harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \underset { \left\{ \mathbf { F } \right\} } { \operatorname* { m a x } } \sum _ { k = 1 } ^ { K } { \mu _ { k , ( 2 ) } \mathrm { S E } _ { k , ( 2 ) } } } \\ & { \mathrm { s } . \mathrm { t } . \left\| \mathbf { F } _ { k , \mathrm { u } , ( 2 ) } \right\| ^ { 2 } \leqslant p _ { k } \, \, \forall k = 1 , \dots , K } \end{array}
\widetilde { \psi } ( \mathbf { r } , t ) = \exp \left( \mathrm { i } \, \omega t \, \mathrm { L } _ { z } \right) \psi ( \mathbf { r } , t ) \equiv \psi ( \ensuremath { R _ { \omega } } ^ { - 1 } ( t ) \mathbf { r } , t ) ,
\begin{array} { r l } { a ^ { 3 } + b ^ { 3 } + c ^ { 3 } - 3 a b c } & { = } \\ { c ^ { 3 } + ( a + b ) ^ { 3 } - 3 a b ( a + b ) - 3 a b c } & { = } \\ { c ^ { 3 } + ( a + b ) ^ { 3 } - 3 a b ( a + b + c ) } & { = } \\ { ( a + b + c ) ^ { 3 } - 3 c ( a + b ) ( a + b + c ) - 3 a b ( a + b + c ) } & { = } \\ { ( a + b + c ) ^ { 3 } - 3 ( a b + a c + b c ) ( a + b + c ) } & { = } \\ { ( a + b + c ) \cdot ( ( a + b + c ) ^ { 2 } - 3 ( a b + a c + b c ) ) } & { = } \\ { ( a + b + c ) \cdot ( ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } ) - ( a b + a c + b c ) ) } & { = } \\ { ( a + b + c ) \cdot \cfrac { ( a - b ) ^ { 2 } + ( b - c ) ^ { 2 } + ( c - a ) ^ { 2 } } { 2 } } \end{array}
{ M _ { d } } ^ { 0 } { { M _ { d } } ^ { 0 } } ^ { \dagger } = \left( \begin{array} { c c c c } { { { m ^ { 0 } } ^ { 2 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { m ^ { 0 } J ^ { \ast } } } \\ { { 0 } } & { { { m _ { s } ^ { 0 } } ^ { 2 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { { m ^ { 0 } } ^ { 2 } } } & { { m ^ { 0 } J ^ { \ast } } } \\ { { m ^ { 0 } J } } & { { 0 } } & { { m ^ { 0 } J } } & { { 2 \left| J \right| ^ { 2 } + { m ^ { 0 } } ^ { 2 } } } \end{array} \right) \: \: ,
\begin{array} { r } { K ( \xi ) = \left\{ \begin{array} { l l } { e ^ { - \xi } + ( \gamma - e ^ { - \eta ^ { * } } ) e ^ { - c _ { H } ( \xi - \eta ^ { * } ) } , \; } & { \xi > \eta ^ { * } , } \\ { - \frac { c _ { L } } { 1 - c _ { L } } e ^ { - ( \xi - \kappa ^ { * } ) } + \frac { 1 } { 1 - c _ { L } } e ^ { - c _ { L } ( \xi - \kappa ^ { * } ) } , \; } & { \kappa ^ { * } < \xi < \eta ^ { * } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } } & { { } = \underbrace { \mathbb { E } _ { { x } \sim { P } ( x ) } \left[ \mathbb { E } _ { z \sim P ( z \mid x ) } [ - \ln Q ( x \mid z ) ] \right] } _ { \mathrm { ~ R ~ e ~ c ~ o ~ n ~ s ~ t ~ r ~ u ~ c ~ t ~ i ~ o ~ n ~ I ~ t ~ e ~ m ~ } } + \underbrace { \mathbb { E } _ { { x } \sim { P } ( x ) } { [ K L ( P ( z \mid x ) \| Q ( z ) ) ] } } _ { \mathrm { ~ D ~ i ~ s ~ t ~ r ~ i ~ b ~ u ~ t ~ i ~ o ~ n ~ I ~ t ~ e ~ m ~ } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { a _ { j , - n } \cdot \tilde { J } _ { \pi } ( \{ p _ { j , n } \} ) } & { = } & { p _ { j , n } \tilde { J } _ { \pi } ( \{ p _ { j , n } \} ) , } \\ { a _ { j , n } \cdot \tilde { J } _ { \pi } ( \{ p _ { j , n } \} ) } & { = } & { - \frac { 1 } { h _ { 1 } h _ { 2 } } n \frac { \partial } { \partial p _ { j , n } } \tilde { J } _ { \pi } ( \{ p _ { j , n } \} ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { v \in W } d ( v ) } & { = \sum _ { v \in W } \frac { | | G [ u ] | | } { \binom { r } { 2 } } } \\ & { = \binom { r } { 2 } ^ { - 1 } \sum _ { 1 \le i < j \le r } \left( | E ( W _ { i } , W _ { j } ) | \prod _ { l \neq i , j } | W _ { l } | \right) } \\ & { = \binom { r } { 2 } ^ { - 1 } \sum _ { 1 \le i < j \le r } \left( d ( W _ { i } , W _ { j } ) | W _ { i } | | W _ { j } | \prod _ { l \neq i , j } | W _ { l } | \right) } \\ & { = \binom { r } { 2 } ^ { - 1 } \sum _ { 1 \le i < j \le r } d ( W _ { i } , W _ { j } ) | W | . