harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathcal { L } ( \{ \mathcal { D } _ { k } \} _ { k = 1 } ^ { M } ; \theta , \{ H _ { k } \} _ { k = 1 } ^ { M } ) = \frac { 1 } { M } \sum _ { k = 1 } ^ { M } \mathcal { L } _ { k } ( \mathcal { D } _ { k } ; \theta , H _ { k } ) ,
\begin{array} { r l } { F ( s ) } & { { } = \int _ { 0 } ^ { \infty } d k _ { \perp } ^ { \prime \prime } \frac { k _ { \perp } ^ { \prime \prime } \, \, e ^ { - k _ { \perp } ^ { \prime \prime } ( 2 7 s + 1 6 ) } I ( k _ { \perp } ^ { \prime \prime } , s ) } { 4 8 \pi \left( e ^ { 2 k _ { \perp } ^ { \prime \prime } } - 1 \right) \left[ - 2 e ^ { 2 k _ { \perp } ^ { \prime \prime } } \left( 2 k _ { \perp } ^ { 2 } + 1 \right) + e ^ { 4 k _ { \perp } ^ { \prime \prime } } + 1 \right] ^ { 2 } } , } \\ { G ( s ) } & { { } = \int _ { 0 } ^ { \infty } d k _ { \perp } ^ { \prime \prime } \frac { e ^ { - k _ { \perp } ^ { \prime \prime } ( 2 7 s + 1 6 ) } J ( k _ { \perp } ^ { \prime \prime } , s ) } { 1 9 2 \pi \, k _ { \perp } ^ { 2 } \left( e ^ { 2 k _ { \perp } ^ { \prime \prime } } - 1 \right) \left[ - 2 e ^ { 2 k _ { \perp } ^ { \prime \prime } } \left( 2 k _ { \perp } ^ { 2 } + 1 \right) + e ^ { 4 k _ { \perp } ^ { \prime \prime } } + 1 \right] ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle { \bf S } \rangle } & { = } & { \left( \begin{array} { c } { \langle { \bf \sigma _ { x } } \rangle } \\ { \langle { \bf \sigma _ { y } } \rangle } \\ { \langle { \bf \sigma _ { z } } \rangle } \end{array} \right) } \\ & { = } & { \left( \begin{array} { c } { \psi _ { z } ^ { * } ( t ) { \bf \sigma _ { x } } \psi _ { z } ( t ) } \\ { \psi _ { z } ^ { * } ( t ) { \bf \sigma _ { y } } \psi _ { z } ( t ) } \\ { \psi _ { z } ^ { * } ( t ) { \bf \sigma _ { z } } \psi _ { z } ( t ) } \end{array} \right) } \\ & { = } & { \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) , } \end{array}
\leq \mathbb { E } \left[ \int _ { 0 } ^ { 1 } \left| \left| f _ { \lambda } ^ { \prime } ( t ) \right| - \left| \hat { f } _ { n , \lambda } ^ { \prime } ( t , \mathbf { a } _ { n } , f ) \right| \right| ^ { 2 } \, \mathrm { d } t \right] = \int _ { 0 } ^ { 1 } \mathbb { E } \left[ \left| \left| f _ { \lambda } ^ { \prime } ( t ) \right| - \left| \hat { f } _ { n , \lambda } ^ { \prime } ( t , \mathbf { a } _ { n } , f ) \right| \right| ^ { 2 } \right] \, \mathrm { d } t = \int _ { 0 } ^ { 1 } { v _ { n , \lambda } ^ { \prime } ( t ) } \, \mathrm { d } t
{ \Phi } ^ { \prime ( 1 ) } = \cos \beta { \Phi } ^ { ( 1 ) } + \mathrm { { e } } ^ { - { \mathrm { i } } { \eta } } \sin \beta { \Phi } ^ { ( 2 ) } , \quad { \Phi } ^ { \prime ( 2 ) } = - \sin \beta { \Phi } ^ { ( 1 ) } + \mathrm { { e } } ^ { - { \mathrm { i } } { \eta } } \cos \beta { \Phi } ^ { ( 2 ) } ,
\begin{array} { c c l } { { Q } } & { { = } } & { { ( \frac { - 1 } { 5 } ) X + ( \frac { 6 } { 5 } z ) { \frac { Y } { 2 } } = 2 \; I _ { 3 R } + ( \frac { 6 } { 5 } \epsilon ) \; { \frac { Y } { 2 } } , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \tilde { r } } \frac { \partial } { \partial \tilde { r } } \left[ \tilde { r } \frac { \partial \psi } { \partial \tilde { r } } \right] + \frac { 1 } { \tilde { r } ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } \psi } { \partial \tilde { \phi } ^ { 2 } } = } & { { } \frac { 2 \tilde { r } ^ { 2 } - r _ { b } ^ { 2 } } { 2 \tilde { r } \sqrt { \tilde { r } ^ { 2 } - r _ { b } ^ { 2 } } } \theta ( \tilde { r } - r _ { b } ) - 1 } \end{array}
{ \hat { x } } _ { C } ^ { I } = 2 t \partial _ { t } ^ { 2 } - 2 u \partial _ { u } ^ { 2 } - 2 t \partial _ { t } + 2 u \partial _ { u } + ( 2 p _ { 1 } + 1 ) \partial _ { t } - ( 2 p _ { 2 } + 1 ) \partial _ { u } - p _ { 1 } + p _ { 2 } \ ,
