harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \frac { d E ( \mathbf { u } ) } { d t } = \sum _ { i , j , k = 0 } ^ { N } \frac { d E } { d u _ { k j i } } \frac { d u _ { k j i } } { d t } = } \\ & { = \sum _ { i , j , k = 0 } ^ { N } [ ( - \sum _ { l , m , n = 0 } ^ { N } w _ { l m n } ^ { k j i } a ( u _ { l m n } ) - U _ { k j i } - \dots + d _ { k j i } u _ { k j i } ) \frac { d a ( u _ { k j i } ) } { d u _ { k j i } } ] \frac { d u _ { k j i } } { d t } = } \\ & { = - \sum _ { i , j , k = 0 } ^ { N } a ^ { \prime } ( u _ { k j i } ) ( \frac { d u _ { k j i } } { d t } ) ^ { 2 } \leq 0 \mathrm { ~ i f ~ } a ^ { \prime } ( u _ { i } ) \geq 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { d ( \rho ^ { * } , \lambda ) } & { = d ( { \small \mathrm { \tt { 1 2 3 } } } , \lambda ) + d ( { \small \mathrm { \tt { 3 2 1 } } } , \lambda ) + d ( { \small \mathrm { \tt { 2 1 4 3 } } } , \lambda ) + d ( { \small \mathrm { \tt { 3 4 2 1 } } } , \lambda ) + \frac { 1 } { 2 } \left( d ( { \small \mathrm { \tt { 2 4 1 3 } } } , \lambda ) + d ( { \small \mathrm { \tt { 3 1 4 2 } } } , \lambda ) \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 3 ! } + \frac { 1 } { 3 ! } + \frac { 1 } { 4 ! } + \frac { 1 } { 4 ! } + \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 1 } { 4 ! } + \frac { 1 } { 4 ! } \right) = \frac { 1 1 } { 2 4 } . } \end{array}
\mathbf { H } ( 0 ) = P ^ { \eta } ( [ \mathbf { U } ^ { 0 } , \mathbf { G } ^ { \eta } ] ^ { \mathrm { T } } ) = \mathbf { 1 } _ { [ M , 1 ] } \otimes [ S ^ { + } \mathbf { U } ^ { 0 } , D ^ { \eta } \mathbf { G } ^ { \eta } ] ^ { \mathrm { T } } = \mathbf { 1 } _ { [ M , 1 ] } \otimes [ S ^ { + } \mathbf { U } ^ { 0 } , \tilde { \mathbf { G } } ^ { \eta } ] ^ { \mathrm { T } } \in \mathbb { R } ^ { d M } .
\tilde { m } _ { \mathrm { p o l e } } ^ { \prime } \sim { \frac { 4 } { 3 \pi } } \; \left( { \frac { \mu ^ { 2 } } { e ^ { C } } } \right) ^ { u } \; { \frac { 1 } { 1 - 2 u } } \; .
\begin{array} { r l } { f _ { i j } ( \tau + \Delta \tau ) = } & { \ f _ { i j } ( \tau ) ( 1 - \Delta \tau S ) + \Delta f _ { i j } ( \tau ) } \\ { = } & { - \frac { \Delta \tau } { 2 } \sum _ { k \ne i } H _ { i k } f _ { k j } ( \tau ) - \frac { \Delta \tau } { 2 } \sum _ { k \ne j } f _ { i k } H _ { k j } } \\ & { + f _ { i j } ( \tau ) ( 1 + \frac { \Delta \tau } { 2 } \left[ 2 S - H _ { i i } - H _ { j j } \right] ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \theta } _ { t + 1 } } & { = \bar { \theta } _ { t + 1 } + \alpha e _ { t } } \\ & { = \theta _ { t } + \alpha h _ { t } + \alpha \left( e _ { t - 1 } + g _ { t } ( \theta _ { t } ) - h _ { t } \right) } \\ & { = \theta _ { t } + \alpha g _ { t } ( \theta _ { t } ) + \alpha e _ { t - 1 } } \\ & { = \bar { \theta } _ { t } + \alpha e _ { t - 1 } + \alpha g _ { t } ( \theta _ { t } ) + e _ { p , t } } \\ & { = \tilde { \theta } _ { t } + \alpha g _ { t } ( \theta _ { t } ) + e _ { p , t } . } \end{array}
\frac { d \sigma _ { e l } } { d \Omega } = \sum _ { m , n } \frac { \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } \left( k r _ { m , n } \right) } { k r _ { m , n } } ( f _ { m } ^ { * } ( \theta ) f _ { n } ( \theta ) + g _ { m } ^ { * } ( \theta ) g _ { n } ( \theta ) ) .
