harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
< \tilde { \Sigma } ( k _ { 1 } , \theta _ { 1 } ) \tilde { \Sigma } ( k _ { 2 } , \theta _ { 2 } ) > = - \frac { 1 } { 2 N } I ( k _ { 1 } ^ { 2 } ) \frac { D ^ { 2 } - 2 m } { k _ { 1 } ^ { 2 } - 4 m ^ { 2 } } \delta _ { 1 2 } ^ { 5 } \simeq - \frac { 1 6 i } { N } \frac { D ^ { 2 } - 2 m } { \sqrt { - k _ { 1 } ^ { 2 } + 4 m ^ { 2 } } } \delta ^ { 3 } ( k _ { 1 } - k _ { 2 } ) \bar { \delta } _ { 1 2 } .
\tilde { m } _ { b } = { \frac { \beta ^ { 2 } } { 8 \pi } } ( 1 - { \frac { \tilde { m } _ { 0 } ^ { 2 } } { \tilde { \mu } ^ { 2 } ( \varphi _ { 0 } ) } } ) [ { \frac { 1 } { \sqrt { 1 - \tilde { m } _ { b } ^ { 2 } } } } t a n ^ { - 1 } \sqrt { { \frac { 1 + \tilde { m } _ { b } ^ { 2 } } { 1 - \tilde { m } _ { b } ^ { 2 } } } } - { \frac { \pi } { 4 } } ]
J ^ { \mu } = F ^ { K \pi } ( Q ^ { 2 } ) \, \, \left( g ^ { \mu \nu } - \frac { Q ^ { \mu } Q ^ { \nu } } { Q ^ { 2 } } \right) \, \, ( q _ { 1 } - q _ { 2 } ) _ { \nu } \, \, + \, \, F _ { S } ^ { K \pi } ( Q ^ { 2 } ) \, Q ^ { \mu }
X _ { r s } = \left( \Gamma _ { \mu } C \right) _ { r s } X ^ { \mu } + \left( \Gamma _ { [ \mu \nu ] } C \right) _ { r s } \, X ^ { [ \mu \nu ] } + \left( \Gamma _ { [ \mu _ { 5 } - \mu _ { s } ] } C \right) _ { r s } \, X ^ { [ \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { 5 } ] } \, ,
\begin{array} { r l } & { ( \gamma _ { k } - \kappa ) \mathbb { E } _ { k } [ V _ { d } ( \hat { x } ^ { k } , x ^ { k + 1 } ) ] + \frac { \gamma _ { k } - \rho } { 2 } \mathbb { E } _ { k } [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \| ^ { 2 } ] } \\ { \leq } & { ( \gamma _ { k } - \rho ) V _ { d } ( \hat { x } ^ { k } , x ^ { k } ) + \frac { \lambda } { 2 } \mathbb { E } _ { k } [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k - \tau _ { k } } \| ^ { 2 } ] + \frac { \lambda } { 2 } \| x ^ { k - \tau _ { k } } - \hat { x } ^ { k } \| ^ { 2 } + \frac { 2 L _ { f } ^ { 2 } } { \gamma _ { k } - \kappa } } \\ { \leq } & { ( \gamma _ { k } - \rho ) V _ { d } ( \hat { x } ^ { k } , x ^ { k } ) + \frac { 3 \lambda } { 2 } \mathbb { E } _ { k } [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k - \tau _ { k } } \| ^ { 2 } ] + \lambda \mathbb { E } _ { k } [ \| x ^ { k + 1 } - \hat { x } ^ { k } \| ^ { 2 } ] + \frac { 2 L _ { f } ^ { 2 } } { \gamma _ { k } - \kappa } } \\ { = } & { ( \gamma _ { k } - \rho ) V _ { d } ( \hat { x } ^ { k } , x ^ { k } ) + \frac { 3 \lambda } { 2 } \mathbb { E } _ { k } [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k - \tau _ { k } } \| ^ { 2 } ] + \frac { 2 L _ { f } ^ { 2 } } { \gamma _ { k } - \kappa } + 2 \lambda \mathbb { E } _ { k } [ V _ { d } ( \hat { x } ^ { k } , x ^ { k + 1 } ) ] } \\ & { + \lambda \mathbb { E } _ { k } [ \| x ^ { k + 1 } - \hat { x } ^ { k } \| ^ { 2 } - 2 V _ { d } ( \hat { x } ^ { k } , x ^ { k + 1 } ) ] } \\ { \leq } & { ( \gamma _ { k } - \rho ) V _ { d } ( \hat { x } ^ { k } , x ^ { k } ) + \frac { 3 \lambda } { 2 } \mathbb { E } _ { k } [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k - \tau _ { k } } \| ^ { 2 } ] + \frac { 2 L _ { f } ^ { 2 } } { \gamma _ { k } - \kappa } + 2 \lambda \mathbb { E } _ { k } [ V _ { d } ( \hat { x } ^ { k } , x ^ { k + 1 } ) ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { k _ { C } = 0 } ^ { k } { \frac { 2 k _ { C } } { k N } \mathcal { P } \left( \Delta p _ { C C } = \frac { 2 k _ { C } } { k N } \right) } = } & { ~ ( 1 - p _ { C } ) \sum _ { k _ { C } = 0 } ^ { k } { \frac { 2 k _ { C } } { k N } \frac { k ! } { k _ { C } ! ( k - k _ { C } ) ! } q _ { C | D } ^ { k _ { C } } q _ { D | D } ^ { k - k _ { C } } \left( ( 1 - w _ { R } ) \frac { k _ { C } } { k } + \mathcal { O } ( \delta ) \right) } } \\ { = } & { ~ \frac { 2 ( 1 - p _ { C } ) } { k N } ( 1 - w _ { R } ) q _ { C | D } [ 1 + ( k - 1 ) q _ { C | D } ] + \mathcal { O } ( \delta ) . } \end{array}
\mathcal { U } _ { 0 } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \rho _ { 0 } ( x ) = 0 . 1 \quad \mathrm { i f ~ \, x \leq ~ 0 . 5 ~ , } \quad \rho _ { 0 } ( x ) = 1 . 0 \quad \mathrm { o t h e r w i s e } } \\ { u _ { 0 } ( x ) = - 0 . 6 \quad \mathrm { i f ~ \, x \leq ~ 0 . 5 ~ , } \quad u _ { 0 } ( x ) = 0 . 5 \quad \mathrm { o t h e r w i s e } } \\ { p _ { 0 } ( x ) = 0 . 5 \quad \mathrm { i f ~ \, x \leq ~ 0 . 5 ~ , } \quad p _ { 0 } ( x ) = 1 . 0 \quad \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \sum _ { t = \hat { N } } ^ { \hat { N } + k } \left\| x _ { t } \right\| ^ { 4 } } & { \leqslant \frac { 1 } { \eta } \left( - V ( x _ { \hat { N } + k + 1 } , K _ { \hat { N } + k + 1 } ) + V ( x _ { \hat { N } } , K _ { \hat { N } } ) \right) } \\ & { \leqslant \frac { 1 } { \eta } V ( x _ { \hat { N } } , K _ { \hat { N } } ) } \\ & { = \frac { 1 } { \eta } \left( V _ { m } ^ { 2 } ( x _ { \hat { N } } ) + a _ { 0 } V _ { a } ( K _ { \hat { N } } ) \right) } \\ & { \leqslant \frac { 1 } { \eta } \left( \hat { c } ^ { 2 } + \frac { 4 a _ { 0 } } { \theta } \bar { W } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { R _ { \lambda , \gamma } ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { y } ) } & { : = } & { d _ { \lambda , \gamma } ^ { - 2 } \mathrm E S _ { \lambda , \gamma } ( \boldsymbol { x } ) S _ { \lambda , \gamma } ( \boldsymbol { y } ) \ = \ d _ { \lambda , \gamma } ^ { - 2 } \int _ { \Pi ^ { 2 } } \prod _ { i = 1 } ^ { 2 } D _ { [ \lambda ^ { \gamma _ { i } } x _ { i } ] } ( u _ { i } ) \overline { { D _ { [ \lambda ^ { \gamma _ { i } } y _ { i } ] } ( u _ { i } ) } } f ( \boldsymbol { u } ) \mathrm d \boldsymbol { u } , \quad \boldsymbol { x } , \boldsymbol { y } \in \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { V = V _ { 0 } } & { { } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 N } \sum _ { j = 1 } ^ { 3 N } \left( \frac { \partial ^ { 2 } V } { \partial q _ { i } \partial q _ { j } } \right) _ { q _ { i } = q _ { j } = 0 } q _ { i } q _ { j } } \end{array}
E _ { + } ( X ^ { 0 } ) = 2 N \int d \tilde { \sigma } \frac { e ^ { 3 H ( X ^ { 0 } - \tilde { \sigma } ) } + H ^ { 2 } L ^ { 2 } e ^ { - H ( X ^ { 0 } - \tilde { \sigma } ) } } { \sqrt { e ^ { 4 H ( X ^ { 0 } - \tilde { \sigma } ) } + e ^ { 2 H ( X ^ { 0 } - \tilde { \sigma } ) } + H ^ { 2 } L ^ { 2 } } } .
