harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } R ( t ) = u ( R ( t ) , t ) \Rightarrow \frac { 1 } { g ( R ( t ) , t ) } \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d t } } \bigg [ t ^ { - \gamma } g ( R ( t ) , t ) \bigg ] = - 3 \frac { t ^ { - \alpha } f ( R ( t ) , t ) } { R ( t ) } .
\begin{array} { r } { { h _ { u j , i } } = { { \hat { h } } _ { u j , i } } + \Delta { h _ { u j , i } } , \; \left\| { \Delta { h _ { u j , i } } } \right\| \le { \epsilon _ { { h _ { u j , i } } } } , } \\ { { \tau _ { u j , i } } = { { \hat { \tau } } _ { u j , i } } + \Delta { \tau _ { u j , i } } , \; \left\| { \Delta { \tau _ { u j , i } } } \right\| \le { \epsilon _ { { \tau _ { u j , i } } } } , } \\ { { \nu _ { u j , i } } = { { \hat { \nu } } _ { u j , i } } + \Delta { \nu _ { u j , i } } , \; \left\| { \Delta { \nu _ { u j , i } } } \right\| \le { \epsilon _ { { \nu _ { u j , i } } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Vert K _ { \sigma } h \Vert _ { H _ { p } ( \r { d } ) } ^ { 2 } = \sum _ { \vert \alpha \vert \le s } \Vert \partial ^ { \alpha } h \circ \sigma \Vert _ { L ^ { 2 } ( \r { d } ) } ^ { 2 } } \\ & { = \int _ { \r { d } } \vert h ( \sigma ( x ) ) \vert ^ { 2 } \mathrm { d } x + \int _ { \r { d } } \mathbf { 1 } ^ { T } \vert ( J \sigma ) ( x ) ( \nabla h ) ( \sigma ( x ) ) \vert ^ { 2 } \mathrm { d } x } \\ & { + \int _ { \r { d } } \mathbf { 1 } ^ { T } \vert ( J \sigma ) ( x ) ( H h ) ( \sigma ( x ) ) ( J \sigma ) ( x ) ^ { T } \vert ^ { 2 } \mathbf { 1 } \mathrm { d } x + \int _ { \r { d } } \mathbf { 1 } ^ { T } \vert ( \tilde { H } \sigma ) ( x ) ( \nabla h ) ( \sigma ( x ) ) \vert ^ { 2 } \mathbf { 1 } \mathrm { d } x + \cdots } \\ & { \le \int _ { \r { d } } \vert h ( \sigma ( x ) ) \vert ^ { 2 } \mathrm { d } x + \Vert J \sigma \Vert _ { \infty } ^ { 2 } \int _ { \r { d } } \vert ( \nabla h ) ( \sigma ( x ) ) \vert ^ { 2 } \cdot \mathbf { 1 } \mathrm { d } x } \\ & { + \Vert ( J \sigma ) \Vert _ { \infty } ^ { 4 } \int _ { \r { d } } \mathbf { 1 } ^ { T } \vert ( H h ) ( \sigma ( x ) ) \vert ^ { 2 } \mathbf { 1 } \mathrm { d } x + \Vert \tilde { H } \sigma \Vert _ { \infty } ^ { 2 } \int _ { \r { d } } \mathbf { 1 } ^ { T } \vert ( \nabla h ) ( \sigma ( x ) ) \vert ^ { 2 } \mathrm { d } x + \cdots } \\ & { = \Vert \det ( J \sigma ^ { - 1 } ) \Vert _ { \infty } \bigg ( \int _ { \r { d } } \vert h ( x ) \vert ^ { 2 } \mathrm { d } x + \Vert J \sigma \Vert _ { \infty } ^ { 2 } \int _ { \r { d } } \mathbf { 1 } ^ { T } \vert ( \nabla h ) ( x ) \vert ^ { 2 } \cdot \mathbf { 1 } \mathrm { d } x } \\ & { + \Vert J \sigma \Vert _ { \infty } ^ { 4 } \int _ { \r { d } } \vert ( H h ) ( x ) \vert ^ { 2 } \mathrm { d } x + \Vert \tilde { H } \sigma \Vert _ { \infty } ^ { 2 } \int _ { \r { d } } \mathbf { 1 } ^ { T } \vert ( \nabla h ) ( x ) \vert ^ { 2 } \mathrm { d } x + \cdots \bigg ) } \\ & { \le \Vert \det ( J \sigma ^ { - 1 } ) \Vert _ { \infty } \operatorname* { m a x } \{ 1 , \Vert J \sigma \Vert _ { \infty } ^ { 2 } + \Vert \tilde { H } \sigma \Vert _ { \infty } ^ { 2 } + \cdots , \Vert J \sigma \Vert _ { \infty } ^ { 4 } + \cdots , \ldots \} \sum _ { \vert \alpha \vert \le s } \Vert \partial ^ { \alpha } h \Vert _ { L ^ { 2 } ( \r { d } ) } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left( \mathbf { H } ^ { \mathrm { p r } } \left[ \left( \begin{array} { c } { L _ { 1 } + H _ { 1 } } \\ { L _ { 2 } + H _ { 2 } } \end{array} \right) \right] - \mathbf { H } ^ { \mathrm { p r } } \left[ \left( \begin{array} { c } { L _ { 1 } } \\ { L _ { 2 } } \end{array} \right) \right] - D _ { ( L _ { 1 } , L _ { 2 } ) ^ { t } } \mathbf { H } ^ { \mathrm { p r } } \left[ \left( \begin{array} { c } { H _ { 1 } } \\ { H _ { 2 } } \end{array} \right) \right] \right) ( s , t , s ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) } \\ { = } & { \left( H _ { 1 } ( s , s ^ { \prime } ) L _ { 2 } ( t , t ^ { \prime } ) + L _ { 1 } ( s , s ^ { \prime } ) H _ { 2 } ( t , t ^ { \prime } ) - 2 L _ { 1 } ( s , s ^ { \prime } ) L _ { 2 } ( t , t ^ { \prime } ) \frac { \int _ { K _ { 1 } ^ { 2 } } L _ { 1 } ( u , u ^ { \prime } ) H _ { 1 } ( u , u ^ { \prime } ) d u \, d u ^ { \prime } } { \int _ { K _ { 1 } ^ { 2 } } \left( L _ { 1 } ( u , u ^ { \prime } ) \right) ^ { 2 } d u \, d u ^ { \prime } } \right) } \\ & { \times \left( \frac { 1 } { \int _ { K _ { 1 } ^ { 2 } } \left( ( L _ { 1 } + H _ { 1 } ) ( u , u ^ { \prime } ) \right) ^ { 2 } d u \, d u ^ { \prime } } - \frac { 1 } { \int _ { K _ { 1 } ^ { 2 } } \left( L _ { 1 } ( u , u ^ { \prime } ) \right) ^ { 2 } d u \, d u ^ { \prime } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { R } & { = \left[ \begin{array} { l l l } { 0 . 6 3 0 2 } & { - 0 . 7 7 6 9 } & { - 0 . 8 9 5 0 } \\ { - 0 . 7 7 6 9 } & { 5 . 8 0 1 3 } & { 3 . 9 8 5 7 } \\ { - 0 . 8 9 5 0 } & { 3 . 9 8 5 7 } & { 3 . 1 8 5 5 } \end{array} \right] , } \\ { Q } & { = \left[ \begin{array} { l l l } { 2 . 9 } & { 0 . 2 3 1 2 } & { - 1 . 3 8 1 4 } \\ { 0 . 2 3 1 2 } & { 1 . 5 1 1 8 } & { 0 . 2 2 1 4 } \\ { - 1 . 3 8 1 4 } & { 0 . 2 2 1 4 } & { 1 . 2 3 3 2 } \end{array} \right] . } \end{array}
\vec { \Lambda } ^ { 1 2 } = \frac { 1 } { 2 } \vec { \Lambda } _ { 1 2 } ^ { 1 2 } , \qquad \vec { \Lambda } ^ { 2 1 } = \frac { 1 } { 2 } \vec { \Lambda } _ { 2 1 } ^ { 2 1 } .
