harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
X _ { 1 } Z _ { 2 } X _ { 3 } = { \left[ \begin{array} { l l l } { c _ { 2 } } & { - c _ { 3 } s _ { 2 } } & { s _ { 2 } s _ { 3 } } \\ { c _ { 1 } s _ { 2 } } & { c _ { 1 } c _ { 2 } c _ { 3 } - s _ { 1 } s _ { 3 } } & { - c _ { 3 } s _ { 1 } - c _ { 1 } c _ { 2 } s _ { 3 } } \\ { s _ { 1 } s _ { 2 } } & { c _ { 1 } s _ { 3 } + c _ { 2 } c _ { 3 } s _ { 1 } } & { c _ { 1 } c _ { 3 } - c _ { 2 } s _ { 1 } s _ { 3 } } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l r } & { } & { \dot { f } ( x , t ) + \frac { k c _ { 0 } ^ { 2 } } { \omega } f ^ { \prime } ( x , t ) = - \frac { g \Omega } { 2 \omega } \mathcal { S } ^ { y } ( x , t ) , } \\ & { } & { \left( \dot { \phi } ( x , t ) + \frac { k c _ { 0 } ^ { 2 } } { \omega } \phi ^ { \prime } ( x , t ) + G ( k ) \right) f ( x , t ) = - \frac { g \Omega } { 2 \omega } \mathcal { S } ^ { x } ( x , t ) . } \end{array}
F _ { z } \cong \frac { m _ { e } } { \left( 1 - \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \right) ^ { 3 / 2 } } \left\{ \frac { v _ { z } v _ { \varphi } } { c ^ { 2 } } \frac { d v _ { \varphi } } { d t } + \left( 1 - \frac { v _ { r } ^ { 2 } + v _ { \varphi } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \right) \frac { d v _ { z } } { d t } \right\} .
\begin{array} { r l } & { \mathrm { R e } ( q ) = \frac { \cos \frac { \psi } { 2 } \sin \frac { \psi } { 2 } \cos \delta } { | \varepsilon _ { 1 } \cos ^ { 2 } \frac { \psi } { 2 } + \varepsilon _ { 2 } \sin ^ { 2 } \frac { \psi } { 2 } | ^ { 2 } } \times } \\ & { \Biggl [ \left\{ | \varepsilon _ { 1 } | ^ { 2 } - \mathrm { R e } ( \varepsilon _ { 1 } ^ { * } \varepsilon _ { 2 } ) \right\} \cos ^ { 2 } \frac { \psi } { 2 } - \left\{ | \varepsilon _ { 2 } | ^ { 2 } - \mathrm { R e } ( \varepsilon _ { 1 } ^ { * } \varepsilon _ { 2 } ) \right\} \sin ^ { 2 } \frac { \psi } { 2 } \Biggr ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \beta } & { = \operatorname* { m i n } _ { x \in \mathbb { R } } \left\{ \frac { 1 } { 2 } \sigma ^ { 2 } f ^ { \prime \prime } ( w ) - \eta w f ^ { \prime } ( w ) - x f ^ { \prime } ( w ) + a f ^ { \prime } ( w ) + c ( x ) + h w \right\} } \\ & { = \operatorname* { m i n } _ { x \in \mathbb { R } } \left\{ \frac { 1 } { \hat { \alpha } } x ^ { 2 } - x f ^ { \prime } ( w ) \right\} + \frac { 1 } { 2 } \sigma ^ { 2 } f ^ { \prime \prime } ( w ) - \eta w f ^ { \prime } ( w ) + a f ^ { \prime } ( w ) + h w , \quad w \ge 0 , } \end{array}
\widehat { G } ( k , l ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \exp ( - \kappa ^ { 2 } ( 2 \Delta x ) ^ { 2 } / 2 4 ) , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \\ { 0 , } & { \kappa _ { m a x } \leq k \mathrm { ~ o ~ r ~ } \kappa _ { m a x } \leq l } \end{array} \right.