\begin{array} { r l } { \| \lambda _ { t + 1 } - \lambda _ { t } ^ { * } \| ^ { 2 } \leq } & { ( 1 - 2 \alpha C _ { 1 } + 2 \alpha ( \alpha - C _ { 2 } ) L ^ { 2 } ) \| \lambda _ { t } - \lambda _ { t } ^ { * } \| ^ { 2 } + 2 \alpha \langle \lambda _ { t } - \lambda _ { t } ^ { * } , \nabla _ { \lambda } \ln p ( X _ { t } | \lambda _ { t } ^ { * } ) \rangle } \\ & { + 2 \alpha ^ { 2 } \| \nabla _ { \lambda } \ln p ( X _ { t } | \lambda _ { t } ^ { * } ) \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { M } ( \ell _ { m } ) ^ { - 1 } } & { = \frac { \ell _ { m } + i M } { \ell _ { m } } = 1 + \frac { i M } { \ell _ { m } } } \\ & { = \frac { \int \prod d \bar { b } _ { n } d a _ { n } \mathcal { F } _ { \mathbf { n } } } { \int \prod d \bar { b } _ { n } d a _ { n } \mathcal { F } _ { \mathbf { n } } } + \frac { \int \prod d \bar { b } _ { n } d a _ { n } \left( i M \bar { b } _ { m } a _ { m } \right) \mathcal { F } _ { \mathbf { n } } } { \int \prod d \bar { b } _ { n } d a _ { n } \mathcal { F } _ { \mathbf { n } } } } \\ & { = \frac { \int \prod d \bar { b } _ { n } d a _ { n } \exp \left( i M \bar { b } _ { m } a _ { m } \right) \mathcal { F } _ { \mathbf { n } } } { \int \prod d \bar { b } _ { n } d a _ { n } \mathcal { F } _ { \mathbf { n } } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r } { ( c _ { 0 0 } - c _ { 0 1 } ) ^ { 2 } + ( c _ { 1 0 } - c _ { 1 1 } ) ^ { 2 } \approx 0 , } \\ { ( c _ { 0 0 } - c _ { 1 0 } ) ^ { 2 } + ( c _ { 0 1 } - c _ { 1 1 } ) ^ { 2 } \approx 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \dot { x } } & { = } & { x \left( r _ { 1 } \left( 1 - x / K _ { 1 } \right) - \alpha _ { 1 2 } y - \frac { q _ { 1 } z } { 1 + a _ { 1 } x } \right) , } \\ { \dot { y } } & { = } & { y \left( r _ { 2 } \left( 1 - y / K _ { 2 } \right) - \alpha _ { 2 1 } x - \frac { q _ { 2 } z } { 1 + a _ { 2 } y } \right) , } \\ { \dot { z } } & { = } & { z \left( \frac { c _ { 1 } q _ { 1 } x } { 1 + a _ { 1 } x } + \frac { c _ { 2 } q _ { 2 } y } { 1 + a _ { 2 } y } - \mu - m z \right) , } \\ { \mathrm { c o n } } & { } & { r _ { 1 } = K _ { 1 } = r _ { 2 } = K _ { 2 } = q _ { 2 } = \alpha _ { 1 2 } = \mu = 1 , } \\ & { } & { c _ { 1 } = c _ { 2 } = 0 . 5 , \quad q _ { 1 } = 1 0 , \quad \alpha _ { 2 1 } = 1 . 5 , } \\ & { } & { a _ { 1 } = 0 . 0 1 , \quad a _ { 2 } = 0 . 0 2 , \quad m = 0 . 1 . } \end{array}
p - q = { \frac { 1 } { \pi } } \Delta \arg f ( i y ) = \left. { \left\{ \begin{array} { l l } { + I _ { - \infty } ^ { + \infty } { \frac { P _ { 0 } ( y ) } { P _ { 1 } ( y ) } } } & { { \mathrm { f o r ~ o d d ~ d e g r e e } } } \\ { - I _ { - \infty } ^ { + \infty } { \frac { P _ { 1 } ( y ) } { P _ { 0 } ( y ) } } } & { { \mathrm { f o r ~ e v e n ~ d e g r e e } } } \end{array} \right. } \right\} = w ( + \infty ) - w ( - \infty ) .
