harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
J _ { i } ^ { \mu } = ( \bar { \nu } _ { e } ~ \bar { e } ) _ { \mathrm { L } } \gamma ^ { \mu } \frac { \tau _ { i } } { 2 } \left( \begin{array} { c } { { \nu _ { e } } } \\ { { e } } \end{array} \right) _ { \mathrm { L } }
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathscr { W } ( y _ { L } ( y ; m \geq 2 ) , y _ { R } ( y ; m \geq 2 ) ) } \\ & { = } & { \frac { y _ { 1 } ( b ; m ) } { y _ { 2 } ( b ; m ) } \mathscr { W } ( y _ { 1 } ( y ; m ) , y _ { 2 } ( y ; m ) ) } \\ & { = } & { \frac { y _ { 1 } ( b ; m \geq 2 ) } { y _ { 2 } ( b ; m \geq 2 ) } \frac { 1 } { ( 1 - y ^ { 2 } ) } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 2 | t + V | } { U - K } = 1 , \mathrm { ~ o ~ r ~ } n _ { c } ^ { 1 / d } \alpha ^ { - 1 } \equiv \frac { 1 } { \alpha _ { 0 } R _ { M o t t } } \simeq 0 . 5 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Psi ( x ) } & { = } & { \exp \left( \frac { x ^ { 2 } } { 2 \sqrt { E } } \right) x ^ { \frac { 1 } { 2 } - \nu + \frac { 1 } { 2 } \sqrt { 1 - 4 \delta \nu + 4 \nu ^ { 2 } } } ~ L _ { - \frac { 1 } { 2 } + \frac { E ^ { \frac { 3 } { 2 } } } { 4 } - \frac { 1 } { 4 } \sqrt { 1 - 4 \delta \nu + 4 \nu ^ { 2 } } } ^ { \frac { 1 } { 2 } \sqrt { 1 - 4 \delta \nu + 4 \nu ^ { 2 } } } \left( \frac { x ^ { 2 } } { \sqrt { E } } \right) , } \end{array}
\operatorname * { d e t } \left| \begin{array} { c c c c } { { 0 } } & { { \phi _ { x _ { 1 } } } } & { { \phi _ { x _ { 2 } } } } & { { \phi _ { x _ { 3 } } } } \\ { { \phi _ { x _ { 1 } } } } & { { \phi _ { x _ { 1 } x _ { 1 } } } } & { { \phi _ { x _ { 1 } x _ { 2 } } } } & { { \phi _ { x _ { 1 } x _ { 3 } } } } \\ { { \phi _ { x _ { 2 } } } } & { { \phi _ { x _ { 2 } x _ { 1 } } } } & { { \phi _ { x _ { 2 } x _ { 2 } } } } & { { \phi _ { x _ { 2 } x _ { 3 } } } } \\ { { \phi _ { x _ { 3 } } } } & { { \phi _ { x _ { 3 } x _ { 1 } } } } & { { \phi _ { x _ { 3 } x _ { 2 } } } } & { { \phi _ { x _ { 3 } x _ { 3 } } } } \end{array} \right| \, = \, 0 .
\left[ \delta _ { \zeta _ { 1 } } , \delta _ { \zeta _ { 2 } } \right] f = \{ f , \{ \zeta _ { 1 } ^ { \alpha } \phi _ { \alpha } , \zeta _ { 2 } ^ { \beta } \phi _ { \beta } \} \} = \{ f , \zeta _ { 1 } ^ { \alpha } \zeta _ { 2 } ^ { \beta } { C _ { \alpha \beta } } ^ { \gamma } \phi _ { \gamma } \} \approx \zeta _ { 1 } ^ { \alpha } \zeta _ { 2 } ^ { \beta } { C _ { \alpha \beta } } ^ { \gamma } \{ f , \phi _ { \gamma } \} \ .
