harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } & { } & { | S ( \sigma _ { 0 } ) \cap [ z _ { t } , z _ { t } ^ { \prime } ] ^ { 2 } | \geq | S ( \sigma _ { 0 } ) \cap [ \lceil z _ { t } \rceil , \lfloor z _ { t } ^ { \prime } \rfloor ] ^ { 2 } | } \\ & { \geq } & { | [ \lceil z _ { t } \rceil , \lfloor z _ { t } ^ { \prime } \rfloor ] \cap \mathbb { N } ^ { * } | - | \mathcal { D } _ { \lceil z _ { t } \rceil - 1 } ( \sigma _ { 0 } ) | - | \mathcal { D } _ { \lfloor z _ { t } ^ { \prime } \rfloor } ^ { \prime } ( \sigma _ { 0 } ) | } \\ & { \geq } & { \lfloor z _ { t } ^ { \prime } \rfloor - \lceil z _ { t } \rceil + 1 - 2 C _ { 1 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } \geq \frac { 1 } { 2 } L _ { 0 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } - 1 - \frac { 1 } { 4 } L _ { 0 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 4 } L _ { 0 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } - 1 \geq \frac { 1 } { 8 } L _ { 0 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi _ { z ^ { \prime } } ( t ^ { \prime } ) } & { = \mathrm { e } ^ { i k \gamma \left( \beta c t ^ { \prime } + z ^ { \prime } \right) - i \omega \gamma \left( t ^ { \prime } + \frac { \beta } { c } z ^ { \prime } \right) } \equiv \mathrm { e } ^ { i k ^ { \prime } z ^ { \prime } - i \omega ^ { \prime } t ^ { \prime } } , } \end{array}
g ( z ) = g ( a ) + g ^ { \prime } ( a ) ( z - a ) + { \frac { g ^ { \prime \prime } ( a ) ( z - a ) ^ { 2 } } { 2 ! } } + { \frac { g ^ { \prime \prime \prime } ( a ) ( z - a ) ^ { 3 } } { 3 ! } } + \cdots
\zeta ( - m , \beta ) - { \frac { \beta ^ { m } } { 2 } } - i \int _ { 0 } ^ { \infty } d t { \frac { ( i t + \beta ) ^ { m } - ( - i t + \beta ) ^ { m } } { e ^ { 2 \pi t } - 1 } } = \int _ { 0 } ^ { \infty } d p \, ( p + \beta ) ^ { m }
g \left( \begin{array} { c c } { { n _ { 1 } } } & { { n _ { 2 } } } \\ { { m _ { 1 } } } & { { m _ { 2 } } } \end{array} \right) = g _ { V } \delta _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } } \delta _ { m _ { 1 } , m _ { 2 } } ,
\int _ { D / { K _ { n } } } { | \nabla { u _ { n } } { | ^ { 2 } } \mathrm d \mathbf x - { k ^ { 2 } } } \int _ { D / { K _ { n } } } { | u _ { n } | ^ { 2 } } \mathrm d \mathbf x = \int _ { \partial D } { { \frac { \partial { u _ { n } } } { \partial \nu } } } \cdot \overline { { u _ { n } } } \mathrm d \sigma - \int _ { \partial { K _ { n } } } \eta _ { n } { | u _ { n } | ^ { 2 } } \mathrm d \sigma .
S ( 0 , x ) = S _ { 0 } ( x ) \geq 0 , \quad I ( 0 , x ) = I _ { 0 } ( x ) \geq 0 , \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad R ( 0 , x ) = R _ { 0 } ( x ) \geq 0 , \quad x \in \mathcal { U } .
W = \mathrm { T r } \mathrm { { P } } \exp ( i g \int _ { \mathrm { C } } d x _ { \mu } { \bf A } ^ { \mu } ) = \mathrm { T r } \mathrm { { P } } \exp ( i g \int _ { - L } ^ { + L } d x { \bf A } ^ { + } ) .
