harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { 2 A _ { \delta } ( t ) } & { \leq \mu \left\Vert w _ { 0 } \right\Vert + \mu \left\Vert \nabla h \left( x _ { 0 } \right) \right\Vert + \left\Vert \nabla f \left( x _ { 0 } \right) \right\Vert } \\ & { \quad + \frac { \mu t ^ { 2 } } { 2 } A _ { \delta } ( t ) + \left( \mu L _ { h } + L _ { f } \right) t B _ { \delta } ( t ) . } \end{array}
g _ { k } ( x _ { k } ^ { d _ { k } } , \{ x _ { 1 } ^ { ( d ) } \} _ { d = 0 } ^ { d _ { 1 } - 1 } , \{ x _ { 2 } ^ { ( d ) } \} _ { d = 0 } ^ { d _ { 2 } - 1 } , \hdots , \{ x _ { m } ^ { ( d ) } \} _ { d = 0 } ^ { d _ { m } - 1 } ) = 0 , \quad 1 \leq k \leq m .
\begin{array} { r l } & { \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 N - 3 } } \big ( 1 - \chi _ { R } ( | x - x _ { j } | ) \big ) \partial _ { x _ { j } } ^ { \eta } | x - x _ { j } | \psi ( x , \mathbf { \hat { x } } ) e ^ { F } ( y , \mathbf { \hat { x } } ) \overline { { \partial _ { y } ^ { m } \phi ( y , \mathbf { \hat { x } } ) } } \Phi ( x , y , \mathbf { \hat { x } } ) \, d \mathbf { \hat { x } } } \\ & { \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 N - 3 } } \chi _ { R } ( | x - x _ { j } | ) \partial _ { x _ { k } } ^ { \eta } | x - x _ { j } | \psi ( x , \mathbf { \hat { x } } ) e ^ { F } ( y , \mathbf { \hat { x } } ) \overline { { \partial _ { y } ^ { m } \phi ( y , \mathbf { \hat { x } } ) } } \Phi ( x , y , \mathbf { \hat { x } } ) \, d \mathbf { \hat { x } } . } \end{array}
\Pi _ { \mu \nu a b } ^ { \pm } ( k ) = \delta _ { a b } \left( - g _ { \mu \nu } k ^ { 2 } + k _ { \mu } k _ { \nu } \right) \theta ( k ^ { 2 } ) \theta ( \pm k ^ { 0 } ) 2 \mathrm { I m } \, \pi ( k ^ { 2 } )
{ \cal L } _ { P V } = \int d ^ { 4 } \theta [ Q _ { + } ^ { r e g ~ \dagger } e ^ { V } Q _ { + } ^ { r e g } + Q _ { - } ^ { r e g ~ \dagger } e ^ { V } Q _ { - } ^ { r e g } ] + ( \int d ^ { 2 } \theta \Phi \Lambda _ { U V } Q _ { + } ^ { r e g } Q _ { - } ^ { r e g } + \mathrm { h . c . } ) .
\left\{ \begin{array} { l } { \psi _ { m k } ^ { 1 } = m \omega _ { e } + k \left( \omega ^ { o m } - \frac { \gamma } { 2 } \right) , } \\ { \psi _ { m k } ^ { 2 } = m \omega _ { e } + k \left( \omega ^ { o m } + \frac { \gamma } { 2 } \right) , } \end{array} \right.
{ \frac { { \cal A } _ { n e w } } { { \cal A } _ { S M } } } = . 0 6 \ { \frac { \xi ^ { 2 } } { \cos ^ { 4 } \beta } } { \frac { \mathrm { I m } ( N _ { s b } N _ { d b } ^ { * } - N _ { b s } ^ { * } N _ { b d } ) } { m _ { b } ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l } & { \frac { \mathrm { d } u ^ { ( i ) } } { \mathrm { d } s } = - \frac { \big ( u ^ { ( i + 1 ) } \big ) ^ { 2 } - \big ( u ^ { ( i - 1 ) } \big ) ^ { 2 } } { 4 \Delta x } + \nu \frac { u ^ { ( i + 1 ) } - 2 u ^ { ( i ) } + u ^ { ( i - 1 ) } } { \Delta x ^ { 2 } } , \quad \quad i = 2 , \dots , M - 1 , } \\ & { u ^ { ( 1 ) } ( s ) = u ^ { ( M ) } ( s ) = 0 , } \\ & { u ^ { ( i ) } ( 0 ) = u _ { 0 } ( i \Delta x ) . } \end{array}
l _ { e } = \operatorname* { m i n } \left( 2 d _ { w } , C _ { l } l _ { t } \right) \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ : ~ } \; \; C _ { l } = 3 \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } l _ { t } = \frac { { \left( \frac { 1 } { 2 } \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { i } ^ { \prime } } } \right) } ^ { 3 / 2 } } { \varepsilon }
P ( \varphi , x ) = \int \mathrm { d } \varphi ( x ) \delta ( \varphi ( x ) - \varphi ) \int [ \mathrm { d } \varphi ] e ^ { - \int _ { 0 } ^ { x } \mathcal { L } ( \varphi , \dot { \varphi } ) } \int \mathrm { d } \varphi ( 0 ) \delta ( \varphi ( 0 ) - \varphi _ { 0 } ) .
