harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { l } { \displaystyle { z ( x ) = c ( x ) - \frac { 1 } { 2 } = \pm \frac { D } { \sqrt { 2 } } \, \mathrm { t h } \bigg ( \frac { D } { \sqrt { 2 } } \frac { x } { \xi } \bigg ) , } } \end{array}
\begin{array} { r } { { \cal T } ^ { \prime } { } ^ { < a _ { 1 } . . . a _ { \ell } > } = { \cal T } ^ { < b _ { 1 } . . . b _ { \ell } > } R _ { b _ { 1 } } ^ { a _ { 1 } } . . . R _ { b _ { \ell } } ^ { a _ { \ell } } . } \end{array}
\begin{array} { c } { { \omega _ { a f t e r } ( A \mathcal { ) = } \omega _ { b e f o r e } ( P A P ) + \omega _ { b e f o r e } ( \left( 1 - P \right) A \left( 1 - P \right) ) \, , \, \, } } \\ { { \, \, \, A \mathcal { \in A } , \, \, \mathrm { a l g e b r a ~ o f ~ o b s e r v a b l e s ~ } } } \end{array}
S _ { 2 1 } = 1 + \frac { \gamma _ { c } } { [ i ( \omega - \omega _ { c } ) - ( \alpha _ { c } + \gamma _ { c } ) ] - \frac { ( i J - \Gamma ) ^ { 2 } } { i ( \omega - \omega _ { m } ) - ( \alpha _ { m } + \gamma _ { m } ) } }
\begin{array} { r l r } { \| \nabla \cdot \varphi _ { 3 } V _ { 3 } ( \varphi ) \nu - \nabla \cdot \upsilon _ { 3 } V _ { 3 } ( \upsilon ) \nu \| } & { \leq } & { | \Omega | M _ { V _ { 3 } } \left( \left( 1 + \| \varphi \| \right) \| \nabla ( \varphi _ { 3 } - \upsilon _ { 3 } ) \| _ { \infty } + \| \nabla \varphi \nu \| \| \varphi _ { 3 } - \upsilon _ { 3 } \| _ { \infty } \right) } \\ & { } & { + | \Omega | M _ { V _ { 3 } } \left( \| \varphi - \upsilon \| \| \nabla \upsilon _ { 3 } \nu \| _ { \infty } + \| \upsilon _ { 3 } \| _ { \infty } \| \nabla ( \varphi - \upsilon ) \nu \| \right) , } \end{array}
d \mathbf { X } _ { t } = d { \left( \begin{array} { l } { X _ { t } ^ { 1 } } \\ { X _ { t } ^ { 2 } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { \mu _ { t } ^ { 1 } } \\ { \mu _ { t } ^ { 2 } } \end{array} \right) } d t + { \left( \begin{array} { l } { \sigma _ { t } ^ { 1 } } \\ { \sigma _ { t } ^ { 2 } } \end{array} \right) } \, d B _ { t }
E _ { n } = { \sqrt { \left( \mathbf { p } _ { n } c \right) ^ { 2 } + \left( m _ { n } c ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } } \, , \quad E _ { k } = { \sqrt { \left( \mathbf { p } _ { k } c \right) ^ { 2 } + \left( m _ { k } c ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } } \, ,
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ t ~ r ~ } [ \Delta \ensuremath { \mathbf { G } } ^ { ( 1 ) } ( x , x ; \ensuremath { \mathrm { ~ i ~ } } u ) ] = - \frac { Z } { 4 c ^ { 2 } } e ^ { - 2 \kappa ( \ensuremath { \mathrm { ~ i ~ } } u ) | x | } \left( 2 + g ( \ensuremath { \mathrm { ~ i ~ } } u ) ^ { 2 } + g ( - \ensuremath { \mathrm { ~ i ~ } } u ) ^ { 2 } \right) , } \end{array}
n _ { X } = \frac { 1 } { 2 \pi ^ { 2 } a ^ { 3 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d k \ k ^ { 2 } \left| \beta _ { k } \right| ^ { 2 } = \frac { M _ { X } ^ { 3 } } { 2 \pi ^ { 2 } a ^ { 3 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d q \ q ^ { 2 } \left| \beta _ { q } \right| ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \mu } & { = \frac { 1 } { 4 } \left( \delta _ { ( x _ { 1 } , x _ { 1 } , x _ { 1 } ) } + \delta _ { ( x _ { 1 } , x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } + \delta _ { ( x _ { 2 } , x _ { 1 } , x _ { 1 } ) } + \delta _ { ( x _ { 2 } , x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } \right) } \\ { \nu } & { = \frac { 1 } { 4 } \left( \delta _ { ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 1 } ) } + \delta _ { ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 2 } ) } + \delta _ { ( x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 1 } ) } + \delta _ { ( x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 2 } ) } \right) } \\ { \eta } & { = \frac { 1 } { 4 } \left( \delta _ { ( x _ { 3 } , x _ { 4 } , x _ { 3 } ) } + \delta _ { ( x _ { 3 } , x _ { 4 } , x _ { 4 } ) } + \delta _ { ( x _ { 4 } , x _ { 4 } , x _ { 3 } ) } + \delta _ { ( x _ { 4 } , x _ { 4 } , x _ { 4 } ) } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { T } \biggl \{ \left| b ( t , Y ( t ) , \alpha ( t ) , u _ { 1 } ( t ) , u _ { 2 } ( t ) ) \right| + \left| \sigma ( t , Y ( t ) , \alpha ( t ) , u _ { 1 } ( t ) , u _ { 2 } ( t ) ) \right| ^ { 2 } } \\ & { \quad + \int _ { \mathbb { R } _ { 0 } } \left| \eta ( t , Y ( t - ) , \alpha ( t - ) , u _ { 1 } ( t - ) , u _ { 2 } ( t - ) , z ) \right| ^ { 2 } \nu ( d z ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } g ( \eta , t ) a \textup { d } \eta } & { = \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } g ( \eta , t ) a \textup { d } \eta - \frac { 2 } { 3 } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } g ( \eta , t ) a \textup { d } \eta + ( 1 - \gamma ) \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } r ( \eta ) ( c _ { 0 } v ^ { \frac { 2 } { 3 } } - a ) g ( \eta , t ) \textup { d } \eta } \\ & { \geq \frac { 1 } { 3 } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } g ( \eta , t ) a \textup { d } \eta - ( 1 - \gamma ) R _ { 1 } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } a ^ { - | \mu | + 1 } v ^ { \sigma } g ( \eta , t ) \textup { d } \eta . } \end{array}
\langle 0 | \hat { \mathrm { ~ \bf ~ j ~ } } _ { \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } } | n \rangle = \int d ^ { 3 } r \; e ^ { - i \mathrm { ~ \bf ~ k ~ } \cdot \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } } \langle 0 | \hat { \mathrm { ~ \bf ~ j ~ } } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) | n \rangle
\begin{array} { r l r } { \delta a } & { { } = } & { \iiiint _ { \mathcal W } \left\{ \ \left( - \frac { 1 } { 2 } { \boldsymbol v } ^ { 2 } + \alpha + \rho \, \frac { \partial \alpha } { \partial \rho } + \Omega \right) \, \mathrm { ~ d ~ i ~ v ~ } \, ( \rho \, \tilde { \delta } \boldsymbol { x } ) \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| w } & { - I _ { H } ^ { h } w _ { 0 } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } } \\ & { \lesssim \| w - E _ { h } w \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } + \| E _ { h } w - J _ { H } ( E _ { h } w ) \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } + \| J _ { H } ( E _ { h } w ) - I _ { H } ^ { h } J _ { H } ( E _ { h } w ) \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } ^ { 2 } } \\ & { \lesssim \left( h ^ { 4 } + C ( H , h ) H ^ { 4 } \right) \| w \| _ { h } ^ { 2 } \lesssim C ( H , h ) H ^ { 4 } \| w \| _ { h } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda _ { D } ( { \mathcal { G } } ) } & { = \operatorname* { i n f } _ { \psi \in C _ { + } ^ { 2 } ( D ) } \, \operatorname* { s u p } _ { \mu \in { \mathcal { P } } ( D ) } \int _ { D } \frac { { \mathcal { G } } \psi } { \psi } \, \mathrm { d } \mu } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { \psi \in C _ { + } ^ { 2 } ( D ) \cap C _ { 0 } ( D ) } \, \operatorname* { i n f } _ { \mu \in { \mathcal { P } } ( D ) } \int _ { D } \frac { { \mathcal { G } } \psi } { \psi } \, \mathrm { d } \mu . } \end{array}
s _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { C C P } } } = \sqrt [ 2 \xi ] { \lambda ^ { 2 } + \eta ^ { 2 } } \, \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \frac { 1 - \frac { 1 } { \pi } \arctan \frac { \eta } { \lambda } } { \xi } \pi } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \bar { s } _ { \scriptscriptstyle { \mathrm { C C P } } } = \sqrt [ 2 \xi ] { \lambda ^ { 2 } + \eta ^ { 2 } } \, \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } \frac { 1 - \frac { 1 } { \pi } \arctan \frac { \eta } { \lambda } } { \xi } \pi } ,
\begin{array} { r l r l r l } { { \mathrm { ( 3 + 1 ) } } } & { { } { { } : \: } } & { { d _ { \alpha } } } & { { } { { } = | U _ { \alpha 4 } | ^ { 2 } \, , \quad } } & { { A _ { \mu ; e } } } & { { } { { } = 4 \, | U _ { e 4 } | ^ { 2 } | U _ { \mu 4 } | ^ { 2 } \, , } } \\ { { \mathrm { ( 2 + 2 ) } } } & { { } { { } : \: } } & { { d _ { \alpha } } } & { { } { { } = | U _ { \alpha 1 } | ^ { 2 } + | U _ { \alpha 4 } | ^ { 2 } \, , \quad } } & { { A _ { \mu ; e } } } & { { } { { } = 4 \, \left| U _ { e 1 } U _ { \mu 1 } ^ { * } + U _ { e 4 } U _ { \mu 4 } ^ { * } \right| ^ { 2 } \, . } } \end{array}
P _ { t } : = \{ x _ { t } \in \mathcal { X } _ { t } | \exists x _ { 0 } \in \mathcal { X } _ { 0 } , w _ { 0 : t - 1 } \in \prod _ { \ell = 0 } ^ { t - 1 } \mathcal { W } _ { \ell } , n _ { 0 : t } \in \prod _ { \ell = 0 } ^ { t } \mathcal { N } _ { \ell } \mathrm { ~ s u c h ~ t h a t ~ } y _ { t } = h _ { t } ( x _ { t } , n _ { t } ) , x _ { \ell + 1 } = f _ { \ell } ( x _ { \ell } , u _ { \ell } , w _ { \ell } ) ,
d s ^ { 2 } = e ^ { - 2 V } ( - f d t ^ { \prime } { } ^ { 2 } + d z ^ { \prime } { } ^ { 2 } ) + e ^ { 4 V } ( f ^ { - 1 } d \rho ^ { 2 } + \rho ^ { 2 } d \Omega _ { 2 } ^ { 2 } ) .
v _ { i } \vert _ { _ { D S R 1 } } = \frac { 2 \lambda p _ { i } } { 1 - e ^ { - 2 \lambda p _ { 0 } } + \lambda ^ { 2 } p ^ { 2 } } \; , \; \; \; v _ { i } \vert _ { _ { D S R 2 } } = v _ { i } \vert _ { _ { E x a m p l e } } = \frac { p _ { i } } { p _ { 0 } } \; .
{ ^ { A A } \! G ^ { T } } ( x , y ) = \theta ( y - x ) \left( { ^ { A A } h ^ { T } } + \Delta { ^ { A A } h ^ { T } } \right) ( x , y ) + \theta ( y - \bar { x } ) \left( { ^ { A A } \bar { h } ^ { T } } + \Delta { ^ { A A } \bar { h } ^ { T } } \right) ( x , y ) ,
I _ { 1 } = m ^ { 2 } \int \frac { d ^ { d } k _ { 1 } } { i \pi ^ { d / 2 } } \frac { 1 } { [ ( k _ { 1 } + p _ { 1 } ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } ] [ ( k _ { 1 } + p _ { 2 } ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } ] [ k _ { 1 } ^ { 2 } - m ^ { 2 } ] } .
