harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
c ^ { 2 } = v ^ { 2 } \frac { p + \left. \frac { \partial e } { \partial v } \right) _ { p , \mathbf { y } } } { \left. \frac { \partial e } { \partial p } \right) _ { v , \mathbf { y } } } , \quad \varsigma _ { k } = \frac { - v } { c ^ { 2 } } \left. \frac { \partial e } { \partial y _ { k } } \right) _ { p , v , y _ { j \neq k } } .
\begin{array} { r l } { \cos \theta _ { 1 3 } = } & { { } \frac { \sigma _ { 2 3 } ^ { 2 } + \sigma _ { 1 3 } ^ { 2 } - \sigma _ { 1 2 } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { 2 3 } \sigma _ { 1 3 } } } \\ { \cos \theta _ { 1 2 } = } & { { } \frac { \sigma _ { 2 3 } ^ { 2 } + \sigma _ { 1 2 } ^ { 2 } - \sigma _ { 1 3 } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { 1 2 } \sigma _ { 2 3 } } \mathrm { ~ . ~ } } \end{array}
\frac { \Delta m _ { \odot } ^ { 2 } } { \Delta m _ { a t m } ^ { 2 } } \sim \frac { m _ { 2 } ^ { 2 } } { m _ { 3 } ^ { 2 } } \sim \left[ \frac { 1 - \cos 2 \theta _ { \mu \tau } } { 1 + \cos 2 \theta _ { \mu \tau } } \right] ^ { 2 } .
f _ { \ell } ^ { l } = ( \Pi _ { h } ^ { \mathcal { R T } , 1 } \vec { j } , \varphi _ { l } ^ { 1 } \vec { \psi } _ { \ell } ^ { \mathcal { N } } ) _ { L ^ { 2 } ( Q ) } = \sum _ { k = 0 } ^ { N ^ { t } } \sum _ { \kappa = 1 } ^ { N _ { x } ^ { \mathcal { R T } } } j _ { \kappa } ^ { k } \, \underbrace { ( \varphi _ { k } ^ { 1 } , \varphi _ { l } ^ { 1 } ) _ { L ^ { 2 } ( 0 , T ) } } _ { = \widehat M _ { h _ { t } } ^ { 1 } [ l , k ] } \, \underbrace { ( \vec { \psi } _ { \kappa } ^ { \mathcal { R T } } , \vec { \psi } _ { \ell } ^ { \mathcal { N } } ) _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } } _ { = M _ { h _ { x } } ^ { \mathcal { N } , \mathcal { R T } } [ \ell , \kappa ] } = F [ \ell , l ]
\begin{array} { r l } { I ^ { \epsilon , \epsilon ^ { \prime } } ( x , y ) } & { = \frac 1 \pi ( p \bar { p } ) ^ { - \epsilon - \epsilon ^ { \prime } } \idotsint \delta ^ { ( 2 ) } \bigg ( p - \sum _ { k } p _ { k } \bigg ) \Psi _ { x } ^ { ( N ) , \epsilon } ( \vec { p } ) \left( \Psi _ { y } ^ { ( N ) , \epsilon ^ { \prime } } ( \vec { p } ) \right) ^ { \dagger } \prod _ { j = 1 } ^ { N } \mathrm { d } ^ { 2 } p _ { j } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { U _ { 0 } ^ { h } } & { { } = } & { \frac { 1 } { \Omega } \int V _ { x c } ( { \bf r } ) ~ d { \bf r } , } \\ { U _ { 1 } ^ { h } ( r ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { \Omega } \int V _ { N L } ^ { F T } ( q ) j _ { 0 } ( q r ) ~ 4 \pi q ^ { 2 } ~ d q . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I = } & { \int _ { - \infty } ^ { + \infty } e ^ { - \frac { ( t - Q ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } - \frac { ( x - t - Q _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { 0 } ^ { 2 } } } H ( t ) d t } \\ { = } & { \int _ { 0 } ^ { + \infty } e ^ { - \frac { ( t - Q ) ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } - \frac { ( x - t - Q _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { 0 } ^ { 2 } } } d t } \end{array}
\begin{array} { r } { q _ { r } = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } D _ { n m } J _ { 1 } ( \mu _ { n } r ) \cos ( \gamma _ { m } z ) , \quad q _ { z } = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } E _ { n m } J _ { 0 } ( \mu _ { n } r ) \sin ( \gamma _ { m } z ) , } \end{array}
S _ { \mathrm { e f f } } ^ { - 1 } ( v \cdot k , \overline { { \mathrm { M S } } } ) = Z ( \mu a , \alpha _ { s } ) \left[ S _ { \mathrm { e f f } } ^ { - 1 } ( v \cdot k , ~ \mathrm { l a t t } ) - S _ { \mathrm { e f f } } ^ { - 1 } ( 0 , ~ \mathrm { l a t t } ) _ { \mathrm { p e r t } } \right] \ ,
