harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\sum _ { i = 1 } ^ { \ell - 1 } ( p _ { i } - m _ { i \ell } ) \geq \sum _ { i = 1 } ^ { \ell - 1 } n _ { i } + \sum _ { 1 \leq i < j \leq \ell - 1 } m _ { i j } - \ell + 2
E _ { 0 } = \frac { 3 } { 8 \pi } \frac { Q _ { 0 } ^ { 2 } } { R ^ { 3 } \sigma _ { + } ^ { 2 } } + 4 { \sqrt { 2 } } \pi \sigma _ { + } { \sqrt { U _ { - } } } R ^ { 2 } .
\frac { 1 } { 2 } \int d ^ { 2 } x \; \mathrm { T r } ( \partial _ { + } \Phi \partial _ { - } \Phi ) = \frac { 1 } { 2 } \int d ^ { 2 } x \; \partial _ { + } \Phi ^ { a } \partial _ { - } \Phi ^ { a } ,
h _ { \times } = \frac { 4 } { d _ { L } } \left( \frac { G \mathcal { M } } { c ^ { 2 } } \right) ^ { \frac { 5 } { 3 } } \left( \frac { \pi f } { c } \right) ^ { \frac { 2 } { 3 } } \cos { ( i ) } \sin { \left( 2 \pi f t + \delta _ { 0 } \right) } .
\begin{array} { r l } & { ( n R ) ^ { - 1 } \Upsilon ( R , \varphi _ { \cal A } ^ { ( n ) } | p _ { \overline { { K } } \, \overline { { Z } } } ^ { n } ) } \\ & { \leq p _ { M _ { \cal A } ^ { ( n ) } Z ^ { n } K ^ { n } } \Biggl \{ \eta \geq \frac { 1 } { n } \log \textstyle \frac { q _ { { Z } ^ { n } } ( Z ^ { n } ) } { p _ { Z ^ { n } } ( Z ^ { n } ) } , } \\ & { \eta \geq \frac { 1 } { n } \log \textstyle \frac { \hat { q } _ { M _ { \cal A } ^ { ( n ) } Z ^ { n } K ^ { n } } ( M _ { \cal A } ^ { ( n ) } , Z ^ { n } , K ^ { n } ) } { p _ { M _ { \cal A } ^ { ( n ) } Z ^ { n } K ^ { n } } ( M _ { \cal A } ^ { ( n ) } , Z ^ { n } , K ^ { n } ) } , } \\ & { R _ { \cal A } + \eta \geq \frac { 1 } { n } \log \textstyle \frac { p _ { Z ^ { n } | M _ { \cal A } ^ { ( n ) } } ( Z ^ { n } | M _ { \cal A } ^ { ( n ) } ) } { p _ { Z ^ { n } } ( Z ^ { n } ) } , } \\ & { R + \tau _ { n } + 3 \eta \geq \frac { 1 } { n } \log \textstyle \frac { 1 } { p _ { K ^ { n } | M _ { \cal A } ^ { ( n ) } } ( K ^ { n } | M _ { \cal A } ^ { ( n ) } ) } \Biggr \} } \\ & { \quad + 6 \mathrm { e } ^ { - n \eta } . } \end{array}
z ^ { * } = z / d , \rho ^ { * } = \rho d ^ { 3 } , Q ^ { * } = Q d ^ { 2 } / e , \varPhi ^ { * } = \beta e \varPhi , \sigma _ { s } ^ { * } = \sigma _ { s } d ^ { 2 } / e , C ^ { * } = C \beta d / e ^ { 2 }
\begin{array} { r } { \left( q + 2 q ^ { 2 } + q ^ { 3 } \right) x _ { 1 } ^ { 6 } x _ { 2 } + \left( 1 + 3 q + 4 q ^ { 2 } + 3 q ^ { 3 } + q ^ { 4 } \right) x _ { 1 } ^ { 5 } x _ { 2 } ^ { 2 } + \left( 1 + 2 q + 2 q ^ { 2 } + 2 q ^ { 3 } + q ^ { 4 } \right) x _ { 1 } ^ { 4 } x _ { 2 } ^ { 3 } } \\ { + \left( - 1 - 2 q - 2 q ^ { 2 } - 2 q ^ { 3 } - q ^ { 4 } \right) x _ { 1 } ^ { 3 } x _ { 2 } ^ { 4 } + \left( - 1 - 3 q - 4 q ^ { 2 } - 3 q ^ { 3 } - q ^ { 4 } \right) x _ { 1 } ^ { 2 } x _ { 2 } ^ { 5 } + \left( - q - 2 q ^ { 2 } - q ^ { 3 } \right) x _ { 1 } x _ { 2 } ^ { 6 } } \end{array}
\{ ( Q _ { \alpha } ^ { + \, I } , Q _ { \beta } ^ { + \, J } \} = \delta ^ { I J } ( C \Gamma ^ { \mu } { \cal P } ^ { + } ) _ { \alpha \beta } P _ { \mu } + \tilde { S } _ { I J } ( C \Gamma _ { \mu } { \cal P } ^ { + } ) _ { \alpha \beta } Z ^ { \mu }
