harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { R _ { \lambda , \gamma } ( \boldsymbol { x } , \boldsymbol { y } ) } & { \sim } & { \int _ { - \pi \lambda } ^ { \pi \lambda } \frac { ( 1 - \mathrm e ^ { \mathrm i x _ { 1 } u } ) ( 1 - \mathrm e ^ { - \mathrm i y _ { 1 } u } ) } { | u | ^ { 2 } } \mathrm d u \times \int _ { \Pi } \frac { ( 1 - \mathrm e ^ { \mathrm i \lambda ^ { \gamma } x _ { 2 } w } ) ( 1 - \mathrm e ^ { - \mathrm i \lambda ^ { \gamma } y _ { 2 } w } ) } { | 1 - \mathrm e ^ { \mathrm i v } | ^ { 2 } } f ( u / \lambda , w ) \mathrm d w } \\ & { \sim } & { \kappa _ { - } ^ { 2 } \, \mathrm E B _ { 1 / 2 , 0 } ( \boldsymbol { x } ) B _ { 1 / 2 , 0 } ( \boldsymbol { y } ) } \end{array}
F _ { \langle r \rangle } ^ { \prime } ( x ) = C \int _ { [ 0 , 1 ] ^ { r } } \chi _ { [ 0 , L ( r ) ] } \left( \frac { x } { x _ { 1 } } \right) \prod _ { j = 1 } ^ { r } \left( \frac { x _ { j } } { x _ { j + 1 } } \right) ^ { \frac { j } { r + 1 } - 1 } \left( 1 - \frac { x _ { j } } { x _ { j + 1 } } \right) ^ { \frac { j } { r ( r + 1 ) } - 1 } \frac { d x _ { j } } { x _ { j } } ,
\begin{array} { r } { D ^ { 2 } L ( x , a ) = \left( \begin{array} { l l } { D _ { x x } L ( x , a ) } & { D _ { x a } L ( x , a ) } \\ { D _ { a x } L ( x , a ) } & { D _ { a a } L ( x , a ) } \end{array} \right) \geq C _ { L } \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { I _ { d \times d } } \end{array} \right) , \quad \mathrm { f o r ~ a l l ~ } x , a \in { \mathbb R } ^ { d } } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { L } ( \xi ) } & { { } = \frac { ( - 1 ) ^ { N } } { 2 } \left[ L _ { N } ( 2 \xi - 1 ) - \frac { ( N + 1 ) L _ { N - 1 } ( 2 \xi - 1 ) + N L _ { N + 1 } ( 2 \xi - 1 ) } { 2 N + 1 } \right] } \\ { g _ { R } ( \xi ) } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \left[ L _ { N } ( 2 \xi - 1 ) + \frac { ( N + 1 ) L _ { N - 1 } ( 2 \xi - 1 ) + N L _ { N + 1 } ( 2 \xi - 1 ) } { 2 N + 1 } \right] } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { 2 \pi } e ^ { i k x } \; d x = \left\{ \begin{array} { r l r l r } { \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } e ^ { i k x } \; d x } & { { } = \left. \frac { e ^ { i k x } } { i k } \right| _ { 0 } ^ { 2 \pi } } & { = \frac { e ^ { i k 2 \pi } - 1 } { i k } } & { { } = 0 } & { , k \neq 0 } \\ { \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } e ^ { i k x } \; d x } & { { } = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } 1 \; d x } & { } & { { } = 2 \pi } & { , k = 0 } \end{array} \right\} = 2 \pi \delta _ { k }
\begin{array} { r l } & { \bar { \rho } _ { \textbf { n } } ^ { \alpha } \approx \sum _ { j _ { 0 } } \sum _ { j _ { 1 } } \cdots \sum _ { j _ { k } } \cdots \sum _ { j _ { K + 1 } } A _ { 0 } ( j _ { 0 } , \alpha , j _ { 1 } ) } \\ & { \times A _ { 1 } ( j _ { 1 } , n _ { 1 } , j _ { 2 } ) \cdots A _ { k } ( j _ { k } , n _ { k } , j _ { k + 1 } ) } \\ & { \times \cdots A _ { K } ( j _ { K } , n _ { K } , j _ { K + 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \partial _ { \theta } D + \partial _ { \theta ^ { \prime } } D ) ( \theta , \theta ^ { \prime } , \varphi , \varphi ^ { \prime } ) } & { { } = 2 \big [ \cos ( \theta ) \sin ( \theta ^ { \prime } ) + \sin ( \theta ) \cos ( \theta ^ { \prime } ) \big ] \sin ^ { 2 } \left( \frac { \varphi - \varphi ^ { \prime } } { 2 } \right) } \end{array}
\widetilde { N } _ { \beta } ^ { \mathrm { v i r } } = \sum _ { j = 1 } ^ { n + { \boldsymbol { \kappa } } } \iota _ { v ( \beta ) } ^ { * } ( U _ { j } ^ { \widetilde { T } } ) ^ { - 1 } \Big ( \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } q ^ { - d _ { j } ( \beta ) + k } - \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } q ^ { \{ - d _ { j } ( \beta ) \} + k } \Big ) + \sum _ { d _ { j } ( \beta ) \in \mathbb { Z } _ { < 0 } } \iota _ { v ( \beta ) } ^ { * } ( U _ { j } ^ { \widetilde { T } } ) ^ { - 1 } \quad \in K _ { \mathbb { C } _ { q } ^ { * } \times \widetilde { T } } \left( \mathscr { X } _ { \zeta , v ( \beta ) } \right) .
