harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\int _ { D 2 } F = - k \int _ { - \chi _ { 0 } } ^ { \chi _ { 0 } } d \tilde { \theta } - k \int _ { - \chi _ { 0 } + \Delta \tilde { \theta } } ^ { \chi _ { 0 } - \Delta \tilde { \theta } } d \tilde { \theta } = - 2 k \left( 2 \chi _ { 0 } - \Delta \tilde { \theta } \right) \equiv - 2 k \chi _ { 0 } ^ { \prime } ,
\begin{array} { r l } { \eta ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ^ { n + 1 } ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \| \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ^ { n } \| ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \| \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { y } } } ^ { 1 } \| ^ { 2 } + \Delta x ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { y } } } ^ { 1 } ) ^ { \top } \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ^ { n } - \frac { 1 } { 2 } \| \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ^ { n } \| ^ { 2 } } \\ & { = \eta ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ^ { n } ) - \eta ( \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { y } } } ^ { 1 } - \mathbf { \boldsymbol { \mathsf { u } } } ^ { n } ) . } \end{array}
{ \left| { \mathcal { F } } ( u , v ) \right\rangle } = \frac { B } { i \lambda f } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \int _ { - \infty } ^ { \infty } T ( x , y ) { \left| { \psi _ { l , m } } \right\rangle } e ^ { - i \frac { 2 \pi } { \lambda f } ( u x + v y ) } d x d y
\phi ^ { \ast } ( \cdot ) = \mathrm { E } _ { \mathbf { m } \sim q } [ \nabla _ { \mathbf { m } } \log \pi ( \mathbf { m } ) k ( \mathbf { m } , \cdot ) + \nabla _ { \mathbf { m } } k ( \mathbf { m } , \cdot ) ] ,
\begin{array} { r l r } { E ( a _ { 1 } , \dots , a _ { n } ) } & { \! = \! } & { { \frac { 1 } { \prod _ { p = 1 } ^ { n } 2 a _ { p } } } \int _ { - a _ { 1 } } ^ { a _ { 1 } } \! \dots \int _ { - a _ { n } } ^ { a _ { n } } d ^ { n } { \bf x } \ f ( { \bf x } ) } \\ & { \! = \! } & { \, \prod _ { p = 1 } ^ { n } { \frac { 1 } { 2 a _ { p } } } \mathrm { E r f } \left[ { \frac { a _ { p } } { \sqrt 2 } } \sqrt { \frac { \operatorname* { d e t } C _ { p - 1 } } { \operatorname* { d e t } C _ { p } } } \right] + { \cal O } \left( \exp \Big [ - \sum _ { p = 1 } ^ { n } { \frac { a _ { p } ^ { 2 } \, \operatorname* { d e t } C _ { p - 1 } } { 2 \operatorname* { d e t } C _ { p } } } \Big ] \right) \, , } \end{array}
\mathbf { S } ^ { T } \mathbf { B } ( \mathbf { S } \mathbf { S } ^ { T } \hat { \ensuremath { \mathbf { u } } } ^ { n } + \mathbf { S } ^ { \ast } \mathbf { S } ^ { \ast T } \mathbf { V } \bar { \ensuremath { \mathbf { u } } } _ { r } ^ { n } ) = \mathbf { S } ^ { T } \ensuremath { \mathbf { u } } ^ { n - 1 } ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } _ { \mathrm { m } } } & { { } \equiv \left\{ \left( { i } \hat { \mathbf { x } } + { j } \hat { \mathbf { y } } - { i } \hat { \mathbf { x } } ^ { \prime } - { j } \hat { \mathbf { y } } ^ { \prime } \right) 2 \pi / a \mid { i } , { j } \in \mathbb { Z } \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { p _ { h } ( \cdot ) s , \Omega } ( \nabla _ { \! h } u _ { h } ^ { \textit { c r } } ) } & { \lesssim \operatorname* { m a x } \{ 1 , h _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 \alpha s + d ( 1 - s ^ { 2 } ) } \} \big ( 1 + \| \nabla F ( \cdot , \nabla u ) \| _ { 2 , \Omega } ^ { 2 } + \| ( \delta ^ { p ( \cdot ) - 1 } + \vert z \vert ) ^ { p ^ { \prime } ( \cdot ) - 2 } \vert f \vert ^ { 2 } \| _ { 1 , \{ p > 2 \} } } \\ & { \quad + \sigma ( f ; s ) + \rho _ { p ^ { \prime } ( \cdot ) s , \Omega } ( f ) + \rho _ { p ( \cdot ) s , \Omega } ( \nabla u ) \big ) ^ { s } } \\ & { \lesssim \big ( 1 + \| \nabla F ( \cdot , \nabla u ) \| _ { 2 , \Omega } ^ { 2 } + \| ( \delta ^ { p ( \cdot ) - 1 } + \vert z \vert ) ^ { p ^ { \prime } ( \cdot ) - 2 } \vert f \vert ^ { 2 } \| _ { 1 , \{ p > 2 \} } } \\ & { \quad + \sigma ( f ; s ) + \rho _ { p ^ { \prime } ( \cdot ) s , \Omega } ( f ) + \rho _ { p ( \cdot ) s , \Omega } ( \nabla u ) \big ) ^ { s } \, . } \end{array}
\tilde { \epsilon } _ { \mathrm { ~ n ~ b ~ } } = k _ { B } T \ln \left[ \frac { 1 } { \lambda } e ^ { \epsilon _ { \mathrm { ~ n ~ b ~ } } / k _ { B } T } + \frac { 8 } { 7 } \left( 1 - \frac { 1 } { \lambda } \right) \right] ~ ,
\begin{array} { r l } { \hat { a } _ { c } ( t ) } & { { } \Rightarrow \hat { a } _ { c } ( t ) e ^ { - i \omega _ { 0 } t } , \quad \hat { b } _ { i n } ( t ) \Rightarrow \hat { b } _ { i n } ( t ) e ^ { - i \omega _ { 0 } t } , } \\ { \hat { c } _ { i n } ( t ) } & { { } \Rightarrow \hat { c } _ { i n } ( t ) e ^ { - i \omega _ { 0 } t } . } \end{array}
\langle 2 \ell ^ { \prime } \, m = 0 \vert \rho \vert 2 \ell \, m = 0 \rangle \bigg \vert _ { _ { \sigma = 1 } } = \mathrm { s e c h } ^ { 2 } \gamma ( \mathrm { t a n h } \gamma ) ^ { \ell + \ell ^ { \prime } } e ^ { i \vartheta ( \ell ^ { \prime } - \ell ) } \, ,
\mathbf { K } ^ { \left( n \right) } \left( \mathbf { x } , \mathbf { x } _ { 0 } , \tau \right) = \big \langle \mathbf { x } \big \vert \mathbf { U } _ { \tau } ^ { \left( n \right) } \big \vert \mathbf { x } _ { 0 } \big \rangle = \operatorname* { l i m } _ { N \rightarrow \infty } \big \langle \mathbf { x } \big \vert \left( \mathbf { U } _ { \varepsilon } ^ { \left( n \right) } \right) ^ { N } \big \vert \mathbf { x } _ { 0 } \big \rangle
\begin{array} { r } { g ( t ) = - ( 2 \pi ) ^ { 1 / 2 } g _ { L } \delta ( t ) + \left( \frac { 2 } { \pi } \right) ^ { 1 / 2 } ( g _ { 0 } + g _ { L } ) \exp [ - i \beta ( 0 ) t ] \sin ( W t / 2 ) / t , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { t ( \Phi _ { 2 1 } ( \zeta , k ) - \Phi _ { 2 1 } ( \zeta , \omega ) ) = - 3 \alpha - \beta + z ^ { 3 } ( \zeta q _ { o } ( z t ^ { - 1 / 3 } ) + q _ { e } ( z t ^ { - 1 / 3 } ) ) , } \\ & { t ( \Phi _ { 3 1 } ( \zeta , k ) - \Phi _ { 3 1 } ( \zeta , \omega ) ) = - 2 \beta + z ^ { 3 } p _ { e } ( z t ^ { - 1 / 3 } ) , } \\ & { t ( \Phi _ { 3 2 } ( \zeta , k ) - \Phi _ { 3 2 } ( \zeta , \omega ) ) = 3 \alpha - \beta + z ^ { 3 } ( - \zeta q _ { o } ( z t ^ { - 1 / 3 } ) + q _ { e } ( z t ^ { - 1 / 3 } ) ) , } \end{array}
