harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { A ( \phi ^ { ( i - 1 ) } , \phi ^ { \prime } ) } & { { } = \operatorname* { m i n } \left( 1 , \exp \left( \log q _ { \theta } ( \phi ^ { ( i - 1 ) } ) - \log p ( \phi ^ { ( i - 1 ) } ) - \log q _ { \theta } ( \phi ^ { \prime } ) + \log p ( \phi ^ { \prime } ) \right) \right) } \\ { \phi ^ { ( i ) } } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { \phi ^ { \prime } } & { A < \pi } \\ { \phi } & { \mathrm { ~ e ~ l ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right. \qquad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \pi \sim \mathrm { ~ U ~ n ~ i ~ f ~ o ~ r ~ m ~ } ( 0 , 1 ) } \end{array}
\left( { \frac { \dot { a } } { a } } \right) ^ { 2 } + { \frac { k c ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } = { \frac { 8 \pi m _ { 0 } G _ { 5 } } { 3 ( 1 - \Omega _ { R } ^ { 2 } ) } } \left[ { \frac { \tilde { \varrho } _ { 1 } \Omega _ { R } + \varrho _ { 2 } \Omega _ { R } ^ { 5 } } { \sqrt { \Omega _ { R } ^ { 2 } - \dot { R } ^ { 2 } / c ^ { 2 } } } } + V _ { r } / c ^ { 2 } \right] .
J ( \rho , z ; m ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } d k \frac { k ^ { 2 } } { k ^ { 2 } + m ^ { 2 } } e ^ { - | z | ( k ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } } J _ { 1 } ( k \rho ) .
\left( \frac { d N _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } } { d \gamma } \right) ^ { \mathrm { i n d u c e d } } = N _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } \left( \frac { d N _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \alpha } } { d \gamma } \right) ^ { \mathrm { s p o n t e n e o u s } }
\begin{array} { r l } { \lambda _ { 1 } } & { = 2 _ { 1 } 2 _ { 2 } h x _ { 3 } - 2 _ { 1 } 2 _ { 3 } h x _ { 2 } - 2 _ { 2 } 2 _ { 3 } h x _ { 1 } + 2 x _ { 4 } , } \\ { \lambda _ { 2 } } & { = 2 _ { 1 } 2 _ { 2 } h x _ { 3 } + 2 _ { 1 } 2 _ { 3 } h x _ { 2 } - 2 _ { 2 } 2 _ { 3 } h x _ { 1 } - 2 x _ { 4 } , } \\ { \lambda _ { 3 } } & { = 2 _ { 1 } 2 _ { 2 } h x _ { 3 } - 2 _ { 1 } 2 _ { 3 } h x _ { 2 } + 2 _ { 2 } 2 _ { 3 } h x _ { 1 } - 2 x _ { 4 } , } \\ { \lambda _ { 4 } } & { = 2 _ { 1 } 2 _ { 2 } h x _ { 3 } + 2 _ { 1 } 2 _ { 3 } h x _ { 2 } + 2 _ { 2 } 2 _ { 3 } h x _ { 1 } + 2 x _ { 4 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \| \nabla \Phi ( { \boldsymbol x } ) \| \geq c | \Phi ( { \boldsymbol x } ) - \Phi ( { \boldsymbol x } _ { 0 } ) | ^ { \mu } , \ \ \ \ \forall { \boldsymbol x } \in U , \ \ \mathrm { ~ s ~ u ~ c ~ h ~ } \ \mathrm { ~ t ~ h ~ a ~ t ~ } \ \| { \boldsymbol x } - { \boldsymbol x } _ { 0 } \| \leq \delta . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A _ { I } } & { = } & { \frac { 1 } { | G _ { \sigma _ { I } } | } \sum _ { v \in \mathrm { B o x } ( \sigma _ { I ^ { \prime } } ) } \frac { \iota _ { I , v } ^ { * } I _ { \widetilde { T } , v } \iota _ { I , \mathrm { i n v } ( v ) } ^ { * } \iota _ { \mathrm { i n v } ( v ) } ^ { * } \left( \widetilde { \Gamma } _ { z } \iota _ { I , \mathrm { i n v } ( v ) } \widetilde { \mathrm { c h } } _ { z } ( \mathbf { L } _ { \mathsf { t } } ^ { \widetilde { T } } ) \right) } { e _ { \widetilde { T } } ( T _ { \mathfrak { p } _ { I } } \mathcal { X } _ { v } ) } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { | G _ { \sigma _ { I ^ { \prime } } } | } \sum _ { m \in ( \mathbb { Z } _ { \geq 0 } ) ^ { I } } \prod _ { i ^ { \prime } \in I ^ { \prime } } \frac { \Gamma \left( \langle \mathsf { D } _ { i ^ { \prime } } , - \sum _ { i \in I } ( m _ { i } + \alpha _ { i } ) \mathsf { D } _ { i } ^ { * I } \rangle + \alpha _ { i ^ { \prime } } \right) } { z ^ { \langle \mathsf { D } _ { i ^ { \prime } } , \sum _ { i \in I } ( m _ { i } + \alpha _ { i } ) \mathsf { D } _ { i } ^ { * I } \rangle - \alpha _ { i ^ { \prime } } } } \prod _ { i \in I } \frac { 1 } { ( - z ) ^ { m _ { i } } m _ { i } ! } } \\ & { } & { \cdot \exp ( \langle ( \sum _ { a = 1 } ^ { \boldsymbol { \kappa } } \log y _ { a } \xi _ { a } ) - 2 \pi \sqrt { - 1 } \mathsf { t } , \sum _ { i \in I } ( m _ { i } + \alpha _ { i } ) D _ { i } ^ { * I } \rangle ) } \end{array}
\tilde { Q } _ { c 1 , 2 } ^ { 2 } = \frac { s _ { 0 } } { 6 \left( 2 m _ { v / a t } ^ { 2 } - s _ { 0 } \right) } \left[ s _ { 0 } - 6 m _ { v / a t } ^ { 2 } \pm \sqrt { \left( s _ { 0 } + 6 m _ { v / a t } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } - 4 8 m _ { v / a t } ^ { 4 } } \right]
0 \leq k _ { \alpha \beta , i j } ^ { \left( \alpha \right) } ( \boldsymbol { \xi } , \boldsymbol { \xi } _ { \ast } ) \leq \frac { C } { \left\vert \mathbf { g } \right\vert } \sum _ { k , l = 1 } ^ { r _ { \beta } } \exp \left( - \frac { m _ { \beta } } { 8 } \left( \left\vert \mathbf { g } \right\vert + 2 \left\vert \boldsymbol { \xi } \right\vert \cos \varphi + 2 \chi _ { i k , j l } ^ { \alpha \beta } \right) ^ { 2 } - \frac { m _ { \alpha } ^ { 2 } } { 8 m _ { \beta } } \left\vert \mathbf { g } \right\vert ^ { 2 } \right) \mathrm { . }
{ \cal H } = \frac { a ^ { 2 } \mu ^ { 2 } } { 2 M ^ { 2 } } K _ { 1 } ^ { 2 } ( M r ) - \frac { a ^ { 2 } \mu ^ { 2 } } { 2 M ^ { 3 } r } K _ { 1 } ( M r ) + \frac { a ^ { 2 } ( 2 m ^ { 2 } - \mu ^ { 2 } ) } { 2 M ^ { 2 } } K _ { 1 } ^ { 2 } ( M r ) ,
\left( M _ { b } ^ { \, \, \, \, a } \right) = \left( \begin{array} { c c c c } { { S \left( a \right) a } } & { { S \left( a \right) b } } & { { S \left( c \right) a } } & { { S \left( c \right) b } } \\ { { S \left( a \right) c } } & { { S \left( a \right) d } } & { { S \left( c \right) c } } & { { S \left( c \right) d } } \\ { { S \left( b \right) a } } & { { S \left( b \right) b } } & { { S \left( d \right) a } } & { { S \left( d \right) b } } \\ { { S \left( b \right) c } } & { { S \left( b \right) d } } & { { S \left( d \right) c } } & { { S \left( d \right) d } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { \nu _ { \mathrm { t } } ^ { \prime } ( k ) = \left( \nu _ { \mathrm { f } } ^ { 2 } + \frac { 2 } { 5 } \int \displaylimits _ { k } ^ { \infty } q ^ { - 2 } E ( q ) \mathrm { d } q \right) ^ { 1 / 2 } - \nu _ { \mathrm { f } } , } \end{array}
{ \left( \begin{array} { l l } { x } & { y } \\ { 0 } & { z } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l } { a } & { b } \\ { 0 } & { c } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l } { x a } & { x b + y c } \\ { 0 } & { z c } \end{array} \right) }