J _ { i } \equiv \bar { \psi } \gamma _ { i } \psi = - e \kappa \Lambda A _ { i } + \frac { 1 } { e \kappa \Lambda } \left[ 2 \tilde { \Pi } _ { i } ( A \tilde { \Pi } ) - \Pi ^ { 2 } A _ { i } \right] + \frac { M } { e } \tilde { \Pi } _ { i }
D _ { n } ( x ) \approx \ln \left( \frac { M _ { S } ^ { 2 } } { | x | } \right) \, \, \, \, \mathrm { f o r } \, \, \, \, n = 2 \, \, ; \, \, D _ { n } ( x ) \approx \left( \frac { 2 } { n - 2 } \right) \, \, \, \, \mathrm { f o r } \, \, \, \, n > 2 .
y = 0 . 4 3 0 x _ { 1 } ^ { 2 } x _ { 2 } + 0 . 4 4 3 x _ { 1 } ^ { 2 } + 0 . 4 3 0 x _ { 1 } x _ { 2 } ^ { 2 } + 0 . 4 4 3 x _ { 1 } x _ { 2 } - 0 . 3 4 1 x _ { 1 } - 1 . 6 5 1 ,
{ \mathcal { L } _ { S D } } = \beta ^ { 2 } g \left( m ^ { 2 } A ^ { 2 } / 2 \beta ^ { 2 } \right) - \frac { \beta ^ { 2 } } 2 h \left( m ^ { 2 } B ^ { 2 } / 2 \beta ^ { 3 } \right) - \frac { \chi \theta } { 2 } \varepsilon ^ { \mu \nu \rho \lambda } \partial _ { \mu } B _ { \nu \rho } A _ { \lambda } \; .
E _ { n _ { 1 } } = \frac { \pi } { 2 \lambda _ { L } ^ { 2 } e ^ { 2 } } \frac { V } { L _ { 1 } ^ { 2 } } \left( \frac { n _ { 1 } } { N _ { f } } \! + \! \frac { \Phi } { \Phi _ { 0 } } \! + \! \frac { Q } { 2 } \right) ^ { \! 2 } \! \! + \! 2 \pi N _ { f } ^ { 2 } \lambda _ { L } ^ { 2 } e ^ { 2 } \frac { Q ^ { 2 } } { V } .
\begin{array} { r l r } & { } & { \delta ^ { n } f ( x _ { 1 } , \cdots , x _ { n + 1 } ) } \\ & { = } & { \sum _ { i < j } ( - 1 ) ^ { i + x _ { i } ( x _ { i + 1 } + \cdots + x _ { j - 1 } ) } f ( x _ { 1 } , \cdots , \hat { x _ { i } } , \cdots , [ x _ { i } , x _ { j } ] , \hat { x _ { j } } , \cdots , x _ { n + 1 } ) } \\ & { } & { + \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( - 1 ) ^ { i + 1 + x _ { i } ( f + x _ { 1 } + \cdots + x _ { i - 1 } ) } [ x _ { i } , f ( x _ { 1 } , \cdots , \hat { x _ { i } } , \cdots , x _ { n + 1 } ) ] } \\ & { } & { + ( - 1 ) ^ { n + 1 } [ f ( x _ { 1 } , \cdots , \cdots , x _ { n } ) , x _ { n + 1 } ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { R } = } & { { } \ Q _ { 0 } + \mu Q _ { s } } \\ { \sigma _ { R } ^ { 2 } = } & { { } \ \sigma _ { 0 } ^ { 2 } + \mu ( \sigma _ { s } ^ { 2 } + Q _ { s } ^ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle C _ { P r } ^ { 2 } \rangle } & { { } } & { = \frac { 4 ! C ^ { 2 } ( k c T ) ^ { 2 n + 1 } } { 6 ( k c ) ^ { 2 n } } \int _ { 0 } ^ { 1 } e ^ { - k c T } e ^ { k c T y } \left( 1 - e ^ { - k c T } e ^ { k c T y } \right) ^ { 3 } y ^ { 2 n } d y } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \sum _ { i = 1 } ^ { l - 1 } \frac { | a _ { i + 1 } - a _ { i } | ^ { p \alpha } } { | u - v | ^ { p \alpha } } \right) ^ { 1 / p } } & { \leq \left( \sum _ { i = 1 } ^ { l - 1 } \frac { | a _ { i + 1 } - a _ { i } | ^ { p \alpha } } { 2 ^ { - p k _ { 0 } \alpha } } \right) ^ { 1 / p } } \\ & { \leq \left( 2 \sum _ { i = k _ { 0 } } ^ { n } 2 ^ { p ( - i + k _ { 0 } ) \alpha } \right) ^ { 1 / p } } \\ & { < 2 ^ { 1 / p } \left( \frac 1 { 1 - 2 ^ { - p \alpha } } \right) ^ { 1 / p } \mathrm { , } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad P _ { \lambda } ( c ( E \oplus F , h ^ { E } \oplus h ^ { F } ) ) - \sum _ { \mu , \nu } c _ { \mu \nu } ^ { \lambda } P _ { \mu } ( c ( E , h ^ { E } ) ) \wedge P _ { \nu } ( c ( F , h ^ { F } ) ) } \\ { = } & { \sum _ { i _ { 1 } + 2 i _ { 2 } + \cdots + r i _ { r } \atop + j _ { 1 } + 2 j _ { 2 } + \cdots + r j _ { r } = k } f _ { i _ { 1 } \cdots i _ { r } j _ { 1 } \cdots j _ { q } } c _ { 1 } ( E , h ^ { E } ) ^ { i _ { 1 } } \wedge \cdots \wedge c _ { r } ( E , h ^ { E } ) ^ { i _ { r } } } \\ & { \wedge c _ { 1 } ( F , h ^ { F } ) ^ { j _ { 1 } } \wedge \cdots \wedge c _ { r } ( F , h ^ { F } ) ^ { j _ { q } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { j k } } & { { } = \frac { N _ { 0 } } { 2 } \left( \sqrt { 2 } \cos ( \frac { 2 \pi j k } { N } ) + \sqrt { 2 } \sin ( \frac { 2 \pi j k } { N } ) \right) } \end{array}
B ( \omega ) = \frac { ( 1 - \omega ^ { 2 } L _ { m } C _ { m } ) \omega C _ { m } } { ( 1 - \omega ^ { 2 } L _ { m } C _ { m } ) ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } C _ { m } ^ { 2 } R _ { m } ^ { 2 } }
x = 1 4 + { \frac { 1 } { 4 } } + { \frac { 1 } { 5 6 } } + { \frac { 1 } { 9 7 } } + { \frac { 1 } { 1 9 4 } } + { \frac { 1 } { 3 8 8 } } + { \frac { 1 } { 6 7 9 } } + { \frac { 1 } { 7 7 6 } }
\| u ( t ) \| _ { \mathcal { G } _ { \beta ( t ) , x } ^ { 3 } H _ { 0 , y } ^ { 1 } } + \| \partial _ { t } u ( t ) \| _ { \mathcal { G } _ { \gamma ( t ) , x } ^ { 3 } L _ { y } ^ { 2 } } \leq D _ { \sigma } ( U _ { \mathrm { s h } } ) ( 1 + t ) ^ { 5 } e ^ { t } \Big ( \| u _ { \mathrm { i n } } \| _ { \mathcal { G } _ { \sigma , x } ^ { 3 } H _ { 0 , y } ^ { 1 } } + \| u _ { t , \mathrm { i n } } \| _ { \mathcal { G } _ { \sigma , x } ^ { 3 } L _ { y } ^ { 2 } } \Big ) ,
\begin{array} { r l r } { \nabla _ { \mu } \nabla _ { \mu } \, x \cdot x } & { { } = } & { 2 \delta _ { \mu \nu } } \\ { \nabla ^ { 2 } ( x \cdot x ) } & { { } = } & { 2 \, \delta _ { \mu \mu } = 2 D } \end{array}
\varphi _ { 2 } ( u , t ) = \exp \left\{ \frac { i } { \hbar } \hat { p } \Lambda ( t ) \right\} \varphi _ { 3 } ( u , t ) , \; \mathrm { w h e r e } \; \Lambda \left( t \right) = \frac { 1 } { M _ { n } } \intop _ { - \infty } ^ { t } G \left( t ^ { \prime } \right) \mathrm { d } t ^ { \prime } .