\frac { \sqrt { k _ { 0 } ^ { 2 } - \kappa ^ { 2 } } \cos \left( \sqrt { k _ { 0 } ^ { 2 } - \kappa ^ { 2 } } \ R \right) } { \sin \left( \sqrt { k _ { 0 } ^ { 2 } - \kappa ^ { 2 } } \ R \right) } = \frac { - \kappa e ^ { - \kappa R } } { e ^ { - \kappa R } } .
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb R ^ { N } } } & { | D v _ { n } | ^ { p } d x - \int _ { \mathbb R ^ { N } } | D v | ^ { p } d x + o ( 1 ) } \\ & { = \frac { \lambda p } { k } \int _ { \mathbb { R } ^ { N } } V \bigl [ | G ^ { - 1 } ( v _ { n } ) | ^ { k } - | G ^ { - 1 } ( v ) | ^ { k } \bigr ] d x + \frac { \beta p } { \alpha p ^ { * } } \int _ { \mathbb { R } ^ { N } } K \bigl [ | G ^ { - 1 } ( v _ { n } ) | ^ { \alpha p ^ { * } } - | G ^ { - 1 } ( v ) | ^ { \alpha p ^ { * } } \bigr ] d x } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { A v g } \operatorname { T r } \hat { X } ^ { 2 } } & { { } \stackrel { } { = } \operatorname { A v g } \operatorname { T r } _ { m \times m } \left( \operatorname { S w a p } \mathcal { M } _ { j + 1 } ^ { \otimes 2 } \circ \dotsb \circ \mathcal { M } _ { L } ^ { \otimes 2 } ( | 0 , 0 \rangle \langle 0 , 0 | ) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ h ( \bar { x } _ { \bar { t } _ { s } } ) - h ( \bar { x } _ { \bar { t } _ { s - 1 } } ) ] } & { \leq - \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \frac { \eta \alpha _ { t } } { 4 } E _ { t } - \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \frac { \eta \alpha _ { t } } { 2 } \mathbb { E } [ \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) \| ^ { 2 } ] + 4 \eta \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } G _ { 1 } ^ { 2 } } \\ & { \qquad + \bar { L } ^ { 2 } I \eta ^ { 3 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } \sum _ { \ell = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { t - 1 } \alpha _ { l } ^ { 2 } D _ { l } + \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } 2 \eta \alpha _ { t } A _ { t } + \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } 4 \hat { L } ^ { 2 } \eta \alpha _ { t } B _ { t } } \\ & { \leq - \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \frac { \eta \alpha _ { t } } { 4 } E _ { t } - \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \frac { \eta \alpha _ { t } } { 2 } \mathbb { E } [ \| \nabla h ( \bar { x } _ { t } ) \| ^ { 2 } ] + 4 \eta \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } G _ { 1 } ^ { 2 } } \\ & { \qquad + \frac { \kappa ^ { 2 } \eta ^ { 3 } } { 6 4 } \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } \alpha _ { t } D _ { t } + \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } 2 \eta \alpha _ { t } A _ { t } + \sum _ { t = \bar { t } _ { s - 1 } } ^ { \bar { t } _ { s } - 1 } 4 \hat { L } ^ { 2 } \eta \alpha _ { t } B _ { t } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \tan \alpha _ { m } = { \frac { p _ { b } + l \cdot \tan \alpha _ { b } } { l } } } \\ { \tan \alpha _ { r } = { \frac { p _ { b } - p _ { r } + l \cdot \tan \alpha _ { b } } { l } } } \end{array} \right.
