harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathsfit { C } = \left( \begin{array} { l l l } { \langle r _ { 0 } r _ { 0 } \rangle _ { \mathfrak { p } , \beta } ^ { \mathrm { c } } } & { 0 } & { \langle r _ { 0 } V _ { \mathrm { c h , 0 } } \rangle _ { \mathfrak { p } , \beta } ^ { \mathrm { c } } } \\ { 0 } & { \beta ^ { - 1 } } & { 0 } \\ { \langle r _ { 0 } V _ { \mathrm { c h , 0 } } \rangle _ { \mathfrak { p } , \beta } ^ { \mathrm { c } } } & { 0 } & { \langle e _ { 0 } e _ { 0 } \rangle _ { \mathfrak { p } , \beta } ^ { \mathrm { c } } } \end{array} \right)
s = \left( \begin{array} { c c } { i \tau \nu _ { r } ^ { \left( 1 \right) } / \pi } & { - i \exp \left( i \arg \Omega \right) } \\ { - i \exp \left( - i \arg \Omega \right) } & { - i \tau \nu _ { r } ^ { \left( 1 \right) } / \pi } \end{array} \right) .
\Big [ - \frac { \nabla ^ { 2 } } { 2 } + V _ { \mathrm { e x t } } ( { \bf r } ) + V _ { \mathrm { H x c } } ( { \bf r } ) \Big ] \phi _ { i } ( { \bf r } ) = \epsilon _ { i } \, \phi _ { i } ( { \bf r } ) \, ,
\left< \nu ( k ^ { \prime } ) \left| \widehat T _ { \mu \nu } ( 0 ) \right| \nu ( k ) \right> = \overline { { u } } _ { L } ( k ^ { \prime } ) \Gamma _ { \mu \nu } ^ { ( \nu ) } ( k , k ^ { \prime } ) u _ { L } ( k ) \, .
C ( z ) = \epsilon y _ { i } \Theta _ { \epsilon } ( X ^ { 0 } ( z ) ) \partial _ { n } X ^ { i } ( z ) , \qquad D ( z ) = \epsilon u _ { i } X ^ { 0 } ( z ) \Theta _ { \epsilon } ( X ^ { 0 } ( z ) ) \partial _ { n } X ^ { i } ( z ) ,
\frac { \partial Y _ { a } } { \partial v } u ^ { \mu } \nabla _ { \mu } v + \frac { \partial Y _ { a } } { \partial \mathfrak { s } } u ^ { \mu } \nabla _ { \mu } \mathfrak { s } + \frac { \partial Y _ { a } } { \partial \mathbb { A } ^ { b } } u ^ { \mu } \nabla _ { \mu } \mathbb { A } ^ { b } = v \Xi _ { a b } \mathbb { A } ^ { b } \, .
D _ { \eta } ^ { i } \equiv D ^ { i } = \frac { \partial } { \partial \eta _ { i } } - i \bar { \eta } ^ { i } \frac { \partial } { \partial t } \quad , \quad \bar { D } _ { \eta \, i } \equiv \bar { D } _ { i } = \frac { \partial } { \partial \bar { \eta } ^ { i } } - i \eta _ { i } \frac { \partial } { \partial t }
j ( { \bf x } ^ { \prime } - { \bf x } _ { k } ) = \left( \frac { \alpha } { \pi } \right) ^ { 3 / 4 } \, \mathrm { \exp } \left( \frac { - \alpha ( { \bf x } ^ { \prime } - { \bf x } _ { k } ) ^ { 2 } } { 2 } \right) ,
{ \cal L } = \frac { 1 } { 2 } ( \partial \phi _ { 0 } ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } m _ { 0 } ^ { 2 } \phi _ { 0 } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 ! } \lambda _ { 0 } \phi _ { 0 } ^ { 4 } ,
\left[ \bar { f } _ { i } ( \mathbf { r } , \omega , t ) , \bar { f } _ { j } ^ { \dagger } ( \mathbf { r } ^ { \prime } , \omega ^ { \prime } , t ) \right] = \delta _ { i j } \delta ( \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } ) \delta ( \omega - \omega ^ { \prime } ) \, e ^ { i ( \omega - \omega ^ { \prime } ) t } .
