harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \operatorname* { i n f } _ { y \in B ( x _ { n } , ( 1 - \varepsilon ) \rho ) } } & { \geq C \left( d , \alpha , \frac { l _ { n } } { \rho } , \varepsilon \right) \operatorname* { i n f } _ { x \in B ( x _ { n - 1 } , \varepsilon \rho ) } u ( x ) \geq C \left( d , \alpha , \frac { l _ { n } } { \rho } , \varepsilon \right) \operatorname* { i n f } _ { x \in B ( x _ { n - 1 } , ( 1 - \varepsilon ) \rho ) } u ( x ) } \\ & { \geq C \left( d , \alpha , \frac { l _ { n } } { \rho } , \varepsilon \right) \cdot \hdots \cdot C \left( d , \alpha , \frac { l _ { 2 } } { \rho } , \varepsilon \right) \operatorname* { i n f } _ { x \in B ( x _ { 1 } , ( 1 - \varepsilon ) \rho ) } u ( x ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { f _ { q } ( \lambda _ { 2 } ) - \frac { \gamma \kappa \eta ^ { 2 } } { 3 } r ( \lambda _ { 1 } ) - 2 \gamma \kappa ^ { 2 } b ( \lambda _ { 2 } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \beta _ { i } \theta _ { 2 i } \rho _ { 2 i } ^ { 2 } - \gamma \kappa \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \beta _ { i } \rho _ { 1 i } \rho _ { 2 i } ^ { 2 } } \end{array}
\frac { \partial \Sigma ^ { T } ( \varepsilon , \theta ) } { \partial \theta } = \frac { 1 } { p ^ { 2 } } \left| \sum _ { \ell = 0 } ^ { \infty } ( 2 \ell + 1 ) \sin \delta _ { \varepsilon \ell } \, e ^ { i \delta _ { \varepsilon \ell } } P _ { \ell } ( \cos \theta ) \right| ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { x _ { 0 } } & { { } = r \cos \psi } \\ { x _ { 1 } } & { { } = r \sin \psi \cos \theta } \\ { x _ { 2 } } & { { } = r \sin \psi \sin \theta \cos \varphi } \\ { x _ { 3 } } & { { } = r \sin \psi \sin \theta \sin \varphi } \end{array}
\beta ^ { 4 } = { \frac { 8 { \hat { m } } _ { 1 } ^ { 2 } { \hat { m } } _ { 2 } ^ { 2 } M _ { > } ^ { 2 } \omega _ { 0 } ^ { 2 } \alpha ( M _ { > } ^ { 2 } ) } { [ 1 - 8 C _ { 0 } { \hat { m } } _ { 1 } { \hat { m } } _ { 2 } \alpha _ { s } ( M _ { > } ^ { 2 } ) ] < \sigma > } } ; \quad < \sigma > ^ { 2 } = 1 + 2 4 A _ { 0 } ( { \hat { m } } _ { 1 } { \hat { m } } _ { 2 } M _ { > } ) ^ { 2 } / \beta ^ { 2 }
I _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ c ~ r ~ o ~ } } \big ( \mathbf { X } _ { t } ^ { ( \tau ) } ; \mathbf { Y } _ { t } | \mathbf { Y } _ { t } ^ { ( \tau ) } \big ) - I _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ c ~ r ~ o ~ } } \big ( \mathbf { X } _ { t } ^ { ( \tau ) } ; \mathbf { Y } _ { t } | \mathbf { Y } _ { t } ^ { ( \tau ) } \big ) .
