harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r l } { { 2 } } & { { } \mathrm { ~ E ~ q ~ u ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ o ~ f ~ s ~ t ~ a ~ t ~ e ~ ( ~ E ~ O ~ S ~ ) ~ : ~ } \qquad } & { } & { { } \rho = \rho ^ { \mathrm { ~ G ~ } } + ( \rho ^ { \mathrm { ~ S ~ } } - \rho ^ { \mathrm { ~ G ~ } } ) \beta + ( \rho ^ { \mathrm { ~ L ~ } } - \rho ^ { \mathrm { ~ S ~ } } ) \beta \varphi , } \end{array}
\begin{array} { r } { { \bf { S } } _ { k } ^ { * } - \lambda _ { k } ^ { * } \frac { { { { \bf { h } } _ { k } } { \bf { h } } _ { k } ^ { H } } } { { { \sigma ^ { 2 } } } } { \bf { S } } _ { k } ^ { * } + \sum _ { i = 1 } ^ { k - 1 } { \frac { { \lambda _ { i } ^ { * } { \gamma _ { i } } { { \bf { h } } _ { i } } { \bf { h } } _ { i } ^ { H } } } { { { \sigma ^ { 2 } } } } } { \bf { S } } _ { k } ^ { * } = { \bf { 0 } } , \forall k . } \end{array}
G ( r , r ^ { \prime } ; \omega ) = \int _ { - \infty } ^ { \mu } d \omega ^ { \prime } \frac { A ( r , r ^ { \prime } ; \omega ) } { \omega - \omega ^ { \prime } - i \delta } + \int _ { \mu } ^ { \infty } d \omega ^ { \prime } \frac { A ( r , r ^ { \prime } ; \omega ) } { \omega - \omega ^ { \prime } + i \delta }
\displaystyle \int _ { I _ { n } } ( V - W ) ^ { \prime \prime } \varphi d t = \displaystyle \int _ { I _ { n } } \left( f ( t , \widetilde { V } , \widetilde { V } ^ { \prime } ) - f ( t , \widetilde { W } , \widetilde { W } ^ { \prime } ) \right) \varphi ( t ) d t \le L \displaystyle \int _ { I _ { n } } \Big ( | \widetilde { V } - \widetilde { W } | + | \widetilde { V } ^ { \prime } - \widetilde { W } ^ { \prime } | \Big ) \varphi d t
\begin{array} { r } { \sum _ { s \ge 0 } X ^ { s } w _ { \hbar } ^ { \mathcal { S } , \ast } ( g _ { k } ^ { s } ) = \frac { 1 } { 1 - g _ { k } X } \ast _ { \hbar } \frac { 1 } { 1 - ( - 1 ) ^ { k } g _ { k } X } = \exp _ { \ast _ { \hbar } } { \left( \sum _ { n \ge 1 } \frac { ( - 1 ) ^ { n - 1 } } { n } ( 1 + ( - 1 ) ^ { k n } ) g _ { k n } X ^ { n } \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } _ { P } \left[ \xi _ { t } ^ { a } ( P ) | \mathcal { F } _ { t - 1 } \right] = \mathbb { E } _ { P } \left[ \mathbb { E } _ { P } \left[ \xi _ { t } ^ { a } ( P ) | X _ { t } , \mathcal { F } _ { t - 1 } \right] | \mathcal { F } _ { t - 1 } \right] = \frac { 1 } { \sqrt { T } V ^ { a * } ( P ) } \left\{ \left( \mu ^ { a ^ { * } ( P ) } ( P ) - \mu ^ { a } ( P ) \right) - \left( \mu ^ { a ^ { * } ( P ) } ( P ) - \mu ^ { a } ( P ) \right) \right\} = 0 . } \end{array}
\delta B = { \frac { 1 } { 2 } } \delta \bar { \theta } \Gamma _ { M N } \theta ( d X ^ { M } d X ^ { N } + \bar { \theta } \Gamma ^ { M } d \theta d X ^ { N } + { \frac { 1 } { 3 } } \bar { \theta } \Gamma ^ { M } d \theta \bar { \theta } \Gamma ^ { N } d \theta )
C ( x , t ) = K _ { 0 } \frac { 1 } { t ^ { \frac { 3 } { 2 } } } e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 4 D t } } \left( 1 - \frac { 1 } { 2 D } \frac { x ^ { 2 } } { t } \right) .
