilon \partial _ { t t } \vec { A } , \partial _ { t } \vec { A } ) _ { L ^ { 2 } ( Q ) } + ( \mu ^ { - 1 } \operatorname { c u r l } _ { x } \vec { A } , \operatorname { c u r l } _ { x } \partial _ { t } \vec { A } ) _ { L ^ { 2 } ( Q ) } \leq ( \vec { j } _ { a } , \partial _ { t } \vec { A } ) _ { L ^ { 2 } ( Q ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \bigl [ } u v { \bigr ] } _ { k } ^ { k + 1 } - \int _ { k } ^ { k + 1 } v \, d u } & { { } = \left[ { \frac { f ^ { \prime } ( x ) P _ { 2 } ( x ) } { 2 } } \right] _ { k } ^ { k + 1 } - { \frac { 1 } { 2 } } \int _ { k } ^ { k + 1 } f ^ { \prime \prime } ( x ) P _ { 2 } ( x ) \, d x } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| Q ( \theta ^ { K } ) - } & { Q ^ { \pi } \| _ { \mu } \leq \left( 1 - ( 1 - \gamma ) \beta \right) ^ { K } \| Q ( \theta ^ { 0 } ) - Q ^ { \pi } \| _ { \mu } } \\ & { + \frac { \tau _ { 2 } } { ( 1 - \gamma ) ^ { 2 } \lambda _ { 0 } ^ { 1 / 2 } } \cdot \left( \frac { 2 \omega } { \lambda _ { 0 } } + \sqrt { \frac { 3 \log ( 2 K / \delta ) } { N } } \right) } \end{array}