p _ { 2 } ( O ( t , \mathbf { x } ) ) = \frac { O ( t , \mathbf { x } ) - O _ { n } } { \alpha _ { \textup { O } } + ( O ( t , \mathbf { x } ) - O _ { n } ) } \, H ( O ( t , \mathbf { x } ) - O _ { n } ) ,
g _ { 1 } ( x , b ) = ( 1 - b ) x ^ { 2 - b } ( 1 - x ) ^ { - b } - x ^ { 2 - 2 b } + ( 1 - x ) ^ { 2 - 2 b } - ( 1 - b ) x ^ { - b } ( 1 - x ) ^ { 2 - b }
y _ { j } ^ { ( l ) } = h ^ { ( l ) } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { M _ { l - 1 } } w _ { i j } ^ { ( l ) } y _ { i } ^ { ( l - 1 ) } + w _ { 0 j } ^ { ( l ) } \right) , \; j = 1 , \cdots , n _ { l } ,
a _ { x _ { 1 } , x _ { 2 } , \dots , x _ { n } } = \left\{ { \begin{array} { l l } { - 2 n } & { { \mathrm { i f ~ } } s = n , } \\ { 1 } & { { \mathrm { i f ~ } } s = n - 1 , } \\ { 0 } & { { \mathrm { o t h e r w i s e , } } } \end{array} } \right.
X _ { 1 } = m _ { 1 } c _ { 1 } ^ { 2 } c _ { 3 } ^ { 2 } , \quad X _ { 2 } = m _ { 2 } s _ { 1 } ^ { 2 } c _ { 3 } ^ { 2 } , \quad X _ { 3 } = m _ { 3 } s _ { 3 } ^ { 2 }
\left( { \begin{array} { l } { p ( 0 ) } \\ { p ( 1 ) } \\ { p ( - 1 ) } \\ { p ( - 2 ) } \\ { p ( \infty ) } \end{array} } \right) = \left( { \begin{array} { l l l } { 0 ^ { 0 } } & { 0 ^ { 1 } } & { 0 ^ { 2 } } \\ { 1 ^ { 0 } } & { 1 ^ { 1 } } & { 1 ^ { 2 } } \\ { ( - 1 ) ^ { 0 } } & { ( - 1 ) ^ { 1 } } & { ( - 1 ) ^ { 2 } } \\ { ( - 2 ) ^ { 0 } } & { ( - 2 ) ^ { 1 } } & { ( - 2 ) ^ { 2 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} } \right) \left( { \begin{array} { l } { m _ { 0 } } \\ { m _ { 1 } } \\ { m _ { 2 } } \end{array} } \right) = \left( { \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { - 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { - 2 } & { 4 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} } \right) \left( { \begin{array} { l } { m _ { 0 } } \\ { m _ { 1 } } \\ { m _ { 2 } } \end{array} } \right) .
