harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\rho = \frac { \mu _ { 0 } } { \left( 1 + 3 \sqrt { - \gamma _ { 0 } } \, t \right) ^ { 2 / 3 } } - | \gamma _ { 0 } | \left( \frac { x } { 1 + 3 \sqrt { - \gamma _ { 0 } } \, t } \right) ^ { 2 } \, , \qquad u = 2 \sqrt { - \gamma _ { 0 } } \frac { x } { 1 + 3 \sqrt { - \gamma _ { 0 } } t } \, .
\widehat { H } = \displaystyle \frac { 2 \pi } { L } \left( \widehat { L _ { 0 } } + \widehat { \overline { { { L } } } _ { 0 } } - \displaystyle \frac { c } { 1 2 } \widehat { I } + \lambda \displaystyle \frac { L ^ { 2 - h } } { \left( 2 \pi \right) ^ { 1 - h } } \widehat { B } \right) \: ,
\begin{array} { r l } { \Phi ( H _ { i , 1 } ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { w _ { n , n } ^ { ( 2 ) } t - w _ { 1 , 1 } ^ { ( 2 ) } t + \alpha _ { 1 } w _ { n , n } ^ { ( 1 ) } + \alpha _ { 1 } ( \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } ) - ( \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } ) \Phi ( H _ { 0 , 0 } ) + w _ { n , n } ^ { ( 1 ) } ( w _ { 1 , 1 } ^ { ( 1 ) } - \alpha _ { 1 } - \alpha _ { 2 } ) } \\ { \quad + \displaystyle \sum _ { x \leq m - n } W _ { x , x } ^ { ( 1 ) } - \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \displaystyle \sum _ { u = 1 } ^ { n } w _ { n , u } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s } w _ { u , n } ^ { ( 1 ) } t ^ { s } + \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \displaystyle \sum _ { u = 1 } ^ { n } w _ { 1 , u } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s - 1 } w _ { u , 1 } ^ { ( 1 ) } t ^ { s + 1 } } \\ { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \mathrm { ~ i f ~ } i = 0 , } \\ { w _ { i , i } ^ { ( 2 ) } t - w _ { i + 1 , i + 1 } ^ { ( 2 ) } t + \frac { i } { 2 } \Phi ( H _ { i , 0 } ) + w _ { i , i } ^ { ( 1 ) } w _ { i + 1 , i + 1 } ^ { ( 1 ) } } \\ { \quad - \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \displaystyle \sum _ { u = 1 } ^ { i } w _ { i , u } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s } w _ { u , i } ^ { ( 1 ) } t ^ { s } - \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \displaystyle \sum _ { u = i + 1 } ^ { n } w _ { i , u } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s - 1 } w _ { u , i } ^ { ( 1 ) } t ^ { s + 1 } } \\ { \quad + \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \displaystyle \sum _ { u = 1 } ^ { i } w _ { i + 1 , u } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s } w _ { u , i + 1 } ^ { ( 1 ) } t ^ { s } + \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \displaystyle \sum _ { u = i + 1 } ^ { n } w _ { i + 1 , u } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s - 1 } w _ { u , i + 1 } ^ { ( 1 ) } t ^ { s + 1 } } \\ { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \mathrm { ~ i f ~ } i \neq 0 , } \end{array} \right. } \end{array}
{ \tilde { \omega } } _ { i } ( { \bf { q } } ) = \omega _ { { \bf { k } } _ { i } } ( { \bf { q } } ) + ( \frac { v _ { { \bf { q } } } } { V } ) \Lambda _ { { \bf { k } } _ { i } } ^ { 2 } ( - { \bf { q } } )
G _ { 0 k } \left( { x , \xi } \right) \to G _ { 0 k } ^ { U } \left( { x , \xi } \right) \equiv { \cal G } _ { 0 k } \left( { x , \xi } \right) = U ^ { \dag } \left( { x , \xi } \right) G _ { o k } \left( { x , \xi } \right) U \left( { x , \xi } \right) ,
