harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { v , N } ^ { 4 } } & { \leq C _ { 1 } \prod _ { \ell \, : \, v _ { \ell } = 1 } \left( \sum _ { j _ { \ell } = - \infty } ^ { \lfloor - 2 ^ { N b ^ { \prime } } \rfloor } 2 ^ { j _ { \ell } ( 1 - h _ { \ell } ) } \sqrt { \log ( 3 + | j _ { \ell } | ) } \right) \times \ldots } \\ & { \qquad \ldots \times \prod _ { \ell ^ { \prime } \, : \, v _ { \ell ^ { \prime } } = 0 } \left( \sum _ { j _ { \ell ^ { \prime } } = - \infty } ^ { - 1 } 2 ^ { j _ { \ell ^ { \prime } } ( 1 - h _ { \ell ^ { \prime } } ) } \sqrt { \log ( 3 + | j _ { \ell ^ { \prime } } | ) } \right) } \\ & { \leq C _ { 2 } N ^ { \frac { d } { 2 } } 2 ^ { - 2 ^ { N b ^ { \prime } } \left( \sum _ { ( \ell \, : \, v _ { \ell } = 1 ) } ( 1 - h _ { \ell } ) \right) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { M _ { i } = \operatorname* { s u p } _ { x \in [ x _ { i - 1 } , x _ { i } ] } f ( x ) , } \\ { m _ { i } = \operatorname* { i n f } _ { x \in [ x _ { i - 1 } , x _ { i } ] } f ( x ) . } \end{array}
O _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } ^ { T } \cdot m ^ { - 1 / 2 } \cdot \mathrm { ~ H ~ e ~ s ~ s ~ } _ { \xi } V | _ { \xi _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } } \cdot m ^ { - 1 / 2 } \cdot O _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } = \Omega ^ { 2 } ,
\frac { b _ { 0 3 } } { b _ { 0 0 } } = \frac { f _ { 0 } } { f _ { 3 } } \sqrt { \frac { \eta _ { 0 } ^ { ( 1 ) } \eta _ { 0 } ^ { ( 2 ) } } { \eta _ { 3 } ^ { ( 1 ) } \eta _ { 3 } ^ { ( 2 ) } } } \sqrt { \frac { r _ { 3 0 } } { r _ { 0 3 } } }
\Phi \left( \begin{array} { l } { \mathbf { x } } \\ { \mathbf { h } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { \mathbf { x } } \\ { \mathbf { b } + \mathbf { A } \mathbf { h } + \mathbf { P } ( \mathbf { x } ) } \end{array} \right)
f _ { \mathrm { e f f } } ^ { ( \frac { 3 } { 2 } , 3 ) } ( t ) = - 4 . 9 3 t ^ { 2 } \frac { 1 + 4 . 6 3 t ^ { 2 } + 3 . 2 1 t ^ { 4 } - 9 . 4 8 t ^ { 6 } - 1 1 . 6 7 t ^ { 8 } } { ( 1 + 1 . 1 6 t ^ { 2 } ) ( 1 + 2 . 4 8 t ^ { 2 } ) ^ { 2 } } ,
\mu _ { e f f } ( \bar { k } , \chi ) = \left[ 1 - P ( a l i a s | \bar { k } , \chi ) \right] \mu ( \bar { k } , \chi ) + P ( a l i a s | \bar { k } , \chi ) \operatorname* { m a x } \left( 4 0 0 \bar { k } ^ { - 1 } , 1 0 0 \right) .
