harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { P _ { \hat { X } _ { 1 } | X } ^ { * } ( \hat { x } _ { 1 } | x ) = \beta ( x , y | P _ { \hat { X } _ { 1 } } ^ { * } , P _ { \hat { X } _ { 2 } | Y \hat { X } _ { 1 } } ^ { * } ) P _ { \hat { X } _ { 1 } } ^ { * } ( \hat { x } _ { 1 } ) } \\ { * } & { \qquad \quad \times \exp \Bigg ( - \frac { \lambda _ { 1 } ^ { * } d _ { 1 } ( x , \hat { x } _ { 1 } ) + \log \beta _ { 2 } ( x , y , \hat { x } _ { 1 } | P _ { \hat { X } _ { 2 } | Y \hat { X } _ { 1 } } ^ { * } ) } { 1 + \xi ^ { * } } \Bigg ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \vec { T } _ { N _ { s } } - \vec { T } _ { 1 } | < } & { { } | \vec { T } _ { N _ { s } } - \vec { T } _ { i } ^ { \prime } | + | \vec { T } _ { N _ { s } } ^ { \prime } - \vec { T } _ { 1 } ^ { \prime } | + | \vec { T } _ { N _ { s } } ^ { \prime } - \vec { T } _ { 1 } | } \\ { \sim } & { { } O ( ( N _ { s } + 2 ) \theta _ { n } ) \sim O ( \Delta t ^ { 3 / 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathrm { P e } : = \frac { \hat { t } _ { \tiny { \mathrm { d , m a c r o } } } } { \hat { t } _ { \tiny { \mathrm { a , m a c r o } } } } = \frac { 1 } { \varepsilon } \frac { \hat { t } _ { \tiny { \mathrm { d , m i c r o } } } } { \hat { t } _ { \tiny { \mathrm { a , m i c r o } } } } = \frac { L U } { D } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( 1 , e v _ { 2 } ) ( M _ { 2 } ) _ { W _ { 2 } } } & { = \{ ^ { ( t _ { 2 } , q _ { 2 } ) } ( 1 , e v _ { 2 } ( m _ { 2 } ) ) \mid ( t _ { 2 } , q _ { 2 } ) \in W _ { 2 } , \; m _ { 2 } \in M _ { 2 } \} } \\ & { = \{ ( 1 , \; ^ { q _ { 2 } } e v _ { 2 } ( m _ { 2 } ) ) \mid q _ { 2 } \in Q _ { 2 } , \; m _ { 2 } \in M _ { 2 } \} } \\ & { = 1 \times e v _ { 2 } ( M _ { 2 } ) _ { Q _ { 2 } } . } \end{array}
H _ { n x } = { \frac { 1 } { n } } \left( H _ { x } + H _ { x - { \frac { 1 } { n } } } + H _ { x - { \frac { 2 } { n } } } + \cdots + H _ { x - { \frac { n - 1 } { n } } } \right) + \ln n .
\begin{array} { r l r } { g ^ { 2 } { \frac { \delta { \cal L } } { \delta A _ { \mu } ^ { a } } } } & { = } & { { 2 } \mathrm { t r } \, \Big ( T _ { a } \, \partial _ { \nu } F _ { \mu \nu } + i [ T _ { a } , A _ { \nu } ] F _ { \mu \nu } \Big ) } \\ & { = } & { \partial _ { \nu } F _ { \mu \nu } ^ { a } + { 2 i } \, A _ { \nu } ^ { b } \, F _ { \mu \nu } ^ { c } \mathrm { t r } \Big ( [ T ^ { a } , T ^ { b } ] \, T ^ { c } \Big ) } \\ & { = } & { \partial _ { \nu } F _ { \mu \nu } ^ { a } + i [ A _ { \nu } , F _ { \mu \nu } ] ^ { a } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \| \nabla f ( x ^ { \mathrm { o u t } } ) \| ^ { 2 } \leq } & { \ \widetilde \Theta \left( \frac { L } { R } + \frac { L \sqrt { d } } { n _ { \mathrm { m i n } } P \varepsilon _ { \mathrm { D P } } \sqrt { R } } + \frac { ( L G d ) ^ { \frac { 2 } { 3 } } } { ( n _ { \mathrm { m i n } } P \varepsilon _ { \mathrm { D P } } ) ^ { \frac { 4 } { 3 } } } \right) . } \end{array}
