harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
T _ { 0 } ( x , \lambda ) \prod ( x - z ) ^ { \kappa } = \left\{ - T _ { 0 } ( z , \frac { \kappa ^ { 2 } } { \lambda } ) - \frac { 1 } { 2 } \left[ \kappa M N + \epsilon _ { 0 } ( N , \lambda ) + \epsilon _ { 0 } ( M , \frac { \kappa ^ { 2 } } { \lambda } ) \right] \right\} \prod ( x - z ) ^ { \kappa } ,
( m _ { u } + m _ { d } ) \vert _ { 1 \, \mathrm { G e V } } \simeq 1 5 \, \mathrm { M e V } \, , \qquad m _ { s } \vert _ { 1 \, \mathrm { G e V } } \simeq 1 8 2 \, \mathrm { M e V } \, .
\begin{array} { r l } { \tau ^ { - 1 } \left( A ^ { \tau } - \Theta _ { m } B \right) } & { = \frac { 1 } { \tau } \int \left[ \boldsymbol { \phi } ( t + \tau , y ) \boldsymbol { \psi } ( t , x ) ^ { \top } - \Theta _ { m } \boldsymbol { \psi } ( t , x ) \boldsymbol { \psi } ( t , x ) ^ { \top } \right] \, d \rho ( t , x , y ) } \\ & { = \int \frac { \vec { \phi } ( t + \tau , y ) - \vec { \phi } ( t , x ) } { \tau } \, \boldsymbol { \psi } ( t , x ) ^ { \top } \, d \rho ( t , x , y ) } \\ & { = \int \frac { \mathcal { K } ^ { \tau } \vec { \phi } ( t , x ) - \vec { \phi } ( t , x ) } { \tau } \, \boldsymbol { \psi } ( t , x ) ^ { \top } \, d \mu ( t , x ) } \\ & { = \int \mathcal { L } ^ { \tau } \! \boldsymbol { \phi } ( t , x ) \, \boldsymbol { \psi } ( t , x ) ^ { \top } \, d \mu ( t , x ) . } \end{array}
K ( k ) = { \frac { \pi } { 2 } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left( { \frac { ( 2 n ) ! } { 2 ^ { 2 n } ( n ! ) ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } k ^ { 2 n } = { \frac { \pi } { 2 } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \bigl ( } P _ { 2 n } ( 0 ) { \bigr ) } ^ { 2 } k ^ { 2 n } ,
\begin{array} { r l } { \frac { \gamma + 1 } { 2 } \left( \rho ^ { \gamma - 1 } - 1 \right) \geq \, } & { { } \left( \rho ^ { \gamma - 1 } - 1 \right) + \frac { \gamma - 1 } { 2 } \left( | D \varphi | ^ { 2 } - 1 \right) } \\ { = \, } & { { } ( \gamma - 1 ) ( \varphi _ { 2 } - \varphi ) + \frac { \gamma - 1 } { 2 } \left( | D \varphi _ { 2 } | ^ { 2 } - 1 \right) \geq \frac { \gamma - 1 } { 2 } d _ { 0 } \, , } \end{array}
S = \int d t \; d ^ { 2 } x \left[ \frac { \vec { E } ^ { 2 } } { 2 B } - \frac { g } { 2 } B ^ { 2 } + f A _ { 0 } - \epsilon ^ { \mu \nu \rho } A _ { \mu } \partial _ { \nu } \tilde { A } _ { \rho } + \frac { e } { m } \epsilon ^ { \mu \nu \rho } A _ { \mu } \partial _ { \nu } A _ { \rho } ^ { e } \right] .
