harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { P _ { \tau } ( r > \lfloor \tau \rfloor + 2 ) } & { = 0 \, , } \\ { P _ { \tau } ( r = \lfloor \tau \rfloor + 2 ) } & { = \frac { \epsilon ^ { 3 } } { 6 } \, , } \\ { P _ { \tau } ( r = \lfloor \tau \rfloor + 1 ) } & { = \frac { ( 1 + \epsilon ) ^ { 3 } } { 6 } - \frac 2 3 \epsilon ^ { 3 } \, , } \\ { P _ { \tau } ( r = \lfloor \tau \rfloor ) } & { = \frac { \epsilon ^ { 3 } } { 2 } - \epsilon ^ { 2 } + \frac 2 3 \, , } \\ { P _ { \tau } ( r = \lfloor \tau \rfloor - 1 ) } & { = \frac { ( 1 - \epsilon ) ^ { 3 } } { 6 } \, , } \\ { P _ { \tau } ( r < \lfloor \tau \rfloor - 1 ) } & { = 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { G M _ { \oplus } R _ { \oplus } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } ( R _ { \oplus } + h _ { \tt L E O } ) ^ { 3 } } P _ { 2 2 } ( \cos \theta ) \Big \{ C _ { 2 2 } \cos 2 \phi , ~ S _ { 2 2 } \sin 2 \phi \Big \} } & { { } \lesssim } & { \Big \{ 9 . 9 8 \times 1 0 ^ { - 1 6 } \cos 2 \phi , ~ 5 . 7 3 \times 1 0 ^ { - 1 6 } \sin 2 \phi \Big \} . } \end{array}
\begin{array} { r } { { \mathcal L } _ { n } ( { \boldsymbol { \beta } } ^ { ( T ) } ) - { \mathcal L } _ { n } ( \hat { \boldsymbol { \beta } } ) \geq { \mathcal L } _ { n } ( { \boldsymbol { \beta } } ^ { ( T ) } ) - { \mathcal L } _ { n } ( { \boldsymbol { \beta } } ^ { * } ) \geq \frac { \alpha } { 3 } \| { \boldsymbol { \beta } } ^ { ( T ) } - { \boldsymbol { \beta } } ^ { * } \| _ { 2 } ^ { 2 } - \langle \nabla { \mathcal L } _ { n } ( { \boldsymbol { \beta } } ^ { * } ) , { \boldsymbol { \beta } } ^ { * } - { \boldsymbol { \beta } } ^ { ( T ) } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { F \rightarrow C \ \ \textrm { i f } \ \ \Phi _ { k } ^ { i } \in A } \\ & { C \rightarrow F \ \ \textrm { i f } \ \ \Phi _ { k } ^ { i } \in B } \\ & { A = \left[ \frac { \left[ e ^ { - \zeta ( g ) } \left( \rho _ { \operatorname* { m a x } } - \frac { 1 } { T \lambda ^ { i } w } \right) \right] - \frac { \psi } { g \lambda ^ { i } } } { \frac { e ^ { \zeta ( g ) } } { v _ { f } } + \frac { 1 } { e ^ { \zeta ( g ) } w } } , q _ { \operatorname* { m a x } } \right] } \\ & { B = \left[ \frac { e ^ { - \zeta ( g ) } \rho _ { \operatorname* { m a x } } - \frac { e ^ { \zeta ( g ) } } { T \lambda ^ { i } v _ { f } } - \frac { \psi } { g \lambda ^ { i } } } { \frac { e ^ { \zeta ( g ) } } { v _ { f } } + \frac { 1 } { e ^ { \zeta ( g ) } w } } , q _ { \operatorname* { m a x } } \right] } \end{array}
\frac { \partial \rho e } { \partial t } + \frac { \partial ( \rho e + p ) u _ { i } } { \partial x _ { i } } = - \frac { \partial q _ { i } } { \partial x _ { i } } + \frac { \partial \sigma _ { i j } u _ { i } } { \partial x _ { j } } \: ,
\begin{array} { r l } { \underset { \ell \in \{ K + 2 , K + 4 , \ldots \} } { \sum } \ell ! c _ { \ell } ^ { 2 } \leq } & { ( C _ { 1 } ( \nu , \varepsilon ) ) ^ { 2 } \underset { \ell \in \{ K + 2 , K + 4 , \ldots \} } { \sum } ( 2 \pi \ell ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \ell ^ { - \nu - 2 + 2 \varepsilon } } \\ { \leq } & { C _ { 2 } ( \nu , \varepsilon ) K ^ { - \nu - \frac { 1 } { 2 } + 2 \varepsilon } } \end{array}
