harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \Gamma ( \boldsymbol { r } , t ) = } & { \int d ^ { 3 } \boldsymbol { k } \frac { A _ { j } ( \boldsymbol { k } ) } { \sqrt { 1 + \epsilon ^ { 2 } } } \frac { \sqrt { \boldsymbol { p } _ { x } ^ { 2 } + \epsilon ^ { 2 } \boldsymbol { p } _ { y } ^ { 2 } } } { \eta _ { j } ( \boldsymbol { k } ) } \sin ( \mathrm { u } _ { j } + \phi _ { \mathrm { c e p } } + \Lambda \arctan ( \epsilon \tan ( \varphi _ { p } ) ) ) \delta ( \boldsymbol { k } - \boldsymbol { k } _ { 0 } ) } \\ & { + \int d ^ { 3 } \boldsymbol { k } \int d ^ { 3 } \boldsymbol { k } ^ { \prime } \frac { A _ { j } ( \boldsymbol { k } ) A _ { j } ( ( \boldsymbol { k } ^ { \prime } ) } { 4 } \frac { 1 - \epsilon ^ { 2 } } { 1 + \epsilon ^ { 2 } } \frac { 1 } { \eta _ { j } ( \boldsymbol { k } ) + \eta _ { j } ( \boldsymbol { k ^ { \prime } } ) } \sin ( \mathrm { u } _ { j } + \mathrm { u } _ { j } ^ { \prime } + 2 \phi _ { \mathrm { c e p } } ) \delta ( \boldsymbol { k } - \boldsymbol { k } _ { 0 } ) \delta ( \boldsymbol { k } ^ { \prime } - \boldsymbol { k } _ { 0 } ) } \\ & { + \int d ^ { 3 } \boldsymbol { k } \int d ^ { 3 } \boldsymbol { k } ^ { \prime } \frac { A _ { j } ( \boldsymbol { k } ) A _ { j } ( ( \boldsymbol { k } ^ { \prime } ) } { 4 } \frac { 1 } { \eta _ { j } ( \boldsymbol { k } ) - \eta _ { j } ( \boldsymbol { k ^ { \prime } } ) } \sin ( \mathrm { u } _ { j } + \mathrm { u } _ { j } ^ { \prime } ) \delta ( \boldsymbol { k } - \boldsymbol { k } _ { 0 } ) \delta ( \boldsymbol { k } ^ { \prime } - \boldsymbol { k } _ { 0 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } { V } _ { t } ^ { \lambda } } & { = - \lambda \left( \gamma { V } _ { \lfloor t \rfloor } ^ { \lambda } + h _ { t a m , \gamma } ( { \theta ^ { \lambda } } _ { \lfloor t \rfloor } ) \right) \mathrm { d } t + \sqrt { 2 \gamma \lambda \beta ^ { - 1 } } \mathrm { ~ d } B _ { t } ^ { \lambda } , } \\ { \mathrm { d } { \theta } _ { t } ^ { \lambda } } & { = \lambda { V } _ { \lfloor t \rfloor } ^ { \lambda } \mathrm { d } t , \quad t \geq 0 , } \end{array}
C ( r , \tau ) = { \frac { 1 } { 1 6 \, ( \pi \; \tau ) ^ { 3 / 2 } } } \; e ^ { 2 \tau - { \frac { r ^ { 2 } } { 4 \tau } } } \left[ 1 + { \cal O } \left( { \frac { r ^ { 2 } } { \tau ^ { 2 } } } \right) \right] \; .
\frac { x _ { i } ^ { u } } { x _ { i } ^ { d } } \: = \: \frac { x _ { j } ^ { u } } { x _ { j } ^ { d } } \qquad \alpha _ { i } ^ { u } \: = \: \alpha _ { i } ^ { d } \quad \quad i , j = 1 , 2 , 3
\operatorname* { l i m } _ { \tau \to 0 } \mathcal { L } _ { m } ^ { \tau } \varphi ( t , x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathcal { G } _ { m } \varphi ( t , x ) } & { \mathrm { i f ~ } \boldsymbol { c } \cdot \Theta _ { m } ( B B ^ { \dagger } - I ) \boldsymbol { \psi } ( t , x ) = 0 , } \\ { \infty } & { \mathrm { o t h e r w i s e . } } \end{array} \right.
