harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { R \sin \phi _ { 1 } } & { = } & { \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \phi _ { 1 } } \frac { \cos \phi d \phi } { \sqrt { \frac { 2 P _ { 0 } } { B } [ \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } ] } } , } \\ { R - R \cos \phi _ { 1 } } & { = } & { \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { \phi _ { 1 } } \frac { \sin \phi d \phi } { \sqrt { \frac { 2 P _ { 0 } } { B } [ \sin \phi - \sin \phi _ { 0 } ] } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { \mathrm { S c } } \partial _ { t } v _ { 1 } - \partial _ { y _ { 3 } } ^ { 2 } v _ { 1 } = - \frac { \mathrm { R e } } { \mathrm { F r } ^ { 2 } } f \sin \theta , \quad \left. v _ { 1 } \right| _ { y _ { 3 } = 0 , 1 } = 0 , \quad \left. v _ { 1 } \right| _ { t = 0 } = 0 , } \\ & { \frac { 1 } { \kappa _ { 2 } } \partial _ { t } f - \partial _ { y _ { 3 } } ^ { 2 } f = \mathrm { P e } _ { s } \Gamma _ { 0 } v _ { 1 } \sin \theta , \quad \left. \partial _ { y _ { 3 } } f \right| _ { y _ { 3 } = 0 , 1 } = \Gamma _ { 0 } \cos \theta , \quad \left. f \right| _ { t = 0 } = 0 . } \end{array}
H ^ { ( 0 ) } ( { \alpha } , { \bf n } ) = m \left[ \cosh ( i \frac { \partial } { { \partial } { \alpha } } ) + \frac { i } { { \alpha } } \sinh ( i \frac { \partial } { { \partial } { \alpha } } ) + \frac { { \bf L } ^ { 2 } } { 2 { \alpha } ^ { 2 } } \exp ( i \frac { \partial } { { \partial } { \alpha } } ) \right] ,
\begin{array} { r l } { E \big [ \varphi ( z + s ^ { \frac { 1 } { \alpha } } Z _ { 1 } ) - \varphi ( z ) \big ] } & { = E \big [ \varphi ( z _ { 1 } + s ^ { \frac { 1 } { \alpha } } Z _ { 1 } ^ { 1 } , z _ { 2 } + s ^ { \frac { 1 } { \alpha } } Z _ { 1 } ^ { 2 } ) - \varphi ( z _ { 1 } , z _ { 2 } + s ^ { \frac { 1 } { \alpha } } Z _ { 1 } ^ { 2 } ) \big ] } \\ & { \mathrm { ~ \ ~ \ } + E \big [ \varphi ( z _ { 1 } , z _ { 2 } + s ^ { \frac { 1 } { \alpha } } Z _ { 1 } ^ { 2 } ) - \varphi ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) \big ] } \\ & { = E \big [ \delta _ { s ^ { 1 / \alpha } Z _ { 1 } ^ { 1 } } ^ { 1 } \varphi ( z _ { 1 } , z _ { 2 } + s ^ { \frac { 1 } { \alpha } } Z _ { 1 } ^ { 2 } ) \big ] + E \big [ \delta _ { s ^ { 1 / \alpha } Z _ { 1 } ^ { 2 } } ^ { 2 } \varphi ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) \big ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { \lambda } _ { i } ^ { * } ( 0 ) } & { { } = \mu \frac { \int _ { \epsilon } ^ { \infty } x ^ { - \nu i } e ^ { - x } \mathrm { d } x } { \int _ { \epsilon } ^ { \infty } x ^ { - \nu ( i - 1 ) } e ^ { - x } \mathrm { d } x } = \frac { \Gamma ( 1 - \nu i , \epsilon ) } { \Gamma [ 1 - \nu ( i - 1 ) , \epsilon ] } \; , } \end{array}
C _ { j } ( r , \tau ) = \mathrm { e } ^ { - \frac { \beta _ { j } \lvert \tau \rvert } { 2 \tilde { \tau } _ { c } } } \, { \mathrm { I F T } } \left[ \, \mathrm { e } ^ { - \frac { \xi \, \beta _ { j } \lvert \tau \rvert \, k } { 2 \tilde { \tau } _ { c } } - \epsilon k } \right] = \frac { \mathrm { e } ^ { - \frac { \beta _ { j } \lvert \tau \rvert } { 2 \tilde { \tau } _ { c } } } } { ( 2 \pi ) ^ { d / 2 } \, r ^ { \nu } } \int _ { 0 } ^ { \infty } { \mathrm { d } } k k ^ { d / 2 } \, J _ { \nu } ( k r ) \, \mathrm { e } ^ { - a _ { j } k } \, , \; j = s , f \, ,