\frac { p } { \rho _ { \mathrm { c a l c } } ^ { * } R T } = 1 + B _ { \mathrm { c a l c } } \rho _ { \mathrm { c a l c } } ^ { * } + C _ { \mathrm { c a l c } } { \rho _ { \mathrm { c a l c } } ^ { * } } ^ { 2 } + D _ { \mathrm { c a l c } } { \rho _ { \mathrm { c a l c } } ^ { * } } ^ { 3 }
\mathrm { S y m } _ { \Omega } ^ { \mathrm { c } } \left( \mathrm { G } _ { 0 } \right) = \left\{ \sigma \in \mathrm { S y m } _ { \Omega } \middle | \sigma \cdot \mathrm { G } _ { 0 } = \mathrm { G } _ { 0 } \right\}
\begin{array} { r } { S _ { 2 2 } ^ { q } = { S _ { 2 2 } ^ { t h } } = S _ { 4 4 } ^ { q } = { S _ { 4 4 } ^ { t h } } = \frac { 8 e ^ { 2 } } { h } k _ { B } \mathcal { T } . } \end{array}
m _ { \nu } \: = \: \frac { 1 } { M _ { R } } \, V ^ { T } \, \left( \begin{array} { c c c } { { f _ { \nu _ { 1 } } ^ { 2 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { f _ { \nu _ { 2 } } ^ { 2 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { f _ { \nu _ { 3 } } ^ { 2 } } } \end{array} \right) \, V \, \frac { v ^ { 2 } \, \sin ^ { 2 } ( \beta ) } { 2 } \;
M _ { r } ^ { ( 0 ) } = - \frac { \lambda ( N + 2 ) T } { 8 \pi N } + \sqrt { \Bigl ( \frac { \lambda ( N + 2 ) T } { 8 \pi N } \Bigr ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } + \frac { \lambda ( N + 2 ) T ^ { 2 } } { 1 2 N } } ,
\begin{array} { r l r } { d \alpha } & { { } = } & { \sqrt { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left[ \left( { \frac { \partial \alpha } { \partial \/ x _ { i } } } \right) ^ { 2 } ( d \, x _ { \it \/ i } ) ^ { 2 } \mathrm { ~ \, ~ + ~ \, ~ } \left( { \frac { \partial \alpha } { \partial \/ y _ { i } } } \right) ^ { 2 } ( d \, y _ { \it \/ i } ) ^ { 2 } \right] \ } } \end{array}
\begin{array} { r } { H _ { 1 } ( t ) = \Delta b ^ { \dagger } b + \frac { 1 } { 2 } \alpha b ^ { \dagger } b ( b ^ { \dagger } b - 1 ) + g ( c b ^ { \dagger } + c ^ { \dagger } b ) } \\ { + a _ { z } ( t ) b ^ { \dagger } b + a _ { x } ( t ) ( b + b ^ { \dagger } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { P } _ { 2 } ^ { ( + 2 ) } } & { = } & { \sum _ { D ( + 2 ) } ^ { { \mathrm { d e n o m . } = 0 } } | \Phi _ { D ( + 2 ) } ^ { ( 0 ) } \rangle \langle \Phi _ { D ( + 2 ) } ^ { ( 0 ) } | , } \\ { \hat { P } _ { 2 } ^ { ( \pm 0 ) } } & { = } & { \sum _ { D ( \pm 0 ) } ^ { { \mathrm { d e n o m . } = 0 } } | \Phi _ { D ( \pm 0 ) } ^ { ( 0 ) } \rangle \langle \Phi _ { D ( \pm 0 ) } ^ { ( 0 ) } | , } \\ { \hat { P } _ { 2 } ^ { ( - 2 ) } } & { = } & { \sum _ { D ( - 2 ) } ^ { { \mathrm { d e n o m . } = 0 } } | \Phi _ { D ( - 2 ) } ^ { ( 0 ) } \rangle \langle \Phi _ { D ( - 2 ) } ^ { ( 0 ) } | , } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { 0 _ { 0 } , m } ^ { ( 0 ) } } & { { } = 0 , } \\ { E _ { 1 _ { - 1 } , m } ^ { ( 0 ) } } & { { } = B + C , } \\ { E _ { 1 _ { 0 } , m } ^ { ( 0 ) } } & { { } = A + C , } \\ { E _ { 1 _ { 1 } , m } ^ { ( 0 ) } } & { { } = A + B , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sqrt { N } \left( \chi ( 0 ) + H ^ { ( N ) } ( \lfloor N t \rfloor ) - Z ( t ) \right) = \sqrt { N } \left( \sum _ { k = 0 } ^ { \lfloor N t \rfloor - 