harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathbf { p } ( \mathbf { r } ) = q _ { 1 } ( \mathbf { r } _ { 1 } - \mathbf { r } ) + q _ { 2 } ( \mathbf { r } _ { 2 } - \mathbf { r } ) = q ( \mathbf { r } _ { + } - \mathbf { r } ) - q ( \mathbf { r } _ { - } - \mathbf { r } ) = q ( \mathbf { r } _ { + } - \mathbf { r } _ { - } ) = q \mathbf { d } ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { v } } & { { } = ( v _ { 1 } , v _ { 2 } , v _ { 3 } ) = ( V _ { 1 } / V _ { 0 } , 0 , 0 ) , } \\ { \mathbf { u ^ { \prime } } } & { { } = ( u _ { 1 } ^ { \prime } , u _ { 2 } ^ { \prime } , u _ { 3 } ^ { \prime } ) = ( U _ { 1 } ^ { \prime } / U _ { 0 } ^ { \prime } , U _ { 2 } ^ { \prime } / U _ { 0 } ^ { \prime } , 0 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { P _ { r } + \tau } { P _ { r } + 1 } < R _ { \rho } < 1 , } & { { } \qquad \mathrm { f o r \, \, d i f f u s i v e \, \, c o n v e c t i o n } , } \\ { 1 < R _ { \rho } < \frac { 1 } { \tau } , } & { { } \qquad \mathrm { f o r \, \, s a l t \, \, f i n g e r s } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \log p ( x _ { i + 1 } | x _ { i } ) } & { { } \approx \log \mathcal { N } \left( x _ { i + 1 } \middle | x _ { i } + f ( x _ { i } , t _ { i } ; \theta ) \Delta t , \ \frac { \Delta t } { 2 \beta } I _ { d _ { x } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma ^ { \psi \chi } } & { { } = \sum _ { \alpha = 1 } ^ { N _ { a t } } N _ { a t } ^ { - 1 } \sqrt { \sum _ { n = 1 } ^ { 1 0 } \frac { ( \mathrm { ~ F ~ } _ { \alpha , n } ^ { \psi \chi } - \mathrm { ~ F ~ } _ { \alpha } ^ { \psi } ) ^ { 2 } } { 1 0 } } ~ ; } \end{array}
\begin{array} { r l } & { 3 \tilde { \Lambda } _ { u _ { 0 } , f , r } ( \tau ) + \tau \| \partial _ { t } \varphi \| _ { L ^ { \infty } ( B _ { R } ( x ^ { h } ) \times [ t ^ { * } - R , t ^ { * } + R ] ) } } \\ & { \qquad \leq \tau ( 3 \tilde { K } _ { 2 } S _ { a ( p - 1 ) } ( r ) + 3 \| f \| _ { L ^ { \infty } ( \ensuremath { \mathbb { R } } ^ { d } ) } + \| \partial _ { t } \varphi \| _ { L ^ { \infty } ( B _ { R } ( x ^ { h } ) \times [ t ^ { * } - R , t ^ { * } + R ] ) } ) } \\ & { \qquad \leq r ^ { a } K _ { s , p , d } \frac { ( 3 \tilde { K } _ { 2 } S _ { a ( p - 1 ) } ( r ) + 3 \| f \| _ { L ^ { \infty } ( \ensuremath { \mathbb { R } } ^ { d } ) } + \| \partial _ { t } \varphi \| _ { L ^ { \infty } ( B _ { R } ( x ^ { h } ) \times [ t ^ { * } - R , t ^ { * } + R ] ) } ) } { | \log ( r ) | } } \\ & { \qquad \leq r ^ { a } \left( { 3 \tilde { K } _ { 2 } + 1 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| A ( x ^ { \prime } - x _ { \mathrm { O P T } } ) \| _ { 2 } ^ { 2 } = } & { ~ \| A x ^ { \prime } - b - ( A x _ { \mathrm { O P T } } - b ) \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ { = } & { ~ \| A x ^ { \prime } - b \| _ { 2 } ^ { 2 } - \| A x _ { \mathrm { O P T } } - b \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ { \leq } & { ~ ( 1 + \epsilon _ { 1 } ) ^ { 2 } \| A x _ { \mathrm { O P T } } - b \| _ { 2 } ^ { 2 } - \| A x _ { \mathrm { O P T } } - b \| _ { 2 } ^ { 2 } } \\ { \leq } & { ~ 4 \epsilon _ { 1 } \cdot \| A x _ { \mathrm { O P T } } - b \| _ { 2 } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \rho } { \partial t } + \frac { \partial } { \partial x _ { i } } ( \rho v _ { i } ) } & { { } = 0 , } \\ { \frac { \partial } { \partial t } \rho v _ { i } + \frac { \partial } { \partial x _ { j } } ( \rho v _ { i } v _ { j } ) } & { { } = - \frac { \partial P } { \partial x _ { i } } + \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \tau _ { i j } , } \\ { \frac { \partial } { \partial t } E + \frac { \partial } { \partial x _ { j } } ( E v _ { j } ) } & { { } = \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left[ v _ { i } \tau _ { i j } - q _ { j } - P v _ { j } \right] , } \end{array}
\protect ( \Delta _ { \sigma } - \Delta _ { \sigma } ^ { o } ) = \left( 1 + { \frac { 1 } { 1 2 } } \left( \sqrt { 1 - c } - \sqrt { 2 5 - c } ~ \right) \sqrt { 1 - c } \right) \Delta _ { \sigma } ( 1 - \Delta _ { \sigma } ) .
