harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \mathrm { P F I W B M } _ { T } ^ { p , q } ( \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , \ldots , \alpha _ { n } ) } \\ { = } & { \left[ \frac { 1 } { n ( n \! - 1 ) } \cdot \bigoplus _ { i , j = 1 \atop i \neq j } ^ { n } \Big ( \left( \omega _ { i } \cdot \alpha _ { i } \right) ^ { p } \otimes \left( \omega _ { j } \cdot \alpha _ { j } \right) ^ { q } \Big ) \right] ^ { \frac { 1 } { p \! + q } } . } \end{array}
\int \frac { d ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \left\{ D _ { \mu \nu } ^ { \mathrm { T } } ( k - \ell ) \mathrm { t r } \left[ \gamma _ { \mu } S ( k ) \Gamma _ { \nu } ^ { \mathrm { B C } } ( k , \ell ) S ( \ell ) \right] + \frac { 1 } { ( k - \ell ) ^ { 2 } } F ( k , \ell ) \right\} = 0 ,
{ \cal L } _ { W q q } \; = \; \overline { { { ( u ~ ~ ~ c ~ ~ ~ t ) _ { L } } } } ~ U J _ { \mathrm { c c } } \left( \begin{array} { l } { { d } } \\ { { s } } \\ { { b } } \end{array} \right) _ { L } + ~ \mathrm { h . c . } ~ .
\begin{array} { r l } { n _ { 1 } } & { | ( a _ { 1 } A _ { 1 } + \cdots + a _ { t } A _ { t } - a _ { 1 } ) } \\ { n _ { 1 } } & { | ( a _ { 1 } ( A _ { 1 } - 1 ) + \cdots + a _ { t } A _ { t } ) } \\ { n _ { 1 } } & { | ( - a _ { 1 } ( 1 - A _ { 1 } ) + \cdots + a _ { t } A _ { t } ) } \\ { n _ { 1 } } & { | ( - a _ { 1 } ( \lambda _ { 1 } n _ { 1 } ) + \cdots + a _ { t } A _ { t } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \Delta \alpha _ { n } ^ { \mathrm { A E \mathrm { ~ - ~ } Q } } ( \mathrm { C B S } ) = \frac { \Delta \alpha _ { n } ^ { \mathrm { A E \mathrm { ~ - ~ } C C 3 } } ( \mathrm { C B S } ) } { \Delta \alpha _ { n } ^ { \mathrm { A E \mathrm { ~ - ~ } C C 3 } } ( X \mathrm { = } 2 ) } \, \Delta \alpha _ { n } ^ { \mathrm { A E \mathrm { ~ - ~ } Q } } ( X \mathrm { \mathrm { = } 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { B _ { r } ( 0 ) \cap \widetilde { \Omega } } \tilde { \mu } \tilde { u } ^ { 2 } } & { = \int _ { B _ { r } ( 0 ) \cap \widetilde { \Omega } } \frac { x \cdot S ^ { - 1 } A ( S x ) S ^ { - 1 } x } { | x | ^ { 2 } } ( u ( S x ) ) ^ { 2 } d x } \\ & { = | \operatorname* { d e t } A ( 0 ) | ^ { - \frac 1 2 } \int _ { A ^ { \frac 1 2 } ( 0 ) ( B _ { r } ( 0 ) ) \cap { \Omega } } \frac { y \cdot A ( 0 ) ^ { - 1 } A ( y ) A ( 0 ) ^ { - 1 } y } { y \cdot A ( 0 ) ^ { - 1 } y } u ( y ) ^ { 2 } d y . } \end{array}
\langle \exp { \frac { 1 } { p ! } } \int d ^ { d } x A _ { i _ { 1 } \ldots i _ { p } } ( { \bf x } ) J _ { i _ { 1 } \ldots i _ { p } } ( { \bf x } ) \rangle _ { C F T } = { \cal Z } _ { A d S _ { d + 1 } } [ { \cal A } ] ,
\begin{array} { r l } { \| \varphi \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega , \mathbb { P } _ { \delta } ; \mathcal { X } ) } ^ { 2 } } & { = \int _ { \Omega } \| \varphi ( \omega ) \| _ { \mathcal { X } } ^ { 2 } \frac { \exp \left( - \Phi ( \omega ; \delta ) \right) } { Z ( \delta ) } d \mathbb { P } ( \omega ) } \\ & { = \frac { 1 } { Z ( \delta ) } \int _ { \Omega } \| \varphi ( \omega ) \| _ { \mathcal { X } } ^ { 2 } \rho ( \delta - \mathcal { G } ( \omega ) ) d \mathbb { P } ( \omega ) } \\ & { \le \frac { \| \rho \| _ { L ^ { \infty } ( \mathcal { D } ) } } { c ( \lambda ) } \| \varphi \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega , \mathbb { P } ; \mathcal { X } ) } ^ { 2 } < \infty . } \end{array}
