harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\delta _ { \xi } I _ { ( m ) } = \int _ { \cal M } \sqrt { - g } d ^ { 4 } x \left[ \frac 1 2 T ^ { \mu \nu } { \cal L } _ { \xi } g _ { \mu \nu } + \nabla _ { \mu } ( \theta _ { ( m ) } ^ { \mu } ( \xi ) - \xi ^ { \mu } L _ { ( m ) } ) \right] ~ ~ ~ .
\acute { o } ^ { A } \bar { o } ^ { A ^ { \prime } } + o ^ { A } \acute { \bar { o } } { } ^ { A ^ { \prime } } = o ^ { A } \dot { \bar { \iota } } { } ^ { A ^ { \prime } } + \dot { o } ^ { A } \bar { \iota } { } ^ { A ^ { \prime } } + \iota ^ { A } \dot { \bar { o } } { } ^ { A ^ { \prime } } + \dot { \iota } ^ { A } \bar { o } { } ^ { A ^ { \prime } } .
p _ { d } ^ { F } \equiv \operatorname * { m a x } { [ p _ { 0 } , ~ p _ { 1 } ] } = p _ { 0 } = \frac { 3 g ^ { 2 } - { g ^ { \prime } } ^ { 2 } Y _ { l } Y _ { q } } { { g ^ { \prime } } ^ { 2 } ( Y _ { l } + Y _ { q } ) ^ { 2 } } \approx 6 ~ .
\left\{ \begin{array} { c c l } { { e ^ { 1 } } } & { { = } } & { { \frac { 1 } { 2 \sqrt 2 } \, r \, d \tilde { \theta } } } \\ { { e ^ { 2 } } } & { { = } } & { { \frac { 1 } { 2 \sqrt 2 } \, r \sin \tilde { \theta } d \tilde { \phi } } } \\ { { e ^ { 3 } } } & { { = } } & { { \frac { 1 } { 8 } \, r \left( d \tau + 3 \sin ^ { 2 } \mu ( d \psi + \cos \theta d \phi ) + 2 \cos \tilde { \theta } d \tilde { \phi } \right) } } \\ { { e ^ { 4 } } } & { { = } } & { { \frac { \sqrt 3 } { 2 } \, r \, d \mu } } \\ { { e ^ { 5 } } } & { { = } } & { { \frac { \sqrt 3 } { 4 } \, r \sin \mu \cos \mu \left( d \psi + \cos \theta d \phi \right) } } \\ { { e ^ { 6 } } } & { { = } } & { { \frac { \sqrt 3 } { 4 } \, r \sin \mu \left( \sin \psi d \theta - \cos \psi \sin \theta d \phi \right) } } \\ { { e ^ { 7 } } } & { { = } } & { { \frac { \sqrt 3 } { 4 } \, r \sin \mu \left( \cos \psi d \theta + \sin \psi \sin \theta d \phi \right) } } \\ { { e ^ { 8 } } } & { { = } } & { { d r } } \\ { { e ^ { 9 } } } & { { = } } & { { d x ^ { 1 } } } \\ { { e ^ { 1 0 } } } & { { = } } & { { d x ^ { 2 } } } \\ { { e ^ { 0 } } } & { { = } } & { { d t } } \end{array} \right. \, .
