harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \rho _ { \varepsilon } ( x , t ) } & { = \Big ( \nu \frac { \partial ^ { 2 } \theta _ { + } } { \partial ( \tau ^ { + } ) ^ { 2 } } ( \tau ^ { + } , t ) \phi ( n ^ { + } / \varepsilon ) + \frac { \nu } { \varepsilon ^ { 2 } } \theta _ { + } ( \tau ^ { + } , t ) \phi ^ { \prime \prime } ( n ^ { + } / \varepsilon ) - \frac { \partial \theta _ { + } } { \partial t } ( \tau ^ { + } , t ) \phi ( n ^ { + } / \varepsilon ) } \\ & { - u ^ { \tau ^ { + } } ( \tau ^ { + } , n ^ { + } , t ) \frac { \partial \theta _ { + } } { \partial \tau ^ { + } } ( \tau ^ { + } , t ) \phi ( n ^ { + } / \varepsilon ) - \frac { 1 } { \varepsilon } u ^ { n ^ { + } } ( \tau ^ { + } , n ^ { + } , t ) \theta _ { + } ( \tau ^ { + } , t ) \phi ^ { \prime } ( n ^ { + } / \varepsilon ) \Big ) 1 _ { \{ \arg x \in [ \alpha , \alpha + \frac { \pi } { 2 } ] \} } } \\ & { + \Big ( \nu \frac { \partial ^ { 2 } \theta _ { - } } { \partial ( \tau ^ { - } ) ^ { 2 } } ( \tau ^ { - } , t ) \phi ( n ^ { - } / \varepsilon ) + \frac { \nu } { \varepsilon ^ { 2 } } \theta _ { - } ( \tau ^ { - } , t ) \phi ^ { \prime \prime } ( n ^ { - } / \varepsilon ) - \frac { \partial \theta _ { - } } { \partial t } ( \tau ^ { - } , t ) \phi ( n ^ { - } / \varepsilon ) } \\ & { - u ^ { \tau ^ { - } } ( \tau ^ { - } , n ^ { - } , t ) \frac { \partial \theta _ { - } } { \partial \tau ^ { - } } ( \tau ^ { - } , t ) \phi ( n ^ { - } / \varepsilon ) - \frac { 1 } { \varepsilon } u ^ { n ^ { - } } ( \tau ^ { - } , n ^ { - } , t ) \theta _ { - } ( \tau ^ { - } , t ) \phi ^ { \prime } ( n ^ { - } / \varepsilon ) \Big ) 1 _ { \{ \arg x \in [ \frac { 3 \pi } { 2 } - \alpha , 2 \pi - \alpha ] \} } } \\ & { + \Big ( - \frac { 1 } { \varepsilon } \theta ( t ) \phi ^ { \prime } ( | x | / \varepsilon ) \frac { u ^ { 1 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) x _ { 1 } + u ^ { 2 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) x _ { 2 } } { | x | } - \theta ^ { \prime } ( t ) \phi ( | x | / \varepsilon ) + \frac { \nu } { \varepsilon ^ { 2 } } \theta ( t ) \phi ^ { \prime \prime } ( | x | / \varepsilon ) } \\ & { + \frac { \nu } { \varepsilon } \theta ( t ) \phi ^ { \prime } ( | x | / \varepsilon ) \frac { 1 } { | x | } \Big ) 1 _ { \{ \arg x \in ( \alpha + \frac { \pi } { 2 } , \frac { 3 \pi } { 2 } - \alpha ) \} } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | | \eta - \widehat \pi _ { h } ^ { i } \eta | | _ { 0 , \gamma } ^ { 2 } } & { \le } & { \operatorname* { i n f } _ { \chi _ { h } \in W _ { h } ^ { i } } | | \chi ( \eta - \widehat \pi _ { h } ^ { i } \eta ) - \chi _ { h } | | _ { 1 / 2 , \gamma } | | \eta - \widehat \pi _ { h } ^ { i } \eta | | _ { 1 / 2 , \gamma } } \\ & { \le } & { C h _ { i } ^ { 1 / 2 } | | \chi ( \eta - \widehat \pi _ { h } ^ { i } \eta ) | | _ { 1 , \gamma } | | \eta - \widehat \pi _ { h } ^ { i } \eta | | _ { 1 / 2 , \gamma } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { \mathrm { ~ a ~ l ~ l ~ f ~ o ~ u ~ r ~ } \; \hat { \mu } ^ { \mathrm { ~ ' ~ } } \mathrm { ~ s ~ } } e ^ { i ( \mathcal { D } \cdot V _ { 1 2 } ) _ { m _ { x } ^ { 1 } + m _ { y } ^ { 1 } + m _ { x } ^ { 2 } + m _ { y } ^ { 2 } } } } & { { } } \\ { ( \lambda _ { 1 x } ) ^ { m _ { x } ^ { 1 } } ( \lambda _ { 1 y } ) ^ { m _ { y } ^ { 1 } } ( \lambda _ { 2 x } ) ^ { m _ { x } ^ { 2 } } ( \lambda _ { 2 y } ) ^ { m _ { y } ^ { 2 } } } & { { } } \\ { \left( i \frac { \mathcal { D } \cdot \hat { \mu } _ { 2 } } { \hat { \mu } _ { 1 } \cdot \hat { \lambda } _ { 2 } } \right) ^ { m _ { x } ^ { 1 } + m _ { y } ^ { 1 } } \left( i \frac { \mathcal { D } \cdot \hat { \mu } _ { 1 } } { \hat { \mu } _ { 2 } \cdot \hat { \lambda } _ { 1 } } \right) ^ { m _ { x } ^ { 2 } + m _ { y } ^ { 2 } } } & { { } } \\ { \frac { W \cdot \hat { \lambda } } { W \cdot \mathcal { D } } ( - \Delta ( f _ { 1 } f _ { 2 } ) _ { \hat { \mu } } ) \frac { 1 } { \mathcal { D } \cdot \hat { \mu } } \; . } \end{array}
\Phi = { \frac { 0 . 0 3 1 2 + 0 . 0 8 7 ( c - 1 ) + 0 . 0 0 8 ( c - 1 ) ^ { 2 } } { 1 . 0 0 0 + 2 . 4 5 5 ( c - 1 ) + 0 . 7 3 2 ( c - 1 ) ^ { 2 } } }
\hat { L } _ { \mathbf { q G } } ^ { \prime } = \frac { \sqrt { 4 \pi } } { | \mathbf G - \mathbf q | } \sum _ { \mathbf k _ { r } } \sum _ { p r } \rho _ { p r \mathbf k _ { r } } ( \mathbf q , \mathbf G ) \hat { a } _ { p \mathbf k _ { r } + \mathbf q } ^ { \dagger } \hat { a } _ { r \mathbf k _ { r } }
\sigma _ { 1 1 } = - P _ { t h e r m o } + 2 \mu \displaystyle \left( \frac { \partial u _ { 1 } } { \partial x _ { 1 } } - \frac { 1 } { 3 } \nabla \cdot \vec { u } \right) + \mu _ { b } \nabla \cdot \vec { u }
E _ { 1 } = \bigoplus _ { p , q \in \mathbf { Z } } E _ { 1 } ^ { p , q } = \bigoplus _ { p , q \in \mathbf { Z } } { \frac { { \bar { Z } } _ { 1 } ^ { p , q } } { { \bar { B } } _ { 1 } ^ { p , q } } }
\xi _ { y \pm } ^ { i } \approx \frac { r _ { e } } { 2 \pi e f _ { 0 } \gamma _ { \pm } \tan \frac { \theta _ { c } } { 2 } } \frac { I _ { b \mp } } { \sigma _ { z \mp } } \sqrt { \frac { \beta _ { y } ^ { * } } { \epsilon _ { y } } } .
\begin{array} { r } { R \big ( \mathrm { ^ { 2 2 0 } R n } \big ) = \frac { 1 } { \epsilon \big ( { } ^ { 2 2 0 } \mathrm { R n } \, \big | \, { } ^ { 2 1 2 } \mathrm { P o } \big ) } \cdot \frac { A _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ i ~ t ~ } } \big ( { } ^ { 2 1 2 } \mathrm { ~ P ~ o ~ } \big ) } { f _ { \mathrm { ~ e ~ q ~ } } \big ( { } ^ { 2 1 2 } \mathrm { ~ P ~ o ~ } \big ) } \, , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \zeta ( 5 ) } & { = { \frac { 1 } { 2 9 4 } } \pi ^ { 5 } - { \frac { 7 2 } { 3 5 } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { n ^ { 5 } ( e ^ { 2 \pi n } - 1 ) } } - { \frac { 2 } { 3 5 } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { n ^ { 5 } ( e ^ { 2 \pi n } + 1 ) } } } \\ { \zeta ( 5 ) } & { = 1 2 \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { n ^ { 5 } \sinh ( \pi n ) } } - { \frac { 3 9 } { 2 0 } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { n ^ { 5 } ( e ^ { 2 \pi n } - 1 ) } } + { \frac { 1 } { 2 0 } } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } { \frac { 1 } { n ^ { 5 } ( e ^ { 2 \pi n } + 1 ) } } } \end{array} }
g ^ { 2 } \wp ( \alpha \cdot q ) { { } \atop { \longrightarrow \atop { \omega _ { 3 } \to + \infty } } } \left\{ \begin{array} { c l l } { { m ^ { 2 } \, e ^ { \alpha \cdot Q } } } & { { \alpha \in \Pi , } } & { { \delta < 1 / h , } } \\ { { m ^ { 2 } \, e ^ { - \alpha _ { h } \cdot Q } } } & { { \alpha _ { h } : \mathrm { h i g h e s t ~ r o o t } , } } & { { \delta = 1 / h , } } \\ { { 0 } } & { { \mathrm { o t h e r w i s e . } } } & { { } } \end{array} \right.
