harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \int _ { s _ { i } } \frac { \partial q _ { j } } { \partial s } \frac { \partial u } { \partial s } \, \mathrm { d } s } & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( \| \mathbf { t } \| ^ { - 1 } \frac { \mathrm { d } q _ { j } } { \mathrm { d } \alpha } \right) \left( \| \mathbf { t } \| ^ { - 1 } \frac { \mathrm { d } u } { \mathrm { d } \alpha } \right) \| \mathbf { t } \| \, \mathrm { d } \alpha } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( \| \mathbf { t } \| ^ { - 1 } \frac { \mathrm { d } q _ { j } } { \mathrm { d } \alpha } \right) \langle \| \mathbf { t } \| ^ { - 1 } \mathbf { t } , \, \nabla _ { x } \widetilde { u } \rangle \| \mathbf { t } \| \, \mathrm { d } \alpha = \int _ { s _ { i } } \frac { \partial q _ { j } } { \partial s } \frac { \partial \widetilde { u } } { \partial s } \, \mathrm { d } s \qquad \forall \, q _ { j } \in \mathit { P } ^ { p } ( \alpha ) \, , } \end{array}
2 \pi x \int _ { 1 } ^ { \infty } { \frac { \pi ^ { 2 } B _ { 2 } ( t - [ t ] ) } { ( x ^ { 2 } + ( 2 \pi t ) ^ { 2 } ) ^ { { \frac { 3 } { 2 } } } } } d t = 2 \pi x \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \int _ { 0 } ^ { 1 } { \frac { \pi ^ { 2 } B _ { 2 } ( t ) } { ( x ^ { 2 } + ( 2 \pi ( t + m ) ) ^ { 2 } ) ^ { { \frac { 3 } { 2 } } } } } d t \ ,
\begin{array} { r l } { Q ^ { * } ( \eta _ { k } + \widetilde { r } ) - Q ^ { * } ( \eta _ { k } ) \ge } & { \frac { 1 } { 2 } \widetilde { r } \kappa _ { k } ^ { 2 } - O _ { p } \Big ( \sqrt { \widetilde { r } } \kappa _ { k } \kappa _ { k } ^ { - \frac { p } { 2 r } } ( \log ( \widetilde { r } \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { r } + 2 } ) + 1 ) \Big ) - o _ { p } ( \widetilde { r } \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { r } + 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathcal N } ^ { 1 } ( \boldsymbol { \beta } ) } & { = \sum _ { l = 1 } ^ { L } \sqrt { L - l + 1 } | \! | \beta _ { \geq l } | \! | _ { 2 } } \\ & { \geq \sum _ { l = 1 } ^ { L } \left( \sqrt { L - l + 1 } | \beta _ { l } | + \sum _ { j > l } | \beta _ { j } | \right) } \\ & { = \sum _ { l = 1 } ^ { L } \left( \sqrt { L - l + 1 } + l - 1 \right) | \beta _ { l } | } \\ & { \geq \sqrt L | \beta _ { l } | \, . } \end{array}
| \psi \rangle \otimes | A \rangle \rightarrow \sum _ { k } { \sqrt { p _ { k } } } | k \rangle \otimes | A _ { k } ( \psi ) \rangle = \sum _ { k } { \sqrt { p _ { k } } } | k \rangle \otimes ( | q _ { k } \rangle \otimes | \psi \rangle \oplus 0 )
\times \frac { R _ { A s t r o } } { 0 . 9 y r ^ { - 1 } } \times \frac { f _ { B i o t e c h } } { 1 } \times \frac { \mathcal { L } _ { _ { I I } } } { t _ { _ { I I } } } \; G e V \; s ^ { - 1 } \; c m ^ { - 2 } .
\sigma = { \frac { 2 \pi ^ { 5 } k ^ { 4 } } { 1 5 c ^ { 2 } h ^ { 3 } } } = 5 . 6 7 0 3 7 3 \times 1 0 ^ { - 8 } \, \mathrm { W \, m ^ { - 2 } K ^ { - 4 } } ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { \mathrm { s m o o t h } } ( \mathrm { Y } , \hat { \mathrm { Y } } ) = \| \partial _ { x } \hat { \mathrm { Y } } \| _ { 1 } \exp ( - \| \partial _ { x } \mathrm { Y } \| _ { 1 } ) } & { { } + \| \partial _ { y } \hat { \mathrm { Y } } \| _ { 1 } \exp ( - \| \partial _ { y } \mathrm { Y } \| _ { 1 } ) . } \end{array}
C _ { D } ( \mathrm { R e _ { p } } ) = \frac { 2 4 } { \mathrm { R e _ { p } } } ( 1 + 0 . 1 5 0 \mathrm { R e _ { p } } ^ { 0 . 6 8 1 } ) + \frac { 0 . 4 0 7 } { 1 + \frac { 8 7 1 0 } { \mathrm { R e _ { p } } } } .
