harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \hat { Q } _ { \mathrm { M } j } \le Q _ { \mathrm { M } j } } & { = \hat { Q } _ { \mathrm { M } j } + ( Q _ { \mathrm { M } j } - \hat { Q } _ { \mathrm { M } j } ) } \\ & { \le \hat { Q } _ { \mathrm { M } j } + \underbrace { \operatorname* { m a x } _ { j } ( Q _ { \mathrm { M } j } - \hat { Q } _ { \mathrm { M } j } ) } _ { = Q _ { \mathrm { M } + 1 } - \hat { Q } _ { \mathrm { M } + 1 } \le \frac { 1 } { e _ { 2 } ^ { 2 } } ( 1 - e _ { 2 } ) ^ { j _ { \operatorname* { m a x } } } } \le \hat { Q } _ { \mathrm { M } j } + \frac { 1 } { e _ { 2 } ^ { 2 } } ( 1 - e _ { 2 } ) ^ { j _ { \operatorname* { m a x } } } , } \\ { \sum _ { j = \pm 1 } ^ { \pm j _ { \operatorname* { m a x } } } \hat { Q } _ { \mathrm { M } j } \le \sum _ { j = \pm 1 } ^ { \pm \infty } Q _ { \mathrm { M } j } } & { = \sum _ { j = \pm 1 } ^ { \pm j _ { \operatorname* { m a x } } } \hat { Q } _ { \mathrm { M } j } + \underbrace { ( Q _ { \mathrm { M } + 1 } - \hat { Q } _ { \mathrm { M } + 1 } ) } _ { \le \frac { 2 } { e _ { 2 } ^ { 2 } } ( 1 - e _ { 2 } ) ^ { j _ { \operatorname* { m a x } } } } + \underbrace { \sum _ { j = 1 } ^ { j _ { \operatorname* { m a x } } } ( Q _ { \mathrm { M } - j } - \hat { Q } _ { \mathrm { M } - j } ) } _ { \le \frac { 1 } { e _ { 2 } ^ { 2 } } ( 1 - e _ { 2 } ) ^ { j _ { \operatorname* { m a x } } } } } \\ & { \quad + \underbrace { \sum _ { j = j _ { \operatorname* { m a x } } + 1 } ^ { \infty } ( Q _ { \mathrm { M } + j } - \hat { Q } _ { \mathrm { M } + j } ) } _ { \le \frac { 1 } { e _ { 2 } } ( 1 - e _ { 2 } ) ^ { j _ { \operatorname* { m a x } } } } + \underbrace { \sum _ { j = j _ { \operatorname* { m a x } } + 1 } ^ { \infty } ( Q _ { \mathrm { M } - j } - \hat { Q } _ { \mathrm { M } - j } ) } _ { \le \frac { 1 } { e _ { 2 } ^ { 2 } } ( 1 - e _ { 2 } ) ^ { j _ { \operatorname* { m a x } } } } } \\ & { \le \sum _ { j = \pm 1 } ^ { \pm j _ { \operatorname* { m a x } } } \hat { Q } _ { \mathrm { M } j } + \frac { 5 } { e _ { 2 } ^ { 2 } } ( 1 - e _ { 2 } ) ^ { j _ { \operatorname* { m a x } } } , } \\ { \sum _ { j = \pm 1 } ^ { \pm j _ { \operatorname* { m a x } } } \hat { Q } _ { \mathrm { M } j } \mu _ { j , A } \le \sum _ { j = \pm 1 } ^ { \pm \infty } Q _ { \mathrm { M } j } \mu _ { j , A } } & { \le \sum _ { j = \pm 1 } ^ { \pm j _ { \operatorname* { m a x } } } \hat { Q } _ { \mathrm { M } j } \mu _ { j , A } + \sum _ { j = \pm 1 } ^ { \pm \infty } ( Q _ { \mathrm { M } j } - \hat { Q } _ { \mathrm { M } j } ) } \\ & { \le \sum _ { j = \pm 1 } ^ { \pm j _ { \operatorname* { m a x } } } \hat { Q } _ { \mathrm { M } j } \mu _ { j , A } + \frac { 5 } { e _ { 2 } ^ { 2 } } ( 1 - e _ { 2 } ) ^ { j _ { \operatorname* { m a x } } } . } \end{array}
