harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \frac d { d r } \Big [ | H _ { n } ( r e ^ { - i \pi / 4 } ) | ^ { 2 } \Big ] = 8 n r | H _ { n - 1 } ( r e ^ { - i \pi / 4 } ) | ^ { 2 } - 4 n ( n - 1 ) \Big \{ e ^ { - i \pi / 4 } H _ { n - 1 } ( r e ^ { - i \pi / 4 } ) H _ { n - 2 } ( r e ^ { i \pi / 4 } ) } \\ & { \qquad + e ^ { i \pi / 4 } H _ { n - 2 } ( r e ^ { - i \pi / 4 } ) H _ { n - 1 } ( r e ^ { i \pi / 4 } ) \Big \} . } \end{array}
\boldsymbol { \Xi } _ { n ^ { \prime } } ^ { B F } ( { \bf x } ) = \operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 } \frac { { \bf y } _ { n ^ { \prime } } - { \bf x } _ { n ^ { \prime } } } { \epsilon } , \quad \qquad 1 \le n ^ { \prime } \le 2 n ,
\begin{array} { r } { \Upsilon _ { a } ^ { \alpha - 3 } = O p ( \mathfrak { a } ) , \mathrm { ~ w h e r e ~ } \mathfrak { a } ( \omega , \varphi , x , j ) : = \int _ { \mathbb { T } } ( 2 - 2 \cos y ) ^ { 1 - \frac { \alpha } 2 } a ( \omega , \varphi , x , x - y ) e ^ { - \mathrm { i } j y } d y \mathrm { ~ f o r ~ j \in ~ \mathbb { Z } ~ } . } \end{array}
\begin{array} { c } { \dot { q } ^ { i } = [ q ^ { i } , H _ { 0 } ] + \lambda ^ { a } [ q ^ { i } , G _ { a } ] } \\ { \dot { p } ^ { i } = [ p ^ { i } , H _ { 0 } ] + \lambda ^ { a } [ p ^ { i } , G _ { a } ] } \\ { G _ { a } ( q , p ) = 0 } \end{array}
\mathrm { ~ H ~ i ~ e ~ d ~ k ~ e ~ S ~ S ~ } = \frac { \mathrm { ~ 2 ~ ( ~ ( ~ T ~ P ~ \times ~ T ~ N ~ ) ~ - ~ ( ~ F ~ N ~ \times ~ F ~ P ~ ) ~ ) ~ } } { \mathrm { ~ P ~ ( ~ F ~ N ~ + ~ T ~ N ~ ) ~ + ~ N ~ ( ~ T ~ P ~ + ~ F ~ P ~ ) ~ } } ,
\begin{array} { r l r } { \frac { d } { d t } ( { \bf Z } _ { i } - { \bf Z } _ { i } ^ { 0 } ) } & { = } & { - \big ( { \bf A J + \frac { 1 } { 2 } \kappa I } \big ) ( { \bf Z } _ { i } - { \bf Z } _ { i } ^ { 0 } ) } \\ & { } & { - \frac { 1 } { 2 } \kappa { \bf Z } _ { i } ^ { 0 } + \sqrt { \kappa T } { \bf A } n _ { i } ( t ) . } \end{array}
\Delta _ { j , 0 } = y _ { j } , \qquad \Delta _ { j , k } = { \frac { \Delta _ { j + 1 , k - 1 } - \Delta _ { j , k - 1 } } { x _ { j + k } - x _ { j } } } \quad \ni \quad \left\{ k > 0 , \; j \leq \operatorname* { m a x } \left( j \right) - k \right\} , \qquad \Delta 0 _ { k } = \Delta _ { 0 , k }
\frac { \partial U } { \partial y } = u _ { * } \frac { \partial U _ { i } } { \partial y ^ { + } } \frac { u _ { * } } { \nu } , \ \ \frac { \partial ^ { 2 } U } { \partial y ^ { 2 } } = u _ { * } \frac { \partial ^ { 2 } U _ { i } } { \partial y ^ { + 2 } } ( \frac { u _ { * } } { \nu } ) ^ { 2 } ,
y = \varphi - \varphi _ { 0 } \left( \! z = \alpha _ { 0 } ( \sigma , \bar { \sigma } ) + \! \! \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { { \hat { y } } ^ { n } } { n ! } \alpha _ { n } ( \sigma , \bar { \sigma } ) , \, \bar { z } = \bar { \alpha } _ { 0 } ( \sigma , \bar { \sigma } ) + \! \! \sum _ { m = 1 } ^ { \infty } \frac { { \hat { y } } ^ { m } } { m ! } \bar { \alpha } _ { m } ( \sigma , \bar { \sigma } ) \right) \, .