\begin{array} { r } { \Sigma _ { t + 1 } ^ { 1 } = W + A \Sigma _ { t } ^ { 1 } A ^ { \top } - A \Sigma _ { t } ^ { 1 } C ^ { \top } ( V + C \Sigma _ { t } ^ { 1 } C ^ { \top } ) ^ { - 1 } C \Sigma _ { t } ^ { 1 } A ^ { \top } , } \\ { \Sigma _ { t + 1 } ^ { 2 } = W + A \Sigma _ { t } ^ { 2 } A ^ { \top } - A \Sigma _ { t } ^ { 2 } C ^ { \top } ( V + C \Sigma _ { t } ^ { 2 } C ^ { \top } ) ^ { - 1 } C \Sigma _ { t } ^ { 2 } A ^ { \top } . } \end{array}
( 1 + \frac { K } { 2 f _ { 5 } } ) d x ^ { + } d x ^ { - } + \frac { R _ { s } ^ { 2 } } { R ^ { 2 } } ( h + \frac { K } { 4 f _ { 5 } } ) d x ^ { - } d x ^ { - } + \frac { R ^ { 2 } } { R _ { s } ^ { 2 } } \frac { K } { 4 f _ { 5 } } d x ^ { + } d x ^ { + }
\begin{array} { r l r } { \sum _ { i } f _ { i } ^ { e q } } & { { } = } & { \rho \ , } \\ { \sum _ { i } f _ { i } ^ { e q } \mathbf { e } _ { i } } & { { } = } & { \rho \mathbf { v } \ , } \\ { \sum _ { i } f _ { i } ^ { e q } \mathbf { e } _ { i } \mathbf { e } _ { i } } & { { } = } & { \rho T \mathbf { I } + \rho \mathbf { v } \mathbf { v } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { i n t . } } & { { } \sim a _ { 1 } \left( \hat { S } _ { z } \hat { J } _ { z } + \mathcal { E } _ { S } \hat { S } _ { \bot } \hat { J } _ { y } \right) , } \\ { \mathcal { E } _ { S } } & { { } = \quad - 1 4 \left( \frac { a _ { 2 } } { a _ { 1 } } \right) \cos { ( 2 \alpha ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { i e _ { \alpha } ^ { \mu } \sigma ^ { \alpha } D _ { \mu } U \left( x , s \right) } & { { } = } & { a \left( s \right) U \left( x , s \right) } \\ { \int d ^ { 4 } x \, U ^ { \dag } \left( x , s \right) U \left( x , s ^ { \prime } \right) } & { { } = } & { \delta _ { s s ^ { \prime } } \; \quad , \quad \; \sum _ { s } U \left( x , s \right) U ^ { \dag } \left( x ^ { \prime } , s \right) = \delta \left( x - x ^ { \prime } \right) \; . } \end{array}
m _ { \tilde { a } } \ \approx \ \frac { v ^ { 2 } } { v _ { S } ^ { 2 } } \, | \mu \, \sin 2 \beta | \ = \ \frac { 2 \lambda ^ { 2 } } { g _ { w } ^ { 2 } } \, \frac { M _ { W } ^ { 2 } } { | \mu | } \, | \! \sin 2 \beta | \, .
