harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \bar { F } _ { 3 \, 2 } ^ { 3 } ( i ) } & { { } = \frac { 1 } { 1 6 } \sqrt { 1 0 5 } \sin i ( \cos i ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 8 } \sqrt { 1 0 5 } \sin i \cos i } \end{array}
g ( x _ { + } ) = T _ { n } \left( \begin{array} { c c } { { 1 } } & { { 0 } } \\ { { \frac { q x } { 2 \pi } } } & { { 1 } } \end{array} \right) \quad ; \qquad J ( x _ { + } ) = n \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { - 1 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) + \frac { q } { 2 \pi } \left( \begin{array} { c c } { { \frac { 1 } { 2 } \sin ( 2 n x _ { + } ) } } & { { - \sin ^ { 2 } ( n x _ { + } ) } } \\ { { \cos ^ { 2 } ( n x _ { + } ) } } & { { - \frac { 1 } { 2 } \sin ( 2 n x _ { + } ) } } \end{array} \right) \, \, .
\begin{array} { r l } { a ^ { \dag } ( \varphi ) a ( \varphi ^ { \prime } ) + a ( \varphi ^ { \prime } ) a ^ { \dag } ( \varphi ) } & { = \langle \varphi , \varphi ^ { \prime } \rangle _ { \mathfrak { h } } I _ { \mathfrak { F } _ { a } } , } \\ { a ^ { \dag } ( \varphi ) a ^ { \dag } ( \varphi ^ { \prime } ) + a ^ { \dag } ( \varphi ^ { \prime } ) a ^ { \dag } ( \varphi ) } & { = 0 , } \\ { a ( \varphi ) a ( \varphi ^ { \prime } ) + a ( \varphi ^ { \prime } ) a ( \varphi ) } & { = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } \operatorname* { m a x } _ { i \leq N } \frac { | X _ { i } | } { \sqrt { 1 + \log i } } } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathbb { P } \left( \operatorname* { m a x } _ { i \leq N } \frac { | X _ { i } | } { \sqrt { 1 + \log i } } > t \right) d t } \\ & { \leq } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \mathbb { P } \left( \frac { | X _ { i } | } { \sqrt { 1 + \log i } } > t \right) d t } \\ & { \leq } & { \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { 2 } { \sqrt { 1 + \log i } } \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - c s ^ { 2 } / K ^ { 2 } } d s } \\ & { = } & { K \sqrt { \frac { \pi } { c } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \log i } } } \end{array}
\rho _ { y } \left| p \right> _ { C } \left| \mathcal { Q } \right> _ { A } = ( 1 - \lambda _ { y } ^ { 2 } ) \sum _ { r = 0 } ^ { \infty } ( - \lambda _ { y } ) ^ { p + r } \left| r \right> _ { C } \otimes \sum _ { i = 1 } ^ { N } \delta _ { p q _ { i } } \left| \Bar { \mathcal { Q } } _ { i } \right> _ { A _ { \Bar { i } } } \left| r \right> _ { A _ { i } } ,
\frac { d \phi _ { y } } { d t } = g \left[ A | \psi _ { y } | ^ { 2 } + B | \psi _ { x } | ^ { 2 } + C | \psi _ { x } | ^ { 2 } \cos \left( 2 \phi _ { y } - 2 \phi _ { x } \right) \right] .
\begin{array} { r l r l r l } { \chi _ { \mathrm { A } } ^ { \mathrm { e q } } } & { { } = - \frac { 1 } { 2 \phi _ { 0 } ( 1 - 3 \phi _ { 0 } ) } } & { \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } & { { } } & { \chi _ { \mathrm { R } } ^ { \mathrm { e q } } } & { { } = \frac { 1 } { \phi _ { 0 } } \; , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { ( 2 - \| \varepsilon \| _ { C ^ { 0 } } ) \| \nabla _ { \tau } \nu \| ^ { 2 } - ( \| \varepsilon \| _ { C ^ { 0 } } + \| \varepsilon ^ { \prime } \| _ { C ^ { 0 } } ) \| \nu \| ^ { 2 } } \\ & { } & { \leq \alpha ^ { \prime } ( \tau ) \leq } \\ & { } & { ( 2 + \| \varepsilon \| _ { C ^ { 0 } } ) \| \nabla _ { \tau } \nu \| ^ { 2 } + ( \| \varepsilon \| _ { C ^ { 0 } } + \| \varepsilon ^ { \prime } \| _ { C ^ { 0 } } ) \| \nu \| ^ { 2 } } \end{array}
L ( \lambda ) \equiv \left( \begin{array} { l l l } { { A ( \lambda ) } } & { { V \sb - ( \lambda ) } } & { { B ( \lambda ) } } \\ { { - V \sb + ( \lambda ) } } & { { 0 } } & { { V \sb - ( \lambda ) } } \\ { { C ( \lambda ) } } & { { V \sb + ( \lambda ) } } & { { - A ( \lambda ) } } \end{array} \right) .