\mathcal { L } = - \overline { { { \Psi } } } ( x ) \left[ \Gamma _ { \mu } \left( \partial _ { \mu } - i e A _ { \mu } - g A _ { \mu } ^ { B } I ^ { B } \right) + m \right] \Psi ( x ) - \frac 1 4 \mathcal { F } _ { \mu \nu } ^ { 2 } - \frac 1 4 \left( F _ { \mu \nu } ^ { B } \right) ^ { 2 }
{ \left[ \begin{array} { l } { y _ { t } } \\ { y _ { t - 1 } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l } { c } \\ { 0 } \end{array} \right] } + { \left[ \begin{array} { l l } { A _ { 1 } } & { A _ { 2 } } \\ { I } & { 0 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { y _ { t - 1 } } \\ { y _ { t - 2 } } \end{array} \right] } + { \left[ \begin{array} { l } { e _ { t } } \\ { 0 } \end{array} \right] } ,
\begin{array} { r l r } { H _ { \mathrm { L M } } = } & { - } & { \int d \boldsymbol r ^ { 3 } \hat { \boldsymbol P } ( \boldsymbol r ) \cdot \hat { \boldsymbol D } ^ { \perp } ( \boldsymbol r ) - \int d \boldsymbol r ^ { 3 } \hat { \boldsymbol M } ( \boldsymbol r ) \cdot \hat { \boldsymbol B } ( \boldsymbol r ) } \\ & { + } & { \sum _ { i j } \frac { 1 } { 2 m _ { i j } c ^ { 2 } } \left[ \int d \boldsymbol r ^ { 3 } \left[ \hat { n } _ { i j } ( \boldsymbol r ) \times \hat { B } ( \boldsymbol r ) \right] \right] ^ { 2 } . } \end{array}
\langle \Psi ( t ) | ( | e \rangle _ { n _ { 0 } } \langle e | + | g \rangle _ { n _ { 0 } } \langle g | ) | \Psi ( t ) \rangle = | \varPsi _ { n _ { 0 } } ^ { e } | ^ { 2 } + | \varPsi _ { n _ { 0 } } ^ { g } | ^ { 2 } \equiv 1 .
\begin{array} { r } { \bigg [ \frac { | U | ^ { 2 } - 3 T + 3 } { 3 \rho } \frac { U _ { 1 } } { \rho ^ { 3 } } - \frac { 2 } { 3 } \frac { U } { \rho } \cdot \frac { v - U } { T } \left( \left( - \frac { U _ { 1 } } { \rho ^ { 2 } } + \frac { v _ { 1 } - U _ { 1 } } { \rho T } \right) \right) - \frac { 2 } { 3 } \frac { U _ { 1 } } { \rho } \left( - \left( \frac { 1 } { \rho ^ { 2 } } + \frac { 1 } { \rho T } \right) \right) } \\ { + \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } \frac { 1 } { \rho } \left( - \frac { v _ { 1 } - U _ { 1 } } { \rho T ^ { 2 } } + \left( - \frac { U _ { 1 } } { \rho ^ { 2 } } + \frac { v _ { 1 } - U _ { 1 } } { \rho T } \right) \left( - \frac { 3 } { 2 } \frac { 1 } { T } + \frac { | v - U | ^ { 2 } } { 2 T ^ { 2 } } \right) \right) \bigg ] \mathcal { M } ( F ) . } \end{array}
a _ { 3 } = g _ { A } = \mathrm { { F + D } = 1 . 2 6 7 0 ~ \pm ~ 0 . 0 0 3 5 , ~ ~ ~ a _ { 8 } = 3 \mathrm { { F - D } = 0 . 5 8 5 ~ \pm ~ 0 . 0 2 5 ~ . } }
\begin{array} { r l } & { \int _ { \mathrm { G L } _ { n } ( F ) \cap \mathrm { M a t } _ { n } ( \mathcal { O } _ { F } ) } \int _ { b , c , d , z } l _ { T } ( \pi ( m ( a ) ) v _ { 0 } ) \chi _ { T } ( \operatorname* { d e t } a ) | \operatorname* { d e t } a | ^ { - \frac { 3 n } { 2 } - 1 } \psi ^ { - 1 } ( \mathrm { t r } ( 4 T ^ { 2 } z ) ) } \\ { \times } & { f _ { \mathcal { W } ( \tau \otimes \chi _ { T } , n , \psi ^ { - 1 } ) , s } ^ { 0 } \left( \left[ \begin{array} { c c c c c c } { 1 _ { n } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 _ { n } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 _ { ( k - 2 ) n } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { b } & { c } & { d } & { 1 _ { ( k - 2 ) n } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { z } & { c ^ { \ast } } & { 0 } & { 1 _ { n } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { b ^ { \ast } } & { 0 } & { 0 } & { 1 _ { n } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c c c } { a } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 _ { 2 n ( k - 1 ) } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \hat { a } } \end{array} \right] \right) d u d a . } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l r l r l } { { 4 } 2 x } & { + } & { y } & { - } & { z } & { = } & { 8 } & { } \\ & { } & { { \frac { 1 } { 2 } } y } & { + } & { { \frac { 1 } { 2 } } z } & { = } & { 1 } & { } \\ & { } & { 2 y } & { + } & { z } & { = } & { 5 } & { } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \phi _ { L } ^ { ( 1 ) } } & { { } = \frac { \widetilde v _ { 1 } - \widetilde v _ { - 1 } } { 2 h } \approx \sum _ { j = 0 } ^ { n _ { n b } } c _ { j , 0 } ^ { - } v _ { j } , \quad c _ { j , 0 } ^ { - } = \frac { - { b } _ { - 1 , j } + { b } _ { 1 , j } } { 2 h } , } \\ { \phi _ { R } ^ { ( p ) } } & { { } = \frac { \widetilde v _ { N + 1 } - \widetilde v _ { N - 1 } } { 2 h } \approx \sum _ { j = 0 } ^ { n _ { n b } } c _ { j , p } ^ { + } v _ { N - j } , \quad c _ { j , p } ^ { + } = \frac { - { b } _ { N - 1 , N - j } + { b } _ { N + 1 , N - j } } { 2 h } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { \mathrm { M C C S } } ^ { \mathrm { \tiny ~ P F - S A } } ( } & { { \bf d } _ { \cal A } ; N _ { 1 } ) = } \\ & { \sum _ { s = 0 } ^ { A - 1 } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { \widetilde N ( { \bf d } _ { \cal A } ) } \binom { A - i } { s } - \sum _ { i = 1 } ^ { \widetilde N ( { \bf d } _ { { \cal A } _ { 2 } } ) } \binom { A _ { 2 } - i } { s } \right) } \\ & { \ \cdot \left( \frac { M } { N _ { 1 } F } \right) ^ { s } \left( 1 - \frac { M } { N _ { 1 } F } \right) ^ { A - s } \! \! F + \widetilde N ( { \bf d } _ { { \cal A } _ { 2 } } ) F . } \end{array}
{ \frac { d { \cal U } } { d r } } = - { \frac { 1 } { 4 } } q \left( r \right) ^ { \Lambda \Sigma } { \frac { e ^ { \cal U } } { r ^ { 2 } } } C ^ { a b } \mathrm { I m } { \cal N } _ { \Lambda \Sigma , \Gamma \Delta } f _ { ~ ~ a b } ^ { \Gamma \Delta } \, ,
A _ { \mu } \; = \; - A _ { \mu } ^ { \dagger } \; \equiv \; \left\{ \begin{array} { c } { { i { \mathcal A } _ { \mu } \; \; \mathrm { i n \, t h e \, A b e l i a n \, c a s e } } } \\ { { { \mathcal A } _ { \mu } ^ { a } \tau _ { a } \; \; \mathrm { i n \, t h e \, n o n \, A b e l i a n \, c a s e } } } \end{array} \right. \; ,
\begin{array} { r l r } { \# A _ { x } ( \mathbf { F } _ { q ^ { n } } ) } & { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { n x } } \# C _ { x i } ( \mathbf { F } _ { q ^ { n } } ) - \sum _ { 1 \leq i < j \leq N _ { n } } \# ( C _ { x i } \cap C _ { x j } ) ( \mathbf { F } _ { q ^ { n } } ) } \\ & { = } & { N _ { n x } ( 1 + q ^ { n } ) - \sum _ { 1 \leq i < j \leq N _ { n x } } C _ { x i } \cdot C _ { x j } } \\ & { = } & { 1 + N _ { n x } q ^ { n } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { S ^ { 1 } \gamma _ { g _ { 1 } } ( c ) } \mathbf { e } _ { 1 } \omega ~ \mathrm { d } \lambda _ { 1 } } & { = \int _ { S ^ { 1 } \gamma _ { g _ { 1 } } ( c ) } \alpha = \int _ { \phi ( S ^ { 1 } \gamma _ { g _ { 2 } } ( c ) ) } \alpha = \int _ { \phi ( S ^ { 1 } \gamma _ { g _ { 2 } } ( c ) ) } \mathbf { e } _ { 1 } \omega ~ \mathrm { d } \lambda _ { 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { q ( x , t ) = - \frac { 1 } { 2 } \frac { \sqrt { 3 } k _ { 0 } \omega ^ { 2 } e ^ { \frac { i } { 2 } \left( \sqrt { 3 } k _ { 0 } ( x - k _ { 0 } t ) + \arg ( e _ { 1 } ) + \frac { \pi } { 6 } \right) } } { \sin \left( \frac { 3 } { 2 } \left( \sqrt { 3 } k _ { 0 } ( x - k _ { 0 } t ) + \arg ( e _ { 1 } ) + \frac { \pi } { 6 } \right) \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | A | ^ { \frac { r } { 2 } } \in \mathscr { S } _ { 2 } ( L ^ { 2 } ( G ) ) } & { \Longleftrightarrow K _ { | A | ^ { \frac { r } { 2 } } } ( x , y ) \in L ^ { 2 } ( G \times G ) } \\ & { \Longleftrightarrow \smallint _ { G } \smallint _ { G } | R _ { A } ( x , y ) | ^ { 2 } \textnormal { d } y \textnormal { d } x < \infty } \\ & { \Longleftrightarrow \smallint _ { G } \sum _ { [ \xi ] \in \widehat { G } } d _ { \xi } \Vert \sigma _ { | A | ^ { \frac { r } { 2 } } } ( x , [ \xi ] ) \| _ { \textnormal { H S } } ^ { 2 } \textnormal { d } x < \infty . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { n } u } & { = \partial _ { n } ( u _ { \parallel } g + u _ { \perp } g ^ { \perp } ) = u _ { \parallel } \partial _ { n } g + \partial _ { n } u _ { \parallel } g + u _ { \perp } \partial _ { n } g ^ { \perp } + \partial _ { n } u _ { \perp } g ^ { \perp } , } \\ { \partial _ { \tau } u } & { = \partial _ { \tau } ( u _ { \parallel } g + u _ { \perp } g ^ { \perp } ) = u _ { \parallel } \partial _ { \tau } g + \partial _ { \tau } u _ { \parallel } g + u _ { \perp } \partial _ { \tau } g ^ { \perp } + \partial _ { \tau } u _ { \perp } g ^ { \perp } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \theta _ { i , 1 } } & { { } = \frac { \phi _ { i - 1 } ^ { i - 1 } ( 0 ) } { \prod _ { j = 0 } ^ { i - 1 } R _ { j } } , } \\ { \theta _ { i , 2 } } & { { } = \frac { \phi _ { i - 2 } ^ { i - 1 } ( 0 ) } { \prod _ { j = 1 } ^ { i - 1 } R _ { j } } . } \end{array}
A _ { \gamma } = - 2 ( \beta ^ { 3 } - 1 ) ( \mathfrak { c } _ { \gamma } + \mathfrak { c } _ { \gamma } ^ { \prime } ) + 4 ( \beta ^ { 6 } - 1 ) \mathfrak { c } _ { \gamma } ^ { \prime \prime } + 6 ( \mathfrak { c } _ { \gamma } + \mathfrak { c } _ { \gamma } ^ { \prime } ) B _ { \gamma } - 1 2 \mathfrak { c } _ { \gamma } ^ { \prime \prime } B _ { \gamma } ( 2 \beta ^ { 3 } - 3 B _ { \gamma } ) - 1 2 \mathfrak { c } _ { \gamma } ^ { 2 } \gamma ^ { 6 } \beta ^ { 5 } .
T : = \operatorname* { s u p } _ { | | l _ { 1 } | | _ { { \cal { H } } } = 1 , | | l _ { 2 } | | _ { { \cal { H } } } = 1 } \operatorname* { s u p } _ { s \in \mathbb { R } , t \in \mathbb { R } } | f _ { ( \langle l _ { 1 } , X \rangle _ { { \cal { H } } } , \langle l _ { 2 } , Y \rangle _ { { \cal { H } } } ) } ( s , t ) - f _ { \langle l _ { 1 } , X \rangle _ { { \cal { H } } } } ( s ) f _ { \langle l _ { 2 } , Y \rangle _ { { \cal { H } } } } ( t ) | .
