harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \frac { \alpha } { n } } \bigg ( { \frac { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } { 2 m } } { \frac { \kappa ^ { 4 } } { \lambda ^ { 6 } } } \bigg ) ^ { 1 / 3 } = { \frac { 1 } { 8 \pi } } .
\Ddot { \theta } _ { 4 } ( \uptau ) \ + \ \theta _ { 4 } ( \uptau ) \ = \ \frac { 1 } { 2 } \theta _ { 0 } ^ { 2 } \theta _ { 2 } \ = \ \frac { - \uptau ^ { 4 } } { 4 0 9 6 } \Big ( \alpha + \frac { \uptau } { 2 } \Big ) ^ { 2 } \cos \uptau
S [ X , g ] \ = \ \int _ { 0 } ^ { 1 } d ^ { 2 } \sigma \frac { 1 } { 2 \pi } \left\{ \sqrt { g } g ^ { \alpha \beta } \partial _ { \alpha } X ^ { I } \partial _ { \beta } X ^ { I } \ - \ i B ^ { I J } \varepsilon ^ { \alpha \beta } \partial _ { \alpha } X ^ { I } \partial _ { \beta } X ^ { J } \ \right\} \ ,
\begin{array} { r } { d _ { \rho } ( f , g ) = \operatorname* { m a x } \{ \tilde { d } _ { \rho } ( f , g ) , \tilde { d } _ { \rho } ( f ^ { - 1 } , g ^ { - 1 } ) \} , \mathrm { ~ w h e r e ~ } \tilde { d } _ { \rho } ( f , g ) = \operatorname* { m a x } _ { i = 1 , 2 } \{ \operatorname* { i n f } _ { n \in \mathbb { Z } } \| f _ { i } - g _ { i } + n \| _ { \rho } \} . } \end{array}
\begin{array} { l c r } { { X _ { m _ { 1 } n _ { 1 } } ^ { \mu } ( \sigma ) X _ { m _ { 2 } n _ { 2 } } ^ { \nu } ( \sigma ) = X _ { m _ { 2 } n _ { 2 } } ^ { \nu } ( \sigma ) X _ { m _ { 1 } n _ { 1 } } ^ { \mu } ( \sigma ) . } } \end{array}
\sqrt { \frac { 1 } { N _ { \mathrm { t r a i n } } } \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { \mathrm { t r a i n } } } \left\| y ^ { \mathcal { N } } \left( \boldsymbol { \mu } _ { k } \right) - \Pi ^ { N } \left( y ^ { \mathcal { N } } \left( \boldsymbol { \mu } _ { k } \right) \right) \right\| _ { { Y } } ^ { 2 } } = \sqrt { \sum _ { k = N + 1 } ^ { N _ { \mathrm { t r a i n } } } \lambda _ { k } ^ { y } } ,
\begin{array} { r l r } { S _ { \mathrm { g y r o } } ^ { ( \varphi ) } ( f ) } & { { } = } & { \frac { | P _ { 1 2 9 } ( 2 \pi i f ) | ^ { 2 } } { ( 1 + R ) ^ { 2 } } ( S _ { \varphi , \mathrm { w } } ^ { ( 1 2 9 ) } + S _ { \varphi , \mathrm { w } } ^ { ( \mathrm { c a l } ) } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { r _ { 2 a } ^ { \prime } } & { { } \approx h \phi , } \\ { r _ { 2 b } ^ { \prime } } & { { } \approx r _ { 2 } \sqrt { \left[ 4 + 4 \eta \phi + \eta ^ { 2 } \phi ^ { 2 } \right] } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { u } _ { x , s } } & { { } = M _ { 3 } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \lambda _ { 3 } ^ { P } t } + M _ { 4 } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \lambda _ { 4 } ^ { P } t } + A _ { 3 } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } { \lambda } _ { 3 } ^ { H } t } + A _ { 4 } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } { \lambda } _ { 4 } ^ { H } t } , } \\ { \hat { u } _ { y , s } } & { { } = D _ { 3 } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \lambda _ { 3 } t } + D _ { 4 } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \lambda _ { 4 } t } , } \\ { \hat { u } _ { z , s } } & { { } = N _ { 3 } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \lambda _ { 3 } ^ { P } t } + N _ { 4 } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \lambda _ { 4 } ^ { P } t } + C _ { 3 } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } { \lambda } _ { 3 } ^ { H } t } + C _ { 4 } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } { \lambda } _ { 4 } ^ { H } t } , } \end{array}
\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \, f \left( n \right) = - \frac { 1 } { 2 } f \left( 0 \right) + \int _ { 0 } ^ { \infty } \, d x \, f \left( x \right) + i \int _ { 0 } ^ { \infty } \, d x \, \frac { f \left( i x \right) - f \left( - i x \right) } { e ^ { 2 \pi x } - 1 } .
