harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { - \frac { 1 } { \sqrt { n } } \frac { \partial } { \partial \beta _ { i } } U _ { n , \varepsilon } ( \theta ) | _ { \theta = \theta _ { 0 } } = } & { - \sum _ { k = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { \sqrt { n } } \frac { \partial } { \partial \beta _ { i } } \log \operatorname* { d e t } [ \sigma \sigma ^ { \top } ] \Bigl ( X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) , ~ \beta _ { 0 } \Bigr ) } \\ & { - \sum _ { k = 1 } ^ { n } \sqrt { n } \varepsilon ^ { - 2 } \Bigl ( P _ { k } ( \theta _ { 0 } ) \Bigr ) ^ { \top } \frac { \partial } { \partial \beta _ { i } } [ \sigma \sigma ^ { \top } ] ^ { - 1 } \Bigl ( X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) , ~ \beta _ { 0 } \Bigr ) P _ { k } ( \theta _ { 0 } ) } \\ & { + 2 \sum _ { k = 1 } ^ { n } \frac { \varepsilon ^ { - 2 } } { \sqrt { n } } \Bigl ( \frac { \partial } { \partial \beta _ { i } } b \bigl ( X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) , ~ \theta _ { 0 } \bigr ) \Bigr ) ^ { \top } [ \sigma \sigma ^ { \top } ] ^ { - 1 } \Bigl ( X _ { t _ { k - 1 } } , ~ H ( X _ { t _ { k - 1 } - \cdot } ) , ~ \beta _ { 0 } \Bigr ) P _ { k } ( \theta _ { 0 } ) } \\ { = } & { \colon \sum _ { k = 1 } ^ { n } \eta _ { k } ^ { i } ( \theta _ { 0 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat { K _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } } [ | z _ { e } | ^ { - 1 } f ] ( x ) } & { { } = \frac 1 { 2 \pi \mathrm { i } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { 1 } { x - z ( e ^ { \prime } ) } f ( e ^ { \prime } ) \, \mathrm { d } e ^ { \prime } = \frac 1 { 2 \pi \mathrm { i } } \int _ { 0 } ^ { L } \sum _ { k = - \infty } ^ { + \infty } \frac { 1 } { x - z ( e ^ { \prime } ) - L k } f ( e ^ { \prime } ) \, \mathrm { d } e ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \psi _ { x } ( v ; \mathbf { z } ) } & { \overset { d e f } { = } \gamma _ { 0 } ( x + v ; \mathbf { z } ) - \gamma _ { 0 } ( x ; \mathbf { z } ) - \theta _ { 0 } ( x ) [ \phi _ { 0 } ( x + v ; \mathbf { z } ) - \phi _ { 0 } ( x ; \mathbf { z } ) ] } \\ & { = \psi _ { x } ^ { \mathtt { M D } } ( v ; \mathbf { Z } ) + \theta _ { 0 } ( x ) \int _ { x } ^ { x + v } \gamma _ { 0 } ( u ; \mathbf { Z } ) d u = \psi _ { x } ^ { \mathtt { M D } } ( v ; \mathbf { Z } ) + O ( | v | ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { b _ { 1 } = - \frac { 1 + a _ { 1 } \left( C _ { 1 } + C _ { 3 } \right) } { C _ { 2 } + a _ { 1 } \left( C _ { 1 } C _ { 2 } + C _ { 2 } C _ { 3 } - 2 \, C _ { 5 } ^ { \, 2 } \right) } = F ( a _ { 1 } ) , \quad } & { \mathrm { ( T E ~ / ~ s - p o l a r i z e d ~ i n c i d e n c e ) } } \\ & { a _ { 1 } = - \frac { 1 + b _ { 1 } \left( C _ { 1 } + C _ { 3 } \right) } { C _ { 2 } + b _ { 1 } \left( C _ { 1 } C _ { 2 } + C _ { 2 } C _ { 3 } - 2 \, C _ { 5 } ^ { \, 2 } \right) } , \quad } & { \mathrm { ( T M ~ / ~ p - p o l a r i z e d ~ i n c i d e n c e ) } } \end{array}
\dot { m } _ { c } [ \frac { 1 } { 2 } v ^ { 2 } + \hat { h } _ { g } - \hat { h } _ { s } ] + N u \cdot k _ { g } \frac { ( T _ { g } - T _ { s } ) } { D _ { 1 } } = q _ { H e } \frac { D _ { 2 } } { D _ { 1 } } \simeq q _ { H e } .
