harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\pmb { S } = \frac { 1 } { 2 } \frac { k } { \varepsilon } \left[ \nabla \pmb { u } + \left( \nabla \pmb { u } \right) ^ { \operatorname { T } } \right] , \quad \pmb { R } = \frac { 1 } { 2 } \frac { k } { \varepsilon } \left[ \nabla \pmb { u } - \left( \nabla \pmb { u } \right) ^ { \operatorname { T } } \right] ,
\begin{array} { r } { 0 = \partial _ { \rho } \left( \nu ( \theta _ { 0 } ) ( \hat { \mathbf { v } } _ { 0 } - \mathbf { u } _ { 0 } d _ { \Gamma } \eta ^ { \prime } ( \rho ) ) \cdot \nabla d _ { \Gamma } \right) = 2 \theta _ { 0 } ^ { \prime } \theta _ { 0 } ^ { \prime \prime } + \partial _ { \rho } \hat { p } _ { - 1 } . } \end{array}
| Z _ { \mathrm { e x p } } ( \omega ) - Z ( \omega ) | \le \frac { T _ { 1 } } { T _ { 2 } - T _ { 1 } } R _ { 0 } \left( 1 + \frac { \theta } { T _ { 1 } } \right) e ^ { - T _ { 1 } / \theta } + R _ { 0 } e ^ { - T _ { 2 } / \theta } .
\operatorname * { d e t } \left( \begin{array} { c c } { { A } } & { { B } } \\ { { C } } & { { D } } \end{array} \right) = \operatorname * { d e t } \left( \begin{array} { c c } { { A - B D ^ { - 1 } C } } & { { B } } \\ { { 0 } } & { { D } } \end{array} \right) = \operatorname * { d e t } ( A - B D ^ { - 1 } C ) \operatorname * { d e t } ( D ) \ ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \mathcal { F } _ { t } } { \partial \boldsymbol { \phi } _ { \mathbf { s } _ { t } } } } & { { } = 0 } \\ { \implies \boldsymbol { \phi } _ { \mathbf { s } _ { t } } ^ { * } } & { { } = \sigma \left( \ln \mathbf { A } ^ { T } \mathbf { o } _ { t } + \ln ( \mathbf { B } _ { \mathbf { u } _ { t - 1 } } \cdot \boldsymbol { \phi } _ { \mathbf { s } _ { t - 1 } } ^ { * } ) \right) } \end{array}
S = - \frac { 1 } { 2 } \int \! d \sigma d \tau [ \partial _ { \mu } \chi _ { 1 } \partial ^ { \mu } \chi _ { 1 } + 2 \chi _ { 2 } \partial _ { \mu } \chi _ { 1 } \partial ^ { \mu } \chi _ { 3 } + \frac { 1 } { 1 + { \chi _ { 1 } } ^ { 2 } } \partial _ { \mu } \chi _ { 2 } \partial ^ { \mu } \chi _ { 2 } + ( { \chi _ { 2 } } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 1 + { \chi _ { 1 } } ^ { 2 } } ) \partial _ { \mu } \chi _ { 3 } \partial ^ { \mu } \chi _ { 3 } + \partial _ { \mu } t \partial ^ { \mu } t ] .
\begin{array} { r l } { x ( t ) = \sum _ { l } \; } & { { } \Theta \left( t - t _ { l } \right) e ^ { - \Gamma \left( t - t _ { l } \right) / 2 } \; \times } \\ { \Big \{ } & { { } s _ { l } \sum _ { n \in \mathbb { Z } } \alpha _ { n } \sin \big ( ( \omega _ { 0 } + n \Omega ) ( t - t _ { l } ) + n \phi _ { l } \big ) } \\ { + } & { { } c _ { l } \sum _ { n \in \mathbb { Z } } \alpha _ { n } \cos \big ( ( \omega _ { 0 } + n \Omega ) ( t - t _ { l } ) + n \phi _ { l } \big ) \Big \} } \end{array}
{ \cal A } = < \int _ { S _ { \rho } ^ { 3 } } \psi ^ { 3 } > = \int _ { \cal M } 9 6 \pi ^ { 2 } { \frac { a ^ { 5 } \rho ^ { 2 } d a } { ( \rho ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { 4 } } } \cos \beta \, d \alpha \, d \beta = 3 2 \pi ^ { 3 } .