f _ { \mathbf k , \mathbf k ^ { \prime } } = \pm g _ { \uparrow \downarrow } ^ { 2 } \, \chi ( \mathbf { k } - \mathbf { k } ^ { \prime } , k ^ { 2 } / 2 m _ { \downarrow } - { k ^ { \prime } } ^ { 2 } / 2 m _ { \downarrow } )
{ \begin{array} { r l r } { 0 . 0 0 0 { \overline { { 4 5 6 7 } } } } & { = 4 5 6 7 \times 0 . 0 0 0 { \overline { { 0 0 0 1 } } } } \\ & { = 4 5 6 7 \times 0 . { \overline { { 0 0 0 1 } } } \times { \frac { 1 } { 1 0 ^ { 3 } } } } \\ & { = 4 5 6 7 \times { \frac { 1 } { 9 9 9 9 } } \times { \frac { 1 } { 1 0 ^ { 3 } } } } \\ & { = { \frac { 4 5 6 7 } { 9 9 9 9 } } \times { \frac { 1 } { 1 0 ^ { 3 } } } } \\ & { = { \frac { 4 5 6 7 } { ( 1 0 ^ { 4 } - 1 ) \times 1 0 ^ { 3 } } } } & { { \mathrm { T h e ~ e x p o n e n t s ~ a r e ~ t h e ~ n u m b e r ~ o f ~ n o n - r e p e a t i n g ~ d i g i t s ~ a f t e r ~ t h e ~ d e c i m a l ~ p o i n t ~ ( 3 ) ~ a n d ~ t h e ~ n u m b e r ~ o f ~ r e p e a t i n g ~ d i g i t s ~ ( 4 ) . } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { u ^ { \tau } ( t _ { k } + \vartheta ) - u ^ { \tau } ( t _ { k } ) } & { = \big ( e ^ { i \vartheta \Delta } - 1 \big ) u ^ { \tau } ( t _ { k } ) } \\ & { \quad - i \int _ { 0 } ^ { \vartheta } e ^ { i ( \vartheta - \xi ) \Delta } \Pi _ { \tau } \big ( | \Pi _ { \tau } u ^ { \tau } ( t _ { k } + \xi ) | ^ { 2 } \Pi _ { \tau } u ^ { \tau } ( t _ { k } + \xi ) \big ) d \xi . } \end{array}
\begin{array} { r } { { \cal F } ^ { - 1 } ( \hat { g } ( \omega ) \hat { \psi } _ { s } ) = ( 2 \pi ) ^ { - 1 / 2 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d s g ( s ) \psi _ { s } ( t - s , z ) . } \end{array}
Q _ { \textrm { e x t } } ^ { \texttt { P } } = - \frac { 2 } { | k _ { h } R _ { N } | } \textrm { R e } \left[ a _ { 0 } ^ { ( N + 1 ) } + 2 \sum _ { \nu = 1 } ^ { \infty } a _ { \nu } ^ { ( N + 1 ) } \right]
\int _ { 0 } ^ { 1 } d \lambda \, \lambda ^ { - N + 1 } ( 1 - \lambda ) \int _ { 0 } ^ { \lambda } d \rho \, \left( \frac { \lambda } { \rho } - 1 \right) \frac { \rho ^ { N - 2 } } { ( \rho x - y ) ^ { N } }
\begin{array} { r l } { \| A ^ { n } \| _ { \infty } } & { \leq 2 \, \frac { \Delta t } { h ^ { 2 } } Q ^ { n } + 1 , \qquad \| A ^ { n } \| _ { 1 } \leq 2 \, \frac { \Delta t } { h ^ { 2 } } Q ^ { n } + 1 , } \\ { \| A ^ { n } \| _ { 2 } } & { \leq \sqrt { \| A \| _ { \infty } \| A \| _ { 1 } } \leq 2 \, \frac { \Delta t } { h ^ { 2 } } Q ^ { n } + 1 } \end{array}
\begin{array} { r l } { { 1 } } & { s _ { k , t + 1 } = s _ { k , t } - \beta k a _ { k , t } s _ { k , t } \theta _ { t } } \\ & { i _ { k , t + 1 } = i _ { k , t } + \beta k a _ { k , t } s _ { k , t } \theta _ { t } - \mu i _ { k , t } } \\ & { r _ { k , t + 1 } = r _ { k , t } + \mu i _ { k , t } } \\ & { a _ { k , t + 1 } = \frac { 1 } { 1 + \alpha \delta \beta k \theta _ { t } } } \\ & { \theta _ { t } = \sum _ { k ^ { \prime } } \frac { a _ { k ^ { \prime } , t } ( k ^ { \prime } - 1 ) p _ { k ^ { \prime } } i _ { k ^ { \prime } , t } } { \langle k \rangle } , } \end{array}
\sum _ { i = 1 } ^ { n } U _ { i } ^ { 2 } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( { \frac { X _ { i } - { \overline { { X } } } } { \sigma } } \right) ^ { 2 } + n \left( { \frac { { \overline { { X } } } - \mu } { \sigma } } \right) ^ { 2 }
