harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial } { \partial t } \left( g _ { s } + \frac { 1 } { \rho _ { s } } \frac { Z _ { s } } { \sqrt { \sigma _ { s } \tau _ { s } } } v _ { \parallel } \mathcal { J } _ { 0 s } A _ { \parallel } \right) + \left[ \mathcal { J } _ { 0 s } \phi - \sqrt { \frac { \tau _ { s } \beta _ { e } } { 2 \sigma _ { s } } } v _ { \parallel } \mathcal { J } _ { 0 s } A _ { \parallel } + \frac { \tau _ { s } } { Z _ { s } } \rho _ { s } ^ { 2 } v _ { \perp } ^ { 2 } \mathcal { J } _ { 1 s } B _ { \parallel } , g _ { s } + \frac { 1 } { \rho _ { s } } \frac { Z _ { s } } { \sqrt { \sigma _ { s } \tau _ { s } } } v _ { \parallel } \mathcal { J } _ { 0 s } A _ { \parallel } \right] = 0 , } \\ & { \sum _ { s } Z _ { s } \bar { n } _ { s } = \phi \sum _ { s } \frac { Z _ { s } } { \rho _ { s } ^ { 2 } \tau _ { s } } \left( \frac { 1 } { n _ { 0 } } \int \mathrm { d } \hat { \mathcal { W } } \hat { \mathcal { F } } _ { { e q } _ { s } } ( 1 - \mathcal { J } _ { 0 s } ) \right) + B _ { \parallel } \sum _ { s } Z _ { s } \left( \frac { 1 } { n _ { 0 } } \int \mathrm { d } \hat { \mathcal { W } } \hat { \mathcal { F } } _ { { e q } _ { s } } v _ { \perp } ^ { 2 } \mathcal { J } _ { 0 s } \mathcal { J } _ { 1 s } \right) , } \\ & { \sum _ { s } Z _ { s } \bar { u } _ { s } = - \nabla _ { \perp } ^ { 2 } A _ { \parallel } , } \\ & { \sum _ { s } \bar { p } _ { s } = - \phi \sum _ { s } \frac { 1 } { \rho _ { s } ^ { 2 } } \left( \frac { 1 } { n _ { 0 } } \int \mathrm { d } \hat { \mathcal { W } } \hat { \mathcal { F } } _ { { e q } _ { s } } v _ { \perp } ^ { 2 } \mathcal { J } _ { 0 s } \mathcal { J } _ { 1 s } \right) - B _ { \parallel } \left( \frac { 2 } { \beta _ { e } } + \sum _ { s } \int \mathrm { d } \hat { \mathcal { W } } \hat { \mathcal { F } } _ { { e q } _ { s } } ( v _ { \perp } ^ { 2 } \mathcal { J } _ { 0 s } \mathcal { J } _ { 1 s } ) ^ { 2 } \right) } \end{array}
\tan \theta \approx \sin \theta = { \frac { \frac { L } { 2 } } { \ell } } = { \frac { L } { 2 \ell } } \Rightarrow { \frac { \tan \theta _ { 1 } } { \tan \theta _ { 2 } } } \approx { \frac { \frac { L _ { 1 } } { 2 \ell } } { \frac { L _ { 2 } } { 2 \ell } } }
\hat { S } _ { c s } = \frac { T _ { 8 } } { 2 T _ { m i n } } \int _ { x } \frac { \mathrm { P f } \, Q } { \mathrm { P f } \, \theta } ~ { \mathcal { D } } T ~ \sum _ { n } C ^ { ( n ) } ~ e ^ { Q ^ { - 1 } }
\begin{array} { r l } { \mathbb E \big [ \| L ^ { N } G \| _ { L ^ { 2 } ( \mu _ { N } ) } ^ { 2 } \big ] } & { = \mathbb E \Big [ N ^ { - n } \sum _ { x \in V } \Big ( \sum _ { y \in V } N ^ { 2 } r ( x , y ) \big ( G ( y / N ) - G ( x / N ) \big ) \Big ) ^ { 2 } \Big ] } \\ & { \leq 2 N ^ { 4 - n } \big ( ( A ) + ( B ) + ( C ) \big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { t } ^ { \infty } \alpha \rho \bar { L } ( s ) e ^ { \alpha \rho \int _ { s } ^ { \infty } \bar { L } ( u ) d u } d s } & { = - \int _ { t } ^ { \infty } e ^ { \alpha \rho \int _ { s } ^ { \infty } \bar { L } ( u ) d u } d \left( \alpha \rho \int _ { s } ^ { \infty } \bar { L } ( u ) d u \right) } \\ & { = e ^ { \alpha \rho \int _ { t } ^ { \infty } \bar { L } ( s ) d s } - 1 . } \end{array}
f _ { D 0 } ^ { A } = 2 \pi V _ { 1 1 } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d t } { t ^ { 5 / 2 } } \sum _ { n ^ { I } \ne 0 } e ^ { - \frac { \pi } { t } { \cal M } ^ { 2 } } = V _ { 1 1 } \sum _ { n ^ { I } \ne 0 } \left( { \cal M } ^ { 2 } \right) ^ { - 3 / 2 } , \quad { \cal M } ^ { 2 } = n ^ { I } g _ { I J } n ^ { J } ,
