harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \frac { n ^ { 2 } } { w _ { i } ^ { 4 } } \sum _ { b _ { 1 } , 1 \leq c _ { 1 } < c _ { 2 } \leq n } \frac { 1 } { w _ { b _ { 1 } } ^ { 2 } w _ { c _ { 1 } } w _ { c _ { 2 } } } \Big ( \mathbb { P } \left( \triangle _ { a , b _ { 1 } , c _ { 1 } } , \triangle _ { a , b _ { 1 } , c _ { 2 } } \right) - \mathbb { P } \left( \triangle _ { a , b _ { 1 } , c _ { 1 } } \right) \mathbb { P } \left( \triangle _ { a , b _ { 1 } , c _ { 2 } } \right) \Big ) } \\ & { \leq \frac { n ^ { 2 } } { 2 w _ { i } ^ { 4 } } \sum _ { b _ { 1 } , c _ { 1 } , c _ { 2 } } \frac { 1 } { w _ { b _ { 1 } } ^ { 2 } w _ { c _ { 1 } } w _ { c _ { 2 } } } \mathbb { P } \left( \triangle _ { a , b _ { 1 } , c _ { 1 } } , \triangle _ { a , b _ { 1 } , c _ { 2 } } \right) } \\ & { = \frac { n ^ { 2 } } { 2 w _ { i } ^ { 4 } } \sum _ { b _ { 1 } , c _ { 1 } , c _ { 2 } } \frac { 1 } { w _ { b _ { 1 } } ^ { 2 } w _ { c _ { 1 } } w _ { c _ { 2 } } } \operatorname* { m i n } \Big ( \frac { w _ { a } w _ { b _ { 1 } } } { \mu n } , 1 \Big ) \Big ( \frac { w _ { a } w _ { c _ { 1 } } } { \mu n } , 1 \Big ) \Big ( \frac { w _ { a } w _ { c _ { 2 } } } { \mu n } , 1 \Big ) \Big ( \frac { w _ { c _ { 1 } } w _ { b _ { 1 } } } { \mu n } , 1 \Big ) \Big ( \frac { w _ { c _ { 2 } } w _ { b _ { 1 } } } { \mu n } , 1 \Big ) } \\ & { \leq \frac { 1 } { 2 w _ { i } n ^ { 3 } \mu ^ { 5 } } \sum _ { b _ { 1 } , c _ { 1 } , c _ { 2 } } w _ { b _ { 1 } } w _ { c _ { 1 } } w _ { c _ { 2 } } } \\ & { \leq \frac { 1 } { 2 w _ { i } \mu ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { r , n \in \mathbb { N } , r \geq n } } & { \frac { 1 } { n } \sum _ { m = 1 } ^ { n } \frac { r ! } { ( r - m ) ! } \exp \left( \frac { r } { l + 1 } - \frac { r - m } { k + 1 } \right) \geq \operatorname* { s u p } _ { r , n \in \mathbb { N } , r \geq n } \frac { \exp \left( r \left( \frac { 1 } { l + 1 } - \frac { 1 } { k + 1 } \right) \right) } { n } \sum _ { m = 1 } ^ { n } ( m - 1 ) ! } \\ { \geq } & { \operatorname* { s u p } _ { r \in \mathbb { N } } \frac { \exp \left( r \left( \frac { 1 } { l + 1 } - \frac { 1 } { k + 1 } \right) \right) r ! } { r ^ { 2 } } \geq \sqrt { 2 \pi } \operatorname* { s u p } _ { r \in \mathbb { N } } \frac { \exp \left( r \left( \frac { 1 } { l + 1 } - \frac { 1 } { k + 1 } + \ln ( r ) - 1 \right) \right) } { r ^ { 3 / 2 } } = \infty , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { i ( J ^ { m } u ^ { k } - J ^ { m } u ^ { j } ) _ { t } ( \overline { { J ^ { m } u ^ { k } - J ^ { m } u ^ { j } } } ) + ( J ^ { m } u ^ { k } - J ^ { m } u ^ { j } ) _ { x x } ( \overline { { J ^ { m } u ^ { k } - J ^ { m } u ^ { j } } } ) } \\ & { \ = [ J ^ { m } ( | u ^ { k } | ^ { 2 p } u ^ { k } ) + \beta J ^ { m } ( | u ^ { k } | ^ { p - 1 } | v ^ { k } | ^ { p + 1 } u ^ { k } ) ] ( \overline { { J ^ { m } u ^ { k } - J ^ { m } u ^ { j } } } ) } \\ & { \ \ \ + [ - J ^ { m } ( | u ^ { j } | ^ { 2 p } u ^ { j } ) - \beta J ^ { m } ( | u ^ { j } | ^ { p - 1 } | v ^ { j } | ^ { p + 1 } u ^ { j } ) ] ( \overline { { J ^ { m } u ^ { k } - J ^ { m } u ^ { j } } } ) . } \end{array}
