harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { v _ { \mathrm { S x } } ^ { \sigma } ( \mathbf { r } ) } & { = - \frac { 1 } { n _ { \sigma } ( \mathbf { r } ) } \sum _ { i j } ^ { o c c } \psi _ { i \sigma } ^ { \ast } ( \mathbf { r } ) \psi _ { j \sigma } ^ ( \mathbf { r } ) \int \mathrm { d } \mathbf { r } ^ { \prime } \, \frac { \psi _ { i \sigma } ^ { \ast } ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) \psi _ { j \sigma } ^ ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) } { \vert \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } \vert } } \\ { v _ { \mathrm { f } } ^ { \sigma } ( \mathbf { r } ) } & { = - \int \mathrm { d } \mathbf { r } ^ { \prime } \, \frac { \vert \psi _ { \mathrm { H O M O } \sigma } ^ ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) \vert ^ { 2 } } { \vert \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } \vert } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p ( t , m | t > t _ { r } ) } & { { } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { t \leq t _ { r } } \\ { \frac { p ( t , m ) } { S ( t _ { r } , m ) } } & { t > t _ { r } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { c = \frac { 1 } { 2 } \ln { \frac { \sqrt { ( t ^ { 2 } + g ^ { 2 } \cos ( 2 \theta ) ) ^ { 2 } + g ^ { 4 } \sin ^ { 2 } ( 2 \theta ) } } { g ^ { 2 } + t ^ { 2 } - 2 g t \sin \theta } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \phi ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } } { \partial l } } & { { } = \frac { n \lambda ^ { 2 } \Omega _ { \mathrm { ~ R ~ F ~ } } ( 4 \gamma ^ { 2 } + 1 6 \Delta _ { \mathrm { ~ R ~ F ~ } } ^ { 2 } + \Omega _ { \mathrm { ~ R ~ F ~ } } ^ { 2 } ) \Omega _ { R } ^ { 2 } } { 7 2 \pi \Gamma ( \gamma ^ { 2 } + 4 \Delta _ { \mathrm { ~ R ~ F ~ } } ^ { 2 } + \Omega _ { \mathrm { ~ R ~ F ~ } } ^ { 2 } ) [ 4 ( \gamma ^ { 2 } + \Delta _ { \mathrm { ~ R ~ F ~ } } ^ { 2 } ) + \Omega _ { \mathrm { ~ R ~ F ~ } } ^ { 2 } ] } } \end{array}
S _ { n _ { f } n _ { i } } ( c _ { l m n } ) = \mathrm { ~ e ~ x ~ t ~ } [ c _ { 1 n _ { f } n _ { i } } + i \langle \tilde { \psi } _ { n _ { f } } | \hat { H } - E | \tilde { \psi } _ { n _ { i } } \rangle ]
G _ { 2 } ^ { \circ } = \left[ \begin{array} { c c c c c } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \ldots } & { 1 } \\ { \vdots } & { \vdots } & { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { \ldots } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { \ldots } & { 0 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } & { \ldots } & { 1 } \end{array} \right] .
\begin{array} { l } { \mathbf { F } ( x , t ) = ( F _ { 1 } ( x , t ) , \ldots , F _ { \alpha } ( x , t ) ) : = \mathbf { \widehat { f } } ( x , \mathbf { z } ( x , t ) ) \smallskip } \\ { \mathbf { G } ( x , t ) = ( G _ { 1 } ( x , t ) , \ldots , G _ { \beta } ( x , t ) ) : = \mathbf { \widehat { g } } ( x , \mathbf { z } ( x , t ) ) \smallskip } \\ { \mathbf { H } ( x , t ) = ( H _ { 1 } ( x , t ) , \ldots , H _ { \gamma } ( x , t ) ) : = \mathbf { \widehat { h } } ( x , \mathbf { z } ( x , t ) ) \smallskip } \end{array}
\gamma _ { d } ^ { j } = \gamma _ { d - 1 } ^ { j } , \quad j = 1 , \dots , d - 1 , \qquad \gamma _ { d } ^ { d } = i ^ { \frac { d - 1 } 2 } \gamma _ { d - 1 } ^ { 1 } \cdot \dots \cdot \gamma _ { d - 1 } ^ { d - 1 } = i ^ { \frac { d - 1 } 2 } \left( \begin{array} { c c } { I _ { 2 ^ { \frac { d - 3 } 2 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { - I _ { 2 ^ { \frac { d - { 3 } } 2 } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } & { \underset { \left\{ \mathbf { F } , \mathbf { G } , \mathbf { S } \right\} } { \operatorname* { m a x } } \sum _ { k = 1 } ^ { K } { \mu _ { k , ( 2 ) } \log _ { 2 } \left| \left( \mathbf { E } _ { k , ( 2 ) } ^ { \mathrm { o p t } } \right) ^ { - 1 } \right| } } \\ & { \mathrm { s } . \mathrm { t } . \left\| \mathbf { F } _ { k , \mathrm { u } , ( 2 ) } \right\| ^ { 2 } \leqslant p _ { k } \, \, \forall k = 1 , \dots , K } \end{array}
\Phi ^ { ( I ) } = - { \frac { e ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } m } } \arctan \biggl \{ \tan \biggl [ { \frac { \Theta } { 2 } } + { \frac { \pi } { 4 } } \bigl ( 1 - \mathrm { s g n } ( m ) \bigr ) \biggr ] \biggr \} \qquad \left( F = \frac { 1 } { 2 } \right) .
