harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\sigma ^ { j } ( ( \mathbf d \overline { { e _ { 2 } \cdots e _ { m - 2 } } } 0 ) ^ { \infty } ) = ( \overline { { e _ { j - m + 2 } \cdots e _ { m - 2 } } } 0 \mathbf d \overline { { e _ { 2 } \cdots e _ { j - m + 1 } } } ) ^ { \infty } \prec \overline { { e _ { j - m + 2 } \cdots e _ { m - 1 } e _ { m } } } \preceq \mathbf d \prec ( \mathbf d \overline { { e _ { 2 } \cdots e _ { m - 2 } } } 0 ) ^ { \infty } .
( { \bf x } \, t \vert { \bf x } ^ { \prime } t ^ { \prime } ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi i \epsilon \hbar / M } ^ { D } } \prod _ { n = 1 } ^ { N } \left[ \int _ { - \infty } ^ { \infty } d x _ { n } \right] \prod _ { n = 1 } ^ { N + 1 } K _ { 0 } ^ { \epsilon } ( \Delta { \bf x } _ { n } ) ,
\Delta = \left( \begin{array} { c c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { - 1 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - 1 } } & { { 0 } } & { { 2 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } & { { - 2 } } & { { 0 } } \end{array} \right) .
V _ { 0 } ( p , \Lambda ) = - { \frac { 2 \pi ^ { 2 } } { M } } \left[ \Lambda - { \frac { p } { 2 } } \ln { \frac { \Lambda + p } { \Lambda - p } } \right] ^ { - 1 } = \; - { \frac { 2 \pi ^ { 2 } } { M } } \left[ \Lambda - I ( p ) \right] ^ { - 1 } ,
{ \Gamma } _ { E \times B } ^ { \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } } ( \theta _ { i } ) = \frac { 1 } { B _ { i } } \left< - \frac { \widetilde { \Phi } _ { \mathrm { ~ f ~ l ~ } , i + 1 } - \widetilde { \Phi } _ { \mathrm { ~ f ~ l ~ } , i - 1 } } { 2 \Delta y } \widetilde { I } _ { \mathrm { ~ s ~ a ~ t ~ } , i } \right> _ { t } ,
\begin{array} { r l } { q \left( ( v _ { 1 } + v _ { 2 } , w ) - ( v _ { 1 } , w ) - ( v _ { 2 } , w ) \right) } & { = q ( ( v _ { 1 } + v _ { 2 } , w ) ) - q ( ( v _ { 1 } , w ) ) - q ( ( v _ { 2 } , w ) ) } \\ & { = B ( v _ { 1 } + v _ { 2 } , w ) - B ( v _ { 1 } , w ) - B ( v _ { 2 } , w ) } \\ & { = 0 , \qquad \mathrm { b y ~ b i l i n e a r i t y ~ o f ~ B ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { t } ( x _ { t } ) - f _ { t } ( x _ { * } ) } & { \le \bar { g } _ { t } ^ { \top } ( x _ { t } - x _ { * } ) } \\ & { = g _ { t } ^ { \top } ( x _ { t } - x _ { * } ) - \xi _ { t } ^ { \top } ( x _ { t } - x _ { * } ) } \\ & { = ( g _ { t } - u _ { t } ) ^ { \top } ( x _ { t } - x _ { * } ) + u _ { t } ^ { \top } ( x _ { t } - x _ { * } ) - \xi _ { t } ^ { \top } ( x _ { t } - x _ { * } ) } \\ & { = ( g _ { t } - u _ { t } ) ^ { \top } ( x _ { t } - x _ { * } ) + \frac { 1 } { \eta } ( x _ { t } - x _ { t + 1 } ) ^ { \top } ( x _ { t } - x _ { * } ) - \xi _ { t } ^ { \top } ( x _ { t } - x _ { * } ) } \\ & { = ( g _ { t } - u _ { t } ) ^ { \top } ( x _ { t } - x _ { * } ) + \frac { 1 } { 2 \eta } \left( \lVert x _ { t + 1 } - x _ { t } \rVert ^ { 2 } + \lVert x _ { t } - x _ { * } \rVert ^ { 2 } - \lVert x _ { t + 1 } - x _ { * } \rVert ^ { 2 } \right) - \xi _ { t } ^ { \top } ( x _ { t } - x _ { * } ) } \\ & { = ( g _ { t } - u _ { t } ) ^ { \top } ( x _ { t } - x _ { * } ) + \frac { 1 } { 2 \eta } \left( \lVert x _ { t } - x _ { * } \rVert ^ { 2 } - \lVert x _ { t + 1 } - x _ { * } \rVert ^ { 2 } \right) + \frac { \eta } { 2 } \lVert u _ { t } \rVert ^ { 2 } - \xi _ { t } ^ { \top } ( x _ { t } - x _ { * } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { \omega } ^ { ( \epsilon , \epsilon ^ { \prime } ) } ( Z , \zeta , x , x ^ { \prime } ) = } & { \pi ^ { 2 } \int _ { \mathscr D _ { N } ^ { \omega , \sigma } } \zeta ^ { \mathrm { i } Y } \bar { \zeta } ^ { \mathrm { i } \bar { Y } } \prod _ { j = 1 } ^ { N } \frac { \boldsymbol \Gamma [ Z - \omega \pm \mathrm { i } y _ { j } ] } { \boldsymbol \Gamma ^ { 2 } ( Z ) } } \\ & { \times { \prod _ { k = 1 } ^ { N - 1 } \boldsymbol \Gamma [ \mathrm { i } ( \bar { x } _ { k } - \bar { y } _ { j } ) ] \boldsymbol \Gamma [ \mathrm { i } ( y _ { j } - x _ { k } ^ { \prime } ) ] } \mathrm { d } \mu _ { N } ^ { B } ( y ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { F F T } [ \rho ( \mathbf { r } ) ] - \rho ( \mathbf { G } ) } & { { } = \Big ( \frac { 1 } { N } \sum _ { G ^ { \prime } } ^ { \infty } \sum _ { n = 0 } ^ { N } e ^ { - i \mathbf { G } \cdot \mathbf { r } _ { n } } e ^ { i \mathbf { G } ^ { \prime } \cdot \mathbf { r } _ { n } } \rho ( \mathbf { G } ^ { \prime } ) \Big ) - \rho ( \mathbf { G } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \mathcal { H } _ { K } ( t _ { * * } ^ { 0 } ) \Phi _ { 0 } , S ^ { 0 } \Phi _ { 0 } \rangle } & { { } = 0 , } \\ { \langle \mathcal { H } _ { K } ( t _ { * * } ^ { 0 } + t _ { * * } ^ { \angle } ) \Phi _ { 0 } , S ^ { \angle } \Phi _ { 0 } \rangle } & { { } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left( \frac { \partial ^ { 2 } S } { \partial E ^ { 2 } } \right) _ { V } } & { } & { = - \frac { 1 } { T ^ { 2 } } \left( \frac { \partial T } { \partial E } \right) _ { V } = - \frac { 1 } { T ^ { 2 } c _ { \nu } } \leqslant 0 \Longleftrightarrow c _ { V } > 0 \Longleftrightarrow \left( \frac { \partial E } { \partial T } \right) _ { V } \geqslant 0 } \end{array}
\int d ^ { D } x \left[ \left( A _ { \mu } ^ { 1 } \right) ^ { 2 } + \left( A _ { \mu } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + \left( A _ { \mu } ^ { 4 } \right) ^ { 2 } + \left( A _ { \mu } ^ { 5 } \right) ^ { 2 } + \left( A _ { \mu } ^ { 6 } \right) ^ { 2 } + \left( A _ { \mu } ^ { 7 } \right) ^ { 2 } \right] \, ,
\begin{array} { r } { S _ { 3 } ( \ell ) = - \frac { 6 \theta ^ { 2 } } { d ( d + 2 ) } X _ { i } X _ { i } X _ { i } \mathbb { E } [ \psi ( x ) \psi ( x + \ell ) ] + \frac { 6 \theta ^ { 2 } } { d ( d + 2 ) } X _ { i } X _ { i } X _ { i } \mathbb { E } [ \psi ( x + \ell ) \psi ( x ) ] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f _ { 1 } ^ { ( a ) } } & { = } & { \frac { 1 } { 4 \Omega ^ { * \, 2 } } \left( \left( \Omega ^ { * \, 2 } + 3 \right) \frac { \arctan \Omega ^ { * } } { \Omega ^ { * } } - 3 \right) , } \\ { f _ { 2 } ^ { ( d ) } } & { = } & { \frac { 1 } { \Omega ^ { * \, 2 } } \left( \frac { \arctan \left( \Omega ^ { * } \right) } { \Omega ^ { * } } - 1 \right) } \end{array}
\Psi _ { 1 , 2 } ( x , y , t ) = \pm \displaystyle \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } a ( \xi ; \left\{ \mu ^ { n } t \right\} ) e ^ { - M _ { 0 } | y | } e ^ { i k \xi } + \mathcal { O } ( \mu ) \: .