n _ { 1 2 } \; = \; n _ { 2 2 } \; = \; n _ { 3 2 } \; = \; n _ { 1 3 } \; = \; n _ { 2 3 } \; = \; n _ { 3 3 } \; = \; \ell _ { 1 3 } \; = \; \ell _ { 2 3 } \; = \; \ell _ { 3 3 } \; = \; 0 \; \; \; ,
\begin{array} { r l } { \left[ \frac { \varsigma } { \rho } \partial _ { t } \rho + \partial _ { t } u _ { x } \right] + \left( u _ { x } + \varsigma \right) \left[ \frac { \varsigma } { \rho } \partial _ { x } \rho + \partial _ { x } u _ { x } \right] } & { { } = 0 , } \\ { \left[ \frac { \varsigma } { \rho } \partial _ { t } \rho - \partial _ { t } u _ { x } \right] + \left( u _ { x } - \varsigma \right) \left[ \frac { \varsigma } { \rho } \partial _ { x } \rho - \partial _ { x } u _ { x } \right] } & { { } = 0 . } \end{array}
M _ { r } ^ { \psi } = \langle { \cal O } _ { 8 } ^ { \psi } ( ^ { 1 } S _ { 0 } ) \rangle + \frac { r } { m _ { c } ^ { 2 } } \langle { \cal O } _ { 8 } ^ { \psi } ( ^ { 3 } P _ { 0 } ) \rangle ~ ,
\sum _ { i , j , k = 0 , 1 . . . } \left( g ^ { 2 } \right) ^ { i } \left( g ^ { 2 } l n { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { m _ { 0 } ^ { 2 } } } \right) ^ { j } \left( g ^ { 2 } { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } } \right) ^ { k } C _ { i j k } \left( \Lambda ^ { 2 } , M ^ { 2 } , m _ { 0 } , p ^ { 2 } \right)
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \| \nabla F ( x _ { t } ) \| } & { \leq \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \Big ( \frac { 1 } { \gamma } \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| + \| \hat { \nabla } f ( x _ { t } , y _ { t } ) - \nabla F ( x _ { t } ) \| \Big ) } \\ & { \leq \frac { 4 \sqrt { F ( x _ { 1 } ) - F ^ { * } + g ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) - G ( x _ { 1 } ) } } { \sqrt { 3 T \gamma \eta } } . } \end{array}
M \simeq 2 ( r _ { 0 } ^ { 2 } / 2 ) + \frac { Q _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 ( r _ { 0 } ^ { 2 } / 2 ) } + \frac { Q ^ { 2 } } { 2 ( r _ { 0 } ^ { 2 } / 2 ) } + \cdots
\begin{array} { r l } { \textbf { D } _ { \mathrm { o b s } } } & { : = \{ \textbf { x } _ { \mathrm { o b s } } , \textbf { y } _ { \mathrm { o b s } } \} \in \mathbb { R } ^ { m \times 1 } , } \\ { \theta } & { : = \{ \theta _ { i } \} \in \mathbb { R } ^ { d - 1 } , } \\ { \Theta } & { : = \{ \theta , \sigma _ { \mathrm { n o i s e } } ^ { 2 } \} \in \mathbb { R } ^ { d } , } \\ { y _ { \mathrm { s i m } , j } ( \theta ) } & { : = M ( \theta , \textbf { x } _ { \mathrm { o b s } } ) , } \\ { \mathrm { e r r } _ { j } ( \theta ) } & { : = \left[ y _ { \mathrm { o b s } , j } - y _ { \mathrm { s i m } , j } ( \theta ) \right] ^ { 2 } . } \end{array}
V ( \overline { { { \rho } } } ) = - \frac { 1 } { 1 2 \pi } [ | M _ { + } ( \overline { { { \rho } } } ^ { 2 } ) | ^ { 3 } + | M _ { - } ( \overline { { { \rho } } } ^ { 2 } ) | ^ { 3 } ] + \frac { \lambda } { 4 ! } \overline { { { \rho } } } ^ { 4 } + \frac { \eta } { 6 ! } \overline { { { \rho } } } ^ { 6 } .