p _ { k l } \sim M ( \mathbf { x } _ { k } , \mathbf { x } _ { l } ) = \frac { G _ { \varepsilon _ { k } } ( \mathbf { x } _ { k } , \mathbf { x } _ { l } ) } { \sum _ { n } G _ { \varepsilon _ { k } } ( \mathbf { x } _ { k } , \mathbf { x } _ { n } ) } ,
\begin{array} { r l } { | C | } & { = n - | \overline { { X } } _ { C } | - | X _ { C } | - | \overline { { Y } } _ { a } | - | Y _ { a } | } \\ & { > n - \ell - ( \ell - 2 ) - | \overline { { Y } } _ { a } | - ( \ell - 2 ) } \\ & { = n - 3 \ell - | \overline { { Y } } _ { a } | + 4 } \\ & { = \lceil n / 2 \rceil + \lfloor n / 2 \rfloor - 3 \ell - | \overline { { Y } } _ { a } | + 4 } \\ & { \geq \lceil n / 2 \rceil + 2 \ell - 1 - 3 \ell - | \overline { { Y } } _ { a } | + 4 \qquad \mathrm { ~ b y ~ } } \\ & { = \lceil n / 2 \rceil - \ell - | \overline { { Y } } _ { a } | + 3 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { t } \Phi } & { { } = \left[ \frac { 1 } { 2 n } \partial _ { t } n + i \partial _ { t } \theta + i \left( \frac { e } { \hbar } A _ { 0 } + a _ { 0 } \right) \right] \Phi , } \\ { D _ { i } ^ { 2 } \Phi } & { { } = \Bigg [ \frac { m } { \hbar } \epsilon _ { i j } \partial _ { i } v _ { j } - \epsilon _ { i j } \partial _ { i } \left( \frac { e } { \hbar } A _ { j } + a _ { j } \right) + i \frac { m } { \hbar } \partial _ { i } v _ { i } - \frac { m ^ { 2 } } { \hbar ^ { 2 } } v _ { i } v _ { i } + \frac { m } { \hbar n } \epsilon _ { i j } v _ { i } \partial _ { j } n + i \frac { m } { \hbar n } v _ { i } \partial _ { i } n \Bigg ] \Phi , } \end{array}
\mu = \left( m _ { 1 1 } + m _ { 3 / 2 } \right) + 3 ( H \dot { \phi } - m _ { 3 / 2 } m _ { 1 } ) \frac { m _ { 1 } } { \dot { \phi } ^ { 2 } + m _ { 1 } ^ { 2 } } \, ,
K ^ { \prime \prime } ( 0 ) \simeq - 8 \pi ^ { 3 } \gamma ^ { 6 } a _ { 0 } ^ { 3 } + 1 6 0 \pi ^ { 2 } \gamma ^ { 7 } a _ { 0 } ^ { 3 } \quad \mathrm { a s } \; \gamma \to 0 \, .
{ \begin{array} { r } { { \begin{array} { r l l l } { x _ { 0 } } & { = 6 \cdot 1 0 ^ { 2 } } & & { = 6 0 0 . 0 0 0 } \\ { x _ { 1 } } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \left( x _ { 0 } + { \frac { S } { x _ { 0 } } } \right) } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \left( 6 0 0 . 0 0 0 + { \frac { 1 2 5 3 4 8 } { 6 0 0 . 0 0 0 } } \right) } & { = 4 0 4 . 4 5 7 } \\ { x _ { 2 } } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \left( x _ { 1 } + { \frac { S } { x _ { 1 } } } \right) } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \left( 4 0 4 . 4 5 7 + { \frac { 1 2 5 3 4 8 } { 4 0 4 . 4 5 7 } } \right) } & { = 3 5 7 . 1 8 7 } \\ { x _ { 3 } } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \left( x _ { 2 } + { \frac { S } { x _ { 2 } } } \right) } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \left( 3 5 7 . 