\begin{array} { r l r } { H } & { { } = } & { H _ { 0 } + H _ { 1 } , } \\ { H _ { 1 } } & { { } = } & { - \frac { P q a _ { z } } { m } + \frac { q ^ { 2 } a _ { z } ^ { 2 } } { 2 m } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Sigma ( t ) = } & { \frac { \mu _ { 0 } } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 , j \neq i } ^ { n } \mathbb { E } \bigg [ \Big ( Z _ { i j } ( t ) - V _ { \gamma ^ { * } \eta ^ { * } } ( t ) S ^ { * } ( t ) \iota _ { i j } \Big ) ^ { \otimes 2 } e ^ { \pi _ { i j } ^ { * } ( t ) } \bigg ] , } \\ { b _ { * } ( t ) = } & { \frac { \mu _ { 0 } } { 2 N h _ { 1 } } \bigg [ \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { \sum _ { j \neq i } \mathbb { E } ( Z _ { i j } ( t ) \exp \{ \pi _ { i j } ^ { * } ( t ) \} ) } { \sum _ { j \neq i } \mathbb { E } ( \exp \{ \pi _ { i j } ^ { * } ( t ) \} ) } + \sum _ { j = 1 } ^ { n } \frac { \sum _ { i \neq j } \mathbb { E } ( Z _ { i j } ( t ) \exp \{ \pi _ { i j } ^ { * } ( t ) \} ) } { \sum _ { i \neq j } \mathbb { E } ( \exp \{ \pi _ { i j } ^ { * } ( t ) \} ) } \bigg ] , } \end{array}
\begin{array} { l } { { \, \, \, \, \, 3 C _ { n - 3 } ^ { k - 1 } c _ { 1 } ^ { ( 3 ) } \varepsilon ^ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } \alpha _ { 3 } [ \beta ] _ { k - 1 } [ \gamma ] _ { l - 1 } } \lambda _ { \delta } q _ { \delta } [ q _ { \beta } ] ^ { k - 1 } p _ { \delta } [ p _ { \gamma } ] ^ { l - 1 } - } } \\ { { - ( - 1 ) ^ { k } C _ { n - k } ^ { 2 } c _ { 1 } ^ { ( k ) } \biggl ( \varepsilon ^ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } [ \beta ] _ { k } [ \gamma ] _ { l - 1 } } \delta _ { \alpha _ { 3 } \gamma } + \mathrm { c y c l e } ( 1 , 2 , 3 ) \biggr ) [ q _ { \beta } ] ^ { k } \lambda _ { \gamma } p _ { \gamma } [ p _ { \gamma } ] ^ { l - 1 } - } } \\ { { - C _ { n - l } ^ { 2 } c _ { 1 } ^ { ( l ) } \biggl ( \varepsilon ^ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } [ \beta ] _ { k - 1 } | [ \gamma ] _ { 1 } } \delta _ { \alpha _ { 3 } \beta } + \mathrm { c y c l e } ( 1 , 2 , 3 ) \biggr ) \lambda _ { \beta } q _ { \beta } [ q _ { \beta } ] ^ { k - 1 } [ p _ { \gamma } ] ^ { l } = 0 . } } \end{array}
R _ { l } ( r ) \equiv \frac { u _ { l } ( r ) } { \sqrt { r } } = \left\{ \begin{array} { l r } { { \mathrm { \boldmath \large ~ \left\{ ~ \right. ~ } \! \! \! J _ { l } ( \tilde { k } r ) \mathrm { \boldmath \large ~ , ~ } \! \! N _ { l } ( \tilde { k } r ) \mathrm { \boldmath \large ~ \left. ~ \right\} ~ } \! \! \; } } & { { \textrm { f o r } \; \; r < a \; , } } \\ { { \mathrm { \boldmath \large ~ \left\{ ~ \right. ~ } \! \! \! I _ { l } ( \kappa r ) \mathrm { \boldmath \large ~ , ~ } \! \! K _ { l } ( \kappa r ) \mathrm { \boldmath \large ~ \left. ~ \right\} ~ } \! \! \; } } & { { \textrm { f o r } \; \; r > a \; , } } \end{array} \right. \; \;
