harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathbf { 1 } ^ { T } A ^ { r } \mathbf { 1 } \cdot \mathbf { 1 } ^ { T } A ^ { s } \mathbf { 1 } \leq \mathbf { 1 } ^ { T } A ^ { r + s } \mathbf { 1 } \cdot \mathbf { 1 } ^ { T } \mathbf { 1 }
f _ { M a x w e l l } ( v _ { x } , v _ { y } , v _ { z } ) d v _ { x } d v _ { y } d v _ { z } = \left( { \frac { m } { 2 \pi k T } } \right) ^ { 3 / 2 } \, e ^ { - { \frac { m v ^ { 2 } } { 2 k _ { B } T } } } d v _ { x } d v _ { y } d v _ { z }
\rho ( \mathbf { r } ) = \operatorname* { l i m } _ { \eta \to 0 ^ { + } } \int d \sigma \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { d \omega } { 2 \pi i } e ^ { i \omega \eta } G ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ; \omega ) = \sum _ { j } \psi _ { j } ( \mathbf { r } ) \psi _ { j } ^ { * } ( \mathbf { r } ) \ .
\begin{array} { r l } { P _ { X } \left[ X ( \tau ) \right] = } & { { } p _ { \mathrm { ~ e ~ q ~ } } ( x _ { 0 } ) \prod _ { i = 0 } ^ { \tau / \Delta t - 1 } p ( x _ { i \Delta t } \to x _ { ( i + 1 ) \Delta t } ) \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \delta _ { + } ( \boldsymbol { U } _ { i j } ) \geq \delta _ { + } ( \boldsymbol { U } _ { i j } ^ { \star } ) + \langle \boldsymbol { S } _ { i j } ^ { \star } \boldsymbol { e } _ { i } \boldsymbol { e } _ { j } ^ { \mathrm { T } } , ( \boldsymbol { U } _ { i j } - \boldsymbol { U } _ { i j } ^ { \star } ) \boldsymbol { e } _ { i } \boldsymbol { e } _ { j } ^ { \mathrm { T } } \rangle , \ \ \forall i , j , \ \ \forall \ \boldsymbol { U } \in \operatorname { d o m } f , } \\ & { \delta _ { + } ( \boldsymbol { V } _ { i j } ) \geq \delta _ { + } ( \boldsymbol { V } _ { i j } ^ { \star } ) + \langle \boldsymbol { D } _ { i j } ^ { \star } \boldsymbol { e } _ { i } \boldsymbol { e } _ { j } ^ { \mathrm { T } } , ( \boldsymbol { V } _ { i j } - \boldsymbol { V } _ { i j } ^ { \star } ) \boldsymbol { e } _ { i } \boldsymbol { e } _ { j } ^ { \mathrm { T } } \rangle , \ \ \forall i , j , \ \ \forall \ \boldsymbol { V } \in \operatorname { d o m } f . } \end{array}
{ \frac { 8 i \lambda ^ { 2 } } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } } \left[ \frac { 1 } { \epsilon } - \gamma _ { e } + \log ( 4 \pi ) - \int _ { 0 } ^ { 1 } \log \left( { \frac { m ^ { 2 } - q ^ { 2 } x ( 1 - x ) - i \varepsilon } { \mu ^ { 2 } } } \right) d x \right]
\begin{array} { r } { c _ { 1 } = 1 + ( \eta _ { q } + \eta _ { 2 } ) ( 2 + \mu _ { n } ^ { 2 } ) + \eta _ { 1 } \gamma _ { m } ^ { 2 } , \quad c _ { 2 } = \eta _ { 2 } \mu _ { n } \gamma _ { m } , \quad c _ { 3 } = 1 + \gamma _ { m } ^ { 2 } ( \eta _ { 1 } + \eta _ { 2 } ) + \mu _ { n } ^ { 2 } \eta _ { 1 } , } \end{array}
\Phi _ { a } ( z _ { 1 } , \eta _ { 1 } ) \Phi _ { b } ( z _ { 2 } , \eta _ { 2 } ) \sim ( z _ { 1 } - z _ { 2 } ) ^ { \Delta _ { c } - \Delta _ { b } - \Delta _ { a } + \bar { \eta } _ { 1 } \eta _ { 2 } + \bar { \eta } _ { 2 } \eta _ { 1 } } C _ { a b c } \Phi _ { c } ( z _ { 1 } , \eta _ { 3 } )