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Vert \textnormal { O p } ( \widehat { \sigma } _ { N , \, s r } ( [ \eta ] , \cdot ) ) \Vert _ { \mathscr { S } _ { p } } } & { \lesssim \left( \sum _ { [ \xi ] \in \widehat { G } } d _ { \xi } \sqrt { d } _ { \eta } ^ { p } \left( \smallint _ { G } \Vert { \sigma } _ { N } ( x , [ \xi ] ) \Vert _ { \mathscr { S } _ { p } } \textnormal { d } x \right) ^ { p } \right) ^ { \frac { 1 } { p } } } \\ & { \leq \sqrt { d } _ { \eta } \smallint _ { G } \left( \sum _ { [ \xi ] \in \widehat { G } } d _ { \xi } \Vert { \sigma } _ { N } ( x , [ \xi ] ) \Vert _ { \mathscr { S } _ { p } } ^ { p } \right) ^ { \frac { 1 } { p } } \textnormal { d } x } \\ & { = \sqrt { d } _ { \eta } \smallint _ { G } \Vert { \sigma } _ { N } ( x , \cdot ) \Vert _ { \mathscr { S } _ { p } ( \widehat { G } ) } \textnormal { d } x } \\ & { = \sqrt { d } _ { \eta } \Vert { \sigma } _ { N } ( x , \cdot ) \Vert _ { L ^ { 1 } ( G , \mathscr { S } _ { p } ( \widehat { G } ) ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { ~ R ~ e ~ } { \left\{ \sigma _ { n n } ( \Omega ) \right\} } } & { { } = } & { - \frac { \pi \hbar e ^ { 2 } } { \Omega } \int d \omega \left[ f ^ { \mathrm { e q } } ( \hbar \omega ) - f ^ { \mathrm { e q } } ( \hbar \omega - \hbar \Omega ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { f \colon \, } & { { } [ 0 , 1 ] \to \mathbb { R P } ^ { 2 } } & { \quad } & { { } { \mathrm { ( p r o j e c t i v e ~ p l a n e ~ p a t h ) } } } \\ { g \colon \, } & { { } S ^ { 2 } \to \mathbb { R P } ^ { 2 } } & { \quad } & { { } { \mathrm { ( c o v e r i n g ~ m a p ) } } } \\ { h \colon \, } & { { } [ 0 , 1 ] \to S ^ { 2 } } & { \quad } & { { } { \mathrm { ( s p h e r e ~ p a t h ) } } } \end{array}
\xi ^ { 5 } ( x ) = \frac { 1 } { 6 } M ^ { - 3 } \bigg ( 1 - \frac { 4 \alpha k ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } \bigg ) ^ { - 1 } \int d ^ { 4 } x ^ { \prime } G _ { 4 } ( x , x ^ { \prime } ) S _ { \lambda } ^ { \lambda } ( x ^ { \prime } )
\Gamma ( H \to f \bar { f } ) \simeq \frac { N _ { c } G _ { F } m _ { f } ^ { 2 } } { \sqrt { 2 } \, 4 \pi } m _ { H } \left( 1 - \frac { 4 m _ { f } ^ { 2 } } { m _ { H } ^ { 2 } } \right) ^ { 3 / 2 }
\begin{array} { r l } { \langle \hat { \psi } _ { a , L } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } ) \hat { \psi } _ { a , L } ( \boldsymbol { r } ) \rangle } & { = \langle \hat { \psi } _ { a , R } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } ) \hat { \psi } _ { a , R } ( \boldsymbol { r } ) \rangle = \frac { 1 } { 2 } | \eta _ { A } ( \boldsymbol { r } ) | ^ { 2 } , } \\ { \langle \hat { \psi } _ { b , L } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) \hat { \psi } _ { b , L } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) \rangle } & { = \langle \hat { \psi } _ { b , R } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) \hat { \psi } _ { b , R } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) \rangle = \frac { 1 } { 2 } | \eta _ { B } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) | ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { k ^ { \uparrow } } & { : = \operatorname* { s u p } \{ k \ge 1 \ ; \ \lambda _ { \ell } ^ { \uparrow } - \lambda _ { \ell } ^ { \downarrow } = 1 , \ 1 \le \forall \ell \le k \} } \\ & { = \operatorname* { s u p } \{ k \ge 1 \ ; \ \sum _ { \ell = 1 } ^ { k } ( \lambda _ { \ell } ^ { \uparrow } - \lambda _ { \ell } ^ { \downarrow } ) = k \} } \end{array}
\begin{array} { r l } { z \left( \tau \right) } & { { } = \frac { 1 } { \tilde { \kappa } \tau + 1 } } \\ { u ( \tau ) } & { { } = \frac { \tilde { \kappa } \tau } { \tilde { \kappa } \tau + 1 } } \\ { D ( \chi ) } & { { } = e ^ { - | \alpha | ^ { 2 } [ 1 - u ( \tau ) \cos ( \chi ) ] } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varepsilon _ { 1 } ^ { \prime \prime \prime } } & { { } = - { \frac { \nu } { E } } \sigma _ { 3 } \, , } \\ { \varepsilon _ { 2 } ^ { \prime \prime \prime } } & { { } = - { \frac { \nu } { E } } \sigma _ { 3 } \, , } \\ { \varepsilon _ { 3 } ^ { \prime \prime \prime } } & { { } = { \frac { 1 } { E } } \sigma _ { 3 } \, . } \end{array}
t _ { + } ^ { \ell } ( \mu , \nu ; a , x ) = \frac { N ( \mu ) } { N ( \nu ) } \frac { \Gamma ( \nu - 2 \ell ) \Gamma ( \mu - \nu ) } { \Gamma ( \mu - 2 \ell ) } \, e ^ { a ( \mu - \ell ) } \, x _ { + } ^ { \nu - \mu } \, , \qquad 2 \ell < \Re ( \nu ) < \Re ( \mu ) \, .
\| \mathbf { D } _ { t } ^ { \theta _ { 1 } } ( \xi w w _ { 1 } ) - \xi \mathbf { D } _ { t } ^ { \theta _ { 1 } } ( w w _ { 1 } ) \| _ { \mathcal { C } ^ { \alpha , \frac { \theta \alpha } { 2 } } ( \bar { \Omega } _ { T } ) } \leq C [ 1 + \| w _ { 1 } \| _ { \mathcal { C } ^ { 1 } ( [ 0 , T ] ) } ] [ \langle w \rangle _ { t , \Omega _ { T _ { 3 } } } ^ { ( \frac { \theta } { 2 } ) } + \| w \| _ { \mathcal { C } ( [ 0 , T _ { 3 } ] , \mathcal { C } ^ { \alpha } ( \bar { \Omega } ) ) } + \| w _ { 0 } \| _ { \mathcal { C } ^ { \alpha } ( \bar { \Omega } ) } ] ,
\begin{array} { r l } { B D , E I } & { \quad x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 2 4 y + 1 6 = 0 } \\ { D E , B I , C I ^ { \prime } } & { \quad y ^ { 3 } + ( 3 x + 1 2 ) y ^ { 2 } + ( x ^ { 2 } + 4 0 x - 1 6 ) y + 3 x ^ { 3 } - 4 4 x ^ { 2 } + 3 0 4 x - 1 9 2 = 0 } \\ { E F } & { \quad y ^ { 3 } + ( x - 1 2 ) y ^ { 2 } + ( x ^ { 2 } + 8 x - 1 6 ) y + x ^ { 3 } - 2 0 x ^ { 2 } - 2 4 0 x + 1 9 2 = 0 } \\ { F G , H A , C H ^ { \prime } } & { \quad x ^ { 3 } - 4 x ^ { 2 } + ( y ^ { 2 } + 8 y - 8 0 ) x - 4 y ^ { 2 } + 6 4 = 0 } \\ { G A , F H } & { \quad x ^ { 3 } - 1 2 x ^ { 2 } + ( y ^ { 2 } - 2 4 y + 1 1 2 ) x + 4 y ^ { 2 } - 6 4 = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m a x } ( \| F ^ { C _ { n } } - F ^ { C _ { n , \varepsilon } } \| , \| F ^ { B _ { n } } - F ^ { B _ { n , \varepsilon } } \| ) } \\ { \le } & { \frac 1 n ( { \mathrm { r a n k } } ( R _ { n } - R _ { n , \varepsilon } ) + { \mathrm { r a n k } } ( T _ { n } - T _ { n , \varepsilon } ) ) \le \varepsilon / 3 . } \end{array}
\nabla _ { \Dot { \boldsymbol x } } \Dot { \boldsymbol x } = \hat { f } ( v ^ { \| } ) \mathbf { e } _ { \| } + \left( - 2 \beta h - 2 \mu v ^ { \perp } \right) \mathbf { e } _ { \perp } + \sigma \dot { \boldsymbol { W } } .