\iint _ { D } \left( { \frac { \partial u } { \partial x } } - { \frac { \partial v } { \partial y } } \right) \, d x \, d y = \iint _ { D } \left( { \frac { \partial u } { \partial x } } - { \frac { \partial u } { \partial x } } \right) \, d x \, d y = 0
{ \mathcal { L } } _ { \mathrm { H } } = \varphi ^ { \dagger } \left( \partial ^ { \mu } - { \frac { i } { 2 } } \left( g ^ { \prime } Y _ { \mathrm { W } } B ^ { \mu } + g { \vec { \tau } } { \vec { W } } ^ { \mu } \right) \right) \left( \partial _ { \mu } + { \frac { i } { 2 } } \left( g ^ { \prime } Y _ { \mathrm { W } } B _ { \mu } + g { \vec { \tau } } { \vec { W } } _ { \mu } \right) \right) \varphi - { \frac { \lambda ^ { 2 } } { 4 } } \left( \varphi ^ { \dagger } \varphi - v ^ { 2 } \right) ^ { 2 } ,
V = \mu ^ { 2 } ( \Phi _ { 1 } ^ { 2 } + \Phi _ { 2 } ^ { 2 } ) + \frac { g ^ { 2 } + g ^ { \prime 2 } } { 8 } ( \Phi _ { 1 } ^ { 2 } + \Phi _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + \frac { g ^ { 2 } } { 2 } \left| \Phi _ { 1 } ^ { * } \cdot \Phi _ { 2 } \right| ^ { 2 } \; .
\begin{array} { r l } { \Delta ( \Xi - \Phi ) ( x _ { 1 } \odot \cdots \odot x _ { k } ) } & { = \sum _ { j = 1 } ^ { k } \sum _ { \sigma \in \mathfrak { S } _ { ( j , k - j ) } } \epsilon ( \sigma ) \Xi ( x _ { \sigma ( 1 ) } \odot \cdots \odot x _ { \sigma ( j ) } ) \otimes \Xi ( x _ { \sigma ( j + 1 ) } \odot \cdots \odot x _ { \sigma ( k ) } ) } \\ & { - \sum _ { j = 1 } ^ { k } \sum _ { \sigma \in \mathfrak { S } _ { ( j , k - j ) } } \epsilon ( \sigma ) ( \Phi ( x _ { \sigma ( 1 ) } \odot \cdots \odot x _ { \sigma ( j ) } ) \otimes \Phi ( x _ { \sigma ( j + 1 ) } \odot \cdots \odot x _ { \sigma ( k ) } ) } \\ & { = \left( ( \Xi - \Phi ) \otimes \Phi + \Xi \otimes ( \Xi - \Phi ) \right) \circ \Delta ^ { \prime } ( x _ { 1 } \odot \cdots \odot x _ { k } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { 1 } { 2 } \Vert z _ { t } \Vert ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } t ( 1 - t ) \Vert x - y \Vert ^ { 2 } - ( 1 - t ) \frac { 1 } { 2 } \Vert x \Vert ^ { 2 } - t \frac { 1 } { 2 } \Vert y \Vert ^ { 2 } } \\ { = } & { } & { ( 1 - t ) ^ { 2 } \Vert x \Vert ^ { 2 } + t ^ { 2 } \Vert y \Vert ^ { 2 } + 2 t ( 1 - t ) \langle x , y \rangle + t ( 1 - t ) \Vert x \Vert ^ { 2 } + t ( 1 - t ) \Vert y \Vert ^ { 2 } - 2 t ( 1 - t ) \langle x , y \rangle } \\ & { - } & { ( 1 - t ) \Vert x \vert ^ { 2 } - t \Vert y \Vert ^ { 2 } } \\ { = } & { } & { \Vert x \Vert ^ { 2 } \left( ( 1 - t ) ^ { 2 } + t ( 1 - t ) - ( 1 - t ) \right) + \Vert y \Vert ^ { 2 } \left( t ^ { 2 } + t ( 1 - t ) - t \right) } \\ { = } & { } & { 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } \left( S \! \! \to \! \! W \right) } & { \leq \sum _ { t = 1 } ^ { T } \log \left( f _ { t } ( 0 ) V _ { 1 } ( d , R _ { t } ) + \int _ { \overline { { \mathcal { B } _ { 1 } } } ( 0 , R _ { t } ) } \operatorname* { s u p } _ { x _ { t } \in \mathcal { B } _ { 1 } ( 0 , R _ { t } ) } f _ { t } ( w _ { t } - x _ { t } ) \mathrm { d } w _ { t } \right) } \\ & { = \sum _ { t = 1 } ^ { T } \log \left( \frac { V _ { 1 } ( d , R _ { t } ) } { ( \lambda _ { t } / 2 ) ^ { d } } + \int _ { \overline { { \mathcal { B } _ { 1 } } } ( 0 , R _ { t } ) } \operatorname* { s u p } _ { x _ { t } \in \mathcal { B } _ { 1 } ( 0 , R _ { t } ) } \left( \frac { \lambda _ { t } } { 2 } \right) ^ { d } \exp \left\lbrace - \lambda \| w _ { t } - x _ { t } \| _ { 1 } \right\rbrace \mathrm { d } w _ { t } \right) . } \end{array}
[ \Sigma _ { x } \Sigma _ { y } ] = \frac { 1 } { { 2 \pi } } \frac { { \int { R _ { x , y } ( \delta _ { x } , \delta _ { y } ) \, \mathrm { d } \delta _ { x } \, \mathrm { d } \delta _ { y } } } } { { R _ { x , y } ( 0 , 0 ) } } ~ .