\begin{array} { r l } { \frac { \partial E _ { 0 } ( t , \tau ) } { \partial t } } & { { } = \left[ - 1 + i ( | E _ { 0 } | ^ { 2 } - \Delta _ { \mathrm { e f f } } ) + i \hat { D } \left( i \frac { \partial } { \partial \tau } \right) \right] E _ { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { q _ { 1 } } & { = } & { \left( r _ { 1 } \left( 1 - \frac { 1 } { 4 K _ { 1 } } \right) - \frac { \alpha _ { 1 2 } } { 4 } \right) \left( 1 + \frac { a _ { 1 } } { 4 } \right) , } \\ { q _ { 2 } } & { = } & { \left( r _ { 2 } \left( 1 - \frac { 1 } { 4 K _ { 2 } } \right) - \frac { \alpha _ { 2 1 } } { 4 } \right) \left( 1 + \frac { a _ { 2 } } { 4 } \right) . } \end{array}
{ \mathrm { \it ~ f } } _ { i } { \mathrm { \tiny ~ ( E } } _ { \nu } \mathrm { \tiny ~ ) } = \frac { \sigma { \mathrm { \tiny ~ ( E } } _ { \nu } \mathrm { \tiny ~ ) } \eta _ { i } { \mathrm { \tiny ~ ( E } } _ { \nu } \mathrm { \tiny ~ ) } } { \int _ { E } \sigma { \mathrm { \tiny ~ ( E } } _ { \nu } \mathrm { \tiny ~ ) } \eta _ { i } { \mathrm { \tiny ~ ( E } } _ { \nu } \mathrm { \tiny ~ ) } d E _ { \nu } }
\tilde { \bf Y } _ { 1 } ^ { - } ( { { \bf x } } , { { \bf s } } , { x _ { 3 , F } } ) | _ { x _ { 3 } = { x _ { 3 , F } } } = { \bf I } \exp \{ i \omega { { \bf s } } \cdot { { \bf x } _ { \mathrm { H } } } \}
\hat { H } _ { \mathrm { e f f } } = - \omega _ { B } \hat { S } _ { z } + V ( 2 \Omega _ { - 1 } \hat { S } _ { x } + 2 \Delta _ { - 1 } \hat { S } _ { z } ) - \frac { V \beta } { N } ( 2 \Omega _ { - 1 } \hat { S } _ { x } + 2 \Delta _ { - 1 } \hat { S } _ { z } ) ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } & { K _ { j } = \frac { A ( x _ { j } ^ { \delta } - x _ { 0 } ) + b + \delta e + \xi _ { j } } { | A ( x _ { j } ^ { \delta } - x _ { 0 } ) + b + \delta e + \xi _ { j } | } , } \\ & { K = \frac { A ( \widehat { x } - x _ { 0 } ) + b + \delta e + \xi _ { \infty } } { | A ( \widehat { x } - x _ { 0 } ) + b + \delta e + \xi _ { \infty } | } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { G ^ { \lceil } ( - i \tau , t ) } & { { } = G ^ { > } ( t _ { 0 } - i \tau , t ) , } \\ { G ^ { \rceil } ( t , - i \tau ) } & { { } = G ^ { < } ( t , t _ { 0 } - i \tau ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { H } _ { \epsilon } ( \phi ) } & { { } \equiv \tilde { H } _ { \kappa } ( \phi ) } \\ { \iff { U } ^ { - 1 } \left[ { U } ( \phi ) - \epsilon \right] } & { { } = \tilde { U } ^ { - 1 } \left[ \tilde { U } ( \phi ) ( 1 - \kappa ) \right] , } \end{array}
\partial _ { a } \varphi \partial ^ { a } \varphi + D _ { a } \partial ^ { a } \varphi + d \partial _ { a } \beta \partial ^ { a } \varphi = \kappa _ { 3 } \, \, \frac { e ^ { - \varphi } } \epsilon [ ( D - 2 ) \partial _ { \varphi } U - D U ]