\begin{array} { r } { \frac { d } { d t } ( e ^ { \frac { 1 } { C _ { 0 } } ( \frac { t } { \varepsilon } ) ^ { \frac { 2 } { 3 } } } \mathscr Y _ { - , 1 } ) \leq C _ { 2 } ( \varepsilon e ^ { \frac { 1 } { C _ { 0 } } ( \frac { t } { \varepsilon } ) ^ { \frac { 2 } { 3 } } } + \frac { d } { d t } e ^ { - \frac { 1 } { C _ { 1 } } ( \frac { t } { \varepsilon } ) ^ { \frac { 2 } { 3 } } } \operatorname* { s u p } _ { t ^ { \prime } \in [ 0 , T ] } { \widetilde { \mathscr E } _ { - , 2 } ( t ^ { \prime } ) } } \end{array}
\delta ( \lambda ) = \arg \left[ \alpha _ { 2 } ( \alpha _ { 3 } - \alpha _ { 1 } ) ( \alpha _ { 3 } + \alpha _ { 1 } - 1 ) \prod _ { i = 1 } ^ { 3 } \frac { \Gamma ( \alpha _ { 1 } + \gamma _ { i } ) } { \Gamma ( \alpha _ { 1 } - \alpha _ { i } + 1 ) } \right] \, ,
I ^ { ( n ) } ( n , D ) = \frac { i \pi ^ { D / 2 } \Gamma \big ( 4 n + 2 - \frac { D } { 2 } \big ) } { \Gamma ( 4 n ) m _ { \mathrm { H } } ^ { 8 n + 4 - D } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d r \int _ { 0 } ^ { 1 - \frac { 1 } { r } } t ^ { 4 n - 1 } ( 1 - t ) ^ { 1 - \frac { D } { 2 } } d t \, .
\mu _ { \rho } = \frac { 1 } { 2 } \int \frac { d ^ { 2 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \left[ \left( \frac { g ^ { 2 } } { 2 \pi ^ { 2 } } p ^ { 2 } D ( p ) + 2 z \right) ^ { - 1 } - \left( \frac { 1 } { \pi n } p ^ { 2 } + 2 z \right) ^ { - 1 } \right]
\begin{array} { r } { \left( \boldsymbol { \nabla } ^ { 2 } - \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } \right) \boldsymbol { E } ( \boldsymbol { r } , t ) = \mu _ { 0 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } \boldsymbol { P } ( t ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { K } } & { = } & { m - s \delta + K \delta } \\ & { = } & { \beta _ { 0 } ^ { F } \left( T _ { 1 } , T _ { 2 } \right) - \frac { \beta _ { 0 } ^ { F } \left( T _ { 1 } , T _ { 2 } \right) - 1 } { \delta } \delta + K \delta } \\ & { = } & { \beta _ { 0 } ^ { F } \left( T _ { 1 } , T _ { 2 } \right) - \left( \beta _ { 0 } ^ { F } \left( T _ { 1 } , T _ { 2 } \right) - 1 \right) + K \delta } \\ & { = } & { 1 + K \delta . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial u ( t , x ) } { \partial t } } & { = d \, \frac { \partial ^ { 2 } u ( t , x ) } { \partial x ^ { 2 } } \, , \quad x \in [ 0 , 1 ] , \, t \geq 0 \, , } \\ { u ( 0 , t ) } & { = u ( 1 , t ) = 0 \, , \quad t \geq 0 , } \\ { u ( x , 0 ) } & { = u _ { 0 } ( x ) \, , \quad x \in [ 0 , 1 ] \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { H _ { p _ { h , z } } ^ { 2 } f = - 2 \rho _ { b } ^ { - 2 } f ^ { \prime } ( r ) \Delta _ { b } H _ { p _ { h , z } } \xi _ { r } = - \frac { 2 f ^ { \prime } ( r ) } { \rho _ { b } ^ { 4 } \Delta _ { b } } ( a \xi _ { \varphi } - ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) z ) \Big ( \frac { \partial \Delta _ { b } } { \partial r } ( a \xi _ { \varphi } - ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) z ) + 4 z r \Delta _ { b } \Big ) . } \end{array}