\begin{array} { r l } { \langle J _ { X } x - J _ { X } \Pi _ { C } x , x - \Pi _ { C } x \rangle } & { \geq \frac { R ^ { 2 } } { 2 \Gamma _ { X } } \delta _ { x } \left( \frac { \| x - \Pi _ { C } x \| _ { X } } { 2 R } \right) , } \\ { \| J _ { X } x - J _ { X } \Pi _ { C } x \| _ { X ^ { * } } } & { \leq \frac { R ^ { 2 } } { 2 \Gamma _ { X } \| x - \Pi _ { C } x \| _ { X } } \rho _ { X } \left( \frac { 1 6 \Gamma _ { X } \| x - \Pi _ { C } x \| _ { X } } { R } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi ( r , \phi , z ) } & { { } = \left( \frac { r } { w ( z ) } \right) ^ { m } f \left( \left( \frac { r } { w ( z ) } \right) ^ { 2 } \right) \mathrm { e } ^ { i P ( z ) + i k \frac { r ^ { 2 } } { 2 q ( z ) } + i m \phi + i \theta ( z ) } , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { { \psi _ { 1 } ^ { \dagger } ( 0 ) } } & { { = \mu \psi _ { 2 } ( 0 ) } } \\ { { \psi _ { 2 } ^ { \dagger } ( 0 ) } } & { { = \mu \psi _ { 1 } ( 0 ) , } } \end{array} \right.
\mathrm { C r i t } ^ { n } ( \mathcal { X } , \mathbb { P } _ { S } ^ { N } ) _ { 0 } ( \bar { k } ) = ( [ J ^ { n } ( f _ { S } ) ^ { n } ] _ { * } ( J ^ { n } ( \mathbb { P } _ { S } ^ { N } / S ) ) ) _ { 0 } ( \bar { k } ) \cap J ^ { n } ( \mathcal { X } / S ) _ { 0 } ( \bar { k } ) = \{ Q _ { n } \in J ^ { n } ( \mathcal { X } / S ) _ { 0 } ( \bar { k } ) | \ \exists \widetilde { Q _ { n } } \in J ^ { n } ( \mathbb { P } _ { S } ^ { N } / S ) _ { 0 } ( \bar { k } ) , \mathrm { s . t . } \ Q _ { n } = J ^ { n } ( f _ { S } ) _ { 0 } ^ { n } \circ \widetilde { Q _ { n } } \}
\Ddot { Q } _ { i } + \omega _ { Q } ^ { 2 } Q _ { i } + 4 \pi Z _ { q } ^ { 2 } \frac { k _ { i } k _ { j } } { k ^ { 2 } } Q _ { j } + 4 u _ { q } | \vec { Q } | ^ { 2 } Q _ { i } + 4 v _ { q } Q _ { i } ^ { 3 } = Z _ { q } E _ { i } ,
\begin{array} { r l } { \Sigma _ { \mathrm { C O H } } ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } ) } & { { } = - \frac { 1 } { 2 } \delta ( \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } ) [ v ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } ) - W ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } ) ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ D _ { 1 } , D _ { 2 } ] \big ( \mu _ { S , T } ( \mathtt { a } \otimes \mathtt { b } ) \big ) \ \ } & { = \ \ \ { D _ { 1 } } ^ { [ Y _ { 2 } ] } \circ { D _ { 2 } } \big ( \mu _ { S , T } ( \mathtt { a } \otimes \mathtt { b } ) \big ) - { D _ { 2 } } ^ { [ Y _ { 1 } ] } \circ { D _ { 1 } } ( \mu _ { S , T } \big ( \mathtt { a } \otimes \mathtt { b } ) \big ) } \\ & { = \ \ \ { D _ { 1 } } ^ { [ Y _ { 2 } ] } \Big ( \mu _ { Y _ { 2 } \sqcup S , T } \big ( { D _ { 2 } } ( \mathtt { a } ) \otimes \mathtt { b } \big ) + \mu _ { S , Y _ { 2 } \sqcup T } \big ( \mathtt { a } \otimes { D _ { 2 } } ( \mathtt { b } ) \big ) \Big ) } \\ & { \ \ \ - { D _ { 2 } } ^ { [ Y _ { 1 } ] } \Big ( \mu _ { Y _ { 1 } \sqcup S , T } \big ( { D _ { 1 } } ( \mathtt { a } ) \otimes \mathtt { b } \big ) + \mu _ { S , Y _ { 1 } \sqcup T } \big ( \mathtt { a } \otimes { D _ { 1 } } ( \mathtt { b } ) \big ) \Big ) } \\ & { = \ \ \ \mu _ { Y \sqcup S , T } \big ( [ D _ { 1 } , D _ { 2 } ] ( \mathtt { a } ) \otimes \mathtt { b } \big ) + \mu _ { S , Y \sqcup T } \big ( \mathtt { a } \otimes [ D _ { 1 } , D _ { 2 } ] ( \mathtt { b } ) \big ) . } \end{array}
\psi = \sum _ { m = - N } ^ { \infty } ( - i ) ^ { m + \alpha } J _ { m + \alpha } ( r ^ { \prime } ) e ^ { i m \phi } + \sum _ { m = - N - 1 } ^ { - \infty } ( - i ) ^ { - ( m + \alpha ) } J _ { - ( m + \alpha ) } ( r ^ { \prime } ) e ^ { i m \phi } .