\mathbf { m } _ { \mathbb H } \ltimes \left( \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathcal { M } _ { 0 , 2 } ^ { \mathrm { d i s k } } ( W ; \cdot , \ell ) \times \mathrm { Q D } _ { 0 , 1 } ( \ell ) d \ell \right) = C \cdot \mathrm { L F } _ { \mathbb H } ^ { ( \beta _ { 2 W + 2 } , p ) } ( d \phi ) \times \mathrm { S L E } _ { \kappa , p } ^ { \mathrm { b u b b l e } } ( \rho ) ( d \eta ) d p ,
\begin{array} { r l } { \bar { \Lambda } _ { j } ^ { ( \mathrm { t } ) } ( \mathbf { v } ) } & { = \bigcup _ { \nu _ { \mathrm { t } } \in \vee _ { \mathrm { t } } } \{ \nu _ { \mathrm { t } } \} \times \bar { \Lambda } _ { \nu _ { \mathrm { t } } , j } ^ { ( 1 ) } ( \mathbf { v } ) \times \cdots \times \bar { \Lambda } _ { \nu _ { \mathrm { t } } , j } ^ { ( d ) } ( \mathbf { v } ) , } \\ { \mathbf { v } _ { j } } & { = \mathrm { R } _ { \bar { \Lambda } _ { j } ^ { ( \mathrm { t } ) } ( \mathbf { v } ) } \mathbf { v } } \end{array}
\begin{array} { r } { \| \operatorname* { m a x } _ { k \in \Lambda _ { v } ( x _ { I } ) } | \sum _ { n \leq N } e ( \theta _ { n } x ) \cdot \big ( \chi _ { k } - \chi _ { \varrho ( k ) } \big ) * f _ { \theta _ { n } } ( x _ { I } ) | \| _ { L _ { x } ^ { 2 } ( I ) } \leq \mathbf { C } \cdot 2 ^ { - v } \cdot N ^ { 1 / 2 } \cdot | I | ^ { 1 / 2 } . } \end{array}
\frac { d ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } 2 E } \; = \; \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \, \delta ^ { + } ( k ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) \; = \; \frac { d k ^ { + } \, d ^ { 2 } k _ { \perp } } { 1 6 \pi ^ { 3 } \, k ^ { + } } \; .
\begin{array} { r l r } { \hat { m } _ { x } } & { { } = } & { \left( \hbar k r \sin \phi - \frac { \hbar m } { r } z \cos \phi \right) \left( \hat { n } _ { \mathrm { H } } + \hat { n } _ { \mathrm { V } } + 1 \right) } \\ { \hat { m } _ { y } } & { { } = } & { \left( - \hbar k r \cos \phi - \frac { \hbar m } { r } z \sin \phi \right) \left( \hat { n } _ { \mathrm { H } } + \hat { n } _ { \mathrm { V } } + 1 \right) } \\ { \hat { m } _ { z } } & { { } = } & { \hbar m \left( \hat { n } _ { \mathrm { H } } + \hat { n } _ { \mathrm { V } } + 1 \right) - \frac { \hbar } { 2 i } r \partial _ { r } | u | ^ { 2 } \left( \hat { a } _ { \mathrm { H } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { V } } - \hat { a } _ { \mathrm { V } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \mathrm { H } } \right) } \end{array}
1 - { \frac { 1 } { M } } \sum _ { m } { \mathrm { T r } } \left\{ \Pi _ { \rho _ { X ^ { n } \left( m \right) } , \delta } { \hat { \Pi } } _ { \rho _ { X ^ { n } \left( m - 1 \right) } , \delta } \cdots { \hat { \Pi } } _ { \rho _ { X ^ { n } \left( 1 \right) } , \delta } \ \Pi _ { \rho , \delta } ^ { n } \ \rho _ { x ^ { n } \left( m \right) } \ \Pi _ { \rho , \delta } ^ { n } \ { \hat { \Pi } } _ { \rho _ { X ^ { n } \left( 1 \right) } , \delta } \cdots { \hat { \Pi } } _ { \rho _ { X ^ { n } \left( m - 1 \right) } , \delta } \Pi _ { \rho _ { X ^ { n } \left( m \right) } , \delta } \right\} .
