harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { d ^ { 2 } A } & { = \left\lVert d ^ { 2 } \vec { A } \right\rVert = \left\{ r ^ { 2 } \left( \frac { \partial r } { \partial \phi } \right) ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \phi + r ^ { 2 } \left( \frac { \partial r } { \partial \theta } \right) ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta \cos ^ { 2 } \theta \cos ^ { 2 } \phi + r ^ { 4 } \sin ^ { 4 } \theta \cos ^ { 2 } \phi \right. } \\ & { \quad + r ^ { 2 } \left( \frac { \partial r } { \partial \phi } \right) ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \phi + r ^ { 2 } \left( \frac { \partial r } { \partial \theta } \right) ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta \cos ^ { 2 } \theta \sin ^ { 2 } \phi + r ^ { 4 } \sin ^ { 4 } \theta \sin ^ { 2 } \phi } \\ & { \quad - 2 r ^ { 2 } \left( \frac { \partial r } { \partial \phi } \right) \left( \frac { \partial r } { \partial \theta } \right) \sin \theta \cos \theta \sin \phi \cos \phi + 2 r ^ { 3 } \left( \frac { \partial r } { \partial \phi } \right) \sin ^ { 2 } \theta \sin \phi \cos \phi } \\ & { \quad - 2 r ^ { 3 } \left( \frac { \partial r } { \partial \theta } \right) \sin ^ { 3 } \theta \cos \theta \cos ^ { 2 } \phi + 2 r ^ { 2 } \left( \frac { \partial r } { \partial \phi } \right) \left( \frac { \partial r } { \partial \theta } \right) \sin \theta \cos \theta \sin \phi \cos \phi } \\ & { \quad - 2 r ^ { 3 } \left( \frac { \partial r } { \partial \phi } \right) \sin ^ { 2 } \theta \sin \phi \cos \phi - 2 r ^ { 3 } \left( \frac { \partial r } { \partial \theta } \right) \sin ^ { 3 } \theta \cos \theta \sin ^ { 2 } \phi } \\ & { \quad \left. + r ^ { 2 } \left( \frac { \partial r } { \partial \theta } \right) ^ { 2 } \sin ^ { 4 } \theta + 2 r ^ { 3 } \left( \frac { \partial r } { \partial \theta } \right) \sin ^ { 3 } \theta \cos \theta + r ^ { 4 } \sin ^ { 2 } \theta \cos ^ { 2 } \theta \right\} ^ { 1 / 2 } \, d \theta \, d \phi } \\ & { = \left\{ r ^ { 2 } \left( \frac { \partial r } { \partial \phi } \right) ^ { 2 } + r ^ { 2 } \left( \frac { \partial r } { \partial \theta } \right) ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta \cos ^ { 2 } \theta + r ^ { 4 } \sin ^ { 4 } \theta - 2 r ^ { 3 } \left( \frac { \partial r } { \partial \theta } \right) \sin ^ { 3 } \theta \cos \theta \right. } \\ & { \quad \left. + r ^ { 2 } \left( \frac { \partial r } { \partial \theta } \right) ^ { 2 } \sin ^ { 4 } \theta + 2 r ^ { 3 } \left( \frac { \partial r } { \partial \theta } \right) \sin ^ { 3 } \theta \cos \theta + r ^ { 4 } \sin ^ { 2 } \theta \cos ^ { 2 } \theta \right\} ^ { 1 / 2 } \, d \theta \, d \phi } \\ & { = \left\{ r ^ { 2 } \left( \frac { \partial r } { \partial \phi } \right) ^ { 2 } + r ^ { 2 } \left( \frac { \partial r } { \partial \theta } \right) ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta + r ^ { 4 } \sin ^ { 2 } \theta \right\} ^ { 1 / 2 } \, d \theta \, d \phi } \\ & { = \sqrt { \frac 1 { \sin ^ { 2 } \theta } \left( \frac { \partial r } { \partial \phi } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { \partial r } { \partial \theta } \right) ^ { 2 } + r ^ { 2 } } \, r \sin \theta \, d \theta \, d \phi } \end{array}