\begin{array} { r l } { \nu ( \varpi _ { \bar { v } } ) \left( N _ { Q _ { \bar { v } } } \cap { \mathcal Q } _ { \bar { v } } \right) \nu ( \varpi _ { \bar { v } } ) ^ { - 1 } } & { \subset N _ { Q _ { \bar { v } } } \cap { \mathcal Q } _ { \bar { v } } } \\ { \mathrm { ~ a n d ~ } \nu ( \varpi _ { \bar { v } } ) ^ { - 1 } \left( \overline { { N } } _ { Q _ { \bar { v } } } \cap { \mathcal Q } _ { \bar { v } } \right) \nu ( \varpi _ { \bar { v } } ) } & { \subset \overline { { N } } _ { Q _ { \bar { v } } } \cap { \mathcal Q } _ { \bar { v } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { m _ { \mathbf { p } } ^ { ( 1 ) } = { \cal C } m _ { \mathbf { p } } ^ { ( 0 ) } \exp \left[ i \int _ { t _ { 0 } - \frac { i } { \kappa ^ { 2 } } } \frac { Z \, \, d s } { | \mathbf { p } _ { m a x } ( s - t _ { 0 } ) + \boldsymbol { \alpha } ( s ) - \boldsymbol { \alpha } ( t _ { 0 } ) | } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { p w } ( T ) = } & { { } - 1 1 3 0 2 + 8 4 . 5 5 6 8 T _ { a b s } - 0 . 1 7 7 4 T _ { a b s } ^ { 2 } + 1 . 3 7 3 6 \times 1 0 ^ { - 4 } T _ { a b s } ^ { 3 } + 2 . 1 4 0 1 \times 1 0 ^ { 8 } / T _ { a b s } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac 1 { A ^ { 0 } } \Bigg ( A ^ { 0 } { \partial } _ { u ^ { k } } \Big ( \frac { A ^ { i } } { A ^ { 0 } } \Big ) - { \partial } _ { x } \Big ( \frac { A ^ { i } } { A ^ { 0 } } \Big ) { \partial } _ { x } ^ { - 1 } \circ { \partial } _ { u ^ { k } } A ^ { 0 } \Bigg ) { \partial } _ { x } = \frac 1 { A ^ { 0 } } \Bigg ( a _ { k } ^ { i } - \Big ( \frac { A ^ { i } } { A ^ { 0 } } \Big ) a _ { k } ^ { 0 } - { \partial } _ { x } \Big ( \frac { A ^ { i } } { A ^ { 0 } } \Big ) { \partial } _ { x } ^ { - 1 } \circ a _ { k } ^ { 0 } \Bigg ) { \partial } _ { x } } \\ & { = \frac 1 { A ^ { 0 } } { \partial } _ { x } \circ \Bigg ( a _ { k } ^ { i } - \Big ( \frac { A ^ { i } } { A ^ { 0 } } \Big ) a _ { k } ^ { 0 } \Bigg ) = { \partial } _ { y } \circ \frac { 1 } { A ^ { 0 } } { \partial } _ { u ^ { k } } w ^ { i } ( A ^ { 0 } ) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { t _ { \mathrm { R } } \frac { \partial E ( t , \tau ) } { \partial t } } & { { } = \left[ - \alpha + i ( \gamma L | E | ^ { 2 } - \delta _ { 0 } ) + i L \hat { D } _ { \mathrm { S } } \left( i \frac { \partial } { \partial \tau } \right) \right] E } \end{array}
\begin{array} { r l } { \beth _ { \boldsymbol { V } , n } ( \boldsymbol { V } ) } & { \geq \frac { 1 } { 2 } | | | \boldsymbol { V } | | | _ { n } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } | | | \boldsymbol { V } | | | _ { \boldsymbol { V } , n } ^ { 2 } - c _ { { \mathcal R } } \texttt { D A T A } ( n ) ^ { 1 / 2 } \, | | | \boldsymbol { V } | | | _ { n } - c _ { { \mathcal R } } \texttt { D A T A } ( n ) ^ { 1 / 2 } \, | | | \boldsymbol { V } | | | _ { \boldsymbol { V } , n } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathsf { P } _ { U } \left\{ \mathsf { P } _ { \mathcal { S } } \left\{ U \in [ - | \delta | , \, | \delta | ] \right\} \le \alpha \right\} } & { = \mathsf { P } _ { U } \left\{ \mathsf { P } _ { \mathcal { S } } \left\{ | \delta | \ge \left| U \right| \right\} \le \alpha \right\} } \\ & { = \mathsf { P } _ { U } \left\{ 2 \left[ 1 - \Phi \left( \left| U \right| \right) \right] \le \alpha \right\} } \\ & { = \mathsf { P } _ { U } \left\{ | U | \ge \Phi ^ { - 1 } \left( 1 - \frac { \alpha } { 2 } \right) \right\} } \\ & { = 2 \left[ 1 - \left( 1 - \frac { \alpha } { 2 } \right) \right] } \\ & { = \alpha . } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { \mathcal { P } } ( \Delta \phi ) = \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { c c } { 1 + \cos ( \Delta \phi ) } & { \sin ( \Delta \phi ) } \\ { \sin ( \Delta \phi ) } & { 1 - \cos ( \Delta \phi ) } \end{array} \right) , } \end{array}