S = \frac { 1 } { g _ { 0 } ^ { 2 } } \int d ^ { d } x \bigg \{ \frac { 1 } { 2 } ( \partial \phi ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \phi ^ { 2 } + \frac { 1 } { 3 } \phi ^ { 3 } \bigg \} ,
\begin{array} { r l } { H } & { { } = H _ { 0 } + H _ { a b } + H _ { a c } } \\ { H _ { 0 } } & { { } = \omega _ { a } ^ { ( 1 ) } a _ { 1 } ^ { \dagger } a _ { 1 } + \omega _ { a } ^ { ( 2 ) } a _ { 2 } ^ { \dagger } a _ { 2 } + \omega _ { b } b ^ { \dagger } b + \omega _ { c } c ^ { \dagger } c , } \\ { H _ { a b } } & { { } = ( g _ { l } a _ { 1 } + g _ { r } a _ { 2 } ) b ^ { \dagger } + \mathrm { ~ H ~ . ~ c ~ . ~ } , } \\ { H _ { a c } } & { { } = g _ { n l } a _ { 1 } ^ { \dagger } a _ { 2 } c + i f _ { p } e ^ { - i \omega _ { p } t } c ^ { \dagger } + \mathrm { ~ H ~ . ~ c ~ . ~ } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { 2 1 } ^ { ( 2 ) } } & { = \frac { a _ { 4 2 } ^ { \ast ( 1 ) } - a _ { 4 1 } ^ { ( 1 ) } } { d _ { 2 1 } } , } \\ { a _ { 4 4 1 } ^ { ( 2 ) } } & { = \frac { B _ { 2 } s _ { 1 1 } + B _ { 1 } s _ { 2 1 } } { A _ { 1 } B _ { 2 } + B _ { 1 } A _ { 2 } } , } \\ { a _ { 4 4 2 } ^ { ( 2 ) } } & { = \frac { B _ { 2 } s _ { 1 2 } + B _ { 1 } s _ { 2 2 } } { A _ { 1 } B _ { 2 } + B _ { 1 } A _ { 2 } } , } \\ { a _ { 3 3 1 } ^ { ( 2 ) } } & { = \frac { A _ { 1 } s _ { 2 1 } - A _ { 2 } s _ { 1 1 } } { A _ { 1 } B _ { 2 } + B _ { 1 } A _ { 2 } } , } \\ { a _ { 3 3 2 } ^ { ( 2 ) } } & { = \frac { A _ { 1 } s _ { 2 2 } - A _ { 2 } s _ { 1 2 } } { A _ { 1 } B _ { 2 } + B _ { 1 } A _ { 2 } } , } \\ { a _ { 2 2 1 } ^ { ( 2 ) } } & { = \frac { \Gamma _ { 2 3 } a _ { 3 3 1 } ^ { ( 2 ) } + \Gamma _ { 2 4 } a _ { 4 4 1 } ^ { ( 2 ) } } { \Gamma _ { 3 2 } } , } \\ { a _ { 2 2 2 } ^ { ( 2 ) } } & { = \frac { \Gamma _ { 2 3 } a _ { 3 3 2 } ^ { ( 2 ) } + \Gamma _ { 2 4 } a _ { 4 4 2 } ^ { ( 2 ) } + i ( a _ { 4 2 } ^ { ( 1 ) } - a _ { 4 2 } ^ { \ast ( 1 ) } ) } { \Gamma _ { 3 2 } } , } \\ { a _ { 1 1 1 } ^ { ( 2 ) } } & { = \frac { \Gamma _ { 1 3 } a _ { 3 3 1 } ^ { ( 2 ) } + \Gamma _ { 1 4 } a _ { 4 4 1 } ^ { ( 2 ) } + i ( a _ { 4 1 } ^ { ( 1 ) } - a _ { 4 1 } ^ { \ast ( 1 ) } ) } { \Gamma _ { 3 1 } } , } \\ { a _ { 1 1 2 } ^ { ( 2 ) } } & { = \frac { \Gamma _ { 1 3 } a _ { 3 3 2 } ^ { ( 2 ) } + \Gamma _ { 1 4 } a _ { 4 4 2 } ^ { ( 2 ) } } { \Gamma _ { 3 2 } } , } \\ { a _ { 4 3 1 } ^ { ( 2 ) } } & { = \frac { \Omega _ { c } ( a _ { 4 4 1 } ^ { ( 2 ) } - a _ { 3 3 1 } ^ { ( 2 ) } ) - a _ { 3 1 } ^ { \ast ( 1 ) } } { d _ { 4 3 } } , } \\ { a _ { 4 3 2 } ^ { ( 2 ) } } & { = \frac { \Omega _ { c } ( a _ { 4 4 2 } ^ { ( 2 ) } - a _ { 3 3 2 } ^ { ( 2 ) } ) - a _ { 3 2 } ^ { \ast ( 1 ) } } { d _ { 4 3 } } , } \end{array}
x ^ { 2 } ( \vec { k } _ { 3 \, \perp } ^ { 2 } + m _ { 3 } ^ { 2 } ) ( \vec { k } _ { 3 \, \perp } ^ { 2 } + \Lambda ^ { \prime \, 2 } ) - ( 1 - x ) ^ { 2 } ( \vec { k } _ { 2 \, \perp } ^ { 2 } + m _ { 2 } ^ { 2 } ) ( \vec { k } _ { 2 \, \perp } ^ { 2 } + \Lambda ^ { 2 } ) .