\sigma = \left[ \begin{array} { l l l } { \sigma _ { x x } } & { \sigma _ { x y } } & { \sigma _ { x z } } \\ { \sigma _ { y x } } & { \sigma _ { y y } } & { \sigma _ { y z } } \\ { \sigma _ { z x } } & { \sigma _ { z y } } & { \sigma _ { z z } } \end{array} \right] , \ \sigma _ { \lambda \mu } \in \mathbb { R } \quad \forall \lambda , \mu \in \{ x , y , z \}
\begin{array} { r } { C _ { p _ { b } } ( x _ { a } ) \approx C _ { p _ { b } } ^ { - } ( x _ { a } ) = ( 2 / \pi ) ^ { 1 / 4 } e ^ { - \frac { ( x _ { a } + \xi / 2 ) ^ { 2 } } { 4 w ^ { 2 } } } . } \end{array}
T _ { n l m } ^ { ( 1 ) } ( N = 1 ) \simeq - \frac { i ^ { l } e ^ { - i \phi _ { q } } \sqrt { I } } { 2 { \pi } ^ { 3 / 2 } q ^ { 2 } \omega } \left[ \sqrt { \frac { l } { 2 l + 1 } } \; { \cal T } _ { n l m } ^ { l - 1 } ( \Omega _ { 1 } ^ { + } , \Omega _ { n } ^ { - } , q ) + \sqrt { \frac { l + 1 } { 2 l + 1 } } \; { \cal T } _ { n l m } ^ { l + 1 } ( \Omega _ { 1 } ^ { + } , \Omega _ { n } ^ { - } , q ) \right] ,
\begin{array} { r l r l r } { \bar { \Gamma } = \frac { \Gamma } { n _ { 0 } I \sqrt { \frac { 2 T _ { 0 } r } { m R } } \frac { \nu _ { 0 } } { \Omega } } , } & { { } } & { \bar { Q } = \frac { Q } { n _ { 0 } I \sqrt { \frac { 2 T _ { 0 } r } { m R } } T _ { 0 } \frac { \nu _ { 0 } } { \Omega } } , } & { { } } & { \bar { \gamma } = \frac { \gamma } { \nu _ { 0 } n _ { 0 } \sqrt { 2 m T _ { 0 } r / R } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pi _ { * , * } ^ { A ( 2 ) _ { * } } ( \Sigma ^ { 8 j } g ^ { - 1 } \underline { { \mathrm { b o } } } _ { j } ) } & { \to \pi _ { * , * } ^ { A ( 2 ) _ { * } } ( g ^ { - 1 } \underline { { \mathrm { b o } } } _ { 2 j } ) } \\ { N _ { J } \{ x _ { J ^ { \prime } } t _ { J ^ { \prime } } \} } & { \mapsto N _ { J + \Delta } \{ x _ { J ^ { \prime } + \Delta } t _ { J ^ { \prime } + \Delta } \} } \\ { \pi _ { * , * } ^ { A ( 2 ) _ { * } } ( \Sigma ^ { 8 j + 8 , 1 } g ^ { - 1 } \underline { { \mathrm { b o } } } _ { j - 1 } } & { \to \pi _ { * , * } ^ { A ( 2 ) _ { * } } ( g ^ { - 1 } \underline { { \mathrm { b o } } } _ { 2 j } ) } \\ { N _ { J } \{ x _ { J ^ { \prime } } t _ { J ^ { \prime } } \} } & { \mapsto h _ { 2 , 1 } \cdot N _ { J + \Delta } \{ x _ { 1 , 1 } t _ { 1 , 1 } x _ { J ^ { \prime } + \Delta } t _ { J ^ { \prime } + \Delta } \} } \\ { \pi _ { * , * } ^ { A ( 2 ) _ { * } } ( \Sigma ^ { 8 j } g ^ { - 1 } \underline { { \mathrm { b o } } } _ { j } \otimes \underline { { \mathrm { b o } } } _ { 1 } ) } & { = \pi _ { * , * } ^ { A ( 2 ) _ { * } } ( g ^ { - 1 } \underline { { \mathrm { b o } } } _ { 2 j + 1 } ) } \\ { N _ { J \cup \{ ( 1 , 2 ) \} } \{ x _ { J ^ { \prime } } t _ { J ^ { \prime } } \} } & { \mapsto N _ { ( J + \Delta ) \cup \{ ( 1 , 1 ) \} } \{ x _ { J ^ { \prime } + \Delta } t _ { J ^ { \prime } + \Delta } \} . } \end{array}
Z _ { \Lambda } [ J , \phi _ { U V } ^ { \phantom { a } } ] = \int \! \! \mathcal { D } \phi _ { I R } ^ { \phantom { a } } \ e ^ { - \frac { 1 } { 2 } \phi _ { I R } ^ { \phantom { - 1 } } . \Delta _ { I R } ^ { - 1 } . \phi _ { I R } ^ { \phantom { - 1 } } - S _ { \Lambda _ { o } } ^ { \phantom { - 1 } } [ \phi _ { I R } ^ { \phantom { - 1 } } + \phi _ { U V } ^ { \phantom { - 1 } } ] + J . ( \phi _ { I R } ^ { \phantom { - 1 } } + \phi _ { U V } ^ { \phantom { - 1 } } ) } .