\begin{array} { r l r } & { \operatorname* { m a x } _ { Q \in \mathbb { C } ^ { S \times S } } } & { \widehat { f } ( \chi _ { 0 } ) - \operatorname { t r a c e } ( Q ) , } \\ & { \mathrm { s . t . } ~ } & { \sum _ { \chi ^ { \prime } \in \widehat { G } } Q _ { ( \chi ^ { \prime } ) ^ { - 1 } \chi , \chi } = \widehat { f } ( \chi ) , ~ \chi \neq \chi _ { 0 } \in \widehat { G } } \\ & { } & { Q \succeq 0 . } \end{array}
- g \int d ^ { 4 } x \left\{ ( \partial \phi ^ { a } ) ( \partial ^ { * } \bar { \chi } _ { + } ) t ^ { a } a _ { - } + ( \partial ^ { * } \phi ^ { a * } ) ( \partial \bar { \chi } _ { + } ^ { * } ) t ^ { a } a _ { - } ^ { * } \; \right\}
\delta { \cal L } _ { V \gamma } = \frac { e ( k - \tilde { k } ) } { 4 g } F _ { \mu \nu } \mathrm { t r } ( G ^ { \mu \nu } ( \xi Q \xi ^ { \dagger } + \xi ^ { \dagger } Q \xi ) ) = \frac { e ( k - \tilde { k } ) } { 2 g } F _ { \mu \nu } \mathrm { t r } \big ( G ^ { \mu \nu } Q \big ) + \dots
\begin{array} { r } { J ( 1 , 1 ) = \left[ { \begin{array} { c c } { \frac { c } { \varepsilon } } & { 0 } \\ { 0 } & { - \frac { 1 - e ^ { \beta ( 1 - T ) } } { 1 + e ^ { \beta ( 1 - T ) } } } \end{array} } \right] , } \end{array}
d s ^ { 2 } \, = \, { \frac { \Lambda ^ { 2 } } { z ^ { \prime \, 2 } } } \, \Big \lbrack \, \, { \frac { \delta ^ { 2 } } { ( z ^ { \prime } - \delta ) ^ { 2 } } } d z ^ { \prime \, 2 } \, + \, \, { \frac { ( z ^ { \prime } - \delta ) ^ { 2 } } { \delta ^ { 2 } } } \Big ( ( d \vec { x } ) ^ { 2 } \, - d t ^ { 2 } \, \Big ) \, \Big \rbrack
\begin{array} { r l r } { T _ { 1 } \rho T _ { 1 } } & { = } & { \frac { 1 } { d ^ { n } } \sum _ { ( \vec { p } , \vec { q } ) \in S _ { X } } \Xi _ { \rho } ( 0 , \vec { p } , 1 , \vec { q } ) \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( X + Y ) \otimes w ( \vec { p } , \vec { q } ) } \\ & { + } & { \frac { 1 } { d ^ { n } } \sum _ { ( \vec { p } , \vec { q } ) \in S _ { Y } } \Xi _ { \rho } ( 1 , \vec { p } , 1 , \vec { q } ) \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( X - Y ) \otimes w ( \vec { p } , \vec { q } ) } \\ & { + } & { \frac { 1 } { d ^ { n } } \sum _ { ( \vec { p } , \vec { q } ) \in S _ { X } ^ { C } } \Xi _ { \rho } ( 0 , \vec { p } , 1 , \vec { q } ) \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( X + Y ) \otimes w ( \vec { p } , \vec { q } ) } \\ & { + } & { \frac { 1 } { d ^ { n } } \sum _ { ( \vec { p } , \vec { q } ) \in S _ { Y } ^ { C } } \Xi _ { \rho } ( 1 , \vec { p } , 1 , \vec { q } ) \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( X - Y ) \otimes w ( \vec { p } , \vec { q } ) } \\ & { + } & { \Delta _ { 1 } ^ { Z } ( \rho ) \; . } \end{array}
{ \frac { 1 } { 1 } } + { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { 1 } { 4 } } + { \frac { 1 } { 8 } } + { \frac { 1 } { 1 6 } } + { \frac { 1 } { 3 2 } } + \cdots = 2 .
\frac { \delta } { \delta \theta ^ { b } } \, G ^ { a } [ \hat { A } + \delta \hat { A } , A ^ { \theta } ( \hat { A } + \delta \hat { A } ) ] \ = \ O ^ { T , a c } ( \hat { \theta } ) \, \frac { \delta } { \delta \tilde { \theta } ^ { d } } \, G ^ { c } [ \hat { A } , A ^ { \tilde { \theta } } ( \hat { A } ) ] \, O ^ { d b } ( \hat { \theta } ) \, ,