F _ { e _ { x } + \frac { 1 } { 2 } , e _ { y } , j } \gets \theta F _ { e _ { x } + \frac { 1 } { 2 } , e _ { y } , j } + ( 1 - \theta ) f _ { e _ { x } + \frac { 1 } { 2 } , e _ { y } , j }
\begin{array} { r l } { \kappa _ { 1 } } & { \equiv \mu = \langle { A } \rangle } \\ { \kappa _ { 2 } } & { \equiv \sigma ^ { 2 } = \langle { A ^ { 2 } } \rangle - \langle { A } \rangle ^ { 2 } } \\ { \kappa _ { 3 } } & { = \langle { A ^ { 3 } } \rangle - 3 \langle { A ^ { 2 } } \rangle \langle { A } \rangle + 2 \langle { A } \rangle ^ { 3 } } \\ { \kappa _ { 4 } } & { = \langle { A ^ { 4 } } \rangle - 4 \langle { A ^ { 3 } } \rangle \langle { A } \rangle - 3 \langle { A ^ { 2 } } \rangle ^ { 2 } + 1 2 \langle { A ^ { 2 } } \rangle \langle { A } \rangle ^ { 2 } - 6 \langle { A } \rangle ^ { 4 } . } \end{array}
x _ { k } = \left[ \begin{array} { l l l l l l } { T _ { k } ^ { n _ { s } } } & { T _ { k } ^ { n _ { s } + a } } & { T _ { k } ^ { n _ { s } - a } } & { T _ { k } ^ { n _ { s } + b } } & { T _ { k } ^ { n _ { s } + b } } & { q _ { k } } \end{array} \right] ^ { T }
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } f + v \cdot \nabla _ { x } f - \nabla _ { x } p \cdot \nabla _ { v } f + \mathrm { d i v } _ { v } [ f \varrho ( u - v ) - f \nabla _ { x } p ( \varrho ) ] } & { = 0 , } \\ { \partial _ { t } ( \alpha \varrho ) + \mathrm { d i v } _ { x } ( \alpha \varrho u ) } & { = 0 , } \\ { \partial _ { t } ( \alpha \varrho u ) + \mathrm { d i v } _ { x } ( \alpha \varrho u \otimes u ) + \alpha \nabla _ { x } p - \Delta _ { x } u - \nabla _ { x } \mathrm { d i v } _ { x } \, u } & { = \varrho ( j _ { f } - \rho _ { f } u ) , } \\ { \alpha } & { = 1 - \rho _ { f } . } \end{array}
\phi _ { n } ( \omega ) = P _ { n + 1 } ( \omega ) - \int _ { \omega } ^ { + \infty } d z \frac { ( \omega - z ) ^ { n } } { n ! } \left( \operatorname { t a n h } ( z ) - 1 \right) \, , \quad n = 0 , 1 , 2 , \dots \, , \quad \mathrm { R e } ( \omega ) > 0 ,
\begin{array} { r l } & { \| y _ { 0 } \| _ { H } ^ { 2 } = \frac { 1 } { T } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 0 } + T } \| y ( \omega , t ) \| _ { H } ^ { 2 } \, d t } \\ & { + 2 \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 0 } + T } \frac { t _ { 0 } + T - t } { T } \Bigl ( \nu _ { \operatorname* { m a x } } ( \omega ) \| y ( \omega , t ) \| _ { V } ^ { 2 } + \langle a ( t ) y ( \omega , t ) , y ( \omega , t ) \rangle _ { V ^ { \prime } , V } - \langle f ( t ) , y ( \omega , t ) \rangle _ { V ^ { \prime } , V } \Bigr ) d t } \\ & { \leq c \left( T ^ { - 1 } + \nu _ { \operatorname* { m a x } } ( \omega ) + 1 + \| a \| _ { L ^ { \infty } ( ( 0 , \infty ) \times D ; \mathbb { R } ) } \right) \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 0 } + T } \| y ( \omega , t ) \| _ { V } ^ { 2 } \, d t + \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 0 } + T } \| f ( t ) \| _ { H } ^ { 2 } \, d t , } \end{array}
G _ { a } ( \theta , \lambda ) = \frac { \sin ^ { 2 } [ M \pi ( d _ { P A A } / \lambda ) ( \sin \theta - \sin \theta _ { 0 } ) ] } { M ^ { 2 } \sin ^ { 2 } [ \pi ( d _ { P A A } / \lambda ) ( \sin \theta - \sin \theta _ { 0 } ) ] } .