( p _ { i } x ^ { i } + q ^ { i } \mathcal { F } _ { i } ) = p _ { 0 } x _ { 0 } + p _ { 1 } x _ { 1 } + i q _ { 1 } x _ { 1 } + p _ { 2 } x _ { 2 } + i q _ { 2 } x _ { 2 } .
\left( \nu ( \frac { \partial \omega _ { y } ^ { h } } { \partial x } - \frac { \partial \omega _ { x } ^ { h } } { \partial y } + \omega _ { x } ^ { h } u _ { y } ^ { h } - \omega _ { y } ^ { h } u _ { x } ^ { h } + \frac { \partial P ^ { h } } { \partial z } \right) ( \boldsymbol { \tau } _ { \ell } ^ { u _ { z } } ) = f _ { z } ( \boldsymbol { \tau } _ { \ell } ^ { u _ { z } } ) \quad \forall \boldsymbol { \tau } _ { \ell } ^ { u _ { z } } \in \Omega \cup \partial \Omega
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { \mathcal { M } _ { \textup { e r m } } } \left[ F _ { \textup { e r m } } ( \mathbf { X } ) \right] - \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { X } \in \mathcal { X } } F _ { \textup { e r m } } ( \mathbf { X } ) } & { = O \left( \frac { G D } { \sqrt { p - 1 } } \cdot \frac { \sqrt { d _ { 1 } d _ { 2 } \log \frac 1 \delta } } { n \epsilon } \right) \mathrm { ~ f o r ~ } p \in ( 1 , 2 ] , } \\ { \mathbb { E } _ { \mathcal { M } _ { \textup { e r m } } } \left[ F _ { \textup { e r m } } ( \mathbf { X } ) \right] - \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { X } \in \mathcal { X } } F _ { \textup { e r m } } ( \mathbf { X } ) } & { = O \left( G D \sqrt { \log ( d _ { 1 } d _ { 2 } ) } \cdot \frac { \sqrt { d _ { 1 } d _ { 2 } \log \frac 1 \delta } } { n \epsilon } \right) \mathrm { ~ f o r ~ } p = 1 . } \end{array}
\frac { \delta \mathcal { L } } { \delta v _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) } = \sum _ { k = 1 } ^ { M _ { \sigma } } \textbf { T r } \left( \mathbf { P } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { ~ T ~ } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \right)
\left\{ \begin{array} { r c l } { { d s ^ { 2 } } } & { { = } } & { { R _ { 2 } ^ { 2 } \, d \Pi _ { ( 2 ) } ^ { 2 } - R _ { 2 } ^ { 2 } \, d \Omega _ { ( 2 ) } ^ { 2 } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { F } } & { { = } } & { { - \frac { 2 } { R _ { 2 } } \omega _ { A d S _ { 2 } } \, , } } \end{array} \right.
\operatorname { t r } \left( \mathbf { P } ^ { - 1 } \mathbf { A } \mathbf { P } \right) = \operatorname { t r } \left( \mathbf { P } ^ { - 1 } ( \mathbf { A } \mathbf { P } ) \right) = \operatorname { t r } \left( ( \mathbf { A } \mathbf { P } ) \mathbf { P } ^ { - 1 } \right) = \operatorname { t r } \left( \mathbf { A } \left( \mathbf { P } \mathbf { P } ^ { - 1 } \right) \right) = \operatorname { t r } ( \mathbf { A } ) .
\begin{array} { r l } & { \int _ { d } ^ { \tilde { R } } \rho ^ { - n - 1 } \int _ { B _ { \rho } ( x ) \cap \{ y _ { n + 1 } = t _ { 3 } \} } \left| \mathcal S _ { y , x } \right| d \mathcal H _ { \{ y _ { n + 1 } = t \} } ^ { n } d \rho } \\ & { \leq \frac { \omega \tilde { R } } { ( \tilde { t } _ { 2 } - \tilde { t } _ { 1 } ) } \leq \frac { 3 N \omega \tilde { R } } { \mathrm { d i a m } ( X ) } = 3 N \Gamma \omega . } \end{array}
\mathcal { F } _ { \mathrm { ~ ( ~ A ~ ) ~ } } : \mathcal { S } _ { \mathrm { ~ o ~ l ~ d ~ } } ^ { \mathrm { ~ k ~ i ~ n ~ } } ( A ) \leftrightarrow \mathcal { S } _ { \mathrm { ~ n ~ e ~ u ~ t ~ r ~ a ~ l ~ } } ^ { \mathrm { ~ k ~ i ~ n ~ } } ( A )