\begin{array} { r l r l } & { \mathbf { I } + O ( | x | ^ { - 1 } ) , } & { z } & { \in \partial U ( z _ { 1 , \pm } , \delta ) , } \\ & { \mathbf { I } + O ( | x | ^ { - 2 } ) , } & { z } & { \in \partial U ( 0 , \delta ) \cup \partial U ( z _ { 2 , \pm } , \delta ) , } \\ & { \mathbf { I } + O ( e ^ { - c _ { 1 } | x | ^ { 2 } } ) , } & { \mathrm { e } } & { \mathrm { l s e w h e r e } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { Y _ { j } } & { : = \sum _ { i = ( j - 1 ) b _ { N } + 1 } ^ { j b _ { N } } \sum _ { m = 1 } ^ { p } \left( \tilde { X } _ { i } ( s _ { m } , t _ { m } ) \tilde { X } _ { i } ( s _ { m } ^ { \prime } , t _ { m } ^ { \prime } ) - C ( s _ { m } , t _ { m } , s _ { m } ^ { \prime } , t _ { m } ^ { \prime } ) \right) \, \frac { ( a _ { m } + a _ { m } ^ { \prime } w _ { i , N } ) } { \sqrt { b _ { N } } } } \\ & { = \sum _ { i = ( j - 1 ) b _ { N } + 1 } ^ { j b _ { N } } \, \sum _ { m = 1 } ^ { p } \breve { Y } _ { i , m } \frac { ( a _ { m } + a _ { m } ^ { \prime } w _ { i , N } ) } { \sqrt { b _ { N } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { w _ { \mathrm { ~ l ~ t ~ } } ^ { 2 } } & { { } \simeq w _ { z } ^ { 2 } + 2 \left( \frac { \lambda z } { \pi \rho _ { 0 } } \right) ^ { 2 } , } \\ { w _ { \mathrm { ~ s ~ t ~ } } ^ { 2 } } & { { } \simeq w _ { z } ^ { 2 } + 2 \left( \frac { \lambda z } { \pi \rho _ { 0 } } \right) ^ { 2 } ( 1 - \phi ) ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \widehat { u } _ { m } \right) ^ { \prime \prime } + ( \omega - \omega _ { r } ) ^ { 2 } - \frac { \Delta } { ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \mathcal { L } _ { \theta } [ a \omega , m ] \widehat { u } _ { m } - V _ { m } ( r ) \widehat { u } _ { m } = \varepsilon \cdot b ( r , \theta ) ( \widehat { \chi _ { \mathcal { T } } } * i \omega \widehat { u } ) _ { m } + H _ { m } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left( d - 2 - 2 \rho \partial _ { \rho } \right) \tilde { R } _ { 0 \infty } = { \cal O } ( \rho ^ { m - 1 } ) } \\ & { ( d - 2 - 2 \rho \partial _ { \rho } ) \tilde { R } _ { i \infty } - t \partial _ { i } \tilde { R } _ { 0 \infty } = { \cal O } ( \rho ^ { m - 1 } ) } \\ & { a ^ { 2 } \left( t ^ { - 1 } d \tilde { R } _ { \infty 0 } + 2 \partial _ { 0 } \tilde { R } _ { \infty 0 } \right) - 2 t ^ { - 1 } a ^ { m } \left( \partial _ { m } \tilde { R } _ { \infty 0 } - ( 2 - d ) t ^ { - 1 } \tilde { R } _ { \infty m } \right) } \\ & { + 2 t ^ { - 2 } \left( d - 2 - \rho \partial _ { \rho } \right) \tilde { R } _ { \infty \infty } + 2 t ^ { - 2 } g ^ { m k } \mathring \nabla _ { m } \tilde { R } _ { \infty k } + 2 t ^ { - 1 } \mathring { P } \tilde { R } _ { \infty 0 } = { \cal O } ( \rho ^ { m - 1 } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \{ \kappa \in S _ { n } : \kappa ( s ) \leq b _ { s } \mathrm { ~ f o r ~ e v e r y ~ } s \in [ n ] , \kappa ^ { - 1 } ( s ) = Y _ { s } \mathrm { ~ f o r ~ e v e r y ~ } s \in \{ s _ { 2 } ^ { \prime } + 1 , \cdots , n \} , } \\ & { } & { \quad \kappa ( i _ { s } ) = j _ { \eta ( s ) } \mathrm { ~ f o r ~ e v e r y ~ } s \in [ r ] , } \\ & { } & { \quad S ( \kappa ) \cap ( \mathcal { S } _ { 1 , l } \times ( n y _ { l - 1 } ( \Gamma ) , n y _ { l } ( \Gamma ) ] ) = \{ ( i _ { s } , j _ { \eta ( s ) } ) : s \in [ r ] \} \} . } \end{array}