\begin{array} { r l } { - \int _ { \partial B _ { \rho } ( \zeta _ { k } ) } \frac { \overline { { ( \zeta - \zeta _ { k } ) f _ { \zeta } U ^ { 2 } } } } { \zeta - \zeta _ { k } } \, d \zeta = } & { \int _ { \partial B _ { \rho } ( \zeta _ { k } ) } \overline { { U ^ { 2 } f _ { \zeta } } } \, d \overline { \zeta } = \overline { { \int _ { \partial B _ { \rho } ( \zeta _ { k } ) } \frac { w _ { \zeta } ^ { 2 } } { f _ { \zeta } } \, d \zeta } } - 2 c \overline { { \int _ { \partial B _ { \rho } ( \zeta _ { k } ) } f _ { \zeta } U \, d \zeta } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( R ^ { \prime } ) { _ { V , W } ^ { - 1 } } \, \overset { V } { C } ( j ) _ { 1 } \, ( R ^ { \prime } ) _ { V , W } \, \overset { W } { X } ( i ) _ { 2 } } & { = \overset { W } { X } ( i ) _ { 2 } \, ( R ^ { \prime } ) { _ { V , W } ^ { - 1 } } \, \overset { V } { C } ( j ) _ { 1 } \, ( R ^ { \prime } ) _ { V , W } \quad \mathrm { f o r ~ } 1 \leq i < j \leq g + n , } \\ { R _ { V , W } \, \overset { V } { C } ( i ) _ { 1 } \, ( R ^ { \prime } ) _ { V , W } \, \overset { W } { X } ( i ) _ { 2 } } & { = \overset { W } { X } ( i ) _ { 2 } \, R _ { V , W } \, \overset { V } { C } ( i ) _ { 1 } \, ( R ^ { \prime } ) _ { V , W } \quad \mathrm { f o r ~ } 1 \leq i \leq g + n } \\ { R _ { V , W } \, \overset { V } { C } ( j ) _ { 1 } \, R { _ { V , W } ^ { - 1 } } \, \overset { W } { X } ( i ) _ { 2 } } & { = \overset { W } { X } ( i ) _ { 2 } \, R _ { V , W } \, \overset { V } { C } ( j ) _ { 1 } \, R { _ { V , W } ^ { - 1 } } \quad \quad \mathrm { f o r ~ } 1 \leq j < i \leq g + n . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle \sigma , \vec { B } \rangle } & { = } & { \langle \sigma , \vec { T } \times \vec { N } \rangle = \frac 1 k \langle \sigma , \gamma ^ { \prime } \times \gamma ^ { \prime \prime } \rangle = \frac 1 k \langle \gamma \times \gamma ^ { \prime } + \gamma ^ { * } \times { \gamma ^ { * } } ^ { \prime } , \gamma ^ { \prime } \times \gamma ^ { \prime \prime } \rangle = } \\ & { = } & { \frac 1 k \langle \gamma \times \gamma ^ { \prime } , \gamma ^ { \prime } \times \gamma ^ { \prime \prime } \rangle + \frac 1 k \langle \gamma ^ { * } \times { \gamma ^ { * } } ^ { \prime } , \gamma ^ { \prime } \times \gamma ^ { \prime \prime } \rangle = } \\ & { = } & { - \frac 1 k \langle \gamma , \gamma ^ { \prime \prime } \rangle \langle \gamma ^ { \prime } , \gamma ^ { \prime } \rangle + \frac 1 k \langle k _ { g } \gamma , \gamma ^ { \prime } \times \gamma ^ { \prime \prime } \rangle = \frac 1 k ( 1 + k _ { g } ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { g \left( R \left( X , Y \right) Z , V \right) + g \left( R \left( Z , X \right) Y , V \right) + g \left( R \left( Y , Z \right) X , V \right) } & { = 0 , } \\ { g \left( R \left( Y , Z \right) V , X \right) + g \left( R \left( V , Y \right) Z , X \right) + g \left( R \left( Z , V \right) Y , X \right) } & { = 0 , } \\ { g \left( R \left( Z , V \right) X , Y \right) + g \left( R \left( X , Z \right) V , Y \right) + g \left( R \left( V , X \right) Z , Y \right) } & { = 0 , } \\ { g \left( R \left( V , X \right) Y , Z \right) + g \left( R \left( Y , V \right) X , Z \right) + g \left( R \left( X , Y \right) V , Z \right) } & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { H _ { 