R _ { 1 } = { \frac { \int _ { 1 . 5 \mathrm { \scriptsize ~ G e V } } E _ { \ell } { \frac { d \Gamma } { d E _ { \ell } } } d E _ { \ell } } { \int _ { 1 . 5 \mathrm { \scriptsize ~ G e V } } { \frac { d \Gamma } { d E _ { \ell } } } d E _ { \ell } } } ,
\frac { Z _ { \vec { \lambda } + x } ^ { \mathfrak { s p } ( N ) , \pm } } { Z _ { \vec { \lambda } } ^ { \mathfrak { s p } ( N ) , \pm } } = \frac { C _ { \vec { \lambda } + x , \vec { A } } } { C _ { \vec { \lambda } , \vec { A } } } \frac { Z _ { \vec { \lambda } + x } ^ { \mathfrak { s o } ( 2 N + 8 ) } } { Z _ { \vec { \lambda } } ^ { \mathfrak { s o } ( 2 N + 8 ) } } ,
E = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 . 5 , } & { 0 \le x \le 0 . 5 } \\ { 6 . 0 , } & { 0 . 5 \le x \le 1 . 0 } \\ { 4 . 0 , } & { 1 . 0 \le x \le 1 . 5 } \\ { 6 . 5 , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ s ~ } } \end{array} \right. .
\delta _ { \theta } A _ { 0 } ^ { a } ( \vec { x } , x ^ { 0 } ) = \partial _ { 0 } \theta ^ { a } ( \vec { x } , x ^ { 0 } ) + f ^ { a b c } \theta ^ { b } ( \vec { x } , x ^ { 0 } ) A _ { 0 } ^ { c } ( \vec { x } , x ^ { 0 } ) \ \ .
\left| { \begin{array} { l l l } { a _ { 1 } } & { b _ { 1 } } & { c _ { 1 } } \\ { a _ { 2 } } & { b _ { 2 } } & { c _ { 2 } } \\ { a _ { 3 } } & { b _ { 3 } } & { c _ { 3 } } \end{array} } \right| = 0 .
\begin{array} { r } { \tilde { S } _ { L z e r o } = \left( 2 \tilde { A } \tilde { D } _ { t h } L e \frac { T _ { a d } ^ { 3 } } { q ^ { 2 } N ^ { 2 } } \mathrm { e } ^ { - N / T _ { a d } } \right) ^ { 1 / 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { u ( x ) = \int _ { \Omega } G _ { \Omega } ^ { s } ( x , y ) f ( y , u ( y ) ) \mathrm { d } y + C | x - P | ^ { \gamma _ { s } ( \mathcal { C } _ { P , \Sigma } ) } \varphi _ { s } \left( \frac { x - P } { | x - P | } \right) } \\ & { } & { \qquad \, \geq C | x - P | ^ { \gamma _ { s } ( \mathcal { C } _ { P , \Sigma } ) } \varphi _ { s } \left( \frac { x - P } { | x - P | } \right) \geq 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { U _ { n } ^ { [ \eta _ { r } ^ { [ i ] } , \phi _ { r } ^ { [ i ] } ] } = \sum _ { k = 1 } ^ { \ell } \prod _ { j = 1 , j \neq k } ^ { \ell } ( f _ { j } - \alpha _ { n } ) \Tilde { \Delta } _ { k } ^ { [ \eta _ { r } ^ { [ i ] } , \phi _ { r } ^ { [ i ] } ] } + \prod _ { j = 1 } ^ { \ell } ( f _ { j } - \alpha _ { n } ) Z ^ { [ \eta _ { r } ^ { [ i ] } , \phi _ { r } ^ { [ i ] } ] } , \quad i \in \{ 1 , \dotsc , P r \} , } \end{array}
t _ { l } = \frac { \beta \cdot H _ { 0 } } { \rho _ { 0 } \cdot \sqrt { \mu _ { E } \cdot a } } \cdot \left( 1 - e x p \left( - \frac { h _ { 0 } } { H _ { 0 } } \right) \cdot \left( 1 + \frac { h _ { 0 } } { 2 a } \right) \right) .
