harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { h _ { t } ^ { \epsilon } + \mathcal { J } _ { \epsilon } ( \mathcal { J } _ { \epsilon } h ^ { \epsilon } \mathcal { J } _ { \epsilon } v ^ { \epsilon } ) _ { x } + \mathcal { J } _ { \epsilon } \mathcal { J } _ { \epsilon } v _ { x } ^ { \epsilon } } & { { } = 0 , } \\ { v _ { t } ^ { \epsilon } + \mathcal { J } _ { \epsilon } ( \mathcal { J } _ { \epsilon } v ^ { \epsilon } \partial _ { x } \mathcal { J } _ { \epsilon } v ^ { \epsilon } ) + \left[ \mathscr { L } , \mathscr { N } h ^ { \epsilon } \right] h ^ { \epsilon } + \mathscr { N } h ^ { \epsilon } } & { { } = 0 . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } & { \sigma ^ { \mu } \partial _ { \mu } ^ { \prime } \psi _ { \mathrm { { R } } } ( x ^ { \prime } ) } \\ { = } & { \sigma ^ { \mu } { \frac { \partial } { \partial x ^ { \prime \mu } } } \psi _ { \mathrm { { R } } } ( x ^ { \prime } ) } \\ { = } & { \sigma ^ { \mu } { \frac { \partial x ^ { \nu } } { \partial x ^ { \prime \mu } } } { \frac { \partial } { \partial x ^ { \nu } } } R \psi _ { \mathrm { { R } } } ( x ) } \\ { = } & { \sigma ^ { \mu } { \left( \Lambda ^ { - 1 } \right) ^ { \nu } } _ { \mu } { \frac { \partial } { \partial x ^ { \nu } } } R \psi _ { \mathrm { { R } } } ( x ) } \\ { = } & { \sigma ^ { \mu } { \left( \Lambda ^ { - 1 } \right) ^ { \nu } } _ { \mu } \partial _ { \nu } R \psi _ { \mathrm { { R } } } ( x ) } \end{array} }
\mathrm { d i m } _ { q } { \tilde { \rho } } _ { \ell } = { \frac { ( [ N ] [ N + 1 ] \ldots [ N + 2 \ell - 1 ] ) \prod _ { a = 1 } ^ { N - 2 } ( [ N - a ] [ N - a + 1 ] \ldots [ N - a + \ell - 1 ] ) } { [ \ell ] ! ( [ N + 2 \ell - 2 ] [ N + 2 \ell - 3 ] \ldots [ N + \ell - 1 ] ) \prod _ { a = 1 } ^ { N - 2 } ( [ a ] [ a + 1 ] \ldots [ a + \ell - 1 ] ) } }
\begin{array} { r l } { [ N _ { 1 } , N _ { 2 } , N _ { 3 } ] ( a ) \ } & { [ N _ { 1 } , N _ { 2 } , N _ { 3 } ] ( b ) = [ N _ { 1 } ( a ) N _ { 1 } ( b ) , N _ { 1 } ( a ) N _ { 2 } ( b ) , N _ { 1 } ( a ) N _ { 3 } ( b ) , N _ { 2 } ( a ) N _ { 1 } ( b ) , } \\ & { N _ { 2 } ( a ) N _ { 2 } ( b ) , N _ { 2 } ( a ) N _ { 3 } ( b ) , N _ { 3 } ( a ) N _ { 1 } ( b ) , N _ { 3 } ( a ) N _ { 2 } ( b ) , N _ { 3 } ( a ) N _ { 3 } ( b ) ] } \\ & { = [ N _ { 1 } ( a \circ _ { N _ { 1 } } b ) , N _ { 1 } ( a \circ _ { N _ { 2 } } b ) , N _ { 2 } ( a ) N _ { 1 } ( b ) , N _ { 2 } ( a \circ _ { N _ { 1 } } b ) , N _ { 1 } ( a \circ _ { N _ { 3 } } b ) , } \\ & { \quad \ N _ { 3 } ( a ) N _ { 1 } ( b ) , N _ { 3 } ( a \circ _ { N _ { 1 } } b ) , N _ { 2 } ( a ) N _ { 1 } ( b ) , N _ { 2 } ( a \circ _ { N _ { 2 } } b ) , N _ { 2 } ( a \circ _ { N _ { 3 } } b ) , } \\ & { \quad \ N _ { 3 } ( a ) N _ { 2 } ( b ) , N _ { 3 } ( a \circ _ { N _ { 2 } } b ) , N _ { 3 } ( a ) N _ { 1 } ( b ) , N _ { 3 } ( a ) N _ { 2 } ( b ) , N _ { 3 } ( a \circ _ { N _ { 3 } } b ) ] } \\ & { = [ N _ { 1 } ( a \circ _ { N _ { 1 } } b ) , N _ { 1 } ( a \circ _ { N _ { 2 } } b ) , N _ { 1 } ( a \circ _ { N _ { 3 } } b ) , N _ { 2 } ( a \circ _ { N _ { 1 } } b ) , N _ { 2 } ( a \circ _ { N _ { 2 } } b ) , } \\ & { \quad \ N _ { 2 } ( a \circ _ { N _ { 3 } } b ) , N _ { 3 } ( a \circ _ { N _ { 1 } } b ) , N _ { 3 } ( a \circ _ { N _ { 2 } } b ) , N _ { 3 } ( a \circ _ { N _ { 3 } } b ) ] } \\ & { = [ N _ { 1 } ( a \circ _ { [ N _ { 1 } , N _ { 2 } , N _ { 3 } ] } b ) , N _ { 2 } ( a \circ _ { [ N _ { 1 } , N _ { 2 } , N _ { 3 } ] } b ) , N _ { 3 } ( a \circ _ { [ N _ { 1 } , N _ { 2 } , N _ { 3 } ] } b ) ] } \\ & { = [ N _ { 1 } , N _ { 2 } , N _ { 3 } ] ( a \circ _ { [ N _ { 1 } , N _ { 2 } , N _ { 3 } ] } b ) , } \end{array}
