harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \mathcal { F } ( \phi f ^ { * } u _ { j } ) ( \xi ) } & { = } & { \int _ { X } \psi ( f ( x ) ) u _ { j } ( f ( x ) ) \chi ( - \xi \cdot x ) \phi ( x ) \, d x } \\ & { = } & { \int _ { X } \int _ { \mathbb { F } ^ { n } } \mathcal { F } ( \psi u _ { j } ) ( \eta ) \chi ( f ( x ) \cdot \eta - x \cdot \xi ) ) \, d \eta \, \phi ( x ) \, d x } \\ & { = } & { \int _ { \mathbb { F } ^ { n } } \mathcal { F } ( \psi u _ { j } ) ( \eta ) \, I _ { \phi } ( \eta , \xi ) \, d \eta \, , } \\ { I _ { \phi } ( \eta , \xi ) } & { = } & { \int _ { X } \chi ( f ( x ) \cdot \eta - x \cdot \xi ) ) \phi ( x ) \, d x \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 2 \alpha _ { k } } { | \tilde { h } _ { k } | ^ { 2 } } = - \frac { \frac { \partial f ( \mu , \kappa , \varepsilon , \zeta , \xi , \varpi ) } { \partial \zeta } } { \bigg ( \frac { \partial f ( \mu , \kappa , \varepsilon , \zeta , \xi , \varpi ) } { \partial \varpi } + \sqrt { \frac { \partial f ( \mu , \kappa , \varepsilon , \zeta , \xi , \varpi ) } { \partial \kappa } } \frac { \sqrt { { \frac { \partial f ( \mu , \kappa , \varepsilon , \zeta , \xi , \varpi ) } { \partial \mu } } } } { \rho _ { k } } \bigg ) } . } \end{array}
\left\{ \Gamma _ { 1 } \cdot \left[ P _ { 1 } - g A ( X _ { 1 } ) \right] + \sum _ { i = 2 } ^ { N } \Gamma _ { i } \cdot P _ { i } - \sqrt { N } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { N } m _ { i } + I \right) \right\} \psi ( X _ { 1 } , X _ { 2 } , \ldots , X _ { N } ) = 0 \; ,
\begin{array} { r l r } { C _ { \mathrm { c l } } } & { = } & { - \frac { 8 \pi ^ { 2 } } { 3 } N _ { \mathrm { A } } ^ { 2 } \int \left[ \mathrm { e } ^ { - \beta U _ { 3 } } - \sum _ { i < j } \mathrm { e } ^ { - \beta U _ { 2 } ( r _ { i j } ) } + 2 - 3 ( \mathrm { e } ^ { - \beta U _ { 2 } ( r _ { 1 2 } ) } - 1 ) ( \mathrm { e } ^ { - \beta U _ { 2 } ( r _ { 1 3 } ) } - 1 ) \right] ~ \mathrm { d } \Omega _ { 3 } } \\ { C _ { \varepsilon , \mathrm { c l } } } & { = } & { \frac { 1 6 \pi ^ { 2 } } { 9 } N _ { \mathrm { A } } ^ { 3 } \int \left[ \left( \frac { \beta | \mathbf { m } _ { 3 } | ^ { 2 } } { 3 } + \Delta \alpha _ { 3 } \right) \mathrm { e } ^ { - \beta U _ { 3 } } - \sum _ { i < j } \Delta \alpha _ { 2 } ( r _ { i j } ) \mathrm { e } ^ { - \beta U _ { 2 } ( r _ { i j } ) } - \right. } \\ & { } & { \left. 6 \left( \mathrm { e } ^ { - \beta U _ { 2 } ( r _ { 1 2 } ) } - 1 \right) \Delta \alpha _ { 2 } ( r _ { 1 3 } ) \mathrm { e } ^ { - \beta U _ { 2 } ( r _ { 1 3 } ) } \right] ~ \mathrm { d } \Omega _ { 3 } , } \end{array}
0 = { \frac { d A _ { L V } } { d A _ { S L } } } + { \frac { ( \gamma _ { S L } - \gamma _ { S V } ) } { \gamma _ { L V } } } - { \frac { \kappa } { \gamma _ { L V } } } { \frac { d L } { d A _ { S L } } } - { \frac { V } { \gamma _ { L V } } } { \frac { d P } { d A _ { S L } } }
