harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \delta \pi ^ { t t } } & { { } = } & { - \frac { \alpha _ { \ast s } } { 2 q H } N _ { \ast s } 2 \pi e ^ { - \frac { q \Phi } { T } } \int _ { 0 } ^ { + \infty } w ^ { 3 } d w } \end{array}
\lambda = \frac { 1 } { 2 \tau _ { c } } \, \ln \left( 1 + \frac { \sigma ^ { 2 } \tau _ { c } ^ { 2 } } { 4 } \right) , \qquad \mathscr { L } ( q ) = \frac { 1 } { \tau _ { c } } \ln \left[ P _ { q / 2 } \left( 1 + \frac { \sigma ^ { 2 } \tau _ { c } ^ { 2 } } { 2 } \right) \right] ,
j _ { a } ^ { \mu } ( x ) = g ^ { 2 } \int d P \, d Q \, p ^ { \mu } Q _ { a } Q _ { b } \left( A _ { 0 } ^ { b } ( x ) - \omega \, \frac { p \cdot A ^ { b } ( x ) } { p \cdot k } \right) \frac { d } { d p _ { 0 } } f ^ { ( 0 ) } ( p _ { 0 } ) \ .
\begin{array} { c l } { \alpha _ { x , x , 3 } = } & { \displaystyle \frac { 1 } { 1 2 8 \pi ^ { 2 } } \displaystyle \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \left\{ \int _ { 0 } ^ { L } { d s \ m _ { x } ( s ) \beta _ { x } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( s ) e ^ { i \left( - 3 \chi _ { x } ( s ) + \frac { 3 \nu _ { x } s } { R } - \frac { n s } { R } \right) } } \right. } \\ & { \displaystyle \times \int _ { s } ^ { s + L } { m _ { x } ( s ^ { \prime } ) \beta _ { x } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( s ^ { \prime } ) \frac { e ^ { i \left( \frac { n s ^ { \prime } } { R } - \frac { 3 \nu _ { x } s ^ { \prime } } { R } + 3 \chi _ { x } ( s ^ { \prime } ) \right) } } { n - 3 \nu _ { x } } d s ^ { \prime } } + \int _ { 0 } ^ { L } { d s \ m _ { x } ( s ) \beta _ { x } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( s ) e ^ { i \left( 3 \chi _ { x } ( s ) - \frac { 3 \nu _ { x } s } { R } + \frac { n s } { R } \right) } } } \\ & { \displaystyle \left. \times \int _ { s } ^ { s + L } m _ { x } ( s ^ { \prime } ) \beta _ { x } ^ { \frac { 3 } { 2 } } ( s ^ { \prime } ) \frac { e ^ { - i \left( \frac { n s ^ { \prime } } { R } - \frac { 3 \nu _ { x } s ^ { \prime } } { R } + 3 \chi _ { x } ( s ^ { \prime } ) \right) } } { n - 3 \nu _ { x } } d s ^ { \prime } \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { \tilde { r } } \frac { \partial } { \partial \tilde { r } } \left[ \tilde { r } \frac { \partial \tilde { E } _ { 0 } ^ { z } } { \partial \tilde { r } } \right] = 2 \nu K _ { 0 } ( r ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \boldsymbol { \phi } _ { \mathbf { b } } ^ { * } = \mathbf { b } + \eta ( \boldsymbol { \phi } _ { \mathbf { s } _ { t } } \otimes \boldsymbol { \phi } _ { \mathbf { s } _ { t - 1 } } ) } \end{array}