\begin{array} { r l } & { \Sigma _ { \hat { x } } ^ { 1 } = \{ ( t , z , a , b ) \in M \times T \ | \ \Phi ( t , z , a , b ) = 0 , \ \Phi ( \hat { t } , \hat { z } , a , b ) = 0 \} } \\ & { \Sigma _ { \hat { y } } ^ { 2 } = \{ ( t , z , a , b ) \in M \times T \ | \ \Phi ( t , z , a , b ) = 0 , \ \Phi ( t , z , \hat { a } , \hat { b } ) = 0 \} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { ( C ( q , q ^ { \prime } , k ) + C ( q ^ { \prime } , q , k ) ) } { M } = } & { \frac { 1 } { 2 } \left( - i \omega _ { k , q + q ^ { \prime } } + \frac { \omega _ { p h } ^ { 2 } ( q ) + \omega _ { p h } ^ { 2 } ( q ^ { \prime } ) } { - i \omega _ { k , q + q ^ { \prime } } } \right) \left( A ( q , q ^ { \prime } , k ) + A ( q ^ { \prime } , q , k ) \right) , } \\ { = } & { \frac { - \omega _ { k , q + q ^ { \prime } } ^ { 2 } + \omega _ { p h } ^ { 2 } ( q ) + \omega _ { p h } ^ { 2 } ( q ^ { \prime } ) } { - i 2 \omega _ { k , q + q ^ { \prime } } } \left( A ( q , q ^ { \prime } , k ) + A ( q ^ { \prime } , q , k ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial ^ { * } } { \partial t } } & { { } \equiv } & { \frac { \partial } { t } \; + \; { \cal S } \; \frac { \partial } { \partial \theta } , } \\ { \nabla ^ { * } } & { { } \equiv } & { \nabla \; + \; { \bf R } ^ { * } \; \frac { \partial } { \partial \theta } \; - \; \left( \frac { e } { \partial c } \frac { \partial { \bf A } ^ { * } } { \partial t } + J \, \nabla { \cal S } \right) \frac { \partial } { W } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle \frac { \delta C _ { n } } { \delta v } , v \right\rangle + \left\langle \frac { \delta C _ { n } } { \delta D } , \phi \right\rangle } & { { } = \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 } \frac { 1 } { \epsilon } \left( C _ { n } [ u + \epsilon v , D + \epsilon \phi ] - C _ { n } [ u , D ] \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \Bar { S } ^ { ( n ) } - \Bar { Y } ^ { ( n ) } ) ( z - 1 ) \prod _ { i = 1 } ^ { C - 1 } \frac { z - z _ { i } ^ { * } } { 1 - z _ { i } ^ { * } } } & { = \frac { 1 } { s _ { C } ^ { ( n ) } } ( \Bar { S } ^ { ( n ) } - \Bar { Y } ^ { ( n ) } ) \prod _ { i = 1 } ^ { C - 1 } \frac { z _ { i } ^ { * } } { z _ { i } ^ { * } - 1 } \prod _ { i = 1 } ^ { C - 1 } \frac { z _ { i } ^ { * } - z } { z _ { i } ^ { * } } ( z - 1 ) s _ { C } ^ { ( n ) } } \\ & { = s _ { C } ^ { ( n ) } q _ { 0 } ^ { ( n ) } ( z - 1 ) \prod _ { i = 1 } ^ { C - 1 } \left( 1 - \frac { z } { z _ { i } ^ { * } } \right) } \\ & { = - s _ { C } ^ { ( n ) } q _ { 0 } ^ { ( n ) } \prod _ { i = 0 } ^ { C - 1 } \left( 1 - \frac { z } { z _ { i } ^ { * } } \right) } \end{array}