J _ { \mu , { \bf K } } ( t ) = i \omega _ { \bf K } \alpha _ { \mu , { \bf K } } ( t ) \qquad \mathrm { a n d } \qquad J _ { \mu , { \bf K } } ^ { \star } ( t ) = - i \omega _ { \bf K } \alpha _ { \mu , { \bf K } } ^ { \star } ( t )
p ^ { \prime } ( z ^ { - } ( \tau ) ) = \frac { 1 + \frac { \partial z ^ { 1 } } { \partial z ^ { 0 } } } { 1 - \frac { \partial z ^ { 1 } } { \partial z ^ { 0 } } } = \frac { 1 + v } { 1 - v } \, ,
\begin{array} { r l } { B _ { 1 } = } & { { } e ^ { 2 \tilde { L } + \tilde { a } } [ ( \tilde { a } + 1 ) \cos { ( 2 \tilde { L } - \tilde { a } ) } - \tilde { a } \sin { ( 2 \tilde { L } - \tilde { a } ) } - ( 2 \tilde { a } + 1 ) \cos { \tilde { a } } + \sin { \tilde { a } } ] } \\ { B _ { 2 } = } & { { } e ^ { 2 \tilde { L } + \tilde { a } } [ \tilde { a } \cos { ( 2 \tilde { L } - \tilde { a } ) } + ( \tilde { a } + 1 ) \sin { ( 2 \tilde { L } - \tilde { a } ) } - \cos { \tilde { a } } - ( 2 \tilde { a } + 1 ) \sin { \tilde { a } } ] } \\ { B _ { 3 } = } & { { } e ^ { 2 \tilde { L } + 3 \tilde { a } } [ - \tilde { a } \cos { ( 2 \tilde { L } - \tilde { a } ) } + ( \tilde { a } - 1 ) \sin { ( 2 \tilde { L } - \tilde { a } ) } - \cos { \tilde { a } } + ( 1 - 2 \tilde { a } ) \sin { \tilde { a } } ] } \\ { B 4 = } & { { } e ^ { 2 \tilde { L } + 3 \tilde { a } } [ ( \tilde { a } - 1 ) \cos { ( 2 \tilde { L } - \tilde { a } ) } + \tilde { a } \sin { ( 2 \tilde { L } - \tilde { a } ) } + ( 1 - 2 \tilde { a } ) \cos { \tilde { a } } + \sin { \tilde { a } } ] } \end{array}
C _ { \alpha \beta \gamma \delta } ^ { ( N ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { { ( K _ { \alpha \gamma } ) ^ { N - 1 } K _ { \beta \delta } \epsilon _ { \alpha \beta } \epsilon _ { \gamma \delta } \; \; \; } } & { { ; N \in \mathrm { e v e n } \; , } } \\ { { ( K _ { \alpha \gamma } ) ^ { N } \delta _ { \alpha \delta } \delta _ { \gamma \beta } \; \; \; } } & { { ; N \in \mathrm { o d d } \; . } } \end{array} \right.
{ m _ { d } } { \ddot { \bf { r } } _ { i } } = { { \bf { F } } _ { i j } ^ { y k w } } + { { \bf { F } } _ { r } ^ { e x t } } + { { \bf { F } } _ { z } ^ { g } } + { { \bf { F } } _ { z } ^ { e x t } } { . }
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \ensuremath { \mathcal { Z } } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! | \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { U } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mapsto \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! Z \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \Phi \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! * \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \ensuremath { \mathcal { Z } } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! | \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { U } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\int ^ { \Lambda } { \frac { d p \, p } { p ^ { 2 } \ln ^ { 2 } p ^ { 2 } } } \sim \int ^ { \Lambda } { \frac { d \ln p ^ { 2 } } { \ln ^ { 2 } p ^ { 2 } } } \sim { \frac { 1 } { \ln \Lambda ^ { 2 } } }
\mathcal E _ { \mathrm { k i n } } ( \mathbb { P } \eta _ { 1 } ) + \mathcal E _ { \mathrm { k i n } } ( \mathbb { P } \eta _ { 2 } ) + \mathcal E _ { \mathrm { k i n } } ( \mathbb { P } \eta _ { 3 } ) = \mathcal E _ { \mathrm { k i n } } ( \mathbb { P } ) + \int \left( \frac { | \nabla \eta _ { 1 } | ^ { 2 } } { \eta _ { 1 } } + \frac { | \nabla \eta _ { 2 } | ^ { 2 } } { \eta _ { 2 } } + \frac { | \nabla \eta _ { 3 } | ^ { 2 } } { \eta _ { 3 } } \right) \mathbb { P } \, d x .
