harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \left( \sum _ { j l } \frac { \partial ^ { 2 } T _ { i } } { \partial x _ { j } \partial x _ { l } } \xi _ { k + 1 } ^ { ( j ) } \xi _ { k + 1 } ^ { ( l ) } \right) ^ { 2 } + \left( \sum _ { j = 1 } ^ { d } \frac { \partial ^ { 2 } T _ { i } } { \partial x _ { j } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } - 2 \left( \sum _ { j l } \frac { \partial ^ { 2 } T _ { i } } { \partial x _ { j } \partial x _ { l } } \xi _ { k + 1 } ^ { ( j ) } \xi _ { k + 1 } ^ { ( l ) } \right) \left( \sum _ { i = 1 } ^ { d } \frac { \partial ^ { 2 } T _ { i } } { \partial x _ { i } ^ { 2 } } \right) } \\ { = } & { \sum _ { j l m n } \frac { \partial ^ { 2 } T _ { i } } { \partial x _ { j } \partial x _ { l } } \frac { \partial ^ { 2 } T _ { i } } { \partial x _ { m } \partial x _ { n } } \xi _ { k + 1 } ^ { ( j ) } \xi _ { k + 1 } ^ { ( l ) } \xi _ { k + 1 } ^ { ( m ) } \xi _ { k + 1 } ^ { ( n ) } + \sum _ { j l } \frac { \partial ^ { 2 } T _ { i } } { \partial x _ { j } ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } T _ { i } } { \partial x _ { l } ^ { 2 } } - 2 \sum _ { j l m } \frac { \partial ^ { 2 } T _ { i } } { \partial x _ { j } \partial x _ { l } } \frac { \partial ^ { 2 } T _ { i } } { \partial x _ { m } ^ { 2 } } \xi _ { k + 1 } ^ { ( j ) } \xi _ { k + 1 } ^ { ( l ) } . } \end{array}
m _ { n } ^ { X } = \theta ^ { G } \hat { \pi } _ { n } ^ { X } \theta _ { n } ^ { X } \sum _ { k = 1 } ^ { n _ { \operatorname* { m a x } } } \hat { \pi } _ { k } ^ { \overline { { X } } } \theta _ { k } ^ { \overline { { X } } } ,
\begin{array} { r l r } { \frac { A _ { \mathrm { 0 r } } } { A _ { \mathrm { 0 i } } } } & { { } = } & { - \frac { ( 1 - \beta ^ { 2 } ) ( 1 - e ^ { 2 i \xi } ) } { e ^ { 2 i \xi } ( 1 - \beta ) ^ { 2 } - ( 1 + \beta ) ^ { 2 } } \, , } \\ { \frac { A _ { \mathrm { 0 t } } } { A _ { \mathrm { 0 i } } } } & { { } = } & { - \frac { 4 \beta e ^ { i \xi } } { e ^ { 2 i \xi } ( 1 - \beta ) ^ { 2 } - ( 1 + \beta ) ^ { 2 } } \, . } \end{array}
f _ { N S } ( x , x \mu ^ { 2 } ) = f _ { N S } ^ { ( 0 ) } ( x , x \mu ^ { 2 } ) + \bar { \alpha _ { s } } \int _ { x } ^ { 1 } \frac { d z } { z } \int _ { k _ { 0 } ^ { 2 } \frac { z } { x } } ^ { \mu ^ { 2 } } \frac { d \mu ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } f _ { N S } ( \frac { x } { z } , \frac { x } { z } \mu ^ { 2 } )
\begin{array} { r l } & { \nabla _ { \varphi } \tilde { \mathcal { J } } ( \hat { x } , \varphi ) } \\ & { = \mathbf { E } \big [ ( X - \hat { x } _ { 1 } ) ^ { 2 } \big ] - \mathbf { E } \big [ ( 1 - \nu ) ( X - \hat { x } _ { 1 } ) ^ { 2 } \mathbf { 1 } ( \gamma ( X ) = 1 ) \big ] } \\ & { - \mathbf { E } \big [ \big ( \mu ( X - \hat { x } _ { 0 } ) ^ { 2 } + ( 1 - \mu ) ( X - \hat { x } _ { 1 } ) ^ { 2 } \big ) \mathbf { 1 } ( \gamma ( X ) = 0 ) \big ] - d . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \log \mathfrak { B } _ { k } ^ { T , n } ( x , y ; \bar { z } ) + 2 ^ { 1 / 2 } k ^ { 1 / 2 } \bar { x } ^ { 1 / 2 } } & { \left( 1 - \bar { x } ^ { - 1 / 2 } x ^ { 1 / 2 } \right) ^ { 2 } } \\ & { \leq \mathfrak { h } ^ { T , n } ( \bar { x } , y ) - \mathfrak { h } ^ { T , n } ( x , y ) - \mathfrak { R } _ { k } ^ { T , n } ( \bar { x } , \bar { z } ) + \mathfrak { R } _ { k } ^ { T , n } ( x , \bar { z } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \underset { \rho , v , r } { \mathrm { m i n } } \quad } & { \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } \begin{array} { r l } { [ t ] } & { \big ( \left\lVert v ( t , x ) \right\rVert ^ { 2 } \rho ( t , x ) } \\ & { + \alpha \chi ( t , x ) r ( t , x ) ^ { 2 } \rho ( t , x ) \big ) \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } t } \end{array} } \\ { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } \quad } & { \frac { \partial \rho } { \partial t } + \nabla \cdot ( \rho v ) = \sigma \Delta \rho + \chi \rho r , } \\ & { \rho ( 0 , x ) = \rho _ { 0 } ( x ) , \quad \rho ( T , x ) = \rho _ { 1 } ( x ) } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { \lVert x \rVert \to \infty } \, \, \operatorname* { s u p } _ { y _ { 1 } , y _ { 2 } \in B ( x , \delta \sqrt { d } ) } \frac { \operatorname* { m a x } \{ 1 , \lVert \nabla ^ { 2 } \psi ( y _ { 1 } ) \rVert \} } { \lvert \partial _ { i } \psi ( y _ { 2 } ) \rvert } = 0 \qquad \mathrm { f o r ~ a l l ~ } 0 \leq \delta \leq \delta _ { 0 } , \, i = 1 , \dots , d ,
d s ^ { 2 } = - \left[ \beta ^ { 2 } \tan ^ { 8 \omega / ( 1 + \omega ) } ( \psi / 2 ) - B \ell ^ { 2 } \frac { \tan ^ { 2 } ( \psi / 2 ) } { \cos ^ { 4 } ( \psi / 2 ) } \right] d \psi ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { F ( x , a , \mu ) } & { : = c ( x , a , \mu ) + \beta \int _ { { \mathsf X } } J ( y , \mu , x ) \, p ( d y | x , a , \mu ) } \\ & { = \int _ { { \mathsf X } } { \bar { c } } ( x , a , z ) \, \mu ( d z ) + \beta \int _ { { \mathsf X } \times { \mathsf X } } J ( y , \mu , x ) \, \eta ( y , x , a , z ) \, \mathsf { m } ( d y ) \, \mu ( d z ) } \end{array}
U \equiv \langle E \rangle = \sum _ { r } P _ { r } E _ { r } = \sum _ { r } { \frac { e ^ { - \beta E _ { r } } E _ { r } } { Z } } = \sum _ { r } { \frac { - { \frac { \partial } { \partial \beta } } e ^ { - \beta E _ { r } } } { Z } } = { \frac { - { \frac { \partial } { \partial \beta } } \sum _ { r } e ^ { - \beta E _ { r } } } { Z } } = - { \frac { \partial \log Z } { \partial \beta } } .
f ( \ensuremath { \vec { \theta } } ) p ( \ensuremath { \vec { \theta } } \rightarrow \ensuremath { \vec { \theta } } ^ { \prime } ) = f ( \ensuremath { \vec { \theta } } ^ { \prime } ) p ( \ensuremath { \vec { \theta } } ^ { \prime } \rightarrow \ensuremath { \vec { \theta } } ) .
R _ { \hat { g } } ( z , \bar { z } ) = - 1 \to R _ { g } ( z , \bar { z } ) = - e ^ { 4 \pi G ( z , w ) } \left( 1 + 8 \pi e ^ { - \varphi ( z , \bar { z } ) } \delta ^ { ( 2 ) } ( z - w ) + { \frac { 1 } { 4 \chi ( \Sigma ) } } \right) .