\begin{array} { r l } & { \psi ( b ^ { 2 } , v ) : = \frac { n } { \gamma ( R , \beta ) } \, \operatorname* { s u p } _ { f \in { \mathscr C } ^ { \beta } ( R ) } | b ( f ) | ^ { 1 / \beta } \operatorname* { s u p } _ { f \in { \mathscr C } ^ { \beta } ( R ) } v ( f ) , \mathrm { ~ a n d , } } \\ & { \psi ( b ^ { 2 } , v ) : = n \, \operatorname* { s u p } _ { f \in { \mathscr C } ^ { \beta } ( R ) } | b ( f ) | ^ { 1 / \beta } \operatorname* { i n f } _ { f \in { \mathscr C } ^ { \beta } ( R ) } \frac { v ( f ) } { \overline { \gamma } ( R , \beta , C , \| f \| _ { { \mathscr C } ^ { \beta } } ) } . } \end{array}
\ \mathbf { U } ( \mathbf { x } , t ) = \mathbf { b } ( \mathbf { x } , t ) + \mathbf { x } - \mathbf { X } ( \mathbf { x } , t ) \qquad { \mathrm { o r } } \qquad U _ { J } = b _ { J } + \alpha _ { J i } x _ { i } - X _ { J }
\begin{array} { r l r } { \langle \hat { S } _ { x } \rangle } & { { } = } & { \hbar \left( { \mathcal N } _ { \mathrm { H } } - { \mathcal N } _ { \mathrm { V } } \right) } \\ { \langle \hat { S } _ { y } \rangle } & { { } = } & { \hbar \left( { \alpha } _ { \mathrm { H } } ^ { * } { \alpha } _ { \mathrm { V } } + { \alpha } _ { \mathrm { V } } ^ { * } { \alpha } _ { \mathrm { H } } \right) } \\ { \langle \hat { S } _ { z } \rangle } & { { } = } & { \hbar \left( - i { \alpha } _ { \mathrm { H } } ^ { * } { \alpha } _ { \mathrm { V } } + i { \alpha } _ { \mathrm { V } } ^ { * } { \alpha } _ { \mathrm { H } } \right) } \end{array}
\langle \eta ^ { 2 } ( \vec { x } , t ) \rangle = \frac { \hbar } { 2 } \int \frac { d ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \mid \varphi _ { k } ^ { H } ( t ) \mid ^ { 2 } \coth \left[ \beta _ { o } \hbar { \cal { W } } _ { k } ( t _ { o } ) / 2 \right] ,
\begin{array} { r } { \displaystyle \sum _ { i , j , \alpha , \beta = 1 } ^ { n } \int _ { { \mathcal { O } } } b _ { i j } ^ { \alpha \beta } \frac { \partial { u _ { 0 j } } } { \partial x _ { \beta } } \frac { \partial { \varphi } _ { i } } { \partial x _ { \alpha } } \, d x - \displaystyle \int _ { { \mathcal { O } } } p _ { 0 } \operatorname { d i v } ( \boldsymbol \varphi ) \, d x = \int _ { { \mathcal { O } } } \boldsymbol { \boldsymbol { \theta } _ { 0 } } \cdot \boldsymbol \varphi \, d x , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \vec { S } _ { \mathrm { ~ p ~ - ~ p ~ o ~ l ~ } } ^ { \prime } | } & { { } = \frac { 1 } { \mu _ { 0 } } \sqrt { E _ { y } ^ { \prime 2 } B _ { z } ^ { \prime 2 } } } \end{array}
\Psi _ { - } \left( x _ { + } , k _ { + } , \widetilde { k } \right) = \left( { \frac { m - \widetilde { \gamma } \cdot \widetilde { k } } { \widetilde { \omega } ^ { 2 } } } \right) \gamma _ { + } i \partial _ { + } \Psi _ { + } \left( x _ { + } , k _ { + } , \widetilde { k } \right) \; .
\begin{array} { r l } { [ E , X ] } & { = \left[ x \frac { \partial } { \partial x } + y \frac { \partial } { \partial y } , - y \frac { \partial } { \partial x } + x \frac { \partial } { \partial y } \right] } \\ & { = - \left[ x \frac { \partial } { \partial x } , y \frac { \partial } { \partial x } \right] + \left[ x \frac { \partial } { \partial x } , x \frac { \partial } { \partial y } \right] - \left[ y \frac { \partial } { \partial y } , y \frac { \partial } { \partial x } \right] + \left[ y \frac { \partial } { \partial y } , x \frac { \partial } { \partial y } \right] } \\ & { = y \frac { \partial } { \partial x } + x \frac { \partial } { \partial y } - y \frac { \partial } { \partial x } - x \frac { \partial } { \partial y } } \\ & { = 0 . } \end{array}
