harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathcal { H } = } & { { } - t \sum _ { \left< i , j \right> } \left( b _ { i } ^ { \dagger } b _ { j } + h . c . \right) + V \sum _ { i < j } \frac { 1 } { r _ { i j } ^ { \alpha } } n _ { i } n _ { j } } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { 1 } d x ~ x ^ { n - 1 } g _ { 2 } ( x , Q ^ { 2 } ) = \left( \frac { 1 - n } { 2 n } \right) \sum _ { i } \delta _ { i } \left[ a _ { n } ^ { i } E _ { 1 , i } ^ { n } ( Q ^ { 2 } , g ) - d _ { n } ^ { i } E _ { 2 , i } ^ { n } ( Q ^ { 2 } , g ) \right] \qquad n = 3 , 5 , 7 \dots
\left\{ \begin{array} { l l } { ( \phi + \psi ) \displaystyle \frac { \partial W _ { 1 } } { \partial t _ { 1 } } = - k _ { c r } ^ { 2 } \gamma _ { 1 2 } ^ { ( 1 ) } W _ { 1 } + ( f _ { 2 } + \psi g _ { 2 } ) \bar { W } _ { 2 } \bar { W } _ { 3 } , } \\ { ( \phi + \psi ) \displaystyle \frac { \partial W _ { 2 } } { \partial t _ { 1 } } = - k _ { c r } ^ { 2 } \gamma _ { 1 2 } ^ { ( 1 ) } W _ { 2 } + ( f _ { 2 } + \psi g _ { 2 } ) \bar { W } _ { 3 } \bar { W } _ { 1 } , } \\ { ( \phi + \psi ) \displaystyle \frac { \partial W _ { 3 } } { \partial t _ { 1 } } = - k _ { c r } ^ { 2 } \gamma _ { 1 2 } ^ { ( 1 ) } W _ { 3 } + ( f _ { 2 } + \psi g _ { 2 } ) \bar { W } _ { 1 } \bar { W } _ { 2 } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { H _ { x } ^ { n + 1 , i , j } = H _ { x } ^ { n , i , j } - \frac { \Delta t } { \mu _ { 0 } \Delta s } } & { { } ( E _ { z } ^ { n , i , j + 1 } - E _ { z } ^ { n , i , j } ) , } \\ { H _ { y } ^ { n + 1 , i , j } = H _ { y } ^ { n , i , j } + \frac { \Delta t } { \mu _ { 0 } \Delta s } } & { { } ( E _ { z } ^ { n , i + 1 , j } - E _ { z } ^ { n , i , j } ) , } \\ { E _ { z } ^ { n + 1 , i , j } = E _ { z } ^ { n , i , j } + \frac { \Delta t } { \varepsilon _ { 0 } \Delta s } } & { { } ( H _ { y } ^ { n + 1 , i , j } - H _ { y } ^ { n + 1 , i - 1 , j } } \\ { - } & { { } ( H _ { x } ^ { n + 1 , i , j } - H _ { x } ^ { n + 1 , i , j - 1 } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { \mathrm { C C S D } } ^ { \mathrm { f u l l } } } & { { } \approx E _ { \mathrm { C C S D } } ^ { \mathrm { a c t } } + \delta , } \\ { \delta } & { { } = E _ { \mathrm { C I S } } ^ { \mathrm { f u l l } } - E _ { \mathrm { C I S } } ^ { \mathrm { a c t } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { 0 < t < T _ { 0 } } \left( t ^ { \frac { 1 } { 1 + \gamma } } \| f _ { n } ( t ) \| _ { L ^ { \infty } ( \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } ) } + \| f _ { n } ( t ) \| _ { L _ { m } ^ { 1 } } + \| f _ { n } ( t ) \| _ { L ^ { p } } \right) \le C , } \\ & { \operatorname* { s u p } _ { s < t < T _ { 0 } } \| f _ { n } \| _ { H _ { k } ^ { 1 } } \le C , \qquad \mathrm { f o r ~ e a c h ~ } s \in ( 0 , T _ { 0 } ] . } \end{array}
\frac { \delta \mathcal { L } } { \delta v _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) } = \sum _ { k = 1 } ^ { M _ { \sigma } } \textbf { T r } \left( \mathbf { \widetilde { P } } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { ~ T ~ } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \boldsymbol { \widetilde { \Psi } } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \right) = \sum _ { k = 1 } ^ { M _ { \sigma } } \textbf { T r } \left( \textbf { Q } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { ~ T ~ } } \mathbf { P } _ { k , \sigma } ^ { \mathrm { ~ T ~ } } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \boldsymbol { \Psi } _ { k , \sigma } ( \boldsymbol { \textbf { r } } ) \textbf { Q } _ { k , \sigma } \right) \, .