\begin{array} { r l } { \left[ \frac { \varsigma } { \rho } \partial _ { t } \rho + \partial _ { t } u _ { x } \right] + \left( u _ { x } + \varsigma \right) \left[ \frac { \varsigma } { \rho } \partial _ { x } \rho + \partial _ { x } u _ { x } \right] } & { = 0 , } \\ { \left[ \frac { \varsigma } { \rho } \partial _ { t } \rho - \partial _ { t } u _ { x } \right] + \left( u _ { x } - \varsigma \right) \left[ \frac { \varsigma } { \rho } \partial _ { x } \rho - \partial _ { x } u _ { x } \right] } & { = 0 . } \end{array}
I = ( I ^ { ( 1 ) } | I ^ { ( 2 ) } ) = ( I _ { 1 } ^ { ( 1 ) } , I _ { 2 } ^ { ( 1 ) } , \ldots , I _ { m _ { 1 } } ^ { ( 1 ) } \; | \; I _ { 1 } ^ { ( 2 ) } , I _ { 2 } ^ { ( 2 ) } , \ldots , I _ { m _ { 2 } } ^ { ( 2 ) } )
\begin{array} { r l } { \mathrm { T H } ( \mathrm { d i v } , \partial D ) : } & { { } = \Bigr \{ { \Phi } \in L _ { T } ^ { 2 } ( \partial D ) : \nabla _ { \partial D } \cdot { \Phi } \in L ^ { 2 } ( \partial D ) \Bigr \} , } \\ { \mathrm { T H } ( \mathrm { c u r l } , \partial D ) : } & { { } = \Bigr \{ { \Phi } \in L _ { T } ^ { 2 } ( \partial D ) : \nabla _ { \partial D } \cdot ( { \Phi } \times { \nu } ) \in L ^ { 2 } ( \partial D ) \Bigr \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { K _ { 2 } ( q , Q ) } & { = ( Q _ { 2 } Q _ { 3 } + q _ { 2 } q _ { 3 } ) - ( Q _ { 1 } Q _ { 4 } + q _ { 1 } q _ { 4 } ) \; , } \\ { K _ { 3 } ( q , Q ) } & { = - ( Q _ { 1 } Q _ { 3 } + q _ { 1 } q _ { 3 } ) - ( Q _ { 2 } Q _ { 4 } + q _ { 1 } q _ { 4 } ) \; , } \\ { L _ { 2 } ( q , Q ) } & { = ( q _ { 1 } Q _ { 3 } - Q _ { 1 } q _ { 3 } ) + ( q _ { 2 } Q _ { 4 } - Q _ { 2 } q _ { 4 } ) \; , } \\ { L _ { 3 } ( q , Q ) } & { = ( q _ { 2 } Q _ { 3 } - Q _ { 2 } q _ { 3 } ) - ( q _ { 1 } Q _ { 4 } - Q _ { 1 } q _ { 4 } ) \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { = \mu ( x , v ) \Big [ \left( - \langle R ( x ) v , \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) R ( x ) v \rangle + \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle ^ { 2 } \right) \lambda _ { 1 } ( x , R ( x ) v ) } \\ & { \quad + \left( \langle v , \nabla ^ { 2 } \psi ( x ) v \rangle - \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle ^ { 2 } \right) \lambda _ { 1 } ( x , v ) \Big ] } \\ & { \quad - \langle v , \nabla _ { x } \Big ( \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle \mu ( x , v ) \lvert \langle v , \nabla \psi ( x ) \rangle \rvert \Big ) \rangle . } \end{array}
\dot { \bar { \xi } } = \left\{ \begin{array} { l l } { f _ { 1 } ( \bar { \xi } ) f _ { 2 } ( \mathrm { ~ d ~ } ) R _ { 0 } \left( \exp \left( \frac { - \alpha \mathcal { F } } { R \vartheta } \right) - \exp \left( \frac { ( 1 - \alpha ) \mathcal { F } } { R \vartheta } \right) \right) , } & { \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad 0 < \bar { \xi } < 1 , } \\ { 0 , } & { \quad \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad \bar { \xi } = 1 , } \end{array} \right.