\mathbf { n } \cdot { \boldsymbol { \sigma } } ^ { + } + \mathbf { n } \cdot { \boldsymbol { \sigma } } ^ { - 1 } = \mathbf { 0 } \qquad { \mathrm { o r } } \qquad \mathbf { n } \cdot [ [ { \boldsymbol { \sigma } } ] ] = \mathbf { 0 }
\begin{array} { r l } { \| ( \widehat { H } _ { 0 } ( \theta , \alpha ) - \zeta ) ^ { - 1 } \widehat { W } _ { g } ( \theta , \alpha ) \| } & { \leq \| ( \widehat { H } _ { 0 } ( \theta , \alpha ) - \zeta ) ^ { - 1 } ( \widehat { H } _ { 0 } ( \theta , \alpha ) - \widehat { E } _ { \mathrm { a t } } ( \theta , \alpha ) + e ^ { \theta } / 2 ) \| } \\ & { \times \| ( \widehat { H } _ { 0 } ( \theta , \alpha ) - \widehat { E } _ { \mathrm { a t } } ( \theta , \alpha ) + e ^ { \theta } / 2 ) ^ { - 1 } \widehat { W } _ { g } ( \theta , \alpha ) \| . } \end{array}
K _ { b } = - \langle \Lambda _ { b } ( v , s ) | \bar { b } _ { v } { \frac { ( i D ) ^ { 2 } } { 2 m _ { b } ^ { 2 } } } b _ { v } | \Lambda _ { b } ( v , s ) \rangle , z = ( m _ { b } v - q ) ^ { 2 } - m _ { c } ^ { 2 } ,
0 < \frac { 1 - b x } { \sqrt { x ( 1 - x ) ( 1 + \frac { b } { a } x ) ( x + \frac { c _ { 2 } } { b } ) } } < \frac { 1 - b x } { \sqrt { x ( 1 - x ) ( 1 + \frac { b } { a } x ) ( x + \frac { c _ { 3 } } { b } ) } } .
\mathbf { s } = \left[ \begin{array} { l } { \ln \mathbf { K } } \\ { \ln \boldsymbol { \rho } } \end{array} \right] , \quad \mathbf { Q } = \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { Q } _ { \ln k } } & { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { Q } _ { \ln \rho } } \end{array} \right]
\widetilde { C } _ { - \omega } ( k , \tau ) = \frac { c _ { 0 } \, \mathrm { e } ^ { - \epsilon k } } { 4 \tilde { \omega } _ { d } \tilde { \tau } _ { c } } \left[ \beta _ { f } \, \mathrm { e } ^ { - \frac { \beta _ { s } \lvert \tau \rvert B ( k ) } { 2 \tilde { \tau } _ { c } } } - \beta _ { s } \, \mathrm { e } ^ { - \frac { \beta _ { f } \lvert \tau \rvert B ( k ) } { 2 \tilde { \tau } _ { c } } } \right] ,
d s _ { A d S _ { d } } ^ { 2 } = { \frac { 1 } { y ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \mu } } \big ( - d t ^ { 2 } + d \vec { x } _ { d - 3 } ^ { 2 } + d y ^ { 2 } + y ^ { 2 } d \mu ^ { 2 } \big ) \ ,
( \check { R } _ { i } \check { R } _ { i \pm 1 } \check { R } _ { i } - \check { R } _ { i \pm 1 } \check { R } _ { i } \check { R } _ { i \pm 1 } ) \: ( \check { R } _ { i } - \check { R } _ { i \pm 1 } ) \; = \; \mu
\begin{array} { r } { M _ { 2 } ^ { \frac { \gamma - 1 } { \gamma + 1 } } ( M _ { 2 } ^ { \frac { 2 } { \gamma + 1 } } - M _ { 5 } ^ { \frac { 2 } { \gamma + 1 } } ) = v _ { 2 } \sec { \theta _ { 2 5 } } \, . } \end{array}
L _ { A } ^ { \mu \nu } = \frac { - 2 \pi \alpha \, Q ^ { 2 } } { ( \ell \cdot q ) ^ { 2 } - \mathrm { ~ \frac ~ { ~ 1 ~ } ~ { ~ 4 ~ } ~ } Q ^ { 4 } } \, \gamma ^ { \mu \nu \alpha } q _ { \alpha } .
