harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { t } & { { } = { \mathrm { c o n s t a n t } } \pm { \frac { r _ { \mathrm { { s } } } } { c } } \left( { \frac { 2 } { 3 } } \left( { \frac { r } { r _ { \mathrm { { s } } } } } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } + 2 { \sqrt { \frac { r } { r _ { \mathrm { { s } } } } } } + \ln { \frac { \left| { \sqrt { \frac { r } { r _ { \mathrm { { s } } } } } } - 1 \right| } { { \sqrt { \frac { r } { r _ { \mathrm { { s } } } } } } + 1 } } \right) } \\ { \tau } & { { } = { \mathrm { c o n s t a n t } } \pm { \frac { 2 } { 3 } } { \frac { r _ { \mathrm { { s } } } } { c } } \left( { \frac { r } { r _ { \mathrm { { s } } } } } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { y , q , z } } & { y ^ { T } \operatorname { E } ( r ) - \theta z } \\ { { \mathrm { s . t . ~ } } } & { y ^ { T } \operatorname { E } ( r ) \geq \theta z , \; q ^ { T } { \bf { 1 } } = 1 , \; y ^ { T } { \bf { 1 } } = z } \\ & { q _ { j } \geq \theta z - y ^ { T } r _ { j } , \; q , z \geq 0 , \; z { \mathcal { L } } \leq y \leq z { \mathcal { U } } } \end{array} }
\begin{array} { r } { | \delta T ( \omega ) | = \frac { 2 \Delta _ { 0 } \kappa _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ } } \sqrt { ( \kappa - \kappa _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ } } ) ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } } } { \left( \frac { \kappa ^ { 2 } } { 4 } + \Delta _ { 0 } ^ { 2 } \right) \sqrt { \left( \frac { \kappa ^ { 2 } } { 4 } + \Delta _ { 0 } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } \kappa ^ { 2 } } } | \delta \Delta ( \omega ) | . } \end{array}
P ( T ) = \sum _ { i = g , q , { \overline { { q } } } } \frac { D _ { i } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d ^ { 3 } k \frac { k ^ { 2 } } { 3 \omega _ { i } ( k ) } f _ { i } ( k ) - B ( T ) \ ,
\begin{array} { r l } { f ( x ) } & { = \frac { 1 } { 4 } ( x _ { 1 } - 1 ) ^ { 2 } + \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } \left| x _ { i + 1 } - 2 x _ { i } ^ { 2 } + 1 \right| \; , } \\ { \quad ( x _ { 0 } ) _ { i } } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { - 0 . 5 } & { \mathrm { i f } \; \mod ( i , 2 ) = 1 } \\ { \phantom { - } 0 . 5 } & { \mathrm { i f } \; \mod ( i , 2 ) = 0 \; } \end{array} \right. \qquad \mathrm { f o r } \quad i \in \{ 1 , \ldots , n \} \; . } \end{array}
\left[ - i \partial _ { \mu } \gamma ^ { \mu } + \frac { 1 } { 2 \xi } \left( \kappa ^ { 2 } + \left( i \frac { u ^ { \mu } } { c } \partial _ { \mu } + \xi \right) ^ { 2 } \right) \frac { u _ { \mu } \gamma ^ { \mu } } { c } - \frac { 1 } { 2 \xi } \left( \kappa ^ { 2 } + \left( i \frac { u ^ { \mu } } { c } \partial _ { \mu } + \xi \right) \left( i \frac { u ^ { \mu } } { c } \partial _ { \mu } - \xi \right) \right) I \right] \psi ( x ) = 0
\begin{array} { c l c r } { { \overline { { { q } } } ^ { n } ( x ) = \overline { { { q } } } _ { 0 } ( x ) + \Delta ( x ) ; } } \\ { { \overline { { { q } } } ^ { p } ( x ) = \overline { { { q } } } _ { 0 } ( x ) . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { T ^ { ( + + + ) } } & { { } = \frac { 1 } { 3 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } T _ { i } ^ { ( + + + ) } = \frac { \mathrm { ~ T ~ r ~ } [ ( \mathbf { A } ^ { + } ) ^ { 3 } ] } { 6 } , } \\ { T ^ { ( + -- ) } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } T _ { i } ^ { ( + -- ) } = \frac { \mathrm { ~ T ~ r ~ } [ \mathbf { A } ^ { + } ( \mathbf { A } ^ { - } ) ^ { 2 } ] } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tau \dot { v } _ { j } } & { { } = v _ { j } ^ { 2 } - ( v _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ s ~ t ~ } } + v _ { \mathrm { ~ t ~ h ~ r ~ e ~ s ~ } } + \tilde { g } ) v _ { j } + v _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ s ~ t ~ } } v _ { \mathrm { ~ t ~ h ~ r ~ e ~ s ~ } } + ( \tilde { I } _ { j } + \tilde { I } _ { \mathrm { ~ s ~ y ~ n ~ } } + g \tilde { I } _ { \mathrm { ~ s ~ y ~ n ~ } } ) ( v _ { \mathrm { ~ t ~ h ~ r ~ e ~ s ~ } } - v _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ s ~ t ~ } } ) / g _ { L } } \end{array}
\begin{array} { r } { W = - \frac { \mu } { 2 } J _ { m } \ln \Big ( 1 - \frac { \lambda _ { 1 } ^ { 2 } + \lambda _ { 2 } ^ { 2 } + \lambda _ { 3 } ^ { 2 } - 3 } { J _ { m } } \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { c } { \mathrm { i } \hbar \dot { \beta } _ { \mathbf { k } } = \frac { \sqrt { n } } { \sqrt { V } } V _ { \mathrm { ~ 1 ~ 2 ~ } } ( \mathbf { k } ) W _ { \mathbf { k } } + \Omega _ { \mathbf { k } } \beta _ { \mathbf { k } } , } \\ { \hbar \dot { \phi } ( t ) = V _ { \mathrm { ~ 1 ~ 2 ~ } } ( \mathbf { 0 } ) n + \frac { \mathbf { P } ^ { 2 } - \mathbf { P } _ { \textrm { B } } ^ { 2 } } { 2 m } + \frac { \sqrt { n } } { \sqrt { V } } \sum _ { \mathbf { k } } W _ { \mathbf { k } } V _ { \mathrm { ~ 1 ~ 2 ~ } } ( \mathbf { k } ) \mathfrak { R e } [ \beta _ { \mathbf { k } } ] , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { 2 } ^ { L } } & { = x _ { 2 } ^ { L } \times p _ { 2 } ^ { L } = \left( - \frac { m _ { 1 } ( 2 + m _ { 1 } + m _ { 2 } ) } { ( 2 + m _ { 1 } ) ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) } \mathbf { x } _ { 1 } ^ { R } + \frac { 2 } { 2 + m _ { 1 } } \mathbf { x } _ { 2 } ^ { R } \right) \times \left( - \mathbf { p } _ { 1 } ^ { R } + \frac { m _ { 2 } } { m _ { 1 } + m _ { 2 } } \mathbf { p } _ { 2 } ^ { R } \right) } \\ & { = \frac { m _ { 1 } ( 2 + m _ { 1 } + m _ { 2 } ) } { ( 2 + m _ { 1 } ) ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) } G _ { 1 } ^ { R } + \frac { 2 m _ { 2 } } { ( 2 + m _ { 1 } ) ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) } G _ { 2 } ^ { R } } \\ & { - \frac { 2 } { 2 + m _ { 1 } } \mathbf { x } _ { 2 } ^ { R } \times \mathbf { p } _ { 1 } ^ { R } - \frac { m _ { 1 } m _ { 2 } ( 2 + m _ { 1 } + m _ { 2 } ) } { ( 2 + m _ { 1 } ) ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) ^ { 2 } } \mathbf { x } _ { 1 } ^ { R } \times \mathbf { p } _ { 2 } ^ { R } } \\ & { : = c _ { 1 } G _ { 1 } ^ { R } + c _ { 2 } G _ { 2 } ^ { R } - c _ { 3 } \mathbf { x } _ { 2 } ^ { R } \times \mathbf { p } _ { 1 } ^ { R } - c _ { 4 } \mathbf { x } _ { 1 } ^ { R } \times \mathbf { p } _ { 2 } ^ { R } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { U _ { 3 } , \, V } ( u , v ) } & { = f _ { U _ { 3 } , \, U _ { 2 } } ( u , u - v ) = f _ { U _ { 3 } } ( u ) \, f _ { U _ { 2 } } ( u - v ) } \\ & { = \frac { 2 } { \pi } \exp \left\{ ( 2 u - v ) - \frac { 1 } { 2 } e ^ { 2 u } \left( 1 + e ^ { - 2 v } \right) \right\} , \quad u , v \in ( - \infty , \infty ) ; } \end{array}
