harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 1 } ^ { K } | | | \widehat { \Theta } _ { k } - \Theta _ { 0 k } | | | _ { 1 } \leq } & { \sum _ { k = 1 } ^ { K } \Big ( | | \widehat { \Theta } _ { k } ^ { + } - \Theta _ { 0 k } ^ { + } | | _ { \infty } + | | \widehat { \Theta } _ { k } ^ { - } - \Theta _ { 0 k } ^ { - } | | _ { 1 } \Big ) } \\ { \leq } & { \sum _ { k = 1 } ^ { K } \Big ( | | \widehat { \Theta } _ { k } - \Theta _ { 0 k } | | _ { F } + | | \widehat { \Theta } _ { k } ^ { - } - \Theta _ { 0 k } ^ { - } | | _ { 1 } \Big ) } \\ { \leq } & { K \left[ \frac { \lambda \sqrt { 8 \sum _ { k = 1 } ^ { K } s _ { k } + \frac { K p } { 2 } } } { c } + \frac { \lambda \left( 8 \sum _ { k = 1 } ^ { K } s _ { k } + \frac { K p } { 2 } \right) } { c } \right] } \\ { \leq } & { \frac { 2 K \lambda \left( 8 \sum _ { k = 1 } ^ { K } s _ { k } + \frac { K p } { 2 } \right) } { c } , } \end{array}
\Delta A _ { \mathrm { F B } } = A _ { \mathrm { F B } } - A _ { \mathrm { F B } } ^ { \mathrm { S M } } \propto \left[ \left( a _ { l } ^ { \prime } { } ^ { 2 } - \frac { 4 } { 3 } \, A _ { \mathrm { F B } } ^ { \mathrm { S M } } \, v _ { l } ^ { \prime } { } ^ { 2 } \right) + \left( v _ { l } ^ { \prime } { } ^ { 2 } - \frac { 4 } { 3 } \, A _ { \mathrm { F B } } ^ { \mathrm { S M } } \, a _ { l } ^ { \prime } { } ^ { 2 } \right) a _ { l } ^ { 2 } \, \mathrm { R e } \chi _ { Z } \right] \chi _ { Z ^ { \prime } }
\mathcal { I } _ { { \widetilde { \mathbf { \Gamma } } } _ { 1 } } ^ { \mathrm { L } } [ \phi , \phi ] = B _ { 1 } \phi ( { \widetilde { \mathbf { \Gamma } } } _ { 1 } ) \int \mathrm { d } { \widetilde { \mathbf { \Gamma } } } _ { 2 } \, c _ { 1 2 } \phi ( { \widetilde { \mathbf { \Gamma } } } _ { 2 } ) ,
I \left( d , \lambda , t \right) = k \sum _ { m = 1 } ^ { n } E _ { m } ^ { ^ { \prime } } \left( \lambda , t \right) \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \left( 1 - e ^ { - \beta \left( \lambda , t \right) d } \right) d t .
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } _ { \mathrm { s e c . } } [ x , t ; v _ { 0 } , ( a , b ) ] = \frac { 1 } { 4 s _ { 0 } } \bigg [ } & { { } \mathrm { E r f } \left( \frac { b - x + t v _ { 0 } } { \sqrt { 2 } t v _ { \mathrm { t h } } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { { 4 } \gamma _ { \alpha } } & { { } = \frac { \tan ( k _ { \alpha } / 2 ) } { 2 \omega _ { \alpha } ^ { 2 } } \sin ^ { 2 } \left( \frac { k _ { \alpha } } { 2 } \right) } \\ { \eta _ { p } } & { { } = \frac { \tan ( k _ { p } / 2 ) } { 2 \omega _ { p } ^ { 2 } } \sin ^ { 2 } \left( \frac { k _ { s } + k _ { i } - k _ { p } } { 2 } \right) } \\ { \eta _ { s , i } } & { { } = \frac { \tan ( k _ { s , i } / 2 ) } { 2 \omega _ { p } ^ { 2 } } \sin ^ { 2 } \left( \frac { 2 k _ { p } - k _ { i , s } } { 2 } \right) } \\ { \Delta k } & { { } = k _ { s } + k _ { i } - 2 k _ { p } } \end{array}
\eta _ { 1 } ( \beta \sqrt { - \triangle } ) = \frac { 2 \sqrt { \pi } } { \beta } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { { \mathrm { d } } s } { s ^ { 3 / 2 } } \, { \mathrm { e } } ^ { - s m ^ { 2 } } \, \frac { f ( - s \triangle ) - 1 } { s \triangle } , \ \beta \rightarrow 0 ,
\vec { \nabla } ^ { \prime } \cdot \vec { J } ( \vec { x } ^ { \prime } , t _ { r e t } ) = \vec { \nabla } ^ { \prime } | _ { t _ { r e t } } \cdot \vec { J } ( \vec { x } ^ { \prime } , t _ { r e t } ) - \partial _ { t _ { r e t } } \vec { J } ( \vec { x } ^ { \prime } , t _ { r e t } ) \cdot \vec { \nabla } t _ { r e t } .
