harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { s _ { g g } } & { { } = } & { \exp \left[ i \eta _ { 0 } ^ { \left( 3 _ { \pm } \right) } + i \eta _ { 0 } ^ { \left( 3 _ { \pm } \right) } \left( \nu \right) \right] , } \\ { \eta _ { 0 } ^ { \left( 3 _ { \pm } \right) } } & { { } = } & { \pi , } \\ { \eta _ { 0 } ^ { \left( 3 _ { \pm } \right) } \left( \nu \right) } & { { } = } & { - \arctan \left( \frac { 2 \tau \nu } { \sqrt { \pi ^ { 2 } + 4 \nu ^ { 2 } \tau ^ { 2 } } } \tan \frac { \tau _ { 1 } } { 4 \tau } \sqrt { \pi ^ { 2 } + 4 \nu ^ { 2 } \tau ^ { 2 } } \right) \pm \operatorname { a r c c o s } \frac { 1 } { 2 } \left\vert \frac { s _ { a 2 } } { s _ { a 1 } s _ { d 1 } } \right\vert . } \end{array}
\pi \left( a , b , c \right) + J \pi \left( a , b , c \right) J ^ { \dagger } = d i a g \left( \begin{array} { c } { { 2 b } } \\ { { a + b 1 _ { 2 } } } \\ { { c + \left( u b - b \right) 1 _ { 3 } } } \\ { { c + \left( u b + b \right) 1 _ { 3 } } } \\ { { a \otimes 1 _ { 3 } + 1 _ { 2 } \otimes c + u b \otimes 1 _ { 6 } } } \end{array} \right) \otimes 1 _ { N }
\begin{array} { r l } { W ^ { ( 0 ) } } & { = \left[ \begin{array} { l } { W ^ { ( 0 ) } } \\ { I _ { m } } \\ { - I _ { m } } \end{array} \right] , W ^ { ( \ell ) } = ( W ^ { ( \ell ) } , I _ { m } , - I _ { m } ) , } \\ { W ^ { ( j ) } } & { = \left[ \begin{array} { l l l } { W ^ { ( j ) } } & & \\ & { I _ { m } } & \\ & & { - I _ { m } } \end{array} \right] \mathrm { ~ f o r ~ } j = 1 , 2 , \cdots , \ell - 1 , } \\ { b ^ { ( k ) } } & { = \left[ \begin{array} { l } { b ^ { ( k ) } } \\ { 0 _ { m } } \\ { 0 _ { m } } \end{array} \right] \mathrm { ~ f o r ~ } k = 0 , 1 , \cdots , \ell - 1 , \mathrm { ~ a n d ~ } b ^ { ( \ell ) } = b ^ { ( \ell ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { T } } & { = \frac { 2 T } { \sqrt { V _ { 0 } m } } \sqrt { c _ { \mathrm { P E } } + \frac { \xi + \frac { V _ { 0 } + u _ { \mathrm { e l } } } { \eta T } } { V } } , } \\ { \sigma _ { \xi } } & { = \sqrt { \frac { 2 } { V _ { 0 } m } } \frac { \eta T \xi + V _ { 0 } + u _ { \mathrm { d e l } } } { \eta T _ { \mathrm { w c } } } . } \end{array}
\left[ \frac { \partial ( \mathcal { L } / T ) } { \partial T } \right] _ { \rho } = - \frac { 1 } { 2 } c \, A _ { \mathrm { f f } } \rho \, T ^ { - 5 . 5 } \left( a T ^ { 4 } - 9 \ensuremath { E _ { r , \mathrm { s } } } \right) + c A _ { C } E _ { r } \frac { T _ { \mathrm { C , e f f } } } { T ^ { 2 } } ,
\mathcal { C } _ { 1 } ^ { \mathrm { T r i } } = \{ ( v _ { 1 } , v _ { 2 } , v _ { 3 } ) \in \mathbb { R } ^ { 9 } \ | \ \mathrm { d } ( v _ { i } , v _ { j } ) = \ell _ { i j } \} \; .