\begin{array} { r l } { \| { \bf { F } } _ { \mathrm { { A } } } { \bf { f } } _ { { \mathrm { D } } , k } \| _ { 2 } ^ { 2 } = } & { { \bf { \Lambda } } _ { k , : } ( { \overline { { \bf { H } } } } { \overline { { \bf { H } } } } ^ { H } ) ^ { - 1 } { \overline { { \bf { H } } } } { \bf { F } } _ { \mathrm { { A } } } ^ { H } { \bf { F } } _ { \mathrm { A } } { \overline { { \bf { H } } } } ^ { H } ( { \overline { { \bf { H } } } } { \overline { { \bf { H } } } } ^ { H } ) ^ { - 1 } { \bf { \Lambda } } _ { : , k } } \\ { = } & { { \bf { \Lambda } } _ { k , : } ( { \bf { D } } ^ { * } ) ^ { - 1 } ( { \bf { B } } ^ { H } { \bf { B } } { \bf { B } } ^ { H } { \bf { B } } ) ^ { - 1 } { \bf { B } } ^ { H } { \bf { B } } } \\ & { \times { \bf { B } } ^ { H } { \bf { B } } { \bf { B } } ^ { H } { \bf { B } } ( { \bf { B } } ^ { H } { \bf { B } } { \bf { B } } ^ { H } { \bf { B } } ) ^ { - 1 } { \bf { D } } ^ { - 1 } { \bf { \Lambda } } _ { : , k } } \\ { = } & { \left[ { \bf { D } } _ { k , k } \right] ^ { - 2 } \left[ { \bf { \Lambda } } _ { k , k } \right] ^ { 2 } \left[ ( { \bf { B } } ^ { H } { \bf { B } } ) ^ { - 1 } \right] _ { k , k } , } \end{array}
\begin{array} { r } { f _ { \mathrm { a p p } } = \frac { \overline { { \lambda } } } { 2 } ( m _ { 1 } ^ { 2 } + m _ { 2 } ^ { 2 } ) - \frac { 1 } { \beta } \int D z \ln \cosh \left( \beta \overline { { \lambda } } \sqrt { m _ { 1 } ^ { 2 } + m _ { 2 } ^ { 2 } } z \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { e _ { i _ { 1 } , \dots , i _ { n } } } & { \leq e _ { ( i _ { 1 } - j _ { 1 } ) ^ { + } , \dots , ( i _ { n } - j _ { n } ) ^ { + } } + e _ { j _ { 1 } - ( i _ { 1 } - j _ { 1 } ) ^ { - } , \dots , j _ { n } - ( i _ { n } - j _ { n } ) ^ { - } } } \\ & { \leq e _ { | i _ { 1 } - j _ { 1 } | , \dots , | i _ { n } - j _ { n } | } + e _ { j _ { 1 } , \dots , j _ { n } } . } \end{array}
\mathcal { H } = \sum _ { < i j > } J _ { i j } \mathbf { S } _ { i } \cdot \mathbf { S } _ { j } - \sum _ { < i j > } \mathbf { D } _ { i j } \cdot ( \mathbf { S } _ { i } \times \mathbf { S } _ { j } ) - A \sum _ { i } ( S _ { i } ^ { z } ) ^ { 2 } - H _ { z } \sum _ { i } S _ { i } ^ { z }
\langle ( \sum _ { k = 1 } ^ { N } \langle \nu _ { k } | \hat { \mathcal S } | G \rangle | ) ^ { 2 } \rangle = \mu _ { \mathrm { L L } ^ { \prime } } ^ { 2 } \langle | \sum _ { j } \cos \varphi _ { j } | ^ { 2 } \rangle = \mu _ { \mathrm { L L } ^ { \prime } } ^ { 2 } \cdot N / 3
\begin{array} { r l } { S ^ { \mathrm { D i t h e r } } } & { { } = \sqrt { 2 e \frac { e \eta P _ { \mathrm { D C } } ^ { \mathrm { D i t h e r } } } { \hbar \omega _ { 0 } } } / D ^ { \mathrm { D i t h e r } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { C X _ { p 2 } = n _ { H } Q _ { p 2 } ^ { C X } v } \\ { C _ { 2 3 } = ( n _ { p } Q _ { 2 3 } ^ { P } + n _ { H } Q _ { 2 3 } ^ { H } + n _ { e } Q _ { 2 3 } ^ { E } ) v } \\ { C _ { 2 p } = ( n _ { p } Q _ { 2 p } ^ { P } + n _ { H } Q _ { 2 p } ^ { H } + n _ { e } Q _ { 2 p } ^ { E } ) v } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } x } { \mathrm { d } t } } & { { } = \frac { u } { \gamma } } \\ { \frac { \mathrm { d } u } { \mathrm { d } t } } & { { } = \frac { u } { \gamma } \times B ( x ) + E ( x ) } \\ { \gamma } & { { } = \sqrt { 1 + | u | ^ { 2 } } } \end{array}
\sum _ { m a } \left[ \chi _ { m a } ^ { \lambda } \left( \chi _ { m a } ^ { \mu } \right) ^ { * } - \left( \eta _ { m a } ^ { \lambda } \right) ^ { * } \eta _ { m a } ^ { \mu } \right] = \mathrm { s i g n } \left( \omega _ { \mu } \right) \delta _ { \lambda \mu } \, .
