harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
M _ { s e x t e t } ^ { E } = \lambda _ { 1 } \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { s _ { 1 } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { s _ { 2 } } } \\ { { s _ { 1 } } } & { { s _ { 2 } } } & { { 0 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r } { K _ { R } ( z ) = \frac { \overline { { v q } } } { - \beta + { \cal S } ^ { \prime } ( z ) } \qquad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \qquad K _ { G M } ( z ) = \frac { \overline { { v b } } } { U ^ { \prime } ( z ) } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat { C } _ { x y } : } & { = \frac { 1 } { V _ { 0 } m } \sum _ { i = 1 } ^ { V _ { 0 } m } [ x ] _ { i } [ y ] _ { i } } \\ & { = \frac { 1 } { V _ { 0 } m } \sum _ { i = 1 } ^ { V _ { 0 } m } \sqrt { T } [ x ] _ { i } ^ { 2 } + [ x ] _ { i } [ z ] _ { i } } \\ & { \simeq \sqrt { \eta T } \sigma _ { x } ^ { 2 } + \frac { 1 } { V _ { 0 } m } \sum _ { i = 1 } ^ { V _ { 0 } m } [ x ] _ { i } [ z ] _ { i } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \partial _ { t } \omega _ { v } + \frac { 1 } { \rho _ { 0 } } \epsilon _ { \alpha } ^ { \gamma } \nabla _ { \gamma } \nabla _ { \beta } T ^ { \alpha \beta } = \frac { 2 \eta K _ { 0 } } { \rho _ { 0 } } v ^ { \beta } \nabla _ { \beta } \sigma . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| \Phi _ { N } - \Phi \| _ { L ^ { \infty } ( 0 , T ; H ^ { k } ) } \leq C h ^ { \ell - k } \| \Phi \| _ { L ^ { \infty } ( 0 , T ; H ^ { \ell } ) } , \, \, \| \boldsymbol { U } _ { N } - \boldsymbol { U } \| _ { L ^ { \infty } ( 0 , T ; H ^ { k } ) } \le C h ^ { \ell - k } \| \boldsymbol { U } \| _ { L ^ { \infty } ( 0 , T ; H ^ { \ell } ) } , } \\ & { \| P _ { N } - P \| _ { L ^ { \infty } ( 0 , T ; H ^ { k } ) } \le C h ^ { \ell - k } \| P \| _ { L ^ { \infty } ( 0 , T ; H ^ { \ell } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { ( \xi , w , t ) \in \mathbb { R } ^ { n } \times \mathbb { R } ^ { m } \times \mathbb { R } } \ } & { \frac { 1 } { 2 } \| w \| _ { 2 } ^ { 2 } + C \| \xi \| _ { 1 } } \\ & { \zeta _ { i } \left( \langle w , \phi _ { i } \rangle + t \right) \geq 1 - \xi _ { i } , \ i = 1 , \dots , n } \\ & { \xi _ { i } \geq 0 , \ i = 1 , \dots , n . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { n \geq 1 } ( \lambda _ { n } + \nu ) \left< f , \psi _ { n } \right> ^ { 2 } } & { \geq \frac { 1 } { c _ { 2 } } \Vert ( \mathcal { A } _ { 0 } + \nu ) ^ { 1 / 2 } f \Vert _ { L ^ { 2 } ( \mathcal { O } ) } ^ { 2 } } \\ & { \geq \frac { 1 } { c _ { 2 } \mu _ { M } } \Vert ( \mathcal { A } _ { 0 } + \nu ) ^ { 1 / 2 } f \Vert _ { L _ { \mu } ^ { 2 } ( \mathcal { O } ) } ^ { 2 } } \\ & { \geq \frac { \mathcal { C } \tilde { a } _ { m } } { c _ { 2 } \mu _ { M } } \Vert f \Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \mathcal { O } ) } ^ { 2 } . } \end{array}
\langle x ^ { + i } x ^ { - j } \rangle = { \frac { \delta ^ { i j } } { \omega ^ { 2 } + r ^ { 2 } } } + { \frac { 4 ( v ^ { i } v ^ { j } ) + \mathrm { c o n s t } \ \delta ^ { i j } v ^ { 2 } } { ( \omega ^ { 2 } + r ^ { 2 } ) ^ { 3 } } } .
\mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { A } ^ { 2 } \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } ( \mathrm { x _ { B } ^ { 2 } + \mathrm { y _ { B } ^ { 2 } ) + \mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } \mathrm { z _ { B } ^ { 2 } ( \mathrm { y _ { A } ^ { 2 } + \mathrm { x _ { A } ^ { 2 } ) } } } } } } } } } }
\frac { \partial } { \partial x _ { 0 } } \left( x _ { 0 } ^ { 2 } \frac { \partial \xi } { \partial x _ { 0 } } + \left( B _ { z 0 } ^ { 2 } + p _ { 0 } \gamma \right) \left\langle \frac { \partial \xi } { \partial x _ { 0 } } \right\rangle \right) + x _ { 0 } ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \xi } { \partial y ^ { 2 } } = 0 .
\left\{ X _ { t } \right\} , \left\{ Y _ { t } \right\} { \mathrm { ~ u n c o r r e l a t e d } } \quad \iff \quad \operatorname { K } _ { \mathbf { X } \mathbf { Y } } ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) = 0 \quad \forall t _ { 1 } , t _ { 2 }
\begin{array} { r l } { \epsilon _ { \mathrm { ~ x ~ } } ^ { \mathrm { ~ c ~ o ~ f ~ e ~ } } ( r _ { s } , \bar { f } ) = } & { { } - \frac { \bar { f } } { n } \int _ { 0 } ^ { \bar { k } _ { F } } \frac { q } { \pi } \frac { q ^ { 2 } d q } { 2 \pi ^ { 2 } } = \epsilon _ { \mathrm { ~ x ~ } } ( r _ { s } ) \bigg [ \frac { 2 } { \bar { f } } \bigg ] ^ { 1 / 3 } } \\ { ; , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial } { \partial s _ { 2 } } C ( f _ { i _ { 1 } } , g _ { j _ { 1 } } ) ( s _ { 1 } , s _ { 2 } ) } & { = } & { C ( f _ { i _ { 1 } } , g _ { j _ { 1 } } ) \quad \quad \mathrm { i f } \quad f _ { i _ { 2 } } \in \sqcup _ { i = 2 } ^ { k _ { 1 } } { \mathfrak { F } } _ { k } } \\ & { = } & { s _ { 1 } C ( f _ { i _ { 1 } } , g _ { j _ { 1 } } ) \quad \mathrm { i f } \quad f _ { i _ { 2 } } \in { \mathfrak { F } } _ { 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { u _ { \uparrow } } & { { } = } & { \mathcal { D } _ { z } ( \phi ) \mathcal { D } _ { y } ( \theta _ { \mathrm { L } } ) \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = - \infty } ^ { \infty } \sum _ { j = - \infty } ^ { \infty } \Phi _ { v \omega _ { z } } ( k _ { i } , k _ { j } , y ) \Delta k _ { x } \Delta k _ { z } } & { = \langle v \omega _ { z } \rangle ( y ) , \ w h e r e , \ \Delta k _ { x } = \frac { 2 \pi } { L _ { x } } , \Delta k _ { z } = \frac { 2 \pi } { L _ { z } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \vec { k } ^ { \prime } } & { { } = } & { \big ( 0 , 0 , 1 \big ) , \qquad { \vec { b } } ^ { \prime } = b \big ( \cos \phi _ { \xi } , \sin \phi _ { \xi } , 0 \big ) = b \, \vec { m } ^ { \prime } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { i j } ^ { b + b a } = U _ { i j } ^ { b } + U _ { i j } ^ { b a } } & { = \frac { u _ { i } u _ { j } } { \sum _ { k } ^ { n } u _ { k } + x } + \frac { \frac { u _ { i } u _ { j } x ^ { 2 } } { ( \sum _ { k } ^ { n } u _ { k } + x ) ^ { 2 } } } { \sum _ { k } ^ { m } y _ { k } + \frac { \sum _ { k } ^ { n } u _ { k } x } { \sum _ { k } ^ { n } u _ { k } + x } } = \frac { u _ { i } u _ { j } \left( \sum _ { k } ^ { m } y _ { k } + \frac { \sum _ { k } ^ { n } u _ { k } x } { \sum _ { k } ^ { n } u _ { k } + x } \right) + \left( \frac { u _ { i } u _ { j } x ^ { 2 } } { \sum _ { k } ^ { n } u _ { k } + x } \right) } { \left( \sum _ { k } ^ { n } u _ { k } + x \right) \left( \sum _ { k } ^ { m } y _ { k } + \frac { \sum _ { k } ^ { n } u _ { k } x } { \sum _ { k } ^ { m } y _ { k } + x } \right) } } \\ & { = \frac { u _ { i } u _ { j } \left( \sum _ { k } ^ { m } y _ { k } + \frac { \sum _ { k } ^ { n } u _ { k } x } { \sum _ { k } ^ { n } u _ { k } + x } + \frac { x ^ { 2 } } { \sum _ { k } ^ { n } u _ { k } + x } \right) } { \left( \sum _ { k } ^ { n } u _ { k } + x \right) \left( \sum _ { k } ^ { m } y _ { k } + \frac { \sum _ { k } ^ { n } u _ { k } x } { \sum _ { k } ^ { n } u _ { k } + x } \right) } = \frac { \frac { u _ { i } u _ { j } } { \sum _ { k } ^ { n } u _ { k } + x } \left( \sum _ { k } ^ { m } y _ { k } + \frac { \sum _ { k } ^ { n } u _ { k } x } { \sum _ { k } ^ { n } u _ { k } + x } + \frac { x ^ { 2 } } { \sum _ { k } ^ { n } u _ { k } + x } \right) } { \left( \sum _ { k } ^ { m } y _ { k } + \frac { \sum _ { k } ^ { n } u _ { k } x } { \sum _ { k } ^ { n } u _ { k } + x } \right) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi } & { { } = \mathrm { ~ c ~ a ~ t ~ } _ { t = 1 } ^ { L } \tilde { \phi } ( t ) } \\ { \log q _ { \theta } ( \phi ) } & { { } = \sum _ { t = 1 } ^ { L } \log \tilde { q } _ { \theta } ( t ) } \end{array}
( \Theta _ { q } - \frac { 1 } { 4 } \Theta _ { \zeta } ^ { 2 } ) \, E _ { k , 1 } = \frac { 2 k - 1 } { 2 4 } ( E _ { 2 } E _ { k , 1 } - E _ { k + 2 , 1 } ) \, , \quad ( k = 4 , 6 ) \, ,
V _ { d i l } ( \tilde { d } ) = \frac { 1 6 k ^ { 2 } ( \Delta + 4 ) } { \Delta ^ { 2 } } \left( 2 e ^ { - a \sqrt { 4 / 3 } \tilde { d } } - e ^ { - 2 a \sqrt { 4 / 3 } \tilde { d } } - 1 \right) .
\chi = \frac { 2 \, { \cal { N } } _ { 0 } \wp _ { 1 2 } } { E _ { p } \epsilon _ { 0 } } \rho _ { 2 1 _ { D } } = \frac { 2 \, { \cal { N } } _ { 0 } } { \epsilon _ { 0 } \hbar } \frac { ( d \, e \, a _ { 0 } ) ^ { 2 } } { \Omega _ { p } } \rho _ { 2 1 _ { D } } \, \, \, ,
\begin{array} { r l } { a ( { \mathbf v } , { \mathbf w } ) } & { { } = \int _ { \Omega } \frac { \nu } { 2 } \mathcal { D } ( \nabla { \mathbf v } ) : \mathcal { D } ( \nabla { \mathbf w } ) \, d { \mathbf x } , } \\ { b ( { \mathbf v } , q ) } & { { } = - \int _ { \Omega } q ( \nabla \cdot { \mathbf v } ) \, d { \mathbf x } , } \end{array}
\quad \nu \times \nabla \times \mathcal { A } _ { D } ^ { k } [ \Phi ] \big \vert _ { \pm } ( \mathbf { x } ) = \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow 0 ^ { + } } \nu \times \nabla \times \mathcal { A } _ { D } ^ { k } [ \Phi ] ( \mathbf { x } \pm t \nu ) , ~ ~ \forall \mathbf { x } \in \partial D ,