\begin{array} { r l r l } & { \textit { d i s c r e t i z e d a d j o i n t e q u a t i o n : } \quad } & { a _ { s } ^ { * } \left( z ^ { \mathcal { N } } , p ^ { \mathcal { N } } \right) + \big ( y ^ { \mathcal { N } } - y _ { d } , z ^ { \mathcal { N } } \big ) _ { s } = 0 , \quad } & { \forall z ^ { \mathcal { N } } \in Y ^ { \mathcal { N } } , } \\ & { \textit { d i s c r e t i z e d g r a d i e n t e q u a t i o n : } \quad } & { b ^ { * } \big ( v ^ { \mathcal { N } } , p ^ { \mathcal { N } } \big ) + \alpha n \big ( u ^ { \mathcal { N } } , v ^ { \mathcal { N } } \big ) = 0 , \quad } & { \forall v ^ { \mathcal { N } } \in U ^ { \mathcal { N } } , } \\ & { \textit { d i s c r e t i z e d s t a t e e q u a t i o n : } \quad } & { a _ { s } \left( y ^ { \mathcal { N } } , q ^ { \mathcal { N } } \right) + b _ { s } \left( u ^ { \mathcal { N } } , q ^ { \mathcal { N } } \right) = F _ { s } ( q ^ { \mathcal { N } } ) , \quad } & { \forall q ^ { \mathcal { N } } \in \left( Q ^ { \mathcal { N } } \right) ^ { * } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { - } } & { \simeq C _ { 1 } ( - \beta _ { - } ^ { 2 } ) ^ { - 1 / 2 } \left( ( i + C _ { 2 } ) \exp ( i \Phi _ { - } ) + ( - i + C _ { 2 } ) \exp ( - i \Phi _ { - } ) \right) } \\ & { = C _ { 1 } ( i + C _ { 2 } ) ( - \beta _ { + } ^ { 2 } ) ^ { - 1 / 2 } \left( \exp ( i \Phi _ { - } ) + \frac { - i + C _ { 2 } } { i + C _ { 2 } } \exp ( - i \Phi _ { - } ) \right) } \\ & { = C _ { 1 } ( i + C _ { 2 } ) ( - \beta _ { + } ^ { 2 } ) ^ { - 1 / 2 } \left( \exp ( i \Phi _ { - } ) + e ^ { - \pi / 3 } \exp ( - i \Phi _ { - } ) \right) . } \end{array}
\overline { { \mathsf { W } } } = \hat { \mathsf { W } } _ { 0 } + \frac { 1 } { 4 } \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { ~ w ~ } } ^ { \dagger } \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { ~ O ~ } } + \mathrm { ~ c ~ . ~ c ~ . ~ } \, , \qquad \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { ~ w ~ } } = \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { ~ O ~ } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ I ~ O ~ } } ^ { \dagger } \mathbf { A } ^ { \dagger } \mathbf { F } _ { \mathrm { ~ I ~ } } \, , \qquad \hat { \mathsf { W } } _ { 0 } = - \frac { 1 } { 4 } \mathbf { F } _ { \mathrm { ~ I ~ } } ^ { \dagger } \mathbf { A } \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { ~ I ~ } } \, .
\begin{array} { r l } { \operatorname { d i v } \left( \frac { ( Y + Z ) Z ^ { h } } { X { ( Y - Z ) } ^ { h } } \right) } & { = ( 2 O ^ { \prime } + 2 \Omega _ { 1 } + 2 h \Omega _ { 1 } + 2 h \Omega _ { 2 } ) - ( O + O ^ { \prime } + 2 \Omega _ { 2 } + 2 h O + 2 h \Omega _ { 1 } ) = } \\ & { = O ^ { \prime } + 2 \Omega _ { 1 } + ( 2 h - 2 ) \Omega _ { 2 } - ( 2 h + 1 ) O , } \end{array}
\hat { f } ^ { \prime } = \sum _ { i = 1 } ^ { k + 1 } l _ { i } ^ { \prime } ( \xi ) f _ { i } + g _ { L } ^ { \prime } ( \xi ) ( \hat { f } ( - 1 ) - f ( - 1 ) ) + g _ { R } ^ { \prime } ( \xi ) ( \hat { f } ( 1 ) - f ( 1 ) ) .