\begin{array} { r l } { F ( \theta ) = \frac { \rho J I L } { 2 \pi } \Bigg ( } & { { } \tan ^ { - 1 } \! \left( \frac { \tan \! \left( \frac { \theta } { 2 } \right) \left( 2 l - R \right) } { 2 l + R } \right) + } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( \overline { { \partial } } \theta ^ { n } , v ) + \mu ( \nabla \theta ^ { n } , \nabla v ) } & { = - ( ( P _ { h } ^ { 1 } - I ) \overline { { \partial } } u ( t ^ { n } ) , v ) - ( ( \overline { { \partial } } u ( t ^ { n } ) - u _ { t } ( t ^ { n } ) ) , v ) } \\ & { : = - ( w _ { 1 } ^ { n } + w _ { 2 } ^ { n } , v ) = - ( w ^ { n } , v ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { U ( z ) } & { \triangleq \beta \int _ { h _ { m i n } } ^ { h _ { m a x } } \int _ { - L } ^ { L } \int _ { - L } ^ { L } u _ { 1 } \left( \frac { \mathbf { x } } { h } \right) p ( h ) d x d y d h + U _ { \infty } } \\ & { = \beta \int _ { h _ { m i n } } ^ { h _ { m a x } } p ( h ) h ^ { 2 } \left[ \int _ { - L / h } ^ { L / h } \int _ { - L / h } ^ { L / h } u _ { 1 } \left( \frac { \mathbf { x } } { h } \right) d \left( \frac { x } { h } \right) d \left( \frac { y } { h } \right) \right] d h + U _ { \infty } } \\ & { = \beta \int _ { h _ { m i n } } ^ { h _ { m a x } } p ( h ) h ^ { 2 } I _ { 1 } \left( \frac { z } { h } \right) d h + U _ { \infty } , } \end{array}
\mathbf { Z } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { R } \scriptscriptstyle \mathrm { L } } \mathbf { Z } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { R } \scriptscriptstyle \mathrm { O } } \overline { { \mathbf { Z } } } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { O } \scriptscriptstyle \mathrm { O } } ^ { - 1 } \mathbf { Z } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { O } \scriptscriptstyle \mathrm { T } } \mathbf { Z } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { T } \scriptscriptstyle \mathrm { G } }
\mathbf { F } = m _ { 0 } { \frac { d ( \gamma ( \mathbf { v } ) \, \mathbf { v } ) } { d t } } = m _ { 0 } \left( { \frac { d \gamma ( \mathbf { v } ) } { d t } } \, \mathbf { v } + \gamma ( \mathbf { v } ) { \frac { d \mathbf { v } } { d t } } \right) .
\begin{array} { r } { f _ { d e t } ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { p } , t , s ) = \epsilon ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { p } , t , s ; \boldsymbol { r } _ { 0 } , \boldsymbol { p } _ { 0 } , t _ { 0 } , s _ { 0 } ) f _ { s r c } ( \boldsymbol { r } _ { 0 } , \boldsymbol { p } _ { 0 } , t _ { 0 } , s _ { 0 } ) } \end{array}
- \Omega ^ { 2 } p + g \eta - \frac { \gamma } { \rho } k ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } \eta } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { 2 M } { \rho b } \Omega \frac { \partial \eta } { \partial t } = a \Omega ^ { 2 } \cos { \Omega t ^ { \prime } } \eta ,
\theta _ { \mathrm { ~ g ~ e ~ o ~ m ~ } } = - \sum _ { j = 2 } ^ { N } \int _ { S ( \gamma ) } \mathcal { R } ^ { p _ { j } } { } _ { \psi _ { j } } ( \mathbf { e } _ { p _ { j } } , \mathbf { e } _ { \psi _ { j } } ) = - \sum _ { j = 2 } ^ { N } \int _ { S ( \gamma ) } \frac { 1 } { \mathsf { A } } \, d p _ { j } \wedge \, d \psi _ { j } \, ,
B \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! B \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { r } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \subset \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! D \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! . \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
M _ { i j } ^ { ( \mathrm { ~ i ~ o ~ n ~ } ) } = - \frac { \gamma _ { i } ^ { \mathrm { ( i o n . ) } } + \gamma _ { j } ^ { \mathrm { ( i o n . ) } } } { 2 } , \ \gamma _ { i } ^ { \mathrm { ( i o n . ) } } = \sum _ { \mathcal { F } ^ { \prime } } S _ { \mathcal { F } ^ { \prime } i } ^ { ( \mathrm { i o n . } ) } J _ { \mathcal { F } ^ { \prime } } ,
\left\langle ( \varphi \otimes \bar { u } ) , \phi ( \psi \otimes \bar { v } ; z , \bar { z } ) \; \phi ( \chi \otimes \bar { w } ; \zeta , \bar { \zeta } ) \; \left( \Omega \otimes \overline { { { \Omega } } } \right) \right\rangle = ( \bar { z } - \bar { \zeta } ) ^ { \bar { \Delta } _ { l } - \bar { \Delta } _ { \bar { v } } - \bar { \Delta } _ { \bar { w } } } \; F _ { \psi \chi } ( z , \zeta ) .