U ( x _ { - } ) = V ( x _ { - } ) + \left[ \frac { 1 } { f } \frac { { \partial } ^ { 2 } f } { { \partial } x _ { - } ^ { 2 } } - \left( \frac { 1 } { f } \frac { { \partial } f } { { \partial } x _ { - } } \right) ^ { 2 } \right] \cdot \frac { 4 c ^ { 2 } P _ { c m } ^ { 2 } + f ^ { 2 } } { 4 c ^ { 2 } P _ { c m } - f ^ { 2 } } - \frac { 8 } { f ^ { 2 } } \cdot \frac { c ^ { 2 } P _ { c m } ^ { 2 } } { 4 c ^ { 2 } P _ { c m } ^ { 2 } - f ^ { 2 } } \left( \frac { { \partial } f } { { \partial } x _ { - } } \right) ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \left[ n _ { m \sigma } ( t ) , n _ { n \sigma ^ { \prime } } \right] = } & { { } \frac { 2 i } { N ^ { 2 } } \delta _ { \sigma , \sigma ^ { \prime } } \sum _ { q , k , k ^ { \prime } } \sin \Big \{ ( q - k ) m } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { D _ { i } } \cdots \int _ { D _ { i } } \prod _ { j = 1 } ^ { m } p ( t _ { m } , x _ { j } , x _ { j - 1 } ) d x } \\ & { \le \int _ { D _ { i } ^ { \# } } \cdots \int _ { D _ { i } ^ { \# } } p ( t _ { m } , x _ { 1 } , x _ { 0 } ^ { \# } ) \prod _ { j = 2 } ^ { m } p ( t _ { m } , x _ { j } , x _ { j - 1 } ) d x , } \end{array}
T = [ 4 \pi ] \, g ^ { 2 } \, \left( \bar { u } _ { 2 } \gamma _ { \mu } { \frac { \lambda ^ { i } } { 2 } } u _ { 1 } \right) \, { \frac { 1 } { q ^ { 2 } } } \, \left( \bar { u } _ { 4 } \gamma _ { \mu } { \frac { \lambda ^ { i } } { 2 } } u _ { 3 } \right)
\mathcal { L } ( 1 ) \, a ( 1 ) = \biggl ( \boldsymbol { v } _ { 1 } \boldsymbol { \cdot } \frac { \partial } { \partial \boldsymbol { r } _ { 1 } } + \sum _ { \beta } \int \mathrm { d } ( 2 ) \; \mathcal { V } _ { \alpha \beta } ( 1 2 ) f _ { \beta } ( 2 ) \biggr ) a ( 1 ) \, ,
\begin{array} { c l } { \operatorname* { m i n } } & { \mathrm { t r } ( M _ { q } Y _ { [ 1 : n ] [ n + 1 : n + p ] } ) } \\ { \mathrm { s . t . } } & { \mathrm { t r } ( M _ { q } Y _ { [ 1 : n ] [ n + 1 : n + p ] } ) + c _ { q } \ge \mathrm { t r } ( M _ { j } Y _ { [ 1 : n ] [ n + 1 : n + p ] } ) + c _ { j } , ~ \forall j \neq q , } \\ & { Y \in \mathcal { F } , } \end{array}
H ( x , y ) = 1 + { \frac { A } { ( x + y ) ^ { 2 } } } + { \frac { B } { ( x + y ) ^ { 2 } } } \left( \mathrm { l n } \left( { \frac { ( x + y ) ^ { 2 } } { \rho _ { 0 } ^ { 2 } y } } \right) - 1 + { \frac { x } { y } } \right) ~ ,
\begin{array} { r l } { \sum _ { i \in S ^ { \star } \setminus A _ { p } } \mu _ { i } } & { \leq \sum _ { i \in S ^ { \star } \setminus A _ { p } } U _ { i } ^ { \mu } ( p - 1 ) } \\ & { \leq \sum _ { i \in A _ { p } \setminus S ^ { \star } } U _ { i } ^ { \mu } ( p - 1 ) } \\ & { \leq \sum _ { i \in A _ { p } \setminus S ^ { \star } } \mu _ { i } + 2 \alpha _ { i } ( T _ { i } ( p - 1 ) ) } \\ { \Longrightarrow \qquad } & { \Delta _ { A _ { p } } \leq 2 \sum _ { i \in A _ { p } \setminus S ^ { \star } } \alpha ( T _ { i } ( p - 1 ) ) } \end{array}
\vec { \Delta } _ { p , \lambda _ { P } } = \vec { \Delta } _ { p , m _ { 1 } \lambda _ { P } } = ( L _ { \lambda _ { P } } ^ { - 1 } \vec { p } _ { 1 } ) = \vec { p } _ { 1 } - \frac { \vec { P } } { M } ( p _ { 1 } ^ { 0 } - \frac { \vec { P } \vec { p } _ { 1 } } { P _ { 0 } + M } ) = - \vec { \Delta } _ { p , m _ { 2 } \lambda _ { P } } \equiv \breve { \vec { p } } ;