\mathcal { L } _ { 1 } [ \hat { \rho } ] = - \mathrm { i } \sum _ { \mathbf { a } } ( \Delta \omega _ { a } - \mathrm { i } \gamma / 2 ) ( \hat { S } _ { \mathbf { a } } ^ { \dagger } \hat { S } _ { \mathbf { a } } \hat { \rho } - \hat { S } _ { \mathbf { a } } \hat { \rho } \hat { S } _ { \mathbf { a } } ^ { \dagger } ) + \mathrm { H . c . }
\begin{array} { r l } { \textit { p r o b - e n r o l l m e n t } _ { u p c , w } } & { { } = 1 ; } \\ { \textit { p r o b - e n r o l l m e n t } _ { u p c , b } } & { { } = 1 + \beta _ { \mathrm { ~ d ~ i ~ f ~ f ~ - ~ i ~ n ~ f ~ l ~ u ~ e ~ n ~ c ~ e ~ } } \cdot ( 0 . 5 \cdot \textit { b l a c k - p e n a l t y } ) ; } \\ { \textit { p r o b - e n r o l l m e n t } _ { l c , w } } & { { } = 1 + \beta _ { \mathrm { ~ d ~ i ~ f ~ f ~ - ~ i ~ n ~ f ~ l ~ u ~ e ~ n ~ c ~ e ~ } } \cdot ( 0 . 5 \cdot \textit { l o w e r - c l a s s - p e n a l t y } ) ; } \\ { \textit { p r o b - e n r o l l m e n t } _ { l c , b } } & { { } = 1 + \beta _ { \mathrm { ~ d ~ i ~ f ~ f ~ - ~ i ~ n ~ f ~ l ~ u ~ e ~ n ~ c ~ e ~ } } \cdot ( 0 . 5 \cdot \textit { l o w e r - c l a s s - p e n a l t y } + 0 . 5 \cdot \textit { b l a c k - p e n a l t y } ) . } \end{array}
\frac { d P } { d t } = \frac { i } { \hbar } \left( E P - P E \right) , \ \ \ \ \ \frac { d Q } { d t } = \frac { i } { \hbar } \left( E Q - Q E \right) , \ \ \ \ \ \frac { d R } { d t } = \frac { i } { \hbar } \left( E R - R E \right) .
Q ( x , t ) = \mathcal { L } ( U ) = \ C _ { m } D _ { m } \pi ^ { 2 } x \cdot \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ } [ \pi L ( t ) x ] \cdot \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ } ( \pi D _ { m } t ) + c \pi L ( t ) \cdot \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ } [ \pi L ( t ) x ] + \nu [ \pi L ( t ) ] ^ { 2 } \cdot \mathrm { ~ s ~ i ~ n ~ } [ \pi L ( t ) x ]
\begin{array} { r l r } { \Im [ \Psi ^ { * } \partial _ { r } \Psi ] } & { { } \rightarrow } & { 0 } \\ { \Im [ \Psi ^ { * } \partial _ { \phi } \Psi ] } & { { } \rightarrow } & { m } \\ { \Im [ \Psi ^ { * } \partial _ { z } \Psi ] } & { { } \rightarrow } & { k _ { n _ { 0 } } , } \end{array}
\left( \begin{array} { l l } { \sqrt { \frac { e ^ { i \phi } - 1 } { a ^ { \prime } } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 / \sqrt { \frac { e ^ { i \phi } - 1 } { a ^ { \prime } } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { e ^ { i \phi } } & { a ^ { \prime } } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { \sqrt { \frac { e ^ { i \phi } - 1 } { a ^ { \prime } } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 / \sqrt { \frac { e ^ { i \phi } - 1 } { a ^ { \prime } } } } \end{array} \right) ^ { - 1 } = \left( \begin{array} { l l } { e ^ { i \phi } } & { e ^ { i \phi } - 1 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \left\langle \nabla _ { N } V _ { 2 } , J N \right\rangle } & { = \left\langle \nabla _ { V _ { 2 } } N + \left[ N , V _ { 2 } \right] + \mathrm { T o r } \left( N , V _ { 2 } \right) , J N \right\rangle } \\ & { = \left\langle \nabla _ { \left( X _ { 0 } \delta \right) N - X _ { 0 } } N + \mathrm { T o r } \left( N , \left( X _ { 0 } \delta \right) N - X _ { 0 } \right) , J N \right\rangle } \\ & { = \left( X _ { 0 } \delta \right) \left\langle \nabla _ { N } N , J N \right\rangle - \left\langle \nabla _ { X _ { 0 } } N + \mathrm { T o r } \left( N , X _ { 0 } \right) , J N \right\rangle } \\ & { = - \left( X _ { 0 } \delta \right) ^ { 2 } + \left\langle \left[ N , X _ { 0 } \right] , J N \right\rangle } \end{array}
\sum _ { i } \tilde { \alpha } _ { i } ^ { \prime 2 } - \tilde { \alpha } _ { i } ^ { \prime } \sum _ { j } \tilde { \alpha } _ { j } ^ { \prime } + { \frac { 1 } { D - 2 } } \varphi ^ { \prime 2 } + \sum _ { a } \alpha _ { a } ^ { \prime 2 } = { \frac { P ^ { 2 } } { 2 } } e ^ { \tilde { \Phi } } \ .
\begin{array} { r l } { \mu _ { 1 } ^ { 2 } } & { \leqslant \operatorname* { s u p } _ { \| x \otimes y \| = 1 } { \| P _ { W } ( x \otimes y ) \| ^ { 2 } } \leqslant \operatorname* { s u p } _ { \| x \otimes y \| = 1 } { \| P _ { \mathrm { a s . } } ( x \otimes y ) \| ^ { 2 } } + \operatorname* { s u p } _ { \| x \otimes y \| = 1 } { \| P _ { X } ( x \otimes y ) \| ^ { 2 } } } \\ & { \leqslant \frac { 1 } { 2 } + \operatorname* { s u p } _ { \| x \otimes y \| = 1 } { \sum _ { i = 1 } ^ { n } | \langle \phi _ { i } , x \otimes y \rangle | ^ { 2 } } \leqslant \frac { 1 } { 2 } + \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mu _ { 1 } ^ { 2 } ( \phi _ { i } ) , } \end{array}
\underline { { \boldsymbol \chi } } _ { \dagger } ^ { \prime } = - \omega _ { p e } ^ { 2 } \frac { \omega ^ { 2 } \underline { { \mathbf I } } - \boldsymbol \Omega ^ { * } \boldsymbol \Omega ^ { * } - i \omega ^ { \prime } \boldsymbol \Omega ^ { * } \times \underline { { \mathbf I } } } { \omega ^ { 2 } - { \Omega ^ { * } } ^ { 2 } } .
W _ { j _ { 1 } , k _ { 1 } , j _ { 2 } , k _ { 2 } } = \int f ( \theta , \phi ) \psi ( 2 ^ { - j _ { 1 } } \theta - k _ { 1 } ; 2 ^ { - j _ { 2 } } \phi - k _ { 2 } ) d \theta d \phi .
\bar { \psi } _ { 2 5 } ( x , f _ { 5 , \mathrm { s h } } ( x ) ) - \bar { \psi } _ { 2 5 } ( x , { f } _ { 5 , 0 } ( x ) ) = \psi ( x , f _ { 5 , \mathrm { s h } } ( x ) ) \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ x ~ \in ~ ( ~ 0 ~ , ~ \bar { ~ } { ~ \varepsilon ~ } ~ ) ~ } \, .
\mathcal { R } = - \frac { 9 } { 8 } + \lambda - \frac { 3 } { 8 } \, \lambda ^ { 2 } + \frac { 1 9 } { 1 9 2 } \, \lambda ^ { 4 } - \frac { 1 } { 1 0 } \, \lambda ^ { 5 } + \mathcal { O } \left( \lambda ^ { 6 } \right) ,
P ^ { ( N _ { f } ) } ( \lambda _ { \mathrm { m i n } } , m ) = 2 \lambda _ { \mathrm { m i n } } P ^ { ( N _ { f } ) } ( x _ { \mathrm { m i n } } , m ) = - 2 \lambda _ { \mathrm { m i n } } \left. \frac { d E ( 0 , s ) } { d s } \right| _ { s = \lambda _ { \mathrm { m i n } } ^ { 2 } } \: .