\left[ \begin{array} { l } { \underline { { E } } ^ { \mathrm { G } } ( x , \widehat { x } , w , \widehat { w } ) } \\ { \overline { { E } } ^ { \mathrm { G } } ( x , \widehat { x } , w , \widehat { w } ) } \end{array} \right] \le _ { \mathrm { S E } } \left[ \begin{array} { l } { \underline { { E } } ^ { \mathrm { H } } ( x , \widehat { x } , w , \widehat { w } ) } \\ { \overline { { E } } ^ { \mathrm { H } } ( x , \widehat { x } , w , \widehat { w } ) } \end{array} \right]
W _ { \not R _ { p } } = \mu _ { \alpha } L _ { \alpha } \phi _ { u } + \lambda _ { \alpha \beta k } L _ { \alpha } L _ { \beta } \bar { \ell } _ { k } + \lambda _ { \alpha j k } ^ { \prime } L _ { \alpha } Q _ { j } \bar { d } _ { k } .
\begin{array} { r l } { c ( g , h ) } & { = \sum _ { x \in V ( 1 - g ) \cap V ( 1 - h ) } \lambda ( \frac { 1 } { 2 } B _ { g } ( x , x ) ) \lambda ( \frac { 1 } { 2 } B _ { h } ( - x , - x ) ) \lambda ( \frac { 1 } { 2 } \omega ( x , - x ) ) } \\ & { = \sum _ { x \in V ( 1 - g ) \cap V ( 1 - h ) } \lambda \left( \frac { 1 } { 2 } ( B _ { g } ( x , x ) + B _ { h } ( x , x ) ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { t } ^ { ( \alpha , \beta , \alpha , \beta , \alpha , \beta ) } } & { ( n , m ) = t ^ { 3 } \sum _ { j \in J _ { 1 } } c _ { j 1 } ( n , m ) I _ { t } ^ { ( a _ { j 1 } , b _ { j 1 } , A _ { j 1 } , B _ { j 1 } , \eta _ { j 1 } , \gamma _ { j 1 } ) } ( l _ { j 1 } , k _ { j 1 } ) } \\ & { + t ^ { 2 } \sum _ { j \in J _ { 2 } } c _ { j 2 } ( n , m ) I _ { t } ^ { ( a _ { j 2 } , b _ { j 2 } , A _ { j 2 } , B _ { j 2 } , \eta _ { j 2 } , \gamma _ { j 2 } ) } ( l _ { j 2 } , k _ { j 2 } ) } \\ & { + t \sum _ { j \in J _ { 3 } } c _ { j 3 } ( n , m ) I _ { t } ^ { ( a _ { j 3 } , b _ { j 3 } , A _ { j 3 } , B _ { j 3 } , \eta _ { j 3 } , \gamma _ { j 3 } ) } ( l _ { j 3 } , k _ { j 3 } ) , \quad t > 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { F [ \rho _ { 0 } , \rho _ { p r e } ( t ) ] = \mathrm { T r } \sqrt { \rho _ { 0 } ^ { 1 / 2 } \rho _ { p r e } ( t ) \rho _ { 0 } ^ { 1 / 2 } } = \sqrt { \mathrm { T r } [ \rho _ { p r e } ( t ) \rho _ { 0 } ] } . } \end{array}
\{ v _ { \varepsilon } \} _ { \varepsilon > 0 } \mathrm { ~ i ~ s ~ u ~ n ~ i ~ f ~ o ~ r ~ m ~ l ~ y ~ b ~ o ~ u ~ n ~ d ~ e ~ d ~ i ~ n ~ } L ^ { \infty } ( 0 , T ; W _ { 1 } ^ { 1 } ( \Omega ) ) ,
{ \begin{array} { r l } & { { \frac { \partial ^ { 2 } \phi } { \partial t ^ { 2 } } } + g { \frac { \partial \phi } { \partial z } } = 0 \quad \quad \quad ( { \mathrm { s u r f a c e } } ) } \\ & { { \frac { \partial \phi } { \partial z } } = 0 { \phantom { { \frac { \partial ^ { 2 } \phi } { \partial t ^ { 2 } } } + } } \, \, \quad \quad \quad ( { \mathrm { s e a b e d } } ) } \end{array} }
\mathcal { P } _ { j } ^ { \pm } ( \kappa , \alpha ) = \sum _ { \tau , n , m } \frac { 1 } { 2 \pi k _ { z } k } e ^ { \mathrm { i } m \alpha } \mathcal { S } _ { \tau n m } B _ { \tau n m j } ( \pm k _ { z } / k )
A _ { \alpha \beta } ^ { s } = 1 + \frac { P _ { \alpha \alpha } ^ { * } } { \rho \varsigma ^ { 2 } } = 2 \sqrt { { \left( \frac { u _ { \alpha } } { \varsigma } \right) } ^ { 2 } + 1 } - { \left( \frac { u _ { \alpha } } { \varsigma } \right) } ^ { 2 } - 1 .
