harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\frac { \textbf { B } ^ { * } } { m B _ { \parallel } ^ { * } } m { v } _ { g y , \parallel } \nabla _ { \parallel g y } \delta F _ { e } = \frac { \textbf { B } ^ { * } } { B _ { \parallel } ^ { * } } { v } _ { g y , \parallel } i k _ { \parallel } \delta F _ { e } ,
\begin{array} { r l } { C _ { i } ( i ^ { 1 } , \underline { { A } } _ { \partial i } ) = } & { { } \prod _ { j \in \partial i } \left[ \delta _ { A _ { j } } ^ { 0 } + \delta _ { A _ { j } } ^ { i ^ { 1 } } + \sum _ { t = 2 } ^ { H } \left( \delta _ { A _ { j } } ^ { j ^ { t } } + \sum _ { l \in \partial j \backslash i } \delta _ { A _ { j } } ^ { l ^ { t } } \right) \right] } \end{array}
\int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \delta L \, \mathrm { d } t = \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \left( { \frac { \partial L } { \partial q _ { j } } } \delta q _ { j } + { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } } \left( { \frac { \partial L } { \partial { \dot { q } } _ { j } } } \delta q _ { j } \right) - { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } } { \frac { \partial L } { \partial { \dot { q } } _ { j } } } \delta q _ { j } \right) \, \mathrm { d } t \, = \sum _ { j = 1 } ^ { n } \left[ { \frac { \partial L } { \partial { \dot { q } } _ { j } } } \delta q _ { j } \right] _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } + \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \left( { \frac { \partial L } { \partial q _ { j } } } - { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } } { \frac { \partial L } { \partial { \dot { q } } _ { j } } } \right) \delta q _ { j } \, \mathrm { d } t \, .
\cot { \frac { \pi } { 1 5 } } = \cot 1 2 ^ { \circ } = { \frac { 1 } { 2 } } \left[ { \sqrt { 1 5 } } + { \sqrt { 3 } } + { \sqrt { 2 \left( 5 + { \sqrt { 5 } } \right) } } \, \right]
f ( \mathbf { X } ( t _ { m } ; \mathbf { x } _ { i } , \mathbf { v } _ { j } , t _ { m + 1 } ) , \mathbf { V } ( t _ { m } ; \mathbf { x } _ { i } , \mathbf { v } _ { j } , t _ { m + 1 } ) , t _ { m } )
K _ { r } = \zeta ^ { \frac { m } { 2 } } [ \frac { B ( \zeta ; \frac { 1 } { n } + m , 1 - \frac { 1 } { n } ) } { B ( \frac { 1 } { n } + m , 1 - \frac { 1 } { n } ) } ] ^ { 2 }
\delta { \cal E } _ { 2 } ^ { 1 , 0 } = \frac { 8 K } { a _ { 0 } ^ { 6 } } \left\{ \left[ \left( \frac { a _ { 0 } } { \Lambda } \right) ^ { 2 } - 2 \left( \frac { a _ { 0 } } { \Lambda } \right) \right] e ^ { - 2 \Lambda / a _ { 0 } } + 4 E _ { 1 } \left( \frac { 2 \Lambda } { a _ { 0 } } \right) \right\} \, { . }
\begin{array} { l } { \displaystyle \Phi _ { 1 } \left( \left. \begin{array} { c } { a , b } \\ { c } \end{array} \right| z , w \right) \, = \, \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 } \, F _ { 1 } \left( \left. \begin{array} { c } { a , b , \frac 1 \epsilon } \\ { c } \end{array} \right| z , \epsilon w \right) \, , } \end{array}
{ \bf D } ^ { \mathrm { ~ c ~ } } = h ( \bar { \xi } ) { \bf D } ^ { \mathrm { ~ r ~ } } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad { \bf D } ^ { \mathrm { ~ r ~ } } = \mathrm { ~ \dot { ~ } { ~ \xi ~ } ~ } \textbf { N } ^ { \mathrm { ~ r ~ } } .