\partial _ { t } ^ { 2 } u _ { x } = c _ { s } ^ { 2 } \partial _ { x } ^ { 2 } u _ { x } + \left( \frac { D + 1 } { D } \nu + \frac { \eta } { \rho } \right) \partial _ { t } \partial _ { x } ^ { 2 } u _ { x } ,
\bar { \alpha } _ { E } ^ { p } - \bar { \alpha } _ { E } ^ { n } \simeq { \frac { \alpha } { 3 M } } ( < r _ { p } ^ { 2 } > - < r _ { n } ^ { 2 } > ) = 4 . 2 \times 1 0 ^ { - 4 } \mathrm { f m } ^ { 3 }
\begin{array} { r l r } { f _ { 2 } } & { = } & { \frac { 1 } { 2 4 } \left( 3 x ^ { 2 } - 1 0 x - 9 \right) \left( \frac { \psi _ { 1 } } { \pi } \right) ^ { 2 } , } \\ { f _ { 3 } } & { = } & { - \frac { 1 } { 2 4 } x \left( x - 1 \right) \left( x - 9 \right) \left( \frac { \psi _ { 1 } } { \pi } \right) ^ { 3 } , } \\ { f _ { 4 } } & { = } & { \frac { 1 } { 5 7 6 } \left( 3 + x \right) ^ { 4 } \left( \frac { \psi _ { 1 } } { \pi } \right) ^ { 4 } . } \end{array}
\frac { \partial v _ { z } } { \partial r } \sim \frac { 1 } { \epsilon } \frac { \partial v _ { r } } { \partial r } \sim \frac { 1 } { \epsilon } \frac { \partial v _ { z } } { \partial z } \sim \frac { 1 } { \epsilon ^ { 2 } } \frac { \partial v _ { r } } { \partial z }
A _ { 2 2 } = \ast \big ( d N _ { \phi } ( \cdot ) \wedge \ast d \eta \big ) + ( - 1 ) ^ { n } d \big ( \mathrm { l i } ( \langle d N _ { \phi } ( \cdot ) , \eta \rangle _ { \Lambda ^ { 1 } } ) \big ) + [ \eta , d N _ { \phi } ( \cdot ) ] _ { 1 }
E _ { \theta } = \frac { \Pi _ { \theta , E } } { R \sin \theta } \sqrt { \frac { B ^ { 2 } + R ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta ( R ^ { 2 } + R _ { \theta } ^ { 2 } ) } { \Pi _ { \theta , E } ^ { 2 } + R ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } } .
\begin{array} { r } { E _ { \mathrm { ~ b ~ i ~ a ~ x ~ i ~ a ~ l ~ } } ^ { \mathrm { ~ B ~ F ~ P ~ } } ( y , z ) \approx \exp \left( - \frac { z ^ { 2 } + y ^ { 2 } } { w _ { 0 } ^ { 2 } } \right) \cdot \exp \left[ i 2 \pi \alpha \left( \frac { z } { w _ { 0 } } \right) ^ { 3 } \right] \cdot \exp \left( - i \frac { \pi } { r _ { d } \lambda f } \cdot y ^ { 2 } z \right) . } \end{array}
\Delta \rho g \Delta z A _ { \mathrm { ~ c ~ s ~ } } = \frac { 1 } { L } \frac { A _ { \mathrm { ~ p ~ } } } { A _ { \mathrm { ~ c ~ s ~ } } ^ { 2 } } \frac { \dot { m } ^ { 2 } } { 2 \rho _ { \mathrm { ~ m ~ } } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( f _ { \mathrm { ~ i ~ } } L _ { \mathrm { ~ i ~ } } ) ,
\begin{array} { r l } { A _ { 3 } \leq } & { C \sum _ { 1 \leq j \leq k } \sum _ { 0 \leq a \leq j } ( 1 + E _ { a } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( t ) ) E _ { a } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( t ) E _ { k - j } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( t ) \big ( E _ { k } ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( t ) + \| \partial _ { t } ^ { k } u _ { t } \| _ { L _ { \rho ( \phi ) } ^ { 2 } } \big ) } \\ { \leq } & { c _ { 1 } \delta _ { 2 } \| \partial _ { t } ^ { k } u _ { t } \| _ { L _ { \rho ( \phi ) } ^ { 2 } } ^ { 2 } + C _ { \delta _ { 2 } } \sum _ { 0 \leq j \leq k } ( 1 + E _ { j } ^ { 2 } ( t ) ) E _ { j } ( t ) } \end{array}
\hat { z } _ { \alpha } = \left\{ \begin{array} { c } { { a _ { \alpha } ( \theta _ { \alpha } ) ^ { 1 / 2 } \, , \enspace \theta _ { \alpha } > 0 } } \\ { { a _ { \alpha } ^ { \dagger } | \theta _ { \alpha } | ^ { 1 / 2 } \, , \enspace \theta _ { \alpha } < 0 } } \end{array} \right.