\begin{array} { r l } { \| \nabla p \| _ { 2 } ^ { 2 } } & { { } \leq C \| p \| _ { H ^ { 1 } } \left[ \mathrm { { R a } } + \| \alpha + \kappa \| _ { \infty } \| u \| _ { H ^ { 2 } } + \left( \frac { 1 + \| \kappa \| _ { \infty } } { 1 + \| \kappa \| _ { \infty } } { { P r } } \| u \| _ { W ^ { 1 , r } } + \| \dot { \alpha } + \dot { \kappa } \| _ { \infty } \right) \| u \| _ { H ^ { 1 } } \right] . } \end{array}
F _ { g l u o n s } ( R _ { 1 } , R _ { 2 } ) = 8 T \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } ( 2 l + 1 ) \sum _ { a = T M , T E } \sum _ { n } \ln ( 1 - e ^ { - k _ { l , n } ^ { a } / T } ) ,
\bar { Z } _ { + } ( z _ { 2 } ) Z _ { + } ( z _ { 1 } ) = F _ { + } ( z _ { 1 2 } ) = \left( \begin{array} { c c } { { i x _ { \bar { 2 } 1 } { \cdot \tilde { \sigma } } \, \tau _ { + } } } & { { - 2 \bar { \theta } _ { 2 1 b } \, p _ { + } } } \\ { { - 2 \theta _ { 2 1 } ^ { a } \, \tau _ { + } } } & { { \delta _ { ~ b } ^ { a } \, p _ { + } } } \end{array} \right)
A _ { F B } = \frac { \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { d \sigma } { d \cos { \theta } } d \cos { \theta } - \int _ { - 1 } ^ { 0 } \frac { d \sigma } { d \cos { \theta } } d \cos { \theta } } { \int _ { - 1 } ^ { 1 } \frac { d \sigma } { d \cos { \theta } } d \cos { \theta } }
\left( \frac { h ^ { \prime } } { h } \right) ^ { 2 } = \frac { a _ { 0 } ^ { 2 } } { b _ { 0 } ^ { 2 } \, h ^ { 2 } } + \frac { v _ { 0 } ^ { 2 } } { b _ { 0 } ^ { 2 } \, h ^ { 6 } } - \frac { 2 a _ { 0 } v _ { 0 } } { b _ { 0 } ^ { 2 } \, h ^ { 4 } } \, ,
f ( x ) = \frac { 1 } { 2 \pi p ^ { + } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \alpha \exp [ - i x \alpha ] \langle p | \sum _ { n , m } a _ { n } ^ { \dagger } a _ { m } \bar { \phi } _ { n } ^ { ( + ) } ( y ^ { - } ) \gamma ^ { + } \frac { \lambda _ { 3 } } { 2 } \phi _ { m } ^ { ( + ) } ( 0 ) | p \rangle _ { c } ,
O ( { \varepsilon ^ { 2 } } ) : { \partial _ { t 2 } } { { \bf { m } } ^ { e q } } + ( { \bf { I } } { \partial _ { t 1 } } + { { \bf { D } } _ { 1 } } ) { { \bf { m } } ^ { ( 1 ) } } + \frac { { \Delta t } } { 2 } { ( { \bf { I } } { \partial _ { t 1 } } + { { \bf { D } } _ { 1 } } ) ^ { 2 } } { { \bf { m } } ^ { e q } } = - \frac { { \bf { S } } } { { \Delta t } } { { \bf { m } } ^ { ( 2 ) } } + \frac { { \Delta t } } { 2 } ( { \bf { I } } { \partial _ { t 1 } } + { { \bf { D } } _ { 1 } } ) { { { \bf { \tilde { F } } } } ^ { ( 1 ) } } .
{ \cal V } _ { r a d } = \sum _ { k } \frac { 1 } { 6 4 \pi ^ { 2 } } ( - 1 ) ^ { 2 J _ { k } } \left( 2 J _ { k } + 1 \right) c _ { k } m _ { k } ^ { 4 } \left( \log \left( \frac { m _ { k } ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } \right) - \frac { 3 } { 2 } \right) .
\mathcal I = 1 - \mathcal { F } ( \Upsilon _ { 0 } , \Psi ^ { ( M ) } ) \leq \frac { 1 - \mathcal { F } ( \Upsilon _ { 0 } , \Psi ^ { ( M ) } ) } { \mathcal { F } ( \Upsilon _ { 0 } , \Psi ^ { ( M ) } ) } \leq \varepsilon ^ { 2 } .