\frac { 1 } { \tau _ { U } ^ { i } ( x ) } = \frac { \hbar \gamma ^ { 2 } } { M \nu _ { i } ^ { 2 } \theta _ { i } } \left( \frac { k _ { B } } { \hbar } \right) ^ { 2 } x ^ { 2 } T ^ { 3 } e ^ { - \theta _ { i } / 3 T }
\begin{array} { r l } { \frac { d \sigma ^ { \mathrm { p o l } } } { d { \bf q } } = \frac { \alpha ^ { 2 } c ^ { 5 } \kappa _ { p } } { \pi \omega _ { p } \omega _ { \gamma } k _ { p } ^ { 2 } } \int d ^ { 3 } { \bf q } ^ { \prime } } & { \sum _ { \pm } \; \delta ( { \bf k } _ { \gamma \parallel } - { \bf q } _ { \parallel } - { \bf q } _ { \parallel } ^ { \prime } \mp { \bf k } _ { p } ) \; \delta ( \varepsilon _ { q } + \varepsilon _ { q ^ { \prime } } - \omega _ { \gamma } \pm \omega _ { p } ) } \\ & { \times \sum _ { s s ^ { \prime } } \sum _ { j = 1 , 2 } \Big | \overline { { u } } _ { { \bf q } ^ { \prime } s ^ { \prime } } \, \mathcal { N } _ { j } ^ { \pm } ( { \bf q } , { \bf q } ^ { \prime } ) \, v _ { { \bf q } s } \Big | ^ { 2 } , } \end{array}
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \Theta \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( t \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = A \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \theta \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( t \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { r l } { X _ { i } } & { { } = X _ { i - 1 } + \xi _ { 1 } , } \\ { Y _ { i + l } } & { { } = X _ { i } + \xi _ { 2 } , } \\ { \xi _ { 1 } } & { { } \sim N ( \mu _ { 1 } , \delta _ { 1 } ) , } \\ { \xi _ { 2 } } & { { } \sim N ( \mu _ { 2 } , \delta _ { 2 } ) , } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \frac { 1 } { n } \operatorname* { s u p } _ { x \in X } \left\| A ( T ^ { n - 1 } x ) \cdots A ( x ) \right\| = \operatorname* { s u p } _ { \mu \in \mathcal { M } _ { \operatorname* { m a x } } ( \log f ) \cap \mathcal { M } _ { \operatorname* { m a x } } ( \log g ) } \left| \int \phi \, d \mu \right| \geq 0
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { \mathrm { e f f } } } & { { } = - \omega _ { B } \frac { \Delta _ { - 1 } \hat { S } _ { z } - \Omega _ { - 1 } \hat { S } _ { x } } { \sqrt { \Omega _ { - 1 } ^ { 2 } + \Delta _ { - 1 } ^ { 2 } } } + 2 V \sqrt { \Omega _ { - 1 } ^ { 2 } + \Delta _ { - 1 } ^ { 2 } } \hat { S } _ { z } - 4 \frac { V \beta } { N } ( \Omega _ { - 1 } ^ { 2 } + \Delta _ { - 1 } ^ { 2 } ) \hat { S } _ { z } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \parallel Q \parallel _ { v , k } ^ { * } } & { \equiv } & { \sum _ { \bar { s } ( k + 1 ) \in { \cal S } ^ { k + 1 } ( d ) } \parallel Q _ { \bar { s } ( k + 1 ) } ^ { ( k ) } \parallel _ { v } } \\ & { = } & { \sum _ { \bar { s } ( k ) \in { \cal S } ^ { k } ( d ) } \parallel Q _ { \bar { s } ( k ) } ^ { ( k ) } \parallel _ { v } ^ { * } , } \end{array}