1 8 7 + { \frac { 1 2 5 3 4 8 } { 3 5 7 . 1 8 7 } } \right) } & { = 3 5 4 . 0 5 9 } \\ { x _ { 4 } } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \left( x _ { 3 } + { \frac { S } { x _ { 3 } } } \right) } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \left( 3 5 4 . 0 5 9 + { \frac { 1 2 5 3 4 8 } { 3 5 4 . 0 5 9 } } \right) } & { = 3 5 4 . 0 4 5 } \\ { x _ { 5 } } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \left( x _ { 4 } + { \frac { S } { x _ { 4 } } } \right) } & { = { \frac { 1 } { 2 } } \left( 3 5 4 . 0 4 5 + { \frac { 1 2 5 3 4 8 } { 3 5 4 . 0 4 5 } } \right) } & { = 3 5 4 . 0 4 5 } \end{array} } } \end{array} }
{ \ensuremath { \mathbb E } } \left[ | \overline { A } _ { t , \varepsilon } ^ { ( 2 ) } - \overline { A } _ { t , \varepsilon } ^ { ( 1 ) } | ^ { 2 } \right] \le \int _ { { \ensuremath { \mathbb R } } ^ { 4 d } } { \ensuremath { \mathbb E } } \left[ \xi ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) \overline { \xi } ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) \right] \mathrm { d } x _ { 1 } \mathrm { d } x _ { 2 } \mathrm { d } y _ { 1 } \mathrm { d } y _ { 2 }
\Delta m _ { B _ { d } } ( t , t ) = \frac { G _ { F } ^ { 2 } M _ { W } ^ { 2 } } { 6 \pi ^ { 2 } } f _ { B } ^ { 2 } B _ { B } m _ { B _ { d } } \left| V _ { t b } V _ { t d } ^ { * } \right| ^ { 2 } \eta _ { t t } ^ { B } S ( x _ { t } ) ,
\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \mathbb { P } _ { w _ { \delta _ { n } } } \left[ X [ 0 , \tau _ { \delta _ { n } } ] \mathrm { ~ h i t s ~ } A \left( v _ { \delta _ { n } } , R _ { n } - \frac { R _ { n } - r _ { n } ^ { \prime } } { 3 } , R _ { n } - \frac { R _ { n } - r _ { n } ^ { \prime } } { 6 } \right) \cap \partial \Omega _ { \delta _ { n } } \right] = 0 .
\begin{array} { r } { { \left\lVert { Y _ { t } } \right\rVert } _ { \infty } \leq C \left( \left| y _ { 0 } \right| + { \left\lVert { B _ { t } } \right\rVert } _ { \infty } { \left\lVert { \boldsymbol { X } _ { t } } \right\rVert } _ { p - v a r ; [ 0 , 1 ] } \right) \exp \left( C { \left\lVert { A _ { t } } \right\rVert } _ { \infty } \operatorname* { m a x } ( 1 , \alpha ^ { - 1 } ) ( 2 N _ { \alpha } ( \boldsymbol { \hat { X } } ) + 1 ) \right) . } \end{array}
\left| \psi _ { A B } \right\rangle = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \left( \left| 0 \right\rangle _ { A } \left| 1 \right\rangle _ { B } - \left| 1 \right\rangle _ { A } \left| 0 \right\rangle _ { B } \right) = { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \left( \left| - \right\rangle _ { A } \left| + \right\rangle _ { B } - \left| + \right\rangle _ { A } \left| - \right\rangle _ { B } \right)
{ \mathrm { \boldmath ~ \hat { ~ } J ~ } } ^ { 2 } = { \mathrm { \boldmath ~ \hat { ~ } J ~ } } _ { 1 2 } ^ { 2 } + { \mathrm { \boldmath ~ \hat { ~ } J ~ } } _ { 2 3 } ^ { 2 } + { \mathrm { \boldmath ~ \hat { ~ } J ~ } } _ { 1 3 } ^ { 2 } - \sum _ { \ell = 1 } ^ { 3 } { \mathrm { \boldmath ~ \hat { ~ } \ j m a t h ~ } } _ { \ell } ^ { 2 } .