\begin{array} { r l r } { m _ { s } n _ { s } \left[ \frac { \partial \vec { v } _ { s } } { \partial t } + \left( \vec { v } _ { s } \cdot \vec { \nabla } \right) \vec { v } _ { s } \right] \times \vec { B } } & { { } = } & { } \\ { q _ { s } n _ { s } \left( \vec { E } + \vec { v } _ { s } \times \vec { B } \right) \times \vec { B } } & { { } - } & { \vec { \nabla } p _ { s } \times \vec { B } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \sigma ^ { \mathrm { p o l } } } { d { \bf q } } = \frac { \alpha ^ { 2 } c ^ { 5 } \kappa _ { p } } { \pi \omega _ { p } \omega _ { \gamma } k _ { p } ^ { 2 } } \int d ^ { 3 } { \bf q } ^ { \prime } } & { { } \sum _ { \pm } \; \delta ( { \bf k } _ { \gamma \parallel } - { \bf q } _ { \parallel } - { \bf q } _ { \parallel } ^ { \prime } \mp { \bf k } _ { p } ) \; \delta ( \varepsilon _ { q } + \varepsilon _ { q ^ { \prime } } - \omega _ { \gamma } \pm \omega _ { p } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \mathcal { Q } _ { \operatorname* { s u p } } [ \{ u _ { i } \} _ { i = 1 } ^ { d _ { 1 } } , \{ v _ { i } \} _ { i = 1 } ^ { k } , \{ w _ { i } \} _ { i = 1 } ^ { d } ] \right) ^ { 2 } } & { : = } \\ { 1 + \sum _ { s = 1 } ^ { \operatorname* { m i n } \{ d , k \} } } & { \sum _ { i ^ { \prime } = 1 } ^ { k } \sum _ { i ^ { \prime \prime } = 1 } ^ { d } \operatorname* { s u p } _ { t \in B _ { u } } \left| Q _ { s } ( t , { \underline { { v _ { i ^ { \prime } } } } } _ { | s } , { \underline { { w _ { i ^ { \prime \prime } } } } } _ { | s } ) \right| ^ { 2 } , } \end{array}
\frac { \partial \rho ^ { l } \phi ^ { l } \boldsymbol \pi ^ { l } } { \partial t } + \nabla \cdot ( \rho ^ { l } \phi ^ { l } \boldsymbol \pi ^ { l } \otimes \mathbf { u } ) = \rho ^ { l } \phi ^ { l } \dot { \boldsymbol \pi } ^ { l }
\begin{array} { r } { N p _ { i } ^ { ( N , G ) } < \left( N + 1 \right) p _ { i } ^ { ( N + 1 , G ) } , \qquad i = 1 , 2 , \dots , N , } \\ { \left( N + 1 \right) p _ { i } ^ { ( N + 1 , G ) } < N p _ { i - 1 } ^ { ( N , G ) } , \qquad i = 2 , \dots , N + 1 . } \end{array}
\mathbf { u \times v } = { \left| \begin{array} { l l l } { \mathbf { i } } & { \mathbf { j } } & { \mathbf { k } } \\ { u _ { 1 } } & { u _ { 2 } } & { u _ { 3 } } \\ { v _ { 1 } } & { v _ { 2 } } & { v _ { 3 } } \end{array} \right| }
{ \mathrm { M i n i m i z e } } = { \left\{ \begin{array} { l l } { f _ { 1 } \left( { \boldsymbol { x } } \right) = x _ { 1 } } \\ { f _ { 2 } \left( { \boldsymbol { x } } \right) = g \left( { \boldsymbol { x } } \right) h \left( f _ { 1 } \left( { \boldsymbol { x } } \right) , g \left( { \boldsymbol { x } } \right) \right) } \\ { g \left( { \boldsymbol { x } } \right) = 1 + { \frac { 9 } { 2 9 } } \sum _ { i = 2 } ^ { 3 0 } x _ { i } } \\ { h \left( f _ { 1 } \left( { \boldsymbol { x } } \right) , g \left( { \boldsymbol { x } } \right) \right) = 1 - \left( { \frac { f _ { 1 } \left( { \boldsymbol { x } } \right) } { g \left( { \boldsymbol { x } } \right) } } \right) ^ { 2 } } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } { \frac { d \rho _ { 0 , 0 } } { d Z } } & { = i L C \left( \rho _ { - 1 , 0 } - \rho _ { 0 , - 1 } \right) } \\ { \frac { d \rho _ { - 1 , - 1 } } { d Z } } & { = i L C \left( \rho _ { 0 , - 1 } - \rho _ { - 1 , 0 } \right) } \\ { \frac { d \rho _ { - 1 , 0 } } { d Z } } & { = i L \big [ C ( \rho _ { 0 , 0 } - \rho _ { - 1 , - 1 } ) } \\ & { \qquad + g ( \rho _ { - 1 , - 1 } - \rho _ { 0 , 0 } ) \rho _ { - 1 , 0 } \big ] } \\ { \frac { d \rho _ { 0 , - 1 } } { d Z } } & { = i L \big [ C ( \rho _ { - 1 , - 1 } - \rho _ { 0 , 0 } ) } \\ & { \qquad + g ( \rho _ { 0 , 0 } - \rho _ { - 1 , - 1 } ) \rho _ { 0 , - 1 } \big ] . } \end{array}
\mathbf { A } ^ { - } = \left[ \begin{array} { l l l l } { \frac { - \mu _ { m } + \Delta x _ { j } \Sigma _ { j } } { 2 } } & { \frac { \mu _ { m } } { 2 } } & { \frac { \Delta x _ { j } } { 2 v \Delta t } } & { 0 } \\ { - \frac { \mu _ { m } } { 2 } } & { \frac { - \mu _ { m } + \Delta x _ { j } \Sigma _ { j } } { 2 } } & { 0 } & { \frac { \Delta x _ { j } } { 2 v \Delta t } } \\ { - \frac { \Delta x _ { j } } { v \Delta t } } & { 0 } & { \frac { \Delta x _ { j } } { v \Delta t } + \frac { - \mu _ { m } + \Delta x _ { j } \Sigma _ { j } } { 2 } } & { \frac { \mu _ { m } } { 2 } } \\ { 0 } & { - \frac { \Delta x _ { j } } { v \Delta t } } & { - \frac { \mu _ { m } } { 2 } } & { \frac { \Delta x _ { j } } { v \Delta t } + \frac { - \mu _ { m } + \Delta x _ { j } \Sigma _ { j } } { 2 } } \end{array} \right]
\begin{array} { r } { \langle \psi _ { i } | h _ { \mathrm { h . o . } } ^ { \mathrm { N M S } } | \psi _ { k } \rangle = \frac { m } { M } \frac { ( \alpha Z ) ^ { 5 } } { ( n _ { i } n _ { k } ) ^ { 3 / 2 } } F _ { n _ { i } n _ { k } } ( \alpha Z ) \, m c ^ { 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( f g ) ^ { \prime } ( x _ { k } + ) - ( f g ) ^ { \prime } ( x _ { k } - ) } & { = f ^ { \prime } ( x _ { k } + ) g ( x _ { k } ) + f ( x _ { k } ) g ^ { \prime } ( x _ { k } + ) - f ^ { \prime } ( x _ { k } - ) g ( x _ { k } ) - f ( x _ { k } ) g ^ { \prime } ( x _ { k } - ) } \\ & { = \left[ f ^ { \prime } ( x _ { k } + ) - f ^ { \prime } ( x _ { k } - ) \right] g ( x _ { k } ) = \alpha _ { k } f ( x _ { k } ) g ( x _ { k } ) } \end{array}
G ( \theta , \varphi , \theta ^ { \prime } , \varphi ^ { \prime } ) = \frac { 1 } { 4 \pi } \log \Big ( 1 - \cos ( \theta ) \cos ( \theta ^ { \prime } ) - \sin ( \theta ) \sin ( \theta ^ { \prime } ) \cos ( \varphi - \varphi ^ { \prime } ) \Big ) - \frac { \log ( 2 ) } { 4 \pi } \cdot
\Delta \tilde { \ell } _ { N _ { s } } = \sum _ { \alpha } \frac { 1 } { \alpha ! } \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { e } ^ { ( \alpha ) } } { \mu _ { \alpha , k } \Delta q _ { \alpha , k } ^ { \alpha } } + \frac { 1 } { 2 } \tilde { B } _ { N _ { s } } ^ { ( 2 ) } \gamma ^ { 2 } ,
h _ { i j k l } ^ { ( 2 ) } = \int d \mathbf { r } \int d \mathbf { r } ^ { \prime } \, \frac { \phi _ { i } ^ { \ast } ( \mathbf { r } ) \phi _ { j } ( \mathbf { r } ) \phi _ { k } ^ { \ast } ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) \phi _ { l } ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) } { | \mathbf { r } - \mathbf { r ^ { \prime } } | } ,