\begin{array} { r l } { \Omega _ { b } ^ { 0 , 0 } ( S ^ { 3 } ) } & { = \bigoplus _ { j , \bar { j } \in \frac { 1 } { 2 } \mathbb { Z } _ { \geq 0 } } \mathcal { H } _ { j , \bar { j } } , } \\ { \Omega _ { b } ^ { 0 , 1 } ( S ^ { 3 } ) } & { = \bigoplus _ { j , \bar { j } \in \frac { 1 } { 2 } \mathbb { Z } _ { \geq 0 } } \mathcal { H } _ { j , \bar { j } } \epsilon , } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { h } ^ { n } : = \{ v : v | _ { S _ { 1 , n } } } & { = v _ { 0 } ^ { n } | _ { S _ { 1 , n } } \mathrm { ~ f o r ~ s o m e ~ } v _ { 0 } ^ { n } \in V _ { h , 0 } ^ { n } \mathrm { ~ a n d ~ } } \\ { v | _ { S _ { 2 , n } } } & { = v _ { G } ^ { n } | _ { S _ { 2 , n } } \mathrm { ~ f o r ~ s o m e ~ } v _ { G } ^ { n } \in V _ { h , G } ^ { n } \} } \end{array}
\tilde { A } _ { a 1 } = \widetilde { A A } + \widetilde { A B } + \widetilde { A C } + \widetilde { A D } , \qquad \tilde { A } _ { b 2 } = \widetilde { A A } + \widetilde { B A } + \widetilde { C A } + \widetilde { D A }
\begin{array} { r l } & { \| \nabla u \| _ { L ^ { 2 } ( D _ { H } ) ^ { 2 } } ^ { 2 } \le C ( H - m ) \omega \| g \| _ { L ^ { 2 } ( D _ { H } ) ^ { 2 } } \| \partial _ { 2 } u \| _ { L ^ { 2 } ( D _ { H } ) ^ { 2 } } + C ( \omega ^ { - 1 } + 1 ) } \\ & { \left( C _ { 2 } ( \omega , h , L ) ^ { 2 } C _ { 1 } ( \omega , h , L ) \| g \| _ { H ^ { 1 } ( D _ { h } ) ^ { 2 } } \| \partial _ { 2 } u \| _ { L ^ { 2 } ( D _ { H } ) ^ { 2 } } + C _ { 3 } ( \omega , h ) ^ { 2 } \| g \| _ { H ^ { 1 } ( D _ { h } ) ^ { 2 } } ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } _ { x } \left[ \sum _ { v \in \mathcal N _ { t N } ^ { L } } \mathbb { 1 } _ { x _ { v } \in E } \right] } & { = } & { \int _ { E } \frac { h ( 0 , x ) } { h ( t N , y ) } q _ { t N } ( x , y ) d y \approx \int _ { E } \frac { h ^ { \infty } ( x ) } { h ^ { \infty } ( y ) } \Pi ^ { \infty } ( d y ) \approx h ^ { \infty } ( x ) O ( \overbrace { e ^ { - \frac { \mu + \beta } { \mu - \beta } \log ( N ) } } ^ { = N ^ { - \alpha } } ) , } \end{array}
\alpha ^ { \prime } e ^ { - 2 \phi ^ { \prime } } \Bigl ( ( \partial _ { \mu } \phi ^ { \prime } ) ( \partial ^ { \mu } \phi ^ { \prime } ) \Bigr ) ^ { 2 } \rightarrow \left\{ \left\{ \begin{array} { l l } { { - \alpha ^ { \prime } \frac { G ^ { 4 } M ^ { 4 } } { \rho ^ { 7 } x } ~ ~ ~ } } & { { ( Q _ { e } = 0 ) } } \\ { { - \alpha ^ { \prime } \frac { G ^ { 4 } M ^ { 4 } } { \rho ^ { 5 } x ^ { 3 } } ~ ~ ~ } } & { { ( Q _ { m } = 0 ) } } \end{array} \right. \right.