\Gamma \left( \overline { { { B } } } _ { p h y s } ^ { 0 } \left( t \right) \rightarrow f \right) = \Gamma \left( B ^ { 0 } \rightarrow f \right) \bigg \{ | g _ { - } \left( t \right) | ^ { 2 } + | \lambda | ^ { 2 } \; | g _ { + } \left( t \right) | ^ { 2 } + 2 R e \left[ \lambda \; g _ { + } \left( t \right) g _ { - } ^ { * } \left( t \right) \right] \bigg \} \; .
[ a _ { i } , a _ { j } ^ { \ast } ] = \delta _ { i j } , \; [ c _ { i } , a _ { j } ] = [ c _ { i } , a _ { j } ^ { \ast } ] = [ a _ { i } , a _ { j } ] = [ a _ { i } ^ { \ast } , a _ { j } ^ { \ast } ] = 0 , \; \mathrm { f o r a l l ~ } i , j .
\begin{array} { r } { x ( t ) = x _ { 0 } e ^ { - t / \tau _ { \mathrm { ~ o ~ t ~ } } } + \sqrt { 2 D } \int _ { 0 } ^ { t } d s W ( s ) e ^ { - ( t - s ) / \tau _ { \mathrm { ~ o ~ t ~ } } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { H ( Z _ { t } ) + \mathbb { P } [ Z _ { t } = 1 ] H ( A _ { t } ^ { * } | Z _ { t } = 1 ) } \\ & { = \delta \log ( 1 / \delta ) + ( 1 - \delta ) \log ( 1 / ( 1 - \delta ) ) + \delta H ( A _ { t } ^ { * } | Z _ { t } = 1 ) } \\ & { = \delta \log ( 1 / \delta ) + ( 1 - \delta ) \log ( 1 + \delta / ( 1 - \delta ) ) + \delta H ( A _ { t } ^ { * } | Z _ { t } = 1 ) } \\ & { \leq \delta \log ( 1 / \delta ) + \delta + \delta H ( A _ { t } ^ { * } | Z _ { t } = 1 ) } \\ & { = \frac { 1 } { \tau _ { \textup { e f f } } } \left[ \log ( \tau _ { \textup { e f f } } ) + 1 + H ( A _ { t } ^ { * } | Z _ { t } = 1 ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { I } _ { \nabla ^ { \prime } \cdot \mathbf { J } } ^ { j } ( \boldsymbol { \xi } ; p , q , r ) = \left\{ \begin{array} { l } { I _ { \nabla ^ { \prime } \cdot \mathbf { J } } ^ { j } ( \boldsymbol { \xi } ; p + 1 , q \phantom { { } + 1 } , r \phantom { { } + 1 } ) } \\ { I _ { \nabla ^ { \prime } \cdot \mathbf { J } } ^ { j } ( \boldsymbol { \xi } ; p \phantom { { } + 1 } , q + 1 , r \phantom { { } + 1 } ) } \\ { I _ { \nabla ^ { \prime } \cdot \mathbf { J } } ^ { j } ( \boldsymbol { \xi } ; p \phantom { { } + 1 } , q \phantom { { } + 1 } , r + 1 ) } \end{array} \right\} , \qquad \mathbf { I } _ { \mathbf { J } } ^ { j } ( \boldsymbol { \xi } ; p , q , r ) = \left\{ \begin{array} { l } { I _ { \mathbf { J } } ^ { j } ( \boldsymbol { \xi } ; p + 1 , q \phantom { { } + 1 } , r \phantom { { } + 1 } ) } \\ { I _ { \mathbf { J } } ^ { j } ( \boldsymbol { \xi } ; p \phantom { { } + 1 } , q + 1 , r \phantom { { } + 1 } ) } \\ { I _ { \mathbf { J } } ^ { j } ( \boldsymbol { \xi } ; p \phantom { { } + 1 } , q \phantom { { } + 1 } , r + 1 ) } \end{array} \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \int _ { - \infty } ^ { 0 } \phi ( \gamma _ { \lambda } ^ { x } ( t ) ) \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } e ^ { \lambda \int _ { t } ^ { 0 } \frac { \partial L } { \partial u } ( \gamma _ { \lambda } ^ { x } ( s ) , \dot { \gamma } _ { \lambda } ^ { x } ( s ) , 0 ) \, \mathrm { d } s } \, \mathrm { d } t \right| \leq } & { \| \phi \| _ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { 0 } \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } e ^ { \lambda \int _ { t } ^ { 0 } \frac { \partial L } { \partial u } ( \gamma _ { \lambda } ^ { x } ( s ) , \dot { \gamma } _ { \lambda } ^ { x } ( s ) , 0 ) \, \mathrm { d } s } \, \mathrm { d } t } \\ { \leq } & { \| \phi \| _ { \infty } \left( 1 - e ^ { \lambda \int _ { - \infty } ^ { 0 } \frac { \partial L } { \partial u } ( \gamma _ { \lambda } ^ { x } ( s ) , \dot { \gamma } _ { \lambda } ^ { x } ( s ) , 0 ) \, \mathrm { d } s } \right) } \\ { = } & { \| \phi \| _ { \infty } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { U } } & { : = \left\{ \vartheta ( \mathbf { x } ) \in H ^ { 1 } ( \Omega ) \; \vert \; \vartheta ( \mathbf { x } ) = \vartheta _ { \mathrm { i n l e t } } = \vartheta _ { \mathrm { a m b } } \; \mathrm { a t } \; s = 0 \; \mathrm { o n } \; \Sigma \right\} } \\ { \mathcal { W } } & { : = \left\{ \delta \vartheta ( \mathbf { x } ) \in H ^ { 1 } ( \Omega ) \; \vert \; \delta \vartheta ( \mathbf { x } ) = 0 \; \mathrm { a t } \; s = 0 \; \mathrm { o n } \; \Sigma \right\} } \end{array}
\times \left[ \mathrm { t } o 2 4 p t { } \left( u _ { n } ^ { 1 } \right) ^ { 2 } + \left( u _ { n } ^ { 1 } \right) ^ { 2 } - \left( u _ { n } ^ { 3 } \right) ^ { 2 } - \left( u _ { n } ^ { 4 } \right) ^ { 2 } \mathrm { t } o 2 4 p t { } \right] .
\hat { \alpha } = \frac { 4 \; G \; M _ { c l } } { c ^ { 2 } r _ { 0 } } = \frac { 4 \; G \; M _ { c l } } { c ^ { 2 } \theta D _ { L } } = \theta \frac { D _ { S } } { D _ { S } - D _ { L } } \simeq 1 0 ^ { - 4 }
\tilde { p } ( \underline { { \tilde { x } } } , \tilde { t } , \tilde { M } ) = \tilde { p } _ { 0 } ( \tilde { t } ) + \tilde { M } ^ { 2 } \tilde { p } _ { 2 } ( \underline { { \tilde { x } } } , \tilde { t } ) + \mathcal { O } ( \tilde { M } ^ { 3 } )
\tilde { X } _ { t } = \left\{ \begin{array} { l l } { X _ { t } , } & { t \leq T _ { k - 1 } , } \\ { \bar { x } , } & { T _ { k - 1 } < t < T ^ { 0 } , } \\ { Z _ { n _ { i } + l } , } & { t = T ^ { i } + p \cdot k _ { i } + l , \quad 0 \leq p < \frac { 1 } { \epsilon _ { k } } , \; 0 \leq l < k _ { i } , i \geq 0 , } \\ { \bar { x } , } & { 2 T ^ { i } \leq t < T ^ { i + 1 } , \quad i \geq 0 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { | \mathbb { E } Z _ { 5 c } | = | \mathbb { E } \tilde { Z } _ { 5 c } | } & { \lesssim \frac { \| \theta \| _ { 2 } ^ { 2 } \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 2 } } { \| \theta \| _ { 1 } ^ { 2 } } \sum _ { j , k , s , t } ( \beta _ { j } \theta _ { j } ) ( \beta _ { k } \theta _ { k } ) \cdot \theta _ { j } \theta _ { k } \lesssim \frac { \| \beta \circ \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } \| \theta \| _ { 2 } ^ { 4 } } { \| \theta \| _ { 1 } ^ { 2 } } . } \end{array}