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \chi _ { a } ( \omega ) = \frac { i } { \omega - \omega _ { a } + i \frac { \gamma _ { a } } { 2 } } \, , } \\ { \chi _ { c } ( \omega ) = \frac { i } { \omega - \omega _ { c } + i \frac { \kappa } { 2 } } \, , } \end{array} \right. \, } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { 1 } } & { = 2 \sqrt { 1 - 2 a ^ { 2 } } \left( 1 - a ^ { 2 } \right) \left( 1 - u ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \ge 0 , } \\ { A _ { 2 } } & { = 2 \left( 1 - u ^ { 2 } \right) \left( 2 \left( 1 - u ^ { 2 } \right) \sqrt { 1 - 2 a ^ { 2 } } \sqrt { 1 - a ^ { 2 } } + 2 u ^ { 2 } \left( 1 - 2 a ^ { 2 } \right) + a ^ { 2 } \right) \ge 0 , } \\ { A _ { 3 } } & { = 2 \sqrt { 1 - 2 a ^ { 2 } } \sqrt { 1 - a ^ { 2 } } 2 \left( 1 - u ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \left( 1 - \sqrt { 1 - a ^ { 2 } } \right) } \\ & { + 2 \left( \sqrt { 1 - a ^ { 2 } } \left( u ^ { 4 } \left( 1 - 2 a ^ { 2 } \right) + a ^ { 2 } u ^ { 2 } \right) + \left( 1 - u ^ { 2 } \right) \left( \left( 1 - 2 a ^ { 2 } \right) 2 u ^ { 2 } + a ^ { 2 } \right) \right) \ge 0 , } \end{array}
\widehat { \psi _ { k } } ( x , y , t ) = \frac { 1 } { 2 N + 1 } \sum _ { l = 0 } ^ { l = 2 N } \psi \left( x , y , z _ { l } , t \right) \exp \left( - \mathfrak { i } k z _ { l } \right) , \quad k = - N , . . . , 0 , . . . , N
\begin{array} { r l } { K _ { 1 } } & { = 1 - e ^ { - \frac { \gamma _ { 0 } } { \tilde { \Omega } _ { 1 } } } \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - \frac { - y \gamma _ { 0 } } { \tilde { \Omega } _ { 1 } } } f _ { Y _ { 1 } } ( y ) \mathrm { d } y } \\ & { = 1 - \frac { M } { \tilde { \Omega } _ { 1 } } e ^ { - \frac { \gamma _ { 0 } } { \tilde { \Omega } _ { 1 } } } \sum _ { s = 0 } ^ { M - 1 } \sum _ { p = 0 } ^ { s } \frac { \left( - 1 \right) ^ { s + p } \binom { M - 1 } { s } \binom { s } { p } } { \frac { ( p + 1 ) } { \tilde { \Omega } _ { 1 } } + \frac { { \gamma } _ { 0 } } { \tilde { \Omega } _ { 0 } } } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \big ( } 3 \cdot e + { \sqrt { 2 } } \cdot i { \big ) } \left( { \frac { 1 } { 2 } } \cdot { \bar { j } } \right) } & { = ( 3 \cdot e ) \left( { \frac { 1 } { 2 } } \cdot { \bar { j } } \right) + ( { \sqrt { 2 } } \cdot i ) \left( { \frac { 1 } { 2 } } \cdot { \bar { j } } \right) } \\ & { = { \frac { 3 } { 2 } } \cdot { \big ( } ( e ) ( { \bar { j } } ) { \big ) } + { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } \cdot { \big ( } ( i ) ( { \bar { j } } ) { \big ) } } \\ & { = { \frac { 3 } { 2 } } \cdot { \bar { j } } + { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } \cdot { \bar { k } } } \end{array} } .