r _ { n } \sim \beta _ { 0 } ^ { n } \, n ! \, \Big [ K ^ { \mathrm { U V } } \, ( - 1 ) ^ { n } n ^ { 1 - \beta _ { 1 } / \beta _ { 0 } ^ { 2 } + \lambda _ { 1 } } + \, K ^ { \mathrm { I R } } \, n ^ { \beta _ { 1 } / \beta _ { 0 } ^ { 2 } - 3 2 b / 9 } \Big ] ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { W } _ { i - 1 / 2 , R } ^ { n + 1 / 2 } } & { = \mathbf { W } _ { i - 1 / 2 , R } ^ { n } - \frac { \Delta t } { \Delta x } \mathbf { A } _ { x } ( \mathbf { W } _ { i } ^ { n } ) \left[ \mathbf { W } _ { i } ^ { n } - \mathbf { W } _ { i - 1 / 2 , R } ^ { n } \right] } \\ { \mathbf { W } _ { i + 1 / 2 , L } ^ { n + 1 / 2 } } & { = \mathbf { W } _ { i + 1 / 2 , L } ^ { n } - \frac { \Delta t } { \Delta x } \mathbf { A } _ { x } ( \mathbf { W } _ { i } ^ { n } ) \left[ \mathbf { W } _ { i + 1 / 2 , L } ^ { n } - \mathbf { W } _ { i } ^ { n } \right] } \end{array}
\frac { \delta S _ { \mathrm { e f f } } \left[ \Phi , \Phi ^ { + } \right] } { \delta \Delta _ { \sigma _ { 1 } \sigma _ { 2 } } ^ { + } \left( \mathbf { p } _ { 1 } , \mathbf { p } _ { 2 } , \omega \right) } = 0
V = | \mu \phi _ { 1 } + f \phi _ { 1 } \chi | ^ { 2 } + | \mu \phi _ { 2 } + f \phi _ { 2 } \chi | ^ { 2 } + | f \phi _ { 1 } \phi _ { 2 } + r + M \chi + h \chi ^ { 2 } | ^ { 2 } + V _ { D } .
\begin{array} { r } { C ( t ) = \mathrm { T r } \left\lbrace \hat { \mu } _ { \mathrm { e f f } } \, { e } ^ { - i \hat { H } t / \hbar } \big ( \hat { \mu } _ { \mathrm { e f f } } { | } \mathrm { g } \rangle \langle { \mathrm { g } } | \otimes \hat { \rho } _ { \mathrm { B } } \big ) e ^ { i \hat { H } t / \hbar } \right\rbrace } \end{array}
\mathbf { s } _ { k + 1 } = \left( \mathrm { ~ \textbf ~ { ~ E ~ } ~ } ^ { H } \mathrm { ~ \textbf ~ { ~ E ~ } ~ } + \lambda { \mathcal { I } } \right) ^ { - 1 } \left( \mathrm { ~ \textbf ~ { ~ E ~ } ~ } ^ { H } \mathbf { d _ { u } } + \lambda \mathbf { z } _ { k } \right)
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } = } & { ~ \langle ~ \mathbb { E } _ { v \in \mathcal { D } _ { + } } \mathcal { M } _ { p } ^ { ( t ) } ( v ; { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ) - \mathbb { E } _ { v \in \mathcal { D } _ { - } } \mathcal { M } _ { p } ^ { ( t ) } ( v ; { \boldsymbol w } _ { k } ^ { ( t ) } ) ~ , ~ { \boldsymbol p } ~ \rangle = ~ 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathfrak { s o } } ( 3 ; 1 ) \hookrightarrow { \mathfrak { s o } } ( 3 ; 1 ) _ { \mathbb { C } } } & { { } \cong \mathbf { A } _ { \mathbb { C } } \oplus \mathbf { B } _ { \mathbb { C } } \cong { \mathfrak { s u } } ( 2 ) _ { \mathbb { C } } \oplus { \mathfrak { s u } } ( 2 ) _ { \mathbb { C } } } \end{array}
Z _ { a } \equiv \nabla _ { a } \, Z = - { \frac { 1 } { 2 } } \oint _ { S ^ { 2 } } g _ { a b ^ { * } } { \cal F } ^ { + \, b ^ { * } } = ( Q _ { \Lambda } \nabla _ { a } L ^ { \Lambda } - P ^ { \Sigma } \nabla _ { a } M _ { \Sigma } ) = \langle U _ { a } | { \cal Q } \rangle .