\begin{array} { r l } & { \hat { \mathbf { f } } \left( \mathbf { r } , \omega _ { f } , t \right) \approx \sum _ { s = 1 } ^ { 2 } \frac { \omega _ { f } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \sqrt { \frac { \mathrm { I m } \epsilon \left( \mathbf { r } , \omega _ { f } \right) } { \hbar \pi \epsilon _ { 0 } } } \mathbf { d } _ { s } ^ { * } \cdot \overleftrightarrow { G } ^ { * } \left( \mathbf { r } _ { s } , \mathbf { r } ; \omega _ { f } \right) } \\ & { \times \hat { \sigma } _ { s } ^ { 1 2 } \left( t \right) \left( \pi \delta \left( \omega _ { s } - \omega _ { f } \right) + i \mathcal { P } \frac { 1 } { \omega _ { s } - \omega _ { f } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \zeta ( 5 ) } & { { } = } & { \frac { \pi ^ { 5 } } { 2 9 4 } - \frac { 7 2 } { 3 5 } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n ^ { 5 } \left( e ^ { 2 \pi n } - 1 \right) } - \frac { 2 } { 3 5 } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { n ^ { 5 } \left( e ^ { 2 \pi n } + 1 \right) } } \end{array}
\cap \left( \mathbb { S } _ { ( M ^ { 1 } , A ^ { 1 } , N ^ { 1 } ) , \cdots , ( M ^ { n } , A ^ { n } , N ^ { n } ) } ^ { \alpha ^ { 1 } , \dots , \alpha ^ { n } } \otimes _ { R } \mathbb { S } _ { ( M ^ { 1 } , A ^ { 1 } , N ^ { 1 } ) , \cdots , ( M ^ { n } , A ^ { n } , N ^ { n } ) } ^ { \beta ^ { 1 } \cdot \gamma ^ { 1 } , \dots , \beta ^ { n } \cdot \gamma ^ { n } } \right) .
\begin{array} { r } { ^ { 2 \! } A _ { 1 , 2 3 4 } = \frac 1 2 \, V _ { 1 4 \overline { 5 } } V _ { 5 2 3 } { F } _ { 2 } { F } _ { 3 } { F } _ { 4 } T \, , \ \ { ^ 2 \! } B _ { 1 2 , 3 4 } = F _ { 3 } F _ { 4 } F _ { 1 + 4 } V _ { 1 3 \overline { 5 } } V _ { 2 3 5 } T \, , \quad T \= \, T _ { 1 2 3 4 } \, T _ { 2 3 5 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { u } & { ( t , \varphi _ { t , 0 } ( x ) ) = u _ { 0 } ( \varphi _ { t , 0 } ( x ) ) \times } \\ & { \times \exp \Big ( \int _ { 0 } ^ { t } b ( \varphi _ { 0 , r } ( x ) ) \, \mathrm { d } r + \int _ { 0 } ^ { t } B ( \varphi _ { 0 , r } ( x ) ) \circ \mathrm { d } W _ { r } + \int _ { 0 } ^ { t } \beta ( \varphi _ { 0 , r } ( x ) ) \diamond \mathrm { d } Z _ { r } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { H } ( \mathcal { X } , \textrm { H } ( Z _ { \delta } ) ) } & { = \bigg | ( x _ { 0 } - z ) ^ { \top } n ( x _ { 0 } ) \bigg | } \\ & { = ( x _ { 0 } - z ) ^ { \top } n ( x _ { 0 } ) } \\ & { \leq ( x _ { 0 } - z ) ^ { \top } ( n ( x _ { 0 } ) - n ( z ) ) } \\ & { \leq \| x _ { 0 } - z \| \| n ( x _ { 0 } ) - n ( z ) \| } \\ & { \leq \delta ^ { 2 } / R , } \end{array}