\begin{array} { r l r } { \hat { \bf z } _ { 1 1 } ( \omega ) } & { = } & { S _ { 1 1 } ( l _ { 2 , \omega } ) ( \hat { \bf e } _ { \omega } ^ { H } { \bf u } ^ { n } ) + M _ { 1 1 , \omega } \hat { \bf e } _ { \omega } ^ { H } ( L _ { N } - l _ { 2 , \omega } I ) { \bf u } ^ { n } } \\ & { = } & { S _ { 1 1 } ( l _ { 2 , \omega } ) \hat { u } ( \omega ) - i \omega M _ { 1 1 , \omega } \sum _ { k \in I _ { \omega } } \hat { p } ( \omega - k ) i ( k ) \hat { u } ( k ) + } \\ & { } & { M _ { 1 1 , \omega } \sum _ { k \in I _ { \omega } } \hat { q } ( \omega - k ) \hat { u } ( k ) , } \\ { \hat { \bf z } _ { 2 1 } ( \omega ) } & { = } & { S _ { 2 1 } ( l _ { 2 , \omega } ) \hat { u } ( \omega ) - i \omega M _ { 2 1 , \omega } \sum _ { k \in I _ { \omega } } \hat { p } ( \omega - k ) i ( k ) \hat { u } ( k ) + } \\ & { } & { M _ { 2 1 , \omega } \sum _ { k \in I _ { \omega } } \hat { q } ( \omega - k ) \hat { u } ( k ) , } \\ { \hat { \bf z } _ { 1 2 } ( \omega ) } & { = } & { S _ { 1 2 } ( l _ { 2 , \omega } ) \hat { u } _ { t } ( \omega ) - i \omega M _ { 1 2 , \omega } \sum _ { k \in I _ { \omega } } \hat { p } ( \omega - k ) i ( k ) \hat { u } _ { t } ( k ) + } \\ & { } & { M _ { 1 2 , \omega } \sum _ { k \in I _ { \omega } } \hat { q } ( \omega - k ) \hat { u } _ { t } ( k ) , } \\ { \hat { \bf z } _ { 2 2 } ( \omega ) } & { = } & { S _ { 2 2 } ( l _ { 2 , \omega } ) \hat { u } _ { t } ( \omega ) - i \omega M _ { 2 2 , \omega } \sum _ { k \in I _ { \omega } } \hat { p } ( \omega - k ) i ( k ) \hat { u } _ { t } ( k ) + } \\ & { } & { M _ { 2 2 , \omega } \sum _ { k \in I _ { \omega } } \hat { q } ( \omega - k ) \hat { u } _ { t } ( k ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle K ; N , S , I , G , F _ { 1 } , I _ { H } , F , M | } & { ( N ^ { 2 } - \ell ^ { 2 } ) | K ^ { \prime } ; N ^ { \prime } , S , I , G ^ { \prime } , F _ { 1 } ^ { \prime } , I _ { H } , F ^ { \prime } , M ^ { \prime } \rangle } \\ & { = \delta _ { F , F ^ { \prime } } \delta _ { M , M ^ { \prime } } \delta _ { F _ { 1 } , F _ { 1 } ^ { \prime } } \delta _ { G , G ^ { \prime } } \delta _ { N , N ^ { \prime } } \delta _ { K , K ^ { \prime } } \lbrace N ( N + 1 ) - K ^ { 2 } \rbrace } \end{array}
\{ { Q _ { 1 1 } ^ { \alpha } } , { Q _ { 1 1 } ^ { \beta } } \} = ( { \gamma } ^ { p } ) ^ { \alpha \beta } P _ { p } + ( { \gamma } ^ { p _ { 1 } p _ { 2 } } ) ^ { \alpha \beta } Z _ { p _ { 1 } p _ { 2 } } + ( { \gamma } ^ { p _ { 1 } \dots p _ { 5 } } ) ^ { \alpha \beta } Z _ { p _ { 1 } \dots p _ { 5 } } \, ,
