harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\eta ( z ) = \eta _ { 0 } \left[ 1 + \left( \frac { \eta _ { 0 } ^ { 2 } } { \eta ^ { 2 } ( 0 ) } - 1 \right) \exp \left( - 8 \eta _ { 0 } ^ { 2 } \epsilon _ { 3 } z / 3 \right) \right] ^ { - \frac { 1 } { 2 } } .
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { t } \int _ { X } \int _ { B ( z , \delta t ^ { 1 / d _ { w } } ) } \phi _ { x } ( z ) ( f ( z ) - f ( y ) ) ^ { 2 } p _ { t } ( z , y ) \, d \mu ( y ) \, d \mu ( z ) } \\ & { \leq \frac { c } { t } \int _ { X } \fint _ { B ( z , \delta t ^ { 1 / d _ { w } } ) } \phi _ { x } ( z ) ( f ( z ) - f ( y ) ) ^ { 2 } d \mu ( y ) \, d \mu ( z ) = : \Phi _ { x } ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F ^ { i } ( x , t ) } & { = M ^ { i } ( x , t ) \rho ( x , t ) + \sum _ { j = 1 } ^ { d } D _ { i j } ( x , t ) \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \rho ( x , t ) , } \\ { M ^ { i } ( x , t ) } & { = \sum _ { j = 1 } ^ { d } \frac { \partial } { \partial x _ { j } } D _ { i j } ( x , t ) - \mu _ { i } ( x , t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I \left( t \right) } & { { } = \eta _ { \mathrm { d e t } } \sqrt { P \left( t \right) P \left( t - \tau _ { d } \right) } \, \cos { \left( \phi \left( t \right) - \phi \left( t - \tau _ { d } \right) - \Delta \Omega \, t \right) } + \xi _ { I } \left( t \right) , } \\ { Q \left( t \right) } & { { } = \eta _ { \mathrm { d e t } } \sqrt { P \left( t \right) P \left( t - \tau _ { d } \right) } \, \sin { \left( \phi \left( t \right) - \phi \left( t - \tau _ { d } \right) - \Delta \Omega \, t \right) } + \xi _ { Q } \left( t \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { l , m } ( x , y , z ) = } & { { } E _ { 0 } { \frac { w _ { 0 } } { w ( z ) } } \, H _ { l } \! { \Bigg ( } { \frac { { \sqrt { 2 } } \, x } { w ( z ) } } { \Bigg ) } \, H _ { m } \! { \Bigg ( } { \frac { { \sqrt { 2 } } \, y } { w ( z ) } } { \Bigg ) } \times } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| Q - f _ { e } \| ^ { 2 } } & { = \| Q - S \| ^ { 2 } + \| S - f _ { e } \| ^ { 2 } = \| Q - S \| ^ { 2 } + \| \mu ( f _ { e } - o _ { e } ) + o _ { e } - f _ { e } \| ^ { 2 } } \\ & { = \| Q - S \| ^ { 2 } + \| \mu ( f _ { e } - o _ { e } ) + o _ { e } - f _ { e } + o _ { e } - o _ { e } \| ^ { 2 } } \\ & { = \| Q - S \| ^ { 2 } + | \mu - 1 | ^ { 2 } \| ( f _ { e } - o _ { e } ) \| ^ { 2 } } \\ & { \leq \| Q - S \| ^ { 2 } + | ( \mu - \lambda ) | ^ { 2 } \| ( f _ { e } - o _ { e } ) \| ^ { 2 } } \\ & { = \| Q - S \| ^ { 2 } + \| \mu ( f _ { e } - o _ { e } ) + o _ { e } - ( \lambda ( f _ { e } - o _ { e } ) + o _ { e } ) \| ^ { 2 } } \\ & { = \| Q - S \| ^ { 2 } + \| S - X \| ^ { 2 } } \\ & { = \| Q - X \| ^ { 2 } . } \end{array}
B _ { a _ { 1 } a _ { 2 } } ( \alpha , \beta ) = S _ { a _ { 1 } a _ { 2 } } ^ { a _ { 1 } ^ { \prime } a _ { 2 } ^ { \prime } } ( \alpha , \beta ) A _ { a _ { 1 } ^ { \prime } a _ { 2 } ^ { \prime } } ( \alpha , \beta )
\begin{array} { r } { \mathbf { g } = \partial _ { t } I _ { h } ( \mathbf { u } ) + I _ { h } \left( \mathbf { v } \cdotp \nabla \mathbf { v } - \nu \nabla ^ { 2 } I _ { h } \mathbf { u } - \nu \nabla ^ { 2 } J _ { h } \mathbf { v } \right) , } \end{array}