\operatorname* { l i m } _ { \kappa \rightarrow 0 ^ { + } } \frac { \left( \cfrac { | \mathcal { S } ^ { d - 1 } | } { d _ { d } ( \kappa ) } - 1 \right) \psi _ { d } ( \beta ) } { \sqrt { 2 \mathrm { K L } ( \kappa , 0 ) } } = - \operatorname* { l i m } _ { \kappa \rightarrow 0 ^ { + } } \frac { \psi _ { d } ( \beta ) } { \sqrt { \cfrac { 2 \mathrm { K L } ( \kappa , 0 ) } { \left( 1 - \cfrac { 1 } { M ( 1 / 2 , d / 2 , \kappa ) } \right) ^ { 2 } } } } = - \frac { \psi _ { d } ( \beta ) } { \sqrt { 2 } } \sqrt { \frac { d + 2 } { d - 1 } } .
\begin{array} { r } { \operatorname* { d e t } ( B ^ { \# } ( \psi , \epsilon ) ) = \frac { 9 \epsilon } { \epsilon - 4 } ( ( \epsilon + 8 ) v ^ { 2 } + \epsilon - 1 ) , \quad \operatorname* { d e t } ( A ( \psi ) ) = 2 v ^ { 2 } - 1 } \end{array}
P _ { v } = \exp \left\{ - \mu \tilde { n } ^ { c r } \int d { \bf x } \right\} , \; \; \mu = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { \beta ( n + 1 ) } { ( n + 1 ) ^ { 3 / 2 } \beta ( 1 ) } \exp \left\{ - n \pi \frac { ( a M ) ^ { 2 } } \rho \right\} \; .
\begin{array} { r l } { f _ { \mathrm { o d d } } ( \xi _ { n } , \xi _ { t _ { 1 } } , \xi _ { t _ { 2 } } ) } & { = \frac { f ( \xi _ { n } , \xi _ { t _ { 1 } } , \xi _ { t _ { 2 } } ) - f ( - \xi _ { n } , \xi _ { t _ { 1 } } , \xi _ { t _ { 2 } } ) } { 2 } , } \\ { f _ { \mathrm { e v e n } } ( \xi _ { n } , \xi _ { t _ { 1 } } , \xi _ { t _ { 2 } } ) } & { = \frac { f ( \xi _ { n } , \xi _ { t _ { 1 } } , \xi _ { t _ { 2 } } ) + f ( - \xi _ { n } , \xi _ { t _ { 1 } } , \xi _ { t _ { 2 } } ) } { 2 } . } \end{array}
m _ { d } \frac { d ^ { 2 } \tilde { z } _ { 2 } } { d t ^ { 2 } } = - m _ { d } \omega _ { v } ^ { 2 } \tilde { z } _ { 2 } - \frac { Q ^ { 2 } } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } \left[ \frac { 1 } { r ^ { 2 } } + \frac { 1 } { r \lambda _ { D } } \right] \exp { \left( - r / \lambda _ { D } \right) } \sin \theta
\begin{array} { r l } { | I I | \le } & { \left( \int _ { M } \left( b - \ensuremath { \mathcal { N } } _ { 0 } ^ { * } - \frac { n } { 2 } \right) ^ { 2 } \, d v \right) ^ { \frac 1 2 } \left( \int _ { M } \left( \frac { \partial _ { w } H } { H } \right) ^ { 2 } \, d v \right) ^ { \frac 1 2 } + C r ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \le \sqrt { \frac { n } { 2 t } } + C r ^ { - \frac { 1 } { 2 } } , } \end{array}
{ \bf 1 0 } = \left\{ \left( \begin{array} { c } { { u } } \\ { { d } } \end{array} \right) , u ^ { c } , e ^ { c } \right\} \quad ; \bar { \bf 5 } = \left\{ d ^ { c } , \left( \begin{array} { c } { { \nu _ { e } } } \\ { { e } } \end{array} \right) \right\}
{ \cal L } _ { \eta } | \Phi _ { p h } \rangle = \Bigl ( \eta \hat { \partial } + \frac { 1 } { 2 } \hat { \partial } ^ { I } \eta ^ { J } M ^ { I J } + \frac { 1 } { 2 } \eta ^ { I } M ^ { z I } + \hat { \partial } ^ { + } \eta ^ { I } \alpha ^ { I } ( \frac { \partial ^ { J } } { \partial ^ { + } } \bar { \alpha } ^ { J } - \frac { s + d - 4 } { \hat { \partial } ^ { + } } \bar { \alpha } ^ { z } ) \Bigr ) | \Phi _ { p h } \rangle \, .
