harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \dot { x } } _ { 2 } ^ { 2 } + { \dot { y } } _ { 2 } ^ { 2 } = l ^ { 2 } \left( { \dot { \theta } } _ { 1 } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta _ { 1 } + { \dot { \theta } } _ { 1 } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta _ { 1 } + { \frac { 1 } { 4 } } { \dot { \theta } } _ { 2 } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta _ { 2 } + { \frac { 1 } { 4 } } { \dot { \theta } } _ { 2 } ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta _ { 2 } + { \dot { \theta } } _ { 1 } { \dot { \theta } } _ { 2 } \cos \theta _ { 1 } \cos \theta _ { 2 } + { \dot { \theta } } _ { 1 } { \dot { \theta } } _ { 2 } \sin \theta _ { 1 } \sin \theta _ { 2 } \right)
\tilde { g } = \left\{ \begin{array} { c l } { { g _ { L } } } & { { B _ { r } \ \mathrm { m o d e l } , } } \\ { { g } } & { { D _ { r } \ \mathrm { m o d e l } , } } \end{array} \right. \quad \check { s } _ { j k } \equiv \check { s } _ { e _ { j } - e _ { k } } , \quad \bar { \check { s } } _ { j k } \equiv \check { s } _ { e _ { j } + e _ { k } } .
\begin{array} { r l } { \omega _ { C } } & { { } = \omega _ { N } \frac { \big ( 1 - \cos ( \theta _ { 1 } ) \big ) \big ( 1 + \cos ( \theta _ { 1 } ) \big ) - \big ( 1 - \cos ( \theta _ { 2 } ) \big ) \big ( 1 + \cos ( \theta _ { 2 } ) \big ) } { \big ( \cos ( \theta _ { 2 } ) - \cos ( \theta _ { 1 } ) \big ) \big ( 1 + \cos ( \theta _ { 1 } ) \big ) } } \end{array}
[ \mathfrak i , \mathfrak h ^ { j + 1 } ] = [ \mathfrak i , [ \mathfrak h ^ { 1 } , \mathfrak h ^ { j } ] ] = [ \mathfrak h ^ { 1 } , [ \mathfrak h ^ { j } , \mathfrak i ] ] + [ \mathfrak h ^ { j } , [ \mathfrak i , \mathfrak h ^ { 1 } ] ] \subset [ \mathfrak h ^ { 1 } , \mathfrak h ^ { j + 1 } ] + [ \mathfrak h ^ { j } , \mathfrak h ^ { 2 } ] = \mathfrak h ^ { j + 2 }
\begin{array} { r l } { B ^ { 2 } = \int _ { M } g ^ { m n } g ^ { r s } } & { \nabla _ { m } \nabla _ { r } \psi [ \nabla _ { n } \nabla _ { s } , \nabla _ { a } ] z ^ { a } + g ^ { m n } g ^ { r s } \nabla _ { m } \nabla _ { r } z ^ { a } [ \nabla _ { n } \nabla _ { s } , \nabla _ { a } ] \psi } \\ & { = \int _ { M } g ^ { m n } g ^ { r s } \nabla _ { m } \nabla _ { r } \psi ( \nabla _ { n } [ \nabla _ { s } , \nabla _ { a } ] z ^ { a } + [ \nabla _ { n } , \nabla _ { a } ] \nabla _ { s } z ^ { a } ) + g ^ { m n } g ^ { r s } \nabla _ { m } \nabla _ { r } z ^ { a } [ \nabla _ { n } , \nabla _ { a } ] \nabla _ { s } \psi } \\ & { = \int _ { M } g ^ { m n } g ^ { r s } \nabla _ { m } \nabla _ { r } \psi \big ( \nabla _ { n } ( \mathrm { R i e m } ^ { a } _ { b s a } z ^ { b } ) + \mathrm { R i e m } ^ { a } _ { b n a } \nabla _ { s } z ^ { b } - \mathrm { R i e m } ^ { b } _ { s n a } \nabla _ { b } z ^ { a } \big ) } \\ & { \qquad - \int _ { M } g ^ { m n } g ^ { r s } \nabla _ { m } \nabla _ { r } z ^ { a } \mathrm { R i e m } ^ { b } _ { s n a } \nabla _ { b } \psi . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I ( x ^ { \prime } , y ^ { \prime } ) } & { { } = I ( x , y ) + \frac { 1 } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } I ( x , y ) ( x - x ^ { \prime } ) ^ { 2 } } \end{array}
\left< \overline { { \delta ^ { 2 } ( \Delta ) } } \right> \sim \frac { 4 K \tau _ { l } ^ { 2 } } { \tau _ { l } ^ { 2 } - \tau _ { s } ^ { 2 } } \left( 1 - \frac { \Delta } { \tau _ { l } } \right) \Delta .