\hat { x } = - { { \hat { a } } _ { 1 } } / \left\{ 2 { { { \hat { a } } } _ { 2 } } + \left[ 1 - s i g n \left( \left| { { { \hat { a } } } _ { 2 } } \right| \right) \right] { { 1 0 } ^ { - 3 0 } } \right\}
\begin{array} { r l } { - \int _ { \{ a \geq 2 c _ { 0 } v ^ { \frac { 2 } { 3 } } \} } a v ^ { l } g ( a , v , t ) \textup { d } v \textup { d } a } & { = - \int _ { \{ a \geq c _ { 0 } v ^ { \frac { 2 } { 3 } } \} } a v ^ { l } g ( a , v , t ) \textup { d } v \textup { d } a + \int _ { \{ c _ { 0 } v ^ { \frac { 2 } { 3 } } \leq a < 2 c _ { 0 } v ^ { \frac { 2 } { 3 } } \} } a v ^ { l } g ( a , v , t ) \textup { d } v \textup { d } a } \\ & { \leq - \int _ { \{ a \geq c _ { 0 } v ^ { \frac { 2 } { 3 } } \} } a v ^ { l } g ( a , v , t ) \textup { d } v \textup { d } a + 2 c _ { 0 } \int _ { ( 0 , \infty ) ^ { 2 } } v ^ { \frac { 2 } { 3 } + l } g ( a , v , t ) \textup { d } v \textup { d } a . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ell ^ { 2 } ( u + v ) ~ = ~ } & { ( v + x ) ^ { 2 } z + ( u + v ) ^ { 2 } ( u + v - z ) } \\ & { - z ( u + v - z ) ( u + v ) } \\ { \left( \sqrt { 2 } ( u + x ) - z \right) ^ { 2 } ( u + v ) ~ = ~ } & { ( v + x ) ^ { 2 } z + ( u + x ) ^ { 2 } ( u + v - z ) } \\ & { - z ( u + v - z ) ( u + v ) } \\ { 2 ( u + x ) ^ { 2 } ( u + v ) + z ^ { 2 } ( u + v ) - 2 \sqrt { 2 } z ( u + x ) ( u + v ) ~ = ~ } & { z ( v + x ) ^ { 2 } + ( u + x ) ^ { 2 } ( u + v - z ) } \\ & { - z ( u + v ) ^ { 2 } + z ^ { 2 } ( u + v ) } \\ { 2 ( u + x ) ^ { 2 } ( u + v ) - 2 \sqrt { 2 } z ( u + x ) ( u + v ) ~ = ~ } & { z ( v + x ) ^ { 2 } + ( u + x ) ^ { 2 } ( u + v ) } \\ & { - z ( u + x ) ^ { 2 } - z ( u + v ) ^ { 2 } } \\ { ( u + x ) ^ { 2 } ( u + v ) - 2 \sqrt { 2 } z ( u + x ) ( u + v ) ~ = ~ } & { z ( v + x ) ^ { 2 } - z ( u + x ) ^ { 2 } - z ( u + v ) ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { G ( \xi , \xi ) = } & { { \frac { \lambda _ { 0 } } { 2 } } \xi + { { \frac { { 1 } } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \xi } \int _ { 0 } ^ { \tau } \widetilde { \mu } ( \tau , s ) G ( \tau , s ) \mathrm { d } s \mathrm { d } \tau } + \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \xi } \int _ { 0 } ^ { \tau } f \left( \frac { \tau + s } { 2 } , \frac { \tau - s } { 2 } \right) \mathrm { d } s \mathrm { d } \tau } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { \xi } \int _ { 0 } ^ { z } \int _ { z } ^ { 2 z - s } \widehat { G } ( \tau , s , z ) \mathrm { d } \tau \mathrm { d } s \mathrm { d } z , } \end{array}
\begin{array} { r } { \chi \left( r \right) \propto e ^ { i q \, r } \quad , \quad q ^ { 2 } = - \frac { 1 } { 2 \alpha ^ { 2 } } \pm \frac { \sqrt { 1 + 4 \alpha ^ { 2 } } } { 2 \alpha ^ { 2 } } \; . } \end{array}
z _ { h } = \frac { { P _ { h } } ^ { - } } { k ^ { - } } = \frac { P _ { 1 } ^ { - } + P _ { 2 } ^ { - } } { k ^ { - } } = \frac { P _ { 1 } ^ { - } } { k ^ { - } } + \frac { P _ { 2 } ^ { - } } { k ^ { - } } = z _ { 1 } + z _ { 2 } \; .