\begin{array} { r l r } { \rho } & { { } = } & { \sum _ { l = 1 } ^ { N } q _ { l } \, n _ { l } \, , } \\ { \vec { j } } & { { } = } & { \sum _ { l = 1 } ^ { N } q _ { l } \, n _ { l } \, \vec { u } _ { l } \, . } \end{array}
u _ { t t } - c _ { 0 } ^ { 2 } u _ { x x } - \left( \frac { \mathrm { d } F ( u ) } { \mathrm { d } u } \right) _ { x x } = ( \beta _ { 1 } u _ { t t } - \beta _ { 2 } u _ { x x } ) _ { x x } ,
\begin{array} { l c l } { S _ { 1 } S _ { 3 } + S _ { 2 } S _ { 4 } = { \overline { { A C } } } \cdot { \overline { { B D } } } } \\ { \Rightarrow S _ { 1 } S _ { 3 } + { S _ { 2 } } ^ { 2 } = { \overline { { A C } } } ^ { 2 } } \\ { \Rightarrow S _ { 1 } [ S _ { 1 } - 2 S _ { 2 } \cos ( \theta _ { 2 } + \theta _ { 3 } ) ] + { S _ { 2 } } ^ { 2 } = { \overline { { A C } } } ^ { 2 } } \\ { \Rightarrow { S _ { 1 } } ^ { 2 } + { S _ { 2 } } ^ { 2 } - 2 S _ { 1 } S _ { 2 } \cos ( \theta _ { 2 } + \theta _ { 3 } ) = { \overline { { A C } } } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { F _ { \mu } ( \underbrace { e \rightarrow S _ { e n t } \rightarrow S _ { e x i t } \rightarrow \dots \rightarrow S _ { e n t } \nrightarrow S _ { e x i t } } _ { k \mathrm { ~ r e t u r n s } } ) = \sum _ { b \in B } F _ { \mu } ( e , b ; B \setminus \{ b \} ) F _ { \mu } ( \underbrace { b \rightarrow S _ { e n t } \rightarrow \dots \nrightarrow S _ { e x i t } } _ { k \mathrm { ~ r e t u r n s } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { Q ( ( n - 3 , n - 1 , 1 ) , ( n - 2 , n - 1 , 1 ) ) } & { = p _ { A } , } & { Q ( ( n - 3 , n - 1 , 1 ) , ( n - 3 , n - 1 , 2 ) ) } & { = q _ { A } , } \\ { S ( ( n - 3 , n - 1 , 2 ) , \mathrm { T e a m ~ } B \mathrm { ~ w i n s } ) } & { = p _ { B } , } & { Q ( ( n - 3 , n - 1 , 2 ) , ( n - 3 , n - 1 , 1 ) ) } & { = q _ { B } , } \\ { Q ( ( n - 2 , n - 1 , 1 ) , ( n - 1 , n - 1 , 1 ) ) } & { = p _ { A } , } & { Q ( ( n - 2 , n - 1 , 1 ) , ( n - 2 , n - 1 , 2 ) ) } & { = q _ { A } , } \\ { S ( ( n - 2 , n - 1 , 2 ) , \mathrm { T e a m ~ } B \mathrm { ~ w i n s } ) } & { = p _ { B } , } & { Q ( ( n - 2 , n - 1 , 2 ) , ( n - 2 , n - 1 , 1 ) ) } & { = q _ { B } . } \end{array}
{ \ensuremath { \mathbb E } } \left[ | { \ensuremath { \mathbb E } } [ B _ { t } \ | \ { \ensuremath { \mathcal F } } _ { r } ] | \mathbf { 1 } _ { { \ensuremath { \mathcal A } } _ { q , R } } \right] \le e ^ { ( | \gamma ^ { 2 } | - d ) ( 2 r - t ) - d t } \int _ { { \ensuremath { \mathbb R } } ^ { 2 d } } | f ( x ) | ^ { 2 } { \ensuremath { \mathbb E } } \left[ e ^ { \sqrt { 2 d } X _ { r } ( x ) } \mathbf { 1 } _ { { \ensuremath { \mathcal A } } _ { r , q } ( x ) } \right] \mathrm { d } x .