S _ { 0 } ^ { L } \left[ A _ { \mu } ^ { a } , B _ { a } ^ { \mu \nu } \right] = \frac 1 2 \int d ^ { 4 } x \left( - F _ { \mu \nu } ^ { a } B _ { a } ^ { \mu \nu } + g _ { a b } A _ { \mu } ^ { a } A ^ { b \mu } \right) ,
\begin{array} { r l } { \exp \bigl ( x \hat { A } \bigr ) \hat { B } \exp \bigl ( - x \hat { A } \bigr ) } & { { } = \hat { B } + x \bigl [ \hat { A } , \, \hat { B } \bigr ] , \qquad \mathrm { ~ i ~ f ~ } \; \bigl [ \hat { A } , \, \hat { B } \bigr ] \; \mathrm { ~ i ~ s ~ a ~ c ~ - ~ n ~ u ~ m ~ b ~ e ~ r ~ } . } \end{array}
\exp \left[ - 4 \pi i \left( f _ { 2 3 } ^ { ( 1 ) 2 } - 3 f _ { 2 3 } ^ { ( 1 ) } f _ { 2 3 } ^ { ( 2 ) } + 3 f _ { 2 3 } ^ { ( 2 ) 2 } \right) \right] \; ,
\begin{array} { r } { ( E + s t _ { 0 } ) ( E ^ { 5 } - 8 t _ { 0 } ^ { 2 } E ^ { 3 } + 2 s t _ { 0 } ^ { 3 } E ^ { 2 } + 1 5 t _ { 0 } ^ { 4 } E - 8 s t _ { 0 } ^ { 5 } ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { \pm } ^ { S } } & { = \frac { \mu \epsilon ^ { \prime } } { 2 } + \frac { \mu \omega } { 2 } \frac { \partial \epsilon ^ { \prime } } { \partial \omega } + \frac { 1 } { 2 } ( S _ { + } ^ { 2 } + S _ { - } ^ { 2 } ) + } \\ & { \phantom { = } + \frac { \mu ^ { 2 } | { \bf { a } } \times { \bf { c } } | ^ { 2 } } { 3 2 \omega ^ { 2 } } \cos ^ { 2 } \varphi \pm \frac { \mu S _ { - } | { \bf { a } } \times { \bf { c } } | } { 4 \omega } \cos \varphi \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 0 } + S _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 R _ { 0 } a S _ { 0 } ^ { 2 } } } & { { } = I _ { \infty } + S _ { \infty } + \frac { 1 } { 2 R _ { 0 } a S _ { \infty } ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { H _ { c } = - \xi _ { 4 } + p _ { 1 } \xi _ { 2 } + p _ { 2 } ( - \omega ^ { 2 } \xi _ { 1 } - u ) + p _ { 3 } \xi _ { 4 } + p _ { 4 } u ~ . } \end{array}
f _ { n } ( y ) = N _ { n } e ^ { 2 \sigma } \left( J _ { \nu } \left( { \frac { m _ { n } } { k } } e ^ { \sigma } \right) - \left( { \frac { j _ { \nu } ( { \frac { m _ { n } } { k } } ) } { y _ { \nu } ( { \frac { m _ { n } } { k } } ) } } \right) Y _ { \nu } \left( { \frac { m _ { n } } { k } } e ^ { \sigma } \right) \right)
\begin{array} { c c c c } { { w ( t ) ~ = ~ 1 / \, t } } & { { \quad } } & { { \mathrm { w i t h } } } & { { k = 0 ~ , } } \\ { { w ( t ) ~ = ~ 1 / \sin t } } & { { \quad } } & { { \mathrm { w i t h } } } & { { k = + 1 ~ , } } \\ { { w ( t ) ~ = ~ 1 / \sinh t } } & { { \quad } } & { { \mathrm { w i t h } } } & { { k = - 1 ~ , } } \end{array}
\langle u | V _ { \mu } | b \rangle = \overline { { { u } } } _ { u } \left\{ \left[ 1 + \frac { \alpha _ { S } C _ { F } } { \pi } \left( \frac { 3 } { 4 } \log m _ { B } + \cdots \right) \right] \gamma _ { \mu } + \frac { \alpha _ { S } C _ { F } } { 2 \pi } v _ { \mu } \right\} u _ { b }
E _ { \mathrm { 1 D } } ( k _ { h } ) \sim { \varepsilon _ { \! \scriptscriptstyle K } } ^ { 2 / 3 } k _ { h } ^ { - 5 / 3 } ~ ~ ~ ~ \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } ~ ~ ~ ~ E _ { \mathrm { 1 D } } ( k _ { z } ) \sim N ^ { 2 } k _ { z } ^ { - 3 }