\hat { \mathcal { L } } _ { A } ( \boldsymbol { \theta } ; \boldsymbol { \phi } ) = \prod _ { i = 0 } ^ { b } \operatorname { P o i s } \left( \hat { s } _ { i } \left( G _ { s } ; \boldsymbol { \phi } \right) | \hat { s } _ { i } \left( G _ { s } ; \boldsymbol { \phi } \right) \right) ~ .
\begin{array} { l l l l } { { { \bf G } ^ { ( N ) } } } & { { = } } & { { ( { \bf 1 } + { \bf K } ) [ ( { \bf 1 } + { \bf \tilde { K } } ) ( { \bf 1 } + { \bf K } ) ] ^ { \frac { N - 1 } { 2 } } - { \bf 1 } \; \; \; } } & { { \; N \in \mathrm { o d d } \; , } } \\ { { \tilde { { \bf G } } ^ { ( N ) } } } & { { = } } & { { [ ( { \bf 1 } + { \bf K } ) ( { \bf 1 } + { \bf \tilde { K } } ) ] ^ { \frac { N } { 2 } } - { \bf 1 } \; \; \; } } & { { \; N \in \mathrm { e v e n } \; . } } \end{array}
\times P _ { \Sigma } \exp \left\{ i \int _ { 0 } ^ { s } d t \left[ \frac 1 4 \dot { z } _ { \mu } ^ { 2 } ( t ) - m ^ { 2 } + e \dot { z } _ { \mu } ( t ) A _ { \mu } ^ { e l } ( z ) + \Sigma _ { \mu \nu } \left( e F _ { \mu \nu } ^ { e l } + g F _ { \mu \nu } \right) \right] \right\} \Phi ( x , x ^ { \prime } ) ,
P = \frac { 3 } { 4 \pi r _ { + } ^ { 3 } } \left[ M - \frac { r _ { + } } { 2 } - \frac { \pi q _ { m } ^ { 3 / 2 } } { 4 \sqrt { 2 } \beta ^ { 1 / 4 } } + \frac { q _ { m } ^ { 3 / 2 } g ( r _ { + } ) } { 8 \sqrt { 2 } \beta ^ { 1 / 4 } } \right] .
\begin{array} { r } { \left\| \langle \partial _ { z } \rangle t ( t + \langle \nabla \rangle ) ( 1 - \Delta ) ^ { - 1 } \big ( ( \partial _ { v } - t \partial _ { z } ) ^ { 2 } + \partial _ { z } ^ { 2 } \big ) \mathrm { A } P _ { \neq } \Pi _ { \star } \right\| _ { 2 } \lesssim \epsilon } \end{array}
( x _ { 1 } , \dots , x _ { 4 - s } , x _ { 5 - s } , \dots , x _ { 9 - s - r } ) \mapsto ( - x _ { 1 } , \dots , - x _ { 4 - s } , x _ { 5 - s } , \dots , x _ { 9 - s - r } ) \, .
\begin{array} { r } { \mu _ { i } ^ { ( k ) } ( u ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \exp \left( - \frac { 1 } { 2 u } q _ { i } ^ { 2 } \right) | q _ { i } | ^ { k } \left| \frac { \partial } { \partial p _ { i } } q _ { i } \right| = \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \exp \left( - \frac { 1 - u } { 2 u } q _ { i } ^ { 2 } \right) | q _ { i } | ^ { k } . } \end{array}
s ( u = k t ^ { \frac { 1 } { z } } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { u ^ { 2 ( \alpha - \alpha _ { \mathrm { s } } ) } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ u ~ \gg ~ 1 ~ } ; } \\ { u ^ { 2 \alpha + 1 } } & { \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ u ~ \ll ~ 1 ~ } , } \end{array} \right.