M = \operatorname* { d e t } \left[ \begin{array} { l l } { H _ { \parallel } ^ { \parallel } ( V , \xi ) } & { H _ { \nu } ^ { \parallel } ( V , \xi ) } \\ { H _ { \parallel } ^ { \mu } ( V , \xi ) } & { H _ { \nu } ^ { \mu } ( V , \xi ) } \end{array} \right] ,
\eta ( \mu = 0 , B ) = \frac { { \cal B } \! + \! { \cal B } _ { 1 } \gamma _ { B } ^ { 2 } } { 1 \! + \! { \cal B } _ { 2 } \gamma _ { B } ^ { 2 } } \frac { T ^ { 2 } } { \alpha _ { g } ^ { 2 } v _ { g } ^ { 2 } } , \qquad \gamma _ { B } = \frac { | e | v _ { g } ^ { 2 } B } { \alpha _ { g } ^ { 2 } c T ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { m _ { 2 k } = } & { \sum _ { \pi = B _ { 1 } \sqcup . . . \sqcup B _ { m } \in \mathfrak { N C } ( 2 k ) } W ( \pi ) \prod _ { B \in \pi } k _ { | B _ { i } | } } \\ { \xrightarrow [ q \gamma \rightarrow \infty ] { \gamma \rightarrow 0 } } & { \sum _ { \Tilde { \pi } = \Tilde { B } _ { 1 } \sqcup . . . \sqcup \Tilde { B } _ { m } \in N C ( k ) } \prod _ { i = 1 } ^ { m } \Big [ ( Q _ { i } + 1 ) \cdots ( P _ { i } ) \cdot k _ { | \Tilde { B } _ { i } | } ^ { ' } \Big ] } \\ { = } & { \operatorname* { l i m } _ { \gamma \rightarrow 0 } \sum _ { \Tilde { \pi } = \Tilde { B } _ { 1 } \sqcup . . . \sqcup \Tilde { B } _ { m } \in N C ( k ) } \prod _ { i = 1 } ^ { m } \Big [ ( \gamma + Q _ { i } + 1 ) \cdots ( \gamma + P _ { i } ) \cdot k _ { | \Tilde { B } _ { i } | } ^ { ' } \Big ] } \\ { = } & { \operatorname* { l i m } _ { \gamma \rightarrow 0 } \mathrm { T } _ { k \rightarrow m } ^ { \gamma } ( \{ k _ { l } ^ { ' } \} _ { l = 1 } ^ { \infty } ) _ { k } = \mathrm { T } _ { k \rightarrow m } ^ { 0 } ( \{ k _ { l } ^ { ' } \} _ { l = 1 } ^ { \infty } ) _ { k } } \\ { = } & { \sum _ { \pi ^ { ' } = B _ { 1 } ^ { ' } \sqcup . . . \sqcup B _ { m } ^ { ' } \in P ( k ) } \prod _ { i = 1 } ^ { m } k _ { | B _ { i } ^ { ' } | } ^ { ' } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle \xi _ { a s } ( t , k ) \rangle } & { { } = } & { 0 , } \\ { \langle \xi _ { a c } ( t , q ) \rangle } & { { } = } & { 0 , } \\ { \langle \xi _ { a s } ^ { \dagger } ( t _ { 1 } , k ) \xi _ { a s } ( t _ { 2 } , k ) \rangle } & { { } = } & { 0 , } \\ { \langle \xi _ { a c } ^ { \dagger } ( t _ { 1 } , q ) \xi _ { a c } ( t _ { 2 } , q ) \rangle } & { { } = } & { n _ { t h } \delta ( t _ { 1 } - t _ { 2 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { g _ { p } ( [ \mathbf { p } _ { k } ] _ { i } , [ \mathbf { w } _ { p } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { i } , \gamma _ { p k } , \alpha _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } ) : = \mathbf { f } _ { p } ^ { \mathrm { i n } } ( [ \mathbf { p } _ { k } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { i } , [ \mathbf { p } _ { k } ^ { \mathrm { o u t } } ] _ { i } , [ \mathbf { w } _ { p } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { i } , \gamma _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } , \gamma _ { p k } ^ { \mathrm { o u t } } ) - \alpha _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } [ \mathbf { p } _ { k } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { i } , } \end{array}