{ | 0 ^ { + } , { \bf 9 } \rangle } _ { 1 } : = { \left[ 0 ^ { + } , { \bf { \bar { 3 } } _ { f } } , { \bf { \bar { 3 } } _ { c } } \right] } _ { q q } \bigotimes { \left[ 0 ^ { + } , { \bf { 3 _ { f } } } , { \bf { 3 _ { c } } } \right] } _ { \bar { q } \bar { q } }
S = S _ { 0 } + \int \, d t \, [ y _ { \mu } ^ { * } \{ y ^ { \mu } , \tilde { \chi } _ { \alpha } \} c ^ { \alpha } + \phi _ { \beta } ^ { * } \{ \phi ^ { \beta } , \tilde { \chi } _ { \alpha } \} c ^ { \alpha } + \lambda _ { \alpha } ^ { * } \dot { c } ^ { \alpha } ]
{ \cal O } _ { \pm } ^ { a } ( \{ x \} ) : = ( - 1 ) ^ { \frac { N ( N - 1 ) } { 2 } } \left[ \frac { 1 } { N ! } \sum _ { \pi } \mathrm { s i g n } ( \pi ) \prod _ { b = 1 } ^ { N } \overline { { { \psi } } } _ { \stackrel { { \scriptstyle 1 } } { { \scriptstyle 2 } } } ^ { ( \pi ( b ) ) } ( x ^ { ( b ) } ) \right]
\begin{array} { r l } { 2 \alpha ^ { 2 } \tau ^ { 2 } c _ { 4 } ^ { 2 } \mathbb { E } _ { t - 2 \tau } \lVert \bar { \theta } _ { t - \tau } - \theta ^ { * } \rVert ^ { 2 } } & { \leq 4 \alpha ^ { 2 } \tau ^ { 2 } c _ { 4 } ^ { 2 } \mathbb { E } _ { t - 2 \tau } \lVert \bar { \theta } _ { t } - \bar { \theta } _ { t - \tau } \rVert ^ { 2 } + 4 \alpha ^ { 2 } \tau ^ { 2 } c _ { 4 } ^ { 2 } \mathbb { E } _ { t - 2 \tau } \lVert \bar { \theta } _ { t } - \theta ^ { * } \rVert ^ { 2 } } \\ & { \stackrel { ( a ) } { \leq } 0 . 5 \mathbb { E } _ { t - 2 \tau } \lVert \bar { \theta } _ { t } - \bar { \theta } _ { t - \tau } \rVert ^ { 2 } + 4 \alpha ^ { 2 } \tau ^ { 2 } c _ { 4 } ^ { 2 } \mathbb { E } _ { t - 2 \tau } \lVert \bar { \theta } _ { t } - \theta ^ { * } \rVert ^ { 2 } } \\ & { \stackrel { ( b ) } { \le } \tau ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } c _ { 4 } ^ { 2 } \mathbb { E } _ { t - 2 \tau } \Big \lVert \bar { \theta } _ { t - \tau } - \theta ^ { * } \Big \rVert ^ { 2 } + \frac { 7 d _ { 2 } ^ { 2 } } { 2 N K } \alpha ^ { 2 } \tau ^ { 2 } + \frac { 1 3 L _ { 2 } ^ { 2 } \alpha ^ { 4 } \tau } { ( 1 - \rho ^ { 2 } ) } } \\ & { + \alpha ^ { 2 } c _ { 4 } ^ { 2 } \tau \sum _ { s = 0 } ^ { \tau } E _ { t - 2 \tau } [ \Delta _ { t - s } ] + 4 8 \alpha ^ { 2 } c _ { 4 } ^ { 2 } \tau ^ { 3 } M _ { 3 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) + \alpha ^ { 2 } c _ { 1 } ^ { 2 } \tau ^ { 2 } \Gamma ^ { 2 } ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) } \\ & { + 4 \alpha ^ { 2 } \tau ^ { 2 } c _ { 4 } ^ { 2 } \mathbb { E } _ { t - 2 \tau } \lVert \bar { \theta } _ { t } - \theta ^ { * } \rVert ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial { \widetilde { u } } _ { i } } { \partial x _ { i } } } & { = 0 , } \\ { \frac { \partial { \widetilde { u } } _ { i } } { \partial t } + \frac { \partial { \widetilde { u } } _ { i } { \widetilde { u } } _ { j } } { \partial x _ { j } } = - \frac { \partial \widetilde { p } } { \partial x _ { i } } } & { - \frac { \partial \tau _ { i j } } { \partial x _ { j } } + \nu \frac { \partial ^ { 2 } { \widetilde { u } } _ { i } } { \partial x _ { j } x _ { j } } + { \widetilde { \mathcal { F } } } _ { i } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } n _ { d } = } & { { } - \nabla \cdot \left[ \left( \mathbf { b } v _ { | | , d } + \mathbf { v } _ { \perp , d } \right) n _ { d } \right] - R _ { i z } + R _ { r c } } \\ { \frac { \partial } { \partial t } \left( m _ { d } n _ { d } v _ { | | , d } \right) = } & { { } - \nabla \cdot \left[ \left( \mathbf { b } v _ { | | , d } + \mathbf { v } _ { \perp , d } \right) m _ { d } n _ { d } v _ { | | , d } \right] - \mathbf { b } \cdot \nabla p _ { d } } \\ { \frac { \partial } { \partial t } \left( \frac { 3 } { 2 } p _ { d } \right) = } & { { } - \nabla \cdot \left[ \left( \mathbf { b } v _ { | | , d } + \mathbf { v } _ { \perp , d } \right) \frac { 5 } { 2 } p _ { d } \right] + v _ { | | , d } \mathbf { b } \cdot \nabla p _ { d } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \psi } & { { } : } & { \left( \begin{array} { l } { e _ { i } } \\ { e _ { i + 8 } } \end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array} { l l } { - 1 / 2 } & { - \sqrt { 3 } / 2 } \\ { \sqrt { 3 } / 2 } & { - 1 / 2 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { e _ { i } } \\ { e _ { i + 8 } } \end{array} \right) } \\ { \epsilon } & { { } : } & { \left( \begin{array} { l } { e _ { i } } \\ { e _ { i + 8 } } \end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 1 } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { e _ { i } } \\ { e _ { i + 8 } } \end{array} \right) , \quad i = 1 , . . . , 7 } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \hat { C } _ { a } ( q ) = \frac { \sin \frac \pi 2 q _ { + } - \frac \pi 2 q _ { + } } { - 2 i k _ { 0 } - 8 \pi \sin \frac { \pi } { 2 } q _ { + } \sin \frac \pi 2 q _ { - } \cos \frac { \pi } { 2 } ( q _ { + } + q _ { - } ) } } \\ & { } & { \qquad \qquad \qquad \times \frac { \sin \frac \pi 2 q _ { - } \cos \frac { \pi } { 2 } ( q _ { + } + q _ { - } ) } { - 2 i k _ { 0 } - 4 \pi q _ { + } \sin \frac \pi 2 q _ { - } \cos \frac { \pi } { 2 } ( q _ { + } + q _ { - } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { \mathrm { ~ E ~ n ~ } } } & { { } = \left( \frac { X _ { \mathrm { ~ M ~ g ~ O ~ } } } { \rho _ { \mathrm { ~ M ~ g ~ O ~ } } } + \frac { X _ { \mathrm { ~ S ~ i ~ O ~ 2 ~ } } } { \rho _ { \mathrm { ~ S ~ i ~ O ~ 2 ~ } } } \right) ^ { - 1 } } \\ { \rho _ { \mathrm { ~ E ~ n ~ } } } & { { } = \left( \frac { 0 . 5 } { 0 . 1 0 7 0 } + \frac { 0 . 5 } { 0 . 0 7 9 7 } \right) ^ { - 1 } \; \mathrm { ~ a ~ t ~ A ~ } ^ { - 3 } } \end{array}
\left| \frac { \langle \pi ^ { 0 } \nu \bar { \nu } | H _ { w } | K ^ { 0 } \rangle } { \langle \pi ^ { 0 } e ^ { + } \nu _ { e } | H _ { w } | K ^ { + } \rangle } \right| ^ { 2 } = \left| \frac { \langle \pi ^ { 0 } | H _ { w } | K ^ { 0 } \rangle } { \langle \pi ^ { 0 } | H _ { w } | K ^ { + } \rangle } \right| ^ { 2 } = r _ { 0 } .