d s ^ { 2 } | _ { M 2 } = - 4 ( | y | ^ { 2 } + y _ { 3 } ^ { 2 } ) ( d x _ { + } ) ^ { 2 } - { \frac { 2 } { i } } ( W ^ { \prime } d ( e ^ { - 2 i x _ { + } } y ) - \overline { { { W ^ { \prime } } } } d ( e ^ { 2 i x _ { + } } \overline { { { y } } } ) ) d x _ { + } + d y d \overline { { { y } } } + ( d y _ { 3 } ) ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { A } & { \equiv R _ { \ell } + R _ { 0 } ( 1 + \beta ) , } \\ { B } & { \equiv \frac { R _ { 0 } \mathscr { L } ( 2 + \beta ) } { 1 - \mathscr { L } } , } \\ { \tau _ { 1 } } & { \equiv \frac { \tau _ { 0 } } { 1 - \mathscr { L } } , } \\ { \tau _ { 2 } } & { \equiv \frac { L } { R _ { \ell } + R _ { 0 } ( 1 + \beta ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \| b _ { T } \| _ { B _ { q } ^ { t } } ^ { q } = \sum _ { ( j , k , l ) \in \mathcal { I } _ { T } ( \omega ) } 2 ^ { j q ( t + \frac { d } { 2 } - \frac { d } { q } ) } \eta _ { j } ^ { q } | X _ { j , k } ^ { l } ( \omega ) | ^ { q } = \sum _ { ( j , k , l ) \in \mathcal { I } _ { T } ( \omega ) } 2 ^ { j q ( t - \frac { d } { q } - s + \frac { d } { p } ) } | X _ { j , k } ^ { l } ( \omega ) | ^ { q } . } \end{array}
\varepsilon _ { \mathrm { X } } ^ { \mathrm { L D A } } ( \rho ) = - \int _ { 0 } ^ { \infty } { K ( u ) \ \mathcal { V } _ { \mathrm { e e } } ^ { \mathrm { R } } ( \alpha ( \rho ) u ) \ \mathrm { d } u } ,
\mathbf { v } _ { k } ^ { t } = \mathrm { g r a d } f _ { i } \left( \mathbf { x } _ { k } ^ { t } \right) - \mathcal { T } _ { \tilde { \mathbf { x } } _ { k - 1 } } ^ { \mathbf { x } _ { k } ^ { t } } \left( \mathrm { g r a d } f _ { i } \left( \tilde { \mathbf { x } } _ { k - 1 } \right) - \mathrm { g r a d } f \left( \tilde { \mathbf { x } } _ { k - 1 } \right) \right) .
\mathcal { P } _ { W \hat { W } } ( \ell ( W , \hat { W } ) ) \geq \operatorname* { s u p } _ { \rho > 0 } \rho \left( 1 - L _ { W } ( \hat { W } , \rho ) \cdot \varphi ^ { - 1 } \left( \frac { \eta _ { \varphi } ( \mathcal { P } _ { \hat { W } | Z ^ { n } } ) \eta _ { \varphi } ( \mathcal { P } _ { X ^ { n } } , K ^ { \otimes n } ) I _ { \varphi } ( W , X ^ { n } ) + ( 1 - L _ { W } ( \rho ) ) \varphi ^ { \star } ( 0 ) } { L _ { W } ( \rho ) } \right) \right) ,
\begin{array} { r l } { 0 } & { = 2 \mu \int _ { \Omega \setminus E } e ( u ) : e ( \varphi ) \, d x + \beta \int _ { \partial E } u \cdot \varphi \, d { \mathcal { H } } ^ { d - 1 } } \\ & { = 2 \mu \int _ { \Omega \setminus E } e ( u ) : \nabla \varphi \, d x + \beta \int _ { \partial E } u \cdot \varphi \, d { \mathcal { H } } ^ { d - 1 } } \\ & { = - 2 \mu \int _ { \Omega \setminus E } \mathrm { d i v } \, e ( u ) \cdot \varphi \, d x + \int _ { \partial E } [ - 2 \mu e ( u ) \nu + \beta u ] \cdot \varphi \, d { \mathcal { H } } ^ { d - 1 } } \end{array}
g _ { \mu \nu } \, = \, g _ { \mu \nu } ^ { ( 0 ) } ( \eta ) + \delta g _ { \mu \nu } ( \eta , { \bf x } ) , \quad \varphi \, = \, \varphi ^ { ( 0 ) } ( \eta ) + \delta \varphi ( \eta , { \bf x } ) \, .