\begin{array} { r l r } { \alpha } & { = } & { \frac { e - 1 } { e + 1 } = [ 0 ; 2 , 6 , 1 0 , 1 4 , 1 8 , 2 2 , \ldots ] = 0 . 4 6 1 1 7 1 5 \ldots } \\ { \alpha } & { = } & { \ln 2 = [ 0 ; 1 , 2 , 3 , 1 , 6 , 3 , 1 , 1 , 2 , \ldots ] = 0 . 6 9 3 1 4 7 1 8 \ldots } \\ { \alpha } & { = } & { \frac { 1 } { \pi } = [ 0 ; 3 , 7 , 1 5 , 1 , 2 9 2 , 1 , 1 , 1 , 2 , 1 , 3 , 1 ] = 0 . 3 1 8 3 0 9 8 8 \ldots } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Omega [ \rho + \delta \rho ] = \ } & { { } F ^ { \mathrm { ~ i ~ d ~ } } [ \rho + \delta \rho ] + F ^ { \mathrm { ~ h ~ s ~ } } [ \rho + \delta \rho ] + F ^ { \mathrm { ~ a ~ t ~ t ~ } } [ \rho + \delta \rho ] } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } { \dot { x } _ { 0 } = } & { { } ~ \varepsilon _ { 0 } \Lambda - \alpha x _ { 0 } [ y _ { 0 } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } + y _ { 2 } ) ] / n - \mu x _ { 0 } , } \\ { \dot { y } _ { 0 } = } & { { } ~ \alpha x _ { 0 } [ y _ { 0 } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } + y _ { 2 } ) ] / n - r y _ { 0 } - \mu y _ { 0 } , } \\ { \dot { z } _ { 0 } = } & { { } ~ r y _ { 0 } - \mu z _ { 0 } , } \\ { \dot { x } _ { 1 } = } & { { } ~ \varepsilon _ { 1 } \Lambda - \alpha x _ { 1 } [ y _ { 0 } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } + y _ { 2 } ) ] / n - \mu x _ { 1 } , } \\ { \dot { y } _ { 1 } = } & { { } ~ \alpha x _ { 1 } [ y _ { 0 } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } + y _ { 2 } ) ] / n - r y _ { 1 } - \mu y _ { 1 } , } \\ { \dot { z } _ { 1 } = } & { { } ~ r y _ { 1 } - \mu z _ { 1 } , } \\ { \dot { x } _ { 2 } = } & { { } ~ \varepsilon _ { 2 } \Lambda - \alpha ( 1 - p _ { S } ) x _ { 2 } [ y _ { 0 } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } + y _ { 2 } ) ] / n } \\ { \dot { y } _ { 2 } = } & { { } ~ \alpha ( 1 - p _ { S } ) x _ { 2 } [ y _ { 0 } + ( 1 - p _ { I } ) ( y _ { 1 } + y _ { 2 } ) ] / n - r y _ { 2 } } \\ { \dot { z } _ { 2 } = } & { { } ~ r y _ { 2 } - \mu z _ { 2 } . } \end{array} \right.
I _ { \Delta } ^ { ( s + m ) } = T M + \frac { 1 } { 2 } \Delta ^ { 2 } \theta _ { 0 } ^ { 2 } \nabla _ { \perp } ^ { 2 } ( T M ) + \frac { 1 } { 2 } \Delta ^ { 2 } \nabla _ { \perp } ^ { 2 } ( T M F \theta _ { s } ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } { \int _ { \mathbb { R } } \left[ \psi _ { \gamma ^ { \prime } , x } ( \sigma ) - \psi _ { \gamma , x } ( 1 ) \right] ^ { 2 } \mathrm { d } x } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } \left[ \psi _ { \gamma , x } ^ { \prime } ( \varsigma ( x ) ) \right] ^ { 2 } \mathrm { d } x } \\ & { \leq \left( \frac { 1 } { \gamma ^ { 2 } } + \sqrt { \frac { 1 } { 2 \gamma + 1 } } \right) ^ { 2 } \left( \frac { 1 + \epsilon } { 1 - \epsilon } \right) ^ { 5 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { D } _ { 2 } ^ { \mathrm { H V } } \left( - \frac { \pi } { 2 } \right) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( { \bf 1 } + i \sigma _ { x } \right) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { i } \\ { i } & { 1 } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial f } { \partial t } } & { { } = \frac { \partial f } { \partial t } + \frac { \partial \Vec { x } } { \partial t } \cdot \nabla _ { x } f + \frac { \partial \Vec { v } } { \partial t } \cdot \nabla _ { v } f } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \ \frac 1 2 \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left( \| \tilde { u } _ { x } \| ^ { 2 } + \| \tilde { v } _ { x } \| ^ { 2 } \right) + \frac 1 2 \| \tilde { u } _ { x x } \| ^ { 2 } + \frac { \varepsilon } { 2 } \| \tilde { v } _ { x x } \| ^ { 2 } } \\ { \le } & { \ C \| \tilde { v } _ { x } \| ^ { 2 } ( \| \tilde { u } _ { x } \| ^ { 2 } + \varepsilon \| \tilde { v } _ { x } \| ^ { 2 } ) + C ( \varepsilon , \varepsilon ^ { - 1 } ) \big ( \| \tilde { v } _ { x } \| ^ { 2 } + \| \tilde { u } _ { x } \| ^ { 2 } + | \alpha ^ { \prime } | + | \beta _ { 1 } - \beta _ { 2 } | + | \beta _ { 1 } ^ { \prime } | + | \beta _ { 2 } ^ { \prime } | \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t } \omega + U _ { 0 } \, \omega _ { x } + \sin x \, ( \omega _ { y } - \psi _ { y } ) = B _ { 0 } \, j _ { y } + \nu \nabla ^ { 2 } \omega , } \\ & { \partial _ { t } a + U _ { 0 } \, a _ { x } + \sin x \, a _ { y } = B _ { 0 } \, \psi _ { y } + \eta \nabla ^ { 2 } a , } \\ & { \omega = - \nabla ^ { 2 } \psi , \quad j = - \nabla ^ { 2 } a . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { E } \left[ ^ { m } \Phi _ { 2 } \right] = \left( \mathcal { E } \left[ ^ { 1 } E \right] + \mathcal { E } \left[ ^ { 3 } A _ { 2 } \right] \right) / 2 , } \\ { \mathcal { E } \left[ ^ { 1 } \Phi _ { 3 } \right] = \left( \mathcal { E } \left[ ^ { 1 } E \right] + \mathcal { E } \left[ ^ { 1 } A _ { 1 } \right] \right) / 2 . } \end{array}
K \leq \frac { | \Bar { x } | - B \sqrt { \frac { A ^ { 2 } } { B ^ { 2 } } - [ ( \frac { 1 } { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { N } } - 1 + \frac { A } { B } ] ^ { 2 } } } { 2 A s + B \sqrt { \frac { A ^ { 2 } } { B ^ { 2 } } - [ ( \frac { 1 } { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { N } } - 1 + \frac { A } { B } ] ^ { 2 } } } N = \frac { | \Bar { x } | - B \sqrt { \frac { A ^ { 2 } } { B ^ { 2 } } - [ ( \frac { 1 } { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { N } } - 1 + \frac { A } { B } ] ^ { 2 } } } { B ( p _ { a t t } - q _ { a t t } ) + B \sqrt { \frac { A ^ { 2 } } { B ^ { 2 } } - [ ( \frac { 1 } { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { N } } - 1 + \frac { A } { B } ] ^ { 2 } } } N ,
\frac { 2 } { { \langle r \rangle } _ { a } } \left| \partial _ { t } \mathbf { U } _ { + } \right| ^ { 2 } + \frac { c M ^ { \alpha } } { r ^ { 1 + \alpha } } \nabla _ { \mu } \mathbf { U } _ { + } \nabla ^ { \mu } \mathbf { U } _ { + } \geq \frac { c M ^ { \alpha } } { r ^ { 1 + \alpha } } | D \mathbf { U } _ { + } | ^ { 2 } - \frac { C } { r ^ { 2 } } | D \mathbf { U } _ { + } | ^ { 2 } \, .
