harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { { { \hat { d } } _ { k , 1 } } } & { = \frac { 1 } { 2 } { { \hat { \tau } } _ { k , 1 } } { c _ { 0 } } , } \\ { { { \hat { v } } _ { k , 1 } } } & { \mathrm { { = } } \frac { { \hat { \nu } _ { k , 1 } ^ { D } { c _ { 0 } } } } { { 2 { f _ { c } } \cos \left( { { { \hat { \theta } } _ { k , 1 } } - \varphi _ { k } } \right) } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { N } _ { \textrm { a v a } } = \int P _ { \textrm { a v a } } ( \epsilon , \eta , h ; J _ { i } , N ) p ( h ) d h } & { { } = \int \prod _ { i } \left( \frac { 1 } { 1 + e ^ { - \eta J _ { i } h - \epsilon } } \right) \left( 1 - \prod _ { i } \left( \frac { 1 } { 1 + e ^ { - \eta J _ { i } h - \epsilon } } \right) \right) p ( h ) d h , } \end{array}
\begin{array} { r l } { x _ { 1 } } & { \in H ^ { 0 } \bigg ( Y , - \frac { a _ { 1 } } { \iota _ { X } } K _ { Y } + \frac { a _ { 1 } - \iota _ { X } \overline { { k a _ { 1 } } } } { \iota _ { X } a _ { \xi } } E \bigg ) = H ^ { 0 } \bigg ( Y , - \frac { a _ { 1 } } { \iota _ { X } } K _ { Y } \bigg ) } \\ { x _ { 2 } } & { \in H ^ { 0 } \bigg ( Y , - \frac { a _ { 2 } } { \iota _ { X } } K _ { Y } + \frac { a _ { 2 } - \iota _ { X } a _ { \xi } + \iota _ { X } \overline { { k a _ { 1 } } } } { \iota _ { X } a _ { \xi } } E \bigg ) = H ^ { 0 } \bigg ( Y , - \frac { a _ { 2 } } { \iota _ { X } } K _ { Y } - \frac { \iota _ { X } - 1 } { \iota _ { X } } E \bigg ) } \end{array}
m _ { \mathrm { b } } ^ { 2 } \propto m _ { \mathrm { s o l } } ^ { 2 } \propto \Lambda ^ { 2 } \Bigl ( 1 - { \frac { v } { \Lambda ^ { 2 } } } \Bigr ) ^ { 2 } \quad \mathrm { f o r \ } v \rightarrow \Lambda ^ { 2 } .
{ s } _ { 0 } = \frac { g ( 1 - g + \chi ) ^ { 2 } ( h _ { 0 } + h _ { 1 } g + h _ { 2 } g ^ { 2 } + h _ { 3 } g ^ { 3 } + h _ { 4 } g ^ { 4 } + h _ { 5 } g ^ { 5 } ) } { ( 1 - g ) ^ { 3 } \chi ^ { 3 } ( g - \chi ) ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l r } { \cos { \theta } \cos { \psi } } & { { } = } & { \frac { \xi _ { 1 } } { \sqrt { a _ { 1 } } } , \quad \; \; \; \sin { \theta } \cos { \psi } = \frac { \dot { \xi } _ { 1 } } { \sqrt { a _ { 1 } } } , } \\ { \sin { \psi } } & { { } = } & { - \frac { \ddot { \xi } _ { 1 } } { \sqrt { a _ { 1 } } } , \quad \theta ( 0 ) = 0 , \quad \psi ( 0 ) = 0 . } \end{array}
{ m _ { \ell } } \approx \left( \begin{array} { c c c } { { \tilde { \epsilon } ^ { 2 | a + b | } } } & { { \tilde { \epsilon } ^ { | a | } } } & { { \tilde { \epsilon } ^ { | a + b | } } } \\ { { \tilde { \epsilon } ^ { | a | } } } & { { \tilde { \epsilon } ^ { 2 | b | } } } & { { \tilde { \epsilon } ^ { | b | } } } \\ { { \tilde { \epsilon } ^ { | a + b | } } } & { { \tilde { \epsilon } ^ { | b | } } } & { { 1 } } \end{array} \right) { m _ { \tau } }
\mu _ { m , t } = \frac { \alpha _ { l } \mu _ { l , t } + \alpha _ { g } \mu _ { g , t } C _ { t } ^ { 2 } } { \alpha _ { l } \rho _ { l } + \alpha _ { g } \rho _ { g } C _ { t } ^ { 2 } } \rho _ { m } , \quad G _ { m , \kappa } = \alpha _ { l } G _ { l , \kappa } + \alpha _ { g } G _ { g , \kappa }