\frac { d \varepsilon _ { i } } { d t } = - 2 \sum _ { j } \frac { m _ { j } } { \rho _ { j } } \left( U _ { i } ^ { R } - U _ { i j } ^ { * R } \right) \overrightarrow { e ^ { R } } \cdot \nabla _ { i } W _ { i j } ,
f ^ { [ \mu ] } ( x ) = f ^ { [ \mu ] } ( 1 ) \frac { 1 } { j _ { \mu } + 1 } \frac { d _ { \mu \mu } ^ { j _ { \mu } + 1 } ( x ) - d _ { \mu \mu } ^ { j _ { \mu } } ( x ) } { x - 1 }
\alpha _ { s } ( \mu ) = \frac { 4 \pi } { \beta _ { 0 } \ln \frac { \mu ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 2 } } } \left[ 1 - \frac { \beta _ { 1 } } { \beta _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { \ln \ln \frac { \mu ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 2 } } } { \ln \frac { \mu ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 2 } } } \right]
n _ { \varphi } = { \frac { d ^ { 2 } \varphi } { d z ^ { 2 } } } = { \frac { 1 } { \lambda ^ { 2 } } } \left[ \varphi - { \frac { \ell + 1 } { \ell } } { \frac { \varphi ^ { ( \ell + 2 ) / \ell } } { { \psi } ^ { 2 / \ell } } } \right] ;
{ \cal L } ^ { l l } = \bar { \chi } [ \gamma \cdot ( i \partial + { \cal V } ) ] \chi + \bar { \chi } \gamma \cdot { \cal A } \gamma _ { 5 } \chi - m \bar { \chi } \chi + \frac { f _ { \pi } ^ { 2 } } { 8 } \mathrm { T r } [ \partial ^ { \mu } \Sigma \partial _ { \mu } \Sigma ^ { + } ] .
\begin{array} { r } { ( 2 \pi / \lambda _ { 1 } ) \Delta s = \Phi _ { \lambda _ { 1 } } = 2 \pi m + \phi _ { 1 } } \\ { ( 2 \pi / \lambda _ { 2 } ) \Delta s = \Phi _ { \lambda _ { 2 } } = 2 \pi n + \phi _ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \quad [ W _ { p , p } ^ { ( 2 ) } t , W _ { i , i } ^ { ( 2 ) } t ] } \\ & { = ( W _ { p , i } ^ { ( 2 ) } ) _ { ( - 1 ) } W _ { i , p } ^ { ( 1 ) } t ^ { 2 } - ( W _ { p , i } ^ { ( 1 ) } ) _ { ( - 1 ) } W _ { i , p } ^ { ( 2 ) } t ^ { 2 } } \\ & { \quad + \alpha _ { 1 } ( \partial W _ { p , i } ^ { ( 1 ) } ) _ { ( - 1 ) } W _ { i , p } ^ { ( 1 ) } t ^ { 2 } + ( \partial W _ { p , p } ^ { ( 1 ) } ) _ { ( - 1 ) } W _ { i , i } ^ { ( 1 ) } t ^ { 2 } } \\ & { \quad - \delta _ { p , i } \sum _ { w \leq m - n } ( W _ { w , i } ^ { ( 1 ) } ) _ { ( - 1 ) } W _ { p , w } ^ { ( 2 ) } t ^ { 2 } - \delta _ { p , i } \sum _ { x , w \leq m - n } ( \partial W _ { w , x } ^ { ( 1 ) } ) _ { ( - 1 ) } W _ { x , w } ^ { ( 1 ) } t ^ { 2 } - \delta _ { p , i } \alpha _ { 2 } \partial W _ { p , i } ^ { ( 2 ) } t ^ { 2 } } \\ & { \quad + \delta _ { p , i } \sum _ { w \leq m - n } ( \partial W _ { p , i } ^ { ( 1 ) } ) _ { ( - 1 ) } W _ { w , w } ^ { ( 1 ) } t ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \delta _ { p , i } ( \alpha _ { 1 } + 2 \alpha _ { 2 } ) \sum _ { x \leq m - n } \partial ^ { 2 } W _ { x , x } ^ { ( 1 ) } t ^ { 2 } } \\ & { \quad - \delta _ { i , p } \frac { \alpha _ { 1 } ( \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } ) + 1 } { 2 } \partial ^ { 2 } W _ { p , i } ^ { ( 1 ) } t ^ { 2 } } \\ & { \quad + \delta _ { p , i } \sum _ { x \leq m - n } ( W _ { x , p } ^ { ( 1 ) } ) _ { ( - 1 ) } W _ { i , x } ^ { ( 2 ) } t ^ { 2 } + \delta _ { p , i } \sum _ { x \leq m - n } ( \partial W _ { x , x } ^ { ( 1 ) } ) _ { ( - 1 ) } W _ { i , p } ^ { ( 1 ) } t ^ { 2 } } \\ & { \quad - \partial W _ { p , p } ^ { ( 2 ) } t ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } ( \alpha _ { 1 } + 2 \alpha _ { 2 } ) \partial ^ { 2 } W _ { p , p } ^ { ( 1 ) } t ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \partial ^ { 2 } \sum _ { w \leq m - n } W _ { w , w } ^ { ( 1 ) } t ^ { 2 } } \\ & { \quad + \alpha _ { 1 } ( W _ { p , i } ^ { ( 1 ) } ) _ { ( - 1 ) } W _ { i , p } ^ { ( 1 ) } t + ( W _ { p , p } ^ { ( 1 ) } ) _ { ( - 1 ) } W _ { i , i } ^ { ( 1 ) } t } \\ & { \quad - \delta _ { p , i } \alpha _ { 2 } W _ { p , i } ^ { ( 2 ) } t + \delta _ { p , i } \sum _ { w \leq m - n } ( W _ { p , i } ^ { ( 1 ) } ) _ { ( - 1 ) } W _ { w , w } ^ { ( 1 ) } t - \delta _ { p , i } \alpha _ { 1 } ( \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } ) \partial W _ { p , i } ^ { ( 1 ) } t } \\ & { \quad - \delta _ { p , i } \alpha _ { 2 } W _ { i , p } ^ { ( 2 ) } t + \delta _ { p , i } \sum _ { x \leq m - n } ( W _ { x , x } ^ { ( 1 ) } ) _ { ( - 1 ) } W _ { i , p } ^ { ( 1 ) } t } \\ & { \quad - W _ { p , p } ^ { ( 2 ) } t - 2 \alpha _ { 2 } \partial W _ { p , p } ^ { ( 1 ) } t - W _ { i , i } ^ { ( 2 ) } t } \\ & { \quad - \delta _ { p , i } \sum _ { x , w \leq m - n } ( W _ { w , x } ^ { ( 1 ) } ) _ { ( - 1 ) } W _ { x , w } ^ { ( 1 ) } t - \delta _ { p , i } ( \alpha _ { 1 } + 2 \alpha _ { 2 } ) \sum _ { x \leq m - n } \partial W _ { x , x } ^ { ( 1 ) } t . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathbb { P } ( \{ L I S ( \sigma | _ { \mathcal { T } _ { s , 1 } } ) \geq 2 \sqrt { 2 C _ { 0 } } L ^ { 1 \slash 2 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } \} \cap \mathcal { C } \cap \mathcal { W } _ { s } ) } \\ & { \leq } & { \mathbb { P } ( \{ L I S ( \sigma | _ { \mathcal { T } _ { s , 1 } } ) \geq \lceil \sqrt { 2 C _ { 0 } } L ^ { 1 \slash 2 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } \rceil \} \cap \mathcal { C } \cap \mathcal { W } _ { s } ) } \\ & { \leq } & { 2 ^ { - \lceil \sqrt { 2 C _ { 0 } } L ^ { 1 \slash 2 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } \rceil } \leq \exp ( - c L ^ { 1 \slash 2 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } ) . } \end{array}
\Pi _ { 0 } ( \omega , \boldsymbol { k } ) _ { q } = - \int d \boldsymbol { p } \frac { f ( \boldsymbol { p } ) - f ( \boldsymbol { p } + \hbar \boldsymbol { k } ) } { \hbar \omega - \boldsymbol { k } \cdot \hbar \boldsymbol { v } - \hbar ^ { 2 } k ^ { 2 } / 2 m } .