\begin{array} { r } { \kappa ^ { 2 } \pi _ { \rho } D ^ { 2 } \pi _ { \rho } ^ { * } \; \geq \; g ^ { 2 } \pi _ { \rho } ( { \bf 1 } - G _ { \rho } ( D ) ^ { 2 } ) \pi _ { \rho } ^ { * } \; . } \end{array}
\begin{array} { l l } { { U = \left( \begin{array} { l l l } { { \eta } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \epsilon / 3 } } \\ { { 0 } } & { { - \epsilon / 3 } } & { { 1 } } \end{array} \right) M _ { U } , \ } } & { { D = \left( \begin{array} { l l l } { { 0 } } & { { \delta } } & { { \delta ^ { \prime } e ^ { i \phi } } } \\ { { \delta } } & { { 0 } } & { { \sigma + \epsilon / 3 } } \\ { { \delta ^ { \prime } e ^ { i \phi } } } & { { - \epsilon / 3 } } & { { 1 } } \end{array} \right) M _ { D } , } } \\ { { N = \left( \begin{array} { l l l } { { \eta } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { - \epsilon } } \\ { { 0 } } & { { \epsilon } } & { { 1 } } \end{array} \right) M _ { U } , \ } } & { { L = \left( \begin{array} { l l l } { { 0 } } & { { \delta } } & { { \delta ^ { \prime } e ^ { i \phi } } } \\ { { \delta } } & { { 0 } } & { { - \epsilon } } \\ { { \delta ^ { \prime } e ^ { i \phi } } } & { { \sigma + \epsilon } } & { { 1 } } \end{array} \right) M _ { D } , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { x } & { { } = R \left( \lambda - \lambda _ { 0 } \right) , } \\ { y } & { { } = R \ln \left[ \tan \left( { \frac { \pi } { 4 } } + { \frac { \varphi } { 2 } } \right) \left( { \frac { 1 - e \sin \varphi } { 1 + e \sin \varphi } } \right) ^ { \frac { e } { 2 } } \right] = R \left( \sinh ^ { - 1 } \left( \tan \varphi \right) - e \operatorname { t a n h } ^ { - 1 } ( e \sin \varphi ) \right) , } \\ { k } & { { } = \sec \varphi { \sqrt { 1 - e ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \varphi } } . } \end{array}
A _ { F } = A _ { F } ^ { ( 0 ) } \, e ^ { \Gamma _ { F } \, T } \implies \Gamma _ { F } = \frac { 1 } { T } \, \mathrm { ~ l ~ o ~ g ~ } \left[ \frac { A _ { F } } { A _ { F } ^ { ( 0 ) } } \right] ,
\begin{array} { r l } { H ( R _ { 1 } , R _ { 2 } ) = } & { { } - \frac { b ^ { 2 } } { 2 } \log \frac { R _ { 2 } } { R _ { 1 } } + a b \left( R _ { 2 } ^ { 2 } \log \frac { R _ { 2 } } { R _ { 1 } } - \frac { R _ { 2 } ^ { 2 } - R _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } \right) + } \end{array}
p _ { \alpha } = P \left( \int _ { t _ { 0 } } ^ { t _ { e } } \mathbb { 1 } _ { \alpha } ( \ensuremath { \boldsymbol { { x } } } ( t ) ) \, \mathrm { d } t > 0 \; \middle | \; \ensuremath { \boldsymbol { { x } } } ( t _ { 0 } ) \in W _ { - \alpha } \right) \ ,
\begin{array} { r l } { \mathscr { R } ( { \mathrm { S t } } ) } & { { } = - n _ { 0 } \operatorname* { l i m } _ { R \to a _ { 1 } + a _ { 2 } } \int _ { - \infty } ^ { 0 } \! \mathrm { d } V _ { R } \, V _ { R } \, P ( R , V _ { R } ) } \end{array}
U _ { z } = Q _ { 1 , 2 } ( - \frac { c _ { 1 , 2 } ( z ) } { c _ { 1 , 1 } ( z ) } ) \cdots Q _ { 1 , n } ( - \frac { c _ { 1 , n } ( z ) } { c _ { 1 , 1 } ( z ) } ) .
