harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
- 2 b \int \displaylimits _ { \overline { { \Lambda } } } ^ { L } { \partial _ { x } ^ { 2 } \overline { { h } } \; \delta h \; \mathrm { d } x } = \lambda \int \displaylimits _ { \overline { { \Lambda } } } ^ { L } { \delta h \; \mathrm { d } x } \qquad \mathrm { ~ w h i c h ~ i m p l i e s ~ } \quad \partial _ { x } ^ { 2 } \overline { { h } } = - \frac { \lambda } { 2 b } , \quad x \in ( \overline { { \Lambda } } , L ) .
{ \cal U } _ { \Sigma } { } ^ { \Lambda } \equiv \left. \frac { 3 } { W } g ^ { \Lambda \Xi } \partial _ { \Sigma } \partial _ { \Xi } W \right| _ { \partial W = 0 } = \left. \frac { 3 } { 2 f } g ^ { \Lambda \Xi } \partial _ { \Sigma } \partial _ { \Xi } f \right| _ { \partial f = 0 } \, ,
\begin{array} { r } { \Pi _ { N } f ( x ) : = \sum _ { k = 1 } ^ { N } \langle f , \xi _ { k } \rangle _ { L ^ { 2 } ( [ 0 , 1 ] ) } \xi _ { k } ( x ) , \quad x \in [ 0 , 1 ] ; } \end{array}
\begin{array} { r l } { { 2 } } & { \begin{array} { r l } & { Q _ { n } \big ( \langle \partial _ { t } \boldsymbol u _ { \tau , h } , \boldsymbol \phi _ { \tau , h } \rangle - \langle \boldsymbol v _ { \tau , h } , \boldsymbol \phi _ { \tau , h } \rangle \big ) + \langle \boldsymbol u _ { \tau , h } ^ { + } ( t _ { n - 1 } ) , \boldsymbol \phi _ { \tau , h } ^ { + } ( t _ { n - 1 } ) \rangle = \langle \boldsymbol u _ { h } ^ { n - 1 } , \boldsymbol \phi _ { \tau , h } ^ { + } ( t _ { n - 1 } ) \rangle \, , } \end{array} } \\ & { \begin{array} { r l } & { Q _ { n } \Big ( \langle \rho \partial _ { t } \boldsymbol v _ { \tau , h } , \boldsymbol \chi _ { \tau , h } \rangle + A _ { \gamma } ( \boldsymbol u _ { \tau , h } , \boldsymbol \chi _ { \tau , h } ) + C ( \boldsymbol \chi _ { \tau , h } , p _ { \tau , h } ) \Big ) + \langle \rho \boldsymbol v _ { \tau , h } ^ { + } ( t _ { n - 1 } ) , \boldsymbol \chi _ { \tau , h } ^ { + } ( t _ { n - 1 } ) \rangle } \\ & { \quad = Q _ { n } \Big ( F _ { \gamma } ( \boldsymbol \chi _ { \tau , h } ) \Big ) + \langle \rho \boldsymbol v _ { h } ^ { n - 1 } , \chi _ { \tau , h } ^ { + } ( t _ { n - 1 } ) \rangle \, , } \end{array} } \\ & { \begin{array} { r l } & { Q _ { n } \Big ( \langle c _ { 0 } \partial _ { t } p _ { \tau , h } , \psi _ { \tau , h } \rangle - C ( \boldsymbol v _ { \tau , h } , \psi _ { \tau , h } ) + B _ { \gamma } ( p _ { \tau , h } , \psi _ { \tau , h } ) \Big ) + \langle c _ { 0 } p _ { \tau , h } ^ { + } ( t _ { n - 1 } ) , \psi _ { \tau , h } ^ { + } ( t _ { n - 1 } ) \rangle } \\ & { \quad = Q _ { n } \Big ( G _ { \gamma } ( \psi _ { \tau , h } ) \Big ) + \langle c _ { 0 } p _ { h } ^ { n - 1 } , \psi _ { \tau , h } ^ { + } ( t _ { n - 1 } ) \rangle } \end{array} } \end{array}
3 H ^ { 2 } = \rho + \Bigg [ G f ^ { \prime } ( G ) - f ( G ) - 2 4 H ^ { 3 } \dot { f ^ { \prime } ( G ) } \Bigg ] + 2 \frac { \partial g ( T ^ { 2 } ) } { \partial T ^ { 2 } } ( \rho ^ { 2 } + 4 \rho p + 3 p ^ { 2 } ) - g ( T ^ { 2 } ) ,
\mathbf { d } = \frac { 1 } { \sigma ^ { 2 } } \mathcal { K } _ { S } ^ { - 1 } \left( \int k ^ { f } ( \mathcal { Z } , x ) B ( x ) \mathrm { ~ d ~ } x \right) \mathcal { K } _ { S } ^ { - 1 } ,
S _ { \mathrm { e x 2 } } ^ { ( 2 \mathrm { s t ) } } = - \frac { 1 } { 2 ( g _ { m } - 1 ) } \left[ x _ { 1 } ^ { 2 } g _ { m } \ln g _ { m } - \left( g _ { m } \ln g _ { m } + 1 - g _ { m } \right) \right] .