\cos ( q _ { F } ( k ) a ) = \frac { w _ { \delta + } w _ { \delta - } [ \cos ( k a ) - \cos ( k 2 \delta ) ] + w _ { \delta + } j \sin ( k ( a + \delta ) ) + w _ { \delta - } j \sin ( k ( a - \delta ) ) + \cos ( k a ) } { j ( w _ { \delta + } 2 j \sin ( k \delta ) + 1 ) ( w _ { \delta - } 2 j \sin ( k \delta ) - 1 ) }
\begin{array} { r l } { \mathfrak { M } _ { \mathcal { R } _ { n + 1 } } ^ { \sharp , \gamma } ( 0 , s ) } & { \le _ { \mathtt { p e } , s } \left( \varepsilon ^ { 1 1 - 1 0 b } N _ { n } ^ { 2 \tau + 1 } N _ { n - 1 } ^ { - 2 \sigma _ { 1 } } + N _ { n } ^ { - \mathtt { b } _ { 0 } } N _ { n - 1 } \right) \mathbb { M } _ { 0 } ( s ) , } \\ { \operatorname* { s u p } _ { \vec { b } \in \mathbb { N } _ { 0 } ^ { \nu } , \ | \vec { b } | = \mathtt { b } _ { 0 } } \mathfrak { M } _ { \partial _ { \varphi } ^ { \vec { b } } ( \mathcal { R } _ { n + 1 } ) } ^ { \sharp , \gamma } ( 0 , s ) } & { \le _ { \mathtt { p e } , s } \left( \varepsilon ^ { 1 1 - 1 0 b } N _ { n } ^ { 2 \tau + 1 } N _ { n - 1 } ^ { 1 - \sigma _ { 1 } } + N _ { n - 1 } \right) \mathbb { M } _ { 0 } ( s ) , } \\ { \mathfrak { M } _ { d _ { i } ( \mathcal { R } _ { n + 1 } ) ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] } ^ { \sharp } ( 0 , s _ { 0 } ) } & { \le _ { \mathtt { p e } , } ( \varepsilon ^ { 1 1 - 1 0 b } N _ { n } ^ { 2 \tau + 1 } N _ { n - 1 } ^ { - 2 \sigma _ { 1 } } + N _ { n } ^ { - \mathtt { b } _ { 0 } } N _ { n - 1 } ) \varepsilon ^ { 3 } \gamma ^ { - 1 } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } , 1 } } , } \\ { \operatorname* { s u p } _ { \vec { b } \in \mathbb { N } _ { 0 } ^ { \nu } , \ | \vec { b } | = \mathtt { b } _ { 0 } } \mathfrak { M } _ { \partial _ { \varphi } ^ { \vec { b } } ( d _ { i } \mathcal { R } _ { n + 1 } ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] ) } ^ { \sharp } ( 0 , s _ { 0 } ) } & { \le _ { \mathtt { p e } } ( \varepsilon ^ { 1 1 - 1 0 b } N _ { n } ^ { 2 \tau + 1 } N _ { n - 1 } ^ { 1 - \sigma _ { 1 } } + N _ { n - 1 } ) \varepsilon ^ { 3 } \gamma ^ { - 1 } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } , 1 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle \frac { \partial \mathcal { L } } { \partial \mathbf { \overline { { q } } } } , \delta \mathbf { \overline { { q } } } \rangle } & { = } & { \langle 2 \mu _ { i } \operatorname { R e } \left( \left( \frac { \partial ( \mathbf { A } \mathbf { \check { q } } _ { i } ) } { \partial \mathbf { q } } \right) ^ { * } \mathbf { \check { a } } \right) + \mu _ { i } ^ { 2 } \left( \frac { \partial ( \mathbf { Q } _ { q } \mathbf { \check { q } } _ { i } ) } { \partial \mathbf { q } } \right) ^ { * } \mathbf { \check { q } } _ { i } } \\ & { - } & { \mu _ { i } ^ { 2 } \left( \frac { \partial ( \mathbf { Q } _ { f } \mathbf { \check { f } } _ { i } ) } { \partial \mathbf { q } } \right) ^ { * } \mathbf { \check { f } } _ { i } , \delta \mathbf { \overline { { q } } } \rangle , } \end{array}
V = \frac { \int \epsilon ( \mathbf { r } ) | \mathbf { E } ( \mathbf { r } ) | ^ { 2 } d ^ { 3 } \mathbf { r } } { \operatorname* { m a x } \{ \epsilon ( \mathbf { r } ) | \mathbf { E } ( \mathbf { r } ) | ^ { 2 } \} } .
