harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \quad ( W _ { p , q } ^ { ( 2 ) } ) _ { ( 0 ) } W _ { i , j } ^ { ( 2 ) } } \\ & { = \delta ( q > m - n ) ( W _ { p , j } ^ { ( 2 ) } ) _ { ( - 1 ) } W _ { i , q } ^ { ( 1 ) } - \delta ( j > m - n ) ( W _ { p , j } ^ { ( 1 ) } ) _ { ( - 1 ) } W _ { i , q } ^ { ( 2 ) } } \\ & { \quad + \alpha _ { 1 } \delta ( q , j > m - n ) ( \partial W _ { p , j } ^ { ( 1 ) } ) _ { ( - 1 ) } W _ { i , q } ^ { ( 1 ) } + \delta ( q , j > m - n ) ( \partial W _ { p , q } ^ { ( 1 ) } ) _ { ( - 1 ) } W _ { i , j } ^ { ( 1 ) } } \\ & { \quad - \delta _ { q , i } \sum _ { w \leq m - n } ( W _ { w , j } ^ { ( 1 ) } ) _ { ( - 1 ) } W _ { p , w } ^ { ( 2 ) } - \delta _ { q , i } \delta _ { p , j } \sum _ { x , w \leq m - n } ( \partial W _ { w , x } ^ { ( 1 ) } ) _ { ( - 1 ) } W _ { x , w } ^ { ( 1 ) } - \delta _ { q , i } \alpha _ { 2 } \partial W _ { p , j } ^ { ( 2 ) } } \\ & { \quad + \delta _ { q , i } \delta ( j > m - n ) \sum _ { w \leq m - n } ( \partial W _ { p , j } ^ { ( 1 ) } ) _ { ( - 1 ) } W _ { w , w } ^ { ( 1 ) } } \\ & { \quad - \delta _ { p , j } \delta _ { q , i } \frac { 1 } { 2 } ( \alpha _ { 1 } + 2 \alpha _ { 2 } ) \sum _ { x \leq m - n } \partial ^ { 2 } W _ { x , x } ^ { ( 1 ) } - \delta _ { i , q } \delta ( j > m - n ) \frac { \alpha _ { 1 } ( \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } ) + 1 } { 2 } \partial ^ { 2 } W _ { p , j } ^ { ( 1 ) } } \\ & { \quad + \delta _ { p , j } \sum _ { x \leq m - n } ( W _ { x , q } ^ { ( 1 ) } ) _ { ( - 1 ) } W _ { i , x } ^ { ( 2 ) } + \delta _ { p , j } \delta ( q > m - n ) \sum _ { x \leq m - n } ( \partial W _ { x , x } ^ { ( 1 ) } ) _ { ( - 1 ) } W _ { i , q } ^ { ( 1 ) } } \\ & { \quad - \delta _ { i , j } \partial W _ { p , q } ^ { ( 2 ) } - \frac { 1 } { 2 } \delta _ { i , j } \delta ( q > m - n ) ( \alpha _ { 1 } + 2 \alpha _ { 2 } ) \partial ^ { 2 } W _ { p , q } ^ { ( 1 ) } - \frac { 1 } { 2 } \delta _ { i , j } \delta _ { p , q } \partial ^ { 2 } \sum _ { w \leq m - n } W _ { w , w } ^ { ( 1 ) } , } \end{array}
P _ { i } = P _ { \mathrm { c o n } } ^ { \mathrm { t o t } } ( i + 1 ) - P _ { \mathrm { c o n } } ^ { \mathrm { t o t } } ( i ) = \frac { \Delta y } { \pi r } \left( 1 - \frac { \Delta y } { \pi r } \right) ^ { i } .
p ^ { \prime } ( z ) = \left[ \frac { m ( m - 1 ) } { n _ { 0 } ^ { m } } z ^ { m - 2 } - \frac { m ^ { 2 } } { n _ { 0 } ^ { 2 m } } x ^ { 2 m - 2 } \right] \exp \left( - \frac { z ^ { m } } { n _ { 0 } ^ { m } } \right) .