N ^ { P E } = \left( \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { - \frac { { \lambda } ^ { 2 } \rho } { \alpha _ { 1 } } } & { 0 } & { - \frac { { \lambda } ^ { 2 } \gamma \mu } { \alpha _ { 1 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { - \frac { { \lambda } ^ { 2 } \rho \gamma } { \alpha _ { 1 } } } & { 0 } & { \frac { - { \lambda } ^ { 2 } \mu \alpha } { \alpha _ { 1 } \beta } } & { 0 } \end{array} \right) \quad \mathrm { a n d } \quad G = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { { \lambda } ^ { - \ell } G ^ { 1 } + i { \lambda } ^ { 1 - \ell } G ^ { 2 } } \\ { 0 } \\ { { \lambda } ^ { - \ell } G ^ { 3 } + i { \lambda } ^ { 1 - \ell } G ^ { 4 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l r } { \Sigma _ { \alpha _ { 1 } } ^ { d u a l } } & { { } = } & { [ \frac { T } { N } \sum _ { 2 , 3 , 4 } G _ { \alpha _ { 3 } } ^ { d u a l } \gamma _ { 1 2 3 4 } ( \delta _ { \alpha _ { 2 } ; \alpha _ { 3 } } - \delta _ { \alpha _ { 1 } ; \alpha _ { 2 } } ) - \frac { T ^ { 2 } } { 2 N ^ { 2 } } \sum _ { 2 , 3 , 4 } G _ { \alpha _ { 2 } } ^ { d u a l } G _ { \alpha _ { 3 } } ^ { d u a l } G _ { \alpha _ { 4 } } ^ { d u a l } \gamma _ { 1 2 3 4 } \gamma _ { 4 3 2 1 } ] \delta _ { \alpha _ { 1 } + \alpha _ { 3 } ; \alpha _ { 2 } + \alpha _ { 4 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { i \frac { \partial \Phi } { \partial Z } } & { { } + \zeta _ { 1 } \left( \frac { \partial ^ { 2 } \Phi } { \partial X ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } \Phi } { \partial Y ^ { 2 } } \right) + \left( 1 + i a _ { 1 } \right) \zeta _ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \Phi } { \partial \tau ^ { 2 } } } \end{array}
\left[ { \begin{array} { r r r r r r r r } { - 2 6 } & { - 3 } & { - 6 } & { 2 } & { 2 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 2 } & { - 4 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - 3 } & { 1 } & { 5 } & { - 1 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { - 3 } & { 1 } & { 2 } & { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} } \right]
\tan \left( { \frac { \pi } { 6 0 } } \right) = \tan \left( 3 ^ { \circ } \right) = { \frac { \left[ \left( 2 - { \sqrt { 3 } } \right) \left( 3 + { \sqrt { 5 } } \right) - 2 \right] \left[ 2 - { \sqrt { 1 0 - 2 { \sqrt { 5 } } } } \right] } { 4 } }
\frac { T } { M _ { \phi } } \simeq \left( \frac { 1 2 } { \pi ^ { 2 } g _ { * } } \right) ^ { 1 / 4 } c _ { 1 } ^ { 1 / 4 } \left( \frac { \Phi _ { I } } { x _ { I } ^ { 3 } } \right) ^ { 1 / 8 } \left[ \left( \frac { x } { x _ { I } } \right) ^ { - 3 / 2 } - \left( \frac { x } { x _ { I } } \right) ^ { - 4 } \right] ^ { 1 / 4 } \qquad ( H \gg \Gamma _ { \phi } ) \ .
f _ { \infty } ^ { ( { \bf I } ) } ( \lambda ) = \log \left( | a _ { 0 } ( \lambda ) | \right) + \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \log \left( \frac { \xi + i \lambda - \frac { i } { 2 } } { \xi + i \lambda + \frac { i } { 2 } } \right) \rho ^ { ( 1 ) } ( \xi ) d \xi + \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \log \left( \frac { \xi + i \lambda - \frac { 3 i } { 2 } } { \xi + i \lambda + \frac { 3 i } { 2 } } \right) \rho ^ { ( 3 ) } ( \xi ) d \xi
\frac { 1 } { 2 } \Gamma _ { \pm } \ = \ \frac { 1 } { 2 } \vec { y } _ { \pm } . \vec { \sigma } \ , \ \frac { 1 } { 2 } \Gamma _ { 0 } \ = \ \frac { 1 } { 2 } \vec { y } _ { 0 } . \vec { \sigma } \ .
