harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \| ( \mathbf { A } _ { ( n ) } \mathbf { A } _ { ( n ) } ^ { \top } ) ^ { q } \mathbf { G } _ { n } - \mathbf { Q } _ { n } \mathbf { Q } _ { n } ^ { \top } ( \mathbf { A } _ { ( n ) } \mathbf { A } _ { ( n ) } ^ { \top } ) ^ { q } \mathbf { G } _ { n } \| _ { F } ^ { 2 } \leq \| ( \mathbf { A } _ { ( n ) } \mathbf { A } _ { ( n ) } ^ { \top } ) ^ { q } \mathbf { G } _ { n } - \mathbf { Q } _ { n } \mathbf { R } _ { n } \| _ { F } ^ { 2 } } \\ & { \quad \quad + \| \mathbf { Q } _ { n } \mathbf { R } _ { n } - \mathbf { Q } _ { n } \mathbf { Q } _ { n } ^ { \top } \mathbf { Q } _ { n } \mathbf { R } _ { n } \| _ { F } ^ { 2 } + \| \mathbf { Q } _ { n } \mathbf { Q } _ { n } ^ { \top } \mathbf { Q } _ { n } \mathbf { R } _ { n } - \mathbf { Q } _ { n } \mathbf { Q } _ { n } ^ { \top } ( \mathbf { A } _ { ( n ) } \mathbf { A } _ { ( n ) } ^ { \top } ) ^ { q } \mathbf { G } _ { n } \| _ { F } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { T } _ { j k } } & { { } = } & { \frac { 1 } { \omega } \, \langle j , m | \, { \hat { T } } \, { | k , m \rangle } = \sqrt { k ^ { 2 } - m ^ { 2 } } \, \delta _ { j , k - 1 } } \end{array}
{ \cal L } = \sum _ { i , \bar { j } = 1 } ^ { n } \left\{ G _ { i \bar { j } } \, \partial _ { \mu } \Phi ^ { i } \, \partial _ { \mu } \bar { \Phi } ^ { \bar { j } } + G ^ { i \bar { j } } \frac { \partial { W } } { \partial \Phi ^ { i } } \, \frac { \partial \bar { W } } { \partial \bar { \Phi } ^ { \bar { j } } } \right\} + \mathrm { f e r m i o n s } \, ,
\frac { b _ { 1 } } { b _ { 2 } } \leqslant \frac { a _ { 1 } } { a _ { 3 } } \frac { \sin \frac { \left( \alpha + 2 \beta - \gamma \right) \pi } { 2 } } { \sin \frac { \left( \alpha + \gamma \right) \pi } { 2 } } \frac { \cos \frac { \left( \alpha + 2 \beta - \gamma \right) \pi } { 2 } } { \cos \frac { \left( \alpha + \gamma \right) \pi } { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } { * \xi } } & { { } = ( - ) ^ { q + 1 } \frac { 1 } { f _ { s } } \iota _ { u } \tilde { F } , } \\ { \mathrm { d } { * ( \mathrm { d } \xi - c _ { \phi } F ) } } & { { } = ( - ) ^ { q + 1 } \tilde { \ell } ^ { 2 } \tilde { \chi } _ { \ell } \left( f _ { s } { * \xi } - ( - ) ^ { q } \iota _ { u } \tilde { \Xi } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { c \sum _ { k = 1 } ^ { 2 } | | \widehat { \Theta } _ { R } ^ { [ k ] } - \Theta _ { R 0 } ^ { [ k ] } | | _ { F } ^ { 2 } + \lambda \sum _ { k = 1 } ^ { 2 } | | ( \widehat { \Theta } _ { R } ^ { [ k ] } - \Theta _ { R 0 } ^ { [ k ] } ) ^ { - } | | _ { 1 } \leq \frac { 8 \lambda ^ { 2 } ( s _ { 1 } + s _ { 2 } ) } { c } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \langle 0 | \rho _ { s , 0 B } ^ { ( 1 ) L } } & { { } ( t , t _ { 1 } ) | A \rangle = \delta ( t - t _ { 1 } ) \langle B | \rho _ { s } ( t _ { 1 } ) | A \rangle } \end{array}
L _ { N } = \left( \begin{array} { l l l l l } { p _ { 1 } } & { a _ { 1 } } & { 0 } & { \cdots } & { a _ { N } } \\ { a _ { 1 } } & { p _ { 2 } } & { a _ { 2 } } & { \ddots } & { 0 } \\ { 0 } & { a _ { 2 } } & { p _ { 3 } } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { a _ { N - 1 } } \\ { a _ { N } } & { 0 } & { \cdots } & { a _ { N - 1 } } & { p _ { N } } \end{array} \right) , \qquad B _ { N } = \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { l l l l l } { 0 } & { - a _ { 1 } } & { 0 } & { \cdots } & { a _ { N } } \\ { a _ { 1 } } & { 0 } & { - a _ { 2 } } & { \ddots } & { 0 } \\ { 0 } & { a _ { 2 } } & { 0 } & { \ddots } & { \vdots } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \ddots } & { \ddots } & { - a _ { N - 1 } } \\ { - a _ { N } } & { 0 } & { \cdots } & { a _ { N - 1 } } & { 0 } \end{array} \right) .
