harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial f \left( \mathbf { u } , r \right) } { \partial \mathbf { u } } } \\ & { = 2 \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbf { a } _ { m , \theta } \left( \mathbf { a } _ { m , \theta } ^ { T } \mathbf { \mathbf { u } } - b _ { m , \theta } \right) - r \mathbf { a } _ { m , \theta } \frac { \mathbf { a } _ { m , \theta } ^ { T } \mathbf { \mathbf { u } } - b _ { m , \theta } } { \left\| \mathbf { a } _ { m , \theta } ^ { T } \mathbf { \mathbf { u } } - b _ { m , \theta } \right\| } } \\ & { ~ ~ ~ + 2 \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbf { a } _ { m , \phi } \left( \mathbf { a } _ { m , \phi } ^ { T } \mathbf { \mathbf { u } } - b _ { m , \phi } \right) - r \mathbf { a } _ { m , \phi } \frac { \mathbf { a } _ { m , \phi } ^ { T } \mathbf { \mathbf { u } } - b _ { m , \phi } } { \left\| \mathbf { a } _ { m , \phi } ^ { T } \mathbf { \mathbf { u } } - b _ { m , \phi } \right\| } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d u _ { i } - \nu _ { i } \Delta u _ { i } \, d t } & { = \Big [ \normalfont { \mathrm { d i v } } ( F _ { i } ( \cdot , u ) ) + f _ { i } ( \cdot , u ) \Big ] \, d t + \sum _ { n \geq 1 } \Big [ ( b _ { n , i } \cdot \nabla ) u _ { i } + g _ { n , i } ( \cdot , u ) \Big ] \, d w _ { t } ^ { n } , } \\ { u _ { i } ( 0 ) } & { = u _ { i , 0 } , } \end{array}
\langle \bar { B } _ { d } ^ { 0 } | { \cal H } _ { \Delta B = 2 } | B _ { 0 } \rangle \, \sim \, \left\{ \sum _ { i j = u , c , t } \, \mathbf { V } _ { \! i d } ^ { \phantom { * } } \mathbf { V } _ { \! i b } ^ { * } \mathbf { V } _ { \! j d } ^ { * } \mathbf { V } _ { \! j b } ^ { \phantom { * } } \; S ( r _ { i } , r _ { j } ) \right\} \; \left( { \frac { 2 } { 3 } } M _ { B } ^ { 2 } \xi _ { B } ^ { 2 } \right) \; ,
S ( \phi , \phi ^ { * } ) = \int \tilde { T } _ { r } \left[ B _ { D - 2 } ( F ^ { \tilde { A } } + \tilde { X } _ { 2 } ) + \tilde { X } _ { 2 } D ^ { \tilde { A } } \tilde { Y } _ { D - 3 } \right] _ { D } ^ { 0 }
d s ^ { 2 } \simeq { \frac { Q _ { 1 } } { Q _ { 2 } } } d u ^ { 2 } + { \frac { 2 r } { Q _ { 2 } } } \, d u \, d v + P _ { 1 } P _ { 2 } \left[ \left( { \frac { d r } { r } } \right) ^ { 2 } + d \Omega ^ { 2 } \right]
\frac { M ^ { 2 } } { M _ { 0 } ^ { 2 } } = 1 - \frac { R } { 1 2 M _ { 0 } ^ { 2 } } + \frac { 1 + 3 0 k ^ { 2 } } { 3 6 0 M _ { 0 } ^ { 4 } } R ^ { 2 } + { \cal O } ( R ^ { 3 } ) .
{ \tilde { V } } _ { ( n ) } ^ { ( 0 ) } ( a _ { i } , p _ { i } , \theta ) = V ^ { ( 0 ) } ( a _ { i } , p _ { i } ) + \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \cal G } ^ { ( n ) } ( a _ { i } , p _ { i } , \theta ) .