F _ { q } ( R e _ { L } ^ { * } , \chi , \theta ) = \frac { 4 \pi \mu | \mathbf { U } | L \sin \theta } { \ln \chi } \left( 1 - \frac { B ^ { ( 2 ) } ( R e _ { L } ^ { * } ) + 1 / 2 - \ln 4 } { \ln \chi } \right) ^ { - 1 } .
\begin{array} { r l } { \dim ( { \bf V } _ { 1 } ( { \mathcal T } _ { { P } } ) ) } & { = 2 V _ { P } = 2 ( V + E + T ) } \\ & { = 1 2 V - 4 V _ { b } - 1 0 \chi + 5 \chi _ { b } \approx 1 2 V , } \\ { \dim ( \Pi _ { 0 } ( { \mathcal T } _ { { P } } ) ) } & { = T _ { P } = 6 T = 1 2 V - 6 V _ { b } - 1 2 \chi + 6 \chi _ { b } \approx 1 2 V , } \end{array}
\left\lvert { \vec { A } - \vec { A } _ { h } } \right\rvert _ { H ^ { \operatorname { c u r l } ; 1 } ( Q ) } = \left( { \left\lVert { \partial _ { t } \vec { A } - \partial _ { t } \vec { A } _ { h } } \right\rVert } _ { L ^ { 2 } ( Q ) } ^ { 2 } + { \left\lVert { \operatorname { c u r l } _ { x } \vec { A } - \operatorname { c u r l } _ { x } \vec { A } _ { h } } \right\rVert } _ { L ^ { 2 } ( Q ) } ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } ,
\begin{array} { r l } { w _ { z } ^ { 2 } } & { { } = w _ { 0 } ^ { 2 } \left( \Omega _ { 0 } ^ { 2 } + \Omega ^ { 2 } \right) , } \\ { { R _ { z } } } & { { } { = } \frac { z ( \Omega _ { 0 } ^ { 2 } + \Omega ^ { 2 } ) } { \Omega _ { 0 } ( 1 - \Omega _ { 0 } ) - \Omega ^ { 2 } } , } \\ { \phi _ { z } } & { { } = \tan ^ { - 1 } ( \Omega / \Omega _ { 0 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in [ m ] } \mathbb { E } _ { t } \Vert \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t - 1 } \Vert ^ { 2 } \leq \frac { 1 } { \gamma } \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in [ m ] } \left( \mathbb { E } _ { t } \Vert \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t - 1 } \Vert ^ { 2 } - \mathbb { E } _ { t } \Vert \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t } \Vert ^ { 2 } \right) + \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in [ m ] } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \frac { \gamma _ { k } } { \gamma } \mathbb { E } _ { t } \Vert \tilde { \mathbf { g } } _ { i , k } ^ { t } \Vert ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { u } } & { = \ \Delta _ { f u s } H _ { A l _ { 2 } O _ { 3 } } u _ { A l _ { 2 } O _ { 3 } } + \Delta _ { f u s } H _ { A l F _ { 3 } } u _ { A l F _ { 3 } } } \\ & { \ + ( T _ { b a t h } - T _ { i n } ) ( \Bar { c } _ { p _ { A l _ { 2 } O _ { 3 } } } u _ { A l _ { 2 } O _ { 3 } } + \Bar { c } _ { p _ { A l F _ { 3 } } } u _ { A l F _ { 3 } } ) . } \end{array}
\hat { c } _ { 1 } ( T = 0 ) = - c _ { 1 } ^ { \infty } ( t = 0 ) = - \frac { 1 } { 6 } e ^ { - z ^ { 2 } } \frac { \Gamma _ { w } } { D _ { s } } ( 2 - 6 r ^ { 2 } + 3 r ^ { 4 } ) z ^ { 2 } .