\begin{array} { r } { E _ { e x c } = E _ { i n c } - E _ { g } } \\ { E _ { e x c } ^ { h } = E _ { e x c } \times r _ { m * } } \\ { E _ { e x c } ^ { e } = E _ { e x c } - E _ { e x c } ^ { h } } \end{array}
\lambda ^ { - 1 } = \frac { l _ { - } R \Delta c } { M c _ { + } \Delta \chi \Delta s ^ { \star } } \left[ \cosh \left( \frac { L _ { \mathrm { ~ f ~ r ~ e ~ e ~ } } } { l _ { - } } \right) + \frac { l _ { + } \sinh \bigl ( \frac { L _ { \mathrm { ~ f ~ r ~ e ~ e ~ } } } { l _ { - } } \bigr ) } { l _ { - } \operatorname { t a n h } \bigl ( \frac { R } { l _ { + } } \bigr ) } \right] \left[ \sinh \left( \frac { L _ { \mathrm { ~ f ~ r ~ e ~ e ~ } } } { l _ { - } } \right) + \frac { l _ { - } \cosh \bigl ( \frac { L _ { \mathrm { ~ f ~ r ~ e ~ e ~ } } } { l _ { - } } \bigr ) } { l _ { + } \operatorname { t a n h } \bigl ( \frac { R } { l _ { + } } \bigr ) } \right] \, ,
\begin{array} { r l } { l _ { \mathrm { ~ S ~ C ~ L ~ , ~ c ~ } } } & { { } = \sqrt { \frac { 2 \epsilon \Delta \Phi } { F } \frac { z _ { - } c _ { - } } { ( z _ { + } c _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } + z _ { - } c _ { - } ) ( z _ { - } c _ { - } ) } } , } \\ { l _ { \mathrm { ~ S ~ C ~ L ~ , ~ a ~ } } } & { { } = - \frac { z _ { - } } { z _ { + } \frac { c _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } { c _ { - } } + z _ { - } } l _ { \mathrm { ~ c ~ } } = f _ { \mathrm { ~ s ~ y ~ m ~ } } \cdot l _ { \mathrm { ~ c ~ } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 3 } \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - s x } } & { M _ { \alpha } ( x \vert \lambda ) \, d x } & & { = \frac { 1 } { s } - \frac { s ^ { \alpha - 1 } } { \lambda + s ^ { \alpha } } } \\ { \implies } & { \quad M _ { \alpha } ( x \vert \lambda ) } & & { = 1 - E _ { \alpha } ( - \lambda x ^ { \alpha } ) } \\ { \implies } & { E _ { \alpha } ( - \lambda x ^ { \alpha } ) } & & { = 1 - M _ { \alpha } ( x \vert \lambda ) = \lambda \int _ { 0 } ^ { \infty } ( 1 - F _ { \alpha } ( x \vert t ) ) e ^ { - \lambda t } \, d t } \end{array}
\begin{array} { r l } & { n ! \Vert \tilde { f _ { n } } ( \cdot , t , x ) \Vert _ { \mathcal { H } ^ { \otimes n } } ^ { 2 } } \\ { \le } & { \frac { 1 } { n ! } J _ { 0 } ^ { 2 } ( t ) C ^ { n } \lambda ^ { 2 n } \bigg ( \int _ { [ 0 , t ] ^ { n } } \bigg ( \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } \prod _ { j = 1 } ^ { n } \Big | \mathcal { F } Y ( s _ { \rho ( j + 1 ) } - s _ { \rho ( j ) } , \cdot ) ( \xi _ { \rho ( 1 ) } + \dots + \xi _ { \rho ( j ) } ) \Big | ^ { 2 } \boldsymbol \mu ( \ensuremath { \mathrm { d } } \boldsymbol \xi ) \bigg ) ^ { \frac { 1 } { 2 H _ { 0 } } } \ensuremath { \mathrm { d } } \mathbf s \bigg ) ^ { 2 H _ { 0 } } } \\ { = } & { ( n ! ) ^ { 2 H _ { 0 } - 1 } J _ { 0 } ^ { 2 } ( t ) C ^ { n } \lambda ^ { 2 n } \bigg ( \int _ { T _ { n } ( t ) } \bigg ( \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } \prod _ { j = 1 } ^ { n } | \mathcal { F } Y ( s _ { j + 1 } - s _ { j } , \cdot ) ( \xi _ { 1 } + \dots + \xi _ { j } ) | ^ { 2 } \prod _ { j = 1 } ^ { n } | \xi _ { j } | ^ { 1 - 2 H } \ensuremath { \mathrm { d } } \boldsymbol \xi \bigg ) ^ { \frac { 1 } { 2 H _ { 0 } } } \ensuremath { \mathrm { d } } \mathbf s \bigg ) ^ { 2 H _ { 0 } } } \\ { = } & { ( n ! ) ^ { 2 H _ { 0 } - 1 } J _ { 0 } ^ { 2 } ( t ) C ^ { n } \lambda ^ { 2 n } \bigg ( \int _ { T _ { n } ( t ) } \bigg ( \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } \prod _ { j = 1 } ^ { n } | \mathcal { F } Y ( s _ { j + 1 } - s _ { j } , \cdot ) ( \eta _ { j } ) | ^ { 2 } \prod _ { j = 1 } ^ { n } | \eta _ { j } - \eta _ { j - 1 } | ^ { 1 - 2 H } \ensuremath { \mathrm { d } } \boldsymbol \eta \bigg ) ^ { \frac { 1 } { 2 H _ { 0 } } } \ensuremath { \mathrm { d } } \mathbf s \bigg ) ^ { 2 H _ { 0 } } , } \end{array}
\left. \overline { { p } } _ { 1 } \right\vert _ { \underline { { \eta } } = 0 } = \frac { \left( 2 \mathrm { i } F ^ { \prime \prime } ( 0 ) \alpha _ { 1 } x _ { 1 } T _ { w } / \mu _ { w } \right) ^ { 2 / 3 } \mathrm { ~ A ~ i ~ } ^ { \prime } ( \eta _ { 0 } ) \mu _ { w } } { ( 2 x _ { 1 } ) ^ { 1 / 2 } T _ { w } \left( T _ { w } ^ { 2 } ( 2 x _ { 1 } ) ^ { 1 / 2 } - \mathrm { i } \widetilde { A } _ { v } \alpha _ { 1 } F ^ { \prime \prime } ( 0 ) \right) } .
S = \frac { 1 } { 2 \pi } \int d ^ { 3 } x \sqrt { - g } \left[ R + \frac { 2 } { \ell ^ { 2 } } \right] - \frac { 1 } { 4 \pi } \int d ^ { 3 } x \sqrt { - g } ( \nabla f ) ^ { 2 }
\begin{array} { c } { { d s ^ { 2 } = \frac { V ( r ) [ d \chi - ( 2 n \cos \theta - a \sin ^ { 2 } \theta ) d \phi ] ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \theta \lbrack a d \chi - ( r ^ { 2 } - n ^ { 2 } - a ^ { 2 } ) d \phi ] ^ { 2 } } { [ r ^ { 2 } - ( n + a \cos \theta ) ^ { 2 } ] } } } \\ { { + [ r ^ { 2 } - ( n + a \cos \theta ) ^ { 2 } ] ( \frac { d r ^ { 2 } } { V ( r ) } + d \theta ^ { 2 } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \omega \big ( g , h k h ^ { - 1 } , h \big ) = \omega ( g , h , k ) \omega \big ( g h k h ^ { - 1 } g ^ { - 1 } , g , h \big ) \tau ( g , h ) ( k ) ^ { - 1 } , } \\ & { \omega ^ { - 1 } \big ( g h g ^ { - 1 } , g , k \big ) = \omega ^ { - 1 } ( g , h , k ) \omega ^ { - 1 } \big ( g h g ^ { - 1 } , g k g ^ { - 1 } , g \big ) \gamma ( g ) ( h , k ) } \end{array}
\mathrm { ~ I ~ O ~ C ~ } _ { t , t - 1 } = \sum _ { k = 1 } ^ { m } \operatorname* { m i n } \left[ \bar { \Pi } _ { i k } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ( t ) , \; \bar { \Pi } _ { i k } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ( t - 1 ) \right]
L _ { i j } = \delta _ { i j } \xi _ { i } + ( 1 - \delta _ { i j } ) \lambda _ { i \, x } \Phi ( \lambda _ { i } - \lambda _ { j } , z ) , \qquad \mathrm { w h e r e } \qquad \xi _ { i } = \frac { \lambda _ { i \, y } - \lambda _ { i \, x x } - b _ { i } } { 2 \lambda _ { i \, x } } ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \tilde { \mathcal J } _ { 2 } } { \partial \omega } } & { = \frac { \partial \chi } { \partial \omega } \left\{ \frac { 1 } { \sqrt { G ( \chi ; \mu ) - G ( \chi - \tau ( \chi - \tilde { \zeta } ) ; \mu ) } } \right. } \\ & { \qquad \qquad \left. - \frac { \chi - \tilde { \zeta } } { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { g ( \chi ; \mu ) - g ( \chi - \tau ( \chi - \tilde { \zeta } ) ; \mu ) } { [ G ( \chi ; \mu ) - G ( \chi - \tau ( \chi - \tilde { \zeta } ) ; \mu ) ] ^ { 3 / 2 } } d \tau \right\} } \\ & { \leq \frac { 1 } { \sqrt { G ( \chi ; \mu ) - G ( \chi - \tau ( \chi - \tilde { \zeta } ) ; \mu ) } } \cdot \frac { \partial \chi } { \partial \omega } \leq \frac { 1 } { \sqrt { - G ( \tilde { \zeta } ; \mu ) } } \cdot \frac { \partial \chi } { \partial \omega } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t } ^ { 2 } \phi ^ { q } + ( 3 / t ) \partial _ { t } \phi ^ { q } - \tau \Delta \phi = \rho F _ { \eta } ^ { \prime } ( \phi ) \ \mathrm { ~ i n ~ } D \times ( 0 , + \infty ) , } \\ { \phi | _ { \partial D } = 0 , \quad \phi | _ { t = 0 } = \phi _ { 1 } , \quad \partial _ { t } \phi | _ { t = 0 } = \phi _ { 2 } . } \end{array} \right. } \end{array}
\int d ^ { p + 1 } y \; \Phi ( X , y ) \; \partial _ { \alpha } X ^ { i } \partial ^ { \alpha } X ^ { i } = \sum _ { l } { \frac { 1 } { l ! } } \int d ^ { p + 1 } y \; ( \partial _ { i _ { 1 } } \dots \partial _ { i _ { l } } \Phi ) X ^ { i _ { 1 } } \dots X ^ { i _ { l } } \; \partial _ { \alpha } X ^ { i } \partial ^ { \alpha } X ^ { i } .
t _ { c } = \left\{ \begin{array} { l l } { t _ { c } ^ { m i n } = \frac { d } { v _ { e } + v _ { h } } \sim 1 0 0 ~ \mathrm { ~ p ~ s ~ } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } x = \frac { v _ { e } d } { v _ { e } + v _ { h } } } \\ { t _ { c } ^ { m a x } = \frac { d } { v _ { h } } \sim 2 1 0 ~ \mathrm { ~ p ~ s ~ } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } x = d } \end{array} \right. ~
\begin{array} { r l r } { J _ { m _ { 1 } , m _ { 2 } + 1 , p , q } } & { = \operatorname* { m a x } _ { t \in [ 0 , \frac { p - q } { q } ] } \left( m _ { 1 } g _ { 1 } ( t ) + ( m _ { 2 } + 1 ) g _ { 2 } ( t ) \right) = \operatorname* { m a x } _ { t \in [ 0 , \frac { p - q } { q } ] } \left( f ( t ) + g _ { 2 } ( t ) \right) } & { \leq \operatorname* { m a x } _ { t \in [ 0 , \frac { p - q } { q } ] } \left( f ( t ) + g _ { 2 } ( t _ { 2 } ) \right) } \\ & { = J _ { m _ { 1 } , m _ { 2 } , p , q } + g _ { 2 } ( t _ { 2 } ) \leq J _ { m _ { 1 } , m _ { 2 } , p , q } + \frac { ( p - q ) ^ { 2 } } { 4 q } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { f _ { \mathrm { r _ { \mathrm { b } \ n b r } \mid r _ { \mathrm { u } \ b s } } } ( y | x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \lambda _ { \mathrm { b } } \exp \left( - \lambda _ { \mathrm { b } } y \right) } & { \mathrm { i f ~ } 0 \leq y < 2 x , } \\ { 2 \lambda _ { \mathrm { b } } \exp \left( - 2 \lambda _ { \mathrm { b } } ( y - x ) \right) } & { \mathrm { i f ~ } y \geq 2 x . } \end{array} \right. } \end{array}
{ \cal M } ^ { 2 } = { \frac { 1 } { 2 } } \left[ R _ { \theta } \left( \begin{array} { c c } { { - \delta m ^ { 2 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \delta m ^ { 2 } } } \end{array} \right) R _ { \theta } ^ { T } + 4 p \left( \begin{array} { c c } { { \langle V \rangle } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) \right] ,
\sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \, T _ { n } ( x ) \, { \frac { \; t ^ { n } \, } { n } } = \ln \left( { \frac { 1 } { \, { \sqrt { 1 - 2 \, t \, x + t ^ { 2 } \, } } \, } } \right) ~ .
