harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
Z = \int \prod _ { x , i , a } d \bar { E } _ { x , i } ^ { a } \, d \mu ( U _ { x , i } ) \, \exp \left[ - { \frac { \bar { H } _ { \mathrm { e l } } + \bar { H } _ { \mathrm { m a g } } } { T _ { \mathrm { G } } } } \right] \, \delta ( D _ { x , i } ^ { a b } \bar { E } _ { x , i } ^ { b } ) \, \delta ( F ( U _ { x , i } ) ) \, ,
\beta ( Q ) = { \frac { n _ { c } ^ { 2 } - 1 } { 2 n _ { c } } } \ { \frac { g ^ { 2 } } { 4 \pi \hbar c } } \ r ^ { 2 } ( Q , \Lambda ) \equiv { \frac { 4 } { 3 } } \alpha _ { s } ( Q ) ,
\begin{array} { r l } { { { \nabla \cdot } \, } ( { \mathcal { D } } ( { \mathbf u } ) { \mathbf v } ) } & { { } = \sum _ { i } ( { \mathcal { D } } ( { \mathbf u } ) { \mathbf v } ) _ { i , i } = \sum _ { i j } ( { \mathcal { D } } ( { \mathbf u } ) _ { i j } { \mathbf v } _ { j } ) _ { , i } = \sum _ { i j } \big ( { \mathcal { D } } ( { \mathbf u } ) _ { i j } { \mathbf v } _ { j , i } + { \mathcal { D } } ( { \mathbf u } ) _ { i j , i } { \mathbf v } _ { j } \big ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sqrt [ 3 ] { \| \zeta \| } } & { = \frac { 1 } { 3 } \sqrt { \left( k _ { \mathrm { a } } + c _ { \mathrm { b } } \right) ^ { 2 } + 3 k _ { \mathrm { a } } \left( c _ { \mathrm { a } } - c _ { \mathrm { b } } \right) + 3 } , } \\ { \theta } & { = \arctan { \left( - \frac { q } { 2 } , \frac { \sqrt { \Delta [ P _ { \mathrm { a t } } ] } } { 6 \sqrt { 3 } } \right) } , } \\ { \Delta [ P _ { \mathrm { a t } } ] } & { = - 4 p ^ { 3 } - 2 7 q ^ { 2 } , } \\ { p } & { = - \frac { 1 } { 3 } \left( k _ { \mathrm { a } } + c _ { \mathrm { b } } \right) ^ { 2 } - k _ { \mathrm { a } } \left( c _ { \mathrm { a } } - c _ { \mathrm { b } } \right) - 1 , } \\ { q } & { = \frac { 2 } { 2 7 } \left( k _ { \mathrm { a } } + c _ { \mathrm { b } } \right) ^ { 3 } + \frac { k _ { \mathrm { a } } } { 3 } \left( k _ { \mathrm { a } } + c _ { \mathrm { b } } \right) \left( c _ { \mathrm { a } } - c _ { \mathrm { b } } \right) - \frac { 2 k _ { \mathrm { a } } } { 3 } + \frac { c _ { \mathrm { b } } } { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \Delta w _ { \pm } ^ { 2 } \widetilde { X } \check { u } _ { \pm , m \ell } ( r ) | = } & { \: \left| ( r - 1 ) ^ { 2 } w _ { \pm } ^ { 2 } \widetilde { X } \left( \frac { w _ { \infty } } { w _ { \pm } } \check { u } _ { \infty , m \ell } \right) ( r ) \right| } \\ { \leq } & { \: C | B _ { \mp } | | \check { u } _ { \infty , m \ell } ( r ) | + C ( | B _ { + } | + | B _ { - } | ) ( r - 1 ) ^ { 1 - \Re ( \sqrt { \alpha _ { m \ell } } ) \mp \Re ( \sqrt { \alpha _ { m \ell } } ) } | \widetilde { X } \check { u } _ { \infty , m \ell } ( r ) | } \\ { \leq } & { \: C ( | B _ { + } | + | B _ { - } | ) ( r - 1 ) ^ { \frac { 1 } { 2 } \pm \Re ( \sqrt { \alpha _ { m \ell } } ) } \operatorname* { s u p } _ { r ^ { \prime } \leq 2 } | F _ { m \ell } ( r ^ { \prime } ) | . } \end{array}
\begin{array} { r l } { c o v ( Z _ { 1 } , Z _ { 1 } + t ) = } & { | E ( Z _ { 1 } Z _ { t + 1 } ) - E ( Z _ { 1 } ) ^ { 2 } | } \\ { \le } & { \int \int \mathcal { K } _ { h } ( x - z _ { 1 } ) \mathcal { K } _ { h } ( x - z _ { 2 } ) g _ { t } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) d z _ { 1 } d z _ { 2 } + E ( Z _ { 1 } ) ^ { 2 } } \\ { \le } & { | | g _ { t } | | _ { L _ { \infty } } + E ( Z _ { 1 } ) ^ { 2 } . } \end{array}
[ f ^ { \prime } ( 0 ) ] _ { - } = - { \frac { \kappa ^ { 2 } b _ { 0 } } { 3 } } \rho _ { \star } ( t ) , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ [ f ^ { \prime } ( 1 ) ] _ { - } = { \frac { \kappa ^ { 2 } b } { 3 } } \rho ( t ) .