r _ { 0 } ^ { r } ( \omega ) = - { i } \frac { c n _ { 0 } } { \omega } { \frac { \partial \ln t _ { 0 } ( \omega ) } { \partial Z _ { 1 } } } - 1 , \ \ \ \ r _ { 0 } ^ { l } ( \omega ) = - { i } \frac { c n _ { 0 } } { \omega } { \frac { \partial \ln t _ { 0 } ( \omega ) } { \partial Z _ { 2 } } } - 1 .
{ \cal L } = - \sqrt { - G } \sqrt { 1 + { \frac { \tilde { Y } M \tilde { Y } } { G ( \partial a ) ^ { 2 } } } + \left( { \frac { \tilde { Y } L \tilde { Y } } { 2 G ( \partial a ) ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } } - { \frac { \tilde { Y } L \partial Y \cdot \partial a } { 2 ( \partial a ) ^ { 2 } } } ,
\operatorname* { m a x } \bigl ( | R | , | R ^ { \prime } | \bigr ) \, < \, \frac { 1 } { \epsilon } \, , \qquad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \qquad s \, : = \, \frac { \epsilon ^ { 2 } D ^ { 2 } } { ( 1 { + } \epsilon R ) ( 1 { + } \epsilon R ^ { \prime } ) } \, < \, 4 \, .
\begin{array} { r l } { \| M - M _ { \phi } \| ^ { 2 } = } & { ~ \| U _ { * } \Sigma _ { * } V _ { * } ^ { \top } - U _ { \phi } \Sigma V ^ { \top } \| ^ { 2 } } \\ { = } & { ~ \| U _ { * } \Sigma _ { * } V _ { * } ^ { \top } - U _ { \phi } U _ { \phi } ^ { \top } U _ { * } \Sigma _ { * } ( V _ { * } ) ^ { \top } + U _ { \phi } U _ { \phi } ^ { \top } U _ { * } \Sigma _ { * } V _ { * } ^ { \top } - U _ { \phi } \Sigma V ^ { \top } \| ^ { 2 } } \\ { = } & { ~ \| ( I - U _ { \phi } U _ { \phi } ^ { \top } ) U _ { * } \Sigma _ { * } V _ { * } ^ { \top } + U _ { \phi } ( U _ { \phi } ^ { \top } U _ { * } \Sigma _ { * } V _ { * } ^ { \top } - \Sigma V ^ { \top } ) \| ^ { 2 } } \\ { \geq } & { ~ \| ( I - U _ { \phi } U _ { \phi } ^ { \top } ) U _ { * } \Sigma _ { * } V _ { * } ^ { \top } \| ^ { 2 } } \\ { = } & { ~ \| U _ { \phi , \bot } U _ { \phi , \bot } ^ { \top } U _ { * } \Sigma _ { * } V _ { * } ^ { \top } \| ^ { 2 } } \\ { = } & { ~ \| U _ { \phi , \bot } ^ { \top } U _ { * } \Sigma _ { * } \| ^ { 2 } } \\ { \geq } & { ~ \| U _ { \phi , \bot } ^ { \top } U _ { * } \| \cdot ( \sigma _ { \operatorname* { m i n } } ( \Sigma _ { * } ) ) ^ { 2 } } \\ { \geq } & { ~ ( \sigma _ { k } ^ { * } ) ^ { 2 } \| U _ { \phi , \bot } ^ { \top } U _ { * } \| ^ { 2 } , } \end{array}
\hat { j } _ { + } = \hat { \psi } _ { \uparrow } ^ { \dagger } ( p ) \hat { \psi } _ { \downarrow } ( p ) , \quad \hat { j } _ { - } = \hat { \psi } _ { \downarrow } ^ { \dagger } ( p ) \hat { \psi } _ { \uparrow } ( p ) ,
u = a _ { 1 } b _ { 2 } , v = a _ { 2 } b _ { 1 } , w = \frac { a _ { 1 } b _ { 1 } + a _ { 2 } b _ { 2 } } { 2 } , \Omega = \frac { a _ { 1 } b _ { 1 } - a _ { 2 } b _ { 2 } } { 2 }
