harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \mathcal { U } ^ { H } \ltimes \mathcal { U } = \mathrm { f o l d } ( U ^ { H } \ltimes \mathrm { c i r c } ^ { - 1 } ( U ) ) = \mathrm { f o l d } \left( \left[ \begin{array} { l } { I _ { m _ { 1 } } } \\ { 0 } \\ { \vdots } \\ { 0 } \end{array} \right] \right) = \mathcal { I } _ { m _ { 1 } m _ { 1 } \mathit { l } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { 1 } [ F _ { j ( k _ { \pm 1 } ) } ] } & { = \frac { 2 c } { \kappa \xi \eta } j ( k _ { \pm 1 } , \tilde { s } _ { 0 } ) + \frac { 2 c } { \beta \kappa \xi } ( \tilde { w } ( 1 ) + c _ { 1 } ^ { \ast } + c _ { 2 } ^ { \ast } ) } \\ { R _ { 2 } [ F _ { j ( k _ { \pm 1 } ) } ] } & { = \frac { 2 c } { \kappa \xi \eta } j ( k _ { \pm 1 } , \tilde { s } _ { 0 } ) ( \frac { s \vee \tilde { s } _ { 0 } } \eta ) ^ { \gamma _ { 1 } } + \frac c { \beta \kappa \xi } ( \tilde { w } ( 1 ) + c _ { 1 } ^ { \ast } + c _ { 2 } ^ { \ast } ) ( \frac { s \vee \tilde { s } _ { 0 } } \eta ) ^ { \gamma _ { 1 } } } \end{array}
K ( \vec { r } , t ) = \frac { 1 } { 2 \pi } \delta \left( \tau ^ { 2 } \right) - \frac { 1 } { 4 \pi { \ell _ { 0 } } ^ { 2 } } \frac { \ell _ { 0 } } { \tau } J _ { 1 } \left( \frac { \tau } { \ell _ { 0 } } \right)
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } | \rho ^ { \nu } | ^ { q } b ^ { \nu } \cdot \nabla _ { x } \varphi + g ^ { \nu } | \rho ^ { \nu } | ^ { q - 2 } \rho ^ { \nu } \varphi ~ d x d t \to \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 } } | \rho | ^ { q } b \cdot \nabla _ { x } \varphi + g | \rho | ^ { q - 2 } \rho \varphi ~ d x d t } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int \, \textnormal { d } x \left( | \nabla f ( x ) | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } v ( x ) f ( x ) ^ { 2 } \right) | x | ^ { 2 } } \\ & { \quad = \frac { 1 } { ( 1 - a ^ { 3 } / b ^ { 3 } ) ^ { 2 } } \int _ { | x | \leq b } \, \textnormal { d } x \left( | \nabla f _ { 0 } ( x ) | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } v ( x ) f _ { 0 } ( x ) ^ { 2 } \right) | x | ^ { 2 } } \\ & { \quad \leq 1 2 \pi a ^ { 3 } \left( 1 + O ( a ^ { 3 } / b ^ { 3 } ) \right) , } \end{array}
\Gamma _ { + } ^ { 3 } = \frac { e ^ { 2 } } { 1 6 \pi } \int d t ~ d ^ { 3 } { \bf x } ~ \epsilon _ { i j k } ~ \left[ \partial _ { k } a _ { j } ~ \dot { a } _ { i } + a _ { j } ~ \partial _ { k } \dot { a } _ { i } \right] ,
\begin{array} { r l r } { \frac { T ( h ) - I } { h } \int _ { 0 } ^ { t } T ( t - r ) f ( r ) d r } & { = } & { \frac { 1 } { h } \Big [ \int _ { 0 } ^ { t } T ( h ) T ( t - r ) f ( r ) d r - \int _ { 0 } ^ { t } T ( t - r ) f ( r ) d r \Big ] } \\ & { = } & { \frac { 1 } { h } \Big [ \int _ { 0 } ^ { t } T ( t + h - r ) f ( r ) d r - \int _ { 0 } ^ { t } T ( t - r ) f ( r ) d r \Big ] } \\ & { = } & { \frac { 1 } { h } \Big [ \int _ { - h } ^ { t - h } T ( t - r ) f ( r + h ) d r - \int _ { 0 } ^ { t } T ( t - r ) f ( r ) d r \Big ] } \\ & { = } & { \frac { 1 } { h } \Big [ \int _ { - h } ^ { 0 } T ( t - r ) f ( r + h ) d r + \int _ { 0 } ^ { t - h } T ( t - r ) f ( r + h ) d r } \\ & { } & { \qquad - \int _ { 0 } ^ { t - h } T ( t - r ) f ( r ) d r - \int _ { t - h } ^ { t } T ( t - r ) f ( r ) d r \Big ] } \\ & { = } & { \frac { 1 } { h } \int _ { - h } ^ { 0 } T ( t - r ) f ( r + h ) d r - \frac { 1 } { h } \int _ { t - h } ^ { t } T ( t - r ) f ( r ) d r } \\ & { } & { + \int _ { 0 } ^ { t - h } T ( t - r ) \frac { f ( r + h ) - f ( r ) } { h } d r . } \end{array}