N _ { 0 } = \frac { S _ { P } S _ { D } } { ( \lambda _ { S } f ) ^ { 2 } } \, \frac { T _ { D } } { \pi } \int \d \Omega \, \Big | V _ { S } ( \Omega ) \Big | ^ { 2 } \Big \{ 1 + | R | \cos ( \theta + \varphi _ { R } ) \Big \} .
{ \vec { M } } = - { \frac { 2 \alpha } { \mu _ { 0 } E _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } } } { \bigg ( } 2 ( E ^ { 2 } - c ^ { 2 } B ^ { 2 } ) { \vec { E } } + 7 c ^ { 2 } ( { \vec { E } } \cdot { \vec { B } } ) { \vec { B } } { \bigg ) }
f _ { M } \sqrt { m _ { M } } = F ( m _ { Q } ) \left\{ 1 - d _ { M } \left( \frac { \bar { \Lambda } } { 6 m _ { Q } } + \frac { \lambda _ { E } ^ { 2 } ( m _ { Q } ) } { 1 2 m _ { Q } ^ { 2 } } + \dots \right) + \mathrm { n o n - l o c a l ~ t e r m s } \right\} \, ,
A _ { j , k } = \mathrm { O p } _ { 1 } \left( \sum _ { \alpha + \beta = k } h ^ { \delta k } \frac { \partial _ { x } ^ { \alpha } \partial _ { \xi } ^ { \beta } h _ { j } } { \alpha ! \beta ! } ( 0 ) x ^ { \alpha } \xi ^ { \beta } \right) \quad ; \quad R _ { N , j } ( P \Psi _ { 0 } ) = O _ { N , j , \deg P } \left( \tilde { h } ^ { 2 N - 2 j } N _ { \infty } ( P ) \right)
( \Phi , H _ { \mathrm { c o u l } } \Psi ) = \int _ { \Lambda } d A ^ { t r } \sigma \int d ^ { 3 } x \, 2 ^ { - 1 } [ ( E _ { i } ^ { a } \Phi ) ^ { * } E _ { i } ^ { a } \Psi + \Phi ^ { * } B _ { i } ^ { a } B _ { i } ^ { a } \Psi ] \; \mathrm { , }
{ \begin{array} { r l } { R } & { = T * 1 2 \Leftrightarrow } \\ { R } & { = T * ( 1 0 + 2 ) } \\ { R } & { = 1 0 * ( 1 0 ^ { n - 1 } * c _ { n } + \ldots + 1 0 ^ { 0 } * c _ { 1 } ) + 2 * ( 1 0 ^ { n - 1 } * c _ { n } + \ldots + 1 0 ^ { 0 } * c _ { 1 } ) \Leftrightarrow } \\ { R } & { = 1 0 ^ { n } * c _ { n } + 1 0 ^ { n - 1 } * ( 2 * c _ { n } + c _ { n - 1 } ) + \ldots + 1 0 ^ { 1 } * ( 2 * c _ { 2 } + c _ { 1 } ) + 2 * c _ { 1 } } \\ & { Q E D } \end{array} }
\begin{array} { c l } { { \psi ( x , e ) = \left( \begin{array} { c l } { { L } } \\ { { R } } \end{array} \right) ; ~ ~ ~ \psi ( x , r ) = \left( \begin{array} { c l } { { L ^ { U } } } \\ { { R } } \end{array} \right) ; } } \\ { { A _ { \mu } ( x , e ) = \left( \begin{array} { c c c } { { L _ { \mu } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { R _ { \mu } } } \end{array} \right) ; ~ ~ ~ A _ { \mu } ( x , r ) = \left( \begin{array} { c c c } { { L _ { \mu } ^ { U } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { R _ { \mu } } } \end{array} \right) ; } } \\ { { \Phi ( x , e ) = \Phi { ^ { \dag } } ( x , r ) = \left( \begin{array} { c c c } { { { \frac { \mu } { \lambda } } } } & { { { - \phi } } } \\ { { { - \phi ^ { U } } ^ { \dag } } } & { { { \frac { \mu } { \lambda } } } } \end{array} \right) ; } } \end{array}
\exp ( x ) \approx { \frac { 1 + ( 1 / 2 ) x + ( 1 / 9 ) x ^ { 2 } + ( 1 / 7 2 ) x ^ { 3 } + ( 1 / 1 0 0 8 ) x ^ { 4 } + ( 1 / 3 0 2 4 0 ) x ^ { 5 } } { 1 - ( 1 / 2 ) x + ( 1 / 9 ) x ^ { 2 } - ( 1 / 7 2 ) x ^ { 3 } + ( 1 / 1 0 0 8 ) x ^ { 4 } - ( 1 / 3 0 2 4 0 ) x ^ { 5 } } }