\begin{array} { r l } { g N _ { c } ( 1 + \gamma ) - N _ { s } ( 1 + \alpha ) + 2 \mathrm { g } \epsilon } & { { } = 0 } \\ { g N _ { s } ( 1 + \gamma ) + N _ { c } ( 1 + \alpha ) - 2 \epsilon M _ { 0 } ^ { 2 } } & { { } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \big \langle { \mathbb { P } } u , \mathrm { d } v \big \rangle _ { \mathbb { R } ^ { n } } } & { = \operatorname* { l i m } _ { \lambda \rightarrow 0 _ { + } } \big \langle u , \mathrm { d } v \big \rangle _ { \mathbb { R } ^ { n } } - \big \langle \mathrm { d } ( \lambda \mathrm { I } - \Delta ) ^ { - 1 } \delta u , \mathrm { d } v \big \rangle _ { \mathbb { R } ^ { n } } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { \lambda \rightarrow 0 _ { + } } \big \langle u , \mathrm { d } v \big \rangle _ { \mathbb { R } ^ { n } } - \big \langle u , ( \lambda \mathrm { I } - \Delta ) ^ { - 1 } \mathrm { d } \delta \mathrm { d } v \big \rangle _ { \mathbb { R } ^ { n } } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { \lambda \rightarrow 0 _ { + } } \big \langle u , \mathrm { d } v \big \rangle _ { \mathbb { R } ^ { n } } - \big \langle u , ( \lambda \mathrm { I } - \Delta ) ^ { - 1 } ( - \Delta ) \mathrm { d } v \big \rangle _ { \mathbb { R } ^ { n } } } \\ & { = \big \langle u , \mathrm { d } v \big \rangle _ { \mathbb { R } ^ { n } } - \big \langle u , \mathrm { d } v \big \rangle _ { \mathbb { R } ^ { n } } = 0 \mathrm { . ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { \mathrm { o u t } } ^ { - } ( t ) } & { = \mathcal { A } [ \alpha _ { \mathrm { i n } } ( t ) ] } \\ { \alpha _ { \mathrm { o u t } } ^ { + } ( t ) } & { = - \sqrt { \eta } \, \alpha _ { \mathrm { o u t } } ^ { - } ( t ) + \sqrt { 1 - \eta } \, \alpha _ { 0 } ( t ) } \\ { \alpha _ { \mathrm { o u t } } ( t ) } & { = \sqrt { 1 - \eta } \, \alpha _ { \mathrm { o u t } } ^ { - } ( t ) + \sqrt { \eta } \, \alpha _ { 0 } ( t ) } \\ { \alpha _ { \mathrm { i n } } ( t ) } & { = \alpha _ { \mathrm { o u t } } ^ { + } ( t - \tau ) . } \end{array}
P _ { t d } ( V _ { b } ) = \frac { V _ { b } - V _ { 0 } } { T _ { b } ( V _ { b } , C h n _ { b } ) - T _ { 0 } ( V _ { 0 } , C h n _ { b } ) } = - \frac { V _ { b } - V _ { 0 } } { T _ { 0 } ( V _ { 0 } , C h n _ { b } ) }
L _ { \nu _ { \alpha } } = \frac { 1 } { 2 n _ { \gamma } } \frac { T ^ { 3 } } { 2 \pi ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \left[ P _ { 0 } ( y ) + P _ { z } ( y ) - \overline { { { P } } } _ { 0 } ( y ) - \overline { { { P } } } _ { z } ( y ) \right] f _ { \mathrm { e q } } ^ { 0 } ( y ) y ^ { 2 } d y .