{ \dot { \mathbf { r } } } _ { k } \cdot { \dot { \mathbf { r } } } _ { k } = \sum _ { i , j = 1 } ^ { n } \left( { \frac { \partial \mathbf { r } _ { k } } { \partial q _ { i } } } \cdot { \frac { \partial \mathbf { r } _ { k } } { \partial q _ { j } } } \right) { \dot { q } } _ { i } { \dot { q } } _ { j } ,
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \Sigma } } & { = \boldsymbol { A } _ { \mathcal { M } } \boldsymbol { \Gamma } _ { \mathcal { M } } \boldsymbol { A } _ { \mathcal { M } } ^ { \sf H } + \sigma ^ { 2 } \boldsymbol { I } _ { N } , } \\ { \boldsymbol { \Sigma } ^ { - 1 } } & { = \boldsymbol { A } _ { \mathcal { M } } \boldsymbol { \Xi } _ { \mathcal { M } } \boldsymbol { A } _ { \mathcal { M } } ^ { \sf H } + \frac { 1 } { \sigma ^ { 2 } } \boldsymbol { I } _ { N } } \\ { \boldsymbol { \Xi } _ { \mathcal { M } } } & { = \frac { 1 } { N } \mathop { \mathrm { d i a g } } \left( \frac { 1 } { \sigma ^ { 2 } + N \gamma _ { m } } - \frac { 1 } { \sigma ^ { 2 } } \right) _ { m \in \mathcal { M } } } \end{array}
\begin{array} { r } { E _ { \mathrm { { l o c } } } ( \Psi _ { k } ^ { w } ) = \frac { \langle \Psi _ { \mathrm { T } } | \hat { H } _ { 1 } + \hat { H } _ { 2 } | \Psi _ { k } ^ { w } \rangle } { \langle \Psi _ { \mathrm { T } } | \Psi _ { k } ^ { w } \rangle } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ \begin{array} { c c c } { M _ { S } \, { \bf I } } & { { \bf 0 } } & { { \bf 0 } } \\ { M _ { 1 } \alpha { \bf B } ^ { T } } & { M _ { 1 } { \bf I } } & { { \bf 0 } } \\ { M _ { 2 } \alpha { \bf B } ^ { T } } & { M _ { 2 } { \bf I } } & { M _ { 2 } { \bf I } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c } { { \bf \ddot { a } } } \\ { { \bf \ddot { q } } _ { 1 } } \\ { { \bf \ddot { q } } _ { 2 } } \end{array} \right] } & { + \left[ \begin{array} { c c c } { \mathrm { D i a g } ( { C _ { i } } _ { S } ) } & { - C _ { 1 } \alpha { \bf B } } & { { \bf 0 } } \\ { { \bf 0 } } & { C _ { 1 } { \bf I } } & { - C _ { 2 } { \bf I } } \\ { { \bf 0 } } & { { \bf 0 } } & { C _ { 2 } { \bf I } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c } { { \bf \dot { a } } } \\ { { \bf \dot { q } } _ { 1 } } \\ { { \bf \dot { q } } _ { 2 } } \end{array} \right] } \\ & { + \left[ \begin{array} { c c c } { \mathrm { D i a g } ( { k _ { i } } _ { S } ) } & { - k _ { 1 } \alpha { \bf B } } & { { \bf 0 } } \\ { { \bf 0 } } & { k _ { 1 } { \bf I } } & { - k _ { 2 } { \bf I } } \\ { { \bf 0 } } & { { \bf 0 } } & { k _ { 2 } { \bf I } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c } { { \bf a } } \\ { { \bf q } _ { 1 } } \\ { { \bf q } _ { 2 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c c c } { { \bf I } } & { - \alpha { \bf B } } & { { \bf 0 } } \\ { { \bf 0 } } & { { \bf I } } & { - { \bf I } } \\ { { \bf 0 } } & { { \bf 0 } } & { { \bf I } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c } { { \bf f } ^ { G W } } \\ { { \bf f } _ { 1 } ^ { b a c k } } \\ { { \bf f } _ { 2 } ^ { b a c k } } \end{array} \right] . } \end{array}