P _ { \pm } ( n ) \equiv | \langle n | \widetilde { \alpha _ { \pm } } \rangle | ^ { 2 } = 2 | \widetilde { N _ { \pm } } ( | \alpha | ^ { 2 } \mathrm { , } \varphi ) | ^ { 2 } e ^ { - | \alpha | ^ { 2 } } \frac { | \alpha | ^ { 2 n } } { n ! } ( 1 \pm \cos ( 2 n \varphi ) ) .
a _ { d } ^ { 2 } + { \frac { 2 t } { M _ { d } ^ { 2 } } } ( a _ { d } + { \frac { M _ { d } } { 2 } } Q _ { d } ^ { a } ) ^ { 2 } = { \frac { 1 } { 4 \pi } } \int _ { \nu _ { t h } ^ { 2 } } ^ { \infty } { \frac { d \nu ^ { 2 } } { ( \nu - t / 4 ) ^ { 3 } } } ( \mathrm { I m } f _ { P } ( \nu , t ) - \mathrm { I m } f _ { A } ( \nu , t ) ) .
i \frac { \partial } { \partial t _ { 2 } } \Phi = \left[ \frac { \vec { p _ { 2 } } ^ { \prime } ( \tau _ { 3 } + i \tau _ { 2 } ) \vec { p _ { 2 } } ^ { \prime } } { 2 m } + m \tau _ { 3 } \right] \Phi .
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } \left( \left| \mathfrak { H } ^ { T } ( 0 , 0 ; \tau + \beta , z ) - \mathfrak { H } ^ { T } ( 0 , 0 ; \tau , ( \tau + \beta ) ^ { - 1 } \tau z ) \right| \geq 2 ^ { - 1 } K \beta ^ { 1 / 8 } \right) } \\ { \leq } & { \mathbb { P } \left( \left| \mathfrak { H } ^ { \tau T } ( 0 , 0 ; 1 + \tau ^ { - 1 } \beta , 0 ) - \mathfrak { H } ^ { \tau T } ( 0 , 0 ; 1 , 0 ) \right| \geq 2 ^ { - 1 } \tau ^ { - 1 / 3 } K \beta ^ { 1 / 8 } - \tau ^ { - 1 / 3 } ( \tau + \beta ) ^ { - 2 } z ^ { 2 } \beta \right) . } \end{array}
\dot { \psi _ { i _ { k } } } \sim \sum _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } , \ldots i _ { k } - 1 } ^ { N } Q _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } , \ldots i _ { l } , \ldots , i _ { k } } \psi _ { i _ { 1 } } \psi _ { i _ { 2 } } \ldots \psi _ { i _ { l } } \ldots \psi _ { i _ { k } - 1 } ^ { * }
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } } & { \left[ \left\| F _ { \mathrm { T M U L A } } ( Y _ { k } , \xi _ { k + 1 } ) - F _ { \mathrm { E M R M L D } } ( Y _ { k } , \xi _ { k + 1 } ) \right\| ^ { 2 } \right] } \\ & { = h ^ { 2 } \left[ \sum _ { i , j = 1 } ^ { d } \left( \frac { \partial ^ { 2 } T _ { i } } { \partial x _ { j } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } + \sum _ { i , j , l = 1 } ^ { d } \left( \frac { \partial ^ { 2 } T _ { i } } { \partial x _ { j } \partial x _ { l } } \right) ^ { 2 } \right] + \mathcal { O } ( h ^ { 5 / 2 } ) . } \end{array}
I _ { n } ^ { [ \ell ] } ( y _ { \mathrm { m i n } } , y _ { \mathrm { m a x } } ) \equiv \int _ { y _ { \mathrm { m i n } } } ^ { y _ { \mathrm { m a x } } } d y \, \frac { y ^ { n + 1 } ( a + y ) ^ { n - 1 - l } } { [ A ( \alpha , z ) y ^ { 2 } + B ( \alpha , z ) y + C ] ^ { n + 1 } }
\begin{array} { r l } { V _ { k + 1 } } & { \le \left( \int _ { B _ { 1 } } ( \varphi _ { k + 1 } v _ { k + 1 } ) ^ { p } \, d x \right) ^ { \frac { 2 } { p } } \big | \{ \varphi _ { k + 1 } v _ { k + 1 } > 0 \} \big | ^ { \gamma } } \\ & { \le C 2 ^ { 2 k } V _ { k } \big ( 2 ^ { 2 ( k + 1 ) } V _ { k } \big ) ^ { \gamma } \le C ^ { k + 1 } V _ { k } ^ { 1 + \gamma } , } \end{array}