\mathcal { D } _ { n } \mathcal { S } _ { [ 0 , n - 1 ] } ^ { \ell , m } ( \mathcal { D } _ { n } ) ^ { * } = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathcal { S } _ { [ 1 , n - 1 ] } ^ { \ell - 1 , 0 } B + \mathcal { S } _ { [ 1 , n - 1 ] } ^ { \ell , 0 } \, \chi _ { \ell \neq n } } & { \mathrm { ~ i f ~ } m = 0 } \\ { \mathcal { S } _ { [ 1 , n - 1 ] } ^ { \ell - 1 , m - 1 } C + \mathcal { S } _ { [ 1 , n - 1 ] } ^ { \ell - 1 , m } B + \mathcal { S } _ { [ 1 , n - 1 ] } ^ { \ell , m } \, \chi _ { \ell \neq n } } & { \mathrm { ~ i f ~ } 1 \leq m < \ell } \\ { \mathcal { S } _ { [ 1 , n - 1 ] } ^ { \ell - 1 , \ell - 1 } C + \mathcal { S } _ { [ 1 , n - 1 ] } ^ { \ell , \ell } \, \chi _ { \ell \neq n } } & { \mathrm { ~ i f ~ } m = \ell \in [ 1 , n ] } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r l } { \left\langle { } ^ { t } P ( D _ { f } ) , \phi \right\rangle } & { { } = \sum _ { \alpha } ( - 1 ) ^ { | \alpha | } \int _ { U } \phi ( x ) ( \partial ^ { \alpha } ( c _ { \alpha } f ) ) ( x ) \, d x } & { } & { { } { \mathrm { A s ~ s h o w n ~ a b o v e } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \bf D } } & { { } = } & { \frac { \partial L _ { n l } } { \partial \mathcal { F } } \, \varepsilon _ { 0 } \, { \bf E } + \frac { \partial L _ { n l } } { \partial \mathcal { G } } \, c \, \varepsilon _ { 0 } \, { \bf B } \, , } \\ { { \bf H } } & { { } = } & { \frac { \partial L _ { n l } } { \partial \mathcal { F } } \, \frac { { \bf B } } { \mu _ { 0 } } - \frac { \partial L _ { n l } } { \partial \mathcal { G } } \, \frac { { \bf E } } { \mu _ { 0 } \, c } \, . } \end{array}
\vec { w } ( z ) = \left( \begin{array} { l } { \frac { u _ { 1 } ( z ) } { u _ { 1 } ( z _ { 0 } ) } } \\ { \vdots } \\ { \frac { u _ { n } ( z ) } { u _ { n } ( z _ { 0 } ) } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { F \mathrm { - } \operatorname { l e n g t h } \left( \gamma | _ { \left[ s _ { l - 1 } , s _ { l } \right] } \right) } & { \gtrsim \int _ { s _ { l - 1 } } ^ { s _ { l } } \frac { | \dot { \gamma } ( t ) | } { { \delta ( \gamma ( t ) ) } ^ { \beta } } d t \geq \frac { 2 ^ { k - l } } { H ^ { \beta } } \int _ { s _ { l - 1 } } ^ { s _ { l } } | \dot { \gamma } ( t ) | d t } \\ & { = \frac { 2 ^ { k - l } L ( [ x _ { l - 1 } , x _ { l } ] ) } { H ^ { \beta } } \gtrsim \frac { L ( [ x , y ] ) } { H ^ { \beta } } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } { \left( \rho _ { L } , U _ { L } , P _ { L } , c _ { L } \right) } & { = \left( \rho _ { i } , - \textbf { v } _ { i } \cdot \textbf { e } _ { i j } , p _ { i } , c _ { i } \right) } \\ { \left( \rho _ { R } , U _ { R } , P _ { R } , c _ { R } \right) } & { = \left( \rho _ { j } , - \textbf { v } _ { j } \cdot \textbf { e } _ { i j } , p _ { j } , c _ { j } \right) , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { \eta _ { s - 1 } } } & { = ( A + { \cal B } _ { \eta _ { s - 1 } } ) ^ { T } ( A + { \cal B } _ { \eta _ { s - 1 } } ) + { \cal B } _ { \eta _ { s - 1 } } ^ { T } { \cal B } _ { \eta _ { s - 1 } } , } \\ { \zeta _ { \eta _ { s - 1 } } } & { = ( A + { \cal B } _ { \eta _ { s - 1 } } ) ^ { T } ( x - c ) + { \cal B } _ { \eta _ { s - 1 } } ^ { T } ( x - c - A \eta _ { s - 1 } ) . } \end{array}