\begin{array} { r l } { \widetilde { \mathcal { H } } _ { \nabla , 1 } : = } & { { } \widetilde { \mathcal { H } } _ { \nabla } \; \mathrm { ~ d ~ i ~ a ~ g ~ } ( \mathcal { I } _ { 3 \times 3 } , \boldsymbol { 0 } _ { 3 \times 3 } , \boldsymbol { 0 } _ { 3 \times 3 } ) , } \\ { \widetilde { \mathcal { H } } _ { \nabla , 2 } : = } & { { } \widetilde { \mathcal { H } } _ { \nabla } \; \mathrm { ~ d ~ i ~ a ~ g ~ } ( \boldsymbol { 0 } _ { 3 \times 3 } , \mathcal { I } _ { 3 \times 3 } , \boldsymbol { 0 } _ { 3 \times 3 } ) , } \\ { \widetilde { \mathcal { H } } _ { \nabla , 3 } : = } & { { } \widetilde { \mathcal { H } } _ { \nabla } \; \mathrm { ~ d ~ i ~ a ~ g ~ } ( \boldsymbol { 0 } _ { 3 \times 3 } , \boldsymbol { 0 } _ { 3 \times 3 } , \mathcal { I } _ { 3 \times 3 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \| u _ { j } - \phi _ { j } \cdot w _ { z _ { 0 } , j } \| _ { z _ { 0 } ; \gamma } ^ { 2 } \leq C ( \sigma , \Lambda ) \left( \| f _ { j } \| _ { z _ { 0 } ; \gamma - 1 } ^ { 2 } + \chi _ { j } \cdot ( \varphi _ { j } - \phi _ { j } w _ { z _ { 0 } , j } ^ { \prime } ( z _ { 0 } ) ) ^ { 2 } \cdot z _ { 0 } ^ { - 2 \gamma } \right) ; } \end{array}
Y _ { k \mu } = \left[ \delta _ { k j } \sin \phi \cos \phi + \frac { \phi _ { k } \phi _ { j } } { \phi } \left( 1 - \frac { \sin \phi } { \phi } \cos \phi \right) \right] \frac { \partial _ { \mu } \phi _ { j } } { \phi } .
( { \bar { \chi } } \gamma ^ { \mu } \psi ) ( { \bar { \psi } } \gamma _ { \mu } \chi ) + ( { \bar { \chi } } \gamma _ { 5 } \gamma ^ { \mu } \psi ) ( { \bar { \psi } } \gamma _ { 5 } \gamma _ { \mu } \chi ) = - ( ~ ( { \bar { \chi } } \gamma ^ { \mu } \chi ) ( { \bar { \psi } } \gamma _ { \mu } \psi ) + ( { \bar { \chi } } \gamma _ { 5 } \gamma ^ { \mu } \chi ) ( { \bar { \psi } } \gamma _ { 5 } \gamma _ { \mu } \psi ) ~ ) ~ .