U = a ^ { \frac { 2 \delta } { 1 + 4 \delta } } | q | ^ { \frac { 1 } { 1 + 4 \delta } } \frac { 4 \delta + 1 } { 4 \delta - 1 } \left( \frac { 1 } { \Lambda r } \right) ^ { \frac { 1 - 4 \delta } { 1 + 4 \delta } } \Lambda
\begin{array} { r l } { \Omega _ { E _ { 1 } } \cdot \mathcal { F } _ { \mathrm { o r d } } ( E _ { 1 } / \mathbb { Q } _ { \infty } ) } & { \; \sim _ { p } \; \Omega _ { E _ { 2 } } \cdot \mathcal { F } _ { \mathrm { o r d } } ( E _ { 2 } / \mathbb { Q } _ { \infty } ) , } \\ { \Omega _ { E _ { 1 } / K } \cdot \mathcal { F } _ { \mathrm { o r d } } ( E _ { 1 } / K _ { \infty } ^ { + } ) } & { \; \sim _ { p } \; \Omega _ { E _ { 2 } / K } \cdot \mathcal { F } _ { \mathrm { o r d } } ( E _ { 2 } / K _ { \infty } ^ { + } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p ( \mathbf { X } \mid \mu , \sigma ^ { 2 } ) } & { { } = \left( { \frac { 1 } { 2 \pi \sigma ^ { 2 } } } \right) ^ { n / 2 } \exp \left[ - { \frac { 1 } { 2 \sigma ^ { 2 } } } \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } - \mu ) ^ { 2 } \right) \right] } \end{array}
\stackrel { \triangledown } { \vec { A } } + 2 \vec { A } \cdot \vec { E } \cdot \vec { A } = \frac { D } { D t } \vec { A } - \left( \boldsymbol { \nabla } \vec { u } \right) ^ { T } \cdot \vec { A } - \vec { A } \cdot \boldsymbol { \nabla } \vec { u } + 2 \vec { A } \cdot \vec { E } \cdot \vec { A } = \boldsymbol { 0 } .
\begin{array} { l } { { c _ { 2 a } f _ { - } ( u _ { + } ) { \bf D } _ { a + 1 } { \bf D } _ { a + 1 } ^ { ' } + c _ { 1 a } f _ { + } ( u _ { - } ) { \bf D } _ { a + 1 } { \bf U } _ { a - 1 } ^ { ' } + f _ { - } { \bf X } _ { a , a + 2 } ^ { a + 1 } { \bf X } _ { a + 2 , a } ^ { ' a + 1 } } } \\ { { \mathrm { } = c _ { 1 a } f _ { - } ( u _ { + } ) { \bf U } _ { a - 1 } ^ { ' } { \bf U } _ { a - 1 } + c _ { 2 a } f _ { + } ( u _ { - } ) { \bf D } _ { a + 1 } ^ { ' } { \bf U } _ { a + 1 } + f _ { - } { \bf X } _ { a , a - 2 } ^ { ' a - 1 } { \bf X } _ { a - 2 , a } ^ { a - 1 } } } \end{array}
K _ { \infty } = x _ { 0 } ^ { d - 2 p - 1 } \sum _ { \mu = 0 } ^ { p } ( - ) ^ { \mu } x ^ { i _ { \mu } } d x ^ { i _ { 0 } } . . . \widehat { d x ^ { i _ { \mu } } } . . . d x ^ { i _ { p } } .
\tilde { S } | v a c \rangle = \gamma _ { 1 } ^ { \dagger } \gamma _ { 2 } ^ { \dagger } \gamma _ { 3 } ^ { \dagger } \gamma _ { 4 } ^ { \dagger } \prod _ { E ^ { \prime } } c _ { E ^ { \prime } , a } ^ { \dagger } c _ { E ^ { \prime } , b } ^ { \dagger } | v a c \rangle
f ( \xi _ { n } , \xi _ { t _ { 1 } } , \xi _ { t _ { 2 } } ) = \chi f _ { W } ( \xi _ { n } , \xi _ { t _ { 1 } } , \xi _ { t _ { 2 } } ) + ( 1 - \chi ) f ( - \xi _ { n } , \xi _ { t _ { 1 } } , \xi _ { t _ { 2 } } ) , \qquad \xi _ { n } < 0 ,
\Omega _ { \mathrm { ~ u ~ n ~ i ~ f ~ o ~ r ~ m ~ } } = \{ \boldsymbol { x } \in \Omega | x _ { 1 } \in ( x _ { \mathrm { ~ d ~ e ~ v ~ } } , x _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } ) , x _ { 2 } \in ( l _ { 2 } , L _ { 2 } - l _ { 2 } ) \}
{ \cal P } _ { \mathrm { i n t e r f . } } ^ { \P , \, \mathrm { i r r e d } } ( m , n ) = ( 2 q \cdot k _ { 1 } ) ^ { m } \, ( 2 p \cdot k _ { 4 } ) ^ { n } , \qquad m + n \leq 6 .
