harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \beta _ { 0 } } & { { } = \frac { x _ { 4 } } { x _ { 4 } - x _ { 1 } } \cdot \frac { x _ { 3 } } { x _ { 3 } - x _ { 1 } } \cdot \frac { x _ { 2 } } { x _ { 2 } - x _ { 1 } } } \\ { \beta _ { 1 } } & { { } = \frac { x _ { 4 } } { x _ { 4 } - x _ { 2 } } \cdot \frac { x _ { 3 } } { x _ { 3 } - x _ { 2 } } \cdot \frac { x _ { 1 } } { x _ { 1 } - x _ { 2 } } } \\ { \beta _ { 2 } } & { { } = \frac { x _ { 4 } } { x _ { 4 } - x _ { 3 } } \cdot \frac { x _ { 2 } } { x _ { 2 } - x _ { 3 } } \cdot \frac { x _ { 1 } } { x _ { 1 } - x _ { 3 } } } \\ { \beta _ { 3 } } & { { } = \frac { x _ { 3 } } { x _ { 3 } - x _ { 4 } } \cdot \frac { x _ { 2 } } { x _ { 2 } - x _ { 4 } } \cdot \frac { x _ { 1 } } { x _ { 1 } - x _ { 4 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } ( ( U _ { h } , Z _ { h } ) , ( X _ { h } , Y _ { h } ) ) = A _ { h } ( U _ { h } , Y _ { h } ) } & { - S _ { h } ^ { \ast } ( Z _ { h } , Y _ { h } ) + A _ { h } ( X _ { h } , Z _ { h } ) + S _ { h } ( U _ { h } , X _ { h } ) + \gamma _ { M } ( { u } _ { h } , { v } _ { h } ) _ { \omega _ { M } } . } \end{array}
{ \cal L } = - { \frac { 1 } { 2 } } ( \partial \phi ) ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 } } m ^ { 2 } \phi ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 4 ! } } \lambda \phi ^ { 4 } + \rho \phi \, .
{ \sqrt { S } } \approx ( 0 . 5 + 0 . 5 \cdot a ) \cdot 2 ^ { 8 } = 1 . 0 1 1 1 \; 0 1 0 0 \; 1 1 0 1 \; 0 0 1 0 _ { 2 } \cdot 1 \; 0 0 0 0 \; 0 0 0 0 _ { 2 } = 1 . 4 5 6 \cdot 2 5 6 = 3 7 2 . 8
\Gamma ( \Delta E ) = \frac { T ^ { 3 } } { 4 m ^ { 2 } ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \int _ { u } ^ { \infty } d x \, x ^ { 2 } f ( x ) \int _ { 2 u / x } ^ { 2 } d z \int _ { 2 u / x z } ^ { 1 } d \nu \, \frac { \nu } { ( 1 + s \nu x z ) ^ { 2 } } \, | T | ^ { 2 } \, .
\begin{array} { r l } { | \psi ( t ) \rangle = } & { { } ~ \mathrm { e x p } ( - i H _ { \mathrm { e f f , m i s } } t ) | e e 1 \rangle } \\ { = } & { { } a e ^ { - i ( \omega _ { A } + \omega _ { B } + \Omega ) t } | E _ { 1 } \rangle + e ^ { - i ( \omega _ { A } + \omega _ { B } ) t } ( b | E _ { 2 } \rangle + c | E _ { 3 } \rangle ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { h } { u } } & { { } = \frac { 5 \mathcal { F } _ { 5 / 2 } ( x _ { \mathrm { i d } } ) + 4 n ^ { \frac { 1 } { 3 } } a \left( \mathcal { F } _ { 3 / 2 } ( x _ { \mathrm { i d } } ) \right) ^ { \frac { 5 } { 3 } } } { 3 \mathcal { F } _ { 5 / 2 } ( x _ { \mathrm { i d } } ) + 2 n ^ { \frac { 1 } { 3 } } a \left( \mathcal { F } _ { 3 / 2 } ( x _ { \mathrm { i d } } ) \right) ^ { \frac { 5 } { 3 } } } , } \end{array}
a \frac { d } { d a } \lambda _ { 4 } ^ { ( 0 ) } = ( 4 - 2 \lambda _ { 2 } ^ { * ( 0 ) } ) \lambda _ { 4 } ^ { ( 0 ) } - \frac { 9 } { 4 } ( \lambda _ { 3 } ^ { ( 0 ) } ) ^ { 2 }