R _ { \mathrm { ~ a ~ s ~ y ~ } } = \beta I ( x : y ^ { \prime \prime } ) _ { \tau _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } , \bar { n } _ { \mathrm { ~ G ~ } } } - \chi ( \mathbf { E } : y ^ { \prime \prime } ) _ { \tau _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } , \bar { n } _ { \mathrm { ~ G ~ } } } ,
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } \left( \exists s \le t : \| M ^ { ( N ) } ( \lfloor N s \rfloor ) \| \ge \epsilon \right) \le \frac { A } { \epsilon ^ { 2 } } \mathbb { E } \left[ \| M ^ { ( N ) } ( \lfloor N t \rfloor ) \| ^ { 2 } \right] } \\ & { = \frac { A } { \epsilon ^ { 2 } } \sum _ { k = 0 } ^ { \lfloor N t \rfloor - 1 } \frac { 1 } { ( N + k + 1 ) ^ { 2 } } \mathbb { E } \left[ \| \xi ^ { ( N ) } ( k ) \| ^ { 2 } \right] \le \frac { A } { \epsilon ^ { 2 } } \sum _ { k = 0 } ^ { \lfloor N t \rfloor - 1 } \frac { 1 } { ( N + k + 1 ) ^ { 2 } } \xrightarrow { t , N \to \infty } 0 } \end{array}
\widehat { \gamma _ { x y } } \leq 1 + \frac { C _ { x y } ^ { 2 } } { \sigma _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ v ~ } } ^ { 2 } } - 2 \sqrt { \left( 1 + 2 \frac { C _ { x y } ^ { 2 } } { \sigma _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ v ~ } } ^ { 2 } } \right) \ln \frac { 1 } { \varepsilon _ { \mathrm { ~ p ~ e ~ } } } } .
\sqrt { \frac { \displaystyle \mathrm { d } X ^ { \prime } e _ { 0 } , \mathrm { d } X ^ { \prime } e _ { 0 } } { \langle e _ { 0 } , e _ { 0 } \rangle } } = \sqrt { \frac { \mathrm { d } X e _ { 0 } , \mathrm { d } X e _ { 0 } } { \langle e _ { 0 } , e _ { 0 } \rangle } \circ t } \frac { \mathrm { d } t } { \mathrm { d } t ^ { \prime } }
\hat { \mathcal { { H } } } _ { \sigma } \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) = \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \mathbf { E } _ { k , \sigma } \, , \quad k = 1 , 2 , \ldots , M _ { \sigma } \, .
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l } { \underline { { \mathsf { G } } } _ { [ x , \widehat { x } ] } ( x , \widehat { x } ) } \\ { \overline { { \mathsf { G } } } _ { [ x , \widehat { x } ] } ( x , \widehat { x } ) } \end{array} \right] \le _ { \mathrm { S E } } \left[ \begin{array} { l } { \underline { { \mathsf { G } } } _ { [ x , \widehat { x } ] } ( x , \widehat { x } _ { [ i : x ] } ) } \\ { \overline { { \mathsf { G } } } _ { [ x , \widehat { x } ] } ( x , \widehat { x } _ { [ i : x ] } ) } \end{array} \right] , \qquad \mathrm { f o r ~ e v e r y ~ } x \le \widehat { x } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { \partial \Phi _ { H } } { \partial t } + \frac 1 2 { \sigma } _ { H } ^ { 2 } S ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \Phi _ { H } } { \partial S ^ { 2 } } + r S \frac { \partial \Phi _ { H } } { \partial S } - r \Phi _ { H } = 0 , } \\ & { } & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad S > \frac 1 { \gamma e ^ { - \delta ( T - t ) } } \Phi _ { H } , \; t > 0 , } \\ & { } & { \frac { \partial \Phi _ { L } } { \partial t } + \frac 1 2 { \sigma } _ { L } ^ { 2 } S ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \Phi _ { L } } { \partial S ^ { 2 } } + r S \frac { \partial \Phi _ { L } } { \partial S } - r \Phi _ { L } = 0 , } \\ & { } & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \frac 1 { e ^ { - \delta ( T - t ) } } \Phi _ { L } < S < \frac 1 { \gamma e ^ { - \delta ( T - t ) } } \Phi _ { L } , \; t > 0 . } \end{array}