( g _ { \mu \nu } { \dot { x } } ^ { \mu } { \dot { x } } ^ { \nu } ) ( g _ { \lambda \nu , \mu } { \dot { x } } ^ { \nu } { \dot { x } } ^ { \mu } + g _ { \mu \lambda , \nu } { \dot { x } } ^ { \mu } { \dot { x } } ^ { \nu } + g _ { \lambda \nu } { \ddot { x } } ^ { \nu } + g _ { \lambda \mu } { \ddot { x } } ^ { \mu } )
\log J _ { p } ( a / q ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { 8 } \sum _ { j \ge 0 } a _ { 2 j + 2 } + \sum _ { j \ge 0 } g _ { p } ( T ^ { 2 j } ( a / q ) ) } & { \textrm { i f } p > 0 , } \\ { - \frac { 1 } { 8 } \sum _ { j \ge 0 } a _ { 2 j + 1 } + \sum _ { j \ge 0 } g _ { p } ( T ^ { 2 j } ( a / q ) ) } & { \textrm { i f } p < 0 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \widehat { \varphi } _ { f } ( \xi ) } & { = \int _ { V ( \mathbf { A } _ { f } ) } \varphi _ { f } ( x ) \chi ( \langle \xi , x \rangle ) d x } \\ & { = \int _ { W _ { 1 } ^ { \prime } } \left( \int _ { W _ { 1 } } \varphi _ { f } ( w + w ^ { \prime } ) d w ^ { \prime } \right) \chi ( \langle \xi , w \rangle ) d w } \\ & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { 2 } = \int _ { x , t } } & { { } \sum _ { i } \frac { 1 } { 2 } \left[ ( \partial _ { t } Q _ { i } ) ^ { 2 } - c _ { q } ^ { 2 } ( \nabla Q _ { i } ) ^ { 2 } - \omega _ { Q } ^ { 2 } Q _ { i } ^ { 2 } \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \scriptsize \dot { x } _ { i } ^ { r } ( t ) = } & { { } - \delta _ { i } ^ { r } x _ { i } ^ { r } ( t ) + \Big ( ( 1 - \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } x _ { i } ^ { \ell } ( t ) ) \times } \end{array}
\cos \vartheta = - \frac { s _ { 2 3 } } { \sqrt { 1 - c _ { 2 3 } ^ { 2 } c _ { 2 4 } ^ { 2 } } } \, , \qquad \sin \vartheta = - \frac { s _ { 2 4 } c _ { 2 3 } } { \sqrt { 1 - c _ { 2 3 } ^ { 2 } c _ { 2 4 } ^ { 2 } } } \, .
\nabla ^ { 2 } = r ^ { 1 - n } { \frac { \partial } { \partial r } } r ^ { n - 1 } { \frac { \partial } { \partial r } } + r ^ { - 2 } \Delta _ { S ^ { n - 1 } } = { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial r ^ { 2 } } } + { \frac { n - 1 } { r } } { \frac { \partial } { \partial r } } + r ^ { - 2 } \Delta _ { S ^ { n - 1 } }
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 2 } \pi H _ { 4 , j _ { k } , - j _ { k } , \xi , - \xi } } \\ & { = - \frac { \alpha } { 1 6 } \left( ( { \alpha + 4 } ) ( m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( \xi ) + m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( j _ { k } ) ) + \frac { \alpha } { 2 } ( m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( 0 ) + m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( \xi + j _ { k } ) + m _ { 1 , \alpha } ^ { \circ } ( \xi - j _ { k } ) ) - m _ { 3 , \alpha } ^ { \circ } ( \xi , j _ { k } ) - ( \alpha + 2 ) T _ { \alpha } \right) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \ln \left( 1 + { \frac { x } { y } } \right) } & { = { \cfrac { x } { y + { \cfrac { 1 x } { 2 + { \cfrac { 1 x } { 3 y + { \cfrac { 2 x } { 2 + { \cfrac { 2 x } { 5 y + { \cfrac { 3 x } { 2 + \ddots } } } } } } } } } } } } } \\ & { = { \cfrac { 2 x } { 2 y + x - { \cfrac { ( 1 x ) ^ { 2 } } { 3 ( 2 y + x ) - { \cfrac { ( 2 x ) ^ { 2 } } { 5 ( 2 y + x ) - { \cfrac { ( 3 x ) ^ { 2 } } { 7 ( 2 y + x ) - \ddots } } } } } } } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { P _ { \mathrm { c o l , i } } } & { \triangleq \operatorname* { P r } ( \exists \hat { I } _ { \mathrm { d e l } } \in I ( \delta ) : \: \hat { X } _ { i } ^ { K _ { n } } ( \hat { I } _ { \mathrm { d e l } } ) = Y _ { t } ^ { K _ { n } } ) } \\ & { = \operatorname* { P r } ( \exists \hat { I } _ { \mathrm { d e l } } \in I ( \delta ) : \: \hat { X } _ { i } ^ { K _ { n } } ( \hat { I } _ { \mathrm { d e l } } ) = \hat { X } _ { 1 } ^ { K _ { n } } ( \hat { I } _ { \mathrm { d e l } } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { k = 1 } ^ { n } E [ \xi _ { k } ^ { i } ( \theta _ { 0 } ) \eta _ { k } ^ { j } ( \theta _ { 0 } ) | \mathcal { F } _ { t _ { k - 1 } } ] } \\ { = } & { \sum _ { k = 1 } ^ { n } \bigg \{ R ( \frac { \varepsilon ^ { - 3 } } { n ^ { 3 } \sqrt { n } } , ~ X _ { t _ { k - 1 } } , ~ X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) + R ( \frac { \varepsilon ^ { - 2 } } { n ^ { 3 } } , ~ X _ { t _ { k - 1 } } , ~ X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) + R ( \frac { \varepsilon ^ { - 1 } } { n ^ { 2 } \sqrt { n } } , ~ X _ { t _ { k - 1 } } , ~ X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) } \\ & { \qquad + R ( \frac { 1 } { n ^ { 2 } } , ~ X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) ) + R ( \frac { \varepsilon } { n \sqrt { n } } , ~ X _ { t _ { k - 1 } } , ~ X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) + R \Big ( \frac { \varepsilon ^ { - 1 } } { n \sqrt { n } } , ~ X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H \big ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } \big ) \Big ) \bigg \} } \\ { \rightarrow } & { 0 } \end{array}
\left\{ \begin{array} { c } { { \delta _ { - } B _ { + } ^ { \mu \nu } = \chi _ { + } ^ { I \mu \nu } } } \\ { { \delta _ { - } \chi _ { + } ^ { I \mu \nu } = - \delta _ { g } ^ { \bar { \theta } } B _ { + } ^ { \mu \nu } = - i [ B _ { + } ^ { \mu \nu } , { \bar { \theta } } ] } } \\ { { \delta _ { - } \psi _ { B } ^ { \mu \nu } = - \delta _ { g } ^ { c } B _ { + } ^ { \mu \nu } - H _ { + } ^ { I \mu \nu } = - i [ B _ { + } ^ { \mu \nu } , c ] - H _ { + } ^ { I \mu \nu } } } \\ { { \delta _ { - } H ^ { I \mu \nu } = - \delta _ { g } ^ { c } \chi _ { + } ^ { I \mu \nu } + \delta _ { + } \delta _ { g } ^ { \bar { \theta } } B _ { + } ^ { \mu \nu } = - i [ \chi _ { + } ^ { I \mu \nu } , c ] + \delta _ { + } \delta _ { g } ^ { \bar { \theta } } B _ { + } ^ { \mu \nu } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { R _ { 2 } ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { y } ) } & { = } & { \frac { 1 } { \lambda } \int _ { \Pi } D _ { [ \lambda x _ { 1 } ] } ( u ) \overline { { D _ { [ \lambda y _ { 1 } ] } ( u ) } } \mathrm d u \times \int _ { \Pi } f ( 0 , v ) D _ { [ \lambda ^ { \gamma } x _ { 2 } ] } ( v ) \overline { { D _ { [ \lambda ^ { \gamma } y _ { 2 } ] } ( v ) } } \mathrm d v = : J _ { 1 } \times J _ { 2 } , } \end{array}
{ \dot { \mathbf { p } } } = - { \frac { \partial { \mathcal { H } } } { \partial \mathbf { x } } } = q { \dot { \mathbf { x } } } \cdot ( { \boldsymbol { \nabla } } \mathbf { A } ) - q { \boldsymbol { \nabla } } \varphi = q { \boldsymbol { \nabla } } ( { \dot { \mathbf { x } } } \cdot \mathbf { A } ) - q { \boldsymbol { \nabla } } \varphi
\begin{array} { r l } { \| \tilde { V } \| _ { 2 } ^ { 2 } } & { { } \ge \frac { 1 } { 2 L } \| \tilde { V } \| _ { \mathrm { F } } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 L } \operatorname { t r } ( \tilde { V } ^ { \dag } \tilde { V } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta _ { 1 } } & { = - \mathrm { i } a \Bigl [ 1 - \mathrm { i } \frac { f ^ { \prime \prime } } { 2 f ^ { \prime } } \Bigr ] ^ { - 1 } , } \\ { \delta _ { 2 } } & { = \mathrm { i } a ^ { 2 } \left( \frac { 2 { - } \{ f , \alpha \} } { 4 } { - } \mathrm { i } \frac { f ^ { \prime \prime } } { 2 f ^ { \prime } } \Bigl [ 1 { - } \mathrm { i } \frac { f ^ { \prime \prime } } { 2 f ^ { \prime } } \Bigr ] \right) \Bigl [ 1 { - } \mathrm { i } \frac { f ^ { \prime \prime } } { 2 f ^ { \prime } } \Bigr ] ^ { - 3 } , } \end{array}
- \mu _ { \mathrm { m i n } } \big [ \varepsilon + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } \big ] \leq \frac { 1 } { 2 \tilde { w } _ { N _ { s } } } \left\vert \frac { \partial G _ { N _ { s } } } { \partial \vec { \Delta q } } \right\vert ^ { 2 } \leq - \mu _ { \mathrm { m a x } } \big [ \varepsilon + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } \big ] .