\begin{array} { r l r } { { \widetilde K } _ { i } } & { { } = } & { \sum _ { x _ { 1 } = \pm 1 } \sum _ { x _ { 2 } = \pm 1 } \sum _ { x _ { 3 } = \pm 1 } \sum _ { x _ { 4 } = \pm 1 } x _ { i } \, { \widetilde f } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } ) = K _ { i } \; , \; i \in \{ 1 , 2 , 3 , 4 \} \; , } \\ { { \widetilde K } _ { i j } } & { { } = } & { \sum _ { x _ { 1 } = \pm 1 } \sum _ { x _ { 2 } = \pm 1 } \sum _ { x _ { 3 } = \pm 1 } \sum _ { x _ { 4 } = \pm 1 } x _ { i } x _ { j } \, { \widetilde f } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } ) = K _ { i j } \; , \; ( i , j ) \in \{ ( 1 , 3 ) , ( 1 , 4 ) , ( 2 , 3 ) , ( 2 , 4 ) , ( 3 , 4 ) \} \; , } \end{array}
\langle 1 _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } , \{ 0 _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } ^ { \prime } \alpha ^ { \prime } } \} | \hat { a } _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } ^ { \prime \prime } \alpha ^ { \prime \prime } } + \hat { a } _ { - \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } ^ { \prime \prime } \alpha ^ { \prime \prime } } ^ { \dagger } | \{ 0 _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } \} \rangle = \delta _ { - \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } ^ { \prime \prime } , \, \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } } \delta _ { \alpha ^ { \prime \prime } \alpha }
\begin{array} { r l } { E _ { \mathrm { d i s p } } ^ { ( 2 ) } } & { { } = - \frac { 8 } { \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } \omega \ \mathrm { ~ T ~ r ~ } \left[ \mathbf { D } ^ { \mathrm { ~ T ~ } } \mathbf { \tilde { C } } ^ { A } ( \omega ) \mathbf { \tilde { C } } ^ { B } ( \omega ) ^ { \mathrm { ~ T ~ } } \, \mathbf { D } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } _ { \bar { t } _ { s } } - \mathcal { G } _ { \bar { t } _ { s - 1 } } } & { \leq - \frac { \eta } { 2 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \mathbb { E } \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) \| ^ { 2 } - \frac { 5 \eta \hat { L } ^ { 2 } } { 2 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } B _ { t } - \frac { \eta } { 8 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } E _ { t } } \\ & { \qquad + C _ { 1 } I \eta ^ { 3 } \left( 6 \hat { L } ^ { 2 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } + 1 } ^ { \bar { t } _ { s } } B _ { t } + 1 8 I \zeta ^ { 2 } + 6 I G _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { 6 I G _ { 2 } ^ { 2 } } { b _ { x } } \right) } \\ & { \qquad + \frac { 2 7 I \hat { L } ^ { 2 } \gamma \eta \sigma ^ { 2 } } { b _ { y } \mu } + \frac { 5 I \eta G _ { 2 } ^ { 2 } } { 8 b _ { x } M } + \frac { I \eta ^ { 2 } \bar { L } G _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 b _ { x } } + I \eta G _ { 1 } ^ { 2 } } \\ & { \leq - \frac { \eta } { 2 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \mathbb { E } \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) \| ^ { 2 } + 1 8 C _ { 1 } I \hat { L } ^ { 2 } \eta ^ { 3 } \zeta ^ { 2 } + 6 C _ { 1 } I \hat { L } ^ { 2 } \eta ^ { 3 } G _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { 6 C _ { 1 } I \hat { L } ^ { 2 } \eta ^ { 3 } G _ { 2 } ^ { 2 } } { b _ { x } } + \frac { 5 I \eta G _ { 2 } ^ { 2 } } { 8 b _ { x } M } } \\ & { \qquad + \frac { 2 7 I \hat { L } ^ { 2 } \gamma \eta \sigma ^ { 2 } } { b _ { y } \mu } + \frac { I \eta ^ { 2 } \bar { L } G _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 b _ { x } M } + I \eta G _ { 1 } ^ { 2 } } \end{array}
\rho _ { \gamma } ( R , Z , \epsilon ) \, = \, \left\{ \begin{array} { l l } { \, \rho } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad \rho \le \epsilon ^ { - \sigma _ { 1 } } \, , } \\ { \, \epsilon ^ { - \sigma _ { 1 } } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad \epsilon ^ { - \sigma _ { 1 } } < \rho < \epsilon ^ { - \sigma _ { 2 } } \, , } \\ { \, \rho ^ { \gamma } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad \rho \ge \epsilon ^ { - \sigma _ { 2 } } \, , } \end{array} \right.
