harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \| U _ { 2 } ^ { ( k ) } ( Q _ { 2 } ^ { ( k ) } ) ^ { T } A Q _ { 1 } ^ { ( k ) } ( U _ { 1 } ^ { ( k ) } ) ^ { T } - \Sigma _ { p } \| } \\ & { = \| ( M _ { 2 } ^ { ( k ) } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } ( U _ { p } + U _ { p , \perp } E _ { 2 } ^ { ( k ) } ) ^ { T } A ( V _ { p } + V _ { p , \perp } E _ { 1 } ^ { ( k ) } ) ( M _ { 1 } ^ { ( k ) } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } - \Sigma _ { p } \| } \\ & { = \| ( M _ { 2 } ^ { ( k ) } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } ( U _ { p } + U _ { p , \perp } E _ { 2 } ^ { ( k ) } ) ^ { T } ( U _ { p } \Sigma _ { p } + A V _ { p , \perp } E _ { 1 } ^ { ( k ) } ) ( M _ { 1 } ^ { ( k ) } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } - \Sigma _ { p } \| } \\ & { = \| ( M _ { 2 } ^ { ( k ) } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } ( \Sigma _ { p } + ( U _ { p , \perp } E _ { 2 } ^ { ( k ) } ) ^ { T } A V _ { p , \perp } E _ { 1 } ^ { ( k ) } ) ( M _ { 1 } ^ { ( k ) } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } - \Sigma _ { p } \| } \\ & { \leq \| ( M _ { 2 } ^ { ( k ) } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \Sigma _ { p } ( M _ { 1 } ^ { ( k ) } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } - \Sigma _ { p } \| + \| ( M _ { 2 } ^ { ( k ) } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } ( U _ { p , \perp } E _ { 2 } ^ { ( k ) } ) ^ { T } A V _ { p , \perp } E _ { 1 } ^ { ( k ) } ( M _ { 1 } ^ { ( k ) } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \| . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \bf S } ^ { \prime } \equiv \langle \mathrm { o u t p u t } | { \bf \hat { S } } | \mathrm { o u t p u t } \rangle } & { { } = \hbar N \left( \begin{array} { c } { \sin \theta \cos ( \phi + \Delta \phi ) } \\ { \sin \theta \sin ( \phi + \Delta \phi ) } \\ { \cos \theta } \end{array} \right) . } \end{array}
K ( \mathrm { ~ \boldmath ~ q ~ } ^ { ( 1 ) } , \mathrm { ~ \boldmath ~ q ~ } ^ { ( 2 ) } ) = \sum _ { j } q _ { j } ^ { ( 1 ) } \log _ { 2 } ( q _ { j } ^ { ( 1 ) } / q _ { j } ^ { ( 2 ) } ) ,
\Delta \hat { G } ^ { \xi = 0 } [ a , b ; E ] = \operatorname * { l i m } _ { \epsilon \rightarrow 0 ^ { + } } \frac { \hat { G } _ { F } ^ { \xi = 0 } [ a , \epsilon ; E ] \hat { G } _ { F } ^ { \xi = 0 } [ \epsilon , b ; E ] } { \frac { 1 } { v } - \hat { G } _ { F } ^ { \xi = 0 } [ \epsilon , \epsilon ; E ] } .