I = \frac { 2 \pi \beta ( - 3 r _ { + } ^ { 5 } + 1 0 N ^ { 2 } r _ { + } ^ { 3 } - 1 5 N ^ { 4 } r _ { + } + 3 m \ell ^ { 2 } ) } { 3 \ell ^ { 2 } }
\begin{array} { r l r } { V _ { \alpha \beta } ^ { \mathrm { c o s } } ( z ) } & { { } = } & { \frac { 3 } { 4 \pi } \frac { \mathcal { G } _ { \alpha \beta } } { m _ { \alpha \beta } ^ { \prime ~ 2 } d _ { \mathrm { H } } ^ { 3 } ( z ) } \left\{ 1 - e ^ { - m _ { \alpha \beta } ^ { \prime } d _ { \mathrm { H } } ( z ) } [ 1 + m _ { \alpha \beta } ^ { \prime } d _ { \mathrm { H } } ( z ) ] \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \eta _ { \tau , l } } { \eta _ { \tau , i } } } & { = \frac { ( w _ { i } + i + \tau I ) ^ { 1 / 3 } } { ( w _ { l } + l + \tau I ) ^ { 1 / 3 } } = \bigg ( 1 + \frac { w _ { i } + i - w _ { l } - l } { w _ { l } + l + \tau I } \bigg ) ^ { 1 / 3 } } \\ & { \leq \bigg ( 1 + \frac { ( I - 1 ) } { w _ { l } + l + \tau I } \bigg ) ^ { 1 / 3 } \leq 1 + \frac { ( I - 1 ) } { 3 ( w _ { l } + l + \tau I ) } \leq 2 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| X ( \mu ) \| } & { \le \frac { 2 n } { \lambda _ { \operatorname* { m i n } } ( S ( 1 ) ) } \le 2 n \lambda _ { \operatorname* { m a x } } ( X ( 1 ) ) , } \\ { \| S ( \mu ) \| } & { \le \frac { 2 n } { \lambda _ { \operatorname* { m i n } } ( X ( 1 ) ) } \le 2 n \lambda _ { \operatorname* { m a x } } ( S ( 1 ) ) , } \end{array} \qquad \qquad \forall \mu \in ( 0 , 1 ] .
\begin{array} { r l } { \widetilde { \mathbf { K } } _ { t } } & { = \left[ \begin{array} { l l } { \widetilde { \mathbf { K } } _ { t - 1 } } & { \widetilde { \mathbf { k } } _ { t - 1 } \left( \mathbf { x } _ { t } \right) } \\ { \widetilde { \mathbf { k } } _ { t - 1 } \left( \mathbf { x } _ { t } \right) ^ { \top } } & { k _ { t t } } \end{array} \right] \Rightarrow } \\ { \widetilde { \mathbf { K } } _ { t } ^ { - 1 } } & { = \frac { 1 } { \epsilon _ { t } } \left[ \begin{array} { l l } { \epsilon _ { t } \widetilde { \mathbf { K } } _ { t - 1 } ^ { - 1 } + \widetilde { \mathbf { a } } _ { t } \widetilde { \mathbf { a } } _ { t } ^ { \top } } & { - \widetilde { \mathbf { a } } _ { t } } \\ { - \widetilde { \mathbf { a } } _ { t } ^ { \top } } & { 1 } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { a } & { { } = \frac { 1 } { 2 } ( M _ { 1 1 } + M _ { 0 0 } - M _ { 1 - 1 } ) , } \\ { b } & { { } = \frac { 1 } { 2 } ( M _ { 1 1 } + M _ { s s } - M _ { 1 - 1 } ) , } \\ { c } & { { } = \frac { 1 } { 2 } ( M _ { 1 1 } - M _ { s s } - M _ { 1 - 1 } ) , } \\ { d } & { { } = - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } \sin \theta } ( M _ { 0 1 } + M _ { 0 1 } ) , } \\ { e } & { { } = \frac { i } { 2 } ( M _ { 1 0 } - M _ { 0 1 } ) , } \\ { f } & { { } = - i \sqrt { 2 } M _ { S T } . } \end{array}
\varepsilon _ { i j } = \frac 1 3 \varepsilon g _ { i j } + u _ { i j } , \qquad \mathrm { w h e r e } \quad \varepsilon = g ^ { i j } \varepsilon _ { i j } , \quad \mathrm { a n d } \quad g ^ { i j } u _ { i j } = 0 \, .