\sum _ { \gamma ^ { 0 } \in \textrm { R a n g e } _ { f _ { T } ^ { 0 } } } \operatorname* { P r } _ { x \sim X } [ f _ { T } ^ { 0 } ( x ) = \gamma ^ { 0 } | x \in G , f _ { T } ^ { 1 } ( x ) = \gamma ^ { 1 } ] \cdot \left( V ^ { 0 } ( \gamma ^ { 0 } , Y _ { ( G , \gamma ^ { 0 } , \gamma ^ { 1 } ) } ) \right) ^ { 2 } \leq \frac { \alpha ^ { 0 } } { \operatorname* { P r } _ { x \in X } [ x \in G , f _ { T } ^ { 1 } ( x ) = \gamma ^ { 1 } ] } ,
\begin{array} { r l } { U ( t , t _ { 0 } ) = { } } & { { } 1 - i \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } d t _ { 1 } V ( t _ { 1 } ) + ( - i ) ^ { 2 } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } d t _ { 1 } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { 1 } } \, d t _ { 2 } V ( t _ { 1 } ) V ( t _ { 2 } ) + \cdots } \end{array}
\begin{array} { r l r } { i _ { \overline { { \mathbf { X } } } _ { L } } \mathbf { d } \gamma ^ { [ 1 ] } } & { = } & { - 2 ( \widehat { q } _ { 1 } \cdot \widehat { q } _ { 2 } ) \frac { E } { m } + \frac { 2 } { \vert q _ { 1 } \vert \vert q _ { 2 } \vert } v _ { 1 } \cdot \Pi ( q _ { 1 } ) \cdot \Pi ( q _ { 2 } ) \cdot v _ { 2 } - } \\ & { } & { \frac { \lambda } { m } ( \widehat { q } _ { 1 } \cdot \widehat { q } _ { 2 } ) \left[ v _ { 2 } \cdot \Pi ( q _ { 2 } ) \cdot \widehat { q } _ { 1 } - v _ { 1 } \cdot \Pi ( q _ { 1 } ) \cdot \widehat { q } _ { 2 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { P S D } ( k ) } & { { } = \frac { 1 } { N ^ { 4 } } \frac { \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { k } ^ { k + 1 } \tilde { I } ^ { * } \tilde { I } k ^ { \prime } d k ^ { \prime } d \phi } { \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { k } ^ { k + 1 } k ^ { \prime } d k ^ { \prime } d \phi } } \end{array}
H _ { \mu \nu } = \mu \delta _ { \mu , \nu } , \quad D _ { \mu \nu } = \delta _ { \mu , \nu } D _ { \mu } , \quad D _ { \mu } = - i g _ { s } \left( \, z ^ { ( 1 / 2 ) } ( \mu \cdot q ) + \sum _ { \lambda \in \Delta _ { s } , \ \lambda \cdot \mu = 1 / 2 } z ^ { ( 1 / 2 ) } ( \lambda \cdot q ) \right) ,
\left( { \begin{array} { c c c c c } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 7 7 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 2 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 6 3 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 7 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} } \right) \left( { \begin{array} { c c c c c } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 2 2 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 3 3 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 4 4 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} } \right) = \left( { \begin{array} { c c c c c } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 7 7 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 1 2 } & { 2 2 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 6 3 } & { 3 3 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 7 } & { 4 4 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} } \right)
{ } ^ { ( 2 ) } \! S ^ { i j k l } = \frac 6 7 P ^ { ( i j } g ^ { k l ) } = \frac 1 7 \left( P ^ { i j } g ^ { k l } + P ^ { i k } g ^ { j l } + P ^ { i l } g ^ { j k } + P ^ { j k } g ^ { i l } + P ^ { j l } g ^ { i k } + P ^ { k l } g ^ { i j } \right) .