\frac { \mathrm { d } z _ { 1 } } { \mathrm { d } \tau } = \lambda _ { 1 } z _ { 1 } + \frac { 1 } { \lambda _ { 1 } } R _ { 1 1 } ^ { - 1 } \frac { \mathrm { d } f _ { 0 } } { \mathrm { d } \tau } ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } { \bf u } + ( { \bf u } \cdot \nabla ) { \bf u } } & { { } = - \nabla p + \sqrt { \frac { P r } { R a } } \nabla ^ { 2 } { \bf u } + T \hat { z } \, , } \\ { \partial _ { t } T + ( { \bf u } \cdot \nabla ) T } & { { } = { \frac { 1 } { \sqrt { R a P r } } } \nabla ^ { 2 } T \, , } \\ { \nabla \cdot { \bf u } } & { { } = 0 \, . } \end{array}
J A ^ { - t } \nabla _ { \vec { X } } \cdot \sigma = \nabla _ { \vec { \xi } } \big ( J \mathcal { P } A A ^ { t } \big ) + \frac { J } { 2 } \mathcal { P } : \nabla _ { \vec { \xi } } \Tilde { M } , \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad \mathcal { P } = A ^ { - t } \sigma A ^ { - 1 }
\sigma \sim \left( \frac { | f | } { \Lambda _ { \mathrm { c } } } \right) ^ { 4 } \, M _ { N } ^ { 2 } \, \int \sum _ { K } \, \frac { 1 } { ( K ^ { 2 } - M _ { N } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + \theta ( K ^ { 2 } ) ( M _ { N } \Gamma _ { N } ) ^ { 2 } }
{ \left( \begin{array} { l } { \rho _ { x _ { 1 } } } \\ { \rho _ { x _ { 2 } } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l } { a _ { 1 , x _ { 1 } } } & { a _ { 1 , x _ { 2 } } } \\ { a _ { 2 , x _ { 1 } } } & { a _ { 2 , x _ { 2 } } } \end{array} \right) } ^ { - 1 } { \left( \begin{array} { l } { r _ { x _ { 1 } } } \\ { r _ { x _ { 2 } } } \end{array} \right) }
W = - \int _ { \mathbf { r } ( t _ { 1 } ) } ^ { \mathbf { r } ( t _ { 2 } ) } { \frac { G M m } { r ^ { 3 } } } \mathbf { r } \cdot d \mathbf { r } = - \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } { \frac { G M m } { r ^ { 3 } } } \mathbf { r } \cdot \mathbf { v } d t .
\begin{array} { r l } { \frac { D q _ { v } } { D t } } & { { } = D _ { v } \nabla ^ { 2 } q _ { v } - C _ { d } , } \\ { \frac { D T } { D t } } & { { } = \kappa \nabla ^ { 2 } T - \frac { g } { c _ { p } } w + \frac { L } { c _ { p } } C _ { d } , } \end{array}
\begin{array} { r c l } { \int _ { h _ { n } - \tau } ^ { h _ { n } } f ( h ) \varphi ( h ) \, d h } & { \geq } & { \int _ { h _ { n } - \tau } ^ { h _ { n } } g ( h ) \psi ( h ) \, d h , \textnormal { f o r a l l } 1 \leq n \leq N - 1 , } \\ { \int _ { I } f ( h ) \varphi ( h ) \, d h } & { \geq } & { \int _ { I } g ( h ) \psi ( h ) \, d h . } \end{array}
Q ^ { 2 } F _ { \eta ^ { \prime } g g ^ { * } } ^ { g } ( Q ^ { 2 } , \omega = \pm 1 ) = \frac { 4 \pi ^ { 2 } C B ( Q ^ { 2 } ) } { 3 \beta _ { 0 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d u e ^ { - u t } R ( u , t ) \left( \frac 1 { 1 - u } - \frac 4 { 2 - u } + \frac 4 { 3 - u } \right) .
