harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\ln { \frac { M _ { I } } { M _ { Z } } } = \frac { 5 \pi } { 1 4 } ( \alpha _ { 1 } ^ { - 1 } - \alpha _ { 2 } ^ { - 1 } ) + \frac { 2 \pi } { 3 } \left( \alpha _ { 3 } ^ { - 1 } - \frac { 1 2 } { 7 } \alpha _ { 2 } ^ { - 1 } + \frac { 5 } { 7 } \alpha _ { 1 } ^ { - 1 } \right) \sim ( 3 2 . 5 ~ - ~ 3 3 . 5 ) ,
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d \alpha } \ln ( 2 ) f ( \alpha ) = } & { \left( 1 \! - \! \frac { p } { q } \right) \frac { 1 \! + \! \alpha } { 1 \! - \! \alpha } \frac { - ( 1 \! + \! \alpha ) \! - \! ( 1 \! - \! \alpha ) } { ( 1 + \alpha ) ^ { 2 } } \! + \! \frac { 2 ( q - p ) ^ { 2 } } { 1 \! + \! ( q \! - \! p ) ^ { 2 } \alpha } } \\ { = } & { - 2 \frac { 1 } { q } \frac { q - p } { 1 - \alpha ^ { 2 } } + 2 \frac { ( q - p ) ^ { 2 } } { 1 + ( q - p ) ^ { 2 } \alpha } } \\ { = } & { 2 ( q - p ) \left( - \frac { 1 } { q } \frac { 1 } { 1 - \alpha ^ { 2 } } + \frac { q - p } { 1 + ( q - p ) ^ { 2 } \alpha } \right) } \\ { \le } & { - 2 ( q - p ) \left( 1 + \frac { p } { q } - q + p \right) = - 2 p ( q - p ) \left( 2 + \frac { 1 } { q } \right) < 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { \mathrm { ~ L ~ A ~ } } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ( t ) } & { { } = p _ { \mathrm { ~ V ~ E ~ N ~ } } ^ { \mathrm { ~ P ~ U ~ L ~ } } ( t ) - R _ { \mathrm { ~ V ~ E ~ N ~ } } ^ { \mathrm { ~ P ~ U ~ L ~ } } Q _ { \mathrm { ~ V ~ E ~ N ~ } } ^ { \mathrm { ~ P ~ U ~ L ~ } } ( t ) - L _ { \mathrm { ~ V ~ E ~ N ~ } } ^ { \mathrm { ~ P ~ U ~ L ~ } } \frac { \mathrm d Q _ { \mathrm { ~ V ~ E ~ N ~ } } ^ { \mathrm { ~ P ~ U ~ L ~ , ~ 3 ~ D ~ } } ( t ) } { \mathrm d t } , } \\ { p _ { \mathrm { ~ R ~ A ~ } } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ } } ( t ) } & { { } = p _ { \mathrm { ~ V ~ E ~ N ~ } } ^ { \mathrm { ~ S ~ Y ~ S ~ } } ( t ) - R _ { \mathrm { ~ V ~ E ~ N ~ } } ^ { \mathrm { ~ S ~ Y ~ S ~ } } Q _ { \mathrm { ~ V ~ E ~ N ~ } } ^ { \mathrm { ~ S ~ Y ~ S ~ } } ( t ) - L _ { \mathrm { ~ V ~ E ~ N ~ } } ^ { \mathrm { ~ S ~ Y ~ S ~ } } \frac { \mathrm d Q _ { \mathrm { ~ V ~ E ~ N ~ } } ^ { \mathrm { ~ S ~ Y ~ S ~ , ~ 3 ~ D ~ } } ( t ) } { \mathrm d t } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigl ( ( 1 _ { g } * r _ { f } ) a \bigr ) * 1 _ { 1 _ { X } } } & { = \bigl ( ( 1 _ { g } * r _ { f } ) a \bigr ) * \bigl ( 1 _ { 1 _ { X } } 1 _ { 1 _ { X } } \bigr ) } \\ & { = \bigl ( ( 1 _ { g } * r _ { f } ) * 1 _ { 1 _ { X } } \bigr ) \bigl ( a * 1 _ { 1 _ { X } } \bigr ) } \\ & { = r _ { g f } * 1 _ { 1 _ { X } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \partial _ { t } \xi _ { n } ^ { \nu } + u ^ { \nu } \cdot \nabla \xi _ { n } ^ { \nu } = \nu \Delta \xi _ { n } ^ { \nu } + \frac { 3 \nu } { r } \partial _ { r } \xi _ { n } ^ { \nu } + g ^ { \nu } \ast \psi _ { n } , } \\ { \xi _ { n } ^ { \nu } ( 0 , \cdot ) = \xi _ { 0 } ^ { \nu } * \psi _ { n } , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \sigma _ { n } ^ { \alpha } ( \infty ) = c _ { 0 } \gamma ^ { \alpha } \Big | \int _ { 0 } ^ { \infty } H _ { n } ( t - s ) e ^ { - \gamma s } \mathrm { d } s \Big | ^ { \alpha } + \sigma ^ { \alpha } \int _ { 0 } ^ { \infty } \big | H _ { n } ( s ) - \int _ { 0 } ^ { s } H _ { n } ( u ) \gamma e ^ { - \gamma ( s - u ) } \mathrm { d } u \big | ^ { \alpha } \mathrm { d } s . } \end{array}
\tilde { \rho } _ { 2 } ^ { \mathrm { e f f } } ( n , T ) = \frac { 3 2 4 0 5 . 4 } { \sigma ( n , T ) [ \Omega \mathrm { m } ] } T _ { \mathrm { e V } } ^ { 3 / 2 } - \tilde { \rho } _ { 1 } ( T ) \, \, \ln \left( \frac { \Theta } { \Gamma } \right) ,
\begin{array} { r l r } { \mathcal { D } } & { = } & { \left\{ ( X , Y ) \in \mathbb { R } ^ { 2 } \: \left| \: \exists t \in \mathbb { R } \mathrm { ~ s . t . ~ } F ( X , Y , t ) = \frac { \partial F } { \partial t } ( X , Y , t ) = 0 \right. \right\} } \\ { } & { = } & { \left\{ ( X , Y ) \in \mathbb { R } ^ { 2 } \: \left| \: \exists t \in \mathbb { R } \mathrm { ~ s . t . ~ } - 3 t ^ { 2 } X + Y + 2 t ^ { 3 } = - 6 t ( X - t ) = 0 \right. \right\} } \\ { } & { = } & { \left\{ ( X , Y ) \in \mathbb { R } ^ { 2 } \: \left| \: Y = 0 \mathrm { ~ o r ~ } Y = X ^ { 3 } \right. \right\} } \\ { } & { \supsetneqq } & { \mathcal { C } . } \end{array}
\hat { J } _ { * } ( 0 ) \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { d \hat { \omega } } { 2 \pi } \, \frac { \cos ( \hat { y } \hat { \omega } / p ^ { z _ { * } } ) - 1 } { \hat { \omega } ^ { 2 } } = - \frac { \hat { J } _ { * } ( 0 ) } { 2 } \left| \frac { \hat { y } } { \hat { p } ^ { z _ { * } } } \right| \, .
\begin{array} { r l } { V _ { \mathrm { e f f } } ( q ) } & { = V ( q _ { \mathrm { r e f } } ) + V ^ { \prime } ( q _ { \mathrm { r e f } } ) ^ { T } \cdot ( q - q _ { \mathrm { r e f } } ) } \\ & { ~ ~ ~ + ( q - q _ { \mathrm { r e f } } ) ^ { T } \cdot V ^ { \prime \prime } ( q _ { \mathrm { r e f } } ) \cdot ( q - q _ { \mathrm { r e f } } ) / 2 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega _ { V } } & { { } = v _ { 1 } \left( d x ^ { 2 } \wedge \cdots \wedge d x ^ { n } \right) - v _ { 2 } \left( d x ^ { 1 } \wedge d x ^ { 3 } \wedge \cdots \wedge d x ^ { n } \right) + \cdots + ( - 1 ) ^ { n - 1 } v _ { n } \left( d x ^ { 1 } \wedge \cdots \wedge d x ^ { n - 1 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \lambda q = - \displaystyle \frac { 1 } { 2 } \Delta _ { x } q + k \cdot \nabla _ { x } p + \gamma \sigma _ { 1 } \star \left( \displaystyle \int _ { \mathbb R ^ { n } } ( - \Delta ) ^ { - 1 / 2 } \sigma _ { 2 } \phi \, { \mathrm { d } } z \right) , } \\ & { \lambda p = - \displaystyle \frac 1 2 \Delta _ { x } p - k \cdot \nabla _ { x } q , } \\ & { \lambda \phi = \displaystyle \frac 1 2 \phi + \gamma ( - \Delta ) ^ { - 1 / 2 } \sigma _ { 2 } \sigma _ { 1 } \star q , } \\ & { \lambda \pi = \displaystyle \frac 1 2 \pi . } \end{array}