\begin{array} { r } { \Gamma _ { i j } ^ { L } = \Gamma ( \delta _ { i 1 } + \delta _ { i , N + 1 } ) ( \delta _ { j 1 } + \delta _ { j , N + 1 } ) , } \\ { \Gamma _ { i j } ^ { R } = \Gamma ( \delta _ { i N } + \delta _ { i , 2 N } ) ( \delta _ { j N } + \delta _ { j , 2 N } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi ( B , x ) } & { = x ^ { 5 } - ( n _ { 1 } n _ { 2 } + n _ { 2 } n _ { 3 } + n _ { 1 } n _ { 5 } + n _ { 3 } n _ { 4 } + n _ { 4 } n _ { 5 } ) x ^ { 3 } + ( n _ { 1 } n _ { 2 } n _ { 3 } n _ { 4 } + } \\ & { n _ { 1 } n _ { 2 } n _ { 3 } n _ { 5 } + n _ { 1 } n _ { 2 } n _ { 4 } n _ { 5 } + n _ { 1 } n _ { 3 } n _ { 4 } n _ { 5 } + n _ { 2 } n _ { 3 } n _ { 4 } n _ { 5 } ) x - 2 n _ { 1 } n _ { 2 } n _ { 3 } n _ { 4 } n _ { 5 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { K _ { 0 1 } ^ { ( 1 ) } } & { = \left[ \begin{array} { l l l l } { K _ { 0 4 } ^ { ( 2 ) } } & { K _ { 0 5 } ^ { ( 2 ) } } & { K _ { 0 6 } ^ { ( 2 ) } } & { K _ { 0 7 } ^ { ( 2 ) } } \\ { K _ { 1 4 } ^ { ( 2 ) } } & { K _ { 1 5 } ^ { ( 2 ) } } & { K _ { 1 6 } ^ { ( 2 ) } } & { K _ { 1 7 } ^ { ( 2 ) } } \\ { K _ { 2 4 } ^ { ( 2 ) } } & { K _ { 2 5 } ^ { ( 2 ) } } & { K _ { 2 6 } ^ { ( 2 ) } } & { K _ { 2 7 } ^ { ( 2 ) } } \\ { K _ { 3 4 } ^ { ( 2 ) } } & { K _ { 3 5 } ^ { ( 2 ) } } & { K _ { 3 6 } ^ { ( 2 ) } } & { K _ { 3 7 } ^ { ( 2 ) } } \end{array} \right] } \\ & { \approx \left[ \begin{array} { l l l l } { U _ { 0 } ^ { ( 2 ) } A _ { 0 4 } ^ { ( 2 ) } V _ { 4 } ^ { ( 2 ) ^ { * } } } & { U _ { 0 } ^ { ( 2 ) } A _ { 0 5 } ^ { ( 2 ) } V _ { 5 } ^ { ( 2 ) ^ { * } } } & { U _ { 0 } ^ { ( 2 ) } A _ { 0 6 } ^ { ( 2 ) } V _ { 6 } ^ { ( 2 ) ^ { * } } } & { U _ { 0 } ^ { ( 2 ) } A _ { 0 7 } ^ { ( 2 ) } V _ { 7 } ^ { ( 2 ) ^ { * } } } \\ { K _ { 1 4 } ^ { ( 2 ) } } & { U _ { 1 } ^ { ( 2 ) } K _ { 1 5 } ^ { ( 2 ) } V _ { 5 } ^ { ( 2 ) ^ { * } } } & { U _ { 1 } ^ { ( 2 ) } K _ { 1 6 } ^ { ( 2 ) } V _ { 6 } ^ { ( 2 ) ^ { * } } } & { K _ { 1 7 } ^ { ( 2 ) } } \\ { K _ { 2 4 } ^ { ( 2 ) } } & { U _ { 2 } ^ { ( 2 ) } K _ { 2 5 } ^ { ( 2 ) } V _ { 5 } ^ { ( 2 ) ^ { * } } } & { U _ { 2 } ^ { ( 2 ) } K _ { 2 6 } ^ { ( 2 ) } V _ { 6 } ^ { ( 2 ) ^ { * } } } & { K _ { 2 7 } ^ { ( 2 ) } } \\ { U _ { 3 } ^ { ( 2 ) } K _ { 3 4 } ^ { ( 2 ) } V _ { 4 } ^ { ( 2 ) ^ { * } } } & { U _ { 3 } ^ { ( 2 ) } K _ { 3 5 } ^ { ( 2 ) } V _ { 5 } ^ { ( 2 ) ^ { * } } } & { U _ { 3 } ^ { ( 2 ) } K _ { 3 6 } ^ { ( 2 ) } V _ { 6 } ^ { ( 2 ) ^ { * } } } & { U _ { 3 } ^ { ( 2 ) } K _ { 3 7 } ^ { ( 2 ) } V _ { 7 } ^ { ( 2 ) ^ { * } } } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \| \theta \| _ { 2 } ^ { 2 } } { \| \theta \| _ { 1 } } } & { = \frac { a \| \theta _ { S } ^ { * } \| _ { 2 } ^ { 2 } + c \| \theta _ { S ^ { c } } ^ { * } \| _ { 2 } ^ { 2 } } { \sqrt { a } \| \theta _ { S } ^ { * } \| _ { 1 } + \sqrt { c } \| \theta _ { S ^ { c } } ^ { * } \| _ { 1 } } \lesssim \frac { a ( N / n ) \| \theta _ { S ^ { c } } ^ { * } \| _ { 2 } ^ { 2 } + c \| \theta _ { S ^ { c } } ^ { * } \| _ { 2 } ^ { 2 } } { \sqrt { c } \| \theta _ { S ^ { c } } ^ { * } \| _ { 1 } } } \\ & { \lesssim \frac { c \| \theta _ { S ^ { c } } ^ { * } \| _ { 2 } ^ { 2 } } { \sqrt { c } \| \theta _ { S ^ { c } } ^ { * } \| _ { 1 } } \lesssim \sqrt { c } \theta _ { \operatorname* { m a x } , 0 } = o \big ( \frac { 1 } { \sqrt { \log c n ^ { 2 } } } \big ) = o \big ( \frac { 1 } { \sqrt { \log ( \| \theta \| _ { 1 } } ) } \big ) , } \end{array}