d s _ { 6 } ^ { 2 } = e ^ { - A ( x ) } \hat { g } _ { \mu \nu } ( x ) d x ^ { \mu } d x ^ { \nu } + \frac { e ^ { A ( x ) } } { U _ { 2 } } \left( d y + U d z \right) \left( d y + \bar { U } d z \right) ,
\begin{array} { r l } { \hat { \theta } \leftarrow \hat { \theta } - \eta \Bigg ( F _ { T } ( \hat { \theta } ) \ + } & { \sum _ { \ell = 1 } ^ { \tau } \sum _ { ( i , j ) \in I _ { 2 , \ell } } \frac { \lambda } { \delta _ { 2 , \ell } ( i , j ) } ( e _ { f _ { j , \ell } , d } e _ { i , d _ { 1 } } ^ { \mathrm { \scriptscriptstyle T } } + e _ { f _ { i , \ell } , d } e _ { j , d _ { 1 } } ^ { \mathrm { \scriptscriptstyle T } } ) } \\ { + } & { \sum _ { \ell = 1 } ^ { \tau } \sum _ { ( i , j , k ) \in I _ { 3 , \ell } } \frac { \lambda } { \delta _ { 3 , \ell } ( i , j , k ) } ( e _ { f _ { j , \ell } , d } e _ { i , d _ { 1 } } ^ { \mathrm { \scriptscriptstyle T } } + e _ { f _ { k , \ell } , d } e _ { j , d _ { 1 } } ^ { \mathrm { \scriptscriptstyle T } } + e _ { f _ { i , \ell } , d } e _ { k , d _ { 1 } } ^ { \mathrm { \scriptscriptstyle T } } ) \Bigg ) , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \rho \ddot { \mathbf { u } } ( \mathbf { x } , t ) = \displaystyle \int _ { \mathbf { \mathcal { B } _ { \delta } ( \mathbf { x } ) } \cap \Omega } \mu \mathbf { C } ( \mathbf { \mathbf { x ^ { ' } } } - \mathbf { x } ) ( \mathbf { u } \left( \mathbf { x } ^ { \prime } , t \right) - \mathbf { u } ( \mathbf { x } , t ) ) d V _ { \mathbf { \mathbf { x } ^ { \prime } } } + \mathbf { b } ( \mathbf { x } , t ) } & { \mathrm { ~ \mathbf { x } \in ~ \Omega _ s ~ } , } \\ { \mathbf { u } ( \mathbf { x } , t ) = \mathbf { h } ( \mathbf { x , t } ) } & { \mathrm { ~ \mathbf { x } \in ~ \Omega _ c ~ } . } \end{array} \right.
{ \frac { \mathrm { d } ^ { 3 } x } { \mathrm { d } t ^ { 3 } } } + A { \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } x } { \mathrm { d } t ^ { 2 } } } + { \frac { \mathrm { d } x } { \mathrm { d } t } } - | x | + 1 = 0 .
\begin{array} { r l r } { \frac { \mathrm { D } F ( x ) } { \mathrm { D } x } } & { { } = } & { \operatorname* { l i m } _ { \delta \to 0 } \big ( F ( x \oplus _ { \mathbb { X } } \delta _ { \mathbb { X } } ) \ominus _ { \mathbb { Y } } F ( x ) \big ) \oslash _ { \mathbb { Y } } \delta _ { \mathbb { Y } } , } \end{array}
\eta ^ { 2 } \approx 1 - \frac { \omega _ { p } ^ { 2 } } { \omega ( \omega - \omega _ { c } ) } - \frac { ( 1 - p ) } { 2 p } \, \frac { c ^ { 2 } B _ { 0 } ^ { 2 } } { \beta ^ { 2 } } \, \frac { \omega _ { p } ^ { 2 } } { \omega ( \omega - \omega _ { c } ) } \, .