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { W ( \xi ) } = \frac { 1 } { - \frac { \mathcal { C } _ { \alpha } } { 2 } \xi | \xi | ^ { \alpha - 1 } + W _ { r } ( \xi ) } = : - \frac { 2 } { \mathcal { C } _ { \alpha } } \frac { 1 } { \xi | \xi | ^ { \alpha - 1 } } + W _ { r , 1 } ( \xi ) = - \frac { 2 } { \mathcal { C } _ { \alpha } } \mathtt { M } ^ { - \alpha } \frac { 1 } { i _ { \xi } | i _ { \xi } | ^ { \alpha - 1 } } + W _ { r , 1 } ( \xi ) , } \end{array}
T _ { \mathrm { \boldmath ~ \ z e t a ~ } } = \frac { i } { 2 \pi u } \frac { \omega } { \varepsilon } \int _ { 0 } ^ { \infty } \exp ( - i t ) \frac { \varphi } { \cosh ^ { 2 } \frac { \nu t } { 2 } } d t ( \mathrm { \boldmath ~ \ z e t a ~ } \mathrm { \boldmath ~ \ c h i ~ } { \bf v } ) ,
\lambda e ^ { { \frac { i } { \hbar } } H _ { 0 } ( t - t _ { 0 } ) } V ( t ) e ^ { - { \frac { i } { \hbar } } H _ { 0 } ( t - t _ { 0 } ) } | \psi _ { I } ( t ) \rangle = i \hbar { \frac { \partial | \psi _ { I } ( t ) \rangle } { \partial t } } ~ ,
\langle \mathbf { v } _ { \perp } ^ { \ast } ~ \mathbf { v } _ { \perp } ^ { \ast \mathrm { { T } } } \rangle = \left[ \begin{array} { l l } { < { v _ { x } ^ { \ast } } ^ { 2 } > } & { < v _ { x } ^ { \ast } v _ { y } ^ { \ast } > } \\ { < v _ { y } ^ { \ast } v _ { x } ^ { \ast } > } & { < { v _ { y } ^ { \ast } } ^ { 2 } > } \end{array} \right] ,
l _ { a 1 } = \frac { \widetilde { A A } + \widetilde { A D } - \widetilde { B C } - \widetilde { B B } } { 2 } \, , \qquad l _ { b 2 } = \frac { \widetilde { A A } + \widetilde { D A } - \widetilde { C B } - \widetilde { B B } } { 2 }
d \vec { X } = \vec { v } _ { s } d t + \langle \vec { u } \rangle d t + \tau _ { p } ( \beta - 1 ) \langle \vec { u } \rangle \cdot \nabla \langle \vec { u } \rangle d t + \sqrt { 2 D _ { \mathrm { t u r b } } } d \vec { W } .
\begin{array} { r l } { \frac { I _ { \theta + h } - I _ { \theta } } { h } } & { = \int _ { \mathcal Z } \frac { 1 } { h } \left[ \frac { \dot { q } _ { \theta + h } ^ { 2 } ( z ) } { q _ { \theta + h } ( z ) } - \frac { \dot { q } _ { \theta } ^ { 2 } ( z ) } { q _ { \theta } ( z ) } \right] \nu ( d z ) } \\ & { = \int _ { \mathcal Z } \frac { \dot { q } _ { \theta + h } ^ { 2 } ( z ) - \dot { q } _ { \theta } ^ { 2 } ( z ) } { h } \frac { 1 } { q _ { \theta } ( z ) } \frac { q _ { \theta } ( z ) } { q _ { \theta + h } ( z ) } + \dot { q } _ { \theta } ^ { 2 } ( z ) \frac { q _ { \theta } ( z ) - q _ { \theta + h } ( z ) } { h q _ { \theta + h } ( z ) q _ { \theta } ( z ) } \nu ( d z ) . } \end{array}
1 0 0 \ln \left( \frac { T _ { 2 } } { M _ { Z } } \right) - 2 5 \ln \left( \frac { T _ { 1 } } { M _ { Z } } \right) - 5 6 \ln \left( \frac { T _ { 3 } } { M _ { Z } } \right) = 1 9 \ln \left( \frac { T _ { S U S Y } } { M _ { Z } } \right) ,
\mathrm { I m } \, \{ \Gamma ^ { \mathrm { V A } } ( t ) \} = \left\{ \begin{array} { l l } { { 0 , } } & { { t \leq 4 m ^ { 2 } , } } \\ { { \frac { 1 } { 1 6 \pi \sqrt { t ( t - 4 m ^ { 2 } ) } } \ln \left( 1 + \frac { t - 4 m ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } \right) , } } & { { t \geq 4 m ^ { 2 } . } } \end{array} \right.