\sum _ { k = 1 } ^ { K } \int _ { { \mathrm { a ~ n e i g h b o r h o o d ~ o f ~ } } x ^ { ( k ) } } f ( x ) e ^ { \lambda S ( x ) } d x = \left( { \frac { 2 \pi } { \lambda } } \right) ^ { \frac { n } { 2 } } \sum _ { k = 1 } ^ { K } e ^ { \lambda S \left( x ^ { ( k ) } \right) } \left( \operatorname* { d e t } \left( - S _ { x x } ^ { \prime \prime } \left( x ^ { ( k ) } \right) \right) \right) ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } f \left( x ^ { ( k ) } \right) ,
\begin{array} { r l } { { 1 } \mathrm { B o n d ~ n u m b e r } } & { = B o = \rho _ { l } g d ^ { 2 } / \gamma } \\ { \mathrm { M o r t o n ~ n u m b e r } } & { = M o = g \mu _ { l } ^ { 4 } / \rho _ { l } \gamma ^ { 3 } } \\ { \mathrm { H a r t m a n n ~ n u m b e r } } & { = H a = B d \sqrt { \sigma / \mu _ { l } } } \\ { \mathrm { C o n f i n e m e n t ~ r a t i o } } & { = C _ { r } = W / d } \\ { \mathrm { c e n t e r ~ t o ~ c e n t e r ~ d i s t a n c e } } & { = h _ { d } = h / d } \end{array}
{ \frac { d \sigma ( s , t ) } { d t } } \ = \ { \frac { \pi } { s ^ { 2 } } } \left| A ( s , t ) \right| ^ { 2 } \ ; \quad 2 3 . 5 \leq \sqrt s ( \mathrm { G e V } ) \leq 6 3 0 \ ; \quad 0 \leq | t | ( \mathrm { G e V } ^ { 2 } ) \leq 6 \ .
\begin{array} { r } { \alpha = 1 + 2 \, { \frac { m _ { p } } { m _ { \mu } } } \, \left( { \frac { \ln \mathrm { R e } } { \mathrm { P e } } } \right) \, { \frac { \overline { { T } } } { \overline { { T } } _ { \ast } } } = 1 + 2 \, { \frac { V _ { g } \, L _ { P } \, \ln \mathrm { R e } } { u _ { 0 } \, \ell _ { 0 } } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \chi _ { a b } ( \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } , t - t ^ { \prime } ) = \frac { i } { \hbar } \theta ( t - t ^ { \prime } ) \left< \left[ s _ { a } ( \mathbf { r } , t ) , s _ { b } ( \mathbf { r } ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) \right] \right> _ { 0 } , } \end{array}
T ( x ) = T _ { 0 } + ( T _ { L } - T _ { 0 } ) \left[ \frac { \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } \left( \frac { \rho c _ { p } u x } { k } - 1 \right) } { \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } \left( \frac { \rho c _ { p } u L } { k } - 1 \right) } \right]
\begin{array} { r l } & { 0 \in a _ { 0 } + a _ { 1 } \gamma + . . . + a _ { n + 1 } \gamma ^ { n + 1 } \subseteq } \\ & { \sum _ { p = 0 } ^ { n } \left[ \sum _ { j = 0 } ^ { n } a _ { p } g _ { p j } h _ { p j } ( b _ { 0 } + b _ { 1 } \gamma + . . . + b _ { n } \gamma ^ { n } ) ^ { j } \right] + } \\ & { \left( \sum _ { j = 0 } ^ { n } a _ { 1 } g _ { 1 j } h _ { 1 j } ( b _ { 0 } + b _ { 1 } \gamma + . . . + b _ { n } \gamma ^ { n } ) ^ { j } \right) \left( \sum _ { j = 0 } ^ { n } a _ { n } g _ { n j } h _ { n j } ( b _ { 0 } + b _ { 1 } \gamma + . . . + b _ { n } \gamma ^ { n } ) ^ { j } \right) . } \end{array}
\alpha _ { 0 } ( \sigma , \bar { \sigma } ) = \frac { 1 } { 2 } \left( \mathrm { a r t a n h } \frac { \sigma } { 4 } + \bar { \sigma } \right) \, \, \mathrm { a n d } \, \, \, \bar { \alpha } _ { 0 } ( \sigma , \bar { \sigma } ) = \frac { 1 } { 2 } \left( \mathrm { a r t a n h } \frac { \sigma } { 4 } - \bar { \sigma } \right)
V _ { G } ^ { T } ( \Phi _ { 0 } ) = V _ { G E P } ^ { 2 + 1 } ( \Phi _ { 0 } ) + \frac { x - 1 } { 8 \pi \hat { \beta } } - { \frac { x } { 8 \pi \hat { \beta } } } \ln ( { \hat { \beta } } ^ { 2 } x ) + { \frac { 1 } { 8 \pi \hat { \beta } } } \ln { \hat { \beta } } ^ { 2 } + \frac { x ^ { \frac { 3 } { 2 } } - 1 } { 1 2 \pi } - \frac { \hat { \beta } ( x ^ { 2 } - 1 ) } { 9 2 \pi } \; .