[ \mathbf { c } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { r } = \sum _ { i = r } ^ { k - 1 } [ \mathbf { B } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { ( i + 1 ) } [ \mathbf { c } _ { p i } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { r } , \qquad \mathrm { ~ a n d ~ } \qquad [ \mathbf { c } _ { p k } ^ { \mathrm { o u t } } ] _ { r } = \sum _ { i = r } ^ { k - 1 } [ \mathbf { B } _ { p k } ^ { \mathrm { o u t } } ] _ { ( i + 1 ) } [ \mathbf { c } _ { p i } ^ { \mathrm { o u t } } ] _ { r } ,
\begin{array} { r } { \Bigl \lvert \int _ { \Omega } \int _ { \Omega } \Lambda _ { i j k } ( x , y , y ^ { \prime } ) u _ { j } ( y ) v _ { k } ( y ^ { \prime } ) \mathop { \mathrm { d } y } \mathop { \mathrm { d } y ^ { \prime } } \Bigr \rvert \le \lVert \Lambda _ { i j k } ( x , \mathord { \cdot } , \mathord { \cdot } ) \rVert _ { L ^ { 2 } ( \Omega ^ { 2 } ) } \lVert u _ { j } \rVert _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \lVert v _ { k } \rVert _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } , } \end{array}
\tilde { \mu } ( \omega ) = \frac { \mu _ { E } \omega ^ { 2 } \eta ^ { 2 } } { \mu _ { E } ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } \eta ^ { 2 } } + i \frac { \mu _ { E } ^ { 2 } \omega \eta } { \mu _ { E } ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } \eta ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { p _ { \mathrm { m u t \to r e s } } } & { { } = H ^ { \ast } h ^ { \ast } \widetilde { P } ^ { \prime } ( G , G ) + H ^ { \ast } ( 1 \! - \! h ^ { \ast } ) \widetilde { P } ^ { \prime } ( G , B ) } \end{array} .
\mathbf { H } _ { n } ^ { i } = \oint _ { C _ { 0 } } d z \, \gamma ^ { n } H ^ { i } ( z ) \quad , \quad \mathbf { E } _ { n } ^ { \alpha } = \oint _ { C _ { 0 } } d z \, \gamma ^ { n } E ^ { \alpha } ( z ) \quad , \quad n \in \mathbf { Z } \quad ,
\begin{array} { r l } { p ( \xi ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \nu \exp \left( - \frac { \xi ^ { 2 } } { 2 \nu ^ { 2 } } \right) + \frac { \xi \sqrt { 1 - \nu ^ { 2 } } } { 2 } } & { { } \exp \left( - \frac { 1 } { 2 } \xi ^ { 2 } \right) \left[ 1 + \mathrm { ~ e ~ r ~ f ~ } \left( \frac { \xi \sqrt { 1 - \nu ^ { 2 } } } { \sqrt { 2 } \nu } \right) \right] , } \end{array}
{ \cal A } _ { f i \, \, ( { \bf A } ^ { 2 } ) } ^ { ( 2 ) \, \, R e g } = \frac { e ^ { 2 } \Phi ^ { 2 } } { 4 ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \frac { 1 } { w _ { p } } \left\{ - \ln ( \lambda ^ { 2 } ) - \ln ( p ^ { 2 } ) - \ln [ 2 ( 1 - \cos \theta _ { S } ) ] + 2 ( \ln 2 - \gamma ) \right\} \; .
\mathrm { ~ i ~ } \, \mathcal { I } _ { _ { D C } } \, \mu _ { _ { D C } } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( \overline { { \hat { \eta } } } _ { 1 } ^ { A _ { 2 } \dagger } \hat { \mathcal { F } } _ { 2 _ { \mathrm { ~ d ~ y ~ n ~ } } } ^ { F ^ { 2 } } + \overline { { \hat { \Phi } } } _ { 1 } ^ { A _ { 2 } \dagger } \hat { \mathcal { F } } _ { 2 _ { \mathrm { ~ k ~ i ~ n ~ } } } ^ { F ^ { 2 } } \right) \, r \mathrm { ~ d ~ } r ,
A ^ { M ^ { 1 0 } } ( y ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { d t } { 2 t } } { \frac { 1 } { V _ { 6 } } } \left( 8 \pi ^ { 2 } \alpha ^ { \prime } t \right) ^ { 6 / 2 } e ^ { - { \frac { y ^ { 2 } } { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } } t } \cdot 2 Z _ { B } ^ { o } ( t ) Z _ { F } ^ { o } ( t ) .