\widetilde { \Pi } ^ { i j } = - \frac { 1 } { \rho _ { 0 } } \left\langle { \tilde { p } \left( { \frac { \partial \tilde { u } ^ { i } } { \partial x ^ { j } } + \frac { \partial \tilde { u } ^ { j } } { \partial x ^ { i } } } \right) } \right\rangle ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { G } ( \tau ) } & { { } = - \langle T _ { \tau } \hat { c } ( \tau ) \, \hat { c } ^ { \dagger } ( 0 ) \rangle , } \\ { G ^ { \mathrm { R } } ( t ) } & { { } = - i \theta ( t ) \langle \{ \hat { c } ( t ) , \hat { c } ^ { \dagger } ( 0 ) \} \rangle . } \end{array}
\langle d ^ { * } \rangle = \frac { N _ { s } \left( d _ { s } ^ { * } \right) ^ { 3 } + N _ { l } \left( d _ { l } ^ { * } \right) ^ { 3 } } { N _ { s } \left( d _ { s } ^ { * } \right) ^ { 2 } + N _ { l } \left( d _ { l } ^ { * } \right) ^ { 2 } }
\begin{array} { r l r } { \mathcal { Q } _ { T } } & { = } & { { 2 } \left( \left\| q _ { \mathrm { o n } } \right\| _ { \L { \infty } ( [ 0 , T ] ) } + \left\| q _ { \mathrm { o f f } } \right\| _ { \L { \infty } ( [ 0 , T ] ) } \right) } \\ { \mathcal { H } } & { = } & { 2 \left\| q _ { \mathrm { o n } } \right\| _ { \L { \infty } ( [ 0 , T ] ) } + \left\| q _ { \mathrm { o f f } } \right\| _ { \L { \infty } ( [ 0 , T ] ) } + \omega _ { \eta } ( 0 ) \mathcal { L } } \\ { \mathcal { L } } & { = } & { \left( \| v \| _ { \L { \infty } ( [ 0 , 1 ] ) } + \| v ^ { \prime } \| _ { \L { \infty } ( [ 0 , 1 ] ) } \right) . } \end{array}
{ { \cal E } } ^ { ( A ) } = { \frac { r ^ { 2 } \rho } { 4 \pi { \alpha ^ { \prime } } ^ { 2 } } } + 2 s \log \vert \theta _ { 3 } \vert + 2 t \log \vert \theta _ { 4 } \vert + 2 u \log \vert \theta _ { 2 } \vert \ ,
\begin{array} { r l } { C _ { P _ { j } } ( t ) } & { = \frac { 1 } { ( 2 \pi \hbar ) ^ { N } } \int d { \bf R } _ { 0 } \int d { \bf P } _ { 0 } \int d { \bf x } _ { 0 } \int d { \bf p } _ { 0 } } \\ & { \times \left[ \hat { \rho } _ { n } \right] _ { \mathcal { W } } ( { \bf R } _ { 0 } , { \bf P } _ { 0 } ) \left[ \hat { \rho } _ { e } \right] _ { M } ( { \bf x } _ { 0 } , { \bf p } _ { 0 } ) P _ { M } ^ { j } \left( { \bf x } _ { t } , { \bf p } _ { t } \right) , } \end{array}
\mathbf { j } _ { \Gamma } ( \mathbf { r } ) = - \frac { 1 } { m } \mathbf { j } _ { \Gamma } ^ { \mathrm { p } } ( \mathbf { r } ) - \mathbf { j } _ { \Gamma } ^ { \mathrm { m } } ( \mathbf { r } ) - \mathbf { j } _ { \Gamma } ^ { \mathrm { d m } } ( \mathbf { r } ) ,