\begin{array} { r l } { \frac { d { \boldsymbol { \gamma } } } { d t } } & { = \lambda _ { t } \frac { \partial { \cal H } _ { t _ { 0 } } } { \partial { \bf g } } \, , } \\ { \frac { d \bar { \bf g } } { d t } } & { = - \lambda _ { t } \frac { \partial { \cal H } _ { t _ { 0 } } } { \partial \bar { \boldsymbol { \gamma } } } \, , } \\ { \frac { d t _ { 0 } } { d t } } & { = \left( \frac { \partial { \cal H } _ { t _ { 0 } } } { \partial g _ { 3 } } \right) ^ { - 1 } = \lambda _ { t } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { A c c u r a c y } } & { = \frac { \mathrm { T P } + \mathrm { T N } } { \mathrm { T P } + \mathrm { F P } + \mathrm { T N } + \mathrm { F N } } , } \\ { \mathrm { P r e c i s i o n } } & { = \frac { \mathrm { T P } } { \mathrm { T P } + \mathrm { F P } } , } \\ { \mathrm { R e c a l l } } & { = \frac { \mathrm { T P } } { \mathrm { T P } + \mathrm { F N } } , } \\ { \mathrm { F 1 } } & { = \frac { 2 \times \mathrm { P r e c i s i o n } \times \mathrm { R e c a l l } } { \mathrm { P r e c i s i o n } + \mathrm { R e c a l l } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { 2 c \Big \{ | | \widetilde { \Theta } _ { 1 } - \Theta _ { 0 1 } | | _ { F } ^ { 2 } + | | \widetilde { \Theta } _ { 2 } - \Theta _ { 0 2 } | | _ { F } ^ { 2 } \Big \} + \lambda \Big \{ | | \Delta _ { 1 } ^ { - } | | _ { 1 } + | | \Delta _ { 2 } ^ { - } | | _ { 1 } \Big \} } \\ { \leq } & { 4 \lambda \Big \{ \sqrt { s _ { 1 } } | | \Delta _ { 1 S _ { 1 } } ^ { - } | | _ { F } + \sqrt { s _ { 2 } } | | \Delta _ { 2 S _ { 2 } } ^ { - } | | _ { F } \Big \} } \\ & { + 2 \Big \{ | | \widehat { \Sigma } _ { 1 } ^ { + } - \Sigma _ { 0 1 } ^ { + } | | _ { F } | | \widetilde { \Theta } _ { 1 } ^ { + } - \Theta _ { 0 1 } ^ { + } | | _ { F } + | | \widehat { \Sigma } _ { 2 } ^ { + } - \Sigma _ { 0 2 } ^ { + } | | _ { F } | | \widetilde { \Theta } _ { 2 } ^ { + } - \Theta _ { 0 2 } ^ { + } | | _ { F } \Big \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta \mathcal { H } _ { 1 } } & { = \sum _ { k = - 1 , 0 } \frac { \partial \mathcal { H } } { \partial \rho _ { j + k } ^ { n } } ( \tilde { \rho } _ { j - 1 } ^ { n } , \tilde { \rho } _ { j } ^ { n } , \rho _ { j + 1 } ^ { n } , \rho _ { j + 2 } ^ { n } \cdots , \rho _ { j + m } ^ { n } ) ( \rho _ { j + k } ^ { n } - \rho _ { \mathrm { m i n } } ) , } \\ { \Delta \mathcal { H } _ { 2 } } & { = \sum _ { 1 \leq k \leq m } \frac { \partial \mathcal { H } } { \partial \rho _ { j + k } ^ { n } } ( \rho _ { \mathrm { m i n } } , \rho _ { \mathrm { m i n } } , \tilde { \rho } _ { j + 1 } ^ { n } , \tilde { \rho } _ { j + 2 } ^ { n } \cdots , \tilde { \rho } _ { j + m } ^ { n } ) ( \rho _ { j + k } ^ { n } - \rho _ { \mathrm { m i n } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { \mathrm { ~ \bf ~ L ~ } } _ { f i e l d } } & { { } = } & { \epsilon _ { 0 } \int d ^ { 3 } r \, \sum _ { i } \hat { E } _ { i } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } \times \nabla ) \hat { A } _ { i } } \\ { \hat { \mathrm { ~ \bf ~ S ~ } } _ { f i e l d } } & { { } = } & { \epsilon _ { 0 } \int d ^ { 3 } r \, [ \mathrm { ~ \bf ~ E ~ } _ { o p } \times \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } _ { o p } ] } \end{array}
{ \bf M } _ { 2 q , W } ^ { 3 } = m _ { 3 q } \left[ B _ { 1 q } \left( | V _ { 3 } > < V _ { 2 } | + | V _ { 2 } > < V _ { 3 } | \right) + i B _ { 2 q } \left( | V _ { 3 } > < V _ { 2 } | - | V _ { 2 } > < V _ { 3 } | \right) \right] .
