harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left\{ \begin{array} { r l r l } & { \partial _ { t } v _ { n } ^ { h } + c ( t , x , \alpha _ { n } ) + \nabla ^ { h } v _ { n } ^ { h } \cdot f ( t , x , \alpha _ { n } ) = - N h \Delta ^ { h } v _ { n } ^ { h } \qquad } & & { \mathrm { ~ i n ~ } ( 0 , T ) \times { \mathbb { R } } ^ { d } } \\ & { v _ { n } ^ { h } ( T , x ) = q ( x ) \qquad } & & { \mathrm { ~ o n ~ } { \mathbb { R } } ^ { d } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \delta _ { l } ^ { \prime \prime } + 2 \xi \delta _ { l } ^ { \prime } + \delta _ { l } = 0 , \quad \delta _ { l } ( s _ { 0 } ) = H _ { 0 } ^ { 2 } - 1 , \quad \delta _ { l } ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) = 2 H _ { 0 } V _ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \alpha A _ { n + 1 } ^ { ( q ) } + \beta B _ { n } ^ { ( q ) } \right) X = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array} { l l } { B _ { n - 1 } ^ { ( q ) } ( X ^ { 1 } + X ^ { 2 } ) = 0 } \\ { \left( ( ( q - 1 ) \alpha + \beta ) A _ { n } ^ { ( q ) } + q \alpha B _ { n - 1 } ^ { ( q ) } \right) X ^ { 2 } = 0 } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla ^ { 3 } F ( w , u , u ) = } & { = - 2 A _ { w } A _ { u } ^ { 2 } - 2 B _ { w u } ( A _ { u } + C _ { u } ) - B _ { u } ^ { 2 } ( A _ { w } + C _ { w } ) - 2 C _ { w } C _ { u } ^ { 2 } + ( \frac { 1 } { \Psi S } + \xi ) \nabla ^ { 3 } f } \\ & { = - 2 A _ { w } ( A _ { u } ^ { 2 } - \frac 1 2 B _ { u } ^ { 2 } ) - 2 B _ { w u } ( A _ { u } + C _ { u } ) - 2 C _ { w } ( \frac { 1 } { 2 } B _ { u } ^ { 2 } + C _ { u } ^ { 2 } ) + ( \frac { 1 } { \Psi S } + \xi ) \nabla ^ { 3 } f . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left| B _ { \rho _ { i } } \left( x _ { i } \right) \right| \leq \frac { 2 ^ { p - 1 } } { 2 ^ { p - 1 } - 1 } \left( \int _ { { x \in B _ { \rho _ { i } } ( x _ { i } ) : \left| D ^ { 2 } u _ { \lambda } \right| > 1 / 2 } } \left| D ^ { 2 } u _ { \lambda } \right| ^ { p } d x \right. } \\ { \left. + M ^ { p } \int _ { \left\{ x \in B _ { \rho _ { i } } ( x _ { i } ) : \left| f _ { \lambda } \right| > 1 / ( 2 M ) \right\} } \left| f _ { \lambda } \right| ^ { p } d x \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { T ^ { ( --- ) } } & { = \frac { 1 } { 3 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } T _ { i } ^ { ( --- ) } = \frac { 1 } { 6 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } [ \mathbf { A } ^ { - } \mathbf { A } ^ { - } \mathbf { A } ^ { - } ] _ { i i } = \frac { \mathrm { T r } [ \mathbf { A } ^ { - } \mathbf { A } ^ { - } \mathbf { A } ^ { - } ] } { 6 } = \frac { \mathrm { T r } [ ( \mathbf { A } ^ { - } ) ^ { 3 } ] } { 6 } , } \\ { T ^ { ( + - + ) } } & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } T _ { i } ^ { ( + - + ) } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } [ \mathbf { A } ^ { + } \mathbf { A } ^ { - } \mathbf { A } ^ { + } ] _ { i i } = \frac { \mathrm { T r } [ \mathbf { A } ^ { + } \mathbf { A } ^ { - } \mathbf { A } ^ { + } ] } { 2 } , } \\ { T ^ { ( + + - ) } } & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } T _ { i } ^ { ( + + - ) } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } [ \mathbf { A } ^ { + } \mathbf { A } ^ { + } \mathbf { A } ^ { - } ] _ { i i } = \frac { \mathrm { T r } [ \mathbf { A } ^ { + } \mathbf { A } ^ { + } \mathbf { A } ^ { - } ] } { 2 } = \frac { \mathrm { T r } [ ( \mathbf { A } ^ { + } ) ^ { 2 } \mathbf { A } ^ { - } ] } { 2 } , } \\ { T ^ { ( - + + ) } } & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } T _ { i } ^ { ( - + + ) } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } [ \mathbf { A } ^ { - } \mathbf { A } ^ { + } \mathbf { A } ^ { + } ] _ { i i } = \frac { \mathrm { T r } [ \mathbf { A } ^ { - } \mathbf { A } ^ { + } \mathbf { A } ^ { + } ] } { 2 } = \frac { \mathrm { T r } [ \mathbf { A } ^ { - } ( \mathbf { A } ^ { + } ) ^ { 2 } ] } { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { P r o b } ( W _ { i } \subset S ) } & { = \frac { { \binom { n - \ell } { s - \ell } } } { { \binom { n } { s } } } = \frac { ( n - \ell ) ! } { ( s - \ell ) ! ( n - s ) ! } \cdot \frac { s ! ( n - s ) ! } { n ! } } \\ & { = \frac { ( n - \ell ) ! s ! } { n ! ( s - \ell ) ! } = \prod _ { r = 0 } ^ { \ell - 1 } \frac { s - r } { n - r } , \mathrm { ~ a n d ~ } } \\ { \mathrm { P r o b } ( ( W _ { i } \cup W _ { j } ) \subset S ) } & { = \frac { { \binom { n - 2 \ell } { s - 2 \ell } } } { { \binom { n } { s } } } = \prod _ { r = 0 } ^ { 2 \ell - 1 } \frac { s - r } { n - r } } \\ & { = \prod _ { r = 0 } ^ { \ell - 1 } \frac { s - r } { n - r } \cdot \prod _ { r = 0 } ^ { \ell - 1 } \frac { ( s - \ell ) - r } { ( n - \ell ) - r } , \mathrm { ~ f o r ~ } 1 \leq i < j \leq k . } \end{array}
\frac { d \Delta _ { 3 } U _ { o _ { 4 } } } { d x } = \frac { d \Delta _ { 3 } } { d x } U _ { o 4 } + \Delta _ { 3 } \frac { d U _ { o _ { 4 } } } { d x } = \Delta _ { 3 } ^ { ' } \frac { R e _ { x } } { d x } U _ { o 4 } + \Delta _ { 3 } \frac { d U _ { o _ { 4 } } } { d x } ,
\int d ^ { 3 } \nu [ \sin \pi ( \nu _ { 2 } - \nu _ { 1 } ) \sin \pi ( 1 - \nu _ { 3 } ) ] ^ { - s / M _ { s } ^ { 2 } } = { \frac { 1 } { 2 \pi } } \left( { \frac { \Gamma \left( - s / 2 M _ { s } ^ { 2 } + 1 / 2 \right) \sqrt { \pi } } { \Gamma \left( - s / 2 M _ { s } ^ { 2 } + 1 \right) } } \right) ^ { 2 } \ .
\begin{array} { r l } { s _ { 0 } } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } ( x _ { 0 } + x _ { 1 } + x _ { 2 } + x _ { 3 } ) , } \\ { s _ { 1 } } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } ( x _ { 0 } - x _ { 1 } + x _ { 2 } - x _ { 3 } ) , } \\ { s _ { 2 } } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } ( x _ { 0 } + x _ { 1 } - x _ { 2 } - x _ { 3 } ) , } \\ { s _ { 3 } } & { { } = { \frac { 1 } { 2 } } ( x _ { 0 } - x _ { 1 } - x _ { 2 } + x _ { 3 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { | U _ { l } | } \sum _ { u \in U _ { l } } \mathbf { k } ( \mathbf { x } , \mathbf { X } _ { T _ { l } } ) ^ { \top } ( \mathbf { K } _ { \mathbf { X } _ { T _ { l } } \mathbf { X } _ { T _ { l } } } + \lambda \mathbf { I } ) ^ { - 1 } \mathbf { y } _ { l , u } } \\ & { = \frac { 1 } { | U _ { l } | } \sum _ { u \in U _ { l } } \varphi ( \mathbf { x } ) ^ { \top } \Phi _ { T _ { l } } ^ { \top } ( \Phi _ { T _ { l } } \Phi _ { T _ { l } } ^ { \top } + \lambda \mathbf { I } ) ^ { - 1 } \mathbf { y } _ { l , u } } \\ & { = \frac { 1 } { | U _ { l } | } \sum _ { u \in U _ { l } } \varphi ( \mathbf { x } ) ^ { \top } ( \Phi _ { T _ { l } } ^ { \top } \Phi _ { T _ { l } } + \lambda \mathbf { I } ) ^ { - 1 } \Phi _ { T _ { l } } ^ { \top } \mathbf { y } _ { l , u } } \\ & { = \varphi ( \mathbf { x } ) ^ { \top } ( \Phi _ { T _ { l } } ^ { \top } \Phi _ { T _ { l } } + \lambda \mathbf { I } ) ^ { - 1 } \cdot \frac { 1 } { | U _ { l } | } \sum _ { u \in U _ { l } } \Phi _ { T _ { l } } ^ { \top } \mathbf { y } _ { l , u } } \\ & { \overset { ( a ) } { = } \varphi ( \mathbf { x } ) ^ { \top } ( \Phi _ { H _ { l } } ^ { \top } \mathbf { W } _ { H _ { l } } \Phi _ { H _ { l } } + \lambda \mathbf { I } ) ^ { - 1 } \Phi _ { H _ { l } } ^ { \top } \mathbf { W } _ { H _ { l } } \bar { \mathbf { y } } _ { l } } \\ & { = \varphi ( \mathbf { x } ) ^ { \top } ( \Phi _ { H _ { l } } ^ { \top } \mathbf { W } _ { H _ { l } } ^ { 1 / 2 } \mathbf { W } _ { H _ { l } } ^ { 1 / 2 } \Phi _ { H _ { l } } + \lambda \mathbf { I } ) ^ { - 1 } \Phi _ { H _ { l } } ^ { \top } \mathbf { W } _ { H _ { l } } ^ { 1 / 2 } \mathbf { W } _ { H _ { l } } ^ { 1 / 2 } \bar { \mathbf { y } } _ { l } } \\ & { = \varphi ( \mathbf { x } ) ^ { \top } ( ( \mathbf { W } _ { H _ { l } } ^ { 1 / 2 } \Phi _ { H _ { l } } ) ^ { \top } ( \mathbf { W } _ { H _ { l } } ^ { 1 / 2 } \Phi _ { H _ { l } } ) + \lambda \mathbf { I } ) ^ { - 1 } ( \mathbf { W } _ { H _ { l } } ^ { 1 / 2 } \Phi _ { H _ { l } } ) ^ { \top } \mathbf { W } _ { H _ { l } } ^ { 1 / 2 } \bar { \mathbf { y } } _ { l } } \\ & { = \varphi ( \mathbf { x } ) ^ { \top } \Phi _ { H _ { l } } ^ { \top } \mathbf { W } _ { H _ { l } } ^ { 1 / 2 } ( \mathbf { W } _ { H _ { l } } ^ { 1 / 2 } \Phi _ { H _ { l } } \Phi _ { H _ { l } } ^ { \top } \mathbf { W } _ { H _ { l } } ^ { 1 / 2 } + \lambda \mathbf { I } ) ^ { - 1 } \mathbf { W } _ { H _ { l } } ^ { 1 / 2 } \bar { \mathbf { y } } _ { l } } \\ & { = \varphi ( \mathbf { x } ) ^ { \top } \Phi _ { H _ { l } } ^ { \top } ( \Phi _ { H _ { l } } \Phi _ { H _ { l } } ^ { \top } + \lambda \mathbf { W } _ { H _ { l } } ^ { - 1 } ) ^ { - 1 } \bar { \mathbf { y } } _ { l } } \\ & { = \mathbf { k } ( \mathbf { x } , \mathbf { A } _ { H _ { l } } ) ^ { \top } ( \mathbf { K } _ { \mathbf { A } _ { H _ { l } } \mathbf { A } _ { H _ { l } } } + \lambda \mathbf { W } _ { H _ { l } } ^ { - 1 } ) ^ { - 1 } \bar { \mathbf { y } } _ { l } = \bar { \mu } _ { l } ( \mathbf { x } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } ^ { ( - ) } ( \hbar ) \sim \mathcal { G } _ { 0 } ^ { ( - ) } ( \hbar ) } & { { } = A _ { N } \int _ { 0 } ^ { \tau } \left| \frac { \mathrm { d } \tilde { \mathbf { q } } } { \mathrm { d } \eta } \right| e ^ { - S ( \tilde { \mathbf { q } } ( \eta ) ) / \hbar } \mathrm { d e t } ^ { \prime } \left( \frac { \mathbf { D } ^ { ( - ) } } { 2 \pi \hbar } \right) ^ { - 1 / 2 } \mathrm { d } \eta } \end{array}
\lambda = \frac { 5 } { 2 } \pm \frac { i } { 2 } \bigg [ 4 \frac { 8 + 1 6 \Bar { \tau } / 5 - 3 \gamma } { 1 + 8 1 \gamma _ { 0 } \Bar { \tau } / 1 0 0 + 1 3 \Bar { \tau } / 5 0 } - 2 5 \bigg ] ^ { 1 / 2 } .