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \mathbf { X } } _ { l } ^ { m } ( \theta , \phi ) } & { { } = Y _ { l } ^ { m } ( \theta , \phi ) \, \hat { \boldsymbol { \mathbf { r } } } , } \\ { \boldsymbol { \mathbf { Y } } _ { l } ^ { m } ( \theta , \phi ) } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { l ( l + 1 ) } } \, \mathbf { L } \, Y _ { l } ^ { m } ( \theta , \phi ) } \\ { \boldsymbol { \mathbf { Z } } _ { l } ^ { m } ( \theta , \phi ) } & { { } = \frac { i r } { \sqrt { l ( l + 1 ) } } \, \boldsymbol { \nabla } Y _ { l } ^ { m } ( \theta , \phi ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { n \ge n _ { 0 } } \| \nabla ( u _ { p _ { n } } \eta _ { R } ) \| _ { L ^ { p _ { n } } ( \Omega ) } } & { \le \operatorname* { s u p } _ { n \ge n _ { 0 } } \| \nabla u _ { p _ { n } } \| _ { L ^ { p _ { n } } ( \Omega ) } + C \, \operatorname* { s u p } _ { n > N } \| u _ { p _ { n } } \| _ { L ^ { p _ { n } } ( \Omega ) } } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { n \ge n _ { 0 } } \Big ( \lambda _ { p _ { n } } ( \Omega ) \Big ) ^ { \frac { 1 } { p _ { n } } } + C } \\ & { \le \frac { 1 } { r _ { \Omega } } \, \operatorname* { s u p } _ { n \ge n _ { 0 } } \Big ( \lambda _ { p _ { n } } ( B _ { 1 } ) \Big ) ^ { \frac 1 { p _ { n } } } + C = : M < + \infty . } \end{array}
\mathbf { H } = \mathbf { H } ^ { ( 0 ) } + \mathcal { O } ( \omega ) : = \left\{ \begin{array} { r l } { \hat { \mathbf { H } } _ { 0 } } & { { } - \varepsilon _ { 0 } \nabla \times \mathcal { A } _ { \Omega } ^ { 0 } [ \Xi ] + \nabla \mathcal { S } _ { \Omega } ^ { 0 } [ \Theta ] } \\ { \hat { \mathbf { H } } _ { 0 } } & { { } - \varepsilon _ { s } \nabla \times \mathcal { A } _ { \Omega } ^ { 0 } [ \Xi ] + \nabla \mathcal { S } _ { \Omega } ^ { 0 } [ \Theta ] } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } _ { t } } & { = \mathbb { E } [ h ( \bar { x } _ { t } ) ] + \frac { 9 \eta \tilde { L } _ { 1 } ^ { 2 } } { \mu \gamma } \mathbb { E } \bigg \| \bar { y } _ { t } - y _ { \bar { x } _ { t } } \bigg \| ^ { 2 } + \frac { 9 \eta L ^ { 2 } } { \mu \tau } \mathbb { E } \bigg \| \bar { u } _ { t } - u _ { \bar { x } _ { t } } \bigg \| ^ { 2 } } \end{array}
G _ { \mu \nu } ^ { a b } ( p ) = \frac { - i \delta ^ { a b } } { ( 2 \pi ) ^ { 2 \omega } ( p ^ { 2 } + i \epsilon ) } \Big [ g _ { \mu \nu } - \frac { p _ { \mu } n _ { \nu } + p _ { \nu } n _ { \mu } } { p \cdot n } + \frac { n ^ { 2 } p _ { \mu } p _ { \nu } } { ( p \cdot n ) ^ { 2 } } \Big ] , \ \ n ^ { 2 } > 0 , \, e p s i l o n > 0 ,
P _ { R } ^ { - } = { \frac { g ^ { 2 } L } { 4 \pi ^ { 2 } } } \left[ \sum _ { N = - \infty } ^ { \infty } \! \! \! \! { } ^ { \stackrel { \prime } { } } \thinspace \thinspace { \frac { 1 } { N ^ { 2 } } } C _ { N } ^ { 3 } C _ { - N } ^ { 3 } + \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } { \frac { 1 } { ( n - D _ { 0 } ^ { 3 } ) ^ { 2 } } } \left\{ C _ { n } ^ { + } , C _ { - n } ^ { - } \right\} \right] \; .