\Omega _ { n + 1 } { \tilde { H } } _ { n + 1 } = { \left[ \begin{array} { l l } { R _ { n } } & { r _ { n + 1 } } \\ { 0 } & { r _ { n + 1 , n + 1 } } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } \quad { \mathrm { w i t h } } \quad r _ { n + 1 , n + 1 } = { \sqrt { \rho ^ { 2 } + \sigma ^ { 2 } } }
\begin{array} { r c l } { { \displaystyle C _ { 1 } ( e \alpha ; k j ) } } & { { = } } & { { 2 u _ { e } d _ { k } d _ { j } ( \eta _ { \alpha } - \delta _ { \alpha } ) , } } \\ { { \displaystyle C _ { 2 } ( e \alpha ; k j ) } } & { { = } } & { { - 2 u _ { e } ( \eta _ { \alpha } + \delta _ { \alpha } ) , } } \\ { { \displaystyle C _ { 3 } ( e \alpha ; k j ) } } & { { = } } & { { 2 u _ { e } d _ { k } [ \eta _ { \alpha } ( d _ { k } + d _ { j } ) + \delta _ { \alpha } ( d _ { k } - d _ { j } ) ] , } } \\ { { \displaystyle C _ { 4 } ( e \alpha ; k j ) } } & { { = } } & { { - 2 u _ { e } ( C _ { \alpha k } - C _ { \alpha k } ^ { \prime } ) ( C _ { \alpha j } - C _ { \alpha j } ^ { \prime } ) , } } \\ { { \displaystyle C _ { 5 } ( e \alpha ; k j ) } } & { { = } } & { { 2 [ \eta _ { \alpha } ( u _ { e } ^ { 2 } - d _ { k } d _ { j } ) + \delta _ { \alpha } ( u _ { e } ^ { 2 } + d _ { k } d _ { j } ) ] . } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { \partial v } { \partial \tau } + \frac { 1 } { \tau _ { L } } \frac { \partial v } { \partial \zeta } = d _ { x } \frac { \partial ^ { 2 } v } { \partial \zeta ^ { 2 } } - a _ { x } v ( 1 - x - y ) ^ { 2 } ( 1 - z ) ^ { 2 } , } \\ & { } & { \frac { \partial w } { \partial \tau } + \frac { 1 } { \tau _ { L } } \frac { \partial w } { \partial \zeta } = d _ { y } \frac { \partial ^ { 2 } w } { \partial \zeta ^ { 2 } } - a _ { y } \big [ p w ( 1 - x - y ) - \kappa _ { 3 } y \big ] , } \\ & { } & { \frac { \partial x } { \partial \tau } = j _ { x } ( x , y ) + v ( 1 - x - y ) ^ { 2 } ( 1 - z ) ^ { 2 } - \kappa _ { 4 } x y - \kappa _ { 5 } x ( 1 - z ) , } \\ & { } & { \frac { \partial y } { \partial \tau } = j _ { y } ( y , x ) + p w ( 1 - x - y ) - \kappa _ { 3 } y - \kappa _ { 4 } x y - \kappa _ { 6 } y z , } \\ & { } & { \frac { \partial z } { \partial \tau } = \kappa _ { 5 } x ( 1 - z ) - \kappa _ { 6 } y z , } \end{array}
W ( q ) = w _ { 0 } \left\{ \begin{array} { l l } { ( 3 - q ) ^ { 5 } - 6 ( 2 - q ) ^ { 5 } + 1 5 ( 1 - q ) ^ { 5 } , } & { 0 \le q < 1 } \\ { ( 3 - q ) ^ { 5 } - 6 ( 2 - q ) ^ { 5 } , } & { 1 \le q < 2 } \\ { ( 3 - q ) ^ { 5 } , } & { 2 \le q < 3 } \\ { 0 , } & { q \ge 3 } \end{array} \right.
E _ { \mathrm { b o s o n } } ( \tau ) = { \textstyle { \frac { 2 } { 3 } } } \sqrt { 2 \lambda } v ^ { 3 } \left( 1 - { \frac { \tau ^ { 2 } } { v ^ { 2 } } } \right) ^ { 3 / 2 } .