H _ { \mathrm { e f f } } = \frac { G _ { F } } { \sqrt { 2 } } \Bigl ( V _ { c b } V _ { c s } ^ { * } ( C _ { 1 } O _ { 1 } + C _ { 2 } O _ { 2 } ) - V _ { t b } V _ { t s } ^ { * } \sum _ { i = 3 } ^ { 6 } C _ { i } O _ { i } \Bigr ) ,
\Sigma _ { L N A } = \sum _ { L } ( - 1 ) ^ { L } { \frac { m _ { X } ^ { 3 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } m _ { A } ( m _ { X } - m _ { A } ) } } { \frac { ( 2 L + 1 ) ! ! } { ( 2 L + 2 ) ! ! } } { \frac { g _ { L } ^ { 2 } ( k _ { \pi } ) } { 4 \pi } } \left( { \frac { m _ { \pi } ^ { 2 } } { m _ { X } ^ { 2 } } } \right) ^ { L + 1 } \ln m _ { \pi } .
\begin{array} { r l } { x ^ { \top } ( B D - C ) v _ { * } = } & { ~ \sum _ { j = 1 } ^ { n } x _ { j } ^ { \top } ( B _ { j } D - C _ { j } ) V _ { * , j } } \\ { \leq } & { ~ \frac { 1 } { p } \sum _ { p = 1 } ^ { k } \sum _ { q = 1 } ^ { k } ( \sum _ { j = 1 } ^ { n } ( x _ { j } ) _ { p } ^ { 2 } \cdot ( V _ { * , j } ) _ { q } ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } \cdot ( \sum _ { i = 1 } ^ { m } ( H _ { j , i } ) _ { p , q } ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } , } \end{array}
J _ { L } ( g ^ { n } + \eta d ^ { n } ) = \frac { 1 } { 2 } ( \Lambda ^ { - 2 } ( \theta ( g ^ { n } ) + \eta z ) , \theta ( g ^ { n } ) + \eta z ) ( T ) + \frac { \gamma } { 2 } \int _ { 0 } ^ { T } \langle g ^ { n } + \eta d ^ { n } , g ^ { n } + \eta d ^ { n } \rangle _ { \Gamma } d t .
f ( x | \mu , \sigma ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { x \le 0 } \\ { \frac { A } { \sigma \sqrt { 2 \pi } } \cdot e ^ { - \frac { ( x - \mu ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } } & { x > 0 } \end{array} \right.
F _ { 1 } \left( \phi , \phi + \eta \right) = \eta ^ { b } a _ { 0 } \left( \phi \right) \partial _ { b } a _ { 1 } \left( \phi \right) + \left( a _ { 0 } a _ { 1 } - a _ { 0 } \ast a _ { 1 } \right) \left( \phi \right) + O \left( \eta ^ { 2 } \right)
i \frac { \partial \tilde { a } _ { j } } { \partial z } = - \left( \beta _ { j } ( \omega ^ { \prime } + \omega _ { 0 } ) - \beta _ { j _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } } ( \omega _ { 0 } ) \right) \tilde { a } _ { j } - C \left( \tilde { a } _ { j - 1 } + \tilde { a } _ { j + 1 } \right) ,
\operatorname* { l i m } _ { h \to 0 } \Big \| \Big ( \frac { H _ { s + h } - H _ { s } - H _ { s } ^ { \prime } h } { h } \Big ) g \Big \| _ { \alpha _ { 2 } , \beta , \gamma _ { 2 } } = \operatorname* { l i m } _ { h \to 0 } \Big \| \Big ( \frac { H _ { h } - \mathsf { I d } - i \chi h } { h } \Big ) H _ { s } g \Big \| _ { \alpha _ { 2 } , \beta , \gamma _ { 2 } } = 0 .