\mathsf { c ~ \approx ~ 2 ~ M ~ U _ { \mu 3 } ~ U _ { \tau 3 } } \equiv \mathsf { M ^ { \prime } } ; \; \; \mathsf { e ~ \approx ~ 2 ~ M ~ U _ { \mu 3 } ~ U _ { s 3 } } \equiv \mathsf { M ^ { \prime \prime \prime } } ; \; \; \mathsf { f ~ \approx ~ } \mathcal { O } ( \mathsf { m _ { 1 , 2 } } ) ,
\mathbf { \widetilde { M } } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ( \omega ) = \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ a ~ } } = \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ O ~ O ~ } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ I ~ O ~ } } ^ { \dagger } \mathbf { A } ^ { \dagger } \mathbf { M } _ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } } \mathbf { A } \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ I ~ O ~ } } \, .
\begin{array} { r l } & { \quad c \cdot \theta _ { n ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { \vee } } ( c ^ { \prime } \cdot \theta _ { k ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { \vee } } T _ { s ^ { \prime } } + b ^ { \prime } ) - c ^ { - 1 } ( c ^ { \prime } \cdot \theta _ { k ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { \vee } } T _ { s ^ { \prime } } + b ^ { \prime } ) \theta _ { - n ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { \vee } } } \\ & { = c ^ { \prime } \cdot \theta _ { k ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { \vee } } ( c \cdot \theta _ { n ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { \vee } } T _ { s ^ { \prime } } - c ^ { - 1 } \cdot T _ { s ^ { \prime } } \theta _ { - n ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { \vee } } ) + \left( \mathrm { e l e m e n t ~ o f ~ \mathbb { C } [ Y ' ] ~ } \right) } \\ & { = c ^ { \prime } ( c - c ^ { - 1 } ) \cdot T _ { s ^ { \prime } } \theta _ { - ( n + k ) ( \alpha ^ { \prime } ) ^ { \vee } } + \left( \mathrm { e l e m e n t ~ o f ~ \mathbb { C } [ Y ' ] ~ } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \partial _ { t } \mathbf { v } _ { k } ^ { \pm } + \mathbf { v } _ { 0 } ^ { \pm } \cdot \nabla \mathbf { v } _ { k } ^ { \pm } + \mathbf { v } _ { k } ^ { \pm } \cdot \nabla \mathbf { v } _ { 0 } ^ { \pm } - \nu ^ { \pm } \Delta \mathbf { v } _ { k } ^ { \pm } + \nabla p _ { k } ^ { \pm } } & { { } = - \sum _ { j \in \frac 1 2 \ensuremath { \mathbb { N } } , \frac 1 2 \leq j \leq k - \frac 1 2 } \mathbf { v } _ { j } ^ { \pm } \cdot \nabla \mathbf { v } _ { k - j } ^ { \pm } } & { \ } & { { } \mathrm { ~ i ~ n ~ } \Omega ^ { \pm } , } \\ { \operatorname { d i v } \mathbf { v } _ { k } ^ { \pm } } & { { } = 0 } & { \ } & { { } \mathrm { ~ i ~ n ~ } \Omega ^ { \pm } , } \\ { { \mathbf { v } _ { k } ^ { - } | _ { \partial \Omega } } } & { { } = 0 } & { \ } & { { } \mathrm { ~ o ~ n ~ } \partial \Omega } \end{array}
\eta _ { 1 , 2 } = - \frac { r ( 3 - 2 r ^ { 2 } + \lambda ) \pm \sqrt { r ^ { 2 } ( 3 - 2 r ^ { 2 } + \lambda ) ^ { 2 } - 1 6 \Psi ( 1 - r ^ { 2 } ) ( 2 r ^ { 2 } - 1 + \lambda ) ^ { 2 } } } { 4 \Psi ( 2 r ^ { 2 } - 1 + \lambda ) } \, .