\mathrm { \bf B } = \mathrm { \bf A _ { k } ^ { T } } \mathrm { \bf E _ { k } ^ { - 1 / \ m u } } \mathrm { \bf A _ { k } } + \mathrm { \bf A _ { l } ^ { T } } \mathrm { \bf E _ { l } ^ { - 1 / \ m u } } \mathrm { \bf A _ { l } }
\lambda _ { 1 } \leq - 3 \lambda _ { 2 } + { \frac { \alpha _ { s } ( \Delta ) } { \pi } } \Delta ^ { 2 } \left( { \frac { 4 } { 3 } } \right) + { \frac { \alpha _ { s } ^ { 2 } ( \Delta ) } { \pi ^ { 2 } } } \beta _ { 0 } \Delta ^ { 2 } \left( { \frac { 1 3 } { 9 } } - { \frac { 2 \ln 2 } { 3 } } \right) .
T _ { 1 } = \frac { - N _ { f } / 2 + N _ { c } } { 2 \pi i } , \ \ T _ { 0 } = - \frac { 1 } { 4 \pi i } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { f } } m _ { i } , \ \ \frac { \partial F } { \partial T _ { 1 } } = 2 u - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { f } } m _ { i } ^ { 2 }
\begin{array} { r } { ( \alpha _ { i j } ) _ { \mathrm { ~ f ~ i ~ } } = \langle \Psi _ { \mathrm { ~ f ~ } } | \alpha _ { i j } | \Psi _ { \mathrm { ~ i ~ } } \rangle \; , \quad i , j = 1 ( x ) , 2 ( y ) , 3 ( z ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { H } = \left( \begin{array} { l l } { \epsilon ( \mathbf { k } ) + \Omega _ { z } } & { \beta _ { 0 } k ^ { 2 } e ^ { 2 i \theta } } \\ { \beta _ { 0 } k ^ { 2 } e ^ { - 2 i \theta } } & { \epsilon ( \mathbf { k } ) - \Omega _ { z } } \end{array} \right) \textrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } \Vert \mathcal { L } _ { \tau _ { 0 } , \tau _ { 1 } , s + i t } \Vert _ { \mathrm { H S } , h } ^ { 2 } d t } & { = \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } \Sigma ^ { ( 1 ) } ( s + i t ) d t + \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } \Sigma ^ { ( 2 ) } ( s + i t ) d t } \\ & { \ll + } \\ & { \ll _ { \epsilon } T ^ { 2 \delta - 2 \sigma } \tau _ { 1 } ^ { - \delta + 2 \sigma } + T ^ { 2 \delta - 2 \sigma + \epsilon } \tau _ { 1 } ^ { - 2 \delta + 2 \sigma } \cdot \tau _ { 1 } ^ { - 1 } T ^ { - \delta / 2 } } \\ & { = T ^ { 2 \delta - 2 \sigma + \epsilon } \tau _ { 1 } ^ { - 2 \delta + 2 \sigma } \cdot \left( \tau _ { 1 } ^ { \delta } + \tau _ { 1 } ^ { - 1 } T ^ { - \delta / 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { w _ { i \to \alpha } } & { { } = } & { \sum _ { \beta \in N ( i ) \setminus \alpha } v _ { \beta \to i } , } \\ { v _ { \alpha \to i } } & { { } = } & { p _ { H } ^ { [ m _ { \alpha } ] } p _ { N } ^ { m _ { \alpha } - 1 } \sum _ { j \in N ( \alpha ) \setminus i } w _ { j \to \alpha } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \left[ \frac { \partial { \bf q } ^ { T } } { \partial \boldsymbol { \gamma } } \right] } & { { } = \frac { \partial } { \partial \boldsymbol { \gamma } } \left[ \frac { d s } { d t } \dot { \bf q } \right] ^ { T } = \frac { \partial } { \partial \boldsymbol { \gamma } } \left[ \frac { v } { \cos \psi } \frac { \partial { \cal H } _ { s } } { \partial { \bf p } } \right] ^ { T } \, , } \\ { \frac { d } { d t } \left[ \frac { \partial { \bf p } ^ { T } } { \partial \boldsymbol { \gamma } } \right] } & { { } = \frac { \partial } { \partial \boldsymbol { \gamma } } \left[ \frac { d s } { d t } \dot { \bf p } \right] ^ { T } = - \frac { \partial } { \partial \boldsymbol { \gamma } } \left[ \frac { v } { \cos \psi } \frac { \partial { \cal H } _ { s } } { \partial \bf { q } } \right] ^ { T } \, . } \end{array}
\rho _ { \mathrm { \tiny ~ A P } } ( a , B ) = { \frac { e B m } { \pi ^ { 2 } a ^ { 2 } } } ( a m ) ^ { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { n } } \, K _ { 1 } ( a m n ) \; .