\begin{array} { r l } { \sum _ { i ^ { \prime } = 1 } ^ { k } \sum _ { i ^ { \prime \prime } = k + 1 } ^ { n } } & { \left| ( u _ { i _ { 1 } } \cdot \nabla _ { t } ) \cdots ( u _ { i _ { s } } \cdot \nabla _ { t } ) F ( t ) d _ { x } \pi | _ { ( x , \gamma _ { t } ( x ) ) } ( { \underline { { \omega _ { i ^ { \prime } } ^ { \prime } } } } _ { | k - s } , { \underline { { \omega _ { i ^ { \prime \prime } } ^ { \prime } } } } _ { | s } ) \right| ^ { 2 } } \\ & { \leq \sum _ { i ^ { \prime } = 1 } ^ { k } \sum _ { i ^ { \prime \prime } = k + 1 } ^ { n } \left| \mathop { \sum _ { | \beta | = s } } _ { \operatorname { g e n } ( \beta ) = s } 2 ^ { s } | T ^ { \beta } d _ { x } F ( t ) \pi | _ { ( x , \gamma _ { t } ( x ) ) } ( { \underline { { \omega _ { i ^ { \prime } } ^ { \prime } } } } _ { | k - s } , { \underline { { \omega _ { i ^ { \prime \prime } } ^ { \prime } } } } _ { | s } ) | \right| ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { A } & { { } = \frac { 2 \sqrt \gamma _ { 0 } \, } { \gamma _ { 0 } + \gamma _ { 1 } } \, B , \quad B _ { 1 } = \frac { \gamma _ { 0 } - \gamma _ { 1 } } { \gamma _ { o } + \gamma _ { 1 } } \, B , } \\ { C _ { 1 } } & { { } = \frac { 2 \sqrt { \gamma _ { 0 } \gamma _ { 1 } } } { \gamma _ { 1 } + \gamma _ { 0 } } \, B } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla \cdot \mathbf { A } } & { { } = \nabla \cdot \mathbf { A ^ { \prime } } = s } \\ { \nabla \times \mathbf { A } } & { { } = \nabla \times \mathbf { A ^ { \prime } } = \mathbf { c } } \end{array}
F _ { 2 r + 1 } ^ { M } ; \quad | n _ { 0 } , n _ { 1 } , \ldots , n _ { r } ; \bar { n } _ { 1 } , \ldots , \bar { n } _ { r } \rangle , \qquad n _ { 0 } + n _ { 1 } + \cdots + n _ { r } + \bar { n } _ { 1 } + \cdots + \bar { n } _ { r } = M ,
e ^ { s _ { 1 } } = e ^ { s _ { 4 } } { \frac { m _ { 1 } e ^ { s _ { 3 } } + m _ { 2 } e ^ { s _ { 4 } } } { m _ { 1 } e ^ { s _ { 4 } } + m _ { 2 } e ^ { s _ { 3 } } } }
{ i \frac { \partial } { \partial t } \left( \begin{array} { l } { \sqrt { D } ^ { T } { x } } \\ { i \dot { x } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { \sqrt { D } ^ { T } } \\ { \sqrt { D } } & { i A } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \sqrt { D } ^ { T } { x } } \\ { i \dot { x } } \end{array} \right) } ,
\begin{array} { r l } { P ^ { ( 1 ) } } & { = U _ { 2 } ^ { \dagger } P U _ { 2 } } \\ & { = \frac { 1 } { 6 } \left( \begin{array} { l l l } { e ^ { - i k } + e ^ { i k } + 2 } & { - \sqrt { 2 } e ^ { i k } + \frac { e ^ { - i k } } { \sqrt { 2 } } - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } & { \sqrt { \frac { 3 } { 2 } } + \sqrt { \frac { 3 } { 2 } } e ^ { - i k } } \\ { - \sqrt { 2 } e ^ { - i k } + \frac { e ^ { i k } } { \sqrt { 2 } } - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } } & { - e ^ { - i k } - e ^ { i k } + \frac { 5 } { 2 } } & { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } - \sqrt { 3 } e ^ { - i k } } \\ { \sqrt { \frac { 3 } { 2 } } + \sqrt { \frac { 3 } { 2 } } e ^ { i k } } & { \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } - \sqrt { 3 } e ^ { i k } } & { \frac { 3 } { 2 } } \end{array} \right) . } \end{array}
| r ^ { 2 - \frac { 2 } { p } } { \underline { { \mu } } } ^ { \dagger } | _ { p , S } \lesssim | r ^ { 2 - \frac { 2 } { p } } { \underline { { \mu } } } ^ { \dagger } | _ { p , S _ { * } } + \int _ { u _ { 0 } ( { \underline { { u } } } _ { * } ) } ^ { u } | r ^ { 1 - \frac { 2 } { p } } \sigma | _ { p , S } \lesssim \frac { \mathcal { I } _ { 0 } + \Delta _ { 0 } } { r | u | ^ { \frac { s - 3 } { 2 } } } .