I _ { q } ( X ; Y ) = \frac { 1 } { q - 1 } \ln \frac { | q \Sigma ^ { - 1 } + ( 1 - q ) \bar { \Sigma } ^ { - 1 } | ^ { - 1 / 2 } } { | \Sigma | ^ { q / 2 } | \bar { \Sigma } | ^ { ( 1 - q ) / 2 } } .
\Sigma _ { i j } ^ { M , \mathrm { t a d } } \, P _ { L } \ = \ - \, \bigg ( \frac { \delta v } { v } \bigg ) ^ { \xi _ { W , Z } } \, \Big ( \, m _ { i } C _ { i j } \: + \: m _ { j } C _ { i j } ^ { * } \, \Big ) \, P _ { L } \, .
\mathcal { F } _ { o u t } ( \omega _ { i } , \omega _ { s } ) = \int \int d \omega _ { i } ^ { \prime } d \omega _ { s } ^ { \prime } \mathcal { S } ^ { ( 2 ) } ( \omega _ { i } , \omega _ { s } ; \omega _ { i } ^ { \prime } , \omega _ { s } ^ { \prime } ) \mathcal { F } _ { i n } ( \omega _ { i } ^ { \prime } , \omega _ { s } ^ { \prime } )
\rho _ { B } ( 0 ) = \frac { e ^ { - \sum _ { \alpha } \beta _ { \alpha } ( H _ { B } ^ { \alpha } - \mu _ { \alpha } N _ { \alpha } ) } } { \mathrm { T r } _ { \mathrm { B } } \{ e ^ { - \sum _ { \alpha } \beta _ { \alpha } ( H _ { B } ^ { \alpha } - \mu _ { \alpha } N _ { \alpha } ) } \} } ,
H = - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 \mu _ { r } } \frac { d ^ { 2 } } { d R ^ { 2 } } + \frac { { \bf L } ^ { 2 } } { 2 \mu _ { r } R ^ { 2 } } + V ^ { \mathrm { m o l } } ( R ) + V ^ { \mathrm { r a d } } ( { \bf R } ) + H _ { \mathrm { l a s e r } } ,
\lambda _ { r , k } = \left\{ \begin{array} { l l } { \, \, \, \sqrt { Q _ { k } ^ { 2 } - \epsilon _ { r } \mathrm { ~ k ~ } _ { 0 } ^ { 2 } } \, , } & { \ Q _ { k } > R e [ \sqrt { \epsilon _ { r } } \mathrm { ~ k ~ } _ { 0 } ] \, } \\ { - i \sqrt { \epsilon _ { r } \mathrm { ~ k ~ } _ { 0 } ^ { 2 } - Q _ { k } ^ { 2 } } \, , } & { Q _ { k } < R e [ \sqrt { \epsilon _ { r } } \mathrm { ~ k ~ } _ { 0 } ] \, , } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \frac { \partial } { \partial z } \left( \frac { \partial { u } } { \partial t } - \nu \triangle { u } \right) = \frac { \partial } { \partial x } \left( \frac { \partial { w } } { \partial t } - \nu \triangle { w } \right) \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textbf { a } _ { x } ( \varphi , \theta ) } & { = \left[ 1 , e ^ { \frac { j 2 \pi d _ { \mathrm { I } } } { \lambda } \mathrm { s i n } ( \varphi ) \mathrm { c o s } ( \theta ) } , \cdots , e ^ { \frac { j 2 \pi ( \sqrt { L } - 1 ) d _ { \mathrm { I } } } { { \lambda } } \mathrm { s i n } ( \varphi ) \mathrm { c o s } ( \theta ) } \right] ^ { T } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } } { \boldsymbol { f } } } & { { } = { \frac { \mathrm { d } f _ { x } } { \mathrm { d } t } } { \hat { \boldsymbol { \imath } } } + { \frac { \mathrm { d } { \hat { \boldsymbol { \imath } } } } { \mathrm { d } t } } f _ { x } + { \frac { \mathrm { d } f _ { y } } { \mathrm { d } t } } { \hat { \boldsymbol { \jmath } } } + { \frac { \mathrm { d } { \hat { \boldsymbol { \jmath } } } } { \mathrm { d } t } } f _ { y } + { \frac { \mathrm { d } f _ { z } } { \mathrm { d } t } } { \hat { \boldsymbol { k } } } + { \frac { \mathrm { d } { \hat { \boldsymbol { k } } } } { \mathrm { d } t } } f _ { z } } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \operatorname* { d e t } } _ { 3 } ( A ) = \frac { 1 } { 2 } \big ( } & { ( A _ { 3 , 1 } + A _ { 3 , 2 } ) ( A _ { 2 , 1 } - A _ { 2 , 2 } ) ( A _ { 1 , 3 } + A _ { 2 , 3 } ) } \\ & { + ( A _ { 1 , 1 } + A _ { 2 , 1 } ) ( A _ { 2 , 2 } - A _ { 3 , 2 } ) ( A _ { 2 , 3 } + A _ { 3 , 3 } ) } \\ & { + 2 A _ { 2 , 1 } ( A _ { 3 , 2 } - A _ { 1 , 2 } ) ( A _ { 3 , 3 } + A _ { 1 , 3 } ) } \\ & { + ( A _ { 3 , 1 } - A _ { 2 , 1 } ) ( A _ { 2 , 2 } + A _ { 1 , 2 } ) ( A _ { 2 , 3 } - A _ { 1 , 3 } ) } \\ & { + ( A _ { 1 , 1 } - A _ { 2 , 1 } ) ( A _ { 3 , 2 } + A _ { 2 , 2 } ) ( A _ { 3 , 3 } - A _ { 2 , 3 } ) \big ) . } \end{array}
t _ { 0 } = \int _ { 0 } ^ { t _ { 0 } } \! \mathrm { d } t = \left( \frac { 3 \, c ^ { 2 } } { 8 \pi \, G } \right) ^ { \! \! 1 / 2 } \! \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { \mathrm { d } a } { a \, ( \rho _ { M } / a ^ { 3 } + \rho _ { R } / a ^ { 4 } ) ^ { 1 / 2 } } \, .
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t } \rho ^ { \nu } + b ^ { \nu } \cdot \nabla \rho ^ { \nu } = \nu \left( \Delta \rho ^ { \nu } + \frac { 3 } { r } \partial _ { r } \rho ^ { \nu } \right) + g ^ { \nu } \quad } & { \mathrm { i n ~ } ( 0 , T ) \times \mathbb { H } , } \\ { \partial _ { r } \rho ^ { \nu } = 0 \quad } & { \mathrm { o n ~ } \partial \mathbb { H } , } \\ { \rho ^ { \nu } | _ { t = 0 } = \rho _ { 0 } ^ { \nu } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { Z _ { x , y } ^ { m , n } = } & { \int _ { \mathbb { R } \times \mathbb { R } ^ { n - m - 1 } \times \mathbb { R } } e ^ { - A ^ { m , n } ( \gamma ) } \mathcal { M } _ { x , y } ^ { m , n } ( d \gamma ) } \\ { = } & { \int _ { \mathbb { R } \times \mathbb { R } ^ { n - m - 1 } \times \mathbb { R } } e ^ { - \sum _ { k = m } ^ { n - 1 } V ( \Delta _ { k } \gamma ) - \sum _ { k = m } ^ { n - 1 } F _ { k } ( \gamma _ { k } ) } \mathcal { M } _ { x , y } ^ { m , n } ( d \gamma ) . } \end{array}
\left( { \frac { 3 \sqrt { 2 } } { 2 } } \langle \dot { q } ^ { 2 } \rangle - { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } \langle q ^ { 2 } \rangle + 2 \langle q \rangle \right) R _ { \mathrm { m a x } } ^ { 3 } + { \frac { 3 \sqrt { 2 } } { 2 } } \langle q ^ { 2 } \rangle R _ { \mathrm { m a x } } - 2 \pi ^ { - 3 / 2 } \langle E \rangle \simeq 0 ~ ~ .