= \exp \left\{ 2 \zeta \int d ^ { 4 } y \left[ \cos \left( \frac { \left| \lambda _ { \mu \nu } ^ { 1 } ( y ) \right| } { \Lambda ^ { 2 } } \right) + \cos \left( \frac { \left| \lambda _ { \mu \nu } ^ { 2 } ( y ) \right| } { \Lambda ^ { 2 } } \right) \right] \right\} ,
\begin{array} { r l r } { \sum _ { l } G _ { c } ( l ) } & { { } = } & { A _ { c } l _ { c } e ^ { - 2 / l _ { c } } } \\ { \sum _ { l } G _ { g } ( l ) } & { { } = } & { A _ { g } l _ { g } e ^ { - 1 / l _ { g } } } \\ { \sum _ { l } l G _ { c } ( l ) } & { { } = } & { A _ { c } l _ { c } e ^ { - 2 / l _ { c } } ( 2 + l _ { c } ) } \\ { \sum _ { l } l G _ { g } ( l ) } & { { } = } & { A _ { g } l _ { g } e ^ { - 1 / l _ { g } } ( 1 + l _ { g } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( I ) \le - 2 \delta _ { p } } & { \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( \left| \left( { u _ { i } } ^ { p / 2 } \right) _ { x } \right| ^ { 2 } + \left| \left( { v _ { i } } ^ { p / 2 } \right) _ { x } \right| ^ { 2 } \right) d x } \\ & { + c _ { p } \left( u _ { i } ( 0 , t ) ^ { p - 1 } + v _ { i } ( 0 , t ) ^ { p - 1 } + \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( { u _ { i } } ^ { p } + { v _ { i } } ^ { p } \right) d x \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Theta \Big ( \mathbf { C } _ { n } , \mathbf { C } _ { n ^ { \prime } } \Big ) ( \tau ) } \\ & { = 3 \Theta \Big ( \psi _ { \gamma } ( S _ { n } ) , \psi _ { \gamma } ( S _ { n ^ { \prime } } ) \Big ) ( \tau ) \! + \! \Theta \Big ( \psi _ { \gamma } ( S _ { n } ) , \psi _ { \gamma } ( S _ { n ^ { \prime } } ) \Big ) ( \gamma - \tau ) } \\ & { - \Theta \Big ( \psi _ { \gamma } ( S _ { n } ) , \psi _ { \gamma } ( S _ { n ^ { \prime } } ) \Big ) ( \gamma - \tau ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left< X ^ { 2 } ( t ) \right> = \left\{ \begin{array} { l l } { t ^ { \alpha _ { 1 } } , } & { t \leq \tau } \\ { t ^ { \alpha _ { 1 } } - ( t - \tau ) ^ { \alpha _ { 1 } } + ( t - \tau ) ^ { \alpha _ { 2 } } , } & { t > \tau } \end{array} \right. . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { i n f } _ { j \geq 1 } \| \phi _ { j } \| _ { \infty } } & { \geq \operatorname* { i n f } _ { \gamma _ { 1 } ^ { 2 } + \gamma _ { 2 } ^ { 2 } = 1 } \operatorname* { s u p } _ { z \in [ 1 , 2 ] } \left| \gamma _ { 1 } J _ { \frac { - 1 } { \alpha + 2 } } \Big ( \frac { 2 } { \alpha + 2 } z ^ { \alpha / 2 + 1 } \Big ) + \gamma _ { 2 } J _ { \frac { 1 } { \alpha + 2 } } \Big ( \frac { 2 } { \alpha + 2 } z ^ { \alpha / 2 + 1 } \Big ) \right| } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { z \in [ 1 , 2 ] } \left| \gamma _ { 1 } ^ { * } J _ { \frac { - 1 } { \alpha + 2 } } \Big ( \frac { 2 } { \alpha + 2 } z ^ { \alpha / 2 + 1 } \Big ) + \gamma _ { 2 } ^ { * } J _ { \frac { 1 } { \alpha + 2 } } \Big ( \frac { 2 } { \alpha + 2 } z ^ { \alpha / 2 + 1 } \Big ) \right| , } \end{array}