\phi ( t ) = \phi _ { m i n } + \frac { 4 } { \sqrt { 3 } } ( \frac { \phi _ { 0 } ^ { + } \cos { m t } + \phi _ { 0 } ^ { - } \sin { m t } } { m t } + \frac { \phi _ { 0 } ^ { + } \sin { m t } \cos ^ { 2 } { m t } + \phi _ { 0 } ^ { - } \cos { m t } \sin ^ { 2 } { m t } } { ( m t ) ^ { 2 } } ) + O ( ( \frac { H } { m } ) ^ { 3 } )
Z _ { t + 1 } = \left\{ \begin{array} { l l } { Z _ { t } + 2 c , \quad } & { \mathrm { w i t h ~ p r o b a b i l i t y ~ } ( 1 - \vartheta ) ^ { 2 } } \\ { Z _ { t } + c - r , } & { \mathrm { w i t h ~ p r o b a b i l i t y ~ } 2 \vartheta ( 1 - \vartheta ) } \\ { Z _ { t } - 2 r , } & { \mathrm { w i t h ~ p r o b a b i l i t y ~ } \vartheta ^ { 2 } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \int _ { \omega _ { 1 } } ^ { \omega _ { 2 } } \! d \omega \, \frac { f ( \omega ) } { \omega \pm i 0 } = \mp i \pi f ( 0 ) + \mathrm { { P . V . } } \int _ { \omega _ { 1 } } ^ { \omega _ { 2 } } \! d \omega \, \frac { f ( \omega ) } { \omega } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle b _ { n } ( \tau ) b _ { n } ( s ) \rangle } & { { } = \langle \frac { 4 } { L _ { x } ^ { 2 } } \left( \int _ { 0 } ^ { L _ { x } } \bar { \phi } _ { n } ( x ) \mathcal { N } ( x , \tau ) d x \right) } \end{array}
\textsc { K L } ( \kappa , 0 ) = \frac { \kappa ^ { 2 } } { \nu _ { d } ( m ) } \left( 1 - \frac { 1 } { 2 ( 1 + \xi _ { \kappa } ) ^ { 2 } } \right) - \frac { \kappa ^ { 3 } } { 2 ( 1 + \xi _ { \kappa } ) ^ { 2 } } \frac { | \mathcal { S } ^ { d - 1 } [ d - 2 ] | } { | \mathcal { S } ^ { d - 1 } | } \int _ { - 1 } ^ { 1 } ( P _ { m } ^ { d } ( t ) ) ^ { 3 } ( 1 - t ^ { 2 } ) ^ { ( d - 3 ) / 2 } \, \mathrm { d } t ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { \tilde { C } } ^ { \mathrm { s y m } } } & { { } = \mathbf { N } ^ { - 1 / 2 } \mathbf { R } \mathbf { N } ^ { - 1 / 2 } } \\ { \mathbf { \tilde { G } } ^ { \mathrm { s y m } } } & { { } = \mathbf { N _ { G } } ^ { - 1 / 2 } \mathbf { R _ { G } } \mathbf { N _ { G } } ^ { - 1 / 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { - \partial _ { t } v ^ { i } - \frac 1 2 \Delta v ^ { i } + \frac { 1 } { n } H ^ { i } ( x , n D v ^ { i } ) = F ^ { i } ( t , x ) , \quad ( t , x ) \in [ 0 , T ) \times { \mathbb R } ^ { d } , } \\ { v ^ { i } ( T , x ) = G ^ { i } ( x ) , \quad x \in { \mathbb R } ^ { d } } \end{array} \right. } \end{array}
\left\{ { \begin{array} { l } { r _ { 1 } + r _ { 2 } + r _ { 3 } + r _ { 4 } = 0 } \\ { ( r _ { 1 } + r _ { 2 } ) ( r _ { 3 } + r _ { 4 } ) = - \alpha } \\ { ( r _ { 1 } + r _ { 3 } ) ( r _ { 2 } + r _ { 4 } ) = - \beta } \\ { ( r _ { 1 } + r _ { 4 } ) ( r _ { 2 } + r _ { 3 } ) = - \gamma { \mathrm { . } } } \end{array} } \right.