\begin{array} { r l } { n v _ { i } - \frac { \hbar } { 2 m } \epsilon _ { i j } \partial _ { i } n } & { = \frac { \nu } { 2 \pi } \left( \epsilon _ { i j } \partial _ { t } a _ { j } - \epsilon _ { i j } \partial _ { j } a _ { 0 } \right) , } \\ { \frac { 2 \pi } { \nu } \left( \epsilon _ { i j } n v _ { j } + \frac { \hbar } { 2 m } \partial _ { i } n \right) } & { = \partial _ { i } a _ { 0 } - \partial _ { t } a _ { i } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle i | f ^ { ( 1 ) } | j \rangle } & { { } = } & { \int d ^ { 3 } r u _ { i } ^ { * } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) f ^ { ( 1 ) } u _ { j } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) } \\ { \langle i j | f ^ { ( 2 ) } | k l \rangle } & { { } = } & { \int d ^ { 3 } r d ^ { 3 } r ^ { \prime } u _ { i } ^ { * } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) u _ { j } ^ { * } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ^ { \prime } ) f ^ { ( 2 ) } u _ { k } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) u _ { l } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ^ { \prime } ) } \end{array}
x _ { 2 } = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 2 } { N - 1 } \left\{ \frac { 1 - r ^ { - 1 } } { 1 - r ^ { - ( N - 2 ) } } + \frac { r - r ^ { - 1 } } { ( r + 4 ) \left[ 1 - r ^ { - ( N - 2 ) } \right] } \right\} } & { ( N \geq 5 ) , } \\ { \frac { r } { 1 + r } } & { ( N = 4 ) . } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \operatorname* { m i n } _ { \theta \in \Theta } \operatorname* { m a x } _ { \mathbb Q \in \mathbb B _ { \varepsilon } ( \widehat { \mathbb P } ) } \mathbb E _ { Z \sim \mathbb Q } \left[ \ell ( \theta , Z ) \right] = \operatorname* { m a x } _ { \mathbb Q \in \mathbb B _ { \varepsilon } ( \widehat { \mathbb P } ) } \operatorname* { m i n } _ { \theta \in \Theta } \mathbb E _ { Z \sim \mathbb Q } \left[ \ell ( \theta , Z ) \right] . } \end{array}
\Big ( \partial _ { \alpha } \mathbb { \Gamma } _ { \mu \nu } ^ { \alpha } - \partial _ { \nu } \mathbb { \Gamma } _ { \mu \alpha } ^ { \alpha } \Big ) - \frac { 1 } { 2 } \mathbb { g } _ { \mu \nu } \mathbb { g } ^ { \kappa \lambda } \Big ( \partial _ { \alpha } \mathbb { \Gamma } _ { \kappa \lambda } ^ { \alpha } - \partial _ { \kappa } \mathbb { \Gamma } _ { \lambda \alpha } ^ { \alpha } \Big ) = \frac { 1 } { 2 } D ( \frac { D } { 2 } - 1 ) \mathbb { g } _ { \mu \nu } \equiv \frac { 1 } { 2 } \Lambda \mathbb { g } _ { \mu \nu } ~ ,
[ L _ { m } - \tilde { L } _ { - m } , ~ \alpha _ { n } ^ { \phi } + \tilde { \alpha } _ { - n } ^ { \phi } ] = - n ( \alpha _ { m + n } ^ { \phi } + \tilde { \alpha } _ { - ( m + n ) } ^ { \phi } - i Q \delta _ { m + n , 0 } ) .
\mathcal { d } _ { a b } ^ { ( j ) } = \frac { 1 } { \Sigma } \iint \mathrm { d } \Sigma ~ \frac { \chi _ { a } \chi _ { b } } { \sqrt { 1 + | \nabla \xi | ^ { 2 } } } \frac { \cosh [ k _ { b } ( \xi - h _ { j } ) ] } { \cosh ( k _ { b } h _ { j } ) } .
\frac { \mathrm { d } \rho } { \mathrm { d } t } = - i [ \mathrm { \hat { H } } , \rho ] + \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \Gamma _ { j , j - 1 } \left( \mathrm { C } _ { j } \rho \mathrm { C } _ { j } ^ { \dag } - \frac { 1 } { 2 } \{ \rho , \mathrm { C } _ { j } \mathrm { C } _ { j } ^ { \dag } \} \right)
T _ { f i } ^ { t w } ( \varkappa , \mathbf { q , b } ) = ( - i ) ^ { m } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { d \phi _ { p } } { 2 \pi } e ^ { i m \phi _ { p } } T _ { f i } ^ { p w } ( \mathbf { q } ) .