{ \frac { 1 } { s - 1 } } - { \frac { 1 } { s } } + \int _ { 0 } ^ { 1 } x ^ { { \frac { s } { 2 } } - { \frac { 3 } { 2 } } } \psi \left( { \frac { 1 } { x } } \right) \, d x + \int _ { 1 } ^ { \infty } x ^ { { \frac { s } { 2 } } - 1 } \psi ( x ) \, d x
\begin{array} { r } { \Delta { \cal E } = \left\{ \begin{array} { l l } { \hbar \omega _ { p 2 } T _ { p p } + \hbar \omega _ { h 2 } T _ { h p } - \hbar \omega _ { p 1 } , } & { \quad \mathrm { ~ p ~ b ~ a ~ n ~ d ~ } } \\ { \hbar \omega _ { h 2 } T _ { h h } + \hbar \omega _ { p 2 } T _ { p h } - \hbar \omega _ { h 1 } , } & { \quad \mathrm { ~ h ~ b ~ a ~ n ~ d ~ } } \end{array} \right. . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ \| \mathbf { X } _ { i } \| _ { \mathbf { x } } ] } & { = \mathbb { E } \left[ \left\| \mathrm { g r a d } f _ { 1 } ( \mathbf { x } ) - \mathrm { g r a d } f ( \mathbf { x } ) \right\| _ { \mathbf { x } } \right] = \mathbb { E } \left[ \left\| \mathrm { g r a d } f _ { 1 } ( \mathbf { x } ) - \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathrm { g r a d } f _ { i } ( \mathbf { x } ) \right\| _ { \mathbf { x } } \right] } \\ & { = \mathbb { E } \left[ \left\| \frac { n - 1 } { n } \mathrm { g r a d } f _ { 1 } ( \mathbf { x } ) - \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 2 } ^ { n } \mathrm { g r a d } f _ { i } ( \mathbf { x } ) \right\| _ { \mathbf { x } } \right] } \\ & { \le \mathbb { E } \left[ \left( \frac { 2 ( n - 1 ) ^ { 2 } } { n ^ { 2 } } \left\| \mathrm { g r a d } f _ { 1 } ( \mathbf { x } ) \right\| _ { \mathbf { x } } ^ { 2 } + \frac { 2 } { n ^ { 2 } } \left\| \sum _ { i = 2 } ^ { n } \mathrm { g r a d } f _ { i } ( \mathbf { x } ) \right\| _ { \mathbf { x } } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \right] } \\ & { \le \mathbb { E } \left[ \left( \frac { 2 ( n - 1 ) ^ { 2 } } { n ^ { 2 } } K _ { g _ { m a x } } ^ { 2 } + \frac { 2 ( n - 2 ) ^ { 2 } } { n ^ { 2 } } K _ { g _ { m a x } } ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \right] \le 2 K _ { g _ { m a x } } . } \end{array}
g ^ { \ast } = \left( 1 - \frac { 1 } { Z _ { r } } \right) g _ { t } + \left( \frac { 1 } { Z _ { r } } - \frac { 1 } { Z _ { v } } \right) g _ { t r } + \left( \frac { 1 } { Z _ { v } } \right) g _ { M } ,
\begin{array} { r l r } { \hat { H } _ { \mathrm { T C } } } & { { } = } & { \hat { H } - \sum _ { i } \left( \frac { 1 } { 2 } \nabla _ { i } ^ { 2 } J + ( \nabla _ { i } J ) \cdot \nabla _ { i } + \frac { 1 } { 2 } ( \nabla _ { i } J ) ^ { 2 } \right) } \end{array}
