harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { F _ { i j } ^ { c } = \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { i } ^ { c } } ( F _ { n i j } ^ { c } + F _ { t i j } ^ { c } ) } \\ { M _ { i j } = \sum _ { j = 1 } ^ { n _ { i } ^ { c } } ( r _ { i } \mathbf n \times F _ { t i j } ^ { c } ) } \end{array}
Q _ { j + 1 / 2 } ^ { L } = w _ { 1 } ^ { M } Q _ { j + 1 / 2 } ^ { L , 1 } + w _ { 2 } ^ { M } Q _ { j + 1 / 2 } ^ { L , 2 } + w _ { 3 , m } ^ { M } Q _ { j + 1 / 2 } ^ { L , 3 } + w _ { 4 } ^ { M } q _ { j + 1 / 2 } ^ { L , 4 }
\begin{array} { r } { [ Z 1 1 _ { i j } \delta _ { r } ^ { 2 } + Z 1 2 _ { i j } \delta _ { \theta } ^ { 2 } + Z 1 3 _ { i j } \delta _ { r } + Z 1 4 _ { i j } \delta _ { \theta } + Z 1 5 _ { i j } \delta _ { r } \delta _ { \theta } } \\ { + Z 1 6 _ { i j } \delta _ { r } \delta _ { \theta } ^ { 2 } + Z 1 7 _ { i j } \delta _ { r } ^ { 2 } \delta _ { \theta } + Z 1 8 _ { i j } \delta _ { r } ^ { 2 } \delta _ { \theta } ^ { 2 } ] \phi _ { i j } ^ { n + 1 } } \\ { = [ Z 2 1 _ { i j } \delta _ { r } ^ { 2 } + Z 2 2 _ { i j } \delta _ { \theta } ^ { 2 } + Z 2 3 _ { i j } \delta _ { r } + Z 2 4 _ { i j } \delta _ { \theta } + Z 2 5 _ { i j } \delta _ { r } \delta _ { \theta } } \\ { + Z 2 6 _ { i j } \delta _ { r } \delta _ { \theta } ^ { 2 } + Z 2 7 _ { i j } \delta _ { r } ^ { 2 } \delta _ { \theta } + Z 2 8 _ { i j } \delta _ { r } ^ { 2 } \delta _ { \theta } ^ { 2 } ] \phi _ { i j } ^ { n } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { u _ { \mathrm { L } } ^ { 2 } } & { { } = } & { \cos ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) = \frac { 1 } { 2 } \left( 1 + \cos \theta _ { \mathrm { L } } \right) } \\ { v _ { \mathrm { L } } ^ { 2 } } & { { } = } & { \sin ^ { 2 } \left( \frac { \theta _ { \mathrm { L } } } { 2 } \right) = \frac { 1 } { 2 } \left( 1 - \cos \theta _ { \mathrm { L } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ell _ { i } ^ { - } \sim _ { \gamma } \ell _ { j } ^ { - } } & { { } \iff \ell _ { i } ^ { - } \in \mathfrak { p } _ { a } ^ { - } \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \ell _ { j } ^ { - } \in \mathfrak { p } _ { a } ^ { - } } \\ { \ell _ { i } ^ { - } \sim _ { \gamma } \ell _ { j } ^ { - } } & { { } \iff \gamma ( \ell _ { i } ^ { - } ) = \gamma ( \ell _ { j } ^ { - } ) ~ . } \end{array}
( \lambda ^ { \mu } Y _ { , \mu } - a \, X - \dot { z } ^ { \mu } X _ { , \mu } + \epsilon \, \lambda ^ { \mu } X _ { , \mu } ) ( \dot { z } _ { \mu } \lambda _ { \nu } - \dot { z } _ { \nu } \lambda _ { \mu } ) = 0 \, .
t \int _ { - t } ^ { t } \frac { d x } { ( x ^ { 2 } + \lambda ^ { 2 } ) ^ { \kappa + 1 } } = \frac { \pi t } { 2 ^ { \kappa } \kappa ! } \left( - \frac { 1 } { \lambda } \frac { d } { d \lambda } \right) ^ { \kappa } \frac { 1 } { \lambda } - 2 ( - 1 ) ^ { \kappa } \left( \frac { d } { d ( \lambda ) ^ { 2 } } \right) ^ { \kappa } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { k } } { 2 k + 1 } \left( \frac { \lambda } { t } \right) ^ { 2 k } .