P = { \left[ \begin{array} { l l l } { | } & & { | } \\ { \mathbf { v } _ { 1 } } & { \cdots } & { \mathbf { v } _ { n } } \\ { | } & & { | } \end{array} \right] } \equiv { \left[ \begin{array} { l l l } { ( \mathbf { v } _ { 1 } ) _ { 1 } } & { \cdots } & { ( \mathbf { v } _ { n } ) _ { 1 } } \\ { \vdots } & & { \vdots } \\ { ( \mathbf { v } _ { 1 } ) _ { n } } & { \cdots } & { ( \mathbf { v } _ { n } ) _ { n } } \end{array} \right] }
Z _ { E H } = { \frac { 1 } { 4 } } { \frac { 1 } { ( \eta \bar { \eta } ) ^ { 4 } } } \int d p _ { x } d p _ { y } \, \, q ^ { p _ { x } \bar { p } _ { x } + p _ { y } \bar { p } _ { y } } \sum _ { i } \left| { \frac { \theta _ { i } } { \eta } } \right| ^ { 4 } + { \frac { 1 } { 4 } } \sum _ { i , j } \left| { \frac { \theta _ { i } } { \theta _ { j } } } \right| ^ { 4 } \, \, .
\begin{array} { r l } { 1 } & { = \operatorname* { s u p } _ { \rho } \frac { \operatorname* { i n f } _ { \beta } L _ { \rho } ( \beta ) } { \textup { A r e a } ( \rho ) } \geq \frac { \operatorname* { i n f } _ { \beta } l ( \beta ) } { \textup { A r e a } ( \phi \circ f ( \mathbb { D } ) ) } \geq \frac { l ( \beta ) ^ { 2 } } { a t ^ { 2 } } } \\ & { > \frac { ( a t - 2 C ( \pi K ^ { 3 } , \alpha ) ) ^ { 2 } } { a t ^ { 2 } } = a - \frac { 4 C ( \pi K ^ { 3 } , \alpha ) } { t } + \frac { 4 C ( \pi K ^ { 3 } , \alpha ) ^ { 2 } } { a t ^ { 2 } } \geq a - \frac { 4 C ( \pi K ^ { 3 } , \alpha ) } { t } , } \end{array}
\left( \mathrm { s i g n } _ { I _ { k } \cup \{ i \} \subset I } ^ { \zeta } \mathrm { s i g n } \left( \frac { \Lambda _ { l = 1 } ^ { k } \mathsf { D } _ { i _ { l } } \wedge \mathsf { D } _ { i } \wedge \iota _ { f } \Omega } { \Lambda _ { l = 1 } ^ { { \boldsymbol { \kappa } } } \mathsf { D } _ { i _ { l } } } \right) + \mathrm { s i g n } _ { I _ { k } \cup \{ j \} \subset I } ^ { \zeta } \mathrm { s i g n } \left( \frac { \Lambda _ { l = 1 } ^ { k } \mathsf { D } _ { i _ { l } } \wedge \mathsf { D } _ { j } \wedge \iota _ { f } \Omega } { \Lambda _ { l = 1 } ^ { { \boldsymbol { \kappa } } } \mathsf { D } _ { i _ { l } } } \right) \right) \mathcal { C } ^ { I ^ { \mathrm { o r } } } ( q ) .
\Gamma ( D _ { ( q ) } ^ { + } \to \ell ^ { + } \nu _ { \ell } ) = { \frac { G _ { F } ^ { 2 } } { 8 \pi } } f _ { D _ { ( q ) } } | V _ { c q } | ^ { 2 } m _ { D _ { ( q ) } } m _ { \ell } ^ { 2 } \left( 1 - { \frac { m _ { \ell } ^ { 2 } } { m _ { D _ { ( q ) } } ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } \, ,
\begin{array} { r l } & { \theta _ { u , \ell } = \tan ^ { - 1 } \Big ( \frac { r _ { u } \sin \theta _ { u } + ( \ell \! - \! 1 ) d _ { \mathrm { R F } } } { r _ { u } \cos \theta _ { u } } \Big ) , } \\ & { r _ { u , \ell } = \frac { r _ { u } \cos \theta _ { u } } { \cos \theta _ { u , \ell } } , \quad \varphi _ { u , \ell } \triangleq \varphi _ { u } . } \end{array}
S _ { v } = { \left[ \begin{array} { l l l l } { v _ { x } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { v _ { y } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { v _ { z } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } .
\begin{array} { r l } { \overline { { J } } _ { \mathrm { H } ^ { + } } } & { { } = - ( \nu _ { V a } - \nu _ { V a } ^ { \prime } ) - \nu _ { H a } } \\ { \overline { { J } } _ { \mathrm { O H } ^ { - } } } & { { } = \nu _ { V b } - \nu _ { V b } ^ { \prime } + \nu _ { H b } } \\ { \overline { { J } } _ { \mathrm { F e } ^ { 2 + } } } & { { } = \nu _ { c } ^ { \prime } - \nu _ { c } } \\ { \overline { { J } } _ { L } } & { { } = \nu _ { A } - \nu _ { A } ^ { \prime } } \end{array}
\frac { d { \sigma } _ { \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } } ^ { \bar { \nu } \nu \to \gamma \gamma } } { d z } = \frac { d { \sigma } _ { - \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 2 } } ^ { \gamma \gamma \to \nu \bar { \nu } } } { d z } \, ,
\begin{array} { r l } { \jmath ( x , R _ { 1 } ^ { * } , D _ { 1 } , D _ { 2 } | P _ { X } ) } & { = \log \frac { P _ { \hat { X } _ { 1 } \hat { X } _ { 2 } | X } ^ { * } ( \hat { x } _ { 1 } , \hat { x } _ { 2 } | x ) } { P _ { \hat { X } _ { 1 } \hat { X } _ { 2 } } ^ { * } ( \hat { x } _ { 1 } , \hat { x } _ { 2 } ) } + \xi ^ { * } \left( \log \frac { P _ { \hat { X } _ { 1 } | X } ^ { * } ( \hat { x } _ { 1 } | x ) } { P _ { \hat { X } _ { 1 } } ^ { * } ( \hat { x } _ { 1 } ) } - R _ { 1 } ^ { * } \right) } \\ { * } & { \qquad - \nu _ { 1 } ^ { * } ( d _ { 1 } ( x , \hat { x } _ { 1 } ) - D _ { 1 } ) - \nu _ { 2 } ^ { * } ( d _ { 2 } ( x , \hat { x } _ { 2 } ) - D _ { 2 } ) . } \end{array}
B ( t ) = i k g ( t ) \sin ( \theta ) + \frac { \sigma } { \rho } h _ { 0 } k ^ { 4 } + g ( t ) \cos ( \theta ) h _ { 0 } k ^ { 2 } + i k 6 \nu \frac { q _ { 0 } ( t ) } { h _ { 0 } ^ { 3 } } - \frac { 6 } { 5 } k ^ { 2 } \frac { q _ { 0 } ( t ) ^ { 2 } } { h _ { 0 } ^ { 2 } }
\mathbf { S } _ { \mathrm { h i s t } } \leftarrow S _ { \mathrm { h i s t } } ^ { r } \cdot F _ { + + } \ \ \mathrm { i f } \ L _ { \mathrm { r e l } } ^ { r } > T _ { F } ^ { 3 } \land L _ { \mathrm { n e w } } ^ { r } > L _ { \mathrm { o l d } } ^ { r }
\begin{array} { r l r l } { a = } & { { } \frac { k _ { 2 } } { R k _ { 3 } } A } & { b = } & { { } \frac { k _ { 4 } k _ { 5 } } { 2 ( R k _ { 3 } ) ^ { 2 } } B } \\ { c = } & { { } \frac { k _ { 4 } } { R k _ { 3 } } C } & { \tilde { t } = } & { { } t / t _ { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { C _ { ( { R _ { t b 1 } ^ { 2 } } ) } \lesssim \| \hat { u } \| _ { C ^ { 2 } } ^ { 2 } , \quad C _ { ( { R _ { t b 2 } ^ { 2 } } ) } \lesssim \| \hat { v } \| _ { C ^ { 2 } } ^ { 2 } , \quad C _ { ( | \nabla R _ { t b 1 } | ^ { 2 } ) } \lesssim \| \hat { u } \| _ { C ^ { 3 } } ^ { 2 } , \quad C _ { ( { R _ { i n t 1 } ^ { 2 } } ) } \lesssim \| \hat { u } \| _ { C ^ { 3 } } ^ { 2 } + \| \hat { u } \| _ { C ^ { 2 } } ^ { 2 } , } \\ & { \qquad C _ { ( R _ { i n t 2 } ^ { 2 } ) } , C _ { ( | \nabla R _ { i n t 1 } | ^ { 2 } ) } \lesssim \| \hat { u } \| _ { C ^ { 4 } } ^ { 2 } + \| \hat { v } \| _ { C ^ { 3 } } ^ { 2 } , \quad C _ { ( { R _ { s b 1 } ^ { 2 } } ) } \lesssim \| \hat { v } \| _ { C ^ { 3 } } ^ { 2 } , \quad C _ { ( { R _ { s b 2 } ^ { 2 } } ) } \lesssim \| \hat { u } \| _ { C ^ { 4 } } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \varphi _ { 2 } ( \vec { r } , \vec { r } _ { 0 } ) } & { { } = } & { k r _ { g } \Big ( \frac { R _ { \oplus } } { b } \Big ) ^ { 2 } \bigg \{ 2 \Big \{ C _ { 2 2 } ^ { \prime } \cos 2 \phi _ { \xi } + S _ { 2 2 } ^ { \prime } \sin 2 \phi _ { \xi } \Big \} \Big \{ 1 - ( { \vec { k } } \cdot { \vec { n } } ) \Big ( 1 + { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } \frac { b ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } \Big ) \Big \} + } \end{array}
G _ { E } ^ { + } \left( x , x ^ { \prime } \right) = \left\langle E \right| \phi \left( x \right) \phi \left( x ^ { \prime } \right) \left| E \right\rangle = \frac { \Gamma \left( h _ { + } \right) \Gamma \left( h _ { - } \right) } { 1 6 \pi ^ { 2 } } F \left( h _ { + } , h _ { - } ; 2 ; \frac { 1 + P } { 2 } \right) ,
\begin{array} { r l } { S _ { L } ^ { \prime } [ \phi ; \mu ] = } & { \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 } \Bigg [ { \frac { 1 } { \pi } } \int _ { R ^ { 1 / \epsilon } } d ^ { 2 } z \left[ \partial \phi \, \overline { { \partial } } \phi + \pi \mu e ^ { 2 b \phi } \right] + { \frac { \epsilon \, Q } { \pi } } \int _ { | z | = 1 / \epsilon } | d z | \phi - 2 Q ^ { 2 } \log \epsilon } \\ & { \quad \quad \quad + \sum _ { i = 1 } ^ { n } \bigg [ { \frac { 1 } { \pi } } \int _ { H _ { i } ^ { \epsilon } } d ^ { 2 } z \, \partial \phi \, \overline { { \partial } } \phi + { \frac { Q } { 2 \pi \epsilon } } \int _ { | z - \xi _ { i } | = \epsilon } | d z | \phi + { \frac { Q ^ { 2 } } { 2 } } \log \epsilon \bigg ] \Bigg ] \, . } \end{array}
\delta { _ x } = \frac { \delta { u } } { \delta { F } } \textbar { _ { P = 0 } } = \frac { F L } { E _ { s } A } ( c o s ^ { 2 } \beta ) + \frac { F L ^ { 3 } } { 1 2 E _ { s } I } ( s i n ^ { 2 } \beta )
\sum _ { N _ { r } ^ { \prime } } \sum _ { p = 1 , 2 } \int _ { C _ { p } ^ { ( r ) } } \chi _ { N _ { r } ^ { \prime } } ( t ) d t \left[ E _ { p , N _ { r } } ^ { ( - 2 ) } ( Y _ { p , N _ { r } ^ { \prime } } ( t ) ) - \partial _ { q _ { N _ { r } } } Y _ { p , N _ { r } ^ { \prime } } ( t ) + ( - 1 ) ^ { e ( N _ { r } ^ { \prime } ) e ( N _ { r } ) } \partial _ { q _ { N _ { r } ^ { \prime } } } Y _ { p , N _ { r } } ( t ) \right] = 0
\begin{array} { r l } { E _ { \mathrm { ~ X ~ C ~ } } ^ { \mathrm { ~ L ~ H ~ } } } & { { } = E _ { \mathrm { ~ X ~ } } ^ { e x } + \int \left( 1 - g ( \mathbf { r } ) \right) \times } \\ { \phantom { \sum } } & { { } \: \: \left( e _ { \mathrm { ~ X ~ , ~ s ~ r ~ } } ^ { \mathrm { ~ s ~ l ~ } } ( \mathbf { r } ) + G ( \mathbf { r } ) - e _ { \mathrm { ~ X ~ , ~ s ~ r ~ } } ^ { \mathrm { ~ e ~ x ~ } } ( \mathbf { r } ) \right) \mathrm { ~ d ~ } \mathbf { r } + E _ { \mathrm { ~ C ~ } } ^ { } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { K ( x ) f ( u _ { n } ( x ) ) } & { \leq \epsilon K ( x ) \left( \psi _ { x } ( x , u _ { n } ( x ) ) u _ { n } ( x ) + ( \mathcal { H } _ { x } ^ { * } ( x , u _ { n } ( x ) ) ) ^ { \frac { b - 1 } { h _ { i } ^ { * } } } \right) } \\ & { + c _ { \epsilon } K ( x ) ( \mathcal { H } _ { x } ^ { * } ( x , u _ { n } ( x ) ) ) ^ { \frac { b - 1 } { h _ { i } ^ { * } } } \chi _ { [ t _ { 0 } , t _ { 1 } ] } ( u _ { n } ( x ) ) , \forall ( x , t ) \in { \mathbb R } ^ { N } \times { \mathbb R } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A + B + C } & { { } \rightarrow E } \\ { A + D } & { { } \rightarrow F } \\ { B + D } & { { } \rightarrow G } \\ { C + D } & { { } \rightarrow H } \\ { F + G + H } & { { } \rightarrow I } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { H } ( q _ { \theta } ) } & { \approx \mathbf { \Tilde { H } } ( q _ { \theta } ) } \\ & { = - \sum _ { i = 1 } ^ { K } \pi _ { i } \int \mathcal { N } ( z | \mu _ { i } , \Sigma _ { i } ) \log ( \pi _ { i } \mathcal { N } ( z | \mu _ { i } , \Sigma _ { i } ) ) d z } \\ & { = \frac { m } { 2 } + \frac { m } { 2 } \log 2 \pi + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { K } \pi _ { i } \log | \Sigma _ { i } | - \sum _ { i = 1 } ^ { K } \pi _ { i } \log \pi _ { i } } \end{array}
\left( \stackrel { ( 0 ) } { S } , \stackrel { ( 0 ) } { S } \right) = 0 , \; \varepsilon \left( \stackrel { ( 0 ) } { S } \right) = 0 , \; \mathrm { g h } \left( \stackrel { ( 0 ) } { S } \right) = 0 ,
f _ { j } = \omega _ { j } ^ { 2 } - \omega _ { j - 1 } ^ { 2 } + \delta _ { j } \ , \ \ \, d e l t a _ { j } = 2 j - 5 \ , \ \ \ j = 1 , \ldots , 4 \ \ \ \ ( \omega _ { 0 } = \omega _ { 4 } = 0 ) \ .
\begin{array} { r l } { \left| \frac { f ( \lambda + \delta ) - f ( \lambda ) } { \delta } \right| } & { \leq \sum _ { m \in \mathbb { N } } \sum _ { k + \ell \leq m } C m ^ { 2 } e ^ { \lambda ( k - \ell ) } \left( \frac { 2 d } { Z _ { \lambda } } \right) ^ { m } \P _ { 0 } ( ( R , L ) = ( k , \ell ) , \mathcal { U } ( \tau _ { 1 } ) = m ) } \\ & { = C \cdot \mathbb { E } _ { \lambda } \! \left[ ( \mathcal { U } ( \tau _ { 1 } ) ) ^ { 2 } \right] < \infty , } \end{array}
b = \left\{ \begin{array} { l l } { { 3 \ , \ } } & { { S = S ( P _ { 8 } ) \ ; } } \\ { { 4 \ , \ } } & { { S = S ( X _ { 9 } ) \ ; } } \\ { { 6 \ , \ } } & { { S = S ( J _ { 1 0 } ) \ . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { \theta _ { 2 5 } \to \pi ^ { - } } \frac { \mathrm { d } q _ { 2 } } { \mathrm { d } \theta _ { 2 5 } } = \operatorname* { l i m } _ { \theta _ { 2 5 } \to \pi ^ { - } } \frac { \mathrm { d } M _ { 2 } } { \mathrm { d } \theta _ { 2 5 } } = 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F ( m , \sigma ) } & { = \int _ { \mathbb { R } } ( 1 - 2 s ) ( m + 2 \sqrt { 3 } \sigma ( s - \frac 1 2 ) ) + | m + 2 \sqrt { 3 } \sigma ( s - \frac 1 2 ) | \mathrm { d } s } \\ & { = - \frac { \sigma } { \sqrt { 3 } } + \left\{ \begin{array} { l l } { | m | , } & { i f | m | \geq \sqrt { 3 } \sigma , } \\ { \frac { m ^ { 2 } + 3 \sigma ^ { 2 } } { 2 \sqrt { 3 } \sigma ^ { 2 } } } & { i f | m | < \sqrt { 3 } \sigma , } \end{array} \right. } \end{array}
\left[ \delta _ { C } ( \xi _ { 1 } ) , \delta _ { C } ( \xi _ { 2 } ) \right] = \delta _ { C } \left( \xi ^ { \mu } = \xi _ { 2 } ^ { \nu } \partial _ { \nu } \xi _ { 1 } ^ { \mu } - \xi _ { 1 } ^ { \nu } \partial _ { \nu } \xi _ { 2 } ^ { \mu } \right) \, .