\begin{array} { r l r } { v _ { B } ^ { \tau } } & { { } = } & { - \frac { d _ { B } } { d _ { A } } ( v _ { A } ^ { \tau } - v _ { s } ) + v _ { s } = \frac { b - d _ { B } } { b + d _ { A } } v _ { A } ^ { \tau } , } \\ { v _ { B } ^ { n } } & { { } = } & { - \frac { d _ { B } } { d _ { A } } v _ { A } ^ { n } , } \end{array}
\xi _ { r } = \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } ( 1 - \frac { N ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } ) } \big ( \mu _ { + } A r ^ { \mu _ { + } - 1 } + \mu _ { - } B r ^ { \mu _ { - } - 1 } \big ) .
S ( \mathbf { \tilde { p } } , \mathbf { r } , t , t ^ { \prime } ) = S ^ { \mathrm { t u n } } ( \mathbf { \tilde { p } } , \mathbf { r } , t _ { r } ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) + S ^ { \mathrm { p r o p } } ( \mathbf { \tilde { p } } , \mathbf { r } , t , t _ { r } ^ { \prime } ) .
\begin{array} { r l r } { \Gamma _ { - } } & { = } & { \{ ( 2 , y ) : y \in ( 0 , 2 ) \} \cup \{ ( x , 0 ) : x \in ( 0 , 2 ) \} } \\ { \mathrm { a n d ~ } \, \, g ( x , y ) } & { = } & { \left\{ \begin{array} { r l } { 1 , } & { ( x , y ) \in \Gamma _ { - } ^ { 1 } \equiv \{ ( 2 , y ) : y \in ( 0 , 2 ) \} , } \\ { - 1 , } & { ( x , y ) \in \Gamma _ { - } ^ { 2 } = \Gamma _ { - } \setminus \Gamma _ { - } ^ { 1 } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { S _ { f i , d } ^ { B 1 } } & { { } = } & { - i \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d t \, \langle \chi _ { \mathbf { k } _ { f } } ^ { V } ( \mathbf { r } _ { 0 } , t ) \chi _ { \mathbf { k } _ { e } } ^ { V } ( \mathbf { r } _ { 1 } , t ) | V _ { d } ( r _ { 0 } , { r } _ { 1 } ) | { \chi } _ { \mathbf { k } _ { i } } ^ { V } ( \mathbf { r } _ { 0 } , t ) \Psi _ { 1 s } ( \mathbf { r } _ { 1 } , t ) \rangle , } \\ { S _ { f i , e x } ^ { B 1 } } & { { } = } & { - i \int _ { - \infty } ^ { + \infty } d t \, \langle \chi _ { \mathbf { k } _ { f } } ^ { V } ( \mathbf { r } _ { 1 } , t ) \chi _ { \mathbf { k } _ { e } } ^ { V } ( \mathbf { r } _ { 0 } , t ) | V _ { e x } ( r _ { 0 } , { r } _ { 1 } ) | { \chi } _ { \mathbf { k } _ { i } } ^ { V } ( \mathbf { r } _ { 0 } , t ) \Psi _ { 1 s } ( \mathbf { r } _ { 1 } , t ) \rangle , \, } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { T } ( t ) = } & { { } H + S _ { \alpha } ( t ) z ^ { \alpha } = \frac { { \left( Q _ { 1 } + Q _ { 2 } + w _ { 1 } \right) } ^ { 2 } } { 2 \, C _ { J 2 } } } \end{array}
N ( E ) \simeq { \frac { 2 \sqrt { 2 } } { 3 \pi } } { \frac { E ^ { 3 / 2 } } { g \hbar ^ { 2 } } } \left( \log { \frac { g ^ { 2 } E } { v ^ { 4 } } } + 5 \log 2 - { \frac { 8 } { 3 } } \right) .