A _ { 3 } ( q ^ { 2 } ) ~ = ~ \frac { ( ~ m _ { \psi } ~ + ~ m _ { P } ~ ) } { 2 m _ { \psi } } A _ { 1 } ( q ^ { 2 } ) ~ + ~ \frac { ( ~ m _ { \psi } ~ - ~ m _ { P } ~ ) } { 2 m _ { \psi } } A _ { 2 } ( q ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r } { f _ { \mathrm { ~ \tiny ~ \textnormal ~ { ~ F ~ i ~ b ~ } ~ } } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) = ( x _ { 1 } \oplus x _ { 2 } \equiv x _ { 3 } ) \vee ( x _ { 1 } \wedge x _ { 2 } \wedge x _ { 3 } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r } { \varepsilon _ { \mathrm { c l f } } - p _ { k } ( x ) \leq p _ { k } ( x _ { k } ) - p _ { k } ( x ) \leq L _ { \mathrm { c l f } } \| x - x _ { k } \| , } \\ { \varepsilon _ { \mathrm { c b f } } - q _ { k } ( x ) \leq q _ { k } ( x _ { k } ) - q _ { k } ( x ) \leq L _ { \mathrm { c b f } } \| x - x _ { k } \| . } \end{array} } \end{array}
\frac { n _ { 2 } } { n _ { 1 } } ( t ) = \frac { A D S } { H \lambda V _ { d } } [ 1 - e ^ { - \lambda t } + 2 \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { n } \times \frac { \lambda } { \beta } ( 1 - e ^ { - \beta t } ) ]
\begin{array} { r l } { \mathrm { P r } ( \| \mathbf { X } \| _ { \mathbf { x } } \ge \epsilon ) } & { = \mathrm { P r } \left( \left\| \frac { 1 } { | \mathcal { S } _ { g } | } \sum _ { i = 1 } ^ { | \mathcal { S } _ { g } | } \mathbf { G } _ { \mathbf { x } } ^ { ( i ) } - \mathrm { g r a d } f ( \mathbf { x } ) \right\| _ { \mathbf { x } } \ge \epsilon \right) } \\ & { \le ( d + r ) \exp \left( \frac { - \epsilon ^ { 2 } / 2 } { \frac { 4 } { | \mathcal { S } _ { g } | } K _ { g _ { m a x } } ^ { 2 } + \frac { K _ { g _ { m a x } } } { | \mathcal { S } _ { g } | } \epsilon / 3 } \right) } \\ & { \le ( d + r ) \exp \left( \frac { - | \mathcal { S } _ { g } | \epsilon ^ { 2 } } { 8 ( K _ { g _ { m a x } } ^ { 2 } + K _ { g _ { m a x } } ) } \right) = \delta , } \end{array}
{ \mathcal { L } } _ { V _ { H } } ( \omega ) = 0 \; \Leftrightarrow \; \mathrm { d } ( \iota _ { V _ { H } } \omega ) + \iota _ { V _ { H } } \mathrm { d } \omega = \mathrm { d } ( \mathrm { d } \, H ) + \mathrm { d } \omega ( V _ { H } ) = \mathrm { d } \omega ( V _ { H } ) = 0
{ \frac { \ln \, { \mathcal { L } } ( \alpha , \beta \mid X ) } { N } } = - H = - h - D _ { \mathrm { K L } } = - \ln \mathrm { B } ( \alpha , \beta ) + ( \alpha - 1 ) \psi ( { \hat { \alpha } } ) + ( \beta - 1 ) \psi ( { \hat { \beta } } ) - ( \alpha + \beta - 2 ) \psi ( { \hat { \alpha } } + { \hat { \beta } } )
\log p ( { \bf y } | { \bf x \theta _ { 3 } } ) = - \frac { 1 } { 2 } { \bf y } ^ { T } K ^ { - 1 } { \bf y } - \frac { 1 } { 2 } \log | K | - \frac { N } { 2 } \log ( 2 \pi )
\mathbf { S _ { t } } = \left[ \begin{array} { l l l } { x _ { r _ { L _ { 1 } } } ^ { - N } } & { \cdots } & { x _ { r _ { L _ { 2 N + 1 } } } ^ { - N } } \\ { \cdot } & { \cdots } & { \cdot } \\ { \cdot } & { \cdots } & { \cdot } \\ { x _ { r _ { L _ { 1 } } } ^ { 0 } } & { \cdots } & { x _ { r _ { L _ { 2 N + 1 } } } ^ { 0 } } \\ { \cdot } & { \cdots } & { \cdot } \\ { \cdot } & { \cdots } & { \cdot } \\ { x _ { r _ { L _ { 1 } } } ^ { + N } } & { \cdots } & { x _ { r _ { L _ { 2 N + 1 } } } ^ { + N } } \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array} { l l