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 0 } ^ { n } \lambda _ { k } \left( f ( x _ { k } ) - f _ { * } \right) } & { \leq \left\Vert x _ { 0 } - x _ { * } \right\Vert \left\Vert s _ { n + 1 } \right\Vert - \sum _ { k = 0 } ^ { n } \gamma _ { k } \lambda _ { k } \left\langle g _ { k } , s _ { k } \right\rangle } \\ & { \leq \left\Vert x _ { 0 } - x _ { * } \right\Vert \left\Vert s _ { n + 1 } \right\Vert + \sum _ { k = 0 } ^ { n } \frac { \gamma _ { k } } { 2 } \lambda _ { k } ^ { 2 } \left\Vert g _ { k } \right\Vert ^ { 2 } - \frac { \gamma _ { n + 1 } } { 2 } \left\Vert s _ { n + 1 } \right\Vert ^ { 2 } . } \end{array}
\varlimsup _ { n \rightarrow \infty } \frac { 1 } { \xi ( \Lambda _ { n } ) } \sum _ { x \in \Lambda _ { n } \cap \xi } \sum _ { i \in { \ensuremath { \mathbb Z } } \setminus \{ 0 \} } \sum _ { y \in \Lambda _ { n } ^ { i } \cap \xi } e ^ { - \delta | x - y | } | f _ { \zeta m } ( \tau _ { y } \omega ) | ^ { 2 } \leq c ( \rho , \lambda , \delta , \gamma , \zeta , \beta ) .
\begin{array} { r l } { | k ^ { [ M ] } ( \vec { x } _ { 1 } , \vec { x } _ { 1 } ^ { \prime } ) - k ^ { [ M ] } ( \vec { x } _ { 2 } , \vec { x } _ { 2 } ^ { \prime } ) | } & { = | \langle f _ { \hat { \mu } [ \vec { x } _ { 1 } ^ { \prime } ] } ^ { k _ { 0 } } , f _ { \hat { \mu } [ \vec { x } _ { 1 } ] } ^ { k _ { 0 } } \rangle _ { k _ { 0 } } - \langle f _ { \hat { \mu } [ \vec { x } _ { 2 } ^ { \prime } ] } ^ { k _ { 0 } } , f _ { \hat { \mu } [ \vec { x } _ { 2 } ] } ^ { k _ { 0 } } \rangle _ { k _ { 0 } } | } \\ & { = | \langle f _ { \hat { \mu } [ \vec { x } _ { 1 } ^ { \prime } ] } ^ { k _ { 0 } } - f _ { \hat { \mu } [ \vec { x } _ { 2 } ^ { \prime } ] } ^ { k _ { 0 } } , f _ { \hat { \mu } [ \vec { x } _ { 1 } ] } ^ { k _ { 0 } } \rangle _ { k _ { 0 } } } \\ & { \quad + \langle f _ { \hat { \mu } [ \vec { x } _ { 2 } ^ { \prime } ] } ^ { k _ { 0 } } , f _ { \hat { \mu } [ \vec { x } _ { 1 } ] } ^ { k _ { 0 } } - f _ { \hat { \mu } [ \vec { x } _ { 2 } ] } ^ { k _ { 0 } } \rangle _ { k _ { 0 } } | } \\ & { \leq \| f _ { \hat { \mu } [ \vec { x } _ { 1 } ^ { \prime } ] } ^ { k _ { 0 } } - f _ { \hat { \mu } [ \vec { x } _ { 2 } ^ { \prime } ] } ^ { k _ { 0 } } \| _ { k _ { 0 } } \| f _ { \hat { \mu } [ \vec { x } _ { 1 } ] } ^ { k _ { 0 } } \| _ { k _ { 0 } } } \\ & { \quad + \| f _ { \hat { \mu } [ \vec { x } _ { 2 } ^ { \prime } ] } ^ { k _ { 0 } } \| _ { k _ { 0 } } \| f _ { \hat { \mu } [ \vec { x } _ { 1 } ] } ^ { k _ { 0 } } - f _ { \hat { \mu } [ \vec { x } _ { 2 } ] } ^ { k _ { 0 } } \| _ { k _ { 0 } } } \\ & { \leq \sqrt { C _ { k } } ( \| f _ { \hat { \mu } [ \vec { x } _ { 1 } ^ { \prime } ] } ^ { k _ { 0 } } - f _ { \hat { \mu } [ \vec { x } _ { 2 } ^ { \prime } ] } ^ { k _ { 0 } } \| _ { k _ { 0 } } + \| f _ { \hat { \mu } [ \vec { x } _ { 1 } ] } ^ { k _ { 0 } } - f _ { \hat { \mu } [ \vec { x } _ { 2 } ] } ^ { k _ { 0 } } \| _ { k _ { 0 } } ) } \end{array}