\gamma _ { \mathrm { { M } } } ^ { 5 } = i \left( \gamma ^ { 0 } \gamma ^ { 1 } \gamma ^ { 2 } \gamma ^ { 3 } \right) _ { \mathrm { { M } } } = { \frac { 1 } { i ^ { 2 } } } \left( \gamma ^ { 4 } \gamma ^ { 1 } \gamma ^ { 2 } \gamma ^ { 3 } \right) _ { \mathrm { { E } } } = \left( \gamma ^ { 1 } \gamma ^ { 2 } \gamma ^ { 3 } \gamma ^ { 4 } \right) _ { \mathrm { { E } } } = \gamma _ { \mathrm { { E } } } ^ { 5 } .
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } ( t ) } & { = } & { \frac { r _ { k } \int _ { \theta } ^ { 0 } \Big [ - \frac { ( \ln w - \ln \theta ^ { \prime } ) } { r _ { k } } \Big ] w ^ { n } ( 1 - w ) ^ { x - n } \Big ( - \frac { d w } { r _ { k } w } \Big ) } { B _ { \theta } ( n , x - n + 1 ) } } \\ & { = } & { \frac { \int _ { \theta } ^ { 0 } \left( \ln w - \ln \theta ^ { \prime } \right) w ^ { n - 1 } ( 1 - w ) ^ { x - n } d w } { r _ { k } B _ { \theta } ( n , x - n + 1 ) } } \\ & { = } & { \frac { \ln \theta ^ { \prime } \int _ { 0 } ^ { \theta } w ^ { n - 1 } ( 1 - w ) ^ { x - n } d w - \int _ { 0 } ^ { \theta } \ln w \: w ^ { n - 1 } ( 1 - w ) ^ { x - n } d w } { r _ { k } B _ { \theta } ( n , x - n + 1 ) } } \\ & { = } & { \frac { \ln \theta ^ { \prime } } { r _ { k } } - \frac { \Big ( \frac { \partial } { \partial n } + \frac { \partial } { \partial x } \Big ) B _ { \theta } ( n , x - n + 1 ) } { r _ { k } B _ { \theta } ( n , x - n + 1 ) } } \\ & { = } & { \frac { \ln \frac { \theta ^ { \prime } } { \theta } } { r _ { k } } + \frac { \Gamma ( n ) ^ { 2 } { \theta } ^ { n } \: _ { 3 } \tilde { F } _ { 2 } ( n , n , n - x ; n + 1 , n + 1 ; \theta ) } { r _ { k } B _ { \theta } ( n , x - n + 1 ) } } \\ & { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { k - 1 } \tau _ { i } + \frac { \Gamma ( n ) ^ { 2 } { \theta } ^ { n } \: _ { 3 } \tilde { F } _ { 2 } ( n , n , n - x ; n + 1 , n + 1 ; \theta ) } { r _ { k } B _ { \theta } ( n , x - n + 1 ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \widehat { g } | _ { ( \widehat { a } _ { k } - \widehat { \varepsilon } / 2 , \widehat { a } _ { k } + \widehat { \varepsilon } / 2 ) \cap \widehat { I } } \equiv 1 , \quad \widehat { g } | _ { ( \widehat { b } _ { k } - \widehat { \varepsilon } / 2 , \widehat { b } _ { k } + \widehat { \varepsilon } / 2 ) \cap \widehat { I } } \equiv 1 , } \\ & { \widehat { g } | _ { \widehat { I } \setminus \left( ( \widehat { a } _ { k } - \widehat { \varepsilon } , \widehat { a } _ { k } + \widehat { \varepsilon } ) \cup ( \widehat { b } _ { k } - \widehat { \varepsilon } , \widehat { b } _ { k } + \widehat { \varepsilon } ) \right) } \equiv 0 . } \end{array}
\operatorname* { i n f } _ { \pi } W _ { 2 } ^ { 2 } ( \pi , \gamma ^ { n , t } ) \leq \underbrace { W _ { 2 } ^ { 2 } ( \gamma ^ { n , t } , \gamma _ { \delta } ^ { n , t } ) } _ { \mathrm { r e g u l a r i z a t i o n ~ e r r o r } } + \underbrace { \operatorname* { i n f } _ { \pi } W _ { 2 } ^ { 2 } ( \pi , \gamma _ { \delta } ^ { n , t } ) } _ { \mathrm { s t a b i l i t y ~ e r r o r } } .