1 } ( x ) } & { { } = \frac { C _ { 1 } } { 2 } ( 1 - x ^ { 2 } ) - \int _ { x } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { x _ { 1 } } x _ { 2 } \, ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) \, ( 1 - x _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { 1 - n } \, \d x _ { 2 } \, \d x _ { 1 } } & { } & { { } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad x \in [ - 1 , 1 ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { N _ { e } N ^ { z } } { N ^ { z - 1 } } = \frac { 2 U ^ { z } ( T ) } { U ^ { z - 1 } ( T ) } \left( \frac { 2 \pi m k T } { h ^ { 2 } } \right) ^ { 3 / 2 } e x p \left[ \frac { - ( E _ { \infty } ^ { z - 1 } - \Delta E _ { \infty } ^ { z - 1 } ) } { k T } \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { f _ { s } ( x , y ) = \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \delta _ { x , A _ { s , n } } \delta _ { y , B _ { s , n } } = \frac { 1 } { 4 N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } ( 1 + x A _ { s , n } ) ( 1 + y B _ { s , n } ) \quad , \quad x , y = \pm 1 \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { z _ { 0 } } ^ { c } ( z ) } & { { } = \frac { ( \omega ( z , z _ { 0 } ) \omega ( 1 / z , 1 / z _ { 0 } ) ) ^ { - c } } { ( \omega ( z , 1 / \overline { { z _ { 0 } } } ) \omega ( 1 / z , \overline { { z _ { 0 } } } ) ) ^ { \overline { { c } } } } , } \\ { S _ { z _ { 2 } } ^ { z _ { 1 } } ( z ) } & { { } = \frac { \omega ( z , z _ { 1 } ) } { \omega ( z , z _ { 2 } ) } } \end{array}
\mathrm { ~ \bf ~ A ~ } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } + { \mathrm { ~ \bf ~ a ~ } } ) \approx \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) + ( { \mathrm { ~ \bf ~ a ~ } } \cdot \nabla ) \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } )
\begin{array} { r l r l } { { 3 } } & { E _ { j } ^ { ( 1 ) } : = \beta _ { j } \cdot ( X _ { j } ) _ { s } - ( \gamma _ { j } ) _ { s } , } & { \qquad } & { E _ { j } ^ { ( 2 ) } : = \frac { ( A _ { j } ) _ { s } } { A _ { j } } - \frac { ( L _ { j } ) _ { s } } { L _ { j } } , } \\ & { E _ { j } ^ { ( 3 ) ( l ) } : = - L _ { j } ( ( \beta _ { j } ) _ { l } ) _ { s } - \frac { B _ { j } } { 2 L _ { j } } ( ( X _ { j } ) _ { l } ) _ { s } , } & { \qquad } & { E _ { j } ^ { ( 4 ) ( l ) } : = \frac { ( ( X _ { j } ) _ { l } ) _ { s } } { L _ { j } } , \qquad l = 1 , \dots , d , } \\ & { E _ { j } ^ { ( 5 ) } : = \frac { ( B _ { j } ) _ { s } } { 4 } - \frac { B _ { j } ( L _ { j } ) _ { s } } { 2 L _ { j } } , } & { \qquad } & { E _ { j } ^ { ( 6 ) } : = \frac { ( L _ { j } ) _ { s } } { L _ { j } } , } \end{array}
\left[ \begin{array} { c c c } { A } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { A ^ { \top } } & { I } \\ { S \left( \alpha _ { k } \right) } & { 0 } & { X \left( \alpha _ { k } \right) } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c } { \Delta x } \\ { \Delta \lambda } \\ { \Delta s } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c } { 0 } \\ { 0 } \\ { \left( 1 - \sin \left( \alpha _ { k } \right) \right) \mu _ { k } e - x \left( \alpha _ { k } \right) \circ s \left( \alpha _ { k } \right) } \end{array} \right] .