d s ^ { 2 } = \alpha ^ { \prime } \left[ \frac { u ^ { 2 } } { \tilde { R } ^ { 2 } } ( \cos ^ { 2 } \varphi ( - \tilde { f } d x _ { 0 } ^ { 2 } + d x _ { 1 } ^ { 2 } ) + \cos ^ { - 2 } \theta ( d x _ { 2 } ^ { 2 } + d x _ { 3 } ^ { 2 } ) ) + \frac { \tilde { R } ^ { 2 } } { u ^ { 2 } } ( \tilde { f } ^ { - 1 } d u ^ { 2 } + u ^ { 2 } d \Omega ^ { 2 } ) \right] ,
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \mathrm { S W - M S } } } & { { } = \hbar \left( \Omega + \frac { \Delta \Omega } { 2 } \right) e ^ { i \eta ( \hat { a } + \hat { a } ^ { \dagger } ) } \hat { S } _ { + } \cos ( \delta t ) e ^ { i \phi _ { 1 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \alpha \boxtimes \beta ) \bullet ( j ^ { \prime } \boxtimes k ^ { \prime } ) } & { = ( \alpha \otimes j ^ { \prime } ) \boxtimes ( \beta \otimes k ^ { \prime } ) = \big ( \underset { j \in J } { \sum } N _ { \alpha , j ^ { \prime } } ^ { j } \cdot j \big ) \boxtimes \big ( \underset { k \in K } { \sum } N _ { \beta , k ^ { \prime } } ^ { k } \cdot k \big ) } \\ & { = \underset { j \in J , \ k \in K } { \sum } N _ { \alpha , j ^ { \prime } } ^ { j } \cdot N _ { \beta , k ^ { \prime } } ^ { k } \cdot ( j \boxtimes k ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( x _ { \pi } ( t _ { 0 } + N _ { 2 } \varepsilon ) , t _ { 0 } + N _ { 2 } \varepsilon ) } & { \le P ( x _ { \pi } ( t _ { 0 } + ( N _ { 2 } - 1 ) \varepsilon ) , t _ { 0 } + ( N _ { 2 } - 1 ) \varepsilon ) \le . . . } \\ & { \le P ( x _ { \pi } ( t _ { 0 } + T + \varepsilon ) , t _ { 0 } + T + \varepsilon ) \le \operatorname* { s u p } _ { \xi \in \mathcal L _ { T + \varepsilon } ^ { \nabla P , \rho } } P ( \xi , T + \varepsilon ) . } \end{array}
\frac { d N } { d p _ { \perp \, 1 } \, d p _ { \perp \, 2 } d y _ { 1 } \, d y _ { 2 } \, d \phi _ { 1 } \, d \phi _ { 2 } } = \frac { 5 \alpha ^ { 2 } } { 7 2 \pi ^ { 5 } } p _ { \perp \, 1 } p _ { \perp \, 2 } \int _ { t _ { i } } ^ { t _ { f } } d t \, V ( t ) \, E ,
\frac { \partial } { \partial t } \left[ e ^ { t { \cal L } } g \right] ( y ) = \left[ e ^ { t { \cal L } } { \cal L } g \right] ( y ) = \left[ e ^ { t { \cal L } } P { \cal L } g \right] ( y ) + \left[ e ^ { t { \cal L } } Q { \cal L } g \right] ( y )
\begin{array} { r l } { \mathfrak { p } _ { i } ^ { - } \sim _ { \psi } \mathfrak { p } _ { j } ^ { - } } & { { } \iff \operatorname* { P r } ( \mathfrak { P } ^ { + } | \mathfrak { p } _ { i } ^ { - } ) \approx \operatorname* { P r } ( \mathfrak { P } ^ { + } | \mathfrak { p } _ { j } ^ { - } ) } \\ { \mathfrak { p } _ { i } ^ { - } \sim _ { \psi } \mathfrak { p } _ { j } ^ { - } } & { { } \iff \psi ( \mathfrak { p } _ { i } ^ { - } ) = \psi ( \mathfrak { p } _ { j } ^ { - } ) ~ . } \end{array}
\bar { T } _ { 1 } = \frac { \hat { T } _ { q } } { \sin \theta } \ , \quad \bar { T } _ { 2 } = \left( \hat { T } _ { s } - \cos \theta \frac { \hat { T } _ { q } } { \sin \theta } \right) \ , \quad \bar { T } _ { 3 } = \frac { \hat { T } _ { p } } { \sin \theta }