\frac { \partial \hat { c _ { 2 } } } { \partial \hat { x } } = - \hat { \nu _ { 2 } } \hat { c _ { 1 } } - \hat { \nu _ { 3 } } \hat { c _ { 2 } } , ~ ~ ~ ~ ~ \mathrm { ~ a ~ t ~ } ~ \hat { x } = 0
\begin{array} { r l r } { r } & { { } = } & { \frac { n _ { 2 } } { n _ { 1 } } , } \\ { A _ { i } } & { { } = } & { \frac { T _ { \perp i } } { T _ { \parallel i } } , } \\ { \sigma } & { { } = } & { \frac { \frac { 1 } { 2 } m n _ { 1 } v _ { 1 } ^ { 2 } } { B _ { 1 } ^ { 2 } / 8 \pi } , } \\ { \chi _ { 1 } ^ { 2 } } & { { } = } & { \frac { m v _ { 1 } ^ { 2 } } { k _ { B } T _ { \perp 1 } } . } \end{array}
f ( x , k ^ { 2 } ) \sim \frac { \alpha _ { s } } { 2 \pi } \int _ { x } ^ { 1 } \frac { d z } { z } \int _ { k _ { 0 } ^ { 2 } } ^ { k ^ { 2 } / z } \frac { d k ^ { 2 } } { k ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { l } { z _ { i } ^ { 0 } } \\ { z _ { i } ^ { 1 } } \end{array} \right) } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { j } \\ { j } & { 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { e ^ { - j \pi / 2 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \hat { x } _ { i } } \\ { \hat { y } _ { i } e ^ { j \delta \phi _ { d _ { i } } } } \end{array} \right) } \end{array}
\! \! \! { \cal E } _ { n } ^ { ( 1 ) } \propto \! \! \! \int _ { \infty } ^ { \infty } \Pi _ { j = 1 } ^ { n } d z _ { j } ( \chi _ { n } ^ { ( 0 ) } ) ^ { * } ( \sum _ { i < j } ^ { n } \delta ( z _ { i } - z _ { j } ) \partial _ { z _ { i } } ) \chi _ { n } ^ { ( 0 ) } \propto \! \! \! \int _ { \infty } ^ { \infty } \Pi _ { j = 1 } ^ { n } d z _ { j } ( \chi _ { n } ^ { ( 0 ) } ) ^ { * } \chi _ { n } ^ { ( 0 ) } ( \sum _ { i \neq k } ^ { n } \mathrm { s i g n } ( z _ { i } - z _ { k } ) ) = 0 ,
\begin{array} { r l } { - 2 f ( t ) + F _ { m } ( t ) = - 2 k \big ( x ( t ) - X ( t ) \big ) - 2 k _ { c } \big ( \theta ( t ) - \Theta ( t ) \big ) + F _ { m } ( t ) } & { { } = m \, \ddot { x } ( t ) \, , } \\ { - 2 t ( t ) + T _ { m } ( t ) = - 2 k _ { c } \big ( x ( t ) - X ( t ) \big ) - 2 k _ { t } \big ( \theta ( t ) - \Theta ( t ) \big ) + T _ { m } ( t ) } & { { } = I _ { m } \, \ddot { \theta } ( t ) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ell _ { 7 } ( x ) } & { = \kappa _ { 0 } + \frac { 2 1 } { 2 0 \kappa _ { 0 } x ( \log { x } ) ^ { 2 } } + \operatorname* { m a x } \left\{ 8 \kappa _ { 0 } , \frac { 4 \kappa _ { 0 } \log ( x + ( 1 + \kappa _ { 0 } ) \sqrt { x } \log { x } ) } { \log \left( \kappa _ { 0 } \sqrt { x } \log { x } \right) } \right\} + \frac { 2 \beta _ { 1 } } { \log { x } } + \frac { 2 \beta _ { 2 } x ^ { - \frac { 1 } { 6 } } } { \log { x } } . } \end{array}