\begin{array} { r l r } { \frac { \delta \mathbf { \dot { X } } ( t ) } { v _ { 0 } } \! } & { { } - } & { \! \left( \mathbb { I } - \frac { \left[ \left( D ^ { -- } \tilde { \beta } \right) \! \mathbf { X } ( t ) \right] \left[ \left( D ^ { -- } \tilde { \beta } \right) \! \mathbf { X } ( t ) \right] ^ { T } } { \left| \left( D ^ { -- } \tilde { \beta } \right) \mathbf { X } ( t ) \right| ^ { 2 } } \right) \frac { \delta \mathbf { \dot { X } } ( t ) } { \left| \left( D ^ { -- } \tilde { \beta } \right) \mathbf { X } ( t ) \right| } } \\ { \! } & { { } = } & { \! - \tilde { \beta } \! \left( \mathbb { I } - \frac { \left[ \left( D ^ { -- } \tilde { \beta } \right) \mathbf { X } ( t ) \right] \left[ \left( D ^ { -- } \tilde { \beta } \right) \mathbf { X } ( t ) \right] ^ { T } } { \left| \left( D ^ { -- } \tilde { \beta } \right) \mathbf { X } ( t ) \right| ^ { 2 } } \right) \! \cdot \frac { \delta \mathbf { X } ( t ) } { \left| \left( D ^ { -- } \tilde { \beta } \right) \mathbf { X } ( t ) \right| } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \overline { { \theta } } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( t ) } } ) _ { \overline { { \alpha } } \overline { { \beta } } } - ( \overline { { \theta } } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } ) _ { \overline { { \alpha } } \overline { { \beta } } } } & { = ( \iota _ { \overline { { Y } } } \mathrm { v o l } _ { \overline { { g } } } ) _ { \overline { { \alpha } } \overline { { \beta } } } - ( \iota _ { \overline { { V } } } \mathrm { v o l } _ { \overline { { g } } } ) _ { \overline { { \alpha } } \overline { { \beta } } } = ( \iota _ { \overline { { Y } } - \overline { { V } } } \mathrm { v o l } _ { \overline { { g } } } ) _ { \overline { { \alpha } } \overline { { \beta } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( 4 d _ { 1 } ) ^ { s } } & { \mathop { \sum _ { | \beta | = s } } _ { \operatorname { g e n } ( \beta ) \leq N } \sum _ { i ^ { \prime } = 1 } ^ { k } \sum _ { i ^ { \prime \prime } = k + 1 } ^ { n } \left| T ^ { \beta } F ( t ) d _ { x } \pi | _ { ( x , \gamma _ { t } ( x ) ) } ( { \underline { { \omega _ { i ^ { \prime } } ^ { \prime } } } } _ { | k - s } , { \underline { { \omega _ { i ^ { \prime \prime } } ^ { \prime } } } } _ { | s } ) \right| ^ { 2 } } \\ & { \geq \sum _ { i = 1 } ^ { d _ { 1 } } \sum _ { i ^ { \prime } = 1 } ^ { k } \sum _ { i ^ { \prime \prime } = k + 1 } ^ { n } \left| F ( t ) ( { \underline { { u _ { i } } } } _ { | s } \cdot \nabla _ { t } ^ { s } ) d _ { x } \pi | _ { ( x , \gamma _ { t } ( x ) ) } ( { \underline { { \omega _ { i ^ { \prime } } ^ { \prime } } } } _ { | k - s } , { \underline { { \omega _ { i ^ { \prime \prime } } ^ { \prime } } } } _ { | s } ) \right| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } _ { \lambda , \mu _ { \kappa } } ( \mathrm B _ { l \kappa ^ { j } } \longleftrightarrow \partial \mathrm B _ { 2 l \kappa ^ { j } } ) } & { \leq \mathbb { P } _ { \lambda , \mu _ { \kappa } | _ { ( 0 , \kappa ^ { j } ] } } ( \mathrm B _ { l \kappa ^ { j } } \longleftrightarrow \partial \mathrm B _ { 2 l \kappa ^ { j } } ) } \\ & { \quad + \mathbb { P } _ { \lambda , \mu _ { \kappa } } \left( \exists ( x , r ) \in \eta _ { \kappa } ( \lambda ) : \, r \geq \kappa ^ { j } , \, \mathrm B _ { r } ^ { x } \cap \mathrm B _ { 2 l \kappa ^ { j } } \neq \emptyset \right) . } \end{array}
\delta u ^ { i } = \int d { \bf { k } } ^ { \prime } \int _ { - \infty } ^ { t } \! \! \! \! d t ^ { \prime } \ { \cal { G } } ^ { i j } ( { \bf { k } } , { \bf { k } } ^ { \prime } ; t , t ^ { \prime } ) \ \delta F ^ { j } ( { \bf { k } } ^ { \prime } ; t ^ { \prime } )
\mathbf { R } _ { 1 } = \mathbf { R } _ { 1 } ( \mathbf { U } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } ) , \qquad \mathbf { R } _ { 1 } ^ { - 1 } = \mathbf { R } _ { 1 } ^ { - 1 } ( \mathbf { U } _ { i + \frac { 1 } { 2 } , j } ) ,
4 \partial _ { + } \partial _ { - } \rho + 2 \partial _ { + } \psi \partial _ { - } \psi + \frac { 1 } { 2 } \partial _ { + } \psi _ { 1 } \partial _ { - } \psi _ { 1 } + 2 e ^ { - \psi _ { 1 } - 2 \rho } \Omega F _ { 2 + - } ^ { 2 } + 2 e ^ { \psi _ { 1 } - 2 \rho } \Omega F _ { + - } ^ { 2 } = 0
P _ { i j } ^ { T } = \delta _ { i j } - \hat { p _ { i } } \hat { p _ { j } } , \ P _ { 0 0 } ^ { T } = P _ { 0 i } ^ { T } = 0 , \P _ { \mu \nu } ^ { L } = - g _ { \mu \nu } + { \frac { p _ { \mu } p _ { \nu } } { p ^ { 2 } } } - P _ { \mu \nu } ^ { T } .