\begin{array} { r l r } { w _ { k } ^ { \prime } } & { { } = } & { w _ { k } + \overline { { \bf g } } _ { T } \cdot ( { \bf x } _ { T } + ( { \bf x } _ { T } - { \bf x } _ { j } ) - { \bf x } _ { k } ) , } \\ { w _ { j } ^ { \prime } } & { { } = } & { w _ { j } + \overline { { \bf g } } _ { T } \cdot ( { \bf x } _ { T } + ( { \bf x } _ { T } - { \bf x } _ { k } ) - { \bf x } _ { j } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \nabla u \| _ { L ^ { 4 } ( \Omega \times ( 0 , T ) ) } } & { { } \leq C \bigg ( \| \nabla u \| _ { L ^ { \infty } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \Omega ) ) } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \| \Delta u \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega \times ( 0 , T ) ) } ^ { \frac { 1 } { 2 } } + T _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { 4 } } \| \nabla u \| _ { L ^ { \infty } ( 0 , T ; L ^ { 2 } ( \Omega ) ) } \bigg ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| K _ { u } \| ( \| u \| + \| u _ { t } \| _ { L _ { \rho ( \phi ) } ^ { 2 } } ) + \| K _ { \phi } \| _ { 1 } ( \| ( \phi , \Delta \phi ) \| + \| ( \phi _ { t } , \nabla \phi _ { t } ) \| ) } \\ { \leq } & { \delta _ { 1 } \| ( \phi _ { t } , \nabla \phi _ { t } ) \| ^ { 2 } + c _ { 1 } \delta _ { 1 } \| u _ { t } \| _ { L _ { \rho ( \phi ) } ^ { 2 } } ^ { 2 } + C _ { \delta _ { 1 } } ( \| K _ { u } \| ^ { 2 } + \| K _ { \phi } \| _ { 1 } ^ { 2 } ) + \| ( u , \phi , \Delta \phi ) \| ^ { 2 } } \\ { \leq } & { \delta _ { 1 } \| ( \phi _ { t } , \nabla \phi _ { t } ) \| ^ { 2 } + c _ { 1 } \delta _ { 1 } \| u _ { t } \| _ { L _ { \rho ( \phi ) } ^ { 2 } } ^ { 2 } + 2 C _ { \delta _ { 1 } } \delta ^ { 2 } \big ( \| \Delta u \| ^ { 2 } + \| \nabla \Delta \phi \| ^ { 2 } \big ) } \\ & { + C E _ { 0 } ( t ) + 2 C _ { \delta _ { 1 } } C _ { \delta } ^ { 2 } ( 1 + E _ { 0 } ^ { 4 } ( t ) ) ^ { 2 } E _ { 0 } ^ { 5 } ( t ) \, , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { b } _ { x } } & { = ( \mathbf { d } _ { x } \mathbf { s } _ { x } ) / ( \mathbf { d } _ { z } \mathbf { r } _ { x } ) \mathbf { r } _ { z } , } \\ { \mathbf { b } _ { y } } & { = ( \mathbf { d } _ { y } \mathbf { s } _ { y } ) / ( \mathbf { d } _ { z } \mathbf { r } _ { y } ) \mathbf { r } _ { z } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { T } & { { } = \frac { 1 } { c _ { v } \rho } \left( \rho e - \frac { 1 } { 2 } \rho \| \pmb { u } \| ^ { 2 } - \rho \Phi \right) \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad p = \rho R _ { d } T . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { P ( Y = k ) [ P ( X \leq k ) - \alpha ] } { P ( X = k ) } - \frac { P ( Y = \hat { k } ) [ P ( \hat { X } \leq \hat { k } ) - \alpha ] } { P ( \hat { X } = \hat { k } ) } = } \\ & { - \frac { P ( Y = \hat { k } ) [ P ( \hat { X } \leq \hat { k } ) - P ( X \leq k ) ] } { P ( \hat { X } = \hat { k } ) } \leq 0 } \end{array}
= \int _ { 0 } ^ { 1 } { \biggl \{ \frac { y ^ { 2 } + 1 } { 2 \, y ^ { 2 } } } { \biggl [ } { \mathrm { a r t a n h } } { \bigl ( } y ^ { 2 } { \bigr ) } - { \mathrm { a r t a n h } } { \biggl ( } { \frac { { \sqrt { 1 - x ^ { 4 } } } \, y ^ { 2 } } { \sqrt { 1 - x ^ { 4 } y ^ { 4 } } } } { \biggr ) } { \biggr ] } { \biggr \} } _ { x = 0 } ^ { x = 1 } \, \mathrm { d } y = \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { y ^ { 2 } + 1 } { 2 \, y ^ { 2 } } } \, \mathrm { a r t a n h } { \bigl ( } y ^ { 2 } { \bigr ) } \, \mathrm { d } y =