\begin{array} { r l } { \Delta n ( \mathbf { r } ) _ { \mathbf { q } , A } } & { { } = \operatorname* { l i m } _ { N _ { s } \to \infty } \frac { 1 } { N _ { s } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { s } } \Delta n _ { \mathbf { q } , A } ^ { i } ( \mathbf { r } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 | | \Omega _ { U } | | } & { { } \leq \frac { \zeta ^ { 2 } } { \theta } \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } { 2 ^ { - m } \sum _ { u = 0 } ^ { m } { \binom { m } { u } | | ( C U ) ^ { T } | | ^ { u } \ | | C U | | ^ { m - u } } } . } \end{array}
\widetilde { \varrho } _ { \varepsilon } \widetilde { s } _ { \varepsilon } ^ { ( 1 ) } \widetilde { \textbf { \textup { u } } } _ { \varepsilon } = \left[ \varrho _ { \varepsilon } \right] _ { \mathrm { e s s } } \left[ s _ { \varepsilon } ^ { ( 1 ) } \right] _ { \mathrm { e s s } } \widetilde { \textbf { \textup { u } } } _ { \varepsilon } + \left[ \varrho _ { \varepsilon } s _ { \varepsilon } ^ { ( 1 ) } \right] _ { \mathrm { r e s } } \widetilde { \textbf { \textup { u } } } _ { \varepsilon } ;
\begin{array} { r l } { \big | \mathcal { I } _ { n } ( \boldsymbol { t } , \boldsymbol { \tilde { t } } ) \big | \leq } & { \int \prod _ { i \in J _ { 1 } } \frac { | x _ { i } ^ { \epsilon _ { i } } | } { ( 1 + | x _ { i } | ^ { 2 } ) ^ { d + 1 } } \, d \boldsymbol { x } \int \prod _ { i \in \tilde { J } _ { 1 } } \frac { | y _ { i } ^ { \nu _ { i } } | } { ( 1 + | y _ { i } | ^ { 2 } ) ^ { d + 1 } } \, d \boldsymbol { y } \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { 2 k - n - 3 } } f ( \boldsymbol { s } , \boldsymbol { \tilde { s } } ) d \boldsymbol { s } d \boldsymbol { \tilde { s } } \int \frac { | \hat { \varphi } ( \frac { q _ { 0 } } { \hbar } ) | ^ { 2 } } { | \frac { 1 } { 2 } q _ { 0 } ^ { 2 } - \tilde { \nu } - i \zeta | } } \\ & { \times \frac { 1 } { | \frac { 1 } { 2 } q _ { 0 } ^ { 2 } + \nu + i \zeta | } \frac { 1 } { | \frac { 1 } { 2 } ( \tilde { p } + q _ { l _ { 1 } } ) ^ { 2 } + \nu + i \zeta | } \frac { 1 } { | \frac { 1 } { 2 } ( \tilde { p } + q _ { l _ { 2 } } ) ^ { 2 } + \nu + i \zeta | } \frac { 1 } { | \frac { 1 } { 2 } q _ { \sigma _ { m ^ { * } } ^ { 2 } } ^ { 2 } - \tilde { \nu } - i \zeta | } } \\ & { \times \prod _ { m = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { | \frac { 1 } { 2 } ( q _ { \sigma _ { m } ^ { 2 } } + \pi _ { \sigma _ { m } ^ { 2 } } ( \tilde { q } ) ) ^ { 2 } - \tilde { \nu } - i \zeta | } \Big | \partial _ { \boldsymbol { \xi } _ { \tilde { J } _ { 1 } } } ^ { \boldsymbol { \nu } } \partial _ { \boldsymbol { \eta } _ { J _ { 1 } } } ^ { \boldsymbol { \epsilon } } \mathcal { G } ( \tilde { p } , \tilde { q } , \boldsymbol { q } , \boldsymbol { \eta } , \boldsymbol { \xi } , \sigma ^ { 1 } , \sigma ^ { 2 } , \alpha , \tilde { \alpha } ) \Big | \, d \boldsymbol { \eta } d \boldsymbol { \xi } d \boldsymbol { q } d \tilde { p } d \tilde { q } d \nu d \tilde { \nu } . } \end{array}
p ( r _ { 1 } , \boldsymbol { \Omega } , t ) = \sum _ { n n ^ { \prime } } \rho _ { n n ^ { \prime } } ( \boldsymbol { \Omega } , t ) \int d r _ { 2 } \cdots d r _ { N } \psi _ { n } ^ { * } ( \Vec { r } ) \psi _ { n ^ { \prime } } ( \Vec { r } ) .