{ \sqrt { S } } \approx { \left\{ \begin{array} { l l } { ( 0 . 2 8 a + 0 . 8 9 ) \cdot 1 0 ^ { n } } & { { \mathrm { i f ~ } } a < 1 0 , } \\ { ( . 0 8 9 a + 2 . 8 ) \cdot 1 0 ^ { n } } & { { \mathrm { i f ~ } } a \geq 1 0 . } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l r } { \theta ^ { \prime } } & { { } : } & { a + b e _ { 8 } \rightarrow a \theta + ( b \theta ) e _ { 8 } , } \\ { \epsilon } & { { } : } & { a + b e _ { 8 } \rightarrow a - b e _ { 8 } , } \\ { \psi } & { { } : } & { a + b e _ { 8 } \rightarrow \frac { 1 } { 4 } [ a + 3 \overline { { a } } + \sqrt { 3 } ( b - \overline { { b } } ) ] + \frac { 1 } { 4 } [ b + 3 \overline { { b } } - \sqrt { 3 } ( a - \overline { { a } } ) ] e _ { 8 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { B _ { i } ( \partial + A ) } & { = } & { ( ( \partial + A ) \otimes \operatorname { I d } + \operatorname { I d } \otimes \partial ) B _ { i } } \\ { \Longleftrightarrow \ \ B _ { i } \partial + B _ { i } A } & { = } & { \partial B _ { i } + A B _ { i } + \partial . B _ { i } } \\ { \Longleftrightarrow \ \ [ B _ { i } , A ] } & { = } & { [ \partial , B _ { i } ] + \partial . B _ { i } = 2 \partial . B _ { i } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { Y } _ { c } } & { { } = \beta _ { 0 } + \beta _ { 1 } \hat { X } _ { c } } \\ { \beta _ { 0 } } & { { } \sim \mathrm { ~ N ~ o ~ r ~ m ~ a ~ l ~ } ( \mu = 0 , \sigma = 1 0 0 0 0 ) } \\ { \beta _ { 1 } } & { { } \sim \mathrm { ~ N ~ o ~ r ~ m ~ a ~ l ~ } ( \mu = 0 , \sigma = 1 0 0 0 0 0 ) } \end{array}
\begin{array} { r } { F _ { p q } ( { \boldsymbol { \theta } } ) = \sum _ { m } \gamma _ { p m } ( { \boldsymbol { \theta } } ) h _ { q m } + \sum _ { m n k } \Gamma _ { p m n k } ( { \boldsymbol { \theta } } ) g _ { q m n k } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega _ { \phi } } & { = - \frac { \sqrt [ 6 ] { 2 } \sqrt { - \zeta ^ { 2 } \tilde { r } } \left( 9 \sqrt { 2 } \sqrt { - \zeta ^ { 2 } \tilde { r } } + 5 4 \zeta ^ { 2 } + 5 0 0 \right) ^ { 2 / 3 } } { \left( 9 \zeta ^ { 2 } + 5 0 \right) ^ { 2 } } + \frac { 2 ^ { 2 / 3 } \left( 9 \sqrt { 2 } \sqrt { - \zeta ^ { 2 } \tilde { r } } + 5 4 \zeta ^ { 2 } + 5 0 0 \right) ^ { 2 / 3 } } { 3 \left( 9 \zeta ^ { 2 } + 5 0 \right) } } \\ & { + \frac { 1 0 0 \ 2 ^ { 2 / 3 } \left( 9 \sqrt { 2 } \sqrt { - \zeta ^ { 2 } \tilde { r } } + 5 4 \zeta ^ { 2 } + 5 0 0 \right) ^ { 2 / 3 } } { 9 \left( 9 \zeta ^ { 2 } + 5 0 \right) ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 9 } \sqrt [ 3 ] { 2 } \sqrt [ 3 ] { 9 \sqrt { 2 } \sqrt { - \zeta ^ { 2 } \tilde { r } } + 5 4 \zeta ^ { 2 } + 5 0 0 } + \frac { 1 } { 9 } , } \end{array}
\kappa = { \frac { \sqrt { \left( z ^ { \prime \prime } y ^ { \prime } - y ^ { \prime \prime } z ^ { \prime } \right) ^ { 2 } + \left( x ^ { \prime \prime } z ^ { \prime } - z ^ { \prime \prime } x ^ { \prime } \right) ^ { 2 } + \left( y ^ { \prime \prime } x ^ { \prime } - x ^ { \prime \prime } y ^ { \prime } \right) ^ { 2 } } } { \left( { x ^ { \prime } } ^ { 2 } + { y ^ { \prime } } ^ { 2 } + { z ^ { \prime } } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } } ,
\tau = \frac { w _ { 1 } \Delta z } { c _ { A } d _ { i } } \left[ 1 + 2 \frac { w _ { 2 } / w _ { 1 } - 1 } { \alpha + 1 } + \frac { ( w _ { 2 } / w _ { 1 } - 1 ) ^ { 2 } } { 2 \alpha + 1 } \right] .