H _ { 1 } ^ { \perp ( 1 ) q } ( z ) = D _ { 1 } ^ { q } ( z ) \frac { M _ { C } } { 2 M _ { h } } \left( 1 - M _ { C } ^ { 2 } R ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \d x \frac { \exp ( - x ) } { x + M _ { C } ^ { 2 } R ^ { 2 } } \right) ,
\mathscr { E } \left\{ \left| \Delta _ { 2 , 1 } \right| ^ { 2 } \right\} = \rho _ { b } ^ { 2 } \left\Vert \Theta ^ { H } a _ { M } ^ { H } \left( \phi _ { r } ^ { a } , \phi _ { r } ^ { e } \right) a _ { N } ^ { H } \left( \phi _ { b } ^ { a } , \phi _ { b } ^ { e } \right) a _ { N } \left( \phi _ { b } ^ { a } , \phi _ { b } ^ { e } \right) a _ { M } \left( \phi _ { r } ^ { a } , \phi _ { r } ^ { e } \right) \Theta \right\Vert _ { F } ^ { 2 }
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \frac { 1 } { r } \partial _ { r } \left[ r \partial _ { r } \left( r \delta B _ { r } \right) \right] + \frac { \partial _ { \theta } ^ { 2 } ( r \delta B _ { r } ) } { r ^ { 2 } } + \partial _ { z } ^ { 2 } ( r \delta B _ { r } ) - \frac { \partial _ { t } ^ { 2 } ( r \delta B _ { r } ) } { c ^ { 2 } } } & { { } = - \frac { 4 \pi r } { c } \left( \frac { \partial _ { \theta } \delta J _ { z } } { r } - \partial _ { z } \delta J _ { \theta } \right) = } \end{array} } \end{array}
m \epsilon _ { \mu \alpha \beta } \partial ^ { \alpha } \hat { A } ^ { \beta } \approx \epsilon _ { \mu \alpha \beta } \partial ^ { \alpha } ( \hat { f } ^ { \beta } - m \hat { a } ^ { \beta } ) - \epsilon _ { \nu \alpha \beta } ( m \partial ^ { \alpha } \hat { A } ^ { \beta } - \partial ^ { \alpha } \hat { f } ^ { \beta } ) \frac { \delta \hat { a } ^ { \nu } } { \delta \hat { A } ^ { \mu } } .
x g _ { h } ( x ) = - \frac { 2 } { p ^ { + } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d \lambda } { 2 \pi } \cos ( \lambda p ^ { + } x ) f _ { a s } ( \lambda ) - \frac { 2 } { p ^ { + } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d \lambda } { 2 \pi } \cos ( \lambda p ^ { + } x ) ( f ( \lambda ) - f _ { a s } ( \lambda ) ) .
\begin{array} { r l } { \operatorname { c f } _ { \mathit { T Q G } ( 0 , 1 , q ) } ( t ) } & { { } = { \, _ { 0 } \operatorname { F } _ { 1 } } \left( \theta + \frac { 1 } { 2 } , - \frac { 1 } { 4 } ( a t ) ^ { 2 } \right) = 2 ^ { \theta - \frac { 1 } { 2 } } \Gamma \left( \theta + \frac { 1 } { 2 } \right) ( a t ) ^ { - ( \theta + \frac { 1 } { 2 } ) } \operatorname { J } _ { \theta - \frac { 1 } { 2 } } \left( a t \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { \alpha \beta } ^ { \sigma \mathcal { G } } } & { { } = - \frac { p } { \mu _ { 0 } } \sigma _ { \alpha \beta } , } \\ { R _ { \alpha } ^ { q \mathcal { G } } } & { { } = - \frac { 2 p } { 3 \mu _ { 0 } } q _ { \alpha } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { A = { \frac { 1 5 } { 4 } } a ^ { 2 } \cot { \frac { \pi } { 1 5 } } } & { = { \frac { 1 5 } { 4 } } { \sqrt { 7 + 2 { \sqrt { 5 } } + 2 { \sqrt { 1 5 + 6 { \sqrt { 5 } } } } } } a ^ { 2 } } \\ & { = { \frac { 1 5 a ^ { 2 } } { 8 } } \left( { \sqrt { 3 } } + { \sqrt { 1 5 } } + { \sqrt { 2 } } { \sqrt { 5 + { \sqrt { 5 } } } } \right) } \\ & { \simeq 1 7 . 6 4 2 4 \, a ^ { 2 } . } \end{array} }