Q : = \int _ { x ^ { 0 } = c o n s t } \! \! d ^ { 3 } x \, \underbrace { h ^ { \alpha \beta } ( x ) _ { , \beta } { \stackrel { \longleftrightarrow } { \partial _ { x } ^ { 0 } } } u _ { \alpha } ( x ) } _ { = J ^ { 0 } ( x ) } \, ,
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d \tilde { Z } } \left[ { A _ { p } ^ { ( r ) } } ^ { 2 } + { A _ { s } ^ { ( r ) } } ^ { 2 } + { A _ { i } ^ { ( r ) } } ^ { 2 } \right] } \\ { = \left( \mu _ { p } - \mu _ { s } - \mu _ { i } \right) A _ { p } ^ { ( r ) } A _ { s } ^ { ( r ) } A _ { i } ^ { ( r ) } . } \end{array}
\left( \partial _ { t } + \nabla \right) \left[ \Psi e _ { - } - \Psi ^ { \bullet } \sigma _ { 1 } e _ { + } \right] \sigma _ { 2 1 } = m \left[ \Psi e _ { + } \sigma _ { 1 } + \Psi ^ { \bullet } e _ { + } \right] ~ .
\Gamma ( t ) = - c _ { 1 } U H \bigg ( \frac { U t } { H } \bigg ) ^ { 1 / 3 } , \quad \Delta z ( t ) = c _ { 2 } H \bigg ( \frac { U t } { H } \bigg ) ^ { 2 / 3 } , \mathrm { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ a ~ n ~ d ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ } \Delta r ( t ) = c _ { 3 } H \bigg ( \frac { U t } { H } \bigg ) ^ { 2 / 3 } ,
\begin{array} { r l } { \tilde { h } _ { s } ( t ) } & { { } = \langle \Psi ( t ) | \left( 1 - \hat { a } _ { s \uparrow } ^ { 1 \dagger } \hat { a } _ { s \uparrow } ^ { 1 } \right) \left( 1 - \hat { a } _ { s \downarrow } ^ { 1 \dagger } \hat { a } _ { s \downarrow } ^ { 1 } \right) | \Psi ( t ) \rangle , } \end{array}
\epsilon _ { F } = \left[ \frac { 1 } { \eta _ { \mathrm { m a x } } - \eta _ { \mathrm { m i n } } } \sum _ { \eta _ { j } } \left( \eta _ { j + 1 } - \eta _ { j } \right) \left( \frac { F ^ { ( n + 1 ) } } { F ^ { ( n ) } } - 1 \right) ^ { 2 } \right] ^ { 1 / 2 } < 1 0 ^ { - 3 } ,
\hat { F } ( \lambda ) = e ^ { \lambda \hat { b } _ { 2 } ^ { \dagger } \hat { b } _ { 2 } } e ^ { \gamma \hat { b } _ { 1 } ^ { \dagger } \hat { b } _ { 2 } ^ { \dagger } } e ^ { - \lambda \hat { b } _ { 2 } ^ { \dagger } \hat { b } _ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } & { \boldsymbol { J } ( y , z ) = \left[ \begin{array} { l l } { b - s z ( t ) } & { s \big ( l r - y ( t ) \big ) } \\ { c z ( t ) } & { - c \big ( r - y ( t ) \big ) } \end{array} \right] , } \\ & { \lambda ( y , z ) = \frac { 1 } { 2 } \Big ( b - s z ( t ) - c \big ( r - y ( t ) \big ) \pm } \\ & { \scriptstyle \sqrt { \Big ( b - s z ( t ) - c \big ( r - y ( t ) \big ) \Big ) ^ { 2 } - 4 c \Big ( z ( t ) \big ( s r ( 1 - l ) \big ) - b \big ( r - y ( t ) \big ) \Big ) } \Big ) . } \end{array}
\frac { 1 } { \sqrt { L } } e ^ { i k _ { \nu } x } \; \; , \; \; k _ { \nu } = \frac { 2 \pi \nu } { L } \; \; , \; \; \; \omega _ { \nu } = v | k _ { \nu } | \; \; \; , \; \; \; \nu = \pm 1 , \pm 2 , . . .