\begin{array} { r l } { \sin \theta - \sin \theta ^ { \prime } } & { { } = \sin \theta ^ { \prime } \left( { \frac { \sqrt { 1 - { \frac { V ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } } { 1 + { \frac { V } { c } } \cos \theta ^ { \prime } } } - 1 \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { h _ { t } + ( u h ) _ { y } = } & { { } 0 } \\ { \rho ( u _ { t } + u u _ { y } ) = } & { { } \sigma \, h _ { y y y } + 4 \mu \, \frac { ( u _ { y } h ) _ { y } } { h } . } \end{array}
\Gamma ( ^ { 3 } S _ { 1 } \to p \bar { p } ) = ( \pi \alpha _ { s } ) ^ { 6 } { \frac { 1 2 8 0 } { 2 4 3 \pi } } { \frac { { \vert f _ { \psi } \vert } ^ { 2 } } { \bar { M } } } { \Bigg \vert { \frac { f _ { N } } { { \bar { M } } ^ { 2 } } } \Bigg \vert } ^ { 4 } { M _ { 0 } ^ { 2 } } \; ,
\delta \langle x _ { ( \Delta u + \Delta d ) N } ^ { n - 1 } \rangle _ { \mathrm { f r o m } ~ \Delta } = - { \frac { 4 g _ { \pi N \Delta } ^ { 2 } } { ( 4 \pi f _ { \pi } ) ^ { 2 } } } J _ { 1 } ( \Delta , m _ { \pi } ) \left( \langle x _ { ( \Delta u + \Delta d ) N } ^ { n - 1 } \rangle ^ { 0 } - { \frac { 5 } { 3 } } \langle x _ { ( \Delta u + \Delta d ) \Delta } ^ { n - 1 } \rangle ^ { 0 } \right) \ ,
\begin{array} { r l } { p _ { 0 } - p _ { I I I } = { } } & { { } - \frac { 1 } { 2 } \rho { v _ { I } ^ { 2 } } _ { n } ( x _ { s } , y _ { s } , z _ { s } ) \theta ( s ) + \frac { 1 } { 2 } \rho \left( \overline { { E } } ^ { 2 } - 1 \right) v _ { 0 } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { l } { { z ^ { 3 } ( \tau ) = { \displaystyle \frac { p _ { 1 } } { p _ { 3 } } } \tau + z ^ { 3 } ( 0 ) \quad , } } \\ { { \, } } \\ { { z ^ { 2 } ( \tau ) = ( z ^ { 2 } ( 0 ) - { \displaystyle \frac { p _ { 4 } ( 0 ) } { p _ { 3 } } } \tau ) \exp ( i \gamma p _ { 1 } \tau ) = ( z ^ { 4 } ( \tau ) ) ^ { * } \quad . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \rho _ { m } } { \partial t } = } & { { } \nabla \left[ D \nabla \phi _ { m } \right] - \frac { \phi _ { m } } { \alpha _ { m } } - \frac { \phi _ { m } } { \alpha _ { f } } , } \\ { \frac { \partial \rho _ { f } } { \partial t } = } & { { } \frac { \phi _ { m } } { \alpha _ { f } } , } \\ { D = } & { { } \frac { 1 } { 3 ( \alpha _ { m } ^ { - 1 } + \alpha _ { f } ^ { - 1 } + \sigma _ { m } ^ { - 1 } ) } . } \end{array}
\left[ \begin{array} { c c c c } { 1 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { c c c c } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { c c c c } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \end{array} \right] , \left[ \begin{array} { c c c c } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] .
{ \sigma } _ { q } ^ { [ a ] } \left( N , \frac { Q ^ { 2 } } { \kappa ^ { 2 } } , a _ { s } ( Q ^ { 2 } ) \right) = 1 + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } a _ { s } ^ { n } ( Q ^ { 2 } ) \sum _ { m = 0 } ^ { 2 n } c _ { n m } ^ { [ a ] } \left( { Q ^ { 2 } } / { \kappa ^ { 2 } } \right) \ln ^ { m } N + O \left( \frac { 1 } { N } \right) ,
H ^ { 0 } ( \mathcal { K } _ { \S } ) \cong H ^ { 0 } ( \pi _ { * } ( \O _ { \S } ) ^ { * } \otimes \mathcal { K } _ { 0 } ) = H ^ { 0 } ( \oplus _ { i = 1 } ^ { r } \mathcal { K } _ { 0 } ^ { \otimes i } ) = \mathcal { T } S p e c .