R _ { t } ^ { \mathrm { ~ ( ~ T ~ M ~ M ~ ) ~ } } ( \lambda , T ) = \left| \frac { \left( 1 - \frac { n _ { \mathrm { ~ p ~ l ~ a ~ t ~ e ~ } } ( \lambda , T ) } { n _ { 0 } } \right) \left( 1 + \frac { n _ { \mathrm { ~ s ~ } } } { n _ { \mathrm { ~ p ~ l ~ a ~ t ~ e ~ } } ( \lambda , T ) } \right) e ^ { - i k _ { z } t } + \left( 1 + \frac { n _ { \mathrm { ~ p ~ l ~ a ~ t ~ e ~ } } ( \lambda , T ) } { n _ { 0 } } \right) \left( 1 - \frac { n _ { \mathrm { ~ s ~ } } } { n _ { \mathrm { ~ p ~ l ~ a ~ t ~ e ~ } } ( \lambda , T ) } \right) e ^ { i k _ { z } t } } { \left( 1 + \frac { n _ { \mathrm { ~ p ~ l ~ a ~ t ~ e ~ } } ( \lambda , T ) } { n _ { 0 } } \right) \left( 1 + \frac { n _ { \mathrm { ~ s ~ } } } { n _ { \mathrm { ~ p ~ l ~ a ~ t ~ e ~ } } ( \lambda , T ) } \right) e ^ { - i k _ { z } t } + \left( 1 - \frac { n _ { \mathrm { ~ p ~ l ~ a ~ t ~ e ~ } } ( \lambda , T ) } { n _ { 0 } } \right) \left( 1 - \frac { n _ { \mathrm { ~ s ~ } } } { n _ { \mathrm { ~ p ~ l ~ a ~ t ~ e ~ } } ( \lambda , T ) } \right) e ^ { i k _ { z } t } } \right| ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { [ x , [ y , z ] ] } & { = R ( x ) \cdot [ y , z ] - R ( [ y , z ] ) \cdot R ( x ) } \\ & { = R ( x ) \cdot ( R ( y ) \cdot z - R ( z ) \cdot R ( y ) ) - R ( R ( y ) \cdot z - R ( z ) \cdot R ( y ) ) \cdot R ( x ) } \\ & { = R ( x ) \cdot ( R ( y ) \cdot z - R ( z ) \cdot R ( y ) ) - ( R ( y ) \cdot R ( z ) - R ( z ) \cdot R ( y ) ) \cdot R ( x ) } \end{array}
\begin{array} { c c c c c c c c } { { H ( { \bf 1 0 , 5 } ^ { * } ) } } & { { \bigl [ } } & { { S _ { 1 } N _ { 2 } ^ { c } } } & { { - } } & { { ( \ \ d _ { 1 } ^ { c i } d _ { i 2 } \ + \ e _ { 1 } e _ { 2 } ^ { c } \ \ ) } } & { { + } } & { { ( 1 \leftrightarrow 2 ) } } & { { \bigr ] \ , } } \\ { { } } & { { } } & { { \mathrm { \footnotesize \bf 1 } \times \mathrm { \footnotesize \bf 1 0 ( 5 ) } } } & { { } } & { { \mathrm { \footnotesize \bf 1 6 ( 5 ~ ^ { * } ~ ) } \times \mathrm { \footnotesize \bf 1 6 ( 1 0 ) } } } & { { } } & { { } } & { { } } \end{array}
\beta m = 2 \pi \left[ \frac { 2 \Gamma \left( { \displaystyle { \frac { 3 - D } { 2 } } } \right) } { \sqrt { \pi } \Gamma \left( { \displaystyle { \frac { 2 - D } { 2 } } } \right) } ( 2 ^ { 3 - D } - 1 ) \zeta ( 3 - D ) \right] ^ { 1 / ( D - 2 ) } \, .
\begin{array} { r l r } { \mathcal { M } \Big [ \mathcal { P } _ { B } [ p ^ { \prime } ( a ) ] \Big ] } & { { } = } & { \sum _ { p ^ { \prime } ( a ) } \exp \Big ( t \, p ^ { \prime } ( a ) \Big ) \mathcal { P } _ { B } [ p ^ { \prime } ( a ) ] } \end{array}
\langle \mathbf { S } \rangle = { \frac { 1 } { T } } \int _ { 0 } ^ { T } \mathbf { S } ( t ) \, d t = { \frac { 1 } { T } } \int _ { 0 } ^ { T } \! \left[ { \frac { 1 } { 2 } } \operatorname { R e } \! \left( \mathbf { E } _ { \mathrm { m } } \times \mathbf { H } _ { \mathrm { m } } ^ { * } \right) + { \frac { 1 } { 2 } } \operatorname { R e } \! \left( { \mathbf { E } _ { \mathrm { m } } } \times { \mathbf { H } _ { \mathrm { m } } } e ^ { 2 j \omega t } \right) \right] d t .
