harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \underset { p ^ { k } , \beta ^ { k } , \delta ^ { k } } { \mathrm { m i n i m i z e } } } & { \quad \mathrm { m a x } ( p _ { i } ^ { 1 } \hat { x } _ { i } ^ { 1 } ) } \\ { \mathrm { s u c h ~ t h a t } } & { \quad p ^ { k } \geq 0 } \\ & { \quad \alpha p ^ { k + 1 } A ^ { k } - p ^ { k } \leq - C , \quad k = 1 , . . . , K - 1 } \\ & { \quad p ^ { K } ( \alpha A ^ { K } - I ) \le - C } \\ & { \quad 0 < \underline { { \beta } } _ { i j } ^ { k } \leq \beta _ { i j } ^ { k } \leq \overline { { \beta } } _ { i j } ^ { k } , \ 0 < \underline { { \delta } } _ { i } ^ { k } \leq \delta _ { i } ^ { k } \leq \overline { { \delta } } _ { i } ^ { k } < \overline { { \Delta } } } \\ & { \quad \sum _ { i j } f _ { i j } \left( \beta _ { i j } ^ { k } \right) + \sum _ { i } g _ { i } \left( \delta _ { i } ^ { k } \right) \leq \Gamma ^ { k } } \\ & { \quad \sum _ { k = 1 } ^ { K } \left( \sum _ { i j } f _ { i j } \left( \beta _ { i j } ^ { k } \right) + \sum _ { i } g _ { i } \left( \delta _ { i } ^ { k } \right) \right) \leq \Gamma _ { \mathrm { t o t } } . } \end{array}
V _ { \mathrm { r e n } } ( \chi ) = \frac { 1 } { 2 } m _ { R } ^ { 2 } \chi + \frac { 1 } { 4 } \lambda _ { R } \chi ^ { 2 } + V _ { \mathrm { f i n } } ( \chi ) + \frac { 1 } { 6 4 \pi ^ { 2 } } ( m _ { R } ^ { 2 } + 3 \lambda _ { R } \chi ) ^ { 2 } \ln { \frac { \eta ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \Big [ \exp \Big ( \sqrt { l } \, \Delta ( h ) \Big ) \Big ] \leq \exp \Big ( \frac { 3 \epsilon ^ { 2 } } { 2 ( 3 - \epsilon ) } \Big ) + 2 ( L i p ( h ) a ( p , c ) + 1 ) \bar { \alpha } , } \\ & { \mathbb { E } \Big [ \exp \Big ( \sqrt { l } \, \Delta ^ { \prime } ( h ) \Big ) \Big ] \leq \exp \Big ( \frac { 3 \epsilon ^ { 2 } } { 2 ( 3 - \epsilon ) } \Big ) + 2 ( L i p ( h ) a ( p , c ) + 1 ) \bar { \alpha } . } \end{array}
\mathbf { e } _ { \mathrm { i n t } } ( u ^ { \star } , \phi _ { k } , M ) = \frac { T } { M \sqrt { T } } \sum _ { n \in \mathbb { Z } } { \mathcal { F } } _ { n } \left[ \frac { d } { d t } ( \phi _ { k } ( t ) u ^ { \star } ( t ) ) \right] \left( \sum _ { m = 0 } ^ { M - 1 } e ^ { 2 \pi i n m / M } \right) = \frac { 2 \pi i } { \sqrt { T } } \sum _ { n \in \mathbb { Z } } n M { \mathcal { F } } _ { n M } [ \phi _ { k } u ^ { \star } ] ,
\Phi = \left[ \begin{array} { l l l } { \varphi ( \varepsilon _ { 1 } \| \mathbf { x } _ { 1 } - \mathbf { x } _ { 1 } \| _ { 2 } ) } & { \dots } & { \varphi ( \varepsilon _ { N } \| \mathbf { x } _ { 1 } - \mathbf { x } _ { N } \| _ { 2 } ) } \\ { \vdots } & & { \vdots } \\ { \varphi ( \varepsilon _ { 1 } \| \mathbf { x } _ { N } - \mathbf { x } _ { 1 } \| _ { 2 } ) } & { \dots } & { \varphi ( \varepsilon _ { N } \| \mathbf { x } _ { N } - \mathbf { x } _ { N } \| _ { 2 } ) } \end{array} \right] , \quad P = \left[ \begin{array} { l l l } { p _ { 1 } ( \mathbf { x } _ { 1 } ) } & { \dots } & { p _ { K } ( \mathbf { x } _ { 1 } ) } \\ { \vdots } & & { \vdots } \\ { p _ { 1 } ( \mathbf { x } _ { N } ) } & { \dots } & { p _ { K } ( \mathbf { x } _ { N } ) } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l r } { \Psi ^ { - } } & { { } } & { \phantom { } _ { A , E _ { 1 } \ell _ { 1 } m _ { 1 } \sigma _ { 1 } , E _ { 2 } \ell _ { 2 } m _ { 2 } \sigma _ { 2 } } = \sqrt { N ( N - 1 ) } \hat { \mathcal { A } } _ { N } \, \times } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( p _ { A } , p _ { B } ) } & { : = \mathrm { P } ( \mathrm { T e a m ~ A ~ w i n s ~ g a m e ~ t o ~ 1 1 ~ u n d e r ~ s i d e - o u t ~ s c o r i n g } ) , } \\ { P ^ { * } ( p _ { A } , p _ { B } ) } & { : = \mathrm { P } ( \mathrm { T e a m ~ A ~ w i n s ~ g a m e ~ t o ~ 2 1 ~ u n d e r ~ m o d i f i e d ~ r a l l y ~ s c o r i n g } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - } & { \log L ( N \mathbf { p } \| N \mathbf { q } ) } \\ & { = \sum _ { i } \left[ N q _ { i } - N p _ { i } \log ( N q _ { i } ) + \log ( N p _ { i } ) ! \right] } \\ & { \approx \sum _ { i } \left[ N q _ { i } - N p _ { i } \log ( N q _ { i } ) + N p _ { i } \log ( N p _ { i } ) - N p _ { i } \right] } \\ & { = N \sum _ { i } p _ { i } \log \left( \frac { p _ { i } } { q _ { i } } \right) } \\ & { = N D _ { \mathrm { K L } } ( \mathbf { p } \| \mathbf { q } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { ( A x _ { \mathbb { Z } [ \alpha ] } ) ^ { - } } \int \chi _ { \mathcal { K } _ { \varepsilon } } d ( T _ { B _ { i } } ^ { \mathrm { M } } ( x ^ { \prime } ) ) d \mu _ { \mathbb { Z } [ \alpha ] } ( x ^ { \prime } ) = \int _ { ( A x _ { \mathbb { Z } [ \alpha ] } ) ^ { - } } \int \chi _ { \mathcal { K } _ { \varepsilon } } d T _ { a _ { q } } ^ { \mathrm { M } } ( T _ { a _ { p } } ^ { \mathrm { M } } ( x ^ { \prime } ) ) d \mu _ { \mathbb { Z } [ \alpha ] } ( x ^ { \prime } ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } \boldsymbol { u } _ { \boldsymbol { v } } } & { { } = \mathcal { L } \boldsymbol { u } _ { \boldsymbol { v } } - \rho \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } \boldsymbol { u } _ { \boldsymbol { e } } ( \boldsymbol { r } , t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle v ^ { c } \left( \mathbf { x } \right) \left( v ^ { c } \left( \mathbf { x } ^ { \prime } \right) \right) ^ { * } \right\rangle } & { { } = \delta \left( \mathbf { x } - \mathbf { x } ^ { \prime } \right) } \\ { \left\langle v ^ { c } \left( \mathbf { x } \right) v ^ { c } \left( \mathbf { x } ^ { \prime } \right) \right\rangle } & { { } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { c } \in D _ { A } ( \overline { a } , \overline { b } ) } & { \Leftrightarrow \forall \, \alpha \in \mathrm { S p e r } ( A ) [ \overline { c } ( \alpha ) = 0 \vee \overline { a } ( \alpha ) \overline { c } ( \alpha ) = 1 \vee \overline { b } ( \alpha ) \overline { c } ( \alpha ) = 1 ] . } \\ { \overline { c } \in D _ { A } ^ { t } ( \overline { a } , \overline { b } ) } & { \Leftrightarrow \forall \, \alpha \in \mathrm { S p e r } ( A ) [ ( \overline { c } ( \alpha ) = 0 \wedge \overline { a } ( \alpha ) = \overline { { - b } } ( \alpha ) ) \vee \overline { a } ( \alpha ) \overline { c } ( \alpha ) = 1 \vee \overline { b } ( \alpha ) \overline { c } ( \alpha ) = 1 ] } \end{array}
\frac { d P _ { A } } { d E _ { 1 } d E _ { 2 } } = \sum _ { M _ { A } \Sigma _ { A } } \sum _ { \{ l _ { i } m _ { i } \sigma _ { i } \} } \left| \mathcal { A } _ { A , E _ { 2 } { l } _ { 2 } m _ { 2 } \sigma _ { 2 } , E _ { 1 } { l } _ { 1 } m _ { 1 } \sigma _ { 1 } \gets g } ^ { ( 2 ) } \right| ^ { 2 } .