\overline { { F } } = \left\{ \begin{array} { c } { \overline { { \rho } } \tilde { v } } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { u } \tilde { v } - { \tau } _ { x y } ^ { m o d } } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { v } ^ { 2 } + \overline { { p } } - { \tau } _ { y y } ^ { m o d } + \frac { 1 } { 3 } \sigma _ { y y } } \\ { \overline { { \rho } } \tilde { v } \tilde { w } - { \tau } _ { y z } ^ { m o d } } \\ { \left( \check { e } + \overline { { p } } - { \tau } _ { y y } ^ { m o d } + \frac { 1 } { 3 } \sigma _ { y y } \right) \tilde { v } - { \tau } _ { x y } ^ { m o d } \tilde { u } - { \tau } _ { y z } ^ { m o d } \tilde { w } + q _ { y } ^ { m o d } } \end{array} \right\} \, \mathrm { ~ , ~ }
\begin{array} { r } { \langle \cos ^ { 2 } ( \theta ) \rangle ( \tau ) = \frac { 1 } { Z } \sum _ { l _ { 0 } = - \infty } ^ { \infty } e ^ { - \frac { l _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \langle \cos ^ { 2 } ( \theta ) \rangle _ { l _ { 0 } } ( \tau ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { v _ { \theta } ( r ) } & { { } = } & { v _ { \theta } ( R _ { 1 } + R _ { 2 } - r ) , \theta = 0 } \\ { v _ { r } ( r ) } & { { } = } & { v _ { r } ( R _ { 1 } + R _ { 2 } - r ) , \theta = 0 } \\ { v _ { \theta } ( \theta = \pi ) } & { { } = } & { v _ { \theta } ( { \theta = 0 } ) } \\ { v _ { r } ( \theta = \pi ) } & { { } = } & { v _ { r } ( \theta = 0 ) } \end{array}
\langle \zeta ^ { a } \left( z \right) \zeta ^ { b } \left( w \right) \rangle = \frac { i } { \pi } \theta ^ { a b } \mathcal { A } \left( z , w \right) - \frac { 1 } { \pi } G ^ { a b } \mathcal { B } \left( z , w \right) + \frac { 1 } { 2 \pi } g ^ { a b } \mathcal { C } \left( z , w \right) ,
\partial _ { t } \left| \psi \right\rangle = - \alpha \sum _ { i } \left( 2 a _ { i } ^ { \dagger } a _ { i } - a _ { i - 1 } ^ { \dagger } a _ { i } - a _ { i + 1 } ^ { \dagger } a _ { i } \right) \left| \psi \right\rangle = - \alpha \sum _ { i } \left( a _ { i } ^ { \dagger } - a _ { i - 1 } ^ { \dagger } \right) ( a _ { i } - a _ { i - 1 } ) \left| \psi \right\rangle .
\begin{array} { r } { J ( u , v , w ) : = \left( \begin{array} { l l l } { f _ { u } } & { f _ { v } } & { f _ { w } } \\ { - f _ { u } } & { - f _ { v } } & { - f _ { w } } \\ { \tau } & { 0 } & { - \tau } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l } { \displaystyle \frac { 2 u v } { \kappa ^ { 2 } ( 1 + w ) } - 1 } & { \displaystyle \frac { u ^ { 2 } } { \kappa ^ { 2 } ( 1 + w ) } } & { - \displaystyle \frac { u ^ { 2 } v } { \kappa ^ { 2 } ( 1 + w ) ^ { 2 } } } \\ { - \displaystyle \frac { 2 u v } { \kappa ^ { 2 } ( 1 + w ) } + 1 } & { - \displaystyle \frac { u ^ { 2 } } { \kappa ^ { 2 } ( 1 + w ) } } & { \displaystyle \frac { u ^ { 2 } v } { \kappa ^ { 2 } ( 1 + w ) ^ { 2 } } } \\ { \tau } & { 0 } & { - \tau } \end{array} \right) . } \end{array}