\ensuremath { \langle \Gamma _ { T } \rangle } = U _ { \mathrm { r m s } } \biggl \langle \widetilde { U } \left[ \langle { \ensuremath { T _ { \mathrm { e } } } } \rangle \widetilde { n } _ { \mathrm { ~ e ~ } } n _ { \mathrm { ~ e ~ , ~ r ~ m ~ s ~ } } + \langle { \ensuremath { n _ { \mathrm { e } } } } \rangle \widetilde { T } _ { \mathrm { ~ e ~ } } T _ { \mathrm { ~ e ~ , ~ r ~ m ~ s ~ } } + \widetilde { n } _ { \mathrm { ~ e ~ } } n _ { \mathrm { ~ e ~ , ~ r ~ m ~ s ~ } } \widetilde { T } _ { \mathrm { ~ e ~ } } T _ { \mathrm { ~ e ~ , ~ r ~ m ~ s ~ } } \right] \biggr \rangle .
\begin{array} { r l } { \left( U ( s ) , \phi \right) = } & { \left( U _ { 0 } , \phi \right) + \int _ { 0 } ^ { s } \left( U ( r ) , A \phi \right) d r + \int _ { 0 } ^ { s } \left( G ( U ( r ) ) , \phi \right) d r + \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \int _ { 0 } ^ { s } \left( \varphi ^ { 2 } \mathbf { P } \left( u _ { i } U \right) , \partial _ { i } \phi \right) d r } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { s } \left( \varphi ^ { 2 } \sigma \left( U \right) , \phi \right) d \mathbb { W } _ { r } - \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \int _ { 0 } ^ { s } \left( \mathbf { P } \left( b _ { i } U \right) , \partial _ { i } \phi \right) d \mathbb { W } _ { r } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| u \| _ { L ^ { q } ( \Omega ; W ^ { r } ) } ^ { q } } & { \le C \mathbb { E } \left[ \exp \left( q _ { 1 } \left( q + \frac { 2 q } { r } \right) \| b _ { T } \| _ { \mathrm { C } ^ { r } } \right) \right] ^ { \frac { 1 } { q _ { 1 } } } \mathbb { E } \left[ \| b _ { T } \| _ { \mathrm { C } ^ { r } } ^ { \frac { q _ { 2 } q } { r } } \right] ^ { \frac { 1 } { q _ { 2 } } } \| f \| _ { H } ^ { q } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { - \infty } ^ { \infty } d z \langle \partial _ { z } \rho _ { 1 } ( z , y , t ) \hat { L } _ { z } \rho _ { 1 } ( z , y , t ) \rangle _ { \mathrm { s s } } } & { { } = - \kappa \int _ { - \infty } ^ { \infty } d z \langle \partial _ { z } \rho _ { 1 } ( z , y , t ) \partial _ { y } ^ { 2 } \rho _ { 1 } ( z , y , t ) \rangle _ { \mathrm { s s } } } \end{array}
\hat { H } _ { 0 } = H _ { 2 D } + H _ { n } + \hat { H } _ { B } = - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 \mu } \nabla _ { 2 D } ^ { 2 } + \hbar \omega _ { z } \left( n + \frac { 1 } { 2 } \right) + \mu _ { B } g _ { J } B _ { z } \left( \hat { J } _ { z , 1 } + \hat { J } _ { z , 2 } \right)
\begin{array} { r l } { \textbf { H } _ { d e m } \left( \textbf { r } \right) } & { = - M _ { S } R ^ { 2 } { \nabla } _ { \textbf { r } } \cos \theta \int d \theta ^ { \prime } d \phi ^ { \prime } \frac { \sin \theta ^ { \prime } } { 4 \pi \sqrt { \left| \textbf { r } \right| ^ { 2 } + R - 2 R \left| \textbf { r } \right| \cos \gamma } } } \end{array}
\Delta _ { \mathit { e f f } } ( X , p ^ { 2 } ) = c _ { X _ { 0 } } \Delta ( X _ { 0 } , p ^ { 2 } ) \, + \, \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } c _ { X _ { n } ^ { \star } } \Delta ( X _ { n } , p ^ { 2 } ) \, .