\mu _ { k } ^ { \mathrm { ( i n ) } } ( \eta ) = C ^ { ( \mathrm { i n ) } } \left( 1 + \mathrm { e } ^ { - x } \right) ^ { d + { \frac { 1 } { 2 } } } { } _ { 2 } F _ { 1 } \left( b + d + { \frac { 1 } { 2 } } , - b + d + { \frac { 1 } { 2 } } ; 2 d + 1 ; 1 + \mathrm { e } ^ { - x } \right)
\begin{array} { r l } { \psi _ { 1 } } & { { } = \widetilde { x } _ { 1 } - \widetilde { x } _ { 2 } } \\ { \psi _ { 2 } } & { { } = \widehat { x } _ { 2 } - \widehat { x } _ { 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 3 } { 4 } \| \nabla u \| _ { 2 } ^ { 2 } + \int _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } ( 2 \alpha + \kappa ) u _ { \tau } ^ { 2 } \geq \frac { 1 } { 4 } \operatorname* { m i n } \lbrace 1 , \underline { { \alpha } } \rbrace \| u \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| p - \mathfrak { p } \| _ { s } } & { \lesssim \| \mathfrak { p } \| _ { L ^ { \frac { d } { s } } ( \Omega ) } \| q - q _ { h } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } + \| u - u _ { h } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } } \\ & { \lesssim \| q - q _ { h } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } + h ^ { 2 \gamma } | \log h | ^ { 2 \varphi } \| f \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } { \varepsilon \dot { x } } & { { } = x ( 1 - x ) [ \binom { N - 1 } { M - 1 } x ^ { M - 1 } ( 1 - x ) ^ { N - M } r b - c ] \, , } \\ { \dot { r } } & { { } = U ( x , r ) \, , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { | \widetilde { \chi } _ { m } ^ { \omega } - \widetilde { \chi } _ { m ^ { \prime } } ^ { \omega ^ { \prime } } | } & { \lesssim \frac { | m ^ { \prime \prime } | + | \omega ^ { \prime \prime } | } { \operatorname* { m a x } ( | m ^ { \prime } | , | \omega ^ { \prime } | , 1 ) } \cdot \operatorname* { m a x } ( \operatorname* { s u p } | \widetilde { \chi } | , \operatorname* { s u p } _ { \omega } | \partial _ { \omega } ( \widetilde { \chi } ( \omega , 1 ) ) | ) , } \\ { | \widetilde { \chi } _ { m } ^ { \omega } - \widetilde { \chi } _ { m ^ { \prime } } ^ { \omega ^ { \prime } } | } & { \lesssim \frac { | m ^ { \prime \prime } | + | \omega ^ { \prime \prime } | } { \operatorname* { m a x } ( | m | , | \omega | , 1 ) } \cdot \operatorname* { m a x } ( \operatorname* { s u p } | \widetilde { \chi } | , \operatorname* { s u p } _ { \omega } | \partial _ { \omega } ( \widetilde { \chi } ( \omega , 1 ) ) | ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Dot { \boldsymbol { Z } } ^ { g _ { V } } ( t ) } & { = \frac { \partial \Dot { \boldsymbol { Y } } } { \partial g _ { V } } ( t , p ( t ) ) \Big | _ { p ( t ) = p ^ { * } ( t ) } + \mathcal { J } \big ( t , p ^ { * } ( t ) \big ) \boldsymbol { Z } ^ { g _ { V } } ( t ) , } \\ { \Dot { \boldsymbol { Z } } ^ { g _ { P } } ( t ) } & { = \frac { \partial \Dot { \boldsymbol { Y } } } { \partial g _ { P } } ( t , p ( t ) ) \Big | _ { p ( t ) = p ^ { * } ( t ) } + \mathcal { J } ( t , p ^ { * } ( t ) ) \boldsymbol { Z } ^ { g _ { P } } ( t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \, y _ { \ell } ^ { \mathrm { r k S Z } } ( M , z ) \, \right| ^ { 2 } } & { \simeq \frac { \pi } { 2 } \, \left[ \int _ { 0 } ^ { \theta _ { 2 0 0 } } \eta ( \theta ) \, J _ { 1 } ( \ell \, \theta ) \, \mathrm { d } \theta \right] ^ { 2 } } \\ { \eta ( \theta ) } & { = \frac { 2 \sigma _ { T } } { c } R ( \theta ) \, \int _ { R ( \theta ) } ^ { r _ { 2 0 0 } } \frac { n _ { e } ( r ) \, r \, \omega ( r ) \mathrm { d } r } { \sqrt { r ^ { 2 } - R ( \theta ) ^ { 2 } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { X _ { ( n ) } ( Y _ { ( m ) } Z ) ( h ) - Y _ { ( m ) } ( X _ { ( n ) } Z ) ( h ) } & { = } \\ { \bigg ( z _ { 1 3 } ^ { n } X \big ( z _ { 2 3 } ^ { m } Y Z ) - } & { z _ { 2 3 } ^ { m } Y \big ( z _ { 1 3 } ^ { n } X Z ) - z _ { 3 2 } ^ { m } ( z _ { 3 1 } ^ { n } Z X ) Y + z _ { 3 1 } ^ { n } ( z _ { 3 2 } ^ { m } Z Y ) X \bigg ) ( 1 \otimes 1 \otimes h ) . } \end{array}
S \to \big ( e ^ { \beta k / 2 } \! - \! \sigma e ^ { - \beta k / 2 } \big ) \exp \Bigg ( \! - { \frac { \beta ( n ^ { 2 } - n ^ { 2 } ) m ^ { 2 } } { 2 ( k _ { 0 } - k ) } } \Bigg ) .
\begin{array} { r } { S _ { \mathrm { { U V } } } = \int \mathrm { d } { k } \ \overline { { \gamma } } _ { \alpha , { k } } \frac { \left( i \omega \delta _ { \alpha , \alpha ^ { \prime } } - h _ { \alpha , \alpha ^ { \prime } , \mathbf { k } } \right) } { 2 } \gamma _ { \alpha ^ { \prime } , { k } } + S _ { \phi } + S _ { \mathrm { { I n t } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { a } \cdot \nabla _ { \mathbf { x } } \tau ( \mathbf { x } , \mathbf { y } ) = \mathbf { a } \cdot \mathbf { \xi } } & { { } = ( \mathbf { a } \cdot \widehat { \mathbf { \xi } } ) \widehat { \mathbf { \xi } } \cdot \mathbf { \xi } + 0 } \end{array}
S _ { \mathrm { p h y s } } ( t _ { 2 } , t _ { 1 } ) = e ^ { - i \hat { H } _ { 0 } \, ( t _ { 2 } - t _ { 1 } ) } { \cal E } = { \cal E } \, e ^ { - i \hat { H } _ { 0 } ( t _ { 2 } - t _ { 1 } ) } \, { \cal E } \ \ \ ,
\begin{array} { r l } & { \frac { - 1 } { 2 \pi i } \int _ { \partial \mathcal { D } } \hat { w } ( x , t , k ) d k = \sum _ { j = 0 } ^ { 2 } \frac { - 1 } { 2 \pi i } \int _ { \omega ^ { j } \partial D _ { \epsilon } ( k _ { 1 } ) } \hat { w } ( x , t , k ) d k - \sum _ { j = 0 } ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \omega ^ { j } \partial D _ { \epsilon } ( k _ { 1 } ^ { - 1 } ) } \hat { w } ( x , t , k ) d k } \\ & { = \sum _ { j = 0 } ^ { 2 } \omega ^ { j } \mathcal { A } ^ { - j } F ^ { ( 1 ) } ( \zeta , t ) \mathcal { A } ^ { j } - \sum _ { j = 0 } ^ { 2 } \omega ^ { j } \mathcal { A } ^ { - j } \mathcal { B } F ^ { ( - 1 ) } ( \zeta , t ) \mathcal { B } \mathcal { A } ^ { j } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \mathbb { E } _ { x } [ \mathcal { Y } ( f ) - \pi ( f ) ] \right| } & { \le \left| \frac { 1 } { T _ { 0 } } \int _ { 0 } ^ { T _ { 0 } } \mathbb { E } _ { x _ { 0 } } \left[ f ( \bar { X } _ { \underline { { s } } _ { \gamma _ { 0 } } } ^ { \gamma _ { 0 } , x _ { 0 } } ) \right] - \pi ^ { \gamma _ { 0 } } ( f ) \mathrm { d } s \right| + \sum _ { j = 1 } ^ { J } \frac { 1 } { T _ { j } } \left| \int _ { 0 } ^ { T _ { j } } \mathbb { E } \left[ f ( \bar { X } _ { \underline { { s } } _ { \gamma _ { j - 1 } } } ^ { \gamma _ { j } , x _ { 0 } } ) \right] - \pi ^ { \gamma _ { j } } ( f ) \mathrm { d } s \right| } \\ & { + \sum _ { j = 1 } ^ { J } \frac { 1 } { T _ { j } } \left| \int _ { 0 } ^ { T _ { j } } \mathbb { E } \left[ f ( \bar { X } _ { \underline { { s } } _ { \gamma _ { j - 1 } } } ^ { \gamma _ { j - 1 } , x _ { 0 } } ) \right] - \pi ^ { \gamma _ { j - 1 } } ( f ) \mathrm { d } s \right| + \left| \pi ^ { \gamma _ { J } } ( f ) - \pi ( f ) \right| . } \end{array}
\frac { i e M \delta } { 2 m _ { v } } T r ( H \gamma _ { \mu } \gamma _ { \nu } [ \xi ^ { \dagger } F _ { \mu \nu } ( B _ { L } ) \xi + \xi F _ { \mu \nu } ( B _ { R } ) \xi ^ { \dagger } ] { \bar { H } } ) , \nonumber
{ \dot { a } ( t ) } ^ { 2 } = a ( t ) ^ { 2 } \left( \frac { 8 \pi \, G } { 3 \, c ^ { 2 } } \right) [ \, \rho _ { M } / a ( t ) ^ { 3 } + \rho _ { R } / a ( t ) ^ { 4 } \, ] \, .
\Omega \ = \ \exp i ( x ^ { a } P _ { a } + \theta ^ { \alpha } Q _ { \alpha } + \bar { \theta } _ { \dot { \alpha } } \bar { Q } ^ { \dot { \alpha } } ) \exp i ( \psi ^ { \alpha } S _ { \alpha } + \bar { \psi } _ { \dot { \alpha } } \bar { S } ^ { \dot { \alpha } } ) \ .
f _ { - , { \frac { 1 } { 2 } } } f _ { + , { \frac { 3 } { 2 } } } g _ { 1 s } = { \frac { 0 . 0 3 8 \pm 0 . 0 0 5 \pm 0 . 0 0 6 } { m _ { Q } } } ~ ~ \mathrm { G e V } ^ { 5 } \;
R _ { H e - l i k e } = ( 2 / 3 ) \alpha ( \alpha Z ) ^ { 1 0 } ( m / 9 7 2 ) [ 1 - 4 . 1 0 / Z + 6 . 7 / Z ^ { 2 } + 1 . 0 7 ( \alpha Z ) ^ { 2 } ]
\frac { q ( \mathbf { x } _ { j } , \mathbf { y } _ { j } ) } { p ( \mathbf { x } _ { j } ) q ( \mathbf { x } _ { j } ) } \approx M \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \kappa _ { \sigma } ( \mathbf { x } _ { j } ^ { p } - \mathbf { x } _ { i } ^ { q } ) \kappa _ { \sigma } ( \mathbf { y } _ { j } ^ { p } - \mathbf { y } _ { i } ^ { q } ) } { \sum _ { i = 1 } ^ { M } \kappa _ { \sigma } ( \mathbf { x } _ { j } ^ { p } - \mathbf { x } _ { i } ^ { p } ) \sum _ { i = 1 } ^ { N } \kappa _ { \sigma } ( \mathbf { x } _ { j } ^ { p } - \mathbf { x } _ { i } ^ { q } ) } .