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 1 , k \neq i } ^ { n } E \{ N _ { i k } ( s , t ) \} = } & { \int _ { s } ^ { t } \exp \{ \alpha _ { i } ( u ) \} \sum _ { k \neq i } ^ { n } \exp \{ \beta _ { k } ( u ) + Z _ { i k } ( u ) ^ { \top } \gamma ( u ) \} d u , } \\ { \sum _ { k = 1 , k \neq i } ^ { n } E \{ N _ { k i } ( s , t ) \} = } & { \int _ { s } ^ { t } \exp \{ \beta _ { i } ( u ) \} \sum _ { k \neq i } ^ { n } \exp \{ \alpha _ { k } ( u ) + Z _ { k i } ( u ) ^ { \top } \gamma ( u ) \} d u . } \end{array}
\mu = \mu _ { 0 } \left( \frac { T } { T _ { 0 } } \right) ^ { 3 / 2 } \frac { T _ { 0 } + T _ { S } } { T + T _ { S } } \mathrm { , ~ a n d ~ } Z : = \frac { 3 ( 3 + \delta ) \mu _ { b } } { 2 \delta \mu } = \frac { Z _ { \infty } } { 1 + \frac { \pi ^ { 3 / 2 } } { 2 } \sqrt { \frac { T ^ { * } } { T } } + \left( \frac { \pi ^ { 2 } } { 4 } + \pi \right) \frac { T ^ { * } } { T } }
a F _ { A 1 2 } / \mathcal { F } _ { A _ { 2 } } + ( n _ { 1 } + a F _ { A 1 1 } / \mathcal { F } _ { A _ { 2 } } ) [ d _ { B } F _ { B 1 2 } / \mathcal { F } _ { B _ { 2 } }
\begin{array} { r l } { Z _ { G _ { 2 } ^ { \prime } } ^ { ( - ) } } & { = Z ( W ^ { \boxminus } ) = \epsilon \leqslant Z _ { G _ { 2 } } ^ { ( - ) } = Z ( W ^ { - } ) = 2 \epsilon - \epsilon ^ { 2 } , } \\ { Z _ { G _ { 2 } ^ { \prime } } ^ { ( + ) } } & { = Z ( W ^ { \boxplus } ) = \epsilon ^ { 2 } = Z _ { G _ { 2 } } ^ { ( + ) } = Z ( W ^ { + } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { e \in E \left( \mathbb { T } _ { L } \right) } \rho ^ { p - 2 } ( e ) \mathbf { a } ( s , e ) P _ { \mathbf { a } } ( s , e ) ^ { 2 } } & { \leq C \mathcal { M } _ { 0 } ( s ) \varepsilon ^ { 2 } \int _ { s } ^ { \infty } K _ { s ^ { \prime } - s } \sum _ { e \in E \left( \mathbb { T } _ { L } \right) } \rho ( e ) ^ { p } \mathbf { a } ( s ^ { \prime } , e ) ( \nabla P _ { \mathbf { a } } ( s ^ { \prime } , e ) ) ^ { 2 } \, d s } \\ & { \quad + C \varepsilon ^ { - \frac { 2 \theta _ { d } } { 1 - \theta _ { d } } } \mathcal { M } _ { 0 } ( s ) \sum _ { x \in \mathbb { T } _ { L } } \rho ^ { p - 2 } ( x ) P _ { \mathbf { a } } ( s , x ) ^ { 2 } . } \end{array}
{ \frac { a _ { n + 1 } } { \prod _ { k = 0 } ^ { n } f _ { k } } } - { \frac { f _ { n } a _ { n } } { \prod _ { k = 0 } ^ { n } f _ { k } } } = { \frac { g _ { n } } { \prod _ { k = 0 } ^ { n } f _ { k } } }
S ^ { t } \, \delta _ { 1 } = - \delta _ { 1 } \ , \ S ^ { t } \, \delta _ { 2 } = - \delta _ { 2 } + \delta _ { 1 } ^ { 2 } \ , \ S ^ { t } \, \delta _ { 3 } = - \delta _ { 3 } + 4 \, \delta _ { 1 } \, \delta _ { 2 } - 2 \, \delta _ { 1 } ^ { 3 } \ , \ \ldots
\psi ^ { s } = \psi _ { l } = \left( \begin{array} { c } { { E + m } } \\ { { - i k } } \end{array} \right) e ^ { i k x } + l ( k ) \left( \begin{array} { c } { { E + m } } \\ { { i k } } \end{array} \right) e ^ { - i k x } , \qquad x \leq - \xi
V _ { e f f } ( \vec { r } ) = - \frac { Z } { r } + \int _ { V _ { i o n } } d \vec { r ^ { \prime } } \frac { n ( \vec { r ^ { \prime } } ) } { | \vec { r } - \vec { r ^ { \prime } } | } + V ^ { x c } ( \vec { r } ) \, ,
L ( \theta ) = L [ \tilde { u } ] = \frac { \int _ { \Omega } | \nabla \tilde { u } | ^ { 2 } d x + \sum _ { i = 1 } ^ { d } \int _ { \Omega } x _ { i } ^ { 2 } \tilde { u } ^ { 2 } d x } { \int _ { \Omega } \tilde { u } ^ { 2 } d x } , \quad \tilde { u } \in \mathcal { F } .