\left\{ \begin{array} { r l } { \frac { d \rho } { d t } } & { { } = - \rho \nabla \cdot \textbf { v } } \\ { \frac { d \textbf { v } } { d t } } & { { } = - \frac { 1 } { \rho } \nabla p + \textbf { a } _ { \nu } + \textbf { g } , } \end{array} \right.
x _ { n + 1 } = x _ { n } + \Delta t ( - 0 . 2 5 \, x _ { n } ^ { 3 } + 0 . 5 \, x _ { n } ) + ( 0 . 2 \, x _ { n } ^ { 2 } + 0 . 5 ) \Delta \xi _ { n + 1 } ^ { H } \, ,
\mathfrak { h } _ { 3 } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { x + \pi , ~ } & { x \in [ - \pi , - \pi + \frac { 1 } { 2 } ) } \\ { \frac { x } { - 2 \pi + 3 } + \frac { 1 } { - 2 \pi + 3 } , ~ } & { x \in [ - \pi + \frac { 1 } { 2 } , - \frac { 1 } { 2 } ) } \\ { \frac { x } { 2 \pi - 3 } , ~ } & { x \in [ - \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } ) } \\ { \frac { x } { - 2 \pi + 3 } - \frac { 1 } { - 2 \pi + 3 } , ~ } & { x \in [ \frac { 1 } { 2 } , \pi - \frac { 1 } { 2 } ) } \\ { x - \pi , ~ } & { x \in [ \pi - \frac { 1 } { 2 } , \pi ] } \end{array} \right.
\frac { S } { C + ( S - C ) \exp \big [ \frac { 1 } { 2 } \Delta \chi ^ { 2 } ( \theta _ { t } \mid x ) \big ] } \le w ( x \mid \theta _ { t } ) \le \frac { S } { C + \exp \big [ \frac { 1 } { 2 } \Delta \chi ^ { 2 } ( \theta _ { t } \mid x ) - \frac { \epsilon } { 2 } \big ] } .
D _ { \alpha } A ^ { a } = \partial _ { \alpha } A ^ { a } + R _ { \alpha \, b } ^ { a } \, A ^ { b } ; \qquad \mathrm { a n d } \qquad D _ { \alpha } A _ { a } = \partial _ { \alpha } A _ { a } - A _ { b } \, R _ { \alpha \, a } ^ { b } .
g _ { 3 } ( \tau ) = { \frac { 4 } { 2 7 } } \pi ^ { 6 } { \sqrt { \frac { ( a ^ { 8 } + b ^ { 8 } + c ^ { 8 } ) ^ { 3 } - 5 4 ( a b c ) ^ { 8 } } { 2 } } }
H _ { \boldsymbol \theta _ { 1 } } = x ^ { 2 } + p ^ { 2 } , H _ { \boldsymbol \theta _ { 2 } } = H _ { \boldsymbol \theta _ { 1 } } ^ { 2 } = x ^ { 4 } + 2 x ^ { 2 } p ^ { 2 } + p ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l r } { \Delta E = E _ { 0 } + \eta } & { = } & { e ( V _ { \mathrm { d l } } + V _ { \mathrm { q } } ) , } \\ { C _ { \mathrm { d l } } V _ { \mathrm { d l } } } & { = } & { C _ { \mathrm { q } } V _ { \mathrm { q } } , } \\ { C _ { \mathrm { q } } } & { = } & { e ^ { 2 } \int \mathcal { D } ( \epsilon ) F _ { \mathrm { t } } ( \epsilon - e V _ { \mathrm { q } } ) \mathrm { d } \epsilon , } \end{array}
\left| { z _ { d } } ^ { d b } \right| \cong r \: \frac { m _ { d } m _ { b } } { { m _ { b ^ { \prime } } } ^ { 2 } } \frac { J _ { d } J _ { b } } { { m _ { b ^ { \prime } } } ^ { 0 } M } \left( 1 + \frac { \left| J _ { b } \right| ^ { 2 } } { { { m _ { b ^ { \prime } } } ^ { 0 } } ^ { 2 } + \left| J _ { d } \right| ^ { 2 } } \right) \: .