{ \bar { \theta } } ^ { \dot { 2 } } = Y ( x ) { \bar { \theta } } ^ { \dot { 1 } } , \quad { \bar { \theta } } ^ { \dot { \alpha } } = { \bar { \theta } } ^ { \dot { 1 } } { \bar { \psi } } ^ { \dot { \alpha } } , \quad { \bar { \zeta } } ^ { \dot { 2 } } = Y ( x ) { \bar { \zeta } } ^ { \dot { 1 } } , \quad { \bar { \zeta } } ^ { \dot { \alpha } } = { \bar { \zeta } } ^ { \dot { 1 } } { \bar { \psi } } ^ { \dot { \alpha } } .
\begin{array} { r l } { \lambda _ { 1 } - \theta _ { 1 } } & { { } \leqslant { \frac { ( \lambda _ { 1 } - \lambda _ { n } ) \left( 1 - | d _ { 1 } | ^ { 2 } \right) } { c _ { m - 1 } ( 2 \rho + 1 ) ^ { 2 } | d _ { 1 } | ^ { 2 } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { N ( k , k , t + 1 ) } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { N ( k , k , t ) + 1 , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \gamma \leq \frac { k } { l } \leq 1 - \gamma \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ ( ~ k ~ , ~ l ~ ) ~ s ~ e ~ l ~ e ~ c ~ t ~ e ~ d ~ } \ , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { m = 1 } ^ { n } \mathbb { E } [ C _ { n } ^ { 2 } X _ { n , m } ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { n , m - 1 } ] } & { = 2 4 \sum _ { i < j < \ell } \big ( \sum _ { m > \operatorname* { m a x } ( i , j , \ell ) } \Omega _ { m i } ( 1 - \Omega _ { m i } ) \, \, \big ) W _ { i j } W _ { i \ell } } \\ & { \quad + 8 \sum _ { i < j } \big ( \sum _ { m > \operatorname* { m a x } ( i , j , \ell ) } \Omega _ { m i } ( 1 - \Omega _ { m i } ) \, \, \big ) ( 1 - 2 \Omega _ { i j } ) W _ { i j } . } \end{array}
\psi _ { \mathrm { I } } \propto ( \cos ( g _ { \mathrm { c o } } L _ { \mathrm { c o } } / 2 ) , \sin ( g _ { \mathrm { c o } } L _ { \mathrm { c o } } / 2 ) ) ^ { \mathbf { T } } , \ \ \psi _ { \mathrm { c o } } \propto ( 1 , 0 ) ^ { \mathbf { T } } , \ \ \mathrm { ~ o ~ r ~ } \ \ \psi _ { \mathrm { I } } \propto ( \sin ( g _ { \mathrm { c o } } L _ { \mathrm { c o } } / 2 ) , - \cos ( g _ { \mathrm { c o } } L _ { \mathrm { c o } } / 2 ) ) ^ { \mathbf { T } } , \ \ \psi _ { \mathrm { c o } } \propto ( 0 , - 1 ) ^ { \mathbf { T } } , \
\Delta _ { j , n _ { 1 } , n _ { 2 } } = - { \frac { j ( j + 1 ) } { R ^ { 2 } - 2 } } + { \frac { 1 } { 4 } } \left( R ^ { - 1 } n _ { 1 } + R n _ { 2 } \right) ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \Vert \bar { g } ( \theta _ { 1 } ) - \bar { g } ( \theta _ { 2 } ) \Vert ^ { 2 } } & { = \left( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } \right) ^ { \top } \bar { A } ^ { \top } \bar { A } \left( \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } \right) } \\ & { \leq \lambda _ { \operatorname* { m a x } } ( \bar { A } ^ { \top } \bar { A } ) \Vert \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } \Vert ^ { 2 } } \\ & { \leq \lambda _ { \operatorname* { m a x } } ( \Sigma ) \Vert \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } \Vert ^ { 2 } } \\ & { \leq \Vert \theta _ { 1 } - \theta _ { 2 } \Vert ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \overline { { \lambda } } } _ { k + 1 } + \frac { 1 } { 2 } \left( { \alpha } _ { k + 1 } + { \beta } _ { k - 1 } { \vartheta } _ { k - 1 } ^ { 2 } \right) { \overline { { \vartheta } } } _ { k } ^ { 2 } } & { \leq { \overline { { \lambda } } } _ { 1 } + \frac { 1 } { 2 } \left( { \alpha } _ { 1 } + { \beta } _ { 1 } { \vartheta } _ { 1 } ^ { 2 } \right) { \overline { { \vartheta } } } _ { 0 } ^ { 2 } } \\ & { + { 2 } \left( { \mathrm { c } } _ { 7 } { \mathrm { c } } _ { 3 1 } + { \mathrm { c } } _ { 3 0 } \right) { \tau } \sum _ { i = 1 } ^ { k } { { \overline { { \lambda } } } _ { i } } + { 2 } { \mathrm { c } } _ { 3 0 } { \tau } { \overline { { \lambda } } } _ { k + 1 } + { \mathrm { c } } _ { 2 8 } { \overline { { T } } } { \tau } ^ { 4 } } \\ & { = { \mathrm { c } } _ { 3 2 } { \tau } \sum _ { i = 1 } ^ { k } { { \overline { { \lambda } } } _ { i } } + { \mathrm { c } } _ { 3 3 } { \tau } { \overline { { \lambda } } } _ { k + 1 } + { \mathrm { c } } _ { 2 8 } { \overline { { T } } } { \tau } ^ { 4 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \quad \operatorname* { s u p } _ { r \leq 1 } \left\| r ^ { \frac { n } { \alpha } - \frac { n } { p ( \cdot ) } - \frac { n } { q } } \| \chi _ { B ( 0 , 1 ) } \chi _ { B ( \cdot , r ) } \| _ { L ^ { p ( \cdot ) } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } \right\| _ { L ^ { q } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } } & { \lesssim \operatorname* { s u p } _ { r > 1 } \left\| r ^ { \frac { n } { \alpha } - \frac { n } { q } } \cdot | B | ^ { - \frac { 1 } { p ( x ) } } \cdot \| \chi _ { B ( \cdot , r ) } \| _ { L ^ { p ( \cdot ) } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } \cdot \chi _ { B ( 0 , r + 1 ) } \right\| _ { L ^ { q } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } } \\ & { \lesssim \operatorname* { s u p } _ { r > 1 } r ^ { \frac { n } { \alpha } - \frac { n } { q } } \| \chi _ { B ( 0 , r + 1 ) } \| _ { L ^ { q } ( \mathbb { R } ^ { n } ) } } \\ & { \lesssim \operatorname* { s u p } _ { r > 0 } r ^ { \frac { n } { \alpha } - \frac { n } { q } } \cdot ( r + 1 ) ^ { \frac { n } { q } } } \\ & { < \infty . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { i n f } _ { y \in I } d _ { \theta } \Big ( ( x , ( T g ) ^ { ( k ) } ( x ) ) , ( y , ( T h ) ^ { ( k ) } ( y ) ) \Big ) } \\ & { \le \frac { \alpha _ { j } } { a ^ { k } - \alpha _ { j } } \Big [ \operatorname* { i n f } _ { y \in I } d _ { \theta } \Big ( ( L _ { j } ^ { - 1 } ( x ) , g ^ { ( k ) } ( L _ { j } ^ { - 1 } ( x ) ) ) , ( y , ( T g ) ^ { ( k ) } ( y ) ) \Big ) } \\ & { + \operatorname* { i n f } _ { y \in I } d _ { \theta } \Big ( ( L _ { j } ^ { - 1 } ( y ) , ( h ) ^ { ( k ) } ( L _ { j } ^ { - 1 } ( y ) ) ) , ( x , ( T h ) ^ { ( k ) } ( x ) ) \Big ) } \\ & { + 2 \operatorname* { i n f } _ { y \in I } d _ { \theta } \Big ( ( x , ( T g ) ^ { ( k ) } ( x ) ) , ( y , ( T h ) ^ { ( k ) } ( y ) ) \Big ) \Big ] . } \end{array}
g _ { \mu \nu } = \mathrm { d i a g } \; ( 1 , - { a ^ { 2 } ( \tau ) } , - { a ^ { 2 } ( \tau ) } \sinh ^ { 2 } \eta , - { a ^ { 2 } ( \tau ) } \sinh ^ { 2 } \eta \sin ^ { 2 } \theta ) ,
\vec { j } _ { 2 } ( t , x _ { 1 } , x _ { 2 } ) = \left( \begin{array} { l } { - 1 0 ( t ^ { 2 } - x _ { 2 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ) } \\ { 2 ( t ^ { 2 } - x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 1 } ) } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { l } { 2 t ^ { 3 } \sin ( \pi x _ { 1 } ) + 6 t \sin ( \pi x _ { 1 } ) x _ { 2 } ( 1 - x _ { 2 } ) } \\ { \pi t ^ { 3 } ( 1 - 2 x _ { 2 } ) \cos ( \pi x _ { 1 } ) } \end{array} \right)