S ^ { j } ( \textbf { x } , 0 ) = S _ { 0 } ^ { j } ( \textbf { x } ) , ~ ~ \rho _ { 0 } ^ { j } ( \textbf { x } , 0 ) = \rho _ { 0 } ^ { j } ( \textbf { x } ) ~ ~ a n d ~ ~ X ^ { j } ( 0 ) = X _ { 0 } ^ { j } .
A _ { 4 } = \xi A _ { u } \ , \qquad A _ { 1 } \equiv \omega _ { 1 } \ , \qquad A _ { 2 } \equiv \omega _ { 2 } \ , \qquad A _ { 3 } \equiv \omega _ { 3 } \ , \qquad A _ { 5 } = \dots = A _ { 8 } = 0 .
\begin{array} { r l } { \overline { { \delta h _ { \mathrm { e f f } } ^ { 2 } ( \Omega ) } } } & { = \frac { 1 } { N } \sum _ { j } \delta h _ { \mathrm { e f f } } ^ { 2 } [ \Omega , h _ { j } ( x _ { \mathrm { s p o t } } ) ] } \\ & { = \frac { 1 } { A } \int d ^ { 2 } x _ { \perp c } \delta h _ { \mathrm { e f f } } ^ { 2 } [ \Omega , h _ { j } ( x _ { \perp c } ) ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overleftarrow { \bullet } \colon \Gamma _ { \mathcal { U } } ( E _ { - 1 } ) } & { \longrightarrow ^ { s _ { 0 } } \Gamma _ { \mathcal { U } _ { b } } ( \ker d t _ { 0 } ) \subset \mathfrak { X } ( B _ { 1 } ) } \\ { e _ { i } \; } & { \longmapsto \overleftarrow { e _ { i } } : = \overleftarrow { \rho ( e _ { i } ) } } \end{array}
S = \int d ^ { 5 } x \sqrt { g } \left[ \frac { 1 } { 2 } \left\{ g ^ { i j } \partial _ { i } \varphi \partial _ { j } \varphi - ( m ^ { 2 } - \xi R ) \varphi ^ { 2 } \right\} - V ( \varphi ) \right] ,
\begin{array} { r l } { f ^ { j + 1 } ( y ) } & { \in f \bigl ( U ^ { m _ { j } } \bigl ( f ^ { j } ( x ) \bigr ) \bigr ) = U ^ { m _ { j } - 1 } \bigl ( f ^ { j + 1 } ( x ) \bigr ) \qquad \mathrm { ~ a n d } } \\ { f ^ { j + 1 } ( y ) } & { \notin f \bigl ( U ^ { m + 1 } \bigl ( f ^ { j } ( x ) \bigr ) \bigr ) = U ^ { m } \bigl ( f ^ { j + 1 } ( x ) \bigr ) \qquad \mathrm { ~ f o r ~ e a c h ~ i n t e g e r ~ } m \geq m _ { j } . } \end{array}
\int { \frac { \sin ^ { 2 } a x \, d x } { \cos a x } } = - { \frac { 1 } { a } } \sin a x + { \frac { 1 } { a } } \ln \left| \tan \left( { \frac { \pi } { 4 } } + { \frac { a x } { 2 } } \right) \right| + C
\eta _ { \mathrm { ~ S ~ L ~ M ~ ( ~ r ~ e ~ f ~ ) ~ } } \cdot \eta _ { \mathrm { ~ S ~ L ~ M ~ ( ~ d ~ i ~ f ~ f ~ ) ~ } } \cdot \eta \textsuperscript { 2 } _ { \mathrm { ~ g ~ r ~ a ~ t ~ i ~ n ~ g ~ } }
I = \frac { 1 } { 1 6 \pi G _ { N } } \int d ^ { 4 } x \sqrt { - g } \left[ R + a _ { 1 } R ^ { 2 } + a _ { 2 } ( 3 R _ { \nu } ^ { \mu } R _ { \mu } ^ { \nu } - R ^ { 2 } ) + a _ { 3 } ( R _ { \ \ \rho \sigma } ^ { \mu \nu } R _ { \ \ \mu \nu } ^ { \rho \sigma } - 4 R _ { \nu } ^ { \mu } R _ { \mu } ^ { \nu } + R ^ { 2 } ) \right] ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } _ { \mathcal { F } } ( A _ { \ell } } & { ( \mathbf { m } , \mathbf { a } , \sigma ) \cap D _ { \ell - 1 } ^ { 0 } ( \mathbf { m } ) ) } \\ & { = \mathbf { 1 } ( A _ { \ell + 1 } ( \mathbf { m } , \mathbf { a } , \sigma ) \cap D _ { \ell } ^ { 0 } ( \mathbf { m } ) ) \mathbb { P } _ { \mathcal { F } } ( \mathfrak { L } _ { \ell } ( 0 ) - \mathfrak { L } _ { \ell } ( t ) > a _ { \ell } ) } \\ & { \le \mathbf { 1 } ( A _ { \ell + 1 } ( \mathbf { m } , \mathbf { a } , \sigma ) \cap D _ { \ell } ^ { 0 } ( \mathbf { m } ) \cap E ) \mathbb { P } _ { \mathcal { F } } ( \mathfrak { L } _ { \ell } ( 0 ) - \mathfrak { L } _ { \ell } ( t ) > a _ { \ell } ) + \mathbf { 1 } ( E ^ { c } ) . } \end{array}