P _ { v } = \frac { \zeta ^ { 3 } P _ { n } } { \int _ { 0 } ^ { \infty } \zeta ^ { 3 } P _ { n } d \zeta } = { \frac { \zeta ^ { 3 } P _ { n } } { \beta ^ { 3 } \Gamma ( \alpha + 3 ) / \Gamma ( \alpha ) } } ,
\mathbf { x } = ( x _ { 1 } , y _ { 1 } , u _ { 1 } , v _ { 1 } , x _ { 2 } , y _ { 2 } , u _ { 2 } , v _ { 2 } , x _ { 3 } , y _ { 3 } , u _ { 3 } , v _ { 3 } )
\left( \begin{array} { l } { { w _ { \uparrow } ^ { i n s t } } } \\ { { w _ { \downarrow } ^ { i n s t } } } \\ { { z _ { \uparrow } ^ { i n s t } } } \\ { { z _ { \downarrow } ^ { i n s t } } } \end{array} \right) \equiv N ^ { \prime } { \left( \begin{array} { c c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { \bar { v } _ { \uparrow } ^ { L C } U _ { \uparrow } } } & { { \bar { v } _ { \downarrow } ^ { L C } U _ { \uparrow } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \bar { v } _ { \uparrow } ^ { L C } U _ { \downarrow } } } & { { \bar { v } _ { \downarrow } ^ { L C } U _ { \downarrow } } } \\ { { - \bar { u } _ { \uparrow } ^ { L C } V _ { \uparrow } } } & { { - \bar { u } _ { \downarrow } ^ { L C } V _ { \uparrow } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { - \bar { u } _ { \uparrow } ^ { L C } V _ { \downarrow } } } & { { - \bar { u } _ { \downarrow } ^ { L C } V _ { \downarrow } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) } \left( \begin{array} { l } { { u _ { \uparrow } ^ { L C } } } \\ { { u _ { \downarrow } ^ { L C } } } \\ { { v _ { \uparrow } ^ { L C } } } \\ { { v _ { \downarrow } ^ { L C } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r } { \partial _ { t } c _ { i , 0 } = \left( \kappa _ { i } + \frac { \mathrm { P e } ^ { 2 } \left\langle u ( \partial _ { \tau } - \Delta ) ^ { - 1 } u \right\rangle _ { \mathbf { y } , \tau } } { \kappa _ { i } } \right) \partial _ { x } ^ { 2 } c _ { i , 0 } , \quad i = 1 , \hdots , n . } \end{array}
\gamma _ { \mathrm { e f f } } = \gamma _ { 1 } + \gamma _ { 3 } \frac { \rho ^ { 2 2 } } { \rho ^ { 1 1 } } \simeq \gamma _ { 1 } \left( 1 + \frac { \gamma _ { 3 } } { \gamma _ { 1 } } S _ { 2 } \right) ,
\begin{array} { r } { - \tilde { m } s \omega _ { 0 } ^ { 2 } = \cos ( \varphi _ { 2 } - \psi ) + \cos ( \varphi _ { 1 } - \psi ) , \quad s \omega _ { 0 } = \sin ( \varphi _ { 2 } - \psi ) + \sin ( \varphi _ { 1 } - \psi ) , } \end{array}
\mathrm { t r } ^ { \prime } e ^ { - ( \Delta + m ^ { 2 } ) t } = \sum _ { \delta \neq { \bf 1 } } \sum _ { p = 1 } ^ { \infty } \int _ { H / \Gamma ^ { ( \delta ) } } { \frac { d x d y } { y ^ { 2 } } } { \hat { G } } ( z , e ^ { p l ( \delta [ z ] ) } ; t ) + A \cdot { \hat { G } } ( z , z ; t ) \quad ,
\mathrm { c o C o m m } ^ { \mathrm { c u } } \{ 1 \} ( w ) \otimes _ { S _ { w } } \bigoplus _ { i _ { 1 } , \ldots , i _ { w } } \mathrm { I n d } _ { S _ { i _ { 1 } } \times \ldots \times S _ { i _ { w } } } ^ { S _ { i _ { 1 } + \ldots + i _ { w } } } \mathrm { c o L i e } \{ 1 \} ( i _ { 1 } ) \otimes _ { k } \ldots \otimes _ { k } \mathrm { c o L i e } \{ 1 \} ( i _ { w } ) \longrightarrow \bigoplus _ { i _ { 1 } , \ldots , i _ { w } } \mathrm { F } ^ { \mathrm { n u } } ( \gamma ) ( i _ { 1 } + \ldots i _ { w } ) [ 1 ] \: ,