f _ { \mathrm { ~ I ~ } , 2 2 } ( \theta , n ) = \frac { n } { 2 } \left\{ \left[ 2 - ( - 1 ) ^ { n } - \frac { n } { 2 } \right] \cos \left( \left( \frac { n } { 2 } - 1 \right) \theta \right) + \left( \frac { n } { 2 } - 1 \right) \cos \left( \left( \frac { n } { 2 } - 3 \right) \theta \right) \right\}
\begin{array} { r l r } { I _ { 2 } \Big ( \big ( \frac { 1 } { 4 } \big ) _ { * } v \Big ) \big ( \frac { 1 } { 4 } \big ) } & { = } & { \rho _ { 2 } \circ \Big ( \big ( \frac { 1 } { 4 } \big ) _ { * } v \Big ) ^ { - } \big ( \frac { 1 } { 4 } \big ) } \\ & { = } & { \rho _ { 2 } \Big ( \big ( \frac { 1 } { 4 } \big ) _ { * } v \Big ) \big ( - \frac { 1 } { 4 } \big ) } \\ & { = } & { \rho _ { 2 } \circ v \big ( \frac { 1 } { 4 } - \frac { 1 } { 4 } \big ) } \\ & { = } & { \rho _ { 2 } \circ v ( 0 ) } \\ & { = } & { v \big ( \frac { 1 } { 2 } \big ) } \\ & { = } & { \Big ( \big ( \frac { 1 } { 4 } \big ) _ { * } v \Big ) \big ( \frac { 1 } { 4 } \big ) . } \end{array}
\mathbf { v } _ { i } ^ { n + 1 } = \mathbf { v } _ { i } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } + \frac { \delta t } { 2 } \big ( \frac { \mathrm { ~ d ~ } \mathbf { v } _ { i } } { \mathrm { ~ d ~ } t } \big ) ^ { n + 1 } .
\begin{array} { r l } { \mu ^ { 2 } } & { { } = \frac { m _ { i } m _ { j } m _ { k } } { M } , } \\ { d _ { k } ^ { 2 } } & { { } = \frac { m _ { k } ( m _ { i } + m _ { j } ) } { \mu M } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { x } \boldsymbol { F } _ { x } ( p , q ) = } & { - ( \lambda _ { 2 } ) ^ { - 1 } \left[ \mathbb { E } _ { q ( y ) } \left[ \nabla _ { x } f ( x , y ) \right] + 2 \lambda _ { 1 } x \right] \boldsymbol { F } _ { x } ( p , q ) , } \\ { \nabla _ { y } \boldsymbol { F } _ { y } ( p , q ) = } & { - ( \lambda _ { 2 } ) ^ { - 1 } \left[ - \mathbb { E } _ { p ( x ) } \left[ \nabla _ { y } f ( x , y ) \right] + 2 \lambda _ { 1 } y \right] \boldsymbol { F } _ { y } ( p , q ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \Delta _ { 3 3 } ( \zeta , k ) } { \Delta _ { 1 1 } ( \zeta , k ) } = \frac { \delta _ { 1 } ( \zeta , k ) \delta _ { 2 } ( \zeta , k ) } { \delta _ { 3 } ( \zeta , k ) ^ { 2 } } \mathcal { D } _ { 1 } ( k ) \frac { \mathcal { P } ( k ) } { \mathcal { P } ( \omega k ) } = d _ { 1 , 0 } ( \zeta , t ) d _ { 1 , 1 } ( \zeta , k ) z _ { 1 } ^ { 2 i \nu _ { 3 } } z _ { 1 , ( 0 ) } ^ { - i \nu _ { 1 } } z _ { 1 } ^ { - i \nu _ { 1 } } , } \end{array}
v _ { 4 , k } ( - t ; 0 , 0 , 0 , 0 ; 0 ) = z _ { \lambda } ^ { ( k ) } - \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } \, \frac { 1 } { 2 } \int _ { q } \frac { \Delta ( q ) } { q ^ { 2 } } \, v _ { 6 , k - 1 } ( - t ^ { \prime } ; q , - q , 0 , 0 , 0 , 0 ; 0 )
\begin{array} { r l } { R _ { n , \beta } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) } & { = \frac { 1 } { 4 \left( \frac { 2 \beta ^ { 2 } + 1 } { 2 ( 2 \beta + 1 ) ^ { 5 / 2 } } - \frac { \beta ^ { 2 } } { 4 ( \beta + 1 ) ^ { 3 } } \right) } \boldsymbol { v } ^ { T } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) \mathbb { Z } _ { n } \left( \mathbb { Z } _ { n } ^ { T } \boldsymbol { H } _ { n } \mathbb { Z } _ { n } \right) ^ { - 1 } \mathbb { Z } _ { n } ^ { T } \boldsymbol { v } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) } \\ & { = \frac { 1 } { 4 \left( \frac { 2 \beta ^ { 2 } + 1 } { 2 ( 2 \beta + 1 ) ^ { 5 / 2 } } - \frac { \beta ^ { 2 } } { 4 ( \beta + 1 ) ^ { 3 } } \right) } \boldsymbol { v } ^ { T } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) \left( \boldsymbol { H } _ { n } \mathbb { Z } _ { n } \left( \mathbb { Z } _ { n } ^ { T } \boldsymbol { H } _ { n } \mathbb { Z } _ { n } \right) ^ { - 1 } \mathbb { Z } _ { n } ^ { T } \boldsymbol { H } _ { n } + \frac { 1 } { n } \boldsymbol { 1 } _ { n } \boldsymbol { 1 } _ { n } ^ { T } \right) \boldsymbol { v } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) . } \end{array}
\cot \left( { \frac { \alpha } { 2 } } \right) \cot \left( { \frac { \beta } { 2 } } \right) \cot \left( { \frac { \gamma } { 2 } } \right) = \cot \left( { \frac { \alpha } { 2 } } \right) + \cot \left( { \frac { \beta } { 2 } } \right) + \cot \left( { \frac { \gamma } { 2 } } \right) .