- \ddot { \tilde { \chi } } + \tilde { \chi } ^ { \prime \prime } - \frac { 1 } { r } \tilde { \chi } ^ { \prime } - m _ { e f f } ^ { 2 } \tilde { \chi } + \kappa ^ { 2 } \frac { q ^ { 2 } c _ { 1 } ^ { 2 } } { m _ { H } ^ { 2 } } K _ { 0 } ^ { 2 } ( k _ { 0 } r ) \cos ( 2 \omega _ { 0 } t + 2 \delta ) \tilde { \chi } = 0 ,
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } \left( \widehat { \mu } _ { T } ^ { a , \mathrm { A I P W } } - \widehat { \mu } _ { T } ^ { b , \mathrm { A I P W } } \leq 0 \right) = \mathbb { P } \left( \sqrt { T } \left( \widehat { \mu } _ { T } ^ { a , \mathrm { A I P W } } - \widehat { \mu } _ { T } ^ { b , \mathrm { A I P W } } \right) - \sqrt { T } \Delta ^ { a , b } ( P ) \leq - \sqrt { T } \Delta ^ { a , b } ( P ) \right) } \\ & { = \mathbb { P } \left( \sqrt { \frac { T } { V ^ { a , b * } ( P ) } } \left( \widehat { \mu } _ { T } ^ { a , \mathrm { A I P W } } - \widehat { \mu } _ { T } ^ { b , \mathrm { A I P W } } - \Delta ^ { a , b } ( P ) \right) \leq - \sqrt { \frac { T } { V ^ { a , b * } ( P ) } } \Delta ^ { a , b } ( P ) \right) } \\ & { = \mathbb { P } \left( \sum _ { t = 1 } ^ { T } \xi _ { t } ^ { a , b } ( P ) \leq - \sqrt { \frac { T } { V ^ { a , b * } ( P ) } } \Delta ^ { a , b } ( P ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { n } D _ { f } ( M | | L _ { i } ) } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { x \prec y } \pi ( x ) L _ { i } ( x , y ) f \left( \frac { M ( x , y ) } { L _ { i } ( x , y ) } \right) + \pi ( y ) L _ { i } ( y , x ) f \left( \frac { M ( y , x ) } { L _ { i } ( y , x ) } \right) } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { x \prec y } a - 2 \sqrt { a \beta _ { i } } + \beta _ { i } + a ^ { \prime } - 2 \sqrt { a ^ { \prime } \beta _ { i } ^ { \prime } } + \beta _ { i } ^ { \prime } } \\ & { = \sum _ { x \prec y } \sum _ { i = 1 } ^ { n } 2 a - 2 \sqrt { a \beta _ { i } } - 2 \sqrt { a \beta _ { i } ^ { \prime } } + \beta _ { i } + \beta _ { i } ^ { \prime } . } \end{array}
\frac { \partial ^ { 2 } \, V } { \partial \, p ^ { 2 } } \rvert _ { p = i } = \frac { - \frac { 1 } { 1 2 } V \rvert _ { p = i - 2 } + \frac { 4 } { 3 } \, V \rvert _ { p = i - 1 } - \frac { 5 } { 2 } \, V \rvert _ { p = i } + \frac { 4 } { 3 } \, V \rvert _ { p = i + 1 } - \frac { 1 } { 1 2 } V \rvert _ { p = i + 2 } } { d ^ { 2 } } .
E [ \tau ] = \left[ - \frac 2 { \beta ^ { 2 } } \sum _ { i = 0 } ^ { n } \frac 2 { \alpha _ { i } ^ { 2 } } \frac { \tau _ { i } ^ { \prime } } { \tau _ { i } } \right] _ { x = - \infty } ^ { \infty } .
\begin{array} { r l } { p _ { d , t } = ~ } & { \beta _ { t } \check { p } _ { d , t } ^ { * } + ( 1 - \beta _ { t } ) \hat { p } _ { d , t } ^ { * } } \\ { = ~ } & { \beta _ { t } \sum _ { v \in \mathcal { V } } \check { p } _ { v , t } ^ { c * } + ( 1 - \beta _ { t } ) \sum _ { v \in \mathcal { V } } \hat { p } _ { v , t } ^ { c * } } \\ { = ~ } & { \sum _ { v \in \mathcal { V } } \left[ \beta _ { t } \check { p } _ { v , t } ^ { c * } + ( 1 - \beta _ { t } ) \hat { p } _ { v , t } ^ { c * } \right] } \\ { = ~ } & { \sum _ { v \in \mathcal { V } } p _ { v , t } ^ { c } } \end{array}
( - { \frac { 1 } { 2 } } \Gamma ^ { I J L } \partial _ { L } + { \frac { 9 } { 8 } } \Gamma ^ { I } \slash { \partial } \Gamma ^ { J } ) \Delta _ { J K } ( x - y ) = \delta _ { K } ^ { I } \delta ( x - y ) \; .