g \, \langle \langle F _ { h k } ( z _ { j } ) \rangle \rangle ^ { \mathrm { L R } } = \frac { \sigma } { m _ { j } } \frac { 1 } { r _ { j } } ( r _ { j } ^ { h } p _ { j } ^ { k } - r _ { j } ^ { k } p _ { j } ^ { h } )
\mathbb { E } _ { 1 } \left[ W ( a ) \right] \geq \frac { n } { 2 w _ { a } ^ { 2 } ( 1 + C _ { 1 } ) ^ { 3 } } \sum _ { b , c \in V _ { C } } \frac { \mathbb { P } _ { 1 } \left( | | x _ { a } - x _ { b } | | ^ { d } \leq \frac { w _ { a } w _ { b } } { \mu k } , | | x _ { b } - x _ { c } | | ^ { d } \leq \frac { w _ { b } w _ { c } } { \mu k } , | | x _ { a } - x _ { c } | | ^ { d } \leq \frac { w _ { a } w _ { c } } { \mu k } \right) } { w _ { b } w _ { c } } .
\begin{array} { r } { E _ { 2 \mathrm { ~ D ~ } } ^ { T } ( k _ { \perp } , k _ { \parallel } ) \sim \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle k _ { \parallel } ^ { - 9 } k _ { \perp } ^ { 3 } , } & { \displaystyle k _ { \parallel } \gtrsim k _ { \perp } ^ { 2 / 3 } , } \\ { \displaystyle k _ { \perp } ^ { - 3 } k _ { \parallel } ^ { 0 } , } & { \displaystyle k _ { \parallel } \lesssim k _ { \perp } ^ { 2 / 3 } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { H _ { 1 } ( x ) } & { { } = \frac { 1 } { 1 2 0 } ( 1 - x ^ { 2 } ) ( 1 - 5 x ^ { 2 } ) } & { } & { { } \mathrm { ~ i ~ f ~ } \quad n = 1 . } \end{array}
\mathrm { d } \hat { \rho } ( t ) = \left\{ \mathrm { d } N \left[ \mathrm { e } ^ { \mathcal { K } } \left( \mathcal { G } [ \hat { c } ] + 1 \right) - 1 \right] - \mathrm { d } t \mathcal { H } [ i \hat { H } _ { 0 } + \frac { 1 } { 2 } \hat { c } ^ { \dagger } \hat { c } ] \right\} \hat { \rho } ( t )
C _ { \mu } ( \Delta \vec { r } ; \vec { r } _ { 0 } ) = \int _ { x _ { 0 } - \delta x } ^ { x _ { 0 } + \delta x } d x \int _ { y _ { 0 } - \delta y } ^ { y _ { 0 } + \delta y } d y \, I ( \vec { r } ) I ( \vec { r } + \Delta \vec { r } ) \, ,
S _ { m } = m ^ { 2 } \frac { 2 - N } { N - 1 } \int \frac { d ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \frac { 1 - \cos ( 2 k \wedge p ) } { k ^ { 2 } ( k ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) } ,
\begin{array} { r l } { y _ { \ell } } & { = \mathbf { h } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { E 2 E } , \scriptscriptstyle \mathrm { d } , \ell } \mathbf { W } \mathbf { s } + \mathbf { h } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { E 2 E } , \ell } ( \mathbf { Z } _ { \textnormal { \tiny { R I S } } } ) \mathbf { W } \mathbf { s } + n _ { \ell } } \\ & { = \big ( \mathbf { h } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { E 2 E } , \scriptscriptstyle \mathrm { d } , \ell } + \mathbf { h } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { E 2 E } , \ell } ( \mathbf { Z } _ { \textnormal { \tiny { R I S } } } ) \big ) \mathbf { w } _ { \ell } s _ { \ell } } \\ & { \phantom { = } + \sum _ { k = 1 , k \neq \ell } ^ { L } \big ( \mathbf { h } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { E 2 E } , \scriptscriptstyle \mathrm { d } , \ell } + \mathbf { h } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { E 2 E } , \ell } ( \mathbf { Z } _ { \textnormal { \tiny { R I S } } } ) \big ) \mathbf { w } _ { k } s _ { k } + n _ { \ell } } \end{array}