- \mathbf { q } \cdot { \dot { \mathbf { p } } } - H ( \mathbf { q } , \mathbf { p } , t ) = \mathbf { P } \cdot { \dot { \mathbf { Q } } } - K ( \mathbf { Q } , \mathbf { P } , t ) + { \frac { \partial G _ { 3 } } { \partial t } } + { \frac { \partial G _ { 3 } } { \partial \mathbf { p } } } \cdot { \dot { \mathbf { p } } } + { \frac { \partial G _ { 3 } } { \partial \mathbf { Q } } } \cdot { \dot { \mathbf { Q } } }
\begin{array} { r l } & { \int _ { \mathbb { R } } | \mathcal { F } Y ( t - r , \cdot ) ( \xi ) - \mathcal { F } Y ( s - r , \cdot ) ( \xi ) | ^ { 2 } | \xi | ^ { a } \ensuremath { \mathrm { d } } \xi } \\ { = } & { \int _ { \mathbb { R } } \left| ( t - r ) ^ { \beta + \gamma - 1 } E _ { \beta , \beta + \gamma } ( - 2 ^ { - 1 } \nu ( t - r ) ^ { \beta } | \xi | ^ { \alpha } ) - ( s - r ) ^ { \beta + \gamma - 1 } E _ { \beta , \beta + \gamma } ( - 2 ^ { - 1 } \nu ( s - r ) ^ { \beta } | \xi | ^ { \alpha } ) \right| ^ { 2 } | \xi | ^ { a } \ensuremath { \mathrm { d } } \xi . } \end{array}
\mathsf E _ { \mathcal P } \breve { \mathscr R } ^ { n } = \frac { ( \alpha _ { 3 } ) _ { n / 2 } } { ( \alpha _ { 3 } ) _ { 1 / 2 } ^ { n } } \sigma _ { R } ^ { n } \, \mathsf E _ { \mathcal P } G ^ { n } .
{ \begin{array} { r l r l } { \Delta ( t ) + V p ( t ) } & { \leqslant B + C + V P ( \alpha ^ { * } ( t ) , \omega ( t ) ) + \sum _ { i = 1 } ^ { K } Q _ { i } ( t ) Y _ { i } ( \alpha ^ { * } ( t ) , \omega ( t ) ) } \\ { \Delta ( t ) + V p _ { \operatorname* { m i n } } } & { \leqslant B + C + V p _ { \operatorname* { m a x } } + \sum _ { i = 1 } ^ { K } Q _ { i } ( t ) Y _ { i } ( \alpha ^ { * } ( t ) , \omega ( t ) ) } & & { { \mathrm { a s s u m e ~ } } p _ { \operatorname* { m i n } } \leqslant P \leqslant p _ { \operatorname* { m a x } } } \\ { E [ \Delta ( t ) ] + V p _ { \operatorname* { m i n } } } & { \leqslant B + C + V p _ { \operatorname* { m a x } } + \sum _ { i = 1 } ^ { K } E \left[ Q _ { i } ( t ) ] E [ Y _ { i } ( \alpha ^ { * } ( t ) , \omega ( t ) ) \right] } & & { { \mathrm { t a k i n g ~ e x p e c t a t i o n } } } \\ { E [ \Delta ( t ) ] + V p _ { \operatorname* { m i n } } } & { \leqslant B + C + V p _ { \operatorname* { m a x } } + \sum _ { i = 1 } ^ { K } E [ Q _ { i } ( t ) ] ( - \epsilon ) } & & { { \mathrm { U s i n g ~ ( E q . ~ 5 ) } } } \\ { E [ \Delta ( t ) ] + \epsilon \sum _ { i = 1 } ^ { K } E [ Q _ { i } ( t ) ] } & { \leqslant B + C + V ( p _ { \operatorname* { m a x } } - p _ { \operatorname* { m i n } } ) } \end{array} }
\mathrm { w i t h \ \ } M _ { f i } = { \frac { \mu _ { \nu } } { 2 } } \bar { u } ( p _ { 2 } , \lambda _ { 2 } ) \sigma _ { \mu \nu } u ( p _ { 1 } , \lambda _ { 1 } ) i ( k ^ { \mu } \varepsilon ^ { \nu } - k ^ { \nu } \varepsilon ^ { \mu } ) ,
\varphi _ { f } \left( \mathbf { x } , 0 \right) = \varphi _ { 0 } , ~ ~ \Gamma _ { 2 } ( t = 0 ) = \Gamma ^ { 0 } , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } ~ \mathbf { x } \in \mathbb { R } ^ { d } .