I _ { 2 } : = \int d ^ { D } \! k \; \frac { 1 } { [ k ^ { 2 } - m _ { 1 } ^ { 2 } ] [ ( k + q ) ^ { 2 } - m _ { 2 } ^ { 2 } ] } \equiv \int \frac { d ^ { D } \! k } { P _ { 1 } \, P _ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d \delta } \Bigg \vert _ { \delta = 0 } \rho _ { A } \left( \mathbf { z } , \lambda \right) } & { = \frac { d } { d \delta } \Bigg \vert _ { \delta = 0 } \left< \widehat { \Delta } \right> _ { \left( \mathbf { z } , \lambda \right) } } \\ & { = \left< \frac { d } { d \delta } \Bigg \vert _ { \delta = 0 } \widehat { \Delta } \right> _ { \left( \mathbf { z } , \lambda \right) } ^ { \circ } } \\ & { = \left< \frac { d } { d \delta } \Bigg \vert _ { \delta = 0 } \sum _ { i , j \in \mathcal { N } } e _ { j i } \left( \mathbf { x } , \beta \right) \sum _ { \gamma \in \mathcal { L } } q _ { \beta \gamma } \pi _ { i } ^ { \left[ \gamma \right] } \left( x _ { j } - x _ { i } \right) \right> _ { \left( \mathbf { z } , \lambda \right) } ^ { \circ } } \\ & { = \sum _ { i , j \in \mathcal { N } } \sum _ { I \subseteq \mathcal { N } } \left< c _ { I } ^ { j i } \left( \beta \right) \sum _ { \gamma \in \mathcal { L } } q _ { \beta \gamma } \pi _ { i } ^ { \left[ \gamma \right] } \left( \mathbf { x } _ { I \cup \left\{ j \right\} } - \mathbf { x } _ { I \cup \left\{ i \right\} } \right) \right> _ { \left( \mathbf { z } , \lambda \right) } ^ { \circ } , } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } S _ { \alpha } ( 1 ) } & { = \beta - \alpha = 1 / \beta ^ { 2 } \in J _ { 0 } , \ \ \ \ } & { S _ { \alpha } ( 1 - \alpha ) } & { = \beta - \beta \alpha = - 1 / \beta ^ { 2 } \in J _ { 0 } , } \\ { S _ { \alpha } ^ { 2 } ( 1 ) } & { = 1 / \beta \in J _ { 0 } , } & { S _ { \alpha } ^ { 2 } ( 1 - \alpha ) } & { = - 1 / \beta \in J _ { 0 } , } \\ { S _ { \alpha } ^ { 3 } ( 1 ) } & { = 1 \in J _ { 1 } , \ \ \ \ } & { S _ { \alpha } ^ { 3 } ( 1 - \alpha ) } & { = - 1 \in J _ { - 1 } \ \ \ \mathrm { a n d } } \\ & { } & { S _ { \alpha } ^ { 4 } ( 1 - \alpha ) } & { = - 1 / \beta ^ { 2 } \in J _ { 0 } , } \end{array}
\frac { d \bar { x } _ { i } } { d \tau } = \frac { \partial \widetilde { H } } { \partial \bar { p } _ { i } } \, , \qquad \frac { d \bar { p } _ { i } } { d \tau } = - \frac { \partial \widetilde { H } } { \partial \bar { x } _ { i } }
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { h _ { f } ^ { 1 / 2 } \| J _ { 1 } ( \boldsymbol { q } _ { h } ) \| _ { L ^ { 2 } ( f ) } } } \\ & { } & { = h _ { f } ^ { 1 / 2 } \| [ [ \boldsymbol { q } _ { h } ] ] \| _ { L ^ { 2 } ( f ) } } \\ & { } & { = h _ { f } ^ { 1 / 2 } \| [ [ \boldsymbol { q } _ { H } + \boldsymbol { q } _ { h } - \boldsymbol { q } _ { H } ] ] \| _ { L ^ { 2 } ( f ) } } \\ & { } & { \leq h _ { f } ^ { 1 / 2 } ( \| [ [ \boldsymbol { q } _ { H } ] ] \| _ { L ^ { 2 } ( f ) } + \| [ [ \boldsymbol { q } _ { h } - \boldsymbol { q } _ { H } ] ] \| _ { L ^ { 2 } ( f ) } ) } \\ & { } & { \leq h _ { f } ^ { 1 / 2 } \| [ [ \boldsymbol { q } _ { H } ] ] \| _ { L ^ { 2 } ( f ) } + h _ { f } ^ { 1 / 2 } \| ( \boldsymbol { q } _ { h } - \boldsymbol { q } _ { H } ) \vert _ { \tau _ { * } ^ { 1 } } \| _ { L ^ { 2 } ( f ) } + h _ { f } ^ { 1 / 2 } \| ( \boldsymbol { q } _ { h } - \boldsymbol { q } _ { H } ) \vert _ { \tau _ { * } ^ { 2 } } \| _ { L ^ { 2 } ( f ) } } \\ & { } & { \lesssim h _ { f } ^ { 1 / 2 } \| J _ { 1 } ( \boldsymbol { q } _ { H } ) \| _ { L ^ { 2 } ( f ) } + \| ( \boldsymbol { q } _ { h } - \boldsymbol { q } _ { H } ) \| _ { L ^ { 2 } ( \tau _ { * } ^ { 1 } \cup \tau _ { * } ^ { 2 } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { i } ( i = 1 , \ldots , 8 ) : \quad } & { { } 0 \le k _ { 1 } + k _ { 2 } + k _ { 3 } + k _ { 4 } + k _ { 5 } + k _ { 6 } + k _ { 7 } + k _ { 8 } \le k _ { q } ^ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } \\ { \tau : \quad } & { { } 0 \le k _ { \tau } \le k _ { \tau } ^ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } \; , } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { i n f } _ { v _ { h } \in \mathcal { S } _ { D } ^ { 1 , \textit { c r } } ( \mathcal { T } _ { h } ) } { I _ { h } ^ { \textit { c r } } ( v _ { h } ) } \ge \operatorname* { s u p } _ { y _ { h } \in \mathcal { R } T _ { N } ^ { 0 } ( \mathcal { T } _ { h } ) } { D _ { h } ^ { \textit { r t } } ( y _ { h } ) } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { ( g , \theta , \alpha , z ) \mapsto \widehat { W } _ { g } ( \theta , \alpha ) ( \widehat { H } _ { 0 } ( \theta , \alpha ) - \widehat { E } _ { \mathrm { a t } } ( \theta , \alpha ) - z ) ^ { - 1 } \overline { { \chi } } _ { \theta , \alpha } ^ { ( I ) } } \\ & { ( g , \theta , \alpha , z ) \mapsto ( \widehat { H } _ { 0 } ( \theta , \alpha ) - \widehat { E } _ { \mathrm { a t } } ( \theta , \alpha ) - z ) ^ { - 1 } \overline { { \chi } } _ { \theta , \alpha } ^ { ( I ) } \widehat { W } _ { g } ( \theta , \alpha ) . } \end{array}
\frac { 1 } { 8 \pi G } ( R _ { \mu \nu } - \frac { 1 } { 2 } R g _ { \mu \nu } ) = T _ { \mu \nu } + \langle T _ { \mu \nu } \rangle _ { \lambda = 0 } ^ { G } + \langle T _ { \mu \nu } \rangle _ { \lambda = 0 } ^ { M } + \langle T _ { \mu \nu } \rangle _ { a ( \lambda ) } + \langle T _ { \mu \nu } \rangle _ { b ( \lambda ) } ,
\left( \begin{array} { l l } { \; - \nu \; } & { i B _ { 0 } } \\ { i B _ { 0 } } & { \; - \eta \; } \end{array} \right) ^ { - 1 } = \Delta \left( \begin{array} { l l } { \; - \eta \; } & { - i B _ { 0 } } \\ { - i B _ { 0 } } & { \; - \nu \; } \end{array} \right) , \quad \Delta ^ { - 1 } = \nu \eta + B _ { 0 } ^ { 2 } ,
l _ { \mu \nu } = 2 \left( l _ { \mu } l _ { \nu } ^ { ' } + l _ { \nu } l _ { \nu } ^ { ' } - l \cdot { l ^ { ' } } g _ { \mu \nu } + i \lambda \epsilon _ { \mu \nu \alpha \beta } l ^ { \alpha } q ^ { \beta } \right) ,
V _ { C K M } = \left[ \begin{array} { c c c } { { 1 - \frac { \lambda ^ { 2 } } { 2 } } } & { { \lambda } } & { { \lambda ^ { 3 } A ( \rho - i \eta ) } } \\ { { - \lambda } } & { { 1 - \frac { \lambda ^ { 2 } } { 2 } } } & { { \lambda ^ { 2 } A } } \\ { { \lambda ^ { 3 } A ( 1 - \rho - i \eta ) } } & { { - \lambda ^ { 2 } A } } & { { 1 } } \end{array} \right] + { \cal { O } } ( \lambda ^ { 4 } )
{ \frac { \partial f } { \partial \mathbf { n } } } = \nabla f ( \mathbf { x } ) \cdot \mathbf { n } = \nabla _ { \mathbf { n } } { f } ( \mathbf { x } ) = { \frac { \partial f } { \partial \mathbf { x } } } \cdot \mathbf { n } = D f ( \mathbf { x } ) [ \mathbf { n } ] .