\frac { 1 } { \Gamma _ { 0 } } \, \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } \Gamma } { \mathrm { d } z \, \mathrm { d } \hat { p } ^ { 2 } } = \frac { 1 } { \pi } \, \mathrm { I m } \, T ( z , \hat { p } ^ { 2 } + i \epsilon ) \, ,
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { E } [ W _ { t _ { 1 } } \cdot W _ { t _ { 2 } } ] } & { = \operatorname { E } \left[ W _ { t _ { 1 } } \cdot ( ( W _ { t _ { 2 } } - W _ { t _ { 1 } } ) + W _ { t _ { 1 } } ) \right] } \\ & { = \operatorname { E } \left[ W _ { t _ { 1 } } \cdot ( W _ { t _ { 2 } } - W _ { t _ { 1 } } ) \right] + \operatorname { E } \left[ W _ { t _ { 1 } } ^ { 2 } \right] . } \end{array} }
\mathrm { ~ M ~ S ~ E ~ } _ { S I R } = \frac { 1 } { s } \sum _ { i = 1 } ^ { s } ( \left| S _ { i } - S _ { i } ^ { o } \right| ^ { 2 } + \left| I _ { i } - I _ { i } ^ { o } \right| ^ { 2 } + \left| R _ { i } - R _ { i } ^ { o } \right| ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial P ( L , \tau | \widehat { L } _ { 0 } , t _ { 0 } , \widehat { L } _ { f } , t _ { f } ) } { \partial \tau } } & { { } = \frac { \partial } { \partial L } \left[ \left( f ( L ) - D \frac { \partial } { \partial L } \log P ^ { \mathrm { f w } } ( L , T - \tau | \widehat { L } _ { f } , 0 ) \right) P ( L , \tau | \widehat { L } _ { 0 } , t _ { 0 } , \widehat { L } _ { f } , t _ { f } ) \right] } \end{array}
\tau _ { \mathrm { i c e } } \dot { I } = \Delta \operatorname { t a n h } \left( \frac { I } { h } \right) - R _ { 0 } \Theta ( I ) \; I - L _ { 0 } + L _ { 1 } \theta - L _ { 2 } \; I + \xi _ { t } ,
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k = 0 } ^ { n } \lambda _ { k } ^ { 2 } \left\Vert g _ { k } \right\Vert _ { A _ { k } ^ { - 1 } } ^ { 2 } } & { \leq \frac { 1 } { 2 } d _ { n + 1 } ^ { 2 } \sum _ { k = 0 } ^ { n } \left\Vert g _ { k } \right\Vert _ { A _ { k } ^ { - 1 } } ^ { 2 } } \\ & { \overset { \leq } d _ { n + 1 } ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { p } \sqrt { G _ { \infty } ^ { 2 } + \sum _ { k = 0 } ^ { n - 1 } g _ { k i } ^ { 2 } } } \\ & { = d _ { n + 1 } ^ { 2 } \left\Vert a _ { n + 1 } \right\Vert _ { 1 } . } \end{array}
R _ { \mathrm { S K } } ^ { \mu \tau } ( T _ { \mathrm { S K } } ) = \Phi _ { \mathrm { B } } \, \overline { { \sigma } } _ { \mu \tau } \int d E _ { \nu } \, \varrho _ { \mu \tau } \, ( 1 - P _ { e e } - P _ { e s } ) ,
\omega _ { + } ^ { - Y ^ { \prime } } ( x , \theta ^ { + } , u ) = \tau _ { + } ^ { - Y ^ { \prime } } ( x , u ) + \theta _ { + } ^ { + A ^ { \prime } } l _ { A ^ { \prime } } ^ { -- Y ^ { \prime } } ( x , u ) + i ( \theta _ { + } ^ { + } ) ^ { 2 } \mu _ { - } ^ { - 3 Y ^ { \prime } } ( x , u ) \; .
( f _ { 1 } \star f _ { 2 } ) ( x ) = \left[ \exp \left( \frac { i } { 2 } \theta ^ { \mu \nu } \partial _ { \mu } ^ { x } \partial _ { \nu } ^ { y } \right) f _ { 1 } ( x ) f _ { 2 } ( y ) \right] _ { y = x } .
\begin{array} { r } { \dot { \mathrm { D } } _ { p } ^ { s } ( \mathring { \Delta } _ { \mathcal { H , \mathfrak { t } } } , \Lambda ^ { k } ) \simeq \dot { \mathrm { D } } _ { p } ^ { s } ( \mathring { \Delta } _ { \mathcal { D } } ) ^ { \binom { n - 1 } { k - 1 } } \times \dot { \mathrm { D } } _ { p } ^ { s } ( \mathring { \Delta } _ { \mathcal { N } } ) ^ { \binom { n - 1 } { k } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta _ { 3 / 4 } ^ { \prime } = } & { ( \frac { 2 \hbar \omega } { 9 U _ { \mathrm { p } } } ) ^ { 3 / 4 } \frac { 1 } { 1 2 0 ( \zeta _ { n } - \zeta _ { 0 } ) ^ { 3 / 2 } } } \\ & { [ 2 3 \zeta _ { 0 } ^ { 2 } ( 2 \zeta _ { 0 } - 3 \zeta _ { n } ) + \zeta _ { n } ^ { 2 } ( 3 0 \zeta _ { 0 } - 1 7 \zeta _ { n } ) ] , } \\ { \delta _ { 3 / 4 } = } & { - ( \frac { 2 \hbar \omega } { 9 U _ { \mathrm { p } } } ) ^ { 3 / 4 } \frac { 1 } { 1 2 0 ( \zeta _ { n } - \zeta _ { 0 } ) ^ { 3 / 2 } } } \\ & { [ \zeta _ { 0 } ^ { 2 } ( 1 7 \zeta _ { 0 } - 3 0 \zeta _ { n } ) + 2 3 \zeta _ { n } ^ { 2 } ( 3 \zeta _ { 0 } - 2 \zeta _ { n } ) ] . } \end{array}
\mathbf { p } ^ { n + 1 / 2 } = \mathbf { p } _ { L } ^ { n + 1 / 2 } + \mathbf { p } _ { R } ^ { n + 1 / 2 } - \mathbf { p } ^ { n - 1 / 2 } = \mathbf { p } _ { L } ^ { n + 1 / 2 } + \mathbf { F } _ { R } ^ { n } \Delta t .