\begin{array} { r l } { A _ { 1 } } & { : = \mathbb { E } _ { \rho _ { a _ { \star } } } \bigl [ - \nabla _ { \theta } \nabla _ { \theta } \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } ( \theta ) ( \theta - m _ { \star } ) \bigr ] , } \\ { A _ { 2 } } & { : = \mathbb { E } _ { \rho _ { a _ { \star } } } [ - \nabla _ { \theta } \nabla _ { \theta } \log \rho _ { \mathrm { p o s t } } ( \theta ) ( \theta - m _ { \star } ) ^ { 2 } ] \geq 0 . } \end{array}
C _ { F } ( g \mu ^ { \epsilon } ) ^ { 2 } \int { \frac { d ^ { 4 - 2 \epsilon } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 - 2 \epsilon } } } \; { \frac { { \cal C } _ { \{ \gamma , Z \} \bar { t } } ( L , W ^ { - } , W ^ { + } ) } { k ^ { 2 } ( k ^ { 2 } - 2 k \cdot p _ { \bar { b } } ) ( k ^ { 2 } - 2 k \cdot p _ { \bar { t } } ) } }
\int x ^ { m } \left( a + b \, x ^ { n } + c \, x ^ { 2 n } \right) ^ { p } d x = { \frac { ( m + n ( 2 p + 1 ) + 1 ) x ^ { m - n + 1 } \left( a + b \, x ^ { n } + c \, x ^ { 2 n } \right) ^ { p + 1 } } { b \, n ^ { 2 } ( p + 1 ) ( 2 p + 1 ) } } \, - \, { \frac { x ^ { m + 1 } \left( b + 2 c \, x ^ { n } \right) \left( a + b \, x ^ { n } + c \, x ^ { 2 n } \right) ^ { p } } { b \, n ( 2 p + 1 ) } } \, - \, { \frac { ( m - n + 1 ) ( m + n ( 2 p + 1 ) + 1 ) } { b \, n ^ { 2 } ( p + 1 ) ( 2 p + 1 ) } } \int x ^ { m - n } \left( a + b \, x ^ { n } + c \, x ^ { 2 n } \right) ^ { p + 1 } d x
\begin{array} { r l } { \int _ { - 1 } ^ { 1 } \int _ { - 1 } ^ { 1 } } & { G _ { x x } ( x , \tau ) ( \alpha f ^ { \prime \prime } ( \tau ) - \mathcal H f ^ { \prime } ( \tau ) ) g ^ { \prime \prime } ( x ) d x + \int _ { - 1 } ^ { 1 } \frac { \gamma } { 6 } ( 3 x ^ { 2 } - 1 ) g ^ { \prime \prime } ( x ) d x } \\ & { = \int _ { - 1 } ^ { 1 } ( \alpha f ^ { \prime \prime } ( \tau ) - \mathcal H f ^ { \prime } ( \tau ) ) g ( \tau ) d \tau + \int _ { - 1 } ^ { 1 } \gamma g ( x ) d x } \\ & { = - \int _ { - 1 } ^ { 1 } ( \alpha f ^ { \prime } ( x ) g ^ { \prime } ( x ) + \mathcal H f ^ { \prime } ( x ) g ( x ) ) d x + \int _ { - 1 } ^ { 1 } \gamma g ( x ) d x } \end{array}
\mathbf { \tilde { c } } _ { \lambda } = ( \mathbf { v } ^ { \mathrm { ~ T ~ } } \mathbf { v } + \lambda ^ { 2 } \mathbf { I } ) ^ { - 1 } \mathbf { v } ^ { \mathrm { ~ T ~ } } \mathbf { q } = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( \frac { \sigma _ { i } ^ { 2 } } { \sigma _ { i } ^ { 2 } + \lambda ^ { 2 } } \right) \frac { \mathbf { u } _ { i } ^ { \mathrm { ~ T ~ } } \mathbf { q } } { \sigma _ { i } } \mathbf { v } _ { i }