l } { x _ { i _ { L _ { 1 } } } ^ { - N } } & { \cdots } & { x _ { i _ { L _ { 2 N + 1 } } } ^ { - N } } \\ { \cdot } & { \cdots } & { \cdot } \\ { \cdot } & { \cdots } & { \cdot } \\ { x _ { i _ { L _ { 1 } } } ^ { 0 } } & { \cdots } & { x _ { i _ { L _ { 2 N + 1 } } } ^ { 0 } } \\ { \cdot } & { \cdots } & { \cdot } \\ { \cdot } & { \cdots } & { \cdot } \\ { x _ { i _ { L _ { 1 } } } ^ { + N } } & { \cdots } & { x _ { i _ { L _ { 2 N + 1 } } } ^ { + N } } \end{array} \right] ^ { - 1 } ,
\begin{array} { r l } { C _ { 1 } } & { = \left\{ x \in \mathbb { R } ^ { n } \, | \, - 5 \le x _ { i } \le 2 i - 2 \mathrm { ~ f o r ~ } i \in \{ 1 , \ldots , \lfloor n / 2 \rfloor \} ; \quad - 2 i + 2 \le x _ { i } \le 5 \mathrm { ~ f o r ~ } i \in \{ \lfloor n / 2 \rfloor + 1 , . . . , n \} \right\} \; , } \\ { C _ { 2 } } & { = \left\{ x \in \mathbb { R } ^ { n } \, | \, \phantom { - } 0 \le x _ { i } \le 2 i - 2 \mathrm { ~ f o r ~ } i \in \{ 1 , \ldots , \lfloor n / 2 \rfloor \} ; \quad - 2 i + 2 \le x _ { i } \le 0 \mathrm { ~ f o r ~ } i \in \{ \lfloor n / 2 \rfloor + 1 , \ldots , n \} \right\} \; , } \\ { C _ { 3 } } & { = \left\{ x \in \mathbb { R } ^ { n } \, | \, \phantom { - } 1 \le x _ { i } \le 2 i - 1 \mathrm { ~ f o r ~ } i \in \{ 1 , \ldots , \lfloor n / 2 \rfloor \} ; \quad - 2 i + 1 \le x _ { i } \le - 1 \mathrm { f o r ~ } i \in \{ \lfloor n / 2 \rfloor + 1 , \ldots , n \} \right\} \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\lVert \nabla u \right\rVert _ { L ^ { \infty } } ( t ) } & { { } = \frac 1 t \left\lVert \nabla \bar { U } \right\rVert _ { L ^ { \infty } } \in L ^ { 1 , \infty } , } \\ { \left\lVert \nabla u \right\rVert _ { L ^ { 2 } } ( t ) } & { { } = t ^ { - \frac 1 4 } \left\lVert \nabla \bar { U } \right\rVert _ { L ^ { 2 } } \in L ^ { 4 , \infty } } \\ { \left\lVert u \right\rVert _ { L ^ { \infty } } } & { { } = t ^ { - \frac 1 2 } \left\lVert \nabla \bar { U } \right\rVert _ { L ^ { \infty } } \in L ^ { 2 , \infty } } \\ { \left\lVert u \right\rVert _ { L ^ { 5 } } } & { { } = t ^ { - \frac 1 5 } \left\lVert \nabla \bar { U } \right\rVert _ { L ^ { 5 } } \in L ^ { 5 , \infty } } \\ { \left\lVert u \right\rVert _ { L ^ { 2 } } } & { { } = t ^ { \frac 1 4 } \left\lVert \nabla \bar { U } \right\rVert _ { L ^ { 2 } } \in L ^ { \infty } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathop { \mathbb { E } } } & { \left[ \frac { 1 } { K } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \left\| \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \nabla F ( { \mathbf w } _ { t } ^ { k } ) \right\| _ { 1 } \right] \le \frac { F ( { \mathbf x } _ { 0 } ) - F ^ { \star } } { D _ { \infty } M } + \frac { \mathop { \mathbb { E } } [ R _ { T } ( \mathbf { u } ^ { 1 } , \dots , \mathbf { u } ^ { K } ) ] } { D _ { \infty } M } + \frac { D _ { \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { d } \sigma _ { i } } { \sqrt { T } } ~ . } \end{array}