P ^ { \mu _ { 1 } \nu _ { 1 } \, \mu _ { 2 } \nu _ { 2 } } = c _ { A } { \cal T } _ { A } ^ { \mu _ { 1 } \nu _ { 1 } \, \mu _ { 2 } \nu _ { 2 } } + c _ { B } { \cal T } _ { A } ^ { \mu _ { 1 } \nu _ { 1 } \, \mu _ { 2 } \nu _ { 2 } } + c _ { C } { \cal T } _ { A } ^ { \mu _ { 1 } \nu _ { 1 } \, \mu _ { 2 } \nu _ { 2 } } + \sum _ { i = 4 } ^ { 1 4 } c _ { i } T _ { i } ^ { \mu _ { 1 } \nu _ { 1 } \, \mu _ { 2 } \nu _ { 2 } } .
\int _ { 0 } ^ { \mu _ { \mathrm { ~ C ~ T ~ L ~ } } } n ^ { 2 } \lambda \epsilon d \epsilon = N \quad \Rightarrow \quad n = \frac { 1 } { 2 \mu _ { \mathrm { ~ C ~ T ~ L ~ } } } \sqrt { \frac { N } { \lambda } } .
\begin{array} { r l } & { \Delta ^ { ( n ) } = \Delta ^ { ( n ) } ( \varphi ^ { ( n ) } , \varphi _ { \cal A } ^ { ( n ) } | { p } _ { X } ^ { n } , { p } _ { K } ^ { n } , W ^ { n } ) } \\ & { : = I ( X ^ { n } ; \widetilde { C } ^ { m } , M _ { \cal A } ^ { ( n ) } ) = I ( X ^ { n } ; \varphi ^ { ( n ) } ( { { X } ^ { n } } \oplus { { K } ^ { n } } ) , M _ { \cal A } ^ { ( n ) } ) . } \end{array}
\Lambda _ { \ell } ( x ) = e ^ { - x } I _ { \ell } ( x ) \qquad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \qquad Z ( x ) = \frac { 1 } { \sqrt { \pi } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { e ^ { - t ^ { 2 } } } { t - x } d t ,
\begin{array} { l } { \displaystyle \sigma _ { p } ^ { 2 } \, = \, \frac { 1 } { \pi ^ { 2 } \, 2 ^ { 2 N } \, \Gamma ( N ) ^ { 2 } } \, \frac { \sqrt \pi \, \Gamma ( N + 2 ) \, { \Gamma ( 2 N ) } } { \sqrt \pi \, \Gamma ( N + 1 ) \, - \, { \Gamma \left( N + \frac 1 2 \right) } } \, . } \end{array}
\frac { \partial \left( h T \right) } { \partial t } + \frac { \partial \left( h { { { \bar { u } } } _ { i } } T \right) } { \partial { { x } _ { i } } } - \frac { \partial } { \partial { { x } _ { i } } } \left( h k \frac { \partial T } { \partial { { x } _ { i } } } \right) + R = 0
G ( t ^ { \prime } ) = \frac { \zeta _ { ( 1 ) } } { \tau _ { ( 1 ) } } \Theta ( t ^ { \prime } ) e ^ { - t ^ { \prime } / \tau _ { ( 1 ) } } + \frac { \zeta _ { ( 2 ) } } { \tau _ { ( 2 ) } } \Theta ( t ^ { \prime } ) e ^ { - t ^ { \prime } / \tau _ { ( 2 ) } } \, .