A _ { \mu } = \mp { \frac { 2 i } { g } } \, ( H _ { 1 } \, { \frac { v _ { \mu } ^ { 1 } } { \rho _ { 1 } } } + g \, \kappa \, E _ { 1 3 } ^ { \pm } \, R _ { \mu } ^ { 1 } ) \mp \, { \frac { 2 i } { g } } \, ( H _ { 2 } \, { \frac { v _ { \mu } ^ { 2 } } { \rho _ { 2 } } } + g \, \kappa \, E _ { 2 3 } ^ { \pm } \, R _ { \mu } ^ { 2 } ) .
{ \cal W } _ { l } ^ { - 1 } ( A _ { l } + B _ { l } ) { \cal W } _ { l } = \Lambda _ { l } ^ { ( 0 ) } , \qquad { \cal V } _ { l } ^ { - 1 } ( A _ { l } ^ { - 1 } + B _ { l } ^ { - 1 } ) ^ { - 1 } { \cal V } _ { l } = \Lambda _ { l } ^ { ( 2 ) } ,
g _ { b } ( y , z ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { \sqrt { D _ { \mathrm { o u t } } } } \frac { 1 } { \sqrt { k _ { z } ^ { b } } } e ^ { i [ k _ { y } ^ { b } y + k _ { z } ^ { b } ( z - h ) ] } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } | y | < \frac { D _ { \mathrm { o u t } } } { 2 } } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \mathbf { Q } _ { t } = \mathbf { A } _ { t } ^ { \top } \mathbf { J } _ { t } \mathbf { A } _ { t } = \sum _ { h = 1 } ^ { H } \frac { 1 } { n _ { h , t } } \mathbf { A } _ { t } ^ { \top } \boldsymbol { \Delta } _ { h , t } \boldsymbol { \Delta } _ { h , t } ^ { \top } \mathbf { A } _ { t } } \\ & { = \sum _ { h = 1 } ^ { H } \frac { 1 } { n _ { h , t } } \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { A } _ { t - 1 } } & { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { 0 } ^ { \top } } & { 1 } \end{array} \right] ^ { \top } \left[ \begin{array} { l } { \boldsymbol { \Delta } _ { h , t - 1 } } \\ { \delta _ { h } \left( y _ { t } \right) } \end{array} \right] \left[ \boldsymbol { \Delta } _ { h , t - 1 } ^ { \top } , \delta _ { h } \left( y _ { t } \right) \right] \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { A } _ { t - 1 } } & { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { 0 } ^ { \top } } & { 1 } \end{array} \right] } \\ & { = \sum _ { h = 1 } ^ { H } \frac { 1 } { n _ { h , t } } \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { A } _ { t - 1 } ^ { \top } \boldsymbol { \Delta } _ { h , t - 1 } \boldsymbol { \Delta } _ { h , t - 1 } ^ { \top } \mathbf { A } _ { t - 1 } } & { \mathbf { A } _ { t - 1 } ^ { \top } \boldsymbol { \Delta } _ { h , t - 1 } \delta _ { h } \left( y _ { t } \right) } \\ { \delta _ { h } \left( y _ { t } \right) \boldsymbol { \Delta } _ { h , t - 1 } ^ { \top } \mathbf { A } _ { t - 1 } } & { \delta _ { h } \left( y _ { t } \right) } \end{array} \right] } \\ & { = \sum _ { h = 1 } ^ { H } \frac { 1 } { n _ { h , t } } \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { M } _ { h , t - 1 } } & { \mathbf { m } _ { h , t - 1 } \delta _ { h } \left( y _ { t } \right) } \\ { \delta _ { h } \left( y _ { t } \right) \mathbf { m } _ { h , t - 1 } ^ { \top } } & { \delta _ { h } \left( y _ { t } \right) } \end{array} \right] } \\ & { = \sum _ { h = 1 } ^ { H } \frac { 1 } { n _ { h , t } } \mathbf { M } _ { h , t } \mathrm { . ~ } } \end{array}