\begin{array} { r l } { \langle \mathcal { H } _ { K } ( t _ { * } ) \Phi _ { \beta } , \Phi _ { \alpha } \rangle } & { { } = \langle \mathcal { F } _ { K } \Phi _ { \beta } , \Phi _ { \alpha } \rangle + \langle [ \mathcal { F } _ { K } , T _ { * } ] \Phi _ { \beta } , \Phi _ { \alpha } \rangle + \langle \mathcal { W } _ { K } ( t _ { * } ) \Phi _ { \beta } , \Phi _ { \alpha } \rangle } \end{array}
M _ { 1 } = { \frac { { \frac { 3 } { 2 } } g _ { 4 } ^ { 2 } } { g _ { 2 R } ^ { 2 } + { \frac { 3 } { 2 } } g _ { 4 } ^ { 2 } } } M _ { 2 R } + { \frac { g _ { 2 R } ^ { 2 } } { g _ { 2 R } ^ { 2 } + { \frac { 3 } { 2 } } g _ { 4 } ^ { 2 } } } M _ { 4 }
\begin{array} { r } { C = - \delta _ { 2 } ( { \bf \Gamma } ) + \delta _ { 2 } ( { \bf X } ) - \delta _ { 2 } ( { \bf M } ) + \delta _ { 2 } ( { \bf Y } ) \quad \mathrm { ~ m ~ o ~ d ~ 2 ~ } , } \\ { C = - \delta _ { 3 } ( { \bf \Gamma } ) + 2 \delta _ { 3 } ( { \bf K } ) - \delta _ { 3 } ( { \bf K ^ { \prime } } ) \quad \mathrm { ~ m ~ o ~ d ~ 3 ~ } , } \\ { C = - \delta _ { 4 } ( { \bf \Gamma } ) - \delta _ { 4 } ( { \bf M } ) + 2 \delta _ { 2 } ( { \bf X } ) \quad \mathrm { ~ m ~ o ~ d ~ 4 ~ } , } \\ { C = - \delta _ { 6 } ( { \bf \Gamma } ) + 4 \delta _ { 3 } ( { \bf K } ) - 3 \delta _ { 2 } ( { \bf M } ) \quad \mathrm { ~ m ~ o ~ d ~ 6 ~ } , } \end{array}
\frac { M _ { \nu } ^ { \prime } } { m } = \left( \begin{array} { l l l } { { - 1 - \epsilon s _ { 2 3 } ^ { 2 } } } & { { 0 } } & { { \epsilon ^ { \prime } ( - 1 + z ) / 4 } } \\ { { 0 } } & { { 1 + \epsilon s _ { 2 3 } ^ { 2 } } } & { { \epsilon ^ { \prime } ( - 1 - z ) / 4 } } \\ { { \epsilon ^ { \prime } ( - 1 + z ) / 4 } } & { { \epsilon ^ { \prime } ( - 1 - z ) / 4 } } & { { z ( 1 + 2 \epsilon c _ { 2 3 } ^ { 2 } ) } } \end{array} \right) ,
\mathrm { P V } \int _ { 0 } ^ { \infty } \mathrm { d } u { \frac { \exp ( - u / a _ { s } ) } { ( u + b ) ^ { n } } } \, = \, { \frac { \mathrm { e } ^ { b / a _ { s } } } { b ^ { n - 1 } } } E _ { n } ( b / a _ { s } ) \, + \, i \pi { \frac { ( - a _ { s } ) ^ { 1 - n } } { ( n - 1 ) ! } } \mathrm { e } ^ { b / a _ { s } } \, , \, \, \mathrm { R e } \, a _ { s } > 0 \, .