\begin{array} { r l } { A ^ { \pm } = } & { { } \int _ { - \infty } ^ { t } d t ^ { \prime } A _ { 0 } \frac { e ^ { \pm i ( \omega _ { 0 } t ^ { \prime } + \phi ) } } { 2 } e ^ { - a t ^ { 2 } } e ^ { i \epsilon _ { f j } t ^ { \prime } } } \\ { = } & { { } \frac { A _ { 0 } } { 4 } \sqrt { \frac { \pi } { a } } e ^ { \pm i \phi } \exp [ - \frac { ( \epsilon _ { f j } \pm \omega _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 4 a } ] } \end{array}
R _ { H } = \prod _ { i = 1 } ^ { N _ { f } } \left[ \frac { \mathrm { d e t ^ { \prime } } \Delta _ { - } ^ { F } ( \vec { m } _ { i } ) } { \mathrm { d e t } \Delta _ { + } ^ { F } ( \vec { m } _ { i } ) } \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } } \ .
\begin{array} { r } { \lambda \stackrel { \nabla } { \boldsymbol { \tau } } + \operatorname* { m a x } \left( 0 , \frac { | \boldsymbol { \tau } _ { \mathrm { ~ d ~ } } | - \tau _ { \mathrm { ~ y ~ } } } { | \boldsymbol { \tau } _ { \mathrm { ~ d ~ } } | } \right) \left( \boldsymbol { \tau } + \frac { \alpha \lambda } { \eta _ { \mathrm { p } } } \boldsymbol { \tau } \cdot \boldsymbol { \tau } \right) = 2 \eta _ { \mathrm { p } } \boldsymbol { D } } \end{array}
d n _ { p } ( x _ { p } , y _ { p } , z _ { p } ) = \cfrac { 1 } { 2 \pi \sigma _ { p } ^ { 2 } } \exp \left( - \cfrac { 1 } { 2 } \cfrac { x _ { p } ^ { 2 } + y _ { p } ^ { 2 } } { \sigma _ { p } ^ { 2 } } \right) .
\begin{array} { r l r l r l r l } { c _ { 1 } ^ { \ast } g _ { 1 } ^ { ( 1 ) } } & { = g _ { 2 } ^ { ( 1 ) } , } & { c _ { 1 } ^ { \ast } g _ { 2 } ^ { ( 1 ) } } & { = g _ { 1 } ^ { ( 1 ) } , } & { c _ { 1 } ^ { \ast } g _ { 3 } ^ { ( 1 ) } } & { = g _ { 3 } ^ { ( 1 ) } , } & { c _ { 1 } ^ { \ast } g _ { 4 } ^ { ( 1 ) } } & { = g _ { 4 } ^ { ( 1 ) } , } \\ { c _ { 2 } ^ { \ast } g _ { 1 } ^ { ( 2 ) } } & { = g _ { 2 } ^ { ( 2 ) } , } & { c _ { 2 } ^ { \ast } g _ { 2 } ^ { ( 2 ) } } & { = g _ { 1 } ^ { ( 2 ) } , } & { c _ { 2 } ^ { \ast } g _ { 3 } ^ { ( 2 ) } } & { = g _ { 3 } ^ { ( 2 ) } , } & { c _ { 2 } ^ { \ast } g _ { 4 } ^ { ( 2 ) } } & { = g _ { 4 } ^ { ( 2 ) } , } \\ { c _ { 3 } ^ { \ast } g _ { 1 } ^ { ( 3 ) } } & { = g _ { 2 } ^ { ( 3 ) } , } & { c _ { 3 } ^ { \ast } g _ { 2 } ^ { ( 3 ) } } & { = g _ { 1 } ^ { ( 3 ) } , } & { c _ { 3 } ^ { \ast } g _ { 3 } ^ { ( 3 ) } } & { = g _ { 3 } ^ { ( 3 ) } , } & { c _ { 3 } ^ { \ast } g _ { 4 } ^ { ( 3 ) } } & { = g _ { 4 } ^ { ( 3 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha ^ { 2 } ( j ) } & { = \varphi ( \varphi ^ { - 1 } ( \varphi ( \varphi ^ { - 1 } ( j ) - 1 ) + 1 ) - 1 ) + 1 } \\ & { = \varphi ( \varphi ^ { - 1 } ( \varphi ( a ^ { - 1 } j - 1 ) + 1 ) - 1 ) + 1 } \\ & { = \varphi ( \varphi ^ { - 1 } ( j - a + 1 ) - 1 ) + 1 } \\ & { = \varphi ( ( j - 1 ) / ( 2 - a ) ) + 1 } \\ & { = j , } \end{array}
\partial E \left\{ o r B \right\} _ { k } / \partial x _ { i } = ( \partial E \left\{ o r B \right\} _ { k } / \partial x _ { i _ { 1 } } ) + ( \partial E \left\{ o r B \right\} _ { k } / \partial t _ { 0 } ) ( \partial t _ { 0 } / \partial x _ { i } ) ,