\begin{array} { r l } { \frac { \left\| c + Q x - \left[ \begin{array} { l l l } { C ^ { \top } } & { A ^ { \top } - I _ { n } } & { 0 _ { n , l } } \end{array} \right] y \right\| } { 1 + \| c \| } \leq \epsilon , } & { \qquad \left\| \left[ \begin{array} { l l l } { I _ { l } } & { 0 _ { l , m + n } } & { I _ { l } } \end{array} \right] y \right\| \leq \epsilon , } \\ { \frac { \left\| M _ { r } \left[ \begin{array} { l } { x } \\ { w } \\ { u } \end{array} \right] - \left[ \begin{array} { l } { - d } \\ { b } \\ { 0 _ { l + n } } \end{array} \right] \right\| } { \left\| \left[ \begin{array} { l } { - d } \\ { b } \end{array} \right] \right\| + 1 } \leq \epsilon , } & { \qquad \frac { \left\| u - \Pi _ { \mathcal { K } \times \mathbb { R } ^ { l } } \left( \textbf { p r o x } _ { g } \left( u + \tilde { y } \right) \right) \right\| } { 1 + \| u \| + \left\| \tilde { y } \right\| } \leq \epsilon , } \end{array}
\tilde { \Psi } _ { t _ { l } } = \tilde { B } _ { l } \tilde { \Psi } , \ \ \tilde { \Psi } _ { t _ { l } } ^ { * } = - \tilde { B } _ { l } ^ { * } \tilde { \Psi } ^ { * } , \ \ l = 1 , 2 , \cdots
\begin{array} { r l } { z _ { a } } & { = Z ( 1 / a ) = \mathrm { i } \left[ \log ( a ^ { - 1 } ) + \frac { A a } { 1 - a ^ { 2 } } + \frac { B a } { 1 - a b } \right] + d } \\ { \mathrm { a n d } ~ ~ z _ { b } } & { = Z ( 1 / b ) = \mathrm { i } \left[ \log ( b ^ { - 1 } ) + \frac { B b } { 1 - b ^ { 2 } } + \frac { A b } { 1 - a b } \right] + d } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { E _ { s c } } } & { { } = \left[ - \frac { \eta k } { 4 } \sqrt { \frac { 2 } { \pi k \left( \sqrt { \left( x - \frac { d } { 2 } \right) ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \right) } } \left( e ^ { - j k \left( \sqrt { \left( x - \frac { d } { 2 } \right) ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \right) - j \frac { \pi } { 4 } } \right) I _ { 1 } \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { ( x - x _ { i - 2 } ) ^ { 3 } } { 6 h ^ { 3 } } , \quad x \in [ x _ { i - 2 } , x _ { i - 1 } ] , } \\ & { - \frac { ( x - x _ { i - 1 } ) ^ { 3 } } { 2 h ^ { 3 } } + \frac { ( x - x _ { i - 1 } ) ^ { 2 } } { 2 h ^ { 2 } } + \frac { ( x - x _ { i - 1 } ) } { 2 h } + \frac { 1 } { 6 } , \quad x \in [ x _ { i - 1 } , x _ { i } ] , } \\ & { - \frac { ( x _ { i + 1 } - x ) ^ { 3 } } { 2 h ^ { 3 } } + \frac { ( x _ { i + 1 } - x ) ^ { 2 } } { 2 h ^ { 2 } } + \frac { ( x _ { i + 1 } - x ) } { 2 h } + \frac { 1 } { 6 } , \quad x \in [ x _ { i } , x _ { i + 1 } ] , } \\ & { \frac { ( x _ { i + 2 } - x ) ^ { 3 } } { 6 h ^ { 3 } } , \quad x \in [ x _ { i + 1 } , x _ { i + 2 } ] , } \\ & { 0 , \quad \textup { o t h e r w i s e } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu _ { - x } u _ { i j } ^ { { n + \frac { 1 } { 2 } } , - x } + u _ { i j } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } , \ast x } + \mu _ { + x } u _ { i j } ^ { { n + \frac { 1 } { 2 } } , + x } } & { { } = 2 u _ { i j } ^ { n } } \\ { \mu _ { - y } u _ { i j } ^ { { n + \frac { 1 } { 2 } } , - y } + u _ { i j } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } , \ast y } + \mu _ { + y } u _ { i j } ^ { { n + \frac { 1 } { 2 } } , + y } } & { { } = 2 u _ { i j } ^ { n } } \end{array}