B _ { , f } = - 2 ( f + g ) ( 1 - E \bar { E } ) ^ { - 2 } E _ { , f } \bar { E } _ { , f } , ~ ~ B _ { , g } = - 2 ( f + g ) ( 1 - E \bar { E } ) ^ { - 2 } E _ { , g } \bar { E } _ { , g } ,
\begin{array} { r l } { ( \mathbf { M } _ { \P } ) _ { i , j } } & { { } = \int _ { \P } \varphi _ { i } \varphi _ { j } \, d \mathbf { x } , } \\ { ( \mathbf { K } _ { \P } ^ { n } ) _ { i , j } } & { { } = \int _ { \P } H ^ { n } \nabla \varphi _ { i } \cdot \nabla \varphi _ { j } \, d \mathbf { x } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb P \left[ { \mathcal N } _ { \star } \left( \frac 2 D X ^ { \top } \boldsymbol { U } \right) > { 1 2 ( 8 4 A e ) ^ { \frac 1 2 } \zeta ^ { - 1 } \sigma _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } } { C _ { \sharp } } ^ { \frac 3 2 } ( 1 + \epsilon ^ { - 2 } + \epsilon ^ { - 4 } ) \sqrt { \frac { L \log \left( \frac { M L } \delta \right) } { D M } } \right] } & { \leq \delta , } \end{array}
I ( X _ { { T _ { e } } } ; A _ { 0 } ^ { { T _ { e } } - 1 } | x _ { 0 } ) = H ( X _ { T _ { e } } | x _ { 0 } ) - H ( X _ { T _ { e } } \mid A _ { 0 } ^ { { T _ { e } } - 1 } x _ { 0 } ) .
J _ { l } = \frac { \beta ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } f ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d k \, \frac { k ^ { 4 } } { ( k ^ { 2 } + M _ { l } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } F ^ { 2 } ( k ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } & { \overline { { f } } \left( I _ { i } \left( T , \Phi ^ { - 1 } ( P ^ { f } ) \right) , I _ { i } ( T , P ( \tau ) ) \right) } \\ { > } & { \frac { \alpha _ { 1 } } { 1 0 \cdot \int f \, \mathrm { d } \mu } - \frac { 1 } { p _ { n + 1 } } - \frac { 6 \cdot \int f \, \mathrm { d } \mu } { N } - \frac { 2 } { N } - \frac { 2 } { p _ { n + 1 } ^ { \prime } } - 4 \delta } \\ { > } & { \frac { \alpha _ { 1 } } { 2 0 \cdot \int f \, \mathrm { d } \mu } , } \end{array}
W _ { d i q u a r k } = g _ { L } \left( h _ { L } \right) _ { i j } ^ { A } Q ^ { i } Q ^ { j } \chi _ { A } + g _ { R } \left( h _ { R } \right) _ { i j } ^ { A } U _ { i } ^ { c } D _ { j } ^ { c } \chi _ { A } ^ { c } ,
\begin{array} { r l r } { 2 G ^ { p , f } ( { \bf x } , { \bf x } _ { S } ) } & { { } = } & { \int _ { \partial \mathbb { D } _ { F } } F ^ { p } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) R ( { \bf x } _ { F } , { \bf x } _ { S } ) \mathrm { d } ^ { 2 } { \bf x } _ { F } + \bar { F } ^ { p * } ( { \bf x } , { \bf x } _ { S } ) , } \\ { 2 G ^ { v , f } ( { \bf x } , { \bf x } _ { S } ) } & { { } = } & { \int _ { \partial \mathbb { D } _ { F } } F ^ { v } ( { \bf x } , { \bf x } _ { F } ) R ( { \bf x } _ { F } , { \bf x } _ { S } ) \mathrm { d } ^ { 2 } { \bf x } _ { F } - \bar { F } ^ { v * } ( { \bf x } , { \bf x } _ { S } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { f _ { 2 } ^ { \mu } ( r _ { 1 2 } ) = \left( \frac { 1 } { 2 \, \mu } \right) ^ { 2 } \, g _ { 2 } ( \mu \, r _ { 1 2 } ) \mathrm { ~ , ~ } } \end{array}