{ \begin{array} { r l } { \zeta ( s ) } & { = { \mathfrak { D } } _ { \operatorname { i d } } ^ { \mathbb { N } } ( s ) = \prod _ { p { \mathrm { ~ p r i m e } } } { \mathfrak { D } } _ { \operatorname { i d } } ^ { \{ p ^ { n } : n \in \mathbb { N } \} } ( s ) = \prod _ { p { \mathrm { ~ p r i m e } } } \sum _ { n \in \mathbb { N } } { \mathfrak { D } } _ { \operatorname { i d } } ^ { \{ p ^ { n } \} } ( s ) } \\ & { = \prod _ { p { \mathrm { ~ p r i m e } } } \sum _ { n \in \mathbb { N } } { \frac { 1 } { ( p ^ { n } ) ^ { s } } } = \prod _ { p { \mathrm { ~ p r i m e } } } \sum _ { n \in \mathbb { N } } \left( { \frac { 1 } { p ^ { s } } } \right) ^ { n } = \prod _ { p { \mathrm { ~ p r i m e } } } { \frac { 1 } { 1 - p ^ { - s } } } } \end{array} }
\textbf { \emph { R H S } } = \left( \begin{array} { c c c c c c c c c } { \big ( R H S \big ) _ { \big < z ^ { \infty \pm 2 } \big > } } & { \big ( R H S \big ) _ { E _ { D } ^ { \infty } } } & { \big ( R H S \big ) _ { L _ { \infty } ^ { \pm } } } & { \big ( R H S \big ) _ { L _ { D } ^ { \infty } } } & { \big ( R H S \big ) _ { \big < \rho ^ { \infty 2 } \big > } } & { } \\ { \big ( R H S \big ) _ { \big < z ^ { * \pm 2 } \big > } } & { \big ( R H S \big ) _ { E _ { D } ^ { * } } } & { \big ( R H S \big ) _ { L _ { * } } } & { \big ( R H S \big ) _ { L _ { D } ^ { * } } } \end{array} \right) ^ { T } ,
\begin{array} { r l r l } & { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { - e ^ { - 2 \pi i \alpha } s _ { 0 } ^ { - 1 } } \\ { e ^ { 2 \pi i \alpha } s _ { 0 } } & { 0 } \end{array} \right) , } & { z } & { \in ( z _ { 2 , - } , z _ { 1 , - } ) , } \\ & { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { - e ^ { - 2 \pi i \alpha } s _ { 0 } ^ { - 1 } ( 1 - | s _ { * } | ^ { 2 } ) } \\ { e ^ { 2 \pi i \alpha } s _ { 0 } ( 1 - | s _ { * } | ^ { 2 } ) ^ { - 1 } } & { 0 } \end{array} \right) , } & { z } & { \in ( z _ { 1 , - } , z _ { 1 , + } ) , } \\ & { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { - e ^ { - 2 \pi i \alpha } s _ { 0 } ^ { - 1 } } \\ { e ^ { 2 \pi i \alpha } s _ { 0 } } & { 0 } \end{array} \right) , } & { z } & { \in ( z _ { 1 , + } , z _ { 2 , + } ) , } \\ & { \left( \begin{array} { l l } { e ^ { - 2 \pi i \alpha } } & { 0 } \\ { 0 } & { e ^ { 2 \pi i \alpha } } \end{array} \right) , } & { z } & { \in ( z _ { 2 , + } , + \infty ) . } \end{array}
\frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \! \phi _ { \omega } ( \sigma ) \phi _ { \omega ^ { \prime } } ( \sigma ) \star 1 = ( \delta _ { \omega , \omega ^ { \prime } } + \delta _ { \omega , - \omega ^ { \prime } } ) < \phi _ { \omega } , \phi _ { \omega ^ { \prime } } >