\begin{array} { r l } { d _ { 1 } ^ { \mathrm { f o c u s } } ( n ) } & { = \sqrt { ( - d _ { \mathrm { r i s } } - x _ { n } ^ { \mathrm { r i s } } ) ^ { 2 } + ( y _ { n } ^ { \mathrm { r i s } } ) ^ { 2 } + l _ { t } ^ { 2 } } } \\ { d _ { 2 } ^ { \mathrm { f o c u s } } ( n ) } & { = \sqrt { ( D - d _ { \mathrm { r i s } } - x _ { n } ^ { \mathrm { r i s } } ) ^ { 2 } + ( y _ { n } ^ { \mathrm { r i s } } ) ^ { 2 } + l _ { r } ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { f = } & { \frac { q } { 2 } \left( \sum _ { l = 1 } ^ { m - k - 1 } x _ { \pi _ { 1 } ( l ) } x _ { \pi _ { 1 } ( l + 1 ) } + \sum _ { s = 1 } ^ { n - 1 } y _ { \pi _ { 2 } ( s ) } y _ { \pi _ { 2 } ( s + 1 ) } + x _ { \pi _ { 1 } ( m ) } y _ { \pi _ { 2 } ( n ) } \right) } \\ & { + \sum _ { l = 1 } ^ { m - k } \mu _ { l } x _ { \pi _ { 1 } ( l ) } x _ { \pi _ { 1 } ( m ) } + \sum _ { l = 1 } ^ { m } p _ { l } x _ { k } + \sum _ { s = 1 } ^ { n } \kappa _ { s } y _ { s } + p _ { 0 } } \end{array}
A ( E , \theta ) = \frac { \frac { \mathrm { d } P ^ { \mathrm { N D } } } { \mathrm { d } E d \cos \theta } } { \frac { \mathrm { d } P ^ { \mathrm { N D } } } { \mathrm { d } E \mathrm { d } \cos \theta } + \frac { \mathrm { d } P ^ { \mathrm { D } } } { \mathrm { d } E \mathrm { d } \cos \theta } } ,
\begin{array} { r l } { { \frac { d G } { d t } } } & { { } = \sum _ { k = 1 } ^ { N } \mathbf { p } _ { k } \cdot { \frac { d \mathbf { r } _ { k } } { d t } } + \sum _ { k = 1 } ^ { N } { \frac { d \mathbf { p } _ { k } } { d t } } \cdot \mathbf { r } _ { k } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ln \gamma _ { \mathrm { S i } } = } & { { } - 6 . 6 5 \frac { 1 8 7 3 } { T } - 1 2 . 4 1 \frac { 1 8 7 3 } { T } \ln ( 1 - x _ { \mathrm { S i } } ) + 5 \frac { 1 8 7 3 } { T } x _ { \mathrm { O } } \left( 1 + \frac { \ln ( 1 - x _ { \mathrm { O } } ) } { x _ { \mathrm { O } } } - \frac { 1 } { ( 1 - x _ { \mathrm { S i } } ) } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { E _ { i } } P ( E _ { 1 } , E _ { k } ) \, } & { = \, E _ { i } ( P ( E _ { 1 } , E _ { k } ) ) - \, P ( \nabla _ { E _ { i } } E _ { 1 } , E _ { k } ) \, - \, P ( E _ { 1 } , \nabla _ { E _ { i } } E _ { k } ) } \\ & { = \, - \, g ( \nabla _ { E _ { i } } E _ { k } , E _ { 2 } ) P ( E _ { 1 } , E _ { 2 } ) } \\ & { = \, - \, g ( \nabla _ { E _ { i } } E _ { k } , E _ { 2 } ) \, u \, \, , } \end{array}
\chi ( T , \mu ) \equiv \int \! d ^ { 4 } x \, \theta ( x _ { 0 } ) \langle [ J _ { S } ( x ) , J _ { S } ( 0 ) ] \rangle _ { T , \mu } = \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! d u ^ { 2 } \, { \frac { \rho ( u ; T , \mu ) } { u ^ { 2 } } } \, ,
\Phi = { \frac { 1 } { 2 \kappa _ { 0 } ^ { 2 } } } \int _ { S _ { 8 - p } } * G _ { ( p + 2 ) } = { \frac { 1 } { 2 \kappa _ { 0 } ^ { 2 } } } \int _ { S _ { 7 - p } } C _ { ( 7 - p ) } \ .