{ \mathfrak { g } } > [ { \mathfrak { g } } , { \mathfrak { g } } ] > [ [ { \mathfrak { g } } , { \mathfrak { g } } ] , { \mathfrak { g } } ] > [ [ [ { \mathfrak { g } } , { \mathfrak { g } } ] , { \mathfrak { g } } ] , { \mathfrak { g } } ] > \cdots
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial w } { \partial t } - \rho \frac { \partial w } { \partial x } + \lambda L ( t ) \int _ { 0 } ^ { \infty } [ w ( x + y , t ) - w ( x , t ) ] p ( y ) d y + 1 } \\ & { = \frac { \lambda \mathbb { E } [ Y _ { 1 } ] } { \rho - \lambda \mathbb { E } [ Y _ { 1 } ] } \bar { L } ( t ) - \bar { L } ( t ) \frac { \lambda \mathbb { E } [ Y _ { 1 } ] } { \rho - \lambda \mathbb { E } [ Y _ { 1 } ] } = 0 . } \end{array}
{ \hat { \alpha } } , { \hat { \beta } } = { \frac { \hat { \nu } } { 2 } } \left( 1 \pm { \frac { 1 } { \sqrt { 1 + { \frac { 1 6 ( { \hat { \nu } } + 1 ) } { ( { \hat { \nu } } + 2 ) ^ { 2 } ( { \mathrm { s a m p l e ~ s k e w n e s s } } ) ^ { 2 } } } } } } \right)
\phi = A _ { d } ( r _ { o } ^ { 2 } - r ^ { 2 } ) ^ { \frac { 2 - d } { 2 } } ~ ~ ~ ~ ; ~ ~ ~ ~ A _ { d } = [ \frac { d - 2 } { ( 2 g _ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } } ] ^ { \frac { d - 2 } { 2 } } r _ { o } ^ { \frac { d - 2 } { 2 } }
\begin{array} { r l r } { \rho ( \nabla ^ { 2 } g ( x ) ) } & { = } & { \rho ( \eta I - \nabla ^ { 2 } \varphi _ { A } ( x ) ) } \\ & { = } & { \rho \left( \eta I + \frac { 2 A } { x ^ { \top } A x } - \frac { 4 ( A x ) ( A x ) ^ { \top } } { ( x ^ { \top } A x ) ^ { 2 } } \right) } \\ & { \leq } & { \rho \left( \eta I + \frac { 2 A } { x ^ { \top } A x } \right) } \\ & { = } & { \eta + \frac { 2 \rho ( A ) } { x ^ { \top } A x } } \\ & { \leq } & { \eta + \frac { 2 \lambda _ { n } } { \lambda _ { 1 } / n } = \eta + 2 n \kappa _ { A } = L _ { g } , } \end{array}
\begin{array} { r } { p _ { 2 , 0 } ^ { \mathrm { ~ ( ~ S ~ ) ~ } } ( r ) = - \int _ { r } ^ { \infty } \Theta ( \tilde { r } ) \frac { \partial p _ { 1 , 0 } ^ { \mathrm { ~ ( ~ S ~ ) ~ } } ( \tilde { r } ) } { \partial \tilde { r } } \, d \tilde { r } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { { N u } } } & { \leq C \left( \delta { \mathrm { R a } } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( ( 1 + \operatorname* { m a x } h - \operatorname* { m i n } h ) \mathrm { { N u } } - 1 \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } { \mathrm { N u } } ^ { \frac { 1 } { 2 } } + \frac { 1 } { \delta } + \| \kappa \| _ { \infty } \right) } \\ & { \leq C \left( \delta \mathrm { { R a } } ^ { \frac { 1 } { 2 } } { \mathrm { N u } } + \frac { 1 } { \delta } + \| \kappa \| _ { \infty } \right) . } \end{array}
R _ { 2 } = \frac { \Gamma ( B ^ { - } \to D _ { 2 } ^ { * 0 } \, \ell ^ { - } \bar { \nu } ) } { \Gamma ( B ^ { - } \to D _ { 1 } ^ { 0 } \, \ell ^ { - } \bar { \nu } ) } = ( 0 . 1 6 \pm 0 . 1 9 ) h = 0 . 5 3 \pm 0 . 6 3 \, ,
R _ { \nu \mu } ^ { \pm } = \delta _ { \mu } ^ { \pm } \partial _ { \nu } H ^ { \pm } - \delta _ { \nu } ^ { \pm } \partial _ { \mu } H ^ { \pm } + \delta _ { \mu } ^ { \pm } [ \omega _ { \nu } , H ^ { \pm } ] - \delta _ { \nu } ^ { \pm } [ \omega _ { \mu } , H ^ { \pm } ] \, ,