F _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } , \cdots i _ { d } } ^ { i } = \left\{ \begin{array} { l l } { e ^ { \beta h _ { i } } } & { i _ { 1 } = i _ { 2 } = \cdots = i _ { d } = 1 } \\ { e ^ { - \beta h _ { i } } } & { i _ { 1 } = i _ { 2 } = \cdots = i _ { d } = 2 } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { v _ { g } ^ { \pm } } & { { } = \frac { \displaystyle \frac { k _ { \pm } ^ { \prime } } { \mu \omega } \mp \frac { \Sigma } { 2 \omega } + i \frac { \omega \epsilon ^ { \prime \prime } } { 2 k _ { \pm } ^ { \prime } } \left( 1 \mp \frac { \mu \Sigma } { 2 k _ { \pm } ^ { \prime } } \right) ^ { - 1 } } { \displaystyle \epsilon ^ { \prime } + \frac { \omega } { 2 } \frac { \partial \epsilon ^ { \prime } } { \partial \omega } + i \left( \epsilon ^ { \prime \prime } + \frac { \omega } { 2 } \frac { \partial \epsilon ^ { \prime \prime } } { \partial \omega } \right) } , } \end{array}
C \partial _ { x _ { s } } \phi ( \cdot , t ) = \displaystyle \sum _ { j = 1 } ^ { + \infty } \sum _ { k = 1 } ^ { r _ { j } } E _ { \alpha } ( \lambda _ { j } t ^ { \alpha } ) \langle \chi _ { _ \omega } ^ { * } y _ { s } , \varphi _ { j , k } \rangle _ { _ { E } } \left( \begin{array} { c } { \langle \partial _ { x _ { s } } \varphi _ { j , k } , f _ { 1 } \rangle _ { _ { L ^ { 2 } ( D _ { 1 } ) } } } \\ { \langle \partial _ { x _ { s } } \varphi _ { j , k } , f _ { 2 } \rangle _ { _ { L ^ { 2 } ( D _ { 2 } ) } } } \\ { \vdots } \\ { \langle \partial _ { x _ { s } } \varphi _ { j , k } , f _ { p } \rangle _ { _ { L ^ { 2 } ( D _ { p } ) } } } \end{array} \right) .
g \mathop { \longrightarrow } _ { M \to 0 } - c ^ { 2 } d t ^ { 2 } + { \frac { \Sigma } { r ^ { 2 } + a ^ { 2 } } } d r ^ { 2 } + \Sigma d \theta ^ { 2 } + \left( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } \right) \sin ^ { 2 } \theta d \phi ^ { 2 }
{ \cal O } _ { M } \rightarrow \frac { Z _ { M } } { \Lambda ^ { 2 } } \left( M _ { W } ^ { 4 } W _ { \mu } ^ { + } W ^ { - \mu } + \frac { M _ { Z } ^ { 4 } } { 2 } Z ^ { \mu } Z _ { \mu } \right) .
\begin{array} { r l r } { \lambda ^ { 2 } D ^ { 2 } A ^ { 2 } = { \frac { D ^ { 2 } } { { R _ { A } } ^ { 2 } } } \; { \frac { ( R _ { A } - D ) ( D - R _ { A } + R _ { B } ) } { D ( R _ { B } + D ) } } } & { = } & { { \frac { D ( D - R _ { A } + R _ { B } ) } { R _ { A } R _ { B } } } \; { \frac { R _ { A } - D } { R _ { B } + D } } \; { \frac { R _ { B } } { R _ { A } } } } \\ & { = } & { { \frac { R _ { B } ( R _ { A } - D ) } { R _ { A } ( R _ { B } + D ) } } \sin ^ { 2 } \alpha \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ U F U ^ { \top } ] _ { i , j } } & { = \sum _ { k , \ell = 1 } ^ { p } U _ { i , k } F _ { k , \ell } U _ { j , \ell } = \sum _ { k , \ell = 1 } ^ { p } U _ { i , k } U _ { j , \ell } E _ { \theta } \left[ \frac { \partial \log p _ { \theta } } { \partial \theta _ { k } } \frac { \partial \log p _ { \theta } } { \partial \theta _ { \ell } } \right] \, \Big | _ { \theta = \theta _ { 0 } } } \\ & { = E _ { \theta _ { 0 } } \left[ \frac { \partial \log p _ { \theta _ { 0 } + \sum _ { k = 1 } ^ { p } t _ { k } { \bf v } _ { k } } } { \partial t _ { i } } \frac { \partial \log p _ { \theta _ { 0 } + \sum _ { \ell = 1 } ^ { p } t _ { \ell } { \bf v } _ { \ell } } } { \partial t _ { j } } \right] \, \Bigg | _ { t _ { 1 } = \ldots = t _ { k } = 0 } . } \end{array}
\quad \cdots { \longrightarrow } \wedge ^ { 3 } T ^ { * } V \otimes T V \stackrel { \iota _ { \overrightarrow { E } } \otimes \mathrm { i d } } { \longrightarrow } \wedge ^ { 2 } T ^ { * } V \otimes T V \stackrel { \iota _ { \overrightarrow { E } } \otimes \mathrm { i d } } { \longrightarrow } T ^ { * } V \otimes T V \stackrel { \iota _ { \overrightarrow { E } } \otimes \mathrm { i d } } { \longrightarrow } \underline { { \mathbb C } } \otimes T V .