\begin{array} { r c l } { { G ^ { \alpha \beta } + { \frac { T _ { K K 1 1 } \kappa } { 2 \sqrt { | g | } } } \int d ^ { 7 } \xi \sqrt { | \gamma | } k ^ { 4 / 7 } \gamma ^ { i j } \left\{ - \frac { 2 } { 3 } k ^ { - 2 } k ^ { \alpha } k ^ { \beta } \Pi _ { i j } + \partial _ { i } X ^ { \alpha } \partial _ { j } X ^ { \beta } \right. } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \left. - 2 k ^ { - 3 } k ^ { \alpha } k ^ { \beta } k _ { i } k _ { j } - 2 k ^ { - 2 } k ^ { ( \alpha } \partial _ { i } X ^ { \beta ) } k _ { j } \right\} \delta ^ { ( 1 0 ) } ( x - X ) } } & { { = } } & { { 0 \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \tilde { \nabla } ^ { 2 } X ^ { \rho } + \tilde { \Gamma } _ { \mu \nu } { } ^ { \rho } \partial _ { k } X ^ { \mu } \partial ^ { k } X ^ { \nu } } } & { { = } } & { { 0 \, , } } \end{array}
\begin{array} { r } { B = - m _ { \lambda } \left( \begin{array} { l l l l } { \frac { 1 } { m _ { 1 } } } & & & \\ & { \frac { 1 } { m _ { 2 } } } & & \\ & & { \ddots } & \\ & & & { \frac { 1 } { m _ { N } } } \end{array} \right) + \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 1 } & { \ldots } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { \ldots } & { 1 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 1 } & { 1 } & { \ldots } & { 1 } \end{array} \right) } \end{array}
\left( \prod _ { v \in \cal B } r ( \bar { \zeta } _ { v } ) { h ( | v | N , \bar { \zeta } _ { v } ) } \prod _ { i , j } \psi _ { i , j } ( U _ { \sigma _ { i } , \sigma _ { j } } ) \prod _ { i } \tilde { \varphi } _ { i } ( \bar { \zeta } _ { V _ { \sigma _ { i } } } ) { \frac { h ^ { \infty } ( \bar { \zeta } _ { V _ { \sigma _ { i } } } ) } { h ( t N , \bar { \zeta } _ { V _ { \sigma _ { i } } } ) } } , \ N \in \mathbb { N } \right)
\left( q _ { \mathrm { r e d } } , q _ { \mathrm { g r n } } , q _ { \mathrm { b l u } } \right) \rightarrow \left( q _ { \mathrm { r e d } } , q _ { \mathrm { g r n } } , q _ { \mathrm { b l u } } \right) \exp ( - \mathrm { i } \theta _ { a } \lambda _ { a } ^ { \ast } / 2 )
a ( x , z ) = \sum _ { \alpha , \beta } \widetilde { a } _ { \alpha , + \beta } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( \alpha x + \beta z ) } + \widetilde { a } _ { \alpha , - \beta } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( \alpha x - \beta z ) } + \mathrm { ~ c ~ . ~ c ~ . ~ } .