\begin{array} { l l } { { \theta ^ { \prime } { } ^ { a } = i \displaystyle { \frac { 1 } { x _ { - } ^ { 2 } } \, \tilde { \bar { \theta } } { } ^ { a } x _ { - } { \cdot \tilde { \sigma } } } ~ ~ ~ ~ } } & { { ~ ~ ~ ~ \tilde { \bar { \theta } } { } ^ { a } = - \zeta ^ { b a } \bar { \theta } _ { b } ^ { t } \bar { \epsilon } } } \\ { { { } } } & { { { } } } \\ { { \bar { \theta } _ { a } ^ { \prime } = - i \displaystyle { \frac { 1 } { x _ { + } ^ { 2 } } \, x _ { + } { \cdot \tilde { \sigma } } \tilde { \theta } _ { a } } ~ ~ ~ ~ } } & { { ~ ~ ~ ~ \tilde { \theta } _ { a } = \epsilon \theta ^ { b } { } ^ { t } \bar { \zeta } _ { b a } } } \end{array}
\left( \frac { i \omega h } { 6 } + \frac { a } { 2 } - \frac { k } { h } \right) \phi ( x _ { A + 1 } ) + \left( \frac { 2 i \omega h } { 3 } + \frac { 2 \kappa } { h } \right) \phi ( x _ { A } ) + \left( \frac { i \omega h } { 6 } - \frac { a } { 2 } - \frac { k } { h } \right) \phi ( x _ { A - 1 } ) = 0 ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \psi _ { \mathrm { A } } } { \partial t } \approx } & { { } - \left( \frac { \kappa } { 2 } + i \delta \omega _ { \mathrm { A } } \right) \psi _ { \mathrm { A } } - \epsilon D _ { 1 } \frac { \partial \psi _ { \mathrm { A } } } { \partial \theta } + i \frac { D _ { 2 } } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \psi _ { \mathrm { A } } } { \partial \theta ^ { 2 } } } \end{array}
\frac { \left[ \zeta ^ { 2 } / 2 - p ^ { \prime } + q ^ { \prime } \right] \left[ \mu ^ { \prime } + p ^ { \prime } - q ^ { \prime } - \zeta ^ { 2 } / 2 \right] } { ( \lambda _ { 0 } + \lambda _ { 1 } ) } + \frac { \left[ \mu ^ { \prime } + p ^ { \prime } - q ^ { \prime } - \zeta ^ { 2 } / 2 \right] ^ { 2 } } { 2 ( \lambda _ { 0 } + \lambda _ { 1 } ) }
I = \int d x ^ { + } d x ^ { - } ( 4 \Omega \partial _ { + } \partial _ { - } \rho + \frac { \mu } { 2 } e ^ { 2 \rho } \Omega ^ { 1 - \lambda - \gamma / 4 } + \Omega ^ { \delta } \partial _ { + } f \partial _ { - } f ) ,
\begin{array} { r l } & { \mathsf { E } \biggl [ \log \biggl ( 1 + \frac { H _ { b _ { o } , t } \, w _ { u , r , \theta } ^ { - \beta } } { \sigma ^ { 2 } + I _ { u , b _ { o } } } \biggr ) \biggm | R _ { b _ { o } } = r \biggr ] } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \exp ( - \sigma ^ { 2 } \, w _ { u , r , \theta } ^ { \, \beta } \, z ) \bigl ( 1 - \mathsf { E } \bigl [ \mathrm { e } ^ { - z H _ { b _ { o } , t } } \bigr ] \bigr ) } { z } } \\ & { \qquad \mathrm \times \mathsf { E } \bigl [ \exp \bigl ( - w _ { u , r , \theta } ^ { \, \beta } \, z \, I _ { u , b _ { o } } \bigr ) \bigm | R _ { b _ { o } } = r \bigr ] \, \mathrm { d } z , } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \exp ( - \sigma ^ { 2 } \, w _ { u , r , \theta } ^ { \, \beta } \, z ) } { 1 + z } } \\ & { \qquad \mathrm \times \mathsf { E } \bigl [ \exp \bigl ( - w _ { u , r , \theta } ^ { \, \beta } \, z \, I _ { u , b _ { o } } \bigr ) \bigm | R _ { b _ { o } } = r \bigr ] \, \mathrm { d } z , } \end{array}
\begin{array} { r l } { X _ { t + s } } & { = \sum _ { j _ { 1 } = 0 } ^ { \infty } \dots \sum _ { j _ { N } = 0 } ^ { \infty } e ^ { - \sum _ { l = 1 } ^ { N } j _ { l } \theta _ { l } } \Delta _ { t _ { 1 } + s _ { 1 } - j _ { 1 } , \dots , t _ { N } + s _ { N } - j _ { N } } G } \\ & { \overset { \mathrm { l a w } } { = } \sum _ { j _ { 1 } = 0 } ^ { \infty } \dots \sum _ { j _ { N } = 0 } ^ { \infty } e ^ { - \sum _ { l = 1 } ^ { N } j _ { l } \theta _ { l } } \Delta _ { t _ { 1 } - j _ { 1 } , \dots , t _ { N } - j _ { N } } G = X _ { t } } \end{array}
{ \bar { Q } } _ { 5 } = l i m _ { s \rightarrow 0 } \sum _ { n = - \infty } ^ { + \infty } \frac { 1 } { | \lambda \epsilon _ { n } | ^ { s } } \left( { a } _ { n } ^ { \dagger } { a } _ { n } - { b } _ { n } ^ { \dagger } { b } _ { n } \right) + \frac { e c L } { \pi } ,
r _ { c , i } ^ { v + 1 } \approx r _ { c , i } ^ { v } + \left( \frac { \partial r _ { c , i } } { \partial p _ { l } } \right) ^ { v } \delta p _ { l } ^ { v + 1 } + \left( \frac { \partial r _ { c , i } } { \partial z _ { c o _ { 2 } } } \right) ^ { v } \delta z _ { c o _ { 2 } } ^ { v + 1 } = 0 ,
\vec { F } _ { i } = \vec { F } _ { i } ^ { \mathrm { ~ a ~ t ~ t ~ - ~ r ~ e ~ p ~ } } + \vec { F } _ { i } ^ { \mathrm { ~ a ~ l ~ i ~ g ~ } } + \vec { F } _ { i } ^ { \mathrm { ~ f ~ r ~ i ~ c ~ - ~ p ~ r ~ o ~ p ~ } } + \vec { F } _ { i } ^ { \mathrm { ~ n ~ o ~ i ~ s ~ e ~ } } .