\left( \begin{array} { l l l } { \mathcal { A } } & { \mu _ { p } I _ { m } } & { 0 } \\ { 0 } & { - \mathcal { A } ^ { * } } & { - \mathcal { I } } \\ { ( 1 + \mu _ { c } ) \mathcal { I } - V } & { 0 } & { { \nu } V } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \Delta X } \\ { \Delta y } \\ { \Delta Z } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { R _ { 1 } } \\ { R _ { 2 } } \\ { R _ { 3 } } \end{array} \right) ,
B _ { 0 } ( 0 , 1 ) , B _ { 0 } ( 1 , 0 ) , B _ { 0 } ( 2 , 0 ) , B _ { 0 } ( 1 , 1 ) , B _ { 1 } ( 0 , 1 ) , B _ { 1 } ( 1 , 0 ) , . . . , B _ { N } ( 2 , 0 ) , B _ { N } ( 1 , 1 )
\begin{array} { r l } & { A ^ { \prime } = \left[ \begin{array} { l } { A _ { 1 , 1 } } \\ { A _ { 2 , 2 } } \\ { A _ { 1 , 1 } + A _ { 2 , 2 } } \\ { A _ { 2 , 1 } + A _ { 2 , 2 } } \\ { A _ { 1 , 1 } + A _ { 1 , 2 } } \\ { A _ { 1 , 1 } - A _ { 2 , 1 } } \\ { A _ { 1 , 2 } - A _ { 2 , 2 } } \end{array} \right] , \quad B ^ { \prime } = \left[ \begin{array} { l } { B _ { 1 , 1 } } \\ { B _ { 2 , 2 } } \\ { B _ { 1 , 1 } + B _ { 2 , 2 } } \\ { B _ { 2 , 1 } + B _ { 2 , 2 } } \\ { B _ { 1 , 1 } + B _ { 1 , 2 } } \\ { B _ { 1 , 1 } - B _ { 2 , 1 } } \\ { B _ { 1 , 2 } - B _ { 2 , 2 } } \end{array} \right] \in \mathbb { R } ^ { 7 } , } \end{array}
K _ { 0 } = H _ { 0 } - E _ { 0 } = E _ { 0 } \left\{ \frac { 1 } { \sqrt { 1 - \frac { v ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } } } - 1 \right\} = K _ { 0 } ^ { \textrm { p i o n } } ,
\begin{array} { r l } { R _ { n } } & { = \left[ \begin{array} { l l l } { R _ { n } ^ { [ 1 ] } } & { 0 _ { 4 \times 4 } } & { 0 _ { 4 \times 4 } } \\ { 0 _ { 4 \times 4 } } & { R _ { n } ^ { [ 2 ] } } & { 0 _ { 4 \times 4 } } \\ { 0 _ { 4 \times 4 } } & { 0 _ { 4 \times 4 } } & { R _ { n } ^ { [ 3 ] } } \end{array} \right] \times \left[ \begin{array} { l l l } { \hat { R } _ { n } ( 1 , 1 ) I _ { 4 } } & { \hat { R } _ { n } ( 1 , 2 ) I _ { 4 } } & { \hat { R } _ { n } ( 1 , 3 ) I _ { 4 } } \\ { \hat { R } _ { n } ( 2 , 1 ) I _ { 4 } } & { \hat { R } _ { n } ( 2 , 2 ) I _ { 4 } } & { \hat { R } _ { n } ( 2 , 3 ) I _ { 4 } } \\ { \hat { R } _ { n } ( 3 , 1 ) I _ { 4 } } & { \hat { R } _ { n } ( 3 , 2 ) I _ { 4 } } & { \hat { R } _ { n } ( 3 , 3 ) I _ { 4 } } \end{array} \right] } \\ & { = \left[ \begin{array} { l l l } { \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] + \alpha _ { n } ^ { \ell } \bar { Z } ^ { [ 1 ] } } & { 0 _ { 4 \times 4 } } & { 0 _ { 4 \times 4 } } \\ { 0 _ { 4 \times 4 } } & { \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] + \alpha _ { n } ^ { \ell } \bar { Z } ^ { [ 2 ] } } & { 0 _ { 4 \times 4 } } \\ { 0 _ { 4 \times 4 } } & { 0 _ { 4 \times 4 } } & { \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right] + \alpha _ { n } ^ { \ell } \bar { Z } ^ { [ 3 ] } } \end{array} \right] } \\ & { \quad \times \left( \left[ \begin{array} { l l l } { 0 _ { 4 \times 4 } } & { 0 _ { 4 \times 4 } } & { \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & & \\ & { \ddots } & \\ & & { 1 } \end{array} \right] _ { 4 \times 4 } } \\ { \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & & \\ & { \ddots } & \\ & & { 1 } \end{array} \right] _ { 4 \times 4 } } & { 0 _ { 4 \times 4 } } & { 0 _ { 4 \times 4 } } \\ { 0 _ { 4 \times 4 } } & { \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & & \\ & { \ddots } & \\ & & { 1 } \end{array} \right] _ { 4 \times 4 } } & { 0 _ { 4 \times 4 } } \end{array} \right] + \alpha _ { n } ^ { \ell } \Tilde { Z } \right) } \\ & { = \left[ \begin{array} { l l l } { 0 _ { 4 \times 4 } } & { 0 _ { 4 \times 4 } } & { \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } \\ { \left[ \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] } & { 0 _ { 4 \times 4 } } & { 0 _ { 4 \times 4 } } \\ { 0 _ { 4 \times 4 } } & { \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \end{array} \right] } & { 0 _ { 4 \times 4 } } \end{array} \right] + \alpha _ { n } ^ { \ell } P _ { \alpha _ { n } } ( \ell ) , } \end{array}
\Delta f _ { q } ^ { N S } ( x , Q _ { t } ^ { 2 } ) = \Delta f _ { q 0 } ^ { N S } ( x , Q _ { t } ^ { 2 } ) + \tilde { \alpha } _ { s } \int _ { x } ^ { 1 } { \frac { d z } { z } } \int _ { Q _ { 0 } ^ { 2 } } ^ { { \frac { Q _ { t } ^ { 2 } } { z } } } { \frac { d Q _ { t } ^ { \prime 2 } } { Q _ { t } ^ { \prime 2 } } } \Delta f _ { q } ^ { N S } ( { \frac { x } { z } } , Q _ { t } ^ { \prime 2 } )
, w h o s e r e s u l t s s h o w t h a t E c k m a n n X i s a l w a y s i n b e t w e e n R o s e n s t e i n a n d E c k m a n n Y i n t h e r a n g e o f 1 . 5 < \mu _ { 0 } < 3 . 0 , F i g u r e
\frac { 1 } { \lambda ( k ) } - \frac { 9 N + 4 2 } { 1 6 \pi ^ { 2 } ( N + 8 ) } \ln \left( \frac { N + 8 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \lambda ( k ) \right) = \frac { N + 8 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \left( \ln \frac { \Lambda } { k } + C \right) ,
\left( \frac { a _ { \mathrm { c l o s e d } } } { R _ { 0 } } \right) ^ { 2 \ell + 1 } = \left[ 1 - ( 2 \ell + 1 ) \frac { j _ { \ell } ( D _ { + } ^ { ( 0 ) } ) } { D _ { + } ^ { ( 0 ) } j _ { \ell + 1 } ( D _ { + } ^ { ( 0 ) } ) } \right] ^ { - 1 } ,
\begin{array} { r } { \hat { H } _ { F } ^ { ( T ) } = \frac { \beta } { 2 \pi } \iint d k _ { x } d k _ { p } f _ { T } ( k _ { x } , k _ { p } ) e ^ { i ( k _ { x } \hat { x } + k _ { p } \hat { p } ) } . } \end{array}
V ( r ) = \frac { g ^ { 2 } C _ { F } } { 2 \pi } \ln ( g ^ { 2 } r ) + \frac { g ^ { 4 } C _ { F } C _ { A } } { 8 \pi } \left[ { \frac { 3 } { \pi } } - \left( { \frac { 3 } { \pi } } - { \frac { 7 } { 8 } } \right) \right] r \, .