\begin{array} { r l } { Z } & { = \sum _ { \ell _ { 0 } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d x _ { 0 } \int _ { \mathbb { R ^ { 2 N - 1 } } } \frac { d x _ { 1 } \cdots d x _ { N - 1 } d p _ { 0 } \cdots d p _ { N - 1 } } { ( 2 \pi ) ^ { N } } } \\ & { \cdot \exp \left( \sum _ { n = 1 } ^ { N - 1 } ( i p _ { n } ( x _ { n } - x _ { n - 1 } ) - \Delta \tau H ( p _ { n } , x _ { n } ) ) + i p _ { 0 } ( x _ { 0 } - x _ { N - 1 } + 2 \pi \ell ) - \Delta \tau H ( p _ { 0 } , x _ { 0 } ) \right) } \end{array}
\begin{array} { l l } { { V _ { \phi } ( 1 , \cdots , N ) = } } & { { e x p \left\{ \frac { 1 } { 2 } \sum _ { r \neq s } \phi _ { 0 } ^ { ( r ) } \, \tilde { N } _ { 0 , 0 } ^ { r , s } \phi _ { 0 } ^ { ( s ) } + \right. } } \\ { { } } & { { \left. + \sum _ { r , s } \sum _ { n } \phi _ { 0 } ^ { ( r ) } \tilde { N } _ { 0 , n } ^ { r , s } \phi _ { n } ^ { ( s ) } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { r , s } \sum _ { n , m } \phi _ { 0 } ^ { ( r ) } \tilde { N } _ { n , m } ^ { r , s } \phi _ { m } ^ { ( s ) } \right\} . } } \end{array}
\rho _ { \chi } = \int \frac { d ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } a ^ { 3 } ( \tau _ { p } ) } \frac { k } { a ( \tau _ { p } ) } \; n _ { k } \simeq 3 \times 1 0 ^ { - 6 } \lambda g ^ { 2 } M _ { P l } ^ { 4 }
Z ^ { * } W _ { \pi ^ { 0 } } ( K ) Z = e ^ { i 9 0 m } b _ { 1 } z _ { 1 } ^ { * } z _ { 1 } + e ^ { i 9 0 m } b _ { 2 } z _ { 2 } ^ { * } z _ { 2 } + \frac 1 2 e ^ { i 9 0 m } b _ { 3 } [ z _ { 1 } ^ { * } ( z _ { 1 } + z _ { 2 } ) + z _ { 2 } ^ { * } ( z _ { 1 } + z _ { 2 } ) ]
\tau ^ { T } : = \left[ \left( \frac { 2 \rho \, c _ { p } \sqrt { u _ { i } \, u _ { i } } } { h _ { K } } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { 4 \, \kappa } { m _ { K } h _ { K } ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \right] ^ { - \frac { 1 } { 2 } } .
\left| \begin{array} { r c l l } { \displaystyle - \frac { d } { d x } \Big ( \mu \; \frac { d u ^ { i } } { d x } \Big ) - \rho \; \omega ^ { 2 } \; u ^ { i } } & { = } & { f , \quad \textnormal { f o r } } & { x \in ( - a , a ) , } \\ { \displaystyle \Big [ \pm \mu \; \frac { d u ^ { i } } { d x } + \lambda ^ { \pm } \; u ^ { i } \Big ] ( \pm a ) } & { = } & { 0 . } \end{array} \right.
M _ { \tilde { 0 } } = \frac { 1 } { \sqrt { \alpha ^ { \prime } } \, g _ { \mathrm { I } } } = \frac { g _ { \mathrm { Y M } } } { \kappa _ { 1 0 } } ~ { 2 ^ { - 3 / 4 } \, { g _ { \mathrm { I } } } ^ { - 1 / 2 } } ~ ~ ,
\begin{array} { r l } { \Delta _ { \mathcal { G } } ^ { \mathrm { N S F } } } & { = \Delta _ { \mathcal { M } } } \\ & { + \mathcal { M } \left( \frac { 1 } { 2 p } \right) \left( C _ { \alpha } C _ { \beta } - \frac { 1 } { 3 } \delta _ { \alpha \beta } C ^ { 2 } \right) \left[ - p \left( \partial _ { \alpha } u _ { \beta } + \partial _ { \beta } u _ { \alpha } - \frac { 2 } { 3 } \delta _ { \alpha \beta } \partial _ { \gamma } u _ { \gamma } \right) \right] } \\ & { + \mathcal { M } \left( \frac { 2 C _ { \alpha } } { 5 p v _ { T } } \right) \left( \frac { C ^ { 2 } } { 2 } - \frac { 5 } { 2 } \right) \left[ - \frac { 5 } { 2 } p \partial _ { \alpha } \left( R T \right) \right] } \\ & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta \nu _ { x , b b } ( a _ { x } , a _ { y } ) } & { { } = } & { \Delta \nu _ { x , b b } \int _ { 0 } ^ { 1 } d u \; \exp [ - \frac { a _ { x } ^ { 2 } u } { 4 } ] \left[ I _ { 0 } ( \frac { a _ { x } ^ { 2 } u } { 4 } ) - I _ { 1 } ( \frac { a _ { x } ^ { 2 } u } { 4 } ) \right] \exp [ - \frac { a _ { y } ^ { 2 } u } { 4 } ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { \gamma } ^ { * } ( R , \beta , C , b ) } & { : = \| K _ { A } \| _ { 2 } ^ { - 2 } \bigg ( 1 - \frac { \| K _ { A } \| _ { { \mathscr C } ^ { \beta } ( { \mathbb R } ) } } { R - b } \bigg ) _ { + } ^ { 2 } \exp \bigg ( - C ( R - b ) ^ { 2 } \frac { \| K _ { A } \| _ { 2 } ^ { 2 } } { \| K _ { A } \| _ { { \mathscr C } ^ { \beta } ( { \mathbb R } ) } ^ { 2 } } \bigg ) } \\ & { = \frac { 1 } { \sqrt { A \pi / 2 } } \bigg ( 1 - \frac { 1 + R - a } { 2 ( R - b ) } \bigg ) ^ { 2 } \exp \bigg ( - C ( R - b ) ^ { 2 } \frac { \sqrt { 8 A \pi } } { ( 1 + R - a ) ^ { 2 } } \bigg ) } \\ & { > 0 , } \end{array}
D _ { \mu \nu } ^ { 0 } = { \frac { g _ { \mu \nu } - q _ { \mu } q _ { \nu } / q ^ { 2 } } { q ^ { 2 } } } + \eta { \frac { q _ { \mu } q _ { \nu } / q ^ { 2 } } { q ^ { 2 } } } \ ,
\begin{array} { r l } { F ^ { \mathrm { { u c } } } = } & { \operatorname* { m i n } \; { \mathbf c } ^ { \top } { \boldsymbol x } + \phi _ { 0 } } \\ { \mathrm { s . t . } } & { \; { \boldsymbol x } \in \mathcal { X } , } \\ & { \phi _ { 0 } \geq \sum _ { t = 1 } ^ { T } { \mathbf b } _ { t } ^ { \top } { \boldsymbol y } _ { t } ( { \boldsymbol \xi } _ { t } ) , \forall \; { \boldsymbol \xi } _ { t } \in \mathcal { U } _ { t } , } \\ & { - , \; - , \forall \; { \boldsymbol \xi } _ { t } \in \mathcal { U } _ { t } , } \end{array}
\left| { \nabla \cdot \kappa _ { S H } ^ { n } \nabla T _ { e } ^ { k + 1 } - \nabla \cdot \kappa _ { S H } ^ { n } \nabla T _ { e } ^ { k } } \right| \le \alpha \rho { c _ { v } } \frac { { T _ { e } ^ { k } } } { { \Delta t } }
\begin{array} { r } { \mathrm { P r o b . } \left( \left| \hat { f } _ { N } ( x ) - f * F _ { \Lambda } ( x ) \right| \ge \frac { \varepsilon } { 2 } \right) \le 2 \exp \left( - \frac { N \varepsilon ^ { 2 } } { 2 \Lambda ^ { 2 m } B ^ { 2 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \Delta k _ { d } } { k _ { d } } } & { = \frac { \Delta K } { K } + \frac { \Delta T _ { 2 } + ( b + 2 c K ) \Delta K } { d K } k _ { d } } \\ & { = \frac { 1 } { \sqrt { N } } \biggl ( \frac { \sigma } { K B } + \frac { \sqrt { \mu _ { 4 } - \sigma ^ { 4 } } + ( b + 2 c K ) \sigma / B } { d K } k _ { d } \biggr ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \partial _ { t } Q } & { = } & { \left[ - \frac { 1 } { 2 t } + \frac { x ^ { 2 } } { 2 t ^ { 2 } } \right] Q + N ( t ) \left[ \dot { \alpha } ( t ) x \right] e ^ { - x ^ { 2 } \left[ \frac { 1 } { 2 t } + \frac { \alpha ^ { 2 } ( t ) } { 2 } \right] } , } \\ { \partial _ { x x } Q } & { = } & { \left[ - \frac { 1 } { t } + \frac { x ^ { 2 } } { t ^ { 2 } } \right] Q - N ( t ) \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \alpha _ { t } \left[ \frac { 2 x } { t } + \alpha ^ { 2 } ( t ) x \right] e ^ { - x ^ { 2 } \left[ \frac { 1 } { 2 t } + \frac { \alpha ^ { 2 } ( t ) } { 2 } \right] } , } \\ { \psi _ { t } \partial _ { x } \left\{ \partial _ { x } \left[ \ln ( \Phi ( x , t ) \right] Q \right\} } & { = } & { \alpha _ { t } \psi _ { t } \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \partial _ { x } \left\{ N ( t ) e ^ { - x ^ { 2 } \left[ \frac { 1 } { 2 t } + \frac { \alpha ^ { 2 } ( t ) } { 2 } \right] } \right\} = } \\ & { = } & { - \alpha _ { t } \psi _ { t } N ( t ) \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \left[ \frac { x } { t } + \alpha ^ { 2 } ( t ) x \right] e ^ { - x ^ { 2 } \left[ \frac { 1 } { 2 t } + \frac { \alpha ^ { 2 } ( t ) } { 2 } \right] } . } \end{array}
\hat { T } _ { \mu \nu } \equiv i \int \mathrm { d } ^ { 4 } x \, \mathrm { e } ^ { i q x } \, T \{ j _ { \mu } ( x ) \, j _ { \nu } ^ { 5 } ( 0 ) \} = \sum _ { i } c _ { \mu \nu \gamma _ { 1 } \ldots \gamma _ { i } } ^ { i } ( q ) \, { \cal O } _ { i } ^ { \gamma _ { 1 } \ldots \gamma _ { i } } \, ,
\begin{array} { r } { \| \Phi _ { \ell } ( u , \phi ) \| _ { s } ^ { 2 } \lesssim \| \partial _ { t } ^ { \ell + 1 } \phi \| _ { s } ^ { 2 } + \| \partial _ { t } ^ { \ell } ( u \cdot \nabla \phi ) \| _ { s } ^ { 2 } + \| \partial _ { t } ^ { \ell } f ^ { \prime } ( \phi ) \| _ { s } ^ { 2 } + \| \partial _ { t } ^ { \ell } [ \rho ^ { \prime } ( \phi ) | u | ^ { 2 } ] \| _ { s } ^ { 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { A } \ltimes \mathcal { B } } & { = \mathrm { f o l d } \left[ \mathrm { c i r c } \left( \mathrm { u n f o l d ( \mathcal { A } ) } \right) \cdot \mathrm { u n f o l d } \left( \mathcal { B } \otimes \mathcal { I } _ { k } \right) \right] } \\ & { = \mathrm { f o l d } \left[ \mathrm { c i r c } \left( \mathrm { u n f o l d ( \mathcal { A } ) } \right) \ltimes \mathrm { u n f o l d } \left( \mathcal { B } \right) \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { \Vert \partial _ { t } f \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , T ; \mathcal { H } _ { \sigma } ^ { s } ) } \lesssim \Vert f \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , T ; \mathcal { H } _ { \sigma + 1 } ^ { s + 1 } ) } + \Vert f \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , T ; \mathcal { H } _ { \sigma } ^ { s + 1 } ) } \left( \Vert u \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { s } ) } + \Lambda \left( \Vert \varrho \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , T ; \mathrm { H } ^ { s + 1 } ) } \right) \right) . } \end{array}
C ( \tau ) \equiv \langle \vec { v } ( t + \tau ) \cdot \vec { v } ( t ) \rangle = v _ { 0 } ^ { 2 } \langle \mathrm { c o s } ( \Delta \theta ) \rangle = { \frac { v _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 } } \Big [ \Big \langle \mathrm { e } ^ { i \Delta \theta } \Big \rangle + \Big \langle \mathrm { e } ^ { - i \Delta \theta } \Big \rangle \Big ]