A _ { 4 , 1 } = - \frac { 1 } { 2 } M _ { 1 } V _ { 1 } + O ( M _ { i } ^ { 4 } ) , \qquad A _ { 4 , 0 } = - \frac { 1 } { 8 } V _ { \Phi } - \frac { 1 3 } { 1 6 } M _ { 1 } V _ { 1 } + \frac { 5 } { 6 P } e ^ { - \Phi _ { \infty } } M _ { 2 } V _ { 1 } + O ( M _ { i } ^ { 4 } ) , \, [ 2 m m ]
\begin{array} { r l } { \hat { R } - i \hat { J } } & { = \widehat { M ^ { T } S M } - i \widehat { M ^ { T } J M } } \\ & { = \widehat { M ^ { T } } \hat { S } \hat { M } - i \widehat { M ^ { T } } \hat { J } \hat { M } \quad ( \textrm { f o l l o w s f r o m R e m a r k } ) } \\ & { = \widehat { M ^ { T } } ( \hat { S } - i \hat { J } ) \hat { M } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { \mathbf { a } } ( \mathbf { u } ) = \sum _ { m = 1 } ^ { M } \mathbf { a } _ { m , \theta } \frac { \mathbf { a } _ { m , \theta } ^ { T } \mathbf { \mathbf { u } } - b _ { m , \theta } } { \left\| \mathbf { a } _ { m , \theta } ^ { T } \mathbf { \mathbf { u } } - b _ { m , \theta } \right\| } + \mathbf { a } _ { m , \phi } \frac { \mathbf { a } _ { m , \phi } ^ { T } \mathbf { \mathbf { u } } - b _ { m , \phi } } { \left\| \mathbf { a } _ { m , \phi } ^ { T } \mathbf { \mathbf { u } } - b _ { m , \phi } \right\| } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { \mathrm { D } F ( x ) } { \mathrm { D } x } = \operatorname* { l i m } _ { \delta \to 0 } \big ( F ( x \oplus _ { k } \delta _ { k } ) \ominus _ { k } F ( x ) \big ) \oslash _ { k } \delta _ { k } , } \end{array}
S [ q ^ { 0 } ( \tau ) , q ^ { i } ( \tau ) , p _ { 0 } ( \tau ) , p _ { i } ( \tau ) , u ^ { 0 } ( \tau ) ] = \int _ { \tau _ { 1 } } ^ { \tau _ { 2 } } [ p _ { 0 } \dot { q } ^ { 0 } + p _ { i } \dot { q } ^ { i } - u ^ { 0 } ( p _ { 0 } + H _ { 0 } ) ] d \tau
\begin{array} { r c l } { { \frac { A ^ { 2 n + 2 } } { V ^ { 2 n + 1 } } } } & { { = } } & { { 4 \pi ( n + 1 ) \, \lambda ^ { n } \left( \frac { n + 1 } { 2 ^ { n } } \right) ^ { n } \mathrm { V o l ( M ) } \, \rho ^ { n + 1 } ( \rho + 1 ) ^ { n ( n + 1 ) } } } \\ { { } } & { { \times } } & { { \frac { \left( \mathrm { { A p p e l l } } F _ { 1 } [ n + 1 , 2 , - n , n + 2 , 1 - \rho , \frac { 1 - \rho } { 2 } ] \right) ^ { n + 1 } } { \left( _ 2 F _ { 1 } [ 1 + n , - n , n + 2 , \frac { 1 - \rho } { 2 } ] \right) ^ { 2 n + 1 } } . } } \end{array}
\dot { \overline { { \int _ { \mathrm { ~ P ~ } } \! \psi _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } \, d v _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } } } } \le \mathcal { W } _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ t ~ } } ( \mathrm { ~ P ~ } ) - \int _ { \partial \mathrm { ~ P ~ } } \mu ^ { \mathrm { ~ e ~ } } { \bf j } _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } \cdot { \bf n } _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } d a _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } - \int _ { \partial \mathrm { ~ P ~ } } \phi \dot { \textbf { d } } _ { \mathrm { ~ R ~ } } \cdot { \bf n } _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } \, d a _ { \mathrm { ~ \tiny ~ R ~ } } .