\nu = \exp \left( 2 \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d t } { t } \frac { \sinh \frac { t } { 2 } \sinh \frac { t } { 3 } \sinh \frac { t } { 6 } } { \sinh ^ { 2 } t } \right) = 1 . 1 1 1 5 4 \ldots
\Sigma ( t ) \approx { 3 } \frac { \alpha } { { 8 } \pi ^ { 2 } c } \Lambda ^ { 2 } \left[ 1 - \frac { [ \tilde { \omega } _ { P } ^ { 2 } + m ( t ) ] } { c ^ { 2 } \Lambda ^ { 2 } } \log \left( \frac { c ^ { 2 } \Lambda ^ { 2 } } { [ \tilde { \omega } _ { P } ^ { 2 } + m ( t ) ] } \right) \right] ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } _ { s s , k } ^ { ( 3 ) } ( \omega _ { 1 } , \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } ) } & { { } = \frac { 1 } { \nu \nu _ { 0 } \nu _ { 3 } } P _ { 1 ; s , k } + \frac { 1 } { \nu \nu _ { 0 } } P _ { 2 ; s , k } ( \vartheta _ { 3 } ) } \end{array}
\begin{array} { l l } { { ( a ) ~ \mathrm { F o r ~ e a c h ~ ( t h r e e ~ p o i n t ) ~ v e r t e x } } } & { { : - i ( 2 \pi ) ^ { 2 } c ^ { a b c } , } } \\ { { ( b ) ~ \mathrm { F o r ~ e a c h ~ p r o p a g a t o r } } } & { { : \frac { i } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } ( p _ { a } ^ { 2 } - m _ { a } ^ { 2 } ) } , } } \\ { { ( c ) ~ \mathrm { L o o p ~ i n t e g r a t i o n } } } & { { : \int d ^ { 2 } l . } } \end{array}
( D ^ { 2 } + \lambda ^ { 2 } ) ^ { 2 } \gg \left| 2 D \frac { 1 } { \beta } \frac { d \beta } { d t } ( D ^ { 2 } + \lambda ^ { 2 } ) - 2 \left[ ( D ^ { 2 } - \lambda ^ { 2 } ) \frac { d D } { d t } + 2 \lambda D \frac { d \lambda } { d t } \right] \right| ,
L _ { i n v } ( \mathcal W , \{ \mathbf x _ { i } \} ) = \frac { 1 } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \left[ \varphi \left( { \mathcal F } _ { \mathcal W } ( \mathbf { x } _ { i } ) \right) - \varphi ( \mathbf { x } _ { i } ) \right] ^ { 2 } \, .
\left\{ \begin{array} { l l } { \pi ^ { a } ( \xi ^ { a ^ { * } } , \xi ^ { p ^ { * } } ) \geq \pi ^ { a } ( \xi ^ { a } , \xi ^ { p ^ { * } } ) - \epsilon } \\ { \pi ^ { p } ( \xi ^ { a ^ { * } } , \xi ^ { p ^ { * } } ) \geq \pi ^ { p } ( \xi ^ { a ^ { * } } , \xi ^ { p } ) - \epsilon } \end{array} \right. , \quad \forall \xi ^ { a } , \xi ^ { p } \geq 0 .
\tilde { R } = \frac { \tilde { a } M ^ { 2 } ( \gamma - 1 ) ^ { 2 } e ^ { \phi _ { 0 } } } { \rho ^ { 4 } } \; \left( 1 - \frac { \rho _ { 1 } } { \rho } \right) \; \left( 1 - \frac { \rho _ { 0 } } { \rho } \right) ^ { - \frac { 1 + 3 k ^ { 2 } - 2 l } { 1 + k ^ { 2 } } } \; .