\begin{array} { r l } & { \langle N ( u ) \rangle _ { \lfloor n t \rfloor } = \bigg ( \frac { \beta } { \beta - a ( \beta + 1 ) } \bigg ) ^ { 2 } u ^ { T } \mathbb { E } \big [ X _ { 1 } X _ { 1 } ^ { T } \big ] u } \\ & { \quad \quad + \bigg ( \frac { \beta } { \beta - a ( \beta + 1 ) } \bigg ) ^ { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { { \lfloor n t \rfloor } - 1 } \frac { a ( \beta + 1 ) } { k \mu _ { k + 1 } } u ^ { T } \Sigma _ { k } u + \frac { 1 - a } { d } u ^ { T } u - \bigg ( \frac { \gamma _ { k } - 1 } { \mu _ { k + 1 } } \bigg ) ^ { 2 } u ^ { T } Y _ { k } Y _ { k } ^ { T } u . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ F ( x _ { k + 1 } ) - F ( x _ { k } ) | \mathcal { F } _ { k } ] } & { \le - \frac { \xi \alpha _ { k } } { 4 } \| \nabla F ( x _ { k } ) \| ^ { 2 } - \frac { \xi \alpha _ { k } } { 4 } \mathbb { E } [ \| q _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] + 2 \xi \alpha _ { k } \cdot \mathbb { E } [ \| \tilde { e } _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] } \\ & { \quad + \frac { 3 \xi \alpha _ { k } } { 2 } \left( 4 l _ { g , 1 } ^ { 2 } \lambda _ { k } ^ { 2 } \| y _ { k + 1 } - y _ { \lambda , k } ^ { * } \| ^ { 2 } + l _ { g , 1 } ^ { 2 } \lambda _ { k } ^ { 2 } \| z _ { k + 1 } - y _ { k } ^ { * } \| ^ { 2 } + C _ { \lambda } ^ { 2 } / \lambda _ { k } ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi ^ { - 1 } \left( \int _ { B } \right. } & { \phi ( | T _ { B } u ( x ) - m ( u ) | ) \left. \, \vphantom { \int } d x \right) = \phi ^ { - 1 } \left( \int _ { B } \phi ( ( T _ { B } u ( x ) - m ( u ) ) _ { + } ) \, d x + \int _ { B } \phi ( ( T _ { B } u ( x ) - m ( u ) ) _ { - } ) \, d x \right) } \\ & { \leq 2 \phi ^ { - 1 } \left( \int _ { 0 } ^ { \omega _ { d } / 2 } \phi ( ( T _ { B } u - m ( u ) ) _ { + } ^ { * } ( s ) ) \, d s \right) + 2 \phi ^ { - 1 } \left( \int _ { 0 } ^ { \omega _ { d } / 2 } \phi ( ( T _ { B } u - m ( u ) ) _ { - } ^ { * } ( s ) ) \, d s \right) } \\ & { = 2 \phi ^ { - 1 } \left( \int _ { 0 } ^ { \omega _ { d } / 2 } \phi \left( \int _ { s } ^ { \omega _ { d } / 2 } - \frac { d ( T _ { B } u ) ^ { 0 } } { d r } ( r ) \, d r \right) \, d s \right) } \\ & { \ \ \ + 2 \phi ^ { - 1 } \left( \int _ { 0 } ^ { \omega _ { d } / 2 } \phi \left( \int _ { s } ^ { \omega _ { d } / 2 } - \frac { d ( T _ { B } u ) ^ { 0 } } { d r } ( \omega _ { d } - r ) \, d r \right) \, d s \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \big ( k _ { \widetilde { \rho } } ^ { \prime } ( \gamma ) \big ) ( x ) } & { = \tau ( \widetilde { \rho } ( x ) ) - \tau ( \widetilde { \rho } ( \gamma ^ { - 1 } x \gamma ) ) } \\ & { = \tau ( \widetilde { \rho } ( x ) ) - \tau ( \widetilde { \rho ( \gamma ) } ^ { - 1 } \widetilde { \rho } ( x ) \widetilde { \rho ( \gamma ) } \circ T ^ { - n } ) } \\ & { = \tau ( \widetilde { \rho } ( x ) ) - \big ( \tau ( \widetilde { \rho ( \gamma ) } ^ { - 1 } \widetilde { \rho } ( x ) \widetilde { \rho ( \gamma ) } ) - n \big ) } \\ & { = \tau ( \widetilde { \rho } ( x ) ) - \tau ( \widetilde { \rho } ( x ) ) + n } \\ & { = n } \end{array}