{ \vec { c } } = { \frac { d { \vec { s } } } { d t } } = { \frac { d ^ { 2 } { \vec { \jmath } } } { d t ^ { 2 } } } = { \frac { d ^ { 3 } { \vec { a } } } { d t ^ { 3 } } } = { \frac { d ^ { 4 } { \vec { v } } } { d t ^ { 4 } } } = { \frac { d ^ { 5 } { \vec { r } } } { d t ^ { 5 } } }
\begin{array} { r } { \left( \left( \begin{array} { l } { \frac { \partial } { \partial t } x ( \cdot , t ) } \\ { f _ { I } ( t ) } \\ { f _ { \partial } ( t ) } \end{array} \right) , \left( \begin{array} { l } { \mathcal { Q } _ { 0 } x ( \cdot , t ) } \\ { e _ { I } ( t ) } \\ { e _ { \partial } ( t ) } \end{array} \right) \right) \in \mathcal { D } _ { \mathcal { J } _ { 0 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \sf U } _ { T } \, { \sf H } ^ { * } ( - k ) \, { \sf U } _ { T } ^ { - 1 } } & { { } = - { \sf H } ( k ) , } \\ { { \sf U } _ { T } \, { \sf D } ^ { * } ( - k ) \, { \sf U } _ { T } ^ { - 1 } } & { { } = + { \sf D } ( k ) , } \\ { { \sf U } _ { T } \, { \sf P } ^ { * } ( - k ) \, { \sf U } _ { T } ^ { - 1 } } & { { } = - { \sf P } ( k ) . } \end{array}
f _ { i } ( \mathbf { x } + \mathbf { c _ { i } } \Delta t , t + \Delta t ) - f _ { i } ( \mathbf { x } , t ) = \Delta t \left[ \Omega _ { i } ( \mathbf { x } , t ) + S _ { f _ { i } } ( \mathbf { x } , t ) \right] \; .
H _ { 2 } = { \frac { Q } { | \vec { z } - \vec { z } _ { 0 } | ^ { 6 } } } , \ \ \ \ H _ { W } = 1 + Q _ { W } ( x ^ { 2 } + { \frac { Q } { 4 } } { \frac { 1 } { | \vec { z } - \vec { z } _ { 0 } | ^ { 4 } } } ) .
- \Omega ^ { \prime \prime } ( \rho ) - \frac { 1 } { \rho } \, \Omega ^ { \prime } ( \rho ) + \Bigl ( \frac { n ^ { 2 } } { \rho ^ { 2 } } - h ( \rho ) \Bigr ) \Omega ( \rho ) \, = \, \frac { a ( \rho ) } { n \varphi ( \rho ) } \, , \qquad \rho > 0 \, ,
\textbf { H } ( \textbf { z } _ { \textbf { p } _ { 0 } } , T ) = \textbf { z } ( \textbf { z } _ { \textbf { p } _ { 0 } } , T ) - \textbf { z } _ { \textbf { p } _ { 0 } } = \textbf { 0 }
\boldsymbol { \mathcal { T } } \equiv \underbrace { \rho \boldsymbol { v } \boldsymbol { v } } _ { \mathrm { R e y n o l d s } } \: \: \underbrace { - \boldsymbol { B } \boldsymbol { B } } _ { \mathrm { M a x w e l l } } ,
\begin{array} { r } { c _ { 1 } ( \mathbf x , t , \mathbf y , \tau ) = \boldsymbol \chi ( \mathbf y , \tau ) \cdot \nabla _ { \mathbf x } c _ { 0 } + \lambda ( \mathbf y , \tau ) \frac { \partial c _ { 0 } } { \partial t } + \overline { c } _ { 1 } ( \mathbf x , t ) , } \end{array}
+ \sum _ { i < j } \xi _ { i } \xi _ { j } \xi _ { i } ^ { * } \xi _ { j } ^ { * } + \cdots + \sum _ { i _ { 1 } < \cdots < i _ { n } } \xi _ { i _ { 1 } } \cdots \xi _ { i _ { n } } \xi _ { i _ { 1 } } ^ { * } \cdots \xi _ { i _ { n } } ^ { * } + \cdots + \xi _ { 1 } \cdots \xi _ { p } \xi _ { 1 } ^ { * } \cdots \xi _ { p } ^ { * }
\omega _ { ( 2 ) } ^ { r x r } = \left( \begin{array} { l l } { { \widetilde { \omega } _ { ( 2 ) } ^ { s x s } } } & { { 0 ^ { ( r - s ) x s } } } \\ { { 0 ^ { s x ( r - s ) } } } & { { 0 ^ { ( r - s ) x ( r - s ) } } } \end{array} \right) \; ,