\omega ^ { G } ( [ \Phi , \Phi ^ { * } ] ) \approx \omega ^ { \prime } { } ^ { G } ( [ \Phi , \Phi ^ { * } ] ) \ \Leftrightarrow \, o m e g a ^ { \prime } { } ^ { G } - \omega ^ { G } = { \cal S } \eta ^ { G - 1 } ( [ \Phi , \Phi ^ { * } ] ) + \lambda \, \delta _ { 0 } ^ { G } \ ,
\begin{array} { r } { X \left( \frac { \mathrm { d } R _ { \mathrm { b } } ^ { + } } { \mathrm { ~ d } t ^ { + } } \right) ^ { 2 } + Y \left( \frac { \mathrm { d } R _ { \mathrm { b } } ^ { + } } { \mathrm { ~ d } t ^ { + } } \right) + Z = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \int d \Pi _ { 2 } } & { { } = } & { \int d \Omega \frac { p _ { 1 } ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } E _ { 1 } E _ { 2 } } \left( \frac { p _ { 1 } } { E _ { 1 } } + \frac { p _ { 1 } } { E _ { 2 } } \right) ^ { - 1 } } \end{array}
S ( \omega ) = I - \left( \begin{array} { l l l } { A _ { 1 } \gamma _ { 1 } } & { } & { A _ { 2 } \sqrt { \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } } } \\ { C _ { 1 } \sqrt { \gamma _ { 1 } \gamma _ { 2 } } } & { } & { C _ { 2 } \gamma _ { 2 } } \end{array} \right) ,
\eta _ { \phi ^ { 2 } \phi ^ { 2 } } \equiv \operatorname * { l i m } _ { { \bf p } , p _ { 0 } \to 0 } \left[ { \frac { \rho _ { \phi ^ { 2 } \phi ^ { 2 } } ( p _ { 0 } , { \bf p } ) } { p _ { 0 } } } \right] \, ,
\begin{array} { r l } { U _ { B } } & { = \int \frac { 1 } { 2 \mu _ { 0 } } B ^ { 2 } \; d ^ { 3 } \vec { x } = \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { x } } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { y } } \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { z } } \Delta x ^ { 3 } \frac { 1 } { 2 \mu _ { 0 } } B _ { i , j , k } ^ { 2 } } \\ { U _ { E } } & { = \int \frac { \epsilon _ { 0 } } { 2 } E ^ { 2 } \; d ^ { 3 } \vec { x } = \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { x } } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { y } } \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { z } } \Delta x ^ { 3 } \frac { \epsilon _ { 0 } } { 2 } E _ { i , j , k } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial n } { \partial t } } & { { } = i \int d \vec { k } _ { 2 } d \vec { q } e ^ { i \vec { q } \cdot \vec { x } } \big [ B ^ { * } ( \vec { k } _ { 2 } , \vec { k } - \vec { q } / 2 ) \langle b _ { \mathbf 2 } ^ { * } b _ { \vec { k } + \vec { q } / 2 } \rangle - B ( \vec { k } _ { 2 } , \vec { k } + \vec { q } / 2 ) \langle b _ { \mathbf 2 } b _ { \vec { k } - \vec { q } / 2 } ^ { * } \rangle \big ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { y _ { t } } & { { } : = \log \left( \frac { P ( { H ^ { + } } | \xi _ { 1 : t } ) } { P ( { H ^ { - } } | \xi _ { 1 : t } ) } \right) = \sum _ { s = 1 } ^ { t } \mathrm { L L R } ( \xi _ { s } ) = y _ { t - 1 } + \mathrm { L L R } ( \xi _ { t } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left[ \overline { { S } } _ { i } ^ { N } ( t _ { N } ) \right] } & { = N \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \mathbb { P } ( \mathcal { A } _ { k } ^ { 1 , N } ) k \mathbb { E } \left[ S _ { i } ^ { ( 1 ) , 1 , 1 } ( t _ { N } - T _ { N } ^ { 1 , 1 , k } ) | \mathcal { A } _ { k } ^ { 1 , N } \right] . } \end{array}
s \, \sigma _ { 3 } ^ { \prime } ( s ) = \left\{ \begin{array} { r l } { { \nu ( s ) } } & { { \mathrm { f o r ~ } s \in [ 0 , 1 ] } } \\ { { - \nu ( 1 / s ) } } & { { \mathrm { f o r ~ } s \in [ 1 , \infty ] } } \end{array} \right.