i \int d ^ { 4 } x e ^ { i q x } < T j _ { \mu } ^ { f } ( x ) j _ { \nu } ^ { f } ( 0 ) > _ { 0 } = g _ { \mu \nu } Q ^ { 2 } \Pi ( Q , m _ { f } ) - Q _ { \mu } Q _ { \nu } \Pi ^ { \prime } ( Q , m _ { f } ) ,
{ \cal V } _ { 2 } \; = \; + \; \frac { m _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 } \; | \ell _ { 2 } | ^ { 2 } \; + \; \frac { \kappa _ { 2 } } { 3 } \; ( \ell _ { 2 } ^ { 3 } + \mathrm { c . c . } ) \; + \; \frac { \lambda _ { 2 } } { 4 } \; ( | \ell _ { 2 } | ^ { 2 } ) ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \vert \underline { H } _ { \nu ^ { \prime } } ( \tau , H _ { 0 } , \phi _ { 0 } , x _ { 0 } ) \vert } & { \le \widetilde C _ { \mathbf \nu ^ { \prime } } + \vert x _ { 0 } \vert K , } \\ { \vert \underline { \phi } _ { \nu ^ { \prime } } ( \tau , H _ { 0 } , \phi _ { 0 } , x _ { 0 } ) \vert } & { \le \widetilde C _ { \mathbf \nu ^ { \prime } } \vert x _ { 0 } \vert ^ { - 1 - \nu _ { 1 } - \nu _ { 4 } - \delta _ { i , 1 } - \delta _ { i , 4 } } + \frac { 2 } { 1 + \nu _ { 1 } + \nu _ { 4 } + \delta _ { i , 1 } + \delta _ { i , 4 } } \vert \tau - x _ { 0 } \vert ^ { - 1 - \nu _ { 1 } - \nu _ { 4 } - \delta _ { i , 1 } - \delta _ { i , 4 } } K } \\ & { \le \vert \tau - x _ { 0 } \vert ^ { - 1 - \nu _ { 1 } - \nu _ { 4 } - \delta _ { i , 1 } - \delta _ { i , 4 } } \left( \widetilde C _ { \mathbf \nu ^ { \prime } } + \frac { 2 K } { 1 + \nu _ { 1 } + \nu _ { 4 } + \delta _ { i , 1 } + \delta _ { i , 4 } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { t = } & { - \frac { \sqrt { A + B \sigma } } { A \sigma } + \frac { B \, } { ( - A ) ^ { 3 / 2 } } \mathrm { a r c t a n } \left( \frac { \sqrt { A + B \sigma } } { \sqrt { - A } } \right) + \frac { \sqrt { A + B } } { A } - \frac { B \, } { ( - A ) ^ { 3 / 2 } } \mathrm { a r c t a n } \left( \frac { \sqrt { A + B } } { \sqrt { - A } } \right) \, , } \end{array}
\mathcal { L } [ \widetilde { F } , \widetilde { G } , \{ \theta _ { n } \} _ { n = 1 } ^ { N } , \{ V _ { n } \} _ { n = 1 } ^ { N } ] : = \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \mathbb { E } _ { \{ x _ { t } \} \sim \mathcal { D } _ { n } } \! \left[ \mathcal { L } _ { n , \mathrm { h i d d e n } } [ \widetilde { F } , \theta _ { n } , V _ { n } ] + \lambda \, \mathcal { L } _ { n , \mathrm { o u t p u t } } [ \widetilde { F } , \widetilde { G } , \theta _ { n } ] \right] .