\begin{array} { r l } { \| \bar { y } _ { 0 } \| _ { H _ { \mathbb { P } } } ^ { 2 } } & { \leq c _ { 2 } ( 1 + T ^ { - 1 } + \mathcal { N } ( a , b ) ) \int _ { \bar { t } _ { 0 } } ^ { \bar { t } _ { 0 } + T } \| \bar { y } ( t ) \| _ { V _ { \mathbb { P } } } ^ { 2 } d t + \int _ { \bar { t } _ { 0 } } ^ { \bar { t } _ { 0 } + T } \| \sum _ { i = 1 } ^ { N } \bar { u } _ { i } \mathbf { 1 } _ { O _ { i } } \| _ { V _ { \mathbb { P } } ^ { \prime } } ^ { 2 } d t . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 2 G ^ { + , f } ( { \bf x } , { \bf x } _ { S } ) } & { { } = } & { \int _ { \partial \mathbb { D } _ { F } } F ^ { + } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) R ( { \bf x } _ { F } , { \bf x } _ { S } ) \mathrm { d } ^ { 2 } { \bf x } _ { F } + \bar { F } ^ { - * } ( { \bf x } , { \bf x } _ { S } ) , } \\ { 2 G ^ { - , f } ( { \bf x } , { \bf x } _ { S } ) } & { { } = } & { \int _ { \partial \mathbb { D } _ { F } } F ^ { - } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) R ( { \bf x } _ { F } , { \bf x } _ { S } ) \mathrm { d } ^ { 2 } { \bf x } _ { F } + \bar { F } ^ { + * } ( { \bf x } , { \bf x } _ { S } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f _ { t , t + 1 , z } ^ { s t a r t } } & { = } & { \mathbb { E } _ { t } [ E _ { t + 1 , z } ^ { s t a r t } ] , } \\ & { = } & { \mathbb { E } _ { t } [ \{ K _ { t + 1 , z } = 1 \} \cap \{ K _ { t z } ^ { x } = 0 \} ] , } \\ & { = } & { \mathbb P \left[ K _ { t z } ^ { x } = 0 | K _ { t + 1 , z } = 1 \right] \mathbb P \left[ K _ { t + 1 , z } = 1 \right] , } \\ & { = } & { \mathbb P \left[ K _ { t z } ^ { x } = 0 \right] - \mathbb P \left[ K _ { t z } ^ { x } = 0 | K _ { t + 1 , z } = 0 \right] \mathbb P \left[ K _ { t + 1 , z } = 0 \right] , } \\ & { = } & { \mathbb P \left[ K _ { t z } ^ { x } = 0 \right] - \mathbb P \left[ K _ { t + 1 , z } = 0 \right] , } \\ & { = } & { ( 1 - \bar { p } _ { t z } ^ { K , x } ) - ( 1 - f _ { t , t + 1 , z } ^ { K } ) = f _ { t , t + 1 , z } ^ { K } - \bar { p } _ { t z } ^ { K , x } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial { \bf v } } { \partial t } + ( { \bf v } \cdot \nabla ) { \bf v } } & { { } = } & { - \nabla p + ( \nabla \times { \bf B } ) \times { \bf B } + \frac { 1 } { R _ { F } ^ { A } } \nabla ^ { 2 } { \bf v } ~ , } \\ { \frac { \partial { \bf B } } { \partial t } } & { { } = } & { \nabla \times ( \textbf { v } \times { \bf B } ) - d _ { H } \nabla \times ( ( \nabla \times { \bf B } ) \times { \bf B } ) ~ , } \\ { \nabla \cdot { \bf v } } & { { } = } & { 0 ~ , } \\ { \nabla \cdot { \bf B } } & { { } = } & { 0 ~ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \zeta + \partial _ { y } \Psi \partial _ { x } \zeta - \partial _ { x } \Psi \partial _ { y } \zeta } & { { } = f - a \zeta - \kappa \Delta ^ { 8 } \zeta } \\ { \Delta \Psi } & { { } = \zeta , } \end{array}