m _ { L L } = \left( \begin{array} { c c c } { { - 2 \delta _ { 1 } + 2 \delta _ { 2 } } } & { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } - \delta _ { 1 } } } & { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } - \delta _ { 1 } } } \\ { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } - \delta _ { 1 } } } & { { \frac { 1 } { 2 } + \delta _ { 2 } } } & { { - \frac { 1 } { 2 } + \delta _ { 2 } } } \\ { { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } - \delta _ { 1 } } } & { { - \frac { 1 } { 2 } + \delta _ { 2 } } } & { { \frac { 1 } { 2 } + \delta _ { 2 } } } \end{array} \right) m _ { 0 }
< R _ { \mu \nu } ^ { ( 2 ) } > = \frac { 1 } { 2 } k _ { \mu } k _ { \nu } \left( e ^ { \lambda \rho * } e _ { \lambda \rho } - \frac { 1 } { 2 } | e _ { \ \lambda } ^ { \lambda } | ^ { 2 } \right)
\begin{array} { l } { { < \chi ( { \{ n _ { r } ^ { \prime } \} } _ { 1 } ^ { N } ; 0 ; 0 ; 0 ; 1 , 0 , 0 , 0 ) \left| \right. \hat { b } _ { r _ { k } } ^ { 1 1 } \chi ( { \{ n _ { r } \} } _ { 1 } ^ { N } ; 0 ; 0 ; 0 ; 1 , 0 , 0 , 0 ) > = } } \\ { { = < 1 , 1 \mid \hat { b } _ { 1 1 } ^ { r _ { 1 } ^ { \prime } } \cdots \hat { b } _ { 1 1 } ^ { r _ { n } ^ { \prime } } \cdot \hat { b } _ { r _ { k } } ^ { 1 1 } \cdot \hat { b } _ { r _ { n } } ^ { 1 1 } \cdots \hat { b } _ { r _ { 1 } } ^ { 1 1 } \mid 1 , 1 > = } } \\ { { = \left\{ \begin{array} { l l } { { ( - 1 ) ^ { n ^ { \prime } - k ^ { \prime } } } } & { { \mathrm { i f ~ n _ { r } = n _ { r } ^ { \prime } ~ f o r ~ r \neq ~ r _ { k } ~ a n d ~ n _ { r _ { k } } = 0 ; n _ { r _ { k } } ^ { \prime } = 1 ~ } , } } \\ { { 0 } } & { { \mathrm { o t h e r w i s e } , } } \end{array} \right. } } \\ { { < \chi ( { \{ n _ { r } ^ { \prime } \} } _ { 1 } ^ { N } ; 0 ; 0 ; 0 ; 1 , 0 , 0 , 0 ) \left| \right. \hat { b } _ { 1 1 } ^ { r _ { k } } \chi ( { \{ n _ { r } \} } _ { 1 } ^ { N } ; 0 ; 0 ; 0 ; 1 , 0 , 0 , 0 ) > = } } \\ { { = < 1 , 1 \mid \hat { b } _ { 1 1 } ^ { r _ { 1 } ^ { \prime } } \cdots \hat { b } _ { 1 1 } ^ { r _ { n } ^ { \prime } } \cdot \hat { b } _ { 1 1 } ^ { r _ { k } } \cdot \hat { b } _ { r _ { n } } ^ { 1 1 } \cdots \hat { b } _ { r _ { 1 } } ^ { 1 1 } \mid 1 , 1 > = } } \\ { { = \left\{ \begin{array} { l l } { { ( - 1 ) ^ { n - k } } } & { { \mathrm { i f ~ n _ { r } = n _ { r } ^ { \prime } ~ f o r ~ r \neq ~ r _ { k } ~ a n d ~ n _ { r _ { k } } ^ { \prime } = 0 ; n _ { r _ { k } } = 1 ~ } , } } \\ { { 0 } } & { { \mathrm { o t h e r w i s e } , } } \end{array} \right. } } \end{array}
{ \cal C } \Gamma _ { a } = \left( \begin{array} { l l } { { c \, \tilde { \gamma } _ { a } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { c ^ { T } \gamma _ { a } } } \end{array} \right) \otimes \Omega \ ; \qquad { \cal C } \Gamma _ { a ^ { \prime } } = \left( \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { - c } } \\ { { c ^ { T } } } & { { 0 } } \end{array} \right) \otimes \Omega \gamma _ { a ^ { \prime } } \ .