\frac { 1 } { s ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \int _ { 0 } ^ { \infty } x e ^ { - \sqrt { 2 } x } e ^ { \frac { - x ^ { 2 } } { 4 s } } ( e ^ { \frac { - x ^ { 2 } } { 4 s } ( 1 - \frac { 2 } { \sqrt { s } } ) } - e ^ { \frac { - x ^ { 2 } } { 4 s } } ) \widehat { \theta } ( d x ) \lesssim \frac { 1 } { \sqrt { s } \times s ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \int _ { 0 } ^ { \infty } x e ^ { - \sqrt { 2 } x } e ^ { \frac { - x ^ { 2 } } { 8 s } } \widehat { \theta } ( d x ) \lesssim \frac { R _ { 4 s } } { \sqrt { s } } .
\underline { { \underline { { R } } } } = \frac { 1 } { N } \sum _ { \alpha = 1 } ^ { N } \left( \mathbf { r } _ { \alpha } - \mathbf { r } _ { b } \right) \left( \mathbf { r } _ { \alpha } - \mathbf { r } _ { b } \right) ^ { T }
W = \int _ { V _ { 1 } } ^ { V _ { 2 } } p d V = p _ { 1 } V _ { 1 } ^ { n } \int _ { V _ { 1 } } ^ { V _ { 2 } } V ^ { - n } d V = { \frac { p _ { 1 } V _ { 1 } ^ { n } } { 1 - n } } ( V _ { 2 } ^ { 1 - n } - V _ { 1 } ^ { 1 - n } ) = { \frac { p _ { 1 } V _ { 1 } ^ { n } } { 1 - n } } V _ { 1 } ^ { 1 - n } \left( { \frac { V _ { 2 } ^ { 1 - n } } { V _ { 1 } ^ { 1 - n } } } - 1 \right) = { \frac { p _ { 1 } V _ { 1 } } { 1 - n } } \left( { \frac { V _ { 2 } ^ { 1 - n } } { V _ { 1 } ^ { 1 - n } } } - 1 \right) =
\frac { 1 } { 1 6 \pi G } \oint _ { \partial M } d ^ { 3 } \Omega \sqrt { h } \left( N ^ { \rho } h ^ { \mu \nu } \nabla _ { \mu } \delta g _ { \rho \nu } - N ^ { \mu } h ^ { \rho \nu } \nabla _ { \mu } \delta g _ { \rho \nu } \right) ,
\begin{array} { r l } { \left( \pm \tilde { \epsilon } _ { A 1 } - \tilde { \epsilon } _ { A 2 } \right) \delta \hat { \phi } _ { \pm } } & { { } = \frac { \mathrm { ~ i ~ } \omega _ { c i } \rho _ { i } ^ { 2 } } { 2 \omega _ { 0 } } \Lambda _ { k _ { 0 } } ^ { k _ { z } } \left( \begin{array} { c } { \delta \hat { \phi } _ { 0 } } \\ { \delta \hat { \phi } _ { 0 } ^ { * } } \end{array} \right) \left[ \left( c _ { \phi _ { 2 } } \pm c _ { \phi _ { 1 } } \right) \left( \delta \hat { \phi } _ { z } - \delta \hat { \psi } _ { z } \right) + \left( d _ { \phi _ { 2 } } \pm d _ { \phi _ { 1 } } \right) \delta \hat { \psi } _ { z } \right] , } \\ { \left( \pm \tilde { \epsilon } _ { A 1 } - \tilde { \epsilon } _ { A 2 } \right) \delta \hat { \psi } _ { \pm } } & { { } = \frac { \mathrm { ~ i ~ } \omega _ { c i } \rho _ { i } ^ { 2 } } { 2 \omega _ { 0 } } \Lambda _ { k _ { 0 } } ^ { k _ { z } } \left( \begin{array} { c } { \delta \hat { \phi } _ { 0 } } \\ { \delta \hat { \phi } _ { 0 } ^ { * } } \end{array} \right) \left[ \left( c _ { \psi _ { 2 } } \pm c _ { \psi _ { 1 } } \right) \left( \delta \hat { \phi } _ { z } - \delta \hat { \psi } _ { z } \right) + \left( d _ { \psi _ { 2 } } \pm d _ { \psi _ { 1 } } \right) \delta \hat { \psi } _ { z } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r } { ( \lambda _ { n } - \lambda _ { n } ^ { * } ) | R _ { 1 } ( x ) | / \mathcal { D } ( G _ { n } , G _ { * , n } ) \leq | R _ { 1 } ( x ) | / B _ { n } ^ { 2 } = O ( B _ { n } ^ { \gamma } ) \to 0 } \\ { \lambda _ { n } | R _ { 2 } ( x ) | / \mathcal { D } ( G _ { n } , G _ { * , n } ) \leq | R _ { 2 } ( x ) | / \left\{ ( A _ { n } + B _ { n } ) C _ { n } \right\} = O \biggr ( C _ { n } ^ { 2 + \gamma } / C _ { n } ^ { 2 } \biggr ) = O ( C _ { n } ^ { \gamma } ) \to 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \bigcup _ { K \in \mathcal { K } _ { 1 } ^ { L } } K \setminus \bigcup _ { K \in \mathcal { K } _ { 1 } ^ { R } } K = \bigcup _ { K \in \mathcal { K } _ { 1 } ^ { L } } K \setminus \bigcup _ { K \in \mathcal { K } _ { 1 } ^ { R } \cup \mathcal { K } _ { 2 } ^ { R } } K \subseteq A \setminus B , } \\ & { \bigcup _ { K \in \mathcal { K } _ { 1 } ^ { R } } K \setminus \bigcup _ { K \in \mathcal { K } _ { 1 } ^ { L } } K = \bigcup _ { K \in \mathcal { K } _ { 1 } ^ { R } } K \setminus \bigcup _ { K \in \mathcal { K } _ { 1 } ^ { L } \cup \mathcal { K } _ { 2 } ^ { L } \cup \mathcal { K } ^ { \mathcal { P } } } K \subseteq B \setminus A . } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { R _ { 1 } } ^ { ( 1 ) } ( x , y ) } & { = \frac { \textrm { i } e ^ { \textrm { i } k _ { + } | x | } } { 4 \pi } \left( \int _ { - \infty } ^ { + \infty } g _ { 1 } ( 0 ) e ^ { - | x | s ^ { 2 } } d s + \int _ { - \infty } ^ { + \infty } g _ { 1 } ^ { \prime } ( 0 ) s e ^ { - | x | s ^ { 2 } } d s + \frac { \textrm { i } e ^ { \textrm { i } k _ { + } | x | } } { 4 \pi } G _ { R _ { 1 } , R e s } ^ { ( 1 ) } ( x , y ) \right) } \\ & { = - \frac { e ^ { \textrm { i } k _ { + } r ^ { \prime } } } { \sqrt { r ^ { \prime } } } \frac { \textrm { i } \sin \theta ( 1 + \cos \theta ) } { 2 \sqrt { \pi } ( n ^ { 2 } - 1 ) k _ { + } } + G _ { R _ { 1 } , R e s } ^ { ( 1 ) } ( x , y ) } \end{array}
K _ { v } = R ^ { \ast } \left( \frac { \rho _ { w } ^ { \ast } \omega ^ { \ast } } { \mu _ { w } ^ { \ast } } \right) ^ { 1 / 2 } = R \left( \frac { k _ { x } \mathrm { R } _ { \lambda } } { \mu _ { w } T _ { w } } \right) ^ { 1 / 2 } \gg 1
\begin{array} { r l } { \eta _ { 4 k n - 4 k + 1 + i } = } & { \eta _ { i - 4 k + 1 } \prod _ { s = 0 } ^ { n - 1 } \frac { 1 + b \left( \prod _ { j = 0 } ^ { k - 1 } { \eta _ { \tau ( i ) - 4 k + 1 + 4 j } } \right) ( k s + \lfloor \frac { i } { 4 } \rfloor ) } { 1 + b \left( \prod _ { j = 0 } ^ { k - 1 } { \eta _ { \tau ( i ) - 4 k + 1 + 4 j } } \right) ( k s + \lfloor \frac { i } { 4 } \rfloor + 1 ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { d \exp \left( L ^ { 2 } \left( \frac { \sigma ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } \left( e ^ { L \theta } - L \theta - 1 \right) + \frac { \sigma ^ { 2 } \lambda \theta ^ { 2 } e ^ { 2 L \theta } } { 1 - \lambda e ^ { L \theta } } \right) \right) } \\ { \leq \, } & { d \exp \left( L ^ { 2 } \left( \frac { \sigma ^ { 2 } } { L ^ { 2 } } \left( e ^ { L \theta } - L \theta - 1 \right) + \frac { \sigma ^ { 2 } \lambda \theta ^ { 2 } } { 1 - \lambda - 2 L \theta } \right) \right) . } \end{array}