s ( R _ { i j } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { R _ { i j } } , } & { \mathrm { ~ i f ~ } R _ { i j } \leq R _ { \mathrm { o n } } } \\ { \frac { 1 } { R _ { i j } } \left\{ \left( \frac { R _ { i j } - R _ { \mathrm { o n ~ } } } { R _ { \mathrm { o f f ~ } } - R _ { \mathrm { o n ~ } } } \right) ^ { 3 } \left( - 6 \left( \frac { R _ { i j } - R _ { \mathrm { o n ~ } } } { R _ { \mathrm { o f f ~ } } - R _ { \mathrm { o n ~ } } } \right) ^ { 2 } + 1 5 \frac { R _ { i j } - R _ { \mathrm { o n ~ } } } { R _ { \mathrm { o f f ~ } } - R _ { \mathrm { o n ~ } } } - 1 0 \right) + 1 \right\} , } & { \mathrm { ~ i f ~ } R _ { \mathrm { o n } } < R _ { i j } < R _ { \mathrm { o f f } } } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ i f ~ } R _ { i j } \geq R _ { \mathrm { o f f ~ } } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k - 2 - 2 i - j , 2 k + 9 + 6 i + 4 j } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 - 2 i - j , 2 k + 8 + 6 i + 4 j } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 - 2 i - j , 2 k + 5 + 6 i + 4 j } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 5 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 - 2 i - j , 2 k + 4 + 6 i + 4 j } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 6 } } \end{array}
Q = \frac { 1 } { m } \sum _ { i , j \in V } \left[ w _ { i j } - \frac { s _ { i } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } \cdot s _ { j } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } } { m } \right] \cdot \delta _ { c _ { i } , c _ { j } } ,
\begin{array} { r l } & { \leq ( - \beta + 1 ) E \biggl [ \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { - \beta s } ( h ( x _ { 1 } ) ( s ) - h ( x _ { 2 } ) ( s ) ) ^ { 2 } d s \biggr ] } \\ & { \qquad + 4 C ^ { 2 } E \biggl [ \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { - \beta s } ( | x _ { 1 } ( s ) - x _ { 2 } ( s ) | + | y _ { 1 } ( s ) - y _ { 2 } ( s ) | ) ^ { 2 } d s \biggr ] } \\ & { \leq ( - \beta + 1 ) E \biggl [ \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { - \beta s } ( h ( x _ { 1 } ) ( s ) - h ( x _ { 2 } ) ( s ) ) ^ { 2 } d s \biggr ] } \\ & { \qquad + 8 C ^ { 2 } E \biggl [ \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { - \beta s } ( | x _ { 1 } ( s ) - x _ { 2 } ( s ) | ^ { 2 } + | y _ { 1 } ( s ) - y _ { 2 } ( s ) | ^ { 2 } d s \biggr ] } \\ & { \leq ( - \beta + 1 ) E \biggl [ \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { - \beta s } ( X _ { 1 } ( s ) - X _ { 2 } ( s ) ) ^ { 2 } d s \biggr ] } \\ & { + 8 C ^ { 2 } E \biggl [ \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { - \beta s } ( | x _ { 1 } ( s ) - x _ { 2 } ( s ) | ^ { 2 } d s \biggr ] } \\ & { + 8 L C ^ { 2 } E \biggl [ \int _ { - \delta } ^ { t } e ^ { - \beta s } ( | x _ { 1 } ( s ) - x _ { 2 } ( s ) | ^ { 2 } d s \biggr ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { i \frac { \partial \alpha _ { 0 } } { \partial \tau } } & { { } = 2 \Omega _ { s } \cos ( k _ { p 0 } \xi ) \left( \alpha _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } \alpha _ { 1 } e ^ { - i \omega _ { w } \tau } \right) \, , } \\ { i \frac { \partial \alpha _ { 1 } } { \partial \tau } } & { { } = 2 \Omega _ { s } \cos ( k _ { p 0 } \xi ) \left( \frac { 1 } { 2 } \alpha _ { 0 } e ^ { i \omega _ { w } \tau } + \frac { 1 } { 2 } \alpha _ { 1 } \right) } \end{array}
\rho _ { p r \mathbf k _ { r } } ( \mathbf q , \mathbf G ) \approx \tilde { \rho } _ { p r \mathbf k _ { r } } ( \mathbf q , \mathbf G ) + \hat { \rho } _ { p r \mathbf k _ { r } } ( \mathbf q , \mathbf G ) .