\begin{array} { r l } { \hat { A } _ { n , k } ^ { \prime } } & { = \hat { a } _ { n , k } ^ { \prime } + \delta _ { n , k } \sqrt { \kappa _ { n } } A _ { n } e ^ { i \alpha _ { n } } \, , } \\ { \hat { B } _ { n , k } ^ { \prime } } & { = \hat { b } _ { n , k } ^ { \prime } + \delta _ { 0 , k } \sqrt { \eta _ { n } } B _ { n } e ^ { i \beta _ { n } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pi _ { 1 } ( \Sigma _ { 2 } , \ast ) = \langle a _ { 1 } , b _ { 1 } , a _ { 2 } , b _ { 2 } \mid [ a _ { 1 } , b _ { 1 } ] [ a _ { 2 } , b _ { 2 } ] = 1 \rangle } & { \rightarrow \langle h _ { 1 } , h _ { 2 } \rangle } \\ { a _ { 1 } } & { \mapsto h _ { 1 } ^ { - 1 } } \\ { b _ { 1 } } & { \mapsto ( h _ { 1 } h _ { 2 } ) ^ { 5 } h _ { 1 } ^ { - 2 } } \\ { a _ { 2 } } & { \mapsto ( h _ { 1 } h _ { 2 } ) ^ { 5 } h _ { 2 } ^ { 3 } } \\ { b _ { 2 } } & { \mapsto h _ { 2 } } \end{array}
{ K } _ { i j } ^ { k l } = \int \mathrm { d } { \mathbf { r } _ { 1 } } \, \mathrm { d } { \mathbf { r } _ { 2 } } \, \chi _ { k } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } ) \, \chi _ { l } ( { \mathbf { r } _ { 2 } } ) \, \hat { K } [ u ] ( { \mathbf { r } _ { 1 } } , { \mathbf { r } _ { 2 } } ) \, \phi _ { i } ( { \mathbf { r } _ { 1 } } ) \, \phi _ { j } ( { \mathbf { r } _ { 2 } } ) ,
\chi _ { a t m , \mathrm { O B S } } ^ { 2 } \equiv \sum _ { I , J \in { \mathrm { O B S } } } ( N _ { I } ^ { D A } - N _ { I } ^ { T H } ) \cdot ( \sigma _ { D A } ^ { 2 } + \sigma _ { T H } ^ { 2 } ) _ { I J } ^ { - 1 } \cdot ( N _ { J } ^ { D A } - N _ { J } ^ { T H } ) \; ,
\begin{array} { r l } { A _ { a i ; b j } } & { { } = A _ { a i ; b j } ^ { v a c } + \langle 0 \vert [ \hat { q } _ { a i } ^ { \dagger } , [ \hat { q } _ { b j } , \hat { V } ^ { \mathrm { e s } } + \hat { V } ^ { \mathrm { i n d } } ] ] \vert 0 \rangle + \langle 0 \vert [ \hat { q } _ { a i } ^ { \dagger } , \tilde { V } ^ { \mathrm { i n d } } ] \vert 0 \rangle } \\ { B _ { a i ; b j } } & { { } = B _ { a i ; b j } ^ { v a c } + \langle 0 \vert [ \hat { q } _ { a i } , [ \hat { q } _ { b j } , \hat { V } ^ { \mathrm { e s } } + \hat { V } ^ { \mathrm { i n d } } ] ] \vert 0 \rangle + \langle 0 \vert [ \hat { q } _ { a i } , \tilde { V } ^ { \mathrm { i n d } } ] \vert 0 \rangle , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } & { X _ { t } ^ { x , \alpha } = x + \int _ { 0 } ^ { t } \nabla U _ { \alpha } ( X _ { s } ^ { x , \alpha } ) \mathrm { d } s + \sigma B _ { t } } \\ & { X _ { t } ^ { y , \tilde { \alpha } } = y + \int _ { 0 } ^ { t } \nabla U _ { \tilde { \alpha } } ( X _ { s } ^ { y , \tilde { \alpha } } ) \mathrm { d } s + \sigma B _ { t } . } \end{array} \right.