\begin{array} { r l } { \mathrm { g r a d } _ { g _ { R } } ( \alpha ) } & { = \mathrm { g r a d } _ { \mathrm { S h } _ { r , 2 \rho ^ { \prime } } ( g ) + ( 1 + r \kappa _ { R } ) ^ { 2 } \mathrm { d } \varphi ^ { 2 } } ( \alpha ) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } ( 1 + r \kappa _ { R } ) ^ { - 1 / 2 } \left( \kappa _ { R } \mathrm { g r a d } _ { \mathrm { S h } _ { r , 2 \rho ^ { \prime } } ( g ) } ( r ) + r ( \partial _ { \varphi } \kappa _ { R } ) \cdot ( 1 + r \kappa _ { R } ) ^ { - 2 } \partial _ { \varphi } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { T _ { T h } = \frac { E _ { T h } } { E _ { i n } } = } & { { } \frac { t _ { 1 } - e ^ { - \alpha p } e ^ { \frac { 2 i \pi n _ { e f f } p } { \lambda } } t _ { 2 } } { 1 - e ^ { - \alpha p } e ^ { \frac { 2 i \pi n _ { e f f } p } { \lambda } } t _ { 1 } t _ { 2 } } , } & { T _ { D r } = \frac { E _ { D r } } { E _ { i n } } = } & { { } - \frac { e ^ { \frac { - \alpha p } { 2 } } e ^ { \frac { 2 i \pi n _ { e f f } p } { 2 \lambda } } k _ { 1 } k _ { 2 } } { 1 - e ^ { - \alpha p } e ^ { \frac { 2 i \pi n _ { e f f } p } { \lambda } } t _ { 1 } t _ { 2 } } , } \end{array}
( \mathbf { W } ^ { i } - \mathbf { W } ^ { 1 } ) \cdot \left( { \frac { \mathbf { W } ^ { i } + \mathbf { W } ^ { 1 } } { 2 } } - \mathbf { G } \right) = 0 , \quad i = 2 , \ldots , 5 ,
\begin{array} { r l } { R _ { \mathrm { ~ p ~ a ~ i ~ r ~ } } ^ { \mathrm { ~ r ~ i ~ n ~ g ~ } } = } & { { } | \mathrm { ~ F ~ E ~ } _ { ( \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } ) , S } | ^ { 2 } | \mathrm { ~ F ~ E ~ } _ { ( \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } ) , I } | ^ { 2 } | \mathrm { ~ F ~ E ~ } _ { ( \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } ) , P } | ^ { 4 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \chi _ { w } ( t ) } & { { } = } & { { \frac { m _ { w } ( t ) / \mathcal { M } _ { w } } { m _ { w } ( t ) / \mathcal { M } _ { w } + m _ { e } ( t ) / \mathcal { M } _ { e } } } , ~ ~ \mathrm { a n d } } \\ { \chi _ { e } ( t ) } & { { } = } & { 1 - \chi _ { w } ( t ) , } \end{array}
{ \left( \begin{array} { l } { X _ { 1 } } \\ { X _ { 2 } } \end{array} \right) } \sim { \mathcal { N } } \left( { \left( \begin{array} { l } { \mu _ { 1 } } \\ { \mu _ { 2 } } \end{array} \right) } , { \left( \begin{array} { l l } { \sigma _ { 1 } ^ { 2 } } & { \rho \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } } \\ { \rho \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } } & { \sigma _ { 2 } ^ { 2 } } \end{array} \right) } \right)
\begin{array} { r l r } & { } & { ( \hat { I } \lambda + \hat { A } _ { k } ) ^ { - 1 } ( - \hat { I } \lambda + \hat { B } _ { k } ) = } \\ & { } & { \frac { \mu _ { 0 } \hat { I } + \mu _ { 1 } \vec { F } _ { k } \otimes \Delta \vec { F } _ { k } + \mu _ { 2 } \Delta \vec { F } _ { k } \otimes \vec { F } _ { k } + \mu _ { 3 } \Delta \vec { F } _ { k } \otimes \Delta \vec { F } _ { k } + \mu _ { 4 } \vec { F } _ { k } \otimes \vec { F } _ { k } } { 4 \lambda ^ { 2 } - \gamma ^ { 2 } } ; } \\ & { } & { \vec { \mu } = \left\{ \gamma ^ { 2 } ( 1 - 4 \lambda ^ { 2 } ) , 2 , 2 ( \gamma + i ) ( 2 \gamma ( 1 + 2 \lambda ) - i ) , 2 i \gamma ( 1 + 2 \lambda ) + 1 , 4 - 4 i \gamma \right\} } \end{array}