\begin{array} { r l } { \sum _ { k \geq 1 } \frac { c _ { k } d _ { k } } { \alpha _ { k } } = } & { { } \langle \mathcal { A } ^ { - 1 } \lambda _ { c } , \lambda _ { d } \rangle _ { L ^ { 2 } ( [ 0 , 1 ] ) } = \langle \mathcal { A } ^ { - 1 } \lambda _ { c } , \mathcal { A } \mathtt { 1 } \rangle _ { L ^ { 2 } ( [ 0 , 1 ] ) } = \langle \lambda _ { c } , \mathcal { A } ^ { - 1 } \mathcal { A } \mathtt { 1 } \rangle _ { L ^ { 2 } ( [ 0 , 1 ] ) } } \\ { = } & { { } \langle \lambda _ { c } , \mathtt { 1 } \rangle _ { L ^ { 2 } ( [ 0 , 1 ] ) } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \lambda _ { c } ( x ) \mathtt { 1 } ( x ) d x = \gamma . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F \mathrm { - l e n g t h ~ } ( \gamma ) } & { = F \mathrm { - l e n g t h ~ } \left( \gamma | _ { \left[ 0 , t _ { 1 } \right] } \right) + F \mathrm { - l e n g t h ~ } \left( \gamma | _ { \left[ t _ { 1 } , t _ { 2 } \right] } \right) } \\ & { + F \mathrm { - l e n g t h ~ } \left( \gamma | _ { \left[ t _ { 2 } , 1 \right] } \right) \geq 2 \alpha \log \left( \frac { H } { \sqrt { \delta ( x ) \delta ( y ) } } \right) + C \frac { L ( [ x , y ] ) } { H ^ { \beta } } - C . } \end{array}
\psi _ { n } \sim \left\{ \begin{array} { r l } & { ~ \mathcal { S } ( Y ) \Big [ L ( Y ) \log { ( n ) } + Q ( Y ) \Big ] \frac { \Gamma ( \frac { n } { 2 } + \alpha _ { 0 } ) } { \chi ^ { n / 2 + \alpha _ { 0 } } } \qquad } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \quad + Q _ { 0 } ^ { ( \lambda _ { n } ) } ( Y ) \log ^ { 2 } { ( n ) } \Gamma \bigg ( \frac { n + 1 } { 2 } + \alpha _ { 0 } \bigg ) \quad \mathrm { f o r ~ n ~ e v e n } , } \\ & { \underbrace { \mathcal { S } ( Y ) } _ { \mathrm { H O S P } } \underbrace { R ( Y ) \frac { \Gamma ( \frac { n } { 2 } + \alpha _ { 1 } ) } { \chi ^ { n / 2 + \alpha _ { 1 } } } } _ { \mathrm { n a \" i v e ~ d i v e r g e n c e } } + \underbrace { R _ { 1 } ^ { ( \lambda _ { n } ) } ( Y ) \log { ( n ) } \Gamma \bigg ( \frac { n + 1 } { 2 } + \alpha _ { 1 } \bigg ) } _ { { \lambda _ { n } \mathrm { ~ d i v e r g e n c e } } } \quad \mathrm { f o r ~ n ~ o d d } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { k _ { \pm } ^ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } & { { } = \frac { F ^ { 2 } } { R T } \sum _ { i \in \mathcal { C } _ { \pm } } { z _ { i } ^ { 2 } D _ { i } c _ { i } } } \end{array}
u ( y , z ) = { \frac { 4 U } { \pi } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { 2 n - 1 } } { \frac { \sinh ( \beta _ { n } y ) } { \sinh ( \beta _ { n } h ) } } \sin ( \beta _ { n } z ) , \quad \beta _ { n } = { \frac { ( 2 n - 1 ) \pi } { l } } .
\begin{array} { r l r } { - W _ { B Y } ^ { T D - M a c r o } \space + Q _ { i n } } & { \space \space = \space \space } & { \Delta K E ^ { M a c r o } \space + \space \Delta P E ^ { M a c r o } \space + \space \Delta U ^ { i n t } } \\ { + Q _ { i n } \space - \space W _ { B Y } ^ { T D - M a c r o } \space } & { \space \space = \space \space } & { \Delta T E . \qquad \qquad . . . . . . . . . . . . ( 5 ) } \end{array}
\frac { h _ { n } ^ { k + 1 } - h _ { n } ^ { k } } { \Delta t } + \frac { 1 } { r _ { n } } \frac { r _ { n + 1 } h _ { n + 1 } ^ { k + 1 } \langle u \rangle _ { n + 1 } ^ { k + 1 } - r _ { n - 1 } h _ { n - 1 } ^ { k + 1 } \langle u \rangle _ { n - 1 } ^ { k + 1 } } { 2 \Delta r } = - J _ { n } ^ { k } ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { F } _ { i + 1 / 2 , j } } & { { } = \mathbf { F } _ { i + 1 / 2 , j } \left( \mathbf { W } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L , 0 } , \mathbf { W } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R , 0 } \right) } \end{array}
\Phi _ { t } \rightarrow \exp \left( - 2 i \arg ( i c _ { t } t _ { c } + d _ { t } ) \right) \, \Phi _ { t } . \Phi _ { t } \rightarrow e ^ { - 2 i \arg ( i c _ { t } t _ { c } + d _ { t } ) } \, \Phi _ { t } .