g _ { 2 } = A _ { 3 } ^ { 3 } \cdot g _ { 2 } ^ { ( 1 ) } \cdot g _ { 2 } ^ { ( 2 ) } , \qquad g _ { 3 } = A _ { 3 } ^ { 4 } \cdot g _ { 3 } ^ { ( 1 ) } , \qquad \Delta = A _ { 3 } ^ { 8 } \cdot \Delta _ { 1 } \Delta _ { 2 } \Delta _ { 3 } \Delta _ { 4 } \Delta _ { 5 } ^ { 3 }
{ \bf P } _ { 0 } \; = \; P _ { \| } \, \widehat { \sf z } \; + \; \epsilon _ { \delta } \, \frac { e \, \widehat { \sf z } } { \Omega _ { 0 } } \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \times ~ } \, \nabla \delta \Psi ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { u } _ { 1 , 1 } ^ { \mathrm { ~ ( ~ T ~ ) ~ } } ( x - t , y ) = \mathbf { e } _ { x } \bigg \{ } & { { } \frac { 1 } { 4 r ^ { 2 } } - \frac { ( x - t ) ^ { 2 } } { 2 r ^ { 4 } } + \left[ - \frac { 1 } { 2 r ^ { 2 } } + \frac { ( x - t ) ^ { 2 } } { r ^ { 4 } } \right] \exp ( - r ^ { 2 } / 2 ) } \\ { + \mathbf { e } _ { y } } & { { } \left[ - \frac { ( x - t ) y } { 2 r ^ { 4 } } + \frac { ( x - t ) y } { r ^ { 4 } } \exp ( - r ^ { 2 } / 2 ) - \frac { ( x - t ) y } { 2 r ^ { 4 } } \exp ( - r ^ { 2 } ) \right] . } \end{array}
{ \begin{array} { r l r l } { \int { \frac { 1 } { 1 - u ^ { 2 } } } \, d u } & { = \int { \frac { 1 } { ( 1 + u ) ( 1 - u ) } } \, d u } \\ & { = \int { \frac { 1 } { 2 } } \! \left( { \frac { 1 } { 1 + u } } + { \frac { 1 } { 1 - u } } \right) d u } & & { { \mathrm { p a r t i a l ~ f r a c t i o n ~ d e c o m p o s i t i o n } } } \\ & { = { \frac { 1 } { 2 } } { \bigl ( } \ln \left| 1 + u \right| - \ln \left| 1 - u \right| { \bigr ) } + C } \\ & { = { \frac { 1 } { 2 } } \ln \left| { \frac { 1 + u } { 1 - u } } \right| + C } \end{array} }
\mathcal { S } _ { j } = \left\{ \begin{array} { l l } { \left[ \begin{array} { l l l l l l l l l } { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 1 _ { j } } & { 1 _ { j + 1 } } & { 1 } & { \cdots } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { \cdots } & { j - 1 } & { j - 1 } & { j } & { j + 1 } & { \cdots } & { k - 1 } \end{array} \right] , } & { j < k } \\ { \left[ \begin{array} { l l l l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cdots } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 2 } & { \cdots } & { k - 2 } & { k - 1 } & { k - 1 } \end{array} \right] , } & { j = k } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { R } ^ { + } } \left( \frac { \rho ^ { 2 } x ^ { 2 } } { 2 } + \rho x \right) \tilde { J } _ { Z } ( \lambda d u , d x ) } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { R } ^ { + } } \left( \frac { \rho ^ { 2 } x ^ { 2 } } { 2 } + \rho x \right) J _ { Z } ( \lambda d u , d x ) - \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \mathbb { R } ^ { + } } \left( \frac { \rho ^ { 2 } x ^ { 2 } } { 2 } + \rho x \right) \nu _ { Z } ( d x ) \lambda d u } \\ & { \leq \int _ { 0 } ^ { t } \bar { \sigma } ^ { \prime } d u - \int _ { 0 } ^ { t } \lambda d u \int _ { \mathbb { R } ^ { + } } \left( \frac { \rho ^ { 2 } x ^ { 2 } } { 2 } + \rho x \right) \nu _ { Z } ( d x ) } \\ & { = \bar { \sigma } ^ { \prime } t - \omega \lambda t , } \end{array}