A _ { 0 } = ( 4 \pi t ) ^ { d / 2 } K ( t ) \, \sum _ { i } \mathrm { t r } \left( T _ { i } \right) \, e ^ { - m _ { i } ^ { 2 } t } \left( \delta _ { i 1 } \mathrm { t r } P \, + \delta _ { i 2 } + \delta _ { i 3 } + \delta _ { i 1 } \xi ^ { d / 2 } \right)
\begin{array} { r l } & { f _ { Y } \left( \lambda x _ { 1 } + ( 1 - \lambda ) x _ { 2 } \right) } \\ { = } & { f \left( x _ { F } - \frac { 1 } { \lambda x _ { 1 } + ( 1 - \lambda ) x _ { 2 } } \right) \frac { 1 } { \left( \lambda x _ { 1 } + ( 1 - \lambda ) x _ { 2 } \right) ^ { 2 } } } \\ { \leq } & { f \left( x _ { F } - \frac { \lambda } { x _ { 1 } } - \frac { 1 - \lambda } { x _ { 2 } } \right) \left[ \frac { \lambda } { x _ { 1 } ^ { 2 } } + \frac { 1 - \lambda } { x _ { 2 } ^ { 2 } } \right] } \\ { \leq } & { \left[ \lambda f \left( x _ { F } - x _ { 1 } ^ { - 1 } \right) + ( 1 - \lambda ) f \left( x _ { F } - x _ { 2 } ^ { - 1 } \right) \right] \left[ \frac { \lambda } { x _ { 1 } ^ { 2 } } + \frac { 1 - \lambda } { x _ { 2 } ^ { 2 } } \right] } \\ { = } & { \lambda ^ { 2 } f \left( x _ { F } - x _ { 1 } ^ { - 1 } \right) x _ { 1 } ^ { - 2 } + ( 1 - \lambda ) ^ { 2 } f \left( x _ { F } - x _ { 2 } ^ { - 1 } \right) x _ { 2 } ^ { - 2 } + \lambda ( 1 - \lambda ) \left[ f \left( x _ { F } - x _ { 1 } ^ { - 1 } \right) x _ { 2 } ^ { - 2 } + f \left( x _ { F } - x _ { 2 } ^ { - 1 } \right) x _ { 1 } ^ { - 2 } \right] } \\ { \leq } & { \lambda ^ { 2 } f \left( x _ { F } - x _ { 1 } ^ { - 1 } \right) x _ { 1 } ^ { - 2 } + ( 1 - \lambda ) ^ { 2 } f \left( x _ { F } - x _ { 2 } ^ { - 1 } \right) x _ { 2 } ^ { - 2 } + \lambda ( 1 - \lambda ) \left[ f \left( x _ { F } - x _ { 1 } ^ { - 1 } \right) x _ { 1 } ^ { - 2 } + f \left( x _ { F } - x _ { 2 } ^ { - 1 } \right) x _ { 2 } ^ { - 2 } \right] } \\ { = } & { \lambda f _ { Y } ( x _ { 1 } ) + ( 1 - \lambda ) f _ { Y } ( x _ { 2 } ) . } \end{array}
\partial J _ { \boldsymbol { \lambda } } ^ { \prime } ( \beta ^ { 0 } ; u ) = \partial J _ { \boldsymbol { \lambda } } ( \mathfrak { p } _ { 0 } ; u ) = c o n \left\{ S _ { \mathfrak { p } _ { 0 } } \Sigma \Pi _ { \mathfrak { p } _ { 0 } } \boldsymbol { \lambda } : \Sigma \in \mathcal { S } ( \mathfrak { p } _ { 0 } ) \right\} = \partial J _ { \boldsymbol { \lambda } } ( \mathfrak { p } _ { 0 } )
\begin{array} { r l } { | ( u _ { \tau , i } ) _ { j } - ( z _ { i } ) _ { j } | = } & { ~ | 0 - ( z _ { i } ) _ { j } | } \\ { = } & { ~ | ( z _ { i } ) _ { j } | } \\ { \leq } & { ~ \frac { \mu \sqrt { k } } { \sqrt { m } } } \\ { \leq } & { ~ 2 \frac { \mu \sqrt { k } } { \sqrt { m } } - \frac { \mu \sqrt { k } } { \sqrt { m } } } \\ { \leq } & { ~ | ( u _ { i } ) _ { j } | - | ( z _ { i } ) _ { j } | } \\ { \leq } & { ~ | ( u _ { i } ) _ { j } - ( z _ { i } ) _ { j } | , } \end{array}
\left. \begin{array} { l l } { { B \equiv a ^ { \prime } , \ \ } } & { { P \equiv \phi ^ { \prime } . } } \\ { { \tilde { \sigma } \equiv \chi _ { 1 } ^ { - 1 } \sigma , \ \ } } & { { \tilde { \beta } \equiv \chi _ { 1 } ^ { - 1 } \beta , } } \end{array} \right.