\begin{array} { r l } { P ( \beta | u , \beta _ { S } ) } & { { } = \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } \int _ { 0 } ^ { \infty } d K P ( \beta | K , u , \beta _ { S } ) P ( K | u , \beta _ { S } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { H = \sum _ { c \in \{ a , b \} } \left[ \omega _ { c } c ^ { \dagger } c + \frac { \delta _ { c } } { 2 } c ^ { \dagger } c ( c ^ { \dagger } c - \mathbb { I } ) \right] + J ( a + a ^ { \dagger } ) ( b + b ^ { \dagger } ) } \\ { + \Omega _ { x } ( t ) \cos ( \omega _ { b } t ) ( a + a ^ { \dagger } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { x } ( \theta ) = } & { - \frac { g M } { 4 \chi ( 2 \pi \gamma + \cos \theta - 1 ) ^ { 2 } } \Big [ \sin \alpha \big ( 1 6 \pi ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } \chi - 1 6 \pi \gamma \chi - 4 \pi \gamma - \chi ^ { 2 } + 3 \chi + 2 } \\ & { + 2 \pi \gamma \chi ^ { 2 } + 2 ( - 1 + ( - 3 + 6 \pi \gamma ) \chi ) \cos \theta + \chi \cos ( 2 \theta ) - 2 \theta \sin \theta - 4 \theta \chi \sin \theta } \\ & { + 8 \pi \gamma \theta \chi \sin \theta + \theta \chi \sin ( 2 \theta ) \big ) + \chi ( 2 \cos \alpha ( - 1 - 2 \chi + 4 \pi \gamma \chi + \chi \cos \theta ) \sin \theta } \\ & { - ( - 2 + 4 \pi \gamma + \chi ) \sin ( \alpha + \theta ) - \chi ( ( - 3 + 6 \pi \gamma ) \sin ( \alpha + 2 \theta ) + \sin ( \alpha + 3 \theta ) ) ) \Big ] , } \\ { F _ { y } ( \theta ) = } & { \; \; \frac { g M } { 4 ( 2 \pi \gamma + \cos \theta - 1 ) ^ { 2 } } \Big [ \cos \alpha \big ( 6 - 1 6 \pi \gamma + 1 6 \pi ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } - 4 \chi + 2 \pi \gamma \chi } \\ & { + ( - 8 - 8 \pi \gamma ( - 2 + \chi ) + 7 \chi ) \cos \theta + ( 2 - 4 \chi + 6 \pi \gamma \chi ) \cos ( 2 \theta ) + \chi \cos ( 3 \theta ) \big ) } \\ & { - \sin \alpha ( 3 \theta + 4 ( - 1 + 2 \pi \gamma ) \theta \cos \theta + \theta \cos ( 2 \theta ) - 2 \sin \theta + 4 \pi \gamma \sin \theta } \\ & { + 3 \chi \sin \theta + \sin ( 2 \theta ) - 3 \chi \sin ( 2 \theta ) + 6 \pi \gamma \chi \sin ( 2 \theta ) + \chi \sin ( 3 \theta ) ) \Big ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma ( q ^ { * } ) ( s , a ) ^ { 2 } } & { = \gamma ^ { 2 } P _ { s , a } [ ( v ( q ^ { * } ) - P _ { s , a } [ v ( q ^ { * } ) ] ) ^ { 2 } ] } \\ & { = \gamma ^ { 2 } P _ { s , a } [ ( v ^ { * } - P _ { s , a } [ v ^ { * } ] ) ^ { 2 } ] } \\ & { = \gamma ^ { 2 } P _ { s , a } [ ( v ^ { * } - \bar { v } _ { l } + \bar { v } _ { l } - P _ { s , a } [ \bar { v } _ { l } ] + P _ { s , a } [ \bar { v } _ { l } ] - P _ { s , a } [ v ^ { * } ] ) ^ { 2 } ] } \\ & { = \gamma ^ { 2 } \mathrm { V a r } _ { s , a } ( v ^ { * } ( S ^ { \prime } ) - \bar { v } _ { l } ( S ^ { \prime } ) ) + \gamma ^ { 2 } \mathrm { V a r } _ { s , a } ( \bar { v } _ { l } ( S ^ { \prime } ) ) } \\ & { \leq \gamma ^ { 2 } \mathrm { V a r } _ { s , a } ( \bar { v } _ { l } ( S ^ { \prime } ) ) + \gamma ^ { 2 } \| \bar { q } _ { l } - q ^ { * } \| _ { \infty } } \end{array}
\mathcal { M } \varphi = \left\{ \begin{array} { r l r } & { ( 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ) ^ { * } \; } & { \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma _ { 1 } , } \\ & { ( - v _ { 1 , o u t } \varphi _ { 1 } , - v _ { 2 , o u t } \varphi _ { 2 } + \varphi _ { 2 } V _ { 2 } ( \varphi ) , - v _ { 3 , o u t } \varphi _ { 3 } + \varphi _ { 3 } V _ { 3 } ( \varphi ) , - v _ { 4 , o u t } \varphi _ { 4 } , - v _ { 5 , o u t } \varphi _ { 5 } ) ^ { * } \; } & { \mathrm { ~ o n ~ } \Gamma _ { 2 } . } \end{array} \right.