\begin{array} { r l } { r ( x _ { t } , y _ { t } ^ { + } , } & { y _ { t } ^ { - } , a _ { t } , \alpha _ { t } ) = x _ { t } a _ { t } - \sum _ { m = 1 } ^ { 2 } q _ { t , m } \, \mathbb { E } \bigl [ d _ { m } ( x _ { t } , \alpha _ { t , m } ) \bigr ] } \\ & { + \mathbb { E } \biggl [ x _ { t } y _ { t } ^ { + } \, \biggl ( \sum _ { m = 1 } ^ { 2 } d _ { m } ( x _ { t } , \alpha _ { t , m } ) - a _ { t } \biggr ) ^ { + } - x _ { t } y _ { t } ^ { - } \biggl ( a _ { t } - \sum _ { m = 1 } ^ { 2 } d _ { m } ( x _ { t } , \alpha _ { t , m } ) \biggr ) ^ { + } \biggr ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P [ \varphi _ { i _ { 1 } } , \ldots , X [ \varphi _ { i _ { j } } ] , \ldots , \varphi _ { i _ { k } } ] } & { = \sum _ { l = 1 } ^ { r } \varphi _ { l } P [ \varphi _ { i _ { 1 } } , \ldots , f _ { l } , \ldots , \varphi _ { i _ { k } } ] + } \\ & { \qquad \sum _ { i = 1 } ^ { r } f _ { l } P [ \varphi _ { i _ { 1 } } , \ldots , \varphi _ { l } , \ldots , \varphi _ { i _ { k } } ] } \end{array}
s ( t ) \leq s _ { 0 } \left( \cfrac { k _ { - 1 } } { k _ { - 1 } + k _ { 2 } } + \cfrac { k _ { 2 } } { k _ { - 1 } + k _ { 2 } } \exp \bigg ( - \cfrac { k _ { 1 } e _ { 0 } K _ { M } } { K _ { M } + s _ { 0 } } \cdot t \bigg ) \right) .
{ } _ { 2 } F _ { 1 } \left( { \frac { 3 } { 2 } } a , { \frac { 1 } { 2 } } ( 3 a - 1 ) ; a + { \frac { 1 } { 2 } } ; - { \frac { z ^ { 2 } } { 3 } } \right) = ( 1 + z ) ^ { 1 - 3 a } \, { } _ { 2 } F _ { 1 } \left( a - { \frac { 1 } { 3 } } , a ; 2 a ; 2 z ( 3 + z ^ { 2 } ) ( 1 + z ) ^ { - 3 } \right)
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \alpha \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! : \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! [ a \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , b \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ] \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \to \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \ensuremath { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbb { R } } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ^ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 2 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { r l r } { \hat { H } } & { { } = } & { E _ { \mathrm { X V S C F } } ( T ) + \sum _ { i } W _ { i } \{ \hat { a } _ { i } \} + \sum _ { i } W _ { i } \{ \hat { a } _ { i } ^ { \dagger } \} + \frac { 1 } { 2 ! } \sum _ { i , j } W _ { i j } \{ \hat { a } _ { i } \hat { a } _ { j } \} } \end{array}
\left[ { \frac { \partial } { \partial t } } + \int d x \; \left( \Pi ( x ) \; { \frac { \delta } { \delta \Phi ( x ) } } - \big ( m ^ { 2 } \Phi ( x ) - \nabla ^ { 2 } \Phi ( x ) \big ) { \frac { \delta } { \delta \Pi ( x ) } } + { \cal K } _ { I } ( x ) \right) \right] W [ \Phi , \Pi ; t ] = 0 \; ,
n ( \rho ) = \left\{ \begin{array} { l l } { n _ { \mathrm { ~ w ~ g ~ } } \qquad } & { \rho < x _ { 1 } - x _ { \mathrm { ~ t ~ } } \; \mathrm { ~ o ~ r ~ } \rho > x _ { 2 } - x _ { \mathrm { ~ t ~ } } } \\ { n _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ( \rho + x _ { \mathrm { ~ t ~ } } ) } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ } , } \end{array} \right.