\begin{array} { r l } & { \iint [ ( p _ { t } - p _ { t - 1 } ) - \mu _ { t } ( p _ { t - 1 } - p _ { t - 2 } ) ] ( x ) f ( x , y ) ( q _ { t } - q ) ( y ) d x d y } \\ { = } & { \iint ( p _ { t } - p _ { t - 1 } ) ( x ) f ( x , y ) ( q _ { t } - q ) ( y ) d x d y - \mu _ { t } \iint ( p _ { t - 1 } - p _ { t - 2 } ) ( x ) f ( x , y ) ( q _ { t - 1 } - q ) ( y ) d x d y } \\ & { + \mu _ { t } \iint ( p _ { t - 1 } - p _ { t - 2 } ) ( x ) f ( x , y ) ( q _ { t - 1 } - q _ { t } ) ( y ) d x d y . } \end{array}
\begin{array} { r l } { r _ { p } } & { = \frac { \epsilon _ { \mathrm { m } } k _ { z , \mathrm { d } } - \epsilon _ { \mathrm { d } } k _ { z , \mathrm { m } } + ( \epsilon _ { \mathrm { m } } - \epsilon _ { \mathrm { d } } ) \left[ \mathrm { i } q ^ { 2 } d _ { \perp } - \mathrm { i } k _ { z , \mathrm { d } } k _ { z , \mathrm { m } } d _ { \parallel } \right] } { \epsilon _ { \mathrm { m } } k _ { z , \mathrm { d } } + \epsilon _ { \mathrm { d } } k _ { z , \mathrm { m } } - ( \epsilon _ { \mathrm { m } } - \epsilon _ { \mathrm { d } } ) \left[ \mathrm { i } q ^ { 2 } d _ { \perp } + \mathrm { i } k _ { z , \mathrm { d } } k _ { z , \mathrm { m } } d _ { \parallel } \right] } , } \\ { r _ { s } } & { = \frac { k _ { z , \mathrm { d } } - k _ { z , \mathrm { m } } + ( \epsilon _ { \mathrm { m } } - \epsilon _ { \mathrm { d } } ) \mathrm { i } k _ { 0 } ^ { 2 } d _ { \parallel } } { k _ { z , \mathrm { d } } + k _ { z , \mathrm { m } } - ( \epsilon _ { \mathrm { m } } - \epsilon _ { \mathrm { d } } ) \mathrm { i } k _ { 0 } ^ { 2 } d _ { \parallel } } , } \end{array}
\delta _ { 1 } \triangleq \operatorname* { m a x } \left( C _ { \mathrm { m a x } } \log ^ { 2 } ( 1 / \epsilon ) , C _ { 4 } , C _ { 5 } , \frac { \operatorname* { m a x } ( 5 9 0 0 , \alpha , 7 ( d + 1 1 ) , \theta ) } { b } \right) ,
\begin{array} { r l } & { d _ { \mathcal { F } _ { n n } } ^ { \ell _ { \infty } } ( P , Q ) } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { \omega \in \Omega } \Big ( \mathbb { E } _ { X \sim P } [ D _ { \omega } ( X ) ] - \mathbb { E } _ { X \sim Q } [ D _ { \omega } ( X ) ] \Big ) } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { \omega \in \Omega } \Big ( \mathbb { E } _ { X \sim P } [ D _ { \omega } ( X ) ] - \mathbb { E } _ { X \sim R } [ D _ { \omega } ( X ) ] } \\ & { \qquad \qquad \quad + \mathbb { E } _ { X \sim R } [ D _ { \omega } ( X ) ] - \mathbb { E } _ { X \sim Q } [ D _ { \omega } ( X ) ] \Big ) } \\ & { \le \operatorname* { s u p } _ { \omega \in \Omega } \Big ( \mathbb { E } _ { X \sim P } [ D _ { \omega } ( X ) ] - \mathbb { E } _ { X \sim R } [ D _ { \omega } ( X ) ] \Big ) } \\ & { \qquad + \operatorname* { s u p } _ { \omega \in \Omega } \Big ( \mathbb { E } _ { X \sim R } [ D _ { \omega } ( X ) ] - \mathbb { E } _ { X \sim Q } [ D _ { \omega } ( X ) ] \Big ) } \\ & { = d _ { \mathcal { F } _ { n n } } ^ { \ell _ { \infty } } ( P , R ) + d _ { \mathcal { F } _ { n n } } ^ { \ell _ { \infty } } ( R , Q ) . } \end{array}
P _ { \alpha \beta } ^ { ( 0 ) } ( i \tau ) = \sum _ { \sigma \sigma ^ { \prime } = \uparrow , \downarrow } c _ { \mu \nu \alpha } P _ { \mu \kappa \sigma , \nu \lambda \sigma ^ { \prime } } ^ { ( 0 ) } ( i \tau ) c _ { \kappa \lambda \beta } \; .