A = \left[ \begin{array} { l l l } { \cos \Omega _ { n o d e } } & { \sin \Omega _ { n o d e } } & { 0 } \\ { - \cos i \sin \Omega _ { n o d e } } & { \cos i \cos \Omega _ { n o d e } } & { \sin i } \\ { \sin i \sin \Omega _ { n o d e } } & { - \sin i \cos \Omega _ { n o d e } } & { \cos i } \end{array} \right] ,
I _ { 0 } ( \lambda ) = H _ { 0 } \exp { ( - \frac { 1 } { 2 } ( \frac { \lambda - \lambda _ { 0 } } { \Delta \lambda } ) ^ { 2 } ) ( \frac { 1 + \frac { \omega R } { c } } { 1 - \frac { \omega R } { c } } ) } G ( \lambda )
\textrm { E } = 4 \pi \int _ { 0 } ^ { \infty } d r r ^ { 2 } [ { ( \omega + e A _ { 0 } ) } ^ { 2 } { \sigma } ^ { 2 } e ^ { - \nu } + U + e ^ { - \lambda } { \sigma ^ { \prime } } ^ { 2 } + ( 1 / 2 ) { A _ { 0 } ^ { \prime } } ^ { 2 } e ^ { - \nu - \lambda } ] .
\Delta _ { S 1 } E _ { \mathrm { h f s } } = 8 \frac { ( d - 1 ) ( 3 d - 2 ) } { d ^ { 2 } } \left( \frac { \pi \alpha } { m ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \psi ^ { 2 } ( 0 ) \left[ - \frac { 3 m ^ { 2 } \alpha } { 8 \pi } + G _ { 0 } ( 0 , 0 ) + G _ { 1 } ( 0 , 0 ) \right] .
\begin{array} { r l } { y x + z x } & { = ( y _ { 1 } , y _ { 2 } ) ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) + ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } \\ & { = \left( y _ { 1 } x _ { 1 } - x _ { 2 } \overline { { y _ { 2 } } } , x _ { 1 } y _ { 2 } + \overline { { y _ { 1 } } } y _ { 2 } ^ { - 1 } \cdot y _ { 2 } x _ { 2 } \right) + \left( z _ { 1 } x _ { 1 } - x _ { 2 } \overline { { z _ { 2 } } } , x _ { 1 } z _ { 2 } + \overline { { z _ { 1 } } } z _ { 2 } ^ { - 1 } \cdot z _ { 2 } x _ { 2 } \right) } \\ & { = \left( y _ { 1 } x _ { 1 } - x _ { 2 } \overline { { y _ { 2 } } } + z _ { 1 } x _ { 1 } - x _ { 2 } \overline { { z _ { 2 } } } , x _ { 1 } y _ { 2 } + \overline { { y _ { 1 } } } y _ { 2 } ^ { - 1 } \cdot y _ { 2 } x _ { 2 } + x _ { 1 } z _ { 2 } + \overline { { z _ { 1 } } } z _ { 2 } ^ { - 1 } \cdot z _ { 2 } x _ { 2 } \right) } \\ & { = \left( y _ { 1 } x _ { 1 } - x _ { 2 } \overline { { y _ { 2 } } } + z _ { 1 } x _ { 1 } - x _ { 2 } \overline { { z _ { 2 } } } , x _ { 1 } y _ { 2 } + \overline { { y _ { 1 } } } x _ { 2 } + x _ { 1 } z _ { 2 } + \overline { { z _ { 1 } } } x _ { 2 } \right) . } \end{array}
\sum _ { \rho > 0 } ( { \mathbb 1 } _ { \kappa , \kappa ( - \rho ) } - { \mathbb 1 } _ { \kappa , \kappa ( \rho ) } ) u _ { \rho } ( \boldsymbol { x } _ { \mathrm { s s } } ) = 0 \mathrm { ~ } \mathrm { ~ } \mathrm { ~ } \mathrm { ~ } \forall \kappa
\begin{array} { r } { U ^ { - 1 } U = \left( \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { n } \mathbf { 1 } _ { n } ^ { \intercal } } & { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { 0 } } & { \frac { 1 } { n } \mathbf { 1 } _ { n } ^ { \intercal } } \\ { U _ { L , l } } & { U _ { L , r } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l l } { \mathbf { 1 } _ { n } } & { \mathbf { 0 } } & { U _ { R , u } } \\ { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 1 } _ { n } } & { U _ { R , l } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { \mathbf { 0 } } & { \frac { 1 } { n } \mathbf { 1 } _ { n } ^ { \intercal } U _ { R , u } } \\ { \mathbf { 0 } } & { 1 } & { \frac { 1 } { n } \mathbf { 1 } _ { n } ^ { \intercal } U _ { R , l } } \\ { U _ { L , l } \mathbf { 1 } _ { n } } & { U _ { L , r } \mathbf { 1 } _ { n } } & { U _ { L , l } U _ { R , u } + U _ { L , r } U _ { R , l } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { 0 } } & { 1 } & { \mathbf { 0 } } \\ { \mathbf { 0 } } & { \mathbf { 0 } } & { I _ { 2 n - 2 } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { a } & { { } = } & { \frac { 1 } { 6 \hbar ^ { 2 } } \left[ \frac { | \langle n P _ { 1 / 2 } \, | | \, d \, | | \, n S _ { 1 / 2 } \rangle | ^ { 2 } } { \{ \omega - ( \omega _ { n _ { 1 / 2 } } - \omega _ { n S _ { 1 / 2 } } ) \} ^ { 2 } } + \frac { | \langle n P _ { 3 / 2 } \, | | \, d \, | | \, n S _ { 1 / 2 } \rangle | ^ { 2 } } { \{ \omega - ( \omega _ { n P _ { 3 / 2 } } - \omega _ { n S _ { 1 / 2 } } ) \} ^ { 2 } } \right] , } \\ { b } & { { } = } & { \frac { 1 } { 1 2 \hbar ^ { 2 } } \left[ \frac { 2 | \langle n P _ { 1 / 2 } \, | | \, d \, | | \, n S _ { 1 / 2 } \rangle | ^ { 2 } } { \{ \omega - ( \omega _ { n P _ { 1 / 2 } } - \omega _ { n S _ { 1 / 2 } } ) \} ^ { 2 } } - \frac { | \langle n P _ { 3 / 2 } \, | | \, d \, | | \, n S _ { 1 / 2 } \rangle | ^ { 2 } } { \{ \omega - ( \omega _ { n P _ { 3 / 2 } } - \omega _ { n S _ { 1 / 2 } } ) \} ^ { 2 } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { V a r } _ { s , a } ^ { \pi } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \sum _ { k = { \tau _ { j } } } ^ { \tau _ { j + 1 } - 1 } \gamma ^ { k } r _ { \pi } ( S _ { k } ) \right) } & { = \mathrm { V a r } _ { s , a } ^ { \pi } \left( \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \gamma ^ { \tau _ { j } } g ( W _ { j + 1 } ) \right) } \\ & { = \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \mathrm { V a r } _ { s , a } ^ { \pi } \left( \gamma ^ { \tau _ { j } } g ( W _ { j + 1 } ) \right) + 2 \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \sum _ { j = 1 } ^ { i - 2 } \mathrm { C o v } ( \gamma ^ { \tau _ { i } } g ( W _ { i + 1 } ) , \gamma ^ { \tau _ { j } } g ( W _ { j + 1 } ) ) } \\ & { \qquad + 2 \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \mathrm { C o v } ( \gamma ^ { \tau _ { i } } g ( W _ { i + 1 } ) , \gamma ^ { \tau _ { i + 1 } } g ( W _ { i + 2 } ) ) } \\ & { = : V _ { 1 } + 2 V _ { 2 } + 2 V _ { 3 } } \end{array}
j ( \tau ) = 1 7 2 8 { \frac { g _ { 2 } ^ { 3 } } { g _ { 2 } ^ { 3 } - 2 7 g _ { 3 } ^ { 2 } } } = 3 2 { \frac { \left( a ^ { 8 } + b ^ { 8 } + c ^ { 8 } \right) ^ { 3 } } { \left( a b c \right) ^ { 8 } } }
( \bar { \theta } _ { 0 } ) _ { \dot { \alpha } _ { 1 } } = \frac { 1 } { 4 \pi \rho v \sqrt { j } } \, \bar { c } _ { \dot { \alpha } _ { 1 } \cdots \dot { \alpha } _ { 2 j } } \bar { \eta } ^ { \dot { \alpha } _ { 2 } \cdots \dot { \alpha } _ { 2 j } }
< f | \mu | i > = \left( \frac { 2 } { 3 } , - \frac { 1 } { 3 } \right) \left( \frac { m _ { p } } { m _ { Q } } \right) \mu _ { N } \int _ { 0 } ^ { \infty } d r r ^ { 2 } \varphi _ { f } ( r ) j _ { 0 } \left( \frac { q r } { 2 } \right) \varphi _ { i } ( r ) .