m _ { \pi ^ { + } } ^ { 2 } - m _ { \pi ^ { 0 } } ^ { 2 } = - { \frac { 3 e ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } F _ { \pi } ^ { 2 } } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d s s l n s \left[ \rho _ { V } ( s ) - \rho _ { A } ( s ) \right]
\alpha _ { 6 } \simeq \frac { \kappa ^ { 3 } \rho ^ { 6 } \mu ^ { 6 } } { 6 1 4 4 t ^ { 2 } } \left( \log \frac { \kappa \rho ^ { 2 } \mu ^ { 2 } } { 8 t } + 2 \gamma - \frac { 1 0 } { 3 } \right) .
\phi ^ { ( 0 ) } ( { \boldsymbol { q } } _ { \perp } , \omega ) \equiv \phi ( { \boldsymbol { q } } _ { \perp } , z = 0 , \omega ) = \sqrt { I } \, \phi _ { T } ( { \boldsymbol { q } } _ { \perp } ) \phi _ { F } ( \omega ) ,
\lambda _ { d } ^ { ( 0 ) } ( T = 0 . 6 T _ { c } ) \sim 0 . 1 \mathrm { p c } \, \left( \frac { | \delta m ^ { 2 } | } { | \delta m ^ { 2 } | } { e V ^ { 2 } } \right) ^ { - \frac { 5 } { 1 2 } }
\delta ( x - x _ { s } ) \delta ( y - y _ { s } ) = \frac { \exp { ( - ( d / \sigma _ { c } ) ^ { 2 } ) } } { \pi \sigma _ { c } ^ { 2 } ( 1 - \exp { ( - ( R / \sigma _ { c } ) ^ { 2 } ) } ) } \textbf { 1 } _ { d \leq R } ,
J _ { n > 0 } V _ { \alpha , { \bar { \alpha } } } ( z ) = { \bar { J } } _ { n > 0 } V _ { \alpha , { \bar { \alpha } } } ( z ) = 0 \quad , \quad J _ { 0 } V _ { \alpha , { \bar { \alpha } } } ( z ) = \alpha V _ { \alpha , { \bar { \alpha } } } ( z ) \quad , \quad { \bar { J } } _ { 0 } V _ { \alpha , { \bar { \alpha } } } ( z ) = { \bar { \alpha } } V _ { \alpha , { \bar { \alpha } } } ( z )
V _ { K M } = \tilde { O } _ { u } \left( \begin{array} { c c c } { { 1 } } & { { } } & { { \nonumber } } \\ { { } } & { { e ^ { i \sigma } } } & { { \nonumber } } \\ { { } } & { { } } & { { e ^ { i \tau } } } \end{array} \right) U _ { d } ^ { * }
\begin{array} { r l } & { ( \mathcal { T } _ { \mathcal { U } _ { p } ^ { \texttt { s } } } ^ { * } v ) ( s ) = \operatorname* { m a x } _ { \pi } ( \mathcal { T } _ { \mathcal { U } _ { p } ^ { \texttt { s } } } ^ { \pi } v ) ( s ) , \qquad \mathrm { ( f r o m ~ d e f i n i t i o n ) } } \\ & { \mathrm { ( ~ U s i n g ~ p o l i c y ~ e v a l u a t i o n ~ T h e o r e m ~ ) } } \\ & { = \operatorname* { m a x } _ { \pi } \Bigm [ ( \mathcal { T } _ { ( P _ { 0 } , R _ { 0 } ) } ^ { \pi } v ) ( s ) - \bigm [ \alpha _ { s } + \gamma \beta _ { s } \kappa _ { q } ( v ) \bigm ] \lVert \pi _ { s } \rVert _ { q } \Bigm ] } \\ & { = \operatorname* { m a x } _ { \pi _ { s } \in \Delta _ { \mathcal { A } } } \langle \pi _ { s } , Q _ { s } \rangle - \sigma \lVert \pi _ { s } \rVert _ { q } \quad \mathrm { ( ~ w h e r e ~ Q _ s ~ = ~ Q ( \cdot | s ) ~ ) . } } \end{array}
\begin{array} { r } { { \bf H } = \sum _ { i , \gamma } \varepsilon _ { i \gamma } \mathsf { a } _ { i \gamma } ^ { \dagger } \mathsf { a } _ { i \gamma } + \sum _ { \gamma } \sum _ { \langle i , j \rangle } t _ { 1 ( i \gamma , j \gamma ) } \mathsf { a } _ { i \gamma } ^ { \dagger } \mathsf { a } _ { j \gamma } + \sum _ { \gamma } \sum _ { \langle \langle i , j \rangle \rangle } t _ { 2 ( i \gamma , j \gamma ) } \mathsf { a } _ { i \gamma } ^ { \dagger } \mathsf { a } _ { j \gamma } + \mathrm { ~ h ~ . ~ c ~ . ~ } \, . } \end{array}