( 3 \times 3 \times 1 7 \times 3 2 ) + ( 3 \times 3 \times 3 2 \times 6 4 ) + ( 3 \times 3 \times 6 4 \times 1 2 8 ) + ( 3 \times 3 \times 1 2 8 \times 1 ) = 9 8 , 2 0 8
\begin{array} { r l } { \delta \hat { \rho } } & { = \frac { \lambda } { v _ { s } k } \arctan ( b ) \delta \hat { \rho } , } \\ { \delta \hat { \mathcal { U } } ^ { \alpha } } & { = \frac { B n \kappa } { v _ { s } k } \frac { b ( 3 + 2 b ^ { 2 } ) - 3 ( b ^ { 2 } + 1 ) \arctan ( b ) } { 2 b ^ { 4 } } \delta \hat { \mathcal { U } } ^ { \alpha } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { 1 } ^ { \mu } ( u ) } & { : = \ensuremath { { \mathbb E } } ^ { \mu } \left[ \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Lambda } l ( t , x , u _ { t } ( x ) ) \mathrm { d } x d t + \int _ { \Lambda } m ( x , u _ { T } ( x ) ) d x \right] , } \\ { J _ { 2 } ^ { \mu } ( \mathfrak { g } ) } & { : = \ensuremath { { \mathbb E } } ^ { \mu } \left[ \int _ { 0 } ^ { T } \| \mathfrak { g } _ { t } \| _ { H } ^ { 2 } d t \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { F ( \mathbf { x } , \epsilon ) = [ \frac { K _ { 2 2 } } { \phi - \phi _ { 2 } } h _ { z } - K _ { 1 1 } \phi _ { x } ( h _ { x } - \frac { \phi _ { x } } { \phi - \phi _ { 2 } } h _ { z } ) ] . } \end{array}
S = \int d ^ { 4 } x \sqrt { | \hat { g } _ { E } | } \left[ \hat { R } ( \hat { g } _ { E } ) - { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } ( \partial \hat { \phi } ) ^ { 2 } - { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } e ^ { 2 \hat { \phi } } ( \partial \hat { a } ) ^ { 2 } - { \textstyle \frac { 1 } { 4 } } e ^ { - \hat { \phi } } \hat { F } ^ { I } \hat { F } ^ { I } + { \textstyle \frac { 1 } { 4 } } \hat { a } \hat { F } ^ { I } { } ^ { \star } \hat { F } ^ { I } \right] \, .
\begin{array} { r l } { \widehat { \beta } _ { \mathtt { s R I V W } } } & { = \frac { \sum _ { j = 1 } ^ { p } \hat { \Gamma } _ { j } \hat { \gamma } _ { j , \mathtt { R B } } \hat { \omega } _ { j } / \sigma _ { Y _ { j } } ^ { 2 } } { \sum _ { j = 1 } ^ { p } ( \hat { \gamma } _ { j , \mathtt { R B } } ^ { 2 } - \hat { \sigma } _ { X _ { j } , \mathtt { R B } } ^ { 2 } ) \hat { \omega } _ { j } / \sigma _ { Y _ { j } } ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| { \cal R } _ { \varepsilon } ^ { ( 2 ) } [ h _ { 1 } , h _ { 2 } ] \| _ { s , 1 } ^ { k _ { 0 } , \upsilon } } & { \leq \| { \cal R } _ { \varepsilon } h \| _ { { \cal Y } _ { \bot } ^ { s } } ^ { k _ { 0 } , \upsilon } \lesssim _ { s } \sqrt { \varepsilon } \big ( \| h \| _ { { \cal Y } _ { \bot } ^ { s } } ^ { k _ { 0 } , \upsilon } + \| { \mathfrak I } _ { 0 } \| _ { { \cal X } ^ { s + \sigma } } ^ { k _ { 0 } , \upsilon } \| h \| _ { { \cal Y } _ { \bot } ^ { s _ { 0 } } } ^ { k _ { 0 } , \upsilon } \big ) } \\ & { \lesssim _ { s } \sqrt { \varepsilon } \big ( \| f \| _ { { \cal Y } _ { \bot } ^ { s } } ^ { k _ { 0 } , \upsilon } + \| { \mathfrak