\begin{array} { r l } { \textrm { E n t } _ { \pi } [ f ] } & { = \textrm { E n t } _ { \eta } [ f \circ T ] \leq \frac { 1 } { 2 \alpha } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \frac { \| \nabla \left( f \circ T \right) ( x ) \| ^ { 2 } } { \left( f \circ T \right) ( x ) } \eta ( x ) d x } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \alpha } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \frac { \| \mathbf { J } _ { T } ^ { \top } ( x ) \nabla f ( T ( x ) ) \| ^ { 2 } } { f ( T ( x ) ) } \pi ( T ( x ) ) \operatorname* { d e t } \mathbf { J } _ { T } ( x ) d x } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \alpha } \int _ { T ^ { - 1 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } \frac { \| \mathbf { J } _ { T } ^ { \top } ( T ^ { - 1 } ( y ) ) \nabla f ( y ) \| ^ { 2 } } { f ( y ) } \pi ( y ) \left[ \operatorname* { d e t } \mathbf { J } _ { T } ( T ^ { - 1 } ( y ) ) \operatorname* { d e t } \mathbf { J } _ { T ^ { - 1 } } ( y ) \right] d y . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \! \left( \left| \sum _ { j = 1 } ^ { n ^ { \kappa / 2 } } \mathrm { C a p } _ { M } ( X ^ { \mathrm { i n d } , j } ) - n ^ { \kappa / 2 } \mathbb { E } \! \left[ \mathrm { C a p } _ { M } ( X ^ { \mathrm { i n d } , 1 } ) \right] \right| \geq \frac { \alpha _ { n } M ^ { 2 } { t _ { \mathrm { m i x } } ^ { + } } } { 2 n ^ { 1 + \kappa / 8 } } \right) } & { \leq 2 \exp \left( - 2 n ^ { \kappa / 2 } \left( \frac { \frac { \alpha _ { n } M ^ { 2 } \tplus } { 2 n ^ { 1 + 5 \kappa / 8 } } } { \frac { M n ^ { \kappa / 2 } } { \delta n } } \right) ^ { 2 } \right) } \\ & { = 2 \exp \left( - n ^ { \kappa / 4 } ( { t _ { \mathrm { m i x } } ^ { + } } ) ^ { 2 } \frac { \alpha _ { n } ^ { 2 } \delta ^ { 2 } } { 2 } \right) . } \end{array}
\mathbf { J } _ { f } = \left( \begin{array} { l l l l } { \frac { \partial f } { \partial \overline { { x } } _ { 1 } } } & { \cdots } & { \frac { \partial f } { \partial \overline { { x } } _ { k } } } & { \frac { \partial f } { \partial \overline { { y } } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l l } { \frac { 1 } { 2 \overline { { x } } _ { 1 } } } & { \cdots } & { \frac { 1 } { 2 \overline { { x } } _ { k } } } & { - \frac { 1 } { 2 \overline { { y } } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r c l } { { \mathrm { t r } _ { ( N ) } \left( J _ { k } \Delta ( x ) \right) } } & { { = } } & { { \frac { 1 } { N } e ^ { 2 \pi i k _ { i } x ^ { i } / L } , } } \\ { { \frac { 1 } { N } \sum _ { x } \Delta ( x ) _ { \mu \nu } \Delta ( x ) _ { \lambda \rho } } } & { { = } } & { { \delta _ { \mu \rho } \delta _ { \nu \lambda } , } } \\ { { \frac { 1 } { N } \mathrm { t r } _ { ( N ) } \left( \Delta ( x ) \Delta ( y ) \right) } } & { { = } } & { { N ^ { 2 } \delta _ { x , y ( \mathrm { m o d } \ L ) } . } } \end{array}