| P ^ { \prime } , \chi ^ { P } \rangle = \frac { 2 } { m } ( 2 \pi ) ^ { 3 } G ^ { ' + } \delta ^ { ( 2 ) } ( { \bf G } _ { \bot } - { \bf G } _ { \bot } ^ { \prime } ) \delta ( G ^ { + } - G ^ { ' + } ) \chi ^ { P }
\phi _ { \varepsilon \kappa m } ( \ensuremath { \boldsymbol { r } } ) = \frac { 1 } { r } \left( \begin{array} { l } { f _ { \varepsilon \kappa } { ( r ) } \Omega _ { \kappa m } { ( \boldsymbol { \hat { n } } ) } } \\ { i g _ { \varepsilon \kappa } { ( r ) } \tilde { \Omega } _ { \kappa m } { ( \boldsymbol { \hat { n } } ) } } \end{array} \right) \, ,
{ \cal E } = d _ { H } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) \equiv \operatorname* { m a x } \left( \operatorname* { m a x } _ { i } ( \operatorname* { m i n } _ { j } ( | z _ { 1 } ( i ) - z _ { 2 } ( j ) | ) ) , \operatorname* { m a x } _ { j } ( \operatorname* { m i n } _ { i } ( | z _ { 1 } ( i ) - z _ { 2 } ( j ) | ) ) \right) \, ,
D I _ { i } ( s , z ) = - \frac { R e \Omega } { d ^ { 4 } } \bigg ( d ^ { 4 } ( 1 + s R e P r ) + 2 d ^ { 2 } - 4 ( z - z _ { d } ) ^ { 2 } \bigg ) \exp \bigg ( - \lambda _ { i } z - \frac { ( z - z _ { d } ) ^ { 2 } } { d ^ { 2 } } \bigg )
- c ^ { 2 } { d \tau } ^ { 2 } = - { \frac { 1 } { 4 } } \left( 3 { \sqrt { 1 - { \frac { r _ { g } ^ { 2 } } { { \mathcal { R } } ^ { 2 } } } } } - { \sqrt { 1 - { \frac { r ^ { 2 } } { { \mathcal { R } } ^ { 2 } } } } } \right) ^ { 2 } c ^ { 2 } d t ^ { 2 } + \left( 1 - { \frac { r ^ { 2 } } { { \mathcal { R } } ^ { 2 } } } \right) ^ { - 1 } d r ^ { 2 } + r ^ { 2 } \left( d \theta ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \theta \, d \varphi ^ { 2 } \right) .
\ln \frac { p ( \Omega _ { 0 , t } ( \Gamma ; 0 ) = A t ) } { p ( \Omega _ { 0 , t } ( \Gamma ; 0 ) = - A t ) } \equiv \ln \frac { p ( \bar { \Omega } _ { 0 , t } ( \Gamma ; 0 ) = A ) } { p ( \bar { \Omega } _ { 0 , t } ( \Gamma ; 0 ) = - A ) } = A t ,
\begin{array} { r } { \alpha _ { n } : D _ { n } \xrightarrow { \varphi _ { n } } ( [ n - 1 ] \times D _ { n - 1 } ) \cup E _ { n - 1 } \xrightarrow { \mathrm { i d } _ { [ n - 1 ] \times D _ { n - 1 } } \oplus \alpha _ { n - 1 } ^ { - 1 } } ( [ n - 1 ] \times D _ { n - 1 } ) \cup D _ { n - 1 } \cup \Pi _ { n - 1 } } \\ { \xrightarrow { g _ { n } ^ { - 1 } \oplus \ell _ { n } ^ { - 1 } } ( [ n ] \times D _ { n - 1 } ) \cup \Pi _ { n } \xrightarrow { f _ { n } \oplus \mathrm { i d } _ { \Pi _ { n } } } E _ { n } \cup \Pi _ { n } } \end{array}
\bar { \Psi } _ { \mathrm { C T } } = - \frac { i } { 2 e ^ { 2 } } \int d ^ { 4 } x \, \sqrt { g } \, \Bigr \{ \xi _ { - } ^ { \nu } ( \nabla ^ { \mu } T _ { \mu \nu } ^ { + } - i V ^ { \mu } T _ { \mu \nu } ^ { + } - Y _ { \nu } ^ { + } ) - ( \nabla ^ { \mu } T _ { \mu \nu } ^ { - } - i T _ { \mu \nu } ^ { - } V ^ { \mu } - Y _ { \nu } ^ { - } ) \xi _ { + } ^ { \nu } \Bigr \} .