\frac { \left. \frac { d ^ { 2 } \sigma ^ { p d } } { d x _ { 1 } d x _ { 2 } } \right| _ { x _ { 1 } > > x _ { 2 } } } { \left. \frac { d ^ { 2 } \sigma ^ { p p } } { d x _ { 1 } d x _ { 2 } } \right| _ { x _ { 1 } > > x _ { 2 } } } \approx \left[ 1 + \frac { \bar { d } ( { x } ) } { \bar { u } ( { x } ) } \right]
\begin{array} { r l } { \delta _ { \mathcal M , p } ( \mu _ { 0 } , \mu _ { 2 } ) } & { \le \left( \sum _ { j , k , l = 1 } ^ { J , L , K } \frac { w _ { j k } ^ { 0 1 } w _ { k l } ^ { 1 2 } } { \lambda _ { 1 } ^ { k } } \delta ( a _ { 0 } ^ { j } , a _ { 1 } ^ { k } ) ^ { p } \right) ^ { 1 / p } + \left( \sum _ { j , l , k = 1 } ^ { J , L , K } \frac { w _ { j k } ^ { 0 1 } w _ { k l } ^ { 1 2 } } { \lambda _ { 1 } ^ { k } } \delta ( a _ { 1 } ^ { k } , a _ { 2 } ^ { l } ) ^ { p } \right) ^ { 1 / p } } \\ & { = \left( \sum _ { j , k = 1 } ^ { J , K } w _ { j k } ^ { 0 1 } \delta ( a _ { 0 } ^ { j } , a _ { 1 } ^ { k } ) ^ { p } \right) ^ { 1 / p } + \left( \sum _ { l , k = 1 } ^ { L , K } w _ { k l } ^ { 1 2 } \delta ( a _ { 1 } ^ { k } , a _ { 2 } ^ { l } ) ^ { p } \right) ^ { 1 / p } } \\ & { = \delta _ { \mathcal M , p } ( \mu _ { 0 } , \mu _ { 1 } ) + \delta _ { \mathcal M , p } ( \mu _ { 1 } , \mu _ { 2 } ) . } \end{array}
q ^ { ( \frac { L } { 2 } - \frac { r } { N } ) } \sum _ { k = l + 1 } ^ { N } q ^ { - m _ { 0 } } B ^ { ( N ) } ( L , r , l + 1 | k ) = \sum _ { k = l + 1 } ^ { N } B ^ { ( N ) } ( L , r , l | k ) .
\frac { \mathrm { ~ d ~ } A } { \mathrm { ~ d ~ } t } = - \mathrm { ~ i ~ } \lambda A + \mathrm { ~ i ~ } \, \alpha _ { _ A } \mu f + \mathrm { ~ i ~ } \, \nu | A | ^ { 2 } A + \mathrm { ~ i ~ } \, \xi | B | ^ { 2 } A ,
\partial _ { z } A _ { 2 } - A _ { 3 } \partial _ { z } \varphi _ { 0 } + \bar { A } _ { 1 } A _ { 3 } + \bar { A } _ { 2 } A _ { 2 } = \partial _ { \bar { z } } \bar { A } _ { 2 } - \bar { A } _ { 3 } \partial _ { \bar { z } } \varphi _ { 0 } + A _ { 1 } \bar { A } _ { 3 } + A _ { 2 } \bar { A } _ { 2 } \, .
\begin{array} { r } { \Delta _ { j , k - 1 } ^ { \ell ( n _ { 0 } ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \lambda _ { s } + \frac { \lambda } { 2 } \Delta _ { j , k } ^ { \ell ( n _ { 0 } ) } + \frac { \lambda } { 2 } \Delta _ { j - 1 , k } ^ { \ell ( n _ { 0 } ) } } { \frac { ( k - 1 ) \lambda } { n } + \lambda } , } & { j > 1 } \\ { \frac { \lambda _ { s } + \frac { \lambda } { 2 } \Delta _ { j , k } ^ { \ell ( n _ { 0 } ) } } { \frac { ( k - 1 ) \lambda } { n } + \frac { \lambda } { 2 } } , } & { j = 1 } \end{array} \right. } \end{array}
U _ { t } ^ { ( j ) } : = \mathcal { D } _ { n } ^ { j } U _ { t } ( \mathcal { D } _ { n } ^ { j } ) ^ { * } = r ^ { 2 } { \mathchoice { \mathrm { 1 \ m s k i p - 4 m u l } } { \mathrm { 1 \ m s k i p - 4 m u l } } { \mathrm { 1 \ m s k i p - 4 . 5 m u l } } { \mathrm { 1 \ m s k i p - 5 m u l } } } _ { \mathcal { H } } + r t B ^ { ( j ) } + t ^ { 2 } C ^ { ( j ) } ,
F i t t _ { \mathbb { Z } _ { p } [ G _ { n } ] ^ { - } } ( S e l _ { \Sigma } ^ { \Sigma ^ { \prime } } ( H _ { n } ) _ { p } ^ { - } ) = ( \Theta _ { \Sigma \setminus S _ { 0 } } ^ { \Sigma ^ { \prime } } ( H _ { n } / F ) \cdot \prod _ { v \in S _ { 0 } } ( 1 - \sigma _ { v } ^ { - 1 } ) ) = ( \Theta _ { \Sigma } ^ { \Sigma ^ { \prime } } ( H _ { n } / F ) ) ,
\frac { d } { d t } \langle \psi ( t ) | H ( { \bf A } , 0 ) | \psi ( t ) \rangle = \frac { q } { 2 } \langle \psi ( t ) | { \bf v } \cdot { \bf E } + { \bf E } \cdot { \bf v } | \psi ( t ) \rangle ,