\int \! \! \! \! \int R \sqrt { g } d ^ { 4 } x d ^ { N } s = \! \int { \cal R } \sqrt { g } d ^ { D } x - \int \! \! \! \! \int ( K ^ { 2 } + h ^ { 2 } ) \sqrt { g } d ^ { 4 } x d ^ { N } s
W _ { \mathrm { e f f } } = S \left[ \ln \left( \frac { S ^ { N _ { c } - N _ { f } - 2 } \operatorname * { d e t } T } { \Lambda ^ { 3 N _ { c } - N _ { f } - 6 } } \right) + N _ { f } - N _ { c } + 2 \right] - m _ { N _ { f } } T ^ { N _ { f } N _ { f } } .
| \lambda ( M _ { t } ) | \ \stackrel { < } { { } _ { \sim } } \ 0 . 7 0 , \ 0 . 6 3 , \ 0 . 5 7 , \ 0 . 4 4 , \ 0 . 2 2 , \quad \mathrm { f o r } \quad | \kappa ( M _ { t } ) | = 0 , \ 0 . 3 , \ 0 . 4 , \ 0 . 5 \ \mathrm { a n d } \ 0 . 6 ,
\frac { g _ { 1 } \left( x \to 0 \right) } { n } = 1 + \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } c _ { i } \left( n x \right) ^ { i } + b _ { 3 } \left| n x \right| ^ { 3 } + \mathcal { O } \left( | n x | ^ { 4 } \right) .
\begin{array} { r l r } & { } & { r _ { j } ^ { s p - n } \iint _ { U _ { j } } \, [ \texttt { w } _ { j } \varphi _ { j } ] _ { W ^ { s , p } ( B _ { j } ) } ^ { p } \, \mathrm { d } \mu _ { j } } \\ & { } & { \le c r _ { j } ^ { s p } \iiint _ { Q _ { j } } \int _ { B _ { j } } \overline { { \mathcal { K } } } ( v , w ) \operatorname* { m a x } \{ \texttt { w } _ { j } ( v , x , t ) , \texttt { w } _ { j } ( w , x , t ) \} ^ { p } \lvert \varphi _ { j } ( v , x , t ) - \varphi _ { j } ( w , x , t ) \rvert ^ { p } \, \mathrm { d } w \, \mathrm { d } \nu _ { j } } \\ & { } & { \quad + c r _ { j } ^ { s p } \iiint _ { Q _ { j } } ( \texttt { w } _ { j } \varphi _ { j } ^ { p } ) ( v , x , t ) \Biggl ( \operatorname* { s u p } _ { w \in \textup { s u p p } \varphi _ { j } } \int _ { \mathscr { C } B _ { j } } \overline { { \mathcal { K } } } ( v , w ) \texttt { w } _ { j } ^ { p - 1 } ( w , x , t ) \, \mathrm { d } w \Biggr ) \, \mathrm { d } \nu _ { j } } \\ & { } & { \quad + c r _ { j } ^ { s p } \iiint _ { Q _ { j } } \big ( \texttt { w } _ { j } ^ { 2 } \varphi _ { j } ^ { p - 1 } \lvert \mathcal { T } \varphi _ { j } \rvert \big ) ( v , x , t ) \, \mathrm { d } \nu _ { j } } \\ & { } & { \quad + \, c r _ { j } ^ { s p } \iiint _ { Q _ { j } } \big ( \lvert u ( v , x , t ) \rvert ^ { \gamma } + \texttt { w } _ { j } ^ { \gamma } ( v , x , t ) + \textup { \texttt { h } } ( v , x , t ) + \texttt { w } _ { j } ^ { p } ( v , x , t ) \big ) \varphi _ { j } ^ { p } ( v , x , t ) \, \mathrm { d } \nu _ { j } } \\ & { } & { = : J _ { 1 } + J _ { 2 } + J _ { 3 } + J _ { 4 } . } \end{array}