\begin{array} { r l } { \Lambda = } & { { } \vec { \xi } \otimes \vec { w } ( z _ { 0 } ) ^ { \top } , } \\ { = } & { { } \vec { \xi } \otimes 1 ^ { \top } , } \\ { \vec { 1 } = } & { { } \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { \vdots } \\ { 1 } \end{array} \right) , } \end{array}
\left\langle U _ { \lambda } \left( w \right) \right\rangle _ { w ^ { \prime } } ^ { \left( { \it G } _ { 1 } \right) _ { X _ { i ^ { \prime } } ^ { \prime } } } = \left\{ \prod _ { j ^ { \prime } \in J _ { X _ { i ^ { \prime } } ^ { \prime } } } e ^ { q _ { 1 } ( L ^ { d } - 1 ) r ( L ^ { \beta } t _ { j ^ { \prime } } ^ { \prime } ) } \right\} ^ { - 1 } \times
\begin{array} { r l } { \left( \rho _ { L } , U _ { L } , P _ { L } , c _ { L } \right) } & { { } = \left( \rho _ { i } , - \textbf { v } _ { i } \cdot \textbf { e } _ { i j } , p _ { i } , c _ { i } \right) } \\ { \left( \rho _ { R } , U _ { R } , P _ { R } , c _ { R } \right) } & { { } = \left( \rho _ { j } , - \textbf { v } _ { j } \cdot \textbf { e } _ { i j } , p _ { j } , c _ { j } \right) , } \end{array}
I ( m ) = \int _ { 0 } ^ { + \infty } d x \exp \left[ 2 \pi i x ( c _ { 0 } + m + \lambda ) + \frac { i \pi } { 2 K } \frac { P } { H } \left( x + \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \frac { \mu _ { i } } { p _ { i } } \right) ^ { 2 } \right]
\begin{array} { r } { c _ { \xi } + \underset { n \rightarrow \infty } { \operatorname* { l i m } } \sum _ { \zeta \in \Xi \setminus \lbrace \xi \rbrace } c _ { \zeta } \left( \frac { 2 } { \sqrt { 2 \pi j _ { n } \sin ( \theta _ { \zeta } ) } } \cos \left( \left( j _ { n } + \frac 1 2 \right) \theta _ { \zeta } - \frac { \pi } { 4 } \right) + \mathcal { O } \left( j _ { n } ^ { - 3 / 2 } \right) \right) = 0 } \end{array}
L _ { 0 } / \eta \sim R e _ { L } ^ { 3 / 4 } , \quad \; \lambda / \eta \sim R e _ { L } ^ { 1 / 4 } , \quad \; u _ { 0 } / u _ { \eta } \sim R e _ { L } ^ { 1 / 4 } , \quad \; T _ { 0 } / \tau _ { \eta } \sim R e _ { L } ^ { 1 / 2 } ,
\begin{array} { r l r } { \Lambda _ { \pm } } & { = } & { \frac { \omega } { c } \int \left( \pm \mathrm { I m } \left[ \chi _ { + } \right] + \mathrm { I m } \left[ \chi _ { - } \right] \right) d z \, , } \\ { \delta } & { = } & { \frac { \omega } { c } \int \left( \mathrm { R e } \left[ \chi _ { - } \right] - \mathrm { R e } \left[ \chi _ { + } \right] \right) d z \, . } \end{array}
\frac { 1 } { ( k ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) ( k ^ { 2 } + \alpha m ^ { 2 } ) } ~ = ~ \frac { 1 } { ( 1 - \alpha ) m ^ { 2 } } \left[ \frac { 1 } { ( k ^ { 2 } + \alpha m ^ { 2 } ) } ~ - ~ \frac { 1 } { ( k ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) } \right]
\begin{array} { r l } & { \mu _ { \mathfrak { B } } ( A _ { \Delta } + ( \mathbf { z } , \mathbf { z } ) ) } \\ & { \ge \mu _ { \mathfrak { B } } ( A _ { \Delta } ) \operatorname* { s u p } _ { ( \mathbf { x } , \mathbf { y } ) \in A } \exp \left( - \frac { k ^ { 3 } ( \sqrt { t } + D ) ^ { 2 } } { s } - \frac { k ( \sqrt { t } + D ) \sum _ { i = 1 } ^ { k } ( ( x _ { i } - \mathfrak { A } _ { i } ( - s ) ) ^ { + } + ( y _ { i } - \mathfrak { A } _ { i } ( - s ) ) ^ { + } ) } { s } \right) } \\ & { \ge \mu _ { \mathfrak { B } } ( A _ { \Delta } ) \exp \left( - \frac { 4 k ^ { 3 } D ^ { 2 } } { s } - \frac { 4 k ^ { 2 } D \Delta } { s } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { 1 } ( u ) } & { : = \ensuremath { { \mathbb E } } \left[ \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Lambda } l ( t , x , u _ { t } ( x ) ) \mathrm { d } x d t + \int _ { \Lambda } m ( x , u _ { T } ( x ) ) d x \right] , } \\ { J _ { 2 } ( \mathfrak { g } ) } & { : = \ensuremath { { \mathbb E } } \left[ \int _ { 0 } ^ { T } \| \mathfrak { g } _ { t } \| _ { L ^ { 2 } ( \Lambda ) } ^ { 2 } d t \right] , } \end{array}
\phi _ { f } \; : = \; ( \; A ^ { \mu } , \psi , \overline { { { \psi } } } \, ) \; = \; ( \; A ^ { \mu } , \psi _ { u } , \overline { { { \psi } } } _ { u } , \psi _ { d } , \overline { { { \psi } } } _ { d } , \ldots \, ) \; , \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; f \; = \; g , u , \bar { u } , d , \bar { d } , \ldots \; .