\begin{array} { r l } { \ell _ { \vec { y } } } & { \leq \lfloor \log _ { 2 } K \rfloor + O ( \log \log K ) + \sum _ { j = 0 } ^ { K - 1 } \lfloor \log _ { 2 } ( 1 + \phi _ { j } ) \rfloor + O ( \log \log ( 1 + \phi _ { j } ) ) } \\ & { \quad + \left\lfloor \log _ { 2 } \left( 1 + \left\lceil \frac { n ! } { \prod _ { j = 0 } ^ { K - 1 } \phi _ { j } ! } \right\rceil \right) \right\rfloor + O \left( \log \log \left( 1 + \left\lceil \frac { n ! } { \prod _ { j = 0 } ^ { K - 1 } \phi _ { j } ! } \right\rceil \right) \right) } \\ & { \leq K \lfloor \log _ { 2 } ( 1 + n ) \rfloor + \log _ { 2 } \left( 1 + \left\lceil \frac { n ! } { \prod _ { j = 0 } ^ { K - 1 } \phi _ { j } ! } \right\rceil \right) + O ( \log n ) + O ( K \log \log n ) } \\ & { = \log _ { 2 } \left( 1 + \left\lceil \frac { n ! } { \prod _ { j = 0 } ^ { K - 1 } \phi _ { j } ! } \right\rceil \right) + O ( K \log n ) , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } & { \zeta _ { t } + \left( A { \sigma } + \alpha B { \zeta } { \sigma } - \alpha ^ { 2 } C { \zeta } ^ { 2 } { \sigma } + \epsilon ^ { 2 } \kappa { \sigma } _ { x x } \right) _ { x } = 0 } \\ & { \sigma _ { t } + \left( { \zeta } + \alpha \frac { B \, { \sigma } ^ { 2 } } { 2 } - \alpha ^ { 2 } C { \zeta } { \sigma } ^ { 2 } \right) _ { x } = 0 } \end{array} \right. \, ,
W _ { \mathrm { e f f } } = S \left\{ \ln \left[ \frac { S ^ { N _ { c } - N _ { f } } \mathrm { d e t } \left( T \right) \left( 1 - \frac { B T ^ { N _ { f } - N _ { c } } \bar { B } } { \mathrm { d e t } ( T ) } \right) ^ { \rho } } { \Lambda ^ { 3 N _ { c } - N _ { f } } } \right] + N _ { f } - N _ { c } \right\} ,
{ \cal L } _ { H } = \bar { h } _ { Q } ^ { ( v ) } \, ( i v ^ { \mu } D _ { \mu } ) \, h _ { Q } ^ { ( v ) } + { \frac { 1 } { 2 m _ { Q } } } \bar { h } _ { Q } ^ { ( v ) } \left[ - ( i v ^ { \mu } D _ { \mu } ) ^ { 2 } + ( i D ) ^ { 2 } - { \frac { 1 } { 2 } } g _ { s } \sigma _ { \mu \nu } G ^ { \mu \nu } \right] \, h _ { Q } ^ { ( v ) } + { \cal O } ( \lambda ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l r l r l r l } { x } & { { } = - 2 n \cos \phi \sqrt { \frac { 2 a _ { \mathrm { ~ r ~ m ~ s ~ } } ^ { 2 } w _ { n } ( 1 - w _ { n } ) } { 1 + a _ { \mathrm { ~ r ~ m ~ s ~ } } ^ { 2 } } } , } & { y } & { { } = \frac { a _ { \mathrm { ~ r ~ m ~ s ~ } } ^ { 2 } } { 4 \eta _ { e } } \frac { s } { 1 - s } , } & { w _ { n } } & { { } = \frac { s } { s _ { n } ( 1 - s ) } , } & { s _ { n } } & { { } = \frac { 2 n \eta _ { e } } { 1 + a _ { \mathrm { ~ r ~ m ~ s ~ } } ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { S _ { 0 } } & { { } = } & { | E _ { x } | ^ { 2 } + | E _ { y } | ^ { 2 } = I _ { 0 } + I _ { 1 } } \\ { S _ { 1 } } & { { } = } & { | E _ { x } | ^ { 2 } - | E _ { y } | ^ { 2 } = I _ { 0 } - I _ { 1 } } \\ { S _ { 2 } } & { { } = } & { E _ { x } E _ { y } ^ { * } + E _ { x } ^ { * } E _ { y } = 2 I _ { 2 } - I _ { 0 } - I _ { 1 } } \\ { S _ { 3 } } & { { } = } & { i ( E _ { x } E _ { y } ^ { * } - E _ { x } ^ { * } E _ { y } ) = 2 I _ { 3 } - I _ { 0 } - I _ { 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { F } ( \tilde { \mathbf { r } } , \tilde { \mathbf { r } } ^ { \prime } ) } & { { } = F ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } ) + \bar { F } ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } , \mathbf { r } _ { t } ) , } \\ { d \tilde { \mathbf { L } } ^ { \prime } } & { { } = - I ( \tilde { \mathbf { r } } ^ { \prime } \times d \mathbf { l } ^ { \prime } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbb { E } _ { \mathbf { x } _ { t _ { i } } \sim p _ { t _ { i } } } [ \log p _ { t _ { i } } ^ { p _ { t _ { j } } , \, \mathrm { O D E } } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) ] \qquad \qquad \qquad } \\ { \mathrm { ~ s ~ . ~ t ~ . ~ } \quad \mathbf { x } _ { t _ { i } } = \mathbf { x } _ { t _ { j } } + \int _ { t _ { i } } ^ { t _ { j } } \mathcal { P } ( \mathbf { x } _ { t } ) - \frac { 1 } { 2 } g ^ { 2 } ( t ) s _ { \theta } ( \mathbf { x } _ { t } , t ) d t . } \end{array}
+ \frac { 2 } { ( l _ { 1 } + l _ { 0 } - 1 ) ( l _ { 1 } + l _ { 0 } + 1 ) } q ^ { \pm } ( l _ { 0 } , l _ { 1 } ) = ( 2 - y ^ { 2 } ) q ^ { \pm } ( l _ { 0 } , l _ { 1 } ) ,
\begin{array} { r l } { \Upsilon ( [ * / \mathrm { G L } ( n ) ] ) } & { = \prod _ { i = 0 } ^ { n - 1 } \frac { 1 } { \mathbb { L } ^ { n } - \mathbb { L } ^ { i } } \, , } \\ { \Upsilon ( [ * / \mathrm { O } ( 2 n ) ] ) } & { = \mathbb { L } ^ { n } \cdot \prod _ { i = 0 } ^ { n - 1 } \frac { 1 } { \mathbb { L } ^ { 2 n } - \mathbb { L } ^ { 2 i } } \, , } \\ { \Upsilon ( [ * / \mathrm { O } ( 2 n + 1 ) ] ) } & { = } \\ { \Upsilon ( [ * / \mathrm { S p } ( 2 n ) ] ) } & { = \mathbb { L } ^ { - n } \cdot \prod _ { i = 0 } ^ { n - 1 } \frac { 1 } { \mathbb { L } ^ { 2 n } - \mathbb { L } ^ { 2 i } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tau _ { \varepsilon } ^ { ( 2 ) } = } & { \operatorname* { i n f } } & { \Big \{ t > h : ( { \mathcal X } _ { t } , { \mathcal Y } _ { t } ) \in B _ { 1 } \times B _ { 2 } \ \mathrm { o r } \ B _ { 2 } \times B _ { 1 } , \ \mathrm { a n d ~ f o r ~ c e r t a i n } \ s \in ( 0 , t ) , } \\ & { } & { ( { \mathcal X } _ { s } , { \mathcal Y } _ { s } ) \in B _ { 1 } \times B _ { 1 } \ \mathrm { o r } \ B _ { 2 } \times B _ { 2 } \Big \} , } \end{array}
\mathcal { L } ^ { \mathrm { ~ p ~ r ~ o ~ f ~ i ~ l ~ e ~ } } ( \boldsymbol { \theta } ) = \mathcal { G } ( \theta _ { L y } ; 0 , \sigma _ { L y } ) \times \mathcal { G } ( \theta _ { Q y } ; 0 , \sigma _ { Q y } )
\varrho ( 0 , \cdot ) = \varrho _ { 0 , \varepsilon } : = \overline { { \varrho } } + \varepsilon ^ { m } \varrho _ { 0 , \varepsilon } ^ { ( 1 ) } , \quad \textbf { \textup { u } } ( 0 , \cdot ) = \textbf { \textup { u } } _ { 0 , \varepsilon } , \quad \vartheta ( 0 , \cdot ) = \vartheta _ { 0 , \varepsilon } : = \overline { { \vartheta } } + \varepsilon ^ { m } \vartheta _ { 0 , \varepsilon } ^ { ( 1 ) } ,
\begin{array} { l l } { { | V _ { u s } | = \lambda = 0 . 2 1 9 6 , } } & { { | V _ { u b } / V _ { c b } | = 0 . 0 8 5 \pm 0 . 0 2 , } } \\ { { | V _ { c b } | = 0 . 0 3 9 5 \pm 0 . 0 0 1 7 , } } & { { | V _ { u d } | = 1 - \lambda ^ { 2 } / 2 . } } \end{array}