\begin{array} { r l } { \| \rho _ { s } - \rho \| _ { \mathrm { L } ^ { 2 } } ^ { 2 } } & { = \int _ { \mathcal { M } } \mathrm { d } \mathrm { m } ( x ) \bigg \vert \int _ { \mathcal { M } } \rho ( y ) \mathrm { d } \mathrm { m } ( y ) \int _ { 0 } ^ { s } \mathrm { d } \tau \, \partial _ { \tau } p _ { \tau } ( x , y ) \bigg \vert ^ { 2 } } \\ & { \leq \bigg ( \int _ { 0 } ^ { s } \mathrm { d } \tau \, \bigg ( \int _ { \mathcal { M } } \mathrm { d } \mathrm { m } ( x ) \bigg \vert \sum _ { k \geq 1 } \widehat { \rho } ( k ) \, \lambda _ { k } e ^ { - \tau \lambda _ { k } } \phi _ { k } ( x ) \bigg \vert ^ { 2 } \bigg ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \bigg ) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( { z _ { 1 } ^ { k } , z _ { 1 } ^ { k } } \right) _ { J } = \left< { z _ { 1 } ^ { k } , J ( z _ { 1 } ^ { k } ) } \right> _ { \mathcal B } = J ( z _ { 1 } ^ { k } ) _ { z _ { 1 } ^ { k } } \left< { z _ { 1 } ^ { k } , z _ { 1 } ^ { k } } \right> _ { \mathcal B } = J ( z _ { 1 } ^ { k } ) _ { z _ { 1 } ^ { k } } k ! ( - \alpha ) _ { k } > 0 , } \end{array}
U ( p ) ^ { 6 } + \beta _ { 5 } ( p ) U ( p ) ^ { 5 } + \beta _ { 4 } ( p ) U ( p ) ^ { 4 } + \beta _ { 3 } ( p ) U ( p ) ^ { 3 } + \beta _ { 2 } ( p ) U ( p ) ^ { 2 } + \beta _ { 1 } ( p ) U ( p ) + \beta _ { 0 } ( p ) = 0 .
{ \begin{array} { r l } { { \mathrm { m i n i m i z e } } \quad } & { \lambda } \\ { { \mathrm { s u b j e c t ~ t o } } \quad } & { A ^ { T } \mathbf { u } + \lambda \mathbf { d } = \mathbf { c } } \\ & { - \mathbf { b } ^ { T } \mathbf { u } + \lambda \beta \geq \alpha } \\ & { \mathbf { u } \in \mathbb { R } _ { + } ^ { m } , \lambda \in \mathbb { R } , } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \tilde { \ensuremath { { \mathbb E } } } \left( \int _ { 0 } ^ { T } \langle A \tilde { u } _ { t } ^ { n } , v _ { t } \rangle \, d t \right) } & { = \tilde { \ensuremath { { \mathbb E } } } \left( \int _ { 0 } ^ { T } \langle \tilde { u } _ { t } ^ { n } , A v _ { t } \rangle \, d t \right) } \\ & { \rightarrow \tilde { \ensuremath { { \mathbb E } } } \left( \int _ { 0 } ^ { T } \langle \tilde { u } _ { t } , A v _ { t } \rangle \, d t \right) = \tilde { \ensuremath { { \mathbb E } } } \left( \int _ { 0 } ^ { T } \langle A \tilde { u } _ { t } , v _ { t } \rangle \, d t \right) } \end{array}
V _ { l } { } ^ { i 4 } = - { \frac { 1 } { 2 } } \epsilon _ { i k m } V _ { l } { } ^ { k m } \qquad , \qquad \Phi ^ { i 4 } = - { \frac { 1 } { 2 } } \epsilon _ { i k m } \Phi { } ^ { k m }
\vec { a } _ { p h y s i c a l } = \Big ( \ddot { r } - r \dot { \theta } ^ { 2 } - r s i n ^ { 2 } ( \theta ) \dot { \phi } ^ { 2 } \Big ) \frac { 1 } { 1 } \frac { \partial } { \partial x ^ { r } } \, + \Big ( r \ddot { \theta } + 2 \dot { r } \dot { \theta } - r s i n ( \theta ) \cos ( \theta ) \ddot { \phi } ^ { 2 } \Big ) \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial x ^ { \theta } } \, + \Big ( r s i n ( \theta ) + 2 s i n ( \theta ) \dot { r } \dot { \phi } + 2 r c o s ( \theta ) \dot { \phi } \dot { \theta } \Big ) \frac { 1 } { r s i n ( \theta ) } \frac { \partial } { \partial x ^ { \phi } } \implies
{ \boldsymbol { \tau } } ( s , t ) : = \frac { \partial _ { s } X _ { 0 } ( s , t ) } { | \partial _ { s } X _ { 0 } ( s , t ) | } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \mathbf { n } ( s , t ) : = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { - 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) { \boldsymbol { \tau } } ( s , t ) , \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } ( s , t ) \in \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 1 } \times [ 0 , T _ { 0 } ]
\begin{array} { r l r l } { N _ { v } } & { { } = 3 2 , } & { f _ { \mathrm { M } } ( v _ { j } ) } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } e ^ { - \frac { 1 } { 2 } v _ { j } ^ { 2 } } , } \\ { v _ { \operatorname* { m a x } } } & { { } = 4 . 5 , } & { f _ { 1 } ( v _ { j } , t } & { { } = 0 ) = 0 . 1 f _ { \mathrm { M } } ( v _ { j } ) , } \end{array}
W _ { - 2 } ^ { \beta } v _ { 0 } = \left( \frac { 1 } { 2 \beta ^ { 2 } } b _ { - 1 } ^ { 2 } + ( \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { \beta ^ { 2 } } ) b _ { - 2 } \right) v _ { 0 } .