\theta [ \widetilde { \mathbb { W } } , \kappa ] ( x ) = \mathbb { E } [ \, \mathcal { A } [ \widetilde { \mathbb { W } } , \kappa ; \gamma , \varphi , x ] \mid X = x ] , \mathrm { ~ w h e r e ~ } \mathcal { A } [ \widetilde { \mathbb { W } } , \kappa ; \gamma , \varphi , x ] \equiv \sum _ { w \, \in \, \widetilde { \mathbb { W } } } \, \, \kappa _ { w } \, \frac { \mathcal { A } _ { w } [ \widetilde { \mathbb { W } } , \kappa ; \gamma , \varphi , x ] } { \varphi ( w , x ) }
\begin{array} { r l } { \langle \partial _ { \sigma } \widehat { \mathcal { P } _ { 0 , \gamma } } ( \sigma ) | _ { ( 0 , 0 ) } \omega _ { s _ { 0 } } , \omega _ { s _ { 0 } } ^ { * } \rangle } & { = - i \langle [ \mathcal { P } _ { 0 } , t _ { 0 , * } ] \omega _ { s _ { 0 } } , \omega _ { s _ { 0 } } ^ { * } \rangle = - i \langle [ \mathcal { P } _ { 0 } , v ] \omega _ { s _ { 0 } } , \omega _ { s _ { 0 } } ^ { * } \rangle = - 2 \pi i } \end{array}
\alpha L = \frac { 1 } { 2 } \left[ ( \nabla \theta ) ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta \right] \simeq \frac { 1 } { 2 } \left[ \left( \nabla \theta \right) ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } \theta ^ { 2 } + \omega ^ { 2 } \right] \, .
H ( \eta , x ) = \frac { 1 } { ( x _ { 1 2 } ^ { 2 } x _ { 3 4 } ^ { 2 } x _ { 1 3 } ^ { 2 } x _ { 2 4 } ^ { 2 } x _ { 1 4 } ^ { 2 } x _ { 2 3 } ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 3 } \eta } } .
{ \Psi } ^ { ( j ) } = \left[ \begin{array} { c } { { { \psi } _ { j } } } \\ { { - { \mathrm { i } } { \sigma } ^ { 2 } { \psi } _ { j + n } ^ { \dagger T } } } \end{array} \right] \qquad ( j = 1 , \ldots , n ) \ .
\hat { G } _ { c } ( t , x ) = { \frac { | t | } { 2 L } } \Big [ \theta ( t ) \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } e x p \big ( { \frac { - i \pi n } { L } } ( t + x ) \big ) + \theta ( - t ) \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } e x p \big ( { \frac { i \pi n } { L } } ( t + x ) \big ) \Big ] .
\mathbb { E } [ \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \langle u ( t ) , g _ { 1 } \rangle { \langle u ( t ) , g _ { 2 } \rangle } ] = \int _ { \mathbb R _ { k } ^ { d } } \chi _ { | k | > \kappa } \, | k | ^ { - ( 2 H + d ) } \, \left( C ( d , H ) - { \widehat { \mathcal { J } } } _ { H } ( k ) \right) \, \widehat { g _ { 1 } } ( k ) \, \overline { { \widehat { g _ { 2 } } ( k ) } } \, d k
\begin{array} { r } { \frac { \partial ^ { 2 } h ( r , \sigma ; \varepsilon ) } { \partial ^ { 2 } r } \bigg | _ { r = r _ { \star } } = - \frac { 2 ( 1 - \varepsilon ) \varepsilon \left( \frac { 1 + \varepsilon } { 1 - \varepsilon } \right) ^ { - \frac { ( 1 - \varepsilon ) ^ { 2 } } { 4 \varepsilon } } \sqrt { \frac { \log \left( \frac { 1 + \varepsilon } { 1 - \varepsilon } \right) } { \varepsilon } } } { \sqrt { \pi } \sigma ^ { 2 } } < 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { 0 } } & { = \frac { 1 } { 6 } \cdot \left( 2 r - 1 \right) } \\ { c _ { 1 } } & { = \frac { 1 } { 5 r } \cdot \left( \frac { 4 } { 3 } r ^ { 2 } - \frac { 7 } { 1 2 } \right) } \\ { c _ { 2 } } & { = \frac { 1 } { 4 r ^ { 2 } } \cdot \left( \frac { 1 5 2 } { 1 3 5 } r ^ { 3 } + \frac { 7 } { 4 5 } r - \frac { 