f ( \theta _ { i } ) = \frac { 1 } { 2 [ \csc ^ { 2 } ( \pi / 2 ) - \csc ^ { 2 } ( \theta _ { n } / 2 ) ] } \frac { \sin ( \theta _ { i } ) } { \sin ^ { 4 } ( \theta _ { i } / 2 ) }
( \Psi _ { n ^ { \prime } , l ^ { \prime } , k _ { 3 } ^ { \prime } } , \Psi _ { n , l , k _ { 3 } } ) = \int \Psi _ { n ^ { \prime } , l ^ { \prime } , k _ { 3 } ^ { \prime } } ^ { + } \Psi _ { n , l , k _ { 3 } } d { \bf r }
\psi _ { k } ^ { \prime \prime } + 2 \frac { z ^ { \prime } } { z } \psi _ { k } ^ { \prime } + k ^ { 2 } \psi _ { k } = 0 \, , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \pi _ { k } ^ { \prime \prime } - 2 \frac { z ^ { \prime } } { z } \pi _ { k } ^ { \prime } + k ^ { 2 } \pi _ { k } = 0 .
\begin{array} { r l } { \bar { \rho } _ { p } [ b ( \beta ) ] = \int b ( \beta ) \, \, \bar { \rho } _ { p } ( d \beta ) } & { \geq \int _ { \frac { d f _ { p } } { d \bar { \rho } _ { p } } ( \beta ) > 0 } b ( \beta ) \, \, \bar { \rho } _ { p } ( d \beta ) = \int _ { \frac { d f _ { p } } { d \bar { \rho } _ { p } } ( \beta ) > 0 } b ( \beta ) \, \, \frac { d \bar { \rho } _ { p } } { d f _ { p } } f _ { p } ( d \beta ) } \\ & { = f _ { p } \Big [ b ( \beta ) \exp \Big ( - \log \frac { d f _ { p } } { d \bar { \rho } _ { p } } \Big ) \Big ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( M _ { \phi _ { 1 } } + \phi _ { \phi _ { 1 } } + \phi _ { 2 } ) z ^ { * } } & { = ( N _ { \phi _ { 1 } } + \phi _ { \phi _ { 1 } } ) z ^ { * } + \lvert ( A _ { \phi _ { 1 } } - \phi _ { 2 } ) z ^ { * } + \phi _ { 1 } q + \phi _ { 2 } \psi ( z ^ { * } ) \rvert } \\ & { - \phi _ { 1 } q + \phi _ { 2 } \psi ( z ^ { * } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { \kappa } _ { c } ^ { 2 \ell + 1 } } & { { } = } & { \frac { R _ { 0 } ^ { 2 \ell + 1 } } { a _ { \mathrm { c l o s e d } } ^ { 2 \ell + 1 } } } \end{array}
H _ { m } = \frac { 1 } { 2 E } \mathrm { d i a g \, } ( m _ { 1 } ^ { 2 } , m _ { 2 } ^ { 2 } ) \quad \mathrm { o r } \quad H _ { m } \mapsto H _ { m } ^ { \prime } = H _ { m } - \frac { 1 } { 2 } ( \mathrm { t r \, } H _ { m } ) I _ { 2 } = \frac { 1 } { 4 E } \mathrm { d i a g \, } ( - \Delta m ^ { 2 } , \Delta m ^ { 2 } ) ,
B _ { b } ^ { a i } = { ( \frac { \partial ^ { 2 } A } { \partial \phi ^ { i } \partial \phi ^ { j } } ) } ^ { - 1 } ( \frac { 1 } { 4 } \lambda _ { b j } ^ { a } - \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { 3 } A } { \partial \phi ^ { j } \partial \phi ^ { k } \partial \phi ^ { p } } ( \bar { \psi } _ { a } ^ { k } \psi ^ { b p } + \bar { \psi } ^ { b k } \psi _ { a } ^ { p } ) ) ,
U = u _ { 0 } - i \tau _ { a } u _ { a } = \left( \begin{array} { r r } { { u _ { 0 } - i u _ { 3 } \, , } } & { { - u _ { 2 } - i u _ { 1 } } } \\ { { u _ { 2 } - i u _ { 1 } \, , } } & { { u _ { 0 } + i u _ { 3 } } } \end{array} \right)
\left\{ \begin{array} { l l l l l l l } { \displaystyle ( y _ { k } ) _ { t } ^ { i } + \mathcal { D } _ { b _ { i } ^ { - } } ^ { \alpha } ( \beta ^ { i } \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } y _ { k } ^ { i } ) + q ^ { i } y _ { k } ^ { i } } & { = } & { f ^ { i } \, \, } & { \mathrm { i n } } & { ~ Q _ { i } , \, i = 1 , \dots , n , } \\ { \displaystyle ( I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } y _ { k } ^ { i } ) ( a , \cdot ) - ( I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } y _ { k } ^ { j } ) ( a , \cdot ) } & { = } & { 0 } & { \mathrm { i n } } & { ~ ( 0 , T ) , ~ i \neq j = 1 , \dots , n , } \\ { \displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( \beta ^ { i } \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } y _ { k } ^ { i } ) ( a , \cdot ) } & { = } & { 0 ~ ~ ~ ~ } & { \mathrm { i n } } & { ~ ( 0 , T ) , } \\ { \displaystyle ( I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } y _ { k } ^ { 1 } ) ( b _ { 1 } ^ { - } , \cdot ) } & { = } & { 0 ~ ~ ~ ~ } & { \mathrm { i n } } & { ~ ( 0 , T ) , } \\ { \displaystyle ( I _ { a ^ { + } } ^ { 1 - \alpha } y _ { k } ^ { i } ) ( b _ { i } ^ { - } , \cdot ) } & { = } & { v _ { i , k } ~ ~ ~ } & { \mathrm { i n } } & { ~ ( 0 , T ) , \; i = 2 , \dots , m } \\ { \displaystyle ( \beta ^ { i } \mathbb { D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } y _ { k } ^ { i } ) ( b _ { i } ^ { - } , \cdot ) } & { = } & { v _ { i , k } ~ ~ ~ } & { \mathrm { i n } } & { ~ ( 0 , T ) , \; i = m + 1 , \dots , n , } \\ { \displaystyle y _ { k } ^ { i } ( \cdot , 0 ) } & { = } & { y ^ { 0 , i } ~ } & { \mathrm { i n } } & { ~ ( a , b _ { i } ) , ~ ~ i = 1 , \dots , n . } \end{array} \right.
( | \hat { A } _ { 1 } | ^ { F } , | \hat { A } _ { 2 } | ^ { F } ) = \{ ( 0 , 0 ) , ( b _ { 0 } ^ { - 1 / 2 } , 0 ) , ( 0 , b _ { 0 } ^ { - 1 / 2 } ) , ( | \hat { A _ { 1 } } | _ { s a t } , | \hat { A _ { 2 } } | _ { s a t } ) \}
\left( \begin{array} { c } { { \left| C _ { 1 } \right\rangle } } \\ { { \left| C _ { 2 } \right\rangle } } \\ { { \left| C _ { 3 } \right\rangle } } \end{array} \right) \equiv \left( \begin{array} { c c c } { { - \sqrt { 1 / 3 } } } & { { - \sqrt { 2 / 3 } } } & { { 0 } } \\ { { - \sqrt { 2 / 3 } \cos \alpha } } & { { \sqrt { 1 / 3 } \cos \alpha } } & { { - \sin \alpha } } \\ { { - \sqrt { 2 / 3 } \sin \alpha } } & { { \sqrt { 1 / 3 } \sin \alpha } } & { { \cos \alpha } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { \left\{ K ^ { + } \pi ^ { - } \right\} } } \\ { { \left\{ K ^ { 0 } \pi ^ { 0 } \right\} } } \\ { { \left\{ K ^ { 0 } \eta _ { 8 } \right\} } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { | \delta _ { \tau } | ^ { 2 } } & { { } = \eta | \mathcal { A } [ \delta _ { t } ] | ^ { 2 } } \\ { \Rightarrow \qquad | \delta _ { \tau } | } & { { } = \sqrt { \eta } | G _ { 0 } | | \delta _ { t } | } \\ { \Rightarrow \qquad | \delta _ { \tau } | } & { { } > | \delta _ { t } | . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { E } _ { x _ { 0 } , a , b , \varphi } ( \Vec { x } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { \pi a b } } & { \left( \frac { ( x - x _ { 0 } ) \cos \varphi + ( y - y _ { 0 } ) \sin \varphi } { a } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { ( y - y _ { 0 } ) \cos \varphi - ( x - x _ { 0 } ) \sin \varphi } { b } \right) ^ { 2 } \leq 1 } \\ { 0 } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. , } \end{array}
{ \sqrt { 2 } } = \prod _ { k = 0 } ^ { \infty } \left( 1 + { \frac { 1 } { 4 k + 1 } } \right) \left( 1 - { \frac { 1 } { 4 k + 3 } } \right) = \left( 1 + { \frac { 1 } { 1 } } \right) \left( 1 - { \frac { 1 } { 3 } } \right) \left( 1 + { \frac { 1 } { 5 } } \right) \left( 1 - { \frac { 1 } { 7 } } \right) \cdots .