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( E _ { n , R } \ | \ X _ { | B _ { R } ^ { c } } ) } & { \leq C \mathbb { P } ( E _ { n + 1 , R } \ | \ X _ { | B _ { R } ^ { c } } ) + C \mathbb { P } ( E _ { n - 1 , R } \ | \ X _ { | B _ { R } ^ { c } } ) } \\ & { \quad + \mathbb P ( \{ X ( B _ { R } \setminus B _ { R - 1 } ) \geq ( 1 - \rho _ { 0 } ^ { - 1 } ) n \} \ | \ X _ { | B _ { R } ^ { c } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \displaystyle E } } & { { = { \cal M } \displaystyle \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { H } } \cosh h _ { j } - 2 { \cal M } \displaystyle \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { S } } \cosh y _ { j } } } \\ { { } } & { { - { \cal M } \displaystyle \sum _ { j = 1 } ^ { M _ { C } } \cosh c _ { j } + { \cal M } \displaystyle \sum _ { j = 1 } ^ { M _ { W } } ( \cosh w _ { j } ) _ { I I } } } \\ { { } } & { { - { \cal M } \displaystyle \int _ { - \infty } ^ { \infty } \displaystyle \frac { d x } { 2 \pi } 2 \Im m \left[ \sinh ( x + i \eta ) \log ( 1 + ( - 1 ) ^ { \delta } e ^ { i Z ( x + i \eta ) } ) \right] \: , } } \end{array}
\vec { C } _ { \mu } ( x ) = - \frac { e _ { 0 } } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } \vec { \Gamma } _ { \mu } ( x ) = \frac { e _ { 0 } } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } \vec { n } ( x ) \wedge \partial _ { \mu } \vec { n } ( x )
\begin{array} { r l } { t } & { { } = \frac { \theta } { \omega } + \frac { \mathcal { C } _ { \alpha } \sin \theta } { \omega } \epsilon + \frac { ( 1 + \mathcal { C } _ { \alpha } ^ { 2 } ) \left( 2 \theta + \mathcal { B } \sin 2 \theta \right) } { 4 \omega } \epsilon ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { 2 } \mathrm { N e t ~ C a s h ~ F l o w s ~ f r o m ~ F i n a n c i n g ~ A c t i v i t i e s } = } & { \left[ \mathrm { D i v i d e n d s ~ r e c e i v e d ~ f r o m ~ } 3 ^ { \mathrm { r d } } \mathrm { ~ p a r t i e s } \right] } \\ & { - \left[ \mathrm { D i v i d e n d s ~ p a i d ~ t o ~ } 3 ^ { \mathrm { r d } } \mathrm { ~ p a r t i e s } \right] } \\ & { - [ \mathrm { D i v i d e n d s ~ p a i d ~ t o ~ N C I ~ b u t ~ n o t } } \\ & { \mathrm { i n t r a c o m p a n y ~ d i v i d e n d ~ p a y m e n t s } ] } \end{array}
{ \hat { \nabla } } _ { a } { \hat { A } } = i [ { \hat { S } } _ { a } , { \hat { A } } ] = i \sum _ { J = 0 } ^ { N } \sum _ { m = - J } ^ { J } A _ { J m } [ { \hat { S } } _ { a } , { \hat { Y } } _ { m } ^ { J } ] .
\langle { \cal R } _ { c } ^ { 2 } \rangle = \left( \frac { \dot { \alpha } } { \dot { \phi } } \right) ^ { 2 } \langle \delta \phi _ { f } ^ { 2 } \rangle = \left( \frac { 1 } { 3 \sqrt { 2 } b } \right) ^ { 2 } \kappa ^ { 2 } \langle \varphi ^ { 2 } \rangle .
\begin{array} { r l } { \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \| \mathcal { Q } _ { \lambda } ( P ^ { m } \mathbf { y } ) \| _ { \infty } } & { = \sum _ { m = 0 } ^ { M _ { \eta } - 1 } \| \mathcal { Q } _ { \lambda } ( P ^ { m } \mathbf { y } ) \| _ { \infty } + \sum _ { m = M _ { \eta } } ^ { \infty } \| \mathcal { Q } _ { \lambda } ( P ^ { m } \mathbf { y } ) \| _ { \infty } } \\ & { \leq C M _ { \eta } \, \operatorname* { m a x } _ { i , j \in V } | y _ { i } - y _ { j } | \, \| \mathbf { y } \| _ { \infty } \, + C \sum _ { m = M _ { \eta } } ^ { \infty } \, \nu ^ { m } \sqrt { \Delta N } \, \| \mathbf { y } \| _ { \infty } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tilde { \eta } _ { k } } & { \le } & { { \frac { C \left( \tau ^ { 2 } \delta _ { k } ^ { 2 } + ( \tau ^ { 2 } \delta _ { k } ^ { p - 1 } + \sigma _ { 0 } \tau + \sigma _ { 0 } ^ { 2 } ) \sqrt { \frac { \log r } { n } } \right) } { \tau ^ { 2 } \left( 1 - C \delta _ { k } ^ { 4 } - C \sqrt { \frac { r } { n } } \right) - C ( \sigma _ { 0 } \tau + \sigma _ { 0 } ^ { 2 } ) \sqrt { \frac { d } { n } } - C \sigma _ { 0 } ^ { 2 } \delta _ { k } ^ { 2 } } } } \\ & { \le } & { C \delta _ { k } ^ { 2 } + C \left( \delta _ { k } + { \frac { \sigma _ { 0 } } { \tau } } + { \frac { \sigma _ { 0 } ^ { 2 } } { \tau ^ { 2 } } } \right) \sqrt { \frac { \log r } { n } } } \\ & { \le } & { C \delta _ { k } ^ { 2 } + C \left( { \frac { \sigma _ { 0 } } { \sigma _ { \pi ( k ) } } } + { \frac { \sigma _ { 0 } ^ { 2 } } { \sigma _ { \pi ( k ) } ^ { 2 } } } \right) \sqrt { \frac { \log r } { n } } = \tilde { \delta } _ { k } . } \end{array}
S _ { 4 } ^ { \prime } ( \phi _ { s } ) = \biggl < S _ { 4 } ( \phi _ { s } , \phi _ { f } ) \biggr > _ { 0 f } + \frac { 1 } { 2 } \biggl ( \biggl < S _ { 4 } ^ { 2 } ( \phi _ { s } , \phi _ { f } ) \biggr > _ { 0 f } - \biggl < S _ { 4 } ( \phi _ { s } , \phi _ { f } ) \biggr > _ { 0 f } ^ { 2 } \biggr ) + \cdots .