q _ { n n ^ { \prime } } ^ { \mathrm { ( i n ) } l } ( t ) = \sum _ { p } ( \alpha _ { n p } ^ { l } q _ { p n ^ { \prime } } ^ { \mathrm { ( o u t ) } l } + \beta _ { n p } ^ { l } q _ { p n ^ { \prime } } ^ { \mathrm { ( o u t ) } l \ast } ) .
\begin{array} { r l } { A = ~ } & { \epsilon _ { 0 } A _ { 1 1 } + \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } A _ { 2 0 } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } ( \alpha \mathbf { k } _ { 0 } \cdot \mathbf { x } - \beta \omega _ { 0 } t ) } + \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } A _ { 2 2 } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( \alpha \mathbf { k } _ { 0 } \cdot \mathbf { x } - \beta \omega _ { 0 } t ) } , } \\ { B _ { s } = ~ } & { \epsilon _ { 0 } B _ { s , 1 1 } + \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } B _ { s , 2 0 } \mathrm { e } ^ { - \mathrm { i } ( \alpha \mathbf { k } _ { 0 } \cdot \mathbf { x } - \beta \omega _ { 0 } t ) } + \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } B _ { s , 2 2 } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( \alpha \mathbf { k } _ { 0 } \cdot \mathbf { x } - \beta \omega _ { 0 } t ) } , } \end{array}
d ( \boldsymbol { p } _ { m } ) = \sqrt { \sum _ { n = 1 } ^ { N } \left( \frac { \vec { p } _ { m , n } - \vec { p } _ { \mathrm { r e f } , n } } { \vec { \epsilon } _ { \mathrm { r e f } , n } } \right) ^ { 2 } } \, .
\left. \begin{array} { c } { { u ^ { 1 } = \sigma _ { 1 } \sin \varphi _ { 1 } } } \\ { { u ^ { 2 } = \sigma _ { 1 } \cos \varphi _ { 1 } } } \\ { { u ^ { 3 } = \sigma _ { 2 } \cos \varphi _ { 2 } } } \\ { { u ^ { 4 } = \sigma _ { 2 } \sin \varphi _ { 2 } } } \end{array} \right\} .
\begin{array} { r l } { \| \delta ^ { k } \| ^ { 2 } } & { \leq \sigma _ { k } ^ { 2 } \big ( \| r ^ { - 1 } \mathit { \hat { v } } ^ { k } \| ^ { 2 } + \| z _ { k } - \mathit { \hat { z } } ^ { k } \| ^ { 2 } \big ) } \\ & { = \sigma _ { k } ^ { 2 } \big ( \| x _ { k } - P _ { \mathrm { \mathcal { N } } } ( \mathit { \hat { x } } ^ { k } ) + P _ { \mathrm { \mathcal { M } } } ( \mathit { \hat { w } } ^ { k } ) ) \| ^ { 2 } + \| x _ { k } - P _ { \mathrm { \mathcal { N } } } ( \mathit { \hat { w } } ^ { k } ) + P _ { \mathrm { \mathcal { M } } } ( \mathit { \hat { x } } ^ { k } ) \| ^ { 2 } \big ) , } \end{array}
\int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { d t } { t } } ( \mathrm { D e t } ^ { \prime } \Delta _ { 1 } ) ^ { 1 / 2 } J _ { M } ( \phi , { \hat { g } } ) \int [ d \delta \phi ] _ { e ^ { \phi } { \hat { g } } } ~ e ^ { - S _ { L } [ \phi , { \hat { g } } ] - S _ { \mathrm { b o u n d a r y } } [ \phi , { \hat { e } } ] } \quad ,