| T | _ { \alpha ^ { - } } ^ { 2 } = 6 | \alpha ^ { - } | ^ { 2 } = 6 \left( B ^ { - } \right) ^ { 2 } \left[ \frac { \omega _ { b } - \omega _ { a } } { 2 } { \cal M } _ { 1 } - \frac { Q _ { f } z } { 2 } { \cal M } _ { 0 } \right] ^ { 2 } ,
\frac { { \cal D } - { \cal R } } { 2 \, { \cal D } } = \rho _ { s } \, \sin \gamma \left[ \, \frac { \pm \left( \cos \theta _ { s } + \rho _ { s } \cos \gamma \right) \sqrt { 1 / { \cal D } ^ { 2 } - 1 } + \rho _ { s } \sin \gamma } { 1 + 2 \, \rho _ { s } \, \cos \theta _ { s } \, \cos \gamma + \rho _ { s } ^ { 2 } } \, \right] = \, { \cal O } ( \rho _ { s } ) .
\chi ( n ) : = \left\{ \begin{array} { l l } { n ^ { 2 } \cdot \tau _ { i } ( n ) \quad } & { \textnormal { f o r } ( i \geq 1 , 0 , 0 ) \smallskip } \\ { n \sum _ { \ell = 1 } ^ { \tau ( n ) } p _ { \ell } \cdot \tau _ { i } ( p _ { \ell } ) \cdot \tau _ { k } ( n / p _ { \ell } ) \quad } & { \textnormal { f o r } ( i \geq 1 , 0 , k \geq 1 ) \smallskip } \\ { \sum _ { \ell = 1 } ^ { \tau ( n ) } p _ { \ell } ^ { 2 } \cdot \tau _ { i } ( p _ { \ell } ) \cdot \tau _ { j } ( n / p _ { \ell } ) \quad } & { \textnormal { f o r } ( i \geq 1 , j \geq 1 , 0 ) \smallskip } \\ { \sum _ { \ell = 1 } ^ { \tau ( n ) } \sum _ { m = 1 } ^ { \tau ( n / p _ { \ell } ) } p _ { \ell } ^ { 2 } q _ { m } \cdot \tau _ { i } ( p _ { \ell } ) \cdot \tau _ { k } ( q _ { m } ) \cdot \tau _ { j } \big ( n / ( p _ { \ell } q _ { m } ) \big ) \quad } & { \textnormal { f o r } ( i \geq 1 , j \geq 1 , k \geq 1 ) } \\ { n \cdot \tau _ { k } ( n ) \quad } & { \textnormal { f o r } ( 0 , 0 , k \geq 1 ) \smallskip } \\ { \sum _ { \ell = 1 } ^ { \tau ( n ) } p _ { \ell } \cdot \tau _ { k } ( p _ { \ell } ) \cdot \tau _ { j } ( n / p _ { \ell } ) \quad } & { \textnormal { f o r } ( 0 , j \geq 1 , k \geq 1 ) \smallskip } \\ { \tau _ { j } ( n ) \quad } & { \textnormal { f o r } ( 0 , j \geq 1 , 0 ) \smallskip } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \bar { A } = \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { \Delta t } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { \Delta t } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] , } & { \quad \tilde { A } _ { 1 } = \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \theta \Delta t } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \theta \Delta t } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] , } \\ { \tilde { A } _ { 2 } = \left[ \begin{array} { l l l l } { \theta \Delta t } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \theta \Delta t } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] , } & { \quad \bar { B } = \left[ \begin{array} { l l } { \Delta t } & { 0 } \\ { 0 } & { \Delta t } \\ { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] , } \\ { \tilde { B } _ { 1 } = \left[ \begin{array} { l l } { \theta \Delta t } & { 0 } \\ { 0 } & { \theta \Delta t } \\ { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] , } & { \quad \tilde { B } _ { 2 } = \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { \theta \Delta t } \\ { \theta \Delta t } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] , } \\ { \bar { d } = 0 _ { 4 } , \quad \tilde { d } _ { 1 } = \left[ \begin{array} { l } { 0 . 1 \Delta t } \\ { 0 . 1 \Delta t } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right] , } & { \quad \tilde { d } _ { 1 } = \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 . 1 \Delta t } \\ { 0 . 1 \Delta t } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { S _ { 1 } ( \mathbf { r ( \eta ) } ) = S _ { 1 } ( \mathrm { R e } [ \mathbf { r } ( \eta ) ] ) + i \mathrm { I m } [ \mathbf { r } ( \eta ) ] \cdot { \boldsymbol \nabla } S _ { 1 } ( \mathrm { R e } [ \mathbf { r } ( \eta ) ] ) . } \end{array}
\partial _ { t t } \left( { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial ( \partial _ { t t } \psi ) } } \right) + \partial _ { x x } \left( { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial ( \partial _ { x x } \psi ) } } \right) - \partial _ { t } \left( { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial ( \partial _ { t } \psi ) } } \right) - \partial _ { x } \left( { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial ( \partial _ { x } \psi ) } } \right) + { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial \psi } } = 0 .