\begin{array} { r l } { \mathrm { N U } _ { 0 } ^ { \theta } } & { = \left\{ ( y , t ) \in \mathbb { R } ^ { 2 } : \underline { { \Gamma } } _ { ( y , t ) } ^ { \theta } ( s ) \neq \overline { { \Gamma } } _ { ( y , t ) } ^ { \theta } ( s ) \textrm { f o r s o m e } s < t \right\} , } \\ { \mathrm { N U } _ { 1 } ^ { \theta } } & { = \left\{ ( y , t ) \in \mathbb { R } ^ { 2 } : \exists ~ \varepsilon > 0 \textrm { s u c h t h a t } \underline { { \Gamma } } _ { ( y , t ) } ^ { \theta } ( s ) \neq \overline { { \Gamma } } _ { ( y , t ) } ^ { \theta } ( s ) \textrm { f o r a l l } s \in ( t - \varepsilon , t ) \right\} . } \end{array}
\dim _ { H } \Big ( F ( \alpha ) \cap G ( \beta ) \Big ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , } & { \ \ \ \mathrm { i f ~ } ~ \beta = 0 ; } \\ { s \Big ( \frac { \beta ^ { 2 } ( 1 - \alpha ) } { \beta - \alpha } , { \frac { \sqrt { 5 } + 1 } { 2 } } \Big ) , } & { \ \ \ \mathrm { i f ~ } ~ 0 \leq \alpha \leq \frac { \beta } { 1 + \beta } < \beta \leq 1 ; } \\ { 0 , } & { \ \ \ \mathrm { o t h e r w i s e . } } \end{array} \right.
a = ( \sqrt { 1 + \vec { a } ^ { 2 } } \, \sin s , \ \vec { a } , \ \sqrt { 1 + \vec { a } ^ { 2 } } \, \cos s ) = \exp ( s M _ { 0 d } ) \, ( 0 , \ \vec { a } , \ \sqrt { 1 + \vec { a } ^ { 2 } } ) \ ,
\Delta _ { [ N + 2 k ] \times [ 2 k ] } \rightarrow \left( \! \begin{array} { c c } { { 1 _ { [ N ] \times [ N ] } } } & { { 0 _ { [ 2 k ] \times [ N ] } } } \\ { { 0 _ { [ N ] \times [ 2 k ] } } } & { { \bar { \Lambda } _ { [ 2 k ] \times [ 2 k ] } } } \end{array} \! \right) \Delta _ { [ N + 2 k ] \times [ 2 k ] } \Lambda _ { [ 2 k ] \times [ 2 k ] } ,
\boldsymbol { \mathcal { W } } = \{ w _ { i } \ | \ w _ { i } \in \boldsymbol { H } ^ { 1 } \left( \Omega \right) , \ w _ { i } n _ { i } = 0 \ \mathrm { ~ o ~ n ~ } \ \Gamma ^ { \mathrm { { b a s e } } } \}
\begin{array} { r } { \operatorname { I m } \int _ { \partial B _ { \rho } ( \zeta _ { k } ) } | U | ^ { 2 } f _ { \zeta } \, d \zeta = \operatorname { I m } \int _ { \partial B _ { \rho } ( \zeta _ { k } ) } \frac { 2 \overline { { w _ { z } } } \mathcal { F } _ { 1 } } { \zeta - \zeta _ { k } } \, d \zeta + \operatorname { I m } \overline { { \int _ { \partial B _ { \rho } ( \zeta _ { k } ) } \frac { w _ { \zeta } ^ { 2 } } { f _ { \zeta } } \, d \zeta } } . } \end{array}
{ \cal L ^ { \prime } } _ { h } ^ { M ^ { \prime } } ( V _ { h } , \phi ) = \frac { 1 } { 1 6 } \int d ^ { 2 } \theta \frac { 1 } { g _ { h } ^ { 2 } } W ^ { a } ( V _ { h } ) W ^ { a } ( V _ { h } ) + \mathrm { h . c . } + \int d ^ { 4 } \theta \sum _ { i } \phi ^ { \dagger } e ^ { 2 V _ { h } ^ { i } } \phi
\begin{array} { r l r } { \dot { m } ( x , t ) } & { { } = } & { \frac { \omega _ { m } } { 1 + \left( \frac { R _ { G E N } ( t ) } { R _ { t h r e s h } } \right) ^ { h } } \, f _ { G E N } ( x ) - \gamma _ { m } \, m ( x , t ) + D _ { m } \, \nabla ^ { 2 } m ( x , t ) } \\ { \dot { p } ( x , t ) } & { { } = } & { \omega _ { p } \; f _ { R I B } ( x ) \, m ( x , t ) - \gamma _ { p } \, p ( x , t ) + D _ { p } \nabla ^ { 2 } \, p ( x , t ) } \\ { \dot { r } ( x , t ) } & { { } = } & { \omega _ { r } \; f _ { R E P } ( x ) \, p ( x , t ) - \gamma _ { p } \, r ( x , t ) + D _ { r } \nabla ^ { 2 } \, r ( x , t ) } \end{array}
b e i n g t h e ( t r a n s p o s e o f t h e ) v e l o c i t y g r a d i e n t t e n s o r . T h e a s s o c i a t e d r a t e o f s t r a i n a n d v o r t i c i t y t e n s o r s a r e g i v e n b y