\mathcal { H } = \int d ^ { \, 2 } \, x \, \left[ \, \frac { 1 } { 2 } \, \left( \xi \, _ { 5 } ^ { 2 } + \xi \, _ { 6 } ^ { 2 } \right) + \frac { 1 } { 2 } \, \left( \partial _ { 1 } \, \xi _ { 3 } - \partial _ { 2 } \, \xi _ { 2 } \right) ^ { \, 2 } + \frac { 1 } { 2 } \, m ^ { 2 } \, \left( \xi \, _ { 2 } ^ { 2 } + \xi \, _ { 3 } ^ { 2 } \right) + m \left( \xi \, _ { 2 } \, \xi \, _ { 6 } - \xi \, _ { 3 } \, \xi \, _ { 5 } \right) \right] ;
\tau _ { y y } = \left( \lambda + 2 \mu \right) \left( \frac { \partial ^ { 2 } \phi } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } \phi } { \partial y ^ { 2 } } \right) - 2 \mu \left( \frac { \partial ^ { 2 } \phi } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } H } { \partial x \partial y } \right)
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } \rho ( x , t ) } & { = - \sum _ { i = 1 } ^ { d } \frac { \partial } { \partial x _ { i } } [ \mu ( x , t ) \rho ( x , t ) ] } \\ & { + \sum _ { i = 1 } ^ { d } \sum _ { j = 1 } ^ { d } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x _ { i } \partial x _ { j } } [ D _ { i j } ( x , t ) \rho ( x , t ) ] , } \\ { \rho ( x , 0 ) } & { = \delta ( x - x _ { 0 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d x } & { = \sin \theta \cos \varphi \, d r - r \sin \theta \sin \varphi \, d \varphi + r \cos \theta \cos \varphi \, d \theta , } \\ { d y } & { = \sin \theta \sin \varphi \, d r + r \cos \theta \sin \varphi \, d \theta + r \sin \theta \cos \varphi \, d \varphi , } \\ { d z } & { = \cos \theta \, d r - r \sin \theta \, d \theta . } \end{array}
M ( { \hat { x } } ) \triangleq \operatorname { d i a g } ( m _ { 1 } ( { \hat { x } } ) , m _ { 2 } ( { \hat { x } } ) , \ldots , m _ { n } ( { \hat { x } } ) ) = { \left[ \begin{array} { l l l l l l } { m _ { 1 } ( { \hat { x } } ) } & & & & & \\ & { m _ { 2 } ( { \hat { x } } ) } & & & & \\ & & { \ddots } & & & \\ & & & { m _ { i } ( { \hat { x } } ) } & & \\ & & & & { \ddots } & \\ & & & & & { m _ { n } ( { \hat { x } } ) } \end{array} \right] }
\begin{array} { r l } { \langle ( N L ) J ( s ~ s _ { 3 } ) S ; } & { \mathcal { J } \mathcal { M } | \hat { s } _ { 1 , q } | ( N ^ { \prime } L ^ { \prime } ) J ^ { \prime } ( s ^ { \prime } ~ s _ { 3 } ) S ^ { \prime } ; \mathcal { J } ^ { \prime } \mathcal { M } \rangle = } \\ & { \delta _ { N , N ^ { \prime } } \delta _ { L , L ^ { \prime } } \delta _ { J , J ^ { \prime } } ( - 1 ) ^ { 2 \mathcal { J } - \mathcal { M } + J + 2 S ^ { \prime } + s + s ^ { \prime } + s _ { 1 } + s _ { 2 } + s _ { 3 } + 1 } \left[ \mathcal { J } , \mathcal { J } ^ { \prime } , S , S ^ { \prime } , s , s ^ { \prime } \right] ^ { 1 / 2 } } \\ & { \times \left( \begin{array} { c c c } { \mathcal { J } } & { 1 } & { \mathcal { J } ^ { \prime } } \\ { \mathcal { M } } & { q } & { \mathcal { M } ^ { \prime } } \end{array} \right) \left\{ \begin{array} { c c c } { \mathcal { J } } & { 1 } & { \mathcal { J } } \\ { S ^ { \prime } } & { J } & { S } \end{array} \right\} \left\{ \begin{array} { c c c } { S } & { 1 } & { S ^ { \prime } } \\ { s ^ { \prime } } & { s _ { 3 } } & { s } \end{array} \right\} \left\{ \begin{array} { c c c } { s } & { 1 } & { s ^ { \prime } } \\ { s _ { 1 } } & { s _ { 2 } } & { s _ { 1 } } \end{array} \right\} \sqrt { s _ { 1 } ( s _ { 1 } + 1 ) ( 2 s _ { 1 } + 1 ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ^ { ( 2 ) } ( \tau ) } & { { } \approx \frac { | R ^ { 2 } \bar { t } _ { \omega } ^ { 2 } + T ( \omega , \tau ) | ^ { 2 } } { | R ^ { 2 } \bar { t } _ { \omega } ^ { 2 } | ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { W [ \tilde { \phi } ] } & { { } = \frac { 1 } { 2 \kappa \phi _ { 0 } } \int \mathrm { d } ^ { 3 } \mathbf { r } \, \big ( \tilde { \phi } ( \mathbf { r } ) - \phi _ { 0 } \big ) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { i j k } ^ { ( 1 ) } } & { { } = \mathrm { ~ T ~ e ~ r ~ m ~ 1 ~ } = \epsilon _ { i j k } } \\ { M _ { i j k } ^ { ( 2 ) } } & { { } = \mathrm { ~ T ~ e ~ r ~ m ~ 2 ~ } = \delta _ { i 1 } \epsilon _ { j k 1 } } \\ { M _ { i j k } ^ { ( 3 ) } } & { { } = \mathrm { ~ T ~ e ~ r ~ m ~ 3 ~ } = \delta _ { j 1 } \epsilon _ { i k 1 } } \\ { M _ { i j k } ^ { ( 4 ) } } & { { } = \mathrm { ~ T ~ e ~ r ~ m ~ 4 ~ } = \delta _ { k 1 } \epsilon _ { i j 1 } } \end{array}
\operatorname* { i n f } _ { \kappa \in I } \, \kappa \| \nabla \theta ^ { \kappa } \| _ { L ^ { 2 } ( ( 0 , 1 ) \times \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { d } ) } ^ { 2 } \geq \varrho ^ { 2 } \| \theta _ { 0 } \| _ { L ^ { 2 } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { d } ) } ^ { 2 } \, .