\begin{array} { r } { \mathcal { D } _ { P } = - \frac { 8 \pi \eta h \dot { h } ^ { 2 } } { 1 + \frac { 4 L } { R } } = - \frac { 8 \pi \eta \frac { h _ { 0 } ^ { 3 } } { \tau ^ { 2 } } H H ^ { 2 } } { 1 + \frac { 4 L } { R } } . } \end{array}
\int \frac { \textup { d } ^ { d } k } { ( 2 \pi ) ^ { d } } e ^ { - i { \bf k } \cdot { \bf x } } k ^ { q } = \frac { 2 ^ { q } \Gamma \left( \frac { d + q } { 2 } \right) } { \pi ^ { d / 2 } \Gamma \left( \frac { - q } { 2 } \right) } \frac { 1 } { | { \bf x } | ^ { d + q } }
\psi _ { + } ^ { r } ( x ) = \sum _ { \sigma = \pm 1 / 2 } \int _ { k ^ { + } > 0 } { \frac { d k ^ { + } d ^ { 2 } k _ { \perp } } { 1 6 \pi ^ { 3 } k ^ { + } } } \Bigl [ b ^ { r } ( k , \sigma ) u _ { + } ( k , \sigma ) e ^ { - i k \cdot x } + d ^ { r \dagger } ( k , \sigma ) v _ { + } ( k , \sigma ) e ^ { i k \cdot x } \Bigr ] \; ,
\begin{array} { r l } { \vert \phi _ { f } ^ { \mathrm { I } } ( t ) \rangle } & { { } = U _ { \mathrm { I } } ( \eta , t ) \vert \phi _ { i } \rangle = \sum _ { m } c _ { m } ( t ) \vert \phi _ { m } \rangle } \\ { c _ { m } ( t ) } & { { } = \langle m \vert \phi _ { f } ^ { \mathrm { I } } ( t ) \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \Psi ( x , y ) \rangle = } & { { } \hat { U } | \Phi _ { p r e } \rangle \phi ( x , y ) } \\ { = } & { { } \frac { 1 } { 2 } \sum _ { m , n = \pm } \phi ( x - m \delta , y - n \delta ) | x _ { m } , y _ { n } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { t } \| F _ { + } ^ { \varepsilon } ( t ^ { \prime } ) \| _ { \mathfrak D ^ { \prime } } ^ { 2 } d t ^ { \prime } \lesssim \int _ { 0 } ^ { t } \| F _ { + } ^ { \varepsilon } \| _ { \mathfrak D ^ { \prime } } ^ { 2 } d t ^ { \prime } + \int _ { 0 } ^ { t } \| F _ { + } ^ { \varepsilon } ( t ^ { \prime } ) - F _ { + } ^ { 0 } ( t ^ { \prime } ) \| _ { \mathfrak D ^ { \prime } } ^ { 2 } d t ^ { \prime } \lesssim _ { M } \varepsilon ^ { 2 } + \kappa ^ { 2 } . } \end{array}
c _ { j } ( x ) = \ell _ { j } ( x , x _ { 0 } , x _ { 1 } , \ldots , x _ { k } ) : = \prod _ { \begin{array} { l } { 0 \leq m \leq k } \\ { m \neq j } \end{array} } { \frac { x - x _ { m } } { x _ { j } - x _ { m } } } = { \frac { ( x - x _ { 0 } ) } { ( x _ { j } - x _ { 0 } ) } } \cdots { \frac { ( x - x _ { j - 1 } ) } { ( x _ { j } - x _ { j - 1 } ) } } { \frac { ( x - x _ { j + 1 } ) } { ( x _ { j } - x _ { j + 1 } ) } } \cdots { \frac { ( x - x _ { k } ) } { ( x _ { j } - x _ { k } ) } } .