\begin{array} { r } { \ensuremath { \boldsymbol \nu } _ { 0 } ^ { \ell } = ( c _ { x , 0 } ^ { \ell } , c _ { y , 0 } ^ { \ell } , a _ { 0 , 0 } ^ { \ell } , b _ { 1 , 0 } ^ { \ell } , a _ { 1 , 0 } ^ { \ell } , \ldots , b _ { Q , 0 } ^ { \ell } , a _ { Q , 0 } ^ { \ell } , \mu _ { \mathrm { i , 0 } } ^ { \ell } ) , \quad \ell = 1 , \ldots , L , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { \boldsymbol { \rho } } } & { \quad \mathbf { f } ^ { \intercal } \mathbf { u } ^ { j } - \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { \rho } } \widetilde { w } _ { i } ^ { j } ( \rho _ { i } - \rho _ { i } ^ { j } ) , \quad j \in \mathcal { P } ( k ) } \\ { \mathrm { s . t . } } & { \quad \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { \rho } } \frac { \rho _ { i } } { n _ { \rho } } = V } \\ & { \quad \boldsymbol { \rho } \in \{ 0 , 1 \} ^ { n _ { \rho } } } \end{array}
v ^ { 2 } ( t ) = \frac { \bigl ( 1 + h _ { \theta \phi \psi } ( t _ { 0 } ) \bigr ) . v ^ { 2 } ( t _ { 0 } ) } { \bigl ( 1 + h _ { \theta \phi \psi } ( t _ { 0 } ) \bigr ) . v ^ { 2 } ( t _ { 0 } ) + \bigl ( 1 + h _ { \theta \phi \psi } ( t ) \bigr ) . \bigl ( 1 - v ^ { 2 } ( t _ { 0 } ) \bigr ) } .
\begin{array} { r l r } { S _ { a S , e n v } [ \omega ] \! \! \! } & { { } = } & { \! \! \! \left| \frac { g A _ { p } } { v _ { g } } \right| ^ { 2 } \! \! \int _ { 0 } ^ { L } \! \! \! \! \! d z \! \! \int _ { 0 } ^ { L } \! \! \! \! \! d z ^ { \prime } e ^ { i \frac { \omega } { v _ { g } } ( z \! - \! z ^ { \prime } ) } \frac { \langle { B } ^ { \dag } ( \omega , z ) { B } ( \omega ^ { \prime } , z ^ { \prime } ) \rangle } { 2 \pi \delta ( \omega - \omega ^ { \prime } ) } } \end{array}
- \log p ( \boldsymbol { \lambda } | X _ { i } ) \approx \frac { [ x _ { i } - y _ { i } ( \boldsymbol { \lambda } ) - \mu ] ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } \log \frac { \pi \sigma ^ { 2 } } { 2 \epsilon ^ { 2 } } + O \left( \frac { \epsilon } { \sigma } \right) .
\begin{array} { l } { { D _ { \gamma E \nu } = - D _ { \gamma N e } = \frac { \displaystyle e ^ { 2 } \sqrt { 2 } } { \displaystyle 4 \sin \theta _ { W } \Lambda } f _ { 2 } } } \\ { { D _ { Z E \nu } = - D _ { Z N e } = \frac { \displaystyle e ^ { 2 } \sqrt { 2 } \cos \theta _ { W } } { \displaystyle 4 \sin ^ { 2 } \theta _ { W } \Lambda } f _ { 2 } \; . } } \end{array}
\begin{array} { r } { N O _ { 2 } + h \nu \rightarrow N O + O \; \; \; \; \; \; \; \; \; \mathrm { ~ R ~ e ~ a ~ c ~ t ~ i ~ o ~ n ~ - ~ 1 ~ } } \\ { O + O _ { 2 } + M \rightarrow O _ { 3 } + M \; \; \; \; \; \; \; \; \; \mathrm { ~ R ~ e ~ a ~ c ~ t ~ i ~ o ~ n ~ - ~ 2 ~ } } \\ { N O + O _ { 3 } \rightarrow N O _ { 2 } + O \; \; \; \; \; \; \; \; \; \mathrm { ~ R ~ e ~ a ~ c ~ t ~ i ~ o ~ n ~ - ~ 3 ~ } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \partial ^ { \alpha } x ^ { \beta } } & { = { \frac { \partial ^ { \vert \alpha \vert } } { \partial x _ { 1 } ^ { \alpha _ { 1 } } \cdots \partial x _ { n } ^ { \alpha _ { n } } } } x _ { 1 } ^ { \beta _ { 1 } } \cdots x _ { n } ^ { \beta _ { n } } } \\ & { = { \frac { \partial ^ { \alpha _ { 1 } } } { \partial x _ { 1 } ^ { \alpha _ { 1 } } } } x _ { 1 } ^ { \beta _ { 1 } } \cdots { \frac { \partial ^ { \alpha _ { n } } } { \partial x _ { n } ^ { \alpha _ { n } } } } x _ { n } ^ { \beta _ { n } } . } \end{array} }