\begin{array} { r l r } & { 0 . 0 0 1 \left( \frac { 1 7 . 3 } { R e _ { s } } + 0 . 3 3 6 \right) \frac { \rho _ { g } | \textbf { U } _ { g } - \textbf { u } | } { d _ { s } } \epsilon _ { s } \epsilon _ { g } ^ { - 1 . 8 } , } & { \epsilon _ { g } \le 0 . 9 4 , } \\ & { \frac { 3 } { 4 } C _ { d } \frac { \rho _ { g } \epsilon _ { s } \epsilon _ { g } | \textbf { U } _ { g } - \textbf { u } | } { d _ { s } } \epsilon _ { g } ^ { - 2 . 6 5 } , } & { 0 . 9 4 < \epsilon _ { g } \le 0 . 9 9 , } \\ & { \frac { 3 } { 4 } C _ { d } \frac { \rho _ { g } \epsilon _ { g } | \textbf { U } _ { g } - \textbf { u } | } { d _ { s } } , } & { 0 . 9 9 < \epsilon _ { g } \le 1 . 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { f ^ { \mathcal { F } } ( L ) = 2 \gamma L ^ { \alpha } - \frac { \alpha D } { L } + \mathcal { O } \left( \frac { D ^ { 2 } } { L ^ { 2 + \alpha } } \right) \qquad \alpha < - 1 \ . } \end{array}
\begin{array} { l } { { K ( R _ { j + 1 } , p _ { j + 1 } \mid R _ { j } , p _ { j } , \xi ) = \Sigma _ { r _ { j } } \Sigma _ { r _ { j + 1 } } J _ { r } ( Q _ { j + 1 } , Q _ { j + 1 } ^ { \prime } \mid Q _ { j } , Q _ { j } ^ { \prime } , \xi ) \exp \frac { 2 i } { \hbar } ( p _ { j } r _ { j } - p _ { j + 1 } r _ { j + 1 } ) . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \epsilon _ { s } ^ { ( 2 ) } } & { { } = } & { \sum _ { l = + , - } \left\{ \frac { F _ { 2 } } { \omega _ { s } \omega _ { l } } + \sigma _ { * 0 } \left[ 1 + \frac { k _ { \parallel 0 } } { k _ { \parallel l } } \frac { ( \omega _ { * e } - \omega ) _ { s } } { \omega _ { 0 } } \right] \right. } \end{array}
I ^ { ( 2 ) } ( T ) = { \frac { M T } { 8 \pi } } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } { \frac { 1 } { \left( M ^ { 2 } + \omega _ { n } ^ { 2 } \right) } } = { \frac { 1 } { 8 \pi } } \operatorname { t a n h } \left( { \frac { M } { 2 T } } \right) ,
\begin{array} { r l } { 0 } & { = \langle \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \psi + G G ^ { \top } \psi + ( G \xi _ { G } ^ { \top } + \xi _ { G } G ^ { \top } ) z , p \rangle } \\ & { = \Big [ p \cdot \psi \Big ] _ { 0 } ^ { T } - \int _ { 0 } ^ { T } \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } p \cdot \psi - G G ^ { \top } p \cdot \psi - p \cdot ( G \xi _ { G } ^ { \top } + \xi _ { G } G ^ { \top } ) z \, d t } \end{array}
Z = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d X \sum _ { N _ { \mu } \in Z } \delta _ { \epsilon _ { \mu \nu } \Delta _ { \mu } N _ { \nu } } \exp \left[ - \frac { R ^ { 2 } } { 4 \pi } ( \Delta _ { \mu } X - 2 \pi N _ { \mu } ) ^ { 2 } \right] ,
S = \int d ^ { 1 0 } x \sqrt { - g _ { 1 0 } } \left\{ e ^ { - \varsigma } \left[ R _ { 1 0 } + \left( \nabla \varsigma \right) ^ { 2 } \right] - \frac { 1 } { 4 } F _ { A B } F ^ { A B } - \frac { 1 } { 4 8 } F _ { A B C D } F ^ { A B C D } - \frac { 1 } { 2 } m ^ { 2 } \right\} ,
\frac { \partial \mathcal { M } } { \partial t } + \left[ \frac { u } { 4 } + \frac { 1 } { 4 \mathrm { ~ P ~ e ~ } } \left( \frac { 1 } { r } + \frac { 1 } { h } \frac { \partial h } { \partial r } \right) \right] \frac { \partial \mathcal { M } } { \partial r } - \frac { 1 } { 4 \mathrm { ~ P ~ e ~ } } \frac { \partial ^ { 2 } \mathcal { M } } { \partial r ^ { 2 } } = 0 \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad 0 < r , t < 1 .