c _ { i } ^ { \mathrm { J } } ( t ) = \frac { \sum _ { j \in L _ { \mathrm { i n } } } q _ { \mathrm { i n } } ^ { j } ( t ) c _ { \mathrm { i n } } ^ { j } ( t ) + q _ { i } ^ { \mathrm { B _ { \mathrm { J } } } } ( t ) c _ { i } ^ { \mathrm { B _ { \mathrm { J } } } } ( t ) } { q _ { i } ^ { \mathrm { D } _ { \mathrm { J } } } ( t ) + \sum _ { k \in L _ { \mathrm { o u t } } } q _ { \mathrm { o u t } } ^ { k } ( t ) } ,
\begin{array} { r l r } { \mathscr { C } ^ { ( L ) } ( \mathcal { N } _ { G } ) } & { { } = } & { \operatorname* { m a x } _ { \pi ( m ) } \left\{ \operatorname* { m a x } _ { \mathrm { E } \in L } I ( M ; ~ Y ) \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| Q ^ { K } - Q ^ { \pi } \| _ { \mu } \leq } & { \left( 1 - ( 1 - \gamma ) \beta \right) \| Q ^ { K - 1 } - Q ^ { \pi } \| _ { \mu } + \frac { \beta \tau _ { 2 } } { ( 1 - \gamma ) \lambda _ { 0 } ^ { 1 / 2 } } \cdot \left( \frac { 2 \omega } { \lambda _ { 0 } } + \sqrt { \frac { 3 \log ( 2 K / \delta ) } { N } } \right) } \\ { \leq } & { \left( 1 - ( 1 - \gamma ) \beta \right) ^ { K } \| Q ^ { 0 } - Q ^ { \pi } \| _ { \mu } + \frac { \tau _ { 2 } } { ( 1 - \gamma ) ^ { 2 } \lambda _ { 0 } ^ { 1 / 2 } } \cdot \left( \frac { 2 \omega } { \lambda _ { 0 } } + \sqrt { \frac { 3 \log ( 2 K / \delta ) } { N } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left[ k _ { 0 } ^ { ( a ) } , k _ { s } ^ { ( b ) } \right] = 0 , \quad \left[ k _ { r \neq 0 } ^ { ( a ) } , k _ { s } ^ { ( b ) } \right] = \delta _ { r + s , 0 } \frac { 1 } { r } \left( C ^ { - r } - C ^ { r } \right) H _ { 2 } ^ { - r M _ { a b } } \left( H _ { 1 } ^ { r A _ { a b } } - H _ { 1 } ^ { - r A _ { a b } } \right) , } \\ & { \left[ k _ { 0 } ^ { ( a ) } , e _ { n } ^ { ( b ) } \right] = - A _ { a b } e _ { n } ^ { ( b ) } , \quad \left[ k _ { 0 } ^ { ( a ) } , f _ { n } ^ { ( b ) } \right] = A _ { a b } f _ { n } ^ { ( b ) } , } \\ & { \left[ k _ { r \neq 0 } ^ { ( a ) } , e _ { n } ^ { ( b ) } \right] = \frac { 1 } { r } C ^ { - | r | / 2 } H _ { 2 } ^ { - r M _ { a b } } \left( H _ { 1 } ^ { r A _ { a b } } - H _ { 1 } ^ { - r A _ { a b } } \right) e _ { n + r } ^ { ( b ) } , } \\ & { \left[ k _ { r \neq 0 } ^ { ( a ) } , f _ { n } ^ { ( b ) } \right] = - \frac { 1 } { r } C ^ { | r | / 2 } H _ { 2 } ^ { - r M _ { a b } } \left( H _ { 1 } ^ { r A _ { a b } } - H _ { 1 } ^ { - r A _ { a b } } \right) f _ { n + r } ^ { ( b ) } . } \end{array}
\operatorname { K } _ { \mathbf { X } \mathbf { X } } = \operatorname { c o v } [ \mathbf { X } , \mathbf { X } ] = \operatorname { E } [ ( \mathbf { X } - \mathbf { \mu _ { X } } ) ( \mathbf { X } - \mathbf { \mu _ { X } } ) ^ { \mathrm { { T } } } ] = \operatorname { E } [ \mathbf { X } \mathbf { X } ^ { T } ] - \mathbf { \mu _ { X } } \mathbf { \mu _ { X } } ^ { T }