\alpha = 0 : \quad \, \, \, J _ { 1 } \pm i J _ { 2 } = e ^ { \pm i x / 2 } \left( p ^ { 2 } - \frac 1 4 \right) ^ { \frac 1 2 } e ^ { \pm i x / 2 } , \quad J _ { 0 } = p
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } _ { s } ( z ) } & { { } = \sum _ { j = - \infty } ^ { \infty } B _ { j } e ^ { i k _ { j } z } , } \\ { B _ { - j } } & { { } = \bar { B } _ { j } , } \\ { B _ { j } } & { { } = \frac { \mathcal { P } _ { j } } { 2 } - i \frac { \tilde { \mathcal { P } } _ { j } } { 2 } \mathrm { ~ , ~ } j > 0 , } \\ { B _ { 0 } } & { { } = \mathcal { P } _ { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { C ( \Omega _ { t } ^ { \mathbf { c } , \mathbf { d } } , \Omega _ { t ^ { \prime } } ^ { \mathbf { c } ^ { \prime } , \mathbf { d } ^ { \prime } } ) ( 0 , 0 ) } \\ & { = \left( \sum _ { \theta \in \Theta } \sum _ { \gamma = 0 } ^ { m - 1 } \sum _ { \mu = 0 } ^ { n - 1 } \omega _ { \delta } ^ { \frac { \delta } { \lambda } \left( ( a _ { t } ^ { \theta } ) _ { \gamma , \mu } - ( a _ { t ^ { \prime } } ^ { \theta } ) _ { \gamma , \mu } \right) } \right) \mathcal { E } \mathcal { F } } \\ & { = \left( \sum _ { \theta \in \Theta } \sum _ { \gamma = 0 } ^ { m - 1 } \sum _ { \mu = 0 } ^ { n - 1 } \omega _ { \lambda } ^ { \left( ( a _ { t } ^ { \theta } ) _ { \gamma , \mu } - ( a _ { t ^ { \prime } } ^ { \theta } ) _ { \gamma , \mu } \right) } \right) \mathcal { E } \mathcal { F } } \\ & { = C ( \mathbf { A } ^ { t } , \mathbf { A } ^ { t ^ { \prime } } ) ( 0 , 0 ) \mathcal { E } \mathcal { F } , } \end{array}
S _ { 1 1 } ( f ) = A e ^ { i \phi } e ^ { - i 2 \pi f \tau } \left[ 1 - \frac { 2 ( Q / | Q _ { \mathrm { e } } | ) e ^ { i \theta } } { 1 + 2 i Q ( f / f _ { \mathrm { r } } - 1 ) } \right] .
\frac { 1 } { 2 } \partial _ { t } \langle | \tilde { n } _ { f } | ^ { 2 } \rangle = - \sum _ { f _ { 1 } } R e \langle \tilde { n } _ { f } ^ { * } \tilde { v } _ { y , f - f _ { 1 } } \partial _ { y } \tilde { n } _ { f _ { 1 } } \rangle + \gamma ( f ) \langle | \tilde { n } _ { f } | ^ { 2 } \rangle ,
\mathbf M _ { 1 } = \left( \begin{array} { c c } { m _ { 1 1 } - Z _ { S } m _ { 2 1 } } & { m _ { 1 2 } - Z _ { S } m _ { 2 2 } } \\ { m _ { 3 1 } - Z _ { S } m _ { 4 1 } } & { m _ { 3 2 } - Z _ { S } m _ { 4 2 } } \end{array} \right) ,
\left< r _ { i } ^ { 2 } \right> = 6 { \frac { d F _ { i } ( K ^ { 2 } ) } { d K ^ { 2 } } } \Bigg \vert _ { K ^ { 2 } = 0 } \; , \quad \mathrm { a n d } \quad \left< r _ { E / M } ^ { 2 } \right> = { \frac { 6 } { G _ { E / M } ( 0 ) } } { \frac { d G _ { E / M } ( K ^ { 2 } ) } { d K ^ { 2 } } } \Bigg \vert _ { K ^ { 2 } = 0 } \; .