U \mathbin { \lrcorner } F = U \mathbin { \lrcorner } ( e ^ { 0 } \wedge x ) + U \mathbin { \lrcorner } y = - e ^ { 0 } \wedge ( U \mathbin { \lrcorner } x ) + ( U \mathbin { \lrcorner } e ^ { 0 } ) \wedge x + U \mathbin { \lrcorner } y
u _ { 0 , { \mathrm { M S - } } k } ^ { ( 1 , 1 ) } ( z ) = \frac { \sum _ { p = 0 } ^ { [ \frac { k - 1 } { 2 } ] } t _ { k - 2 p } ( k ) \, \left( k - 2 p \right) \, u _ { 0 } ^ { k - 2 p - 1 } ( z ) \, u _ { 0 , { \mathrm { M C - } } ( k - 2 p ) } ^ { ( 1 , 1 ) } ( z ) } { \sum _ { p = 0 } ^ { [ \frac { k - 1 } { 2 } ] } t _ { k - 2 p } ( k ) \, \left( k - 2 p \right) \, u _ { 0 } ^ { k - 2 p - 1 } ( z ) } .
\begin{array} { r l } { \approx } & { { } \frac { 1 } { ( 1 - \alpha ) \ln { 2 } } \left( - \frac { d - c _ { 1 } } { a } \alpha \mu ^ { 2 } + \frac { 1 } { a } \sum _ { i \neq 1 } c _ { i } ^ { \alpha } \mu ^ { 2 \alpha } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { Q _ { \theta } ^ { * } = \left\{ \begin{array} { l l } { \left( \begin{array} { l l l } { e ^ { \alpha } } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { e ^ { \alpha } } & { e ^ { \alpha } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \frac { 1 } { e ^ { \alpha } + 1 } , } & { \mathrm { i f ~ } 0 < \theta \le \frac { 1 } { 2 } - c _ { \alpha } , } \\ { \left( \begin{array} { l l l } { e ^ { \alpha } } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { e ^ { \alpha } } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { e ^ { \alpha } } \end{array} \right) \frac { 1 } { e ^ { \alpha } + 2 } , } & { \mathrm { i f ~ } \frac { 1 } { 2 } - c _ { \alpha } < \theta < \frac { 1 } { 2 } + c _ { \alpha } , } \\ { \left( \begin{array} { l l l } { e ^ { \alpha } } & { e ^ { \alpha } } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { e ^ { \alpha } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \frac { 1 } { e ^ { \alpha } + 1 } , } & { \mathrm { i f ~ } \frac { 1 } { 2 } + c _ { \alpha } \le \theta < 1 , } \end{array} \right. } \end{array}
\mathcal { L } ( \mathcal { F } ( \mathbf { x } ) , \mathbf { y } _ { t a r g e t } ) = \sum _ { j } ^ { m } ( { \mathbf { y } _ { t a r g e t } } _ { j } - \mathcal { F } ( \mathbf { x } ) _ { j } ) ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { E _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } = } & { { } \int n ( \boldsymbol { r } ) \epsilon _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } ( \{ n _ { \sigma } ( \boldsymbol { r } ) \} , \{ \gamma _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } ( \boldsymbol { r } ) \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { m } \frac { 1 } { \left( s - i q _ { i } \right) ^ { k _ { i } } } = } & { ( - k _ { i } ) _ { ( m ) } \frac { 1 } { \left( s - i q _ { i } \right) ^ { k _ { i } + m } } } \\ { = } & { m ! \left( \begin{array} { l } { - k _ { i } } \\ { m } \end{array} \right) \frac { 1 } { \left( s - i q _ { i } \right) ^ { k _ { i } + m } } } \\ { = } & { m ! ( - 1 ) ^ { m } \left( \begin{array} { l } { k _ { i } + m - 1 } \\ { m } \end{array} \right) \frac { 1 } { \left( s - i q _ { i } \right) ^ { k _ { i } + m } } , } \end{array}