( T ^ { \mu \nu } ) _ { \mu , \nu = 0 , 1 , 2 , 3 } = { \left( \begin{array} { l l l l } { T ^ { 0 0 } } & { T ^ { 0 1 } } & { T ^ { 0 2 } } & { T ^ { 0 3 } } \\ { T ^ { 1 0 } } & { T ^ { 1 1 } } & { T ^ { 1 2 } } & { T ^ { 1 3 } } \\ { T ^ { 2 0 } } & { T ^ { 2 1 } } & { T ^ { 2 2 } } & { T ^ { 2 3 } } \\ { T ^ { 3 0 } } & { T ^ { 3 1 } } & { T ^ { 3 2 } } & { T ^ { 3 3 } } \end{array} \right) } .
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { ~ d ~ } a } { \mathrm { ~ d ~ } t } } & { { } = - \frac { a c } { 2 } - \frac { b _ { f } } { 2 \omega } \sin \varphi , } \\ { \frac { \mathrm { ~ d ~ } \varphi } { \mathrm { ~ d ~ } t } } & { { } = \frac { \omega _ { 0 } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } } { 2 \omega } + \frac { 3 k _ { 3 } a ^ { 2 } } { 8 \omega } - \frac { b _ { f } } { 2 \omega a } \cos \varphi . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \| \hat { g } ( \theta ^ { t + 1 } , \xi ) \| ^ { 2 } } & { \leq } & { 9 ( 1 + \gamma ^ { 2 } ) \| \theta ^ { * } \| ^ { 2 } + 3 ( 1 + \gamma ^ { 2 } ) \| \theta ^ { t + 1 } - \theta ^ { * } \| ^ { 2 } } \\ & { \leq } & { 9 ( 1 + \gamma ^ { 2 } ) \| \theta ^ { * } \| ^ { 2 } + 9 R _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } + \frac { 1 2 ( 1 + \gamma ) ^ { 2 } \| Q ^ { 0 } - Q ^ { * } \| _ { \mu } ^ { 2 } } { \lambda _ { 0 } } . } \end{array}
T ( p ) = \frac { 1 } { 2 m } \delta ^ { \mu \nu } p _ { \mu } p _ { \nu } \quad \mathrm { ~ a ~ s ~ w ~ e ~ l ~ l ~ a ~ s ~ } \quad \Phi ( \theta ) = \frac { \chi ^ { 2 } ( y | \theta ) } { 2 } + \phi ( \theta ) .