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } \langle 1 0 | \rho _ { s , 0 _ { B } 1 _ { B } } ^ { ( 1 ) L } ( t , t _ { 1 } ) | 0 0 \rangle = \delta ( t - t _ { 1 } ) \langle 1 1 | \rho _ { s } ( t _ { 1 } ) | 0 0 \rangle } \\ & { \qquad - \gamma _ { A } \langle 1 0 | \rho _ { s , 0 _ { B } 1 _ { B } } ^ { ( 1 ) L } ( t , t _ { 1 } ) | 0 0 \rangle } \\ & { \qquad - \sqrt { 8 } V _ { B A } ^ { * } \mathrm { e } ^ { i \omega _ { A } \tau } \langle 0 1 | \rho _ { s , 1 _ { B } 2 _ { B } } ^ { ( 1 ) L } ( t _ { 1 } , t - \tau ) | 0 0 \rangle } \\ & { \qquad - 2 V _ { B A } ^ { * } \mathrm { e } ^ { i \omega _ { A } \tau } \langle 0 1 | \rho _ { s , 0 _ { B } 1 _ { B } } ^ { ( 1 ) L } ( t _ { 1 } , t - \tau ) | 0 0 \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { T _ { i j k } ^ { + } } & { { } = } & { T _ { i j k } ^ { 0 + } \left( 1 + \sum _ { l ^ { + } = 1 } ^ { 5 } \pi _ { i j k } ^ { l ^ { + } } \xi _ { l ^ { + } } \right) ~ , } \\ { T _ { i j k } ^ { - } } & { { } = } & { T _ { i j k } ^ { 0 - } \left( 1 + \sum _ { l ^ { - } = 1 } ^ { 5 } \pi _ { i j k } ^ { l ^ { - } } \xi _ { l ^ { - } } \right) ~ , } \end{array}
b ^ { \prime } ( \rho ) \, = \, - \frac { 1 } { \rho \psi ( \rho ) ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \rho } a ( r ) r ^ { 2 } \, \mathrm { d } r \, = \, \frac { 1 } { \rho \psi ( \rho ) ^ { 2 } } \int _ { \rho } ^ { \infty } a ( r ) r ^ { 2 } \, \mathrm { d } r \, .
\Delta \Tilde { \phi } = \Delta \phi \frac { | l _ { 1 } - l _ { 2 } | } { 2 \pi } = \frac { 1 } { \pi } \operatorname { a r c c o s } ( - \frac { \frac { 1 } { b } + b \frac { l _ { 2 } } { l _ { 1 } } } { 1 + \frac { l _ { 2 } } { l _ { 1 } } } )
\begin{array} { r l } { \Lambda _ { e i } } & { { } = \ln { \left[ \frac { 3 } { 2 \sqrt { \pi } } \sqrt { \frac { \left( 4 \pi \epsilon _ { 0 } k _ { B } T _ { e } \right) ^ { 3 } } { e ^ { 6 } n _ { e } \left( 1 + \frac { T _ { e } } { T _ { h } } \right) } } \ \right] } , } \\ { \Lambda _ { i i } } & { { } = \ln { \left[ \frac { 3 } { 4 \sqrt { \pi } } \sqrt { \frac { \left( 4 \pi \epsilon _ { 0 } \right) ^ { 3 } \left( k _ { B } T _ { h } \right) ^ { 2 } k _ { B } T _ { e } } { e ^ { 6 } n _ { e } \left( 1 + \frac { T _ { e } } { T _ { h } } \right) } } \ \right] } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \boldsymbol { j } _ { i } \cdot \boldsymbol { n } = 0 , ~ ~ i = 1 \cdots N , } & { \mathrm { ~ o ~ n ~ ~ ~ } \partial \Omega , } \\ { \mathbb { C } _ { p } \frac { d ( \phi - \phi _ { p } ) } { d t } = - I _ { e x } , } & { \mathrm { ~ o ~ n ~ ~ ~ } \Gamma , } \\ { \boldsymbol { D } \cdot \boldsymbol { n } = \mathbb { C } _ { p } ( \phi - \phi _ { p } ) , } & { \mathrm { ~ o ~ n ~ ~ ~ } \Gamma , } \\ { \phi = 0 , } & { \mathrm { ~ o ~ n ~ ~ ~ } \partial \Omega / \Gamma . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { 2 } \operatorname { t r } \left[ \sum _ { i } Z _ { i } \sigma ( \beta , x ) - \sigma ( \beta , y ) ) \right] = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i } \left| \frac { e ^ { - \beta x _ { i } } } { e ^ { - \beta x _ { i } } + e ^ { + \beta x _ { i } } } - \frac { e ^ { - \beta y _ { i } } } { e ^ { - \beta y _ { i } } + e ^ { + \beta y _ { i } } } \right| . } \end{array}
\big | \big ( G _ { 1 } \mathring { ( A _ { 1 } ^ { \prime } ) } ^ { w _ { 1 } , w _ { 2 } } E _ { - } G _ { 3 } \big ) _ { \boldsymbol { x } \boldsymbol { y } } \big | \prec \frac { 1 } { \eta ^ { 1 / 2 } } \left( 1 + \frac { \psi _ { 1 } ^ { \mathrm { i s o } } } { \sqrt { N \eta } } \right) + \frac { | e _ { 2 } + e _ { 3 } | + \eta _ { 2 } + \eta _ { 3 } } { \eta }
{ \vec { L } } \cdot { \vec { J } } = { \frac { 1 } { 2 } } ( J ^ { 2 } - S ^ { 2 } + L ^ { 2 } ) = { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 } } [ j ( j + 1 ) + l ( l + 1 ) - s ( s + 1 ) ] .
\sum _ { j = 1 } ^ { B { \nu } _ { i } } q _ { j } ( n ) - \sum _ { j = 1 } ^ { \nu _ { i } } q _ { j } ( \Gamma ) = m _ { i } \quad \forall \dag , \Gamma , n \dag , | \dag , [ \Lambda _ { i } ] _ { \Gamma n } \neq 0 \dag , ,
R _ { \mu _ { 1 } \nu _ { 1 } \cdots \mu _ { s } \nu _ { s } } = \partial _ { \alpha _ { 1 } \cdots \alpha _ { s } } h _ { s } ^ { \beta _ { 1 } \cdots \beta _ { s } } \prod _ { i = 1 } ^ { s } ( \delta _ { \mu _ { i } \alpha _ { i } } ^ { { } } \delta _ { \nu _ { i } \beta _ { i } - } \delta _ { \mu _ { i } \beta _ { i } } ^ { { } } \delta _ { \nu _ { i } \alpha _ { i } } ) .
\int _ { 0 } ^ { 1 } d x \, F _ { 2 } ( x , Q ^ { 2 } ) \Big | _ { { \bf 2 7 } , I = 1 } = - 0 . 0 0 0 6 ( 5 ) \cdot \alpha _ { S } ( Q ^ { 2 } ) \cdot \frac { m _ { P } ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \| x _ { k + 1 } - ( t _ { * } v _ { 1 , * } \gamma _ { 1 } ^ { ( k + 1 ) } + s _ { * } v _ { 2 , * } \gamma _ { 2 } ^ { ( k + 1 ) } ) \| } & { = \| ( \gamma _ { 1 } ^ { ( k + 1 ) } t v _ { 1 } + \gamma _ { 2 } ^ { ( k + 1 ) } s v _ { 2 } ) - ( \gamma _ { 1 } ^ { ( k + 1 ) } t _ { * } v _ { 1 , * } + \gamma _ { 2 } ^ { ( k + 1 ) } s _ { * } v _ { 2 , * } ) \| } \\ & { \leq \| ( t - t _ { * } ) v _ { 1 } \| + | t _ { * } | \| v _ { 1 } - v _ { 1 , * } \| + \| ( s - s _ { * } ) v _ { 2 } \| + | s _ { * } | \| v _ { 2 } - v _ { 2 , * } \| } \\ & { \leq | t - t _ { * } | + | s - s _ { * } | + 2 \kappa _ { 4 } \epsilon ^ { 2 } . } \end{array}