\left( \begin{array} { l } { \hat { a } _ { \mathrm { t } , m } ^ { ( k ) } } \\ { \hat { a } _ { \mathrm { r } , m } ^ { ( k ) } } \end{array} \right) = M \left( \begin{array} { l } { \hat { a } _ { \mathrm { i n } 1 , m } ^ { ( k ) } } \\ { \hat { a } _ { \mathrm { i n } 2 , m } ^ { ( k ) } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { v _ { g } } & { { } = { \frac { \partial E } { \partial p } } = { \frac { \partial } { \partial p } } \left( { \sqrt { p ^ { 2 } c ^ { 2 } + m _ { 0 } ^ { 2 } c ^ { 4 } } } \right) } \end{array}
{ \cal G } ( { \bf x } ) \approx { \frac { \beta m } { 4 \pi ^ { 2 } \vert { \bf x } \vert } } \; K _ { 1 } ( m \vert { \bf x } \vert ) \approx { \frac { \beta m ^ { 1 / 2 } } { 2 ^ { 5 / 2 } \pi ^ { 3 / 2 } \vert { \bf x } \vert ^ { 3 / 2 } } } \; e ^ { - m \vert { \bf x } \vert } \; ,
\frac { d } { d t } \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial \dot { r } ^ { I } } - \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial r ^ { I } } + \frac { \partial L } { \partial \dot { s } ^ { \alpha } } \mathcal { B } _ { I J } ^ { \alpha } \dot { r } ^ { J } = Q _ { I } , \ \ I = \bar { m } + 1 , \ldots , n
\begin{array} { r l } { \left| \int _ { \mathbb R ^ { n + 1 } } | \phi | ^ { \frac { n p } { n + 1 - p } } \varepsilon | \nabla u _ { \varepsilon } | ^ { 2 } d \mathcal L ^ { n + 1 } \right| } & { \leq \left| \int _ { \mathbb R ^ { n + 1 } } \varphi d \mu \right| } \\ & { \leq C ( n ) K ( \mu ) \left| \int _ { \mathbb R ^ { n + 1 } } \frac { n p } { n + 1 - p } | \nabla \phi | | \phi | ^ { \frac { ( n + 1 ) ( p - 1 ) } { n + 1 - p } } d \mathcal L ^ { n + 1 } \right| } \\ & { \leq C ( n , p ) K ( \mu ) \left| \int _ { \mathbb R ^ { n + 1 } } | \nabla \phi | | \phi | ^ { \frac { ( n + 1 ) ( p - 1 ) } { n + 1 - p } } d \mathcal L ^ { n + 1 } \right| } \\ & { \leq C ( n , p ) \left( \int _ { \mathbb R ^ { n + 1 } } | \nabla \phi | ^ { p } \right) ^ { 1 / p } \left( \int _ { \mathbb R ^ { n + 1 } } | \phi | ^ { \frac { p ( n + 1 ) } { n + 1 - p } } \right) ^ { \frac { p - 1 } { p } } } \\ & { = C ( n , p ) \| \nabla \phi \| _ { L ^ { p } ( \mathbb R ^ { n + 1 } ) } \| \phi \| _ { L ^ { \frac { p ( n + 1 ) } { n + 1 - p } } ( \mathbb R ^ { n + 1 } ) } ^ { \frac { ( p - 1 ) ( n + 1 ) } { n + 1 - p } } . } \end{array}
\left[ i _ { \delta \lambda } , s _ { B } \right] s _ { B } X = i _ { \delta \lambda } ( s _ { B } s _ { B } X ) + s _ { B } \left( i _ { \delta \lambda } ( s _ { B } X ) \right) = s _ { B } \left( i _ { \delta \lambda } ( s _ { B } X ) \right) ,