\left( \begin{array} { c c } { - \dot { c _ { 1 } } ( 0 ) } & { - \dot { c _ { 2 } } ( 0 ) } \\ { - c _ { 1 } ( 0 ) } & { - c _ { 2 } ( 0 ) } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { - \left\langle V _ { 1 } , J N \right\rangle } & { - \left\langle V _ { 2 } , J N \right\rangle } \\ { - \left\langle V _ { 1 } , X _ { 0 } \right\rangle } & { - \left\langle V _ { 2 } , X _ { 0 } \right\rangle } \end{array} \right) ( 0 , p ) = \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) .
{ \begin{array} { r l } & { { \frac { d } { d J } } \int _ { 0 } ^ { T } P d X = 1 } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { T } d t \left( { \frac { d P } { d J } } { \frac { d X } { d t } } + P { \frac { d } { d J } } { \frac { d X } { d t } } \right) } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { T } d t \left( { \frac { d P } { d J } } { \frac { d X } { d t } } - { \frac { d P } { d t } } { \frac { d X } { d J } } \right) } \end{array} }
\frac { \partial E _ { \scriptscriptstyle \mathrm { C } } [ n _ { 1 / \lambda } ] } { \partial ( 1 / \lambda ) } = - \frac { \partial E _ { \scriptscriptstyle \mathrm { C } } ^ { \lambda } [ n ] } { \partial \lambda } + 2 \frac { E _ { \scriptscriptstyle \mathrm { C } } ^ { \lambda } [ n ] } { \lambda }
\begin{array} { c c c c c } { { \alpha + \beta + \gamma } } & { { = } } & { { \bar { \alpha } + \bar { \beta } + \bar { \gamma } } } & { { = } } & { { k n - m - n - 1 , } } \\ { { \alpha ^ { \prime } + \beta ^ { \prime } + \gamma ^ { \prime } } } & { { = } } & { { \bar { \alpha } ^ { \prime } + \bar { \beta } ^ { \prime } + \bar { \gamma } ^ { \prime } } } & { { = } } & { { k m - m - n - 1 , } } \end{array}
\nabla ( V , V _ { \bar { I } } , \bar { V } , \bar { V } _ { I } ) = ( V , V _ { \bar { J } } , \bar { V } , \bar { V } _ { J } ) \left( \begin{array} { l l l l } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \bar { P } _ { I } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \bar { P } ^ { \bar { J } } } } & { { \bar { P } _ { \ I } ^ { \bar { J } } } } \\ { { 0 } } & { { P _ { \bar { I } } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { P ^ { J } } } & { { P _ { \ \bar { I } } ^ { J } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r c l } { { C _ { 0 1 0 1 } } } & { { = } } & { { - 2 R ^ { - 6 } \left[ M ( r ^ { 3 } - 3 r X ^ { 2 } ) + N ( \aleph - \aleph ^ { 2 } a ^ { 2 } g ^ { 2 } + 4 g ^ { 2 } N ^ { 2 } ) ( 3 r ^ { 2 } X - X ^ { 3 } ) - Z ^ { 2 } ( r ^ { 2 } - X ^ { 2 } ) \right] \; , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { C _ { 0 1 2 3 } } } & { { = } } & { { 2 R ^ { - 6 } \left[ M ( 3 r ^ { 2 } X - X ^ { 3 } ) + N ( \aleph - \aleph ^ { 2 } a ^ { 2 } g ^ { 2 } + 4 g ^ { 2 } N ^ { 2 } ) ( 3 r X ^ { 2 } - r ^ { 3 } ) - 2 Z ^ { 2 } r X \right] \; , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \nabla _ { 1 } F _ { 0 1 } } } & { { = } } & { { - 2 R ^ { - 7 } \lambda ^ { 1 / 2 } \left[ Q ( r ^ { 3 } - 3 r X ^ { 2 } ) - P ( 3 r ^ { 2 } X - X ^ { 3 } ) \right] \; , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \nabla _ { 2 } F _ { 0 1 } } } & { { = } } & { { - 2 a R ^ { - 7 } { \cal S } ^ { 1 / 2 } \left\{ P ( r ^ { 3 } - 3 r X ^ { 2 } ) + Q ( 3 r ^ { 2 } X - X ^ { 3 } ) \right\} \; , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { a n d } \qquad \alpha _ { 2 , \infty } } & { = \operatorname* { l i m } _ { \lambda \to \infty } \frac { \int _ { - \infty } ^ { 0 } ( \psi _ { 2 } ( z + \sigma _ { 2 } - \sigma _ { 1 } - \lambda ) - \sigma _ { 2 } ) \, z \, f _ { Z } ( z + \sigma _ { 2 } - \sigma _ { 1 } - \lambda ) d z } { \int _ { - \infty } ^ { 0 } z ^ { 2 } f _ { Z } ( z + \sigma _ { 2 } - \sigma _ { 1 } - \lambda ) d z } } \\ & { = \frac { \sigma _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { 1 } ( \sigma _ { 1 } + \sigma _ { 2 } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \nabla ^ { 2 } u \| _ { p } } & { { } = \| \nabla ^ { 3 } \phi \| _ { p } \leq \| \nabla ^ { 3 } \bar { \phi } \| _ { p } + h ^ { \prime \prime \prime } \frac { 1 } { | \Omega | } \int | u _ { 1 } | } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { U } ^ { \mathrm { I F , a d d . } } ( \phi ) } & { = ( 1 - \kappa ) ^ { \frac { 1 } { \epsilon } \left( 1 - \frac { I } { \gamma } \left( 1 - ( 1 - \frac { \gamma } { I } \right) ^ { \phi } \right) } } \\ & { = \tilde { U } _ { R } ^ { \left( 1 - \frac { I } { \gamma } \left( 1 - ( 1 - \frac { \gamma } { I } \right) ^ { \phi } \right) } } \end{array}
V _ { e f f } = K \prod _ { i = 1 } ^ { N _ { f } } \lambda _ { i } + K \prod _ { i = 1 } ^ { N _ { f } } \lambda _ { i } ^ { * } + A \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { f } } \vert \lambda _ { i } \vert ^ { 4 } l n ( \frac { \vert \lambda _ { i } \vert ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } )
\mathbf { V } _ { A B } = \left( \begin{array} { l l } { \mathbf { V } _ { A } } & { \phi \mathbf { Z } } \\ { \phi \mathbf { Z } } & { \mathbf { V } _ { B } } \end{array} \right) , ~ ~ \mathbf { V } _ { A | y } = \left( \zeta - \frac { \eta ^ { 2 } } { \theta + 1 } \right) \mathbf { I } ,
\begin{array} { r l } { \widehat { V P } _ { A } } & { { } = \sum _ { k } \tilde { s } _ { k } ^ { ( A ) } \tilde { \gamma } _ { k \sigma , 0 } \tilde { \gamma } _ { k \sigma , 1 } - \sum _ { t k l } s _ { t } ^ { ( A _ { 2 } ) } \alpha _ { t k } ^ { ( A _ { 2 } ) } \alpha _ { t l } ^ { ( A _ { 2 } ) } \tilde { \gamma } _ { k \sigma , 0 } \tilde { \gamma } _ { k \sigma , 1 } \tilde { \gamma } _ { l \tau , 0 } \tilde { \gamma } _ { l \tau , 1 } , } \\ { \widehat { V P } _ { B } } & { { } = \sum _ { k } \tilde { s } _ { k } ^ { ( B ) } \tilde { \gamma } _ { k \sigma , 0 } \tilde { \gamma } _ { k \sigma , 1 } - \sum _ { t k l } s _ { t } ^ { ( B _ { 2 } ) } \alpha _ { t k } ^ { ( B _ { 2 } ) } \alpha _ { t l } ^ { ( B _ { 2 } ) } \tilde { \gamma } _ { k \sigma , 0 } \tilde { \gamma } _ { k \sigma , 1 } \tilde { \gamma } _ { l \tau , 0 } \tilde { \gamma } _ { l \tau , 1 } . } \end{array}
{ \cal V } _ { \Delta x } ( t ) + \mu ^ { 2 } { \cal V } _ { \Sigma _ { F } } ( t ) = 2 D t + 2 \mu \int _ { 0 } ^ { t } \mathrm { d } t ^ { \prime } \left( C _ { x F } ( t ^ { \prime } ) - C _ { F x } ( t ^ { \prime } ) \right) \, .