I } _ { 0 } \| _ { { \cal X } ^ { s + \sigma } } ^ { k _ { 0 } , \upsilon } \| f \| _ { { \cal Y } _ { \bot } ^ { s _ { 0 } } } ^ { k _ { 0 } , \upsilon } \big ) } \\ { \| Q _ { \mathtt m } h _ { 1 } \| _ { s , 1 } ^ { k _ { 0 } , \upsilon } } & { \lesssim \| h _ { 1 } \| _ { s , 1 } ^ { k _ { 0 } , \upsilon } \lesssim _ { s } \big ( \| f \| _ { { \cal Y } _ { \bot } ^ { s } } ^ { k _ { 0 } , \upsilon } + \| { \mathfrak I } _ { 0 } \| _ { { \cal X } ^ { s + \sigma } } ^ { k _ { 0 } , \upsilon } \| f \| _ { { \cal Y } _ { \bot } ^ { s _ { 0 } } } ^ { k _ { 0 } , \upsilon } \big ) } \end{array}
g ( y _ { i } , X _ { i } , \beta ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( y _ { i } - X _ { i } ^ { T } \beta ) ^ { 2 } / 2 } & { \mathrm { Q u a d r a t i c ~ l o s s , ~ } } \\ { H ( y _ { i } - X _ { i } ^ { T } \beta ) } & { \mathrm { H u b e r ~ l o s s , } } \\ { \vert y _ { i } - X _ { i } ^ { T } \beta \vert _ { \alpha } } & { \mathrm { Q u a n t i l e ~ l o s s , } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \| \lambda _ { t + 1 } - \lambda _ { t } ^ { * } \| ^ { 2 } = } & { \| \lambda _ { t } - \lambda _ { t } ^ { * } + \alpha \nabla _ { \lambda } \ln p ( X _ { t } | \lambda _ { t } ) \| ^ { 2 } } \\ { = } & { \| \lambda _ { t } - \lambda _ { t } ^ { * } \| ^ { 2 } + 2 \alpha \langle \lambda _ { t } - \lambda _ { t } ^ { * } , \nabla _ { \lambda } \ln p ( X _ { t } | \lambda _ { t } ) \rangle + \alpha ^ { 2 } \| \nabla _ { \lambda } \ln p ( X _ { t } | \lambda _ { t } ) \| ^ { 2 } } \\ { = } & { \| \lambda _ { t } - \lambda _ { t } ^ { * } \| ^ { 2 } + 2 \alpha \langle \lambda _ { t } - \lambda _ { t } ^ { * } , \nabla _ { \lambda } \ln p ( X _ { t } | \lambda _ { t } ) - \nabla _ { \lambda } \ln p ( X _ { t } | \lambda _ { t } ^ { * } ) \rangle } \\ & { + 2 \alpha \langle \lambda _ { t } - \lambda _ { t } ^ { * } , \nabla _ { \lambda } \ln p ( X _ { t } | \lambda _ { t } ^ { * } ) \rangle + \alpha ^ { 2 } \| \nabla _ { \lambda } \ln p ( X _ { t } | \lambda _ { t } ) \| ^ { 2 } } \\ { = } & { \| \lambda _ { t } - \lambda _ { t } ^ { * } \| ^ { 2 } + \mathcal { A } _ { 1 } + 2 \alpha \langle \lambda _ { t } - \lambda _ { t } ^ { * } , \nabla _ { \lambda } \ln p ( X _ { t } | \lambda _ { t } ^ { * } ) \rangle + \mathcal { A } _ { 2 } , } \end{array}
4 \, \rho _ { s p } ^ { 2 } \, \Big ( \rho _ { \zeta , p p } - \rho _ { \varepsilon , p p } \Big ) ^ { 2 } = \Big [ \rho _ { \zeta , p p } ^ { 2 } + \rho _ { \varepsilon , p p } ^ { 2 } + 2 \rho _ { s p } ^ { 2 } \Big ] ^ { 2 }
{ \left[ \begin{array} { l } { x } \\ { y } \end{array} \right] } \otimes { \left[ \begin{array} { l } { w } \\ { z } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l } { x w } \\ { x z } \\ { y w } \\ { y z } \end{array} \right] } = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } { \left[ \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right] }