\vec { k } = \left( \begin{array} { r } { a ^ { - 1 } } \\ { b ^ { - 1 } } \\ { c ^ { - 1 } } \end{array} \right) \enspace \enspace \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \enspace \enspace \vec { n } = \left( \begin{array} { r } { a } \\ { b } \\ { c } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { \mathcal { T } _ { A } ( v _ { A } , \pi _ { A } ) : D ( v _ { A } ) = e _ { D _ { A } } - ( \mathrm { { d i v } } v _ { A } ) \pi _ { A } , } \\ { \mathcal { T } _ { B } ( v _ { B } , \pi _ { B } ) : D ( v _ { B } ) = e _ { D _ { B } } - ( { \mathrm { d i v } } v _ { B } ) \pi _ { B } , } \\ { \mathcal { T } _ { S } ( v _ { S } , \pi _ { S } ) : D _ { \Gamma } ( v _ { S } ) = e _ { D _ { S } } - ( \mathrm { { d i v } } _ { \Gamma } v _ { S } ) \pi _ { S } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { i \int _ { 0 } ^ { t } \frac { ( t - s ) ^ { - \beta } } { \Gamma ( 1 - \beta ) } \partial _ { s } w ( s , x ) \, \mathrm { d } s - \mathscr { L } w ( t , x ) } & { = 0 , \quad t > 0 , \, \, x \in G , \, \, 0 < \beta < 1 , } \\ { w ( t , x ) | _ { _ { _ { t = 0 } } } } & { = w _ { 0 } ( x ) , \quad w _ { 0 } \in L ^ { p } ( G ) . } \end{array}
\operatorname { L i } ( x ) \sim { \frac { x } { \log x } } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \frac { k ! } { ( \log x ) ^ { k } } } = { \frac { x } { \log x } } + { \frac { x } { ( \log x ) ^ { 2 } } } + { \frac { 2 x } { ( \log x ) ^ { 3 } } } + \cdots
\eta ^ { 2 } = 1 - \frac { \omega _ { p } ^ { 2 } } { \omega ( \omega - \omega _ { c } ) } \left( 1 + \frac { c ^ { 2 } B _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 p \, \beta ^ { 2 } } \right) ^ { 1 - p } \, .
\left( { \frac { \partial _ { \mu } } { \Lambda } } \right) ^ { 2 } \langle \hat { O } ^ { i } ( x ) \rangle _ { \circ } - { \frac { \delta ^ { 2 } \Gamma } { \delta \nu _ { L } ^ { i } ( 0 ) \delta \bar { \nu } _ { R } ^ { \prime } ( x ) } } = 0 ,
f _ { b } ^ { B } = \langle \nu _ { B } \vert f _ { b } \rangle = { \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \vert \nu _ { B } \vert ^ { 2 } } } } \bigl ( f _ { b } ^ { 1 } + \nu _ { B } ^ { * } f _ { b } ^ { 2 } \bigr ) \; .
\begin{array} { l l l } { { \left( E _ { 4 s } - 2 Q - 2 Q ^ { - 1 } \right) A ( k _ { 1 } , k _ { 2 } ) } } & { { = } } & { { A ( k _ { 1 } - 1 , k _ { 2 } ) + A ( k _ { 1 } + 1 , k _ { 2 } ) } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { + } } & { { A ( k _ { 1 } , k _ { 2 } - 1 ) + A ( k _ { 1 } , k _ { 2 } + 1 ) } } \end{array}
{ \mathbf o } = \left( \begin{array} { l } { \cos ( t ) } \\ { \sin ( t ) } \end{array} \right) \; , \; ( { \mathbf r } _ { 1 } , { \mathbf r } _ { 2 } ) = \left( \begin{array} { l l } { \cos ( p \ t ) } & { - \sin ( p \ t ) } \\ { \sin ( p \ t ) } & { \cos ( p \ t ) } \end{array} \right) .