r \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { i } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ~ \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! i \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \in \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \{ \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \ldots \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! n \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \} \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\phi _ { \kappa } ( \zeta ) = F \left( \begin{array} { c c c c } { { d _ { 1 , \kappa } , } } & { { \dots , } } & { { d _ { n - 1 , \kappa } , } } & { { d _ { n , \kappa } } } \\ { { e _ { 1 , \kappa } , } } & { { \dots , } } & { { e _ { n - 1 , \kappa } , } } & { { \zeta } } \end{array} \right)
\textnormal { M S E } = \frac { 1 } { N K } \sum _ { n } ^ { N } \sum _ { k } ^ { K } { \left| h _ { n k } ^ { \textnormal { ( c u r r e n t ) } } - h _ { n k } ^ { \textnormal { ( p r e v i o u s ) } } \right| } ^ { 2 } ,
r _ { T , \mathrm { i n t p . } } ( Q ^ { 2 } , \kappa _ { T } ( 0 ) ) = \frac { 4 \kappa _ { T } ( 0 ) } { 3 ( 1 - 2 \kappa _ { T } ( 0 ) ) } \ln \left( c _ { 1 } \frac { Q ^ { 2 } } { \Lambda ^ { 2 } } + \exp ( c _ { 2 } ) \right) \ ,
c ( x , y , f ( x ) ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , ~ ~ \mathrm { ~ i ~ f ~ } y * f ( x ) \geq 1 } & { } \\ { 1 - y * f ( x ) , \quad \mathrm { ~ e ~ l ~ s ~ e ~ } } \end{array} \quad \right.
S = - \, { \frac { a } { 2 } } \int d \tau \int _ { \sigma _ { 1 } } ^ { \sigma _ { 2 } } d \sigma \, \sqrt { - h } \, h ^ { a b } X ^ { \mu } \mathstrut _ { , a } X ^ { \nu } \mathstrut _ { , b } \, \, \eta _ { \mu \nu } \ ,
\begin{array} { r l r } { \frac { d \log p ( \beta | { \bf n } ) } { d \beta } } & { { } = } & { K \psi _ { 0 } ( K \beta ) - K \psi _ { 0 } ( \beta ) + \sum _ { i } \psi _ { 0 } ( n _ { i } + \beta ) - K \psi _ { 0 } ( N + K \beta ) + \frac { 1 } { \frac { d \overline { { S } } } { d \beta } } \frac { d ^ { 2 } \overline { { S } } } { d \beta ^ { 2 } } = } \end{array}
\frac { \pi } { 4 } = 1 - \frac { 1 } { 3 } + \frac { 1 } { 5 } - \frac { 1 } { 7 } + \ldots + \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { 2 n + 1 } + \ldots = \sum \limits _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { k } } { 2 k + 1 }
\begin{array} { r } { P _ { s } ( t ) = \int _ { S } d x d y \frac { | E _ { s } | ^ { 2 } ( t ) } { 2 } \sqrt { \mu / \epsilon } = P _ { 0 } \left( \frac { \omega } { c } \right) ^ { 2 } e ^ { - \overline { { \alpha } } v _ { g } t } \frac { Q ( t ) } { n ^ { 2 } \left( \pi w _ { 0 } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { e ( h \circ f ^ { - 1 } ) } & { = ( e ( h ) \circ f ^ { - 1 } ) J _ { f ^ { - 1 } } + 2 ( e ( h ) \circ f ^ { - 1 } ) J _ { f ^ { - 1 } } \frac { ( | \mu _ { f } | ^ { 2 } \circ f ^ { - 1 } ) } { 1 - ( | \mu _ { f } | ^ { 2 } \circ f ^ { - 1 } ) } } \\ & { - 4 \textrm { R e } \Big ( ( \phi ( h ) \circ f ^ { - 1 } ) J _ { f ^ { - 1 } } \frac { ( \mu _ { f } \circ f ^ { - 1 } ) } { 1 - ( | \mu _ { f } | ^ { 2 } \circ f ^ { - 1 } ) } \Big ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { d H _ { n n } ( l ) } { d l } = 2 ( H _ { n , n + 1 } ^ { 2 } ( l ) - H _ { n - 1 , n } ^ { 2 } ( l ) ) \qquad ( n = 1 , 2 , \dots , N ) , } \\ & { } & { \frac { d H _ { n , n + 1 } ( l ) } { d l } = H _ { n , n + 1 } ( l ) ( H _ { n + 1 , n + 1 } ( l ) - H _ { n n } ( l ) ) \qquad ( n = 1 , 2 , \dots , N - 1 ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \Phi ( x ) } & { = L _ { 0 } + L _ { 1 } x + \sum _ { n = 2 } ^ { \infty } L _ { n } x ^ { n } } \\ & { = 2 + x + \sum _ { n = 2 } ^ { \infty } ( L _ { n - 1 } + L _ { n - 2 } ) x ^ { n } } \\ & { = 2 + x + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } L _ { n } x ^ { n + 1 } + \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } L _ { n } x ^ { n + 2 } } \\ & { = 2 + x + x ( \Phi ( x ) - 2 ) + x ^ { 2 } \Phi ( x ) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \sum _ { j = 0 } ^ { 2 } J _ { j } } & { \leq \varepsilon \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq \ell } \int _ { \mathbb { T } ^ { d } } | w _ { i } | ^ { q _ { 0 } - 2 } | \nabla w _ { i } | ^ { 2 } \, d x } \\ & { \ + C _ { \varepsilon } ( 1 + \| u \| _ { L ^ { q _ { 0 } + h _ { 0 } - 1 } ( \mathbb { T } ^ { d } ; { \mathbb R } ^ { \ell } ) } ^ { q _ { 0 } + h _ { 0 } - 1 } + \| v \| _ { L ^ { q _ { 0 } + h _ { 0 } - 1 } ( \mathbb { T } ^ { d } ; { \mathbb R } ^ { \ell } ) } ^ { q _ { 0 } + h _ { 0 } - 1 } ) \| w \| _ { L ^ { q _ { 0 } } ( \mathbb { T } ^ { d } ; { \mathbb R } ^ { \ell } ) } ^ { q _ { 0 } } , } \end{array}
\sigma _ { 0 } = \frac { 1 } { E _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ o ~ u ~ g ~ h ~ } } } \Re \left[ \sum _ { j ^ { * } \neq j \in W ( E _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ o ~ u ~ g ~ h ~ } } ) } \frac { r _ { j } } { p _ { j } - \sqrt { E _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ o ~ u ~ g ~ h ~ } } } } \right] + \sum _ { n = 0 } ^ { N } a _ { n } E _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ o ~ u ~ g ~ h ~ } } ^ { n / 2 }
\delta \langle x _ { ( \Delta u - \Delta d ) N } ^ { n - 1 } \rangle = \langle x _ { ( \Delta u + \Delta d ) N } ^ { n - 1 } \rangle ^ { 0 } { \frac { 1 } { ( 4 \pi f _ { \pi } ) ^ { 2 } } } \left[ 3 g _ { A } ^ { 2 } J _ { 1 } ( \Delta , m _ { \pi } ) - 3 g _ { A } ^ { 2 } m _ { \pi } ^ { 2 } \log \left( { \frac { m _ { \pi } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } } \right) \right] \ ,
g ( v ) = \left\lbrace \begin{array} { c c } { a _ { p } \cdot ( 1 - e ^ { u _ { p } - v } ) \cdot e ^ { v } , } & { v - u _ { p } > 0 , } \\ { a _ { n } \cdot ( e ^ { u _ { n } + v } - 1 ) \cdot e ^ { - v } , } & { v + u _ { n } < 0 , } \\ { 0 , } & { \textrm { o t h e r w i s e } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { r } \mathbb { E } \left[ \operatorname* { s u p } _ { f \in \mathcal { F } ( r ) } \left| \frac { 1 } { n m } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { m } \sigma _ { i