j ^ { + } = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { - 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { - 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) ~ ~ ~ j ^ { - } = \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { - 1 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right)
v _ { 1 } = { \left( \begin{array} { l } { 0 . 0 0 0 2 4 2 2 + 0 . 1 8 7 2 0 5 5 i } \\ { 0 . 0 3 4 4 4 0 3 - 0 . 0 0 1 3 1 3 6 i } \\ { 0 . 9 8 1 7 1 5 9 } \end{array} \right) }
\begin{array} { r } { \mathbf { A } _ { k } = \left( \sum _ { l = 1 } ^ { K } { \mathbb { E } \{ \mathbf { G } _ { k l } \mathbf { \bar { F } } _ { l , \mathrm { u } } \mathbf { G } _ { k l } ^ { H } \} } + \sigma ^ { 2 } \mathbf { S } _ { k } \right) ^ { - 1 } \mathbb { E } \{ \mathbf { G } _ { k k } \} \mathbf { F } _ { k , \mathrm { u } } . } \end{array}
V = \operatorname* { d e t } ( \mathbf { h } ) = a _ { 1 , x _ { 1 } } ( a _ { 2 , x _ { 2 } } a _ { 3 , x _ { 3 } } - a _ { 2 , x _ { 3 } } a _ { 3 , x _ { 2 } } ) - a _ { 1 , x _ { 2 } } ( a _ { 2 , x _ { 1 } } a _ { 3 , x _ { 3 } } - a _ { 2 , x _ { 3 } } a _ { 3 , x _ { 1 } } ) - a _ { 1 , x _ { 3 } } ( a _ { 2 , x _ { 1 } } a _ { 3 , x _ { 2 } } - a _ { 2 , x _ { 2 } } a _ { 3 , x _ { 1 } } )
\bigg [ \bigg ( \frac { d R } { d t } \bigg ) ^ { 2 } + R \frac { d ^ { 2 } R } { d t ^ { 2 } } \bigg ] \log \bigg ( \frac { R } { R _ { \infty } } \bigg ) + \frac { 1 } { 2 } \bigg ( \frac { d R } { d t } \bigg ) ^ { 2 } = \frac { p _ { v } - p _ { 0 } } { \rho } .
\begin{array} { r } { U _ { \mathrm { R } } \sim \left( \frac { g \alpha F _ { H } } { \rho c _ { P } } \right) ^ { 2 / 5 } \left( \frac { \ell } { 2 \Omega } \right) ^ { 1 / 5 } \, \sim U _ { \mathrm { N R } } \left( \frac { U _ { \mathrm { N R } } } { 2 \Omega \ell } \right) ^ { 1 / 5 } , } \end{array}
C = C _ { \mathrm { ~ C ~ o ~ a ~ t ~ s ~ } } = \operatorname* { m a x } _ { j } \left[ \frac { 1 } { \alpha _ { v } \, V _ { j } } \left( \Psi \frac { \partial p _ { c } } { \partial S _ { w } } \, \sum _ { f = 1 } ^ { m _ { j } } T _ { f } + \frac { \partial F _ { w } } { \partial S _ { w } } \, \sum _ { f = 1 } ^ { m _ { j } } \phi _ { f } \right) \right] \Delta t ,
S _ { T } = - { \frac { 1 } { 6 k _ { 1 1 } ^ { 2 } } } \int _ { M _ { 1 1 } } C \wedge G ^ { 2 } + { \frac { T _ { 3 } } { 1 2 ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } \int _ { M _ { 1 1 } } C \wedge X _ { 8 } ,
\begin{array} { r l } { \gamma _ { \mathcal { F } _ { \pi } } ( \mu , \nu ) } & { = \operatorname* { s u p } _ { f ^ { \pi } \in \mathcal { F } _ { \pi } } \left| \int f ^ { \pi } d \mu - \int f ^ { \pi } d \nu \right| } \\ & { = \operatorname* { m a x } _ { \ell } \operatorname* { s u p } _ { f \in \mathcal { F } } \left| \int \pi _ { \ell } \circ f d \mu - \int \pi _ { \ell } \circ f d \nu \right| } \\ & { = \operatorname* { m a x } _ { \ell } \operatorname* { s u p } _ { f \in \mathcal { F } } \left| \int f _ { \ell } d \mu - \int f _ { \ell } d \nu \right| } \\ & { = \operatorname* { m a x } _ { \ell } \operatorname* { s u p } _ { f _ { \ell } \in \mathcal { F } _ { \ell } } \left| \int f _ { \ell } d \mu - \int f _ { \ell } d \nu \right| } \\ & { = \operatorname* { m a x } _ { \ell } \gamma _ { \mathcal { F } _ { \ell } } ( \mu , \nu ) = 0 . } \end{array}