\begin{array} { r l r l } { \nabla \cdot \left( \epsilon _ { 1 } ( \mathbf { x } ) \nabla \phi _ { 1 } ( \mathbf { x } ) \right) } & { { } = \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { q } } q _ { k } \delta ( \mathbf { x } , \mathbf { x } _ { k } ) } & { } & { { } \mathbf { x } \in \Omega _ { 1 } , } \\ { \left( \nabla ^ { 2 } - \kappa ^ { 2 } \right) \phi _ { 2 } ( \mathbf { x } ) } & { { } = 0 } & { } & { { } \mathbf { x } \in \Omega _ { 2 } , } \\ { \phi _ { 1 } ( \mathbf { x } ) } & { { } = \phi _ { 2 } ( \mathbf { x } ) , } & { } & { { } \mathbf { x } \in \Gamma , } \\ { \epsilon _ { 1 } ( \mathbf { x } ) \frac { \partial \phi _ { 1 } } { \partial \mathbf { n } } ( \mathbf { x } ) } & { { } = \epsilon _ { 2 } \frac { \partial \phi _ { 2 } } { \partial \mathbf { n } } ( \mathbf { x } ) } & { } & { { } \mathbf { x } \in \Gamma . } \end{array}
_ + \langle \theta | \theta \rangle _ { - } = \sum _ { \nu } \int _ { \mathrm { P a t h s } } \delta A _ { \mu } e ^ { i S _ { \mathrm { e f f } } [ A ] } \delta \left[ \nu - \frac { g ^ { 2 } } { 3 2 \pi ^ { 2 } } \int d ^ { 4 } x G _ { a } ^ { \mu \nu } \tilde { G } _ { a \mu \nu } \right] ~ .
\begin{array} { r l r } { \mathscr { H } } & { = } & { \mathscr { H } _ { \textrm { Q M } } + \mathscr { H } _ { \textrm { G F } } } \\ & { } & { + \mathscr { H } _ { \textrm { a d d } } ( { \bf r } _ { \textrm { l i n k } } , { \bf r } _ { \textrm { G F } } ) - \mathscr { H } _ { \textrm { r e m o v e } } ( { \bf r } _ { \textrm { l i n k } } , { \bf r } _ { \textrm { c a p } } ) , } \end{array}
\frac { d ^ { 2 } \hat { R } } { d \hat { t } ^ { 2 } } \frac { 1 } { \hat { R } } = \left( \frac { a } { 2 } \right) ^ { 2 } \left[ 1 - \frac { 6 4 } { a ^ { 2 } \mathrm { ~ W ~ e ~ } } \left( 8 \hat { R } ^ { 3 } + \frac { 1 } { 8 \hat { R } ^ { 3 } } - \frac { 1 } { 3 2 \hat { R } ^ { 6 } } \right) \right] \, .
\begin{array} { r l r l } { { 3 } \textstyle \prod _ { i = 0 } ^ { n } \mathbb { G } _ { a } ^ { \sharp } \times \prod _ { i = 0 } ^ { n } \mathbb { G } _ { a } ^ { \sharp } } & { \to } & & { \textstyle \prod _ { i = 0 } ^ { n } \mathbb { G } _ { a } ^ { \sharp } , } \\ { ( ( a _ { i } ) _ { i = 0 , \dots , n } , ( b _ { j } ) _ { j = 0 , \dots , n } ) } & { \mapsto } & & { ( a _ { k } + b _ { k } + a _ { k } \textstyle \sum _ { l = 0 } ^ { n } \frac { b _ { l } \partial \xi } { \partial u _ { l } } ) _ { k = 0 , \dots , n } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \delta \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 N - 3 } } \big | \partial _ { x _ { k } } ^ { \eta + \mu } | x - x _ { k } | \psi ( x , \mathbf { \hat { x } } ) \psi ( y , \mathbf { \hat { x } } ) \Phi ( x , y , \mathbf { \hat { x } } ) \big | \, d \mathbf { \hat { x } } , } \\ & { \int _ { \mathbb { R } ^ { 3 N - 3 } } \partial _ { x _ { k } } ^ { \eta + \mu } | x - x _ { k } | | x - x _ { k } | \psi ( x , \mathbf { \hat { x } } ) \psi ( y , \mathbf { \hat { x } } ) \Phi ( x , y , \mathbf { \hat { x } } ) \, d \mathbf { \hat { x } } . } \end{array}
\int _ { \rho _ { 2 } ^ { 2 } } ^ { \rho _ { 4 } ^ { 2 } } d z \; \int _ { x _ { c } } ^ { 1 } d x \; \int _ { 0 } ^ { 1 - x } d x _ { 1 } \overline { { { \theta } } } _ { 3 } ^ { ( 1 - x _ { 1 } ) } = \int _ { \rho _ { 2 } ^ { 2 } } ^ { \rho _ { 4 } ^ { 2 } } d z \; \overline { { { \theta } } } _ { 3 } ^ { ( x _ { c } ) } \int _ { x _ { c } } ^ { \sqrt { z } / \rho _ { 3 } } d x \; \int _ { 1 - \sqrt { z } / \rho _ { 3 } } ^ { 1 - x } d x _ { 1 } \, .