\begin{array} { r l } { ( x \circ x ) \circ ( y \circ x ) } & { = R ( R ( x ) \cdot x ) \circ ( R ( y ) \cdot x ) } \\ & { = ( R ( x ) \cdot R ( x ) ) \cdot ( R ( y ) \cdot x ) } \\ & { = ( ( R ( x ) \cdot R ( x ) ) \cdot R ( y ) ) \cdot x } \\ & { = ( ( R ^ { 2 } ( x ) \cdot R ^ { 2 } ( x ) ) \cdot R ( y ) ) \cdot x } \\ & { = R ( ( R ( x ) \cdot R ( x ) ) \cdot y ) \cdot x } \\ & { = R ( ( R ^ { 2 } ( x ) \cdot R ( x ) ) \cdot y ) \cdot x } \\ & { = R ( R ( R ( x ) \cdot x ) \cdot y ) \cdot x } \\ & { = ( ( x \circ x ) \circ y ) \circ x . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sigma ^ { ( 2 c ) } ( \omega ) = \frac { \pi ^ { 2 } } { 1 8 c \omega } \int _ { \mathbb { R } ^ { 6 } } \frac { \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } \b { q } \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } \b { p } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \; p ^ { 2 } \phantom { x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x } } \\ { \times \; \left( V ^ { \prime } ( q ) ^ { 2 } + V ^ { \prime \prime } ( q ) ( \ensuremath { \mathbf { q } } \cdot \ensuremath { \mathbf { p } } / q ) ^ { 2 } + V ^ { \prime } ( q ) ( p ^ { 2 } - ( \ensuremath { \mathbf { q } } \cdot \ensuremath { \mathbf { p } } / q ) ^ { 2 } ) / q \right) } \\ { \times \; \delta ^ { \prime \prime \prime } \! \left( \omega + E _ { 0 } - p ^ { 2 } / 2 - V ( q ) \right) \rho _ { 0 , \mathrm { ~ W ~ } } ( q , p , \ensuremath { \mathbf { q } } \cdot \ensuremath { \mathbf { p } } ) , \; \; \; \; } \end{array}
d { \hat { \sigma } _ { M S S M } } = d P _ { 2 f } \, \frac { 1 } { 2 5 6 } \sum | A _ { a } ^ { ( 3 ) } ( \hat { s } , \hat { t } , \hat { u } ) + A _ { b } ^ { ( 3 ) } ( \hat { s } , \hat { t } , \hat { u } ) + A _ { c } ^ { ( 3 ) } ( \hat { s } , \hat { t } , \hat { u } ) + A _ { d } ^ { ( 3 ) } ( \hat { s } , \hat { t } , \hat { u } ) + A _ { e } ^ { ( 3 ) } ( \hat { s } , \hat { t } , \hat { u } ) | ^ { 2 } \; ,
\begin{array} { r } { \int _ { \mathcal { S } } d S \, \mathbf { v } \cdot \hat { \boldsymbol { \sigma } } \cdot \mathbf { n } = \int _ { \mathcal { S } } d S \, \hat { \mathbf { v } } \cdot \boldsymbol { \sigma } \cdot \mathbf { n } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } \left[ f ^ { \textup { p o p } } ( \widehat { x } ) - \operatorname* { m i n } _ { x \in \mathbb { B } ( R ) } f ^ { \textup { p o p } } ( x ) \right] \le O \left( L R \cdot \left( \frac { 1 } { \sqrt { n } } + \frac { \sqrt { d \log \frac 1 \delta } \log ^ { 1 . 5 } ( \frac n \delta ) \log n } { n \epsilon _ { \textup { d p } } } \right) \right) . } \end{array}
W _ { n } ^ { m } \approx \frac { \mathrm { a r c t a n } | \eta | } { | \eta | } \left[ J _ { \frac { | n - m | } 2 } \left( { \cal N } _ { n m } \mathrm { a r c t a n } | \eta | \right) \right] ^ { 2 } .
\langle \, \rangle = - 2 i \int _ { - \infty } ^ { 0 } d x \cos ( q _ { 1 } x ) e ^ { - i \omega ( q _ { 1 } ) t } { \mathop { \partial } ^ { \leftrightarrow } } _ { t } \, _ { o u t } \langle p _ { 1 } , \dots , p _ { k } | \Phi _ { i n } ( x , t ) | q _ { 2 } , \dots , q _ { l } \rangle _ { i n } \; .