\begin{array} { r l } { g _ { e f f } ^ { X } } & { = - u + \mu _ { d } \left< N \right> } \\ { g _ { e f f } ^ { N } } & { = - m - r _ { 1 } \mu _ { d } \left< X \right> + \mu _ { c } \left< R \right> } \\ { g _ { e f f } ^ { R } } & { = K - \mu _ { c } r _ { 2 } \left< N \right> } \\ { \sigma _ { g _ { e f f } ^ { X } } ^ { 2 } } & { = \left< N ^ { 2 } \right> \sigma _ { d } ^ { 2 } + \sigma _ { u } ^ { 2 } } \\ { \sigma _ { m _ { e } f f } ^ { 2 } } & { = \sigma _ { c } ^ { 2 } \left< R ^ { 2 } \right> + \sigma _ { d } ^ { 2 } { r _ { 1 } } \left< X ^ { 2 } \right> + \sigma _ { m } ^ { 2 } } \\ { \sigma _ { g _ { e f f } ^ { R } } ^ { 2 } } & { = \sigma _ { k } ^ { 2 } + \sigma _ { c } ^ { 2 } { r _ { 2 } } \left< N ^ { 2 } \right> } \\ { D _ { e f f } ^ { X } } & { = - \sigma _ { d } ^ { 2 } \nu } \\ { D _ { e f f } ^ { N } } & { = \sigma _ { c } ^ { 2 } \kappa - r _ { 1 } \sigma _ { d } ^ { 2 } \chi } \\ { D _ { e f f } ^ { R } } & { = 1 - r _ { 2 } \sigma _ { c } ^ { 2 } \nu } \end{array}
{ \frac { - i \mu ^ { 2 } } { 8 H _ { 5 } \pi V } } ( 2 \pi ) ^ { 3 } \delta ^ { 3 } ( \vec { k } + \vec { k } ^ { \prime } ) \int d t | t | \int \int d u d u ^ { \prime } e ^ { i ( u - u ^ { \prime } ) { \frac { k _ { y } } { H _ { 5 } } } } e ^ { - i ( \mathrm { c o s h } u + \mathrm { c o s h } u ^ { \prime } ) m t } e ^ { - \epsilon | t | } ,
\begin{array} { r l } { \int _ { B _ { \frac { 1 } { 2 } } } | \nabla \tilde { u } _ { i } | ^ { 2 } } & { \leq \tilde { C } \int _ { B _ { 1 } } \left( W ^ { \prime } ( \tilde { u } _ { i } ) ^ { 2 } + \tilde { u } _ { i } ^ { 2 } + \tilde { f } _ { i } ^ { 2 } \right) } \\ & { \leq \tilde { C } \int _ { B _ { 2 R } } \left( W ^ { \prime } ( \tilde { u } _ { i } ) ^ { 2 } + \tilde { f } _ { i } ^ { 2 } \right) + \tilde { C } \omega _ { n } c _ { 0 } ^ { 2 } C _ { \omega } ^ { - 1 } C _ { \omega } } \\ & { \leq C \int _ { B _ { 2 R } } \left( W ^ { \prime } ( \tilde { u } _ { i } ) ^ { 2 } + \omega ^ { - 2 } \tilde { f } _ { i } ^ { 2 } \right) , } \end{array}
\Gamma _ { q } ( \alpha ) = \frac { \Gamma _ { q } ( \alpha + 1 ) } { [ \alpha ] _ { q } } = \frac { B _ { \alpha } ( q , - q ) b _ { \alpha } ( 1 , q ) } { [ \alpha ] _ { q } } \quad \mathrm { a n d } \quad \Gamma _ { q } ( 1 - \alpha ) = \frac { \Gamma _ { q } ( 2 - \alpha ) } { [ 1 - \alpha ] _ { q } } = \frac { B _ { 1 - \alpha } ( q , - q ) b _ { 1 - \alpha } ( 1 , q ) } { [ 1 - \alpha ] _ { q } }
{ \cal L } = { \frac { 1 } { 2 } } \partial _ { \mu } \phi _ { x } \partial ^ { \mu } \phi _ { x } - { \frac { 1 } { 2 } } m _ { 0 } ^ { 2 } \phi _ { x } ^ { 2 } - { \frac { m ^ { 2 } } { \beta ^ { 2 } } } ( 1 - c o s ( \beta \phi _ { x } ) ) \equiv { \frac { 1 } { 2 } } \partial _ { \mu } \phi _ { x } \partial ^ { \mu } \phi _ { x } - U ( \phi _ { x } ) ,
\begin{array} { r l } { h _ { p q } : = } & { { } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \Psi _ { p } ^ { * } ( \mathbf { x } ) \left( - \frac { 1 } { 2 } \Delta - V _ { \mathrm { n u c } } \right) \Psi _ { q } ( \mathbf { x } ) \; d \mathbf { x } , } \\ { h _ { p q r s } : = } & { { } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } \Psi _ { p } ^ { * } ( \mathbf { x } ) \Psi _ { r } ^ { * } ( \mathbf { y } ) \left( \frac { 1 } { | \mathbf { x } - \mathbf { y } | } \right) \Psi _ { q } ( \mathbf { x } ) \Psi _ { s } ( \mathbf { y } ) \; d \mathbf { x } d \mathbf { y } , } \end{array}