\frac { \partial \omega } { \partial t } + \hat { \bf B } _ { 0 } \cdot ( \nabla _ { \perp } \omega \times \nabla _ { \perp } f ) = v _ { A } ^ { 2 } \left[ \hat { \bf B } _ { 0 } \cdot \nabla \alpha + \hat { \bf B } _ { 0 } \cdot ( \nabla _ { \perp } \alpha \times \nabla _ { \perp } h ) \right] + D _ { v } ,
p ( \rho , e ) = \frac { \rho _ { 0 } c _ { 0 } ^ { 2 } \eta } { ( 1 - s \eta ) ^ { 2 } } \Big ( 1 - \frac { 1 } { 2 } \Gamma _ { 0 } \eta \Big ) + \rho _ { 0 } \Gamma _ { 0 } e ,
\begin{array} { r l r } { H _ { y } ^ { \mathrm { ( P ) } } } & { = } & { \frac { 2 q \beta } { r _ { c } ^ { 2 } } \sum _ { s } \frac { Q _ { 1 } ( u ) } { W _ { 0 } ^ { I } } K _ { 0 } ( \gamma _ { 1 } u ) \sin \left( u \xi / r _ { c } \right) | _ { u = u _ { 1 , s } } , } \\ { E _ { x } ^ { \mathrm { ( P ) } } } & { = } & { \frac { 2 q } { r _ { c } ^ { 2 } } \sum _ { s } Q _ { 1 } ( u ) \left[ \frac { \beta ^ { 2 } } { W _ { 0 } ^ { I } } K _ { 0 } ( \gamma _ { 1 } u ) - \frac { \gamma _ { 0 } / ( \varepsilon _ { 0 } - \varepsilon _ { 1 } ) } { I _ { 1 } ( \gamma _ { 0 } u ) } \right] \sin \left( u \xi / r _ { c } \right) | _ { u = u _ { 1 , s } } , } \\ { E _ { z } ^ { \mathrm { ( P ) } } } & { = } & { - \frac { q } { r _ { c } ^ { 2 } } \sum _ { s } \frac { \gamma _ { 0 } Q _ { 0 } ( u ) } { \varepsilon _ { 0 } W _ { 1 } ^ { I } } K _ { 1 } ( \gamma _ { 1 } u ) \cos \left( u \xi / r _ { c } \right) | _ { u = u _ { 0 , s } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \int _ { - \infty + i \, \Im z } ^ { \infty + i \, \Im z } } & { } & { \frac { e ^ { - y ^ { 2 } } \, d y } { z - i 0 ^ { + } - y } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { e ^ { - y ^ { 2 } } \, d y } { z - y } - 2 \, e ^ { - z ^ { 2 } } } \\ & { = } & { - i \pi \mathcal { W } ( z ) + 2 i \pi \, e ^ { - z ^ { 2 } } = i \pi \mathcal { W } ( - z ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { K } \left( B \times C \right) } & { = \left\{ \left( x , \omega \right) \in \mathcal { M } \times \Omega : \left( \kappa _ { \pi \left( \omega \right) } ^ { - 1 } \left( x \right) , \omega \right) \in B \times C \right\} } \\ & { = \left( \bigcap _ { \omega \in C } \kappa _ { \pi \left( \omega \right) } \left( B \right) \right) \times C \ , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { x } & { { } = } & { P \sin ( \frac { 2 \pi t } { \tau } ) + X \cos ( \frac { 2 \pi t } { \tau } ) , } \\ { p } & { { } = } & { P \cos ( \frac { 2 \pi t } { \tau } ) - X \sin ( \frac { 2 \pi t } { \tau } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \pi ( R ( \alpha , \beta _ { 1 } ) ) } & { { } = } & { x _ { \alpha } \pi ( R ( \alpha _ { 1 } , \beta _ { 1 } ) ) + y _ { \alpha } \pi ( R ( \alpha _ { 2 } , \beta _ { 1 } ) ) + z _ { \alpha } \pi ( R ( \alpha _ { 3 } , \beta _ { 1 } ) ) . } \\ { \pi ( R ( \alpha , \beta _ { 2 } ) ) } & { { } = } & { x _ { \alpha } \pi ( R ( \alpha _ { 1 } , \beta _ { 2 } ) ) + y _ { \alpha } \pi ( R ( \alpha _ { 2 } , \beta _ { 2 } ) ) + z _ { \alpha } \pi ( R ( \alpha _ { 3 } , \beta _ { 2 } ) ) . } \\ { \pi ( R ( \alpha , \beta _ { 3 } ) ) } & { { } = } & { x _ { \alpha } \pi ( R ( \alpha _ { 1 } , \beta _ { 3 } ) ) + y _ { \alpha } \pi ( R ( \alpha _ { 2 } , \beta _ { 3 } ) ) + z _ { \alpha } \pi ( R ( \alpha _ { 