X _ { j i } = \frac { 1 } { q - q ^ { - 1 } } ( X _ { j - 1 \, i + 1 } \Phi ( F _ { i } ) X _ { j - 1 \, i + 1 } ^ { - 1 } - X _ { j \, i + 1 } \Phi ( F _ { i } ) X _ { j \, i + 1 } ^ { - 1 } ) , \; 2 \leq j \leq n - i .
Y _ { \tau } ^ { i } ( \boldsymbol { \theta } ) Y _ { \tau } ^ { j } ( \boldsymbol { \theta } ) = a ^ { 2 } \mathrm { ~ } \left( \frac { \tau } { 2 } \right) ^ { 2 } \left\vert \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right\vert ^ { - \tau } \left\{ C _ { 1 } + C _ { 2 } + C _ { 3 } + C _ { 4 } + C _ { 5 } + C _ { 6 } + C _ { 7 } + C _ { 8 } + C _ { 9 } \right\}
\arctan ( x ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { 2 ^ { 2 n } ( n ! ) ^ { 2 } } { ( 2 n + 1 ) ! } } \; { \frac { x ^ { 2 n + 1 } } { ( 1 + x ^ { 2 } ) ^ { n + 1 } } } .
\left\| W _ { L } g \right\| _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( D ; \mathbb { R } ^ { d _ { L + 1 } } ) } ^ { 2 } \leq \int _ { D } \underbracket { \left\| W _ { L } g ( x ) \right\| _ { 2 } ^ { 2 } } _ { \leq \left\| W _ { L } \right\| _ { \mathrm { F } } ^ { 2 } \left\| g ( x ) \right\| _ { 2 } ^ { 2 } } d x \underset { \mathrm { A s s u m p t i o n } ( i ) } { \leq } C _ { w } ^ { 2 } \left\| g \right\| _ { \mathrm { L } ^ { 2 } ( D ; \mathbb { R } ^ { d _ { L } } ) } ^ { 2 } ,
V ( H _ { 1 } , H _ { 2 } ) = \frac { 1 } { 8 } ( g _ { 2 } ^ { 2 } + g _ { 1 } ^ { 2 } ) \left( | H _ { 1 } | ^ { 2 } - | H _ { 2 } | ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + m _ { 1 } ^ { 2 } | H _ { 1 } | ^ { 2 } + m _ { 2 } ^ { 2 } | H _ { 2 } | ^ { 2 } - m _ { 3 } ^ { 2 } ( H _ { 1 } H _ { 2 } + \mathrm { h . c . } )
B = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { ( - 1 ) ^ { i + k - 1 } \pi ^ { 2 ( j + 1 ) } } { 6 ^ { j + 1 } 2 ^ { i } ( k - 1 ) ! } } & { \mathrm { i n ~ t h e ~ F ( z ) = P ( z ) ~ c a s e } } \\ { \frac { ( - 1 ) ^ { i + k - 1 } \pi ^ { 2 ( j + 1 ) } } { 6 ^ { j + 1 } 2 ^ { i + 1 } ( k - 1 ) ! } } & { \mathrm { i n ~ t h e ~ F ( z ) = Q ( z ) ~ c a s e } } \end{array} \right.