\begin{array} { r l } { S _ { 0 , } ^ { 2 } ( \mathcal T _ { \alpha } ^ { t } ) } & { : = S ^ { 2 } ( \mathcal T _ { \alpha } ^ { t } ) \cap H _ { 0 , } ^ { 1 } ( 0 , T ) = \mathrm { s p a n } \{ \varphi _ { \ell } ^ { 2 } \} _ { \ell = 1 } ^ { N _ { t } ^ { 2 } } , } \\ { S _ { , 0 } ^ { 2 } ( \mathcal T _ { \alpha } ^ { t } ) } & { : = S ^ { 2 } ( \mathcal T _ { \alpha } ^ { t } ) \cap H _ { , 0 } ^ { 1 } ( 0 , T ) = \mathrm { s p a n } \{ \varphi _ { \ell } ^ { 2 } \} _ { \ell = 0 } ^ { N _ { t } ^ { 2 } - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Big | \big [ \boldsymbol A \b { \hat { f } } - \boldsymbol f \big ] _ { j } \Big | } & { = \Bigg | f ( \boldsymbol x _ { j } ) - \sum _ { \boldsymbol k \in \mathcal I _ { \b { M } } } c _ { \boldsymbol k } ( f ) \, \mathrm e ^ { 2 \pi \mathrm i \boldsymbol k \boldsymbol x _ { j } } \Bigg | } \\ & { \leq \operatorname* { m a x } _ { \boldsymbol x \in \mathbb T ^ { d } } \Bigg | \sum _ { \boldsymbol k \in \mathbb Z ^ { d } \setminus \mathcal I _ { \b { M } } } c _ { \boldsymbol k } ( f ) \, \mathrm e ^ { 2 \pi \mathrm i \boldsymbol k \boldsymbol x } \Bigg | = \| f - p _ { \b { M } } \| _ { C ( \mathbb T ^ { d } ) } \quad j = 1 , \dots , N , } \end{array}
M = \left( { \frac { x _ { 1 } + x _ { 2 } } { 2 } } , \cdots \right) = \cdots = { \frac { x _ { 1 } + x _ { 2 } } { 2 } } \; \left( 1 , { \frac { 1 } { x _ { 1 } x _ { 2 } } } \right) \ ;
\hat { k } ( F ) ~ = ~ S _ { 0 } ^ { - 1 } \hat { K } ( F ) S _ { 0 } ~ = ~ - i \beta \Sigma _ { 2 } \frac { \partial } { \partial \theta } + i \beta \Sigma _ { 1 } \frac { 1 } { s i n \theta } ( \frac { \partial } { \partial \phi } - i F ) .
B ( p ^ { 2 } ) = - \frac { e ^ { 2 } } { 4 } \int \frac { d ^ { 3 } q } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } t r \lbrack \gamma _ { \mu } S ( q ) \Gamma _ { \nu } ( p , q ) D _ { \mu \nu } ( p - q ) \rbrack .