\begin{array} { r } { \beta _ { 3 i + 1 } = \left\{ \begin{array} { l l } { ( s ( \alpha _ { 3 i } ) \oplus \beta _ { 3 i } ) \cdot a _ { 3 i + 1 } } & { \mathrm { i f ~ } ( | \alpha _ { 3 i } | \geq | \alpha _ { 3 i + 1 } | } \\ & { \mathrm { a n d ~ } } \\ & { | \alpha _ { 3 i + 2 } | \geq | \alpha _ { 3 i + 1 } | ) } \\ & { \mathrm { o r ~ } ( | \alpha _ { 3 i } | \geq | \alpha _ { 3 i + 2 } | } \\ & { \mathrm { a n d ~ } } \\ & { | \alpha _ { 3 i + 1 } | \geq | \alpha _ { 3 i + 2 } | ) } \\ { ( s ( \alpha _ { 3 i + 1 } ) \oplus s ( \alpha _ { 3 i + 2 } ) ) \cdot a _ { 3 i + 1 } } & { \mathrm { o t h e r w i s e , } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { 4 c } ^ { ( n ) } } & { { } = \frac { 1 } { 4 M _ { W } ^ { 4 } } \int d ^ { D } l \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x d y d r d s \delta ( x + y + r + s - 1 ) \frac { x ^ { 2 n - 3 } y ^ { 2 n - 1 } } { ( l ^ { 2 } - \Delta ) ^ { 4 n } } \frac { \Gamma ( 4 n ) } { \Gamma ( 2 n - 2 ) \Gamma ( 2 n ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { a _ { 1 } } & { { } = } & { \frac { 1 } { h _ { \eta } } } \\ { a _ { 2 } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 h _ { \xi } ^ { 2 } } \frac { \eta _ { 0 } } { \eta _ { 0 } ^ { 2 } - \xi _ { 0 } ^ { 2 } } } \\ { a _ { 3 } } & { { } = } & { - \frac { 1 } { 2 h _ { \eta } h _ { \xi } ^ { 2 } } \frac { \eta _ { 0 } ^ { 2 } + \xi _ { 0 } ^ { 2 } } { ( \eta _ { 0 } ^ { 2 } - \xi _ { 0 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } \\ { b _ { 2 } } & { { } = } & { - \frac { 1 } { 2 h _ { \xi } ^ { 2 } } \frac { \xi _ { 0 } } { \eta _ { 0 } ^ { 2 } - \xi _ { 0 } ^ { 2 } } } \end{array}
V = { x ^ { p - 2 } } \, { y ^ { p - 2 } } - { x ^ { p - 4 } } \, { y ^ { p - 4 } } \, \left( { x ^ { 3 } } + { y ^ { 3 } } \right) + { x ^ { p - 6 } } \, { y ^ { p - 6 } } \, \left( { x ^ { 6 } } + { y ^ { 6 } } \right) + \cdots + x \, y \, \left( { x ^ { 3 \, { \frac { p - 3 } { 2 } } } } + { y ^ { 3 \, { \frac { p - 3 } { 2 } } } } \right)
\sigma \left( t \right) = \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left( \sigma _ { s r } \left( t \right) \ast \varepsilon \left( t \right) \right) , \quad \mathrm { ~ o ~ r ~ } \quad \varepsilon \left( t \right) = \dot { \varepsilon } _ { c r } \left( t \right) \ast \sigma \left( t \right) ,
\mathbf { v _ { \infty } } \approx \sum _ { k = 1 } ^ { K } \frac { \mathbf { e _ { k } } \cdot \mathbf { U } } { 1 - \lambda _ { k } } \mathbf { e _ { k } } + \sum _ { k = K + 1 } ^ { N } \frac { \mathbf { e _ { k } } \cdot \mathbf { U } } { 1 - \lambda _ { k } } \mathbf { e _ { k } } \approx \sum _ { k = 1 } ^ { K } \frac { \mathbf { e _ { k } } \cdot \mathbf { U } } { 1 - \lambda _ { k } } \mathbf { e _ { k } }
\operatorname* { m i n } _ { q } \left( \sum _ { \tau \in \mathcal { T } } C _ { \tau } ^ { [ \mathcal { T } ] } ( p _ { \tau } ) + \sum _ { k \in \mathcal { K } } C _ { k } ^ { [ \mathcal { K } ] } ( p _ { k } ) + \sum _ { j \in \mathcal { G } } C _ { j } ^ { [ \mathcal { G } ] } ( g _ { j } ) \right) ,