\sum _ { x } \tan x = i x - \psi _ { e ^ { 2 i } } \left( x + { \frac { \pi } { 2 } } \right) + C = - \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \left( \psi \left( k \pi - { \frac { \pi } { 2 } } + 1 - x \right) + \psi \left( k \pi - { \frac { \pi } { 2 } } + x \right) - \psi \left( k \pi - { \frac { \pi } { 2 } } + 1 \right) - \psi \left( k \pi - { \frac { \pi } { 2 } } \right) \right) + C
\hat { \mathcal { L } } _ { V I } ( \theta ) \equiv - \frac { N } { M } \sum _ { i \in \mathcal { S } } \int q _ { \theta } ( \boldsymbol { \omega } ) \log p \big ( \boldsymbol { y } _ { i } | \boldsymbol { f } ^ { \boldsymbol { \omega } } ( \boldsymbol { X } _ { i } ) \big ) d \boldsymbol { \omega } + K L \big ( q _ { \theta } ( \boldsymbol { \omega } ) \big | \big | p ( \boldsymbol { \omega } ) \big )
\mathbf { P } ( \mathbf { q } ) = \frac { 1 } { 2 } \left[ \begin{array} { l l l } { - q _ { 1 } } & { - q _ { 2 } } & { - q _ { 3 } } \\ { q _ { 0 } } & { q _ { 3 } } & { - q _ { 2 } } \\ { - q _ { 3 } } & { q _ { 0 } } & { q _ { 1 } } \\ { q _ { 2 } } & { - q _ { 1 } } & { q _ { 0 } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l } { { \bf r } _ { V e } } & { = \big \langle { { \bf w } _ { V } } \, , \partial _ { { t } } { \bf U } \big \rangle _ { \Omega _ { e } ^ { h } } + \big \langle { { \bf w } _ { V } } \, , \nabla \cdot { \bf F } \big \rangle _ { \Omega _ { e } ^ { h } } - \big \langle { { \bf w } _ { V } } \, , \nabla \cdot { \bf Q } \big \rangle _ { \Omega _ { e } ^ { h } } - \big \langle { { \bf w } _ { V } } \, , { \bf S } \big \rangle _ { \Omega _ { e } ^ { h } } = { \bf 0 } } \\ { { \bf r } _ { E e } } & { = \big \langle { { \bf w } _ { E } } \, , { \bf E } \big \rangle _ { \Omega _ { e } ^ { h } } - \big \langle { { \bf w } _ { E } } \, , \nabla \cdot { \bf G } \big \rangle _ { \Omega _ { e } ^ { h } } = { \bf 0 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { P ( \lambda ( t - 2 ) = 1 | v ( t - 1 ) = \bar { v } + i - 1 ) } \\ & { = P ( v ( t - 1 ) = \bar { v } + i - 1 | \lambda ( t - 2 ) = 1 , v ( t - 2 ) = } \\ & { \quad \bar { v } + i - 2 ) \frac { P ( \lambda ( t - 2 ) = 1 ) P ( v ( t - 2 ) = \bar { v } + i - 2 ) } { { h } _ { \bar { v } + i - 1 } } } \\ & { = \frac { p ( 1 - q ) { h } _ { \bar { v } + i - 2 } } { { h } _ { \bar { v } + i - 1 } } } \end{array}
{ \biggl | } \sum _ { { \bar { x } } \in D ( X ) } \chi ( { \bar { x } } ) { \biggr | } \leq c { \Bigl ( } X ^ { 1 - { \frac { 1 } { k } } } p ^ { { \frac { 1 } { 4 k } } + { \frac { 1 } { 4 k ^ { 2 } } } } { \Bigr ) } ^ { \! \! n } ( \ln p ) ^ { \gamma } ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } [ E ^ { * } ( \Omega _ { \delta } ; z _ { 1 } ^ { \delta , + } , \ldots , z _ { n - 1 } ^ { \delta , + } ) ] = } & { 1 + \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } ( - 1 ) ^ { k } \sum _ { \sigma \in S _ { n - 1 } : | \mathrm { S u p p } ( \sigma ) | = k } \mathrm { s g n } ( \sigma ) \mathbb { P } [ \mathcal { A } _ { \sigma } ] . } \end{array}
a _ { \infty } = \int _ { 0 } ^ { \sqrt { 2 } } \frac { q ^ { 2 } } { [ ( 2 - q ^ { 2 } ) ( 2 + q ^ { 2 } ) ] ^ { 1 / 2 } } \mathrm { d } q = 2 E \left( \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \right) - K \left( \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \right) \approx 0 . 8 4 7 ,
\phi _ { b } ^ { ( r ) } ( x ) = \rho _ { b A } ^ { ( r ) } ( \Sigma ^ { \prime } ( x ) ) \zeta ^ { A } = \rho _ { b c } ^ { ( s ) } ( h ( x ) ) \rho _ { c A } ^ { r } ( \Sigma ( x ) ) \zeta ^ { A } = \rho _ { b c } ^ { ( s ) } ( h ( x ) ) \phi _ { c } ^ { ( r ) } ( x ) .