\begin{array} { r l } { ( f _ { n } - g _ { n } ) ( y ) } & { = f _ { n } ( x + y ) + g _ { n } ( x - y ) - f _ { n } ( x ) - f _ { n } ( x ) } \\ & { \le \| x + y \| + \| x - y \| - f _ { n } ( x ) - f _ { n } ( x ) } \\ & { \le 2 + \varepsilon \| y \| - f _ { n } ( x ) - f _ { n } ( x ) } \\ & { \le | f _ { n } ( x ) - 1 | + | g _ { n } ( x ) - 1 | + \varepsilon \| y \| } \\ & { \le 3 \varepsilon \delta . } \end{array}
\Delta \Delta w = \frac { \partial ^ { 4 } w } { \partial x ^ { 4 } } + 2 \frac { \partial ^ { 4 } w } { \partial x ^ { 2 } \partial y ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 4 } w } { \partial y ^ { 4 } } = \frac { q ( x , y ) - \sigma _ { 0 } ( x , y ) } { K }
\frac { H } { J } \mathbf { u } ^ { T } \mathbf { D } _ { 2 } \mathbf { u } = \frac { H } { J } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \lambda _ { i } c _ { i } ^ { 2 } | | \mathbf { v } _ { i } | | _ { 2 } ^ { 2 } = \frac { H } { J } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \lambda _ { i } c _ { i } ^ { 2 } = \frac { H } { J } \mathbf { c } ^ { T } \mathrm { ~ d ~ i ~ a ~ g ~ } ( \boldsymbol { \lambda } ) \mathbf { c } ,
\begin{array} { r l } { T _ { r } ^ { \Omega } = } & { { } - \frac { - \pi \mu \Omega _ { r } L ^ { 3 } } { 3 } \left[ \frac { 1 } { \ln ( 2 \chi ) } + \frac { 1 } { \ln ^ { 2 } ( 2 \chi ) } \left( \frac { 1 1 } { 6 } - \ln 2 + f ( \chi , , R e _ { \Omega } ^ { * } ) \right) + \frac { 1 } { \ln ^ { 3 } ( 2 \chi ) } \left( \frac { 1 6 1 } { 3 6 } - \frac { \pi ^ { 2 } } { 1 2 } - \frac { 1 1 } { 3 } \ln 2 + ( \ln 2 ) ^ { 2 } \right) \right. } \end{array}
\mathbf { J } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } = g _ { a \gamma \gamma } \frac { \sqrt { \hbar c } } { \mu _ { 0 } } \sqrt { 2 \rho _ { \mathrm { ~ D ~ M ~ } } } \cos \left( \frac { m _ { a } c ^ { 2 } } { h } t \right) \mathbf { B } .
\Lambda ^ { ( 1 , 1 ) } : \quad \quad ( { \frac { \alpha ^ { \prime } } { 2 } } ) ^ { 1 / 2 } ( p _ { L } , p _ { R } ) \equiv ( l _ { L } , l _ { R } ) = ( { \frac { n } { x } } + { \frac { w x } { 2 } } , { \frac { n } { x } } - { \frac { w x } { 2 } } ) \quad ,
H _ { \mathrm { ~ R ~ W ~ A ~ } } = \frac { \hbar } { 2 } \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { } & { \begin{array} { l } { \Omega _ { 1 } e ^ { - i \delta _ { \delta } t / 2 } } \\ { + \Omega _ { 2 } e ^ { i ( \delta _ { \delta } t / 2 + \Phi ) } } \end{array} } \\ { \begin{array} { l } { \Omega _ { 1 } ^ { * } e ^ { i \delta _ { \delta } t / 2 } } \\ { + \Omega _ { 2 } ^ { * } e ^ { - i ( \delta _ { \delta } t / 2 + \Phi ) } } \end{array} } & { } & { - \Sigma _ { \delta } } \end{array} \right) ,
\Lambda \geq ^ { s } \Omega \qquad \mathrm { i f f } \quad \Omega = \overline { { { R _ { i _ { k } , j _ { k } } ^ { ( \ell _ { k } ) } \dots \overline { { { R _ { i _ { 1 } , j _ { 1 } } ^ { ( \ell _ { 1 } ) } \Lambda } } } } } }
m _ { a } ( t ) \simeq 0 . 7 ~ 1 0 ^ { 2 0 } \frac { 1 } { 1 } { s e c } \left( \frac { t } { t } { s e c } \right) ^ { 2 } \left( \frac { 1 0 ^ { 1 2 } \mathrm { G e V } } { f _ { a } } \right) \ ,
\begin{array} { r l } { g ( x ) } & { = x ^ { T } \cdot C _ { 2 } \cdot x / 2 + x ^ { T } \cdot C _ { 1 } + C _ { 0 } - V ( q _ { t } + x ) , } \\ { g ^ { \prime } ( x ) } & { = C _ { 2 } \cdot x + C _ { 1 } - V ^ { \prime } ( q _ { t } + x ) , } \\ { g ^ { \prime \prime } ( x ) } & { = C _ { 2 } - V ^ { \prime \prime } ( q _ { t } + x ) . } \end{array}