w ( \ensuremath { \vec { \theta } } _ { t } | \ensuremath { \vec { \theta } } _ { t - 1 } ) = p ( \ensuremath { \vec { \theta } } _ { t } | y ) q ( \ensuremath { \vec { \theta } } _ { t - 1 } | \ensuremath { \vec { \theta } } _ { t } ) \xi ( \ensuremath { \vec { \theta } } _ { t - 1 } , \ensuremath { \vec { \theta } } _ { t } ) ,
H _ { c } = \int [ \frac { 1 } { 2 } ( \pi _ { i } ^ { a } ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } m ^ { 2 } ( A _ { i } ^ { a } ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } ( F _ { i j } ^ { a } ) ^ { 2 } + \frac { m ^ { 2 } } { 2 } ( A _ { 0 } ^ { a } ) ^ { 2 } - A _ { 0 } ^ { a } T _ { 2 } ^ { a } ]
\begin{array} { r l } { E ( u ^ { * } ) - E ( u _ { n } ) = } & { \int _ { \Omega } \left( \frac { 1 } { 2 } | \nabla u _ { n } + \nabla e _ { n } | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } V | u _ { n } + e _ { n } | ^ { 2 } + \frac { \beta } { 4 } | u _ { n } + e _ { n } | ^ { 4 } \right) } \\ & { \qquad \qquad - \int _ { \Omega } \left( \frac { 1 } { 2 } | \nabla u _ { n } | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } V | u _ { n } | ^ { 2 } + \frac { \beta } { 4 } | u _ { n } | ^ { 4 } \right) } \\ { = } & { \int _ { \Omega } \left( \nabla u _ { n } \cdot \nabla e _ { n } + V u _ { n } e _ { n } + \beta | u _ { n } | ^ { 2 } u _ { n } e _ { n } \right) } \\ & { \qquad \qquad + \frac { 1 } { 2 } \int _ { \Omega } \left( | \nabla e _ { n } | ^ { 2 } + V | e _ { n } | ^ { 2 } + \beta | u ^ { * } | ^ { 2 } | e _ { n } | ^ { 2 } \right) } \\ & { \qquad \qquad + \int _ { \Omega } \left( \frac { 3 \beta } { 2 } | u _ { n } | ^ { 2 } | e _ { n } | ^ { 2 } + \beta u _ { n } e _ { n } ^ { 3 } + \frac { \beta } { 4 } | e _ { n } | ^ { 4 } - \frac { \beta } { 2 } | u ^ { * } | ^ { 2 } | e _ { n } | ^ { 2 } \right) } \\ { = } & { ( e _ { n } , \nabla _ { H ^ { 1 } } E ( u _ { n } ) ) _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } + \frac { 1 } { 2 } \int _ { \Omega } \left( | \nabla e _ { n } | ^ { 2 } + V | e _ { n } | ^ { 2 } + \beta | u ^ { * } | ^ { 2 } | e _ { n } | ^ { 2 } \right) } \\ & { \qquad \qquad + \int _ { \Omega } \left( \frac { 3 \beta } { 2 } | u _ { n } | ^ { 2 } | e _ { n } | ^ { 2 } + \beta u _ { n } e _ { n } ^ { 3 } + \frac { \beta } { 4 } | e _ { n } | ^ { 4 } - \frac { \beta } { 2 } | u ^ { * } | ^ { 2 } | e _ { n } | ^ { 2 } \right) , } \end{array}
I ^ { ( 2 ) } ( q ) = - K _ { D } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d \lambda \lambda ^ { 3 - D } \left\langle f ( \lambda | \hat { \bf { q } } ^ { \prime } + { \bf { q } } | ) - f ( \lambda ) \right\rangle _ { \hat { \bf { q } } ^ { \prime } } \; ,
H _ { \operatorname* { m i n } } ^ { \delta } ( y ^ { n } | \mathbf { E } ^ { n } ) _ { \rho ^ { \otimes n } } \geq n H ( y | \mathbf { E } ) _ { \rho } + \sqrt { n } \Delta _ { \mathrm { ~ a ~ e ~ p ~ } } ( \delta ) ,
\tilde { S } _ { L } = \frac { 1 } { 4 \pi \alpha ^ { \prime } } \int _ { \Sigma } [ \tilde { g } ^ { \mu \nu } ( \partial _ { t } \tilde { x } _ { \mu } \partial _ { t } \tilde { x } _ { \nu } - \partial _ { \sigma } \tilde { x } _ { \mu } \partial _ { \sigma } \tilde { x } _ { \nu } ) + 4 \pi i \alpha ^ { \prime } \tilde { b } ^ { \mu \nu } \partial _ { t } \tilde { x } _ { \mu } \partial _ { \sigma } \tilde { x } _ { \nu } ] ,