p _ { \eta } ( \tau ) = p _ { \eta } ^ { \mathrm { ~ l ~ i ~ m ~ i ~ t ~ } } ( 1 - \frac { \gamma ( \tau ) } { \gamma ^ { 0 } } ) + p _ { \eta } ^ { \mathrm { ~ s ~ t ~ a ~ r ~ t ~ } } \frac { \gamma ( \tau ) } { \gamma ^ { 0 } } ,
\begin{array} { r l } { \dot { \mu } _ { t } } & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \phi \left( X _ { i } ; \mu _ { t } , \Sigma _ { t } \right) } { \int \phi \left( X _ { i } ; \zeta \right) \rho _ { t } \left( \mathrm { d } \zeta \right) } \Sigma _ { t } ^ { - 1 } \left( X _ { i } - \mu _ { t } \right) , } \\ { \dot { \Sigma } _ { t } } & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \phi \left( X _ { i } ; m _ { t } , \Sigma _ { t } \right) } { \int \phi \left( X _ { i } ; \zeta \right) \rho _ { t } \left( \mathrm { d } \zeta \right) } \left[ \left( X _ { i } - \mu _ { t } \right) \left( X _ { i } - \mu _ { t } \right) ^ { \top } \Sigma _ { t } ^ { - 1 } + \Sigma _ { t } ^ { - 1 } \left( X _ { i } - \mu _ { t } \right) \left( X _ { i } - \mu _ { t } \right) ^ { \top } - 2 I \right] , } \\ { \dot { r } _ { t } } & { = \left[ \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \phi \left( X _ { i } ; \mu , \Sigma \right) } { \int \phi \left( X _ { i } ; \zeta \right) \rho \left( \mathrm { d } \zeta \right) } - 1 \right] r _ { t } . } \end{array}
\{ Q _ { \alpha } , Q _ { \beta } \} = ( C \Gamma ^ { \mu } ) _ { \alpha \beta } P _ { \mu } + ( C \Gamma _ { \mu } \Gamma _ { 1 1 } ) _ { \alpha \beta } { \hat { Z } } ^ { \mu } + ( C \Gamma _ { \mu \nu } ) _ { \alpha \beta } { \hat { Z } } ^ { \mu \nu } + ( C \Gamma _ { 1 1 } ) _ { \alpha \beta } { \hat { Z } } \quad
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { A } } & { = \left( A ^ { 0 } , \, A ^ { 1 } , \, A ^ { 2 } , \, A ^ { 3 } \right) } \\ & { = A ^ { 0 } { \boldsymbol { \sigma } } _ { 0 } + A ^ { 1 } { \boldsymbol { \sigma } } _ { 1 } + A ^ { 2 } { \boldsymbol { \sigma } } _ { 2 } + A ^ { 3 } { \boldsymbol { \sigma } } _ { 3 } } \\ & { = A ^ { 0 } { \boldsymbol { \sigma } } _ { 0 } + A ^ { i } { \boldsymbol { \sigma } } _ { i } } \\ & { = A ^ { \alpha } { \boldsymbol { \sigma } } _ { \alpha } } \end{array} }
q _ { f } ( x , Q ^ { 2 } ) = q _ { f } ( x , Q _ { 0 } ^ { 2 } ) + { \frac { V _ { l a b } P ^ { + } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } \int _ { Q _ { 0 } ^ { 2 } } ^ { Q ^ { 2 } } d p _ { t } ^ { 2 } \int d p ^ { - } { \frac { i p ^ { + } \sigma _ { 1 } ^ { 0 1 } ( p ) } { { \cal S } _ { 1 } ^ { R } ( p ) { \cal S } _ { 1 } ^ { A } ( p ) } } ,
\mathbf { F } _ { 0 } \equiv ( 0 , 0 ) \rightarrow \mathbf { F } _ { 1 } \equiv ( 0 , 1 ) \rightarrow \mathbf { F } _ { 2 } \equiv ( 1 , 1 ) \rightarrow \mathbf { F } _ { 3 } \equiv ( 1 , 0 ) \rightarrow \mathbf { F } _ { 0 }
\begin{array} { r } { \delta _ { m } = \int _ { r _ { \mathrm { c } } } ^ { \infty } \bigg ( \frac { q _ { r } ^ { \mathrm { i n c } } ( r ^ { \prime } ) } { \hbar } - \frac { q _ { \infty } } { \hbar } \bigg ) \mathrm { d } r ^ { \prime } - \frac { q _ { \infty } r _ { \mathrm { c } } } { \hbar } + \frac { m \pi } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { ( \partial _ { z } ^ { 2 } + \partial _ { z } + z ^ { - 1 } L _ { S } ) u = \eta _ { z _ { 0 } } ( z ) \cdot \left( \mathscr { R } ( v ) + z ^ { - 1 } \mathscr { T } ( 0 ) \right) , \ } & { \ \mathrm { ~ o n ~ } S \times \mathbb { R } _ { > z _ { 0 } / 1 2 } ; } \\ { u ( \cdot , z _ { 0 } / 1 2 ) = 0 , \ \ \ \Pi _ { < 0 } \partial _ { z } u ( \cdot , z _ { 0 } / 1 2 ) = \varphi , \ } & { \ \mathrm { ~ o n ~ } S . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { | n _ { + } \cdot u | ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ) } & { = \left| n _ { + } \cdot u \vert _ { \gamma ^ { + } } + \int _ { 1 + h ( y _ { 1 } ) } ^ { y _ { 2 } } \partial _ { 2 } ( n _ { + } \cdot u ) \ d z \right| \leq \int _ { 1 + h ( y _ { 1 } ) - \delta } ^ { 1 + h ( y _ { 1 } ) } | \partial _ { 2 } u | \ d z } \\ & { \leq \delta ^ { \frac { 1 } { 2 } } \| \nabla u \| _ { L ^ { 2 } ( \gamma ^ { - } , \gamma ^ { + } ) } , } \end{array}
\Psi _ { 2 k + 2 } ^ { \prime \prime } - \Psi _ { 2 k } ^ { \prime \prime } = \sum _ { \ell \geq 1 } b _ { 2 \ell - 1 } ^ { \prime \prime } + \sum _ { \ell \geq k + 1 } b _ { 2 \ell } ^ { \prime \prime } \leq \sum _ { \ell \geq 1 } b _ { 2 \ell - 1 } ^ { \prime } + \sum _ { \ell \geq k + 1 } b _ { 2 \ell } ^ { \prime } = \Psi _ { 2 k + 2 } ^ { \prime } - \Psi _ { 2 k } ^ { \prime } .