1 } \frac { G ( N + k , \chi ^ { ( N ) } ( k ) ) } { N + k + 1 } - \int _ { 0 } ^ { t } \frac { G ( Z ( s ) ) } { 1 + s } d s \right) } \\ & { = \sqrt { N } \left( \sum _ { k = 0 } ^ { \lfloor N t \rfloor - 1 } \frac { G ( \chi ^ { ( N ) } ( k ) ) } { N + k + 1 } - \int _ { 0 } ^ { t } \frac { G ( Z ( s ) ) } { 1 + s } d s + \sum _ { k = 0 } ^ { \lfloor N t \rfloor - 1 } \frac { G ( N + k , \chi ^ { ( N ) } ( k ) ) - G ( \chi ^ { ( N ) } ( k ) ) } { N + k + 1 } \right) } \\ & { = \sqrt { N } \left( \int _ { 0 } ^ { t } \frac { G ( \chi ^ { ( N ) } ( \lfloor N s \rfloor ) ) - G ( Z ( s ) ) } { 1 + s } d s + O \left( \frac { 1 } { N } \right) + o \left( \frac { 1 } { \sqrt { N } } \right) \sum _ { k = 0 } ^ { \lfloor N t \rfloor - 1 } \frac { 1 } { N + k + 1 } \right) } \\ & { = \sqrt { N } \int _ { 0 } ^ { t } \frac { G ( \chi ^ { ( N ) } ( \lfloor N s \rfloor ) ) - G ( Z ( s ) ) } { 1 + s } d s + o ( 1 ) } \\ & { = \sqrt { N } \int _ { 0 } ^ { t } \frac { D G ( m ^ { ( N ) } ( s ) ) \bullet ( \chi ^ { ( N ) } ( \lfloor N s \rfloor ) - Z ( s ) ) } { 1 + s } d s + o ( 1 ) } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { t } D G ( m ^ { ( N ) } ( s ) ) \bullet \frac { \sqrt { N } \left( ( \chi ( 0 ) + H ^ { ( N ) } ( \lfloor N s \rfloor ) - Z ( s ) + M ^ { ( N ) } ( \lfloor N s \rfloor \right) } { 1 + s } d s + o ( 1 ) } \\ & { \xrightarrow { N \to \infty } \int _ { 0 } ^ { t } \frac { D G ( Z ( s ) ) \bullet ( H ( s ) + M ( s ) ) } { 1 + s } d s , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \big ( \partial _ { t } + v \cdot \nabla _ { x } \big ) f _ { 1 } = \nu _ { 1 } \, \mathcal { T } _ { 1 } [ f _ { 1 } , f _ { 2 } , \cdots , f _ { n } ] ( f _ { 1 } ) + \mu _ { 1 } \, G _ { 1 } ( f _ { 1 } , f _ { 2 } , \cdots , f _ { n } , v ) , } \\ { \big ( \partial _ { t } + v \cdot \nabla _ { x } \big ) f _ { 2 } = \nu _ { 2 } \, \mathcal { T } _ { 2 } [ f _ { 1 } , f _ { 2 } , \cdots , f _ { n } ] ( f _ { 2 } ) + \mu _ { 2 } \, G _ { 2 } ( f _ { 1 } , f _ { 2 } , \cdots , f _ { n } , v ) , } \\ { \big ( \partial _ { t } + v \cdot \nabla _ { x } \big ) f _ { 3 } = \nu _ { 3 } \, \mathcal { T } _ { 3 } ( f _ { 3 } ) + \mu _ { 3 } \, G _ { 3 } ( f _ { 1 } , f _ { 2 } , \cdots , f _ { n } , v ) , } \\ { \big ( \partial _ { t } + v \cdot \nabla _ { x } \big ) f _ { 4 } = \nu _ { 4 } \, \mathcal { T } _ { 4 } [ f _ { 1 } , f _ { 2 } , \cdots , f _ { n } ] ( f _ { 4 } ) + \mu _ { 4 } \, G _ { 4 } ( f _ { 1 } , f _ { 2 } , \cdots , f _ { n } , v ) , } \\ { \cdots , } \\ { \big ( \partial _ { t } + v \cdot \nabla _ { x } \big ) f _ { n } = \nu _ { n } \, \mathcal { T } _ { n } [ f _ { 1 } , f _ { 2 } , \cdots , f _ { n } ] ( f _ { n } ) + \mu _ { n } \, G _ { n } ( f _ { 1 } , f _ { 2 } , \cdots , , f _ { n } , v ) , } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \delta \mathcal { F } ( r , \theta , z , t ) = \delta \mathcal { F } ( r ) e ^ { \mathrm { ~ i ~ } \left( - m \theta + \frac { n } { R } z - \omega t \right) } = \delta \mathcal { F } ( r ) e ^ { \mathrm { ~ i ~ } \left( r k _ { \theta } ( r ) \theta + k _ { z } z - \omega t \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { T } } & { { } = \frac { 2 T } { \sqrt { V _ { 0 } m } } \sqrt { c _ { \mathrm { ~ P ~ E ~ } } + \frac { \xi + \frac { V _ { 0 } + u _ { \mathrm { ~ e ~ l ~ } } } { \eta T } } { V } } , } \\ { \sigma _ { \xi } } & { { } = \sqrt { \frac { 2 } { V _ { 0 } m } } \frac { \eta T \xi + V _ { 0 } + u _ { \mathrm { ~ d ~ e ~ l ~ } } } { \eta T _ { \mathrm { ~ w ~ c ~ } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { \bf k } ( \omega ) } & { = | \tilde { g } | ^ { 2 } + | \hbar \omega - z _ { \bf k } ^ { X } | ^ { 2 } , ~ ~ ~ B _ { \bf k } ( \omega ) = | \tilde { g } | ^ { 2 } + | \hbar \omega - z _ { \bf k } ^ { C } | ^ { 2 } , } \\ { D _ { \bf k } ( \omega ) } & { = 2 \Re \left[ ( 2 \hbar \omega - z _ { \bf k } ^ { C } - z _ { \bf k } ^ { X } ) \tilde { g } ^ { * } \right] . } \end{array}
H _ { 1 } ( \textbf { k } ) = \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { k _ { c } } & { 0 } \\ { k _ { c } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] , H _ { 2 } ( \textbf { k } ) = \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { k _ { c } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { k _ { c } } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] ,
\left( q _ { e } ^ { I \ \prime } \, \, \, \, q _ { m } ^ { I \ \prime } \right) = \left( q _ { e } ^ { I } \, \, \, \, q _ { m } ^ { I } \right) \left( \begin{array} { r r } { { a } } & { { - c } } \\ { { } } & { { } } \\ { { - b } } & { { d } } \end{array} \right) \, ,
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathbb { R } } \left| \mathbb { P } \left( \operatorname* { m a x } _ { z \in \mathbb { B } } \operatorname* { s u p } _ { t \in \mathcal { T } } \sqrt { n b _ { z } } | \check { \rho } _ { z } ( t ) - \rho _ { z } ( t ) | / \check { \Gamma } _ { z } ( t ) \leq x \right) - \mathbb { P } \left( \left| \frac { 1 } { \sqrt { n b } } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 \lceil n b \rceil } \check { \mathbf Z } _ { i } \right| _ { \infty } \leq x \right) \right| = o ( 1 ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { u _ { i } = \sum _ { b = 1 } ^ { R } \frac { \sigma _ { i b } } { 2 ^ { b } } \mapsto ( \sigma _ { i 1 } \dots \sigma _ { i R } ) , \quad \sigma _ { i b } \in \{ 0 , 1 \} \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { I _ { 2 1 } } & { = } & { - i \pi \frac { A _ { 1 } A _ { 2 } } { 4 \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } } \, e ^ { - i ( \varphi _ { 1 } + \varphi _ { 2 } - E _ { n } t _ { 2 } ) } \, \times } \\ & { \times } & { e ^ { - \omega _ { 1 } ^ { 2 } / 2 \sigma _ { 1 } ^ { 2 } - ( E _ { n } - \omega _ { 2 } ) ^ { 2 } / 2 \sigma _ { 2 } ^ { 2 } + \sigma _ { t } ^ { 2 } ( \tilde { \omega } - E _ { p } ) ^ { 2 } / 2 } \, \, \mathcal { W } \left( \frac { \sigma _ { t } \tilde { \omega } } { \sqrt { 2 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { A c c u r a c y } } & { = \frac { \mathrm { t h e ~ n u m b e r ~ o f ~ t r i a l s ~ w i t h ~ R C G - N U G = 0 } } { \mathrm { t h e ~ t o t a l ~ n u m b e r ~ o f ~ t r i a l s } } , } \\ { \mathrm { M a x i m a l ~ R C G - N U G } } & { = \mathrm { t h e ~ m a x i m a l ~ v a l u e ~ o f ~ R C G - N