\textbf { y } _ { x } = \left( V _ { 1 } ; ~ . . . ~ ; V _ { M } ; ~ \frac { \mathrm { ~ d ~ } V _ { 1 } } { \mathrm { ~ d ~ } \textbf { x } } ; ~ . . . ~ ; \frac { \mathrm { ~ d ~ } V _ { M _ { g } } } { \mathrm { ~ d ~ } \textbf { x } } ; ~ \frac { \mathrm { ~ d ~ } ^ { 2 } V _ { 1 } } { \mathrm { ~ d ~ } \textbf { x } ^ { 2 } } ; ~ . . . ~ ; \frac { \mathrm { ~ d ~ } ^ { 2 } V _ { M _ { H } } } { \mathrm { ~ d ~ } \textbf { x } ^ { 2 } } \right)
{ \begin{array} { r l } { { \frac { d y } { d t } } } & { = \left( { \frac { \partial Y _ { 0 } } { \partial t } } + { \frac { d t _ { 1 } } { d t } } { \frac { \partial Y _ { 0 } } { \partial t _ { 1 } } } \right) + \varepsilon \left( { \frac { \partial Y _ { 1 } } { \partial t } } + { \frac { d t _ { 1 } } { d t } } { \frac { \partial Y _ { 1 } } { \partial t _ { 1 } } } \right) + \cdots } \\ & { = { \frac { \partial Y _ { 0 } } { \partial t } } + \varepsilon \left( { \frac { \partial Y _ { 0 } } { \partial t _ { 1 } } } + { \frac { \partial Y _ { 1 } } { \partial t } } \right) + { \mathcal { O } } ( \varepsilon ^ { 2 } ) , } \end{array} }
\pi _ { b c a { \pmb a } _ { n } } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) = \delta _ { b c } p _ { a { \pmb a } _ { n } } ( { \pmb x } , { \pmb \xi } ) - \left( \delta _ { a c } \nabla _ { b } ( { \pmb x } - { \pmb \xi } ) _ { { \pmb a } _ { n } } + \delta _ { a b } \nabla _ { c } ( { \pmb x } - { \pmb \xi } ) _ { { \pmb a } _ { n } } \right)
\begin{array} { r l } & { ( M + T _ { k } ) u ^ { t + 1 } = ( M + T _ { k } ) u ^ { t } + ( b _ { k } ^ { t } - T _ { k } ^ { t } ) } \\ & { \Longleftrightarrow u ^ { t + 1 } = u ^ { t } + ( M + T _ { k } ) ^ { - 1 } ( b _ { k } ^ { t } - T _ { k } ^ { t } ) = u ^ { t } + \mathbb { M } _ { k , \kappa } ^ { - 1 } ( b _ { k } ^ { t } - T _ { k } ^ { t } ) , \quad \mathbb { M } _ { k , \kappa } ^ { - 1 } : = \kappa M + T _ { k } . } \end{array}
\nu _ { \mathrm { ~ i ~ z ~ , ~ } \mathrm { ~ D ~ } } = n _ { \mathrm { ~ e ~ } } \left\langle v _ { \mathrm { ~ e ~ } } \sigma _ { \mathrm { ~ i ~ z ~ , ~ } \mathrm { ~ D ~ } } ( v _ { \mathrm { ~ e ~ } } ) \right\rangle
{ \begin{array} { r l } { s ( x ) } & { = { \frac { a _ { 0 } } { 2 } } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \left[ A _ { n } \cos \left( n x \right) + B _ { n } \sin \left( n x \right) \right] } \\ & { = { \frac { 2 } { \pi } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { n + 1 } } { n } } \sin ( n x ) , \quad \mathrm { f o r } \quad x \notin \{ 2 \pi \mathbb { Z \ - \pi } \} . } \end{array} }
\begin{array} { c c c } { { M _ { U } = 5 . 6 8 \times 1 0 ^ { 1 5 } G e V } } & { { M _ { I } = 2 . 0 9 \times 1 0 ^ { 1 1 } G e V } } & { { \alpha _ { U } = 0 . 0 4 2 0 7 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q ^ { ( \alpha , r , \beta ) } ( t ) = } & { e ^ { - r t } Q ^ { ( \alpha , 0 ) } ( t ) + r \beta \int _ { 0 } ^ { t } d \tau e ^ { - r \tau } Q ^ { ( \alpha , r , \beta ) } ( t - \tau ) \sum _ { n \geq 0 } p _ { n } ^ { ( 0 ) } ( \tau ) \alpha ^ { n } } \\ & { + r ( 1 - \beta ) \alpha \int _ { 0 } ^ { t } d \tau e ^ { - r \tau } Q ^ { ( \alpha , r , \beta ) } ( t - \tau ) \sum _ { n \geq 0 } p _ { n } ^ { ( 0 ) } ( \tau ) \alpha ^ { n } } \\ { = } & { e ^ { - r t } Q ^ { ( 0 ) } ( t ) + r \beta \int _ { 0 } ^ { t } d \tau e ^ { - r \tau } Q ^ { ( \alpha , r , \beta ) } ( t - \tau ) G ^ { ( 0 ) } ( \tau , \alpha ) } \\ & { + r ( 1 - \beta ) \alpha \int _ { 0 } ^ { t } d \tau e ^ { - r \tau } Q ^ { ( \alpha , r , \beta ) } ( t - \tau ) G ^ { ( 0 ) } ( \tau , \alpha ) , } \end{array}