H ^ { \prime } ( \omega ) = \exp ( i \operatorname { s g n } ( \omega ) \{ \Lambda ( \tau \tau _ { 0 } ) ^ { 2 } ( | \omega | - \Omega ) ^ { 2 } + t _ { 0 } ( | \omega | - \Omega ) - [ \varphi - \Omega t _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } \arg ( 1 + i 2 \Lambda \tau ^ { 2 } ) ] \} ) ,
\begin{array} { r } { \operatorname* { d e t } \phi _ { L } ^ { \prime } ( p ) = p _ { 1 } ^ { \ell _ { 1 } - a _ { 1 } ^ { 2 } - 1 } p _ { 2 } ^ { \ell _ { 2 } + a _ { 1 } ^ { 1 } - 1 } , \quad \operatorname* { d e t } \phi _ { L } ^ { \prime } ( q ) = q _ { 1 } ^ { \ell _ { 1 } - a _ { 1 } ^ { 2 } - 1 } q _ { 2 } ^ { \ell _ { 2 } + a _ { 1 } ^ { 1 } - 1 } . } \end{array}
z ^ { \prime } = e ^ { i \theta ^ { \prime } } e ^ { \gamma ^ { \prime } } = \sqrt { \frac { ( \bar { T } + i T _ { x y } ) e ^ { i \theta } e ^ { \gamma } + \Delta T e ^ { - i \theta } e ^ { - \gamma } } { ( \bar { T } - i T _ { x y } ) e ^ { - i \theta } e ^ { - \gamma } + \Delta T e ^ { i \theta } e ^ { \gamma } } } \, .
\epsilon _ { \mu } ^ { 1 } ( p ) \! = \! { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \left( { \frac { - i p _ { 1 } p _ { 2 } \! + \! E ^ { 2 } \! + \! p _ { 3 } E \! - \! p _ { 1 } ^ { 2 } } { E ( E + p _ { 3 } ) } } , { \frac { - p _ { 1 } p _ { 2 } \! + \! i E ^ { 2 } \! + \! i p _ { 3 } E \! - \! i p _ { 2 } ^ { 2 } } { E ( E + p _ { 3 } ) } } , { \frac { \! - p _ { 1 } \! - \! i p _ { 2 } } { E } } , 0 \right) ,
\begin{array} { r l } { | E _ { 2 1 } + \overline { { E } } _ { 1 2 } | } & { \leq | ( 1 - E _ { 1 1 } ) E _ { 2 1 } + \overline { { E } } _ { 1 2 } ( 1 - E _ { 2 2 } ) | + | E _ { 1 1 } E _ { 2 1 } + \overline { { E } } _ { 1 2 } E _ { 2 2 } | } \\ & { \leq \kappa _ { 4 } ^ { 2 } \epsilon ^ { 4 } ( | E _ { 2 1 } | + | E _ { 1 2 } | ) + | r _ { 1 } ^ { H } r _ { 2 } | } \\ & { \leq 2 \kappa _ { 4 } ^ { 3 } \epsilon ^ { 6 } + \kappa _ { 4 } ^ { 2 } \epsilon ^ { 4 } . } \end{array}
\gamma _ { 0 } = - i \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { - 1 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) , \qquad \gamma _ { 1 } = - i \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) , \qquad \gamma _ { 5 } = \gamma _ { 0 } \gamma _ { 1 } = \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - 1 } } \end{array} \right) ,
D _ { j l } ^ { ( N - 1 ) } \equiv \left\{ \mathrm { m i n o r ~ o f ~ ( \ r e f { c - m a t r i x } ) o b t a i n e d ~ b y ~ e l i m i n a t i n g ~ t h e ~ j ~ - t h ~ r o w a n d ~ t h e ~ l ~ - t h ~ c o l u m n } \right\} \; .