\begin{array} { r } { U _ { v e c } ^ { \dag } \left( x ^ { m } , x _ { 0 } ^ { m } ; x ^ { \mu } , x _ { 0 } ^ { \mu } \right) U _ { v e c } \left( x ^ { m } , x _ { 0 } ^ { m } ; x ^ { \mu } , x _ { 0 } ^ { \mu } \right) = 1 \; . } \end{array}
L _ { _ { \mathrm { G F + F P } } } ^ { 1 } = - \frac { i } { 4 } \mathrm { T r } \left( \delta _ { 1 } ( \chi ^ { \mu \nu } [ \lambda F _ { \mu \nu } - \frac { 1 } { 2 } S _ { \mu \nu \alpha \beta } F ^ { \alpha \beta } + \frac { 1 } { 2 } a B _ { \mu \nu } ] ) \right) .
\sigma _ { d i s s \leftarrow { v _ { i } ^ { + } } } ^ { d i r e c t } = \frac { \pi \rho } { 4 \varepsilon } \frac { 4 ( \xi _ { { v } _ { i } ^ { + } } ) ^ { 2 } } { \left[ 1 + \sum _ { v ^ { + } } \left( \xi _ { v ^ { + } } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } \right] ^ { 2 } } , \, \, \mathrm { w h e r e } \, \, \xi _ { v ^ { + } } = \pi \langle \chi _ { v ^ { + } } \left\vert V ^ { e l } ( R ) \right\vert F _ { d } \rangle .
\begin{array} { r l } & { \begin{array} { r l } { d \mathcal { G } ^ { k } ( \omega ) [ \boldsymbol { \mathbf { V } } ] } & { = : d J ( \omega ) [ \boldsymbol { \mathbf { V } } ] + \beta \int _ { \Omega \setminus \overline { { \omega } } } \big ( u _ { \omega } - v ^ { k } \big ) { u ^ { \prime } } \, d x + \frac { \beta } { 2 } \int _ { \partial \omega } \big ( v ^ { k } \big ) ^ { 2 } V _ { n } \, d s } \\ & { \qquad + \int _ { \Omega \setminus \overline { { \omega } } } \lambda ^ { k } { u ^ { \prime } } \, d x - \int _ { \partial \omega } \lambda ^ { k } v ^ { k } V _ { n } \, d s , } \end{array} } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { { n _ { e } } } \\ { { n _ { m } } } \end{array} \right) \to \left( \begin{array} { c c } { { a } } & { { b } } \\ { { c } } & { { d } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { n _ { e } } } \\ { { n _ { m } } } \end{array} \right) \ .