u _ { L } ^ { ' + } \left( x ^ { + } , y ^ { + } , z ^ { + } \right) = F _ { x } ^ { - 1 } \left\{ H _ { L } \left( \lambda _ { x } ^ { + } , y ^ { + } \right) F _ { x } \left[ u _ { o } ^ { ' + } \left( x ^ { + } , y _ { o } ^ { + } , z ^ { + } \right) \right] \right\} ,
\int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \, \mathrm { ~ d ~ } \theta q _ { \rho } ^ { 2 } e ^ { - 2 q _ { \rho } s } = 2 k ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \, \mathrm { ~ d ~ } \theta ( 1 - \cos \theta ) e ^ { - 2 \sqrt { 2 } k s \sqrt { 1 - \cos \theta } } \simeq 2 k ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \, \mathrm { ~ d ~ } \theta \theta ^ { 2 } e ^ { - 2 k s \theta }
\frac { 1 } { 2 } H ^ { 2 } - H ^ { 2 } \frac { a \bar { e } ^ { 2 } ( t ) } { 2 4 \pi ^ { 2 } } \left( \ln \frac { \bar { M } _ { F } ^ { 2 } ( t ) } { \mu ^ { 2 } e ^ { 2 t } } \right) \; .
\begin{array} { r l r } { h _ { j } ( q , p ) } & { { } = } & { \vert \langle q , p \vert \hat { h } _ { j } \vert q , p \rangle \vert } \\ { Q _ { j } ( q , p ) } & { { } = } & { \vert \langle q , p \vert \hat { Q } _ { j } \vert q , p \rangle \vert , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma ^ { 2 } ( R ) } & { { } = n _ { t } p ( 1 - p ) / \tau ^ { 2 } = R ( 1 - R \Delta t ^ { \prime } ) / \tau } \\ { \kappa _ { 3 } ( R ) } & { { } = n _ { t } p ( 1 - p ) ( 1 - 2 p ) / \tau ^ { 3 } = R ( 1 - R \Delta t ^ { \prime } ) ( 1 - 2 R \Delta t ^ { \prime } ) / \tau ^ { 2 } } \\ { \kappa _ { 4 } ( R ) } & { { } = n _ { t } p ( 1 - p ) ( 1 - 6 p ( 1 - p ) ) / \tau ^ { 4 } = R ( 1 - R \Delta t ^ { \prime } ) ( 1 - 6 R \Delta t ^ { \prime } ( 1 - R \Delta t ^ { \prime } ) ) / \tau ^ { 3 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { B _ { 2 , K , I , n } ^ { * } | ( \mathcal { Q } _ { I , n } ^ { * } = \mathcal { Q } _ { I , n } , \mathcal { D } _ { I , n } ) } \\ { = } & { \sqrt { I + n + 1 } \sum _ { i = 0 } ^ { K } C _ { I - i , i } ^ { * } \left( \prod _ { j = i } ^ { K } \widehat { f } _ { j , n } ^ { * } \left( \prod _ { l = K + 1 } ^ { I + n - 1 } \widehat { f } _ { l , n } ^ { * } - 1 \right) - \prod _ { j = i } ^ { K } \widehat { f } _ { j , n } \left( \prod _ { l = K + 1 } ^ { I + n - 1 } \widehat f _ { l , n } - 1 \right) \right) | ( \mathcal { Q } _ { I , n } ^ { * } = \mathcal { Q } _ { I , n } , \mathcal { D } _ { I , n } ) . } \end{array}
\frac { \partial u } { \partial \tau } = - \mathrm { I m } \! \left[ \frac { d A _ { z c } } { d W } \right] , \qquad \frac { \partial u } { \partial \sigma } = \mathrm { R e } \! \left[ \frac { d A _ { z c } } { d W } \right] ,