\begin{array} { r l } { \mathcal { T } _ { \eta } } & { = \operatorname* { m a x } _ { i \in [ 2 n - 1 ] } \operatorname* { s u p } _ { a \le t _ { 1 } < t _ { 2 } \le b } \sqrt { n h _ { 1 } } \big | \widehat { \eta } _ { i } ( t _ { 1 } ) - \widehat { \eta } _ { i } ( t _ { 2 } ) \big | / \widehat \vartheta _ { i , \eta } ^ { 1 / 2 } ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) , } \\ { \mathcal { T } _ { \gamma } } & { = \operatorname* { m a x } _ { j \in [ p ] } \operatorname* { s u p } _ { a \le t _ { 1 } < t _ { 2 } \le b } \sqrt { N h _ { 2 } } \big | \widehat { \gamma } _ { j } ( t _ { 1 } ) - \widetilde { b } _ { j } ( t _ { 1 } ) - \widehat { \gamma } _ { j } ( t _ { 2 } ) + \widetilde b _ { j } ( t _ { 2 } ) \big | / \widehat \vartheta _ { j , \gamma } ^ { 1 / 2 } ( t _ { 1 } , t _ { 2 } ) , } \end{array}
\psi _ { R } ^ { a } ( 0 , x ^ { - } ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 L } } ~ \sum _ { n = \frac { 1 } { 2 } , \frac { 3 } { 2 } , \dots } ^ { \infty } \left( b _ { n } ^ { \, a } ~ e ^ { - i k _ { n } ^ { + } x ^ { - } / 2 } + d _ { n } ^ { \, a \dag } ~ e ^ { \, i k _ { n } ^ { + } x ^ { - } / 2 } \right) ~ ,
\begin{array} { r } { \frac { n _ { e } ^ { d i v } } { 1 0 ^ { 1 9 } \, \mathrm { m ^ { - 3 } } } \approx 0 . 0 8 \times \left[ \frac { n _ { e } ^ { L C F S } } { 1 0 ^ { 1 9 } \, \mathrm { m ^ { - 3 } } } \right] ^ { 1 . 5 } , } \end{array}
H _ { s } ^ { \prime \prime } = ( 1 - \frac { 1 } { \theta ^ { a _ { s } } } ) \cdot \Big ( ( 1 - \frac { 1 } { \theta } ) \cdot \sum _ { i = a _ { s } } ^ { a _ { s - 1 } - 1 } \frac { 1 } { \theta ^ { i } - 1 } + ( 1 - \frac { 1 } { \theta } ) ^ { 2 } \cdot \delta ( a _ { s - 1 } , a _ { s - 2 } ) \cdot \sum _ { i _ { 1 } = a _ { s - 1 } + 1 } ^ { a _ { s - 2 } - 1 } \frac { 1 } { \theta ^ { i _ { 1 } } - 1 } \sum _ { i _ { 2 } = a _ { s - 1 } } ^ { i _ { 1 } - 1 } \frac { 1 } { \theta ^ { i _ { 2 } } - 1 } +
\tau _ { f } \simeq \lambda _ { g } \cdot \left( \frac { \omega } { E _ { L P M } } \right) ^ { \frac 1 2 } , \qquad k _ { t } \simeq \mu _ { D } \cdot \left( \frac { \omega } { E _ { L P M } } \right) ^ { \frac 1 4 } .
\begin{array} { r l r } { \Theta _ { 0 } ^ { ( m ) } } & { = } & { \{ \theta \in \mathbb { R } ^ { p } : \, \theta _ { \mathcal { S } _ { m } ^ { c } } = 0 \} , } \\ { \Theta _ { 1 } ^ { ( m ) } } & { = } & { \{ \theta \in \mathbb { R } ^ { p } : \, \theta _ { \mathcal { U } } \neq 0 , \, \theta _ { \hat { \mathcal { S } } ^ { c } } = 0 \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C ( \widetilde { \gamma } , \mu ^ { 0 } , \mu ^ { 1 } , \lambda ) } & { = \int _ { \Omega ^ { 2 } } \| x ^ { 0 } - x ^ { 1 } \| ^ { 2 } \, d \widetilde { \gamma } + \lambda ( | \mu ^ { 0 } | + | \mu ^ { 1 } | - 2 | \widetilde { \gamma } | ) } \\ & { = \int _ { \Omega ^ { 2 } } \| x ^ { 0 } - x ^ { 1 } \| ^ { 2 } \, d \gamma + \delta \int _ { \Omega ^ { 2 } } \| x ^ { 0 } - x ^ { 1 } \| ^ { 2 } \, d ( \widetilde { \nu } ^ { 0 } \times \widetilde { \nu } ^ { 1 } ) + \lambda ( | \mu ^ { 0 } | + | \mu ^ { 1 } | - 2 | \gamma | - 2 \delta | \widetilde { \nu } ^ { 0 } \times \widetilde { \nu } ^ { 1 } | ) } \\ & { = O P T _ { \lambda } ( \mu ^ { 0 } , \mu ^ { 1 } ) + \delta \int _ { B ( \widetilde { x } ^ { 0 } , \varepsilon ) \times B ( \widetilde { x } ^ { 1 } , \varepsilon ) } \| x ^ { 0 } - x ^ { 1 } \| ^ { 2 } \, d ( \widetilde { \nu } ^ { 0 } \times \widetilde { \nu } ^ { 1 } ) - 2 \lambda \delta } \\ & { < O P T _ { \lambda } ( \mu ^ { 0 } , \mu ^ { 1 } ) + 2 \lambda \delta - 2 \lambda \delta = O P T _ { \lambda } ( \mu ^ { 0 } , \mu ^ { 1 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } ( \rho ^ { \sigma } u _ { \alpha } ^ { \sigma } ) } & { { } + \frac { \partial ( p ^ { \sigma } \delta _ { \alpha \beta } + \rho ^ { \sigma } u _ { \alpha } ^ { \sigma } u _ { \beta } ^ { \sigma } ) } { \partial r _ { \beta } } } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { j } ( y ^ { s + 2 } ) } & { = \frac { p \rho _ { j } ( y ^ { s + 1 } ) } { ( p \! - \! q ) \rho _ { j } ( y ^ { s + 1 } ) \! + \! q } = \frac { p \frac { q \rho _ { j } ( y ^ { s } ) } { \rho _ { j } ( y ^ { s } ) ( q \! - \! p ) \! + \! p } } { ( p \! - \! q ) \frac { q \rho _ { j } ( y ^ { s } ) } { \rho _ { j } ( y ^ { s } ) ( q \! - \! p ) \! + \! p } \! + \! q } = \frac { p q \rho _ { j } ( y ^ { s } ) } { ( p \! - \! q ) q \rho _ { j } ( y ^ { s } ) \! + \! q ( \rho _ { j } ( y ^ { s } ) ( q \! - \! p ) \! + \! p ) } } \\ & { = \frac { q p \rho _ { j } ( y ^ { s } ) } { - \! ( q \! - \! p ) q \rho _ { j } ( y ^ { s } ) \! + \! ( q \! - \! p ) q \rho _ { j } ( y ^ { s } ) \! + \! q p } = \frac { q p \rho _ { j } ( y ^ { s } ) } { q p } = \rho _ { j } ( y ^ { s } ) \, . } \end{array}
G _ { p q } ^ { ( \mathfrak { N } ) } = \Bigl ( \frac { 2 } { \pi } \Bigr ) ^ { 1 / 2 } 2 ^ { - ( p + q ) } \frac { ( 2 p + 2 q - 1 ) ! ! } { \bigl [ ( 2 p + 1 ) ! \, ( 2 q + 1 ) ! \bigr ] ^ { 1 / 2 } } \, ,
\begin{array} { r } { X _ { 2 } ( \omega ) = - \frac { V _ { 2 } ( V _ { 1 } + I _ { 1 1 } ( \omega ) X _ { 1 } ) } { X _ { 1 } \operatorname* { d e t } ( I ( \omega ) ) + V _ { 1 } I _ { 2 2 } ( \omega ) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { b } _ { \mathrm { t o t } } = \mathbf { P } ( h _ { \mathrm { t } } ) \mathbf { R } _ { \mathrm { t o p } } \mathbf { P } ( h _ { \mathrm { t } } ) \mathbf { a } _ { \mathrm { t o t } } ^ { \mathrm { J } } . } \end{array}
\lambda _ { k } = \frac { | \mathcal { S } ^ { d - 1 } [ d - 2 ] | } { | \mathcal { S } ^ { d - 1 } | } \int _ { - 1 } ^ { 1 } P _ { k } ^ { \, d } ( t ) Q ( t ) ( 1 - t ^ { 2 } ) ^ { ( d - 3 ) / 2 } \mathrm { d } t = \left( \frac { c _ { k , \, d } ( \beta ) } { \nu _ { d } ( k ) } \right) ^ { 2 } - \delta _ { k 0 } \psi _ { d } ^ { 2 } ( \beta ) , \quad k \leq \beta .
\begin{array} { r } { \tilde { S } ^ { - 1 } H _ { \mathrm { } \tilde { S } } ^ { \mathrm { A I I } ^ { \dag } } = \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \otimes ( H ^ { - } ) ^ { T } + \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \otimes H ^ { - } } \end{array}
{ \bar { S } } _ { a I \vert \alpha } ^ { \pm } = \frac { 1 } { 2 } \, \left( { \bar { Q } } _ { a I } \gamma _ { 0 } \pm \mathrm { i } \, \epsilon _ { a b } \, { \bar { Q } } _ { b I } \, \right) _ { \alpha }
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } m _ { f } ( t ) } & { { } = \alpha m _ { f } ( t ) - \beta m _ { f } ( t ) m _ { g } ( t ) , } \\ { \frac { d } { d t } m _ { g } ( t ) } & { { } = - \delta m _ { g } ( t ) + \gamma m _ { f } ( t ) m _ { g } ( t ) . } \end{array}
B _ { a } [ p , q ] ( z ) B _ { b } [ r , s ] ( 0 ) \sim \sum _ { \substack { u _ { 1 } + u _ { 2 } = p + r - 1 \, v _ { 1 } + v _ { 2 } = q + s - 1 } } \sum _ { c , d , e , f } \frac { K ^ { f c } } { z } \left( ( m _ { 3 } ) _ { u _ { 1 } , v _ { 1 } } ^ { p , q ; r , s } f _ { b f } ^ { e } f _ { a e } ^ { d } - ( m _ { 3 } ) _ { u _ { 1 } , v _ { 1 } } ^ { r , s ; p , q } f _ { a f } ^ { e } f _ { b e } ^ { d } \right) B _ { c } [ u _ { 1 } , v _ { 1 } ] B _ { d } [ u _ { 2 } , v _ { 2 } ] ( 0 ) .