U ^ { \prime } ( \lambda ) = \frac { \lambda J _ { 0 } ( x ) + J _ { 1 } ( x ) } { 1 - { \lambda } ^ { 2 } } = J _ { 0 } ( g + \lambda ) [ ( g - \lambda ) ( g + \lambda ) ] ^ { - 1 } = J _ { 0 } ( g - \lambda ) ^ { - 1 } = - ( g + \lambda ) ^ { - 1 } J _ { 0 }
\Delta ( m ; x ) \approx \frac { h } { ( 2 \pi ) ^ { d } } \sum _ { k = - N } ^ { N } \frac { 1 } { e ^ { k h } } \left[ \frac { \pi } { z _ { k } + 1 / \Lambda ^ { 2 } } \right] ^ { d / 2 } \exp \left[ - z _ { k } m ^ { 2 } - \frac { x ^ { 2 } } { 4 ( z _ { k } + 1 / \Lambda ^ { 2 } ) } \right] ,
\begin{array} { r } { R _ { x } = \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \cos \theta } & { - \sin \theta } \\ { 0 } & { \sin \theta } & { \cos \theta } \end{array} \right) } \end{array}
R ^ { 2 } = 1 - { \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { \mathrm { t e s t } } } \left( y _ { i } ^ { \mathrm { g . t . } } - y _ { i } ^ { \mathrm { s u r r } } \right) ^ { 2 } } / { \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { \mathrm { t e s t } } } \left( y _ { i } ^ { \mathrm { g . t . } } - { \overline { { y ^ { \mathrm { g . t . } } } } } \right) ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { V _ { 2 } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \sum _ { j = 1 } ^ { i - 2 } \mathrm { C o v } ( \gamma ^ { \tau _ { i } } g ( W _ { i + 1 } ) , \gamma ^ { \tau _ { j } } g ( W _ { j + 1 } ) ) } \\ & { \leq \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \sum _ { j = 1 } ^ { i - 2 } ( \chi ( 2 ) ^ { j } \chi ( 1 ) ^ { i - j } - \chi ( 1 ) ^ { j } \chi ( 1 ) ^ { i } ) E [ g ( W _ { j + 1 } ) ] E [ g ( W _ { i + 1 } ) ] } \\ & { \leq \frac { ( 1 - p ) p ^ { 3 } \gamma ^ { 4 m } } { ( 1 - \gamma ^ { m } ) ( 1 + \gamma ^ { m } ) ( 1 - ( 1 - p ) \gamma ^ { m } ) ( 1 - ( 1 - 2 p ) \gamma ^ { m } ) } \left( \frac { 1 - \gamma ^ { m } } { ( 1 - \gamma ) ( 1 - ( 1 - p ) \gamma ^ { m } ) } \right) ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { 2 ( 1 - \gamma ^ { m } ) p ^ { 3 } } { ( 1 - \gamma ) ^ { 2 } p ( 2 p ) p ^ { 2 } } } \\ & { \leq \frac { m } { ( 1 - \gamma ) p } } \end{array}
K ( t ; 2 ) = V ( t ) + 2 N | f _ { 0 } | ^ { 2 } \int _ { | U | ^ { \frac { k + 1 } { 2 } } < R ^ { \prime } } d ^ { 2 } U \int _ { | t - U ^ { k + 1 } | / R < | Y | < R } { \frac { d ^ { 2 } Y } { | Y | ^ { 2 } } } ~ .
\hat { W } = i \hat { \zeta } m \sum _ { a = 1 } ^ { N } [ \hat { \theta } _ { a } ^ { 2 } , \hat { \theta } _ { a } ^ { 1 } ] = \hat { \zeta } m \left( \frac { N } { 2 } - \hat { n } \right) , \; \; \hat { n } = \sum _ { a = 1 } ^ { N } \hat { n } _ { a } .