\hat { H } = - \hbar \Delta \hat { \sigma } _ { e g } \hat { \sigma } _ { g e } + \hbar \omega _ { p } { \bf \hat { f } ^ { \dagger } ( { \bf r } ) } { \bf \hat { f } ( { \bf r } ) } - { \bf \hat { d } } \cdot { \bf \hat { E } ( { \bf r } ) }
M ^ { 2 } = { \left[ \begin{array} { l l } { a ^ { 2 } } & { b ^ { 2 } - a ^ { 2 } } \\ { 0 } & { b ^ { 2 } } \end{array} \right] } , \quad M ^ { 3 } = { \left[ \begin{array} { l l } { a ^ { 3 } } & { b ^ { 3 } - a ^ { 3 } } \\ { 0 } & { b ^ { 3 } } \end{array} \right] } , \quad M ^ { 4 } = { \left[ \begin{array} { l l } { a ^ { 4 } } & { b ^ { 4 } - a ^ { 4 } } \\ { 0 } & { b ^ { 4 } } \end{array} \right] } , \quad \ldots
\begin{array} { r l } { R _ { \overset { . } { 2 } \overset { . } { 3 } } ^ { \quad 1 } \left( n \right) } & { { } = \frac { 2 } { \mathcal { \ell } ^ { 2 } } \left( A _ { \overset { . } { 2 } \overset { . } { 3 } } B _ { \overset { . } { 2 } \overset { . } { 3 } } ^ { 1 } - A _ { \overset { . } { 3 } \overset { . } { 2 } } B _ { \overset { . } { 3 } \overset { . } { 2 } } ^ { 1 } + B _ { \overset { . } { 2 } \overset { . } { 3 } } ^ { 2 } \left( n \right) B _ { \overset { . } { 3 } \overset { . } { 2 } } ^ { 3 } \left( n \right) - B _ { \overset { . } { 2 } \overset { . } { 3 } } ^ { 3 } \left( n \right) B _ { \overset { . } { 3 } \overset { . } { 2 } } ^ { 2 } \left( n \right) \right) } \\ { R _ { \overset { . } { 2 } \overset { . } { 3 } } ^ { \quad 2 } \left( n \right) } & { { } = \frac { 2 } { \mathcal { \ell } ^ { 2 } } \left( A _ { \overset { . } { 2 } \overset { . } { 3 } } B _ { \overset { . } { 2 } \overset { . } { 3 } } ^ { 2 } - A _ { \overset { . } { 3 } \overset { . } { 2 } } B _ { \overset { . } { 3 } \overset { . } { 2 } } ^ { 2 } + B _ { \overset { . } { 2 } \overset { . } { 3 } } ^ { 3 } \left( n \right) B _ { \overset { . } { 3 } \overset { . } { 2 } } ^ { 1 } \left( n \right) - B _ { \overset { . } { 2 } \overset { . } { 3 } } ^ { 1 } \left( n \right) B _ { \overset { . } { 3 } \overset { . } { 2 } } ^ { 3 } \left( n \right) \right) } \\ { R _ { \overset { . } { 2 } \overset { . } { 3 } } ^ { \quad 3 } \left( n \right) } & { { } = \frac { 2 } { \mathcal { \ell } ^ { 2 } } \left( A _ { \overset { . } { 2 } \overset { . } { 3 } } B _ { \overset { . } { 2 } \overset { . } { 3 } } ^ { 3 } - A _ { \overset { . } { 3 } \overset { . } { 2 } } B _ { \overset { . } { 3 } \overset { . } { 2 } } ^ { 3 } + B _ { \overset { . } { 2 } \overset { . } { 3 } } ^ { 1 } \left( n \right) B _ { \overset { . } { 3 } \overset { . } { 2 } } ^ { 2 } \left( n \right) - B _ { \overset { . } { 2 } \overset { . } { 3 } } ^ { 2 } \left( n \right) B _ { \overset { . } { 3 } \overset { . } { 2 } } ^ { 1 } \left( n \right) \right) } \end{array}
W _ { q } \approx 8 \ln ( 2 ) A \left( \frac { L _ { \mathrm { b s } } } { \lambda _ { q } } \right) ^ { 2 } \left\{ \sqrt { \pi } l \exp ( - b ^ { 2 } ) - \left[ \frac { \cos ( 2 b l ) } { 2 ( b ^ { 2 } + 4 l ^ { 2 } ) } + \frac { l \sin ( 2 b l ) } { b ^ { 3 } + 4 l ^ { 2 } } \right] \exp ( - l ^ { 2 } ) + 2 b F ( b ) - 1 \right\} \, .