\frac { k _ { \mathrm { i } } \cos \theta _ { \mathrm { i } } } { \mu _ { 1 } } \left( A _ { \mathrm { 0 i } } - A _ { \mathrm { 0 r } } \right) = \frac { k _ { \mathrm { t } } \cos \theta _ { \mathrm { t } } } { \mu _ { 2 } } A _ { \mathrm { 0 t } } \, .
{ \bf K } _ { 1 x } ^ { 1 } d \pmb { \zeta } _ { 1 } - { \bf K } _ { 1 x } ^ { 2 } d \pmb { \zeta } _ { 2 } + { \bf K } _ { 1 x } ^ { 3 } d \pmb { \zeta } _ { 3 } - { \bf K } _ { 1 x } ^ { 4 } d \pmb { \zeta } _ { 4 } = 0
\begin{array} { r l } { F ( { \mathbf x } _ { n } ) - F ( { \mathbf x } _ { n - 1 } ) } & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \! \langle \nabla F ( { \mathbf x } _ { n - 1 } + s ( { \mathbf x } _ { n } - { \mathbf x } _ { n - 1 } ) ) , { \mathbf x } _ { n } - { \mathbf x } _ { n - 1 } \rangle \, \mathrm { d } s } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } \! \langle \nabla F ( { \mathbf x } _ { n - 1 } + s { \boldsymbol \Delta } _ { n } ) , { \boldsymbol \Delta } _ { n } \rangle \, \mathrm { d } s } \\ & { = \langle { \boldsymbol \nabla } _ { n } , { \boldsymbol \Delta } _ { n } \rangle } \\ & { = \langle \mathbf { g } _ { n } , { \boldsymbol \Delta } _ { n } - \mathbf { u } _ { n } \rangle + \langle { \boldsymbol \nabla } _ { n } - \mathbf { g } _ { n } , { \boldsymbol \Delta } _ { n } \rangle + \langle \mathbf { g } _ { n } , \mathbf { u } _ { n } \rangle ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \{ \partial _ { t } + v \cdot \nabla _ { x } + \frac { Z \mathsf e } { m _ { + } } E \cdot \nabla _ { v } \} F _ { + } } & { = 2 \pi \mathsf e ^ { 4 } \ln ( \Lambda ) \{ Z ^ { 4 } Q _ { + + } ( F _ { + } , F _ { + } ) + Z ^ { 2 } Q _ { - + } ( F _ { - } , F _ { + } ) \} , } \\ { \{ \partial _ { t } + v \cdot \nabla _ { x } - \frac { \mathsf e } { m _ { - } } E \cdot \nabla _ { v } \} F _ { - } } & { = 2 \pi \mathsf e ^ { 4 } \ln ( \Lambda ) \{ Q _ { -- } ( F _ { - } , F _ { - } ) + Z ^ { 2 } Q _ { + - } ( F _ { + } , F _ { - } ) \} , } \\ { - \Delta _ { x } \phi } & { = 4 \pi \mathsf e ( Z n _ { + } - n _ { - } ) . } \end{array}
{ \mathcal H } \equiv { \mathcal H } ( m _ { 1 } , 0 ) \otimes { \mathcal H } ( m _ { 2 } , 0 ) = \int _ { ( m _ { 1 } + m _ { 2 } ) ^ { 2 } } ^ { \infty } d { \mathsf { s } } \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \oplus { \mathcal H } ( { \mathsf { s } } , j ) ,
\mathcal { E } _ { \textup { P D } } = c \ \sec ^ { 5 } \theta \ ( 2 9 + 2 0 \cos \theta ) \ l _ { 5 } ^ { 6 } \left( \textup { H } ^ { 2 } \ \overline { { \varepsilon } } ^ { 2 } \ \frac { 1 0 8 } { 2 9 + 2 0 \cos 2 \theta } + \textup { H } ^ { 4 } \ \overline { { \chi } } ^ { 2 } \right) \ ,
\sigma = \delta _ { R } ( E _ { m i n } ^ { \gamma } ) ( 1 + \delta _ { v e r t } + \delta _ { v a c } + \delta _ { s m } ) \sigma _ { 1 \gamma } + \sigma _ { a d d } ( E _ { m i n } ^ { \gamma } ) + \sigma _ { e l } + \sigma _ { q } + \sigma _ { i n } ( E _ { m i n } ^ { \gamma } ) .