\begin{array} { r l } { f _ { 1 , v a c } } & { { } = 0 } \\ { f _ { 2 , v a c } } & { { } = \frac { 1 } { 2 m \epsilon } ( m ^ { 2 } - \epsilon ^ { 2 } ) } \\ { f _ { 3 , v a c } } & { { } = \frac { 1 } { 2 m \epsilon } ( m ^ { 2 } + \epsilon ^ { 2 } ) } \end{array}
S ^ { v } + S ^ { l o g } = \sum _ { ( i , j ) } \left( \frac { \left( \pi _ { i j } ^ { ( l ) } \right) ^ { 2 } } { 2 s ^ { 2 } \left( l _ { i j } \right) ^ { 2 } } V _ { l } - \frac { 1 } { 2 } l o g ( w _ { l } ) \right)
\begin{array} { r l r } { S _ { X X } ^ { \mathrm { o u t } } ( \omega ) = } & { { } } & { \frac { N ^ { 2 } m } { \hbar \Omega } | \sqrt { \kappa } H _ { X F } ( \omega ) | ^ { 2 } S _ { a a } ( \omega ) + | \sqrt { \kappa } H _ { X \xi } ( \omega ) | ^ { 2 } S _ { \xi \xi } ( \omega ) + | \sqrt { \kappa } H _ { X Y } ( \omega ) | ^ { 2 } S _ { Y Y } ^ { \mathrm { i n } } ( \omega ) } \\ { S _ { Y Y } ^ { \mathrm { o u t } } ( \omega ) = } & { { } } & { \frac { N ^ { 2 } m } { \hbar \Omega } | \sqrt { \kappa } H _ { Y F } ( \omega ) | ^ { 2 } S _ { a a } ( \omega ) + | \sqrt { \kappa } H _ { Y \xi } ( \omega ) | ^ { 2 } S _ { \xi \xi } ( \omega ) + | \sqrt { \kappa } H _ { Y X } ( \omega ) | ^ { 2 } S _ { X X } ^ { \mathrm { i n } } ( \omega ) } \end{array}
{ \bf p } ^ { 0 } = - \frac { i k _ { d } ^ { 2 } } { \omega } { \bf T } \quad \mathrm { o r } \quad | { \bf p } ^ { 0 } | ^ { 2 } + \frac { k _ { d } ^ { 4 } } { \omega ^ { 2 } } | { \bf T } | ^ { 2 } = 2 \frac { k _ { d } ^ { 2 } } { \omega } \Im ( { \bf T } \cdot { \bf p } ^ { 0 * } ) .
\begin{array} { r l } { \bar { H } _ { 0 , 0 } = } & { { } \; \bar { { S } } _ { 0 , 0 } ^ { A } E _ { A } + \bar { { S } } _ { 0 , 0 } ^ { A } E _ { B } , } \\ { \boldsymbol { \bar { H } } _ { A , 0 } = } & { { } \; \boldsymbol { \bar { { S } } } _ { A , 0 } ^ { A } E _ { A } + \boldsymbol { \bar { { S } } } _ { A , 0 } ^ { A } E _ { B } , } \\ { \boldsymbol { \bar { H } } _ { 0 , A } = } & { { } \; \boldsymbol { \bar { H } } _ { 0 , A } ^ { A } + \boldsymbol { \bar { { S } } } _ { 0 , A } ^ { A } E _ { B } , } \\ { \boldsymbol { \bar { H } } _ { A , A } = } & { { } \; \boldsymbol { \bar { H } } _ { A , A } ^ { A } + \boldsymbol { \bar { { S } } } _ { A , A } ^ { A } E _ { B } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { j \in \mathbb { N } } 2 ^ { j r } | \lambda _ { j } \ast ( S _ { t } ^ { \mathbb { K } } u ) | _ { L ^ { \infty } ( \omega ) } } & { = \operatorname* { s u p } _ { j \in \mathbb { N } } 2 ^ { j r } \left| \lambda _ { j } \ast \sum _ { k = 0 } ^ { N } \psi _ { k } \ast \phi _ { k } \ast u \right| _ { L ^ { \infty } ( \omega ) } } \\ & { \leq \operatorname* { s u p } _ { j \in \mathbb { N } } 2 ^ { j r } \sum _ { k = 0 } ^ { N } | \lambda _ { j } \ast \psi _ { k } \ast \phi _ { k } \ast u | _ { L ^ { \infty } ( \omega ) } } \\ & { \leq \operatorname* { s u p } _ { j \in \mathbb { N } } 2 ^ { j ( r - s ) } 2 ^ { j s } \sum _ { k = 0 } ^ { N } | \lambda _ { j } \ast \psi _ { k } | _ { L ^ { 1 } ( - \mathbb { K } ) } | \phi _ { k } \ast u | _ { L ^ { \infty } ( \omega ) } , } \end{array}