V _ { F } = \left\{ v _ { F } \in L ^ { 2 } ( \Omega _ { F } ) : v _ { F } | _ { \kappa _ { F } } \in \mathbb { P } ^ { 0 } ( \kappa _ { F } ) , \forall \kappa _ { F } \in \mathcal { T } _ { F } \right\}
\begin{array} { r } { E _ { \mathrm d } ^ { ( \alpha ) } = E _ { \mathrm { k i n } } + \int \mathrm { d } x \, \frac 1 2 ( m \omega ^ { 2 } + 2 \beta N ) \, x ^ { 2 } \, n ( x ) \, . } \end{array}
p ( k , \nu , B _ { 0 } , P ) = - \frac { \sqrt { 2 } \, P } { 1 + P ^ { 2 } } \, B _ { 0 } ^ { 2 } + 2 \biggl ( \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } - \nu \biggr ) k ^ { 2 } - \frac { 3 } { \sqrt { 2 } } \, k ^ { 4 } + \cdots ,
\begin{array} { r l } { 2 ( \nabla _ { h } \tilde { \mu } ^ { n + 1 } , \nabla _ { h } \Delta _ { h } \tilde { \phi } ^ { n + 1 } ) = } & { 2 ( \nabla _ { h } \mathcal { L } ^ { n + 1 } , \nabla _ { h } \Delta _ { h } \tilde { \phi } ^ { n + 1 } ) - 2 \varepsilon ^ { 2 } \| \nabla _ { h } \Delta _ { h } \tilde { \phi } ^ { n + 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ { \leq } & { 4 \varepsilon ^ { - 2 } \| \nabla _ { h } \mathcal { L } ^ { n + 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } - \frac { 7 \varepsilon ^ { 2 } } { 4 } \| \nabla _ { h } \Delta _ { h } \tilde { \phi } ^ { n + 1 } \| _ { 2 } ^ { 2 } . } \end{array}
{ \cal A } _ { 0 } ( x _ { 0 } , { \bf x } ) = x _ { 0 } ^ { d / 2 } \int { \frac { d ^ { d } k } { ( 2 \pi ) ^ { d } } } e ^ { - i { \bf k } \cdot { \bf x } } a _ { 0 } ( { \bf k } ) K _ { \nu } ( | { \bf k } | x _ { 0 } ) ,
\begin{array} { r l } { \dot { u } _ { n } } & { { } = \frac { i } { 3 } \Phi _ { n } ^ { ( \varepsilon ) } ( u , u ) - \gamma _ { u } ( k _ { n } ) u _ { n } + f _ { n } ^ { ( a ) } } \\ { \dot { P } _ { n } } & { { } = \frac { i } { 3 } \Phi _ { n } ^ { ( \varepsilon ) } ( u , P ) + \frac { i } { 3 } w \Phi _ { n } ^ { ( \varepsilon ) } ( P , P ) - \frac { i } { 3 } \Phi _ { n } ^ { ( \varepsilon ) } ( P , u ) - \gamma _ { P } ( k _ { n } ) P _ { n } - \Gamma P _ { n } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ \nabla \phi _ { 0 } \cdot \nabla \bar { \phi } \right] ( e ^ { i \varphi } ) = \phi _ { 0 } ^ { \prime } ( 1 ) \partial _ { r } \bar { \phi } ( 1 , \varphi ) = \phi _ { 0 } ^ { \prime } ( 1 ) \sum _ { n \in \mathbb { Z } } ( | n | + 1 ) \hat { \xi } _ { n } [ g ] A _ { n } ^ { \prime } ( 1 ) e ^ { i n \varphi } . } \end{array}
{ \frac { 1 } { 2 } } ( 1 - \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } ) \{ a _ { 1 } \sigma _ { 1 } + a _ { 2 } \sigma _ { 2 } \} ( 1 - \sigma _ { 2 } \sigma _ { 1 } ) = a _ { 1 } \sigma _ { 2 } - a _ { 2 } \sigma _ { 1 }
\begin{array} { r l } { \frac { \partial E _ { \mathrm { A } } } { \partial z } + \frac { 1 } { v _ { \mathrm { g } } } \frac { \partial E _ { \mathrm { A } } } { \partial t } } & { { } = i g _ { \mathrm { c o } } E _ { \mathrm { B } } } \\ { \frac { \partial E _ { \mathrm { B } } } { \partial z } + \frac { 1 } { v _ { \mathrm { g } } } \frac { \partial E _ { \mathrm { B } } } { \partial t } } & { { } = i g _ { \mathrm { c o } } E _ { \mathrm { A } } } \end{array}
\frac { \partial \nabla ^ { 2 } { v } } { \partial t } = \frac { \partial ^ { 2 } H _ { x } } { \partial x \partial y } - \frac { \partial ^ { 2 } H _ { y } } { \partial x ^ { 2 } } + \sqrt { \frac { P r } { R a } } \nabla ^ { 4 } { v } + \frac { \partial ^ { 2 } T } { \partial x ^ { 2 } } ,
\frac { \partial \phi ( x , t ) } { \partial t } = \frac { \delta H [ \pi ( x , t ) , \phi ( x , t ) ] } { \delta \pi ( x , t ) } \; \; \; , \; \; \; \frac { \partial \pi ( x , t ) } { \partial t } = - \frac { \delta H [ \pi ( x , t ) , \phi ( x , t ) ] } { \delta \phi ( x , t ) } \; \; .