\begin{array} { r l r } { \mathrm { P r o b } ( s = 2 ) } & { = } & { \mathrm { P r o b } ( s < 3 ) \cdot \mathrm { P r o b } ( s = 2 | s < 3 ) } \\ & { = } & { \mathrm { P r o b } ( s < 3 ) \cdot \mathrm { P r o b } ( s \ge 1 | s < 3 ) \cdot \mathrm { P r o b } ( s = 2 | 1 \le s < 3 ) } \\ & { = } & { \mathrm { P r o b } ( s < 3 ) \cdot \mathrm { P r o b } ( s \ge 1 | s < 3 ) \cdot \mathrm { P r o b } ( s \ge 2 | s \ge 1 , s < 3 ) } \end{array}
\frac { d } { d t } \bar { u } + \theta _ { \rho } ( \| \tilde { u } \| _ { s - 1 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } \tilde { v } - \partial _ { z } \tilde { v } _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) ( \tilde { u } \partial _ { x } \tilde { u } + \tilde { w } \partial _ { z } \tilde { u } + \partial _ { x } \tilde { p } ) = 0 , \qquad \bar { u } ( 0 ) = 0 .
\begin{array} { r } { \phi \frac { \partial \langle c \rangle _ { \mathcal { I B } } } { \partial t } = \nabla \cdot \left[ \tilde { \tilde { \textbf { D } } } ^ { \star } \nabla \langle c \rangle _ { \mathcal { I B } } \right] + \phi \omega ^ { - \gamma } \mathcal { K } ^ { \star } \mathrm { ~ D ~ a ~ } ( 1 - \langle c \rangle _ { \mathcal { I B } } ^ { a } ) , } \end{array}
\exp ( x T r P ) = \sum _ { n _ { 1 } \geq n _ { 2 } \geq \cdots \geq n _ { N } \geq 0 } ^ { \infty } \operatorname * { d e t } \left[ d _ { n _ { j } + N - j + 1 , i } \right] \chi _ { ( n _ { 1 } , n _ { 2 } , \ldots , n _ { N } ) } ( P ) ,
A = - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } ( 2 n + 1 ) ^ { 2 } \ln \left( 1 - e ^ { - 2 \pi ( 2 n + 1 ) \delta } \right) + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } ( 2 n + 1 ) \ln \left( 1 - e ^ { - 2 \pi ( 2 n + 1 ) \delta } \right) ,
\begin{array} { r l r } { \delta H } & { { } = } & { \frac { \hbar } { 2 m } \int d ^ { 3 } r \left[ \nabla \pi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \cdot \nabla \delta \pi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) + \nabla \phi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \cdot \nabla \delta \phi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) \right] = } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \langle \Delta t \rangle _ { s h o r t } } { \langle \Delta t \rangle _ { l o n g } } } & { { } = \frac { S _ { 1 } ( t _ { o n } , m = 0 ) \int _ { t _ { o n } } ^ { t _ { e n d } } S _ { 2 } ( t , m = 0 ) - S _ { 2 } ( t , m ) d t + S _ { 1 } ( t _ { o n } , m = 0 ) \big ( S _ { 2 } ( t _ { e n d } , m = 0 ) - S _ { 2 } ( t _ { e n d } , m ) \big ) \int _ { t _ { e n d } } ^ { \infty } S _ { 3 } ( t , m = 0 ) d t } { S _ { 1 } ( t _ { o n } , m = 0 ) S _ { 2 } ( t _ { e n d } , m = 0 ) \int _ { t _ { e n d } } ^ { \infty } S _ { 3 } ( t , m = 0 ) - S _ { 3 } ( t , m ) d t } } \end{array}
g _ { i } ( x _ { 1 } , \cdots , x _ { i } ) : = \frac { \int \frac { d x _ { i + 1 } } V \cdots \frac { d x _ { N } } V \ \psi ( x _ { 1 } , \cdots , x _ { N } ) } { \int \frac { d y _ { 1 } } V \cdots \frac { d y _ { N } } V \ \psi ( y _ { 1 } , \cdots , y _ { N } ) } \equiv V ^ { i } \frac { \int d x _ { i + 1 } \cdots d x _ { N } \ \psi ( x _ { 1 } , \cdots , x _ { N } ) } { \int d y _ { 1 } \cdots d y _ { N } \ \psi ( y _ { 1 } , \cdots , y _ { N } ) } .