\eta = \eta _ { 0 } + \eta _ { 1 } \, Q _ { 3 3 } ^ { - 1 } \, \ln { \bigg | \frac { f } { f _ { 0 } } \bigg | } + \left( \tilde { \epsilon } _ { Q } - \frac { \tilde { \delta } _ { Q } } { 1 + 2 \tilde { \delta } } \right) \eta _ { 1 } \, Q _ { 3 3 } ^ { - 2 } \, \ln ^ { 2 } { \bigg | \frac { f } { f _ { 0 } } \bigg | } ,
\int x ^ { m } \arcsin ( a x ) \, d x = { \frac { x ^ { m + 1 } \arcsin ( a x ) } { m + 1 } } \, - \, { \frac { a } { m + 1 } } \int { \frac { x ^ { m + 1 } } { \sqrt { 1 - a ^ { 2 } x ^ { 2 } } } } \, d x \quad ( m \neq - 1 )
\mathrm { ~ A ~ m ~ p ~ } _ { \mathrm { T } } = \sqrt { \langle \sigma _ { z } \rangle _ { \mathrm { T } } ^ { 2 } + ( \langle \sigma _ { y } \rangle _ { \mathrm { T } } \cos \Delta \varphi + \langle \sigma _ { x } \rangle _ { \mathrm { T } } \sin \Delta \varphi ) ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { { \bf a } _ { 1 } } & { = [ 5 0 , 0 , 5 0 ] ^ { \top } , ~ { \bf a } _ { 2 } = [ 5 0 , 5 0 , - 5 0 ] ^ { \top } , ~ { \bf a } _ { 3 } = [ 5 0 , - 5 0 , 5 0 ] ^ { \top } , } \\ { { \bf a } _ { 4 } } & { = [ 5 0 , 0 , 0 ] ^ { \top } , ~ { \bf a } _ { 5 } = [ 5 0 , 5 0 , 5 0 ] ^ { \top } , ~ { \bf a } _ { 6 } = [ - 5 0 , 0 , - 5 0 ] ^ { \top } , } \\ { { \bf a } _ { 7 } } & { = [ - 5 0 , - 5 0 , 5 0 ] ^ { \top } , ~ { \bf a } _ { 8 } = [ - 5 0 , 5 0 , - 5 0 ] ^ { \top } , } \\ { { \bf a } _ { 9 } } & { = [ - 5 0 , 0 , 0 ] ^ { \top } , ~ { \bf a } _ { 1 0 } = [ - 5 0 , - 5 0 , - 5 0 ] ^ { \top } . } \end{array}
f ^ { ( \pm ) } = e ^ { \mp i k x } + e ^ { \mp i k x } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( \frac { - 1 } { \pi } ) ^ { n + 1 } \int _ { 1 } ^ { \infty } d \alpha _ { o } . . . \int _ { 1 } ^ { \infty } d \alpha _ { n } \frac { ( \prod _ { j = 0 } ^ { n } D ( \nu ; \alpha _ { j } ) e ^ { - 2 \alpha _ { j } x } ) } { [ \prod _ { j = 0 } ^ { n - 1 } ( \alpha _ { j } + \alpha _ { j + 1 } ) ] [ \alpha _ { o } \pm i k ] }
\begin{array} { r } { \dot { \mathrm { ~ I ~ } } ^ { ( T ) } \left( \delta T \right) ^ { 2 } = \frac { \rho N } { \tau _ { c } } \frac { N _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } { N _ { \mathrm { ~ m ~ } } } J ( \alpha ) \left( \frac { \delta T } { \Delta T } \right) ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( Z - ( Z _ { N } ^ { \mathrm { m e a n } } ) \right) ^ { 2 } } & { = \left( \int _ { U } \exp \big ( - \Phi ( u ) \big ) - \exp \big ( - \mathbb { E } [ \Phi _ { N } ( u ) ] ) \big ) \mu _ { 0 } ( \mathrm { d } u ) \right) ^ { 2 } } \\ & { = \left( \int _ { U } \left( 1 - \exp \left( \frac { 1 } { 2 } ( \Phi ( u ) - \mathbb { E } [ \Phi _ { N } ( u ) ] ) \right) \right) \mu ^ { y } ( \mathrm { d } u ) \right) ^ { 2 } } \\ & { \leq ( 1 + C _ { 1 } ( p _ { 1 } ) ) \left\| \Phi - \mathbb { E } [ \Phi _ { N } ] \right\| _ { L _ { \mu ^ { y } } ^ { 2 p _ { 1 } ^ { \prime } } } ^ { 2 } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { { \tilde { x } = \Lambda ^ { 6 ( N _ { c } + 1 ) - 2 ( N _ { f } + N _ { c } ^ { \prime } ) } x , } } \\ { { \tilde { y } = \Lambda ^ { - 6 ( N _ { c } + 1 ) + 2 ( N _ { f } + N _ { c } ^ { \prime } ) } y . } } \end{array} \right.