t h e n e c e s s i t y i n t h e c a s e o f t h e m e a n s i s c l e a r a s w e l l a s t h e e q u a l i t y \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { ( n , m ) \to \infty } \mathbb { C } o v ( Y _ { n } , Y _ { m } ) = \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { ( n , m ) \to \infty } \mathbb { C } o v ( X _ { n } , X _ { m } ) ( t h e l i m i t i s \mathbb { V } a r ( X ) ) , a n d t h e e q u a l i t y i n v o l v i n g \mathbb { C } o v ( Y _ { n } , X _ { m } ) f o l l o w s u s i n g \displaystyle \operatorname* { l i m } _ { ( n , m ) \to \infty } \mathbb { E } ( | X _ { m } - Y _ { n } | ^ { 2 } ) = 0 a n d d e v e l o p i n g . F o r t h e s u f f i c i e n c y , f r o m
\lambda = 6 \frac { \kappa ^ { 2 } } { \tilde { \kappa } ^ { 4 } } , ~ \Lambda = \frac { 4 \pi } { \tilde { M } _ { p } ^ { 3 } } \left[ \tilde { \Lambda } + \left( \frac { 4 \pi } { 3 \tilde { M } _ { p } ^ { 3 } } \right) \lambda ^ { 2 } \right]
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathrm { R e } { \left\{ \sigma _ { y y } ^ { \mathrm { ( i n t e r ) } } ( \Omega ) \right\} } = \frac { 4 \hbar \sigma _ { 0 } v _ { F } ^ { 2 } } { g \Omega } \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \frac { d \phi } { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { \infty } d K \, \left\{ f ^ { \mathrm { e q } } \left( g + K \left[ \sin { ( \phi ) } + 1 \right] \right) - f ^ { \mathrm { e q } } \left( g + K \left[ \sin { ( \phi ) } + 1 \right] - \hbar \Omega \right) \right\} } \\ & { } & { \times J ( K , \phi ) \sin { ( \phi ) } \left[ \sin { ( \phi ) } + 1 \right] \left\{ K \left[ \sin { ( \phi ) } + 1 \right] - \hbar \Omega \right\} \delta \left( 2 K - \hbar \Omega \right) } \\ & { } & { = \frac { ( \hbar v _ { F } ) ^ { 2 } \sigma _ { 0 } } { g } \! \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \! \frac { d \phi } { 2 \pi } \left\{ \! f ^ { \mathrm { e q } } \left( g + \frac { \hbar \Omega } { 2 } \left[ \sin { ( \phi ) } - 1 \right] \right) - f ^ { \mathrm { e q } } \left( g + \frac { \hbar \Omega } { 2 } \left[ \sin { ( \phi ) } + 1 \right] \right) \! \right\} \! J \left( \frac { \hbar \Omega } { 2 } , \phi \! \right) \cos ^ { 2 } { ( \phi ) } \sin { ( \phi ) } } \\ & { } & { = 2 \sigma _ { 0 } \sqrt { \frac { 2 \hbar \Omega } { g } } \int _ { 0 } ^ { \pi / 2 } \frac { d \phi } { 2 \pi } \cos ^ { 2 } { ( \phi ) } \sin ^ { 1 / 2 } { ( \phi ) } \left\{ f ^ { \mathrm { e q } } \left( g + \frac { \hbar \Omega } { 2 } \left[ \sin { ( \phi ) } - 1 \right] \right) - f ^ { \mathrm { e q } } \left( g + \frac { \hbar \Omega } { 2 } \left[ \sin { ( \phi ) } + 1 \right] \right) \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r } { ( \tilde { M } ( \tilde { \Sigma } ) , \tilde { g } ) = \bigg ( \bigg \{ \tilde { x } \in \mathbb { R } ^ { n } : | \tilde { x } | _ { \bar { g } } \geq \left( \frac { \tilde { m } } { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { n - 2 } } \bigg \} , \bigg ( 1 + \frac { \tilde { m } } { 2 } \, | \tilde { x } | _ { \bar { g } } ^ { 2 - n } \bigg ) ^ { \frac { 4 } { n - 2 } } \, \bar { g } \bigg ) . } \end{array}
l _ { \dot { J } } ^ { \dot { I } } l _ { \dot { L } } ^ { \dot { K } } = \delta _ { \dot { J } } ^ { \dot { K } } l _ { \dot { L } } ^ { \dot { I } } + \sum _ { \dot { J } _ { 1 } J _ { 2 } = \dot { J } } \delta _ { \dot { J } _ { 1 } } ^ { \dot { K } } l _ { \dot { L } J _ { 2 } } ^ { \dot { I } } + \sum _ { \dot { K } _ { 1 } K _ { 2 } = \dot { K } } \delta _ { \dot { J } } ^ { \dot { K } _ { 1 } } l _ { \dot { L } } ^ { \dot { I } K _ { 2 } } .