\operatorname* { m i n } \bigg \{ F _ { q _ { \overline { { x } } } } ( X ) , Q _ { 1 } ( q _ { \overline { { x } } } , \xi ) F _ { q _ { \overline { { x } } } } ( X ) , Q _ { 2 } ( q _ { \overline { { x } } } , \xi ) F _ { q _ { \overline { { x } } } } ( X ) \bigg \} = F _ { q _ { \overline { { x } } } } ( X ) \leq | | f | | _ { L ^ { \infty } ( B _ { 1 } ) } ,
Z _ { D ^ { \prime } } ( s ) - Z _ { D } ( s ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } [ E _ { n } ^ { - s } - E _ { n } ^ { - s } ] = - s \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( { \frac { \delta E _ { n } } { E _ { n } } } ) E _ { n } ^ { - s }
L _ { 3 } ( u ) \equiv \frac { d } { d u } \left( u \frac { d } { d u } \right) - \left( u \frac { d } { d u } + \frac { 5 } { 6 } \right) \, \left( u \frac { d } { d u } + \frac { 1 } { 6 } \right) = u \, \left( 1 - u \right) \frac { d ^ { 2 } } { d u ^ { 2 } } + \left( 1 - 2 \, u \right) \, \frac { d } { d u } - \frac { 5 } { 3 6 }
\begin{array} { r l r } & { } & { U _ { 1 } \; = \; \left( u _ { 3 } - u _ { 2 } \right) \left( u _ { 4 } - u _ { 1 } \right) \; = \; 1 6 \sqrt { x } , } \\ & { } & { U _ { 2 } \; = \; \left( u _ { 2 } - u _ { 1 } \right) \left( u _ { 4 } - u _ { 3 } \right) \; = \; \left( 1 - \sqrt { x } \right) ^ { 3 } \left( 3 + \sqrt { x } \right) , } \\ & { } & { U _ { 3 } \; = \; \left( u _ { 3 } - u _ { 1 } \right) \left( u _ { 4 } - u _ { 2 } \right) \; = \; \left( 1 + \sqrt { x } \right) ^ { 3 } \left( 3 - \sqrt { x } \right) . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { U _ { \omega } | x \rangle | y \rangle = | x \rangle | \neg y \rangle } & { { \mathrm { f o r ~ } } x = \omega { \mathrm { , ~ t h a t ~ i s , ~ } } f ( x ) = 1 , } \\ { U _ { \omega } | x \rangle | y \rangle = | x \rangle | y \rangle } & { { \mathrm { f o r ~ } } x \neq \omega { \mathrm { , ~ t h a t ~ i s , ~ } } f ( x ) = 0 , } \end{array} \right.
\eta _ { 0 , \varepsilon } ^ { X } ( n , s , d \tau ) = \pi _ { n } ^ { X } \binom { n } { s } ( 1 - \varepsilon ) ^ { s } \varepsilon ^ { n - s } \left( \nu ^ { \otimes ( n - s ) } \otimes \delta _ { 0 } ^ { \otimes \left( n _ { \operatorname* { m a x } } - n + s ) \right) } \right) ( d \tau ) .
\begin{array} { r l } { 0 } & { { } = { \frac { \partial } { \partial p } } \left( { \binom { 8 0 } { 4 9 } } p ^ { 4 9 } ( 1 - p ) ^ { 3 1 } \right) , } \\ { 0 } & { { } = 4 9 p ^ { 4 8 } ( 1 - p ) ^ { 3 1 } - 3 1 p ^ { 4 9 } ( 1 - p ) ^ { 3 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ddot { \rho } } & { { } = 2 G M \sin ( \gamma / 2 ) / a ^ { 2 } + A _ { 0 0 } + A _ { 0 2 } \cos \left( 2 \pi f _ { 0 2 } t + \varphi _ { 0 2 } \right) } \end{array}
S _ { k _ { 1 } , \ldots , k _ { m } } ( N ) = \sum _ { n _ { 1 } = 1 } ^ { N } \frac { \left[ \mathrm { s i g n } ( k _ { 1 } ) \right] ^ { n _ { 1 } } } { n _ { 1 } ^ { | k _ { 1 } | } } \sum _ { n _ { 2 } = 1 } ^ { n _ { 1 } } \frac { \left[ \mathrm { s i g n } ( k _ { 2 } ) \right] ^ { n _ { 2 } } } { n _ { 2 } ^ { | k _ { 2 } | } } \ldots \sum _ { n _ { m } = 1 } ^ { n _ { m - 1 } } \frac { \left[ \mathrm { s i g n } ( k _ { m } ) \right] ^ { n _ { m } } } { n _ { m } ^ { | k _ { m } | } } ~ .