\begin{array} { r } { \left| \partial _ { x } p _ { W ^ { * 1 } , W } ( b , a ; t ) \right| \leq \frac { D } { \sqrt { ( 4 \pi ) ^ { d } t ^ { d + 2 } } } e ^ { - \frac { b ^ { 2 } + ( b - a ^ { 1 } ) ^ { 2 } } { 4 t } - \sum _ { k = 2 } ^ { d } \frac { ( a ^ { k } ) ^ { 2 } } { 4 t } } { \mathbf 1 } _ { b > \operatorname* { m a x } ( a ^ { 1 } , 0 ) } . } \end{array}
H = \sum _ { k , \sigma } \epsilon _ { k } c _ { k \sigma } ^ { \dagger } c _ { k \sigma } + \sum _ { i , \sigma } \epsilon _ { d } d _ { i \sigma } ^ { \dagger } d _ { i \sigma } + \sum _ { i , \sigma , i ^ { \prime } \sigma ^ { \prime } } { \frac { U } { 2 } } n _ { i \sigma } n _ { i ^ { \prime } \sigma ^ { \prime } } + \sum _ { i , k , \sigma } V _ { k } ( d _ { i \sigma } ^ { \dagger } c _ { k \sigma } + c _ { k \sigma } ^ { \dagger } d _ { i \sigma } )
\begin{array} { r l } { \| V V ^ { \top } V B D ^ { - 1 } B ^ { \top } - V V ^ { \top } U \| = } & { ~ \| V V ^ { \top } V ( B D ^ { - 1 } B ^ { \top } - I ) \| } \\ { \leq } & { ~ \| B D ^ { - 1 } B ^ { \top } - I \| } \\ { = } & { ~ \| D ^ { - 1 } - I \| } \\ { = } & { ~ \frac { 1 - \cos \theta ( V , U ) } { \cos \theta ( V , U ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { [ x , E _ { i } ] = [ E _ { i } , y ] = \alpha _ { i } , \; \; \forall i = 1 , \ldots , n , } \\ & { [ y , A _ { h } ] = A _ { h } , \; \; \forall h = 1 , \ldots , n + 1 , } \\ & { [ x , A _ { k } ] = A _ { k } , \; \; \forall k = n + 2 , \ldots , 2 n + 1 , } \\ & { [ A _ { i } , E _ { k } ] = \varepsilon _ { j } A _ { j } , \; \; \forall i = 1 , \ldots , n + 1 , } \end{array}
V ( \phi ) \propto \left( \frac { \phi } { M _ { \mathrm { P l } } } \right) ^ { - \beta } \left( 1 - \frac { \beta ^ { 2 } } { 6 } \, \frac { M _ { \mathrm { P l } } ^ { 2 } } { \phi ^ { 2 } } \right)
\mu { \frac { d \alpha _ { 1 } } { d \mu } } \, = \, \beta _ { 1 } ( { \vec { \alpha } } ) \, \, \, , \, \, \, \, \mu { \frac { d { \vec { \alpha } } _ { 2 n } } { d \mu } } \, = \, { \vec { \beta } } _ { 2 n } ( { \vec { \alpha } } ) \, \, \, .
\begin{array} { r l } { D _ { f } ( s ) } & { { } = { \frac { 1 } { \Gamma ( s ) } } \int _ { 0 } ^ { + \infty } \left( \sum _ { n \geq 1 } ( F ( n ) - F ( n - 1 ) ) e ^ { - n t } \right) t ^ { s } d t } \end{array}
J _ { n } \; = \; { \frac { 4 e ^ { \gamma \epsilon } \Gamma ( { \frac { 1 } { 2 } } ) } { \Gamma ( { \frac { 5 } { 2 } } - n - \epsilon ) } } { \frac { m ^ { 2 \epsilon } } { T ^ { 4 - 2 n } } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d p \; { \frac { p ^ { 4 - 2 n - 2 \epsilon } } { E _ { p } } } n ( E _ { p } ) \; .
\begin{array} { r } { \frac { B _ { M } } { B _ { 0 } } , \frac { B _ { m } } { B _ { 0 } } = 1 \pm \overline { { \eta } } \sqrt { 2 \psi } , \quad \frac { B _ { X } } { B _ { 0 } } = \frac { 4 B _ { 2 2 } / B _ { 0 } + \overline { { \eta } } ^ { 2 } } { 4 B _ { 2 2 } / B _ { 0 } + 2 \overline { { \eta } } ^ { 2 } } . } \end{array}
Q _ { \mathrm { u n } ; \lambda _ { 1 } , \rho _ { 1 } } ^ { R , S , T } Q _ { \mathrm { u n } ; \lambda _ { 2 } , \rho _ { 2 } } ^ { R ^ { \prime } , S ^ { \prime } , T ^ { \prime } } = \delta _ { R R ^ { \prime } } \delta _ { S S ^ { \prime } } \delta _ { T T ^ { \prime } } \delta _ { \rho _ { 1 } \lambda _ { 2 } } Q _ { \mathrm { u n } ; \lambda _ { 1 } , \rho _ { 2 } } ^ { R , S , T } \, ,
\begin{array} { r } { \frac { n _ { * } } { p + t } \ge \frac { 1 2 C _ { 2 } \gamma ^ { 2 } \kappa _ { U } ^ { 3 } \sigma _ { x } ^ { 4 } \sigma _ { \varepsilon } ^ { 2 } } { \kappa _ { L } ^ { 2 } \mathsf { s } _ { + } } ~ ~ ~ ~ \mathrm { a n d } ~ ~ ~ ~ \frac { \bar { n } } { ( p + \log ( 2 | \mathcal { E } | ) + t ) } \ge \frac { \sqrt { 1 2 C _ { 2 } } \gamma \kappa _ { U } ^ { 3 / 2 } \sigma _ { x } ^ { 3 } \sigma _ { \varepsilon } } { \sqrt { \kappa _ { L } ^ { 2 } \mathsf { s } _ { + } } } } \end{array}
\displaystyle ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - c ^ { 2 } ) ( a ^ { 2 } - b ^ { 2 } + c ^ { 2 } ) : ( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - c ^ { 2 } ) ( - a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } ) : ( a ^ { 2 } - b ^ { 2 } + c ^ { 2 } ) ( - a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } )
r ^ { * } = r - { \frac { 1 } { 2 \sqrt 2 ( 1 - { \frac { 1 } { 2 } } e ^ { - 2 \sqrt 2 r } ) } } + { \frac { 1 } { 2 \sqrt 2 } } \log | 1 - { \frac { 1 } { 2 } } e ^ { - 2 \sqrt 2 r } | .