\Delta \boldsymbol { w } _ { t } = - \left( \nabla _ { \boldsymbol { \theta } _ { t } } u ( \boldsymbol { \theta } _ { t } ) + \boldsymbol { M } ^ { - 1 } \boldsymbol { C } \boldsymbol { w } _ { t - 1 } \right) \Delta t + \sqrt { 2 \boldsymbol { C } \Delta t } \boldsymbol { \mathcal { N } } _ { t } ( \boldsymbol { 0 } , I ) ,
\begin{array} { r } { \beta ( \varphi , x ) : = ( \partial _ { x } ) ^ { - 1 } \left( \left( \frac { 1 } { 2 } - \tilde { a } _ { 1 } \right) ^ { - \frac { 1 } { \alpha } } ( - b _ { 1 } ( \varphi ) ) ^ { \frac { 1 } { \alpha } } - 1 \right) , \quad b _ { 1 } ( \varphi ) : = - \left( \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { \mathbb { T } } \left( \frac { 1 } { 2 } - \tilde { a } _ { 1 } ( \varphi , x ) \right) ^ { - \frac { 1 } { \alpha } } d x \right) ^ { - \alpha } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { j } } & { = 2 \left( { { \mathbf { \Phi } } } _ { j + 1 } - 2 { { \mathbf { \Phi } } } _ { j } + { { \mathbf { \Phi } } } _ { j - 1 } \right) - 0 . 5 \left( { { \mathbf { \Phi } } } _ { j + 1 } ^ { \prime } - { { \mathbf { \Phi } } } _ { j - 1 } ^ { \prime } \right) . } \\ { { \mathbf { \Phi } } _ { j + \frac { 1 } { 2 } } ^ { M D } } & { = \frac { 1 } { 2 } \left( { { \mathbf { \Phi } } } _ { j } + { { \mathbf { \Phi } } } _ { j + 1 } \right) - \frac { 1 } { 2 } \operatorname { m i n m o d } \left( d _ { j } , d _ { j + 1 } \right) } \\ { { \mathbf { \Phi } } _ { j + \frac { 1 } { 2 } } ^ { U L } } & { = { { \mathbf { \Phi } } } _ { j } + \xi \left( { { \mathbf { \Phi } } } _ { j } - { { \mathbf { \Phi } } } _ { j - 1 } \right) } \\ { { \mathbf { \Phi } } _ { j + \frac { 1 } { 2 } } ^ { L C } } & { = \frac { 1 } { 2 } \left( 3 { { \mathbf { \Phi } } } _ { j } - { \hat { \mathbf { \Phi } } } _ { j - 1 } \right) + \frac { 4 } { 3 } \operatorname { m i n m o d } \left( d _ { j } , d _ { j - 1 } \right) } \\ { { \mathbf { \Phi } } _ { j + \frac { 1 } { 2 } } ^ { \operatorname* { m i n } } } & { = \operatorname* { m a x } \left[ \operatorname* { m i n } \left( { { \mathbf { \Phi } } } _ { j } , { { \mathbf { \Phi } } } _ { j + 1 } , { \Phi } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { M D } \right) , \operatorname* { m i n } \left( { { \mathbf { \Phi } } } _ { j } , { \mathbf { \Phi } } _ { j + 1 / 2 } ^ { U L } , { \mathbf { \Phi } } _ { j + 1 / 2 } ^ { L C } \right) \right] } \\ { { \mathbf { \Phi } } _ { i + \frac { 1 } { 2 } } ^ { \operatorname* { m a x } } } & { = \operatorname* { m i n } \left[ \operatorname* { m a x } \left( { { \mathbf { \Phi } } } _ { j } , { { \mathbf { \Phi } } } _ { j + 1 } , { \Phi } _ { j + \frac { 1 } { 2 } } ^ { M D } \right) , \operatorname* { m a x } \left( { { \mathbf { \Phi } } } _ { j } , { \mathbf { \Phi } } _ { j + \frac { 1 } { 2 } } ^ { U L } , { \mathbf { \Phi } } _ { j + \frac { 1 } { 2 } } ^ { L C } \right) \right] } \\ { { \mathbf { \Phi } } _ { j + \frac { 1 } { 2 } } ^ { \mathrm { M E G 7 ~ } } } & { = { \mathbf { \Phi } } _ { j + \frac { 1 } { 2 } } ^ { L , G R B } + \operatorname { m i n m o d } \left( { \mathbf { \Phi } } _ { j + \frac { 1 } { 2 } } ^ { \operatorname* { m i n } } - { \mathbf { \Phi } } _ { j + \frac { 1 } { 2 } } ^ { L , G R B } , { \mathbf { \Phi } } _ { j + \frac { 1 } { 2 } } ^ { \operatorname* { m a x } } - { \mathbf { \Phi } } _ { j + \frac { 1 } { 2 } } ^ { L , G R B } \right) . } \end{array}