\{ \hat { S } ^ { \mu \nu } , \hat { S } ^ { \lambda \rho } \} ^ { \prime } = \Delta ^ { \mu \lambda } \hat { S } ^ { \nu \rho } - \Delta ^ { \nu \lambda } \hat { S } ^ { \mu \rho } + \Delta ^ { \nu \rho } \hat { S } ^ { \mu \lambda } - \Delta ^ { \mu \rho } \hat { S } ^ { \nu \lambda }
B _ { N } ( R _ { 1 } , R _ { m } ; \phi _ { 1 } , \phi _ { m } ) = \sum _ { l = - \infty } ^ { + \infty } J _ { N - m l } ( R _ { 1 } ) J _ { l } ( R _ { m } ) \exp { [ - i l ( m \phi _ { 1 } - \phi _ { m } ) ] } .
\frac { x - x _ { \mathrm { m i n } } } { \lambda } = ~ \sinh ^ { - 1 } \left( \frac { s - s _ { \mathrm { m i n } } } { \lambda } \right) \! + ~ \! \gamma \frac { \lambda } { L } \frac { s - s _ { \operatorname* { m i n } } } { \lambda } ,
\begin{array} { r l r } { z ^ { \prime \prime } ( s ) + k _ { 2 } y ^ { \prime \prime } ( s ) } & { \leq } & { \left\{ x ( s ) ^ { N - 2 } C _ { 1 } + | y ( s ) | C _ { 2 } \right\} \cdot 1 + | y ^ { \prime } ( s ) | C _ { 3 } + C _ { 4 } | x ^ { \prime \prime } ( s ) | + | x ( s ) W _ { 2 } ( s ) | | y ^ { \prime \prime } ( s ) | } \\ & { \leq } & { x ( s ) ^ { N - 2 } C _ { 1 } + B x ( s ) ^ { N } C _ { 2 } + D x ( s ) ^ { N - 1 } C _ { 3 } + C _ { 4 } E z ^ { \prime \prime } ( s ) x ( s ) } \\ & { } & { + | x ( s ) W _ { 2 } ( s ) | z ^ { \prime \prime } ( s ) ( k _ { 2 } + | x ( s ) W _ { 2 } ( x ) | ) } \\ & { \leq } & { x ( s ) ^ { N - 2 } ( C _ { 1 } + B x ( s ) ^ { 2 } C _ { 2 } + D x ( s ) C _ { 3 } ) } \\ & { } & { + z ^ { \prime \prime } ( s ) ( C _ { 4 } E x ( s ) + \beta k _ { 2 } ( 1 + \beta ) k _ { 2 } ) } \\ & { \leq } & { x ( s ) ^ { N - 2 } C _ { 5 } + \beta ( 1 + \beta ) k _ { 2 } ^ { 2 } z ^ { \prime \prime } ( s ) C _ { 6 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { K _ { s c a t } [ n _ { S _ { B } ( \mathbf { Q } , \mathbf { R } ) } ] = \; } & { { } \; \; \; \sum _ { \mathbf { q } } k _ { S _ { B } ( \mathbf { Q } + \mathbf { q } ) S _ { B } ( \mathbf { Q } ) } \cdot n _ { S _ { B } ( \mathbf { Q } + \mathbf { q } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { a } _ { i } ^ { + } | n _ { 1 } , \dots , n _ { i } , \dots \rangle } & { { } = } & { \sqrt { n _ { i } + 1 } | n _ { 1 } , \dots , n _ { i } + 1 , \dots \rangle } \\ { \hat { a } _ { i } | n _ { 1 } , \dots , n _ { i } , \dots \rangle } & { { } = } & { \; \; \; \; \; \sqrt { n _ { i } } \; | n _ { 1 } , \dots , n _ { i } - 1 , \dots \rangle } \end{array}
\mathbb { E } ( \widetilde { T } _ { - , + } ) \; = \; \frac { \mathbb { E } \big ( \widetilde { y } _ { \widetilde { T } _ { - , + } } \big ) } { \mathbb { E } ( \chi ) + \lambda } \; = \; \frac { \widetilde { y } _ { - } ^ { \prime } \big ( 1 - \mathbb { P } \big ( \{ \widetilde { y } _ { \widetilde { T } _ { - , + } } \geq \widetilde { y } _ { + } \} \big ) \big ) \, + \, \widetilde { y } _ { + } ^ { \prime } \mathbb { P } \big ( \{ \widetilde { y } _ { \widetilde { T } _ { - , + } } \geq \widetilde { y } _ { + } \} \big ) } { \mathbb { E } ( \chi ) + \lambda } \, .