\begin{array} { r } { \langle \hat { F } _ { \mathrm { ~ \tiny ~ B ~ } } ^ { 2 } \rangle _ { \mathrm { ~ \tiny ~ B ~ } } = \sum _ { k } \eta _ { k } = \sum _ { k } \eta _ { \bar { k } } ^ { \ast } = \sum _ { k } \zeta _ { k } ^ { 2 } . } \end{array}
K _ { m } ^ { n } ( \eta ) \sim \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 2 } { n + 1 } + \frac { 2 m ( m + 1 ) } { n + 3 } \eta ^ { 2 } } & { \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ n ~ e ~ v ~ e ~ n ~ } \, , } \\ { K _ { m } ^ { n } ( \eta ) \sim \frac { - 2 m } { n + 2 } \eta } & { \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ n ~ o ~ d ~ d ~ } . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \log \mathbb E _ { \varepsilon } \exp \left\{ \lambda \operatorname* { s u p } _ { w \in \mathcal W [ 0 , r ] } P _ { n } \varepsilon \big ( f ( w , Z ) - f ( w ^ { * } , Z ) \big ) \right\} } \\ & { \qquad \leqslant 6 4 \lambda L r \sqrt { \frac { d } n } + \frac { B ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } e ^ { B \lambda / n } } { 2 n } \left( \frac { 1 2 8 L r } { B } \sqrt { \frac { d } n } + \frac { L ^ { 2 } r ^ { 2 } } { B ^ { 2 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \phi _ { S } ( E _ { A } ^ { t } ) } & { = \phi _ { S } ( \exp ( t ( A - I ) ) ) } \\ & { = e ^ { - t } \phi _ { S } ( \sum _ { i = 0 } \frac { 1 } { i ! } t ^ { i } A ^ { i } ) } \\ & { = e ^ { - t } \left( \phi _ { S } ( I ) + \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \frac { t ^ { i } \cdot \phi _ { S } ( A ^ { i } ) } { i ! } \right) } \\ & { \leq e ^ { - t } \left( 0 + \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } i \frac { t ^ { i } \cdot \phi _ { S } ( A ) } { i ! } \right) } \\ & { \ \ \ [ \mathrm { u s i n g ~ L e m m a ~ } ] } \\ & { = e ^ { - 1 } \left( t \cdot \phi _ { S } ( A ) \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \frac { t ^ { i - 1 } } { ( i - 1 ) ! } \right) } \\ & { = t \cdot \phi _ { S } ( A ) } \end{array}
\mathrm { I m } \quad i G ( p _ { 1 } , . . . , p _ { m } ) = \frac 1 2 ( i G ( p _ { 1 } , . . . , p _ { m } ) + ( i G ( p _ { 1 } , . . . , p _ { m } ) ) ^ { * } ) = - \frac 1 2 \sum _ { c i r c l i n g s } i G ( p _ { 1 } , . . . , p _ { m } ) .