\left| \mathbb { E } _ { N } ^ { V , P } \left[ \mathbf { 1 } _ { \mathcal { E } _ { N } ^ { c } } e ^ { \mathrm { i } t \sqrt { N } \int \Xi \phi _ { N } d \hat { \mu } _ { N } } \right] e ^ { - \mathrm { i } t \sqrt { N } \int \Xi \phi _ { N } d \mu _ { P } } \right| \leqslant \mathbb { P } _ { N } ^ { V , P } ( \mathcal { E } _ { N } ^ { c } ) \xrightarrow [ N \to + \infty ] 0 \, .
\frac { \sqrt { | c _ { W \nu ^ { * } e } | ^ { 2 } + | d _ { W \nu ^ { * } e } | ^ { 2 } } } { \Lambda _ { \mathrm { c } } } \times \mathrm { B r } ^ { 1 / 2 } ( \nu ^ { * } \to \nu W ) \leq 5 \times 1 0 ^ { - 2 } \, \mathrm { G e V } ^ { - 1 } .
R = { \frac { { \frac { \mathrm { f o r c e } } { ( \mathrm { l e n g t h } ) ^ { 2 } } } \times ( \mathrm { l e n g t h } ) ^ { 3 } } { \mathrm { a m o u n t } \times \mathrm { t e m p e r a t u r e } } } = { \frac { \mathrm { f o r c e } \times \mathrm { l e n g t h } } { \mathrm { a m o u n t } \times \mathrm { t e m p e r a t u r e } } }
\kappa \; \leq \; c _ { \kappa } \, \frac { g ^ { 3 } } { \| H \| \, N } \qquad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \qquad c _ { \rho } \, \frac { g } { \kappa } \Big ( 1 + \frac { \| \Im m ( H ) \| } { g } \Big ) \; \leq \; \rho \; ,
I _ { [ 3 ] } : = \mathrm { ~ r ~ a ~ n ~ k ~ } \left\{ \mathbf { d } \gamma _ { ( n _ { [ 1 ] } ) } ^ { [ 1 ] } , \mathbf { d } \gamma _ { ( n _ { [ 2 ] } ) } ^ { [ 2 ] } , \mathbf { d } \gamma _ { ( n _ { [ 3 ] } ) } ^ { [ 3 ] } \right\} ,
\begin{array} { r l } & { \quad _ { 5 } + _ { 3 } } \\ & { = - \delta ( q > m - n ) \delta ( j \leq m - n ) e _ { p , q } ^ { ( 2 ) } [ - 2 ] e _ { i , j } ^ { ( 1 ) } + \delta ( q > m - n ) e _ { p , q } ^ { ( 2 ) } [ - 2 ] e _ { i , j } ^ { ( 1 ) } } \\ & { = \delta ( q , j > m - n ) e _ { p , q } ^ { ( 2 ) } [ - 2 ] e _ { i , j } ^ { ( 1 ) } , } \\ & { \quad _ { 5 } + _ { 6 } + _ { 1 0 } + _ { 7 } } \\ & { = - \delta ( j > m - n ) \delta ( q \leq m - n ) e _ { p , q } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] e _ { i , j } ^ { ( 2 ) } - \delta ( q > m - n ) e _ { i , j } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] e _ { p , q } ^ { ( 2 ) } } \\ & { \quad + \delta ( q > m - n ) e _ { i . j } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] e _ { p , q } ^ { ( 2 ) } + \delta ( j > m - n ) e _ { p , q } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] e _ { i , j } ^ { ( 2 ) } } \\ & { = \delta ( q , j > m - n ) e _ { p , q } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] e _ { i , j } ^ { ( 2 ) } , } \\ & { \quad _ { 8 } + _ { 1 1 } + _ { 1 4 } + _ { 5 } } \\ & { = e _ { p , q } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] e _ { i , j } ^ { ( 1 ) } + \delta ( q , j \leq m - n ) e _ { p , q } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] e _ { i , j } ^ { ( 1 ) } } \\ & { \quad - \delta ( q \leq m - n ) e _ { p , q } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] e _ { i , j } ^ { ( 1 ) } - \delta ( j \leq m - n ) e _ { p , q } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] e _ { i , j } ^ { ( 1 ) } } \\ & { = \delta ( q , j > m - n ) e _ { p , q } ^ { ( 1 ) } [ - 2 ] e _ { i , j } ^ { ( 2 ) } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { L } _ { \omega } = \mathcal { D } _ { \omega } - \partial _ { x } \nabla _ { z } ^ { 2 } H _ { 2 , 2 } ( \bar { v } ) - \varepsilon \partial _ { x } \underbrace { \nabla _ { z } ^ { 2 } H _ { 3 , 2 } ( \bar { v } ) } _ { = : S _ { 1 } } - \varepsilon ^ { 2 } \partial _ { x } \underbrace { \nabla _ { z } ^ { 2 } H _ { 4 , 2 } ( \bar { v } ) } _ { = : S _ { 2 } } , \mathrm { ~ u p ~ t o ~ O ( \varepsilon ^ { 7 - 4 b } ) ~ . } } \end{array}