\begin{array} { r l } { + } & { { } \frac { 1 + 2 m ^ { 2 } } { r ^ { 3 } } \psi _ { m , \alpha } ^ { \prime } + \frac { m ^ { 4 } - 4 m ^ { 2 } } { r ^ { 4 } } \psi _ { m , \alpha } = \omega _ { m , \alpha } ^ { 4 } \psi _ { m , \alpha } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial { \bf u } } { \partial t } + ( { \bf u } \cdot \nabla ) { \bf u } } & { = } & { - \nabla ( { p } / { \rho } ) - \frac { \sigma } { \rho } \Delta ^ { - 1 } [ ( { \bf B } _ { 0 } \cdot \nabla ) ^ { 2 } { \bf u } ] + \nu \nabla ^ { 2 } { \bf u } + { \bf F } _ { \mathrm { e x t } } , } \\ { \nabla \cdot { \bf u } } & { = } & { 0 , } \end{array}
\begin{array} { l l } { f _ { 1 4 } = } & { - 2 { m _ { 2 } } \left( \frac { 1 } { \left( \left( { x _ { 1 } } + 1 \right) ^ { 2 } + { y _ { 1 } } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } - \frac { 1 } { 8 } \right) { y _ { 1 } } + } \\ & { { m _ { 3 } } \left( \frac { 1 } { \left( \left( { x _ { 1 } } - { x _ { 3 } } \right) ^ { 2 } + \left( { y _ { 1 } } - { y _ { 3 } } \right) ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } - \frac { 1 } { \left( \left( { x _ { 3 } } - 1 \right) ^ { 2 } + { y 3 } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \right) \left( - \left( - { x _ { 3 } } + 1 \right) { y _ { 1 } } - { y _ { 3 } } \left( { x _ { 1 } } - 1 \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { { \bf E } } } & { { } = } & { \hat { E _ { x } } \hat { \bf x } + \hat { E _ { y } } \hat { \bf y } } \\ { \hat { { \bf B } } } & { { } = } & { \frac { 1 } { v _ { 0 } } \left( - \hat { E _ { y } } \hat { \bf x } + \hat { E _ { x } } \hat { \bf y } \right) , } \end{array}
c = i { \delta } ( \theta - { \theta } ^ { ' } ) N _ { a } ^ { c } N _ { b } ^ { i } [ \frac { { \partial } { \omega } _ { c j } } { { \partial { \xi } ^ { i } } } + \frac { { \partial } { \omega } _ { j i } } { { \partial { \xi } ^ { c } } } ] \partial _ { \theta } { \xi } ^ { j } .
B _ { 1 } = { \frac { C _ { 7 } } { q ^ { 2 } } } \, 4 \, m _ { b } \, T _ { 2 } ( q ^ { 2 } ) ( M _ { B } ^ { 2 } - M _ { K ^ { * } } ^ { 2 } ) + C _ { 9 } \, A _ { 1 } ( q ^ { 2 } ) ( M _ { B } + M _ { K ^ { * } } )
^ 3 ( \sigma _ { s } \sigma _ { s } ^ { * } ) ^ { 3 } ( \overline { { \sigma _ { p } } } \overline { { \sigma _ { p } ^ { * } } } ) \left( \pi _ { y } ^ { 2 } \pi _ { x } ^ { * 2 } + \pi _ { x } ^ { 2 } \pi _ { y } ^ { * 2 } \right)
S _ { b } ( \omega ) = \mathrm { ~ R ~ e ~ } [ \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - i \omega t } \langle x _ { \mathrm { ~ v ~ } } ( t ) x _ { \mathrm { ~ v ~ } } ( 0 ) \rangle _ { \mathrm { ~ s ~ s ~ } } \mathrm { ~ d ~ } t ]