\begin{array} { r l r } { { \bf G } _ { \mathcal { A } } ^ { n , n - 1 } ( s ) } & { = } & { - \Big ( { \bf Q } ^ { [ n , n ] } - s { \bf I } \times I ( n \in \mathcal { A } ) } \\ & { } & { \quad \quad + { \bf Q } ^ { [ n , n + 1 ] } { \bf G } _ { \mathcal { A } } ^ { n + 1 , n } ( s ) \Big ) ^ { - 1 } { \bf Q } ^ { [ n , n - 1 ] } . } \end{array}
\| \hat { A } - A \| \le \eta _ { \widehat { k } } \left[ \Theta _ { \widehat { k } } + \left( \left\| A \right\| + \left\| B \right\| \right) \left( \frac { \gamma _ { \widehat { k } + 1 } } { \beta _ { { \widehat { k } } + 1 } } + \frac { \Theta _ { \widehat { k } } } { \beta _ { { \widehat { k } } + 1 } } \left\| \left( \begin{array} { l } { A } \\ { B } \end{array} \right) ^ { \dagger } \right\| \right) \right] ,
{ \left( \begin{array} { l } { r _ { x _ { 1 } } } \\ { r _ { x _ { 2 } } } \\ { r _ { x _ { 3 } } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l l } { a _ { 1 } \sin ( \alpha _ { 2 } ) { \sqrt { 1 - ( \cot ( \alpha _ { 1 } ) \cot ( \alpha _ { 2 } ) - \csc ( \alpha _ { 1 } ) \csc ( \alpha _ { 2 } ) \cos ( \alpha _ { 3 } ) ) ^ { 2 } } } } & { 0 } & { 0 } \\ { a _ { 1 } \csc ( \alpha _ { 1 } ) \cos ( \alpha _ { 3 } ) - a _ { 1 } \cot ( \alpha _ { 1 } ) \cos ( \alpha _ { 2 } ) } & { a _ { 2 } \sin ( \alpha _ { 1 } ) } & { 0 } \\ { a _ { 1 } \cos ( \alpha _ { 2 } ) } & { a _ { 2 } \cos ( \alpha _ { 1 } ) } & { a _ { 3 } } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { \rho _ { x _ { 1 } } } \\ { \rho _ { x _ { 2 } } } \\ { \rho _ { x _ { 3 } } } \end{array} \right) }
\begin{array} { r l } { \mathrm { 1 . } \quad } & { { } \left( \frac { d } { d x } \right) ^ { m + 1 } \log \Gamma ( x ) = \psi _ { m } ( x ) } \\ { \mathrm { 2 . } \quad } & { { } \psi _ { 0 } ( x + n ) = \sum _ { m = 0 } ^ { n - 1 } \frac { 1 } { x + m } + \psi ( x ) ~ . } \end{array}
g _ { \theta } \equiv \bar { \zeta } \tilde { p } d _ { \theta } + \bar { d } _ { \theta } \tilde { p } \zeta = - i ( \bar { \zeta } \tilde { p } p _ { \theta } + \bar { p } _ { \theta } \tilde { p } \zeta ) - 4 k ^ { 2 } m ^ { 2 } ( \theta \zeta + \bar { \zeta } \bar { \theta } ) \approx 0 \, ,
\star A ^ { * I } = \frac 1 2 \, d x ^ { \mu } d x ^ { \nu } \epsilon _ { \mu \nu \rho } g ^ { I J } A _ { J } ^ { * \rho } \quad , \quad \star C ^ { * I } = d ^ { 3 } x g ^ { I J } C _ { J } ^ { * } \ ,
- \frac { 2 m ( p _ { C } ) } { v ( p _ { C } ) } = - \frac { N } { k } \left\{ - ( 1 + w _ { R } ) k c + [ ( k - 1 ) w _ { I } + ( k + 1 ) w _ { I } w _ { R } + 1 - w _ { R } ] b \right\} \delta ,
\Delta \epsilon _ { 2 } = - { \frac { \alpha } { 2 4 \pi s _ { 0 } ^ { 2 } } } \left( 3 g ( m _ { 1 } ^ { 2 } , m _ { 4 } ^ { 2 } ) + g ( m _ { 3 } ^ { 2 } , m _ { 2 } ^ { 2 } ) + 3 \ln \left[ { \frac { m _ { t } } { 1 7 4 ~ \mathrm { G e V } } } \right] ^ { 2 } \right) ,