\begin{array} { r l } & { \quad \frac { \partial } { \partial \tau } \mathrm { t r } \bigg ( \sqrt { - 1 } \Lambda _ { \omega } G _ { H } \cdot h ^ { - 1 } \frac { \partial h } { \partial s } \bigg ) - \frac { \partial } { \partial s } \mathrm { t r } \bigg ( \sqrt { - 1 } \Lambda _ { \omega } G _ { H } \cdot h ^ { - 1 } \frac { \partial h } { \partial \tau } \bigg ) } \\ & { = \mathrm { t r } \bigg ( \frac { \sqrt { - 1 } } { 4 } \Lambda _ { \omega } D D _ { H } ^ { c } \big ( h ^ { - 1 } \frac { \partial h } { \partial \tau } \big ) h ^ { - 1 } \frac { \partial h } { \partial s } - \frac { \sqrt { - 1 } } { 4 } \Lambda _ { \omega } D D _ { H } ^ { c } \big ( h ^ { - 1 } \frac { \partial h } { \partial s } \big ) h ^ { - 1 } \frac { \partial h } { \partial \tau } \bigg ) } \\ & { \quad + \mathrm { t r } \bigg ( - \sqrt { - 1 } \Lambda _ { \omega } G _ { H } \cdot h ^ { - 1 } \frac { \partial h } { \partial \tau } h ^ { - 1 } \frac { \partial h } { \partial s } + \sqrt { - 1 } \Lambda _ { \omega } G _ { H } \cdot h ^ { - 1 } \frac { \partial h } { \partial s } h ^ { - 1 } \frac { \partial h } { \partial \tau } \bigg ) } \\ & { = \mathrm { t r } \bigg ( \frac { \sqrt { - 1 } } { 4 } \Lambda _ { \omega } D D _ { H } ^ { c } \big ( h ^ { - 1 } \frac { \partial h } { \partial \tau } \big ) h ^ { - 1 } \frac { \partial h } { \partial s } - \frac { \sqrt { - 1 } } { 4 } \Lambda _ { \omega } D D _ { H } ^ { c } \big ( h ^ { - 1 } \frac { \partial h } { \partial s } \big ) h ^ { - 1 } \frac { \partial h } { \partial \tau } \bigg ) } \\ & { \quad + \mathrm { t r } \bigg ( \frac { \sqrt { - 1 } } { 4 } \Lambda _ { \omega } [ D , D _ { H } ^ { c } ] \big ( h ^ { - 1 } \frac { \partial h } { \partial s } \big ) h ^ { - 1 } \frac { \partial h } { \partial \tau } \bigg ) } \\ & { = \frac { \sqrt { - 1 } } { 4 } \Lambda _ { \omega } \mathrm { t r } \bigg ( D D _ { H } ^ { c } \big ( h ^ { - 1 } \frac { \partial h } { \partial \tau } \big ) h ^ { - 1 } \frac { \partial h } { \partial s } + D _ { H } ^ { c } D \big ( h ^ { - 1 } \frac { \partial h } { \partial s } \big ) h ^ { - 1 } \frac { \partial h } { \partial \tau } \bigg ) } \\ & { = \frac { \sqrt { - 1 } } { 4 } \Lambda _ { \omega } d \mathrm { t r } \bigg ( D _ { H } ^ { c } \big ( h ^ { - 1 } \frac { \partial h } { \partial \tau } \big ) h ^ { - 1 } \frac { \partial h } { \partial s } \bigg ) + \frac { \sqrt { - 1 } } { 4 } \Lambda _ { \omega } d ^ { c } \mathrm { t r } \bigg ( D \big ( h ^ { - 1 } \frac { \partial h } { \partial s } \big ) h ^ { - 1 } \frac { \partial h } { \partial \tau } \bigg ) . } \end{array}
- j ^ { \downarrow } \otimes \iota _ { X _ { \geq - s } } + j _ { \uparrow } \otimes \iota _ { X ^ { \leq t } } \colon \thinspace \left( \kappa [ [ x ^ { - 1 } ] ] \otimes _ { \kappa [ x ^ { - 1 } ] } \mathbf { S } _ { * } ^ { \delta } ( X _ { \geq - s } ) \right) \oplus \left( \kappa [ [ x ] ] \otimes _ { \kappa [ x ] } \mathbf { S } _ { * } ^ { \delta } ( X ^ { \leq t } ) \right) \to \Lambda _ { \updownarrow } \otimes _ { \Lambda } \mathbf { S } _ { * } ^ { \delta } ( \tilde { X } _ { \xi } ) .