e ^ { - \int d ^ { 4 } x \frac { \xi } { 2 g ^ { 2 } } ( D ^ { \mu } V _ { \mu } ) ^ { 2 } } = \frac { 1 } { N } \int { \cal D } a \, \delta ( D ^ { \mu } V _ { \mu } ^ { g } - a ) e ^ { - \int d ^ { 4 } x \frac { \xi } { 2 g ^ { 2 } } a ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \Big ( \vert \partial _ { i j } ^ { 2 } u _ { \delta } ^ { n , t } ( x ) \vert } & { \geq \frac { 1 } { \log ^ { \upsilon } ( n ) } \Big ) \leq n \exp \bigg ( - \frac { 1 } { C _ { 1 } } \Big ( \frac { n } { M \log ^ { 2 } ( n ) } \Big ) ^ { \beta } \bigg ) + \exp \bigg ( - \frac { 1 } { C _ { 2 } } \frac { n ^ { 2 } \log ^ { - 2 \upsilon } ( n ) } { M ^ { 2 } + n v ^ { 2 } } \bigg ) } \\ & { + \exp \bigg ( - \frac { 1 } { C _ { 3 } } \frac { n \lambda } { M ^ { 2 } \log ^ { \upsilon } ( n ) } \exp \Big ( \frac { 1 } { C _ { 4 } } \Big ( \frac { n } { M \log ^ { \upsilon } ( n ) } \Big ) ^ { \beta ( 1 - \beta ) } \log ^ { - 1 } ( \frac { n } { M \log ^ { \upsilon } ( n ) } ) \Big ) \bigg ) , } \end{array}
\stackrel { P } { \cal F } { } \! \! _ { 0 , p } ^ { ( \pm ) } \left( \begin{array} { c } { { \! \! \alpha \! \! } } \\ { { \! \! \beta \! \! } } \end{array} \right) = \; \sum _ { s \in { \cal S } ^ { p - 3 } } \stackrel { P } { K } { } \! \! _ { 0 , p } ^ { ( \pm ) } \left( \begin{array} { c } { { \! \! \alpha \! \! } } \\ { { \! \! \beta , s \! \! } } \end{array} \right) \stackrel { \alpha } { \omega } _ { 0 , p } \! \! \lbrack \beta + s \rbrack \; \; ,
\begin{array} { r l } { \varphi _ { n } ^ { I } ( \mathbf { r } ) } & { { } = \varphi _ { n } ^ { I , \mathrm { s r c } } ( \mathbf { r } ) + \varphi _ { n } ^ { I , \mathrm { s c a } } ( \mathbf { r } ) } \\ { \varphi _ { n } ^ { I , \mathrm { s r c } } ( \mathbf { r } ) } & { { } = p _ { z } \sum _ { \ell = - \infty } ^ { \infty } a _ { n \ell } ^ { 0 I } H _ { \ell } ( k _ { n } \rho _ { n } ) e ^ { j \ell \theta _ { n } } } \\ { \varphi _ { n } ^ { I , \mathrm { s c a } } ( \mathbf { r } ) } & { { } = p _ { z } \sum _ { \ell = - \infty } ^ { \infty } c _ { n \ell } J _ { \ell } \left( k _ { n } \rho _ { n } \right) e ^ { j \ell \theta _ { n } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { V ( z ) ( \omega ) } & { = ( F _ { t } * V _ { \omega } ^ { 0 } ) ( x ) = t \int _ { S ( 0 , 1 ) } V ^ { 0 } ( x - c | t | \gamma ) ( \omega ) \frac { d \Omega } { 4 \pi } } \\ { = } & { \frac { t } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \pi } V ^ { 0 } ( x - c | t | \gamma ( \theta , \phi ) ) ( \omega ) \sin ( \theta ) d \theta d \phi = \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \sum _ { k = 1 } ^ { n } a _ { k } ^ { n } V ^ { 0 } ( x - y _ { k } ^ { n } ) ( \omega ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \dot { \mathrm { H } } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } , \Lambda ^ { k } ) = \dot { \mathrm { H } } _ { \mathfrak { t } , \sigma } ^ { s , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } , \Lambda ^ { k } ) \oplus \overline { { \mathrm { d } \dot { \mathrm { H } } ^ { s + 1 , p } ( \mathbb { R } _ { + } ^ { n } , \Lambda ^ { k - 1 } ) } } } \end{array}
\left. \phi \right| _ { k = - E a \tau } = \phi _ { 0 } - \frac { N } { 4 } E a \tau - \int _ { 0 } ^ { \tau } \omega _ { k ^ { \prime } = - E a \tau ^ { \prime } } d \tau ^ { \prime } + \frac { 1 } { 2 } \left. \varphi _ { k } \right| _ { 0 } ^ { - E a \tau } .