\begin{array} { r l } & { \operatorname { I n d } _ { P _ { 0 } ( \mathbb { R } ) } ^ { G ( \mathbb { R } ) } \left( \operatorname { s g n } ^ { \lambda _ { 2 } } | \cdot | ^ { - \lambda _ { 2 } } \boxtimes \operatorname { s g n } ^ { \lambda _ { 1 } + 1 } | \cdot | ^ { \lambda _ { 1 } } \right) } \\ & { \qquad \oplus \operatorname { I n d } _ { P _ { 0 } ( \mathbb { R } ) } ^ { G ( \mathbb { R } ) } \left( \operatorname { s g n } ^ { \lambda _ { 1 } } | \cdot | ^ { \lambda _ { 1 } } \boxtimes \operatorname { s g n } ^ { \lambda _ { 2 } + 1 } | \cdot | ^ { - \lambda _ { 2 } } \right) \oplus \operatorname { I n d } _ { P _ { 0 } ( \mathbb { R } ) } ^ { G ( \mathbb { R } ) } \left( \operatorname { s g n } ^ { \lambda _ { 1 } + 1 } | \cdot | ^ { \lambda _ { 1 } } \boxtimes \operatorname { s g n } ^ { \lambda _ { 2 } } | \cdot | ^ { - \lambda _ { 2 } } \right) } \\ & { \qquad \qquad \oplus \operatorname { I n d } _ { P _ { 0 } ( \mathbb { R } ) } ^ { G ( \mathbb { R } ) } \left( \operatorname { s g n } ^ { \lambda _ { 1 } } | \cdot | ^ { \lambda _ { 1 } } \boxtimes \operatorname { s g n } ^ { \lambda _ { 2 } + 1 } | \cdot | ^ { \lambda _ { 2 } } \right) \oplus \operatorname { I n d } _ { P _ { 0 } ( \mathbb { R } ) } ^ { G ( \mathbb { R } ) } \left( \operatorname { s g n } ^ { \lambda _ { 1 } + 1 } | \cdot | ^ { \lambda _ { 1 } } \boxtimes \operatorname { s g n } ^ { \lambda _ { 2 } } | \cdot | ^ { \lambda _ { 2 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu _ { n } } & { = n ( n - 1 ) \operatorname* { P r } ( H _ { 1 } ^ { ( 1 ) } = H _ { 2 } ^ { ( 1 ) } ) } \\ & { = n ( n - 1 ) \sum _ { h ^ { | \mathfrak { X } | } } \operatorname* { P r } ( H _ { 1 } ^ { ( 1 ) } = h ^ { | \mathfrak { X } | } ) ^ { 2 } } \\ & { = n ( n - 1 ) \sum _ { m _ { 1 } + \dots + m _ { | \mathfrak { X } | } = m _ { n } } \binom { m _ { n } } { m _ { 1 } , \dots , m _ { | \mathfrak { X } | } } ^ { 2 } | \mathfrak { X } | ^ { - 2 m _ { n } } } \\ & { = n ( n - 1 ) | \mathfrak { X } | ^ { - 2 m _ { n } } \sum _ { m _ { 1 } + \dots + m _ { | \mathfrak { X } | } = m _ { n } } \binom { m _ { n } } { m _ { 1 } , \dots , m _ { | \mathfrak { X } | } } ^ { 2 } } \\ & { = n ( n - 1 ) | \mathfrak { X } | ^ { | \mathfrak { X } | / 2 } ( 4 \pi m _ { n } ) ^ { ( 1 - | \mathfrak { X } | ) / 2 } ( 1 + o _ { m _ { n } } ( 1 ) ) ( 1 - o _ { n } ( 1 ) ) } \\ & { = n ^ { 2 } m _ { n } ^ { \frac { 1 - | \mathfrak { X } | } { 2 } } ( 4 \pi ) ^ { ( 1 - | \mathfrak { X } | ) / 2 } | \mathfrak { X } | ^ { | \mathfrak { X } | / 2 } ( 1 + o _ { m _ { n } } ( 1 ) ) ( 1 - o _ { n } ( 1 ) ) } \end{array}
{ H _ { I } } = \sum _ { j = 1 } ^ { N } { \hbar g \int _ { } ^ { } { d z \delta ( z - { z _ { j } } ) \left[ { \big ( { a _ { L } ^ { \dag } ( z ) + a _ { R } ^ { \dag } ( z ) } \big ) { b _ { j } } + h . c . } \right] } } ,