\begin{array} { r } { \delta _ { 1 , c _ { 0 , 1 } , \beta _ { 0 } } ^ { ( \nu ) } ( \underline { { X } } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { X _ { 1 } } { \alpha _ { 1 } + 1 } , } & { \mathrm { ~ i f ~ } \frac { X _ { 1 } } { \alpha _ { 1 } + 1 } \leq \frac { X _ { 2 } } { \alpha _ { 2 } } } \\ { \frac { X _ { 1 } + X _ { 2 } } { \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } + 1 } , } & { \mathrm { ~ i f ~ } \frac { X _ { 1 } } { \alpha _ { 1 } + 1 } > \frac { X _ { 2 } } { \alpha _ { 2 } } } \end{array} \right. = \operatorname* { m i n } \bigg \{ \frac { X _ { 1 } } { \alpha _ { 1 } + 1 } , \frac { X _ { 1 } + X _ { 2 } } { \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 2 } + 1 } \bigg \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda \int _ { - \infty } ^ { s } \phi ^ { 2 } d x } & { \ge - \frac { 3 } { 8 } \nu \phi ^ { \prime } ( s ) ^ { 2 } + \frac { \nu } { 2 } \phi ^ { \prime } ( s ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 \epsilon \delta } \int _ { - \infty } ^ { s } \phi ^ { 2 } d x - \frac { \epsilon } { 2 \delta } \int _ { - \infty } ^ { s } { \phi ^ { \prime } } ^ { 2 } d x } \\ & { - \frac { \delta } { 2 } \phi ^ { \prime } ( s ) ^ { 2 } + \int _ { - \infty } ^ { s } { \phi ^ { \prime } } ^ { 2 } d x - \frac { 3 C } { 2 \epsilon } \int _ { - \infty } ^ { s } \phi ^ { 2 } d x - \frac { 3 C \epsilon } { 2 } \int _ { - \infty } ^ { s } { \phi ^ { \prime } } ^ { 2 } d x . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R ^ { \alpha } } & { : = \partial _ { x } ^ { \alpha } S - [ \partial _ { x } ^ { \alpha } , u \cdot \nabla _ { x } ] \varrho - \left[ \partial _ { x } ^ { \alpha } , \frac { \varrho \mathrm { d i v } _ { x } } { 1 - \rho _ { f } } \right] ( j _ { f } - \rho _ { f } u ) + \frac { \varrho } { 1 - \rho _ { f } } \mathrm { d i v } _ { x } \left( [ \partial _ { x } ^ { \alpha } , u ] \rho _ { f } \right) } \\ & { : = \partial _ { x } ^ { \alpha } S + \mathcal { C } _ { 1 } + \mathcal { C } _ { 2 } + \mathcal { C } _ { 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { b _ { 1 } + i } & { = \zeta ( 1 + i ) ( b _ { 2 } \mp 2 ^ { a _ { 2 } } i ) ^ { 2 } = \zeta ( 1 + i ) ( b _ { 2 } ^ { 2 } - 2 ^ { 2 a _ { 2 } } \mp 2 ^ { a _ { 2 } + 1 } b _ { 2 } i ) } \\ & { = \zeta ( b _ { 2 } ^ { 2 } - 2 ^ { 2 a _ { 2 } } \pm 2 ^ { a _ { 2 } + 1 } b _ { 2 } + ( b _ { 2 } ^ { 2 } - 2 ^ { 2 a _ { 2 } } \mp 2 ^ { a _ { 2 } + 1 } b _ { 2 } ) i ) . } \end{array}
\Upsilon = \frac { \langle { { \bf { u } } ^ { \prime } \cdot { \bf { b } } ^ { \prime } } \rangle } { \langle { { \bf { u } } ^ { \prime } { } ^ { 2 } + { \bf { b } } ^ { \prime } { } ^ { 2 } } \rangle / 2 } ,