{ S } ^ { - 1 } ( p ) = Z _ { 2 } \rlap { p } / - Z _ { m } m - i g ^ { 2 } C _ { F } \int \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \gamma ^ { \mu } { S } ( k ) \gamma ^ { \nu } D _ { \mu \nu } ( p - k ) ~ ,
{ \frac { m } { r _ { \mathrm { H } } ^ { 2 } } } - { \frac { M } { r ^ { 2 } } } \left( 1 - { \frac { r _ { \mathrm { H } } } { r } } \right) ^ { - 2 } + { \frac { M } { r ^ { 2 } } } \left( 1 - { \frac { r _ { \mathrm { H } } } { r } } \right) = 0 ,
\delta V _ { b } ^ { Z } = \delta A _ { b } ^ { Z } = \frac { R _ { b } ^ { e x p } - R _ { b } ^ { S M } } { ( 1 - R _ { b } ^ { S M } ) R _ { b } ^ { S M } } \frac { v _ { b } ^ { 2 } + a _ { b } ^ { 2 } } { 2 ( v _ { b } + a _ { b } ) } ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { \mathcal { T } _ { 1 } } [ R ( t ) ] + \mathbb { E } _ { \mathcal { T } _ { i } } [ R ( t ) ] } & { \ge \frac { t \Delta } { 4 } \exp \left( - \mathrm { K L } ( \mathbb { P } _ { \mathcal { T } _ { 1 } } , \mathbb { P } _ { \mathcal { T } _ { i } } ) \right) } \\ & { \ge \frac { t \Delta } { 4 e } } \\ & { \ge \frac { t } { 1 6 e } , } \end{array}
\mathbf { M } = \scriptsize { \left( \begin{array} { l l l l l l l l l l l l l l l l l } { - 2 \kappa _ { 2 1 } } & { \kappa _ { 2 1 } } & { \kappa _ { 2 1 } } & { \kappa _ { 4 1 } } & { 0 } & { 0 } & { \kappa _ { 7 1 } } & { - \frac { \Omega _ { m } } { 2 } i } & { \frac { \Omega _ { m } } { 2 } i } & { - \frac { \Omega _ { m } } { 2 } i } & { \frac { \Omega _ { m } } { 2 } i } & { - \frac { \Omega _ { l } } { 2 } i } & { \frac { \Omega _ { l } } { 2 } i } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { \kappa _ { 2 1 } } & { - 2 \kappa _ { 2 1 } } & { \kappa _ { 2 1 } } & { 0 } & { \kappa _ { 5 2 } } & { 0 } & { 0 } & { \frac { \Omega _ { m } } { 2 } i } & { - \frac { \Omega _ { m } } { 2 } i } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - \frac { \Omega _ { l } } { 2 } i } & { \frac { \Omega _ { l } } { 2 } i } & { 0 } & { 0 } \\ { \kappa _ { 2 1 } } & { \kappa _ { 2 1 } } & { - 2 \kappa _ { 2 1 } } & { 0 } & { 0 } & { \kappa _ { 6 3 } } & { \kappa _ { 7 3 } } & { 0 } & { 0 } & { \frac { \Omega _ { m } } { 2 } i } & { - \frac { \Omega _ { m } } { 2 } i } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - \frac { \Omega _ { l } } { 2 } i } & { \frac { \Omega _ { l } } { 2 } i } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { - \kappa _ { 4 1 } - \kappa _ { 4 7 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \frac { \Omega _ { l } } { 2 } i } & { - \frac { \Omega _ { l } } { 2 } i } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \rho _ { 5 2 } } & { 0 } & { 0 } & { \rho _ { 5 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \rho _ { 6 3 } } & { 0 } & { 0 } & { \rho _ { 6 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \rho _ { 7 } } \end{array} \right) }
j _ { \mu } ^ { A } ( X ) = g \! \int \! \! \frac { \mathrm { d } { \mathbf k } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \, v _ { \mu } [ N _ { f } ( \delta n _ { + } ^ { A } ( { \mathbf k } , X ) - \delta n _ { - } ^ { A } ( { \mathbf k } , X ) ) + 2 N _ { c } \delta N ^ { A } ( { \mathbf k } , X ) ] ,