\begin{array} { r l } { v _ { 0 } = v _ { 0 } ^ { a , b , c } } & { = \sum _ { i + j = \frac { a + b - c } { 2 } } C G ( \frac { a } { 2 } , \frac { a } { 2 } - i ; \, \frac { b } { 2 } , \frac { b } { 2 } - j \, | \, \frac { c } { 2 } , \frac { c } { 2 } ) \, v _ { i } ^ { a } \otimes v _ { j } ^ { b } } \\ & { = \sum _ { i + j = \frac { a + b - c } { 2 } } ( - 1 ) ^ { i } \sqrt { \frac { ( a + b - 2 i - 2 j + 1 ) ! ( i + j ) ! ( a - i ) ! ( b - j ) ! } { ( a + b - i - j + 1 ) ! ( a - i - j ) ! ( b - i - j ) ! \, i ! \, j ! } } \, v _ { i } ^ { a } \otimes v _ { j } ^ { b } } \\ & { = \sqrt { \frac { ( c + 1 ) ! \; a ! } { ( \frac { a + b + c } { 2 } + 1 ) ! \; ( \frac { a - b + c } { 2 } ) ! } } \, \, v _ { 0 } ^ { a } \otimes v _ { \frac { a + b - c } { 2 } } ^ { b } \quad + \quad \sum _ { j < \frac { a + b - c } { 2 } } q _ { j } \; v _ { \frac { a + b - c } { 2 } - j } ^ { a } \otimes v _ { j } ^ { b } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { P } \left( \mathbf { F } \leq \mathbf { z } \right) - \mathbb { P } \left( \mathbf { N } \leq \mathbf { z } \right) \leq 3 \left( \frac { \sqrt { 2 \ln d } + 2 } { \sqrt { \underset { 1 \leq m \leq d } { \operatorname* { m i n } } \mathbb { E } [ F _ { m } ^ { 2 } ] } } \right) ^ { \frac { 2 } { 3 } } \left( d _ { \mathcal { H } _ { 2 } } \left( \mathbf { F } , \mathbf { N } \right) \right) ^ { \frac { 1 } { 3 } } + d _ { \mathcal { H } _ { 2 } } \left( \mathbf { F } , \mathbf { N } \right) . } \end{array}
\Gamma _ { 1 , 1 } ^ { \L \L _ { 0 } } \left[ \Phi , \bar { \Phi } \right] = \int d ^ { 4 } \theta \int _ { p } \bar { \Phi } ( \theta , - p ) \Phi ( \theta , p ) F ^ { \L \L _ { 0 } } ( p ^ { 2 } )
\begin{array} { r l r } { p _ { r } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 r ^ { 8 } ( 3 r + { r _ { 0 } } ) ^ { 2 } } \left\lbrace e ^ { 2 \mu ( { r _ { 0 } } - r ) } \left( 1 2 \alpha { r _ { 0 } } ^ { 2 } \left( 2 r ^ { 2 } + 3 r { r _ { 0 } } + { r _ { 0 } } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } - 1 6 \alpha r ^ { 2 } { r _ { 0 } } \left( 6 r ^ { 3 } + 1 7 r ^ { 2 } { r _ { 0 } } \right. \right. \right. } \end{array}
r _ { k } = \sqrt { \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( \phi _ { k } ( i ) - f ( \widetilde { \Phi } _ { k - 1 } ( i ) ) ) ^ { 2 } } { \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( \phi _ { k } ( i ) ) ^ { 2 } ) } }
\begin{array} { r l } { u _ { \mathrm { m i n } } } & { = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) ^ { T } , \quad u _ { \mathrm { m a x } } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 . 2 } & { 7 . 5 } & { 1 5 0 } \end{array} \right) ^ { T } , \quad \delta u = \frac { 1 } { 1 0 } u _ { \mathrm { m a x } } , } \\ { y _ { \mathrm { m i n } } ( k ) } & { = \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { f _ { y _ { 3 , \mathrm { m i n } } } ( k ) } & { 0 } \end{array} \right) ^ { T } , } \\ { y _ { \mathrm { m a x } } ( k ) } & { = \left( \begin{array} { l l l l } { \infty } & { 1 . 