U G ~ a m o n g ~ a l l ~ t r i a l s } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { O _ { k } } & { = \frac { a _ { k , 3 } a _ { k , 5 } t _ { k } ^ { 2 } \gamma _ { k } } { \Delta _ { k } } + a _ { k , 3 } a _ { k , 6 } t _ { k } ^ { 2 } \kappa _ { k } ( { \mathbf { I } } _ { N - 1 } ) } \\ & { + a _ { k , 4 } a _ { k , 5 } t _ { k } ^ { 2 } \theta \overline { { d } } \Gamma _ { k } ( { \mathbf { C } } ) + a _ { k , 4 } a _ { k , 6 } t _ { k } ^ { 2 } \theta \overline { { d } } \beta _ { k } ( { \mathbf { I } } _ { N - 1 } , { \mathbf { C } } ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { ( \mathbf { \lambda } x . x x x ) ( \lambda x . x x x ) } & { \rightarrow ( \mathbf { \lambda } x . x x x ) ( \lambda x . x x x ) ( \lambda x . x x x ) } \\ & { \rightarrow ( \mathbf { \lambda } x . x x x ) ( \lambda x . x x x ) ( \lambda x . x x x ) ( \lambda x . x x x ) } \\ & { \rightarrow ( \mathbf { \lambda } x . x x x ) ( \lambda x . x x x ) ( \lambda x . x x x ) ( \lambda x . x x x ) ( \lambda x . x x x ) } \\ & { \rightarrow \ \cdots \, } \end{array} }
{ \begin{array} { r l } & { { \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { c _ { 2 3 } } & { s _ { 2 3 } } \\ { 0 } & { - s _ { 2 3 } } & { c _ { 2 3 } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l l } { c _ { 1 3 } } & { 0 } & { s _ { 1 3 } e ^ { - i \delta _ { 1 3 } } } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { - s _ { 1 3 } e ^ { i \delta _ { 1 3 } } } & { 0 } & { c _ { 1 3 } } \end{array} \right] } { \left[ \begin{array} { l l l } { c _ { 1 2 } } & { s _ { 1 2 } } & { 0 } \\ { - s _ { 1 2 } } & { c _ { 1 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } } \\ & { = { \left[ \begin{array} { l l l } { c _ { 1 2 } c _ { 1 3 } } & { s _ { 1 2 } c _ { 1 3 } } & { s _ { 1 3 } e ^ { - i \delta _ { 1 3 } } } \\ { - s _ { 1 2 } c _ { 2 3 } - c _ { 1 2 } s _ { 2 3 } s _ { 1 3 } e ^ { i \delta _ { 1 3 } } } & { c _ { 1 2 } c _ { 2 3 } - s _ { 1 2 } s _ { 2 3 } s _ { 1 3 } e ^ { i \delta _ { 1 3 } } } & { s _ { 2 3 } c _ { 1 3 } } \\ { s _ { 1 2 } s _ { 2 3 } - c _ { 1 2 } c _ { 2 3 } s _ { 1 3 } e ^ { i \delta _ { 1 3 } } } & { - c _ { 1 2 } s _ { 2 3 } - s _ { 1 2 } c _ { 2 3 } s _ { 1 3 } e ^ { i \delta _ { 1 3 } } } & { c _ { 2 3 } c _ { 1 3 } } \end{array} \right] } . } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { i ^ { \alpha } \frac { \partial ^ { \alpha } } { \partial t ^ { \alpha } } \psi _ { 2 } ( t ) } & { { } = } & { E _ { 2 } \psi _ { 2 } ( t ) + \gamma e ^ { - i \omega t } \psi _ { 1 } ( t ) , } \end{array}
v _ { i j } = \frac { 1 } { r _ { i j } } - \sum _ { J } \frac { Z _ { J } } { \eta _ { B } } \frac { 1 } { r _ { i J } } - \sum _ { I } \frac { Z _ { I } } { \eta _ { A } } \frac { 1 } { r _ { I j } } + \sum _ { I J } \frac { Z _ { I } Z _ { J } } { \eta _ { A } \eta _ { B } } \frac { 1 } { r _ { I J } }
e ^ { - { \lambda } } ( { \nu } " + \frac { { { \nu } ^ { \prime } } ^ { 2 } } { 2 } - \frac { { \nu } ^ { \prime } { \lambda } ^ { \prime } } { 2 } + \frac { { \nu } ^ { \prime } - { \lambda } ^ { \prime } } { r } ) - e ^ { - { \nu } } ( \ddot { \lambda } + \frac { { \dot { \lambda } } ^ { 2 } } { 2 } - \frac { \dot { \lambda } \dot { \nu } } { 2 } ) = 2 k ( - h _ { 1 } h ^ { 1 } + h _ { 2 } h ^ { 2 } + h _ { 3 } h ^ { 3 } + h _ { 4 } h ^ { 4 } )