S _ { R _ { \mu } } ( t _ { 2 } ) = - \frac { 1 } { 2 x ^ { 2 } } \mu _ { t _ { 2 } } ^ { - 2 x } + \left[ \frac { 1 } { x } \mu _ { t _ { 1 } } ^ { - x } \right] ^ { 2 }
\begin{array} { r l r } { \{ \textbf { k } _ { j } ^ { G } \} } & { { } = } & { \{ \textbf { k } _ { j } + n \cdot \textbf { G } _ { 1 } + m \cdot \textbf { G } _ { 2 } \} \subset \{ \textbf { k } _ { i } \} ~ , } \\ { \{ \textbf { k } _ { j } ^ { Q } \} } & { { } = } & { \{ \textbf { k } _ { j } + k \cdot \textbf { Q } _ { 1 } + l \cdot \textbf { Q } _ { 2 } \} \subset \{ \textbf { k } _ { i } \} ~ , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { b _ { 0 } ^ { \prime } } & { { } + } & { b _ { 1 } ^ { \prime } \, g _ { 0 0 } ^ { 2 } + b _ { 2 } ^ { \prime } \, g _ { 0 0 } ^ { 4 } + b _ { 3 } ^ { \prime } \, g _ { 0 0 } ^ { 6 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { M _ { a p p r o x } } & { { } = } & { 1 + 1 . 1 8 ( 1 - \beta ) + \frac { \frac { 2 . 1 8 } { C _ { f 0 } } \frac { H _ { F } } { L } } { 1 - \frac { \tau _ { t 0 } } { \tau _ { w 0 } } } ( 1 - \beta ) . } \end{array}
U _ { 1 , 2 } ( x ) \equiv { \frac { V _ { 1 } ( x ) + V _ { 2 } ( x ) } { 2 } } \pm \sqrt { \left[ { \frac { V _ { 1 } ( x ) - V _ { 2 } ( x ) } { 2 } } \right] ^ { 2 } + { \frac { 1 } { g ^ { 2 } } } } .
( C _ { i } \cdot C _ { j } ) = \left( \begin{array} { r r r r r r } { { - 2 , } } & { { 1 , } } & { { 0 , } } & { { \cdots } } & { { 0 , } } & { { 1 } } \\ { { 1 , } } & { { - 2 , } } & { { 1 , } } & { { \ddots } } & { { \ddots } } & { { 0 } } \\ { { 0 , } } & { { 1 , } } & { { \ddots } } & { { \ddots } } & { { \ddots } } & { { \vdots } } \\ { { \vdots } } & { { \ddots } } & { { \ddots } } & { { \ddots } } & { { 1 , } } & { { 0 } } \\ { { 0 , } } & { { \ddots } } & { { \ddots } } & { { 1 , } } & { { - 2 , } } & { { 1 } } \\ { { 1 , } } & { { 0 , } } & { { \cdots } } & { { 0 , } } & { { 1 , } } & { { - 2 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l r } { \varphi _ { 3 } ( \vec { r } , \vec { r } _ { 0 } ) } & { { } = } & { { \textstyle \frac { 1 } { 6 } } k r _ { g } { \cal T } { } ^ { < a b c > } { \cal I } _ { a b c } ( \vec { r } , \vec { r } _ { 0 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textnormal { \textsf { d } } _ { \operatorname* { s u p } } ( v _ { n } ( t ) , v ( t ) ) } & { = \textnormal { \textsf { d } } _ { \operatorname* { s u p } } \Bigg ( \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } \big ( v _ { k + 1 } ( t ) - v _ { k } ( t ) \big ) \, , \, w ( t ) \Bigg ) } \\ & { = \textnormal { \textsf { d } } _ { \operatorname* { s u p } } \Bigg ( \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } \big ( v _ { k + 1 } ( t ) - v _ { k } ( t ) \big ) \, , \, \sum _ { k = 1 } ^ { + \infty } \big ( v _ { k + 1 } ( t ) - v _ { k } ( t ) \big ) \Bigg ) ~ \underset { n \to + \infty } { \longrightarrow } ~ 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { - \frac { 1 } { 2 } \Delta