\centering \begin{array} { r l } { \mu ( \boldsymbol { \mathbf { \rho } } ) } & { { } = \boldsymbol { \mathbf { k } } _ { M } ^ { T } \boldsymbol { \mathbf { C } } _ { M M } \boldsymbol { \mathbf { K } } _ { M N } \boldsymbol { \mathbf { y } } } \\ { \Sigma ^ { 2 } ( \boldsymbol { \mathbf { \rho } } ) } & { { } = k - \boldsymbol { \mathbf { k } } _ { M } ^ { T } \boldsymbol { \mathbf { K } } _ { M M } ^ { - 1 } \boldsymbol { \mathbf { k } } _ { M } + \boldsymbol { \mathbf { k } } _ { M } ^ { T } \boldsymbol { \mathbf { C } } _ { M M } \boldsymbol { \mathbf { k } } _ { M } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathbb E } } & { [ \bar { Y } _ { \ell _ { 1 } } \bar { Y } _ { \ell _ { 2 } } ^ { * } ] } \\ & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { t _ { 1 } , t _ { 2 } = 0 } ^ { N - 1 } \sum _ { s = 0 } ^ { \operatorname* { m i n } \{ t _ { 1 } , t _ { 2 } \} } e ^ { - i \frac { 2 \pi } { N } ( \ell _ { 1 } t _ { 1 } - \ell _ { 2 } t _ { 2 } ) } ( w _ { t _ { 1 } - s } w _ { t _ { 2 } - s } ) . } \end{array}
X ^ { c _ { 3 } b _ { j } } X ^ { c _ { 2 } b _ { j } } X ^ { c _ { 1 } a _ { j } } = \left\{ \begin{array} { l l } { X ^ { a _ { j } } , } & { \quad \mathrm { i f ~ \mathrm { D } _ { n , m } ( a ) > \mathrm { D } _ { n , m } ( b ) ~ } , } \\ { X ^ { b _ { j } } , } & { \quad \mathrm { i f ~ \mathrm { D } _ { n , m } ( a ) \leq \mathrm { D } _ { n , m } ( b ) ~ } . } \end{array} \right.
- i \bar { \psi } ( g _ { \rho } ^ { \prime } \rho _ { \mu m } + g _ { \pi } ^ { \prime } { \gamma ^ { 5 } } \partial _ { \mu } \pi _ { m } ) \psi _ { \mu m } - i \bar { \psi } _ { \mu m } ( g _ { \rho } ^ { \prime } \rho _ { \mu m } + g _ { \pi } ^ { \prime } { \gamma ^ { 5 } } \partial _ { \mu } \pi _ { m } ) \psi
\begin{array} { r } { \alpha : = \frac { \delta V _ { \frac { 1 } { 2 } } } { V _ { s } } \frac { \tau _ { s } } { \tau _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ s ~ t ~ } } } \sim N _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ^ { 2 / 3 } \frac { \delta V _ { \frac { 1 } { 2 } } } { \Delta V } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Pi _ { R } { \mathbf { X } } ^ { k + 1 } } \\ { = } & { \Pi _ { R } \widetilde { { \mathbf { X } } } ^ { k } - \gamma _ { x } \Pi _ { R } ( { \mathbf { I } } - { \mathbf { R } } ) \widehat { { \mathbf { X } } } ^ { k } } \\ { = } & { ( { \mathbf { I } } - \gamma _ { x } ( { \mathbf { I } } - { \mathbf { R } } ) ) \Pi _ { R } \widetilde { { \mathbf { X } } } ^ { k } + \gamma _ { x } ( { \mathbf { I } } - { \mathbf { R } } ) \Pi _ { R } ( \widetilde { { \mathbf { X } } } ^ { k } - \widehat { { \mathbf { X } } } ^ { k } ) } \\ { = } & { \Pi _ { R } { \mathbf { R } } _ { \gamma } \Pi _ { R } { \mathbf { X } } ^ { k } - \Pi _ { R } { \mathbf { R } } _ { \gamma } \Lambda { \mathbf { Y } } ^ { k } } \\ & { + \gamma _ { x } ( { \mathbf { I } } - { \mathbf { R } } ) ( \widetilde { { \mathbf { X } } } ^ { k } - \widehat { { \mathbf { X } } } ^ { k } ) , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { r l } & { i \frac { \partial } { \partial \tau } \tilde { v } ^ { \mathrm { e f f } } ( \mathbf { x } , \tau ) = \widetilde { \mathcal { A } } ^ { \mathrm { e f f } } \tilde { v } ^ { \mathrm { e f f } } ( \mathbf { x } , \tau ) , } \\ & { \tilde { v } ^ { \mathrm { e f f } } ( \mathbf { x } , 0 ) = f _ { 1 } ( \mathbf { x } ) , } \end{array} \right.