\begin{array} { r l } & { \Big | \Big \langle \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } - 1 } ( F _ { { h _ { 2 } } , i } - f _ { i } * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } ) - \widehat { \kappa } _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } - 1 } ( F _ { { h _ { 1 } } , i } - f _ { i } * \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } ) , ( f _ { \eta _ { k } } - f _ { \eta _ { k + 1 } } ) * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } - ( f _ { \eta _ { k } } - f _ { \eta _ { k + 1 } } ) * \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } \Big \rangle _ { L _ { 2 } } \Big | } \\ & { \le \vert \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } - 1 } - \widehat { \kappa } _ { k } ^ { \frac { p } { 2 r } - 1 } \vert \vert \vert F _ { { h _ { 2 } } , i } - f _ { i } * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } - F _ { { h _ { 1 } } , i } + f _ { i } * \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } \vert \vert ( f _ { \eta _ { k } } - f _ { \eta _ { k + 1 } } ) * \mathcal { K } _ { h _ { 2 } } - ( f _ { \eta _ { k } } - f _ { \eta _ { k + 1 } } ) * \mathcal { K } _ { h _ { 1 } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } . } \end{array}
\left( \hat { p } _ { g , d i f } ^ { * } \right) _ { V B } = \frac { p _ { g } ( 0 ) - p _ { g } ( R ) } { \rho _ { g } U _ { 0 } ^ { 2 } } = \frac { a ^ { 2 } \hat { R } ^ { 2 } } { 8 } ,
\begin{array} { r l } { \pm R _ { 2 } ^ { \pm } } & { { } = \frac { \mathrm { ~ i ~ } \omega _ { c i } \rho _ { i } ^ { 2 } } { 2 } \Lambda _ { k _ { 0 } } ^ { k _ { z } } \Bigg \{ \Bigg [ \Gamma _ { 0 } - \Gamma _ { z } - \left( \frac { \omega _ { * i } } { \omega } \right) _ { z } \left( F _ { 1 } - \Gamma _ { z } \right) - \frac { 1 - \Gamma _ { 0 } } { b _ { 0 } } \left( b _ { z } - b _ { 0 } \right) \Bigg ] \delta \hat { \psi } _ { z } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \Delta _ { n } ( \varphi _ { 1 } ^ { ( n ) } , \varphi _ { 2 } ^ { ( n ) } , \varphi _ { \cal A } ^ { ( n ) } | p _ { X _ { 1 } X _ { 2 } } ^ { n } , { p _ { Z K _ { 1 } K _ { 2 } } ^ { n } } ) } { \Theta ( R _ { 1 } , R _ { 2 } , \varphi _ { \cal A } ^ { ( n ) } | { p _ { Z K _ { 1 } K _ { 2 } } ^ { n } } ) } + \sum _ { i = 1 , 2 } \sum _ { p _ { \overline { { X } } _ { i } } \in { \cal P } _ { n } ( { \cal X } _ { i } ) } 1 } \\ & { \times \frac { \Xi _ { \overline { { X } } _ { i } } ( \phi _ { i } ^ { ( n ) } , \psi _ { i } ^ { ( n ) } ) } { \mathrm { e } ( n + 1 ) ^ { | { \cal X } _ { i } | } \Pi _ { \overline { { X } } _ { i } } ( R _ { i } ) } \leq 1 + \sum _ { i = 1 , 2 } ( n + 1 ) ^ { | { \cal X } _ { i } | } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { 1 } ( i + 1 ) [ q _ { 1 } ( i + 1 ) - } & { q _ { 1 } ( i ) ] + } \\ { u _ { 2 } ( } & { i - 1 ) [ q _ { 2 } ( i - 1 ) - q _ { 1 } ( i ) ] = 0 } \\ { u _ { 2 } ( i - 1 ) [ q _ { 2 } ( i - 1 ) - } & { q _ { 2 } ( i ) ] + } \\ { u _ { 1 } ( } & { i + 1 ) [ q _ { 1 } ( i + 1 ) - q _ { 2 } ( i ) ] = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { F _ { \widetilde { \eta } } } { V } = } & { { } B ( \phi _ { 1 } ^ { 2 } + \phi _ { 2 } ^ { 2 } + \phi _ { 3 } ^ { 2 } ) + 2 s C \phi _ { 1 } \phi _ { 2 } \phi _ { 3 } + } \end{array}