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \textup { d i v } \, z _ { h } ^ { \textit { r t } } } & { = - f _ { h } } & & { \quad \mathrm { ~ i n ~ } \mathcal { L } ^ { 0 } ( \mathcal { T } _ { h } ) \, , } \\ { \Pi _ { h } z _ { h } ^ { \textit { r t } } } & { = \boldsymbol { \mathcal { A } } _ { h } ( \cdot , \nabla _ { \! h } u _ { h } ^ { \textit { c r } } ) } & & { \quad \mathrm { ~ i n ~ } \mathcal { L } ^ { 0 } ( \mathcal { T } _ { h } ) ^ { d } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { \parallel } ( k , t ) } & { { } = \exp ( - t / \tau _ { \parallel } ^ { j } ) , } \\ { C _ { \rho } ( k , t ) } & { { } = \frac { \gamma - 1 } { \gamma } + \frac { 1 } { \gamma } \exp ( - t / \tau _ { \parallel } ^ { \rho } ) . } \end{array}
L _ { \textrm { S R } } \equiv \dot { x } ^ { \mu } \dot { x } _ { \mu } \longrightarrow L _ { \textrm { E S R } } \equiv \dot { X } ^ { \mu } \dot { X } _ { \mu } = ( \dot { x } ^ { \mu } \dot { x } _ { \mu } + \dot { u } ^ { \mu } \dot { u } _ { \mu } ) + 2 I \dot { x } ^ { \mu } \dot { u } _ { \mu } ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { H } _ { 0 } } & { { } = 1 , } \\ { \mathcal { H } _ { 1 } } & { { } = x , } \\ { \mathcal { H } _ { 2 } } & { { } = x ^ { 2 } - 1 , } \\ { \mathcal { H } _ { 3 } } & { { } = x ^ { 3 } - 3 x , } \\ { \mathcal { H } _ { 4 } } & { { } = x ^ { 4 } - 6 x ^ { 2 } + 3 , } \\ { \mathcal { H } _ { 5 } } & { { } = x ^ { 5 } - 1 0 x ^ { 3 } + 1 5 x , } \\ { \mathcal { H } _ { 6 } } & { { } = x ^ { 6 } - 1 5 x ^ { 4 } + 4 5 x ^ { 2 } - 1 5 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( x _ { \pi } } & { ( t _ { 0 } + j \varepsilon ) , t _ { 0 } + j \varepsilon ) - m _ { P } } \\ & { \le \big ( ( P ( x ^ { 0 } , t _ { 0 } ) - m _ { P } ) ^ { 1 - \nu } + j \varepsilon \mu \gamma ^ { * } ( \nu - 1 ) \big ) ^ { \frac { 1 } { 1 - \nu } } \; \; \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } j = 0 , 1 , \dots , N , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t _ { n } } f _ { 1 } } & { = \epsilon _ { n } ^ { 2 } f _ { + } + f _ { - } } \\ { \partial _ { t _ { n } } f _ { + } } & { = \frac { ( q _ { n } - A _ { n } ) } { \epsilon _ { n } ^ { 3 } } E _ { n } - 2 f _ { 1 } } \\ { \partial _ { t _ { n } } f _ { - } } & { = \frac { q _ { n } - A _ { n } } { \epsilon _ { n } } E _ { n } - 2 \epsilon _ { n } ^ { 2 } f _ { 1 } } \end{array}
\langle q ^ { \prime \prime } , t ^ { \prime \prime } | p ^ { \prime } , t ^ { \prime } \rangle = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi \cos \tt } } } \exp \left( - { \frac { i } { 2 } } \tan \tt \left[ ( p ^ { 2 } + q ^ { 2 } ) - 2 p ^ { \prime } q ^ { \prime \prime } \csc \tt \right] \right)
( T _ { \pm } ^ { c } ) ^ { 2 } = \frac { 1 2 } { \Lambda _ { 1 } \Lambda _ { 2 } - \Lambda _ { 3 } ^ { 2 } } \Biggl [ - ( m _ { 1 } \Lambda _ { 2 } + m _ { 2 } \Lambda _ { 1 } - 2 m _ { 3 } \Lambda _ { 3 } ) \pm \sqrt { \Delta } \Biggr ] ~ ,