6 } & { f _ { y _ { 3 , \mathrm { m a x } } } ( k ) } & { 7 0 } \end{array} \right) ^ { T } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l } { x _ { 1 } ( i _ { 1 } + 1 , i _ { 2 } ) } \\ { x _ { 2 } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } + 1 ) } \\ { x _ { 1 } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } \\ { x _ { 2 } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } \\ { y ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } \\ { u ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } \\ { z ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } \\ { w ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l l } { \mathcal { A } _ { 1 1 } } & { \mathcal { A } _ { 1 2 } } & { \mathcal { B } _ { 1 1 } } & { \mathcal { B } _ { 1 2 } } \\ { \mathcal { A } _ { 1 2 } } & { \mathcal { A } _ { 2 2 } } & { \mathcal { B } _ { 2 1 } } & { \mathcal { B } _ { 2 2 } } \\ { \boldsymbol { I } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \boldsymbol { I } } & { 0 } & { 0 } \\ { \mathcal { C } _ { 1 1 } } & { \mathcal { C } _ { 1 2 } } & { \mathcal { D } _ { 1 1 } } & { \mathcal { D } _ { 1 2 } } \\ { 0 } & { 0 } & { \boldsymbol { I } } & { 0 } \\ { \mathcal { C } _ { 2 1 } } & { \mathcal { C } _ { 2 2 } } & { \mathcal { D } _ { 2 1 } } & { \mathcal { D } _ { 2 2 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \boldsymbol { I } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { x _ { 1 } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } \\ { x _ { 2 } ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } \\ { u ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } \\ { w ( i _ { 1 } , i _ { 2 } ) } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { a b } & { = 2 ^ { w - ( r _ { 0 } + r _ { 1 } - 1 ) + \delta } \# \bar { q } _ { 1 } ^ { - 1 } ( \{ 0 \} ) \# O ( \bar { b } _ { 0 } ) \cdot 2 ^ { v ^ { \prime } } \# O ( \bar { q } _ { 1 } ) 2 ^ { \delta - 0 } \cdots , } \\ { c } & { = 2 ^ { v } \# O ( \bar { b } _ { 0 } ) 2 ^ { - r _ { 0 } } 2 ^ { \delta - ( - 1 ) } \# O ( \bar { b } _ { 1 } ) 2 ^ { - r _ { 1 } } 2 ^ { \delta + 0 } \cdots . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathbf V } ( x , y , z , t ) } & { { } = - \frac { 1 } { 4 \pi } \int \frac { { \mathbf Z } ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } , z ^ { \prime } , t ^ { \prime } = t - r / c ) } { r } d V ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r } { \left. \frac { 1 } { r \sin \theta } \frac { \partial ( \langle \varphi _ { 1 } \rangle \sin \theta ) } { \partial \theta } \right| _ { r \to \infty } = \left. \frac { 1 } { r } \frac { \partial ( r \langle \varphi _ { 1 } \rangle ) } { \partial r } \right| _ { r \to \infty } = 0 . } \end{array}
R _ { \sf t t } = - \frac { d - 1 } { a } \left( \frac { d ^ { 2 } a } { d { \sf t } ^ { 2 } } \right) \; , ~ ~ ~ R _ { i j } = \left[ a \left( \frac { d ^ { 2 } a } { d { \sf t } ^ { 2 } } \right) + ( d - 2 ) \left( \frac { d a } { d \sf t } \right) ^ { 2 } + ( d - 2 ) k \right] \gamma _ { i j } \; .