\sigma _ { \mathrm { e x t } } = \frac { k } { \epsilon _ { 0 } E _ { 0 } ^ { 2 } } \mathrm { I m } ( \mathbf { E } _ { 0 } ^ { \dagger } \cdot \mathbf { d } ) \approx \frac { k } { \epsilon _ { 0 } E _ { 0 } ^ { 2 } } \sum _ { p } \vert b _ { p } \vert ^ { 2 } \mathrm { I m } ( \alpha _ { p } ) .
A _ { \mu } ^ { ( 2 ) } = \mp { \frac { 2 i } { g } } \, ( H _ { 3 } \, { \frac { v _ { \mu } ^ { 1 } } { \rho _ { 1 } } } + H _ { 1 } \, { \frac { v _ { \mu } ^ { 2 } } { \rho _ { 2 } } } ) + \kappa \, ( E _ { 3 2 } ^ { \pm } \, R _ { \mu } ^ { 1 } + E _ { 1 2 } ^ { \pm } \, R _ { \mu } ^ { 2 } ) \, \delta ( R ^ { 1 } \cdot R ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } { d ( x , x ^ { \prime } ) } & { \leq d ( x , x H _ { 2 } \cap x ^ { \prime } H _ { 1 } ) + d ( x H _ { 2 } \cap x ^ { \prime } H _ { 1 } , x ^ { \prime } ) \leq ( L + 1 ) d ( x ^ { \prime } , x H _ { 2 } \cap x ^ { \prime } H _ { 1 } ) } \\ & { \leq ( L + 1 ) d ( x ^ { \prime } , x ^ { \prime } H _ { 1 } ) \leq ( L + 1 ) d ( 1 , \pi _ { H _ { 1 } } ( x ^ { - 1 } x ^ { \prime } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta _ { \mathrm { r e c o i l } } ( \mathrm { H } ) } & { { } = } & { 5 . 2 6 9 \, { } _ { - 0 . 0 0 4 } ^ { + 0 . 0 1 7 } \; \mathrm { ~ p ~ p ~ m ~ } , } \\ { \Delta _ { \mathrm { r e c o i l } } ( \mu \mathrm { H } ) } & { { } = } & { 8 3 7 . 6 \, { } _ { - 1 . 0 } ^ { + 2 . 8 } \; \mathrm { ~ p ~ p ~ m ~ } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { q } _ { i + 1 } \mathbf { C } _ { i } ^ { \dagger } } & { { } = \left[ \mathbf { d } \mathbf { q } _ { i } - \mathbf { q } _ { i } \mathbf { M } _ { i } - \mathbf { q } _ { i - 1 } \mathbf { C } _ { i - 1 } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ t ] \Sigma ( y ) } & { : = \sigma _ { 0 } \operatorname* { l i m s u p } _ { r \to 0 ^ { + } } \frac { 1 } { r } \sum _ { m = 1 } ^ { 2 } \int _ { \Omega } [ \mathbb { 1 } _ { \{ 0 < | y - \bar { t } | \leq r \} } | \partial _ { x _ { m } } y | ] \, \mathrm { d } x , \quad y \in W ^ { 1 , 1 } ( \Omega ) \cap C ( \overline { \Omega } ) } \end{array}
\mathbf { E } _ { \mathrm { s c a t } } ( \mathbf { x } ) = \int _ { V } \mathbb { G } _ { 0 } ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) \mathbf { P } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) \, \mathrm { d } \mathbf { x } ^ { \prime }
\langle T _ { \mu \nu } \rangle = \operatorname * { l i m } _ { x ^ { \prime } \rightarrow x } \biggl ( { \frac { 2 } { 3 } } D _ { ; \nu ^ { \prime } \mu } - { \frac { 1 } { 3 } } D _ { ; \nu \mu } - { \frac { 1 } { 6 } } g _ { \mu \nu } D ^ { ; \sigma ^ { \prime } } { } _ { \sigma } + { \frac { 1 } { 3 } } g _ { \mu \nu } D ^ { ; \sigma ^ { \prime } } { } _ { \sigma ^ { \prime } } + { \frac { 1 } { 6 } } ( R _ { \mu \nu } - { \frac { 1 } { 2 } } R g _ { \mu \nu } ) D \biggr ) .