{ } \frac { 1 } { ( \Delta t ) ^ { 4 } } \left( \frac { \partial } { \partial \tilde { \theta } _ { i } ( \tau _ { + } ) } + 1 \right) \frac { \partial } { \partial \theta _ { i } ( \tau ) } \left( \frac { \partial } { \partial \tilde { \theta _ { i } } ( \tau _ { + } ) } + 1 \right) \frac { \partial } { \partial \theta _ { i } ( \tau ) } \mathcal { Z } \Bigg | _ { \theta , \tilde { \theta } = 0 } = \langle n _ { i } ^ { 2 } ( \tau ) \rangle - \langle n _ { i } ( \tau ) \rangle = \langle [ \tilde { \phi } _ { i } ( \tau _ { + } ) + 1 ] ^ { 2 } \phi _ { i } ^ { 2 } ( \tau ) \rangle
X = \frac { 4 E _ { e } E _ { \mathrm { p h } } } { ( m _ { 0 } c ^ { 2 } ) ^ { 2 } } = \frac { 4 \gamma E _ { \mathrm { p h } } } { m _ { 0 } c ^ { 2 } } = 4 \gamma ^ { 2 } \frac { E _ { \mathrm { p h } } } { E _ { e } } ,
\begin{array} { r l } { [ \widetilde { X } , s ^ { - 1 } ( \mathfrak { F } ) ] } & { = [ \widetilde { X } , \Gamma ( \ker \mathrm { d } s ) + \Gamma ( \ker \mathrm { d } t ) ] } \\ & { = [ \widetilde { X } , \Gamma ( \ker ( \mathrm { d } s ) ] + [ \widetilde { X } , \Gamma ( \ker \mathrm { d } t ) ] } \\ & { \subset \Gamma ( \ker \mathrm { d } s ) + \Gamma ( \ker \mathrm { d } t ) = s ^ { - 1 } ( \mathfrak { F } ) . } \end{array}
T _ { \sigma } ^ { E _ { c } + \epsilon } \; = \; \pm \left[ \mathbf { 1 } \, + \, a _ { \sigma } \epsilon \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { - 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \, + \, b _ { \sigma } \epsilon \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \, + \, c _ { \sigma } \epsilon \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) \, + \, \mathcal { O } ( \epsilon ^ { 2 } ) \right] D _ { \kappa _ { \sigma } } \, .
\begin{array} { r l } { { \dot { q } } _ { i } } & { { } = { \frac { \partial { \mathcal { H } } } { \partial p _ { i } } } } \\ { - { \dot { p } } _ { i } } & { { } = { \frac { \partial { \mathcal { H } } } { \partial q _ { i } } } } \\ { - { \frac { \partial { \mathcal { L } } } { \partial t } } } & { { } = { \frac { d { \mathcal { H } } } { d t } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { - 1 } ^ { t } f ( x ) d x } & { \approx \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } \widehat { f } _ { k } \int _ { - 1 } ^ { t } T _ { k } ( x ) \, d x } \\ & { = \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } \widehat { f } _ { k } \frac { 1 } { 2 } \Bigl ( \frac { T _ { k + 1 } ( t ) } { k + 1 } - \frac { T _ { k - 1 } ( t ) } { k - 1 } - \frac { ( - 1 ) ^ { k + 1 } } { k + 1 } + \frac { ( - 1 ) ^ { k - 1 } } { k - 1 } \Bigr ) } \\ & { \ \ \ + \widehat { f } _ { 0 } ( t + 1 ) , } \end{array}
I _ { \Gamma } ( n , m ) = \left\{ \begin{array} { l l } { - \frac { \pi ( \kappa + 1 ) } { \mu } { ( - 1 ) } ^ { n + 1 } n ( A _ { n } { \hat { A } } _ { m } + B _ { n } { \hat { B } } _ { m } ) , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } m + n = 0 , } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ e ~ l ~ s ~ e ~ . ~ } } \end{array} \right.