{ } ^ { \gamma \gamma } G _ { 1 2 3 4 } ^ { 4 } = 4 \left\{ \frac { \delta ^ { 2 } W } { \delta D _ { 1 2 } ^ { - 1 } \delta D _ { 3 4 } ^ { - 1 } } + \frac { \delta W } { \delta D _ { 1 2 } ^ { - 1 } } \frac { \delta W } { \delta D _ { 3 4 } ^ { - 1 } } \right\} = - 2 \frac { \delta \; { } ^ { \gamma } G _ { 1 2 } ^ { 2 } } { \delta D _ { 3 4 } ^ { - 1 } } + { } ^ { \gamma } G _ { 1 2 } ^ { 2 } { } ^ { \gamma } G _ { 3 4 } ^ { 2 } .
\mathcal { R } ^ { 1 } { } _ { 2 } = d \omega ^ { 1 } { } _ { 2 } = - \frac { 1 } { 2 } \left[ \epsilon _ { 1 } \epsilon _ { 2 } \left( \frac { \mathsf { G } _ { 2 , 1 } } { \sqrt { \mathsf { G } _ { 1 } \mathsf { G } _ { 2 } } } \right) _ { , 1 } + \left( \frac { \mathsf { G } _ { 1 , 2 } } { \sqrt { \mathsf { G } _ { 1 } \mathsf { G } _ { 2 } } } \right) _ { , 2 } \right] d X ^ { 1 } \wedge d X ^ { 2 } \, .
\delta _ { \epsilon } ^ { S U S Y } \, \mathrm { ~ f e r m i o n s } \, = 0 \quad \mathrm { i f ~ S U S Y ~ p a r a m e t e r } \, \, \epsilon _ { A } = \xi _ { A } \, = \mathrm { k i l l i n g ~ s p i n o r }
\begin{array} { r l } & { \rho ( E + \mathrm { i } \eta ) = \int _ { - 2 } ^ { 2 } \frac { \eta \rho _ { s c } ( x ) } { ( x - E ) ^ { 2 } + \eta ^ { 2 } } \mathrm { d } x , } \\ & { \partial _ { \eta } \rho ( E + \mathrm { i } \eta ) = \int _ { - 2 } ^ { 2 } \frac { \rho _ { s c } ( x ) ( ( x - E ) ^ { 2 } - \eta ^ { 2 } ) } { ( ( x - E ) ^ { 2 } + \eta ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \mathrm { d } x , } \\ & { \rho + \eta \partial _ { \eta } \rho = \int _ { - 2 } ^ { 2 } \frac { 2 \eta \rho _ { s c } ( x ) ( x - E ) ^ { 2 } } { ( ( x - E ) ^ { 2 } + \eta ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \mathrm { d } x \gtrsim \eta . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 1 = P \left( \sum _ { i = 1 } ^ { m } K _ { i } \left( \prod _ { k = 0 } ^ { n - 1 } ( 1 + X _ { i } ( k ) ) \right) > \sum _ { i = 1 } ^ { m } K _ { i } c _ { i } \right) } & { \leq \frac { \mathbb { E } \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { m } K _ { i } \left( \prod _ { k = 0 } ^ { n - 1 } ( 1 + X _ { i } ( k ) ) \right) \right] } { \sum _ { i = 1 } ^ { m } K _ { i } c _ { i } } } \\ & { = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { m } K _ { i } ( 1 + \mu _ { i } ) ^ { n } } { \sum _ { i = 1 } ^ { m } K _ { i } c _ { i } } . } \end{array}
\mathbf { A } = { \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } } { \frac { q \mathbf { v } _ { q } ( t _ { r e t } ) } { \left| \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { q } ( t _ { r e t } ) \right| - { \frac { \mathbf { v } _ { q } ( t _ { r e t } ) } { c } } \cdot ( \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { q } ( t _ { r e t } ) ) } } .