N _ { \mathrm { ~ \tiny ~ c ~ h ~ } } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ r ~ e ~ c ~ , ~ X ~ } } = N _ { \mathrm { ~ \tiny ~ c ~ h ~ } } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ p ~ r ~ o ~ d ~ , ~ X ~ } } \times \epsilon _ { \mathrm { ~ \tiny ~ t ~ r ~ a ~ c ~ k ~ } } ^ { \mathrm { ~ \tiny ~ X ~ } } ,
\gamma _ { \xi } : = \mu \frac \partial { \partial \mu } \xi _ { \mathrm { R } } = 2 \lambda _ { \mathrm { R } } \xi _ { \mathrm { R } } ( \xi _ { \mathrm { R } } - 1 ) \left( \xi _ { \mathrm { R } } - { \frac { 1 } { 2 } } \right) \frac { C _ { 2 } ( G ) } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } g _ { \mathrm { R } } ^ { 2 } ,
\left\{ \begin{array} { r c l } { { d s ^ { 2 } } } & { { = } } & { { R ^ { 2 } d \Pi _ { ( 2 ) } ^ { 2 } - R ^ { 2 } d \Omega _ { ( 2 ) } ^ { 2 } - R ^ { 2 } ( d \psi + \cos { \alpha } \cos { \theta } d \varphi - \sin { \alpha } \, \mathrm { s i n h } \chi d \phi ) ^ { 2 } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { F } } & { { = } } & { { \sqrt { 3 } R \cos { \alpha } \, \mathrm { c o s h } \chi d \chi \wedge d \phi - \sqrt { 3 } R \sin { \alpha } \sin { \theta } \, d \theta \wedge d \varphi \, , } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \frac { d S } { d t } = } & { - \frac { d } { d t } \int f \left[ \ln f _ { M B } + \ln \left( \frac { f } { f _ { M B } } \right) \right] d x d v } \\ { = } & { - \ln \left( \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \right) \frac { d } { d t } \int f d x d v + \frac { d } { d t } \int \frac { v ^ { 2 } } { 2 } f d x d v } \\ & { - \frac { d } { d t } \int f \ln \left( \frac { f } { f _ { M B } } \right) d x d v . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \partial _ { t } u _ { 1 } = D _ { 1 } \Delta u _ { 1 } - \chi \nabla \cdot ( u _ { 1 } \nabla u _ { 2 } ) - d _ { 1 } \, u _ { 1 } - \beta \, u _ { 1 } \, u _ { 3 } + r ( t , { \bf x } ) , } \\ { \displaystyle \partial _ { t } u _ { 2 } = D _ { 2 } \Delta u _ { 2 } - d _ { 2 } \, u _ { 2 } + \beta \, u _ { 1 } \, u _ { 3 } , } \\ { \displaystyle \partial _ { t } u _ { 3 } = D _ { 3 } \Delta u _ { 3 } - d _ { 3 } \, u _ { 3 } + k \, u _ { 2 } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m a x } \quad V ( \delta ) = \bigg ( \frac { 1 7 . 7 4 5 } { { \delta _ { 1 } } } \bigg ) ^ { { \delta _ { 1 } } } \bigg ( \frac { 4 4 . 7 7 9 } { { \delta _ { 2 } } } \bigg ) ^ { { \delta _ { 2 } } } \bigg ( \frac { 2 1 . 7 7 5 } { { \delta _ { 3 } } } \bigg ) ^ { { \delta _ { 3 } } } \bigg ( \frac { \Phi _ { \tilde { \beta } _ { 1 1 } ^ { 1 } } ^ { - 1 } ( \gamma ) } { { \delta _ { 4 } } } \bigg ) ^ { { \delta _ { 4 } } } \big ( \delta _ { 4 } \big ) ^ { \delta _ { 4 } } } \\ & { \mathrm { s . t . ~ t h e ~ s a m e ~ n o r m a l i t y ~ a n d ~ o r t h o g o n a l i t y ~ c o n d i t i o n s ~ g i v e n ~ i n ~ P r o b l e m ~ } . } \end{array}
R _ { 8 } = \left\{ \begin{array} { c l } { { \frac { \sqrt 3 } { 2 } , } } & { { \mathrm { ~ f o r ~ l i g h t ~ b a r y o n s } } } \\ { { \frac { 1 } { \sqrt 3 } , } } & { { \mathrm { ~ f o r ~ h e a v y ~ b a r y o n s } . } } \end{array} \right.