\begin{array} { r l } { \Delta \omega _ { 1 } ( t ) } & { { } = g _ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } } \theta _ { 1 } ( t ) + g _ { \mathrm { ~ N ~ } } N _ { 1 } ( t ) \label [ p l u r a l e q u a t i o n ] { e q : f s h i f t 1 } } \\ { \Delta \omega _ { 2 } ( t ) } & { { } = g _ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } } \theta _ { 2 } ( t ) + g _ { \mathrm { ~ N ~ } } N _ { 2 } ( t ) , \label [ p l u r a l e q u a t i o n ] { e q : f s h i f t 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ w ~ S ~ D ~ } } & { { } = \sqrt { \mathrm { ~ W ~ M ~ S ~ } } , } \\ { \mathrm { ~ R ~ C ~ } } & { { } = 1 . 9 6 ~ \sqrt { 2 } ~ \mathrm { ~ w ~ S ~ D ~ } } \end{array}
U _ { \mathrm { S U ( 2 ) } } ( \mathrm { \boldmath ~ x ~ } ) = e ^ { i \mathrm { \boldmath ~ \scriptstyle \ t a u ~ } \cdot \vec { \theta } ( \mathrm { \boldmath ~ { \scriptstyle ~ x } ~ } ) } \quad \quad \quad \mathrm { a n d } \quad \quad \quad U _ { \mathrm { S U ( 3 ) } } ( \mathrm { \boldmath ~ x ~ } ) = \left( \begin{array} { c c } { { U _ { \mathrm { S U ( 2 ) } } ( \mathrm { \boldmath ~ x ~ } ) } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } & { \mathcal { F } _ { 0 } = 1 \otimes 1 , } \\ & { \mathcal { F } _ { d } = s _ { d } \otimes 1 + ( 1 + s _ { 1 } + \, \cdots \, + s _ { d - 1 } ) \otimes e _ { 1 } , } \\ & { \mathcal { F } _ { 1 ^ { d } } = s _ { d } \otimes 1 + s _ { d - 1 } \otimes e _ { 1 } + \, \cdots \, + 1 \otimes e _ { d } } \\ & { \mathcal { F } _ { ( a , 1 ) } = ( s _ { a + 1 } + s _ { ( a - 1 , 1 ) } ) \otimes 1 } \\ & { \qquad \qquad + ( s _ { a } + ( 1 + s _ { 2 } + \, \ldots \, + s _ { a - 2 } ) \cdot s _ { 1 } ) \otimes e _ { 1 } } \\ & { \qquad \qquad + s _ { a - 1 } \otimes e _ { 2 } + ( 1 + s _ { 1 } + \, \ldots \, + s _ { a - 2 } ) \otimes e _ { 1 1 } . } \end{array}
\mathrm { ~ R ~ X ~ } = \left( \begin{array} { l l } { \cos ( \frac { \theta } { 2 } ) } & { - i \sin ( \frac { \theta } { 2 } ) } \\ { - i \sin ( \frac { \theta } { 2 } ) } & { \cos ( \frac { \theta } { 2 } ) } \end{array} \right) .
\frac { I ^ { n } } { I _ { c } } = \frac { f _ { x x } ^ { \mathrm { n } } \omega _ { x } ^ { 2 } + f _ { y y } ^ { \mathrm { n } } \omega _ { y } ^ { 2 } } { \omega _ { x } ^ { 2 } + \omega _ { y } ^ { 2 } }
C _ { 1 } \underset { n \longrightarrow \infty } { \overset { \mathcal { P } } { \longrightarrow } } - \frac { \tau } { 4 } \frac { 1 } { \left( 1 + \tau \right) ^ { m / 2 } } \frac { \left\vert \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) \right\vert ^ { - \frac { \tau } { 2 } } } { \left( 2 \pi \right) ^ { m \tau / 2 } } t r a c e \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { i } } \right) t r a c e \left( \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) ^ { - 1 } \frac { \partial \boldsymbol { \Sigma } \left( \boldsymbol { \theta } \right) } { \partial \theta _ { j } } \right) .
( \overline { { { h } } } _ { i } , \overline { { { h } } } _ { i ^ { \prime } } ^ { \prime } ) \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { \langle ( H _ { 1 } ) _ { i ^ { \prime } } ^ { i } \rangle = 0 } } \\ { { \langle ( \overline { { { H } } } _ { 1 } ) _ { i } ^ { i ^ { \prime } } \rangle = 0 } } & { { M ^ { \prime } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { h ^ { i } } } \\ { { h ^ { i ^ { \prime } } } } \end{array} \right) .
\| v _ { I + \ell } - v \| _ { L ^ { \infty } ( \Omega ; \mathbb R ^ { 2 } ) } \leq \sum _ { j = I + \ell } ^ { \infty } \| v _ { j + 1 } - v _ { j } \| _ { L ^ { \infty } ( \Omega ; \mathbb R ^ { 2 } ) } \overset { \leq } \sum _ { j = I + \ell } ^ { \infty } \frac { \varepsilon _ { I + j } } { 2 ^ { I + j } } \leq \frac { \varepsilon _ { I + \ell } } { 2 ^ { I + \ell - 1 } } .
H _ { a d i a . } = - { \frac { 1 } { 2 \mu } } \bigg ( { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial r ^ { 2 } } } + { \frac { 2 } { r } } { \frac { \partial } { \partial r } } \bigg ) + { \frac { L ( L + 1 ) - \Lambda ^ { 2 } } { 2 \mu r ^ { 2 } } } + E _ { \Lambda } ( r ) \ ,
* _ { s } j _ { F 1 } ^ { P a g e } = d ( e ^ { - 2 \phi } * _ { s } H _ { 3 } - A _ { 1 } \wedge * _ { s } \tilde { F } _ { 4 } ) = * _ { s } j _ { F 1 } ^ { b s } - A _ { 1 } \wedge * _ { s } j _ { D 2 } ^ { b s } .