\begin{array} { r l } { K } & { = S _ { c } + D _ { c } + T _ { c } + S _ { v } + D _ { v } + T _ { v } + \ldots } \\ & { = \sum _ { m a } \rho _ { m a } a _ { m } ^ { \dagger } a _ { a } + \frac { 1 } { 2 ! } \sum _ { m n a b } \rho _ { m n a b } a _ { m } ^ { \dagger } a _ { n } ^ { \dagger } a _ { b } a _ { a } } \\ & { + \frac { 1 } { 3 ! } \sum _ { m n r a b c } \rho _ { m n r a b c } a _ { m } ^ { \dagger } a _ { n } ^ { \dagger } a _ { r } ^ { \dagger } a _ { c } a _ { b } a _ { a } } \\ & { + \sum _ { m \neq v } \rho _ { m v } a _ { m } ^ { \dagger } a _ { v } + \frac { 1 } { 2 ! } \sum _ { m n a } \rho _ { m n v a } a _ { m } ^ { \dagger } a _ { n } ^ { \dagger } a _ { a } a _ { v } } \\ & { + \frac { 1 } { 3 ! } \sum _ { m n r a b } \rho _ { m n r v a b } a _ { m } ^ { \dagger } a _ { n } ^ { \dagger } a _ { r } ^ { \dagger } a _ { b } a _ { a } a _ { v } + \ldots \, . } \end{array}
\begin{array} { r c l } { t _ { u } ^ { \dagger } ( 1 ) } & { \sim } & { t _ { S S l } \left[ \log \frac { 1 } { \varepsilon _ { S S l } } + \log \left( \frac { k _ { 1 } K _ { M } } { k _ { 2 } } \left( \frac { K _ { M } + s _ { 0 } } { K _ { M } } \right) ^ { 2 } \right) + o ( 1 ) \right] } \end{array}
T _ { c } = 2 ^ { - 3 / 2 } \pi ^ { 1 / 4 } \kappa ^ { - 1 / 2 } N ^ { - 1 / 2 } l x ^ { - 1 / 4 } ( 8 + x ) ^ { 1 / 2 } ( ( 8 + x ) ^ { 1 / 2 } - x ^ { 1 / 2 } ) ^ { 1 / 2 } ,
R _ { j } \left[ \frac { \mu } { ( \xi ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } \right] = \frac { \xi _ { j } } { ( \xi ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } \; \; ( \mu > 0 ) .
\begin{array} { r l } { \mathfrak { R } \left[ F _ { 0 } ( \omega , t _ { d } ) F _ { G } ^ { * } ( \omega , t _ { d } ) \right] } & { = 3 2 \sqrt { 2 \pi e } \alpha ^ { 2 } t _ { d } ^ { 2 } e ^ { - \frac { \alpha ^ { 2 } t _ { d } ^ { 2 } } { 2 } \omega ^ { 2 } } } \\ & { \times \cos ^ { 2 } \left( \frac { t _ { d } \omega } { 8 } \right) \sin ^ { 4 } \left( \frac { t _ { d } \omega } { 8 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Vert { \theta } _ { t } - { \theta } _ { t - \tau } \Vert } & { \leq \Vert \tilde { \theta } _ { t } - \tilde { \theta } _ { t - \tau } \Vert + \alpha \Vert e _ { t - 1 } - e _ { t - \tau - 1 } \Vert + \Vert e _ { p , t - \tau } - e _ { p , t } \Vert } \\ & { \leq \Vert \tilde { \theta } _ { t } - \tilde { \theta } _ { t - \tau } \Vert + \alpha \Vert e _ { t - 1 } \Vert + \alpha \Vert e _ { t - \tau - 1 } \Vert + \Vert e _ { p , t - \tau } \Vert + \Vert e _ { p , t } \Vert } \\ & { \leq 1 8 \alpha \tau \delta G + 1 2 \alpha \delta G + 3 0 \alpha \delta G \leq 6 0 \alpha \tau \delta G , } \end{array}
\forall \beta \in B \setminus 1 _ { W } \quad \sum _ { l } \sum _ { \tau = 1 } ^ { 3 } \sum _ { e \in \mathcal { E } } \chi _ { L , T , \beta , e } = 0 \quad l \quad \mathrm { ~ i ~ s ~ u ~ n ~ d ~ e ~ r ~ a ~ C ~ R ~ D ~ }
\rho _ { 3 \pi } ( Q ^ { 2 } ) \rightarrow \frac { 1 } { 7 6 8 \pi ^ { 4 } } \frac { M _ { \pi } ^ { 4 } } { F _ { \pi } ^ { 2 } } \, \frac { 5 \alpha _ { \pi \pi } ^ { 2 } + 1 } { 6 } Q ^ { 2 } .