3 } , \beta _ { 3 } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { g _ { \theta , n } ^ { C _ { \epsilon } } ( ( m , \! a , \! b ) , \! z ; \! \alpha , \! \epsilon ) \! = \! \frac { 4 } { 5 } z ^ { 2 } \! \! \int _ { C _ { \epsilon } z ^ { n } } ^ { \infty } \! \! \! \int _ { C _ { \epsilon } z ^ { n } } ^ { 1 } \! \frac { q e ^ { - z q s } ( 1 \! - \! e ^ { - \frac { 4 8 } { 2 5 } z q } ) } { 1 - e ^ { - z q } } } \\ & { \bigg [ \frac { 1 } { \big ( m \! + \! \theta q ^ { - \frac { \alpha } { 2 } } ( \frac { C _ { \epsilon } } { z } ) ^ { a } \big ) ^ { b } } - \frac { 1 } { \big ( m \! + \! \theta s ^ { \frac { \alpha \epsilon } { 2 } } q ^ { \frac { \alpha ( \epsilon - 1 ) } { 2 } } ( \frac { C _ { \epsilon } } { z } ) ^ { a - \frac { \epsilon } { \delta } } \big ) ^ { b } } \bigg ] \mathrm { d } s \mathrm { d } q . } \end{array}
\; _ { 1 } \phi _ { 0 } ( a ; q , z ) = { \frac { ( a z ; q ) _ { \infty } } { ( z ; q ) _ { \infty } } } = \prod _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { 1 - a q ^ { n } z } { 1 - q ^ { n } z } }
\begin{array} { r l } { B _ { 2 i + } } & { = \sum _ { n = 0 } ^ { S _ { E } - 1 } \alpha _ { i , \, n } \gamma _ { \mathrm { p a r } , \, i , \, n , \, \rho ^ { + } ( n ) } \beta _ { i + 1 , \, \rho ^ { + } ( n ) } } \\ { B _ { 2 i - } } & { = \sum _ { n = 0 } ^ { S _ { E } - 1 } \alpha _ { i , \, n } \gamma _ { \mathrm { p a r } , \, i , \, n , \, \rho ^ { - } ( n ) } \beta _ { i + 1 , \, \rho ^ { - } ( n ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { \mathbf { X } _ { i } } } & { { } = \mathbf { F } _ { i } ( \mathbf { X } , \mathbf { p } ) = \mathbf { f } _ { i } ( \mathbf { X } _ { i } , \mathbf { B } _ { i } ) + \sum _ { j = 1 } ^ { N } A _ { i j } \mathbf { g } _ { i j } ( \mathbf { X } _ { i } , \mathbf { X } _ { j } ) } \end{array}
\left. \frac { d N } { d ^ { 2 } k _ { t } d y } \right| _ { y = 0 } = \frac { \pi } { \Delta y } \int d \tau R ^ { 2 } ( \tau ) \int _ { z _ { m i n } ( \tau ) } ^ { z _ { m a x } ( \tau ) } \negthickspace \negthickspace d z \int _ { k _ { m i n } ( y ( z ) ) } ^ { k _ { m a x } ( y ( z ) ) } d k _ { z } \frac { d N } { d ^ { 4 } x d ^ { 3 } k } .
\Omega ^ { ( 2 ) } = 3 2 \pi ^ { 2 } { \frac { a ^ { 1 0 } } { ( \rho ^ { 2 } + a ^ { 2 } ) ^ { 5 } } } \cos \beta \, d \alpha \, d \beta , \quad \quad { \cal A } = \int _ { \cal M } \omega ^ { ( 3 ) } = 6 4 \pi ^ { 3 } .
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } } & { = \alpha U _ { J } ^ { 0 } ( r , \phi ) \mathbf { \hat { x } } + \beta U _ { J } ^ { l } ( r , \phi ) \mathbf { \hat { y } } } \\ & { = U _ { 0 } \left[ \alpha J _ { 0 } \left( k _ { r } r \right) \mathbf { \hat { x } } + \beta J _ { l } \left( k _ { r } r \right) e ^ { \pm i l \phi } \mathbf { \hat { y } } \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l r l r l } { \vec { u } _ { h _ { n } , \tau _ { n } } } & { \overset { \ast } { \rightharpoondown } \vec { u } } & & { \quad \mathrm { ~ i n ~ } L ^ { \infty } ( I ; L ^ { 2 } ( \Omega ) ^ { d } ) } & & { \quad ( n \to \infty ) \, , } \\ { \mathcal { G } _ { h _ { n } } \vec { u } _ { h _ { n } , \tau _ { n } } } & { \rightharpoonup \nabla \vec { u } } & & { \quad \mathrm { ~ i n ~ } L ^ { 2 } ( I ; L ^ { 2 } ( \Omega ) ^ { d \times d } ) } & & { \quad ( n \to \infty ) \, , } \\ { \vec { u } _ { h _ { n } , \tau _ { n } } } & { \to \vec { u } } & & { \quad \mathrm { ~ i n ~ } L ^ { 2 } ( I ; L ^ { 2 } ( \Omega ) ^ { d } ) } & & { \quad ( n \to \infty ) \, , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( i i i ) : \langle z _ { k + 1 } - y _ { k } ^ { * } , y _ { k + 1 } ^ { * } - y _ { k } ^ { * } \rangle } & { \le ( T \gamma _ { k } \mu _ { g } / 8 + M \xi ^ { 2 } l _ { * , 1 } ^ { 2 } \beta _ { k } ^ { 2 } ) \mathbb { E } [ \| z _ { k + 1 } - y _ { k } ^ { * } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] } \\ & { \quad + \left( \frac { \xi ^ { 2 } \alpha _ { k } ^ { 2 } } { 4 } + \frac { 2 \xi ^ { 2 } \alpha _ { k } ^ { 2 } l _ { * , 0 } ^ { 2 } } { T \mu _ { g } \gamma _ { k } } \right) \| q _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } + \frac { \xi ^ { 2 } } { 4 } ( \alpha _ { k } ^ { 2 } \sigma _ { f } ^ { 2 } + \beta _ { k } ^ { 2 } \sigma _ { g } ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { t t } ^ { t } } & { = 0 } \\ { \Gamma _ { t r } ^ { t } } & { = \frac { G M } { r ^ { 2 } c ^ { 2 } } \left( \frac { - 1 } { 1 - \frac { 2 G M } { r c ^ { 2 } } } \right) } \\ { \Gamma _ { r t } ^ { t } } & { = \frac { G M } { r ^ { 2 } c ^ { 2 } } \left( \frac { - 1 } { 1 - \frac { 2 G M } { r c ^ { 2 } } } \right) } \\ { \Gamma _ { r r } ^ { t } } & { = 0 } \\ { \Gamma _ { t t } ^ { r } } & { = \frac { G M } { r ^ { 2 } } \left( 1 - \frac { 2 G M } { r c ^ { 2 } } \right) } \\ { \Gamma _ { t r } ^ { r } } & { = 0 } \\ { \Gamma _ { r t } ^ { r } } & { = 0 } \\ { \Gamma _ { r r } ^ { r } } & { = \frac { - G M } { r ^ { 2 } c ^ { 2 } } \left( \frac { - 1 } { 1 - \frac { 2 G M } { r c ^ { 2 } } } \right) } \end{array}
\left( ^ { V ^ { n } } { \! a } _ { 1 } \right) ^ { a } = a _ { 1 } ^ { b } \: \left( V ^ { n } [ \vec { \varphi } \, ] \right) ^ { b a } + v _ { 1 } ^ { a } = a _ { 1 } ^ { a } - \frac { 2 \pi } { L } \, \hat { a } _ { 1 } ^ { a } \; .
\begin{array} { r l } { n _ { 2 , \mathrm { ~ x ~ } } ^ { \mathrm { ~ c ~ o ~ f ~ e ~ } } ( R ; r _ { s } , \bar { f } ) = } & { { } \Pi _ { \mathrm { ~ x ~ } } ^ { \mathrm { ~ c ~ o ~ f ~ e ~ } } ( r _ { s } , \bar { f } ) N ( \bar { k } _ { F } R ) } \end{array}
\wp ( u ) \equiv \wp ( u | 2 \omega _ { 1 } , 2 \omega _ { 3 } ) = { \frac { 1 } { u ^ { 2 } } } + \sum _ { m , \, n } { } ^ { \prime } \left[ { \frac { 1 } { ( u - \Omega _ { m , \, n } ) ^ { 2 } } } - { \frac { 1 } { \Omega _ { m , \, n } ^ { 2 } } } \right] ,
\begin{array} { r } { J ( \frac { u } { 1 + u } , r ^ { * } ) = \left[ { \begin{array} { c c } { \bar { a } _ { 1 1 } } & { \bar { a } _ { 1 2 } } \\ { \bar { a } _ { 2 1 } } & { 0 } \end{array} } \right] , } \end{array}
\langle j _ { B } ^ { \mu } \rangle = \frac { N _ { c } } { 2 4 \pi ^ { 2 } } \epsilon ^ { \mu \nu \lambda \rho } \mathrm { T r } \left( U \partial _ { \nu } U ^ { \dagger } U \partial _ { \lambda } U ^ { \dagger } U \partial _ { \rho } U ^ { \dagger } \right) \; .