P _ { \alpha \beta } ^ { L } = \frac { ( p \cdot Q ) ^ { 2 } } { ( p \cdot Q ) ^ { 2 } - M ^ { 2 } s } ( \frac { p _ { \alpha } } { M } - \frac { M } { p \cdot Q } Q _ { \alpha } ) ( \frac { p _ { \beta } } { M } - \frac { M } { p \cdot Q } Q _ { \beta } ) ,
\begin{array} { r l } { X _ { i ^ { \prime } j ^ { \prime } , i ^ { \prime } k ^ { \prime } } } & { \leq X _ { i ^ { \prime } j ^ { \prime } , i ^ { \prime } j ^ { \prime } } } \\ { X _ { i ^ { \prime } j ^ { \prime } , j ^ { \prime } k ^ { \prime } } } & { \leq X _ { i ^ { \prime } j ^ { \prime } , i ^ { \prime } j ^ { \prime } } } \\ { X _ { i ^ { \prime } k ^ { \prime } , i ^ { \prime } j ^ { \prime } } } & { \leq X _ { i ^ { \prime } k ^ { \prime } , i ^ { \prime } k ^ { \prime } } } \\ { X _ { i ^ { \prime } k ^ { \prime } , j ^ { \prime } k ^ { \prime } } } & { \leq X _ { i ^ { \prime } k ^ { \prime } , i ^ { \prime } k ^ { \prime } } } \\ { X _ { j ^ { \prime } k ^ { \prime } , i ^ { \prime } j ^ { \prime } } } & { \leq X _ { j ^ { \prime } k ^ { \prime } , j ^ { \prime } k ^ { \prime } } } \\ { X _ { j ^ { \prime } k ^ { \prime } , i ^ { \prime } k ^ { \prime } } } & { \leq X _ { j ^ { \prime } k ^ { \prime } , j ^ { \prime } k ^ { \prime } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d \sigma ( e ^ { + } e ^ { - } \rightarrow h + X ) } { d z } } & { { } = } & { \sum _ { a = q , \bar { q } , g } \int \frac { d \xi } { \xi } H _ { a } ( \frac { z } { \xi } , Q ^ { 2 } , \mu ^ { 2 } ) D _ { a \rightarrow h } ( \xi , \mu ^ { 2 } ) } \end{array}
\mathrm { F i t t } _ { R _ { \Psi } } ( S e l _ { \Sigma \cup J _ { v } } ^ { \Sigma ^ { \prime } \setminus J _ { v } } ( H _ { n } ^ { I _ { v } } ) _ { R _ { \Psi } } ) = ( \Theta _ { \Sigma \cup J _ { v } } ^ { \Sigma ^ { \prime } \setminus J _ { v } } ( H _ { n } ^ { I _ { v } } / F ) \cdot u _ { 2 } ^ { \prime } ) _ { R _ { \Psi } } , \qquad \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } n \gg 0 ,
C _ { \pm } ( J , M ) \langle j _ { 1 } \, m _ { 1 } \, j _ { 2 } \, m _ { 2 } | J \, ( M \pm 1 ) \rangle = C _ { \pm } ( j _ { 1 } , m _ { 1 } \mp 1 ) \langle j _ { 1 } \, ( m _ { 1 } \mp 1 ) \, j _ { 2 } \, m _ { 2 } | J \, M \rangle + C _ { \pm } ( j _ { 2 } , m _ { 2 } \mp 1 ) \langle j _ { 1 } \, m _ { 1 } \, j _ { 2 } \, ( m _ { 2 } \mp 1 ) | J \, M \rangle
B ^ { \prime \prime } + { \frac { D _ { 2 } } { 2 } } { B ^ { \prime } } ^ { 2 } + { \frac { D _ { 1 } } { 2 } } A ^ { \prime } B ^ { \prime } = { \frac { 4 \kappa ^ { 2 } } { D - 2 } } \left( - \Lambda - { \frac { 2 D - D _ { 1 } - 4 } { D _ { 2 } } } { \frac { F ^ { 2 } } { 4 g ^ { 2 } } } \mathrm { e } ^ { - 2 B } \right) + k \mathrm { e } ^ { - B } ~ ,
I _ { \mathrm { p } } ( u , \psi _ { u } ) \geq - \epsilon _ { s } \| \psi _ { u } \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } - \left( \| B ( \psi _ { u } ) \| _ { \infty } + \| \rho \| _ { \infty } \| \psi _ { u } \| _ { \infty } \right) \mathrm { V o l } ( \Omega ) \geq C