\frac { \partial { \cal H } _ { 0 } } { \partial \theta } - g \alpha z = \frac { c _ { p r } T } { \theta } , \qquad \rightarrow \qquad \frac { \partial { \cal H } _ { 0 } } { \partial \theta } = c _ { p r } \qquad T = \theta - \frac { g \alpha \theta z } { c _ { p r } }
\mathop { \mathbb { E } } _ { ( x , y ) \sim \mathcal { D } } | h ( x ) - y | ^ { 2 } \triangleq R ( h ) \leq \hat { R } _ { S } ( h ) + 2 r _ { \infty } B M \sqrt { \frac { 2 \log ( 2 A ) } { N } } + M ^ { 2 } \sqrt { \frac { \log \frac { 1 } { \delta } } { 2 N } }
\textrm { f i n d } \enskip v _ { x } ^ { \ast } \in H _ { g _ { x } } ^ { 1 } ( \Omega ) , \, v _ { y } ^ { \ast } \in H _ { g _ { y } } ^ { 1 } ( \Omega ) , \, p ^ { n + 1 } \in H _ { h } ^ { 1 } ( \Omega ) \enskip \textrm { s . t . } \,
\begin{array} { r l r } { i \textbf { I } _ { \{ W 2 i + \} } \circ \mathbb { W } ^ { + } = } & { { } } & { i \textbf { I } _ { \{ W 2 i + \} } \circ ( i W _ { 1 0 } ^ { i + } + W _ { 1 0 } ^ { + } } \end{array}
\sum _ { n = N } ^ { M } f ( n ) \leq f ( N ) + \sum _ { n = N + 1 } ^ { M } \underbrace { \int _ { n - 1 } ^ { n } f ( x ) \, d x } _ { \geq \, f ( n ) } = f ( N ) + \int _ { N } ^ { M } f ( x ) \, d x .
\left[ A _ { \mu } ^ { a } , \pi _ { b } ^ { \nu } \right] = \delta _ { \mu } ^ { \; \; \nu } \delta _ { \; \; b } ^ { a } , \; \left[ y ^ { \alpha _ { 0 } } , y ^ { \beta _ { 0 } } \right] = \omega ^ { \alpha _ { 0 } \beta _ { 0 } } ,
\begin{array} { r } { \mathbb { P } \left[ \boldsymbol { \tilde { X } } \cap \bar { B } _ { E } ( \boldsymbol { x } ) \neq \varnothing \right] = 1 - \big ( \mathbb { P } \left[ \boldsymbol { \tilde { x } } _ { 1 } \cap \bar { B } _ { E } ( \boldsymbol { x } ) = \varnothing \right] \big ) ^ { \tilde { M } } \ge 1 - \left( 1 - M ^ { - 1 } \right) ^ { \tilde { M } } \ge 1 - e ^ { \tilde { M } / M } . } \end{array}
\sum _ { j , l = 1 } ^ { N } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } k _ { 0 } ^ { a } \mathbf { R } ( \theta , \varphi ) \cdot \left( { \bf r } _ { l } - { \bf r } _ { j } \right) } \frac { \Gamma _ { j l } ^ { a } } { N \Gamma _ { 0 } ^ { a } } > 1 + \frac { \Gamma _ { 0 } } { \Gamma _ { 0 } ^ { a } } , .