\begin{array} { r l } { u _ { j } ^ { \star } } & { = \mathcal { F } ( \omega ^ { \star } \circ S _ { j } z ^ { \star } ) \quad \mathrm { f o r ~ } j = 1 , \ldots , N , } \\ { v ^ { \star } } & { = \nabla z ^ { \star } , } \\ { 0 } & { \in \left\{ \begin{array} { l l } { \partial | u _ { j } ^ { \star } | \circ ( | u _ { j } ^ { \star } | - \sqrt { d _ { j } } ) + \Lambda _ { j } ^ { \star } , } & { \mathrm { i f ~ A G M } , } \\ { \partial | u _ { j } ^ { \star } | \circ \left( | u _ { j } ^ { \star } | - \displaystyle \frac { d _ { j } } { | u _ { j } ^ { \star } | } \right) + \Lambda _ { j } ^ { \star } , } & { \mathrm { i f ~ I P M , } } \end{array} \right. \quad \mathrm { f o r ~ } j = 1 , \ldots , N , } \\ { - \frac { y ^ { \star } } { \lambda } } & { \in \partial ( \| v ^ { \star } \| _ { 1 } - \alpha \| v ^ { \star } \| _ { 2 , 1 } ) , } \\ { \nabla _ { \omega } \mathcal { L } ( Z ^ { \star } , \Omega ^ { \star } ) } & { = 0 , } \\ { \nabla _ { z } \mathcal { L } ( Z ^ { \star } , \Omega ^ { \star } ) } & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \varepsilon _ { i } + \varepsilon _ { j } - \varepsilon _ { a } - \varepsilon _ { b } } } & { { } = - \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { ( \varepsilon _ { a } + \varepsilon _ { b } - \varepsilon _ { i } - \varepsilon _ { j } ) t } d t } \end{array}
\begin{array} { r } { \dot { R } _ { 1 1 } = R _ { 1 2 } \Omega _ { 0 } , \qquad \dot { R } _ { 1 2 } = - R _ { 1 1 } \Omega _ { 0 } , \qquad \dot { R } _ { 1 3 } = 0 ; } \\ { \dot { R } _ { 2 1 } = R _ { 2 2 } \Omega _ { 0 } , \qquad \dot { R } _ { 2 2 } = - R _ { 2 1 } \Omega _ { 0 } , \qquad \dot { R } _ { 2 3 } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { C x = h \, , } \\ & { C y = e _ { 1 } \, , } \\ { e _ { 1 } = \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { 0 } \\ { \vdots } \\ { 0 } \end{array} \right) \, , } & { \quad h = \left( \begin{array} { c } { 0 } \\ { C ( ( N - 1 ) \Delta t ) - C ( \Delta t ) } \\ { \vdots } \\ { C ( 2 \Delta t ) - C ( ( N - 2 ) \Delta t ) } \\ { C ( \Delta t ) - C ( ( N - 1 ) \Delta t ) } \end{array} \right) \, . } \end{array}
\Psi _ { 1 2 } ( { \bf x } _ { 1 } , \ldots , { \bf x } _ { N } , t ) = S \, \Psi _ { 1 } ( { \bf x } _ { 1 } , \ldots , { \bf x } _ { j } , t ) \, \Psi _ { 2 } ( { \bf x } _ { j + 1 } , \ldots , { \bf x } _ { N } , t ) .
S _ { \mathrm { B I } } ( F _ { m n } ) \ \rightarrow \ S _ { \mathrm { B I } } ( F _ { m n } ) \ + \ { \frac { 1 } { 2 } } \int d ^ { 4 } x \ \tilde { A } _ { m } \epsilon ^ { m n k l } \partial _ { n } F _ { k l } \ ,
\varepsilon _ { u } = \langle | \nabla _ { \perp } w | ^ { 2 } \rangle + \langle \zeta ^ { 2 } \rangle , \quad \varepsilon _ { \theta } = \langle | \nabla _ { \perp } \theta | ^ { 2 } \rangle + \langle \left( \partial _ { Z } \overline { { \Theta } } \right) ^ { 2 } \rangle .