\begin{array} { r } { \Dot { m } _ { i n , t o p } U _ { i n , t o p } = \rho U _ { F 0 } ^ { 2 } H _ { F } W \left[ \frac { 1 } { 2 } \beta _ { l o c a l } ( L ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \beta _ { l o c a l } ( 0 ) ^ { 2 } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \hat { \eta } _ { 2 , 0 } ^ { ( 2 ) } } & { = - g \hat { \eta } _ { 1 , 0 } ^ { 2 } \frac { ( 2 k - 1 ) / k } { \hat { S } _ { 2 , 0 } } , \qquad \qquad } & { \hat { \eta } _ { 0 , 2 } ^ { ( 2 ) } } & { = g \hat { \eta } _ { 0 , 1 } ^ { 2 } \frac { k ( k - 2 ) } { \hat { S } _ { 0 , 2 } } , } \\ { \hat { \eta } _ { 1 , 1 } ^ { ( 2 ) } } & { = - g \hat { \eta } _ { 1 , 0 } \hat { \eta } _ { 0 , 1 } \frac { ( k + 1 ) } { \hat { S } _ { 1 , 1 } } , \qquad \qquad } & { \hat { \eta } _ { 1 , - 1 } ^ { ( 2 ) } } & { = - g \hat { \eta } _ { 1 , 0 } \hat { \eta } _ { 0 , 1 } \frac { ( k + 1 ) } { \hat { S } _ { 1 , - 1 } } , } \end{array}
4 \delta \lambda _ { 1 i } \delta \lambda _ { 2 i } ( \lambda _ { 2 i } f _ { + + , i } ^ { e q } + \lambda _ { 2 i } f _ { - + , i } ^ { e q } - \lambda _ { 2 i } f _ { -- , i } ^ { e q } - \lambda _ { 2 i } f _ { + - , i } ^ { e q } ) = G _ { 2 i }
\lambda _ { i j } ^ { * } = \frac { W ^ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ } ^ { * } } } { s _ { i } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } ^ { * } } s _ { j } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } ^ { * } } } \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \; ( i , j ) \in \mathcal { E } \; .
\begin{array} { r l } & { \mathbb P \left[ \operatorname* { s u p } _ { \boldsymbol { v } _ { 1 } \in \mathbb K ( s _ { 1 } ) } \left\vert \boldsymbol { v } _ { 1 } ^ { \top } ( X _ { 1 } ^ { \top } X _ { 1 } - T _ { 1 } \Gamma ^ { ( 1 ) } ) \boldsymbol { v } _ { 1 } \right\vert \geq \frac { T _ { 1 } ^ { 2 } \zeta _ { 1 } \Lambda _ { \operatorname* { m a x } } ( \Sigma _ { \boldsymbol { U } _ { 1 } } ) } { 2 \mathfrak m ( f ) } \right] } \\ & { \leq 2 \exp \left( - \frac { T _ { 1 } \operatorname* { m i n } \{ \zeta _ { 1 } , \zeta _ { 1 } ^ { 2 } \} } { 2 } + s _ { 1 } \operatorname* { m i n } \{ \log L , ~ \log ( 2 1 e L / s _ { 1 } ) \} \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { n + 1 } } & { { } = \mathrm { ~ p ~ r ~ o ~ x ~ } \left( p _ { n } + \sigma F _ { \phi } ( \widetilde { A } x _ { n } ) \right) } \\ { x _ { n + 1 } } & { { } = \mathrm { ~ p ~ r ~ o ~ x ~ } _ { R } \left( x _ { n } - \tau A ^ { \dagger } p _ { n } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \Delta _ { n } | ^ { 2 } } & { = | \bar { \theta } _ { n } ^ { \lambda } + \gamma ^ { - 1 } \bar { V } _ { n } ^ { \lambda } | ^ { 2 } - 2 \lambda \gamma ^ { - 1 } \langle \bar { \theta } _ { n } ^ { \lambda } + \gamma ^ { - 1 } \bar { V } _ { n } ^ { \lambda } , h _ { t a m , \gamma } ( \bar { \theta } _ { n } ^ { \lambda } ) \rangle + \lambda ^ { 2 } \gamma ^ { - 2 } | h _ { t a m , \gamma } ( \bar { \theta } _ { n } ^ { \lambda } ) | ^ { 2 } } \\ & { = | \bar { \theta } _ { n } ^ { \lambda } + \gamma ^ { - 1 } \bar { V } _ { n } ^ { \lambda } | ^ { 2 } - 2 \lambda \gamma ^ { - 2 } \langle \bar { V } _ { n } ^ { \lambda } , h _ { t a m , \gamma } ( \bar { \theta } _ { n } ^ { \lambda } ) \rangle } \\ & { - 2 \lambda \gamma ^ { - 1 } \langle \bar { \theta } _ { n } ^ { \lambda } , h _ { t a m , \gamma } ( \bar { \theta } _ { n } ^ { \lambda } ) \rangle + \lambda ^ { 2 } \gamma ^ { - 2 } | h _ { t a m , \gamma } ( \bar { \theta } _ { n } ^ { \lambda } ) | ^ { 2 } } \\ & { \leq | \bar { \theta } _ { n } ^ { \lambda } + \gamma ^ { - 1 } \bar { V } _ { n } ^ { \lambda } | ^ { 2 } + 2 \lambda \gamma ^ { - 2 } | \bar { V } _ { n } ^ { \lambda } | | h _ { t a m , \gamma } ( \bar { \theta } _ { n } ^ { \lambda } ) | } \\ & { - 2 \lambda \gamma ^ { - 1 } \langle \bar { \theta } _ { n } ^ { \lambda } , h _ { t a m , \gamma } ( \bar { \theta } _ { n } ^ { \lambda } ) \rangle + \lambda ^ { 2 } \gamma ^ { - 2 } | h _ { t a m , \gamma } ( \bar { \theta } _ { n } ^ { \lambda } ) | ^ { 2 } } \\ & { \leq | \bar { \theta } _ { n } ^ { \lambda } + \gamma ^ { - 1 } \bar { V } _ { n } ^ { \lambda } | ^ { 2 } + \lambda \gamma ^ { - 2 } \frac { 2 } { m } | \bar { V } _ { n } ^ { \lambda } | ^ { 2 } + \lambda \gamma ^ { - 2 } \frac { m } { 2 } | h _ { t a m , \gamma } ( \bar { \theta } _ { n } ^ { \lambda } ) | ^ { 2 } - 2 \lambda \gamma ^ { - 1 } A | \bar { \theta } _ { n } ^ { \lambda } | ^ { 2 } } \\ & { + 2 \lambda \gamma ^ { - 1 } B + \lambda ^ { 2 } \gamma ^ { - 2 } | h _ { t a m , \gamma } ( \bar { \theta } _ { n } ^ { \lambda } ) | ^ { 2 } } \end{array}
\mathrm { R e } \Bigg ( C _ { V } C _ { A } ^ { * } + C _ { V } ^ { \prime } { C _ { A } ^ { \prime } } ^ { * } \Bigg ) \, = \, \rho \, C _ { N } ^ { 2 } \Bigg [ \, T \, - \, Y \, \Bigg ] \ \ \ ,
\mathbf { b } ^ { ( n + 1 ) } = \bar { \mathbf { b } } ^ { ( n ) } - \Sigma \frac { \bar { \mathbf { b } } ^ { ( n ) } } { | \bar { \mathbf { b } } ^ { ( n ) } | } \ell _ { 1 } \mathrm { b a l l } _ { \nu _ { 4 } { t } _ { B } } ( \frac { \bar { \mathbf { b } } ^ { ( n ) } } { \Sigma } )
\begin{array} { r l } { \Pi _ { \mathrm { ~ x ~ } } ^ { \mathrm { ~ c ~ o ~ f ~ e ~ } } ( r _ { s } , \bar { f } ) = } & { { } - \bar { f } \int _ { 0 } ^ { \bar { k } _ { F } } \frac { q ^ { 3 } } { 3 \pi ^ { 2 } } \frac { q ^ { 2 } d q } { 2 \pi ^ { 2 } } = \frac { - n ^ { 2 } } { \bar { f } } } \end{array}
\Im \left( \oint _ { \zeta = \zeta _ { H } } \frac { d z _ { m } } { d \zeta } d \zeta \right) = \Im \left( \frac { i \pi } { - i v _ { \infty } } \begin{array} { c } { ~ ~ ~ } \\ { \mathrm { ~ r ~ e ~ s ~ } \ ^ { \zeta = \zeta _ { H } } } \end{array} \frac { d w } { d \zeta } \right) = \Im \left\{ \frac { \pi } { - v _ { \infty } } \frac { d } { d \zeta } \left[ \frac { d w } { d \zeta } ( \zeta - \zeta _ { H } ) ^ { 2 } \right] \right\} = 0 ;
\mathcal { F } ( 0 , \boldsymbol { k } ) = \mathrm { i } \left( \frac { \epsilon ( 0 , \boldsymbol { k } ) - 1 } { \epsilon ( 0 , \boldsymbol { k } ) } \right) = \mathrm { i } \left( \frac { k _ { i 0 } ^ { 2 } } { k ^ { 2 } + k _ { D 1 } ^ { 2 } } \right) .