f _ { \mu \nu } = \partial _ { \mu } j _ { \nu } - \partial _ { \nu } j _ { \mu } \ \ \mathrm { o r } \ \, v e c { e } = - \partial _ { \tau } \vec { j } - \vec { \partial } j ^ { 0 } \ \ , \ \ \vec { b } = \vec { \partial } \times \vec { j } ,
G ( z _ { 2 } , \cdots , z _ { n } , z _ { 1 } \tau ^ { 2 n } ) ^ { n \cdots \hat { i } \cdots 1 i } = \delta _ { i } G ( z _ { 1 } , \cdots , z _ { n } ) ^ { i n \cdots \hat { i } \cdots 1 } , ~ ~ ~ ~ \delta _ { i } = \delta _ { 1 } \tau ^ { 2 - 2 i } .
\mathbf { G } _ { j } = \frac { \mathrm { s g n } ( \mathsf { A } ) } { p _ { j } ^ { 2 } + \mu _ { j } ^ { 2 } } \, d p _ { j } \otimes d p _ { j } + \frac { p _ { j } ^ { 2 } + \mu _ { j } ^ { 2 } } { \mathsf { A } ^ { 2 } } \, d \psi _ { j } \otimes d \psi _ { j } \, .
\begin{array} { r l } & { \int _ { B _ { \rho } ( x ) \cap S _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } } f _ { \varepsilon } \langle y - x , \nabla u _ { \varepsilon } \rangle } \\ & { = - \int _ { \partial B _ { \rho } \cap S _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } } \rho d \mu _ { \varepsilon } + ( n + 1 ) \int _ { B _ { \rho } \cap S _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } } d \mu _ { \varepsilon } } \\ & { + \int _ { B _ { \rho } \cap \{ y _ { n + 1 } = t _ { 2 } \} } ( y _ { n + 1 } - x _ { n + 1 } ) d \mu _ { \varepsilon } - \int _ { B _ { \rho } \cap \{ y _ { n + 1 } = t _ { 1 } \} } ( y _ { n + 1 } - x _ { n + 1 } ) d \mu _ { \varepsilon } } \\ & { + \int _ { \partial B _ { \rho } \cap S _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } } \varepsilon \rho ^ { - 1 } \langle y - x , \nabla u _ { \varepsilon } \rangle ^ { 2 } - \int _ { B _ { \rho } \cap S _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } } \varepsilon | \nabla u _ { \varepsilon } | ^ { 2 } } \\ & { + \int _ { B _ { \rho } \cap \{ y _ { n + 1 } = t _ { 2 } \} } \varepsilon \frac { \partial u } { \partial x _ { n + 1 } } \langle y - x , \nabla u _ { \varepsilon } \rangle - \int _ { B _ { \rho } \cap \{ y _ { n + 1 } = t _ { 1 } \} } \varepsilon \frac { \partial u } { \partial x _ { n + 1 } } \langle y - x , \nabla u _ { \varepsilon } \rangle . } \end{array}
W _ { \mu \nu } ^ { [ A ] } = \frac { 1 } { M } \varepsilon _ { \mu \nu \lambda \sigma } q ^ { \lambda } [ M ^ { 2 } s ^ { \sigma } G _ { 1 } ( \nu , Q ^ { 2 } ) + ( p \cdot q s ^ { \sigma } - s \cdot q p ^ { \sigma } ) G _ { 2 } ( \nu , Q ^ { 2 } ) ] .
B _ { n } ( \mu ) = B _ { n } ^ { ( 0 ) } ( \mu ) = ( 1 + 2 \cosh ( \mu \beta ) ) n ^ { - 5 / 2 } \left( 1 + \frac { 1 5 } { 8 n } \frac { T } { m _ { \pi } } + . . . \right) \, .