\sigma _ { x x } \propto t _ { 2 } ^ { - 3 / 2 } ( u _ { 1 } ^ { * } - u _ { 2 } ^ { * } ) ^ { 2 } e ^ { \frac { 1 } { 1 2 } ( t _ { 2 } - t _ { 1 } ) ( u _ { 1 } ^ { * } - u _ { 2 } ^ { * } ) ^ { 2 } } ,
I I _ { a } - r e g i o n : 0 < \operatorname { a r c c o s } { \bigl ( 1 - \frac { \eta } { z E } \bigr ) } - \theta < \theta _ { 2 } < \theta _ { m } \ , \ \ \frac { \eta } { E ( 1 - c _ { + } ) } < z < \bigl [ z _ { m a x } , \frac { \eta } { E ( 1 - c ) } \bigr ] \ ,
\mathcal { N } = \mathrm { i } \, \frac { \Lambda _ { - } ^ { 1 } - \Lambda _ { - } ^ { 2 } } { \Lambda _ { - } ^ { 1 } + \Lambda _ { - } ^ { 2 } } \, = \, i \, e ^ { - \phi } \, + \, C _ { [ 0 ] }
\iint \left( J _ { x } ^ { 2 } + J _ { y } ^ { 2 } \right) d x d y = ( \psi _ { 2 } - \psi _ { 1 } ) \int d \varphi = ( \psi _ { 2 } - \psi _ { 1 } ) ( \varphi _ { 2 } - \varphi _ { 1 } ) ,
\begin{array} { r l } { H _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } = } & { { } - \Delta _ { 1 } a _ { 1 } ^ { \dagger } a _ { 1 } - \Delta _ { 2 } a _ { 2 } ^ { \dagger } a _ { 2 } - \delta b ^ { \dagger } b } \end{array}
~ \sum _ { j } ~ J _ { j } ~ \left[ ~ \sum _ { m n p } ~ { \frac { \mathbf { J } _ { i } ( - \alpha _ { m } , - \beta _ { n } , - \gamma _ { p } ) ~ \mathbf { G } _ { m n p } ~ \mathbf { J } _ { j } ( \alpha _ { m } , \beta _ { n } , \gamma _ { p } ) } { k ^ { 2 } - \alpha _ { m } ^ { 2 } - \beta _ { n } ^ { 2 } - \gamma _ { p } ^ { 2 } } } \right] ~ = ~ \mathbf { 0 } ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ( 4 . 2 )
\begin{array} { r l } { | \big ( G _ { 1 } B _ { 1 } G ( w _ { 2 , s } ) B _ { 2 } G _ { 1 } ^ { * } \big ) _ { \boldsymbol { x } \boldsymbol { x } } | } & { \le \big ( G _ { 1 } B _ { 1 } B _ { 1 } ^ { * } G _ { 1 } ^ { * } \big ) _ { \boldsymbol { x } \boldsymbol { x } } ^ { 1 / 2 } \big ( G _ { 1 } B _ { 2 } ^ { * } G ( w _ { 2 , s } ) G ( w _ { 2 , s } ) ^ { * } B _ { 2 } G _ { 1 } ^ { * } \big ) _ { \boldsymbol { x } \boldsymbol { x } } ^ { 1 / 2 } \prec \frac { 1 } { \eta \sqrt { \eta _ { 2 } ^ { 2 } + s ^ { 2 } } } } \\ { | \big ( G _ { 1 } E _ { \sigma } G ( w _ { 2 , s } ) B G _ { 1 } ^ { * } \big ) _ { \boldsymbol { x } \boldsymbol { x } } | } & { \prec \frac { 1 } { \eta | w _ { 1 } - w _ { 2 , s } | } \, , } \end{array}