\frac { \mathrm { ~ T ~ r ~ } [ \mathbf { A } ^ { + } \mathbf A ^ { - } \mathbf { A } ^ { - } ] } { 2 } = \frac { \mathrm { ~ T ~ r ~ } [ \mathbf { A } ^ { - } \mathbf A ^ { + } \mathbf { A } ^ { - } ] } { 2 } = \frac { \mathrm { ~ T ~ r ~ } [ \mathbf { A } ^ { - } \mathbf A ^ { - } \mathbf { A } ^ { + } ] } { 2 }
\begin{array} { r } { C _ { i } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathrm { f o r } \ \gamma _ { i } = 1 \lor H _ { i , j } ^ { \mathrm { r a d } } = H _ { i , k } ^ { \mathrm { r a d } } = 0 } \\ { 1 } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \chi _ { \mu } | \chi _ { \nu } \rangle } & { \leq N _ { \mu } N _ { \nu } \int x ^ { l _ { \mu } } ( x - | \mathbf { R } _ { \nu } | ) ^ { l _ { \nu } } e ^ { - \alpha _ { \mu } x ^ { 2 } } e ^ { - \alpha _ { \nu } ( x - | \mathbf { R } _ { \nu } | ) ^ { 2 } } e ^ { - \alpha _ { \mu \nu } y ^ { 2 } } e ^ { - \alpha _ { \mu \nu } z ^ { 2 } } d x d y d z } \\ & { = N _ { \mu } N _ { \nu } \frac { \pi } { \alpha _ { \mu \nu } } \int x ^ { l _ { \mu } } ( x - R _ { \nu } ) ^ { l _ { \nu } } e ^ { - \alpha _ { \mu } x ^ { 2 } } e ^ { - \alpha _ { \nu } ( x - R _ { \nu } ) ^ { 2 } } d x . } \end{array}
G ( a ) = \left[ \frac { m k \Gamma \left( \frac { 1 - x } { h } \right) \Gamma \left( \frac { x } { h } \right) x } { 2 \Gamma \left( \frac { 1 } { h } \right) h } \right] ^ { - a ^ { 2 } } \exp \left( \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d t } { t } [ a ^ { 2 } e ^ { - 2 t } - F ( a , t ) ] \right)
\begin{array} { r l } { \mathbf { U } _ { \tau } ^ { \left( n \right) } = } & { { } \exp \left( - \tau \mathbf { L } ^ { \left( n \right) } \right) } \\ { = } & { { } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { k ! } \left( - \tau \mathbf { L } ^ { \left( n \right) } \right) ^ { k } , } \\ { = } & { { } \sum _ { \lambda ^ { \left( n \right) } } \exp \left( - \tau \lambda ^ { \left( n \right) } \right) \big \vert \lambda ^ { \left( n \right) } \big \rangle \big \langle \lambda ^ { \left( n \right) } \big \vert . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { E \{ H ( t ) Q ( t ) H ^ { H } ( t ) \} = E \{ \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \sigma _ { n } ^ { 2 } \phi _ { n } ( t ) Q ( t ) \phi _ { n } ^ { H } ( t ) \} } \\ { = } & { \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \sigma _ { n } ^ { 2 } \int \phi _ { n } ( t ) Q ( t ) \phi _ { n } ^ { H } ( t ) d t } \\ { = } & { \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \sigma _ { n } ^ { 2 } \int \phi _ { n } ( t ) \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } x _ { l } \phi _ { l } ( t ) \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } x _ { m } \phi _ { m } ^ { H } ( t ) \phi _ { n } ^ { H } ( t ) d t } \\ { = } & { \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \sigma _ { n } ^ { 2 } x _ { n } ^ { 2 } \int \phi _ { n } ( t ) \phi _ { n } ( t ) \phi _ { n } ^ { H } ( t ) \phi _ { n } ^ { H } ( t ) d t } \\ { = } & { \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \sigma _ { n } ^ { 2 } x _ { n } ^ { 2 } \cdot I } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \varphi ( x _ { 1 } ) - \varphi ( x _ { 2 } ) \le f ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ^ { \prime } ) - f ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) \le L _ { 1 } \left( \| x _ { 1 } - x _ { 2 } \| + \| y _ { 2 } - y _ { 1 } ^ { \prime } \| \right) \le ( L _ { 2 } + 1 ) L _ { 1 } \Vert x _ { 1 } - x _ { 2 } \Vert ; } \\ & { \varphi ( x _ { 2 } ) - \varphi ( x _ { 1 } ) \le f ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ^ { \prime } ) - f ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) \le L _ { 1 } \left( \| x _ { 1 } - x _ { 2 } \| + \| y _ { 1 } - y _ { 2 } ^ { \prime } \| \right) \le ( L _ { 2 } + 1 ) L _ { 1 } \Vert x _ { 1 } - x _ { 2 } \Vert ; } \end{array}