\lambda \equiv | V _ { u s } | = 0 . 2 2 , \quad A \equiv | V _ { c b } | / \lambda ^ { 2 } = 0 . 8 1 \pm 0 . 0 6 , \quad R _ { b } \equiv | V _ { u b } / ( \lambda V _ { c b } ) | = 0 . 4 1 \pm 0 . 0 7 ,
h _ { \operatorname* { m i n } } \le h \le h _ { \operatorname* { m a x } } , \quad h _ { \operatorname* { m i n } } \approx 0 . 1 7 3 \pm 0 . 0 1 5 , \quad h _ { \operatorname* { m a x } } \approx 0 . 7 2 \pm 0 . 0 6 .
\begin{array} { r l } { \left( \pm \tilde { \epsilon } _ { A 1 } - \tilde { \epsilon } _ { A 2 } \right) \delta \hat { \phi } _ { \pm } } & { = \frac { \mathrm { i } \omega _ { c i } \rho _ { i } ^ { 2 } } { 2 \omega _ { 0 } } \Lambda _ { k _ { 0 } } ^ { k _ { z } } \left( \begin{array} { c } { \delta \hat { \phi } _ { 0 } } \\ { \delta \hat { \phi } _ { 0 } ^ { * } } \end{array} \right) \left[ \left( c _ { \phi _ { 2 } } \pm c _ { \phi _ { 1 } } \right) \left( \delta \hat { \phi } _ { z } - \delta \hat { \psi } _ { z } \right) + \left( d _ { \phi _ { 2 } } \pm d _ { \phi _ { 1 } } \right) \delta \hat { \psi } _ { z } \right] , } \\ { \left( \pm \tilde { \epsilon } _ { A 1 } - \tilde { \epsilon } _ { A 2 } \right) \delta \hat { \psi } _ { \pm } } & { = \frac { \mathrm { i } \omega _ { c i } \rho _ { i } ^ { 2 } } { 2 \omega _ { 0 } } \Lambda _ { k _ { 0 } } ^ { k _ { z } } \left( \begin{array} { c } { \delta \hat { \phi } _ { 0 } } \\ { \delta \hat { \phi } _ { 0 } ^ { * } } \end{array} \right) \left[ \left( c _ { \psi _ { 2 } } \pm c _ { \psi _ { 1 } } \right) \left( \delta \hat { \phi } _ { z } - \delta \hat { \psi } _ { z } \right) + \left( d _ { \psi _ { 2 } } \pm d _ { \psi _ { 1 } } \right) \delta \hat { \psi } _ { z } \right] , } \end{array}
{ \cal L } = \frac 1 4 F ^ { a \mu \nu } F _ { \mu \nu } ^ { a } - \frac 1 2 F ^ { a \mu \nu } ( \partial _ { \mu } A _ { \nu } ^ { a } - \partial _ { \nu } A _ { \mu } ^ { a } + g f ^ { a b c } A _ { \mu } ^ { b } A _ { \nu } ^ { c } ) + \frac 1 2
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { 2 } \int _ { S } \bar { \mathbf { v } } \cdot \mathbf { J } d S - \int _ { S } \bar { \mathbf { v } } ( \mathbf { x } ) \cdot \bigg ( \mathbf { n } ( \mathbf { x } ) \times \int _ { S ^ { \prime } } \big [ \mathbf { J } ( \mathbf { x } ^ { \prime } ) \times \nabla ^ { \prime } G ( \mathbf { x } , \mathbf { x } ^ { \prime } ) \big ] d S ^ { \prime } \bigg ) d S = \int _ { S } \bar { \mathbf { v } } \cdot \big ( \mathbf { n } \times \mathbf { H } ^ { \mathcal { I } } \big ) d S } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { n = 1 } ^ { + \infty } { \frac { 1 } { \left| w _ { l } w _ { \varphi \left( l \right) } . . . w _ { \varphi ^ { n - 1 } \left( l \right) } \right| ^ { p } } } } & { = \left| w _ { k } w _ { \varphi \left( k \right) } . . . w _ { \varphi ^ { m - 1 } \left( k \right) } \right| \sum _ { n = 1 } ^ { + \infty } { \frac { 1 } { \left| w _ { k } w _ { \varphi \left( k \right) } . . . w _ { \varphi ^ { n + m - 1 } \left( k \right) } \right| ^ { p } } } < + \infty , } \\ { \sum _ { n = 1 } ^ { + \infty } { \left| w _ { \varphi ^ { - 1 } \left( l \right) } w _ { \varphi ^ { - 2 } \left( l \right) } . . . w _ { \varphi ^ { - n } \left( l \right) } \right| } ^ { p } } & { = \frac { 1 } { \left| w _ { k } w _ { \varphi \left( k \right) } . . . w _ { \varphi ^ { m - 1 } \left( k \right) } \right| } \sum _ { n = 1 } ^ { + \infty } { \left| w _ { \varphi ^ { - 1 } \left( k \right) } w _ { \varphi ^ { - 2 } \left( k \right) } . . . w _ { \varphi ^ { - n + m } \left( k \right) } \right| } ^ { p } < + \infty . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R _ { x } ( u , v ) } & { : = \frac { f ( v ) - f ( u ) } { \rho ( x , v ) ^ { \beta } + \rho ( x , u ) ^ { \beta } } ~ , } \\ { F _ { x } ( u , v ) } & { : = f ( u ) + R _ { x } ( u , v ) \rho ( x , u ) ^ { \beta } ~ , } \\ { R _ { x } ^ { * } } & { : = \operatorname* { s u p } _ { u , v \in A } R _ { x } ( u , v ) ~ , } \\ { W _ { x } ( \varepsilon ) } & { : = \{ ( u , v ) \in A \times A : R _ { x } ( u , v ) > R _ { x } ^ { * } - \varepsilon \} ~ , ~ ~ ~ ~ 0 < \varepsilon < R _ { x } ^ { * } } \\ { \Phi _ { x } ( \varepsilon ) } & { : = \{ F _ { x } ( u , v ) : ( u , v ) \in W _ { x } ( \varepsilon ) \} ~ . } \end{array}
S _ { q } ( x ) = \int d p _ { \parallel } \, d ^ { 2 } { \bf p } _ { \perp } \, \frac { f ( x , p _ { \parallel } , { \bf p } _ { \perp } ) + \tilde { f } ( x , p _ { \parallel } , { \bf p } _ { \perp } ) } { \epsilon ( x , p _ { \parallel } , { \bf p } _ { \perp } ) } .
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { l } { b _ { \mathrm { o u t , 1 } } } \\ { a _ { \mathrm { i n , 1 } } } \end{array} \right) } & { { } = \left( \begin{array} { l l } { s _ { 1 1 , 1 } } & { s _ { 1 2 , 1 } } \\ { s _ { 2 1 , 1 } } & { s _ { 2 2 , 1 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { b _ { \mathrm { i n , 1 } } } \\ { a _ { \mathrm { o u t , 1 } } } \end{array} \right) } \\ { \left( \begin{array} { l } { b _ { \mathrm { o u t , 2 } } } \\ { a _ { \mathrm { i n , 2 } } } \end{array} \right) } & { { } = \left( \begin{array} { l l } { s _ { 1 1 , 2 } } & { s _ { 1 2 , 2 } } \\ { s _ { 2 1 , 2 } } & { s _ { 2 2 , 2 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { b _ { \mathrm { i n , 2 } } } \\ { a _ { \mathrm { o u t , 2 } } } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { C ( \hat { \gamma } ; \mu ^ { 0 } , \hat { \mu } ^ { j } , \lambda ) } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { 0 } } \| x _ { k } ^ { 0 } \| ^ { 2 } ( \hat { \gamma } _ { 0 } ) _ { k } + \sum _ { k ^ { \prime } \in D } \| \hat { x } _ { k ^ { \prime } } ^ { j } \| ^ { 2 } ( \hat { \gamma } _ { 1 } ) _ { k ^ { \prime } } - 2 \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { 0 } } \sum _ { k ^ { \prime } \in D } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { 0 } } x _ { k } ^ { 0 } \cdot x _ { i } ^ { j } \, \hat { \gamma } _ { k , k ^ { \prime } } ^ { j } \frac { \gamma _ { k ^ { \prime } , i } ^ { j } } { \hat { \gamma } _ { k ^ { \prime } , k ^ { \prime } } ^ { j } } + \lambda ( | p ^ { 0 } | + | \hat { p } ^ { j } | - 2 | \hat { \gamma } | ) } \\ & { = C ( \gamma ; \mu ^ { 0 } , \gamma _ { 1 } ^ { j } , \lambda ) - \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { j } } \| x _ { i } ^ { j } \| ^ { 2 } ( \gamma _ { 1 } ) _ { i } + \sum _ { k ^ { \prime } \in D } \| \hat { x } _ { k ^ { \prime } } ^ { j } \| ^ { 2 } ( \hat { \gamma } _ { 1 } ) _ { k ^ { \prime } } } \end{array}