{ \kappa _ { 3 4 } } \mathord { \left/ { \vphantom { \kappa _ { 3 4 } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 4 } \kappa _ { i } } } \right. \kern - \nulldelimiterspace } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 4 } \kappa _ { i } < 1 \times 1 0 ^ { - 3 }
\begin{array} { r l } { \Sigma [ h _ { e } ] = } & { { } - \left< h _ { e } , C _ { e e } ^ { ( l ) } \left[ h _ { e } \right] \right> - \left< h _ { e } , \mathcal { L } _ { e i } \left[ h _ { e } \right] \right> } \end{array}
{ } _ { A } \langle \phi ^ { 4 } | \qquad { } _ { B } \langle \phi ^ { 4 } | \quad S \quad | \phi ^ { 0 } \rangle _ { A } \qquad | \phi ^ { 0 } \rangle _ { B } = - \frac { 1 } { 2 } \sigma _ { 1 } + \sigma _ { 2 } + \sigma _ { 3 }
\begin{array} { r } { \bullet \quad \frac { 1 } { n \sqrt n } \sum _ { i j k } \mathbb { E } \left[ u _ { 1 i } W _ { i j k } Q _ { j k } ^ { 2 3 } \right] \simeq \frac { 1 } { n \sqrt n } \sum _ { i j k } \mathbb { E } \left[ u _ { 1 i } \frac { \partial Q _ { j k } ^ { 2 3 } } { \partial W _ { i j k } } \right] = - \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \sum _ { i j k } \mathbb { E } \left[ ( u _ { 1 i } u _ { 2 i } - \gamma \kappa u _ { 1 i } ^ { 2 } ) Q _ { j j } ^ { 2 2 } Q _ { k k } ^ { 3 3 } \right] \xrightarrow [ n \to \infty ] \kappa ( \gamma - 1 ) q _ { 2 } ( z ) q _ { 3 } ( z ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } \bigg \{ 1 , p - 1 \bigg \} \bigg ( 4 L _ { 2 } + 2 \delta - 4 L _ { 1 } \beta ( 1 - \beta ) \bigg ) } & { + 4 n | p - 2 | ( 4 L _ { 2 } + 2 \delta ) \left( 1 + \frac { 2 L _ { 2 } } { L _ { 1 } } \right) } \\ & { + C L _ { 1 } ^ { - a _ { 2 } } | | f | | _ { L ^ { \infty } ( B _ { 1 } ) } \geq 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \phi ^ { 2 } ( t _ { i } ) \rangle } & { = \frac { \rho _ { \mathrm { D M } } } { 2 m ^ { 2 } } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \alpha _ { j } ^ { 2 } f ( v _ { j } ) \Delta v } \\ & { + \frac { \rho _ { \mathrm { D M } } } { m ^ { 2 } } \sum _ { j > k } ^ { n } \alpha _ { j } \alpha _ { k } \Delta v \sqrt { f ( v _ { j } ) f ( v _ { k } ) } } \\ & { \times \cos [ m t _ { i } ( v _ { k } ^ { 2 } - v _ { j } ^ { 2 } ) / 2 + \Delta \varphi _ { k j } ] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { r i n t } ( \varphi ) = } & { - { \frac { 1 } { 2 } } \left[ v _ { { { \psi } } - \varphi } v _ { { \psi } } ( - 2 v _ { { \psi } } ^ { 2 } + v _ { \varphi } ^ { 2 } ) + v _ { \varphi } ^ { 4 } \ln ( { \frac { v _ { { { \psi } } - \varphi } + v _ { { \psi } } } { v _ { \varphi } } } ) \right] f ^ { \prime } } \\ & { - { \frac { 1 } { 2 4 } } \left[ { \frac { 1 } { 3 } } v _ { { { \psi } } - \varphi } v _ { { \psi } } ( - 8 v _ { { \psi } } ^ { 4 } + 2 v _ { { \psi } } ^ { 2 } v _ { \varphi } ^ { 2 } + 3 v _ { \varphi } ^ { 4 } ) + v _ { \varphi } ^ { 6 } \ln ( { \frac { v _ { { { \psi } } - \varphi } + v _ { { \psi } } } { v _ { \varphi } } } ) \right] f ^ { \prime \prime \prime } . } \end{array}
S _ { \mathrm { e f f } } = \int d x \left[ { \frac { 1 } { 4 } } F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } + { \frac { 1 } { 2 } } F ^ { 2 } \mathrm { t r } \partial _ { \mu } U ^ { \dagger } \partial ^ { \mu } U + e A _ { \mu } J ^ { \mu } \right] + S _ { \mathrm { W W Z } } .