S _ { \mathrm { r e f } } = \frac { H _ { 1 1 } \pm \sqrt { H _ { 1 1 } ^ { 2 } + 4 H _ { 0 1 } ^ { 2 } } } { 2 } \ \ \mathrm { a n d } \ \ c _ { 1 } = \frac { S _ { \mathrm { r e f } } } { H _ { 0 1 } } .
\begin{array} { r } { \omega _ { \mathrm { C } } = \left\{ \begin{array} { l l } { \left( \omega _ { \mathrm { m a x } } / 2 \right) \left[ 1 - \cos \left( 2 \pi t / T _ { 0 } \right) \right] } & { t \leq T } \\ { 0 } & { t > T _ { 0 } } \end{array} \right. } \end{array}
f ( h , v ) = \left( \begin{array} { l } { v ( 1 + h ) } \\ { \frac { v ^ { 2 } } { 2 } - \mathscr { N } \left( h \mathscr { N } h \right) + \frac { 1 } { 2 } \left( \mathscr { N } h \right) ^ { 2 } + \mathscr { Q } h } \end{array} \right) .
\sum _ { e \in E \left( \ensuremath { \mathbb { Z } ^ { d } } \right) } w ( t , e ) ^ { 2 } \nabla ( \eta u ) ( e ) ^ { 2 } \leq C \sum _ { e \in E \left( \ensuremath { \mathbb { Z } ^ { d } } \right) } ( w ( t , e ) \eta ( e ) \nabla u ( e ) ) ^ { 2 } + \frac { C } { L ^ { 2 } } \sum _ { e \in E ( \Lambda _ { \frac { 4 } { 3 } L } ) } ( w ( t , e ) u ( e ) ) ^ { 2 } .
\begin{array} { r l r } { k _ { d } ^ { ( \alpha ) } ( x , y ) } & { = } & { { \mathbb E } _ { w } \big [ k _ { 1 } ^ { ( \alpha ) } ( w ^ { \top } x , w ^ { \top } y ) \big ] } \\ & { = } & { k _ { d } ^ { ( \alpha ) , ( \mathrm { p o l } ) } ( x , y ) + \frac { 1 } { R } { \mathbb E } _ { w } \big [ c _ { 1 } ^ { ( \alpha ) } | w ^ { \top } ( x - y ) | ^ { 2 \alpha + 1 } \big ] = \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 4 R } { \mathbb E } _ { w } \big [ | w ^ { \top } ( x - y ) | \big ] , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { 2 \beta V ^ { \ast } } = \frac { D \kappa _ { S } T } { N _ { e } - 2 } = \frac { D \kappa _ { E } } { N _ { e } - 2 } \, \theta \frac { ( \varepsilon + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { 4 } } \end{array}
S ^ { \mathrm { R , F F } } \approx \frac { k _ { \mathrm { d } } ^ { 2 } } { 4 \pi } \sum _ { l \neq 0 } ^ { \infty } \frac { e ^ { i k _ { \mathrm { d } } R _ { l } } } { R _ { l } } e ^ { i k _ { \mathrm { d } } z _ { \mathrm { p } } ^ { 2 } / R _ { l } } \left[ 1 - \frac { x _ { l } ^ { 2 } } { R _ { l } ^ { 2 } } \right] r _ { l } ^ { ( \mathrm { s } ) } .
\begin{array} { r l } { A _ { 3 1 } = } & { \frac 1 2 \times \frac 1 { 2 { \varDelta } x } \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } { \rho } ^ { \varDelta } ( x , t _ { n - } ) d x \times \left( \frac { \left( \bar { \rho } \right) ^ { \gamma - 1 } } { \gamma - 1 } \rho - a _ { j } ^ { n } \right) \int _ { x _ { j - 1 } } ^ { x _ { j + 1 } } { \rho } ^ { \varDelta } ( y , t _ { n - } ) d x . } \end{array}
\mathcal { U } _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ p ~ o ~ } } \simeq K \epsilon \eta \sim K \left\{ \begin{array} { l l } { 2 | P o | } & { \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ n ~ } \quad \alpha = \pi / 2 , } \\ { | \tan ( \alpha ) | \, \eta } & { \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ n ~ } \quad \alpha \neq \pi / 2 , } \end{array} \right.