\cos \phi _ { \operatorname* { m a x } } = \frac { \cosh x \cosh y - \cosh r _ { m } ( x ) } { \sinh x \sinh y } ; \; \; \psi _ { \operatorname* { m a x } } = 2 \sqrt { 2 } e ^ { - R } \sqrt { e ^ { \xi + \zeta } ( \cosh r _ { m } ( \xi ) - \cosh ( \xi - \zeta ) ) } + O ( e ^ { - 2 R } ) ,
\begin{array} { r l } { \dim \mathcal { R } _ { \mathbb { P } } } & { = \dim { \mathcal { L } } _ { \mathbb { P } } - \dim \hat { \mathcal { L } } _ { \mathbb { P } } + 1 } \\ & { = { \binom { N + k - 2 } { N - 1 } } - { \binom { n + k - 2 } { n - 1 } } - 1 } \\ & { = \dim \mathcal { L } _ { N - 1 , k - 1 } ( \Lambda _ { R } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { ( \omega _ { e x } - \hat { H } + E _ { 0 } + i \eta ) | A _ { i a } ^ { \mathrm { ( p h ) } } ( \omega _ { e x } ) \rangle = \hat { a } _ { a } ^ { \dagger } \hat { a } _ { i } | \Psi _ { 0 } \rangle . } \end{array}
\Omega _ { A , A B } ^ { 1 , 2 } ( \tau ) \Big | _ { \alpha ^ { 2 } } = ( - \alpha k _ { 3 } ) ^ { 2 } \Delta t \sum _ { \tau ^ { \prime } } R _ { 0 A } ( \tau _ { - } , \tau ^ { \prime } ) R _ { 0 B } ( \tau _ { - } , \tau ^ { \prime } ) \mu _ { A } ( \tau _ { - } ^ { \prime } ) \mu _ { B } ( \tau _ { - } ^ { \prime } )
f ^ { ( \kappa ) } ( z ) = \frac { 1 } { \kappa } \biggl ( 1 - \exp \Bigl ( - \kappa \tan ^ { - 1 } \frac { z } { a } \Bigr ) \biggr ) = \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { f _ { n } } { \sqrt { n } } \biggl ( \frac { z } { a } \biggr ) ^ { n } ,
{ \mathrm { g l } } \big ( \mathcal { P } _ { J ( \mathcal { S } ) } ( \ell _ { \infty } ^ { N } ( \mathbb { R } ) ) \big ) \, \le \, e 2 ^ { d - 1 } \big \| \mathbf { Q } _ { \Lambda ( d , N ) , J ( \mathcal { S } ) ) } : \mathcal { P } _ { d } ( \ell _ { \infty } ^ { N } ( \mathbb { R } ) ) \to \mathcal { P } _ { J ( \mathcal { S } ) } ( \ell _ { \infty } ^ { N } ( \mathbb { R } ) ) \big \| \, \, \boldsymbol { \lambda } \big ( \mathcal { T } _ { d - 1 } ( \ell _ { \infty } ^ { N } ( \mathbb { R } ) ) \big ) \, ,
\begin{array} { r l } { h _ { u } ( t ) = \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } \mathcal { H } } & { \left( x , y , \frac { | t u ( x ) - t u ( y ) | } { | x - y | ^ { s } } \right) \frac { d x \ d y } { | x - y | ^ { N } } + \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } V ( x ) \mathcal { H } _ { x } ( x , | t u ( x ) | ) d x } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } \int _ { { \mathbb R } ^ { N } } \frac { K ( x ) K ( y ) F ( t u ( x ) ) F ( t u ( y ) ) } { | x - y | ^ { \lambda } } d x d y . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \mathbf { s } } _ { k + 1 } } & { = \mathbf { s } _ { k + 1 } - \mathbf { s } _ { k + 1 } ^ { * } } \\ & { = \tilde { W } ( \mathbf { s } _ { k } - \mathbf { s } _ { k } ^ { * } ) + \tilde { W } \mathbf { s } _ { k } ^ { * } - \mathbf { s } _ { k + 1 } ^ { * } + \tilde { V } \left( \mathbf { x } _ { k } - \mathbf { x } ^ { * } - \eta _ { k } G _ { k } \right) + \tilde { V } E _ { k } } \\ & { = \tilde { W } \hat { \mathbf { s } } _ { k } + \tilde { V } \left[ \hat { \mathbf { x } } _ { k } + \eta _ { k } ( \nabla F ( \mathbf { x } ^ { * } ) - \nabla F ( \mathbf { x } _ { k } ) ) \right] + \eta _ { k } \tilde { V } \hat { \mathbf { g } } _ { k } + \tilde { V } E _ { k } + \mathbf { s } _ { k } ^ { * } - \mathbf { s } _ { k + 1 } ^ { * } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { K _ { 1 : i , i } = \arg \operatorname* { m i n } _ { c } \frac { 1 } { n } } & { { } \sum _ { j = 1 } ^ { n } \left( \sum _ { a = 1 } ^ { i } \varphi _ { \theta } ^ { a } ( X _ { j } ^ { 0 } ) c _ { a } - \tilde { \varphi } _ { s } ^ { a } ( X _ { j } ^ { \tau } ) \right) ^ { 2 } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \left( t - t _ { i } \right) H _ { 0 } } & { = \int _ { a _ { i } } ^ { a } { \frac { \mathrm { d } a ^ { \prime } } { \sqrt { ( \Omega _ { 0 , \Lambda } a ^ { 2 } ) } } } } \\ { \left( t - t _ { i } \right) H _ { 0 } { \sqrt { \Omega _ { 0 , \Lambda } } } } & { = { \bigl . } \ln | a ^ { \prime } | \, { \bigr | } _ { a _ { i } } ^ { a } } \\ { a _ { i } \exp \left( ( t - t _ { i } ) H _ { 0 } { \sqrt { \Omega _ { 0 , \Lambda } } } \right) } & { = a ( t ) } \end{array} }
\operatorname { T r } ( \boldsymbol { w } \operatorname { C o v } ( \tilde { \boldsymbol { \theta } } ) ) \geqslant \operatorname { T r } ( \boldsymbol { w } \mathscr { F } ( \boldsymbol { \theta } ) ^ { - 1 } ) \equiv C ^ { S } ( \boldsymbol { \theta } , \boldsymbol { w } )
\Omega _ { + 2 } ^ { [ - 2 ] ( i ) } = \tilde { \Omega } _ { + 2 } ^ { [ - 1 0 ] ( i ) } ( \theta ^ { + } ) ^ { 8 } , \ \ \Omega _ { - 2 } ^ { [ + 2 ] ( i ) } = \tilde { \Omega } _ { - 2 } ^ { [ + 1 0 ] ( i ) } ( \theta ^ { - } ) ^ { 8 } ,
\epsilon _ { \mu } ^ { 2 } ( n ) \! = \! { \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } \left( { \frac { i n _ { 1 } n _ { 2 } \! + \! 1 \! + \! n _ { 3 } \! - \! n _ { 1 } ^ { 2 } } { 1 + n _ { 3 } } } , { \frac { - n _ { 1 } n _ { 2 } \! - \! i n _ { 1 } ^ { 2 } \! - \! i n _ { 3 } ^ { 2 } \! - \! i n _ { 3 } } { 1 + n _ { 3 } } } , \! - n _ { 1 } \! + \! i n _ { 2 } , 0 \right) .
{ \frac { 1 } { \left| { \boldsymbol { \sigma } } \right| \left( 2 \pi \right) ^ { \frac { n } { 2 } } } } e ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } \mathbf { x } ^ { \mathrm { T } } { \boldsymbol { \sigma } } ^ { - \mathrm { T } } { \boldsymbol { \sigma } } ^ { - 1 } \mathbf { x } }
\begin{array} { r l } { \delta _ { l , - w } ( + ) = } & { { } \frac { \mathbf { 1 } ^ { T } A _ { ( + ) } \mathbf { 1 } - \mathbf { 1 } ^ { T } D _ { ( - ) } ^ { - 1 } A _ { ( - ) } D _ { ( + ) } \mathbf { 1 } } { \mathbf { 1 } ^ { T } \mathbf { 1 } } \, , } \\ { \delta _ { l , + w } ( - ) = } & { { } \frac { \mathbf { 1 } ^ { T } A _ { ( - ) } \mathbf { 1 } - \mathbf { 1 } ^ { T } D _ { ( + ) } ^ { - 1 } A _ { ( + ) } D _ { ( - ) } \mathbf { 1 } } { \mathbf { 1 } ^ { T } \mathbf { 1 } } \, . } \end{array}
\chi ^ { 2 } = \sum _ { j _ { 1 } , j _ { 2 } } \left( R _ { j _ { 1 } } ^ { \mathrm { ( t h r ) } } - R _ { j _ { 1 } } ^ { \mathrm { ( e x p ) } } \right) ( V ^ { - 1 } ) _ { j _ { 1 } j _ { 2 } } \left( R _ { j _ { 2 } } ^ { \mathrm { ( t h r ) } } - R _ { j _ { 2 } } ^ { \mathrm { ( e x p ) } } \right) \, .