\begin{array} { r l } { \tilde { P } _ { e } \left( m \right) \approx } & { \frac { 2 \left( N _ { r } - 1 \right) ^ { 2 } } { M N _ { r } } \left( \frac { 1 } { 3 } \sqrt { \frac { N E _ { s } + N _ { 0 } } { N E _ { s } + 2 N _ { 0 } } } e ^ { - \frac { \pi N ^ { 2 } E _ { s } d _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 N E _ { s } + 8 N _ { 0 } } } + \sqrt { \frac { N E _ { s } + N _ { 0 } } { N E _ { s } + \frac { 7 } { 3 } N _ { 0 } } } e ^ { - \frac { \pi N ^ { 2 } E _ { s } d _ { 0 } ^ { 2 } } { 3 N E _ { s } + 7 N _ { 0 } } } \right) , \ M = 1 6 , } \\ { \tilde { P } _ { e } \left( m \right) \lesssim } & { \frac { 2 \left( N _ { r } - 1 \right) ^ { 2 } } { M N _ { r } } \left( \frac { 1 } { 3 } \sqrt { \frac { N E _ { s } \epsilon _ { M } + N _ { 0 } } { N E _ { s } \epsilon _ { M } + 2 N _ { 0 } } } e ^ { - \frac { \pi N ^ { 2 } E _ { s } d _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 N E _ { s } \epsilon _ { M } + 8 N _ { 0 } } } + \sqrt { \frac { N E _ { s } \epsilon _ { M } + N _ { 0 } } { N E _ { s } \epsilon _ { M } + \frac { 7 } { 3 } N _ { 0 } } } e ^ { - \frac { \pi N ^ { 2 } E _ { s } d _ { 0 } ^ { 2 } } { 3 N E _ { s } \epsilon _ { M } + 7 N _ { 0 } } } \right) , } \\ & { M > 1 6 . } \end{array}
\begin{array} { r } { T _ { r } ^ { i } ( R e _ { L } ^ { * } , \chi , \theta ) = - \mu U L ^ { 2 } \frac { \pi } { 2 } \left( \frac { 1 } { \ln \chi } \right) ^ { 2 } \left[ \cos \theta \left( P ( X ) - Q ( X ) + P ( Y ) - Q ( Y ) \right) \right. \left. + P ( Y ) - P ( X ) \right] \sin \theta , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { v _ { A B } ^ { \tau } } & { { } = } & { \frac { d _ { A } + d _ { B } } { d _ { A } + b } v _ { A } ^ { \tau } , } \\ { v _ { A B } ^ { n } } & { { } = } & { \frac { d _ { A } + d _ { B } } { d _ { A } } v _ { A } ^ { n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left( ( \mathbf { u } ^ { j } \cdot \nabla \xi ^ { j + 1 } ) - ( \mathbf { u } _ { N } ( s ) \cdot \nabla \xi _ { N } ( s ) ) , \zeta ^ { j + 1 } \right) } \\ & { = \left( \mathbf { v } ^ { j } \cdot \nabla \xi ^ { j + 1 } , \zeta ^ { j + 1 } \right) + \left( ( \mathbf { u } _ { N } ( t _ { j } ) - \mathbf { u } _ { N } ( s ) ) \cdot \nabla \xi _ { N } ( t _ { j + 1 } ) , \zeta ^ { j + 1 } \right) - \left( \mathbf { u } _ { N } ( s ) \cdot \nabla ( \xi _ { N } ( s ) - \xi _ { N } ( t _ { j + 1 } ) ) , \zeta ^ { j + 1 } \right) } \end{array}
H ( r _ { 0 } ) = ( 3 - p ) \, \frac { q _ { 1 } ^ { 2 } } { r _ { 0 } ^ { 7 - 2 p } } \left( \frac { h _ { 2 } ^ { \prime } } { h _ { 2 } } - \frac { h _ { 1 } ^ { \prime } } { h _ { 1 } } \right) ^ { - 1 } \Bigg \vert _ { r = r _ { 0 } } \, .