\begin{array} { r l } { g ^ { ( 2 ) } ( \tau ) } & { { } = \frac { \langle a _ { \mathrm { { o u t } } } ^ { \dag } ( 0 ) a _ { \mathrm { { o u t } } } ^ { \dag } ( \tau ) a _ { \mathrm { { o u t } } } ( \tau ) a _ { \mathrm { { o u t } } } ( 0 ) \rangle } { \langle a _ { \mathrm { { o u t } } } ^ { \dag } ( 0 ) a _ { \mathrm { { o u t } } } ( 0 ) \rangle ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { W ^ { ( \lambda ) } ( \mu _ { \hat { \theta } _ { n } ^ { \lambda } } , \mu _ { \star } ) } & { \leq W ^ { ( \lambda ) } ( \mu _ { \hat { \theta } _ { n } ^ { \lambda } } , \hat { \mu } _ { n } ) + W ^ { ( \lambda ) } ( \hat { \mu } _ { n } , \mu _ { \star } ) \leq W ^ { ( \lambda ) } ( \mu _ { \theta ^ { * } } , \mu _ { \star } ) + 2 W ^ { ( \lambda ) } ( \hat { \mu } _ { n } , \mu _ { \star } ) } \\ & { \leq W ^ { ( \lambda ) } ( \mu _ { \theta ^ { * } } , \mu _ { \star } ) + 2 \mathrm { E } [ W ^ { ( \lambda ) } ( \hat { \mu } _ { n } , \mu _ { \star } ) ] + 2 \vert W ^ { ( \lambda ) } ( \hat { \mu } _ { n } , \mu _ { \star } ) - \mathrm { E } [ W ^ { ( \lambda ) } ( \hat { \mu } _ { n } , \mu _ { \star } ) ] \vert , } \end{array}
K = \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } A } { \partial \phi ^ { i } \partial \phi ^ { j } } \dot { \phi } ^ { i } \dot { \phi } ^ { j } + i \frac { \partial ^ { 2 } A } { \partial \phi ^ { i } \partial \phi ^ { j } } ( \bar { \psi } _ { a } ^ { i } \dot { \psi } ^ { a j } + \psi ^ { a i } \dot { \bar { \psi } _ { a } ^ { j } } ) ,
\Phi ^ { \left( c h i r a l ) \right) } ( x , y , \theta , \bar { \theta } ) = \exp \left( \frac 1 2 \theta ^ { \alpha a } \sigma _ { \alpha \dot { \beta } } ^ { \mu } \gamma _ { a \dot { b } } ^ { m } \bar { \theta } ^ { \dot { \beta } \dot { b } } \partial _ { \mu } \tilde { \partial } _ { m } \right) F \left( x , y , \theta \right)
\begin{array} { r l } { W _ { 0 \alpha \beta } } & { { } = \frac { 3 } { 2 } \left( h _ { \alpha } h _ { \beta } - \frac { 1 } { 3 } \delta _ { \alpha \beta } \right) \left( h _ { \mu } h _ { \nu } - \frac { 1 } { 3 } \delta _ { \mu \nu } \right) W _ { \mu \nu } , } \\ { W _ { 1 \alpha \beta } } & { { } = \left( \delta _ { \alpha \mu } ^ { \perp } \delta _ { \beta \nu } ^ { \perp } + \frac { 1 } { 2 } \delta _ { \alpha \beta } ^ { \perp } h _ { \mu } h _ { \nu } \right) W _ { \mu \nu } , } \\ { W _ { 2 \alpha \beta } } & { { } = \left( \delta _ { \alpha \mu } ^ { \perp } h _ { \beta } h _ { \nu } + \delta _ { \beta \nu } ^ { \perp } h _ { \alpha } h _ { \mu } \right) W _ { \mu \nu } , } \end{array}