\xi _ { z e r o } ^ { 2 } ( \Delta t = p \Delta t _ { Z } ) = \frac { G _ { 1 } ( p \Delta t _ { Z } ) } { G _ { 2 } ( p \Delta t _ { Z } ) } \approx \frac { 4 p } { 3 } \xi _ { Z } ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l r } { \dot { N } _ { a } } & { { } = } & { - \gamma _ { \mathrm { o } } N _ { a } - i g _ { \mathrm { o m } } ( \langle a _ { a s } ^ { \dagger } b _ { a c } \rangle - \langle a _ { a s } ^ { \dagger } b _ { a c } \rangle ^ { * } ) , } \\ { \dot { N } _ { b } } & { { } = } & { - \Gamma _ { \mathrm { m } } N _ { b } + i g _ { \mathrm { o m } } ( \langle a _ { a s } ^ { \dagger } b _ { a c } \rangle - \langle a _ { a s } ^ { \dagger } b _ { a c } \rangle ^ { * } ) + \Gamma _ { \mathrm { m } } n _ { \mathrm { t h } } , } \\ { \dot { \langle a _ { a s } ^ { \dagger } b _ { a c } \rangle } } & { { } = } & { - \frac { \gamma _ { \mathrm { o } } + \Gamma _ { \mathrm { m } } } { 2 } \langle a _ { a s } ^ { \dagger } b _ { a c } \rangle - i g _ { \mathrm { o m } } N _ { a } + i g _ { \mathrm { o m } } N _ { b } , } \end{array}
Z = \int { \cal D } { ^ + } G \, { \cal D } { ^ - } G \, \, d e t { \bf G } ^ { - 1 / 2 } \, \, d e t ( { ^ + } M ) ^ { - 1 / 2 } d e t ( { ^ - } M ) ^ { - 1 / 2 } \, \, e ^ { - \int d ^ { 4 } x \tilde { L } }
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \xi \alpha _ { k } \mathbb { E } [ \| \nabla F ( x _ { k } ) \| ^ { 2 } ] } & { \le O _ { \texttt { P } } ( 1 ) \cdot \sum _ { k } \xi \alpha _ { k } \lambda _ { k } ^ { - 2 } + O _ { \texttt { P } } ( \sigma _ { f } ^ { 2 } ) \cdot \sum _ { k } \frac { \eta _ { k + 1 } ^ { 2 } } { \gamma _ { k } \lambda _ { k } } + O _ { \texttt { P } } ( \sigma _ { g } ^ { 2 } ) \cdot \sum _ { k } \frac { \eta _ { k + 1 } ^ { 2 } \lambda _ { k } } { \gamma _ { k } } + O _ { \texttt { P } } ( 1 ) , } \end{array}
q ( \underline { { A } } ) = \frac { 1 } { Z ( \beta ) } \prod _ { i = 1 } ^ { N } \left[ \mathrm { e } ^ { - \beta \delta _ { A _ { i } } ^ { 0 } } C _ { i } ( A _ { i } , \underline { { A } } _ { \partial i } ) \right] .