r _ { k + 1 } = M _ { k } ^ { - 1 } \, , \quad r _ { k + 1 } ^ { 2 } = R _ { k } R _ { k + 1 } \, , \quad M _ { k } = \frac { R _ { k } ^ { 2 } } { r _ { k } ^ { 3 } } \exp \left( \frac { r _ { k } ^ { 2 } } { 2 R _ { k } ^ { 2 } } \right) \, ,
- \frac { \varepsilon _ { 0 } \mu _ { 0 } } { \varepsilon \left( t \right) } \, \left[ \frac { 1 } { 2 } \, \int d \mathbf { S } \left( \mathbf { H } \cdot \mathbf { H } \right) - \sum _ { p = x , y , z } \mathbf { u } _ { p } \int d \mathbf { S } \cdot \left( H _ { p } \mathbf { H } \right) \right]
\frac { ( k - 1 ) ! k ! } { ( 2 k + 1 ) ! } { \ } _ { 2 } F _ { 1 } ( k , \ k + 1 ; \ 2 k + 2 ; \ u ) = \frac { 1 } { k ! ( k + 1 ) ! } \frac { d ^ { k } } { d u ^ { k } } ( 1 - u ) ^ { k + 1 } \frac { d ^ { k } } { d u ^ { k } } \frac { \log ( 1 - u ) } { u }
\begin{array} { r l } { f ( s ) } & { = - \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { \sin ( \phi ) } { s } \frac { \partial } { \partial \phi } \left( \frac { 1 } { \sqrt { 1 - 2 s \cos ( \phi ) + s ^ { 2 } } } \right) d \phi } \\ & { = \frac { 2 ( 1 + s ) } { s ^ { 2 } } \left[ \frac { 1 + s ^ { 2 } } { ( 1 + s ) ^ { 2 } } \, K \! \left( \frac { 4 s } { ( 1 + s ) ^ { 2 } } \right) - E \! \left( \frac { 4 s } { ( 1 + s ) ^ { 2 } } \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi _ { \mathrm { c d } } } & { { } = e ^ { - 2 i \phi } \sin \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \cos \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \psi _ { \mathrm { a a } } - e ^ { - i \phi } \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \psi _ { \mathrm { a b } } } \end{array}
\log _ { 1 0 } { \frac { c ^ { - } } { c ^ { + } } } \gg 3 2 - { \frac { 1 } { 2 } } \log _ { 1 0 } z _ { e q } + { \frac { 1 } { 2 } } \log _ { 1 0 } { \frac { T _ { c } ^ { + } } { T _ { P } ^ { + } } }
\begin{array} { r l } { ( \eta _ { t + 1 } - \eta _ { t + 1 } ^ { * } ) ^ { 2 } } & { \leq ( \eta _ { t } - \eta _ { t } ^ { * } ) ^ { 2 } - 2 \gamma _ { t } ( \eta _ { t } - \eta _ { t } ^ { * } ) ^ { 2 } + 2 \gamma _ { t } ( \eta _ { t } - \eta _ { t } ^ { * } ) ( F ^ { \prime } ( \eta _ { t } ) - f _ { t } ) + 2 ( \eta _ { t } - \eta _ { t } ^ { * } ) ( \eta _ { t } ^ { * } - \eta _ { t + 1 } ^ { * } ) } \\ & { + 2 ( \eta _ { t } ^ { * } - \eta _ { t + 1 } ^ { * } ) ^ { 2 } + 2 ( \gamma _ { t } f _ { t } ) ^ { 2 } } \\ & { = ( 1 - 2 \gamma _ { t } ) ( \eta _ { t } - \eta _ { t } ^ { * } ) ^ { 2 } + 2 \gamma _ { t } ( \eta _ { t } - \eta _ { t } ^ { * } ) ( F ^ { \prime } ( \eta _ { t } ) - f _ { t } ) + 2 ( \eta _ { t } - \eta _ { t } ^ { * } ) ( \eta _ { t } ^ { * } - \eta _ { t + 1 } ^ { * } ) } \\ & { + 2 ( \eta _ { t } ^ { * } - \eta _ { t + 1 } ^ { * } ) ^ { 2 } + 2 ( \gamma _ { t } f _ { t } ) ^ { 2 } . } \end{array}
X _ { P Q } ^ { \mathbf { k } } \leftarrow \sum _ { i \mathbf { q } } u _ { i } ^ { \mathbf { k } + \mathbf { q } } ( \mathbf { r } _ { P } ) M _ { P Q } ^ { \mathbf { q } } u _ { i } ^ { \mathbf { k } + \mathbf { q } } ( \mathbf { r } _ { Q } ) ^ { * }