< A _ { 1 } | r > = \psi _ { r } ( A _ { 1 } ) = \frac { 2 \pi } { k } \, C _ { r } \, \sum _ { n = - \infty } ^ { + \infty } \, \delta \left( A _ { 1 } - \frac { 2 \pi r } { k } - 2 \pi n \right) \ \ \ , \ \ \ r = 0 , 1 , 2 , \dots , k - 1 \ \ \ ,
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial r } \left[ r \frac { \partial \Psi } { \partial r } \right] - \frac { 4 } { r ^ { 2 } } \Psi = \Psi + 2 \nu g K _ { 1 } ( r ) r , } \\ & { \frac { 1 } { r } \frac { \partial } { \partial r } \left[ r \frac { \partial \Phi } { \partial r } \right] = \Phi + 2 \nu g K _ { 1 } ( r ) r . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f = } & { \frac { q } { 2 } \left( \sum _ { k = 1 } ^ { m - 2 } x _ { \pi _ { 1 } ( k ) } x _ { \pi _ { 1 } ( k + 1 ) } + \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } y _ { \pi _ { 2 } ( k ) } y _ { \pi _ { 2 } ( k + 1 ) } + x _ { \pi _ { 1 } ( m - 1 ) } x _ { m } + x _ { m } y _ { \pi _ { 2 } ( 1 ) } \right) } \\ & { + \sum _ { l = 1 } ^ { m } p _ { l } x _ { l } + \sum _ { s = 1 } ^ { n } \kappa _ { s } y _ { s } + p _ { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { U _ { \mathrm { E } } ( \vec { x } ) } & { { } = } & { G \int \frac { \sigma ( t , { \vec { x } ^ { \prime } } ) d ^ { 3 } x ^ { \prime } } { | { \vec { x } } - { \vec { x } ^ { \prime } } | } + { \cal O } ( c ^ { - 4 } ) . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \frac { 2 \pi + 3 \sqrt { 3 } } { 6 } r ^ { 2 } + O ( r ^ { 4 } ) } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } r \ll 1 , \medskip } \\ { \displaystyle 2 \pi \cosh r - 8 \cosh ( r / 2 ) + O ( e ^ { - r } ) } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } r \gg 1 , } \end{array} \right.
\alpha = \frac { 1 } { 4 } \left( \frac { k ^ { 2 } - \nu ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } - 1 \right) \ge 0 , \qquad \xi = \frac { 1 } { 2 } \cdot \frac { k | \nu | } { m ^ { 2 } } \ge 0 .
{ \bar { \lambda } } _ { D } ^ { - 4 } \lambda _ { d _ { 1 } } \lambda _ { d _ { j } } ^ { 2 } \mathrm { I m } \left[ ( \lambda _ { \alpha } ) _ { 1 k } ( \lambda _ { \alpha } ^ { \dagger } ) _ { k j } ( \lambda _ { \alpha } ) _ { j l } ( \lambda _ { \alpha } ^ { \dagger } ) _ { l 1 } \right] ~ .
\mathcal { M } _ { d Q } ( z ) = \left( \rho _ { \mathrm { w } } ( z ) / \rho _ { \mathrm { t o t } } ( z ) - \bar { \rho } _ { \mathrm { w } } / \bar { \rho } _ { \mathrm { t o t } } \right) \mathcal { M } _ { q Q } ( z ) N / V
\begin{array} { r l } { \mathcal { \hat { H } } _ { \mathrm { G T C } } ( k _ { z } = 0 ) } & { { } = \sum _ { k _ { x } } \Bigg ( \sum _ { k _ { y } } \hat { a } _ { \boldsymbol k } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \boldsymbol k } \omega _ { c } ( { \boldsymbol k } ) + \sum _ { m } \epsilon ( k _ { x } ) \hat { d } _ { k _ { x } , m } ^ { \dagger } \hat { d } _ { k _ { x } , m } } \end{array}
3 \mathrm { T r } \gamma _ { \theta , 3 } - \mathrm { T r } \gamma _ { \theta , 7 _ { 1 } } - \mathrm { T r } \gamma _ { \theta , 7 _ { 2 } } + \mathrm { T r } \gamma _ { \theta , 7 _ { 3 } } = 0
S _ { h _ { \mathrm { e f f } } } ^ { a _ { 1 } } ( \Omega ) = \left| \int \frac { d ^ { 2 } x _ { \perp } } { \pi w _ { D } ^ { 2 } } \langle \mathrm { H G } _ { 0 0 } | x _ { \perp } \rangle h ( x , y ) \langle x _ { \perp } | \mathrm { H G } _ { 0 1 } \rangle \right| ^ { 2 } S _ { a _ { 1 } a _ { 1 } } ( \Omega ) .