\ln K _ { m } ^ { * } \sim \mathrm { ~ T ~ N ~ } ( \ln K _ { m } , \sigma _ { K } ^ { 2 } , \underset { t : z _ { t } ^ { * } = m ^ { * } } { \operatorname* { m a x } } \ln C _ { t } , \ln \lceil \rho N \rceil )
\begin{array} { r l r l } { H _ { A } ^ { e m b } } & { { } = \mathcal { P } _ { A } H \mathcal { P } _ { A } \dag } & { = \mathcal { P } _ { A } \left[ \sum _ { i , j = 1 } ^ { n _ { A } } h _ { i j } ^ { A A } \dag , a _ { i } ^ { \dagger } a _ { j } + \dag ! \dag ! \sum _ { q , q ^ { \prime } = 1 } ^ { n _ { B } } \dag ! \dag ! \left[ \mathcal { B } ^ { \dagger } h ^ { B B } \mathcal { B } \right] _ { q q ^ { \prime } } b _ { q } ^ { \dagger } b _ { q ^ { \prime } } \right. \dag } & { { } \left. + \sum _ { i , q = 1 } ^ { n _ { A } } \left( \left[ h ^ { A B } \mathcal { B } \right] _ { i q } \dag , a _ { i } ^ { \dagger } b _ { q } + \mathrm { ~ H ~ . ~ c ~ . ~ } \right) + \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ s ~ t ~ } \right] \mathcal { P } _ { A } \dag , . } \end{array}
\hat { \mu } = \frac { 1 } { M } \sum _ { \ell = 1 } ^ { M } \left( \frac { 1 } { L } \sum _ { j = 1 } ^ { L } \Upsilon _ { j } ( \ell ) \right) \qquad \mathrm { w i t h } \qquad \mathbb { V } \mathrm { a r } [ \hat { \mu } ] = \frac { \tau } { L M } \mathbb { V } \mathrm { a r } [ \Upsilon ] ,
\begin{array} { r l } { \hat { \ell } } & { { } = 2 \left( \hat { d } _ { \epsilon } ^ { \left( 1 \right) } + \hat { d } _ { \epsilon } ^ { \left( 2 \right) } + \hat { r } _ { \epsilon } ^ { \left( c \right) } + \hat { r } _ { \epsilon } ^ { \left( w \right) } \right) , } \end{array}
\theta _ { \mathrm { ~ d ~ y ~ n ~ } } ( t ) = 2 \int _ { 0 } ^ { t } \frac { \mathsf { K } ( \tau ) } { \mathsf { A } } \, d \tau \, , \qquad \mathsf { K } ( t ) = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { p _ { j } ^ { 2 } } { I _ { j } } \, ,
\begin{array} { l l } { { z = \displaystyle \frac { 1 } { \sqrt { m ^ { * } } } \left( \sqrt { B } \big ( x _ { 1 } + i x _ { 2 } \big ) + \frac { 1 } { \sqrt { B } } \big ( - i p _ { 1 } + p _ { 2 } \big ) \right) , \hfill } } \\ { { w = \displaystyle \frac { 1 } { \sqrt { B } } \big ( - i p _ { 1 } - p _ { 2 } \big ) , \hfill } } \end{array}
( \widehat { T } _ { l m } ) _ { i j } = ( - 1 ) ^ { \frac { N - 1 } { 2 } - i } \sqrt { 2 l + 1 } \left( \begin{array} { c c c } { \frac { N - 1 } { 2 } } & { l } & { \frac { N - 1 } { 2 } } \\ { - i } & { m } & { j } \end{array} \right)
\operatorname* { d e t } { \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { d ( A B ) ^ { 2 } } & { d ( A C ) ^ { 2 } } & { 1 } \\ { d ( A B ) ^ { 2 } } & { 0 } & { d ( B C ) ^ { 2 } } & { 1 } \\ { d ( A C ) ^ { 2 } } & { d ( B C ) ^ { 2 } } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right] } = 0 .
F = \frac { 1 } { N ^ { 2 } } \log [ \oint \frac { d z } { 2 \pi i } \frac { 1 } { z ^ { N + 1 } } \frac { 1 } { 1 - z } \exp ( \sum _ { j = 1 } ^ { N } \frac { ( - ) ^ { j - 1 } } { j } z ^ { j } \alpha _ { j } ) ]
\tilde { U } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { X C } } [ n ] = \int d ^ { 3 } r \, n ( { \bf r } ) \epsilon _ { \scriptscriptstyle \mathrm { X } } ^ { \mathrm { u n i f } } [ n ] ( { \bf r } ) \bigg [ \tilde { F } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { X C } } + r _ { s } \frac { \partial \tilde { F } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { C } } } { \partial r _ { s } } \bigg ] \, .