\begin{array} { r l } { g _ { ! } ( \mathrm { c l } _ { 0 _ { S } } ) } & { = g _ { ! } \bigg ( \mathrm { c l } _ { j } \langle 1 \rangle \circ j _ { * } \left( \mathrm { c l } _ { i } \right) \bigg ) } \\ & { = g _ { ! } \bigg ( \mathrm { c l } _ { j } \langle 1 \rangle \bigg ) \circ g _ { ! } \bigg ( j _ { * } \left( \mathrm { c l } _ { i } \right) \bigg ) } \\ & { = h _ { ! } \bigg ( f _ { ! } ( \mathrm { c l } _ { j } \langle 1 \rangle ) \bigg ) \circ h _ { ! } \bigg ( f _ { ! } \left( j _ { * } \left( \mathrm { c l } _ { i } \right) \right) \bigg ) } \\ & { = h _ { ! } \bigg ( f _ { ! } ( \mathrm { c l } _ { j } \langle 1 \rangle ) \bigg ) \circ h _ { ! } \bigg ( \mathrm { c l } _ { i } \bigg ) . } \end{array}
F _ { 1 } \left( \frac { r _ { S } } { r } \right) - F _ { 2 } \left( \frac { r _ { S } } { r } \right) \equiv \left( 1 5 6 6 - \zeta 7 0 5 6 \right) \: \left( 1 - \frac { r _ { S } } { r } \right) = 0
F ( t , V ) = \sum _ { g = 0 } ^ { \infty } \sum _ { h = 0 } ^ { \infty } \sum _ { d _ { 1 } , \ldots , d _ { h } } ^ { \infty } \lambda ^ { 2 g - 2 + h } F _ { g ; d _ { 1 } , \ldots , d _ { h } } ( t ) \prod _ { i = 1 } ^ { h } \mathrm { t r } V ^ { d _ { i } } ,
\qquad \left. W _ { j _ { 1 } \cdots j _ { q } , i _ { 1 } \cdots i _ { p } } ( z ) \right| _ { k \leftrightarrow l } = W _ { j _ { 1 } \cdots j _ { q } , i _ { 1 } \cdots i _ { p } } ( z ) \qquad
\begin{array} { r l } { I \left( z \right) = } & { { } \mathcal { I } \lambda \frac { R \sinh \left( z / \lambda \right) } { R \cosh \left( l / \lambda \right) + R _ { L } \sinh \left( l / \lambda \right) } \mathrm { ~ , ~ } } \\ { V \left( z \right) = } & { { } R \mathcal { I } \lambda \left[ 1 - \frac { R \cosh \left( z / \lambda \right) } { R \cosh \left( l / \lambda \right) + R _ { L } \sinh \left( l / \lambda \right) } \right] \mathrm { ~ . ~ } } \end{array}
| 0 \rangle \rightarrow | 0 \rangle _ { \beta } = ( 1 + \mathrm { e } ^ { - \beta \epsilon } ) ^ { - 1 / 2 } \{ | 0 \rangle _ { a } \otimes | 0 \rangle _ { b } + \mathrm { e } ^ { - \beta \epsilon / 2 } a ^ { \dagger } { \tilde { a } } | 0 \rangle _ { a } \otimes b ^ { \dagger } { \tilde { b } } | 0 \rangle _ { b } \} .
\begin{array} { r l } { f _ { \mathrm { ~ f ~ r ~ e ~ s ~ n ~ e ~ l ~ } } ( g , z , \lambda ) } & { { } = \mathcal { F } ^ { - 1 } \left\{ \mathcal { F } \{ g \} \cdot H ( z , \lambda ) \right\} } \\ { H ( z , \lambda ) } & { { } = \exp \left( i \pi \lambda z \left( f _ { x } ^ { 2 } + f _ { y } ^ { 2 } \right) \right) } \end{array}
\gamma ^ { 8 } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } \end{array} \right) , \; \; \; \gamma ^ { a } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { \lambda ^ { i } } } \\ { { - \lambda ^ { i } } } & { { 0 } } \end{array} \right) , \; \; \; i = 1 , . . . . , 7 ,