\begin{array} { r } { { \bf \ddot { n } } = - \omega ^ { 2 } \left( \sum _ { k l } { \bf v } _ { k } { \widetilde M _ { k l } } { \widetilde { \bf f } _ { { \bf v } _ { l } } } ^ { T } \right) { \bf K } _ { 0 } \left( { \boldsymbol \eta } ^ { \mathrm { m i n } } [ { \bf n } ] - { \bf n } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { D } = } & { { } \left\{ \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] + \frac { \sin ^ { 2 } | \mathbf { r } | } { | \mathbf { r } | ^ { 2 } } \left[ \begin{array} { c c c } { 0 } & { - r _ { 3 } } & { r _ { 2 } } \\ { r _ { 3 } } & { 0 } & { - r _ { 1 } } \\ { - r _ { 2 } } & { r _ { 1 } } & { 0 } \end{array} \right] \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varepsilon ^ { \prime } ( \alpha ) \leq } & { \ \frac { 1 } { \alpha - 1 } \log \left( 1 + 4 \binom { \alpha } { 2 } \gamma ^ { 2 } \frac { ( e ^ { \varepsilon } - 1 ) ^ { 2 } } { e ^ { \varepsilon } } \right. } \\ & { + \left. \sum _ { j = 3 } ^ { \alpha } \binom { \alpha } { j } \gamma ^ { j } \Gamma ( j / 2 ) \left( \frac { 2 ( e ^ { 2 \varepsilon } - 1 ) ^ { 2 } } { e ^ { 2 \varepsilon } } \right) ^ { j / 2 } + \left( 1 + \gamma \frac { e ^ { 2 \varepsilon } - 1 } { e ^ { \varepsilon } } \right) ^ { \alpha } - 1 - \alpha \gamma \frac { e ^ { 2 \varepsilon } - 1 } { e ^ { \varepsilon } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { - { \mathcal I } _ { \sigma } ( u _ { j } ^ { j } , x ) } & { = \frac { f _ { j } } { \left[ ( | D u _ { j } ^ { j } + \xi _ { j } ^ { j } | + c _ { j } ) ^ { p } + a _ { j } ( x ) ( | D u _ { j } ^ { j } + \xi _ { j } ^ { j } | + c _ { j } ) ^ { q } \right] } } \\ & { \leq \frac { \| f _ { j } \| _ { L ^ { \infty } ( B _ { 1 } ) } } { \left[ ( | D u _ { j } ^ { j } + \xi _ { j } ^ { j } | + c _ { j } ) ^ { p } \right] } } \\ & { \leq \frac { 1 } { j c _ { j } ^ { p } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { 2 \omega _ { 0 } \tilde { l } = \tilde { F } _ { c } d \left( \mathcal { T } _ { 1 } \sin \varphi _ { 1 } - \mathcal { T } _ { 2 } \sin \varphi _ { 2 } \right) , } \end{array}
\chi _ { r , s } ^ { ( p , p + 1 ) } ( q ) = \frac { q ^ { \Delta _ { r , s } ^ { ( p , p + 1 ) } - c / 2 4 } } { ( q ) _ { \infty } } \sum _ { j = - \infty } ^ { \infty } \left\{ q ^ { p ( p + 1 ) j ^ { 2 } + [ ( p + 1 ) r - p s ] j } - q ^ { p ( p + 1 ) j ^ { 2 } + [ ( p + 1 ) r + p s ] j + r s } \right\}