\begin{array} { r l r } { \langle c _ { k } ^ { s } c _ { k ^ { \prime } } ^ { s ^ { \prime } } \rangle } & { { } = } & { q _ { k k ^ { \prime } } ^ { s s ^ { \prime } } ( { \bf k } , { \bf k } ^ { \prime } ) \delta ( { \bf k } + { \bf k } ^ { \prime } ) \, , } \\ { \langle c _ { k } ^ { s } c _ { k ^ { \prime } } ^ { s ^ { \prime } } c _ { k ^ { \prime \prime } } ^ { s ^ { \prime \prime } } \rangle } & { { } = } & { q _ { k k ^ { \prime } k ^ { \prime \prime } } ^ { s s ^ { \prime } s ^ { \prime \prime } } ( { \bf k } , { \bf k } ^ { \prime } , { \bf k } ^ { \prime \prime } ) \delta ( { \bf k } + { \bf k } ^ { \prime } + { \bf k } ^ { \prime \prime } ) \, , } \\ { \langle c _ { k } ^ { s } c _ { k ^ { \prime } } ^ { s ^ { \prime } } c _ { k ^ { \prime \prime } } ^ { s ^ { \prime \prime } } c _ { k ^ { \prime \prime \prime } } ^ { s ^ { \prime \prime \prime } } \rangle } & { { } = } & { q _ { k k ^ { \prime } k ^ { \prime \prime } k ^ { \prime \prime \prime } } ^ { s s ^ { \prime } s ^ { \prime \prime } s ^ { \prime \prime \prime } } ( { \bf k } , { \bf k } ^ { \prime } , { \bf k } ^ { \prime \prime } , { \bf k } ^ { \prime \prime \prime } ) \delta ( { \bf k } + { \bf k } ^ { \prime } + { \bf k } ^ { \prime \prime } + { \bf k } ^ { \prime \prime \prime } ) } \end{array}
D _ { \mu } \delta q ^ { i } \equiv { \cal D } _ { \mu } \delta q ^ { i } - { ( j _ { u } ) _ { \mu } } ^ { \nu } { \cal D } _ { \nu } \delta q ^ { j } { ( J _ { u } ) _ { j } } ^ { i } - { ( j _ { u } ) _ { \mu } } ^ { \nu } \partial _ { \nu } q ^ { j } { \cal D } _ { k } { ( J _ { u } ) _ { j } } ^ { i } \delta q ^ { k } = 0 .
\begin{array} { r } { \int _ { \Omega _ { N } } \nabla ^ { + } \eta ^ { \epsilon N } ( x ) f ( \eta ) \nu _ { \gamma } ^ { N } ( \mathrm { d } \eta ) = \frac { 1 } { 2 \epsilon N } \sum _ { i \in \Lambda _ { N } ^ { \epsilon N } } \int _ { \Omega _ { N } } \left( \eta ( x + i + 1 ) - \eta ( x + i ) \right) \left( f ( \eta ) - f ( \eta ^ { x + i , x + i + 1 } ) \right) \nu _ { \gamma } ^ { N } ( \mathrm { d } \eta ) . } \end{array}
C _ { T } ( \boldsymbol { k } , t ) = \frac { 1 } { 2 N } \langle [ \boldsymbol { k } \times \boldsymbol { j } ( \boldsymbol { k } , t ) ] \cdot [ \boldsymbol { k } \times \boldsymbol { j } ( - \boldsymbol { k } , 0 ) ] \rangle .