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ : ~ ~ ~ } ~ ~ ~ ~ } & { { } } \\ { \left[ \begin{array} { l } { \varepsilon _ { z s } \left( t \right) } \\ { \varepsilon _ { z c } \left( t \right) } \end{array} \right] } & { { } = \sum _ { k } \frac { q E _ { 0 } } { 2 \gamma _ { 0 } ^ { 3 } m \omega _ { k } ^ { 2 } } a _ { \left| k \right| } \left[ \mathrm { R } \left( - \tilde { k } \phi _ { \left| k \right| } \right) \right] \left[ \begin{array} { l } { \sin \left( \omega _ { k } t \right) - \omega _ { k } t } \\ { 1 - \cos \left( \omega _ { k } t \right) } \end{array} \right] } \end{array}
\mathrm { N } _ { 2 } \mathrm { O } _ { 5 } ( g ) + \mathrm { C } _ { 6 } \mathrm { H } _ { 5 } \mathrm { O H } ( a q ) \rightarrow \mathrm { N O } _ { 2 } \mathrm { C } _ { 6 } \mathrm { H } _ { 4 } \mathrm { O H } ( a q ) + \mathrm { N O } _ { 3 } ^ { - } ( a q )
{ \begin{array} { r l } { I _ { \mathrm { R M S } } } & { = I _ { \mathrm { p } } { \sqrt { { \frac { 1 } { T _ { 2 } - T _ { 1 } } } { \int _ { T _ { 1 } } ^ { T _ { 2 } } { \frac { 1 - \cos ( 2 \omega t ) } { 2 } } \, d t } } } } \\ & { = I _ { \mathrm { p } } { \sqrt { { \frac { 1 } { T _ { 2 } - T _ { 1 } } } \left[ { \frac { t } { 2 } } - { \frac { \sin ( 2 \omega t ) } { 4 \omega } } \right] _ { T _ { 1 } } ^ { T _ { 2 } } } } } \end{array} }
{ \cal F } _ { 4 } = 3 ( * d F _ { 1 } ^ { - 1 } \wedge d y _ { 2 } \wedge d y _ { 3 } + * d F _ { 2 } ^ { - 1 } \wedge d y _ { 4 } \wedge d y _ { 5 } + * d F _ { 3 } ^ { - 1 } \wedge d y _ { 6 } \wedge d y _ { 7 } ) \ ,
\begin{array} { r l } { \widetilde { V } ( r ) = } & { \: \widetilde { V } _ { 0 } ( r ) + \widetilde { V } _ { 1 } ( r ) , \quad \textnormal { w i t h } } \\ { \widetilde { V } _ { 0 } ( r ) = } & { \: - 2 ( 1 + a ^ { 2 } ) ^ { - 1 } m a \widetilde { \omega } - a ^ { 2 } m ^ { 2 } ( 1 + a ^ { 2 } ) ^ { - 2 } + ( r ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { - 2 } \left[ 2 m a ( 1 + a ^ { 2 } ) \widetilde { \omega } r + m ^ { 2 } a ^ { 2 } ( 2 r - 1 ) + \Lambda \Delta \right] , } \\ { \widetilde { V } _ { 1 } ( r ) = } & { \: V _ { 1 } ( r ) . } \end{array}
\Phi _ { j , k , g } ^ { n + 1 } \to \left\langle \frac { c l _ { k } } { \varepsilon \Delta t } \int _ { t _ { n } } ^ { t _ { n + 1 } } \mu ^ { \prime } I _ { g } \left( t _ { n } , - \frac { \mu ^ { \prime } c } { \varepsilon } \left( t - t _ { n } \right) , - \frac { \xi ^ { \prime } c } { \varepsilon } \left( t - t _ { n } \right) \right) d t \right\rangle
I _ { K - 1 } = \int _ { 0 } ^ { 1 - R _ { K - 2 } } d \rho _ { K - 1 } \, \rho _ { K - 1 } ^ { n _ { K - 1 } + \beta - 1 } \left( 1 - \rho _ { k - 1 } - R _ { K - 2 } \right) ^ { n _ { K } + \beta - 1 } .
\left| { \lambda } ^ { 2 } \mu \alpha \int _ { l _ { 1 } } ^ { l _ { 2 } } \theta _ { 1 } p \overline { { v } } d x \right| = o ( 1 ) , \left| \int _ { l _ { 1 } } ^ { l _ { 2 } } \theta _ { 1 } ^ { \prime } p _ { x } \overline { { v } } d x \right| = o ( { \lambda } ^ { - 1 } ) \quad \mathrm { a n d } \quad \left| \int _ { l _ { 1 } } ^ { l _ { 2 } } \theta _ { 1 } F ^ { 6 } \overline { { v } } d x \right| = o ( 1 ) .