M _ { 1 } = \left( \begin{array} { c c } { { m _ { 1 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ M _ { 2 } = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { m _ { 2 } } } \end{array} \right)
\tilde { \mathbf { u } } ( \mathbf { k } ) = \frac { 1 } { \eta _ { s } ^ { 0 } k ^ { 2 } } \left( \mathbf { I } _ { s } - \hat { \mathbf { k } } \hat { \mathbf { k } } \right) \boldsymbol { \cdot } \mathbf { F } _ { p } \tilde { c } ( \mathbf { k } ) ,
P _ { \uparrow } \left( t _ { B S B } \right) = \sum _ { n = 0 } ^ { N } { \frac { p _ { Y , n } } { 2 } \left( 1 - c o s \left( \Omega _ { n + 1 , n } t _ { B S B } \right) e ^ { - t _ { B S B } / \tau } \right) }
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \frac { \mathfrak { s } _ { n } } { n } } & { = \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { n } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \mathbf { t } \left( \mathfrak { x } _ { n } , \cdot \right) = \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { n } \sum _ { k = 1 } ^ { n } \tau _ { \pi } \left( \mathbf { R } ^ { k } \left( y _ { 0 } , \cdot \right) \right) } \\ & { = \mathbb { P } \otimes \nu _ { 2 } \left[ \tau _ { \pi } \right] = \int \nu _ { 2 } \left( d x \right) \left[ \int _ { 0 } ^ { \infty } d s \left( 1 - F _ { \tau } ^ { \varepsilon } \left( s ; x \right) \right) \right] \; , \; \mathbb { P } \mathrm { - a . s . } \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { f } ( a , N ) } & { \le \sqrt { \left( 1 + \frac { \eta _ { 3 } \lambda _ { 1 } ^ { - 1 / 3 } } { N } \right) \left( \left( \frac { A _ { 3 } } { \delta } \right) ^ { 2 } h N ^ { 2 } \lambda _ { 3 } ^ { 1 / 3 } + \left( \frac { B _ { 3 } } { \delta } \right) ^ { 2 } N \lambda _ { 3 } ^ { - 1 / 3 } \right) } } \\ & { \le \sqrt { 1 + \kappa } \frac { A _ { 3 } } { \delta } h ^ { 1 / 2 } N \lambda _ { 3 } ^ { 1 / 6 } + \sqrt { 1 + \kappa } \frac { B _ { 3 } } { \delta } N ^ { 1 / 2 } \lambda _ { 3 } ^ { - 1 / 6 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { h _ { B } ( u ) } & { = \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \downarrow 0 } \varepsilon \sum _ { w \in V } \deg ( w ) a ( w ) \mathbf { P } _ { w , \varepsilon } ( X _ { T _ { B } } = u , T _ { B } \leq \tau ) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \downarrow 0 } \varepsilon \sum _ { w \in V } \sum _ { v \in B ^ { \prime } } \deg ( w ) a ( w ) \mathbf { P } _ { w , \varepsilon } ( X _ { T _ { B ^ { \prime } } } = v , X _ { T _ { B } } = u , T _ { B } \leq \tau ) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \downarrow 0 } \varepsilon \sum _ { w \in V } \sum _ { v \in B ^ { \prime } } \deg ( w ) a ( w ) \mathbf { P } _ { w , \varepsilon } ( X _ { T _ { B ^ { \prime } } } = v , T _ { B ^ { \prime } } \leq \tau ) \mathbf { P } _ { v , \varepsilon } ( X _ { T _ { B } } = u , T _ { B } \leq \tau ) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \downarrow 0 } \varepsilon \sum _ { w \in V } \sum _ { v \in B ^ { \prime } } \deg ( w ) a ( w ) \mathbf { P } _ { w , \varepsilon } ( X _ { T _ { B ^ { \prime } } } = v , T _ { B ^ { \prime } } \leq \tau ) \mathbf { P } _ { v } ( X _ { T _ { B } } = u ) } \\ & { = \sum _ { v \in B ^ { \prime } } h _ { B ^ { \prime } } ( v ) \mathbf { P } _ { v } ( X _ { T _ { B } } = u ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P } & { = \sum _ { j + k + | \alpha | \leq m } a _ { j k \alpha } ( r D _ { t } ) ^ { j } ( r D _ { r } ) ^ { k } D _ { \omega } ^ { \alpha } } \\ & { = \sum _ { j + k + | \alpha | \leq m } a _ { j k \alpha } ( - R T D _ { T } - R ^ { 2 } D _ { R } ) ^ { j } ( R D _ { R } ) ^ { k } D _ { \omega } ^ { \alpha } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { \gamma _ { t } } \left[ f _ { t } ( x _ { t } ^ { \prime } ) \mid \mu _ { t } \right] } & { = \mathbb { E } _ { \gamma _ { t } } \left[ f _ { t } ( x _ { t } ^ { \prime } ) + \mu _ { t } \cdot ( \beta _ { t } - b _ { t } ( x _ { t } ^ { \prime } ) ) \mid \mu _ { t } \right] - \mathbb { E } _ { \gamma _ { t } } \left[ \mu _ { t } \cdot ( \lambda _ { t } - b _ { t } ( x _ { t } ^ { \prime } ) ) \mid \mu _ { t } \right] - \mathbb { E } _ { \gamma _ { t } } \left[ \mu _ { t } \cdot ( \beta _ { t } - \lambda _ { t } ) \mid \mu _ { t } \right] } \\ & { = \mathbb { E } _ { \gamma _ { t } } \left[ D ( \mu _ { t } | \mathcal { P } _ { t } , \beta _ { t } ) | \mu _ { t } \right] - \mathbb { E } _ { \gamma _ { t } } \left[ \mu _ { t } \cdot ( \lambda _ { t } - b _ { t } ( x _ { t } ^ { \prime } ) ) \mid \mu _ { t } \right] - \mathbb { E } _ { \gamma _ { t } } \left[ \mu _ { t } \cdot ( \beta _ { t } - \lambda _ { t } ) \mid \mu _ { t } \right] \, . } \end{array}
L _ { D - s u f } = D _ { V } ( G _ { V } ( Y ^ { d o w n } ) ) - D _ { V } ( X ^ { d o w n } ) + \lambda * ( | ( | \nabla _ { ( } X _ { m i x } ) ( D _ { V } ( X _ { m i x } ) ) | ) | _ { 2 } - 1 ) ^ { 2 }
y ^ { + } + \delta ^ { + } = \left\{ \begin{array} { l l } { y ^ { + } + \delta ^ { + } ~ , ~ \mathrm { ~ i ~ f ~ } ~ ~ y ^ { + } + \delta ^ { + } < 2 R e _ { \tau } } \\ { 2 R e _ { \tau } ~ , ~ \mathrm { ~ i ~ f ~ } ~ ~ y ^ { + } + \delta ^ { + } \geq 2 R e _ { \tau } } \end{array} \right.