E _ { \mathrm { F } } = { \frac { \hbar ^ { 2 } \pi ^ { 2 } } { 2 m L ^ { 2 } } } n _ { \mathrm { F } } ^ { 2 } = { \frac { \hbar ^ { 2 } \pi ^ { 2 } } { 2 m L ^ { 2 } } } \left( { \frac { 3 N } { \pi } } \right) ^ { 2 / 3 }
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } ( - \nu \Delta { \mathbf u } + \nabla p ) \cdot { \mathbf v } \, d { \mathbf x } } & { { } = \int _ { \Omega } \frac { \nu } { 2 } { \mathcal { D } } ( { \mathbf u } ) : { \mathcal { D } } ( { \mathbf v } ) + \nu { \mathbf v } \cdot \nabla ( { { \nabla \cdot } \, } { \mathbf u } ) - p { { \nabla \cdot } \, } { \mathbf v } \, d { \mathbf x } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \bar { G } } & { { } = } & { \frac { p _ { \| } } { q B } \left[ - R \frac { \partial } { \partial R } \left( \frac { 1 } { R } \frac { \partial \Psi } { \partial R } \right) - \frac { 1 } { R } \frac { \partial \Psi } { \partial R } - \frac { \partial ^ { 2 } \Psi } { \partial Z ^ { 2 } } \right] } \end{array}
\mathbb { E } \! \left[ \left\lvert \frac 1 n \sum _ { i = 1 } ^ { \ell } ( f ^ { * } ( z _ { i } ) - f ^ { * } ( z _ { i } ^ { \prime } ) ) \right\rvert \right] \le \mathbb { E } \! \left[ \frac { r ( f ^ { * } ) T } \ell \right] \le \frac 1 2 \mathbb { E } \! \left[ r ( f ^ { * } ) ^ { 2 } \right] + \frac 1 { 2 \ell ^ { 2 } } \mathbb { E } \! \left[ T ^ { 2 } \right] .
\frac { y } { 2 } + \frac { 1 } { 2 } d + \frac { m _ { \scriptscriptstyle { N _ { 1 } } } } { N _ { 1 } } n _ { 1 } + \cdots + \frac { m _ { \scriptscriptstyle { N _ { k } } } } { N _ { k } } n _ { k } \equiv 0 \pmod 1
\begin{array} { r l r } { { \textbf A } _ { r } } & { = { \textbf W } _ { r } ^ { T } { \textbf A } { \textbf V } _ { r } = { \textbf S } _ { 1 } ^ { - 1 / 2 } { \textbf Z } _ { 1 } ^ { T } \, ( { \textbf L } ^ { T } { \textbf A } { \textbf U } ) \, { \textbf Y } _ { 1 } { \textbf S } _ { 1 } ^ { - 1 / 2 } , } & { { \textbf B } _ { r } = { \textbf W } _ { r } ^ { T } { \textbf B } = { \textbf S } _ { 1 } ^ { - 1 / 2 } { \textbf Z } _ { 1 } ^ { T } \, ( { \textbf L } ^ { T } { \textbf B } ) , } \\ { { \textbf C } _ { r } } & { = { \textbf C } { \textbf V } _ { r } = ( { \textbf C } { \textbf U } ) \, { \textbf Y } _ { 1 } { \textbf S } _ { 1 } ^ { - 1 / 2 } . } \end{array}
\small \mathrm { C I } = \left( \widehat { \beta } _ { j } ^ { \mathrm { D e b } } - z _ { \alpha / 2 } \sqrt { \widehat { \mathrm { V } } } , \quad \widehat { \beta } _ { j } ^ { \mathrm { D e b } } + z _ { \alpha / 2 } \sqrt { \widehat { \mathrm { V } } } \right) \quad \mathrm { w i t h } \quad \widehat { \mathrm { V } } = \frac { 1 } { n } \widehat { u } ^ { \intercal } \widehat { \Sigma } ^ { G } \widehat { u } ,
G _ { \alpha } = i T r \Big [ U { \cal D } _ { \alpha } ^ { - } V - V { \cal D } _ { \alpha } ^ { + } U + \overline { { V } } { \cal D } _ { \alpha } ^ { + } \overline { { U } } - \overline { { U } } { \cal D } _ { \alpha } ^ { + } \overline { { V } } \Big ] \, .