\Psi _ { 5 } ^ { \prime \prime } ( Q ^ { 2 } ) = \frac { 2 } { ( M _ { K } ^ { 2 } + Q ^ { 2 } ) ^ { 3 } } 2 f _ { K } ^ { 2 } M _ { K } ^ { 4 } + \int _ { t _ { 0 } } ^ { \infty } d t \frac { 2 } { t + Q ^ { 2 } ) ^ { 3 } } \frac { 1 } { \pi } \mathrm { I m } \Psi _ { 5 } ( t ) ,
\begin{array} { r l } { \phi ( R , t ) \approx } & { \frac { 1 } { R } { \left( \frac { c \Delta E } { 2 \pi ^ { 3 / 2 } \omega _ { 0 } ^ { 2 } \tau } \right) } ^ { 1 / 2 } \exp { \left( - \frac { ( t - t _ { s } ) ^ { 2 } } { 2 \tau ^ { 2 } } \right) } } \\ & { \times \cos { \left( \omega _ { 0 } ( t - t _ { s } ) - \frac { \omega _ { 0 } } { 4 \delta t } ( t - t _ { s } ) ^ { 2 } \right) } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \bar { r } _ { l } \| _ { \infty } } & { \leq 1 + \| \bar { r } _ { l } - r \| _ { \infty } } \\ & { \leq 1 + c _ { a } ( \sqrt { t _ { \mathrm { m i n o r i z e } } } + \left\| \sigma ( q ^ { * } ) \right\| _ { \infty } ) \sqrt { \frac { \log ( 8 l ^ { * } | S | | A | / \delta ) } { n _ { l } } } + c _ { b } \| q ^ { * } \| _ { \infty } \frac { \log ( 8 l ^ { * } | S | | A | / \delta ) } { n _ { l } } } \\ & { \leq 1 + 5 c _ { a } t _ { \mathrm { m i n o r i z e } } \sqrt { \frac { \log ( 8 l ^ { * } | S | | A | / \delta ) } { n _ { l } } } + c _ { b } \frac { \log ( 8 l ^ { * } | S | | A | / \delta ) } { ( 1 - \gamma ) n _ { l } } } \\ & { \leq 3 . } \end{array}
\widetilde { A } _ { \mu } ( x ) = 4 \pi \int \delta \xi d s \, \epsilon _ { \mu \nu \rho \sigma } { \Omega } _ { \xi } ( s , 0 ) T ^ { i } { \Omega } _ { \xi } ^ { - 1 } ( s , 0 ) L _ { i } ^ { \rho \sigma } [ \xi | s ] \dot { \xi } ^ { \nu } ( s ) \delta ^ { 4 } ( x - \xi ( s ) ) .
\widetilde W _ { \beta } ^ { \mathrm { c l } } [ \Phi , \Pi ] = \mathrm { e x p } \left[ - { \frac { 1 } { 2 } } \beta \int { \frac { d p } { 2 \pi } } \; \Bigl ( \Pi ^ { * } ( p ) \Pi ( p ) + E ^ { 2 } ( p ) \Phi ^ { * } ( p ) \Phi ( p ) \Bigr ) \right] \; .
\Delta _ { 1 } = - i \overline { { e ^ { - i l \vartheta _ { c } } \left[ e ^ { i Q _ { z } } \left( \delta \dot { \theta } _ { z } \partial _ { \theta } + \delta \dot { \cal E } _ { z } \partial _ { \cal E } \right) \right] e ^ { i l \vartheta _ { c } } } } \; .
c ^ { 2 } = { \frac { 1 } { 1 - { \frac { r _ { \mathrm { { s } } } } { r } } } } \, { \frac { E ^ { 2 } } { m ^ { 2 } c ^ { 2 } } } - { \frac { 1 } { 1 - { \frac { r _ { \mathrm { { s } } } } { r } } } } \left( { \frac { d r } { d \tau } } \right) ^ { 2 } - { \frac { 1 } { r ^ { 2 } } } \, { \frac { L ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } } \, ,
\begin{array} { r l } { \textstyle \operatorname { V a r } \partial _ { \hat { U } _ { j } } \sum _ { i } \langle \Psi | \hat { h } _ { i } | \Psi \rangle } & { { } \textstyle = \frac { 1 } { N } \sum _ { i _ { 1 } , i _ { 2 } = 1 } ^ { j } \operatorname { A v g } \operatorname { T r } ( \hat { g } _ { i _ { 1 } } ^ { \dag } \hat { g } _ { i _ { 2 } } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { L } _ { i } ^ { B } [ \boldsymbol { A } ] = \frac { \partial C _ { i j k l } } { \partial x _ { j } } \left( \frac { \partial } { \partial x _ { l } } + \mathrm { ~ i ~ } k _ { l } \right) A _ { k } + C _ { i j k l } \left( \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x _ { l } \partial x _ { j } } + \mathrm { ~ i ~ } k _ { j } \frac { \partial } { \partial x _ { l } } + \mathrm { ~ i ~ } k _ { l } \frac { \partial } { \partial x _ { j } } - k _ { l } k _ { j } \right) A _ { k } . } \end{array}
\langle I ( t ) I ( 0 ) \rangle - \langle I ( 0 ) \rangle ^ { 2 } = p _ { + } ^ { \mathrm { e q } } p _ { - } ^ { \mathrm { e q } } ( I _ { + } - I _ { - } ) ^ { 2 } e ^ { - \frac { \tau ^ { + } \tau ^ { - } } { \mu } t } .