\begin{array} { r l } { w _ { \mathcal { S } } ^ { * } } & { = ( n \lambda ) ^ { - 1 } [ I _ { k } - A _ { \mathcal { S } } ^ { \top } ( n \lambda I _ { k } + A _ { \mathcal { S } } A _ { \mathcal { S } } ^ { \top } ) ^ { - 1 } A _ { \mathcal { S } } ] \cdot ( n \lambda \bar { w } _ { \mathcal { S } } + A _ { \mathcal { S } } ^ { \top } b ) } \\ & { = \bar { w } _ { \mathcal { S } } + ( n \lambda ) ^ { - 1 } A _ { \mathcal { S } } ^ { \top } b - ( n \lambda ) ^ { - 1 } A _ { \mathcal { S } } ^ { \top } ( n \lambda I _ { k } + A _ { \mathcal { S } } A _ { \mathcal { S } } ^ { \top } ) ^ { - 1 } A _ { \mathcal { S } } ( n \lambda \bar { w } _ { \mathcal { S } } + A _ { \mathcal { S } } ^ { \top } b ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { a } _ { 1 } = } & { - \left( \frac { \kappa _ { 1 } } { 2 } + \mathrm { i } \Delta _ { 1 } \right) a _ { 1 } + \mathrm { i } a _ { 1 } \left( g _ { 1 1 } x _ { 1 } ^ { \mathrm { t h } } + g _ { 1 2 } x _ { 2 } ^ { \mathrm { t h } } \right) } \\ { + } & { \mathrm { i } J a _ { 2 } + F _ { \mathrm { p } } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \Delta _ { \mathrm { p } } t } + \mathcal { N } _ { 1 } , } \\ { \dot { a } _ { 2 } = } & { - \left( \frac { \kappa _ { 2 } } { 2 } + \mathrm { i } \Delta _ { 2 } \right) a _ { 2 } + \mathrm { i } a _ { 2 } \left( g _ { 2 1 } x _ { 1 } ^ { \mathrm { t h } } + g _ { 2 2 } x _ { 2 } ^ { \mathrm { t h } } \right) } \\ { + } & { \mathrm { i } J a _ { 1 } + F _ { \mathrm { l } } + \mathcal { N } _ { 2 } , } \\ { \dot { x } _ { 1 } ^ { \mathrm { t h } } = } & { - \gamma _ { 1 } \left( x _ { 1 } ^ { \mathrm { t h } } + \beta g _ { 1 1 } a _ { 1 } ^ { \dagger } a _ { 1 } + \beta g _ { 1 2 } a _ { 2 } ^ { \dagger } a _ { 2 } \right) , } \\ { \dot { x } _ { 2 } ^ { \mathrm { t h } } = } & { - \gamma _ { 2 } \left( x _ { 2 } ^ { \mathrm { t h } } + \beta g _ { 2 1 } a _ { 1 } ^ { \dagger } a _ { 1 } + \beta g _ { 2 2 } a _ { 2 } ^ { \dagger } a _ { 2 } \right) , } \end{array}
H _ { n } = \frac { 1 } { 2 } \left( - \frac { d ^ { 2 } } { d x ^ { 2 } } + \frac { j _ { n } ( j _ { n } + 1 ) } { x ^ { 2 } } \right) , \qquad j _ { n } = \alpha - n \Pi _ { + } ,
\begin{array} { r l } { F _ { t + 1 } - F _ { t } } & { \leq - \frac { \mu \tau } { 4 } F _ { t } + \frac { 5 \tau ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { 4 b _ { x } M } + \frac { 5 \eta ^ { 2 } \bar { L } ^ { 2 } } { \mu \tau } E _ { t } + \frac { 5 \eta ^ { 2 } \bar { L } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { \mu \tau b _ { x } M } + \frac { 5 I \tilde { L } _ { 2 } ^ { 2 } \tau } { 1 6 \mu } \bigg [ \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } \eta ^ { 2 } D _ { \ell } + 2 \gamma ^ { 2 } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } B _ { \ell } + 2 C _ { t } \bigg ] } \end{array}