H _ { \lambda } \; : = \; \frac 1 2 \; T r \biggl ( \vec { P } ^ { \; 2 } \pm \sum _ { i _ { 1 } < \cdots < i _ { M } } [ X _ { i _ { 1 } } , \cdots , X _ { i _ { M } } ] _ { \lambda } ^ { 2 } \biggr ) ,
\begin{array} { r l } { \zeta _ { \pm } } & { { } = \frac { \xi ^ { - 3 } } { 4 n ^ { 2 } } \left[ S d \xi ^ { 4 } + 4 \left( b - 4 S ^ { 2 } \right) \xi ^ { 3 } + S \left( 3 \beta n ^ { 2 } + 2 S \right) \xi ^ { 2 } - \beta n ^ { 2 } S \xi \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } & { k = h _ { x } , \quad p = k _ { x } , \quad w = u _ { x } , } \\ & { u _ { t } + a \left( \frac { u ^ { 2 } } { 2 } \right) _ { x } + b \left[ f ( k ) h ^ { - 1 } - f ^ { 3 } ( k ) p \right] _ { x } = c \frac { [ ( h ^ { 2 } - 1 ) w ] _ { x } } { h ^ { 2 } - 1 } + 1 - \frac { u } { g ( h ) } , } \\ & { 2 h h _ { t } + a [ u ( h ^ { 2 } - 1 ) ] _ { x } = 0 . } \end{array}
\epsilon ( \mu ) - B ^ { * } ( \mu ) = \frac { d } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \left[ \mu \, k _ { F } \left( 2 \mu ^ { 2 } - { m ^ { * } } ^ { 2 } \right) - { m ^ { * } } ^ { 4 } \ln { \left( \frac { k _ { F } + \mu } { m ^ { * } } \right) } \right]
\left\vert \frac { 1 } { p ! } \sum _ { \substack { ( \pi , G ) \in \tilde { \mathcal { L } } _ { p } ^ { 3 } \, \nu ( \pi , G ) + \nu ^ { * } ( \pi , G ) = \nu _ { 0 } \, k ( \pi , G ) = k _ { 0 } } } \Gamma _ { \pi , G } ^ { 3 } \right\vert \leq C \rho ^ { 3 } ( C s ( \log N ) ^ { 3 } ) ^ { k _ { 0 } } ( C a ^ { 3 } \rho \log ( b / a ) ) ^ { k _ { 0 } + \nu _ { 0 } } .
\frac { \partial B _ { \| } ^ { * } } { \partial t } \; = \; - \; \nabla \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, \left( B _ { \| } ^ { * } \; \dot { \bf X } \right) \; - \; \frac { \partial } { P _ { \| } } \left( B _ { \| } ^ { * } \; \dot { P } _ { \| } \right) ,
\begin{array} { r l } & { \sum _ { \sigma } \left[ v _ { \sigma } ^ { \prime } ( \phi ) \Pi ( \sigma \vert \phi ) \right] \partial _ { \xi } [ \xi \Pi ( \xi \vert \phi ) ] } \\ & { - \sum _ { \sigma } \left[ \Pi ( \sigma \vert \phi ) \frac { \omega _ { \sigma } ( \phi ) } { 2 } \right] \partial _ { \xi } ^ { 2 } [ \Pi ( \xi \vert \phi ) ] = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { u _ { 0 1 } ^ { i } ( { \bf { k } } ; \tau ) } & { { } = } & { \int d \tau _ { 1 } G _ { u u } ^ { i j } F _ { 0 1 u } ^ { j } + \int d \tau _ { 1 } G _ { u b } ^ { i j } F _ { 0 1 b } ^ { j } } \end{array}
\begin{array} { l } { { \displaystyle { \frac { A _ { n } } { B _ { n } } } \sim r _ { 0 } ^ { 2 \left( k + \alpha - n \right) } \qquad n - k + \frac { 1 } { 2 } - \alpha \leq 0 } } \\ { { \displaystyle { \frac { B _ { n } } { A _ { n } } } \sim r _ { 0 } ^ { 2 \left( n + 1 - k - \alpha \right) } \qquad n - k + \frac { 1 } { 2 } - \alpha > 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \epsilon ( t ) } & { { } = \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } \chi ( t , t ^ { \prime } ) \int _ { 0 } ^ { t ^ { \prime } } d t ^ { \prime \prime } G ( t ^ { \prime } , t ^ { \prime \prime } ) \epsilon ( t ^ { \prime \prime } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { | \lambda | \leq 1 } \left\vert \delta _ { \lambda } \varphi ( z ^ { \prime } ) - \delta _ { \lambda } \varphi \left( z \right) \right\vert F _ { \mu } ( d \lambda ) } \\ & { = \int _ { | \lambda | \leq 1 } \left\vert \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \langle ( D ^ { 2 } \varphi ( z ^ { \prime } + \tau \theta \lambda ) - D ^ { 2 } \varphi ( z + \tau \theta \lambda ) ) \lambda , \lambda \rangle \theta d \tau d \theta \right\vert F _ { \mu } ( d \lambda ) } \\ & { \leq | D ^ { 3 } \varphi | _ { 0 } \int _ { | \lambda | \leq 1 } | \lambda | ^ { 2 } F _ { \mu } ( d \lambda ) | z ^ { \prime } - z | , } \end{array}
n _ { t } ^ { \pm } = \pi _ { 0 } ( 1 - n ^ { \pm } ) - \epsilon _ { 0 } n ^ { \pm } \exp \left[ \frac { f _ { 0 } } { f _ { c } } \left( 1 \pm \frac { \Delta _ { t } } { v _ { 0 } } \right) \right] .