F = g _ { l } g _ { r } g _ { a } e ^ { - i \theta } + g _ { l } g _ { r } g _ { a } e ^ { i \theta } + g _ { l } ^ { 2 } \Omega _ { a } ^ { ( 2 ) } + g _ { r } ^ { 2 } \Omega _ { a } ^ { ( 1 ) } + g _ { a } ^ { 2 } \Omega _ { b } - \Omega _ { a } ^ { ( 1 ) } \Omega _ { a } ^ { ( 2 ) } \Omega _ { b }
\begin{array} { r l } { \left( \begin{array} { l } { I ^ { 0 } } \\ { I ^ { 1 } } \end{array} \right) } & { { } \propto \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { l } { R ^ { 0 } \sum _ { i = 0 } ^ { N - 1 } | | x _ { i } + y _ { i } | | ^ { 2 } } \\ { R ^ { 1 } \sum _ { i = 0 } ^ { N - 1 } | | j ( x _ { i } - y _ { i } ) | | ^ { 2 } } \end{array} \right) } \end{array} ,
\sum _ { \mathfrak { R } \in \mathrm { A } } \left[ w _ { e } \left( E ( \mathfrak { R } ) - \hat { E } ( \mathfrak { R } ) \right) ^ { 2 } + w _ { f } \sum _ { i } ^ { N } \left| \textbf { f } _ { i } ( \mathfrak { R } ) - \hat { \textbf { f } } _ { i } ( \mathfrak { R } ) \right| ^ { 2 } \right] \rightarrow \operatorname* { m i n } _ { \xi } .
\begin{array} { r l } { A _ { y 1 } } & { { } = \frac { m L \int _ { 0 } ^ { m L } w _ { 1 } ( x ) \, \mathrm { d } x \, - \int _ { 0 } ^ { m L } w _ { 1 } ( x ) \, x \, \mathrm { d } x } { m L } } \\ { B _ { y 1 } } & { { } = \int _ { 0 } ^ { L } w _ { 1 } ( x ) \, \mathrm { d } x - \frac { m L \int _ { 0 } ^ { m L } w _ { 1 } ( x ) \, \mathrm { d } x \, - \int _ { 0 } ^ { m L } w _ { 1 } ( x ) \, x \, \mathrm { d } x } { m L } - \frac { \int _ { m L } ^ { L } w _ { 1 } ( x ) \, x \, \mathrm { d } x - m L \int _ { m L } ^ { L } w _ { 1 } ( x ) \, \mathrm { d } x } { m L } } \\ { C _ { y 1 } } & { { } = \frac { \int _ { m L } ^ { L } w _ { 1 } ( x ) \, x \, \mathrm { d } x - m L \int _ { m L } ^ { L } w _ { 1 } ( x ) \, \mathrm { d } x } { m L } } \\ { A _ { y 2 } } & { { } = A _ { y 1 } \pm \frac { R m L } { 2 } } \\ { B _ { y 2 } } & { { } = B _ { y 1 } \pm \bigg ( R L - \frac { R m L } { 2 } - \frac { R ( L - m L ) ^ { 2 } } { 2 m L } \bigg ) } \\ { C _ { y 2 } } & { { } = C _ { y 1 } \pm \frac { ( L - m L ) ^ { 2 } R } { 2 m L } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { F _ { L } ( x , Q ^ { 2 } ) } & { = } & { \left( 1 + \frac { 4 M ^ { 2 } x ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } \right) F _ { 2 } ( x , Q ^ { 2 } ) - 2 x F _ { 1 } ( x , Q ^ { 2 } ) } \\ & { = } & { \frac { 4 M ^ { 2 } x ^ { 2 } } { Q ^ { 2 } } F _ { 2 } ( x , Q ^ { 2 } ) } \\ & { = } & { \frac { M ^ { 3 } } { \alpha _ { \mathrm { e m } } } \sum _ { q } e _ { q } ^ { 2 } f _ { q } ( x ) \frac { 8 x ^ { 3 } } { Q ^ { 2 } } , } \end{array}