U ^ { - 1 } \left( \begin{array} { c } { u _ { c } ^ { \prime \prime } ( x ) } \\ { u _ { o } ^ { \prime \prime } ( x ) } \end{array} \right) = D U ^ { - 1 } \left( \begin{array} { c } { u _ { c } ( x ) } \\ { u _ { o } ( x ) } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l r } { \bar { x } } & { = } & { \bar { F } _ { \bar { x } } \left( y _ { 0 , r _ { i } - 1 } ^ { 1 , m } \right) = F _ { x } \left( y _ { 0 , r _ { i } - 1 } ^ { 1 , m } \right) } \\ { \bar { u } } & { = } & { \bar { F } _ { \bar { u } } \left( y _ { 1 , r _ { i } } ^ { 1 , m } \right) = t _ { u } \left( F _ { x } \left( y _ { 0 , r _ { i } - 1 } ^ { 1 , m } \right) , F _ { u } \left( y _ { 0 , r _ { i } } ^ { 1 , m } \right) \right) \; , } \end{array}
\pi ^ { ( 0 , 0 ) } = \left\langle \pi _ { 1 } \right\rangle _ { \begin{array} { l } { \delta = 0 } \\ { s _ { 1 } = 1 } \end{array} } , ~ \pi ^ { ( 0 , 2 ) } = \left\langle \sum _ { j , l \in V } e _ { 1 j } ^ { [ R ] } e _ { j l } ^ { [ R ] } \pi _ { l } \right\rangle _ { \begin{array} { l } { \delta = 0 } \\ { s _ { 1 } = 1 } \end{array} } \, ,
\begin{array} { l } { \| \nabla \xi \| = \sqrt { \xi _ { x } ^ { 2 } + \xi _ { y } ^ { 2 } + \xi _ { z } ^ { 2 } } , \quad \| \nabla \eta \| = \sqrt { \eta _ { x } ^ { 2 } + \eta _ { y } ^ { 2 } + \eta _ { z } ^ { 2 } } , \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \| \nabla \zeta \| = \sqrt { \zeta _ { x } ^ { 2 } + \zeta _ { y } ^ { 2 } + \zeta _ { z } ^ { 2 } } } \end{array}
\lvert | w - \textup { R } _ { \kappa , h } ^ { \perp } w \rvert | _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } = \hat { a } _ { \kappa } ( z - \textup { R } _ { \kappa , h } ^ { \perp } z , w - \textup { R } _ { \kappa , h } ^ { \perp } w ) \lesssim h \lvert | w - \textup { R } _ { \kappa , h } ^ { \perp } w \rvert | _ { L ^ { 2 } } \lvert | w - \textup { R } _ { \kappa , h } ^ { \perp } w \rvert | _ { H _ { \kappa } ^ { 1 } } ,
\begin{array} { r l } { { \bf { H } } _ { N _ { R } \times N _ { T } } ^ { f } } & { { } = { \bf { Z } } _ { N _ { R } \times N _ { R } } ^ { L } ( { \bf { U } } _ { N _ { R } \times N _ { R } } - { \bf { Y } } _ { N _ { R } \times N _ { S } } { \bf { Z } } _ { N _ { S } \times N _ { S } } ^ { L } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathrm { d } p _ { 1 } \cdots \mathrm { d } p _ { d } = p ^ { d - 1 } \mathrm { d } p \mathrm { d } \Omega _ { d } } & { = ( m c ) ^ { d } \gamma ^ { d - 1 } \beta ^ { d - 1 } { \frac { \mathrm { d } ( \beta \gamma ) } { \mathrm { d } \beta } } \mathrm { d } \beta \mathrm { d } \Omega _ { d } } \\ & { = ( m c ) ^ { d } \gamma ^ { d + 2 } \beta ^ { d - 1 } { \mathrm { d β d } } \Omega _ { d } } \\ & { = ( m c ) ^ { d } \gamma ^ { d + 2 } \mathrm { d } \beta _ { 1 } \cdots \mathrm { d } \beta _ { d } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } _ { 1 } ( \hat { g } _ { 1 } ) } & { \leq \displaystyle \mathcal { G } _ { 1 } ( \bar { g } ) = c _ { 1 } ^ { 2 } \beta _ { D } ^ { - 2 } \int _ { \Omega _ { 1 } } b _ { 1 } ( \phi , \phi ) + \frac { \beta _ { D } } { 2 } \left( \lVert g _ { 1 } \rVert _ { L ^ { 2 } ( \partial \Omega _ { 1 } \cap \partial \Omega ) } ^ { 2 } + \lVert g _ { 1 } - u _ { \Gamma } ^ { [ k ] } \rVert _ { L ^ { 2 } ( \Gamma ) } ^ { 2 } \right) } \\ & { \leq \displaystyle \frac { \hat { c } _ { 1 } } { 2 } c _ { 1 } ^ { 2 } \beta _ { D } ^ { - 2 } \lVert \phi \rVert _ { H ^ { 1 } ( \Omega _ { 1 } ) } ^ { 2 } } \end{array}