e ^ { \pi } ( w ) } & { = } & { | \nabla ^ { \pi } ( d ^ { \pi } w ) | ^ { 2 } - \langle \Delta ^ { \nabla ^ { \pi } } d ^ { \pi } w , d ^ { \pi } w \rangle + K \cdot | d ^ { \pi } w | ^ { 2 } + \langle \operatorname { R i c } ^ { \nabla ^ { \pi } } ( d ^ { \pi } w ) , d ^ { \pi } w \rangle . } \\ & { } & \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad d _ { t _ { 0 } - ( \tau r ) ^ { 2 } } ( z , x _ { 0 } ) } \\ & { \le d _ { W _ { 1 } } ^ { t _ { 0 } - ( \tau r ) ^ { 2 } } ( \delta _ { x _ { 0 } } , v _ { x _ { 0 } , s ; t _ { 0 } - ( \tau r ) ^ { 2 } } ) + d _ { W _ { 1 } } ^ { t _ { 0 } - ( \tau r ) ^ { 2 } } ( v _ { y , s ; t _ { 0 } - ( \tau r ) ^ { 2 } } , v _ { x _ { 0 } , s ; t _ { 0 } - ( \tau r ) ^ { 2 } } ) + d _ { W _ { 1 } } ^ { t _ { 0 } - ( \tau r ) ^ { 2 } } ( \delta _ { z } , v _ { y , s ; t _ { 0 } - ( \tau r ) ^ { 2 } } ) } \\ & { \le C _ { 1 } \tau r . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( ( p - 1 ) \mathcal { H } _ { p } ( W , X ^ { n } ) + 1 ) } & { = \left\lVert \frac { d \mathcal { P } _ { W X ^ { n } } } { d \mathcal { P } _ { W } \mathcal { P } _ { X ^ { n } } } \right\rVert _ { L _ { p } ( \mathcal { P } _ { W } \mathcal { P } _ { X ^ { n } } ) } ^ { p } } \\ & { = \sum _ { x ^ { n } } \mathcal { P } _ { X ^ { n } } ( x ^ { n } ) \int _ { 0 } ^ { 1 } \mathcal { P } _ { W } ( w ) \left( \frac { \mathcal { P } _ { W | X ^ { n } = x ^ { n } } ( w ) } { \mathcal { P } _ { W } ( w ) } \right) ^ { p } d w } \\ & { = \sum _ { x ^ { n } } \mathcal { P } _ { X ^ { n } } ( x ^ { n } ) \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( \mathcal { P } _ { X ^ { n } | W = w } ( x ^ { n } ) \right) ^ { p } d w } \\ & { = \sum _ { k = 0 } ^ { n } \binom { n } { k } \frac { 1 } { ( n + 1 ) \binom { n } { k } } \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( ( n + 1 ) \binom { n } { k } w ^ { k } ( 1 - w ) ^ { n - k } \right) ^ { p } d w } \\ & { = ( n + 1 ) ^ { p - 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { n } \binom { n } { k } ^ { p } \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( w ^ { k } ( 1 - w ) ^ { ( n - k ) } \right) ^ { p } d w } \\ & { = ( n + 1 ) ^ { p - 1 } \sum _ { k = 0 } ^ { n } \binom { n } { k } ^ { p } \frac { \Gamma ( k p + 1 ) \Gamma ( ( n - k ) p + 1 ) } { \Gamma ( n p + 2 ) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d f } { d p } = \mathbf { f } _ { x } \mathbf { x } _ { p } + \mathbf { f } _ { p } = 0 \; \; \Rightarrow \; \; \mathbf { x } _ { p } = - \mathbf { f } _ { x } ^ { - 1 } \mathbf { f } _ { p } = - J ^ { - 1 } \mathbf { f } _ { p } . } \end{array}
\hat { H } ( \hat { \textbf { p } } , \hat { \textbf { q } } ) = \sum _ { i } ^ { N } \frac { \hat { p } _ { i } ^ { 2 } } { 2 m _ { i } } + \sum _ { i } ^ { N } \Big ( 2 d - \frac { a } { 2 } \Big ) \hat { q } _ { i } ^ { 2 } + \frac { a } { 4 } \hat { q } _ { i } ^ { 4 } - \sigma \hat { q } _ { i } \hat { q } _ { i + 1 } .