p _ { \mathrm { F } } ( \mathbf { x } ) = \hbar \left( \frac { 4 \pi } { g _ { \mathrm { s } } } n ^ { ( 0 ) } ( \mathbf { x } ) \right) ^ { 1 / 2 } , \qquad U ( \mathbf { x } ) = \mu - \frac { p _ { \mathrm { F } } ^ { 2 } ( \mathbf { x } ) } { 2 m } ,
t ^ { \star } = \displaystyle \operatorname* { m i n } \{ \frac { 1 } { 3 2 C \mathsf { N } _ { 0 } } , 1 , T ^ { \epsilon } \} = \displaystyle \operatorname* { m i n } \{ \frac { 1 } { 3 2 C \mathsf { N } _ { 0 } } , 1 \}
\begin{array} { r l } { \Lambda ^ { l i } ( \mathbf { r } ) } & { { } = I \left[ S ( \mathbf { r } ) \; \frac { 1 } { 2 } \left( 1 + \mathfrak { M } \cos \left( \mathbf { r } \cdot \mathbf { k } _ { i } + \phi _ { l } \right) \right) \right] \otimes U _ { \mathrm { w f } } ( \mathbf { r } ) , } \\ { \gamma _ { i } } & { { } = \arctan { \frac { k _ { x } ^ { i } } { k _ { y } ^ { i } } } , \, L = 2 \pi / \sqrt { { k _ { x } ^ { i } } ^ { 2 } + { k _ { y } ^ { i } } ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { A ^ { ( t ) } } & { { } \sim \mathsf E K } & { } & { { } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = H } \\ { B ^ { ( t ) } } & { { } \sim \mathsf E K ^ { 2 } } & { } & { { } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = H ^ { 2 } + H } \\ { C ^ { ( t ) } } & { { } \sim \mathsf E ( K X ) } & { } & { { } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \frac { 1 } { g } ( H ^ { 2 } + ( 1 + \mu g ) H ) . } \end{array}
\mathcal M _ { i i } = \frac { 1 } { 8 } ( p \sigma _ { i } ) ^ { 2 } \int d ^ { 2 } z r ^ { - 2 \chi } \frac { 1 } { r ^ { 2 } } = \frac { \pi } { 4 } ( p \sigma _ { i } ) ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 \chi } \left( \delta ^ { - 2 \chi } - R ^ { - 2 \chi } \right)
G _ { \mu \nu ; \mu ^ { \prime } \nu ^ { \prime } } ^ { 0 } ( x , y ) = \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } \mu ^ { 2 } } ( \delta _ { \mu \mu ^ { \prime } } \delta _ { \nu \nu ^ { \prime } } + \delta _ { \mu \nu ^ { \prime } } \delta _ { \nu \mu ^ { \prime } } - \delta _ { \mu \nu } \delta _ { \mu ^ { \prime } \nu ^ { \prime } } ) + \cdots
\mathrm { V a r } ( x ) = \int _ { - \infty } ^ { \infty } ( x - \langle x \rangle ) ^ { 2 } P _ { n } ( x ) \, d x = { \frac { L ^ { 2 } } { 1 2 } } \left( 1 - { \frac { 6 } { n ^ { 2 } \pi ^ { 2 } } } \right)
\alpha ^ { 2 } G _ { a } = \gamma \tau _ { a } [ \alpha ] + \hat { \tau } _ { a } [ d Q ] + \tau _ { a } [ { \bf \Phi } ] + \hat { \tau } _ { a } [ d A ] + \hat { \tau } _ { a } [ { \bf F } ] - V ( | { \bf \Phi } | , \alpha ) * e _ { a } ,
{ \mathcal { L } } _ { f } = { \overline { { Q } } } _ { i } i D \! \! \! \! / \; Q _ { i } + { \overline { { u } } } _ { i } i D \! \! \! \! / \; u _ { i } + { \overline { { d } } } _ { i } i D \! \! \! \! / \; d _ { i } + { \overline { { L } } } _ { i } i D \! \! \! \! / \; L _ { i } + { \overline { { e } } } _ { i } i D \! \! \! \! / \; e _ { i }
{ \cal M } _ { q q } = - 4 \pi \, \alpha _ { s } \, { \bar { q } } ( p ^ { \prime } ) \, T ^ { a } \gamma ^ { \mu } q ( p ) \, D _ { \mu \nu } \, { \bar { q } } ( k ^ { \prime } ) \, T ^ { a } \gamma ^ { \nu } q ( k ) .