1 4 } { 2 7 } \right) } \\ { c _ { 3 } } & { = \frac { 1 } { 3 r ^ { 3 } } \cdot \left( \frac { 7 7 8 } { 6 7 5 } r ^ { 4 } + \frac { 4 9 } { 9 0 0 } r ^ { 2 } + \frac { 7 } { 2 7 } r - \frac { 1 9 8 1 } { 3 6 0 0 } \right) } \\ { c _ { 4 } } & { = \frac { 1 } { 2 r ^ { 4 } } \cdot \left( \frac { 1 1 2 } { 7 5 } r ^ { 5 } + \frac { 1 3 3 } { 4 0 5 0 } r ^ { 3 } + \frac { 7 } { 1 3 5 } r ^ { 2 } + \frac { 1 9 8 1 } { 5 4 0 0 } r - \frac { 1 0 4 3 } { 1 6 2 0 } \right) } \\ { c _ { 5 } } & { = \frac { 1 } { r ^ { 5 } } \cdot \left( \frac { 2 7 0 5 6 } { 1 0 1 2 5 } r ^ { 6 } + \frac { 2 8 6 3 } { 1 2 1 5 0 0 } r ^ { 4 } + \frac { 2 8 } { 1 2 1 5 } r ^ { 3 } + \frac { 1 9 8 1 } { 8 1 0 0 0 } r ^ { 2 } + \frac { 1 0 4 3 } { 2 4 3 0 } r - \frac { 1 9 3 4 1 7 } { 2 4 3 0 0 0 } \right) } \\ { r } & { = 8 ^ { - 1 / 7 } } \end{array}
\left. \widehat { A } \right| _ { r = 0 } = \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \left( \widehat { a } _ { \nu } A _ { 0 , \nu } + \widehat { a } _ { \nu } ^ { \dagger } A _ { 0 , \nu } ^ { * } \right) \mathrm { d } \nu
\begin{array} { r } { \theta = a + b \cdot T , \quad \psi = c ( \theta - \theta \ln \theta ) + \frac { k } { 2 } \nabla \alpha \cdot \nabla \alpha , \quad \mathbf { J } _ { s } = - \frac { \rho } { \frac { \partial \theta } { \partial T } } \frac { \partial \psi } { \partial \nabla \alpha } = - \frac { \rho k } { b } \nabla \alpha , } \end{array}
[ \hat { \mathrm { G } } _ { \pm } ^ { a } ( n ) , \hat { \mathrm { G } } _ { \pm } ^ { b } ( m ) ] _ { - } = i e _ { \pm } { \varepsilon } _ { a b c } \hat { \mathrm { G } } _ { \pm } ^ { c } ( n + m ) \pm e _ { \pm } ^ { 2 } n \delta _ { n , - m } \delta ^ { a b } , \,
\begin{array} { r l } { - \int _ { 0 } ^ { \tau } \int _ { 0 } ^ { 1 } } & { \Big [ \partial _ { y } ^ { 2 } \big ( ( \partial _ { t } + 1 ) ( \partial _ { t } + i k U _ { \mathrm { s h } } ( y ) ) - \partial _ { y } ^ { 2 } \big ) \partial _ { y } \psi _ { k } \Big ] ( t , y ) \overline { { \omega _ { \tau , k } ( t , y ) } } d y d t } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { \tau } \int _ { 0 } ^ { 1 } \Big [ \partial _ { y } \big ( ( \partial _ { t } + 1 ) ( \partial _ { t } + i k U _ { \mathrm { s h } } ( y ) ) - \partial _ { y } ^ { 2 } \big ) \partial _ { y } \psi _ { k } \Big ] ( t , y ) \overline { { \partial _ { y } \omega _ { \tau , k } ( t , y ) } } d y d t . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho ^ { ( 2 ) } ( ( u _ { 1 } , t _ { 1 } ) , ( u _ { 2 } , t _ { 2 } ) ) } & { = C \left( ( u _ { 1 } , t _ { 1 } ) , ( u _ { 1 } , t _ { 1 } ) \right) C ( ( u _ { 2 } , t _ { 2 } ) , ( u _ { 2 } , t _ { 2 } ) ) } \\ & { - C ( ( u _ { 1 } , t _ { 1 } ) , ( u _ { 2 } , t _ { 2 } ) ) C ( ( u _ { 1 } , t _ { 1 } ) , ( u _ { 2 } , t _ { 2 } ) ) . } \end{array}
\sum _ { k = 0 } ^ { N - 2 } ( N - k - 1 ) ( - ) ^ { k } S _ { n - k , 1 ^ { k } } = ( N - 1 ) m _ { ( n ) } + \sum _ { r = 1 } ^ { [ n / 2 ] } m _ { ( n - r , r ) } \, , \nonumber
C _ { q } = \frac { \sqrt [ 3 ] { 2 ^ { 5 } b ^ { 2 } } \pi y _ { + } ^ { 2 } ( y _ { + } ^ { 3 } - 1 ) ( 2 y _ { + } ^ { 3 } + 1 ) } { G ( 1 4 y _ { + } ^ { 3 } - 4 y _ { + } ^ { 6 } - 1 ) } .