\frac { \mathrm { E } [ \mu _ { \mathrm { p o p } } ] _ { \hat { p } } - \mathrm { E } [ \mu _ { \mathrm { p o p } } ] _ { p } } { \mathrm { V a r } [ \mu _ { \mathrm { p o p } } ] _ { p } ^ { 1 / 2 } }
\begin{array} { r } { P _ { \mathcal { A } } = \operatorname* { m i n } \bigr \{ 1 , \frac { t _ { i j } } { \mathcal { A } ( i \rightarrow j ) } \left( \tau _ { i r a } - \tau _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } \right) } \\ { \times K ( \mathcal { S } \rightarrow \mathcal { S } ^ { \prime } ) \exp \left[ - \Delta U _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ c ~ } } \right] \bigr \} } \end{array}
t = \left\{ \begin{array} { l l l } { { 2 . 4 2 \times 1 0 ^ { 6 } \, \mathrm { s e c } \, g _ { \mathrm { i } } ^ { - 1 / 2 } \left( \frac { T } { T } { k e V } \right) ^ { - 2 } } } & { { \mathrm { f o r } } } & { { T > T _ { \mathrm { R } } \ , } } \\ { { 2 . 4 2 \times 1 0 ^ { 6 } \, \mathrm { s e c } \, \left[ \left( \frac { 1 } { \sqrt { g _ { \mathrm { i } } } } - \frac { 1 } { A ^ { 2 } \sqrt { g _ { \mathrm { F } } } } \right) \left( \frac { T _ { \mathrm { R } } } { T _ { \mathrm { R } } } { k e V } \right) ^ { - 2 } + \frac { 1 } { \sqrt { g _ { \mathrm { F } } } } \left( \frac { T } { T } { k e V } \right) ^ { - 2 } \right] } } & { { \mathrm { f o r } } } & { { T \le T _ { \mathrm { F } } \ . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \big \vert 1 - c _ { + } ( \mathcal { X } _ { 1 2 } [ \mathring { \Phi } _ { + } ] M _ { 2 } ) \big \vert = \big | \langle M _ { 1 } \rangle \frac { \langle \mathrm { I m } \, M _ { 1 } M _ { 1 } ^ { * } \rangle } { \langle \mathrm { I m } \, M _ { 1 } \rangle ^ { 2 } } ( \langle \mathrm { I m } \, M _ { 1 } \rangle + \mathrm { I m } \, w _ { 1 } ) \big | \ge \langle \mathrm { I m } \, M _ { 1 } \rangle ^ { 2 } \gtrsim 1 \qquad } \end{array}
{ \frac { 1 } { [ q ^ { + } ] _ { M L } } } \equiv { \frac { 1 } { q ^ { + } + i \epsilon \ \mathrm { s i g n } ( q ^ { - } ) } } = { \frac { 1 } { [ q ^ { + } ] _ { C P V } } } - i \pi \ \mathrm { s i g n } ( q ^ { - } ) \delta ( q ^ { + } ) ,
\begin{array} { r l r } & { } & { P \bigg ( Z _ { t + 1 } \in ( A ^ { y } \times A ^ { u } \times B ) | Z _ { t } = z , U _ { t } = u , Z _ { [ 0 , t - 1 ] } = z _ { [ 0 , t - 1 ] } , U _ { [ 0 , t - 1 ] } = u _ { [ 0 , t - 1 ] } \bigg ) } \\ & { } & { = \int Q ( y _ { t + 1 } \in A _ { 0 } ^ { y } | x _ { t + 1 } ) T ( x _ { t + 1 } \in B | x _ { t } = x , u _ { t } = u ) } \\ & { } & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \times P ( y _ { ( - \infty , t ] } \in \prod _ { k = - \infty } ^ { 0 } A _ { k } ^ { y } | y _ { ( - \infty , t ] } ) P ( u _ { ( - \infty , t ] } \in \prod _ { k = - \infty } ^ { 0 } A _ { k } ^ { u } | u _ { ( - \infty , t ] } ) } \\ & { } & { = \int Q ( y _ { t + 1 } \in A _ { 0 } ^ { y } | x _ { t + 1 } ) T ( x _ { t + 1 } \in B | x _ { t } = x , u _ { t } = u ) 1 _ { \{ y _ { ( - \infty , t ] } \in \prod _ { k = - \infty } ^ { 0 } A _ { k } ^ { y } , u _ { ( - \infty , t ] } \in \prod _ { k = - \infty } ^ { 0 } A _ { k } ^ { u } \} } } \\ & { } & { = : \mathbb { P } ( A ^ { y } \times A ^ { u } \times