{ \cal L } _ { F F } = \bar { \Psi } [ - i \frac { 2 } { 3 } L _ { \mu } ( \partial _ { \mu } + i a _ { \mu } + i C _ { \mu } ) + M ] \Psi - \frac { i } { 8 \pi ( \alpha - 1 ) } \epsilon _ { \mu \nu \lambda } a _ { \mu } \partial _ { \nu } a _ { \lambda } \; ,
\begin{array} { r l r } { \vec { q } ( \vec { n } , t _ { i } ) } & { { } = } & { \vec { q } _ { i } ( \vec { n } ) \, , } \\ { \vec { q } ( \vec { n } , t _ { f } ) } & { { } = } & { \vec { q } _ { f } ( \vec { n } ) \, . } \end{array}
P _ { \infty } ^ { f } = F P _ { \infty } ^ { f } F ^ { T } - F P _ { \infty } ^ { f } H _ { y } ^ { T } \left( H _ { y } P _ { \infty } ^ { f } H _ { y } ^ { T } + R \right) ^ { - 1 } H _ { y } P _ { \infty } ^ { f } F ^ { T } + Q .
\begin{array} { r l } & { \mathbf { E } \left[ \left| Y _ { t } - Y _ { \lfloor t / \eta \rfloor \eta } \right| ^ { 2 } \right] } \\ & { = \mathbf { E } \left[ \left| - \left( t - j \eta \right) G \left( Y _ { j \eta } , a _ { j \eta } \right) + \sqrt { 2 \beta ^ { - 1 } } \left( B _ { t } - B _ { j \eta } \right) \right| ^ { 2 } \right] } \\ & { = \left( t - j \eta \right) ^ { 2 } \mathbf { E } \left[ \left| G \left( Y _ { j \eta } , a _ { j \eta } \right) - \widetilde { G } \left( Y _ { j \eta } \right) + \widetilde { G } \left( Y _ { j \eta } \right) \right| ^ { 2 } \right] + 2 \beta ^ { - 1 } \mathbf { E } \left[ \left| B _ { t } - B _ { j \eta } \right| ^ { 2 } \right] } \\ & { \le \left( t - j \eta \right) ^ { 2 } \left( 2 \delta _ { \mathbf { v } , 2 } \mathbf { E } \left[ \left| Y _ { j \eta } \right| ^ { 2 } \right] + 2 \delta _ { \mathbf { v } , 0 } + \mathbf { E } \left[ \left| \widetilde { G } \left( Y _ { j \eta } \right) \right| ^ { 2 } \right] \right) + 2 \beta ^ { - 1 } d \left( t - j \eta \right) } \\ & { \le 2 \left( t - j \eta \right) ^ { 2 } \left( \left\| \widetilde { G } \right\| _ { \mathbb { M } } ^ { 2 } + \delta _ { \mathbf { v } , 0 } + \left( ( \omega _ { \widetilde { G } } ( 1 ) ) ^ { 2 } + \delta _ { \mathbf { v } , 2 } \right) \mathbf { E } \left[ \left| Y _ { j \eta } \right| ^ { 2 } \right] \right) + 2 \beta ^ { - 1 } d \left( t - j \eta \right) } \\ & { \le 2 \left( t - j \eta \right) ^ { 2 } \left( \left\| \widetilde { G } \right\| _ { \mathbb { M } } ^ { 2 } + \delta _ { \mathbf { v } , 0 } + \left( ( \omega _ { \widetilde { G } } ( 1 ) ) ^ { 2 } + \delta _ { \mathbf { v } , 2 } \right) \kappa _ { \infty } \right) + 2 \beta ^ { - 1 } d \left( t - j \eta \right) } \\ & { = : 2 \left( t - j \eta \right) ^ { 2 } C ^ { \prime } + 2 \beta ^ { - 1 } d \left( t - j \eta \right) } \end{array}
\sum _ { i } \tilde { \alpha } _ { i } ^ { \prime 2 } - \tilde { \alpha } _ { i } ^ { \prime } \sum _ { j } \tilde { \alpha } _ { j } ^ { \prime } + { \frac { 1 } { D - 2 } } \varphi ^ { \prime 2 } + \sum _ { a } \alpha _ { a } ^ { \prime 2 } = { \frac { Q ^ { 2 } } { 2 } } \exp \left( - \tilde { \Phi } + 2 \sum _ { k } \tilde { \alpha } _ { k } \right) \ .