i ( 2 \pi ) ^ { 4 } G ( \xi \eta ; { \xi } ^ { \prime } { \eta } ^ { \prime } ) = \sum _ { 1 2 3 } { \Delta _ { 1 } } ^ { - 1 } { \Delta _ { 2 } } ^ { - 1 } \int d { { \hat { q } } _ { 1 2 } } ^ { \prime \prime } M d { \sigma _ { 1 2 } } ^ { \prime \prime } K ( { \hat { q } } _ { 1 2 } , { { \hat { q } } _ { 1 2 } } ^ { \prime \prime } ) G ( { \xi _ { 3 } } ^ { \prime \prime } { \eta _ { 3 } } ^ { \prime \prime } ; { \xi _ { 3 } } ^ { \prime } { \eta _ { 3 } } ^ { \prime } )
\begin{array} { r } { \tau _ { m } ^ { \prime \prime } \leq 2 ^ { - 2 4 } a _ { m - 1 } ^ { - 1 } \varepsilon _ { m - 1 } ^ { \delta } \leq 2 ^ { - 2 4 } a _ { m - 1 } ^ { - 1 } \leq 2 ^ { - 5 } M _ { m - 1 } ^ { - 1 } \, . } \end{array}
E _ { C } ^ { ( i ) \; r e n } ( R ) = \left. \left[ E _ { C } ^ { ( i ) \; r e g } ( R , \Lambda ) - E _ { C } ^ { ( i ) \; r e g } ( R \to \infty , \Lambda ) \right] \right| _ { \Lambda \to \infty } , ~ ~ i = 1 , ~ 2 .
\begin{array} { r l } & { \mathrm { t r } \left\{ \hat { \sigma } _ { s ^ { \prime } } ^ { 2 1 } \left( t \right) \hat { \sigma } _ { s } ^ { 1 2 } \left( t \right) \hat { \rho } \right\} = \mathrm { t r } \left\{ U ^ { \dagger } \left( t \right) \hat { \sigma } _ { s ^ { \prime } } ^ { 2 1 } U \left( t \right) U ^ { \dagger } \left( t \right) \hat { \sigma } _ { s } ^ { 1 2 } U \left( t \right) \hat { \rho } \right\} } \\ & { = \mathrm { t r } \left\{ \hat { \sigma } _ { s ^ { \prime } } ^ { 2 1 } \hat { \sigma } _ { s } ^ { 1 2 } U \left( t \right) \hat { \rho } U ^ { \dagger } \left( t \right) \right\} = \mathrm { t r } \left\{ \hat { \sigma } _ { s ^ { \prime } } ^ { 2 1 } \hat { \sigma } _ { s } ^ { 1 2 } \hat { \rho } \left( t \right) \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r } { W \left( k _ { y } , \omega _ { 0 } \right) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { d k _ { x } } { 2 \pi } \mathrm { ~ a ~ r ~ g ~ } \left[ \omega _ { \mathrm { ~ P ~ B ~ C ~ } } ^ { 2 } \left( k _ { x } , k _ { y } \right) - \omega _ { 0 } ^ { 2 } \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { L } _ { \mathrm { C D C ^ { - } } } } & { { } = \{ \hat { \boldsymbol { \Lambda } } \in \mathbb { L } : \hat { \mathbf { n } } ^ { 1 D } \cdot \hat { \boldsymbol { \Lambda } } \leq 0 , } \end{array}
\frac { a _ { 3 } } { a _ { 2 } } \leqslant \frac { b _ { 3 } } { b _ { 2 } } \frac { \sin \frac { \left( \beta + \eta \right) \pi } { 2 } } { \sin \frac { \left( \beta + 2 \gamma - \eta \right) \pi } { 2 } } \frac { \cos \frac { \left( \beta + \eta \right) \pi } { 2 } } { \cos \frac { \left( \beta + 2 \gamma - \eta \right) \pi } { 2 } } ,
P = \left( \frac { \gamma _ { \mathrm { r e f } } } { \gamma } \right) \left( \frac { C _ { \mathrm { r e f } } } { C } \right) \frac { | \mathbf { B } | } { | \mathbf { B } _ { \mathrm { r e f } } | } P _ { \mathrm { r e f } } \, .