F _ { X _ { \gamma } } = Z _ { \gamma } \left( \int \mathrm { d } \mathbf { r } \ \rho ( \mathbf { r } ) { \frac { x - X _ { \gamma } } { | \mathbf { r } - \mathbf { R } _ { \gamma } | ^ { 3 } } } - \sum _ { \alpha \neq \gamma } ^ { M } Z _ { \alpha } { \frac { X _ { \alpha } - X _ { \gamma } } { | \mathbf { R } _ { \alpha } - \mathbf { R } _ { \gamma } | ^ { 3 } } } \right) .
H _ { \mathrm { L I A } } = \frac { \Gamma ^ { 2 } \Lambda } { 4 \pi } \int \left\lvert \frac { \partial s } { \partial z } \right\lvert ^ { 2 } d z = - \Gamma \sum _ { k } \omega _ { k } ^ { \mathrm { L I A } } \lvert \hat { s } _ { k } \lvert ^ { 2 } ,
Z \left( \vartheta _ { 2 } + i \rho _ { k } \right) _ { I I } = M \sinh \left( \vartheta _ { 2 } + i \rho _ { k } \right) _ { I I } + \chi ( \vartheta _ { 2 } - \vartheta _ { 1 } + i \rho _ { k } ) _ { I I } + \ldots = 2 \pi I _ { 2 } ^ { ( k ) } \, \, , k = 0 , \ldots , s
\omega ^ { 2 } = \left( \omega _ { \mathrm { H } } + A ^ { 2 } \omega _ { \mathrm { M } } k ^ { 2 } \right) \left( \omega _ { \mathrm { H } } + A ^ { 2 } \omega _ { \mathrm { M } } k ^ { 2 } + \omega _ { \mathrm { M } } F _ { n } \right) ,
S = - \frac { g } { 4 { v } } \int \ensuremath { \operatorname { d } \! { } ^ { 3 } x ( F ^ { \mu \nu } } F _ { \mu \nu } - \frac { f } { v } \epsilon ^ { \mu \nu \rho } A _ { \mu } F _ { \nu \rho } ) \, ,
\mathbf { \Omega } _ { M } = \frac { m } { \vert q \vert ^ { 2 } } \Pi _ { a b } ( q ) \mathbf { d } q ^ { a } \wedge \mathbf { d } v ^ { b } , \qquad \mathbf { \Omega } _ { F } = \frac { m } { \vert q \vert ^ { 3 } } \left( \widehat { q } \cdot \mathbf { d } q \right) \wedge \left( v \cdot \Pi ( q ) \cdot \mathbf { d } q \right) ,
o ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } \gets \big \lvert \sum _ { i \in I ^ { k } } \zeta _ { i } ^ { l } \; s _ { i } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } \; - \; \xi _ { k } ^ { \mathrm { ~ u ~ } } \: s ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } , k } \big \rvert \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad o ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } \gets \big \lvert \sum _ { i \in I ^ { k } } \zeta _ { i } ^ { l } \; s _ { i } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } \; - \; \xi _ { k } ^ { \mathrm { ~ d ~ } } \: s ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } , k } \big \rvert
\begin{array} { r l r } { d _ { w , ( \mathcal { L } , \pi ) } ( \boldsymbol { h } , \boldsymbol { u } \otimes \boldsymbol { v } ) } & { = } & { \overline { { \omega } } _ { w , ( \mathcal { L } , \pi ) } ( \boldsymbol { h } , \boldsymbol { u } \otimes \boldsymbol { v } ) \geq \sum _ { i = 1 } ^ { s } \overline { { \omega } } _ { w , ( Q , \pi _ { 2 } ) } ( \tilde { \boldsymbol { h } } - u _ { i \alpha _ { i } } \boldsymbol { v } ) } \\ & { \geq } & { \sum _ { i = 1 } ^ { s } \overline { { \omega } } _ { w , ( Q , \pi _ { 2 } ) } ( \tilde { \boldsymbol { h } } ) = s \tilde { \rho } ( C _ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { n _ { * } } { p + t } \ge ( \gamma / \kappa _ { L } ) ^ { 2 } \left\{ \underbrace { 1 8 C _ { 2 } \kappa _ { U } ^ { 3 } \sigma _ { x } ^ { 4 } \sigma _ { \varepsilon } ^ { 2 } } _ { c _ { 2 } } \frac { 1 } { \mathsf { s } \land ( \gamma \kappa _ { L } \mathsf { s } _ { - } ) } + \underbrace { ( 1 6 C ^ { 2 } ) ^ { 2 } \kappa _ { U } ^ { 4 } \sigma _ { x } ^ { 4 } } _ { c _ { 3 } } \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { n \geq 1 } \operatorname* { s u p } _ { x \in Z } \left| \sum _ { j = 0 } ^ { n - 1 } \phi ( T ^ { j } x ) \right| } & { \leq \operatorname* { s u p } _ { n \geq 1 } \operatorname* { s u p } _ { x \in Z } \left\| \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { \sum _ { j = 0 } ^ { n - 1 } \phi ( T ^ { j } x ) } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \right\| } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { n \geq 1 } \operatorname* { s u p } _ { x \in Z } \left\| \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { \phi ( T ^ { n - 1 } x ) } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \cdots \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { \phi ( T x ) } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { \phi ( x ) } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \right\| } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { n \geq 1 } \operatorname* { s u p } _ { x \in Z } \left\| A ( T ^ { n - 1 } x ) \cdots A ( x ) \right\| } \\ & { \leq \operatorname* { s u p } _ { n \geq 1 } \operatorname* { s u p } _ { x \in \Sigma _ { 2 } } \left\| A ( T ^ { n - 1 } x ) \cdots A ( x ) \right\| < \infty . } \end{array}
\begin{array} { r } { m _ { x } ( u ) = \beta _ { 0 , x } , \qquad k _ { x } ( u , u ^ { \prime } ) = \beta _ { 1 , x } ^ { 2 } \exp \left( - \sqrt { \sum _ { i = 1 } ^ { p } \frac { ( u _ { i } - u _ { i } ^ { \prime } ) ^ { 2 } } { \ell _ { i , x } ^ { 2 } } } \right) . } \end{array}
\rho ( m ^ { 2 } ) = { \frac { 1 } { \pi } } { \frac { \Gamma _ { W } } { M _ { W } } } { \frac { m ^ { 2 } } { ( m ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + m ^ { 4 } \Gamma _ { W } ^ { 2 } / M _ { W } ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l r } { \theta ( \widetilde { \iota } _ { \ast } ( f _ { 0 } ^ { \prime } ) \cdot f ^ { - 1 } ) } & { = } & { \theta ( \widetilde { \iota } _ { \ast } ( f _ { 0 } ^ { \prime } ) ) \cdot \theta ( f ) ^ { - 1 } = \iota _ { \ast } ( \theta ^ { 1 } ( f _ { 0 } ^ { \prime } ) ) \cdot \theta ( f ) ^ { - 1 } } \\ & { = } & { \iota _ { \ast } ( \hat { f } ^ { \prime } ) \cdot \theta ( f ) ^ { - 1 } = \theta ( f ) \cdot \theta ( f ) ^ { - 1 } } \\ & { = } & { 1 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { \theta } ( z ) } & { { } = \left( g _ { 1 } \circ \dots \circ g _ { n } \right) ( z ) } \\ { g _ { i } ( z _ { i } , \chi ) } & { { } = m ^ { ( i ) } ( z _ { i } ) + ( 1 - m ^ { ( i ) } ) \left( \tilde { \phi } e ^ { s ^ { ( i ) } ( m ^ { ( i ) } ( z _ { i } ) , \chi ) } + t ^ { ( i ) } ( m ^ { ( i ) } ( z _ { i } ) , \chi ) \right) } \\ { m ^ { ( i ) } } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { m } & { i \mathrm { ~ e ~ v ~ e ~ n ~ } } \\ { 1 - m } & { i \mathrm { ~ o ~ d ~ d ~ } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { P r } \left( p _ { i } | \epsilon , m _ { A ^ { \prime } } \right) = \prod _ { i } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } \sigma _ { p _ { i } } } \exp \left( - \frac { ( p _ { i } - \epsilon ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { p _ { i } } ^ { 2 } } \right) / \mathrm { C o n s t } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | f _ { x } ( \theta , \phi ) | } & { = \left| \int _ { - \frac { b } { 2 } } ^ { \frac { b } { 2 } } \int _ { - \frac { a } { 2 } } ^ { \frac { a } { 2 } } E _ { \mathrm { a p e } , x } ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } ) \cdot e ^ { j ( k _ { x } x ^ { \prime } + k _ { y } y ^ { \prime } ) } \mathrm { d } x ^ { \prime } \mathrm { d } y ^ { \prime } \right| } \\ { | f _ { y } ( \theta , \phi ) | } & { = \left| \int _ { - \frac { b } { 2 } } ^ { \frac { b } { 2 } } \int _ { - \frac { a } { 2 } } ^ { \frac { a } { 2 } } E _ { \mathrm { a p e } , y } ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } ) \cdot e ^ { j ( k _ { x } x ^ { \prime } + k _ { y } y ^ { \prime } ) } \mathrm { d } x ^ { \prime } \mathrm { d } y ^ { \prime } \right| } \end{array}