\begin{array} { r l } { { \hat { h } } _ { \mathrm { G T C } } } & { { } ( k _ { x } ) = \sum _ { { k _ { y } \in \mathcal { K } _ { c } } } \hat { a } _ { { k _ { x } , k _ { y } } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { { k _ { x } , k _ { y } } } \omega _ { c } ( { k _ { x } , k _ { y } } ) + \epsilon ( k _ { x } ) \hat { d } _ { k _ { x } , k _ { y } } ^ { \dagger } \hat { d } _ { k _ { x } , k _ { y } } } \\ { + } & { { } \sum _ { k _ { y ^ { \prime } } \in { \mathcal { N } _ { c } } } \sum _ { k _ { y } \in { \mathcal { K } _ { c } } } \Omega ( { k _ { y } , k _ { y ^ { \prime } } } ) \big ( \hat { a } _ { k _ { x } , k _ { y } } ^ { \dagger } \hat { d } _ { k _ { x } , k _ { y ^ { \prime } } } + \hat { a } _ { { k _ { x } , k _ { y } } } \hat { d } _ { k _ { x } , k _ { y ^ { \prime } } } ^ { \dagger } \big ) , } \end{array}
\mu _ { 0 } ^ { 2 } = \mu ^ { 2 } \, - \, { \frac { b } { 2 } } \, \int _ { - \Lambda } ^ { + \Lambda } \, { \frac { d q } { 2 \pi } } \, { \frac { 1 } { 2 \sqrt { q ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } } } }
\begin{array} { r l } { X _ { m \left( a \rightarrow \kappa _ { m } \right) } } & { { } = \sum _ { m _ { m } m _ { a } } \left( - 1 \right) ^ { j _ { a } - m _ { a } } C _ { j _ { m } m _ { m } j _ { a } - m _ { a } } ^ { J M } \chi _ { m a } \, , } \\ { Y _ { m \left( a \rightarrow \kappa _ { m } \right) } } & { { } = \sum _ { m _ { m } m _ { a } } \left( - 1 \right) ^ { j _ { a } - m _ { a } + J - M } C _ { j _ { m } m _ { m } j _ { a } - m _ { a } } ^ { J - M } \eta _ { m a } ^ { * } \, , } \end{array}
\left| { \mathcal M } _ { d } { \mathcal M } _ { d } ^ { \dagger } \right| \sim m _ { b } ^ { 2 } \left( \begin{array} { c c c } { { \lambda ^ { 6 } } } & { { \lambda ^ { 5 } } } & { { \lambda ^ { 4 } } } \\ { { \lambda ^ { 5 } } } & { { \lambda ^ { 4 } } } & { { \lambda ^ { 2 } } } \\ { { \lambda ^ { 4 } } } & { { \lambda ^ { 2 } } } & { { 1 } } \end{array} \right) \! .
\begin{array} { l } { { u = u _ { L } v _ { R } + a _ { L } b _ { R } \qquad a = a _ { L } u _ { R } - u _ { L } a _ { R } } } \\ { { b = b _ { L } v _ { R } - v _ { L } b _ { R } \, \qquad v = v _ { L } u _ { R } + b _ { L } a _ { R } \, \, , } } \end{array}