U _ { j } ^ { \widetilde { T } } = \prod _ { a = 1 } ^ { \boldsymbol { \kappa } } ( P _ { a } ^ { \widetilde { T } } ) ^ { Q _ { j } ^ { a } } \cdot \Lambda _ { j } ^ { - 1 } \in \mathrm { P i c } _ { \widetilde { T } } ( \mathscr { X } _ { \zeta } ) , \quad u _ { j } ^ { \widetilde { T } } = \sum _ { a = 1 } ^ { \boldsymbol { \kappa } } Q _ { j } ^ { a } p _ { a } ^ { \widetilde { T } } - \lambda _ { j } \in H _ { \widetilde { T } } ^ { 2 } ( X _ { \zeta } ; \mathbb { Q } ) .
\begin{array} { r } { I _ { \omega } = \frac { 2 k _ { \parallel s } v _ { i t } \omega _ { M } \gamma _ { L } ( \omega _ { M } ) } { U _ { 1 } } - \frac { 1 } { U _ { 1 } } \int _ { \omega } ^ { \omega _ { M } } \gamma _ { L } \partial _ { \omega } \epsilon _ { \omega , R } d \omega , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \rho } \times \left[ \mathbf { E } _ { \ell + 1 } - \mathbf { E } _ { \ell } \right] } & { { } = - \mathbf { j } _ { m ( \ell ) } = - \sigma _ { m ( \ell ) } \frac { \mathbf { H } _ { \ell } + \mathbf { H } _ { \ell + 1 } } { 2 } } \\ { \hat { \rho } \times \left[ \mathbf { H } _ { \ell + 1 } - \mathbf { H } _ { \ell } \right] } & { { } = \mathbf { j } _ { e ( \ell ) } = \sigma _ { e ( \ell ) } \frac { \mathbf { E } _ { \ell } + \mathbf { E } _ { \ell + 1 } } { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { N } } & { { } = E _ { \boldsymbol { p } } + N ^ { ( 0 ) } \omega _ { 0 } , } \\ { \boldsymbol { p } _ { N } } & { { } = \boldsymbol { p } + N ^ { ( 0 ) } \boldsymbol { k } _ { 0 } , } \\ { \Phi _ { N } } & { { } = ( N ^ { ( 1 ) } + 2 N ^ { ( 2 ) } ) \phi _ { \mathrm { ~ c ~ e ~ p ~ } } + N ^ { ( 1 ) } \Lambda \varphi _ { p } ^ { ( \epsilon ) } , } \end{array}
{ R } _ { \alpha \alpha _ { 1 } \beta \beta _ { 1 } } ^ { ( S E ) } = - 8 \pi \mu \, \gamma _ { \alpha \alpha _ { 1 } \delta \delta _ { 1 } } m _ { \delta \delta _ { 1 } \beta \beta _ { 1 } } ( { \pmb \xi } , { \pmb \xi } )
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k - 1 - 2 i , 2 k - 2 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + \cdots } \\ & { + v _ { 4 k - 1 - 2 i , 2 k - 6 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 6 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 - 2 i , 2 k - 1 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 2 , 1 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 - 2 i , 2 k - 1 + 6 i } ^ { B , i } \otimes v _ { 2 , 1 } } \end{array}
\mathcal { L } _ { p } ( t ) \rho ( t ) = - i \sqrt { \frac { \gamma _ { e g } } { 2 } } \left\{ \left[ \tilde { \xi } ( t ) \sigma _ { g e } ^ { \dagger } , \rho ( t ) \right] + \left[ \tilde { \xi } ^ { * } ( t ) \sigma _ { g e } , \rho ^ { \dagger } ( t ) \right] \right\} ,
\begin{array} { r l } { } & { = \sum _ { I , J , K , L } f _ { x , y } ( A , A ^ { \dagger } ; \vec { i } , \vec { j } , \vec { k } , \vec { l } ; \sigma _ { 1 } ) \sum _ { \gamma \in S _ { m } \times S _ { n } } \delta _ { j _ { \gamma \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } ( 1 ) } } ^ { i _ { 1 } } \delta _ { k _ { \gamma ^ { - 1 } ( 1 ) } } ^ { l _ { 1 } } \dots \delta _ { j _ { \gamma \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } ( m + n ) } } ^ { i _ { m + n } } \delta _ { k _ { \gamma ^ { - 1 } ( m + n ) } } ^ { l _ { m + n } } } \end{array}