\begin{array} { r l } { \Gamma G ( \omega ) \Gamma ^ { - 1 } } & { { } = - G ( - \omega ) , } \\ { \mathcal { U } _ { T } G ( \omega ) \mathcal { U } _ { T } ^ { - 1 } } & { { } = G ^ { T } ( \omega ) , } \\ { \mathcal { U } _ { C } G ( \omega ) \mathcal { U } _ { C } ^ { - 1 } } & { { } = - G ^ { T } ( - \omega ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\lbrace \left\lbrace \partial _ { I _ { 2 } } , \cdots , \partial _ { I _ { n } } \right\rbrace _ { n - 1 } ^ { ' } , \partial _ { i } \wedge \partial _ { j } \right\rbrace _ { 2 } ^ { ' } } & { = \left\lbrace \left\lbrace \partial _ { I _ { 2 } } , \cdots , \partial _ { I _ { n } } \right\rbrace _ { n - 1 } , \partial _ { i } \wedge \partial _ { j } \right\rbrace _ { 2 } } \\ & { - \sum _ { i _ { 2 } \in I _ { 2 } , \ldots , i _ { n } \in I _ { n } } \epsilon ( i _ { 2 } , \ldots , i _ { n } ) \rho ( \partial _ { i } \wedge \partial _ { j } ) [ \varphi _ { i _ { 2 } \cdots i _ { n } } ] \, \partial _ { I _ { 2 } ^ { i _ { 2 } } \bullet \cdots \bullet I _ { n } ^ { i _ { n } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( X _ { m } = 2 \, \cap \, X _ { n } = 1 ) } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { n - 2 } \mathbb { P } ( T _ { 1 } , . . . , T _ { n } ) \in \mathcal { S } _ { n , k } ) \times p \times \mathbb { P } ( X _ { m } = 2 \ | \ ( T _ { 1 } , . . . , T _ { n } ) \in \mathcal { S } _ { n , k } ) } \\ & { = p \times \mathbb { P } ( X _ { m } = 2 ) . } \end{array}
h _ { M N | A } { } ^ { A } + 2 R _ { M A N B } ^ { ( B ) } h ^ { A B } - 2 R _ { A ( M } ^ { ( B ) } h _ { N ) } ^ { A } + { \frac { 2 ( 6 - N ) } { N - 2 } } \kappa ^ { 2 } \sigma _ { i } \delta ( y _ { i } ) h _ { M N } = 0 \, .
B \mu , m _ { h _ { u } } ^ { 2 } , m _ { h _ { d } } ^ { 2 } , m _ { \tilde { F } _ { 3 } } ^ { 2 } \sim \frac { F _ { S } ^ { 2 } } { m _ { s } ^ { 2 } } \frac { l _ { 6 } / l _ { 4 } } { m _ { s } ^ { 2 } V _ { 5 _ { 2 } } } \sim \frac { 1 } { \epsilon l _ { 4 } } \frac { F _ { S } ^ { 2 } } { m _ { s } ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ^ { 5 } } & { = \mathcal { D } _ { \omega } - \partial _ { x } D - \varepsilon ( \partial _ { x } S _ { 1 } - [ \mathcal { D } _ { \omega } - \partial _ { x } D , \mathfrak { A } _ { 1 } ] ) } \\ & { \ - \varepsilon ^ { 2 } \left( \partial _ { x } S _ { 2 } - [ \mathfrak { A } _ { 1 } , \partial _ { x } S _ { 1 } ] - [ \mathcal { D } _ { \omega } - \partial _ { x } D , \mathfrak { A } _ { 2 } ] - \frac { 1 } { 2 } [ [ \mathcal { D } _ { \omega } - \partial _ { x } D , \mathfrak { A } _ { 1 } ] , \mathfrak { A } _ { 1 } ] \right) , } \end{array}
G ( \omega , \vec { k } ) = - \frac { \phi _ { 1 } f _ { 2 } \partial _ { r } \phi _ { 2 } ^ { ( - ) } - \phi _ { 2 } ^ { ( - ) } f _ { 1 } \partial _ { r } \phi _ { 1 } } { \phi _ { 1 } f _ { 2 } \partial _ { r } \phi _ { 2 } ^ { ( + ) } - \phi _ { 2 } ^ { ( + ) } f _ { 1 } \partial _ { r } \phi _ { 1 } } \ .
{ \bf 1 _ { ( 6 ) \mathrm { e } } } \left\{ \begin{array} { r c l } { { d s ^ { 2 } } } & { { = } } & { { e ^ { 2 { \phi } } \left[ ( d x ^ { 0 } ) ^ { 2 } - ( d x ^ { 1 } ) ^ { 2 } \right] - ( d x ^ { a } ) ^ { 2 } \, , } } \\ { { { B } _ { 0 1 } } } & { { = } } & { { e ^ { 2 { \phi } } \, . } } \end{array} \right.