\begin{array} { r } { { E } _ { \mathcal { P } _ { B } } \Bigg [ \Big ( p ^ { \prime } ( a ) - { E } _ { \mathcal { P } _ { B } } \Big [ p ^ { \prime } ( a ) \Big ] \Big ) ^ { n } \Bigg ] = { E } _ { B } \Big [ ( p ( a | b ) - p ( a ) ) ^ { n } \Big ] . } \end{array}
\rho ( x , y , s , s _ { 0 } ) = \frac { e ^ { - \frac { x ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { x } ^ { 2 } ( s ) } - \frac { y ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { y } ^ { 2 } ( s , x ) } - \frac { ( s - s _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { z } ^ { 2 } } } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 / 2 } \sigma _ { x } ( s ) \sigma _ { y } ( s , x ) \sigma _ { z } }
\begin{array} { r l } { \widehat { V P } _ { 3 } } & { { } = - \sum _ { \textbf { \textsc { p } } \textbf { \textsc { q } } } S _ { \textsc { p } _ { 2 } } ^ { \textsc { q } _ { 3 } } { v } _ { \textsc { q } _ { 1 } \textsc { q } _ { 2 } } ^ { \textsc { p } _ { 1 } \textsc { q } _ { 4 } } \hat { a } _ { \textsc { p } _ { 1 } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \textsc { p } _ { 2 } } \hat { b } _ { \textsc { q } _ { 1 } } ^ { \dagger } \hat { b } _ { \textsc { q } _ { 3 } } ^ { \dagger } \hat { b } _ { \textsc { q } _ { 4 } } \hat { b } _ { \textsc { q } _ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { \zeta } _ { 1 } ^ { ( d ) } ( q , t ) } & { = 1 + t \prod _ { i = 0 } ^ { d - 1 } \overline { \zeta } _ { 1 } ^ { ( d ) } ( q , q ^ { i } t ) } \\ { \overline { \zeta } _ { r } ^ { ( d ) } ( q , t ) } & { = \prod _ { i = 0 } ^ { r - 1 } \overline { \zeta } _ { 1 } ^ { ( d ) } ( q , q ^ { i } t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { 1 - r } d s \frac { ( 1 - r - s ) ^ { 3 } } { ( r + s ) ^ { 5 - \frac { D } { 2 } } } } & { { } = 2 \bigg ( \frac { r ^ { 3 } } { D - 2 } - \frac { 3 r ^ { 2 } } { D - 4 } + \frac { 3 r } { D - 6 } + \frac { 1 } { 8 - D } \bigg ) r ^ { \frac { D } { 2 } - 4 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { H } & { = \frac { 1 } { 2 } \left[ \mathcal { C } _ { n } ^ { - 1 } \left( \frac { f } { g } \right) T _ { n } ^ { - 1 } ( g ) T _ { n } ( f ) + T _ { n } ( \bar { f } ) T _ { n } ^ { - 1 } ( \bar { g } ) \mathcal { C } _ { n } ^ { - 1 } \left( \frac { \bar { f } } { \bar { g } } \right) \right] } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \left[ \mathcal { C } _ { n } ^ { - 1 } \left( \frac { f } { g } \right) T _ { n } ^ { - 1 } ( g ) \left( T _ { n } ( g ) T _ { n } \left( \frac { f } { g } \right) + L _ { 1 } \right) \right] } \\ & { \phantom { 2 p c } + \frac { 1 } { 2 } \left[ \left( T _ { n } \left( \frac { \bar { f } } { \bar { g } } \right) T _ { n } ( \bar { g } ) + L _ { 1 } ^ { H } \right) T _ { n } ^ { - 1 } ( \bar { g } ) \mathcal { C } _ { n } ^ { - 1 } \left( \frac { \bar { f } } { \bar { g } } \right) \right] } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \left[ \mathcal { C } _ { n } ^ { - 1 } \left( \frac { f } { g } \right) T _ { n } \left( \frac { f } { g } \right) + L _ { 2 } + T _ { n } \left( \frac { \bar { f } } { \bar { g } } \right) \mathcal { C } _ { n } ^ { - 1 } \left( \frac { \bar { f } } { \bar { g } } \right) + L _ { 2 } ^ { H } \right] } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \left[ \mathcal { C } _ { n } ^ { - 1 } \left( \frac { f } { g } \right) T _ { n } \left( \frac { f } { g } \right) + T _ { n } \left( \frac { \bar { f } } { \bar { g } } \right) \mathcal { C } _ { n } ^ { - 1 } \left( \frac { \bar { f } } { \bar { g } } \right) \right] + L _ { 3 } , } \end{array}