{ \cal O } _ { \pi ^ { * } { \cal S } } ( A \sigma | _ { \pi ^ { * } { \cal S } } + f F ) = { \cal O } _ { \pi ^ { * } { \cal S } } ( A \sigma | _ { \pi ^ { * } { \cal S } } ) \otimes { \cal O } _ { \pi ^ { * } { \cal S } } ( f F ) = { \cal O } _ { \pi ^ { * } { \cal S } } ( A \sigma | _ { \pi ^ { * } { \cal S } } ) \otimes \pi ^ { * } { \cal O } _ { { \cal S } } ( f ) .
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } w _ { n } } & { = - \lambda _ { n } w _ { n } - \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { 0 } } \left< D _ { \gamma _ { k } } \frac { d } { d t } u _ { k } , \psi _ { n } \right> - 2 \sum _ { k , i = 1 } ^ { N _ { 0 } } \lambda _ { i } \left< D _ { \gamma _ { k } } u _ { k } , \psi _ { i } \right> \delta _ { i , n } } \\ & { \phantom { = } \; - \eta \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { 0 } } \left< D _ { \gamma _ { k } } u _ { k } , \psi _ { 2 } \right> \delta _ { 2 , n } + \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { 0 } } \gamma _ { k } \left< D _ { \gamma _ { k } } u _ { k } , \psi _ { n } \right> } \end{array}
c ( x , x ^ { \prime } ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } \sigma _ { \eta } } \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } \left[ - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { x - x ^ { \prime } } { \sigma _ { \eta } } \right) ^ { 2 } \right] \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } \left[ - i 2 \pi \frac { x - x ^ { \prime } } { \lambda _ { \eta } } \right] ,
\begin{array} { r l } { F _ { x , J } } & { { } = - \frac { g M \left( k _ { m } + \frac { \chi ^ { 2 } } { 1 - k _ { m } } - \chi ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta _ { J } \right) \sec \theta _ { J } \sin ( \alpha + \theta _ { J } ) } { k _ { m } + \frac { \chi ^ { 2 } } { 1 - k _ { m } } + 1 + 2 \chi \cos \theta _ { J } } \, , } \\ { F _ { y , J } } & { { } = - \frac { g M \chi ( 1 + \chi \cos \theta _ { J } ) \tan \theta _ { J } \sin ( \alpha + \theta _ { J } ) } { k _ { m } + \frac { \chi ^ { 2 } } { 1 - k _ { m } } + 1 + 2 \chi \cos \theta _ { J } } \, . } \end{array}
e q 4 h _ { 0 } ^ { 1 \pi } ( \nu ) = \frac { 1 } { 4 } \frac { g ^ { 2 } } { 4 \pi } \frac { \mu ^ { 2 } } { 4 \nu } \log ( 1 + \frac { 4 \nu } { \mu ^ { 2 } } ) \quad ,
\begin{array} { r l } { C _ { 1 } ( t ^ { n + 1 } ) = } & { 1 - e ^ { - \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } t _ { p } } - \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } t _ { p } \mathrm { e } ^ { - \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } t _ { p } } , } \\ { C _ { 2 } ( t ^ { n + 1 } ) = } & { - \frac { \varepsilon } { \sigma } \left( 1 - e ^ { - \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } t _ { p } } \right) + \frac { c } { \varepsilon } t _ { p } e ^ { - \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } t _ { p } } + \frac { c ^ { 2 } \sigma } { 2 \varepsilon ^ { 3 } } t _ { p } ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { - \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } t _ { p } } , } \\ { C _ { 3 } ( t ^ { n + 1 } ) = } & { - \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { c \sigma } \left( 1 - e ^ { - \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } t _ { p } } \right) + t _ { p } e ^ { - \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } t _ { p } } + \frac { c \sigma } { 2 \varepsilon ^ { 2 } } t _ { p } ^ { 2 } \mathrm { e } ^ { - \frac { c \sigma } { \varepsilon ^ { 2 } } t _ { p } } . } \end{array}
F = - \frac { I v _ { \| } } { \Omega } \frac { d f _ { 0 } } { d \psi } = - \frac { I v _ { \| } } { \Omega } \left[ \frac { d \ln p _ { 0 } } { d \psi } + \left( s ^ { 2 } - \frac { 5 } { 2 } \right) \frac { d \ln T _ { 0 } } { d \psi } \right] f _ { 0 }
\delta \Gamma _ { r e g } ^ { ( k ) } [ A ] = - \int _ { 0 } ^ { \infty } \delta ( \mathrm { T r } e ^ { - t D D ^ { \dagger } } ) \left( 1 + \sum _ { i = 1 } ^ { r } e _ { i } e ^ { - t M _ { i } ^ { 2 } L _ { 1 } ^ { 2 } } \right) \frac { d t } { t } .