L _ { B I } = \frac { \beta ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \left[ 1 - \sqrt { 1 - \frac { 2 c ^ { 2 } } { \beta ^ { 2 } } \, \mathcal { F } - \frac { c ^ { 4 } } { \beta ^ { 4 } } \, \mathcal { G } ^ { 2 } } \, \right] \, ,
F _ { 0 \alpha } ( \Delta \phi ^ { \prime } ) = - \log \sum _ { x } \delta \left\{ \Delta \phi _ { 0 \alpha } [ \vec { \phi } ( x ) ] - \Delta \phi ^ { \prime } \right\} \exp \left\{ - \mathcal { H } _ { \mathrm { ~ L ~ G ~ } } ( x ) - U _ { 0 \alpha } [ \vec { \phi } ( x ) ] \right\} + \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ s ~ t ~ } . ,
\begin{array} { r l } & { \mathbf { F } _ { m } \; \mathrm { i s ~ u n i f o r m l y ~ b o u n d e d ~ i n } } \\ & { L ^ { \infty } ( 0 , T ; L ^ { 6 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) ) \cap L ^ { \frac { 1 0 } { 3 } } ( 0 , T ; W ^ { 1 , \frac { 1 0 } { 3 } } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) ) \hookrightarrow L ^ { 1 6 } ( 0 , T ; L ^ { 8 } ( \Omega ; \mathbb { R } ^ { 3 \times 3 } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \Delta _ { 0 } ^ { \mathrm { C } } } ^ { 2 } } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - z } \Bigg [ \frac { 2 F ^ { 2 } } { \eta ^ { 2 } } \exp { \bigg ( \frac { \lambda _ { \mathrm { s } } } { \lambda _ { \mathrm { d } } } \frac { 2 \eta } { F } G _ { \theta } ( ( 1 \! \! - \! \! \frac { \eta } { F } , \! 2 , \! 2 , \! 1 \! \! - \! \! \frac { \eta } { F } , \! 1 , \! \frac { \eta } { F } ) , z ; \alpha , \epsilon ) \bigg ) } - \frac { F ^ { 2 } } { \eta ^ { 2 } } \exp { \bigg ( \! - \! z \! + \! \frac { \lambda _ { \mathrm { s } } } { \lambda _ { \mathrm { d } } } \frac { 2 \eta } { F } G _ { \theta } ( ( 1 \! \! - \! \! \frac { \eta } { F } , \! 1 , \! 0 , \! 0 , \! 0 , \! 0 ) , z ; \alpha , \epsilon ) \bigg ) } } \\ & { - \frac { ( F ^ { 2 } \! \! - \! \! 1 ) ^ { 2 } \eta ^ { 2 } } { 1 4 4 F ^ { 2 } } \exp { \bigg ( \! - \! z \! - \! \frac { \lambda _ { \mathrm { s } } } { \lambda _ { \mathrm { d } } } \frac { 2 \eta } { F } G _ { \theta } ( ( 1 , \! 1 , \! 0 , \! 0 , \! 0 , \! 0 ) , z ; \alpha , \epsilon ) \bigg ) } - \frac { F ^ { 2 } \! \! - \! \! 1 } { 6 } \exp { \bigg ( \! - \! z \! + \! \frac { \lambda _ { \mathrm { s } } } { \lambda _ { \mathrm { d } } } ( \frac { \eta } { F } ) ^ { 2 } [ G _ { \theta } ( ( 1 \! \! - \! \! \frac { \eta } { F } , \! 1 , \! 1 , \! 1 , \! - 1 , \! 0 ) , z ; \alpha , \epsilon ) \bigg ) } } \\ & { - \frac { F ^ { 2 } } { \eta } \exp { \bigg ( \frac { \lambda _ { \mathrm { s } } } { \lambda _ { \mathrm { d } } } \frac { \eta } { F } G _ { \theta } ( ( 1 \! \! - \! \! \frac { \eta } { F } , \! 1 , \! 0 , \! 0 , \! 0 , \! 0 ) , z ; \alpha , \epsilon ) \bigg ) } + \frac { ( F ^ { 2 } - 1 ) \eta } { 1 2 } \exp { \bigg ( \frac { \lambda _ { \mathrm { s } } } { \lambda _ { \mathrm { d } } } \frac { \eta } { F } G _ { \theta } ( ( 1 , \! 1 , \! 0 , \! 0 , \! 0 , \! 0 ) , z ; \alpha , \epsilon ) \bigg ) } \Bigg ] \mathrm { d } z + \frac { F ^ { 2 } + 2 F - 3 } { 4 } } \end{array}
\begin{array} { r } { T _ { \mathrm { n } } = T _ { \mathrm { a } } + | \Gamma _ { \mathrm { s r c } } | ^ { 2 } T _ { \mathrm { b } } + 2 T _ { \mathrm { c } } | \Gamma _ { \mathrm { s r c } } | \cos ( \phi _ { \mathrm { c } } + \phi _ { \mathrm { s r c } } ) . } \end{array}