\begin{array} { r l } { | R | } & { \le 1 0 ( b - a ) ^ { 2 } n ^ { - 1 . 8 } n _ { i } ^ { - 1 . 5 } } \\ & { \le \frac { 2 ^ { 1 . 5 } \cdot 1 0 ( b - a ) ^ { 2 } n ^ { - 1 . 8 } } { ( b - a ) ^ { 1 . 5 } n ^ { 0 . 1 5 } \underline { { f } } ^ { 1 . 5 } } } \\ & { = \frac { 2 ^ { 1 . 5 } \cdot 1 0 ( b - a ) ^ { 1 / 2 } } { n ^ { 1 . 9 5 } \underline { { f } } ^ { 1 . 5 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { c } ( \gamma ( t ) ) = \int _ { 0 } ^ { \tau } } & { \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } ( s - t ) d \Bigg [ \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } \sum _ { j \neq i } Z _ { i j } ( s ) N _ { i j } ( s ) \Bigg ] } \\ & { - \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } \sum _ { j \neq i } \int _ { 0 } ^ { \tau } \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } ( s - t ) Z _ { i j } ( s ) \exp \{ \alpha _ { i , \gamma } ^ { * } ( t ) + \beta _ { j , \gamma } ^ { * } ( t ) + Z _ { i j } ( s ) ^ { \top } \gamma ^ { * } ( t ) \} d s . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { c } { { \delta _ { - } B ^ { \dagger \alpha } = \chi _ { q } ^ { I \dagger \alpha } } } \\ { { \delta _ { - } \chi _ { q } ^ { I \dagger \alpha } = \delta _ { g } ^ { \bar { \theta } } B ^ { \dagger \alpha } = - i B ^ { \dagger \alpha } { \bar { \theta } } - { \bar { m } } B ^ { \dagger \alpha } } } \\ { { \delta _ { - } \psi _ { B } ^ { \dagger \alpha } = \delta _ { g } ^ { c } B ^ { \dagger \alpha } - H _ { q } ^ { I \dagger \alpha } = - i B ^ { \dagger \alpha } c - m _ { c } B ^ { \dagger \alpha } - H _ { q } ^ { I \dagger \alpha } } } \\ { { \delta _ { - } H _ { q } ^ { I \dagger \alpha } = \delta _ { g } ^ { c } \chi _ { q } ^ { I \dagger \alpha } - \delta _ { + } \delta _ { g } ^ { \bar { \theta } } B ^ { \dagger \alpha } = - i \chi _ { q } ^ { I \dagger \alpha } c - m _ { c } \chi _ { q } ^ { I \dagger \alpha } - \delta _ { + } \delta _ { g } ^ { \bar { \theta } } B ^ { \dagger \alpha } . } } \end{array} \right.
S ^ { \star } = \sum _ { C } \left\{ - \frac { 1 } { \oint _ { C } d x _ { t } } \oint _ { C } d x _ { t } \biggl | \left( \frac { \delta } { \delta \sigma ^ { \mu t } } - i \frac { 2 \pi } { e } W _ { \mu t } \right) \Phi [ C ] \biggr | ^ { 2 } - M _ { 0 } ^ { 2 } \biggl | \Phi [ C ] \biggr | ^ { 2 } \right\} ,
S _ { M C S } = \int d ^ { 3 } x [ - \frac { 1 } { 2 } ( \partial _ { \alpha } A _ { \beta } - \partial _ { \beta } A _ { \alpha } ) \partial ^ { \alpha } A ^ { \beta } + \frac { 2 \pi } { g ^ { 2 } } \epsilon ^ { \alpha \beta \gamma } A _ { \alpha } \partial _ { \beta } A _ { \gamma } ] .