\tau = { \frac { 2 i } { \pi } } \log { \frac { a } { \Lambda } } + { \frac { 3 i } { \pi } } + \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \cal F } _ { k } ( 1 - 4 k ) ( 2 - 4 k ) \left( { \frac { a } { \Lambda } } \right) ^ { - 4 k } .
V ( \rho , \varphi , z ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \sum _ { r = 0 } ^ { \infty } \, A _ { n r } J _ { n } ( k _ { n r } \rho ) \cos ( n ( \varphi - \varphi _ { 0 } ) ) e ^ { - k _ { n r } | z - z _ { 0 } | }
{ \begin{array} { r l } & { \int _ { V } \left[ \mathbf { J } _ { 1 } ^ { ( e ) } \cdot \mathbf { E } _ { 2 } ^ { ( r ) } - \mathbf { E } _ { 1 } ^ { ( r ) } \cdot \mathbf { J } _ { 2 } ^ { ( e ) } \right] \operatorname { d } V } \\ { = } & { \int _ { V } \left[ \sigma \mathbf { E } _ { 1 } ^ { ( e ) } \cdot \left( \mathbf { E } _ { 2 } ^ { ( r ) } + \mathbf { E } _ { 2 } ^ { ( e ) } \right) - \left( \mathbf { E } _ { 1 } ^ { ( r ) } + \mathbf { E } _ { 1 } ^ { ( e ) } \right) \cdot \sigma \mathbf { E } _ { 2 } ^ { ( e ) } \right] \operatorname { d } V } \\ { = } & { \int _ { V } \left[ \mathbf { E } _ { 1 } ^ { ( e ) } \cdot \mathbf { J } _ { 2 } - \mathbf { J } _ { 1 } \cdot \mathbf { E } _ { 2 } ^ { ( e ) } \right] \operatorname { d } V \ . } \end{array} }
\begin{array} { r } { ( \mathcal { C } h ) ( \omega k ) \mathcal { A } ^ { - 1 } = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \Gamma } \frac { h ( u ) d u } { u - \omega k } \mathcal { A } ^ { - 1 } = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \Gamma } \frac { h ( \omega s ) \omega d s } { \omega s - \omega k } \mathcal { A } ^ { - 1 } = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { \Gamma } \frac { h ( s ) d s } { s - k } = ( \mathcal { C } h ) ( k ) , } \end{array}
\operatorname * { l i m } _ { z \rightarrow - 1 } ( J _ { z } ( x , t ; x , t ) - L _ { z } ( x , t ; x , t ) ) = \operatorname * { l i m } _ { ( y , s ) \rightarrow ( x , t ) } ( G _ { B } ( x , t ; y , s ) - L _ { - 1 } ( x , t ; y , s ) ) . \,
\begin{array} { r l } { \left( p _ { i } ( { f _ { i } } ) _ { \sharp } \left( \mu _ { \mathbf { p } } \lfloor _ { B } \right) \right) ( A ) } & { = p _ { i } \left( \mu _ { \mathbf { p } } \lfloor _ { B } \right) \left( f _ { i } ^ { - 1 } ( A \right) ) } \\ & { = p _ { i } \mu _ { \mathbf { p } } ( f _ { i } ^ { - 1 } ( A \cap B _ { i } ) ) = \mu _ { \mathbf { p } } \lfloor _ { B _ { i } } ( A ) , } \end{array}
\ell _ { 2 } = d \left[ \left( a _ { 1 } , a _ { 2 } \right) , \left( b _ { 1 } , b _ { 2 } \right) \right] = { \sqrt { \left( a _ { 1 } - b _ { 1 } \right) ^ { 2 } + \left( a _ { 2 } - b _ { 2 } \right) ^ { 2 } } }
A ^ { g } ~ = ~ \int _ { M _ { g } } \frac { 1 } { ( \operatorname * { d e t } \mathrm { I m } \tau ) ^ { 2 } } \int \prod _ { i = 1 } ^ { 2 g } d ^ { 2 } x _ { i } | \operatorname * { d e t } { \omega _ { i } ( y _ { j } ) } \operatorname * { d e t } { \omega _ { i } ( u _ { j } ) } | ^ { 2 } \langle \prod _ { k = 1 } ^ { 3 g - 3 } | ( \mu _ { k } G ^ { - } ) | ^ { 2 } \rangle _ { \mathrm { t o p } } ,
\begin{array} { r l } { { \cal { E } } ^ { ( 5 , 0 ) } ( R ) } & { { } = \frac { 4 } { 3 } \Big ( \frac { 1 9 } { 3 0 } - 2 \ln \alpha - \ln k _ { 0 } \Big ) \sum _ { i , X } Z _ { X } \langle \delta ^ { 3 } ( \vec { r } _ { i X } ) \rangle } \end{array}
{ \mathcal H } _ { T ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { \left\langle \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { - 1 } \\ { - 1 } & { 0 } \end{array} \right) \right\rangle \cong \mathbb { Z } _ { 2 } , } & { x _ { 1 } = - x _ { 2 } , x _ { 2 } > 0 ; } \\ { \left\langle \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) \right\rangle \cong \mathbb { Z } _ { 2 } , } & { x _ { 1 } \leqslant 0 , x _ { 2 } = 0 ; } \\ { \left\langle \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 2 } & { - 1 } \end{array} \right) \right\rangle \cong \mathbb { Z } _ { 2 } \ltimes \mathbb { Z } , } & { x _ { 1 } > 0 , x _ { 2 } = 0 ; } \end{array} \right.