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } _ { n } = } & { { } \frac { i } { \hbar } \frac { 1 } { T _ { \mathrm { T H z } } } \int _ { 0 } ^ { T _ { \mathrm { T H z } } } d t e ^ { i ( \Omega + n \omega ) t } \int \frac { d ^ { D } { \bf P } } { ( 2 \pi ) ^ { D } } \int _ { - \infty } ^ { t } d t ^ { \prime } { \bf d } ^ { * } } \end{array}
[ { \hat { S } } _ { \mu } , { \hat { Y } } _ { m } ^ { J } ] = \sqrt { J ( J + 1 ) } C _ { m \mu ( m + \mu ) } ^ { J 1 J } { \hat { Y } } _ { m + \mu } ^ { J } , \quad ( \mu = \pm , 0 , \; { \hat { S } } _ { 0 } \equiv { \hat { S } } _ { 3 } ) .
I _ { \pi \gamma \gamma } ( q _ { 1 } ^ { 2 } , q _ { 2 } ^ { 2 } , p ^ { 2 } ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d u u \tilde { F } ( - u ; \Lambda ^ { 2 } ) } { M _ { q } ^ { 2 } + u - \frac { p ^ { 2 } } { 4 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d \alpha \left[ \frac { 1 } { \sqrt { b ^ { 4 } - a _ { + } ^ { 4 } } \left( b ^ { 2 } + \sqrt { b ^ { 4 } - a _ { + } ^ { 4 } } \right) } + \frac { 1 } { \sqrt { b ^ { 4 } - a _ { - } ^ { 4 } } \left( b ^ { 2 } + \sqrt { b ^ { 4 } - a _ { - } ^ { 4 } } \right) } \right] ,
\begin{array} { r l r } & { } & { { \cal V } _ { L } ( \psi , \lambda ) = \lambda \sum _ { \alpha , \alpha ^ { \prime } = 1 , 2 } \ \int _ { \Lambda _ { \beta , L } } d ^ { 3 } x \ \psi _ { x , \uparrow , \alpha } ^ { + } \psi _ { x , \uparrow , \alpha ^ { \prime } } ^ { - } \psi _ { x , \downarrow , \alpha } ^ { + } \psi _ { x , \downarrow , \alpha ^ { \prime } } ^ { - } } \\ & { } & { \quad \quad + \frac { 1 } { \beta | \Lambda _ { L } | } \sum _ { k \in { \cal D } _ { \beta , L } } \sum _ { \alpha , \alpha ^ { \prime } = 1 , 2 } \sum _ { \tau = \uparrow , \downarrow } [ \delta \mu ( \lambda ) \delta _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } + \nu _ { \alpha \alpha ^ { \prime } } ( { \bf k } , \lambda ) ] \hat { \psi } _ { k , \tau , \alpha } ^ { + } \hat { \psi } _ { k , \tau , \alpha ^ { \prime } } ^ { - } } \end{array}
\begin{array} { r l } { k } & { { } \approx \frac { 1 } { 4 \pi } \ln { \left[ \frac { r _ { 2 } \left[ 2 + \eta \phi \right] } { h \phi } \right] } = \frac { 1 } { 4 \pi } \ln { \left[ \frac { 2 + \eta \phi } { \eta \phi } \right] } = \frac { 1 } { 4 \pi } \ln { \left[ 1 + \frac { 2 } { \eta \phi } \right] } . } \end{array}
\widehat { \mathcal { G } } _ { ( i ) } \equiv - \frac { 1 } { n } \sum _ { t = 1 } ^ { n } v _ { ( i ) , t } x _ { ( i ) , t } \mathrm { , ~ } \widehat { \mathcal { H } } _ { ( i ) } \equiv \frac { 1 } { n } \sum _ { t = 1 } ^ { n } x _ { ( i ) , t } x _ { ( i ) , t } ^ { \prime } \mathrm { , ~ \ } \mathcal { H } _ { ( i ) } \equiv E \left[ x _ { ( i ) , t } x _ { ( i ) , t } ^ { \prime } \right] ,
K ( z , \overline { { { z } } } , t , \overline { { { t } } } ) = F ( z , \overline { { { z } } } , v , \overline { { { v } } } , w ) - t v - \overline { { { t } } } \overline { { { v } } } , \ \, f r a c { \partial F } { \partial v } = t , \frac { \partial F } { \partial \overline { { { v } } } } = \overline { { { t } } } .