\begin{array} { r l } { \rho \frac { \partial \mathbf { u } } { \partial t } + \rho ( \mathbf { u } \cdot \nabla ) \mathbf { u } } & { = - { \mathrm { T a } _ { 0 } } ^ { 1 / 2 } \, \sigma \kappa \rho \boldsymbol { \Omega } \times \mathbf { u } - \nabla P + \theta ( m + 1 ) \rho \mathbf { e } _ { z } } \\ & { \quad \quad + F ( \nabla \times \mathbf { B } ) \times \mathbf { B } + \sigma \kappa \nabla \cdot \tau + \mathbf { F } _ { s } \, , } \\ { \rho \frac { \partial T } { \partial t } + \rho ( \mathbf { u } \cdot \nabla ) T } & { = - ( \gamma - 1 ) P \nabla \cdot \mathbf { u } + \gamma \kappa \nabla ^ { 2 } T } \\ & { \quad \quad + F ( \gamma - 1 ) \zeta _ { 0 } \kappa \lvert \nabla \times \mathbf { B } \rvert ^ { 2 } + \frac { ( \gamma - 1 ) \sigma \kappa } { 2 } \tau ^ { 2 } \, , } \\ { \frac { \partial \mathbf { B } } { \partial t } } & { = \nabla \times ( \mathbf { u } \times \mathbf { B } - \zeta _ { 0 } \kappa \nabla \times \mathbf { B } ) \, , } \\ { \frac { \partial \rho } { \partial t } } & { = - \nabla \cdot ( \rho \mathbf { u } ) \, , } \\ { \nabla \cdot \mathbf { B } } & { = 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi _ { A } ^ { * } ( p _ { A \mathrm { W } } , p _ { A \mathrm { M } } ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } } & { { } \{ h ( p _ { \mathrm { W } A } ^ { \prime } ) g ( p _ { A \mathrm { W } } ; f _ { \mathrm { W } } ^ { \mathrm { C } } ( p _ { \mathrm { W W } } ^ { \prime } ) , \rho _ { \mathrm { W } } ^ { - 1 } s ^ { 2 } ) g ( p _ { A \mathrm { M } } ; f _ { \mathrm { M } } ^ { \mathrm { C } } ( p _ { \mathrm { W M } } ^ { \prime } ) , \rho _ { \mathrm { M } } ^ { - 1 } s ^ { 2 } ) } \end{array}
\lambda _ { D } = { \frac { 1 } { \sqrt { 4 \pi \alpha _ { s } ( 1 + { \frac { 1 } { 6 } } N _ { f } ) \phi ( \alpha _ { s } , N _ { f } ) } } } \Biggl ( { \frac { f ( \alpha _ { s } , N _ { f } ) } { \tilde { B } } } \Biggr ) ^ { 1 / 4 }
\langle \omega \rangle = \frac { \bar { g } ^ { 2 } v ^ { 2 } } { 3 ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \omega _ { \mathrm { m a x } } } d \omega \, \frac { \omega ^ { 4 } } { ( \Delta E + \omega ) ^ { 4 } } \; ,
S _ { \Lambda } ( k ) = \left( \begin{array} { c c } { { \Delta _ { 0 } ^ { f } } } & { { ( \Delta _ { 0 } ^ { f } - { \Delta _ { 0 } ^ { f } } ^ { * } ) \theta ( - k _ { 0 } ) } } \\ { { ( \Delta _ { 0 } ^ { f } - { \Delta _ { 0 } ^ { f } } ^ { * } ) \theta ( k _ { 0 } ) } } & { { - { \Delta _ { 0 } ^ { f } } ^ { * } } } \end{array} \right) - ( \Delta _ { 0 } ^ { f } - { \Delta _ { 0 } ^ { f } } ^ { * } ) \tilde { N } ( | k _ { 0 } | ) \theta ( | \vec { k } | - \Lambda ) \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 1 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { S _ { 1 } } & { { } = ( \nu _ { 1 2 } q _ { 1 3 } - \nu _ { 1 3 } q _ { 1 2 } ) \, , \qquad T _ { 1 } = ( \nu _ { 2 2 } q _ { 2 3 } - \nu _ { 2 3 } q _ { 2 2 } + \nu _ { 3 2 } q _ { 3 3 } - \nu _ { 3 3 } q _ { 3 2 } ) \, , } \\ { S _ { 2 } } & { { } = ( \nu _ { 1 1 } \left( - q _ { 1 3 } \right) + \nu _ { 1 3 } q _ { 1 1 } - \nu _ { 2 1 } q _ { 2 3 } - \nu _ { 3 1 } q _ { 3 3 } ) \, , \qquad T _ { 2 } = ( \nu _ { 2 3 } q _ { 2 1 } + \nu _ { 3 3 } q _ { 3 1 } ) \, , } \\ { S _ { 3 } } & { { } = ( \nu _ { 1 1 } q _ { 1 2 } - \nu _ { 1 2 } q _ { 1 1 } + \nu _ { 2 1 } q _ { 2 2 } + \nu _ { 3 1 } q _ { 3 2 } ) \, , \qquad T _ { 3 } = ( - \nu _ { 2 2 } q _ { 2 1 } - \nu _ { 3 2 } q _ { 3 1 } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| \widetilde { F } ( x , \partial _ { t } ^ { 2 } u _ { f } , \Delta u _ { f } , v + u _ { f } , \partial _ { t } ( v + u _ { f } ) ) \| _ { Z ^ { m - 1 } } } \\ { = } & { \| - P ( x , v + u _ { f } ) u _ { f } + q _ { 1 } ( x , v + u _ { f } ) ( v + u _ { f } ) \partial _ { t } ^ { 2 } u _ { f } + q _ { 2 } ( x , v + u _ { f } ) ( \partial _ { t } ( v + u _ { f } ) ) ^ { 2 } \| _ { Z ^ { m - 1 } } } \\ { \leq } & { \| P ( x , v + u _ { f } ) u _ { f } \| _ { C ^ { m - 1 } ( [ 0 , T ] \times \Omega ) } + \| q _ { 1 } ( x , v + u _ { f } ) \| _ { Z ^ { m } } \| v + u _ { f } \| _ { Z ^ { m } } \| \partial _ { t } ^ { 2 } u _ { f } \| _ { C ^ { m - 1 } ( [ 0 , T ] \times \Omega ) } } \\ & { \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad + \| q _ { 2 } ( x , v + u _ { f } ) \| _ { Z ^ { m } } \| v + u _ { f } \| _ { Z ^ { m } } ^ { 2 } } \\ { \leq } & { C ( \epsilon _ { 0 } + ( 1 + ( \rho _ { 0 } + \epsilon _ { 0 } ) + \ldots + ( \rho _ { 0 } + \epsilon _ { 0 } ) ^ { m } ) ( \rho _ { 0 } + \epsilon _ { 0 } ) ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { 1 } = } & { { } \int _ { A } \left\{ - \frac { f } { \rho } \nabla _ { d } \left( \rho u _ { d } \right) + \frac { \epsilon _ { a b } } { 2 } \frac { \partial ( d + p ) } { \partial { \zeta } _ { c } } \nabla _ { c } \nabla _ { b } { u } _ { a } \right. } \end{array}
\mathrm { I m } \int _ { r _ { o } } ^ { r _ { f } } P _ { - } d r = - \pi \int _ { 0 } ^ { - \omega } { \frac { d { \cal H } - \Phi d Q } { \kappa ( M + { \cal H } , Q - e ) } } ~ = ~ - \frac { 1 } { 2 } \int _ { M , Q } ^ { M - \omega , Q - e } d S _ { B H } ,
\Delta ( k _ { 1 } , k _ { 2 } , \theta _ { 1 2 } ) = S ^ { ( 4 ) } ( \textbf { k } _ { 1 } , \textbf { k } _ { 2 } ) - N S ^ { ( 2 ) } ( \textbf { k } _ { 1 } ) S ^ { ( 2 ) } ( \textbf { k } _ { 2 } )
\begin{array} { r l } { \delta _ { v a r } } & { { } = \frac { \lambda } { 4 \pi } \sqrt { \frac { \tilde { t } \, \lambda } { 2 \pi \, \lambda ^ { 3 } \, \tilde { a } ^ { 3 } v _ { c } } } \left( 1 - 2 \frac { \exp ( u ) - 1 } { u \, \exp ( u ) } \right) } \end{array}
\hat { H } _ { 0 } = \int _ { ( \infty ) } d ^ { 3 } \vec { x } \left[ \frac { 1 } { 2 } \hat { \pi } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \left( \vec { \nabla } \hat { \phi } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } m ^ { 2 } \hat { \phi } ^ { 2 } \right] \ .