\begin{array} { r l } { u _ { k + 1 } \! \! - u _ { k } \! + \! 2 \delta u _ { k } T _ { k } \! + \! \nabla f ( x _ { k } \! \! + \! \! \beta u _ { k } ) T _ { k } \! } & { = \! \! \! \sum _ { i \in I _ { Ḋ } x _ { k } Ḍ } \! \! \! \nabla g _ { i } ( x _ { k } ) \Lambda _ { k i } , } \\ { \gamma _ { i } ( x _ { k } , u _ { k + 1 } ) + \epsilon \operatorname* { m i n } \{ 0 , \gamma _ { i } ( x _ { k } , u _ { k } ) \} } & { \in N _ { \mathbb Ḋ R Ḍ _ { Ḋ } \leq 0 Ḍ } ( - \Lambda _ { k i } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( 1 ) \quad } & { R \in C ^ { 2 } ( \mathbb { R } ) , } \\ { ( 2 ) \quad } & { \mathrm { T h e r e ~ e x i s t s ~ a ~ b o u n d e d ~ d o m a i n ~ } D _ { R } \mathrm { ~ s u c h ~ t h a t ~ } R ( z ) \geq 0 \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } z \in \overline { { D _ { R } } } } \\ & { \mathrm { ~ a n d ~ } R ( z ) < 0 \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } z \in D _ { R } ^ { c } , \quad \mathrm { a n d } } \\ { ( 3 ) \quad } & { \operatorname* { l i m } _ { | z | \to \infty } R ( z ) = - \infty . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { ! } } & { : \textup { \normalfont K } ( \textup { \bfseries V a r } / T ) \to \textup { \normalfont K } ( \textup { \bfseries V a r } / S ) , \quad [ X ] _ { T } \mapsto [ X ] _ { S } , } \\ { f ^ { * } } & { : \textup { \normalfont K } ( \textup { \bfseries V a r } / S ) \to \textup { \normalfont K } ( \textup { \bfseries V a r } / T ) , \quad [ X ] _ { S } \mapsto [ X \times _ { S } T ] , } \end{array}
\boldsymbol { q } _ { I } ( \boldsymbol { x } , t ) = - \nabla _ { \boldsymbol { x } } \phi ( \boldsymbol { x } , t ) , \quad \boldsymbol { q } _ { S } ( \boldsymbol { x } , t ) = \nabla _ { \boldsymbol { x } } \times \boldsymbol { B } ( \boldsymbol { x } , t ) ,
\begin{array} { r l } & { \left\langle D ^ { \alpha } ( u _ { n } \partial _ { x } v _ { n } + w _ { n } \partial _ { z } v _ { n } ) , D ^ { \alpha } v _ { n } \right\rangle } \\ { = } & { \langle D ^ { \alpha } ( u _ { n } \partial _ { x } v _ { n } + w _ { n } \partial _ { z } v _ { n } ) - ( u _ { n } \partial _ { x } D ^ { \alpha } v _ { n } + w _ { n } \partial _ { z } D ^ { \alpha } v _ { n } ) - ( D ^ { \alpha } u _ { n } \partial _ { x } v _ { n } + D ^ { \alpha } w _ { n } \partial _ { z } v _ { n } ) , D ^ { \alpha } v _ { n } \rangle } \\ & { + \langle D ^ { \alpha } u _ { n } \partial _ { x } v _ { n } + D ^ { \alpha } w _ { n } \partial _ { z } v _ { n } , D ^ { \alpha } v _ { n } \rangle : = I _ { 1 } + I _ { 2 } . } \end{array}
\frac { \partial u _ { i } } { \partial t } + \frac { \partial u _ { j } u _ { i } } { \partial x _ { j } } = \frac { 2 } { R e } - \frac { \partial p } { \partial x _ { i } } + \frac { 1 } { R e } \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { j } x _ { j } } ,
- \gamma ^ { - 1 } \sigma ^ { - 1 } \varepsilon ^ { 1 / 2 } \Big ( X _ { \varepsilon ^ { - 3 / 2 } \mathbf { t } } ( \alpha \varepsilon ^ { - 3 / 2 } \mathbf { t } - \sigma ^ { 2 } \varepsilon ^ { - 1 } \mathbf { x } ) - \beta \varepsilon ^ { - 3 / 2 } \mathbf { t } - 2 \sigma ^ { 2 } \varepsilon ^ { - 1 } \mathbf { x } \Big ) \longrightarrow \mathfrak { h } ( \mathbf { t } , \mathbf { x } )
\varepsilon = { \frac { m _ { P l } ^ { 2 } } { 2 } } \, \left( { \frac { V ^ { \prime } } { V } } \right) ^ { 2 } , \qquad \qquad \eta = m _ { P l } ^ { 2 } \, \left( { \frac { V ^ { \prime \prime } } { V } } \right) .