\left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right)
\sum _ { x \in \{ x \} _ { \mathrm { m i x } } } w ( x \mid \theta _ { t } ) I \bigl ( \Delta \chi ^ { 2 } ( \theta _ { t } \mid x ) \ge \Delta \chi _ { c , t } ^ { 2 } \bigr ) \lesssim \alpha \times S n _ { \mathrm { e x p } } ,
\begin{array} { r l } & { \frac { p ^ { \tau / 2 } } { n ^ { 2 \tau } \sigma _ { n } ^ { \tau } } \operatorname* { m a x } \{ o ( n ^ { 4 \tau / \tilde { s } - 1 } p ^ { 4 \tau / \tilde { s } - 2 } ) , o ( n ^ { \tau - 1 } p ^ { - 2 } ) \} = o \Big ( \frac { n ^ { ( s + 2 ) \tau / \tilde { s } - 1 } p ^ { \tau / 2 - 2 } } { n ^ { 2 \tau } \sigma _ { n } ^ { \tau } } \Big ) = o ( n ^ { ( 4 - \tilde { s } ) \tau / ( 2 \tilde { s } ) - 1 } ) , \phantom { a b s } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Vert B ( u , v ) \Vert _ { L ^ { p } } } & { { } \leq C _ { p } \Vert u \Vert _ { L ^ { 2 p / ( 2 - p ) } } \Vert \nabla v \Vert _ { L ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { F _ { \mathrm { 2 n d + } } ( \mathrm { ~ \boldmath ~ z ~ } ) = \frac { 1 } { 2 } \biggl ( \sum _ { j = 1 } ^ { N } z _ { j } \biggr ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { j = 1 } ^ { N } z _ { j } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \forall \varphi \neq \varphi ^ { \prime } \in \mathbb { T } , \quad | K ( \varphi , \varphi ^ { \prime } ) | } & { { } \leqslant C _ { 0 } \left| \sin \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) \right| ^ { - ( 1 - \alpha ) } , } \\ { \forall \varphi \neq \varphi ^ { \prime } \in \mathbb { T } , \quad | \partial _ { \varphi } K ( \varphi , \varphi ^ { \prime } ) | } & { { } \leqslant C _ { 0 } \left| \sin \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) \right| ^ { - ( 2 - \alpha ) } . } \end{array}
\operatorname* { s u p } _ { \mathcal { K } ^ { \prime } } r ^ { \frac { s + 1 } { 2 } } | \nabla _ { e _ { 4 } } f | \lesssim \operatorname* { s u p } _ { \mathcal { K } ^ { \prime } } r ^ { \frac { s - 1 } { 2 } } | f | + \operatorname* { s u p } _ { \mathcal { K } ^ { \prime } } \left( \frac { M \epsilon } { r } + \frac { \epsilon ^ { 2 } } { r ^ { \frac { s - 3 } { 2 } } } \right) \lesssim \epsilon _ { 0 } .
F = \int d ^ { 4 } x \, \{ - \frac { 1 } { 4 } B _ { \mu \nu } B ^ { \mu \nu } - \frac { 1 } { 4 } \varepsilon _ { a b } C _ { \mu } ^ { a } C ^ { \mu b } - \frac { 1 } { 1 2 } \varepsilon _ { a b } \varepsilon _ { c d } C ^ { a c } C ^ { b d } \}
= p ^ { \sum _ { k = 0 } ^ { m - 1 } n ^ { k } } + p ^ { \sum _ { k = 0 } ^ { m - 2 } n ^ { k } } q ^ { 1 } + p ^ { \sum _ { k = 0 } ^ { m - 3 } n ^ { k } } q ^ { 1 0 _ { n } } + \ldots + p ^ { 1 0 _ { n } } q ^ { \sum _ { k = 0 } ^ { m - 3 } n ^ { k } } + p ^ { 1 } q ^ { \sum _ { k = 0 } ^ { m - 2 } n ^ { k } } + q ^ { \sum _ { k = 0 } ^ { m - 1 } n ^ { k } } ,
\begin{array} { r l } { \alpha _ { a , b } } & { = \frac { 1 - \cos ( a ) \cos ( b ) - \big ( \cos ( a ) - \cos ( b ) \big ) } { \sin ( a ) \sin ( b ) } } \\ & { = \frac { \big ( 1 - \cos ( a ) \big ) \big ( 1 + \cos ( b ) \big ) } { \sin ( a ) \sin ( b ) } } \\ & { = \frac { 2 \sin ^ { 2 } \left( \frac { a } { 2 } \right) 2 \cos ^ { 2 } \left( \frac { b } { 2 } \right) } { 2 \sin \left( \frac { a } { 2 } \right) \cos \left( \frac { a } { 2 } \right) 2 \sin \left( \frac { b } { 2 } \right) \cos \left( \frac { b } { 2 } \right) } } \\ & { = \tan \left( \frac { a } { 2 } \right) \cot \left( \frac { b } { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \varepsilon \sum _ { j \not = i } \sum _ { \pm } \int _ { B _ { i , \pm } } \Gamma ( | \partial _ { i } u | ) ^ { 1 + \omega _ { i } ^ { \pm } } \eta ^ { 2 k } \, \mathrm { d } x } } \\ & { } & { \leq ( n - 1 ) \varepsilon \int _ { B } f _ { i } ( \partial _ { i } u ) \Gamma ^ { 1 + \gamma _ { i } } ( | \partial _ { i } u | ) \eta ^ { 2 k } \, \mathrm { d } x + c } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \mathcal E K ^ { t } \psi - \widehat C _ { \mathbb H } ^ { m , t } \psi \| } & { = \| \mathcal E K ^ { t } \mathcal E ^ { * } \psi - \widehat C _ { \mathbb H } ^ { m , t } \psi \| = \| ( C _ { \mathbb H } ^ { t } - \widehat C _ { \mathbb H } ^ { m , t } ) \psi \| \le \| C _ { \mathbb H } ^ { t } - \widehat C _ { \mathbb H } ^ { m , t } \| _ { H S } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \widetilde { s } _ { b } \left( s \right) } & { { } = } & { \overline { { \psi } } _ { b } ^ { \, \ast } \left( s \right) \, a \left( s \right) \, \overline { { \psi } } _ { b } \left( s \right) + \overline { { \psi } } _ { b } ^ { \, \ast } \left( s ^ { \prime } \right) \, a \left( s ^ { \prime } \right) \, \overline { { \psi } } _ { b } \left( s ^ { \prime } \right) } \end{array}
x ^ { [ m ] } ( t ) = \frac { 1 } { m ! } \frac { d ^ { m } x ( t ) } { d t ^ { m } } , \; \; y ^ { [ m ] } ( t ) = \frac { 1 } { m ! } \frac { d ^ { m } y ( t ) } { d t ^ { m } } , \; \; z ^ { [ m ] } ( t ) = \frac { 1 } { m ! } \frac { d ^ { m } z ( t ) } { d t ^ { m } }
\begin{array} { r l } { \mathrm { t r } ( | A B | ^ { p } ) \le \sum _ { i = 1 } ^ { m } s _ { i } ( A ) ^ { p } s _ { i } ( B ) ^ { p } } & { \le \sum _ { i = 1 } ^ { m } s _ { 1 } ( A ) ^ { p } s _ { i } ( B ) ^ { p } } \\ { \& = \| A \| ^ { p } \big ( \sum _ { i = 1 } ^ { m } s _ { i } ( B ) ^ { p } \big ) = \| A \| ^ { p } \mathrm { t r } ( | B | ^ { p } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R ( \mathbf { \Phi } ) } & { = I \big ( \mathbf { x } ; \mathbf { y } \big ) = h ( \mathbf { y } ) - h ( \mathbf { y } | \mathbf { x } ) } \\ & { = h ( \mathbf { y } ) - h ( \mathbf { K } \mathbf { x } + \mathbf { n } _ { 1 } | \mathbf { x } ) \overset { ( a ) } = h ( \mathbf { y } ) - h ( \mathbf { n } _ { 1 } ) , } \end{array}
F ( P _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } , P _ { \mathrm { ~ i ~ d ~ e ~ a ~ l ~ } } ) = \operatorname* { m a x } \{ F _ { r a w } ( P _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } , P _ { \mathrm { ~ i ~ d ~ e ~ a ~ l ~ } } ) , 0 \}
\begin{array} { r l } { = { } } & { { } { \frac { \Gamma ( 0 . 5 v ) \Gamma ( 0 . 5 v + 1 ) ( 1 + ( t _ { v } ^ { - 2 } ( u ) + t _ { v } ^ { - 2 } ( v ) - 2 \rho t _ { v } ^ { - 1 } ( u ) t _ { v } ^ { - 1 } ( v ) ) / ( v ( 1 - \rho ^ { 2 } ) ) ) ^ { - 0 . 5 ( v + 2 ) } ) } { { \sqrt { 1 - \rho ^ { 2 } } } \cdot \Gamma ( 0 . 5 ( v + 1 ) ) ^ { 2 } ( 1 + t _ { v } ^ { - 2 } ( u ) / v ) ^ { - 0 . 5 ( v + 1 ) } ( 1 + t _ { v } ^ { - 2 } ( v ) / v ) ^ { - 0 . 5 ( v + 1 ) } } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \| \phi _ { h } ^ { t } \| _ { H _ { h } ^ { s } } ^ { 2 } + \int _ { t } ^ { T } \| \nabla _ { h } \phi _ { h } ^ { \tau } \| _ { H _ { h } ^ { s } } ^ { 2 } \, \mathrm { d } \tau \leq N ^ { \kappa ( T - t ) } \| \mathcal { I } _ { h } \varphi \| _ { H _ { h } ^ { s } } ^ { 2 } \leq N ^ { \kappa ( T - t ) } \| \varphi \| _ { C ^ { s } } ^ { 2 } . } \end{array}
1 0 ^ { 3 } \ln ( \alpha _ { \mathrm { s i l i c a t e - F e H } } ) = 1 0 ^ { 3 } \ln ( \beta _ { \mathrm { F e - s i l i c a t e } } ) - 1 0 ^ { 3 } \ln ( \beta _ { \mathrm { F e H } } ) .