\begin{array} { r l } { \left\| \dot { u } \right\| } & { \leq \alpha _ { 1 } \left\| \nabla h ( u ) G ( x ) \right\| + \alpha _ { 1 } L _ { h } ( L _ { 1 } + ( 1 + L _ { 2 } ) L _ { 3 } ) \| \xi \| } \\ & { \stackrel { ( a ) } { \leq } \alpha _ { 1 } \left\| \nabla h ( u ) G ( h ( u ) ) \right\| + \alpha _ { 1 } \! \left\| \nabla h ( u ) G ( x ) - \nabla h ( u ) G ( h ( u ) ) \right\| + \alpha _ { 1 } L _ { h } ( L _ { 1 } + ( 1 + L _ { 2 } ) L _ { 3 } ) \| \xi \| } \\ & { \stackrel { ( b ) } { \leq } \alpha _ { 1 } \left\| \nabla h ( u ) G ( h ( u ) ) \right\| + \alpha _ { 1 } L _ { h } L _ { 0 } \left\| x - h ( u ) \right\| + \alpha _ { 1 } L _ { h } ( L _ { 1 } + ( 1 + L _ { 2 } ) L _ { 3 } ) \| \xi \| , } \end{array}
m _ { h } ^ { 2 } < 2 ( v _ { 1 } ^ { 2 } + v _ { 2 } ^ { 2 } ) [ \lambda _ { 1 } \cos ^ { 4 } \beta + \lambda _ { 2 } \sin ^ { 4 } \beta + 2 ( \lambda _ { 3 } + \lambda _ { 4 } ) \sin ^ { 2 } \beta \cos ^ { 2 } \beta ] + \epsilon ,
{ \frac { \delta s ^ { \prime } } { \delta s } } = { \frac { P ^ { \prime } Q ^ { \prime } } { P Q } } = { \frac { P ^ { \prime } M ^ { \prime } } { P M } } = k = { \frac { P ^ { \prime } K ^ { \prime } } { P K } } = h = \sec \varphi .
I = { \sum } _ { { \sigma } { \sigma } ^ { \prime } = { \pm } } { \int } _ { \infty } d ^ { d } x d { \omega } ( - i ) ( - 1 ) ^ { ( 1 - { \sigma } ^ { \prime } ) / 2 } | x ^ { \mu } , { \omega } , { \sigma } , { \sigma ^ { \prime } } > < x ^ { \mu } , { \omega } , { - \sigma } , { - \sigma ^ { \prime } } |
F ( \sigma ) \ast G ( \sigma ) = \int { \frac { d ^ { 2 } \xi } { ( 2 \pi ) } } \exp \left( i { \frac { \hbar } { 2 } } \omega _ { m n } \sigma ^ { m } \xi ^ { n } \right) F \left( { \frac { \sigma } { 2 } } + \xi \right) G \left( { \frac { \sigma } { 2 } } - \xi \right) \ ,
i \hbar { \frac { \partial } { \partial t } } \Psi ( x , t ) = - { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } } { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } } \Psi ( x , t ) + V ( x , t ) \Psi ( x , t )
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \big ( \overrightarrow { \xi } _ { j } ^ { \varepsilon n } ( s ) \big ) ^ { 2 } \nabla ^ { 1 , n } T _ { v _ { n } ^ { 1 } s } ^ { - } \varphi _ { j } ^ { n } d s = \frac { 1 } { n } \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { j \in \mathbb { Z } } \tilde { \mathcal { X } } _ { s } ^ { n } \big ( \iota _ { \varepsilon } ( { \textstyle \frac { j - v _ { n } ^ { 1 } s } { n } } ; \cdot ) \big ) ^ { 2 } \nabla ^ { 1 , n } T _ { v _ { n } ^ { 1 } s } ^ { - } \varphi _ { j } ^ { n } d s . } \end{array}
\mathbb { V } _ { R N } = \Big ( \frac { \partial p _ { e } } { \partial C _ { e } } \Big ) ^ { 2 } \mathbb { V } ( C _ { e } ) + \Big ( \frac { \partial p _ { e } } { \partial C _ { g } } \Big ) ^ { 2 } \mathbb { V } ( C _ { g } )
E \frac { d N ( t ) } { d ^ { 3 } p \, d ^ { 4 } x } = \frac { 2 } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d \omega \, { \cal R } ( \omega ) \, \frac { \sin [ ( \omega - E ) ( t - t _ { 0 } ) ] } { \pi ( \omega - E ) } ,