\iota _ { \frac { \partial } { \partial \theta _ { 2 } } } \omega = - \frac { d \theta _ { 1 } } { \sin ^ { m } \theta _ { 1 } } = d \left( \frac { | \cos \theta _ { 1 } | } { \cos \theta _ { 1 } } \frac { _ 2 F _ { 1 } \left( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 - m } { 2 } ; \frac { 3 - m } { 2 } ; \sin ^ { 2 } ( \theta _ { 1 } ) \right) } { ( 1 - m ) \sin ^ { m - 1 } \theta _ { 1 } } \right) ,
\begin{array} { c c c } { { \left( \begin{array} { c } { { a } } \\ { { b } } \\ { { \varepsilon ^ { i } } } \\ { { \rho ^ { i } } } \\ { { \lambda } } \\ { { \omega _ { A B } } } \\ { { T _ { i } ^ { ~ j } } } \end{array} \right) ~ ~ ~ ~ } } & { { \longrightarrow } } & { { ~ ~ ~ ~ \left( \begin{array} { c } { { b } } \\ { { a } } \\ { { \rho ^ { i } } } \\ { { \varepsilon ^ { i } } } \\ { { - \lambda } } \\ { { \omega _ { A B } } } \\ { { T _ { i } ^ { ~ j } } } \end{array} \right) } } \end{array}
\langle T , \phi \rangle \leq C \sum _ { | \alpha | \leq N , | \beta | \leq M } \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathbb { R } ^ { n } } \left| x ^ { \alpha } \partial ^ { \beta } \phi ( x ) \right| = C \sum _ { | \alpha | \leq N , | \beta | \leq M } p _ { \alpha , \beta } ( \phi ) .
\operatorname* { l i m } _ { k \rightarrow \infty } \int _ { \mathcal { Z } \times \mathcal { Z } } \mathcal { U } _ { \pi } ( \pi _ { s } ^ { N _ { k } } , \nu _ { s } ^ { N _ { k } } ; z , \tilde { z } ) d ( \hat { \pi } _ { s } ^ { N _ { k } } - \pi _ { s } ^ { N _ { k } } ) = - \int _ { \mathcal { Z } \times \mathcal { Z } } \mathcal { U } _ { \pi } ( \pi _ { s } , \nu _ { s } ; z , \tilde { z } ) d ( \hat { \pi } _ { s } - \pi _ { s } ) .
A = \left( \begin{array} { l l l l } { F _ { 1 } ( v _ { n } ) } & { F _ { 2 } ( v _ { n } ) } & { \ldots } & { F _ { n } ( v _ { n } ) } \\ { \vdots } \\ { F _ { 1 } ( v _ { 2 } ) } & { F _ { 2 } ( v _ { 2 } ) } & { \ldots } & { F _ { n } ( v _ { 2 } ) } \\ { F _ { 1 } ( v _ { 1 } ) } & { F _ { 2 } ( v _ { 1 } ) } & { \ldots } & { F _ { n } ( v _ { 1 } ) } \end{array} \right) .