B | Z _ { t } = z , U _ { t } = u ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigg | \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } [ g ( \eta , t ) - g ( \eta , s ) ] \varphi _ { n } ( \eta ) \textup { d } \eta \bigg | } & { \leq \frac { 2 } { 3 } \int _ { s } ^ { t } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } | g ( \eta , r ) a \partial _ { a } \varphi _ { n } ( \eta ) | \textup { d } \eta \textup { d } r + C ( \epsilon , R , \delta ) | t - s | } \\ & { + \frac { 1 } { \delta } C ( \epsilon , R , \delta ) \int _ { s } ^ { t } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } | 1 + a | g ( \eta , r ) | \partial _ { a } \varphi _ { n } ( \eta ) | \textup { d } \eta \textup { d } r . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { H } = } & { { } \left( \begin{array} { l l l } { \delta _ { 1 } - i \kappa _ { 1 } / 2 } & { G _ { 1 } } & { 0 } \\ { G _ { 1 } } & { 0 } & { G _ { 2 } } \\ { 0 } & { G _ { 2 } } & { \delta _ { 2 } - i \kappa _ { 2 } / 2 } \end{array} \right) , } \end{array}
\bar { \mathbb { C } } ^ { v i s } = \frac { \partial \Delta \sigma _ { i j } ^ { n + 1 } } { \partial \Delta \varepsilon _ { k h } ^ { n + 1 } } = \left( K ^ { v } - \frac { 2 } { 3 } G _ { v i s } \right) \delta _ { i j } \delta _ { k h } + G _ { v i s } \left( \delta _ { i k } \delta _ { j h } + \delta _ { i h } \delta _ { j k } \right)
\begin{array} { r l } { { F ^ { \alpha \beta } } _ { ; \beta } } & { { } = 0 } \\ { F _ { [ \alpha \beta ; \gamma ] } } & { { } = { \frac { 1 } { 3 } } \left( F _ { \alpha \beta ; \gamma } + F _ { \beta \gamma ; \alpha } + F _ { \gamma \alpha ; \beta } \right) = { \frac { 1 } { 3 } } \left( F _ { \alpha \beta , \gamma } + F _ { \beta \gamma , \alpha } + F _ { \gamma \alpha , \beta } \right) = 0 . } \end{array}
\Omega \sim \int { \left( \prod _ { n = 1 } ^ { N _ { \mathrm { d o f } } } { \mathrm { d } r _ { n } } \right) \prod _ { i = 1 } ^ { N _ { \mathrm { s } } } { \delta ( e ^ { d _ { i } \varepsilon } \ell _ { i } - 1 ) } } ,
\begin{array} { r } { { \langle g ^ { 2 } \rangle - \langle g \rangle ^ { 2 } = ( 1 - \langle g \rangle ) ^ { 2 } P _ { 1 } + ( 1 + \langle g \rangle ) ^ { 2 } P _ { 2 } } } \\ { { + \langle g \rangle ^ { 2 } ( 1 - P _ { 1 } - P _ { 2 } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tau _ { 0 } \frac { d D _ { \nu } ( t ) } { d t } } & { { } = - D _ { \nu } ( t ) + \beta \int _ { \delta _ { 1 } ^ { \star } } ^ { \delta _ { 2 } ^ { \star } } \big [ \delta q _ { 0 } ( t ) + \delta q _ { \mathrm { ~ { ~ R ~ } ~ } } ( t ) \cos ( \phi ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { w ( \mathbf { y } ) } & { = \phi _ { \boldsymbol { \alpha } } ( \mathbf { x } + \lambda \mathbf { y } ) } \\ { \mathbf { c } ( \mathbf { y } ) } & { = - 2 \nabla F ( \mathbf { x } + \lambda \mathbf { y } ) } \\ { d ( \mathbf { y } ) } & { = \Delta F _ { s } ( \mathbf { x } + \lambda \mathbf { y } ) - | \nabla F ( \mathbf { x } + \lambda \mathbf { y } ) | ^ { 2 } - E } \\ { f ( \mathbf { y } ) } & { = g _ { \boldsymbol { \alpha } } ( \mathbf { x } + \lambda \mathbf { y } ) } \end{array}