\begin{array} { r l } { \bar { J } _ { + , j } ( t , 0 ) } & { = \kappa _ { \alpha _ { + , j } } \frac { \bar { \Lambda } _ { \mathrm { s o m } } ( t ) } { 2 } \, \bar { f } _ { + , j } ( \bar { t } , 0 ) \left( 1 - \frac { \bar { \rho } _ { j } ( t , 0 ) } { 2 } \right) , } \\ { - \bar { J } _ { - , j } ( t , 0 ) } & { = \kappa _ { \beta _ { - , j } } \left( 1 - \frac { \bar { \Lambda } _ { \mathrm { s o m } } ( t ) } { 2 } \right) \, \bar { f } _ { - , j } ( t , 0 ) , } \\ { \bar { J } _ { + , j } ( t , L _ { j } ( t ) ) } & { = \kappa _ { \beta _ { + , j } } \left( 1 - \frac { \bar { \Lambda } _ { j } ( t ) } { 2 } \right) \, \bar { f } _ { + , j } ( \bar { t } , \bar { L } _ { j } ( \bar { t } ) ) , } \\ { - \bar { J } _ { - , j } ( t , L _ { j } ( t ) ) } & { = \kappa _ { \alpha _ { - , j } } \frac { \bar { \Lambda } _ { j } ( t ) } { 2 } \, \bar { f } _ { - , j } ( \bar { t } , 0 ) \left( 1 - \frac { \bar { \rho } _ { j } ( t , 0 ) } { 2 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \omega _ { t } ^ { ( m ) } - \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } ) \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { \leq \frac { ( 1 - c _ { \omega } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) } { M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \omega _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } , y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } ) \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] + \frac { 2 ( c _ { \omega } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { b _ { y } } } \\ & { \qquad + \frac { 2 L ^ { 2 } } { b _ { y } M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ 2 \eta ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } \bigg \| \nu _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } \bigg \| \omega _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] + \frac { 4 L ^ { 2 } } { b _ { y } M } \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \hat { x } _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { x } _ { t } \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { z _ { \alpha , t } + i \omega _ { \alpha } z _ { \alpha } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \int \! d \beta d \gamma \ \sigma _ { \alpha } ^ { \beta \gamma } z _ { \beta } ^ { * } z _ { \gamma } ^ { * } , } \end{array}
\langle \mathrm { T r } C _ { A } ^ { n } \rangle = \sum _ { \sigma , \tau \in M _ { 2 n } } \mathrm { W g } ^ { \mathrm { O } } ( N ; \sigma , \tau ) \left[ \sum _ { \lbrace i _ { k } \rbrace = 1 } ^ { N / 2 } \prod _ { k = 1 } ^ { n } \delta _ { i _ { k } i _ { n + k } } \prod _ { k = 1 } ^ { n } \delta _ { i _ { \sigma ( 2 k - 1 ) } i _ { \sigma ( 2 k ) } } \right] \left[ \sum _ { \lbrace j _ { k } \rbrace = 1 } ^ { N / 2 } \prod _ { k = 1 } ^ { n } \delta _ { j _ { k } j _ { n + 1 + ( k \bmod n ) } } \prod _ { k = 1 } ^ { n } \delta _ { j _ { \tau ( 2 k - 1 ) } j _ { \tau ( 2 k ) } } \right] .
\frac { 1 } { 2 } H _ { n + 1 } ( f _ { i } ( \vec { x } , t ) ) + n H _ { n - 1 } ( f _ { i } ( \vec { x } , t ) ) = f _ { i } ( \vec { x } , t ) H _ { n } ( f _ { i } ( \vec { x } , t ) )
\mathbf { W } _ { \mathrm { M M S E } } = \mathbf { C } _ { \mathbf { s } } ^ { a , \mathrm { T } } \mathbf { H } _ { \mathrm { T } } ^ { \mathrm { H } } \left( \mathbf { H } _ { \mathrm { T } } \mathbf { C } _ { \mathbf { s } } ^ { a , \mathrm { T } } \mathbf { H } _ { \mathrm { T } } ^ { \mathrm { H } } + N _ { 0 } \mathbf { I } _ { M N } \right) ^ { - 1 } .