\frac { d E _ { s } ( z ) } { d z } = \frac { i \omega _ { s } ^ { 2 } } { k _ { s } c ^ { 2 } } \chi _ { e f f } ^ { ( 2 ) } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } ) E _ { \omega _ { 1 } } ( z ) E _ { \omega _ { 2 } } ( z ) e ^ { - i \Delta k z } ,
{ \cal L } _ { \mathrm { e f f } } = 2 \mathrm { T r } \left[ - { \frac { 1 } { 4 } } { \bf G } ^ { \mu \nu } { \bf G } _ { \mu \nu } + { \frac { 1 } { 2 } } ( { \cal { \cal D } } _ { \mu } { \bf B } _ { i } ) ^ { 2 } \right] - W ( { \bf B } _ { i } ) ,
\begin{array} { r l } & { \quad ( \sum _ { x > m - n } e _ { x , q } ^ { ( 1 ) } e _ { p , x } ^ { ( 2 ) } ) _ { ( 1 ) } \sum _ { w > m - n } e _ { w , j } ^ { ( 1 ) } e _ { i , w } ^ { ( 2 ) } } \\ & { = \sum _ { w , x > m - n } [ e _ { x , q } ^ { ( 1 ) } , e _ { w , j } ^ { ( 1 ) } ] [ e _ { p , x } ^ { ( 2 ) } , e _ { i , w } ^ { ( 2 ) } ] } \\ & { \quad + \sum _ { x , w > m - n } e _ { x , q } ^ { ( 1 ) } e _ { w , j } ^ { ( 1 ) } ( e _ { p , x } ^ { ( 2 ) } , e _ { i , w } ^ { ( 2 ) } ) + \sum _ { x , w > m - n } e _ { p , x } ^ { ( 2 ) } ( e _ { x , q } ^ { ( 1 ) } , e _ { w , j } ^ { ( 1 ) } ) e _ { i , w } ^ { ( 2 ) } } \\ & { = \sum _ { w , x > m - n } ( \delta _ { q , w } e _ { x , j } ^ { ( 1 ) } - \delta _ { x , j } e _ { w , q } ^ { ( 1 ) } ) ( \delta _ { x , i } e _ { p , w } ^ { ( 2 ) } - \delta _ { p , w } e _ { i , x } ^ { ( 2 ) } ) } \\ & { \quad + \sum _ { x , w > m - n } e _ { x , q } ^ { ( 1 ) } e _ { w , j } ^ { ( 1 ) } ( \alpha _ { 2 } \delta _ { x , i } \delta _ { w , p } + \delta _ { p , x } \delta _ { i , w } ) + \sum _ { x , w > m - n } e _ { p , x } ^ { ( 2 ) } ( \delta _ { q , w } \delta _ { x , j } \alpha _ { 1 } + \delta _ { x , q } \delta _ { w , j } ) e _ { i , w } ^ { ( 2 ) } } \\ & { = \delta ( q > m - n ) e _ { i , j } ^ { ( 1 ) } e _ { p , q } ^ { ( 2 ) } - \delta _ { q , p } \sum _ { x > m - n } e _ { x , j } ^ { ( 1 ) } e _ { i , x } ^ { ( 2 ) } } \\ & { \quad - \delta _ { i , j } \sum _ { w > m - n } e _ { w , q } ^ { ( 1 ) } e _ { p , w } ^ { ( 2 ) } + \delta ( j > m - n ) e _ { p , q } ^ { ( 1 ) } e _ { i , j } ^ { ( 2 ) } } \\ & { \quad + \alpha _ { 2 } e _ { i , q } ^ { ( 1 ) } e _ { p , j } ^ { ( 1 ) } + e _ { p , q } ^ { ( 1 ) } e _ { i , j } ^ { ( 1 ) } } \\ & { \quad + \delta ( q , j > m - n ) \alpha _ { 1 } e _ { p , j } ^ { ( 2 ) } e _ { i , q } ^ { ( 2 ) } + \delta ( q , j > m - n ) e _ { p , q } ^ { ( 2 ) } e _ { i , j } ^ { ( 2 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle n ^ { \prime } l ^ { \prime } | | r | | n l \rangle = ( - 1 ) ^ { l ^ { \prime } } \sqrt { ( 2 l ^ { \prime } + 1 ) ( 2 l + 1 ) } } \\ { \times \left( \begin{array} { l l l } { l ^ { \prime } } & { 1 } & { l } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \int _ { 0 } ^ { \infty } d r r ^ { 3 } R _ { n ^ { \prime } l ^ { \prime } } ( r ) R _ { n l } ( r ) , } \end{array}
- \pi _ { i } \Delta _ { ( \overline { { \mathfrak { n b } } } _ { G } ( i ) ) ^ { c } } = - \pi _ { i } \sum _ { \substack { C \in \mathcal { C } _ { G ^ { * } } \, C \subset \mathfrak { n b } _ { G ^ { * } } ( i ) } } ( - 1 ) ^ { | C | } \pi _ { C } = \sum _ { \substack { C \in \mathcal { C } _ { G ^ { * } } \, i \in C } } ( - 1 ) ^ { | C | } \pi _ { C } .