\ensuremath { \mathbf { R } } ^ { + } = ( \ensuremath { \mathbf { S } } ^ { - 1 } \ensuremath { \mathbf { \Tilde { S } } } ) ^ { - 1 / 2 } , \ensuremath { \mathbf { \Tilde { S } } } = \ensuremath { \mathbf { S } } + \frac { \alpha ^ { 2 } } { 2 } \ensuremath { \mathbf { X } } ^ { \dagger } \ensuremath { \mathbf { T } } \ensuremath { \mathbf { X } } .
\gamma _ { \bar { \Delta } _ { 1 R } } = \frac { 7 - N } { 1 2 } \alpha ^ { 2 } , \qquad \gamma _ { \bar { \Delta } _ { 2 R } } = \frac { 1 } { 6 } ( \sqrt \Theta - 1 7 N - 1 8 ) \alpha ^ { 2 } ,
V ^ { ( 3 ) } = e \, f ^ { a b c } ( 2 \partial _ { i } A _ { 1 j } ^ { a } A _ { 2 i } ^ { b } A _ { 2 j } ^ { c } + \partial _ { i } A _ { 2 j } ^ { a } A _ { 1 i } ^ { b } A _ { 2 j } ^ { c } )
\frac { 1 } { 2 } \sum \widetilde { \Omega } ^ { i j } D _ { X } ^ { 2 } \widetilde { \Omega } _ { j i } = \frac { 1 } { 2 } \sum \widetilde { \Omega } ^ { i k } D _ { X } \widetilde { \Omega } _ { k l } \widetilde { \Omega } ^ { l j } D _ { X } \widetilde { \Omega } _ { j i } + D _ { X } ^ { 2 } f + D _ { X } ^ { 2 } \log \mathrm { P f } ( \Omega _ { i j } ) .
{ \cal { L } } _ { \mathrm { Q C D } } = - \sum _ { f } \bar { q } _ { f } \left( \gamma ^ { \mu } \frac { 1 } { i } D _ { \mu } + m _ { f } \right) q _ { f } - \frac { 1 } { 4 } G _ { a } ^ { \mu \nu } G _ { a \mu \nu }
\beta _ { \mathrm { \tiny { Q E D } } } ^ { \mathrm { \tiny { C S } } } ( \alpha ) = \frac { m _ { e } } { \alpha } \frac { d \alpha } { d m _ { e } } \biggr | _ { \alpha _ { \mathrm { \tiny { B } } } \mathrm { \scriptsize { ~ f i x e d } } } ,
\left\{ \begin{array} { l l } { x ^ { ( 1 ) } = ( ( 1 - t _ { 0 } ) \frac { U _ { a } } { U _ { c } } \mu _ { 1 } , t _ { 1 } ) } & { \mathrm { w . p . ~ } \, p _ { 1 } = \frac { U _ { b } \mu _ { 2 } } { 2 Q _ { c } t _ { 1 } } } \\ { x ^ { ( 2 ) } = ( q - Q _ { c } , 0 ) } & { \mathrm { w . p . ~ } \, p _ { 2 } = \frac { U _ { a } \mu _ { 1 } } { 2 Q _ { c } t _ { 1 } } t _ { 0 } } \\ { x ^ { ( 3 ) } = ( 0 , q + Q _ { c } ) } & { \mathrm { w . p . ~ } \, p _ { 3 } = \frac { V _ { b } \, u _ { 2 } } { 2 Q _ { c } t _ { 2 } } t _ { 0 } } \\ { x ^ { ( 4 ) } = ( t _ { 2 } , ( 1 - t _ { 0 } ) \frac { V _ { b } } { V _ { c } } \mu _ { 2 } ) } & { \mathrm { w . p . ~ } \, p _ { 4 } = \frac { V _ { a } \mu _ { 1 } } { 2 Q _ { c } t _ { 2 } } } \end{array} \right. \; \;
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { \infty } { \mathbb { P } } ( A _ { i } ^ { + } > t ) \mathrm { d } t } & { = \int _ { 0 } ^ { T } { \mathbb { P } } ( A _ { i } ^ { + } > t ) \mathrm { d } t + \int _ { T } ^ { \infty } { \mathbb { P } } ( A _ { i } ^ { + } > t ) \mathrm { d } t } \\ & { \leq \int _ { 0 } ^ { T } \left( e ^ { \varepsilon } { \mathbb { P } } ( A _ { i } ^ { + } > t ) + \delta \right) \mathrm { d } t + \int _ { T } ^ { \infty } { \mathbb { P } } ( A _ { i } ^ { + } > t ) \mathrm { d } t } \\ & { \leq \int _ { 0 } ^ { \infty } { \mathbb { P } } ( { A _ { i } ^ { \prime } } ^ { + } > t ) \mathrm { d } t + 2 \varepsilon \int _ { 0 } ^ { \infty } { \mathbb { P } } ( { A _ { i } ^ { \prime } } ^ { + } > t ) \mathrm { d } t + \delta T + \int _ { T } ^ { \infty } { \mathbb { P } } ( | A _ { i } | > t ) \mathrm { d } t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta X _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ v ~ } } } & { { } = \sqrt { \sum _ { i = 0 } ^ { N } \| \mathbf { x } _ { M L P } ^ { ( i ) } - \mathbf { x } _ { r e f } ^ { ( i ) } \| ^ { 2 } } , } \\ { \Delta E _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ v ~ } } } & { { } = | E _ { M L P } ( X _ { M L P } ) - E _ { r e f } ( X _ { r e f } ) | , } \end{array}
d s ^ { 2 } = V ( r ) ( d \tau + 2 N \cos \theta d \phi ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { V ( r ) } d r ^ { 2 } + ( r ^ { 2 } - N ^ { 2 } ) ( d \theta ^ { 2 } + \sin ^ { 2 } \theta d \phi ^ { 2 } ) ,
\Gamma _ { t o t } \left( a ^ { \prime } \right) \approx \Gamma _ { \pi \eta } \left( a ^ { \prime } \right) + \Gamma _ { K \bar { K } } \left( a ^ { \prime } \right) + \Gamma _ { \pi { \eta } ^ { \prime } } \left( a ^ { \prime } \right) .
\begin{array} { r l } { \frac { \beta } { \alpha ^ { * } - \alpha + 1 } < \, } & { \kappa < \operatorname* { m i n } \left\{ \frac { 1 - \beta } { 2 \alpha - \alpha ^ { * } } , \frac { 1 - \beta } { \alpha + b - 1 - \alpha ^ { * } } \right\} } \\ { 1 < \, } & { \iota < \operatorname* { m i n } \left\{ \frac { 1 } { 2 \alpha - \alpha ^ { * } } , \frac { 1 } { \alpha + b - 1 - \alpha ^ { * } } \right\} . } \end{array}
\frac { d \, N _ { k } ( t ) } { d t } = \frac { g ^ { 2 } } { 3 2 \pi ^ { 2 } } ( M ^ { 2 } - 4 m ^ { 2 } ) \int d ^ { 3 } k ^ { \prime } \frac { \delta ( \omega _ { p } - \Omega - \Omega ^ { \prime } ) } { \Omega \Omega ^ { \prime } \omega _ { p } } \left[ n ( 1 - N ) ( 1 - N ^ { \prime } ) - ( 1 + n ) N N ^ { \prime } \right] \, .
S ^ { \alpha } = { \mathrm { \small { ~ \frac 1 2 ~ } } } \bar { \cal D } ^ { 2 } { \cal G } ^ { \alpha } , \quad \quad { \cal G } ^ { \alpha } = \left( \frac { - b _ { 1 } } { 4 ( a _ { 1 } + a _ { 2 } ) } \right) \hat { \sigma } G ^ { \alpha } ,
\begin{array} { r l } { g ( X ) - g ( X _ { \Delta x } ) } & { = \left( f ( Z ) ( y ) - f ( Z ) ( y _ { \Delta x } ) \right) y _ { \xi } y _ { \Delta x , \xi } } \\ & { \qquad + \left( f ( Z ) ( y _ { \Delta x } ) - f ( Z _ { \Delta x } ) ( y _ { \Delta x } ) \right) y _ { \xi } y _ { \Delta x , \xi } } \\ & { \qquad + f ( Z ) ( y ) \left( u _ { \Delta x , x } ^ { 2 } ( y _ { \Delta x } ) - u _ { x } ^ { 2 } ( y ) \right) y _ { \xi } y _ { \Delta x , \xi } } \\ & { \qquad + u _ { x } ^ { 2 } ( y ) \left( f ( Z ) ( y ) - f ( Z _ { \Delta x } ) ( y _ { \Delta x } ) \right) y _ { \xi } y _ { \Delta x , \xi } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { a , b } ( z _ { i } ) } & { = ( 1 - | z _ { i } | ) \cos ( \pi a z _ { i } ) \cos ( \pi b z _ { i } ) + \cos ( \pi a z _ { i } ) \frac { \sin ( \pi b | z _ { i } | ) } { \pi b } + \cos ( \pi b z _ { i } ) \frac { \sin ( \pi a | z _ { i } | ) } { \pi a } } \\ & { - \frac { \sin ( \pi ( a + b ) | z _ { i } | ) } { 2 \pi ( a + b ) } \; \; \left\{ \begin{array} { l l } { - \frac { \sin ( \pi ( a - b ) | z _ { i } | ) } { 2 \pi ( a - b ) } } & { \mathrm { i f ~ } a \neq b , } \\ { + \frac { 1 - | z _ { i } | } { 2 } } & { \mathrm { o t h e r w i s e . } } \end{array} \right. } \end{array}
\lambda _ { u , v } ( \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { u , v , s , t } } ) = \frac { \chi - 2 } { \chi - 4 } \lambda _ { i , j } \lambda _ { k , l } ( \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { s , i , k } } \cdot \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { l , j , t } } ) - \frac { 1 } { \chi ( \chi - 4 ) } \kappa _ { e ^ { 2 } } \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { s , t } } ,
\begin{array} { r l } { { \hat { H } } } & { { } = - { \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } { \frac { 1 } { m _ { i } } } \nabla _ { i } ^ { 2 } + \sum _ { i = 1 } ^ { N } V _ { i } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { r } & { = { \frac { n ^ { 2 } a _ { 0 } } { Z } } = { \frac { n \hbar } { m v _ { \mathrm { e } } } } , } \\ { v _ { \mathrm { e } } } & { = { \frac { Z } { n ^ { 2 } a _ { 0 } } } { \frac { n \hbar } { m } } , } \\ { { \frac { v _ { \mathrm { e } } } { c } } } & { = { \frac { Z \alpha } { n } } = { \frac { Z e ^ { 2 } } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } \hbar c n } } . } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \int _ { [ \gamma ] } \omega } & { = 2 i \int _ { S ^ { 1 } \gamma _ { g _ { 1 } } ( c ) } \mathbf { e } _ { 1 } \omega ~ \mathrm { d } \lambda _ { 1 } } \\ & { = 2 i \int _ { \phi ( S ^ { 1 } \gamma _ { g _ { 2 } } ( c ) ) } \mathbf { e } _ { 1 } \omega ~ \mathrm { d } \lambda _ { 1 } = 2 i \int _ { S ^ { 1 } \gamma _ { g _ { 2 } } ( c ) } \phi ^ { * } ( \mathbf { e } _ { 1 } \omega ~ \mathrm { d } \lambda _ { 1 } ) } \\ & { = 2 i \int _ { S ^ { 1 } \gamma _ { g _ { 2 } } ( c ) } \phi ^ { * } ( \mathbf { e } _ { 1 } \omega ) ~ \mathrm { d } \lambda _ { 2 } = \int _ { [ \gamma ] } { \pi _ { 1 } } _ { * } \phi ^ { * } ( \mathbf { e } _ { 1 } \omega ) = \int _ { [ \gamma ] } F \omega . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d } { d t } \int _ { \Omega _ { A } ( t ) \cap \Lambda } \rho _ { A } v _ { A } { \ } d x = \int _ { \Omega _ { A } ( t ) \cap \Lambda } \mathcal { F } _ { A } { \ } d x , } \\ { \frac { d } { d t } \int _ { \Omega _ { B } ( t ) \cap \Lambda } \rho _ { B } v _ { B } { \ } d x = \int _ { \Omega _ { B } ( t ) \cap \Lambda } \mathcal { F } _ { B } { \ } d x , } \\ { \frac { d } { d t } \int _ { \Gamma ( t ) \cap \Lambda } \rho _ { S } v _ { S } { \ } d \mathcal { H } _ { x } ^ { 2 } = \int _ { \Gamma ( t ) \cap \Lambda } \mathcal { F } _ { S } { \ } d \mathcal { H } _ { x } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { S } & { = } & { \int d x \frac { \operatorname* { d e t } e } { 2 \kappa } \left( e ^ { a \mu } e ^ { b \nu } R _ { { \mu \nu } a b } - \bar { \Psi } _ { \mu } \gamma ^ { { \mu \nu } \rho } D _ { \nu } \Psi _ { \rho } \right) } \\ { R _ { { \mu \nu } a b } } & { = } & { \partial _ { \mu } \omega _ { \nu a b } - \partial _ { \nu } \omega _ { \mu a b } + \omega _ { \mu a c } \omega _ { \nu \, \, b } ^ { \, \, c } - \omega _ { \nu a c } \omega _ { \mu \, \, b } ^ { \, \, c } } \\ { D _ { \nu } } & { = } & { \partial _ { \nu } + \frac { 1 } { 4 } \omega _ { \nu a b } \gamma ^ { a b } } \\ { \omega _ { \nu a b } } & { = } & { 2 e _ { \mu [ a } \partial _ { [ \nu } e _ { b ] } ^ { \mu ] } - e _ { \mu [ a } e _ { b ] } ^ { \sigma } e _ { \nu c } \partial ^ { \mu } e _ { \sigma } ^ { c } } \\ { g _ { \mu \nu } } & { = } & { e _ { \mu } ^ { a } g _ { a b } ^ { \mathrm { F l a t } } e _ { \nu } ^ { b } , } \end{array}
\begin{array} { r } { ( \pm \omega + i \eta + \varepsilon _ { i } + \frac 1 2 \Delta ) \delta \psi _ { i } ^ { \pm } = V _ { \mathrm { t o t } } \delta \psi _ { i } ^ { \pm } + ( f _ { \mathrm { H X C } } \delta \rho ) \psi _ { i } + \delta V _ { \mathcal P } \psi _ { i } } \end{array}
0 = - \int _ { - L } ^ { L } d x ^ { - } 2 \partial _ { + } \partial _ { - } \phi = \int _ { - L } ^ { L } d x ^ { - } \left[ ( \mu ^ { 2 } - \partial _ { \bot } ^ { 2 } ) \phi + \frac { \partial V } { \partial \phi } \right] \quad .
\begin{array} { r l } { u ( r ) } & { = c _ { 3 } \ \lambda ^ { 2 } Y _ { 0 } \left( - \frac { i r } { \lambda } \right) + c _ { 2 } \ \lambda ^ { 2 } \left( I _ { 0 } \left( \frac { r } { \lambda } \right) - 1 \right) + c _ { 1 } \ \log ( r ) + c _ { 4 } } \\ & { = c _ { 2 } \ \lambda ^ { 2 } \left( I _ { 0 } \left( \frac { r } { \lambda } \right) - 1 \right) + c _ { 1 } \log ( r ) + c _ { 4 } , } \end{array}
A = \operatorname* { g c d } \left( \mathscr { d } _ { 2 } , \frac { c n } { \mathscr { d } _ { 1 } } \right) = \operatorname* { g c d } \left( \mathscr { d } _ { 2 } , \frac { d n } { \mathscr { d } _ { 1 } } \right) = \operatorname* { g c d } \left( \mathscr { d } _ { 2 } , \frac { n } { \mathscr { d } _ { 1 } } \operatorname* { g c d } ( c , d , n ) \right)
\sum _ { l \in \textbf { l e f t } ( s ) } z _ { l } ^ { ( 2 ) } = 0 . 5 , ~ \sum _ { l \in \textbf { l e f t } ( s ) } z _ { l } ^ { ( 2 ) } = 0 . 5 , ~ \sum _ { l \in \textbf { r i g h t } ( s ) } z _ { l } ^ { ( 2 ) } = 0 . 5 , ~ \sum _ { l \in \textbf { r i g h t } ( s ^ { \prime } ) } z _ { l } ^ { ( 2 ) } = 0 , ~ x _ { V ( s ) C ( s ) } ^ { ( 2 ) } = 0 . 5 , ~ x _ { V ( s ^ { \prime } ) C ( s ^ { \prime } ) } ^ { ( 2 ) } = 0 . 5
W _ { S U } = \frac { - 1 } { 4 \mathrm { t a n } ( \theta _ { 2 } - \theta _ { 1 } ) } \left( \mathrm { T r } ( X { \widetilde X } ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { M } ( \mathrm { T r } X { \widetilde X } ) ^ { 2 } \right) .