{ \begin{array} { r l } { a } & { = 2 \arctan \left[ \tan \left( { \frac { 1 } { 2 } } ( b - c ) \right) { \frac { \sin \left( { \frac { 1 } { 2 } } ( \beta + \gamma ) \right) } { \sin \left( { \frac { 1 } { 2 } } ( \beta - \gamma ) \right) } } \right] , } \\ { \alpha } & { = 2 \operatorname { a r c c o t } \left[ \tan \left( { \frac { 1 } { 2 } } ( \beta - \gamma ) \right) { \frac { \sin \left( { \frac { 1 } { 2 } } ( b + c ) \right) } { \sin \left( { \frac { 1 } { 2 } } ( b - c ) \right) } } \right] . } \end{array} }
\begin{array} { r l } & { \sum _ { y \in \mathcal { Y } } p _ { Y } ( y ) \operatorname* { m a x } _ { s \in \Gamma _ { y } } p _ { S \mid Y } ( s \mid y ) } \\ & { \leq \sum _ { y \in \mathcal { Y } } \sum _ { s \in \Gamma _ { y } } p _ { S , Y } ( s , y ) } \\ & { = \sum _ { y \in \mathcal { Y } } \sum _ { s \in \Gamma _ { y } } \P ( S ^ { - 1 } ( s ) \cap Y ^ { - 1 } ( y ) ) = \P ( \mathcal { R } _ { \epsilon } ) \leq \delta , } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { u } _ { i } = 0 , \quad \tilde { w } _ { i } = 0 , \quad - \frac { \partial \tilde { p } _ { i } } { \partial x } + \frac { \partial ^ { 2 } \tilde { u } _ { i } } { \partial x ^ { 2 } } = 0 \quad \tilde { \theta } _ { i } = 0 \quad \mathrm { ~ o ~ n ~ } \quad x = 0 , 1 } \end{array}
n _ { \mathrm { o u t } } = { \frac { m ^ { 3 } } { 2 ^ { 1 / 2 } \pi ^ { 2 } \beta ^ { 3 / 2 } } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \! { \frac { u ^ { 1 / 2 } d u } { \exp u - 1 } } \; = \left( { \frac { m T } { 2 \pi } } \right) ^ { 3 / 2 } \zeta ( 3 / 2 ) \; ,
\begin{array} { r c l } { ( \delta _ { t } n _ { h } ^ { m + 1 } , \bar { n } _ { h } ) _ { h } } & { - } & { ( n _ { h } ^ { m + 1 } { \boldsymbol u } _ { h } ^ { m } , \nabla \bar { n } _ { h } ) _ { * } + ( \nabla n _ { h } ^ { m + 1 } , \nabla \bar { n } _ { h } ) } \\ & { - } & { ( n _ { h } ^ { m + 1 } \nabla c _ { h } ^ { m + 1 } , \nabla \bar { n } _ { h } ) _ { * } + ( B _ { n } ( n _ { h } ^ { m + 1 } , { \boldsymbol u } _ { h } ^ { m } ) n _ { h } ^ { m + 1 } , \bar { n } _ { h } ) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { d v _ { t } ( \zeta ) = \Big [ \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \zeta ^ { 2 } } v _ { t } ( \zeta ) } & { + \mathfrak { f } \big ( v _ { t } ( \zeta ) \big ) \Big ] + \sum _ { i = 1 } ^ { d } \mathfrak g _ { i } ( \zeta ) v _ { t - } ( \zeta ) d M _ { i } ( t ) , \quad \zeta \in ( 0 , L ) , \quad t \in ( 0 , T ) , } \\ { v _ { 0 } ( \zeta ) } & { \equiv 0 , \quad v _ { t } ( 0 ) = u _ { 1 } ( t ) \quad \mathrm { a n d } \quad v _ { t } ( L ) = u _ { 2 } ( t ) , } \end{array}
\forall t \in [ 0 , T ] , \ \ \ \Vert \varrho ( t ) \Vert _ { \mathrm { H } ^ { m } } \leq \Vert \varrho ^ { \mathrm { i n } } \Vert _ { \mathrm { H } ^ { m } } \Phi \Big ( T , \cdots , \Vert u \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { m + 1 } ) } , \Vert f \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , T ; \mathcal { H } _ { r } ^ { m + 1 } ) } \Big ) ,