j } \left( \mathcal { T } _ { \beta _ { U } } U _ { i } \right) \left( X _ { i j } \right) \left( f \left( X _ { i j } \right) - f ^ { \circ } \left( X _ { i j } \right) \right) \right| \right] } \\ & { + \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { ( 4 ^ { k - 1 } + 1 ) r } \mathbb { E } \left[ \operatorname* { s u p } _ { f \in \mathcal { F } ( 4 ^ { k } r ) } \left| \frac { 1 } { n m } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { m } \sigma _ { i j } \left( \mathcal { T } _ { \beta _ { U } } U _ { i } \right) \left( X _ { i j } \right) \left( f \left( X _ { i j } \right) - f ^ { \circ } \left( X _ { i j } \right) \right) \right| \right] . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { \Delta t } { \rho } _ { i } ^ { n + \frac { 1 } { 3 } } + \sum _ { j } \varphi _ { j } ^ { n } = b _ { \rho , i } ^ { n + 1 } , \quad \varphi _ { j } ^ { n } = ( \rho ^ { n } \mathbf u ^ { n } ) _ { i , j } \cdot \textbf { A } _ { j } , } \end{array}
[ \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \tau ^ { 2 } } + ( \frac { 1 } { \tau } + \eta _ { i } ) \frac { \partial } { \partial \tau } - \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } - \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial y ^ { 2 } } - \frac { 1 } { \tau ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial Y ^ { 2 } } + \lambda ( \Phi ^ { 2 } - f _ { \pi } ^ { 2 } - T ^ { 2 } / 2 ) ] \Phi = \zeta _ { i } ( \tau , x , y , Y )
\begin{array} { r l r l r l r l r l r l } { { 6 } } & { \boldsymbol { I } _ { V } ( t ) } & & { = \frac { 1 } { 2 } } & & { \int _ { V ( t ) } } & & { ( \boldsymbol { x } \times \boldsymbol { \omega } ) \; d V , \quad } & & { \boldsymbol { I } _ { \partial V } ( t ) = \frac { 1 } { 2 } } & & { \int _ { \partial V ( t ) } \boldsymbol { x } \times ( \boldsymbol { n } \times \boldsymbol { u } ) \; d S , } \\ & { K _ { V } ( t ) } & & { = } & & { \int _ { V ( t ) } \boldsymbol { u } \cdot } & & { ( \boldsymbol { x } \times \boldsymbol { \omega } ) \; d V , \quad } & & { K _ { \partial V } ( t ) = } & & { \int _ { \partial V ( t ) } \boldsymbol { x } \cdot \left( ( \boldsymbol { u } \boldsymbol { u } ) \cdot \boldsymbol { n } - \frac { 1 } { 2 } \lvert \boldsymbol { u } \rvert ^ { 2 } \boldsymbol { n } \right) d S , } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l } { \chi _ { R } } & { { } = \frac { 1 } { \phi _ { 0 } } } & { \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } & { { } } & { \chi _ { A } } & { { } = - \frac { 1 } { 2 \phi _ { 0 } ( 1 - 3 \phi _ { 0 } ) } \; . } \end{array}
m _ { \nu _ { \tau } } \approx - { \frac { ( g ^ { 2 } M + g ^ { 2 } M ^ { \prime } ) \mu ^ { 2 } v _ { 3 } ^ { 2 } } { 4 M M ^ { \prime } \mu ^ { 2 } - 2 ( g ^ { 2 } M + g ^ { 2 } M ^ { \prime } ) v _ { 1 } ^ { \prime } v _ { 2 } \mu ^ { \prime } } }
j _ { 1 2 } ^ { \mu } = \left( { \frac { \partial } { \partial ( \partial _ { \mu } \varphi ) } } { \mathcal { L } } \right) ( Q _ { 1 } [ Q _ { 2 } [ \varphi ] ] - Q _ { 2 } [ Q _ { 1 } [ \varphi ] ] ) - f _ { 1 2 } ^ { \mu } .