B = \overline { { R } } _ { a a } ^ { ( L ) } - ( \overline { { R } } _ { b b } ^ { ( L ) } ) ^ { - 1 } - \overline { { T } } _ { a b } ^ { ( L ) } ( \overline { { R } } _ { b b } ^ { ( L ) } ) ^ { - 1 } \overline { { T } } _ { b a } ^ { ( L ) }
\operatorname* { l i m } _ { \lambda _ { i _ { 1 } } \in \Lambda _ { i _ { 1 } } } \operatorname* { l i m } _ { \lambda _ { i _ { 2 } } \in \Lambda _ { i _ { 2 } } } \ldots \operatorname* { l i m } _ { \lambda _ { i _ { n } } \in \Lambda _ { i _ { n } } } P _ { { \mathcal { H } } _ { i } } u _ { F , \lambda _ { i _ { 1 } } , \ldots , \lambda _ { i _ { n } } } ^ { * } \psi ( t ) u _ { F , \lambda _ { i _ { 1 } } , \ldots , \lambda _ { i _ { n } } } \mid _ { { \mathcal { H } } _ { i } }
\begin{array} { r l } { { \mathrm { d i s t } } ( { \mathrm { s p a n } } \{ \tilde { Y } \} , { \mathrm { s p a n } } \{ Y \} ) } & { \leq \sqrt { 1 + \sigma _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } ( \{ \tilde { Y } , \tilde { Z } \} ) } \ { \mathrm { d i s t } } ( { \mathrm { s p a n } } \{ \left[ \begin{array} { l } { \tilde { Y } } \\ { \tilde { Z } } \end{array} \right] \} , { \mathrm { s p a n } } \{ \left[ \begin{array} { l } { Y } \\ { Z } \end{array} \right] \} ) , } \\ { { \mathrm { d i s t } } ( { \mathrm { s p a n } } \{ \tilde { Z } \} , { \mathrm { s p a n } } \{ Z \} ) } & { \leq \sqrt { 1 + \sigma _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 } ( \{ \tilde { Z } , \tilde { Y } \} ) } \ { \mathrm { d i s t } } ( { \mathrm { s p a n } } \{ \left[ \begin{array} { l } { \tilde { Y } } \\ { \tilde { Z } } \end{array} \right] \} , { \mathrm { s p a n } } \{ \left[ \begin{array} { l } { Y } \\ { Z } \end{array} \right] \} ) , } \end{array}
| \: \vec { q } \: | = \frac { \sqrt { \left( M _ { i } ^ { 2 } - ( M _ { f } + m _ { \pi \pi } ) ^ { 2 } \right) \left( M _ { i } ^ { 2 } - ( M _ { f } - m _ { \pi \pi } ) ^ { 2 } \right) } } { 2 M _ { i } } .
\begin{array} { r c l l } { \Phi _ { 0 , 1 } : } & { \mathcal { L } _ { 0 , 1 } ( H ) } & { \longrightarrow } & { H } \\ & { \varphi } & { \longmapsto } & { ( \varphi \otimes \mathrm { i d } ) ( R R ^ { \prime } ) = \sum _ { ( R ^ { 1 } ) , ( R ^ { 2 } ) } \bigl \langle \varphi , R _ { ( 1 ) } ^ { 1 } R _ { ( 2 ) } ^ { 2 } \bigr \rangle R _ { ( 2 ) } ^ { 1 } R _ { ( 1 ) } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left\Vert \bar { p } _ { \alpha } ( u - s , x - \cdot ) \left[ \frac { \nabla p _ { \alpha } ( t - u , w - \cdot ) } { \bar { p } _ { \alpha } ( t - s , w - x ) } - \frac { \nabla p _ { \alpha } ( t - u , y - \cdot ) } { \bar { p } _ { \alpha } ( t - s , y - x ) } \right] \right\Vert _ { \mathbb { B } _ { p ^ { \prime } , q ^ { \prime } } ^ { - \beta } } } \\ & { \qquad \lesssim \frac { | w - y | ^ { \zeta } } { ( t - u ) ^ { \frac { \zeta + 1 } { \alpha } } } ( t - s ) ^ { \frac { \beta } { \alpha } } \left[ \frac { 1 } { ( t - u ) ^ { \frac { d } { \alpha p } } } + \frac { 1 } { ( u - s ) ^ { \frac { d } { \alpha p } } } \right] \left[ ( t - s ) ^ { \frac { \zeta } { \alpha } } \left( \frac { 1 } { ( t - u ) ^ { \frac { \zeta } { \alpha } } } + \frac { 1 } { ( u - s ) ^ { \frac { \zeta } { \alpha } } } \right) + 1 \right] . } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { \dot { \hat { J } ^ { \prime } } _ { 1 } } } & { { = } } & { { \displaystyle \frac { \hbar ( I - I _ { 3 } ) } { 2 I I _ { 3 } } \left( \hat { J } _ { 2 } ^ { \prime } \hat { J } _ { 3 } ^ { \prime } + \hat { J } _ { 3 } ^ { \prime } \hat { J } _ { 2 } ^ { \prime } \right) ~ , } } \\ { { \dot { \hat { J } ^ { \prime } } _ { 2 } } } & { { = } } & { { \displaystyle \frac { \hbar ( I _ { 3 } - I ) } { 2 I I _ { 3 } } \left( \hat { J } _ { 1 } ^ { \prime } \hat { J } _ { 3 } ^ { \prime } + \hat { J } _ { 3 } ^ { \prime } \hat { J } _ { 1 } ^ { \prime } \right) ~ , } } \\ { { \dot { \hat { J } ^ { \prime } } _ { 3 } } } & { { = } } & { { 0 ~ , } } \end{array}
W _ { p } ( a / q ) = \frac { 1 } { p } \log \frac { \sum _ { N = 0 } ^ { q - 1 } e ^ { p ( S _ { N } ( a / q ) - \mathrm { s g n } ( p ) N / ( 2 q ) ) } } { \sum _ { N = 0 } ^ { q ^ { \prime } - 1 } e ^ { p ( S _ { N } ( a ^ { \prime } / q ^ { \prime } ) - \mathrm { s g n } ( p ) N / ( 2 q ^ { \prime } ) ) } } + \frac { \lfloor q / a \rfloor ( \mathrm { s g n } ( p ) 2 a - 1 ) } { 8 q q ^ { \prime } } , \qquad p \neq \pm \infty , 0 ,
\begin{array} { r l r } & { } & { f _ { 2 } ( \vec { r } ( t ) , \theta ( t ) , \vec { r } _ { 2 } ( t ) , \theta _ { 2 } ( t ) ) = \mathrm { e x p } \Bigg [ 2 \Gamma \! \! \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \! \! d \tilde { t } \, \mathrm { c o s } \{ \theta _ { 2 } ( \tilde { t } ) - \theta ( \tilde { t } ) \} \Bigg ] } \\ & { } & { \times f _ { 2 } ( \vec { r } ( t _ { 0 } ) , \theta ( t _ { 0 } ) , \vec { r } _ { 2 } ( t _ { 0 } ) , \theta _ { 2 } ( t _ { 0 } ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tau _ { m } \dot { R } } & { { } = \frac { \gamma } { \pi } + 2 R V \; , } \\ { \tau _ { m } \dot { V } } & { { } = V ^ { 2 } - ( \pi \tau _ { m } R ) ^ { 2 } + I _ { \mathrm { ~ s ~ y ~ n ~ } } + I _ { 0 } \; , } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \tilde { \nu } _ { \Psi _ { i } \to j } ( \widetilde { T } _ { i j } ) } & { = \gamma ( t _ { i } ^ { ( j ) } ) \xi ( \tau _ { i } ^ { ( j ) } , t _ { i } ^ { ( j ) } , c _ { i } ) \left( a ( t _ { i } ^ { ( j ) } - t _ { j } ^ { ( i ) } - 1 ) \delta _ { x _ { i } ^ { 0 } , I } \delta _ { \tau _ { i } ^ { ( j ) } , 0 } \prod _ { k \in \partial i \setminus j } \left[ \sum _ { t _ { k } ^ { ( i ) } } a ( t _ { i } ^ { ( j ) } - t _ { k } ^ { ( i ) } - 1 ) \sum _ { \sigma _ { k i } = 0 } ^ { 2 } \tilde { \mu } _ { k \to \Psi _ { i } } ( \widetilde { T } _ { k i } ) \right] \right. } \\ { + } & { a ( t _ { i } ^ { ( j ) } - t _ { j } ^ { ( i ) } - 1 ) \delta _ { x _ { i } ^ { 0 } , S } \mathbb { I } [ \sigma _ { j i } \in \{ 1 , 2 \} ] \prod _ { k \in \partial i \setminus j } \left[ \sum _ { t _ { k } ^ { ( i ) } } a ( t _ { i } ^ { ( j ) } - t _ { k } ^ { ( i ) } - 1 ) \sum _ { \sigma _ { k i } = 1 } ^ { 2 } \tilde { \mu } _ { k \to \Psi _ { i } } ( \widetilde { T } _ { k i } ) \right] } \\ { - } & { a ( t _ { i } ^ { ( j ) } - t _ { j } ^ { ( i ) } - 1 ) \delta _ { x _ { i } ^ { 0 } , S } \mathbb { I } [ \tau _ { i } ^ { ( j ) } < T + 1 ] \mathbb { I } [ \sigma _ { j i } = 2 ] \prod _ { k \in \partial i \setminus j } \left[ \sum _ { t _ { k } ^ { ( i ) } } a ( t _ { i } ^ { ( j ) } - t _ { k } ^ { ( i ) } - 1 ) \tilde { \mu } _ { k \to \Psi _ { i } } ( \sigma _ { k i } = 2 , \tau _ { i } ^ { ( j ) } , t _ { k } ^ { ( i ) } , t _ { i } ^ { ( j ) } ) \right] } \\ { - } & { \phi ( t _ { i } ^ { ( j ) } ) a ( t _ { i } ^ { ( j ) } - t _ { j } ^ { ( i ) } ) \delta _ { x _ { i } ^ { 0 } , I } \delta _ { \tau _ { i } ^ { ( j ) } , 0 } \prod _ { k \in \partial i \setminus j } \left[ \sum _ { t _ { k } ^ { ( i ) } } a ( t _ { i } ^ { ( j ) } - t _ { k } ^ { ( i ) } ) \sum _ { \sigma _ { k i } = 0 } ^ { 2 } \tilde { \mu } _ { k \to \Psi _ { i } } ( \widetilde { T } _ { k i } ) \right] } \\ { - } & { \phi ( t _ { i } ^ { ( j ) } ) a ( t _ { i } ^ { ( j ) } - t _ { j } ^ { ( i ) } ) \delta _ { x _ { i } ^ { 0 } , S } \mathbb { I } [ \sigma _ { j i } \in \{ 1 , 2 \} ] \prod _ { k \in \partial i \setminus j } \left[ \sum _ { t _ { k } ^ { ( i ) } } a ( t _ { i } ^ { ( j ) } - t _ { k } ^ { ( i ) } ) \sum _ { \sigma _ { k i } = 1 } ^ { 2 } \tilde { \mu } _ { k \to \Psi _ { i } } ( \widetilde { T } _ { k i } ) \right] } \\ { + } & { \left. \phi ( t _ { i } ^ { ( j ) } ) a ( t _ { i } ^ { ( j ) } - t _ { j } ^ { ( i ) } ) \delta _ { x _ { i } ^ { 0 } , S } \mathbb { I } [ \tau _ { i } ^ { ( j ) } < T + 1 ] \mathbb { I } [ \sigma _ { j i } = 2 ] \prod _ { k \in \partial i \setminus j } \left[ \sum _ { t _ { k } ^ { ( i ) } } a ( t _ { i } ^ { ( j ) } - t _ { k } ^ { ( i ) } ) \tilde { \mu } _ { k \to \Psi _ { i } } ( \sigma _ { k i } = 2 , \tau _ { i } ^ { ( j ) } , t _ { k } ^ { ( i ) } , t _ { i } ^ { ( j ) } ) \right] \right) } \end{array} } \end{array}
\lambda _ { m } ( \alpha ) = \sum _ { l = 0 } ^ { m } \left( { \frac { i \alpha } { 2 } } \right) ^ { l } { \frac { ( m + l ) ! } { l ! ( m - l ) ! } } \times \left\{ \begin{array} { c l } { { - \lambda _ { 2 N } ( \alpha ) } } & { { \mathrm { ~ f o r ~ o d d ~ m + l ~ } } } \\ { { \lambda _ { 0 } ( \alpha ) } } & { { \mathrm { ~ f o r ~ e v e n ~ m + l ~ } } } \end{array} \right\}
\begin{array} { r l } { u _ { t } + q D u ^ { \perp } + \nabla \left( \frac { 1 } { 2 } | u | ^ { 2 } + g ( D + b ) \right) } & { { } = 0 , } \\ { D _ { t } + \nabla \cdot ( u D ) } & { { } = 0 , } \end{array}
{ \tilde { \Delta } } _ { q Q } ^ { \prime } = { \tilde { \Delta } } _ { q Q } ^ { ( 1 ) \prime } { \tilde { V } } _ { q _ { \mathrm { L } } } ^ { ( 2 ) } = { \tilde { \epsilon } } _ { q _ { \mathrm { R } } } ^ { ( 1 ) \dagger } { \tilde { V } } _ { q _ { \mathrm { R } } } ^ { ( 1 ) \dagger - 1 } { \tilde { V } } _ { q _ { \mathrm { R } } } ^ { ( 2 ) } { \tilde { M } } _ { q } .