F ^ { \mathrm { ~ Q ~ R ~ C ~ W ~ } } ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 2 t ^ { 2 } } { t _ { r } ^ { 2 } } \cos ( \omega t ) } & { 0 \leq t < \frac { t _ { r } } { 2 } } \\ { \frac { t _ { r } ^ { 2 } - 2 ( t - t _ { r } ) ^ { 2 } } { t _ { r } ^ { 2 } } \cos ( \omega t ) } & { \frac { t _ { r } } { 2 } \leq t < t _ { r } } \\ { \cos ( \omega t ) } & { t _ { r } \leq t \leq t _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r l } & { \underset { A \in \mathbb { R } _ { m , d _ { 1 } } B \in \mathbb { R } _ { n , d _ { 2 } } } { \mathrm { m i n i m i z e } } } & & { \phi ( { A } , B ) } \\ & { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } } & & { \| H a _ { j } \| _ { 2 } ^ { 2 } = 1 , \ j = 1 , \ldots , d _ { 1 } . } \\ & { } & & { \| V b _ { j } \| _ { 2 } ^ { 2 } = 1 , \ j = 1 , \ldots , d _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \iint _ { \mathbb { } } d x d y f _ { 1 } ( r _ { \perp } + \delta r _ { 1 } ) f _ { 2 } ( r _ { \perp } + \delta r _ { 2 } ) e ^ { i q _ { \perp } \cdot r _ { \perp } } = } & { { } } \\ { \mathrm { ~ I ~ n ~ t ~ } ( \delta x _ { 1 } , \delta y _ { 1 } , \delta x _ { 2 } , \delta y _ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { 0 = } & { \frac { \partial \mathcal { E } ^ { - } ( \mathbf { x } ) } { \partial \mathbf { x } } \mathbf { f } ( \mathbf { x } ) + \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial \mathcal { E } ^ { - } ( \mathbf { x } ) } { \partial \mathbf { x } } \mathbf { g } ( \mathbf { x } ) \mathbf { g } ( \mathbf { x } ) ^ { \top } \frac { \partial ^ { \top } \mathcal { E } ^ { - } ( \mathbf { x } ) } { \partial \mathbf { x } } } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } \mathbf { h } ( \mathbf { x } ) ^ { \top } \mathbf { h } ( \mathbf { x } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { f } _ { \mathrm { B S } , \pi _ { 1 } ( m ) } ^ { ( l ) } = \mathrm { M L P } _ { 2 } ^ { ( l ) } \left( \mathbf { f } _ { \mathrm { B S } , \pi _ { 1 } ( m ) } ^ { ( l - 1 ) } , \mathrm { A G G } _ { \mathrm { B S } } ^ { ( l ) } \left\{ \mathrm { M L P } _ { 1 } ^ { ( l ) } \left( \mathbf { f } _ { \mathrm { U E } , k } ^ { ( l - 1 ) } , \right. \right. \right. } \\ { \left. \left. \left. \mathbf { e } _ { \pi _ { 1 } ( m ) , k } ^ { ( l - 1 ) } \right) \right\} _ { k \in \mathcal { N } _ { \pi _ { 1 } ( m ) } ^ { \mathrm { B S } } } \right) , ~ \forall m \in \mathcal { M } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { v _ { z } N _ { x } - v _ { x } N _ { z } } & { { } = \left( \mathbf { v } \wedge \mathbf { N } \right) _ { z x } } \\ { v _ { x } N _ { y } - v _ { y } N _ { x } } & { { } = \left( \mathbf { v } \wedge \mathbf { N } \right) _ { x y } } \end{array}
D _ { l , n } ^ { N } = \left\{ \begin{array} { l l } { \delta _ { l n } + ( 1 - \delta _ { l n } ) r _ { l , l - 1 } e ^ { i k _ { l } | x _ { l } - x _ { n } | } , \ \ l \ge n , } \\ { \delta _ { l n } + ( 1 - \delta _ { l n } ) r _ { l - 1 , l } e ^ { i k _ { l } | x _ { l } - x _ { n } | } , \ \ n \ge l . } \end{array} \right.
\mathbf { U } _ { i } ^ { \prime \prime } = \frac { 2 } { \Delta x ^ { 2 } } \left( \mathbf { U } _ { i + 1 } - 2 \mathbf { U } _ { i } + \mathbf { U } _ { i - 1 } \right) - \frac { 1 } { 2 \Delta x } \left( \mathbf { U } _ { i + 1 } ^ { \prime } - \mathbf { U } _ { i - 1 } ^ { \prime } \right) .