{ \begin{array} { r l } { T d _ { 0 } } & { = 1 } \\ { T d _ { 1 } } & { = { \frac { 1 } { 2 } } c _ { 1 } } \\ { T d _ { 2 } } & { = { \frac { 1 } { 1 2 } } \left( c _ { 2 } + c _ { 1 } ^ { 2 } \right) } \\ { T d _ { 3 } } & { = { \frac { 1 } { 2 4 } } c _ { 1 } c _ { 2 } } \\ { T d _ { 4 } } & { = { \frac { 1 } { 7 2 0 } } \left( - c _ { 1 } ^ { 4 } + 4 c _ { 2 } c _ { 1 } ^ { 2 } + 3 c _ { 2 } ^ { 2 } + c _ { 3 } c _ { 1 } - c _ { 4 } \right) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { f _ { 1 } ^ { \mathrm { t h . } } ( \mu , \sigma _ { 1 } ; x ) } & { = \sigma _ { 1 } ^ { - 1 } \varphi \left( \frac x { \sigma _ { 1 } } \right) + \mu ^ { - 1 } e ^ { - \frac x \mu - \frac { \sigma _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 \mu } } \cdot \Phi \left( \frac x { \sigma _ { 1 } } - \frac { \sigma _ { 1 } ^ { 2 } } { \mu } \right) } \\ & { - \sigma _ { 1 } ^ { - 1 } e ^ { - \frac x \mu - \frac { \sigma _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 \mu } } \cdot \varphi \left( \frac x { \sigma _ { 1 } } - \frac { \sigma _ { 1 } ^ { 2 } } { \mu } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| } & { \Phi _ { t } ( y ) ( \tau ) - ( \omega I - A ) ^ { \alpha } w \| _ { X } } \\ & { \leq \Big \| ( \omega I - A ) ^ { \alpha } T ( \tau ) x _ { 0 } - ( \omega I - A ) ^ { \alpha } w \Big \| _ { X } + \Big \| \int _ { 0 } ^ { \tau } ( \omega I - A ) ^ { \alpha } T _ { - 1 } ( \tau - s ) B u ( s ) d s \Big \| _ { X } } \\ & { \qquad \qquad \qquad + \int _ { 0 } ^ { \tau } \big \| ( \omega I - A ) ^ { \alpha } T ( \tau - s ) \big \| \big \| f ( ( \omega I - A ) ^ { - \alpha } y ( s ) , u ( s ) ) \big \| _ { X } d s . } \end{array}
z _ { 2 } ~ = ~ \frac { 3 \mu ^ { 2 } ( \mu - 1 ) \Gamma ( \mu ) ( \eta _ { 1 } ^ { \mathrm { o } } ) ^ { 2 } } { 2 ( \mu - 2 ) ^ { 2 } ( 2 \mu - 1 ) ^ { 2 } } \left[ \hat { \Theta } - \frac { 1 } { ( \mu - 1 ) ^ { 2 } } \right]
\begin{array} { r l } { d _ { \psi _ { 2 } } } & { { } = \sigma _ { + } \left[ \Gamma _ { 0 } - \Gamma _ { z } - \left( \frac { \omega _ { * i } } { \omega } \right) _ { z } \left( F _ { 1 } - \Gamma _ { z } \right) - \frac { \left( 1 - \Gamma _ { 0 } \right) \left( b _ { z } - b _ { 0 } \right) } { b _ { 0 } } \right] } \end{array}
{ \bf E } _ { \omega } ( { \mathrm { \boldmath ~ \ v a r r h o ~ } } ) = - { \frac { 4 \pi i e } { v } } \ \int { \frac { { \bf q } _ { \bot } } { { \bf q } _ { \bot } ^ { 2 } } } \; F _ { p } ( { \bf q } ) \ \mathrm { e } ^ { i { \bf q } _ { \bot } { \mathrm { \scriptsize \boldmath ~ \ v a r r h o ~ } } } \; { \frac { d ^ { 2 } q _ { \bot } } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } } \ .
\begin{array} { r l } { \frac { A ( \alpha , c _ { n } ) } { c ^ { 2 } } \| T _ { c _ { n } } ( \gamma _ { t } ^ { c _ { n } } ) - \gamma _ { t } ^ { c _ { n } } \| _ { X _ { c _ { n } } } } & { \leq C A ( \alpha , c _ { n } ) R \frac { \alpha _ { c _ { n } } } { c _ { n } ^ { 2 } } t \| h ^ { c _ { n } } \| _ { X } } \\ & { \leq C q K ^ { 2 } A ( \alpha , c _ { n } ) R \frac { \alpha _ { c _ { n } } } { c _ { n } ^ { 2 } } . } \end{array}
T = i \tau _ { i n t } \cdot \tau _ { x } K , \quad \tau _ { i n t } = \tilde { \gamma } ^ { 1 } \tilde { \gamma ^ { 3 } } , \quad \tau _ { x } = d i a g ( - 1 , 1 , 1 , 1 ) , \quad \mathrm { a n d } \quad K i K ^ { - 1 } = - i
\frac { L } { L _ { 0 } } - 1 \, \sim \, \frac { \mu _ { \mathrm { e x t } } \dot { \gamma } _ { \mathrm { w } } } { G _ { \mathrm { s } } } \frac { d _ { \mathrm { e f f } } } { 2 } \, \sim \, k \frac { d _ { \mathrm { e f f } } } { D } \frac { \mu _ { \mathrm { e x t } } \bar { u } } { G _ { \mathrm { s } } } \, = \, k \, \beta \, C a \, ,
\begin{array} { r } { U = \frac { 1 } { 2 } \int _ { a } ^ { L } E _ { \mathrm { i } } \epsilon _ { z z } ^ { 2 } d V = \frac { 1 } { 2 } \int _ { a } ^ { L } E _ { \mathrm { i } } w ( x ) \frac { 2 } { h _ { \mathrm { i } } } b d x } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l r } { \mathcal { L } _ { \mathrm { Q E D } } } & { { } = } & { i \hbar c \bar { \psi } ( x ) \gamma ^ { \mu } \partial _ { \mu } \psi ( x ) - m _ { e } c ^ { 2 } \bar { \psi } ( x ) \psi ( x ) } \end{array} } \end{array}
D _ { 0 } = - i \int { \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } { \frac { 1 } { ( p + q / 2 ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } } } \, \times \, { \frac { 1 } { ( p - q / 2 ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } } } ,
\begin{array} { r } { \dot { p } _ { i } = R _ { i j } p _ { j } - S _ { i j } p _ { j } + p _ { i } p _ { k } S _ { k l } p _ { l } + \frac { 3 c W _ { 3 } ^ { 2 } } { 2 \nu } ( \delta _ { i j } - p _ { i } p _ { j } ) \left( \delta _ { j 3 } - \frac { 1 } { 3 } p _ { j } p _ { 3 } \right) p _ { 3 } } \end{array}
\nu _ { n } ^ { h } : = i n \nu _ { 2 } ^ { n } = \frac { 1 } { 2 } \left( - \mu _ { 0 } n ^ { 2 } + n \sqrt { \mu _ { 0 } ^ { 2 } n ^ { 2 } - 4 b \bar { \rho } } + 2 \bar { u } i n \right) , \ \ \nu _ { n } ^ { p } : = i n \nu _ { 1 } ^ { n } = \frac { 1 } { 2 } \left( - \mu _ { 0 } n ^ { 2 } - n \sqrt { \mu _ { 0 } ^ { 2 } n ^ { 2 } - 4 b \bar { \rho } } + 2 \bar { u } i n \right)
f _ { m n p } = \frac { c } { 2 \sqrt { \mu _ { r } \varepsilon _ { r } } } \sqrt { \left( \frac { m } { a } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { n } { b } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { p } { d } \right) ^ { 2 } }
\begin{array} { r l r } { A _ { \varepsilon } ^ { + } } & { : = } & { \{ \boldsymbol z \in \mathbb { R } _ { + } ^ { d } : z _ { j } > x _ { j } - \varepsilon \; \forall \; j \in S \} , } \\ { A _ { \varepsilon } ^ { - } } & { : = } & { \{ \boldsymbol z \in \mathbb { R } _ { + } ^ { d } : z _ { j } > x _ { j } + \varepsilon \; \forall \; j \in S \} , } \\ { N _ { \varepsilon } } & { : = } & { \{ \boldsymbol z \in \mathbb { R } _ { + } ^ { d } : | z _ { j } | \leq \varepsilon \; \forall \; j \in S \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { _ { 2 } F _ { 1 } \left( - 2 \varepsilon , - \varepsilon ; 1 - \varepsilon ; x \right) } & { = 1 + 2 \varepsilon ^ { 2 } \mathrm { L i } _ { 2 } \left( x \right) + \varepsilon ^ { 3 } \left[ 2 \mathrm { L i } _ { 3 } \left( x \right) - 4 \mathrm { L i } _ { 2 1 } \left( x , 1 \right) \right] } \\ & { + \varepsilon ^ { 4 } \left[ 2 \mathrm { L i } _ { 4 } \left( x \right) - 4 \mathrm { L i } _ { 3 1 } \left( x , 1 \right) + 8 \mathrm { L i } _ { 2 1 1 } \left( x , 1 , 1 \right) \right] + { \mathcal O } \left( \varepsilon ^ { 5 } \right) . } \end{array}
\sigma _ { s } ^ { 2 } \sigma _ { s } ^ { * 2 } { } \, ^ { 3 } ( \overline { { \sigma _ { p } } } \overline { { \sigma _ { p } ^ { * } } } ) \left( ^ 3 ( \pi _ { x } \pi _ { x } ^ { * } ) + { } ^ { 3 } ( \pi _ { y } \pi _ { y } ^ { * } ) \right)
\mathrm { ~ E ~ r ~ r ~ o ~ r ~ p ~ e ~ r ~ c ~ e ~ n ~ t ~ a ~ g ~ e ~ } = \frac { \mathrm { ~ E ~ x ~ p ~ e ~ r ~ i ~ m ~ e ~ n ~ t ~ a ~ l ~ V ~ a ~ l ~ u ~ e ~ } - \mathrm { ~ A ~ c ~ t ~ u ~ a ~ l ~ V ~ a ~ l ~ u ~ e ~ } } { \mathrm { ~ A ~ c ~ t ~ u ~ a ~ l ~ V ~ a ~ l ~ u ~ e ~ } } \times 1 0 0
\begin{array} { r l } { S _ { 1 } ( j , k ) = } & { \displaystyle \sum _ { l = 0 } ^ { j - 2 k } \exp [ \hat { \nu } ( l - j ) \Delta t ] \hat { A _ { 1 } } ( k + l ) \hat { A _ { 1 } ^ { * } } ( l ) } \\ { S _ { 2 } ( j , k ) = } & { \displaystyle \sum _ { l = 0 } ^ { j - 2 k } \exp [ \hat { \nu } ( l - j ) \Delta t ] \hat { A _ { 2 } } ( k + l ) \hat { A _ { 2 } ^ { * } } ( l ) } \\ { S _ { 3 } ( j , k ) = } & { \displaystyle \sum _ { l = 0 } ^ { j - 2 k } \exp [ ( \hat { \nu } + i p _ { 1 } ) ( l - j ) \Delta t ] \hat { A _ { 1 } } ( k + l ) \hat { A _ { 2 } ^ { * } } ( l ) } \\ { S _ { 4 } ( j , k ) = } & { \displaystyle \sum _ { l = 0 } ^ { j - 2 k } ( j - 2 k - l ) \exp [ ( \hat { \nu } + i p _ { 1 } ) ( l - j ) \Delta t ] \hat { A _ { 1 } } ( k + l ) \hat { A _ { 2 } ^ { * } } ( l ) } \end{array}
A _ { \nu } ( q ) = \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { c c c } { { 0 } } & { { \overline { { \psi } } ( q ) \gamma _ { \mu } \gamma _ { \nu } } } & { { - ( \gamma _ { \nu } \gamma _ { \mu } \psi ( q ) ) ^ { T } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) _ { ( \mu , \lambda ) } \, ,
\begin{array} { r l r } { R \sin \beta _ { 2 } } & { { } = } & { \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \phi _ { 1 } } \frac { \cos \phi d \phi } { \sqrt { \frac { 2 P _ { 0 } } { B } [ \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } ] } } + \int _ { \phi _ { 1 } } ^ { \beta _ { 2 } } \frac { \cos \phi d \phi } { \sqrt { \frac { 2 } { B } [ P _ { 0 } ( \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } ) - P _ { 1 } \sin ( \phi - \phi _ { 1 } ) ] } } , } \\ { R - R \cos \beta _ { 2 } } & { { } = } & { \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \phi _ { 1 } } \frac { \sin \phi d \phi } { \sqrt { \frac { 2 P _ { 0 } } { B } [ \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } ] } } + \int _ { \phi _ { 1 } } ^ { \beta _ { 2 } } \frac { \sin \phi d \phi } { \sqrt { \frac { 2 } { B } [ P _ { 0 } ( \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } ) - P _ { 1 } \sin ( \phi - \phi _ { 1 } ) ] } } , } \\ { L } & { { } = } & { \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \phi _ { 1 } } \frac { d \phi } { \sqrt { \frac { 2 P _ { 0 } } { B } [ \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } ] } } + \int _ { \phi _ { 1 } } ^ { \beta _ { 2 } } \frac { d \phi } { \sqrt { \frac { 2 } { B } [ P _ { 0 } ( \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } ) - P _ { 1 } \sin ( \phi - \phi _ { 1 } ) ] } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m i n f } _ { n \to \infty } a _ { n } } & { = \operatorname* { s u p } _ { n = 1 , 2 , 3 , \ldots } \operatorname* { i n f } _ { m = n , n + 1 , n + 2 , \ldots } a _ { m } } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { n = 1 , 2 , 3 , \ldots } \operatorname* { i n f } \left\{ a _ { n } , a _ { n + 1 } , a _ { n + 2 } , a _ { n + 3 } , \ldots \right\} } \\ & { = \operatorname* { s u p } \left\{ \operatorname* { i n f } \left\{ a _ { n } , a _ { n + 1 } , a _ { n + 2 } , a _ { n + 3 } , \ldots \right\} : n = 1 , 2 , 3 , \ldots \right\} } \\ & { = \operatorname* { s u p } \left\{ \operatorname* { i n f } \{ a _ { m } : m \ge n \} : n = 1 , 2 , 3 , \ldots \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { j } \frac { \partial \Pi ^ { i j } } { \partial x ^ { j } } } & { = \sum _ { j } \frac { \partial p } { \partial x ^ { j } } \delta ^ { i j } + \sum _ { j } \frac { \partial } { \partial x ^ { j } } ( \rho v ^ { i } v ^ { j } ) } \\ & { = \frac { \partial p } { \partial x ^ { i } } + \sum _ { j } \left[ \rho v ^ { j } \frac { \partial v ^ { i } } { \partial x ^ { j } } + v ^ { i } \frac { \partial ( \rho v ^ { j } ) } { \partial x ^ { j } } \right] . } \end{array}
b ( p _ { r } ) = 4 \left. \frac { [ ( \tilde { k } _ { r } + \tilde { h } ) r - ( k _ { r } + h ) \tilde { r } ] \sinh \frac { \beta | p ^ { 0 } | } { 2 } } { ( k _ { r } + h ) ^ { 2 } + r ^ { 2 } \sinh ^ { 2 } \frac { \beta | p ^ { 0 } | } { 2 } } \right| _ { p ^ { 2 } = p _ { r } ^ { 2 } = m _ { \phi _ { S } ^ { 0 } } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \hat { H } } & { { } = \sum _ { \sigma = \{ \uparrow , \downarrow \} } \int d x \; \hat { \psi } _ { \sigma } ^ { \dag } ( x ) \bigg [ \frac { \hat { p } ^ { 2 } } { 2 M } + V _ { 0 } \sin ^ { 2 } ( k _ { L } x ) \bigg ] \hat { \psi } _ { \sigma } ( x ) + \int d x \; \hat { \psi } _ { \uparrow } ^ { \dag } ( x ) \bigg [ \hbar \omega _ { 0 } + U _ { a c } ( x ) \bigg ] \hat { \psi } _ { \uparrow } ( x ) } \end{array}
{ \displaystyle { \cal K } \left( \varrho _ { \mathrm { 0 } } [ \nu ] - \nu \right) = \left( \varrho _ { \mathrm { 0 } } - \nu \right) + { \cal O } \left( \| \varrho _ { \mathrm { 0 } } [ \nu ] - \nu \| ^ { 2 } \right) . }
\psi _ { \mathrm { a a } } = \xi ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) + \psi _ { \mathrm { a b } } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) + \psi _ { \mathrm { b a } } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } ) - \psi _ { \mathrm { b b } } ( \tau _ { 1 } , \tau _ { 2 } )
\begin{array} { r l } { V a r \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { n + m } C _ { i } \right] } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n + m } V a r [ C _ { i } ] + 2 \sum _ { i = 1 } ^ { n + m } \sum _ { j = i + 1 } ^ { n + m } C o v ( C _ { i } , C _ { j } ) } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } V a r [ X _ { i } ] + 2 \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = i + 1 } ^ { n + m } C o v ( X _ { i } , C _ { j } ) + \sum _ { j = 1 } ^ { m } V a r [ Y _ { j } ] + 2 \sum _ { i = m } ^ { n + m } \sum _ { j = i + 1 } ^ { n + m } C o v ( Y _ { i } , C _ { j } ) } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } V a r [ X _ { i } ] + \sum _ { j = 1 } ^ { m } V a r [ Y _ { j } ] + 2 \sum _ { i = 1 } ^ { m } \sum _ { j = i + 1 } ^ { m } C o v ( Y _ { i } , Y _ { j } ) } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } V a r [ X _ { i } ] + V a r \left[ \sum _ { j = 1 } ^ { m } Y _ { j } \right] } \end{array}