\begin{array} { r l r } { \Vert B _ { w } ^ { [ n ] } x \Vert _ { k , p } ^ { p } } & { \leq } & { \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n } \sum _ { m = 1 } ^ { n } \left( \left| \prod _ { t = 0 } ^ { m - 1 } w _ { j + t } \right| | x _ { j + m } | a _ { j , k } \right) ^ { p } } \\ & { = } & { \sum _ { r = 0 } ^ { \infty } \left( \frac { 1 } { n } \sum _ { m = 1 } ^ { n } \left| \prod _ { t = 0 } ^ { m - 1 } w _ { r - m + t } \right| ^ { p } a _ { r - m , k } ^ { p } \right) | x _ { r } | ^ { p } } \\ & { = } & { \sum _ { r = 0 } ^ { \infty } \frac { \sum _ { m = 1 } ^ { n } \left| \prod _ { s = 1 } ^ { m } w _ { r - s } \right| ^ { p } a _ { r - m , k } ^ { p } } { n a _ { r , l } ^ { p } } ( | x _ { r } | a _ { r , l } ) ^ { p } } \\ & { \leq } & { \operatorname* { s u p } _ { r \in \mathbb { N } _ { 0 } , n \in \mathbb { N } } \frac { \sum _ { m = 1 } ^ { n } \left| \prod _ { s = 1 } ^ { m } w _ { r - s } \right| ^ { p } a _ { r - m , k } ^ { p } } { n a _ { r , l } ^ { p } } \Vert x \Vert _ { l , p } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { 4 } } & { { } = \beta V _ { 1 } + \alpha _ { 1 } V _ { 2 } } \\ { V _ { 4 } } & { { } = \beta V _ { 1 } + \alpha _ { 1 } \mathbb { K } ^ { \prime } V _ { 4 } } \\ { V _ { 4 } } & { { } = \beta V _ { 1 } + \mathbb { K } V _ { 4 } } \end{array}
\frac { \partial \mathbf { u } } { \partial t } + \mathbf { u } \cdot \nabla \mathbf { u } = - \frac { 1 } { \rho _ { 0 } } \nabla P + \nu \nabla ^ { 2 } \mathbf { u } + g \beta _ { T } ( T - T _ { 0 } ) \hat { \mathbf { y } } ,
\langle \Delta \tilde { F } ^ { \{ i \} } ( z _ { \mathrm { m p } } , 2 ) \rangle = \langle \tilde { Z } ^ { \{ i \} } ( \nu , z _ { \mathrm { m p } } , 1 ) \rangle - \langle \tilde { Z } ^ { \{ i \} } ( \nu , z _ { \mathrm { m p } } , 2 ) \rangle .
\begin{array} { r l } & { \left\langle \left( \sum _ { l = 1 } ^ { k _ { c } } \log \frac { f _ { + } ( \xi _ { i , t } ^ { l , c } ) } { f _ { - } ( \xi _ { i , t } ^ { l , c } ) } + \sum _ { l = 1 } ^ { k - k _ { c } } \log \frac { f _ { + } ( \xi _ { i , t } ^ { l , n } ) } { f _ { - } ( \xi _ { i , t } ^ { l , n } ) } - \mathrm { E } _ { \xi } \left[ \left. \sum _ { l = 1 } ^ { k } \log \frac { f _ { + } ( \xi _ { i , t } ^ { l } ) } { f _ { - } ( \xi _ { i , t } ^ { l } ) } \right| H \right] \right) ^ { 2 } \right\rangle } \\ & { = \left\langle \sum _ { l = 1 } ^ { k _ { c } } \left[ \log \frac { f _ { + } ( \xi _ { i , t } ^ { l , c } ) } { f _ { - } ( \xi _ { i , t } ^ { l , c } ) } \right] ^ { 2 } \right\rangle - c \mu ^ { 2 } \cdot \Delta t ^ { 2 } + \left\langle \sum _ { l = 1 } ^ { k - k _ { c } } \left[ \log \frac { f _ { + } ( \xi _ { i , t } ^ { l , n } ) } { f _ { - } ( \xi _ { i , t } ^ { l , n } ) } \right] ^ { 2 } \right\rangle - ( 1 - c ) \mu ^ { 2 } \cdot \Delta t ^ { 2 } } \\ & { = c \cdot \mathrm { V a r } \left[ \sum _ { l = 1 } ^ { k } \log \frac { f _ { + } ( \xi _ { i , t } ^ { l , c } ) } { f _ { - } ( \xi _ { i , t } ^ { l , c } ) } \right] + ( 1 - c ) \cdot \mathrm { V a r } \left[ \sum _ { l = 1 } ^ { k } \log \frac { f _ { + } ( \xi _ { i , t } ^ { l , n } ) } { f _ { - } ( \xi _ { i , t } ^ { l , n } ) } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathfrak { H } ^ { T } ( s , x ; t , y ) = 2 ^ { 1 / 3 } T ^ { - 1 / 3 } \log \int _ { - \infty } ^ { \infty } \exp \big [ 2 ^ { - 1 / 3 } T ^ { 1 / 3 } \big ( \mathfrak { H } ^ { T } ( s , x ; } & { \tau , z ) + \mathfrak { H } ^ { T } ( \tau , z ; t , y ) \big ) \big ] d z } \\ & { + 2 ^ { 1 / 3 } T ^ { - 1 / 3 } \log ( 2 ^ { 1 / 3 } T ^ { 2 / 3 } ) . } \end{array}
\exists \delta > 0 , \quad \operatorname* { i n f } _ { \boldsymbol \lambda _ { h } \in \boldsymbol \Lambda _ { h } } \operatorname* { s u p } _ { { \bf v } _ { h } \in { \bf V } _ { h } } \frac { { \bf b } ( \boldsymbol \lambda _ { h } , { \bf v } _ { h } ) } { \| { \bf v _ { h } } \| _ { \bf V } \| \boldsymbol \lambda _ { h } \| _ { \boldsymbol \Lambda } } \geq \delta .
\begin{array} { r l } { \frac { 8 \kappa } { \pi } \frac { e } { \rho ^ { 2 } } = } & { 1 + 2 \alpha \kappa - 2 \kappa \alpha ^ { 2 } ( 2 \kappa \log ( \alpha \kappa ) - \kappa - 2 + \log ( 4 ) ) + } \\ & { 8 \kappa ^ { 2 } \alpha ^ { 3 } \big [ \kappa \log ^ { 2 } ( \alpha ) + ( \log ( \alpha ) - 1 ) ( - 2 \log ( 4 ) + 2 \kappa \log ( \kappa ) ) \big ] + \mathcal { O } \left( \alpha ^ { 4 } \right) \, . } \end{array}
\left[ \begin{array} { l } { p _ { i } } \\ { m _ { i } } \\ { Q _ { i l } } \\ { S _ { i l } } \end{array} \right] \propto \left[ \begin{array} { l l l l } { \alpha _ { \mathrm { e e } } ^ { i j } } & { \alpha _ { \mathrm { e m } } ^ { i j } } & { \alpha _ { \mathrm { e e } } ^ { ' i j k } } & { \alpha _ { \mathrm { e m } } ^ { ' i j k } } \\ { \alpha _ { \mathrm { m e } } ^ { i j } } & { \alpha _ { \mathrm { m m } } ^ { i j } } & { \alpha _ { \mathrm { m e } } ^ { ' i j k } } & { \alpha _ { \mathrm { m m } } ^ { ' i j k } } \\ { Q _ { \mathrm { e e } } ^ { i l j } } & { Q _ { \mathrm { e m } } ^ { i l j } } & { Q _ { \mathrm { e e } } ^ { ' i l j k } } & { Q _ { \mathrm { e m } } ^ { ' i l j k } } \\ { S _ { \mathrm { m e } } ^ { i l j } } & { S _ { \mathrm { m m } } ^ { i l j } } & { S _ { \mathrm { m e } } ^ { ' i l j k } } & { S _ { \mathrm { m m } } ^ { ' i l j k } } \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array} { l } { E _ { j } } \\ { H _ { j } } \\ { \partial _ { k } E _ { j } } \\ { \partial _ { k } H _ { j } } \end{array} \right] ,
\Xi _ { s } ( \kappa ) = \operatorname * { l i m } _ { N \to \infty } \mu _ { s , N } ^ { 1 1 } ( \kappa ) = \theta ( \pm \kappa ) \, \frac { | \kappa | ^ { 2 s - 1 } } { A _ { s } ( \kappa ) } - e ^ { \pm \frac { \pi \kappa } { 2 } } .