V _ { 2 } = \left( \sqrt { J _ { 2 } } \right) ^ { 3 } \frac { m _ { x } ( \theta ) } { 2 \sqrt 2 } \left( \sqrt { \beta _ { x } ( \theta ) } \right) ^ { 3 } \cos \left( \psi _ { 2 } - \nu _ { x } \theta + \chi _ { x } ( \theta ) \right) .
{ \widehat C } _ { ( p - 1 ) } = \sqrt { 2 } \kappa \, C _ { ( p - 1 ) } \simeq \frac { m } { n } \, \frac { n ^ { 2 } } { \Delta _ { m , n } } \, \frac { Q _ { p } } { r ^ { 7 - p } } ~ d x ^ { 2 } \wedge \ldots \wedge d x ^ { p } ~ ~ .
( A - 2 I ) \mathbf { y } _ { 2 } = { \left( \begin{array} { l l l l l } { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 3 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 6 } & { 3 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 0 } & { 6 } & { 3 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 5 } & { 1 0 } & { 6 } & { 3 } & { 0 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 3 } \\ { 0 } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 9 } \end{array} \right) } = \mathbf { y } _ { 1 } ,
\begin{array} { r l } & { | \mathcal { P } _ { a } ( n ) | = q ^ { n - 1 } , } \\ & { | \mathcal { P } _ { a } ^ { * } ( n ) | = \left\{ \begin{array} { l l } { q ^ { n / 2 } } & { : n ~ \mathrm { e v e n } , ~ a = + 1 , } \\ { q ^ { n / 2 - 1 } } & { : n ~ \mathrm { e v e n } , ~ a = - 1 , ~ q ~ \mathrm { o d d } } \\ { q ^ { ( n - 1 ) / 2 } } & { : n ~ \mathrm { o d d } , ~ a = \pm 1 } \end{array} \right. } \\ & { | \mathcal { P } _ { a } ^ { \dagger } ( n ) | = q ^ { ( n - 1 ) / 2 } . } \end{array}
\mathbf { u } _ { 2 } = \mathbf { v } _ { 2 } - \mathrm { p r o j } _ { \mathbf { u } _ { 1 } } \, ( \mathbf { v } _ { 2 } ) = { \left( \begin{array} { l } { 2 } \\ { 2 } \end{array} \right) } - \mathrm { p r o j } _ { ( { 3 \atop 1 } ) } \, ( { { \left( \begin{array} { l } { 2 } \\ { 2 } \end{array} \right) } ) } = { \left( \begin{array} { l } { 2 } \\ { 2 } \end{array} \right) } - { \frac { 8 } { 1 0 } } { \left( \begin{array} { l } { 3 } \\ { 1 } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { - 2 / 5 } \\ { 6 / 5 } \end{array} \right) } .
\big | \pi _ { i = 1 \sim N _ { c } } \big | = \Lambda _ { T } ^ { 2 } , \ \ \big | \pi _ { i = N _ { c } + 1 \sim N _ { f } } \big | = \xi \big | \pi _ { i = 1 \sim N _ { c } } \big | , \ \| \pi _ { B } | = | \pi _ { \bar { B } } | \sim \Lambda _ { T } ^ { N _ { c } } , \ \, b i g | \pi _ { \lambda } \big | \sim \Lambda ^ { 3 } \xi ^ { \frac { \rho + N _ { f } - N _ { c } } { N _ { f } - N _ { c } } } ,
\begin{array} { r l r } { \epsilon \dot { x } } & { { } = } & { x - \frac { x ^ { 3 } } { 3 } - y + \delta _ { 1 } \sqrt { \epsilon } { \xi ( t ) } , } \\ { \dot { y } } & { { } = } & { x + a + \delta _ { 2 } { \xi ( t ) } , } \end{array}