M _ { N S M } ^ { 2 } = g ^ { 2 } v ^ { 2 } \left( \begin{array} { c c c } { { 2 } } & { { + 1 } } & { { + 1 } } \\ { { + 1 } } & { { 2 } } & { { + 1 } } \\ { { + 1 } } & { { + 1 } } & { { 2 } } \end{array} \right) ~ . ~ \,
A = - \frac { 3 \pi \hbar \nu _ { U V } } { 8 \sqrt { 2 ( n _ { 1 } ^ { 2 } + n _ { 3 } ^ { 2 } ) ( n _ { 2 } ^ { 2 } + n _ { 3 } ^ { 2 } ) } } \cdot \frac { ( n _ { 1 } ^ { 2 } - n _ { 3 } ^ { 2 } ) ( n _ { 2 } ^ { 2 } - n _ { 3 } ^ { 2 } ) } { \sqrt { n _ { 1 } ^ { 2 } + n _ { 3 } ^ { 2 } } + \sqrt { n _ { 2 } ^ { 2 } + n _ { 3 } ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l } & { \| ( \tilde { v } - v ^ { X , ( 1 ) } ) _ { 3 1 } \| _ { L ^ { 1 } ( \mathcal { X } _ { 1 , 1 } ^ { \epsilon } ) } \leq C \int _ { 0 } ^ { \infty } u ( 1 + | \ln u | ) e ^ { - c t u ^ { 2 } } d u \leq C t ^ { - 1 } \ln t , } \\ & { \| ( \tilde { v } - v ^ { X , ( 1 ) } ) _ { 3 1 } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathcal { X } _ { 1 , 1 } ^ { \epsilon } ) } \leq C \operatorname* { s u p } _ { u \geq 0 } u ( 1 + | \ln u | ) e ^ { - c t u ^ { 2 } } \leq C t ^ { - 1 / 2 } \ln t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { n } = } & { \left( 2 s _ { n } - \left( \prod _ { k = 0 } ^ { n - 2 } c _ { k } \right) - 2 \left( \prod _ { k = 0 } ^ { n - 1 } c _ { k } \right) \right) \left( \prod _ { k = 0 } ^ { n - 1 } c _ { k } \right) ^ { \ast } } \\ { = } & { 2 s _ { n } \left( \prod _ { k = 0 } ^ { n - 1 } c _ { k } ^ { \ast } \right) - c _ { n - 1 } ^ { \ast } - 2 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbf { e } _ { r } \times \boldsymbol \sigma } & { { } = } & { \left( \begin{array} { c c } { \sin \theta \sin \phi } & { i \cos \theta } \\ { - i \cos \theta } & { - \sin \theta \sin \phi } \end{array} \right) \mathbf { e } _ { x } + } \end{array}
\begin{array} { r } { \varepsilon _ { 0 } ( \mathbf { x } , \mathbf { q } , \omega ) = \varepsilon _ { \mathrm { a v g } } ( \mathbf { x } ) - \frac { 2 \pi e ^ { 2 } \hbar } { | \mathbf { q } | } \Pi _ { 0 } ( \mathbf { x } , \mathbf { q } , \omega ) , } \end{array}
\mathbf { h } _ { t } = [ 0 . 7 5 , 0 . 9 5 , 3 . 6 1 9 \times 1 0 ^ { - 3 } , - 1 . 5 6 1 \times 1 0 ^ { - 1 6 } , - 4 . 4 1 8 \times 1 0 ^ { - 3 } , 4 . 2 2 4 \times 1 0 ^ { - 1 6 } , 5 . 8 5 8 \times 1 0 ^ { - 3 } , 1 . 4 7 2 \times 1 0 ^ { - 1 6 } , - 1 . 5 2 6 \times 1 0 ^ { - 2 } , 2 . 2 5 \times 1 0 ^ { - 2 } ]
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } _ { \ast } ( P ) \colon \mathord { \mathbb { R } } ^ { n } } & { \rightarrow \mathrm { R i e m } ( M ) \times \Psi \mathrm { D O } ^ { k } ( \mathfrak { S } _ { g _ { 0 } } , \mathfrak { S } _ { g _ { 0 } } ) , } \\ { t } & { \mapsto \mathcal { G } _ { g _ { P ( t ) } , g _ { 0 } } \circ P ( t ) \circ \mathcal { G } _ { g _ { P } ( t ) , g _ { 0 } } ^ { - 1 } } \end{array}