t _ { x _ { 0 } } = \bigg | \frac { x _ { 0 } } { a ( b - x _ { 0 } ) } \bigg | ^ { \frac { 1 } { \gamma _ { s } } } = \bigg | \frac { x _ { 0 } } { \varepsilon _ { 1 } - x _ { 0 } ( \varepsilon _ { 1 } + \varepsilon _ { 2 } ) } \bigg | ^ { \frac { 1 } { \gamma _ { s } } } ,
\begin{array} { r l } { \mathtt { A } ( \xi ) } & { = C _ { 1 } \xi | \xi | ^ { \alpha - 1 } + m _ { \mathtt { A } , r } ( \xi ) , } \\ { | m _ { \mathtt { A } , r } ( \xi ) | } & { { \le } C _ { 2 } \left( \mathtt { M } ^ { 1 - \alpha } | \xi | ^ { \alpha } + \mathtt { M } | \xi | ^ { \alpha - 1 } \right) , } \\ { | m _ { \mathtt { A } , r } ( \xi _ { 1 } ) - m _ { \mathtt { A } , r } ( \xi _ { 2 } ) | } & { { \le } C _ { 2 } | \xi _ { 1 } - \xi _ { 2 } | ( \mathtt { M } ^ { 1 - \alpha } ( | \xi _ { 1 } | + | \xi _ { 2 } | ) ^ { \alpha - 1 } + \mathtt { M } ( | \xi _ { 1 } | + | \xi _ { 2 } | ) ^ { \alpha - 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { d i s t } \, ( \Phi _ { t } ( x ) ( \tau ) , W ) \leq } & { \| \Phi _ { t } ( x ) ( \tau ) - x _ { 0 } \| _ { X } } \\ { \leq } & { \| T ( \tau ) x _ { 0 } - x _ { 0 } \| _ { X } + \int _ { 0 } ^ { \tau } \| T ( \tau - s ) \| \| f ( x ( s ) , u ( s ) ) \| _ { X } d s } \\ { \leq } & { \| T ( \tau ) - I \| \| x _ { 0 } \| _ { X } + \int _ { 0 } ^ { \tau } \| T ( \tau - s ) \| \| f ( x ( s ) , u ( s ) ) \| _ { X } d s } \\ { \leq } & { \| T ( \tau ) - I \| C + \int _ { 0 } ^ { \tau } M e ^ { \lambda ( t - s ) } \big ( \| f ( 0 , u ( s ) ) \| _ { X } + \| f ( x ( s ) , u ( s ) ) - f ( 0 , u ( s ) ) \| _ { X } \big ) d s } \\ { \leq } & { \operatorname* { s u p } _ { \tau \in [ 0 , t ] } \| T ( \tau ) - I \| C + \int _ { 0 } ^ { t } M e ^ { \lambda ( t - s ) } \big ( \sigma ( \| u ( s ) \| _ { U } ) + L ( K ) \| x ( s ) \| _ { X } \big ) d s } \\ { \leq } & { \operatorname* { s u p } _ { \tau \in [ 0 , t ] } \| T ( \tau ) - I \| C + \frac { M } { \lambda } ( e ^ { \lambda t } - 1 ) \big ( \sigma ( C ) + L ( K ) K \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { b ( a z ) } & { = } & { ( \delta - ( \alpha - \beta ) ) a b + \frac { 1 } { 2 } \beta ( \alpha - \beta ) ( b + b c ) + ( \alpha - \beta ) b \sigma } \\ & { = } & { [ \beta \delta - \beta ( \alpha - \beta ) + \frac { 1 } { 2 } \beta ( \alpha - \beta ) P + \beta ( \alpha - \beta ) ^ { 2 } ] a } \\ & { + } & { [ \beta \delta - \beta ( \alpha - \beta ) + \frac { 1 } { 2 } \beta ( \alpha - \beta ) + ( \alpha - \beta ) \delta ^ { f } ] b } \\ & { + } & { [ \delta - ( \alpha - \beta ) + \frac { 1 } { 2 } ( \alpha - \beta ) P + ( \alpha - \beta ) ^ { 2 } ] \sigma . } \end{array}
{ \frac { 2 } { \pi } } = { \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } } \cdot { \frac { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 } } } } { 2 } } \cdot { \frac { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 + { \sqrt { 2 } } } } } } { 2 } } \cdot \; \cdots
\begin{array} { r l r l } { \vartheta _ { 0 0 } \! \left( { \frac { z } { \tau } } ; { \frac { - 1 } { \tau } } \right) } & { { } = \alpha \, \vartheta _ { 0 0 } ( z ; \tau ) \quad } & { \vartheta _ { 0 1 } \! \left( { \frac { z } { \tau } } ; { \frac { - 1 } { \tau } } \right) } & { { } = \alpha \, \vartheta _ { 1 0 } ( z ; \tau ) } \\ { \vartheta _ { 1 0 } \! \left( { \frac { z } { \tau } } ; { \frac { - 1 } { \tau } } \right) } & { { } = \alpha \, \vartheta _ { 0 1 } ( z ; \tau ) \quad } & { \vartheta _ { 1 1 } \! \left( { \frac { z } { \tau } } ; { \frac { - 1 } { \tau } } \right) } & { { } = - i \alpha \, \vartheta _ { 1 1 } ( z ; \tau ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \omega _ { t } ^ { ( m ) } - \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } ) \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { = \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } , \mathcal { B } _ { y } ) + ( 1 - c _ { \omega } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ( \omega _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } , y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } , \mathcal { B } _ { y } ) ) - \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } ) \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { = \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| ( 1 - c _ { \omega } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ( \omega _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } , y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } ) ) + \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } , \mathcal { B } _ { y } ) - \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } ) } \\ & { \qquad \qquad + ( 1 - c _ { \omega } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ( \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } , y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } ) - \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } , y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } , \mathcal { B } _ { y } ) ) \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { \overset { ( a ) } { \leq } ( 1 - c _ { \omega } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ^ { 2 } \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \omega _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } , y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } ) \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \\ & { \qquad + \frac { 1 } { b _ { y } ^ { 2 } } \sum _ { \xi _ { y } \in \mathcal { B } _ { y } } \mathbb { E } \bigg [ \bigg \| \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } , \xi _ { y } ) - \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t } ^ { ( m ) } , y _ { t } ^ { ( m ) } ) } \\ & { \qquad + ( 1 - c _ { \omega } \alpha _ { t - 1 } ^ { 2 } ) ( \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } , y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } ) - \nabla _ { y } g ^ { ( m ) } ( x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } , y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } , \xi _ { y } ) ) \bigg \| ^ { 2 } \bigg ] } \end{array}
\begin{array} { r } { \chi _ { \theta , \alpha } ^ { ( I ) } ( r ) : = P _ { \mathrm { a t } } ( \theta , \alpha ) \otimes \chi _ { 1 } ( r ) , \quad \overline { { \chi } } _ { \theta , \alpha } ^ { ( I ) } ( r ) : = \overline { { P } } _ { \mathrm { a t } } ( \theta , \alpha ) \otimes 1 + P _ { \mathrm { a t } } ( \theta , \alpha ) \otimes \overline { { \chi } } _ { 1 } ( r ) , } \end{array}
P _ { \mathrm { c u t \, s u r v i v a l } } = \frac { N _ { \mathrm { T U 1 } } ( ^ { 7 } \mathrm { B e } ) | _ { \mathrm { c u t } } } { N _ { \mathrm { T U 1 } } ( ^ { 7 } \mathrm { B e } ) | _ { \mathrm { f r e e \, r u n n i n g } } }
S _ { G } = \int d ^ { 3 } x \left[ - \epsilon \frac { 1 } { 2 } \left( D _ { \mu } Q ^ { A } D ^ { \mu } Q ^ { B } \eta _ { A B } \right) - W _ { G } ( Q ^ { A } ) - \kappa \epsilon ^ { \mu \nu \rho } \mathrm { T r } \left( \partial _ { \mu } A _ { \nu } A _ { \rho } + \frac { 2 } { 3 } A _ { \mu } A _ { \nu } A _ { \rho } \right) \right] ,