\begin{array} { r l } { \left\| f - f _ { \delta } \right\| _ { L ^ { 2 } ( B _ { R } ) } ^ { 2 } } & { = \int _ { \bowtie _ { \delta } } | f - f _ { \delta } | ^ { 2 } + \int _ { B _ { R } \setminus \bowtie _ { \delta } } | f - f _ { \delta } | ^ { 2 } } \\ & { = \int _ { \bowtie _ { \delta } } | f - f _ { \operatorname* { m i n } } | ^ { 2 } + \int _ { \delta } ^ { R } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { \delta } ^ { \pi - \delta } | f ^ { \bigstar } - f _ { \delta } ^ { \bigstar } | ^ { 2 } \sin \varphi \, \mathrm { d } \varphi \, \mathrm { d } \theta \rho ^ { 2 } \, \mathrm { d } \rho } \\ & { \le 4 | \bowtie _ { \delta } | \left\| f \right\| _ { L ^ { \infty } } ^ { 2 } + R ^ { 2 } \left\| f ^ { \bigstar } - f _ { \delta } ^ { \bigstar } \right\| _ { L ^ { 2 } ( ( \delta , R ) \times ( 0 , 2 \pi ) \times ( \delta , \pi - \delta ) ) } ^ { 2 } \xrightarrow { \delta \to 0 } 0 . } \end{array}
\begin{array} { r } { \sum _ { t = \eta _ { k } + 1 } ^ { \eta _ { k } + \widetilde { r } } \vert \vert F _ { t , { h _ { 2 } } } - f _ { [ \eta _ { k } + 1 , e _ { k } ] } \ast \mathcal { K } _ { { h _ { 2 } } } \vert \vert _ { L _ { 2 } } ^ { 2 } = O _ { p } ( \sqrt { \widetilde { r } \kappa _ { k } ^ { - \frac { p } { r } } } ( \log ( \widetilde { r } \kappa _ { k } ^ { \frac { p } { r } + 2 } ) + 1 ) ) + O _ { p } ( \widetilde { r } \kappa _ { k } ^ { \frac { - p } { 2 r } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \ell \left( \left( \mathcal F _ { t } \right) _ { \sharp } \vartheta \right) \doteq } & { \ \int \Big [ D _ { \mu } \ell ^ { * } \big | _ { \left( \bar { X } _ { t , T } \circ X _ { t } \right) _ { \sharp } \vartheta } \circ \bar { X } _ { t , T } } \\ & { \qquad \bar { J } _ { t , T } ( V _ { t } - \bar { V } _ { t } ) \Big ] \circ X _ { 0 , t } \d \vartheta . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta \Theta _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } } & { = \delta ( \iota _ { W } \mathrm { v o l } _ { g } ) = \iota _ { \delta W } \mathrm { v o l } _ { g } - \iota _ { W } \delta \mathrm { v o l } _ { g } = \iota _ { \{ \delta W - \frac { 1 } { 2 } W \delta g \} } \mathrm { v o l } _ { g } , } \\ { \delta \overline { { \theta } } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } } & { = \delta ( \iota _ { \overline { { V } } } \mathrm { v o l } _ { \overline { { g } } } ) = \iota _ { \delta \overline { { V } } } \mathrm { v o l } _ { \overline { { g } } } - \iota _ { \overline { { V } } } \delta \mathrm { v o l } _ { \overline { { g } } } = \iota _ { \{ \delta \overline { { V } } - \frac { 1 } { 2 } \overline { { V } } \delta g \} } \mathrm { v o l } _ { \overline { { g } } } . } \end{array}
S _ { \beta _ { j } \beta _ { k } } ( \gamma ) = \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \frac { \lambda _ { n } ( \gamma ) } { \sigma _ { j } ( \gamma ) \sigma _ { k } ( \gamma ) } \xi _ { n j } ( \gamma ) \xi _ { n k } ^ { * } ( \gamma ) .
\begin{array} { r } { u _ { 2 k } ^ { \kappa _ { 1 } , \kappa _ { 2 } } \equiv u _ { e } ^ { \kappa _ { 1 } , \kappa _ { 2 } } : = - \frac { \kappa _ { 1 } + \kappa _ { 2 } } { 2 + \kappa _ { 1 } + \kappa _ { 2 } } \ , \ u _ { 2 k + 1 } ^ { \kappa _ { 1 } , \kappa _ { 2 } } \equiv u _ { o } ^ { \kappa _ { 1 } , \kappa _ { 2 } } : = \frac { \kappa _ { 2 } - \kappa _ { 1 } } { 2 + \kappa _ { 1 } + \kappa _ { 2 } } \, . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \frac { d n } { d t } } A \, d x } & { = \left[ J ( x + d x ) - J ( x ) \right] { \frac { A } { e } } + ( G _ { n } - R _ { n } ) A \, d x } \\ & { = \left[ J ( x ) + { \frac { d J } { d x } } d x - J ( x ) \right] { \frac { A } { e } } + ( G _ { n } - R _ { n } ) A \, d x } \\ { { \frac { d n } { d t } } } & { = { \frac { 1 } { e } } { \frac { d J } { d x } } + ( G _ { n } - R _ { n } ) } \end{array} }
G \vert _ { { \cal M } ^ { \prime } , x ^ { 1 1 } = l } = { \frac { 1 } { 8 \pi T _ { 3 } } } \Big ( t r ( F _ { 1 } ^ { 2 } ) - { \frac { 1 } { 2 } } t r ( R ^ { 2 } ) \Big ) \equiv - { \frac { 1 } { 8 \pi T _ { 3 } } } I _ { 4 }