[ { \cal T } _ { \alpha } , { \cal T } _ { \beta } ^ { \dagger } ] = \bar { U } _ { \alpha \beta } ^ { \gamma } { \cal T } _ { \gamma } + { \cal T } _ { \gamma } ^ { \dagger } \bar { U } _ { \beta \alpha } ^ { \dagger \gamma } + [ \Omega , \bar { U } _ { \alpha \beta } ^ { \gamma } ] \bar { C } _ { \gamma } ( - 1 ) ^ { \varepsilon _ { \alpha } + \varepsilon _ { \beta } } + \bar { C } _ { \gamma } ^ { \dagger } [ \bar { U } _ { \beta \alpha } ^ { \dagger \gamma } , \Omega ] ( - 1 ) ^ { \varepsilon _ { \alpha } + \varepsilon _ { \beta } } ,
C _ { i j } = \left| J ^ { - 1 } \right| \frac { \partial \zeta _ { i } } { \partial x _ { j } } \quad G _ { i j } = \left| J ^ { - 1 } \right| \frac { \partial \zeta _ { i } } { \partial x _ { k } } \frac { \partial \zeta _ { j } } { \partial x _ { k } }
\begin{array} { r l } { \frac { 1 - \cos \phi _ { 1 } } { \sin \phi _ { 1 } } } & { { } = \frac { \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \phi _ { 1 } } \frac { \sin \phi d \phi } { \sqrt { \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } } } } { \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \phi _ { 1 } } \frac { \cos \phi d \phi } { \sqrt { \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } } } } , } \\ { \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \phi _ { 1 } } \frac { d \phi } { \sqrt { \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } } } } & { { } = \frac { L } { R } \frac { \sqrt { \sin \phi _ { 1 } - \sin \phi _ { 0 } } } { \sin \phi _ { 1 } } , } \end{array}
\Omega ( \phi , 0 ; \mu , T ) = \Omega ( 0 , 0 ; \mu _ { \mathrm { t c } } , T _ { \mathrm { t c } } ) + \frac { a ( \mu , T ) } { 2 } \phi ^ { 2 } + \frac { b ( \mu , T ) } { 4 } \phi ^ { 4 } + \frac { c ( \mu , T ) } { 6 } \phi ^ { 6 } - h \phi \ ,
\begin{array} { r l } { c _ { \mathrm { L } / \mathrm { R } } } & { { } = 1 \pm \delta c ( t ) , } \\ { \delta c ( t ) } & { { } \equiv \frac { g _ { a \gamma \gamma } \sqrt { 2 \rho _ { a } } } { 2 k } \sin ( m _ { a } t + \delta _ { \tau } ( t ) ) , } \end{array}
Z ^ { \mathrm { L a r g e } N _ { c } } = \int \prod _ { i , j } [ d q _ { + } ^ { \dag i } ] [ d q _ { + } ^ { i } ] [ d s ^ { i j } ] [ d \sigma _ { i j } ] \exp \left\{ i S ^ { \mathrm { L a r g e } N _ { c } } + i S ^ { \mathrm { A u x } } \right\} ,
C ( \tau ) = B + A \left[ \exp \left( - | \tau | / \tau _ { \mathrm { d e c } } \right) - \exp \left( - | \tau | / \tau _ { \mathrm { c a p } } \right) \right] \, + H \sum _ { n \neq 0 } \exp \left( - | \tau - n \tau _ { 0 } | / \tau _ { \mathrm { d e c } } \right) ,
\begin{array} { r c l r c l } { { F _ { 1 } } } & { { = } } & { { \bar { U } d V - V d \bar { U } , } } & { { F _ { 3 } } } & { { = } } & { { \bar { U } H + V \bar { H } , } } \\ { { F _ { 5 } } } & { { = } } & { { d A _ { 4 } + \mathrm { i } ( B \bar { H } - \bar { B } H ) , } } & { { H } } & { { = } } & { { d B , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { ( \overline { { r } } , 0 ) } ^ { T } = } & { \frac { 1 } { 6 } \left( ( r , e ) _ { T } + ( r , r ) _ { T } + ( r , r ^ { 2 } ) _ { T } + ( r ^ { 2 } , e ) _ { T } + ( r , r ) _ { T } + ( r , r ^ { 2 } ) _ { T } \right) \; , } \\ { P _ { ( \overline { { r } } , 1 ) } ^ { T } = } & { \frac { 1 } { 6 } \left( ( r , e ) _ { T } + ( r ^ { 2 } , e ) _ { T } + e ^ { 2 \pi i / 3 } ( ( r , r ) _ { T } + ( r ^ { 2 } , r ) _ { T } ) + e ^ { - 2 \pi i / 3 } ( ( r , r ^ { 2 } ) _ { T } + ( r ^ { 2 } , r ^ { 2 } ) _ { T } ) \right) \; , } \\ { P _ { ( \overline { { r } } , 2 ) } ^ { T } = } & { \frac { 1 } { 6 } \left( ( r , e ) _ { T } + ( r ^ { 2 } , e ) _ { T } + e ^ { - 2 \pi i / 3 } ( ( r , r ) _ { T } + ( r ^ { 2 } , r ) _ { T } ) + e ^ { 2 \pi i / 3 } ( ( r , r ^ { 2 } ) _ { T } + ( r ^ { 2 } , r ^ { 2 } ) _ { T } ) \right) \; , } \\ { P _ { ( \overline { { t } } , 0 ) } ^ { T } = } & { \frac { 1 } { 6 } \left( ( t , e ) _ { T } + ( t , t ) _ { T } + ( t r , e ) _ { T } + ( t r , t r ) _ { T } + ( t r ^ { 2 } , e ) _ { T } + ( t r ^ { 2 } , t r ^ { 2 } ) _ { T } \right) \; , } \\ { P _ { ( \overline { { t } } , 1 ) } ^ { T } = } & { \frac { 1 } { 6 } \left( ( t , e ) _ { T } + ( t r , e ) _ { T } + ( t r ^ { 2 } , e ) _ { T } - ( t , t ) _ { T } - ( t r , t r ) _ { T } - ( t r ^ { 2 } , t r ^ { 2 } ) _ { T } \right) \; . } \end{array}
O \left\{ \frac { 1 } { N ^ { t } M P _ { m a x } } \underset { n } { \sum } \underset { m } { \sum } \left( n - 1 \right) ^ { t } P _ { n m } e ^ { j \omega _ { k l } \left( n - 1 \right) } \right\} = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { t + 1 } + O \left( \frac { 1 } { N } \right) , } & { \omega _ { k l } = 0 , k = l } \\ { O \left( \frac { 1 } { N } \right) , } & { \omega _ { k l } \neq 0 , k \neq l } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r l } & { \alpha _ { k } ( h _ { 0 } , h _ { 1 } , \eta _ { 3 } , \phi , t ) : = \frac { 2 K - 2 } { k t ^ { ( 1 - \phi k ) / ( 2 K - 2 ) } \log t } + \frac { 1 - \frac { 2 K - 2 } { k } } { t ^ { 1 / ( 2 K - 2 ) } \log t } } \\ & { \qquad + \left( \frac { \theta _ { k } - \phi } { \log h _ { 1 } } + \frac { \operatorname* { m a x } \left\{ 0 , \frac { \log ( h _ { 0 } h _ { 1 } ) } { \log h _ { 1 } } \right\} } { \log t } \right) \left( C _ { k } ( \eta _ { 3 } , h _ { 1 } ) + D _ { k } ( \eta _ { 3 } , h _ { 1 } ) h _ { 1 } ^ { 2 / K - k / ( K - 1 ) } \right) } \\ & { \qquad + \frac { 1 } { \log t } \frac { h _ { 1 } ^ { 1 - k / ( 2 K - 2 ) } } { h _ { 1 } ^ { 1 - k / ( 2 K - 2 ) } - 1 } h _ { 0 } ^ { k / ( 2 K - 2 ) - 1 } t ^ { 1 / ( k K - 2 K + 2 ) - \phi } . } \end{array}
\alpha ^ { \prime } : { \cal M } ^ { 2 } : \overline { { { a } } } _ { 1 } \left| 0 \right\rangle = \alpha ^ { \prime } { \sl m } ^ { 2 } \overline { { { a } } } _ { 1 } \left| 0 \right\rangle = \frac 3 2 \gamma \overline { { { a } } } _ { 1 } \left| 0 \right\rangle \; ,
{ \cal L } _ { 1 } = - \, \frac { \lambda _ { 1 3 1 } \lambda _ { 2 3 2 } ^ { * } } { m _ { \tilde { \tau } _ { L } } ^ { 2 } } \; \left( \overline { { { e _ { R } } } } \nu _ { e L } \right) \; \left( \overline { { { \nu _ { \mu L } } } } \mu _ { R } \right) \; .
\begin{array} { r } { \rho _ { G } ^ { \bf k } ( C _ { 4 } ) = e ^ { \mathrm { i } { \bf k } \cdot { a } _ { 1 } } \rho ( C _ { 4 } ) , \quad \rho _ { G } ^ { \bf k } ( C _ { 2 } ) = e ^ { \mathrm { i } { \bf k } . ( a _ { 1 } + a _ { 2 } ) } \rho ( C _ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { i j k l } } & { { } = - I _ { j i k l } = - I _ { i j l k } } \\ { I _ { i j k l } } & { { } = I _ { k l i j } } \\ { I _ { i j k l } } & { { } + I _ { i k l j } + I _ { i l j k } = 0 . } \end{array}