t = \frac { 3 \gamma ^ { 2 } \left( \frac { \arctan \left( \frac { \Omega \left( t \right) } { \Xi } \right) \Delta } { \Xi } + \mathrm { a r c t a n h } \! \left( \frac { \Omega \left( t \right) } { \Delta } \right) \right) ^ { 2 } } { \beta \zeta \kappa \Delta \left( \Delta ^ { 2 } + \Xi ^ { 2 } \right) } ,
\begin{array} { r l } { \vec { P } } & { { } = \epsilon _ { 0 } \chi _ { e } \vec { E } + i \omega \frac { g } { c } \vec { H } , } \\ { \vec { M } } & { { } = \mu _ { 0 } \chi _ { m } \vec { H } - i \omega \frac { g } { c } \vec { E } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | m _ { 6 } ( \xi ) | } & { \overset { , } { \le _ { \alpha , \nu , S _ { 0 } ^ { + } } } \mathtt { M } ^ { 1 - \alpha } | \xi | ^ { \alpha } , } \\ { | m _ { 6 } ( \xi _ { 1 } ) - m _ { 6 } ( \xi _ { 2 } ) | } & { \overset { , } { \le _ { \alpha , \nu , S _ { 0 } ^ { + } } } | \xi _ { 1 } - \xi _ { 2 } | ( \mathtt { M } ^ { 1 - \alpha } ( | \xi _ { 1 } | + | \xi _ { 2 } | ) ^ { \alpha - 1 } + \mathtt { M } ( | \xi _ { 1 } | + | \xi _ { 2 } | ) ^ { \alpha - 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { k _ { r } = } & { { } \left\{ \begin{array} { l l } { 2 . 1 8 c m ^ { - 1 } } & { A _ { W } = 0 } \\ { 1 . 8 7 c m ^ { - 1 } } & { A _ { W } = 1 } \end{array} \right. } \\ { \omega _ { 1 } = } & { { } \left\{ \begin{array} { l l } { \pm 6 3 9 0 s ^ { - 1 } } & { A _ { W } = 0 } \\ { \pm 4 4 6 0 s ^ { - 1 } } & { A _ { W } = 1 } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ s ~ } _ { - i + 1 } } & { { } = \mathbf { t } ^ { T } \boldsymbol { \mu } _ { - i + 1 } = - \mathbf { t } ^ { T } \mathbf { P } \boldsymbol { \mu } _ { i } = - \tilde { \mathbf { t } } ^ { T } ( \mathbf { I } - \mathbf { P } ) ^ { T } \mathbf { P } \boldsymbol { \mu } _ { i } = - \tilde { \mathbf { t } } ^ { T } ( \mathbf { I } \mathbf { P } - \underbrace { \mathbf { P } ^ { T } \mathbf { P } } _ { = \mathbf { I } } ) \boldsymbol { \mu } _ { i } } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle \hat { \mathcal { F } } _ { { \bf k } } ^ { A \dagger } ( \omega ) \hat { \mathcal { F } } _ { { \bf k } } ^ { B } ( \omega ) \rangle = 4 \pi ^ { 2 } \rho _ { { \bf k } } ^ { 2 } ( \omega ) \kappa _ { { \bf k } , q _ { p } } ^ { A } \kappa _ { { \bf k } , q _ { p } } ^ { B } \langle \hat { e } _ { { \bf k } , q _ { p } } ^ { \mathrm { ~ I ~ } \dagger } \hat { e } _ { { \bf k } , q _ { p } } ^ { \mathrm { ~ I ~ } } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \partial _ { y _ { 3 } } ^ { 4 } v _ { s } = - \frac { \mathrm { R e } \mathrm { P e } _ { s } } { \mathrm { F r } ^ { 2 } } \left( \sin \theta \right) ^ { 2 } \Gamma _ { 0 } v _ { s } , \quad \left. v _ { s } \right| _ { y _ { 3 } = 0 , 1 } = 0 , \quad \left. \partial _ { y _ { 3 } } ^ { 3 } v _ { s } \right| _ { y _ { 3 } = 0 , 1 } = \frac { \mathrm { R e } } { \mathrm { F r } ^ { 2 } } \Gamma _ { 0 } \sin \theta \cos \theta , } \\ & { \partial _ { y _ { 3 } } ^ { 4 } f _ { s } = - \frac { \mathrm { R e } \mathrm { P e } _ { s } } { \mathrm { F r } ^ { 2 } } \left( \sin \theta \right) ^ { 2 } \Gamma _ { 0 } f _ { s } , \quad \left. \partial _ { y _ { 3 } } f _ { s } \right| _ { y _ { 3 } = 0 , 1 } = \Gamma _ { 0 } \cos \theta , \quad \left. \partial _ { y _ { 2 } } ^ { 2 } f _ { s } \right| _ { y _ { 3 } = 0 , 1 } = 0 , } \end{array}