\mu ( k \eta , q ) \rightarrow \sqrt { \frac { \eta _ { c } } { q ( \eta + 2 \eta _ { c } ) } } ( c _ { - } e ^ { \frac { i } { 2 } q \frac { ( \eta + 2 \eta _ { c } ) ^ { 2 } } { \eta _ { c } } } + c _ { + } e ^ { - \frac { i } { 2 } q \frac { ( \eta + 2 \eta _ { c } ) ^ { 2 } } { \eta _ { c } } } )
\begin{array} { r l } { \bigg \vert \bigg \vert \widehat { U } ( t ) - \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - i t H ) ^ { k } } { k ! } \bigg \vert \bigg \vert } & { { } = \bigg \vert \bigg \vert \sum _ { k = K + 1 } ^ { \infty } \frac { ( - i t H ) ^ { k } } { k ! } \bigg \vert \bigg \vert } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { f } \approx - \mathbf { K } \cdot \mathbf { q } \equiv - P \mathbf { k } \cdot \mathbf { q } , } \\ { K _ { i j } = - \frac { \partial f _ { i } } { \partial x _ { j } } \Bigg | _ { \mathbf { q } = 0 } , } \end{array}
\cdot \left( 1 + \frac { 2 l ^ { 2 } \dot { l } ^ { 2 } H _ { - } ^ { 2 } } { \Delta _ { - } ^ { 2 } } + \frac { 1 } { \Delta _ { - } } \left( \dot { l } ^ { 2 } + l ^ { 2 } H _ { - } ^ { 2 } - \frac { 2 l \dot { l } H _ { - } } { \Delta _ { - } } \sqrt { l ^ { 2 } \dot { l } ^ { 2 } H _ { - } ^ { 2 } + \Delta _ { - } ^ { 2 } + \Delta _ { - } ( \dot { l } ^ { 2 } + l ^ { 2 } H _ { - } ^ { 2 } ) } \right) \right) \Bigr \}
\begin{array} { r l } { | \psi _ { m } \rangle = } & { { } a _ { \mathrm { L O } } | \mathrm { H G } \rangle _ { 0 0 } + | \psi \rangle _ { \mathrm { r e f } } } \\ { = } & { { } a _ { \mathrm { L O } } | \mathrm { H G } \rangle _ { 0 0 } + a _ { 0 } | \mathrm { H G } \rangle _ { 0 0 } + \sum _ { j \neq ( 0 , 0 ) } a _ { j } | \mathrm { H G } \rangle _ { j } } \end{array} ,
\hat { H } = \int d x d y \hat { j } _ { 0 } ( x ) \hat { j } _ { 0 } ( y ) \bar { V } ( x - y ) - i \int d x \operatorname * { l i m } _ { y \rightarrow x } \partial _ { y } \hat { J } _ { \gamma ^ { 5 } } ( x , y ) + \hat { F } ^ { 2 } .
\begin{array} { r l r } { \sum _ { n \geq 0 } b ( n ) q ^ { n } } & { = } & { \sum _ { n \geq 0 } p ( n | \textmd { i n t e g e r p a r t s } 2 ^ { j } ) q ^ { n } = \prod _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { 1 - q ^ { 2 ^ { n } } } } \\ & { = } & { 1 + q + 2 q ^ { 2 } + 2 q ^ { 3 } + 4 q ^ { 4 } + 4 q ^ { 5 } + 6 q ^ { 6 } + 6 q ^ { 7 } + 1 0 q ^ { 8 } } \\ & { } & { + 1 0 q ^ { 9 } + 1 4 q ^ { 1 0 } + 1 4 q ^ { 1 1 } + 2 0 q ^ { 1 2 } + 2 0 q ^ { 1 3 } + 2 6 q ^ { 1 4 } + 2 6 q ^ { 1 5 } } \\ & { } & { + 3 6 q ^ { 1 6 } + 3 6 q ^ { 1 7 } + 4 6 q ^ { 1 8 } + 4 6 q ^ { 1 9 } + 6 0 q ^ { 2 0 } + O ( q ^ { 2 1 } ) . } \end{array}
V ( f _ { 1 } , \ldots , f _ { m } ) = \left\{ ( a _ { 1 } , \ldots , a _ { n } ) \in k ^ { n } \; | \; f _ { 1 } ( a _ { 1 } , \ldots , a _ { n } ) = \ldots = f _ { m } ( a _ { 1 } , \ldots , a _ { n } ) = 0 \right\} .