\epsilon _ { i } = \frac { 1 } { 2 \pi ( \lambda \lambda ^ { \dagger } ) _ { i i } } \sum _ { j } \left( I m [ ( \lambda \lambda ^ { \dagger } ) _ { i j } ] ^ { 2 } \right) f ( M _ { j } ^ { 2 } / M _ { i } ^ { 2 } )
\psi _ { j } ^ { n + 1 } = \frac { 1 } { 2 } \left( \varphi _ { j } ^ { n + 1 } + \overline { { \varphi _ { j } ^ { n + 1 } } } \right) , \quad \eta _ { j } ^ { n + 1 } = \frac { i } { 2 } \sum _ { l \in { T } _ { N } } \delta _ { l } \left[ \widetilde { \varphi } _ { l } ^ { n + 1 } - \widetilde { \overline { { \varphi } } } _ { l } ^ { n + 1 } \right] \textrm { e } ^ { i \mu _ { l } ( x _ { j } - a ) } ,
\begin{array} { r } { { \alpha ^ { \prime } s _ { 2 } \sim 0 \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad } } \\ { { \left. \Phi _ { 2 } \right| _ { _ { \left| k ^ { \bot } \right| ^ { 2 } \ll \frac 1 { \alpha ^ { \prime } } } ^ { \frac { s _ { 1 } } s \rightarrow \infty } } = - \alpha ^ { \prime } \Gamma \left( - \alpha \left( t \right) \right) \left[ - \frac 1 { \alpha ^ { \prime } } \left( l _ { 2 } ^ { \bot ^ { \prime } } l - \frac { l p _ { 2 } } { s _ { 2 } } \left( l _ { 2 } ^ { \bot ^ { \prime } } k \right) \right) - \frac { \left( l q \right) \left( l _ { 2 } ^ { \bot ^ { \prime } } k \right) } { 2 \alpha ^ { \prime } x } + \right. } } \\ { { \left. + 2 \frac { x \left( l _ { 2 } ^ { \bot ^ { \prime } } l \right) + \left( l q \right) \left( l _ { 2 } ^ { \bot ^ { \prime } } k \right) } { \alpha ^ { \prime } s _ { 2 } } + \left( l B _ { 2 } \right) \left( l _ { 2 } ^ { \bot ^ { \prime } } q \right) \left( \frac 1 { \alpha ^ { \prime } x } - \psi \left( \alpha \left( t \right) \right) \right) \right] } } \end{array}
\sigma ( \gamma \gamma \rightarrow \pi ^ { 0 } \pi ^ { 0 } ) = { \frac { \alpha ^ { 2 } } { 2 5 6 \pi ^ { 3 } F _ { \pi } ^ { 4 } } } { \frac { ( s - m _ { \pi } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { s } } \sqrt { 1 - { \frac { 4 m _ { \pi } ^ { 2 } } { s } } } | F ( s , m _ { \pi } ^ { 2 } ) | ^ { 2 }
\frac { d ^ { 2 } \Gamma } { d q _ { 0 } d \vec { q } \, ^ { 2 } } = | V _ { c b } | ^ { 2 } \frac { G _ { F } ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 4 } } | \vec { q } \, | \left[ ( q _ { 0 } ^ { 2 } - \vec { q } \, ^ { 2 } ) w _ { 1 } - \frac { \vec { q } \, ^ { 2 } } { 3 } w _ { 2 } \right]
\begin{array} { r } { \left[ \begin{array} { l l } { A } & { B } \\ { C } & { D } \end{array} \right] \approx \left[ \begin{array} { l l } { 1 + Z Y l ^ { 2 } / 2 } & { Z l } \\ { Y l } & { 1 + Z Y l ^ { 2 } / 2 } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { e _ { \mathfrak { I } _ { N } } ^ { h } ( \rho , x ) } & { = u _ { 0 } ( \rho , x ) + i \rho u _ { 1 } ( \rho , x ) } \\ & { = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { k } \rho ^ { 2 k } \varphi _ { f } ^ { ( 2 k ) } ( x ) } { ( 2 k ) ! } + \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { i ( - 1 ) ^ { k } \rho ^ { 2 k + 1 } \varphi _ { f } ^ { ( 2 k + 1 ) } ( x ) } { ( 2 k + 1 ) ! } } \\ & { = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { ( i \rho ) ^ { 2 k } \varphi _ { f } ^ { ( 2 k ) } ( x ) } { ( 2 k ) ! } + \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { ( i \rho ) ^ { 2 k + 1 } \varphi _ { f } ^ { ( 2 k + 1 ) } ( x ) } { ( 2 k + 1 ) ! } } \\ & { = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { ( i \rho ) ^ { k } \varphi _ { f } ^ { ( k ) } ( x ) } { k ! } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathbf { R } _ { d } } } & { = { \mathbb { E } } ( { \mathbf { F } _ { D } } { \mathbf { s s } ^ { H } } { \mathbf { F } } _ { D } ^ { H } ) = { \mathbf { F } _ { D } } { \mathbb { E } } ( { \mathbf { s } } { { \mathbf { s } } ^ { H } } ) { \mathbf { F } } _ { D } ^ { H } } \\ & { = { \mathbf { F } _ { D } } { \mathbf { F } } _ { D } ^ { H } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { B } _ { 1 , 2 , 3 } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } + i \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } , } \\ { \mathcal { B } _ { 4 , 5 , 6 } } & { { } = 2 , } \\ { \mathcal { B } _ { 7 , 8 , 9 } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } - i \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D ^ { \nu _ { 1 } + \nu _ { 2 } } \ell ( \theta ; Y _ { 0 : n } ) = } & { D ^ { \nu _ { 2 } } \left\{ \sum _ { t = 1 } ^ { n } g ^ { \nu _ { 1 } } ( W _ { t } ^ { ( | \nu _ { 1 } | ) } , W _ { t - 1 } ^ { ( | \nu _ { 1 } | ) } ) + g _ { 0 } ^ { \nu _ { 1 } } ( W _ { 0 } ^ { ( | \nu _ { 1 } | ) } ) \right\} } \\ { = } & { \sum _ { t = 1 } ^ { n } D ^ { \nu _ { 2 } } g ^ { \nu _ { 1 } } ( W _ { t } ^ { ( | \nu _ { 1 } | ) } , W _ { t - 1 } ^ { ( | \nu _ { 1 } | ) } ) + D ^ { \nu _ { 2 } } g _ { 0 } ^ { \nu _ { 1 } } ( W _ { 0 } ^ { ( | \nu _ { 1 } | ) } ) . } \end{array}
f _ { \ell } ( \sigma ) = d g _ { \alpha } ( \sigma ) , \qquad \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } \quad g _ { \alpha } ( \sigma ) = \operatorname* { m a x } \big \{ 0 , | \sigma | ^ { \alpha - 1 } \sigma \big \} \quad \mathrm { ~ o ~ r ~ } \quad g _ { \alpha } ( \sigma ) = | \sigma | ^ { \alpha - 1 } \sigma ,
\begin{array} { r } { H = \sum _ { p q } \: h _ { p q } \: { c } _ { p } ^ { \dagger } { c } _ { q } + \frac { 1 } { 4 } \: \sum _ { p q r s } \: v _ { p q r s } \: { c } _ { p } ^ { \dagger } { c } _ { q } ^ { \dagger } { c } _ { s } { c } _ { r } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \gamma _ { M C } } & { { } = } & { 2 \mu _ { 0 } \int _ { 0 } ^ { \infty } d \omega \; \omega ^ { 3 } \; \textbf { I m } \Big ( \hat { \mathbf { G } } ^ { \mathrm { A } * } ( \omega ) \cdot \mathbf { P } _ { \mathrm { A } } ^ { * } ( \omega ) \cdot \mathbf { P } _ { \mathrm { A } } ( \omega ) } \end{array}
\Delta ^ { \mu \nu , \lambda \sigma } ( x - y ) = < 0 | \; T ( { \bf a } ^ { \mu \nu } ( x ) \; \; { \bf a } ^ { \lambda \sigma } ( y ) \; ) | 0 > \; = \; \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \int d ^ { 4 } p \; e ^ { i \; p \cdot ( x - y ) } \; \Delta ^ { \mu \nu , \lambda \sigma } ( p ) ,
\{ Q _ { \epsilon } ^ { + } , Q _ { \epsilon } ^ { - } \} = a ^ { + 2 } \alpha \gamma ^ { * } + a ^ { - 2 } \alpha ^ { * } \gamma + \frac { 1 } { 2 } \left( \{ a ^ { + } , a ^ { - } \} - \epsilon K [ a ^ { - } , a ^ { + } ] \right) ( \alpha \alpha ^ { * } + \gamma \gamma ^ { * } ) .