{ \cal L } = { \cal L } _ { 0 } ^ { N = 2 } + { \cal L } ^ { g r } + \sum _ { i = 0 } ^ { k } t _ { i } \int \phi _ { i } ^ { ( 2 ) } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \sum _ { i = 0 } ^ { k } t _ { i , n } \sigma _ { n } ( \phi _ { i } ) ^ { ( 2 ) }
{ \cal P } = \sum _ { \pi ^ { + } \pi ^ { - } } \frac { [ \vec { P } _ { \pi ^ { + } } \times \vec { P } _ { \pi ^ { - } } ] \cdot \vec { z } } { | \vec { P } _ { \pi ^ { + } } | | \vec { P } _ { \pi ^ { - } } | } ;
\begin{array} { r } { s ^ { p } [ u ^ { p } , v ^ { p } , 1 ] ^ { T } = \mathbf { K ^ { p } } \cdot [ \mathbf { R } ( \theta _ { s } ) , ~ \mathbf { t _ { s } } ] [ x , y , z , 1 ] ^ { T } \enspace , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta _ { \mathcal { G } } ^ { \mathrm { N S F } } = } & { { } \frac { \partial \mathcal { G } } { \partial \rho } \left[ D _ { t } \rho + v _ { T } C _ { \beta } \partial _ { \beta } \rho \right] + \frac { \partial \mathcal { M } } { \partial u _ { \alpha } } \left[ D _ { t } ^ { \mathcal { M } } u _ { \alpha } + v _ { T } C _ { \beta } \partial _ { \beta } u _ { \alpha } \right] + \frac { \partial \mathcal { M } } { \partial T } \left[ D _ { t } ^ { \mathcal { M } } T + v _ { T } C _ { \beta } \partial _ { \beta } T \right] } \\ { \Delta _ { \mathcal { G } } ^ { \mathrm { l i n } } = } & { { } \frac { \partial \mathcal { M } } { \partial u _ { \alpha } } \left[ - \frac { 1 } { \rho } \partial _ { \beta } \sigma _ { \alpha \beta } \right] + \frac { \partial \mathcal { M } } { \partial T } \left[ - \frac { 2 T } { 3 p } \partial _ { \alpha } q _ { \alpha } \right] } \\ { \Delta _ { \mathcal { G } } ^ { \mathrm { n l i n } } = } & { { } \frac { \partial \mathcal { M } } { \partial T } \left[ - \frac { 2 T } { 3 p } \sigma _ { \alpha \beta } \partial _ { \alpha } u _ { \beta } \right] + \frac { \partial \mathcal { N } } { \partial u _ { \alpha } } \left[ D _ { t } u _ { \alpha } + v _ { T } C _ { \beta } \partial _ { \beta } u _ { \alpha } \right] + \frac { \partial \mathcal { N } } { \partial T } \left[ D _ { t } T + v _ { T } C _ { \beta } \partial _ { \beta } T \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { \boldsymbol { q } , \boldsymbol { k } , \omega } ^ { \mathrm { i n d } , ( 1 ) } } & { { } = \frac { f _ { 0 } \left( \boldsymbol { q } - \frac { 1 } { 2 } \boldsymbol { k } \right) - f _ { 0 } \left( \boldsymbol { q } + \frac { 1 } { 2 } \boldsymbol { k } \right) } { \hbar \omega - \epsilon _ { \boldsymbol { q } + \frac { 1 } { 2 } \boldsymbol { k } } + \epsilon _ { \boldsymbol { q } - \frac { 1 } { 2 } \boldsymbol { k } } + \imath 0 } { U } _ { \boldsymbol { k } , \omega } ^ { \mathrm { e x t } } \, . } \end{array}
{ \left( \begin{array} { l } { r _ { x _ { 1 } } } \\ { r _ { x _ { 2 } } } \\ { \vdots } \\ { r _ { x _ { d } } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l l l } { a _ { 1 , x _ { 1 } } } & { a _ { 1 , x _ { 2 } } } & { \dots } & { a _ { 1 , x _ { d } } } \\ { a _ { 2 , x _ { 1 } } } & { a _ { 2 , x _ { 2 } } } & { \dots } & { a _ { 2 , x _ { d } } } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { a _ { d , x _ { 1 } } } & { a _ { d , x _ { 2 } } } & { \dots } & { a _ { d , x _ { d } } } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l } { \rho _ { x _ { 1 } } } \\ { \rho _ { x _ { 2 } } } \\ { \vdots } \\ { \rho _ { x _ { d } } } \end{array} \right) }
\mu ^ { \prime } = \alpha ^ { 2 } \left( e ^ { 2 \gamma \psi } N ( K ^ { \prime } ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } N x ^ { 2 } ( H ^ { \prime } ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 x ^ { 2 } } ( K ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } e ^ { 2 \gamma \psi } + K ^ { 2 } H ^ { 2 } \right. \, \nonumber