\gamma ^ { 1 , 2 , 3 } = { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { - i \sigma ^ { 1 , 2 , 3 } } \\ { i \sigma ^ { 1 , 2 , 3 } } & { 0 } \end{array} \right) } , \quad \gamma ^ { 4 } = { \left( \begin{array} { l l } { I _ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { - I _ { 2 } } \end{array} \right) } , \quad \gamma ^ { 5 } = { \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { - I _ { 2 } } \\ { - I _ { 2 } } & { 0 } \end{array} \right) }
\tilde { \epsilon } _ { n } ^ { 3 } - ( \lambda _ { 0 } + \kappa _ { 0 } ) \tilde { \epsilon } _ { n } ^ { 2 } + \left( \lambda _ { 0 } k _ { 0 } + \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \left( \frac { R ^ { 2 } \bar { \theta } } { c _ { 0 } } + R \bar { \theta } \right) \right) \tilde { \epsilon } _ { n } - \frac { R \bar { \theta } \kappa _ { 0 } } { n ^ { 2 } } = 0
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \varphi _ { v _ { 2 } } \colon } & { \epsilon _ { 0 } } & { \ \longmapsto \ } & { \frac { \beta } { \Delta } \epsilon _ { 4 } - \frac { \alpha } { \Delta } \epsilon _ { 5 } , } \\ & { \epsilon _ { 1 } } & { \ \longmapsto \ } & { \epsilon _ { 2 } - \frac { \beta } { \Delta } \epsilon _ { 3 } + \frac { \alpha } { \Delta } \epsilon _ { 4 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \mathrm { T W - M S } } ^ { I } } & { = \hbar \Omega _ { \mathrm { S D F } } \cos { ( \delta t ) } \hat { S } _ { \phi } ( \hat { a } e ^ { - i \omega _ { z } t } + \hat { a } ^ { \dagger } e ^ { i \omega _ { z } t } ) , } \\ { \Omega _ { \mathrm { S D F } } ( \Omega , \delta ) } & { = \eta \Omega [ J _ { 0 } ( 2 \Omega / \delta ) + J _ { 2 } ( 2 \Omega / \delta ) ] , } \end{array}
{ \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } } \left( { \frac { \partial L } { \partial { \dot { q } } _ { j } } } \right) - { \frac { \partial L } { \partial q _ { j } } } + { \frac { \partial D } { \partial { \dot { q } } _ { j } } } = 0 \, .
\begin{array} { r l } { \int _ { \Delta _ { n - 1 } ^ { \prime } } E _ { \psi } ( \varphi _ { f } , \mathbf { q } ) ^ { 0 } } & { = \sum _ { \xi \in V ( \mathbf { Q } ) / V ( \mathbf { Z } ) } \varphi _ { f } ( h \xi ) \cdot ( h ^ { - 1 } ) ^ { * } \left( \wedge _ { j = 1 } ^ { n } \mathrm { R e } ( \varepsilon ( z _ { j } - \xi _ { j } ) d z _ { j } ) \right) } \\ & { = \sum _ { \xi \in V ( \mathbf { Q } ) / V ( \mathbf { Z } ) } \varphi _ { f } ( h \xi ) \wedge _ { j = 1 } ^ { n } \mathrm { R e } ( \varepsilon ( \ell _ { j } - \xi _ { j } ) d \ell _ { j } ) . } \end{array}
\int _ { \mathcal { C } _ { \Omega } ^ { I _ { k - 1 } ^ { \mathrm { o r } } } ( p ) } \mathrm { d } \sigma \, \Gamma \cdot e ^ { \langle \theta , \sigma \rangle } = - \sum _ { i \notin I _ { k - 1 } } \sum _ { m _ { i \ge 0 } } \int _ { \mathcal { C } _ { \iota _ { f } \Omega } ^ { I _ { k } ^ { \mathrm { o r } } } ( \{ p + [ 0 , N ] f \} \cap \pi _ { m _ { i } } ^ { i } ) } \mathrm { d } \sigma \, \Gamma \cdot e ^ { \langle \theta , \sigma \rangle } + \int _ { \mathcal { C } _ { \Omega } ^ { I _ { k - 1 } ^ { \mathrm { o r } } } ( p + N f ) } \mathrm { d } \sigma \, \Gamma \cdot e ^ { \langle \theta , \sigma \rangle } .