\begin{array} { r l r } { \beta _ { i , m } ( t ) } & { { } = } & { \eta _ { i , m } \int _ { 0 } ^ { t } f _ { \mathrm { s d f } , i } ( t ^ { \prime } ) e ^ { i \omega _ { m } t ^ { \prime } } d t ^ { \prime } , } \\ { \Theta _ { i , j } ( t ) } & { { } = } & { 2 \sum _ { m } \eta _ { i , m } \eta _ { j , m } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { t ^ { \prime } } f _ { \mathrm { s d f } , i } ( t ^ { \prime } ) } \end{array}
\begin{array} { l c l } { { p _ { 1 } } } & { { = } } & { { \left( E _ { b } , 0 , 0 , - P _ { b } \right) , } } \\ { { p _ { 2 } } } & { { = } } & { { \left( E _ { b } , 0 , 0 , P _ { b } \right) , } } \\ { { p _ { 3 } } } & { { = } } & { { \left( E _ { 3 } , | \vec { p } _ { 3 } | \sin \theta _ { 3 } \cos \phi _ { 3 } , | \vec { p } _ { 3 } | \sin \theta _ { 3 } \sin \phi _ { 3 } , - | \vec { p } _ { 3 } | \cos \theta _ { 3 } \right) , } } \\ { { p _ { 4 } } } & { { = } } & { { \left( E _ { 4 } , | \vec { p } _ { 4 } | \sin \theta _ { 4 } \cos \phi _ { 4 } , | \vec { p } _ { 4 } | \sin \theta _ { 4 } \sin \phi _ { 4 } , | \vec { p } _ { 4 } | \cos \theta _ { 4 } \right) , } } \\ { { P } } & { { = } } & { { \left( E _ { R } , | \vec { p } _ { R } | \sin \theta _ { R } \cos \phi _ { R } , | \vec { p } _ { R } | \sin \theta _ { R } \sin \phi _ { R } , | \vec { p } _ { R } | \cos \theta _ { R } \right) . } } \end{array}
\eta _ { \mathrm { C - Y } } = \eta _ { \infty } + ( \eta _ { 0 } - \eta _ { \infty } ) \left[ 1 + \left( \frac { \Dot { \gamma } } { \Dot { \gamma } ^ { * } } \right) ^ { a } \right] ^ { \frac { n - 1 } { a } } \, ,
\varphi ( x , y ) = F T ^ { - 1 } \left[ \frac { F T \bigl ( \Delta \varphi ( x , y ) \bigr ) \cdot H ^ { * } \bigl ( k _ { x } , k _ { y } \bigr ) } { H \bigl ( k _ { x } , k _ { y } \bigr ) \cdot H ^ { * } \bigl ( k _ { x } , k _ { y } \bigr ) + \varepsilon } \right] ,
\delta _ { \alpha } = ( \underset { n \mathrm { ~ e ~ l ~ e ~ m ~ e ~ n ~ t ~ s ~ } } { \underbrace { 0 , \dots , \overset { \alpha \mathrm { ~ t ~ h ~ p ~ o ~ s ~ i ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } } { \overbrace 1 } , \dots , 0 } } ) .
\begin{array} { r l r } { a _ { l m } = \sqrt { 2 } \mathrm { i } Z \left[ \frac { a _ { E } ( l , m ) } { C _ { l m } ^ { \sigma } } \right] , } & { { } } & { b _ { l m } = \sqrt { 2 } \sigma Z \left[ \frac { a _ { M } ( l , m ) } { C _ { l m } ^ { \sigma } } \right] . } \end{array}
{ \cal L } = - \partial _ { \mu } h ^ { \mu \nu } \partial _ { \alpha } h _ { \nu } ^ { \alpha } + \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \alpha } h ^ { \mu \nu } \partial ^ { \alpha } h _ { \mu \nu } + \partial _ { \mu } h ^ { \mu \nu } \partial _ { \nu } h _ { \alpha } ^ { \alpha } - \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \alpha } h _ { \mu } ^ { \mu } \partial ^ { \alpha } h _ { \nu } ^ { \nu } - \frac { M ^ { 2 } } { 2 } \left( h _ { \mu \nu } h ^ { \mu \nu } - h _ { \mu } ^ { \mu } h _ { \nu } ^ { \nu } \right) .