Q _ { 8 } = \Big \{ \sigma , \gamma _ { 1 } , \gamma _ { 2 } \, \Big | \, \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } = \sigma \gamma _ { 2 } \gamma _ { 1 } , ~ \gamma _ { 1 } ^ { 2 } = \gamma _ { 2 } ^ { 2 } = \sigma , \sigma ^ { 2 } = 1 \Big \}
L _ { \mu \nu } ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , ( 1 - z ) k _ { 1 } , \tilde { k } ) = \frac { \alpha } { 2 \pi } P ( z , L _ { 0 } ) \frac { d z } { z } L _ { \mu \nu } ( z k _ { 1 } , k _ { 2 } , \tilde { k } ) \ ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } ( w _ { \varepsilon } , B _ { \varepsilon } ( x _ { 0 } ) ) \leq } & { ( 1 + \eta ) \left( \mathcal { F } ( z _ { \varepsilon } , B _ { ( 1 - \theta ) \varepsilon } ( x _ { 0 } ) ) + \mathcal { F } ( \overline { { u } } _ { x _ { 0 } } ^ { \textnormal { s u r f } } , C _ { \varepsilon , \theta } ( x _ { 0 } ) ) \right) + \rho _ { \varepsilon } \varepsilon ^ { d - 1 } + \eta \omega _ { d } \varepsilon ^ { d } . } \end{array}
S _ { x } = { \frac { \hbar } { 2 } } { \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right] } , \quad S _ { y } = { \frac { \hbar } { 2 } } { \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { - i } \\ { i } & { 0 } \end{array} \right] } , \quad S _ { z } = { \frac { \hbar } { 2 } } { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } { \{ \mathcal { F } , \mathcal { G } \} _ { D } ( v , \Sigma ) = } & { { } ( - 1 ) ^ { n - 1 } \int _ { \Omega } ( \ast d v ) \wedge ( \ast \frac { \delta \mathcal { G } } { \delta v } ) \wedge ( \ast \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta v } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { P ( \alpha ) = \frac { e ^ { - | \alpha | ^ { 2 } / \sigma _ { \alpha } ^ { 2 } } } { \sigma _ { \alpha } ^ { 2 } \pi } \; , \quad P ( \beta ) = \frac { e ^ { - | \beta | ^ { 2 } / \sigma _ { \beta } ^ { 2 } } } { \sigma _ { \beta } ^ { 2 } \pi } \; , } \end{array}
\langle 0 | B | 0 \rangle = - \frac 1 { 3 2 } \left( \mathrm { S p ~ } \Gamma ^ { X } \mathrm { ~ S p } \Gamma ^ { Y } + \mathrm { ~ S p ~ } \Gamma ^ { X } \mathrm { ~ S p } \gamma _ { 5 } \Gamma ^ { Y } \gamma _ { 5 } \right) \langle 0 | \bar { q } q | 0 \rangle \, l a n g l e 0 | \bar { \psi } _ { i } \psi _ { i } | 0 \rangle \ ,
m _ { t } ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 2 } } ( m _ { Q } ^ { 2 } + m _ { T } ^ { 2 } ) \mp \sqrt { { \frac { 1 } { 4 } } ( m _ { Q } ^ { 2 } - m _ { T } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + m _ { t } ^ { 2 } ( A _ { t } ^ { 2 } + \lambda ^ { 2 } x ^ { 2 } \cot ^ { 2 } \beta + 2 A _ { t } \lambda x \cot \beta \cos \phi ) } \ ,
\begin{array} { r l } { H _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } ^ { p _ { \mathrm { ~ e ~ c ~ } } \varepsilon _ { \mathrm { ~ s ~ } } ^ { 2 } / 3 } ( l ^ { n } | E ^ { n } ) _ { \rho ^ { \otimes n } } } & { { } \geq n H ( l | E ) _ { \rho } } \end{array}
\left( \begin{array} { l l l l } { ( i { \hat { \imath } } \hat { N } N + p ) / p } & { ( i { \hat { \imath } } \hat { N } N ^ { 2 } - N p ) / p ^ { 2 } } & { - { \hat { \imath } } N / p } & { - { \hat { \imath } } } \\ { ( \hat { N } p - i { \hat { \imath } } \hat { N } ^ { 2 } N ) / p ^ { 2 } } & { ( ( i { \hat { \imath } } \hat { N } N + p ) \hat { p } ) / p } & { - { \hat { \imath } } \hat { p } } & { { \hat { \imath } } \hat { N } / p } \\ { ( i \hat { N } ^ { 2 } N ) / p } & { - i \hat { N } N \hat { p } } & { p \hat { p } } & { - \hat { N } } \\ { - i \hat { N } N } & { - ( i \hat { N } N ^ { 2 } ) / p } & { N } & { p } \end{array} \right) .
\mathcal { O } _ { \mathrm { i n j . } } = ( \mathcal { \widetilde { O } } _ { \mathrm { i n j . } } ^ { \mathrm { n o r m . , i n } } + \mathcal { \widetilde { O } } _ { \mathrm { i n j . } } ^ { \mathrm { n o r m . , o u t } } ) \times \mathcal { O } _ { \mathrm { s i n g l e } } ,
g _ { T } ^ { D / L } \simeq \frac { P _ { E 1 M 1 } ^ { D / L } ( \omega , \hat { \mathbf { k } } , \mathbf { B } _ { 0 } ) } { P _ { M 1 M 1 } ( \omega , \hat { \mathbf { k } } , \mathbf { B } _ { 0 } ) } \Bigr | _ { \omega \approx \Omega } .