{ \cal W } _ { 2 } ^ { C P V } = - { \frac { 1 } { 2 } } C _ { F } \sum _ { i , j = 1 } ^ { 4 } \int _ { - 1 } ^ { 1 } d s \int _ { - 1 } ^ { 1 } d t \ E _ { i j } ^ { C P V } ( s , t ) = - { \frac { i } { 2 } } C _ { F } A \ ,
\begin{array} { r } { x ^ { k + 1 } = x ^ { k } - \gamma _ { k } g _ { k } , \quad \gamma _ { k } = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 \quad } & { \mathrm { i f ~ } g _ { k } = 0 , } \\ { \operatorname* { m i n } \Big \{ \alpha _ { k } , \frac { f ( x ^ { k } ; S ^ { k } ) - C ( S _ { k } ) } { \| g _ { k } \| ^ { 2 } } \Big \} \quad } & { \mathrm { e l s e } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dim \overline { { V } } } & { = \dim V - \dim ( \mathrm { i m } \, ( \mathrm { d } _ { x } ^ { ( 2 ) } ) ) } \\ & { = \dim V - ( \dim \ker \rho _ { x } - \dim \ker \rho _ { x } ^ { \prime } + \dim ( \mathrm { i m } \, ( { \mathrm { d } _ { x } ^ { \prime } } ^ { ( 2 ) } ) ) } \\ & { = \dim V - \mathrm { r k } ( { E _ { - 1 } } ) + \mathrm { r k } ( { E _ { - 1 } ^ { \prime } } ) - \dim ( \mathrm { i m } \, ( { \mathrm { d } _ { x } ^ { \prime } } ^ { ( 2 ) } ) ) } \\ & { = \dim V ^ { \prime } - \dim ( \mathrm { i m } \, ( { \mathrm { d } _ { x } ^ { \prime } } ^ { ( 2 ) } ) ) } \\ & { = \dim \overline { { V ^ { \prime } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } ( \mathrm { P r i m a l } ) : ~ \operatorname* { m i n } ~ } & { } & { x _ { 1 } - x _ { 2 } } \\ { \mathrm { s . t . } ~ } & { } & { x _ { 1 } + x _ { 2 } } & { \geq 1 , } \\ & { } & { x _ { 2 } } & { \geq 1 , } \\ & { } & { - x _ { 2 } } & { \geq - 1 ; } \end{array} \quad \begin{array} { r l r l } { { 2 } ( \mathrm { D u a l } ) : ~ \operatorname* { m a x } ~ } & { w _ { 1 } + w _ { 2 } - w _ { 3 } } \\ { \mathrm { s . t . } ~ } & { w _ { 1 } } & & { = 1 , } \\ & { w _ { 1 } + w _ { 2 } - w _ { 3 } } & & { = - 1 , } \\ & { w \geq 0 . } \end{array}
C _ { 2 0 } = \frac { 1 } { 2 } \sqrt { \left( \phantom { } _ { 0 } T _ { 2 2 0 } ^ { c } \right) ^ { 2 } + \left( \phantom { } _ { 0 } T _ { 2 2 0 } ^ { s } \right) ^ { 2 } } ,
\delta \Gamma ^ { \sigma } = \frac { i 3 6 g ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } \int \frac { d ^ { 4 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \; d y \; \delta ( x + y - 1 ) \Biggl \{ \frac { N _ { 1 } ^ { \sigma } + \epsilon N _ { 2 } ^ { \sigma } } { \left[ k ^ { 2 } - \Delta _ { 1 } \right] ^ { 2 } } - \frac { N _ { 3 } ^ { \sigma } } { \left[ k ^ { 2 } - \Delta _ { 2 } \right] ^ { 2 } } \Biggr \} ,
\mu ^ { \ast } = \sum _ { k = 1 } ^ { K } \frac { ( 2 \beta ) ^ { k } } { \sqrt { 2 k } } \cdot \frac { ( 2 \beta ) ^ { k } } { \sqrt { 2 k } } - \sum _ { k = 1 } ^ { K } \frac { ( 2 \beta ) ^ { 2 k } } { 4 k } = \sum _ { k = 1 } ^ { K } \frac { ( 2 \beta ) ^ { 2 k } } { 4 k } , \qquad \sigma ^ { 2 } = \sum _ { k = 1 } ^ { K } \frac { ( 2 \beta ) ^ { 2 k } } { 2 k } .