\hat { H } _ { 0 } ^ { \mathrm { ~ C ~ A ~ S ~ P ~ T ~ 2 ~ } } = \sum _ { i } | \Psi _ { i } \rangle \langle \Psi _ { i } | \hat { F } | \Psi _ { i } \rangle \langle \Psi _ { i } | + \sum _ { k , l } | \psi _ { k } \rangle \langle \psi _ { k } | \hat { F } | \psi _ { l } \rangle \langle \psi _ { l } |
\beta _ { 3 } \left( E _ { \mathrm { ~ m ~ o ~ l ~ } , 3 } - E \right) + \Lambda _ { 3 } \int \frac { d ^ { 3 } k } { \left( 2 \pi \right) ^ { 3 } } \alpha _ { 3 } \left( \vec { k } \right) = 0
\begin{array} { r l } { F _ { h } ( \phi ^ { n + 1 } ) - F _ { h } ( \phi ^ { n } ) } & { \leq - \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { 2 } \| \nabla _ { h } ( \phi ^ { n + 1 } - \phi ^ { n } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } - s \| \nabla _ { h } \mu ^ { n + 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } + s ( \boldsymbol { u } ^ { n + 1 } , A _ { h } \phi ^ { n } \nabla _ { h } \mu ^ { n + 1 } ) } \\ & { = - \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { 2 } \| \nabla _ { h } ( \phi ^ { n + 1 } - \phi ^ { n } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } - s \| \nabla _ { h } \mu ^ { n + 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } - \frac { s } { \gamma } ( \boldsymbol { u } ^ { n + 1 } , { \cal S } _ { h } \boldsymbol { u } ^ { n + 1 } + \nabla _ { h } p ^ { n + 1 } ) } \\ & { = - \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { 2 } \| \nabla _ { h } ( \phi ^ { n + 1 } - \phi ^ { n } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } - s \| \nabla _ { h } \mu ^ { n + 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } - \frac { s } { \gamma } ( \| \boldsymbol { u } ^ { n + 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } + \| \nabla _ { h } \boldsymbol { u } ^ { n + 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } ) , } \end{array}
\frac { d \sigma } { d \hat { s } } = \mathrm { C o n s t } \times \frac { \Gamma _ { i j } \Gamma _ { \ell \nu _ { \ell } } } { ( \hat { s } - M _ { W } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + M _ { W } ^ { 2 } \Gamma _ { \mathrm { t o t } } ^ { 2 } } ~ ~ ~ ,
E = { \frac { 1 } { 2 i } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } { \frac { d \omega } { 2 \pi } } e ^ { - i \omega \tau } \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } ( 2 l + 1 ) \int _ { 0 } ^ { \infty } r ^ { 2 } \, d r \, 2 k ^ { 2 } [ F _ { l } ( r , r ) + G _ { l } ( r , r ) ] .
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { I ( \alpha , \beta , 0 ) } } \\ & { = } & { \int _ { 0 } ^ { c } \left( \frac { p } { 2 } ( 1 - x ) ^ { p - 1 } \right) ^ { \alpha } \left( \frac { p } { 2 } ( 1 - x ) ^ { p - 1 } \right) ^ { \beta } \, \mathrm { d } x } \\ & { } & { + \int _ { c } ^ { a - 1 0 c } 0 \, \mathrm { d } x } \\ & { } & { + \int _ { a - 1 0 c } ^ { a } \left( p ( 1 - x ) ^ { p - 1 } + \frac { 1 - ( 1 - c ) ^ { p } } { 2 0 c } \right) ^ { \alpha } \left( - \frac { 1 - ( 1 - c ) ^ { p } } { 2 0 c } \right) ^ { \beta } \, \mathrm { d } x } \\ & { = } & { \int _ { 0 } ^ { c } \left( \frac { p } { 2 } ( 1 - x ) ^ { p - 1 } \right) ^ { q } \, \mathrm { d } x } \\ & { } & { - \left( \frac { 1 - ( 1 - c ) ^ { p } } { 2 0 c } \right) ^ { \beta } \int _ { a - 1 0 c } ^ { a } \left( p ( 1 - x ) ^ { p - 1 } + \frac { 1 - ( 1 - c ) ^ { p } } { 2 0 c } \right) ^ { \alpha } \, \mathrm { d } x . } \end{array}
\left( \left. \frac { \partial \mathcal R _ { h } } { \partial \mathbf { u } _ { h } } \right| _ { \mathbf { u } _ { h } ^ { H } } \right) ^ { T } \mathbf { z } _ { h } | _ { \mathbf { u } _ { h } ^ { H } } = \left( \left. \frac { \partial \mathcal J _ { h } } { \partial \mathbf { u } _ { h } } \right| _ { \mathbf { u } _ { h } ^ { H } } \right) ^ { T } .