\begin{array} { r } { p ( x + \varepsilon ) = \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } c _ { i } ( x + \varepsilon ) ^ { i } = \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } \sum _ { j = 0 } ^ { 1 } c _ { i } \left( \begin{array} { l } { i } \\ { j } \end{array} \right) x ^ { i - j } \varepsilon ^ { j } = \sum _ { i = 0 } ^ { \infty } c _ { i } x ^ { i } + \varepsilon \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } i \, c _ { i } x ^ { i - 1 } = p ( x ) + p ^ { \prime } ( x ) \varepsilon \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { 2 } k _ { e f } ( T ) _ { P A } } & { { } = A _ { 1 } \exp \left( \frac { - Q _ { 1 } } { R T } \right) , } \\ { k _ { e f } ( T ) _ { P C } } & { { } = A _ { 2 } ( R T ) ^ { m } , } \\ { k _ { e f } ( T ) _ { C M } } & { { } = A _ { 3 } ( R T ) \exp \left( - \frac { Q _ { 3 } } { R T } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { z _ { 1 } Z _ { 2 } \zeta _ { 1 } | 1 2 3 \rangle = } \\ & { } & { z _ { 1 } Z _ { 2 } ( \beta _ { 1 2 } | 2 1 3 \rangle + \delta _ { 1 2 } | 1 2 3 \rangle ) = } \\ & { } & { z _ { 1 } ( \beta _ { 1 2 } ( B _ { 1 3 } | 2 3 1 \rangle + D _ { 1 3 } | 2 1 3 \rangle ) + \delta _ { 1 2 } ( B _ { 2 3 } | 1 3 2 \rangle + D _ { 2 3 } | 1 2 3 \rangle ) ) = } \\ & { } & { \beta _ { 1 2 } ( B _ { 1 3 } ( b _ { 2 3 } | 3 2 1 \rangle + d _ { 2 3 } | 2 3 1 \rangle ) + D _ { 1 3 } ( a _ { 1 2 } | 2 1 3 \rangle + c _ { 1 2 } | 1 2 3 \rangle ) ) + } \\ & { } & { \delta _ { 1 2 } ( B _ { 2 3 } ( b _ { 1 3 } | 3 1 2 \rangle + d _ { 1 3 } | 1 3 2 \rangle ) + D _ { 2 3 } ( b _ { 1 2 } | 2 1 3 \rangle + d _ { 1 2 } | 1 2 3 \rangle ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { m _ { M } ( \Omega _ { 0 } ) \leq m _ { M _ { t } ^ { 2 N } } ( \Omega _ { 0 } ) } & { \leq n ( 1 - \delta ) } \\ & { \leq \frac { 2 } { \delta ( 1 - \delta ) } \int _ { 1 - \delta } ^ { 1 - \delta / 2 } \frac { n ( t ) } { t } d t } \\ & { \leq \frac { 2 } { \delta ( 1 - \delta ) } \int _ { 0 } ^ { 1 - \delta / 2 } \frac { n ( t ) } { t } d t } \\ & { \leq \frac { 2 } { \delta ( 1 - \delta ) } \left( \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \log | f \circ c ( ( 1 - \delta / 2 ) e ^ { i \theta } ) | d \theta - \log | f ( z _ { 0 } ) | \right) } \\ & { \leq \frac { 2 } { \delta ( 1 - \delta ) } \left( \operatorname* { s u p } _ { z \in \Omega _ { \eta } } \log | f ( z ) | - \log | f ( z _ { 0 } ) | \right) } \end{array}
f _ { \ast s } = \frac { \eta _ { \ast s } \exp \left[ \frac { X _ { \ast s } } { T _ { \ast s } } \right] } { \left( 2 \pi / M _ { s } \right) ^ { 3 / 2 } T _ { \ast s } ^ { 3 / 2 } } \exp \left\{ - \frac { M _ { s } \left( \mathbf { v } - \mathbf { V } _ { \ast s } \right) ^ { 2 } } { 2 T _ { \ast s } } - \alpha _ { \ast s } Y _ { \ast s } \right\} ,
\begin{array} { r l } { T } & { { } = - 2 \mathsf { m } \left( \nabla w \nabla \varphi \cdot \nabla w - \frac { 1 } { 2 } \nabla \varphi | \nabla w | ^ { 2 } + \nabla w w \Delta \varphi - \frac { 1 } { 2 } | w | ^ { 2 } \nabla \Delta \varphi + \mathsf { m } ^ { 2 } | \nabla \varphi | ^ { 2 } \nabla \varphi | w | ^ { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i } \boldsymbol { \nabla } _ { i } \tau \cdot \boldsymbol { \nabla } _ { i } } & { { } = \sum _ { i } \sum _ { a } \boldsymbol { \nabla } _ { i } u ( \boldsymbol { r } _ { i } , \boldsymbol { r } _ { a } ) \cdot \boldsymbol { \nabla } _ { i } } \end{array}