\begin{array} { r l } { s } & { { } = ( 0 \times 1 0 ) + ( 3 \times 9 ) + ( 0 \times 8 ) + ( 6 \times 7 ) + ( 4 \times 6 ) + ( 0 \times 5 ) + ( 6 \times 4 ) + ( 1 \times 3 ) + ( 5 \times 2 ) + ( 2 \times 1 ) } \end{array}
\delta \varphi ^ { i } ( y ) = \sum _ { k } \int d ^ { 3 } x \ \left( \Lambda _ { k } ( x ) \phi _ { k } ^ { i ( 0 ) } ( x , y ) + \dot { \Lambda } _ { k } ( x ) \phi _ { k } ^ { i ( 1 ) } ( x , y ) \right) .
\tilde { \lambda } _ { \alpha } \mathbin { \heartsuit } \tilde { \lambda } _ { \theta } ^ { \smash { \mathrm { s d } } } = \frac { \mathbb { L } ^ { - \bar { \chi } ^ { \smash { \mathrm { s d } } } ( \theta , \alpha ) / 2 } - \mathbb { L } ^ { \bar { \chi } ^ { \smash { \mathrm { s d } } } ( \theta , \alpha ) / 2 } } { \mathbb { L } ^ { 1 / 2 } - \mathbb { L } ^ { - 1 / 2 } } \cdot \tilde { \lambda } _ { \bar { \alpha } + \theta } ^ { \smash { \mathrm { s d } } } \, .
\begin{array} { r l } { \frac { W ^ { \prime } ( t ) } { \lvert W ( t ) \rvert } } & { = \frac { Y ^ { p } ( t ) \cdot d X ^ { p } ( t ) / d t - Y ^ { n } ( t ) \cdot d X ^ { n } ( t ) / d t } { \lvert W ( t ) \rvert } \approx \frac { Y _ { t } ^ { p } \cdot \left( X _ { t + 1 } ^ { p } - X _ { t } ^ { p } \right) - Y _ { t } ^ { n } \cdot \left( X _ { t + 1 } ^ { n } - X _ { t } ^ { n } \right) } { \lvert W ( t ) \rvert } } \\ & { = \frac { Y _ { t } ^ { p } \cdot \mathrm { d l o g } \left( Y _ { t + 1 } ^ { p } \right) - Y _ { t } ^ { n } \cdot \mathrm { d l o g } \left( Y _ { t + 1 } ^ { n } \right) } { \lvert Y _ { t } ^ { p } - Y _ { t } ^ { n } \rvert } } \end{array}
\begin{array} { c } { { { \displaystyle { \int \, d t d z \, \int d ^ { 2 } q \ d \xi _ { 2 } d \xi _ { 2 } ^ { \prime } { \mathcal { C } } _ { m n } ( \xi _ { 2 } , \xi _ { 2 } ^ { \prime } ; \vec { q } ) \bar { \Phi } _ { m } ( \xi _ { 2 } , z , t ) \left\{ \left[ \cos \frac { \theta _ { m } - \theta _ { n } } { 2 } - \sin \frac { \theta _ { m } - \theta _ { n } } { 2 } \gamma ^ { 2 } \right] \right. } } } } \\ { { { \displaystyle { \left. \times \gamma ^ { \mu } a _ { \mu } ( \vec { q } , z , t ) + 2 \sin \frac { \theta _ { n } } { 2 } \left[ \cos \frac { \theta _ { m } } { 2 } - \sin \frac { \theta _ { m } } { 2 } \gamma ^ { 2 } \right] a _ { 2 } ( \vec { q } , z , t ) \right\} \Phi _ { n } ( \xi _ { 2 } ^ { \prime } , z , t ) , } } } } \end{array}
e _ { i j } ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , \ } & { { \mathrm { i f } } \ w _ { i j } ( t ) = 0 , } \\ { 1 , \ } & { { \mathrm { i f } } \ w _ { i j } ( t ) > 0 , } \end{array} \right.