{ \frac { \langle E ( s ) \rangle } { A } } = - { \frac { \hbar c ^ { 1 - s } \pi ^ { 2 - s } } { 2 a ^ { 3 - s } } } { \frac { 1 } { 3 - s } } \sum _ { n } \vert n \vert ^ { 3 - s } = - { \frac { \hbar c ^ { 1 - s } \pi ^ { 2 - s } } { 2 a ^ { 3 - s } ( 3 - s ) } } \sum _ { n } { \frac { 1 } { \left| n \right| ^ { s - 3 } } } .
\begin{array} { r } { \mathbf { \delta u } = \frac { c \mathbf { b _ { 0 } } \times \nabla _ { \perp } \delta \phi } { B _ { 0 } } + \frac { 1 } { B _ { 0 } } \mathbf { b _ { 0 } } \times \frac { \partial \mathbf { \delta A _ { \perp } } } { \partial t } + \delta u _ { | | } \mathbf { b _ { 0 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { P ( e \in E ) = \left\{ \begin{array} { c c } { p _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } , } & { \mathrm { ~ a ~ l ~ l ~ n ~ o ~ d ~ e ~ s ~ i ~ n ~ e ~ b ~ e ~ l ~ o ~ n ~ g ~ t ~ o ~ } } \\ { p _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } . } \end{array} \right. } \end{array}
\left[ \widetilde R _ { 1 N } ^ { ( 2 ) } ( x ) \right] _ { \mathrm { ( I I I ) } } \simeq \beta ^ { N } \simeq \exp \left( - { \frac { N ^ { 1 / 3 } } { \alpha _ { c } ^ { 2 } g ^ { 2 / 3 } } } \right) \rightarrow 0 .
\begin{array} { r l } { s ( \omega ) } & { { } = \int \mathbf { E } _ { \mathrm { i n c } } ^ { * } ( \mathbf { x } , \omega ) \cdot \mathbf { P } ( \mathbf { x } , \omega ) \, \mathrm { d } \mathbf { x } } \end{array}
\varphi ( z ) = { \psi } \mathrm { s e c h } ^ { 4 } ( h ( z ) ) \qquad \mathrm { w h e r e } \qquad h ( z ) = { \frac { z } { 4 \lambda } } + { \frac { b z ^ { 2 } } { a ^ { 2 } + z ^ { 2 } } } ,
\int _ { 0 } ^ { 1 } x ^ { 1 / 2 } \, d x \ = \ F ( 1 ) - F ( 0 ) \ = \ { \frac { 2 } { 3 } } ( 1 ) ^ { 3 / 2 } - { \frac { 2 } { 3 } } ( 0 ) ^ { 3 / 2 } \ = \ { \frac { 2 } { 3 } } .