\begin{array} { r l } { T \equiv T _ { D } ( \nu ) } & { { } = \left( - \frac { \mathcal { E } ( \mathbf { 0 } , 0 ) } { \partial _ { t , t } \mathcal { E } ( \mathbf { 0 } , 0 ) } \right) ^ { 1 / 2 } , } \\ { L \equiv L _ { D } ( \mu ) } & { { } = \left( - \frac { \mathcal { E } ( \mathbf { 0 } , 0 ) } { \partial _ { x , x } \mathcal { E } ( \mathbf { 0 } , 0 ) } \right) ^ { 1 / 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \zeta _ { 2 } Z _ { 1 } z _ { 2 } | 1 2 3 \rangle = } \\ & { } & { \zeta _ { 2 } Z _ { 1 } ( b _ { 2 3 } | 1 3 2 \rangle + d _ { 2 3 } | 1 2 3 \rangle ) = } \\ & { } & { \zeta _ { 2 } ( b _ { 2 3 } ( B _ { 1 3 } | 3 1 2 \rangle + D _ { 1 3 } | 1 3 2 \rangle ) + d _ { 2 3 } ( B _ { 1 2 } | 2 1 3 \rangle + D _ { 1 2 } | 1 2 3 \rangle ) ) = } \\ & { } & { b _ { 2 3 } ( B _ { 1 3 } ( \beta _ { 1 2 } | 3 2 1 \rangle + \delta _ { 1 2 } | 3 1 2 \rangle ) + D _ { 1 3 } ( { \alpha _ { 2 3 } | 1 3 2 \rangle + \gamma _ { 2 3 } | 1 2 3 \rangle } ) ) + } \\ & { } & { d _ { 2 3 } ( B _ { 1 2 } ( \beta _ { 1 3 } | 2 3 1 \rangle + \delta _ { 1 3 } | 2 1 3 \rangle ) + D _ { 1 2 } ( \beta _ { 2 3 } | 1 3 2 \rangle + \delta _ { 2 3 } | 1 2 3 \rangle ) ) } \end{array}
a _ { j } ^ { B W } ( { \mathsf s } ) = \frac { R _ { Z } } { { \mathsf s } - { \mathsf s } _ { R } } = \frac { R _ { Z } } { { \mathsf s } - \bar { M } _ { Z } ^ { 2 } + i \bar { M } _ { Z } \bar { \Gamma } _ { Z } } = \frac { R _ { Z } } { { \mathsf s } - ( M _ { R } - i \frac { \Gamma _ { R } } { 2 } ) ^ { 2 } } \, , \quad m _ { 0 } ^ { 2 } \leq { \mathsf s } < \infty \, .
\begin{array} { r l } { \lambda = } & { \frac { 2 \| A y \| ^ { 3 } - 2 ( c ^ { T } y ) ^ { 3 } - 3 ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) c ^ { T } y \| y \| ^ { 2 } } { ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) ^ { 2 } \| y \| ^ { 2 } } } \\ { = } & { \frac { 2 \lambda ^ { 3 } r ^ { 3 } \| c \| ^ { 3 } - 2 \lambda ^ { 3 } \| c \| ^ { 6 } - 3 \lambda ^ { 3 } ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) \| c \| ^ { 4 } } { \lambda ^ { 2 } ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) ^ { 2 } \| c \| ^ { 2 } } } \\ { = } & { \frac { 2 \lambda r ^ { 3 } \| c \| - 2 \lambda \| c \| ^ { 4 } - 3 \lambda r ^ { 2 } \| c \| ^ { 2 } } { ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } \\ { = } & { \frac { \lambda \| c \| ( r - \| c \| ) ^ { 2 } ( 2 r + \| c \| ) } { ( r ^ { 2 } - \| c \| ^ { 2 } ) ^ { 2 } } } \\ { = } & { \frac { \lambda \| c \| ( 2 r + \| c \| ) } { ( r + \| c \| ) ^ { 2 } } } \end{array}
d s ^ { 2 } = \exp \left[ - \frac { 4 \sigma } { \sqrt { d - 2 } } \right] ( d \tau + \omega _ { i } d x ^ { i } ) ^ { 2 } + \exp \left[ \frac { 4 \sigma } { ( d - 3 ) \sqrt { d - 2 } } \right] \gamma _ { i j } d x ^ { i } d x ^ { j } ,
\begin{array} { r l } { \lVert \boldsymbol { \mathrm { J } } _ { 1 } F ( x , \boldsymbol { y } ) - \boldsymbol { \mathrm { J } } _ { 1 } F ( x , \boldsymbol { y } ^ { \prime } ) \rVert } & { \leq L _ { J F 1 } \lVert \boldsymbol { y } - \boldsymbol { y } ^ { \prime } \rVert , } \\ { \lVert \boldsymbol { \mathrm { J } } _ { 2 } F ( x , \boldsymbol { y } ) - \boldsymbol { \mathrm { J } } _ { 2 } F ( x , \boldsymbol { y } ^ { \prime } ) \rVert } & { \leq L _ { J F 2 } \lVert \boldsymbol { y } - \boldsymbol { y } ^ { \prime } \rVert , } \end{array}