\begin{array} { r c l } { \displaystyle \int _ { \Omega } e ^ { \eta ( { \boldsymbol x } ) } \mathrm { d } { \boldsymbol x } } & { = } & { \displaystyle \int _ { \Omega } e ^ { \sum _ { j = 0 } ^ { J } ( \theta _ { j } \eta ) ( { \boldsymbol x } ) } \mathrm { d } { \boldsymbol x } \le \sum _ { j = 0 } ^ { J } \int _ { U _ { j } \cap \Omega } e ^ { ( \theta _ { j } \eta ) ( { \boldsymbol x } ) } \mathrm { d } { \boldsymbol x } , } \end{array}
\partial _ { i } ^ { \prime } v _ { j } ^ { \prime } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { { \Omega } _ { 0 } + s _ { 0 } } & { 0 } \\ { - { \Omega } _ { 0 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \; ,
\delta { \cal E } _ { f } = \sqrt { \langle { \boldsymbol 1 } _ { f } | \hat { H } _ { 0 } ^ { 2 } | { \boldsymbol 1 } _ { f } \rangle - \langle { \boldsymbol 1 } _ { f } | \hat { H } _ { 0 } | { \boldsymbol 1 } _ { f } \rangle ^ { 2 } } \, .
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { T } ( \theta , \mathcal { S } ) ^ { 2 } } & { = \mathcal { E } _ { T } ^ { i n t 1 } ( \theta , \mathcal { S } _ { i n t } ) ^ { 2 } + \mathcal { E } _ { T } ^ { i n t 2 } ( \theta , \mathcal { S } _ { i n t } ) ^ { 2 } + \mathcal { E } _ { T } ^ { i n t 3 } ( \theta , \mathcal { S } _ { i n t } ) ^ { 2 } + \mathcal { E } _ { T } ^ { t b 1 } ( \theta , \mathcal { S } _ { t b } ) ^ { 2 } } \\ & { + \mathcal { E } _ { T } ^ { t b 2 } ( \theta , \mathcal { S } _ { t b } ) ^ { 2 } + \mathcal { E } _ { T } ^ { t b 3 } ( \theta , \mathcal { S } _ { t b } ) ^ { 2 } + \mathcal { E } _ { T } ^ { s b 1 } ( \theta , \mathcal { S } _ { s b } ) , } \end{array}
S = \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d \sigma \int _ { 0 } ^ { 1 } d \sigma ^ { \prime } \vec { \xi } \left( \sigma \right) G ^ { - 1 } \left( \sigma - \sigma ^ { \prime } \right) \vec { \xi } \left( \sigma ^ { \prime } \right)
A \left( A ^ { * } A \right) ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } = \left( \sum _ { j } \lambda _ { j } v _ { j } w _ { j } ^ { * } \right) \left( \sum _ { k } | \lambda _ { k } | ^ { - 1 } w _ { k } w _ { k } ^ { * } \right) = \sum _ { k } { \frac { \lambda _ { k } } { | \lambda _ { k } | } } v _ { k } w _ { k } ^ { * } ,
\begin{array} { r l r } { w } & { = } & { 0 ; \quad \quad \quad \frac { \partial ^ { 2 } w } { \partial x ^ { 2 } } = 0 \quad \quad \mathrm { f o r } \, \, x = 0 \, \, \mathrm { a n d } \, \, x = a } \\ { w } & { = } & { 0 ; \quad \quad \quad \frac { \partial ^ { 2 } w } { \partial y ^ { 2 } } = 0 \quad \quad \mathrm { f o r } \, \, y = 0 \, \, \mathrm { a n d } \, \, y = b } \end{array}
\begin{array} { r l } { t = } & { { } \frac { \sqrt { A + B \sigma } } { A \sigma } - \frac { B \, } { ( - A ) ^ { 3 / 2 } } \mathrm { a r c t a n } \left( \frac { \sqrt { A + B \sigma } } { \sqrt { - A } } \right) - \frac { \sqrt { A + B } } { A } + \frac { B \, } { ( - A ) ^ { 3 / 2 } } \mathrm { a r c t a n } \left( \frac { \sqrt { A + B } } { \sqrt { - A } } \right) \, , } \end{array}
0 \longrightarrow K _ { * } ( L ( A ) \underset { r } { \rtimes } \widehat { \mathbb { G } } ) \otimes K _ { * } ( B ) \overset { \alpha _ { \widehat { \mathbb { G } } } } { \longrightarrow } K _ { * } ( L ( A \otimes B ) \underset { r } { \rtimes } \widehat { \mathbb { G } } ) \overset { \beta _ { \widehat { \mathbb { G } } } } { \longrightarrow } \mathrm { T o r } ( K _ { * } ( L ( A ) \underset { r } { \rtimes } \widehat { \mathbb { G } } ) , K _ { * } ( B ) ) \longrightarrow 0