\begin{array} { r l } { G \times G } & { \to H , } \\ { ( g _ { 1 } , g _ { 2 } ) } & { \mapsto g _ { 1 } \times g _ { 2 } = \mathrm { d i a g } [ g _ { 1 } , . . . , g _ { 1 } , \left[ \begin{array} { c c c } { g _ { 1 , 1 } } & { 0 } & { g _ { 1 , 2 } } \\ { 0 } & { g _ { 2 } } & { 0 } \\ { g _ { 1 , 3 } } & { 0 } & { g _ { 1 , 4 } } \end{array} \right] , \hat { g } _ { 1 } , . . . , \hat { g } _ { 1 } ] } \end{array}
N _ { i j } ^ { p } = R H S ( r ^ { p } , N _ { i j } ^ { p } ) = \frac { \epsilon } { 2 } \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { K } \alpha _ { k } ^ { 2 } \lambda _ { i j , k } ^ { 0 } P _ { i j , k } \left( 1 - P _ { i j , k } \right) \left( 1 - 2 P _ { i j , k } \right) } { \sum _ { k = 1 } ^ { K } \alpha _ { k } \lambda _ { i j , k } ^ { 0 } P _ { i j , k } \left( 1 - P _ { i j , k } \right) } .
f _ { \mathrm { R } } ( \mathbf { v } ) = \frac { 1 } { ( 2 \pi \sigma _ { v } ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } N _ { \mathrm { R , e s c } } } \exp { \left( - \frac { | \mathbf { v } | ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { v } ^ { 2 } } \right) } \Theta ( v _ { \mathrm { e s c } } - | \mathbf { v } | ) ,
{ \biggl [ } \int _ { 0 } ^ { \infty } \exp ( - x ^ { 2 } ) \, \mathrm { d } x { \biggr ] } ^ { 2 } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { \infty } 2 x \exp ( - x ^ { 2 } ) \exp ( - x ^ { 2 } y ^ { 2 } ) \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } y = \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { \infty } 2 x \exp { \bigl [ } - x ^ { 2 } ( y ^ { 2 } + 1 ) { \bigr ] } \, \mathrm { d } x \, \mathrm { d } y =
[ \psi _ { i , \lambda } ( \boldsymbol { r } ) , \hat { \psi } _ { j , \lambda ^ { \prime } } ^ { \dagger } ( \boldsymbol { r } ^ { \prime } ) ] = \delta _ { i j } \delta _ { \lambda \lambda ^ { \prime } } \delta ( \boldsymbol { r } - \boldsymbol { r } ^ { \prime } )
\operatorname { E } S _ { \alpha } ( X ) = - \gamma - { \frac { \beta } { \alpha } } { \Big ( } ( 1 - \alpha ) ^ { - 1 / k } - 1 { \Big ) } ^ { 1 / c } { \Big [ } \alpha - 1 + { _ { 2 } F _ { 1 } } { \Big ( } { \frac { 1 } { c } } , k ; 1 + { \frac { 1 } { c } } ; 1 - ( 1 - \alpha ) ^ { - 1 / k } { \Big ) } { \Big ] }
G _ { i j j } ( p ) = \mu ^ { 4 \epsilon } \int \frac { d ^ { d } k } { ( 2 \pi ) ^ { d } } \int \frac { d ^ { d } q } { ( 2 \pi ) ^ { d } } \frac { 1 } { \left[ k ^ { 2 } - \Omega _ { i } ^ { 2 } + i \epsilon \right] \left[ q ^ { 2 } - \Omega _ { j } ^ { 2 } + i \epsilon \right] \left[ ( p - k - q ) ^ { 2 } - \Omega _ { j } ^ { 2 } + i \epsilon \right] } \; .