{ \cal L } _ { 1 } = ( X + \bar { X } ) R - { \frac { i } { 2 } } ( X - \bar { X } ) F - 2 \lambda _ { - } \rho ^ { - } + 2 \lambda _ { + } \rho ^ { + } + 2 \tilde { \lambda } ^ { - } { \tilde { \rho } } _ { -- } 2 \tilde { \lambda } ^ { + } { \tilde { \rho } } _ { + } + 4 i ( M \bar { H } - \bar { M } H ) E ^ { z } E ^ { \bar { z } } .
m \omega \psi _ { \mathrm { { R } } } ^ { * } ( x ) \mapsto m \omega \psi _ { \mathrm { { R } } } ^ { \prime * } ( x ^ { \prime } ) = ( S ^ { \dagger } ) ^ { - 1 } m \omega \psi _ { \mathrm { { R } } } ^ { * } ( x )
\partial _ { t } T = - u _ { \gamma } \partial _ { \gamma } T + \frac { 1 } { \rho c _ { v } } \partial _ { \gamma } ( \kappa \partial _ { \gamma } T ) - \frac { T } { \rho c _ { v } } \left( \frac { \partial p _ { E O S } } { \partial T } \right) _ { \rho } \partial _ { \gamma } u _ { \gamma } ,
^ { ( H ) } T ^ { A B } = { \frac { e ^ { a \Phi } } { n ! } } \left( n H _ { ~ ~ C _ { 1 } C _ { 2 } \ldots } ^ { A } H ^ { B C _ { 1 } C _ { 2 } \ldots } - { \frac { 1 } { 2 } } g ^ { A B } H ^ { 2 } \right) \ .
\begin{array} { r l } { | G | _ { t } } & { = \sum _ { j , k = 1 } ^ { N } ( g _ { j k } ) _ { t } G _ { j k } } \\ & { = \mathrm { i } \sum _ { j = 2 , k = 1 } ^ { N } ( p _ { j } ^ { 2 } - q _ { k } ^ { 2 } ) g _ { j k } G _ { j k } - \mathrm { i } \sum _ { j = 2 , k = 1 } ^ { N } ( p _ { j } + q _ { k } ) G _ { j k } } \\ & { = \mathrm { i } \sum _ { j = 1 } ^ { N } ( p _ { j } ^ { 2 } - q _ { j } ^ { 2 } ) | G | + \mathrm { i } \sum _ { k = 1 } ^ { N } q _ { k } ^ { 2 } g _ { 1 k } G _ { 1 k } - \mathrm { i } \sum _ { j = 2 , k = 1 } ^ { N } ( p _ { j } + q _ { k } ) G _ { j k } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\| { \pi _ { \mathfrak { A } } ( a ^ { - 1 } ) - \pi _ { \mathfrak { B } } ( b ^ { - 1 } ) } \right\| _ { { \mathfrak { D } } } } & { = \left\| { \pi _ { \mathfrak { A } } ( a ^ { - 1 } ) ( \pi _ { \mathfrak { B } } ( b ) - \pi _ { \mathfrak { A } } ( a ) ) \pi _ { \mathfrak { B } } ( b ^ { - 1 } ) } \right\| _ { { \mathfrak { D } } } } \\ & { \leqslant \left\| { a ^ { - 1 } } \right\| _ { { \mathfrak { A } } } \left\| { \pi _ { \mathfrak { A } } ( a ) - \pi _ { \mathfrak { B } } ( b ) } \right\| _ { { \mathfrak { D } } } \left\| { b ^ { - 1 } } \right\| _ { { \mathfrak { B } } } } \\ & { \leqslant \left\| { a ^ { - 1 } } \right\| _ { { \mathfrak { A } } } \left\| { b ^ { - 1 } } \right\| _ { { \mathfrak { B } } } \varepsilon { \mathsf { T } } ( a , b ) } \\ & { \leqslant \varepsilon \left\| { ( a ^ { - 1 } , b ^ { - 1 } ) } \right\| _ { { \mathfrak { A } } \oplus { \mathfrak { B } } } ^ { 2 } { \mathsf { T } } ( a , b ) \mathrm { . } } \end{array}
\Omega _ { 2 } L _ { 3 } ^ { 2 } + \Omega _ { 3 } L _ { 2 } ^ { 2 } - 2 \Omega _ { 1 } L _ { 2 } L _ { 3 } = - \Omega _ { 1 } \Omega _ { 2 } \Omega _ { 3 } \Big [ \Omega _ { 1 } ^ { 2 } + \Omega _ { 1 } \Omega _ { 2 } + \Omega _ { 2 } ^ { 2 } \Big ] .