\begin{array} { r l r } { \ensuremath { \skew 4 \widehat { H } } ( \theta _ { i } ) } & { = \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { \ell } h _ { i _ { k } } w _ { i _ { k } } ( \theta _ { i } - \lambda _ { i _ { k } } ) } { \sum _ { k = 1 } ^ { \ell } \theta _ { i } w _ { i _ { k } } \lambda _ { i _ { k } } ^ { - 1 } ( \theta _ { i } - \lambda _ { i _ { k } } ) } , } & { \mathrm { f o r ~ a l l } ~ 1 \leq i \leq r . } \end{array}
D _ { j , k } ^ { m } ( \boldsymbol { \xi } ) : = \chi _ { j , k } ( \boldsymbol { \xi } ) D ^ { m } ( \boldsymbol { \xi } ) \overset { } { = } \chi _ { j , k } ( \boldsymbol { \xi } ) e ^ { i \phi ( \boldsymbol { \xi } ) } \mathcal { F } ( I ) ( \boldsymbol { \xi } ) \, , \qquad \forall \, \boldsymbol { \xi } \in \mathbb { R } ^ { 2 } \, .
\begin{array} { r l } & { Q _ { H - 1 } ^ { \pi } ( s , a ) = r _ { H - 1 } ( s , a ) + O C E _ { s ^ { \prime } \sim P _ { H - 1 } ( \cdot \vert s , a ) } ^ { u } ( V _ { H } ^ { \pi } ( s ^ { \prime } ) ) \overset { ( 1 ) } { \leq } r _ { H - 1 } ( s , a ) + O C E _ { s ^ { \prime } \sim P _ { H - 1 } ( \cdot \vert s , a ) } ^ { u } ( 1 ) \in [ 1 , 2 ] , } \\ & { Q _ { H - 1 } ^ { \pi } ( s , a ) = r _ { H - 1 } ( s , a ) + O C E _ { s ^ { \prime } \sim P _ { H - 1 } ( \cdot \vert s , a ) } ^ { u } ( V _ { H } ^ { \pi } ( s ^ { \prime } ) ) \overset { ( 2 ) } { \geq } r _ { H - 1 } ( s , a ) + O C E _ { s ^ { \prime } \sim P _ { H - 1 } ( \cdot \vert s , a ) } ^ { u } ( 0 ) \in [ 0 , 1 ] , } \\ & { V _ { H - 1 } ^ { \pi } ( s ) = \operatorname* { m a x } _ { a \in \mathcal { A } } Q _ { H - 1 } ^ { \pi } ( s , a ) \in [ 0 , 2 ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { [ S P ( \boldsymbol { x } ) ] \quad \operatorname* { m i n } _ { \boldsymbol { q } , \boldsymbol { z } } \quad } & { W T ( \boldsymbol { q } , \boldsymbol { z } ) + I V T ( \boldsymbol { z } ) } \\ { \mathrm { s . t . } \quad } & { \mathrm { C o n s t r a i n t s ~ } ( ) - ( ) } \\ & { \mathrm { C o n s t r a i n t ~ } ( ) } \end{array}
\left\{ F , G \right\} _ { \parallel } = \sum _ { k } { \frac { 1 } { n _ { k } } \int { \frac { 1 } { i } \left( \frac { \delta F } { \delta \phi _ { \parallel k } ^ { * } } \mathcal { P } \frac { \delta G } { \delta \phi _ { \parallel k } } - \frac { \delta F } { \delta \phi _ { \parallel k } } \mathcal { P } \frac { \delta G } { \delta \phi _ { \parallel k } ^ { * } } \right) \mathrm { d } { \bf x } } } .
\begin{array} { r l } { \left( W _ { 1 } ^ { G _ { n } } ( \eta _ { x _ { 0 } } ^ { \delta _ { n } } , \eta _ { y _ { n } } ^ { \delta _ { n } } ) - W _ { 1 } ^ { d _ { n } } ( \eta _ { x _ { 0 } } ^ { \delta _ { n } } , \eta _ { y _ { n } } ^ { \delta _ { n } } ) \right) } & { + \left( W _ { 1 } ^ { d _ { n } } ( \eta _ { x _ { 0 } } ^ { \delta _ { n } } , \eta _ { y _ { n } } ^ { \delta _ { n } } ) - W _ { 1 } ^ { d _ { n } } ( \nu _ { x _ { 0 } } ^ { \delta _ { n } } , \nu _ { y _ { n } } ^ { \delta _ { n } } ) \right) } \\ & { + \left( W _ { 1 } ^ { d _ { n } } ( \nu _ { x _ { 0 } } ^ { \delta _ { n } } , \nu _ { y _ { n } } ^ { \delta _ { n } } ) - W _ { 1 } ( \nu _ { x _ { 0 } } ^ { \delta _ { n } } , \nu _ { y _ { n } } ^ { \delta _ { n } } ) \right) . } \end{array}