\begin{array} { r l } { \mathscr { R } ^ { u } } & { { } = \int \frac { \partial w _ { j } } { \partial x _ { 0 _ { k } } } F _ { k i } ^ { - 1 } \sigma _ { i j } ^ { \phantom { } } J \ \mathrm { ~ d ~ } { \Omega _ { 0 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \hat { s } _ { \alpha } } & { { } = } & { y _ { \alpha } \left( \prod _ { j \in N ( \alpha ) \setminus i } x _ { i } \right) \left[ 1 - \prod _ { i \in N ( \alpha ) } ( 1 - \hat { w } _ { i \rightarrow \alpha } ) \right] , } \\ { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \hat { r } _ { i } } & { { } = } & { x _ { i } \left[ 1 - \prod _ { \alpha \in N ( i ) } ( 1 - \hat { v } _ { \alpha \rightarrow i } ) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { N ! l _ { \delta } ( 0 , 0 ) } { \sqrt { x ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) ^ { 2 } + y ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) ^ { 2 } } } } \\ & { = } & { \sum _ { a + b = 2 } ^ { N } \frac { \partial ^ { a + b } g _ { \delta } } { \partial x ^ { a } \partial y ^ { b } } ( x _ { 0 } , y _ { 0 } ) \sum _ { I , J } c _ { I , J } ( - 1 ) ^ { | I | + | J | } x ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) ^ { a } y ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) ^ { b } \left( \frac { z ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) } { \sqrt { x ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) ^ { 2 } + y ^ { \prime } ( s _ { 0 } ) ^ { 2 } } } \right) ^ { | I | + | J | } } \\ & { } & { ( 2 ! ) ^ { i _ { 1 } + j _ { 1 } } ( 3 ! ) ^ { i _ { 2 } + j _ { 2 } } \cdots ( p + 1 ) ! ^ { i _ { p } + j _ { p } } b _ { 2 } ( \delta ) ^ { i _ { 1 } + j _ { 1 } } \cdots b _ { p + 1 } ( \delta ) ^ { i _ { p } + j _ { p } } . } \end{array}
\hat { w } = \mathrm { ~ a ~ r ~ g ~ m ~ i ~ n ~ } _ { w } \left[ \frac { 1 } { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left\lVert H _ { n } x - \mathrm { H P F } \left( y _ { n } \right) \right\rVert _ { \mathbf { 2 } } ^ { 2 } + \lambda \mathrm { T V } \left( x \right) \right] , \: \: \: \mathrm { w h e r e } \: \: x = T _ { w } \left( x \right) .
\begin{array} { r l } { ( 2 N + 1 ) \tan ^ { - 1 } ( 2 \mu _ { j } ) } & { - \tan ^ { - 1 } \left( \frac { \mu _ { j } } { \frac { 1 } { 2 } - \xi _ { - } } \right) - \tan ^ { - 1 } \left( \frac { \mu _ { j } } { \frac { 1 } { 2 } - \xi _ { + } } \right) } \\ & { = \sum _ { \ell = 1 } ^ { M } \left[ \tan ^ { - 1 } ( \mu _ { j } - \mu _ { \ell } ) + \tan ^ { - 1 } ( \mu _ { j } + \mu _ { \ell } ) \right] + \pi I _ { j } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \xi ( w ) } & { { } = \sum _ { u = 0 } ^ { \infty } \sum _ { v = u } ^ { \infty } \sigma ( v ) w ^ { u } = \sum _ { v = 0 } ^ { \infty } \sum _ { u = 0 } ^ { v } \sigma ( v ) w ^ { u } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left\langle \Delta x ^ { 2 } \right\rangle } & { { } = } & { \frac { 2 } { B _ { 0 } ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { z } \int _ { 0 } ^ { z - { z } ^ { \prime } } \left\langle b _ { x } ( 0 , 0 , 0 ) b _ { x } ( \Delta x ^ { \prime } , \Delta y ^ { \prime } , \Delta z ^ { \prime } ) \right\rangle _ { L } } \end{array}
m _ { a } ^ { 2 } = \frac { N ^ { 2 } } { f _ { a } ^ { 2 } } \left( \frac { V K } { V + K \mathrm { T r } M ^ { - 1 } } + \frac { V ^ { \prime } K ^ { \prime } } { V ^ { \prime } + K ^ { \prime } \mathrm { T r } M ^ { \prime - 1 } } \right)