G \left[ S _ { \textbf { k } ^ { \prime } } ^ { ( 1 ) } ( \textbf { k } _ { l } , t _ { r } , s ) , \Delta x \right] = ( k _ { w } \sqrt { \pi } ) ^ { 3 } e ^ { - \left[ \frac { S _ { \textbf { k } ^ { \prime } } ^ { ( 1 ) } ( \textbf { k } _ { l } , t _ { r } , s ) } { \Delta x } \right] ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } & { \widehat { D } _ { \mathrm { C S } } ( p ( \mathbf { y } | \mathbf { x } ) ; q ( \mathbf { y } | \mathbf { x } ) ) \approx \log \left( \sum _ { j = 1 } ^ { M } \left( \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { M } K _ { j i } ^ { p } L _ { j i } ^ { p } } { ( \sum _ { i = 1 } ^ { M } K _ { j i } ^ { p } ) ^ { 2 } } \right) \right) + \log \left( \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left( \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N } K _ { j i } ^ { q } L _ { j i } ^ { q } } { ( \sum _ { i = 1 } ^ { N } K _ { j i } ^ { q } ) ^ { 2 } } \right) \right) } \\ & { - \log \left( \sum _ { j = 1 } ^ { M } \left( \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N } K _ { j i } ^ { p q } L _ { j i } ^ { p q } } { ( \sum _ { i = 1 } ^ { M } K _ { j i } ^ { p } ) ( \sum _ { i = 1 } ^ { N } K _ { j i } ^ { p q } ) } \right) \right) - \log \left( \sum _ { j = 1 } ^ { N } \left( \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { M } K _ { j i } ^ { q p } L _ { j i } ^ { q p } } { ( \sum _ { i = 1 } ^ { M } K _ { j i } ^ { q p } ) ( \sum _ { i = 1 } ^ { N } K _ { j i } ^ { q } ) } \right) \right) } \end{array}
M = \left( \begin{array} { l l l l l } { i \Delta _ { 1 } - \gamma _ { 1 } / 2 } & { } & { - i g _ { l } } & { } & { - i g _ { a } e ^ { - i \theta } } \\ { - i g _ { l } } & { } & { i \delta - \kappa / 2 } & { } & { - i g _ { r } } \\ { - i g _ { a } e ^ { i \theta } } & { } & { - i g _ { r } } & { } & { i \Delta _ { 2 } - \gamma _ { 2 } / 2 } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l r } { T _ { 1 } } & { { } = } & { \frac { \tau _ { 0 } } { 2 } \sum _ { j \in \mathcal { N } ( k ) } \tilde { b } _ { j k } ^ { 2 } \, , } \\ { T _ { 2 } } & { { } = } & { - \tau _ { 0 } \sum _ { \alpha , \beta } \sum _ { i , j , l \in \mathcal { N } ( k ) } \tilde { b } _ { i k } \tilde { b } _ { j k } \tilde { b } _ { l k } \frac { u _ { \alpha , i } u _ { \beta , j } u _ { \alpha , l } u _ { \beta , l } } { \lambda _ { \alpha } + \lambda _ { \beta } } \, . } \end{array}
\left( { \frac { \cal Z } { | Z | } } \right) _ { e l } = \left( \begin{array} { l l } { { i \sigma _ { 2 } \; \mathrm { I } } } & { { \mathrm { I } } } \\ { { - \mathrm { I } } } & { { i \sigma _ { 2 } \; \mathrm { I } } } \end{array} \right) \ ,
\begin{array} { r l r } & { } & { | p ! a _ { p } ( \delta ) + \cdots + ( N - 1 ) ( N - 2 ) \cdots ( N - p ) a _ { N - 1 } ( \delta ) x _ { 0 } ^ { N - 1 - p } | } \\ & { \leq } & { M \sin \delta [ p ! + \cdots + ( N - 1 ) ( N - 2 ) \cdots ( N - p ) x _ { 0 } ^ { N - 1 - p } ] } \\ & { \leq } & { c \frac { 1 } { 4 } b \tan ( \theta _ { 0 } ) \sin \delta \leq c | a _ { 2 } ( \delta ) | . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \frac { d } { d x } } } & { = \cos \varphi { \frac { \partial } { \partial r } } - { \frac { 1 } { r } } \sin \varphi { \frac { \partial } { \partial \varphi } } } \\ { { \frac { d } { d y } } } & { = \sin \varphi { \frac { \partial } { \partial r } } + { \frac { 1 } { r } } \cos \varphi { \frac { \partial } { \partial \varphi } } . } \end{array} }