\begin{array} { r l } { \mathscr { L } = } & { D \mathscr { B } + Q \mathscr { B } N + c _ { s } ^ { 2 } N \ln n _ { 0 } + \bigg ( \frac { v _ { | | } ^ { 2 } } { 2 } - \gamma \bigg ) ( N + n _ { 0 } ) + \frac { 1 } { 2 } \frac { c _ { s } ^ { 2 } - v _ { | | } ^ { 2 } } { n _ { 0 } } N ^ { 2 } \, , } \\ & { \mathrm { w i t h } \qquad Q = \frac { \omega _ { p e } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } n _ { 0 } } \frac { ( \omega - v _ { | | } k ) ^ { 2 } - \Omega _ { e } \omega } { \omega - v _ { | | } k - \Omega _ { e } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { \nu _ { N } } \left[ \| f - m _ { N } ^ { f } \| _ { H _ { \mu ^ { y } } ^ { \beta } ( U _ { N } ) } \right] } & { \leq \left( \operatorname* { s u p } _ { u \in U _ { N } } \pi ^ { y } ( u ) \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \, \mathbb { E } _ { \nu _ { N } } \left[ \| f - m _ { N } ^ { f } \| _ { H ^ { \beta } ( U _ { N } ) } \right] } \\ & { \leq C _ { 1 } N ^ { - \frac { \tau } { d _ { u } } } \, \mathbb { E } _ { \nu _ { N } } \left[ \| f - m _ { N } ^ { f } \| _ { H ^ { \tau } ( U _ { N } ) } \right] } \\ & { \leq C _ { 1 } \left( 1 + C _ { \mathrm { l o w } } ( U ) ^ { - 1 } C _ { \mathrm { u p } } ( U ) \right) N ^ { - \frac { \tau } { d _ { u } } } \, \| f \| _ { H ^ { \tau } ( U ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial n _ { \pm } ( \mathbf { r } , t ) } { \partial t } = } & { { } \left[ - \gamma _ { \mathrm { ~ r ~ } } - R \left( | \Psi _ { \pm } ( \mathbf { r } , t ) | ^ { 2 } + | \Psi _ { \mp } ( \mathbf { r } , t ) | ^ { 2 } \right) \right] n _ { \pm } ( \mathbf { r } , t ) } \end{array}
\frac { \partial { \phi } } { \partial { t } } = \nabla \cdot \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( \frac { \phi } { \zeta } \nabla \mu \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \aftergroup \egroup \right) = \nabla \cdot \bigg ( M _ { 0 } \phi \nabla \big ( \tilde { \mu } _ { h } ( \phi , \mathrm { ~ P ~ e ~ } _ { \mathrm { ~ R ~ } } ) - \tilde { \kappa } \nabla ^ { 2 } \phi \big ) \bigg ) ,
\begin{array} { r l } { A } & { \equiv \frac { \omega } { \omega ^ { * } } \left[ \left( \boldsymbol { \chi } _ { s } \cdot \mathbf { E } \right) \times \left( \mathbf { k } ^ { * } \times \mathbf { E } ^ { * } \right) \right] } \\ & { \approx \left[ \left( \mathbf { E } ^ { * } \cdot \boldsymbol { \chi } _ { s } \cdot \mathbf { E } \right) \mathbf { k } ^ { * } - \left( \mathbf { k } ^ { * } \cdot \boldsymbol { \chi } _ { s } \cdot \mathbf { E } \right) \mathbf { E } ^ { * } \right] } \\ & { \quad + 2 i \frac { \omega _ { i } } { \omega _ { r } } \left( \boldsymbol { \chi } _ { s } \cdot \mathbf { E } \right) \times \left( \mathbf { k } _ { r } \times \mathbf { E } ^ { * } \right) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { X } & { = { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) } ; } \\ { Y } & { = { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { - i } \\ { i } & { 0 } \end{array} \right) } ; } \\ { Z } & { = { \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \phi [ T ] \cong T / ( \mathrm { ~ k ~ e ~ r ~ } ( \phi ) \cap T ) } & { { } = T / K } \\ { \phi [ F ] \cong F / ( \mathrm { ~ k ~ e ~ r ~ } ( \phi ) \cap F ) } & { { } = T / ( K \cap F ) . } \end{array}