\begin{array} { r l } { | \widehat { w } _ { 0 , 0 } ^ { ( 0 ) } ( g , \theta , \alpha , z ) ( 0 ) + z | } & { \leq \sum _ { L = 2 } ^ { \infty } \sum _ { ( \underline { { p } } , \underline { { q } } ) \in { \mathord { \mathbb N } } _ { 0 } ^ { 2 L } : p _ { l } + q _ { l } = 1 , 2 } \| V _ { \underline { { 0 } } , \underline { { p } } , \underline { { 0 } } , \underline { { q } } , \theta , \alpha } [ \widehat { w } ^ { ( I ) } ( g , \beta , \sigma , \zeta ) ] \| ^ { \# } } \\ & { \leq \sum _ { L = 2 } ^ { \infty } 3 ^ { L } ( L + 1 ) C _ { F } \left( C _ { W } ( g ) C _ { F } \right) ^ { L } . } \end{array}
\mathbf { T } _ { m } = \left( \begin{array} { l l } { 1 + \mathrm { i } \zeta _ { m } } & { \mathrm { i } \zeta _ { m } } \\ { - \mathrm { i } \zeta _ { m } } & { 1 - \mathrm { i } \zeta _ { m } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { f _ { 1 } ( x , v , t ) = } & { { } - \frac { 1 } { \tilde { R } _ { c x } ( x , t ) } \bigg ( \partial _ { t } ( f _ { 0 } ( x , v , t ) ) + v \partial _ { x } ( f _ { 0 } ( x , v , t ) ) \bigg ) } \\ { = } & { { } - \frac { 1 } { \varepsilon R _ { c x } ( x , t ) } \bigg ( \partial _ { t } ( \rho ( x , t ) M ( v \mid x , t ) ) + v \partial _ { x } ( \rho ( x , t ) M ( v \mid x , t ) ) \bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D } & { { } = \frac { 1 } { R e } \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { e } ^ { M \bar { c } } \left[ \left( | \frac { d \hat { u _ { r } } } { d r } | ^ { 2 } + | \frac { d \hat { u _ { \theta } } } { d r } | ^ { 2 } + | \frac { d \hat { u _ { z } } } { d r } | ^ { 2 } \right) - \frac { 1 } { r } \operatorname { R e a l } \left( \frac { d } { d r } ( r \hat { u } _ { r } ^ { * } \frac { d \hat { u } _ { r } } { d r } + r \hat { u } _ { \theta } ^ { * } \frac { d \hat { u } _ { \theta } } { d r } + r \hat { u } _ { z } ^ { * } \frac { d \hat { u } _ { z } } { d r } ) \right) \right] r d r } \\ { + } & { { } \frac { 1 } { R e } \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { e } ^ { M \bar { c } } \left[ ( \frac { \beta ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } + k ^ { 2 } ) ( | \hat { v } _ { r } | ^ { 2 } + | \hat { v } _ { \theta } | ^ { 2 } + | \hat { v } _ { z } | ^ { 2 } ) + \frac { | \hat { v } _ { r } | ^ { 2 } + | \hat { v } _ { \theta } | ^ { 2 } + 4 \beta \operatorname { R e a l } ( \hat { v } _ { \theta } \hat { v } _ { r } ^ { * } ) } { r ^ { 2 } } \right] r d r } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { A } ^ { z } = } & { { } ~ \sigma _ { A } ^ { \dagger } \sigma _ { A } - \sigma _ { A } \sigma _ { A } ^ { \dagger } + | 4 \rangle \langle 4 | - | 3 \rangle \langle 3 | + | 2 \rangle \langle 2 | - | 1 \rangle \langle 1 | , } \\ { D _ { B } ^ { z } = } & { { } ~ \sigma _ { B } ^ { \dagger } \sigma _ { B } - \sigma _ { B } \sigma _ { B } ^ { \dagger } + | 4 \rangle \langle 4 | - | 2 \rangle \langle 2 | + | 3 \rangle \langle 3 | - | 1 \rangle \langle 1 | . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ln \bigl \langle e ^ { \beta \tilde { J } _ { i _ { t } j _ { t } } \sigma _ { i _ { t } } \sigma _ { j _ { t } } } \bigr \rangle _ { t } } & { = \ln \cosh \beta \tilde { J } _ { i _ { t } j _ { t } } - \sum _ { r = 1 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { r } } { r } \operatorname { t a n h } ^ { r } ( \beta \tilde { J } _ { i _ { t } j _ { t } } ) \cdot \langle \sigma _ { i _ { t } } \sigma _ { j _ { t } } \rangle _ { t } ^ { r } . } \end{array}
\begin{array} { r } { F ^ { ( 2 ) } [ A _ { 0 } , \delta _ { v } , n _ { 2 } , l ] = \mathcal { J } _ { l } ( A _ { 0 } ) + \frac { \delta _ { v } } { 2 } [ \mathcal { J } _ { l - n _ { 2 } } ( A _ { 0 } ) + \mathcal { J } _ { l + n _ { 2 } } ( A _ { 0 } ) ] . } \end{array}