\begin{array} { r l } { D _ { x } ^ { - } u | _ { x = x _ { i } } = } & { \Big ( c _ { 1 } ^ { - } ( x _ { i } ) u ( x _ { i + 1 / 2 } ) + c _ { 0 } ^ { - } ( x _ { i } ) u ( x _ { i - 1 / 2 } ) \Big ) } \\ { + } & { \Big ( c _ { 2 } ^ { - } ( x _ { i } ) u ( x _ { i + 3 / 2 } ) + c _ { - 1 } ^ { - } ( x _ { i } ) u ( x _ { i - 3 / 2 } ) \Big ) } \\ { + } & { \cdots } \\ { + } & { \Big ( c _ { r } ^ { - } ( x _ { i } ) u ( x _ { i + r - 1 / 2 } ) + c _ { - r + 1 } ^ { - } ( x _ { i } ) u ( x _ { i - r + 1 / 2 } ) \Big ) , } \end{array}
T _ { \alpha \beta } ( z , p , s _ { \perp } ) = z \sum _ { X } \int \frac { d \lambda } { 2 \pi } \exp ( - i \lambda / z ) \langle 0 | \psi _ { \alpha } ( 0 ) | \Lambda ( p , s _ { \perp } ) , X \rangle \langle \Lambda ( p , s _ { \perp } ) , X | \bar { \psi } _ { \beta } ( \lambda n ) | 0 \rangle ,
{ \begin{array} { r l } & { \int x ^ { m } \left( A + B \, x ^ { n } \right) \left( a + b \, x ^ { n } \right) ^ { p } \left( c + d \, x ^ { n } \right) ^ { q } d x = { \frac { B \, x ^ { m - n + 1 } \left( a + b \, x ^ { n } \right) ^ { p + 1 } \left( c + d \, x ^ { n } \right) ^ { q + 1 } } { b \, d ( m + n ( p + q + 1 ) + 1 ) } } \, - \, { \frac { 1 } { b \, d ( m + n ( p + q + 1 ) + 1 ) } } \, \cdot } \\ & { \qquad \int x ^ { m - n } \left( a \, B \, c ( m - n + 1 ) + ( a \, B \, d ( m + n \, q + 1 ) - b ( - B \, c ( m + n \, p + 1 ) + A \, d ( m + n ( p + q + 1 ) + 1 ) ) ) x ^ { n } \right) \left( a + b \, x ^ { n } \right) ^ { p } \left( c + d \, x ^ { n } \right) ^ { q } d x } \end{array} }
[ K _ { i j } ^ { Q } ] ^ { L } = \left\{ \begin{array} { l l } { [ K _ { i j } ^ { Q } ] ^ { L } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } | [ K _ { i j } ^ { Q } ] ^ { L } | \ge \varepsilon \{ | [ K _ { i j } ^ { Q } ] ^ { L } | \} ^ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ , ~ } } \end{array} \right.
\psi _ { \alpha } \otimes _ { \pm } 1 = \psi _ { \alpha } , \quad \psi _ { \alpha } \otimes _ { \pm } ( \psi _ { \beta } \otimes \Psi ) = \psi _ { \alpha } \otimes \psi _ { \beta } \otimes \Psi \pm \psi _ { \beta } \otimes ( \psi _ { \alpha } \otimes _ { \pm } \Psi ) ;
\hat { \delta } \hat { A } _ { \mu } ( x ) = \delta ( A _ { \mu } ( x ) + { \frac { 1 } { 2 } } \theta ^ { \sigma \nu } A _ { \nu } ( x ) F _ { \sigma \mu } ( x ) + { \frac { 1 } { 2 } } \theta ^ { \sigma \nu } A _ { \nu } ( x ) \partial _ { \sigma } A _ { \mu } ( x ) ) ~ ,
x ^ { 5 } - { \frac { 2 2 } { 5 } } x ^ { 3 } - { \frac { 1 1 } { 2 5 } } x ^ { 2 } + { \frac { 4 6 2 } { 1 2 5 } } x + { \frac { 9 7 9 } { 3 1 2 5 } }
0 = \mathcal { R } ( x ^ { \mathrm { { t r u t h } } } , t ) \overset { d e f } { = } \frac { \partial \mathcal { A } ( x ^ { \mathrm { { t r u t h } } } , t ) } { \partial t } - \left[ - \nabla \cdot \mathcal { F } ( x ^ { \mathrm { { t r u t h } } } , t ) + \mathcal { V } ( x ^ { \mathrm { { t r u t h } } } , t ) \right]
\begin{array} { r l } { \left\langle w , ( u _ { g } ) _ { t } \right\rangle + \left\langle w , f _ { 0 } u _ { a g } ^ { \perp } + \beta y u _ { g } \right\rangle - \left\langle \nabla \cdot w , g \eta _ { a g } \right\rangle } & { { } = 0 , \quad \forall w \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 2 } , } \\ { \left\langle \alpha , ( \eta _ { g } ) _ { t } + H \nabla \cdot ( u _ { g } ) \right\rangle } & { { } = 0 , \quad \forall \alpha \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 1 } . } \end{array}