\begin{array} { r l } { \partial _ { x } ^ { 2 } v ( t , x ) - \lambda _ { d } ( x ) v ( t , x ) } & { { } = - \mathcal { A } v ( t , x ) = - \mathcal { A } \left( \sum _ { k \geq 1 } c _ { k } \frac { 1 - e ^ { - \alpha _ { k } t } } { \alpha _ { k } } \xi _ { k } ( x ) \right) = \sum _ { k \geq 1 } c _ { k } ( e ^ { - \alpha _ { k } t } - 1 ) \xi _ { k } ( x ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { { T ^ { \{ a _ { 1 } \} \{ a _ { 2 } \} \cdots } } _ { \{ b _ { 1 } \} \{ b _ { 2 } \} \cdots } } \\ & { = } & { { \bf e } _ { i _ { 1 } } ^ { \{ a _ { 1 } \} } { \bf e } _ { i _ { 2 } } ^ { \{ a _ { 2 } \} } \cdots { \bf e } _ { \{ b _ { 1 } \} } ^ { j _ { 1 } } { \bf e } _ { \{ b _ { 2 } \} } ^ { j _ { 2 } } \cdots { T ^ { i _ { 1 } i _ { 2 } \cdots } } _ { j _ { 1 } j _ { 2 } \cdots } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Vec { F } ^ { s , p } = \frac { A } { c } \int _ { \nu _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } } ^ { \nu _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } \sum _ { m = M _ { \nu } ^ { - } } ^ { M _ { \nu } ^ { + } } \tilde { I } _ { m } ^ { s , p } ( \nu ) \left( ( 1 - \cos \theta _ { m } ) \; \hat { z } - \sin \theta _ { m } \; \hat { x } \right) \mathrm { d } \nu } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { 0 } ( S , \alpha , \gamma , \lambda ) } & { { } = \alpha S + ( 1 - \alpha ) \lambda \gamma + \alpha \gamma ( 1 - S ) } \\ { c _ { 1 } ( S , \alpha , \gamma , \lambda ) } & { { } = ( 1 - \alpha ) \lambda \gamma + \alpha \gamma ( 1 - S ) = c _ { 0 } - \alpha S } \\ { c _ { 2 } ( \alpha , \lambda _ { 1 } ) } & { { } = \alpha \lambda _ { 1 } } \\ { c _ { 3 } ( \alpha , \lambda _ { 2 } ) } & { { } = \alpha \lambda _ { 2 } } \\ { c _ { 4 } ( \lambda _ { 3 } ) } & { { } = 1 / \lambda _ { 3 } , } \end{array}
H _ { \mathrm { n } } ( \mathbf { R } ) _ { k ^ { \prime } k } \equiv { \big ( } \mathbb { H } _ { \mathrm { n } } ( \mathbf { R } ) { \big ) } _ { k ^ { \prime } k } = \delta _ { k ^ { \prime } k } T _ { \mathrm { n } } - \sum _ { A , \alpha } { \frac { 1 } { M _ { A } } } \langle \chi _ { k ^ { \prime } } | P _ { A \alpha } | \chi _ { k } \rangle _ { ( \mathbf { r } ) } P _ { A \alpha } + \langle \chi _ { k ^ { \prime } } | T _ { \mathrm { n } } | \chi _ { k } \rangle _ { ( \mathbf { r } ) } .
\begin{array} { r l } { Q ^ { i } ( s ) } & { = \left( \begin{array} { l l l l } { Q ^ { i } ( s , 1 , 1 ) } & { Q ^ { i } ( s , 1 , 2 ) } & { Q ^ { i } ( s , 1 , 3 ) } & { Q ^ { i } ( s , 1 , 4 ) } \\ { Q ^ { i } ( s , 2 , 1 ) } & { Q ^ { i } ( s , 2 , 2 ) } & { Q ^ { i } ( s , 2 , 3 ) } & { Q ^ { i } ( s , 2 , 4 ) } \\ { Q ^ { i } ( s , 3 , 1 ) } & { Q ^ { i } ( s , 3 , 2 ) } & { Q ^ { i } ( s , 3 , 3 ) } & { Q ^ { i } ( s , 3 , 4 ) } \end{array} \right) } \end{array}
\frac { r _ { 0 } } { r _ { i n } - r _ { 0 } } \frac { d r _ { i n } } { d t } - \frac { r _ { i n } } { r _ { i n } - r _ { 0 } } \frac { d r _ { 0 } } { d t } + 2 S _ { d } = \frac { 6 \alpha _ { 0 } } { r _ { 0 } }
{ \begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { x } { \frac { d u } { 1 + u ^ { 2 } } } } & { = \int _ { 0 } ^ { x } \left( 1 - u ^ { 2 } + u ^ { 4 } - u ^ { 6 } + \cdots \right) d u } \\ & { = x - { \frac { 1 } { 3 } } x ^ { 2 } + { \frac { 1 } { 5 } } x ^ { 5 } - { \frac { 1 } { 7 } } x ^ { 7 } + \cdots = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { k } x ^ { 2 k + 1 } } { 2 k + 1 } } . } \end{array} }