{ \frac { 1 } { 2 } } \xi _ { a } ^ { \dagger } ( { \cal M } _ { + } ^ { 2 } ) _ { a b } \xi _ { b } + { \frac { 1 } { 2 } } ( \xi _ { a } ^ { * } ) ^ { \dagger } ( { \cal M } _ { - } ^ { 2 } ) _ { a b } \xi _ { b } ^ { * } ,
\begin{array} { r l } { J _ { + , j } ( t , 0 ) } & { = \alpha _ { + , j } ( \Lambda _ { \mathrm { s o m } } ( t ) ) \, g _ { + , j } ( \boldsymbol { f } _ { j } ( t , 0 ) ) , } \\ { - J _ { - , j } ( t , 0 ) } & { = \beta _ { - , j } ( \Lambda _ { \mathrm { s o m } } ( t ) ) \, f _ { - , j } ( t , 0 ) , } \\ { J _ { + , j } ( t , L _ { j } ( t ) ) } & { = \beta _ { + , j } ( \Lambda _ { j } ( t ) ) \, f _ { + , j } ( t , L _ { j } ( t ) ) , } \\ { - J _ { - , j } ( t , L _ { j } ( t ) ) } & { = \alpha _ { - , j } ( \Lambda _ { j } ( t ) ) \, g _ { - , j } ( \boldsymbol { f } _ { + , j } ( t , L ( t ) ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m i n f } _ { \delta \to 0 } \operatorname* { s u p } _ { W : | W | < \delta } \sum _ { i } \left( \frac { | W | } { | V _ { i } | } \right) ^ { q } \frac { | W _ { i } | } { | W | } \leq \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq p \leq 1 } \Bigg ( } & { \operatorname* { l i m } _ { j _ { 0 } \to \infty } \sum _ { j \geq j _ { 0 } } \sqrt { \frac { 1 } { \Lambda _ { \star , j } } } \sqrt { \frac { ( 1 - p ) | W _ { \star , j } | } { | W _ { \star } | } } } \\ & { + \operatorname* { l i m } _ { k _ { 0 } \to \infty } \sum _ { k \geq k _ { 0 } } \sqrt { \frac { 1 } { \Lambda _ { k , \star } } } \sqrt { \frac { p \, | W _ { k , \star } | } { | W _ { \diamond } | } } } \\ & { + \operatorname* { l i m } _ { k _ { 0 } \to \infty } \sum _ { k \geq k _ { 0 } } \sum _ { l = l _ { 0 } } ^ { l _ { 1 } } \sqrt { \frac { 1 } { \Lambda _ { k , l } } } \sqrt { \frac { p \, | W _ { k , l } | } { | W _ { \diamond } | } } \, \Bigg ) . } \end{array}
\left\vert \tilde { I } _ { p , q } ^ { m } ( \boldsymbol { x } - \left( \left( \boldsymbol { s } _ { j , k } - \boldsymbol { s } _ { 0 , 0 } \right) + \left( \boldsymbol { t } _ { p , q } - \boldsymbol { t } _ { 0 , 0 } \right) \right) ) \right\vert = \left\vert \tilde { I } _ { 0 , 0 } ^ { m } ( \boldsymbol { x } ) \right\vert \, .
\hat { P } \psi ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 1 } , \sigma _ { 1 } ; \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 2 } , \sigma _ { 2 } ; . . . ; \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { N } , \sigma _ { N } ) = \psi ( - \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 1 } , \sigma _ { 1 } ; - \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 2 } , \sigma _ { 2 } ; . . . ; - \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { N } , \sigma _ { N } )
{ \cal L } _ { \mathrm { g a u g e ~ m a s s } } = [ - { \frac { g ^ { 2 } } { 4 } } W _ { + \mu } W _ { - \mu } - { \frac { 1 } { 8 } } ( g W _ { 3 \mu } - g ^ { \prime } B _ { \mu } ) ^ { 2 } ] v ^ { 2 } ~ ~ ~ ,