\begin{array} { r } { L = B ^ { T } W ^ { 1 / 2 } \textrm { d i a g } ( \gamma ) W ^ { 1 / 2 } B \quad \textrm { , w h e r e } \gamma \in \mathbb { R } ^ { m } \textrm { r e p r e s e n t s t h e m u l t i p l i e r s o f t h e w e i g h t s } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \left[ J _ { z } , V _ { + 1 } \right] } & { = + \hbar V _ { + 1 } } \\ { \left[ J _ { z } , V _ { 0 } \right] } & { = 0 V _ { 0 } } \\ { \left[ J _ { z } , V _ { - 1 } \right] } & { = - \hbar V _ { - 1 } } \\ { \left[ J _ { + } , V _ { + 1 } \right] } & { = 0 } \\ { \left[ J _ { + } , V _ { 0 } \right] } & { = { \sqrt { 2 } } \hbar V _ { + 1 } } \\ { \left[ J _ { + } , V _ { - 1 } \right] } & { = { \sqrt { 2 } } \hbar V _ { 0 } } \\ { \left[ J _ { - } , V _ { + 1 } \right] } & { = { \sqrt { 2 } } \hbar V _ { 0 } } \\ { \left[ J _ { - } , V _ { 0 } \right] } & { = { \sqrt { 2 } } \hbar V _ { - 1 } } \\ { \left[ J _ { - } , V _ { - 1 } \right] } & { = 0 } \end{array} }
\begin{array} { r } { W _ { \mathrm { s p l i n e } } = \Bigg \{ \begin{array} { l l } { \frac { 3 } { 4 } - { \delta } ^ { 2 } , } & { \mathrm { f o r } j } \\ { \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 1 } { 2 } \pm \delta \right) , } & { \mathrm { f o r } j \pm 1 } \end{array} , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \sqrt { 2 } L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } e ^ { - | y _ { l - 1 } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) | L \slash 2 } \sqrt { ( x _ { l } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) } } \\ & { } & { \times \Phi _ { 2 } ^ { 1 \slash 2 } ( 1 - \Phi _ { 3 } ^ { - 1 \slash 6 } ) } \\ & { \leq } & { L I S ( \sigma | _ { \tilde { Q } _ { \Gamma , l } } ) } \\ & { \leq } & { 2 0 0 L ^ { 3 \slash 2 } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } T ^ { - 1 \slash 2 } ( x _ { l } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) + y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) } \\ & { } & { + \sqrt { 2 } L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 2 } e ^ { - | y _ { l - 1 } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) | L \slash 2 } \sqrt { ( x _ { l } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) } } \\ & { } & { \quad \times \Phi _ { 1 } ^ { 1 \slash 2 } ( 1 + \Phi _ { 3 } ^ { - 1 \slash 6 } ) . } \end{array}
s _ { z } ^ { 2 } = \frac { ( \textbf { X } \textbf { c } - \textbf { Y } ) ^ { T } \textbf { W } ( \textbf { X } \textbf { c } - \textbf { Y } ) + \lambda \left\| \textbf { c } \right\| ^ { 2 } } { n - p - 1 } \: ,
\begin{array} { r l } & { \mathcal { W } _ { \rho _ { \alpha / ( 2 m K ) } } ( P _ { s } ( u _ { 0 } , \cdot ) , P _ { s } ( v _ { 0 } , \cdot ) ) } \\ & { \qquad \qquad \leq \mathcal { W } _ { \rho } ( P _ { s } ( u _ { 0 } , \cdot ) , P _ { s } ( v _ { 0 } , \cdot ) ) ^ { 1 / 2 } \left( P _ { s } \exp \left( 2 \frac { \alpha } { m K } \| u _ { 0 } \| ^ { 2 } \right) \right) ^ { 1 / 4 } \left( P _ { s } \exp \left( 2 \frac { \alpha } { m K } \| v _ { 0 } \| ^ { 2 } \right) \right) ^ { 1 / 4 } . } \end{array}
v _ { f , n } ^ { \alpha } ( x ) = \alpha _ { i } ^ { n } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } k ^ { n } x } + \beta _ { i } ^ { n } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } k ^ { n } x } \mathrm { ~ i ~ f ~ } x \in ( x _ { i } ^ { + } , x _ { i + 1 } ^ { - } ) , \qquad \forall i \in \mathbb { Z } ,
S = \frac { 1 } { 1 6 \pi } \int d ^ { 4 } x \sqrt { - g } \left[ R - 2 ( \nabla \phi ) ^ { 2 } - \frac { 2 } { 3 } ( \nabla \sigma ) ^ { 2 } \right. \left. - e ^ { - 2 \phi } F ^ { 2 } - e ^ { - 2 q \sigma / 3 } F ^ { 2 } \right] .