\begin{array} { r l r l r l } & { \mathcal { A } _ { 5 3 } = s _ { 8 } + s _ { 6 1 } + s _ { 4 2 } , } & & { \mathcal { A } _ { 6 3 } = s _ { 9 } + s _ { 7 1 } + s _ { 5 2 } + s _ { 3 3 } , } & & { \mathcal { A } _ { 7 3 } = s _ { 1 0 . } + s _ { 8 1 } + s _ { 6 2 } + s _ { 4 3 } , } \\ & { \mathcal { A } _ { 8 3 } = s _ { 1 1 . } + s _ { 7 2 } + s _ { 5 3 } + s _ { 9 1 } , } & & { \mathcal { A } _ { 9 3 } = s _ { 1 2 . } + s _ { 8 2 } + s _ { 6 3 } + s _ { 1 0 . 1 } , } & & { \ldots } \end{array}
\dot { \ell } _ { \widehat { k } } ^ { \left[ V \right] } \left( t \right) \sim V _ { o } ^ { 2 / 3 } \varDelta \gamma ^ { 7 / 9 } / \left( K _ { I c } ^ { 4 / 9 } \mu ^ { \prime 1 / 3 } t ^ { 2 / 3 } \right) \propto t ^ { 1 / 3 }
\langle \mu _ { i } \mu _ { j } \rangle - \langle \mu _ { i } \rangle \langle \mu _ { j } \rangle = \frac { \partial \langle \mu _ { i } \rangle } { \partial \beta H _ { j } } = \frac { \partial ^ { 2 } \ln Z } { \partial \beta H _ { i } \partial \beta H _ { j } } \, .
\phi ^ { * } ( r ^ { * } , \theta , t ^ { * } ) = \frac { \phi _ { 0 } ^ { * } ( t ^ { * } ) } { { r ^ { * } } } + \frac { \phi _ { 1 } ^ { * } ( t ^ { * } ) \cos \theta } { { r ^ { * } } ^ { 2 } } + \frac { \phi _ { 2 } ^ { * } ( t ^ { * } ) \left( 3 \cos ^ { 2 } \theta - 1 \right) } { 2 { r ^ { * } } ^ { 3 } } .
| \Psi ( t , \xi - \sigma + \delta ) - \Psi ( t , \xi - \sigma ) | \leq \frac { 1 } { \sqrt { 2 \nu t } } \int _ { \xi - \sigma } ^ { \xi - \sigma + \delta } \Psi \left( t , \frac { \mu } { \sqrt { 2 } } \right) d \mu ,
\begin{array} { r l } { \frac { ( n ! ) ^ { 2 } } { ( 2 n ) ! } \sum _ { \beta \in N _ { 0 } ^ { d + 1 } , | \beta | = n } \frac { ( 2 \beta ) ! } { ( \beta ! ) ^ { 2 } } } & { = \frac { ( n ! ) ^ { 2 } } { ( 2 n ) ! } \sum _ { k = 0 } ^ { n } \sum _ { \alpha \in \mathbb { N } _ { 0 } ^ { d } , | \alpha | = k } \frac { ( 2 \alpha ) ! ( 2 ( n - k ) ) ! } { ( \alpha ! ) ^ { 2 } ( ( n - k ) ! ) ^ { 2 } } } \\ & { \approx \frac { ( n ! ) ^ { 2 } } { ( 2 n ) ! } \sum _ { k = 0 } ^ { n } \frac { ( 2 k ) ! } { ( k ! ) ^ { 2 } } \frac { ( 2 ( n - k ) ) ! } { ( ( n - k ) ! ) ^ { 2 } } ( k + 1 ) ^ { ( d - 1 ) / 2 } } \\ & { \le ( n + 1 ) ^ { ( d - 1 ) / 2 } \frac { ( n ! ) ^ { 2 } } { ( 2 n ) ! } \sum _ { k = 0 } ^ { n } \frac { ( 2 k ) ! } { ( k ! ) ^ { 2 } } \frac { ( 2 ( n - k ) ) ! } { ( ( n - k ) ! ) ^ { 2 } } } \\ & { \approx ( n + 1 ) ^ { ( d - 1 ) / 2 } \sqrt { n } \le ( n + 1 ) ^ { d / 2 } \ \ \mathrm { b y ~ t h e ~ d = 2 ~ c a s e . } } \end{array}
e ^ { - a ^ { \dag } \xi } ~ a _ { 1 } ~ e ^ { a ^ { \dag } \xi } = e ^ { - a _ { 1 } ^ { \dag } \xi _ { 1 } } ~ a _ { 1 } ~ e ^ { a _ { 1 } ^ { \dag } \xi _ { 1 } } = e ^ { \xi _ { 1 } \frac { \partial } { \partial a _ { 1 } } } ~ a _ { 1 } = a _ { 1 } + \xi _ { 1 }