D _ { 1 / 4 - R R E } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 . 3 8 9 8 8 9 + \frac { 0 . 0 9 5 5 9 2 2 \sin \left( \frac { \pi t } { 4 } + \frac { \pi } { 1 6 } \right) } { t ^ { 3 / 2 } } - \frac { 0 . 1 7 9 7 9 4 \cos \left( \frac { \pi t } { 2 } + \frac { \pi } { 1 6 } \right) } { \sqrt { t } } + \dots \, , x = y = 1 / 8 } \\ { 0 . 3 6 3 2 8 4 - \frac { 0 . 0 6 4 5 5 5 2 \cos \left( \frac { \pi t } { 3 } + \frac { \pi } { 1 2 } \right) } { \sqrt { t } } - \frac { 0 . 1 0 1 1 3 \cos \left( \frac { \pi t } { 2 } + \frac { \pi } { 8 } \right) } { \sqrt { t } } + \dots \, , x = 1 / 8 , y = 1 / 1 2 } \\ { 0 . 4 1 1 9 2 1 - \frac { 0 . 1 1 8 3 9 9 \sin \left( \frac { \pi } { 6 } - \frac { \pi t } { 2 } \right) } { \sqrt { t } } - \frac { 0 . 0 7 6 2 1 2 7 \cos \left( \frac { 2 \pi t } { 3 } + \frac { \pi } { 4 } \right) } { \sqrt { t } } + \dots \, , x = 1 / 6 , y = 1 / 8 } \end{array} \right. \, ,
C _ { Y } = \frac { \frac { 1 } { 2 } \rho U _ { \mathrm { r e f } } ^ { 2 } L _ { \mathrm { r e f } } ^ { 3 } } { \overline { { E I } } } = \frac { 2 \rho R ^ { 2 } \psi _ { 0 } ^ { 2 } f ^ { 2 } c _ { m } ^ { 3 } } { \overline { { E I } } } \; ,
\Gamma _ { R } \equiv \frac { ( G _ { F } / \hbar c ) | a _ { n } | } { 2 \pi \sqrt { 2 } e R _ { 1 0 } ^ { 2 } } = 9 . 4 \times 1 0 ^ { - 4 7 } = \frac { 1 } { 1 . 1 \times 1 0 ^ { 4 6 } } ,
m _ { \mathrm { p o l e } } - m _ { \overline { { \mathrm { M S } } } } ( \mu ) = \frac { C _ { F } e ^ { 5 / 6 } } { \pi } \, \mu \, \sum _ { n } ( - 2 \beta _ { 0 } ) ^ { n } \, n ! \, \alpha _ { s } ^ { n + 1 } .
{ \frac { { \frac { d \sigma } { d t } } ( \gamma ^ { * } A \to 2 j e t s + A ) \big \vert _ { t = 0 } } { { \frac { d \sigma } { d t } } ( \gamma ^ { * } N \to 2 j e t s + N ) \big \vert _ { t = 0 } } } = { \frac { { \frac { d \sigma } { d t } } ( \gamma ^ { * } A \to V A ) \big \vert _ { t = 0 } } { { \frac { d \sigma } { d t } } ( \gamma ^ { * } N \to V N ) \big \vert _ { t = 0 } } } = \left[ { \frac { F _ { A } ^ { L } ( x , Q ^ { 2 } ) } { F _ { N } ^ { L } ( x , Q ^ { 2 } ) } } \right] ^ { 2 } = { \frac { G _ { A } ^ { 2 } ( x , Q ^ { 2 } ) } { G _ { N } ^ { 2 } ( x , ^ { 2 } Q ) } } \ .
M _ { Z M } ^ { 2 } = \frac { k ^ { 2 } } { \frac { 1 } { 4 \operatorname { t a n h } ( k z _ { 0 } ) } \Bigl ( \cosh ^ { 2 } ( k z _ { 0 } ) + ( \frac { \beta k } { \alpha } ) ^ { 2 } \frac { 1 } { \cosh ^ { 2 } ( k z _ { 0 } ) } \Bigr ) \log \Bigl [ \frac { 1 + \operatorname { t a n h } ( k z _ { 0 } ) } { 1 - \operatorname { t a n h } ( k z _ { 0 } ) } \Bigr ] - \frac { \cosh ^ { 2 } ( k z _ { 0 } ) } { 2 } } .
\operatorname* { l i m } _ { \beta \to \infty } \frac { \cosh \left( \beta ( \overline { { \epsilon } } _ { k } - \mu ) \right) } { \sinh \left( \beta \delta _ { k } \right) } = \left\{ \begin{array} { l l } { \infty \qquad } & { \mathrm { i f ~ } \left| \overline { { \epsilon } } _ { k } - \mu \right| > \delta _ { k } } \\ { 0 \qquad } & { \mathrm { i f ~ } \left| \overline { { \epsilon } } _ { k } - \mu \right| < \delta _ { k } } \\ { 1 \qquad } & { \mathrm { i f ~ } \left| \overline { { \epsilon } } _ { k } - \mu \right| = \delta _ { k } . } \end{array} \right.
\hat { \cal M } = { \frac { 1 } { { \cal I } m \hat { \lambda } } } \left( \begin{array} { l l } { { | \hat { \lambda | } ^ { 2 } } } & { { - { \cal R } e \, \hat { \lambda } } } \\ { { - { \cal R } e \, \hat { \lambda } } } & { { 1 } } \end{array} \right) .