\begin{array} { r l r } { F _ { 1 } ( \bar { r } , t ) S ^ { ( 0 ) } ( t ) } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \bar { r } ^ { 3 } \left( \frac { w ^ { ( 0 ) } } { \bar { r } ^ { 2 } } \right) _ { \bar { r } } \dot { S } ^ { ( 0 ) } ( t ) - w ^ { ( 0 ) } \int _ { 0 } ^ { S _ { 0 } } \left< w _ { s ^ { \prime } } ^ { ( 1 ) } \right> d s ^ { \prime } - \frac { 1 } { \rho _ { 0 } } \int _ { 0 } ^ { S _ { 0 } } \left< P _ { s ^ { \prime } } ^ { ( 1 ) } \right> d s ^ { \prime } } \\ & { \quad } & { \quad \quad + \alpha g \int _ { 0 } ^ { S _ { 0 } } \hat { \mathbf { y } } \cdot \hat { \pmb { \tau } } \: \sigma ^ { ( 0 ) } \: \Tilde { T } ^ { ( 0 ) } d s ^ { \prime } } \\ { F _ { 2 } ( \bar { r } , t ) S ^ { ( 0 ) } ( t ) } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \frac { \left( \bar { r } v ^ { ( 0 ) } \right) _ { \bar { r } } } { \bar { r } } \dot { S } ^ { ( 0 ) } ( t ) - w ^ { ( 0 ) } \int _ { 0 } ^ { S _ { 0 } } \left< v _ { s ^ { \prime } } ^ { ( 1 ) } \right> d s ^ { \prime } + \frac { \zeta ^ { ( 0 ) } } { \bar { r } } \int _ { 0 } ^ { S _ { 0 } } \rho \Gamma \left< w _ { s ^ { \prime } } ^ { ( 1 ) } \right> d s ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r l } { z _ { m a } } & { { } = - \left( \varepsilon _ { m } - \varepsilon _ { a } - \omega \right) \chi _ { m a } } \\ { z _ { a m } } & { { } = - \left( \varepsilon _ { m } - \varepsilon _ { a } + \omega \right) \eta _ { m a } ^ { * } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { s l } _ { \nu } f _ { u v } ( u ) } & { = \mathrm { s l } _ { \nu } ( f _ { u } - f _ { v } ) ( u ) = - \left( s _ { \mathrm { m a x } } ^ { u , \overline { \nu } } ( D ) - r \right) - \left( s _ { \mathrm { m a x } } ^ { v , \nu } ( D ) - r \right) } \\ & { = 2 r - \left( s _ { \mathrm { m a x } } ^ { v , \nu } ( D ) + s _ { \mathrm { m a x } } ^ { u , \overline { \nu } } ( D ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| { \bf X } ^ { t } - { \bf P } { \bf X } ^ { t } \| } & { = \| \sum _ { j = 0 } ^ { t - 1 } ( { \bf P } - { \bf W } ^ { Q ( t - 1 - j ) } ) { \bf \zeta } ^ { j } \| } \\ & { \leq \sum _ { j = 0 } ^ { t - 1 } \| { \bf P } - { \bf W } ^ { Q ( t - 1 - j ) } \| _ { \textrm { o p } } \| { \bf \zeta } ^ { j } \| } \\ & { \leq \sum _ { j = 0 } ^ { t - 1 } \lambda ^ { t - 1 - j } \| { \bf W } ^ { ( t - 1 - j ) ( Q - 1 ) } \| \| { \bf \zeta } ^ { j } \| } \\ & { \leq \sum _ { j = 0 } ^ { t - 1 } \lambda ^ { t - 1 - j } \| { \bf W } ^ { t - 1 - j } - { \bf P } + { \bf P } \| ^ { Q - 1 } \| { \bf \zeta } ^ { j } \| . } \end{array}
= - i \sum _ { k = 1 } ^ { n } \{ f ( { \bf { x } } _ { k } ) a ( \sigma _ { k } ) \nabla _ { s } ^ { k } + \frac { 1 } { 2 } [ \nabla _ { s } ^ { k } f ( { \bf { x } } _ { k } ) ] a ( \sigma _ { k } ) \} \varphi _ { n } ( { \bf { x } } _ { 1 } \sigma _ { 1 } , { \bf { x } } _ { 2 } \sigma _ { 2 } , . . . , { \bf { x } } _ { n } \sigma _ { n } )
{ \cal F } ^ { ( 0 ) } = { \frac { 1 } { a ^ { 3 } } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } { \frac { d \omega } { 2 \pi } } e ^ { - i \omega \tau } \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } { \frac { 2 l + 1 } { 4 \pi } } \left\{ x ^ { \prime } [ \tilde { s } _ { l } ^ { \prime } ( x ^ { \prime } ) \tilde { e } _ { l } ^ { \prime } ( x ^ { \prime } ) - \tilde { e } _ { l } ( x ^ { \prime } ) \tilde { s } _ { l } ^ { \prime \prime } ( x ^ { \prime } ) ] - x [ \tilde { s } _ { l } ^ { \prime } ( x ) \tilde { e } _ { l } ^ { \prime } ( x ) - \tilde { e } _ { l } ( x ) \tilde { s } _ { l } ^ { \prime \prime } ( x ) ] \right\} .