| a _ { k } | \leq { \frac { 1 } { 2 \pi } } \oint _ { C _ { r } } { \frac { | f ( \zeta ) | } { | \zeta | ^ { k + 1 } } } \, | d \zeta | \leq { \frac { 1 } { 2 \pi } } \oint _ { C _ { r } } { \frac { M } { r ^ { k + 1 } } } \, | d \zeta | = { \frac { M } { 2 \pi r ^ { k + 1 } } } \oint _ { C _ { r } } | d \zeta | = { \frac { M } { 2 \pi r ^ { k + 1 } } } 2 \pi r = { \frac { M } { r ^ { k } } } ,
S _ { ( n ) } = \int d ^ { 4 } x \Bigl [ \frac { 1 } { 6 } \, H _ { ( n ) } ^ { \mu \nu \rho } H _ { ( n ) \mu \nu \rho } ^ { \ast } - \frac { 2 n ^ { 2 } \pi ^ { 2 } } { R ^ { 2 } } \Bigl ( i B _ { ( n ) } ^ { \mu \nu } - \frac { R } { 2 n \pi } \, F _ { ( n ) } ^ { \mu \nu } \Bigr ) \Bigl ( - \, i B _ { ( n ) \mu \nu } ^ { \ast } - \frac { R } { 2 n \pi } \, F _ { ( n ) \mu \nu } ^ { \ast } \Bigr ) \Bigr ]
\frac { 1 } { \alpha _ { 3 } ( M _ { Z } ) } = \frac { 1 } { b _ { 1 2 } } ( \frac { b _ { 1 3 } } { \alpha _ { 2 } ( M _ { Z } ) } - \frac { b _ { 2 3 } } { \alpha _ { 1 } ( M _ { Z } ) } ) + \delta _ { \mathrm { H } } + \delta _ { \mathrm { H L } } + \delta _ { \mathrm { L } }
\phi ^ { + } ( x ) = e ^ { - { i \partial _ { t } / \kappa } ( 3 + \vec { x } \, \vec { \nabla } \, ) } \phi ^ { \star } ( x ) = \hat { R } _ { \kappa } \phi ^ { \star } \left( \vec { x } , x _ { 0 } - { \frac { 3 i } { 2 \kappa } } \right) \, ,
\begin{array} { r l } { x ( \theta ) } & { { } = ( R - r ) \cos \theta + d \cos \left( { \frac { R - r } { r } } \theta \right) } \\ { y ( \theta ) } & { { } = ( R - r ) \sin \theta - d \sin \left( { \frac { R - r } { r } } \theta \right) } \end{array}
R _ { \mathrm { s } } = { \overline { { \rho } } } / x _ { \mathrm { j } } = ( { \overline { { \sigma } } } x _ { \mathrm { j } } ) ^ { - 1 } = { \frac { 1 } { \int _ { 0 } ^ { x _ { \mathrm { j } } } \sigma ( x ) \, d x } } ,
S _ { d i a g } \equiv \left( \begin{array} { l l l l } { { e ^ { 2 i \delta _ { C 1 } } } } & { { 0 } } & { { \cdots } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { e ^ { 2 i \delta _ { C 2 } } } } & { { \cdots } } & { { 0 } } \\ { { \vdots } } & { { \vdots } } & { { \ddots } } & { { \vdots } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \cdots } } & { { e ^ { 2 i \delta _ { C n } } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r } { \sum _ { \boldsymbol { u } \in \mathcal { C } _ { i } ^ { ' } , u _ { i _ { 2 } } = 0 } Z _ { i j } ^ { \boldsymbol { u } } } & { = } & { \sum _ { \boldsymbol { u } \in \mathcal { C } _ { i } ^ { ' } , \atop ( u _ { i _ { 1 } } , u _ { i _ { 2 } } ) = ( 1 , 0 ) } \left[ ( 2 j + 1 ) \sum _ { t = 1 } ^ { m - 1 } \cos \frac { 2 \pi t j } { m } + \sum _ { t = 1 } ^ { m - 1 } ( 1 + 2 \sum _ { l = 1 } ^ { j - 1 } \cos \frac { 2 \pi t l } { m } ) \right] } \\ & { = } & { \sum _ { \boldsymbol { u } \in \mathcal { C } _ { i } ^ { ' } , \atop ( u _ { i _ { 1 } } , u _ { i _ { 2 } } ) = ( 1 , 0 ) } \left[ - 2 j - 1 + m - 1 + 2 \sum _ { l = 1 } ^ { j - 1 } \sum _ { t = 1 } ^ { m - 1 } \cos \frac { 2 \pi t l } { m } \right] } \\ & { = } & { \sum _ { \boldsymbol { u } \in \mathcal { C } _ { i } ^ { ' } , \atop ( u _ { i _ { 1 } } , u _ { i _ { 2 } } ) = ( 1 , 0 ) } ( m - 2 j - 2 - 2 j + 2 ) } \\ & { = } & { ( m - 4 j ) \cdot \left| \left\{ \boldsymbol { u } \in \mathcal { C } _ { i } ^ { ' } : ( u _ { i _ { 1 } } , u _ { i _ { 2 } } ) = ( 1 , 0 ) \right\} \right| . } \end{array}
J ( p , q ^ { \prime } ) = \langle 0 | \psi | p \rangle - \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { i ^ { n + 1 } } { ( p q ^ { \prime } ) ^ { n + 1 } } \langle 0 | { \cal A } \, ( q ^ { \prime } D ) ^ { n } \psi | p \rangle \, ,
{ \cal M } = \left( \begin{array} { r c c } { { M _ { 0 } } } & { { M _ { 1 } } } & { { M _ { 2 } } } \\ { { - M _ { 1 } } } & { { M _ { 2 } } } & { { 0 } } \\ { { M _ { 2 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { T _ { \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } } = } & { \int _ { \theta _ { 1 } } ^ { \theta _ { 2 } } \frac { - L \, \mathrm { d } \theta } { u \sin \theta ( 1 + \cos \theta ) } } \\ { = } & { \frac { L } { 2 u } \, \left( \ln \left| \tan \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \right| + \frac { 1 } { 2 } \tan ^ { 2 } \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \right) \Big \vert _ { \theta _ { 2 } } ^ { \theta _ { 1 } } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t } \rho + \partial _ { x } \bigl ( c ( x ; Y ) V ( h ) \rho \bigr ) = 0 , } \\ { \partial _ { t } ( \rho h ) + \partial _ { x } \bigl ( c ( x ; Y ) V ( h ) \rho h \bigr ) = \frac { \gamma } { 2 } \rho ^ { 2 } \eta \partial _ { x } \bigl ( c ( x ; Y ) V ( h ) \bigr ) , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { ( 1 - \lambda _ { s } ^ { 2 } \partial _ { x } ^ { 2 } ) \partial _ { t } \tilde { w } } & { { } = 2 \lambda _ { d } ^ { 2 } \partial _ { x } ^ { 2 } \tilde { w } + ( \epsilon + 1 ) \partial _ { t } m } \\ { \partial _ { t } m } & { { } = - 2 m + 2 \tilde { w } \left( 1 - \beta \frac { 3 } { 5 } \tilde { w } ^ { 2 } \right) \; . } \end{array}
\begin{array} { r } { p ^ { \mathcal { E } } ( x , x ^ { * } ) = \frac { e ^ { - V ( x ) } } { e ^ { - V ( x ) } + \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { x } } e ^ { V ( x ^ { i } ) } } \; \; \textrm { a n d f o r a l l } 1 \leq i \leq N _ { x } , \; \; p ^ { \mathcal { E } } ( x , x ^ { i } ) = \frac { e ^ { - V ( x ^ { i } ) } } { e ^ { - V ( x ) } + \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { x } } e ^ { - V ( x ^ { i } ) } } . } \end{array}