\mathcal { G } ^ { \mathrm { 2 - l o o p } } ( t ) = - \frac { 3 2 + 3 \pi ^ { 2 } } { 1 2 8 \pi ^ { 3 } } \; \mathcal { G } ^ { \mathrm { H T L } } \; e ^ { 4 } \; T \; \ln \left( \frac { 1 } { e } \right) \, t \; ,
\begin{array} { r l r } { L _ { 1 } \left( \bar { h } , \bar { h } ^ { \prime } \right) } & { = } & { \bar { h } \, \bar { h } ^ { 2 } - \bar { h } + \frac { 1 } { \bar { h } } \, , } \\ & { } & \\ { { \cal H } _ { 1 } \left( \bar { h } , \bar { h } ^ { \prime } \right) } & { = } & { \bar { h } \, \bar { h } ^ { 2 } + \bar { h } - \frac { 1 } { \bar { h } } \, . } \end{array}
W = - \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } { \frac { G m M } { r ^ { 3 } } } ( r \mathbf { e } _ { r } ) \cdot ( { \dot { r } } \mathbf { e } _ { r } + r { \dot { \theta } } \mathbf { e } _ { t } ) \, d t = - \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } { \frac { G m M } { r ^ { 3 } } } r { \dot { r } } d t = { \frac { G M m } { r ( t _ { 2 } ) } } - { \frac { G M m } { r ( t _ { 1 } ) } } .
\begin{array} { r l r } { A _ { 1 , 2 } } & { = } & { a _ { 1 , 1 } + a _ { 1 , 3 } a _ { 2 , s - 2 } + \ldots + a _ { 1 , \frac { s + 1 } { 2 } } a _ { 2 , \frac { s + 1 } { 2 } } + \ldots + a _ { 1 , s - 2 } a _ { 2 , 3 } + a _ { 2 , 2 } } \\ { A _ { 2 , 1 } } & { = } & { a _ { 2 , 2 } + a _ { 2 , 3 } a _ { 1 , s - 2 } + \ldots + a _ { 1 , \frac { s + 1 } { 2 } } a _ { 2 , \frac { s + 1 } { 2 } } + \ldots + a _ { 2 , s - 2 } a _ { 1 , 3 } + a _ { 2 , 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nu _ { \eta } } & { = ( 1 + A ( s ) ) \partial _ { t } + B ^ { i } ( s ) \partial _ { s _ { i } } \Big | _ { t = \eta ( s ) } } \\ { | | A ( s ) | | _ { C ^ { \alpha } ( Y ) } } & { \leq C | | \eta | | _ { C ^ { 1 , \alpha } ( Y ) } ^ { 2 } } \\ { | | B ^ { i } ( s ) | | _ { C ^ { \alpha } ( Y ) } } & { \leq C | | \eta | | _ { C ^ { 1 , \alpha } ( Y ) } } \\ { \implies ( \Phi ^ { - 1 } ) _ { * } ( \nu _ { \eta } ) } & { = ( 1 + \tilde { A } ( s ) ) \partial _ { t } + \tilde { B } ^ { i } ( s ) \partial _ { s _ { i } } \Big | _ { t = 0 } } \\ { | | \tilde { A } ( s ) | | _ { C ^ { \alpha } ( Y ) } } & { \leq C | | \eta | | _ { C ^ { 1 , \alpha } ( Y ) } ^ { 2 } } \\ { | | \tilde { B } ^ { i } ( s ) | | _ { C ^ { \alpha } ( Y ) } } & { \leq C | | \eta | | _ { C ^ { 1 , \alpha } ( Y ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { T _ { \mathrm { O F F } , s } ( x , t ) } & { = \frac { 1 } { Z _ { \mathrm { O F F } } } \sum _ { A \in \mathcal { A } ( x , t ) } \tau _ { s } ( t ) | A \cdot \frac { 1 - n _ { s } ( t ) | A } { \pi _ { s } ( t ) | A } } \\ { Z _ { \mathrm { O F F } } } & { = \sum _ { A \in \mathcal { A } ( x , t ) } \frac { 1 - n _ { s } ( t ) | A } { \pi _ { s } ( t ) | A } . } \end{array}
\frac { d \sigma ^ { ( O P E ) } } { d t d m } = \frac { 1 } { \pi s ^ { 2 } } \ \frac { g _ { \pi N N } ^ { 2 } } { 4 \pi } \ \left[ \frac { - t e ^ { 2 b _ { \pi } ( s ) ( t - m _ { \pi } ^ { 2 } ) } } { ( t - m _ { \pi } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \right] m ^ { 3 } \rho _ { \pi \pi } \sigma ( \pi ^ { + } \pi ^ { - } \rightarrow \pi ^ { 0 } \eta ) \ ,