\begin{array} { l c c l } { { } } & { { ( 0 ~ 0 ~ 0 ~ 0 ~ 0 ~ 0 ~ 0 ~ - 1 ) } } \\ { { \mid \mathrm { g n d } > } } & { { ( 0 ~ 0 ~ 0 ~ 0 ~ 0 ~ 0 ~ 0 ~ - 1 ) } } & { { = } } & { { ( { \bf 1 } , ~ { \bf 1 } ) } } \\ { { } } & { { \Downarrow \beta _ { 8 } ^ { - } } } \\ { { \mid \mathrm { 1 s t } > } } & { { ( 0 ~ 0 ~ 0 ~ 0 ~ 0 ~ 0 ~ 1 ~ - 1 ) } } & { { = } } & { { ( { \bf \overline { { 8 } } } , ~ { \bf 1 } ) . } } \end{array}
E _ { x } = \pm e ^ { - ( t - 4 T _ { \mathrm { i n } } ) ^ { 2 } / ( 2 T _ { \mathrm { i n } } ^ { 2 } ) } \sin { \left( \frac { 2 \pi t } { T _ { \mathrm { i n } } } \right) } ~ \textrm { V / m } ,
\begin{array} { r l } { \Delta \nu _ { \mathrm { 1 , A } } ( t ) = } & { \rho _ { 1 } ( t - 2 \tau ) - \rho _ { 1 } ( t ) + \eta _ { 1 2 } | _ { t - 2 \tau } ^ { t - \tau } + \eta _ { 2 1 } | _ { t - \tau } ^ { t } } \\ { \Delta \nu _ { \mathrm { 2 , A } } ( t ) = } & { \rho _ { 2 } ( t - 2 \tau ) - \rho _ { 2 } ( t ) + \eta _ { 1 2 } | _ { t - \tau } ^ { t } + \eta _ { 2 1 } | _ { t - 2 \tau } ^ { t - \tau } \, . } \end{array}
\mathbf { O } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } \overline { { \mathbf { Z } } } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } = \mathbf { B } _ { \mathbf { C } _ { v k } ^ { \mathrm { i n } } } ^ { \perp } \mathbf { Z } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } + \mathbf { B } _ { \mathbf { C } _ { v k } ^ { \mathrm { i n } } } \breve { \mathbf { Z } } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } }
d s ^ { 2 } = \frac { 1 } { 1 6 } ( d \psi - \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \cos { \theta _ { i } } \, d \phi _ { i } ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 8 } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } ( d \theta _ { i } ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } { \theta _ { i } } \, d \phi _ { i } ^ { 2 } ) \ ,
\begin{array} { r l } { R } & { { } = a \cdot { \frac { 1 } { 2 } } \cdot \left( { \sqrt { 5 + 2 \cdot { \sqrt { 5 } } } } + { \sqrt { 3 } } \right) = { \frac { 1 } { 2 } } \cdot { \sqrt { 8 + 2 \cdot { \sqrt { 5 } } + 2 { \sqrt { 1 5 + 6 \cdot { \sqrt { 5 } } } } } } \cdot a } \end{array}
H _ { 0 } : \left( \boldsymbol { \mu } ( \boldsymbol { \theta } ) , \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right) = \left( \boldsymbol { \mu } _ { 0 } , \boldsymbol { \Sigma } _ { 0 } \right) \mathrm { ~ v e r s u s ~ } H _ { 1 } : \left( \boldsymbol { \mu } ( \boldsymbol { \theta } ) , \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right) \neq \left( \boldsymbol { \mu } _ { 0 } , \boldsymbol { \Sigma } _ { 0 } \right)
P _ { s _ { 1 } s _ { 2 } } ( t ) = \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { \mathrm { D V R } } } P _ { s _ { 1 } s _ { 2 } } ( x _ { 1 } ^ { j } , t ) + P _ { s _ { 1 } s _ { 2 } } ( x _ { 1 } ^ { \infty } , t ) .
\left\vert \rho _ { t } ^ { ( ( B _ { 1 } , W _ { 1 } ) , \ldots , ( B _ { k } , W _ { k } ) ) } \right\vert \leq \gamma _ { \infty } ^ { \sum _ { \ell } | B _ { \ell } | + | W _ { \ell } | - ( k - 1 ) } \sum _ { A \in \mathcal { A } ^ { ( ( B _ { 1 } , W _ { 1 } ) , \ldots , ( B _ { k } , W _ { k } ) ) } } \prod _ { ( \mu , \nu ) \in A } \left\vert \gamma _ { \mu \nu } \right\vert .
\theta ^ { + } = \frac 1 { \sqrt 2 } ( \theta ^ { 0 } + \theta ^ { 3 } ) = \Lambda ^ { - 1 } ( d u + h d v ) , \qquad \theta ^ { - } = \frac 1 { \sqrt 2 } ( \theta ^ { 0 } - \theta ^ { 3 } ) = \Lambda d v , \qquad \theta ^ { a } = d x ^ { a } .