\frac { h } { \bar { h } } \approx 1 + \frac { 1 } { \bar { h } } \frac { c ( 1 - \tilde { c } ) } { \tilde { c } ^ { 2 } } \frac { \partial \mu _ { c } } { \partial c } \frac { \partial \bar { h } } { \partial \eta }
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { T } \lambda _ { k } ( c _ { k } ) ^ { 2 } ( t ) \, \mathrm d t + \int _ { 0 } ^ { T } ( c _ { k } ^ { \prime } ) ^ { 2 } ( t ) \, \mathrm d t \leq \ } & { ( \vec { \psi } , \vec { \varphi } _ { k } ) _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { \sigma } ) } ^ { 2 } \left( \frac { 3 6 \lambda _ { k } } { \beta _ { k } ( 4 \lambda _ { k } - \beta _ { k } ^ { 2 } ) } + \frac { 6 \beta _ { k } } { 4 \lambda _ { k } - \beta _ { k } ^ { 2 } } \right) } \\ & { + 4 ( \alpha _ { k } ^ { N } ) ^ { 2 } \left( \frac { 5 \lambda _ { k } } { \beta _ { k } } + \frac { \lambda _ { k } \beta _ { k } } { 4 ( 4 \lambda _ { k } - \beta _ { k } ^ { 2 } ) } + \frac { \beta _ { k } ^ { 3 } } { 1 6 ( 4 \lambda _ { k } - \beta _ { k } ^ { 2 } ) } \right) } \\ & { + \left( \frac { 2 \lambda _ { k } } { \beta _ { k } ( 4 \lambda _ { k } - \beta _ { k } ^ { 2 } ) } + \frac { \beta _ { k } } { 4 \lambda _ { k } - \beta _ { k } ^ { 2 } } + \frac { 4 } { \beta _ { k } } \right) T \int _ { 0 } ^ { T } f _ { k } ^ { 2 } ( s ) \, \mathrm d s . } \end{array}
\Delta _ { i , 1 } ^ { c , \infty } ( { \mathcal J } ) \leq \frac { \kappa _ { 1 } U _ { w } } { N r _ { m } } \sum _ { j = 1 } ^ { N } | \mathrm { \boldmath ~ x ~ } _ { j } ^ { c } - \mathrm { \boldmath ~ x ~ } _ { j } ^ { \infty } | + \frac { \kappa _ { 1 } U _ { w } } { r _ { m } } | \mathrm { \boldmath ~ x ~ } _ { i } ^ { c } - \mathrm { \boldmath ~ x ~ } _ { i } ^ { \infty } | .
\left( \pm { \frac { 1 } { 2 } } , \pm { \frac { 1 } { 2 } } , \pm { \frac { 1 } { 2 } } , \pm { \frac { 1 } { 2 } } , \pm { \frac { 1 } { 2 } } , \pm { \frac { 1 } { 2 } } , \pm { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \right)
- 2 ( s _ { \mathrm { i m } } ( 4 s _ { \mathrm { o b } } a _ { 0 2 0 0 } a _ { 2 0 0 0 } ( a _ { 2 0 0 0 } ( 2 s _ { \mathrm { i m } } a _ { 0 2 0 0 } + 1 ) + a _ { 0 2 0 0 } ) - 2 s _ { \mathrm { i m } } a _ { 2 2 0 0 } + a _ { 1 2 1 0 } + a _ { 2 1 0 1 } ) + 2 s _ { \mathrm { o b } } a _ { 0 2 0 0 } a _ { 2 0 0 0 } )
\mathbf { G } = \mathbf { G } _ { 2 } \times \hdots \times \mathbf { G } _ { N } = \sum _ { j = 2 } ^ { N } \left[ - \frac { 1 } { p _ { j } ^ { 2 } + \mu _ { j } ^ { 2 } } \, d p _ { j } \otimes d p _ { j } + ( p _ { j } ^ { 2 } + \mu _ { j } ^ { 2 } ) \, d \psi _ { j } \otimes d \psi _ { j } \right] \, ,
{ \bf G } = { \bf G } ( { \bf R } ( t + \delta t ) , { \bf P } ) , ~ ~ { \bf F } = { \bf h } ( { \bf R } ( t + \delta t ) ) + { \bf G } , ~ ~ { \bf F } _ { 0 } ^ { \perp } = { \bf Z } ^ { T } { \bf F } { \bf Z }
\begin{array} { r l } { ( i d \otimes \omega _ { r } ) \circ \omega _ { r } } & { = ( i d \otimes ( \delta \otimes ( \delta \circ \delta ) ) ) \circ ( i d \otimes \Delta ) \circ \Delta } \\ & { = ( i d \otimes ( \delta \otimes \delta ) ) \circ ( i d \otimes \Delta ) \circ \Delta } \\ & { = ( i d \otimes \Delta ) \circ ( i d \otimes \delta ) \circ \Delta } \\ & { = ( i d \otimes \Delta ) \circ \omega _ { r } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d x _ { i } } { d t } } & { { } = f \left( a ( x _ { i } ) \right) \eta _ { i } ( t ) , } \\ { \langle \eta _ { i } ( t ) \rangle } & { { } = 0 , } \\ { \langle \eta _ { i } ( t ) \eta _ { j } ( t ^ { \prime } ) \rangle } & { { } = 2 \delta _ { i , j } \delta ( t - t ^ { \prime } ) , } \end{array}