\alpha _ { R S } ^ { \mathbf { w } _ { \mathbf { u } } } ( \mathbf { W } _ { i } ^ { n } , \mathbf { W } _ { j } ^ { n } , \boldsymbol { \eta } _ { i j } ) : = \operatorname* { m a x } \left\lbrace 2 \left| \mathbf { U } _ { i } \cdot { \boldsymbol { \eta } _ { i j } } \right| , 2 \left| \mathbf { U } _ { j } \cdot { \boldsymbol { \eta } _ { i j } } \right| \right\rbrace
\begin{array} { r l } & { \rVert \mathcal { F } _ { \omega } ( i _ { 1 } ) - \mathcal { F } _ { \omega } ( i _ { 2 } ) - d _ { i } \mathcal { F } _ { \omega } ( i _ { 2 } ) [ i _ { 1 } - i _ { 2 } ] \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } } } \\ & { \quad \le \varepsilon \left( \rVert i _ { 1 } - i _ { 2 } \rVert _ { s + \mu _ { 2 } } ^ { \mathrm { L i p } } \rVert i _ { 1 } - i _ { 2 } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 2 } } ^ { \mathrm { L i p } } + ( \rVert \mathfrak { I } _ { 1 } \rVert _ { s + \mu _ { 2 } } ^ { \mathrm { L i p } } + \rVert \mathfrak { I } _ { 2 } \rVert _ { s + \mu _ { 2 } } ^ { \mathrm { L i p } } ) \left( \rVert i _ { 1 } - i _ { 2 } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 2 } } ^ { \mathrm { L i p } } \right) ^ { 2 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { = } & { { } \arg [ Q _ { n } ( \frac { i \Gamma + \Delta } { \hbar \omega } , \frac { U _ { \mathrm { p } } } { \hbar \omega } ) ] \, ( { \, \mathrm { m o d \, } } 2 \pi ) . } \end{array}
\delta _ { \kappa } S = \delta _ { \kappa } ^ { 1 } S + \delta _ { \kappa } ^ { 2 } S = \int d ^ { p + 1 } \sigma \; \bar { \kappa } ( 1 + \Gamma ) { \cal P } \Delta + \int d ^ { p + 1 } \sigma \; \bar { \kappa } ( 1 + \Gamma ) ( 1 - { \cal P } ) \Delta \, .
\begin{array} { r } { S _ { j , \ell , j ^ { \prime } , \ell ^ { \prime } } ^ { 2 } ( \mathbf { x } ) = \big | | \mathcal { I } ( \mathbf { x } ) \star \psi _ { j } ^ { \ell } ( \mathbf { x } ) | \star \psi _ { j ^ { \prime } } ^ { \ell ^ { \prime } } ( \mathbf { x } ) \big | \star \phi _ { J } ( \mathbf { x } ) . } \end{array}
( \Phi _ { \nu } ^ { \mathrm { N C } } ) _ { \mathrm { S N O } } = \sum _ { l = e , \mu , \tau } ( \Phi _ { \nu _ { l } } ^ { \mathrm { N C } } ) _ { \mathrm { S N O } } = \left( 5 . 0 9 { } _ { - 0 . 4 3 } ^ { + 0 . 4 4 } \mathrm { ( s t a t . ) } { } _ { - 0 . 4 3 } ^ { + 0 . 4 6 } \mathrm { ( s y s t . ) } \right) \times 1 0 ^ { 6 } \, \mathrm { c m } ^ { - 2 } \, \mathrm { s } ^ { - 1 } \, ,
a ^ { \star } = \left[ \frac { 1 + \phi _ { \mathrm { i } } \, \lambda ( \phi _ { \mathrm { i } } ) } { 1 - \phi _ { \mathrm { i } } \, \lambda ( \phi _ { \mathrm { i } } ) } \right] \, a _ { \mathrm { m } }
\begin{array} { r } { \left[ \nabla ^ { 2 } - \frac { 1 } { v _ { 0 } ^ { 2 } } \left( 1 - g ^ { 2 } r ^ { 2 } \right) \partial _ { t } ^ { 2 } \right] \Psi ( { \bf r } ) = 0 , } \end{array}
a _ { 0 } = 0 . 2 9 6 9 , a _ { 1 } = - 0 . 1 2 6 0 , a _ { 2 } = - 0 . 3 5 1 6 , a _ { 3 } = 0 . 2 8 4 3 , a _ { 4 } = - 0 . 1 0 1 5
\phi _ { \mu } ^ { \mathbf { k } } ( \mathbf { r } ) = \frac { 1 } { \sqrt { N _ { k } } } \sum _ { \mathbf { R } } e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { R } } \tilde { \phi } _ { \mu } ( \mathbf { r } - \mathbf { R } ) = \frac { 1 } { \sqrt { N _ { k } } } e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } } u _ { \mu } ^ { \mathbf { k } } ( \mathbf { r } )