\begin{array} { r l r } { \widetilde { \textbf { f } } _ { i } ^ { e q } } & { { } } & { = \left[ \begin{array} { l } { \widetilde { f } _ { 1 i } ^ { e q } } \\ { \widetilde { f } _ { 2 i } ^ { e q } } \\ { \widetilde { f } _ { 3 i } ^ { e q } } \\ { \widetilde { f } _ { 4 i } ^ { e q } } \end{array} \right] = \frac { 1 } { 4 } \left[ \begin{array} { l } { U _ { i } + \frac { G _ { 1 i } } { \widetilde { \lambda } _ { 1 } } + \frac { G _ { 2 i } } { \widetilde { \lambda } _ { 2 } } } \\ { U _ { i } - \frac { G _ { 1 i } } { \widetilde { \lambda } _ { 1 } } + \frac { G _ { 2 i } } { \widetilde { \lambda } _ { 2 } } } \\ { U _ { i } - \frac { G _ { 1 i } } { \widetilde { \lambda } _ { 1 } } - \frac { G _ { 2 i } } { \widetilde { \lambda } _ { 2 } } } \\ { U _ { i } + \frac { G _ { 1 i } } { \widetilde { \lambda } _ { 1 } } - \frac { G _ { 2 i } } { \widetilde { \lambda } _ { 2 } } } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { H ( K ( k ) + i K ^ { \prime } ( k ) + \gamma ) } & { = e ^ { \frac { \pi K ^ { \prime } ( k ) } { 4 K ( k ) } } e ^ { - \frac { i \pi \gamma } { 2 K ( k ) } } \Theta _ { 1 } ( \gamma ) , } \\ { \Theta ( K ( k ) + i K ^ { \prime } ( k ) + \gamma ) } & { = e ^ { \frac { \pi K ^ { \prime } ( k ) } { 4 K ( k ) } } e ^ { - \frac { i \pi \gamma } { 2 K ( k ) } } H _ { 1 } ( \gamma ) , } \end{array}
\begin{array} { c } { { K _ { + 1 } ^ { \iota _ { 1 } } F = - q ^ { - 1 } F ^ { \iota _ { 1 } } K _ { + 1 } } } \\ { { K _ { - 1 } ^ { \iota _ { 1 } } F = - q F ^ { \iota _ { 1 } } K _ { - 1 } } } \\ { { K _ { + 2 } ^ { \iota _ { 1 } } F = q F ^ { \iota _ { 1 } } K _ { + 2 } } } \\ { { K _ { - 2 } ^ { \iota _ { 1 } } F = q ^ { - 1 } F ^ { \iota _ { 1 } } K _ { - 2 } } } \end{array} \qquad \qquad \begin{array} { c } { { K _ { + 1 } F ^ { \iota _ { 1 } } = q ^ { - 1 } F K _ { + 1 } ^ { \iota _ { 1 } } } } \\ { { K _ { - 1 } F ^ { \iota _ { 1 } } = q F K _ { - 1 } ^ { \iota _ { 1 } } } } \\ { { K _ { + 2 } F ^ { \iota _ { 1 } } = - q F K _ { + 2 } ^ { \iota _ { 1 } } } } \\ { { K _ { - 2 } F ^ { \iota _ { 1 } } = - q ^ { - 1 } F K _ { - 2 } ^ { \iota _ { 1 } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \big \| \big ( \nabla f ^ { ( k ) } ( x _ { i } ^ { ( k ) } ; \mathcal { B } _ { i } ^ { ( k ) } ) - \nabla f ^ { ( k ) } ( x _ { i } ^ { ( k ) } ) \big ) - ( 1 - \alpha _ { i } ) \big ( \nabla f ^ { ( k ) } ( x _ { i - 1 } ^ { ( k ) } ; \mathcal { B } _ { i } ^ { ( k ) } ) - \nabla f ^ { ( k ) } ( x _ { i - 1 } ^ { ( k ) } ) \big ) \big \| ^ { 2 } } \\ & { = \mathbb { E } \big \| ( 1 - a _ { i } ) \big [ \big ( \nabla f ^ { ( k ) } ( x _ { i } ^ { ( k ) } ; \mathcal { B } _ { i } ^ { ( k ) } ) - \nabla f ^ { ( k ) } ( x _ { i } ^ { ( k ) } ) \big ) - \big ( \nabla f ^ { ( k ) } ( x _ { i - 1 } ^ { ( k ) } ; \mathcal { B } _ { i } ^ { ( k ) } ) - \nabla f ^ { ( k ) } ( x _ { i - 1 } ^ { ( k ) } ) \big ) \big ] } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad + \alpha _ { i } \big ( \nabla f ^ { ( k ) } ( x _ { i } ^ { ( k ) } ; \mathcal { B } _ { i } ^ { ( k ) } ) - \nabla f ^ { ( k ) } ( x _ { i } ^ { ( k ) } ) \big ) \big \| ^ { 2 } } \\ & { \leq 2 ( 1 - \alpha _ { i } ) ^ { 2 } \mathbb { E } \big \| \big ( \nabla f ^ { ( k ) } ( x _ { i } ^ { ( k ) } ; \mathcal { B } _ { i } ^ { ( k ) } ) - \nabla f ^ { ( k ) } ( x _ { i - 1 } ^ { ( k ) } ; \mathcal { B } _ { i } ^ { ( k ) } ) \big ) - \big ( \nabla f ^ { ( k ) } ( x _ { i } ^ { ( k ) } ) - \nabla f ^ { ( k ) } ( x _ { i - 1 } ^ { ( k ) } ) \big ) \big \| ^ { 2 } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad + 2 \alpha _ { i } ^ { 2 } \mathbb { E } \big \| \nabla f ^ { ( k ) } ( x _ { i } ^ { ( k ) } ; \mathcal { B } _ { i } ^ { ( k ) } ) - \nabla f ^ { ( k ) } ( x _ { i } ^ { ( k ) } ) \big \| ^ { 2 } } \\ & { \leq 2 ( 1 - \alpha _ { i } ) ^ { 2 } \mathbb { E } \big \| \nabla f ^ { ( k ) } ( x _ { i } ^ { ( k ) } ; \mathcal { B } _ { i } ^ { ( k ) } ) - \nabla f ^ { ( k ) } ( x _ { i - 1 } ^ { ( k ) } ; \mathcal { B } _ { i } ^ { ( k ) } ) \big \| ^ { 2 } + 2 \alpha _ { i } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } / b _ { 1 } } \\ & { \leq 2 ( 1 - \alpha _ { i } ) ^ { 2 } L ^ { 2 } \mathbb { E } \| x _ { i } ^ { ( k ) } - x _ { i - 1 } ^ { ( k ) } \| ^ { 2 } + 2 a _ { i } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } / b _ { 1 } \leq 2 ( 1 - \alpha _ { i } ) ^ { 2 } L ^ { 2 } \eta _ { i - 1 } ^ { 2 } \mathbb { E } \| d _ { i - 1 } ^ { ( k ) } \| ^ { 2 } + 2 \alpha _ { i } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } / b _ { 1 } } \\ & { \leq 4 ( 1 - \alpha _ { i } ) ^ { 2 } L ^ { 2 } \eta _ { i - 1 } ^ { 2 } \mathbb { E } \| d _ { i - 1 } ^ { ( k ) } - \tilde { d } _ { i - 1 } \| ^ { 2 } + 4 ( 1 - \alpha _ { i } ) ^ { 2 } L ^ { 2 } \eta _ { i - 1 } ^ { 2 } \mathbb { E } \| \tilde { d } _ { i - 1 } \| ^ { 2 } + 2 \alpha _ { i } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } / b _ { 1 } } \end{array}
\bar { \alpha } _ { s } \int _ { x } ^ { 1 } { \frac { d x ^ { \prime } } { x ^ { \prime } } } \int { \frac { d ^ { 2 } q } { \pi q ^ { 2 } } } \Theta ( Q - q x / x ^ { \prime } ) \Delta _ { R } ( { \frac { x } { x ^ { \prime } } } , Q _ { t } ^ { 2 } , q ^ { 2 } ) { \frac { Q _ { t } ^ { 2 } } { ( \mathrm { \boldmath ~ q ~ } + \mathrm { \boldmath ~ Q _ { t } ~ } ) ^ { 2 } } } f ( x ^ { \prime } , ( \mathrm { \boldmath ~ q ~ } + \mathrm { \boldmath ~ Q _ { t } ~ } ) ^ { 2 } , q ^ { 2 } ) )