{ \frac { d ^ { 2 } } { d x ^ { 2 } } } [ x ^ { n } ] = { \frac { d } { d x } } { \frac { d } { d x } } [ x ^ { n } ] = { \frac { d } { d x } } [ n x ^ { n - 1 } ] = n { \frac { d } { d x } } [ x ^ { n - 1 } ] = n ( n - 1 ) x ^ { n - 2 } .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \left\Vert \check { h } _ { 0 } \right\Vert ^ { 2 } \right] } & { = \mathbb { E } \left[ \left\Vert J _ { L , l } Q _ { 1 } ^ { \intercal } \mathbf { x } _ { 0 } + J _ { L , r } ( I - \tilde { \Lambda } _ { 1 } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \eta \nabla F ( \mathbf { 1 } \bar { x } _ { 0 } ^ { \intercal } ) \right\Vert ^ { 2 } \right] } \\ & { = \mathcal { O } \left( \left\Vert \mathbf { x } _ { - 1 } \right\Vert ^ { 2 } + \frac { \eta ^ { 2 } } { 1 - \tilde { \lambda } _ { 2 } } \left\Vert \nabla F ( \mathbf { x } _ { - 1 } ) \right\Vert ^ { 2 } \right) , } \end{array}
\beta _ { 0 } \, \bar { g } ^ { 2 } ( t _ { k } , g ) = F ( x ) \quad \mathrm { a n d } \quad \alpha _ { S } ( \mu ) = \frac { g ^ { 2 } } { 4 \pi } = \frac { 1 } { 4 \pi \beta _ { 0 } } \, F ( s ) \; .
{ \frac { d ^ { 2 } } { d \kappa d \omega } } P ( \kappa , \omega ) = { \frac { \kappa } { 2 ( \pi \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } \tau _ { 0 } ) ^ { 2 } } } K _ { 1 } \left( { \frac { \kappa } { \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } \tau _ { 0 } } } \right) ,
\begin{array} { r l } { h ( 1 ) } & { = \frac { 3 } { 4 } \lambda _ { 1 } ^ { 3 } H + \frac { 1 3 } { 4 } \lambda _ { 1 } ^ { 2 } H ^ { 2 } + \frac { 9 } { 4 } \lambda _ { 1 } ^ { 2 } H \delta _ { 1 } + \frac { 1 3 } { 4 } \lambda _ { 1 } H ^ { 3 } + \frac { 1 3 } { 2 } \lambda _ { 1 } H ^ { 2 } \delta _ { 1 } + \frac { 9 } { 4 } \lambda _ { 1 } H \delta _ { 1 } ^ { 2 } + } \\ & { + \frac { 3 } { 4 } H ^ { 4 } + \frac { 1 3 } { 4 } H ^ { 3 } \delta _ { 1 } + \frac { 1 3 } { 4 } H ^ { 2 } \delta _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { 3 } { 4 } H \delta _ { 1 } ^ { 3 } } \end{array}
^ { t } \dot { \cal M } = - \dot { \theta } { } ^ { t } \dot { \cal M } J , \qquad ^ { t } \ddot { \cal M } = - \ddot { \theta } { } ^ { t } \dot { \cal M } J - \dot { \theta } ^ { 2 } { } ^ { t } \dot { \cal M } , \qquad J \equiv \left( \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { - 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) ,
\bar { Q } _ { \alpha \alpha ^ { \prime } I } \equiv ( Q _ { I } ^ { \beta \beta ^ { \prime } } ) ^ { \dagger } ( \gamma ^ { 0 } ) _ { \alpha } ^ { \beta } \delta _ { \alpha ^ { \prime } } ^ { \beta ^ { \prime } } = - Q _ { I } ^ { \beta \beta ^ { \prime } } C _ { \beta \alpha } C _ { \beta ^ { \prime } \alpha ^ { \prime } }
f ( \mathrm { R H } , T , \partial _ { z } \mathrm { R H } , q _ { c } , q _ { i } ) = I _ { 1 } ( \mathrm { R H } , T ) + I _ { 2 } ( \partial _ { z } \mathrm { R H } ) + I _ { 3 } ( q _ { c } , q _ { i } ) ,