\begin{array} { r } { | d _ { i } \mathcal { F } _ { \omega } ( i _ { n } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] | _ { s } \le _ { \mathtt { p _ { e } } } | \hat { \textbf { \i } } | _ { s + \mu _ { \mathtt { p } } } + | \mathfrak { I } _ { n } | _ { s + \mu _ { \mathtt { p } } } | \hat { \textbf { \i } } | _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta n _ { k } } & { { } \approx } & { \frac { 4 \pi \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } m _ { k l } ^ { 2 } \sigma _ { R } ^ { k l } } { e _ { k } ^ { 2 } e _ { l } ^ { 2 } \ln \Lambda _ { k l } } \, n _ { k } v _ { k l } ^ { 4 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { J D _ { Y _ { 1 } } ^ { 2 } H } & { = \left[ \begin{array} { c c } { - \frac { \partial ^ { 2 } ( U _ { 0 1 } + U _ { 2 } ) } { \partial G _ { 1 } \partial g _ { 1 } } } & { - \frac { \partial ^ { 2 } ( U _ { 0 1 } + U _ { 2 } ) } { \partial g _ { 1 } ^ { 2 } } } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } ( U _ { 0 1 } + U _ { 2 } ) } { \partial G _ { 1 } ^ { 2 } } } & { \frac { \partial ^ { 2 } ( U _ { 0 1 } + U _ { 2 } ) } { \partial G _ { 1 } \partial g _ { 1 } } } \end{array} \right] = ( \frac { 1 } { r _ { 1 } ^ { 3 } } + \frac { r _ { 1 } \chi } { ( r _ { 1 } + \chi ) ^ { 3 } } ) O \left[ \begin{array} { c c } { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } \end{array} \right] , } \\ { J D _ { Y _ { 2 } } ^ { 2 } H } & { = \left[ \begin{array} { c c } { - \frac { \partial ^ { 2 } U _ { 2 } } { \partial G _ { 2 } \partial g _ { 2 } } } & { - \frac { \partial ^ { 2 } U _ { 2 } } { \partial g _ { 2 } ^ { 2 } } } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } U _ { 2 } } { \partial G _ { 2 } ^ { 2 } } } & { \frac { \partial ^ { 2 } U _ { 2 } } { \partial G _ { 2 } \partial g _ { 2 } } } \end{array} \right] = O \left[ \begin{array} { c c } { \frac { \beta } { \chi } } & { \frac { 1 } { \chi } } \\ { \frac { \beta ^ { 2 } } { \chi } } & { \frac { \beta } { \chi } } \end{array} \right] , } \\ { J D _ { Y _ { 2 } Y _ { 1 } } ^ { 2 } H } & { = \left[ \begin{array} { c c } { - \frac { \partial ^ { 2 } U _ { 2 } } { \partial G _ { 2 } \partial g _ { 1 } } } & { - \frac { \partial ^ { 2 } U _ { 2 } } { \partial g _ { 2 } \partial g _ { 1 } } } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } U _ { 2 } } { \partial G _ { 2 } \partial G _ { 1 } } } & { \frac { \partial ^ { 2 } U _ { 2 } } { \partial G _ { 1 } \partial g _ { 2 } } } \end{array} \right] = O \left[ \begin{array} { c c } { \frac { \beta } { \chi } } & { \frac { 1 } { \chi } } \\ { \frac { \beta } { \chi } } & { \frac { 1 } { \chi } } \end{array} \right] , \quad } \\ { J D _ { Y _ { 1 } Y _ { 2 } } ^ { 2 } H } & { = \left[ \begin{array} { c c } { - \frac { \partial ^ { 2 } U _ { 2 } } { \partial G _ { 1 } \partial g _ { 2 } } } & { - \frac { \partial ^ { 2 } U _ { 2 } } { \partial g _ { 1 } \partial g _ { 2 } } } \\ { \frac { \partial ^ { 2 } U _ { 2 } } { \partial G _ { 1 } \partial G _ { 2 } } } & { \frac { \partial ^ { 2 } U _ { 2 } } { \partial g _ { 1 } \partial G _ { 2 } } } \end{array} \right] = O \left[ \begin{array} { c c } { \frac { 1 } { \chi } } & { \frac { 1 } { \chi } } \\ { \frac { \beta } { \chi } } & { \frac { \beta } { \chi } } \end{array} \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \left( \operatorname* { m a x } _ { j , t } \left\lvert \epsilon _ { j , t } \right\rvert \leq y \right) } & { = 1 - \sum _ { t = 1 } ^ { T } \mathbb { P } \left( \operatorname* { m a x } _ { j } \left\lvert \epsilon _ { j , t } \right\rvert > y \right) \geq 1 - \sum _ { t = 1 } ^ { T } 2 \exp \left( - C y ^ { 2 } / \left\lVert \operatorname* { m a x } _ { j } \left\lvert \epsilon _ { j , t } \right\rvert \right\rVert _ { \psi _ { 2 } } ^ { 2 } \right) } \\ & { \geq 1 - 2 T \exp \left( \frac { - C y ^ { 2 } } { d _ { N } ^ { 2 } } \right) . } \end{array}