\begin{array} { r l } { \| \partial _ { t } y ( \omega ) \| _ { L ^ { 2 } ( ( t _ { 0 } , t _ { 0 } + T ) ; V ^ { \prime } ) } ^ { 2 } } & { \leq c \left( \nu _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } ( \omega ) + \| a \| _ { L ^ { \infty } ( ( 0 , \infty ) \times D ; \mathbb { R } ) } ^ { 2 } \right) \| y ( \omega ) \| _ { L ^ { 2 } ( ( t _ { 0 } , t _ { 0 } + T ) ; V ) } ^ { 2 } + c \| f \| _ { L ^ { 2 } ( ( t _ { 0 } , t _ { 0 } + T ) ; H ) } ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { c ( 1 + \nu _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } ( \omega ) ) } { \nu _ { \operatorname* { m i n } } ( \omega ) } \left( \| y _ { 0 } \| _ { H } ^ { 2 } + \| f \| _ { L ^ { 2 } ( ( t _ { 0 } , t _ { 0 } + T ) ; H ) } ^ { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A _ { 1 } = \frac { 1 } { 4 } \left( \frac { a _ { 1 } q _ { 1 } } { ( 1 + a _ { 1 } / 4 ) ^ { 2 } } - \frac { r _ { 1 } } { K _ { 1 } } - \alpha _ { 1 2 } \right) , } & { } & { A _ { 2 } = \frac { 1 } { 4 } \left( \frac { a _ { 2 } q _ { 2 } } { ( 1 + a _ { 2 } / 4 ) ^ { 2 } } - \frac { r _ { 2 } } { K _ { 2 } } - \alpha _ { 2 1 } \right) , } \\ { B _ { 1 } = \frac { q _ { 1 } } { 4 + a _ { 1 } } , } & { } & { B _ { 2 } = \frac { q _ { 2 } } { 4 + a _ { 2 } } , } \\ { C _ { 1 } = \frac { 4 c _ { 1 } } { 1 + a _ { 1 } / 4 } , } & { } & { C _ { 2 } = \frac { 4 c _ { 2 } } { 1 + a _ { 2 } / 4 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \frac { d \beta _ { e } } { d t } \right) _ { A D } = 4 \lvert \gamma _ { A D } \rvert \left\lvert \frac { \delta B _ { \perp } } { B _ { 0 } } \right\rvert ^ { 2 } \simeq O ( 1 0 ^ { - 2 } - 1 0 ^ { - 1 } ) s ^ { - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { 1 } ( h ) ( u , v ) } & { = \mu \int _ { \Omega } \nabla ( h \cdot \nabla u ) : \nabla \bar { v } \, \mathrm { d } x - ( \lambda + \mu ) \int _ { \Omega } ( \nabla \cdot u ) \nabla \cdot ( h \cdot \nabla \bar { v } ) \mathrm { d } x } \\ & { + \omega ^ { 2 } \int _ { \Omega } ( h \cdot \nabla \bar { v } ) \cdot u \, \mathrm { d } x - \mu \int _ { S _ { R } } ( h \cdot n ) ( \nabla u : \nabla \bar { v } ) \, \mathrm { d } s . } \end{array}