( i _ { t } - 1 ) T / N _ { t } = t _ { i _ { x } , i _ { t } } = t _ { i _ { x } , i _ { t } , 0 } < t _ { i _ { x } , i _ { t } , 1 } < \cdots < t _ { i _ { x } , i _ { t } , Q _ { t } } = i _ { t } T / N _ { t }
\delta \bar { \psi } _ { \rho } = \bar { \epsilon } \left( \overleftarrow { \partial } _ { \rho } - \frac { 1 } { 2 } \, \omega _ { \rho m n } \, \sigma ^ { m n } + \frac { 1 } { 2 } \, \alpha ^ { a } A _ { \rho } ^ { a } \right) - \frac { 1 } { 2 \sqrt { 2 } } \, e ^ { \phi } \, \bar { \epsilon }
\beta ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \bar { R } _ { s } } { \partial y _ { 1 } ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } \bar { R } _ { s } } { \partial y _ { 2 } ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } \bar { R } _ { s } } { \partial y _ { 3 } ^ { 2 } } + \left( \frac { k } { \beta } \right) ^ { 2 } \bar { R } _ { s } = 0 .
\left\{ \begin{array} { l l } { X _ { t + \Delta { t } } = X _ { t } + c ( X _ { t } ; Y ) V ( S _ { t } ) \Delta { t } , \qquad } \\ { S _ { t + \Delta { t } } = S _ { t } + \gamma \Theta \Bigl ( c ( X _ { t } ^ { \ast } ; Y ) V ( S _ { t } ^ { \ast } ) - c ( X _ { t } ; Y ) V ( S _ { t } ) \Bigr ) , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r l } { \alpha _ { e } } & { { } = a _ { 1 } \frac { i 6 \pi \varepsilon } { k ^ { 3 } } , } & { \alpha _ { m } } & { { } = b _ { 1 } \frac { i 6 \pi } { k ^ { 3 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E ( x _ { 1 } ) } & { { } = \gamma \cos { \theta _ { L G } } + \gamma _ { \mathrm { b l } } ( \zeta _ { \mathrm { d } } ) + g _ { \mathrm { b r u s h } } ( { \zeta _ { \mathrm { d } } } ) } \\ { E ( x _ { 4 } ) } & { { } = \gamma + \gamma _ { \mathrm { b l } } ( \zeta _ { \mathrm { p } } ) + f _ { \mathrm { w e t } } ( h _ { \mathrm { p } } , \zeta _ { \mathrm { p } } ) + g _ { \mathrm { b r u s h } } ( { \zeta _ { \mathrm { p } } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Gamma ^ { \mathrm { ~ e ~ m ~ } } ( \vec { r } , \omega , t ) } & { { } = } & { \frac { \pi \omega V _ { \mathrm { ~ N ~ P ~ } } ^ { 2 } } { \epsilon _ { 0 } } \rho _ { \mathrm { ~ p ~ h ~ o ~ t ~ } } ( \vec { r } , \omega ) I _ { \mathrm { ~ e ~ } } ( \omega , t ) , } \end{array}
f _ { g g } ^ { ( 1 ) t h r } = f _ { g g } ^ { ( 0 ) t h r } \left\{ \frac { 1 } { 1 6 \beta } + \frac { 3 } { 2 \pi ^ { 2 } } \log ^ { 2 } ( 8 \beta ^ { 2 } ) - \frac { 2 9 } { 4 \pi ^ { 2 } } \log ( 8 \beta ^ { 2 } ) \right\}
\begin{array} { r l r } { \bar { G } } & { = } & { \frac { p _ { \| } } { q B } \left[ - R \frac { \partial } { \partial R } \left( \frac { 1 } { R } \frac { \partial \Psi } { \partial R } \right) - \frac { 1 } { R } \frac { \partial \Psi } { \partial R } - \frac { \partial ^ { 2 } \Psi } { \partial Z ^ { 2 } } \right] } \\ & { = } & { - \frac { p _ { \| } } { q B } \left[ R \frac { \partial B _ { Z } } { \partial R } + B _ { Z } + \frac { \partial ^ { 2 } \Psi } { \partial Z ^ { 2 } } \right] . } \end{array}
R _ { b } \, \ddot { R } _ { b } + \frac { 3 } { 2 } \dot { R } _ { b } ^ { 2 } + \frac { R _ { b } } { 2 \, L } \left( R _ { b } \, \ddot { R } _ { b } + 2 \dot { R } _ { b } ^ { 2 } \right) = - \frac { \upDelta p } { \rho _ { w } } ,