\mathbf { F } _ { \mathrm { H L L D } } = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbf { F } ( \mathbf { U } _ { L } ) \, } & { \mathrm { i f } \quad S _ { L } ^ { l } \geq 0 } \\ { \mathbf { F } ( \mathbf { U } _ { L } ) + S _ { L } ^ { l } ( \mathbf { U } _ { L } ^ { \star } - \mathbf { U } _ { L } ) \, } & { \mathrm { i f } \quad S _ { L } ^ { l } < 0 \leq S _ { L } ^ { s } } \\ { \mathbf { F } ( \mathbf { U } _ { L } ) + S _ { L } ^ { l } ( \mathbf { U } _ { L } ^ { \star } - \mathbf { U } _ { L } ) + S _ { L } ^ { s } ( \mathbf { U } _ { L } ^ { \star \star } - \mathbf { U } _ { L } ^ { \star } ) \, } & { \mathrm { i f } \quad S _ { L } ^ { s } < 0 \leq S ^ { \star } } \\ { \mathbf { F } ( \mathbf { U } _ { R } ) + S _ { R } ^ { l } ( \mathbf { U } _ { R } ^ { \star } - \mathbf { U } _ { R } ) + S _ { R } ^ { s } ( \mathbf { U } _ { R } ^ { \star \star } - \mathbf { U } _ { R } ^ { \star } ) \, } & { \mathrm { i f } \quad S ^ { \star } < 0 \leq S _ { R } ^ { s } } \\ { \mathbf { F } ( \mathbf { U } _ { R } ) + S _ { R } ^ { l } ( \mathbf { U } _ { R } ^ { \star } - \mathbf { U } _ { R } ) \, } & { \mathrm { i f } \quad S _ { R } ^ { s } < 0 \leq S _ { R } ^ { l } } \\ { \mathbf { F } ( \mathbf { U } _ { R } ) \, } & { \mathrm { i f } \quad S _ { R } ^ { l } < 0 } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \frac { n \log \frac { n e } { N } } { \log v _ { 0 } } } & { \asymp \frac { n \log \frac { n e } { N } } { \log ( \rho _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } \alpha _ { 0 } n ^ { 2 } ) } \gtrsim 1 \Rightarrow } \\ { \frac { N ^ { 2 } } { n } \log \frac { n e } { N } } & { \gtrsim \frac { N ^ { 2 } } { n ^ { 2 } } \log ( \rho _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } \alpha _ { 0 } n ^ { 2 } ) \Rightarrow } \\ { \sqrt { N \epsilon \cdot \log ( \frac { n e } { N } ) } } & { \gtrsim \epsilon \sqrt { \log v _ { 0 } } . } \end{array}
\frac { \partial ^ { 2 } u _ { 1 } } { \partial \xi ^ { 2 } } + \frac { \Omega _ { 0 } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } ( \xi ) } u _ { 1 } = - 2 \frac { \partial ^ { 2 } u _ { 0 } } { \partial \xi \partial X } - \frac { \Omega _ { 1 } ^ { 2 } } { c ^ { 2 } ( \xi ) } u _ { 0 } .
{ \cal L } _ { 5 } ( \pi ) = \frac { i N _ { c } } { 2 4 \pi ^ { 2 } f _ { \pi } ^ { 2 } } \epsilon ^ { \alpha \beta \delta \gamma } \; t r \left( \partial _ { \alpha } \pi \{ \left[ \pi , R _ { \beta } \right] , R _ { \delta } R _ { \gamma } \} \right) ,
{ \frac { | f _ { 2 } \mu ^ { 2 } | } { \lambda ^ { 2 } \Lambda ^ { 2 } } } \ll 1 \quad \mathrm { o r } \quad { \frac { | f _ { 2 } | } { | \lambda | } } { \frac { v _ { 0 } ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 2 } } } \ll 1 ,