\begin{array} { r l r } { \mathrm { ~ } } & { { } } & { { \bf B } _ { q } = \left\{ \frac { 1 } { 4 } ( 3 \cos ( 2 \theta ) + 1 ) , \sin ( \theta ) \cos ( \theta ) , 0 \right\} B _ { p } \frac { R ^ { 4 } } { r ^ { 4 } } \mathrm { ~ } } \\ { \mathrm { ~ } } & { { } } & { { \bf B } _ { o } = \left\{ \frac { 1 } { 2 } ( 5 \cos ( \theta ) ^ { 2 } - 3 ) , \frac { 3 } { 4 } \sin ( \theta ) ( 5 \cos ( \theta ) ^ { 2 } - 1 ) , 0 \right\} B _ { p } \frac { R ^ { 5 } } { r ^ { 5 } } \mathrm { ~ } } \\ { \mathrm { ~ } } & { { } } & { { \bf B } _ { t o t } = { \bf B } _ { d } + \mu _ { q , o } { \bf B } _ { q , o } } \end{array}
G ( \omega , p ) \simeq \frac { 1 } { \mu ^ { 2 } \left[ \frac { p } { \mu } \right] ^ { 2 - \eta } } ~ \frac { 1 } { ( \varpi - \varpi ^ { * } ) \Phi _ { R } ^ { \prime } ( \varpi ^ { * } ) + i \Phi _ { I } ( \varpi ^ { * } ) }
w _ { k } = \prod _ { j \neq k } \left[ { \frac { 1 } { ( x _ { k } - x _ { j } ) ^ { 2 } + 4 \sigma ^ { 2 } } } \right] \left[ 1 - { \frac { 2 \sigma } { ( x _ { k } - x _ { j } ) } } i \right] .
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \{ \| X ^ { \eta } ( t + 1 ) \| ^ { 2 } | X ( t ) \} } \\ & { = \mathbb { E } \{ X ( t + 1 ) ^ { T } \eta \eta ^ { T } \eta \eta ^ { T } X ( t + 1 ) | X ( t ) \} } \\ & { = \mathbb { E } \{ X ( t ) ^ { T } Q ( t ) ^ { T } \eta \eta ^ { T } Q ( t ) X ( t ) | X ( t ) \} + 2 \mathbb { E } \{ X ( t ) ^ { T } Q ( t ) ^ { T } } \\ & { ~ \eta \eta ^ { T } R ( t ) z ^ { s } | X ( t ) \} + \mathbb { E } \{ ( z ^ { s } ) ^ { T } R ( t ) ^ { T } \eta \eta ^ { T } R ( t ) z ^ { s } | X ( t ) \} } \\ & { = X ( t ) ^ { T } \mathbb { E } \{ Q ( t ) ^ { T } \eta \eta ^ { T } Q ( t ) \} X ( t ) + 2 X ( t ) ^ { T } \mathbb { E } \{ Q ( t ) ^ { T } \eta \eta ^ { T } } \\ & { R ( t ) \} z ^ { s } + ( z ^ { s } ) ^ { T } \mathbb { E } \{ R ( t ) ^ { T } \eta \eta ^ { T } R ( t ) \} z ^ { s } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \tau _ { \mathrm { ~ e ~ d ~ d ~ y ~ } } } { \tau _ { \mathrm { ~ d ~ i ~ p ~ } } } \approx \frac { 1 } { 3 0 } \sigma ( \omega _ { \mathrm { ~ r ~ } } - \omega _ { \mathrm { ~ f ~ } } ) R _ { \mathrm { ~ f ~ } } ^ { 2 } \left( \frac { R _ { \mathrm { ~ f ~ } } } { d } \right) ^ { 3 } \frac { m _ { \mathrm { ~ r ~ } } } { m _ { \mathrm { ~ f ~ } } } \leq 0 . 0 0 4 } \end{array}