\Gamma _ { \mathrm { { 3 b } } } = \Gamma _ { \mathrm { { i n t r a } } } + \Gamma _ { \mathrm { { i n t e r } } } e ^ { - \frac { 1 } { 3 } ( \frac { s } { \sigma _ { z } } ) ^ { 2 } } = \frac { \dot { N } _ { \mathrm { t o t } } } { N _ { \mathrm { t o t } } }
\sin ^ { 2 } 2 \theta _ { \mathrm { L S N D } } = \frac { 1 } { 2 } s _ { 1 4 } ^ { 4 } \sim ( 0 . 0 5 8 \; \mathrm { o r } \; 4 . 5 \times 1 0 ^ { - 4 } \; \mathrm { o r } \; 0 . 0 2 0 )
\mathrm { H } _ { \mathcal { F } _ { \bullet } } ^ { 1 } ( \mathbb { Q } , M ) = \ker \biggl ( \mathrm { H } ^ { 1 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , M ) \to \prod _ { w \in \Sigma , w \nmid p } \mathrm { H } ^ { 1 } ( \mathbb { Q } _ { w } , M ) \times \frac { \mathrm { H } ^ { 1 } ( \mathbb { Q } _ { p } , M ) } { \mathrm { H } _ { \bullet } ^ { 1 } ( \mathbb { Q } _ { p } , M ) } \biggr ) .
{ ^ { Q Q } \! f ^ { T } } \equiv { ^ { Q Q } \! f ^ { b } } = \frac { x } { y } \frac { 1 } { y - x } , \quad { ^ { Q Q } \gamma _ { 0 } ^ { T ( 0 ) } } = C _ { F } , \quad { ^ { G G } \! f ^ { T } } \equiv { ^ { G G } \! f ^ { b } } = \frac { x ^ { 2 } } { y ^ { 2 } } \frac { 1 } { y - x } , \quad { ^ { G G } \gamma _ { 1 } ^ { T ( 0 ) } } = 6 C _ { A } + \beta _ { 0 } .
g _ { 3 } ^ { 2 } = T g ^ { 2 } ( \overline { { { \mu } } } ) \biggl [ 1 + { \frac { g ^ { 2 } ( \overline { { { \mu } } } ) } { 4 8 \pi ^ { 2 } } } \biggl ( ( 2 2 N - N _ { s } ) { \frac { L _ { b } } { 2 } } - N _ { f } L _ { f } + N \biggr ) \biggr ] .
\begin{array} { r l r } { \mathcal { L } \boldsymbol { u } ( \boldsymbol { x } ) } & { { } = \boldsymbol { f } ( \boldsymbol { x } ) , } & { \quad \boldsymbol { x } \in \Omega , } \\ { \mathcal { B } \boldsymbol { u } ( \boldsymbol { x } ) } & { { } = \boldsymbol { g } ( \boldsymbol { x } ) , } & { \quad \boldsymbol { x } \in \partial \Omega , } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { m i n } _ { \omega \in \mathbb { C } ^ { m ^ { 2 } } , z \in \mathbb { C } ^ { n ^ { 2 } } } \sum _ { j = 1 } ^ { N } \mathcal { B } ( | \mathcal { F } ( \omega \circ S _ { j } z ) | ^ { 2 } , d _ { j } ) + \lambda \left( \| \nabla z \| _ { 1 } - \alpha \| \nabla z \| _ { 2 , 1 } \right) , \; \lambda > 0 , \; \alpha \in [ 0 , 1 ] . } \end{array}
\hat { \mathbf { S } } ^ { \mu \nu } ( \mathbf { k } _ { | | } , \omega _ { a } ) = \sideset { } { ' } \sum _ { m } \hat { \mathbf { G } } ( \mathbf { R } _ { m } + \mathbf { T } ^ { \nu } - \mathbf { T } ^ { \mu } , \omega _ { a } ) e ^ { - i \mathbf { k } _ { | | } \mathbf { R } _ { m } } ,
\cdots { \xrightarrow { } } \; 0 \; { \xrightarrow { } } \; \mathbf { Z } \; { \xrightarrow { \times p } } \; \mathbf { Z } \twoheadrightarrow \mathbf { Z } / p \mathbf { Z } \; { \xrightarrow { } } \; 0 \; { \xrightarrow { } } \cdots