I _ { 2 } = \frac { \pi ^ { 3 / 2 } } { 1 2 } \biggl ( \frac { \theta p } { 2 } \biggr ) ^ { 1 / 2 } [ 1 5 \nu ^ { - 1 / 2 } K _ { 1 / 2 } ( \nu \theta p ) - 2 0 \biggl ( \frac { \theta p } { 2 } \biggr ) ^ { 3 / 2 } \nu ^ { 1 / 2 } K _ { 1 / 2 } ( \nu \theta p ) + 4 \biggl ( \frac { \theta p } { 2 } \biggr ) ^ { 5 / 2 } \nu ^ { 3 / 2 } K _ { 3 / 2 } ( \nu \theta p ) ] ,
\begin{array} { r l } & { M ( e _ { m _ { 1 } } ^ { ( j _ { 1 } , \bar { j } _ { 1 } ) } , e _ { m _ { 2 } } ^ { ( j _ { 2 } , \bar { j } _ { 2 } ) } ) } \\ { = } & { \sum _ { k } \lambda _ { j _ { 1 } , \bar { j } _ { 1 } , 0 } ^ { - 1 } \lambda _ { j _ { 2 } , \bar { j } _ { 2 } , 0 } ^ { - 1 } \lambda _ { j _ { 1 } + j _ { 2 } , \bar { j } _ { 1 } + \bar { j } _ { 2 } , k } \sqrt { ( 2 j _ { 1 } + 1 ) ( 2 j _ { 2 } + 1 ) ( 2 \bar { j } _ { 1 } + 1 ) ( 2 \bar { j } _ { 2 } + 1 ) ( 2 j _ { 1 } + 2 \bar { j } _ { 1 } + 1 ) ( 2 j _ { 2 } + 2 \bar { j } _ { 2 } + 1 ) } } \\ { \times } & { \left\{ \begin{array} { l l l } { j _ { 1 } } & { j _ { 2 } } & { j _ { 1 } + j _ { 2 } } \\ { \bar { j } _ { 1 } } & { \bar { j } _ { 2 } } & { \bar { j } _ { 1 } + \bar { j } _ { 2 } } \\ { j _ { 1 } + \bar { j } _ { 1 } } & { j _ { 2 } + \bar { j } _ { 2 } } & { j _ { 1 } + j _ { 2 } + \bar { j } _ { 1 } + \bar { j } _ { 2 } - k } \end{array} \right\} C _ { m _ { 1 } , m _ { 2 } ; m _ { 1 } + m _ { 2 } } ^ { j _ { 1 } + \bar { j } _ { 1 } , j _ { 2 } + \bar { j } _ { 2 } ; j _ { 1 } + j _ { 2 } + \bar { j } _ { 1 } + \bar { j } _ { 2 } - k } e _ { m _ { 1 } + m _ { 2 } } ^ { ( j _ { 1 } + j _ { 2 } - \frac { k } { 2 } , \bar { j } _ { 1 } + \bar { j } _ { 2 } - \frac { k } { 2 } ) } , } \end{array}
V _ { \mathrm { s } } ( \mathbf { r } ) = V ( \mathbf { r } ) + \int { \frac { n ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) } { | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | } } \, \mathrm { d } ^ { 3 } \mathbf { r } ^ { \prime } + V _ { \mathrm { X C } } [ n ( \mathbf { r } ) ] ,
\begin{array} { r } { { \bf D } _ { [ 1 ] } = \left( \begin{array} { c c c } { 0 } & { { \bf B } _ { [ 1 ] } } & { 0 } \\ { { \bf B } _ { [ 1 ] } ^ { \top } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , \quad { \bf D } _ { [ 2 ] } = \left( \begin{array} { c c c } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { { \bf B } _ { [ 2 ] } } \\ { 0 } & { { \bf B } _ { [ 2 ] } ^ { \top } } & { 0 } \end{array} \right) . \quad } \end{array}
{ \frac { 1 } { 1 } } + { \frac { 1 } { 1 } } + { \frac { 1 } { 2 } } + { \frac { 1 } { 3 } } + { \frac { 1 } { 5 } } + { \frac { 1 } { 8 } } + \cdots = \psi .
\rho ^ { ( x ) } = \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { x } } \Delta a _ { i } ^ { ( x ) } \cdot \Delta b _ { i } ^ { ( x ) } } { \sqrt { \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { x } } \Delta { a _ { i } ^ { ( x ) } } ^ { 2 } } \sqrt { \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { x } } \Delta { b _ { i } ^ { ( x ) } } ^ { 2 } } } .
\begin{array} { l l l } { { s ^ { z } } } & { { = } } & { { \sqrt { \frac { 4 \pi } { 3 } } y _ { 1 0 } } } \\ { { { \frac { 1 } { \sqrt 2 } } s ^ { R } } } & { { = } } & { { - { \frac { \sqrt 4 \pi } { 3 } } y _ { 1 1 } } } \end{array}
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \overline { { \epsilon } } _ { r } \! \! = \! \! \{ 1 . 8 , 1 . 7 , 3 . 1 2 , 4 . 8 6 , 4 . 5 9 \} \! \! \!