H _ { D } ^ { F } = \tilde { \lambda } ^ { \mu } ( \tau ) { \cal H } _ { \mu } ( \tau ) - \frac 1 2 \tilde { \lambda } ^ { \mu \nu } ( \tau ) { \cal H } _ { \mu \nu } ( \tau ) + \int { d ^ { 3 } \sigma \Big [ - A _ { \tau } ( \tau , \vec { \sigma } ) \Gamma ( \tau , \vec { \sigma } ) + \mu _ { \tau } ( \tau , \vec { \sigma } ) \pi ^ { \tau } ( \tau , \vec { \sigma } ) \Big ] } ,
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k - 4 - 2 i - j , 2 k + 5 + 6 i + 4 j } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 4 k - 4 - 2 i - j , 2 k + 4 + 6 i + 4 j } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 4 k - 4 - 2 i - j , 2 k + 3 + 6 i + 4 j } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 4 k - 4 - 2 i - j , 2 k + 2 + 6 i + 4 j } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 4 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \rVert R ( z _ { 0 } ( \cdot ) , z _ { 0 } ( \cdot ) ) \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } } \le _ { s } \rVert z _ { 0 } \rVert _ { s + \mu _ { 1 } } ^ { \mathrm { L i p } } \rVert z _ { 0 } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 1 } } ^ { \mathrm { L i p } } \le _ { s , C } \varepsilon ^ { 6 - 4 b } \rVert \mathfrak { I } \rVert _ { s + \mu _ { 1 } } ^ { \mathrm { L i p } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { n } } & { z _ { i } ^ { 2 } \left( \xi _ { i } ^ { 2 } ( 0 ) + 2 \xi _ { i } ( 0 ) \xi _ { i } ^ { h } ( z _ { i } ) + \xi _ { i } ^ { h } ( z _ { i } ) ^ { 2 } \right) } \\ & { = \mathbf { z } ^ { \top } \mathbf { T } _ { 1 } ^ { \top } \mathbf { W } _ { 2 } \mathbf { T } _ { 1 } \mathbf { z } + 2 \mathbf { z } ^ { \top } \mathbf { T } _ { 1 } ^ { \top } \mathbf { W } _ { 2 } \Phi ^ { h } ( \mathbf { z } ) } \\ & { \quad + \Phi ^ { h } ( \mathbf { z } ) ^ { \top } \mathbf { W } _ { 2 } \Phi ^ { h } ( \mathbf { z } ) + 2 \mathcal { E } _ { o } ^ { h } ( \Phi ( \mathbf { z } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i = 1 } ^ { \ell } } & { C _ { k _ { i } , s } \Big ( \int _ { B _ { \rho } ( 0 ) } \frac { \varphi ( x _ { n } + \sum _ { j = 1 } ^ { k _ { i } } \tau _ { j } \xi _ { a _ { i } ( j ) } ( n ) ) - \varphi ( x _ { n } ) } { ( \sum _ { j = 1 } ^ { k _ { i } } \tau _ { j } ^ { 2 } ) ^ { \frac { k _ { i } + 2 s } { 2 } } } \, d \tau _ { 1 } \dots d \tau _ { k _ { i } } } \\ & { + \int _ { B _ { \rho } ( 0 ) ^ { c } } \frac { u ( x _ { n } + \sum _ { j = 1 } ^ { k _ { i } } \tau _ { j } \xi _ { a _ { i } ( j ) } ( n ) ) - u ( x _ { n } ) } { ( \sum _ { j = 1 } ^ { k _ { i } } \tau _ { j } ^ { 2 } ) ^ { \frac { k _ { i } + 2 s } { 2 } } } \, d \tau _ { 1 } \dots d \tau _ { k _ { i } } \Big ) \le \frac 1 n , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \left\{ d _ { p - v a r } \left( S _ { 2 } \circ \Phi _ { l } ( X _ { t } ( x ) ) , \boldsymbol { X } ( x ) \right) > \frac { \delta } { \epsilon ^ { n } } \right\} } & { \leq \frac { \epsilon ^ { n q } } { \delta ^ { q } } \mathbb { E } \bigg ( d _ { p - v a r } \left( S _ { 2 } \circ \Phi _ { l } ( X _ { t } ( x ) ) , \boldsymbol { X } ( x ) \right) \bigg ) ^ { q } } \\ { \leq \frac { \epsilon ^ { n q } } { \delta ^ { q } } } & { ( q - 1 ) ^ { \frac { n q } { 2 } } \mathbb { E } \bigg ( d _ { p - v a r } \left( S _ { 2 } \circ \Phi _ { l } ( X _ { t } ( x ) ) , \boldsymbol { X } ( x ) \right) \bigg ) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \Big [ F ( z ^ { ( T ) } ) - F ( z ^ { * } ) + \gamma \| A w ^ { ( T ) } - z ^ { ( T ) } \| \Big ] \leq \frac { 2 U _ { 2 } \gamma + U _ { 2 } ^ { 2 } \rho ^ { \mathrm { m a x } } + 4 \gamma ^ { 2 } / \rho ^ { 1 } + \alpha U _ { 2 } ^ { 2 } / ( 2 E ) } { T + 1 } } \\ & { + \frac { 2 } { E T ( T + 1 ) } \sum _ { t = 1 } ^ { T } \sum _ { e = 1 } ^ { E } \Big \{ \frac { t } { \alpha ( t + 2 ) } \sum _ { p = 1 } ^ { P } \underbrace { \mathbb { E } \big [ \| f _ { p } ^ { \prime } ( z _ { p } ^ { t , e } ) + \tilde { \xi } _ { p } ^ { t , e } \| ^ { 2 } } _ { \leq U _ { 1 } ^ { 2 } + \overline { { U } } ( \bar { \epsilon } ) } \big ] + t \langle \underbrace { \mathbb { E } [ \tilde { \xi } ^ { t , e } ] } _ { = 0 } , z ^ { * } - z ^ { t } \rangle \big ] } \\ { \leq } & { \frac { 2 U _ { 2 } \gamma + U _ { 2 } ^ { 2 } \rho ^ { \mathrm { m a x } } + 4 \gamma ^ { 2 } / \rho ^ { 1 } + \alpha U _ { 2 } ^ { 2 } / ( 2 E ) } { T + 1 } + \frac { 2 } { E T ( T + 1 ) } \frac { E P ( U _ { 1 } ^ { 2 } + \overline { { U } } ( \bar { \epsilon } ) ) } { \alpha } \underbrace { \sum _ { t = 1 } ^ { T } \frac { t } { t + 2 } } _ { = T - \sum _ { t = 3 } ^ { T + 2 } \frac { 2 } { t } \leq T } } \\ { \leq } & { \frac { 2 U _ { 2 } \gamma + U _ { 2 } ^ { 2 } \rho ^ { \mathrm { m a x } } + 4 \gamma ^ { 2 } / \rho ^ { 1 } + \alpha U _ { 2 } ^ { 2 } / ( 2 E ) + 2 P ( U _ { 1 } ^ { 2 } + \overline { { U } } ( \bar { \epsilon } ) ) / \alpha } { T + 1 } , } \end{array}
\theta = \left\lbrace \begin{array} { l l } { - \operatorname { a r c c o s } ( - B _ { R } / B ) , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ B _ { T } > 0 , } \\ { \operatorname { a r c c o s } ( - B _ { R } / B ) , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ B _ { T } < 0 . } \end{array} \right.