\eta _ { n } ( \mu ) = c _ { n , n - 1 } ( \mu ) \, \beta _ { 0 } ^ { n - 1 } + c _ { n , n - 2 } ( \mu ) \, \beta _ { 0 } ^ { n - 2 } + \ldots + c _ { n , 0 } ( \mu ) \, ; \quad n \ge 1 \, ,
\begin{array} { r l } { \Vert u ( t , x ) \Vert _ { p } } & { \le J _ { 0 } ( t ) \sum _ { n \geq 0 } ( p - 1 ) ^ { \frac n 2 } C ^ { n } | \lambda | ^ { n } ( n ! ) ^ { H _ { 0 } - \frac { 1 } { 2 } } \left( \frac { t ^ { n ( \theta + 1 ) } } { \Gamma ( n ( \theta + 1 ) + 1 ) } \right) ^ { H _ { 0 } } } \\ & { \le J _ { 0 } ( t ) \sum _ { n \geq 0 } \frac { C ^ { n } | \lambda | ^ { n } p ^ { \frac n 2 } t ^ { n H _ { 0 } ( \theta + 1 ) } } { ( n ! ) ^ { H _ { 0 } \theta + \frac { 1 } { 2 } } } \le J _ { 0 } ( t ) C _ { 1 } \exp \left( C _ { 2 } | \lambda | ^ { \frac { 2 } { 2 H _ { 0 } \theta + 1 } } p ^ { \frac { 1 } { 2 H _ { 0 } \theta + 1 } } t ^ { \frac { 2 H _ { 0 } ( \theta + 1 ) } { 2 H _ { 0 } \theta + 1 } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | p _ { 1 } ^ { \prime } - p _ { 2 } ^ { \prime } | } & { { } = } & { \sqrt { ( p _ { 1 } ^ { \prime } + p _ { 2 } ^ { \prime } ) ^ { 2 } - 4 p _ { 1 } ^ { \prime } p _ { 2 } ^ { \prime } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \frac { \partial } { \partial z _ { j } } \theta \right) \left( \frac { a \tau + b } { c \tau + d } , \frac { \vec { z } } { c \tau + d } \right) } & { = ( c \tau + d ) ^ { g / 2 } 2 \pi i c ( G _ { L } \boldsymbol { z } ) _ { j } e ^ { \pi i c \frac { ( \vec { z } , \vec { z } ) } { c \tau + d } } \theta ( \tau , \boldsymbol { z } ) } \\ & { \quad \quad + ( c \tau + d ) ^ { g / 2 + 1 } e ^ { \pi i c \frac { ( \vec { z } , \vec { z } ) } { c \tau + d } } \left( \frac { \partial } { \partial z _ { j } } \theta \right) ( \tau , \boldsymbol { z } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { J _ { I L , I ^ { \prime } L ^ { \prime } } = \frac { \partial \eta _ { I L } ^ { \mathrm { m i n } } [ { \bf n } ] } { \partial n _ { I ^ { \prime } L ^ { \prime } } } - \delta _ { I L , I ^ { \prime } L ^ { \prime } } , } \\ & { = - U _ { I L } ^ { - 1 } \left( \Gamma _ { I L , I ^ { \prime } L ^ { \prime } } + \gamma _ { I L , I ^ { \prime } L ^ { \prime } } \right) _ { I L \ne I ^ { \prime } L ^ { \prime } } } \\ & { + U _ { I L } ^ { - 1 } \left( \frac { \sum _ { I L } U _ { I L } ^ { - 1 } \left( \Gamma _ { I L , I ^ { \prime } L ^ { \prime } } + \gamma _ { I L , I ^ { \prime } L ^ { \prime } } \right) } { \sum _ { I L } U _ { I L } ^ { - 1 } } \right) _ { I L \ne I ^ { \prime } L ^ { \prime } } } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ - \delta _ { I L , I ^ { \prime } L ^ { \prime } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \boldsymbol { \Delta ^ { \ast } } ( t ) } & { = \left[ \begin{array} { l } { \delta ^ { \ast } ( 0 ) , \ldots , \delta ^ { \ast } ( T _ { p } - 1 ) } \end{array} \right] ^ { \top } , } & { \mathcal { D } = [ \delta _ { m i n } , \delta _ { m a x } ] , } \\ { \boldsymbol { \alpha ^ { \ast } } ( t ) } & { = \left[ \begin{array} { l } { a ^ { \ast } ( 0 ) , \ldots , a ^ { \ast } ( T _ { p } - 1 ) } \end{array} \right] ^ { \top } , } & { \mathcal { A } = [ a _ { m i n } , a _ { m a x } ] , } \\ { \boldsymbol { Z } ^ { \ast } ( t ) } & { = \left[ \begin{array} { l } { z ^ { \ast } ( 1 ) , \ldots , z ^ { \ast } ( T _ { p } ) } \end{array} \right] ^ { \top } , } & { \mathcal { Z } = [ z _ { m i n } , z _ { m a x } ] . } \end{array}