\begin{array} { r l } { R _ { 2 } [ F _ { a l l } ] } & { = R _ { 2 } [ F _ { 3 m o d e } ] + R _ { 2 } [ F _ { j } ] + R _ { 2 } [ F _ { \tilde { w } } ] + R _ { 2 } [ F _ { j ( k _ { 0 } \pm 1 ) } ] + R _ { 2 } [ F _ { u _ { 3 } } ] } \\ & { \le 2 0 ( \frac s \eta ) ^ { \gamma } ( c _ { 1 } + 2 c ^ { 2 } \tilde { c } _ { 2 } ) + 2 0 c ^ { 2 } c _ { 2 } } \\ & { + \frac c \beta ( \frac { s } \eta ) ^ { \gamma } ( c _ { 1 } + \tilde { c } _ { 2 } ) + \frac c \beta c _ { 2 } + ( c \eta ) ^ { \gamma _ { 2 } } \frac { c ^ { 2 } } { \kappa _ { k _ { 0 } } } j ( k _ { 0 } , d ) ) } \\ & { + c ^ { 2 } ( \tilde { w } ( 2 ) + \tilde { w } ( - 2 ) ) ( \frac { s } \eta ) ^ { \gamma _ { 1 } } } \\ & { + \frac { 2 c } { \kappa \xi \eta } j ( k _ { \pm 1 } , d ) ( \frac { s } \eta ) ^ { \gamma _ { 1 } } + \frac c { \beta \kappa \xi } ( \tilde { w } ( 1 ) + c _ { 1 } ^ { \ast } + c _ { 2 } ^ { \ast } ) ( \frac { s } \eta ) ^ { \gamma _ { 1 } } } \\ & { + 2 c \tilde { w } ( 1 ) ( \frac { s } \eta ) ^ { \gamma _ { 1 } } } \\ & { \le 2 1 ( \frac s \eta ) ^ { \gamma } c _ { 1 } + 2 \frac c \beta c _ { 2 } + \frac c \beta ( \frac s \eta ) ^ { \gamma } \tilde { c } _ { 2 } + N ( \frac s \eta ) ^ { \gamma } + N _ { j } . } \end{array}
Z ( J ) = \int D A _ { i } ( \operatorname * { d e t } ( - \partial _ { 0 } ^ { 2 } ) ) ^ { 1 / 2 } \exp \left[ + \frac { 1 } { 2 } \int d ^ { 4 } x ( \frac { 1 } { g ^ { 2 } } A _ { i } K _ { i k } A _ { k } - 2 J _ { i } A _ { i } ) \right]
J _ { \mu _ { 1 } \mu _ { 2 } } ^ { a _ { 1 } a _ { 2 } } ( q _ { 1 } , q _ { 2 } ) = J _ { \mu _ { 2 } \mu _ { 1 } } ^ { a _ { 2 } a _ { 1 } } ( q _ { 2 } , q _ { 1 } ) \; .
\begin{array} { r l } & { ( s - D \Delta _ { \r _ { 0 } } ) \tilde { p } ( \r , s | \r _ { 0 } ) = \delta ( \r - \r _ { 0 } ) , \quad \r _ { 0 } \in \Omega , } \\ & { \tilde { p } ( \r , s | \r _ { 0 } ) = 0 , \quad \r _ { 0 } \in \Omega _ { \mathrm { { a b } } } , } \\ & { \partial _ { n _ { 0 } } \tilde { p } ( \r , s | \r _ { 0 } ) + q _ { s } ( \r _ { 0 } ) \tilde { p } ( \r , s | \r _ { 0 } ) = 0 , \quad \r _ { 0 } \in \Omega _ { \mathrm { a d } } , } \end{array}
{ \mathrm { P A R } } = { \frac { P _ { e 1 } ( { \mathrm { R R } } _ { 1 } - 1 ) + P _ { e 2 } ( { \mathrm { R R } } _ { 2 } - 1 ) + P _ { e 3 } ( { \mathrm { R R } } _ { 3 } - 1 ) + \cdots } { 1 + P _ { e 1 } ( { \mathrm { R R } } _ { 1 } - 1 ) + P _ { e 2 } ( { \mathrm { R R } } _ { 2 } - 1 ) + P _ { e 3 } ( { \mathrm { R R } } _ { 3 } - 1 ) + \cdots } }