\begin{array} { r l } & { v _ { \mathrm { H } } ^ { e } - v _ { \mathrm { H } } ^ { i } = g _ { 1 } , \quad v _ { \mathrm { M } } ^ { e } - v _ { \mathrm { M } } ^ { i } = 0 , } \\ & { \partial _ { \nu } v _ { \mathrm { H } } ^ { e } - \partial _ { \nu } v _ { \mathrm { H } } ^ { i } = 0 , \quad \partial _ { \nu } v _ { \mathrm { M } } ^ { e } - \partial _ { \nu } v _ { \mathrm { M } } ^ { i } = - g _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f ( { \bf x } ) } & { \! = \! } & { { \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { n / 2 } \sqrt { \operatorname* { d e t } C _ { n } } } } \exp \Big [ \! - { \frac { 1 } { 2 } } { \bf x } ^ { _ T } C _ { n } ^ { - 1 } { \bf x } \Big ] \left( 1 + { \frac { 1 } { 8 } } D _ { i j k l } \, C _ { i j } ^ { - 1 } C _ { k l } ^ { - 1 } \right. } \\ & { } & { \left. - { \frac { 1 } { 4 } } D _ { i j k l } \, C _ { i j } ^ { - 1 } C _ { k m } ^ { - 1 } C _ { l n } ^ { - 1 } \, x _ { m } x _ { n } + { \frac { 1 } { 2 4 } } D _ { i j k l } \, C _ { i m } ^ { - 1 } C _ { j n } ^ { - 1 } C _ { k p } ^ { - 1 } C _ { l q } ^ { - 1 } \, x _ { m } x _ { n } x _ { p } x _ { q } \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { t _ { i j } ^ { e q } } & { { } \approx } & { \frac { 4 \pi \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } \, m _ { i } \, m _ { j } } { Z _ { l } ^ { 2 } Z _ { J } ^ { 2 } \, q _ { j } ^ { 4 } \, n _ { j } \, \ln \Lambda \left( n _ { i } , n _ { j } \right) } \, \left( \frac { k T _ { i } } { m _ { l } } + \frac { k T _ { j } } { m _ { j } } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \vartheta ( z ; \tau ) } & { { } = \prod _ { m = 1 } ^ { \infty } \left( 1 - q ^ { 2 m } \right) \left( 1 + q ^ { 2 m - 1 } w ^ { 2 } \right) \left( 1 + { \frac { q ^ { 2 m - 1 } } { w ^ { 2 } } } \right) } \end{array}
\begin{array} { l l } { { d s ^ { 2 } = } } & { { \frac { 1 } { \Lambda } [ - d t ^ { 2 } + e ^ { 2 t } ( d \xi ^ { 2 } + d \eta ^ { 2 } ) ] \nonumber } } \\ { { * } } & { { \left\{ \begin{array} { l } { { \xi \equiv x + m _ { 1 } y } } \\ { { \eta \equiv m _ { 2 } y , } } \end{array} \right. } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \int _ { 0 } ^ { \infty } d \mu \; \mu ^ { s - 1 } { \mathcal E } _ { 1 , \mu } ( z , \tau ) } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } d \mu \; \mu ^ { s - 1 } 2 \sqrt { \mu \tau _ { 2 } } \sum _ { \omega } \frac { K _ { 1 } \left( 2 \pi \sqrt { \frac { \mu } { \tau _ { 2 } } } | \omega | \right) } { | \omega | } e ^ { 2 \pi i \theta _ { \omega } } } \\ & { = } & { \pi ^ { - 2 s - 1 } s \Gamma ( s ) ^ { 2 } \sum _ { \omega } { \frac { \tau _ { 2 } ^ { s + 1 } } { | \omega | ^ { 2 s + 2 } } } e ^ { 2 \pi i \theta _ { \omega } } = \pi ^ { - s } \Gamma ( s ) \Gamma ( s + 1 ) E _ { s + 1 } ( z , \tau ) \; . } \end{array}
\sum _ { i = 0 } ^ { 3 } ( x _ { i } - C _ { i } ) ^ { 2 } = ( x _ { 0 } - C _ { 0 } ) ^ { 2 } + ( x _ { 1 } - C _ { 1 } ) ^ { 2 } + ( x _ { 2 } - C _ { 2 } ) ^ { 2 } + ( x _ { 3 } - C _ { 3 } ) ^ { 2 } = r ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \langle { \bf \hat { S } } \rangle } & { { } = \hbar N \left( \begin{array} { c } { 1 } \\ { \sin \theta ^ { ' } \sin \phi ^ { ' } } \\ { \cos \theta ^ { ' } } \\ { \sin \theta ^ { ' } \cos \phi ^ { ' } } \end{array} \right) . } \end{array}
\hat { h } ^ { x x x } = \left. \hat { \mathcal { U } } _ { k } ^ { \dagger } \cdot \frac { \partial ^ { 3 } \hat { \mathcal { H } } _ { k } ^ { A } } { \partial A ^ { 3 } } \cdot \hat { \mathcal { U } } _ { k } \right\vert _ { A = 0 } \mathrm { ~ , ~ }