\begin{array} { r } { 0 = f ( \widehat { L } ) \frac { \partial } { \partial \widehat { L } } u ( \widehat { L } ) + \frac { D ( \widehat { L } ) } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \widehat { L } ^ { 2 } } u ( \widehat { L } ) \quad \mathrm { w i t h } \quad u ( \widehat { L } _ { b } ) = 1 \ , \ u ( \widehat { L } _ { a } ) = 0 \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { u } _ { L } } & { { } = \left( \begin{array} { l } { 2 } \\ { 0 } \\ { 0 . 1 } \end{array} \right) \mathrm { k m \, s } ^ { - 1 } , \quad \mathbf { F } _ { e , L } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { - 0 . 0 1 } & { 0 . 9 5 } & { 0 . 0 2 } \\ { - 0 . 0 1 5 } & { 0 } & { 0 . 9 } \end{array} \right) , \quad \mathscr { E } _ { L } = \mathscr { E } _ { \mathrm { r e f } , L } } \\ { \mathbf { u } _ { R } } & { { } = \mathbf { 0 } \: \mathrm { k m \, s } ^ { - 1 } , \quad \overline { { \mathbf { V } } } _ { e , R } = \mathbf { I } , \quad \rho _ { R } = 1 0 ^ { - 3 } \: \mathrm { g \, c m } ^ { - 3 } , \quad p _ { R } = 1 0 ^ { - 4 } \: \mathrm { G P a } } \end{array}
\eta = \frac { \langle \phi \rangle _ { p } } { \langle \phi \rangle _ { l _ { p } } } = \frac { q _ { p } ^ { p } } { \langle \phi \rangle _ { l _ { p } } q _ { p } ^ { s } } = { \cal A } \bigl ( 1 \! - \! \bar { s } \bigr ) .
\begin{array} { r l } { \| \nabla _ { \widetilde { g } } \nabla _ { \widetilde { g } } v \| _ { L ^ { 2 } ( T , \widetilde { g } ) } } & { \le C \| \nabla _ { \widetilde { g } } \nabla _ { \widetilde { g } } v \| _ { L ^ { 2 } ( T ) } } \\ & { \le C \left( \| \nabla _ { g } \nabla _ { g } v \| _ { L ^ { 2 } ( T ) } + \| g _ { h } - g \| _ { W ^ { 1 , \infty } ( T ) } \| d v \| _ { L ^ { 2 } ( T ) } \right) } \\ & { \le C \left( \| \nabla _ { g } \nabla _ { g } v \| _ { L ^ { 2 } ( T , g ) } + \| g _ { h } - g \| _ { W ^ { 1 , \infty } ( T ) } \| d v \| _ { L ^ { 2 } ( T ) } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \mathcal { A } ( \rho _ { l } ) - \mathcal { A } ( \rho _ { v } ) } { \rho _ { l } - \rho _ { v } } } & { { } = } & { \frac { \partial \mathcal { A } } { \partial \rho } \bigg \vert _ { \rho _ { v } } , } \\ { \frac { \mathcal { A } ( \rho _ { l } ) - \mathcal { A } ( \rho _ { v } ) } { \rho _ { l } - \rho _ { v } } } & { { } = } & { \frac { \partial \mathcal { A } } { \partial \rho } \bigg \vert _ { \rho _ { l } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { - k _ { + } } & { \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { \beta _ { - } \bar { u } ^ { \prime } ( x ; s ) - k _ { - } \bar { u } _ { s } ( x ; s ) } \end{array} \right) \wedge \left( \begin{array} { l } { \bar { u } ( x ; s ) } \\ { \bar { u } ^ { \prime } ( x ; s ) } \\ { \bar { u } ^ { \prime \prime } ( x ; s ) + a ( x ) \bar { u } ( x ; s ) } \end{array} \right) d x } \\ & { = - k _ { + } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } ( \beta _ { - } \bar { u } ^ { \prime } ( x ; s ) - k _ { - } \bar { u } _ { s } ( x ; s ) ) \bar { u } ( x ; s ) d x = k _ { - } k _ { + } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \bar { u } ( x ; s ) \bar { u } _ { s } ( x ; s ) d x , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \displaystyle { x _ { \xi } = \frac { \partial x } { \partial \xi } \, \mathrm { ~ , ~ } } } & { { } \displaystyle { x _ { \eta } = \frac { \partial x } { \partial \eta } \, \mathrm { ~ , ~ } } } & { \displaystyle { x _ { \zeta } = \frac { \partial x } { \partial \zeta } \, \mathrm { ~ , ~ } } } \\ { \displaystyle { y _ { \xi } = \frac { \partial y } { \partial \xi } \, \mathrm { ~ , ~ } } } & { { } \displaystyle { y _ { \eta } = \frac { \partial y } { \partial \eta } \, \mathrm { ~ , ~ } } } & { \displaystyle { y _ { \zeta } = \frac { \partial y } { \partial \zeta } \, \mathrm { ~ , ~ } } } \\ { \displaystyle { z _ { \xi } = \frac { \partial z } { \partial \xi } \, \mathrm { ~ , ~ } } } & { { } \displaystyle { z _ { \eta } = \frac { \partial z } { \partial \eta } \, \mathrm { ~ , ~ } } } & { \displaystyle { z _ { \zeta } = \frac { \partial z } { \partial \zeta } \, \mathrm { ~ . ~ } } } \end{array}
\boldsymbol { \nu } _ { \infty } ^ { ( \mathbf { b } ) } = \mathbf { 0 } \, \, , \, \, \boldsymbol { \nu } _ { X _ { s } } ^ { ( \mathbf { b } ) } = \left( \begin{array} { l } { - \nu _ { { X _ { s } } , 0 } ^ { ( \mathbf { b } ) } + \nu _ { \infty , 0 } ^ { ( \mathbf { b } ) } + \nu _ { \infty , - 1 } ^ { ( \mathbf { b } ) } X _ { s } } \\ { - \nu _ { { X _ { s } } , 1 } ^ { ( \mathbf { b } ) } + \nu _ { \infty , - 1 } ^ { ( \mathbf { b } ) } } \\ { - \nu _ { { X _ { s } } , 2 } ^ { ( \mathbf { b } ) } } \\ { \vdots } \\ { - \nu _ { { X _ { s } } , r _ { s } - 1 } ^ { ( \mathbf { b } ) } } \end{array} \right) = \mathbf { 0 }
- { \frac { d ^ { 2 } \psi } { d \rho ^ { 2 } } } + ( k _ { y } L - q B _ { 0 } L ^ { 2 } \operatorname { t a n h } \rho ) ^ { 2 } \, \psi = ( \omega ^ { 2 } - k _ { z } ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) \, L ^ { 2 } \, \psi ,
Z _ { g } = \int _ { m o d u l i } \prod _ { k = 1 } ^ { 3 g - 3 } d ^ { 2 } m _ { k } | \sigma ( m _ { 1 } , \cdots , m _ { k } ) | ^ { 2 } \operatorname * { d e t } ( I m ( \tau ) ) ^ { - 1 3 }
\begin{array} { r l } { \iota _ { 1 } ( \widetilde { A } _ { 1 } ) } & { = \iota _ { 1 } ( a _ { 0 } ^ { 1 } ( A _ { 0 } ) ) = b _ { 0 } ^ { 1 } ( \iota _ { 0 } ( A _ { 0 } ) ) \subseteq b _ { 0 } ^ { 1 } ( B _ { 0 } ) = \widetilde { B } _ { 1 } , \quad \mathrm { a n d } } \\ { \lambda _ { 1 } ( \widetilde { A } _ { 1 } ) } & { = \lambda _ { 1 } ( a _ { 0 } ^ { 1 } ( A _ { 0 } ) ) = c _ { 0 } ^ { 1 } ( \lambda _ { 0 } ( A _ { 0 } ) ) \subseteq c _ { 0 } ^ { 1 } ( C _ { 0 } ) = \widetilde { C } _ { 1 } . } \end{array}
\boldsymbol { \hat { n } \cdot \nabla } T _ { R } = \mathrm { ~ R ~ e ~ } [ n \overline { { \nabla } } T _ { R } ] = \frac { 1 } { \lvert f _ { \zeta } \vert } \mathrm { ~ R ~ e ~ } [ \zeta f _ { \zeta } ( F ^ { \prime } ( z ) - \alpha \overline { { z } } / 2 ) ] \equiv \frac { \omega ( \theta ) } { \lvert f _ { \zeta } \vert } ,
\begin{array} { r } { | \left\langle { G _ { 1 } G _ { 2 } A } \right\rangle | \prec \frac { \Lambda _ { k } } { L \sqrt { \eta _ { * } } } + \frac { 1 } { L \sqrt { \eta _ { * } } } \left( 1 + \frac { \Lambda _ { k + 4 } } { \sqrt { N L } } \right) + \frac { \Lambda _ { k + 3 } } { L ^ { 2 } } \prec \frac { \Lambda _ { k } } { L \sqrt { \eta _ { * } } } + \frac { \Lambda _ { k + 4 } } { L ^ { 2 } } . } \end{array}
E _ { x 0 } ^ { * } \zeta ^ { 1 / 2 } 2 i S \sin ( k _ { z } \Delta z / 2 ) + B _ { 0 } \left( \zeta - 1 + v e ^ { - i k _ { z } \Delta z / 2 } 2 i S \sin ( k _ { z } \Delta z / 2 ) \right) = 0 .