\begin{array} { r l } & { I _ { 1 } = \frac { 2 \alpha } { 3 \pi } \sum _ { n } r _ { i } | n \rangle \langle n | r _ { i } ( E _ { n } - E _ { a } ) ^ { 3 } } \\ & { \times \left( \frac { 1 } { 2 \varepsilon } - \log [ 2 | E _ { n } - E _ { a } | ] + \frac { 5 } { 6 } - \frac { \gamma _ { \mathrm { E } } } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \log 4 \pi \right) . } \end{array}
{ \langle \mathbf { r _ { e e } } ( t ) \cdot \mathbf { r _ { e e } } ( 0 ) \rangle } / { \langle \mathbf { r _ { e e } } ( 0 ) \cdot \mathbf { r _ { e e } } ( 0 ) \rangle } \propto \exp \left( - t / \lambda \right)
\begin{array} { r } { \left[ h ^ { \mathrm { H F } , ( 2 ) } ( t ) , \mathcal { G } ( t ) \right] _ { i j k l } = \sum _ { m } \left[ h _ { i m } ^ { \mathrm { H F } } ( t ) \, \mathcal { G } _ { m j k l } ( t ) + h _ { j m } ^ { \mathrm { H F } } ( t ) \, \mathcal { G } _ { i m k l } ( t ) - \mathcal { G } _ { i j m l } ( t ) \, h _ { m k } ^ { \mathrm { H F } } ( t ) - \mathcal { G } _ { i j k m } ( t ) \, h _ { m l } ^ { \mathrm { H F } } ( t ) \right] , } \end{array}
\sum _ { i } ^ { n } \! \left< \gamma _ { + + } \! ( \xi _ { 1 } ) \! \dots \! \delta _ { \! f } \! \gamma _ { + + } \! ( \xi _ { i } ) \! \dots \! \gamma _ { + + } \! ( \xi _ { n } ) \right> \! + \! \frac { d \! \! - \! \! 2 8 \! \! + \! \! \lambda ^ { W } } { i 4 8 \pi } \! \! \int \! \! d \xi ^ { 2 } \! \, \delta \! f \! ( \! \xi \! ) \left< \partial _ { - } ^ { 3 } \gamma _ { + + } \! ( \xi ) \gamma _ { + + } \! ( \xi _ { 1 } ) \! \dots \! \gamma _ { + + } \! ( \xi _ { n } ) \right> \! \! = \! \! 0 .
{ \cfrac { \partial W } { \partial { \boldsymbol { C } } } } = { \cfrac { \partial W } { \partial I _ { 1 } } } ~ { \cfrac { \partial I _ { 1 } } { \partial { \boldsymbol { C } } } } + { \cfrac { \partial W } { \partial I _ { 2 } } } ~ { \cfrac { \partial I _ { 2 } } { \partial { \boldsymbol { C } } } } + { \cfrac { \partial W } { \partial I _ { 3 } } } ~ { \cfrac { \partial I _ { 3 } } { \partial { \boldsymbol { C } } } } ~ .
\partial ^ { a } = \left( { \frac { \partial _ { t } } { c } } , - { \vec { \nabla } } \right) = \left( { \frac { 1 } { c } } { \frac { \partial } { \partial t } } , - { \frac { \partial } { \partial x } } , - { \frac { \partial } { \partial y } } , - { \frac { \partial } { \partial z } } \right)
\begin{array} { r l } { \| x _ { k , j } - \widetilde { x } _ { k + 1 } \| } & { = \| V _ { k } z ( \alpha _ { k , j } ) - V _ { k } z ( \widetilde { \alpha } ) \| } \\ & { = \| z ( \alpha _ { k , j } ) - z ( \widetilde { \alpha } ) \| } \\ & { = \frac { \sqrt { c _ { 1 , k } } } { \sqrt { c _ { 1 , k } - c _ { 2 , k } } } | \alpha _ { k , j } - \widetilde { \alpha } | } \\ & { \leq | \alpha _ { k , j } - \widetilde { \alpha } | } \\ & { \leq \sqrt { 2 } \frac { \| A - \mu _ { * } C - \lambda _ { * } I \| } { | a _ { 1 2 , k } | } \| \Delta x \| . } \end{array}
( \mathsf { S } ^ { \prime } ) ^ { - 1 } = \left( \begin{array} { l l l l l } { - 1 / 4 } & { - 5 / 8 } & { 3 / 8 } & { 1 / 8 } & { 1 / 8 } \\ { 0 } & { - 1 / 2 } & { 1 / 2 } & { - 1 / 2 } & { 1 / 2 } \\ { - 1 / 4 } & { - 1 / 8 } & { - 1 / 8 } & { - 3 / 8 } & { 5 / 8 } \end{array} \right) .