\mathcal { C } _ { c o m p } ( \{ H _ { l } \} _ { 1 \leq l \leq N } ) = \widetilde { O } \Big ( C ^ { d } \Big ( \frac { 1 } { ( H _ { 1 } ) ^ { d } } + \frac { ( \eta _ { 1 } ) ^ { \beta ( d - 1 ) } } { ( H _ { 2 } ) ^ { d } } + \frac { ( \eta _ { 2 } ) ^ { \beta ( d - 1 ) } } { ( H _ { 3 } ) ^ { d } } + \dots + \frac { ( \eta _ { N - 1 } ) ^ { \beta ( d - 1 ) } } { h ^ { d } } \Big ) \Big ) \enspace ,
\begin{array} { r l } { \dot { \mathcal { L } } ( \mathbf { \Phi } _ { 1 } ) = } & { { } - \frac { \mu } { x _ { 0 } ^ { * } } ( x _ { 0 } - x _ { 0 } ^ { * } ) ^ { 2 } - \frac { \alpha } { x _ { 0 } ^ { * } n ^ { * } } [ y _ { 0 } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } + y _ { 2 } ) ] ( x _ { 0 } - x _ { 0 } ^ { * } ) ^ { 2 } } \\ { = } & { { } - \frac { \mu } { x _ { 0 } ^ { * } } ( x _ { 0 } - x _ { 0 } ^ { * } ) ^ { 2 } - \frac { \alpha } { x _ { 0 } ^ { * } n ^ { * } } [ y _ { 0 } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } + y _ { 2 } ) ] ( x _ { 0 } - x _ { 0 } ^ { * } ) ^ { 2 } } \\ { \leq } & { { } ~ 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \hat { \Omega } } \nabla \hat { y } _ { h , 1 } \cdot \nabla \eta _ { h } \, d \hat { x } } & { = \int _ { \hat { \Omega } } \hat { y } _ { h , 2 } \eta _ { h } \, d \hat { x } \quad \forall \eta _ { h } \in \mathbb { S } _ { h } ( \hat { \Omega } ) , } \\ { \int _ { \hat { \Omega } } \nabla \hat { y } _ { h , 2 } \cdot \nabla \eta _ { h } \, d \hat { x } } & { = \int _ { \hat { \Omega } } F \eta _ { h } \, d \hat { x } \quad \forall \eta _ { h } \in \mathbb { S } _ { h } ( \hat { \Omega } ) } \end{array}
{ \cal H } _ { \mathrm { F _ { 4 } } } ^ { ( t ) } ( x ) \ = \ - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } \partial _ { x _ { i } } ^ { 2 } + 2 g V _ { 1 } ( x , \beta ) + \frac { g _ { 1 } } { 2 } V _ { 2 } ( x , 2 \beta ) \ ,
\begin{array} { r l } { Z ( \alpha ) } & { = \mathrm { T r } \left\{ e ^ { - \beta \left( H ( \alpha ) - \mu N \right) } \right\} } \\ & { = e ^ { - \beta \omega _ { \mathrm { c } } \alpha ^ { 2 } } \prod _ { k } \left( 1 + e ^ { - \beta \left( E _ { k } ^ { + } ( \alpha ) - \mu \right) } \right) \left( 1 + e ^ { - \beta \left( E _ { k } ^ { - } ( \alpha ) - \mu \right) } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { r _ { x } } } & { { } = e ^ { - \alpha U t } \left( W _ { 1 } P _ { 1 } - W _ { 2 } P _ { 2 } + \alpha ^ { 2 } L _ { 2 } \right) } \\ { f _ { i _ { x } } } & { { } = e ^ { - \alpha U t } \left( W _ { 1 } P _ { 2 } + W _ { 2 } P _ { 1 } - \alpha ^ { 2 } L _ { 1 } \right) } \\ { g _ { r _ { x } } } & { { } = e ^ { - \alpha U t } \left( R _ { 1 } Y _ { 1 } - R _ { 2 } Y _ { 2 } \right) } \\ { g _ { i _ { x } } } & { { } = e ^ { - \alpha U t } \left( R _ { 1 } Y _ { 2 } + R _ { 2 } Y _ { 1 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta _ { 4 } ( \mathbf { r } ) } & { = \frac { m _ { 1 } ^ { 2 } m _ { 2 } m _ { 3 } } { r _ { 1 3 } ^ { 3 } r _ { 1 4 } ^ { 3 } r _ { 2 3 } ^ { 3 } } ( 2 r _ { 1 2 } ^ { - 3 } + \lambda ) ( \lambda r _ { 1 3 } ^ { 3 } + 2 ) A _ { 1 } } \\ { \Delta _ { 5 } ( \mathbf { r } ) } & { = \frac { m _ { 1 } m _ { 2 } } { r _ { 1 3 } ^ { 3 } r _ { 1 4 } ^ { 3 } r _ { 2 3 } ^ { 3 } r _ { 2 4 } ^ { 3 } } ( 2 r _ { 1 2 } ^ { - 3 } + \lambda ) A _ { 1 } A _ { 2 } } \\ { \Delta _ { 6 } ( \mathbf { r } ) } & { = \frac { 1 } { r _ { 1 2 } ^ { 3 } r _ { 1 3 } ^ { 3 } r _ { 1 4 } ^ { 3 } r _ { 2 3 } ^ { 3 } r _ { 2 4 } ^ { 3 } r _ { 3 4 } ^ { 3 } } A _ { 0 } A _ { 1 } A _ { 2 } . } \end{array}
\frac { d } { d \bar { t } } \, \delta n _ { \mathbf { k } } ^ { \sigma } ( \bar { t } ) + \frac { 3 \lambda ^ { 2 } f _ { \pi } ^ { 2 } \bar { T } } { 4 \pi k ^ { 2 } } \, \frac { d } { d \bar { t } } \, \mathcal { F } ( \bar { t } - \bar { t } _ { 0 } ) = 0 ,
{ \left[ \begin{array} { l l l } { l l ( 1 - \cos \theta ) + \cos \theta } & { m l ( 1 - \cos \theta ) - n \sin \theta } & { n l ( 1 - \cos \theta ) + m \sin \theta } \\ { l m ( 1 - \cos \theta ) + n \sin \theta } & { m m ( 1 - \cos \theta ) + \cos \theta } & { n m ( 1 - \cos \theta ) - l \sin \theta } \\ { l n ( 1 - \cos \theta ) - m \sin \theta } & { m n ( 1 - \cos \theta ) + l \sin \theta } & { n n ( 1 - \cos \theta ) + \cos \theta } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r } { \partial _ { t } \varpi _ { i } = - e ^ { - \varpi _ { i } } \left[ \tilde { \mathcal { D } } \left( A _ { d } k ^ { d + 2 } e ^ { - \varpi _ { i } } \right) + 2 k ^ { 2 } \right] \, . } \end{array}
{ \mathcal { M } } _ { i j } = 2 { \overline { { \Delta } } } ^ { 2 } \left( { \overline { { \left| { \hat { S } } \right| { \hat { S } } _ { i j } } } } - \alpha ^ { 2 } \left| { \overline { { \hat { S } } } } \right| { \overline { { \hat { S } } } } _ { i j } \right)
| \mathfrak { I } _ { n } | _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } } } \gamma ^ { - 1 } ( | \Pi _ { n } Z _ { n } | _ { s _ { 0 } + \mathtt { b } _ { 1 } + \mu _ { \mathtt { p } } } + \varepsilon ^ { 7 } \gamma ^ { - 4 } | \mathfrak { I } _ { n } | _ { s _ { 0 } + \mathtt { b } _ { 1 } + \mu _ { \mathtt { p } } } | \Pi _ { n } Z _ { n } | _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } } } )
\begin{array} { r } { \Pi _ { n } ^ { \mathrm { ( r r ) } } ( \alpha ) = \frac { \left[ \eta _ { \mathrm { r r } } ( n ) | \alpha | ^ { 2 } \right] ^ { n } } { n ! } e ^ { - \eta _ { \mathrm { r r } } ( n ) | \alpha | ^ { 2 } } = F _ { n } \big [ \alpha ; \eta _ { \mathrm { r r } } ( n ) \big ] , } \end{array}