\begin{array} { l l } { N = 0 , } & { \mathrm { ~ l ~ o ~ g ~ d ~ i ~ v ~ e ~ r ~ g ~ e ~ n ~ c ~ e ~ } } \\ { N = 2 , } & { \mathrm { ~ q ~ u ~ a ~ d ~ r ~ a ~ t ~ i ~ c ~ d ~ i ~ v ~ e ~ r ~ g ~ e ~ n ~ c ~ e ~ } } \\ { N < 0 , } & { \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ v ~ e ~ r ~ g ~ e ~ s ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \bar { \sigma } _ { d e v } } ( t ) } & { { } = 2 \left[ G _ { \infty } e ( t ) + \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( G _ { i } \mathrm { { e x p } \left( - \frac { \Delta t } { \ t a u _ { i } } \right) h _ { n + 1 } ^ { i } } \right) \right] } \end{array}
\hat { \mathcal { H } } _ { k } ^ { \mathrm { o } } = - \left( \begin{array} { l l l l } { \Delta } & { g _ { \mathrm { o } } ( k ) } & { 0 } & { t _ { y } } \\ { g _ { \mathrm { o } } ^ { * } ( k ) } & { - \Delta } & { t _ { y } } & { 0 } \\ { 0 } & { t _ { y } } & { - \Delta } & { g _ { \mathrm { o } } ^ { * } ( k ) } \\ { t _ { y } } & { 0 } & { g _ { \mathrm { o } } ( k ) } & { \Delta } \end{array} \right) \mathrm { , }
\int _ { 0 } ^ { \infty } d k k ^ { { \mu } - 1 } \mathrm { s i n } ( a k + \frac { b } { k } ) = { \pi } \left( \frac { b } { a } \right) ^ { \frac { \mu } { 2 } } \{ \mathrm { c o s } \frac { { \mu } { \pi } } { 2 } J _ { \mu } ( 2 \sqrt { a b } ) - \mathrm { s i n } \frac { { \mu } { \pi } } { 2 } N _ { \mu } ( 2 \sqrt { a b } ) \}
\chi ^ { 2 } = \sum _ { j } \frac { \left( d _ { j } - t _ { j } \right) ^ { 2 } } { \sigma _ { j } ^ { 2 } } - \sum _ { k k ^ { \prime } } B _ { k } \left( A ^ { - 1 } \right) _ { k k ^ { \prime } } B _ { k ^ { \prime } } .
\begin{array} { r l r } { \Delta ( t _ { 0 } ) } & { { } = } & { 2 \, \mathrm { a t a n } \Bigg [ \mu + \epsilon \sqrt { 1 + \mu ^ { 2 } } + { \frac { \epsilon ^ { 2 } } { 2 } } \mu + { \frac { \epsilon ^ { 3 } } { 6 } } \sqrt { 1 + \mu ^ { 2 } } + \ldots \Bigg ] } \end{array}
\Gamma \propto \alpha ^ { 3 } \: \frac { m _ { e } ^ { 2 } } { \omega } \, \left( \frac { k _ { \bot } } { m _ { e } } \right) ^ { 6 } \left( \frac { e B } { m _ { e } } \right) ^ { 6 } = \alpha ^ { 3 } \: \frac { m _ { e } ^ { 2 } } { \omega } \: \chi _ { e } ^ { 6 } \: .
\begin{array} { r l r } { K _ { 1 x } ^ { 1 } } & { = } & { - d x ^ { 3 } ~ \kappa ~ ( v ~ \kappa ^ { 2 } - \gamma _ { 1 } ~ v ~ ( 1 + t ^ { 2 } ) ~ H + \gamma _ { 1 } ~ ( u t + v ) ~ E _ { c } + 2 ~ \gamma _ { 1 } ~ t ^ { 2 } ~ v ~ E _ { c } ) } \\ { K _ { 1 x } ^ { 2 } } & { = } & { - d x ^ { 2 } ~ d y ~ \kappa ~ ( \gamma ~ \kappa ~ v + 2 ~ \gamma _ { 1 } E _ { c } ) } \\ { K _ { 1 x } ^ { 3 } } & { = } & { d x ^ { 2 } ~ d y ~ \kappa ~ ( - 2 ~ t ~ E _ { c } + \gamma ~ v ~ ( t ~ v + u ) ) } \end{array}
\frac { G _ { B } } { Q _ { m } } \approx \frac { 2 \omega _ { p } } { m _ { \mathrm { e f f } } \Omega _ { m } ^ { 2 } } \frac { n _ { \mathrm { e f f } } ^ { 6 } p _ { \mathrm { e f f } } ^ { 2 } \beta _ { m } ^ { 2 } } { 4 c ^ { 2 } } = \frac { \pi } { c } \frac { n _ { \mathrm { e f f } } ^ { 6 } p _ { \mathrm { e f f } } ^ { 2 } } { m _ { \mathrm { e f f } } V _ { L } ^ { 2 } } \frac { 1 } { \lambda _ { p } } ,