\begin{array} { r } { \prod _ { u = 1 } ^ { n } \sin ( \varphi _ { u } ) = \frac { ( - 1 ) ^ { \lfloor \frac { n } { 2 } \rfloor } } { 2 ^ { n } } \cdot \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \sum _ { e \in \{ - 1 , + 1 \} ^ { n } } \cos ( e _ { 1 } \varphi _ { 1 } + \dots + e _ { n } \varphi _ { n } ) \cdot \prod _ { j = 1 } ^ { n } e _ { j } \ \mathrm { i f ~ n ~ i s ~ e v e n } , } \\ { \displaystyle \sum _ { e \in \{ - 1 , + 1 \} ^ { n } } \sin ( e _ { 1 } \varphi _ { 1 } + \dots + e _ { n } \varphi _ { n } ) \cdot \prod _ { j = 1 } ^ { n } e _ { j } \ \mathrm { i f ~ n ~ i s ~ o d d . } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \zeta = \zeta ( t ) : } & { = \frac { z _ { 1 } + z _ { 2 } } { 2 } \left( i t - \sqrt { T _ { 1 } ^ { 2 } - t ^ { 2 } } + \sqrt { 1 - 2 t ^ { 2 } - 2 i t \sqrt { T _ { 1 } ^ { 2 } - t ^ { 2 } } } \right) \quad \mathrm { f o r } \quad 0 \le t < T _ { 1 } , } \\ { \zeta = \zeta ( t ) : } & { = \frac { z _ { 1 } + z _ { 2 } } { 2 } \left( i t + i \sqrt { t ^ { 2 } - T _ { 1 } ^ { 2 } } + \sqrt { 1 - 2 t ^ { 2 } - 2 t \sqrt { t ^ { 2 } - T _ { 1 } ^ { 2 } } } \right) \quad \mathrm { f o r } \quad T _ { 1 } \le t \le T _ { 2 } , } \end{array}
Z ( m , y _ { 1 } , z ) = \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } \alpha ^ { \prime } } \frac { m \pi } { \operatorname { t a n h } ( m \pi ) } \Bigl [ ( z + a ) ^ { 2 } + \frac { \operatorname { t a n h } ( m \pi ) } { m \pi } X ^ { + } X ^ { -- } b ^ { 2 } \Bigr ] ,
\begin{array} { r l } { \bigg | \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } \textup { e } ^ { h _ { \epsilon } ( V , t ) } ( 1 } & { + x _ { t , V } ( A ) ) [ J [ F ] ( A , V , t ) - J [ G ] ( A , V , t ) ] \varphi ( A , V ) \textup { d } V \textup { d } A \bigg | } \\ & { \leq 2 \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } ( 1 + a ) g _ { \textup { i n } , R } ( a , v ) \textup { d } v \textup { d } a | | K _ { R } | | _ { \infty } | | \varphi | | _ { \infty } | | F - G | | ( \textup { e } ^ { \tau } - 1 ) } \\ & { + \frac { 1 - \gamma } { 2 } | | K _ { R } | | _ { \infty } ( | | F | | + | | G | | ) | | \varphi | | _ { \infty } | | F - G | | \tau + \frac { 1 - \gamma } { 2 } | | K _ { R } | | _ { \infty } ^ { 2 } | | G | | ^ { 2 } | | \varphi | | _ { \infty } | | F - G | | \tau ( \textup { e } ^ { \tau } - 1 ) } \\ & { \leq ( M | | K _ { R } | | _ { \infty } + 2 M ( 1 - \gamma ) | | K _ { R } | | _ { \infty } + | | K _ { R } | | _ { \infty } ) ( \textup { e } ^ { \tau } - 1 ) | | F - G | | < \frac { 1 } { 2 } | | F - G | | . } \end{array}
{ \cal R } e \ { \bf \Sigma } ( q ^ { 2 } ) = \frac { 1 } { \pi } { \cal P } \int _ { 4 m _ { \pi } ^ { 2 } } ^ { \Lambda ^ { 2 } } d \mu ^ { 2 } \, \frac { \mathrm { I m } \ { \bf \Sigma } ( \mu ^ { 2 } ) } { \mu ^ { 2 } - q ^ { 2 } } \ .