\begin{array} { r } { [ \mathcal { B } _ { i } ^ { j } ] _ { b a } = ( 1 - \delta _ { i j } ) \left[ \Pi _ { j } f ( h _ { * } ) \Pi _ { i } \frac { 1 } { \sqrt { ^ t \Delta _ { i } ( \mathbf { 1 } - ^ { t } \dag ! \Delta _ { i } ) } } \right] _ { b a } \dag , , } \end{array}
{ \cal L } _ { i n d } ^ { ( - ) } \vert _ { h h } = \alpha \partial \partial ^ { * } { \cal A } _ { -- } [ \partial ^ { * } \partial _ { + } ^ { 2 } \partial ^ { - 2 } h \partial ^ { - 1 } h + \partial _ { + } ^ { 2 } \partial ^ { - 2 } h \partial ^ { * } \partial ^ { - 1 } h ] ,
\boldsymbol { \mathcal { X } } _ { \mathrm { ~ M ~ C ~ } } = ( \boldsymbol { x } ^ { ( 1 ) } , . . . , \boldsymbol { x } ^ { ( m ) } , . . . \boldsymbol { x } ^ { ( N _ { \mathrm { ~ M ~ C ~ } } ) } ) ^ { \intercal }
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \mathbb E F _ { N } } & { \leq \ln 2 + \frac { \alpha } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \ln \cosh ( \beta x ) } { x ^ { \alpha + 1 } } d x + \frac { 1 } { n } \mathbb E \ln \mathcal { A } _ { n } ( \sigma ) - \frac { 1 } { n } \mathbb E \ln \mathcal { B } _ { n , 1 } ( \sigma ) . } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { } } & { { = } } & { { \left( \delta _ { \xi } \left( ( X _ { + } ^ { - } ) ^ { n } ( X _ { - } ^ { - } ) ^ { m } V _ { \alpha } ( z _ { 1 } ) \right) \right) ( X _ { + } ^ { - } ) ^ { n ^ { \prime } } ( X _ { - } ^ { - } ) ^ { m ^ { \prime } } V _ { \beta } ( z _ { 2 } ) } } \\ { { } } & { { } } & { { + ( X _ { + } ^ { - } ) ^ { n } ( X _ { - } ^ { - } ) ^ { m } V _ { \alpha } ( z _ { 1 } ) \left( \delta _ { \xi } \left( ( X _ { + } ^ { - } ) ^ { n ^ { \prime } } ( X _ { - } ^ { - } ) ^ { m ^ { \prime } } V _ { \beta } ( z _ { 2 } ) \right) \right) } } \\ { { } } & { { = } } & { { ( X _ { + } ^ { - } ) ^ { n } ( X _ { - } ^ { - } ) ^ { m } \left( \delta _ { \xi } V _ { \alpha } ( z _ { 1 } ) \right) ( X _ { + } ^ { - } ) ^ { n ^ { \prime } } ( X _ { - } ^ { - } ) ^ { m ^ { \prime } } V _ { \beta } ( z _ { 2 } ) } } \\ { { } } & { { } } & { { + ( X _ { + } ^ { - } ) ^ { n } ( X _ { - } ^ { - } ) ^ { m } V _ { \alpha } ( z _ { 1 } ) ( X _ { + } ^ { - } ) ^ { n ^ { \prime } } ( X _ { - } ^ { - } ) ^ { m ^ { \prime } } \left( \delta _ { \xi } V _ { \beta } ( z _ { 2 } ) \right) } } \\ { { } } & { { } } & { { - \left( ( 1 - q _ { + } ^ { - 1 } ) \xi ( \infty ) J _ { + } ( \infty ) \Delta ( X _ { + } ^ { + } ) + ( 1 - q _ { - } ^ { - 1 } ) \xi ( \infty ) J _ { - } ( \infty ) \Delta ( X _ { - } ^ { + } ) \right) \times } } \\ { { } } & { { } } & { { ~ ~ \times ( X _ { + } ^ { - } ) ^ { n } ( X _ { - } ^ { - } ) ^ { m } V _ { \alpha } ( z _ { 1 } ) ( X _ { + } ^ { - } ) ^ { n } ( X _ { - } ^ { - } ) ^ { m } V _ { \beta } ( z _ { 2 } ) ~ , } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \nabla _ { x } \mathcal { L } _ { \rho } ( x _ { k + 1 } , \lambda _ { k + 1 } ) = \nabla f ( x _ { k + 1 } ) + { \nabla F ( x _ { k + 1 } ) } ^ { T } \big ( \lambda _ { k + 1 } + \rho F ( x _ { k + 1 } ) \big ) } \\ { = } & { \big ( { \nabla F ( x _ { k + 1 } ) } - { \nabla F ( x _ { k } ) } \big ) ^ { T } \lambda _ { k + 1 } + { \nabla F ( x _ { k + 1 } ) } ^ { T } \Delta \lambda _ { k + 1 } - \beta _ { k + 1 } \Delta x _ { k + 1 } } \\ & { + \rho { \nabla F ( x _ { k + 1 } ) } ^ { T } \big ( F ( x _ { k + 1 } ) - F ( x _ { k } ) - \nabla F ( x _ { k } ) \Delta x _ { k + 1 } \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { \eta _ { + - } } } & { { = } } & { { \displaystyle { \frac { 1 } { 2 } \left( 1 - \frac { q _ { 2 } } { p _ { 2 } } \frac { \bar { A } _ { 0 } } { A _ { 0 } } \right) - \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } } \omega e ^ { i ( \delta _ { 2 } - \delta _ { 0 } ) } \left( 1 - \frac { q _ { 2 } } { p _ { 2 } } \frac { \bar { A } _ { 0 } } { A _ { 0 } } \right) } } } \\ { { } } & { { } } & { { \displaystyle { + \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } } e ^ { i ( \delta _ { 2 } - \delta _ { 0 } ) } \left( \frac { p _ { 2 } A _ { 2 } - q _ { 2 } \bar { A } _ { 2 } } { p _ { 2 } A _ { 0 } } \right) } , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \eta _ { 0 0 } } } & { { = } } & { { \displaystyle { \frac { 1 } { 2 } \left( 1 - \frac { q _ { 2 } } { p _ { 2 } } \frac { \bar { A } _ { 0 } } { A _ { 0 } } \right) + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \omega e ^ { i ( \delta _ { 2 } - \delta _ { 0 } ) } \left( 1 - \frac { q _ { 2 } } { p _ { 2 } } \frac { \bar { A } _ { 0 } } { A _ { 0 } } \right) } } } \\ { { } } & { { } } & { { \displaystyle { - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } e ^ { i ( \delta _ { 2 } - \delta _ { 0 } ) } \left( \frac { p _ { 2 } A _ { 2 } - q _ { 2 } \bar { A } _ { 2 } } { p _ { 2 } A _ { 0 } } \right) } . } } \end{array}
( \hat { O } \varphi _ { 2 c } ) ( x ) \sim \varphi _ { 0 } ( \tau ) f ^ { 2 } ( \tau ) \int \! { \frac { d ^ { d } { \bf p } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } \, { \frac { f ^ { 2 } ( \tau ^ { \prime } ) \varphi _ { 0 } ( \tau ^ { \prime } ) \varphi _ { 1 } ( \tau ^ { \prime } ) } { W _ { \bf p } ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l } { \Psi _ { 1 } ^ { \mathrm { a v } } } & { \prec 1 + \frac { \psi _ { 1 } ^ { \mathrm { a v } } } { N \eta } + \frac { \psi _ { 1 } ^ { \mathrm { i s o } } + ( \psi _ { 2 } ^ { \mathrm { a v } } ) ^ { 1 / 2 } } { ( N \eta ) ^ { 1 / 2 } } + \frac { ( \psi _ { 2 } ^ { \mathrm { i s o } } ) ^ { 1 / 2 } } { ( N \eta ) ^ { 1 / 4 } } \, , } \\ { \Psi _ { 1 } ^ { \mathrm { i s o } } } & { \prec 1 + \frac { \psi _ { 1 } ^ { \mathrm { i s o } } + \psi _ { 1 } ^ { \mathrm { a v } } } { ( N \eta ) ^ { 1 / 2 } } + \frac { ( \psi _ { 2 } ^ { \mathrm { i s o } } ) ^ { 1 / 2 } } { ( N \eta ) ^ { 1 / 4 } } \, , } \\ { \Psi _ { 2 } ^ { \mathrm { a v } } } & { \prec 1 + \frac { ( \psi _ { 1 } ^ { \mathrm { a v } } ) ^ { 2 } + { ( \psi _ { 1 } ^ { \mathrm { i s o } } ) ^ { 2 } } + \psi _ { 2 } ^ { \mathrm { a v } } } { N \eta } + \frac { \psi _ { 2 } ^ { \mathrm { i s o } } + ( \psi _ { 4 } ^ { \mathrm { a v } } ) ^ { 1 / 2 } } { ( N \eta ) ^ { 1 / 2 } } + \frac { ( \psi _ { 3 } ^ { \mathrm { i s o } } ) ^ { 1 / 2 } + ( \psi _ { 4 } ^ { \mathrm { i s o } } ) ^ { 1 / 2 } } { ( N \eta ) ^ { 1 / 4 } } \, , } \\ { \Psi _ { 2 } ^ { \mathrm { i s o } } } & { \prec 1 + \psi _ { 1 } ^ { \mathrm { i s o } } + \frac { \psi _ { 1 } ^ { \mathrm { a v } } \psi _ { 1 } ^ { \mathrm { i s o } } + ( \psi _ { 1 } ^ { \mathrm { i s o } } ) ^ { 2 } } { N \eta } + \frac { \psi _ { 2 } ^ { \mathrm { i s o } } + ( \psi _ { 1 } ^ { \mathrm { i s o } } \psi _ { 3 } ^ { \mathrm { i s o } } ) ^ { 1 / 2 } } { ( N \eta ) ^ { 1 / 2 } } + \frac { ( \psi _ { 3 } ^ { \mathrm { i s o } } ) ^ { 1 / 2 } + ( \psi _ { 4 } ^ { \mathrm { i s o } } ) ^ { 1 / 2 } } { ( N \eta ) ^ { 1 / 4 } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { H ( \mu , \sigma ) } & { = \left\{ Q : \mathbb { E } ^ { Q } [ X _ { i } | \mathcal F _ { i - 1 } ] \leqslant \mu \mathrm { ~ a n d ~ } \mathrm { v a r } ^ { Q } ( X _ { i } | \mathcal F _ { i - 1 } ) \leqslant \sigma ^ { 2 } \mathrm { ~ f o r ~ i \in ~ [ n ] ~ } \right\} ; } \\ { H _ { \mathrm { S } } ( \mu , \sigma ) } & { = \{ Q \in H ( \mu , \sigma ) : \mathrm { ~ X _ i | \mathcal ~ F _ { i - 1 } ~ i s ~ s y m m e t r i c a l l y ~ d i s t r i b u t e d ~ f o r ~ i \in ~ [ n ] ~ } \} ; } \\ { H _ { \mathrm { U } } ( \mu , \sigma ) } & { = \{ Q \in H ( \mu , \sigma ) : \mathrm { ~ X _ i | \mathcal ~ F _ { i - 1 } ~ i s ~ u n i m o d a l l y ~ d i s t r i b u t e d ~ f o r ~ i \in ~ [ n ] ~ } \} ; } \\ { H _ { \mathrm { U S } } ( \mu , \sigma ) } & { = H _ { \mathrm { U } } ( \mu , \sigma ) \cap H _ { \mathrm { S } } ( \mu , \sigma ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { N ^ { 2 } } \mathrm { T r } \big [ ( \mathbf K _ { x } ( \mathbf I - \mathbf H _ { N } ) ) ^ { 2 } \big ] + \frac { 1 } { M ^ { 2 } } \mathrm { T r } \big [ ( \mathbf K _ { y } ( \mathbf I - \mathbf H _ { M } ) ) ^ { 2 } \big ] - \frac { 2 } { N M } \mathrm { T r } \big [ \mathbf K _ { x y } ( \mathbf I - \mathbf H _ { M } ) \mathbf K _ { x y } ^ { \top } ( \mathbf I - \mathbf H _ { N } ) \big ] . } \end{array}
[ \mathbf { W } _ { 3 } ^ { - 1 } ] _ { \mathrm { R - T R E } } = [ [ \mathbf { W } _ { 3 } ^ { - 1 } ] _ { \mathrm { R T } } \ [ \mathbf { W } _ { 3 } ^ { - 1 } ] _ { \mathrm { R R } } \ [ \mathbf { W } _ { 3 } ^ { - 1 } ] _ { \mathrm { R E } } ]
\mathcal { Q } ( x ) = \left[ \begin{array} { l } { \langle x , p \rangle } \\ { \langle x , h _ { 1 } \rangle } \\ { \vdots } \\ { \langle x , h _ { K } \rangle } \end{array} \right] \in \mathbb { S } ^ { K } , \ \ \mathcal { Q } ^ { - 1 } \Big ( \left[ \begin{array} { l } { y _ { 0 } } \\ { y _ { 1 } } \\ { \vdots } \\ { y _ { K } } \end{array} \right] \Big ) = y _ { 0 } p + \sum _ { k = 1 } ^ { K } y _ { k } h _ { k } \in \mathbb { S } _ { H } ^ { D } ,