\operatorname* { s u p } _ { \Im { \sigma } = t _ { 0 } } ( \mathrm { d i s t } ( i \sigma - \sigma ^ { 2 } , \lbrace \lambda _ { j } : j \in \mathbb { N } _ { 0 } \rbrace ) ^ { - 1 } ) = \operatorname* { s u p } _ { j \in \mathbb { N } _ { 0 } } ( \operatorname* { i n f } _ { \Im { \sigma } = t _ { 0 } } | i \sigma - \sigma ^ { 2 } - \lambda _ { j } | ) ^ { - 1 } .
m _ { n } \frac { \partial ^ { 2 } W _ { n } ( t ) } { \partial t ^ { 2 } } + c _ { n } \left[ \frac { \partial W _ { n } ( t ) } { \partial t } - \frac { \partial w _ { n } ( t ) } { \partial t } \right] + k _ { n } ( t ) [ W _ { n } ( t ) - w _ { n } ( t ) ] = 0 ,
\begin{array} { r l r } { U _ { B } ( \boldsymbol r ^ { \prime } ) \! \! \! } & { { } = } & { \! \! \! { \frac { \mathrm { i } } { \lambda D } } \exp \left[ - { \frac { \mathrm { i } \pi } { \lambda } } \left( { \frac { 1 } { R _ { B } } } + { \frac { 1 } { D } } \right) r ^ { 2 } \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { p ( L _ { t i } ^ { u } = 1 | H _ { t } ) = \frac { \sum _ { L _ { t } ^ { u } \in \{ \mathcal { L } ^ { u } \} _ { L _ { t i } ^ { u } = 1 } } p ( H _ { t } , L _ { t } ^ { u } ) } { p ( H _ { t } ) } = \frac { \sum _ { L _ { t } ^ { u } \in \{ \mathcal { L } ^ { u } \} _ { L _ { t i } ^ { u } = 1 } } p ( H _ { t } | L _ { t } ^ { u } ) p ( L _ { t } ^ { u } ) } { \sum _ { L _ { t } ^ { u } \in \mathcal { L } ^ { u } } p ( H _ { t } | L _ { t } ^ { u } ) p ( L _ { t } ^ { u } ) } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { I _ { 1 } ^ { C } } & { : = { \mathrm { t r } } ( \mathbf { C } ) = C _ { I I } = \lambda _ { 1 } ^ { 2 } + \lambda _ { 2 } ^ { 2 } + \lambda _ { 3 } ^ { 2 } } \\ { I _ { 2 } ^ { C } } & { : = { \frac { 1 } { 2 } } \left[ ( { \mathrm { t r } } ~ \mathbf { C } ) ^ { 2 } - { \mathrm { t r } } ( \mathbf { C } ^ { 2 } ) \right] = { \frac { 1 } { 2 } } \left[ ( C _ { J J } ) ^ { 2 } - C _ { I K } C _ { K I } \right] = \lambda _ { 1 } ^ { 2 } \lambda _ { 2 } ^ { 2 } + \lambda _ { 2 } ^ { 2 } \lambda _ { 3 } ^ { 2 } + \lambda _ { 3 } ^ { 2 } \lambda _ { 1 } ^ { 2 } } \\ { I _ { 3 } ^ { C } } & { : = \operatorname* { d e t } ( \mathbf { C } ) = J ^ { 2 } = \lambda _ { 1 } ^ { 2 } \lambda _ { 2 } ^ { 2 } \lambda _ { 3 } ^ { 2 } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \eta _ { \tau , i } } - \frac { 1 } { \eta _ { \tau , i - 1 } } } & { = \frac { ( w _ { i } + i + \tau I ) ^ { 1 / 3 } } { \kappa } - \frac { ( w _ { i - 1 } + i - 1 + \tau I ) ^ { 1 / 3 } } { \kappa } } \\ & { \overset { ( a ) } { \leq } \frac { ( w _ { i } + i + \tau I ) ^ { 1 / 3 } } { \kappa } - \frac { ( w _ { i } + i - 1 + \tau I ) ^ { 1 / 3 } } { \kappa } } \\ & { \overset { ( b ) } { \leq } \frac { 1 } { 3 \kappa ( w _ { i } + i - 1 + \tau I ) ^ { 2 / 3 } } \overset { ( c ) } { \leq } \frac { 2 ^ { 2 / 3 } \kappa ^ { 2 } } { 3 \kappa ^ { 3 } ( w _ { i } + i + \tau I ) ^ { 2 / 3 } } \overset { ( d ) } { = } \frac { 2 ^ { 2 / 3 } } { 3 \kappa ^ { 3 } } \eta _ { i } ^ { 2 } { \overset { ( e ) } { \leq } \frac { \rho } { 7 2 \kappa ^ { 3 } \lambda L I ^ { 2 } } \eta _ { i } , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \binom { \psi _ { 1 } ^ { e } } { \psi _ { 2 } ^ { e } } } & { = \frac 1 { \alpha - \beta } \binom { \beta \phi _ { 1 } ^ { e } - \phi _ { 2 } ^ { e } } { \alpha \phi _ { 1 } ^ { e } - \phi _ { 2 } ^ { e } } = \binom { - e _ { \alpha + \beta } * \phi _ { 2 } - ( \alpha + \beta ) ^ { - 1 } \phi _ { 2 } ( 0 ) e _ { \alpha + \beta } } { e _ { \alpha + \beta } * \phi _ { 2 } + ( \alpha + \beta ) ^ { - 1 } \phi _ { 2 } ( 0 ) e _ { \alpha + \beta } } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \left[ \sigma _ { 1 } , \sigma _ { 1 } \right] } & { = 0 } \\ { \left[ \sigma _ { 1 } , \sigma _ { 2 } \right] } & { = 2 i \sigma _ { 3 } } \\ { \left[ \sigma _ { 2 } , \sigma _ { 3 } \right] } & { = 2 i \sigma _ { 1 } } \\ { \left[ \sigma _ { 3 } , \sigma _ { 1 } \right] } & { = 2 i \sigma _ { 2 } } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial { \bf u } } { \partial t } + ( { \bf u } \cdot \nabla ) { \bf u } } & { { } = } & { - \nabla ( { p } / { \rho } ) + \nu \nabla ^ { 2 } { \bf u } + { \bf F } _ { \mathrm { e x t } } , } \\ { \nabla \cdot { \bf u } } & { { } = } & { 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \tilde { v } _ { \mathcal { X } _ { 1 , 1 } ^ { \epsilon } } ^ { \omega k _ { 4 } } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { \frac { \mathcal { P } ( \omega ^ { 2 } k _ { 4 } ) } { \mathcal { P } ( \omega k _ { 4 } ) } \lambda _ { 1 } ^ { 2 } r _ { 2 } ( \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } k _ { \star } } ) z _ { 1 } ^ { - 2 i \nu _ { 3 } } z _ { 1 , ( 0 ) } ^ { i \nu _ { 1 } } z _ { 1 } ^ { i \nu _ { 1 } } e ^ { \frac { i z _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } } } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } \\ & { \tilde { v } _ { \mathcal { X } _ { 1 , 2 } ^ { \epsilon } } ^ { \omega k _ { 4 } } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { - \frac { \mathcal { P } ( \omega k _ { 4 } ) } { \mathcal { P } ( \omega ^ { 2 } k _ { 4 } ) } \lambda _ { 1 } ^ { - 2 } \frac { r _ { 1 } ( \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } k _ { \star } } ) } { f ( k _ { \star } ) } z _ { 1 } ^ { 2 i \nu _ { 3 } } z _ { 1 , ( 0 ) } ^ { - i \nu _ { 1 } } z _ { 1 } ^ { - i \nu _ { 1 } } e ^ { - \frac { i z _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } } } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } \\ & { \tilde { v } _ { \mathcal { X } _ { 1 , 3 } ^ { \epsilon } } ^ { \omega k _ { 4 } } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { - \frac { \mathcal { P } ( \omega ^ { 2 } k _ { 4 } ) } { \mathcal { P } ( \omega k _ { 4 } ) } \lambda _ { 1 } ^ { 2 } \frac { r _ { 2 } ( \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } k _ { \star } } ) } { f ( k _ { \star } ) } z _ { 1 } ^ { - 2 i \nu _ { 3 } } z _ { 1 , ( 0 ) } ^ { i \nu _ { 1 } } z _ { 1 } ^ { i \nu _ { 1 } } e ^ { \frac { i z _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } } } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } \\ & { \tilde { v } _ { \mathcal { X } _ { 1 , 4 } ^ { \epsilon } } ^ { \omega k _ { 4 } } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { 0 } & { \frac { \mathcal { P } ( \omega k _ { 4 } ) } { \mathcal { P } ( \omega ^ { 2 } k _ { 4 } ) } \lambda _ { 1 } ^ { - 2 } r _ { 1 } ( \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } k _ { \star } } ) z _ { 1 } ^ { 2 i \nu _ { 3 } } z _ { 1 , ( 0 ) } ^ { - i \nu _ { 1 } } z _ { 1 } ^ { - i \nu _ { 1 } } e ^ { - \frac { i z _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } } } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right) , } \end{array}