I \left[ \mathrm { s o m e t h i n g } \right] \equiv \int \int \mathrm { d } ^ { n } p \; \mathrm { d } ^ { n } q \; \left\{ \mathrm { s o m e t h i n g } \right\} \; F \left( p ^ { 2 } , q ^ { 2 } , ( p q ) \right) ,
\mu ( r , \beta ) = \frac { \pi r ^ { 2 } } { 2 D ^ { 2 } } \left\{ \ln \left[ \frac { 2 D ^ { 2 } \sqrt { \frac { D ^ { 4 } } { \pi ^ { 2 } } + \frac { \left( 4 \beta - 2 \right) r ^ { 2 } D ^ { 2 } } { \pi } + r ^ { 4 } } + \left( \frac { 2 D ^ { 4 } } { \pi } + \left( 4 \beta - 2 \right) r ^ { 2 } D ^ { 2 } \right) } { 2 D ^ { 2 } \sqrt { \frac { D ^ { 4 } } { \pi ^ { 2 } } + \frac { \left( 4 \beta - 2 \right) r ^ { 2 } D ^ { 2 } } { \pi } + r ^ { 4 } } - \left( \frac { 2 D ^ { 4 } } { \pi } + \left( 4 \beta - 2 \right) r ^ { 2 } D ^ { 2 } \right) } \right] + \ln \left[ \frac { 1 - \beta } { \beta } \right] \right\} .
\begin{array} { r l r } { \psi _ { 2 } ^ { i , j + 1 } } & { { } = } & { \psi _ { 2 } ^ { i , j } - \sum _ { k = 1 } ^ { j } [ ( k + 1 ) ^ { ( 1 - \alpha ) } - k ^ { ( 1 - \alpha ) } ] [ \psi _ { 2 } ^ { i , j + 1 - k } - \psi _ { 2 } ^ { i , j - k } ] + i ^ { - \alpha } \beta _ { \alpha , \mu } ( V _ { 2 } ^ { j } \psi _ { 1 } ^ { i , j } + V _ { 2 } ^ { j + 1 } \psi _ { 1 } ^ { i , j + 1 } ) } \end{array}
p _ { c } ( \xi ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \sin ^ { 2 } \left[ \frac { \pi } { 2 | \xi _ { c } - \xi _ { c - 1 } | } ( \xi - \xi _ { c - 1 } ) \right] , \xi _ { c - 1 } \leq \xi \leq \xi _ { c } } \\ { \cos ^ { 2 } \left[ \frac { \pi } { 2 | \xi _ { c } - \xi _ { c + 1 } | } ( \xi - \xi _ { c } ) \right] , \xi _ { c } \leq \xi \leq \xi _ { c + 1 } } \\ { 0 \ \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right.