\frac { \mathrm { t r } { \vphantom | } _ { 0 } \bigl ( { \cal K } ^ { + } ( 0 ) \, \widehat { H } _ { 0 , N } \bigr ) } { \mathrm { t r } \, { \cal K } ^ { + } ( 0 ) } = \frac { \mathrm { t r } { \vphantom | } _ { 0 } \bigl ( q ^ { - 2 S _ { 0 } ^ { 3 } } \, \widehat { H } _ { 0 , N } \bigr ) } { \mathrm { t r } \, q ^ { - 2 S ^ { 3 } } } = - \mathrm { i } \frac { \sin \gamma } { 2 } S _ { N } ^ { 3 }
i B [ \alpha _ { s } D _ { T } ^ { i j } ] = - \, \left( { \frac { \mu ^ { 2 } } { e ^ { C } } } \right) ^ { u } \; { \frac { i ( \delta _ { i j } \, - \, l _ { i } l _ { j } / \mathrm { \boldmath ~ l ~ } ^ { 2 } ) } { ( - l ^ { 2 } - i \epsilon ) ^ { 1 + u } } } \; .
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } [ D _ { N } ^ { * } ( X ) ] = \int _ { 0 } ^ { 1 } \mathbb { P } ( D _ { N } ^ { * } ( X ) \ge t ) d t } \\ & { = \int _ { 1 - e ^ { \frac { C _ { 1 } ( d , \Sigma _ { 0 } , N ) } { C _ { 0 } ( \Sigma _ { 0 } , N ) } } } ^ { 1 - e ^ { \frac { C _ { 1 } ( d , \Sigma _ { 0 } , N ) - 1 } { C _ { 0 } ( \Sigma _ { 0 } , N ) } } } \mathbb { P } \Big ( D _ { N } ^ { * } ( X ) \ge ( \sqrt { 2 } \cdot \Sigma _ { 0 } + 1 ) \frac { A ( d , q _ { 0 } , N ) } { N } \Big ) \cdot C _ { 0 } ( \Sigma _ { 0 } , N ) \cdot \frac { 1 } { 1 - q _ { 0 } } d q _ { 0 } } \\ & { = \int _ { q } ^ { 1 - e ^ { \frac { C _ { 1 } ( d , \Sigma _ { 0 } , N ) - 1 } { C _ { 0 } ( \Sigma _ { 0 } , N ) } } } C _ { 0 } ( \Sigma _ { 0 } , N ) \cdot \frac { 1 - q _ { 0 } } { 1 - q _ { 0 } } d q _ { 0 } . } \end{array}
\bar { n } _ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } } ^ { \prime \prime } \simeq \bar { n } _ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } } - w \frac { 2 \bar { n } _ { \mathrm { ~ t ~ h ~ } } + \nu _ { \mathrm { ~ d ~ e ~ t ~ } } } { \sqrt { 2 \nu _ { \mathrm { ~ d ~ e ~ t ~ } } m } } .
\mathbb { P } _ { 1 } ( n ) \cong ( \mathrm { C o m m } \circ \mathrm { L i e } ) ( n ) \cong \bigoplus _ { k \ge 0 } \mathrm { C o m m } ( k ) \otimes _ { S _ { k } } \left( \bigoplus _ { i _ { 1 } + \ldots + i _ { k } = n } \mathrm { I n d } _ { S _ { i _ { 1 } } \times \ldots \times S _ { i _ { k } } } ^ { S _ { n } } \mathrm { L i e } ( i _ { 1 } ) \otimes _ { k } \ldots \otimes _ { k } \mathrm { L i e } ( i _ { k } ) \right) \: ,
\operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \frac { \sum _ { k = \chi _ { i } ( 0 ) N } ^ { \infty } \frac { 1 } { F _ { i } ( k ) } } { \sum _ { k = \chi _ { j } ( 0 ) N } ^ { \infty } \frac { 1 } { F _ { j } ( k ) } } = \operatorname* { l i m } _ { N \to \infty } \left( \frac { \log ( N ) + \log ( \chi _ { i } ( 0 ) ) } { \log ( N ) + \log ( \chi _ { j } ( 0 ) ) } \right) ^ { 1 - \alpha } = 1 .