S _ { 2 1 } = \frac { \sqrt { \kappa _ { 1 } \kappa _ { 2 } } } { i ( \omega _ { d } - \omega _ { y } ) + \frac { \kappa _ { 0 } + \kappa _ { 1 } + \kappa _ { 2 } } { 2 } } e ^ { - i \frac { \pi } { 2 } } ,
- \mathfrak { F } \left[ \left. \frac { \delta ^ { 2 } T _ { \mathrm { s } } } { \delta n ( \vec { r } ) \delta n ( \vec { r ^ { \prime } } ) } \right| _ { \mathrm { n = n _ { 0 } } } \right] = \frac { 1 } { \chi _ { \mathrm { L i n } } ( \eta ) } ,
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { t } \frac { e ^ { - \beta ( t - s ) } } { \left( 1 + S _ { 0 } ^ { \frac { p } { 2 } } s \right) ^ { 1 + \frac { 2 } { p } } } d s } & { { } = \int _ { 0 } ^ { \frac { t } { 2 } } \frac { e ^ { - \beta ( t - s ) } } { \left( 1 + S _ { 0 } ^ { \frac { p } { 2 } } s \right) ^ { 1 + \frac { 2 } { p } } } d s + \int _ { \frac { t } { 2 } } ^ { t } \frac { e ^ { - \beta ( t - s ) } } { \left( 1 + S _ { 0 } ^ { \frac { p } { 2 } } s \right) ^ { 1 + \frac { 2 } { p } } } d s } \end{array}
{ \frac { \partial \vec { \mathrm { u } } } { \partial t } } = - \vec { \mathrm { w } } \times \vec { \mathrm { u } } - \nabla \left( { \frac { p } { \rho } } + { \frac { \mathrm { u } ^ { 2 } } { 2 } } \right) + \nu \nabla ^ { 2 } \vec { \mathrm { u } } ,
d _ { T } ^ { B R } = \sum _ { i \in \mathcal { B } } \sum _ { j \in \mathcal { R } } \mathcal { A } _ { i j } ^ { B R } , \; \; d _ { T } ^ { R B } = \sum _ { i \in \mathcal { R } } \sum _ { j \in \mathcal { B } } \mathcal { A } _ { i j } ^ { R B } ,
\begin{array} { r l } { \int _ { B _ { \rho } } \left( \frac { \varepsilon | \nabla u _ { \varepsilon } | ^ { 2 } } { 2 } - \frac { W ( u _ { \varepsilon } ) } { \varepsilon } \right) _ { + } } & { \leq C \delta ^ { p _ { 3 } } \int _ { B _ { 2 \rho } } \left( \frac { \varepsilon | \nabla u _ { \varepsilon } | ^ { 2 } } { 2 } + \frac { W ( u _ { \varepsilon } ) } { \varepsilon } \right) + C ( \delta ^ { - M } \varepsilon + \varepsilon ^ { 2 } ) \int _ { B _ { \rho } } | f _ { \varepsilon } | ^ { 2 } } \\ & { \quad + C \delta ^ { - M } \varepsilon ^ { 3 } + C \left( \frac { \varepsilon } { \rho } \right) \delta \rho ^ { n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial f } { \partial t } = - ( { \mathbf p } - { \mathbf A } ) \cdot \frac { \partial f } { \partial { \mathbf x } } + \left[ \left( \frac { \partial { \mathbf A } } { \partial \mathbf x } \right) ^ { \top } ( { \mathbf A } - { \mathbf p } ) \right] \cdot \frac { \partial f } { \partial { \mathbf p } } - ( { \mathbf p } - { \mathbf A } ) \times { \mathbf B } _ { 0 } \cdot \frac { \partial f } { \partial { \mathbf p } } , } \\ & { \frac { \partial { \mathbf A } } { \partial t } = T \frac { \nabla n } { n } - \frac { \nabla \times \left( { \mathbf B } _ { 0 } + \nabla \times { \mathbf A } \right) } { n } \times \left( { \mathbf B } _ { 0 } + { \nabla \times { \mathbf A } } \right) - \frac { \int ( { \mathbf A } - { \mathbf p } ) f \mathrm { d } { \mathbf p } } { n } \times \left( { { \mathbf B } _ { 0 } + \nabla \times { \mathbf A } } \right) . } \end{array}