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( \boldsymbol { \bar { P } } | \boldsymbol { \bar { \varphi } } , \mathcal { D } , \mathbb { M } ) } & { { } = \int \mathbb { P } ( \boldsymbol { \bar { P } } | \boldsymbol { \bar { \varphi } } , \boldsymbol { \vartheta } , \mathbb { M } ) \mathbb { P } ( \boldsymbol { \vartheta } | \mathcal { D } , \mathbb { M } ) d \boldsymbol { \vartheta } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \| d ^ { k } \| } & { \leq } & { \lambda _ { \operatorname* { m i n } } ^ { - 1 } \left( ( J ^ { k } ) ^ { \top } U J ^ { k } \right) \cdot \left\| ( J ^ { k } ) ^ { \top } U \delta ^ { k } \right\| } \\ & { \leq } & { \lambda _ { 0 } ^ { - 1 } \left\| J ^ { k } \right\| _ { \mu } \cdot \left\| Q ^ { k } - T Q ^ { k } \right\| _ { \mu } } \\ & { \leq } & { \frac { L _ { 1 } } { \lambda _ { 0 } } \left( ( 1 + \gamma ) M + R _ { \operatorname* { m a x } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \tau ( \xi ) = - 2 \frac { y _ { 0 , \xi } } { U _ { 0 , \xi } } ( \xi ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 2 } { \pi \sin \left( \pi \bar { y } ( \xi ) \right) } , } & { \xi \in \big ( 0 , 1 + \frac { 1 } { 2 } \pi ^ { 2 } \big ) \cup \big ( 2 + \pi ^ { 2 } , 3 + \frac { 3 } { 2 } \pi ^ { 2 } \big ) , } \\ { \infty , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle \Delta x ^ { 2 } \rangle } & { { } = } & { \frac { 1 } { B _ { 0 } ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { z } \int _ { 0 } ^ { z } \langle b _ { x } ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } , z ^ { \prime } ) b _ { x } ( x ^ { \prime \prime } , y ^ { \prime \prime } , z ^ { \prime \prime } ) \rangle d z ^ { \prime } d z ^ { \prime \prime } , } \end{array}
V _ { \mathrm { i n t r a } } ( r _ { 1 } , r _ { 2 } , r _ { 3 } ; \bar { R } , \bar { \omega } ) \equiv { \frac { 1 } { 2 } } \bigg [ V ( \bar { R } , \bar { \omega } , r _ { 1 } , r _ { 2 } , r _ { 3 } ) + V ( \bar { R } , \bar { \omega } , r _ { 2 } , r _ { 1 } , r _ { 3 } ) \bigg ] ,
\operatorname { E S } _ { \alpha } ( X ) = - \xi - { \frac { \lambda } { 2 \alpha } } \left[ \exp \left( { \frac { 1 - 2 \gamma \delta } { 2 \delta ^ { 2 } } } \right) \; \Phi \left( \Phi ^ { - 1 } ( \alpha ) - { \frac { 1 } { \delta } } \right) - \exp \left( { \frac { 1 + 2 \gamma \delta } { 2 \delta ^ { 2 } } } \right) \; \Phi \left( \Phi ^ { - 1 } ( \alpha ) + { \frac { 1 } { \delta } } \right) \right]
\Pi _ { j , j + 1 } : \mathbb { R } ^ { \mathcal { M } _ { j } } \to \mathbb { R } ^ { \mathcal { M } _ { j + 1 } } , \qquad \pmb { c } _ { 0 } ^ { ( j + 1 ) } : = \Pi _ { j , j + 1 } [ \pmb { c } ^ { ( j ) } ]
F _ { \mathrm { S N A P } } ^ { j } = - \nabla _ { j } \sum _ { i = 1 } ^ { N } E _ { \mathrm { S N A P } } ^ { i } = - \boldsymbol { \beta } \cdot \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { \partial \mathbf { B } ^ { i } } { \partial \mathbf { r } ^ { j } } \; .
\begin{array} { r } { \sigma _ { n } ^ { \alpha } ( t ) = c _ { 0 } \gamma ^ { \alpha } \Big | \int _ { 0 } ^ { t } H _ { n } ( t - s ) e ^ { - \gamma s } \mathrm { d } s \Big | ^ { \alpha } + \sigma ^ { \alpha } \int _ { 0 } ^ { t } \big | H _ { n } ( s ) - \int _ { 0 } ^ { s } H _ { n } ( u ) \gamma e ^ { - \gamma ( s - u ) } \mathrm { d } u \big | ^ { \alpha } \mathrm { d } s . } \end{array}
\frac { d B } { d T } = - \frac { \sigma _ { 0 } } { 2 } B - \mathrm { ~ i ~ } \frac { \lambda } { 2 } B - \mathrm { ~ i ~ } \frac { \omega _ { 0 } } { 4 \left( 1 + \Gamma \right) } f \overline { { B } } .