\begin{array} { l } { \operatorname { c h } { u } = \operatorname { c h } { u _ { 1 } } \operatorname { c } h { u _ { 2 } } + \operatorname { s h } { u _ { 1 } } \operatorname { s h } { u _ { 2 } } \cos \alpha } \\ { \operatorname { c h } { u _ { i } } = { \frac { 1 } { \sqrt { 1 - \left( { \frac { v _ { i } } { c } } \right) ^ { 2 } } } } , \ \operatorname { s h } { u _ { i } } = { \frac { v _ { i } } { \sqrt { 1 - \left( { \frac { v _ { i } } { c } } \right) ^ { 2 } } } } } \\ { v = { \sqrt { v _ { 1 } ^ { 2 } + v _ { 2 } ^ { 2 } - \left( { \frac { v _ { 1 } v _ { 2 } } { c } } \right) ^ { 2 } } } \ \left( a = { \frac { \pi } { 2 } } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { g _ { \theta \theta } \Gamma _ { \theta \theta } ^ { \theta } } & { = 0 } \\ { g _ { \theta \theta } \Gamma _ { \theta \phi } ^ { \theta } } & { = 0 } \\ { g _ { \theta \theta } \Gamma _ { \phi \phi } ^ { \theta } } & { = - \sin \theta \cos \theta } \\ { g _ { \phi \phi } \Gamma _ { \theta \theta } ^ { \phi } } & { = 0 } \\ { g _ { \phi \phi } \Gamma _ { \theta \phi } ^ { \phi } } & { = \cot \theta } \\ { g _ { \phi \phi } \Gamma _ { \phi \phi } ^ { \phi } } & { = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { F ( \mathbf w ^ { * } , \mathbf r ^ { * } ) - F ( \tilde { \mathbf w } , \mathbf r ^ { * } ) } & { = 2 \langle \tilde { \mathbf w } - \mathbf w ^ { * } , \mathbf g + \mathbf r ^ { * } \rangle } \\ & { = 2 \langle a \mathbf y , \mathbf g + \mathbf r ^ { * } \rangle } \\ & { = 2 \langle a \mathbf y , \mathbf r ^ { * } \rangle } \\ & { = 2 \langle a \mathbf y , \alpha [ \eta \mathbf g - \mathbf w ^ { * } ] \rangle } \\ & { = - 2 a \alpha \langle \mathbf y , \mathbf w ^ { * } \rangle } \\ & { < 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \dot { x } _ { i } - [ \boldsymbol { \omega } , { \bf x } ] _ { i } = R _ { i j } \dot { z } _ { j } , \qquad \dot { z } _ { i } + \epsilon _ { i j k } \Omega _ { j } z _ { k } = R _ { i j } ^ { T } \dot { x } _ { j } , } \end{array}
\begin{array} { r } { k _ { 1 2 } ( t ) = t , ~ k _ { 2 3 } ( t ) = 3 t ^ { 2 } , ~ k _ { 3 1 } ( t ) = 1 ; } \\ { k _ { 2 1 } = t ^ { 2 } , ~ k _ { 3 2 } ( t ) = 2 , ~ k _ { 1 3 } ( t ) = 2 t , } \end{array}
\left( g _ { m n } \right) ^ { D } = \left( \begin{array} { c c } { { g _ { m n } + g _ { t s } { \Gamma ^ { t } } _ { m } { \Gamma ^ { s } } _ { n } } } & { { { \Gamma ^ { t } } _ { n } g _ { t m } } } \\ { { { \Gamma ^ { t } } _ { m } g _ { t n } } } & { { g _ { m n } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l r } { T _ { \mathrm { C A S , 1 } } ( \mu ) } & { = } & { B _ { 1 } ( \mu ) } \\ { T _ { \mathrm { C A S , 2 } } ( \mu ) } & { = } & { B _ { 2 } ( \mu ) - 1 / 2 T _ { \mathrm { C A S , 1 } } ( \mu ) ^ { 2 } } \\ { T _ { \mathrm { C A S , 3 } } ( \mu ) } & { = } & { B _ { 3 } ( \mu ) - T _ { \mathrm { C A S , 1 } } ( \mu ) T _ { \mathrm { C A S , 2 } } ( \mu ) - 1 / 6 T _ { \mathrm { C A S , 1 } } ( \mu ) ^ { 3 } } \\ & { \ldots } & \end{array}