\sqrt { \frac { \theta _ { 3 } } { \eta } } = q ^ { - 1 / 4 8 } \prod _ { n = 0 } ^ { \infty } ( 1 + q ^ { n + 1 / 2 } ) , \qquad \qquad \sqrt { \frac { \theta _ { 4 } } { \eta } } = q ^ { - 1 / 4 8 } \prod _ { n = 0 } ^ { \infty } ( 1 - q ^ { n + 1 / 2 } )
\frac { d { \sigma } _ { n l } ( N = \pm 1 ) } { d \Omega } \simeq \frac { k _ { f } } { k _ { i } } \frac { I } { 2 q ^ { 4 } \omega ^ { 2 } } \left[ { \cal P } _ { n l } ( \pm \omega , q ) + | \boldsymbol { \varepsilon } \cdot \hat { \mathbf { q } } | ^ { 2 } { \cal Q } _ { n l } ( \pm \omega , q ) \right] ,
d s ^ { 2 } = - g ^ { 2 } R ^ { 2 } d t ^ { 2 } - \frac { 1 } { R ^ { 4 } } ( ( R ^ { 2 } - q ) d t - \alpha \sin ^ { 2 } \theta d \phi + \alpha \cos ^ { 2 } \theta d \psi ) ^ { 2 } + \frac { d R ^ { 2 } } { V ( R ) } + R ^ { 2 } d \Omega ^ { 2 } ,
\Lambda _ { m a g n } ^ { 1 0 - 2 F } \tilde { Y } ^ { 1 1 } \lambda ^ { 5 } \tilde { q } ^ { 2 F - 2 } \tilde { \bar { q } } ^ { 2 F - 2 } q ^ { * \; 3 } \bar { q } ^ { * \; 3 } M _ { 1 } \frac { h } { \mu ^ { 2 } } .
\begin{array} { r } { \left. \begin{array} { l } { i ( J ^ { m } u ) _ { t } + ( J ^ { m } u ) _ { x x } = J ^ { m } ( | u | ^ { 2 p } u ) + \beta J ^ { m } ( | u | ^ { p - 1 } | v | ^ { p + 1 } u ) , \quad t > 0 , \quad x \in \mathbb { R } } \\ { i ( J ^ { m } u ) _ { t } + ( J ^ { m } u ) _ { x x } = J ^ { m } ( | v | ^ { 2 p } v ) + \beta J ^ { m } ( | v | ^ { p - 1 } | u | ^ { p + 1 } v ) , \quad t > 0 , \quad x \in \mathbb { R } } \\ { J ^ { m } u ( x , \, 0 ) = x ^ { m } u _ { 0 } ( x ) , \quad J ^ { m } u ( x , \, 0 ) = x ^ { m } v _ { 0 } ( x ) , \quad x \in \mathbb { R } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left| \int _ { 0 } ^ { \lambda } h _ { i } ^ { \prime } d W - \int _ { 0 } ^ { \lambda } ( h _ { i } ^ { \prime } ( s ) ) ^ { 2 } d s \right| } & { = \left| \int _ { 0 } ^ { \lambda } h _ { i } ^ { \prime \prime } ( s ) W ( s ) d s - \int _ { 0 } ^ { \lambda } h _ { i } ^ { \prime \prime } ( s ) h _ { i } ( s ) d s \right| } \\ & { \le \int _ { 0 } ^ { \lambda } | h _ { i } ^ { \prime \prime } ( s ) | | W ( s ) - h _ { i } ( s ) | d s } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { F i n d ~ } ( H _ { h , i } ^ { + , n } , E _ { h , i } ^ { + , n } , H _ { h , i } ^ { - , n } , E _ { h , i } ^ { - , n } ) \in V \times V \times V \times V \mathrm { ~ s u c h ~ t h a t ~ } } \\ & { \qquad ( H _ { h , i } ^ { + , n } , E _ { h , i } ^ { + , n } , H _ { h , i } ^ { - , n } , E _ { h , i } ^ { - , n } ) = \underset { v ^ { + } , w ^ { + } , v ^ { - } , w ^ { - } \in V } { \arg \operatorname* { m i n } } \, J _ { i } ^ { n } ( v ^ { + } , w ^ { + } , v ^ { - } , w ^ { - } ) . } \end{array}
\tilde { \omega } _ { 2 } ^ { + } ( x ; 0 ) = k _ { - } \left( \begin{array} { l } { \bar { u } ^ { \prime } ( x ) } \\ { \bar { u } ^ { \prime \prime } ( x ) } \\ { \bar { u } ^ { \prime \prime \prime } ( x ) } \end{array} \right) \wedge \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \end{array} \right) = k _ { - } \bar { u } ^ { \prime } ( x ) = - \frac { 2 k _ { - } \gamma } { p } \bar { u } ( x ) \operatorname { t a n h } ( \gamma x ) .