\nabla \cdot \left( \frac { 1 } { \rho } \nabla p \right) = \nabla \cdot \left( - \left( \mathbf { u } \cdot \nabla \right) \mathbf { u } + \frac { 1 } { \rho } \left( \nabla \cdot \mathbf { S } + \mathbf { f } _ { \Gamma } \right) \right) \mathrm { ~ . ~ }
R _ { k } = \delta _ { k , 1 } R _ { 1 } + 2 \cdot \sum _ { s = 1 } ^ { k - 1 } s \cdot [ a _ { 2 s } { \partial } _ { 2 } b _ { 2 k - 2 s } - b _ { 2 s } { \partial } _ { 2 } a _ { 2 k - 2 s } ] ,
| G _ { M } ^ { * } | ^ { 2 } + 3 | G _ { E } ^ { * } | ^ { 2 } = \frac { Q ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } + \nu ^ { 2 } } \left( 1 + \frac { Q ^ { 2 } } { ( M + m ) ^ { 2 } } \right) | G _ { T } | ^ { 2 } \ ,
\begin{array} { r l r } { { \widetilde f } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } ) } & { = } & { \left\{ \begin{array} { l c l } { \frac { f _ { 2 } ( x _ { 1 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } ) f _ { 1 } ( x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } ) } { \sum _ { x _ { 1 } = \pm 1 } f _ { 2 } ( x _ { 1 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } ) } } & { , } & { \sum _ { x _ { 1 } = \pm 1 } f _ { 2 } ( x _ { 1 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } ) > 0 } \\ { 0 } & { , } & { \sum _ { x _ { 1 } = \pm 1 } f _ { 2 } ( x _ { 1 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } ) = 0 } \end{array} \right. \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int \, \textnormal { d } x \left( | \nabla f ( x ) | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } v ( x ) f ( x ) ^ { 2 } \right) } & { = 4 \pi \int _ { 0 } ^ { b } \left( | \partial _ { r } f | ^ { 2 } r ^ { 2 } + r ^ { 2 } f \partial _ { r } ^ { 2 } f + 4 r f \partial _ { r } f \right) \, \textnormal { d } r } \\ & { = \frac { 1 2 \pi a ^ { 3 } / b ^ { 2 } } { 1 - a ^ { 3 } / b ^ { 3 } } + 8 \pi \int _ { 0 } ^ { b } r f \partial _ { r } f \, \textnormal { d } r } \end{array}
\begin{array} { r l } { z _ { 1 } } & { = u _ { x y z } + \langle u _ { y } , u _ { x z } \rangle + \langle u _ { x y } , u _ { z } \rangle + \{ \varrho \circ u _ { x } , u _ { y } , u _ { z } \} + \{ \varrho \circ u _ { z } , u _ { x } , u _ { y } \} } \\ & { \quad + \langle u _ { x } , u _ { y z } + \langle u _ { y } , u _ { z } \rangle \rangle + \langle u _ { x z } + \langle u _ { x } , u _ { z } \rangle , u _ { y } \rangle } \\ & { = u _ { x y z } + \langle u _ { y } , u _ { x z } \rangle + \langle u _ { x y } , u _ { z } \rangle + \{ \varrho \circ u _ { x } , u _ { y } , u _ { z } \} + \{ \varrho \circ u _ { z } , u _ { x } , u _ { y } \} } \\ & { \quad + \langle u _ { x } , u _ { y z } \rangle + \langle u _ { x } , \langle u _ { y } , u _ { z } \rangle \rangle + \langle u _ { x z } , u _ { y } \rangle + \langle \langle u _ { x } , u _ { z } \rangle , u _ { y } \rangle } \\ & { = u _ { x y z } + \langle u _ { x y } , u _ { z } \rangle + \{ \varrho \circ u _ { x } , u _ { y } , u _ { z } \} + \{ \varrho \circ u _ { z } , u _ { x } , u _ { y } \} } \\ & { \quad + \langle u _ { x } , u _ { y z } \rangle + \langle u _ { x } , \langle u _ { y } , u _ { z } \rangle \rangle + \langle \langle u _ { x } , u _ { z } \rangle , u _ { y } \rangle , } \\ { z _ { 2 } } & { = u _ { x y z } + \langle u _ { x } , u _ { y z } \rangle + \{ \varrho \circ u _ { y } , u _ { x } , u _ { z } \} + \langle u _ { x y } + \langle u _ { x } , u _ { y } \rangle , u _ { z } \rangle } \\ & { = u _ { x y z } + \langle u _ { x } , u _ { y z } \rangle + \{ \varrho \circ u _ { y } , u _ { x } , u _ { z } \} + \langle u _ { x y } , u _ { z } \rangle + \langle \langle u _ { x } , u _ { y } \rangle , u _ { z } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r } { \beta ^ { ( + ) } = ( B ^ { k + 1 } ) ^ { \dagger } \omega \in \mathbb { R } ^ { n _ { k + 1 } } , \ \beta ^ { ( - ) } = ( D ^ { k - 1 } ) ^ { \dagger } \omega \in \mathbb { R } ^ { n _ { k - 1 } } \, . } \end{array}