P \left\{ { \begin{array} { l l l l } { a } & { b } & { c } & { \; } \\ { \alpha } & { \beta } & { \gamma } & { z } \\ { \alpha ^ { \prime } } & { \beta ^ { \prime } } & { \gamma ^ { \prime } } & { \; } \end{array} } \right\} = \left( { \frac { z - a } { z - b } } \right) ^ { \alpha } \left( { \frac { z - c } { z - b } } \right) ^ { \gamma } P \left\{ { \begin{array} { l l l l } { 0 } & { \infty } & { 1 } & { \; } \\ { 0 } & { \alpha + \beta + \gamma } & { 0 } & { \; { \frac { ( z - a ) ( c - b ) } { ( z - b ) ( c - a ) } } } \\ { \alpha ^ { \prime } - \alpha } & { \alpha + \beta ^ { \prime } + \gamma } & { \gamma ^ { \prime } - \gamma } & { \; } \end{array} } \right\}
\begin{array} { r l r } { \dot { a } } & { = } & { \pi } \\ { \dot { \pi } } & { = } & { c ^ { 2 } \boldsymbol \nabla ^ { 2 } \hat { a } - \frac { m _ { a } ^ { 2 } c ^ { 4 } } { \hbar ^ { 2 } } \hat { a } + \hbar c ^ { 3 } \sqrt { \frac { \epsilon _ { 0 } } { \mu _ { 0 } } } g _ { a \gamma \gamma } \hat { \boldsymbol E } _ { c } \cdot \hat { \boldsymbol B } - \hbar c ^ { 3 } \frac { 1 } { \mu _ { 0 } } g _ { a \gamma \gamma } ^ { 2 } \hat { a } \hat { \boldsymbol B } \cdot \hat { \boldsymbol B } . } \end{array}
{ \left[ \begin{array} { l } { x ^ { \prime } } \\ { y ^ { \prime } } \end{array} \right] } = { \left[ \begin{array} { l l } { 1 } & { k } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l } { x } \\ { y } \end{array} \right] }
A _ { a , b } = \left\{ \begin{array} { l l } { { 1 , \qquad } } & { { \mathrm { ~ ( a , b ) ~ a d j a c e n t } } } \\ { { 0 , \qquad } } & { { \mathrm { o t h e r w i s e . } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { G ( x , t ) = - \frac { ( 1 - 2 x ) ^ { 2 } ( x - x ^ { 2 } ) ^ { 2 } e ^ { - 4 t } } { [ 1 - ( x - x ^ { 2 } ) e ^ { - t } ] ^ { 2 } } - \frac { 2 ( x - x ^ { 2 } ) ( 1 - 5 x + 5 x ^ { 2 } ) e ^ { - 3 t } } { 1 - ( x - x ^ { 2 } ) e ^ { - t } } } \\ { - \frac { [ 1 + ( x - x ^ { 2 } ) ( t + 1 ) ] ( x - x ^ { 2 } ) e ^ { - t } } { 2 + ( x - x ^ { 2 } ) ( t + 1 ) } , } \end{array}
S _ { D 1 } = \sum _ { 0 \le j \le n , l \ge 0 } \frac { \left( l + \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } \cdots \left( l + n - \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } } { \left( j - \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } \cdots \left( j - n + \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } } \cdot \frac { e ^ { - ( \gamma + a ) n } e ^ { ( \gamma + b ) j - ( \gamma + a ) l } } { \left( j - n - \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } } \, .
\displaystyle { } _ { r + 1 } v _ { r } ( a _ { 1 } ; a _ { 6 } , . . . a _ { r + 1 } ; \sigma , \tau ; z ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { [ a _ { 1 } + 2 n ; \sigma , \tau ] } { [ a _ { 1 } ; \sigma , \tau ] } } { \frac { [ a _ { 1 } , a _ { 6 } , . . . , a _ { r + 1 } ; \sigma , \tau ] _ { n } } { [ 1 , 1 + a _ { 1 } - a _ { 6 } , . . . , 1 + a _ { 1 } - a _ { r + 1 } ; \sigma , \tau ] _ { n } } } z ^ { n }