\begin{array} { r } { R _ { U U } ( \tau ) = g _ { \mathrm { ~ e ~ l ~ } } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } \langle \hat { S } _ { y , \mathrm { ~ i ~ n ~ } } \rangle ^ { 2 } \chi ^ { 2 } R _ { z z } ( \tau ) + \frac { 1 } { 2 } g _ { \mathrm { ~ e ~ l ~ } } ^ { 2 } \eta \cos ^ { 2 } \alpha \langle \hat { S } _ { 0 , \mathrm { ~ i ~ n ~ } } \rangle \delta ( \tau ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { C } & { = \sum _ { s _ { k } = 1 } ^ { I _ { k } } \langle h _ { < k } h _ { < k } ^ { \top } , U _ { k } \left[ s _ { k } , : \right] ^ { \top } U _ { k } \left[ s _ { k } , : \right] , G _ { > k } \rangle } \\ & { = \langle h _ { < k } h _ { < k } ^ { \top } , \sum _ { s _ { k } = 1 } ^ { I _ { k } } U _ { k } \left[ s _ { k } , : \right] ^ { \top } U _ { k } \left[ s _ { k } , : \right] , G _ { > k } \rangle } \\ & { = \langle h _ { < k } h _ { < k } ^ { \top } , G _ { k } , G _ { > k } \rangle . } \end{array}
Q _ { X } ^ { 2 } - M _ { X } ^ { 2 } = M _ { X } \Gamma _ { X } \tan \theta _ { X } , \quad \Longrightarrow \mathrm { d } Q _ { X } ^ { 2 } = \frac { ( Q _ { X } ^ { 2 } - M _ { X } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + \alpha _ { X } ^ { 2 } \Gamma _ { X } ^ { 2 } } { M _ { X } \Gamma _ { X } } \; \mathrm { d } \theta _ { X } , \quad X = B , C ,
r \equiv \frac { | T | } { \sqrt { \langle | P | ^ { 2 } \rangle } } \, , \quad \epsilon _ { \mathrm { C } } \equiv \frac { | P _ { \mathrm { e w } } ^ { \mathrm { C } } | } { \sqrt { \langle | P | ^ { 2 } \rangle } } \, ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial a } { \partial y } ( y , w ) } & { = \varepsilon + \nu _ { 1 } ( y , w ) a ( y , w ) , } \\ { \frac { \partial b } { \partial y } ( y , w ) } & { = \nu _ { 1 } ( y , w ) b ( y , w ) - \nu _ { 0 } ( y , w ) , } \\ { \frac { \partial c } { \partial y } ( y , w ) } & { = \nu _ { 1 } ( y , w ) c ( y , w ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \big ( \widetilde { \mathcal { S } } + 1 \big ) \big ( 1 + \widetilde { F } \big ) } & { = \frac 1 2 \mathcal { O M } ^ { \dagger } \mathcal { K } ^ { \dagger } \mathcal { K M O } ^ { \dagger } = \frac 1 2 \mathcal { O M } ^ { \dagger } \big ( 1 + F \big ) \mathcal { M } \mathcal { O } ^ { \dagger } = \mathcal { O M } ^ { \dagger } \mathcal { M O } ^ { \dagger } } \\ & { = \mathcal { O } \big ( 1 + R + R ^ { 2 } \big ) \mathcal { O } ^ { \dagger } \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { j } } & { : = 1 \wedge \sum _ { 1 \leq i \leq \frac { \varepsilon ^ { - 1 - \eta ^ { \prime } } } { \sqrt { j } } } \frac { \sqrt { \pi } \alpha _ { j } ( i / \varepsilon ) ^ { 3 \eta / 2 } } { 2 ( j - 1 ) \sqrt { i } } \leq 1 \wedge \frac { \mathrm { C s t } } { \sqrt { j } } \varepsilon ^ { - 3 \eta / 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { \frac { \varepsilon ^ { - 1 - \eta ^ { \prime } } } { \sqrt { j } } } i ^ { - 1 / 2 + 3 \eta / 2 } \leq 1 \wedge \mathrm { C s t } \cdot \left( \frac { \varepsilon ^ { - 1 / 2 } } { j ^ { 3 / 4 } } \right) ^ { 1 + \eta ^ { \prime \prime } } , } \end{array}
g _ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } , 2 } ( \theta , n ) = \left[ \kappa + ( - 1 ) ^ { n } - \frac { n } { 2 } \right] \cos \left( \frac { n } { 2 } \theta \right) + \frac { n } { 2 } \cos \left( \left( \frac { n } { 2 } - 2 \right) \theta \right)