\widetilde \gamma _ { \mathrm { h o p f } } \approx - \frac { a } { \sqrt { \pi } } \int _ { 0 } ^ { \infty } Q ( a x / 2 ) e ^ { - x } x ^ { 1 / 2 } \, d x ; \quad Q ( y ) : = \frac { \widetilde { P } ( y ) } { 1 + y }
\begin{array} { r l } { r } & { { } = \left[ ( 1 + \chi ) \sqrt { 1 + a ^ { 2 } \cos ^ { 2 } ( m \phi ^ { \prime } ) } r ^ { \prime } \right] ^ { \frac { 1 } { 1 + \chi } } } \\ { \phi } & { { } = \frac { 1 } { 1 + \chi } \int _ { 0 } ^ { \phi ^ { \prime } } d \phi ^ { \prime } \frac { \sqrt { 1 + a ^ { 2 } [ 1 + ( m ^ { 2 } - 1 ) \sin ^ { 2 } \phi ] } } { 1 + a ^ { 2 } \cos ^ { 2 } ( m \phi ^ { \prime } ) } , } \end{array}
M _ { n } ^ { \mathrm { i n s t } } = \int { \frac { 1 } { 2 \Gamma _ { 0 } } } { \frac { \mathrm { d } \Gamma _ { \mathrm { i n s t } } } { \mathrm { d } y } } \, ( y - 1 ) ^ { n } \mathrm { d } y = \int S _ { \mathrm { i n s t } } ( y ) ( y - 1 ) ^ { n } \mathrm { d } y \, ,
\begin{array} { r l } { \tilde { \mathbf { Z } } _ { k } } & { = \tilde { \mathbf { H } } _ { k } \tilde { \mathbf { B } } } \\ & { = \left[ \begin{array} { c c c } { \tilde { Z } _ { k , \, 1 , \, 1 } } & { \cdots } & { \tilde { Z } _ { k , \, 1 , \, N _ { t } } } \\ { \vdots } & { \cdots } & { \vdots } \\ { \tilde { Z } _ { k , \, N _ { r } , \, 1 } } & { \cdots } & { \tilde { Z } _ { k , \, N _ { r } , \, N _ { t } } } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \phi _ { j } - \widetilde { \phi } _ { j } \| _ { \mathbb { L } ^ { 2 } ( \pi ) } ^ { 2 } } & { \leq \int _ { 0 } ^ { 1 } \left| \psi _ { j } \big ( ( 1 / \lambda _ { j } ) ^ { \frac { 1 } { 2 + \alpha } } ( 1 - x ) \big ) - \widetilde { \psi } _ { j } \big ( ( 1 / \lambda _ { j } ) ^ { \frac { 1 } { 2 + \alpha } } ( 1 - x ) \big ) \right| ^ { 2 } \pi ( x ) d x } \\ & { \leq c ^ { \prime } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { x ^ { \alpha } } { 1 + \big ( ( 1 / \lambda _ { j } ) ^ { \frac { 1 } { 2 + \alpha } } x \big ) ^ { 2 + \frac { 3 } { 2 } \alpha } } d x } \\ & { \leq c _ { 2 } ( \alpha ) \lambda _ { j } ^ { \frac { \alpha + 1 } { \alpha + 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \xi ^ { \mathrm { ~ s ~ } } ( \alpha , t ) } & { { } = \alpha + x _ { 0 } ( t ) + H ^ { \coth } [ \eta ^ { \mathrm { ~ s ~ } } ] ( \alpha , t ) + H ^ { \operatorname { c s c h } } [ \eta ^ { \mathrm { ~ b ~ } } ] ( \alpha , t ) , } \\ { \xi ^ { \mathrm { ~ b ~ } } ( \alpha , t ) } & { { } = \alpha + x _ { 0 } ( t ) - H ^ { \operatorname { c s c h } } [ \eta ^ { \mathrm { ~ s ~ } } ] ( \alpha , t ) - H ^ { \coth } [ \eta ^ { \mathrm { ~ b ~ } } ] ( \alpha , t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { { \cal W } _ { a } ( x _ { s } | s ) = p _ { g } \pi _ { g \to g } ( s ) { \cal F } ( x _ { s } ) , \ \ \mathrm { f o r } \ \ 0 \le x _ { s } < 1 , } & \\ & { { \cal W } _ { b } ( T , q , x _ { s - q T } | s ) = 2 p _ { l } \tilde { \rho } _ { l } ( T ) \pi _ { g \to g } ( s - q T ) { \cal F } ( x _ { s - q T } ) , \ \ \mathrm { f o r } \ \ 0 \le q \le m i n [ 1 , \frac { s } { T } ] , T \ge 0 , 0 \le x _ { s - q T } < 1 , } & \\ & { { \cal W } _ { c } ( T , q | s ) = p _ { l } \tilde { \rho } _ { l } ( T ) , \ \ \mathrm { f o r } \ \ \frac { s } { T } \le q \le 1 , T \ge s , } & \end{array}