\hat { a } _ { s } ^ { o u t } ( \vec { \xi } ) = \cosh { \left[ g | \alpha _ { p } ( \vec { \xi } ) \right] } \hat { a } _ { s } ^ { i n } ( \vec { \xi } ) + e ^ { i \phi _ { p } ( \vec { \xi } ) } \sinh { \left[ g | \alpha _ { p } ( \vec { \xi } ) \right] } { \hat { a } _ { s } ^ { i n \, \dagger } } ( \vec { \xi } )
\psi \left( r \right) = \psi _ { k _ { 1 } , l } \left( r \right) = c _ { 1 } J _ { \nu } \left( k _ { 1 } r \right) + c _ { 2 } J _ { - \nu } \left( k _ { 1 } r \right) \, , \; \nu = \left| l + \mu \right| \, .
V ^ { A a } = V _ { i } ^ { A a } d q ^ { i } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c c } { { u } } & { { \bar { v } } } \\ { { v } } & { { - \bar { u } } } \end{array} \right) ^ { A a } \ ,
\begin{array} { r l } { A ^ { n } } & { = ( V D V ^ { - 1 } ) ^ { n } = V D ^ { n } V ^ { - 1 } } \\ & { = \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 2 ^ { n } - 1 } & { \frac { 1 } { 2 } 4 ^ { n } - \frac { 3 } { 2 } 2 ^ { n } + 1 } & { \frac { 1 1 } { 6 } 2 ^ { n } - 4 ^ { n } + \frac { 1 } { 6 } 8 ^ { n } - 1 } \\ { 0 } & { 2 ^ { n } } & { \frac { 3 } { 2 } 4 ^ { n } - \frac { 3 } { 2 } 2 ^ { n } } & { \frac { 1 1 } { 6 } 2 ^ { n } - 3 \cdot 4 ^ { n } + \frac { 7 } { 6 } 8 ^ { n } } \\ { 0 } & { 0 } & { 4 ^ { n } } & { 2 \cdot 8 ^ { n } - 2 \cdot 4 ^ { n } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 8 ^ { n } } \end{array} \right) . } \end{array}
\sum _ { n _ { 1 } , \, n _ { 2 } } \, \! \! \! ^ { \prime } \, f ( n _ { 1 } , \, n _ { 2 } ) = \sum _ { n _ { 1 } = 1 } ^ { \infty } \ \sum _ { n _ { 2 } = - \infty } ^ { \infty } \ f ( n _ { 1 } , \, n _ { 2 } ) + \sum _ { n _ { 2 } = 0 } ^ { \infty } \ f ( 0 , \, n _ { 2 } )
{ \hat { W } } = \left[ \begin{array} { l l } { 1 - \frac { \delta ^ { 2 } } { 2 } \hat { H } ^ { 2 } } & { + \hat { H } } \\ { - \hat { H } } & { 1 - \frac { \delta ^ { 2 } } { 2 } \hat { H } ^ { 2 } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { F } _ { i j } } & { = \frac { 1 } { \Delta t } \int _ { 0 } ^ { \Delta t } \int \boldsymbol { u } \cdot \boldsymbol { n } _ { i j } f _ { i j } ( t ) { \vec { \psi } } \mathrm { d } \boldsymbol { \Xi } \mathrm { d } t } \\ & { = \int \boldsymbol { u } \cdot \boldsymbol { n } _ { i j } \left[ C _ { 1 } g _ { 0 } + C _ { 2 } \boldsymbol { u } \cdot \frac { \partial g } { \partial \vec { r } } + C _ { 3 } \frac { \partial g } { \partial t } \right] { \vec { \psi } } \mathrm { d } \boldsymbol { \Xi } + \int \boldsymbol { u } \cdot \boldsymbol { n } _ { i j } \left[ C _ { 4 } f _ { 0 } + C _ { 5 } \boldsymbol { u } \cdot \frac { \partial f } { \partial \vec { r } } \right] { \vec { \psi } } \mathrm { d } \boldsymbol { \Xi } } \\ & { = { \vec { F } } _ { i j } ^ { e q } + { \vec { F } } _ { i j } ^ { f r } , } \end{array}