\begin{array} { r l r } { - \frac { d } { d t } \sum _ { k \le K } E _ { u } ( { \bf k } ) } & { { } = } & { - \sum _ { k \le K } T _ { u } ( { \bf k } ) - \sum _ { k \le K } \mathcal { F } _ { u } ( { \bf k } ) - \sum _ { k \le K } \mathcal { F } _ { \mathrm { e x t } } ( { \bf k } ) + \sum _ { k \le K } D _ { u } ( { \bf k } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( f _ { i } \, \overline { { \otimes } } \, \mathcal { L } ) ( s _ { i } ; t , y ) } & { = \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathbb { R } } ( f _ { i } ( x ) + \mathcal { L } ( s _ { i } , x ; t , y ) ) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { M \to \infty } \operatorname* { s u p } _ { | x | \leq M } ( f _ { i } ( x ) + \mathcal { L } ( s _ { i } , x ; t , y ) ) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { M \to \infty } \operatorname* { l i m } _ { T \to \infty } 2 ^ { 1 / 3 } T ^ { - 1 / 3 } \log \int _ { - M } ^ { M } \exp \left( 2 ^ { - 1 / 3 } T ^ { 1 / 3 } \left( f ( x ) + \mathfrak { H } ^ { T } ( s _ { i } , x ; t , y ) \right) \right) d x } \\ & { \leq \operatorname* { l i m } _ { M \to \infty } \operatorname* { l i m } _ { T \to \infty } ( f _ { i } \otimes _ { T } \mathfrak { H } ^ { T } ) ( s _ { i } ; t , y ) = g _ { i } ( t , y ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { 0 } } & { { } = \left( \delta \beta _ { \mathrm { N L } } - \sqrt { \beta ^ { 2 } + \delta \beta _ { \mathrm { N L } } ^ { 2 } } \right) a _ { - } \approx - \beta a _ { - } } \\ { b _ { 0 } } & { { } = - \beta a _ { - } } \end{array}
\mathrm { { R E } } _ { i } = \sqrt { \frac { \sum _ { j = 1 } ^ { m } \left| y _ { j } ^ { i } - \hat { y } _ { j } ^ { i } \right| ^ { 2 } } { \sum _ { j = 1 } ^ { m } \left| y _ { j } ^ { i } \right| ^ { 2 } } } ,
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ t ~ r ~ } [ \Delta \ensuremath { \mathbf { G } } ( x , x ; \ensuremath { \mathrm { ~ i ~ } } u ) ] = - \frac { Z } { 4 c ^ { 2 } } e ^ { - 2 \kappa ( \ensuremath { \mathrm { ~ i ~ } } u ) | x | } \phantom { x x x x x x x x x x x x x x x } } \\ { \times \left( z _ { 1 } ( \ensuremath { \mathrm { ~ i ~ } } u ) \left( g ( \ensuremath { \mathrm { ~ i ~ } } u ) ^ { 2 } + 1 \right) + z _ { 2 } ( \ensuremath { \mathrm { ~ i ~ } } u ) \left( 1 + g ( - \ensuremath { \mathrm { ~ i ~ } } u ) ^ { 2 } \right) \right) . } \end{array}