\begin{array} { r } { \frac { d ^ { 2 } y } { d z ^ { 2 } } + \Big ( \frac { \gamma } { z } + \frac { \delta } { z - 1 } + \frac { \epsilon } { z - a } \Big ) \frac { d y } { d z } + \frac { \alpha \beta z - q } { z ( z - 1 ) ( z - a ) } y = 0 , } \end{array}
\overline { { d } } _ { 2 } ( x , z ; \rho _ { 2 } ) = \frac { 2 ( 1 + x ^ { 2 } ) } { 3 ( 1 - x ) } \ln \frac { ( z - \rho _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { ( z - x \rho _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } + 2 R ( x ) \ln \frac { z - \rho _ { 2 } ^ { 2 } } { \rho _ { 2 } ^ { 2 } } \ .
\mathbf { P } _ { A } \left( t \right) = \int d ^ { 3 } r \, \, \, \mathbf { p } _ { A } \left( \mathbf { r } , t \right) = \mu _ { 0 } \varepsilon _ { 0 } \int d ^ { 3 } r \, \, \, \mathbf { E } \left( \mathbf { r } , t \right) \times \mathbf { H } \left( \mathbf { r } , t \right)
\bar { \beta } _ { 3 } = \sqrt { \bar { \beta } _ { 1 } \bar { \beta } _ { 2 } } \approx \sqrt { \frac { 1 } { d x ^ { 3 } R } } = C _ { 3 } \frac { n ^ { 1 / 2 } } { R ^ { 2 } } \, ,
\tilde { R } _ { \xi } ^ { + } = \operatorname * { l i m } _ { q \to 1 } \left[ \frac { \alpha ( 2 - \alpha ) ( 1 - \alpha ) \mathcal { A } _ { f } } { ( q - 1 ) } \right] ^ { \frac { 1 } { 2 } } \xi _ { 0 } ^ { + } .
\begin{array} { r l } { \bar { \nu } _ { 2 } \left( P _ { \overline { { R } } } \psi \right) } & { = \operatorname* { l i m } _ { n \longrightarrow \infty } \int \nu _ { 1 } \left( d u \right) \operatorname* { i n f } _ { x \in q ^ { - 1 } \left( u \right) } \left( P _ { \overline { { R } } } ^ { n + 1 } \psi \right) \left( x \right) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { n \longrightarrow \infty } \int \nu _ { 1 } \left( d u \right) \mathbb { E } \left[ \operatorname* { i n f } _ { x \in q ^ { - 1 } \left( u \right) } \left[ \psi \circ p \circ \overline { { \mathbf { R } } } ^ { n + 1 } \right] \left( x , \cdot \right) \right] = \bar { \nu } _ { 2 } \left( \psi \right) \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho } & { { } = \frac { \rho _ { 0 } } { \mathrm { d e t } | \mathbf { F } _ { e } | } } \\ { \overline { { \mathbf { V } } } _ { e } } & { { } = \frac { \sqrt { \mathbf { F } _ { e } \mathbf { F } _ { e } ^ { T } } } { \sqrt [ 3 ] { \mathrm { d e t } | \mathbf { F } _ { e } | } } } \end{array}