( D \Theta ) ^ { I } = \left( d + { \frac { 1 } { 4 } } ( \omega ^ { a b } \gamma _ { a b } + \omega ^ { a ^ { \prime } b ^ { \prime } } \gamma _ { a ^ { \prime } b ^ { \prime } } ) \right) \Theta ^ { I } - { \frac { 1 } { 2 } } i \epsilon ^ { I J } ( e ^ { a } \gamma _ { a } + i e ^ { a ^ { \prime } } \gamma _ { a ^ { \prime } } ) \Theta ^ { J }
A _ { \mu } = a _ { \mu } - \frac { { \partial } _ { \mu } } { { \partial } _ { - } } a _ { - } - \frac { n _ { \mu } } { { \partial } _ { \bot } ^ { 2 } } B - \frac { { \partial } _ { \mu } } { { \partial } _ { \bot } ^ { 2 } } C
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ J ~ } = \Bigl | \frac { \partial x _ { i } } { \partial \varphi _ { j } } \Bigr | = \left| \begin{array} { l l l l } { \sin \varphi _ { 1 } } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } \\ { \cos \varphi _ { 1 } \cos \varphi _ { 2 } } & { \sin \varphi _ { 1 } \sin \varphi _ { 2 } } & { \cdots } & { 0 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \cos \varphi _ { 1 } \sin \varphi _ { 2 } \cdots \sin \varphi _ { m - 1 } \cos \varphi _ { m } } & { \sin \varphi _ { 1 } \cos \varphi _ { 2 } \cdots \sin \varphi _ { m - 1 } \cos \varphi _ { m } } & { \cdots } & { \sin \varphi _ { 1 } \cdots \sin \varphi _ { m } } \end{array} \right| } \end{array}
D _ { \mu \nu } ( k ) \, = \, \int _ { 0 } ^ { \infty } d \mu ^ { 2 } \bigg \{ \frac { \rho _ { g } ( \mu ^ { 2 } , k t ) } { k ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } } \, { \mathcal M } _ { \mu \nu } ( k ) \, - \frac { \rho _ { f } ( \mu ^ { 2 } , k t ) } { k ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } } \, { \mathcal P } _ { \mu \nu } ( t ) \bigg \} \; .
\begin{array} { r l } { u ( r _ { i j } ) } & { = t ( r _ { i j } , L _ { u } ) \sum _ { k } a _ { k } r _ { i j } ^ { k } \; , } \\ { \chi ( r _ { i I } ) } & { = t ( r _ { i I } , L _ { \chi } ) \sum _ { k } b _ { k } r _ { i I } ^ { k } \; , } \\ { f ( r _ { i j } , r _ { i } , r _ { j } ) } & { = t ( r _ { i I } , L _ { f } ) t ( r _ { j I } , L _ { f } ) \sum _ { k , l , m } c _ { k l m } r _ { i j } ^ { k } r _ { i I } ^ { l } r _ { j I } ^ { m } \; , } \end{array}
\Phi _ { + } ^ { [ 0 ] } ( n , p ) = \left( \begin{array} { l } { { | \eta _ { + } ( n ) > } } \\ { { 0 } } \end{array} \right) \otimes | p > , \Phi _ { - } ^ { [ 0 ] } ( n , p ) = \left( \begin{array} { l } { { 0 } } \\ { { | \eta _ { - } ( n ) > } } \end{array} \right) \otimes | p > ,
\begin{array} { r l } { E _ { n } ( \chi , b ) = } & { \sum _ { y , z , x _ { i } \in \mathbb { F } _ { q } ^ { * } } \left( \chi _ { 1 } \overline { { \chi _ { n + 1 } } } \right) \! ( x _ { 1 } ) \cdots \left( \chi _ { n } \overline { { \chi _ { n + 1 } } } \right) \! ( x _ { n } ) } \\ & { \times \psi \left( z + y \left( 1 - z \left( x _ { 1 } + \cdots + x _ { n } + \frac { b } { x _ { 1 } \cdots x _ { n } } \right) \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nu _ { n } ^ { h } } & { = - \frac { 1 } { 2 } \left( \mu _ { 0 } n ^ { 2 } - n \sqrt { \mu _ { 0 } ^ { 2 } n ^ { 2 } - 4 b \bar { \rho } } - 2 \bar { u } i n \right) , } \\ { \nu _ { n } ^ { p } } & { = - \frac { 1 } { 2 } \left( \mu _ { 0 } n ^ { 2 } + n \sqrt { \mu _ { 0 } ^ { 2 } n ^ { 2 } - 4 b \bar { \rho } } - 2 \bar { u } i n \right) , } \end{array}