\begin{array} { r l } { \delta u _ { N + 1 } ^ { \prime } ( \mathbf x ) } & { = \left( { a _ { N } } { e ^ { \mathrm i N \theta } } + { b _ { N } } { e ^ { - \mathrm i N \theta } } \right) { \frac { { k ^ { N } } } { { 2 ^ { N } } N ! } } \sum _ { p = 1 } ^ { \infty } { \left[ { { \frac { { { ( - 1 ) } ^ { p } } N ! } { p ! ( N + p ) ! } } { { \left( { { \frac { k } { 2 } } } \right) } ^ { 2 p } } { r ^ { 2 p + N } } } \right] } } \\ & { \quad + \sum _ { n = N + 1 } ^ { \infty } { \left( { a _ { n } } { e ^ { \mathrm i n \theta } } + { b _ { n } } { e ^ { - \mathrm i n \theta } } \right) { J _ { n } } ( k r ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - 2 ( \alpha \beta ) ^ { \frac 1 2 } g ^ { [ 3 ] } ( \alpha , \alpha , \beta , \beta ) = } & { K _ { 0 } ( \log ( \beta / \alpha ) ) \cdot \log ^ { [ 2 ] } ( \alpha , 1 , \beta ) } \\ & { + \frac 1 4 H _ { 0 } ( - \log ( \alpha ) , \log ( \beta ) ) \cdot \log ^ { [ 1 ] } ( \alpha , 1 ) \cdot \log ^ { [ 1 ] } ( 1 , \beta ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { J } ^ { \mathrm { o p t } } \left( P _ { X } , P _ { S | X } , W _ { Z | Y } , D _ { s } , D _ { x } , t \right) \leq } & { \operatorname* { m i n } _ { R \in \mathcal { R } } \left\{ t \widetilde { E } \left( \frac { R } { t } , P _ { X } , P _ { S | X } \right) + E _ { \mathrm { s p } } \left( R , W _ { Z | Y } \right) \right\} , } \\ { E _ { J } ^ { \mathrm { o p t } } \left( P _ { X } , P _ { S | X } , W _ { Z | Y } , D _ { s } , D _ { x } , t \right) \geq } & { \operatorname* { m i n } _ { R \in \mathcal { R } } \left\{ t \widetilde { E } \left( \frac { R } { t } , P _ { X } , P _ { S | X } \right) + E _ { \mathrm { e x } } \left( R , W _ { Z | Y } \right) \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \ensuremath { \mathrm { ~ T ~ r ~ } } _ { 1 } [ \ensuremath { \mathbf { C } } ] \right) _ { \nu , \tau } = \sum _ { \rho } C _ { \rho \nu , \rho \tau } = \left( \sum _ { \rho } A _ { \rho , \rho } \right) B _ { \nu , \tau } , } \end{array}
\begin{array} { r } { S ^ { ( o ) } ( { \bf k } + { \cal K } ) = 2 \pi \delta ( { \bf k } + { \cal K } ) + 2 \pi \rho \sum _ { { \cal K } ^ { \prime } \neq 0 } | \rho ( { \cal K } ^ { \prime } ) | ^ { 2 } \delta ( k - { \cal K } ^ { \prime } + { \cal K } ) ~ ~ . } \end{array}
\cfrac { z - s } { s _ { 0 } } \leq \varepsilon _ { S S l } \cdot \bigg ( \cfrac { s _ { 0 } + K _ { S } } { s _ { \mathrm { c r o s s } } + K _ { M } } \bigg ) \exp \left( k _ { 1 } s _ { 0 } \varepsilon _ { S S l } t _ { \mathrm { c r o s s } } \right) .
P _ { \mathrm { ~ f ~ i ~ n ~ e ~ s ~ c ~ a ~ l ~ e ~ } } = C _ { 0 } \frac { f N ^ { 2 } \cosh ^ { - 1 } ( N / f ) } { f _ { 0 } N _ { 0 } ^ { 2 } \cosh ^ { - 1 } ( N _ { 0 } / f _ { 0 } ) } \hat { E } ^ { 2 } \frac { 3 ( R _ { \omega } + 1 ) } { 4 R _ { \omega } } \sqrt { \frac { 2 } { R _ { \omega } - 1 } }
S _ { e } = \frac { \alpha } { t _ { \mathrm { p e r t } } } \exp \left( { - \frac { ( x - x _ { \mathrm { p e r t } } ) ^ { 2 } } { \sigma _ { x } ^ { 2 } } - \frac { ( z - z _ { \mathrm { p e r t } } ) ^ { 2 } } { \sigma _ { z } ^ { 2 } } } \right) \, ,
\begin{array} { r l } { ( G ( \phi ^ { n + 1 } ) - G ( \phi ^ { n } ) , 1 ) } & { + \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { 2 } ( \| \nabla _ { h } ( \phi ^ { n + 1 } - \phi ^ { n } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } + \| \nabla _ { h } \phi ^ { n + 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } - \| \nabla _ { h } \phi ^ { n } \| _ { 2 } ^ { 2 } ) } \\ & { + s \| \nabla _ { h } \mu ^ { n + 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } - s ( A _ { h } \phi ^ { n } \boldsymbol { u } ^ { n + 1 } , \nabla _ { h } \mu ^ { n + 1 } ) } \\ & { \leq 0 . } \end{array}