z _ { \lambda } = x _ { \lambda } + i y _ { \lambda } , \quad f ( z _ { 1 } , \dots , z _ { n } ) = u ( x _ { 1 } , \dots , x _ { n } , y _ { 1 } , \dots , y _ { n } ) + i v ( x _ { 1 } , \dots , x _ { n } , y _ { 1 } , \dots y _ { n } ) ,
\begin{array} { r l } { K _ { 0 } ( C _ { \bullet } ( G \wr _ { * } S _ { N } ^ { + } ) ) \simeq } & { \left( K _ { 0 } ( C _ { \bullet } ( G ) \otimes \mathbb { C } ^ { N } ) ) ^ { \oplus N } \oplus K _ { 0 } ( C _ { \bullet } ( S _ { N } ^ { + } ) ) \right) / \mathrm { I m } ( \psi ) } \\ { \simeq } & { \left( K _ { 0 } ( C _ { \bullet } ( G ) ) \otimes \mathbb { Z } ^ { N ^ { 2 } } ) \oplus \mathbb { Z } ^ { N ^ { 2 } - 2 N + 2 } \right) / \left< ( [ 1 ] \otimes [ e _ { i j } ] ) - [ u _ { j i } ] , 1 \leq i , j \leq N \right> } \\ { \simeq } & { \left( K _ { 0 } ( C _ { \bullet } ( G ) ) \otimes \mathbb { Z } ^ { N ^ { 2 } } \right) / ( [ 1 ] \otimes \mathbb { Z } ^ { 2 N - 2 } ) . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \mathrm { I n t e n s i t y ~ } } ( \mathrm { W } / \mathrm { c m } ^ { 2 } ) } & { = { \frac { { \mathrm { a v e r a g e ~ p o w e r ~ } } ( \mathrm { W } ) } { { \mathrm { f o c a l ~ s p o t ~ a r e a ~ } } ( \mathrm { c m } ^ { 2 } ) } } } \\ { { \mathrm { P e a k ~ i n t e n s i t y ~ } } ( \mathrm { W } / \mathrm { c m } ^ { 2 } ) } & { = { \frac { { \mathrm { p e a k ~ p o w e r ~ } } ( \mathrm { W } ) } { { \mathrm { f o c a l ~ s p o t ~ a r e a ~ } } ( \mathrm { c m } ^ { 2 } ) } } } \\ { { \mathrm { F l u e n c e ~ } } ( \mathrm { J } / \mathrm { c m } ^ { 2 } ) } & { = { \frac { { \mathrm { l a s e r ~ p u l s e ~ e n e r g y ~ } } ( \mathrm { J } ) } { { \mathrm { f o c a l ~ s p o t ~ a r e a ~ } } ( \mathrm { c m } ^ { 2 } ) } } } \end{array} }
\begin{array} { r l r l } { H ( t , x ) } & { { } = \frac 3 2 ( 1 - x ^ { 2 } ) + C _ { 2 } \, t ^ { - ( 1 - \gamma ( n + 4 ) ) } H _ { 1 } ( x ) + O \big ( t ^ { - 2 ( 1 - \gamma ( n + 4 ) ) } \big ) } & { } & { { } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad x \in [ - 1 , 1 ] , } \\ { C _ { 2 } } & { { } = \gamma ^ { 1 - \gamma ( n + 4 ) } \, 2 ^ { n - 1 } \, 3 ^ { \frac { 6 - n - ( n + 4 ) \gamma } { 2 } } } \end{array}
D ( 1 ^ { n _ { 1 } } 2 ^ { n _ { 2 } } \ldots l ^ { n _ { 1 } } ) = D ( \overbrace { j _ { 1 } , \ldots , j _ { 1 } } ^ { n _ { 1 } } , \overbrace { j _ { 2 } , \ldots , j _ { 2 } } ^ { n _ { 2 } } , \ldots , \overbrace { j _ { l } , \ldots , j _ { l } } ^ { n _ { l } } ) ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ f ( x _ { k } ) ] \leq } & { \ \mathbb { E } [ f ( x _ { k - 1 } ) ] - \frac { \eta } { 2 } \mathbb { E } \| \nabla f ( x _ { k - 1 } ) \| ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 \eta } \mathbb { E } \| x _ { k } - x _ { k - 1 } \| ^ { 2 } + \frac { \eta } { 2 } \mathbb { E } \| \widetilde v _ { k } - \nabla f ( x _ { k - 1 } ) \| ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | r ^ { - \frac { 2 } { p } } \Omega \underline { { \omega } } | _ { p , S } ( u , { \underline { { u } } } ) } & { \lesssim | r ^ { - \frac { 2 } { p } } \Omega \underline { { \omega } } | _ { p , S } ( u , { \underline { { u } } } _ { * } ) + \int _ { { \underline { { u } } } } ^ { { \underline { { u } } } _ { * } } | r ^ { - \frac { 2 } { p } } \widehat { \underline { { F } } } | _ { p , S } + \int _ { { \underline { { u } } } } ^ { { \underline { { u } } } _ { * } } | r ^ { - \frac { 2 } { p } } \Omega \rho | _ { p , S } , } \\ { | r ^ { - \frac { 2 } { p } } \Omega \omega | _ { p , S } ( u , { \underline { { u } } } ) } & { \lesssim | r ^ { - \frac { 2 } { p } } \Omega \omega | _ { p , S } ( u _ { 0 } ( { \underline { { u } } } ) , { \underline { { u } } } ) + \int _ { u _ { 0 } ( { \underline { { u } } } ) } ^ { u } | r ^ { - \frac { 2 } { p } } \widehat { F } | _ { p , S } + \int _ { u _ { 0 } ( { \underline { { u } } } ) } ^ { u } | r ^ { - \frac { 2 } { p } } \Omega \rho | _ { p , S } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta ^ { \prime } h _ { \mathrm { e f f } } ( \Omega ) = \mathrm { R e } } & { { } \left[ 2 i k \sum _ { j \neq ( 0 , 0 ) } a _ { \mathrm { L O } } ^ { * } a _ { j } \int \frac { d ^ { 2 } x _ { \perp } } { \pi w _ { D } ^ { 2 } } \langle \mathrm { H G } _ { 0 0 } | x _ { \perp } \rangle \langle x _ { \perp } | \mathrm { H G } _ { j } \rangle \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \big \| A _ { N } ( K _ { N } ^ { 2 } + \lambda I _ { N } ) ^ { - 1 } A _ { N } ^ { * } ( F _ { N } + \pmb \varepsilon ) ^ { T } - F _ { N } ^ { T } \| _ { n } } & { \leq } & { \| U \Sigma _ { n , N } ( D _ { N } + \lambda I _ { N } ) ^ { - 1 } \Sigma _ { n , N } ^ { * } U ^ { * } F _ { N } ^ { T } - F _ { N } ^ { T } \| _ { n } } \\ & { } & { + \| U \Sigma _ { n , N } ( D _ { N } + \lambda I _ { N } ) ^ { - 1 } \Sigma _ { n , N } ^ { * } U ^ { * } \pmb \varepsilon ^ { T } \| _ { n } . } \end{array}
\rho \left( x , y \right) = 1 + 0 . 2 s i n \left( \pi \left( x + y \right) \right) , U \left( x , y \right) = \left( 1 , 1 \right) , p \left( x , y \right) = 1 , \left( x , y \right) \in \left[ 0 , 2 \right] \times \left[ 0 , 2 \right] .
\begin{array} { r l } { g _ { x } ( x ) } & { = \sqrt { 2 \pi } \bar { \Phi } ( x ) \left( ( 1 + x ^ { 2 } ) e ^ { x ^ { 2 } / 2 } \Phi ( x ) + \frac { x } { \sqrt { 2 \pi } } \right) } \\ & { \leq \frac { 1 + x ^ { 2 } } { x } \Phi ( x ) + \frac { e ^ { - x ^ { 2 } / 2 } } { \sqrt { 2 \pi } } \leq \left( \frac { 1 } { x } + x \right) + \frac { 1 } { 2 } \leq x + 2 } \end{array}
\bar { F } _ { 2 } ^ { b o x } ( \omega , Q _ { t } ^ { 2 } , Q ^ { 2 } ) = { \frac { 1 } { 2 \pi i } } \int _ { 1 / 2 - i \infty } ^ { 1 / 2 + i \infty } d \gamma \tilde { F } _ { 2 } ^ { b o x } ( \omega , \gamma ) \left( \frac { Q ^ { 2 } } { Q _ { t } ^ { 2 } } \right) ^ { \gamma }
\begin{array} { r } { \left( - \frac { 1 } { \hbar ^ { 2 } } \varepsilon _ { i } | \mathbf { q } | ^ { 2 } + \varepsilon _ { i } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial z ^ { 2 } } \right) \Gamma _ { 1 } = - \frac { 1 } { \hbar ^ { 2 } } f _ { i } e ^ { - \frac { | z | } { \hbar } | \mathbf { q } | } , } \end{array}