\begin{array} { r l } { \sigma ( J _ { f } , M _ { f } , q ) } & { { } = \xi \sum _ { m _ { s } } \int \mathrm { d } \Omega _ { k } | \langle J _ { f } M _ { f } | \langle \psi _ { c } | \hat { D } _ { q } | 0 0 \rangle | ^ { 2 } } \end{array} ,
\mathbf { S } ^ { - } = i \rho c _ { \mathrm { S } } ^ { 2 } \left[ \begin{array} { l l } { k _ { \mathrm { S } } ^ { 2 } - 2 k _ { x } ^ { 2 } } & { - 2 k _ { x } k _ { \mathrm { S } z } } \\ { - 2 k _ { x } k _ { \mathrm { L } z } } & { - ( k _ { \mathrm { S } } ^ { 2 } - 2 k _ { x } ^ { 2 } ) } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { | \hat { P } ( X ^ { \prime } \mid d o ( X = 1 ) ) - P ( X ^ { \prime } \mid d o ( X = 1 ) ) | } & { \le \sqrt { \frac { 2 } { D _ { a } ( t ) } \log \frac { 4 n ^ { 2 } t ^ { 2 } } { \delta } } } \\ { | \hat { P } ( X ^ { \prime } \mid d o ( X = 0 ) - P ( X ^ { \prime } \mid d o ( X = 0 ) ) | } & { \le \sqrt { \frac { 2 } { D _ { a } ( t ) } \log \frac { 4 n ^ { 2 } t ^ { 2 } } { \delta } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { 1 } } & { \le \mathbb { E } \left[ \exp \left( 2 \theta \sigma \sqrt { t } \langle \nabla U ( x ) , Z \rangle + 4 \theta \bar { c } \sigma ^ { 2 } t | Z | ^ { 2 } \right) \right] ^ { 1 / 2 } \mathbb { P } \left( | Z | ^ { 2 } \ge K \right) ^ { 1 / 2 } } \\ & { \le \prod _ { i = 1 } ^ { d } \mathbb { E } _ { Z _ { i } \sim \mathcal { N } ( 0 , 1 ) } \left[ \exp \left( 2 \theta \sigma \sqrt { t } \partial _ { i } U ( x ) Z _ { i } + 4 \theta \bar { c } \sigma ^ { 2 } t Z _ { i } ^ { 2 } \right) \right] ^ { 1 / 2 } \mathbb { P } \left( | Z | ^ { 2 } \ge K \right) ^ { 1 / 2 } . } \end{array}
\Lambda ^ { 2 } \left( g ^ { 2 } ( \nu ) , \nu \right) _ { R } = \nu ^ { 2 } \exp \left\{ - 2 \int ^ { g ( \nu ) } \, \, d g ^ { \prime } \, \frac { 1 } { [ \beta ( g ^ { \prime } ) ] _ { R } } \right\} \, ,
= \frac { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { i ^ { n } } { n ! } \langle 0 | T ( \Phi _ { i n } ( x , t ) \Phi _ { i n } ( x ^ { ' } , t ^ { ' } ) \int d ^ { 2 } x _ { 1 } { \cal L } _ { i n t } [ \Phi _ { i n } ( x _ { 1 } , t _ { 1 } ) ] \dots \int d ^ { 2 } x _ { n } { \cal L } _ { i n t } [ \Phi _ { i n } ( x _ { n } , t _ { n } ) ] ) | 0 \rangle } { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { i ^ { n } } { n ! } \langle 0 | T ( \int d ^ { 2 } x _ { 1 } { \cal L } _ { i n t } [ \Phi _ { i n } ( x _ { 1 } , t _ { 1 } ) ] \dots \int d ^ { 2 } x _ { n } { \cal L } _ { i n t } [ \Phi _ { i n } ( x _ { n } , t _ { n } ) ] ) | 0 \rangle } \quad .
\begin{array} { r l } { \vert u _ { 1 } \vert } & { \le L \left( u _ { 1 } ( - d ) + \int a _ { 1 } u _ { 2 } + a _ { 2 } u _ { 3 } + \frac { 1 + s ^ { 2 } } { 1 + d ^ { 2 } } \exp ( - \kappa _ { k _ { 0 } } ( s - \tau + \frac 1 3 ( s ^ { 3 } - \tau ^ { 3 } ) ) ) j ( - d ) \right) } \\ & { \le 2 L ( c \eta ) ^ { - \gamma _ { 2 } } M + L \frac 1 \eta ( 1 + \eta ^ { - 2 } ) ( 7 \pi L ( c \eta ) ^ { \gamma _ { 1 } } M + 2 M _ { 1 } ) } \\ & { + \frac L { 1 + d ^ { 2 } } \operatorname* { m i n } ( \frac 1 { \kappa _ { k _ { 0 } } } , d ^ { 3 } ) j ( k _ { 0 } , - d ) } \\ & { \le 2 L ( c \eta ) ^ { - \gamma _ { 2 } } M + L \frac 1 \eta ( 1 + \eta ^ { - 2 } ) ( 7 \pi L ( c \eta ) ^ { \gamma _ { 1 } } M + 2 M _ { 1 } ) + L \frac c \beta ( c \eta ) ^ { - \gamma _ { 2 } } M } \\ & { < 3 L ( c \eta ) ^ { - \gamma _ { 2 } } M , } \end{array}