\sigma _ { u } ^ { 2 } = \frac { \hbar } { 2 \omega _ { k } } \coth \frac 1 2 \beta \omega _ { k } \, , \qquad \sigma _ { v } ^ { 2 } = \frac { \hbar \omega _ { k } } { 2 } \coth \frac 1 2 \beta \omega _ { k } \, ,
\begin{array} { r } { | \partial _ { v } ^ { m _ { 1 } } \partial _ { v ^ { \prime } } ^ { m - m _ { 1 } } B _ { 1 } ( v , k ) | + | \partial _ { v } ^ { m _ { 1 } } \partial _ { v ^ { \prime } } ^ { m - m _ { 1 } } B _ { 2 } ( v , k ) | \leq C ( k ) \Gamma _ { s } ( m ) ( M ) ^ { m } . } \end{array}
G ( x , x ^ { \prime } ) \approx \frac { 1 } { 2 i } \sqrt { \frac { A ( x ^ { \prime } ) } { A ( x ) } \frac { 1 } { { k ( x ) k ( x ^ { \prime } ) } } } \exp [ - i \! \! \! \! \! \! \! \! \int _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } ( x , x ^ { \prime } ) } ^ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } ( x , x ^ { \prime } ) } \! \! \! \! \! \! \! \! k ( \hat { x } ) \, d \hat { x } ] \; ,
\Psi _ { d } \mathrm { = } \Psi \mathrm { ( B = 1 / 3 , ~ I = 1 / 2 , ~ I } _ { z } \mathrm { = - 1 / 2 , ~ S = C = b = 0 , ~ Q = - 1 / 3 , m = 3 1 3 ) , }
{ \cal A } _ { L S } ( t ) \; \equiv \; \frac { { \cal R } _ { + } ^ { K _ { S } \pi ^ { 0 } } ( t ) - { \cal R } _ { + } ^ { K _ { L } \pi ^ { 0 } } ( t ) } { { \cal R } _ { + } ^ { K _ { S } \pi ^ { 0 } } ( t ) + { \cal R } _ { + } ^ { K _ { L } \pi ^ { 0 } } ( t ) } \; \approx \; - 2 \lambda ^ { 2 } \frac { \cos \delta } { h } \left( 1 + X \Gamma ^ { 2 } t ^ { 2 } \right) ~ - ~ Y \Gamma t \; .
\lambda _ { b } ( t _ { N } ) = \rho \xi _ { t } \frac { \gamma _ { D } } { \gamma _ { E } } \lambda _ { \tau } ( t _ { N } ) , ~ ~ ~ \rho = \frac { \lambda _ { b _ { 0 } } } { \lambda _ { \tau _ { 0 } } \xi _ { N } }
\begin{array} { r l } & { X _ { 1 1 } = \cos | \kappa _ { \mathrm { D C } } | L _ { \mathrm { D C } } ) , } \\ & { X _ { 1 2 } = - i \sin ( | \kappa _ { \mathrm { D C } } | L _ { \mathrm { D C } } ) , } \\ & { X _ { 2 1 } = - i \sin ( | \kappa _ { \mathrm { D C } } | L _ { \mathrm { D C } } ) , } \\ & { X _ { 2 2 } = \cos ( | \kappa _ { \mathrm { D C } } | L _ { \mathrm { D C } } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \delta \varepsilon _ { n } ^ { ( r ) } } & { { } \approx } & { \frac { 1 } { 2 } \bigg | \varepsilon _ { n } \Big ( c _ { F } ( r _ { N } + \delta r _ { N } , a _ { F } ) , a _ { F } \Big ) } \\ { \delta \varepsilon _ { n } ^ { ( a ) } } & { { } \approx } & { \frac { 1 } { 2 } \bigg | \varepsilon _ { n } \Big ( c _ { F } ( r _ { N } , a _ { F } + \delta a _ { F } ) , a _ { F } + \delta a _ { F } \Big ) } \end{array}
{ \mathcal G } _ { { \mathcal R } _ { \mathrm { i n } } } \cup { \mathcal G } _ { { \mathcal R } _ { \mathrm { o u t } } } = ( \Xi _ { { \mathcal R } _ { \mathrm { i n } } } , { \mathcal E } ( { \mathcal G } _ { { \mathcal R } _ { \mathrm { i n } } } ) ) \cup ( \Xi _ { { \mathcal R } _ { \mathrm { o u t } } } , { \mathcal E } ( { \mathcal G } _ { { \mathcal R } _ { \mathrm { o u t } } } ) )