\begin{array} { r l } { \sum _ { p = 1 } ^ { n } \cos ^ { 2 } ( p \theta ) } & { = \frac { n } { 2 } \, } \\ { \sum _ { p = 1 } ^ { n } \cos ^ { 2 } ( p \theta ) } & { = n - \sum _ { p = 1 } ^ { n } \cos ^ { 2 } ( p \theta ) \, } \\ { \sum _ { p = 1 } ^ { n } \cos ^ { 2 } ( p \theta ) } & { = \sum _ { p = 1 } ^ { n } \left[ 1 - \cos ^ { 2 } ( p \theta ) \right] \, } \\ { \sum _ { p = 1 } ^ { n } \cos ^ { 2 } ( p \theta ) } & { = \sum _ { p = 1 } ^ { n } \sin ^ { 2 } ( p \theta ) \, } \end{array}
p ( s ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { 2 ^ { s + 1 } } , } & { s < s _ { \mathrm { m a x } } } \\ { \frac { 1 } { 2 ^ { s } } , } & { s = s _ { \mathrm { m a x } } . } \end{array} \right.
Y _ { \ell } ^ { m } ( \theta , \varphi ) = ( - 1 ) ^ { m } { \sqrt { { \frac { ( 2 \ell + 1 ) } { 4 \pi } } { \frac { ( \ell - m ) ! } { ( \ell + m ) ! } } } } \, P _ { \ell m } ( \cos { \theta } ) \, e ^ { i m \varphi }
\begin{array} { r l } { \widetilde m _ { M } ( f ) } & { = \frac { 1 } { 4 } \left( f ( 2 ) + f ( - 2 ) \right) - \frac { 1 } { 2 } \tau _ { 0 } ( f ) + ( w _ { 2 } - 2 ) \tau _ { 2 } ( f ) + ( \widetilde { w _ { 4 } } - 3 ) \tau _ { 4 } ( f ) } \\ & { \qquad + \sum _ { s = 1 } ^ { k } \sqrt { \omega _ { s } F _ { g , d } } \tau _ { 1 } ( f ) + \omega _ { s } G ^ { H } \tau _ { 2 } ( f ) + \sum _ { s = 1 } ^ { k } \sum _ { \ell = 3 } ^ { \infty } \sqrt { ( \omega _ { s } F _ { g } ) ^ { \ell } } \tau _ { \ell } ( f ) , } \end{array}
\begin{array} { l l } { { K _ { 1 } ^ { u } = 0 } } & { { K _ { 1 } ^ { v } = - \sin u } } \\ { { K _ { 2 } ^ { u } = 0 } } & { { K _ { 2 } ^ { v } = \cos u } } \\ { { K _ { 3 } ^ { u } = \sin v } } & { { K _ { 3 } ^ { v } = 0 } } \\ { { K _ { 4 } ^ { u } = - \cos v } } & { { K _ { 4 } ^ { v } = 0 . } } \end{array}
\eta _ { i } ^ { \mathrm { K I } } = \left. E ^ { \mathrm { D F T } } \right| _ { f _ { i } = 1 } - \left. E ^ { \mathrm { D F T } } \right| _ { f _ { i } = 0 } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \langle \varphi _ { i } \vert \hat { h } ^ { \mathrm { D F T } } ( f ) \vert \varphi _ { i } \rangle d f
\begin{array} { r l } { \exp \Big ( - \frac { a _ { \ell } ^ { 2 } } { 4 t } } & { + \frac { 2 } { 3 } [ \mathfrak { L } _ { \ell } ( 0 ) ] ^ { 3 / 2 } - \frac { 2 } { 3 } [ \mathfrak { L } _ { \ell } ( 0 ) - a _ { \ell } ] ^ { 3 / 2 } } \\ { + O _ { k } } & { ( t \gamma ^ { 2 / 3 } \log ( \gamma ) + t ^ { 3 } + t \mathfrak { L } _ { \ell } ( 0 ) + \frac { a _ { \ell } } { t } + \gamma ^ { 2 / 3 } \sqrt { \mathfrak { L } _ { \ell } ( 0 ) } + \gamma ) \Big ) . } \end{array}