\begin{array} { r } { \sigma _ { x , \mathrm { ~ e ~ m ~ u ~ } } ^ { 2 } ( u ) = \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } [ \Tilde { \eta } _ { x } ( u ) \, \vert \, D _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ a ~ i ~ n ~ } } ] , \quad \sigma _ { \mathrm { ~ m ~ e ~ a ~ s ~ } , x } ^ { 2 } = \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } [ \epsilon _ { \mathrm { ~ m ~ e ~ a ~ s ~ } , x } ] , \quad \hat { \eta } _ { x } ( u ) = \mathbb { E } [ \Tilde { \eta } _ { x } ( u ) \, \vert \, D _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ a ~ i ~ n ~ } } ] . } \end{array}
\mathcal { I } _ { n } ^ { \alpha , \beta , \bar { \alpha } , \bar { \beta } } \equiv n ^ { \lambda } \int _ { 0 } ^ { \infty } d t \ L _ { n } ^ { \alpha } ( 2 t ) t ^ { \beta } \exp ( - t ) \int _ { 0 } ^ { t } d u \ L _ { n } ^ { \bar { \alpha } } ( 2 u ) u ^ { \bar { \beta } } \exp ( - u ) ,
\begin{array} { r l } { \small } & { { } \int _ { \Omega } \nabla \textbf { u } ^ { n + 1 } \cdot \nabla v + \frac { \gamma _ { 0 } } { \nu _ { m } \Delta t } \int _ { \Omega } \textbf { u } ^ { n + 1 } v = \frac { 1 } { \nu _ { m } } \int _ { \Omega } \left( \textbf { T } - \frac { 1 } { \rho _ { 0 } } \nabla P ^ { n + 1 } \right) v - \frac { 1 } { \nu _ { m } } \int _ { \Omega } \left( \frac { \mu ^ { n + 1 } } { \rho ^ { n + 1 } } - \nu _ { m } \right) \boldsymbol { \omega } ^ { * , n + 1 } \times \nabla v } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Psi ^ { * } } & { { } = } & { \Psi \; + \; \epsilon \, P _ { \parallel } \, b _ { \Theta } \; - \; \epsilon ^ { 2 } \, J \, { \cal R } _ { \Theta } ^ { * } , } \\ { \psi ^ { * } } & { { } = } & { \psi \; - \; \epsilon \, P _ { \parallel } \, b _ { \Phi } \; + \; \epsilon ^ { 2 } \, J \, { \cal R } _ { \Phi } ^ { * } } \end{array}
\begin{array} { r } { \delta V _ { \varepsilon } ( \eta ) = - \int f _ { \varepsilon } \langle \nabla u _ { \varepsilon } , \eta \rangle d x + \int \nabla \eta \left( \frac { \nabla u _ { \varepsilon } } { | \nabla u _ { \varepsilon } | } , \frac { \nabla u _ { \varepsilon } } { | \nabla u _ { \varepsilon } | } \right) d \xi _ { \varepsilon } , \quad \forall \eta \in C _ { c } ^ { 1 } ( \Omega \times \mathbb R ^ { n + 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d \tilde { f } } { d r _ { k ^ { \prime } } } } & { = - 2 M \frac { \delta r _ { k ^ { \prime } } } { 1 + \delta r _ { k ^ { \prime } } ^ { 2 } } + \frac { - r _ { k ^ { \prime } } ^ { 2 } \beta \delta + r _ { k ^ { \prime } } 2 \alpha + \beta } { \left( 1 + \delta r _ { k ^ { \prime } } ^ { 2 } \right) ^ { 2 } } . } \end{array}
\int \tilde { n } d \varphi = 2 G { \frac { \tilde { f } ( - \psi ) } { ( \psi + { \cal E } _ { j } ) ^ { \alpha } } } { \frac { ( \varphi + { \cal E } _ { j } ) ^ { \alpha + 3 / 2 } } { \alpha + 3 / 2 } }
\begin{array} { r l } & { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } N ^ { n } a _ { n } y ^ { 2 n } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } e _ { n } ( \Vec { r } ) ( N y ^ { 2 } ) ^ { n } } \\ { = } & { \prod _ { n = 1 } ^ { \infty } ( 1 + r _ { n } N y ^ { 2 } ) = \exp \Big ( - \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { p _ { k } ( \Vec { r } ) ( - N ) ^ { k } y ^ { 2 k } } { k } \Big ) = \exp \Big ( - M \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { m _ { k } ^ { ' } ( - N ) ^ { k } y ^ { 2 k } } { k } \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { l l } { { T _ { 2 } ^ { V _ { 2 } } = } } & { { \frac { \displaystyle - i } { \displaystyle 4 \pi ^ { 2 } } \, C _ { V _ { 1 } F f } \, C _ { V _ { 2 } F f } \, \left( g _ { V _ { 2 } } ^ { a } + g _ { V _ { 2 } } ^ { v } \right) \, \Biggl \{ { M ^ { 2 } } - 2 \, { { M _ { V } } ^ { 2 } } - 2 \, { q ^ { 2 } } - \, { q ^ { 2 } } \, \log \frac { \displaystyle \Lambda ^ { 2 } } { \displaystyle M ^ { 2 } } + 2 { { M _ { V } } ^ { 2 } } \, \log \frac { \displaystyle M ^ { 2 } } { \displaystyle M _ { V } ^ { 2 } } } } \\ { { } } & { { + 2 { { M _ { V } } ^ { 2 } } \, \left( { M ^ { 2 } } - { { M _ { V } } ^ { 2 } } - { q ^ { 2 } } \right) \, C _ { 0 } ( 0 , 0 , q ^ { 2 } , M ^ { 2 } , M _ { V } ^ { 2 } , 0 ) } } \\ { { } } & { { + \frac { \displaystyle M ^ { 2 } - q ^ { 2 } } { \displaystyle q ^ { 2 } } \, \left( { M ^ { 2 } } - 2 \, { { M _ { V } } ^ { 2 } } - { q ^ { 2 } } \right) \, \log \left( 1 - \frac { \displaystyle q ^ { 2 } } { \displaystyle M ^ { 2 } } \right) \Biggr \} } } \\ { { \; \; \; \; \simeq } } & { { \frac { \displaystyle i M ^ { 2 } } { \displaystyle 8 \pi ^ { 2 } } \, C _ { V _ { 1 } F f } \, C _ { V _ { 2 } F f } \, \left( g _ { V _ { 2 } } ^ { a } + g _ { V _ { 2 } } ^ { v } \right) \, R _ { Q } \left( 1 + 2 R _ { V } \log R _ { V } + 2 \log \frac { \displaystyle \Lambda ^ { 2 } } { \displaystyle M ^ { 2 } } \right) \; , } } \end{array}
\begin{array} { r } { \xi _ { n } = Y _ { T } ^ { n , Z , \Gamma } = Y _ { 0 } ^ { n } + \int _ { 0 } ^ { T } Z _ { t } ^ { n } \cdot d X _ { t } + \frac 1 2 \int _ { 0 } ^ { T } \mathrm { T r } \left[ ( \Gamma _ { t } ^ { n } + \eta _ { n } Z _ { t } ^ { n } ( Z _ { t } ^ { n } ) ^ { \top } ) d \langle X _ { \cdot } \rangle _ { t } \right] - \int _ { 0 } ^ { T } \mathcal { H } _ { n } ( X _ { t } , Z _ { t } , \Gamma _ { t } ) d t \; , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \, \mathrm { ~ R ~ e ~ } \left\{ { \sigma _ { x x } ( \Omega ) } \right\} } & { { } = } & { \frac { 3 \sigma _ { 0 } } { 8 } \sum _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } = 0 } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { d \varphi } { 2 \pi } \frac { \theta ( \Delta _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } } ) } { | \Delta _ { n _ { 1 } , n _ { 2 } } | ^ { 2 } } \frac { f ^ { \mathrm { e q } } ( \epsilon _ { n _ { 1 } } - \hbar \Omega ) - f ^ { \mathrm { e q } } ( \epsilon _ { n _ { 1 } } ) } { \Pi _ { m _ { 1 } = 0 } ^ { 2 , \prime } ( \epsilon _ { n _ { 1 } } - \epsilon _ { m _ { 1 } } ) \Pi _ { m _ { 2 } = 0 } ^ { 2 , \prime } ( \epsilon _ { n _ { 2 } } - \epsilon _ { m _ { 2 } } ) } \Bigg \{ 1 6 \left( g - \epsilon _ { n _ { 1 } } \right) ^ { 2 } \left( g - \epsilon _ { n _ { 1 } } + \hbar \Omega \right) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \rho _ { h } ^ { n + 1 } h _ { h } ^ { n + 1 } - \rho _ { h } ^ { n } h _ { h } ^ { n } } { \Delta t } + \nabla \cdot ( \rho _ { h } ^ { n + 1 } \mathbf v _ { h } ^ { * } h _ { h } ^ { n + 1 } ) + G \left( \rho _ { h } ^ { n + 1 } , K _ { \mathbf v , h } ^ { n + 1 } , q _ { h } ^ { n + 1 } , \mathbf v _ { h } ^ { n + 1 } \right) - \nabla \cdot ( \overline { { \mu } } _ { h } \nabla { h } _ { h } ^ { n + 1 } ) } \\ & { \quad + \nabla \cdot ( \rho _ { h } ^ { n + 1 } \mathbf v _ { h } ^ { * } ( l _ { h } ^ { n + 1 } - \overline { { l } } _ { h } ^ { n + 1 } ) ) = 0 . } \end{array}