1 \simeq \frac { \alpha } { 2 \pi } \int _ { 6 m _ { d y n } ^ { 2 } } ^ { 2 | e B | } \frac { d y } { y } \int _ { y + M _ { \gamma } ^ { 2 } } ^ { 2 | e B | } \frac { d x } { x } = \frac { \alpha } { 2 \pi } \int _ { 6 m _ { d y n } ^ { 2 } } ^ { 2 | e B | } \frac { d y } { y } \log \frac { 2 | e B | } { y + M _ { \gamma } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \left\langle \frac { \partial c _ { 1 } } { \partial t } \right\rangle _ { \mathcal { I B } } } & { { } + \left\langle \frac { \partial c _ { 2 } } { \partial \tau } \right\rangle _ { \mathcal { I B } } - \nabla _ { \mathbf x } \cdot \left[ \textbf { D } \nabla _ { \mathbf x } \left( \left\langle \boldsymbol \chi ( \mathbf y , \tau ) \right\rangle _ { \mathcal { I B } } \cdot \nabla _ { \mathbf x } c _ { 0 } + \overline { c } _ { 1 } ( \mathbf x , t ) \right) \right] } \end{array}
- \left( \partial _ { y } - i \frac { 1 } { 2 } A ^ { 3 } \tau ^ { 3 } \right) ^ { 2 } \phi _ { n } = \left( \frac { n } { R } - \frac { 1 } { 2 } A ^ { 3 } \tau ^ { 3 } \right) ^ { 2 } \phi _ { n } .
X = \frac { L _ { - } + L _ { + } } { \nu } = z ^ { 2 } - \left( 1 + \frac { H } { 2 \nu ^ { 2 } } \right) , ~ ~ ~ P = \frac { 2 ( L _ { - } - L _ { + } ) } { i } = \frac { 1 } { i } \left[ 2 z \frac { d } { d z } + 1 \right] .
\begin{array} { r l } { x _ { 1 } } & { { } = \varepsilon _ { 1 } } \\ { y _ { 1 } } & { { } = \beta _ { 1 } x _ { 1 } + \varepsilon _ { 2 } + \varepsilon _ { 4 } } \\ { y _ { 2 } } & { { } = \beta _ { 1 } x _ { 1 } + \varepsilon _ { 3 } + \varepsilon _ { 4 } } \end{array}
= ( 2 \cos ^ { 2 } 3 6 ^ { \circ } - 1 ) { \sqrt { \frac { 1 + \cos 3 6 ^ { \circ } } { 2 } } } - 2 \sin 3 6 ^ { \circ } \cos 3 6 ^ { \circ } { \sqrt { \frac { 1 - \cos 3 6 ^ { \circ } } { 2 } } }
\begin{array} { r l } { - \frac { 1 } { 2 \pi i z } \int _ { Y } \hat { w } ^ { Y } d z = } & { - \frac { \int _ { P } ( \hat { w } _ { 2 , \ln } ^ { P } \ln { t } + \hat { w } _ { 2 } ^ { P } ) d z } { 2 \pi i z t ^ { 1 / 3 } } - \frac { X _ { E } ( y ) } { 2 \pi i z t ^ { 1 / 3 } } - \frac { \int _ { P } \hat { w } _ { 3 , \ln } ^ { P } d z \ln { t } } { 2 \pi i z t ^ { 1 / 2 } } + O \bigg ( \frac { 1 } { z t ^ { 1 / 2 } } \bigg ) } \end{array}
( 4 \pi ) ^ { D / 2 } \frac { f _ { B } ^ { 2 } } { m _ { B } ^ { D - 2 } } = N _ { c } \left( \frac { \mu } { M + m } \right) ^ { D - 1 } \cdot 4 ^ { D } \sqrt { \pi } \, \frac { \Gamma ( ( D - 1 ) / 2 ) } { \Gamma ( D - 1 ) } .
( \mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { A } \mathrm { s _ { B } + \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } \mathrm { s _ { A } \mathrm { \overline { { z } } _ { B } ) \mathrm { x _ { A } \mathrm { y _ { A } \mathrm { \overline { { x } } _ { B } \mathrm { \overline { { y } } _ { B } } } } } } } } } } }