\sum _ { c , c ^ { \prime } } \delta _ { a _ { 2 } b _ { 1 } } ( I _ { a _ { 1 } } \dots J _ { c } ) ( I _ { c } \dots J _ { c ^ { \prime } } ) ( I _ { c ^ { \prime } } \dots J _ { b _ { 2 } } ) , \quad \sum _ { c , c ^ { \prime } } \delta _ { a _ { 1 } b _ { 2 } } ( I _ { b _ { 1 } } \dots J _ { c } ) ( I _ { c } \dots J _ { c ^ { \prime } } ) ( I _ { c ^ { \prime } } \dots J _ { a _ { 2 } } ) .
\begin{array} { r l } { \overline { { q } } ( i ) _ { j } = } & { \frac { \left( \left| \begin{array} { l l } { \overline { { q } } ( i - 1 ) _ { 1 } } & { \overline { { q } } ( n ) _ { 1 } } \\ { \overline { { q } } ( i - 1 ) _ { 2 } } & { \overline { { q } } ( n ) _ { 2 } } \end{array} \right| - \left| \begin{array} { l l } { \overline { { p } } ( i - 1 ) _ { 1 } } & { \overline { { p } } ( n ) _ { 1 } } \\ { \overline { { p } } ( i - 1 ) _ { 2 } } & { \overline { { p } } ( n ) _ { 2 } } \end{array} \right| + \left| \begin{array} { l l } { \overline { { p } } ( i ) _ { 1 } } & { \overline { { p } } ( n ) _ { 1 } } \\ { \overline { { p } } ( i ) _ { 2 } } & { \overline { { p } } ( n ) _ { 2 } } \end{array} \right| \right) \overline { { q } } ( i - 1 ) _ { j } } { \left| \begin{array} { l l } { \overline { { q } } ( i - 1 ) _ { 1 } } & { \overline { { q } } ( n ) _ { 1 } } \\ { \overline { { q } } ( i - 1 ) _ { 2 } } & { \overline { { q } } ( n ) _ { 2 } } \end{array} \right| } } \\ & { + \frac { \left| \begin{array} { l l } { \overline { { p } } ( i - 1 ) _ { 1 } } & { \overline { { p } } ( i ) _ { 1 } } \\ { \overline { { p } } ( i - 1 ) _ { 2 } } & { \overline { { p } } ( i ) _ { 2 } } \end{array} \right| \overline { { q } } ( n ) _ { j } } { \left| \begin{array} { l l } { \overline { { q } } ( i - 1 ) _ { 1 } } & { \overline { { q } } ( n ) _ { 1 } } \\ { \overline { { q } } ( i - 1 ) _ { 2 } } & { \overline { { q } } ( n ) _ { 2 } } \end{array} \right| } , } \end{array}
\frac { D } { D t } \int _ { \Sigma ( t ) } \rho ^ { \Sigma } \phi ^ { \Sigma } \mathrm { d } s = \int _ { \Sigma ( t ) } \frac { \partial \rho ^ { \Sigma } \phi ^ { \Sigma } } { \partial t } \mathrm { d } s + \int _ { \Sigma ( t ) } \nabla _ { \Sigma } \cdot ( \rho ^ { \Sigma } \phi ^ { \Sigma } \boldsymbol { u } ^ { \Sigma } ) \mathrm { d } s \; .
\sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \theta ^ { i } \mathbb { E } \left[ \Delta _ { i } ( t ) \right] \geq \frac { \rho _ { 0 } \theta } { 1 - \rho _ { 0 } \theta } ( ( 1 - \rho _ { 0 } ) \eta ) ^ { 1 + \alpha } \geq \frac { \rho _ { 0 } \theta } { 1 - \rho _ { 0 } \theta } \left( \frac { ( 1 - \rho _ { 0 } ) ( 1 - \theta ) } { \theta } \mathbb { E } \left[ V ( t ) \right] \right) ^ { 1 + \alpha } .
f _ { F } \underset { | q | \gg \varepsilon } = \frac { B } { \varepsilon ^ { 2 } + 1 } = B \frac { ( \gamma _ { r a d } + \gamma _ { n r a d } ) ^ { 2 } } { ( E - E _ { c } ) ^ { 2 } + ( \gamma _ { r a d } + \gamma _ { n r a d } ) ^ { 2 } } = f _ { L }
g _ { t } ( \mu ) { \big | } _ { \mu = \mu _ { \ast } } \gg 1 \ ; \qquad \frac { \lambda ( \mu ) } { g _ { t } ^ { 2 } ( \mu ) } { \Big | } _ { \mu = \mu _ { \ast } } \sim 1 \qquad \mathrm { f o r : ~ } { \mu } _ { \ast } < { \Lambda } , \, l n \left( \frac { { \Lambda } } { { \mu } _ { \ast } } \right) \approx 1 \ .