\begin{array} { r l } & { \sum _ { i = R } ^ { \infty } \left( 1 - p \right) p ^ { i } \mathbb { E } \left[ { D } _ { i } \right] } \\ & { = \sum _ { i = R } ^ { \infty } T _ { B I } \left( 1 - p \right) p ^ { i } \left( ( i - R + 1 ) ( \mathbb { E } \left[ w \right] + 1 ) \right. } \\ & { \left. + R - 1 + \alpha \right) } \\ & { \stackrel { { ( a ) } } = \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } T _ { B I } \left( 1 - p \right) p ^ { R + j } \left( \left( j + 1 \right) ( \mathbb { E } \left[ w \right] + 1 ) \right. } \\ & { \left. + R - 1 + \alpha \right) } \\ & { = T _ { B I } \left( 1 - p \right) p ^ { R } \left( \left( \mathbb { E } \left[ w \right] + 1 \right) \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } p ^ { j } \cdot j \right. } \\ & { \left. + \left( ( \mathbb { E } \left[ w \right] + 1 ) + R - 1 + \alpha \right) \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } p ^ { j } \right) } \\ & { \stackrel { { ( b ) } } = T _ { B I } \cdot p ^ { R } \left( \frac { W + 1 } { 2 ( 1 - p ) } + R + \alpha - 1 \right) } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { 1 } { \mathrm { d } } x \int \frac { { \mathrm { d } } ^ { 2 } { \bf k } _ { \perp } } { 1 6 { \pi } ^ { 3 } } \frac { ( k _ { 1 } ^ { + } + m _ { 1 } ) ( k _ { 2 } ^ { + } + m _ { 2 } ) - { { \bf k } _ { \perp } } ^ { 2 } } { { [ ( k _ { 1 } ^ { + } + m _ { 1 } ) ^ { 2 } + { { \bf k } _ { \perp } } ^ { 2 } ] } ^ { 1 / 2 } { [ ( k _ { 2 } ^ { + } + m _ { 2 } ) ^ { 2 } + { { \bf k } _ { \perp } } ^ { 2 } ] } ^ { 1 / 2 } } { \varphi } _ { \mathrm { B H L } } = \frac { f _ { K } } { 2 \sqrt { 3 } } .
\begin{array} { r l } { \| \mathcal { N } \nabla \zeta \| _ { L _ { t , x } ^ { 1 } ( I ) } } & { \lesssim ( \| \psi \| _ { L _ { t } ^ { 3 } L _ { x } ^ { 6 } ( I ) } ^ { 3 } + \| \psi \| _ { L _ { t } ^ { \frac { 8 } { 3 } } L _ { x } ^ { 8 } ( I ) } \| \zeta \| _ { L _ { t } ^ { \frac { 8 } { 3 } } L _ { x } ^ { 8 } ( I ) } \| \zeta \| _ { L _ { t , x } ^ { 4 } ( I ) } ) \| \nabla \zeta \| _ { L _ { t } ^ { \infty } L _ { x } ^ { 2 } ( I ) } } \end{array}
\left( { \frac { \partial F _ { z } } { \partial y } } - { \frac { \partial F _ { y } } { \partial z } } \right) \mathbf { i } + \left( { \frac { \partial F _ { x } } { \partial z } } - { \frac { \partial F _ { z } } { \partial x } } \right) \mathbf { j } + \left( { \frac { \partial F _ { y } } { \partial x } } - { \frac { \partial F _ { x } } { \partial y } } \right) \mathbf { k } .
\begin{array} { r l } { | \phi \rangle _ { \mathrm { d _ { 1 } , d _ { 2 } } } = } & { { } ~ c _ { 1 } | g g \rangle _ { \mathrm { d _ { 1 } , d _ { 2 } } } + c _ { 2 } | g e \rangle _ { \mathrm { d _ { 1 } , d _ { 2 } } } } \end{array}
\bar { D } ^ { \mathrm { r e t } } \bar { \Sigma } ^ { < } \bar { D } ^ { \mathrm { a v } } \, \stackrel { g \rightarrow 0 } { \longrightarrow } \, - 2 \pi i \mathrm { s g n } ( \omega ) \delta ( p ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) \, \operatorname * { l i m } _ { g \rightarrow 0 } \left( \frac { \bar { \Sigma } ^ { < } } { \bar { \Sigma } ^ { > } - \bar { \Sigma } ^ { < } } \right) \, \, \, .