\operatorname { P } ( Y = y ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { 1 / 3 } & { \quad { \mathrm { f o r ~ } } y = - 1 } \\ { 1 / 3 } & { \quad { \mathrm { f o r ~ } } y = 0 } \\ { 1 / 3 } & { \quad { \mathrm { f o r ~ } } y = 1 } \end{array} \right. }
{ \begin{array} { r l } { \ln q ^ { * } ( \mathbf { Z } ) } & { = \operatorname { E } _ { \mathbf { \pi } , \mathbf { \mu } , \mathbf { \Lambda } } [ \ln p ( \mathbf { X } , \mathbf { Z } , \mathbf { \pi } , \mathbf { \mu } , \mathbf { \Lambda } ) ] + { \mathrm { c o n s t a n t } } } \\ & { = \operatorname { E } _ { \mathbf { \pi } } [ \ln p ( \mathbf { Z } \mid \mathbf { \pi } ) ] + \operatorname { E } _ { \mathbf { \mu } , \mathbf { \Lambda } } [ \ln p ( \mathbf { X } \mid \mathbf { Z } , \mathbf { \mu } , \mathbf { \Lambda } ) ] + { \mathrm { c o n s t a n t } } } \\ & { = \sum _ { n = 1 } ^ { N } \sum _ { k = 1 } ^ { K } z _ { n k } \ln \rho _ { n k } + { \mathrm { c o n s t a n t } } } \end{array} }
\bigl ( \partial _ { \mu } - { \frac { 1 } { 4 } } \Omega _ { \mu + } { } ^ { a b } \gamma _ { a b } \bigr ) \epsilon _ { + } = 0 \ , \quad \bigl ( \partial _ { \mu } - { \frac { 1 } { 4 } } \Omega _ { \mu - } { } ^ { a b } \gamma _ { a b } \bigr ) \epsilon _ { - } = 0 \ .
{ \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial t ^ { 2 } } } \; = \; c ^ { 2 } \left( { \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x _ { 1 } ^ { 2 } } } + { \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x _ { 2 } ^ { 2 } } } + \cdots + { \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x _ { n } ^ { 2 } } } \right)
\widehat { \mathscr { L } h } ( \xi ) = \frac { \xi ^ { 2 } } { 1 + \xi ^ { 2 } } \hat { h } ( \xi ) , \; \widehat { \mathscr { N } h } ( \xi ) = \frac { i \xi } { 1 + \xi ^ { 2 } } \hat { h } ( \xi ) .
\big \| e ^ { - \pi i \cdot \delta L ^ { 2 \gamma } t _ { \mathfrak u _ { 1 } } \Gamma } \cdot \mathcal K _ { ( \mathtt { s g n } , \mathtt { i n d } , \mathscr B ) } ^ { ( \mathbb V , Z , W ) } ( x _ { 0 } ^ { \prime } , k _ { \mathfrak u _ { 2 1 } } , k _ { \mathfrak u _ { 2 2 } } , t _ { \mathfrak u _ { 1 } } , t _ { \mathfrak u _ { 2 1 } } , t _ { \mathfrak u _ { 2 2 } } ) \big \| _ { Y _ { \mathrm { l o c } } ^ { \theta } } \lesssim ( C ^ { + } \delta ^ { 1 / 4 } ) ^ { n _ { 2 } } L ^ { \eta ^ { 4 } } \| Z \| _ { Y _ { \mathrm { l o c } } ^ { \theta } } .
\begin{array} { r l } { A _ { f i } ^ { \mathrm { P N C } } } & { { } = \ensuremath { \langle 7 S _ { 1 / 2 } ^ { \prime } , \, F _ { f } M _ { f } | } - \mathbfcal { E } _ { L } \cdot { \v { D } } \ensuremath { | 6 S _ { 1 / 2 } ^ { \prime } , \, F _ { i } M _ { i } \rangle } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { 1 } \langle \widetilde { \Psi } _ { \ell } ( s ) | \hat { O } | \Psi _ { \ell } ( s ) \rangle } & { = \langle \widetilde { \ell } ( s ) | \hat { O } | \ell ( s ) \rangle + \frac { 1 } { T } \sum _ { m \neq \ell } \frac { i \langle \widetilde { m } ( s ) | \dot { \ell } ( s ) \rangle } { \Delta _ { m \ell } ( s ) } \langle \widetilde { \ell } ( s ) | \hat { O } | m ( s ) \rangle } \\ & { + \frac { 1 } { T } \sum _ { m \neq \ell } \frac { i \langle \dot { \widetilde { \ell } } ( s ) | m ( s ) \rangle } { \Delta _ { \ell m } ( s ) } \langle \widetilde { m } ( s ) | \hat { O } | \ell ( s ) \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { z ^ { ( k + 1 ) } } & { = ( M _ { \phi _ { 1 } } + \phi _ { \phi _ { 1 } } + \phi _ { 2 } ) ^ { - 1 } [ ( N _ { \phi _ { 1 } } + \phi _ { \phi _ { 1 } } ) z ^ { ( k ) } + \lvert ( A _ { \phi _ { 1 } } - \phi _ { 2 } ) z ^ { ( k ) } + \phi _ { 1 } q } \\ & { + \phi _ { 2 } \psi ( z ^ { k } ) \rvert - \phi _ { 1 } q + \phi _ { 2 } \psi ( z ^ { k } ) ] . } \end{array}