\textrm { d e t } \left( I ( 1 - \lambda ) + \frac { 1 } { 2 } \langle { \hat { \mathcal A } } ^ { 2 } \rangle \tau ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 ! } \langle { \hat { \mathcal A } } ^ { 4 } \rangle \tau ^ { 4 } + . . . \right) = 0 \, .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { \mathbf { x } \in \mathcal { D } _ { l } } w _ { l } ( \mathbf { x } ) = } & { \operatorname* { m a x } _ { \mathbf { x } \in \mathcal { D } _ { l } } \left( \sqrt { \frac { 2 k ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ) \log ( 1 / \beta ) } { | U _ { l } | } } + \Sigma _ { H _ { l } } ( \mathbf { x } ) \left( \sqrt { \frac { 2 \log ( 1 / \beta ) } { | U _ { l } | } } + B \right) \right) } \\ & { \leq \sqrt { \frac { 2 \kappa ^ { 2 } \log ( 1 / \beta ) } { | U _ { l } | } } + \operatorname* { m a x } _ { \mathbf { x } \in \mathcal { D } _ { l } } \Sigma _ { H _ { l } } ( \mathbf { x } ) \left( \sqrt { \frac { 2 \log ( 1 / \beta ) } { | U _ { l } | } } + B \right) } \\ & { \leq \sqrt { \frac { 2 \kappa ^ { 2 } \log ( 1 / \beta ) } { | U _ { l } | } } + \sqrt { \frac { 4 \lambda C ^ { 2 } \gamma _ { T _ { l } } \log ( 1 / \beta ) } { T _ { l } | U _ { l } | } } + \sqrt { \frac { 2 \lambda B ^ { 2 } C ^ { 2 } \gamma _ { T _ { l } } } { T _ { l } } } } \\ & { = \sqrt { \frac { 2 \kappa ^ { 2 } \log ( 1 / \beta ) } { | U _ { l } | } } + \sqrt { \frac { 4 \sigma ^ { 2 } C ^ { 2 } \gamma _ { T _ { l } } \log ( 1 / \beta ) } { T _ { l } | U _ { l } | } } + \sqrt { \frac { 2 \sigma ^ { 2 } B ^ { 2 } C ^ { 2 } \gamma _ { T _ { l } } } { T _ { l } } } . } \end{array}
[ \, \cdot \, , \cdot \, ] _ { \mathrm { R N } } \colon \mathrm { H o m } _ { \mathbb K } ^ { i } \left( S _ { \mathbb K } ^ { p + 1 } ( \mathcal { E } ) \, , \mathcal { E } \right) \otimes \mathrm { H o m } _ { \mathbb K } ^ { j } \left( S _ { \mathbb K } ^ { q + 1 } ( \mathcal { E } ) \, , \mathcal { E } \right) \rightarrow \mathrm { H o m } _ { \mathbb K } ^ { i + j } \left( S _ { \mathbb K } ^ { p + q + 1 } ( \mathcal { E } ) \, , \mathcal { E } \right)
f ( \eta ) = K _ { 0 } \cdot e ^ { - \frac { \eta ^ { 2 } } { 4 D } } \left( 1 - \frac { 3 } { 2 D } \eta ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 D ^ { 2 } } \eta ^ { 4 } - \frac { 1 } { 1 2 0 D ^ { 3 } } \eta ^ { 6 } \right) .
\begin{array} { r l r } { \pi \left( \Phi ^ { ( 0 ) } \ell _ { 2 } ^ { \prime } ( x , y ) - \ell _ { 2 } ( \Phi ^ { ( 0 ) } x , \Phi ^ { ( 0 ) } y ) \right) } & { = } & { \pi ^ { \prime } \circ \ell _ { 2 } ^ { \prime } ( x , y ) - \pi \circ \ell _ { 2 } \left( \Phi ^ { ( 0 ) } x , \Phi ^ { ( 0 ) } y \right) } \\ & { = } & { [ \pi ^ { \prime } ( x ) , \pi ^ { \prime } ( y ) ] - \left[ \pi \left( \Phi ^ { ( 0 ) } x \right) , \pi \left( \Phi ^ { ( 0 ) } x \right) \right] } \\ & { = } & { [ \pi ^ { \prime } ( x ) , \pi ^ { \prime } ( y ) ] - [ \pi ^ { \prime } ( x ) , \pi ^ { \prime } ( y ) ] } \\ & { = } & { 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \theta } { d t } } & { { } = \omega \bigg [ 1 - \epsilon \frac { \cosh ( \epsilon \cos \theta + \alpha ) } { \sinh \alpha } \cos \theta \bigg ] , } \\ { w ( \theta ) } & { { } = - \epsilon c \frac { \sinh ( \epsilon \cos \theta + \alpha ) } { \sinh \alpha } \sin \theta . } \end{array}