\sum _ { k , l \in { \bf Z } } \exp \left[ - \frac { \pi R ^ { 2 } } { \alpha ^ { \prime } \tau _ { 2 } } | ( 2 l + \delta ) + ( 2 k + \epsilon ) \tau | ^ { 2 } \right] = { \cal Z } _ { ( \epsilon , 0 ) } + ( - 1 ) ^ { \delta } { \cal Z } _ { ( \epsilon , 1 ) } ,
\begin{array} { r l r } { \alpha } & { { } \ \mathrm { ~ \ = ~ \ } } & { { \frac { \langle { x \, y \/ } \rangle \ - \ \langle { x } \rangle \langle { y } \rangle } { \langle { x } ^ { 2 } \rangle \ - \ \langle { x } \rangle ^ { 2 } } } } \end{array}
\begin{array} { r } { P = Q ( { a } , \lambda ) : = \int _ { { b } } ^ { { a } } \frac { w _ { 1 } ( \bar { \lambda } _ { 1 } , \lambda ) } { \bar { \lambda } _ { 1 } ^ { 2 } \lambda - 1 } \, d \bar { \lambda } _ { 1 } , } \end{array}
\left( \begin{array} { l l l l } { { - 4 h z u - \mu z w / v } } & { { 2 h z v } } & { { \mu z } } & { { - 2 h u v - \mu w } } \\ { { 2 h z v } } & { { - h z v ^ { 2 } / u } } & { { 0 } } & { { h v ^ { 2 } } } \\ { { \mu z } } & { { 0 } } & { { - \mu z v / w } } & { { \mu v } } \\ { { - 2 h u v - \mu w } } & { { h v ^ { 2 } } } & { { \mu v } } & { { - h u v ^ { 2 } / z - \mu w v / z } } \end{array} \right) .
\Psi \left( x _ { \parallel } , x _ { \perp } \right) \to \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \frac { \phi _ { + , + } \psi _ { m } ^ { ( R ) } ( x _ { \parallel } ) + \phi _ { + , - } \psi _ { m } ^ { ( L ) } ( x _ { \parallel } ) } { \sqrt { 2 \pi m ! } l } \left( \frac { \bar { z } } { \sqrt { 2 } l } \right) ^ { m } \exp \left( - \frac { z \bar { z } } { 4 l ^ { 2 } } \right) ,
\operatorname { B o x } ( x , y ) \triangleq \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { | x | \leq \frac { a } { 2 } \quad \mathrm { a n d } \quad | y | \leq \frac { a } { 2 } } \\ { 0 } & { \mathrm { e l s e } } \end{array} \right. .
d ^ { 6 } \sigma ^ { l + N \rightarrow l ^ { \prime } + h + X } = \frac { 1 } { 4 P \cdot { l } } \left( \frac { 4 \pi \alpha } { Q ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } l _ { \mu \nu } W ^ { \mu \nu } ( 2 \pi ) ^ { 4 } \frac { d ^ { 3 } l ^ { ' } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } 2 E ^ { ' } } \frac { d ^ { 3 } P ^ { h } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } 2 E ^ { h } } .
\begin{array} { r l } { { \boldsymbol { w } } _ { k } - { \boldsymbol { \tilde { w } } } _ { k } = \mathcal { B } _ { k } ^ { - 1 } { \boldsymbol { \varphi } } _ { k } - \tilde { \mathcal { B } } _ { k } ^ { - 1 } { \boldsymbol { \tilde { \varphi } } } _ { k } } & { = \left( \mathcal { B } _ { k } ^ { - 1 } - \tilde { \mathcal { B } } _ { k } ^ { - 1 } \right) { \boldsymbol { \varphi } } _ { k } + \tilde { \mathcal { B } } _ { k } ^ { - 1 } \left( { \boldsymbol { \varphi } } _ { k } - { \boldsymbol { \tilde { \varphi } } } _ { k } \right) } \\ & { = \tilde { \mathcal { B } } _ { k } ^ { - 1 } \left( \tilde { \mathcal { B } } _ { k } - \mathcal { B } _ { k } \right) \mathcal { B } _ { k } ^ { - 1 } { \boldsymbol { \varphi } } _ { k } + \tilde { \mathcal { B } } _ { k } ^ { - 1 } \left( { \boldsymbol { \varphi } } _ { k } - { \boldsymbol { \tilde { \varphi } } } _ { k } \right) \, . } \end{array}