Z ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { Z _ { s } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \operatorname* { m i n } _ { z \in \P ( \Lambda ) } | x - z | < l , } \\ { Z _ { 0 } } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { 2 \rho \, \mathcal { D } _ { d } } & { { } \rightarrow 0 \phantom { \mathcal { D } _ { d } } \quad \mathrm { ~ a ~ t ~ } \ \rho = 0 } \\ { \mathcal { D } _ { u } } & { { } \rightarrow \mathcal { D } _ { d } \phantom { 0 } \quad \mathrm { ~ a ~ t ~ } \ \rho = \rho _ { \mathrm { ~ \tiny ~ m ~ a ~ x ~ } } \, . } \end{array}
| l _ { 1 } m _ { 1 } , l _ { 2 } m _ { 2 } , l _ { 3 } m _ { 3 } \rangle \equiv Y _ { l _ { 1 } } ^ { m _ { 1 } } ( \theta _ { 1 } , \phi _ { 1 } ) Y _ { l _ { 2 } } ^ { m _ { 2 } } ( \theta _ { 2 } , \phi _ { 2 } ) Y _ { l _ { 3 } } ^ { m _ { 3 } } ( \theta _ { 3 } , \phi _ { 3 } ) ,
\begin{array} { r l } { \left\Vert \frac { d w } { d s } \right\Vert _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } } & { \leq 4 \nu ^ { 2 } \| \Delta w ( s ) \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + \frac { c M _ { 1 } M _ { 2 } } { \lambda _ { 1 } ^ { 1 / 2 } } \| w ( s ) \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } + c M _ { 0 } M _ { 1 } \| w ( s ) \| _ { H ^ { 1 } } \| \Delta w ( s ) \| _ { L ^ { 2 } } } \\ & { \quad + \frac { c } { \lambda _ { 1 } \nu ^ { 2 } } \| w \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 6 } + \mu ^ { 2 } \| I _ { h , \kappa } ( w ) - w \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } \| w \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } } \\ & { \leq 5 \nu ^ { 2 } \| \Delta w ( s ) \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + \left( \frac { c M _ { 1 } M _ { 2 } } { \lambda _ { 1 } ^ { 1 / 2 } } + \frac { c M _ { 0 } ^ { 2 } M _ { 1 } ^ { 2 } } { \nu ^ { 2 } } + \frac { \mu \nu } { 4 } + \frac { \mu ^ { 2 } } { \lambda _ { 1 } } + \frac { c } { \lambda _ { 1 } \nu ^ { 2 } } \| w \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 4 } \right) \| w ( s ) \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } } \\ & { \quad + c \mu ^ { 2 } \tau \int _ { t _ { n } } ^ { t } \left\| \frac { d w ( s ) } { d s } \right\| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } d s , } \end{array}
V = \mathrm { ~ F ~ F ~ T ~ } ^ { - 1 } \left[ \mathrm { ~ F ~ F ~ T ~ } \left( \frac { \partial w ( \tilde { \phi } ( \mathbf { r } ) ) } { \partial \tilde { \phi } } \right) \mathrm { ~ F ~ F ~ T ~ } ( \mathcal { G } ) \right] .
T ( t ) \approx D _ { 1 } ( k ) ( t S ( t ) ) ^ { - 1 / 2 } \exp \left[ - i \int ^ { t } S ( t ^ { \prime } ) d t ^ { \prime } \right] + D _ { 2 } ( k ) ( t S ( t ) ) ^ { - 1 / 2 } \exp \left[ i \int ^ { t } S ( t ^ { \prime } ) d t ^ { \prime } \right] .
g _ { ( \sigma , \xi ) } ( y ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { { \frac { e ^ { y } } { \sigma } } { \bigg ( } 1 + { \frac { \xi e ^ { y } } { \sigma } } { \bigg ) } ^ { - 1 / \xi - 1 } \, \, \, \, { \mathrm { f o r ~ } } \xi \neq 0 , } \\ { { \frac { 1 } { \sigma } } e ^ { y - e ^ { y } / \sigma } \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, { \mathrm { f o r ~ } } \xi = 0 , } \end{array} \right. }
\gamma _ { 1 } = \frac { z _ { 1 2 } } { z _ { 1 1 } + z _ { 1 2 } } \; \; \; \; \; \; \; \; \; \gamma _ { 2 } = \frac { z _ { 2 1 } } { z _ { 2 2 } + z _ { 2 1 } }