\psi ( \vec { r } ) \, = \, \psi _ { 0 } ( \vec { r } ) \, \exp \left( \frac { i e } { \hbar c } \int _ { { \vec { r } } _ { 0 } } ^ { \vec { r } } \vec { A } ( \vec { r } \prime ) \cdot d \vec { r } \prime \right) \, ,
\left\{ \begin{array} { l l } { ( - \Delta ) ^ { s } w ( x ) = 0 , \ \ \ \ } & { x \in \left( \Omega \bigcap B _ { \lambda } ( 0 ) \right) \setminus B _ { \delta } ( y ) , } \\ { w ( x ) > 0 , } & { x \in B _ { \delta } ( y ) , } \\ { w ( x ) = \left( \frac { \lambda } { | x | } \right) ^ { n - 2 s } G _ { \Omega } ^ { s } ( x ^ { \lambda } , y ^ { \lambda } ) \geq 0 , } & { x \in ( \Omega \setminus B _ { \lambda } ( 0 ) ) ^ { \lambda } \setminus ( \Omega \bigcap B _ { \lambda } ( 0 ) ) , } \\ { w ( x ) \equiv 0 , } & { x \in B _ { \lambda } ( 0 ) \setminus ( \Omega \setminus B _ { \lambda } ( 0 ) ) ^ { \lambda } , } \\ { w ( x ) = - \left( \frac { \lambda } { | x | } \right) ^ { n - 2 s } w ( x ^ { \lambda } ) , } & { x \in B _ { \lambda } ( 0 ) \setminus \{ 0 \} . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r l r l r l r l r l r l r l } & { } & & { } & & { } & { V ( x ) } & { \geq 0 } & & { \forall x \in \mathbb { R } ^ { d } , } & & { } & & { } & & { } \\ & { } & & { } & & { } & { \mathcal { L } V ( x ) } & { \leq 0 } & & { \forall x \in \mathbb { R } ^ { d } , } & & { } & & { } & & { } \\ & { } & & { } & & { } & { V ( x ) } & { \to + \infty } & & { \mathrm { a s ~ } \| x \| \to + \infty . } & & { } & & { } & & { } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ C ~ o ~ r ~ r ~ } _ { x } ( z , t ) = } & { { } \frac { \langle u _ { z } B _ { x } \rangle - \langle u _ { z } \rangle \langle B _ { x } \rangle } { \operatorname* { m a x } _ { z } \left[ \sqrt { \langle u _ { z } ^ { 2 } \rangle - \langle u _ { z } \rangle ^ { 2 } } \sqrt { \langle B _ { x } ^ { 2 } \rangle - \langle B _ { x } \rangle ^ { 2 } } \right] } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f ( x ) } & { { } = \displaystyle { \frac { x } { I } } \, , } \\ { g ^ { \pm } ( x ) } & { { } = \frac { \left( 2 + c \right) } { 2 } f ( x ) - \frac { c \left( b - a \right) } { 2 \pi I } \sin \left( \pi \frac { x \pm \ a } { a - b } \right) \, , } \\ { h ( x ) } & { { } = \left( 1 + c \right) f ( x ) \, , } \end{array}
\operatorname* { s u p } _ { \mathbf { y } \in \partial f ( \mathbf { K } \mathbf { x } _ { T } ) } L ( \mathbf { x } _ { T } , \mathbf { y } ) - L ( \mathbf { x } , \mathbf { y } _ { T } ) \ge \operatorname* { s u p } _ { \mathbf { y } \in \partial f ( \mathbf { K } \mathbf { x } _ { T } ) } \langle \mathbf { K } \mathbf { x } _ { T } , \mathbf { y } \rangle - f ^ { \ast } ( \mathbf { y } ) - \langle \mathbf { K } \mathbf { x } , \mathbf { y } _ { T } \rangle + f ^ { \ast } ( \mathbf { y } _ { T } ) \ge f ( \mathbf { K } \mathbf { x } _ { T } ) - f ( \mathbf { K } \mathbf { x } ) ,
\frac { L _ { n } } { 2 \pi \rho _ { s } } \frac { \omega ^ { 2 } } { \Gamma c ^ { 2 } } = \frac { 2 - \sqrt { 1 - \Gamma ^ { 2 } x _ { 0 } ^ { 2 } } \, \left( 2 + \Gamma ^ { 2 } x _ { 0 } ^ { 2 } \right) } { 3 \Gamma ^ { 3 } } \qquad x _ { 0 } \leq \frac 1 \Gamma
\left[ \begin{array} { c c } { P } \\ { E } \end{array} \right] \mid \mathbf { X } \sim G P \left[ \mathcal { L } _ { \mathbf { X } } \mu _ { F } ( \mathbf { X } ) , \mathcal { L } _ { \mathbf { X } } k _ { F F } \left( \mathbf { X } , \mathbf { X } ^ { \prime } \right) \mathcal { L } _ { \mathbf { X ^ { \prime } } } ^ { T } \right]