\partial _ { i } y = E _ { i } , \; \; \; \; { \bf E } ^ { 2 } = ( { \bf \nabla } y ) ^ { 2 } = { \bf E } \cdot { \bf \nabla } y = \frac { e ^ { 2 } } { r ^ { 4 } } \equiv E _ { c } ^ { 2 } \equiv y _ { c } ^ { 2 } , \; \; \; \; Q = 1
\begin{array} { r l } { \mathbf { a } = { } } & { { } \left( { \ddot { r } } - r \, { \dot { \theta } } ^ { 2 } - r \, { \dot { \varphi } } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta \right) \mathbf { \hat { r } } } \end{array}
\begin{array} { r } { J _ { N } = \frac { 4 \alpha } { 3 \pi c ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d \hbar \omega } { 2 \pi } \omega \Theta ( \mu _ { L } - \mu _ { R } - \hbar \omega ) \int _ { \mu _ { R } + \hbar \omega } ^ { \mu _ { L } } \frac { d E } { 2 \pi } j _ { N } ( E , E ^ { - } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { D _ { \rho } = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { \rho } \end{array} \right) , \quad T _ { \omega } = \left( \begin{array} { l l } { \cos ( \omega ) } & { - \sin ( \omega ) } \\ { \sin ( \omega ) } & { \cos ( \omega ) } \end{array} \right) , \quad J = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { - 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) , } \end{array}
2 . 1 \Gamma _ { 0 } \left[ f ( x ) \right] = - \frac { 1 } { 2 } f ( x ) \partial ^ { 2 } f ( x ) + \frac { m ^ { 2 } } { 2 } f ^ { 2 } ( x ) + \frac { \lambda f ^ { 3 } ( x ) } { 3 ! } .
\langle { 0 } | { \frac { \alpha _ { s } } { \pi } } G _ { \mu \nu } ^ { a } G _ { \mu \nu } ^ { a } | { 0 } \rangle = - { \frac { 3 2 } { 9 } } \epsilon = - { \frac { 3 2 } { 9 } } ( \epsilon _ { q } + \epsilon _ { g } ) .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \operatorname* { s u p } _ { s \leq t } | Z _ { s } | \right] } & { \leq \left( \mathbb { E } \left[ \operatorname* { s u p } _ { s \leq t } | Z _ { s } | ^ { 2 } \right] \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { \leq \left( 2 \mathbb { E } \left[ \operatorname* { s u p } _ { s \leq t } | \bar { X } _ { s } | ^ { 2 } \right] + 2 \mathbb { E } \left[ \operatorname* { s u p } _ { s \leq t } | \bar { Y } _ { s } | ^ { 2 } \right] \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \leq C ( T ) , } \end{array} \quad \forall t \in [ 0 , T ] ,
\begin{array} { r l } { T _ { E _ { h } , t } ^ { { \mathbf \Upsilon } , { \mu } } \mathbf 1 _ { A } u ( \gamma ) } & { = T _ { t } ^ { { \mathbf \Upsilon } ( E _ { h } ) , { \mu } _ { E _ { h } } ^ { \gamma } } ( \mathbf 1 _ { A } u ) _ { E _ { h } , \gamma } ( \gamma _ { B _ { r } } ) = \mathbf 1 _ { A } T _ { t } ^ { { \mathbf \Upsilon } ( E _ { h } ) , { \mu } _ { E _ { h } } ^ { \gamma } } u _ { E _ { h } , \gamma } ( \gamma _ { E _ { h } } ) = \mathbf 1 _ { A } T _ { E _ { h } , t } ^ { { \mathbf \Upsilon } , { \mu } } u ( \gamma ) \, \, \mathrm { , } \; \, } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial \hat { \boldsymbol { U } } } { \partial t } + \frac { \partial \hat { \boldsymbol { F } } } { \partial \xi } + \frac { \partial \hat { \boldsymbol { G } } } { \partial \eta } = 0 , } \\ & { \hat { \boldsymbol { U } } = \frac { \Delta x \Delta y } { 4 } \boldsymbol { U } , } \\ & { \hat { \boldsymbol { F } } = \frac { \Delta y } { 2 } \boldsymbol { F } , \quad \hat { \boldsymbol { G } } = \frac { \Delta x } { 2 } \boldsymbol { G } , } \end{array}
{ \cal { Z } } ^ { P F } ( X _ { 1 } , X _ { 2 } , X _ { 3 } ; p ) = { \frac { \operatorname * { d e t } ( X _ { j } ^ { p + 7 - i } - X _ { j } ^ { i } ) } { \operatorname * { d e t } ( X _ { j } ^ { 2 M + 1 - i } - X _ { j } ^ { i } ) } } ~ ~ ; ~ ~ 1 \le i , j \le 3 ~ ~ ~ ~ .