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq t < \infty } \operatorname* { m a x } _ { i , j } | \mathrm { \boldmath ~ x ~ } _ { i } ( t ) - \mathrm { \boldmath ~ x ~ } _ { j } ( t ) | < \infty , \quad \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } \operatorname* { m a x } _ { i , j } | \mathrm { \boldmath ~ v ~ } _ { j } ( t ) - \mathrm { \boldmath ~ v ~ } _ { i } ( t ) | = 0 . } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { 1 } { r } \partial _ { r } \Psi _ { n } ^ { m } = } & { } & { \frac { 1 } { w _ { 0 } } \sqrt { \frac { 2 } { \pi } \frac { n ! } { ( n - m ) ! } } a ^ { - m / 2 } \mathrm { e } ^ { - a / 2 } \mathrm { e } ^ { i m \phi } \mathrm { e } ^ { i k z } } \\ & { } & { \cdot \frac { 2 } { w _ { 0 } ^ { 2 } } \left[ - 2 L _ { n } ^ { - m + 1 } ( a ) + L _ { n } ^ { - m } ( a ) - \frac { m } { a } L _ { n } ^ { - m } ( a ) \right] , } \end{array}
a _ { i } ( k _ { x } , y , k _ { z } , \sigma ) = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 3 / 2 } } \iiint u _ { i } ( x , y , z , t ) e ^ { - i ( k _ { x } x + k _ { z } z - \sigma t ) } \, d x \, d z \, d t
\left( \check { z } ( s ) , \check { \zeta } ( s ) \right) : = \frac { 1 } { { \left( | \tilde { z } ^ { ( 0 ) } + s \tilde { \zeta } ^ { ( 0 ) } | ^ { 2 } + | \tilde { \zeta } ^ { ( 0 ) } | ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } } \left( \tilde { z } ^ { ( 0 ) } + s \tilde { \zeta } ^ { ( 0 ) } , \tilde { \zeta } ^ { ( 0 ) } \right) \in \mathbb { S } ^ { 2 d - 3 } ,
\frac { 8 \pi ^ { 2 } } { e ^ { 2 } } \left( \sum _ { A } \left( \frac { 1 } { y _ { A } } d \vec { y } _ { A } ^ { 2 } + y _ { A } \, ( D \psi _ { A } ) ^ { 2 } \right) + \frac { \left( \, \sum _ { A } d \vec { y } _ { A } \, \right) ^ { 2 } } { | \vec { y } _ { N } + 2 \pi \vec { \zeta } | } - \frac { \left( \, \sum _ { A } y _ { A } \, D \psi _ { A } \, \right) ^ { 2 } } { | \vec { y } _ { N } + 2 \pi \vec { \zeta } | + \sum _ { A } | \vec { y } _ { A } | } \right) ,
\frac { \Delta m _ { \mu e } ^ { 2 } } { \Delta m _ { \tau \mu } ^ { 2 } } \simeq \left( \frac { \hat { \delta } _ { - } } { \sqrt { 2 } \hat { \Delta } _ { - } } \right) ^ { 2 } \simeq s _ { \nu } ^ { 2 } = 2 | U _ { e 3 } | ^ { 2 } < < 1 \ .
\begin{array} { r } { A _ { N } ^ { \pm } = { \frac { \sigma _ { L } ^ { \pm } - \sigma _ { R } ^ { \pm } } { \sigma } } = \alpha _ { \pm } { \frac { 3 \pi \beta } { 8 ( 3 - \beta ^ { 2 } ) } } { \frac { 2 m _ { \tau } } { e } } \textrm { R e } ( d _ { \tau } ^ { \gamma } ) \; , } \end{array}
f ( \eta ) = K _ { 0 } \cdot \eta \cdot e ^ { - \frac { \eta ^ { 2 } } { 4 D } } \left( \frac { 1 } { \eta } - \frac { 1 } { 2 D } \eta \right) = K _ { 0 } \cdot e ^ { - \frac { \eta ^ { 2 } } { 4 D } } \left( 1 - \frac { 1 } { 2 D } \eta ^ { 2 } \right) .
H _ { 0 } ^ { n - 1 } \frac { \d ^ { 3 } H _ { 0 } } { \d x ^ { 3 } } = s _ { 0 } ^ { n + 3 } \dot { s } _ { 0 } x \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \ x \in ( 0 , 1 ) \qquad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \qquad H _ { 0 } ^ { n - 1 } \frac { \d ^ { 3 } H _ { 0 } } { \d x ^ { 3 } } = 0 \quad \mathrm { ~ a ~ t ~ } \ x = 1 ,