\pmb { \Sigma } _ { \mathbf { z } \mathbf { z } _ { j } } = \left[ \begin{array} { l l } { 1 ^ { 2 } ( \mathrm { ~ p ~ x ~ } ) ^ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 ^ { 2 } ( \mathrm { ~ p ~ x ~ } ) ^ { 2 } } \end{array} \right] , \quad \pmb { \Sigma } _ { \mathbf { z } \mathbf { z } } = \left[ \begin{array} { l l l } { \pmb { \Sigma } _ { \mathbf { z } \mathbf { z } _ { 1 } } } & { \hdots } & { \mathbf { 0 } _ { 2 \times 2 } } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \mathbf { 0 } _ { 2 \times 2 } } & { \hdots } & { \pmb { \Sigma } _ { \mathbf { z } \mathbf { z } _ { n _ { L } } } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } & { \lambda ( f _ { \mathcal { W } ( \tau , n , \psi ^ { - 1 } ) , s } ^ { 0 } ) ( g ) = \int _ { b , c , d , z } \psi ^ { - 1 } ( \mathrm { t r } ( 4 T ^ { 2 } z ) ) \times } \\ & { f _ { \mathcal { W } ( \tau \otimes \chi _ { T } , n , \psi ^ { - 1 } ) , s } ^ { 0 } \left( \left[ \begin{array} { c c c c c c } { 1 _ { n } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 _ { n } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 _ { ( k - 2 ) n } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { b } & { c } & { d } & { 1 _ { ( k - 2 ) n } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { z } & { c ^ { \ast } } & { 0 } & { 1 _ { n } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { b ^ { \ast } } & { 0 } & { 0 } & { 1 _ { n } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c c c } { g _ { 1 } } & { 0 } & { g _ { 2 } } \\ { 0 } & { 1 _ { 2 n ( k - 1 ) } } & { 0 } \\ { g _ { 3 } } & { 0 } & { g _ { 4 } } \end{array} \right] \right) d u . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \lambda ^ { i } , \varphi \rangle } & { = - \int _ { ( \omega \cap U _ { i } ) \times I \times \mathcal { Y } } \varphi ( x ^ { \prime } ) \, \Sigma : E \, d x d y + \int _ { \omega \cap U _ { i } } \varphi \, \bar { \sigma } : E \bar { w } \, d x ^ { \prime } - \frac { 1 } { 1 2 } \int _ { \omega \cap U _ { i } } \varphi \, \hat { \sigma } : D ^ { 2 } w _ { 3 } \, d x ^ { \prime } } \\ & { \, \quad - \int _ { \omega \cap U _ { i } } \bar { \sigma } : \left( ( \bar { u } - \bar { w } ) \odot \nabla \varphi \right) \, d x ^ { \prime } - \frac { 1 } { 6 } \int _ { \omega \cap U _ { i } } \hat { \sigma } : \big ( \nabla ( u _ { 3 } - w _ { 3 } ) \odot \nabla \varphi \big ) \, d x ^ { \prime } } \\ & { \, \quad - \frac { 1 } { 1 2 } \int _ { \omega \cap U _ { i } } ( u _ { 3 } - w _ { 3 } ) \, \hat { \sigma } : \nabla ^ { 2 } \varphi \, d x ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { j } ^ { n + 1 , - } } & { = u _ { j } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } , - } - \cfrac { \Delta t } { \mu _ { - } \Delta x _ { j } / 2 } \left( f \left( u _ { j } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } , - } , u _ { j } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } , \ast } \right) - f \left( u _ { j - 1 } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } , + } , u _ { j } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } , - } \right) \right) } \\ { u _ { j } ^ { n + 1 , \ast } } & { = u _ { j } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } , \ast } - \cfrac { \Delta t } { \Delta x _ { j } / 2 } \left( f \left( u _ { j } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } , \ast } , u _ { j } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } , + } \right) - f \left( u _ { j } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } , - } , u _ { j } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } , \ast } \right) \right) } \\ { u _ { j } ^ { n + 1 , + } } & { = u _ { j } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } , + } - \cfrac { \Delta t } { \mu _ { + } \Delta x _ { j } / 2 } \left( f \left( u _ { j } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } , + } , u _ { j + 1 } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } , - } \right) - f \left( u _ { j } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } , \ast } , u _ { j } ^ { n + \frac { 1 } { 2 } , + } \right) \right) } \end{array}