harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ C ~ o ~ v ~ } ( E _ { \mathrm { ~ x ~ } } ^ { i } , E _ { \mathrm { ~ x ~ } } ^ { j } ) } & { { } \approx \left( \mathbf { \tilde { k } } ^ { i } \right) ^ { T } \mathbf { \widetilde { K } } ^ { - 1 } \mathbf { \tilde { k } } ^ { j } = K _ { i j } } \\ { \left( \mathbf { \widetilde { K } } \right) _ { a b } } & { { } = k _ { F _ { \mathrm { ~ x ~ } } } ( \mathbf { \tilde { x } } _ { a } , \mathbf { \tilde { x } } _ { b } ) } \\ { \left( \mathbf { \tilde { k } } ^ { i } \right) _ { a } } & { { } = \sum _ { g \in i } w _ { g } ^ { i } ( e _ { \mathrm { ~ x ~ } } ^ { \mathrm { ~ L ~ D ~ A ~ } } ) _ { g } ^ { i } k _ { F _ { \mathrm { ~ x ~ } } } ( \mathbf { x } _ { g } ^ { i } , \mathbf { \tilde { x } } _ { a } ) , } \end{array}
f ^ { - 1 } ( n ) = \sum _ { k = 1 } ^ { \Omega ( n ) } \left\{ \sum _ { { \lambda _ { 1 } + 2 \lambda _ { 2 } + \cdots + k \lambda _ { k } = n } \atop { \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } , \ldots , \lambda _ { k } | n } } { \frac { ( \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } + \cdots + \lambda _ { k } ) ! } { 1 ! 2 ! \cdots k ! } } ( - 1 ) ^ { k } f ( \lambda _ { 1 } ) f ( \lambda _ { 2 } ) ^ { 2 } \cdots f ( \lambda _ { k } ) ^ { k } \right\} .
\hat { \psi } _ { \sigma } ( \mathrm { \bf ~ r } ) | \mathrm { \bf ~ r } _ { 1 } \sigma _ { 1 } , \dots , \mathrm { \bf ~ r } _ { N } \sigma _ { N } \rangle = c o n s t _ { N } \sum _ { a = 1 } ^ { N } ( - 1 ) ^ { P _ { a } } \delta _ { \sigma \sigma _ { a } } \delta ( \mathrm { \bf ~ r } - \mathrm { \bf ~ r } _ { a } ) \prod _ { b \ne a } ^ { N } \hat { \psi } _ { \sigma _ { b } } ^ { + } ( \mathrm { \bf ~ r } _ { b } ) | 0 \rangle
{ \mathcal { F } _ { B } ^ { 0 0 } } = { \frac { 1 } { 2 } } \oint { d } \hat { s } ( \xi ) d \hat { s } ( \xi ^ { \prime } ) { \hat { H } _ { D } ^ { 0 0 } } ( \xi ) { \hat { G } _ { k } } ( \xi , \xi ^ { \prime } ) { \hat { H } _ { D } ^ { 0 0 } } ( \xi ^ { \prime } ) .
\begin{array} { r l } { { 4 } \tilde { u } _ { t } - ( \tilde { u } \tilde { v } ) _ { x } } & { = \tilde { u } _ { x x } + \alpha \tilde { v } _ { x } + \beta \tilde { u } _ { x } + \beta _ { x } \tilde { u } + \alpha \beta _ { x } - \alpha ^ { \prime } , } \\ { \tilde { v } _ { t } - \tilde { u } _ { x } } & { = \varepsilon \tilde { v } _ { x x } - 2 \varepsilon \tilde { v } \tilde { v } _ { x } - 2 \varepsilon \beta \tilde { v } _ { x } - 2 \varepsilon \tilde { v } \beta _ { x } - 2 \varepsilon \beta \beta _ { x } - \beta _ { t } , } \\ { ( \tilde { u } , \tilde { v } ) ( x , 0 ) } & { = ( u _ { 0 } ( x ) - \alpha ( 0 ) , v _ { 0 } ( x ) - \beta ( x , 0 ) ) , } \\ { \tilde { u } ( 0 , t ) } & { = \tilde { u } ( 1 , t ) = 0 , \ \ \ \tilde { v } ( 0 , t ) = \tilde { v } ( 1 , t ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { a , 0 } } & { = ( a - 1 ) J _ { a - 2 , 0 } + \mathbf { E } [ G ^ { a - 1 } 1 \{ G > 0 \} 1 ^ { \prime } \{ G \cos \theta + W \sin \theta > 0 \} ] \cos \theta } \\ & { = ( a - 1 ) J _ { a - 2 , 0 } + \mathbf { E } [ ( Z \cos \theta + Y \sin \theta ) ^ { a - 1 } 1 \{ Z \cos \theta + Y \sin \theta > 0 \} 1 ^ { \prime } \{ Z > 0 \} ] \cos \theta } \\ & { = ( a - 1 ) J _ { a - 2 , 0 } + \mathbf { E } [ ( 0 + Y \sin \theta ) ^ { a - 1 } 1 \{ 0 + Y \sin \theta > 0 \} ] \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \cos \theta } \\ & { = ( a - 1 ) J _ { a - 2 , 0 } + \frac { \sin ^ { a - 1 } \theta \cos \theta } { c _ { a \bmod 2 } } ( a - 2 ) ! ! , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { L } _ { v , N } ^ { 3 } : = \sum _ { \mathbf { j } \in \gimel _ { v , N } ^ { 3 } } 2 ^ { j _ { 1 } ( 1 - h _ { 1 } ) + \cdots + j _ { d } ( 1 - h _ { d } ) } \sum _ { \mathbf { k } \in \mathbb { Z } ^ { d } } \left| \varepsilon _ { \mathbf { j } , \mathbf { k } } \right| \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \left\{ \left| \mathcal { A } _ { \mathbf { j } , \mathbf { k } } ( t ) \right| \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { I } { \bf \ddot { R } } _ { I } = } & { - \frac { \partial } { \partial { \bf R } _ { I } } { \cal U } ^ { ( m ) } ( { \bf R } , n ^ { ( 0 ) } ) \Big \vert _ { n ^ { ( 0 ) } } , } \\ { { \ddot { n } } ^ { ( 0 ) } ( { \bf r } ) = } & { - \omega ^ { 2 } \int K ^ { ( 0 ) } ( { \bf r , r ^ { \prime } } ) \left( \rho _ { \mathrm { m i n } } [ n ^ { ( 0 ) } ] ( { \bf r ^ { \prime } } ) - n ^ { ( 0 ) } ( { \bf r ^ { \prime } } ) \right) d { \bf r ^ { \prime } } . } \end{array}
{ \cal A } = - \frac { 1 } { 4 } \int F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } - \int \bar { \psi } ( i \partial _ { \mu } \gamma ^ { \mu } - m ) \psi + \int \lambda _ { \mu } ( \partial _ { \nu } \mathrm { } ^ { * } \! F ^ { \mu \nu } + 4 \pi j ^ { \mu } ) ,
\vec { w } = \vec { v } ^ { \mathrm { p } } - \vec { v } ^ { \mathrm { s } } , \; \vec { u } = ( \eta ^ { \mathrm { p } } \vec { v } ^ { \mathrm { p } } + \eta ^ { \mathrm { s } } \vec { v } ^ { \mathrm { s } } ) / ( \eta ^ { \mathrm { p } } + \eta ^ { \mathrm { s } } )
| 1 _ { S } \rangle = { \frac { 1 } { 2 { \sqrt { 2 } } } } ( | 0 0 0 \rangle - | 1 1 1 \rangle ) \otimes ( | 0 0 0 \rangle - | 1 1 1 \rangle ) \otimes ( | 0 0 0 \rangle - | 1 1 1 \rangle )
E _ { \pm } ^ { 2 } = k ^ { 2 } + m ^ { 2 } \pm ( k ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } \, \bar { \theta } + ( k ^ { 2 } + m ^ { 2 } ) ^ { 2 } \, \frac { \bar { \theta } ^ { 2 } } { 2 } \, .
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial f } { \partial t } + \nabla \cdot \left( \mu v \hat { b } f \right) + \frac { \partial } { \partial \mu } \left( \frac { 1 - \mu ^ { 2 } } { 2 L } v f \right) } & { { } = } & { \frac { \partial } { \partial \mu } \left( D _ { \mu \mu } \frac { \partial f } { \partial \mu } \right) } \end{array}
P = \left[ \frac { \left| \left( \frac { U _ { 1 1 } ^ { * } ( 1 - U _ { 1 1 } ) } { | U _ { 1 2 } | ^ { 2 } } + 1 \right) U _ { 1 2 } \right| ^ { 2 } } { 1 - | U _ { 1 1 } | ^ { 2 } - | U _ { 1 2 } | ^ { 2 } } + \frac { | 1 - U _ { 1 1 } | ^ { 2 } } { | U _ { 1 2 } | ^ { 2 } } + 1 \right] ^ { - 1 }
\frac { \delta S _ { o u t } } { S _ { B H } } = [ \frac { 1 } { E _ { 1 } } + \frac { 1 } { E _ { 5 } } + \frac { 1 } { E _ { K } } ] ^ { 1 / 2 } \Delta E _ { m a x } ^ { 1 / 2 } ,
\begin{array} { r l } { \alpha _ { i j \ell } + \alpha _ { j i \ell } } & { \leq \delta _ { 2 , \ell } ( i , j ) , \quad ( i , j ) \in I _ { 2 , \ell } , \quad \ell \in [ \tau ] , } \\ { \alpha _ { i j \ell } + \alpha _ { j k \ell } + \alpha _ { k i \ell } } & { \leq \delta _ { 3 , \ell } ( i , j , k ) , \quad ( i , j , k ) \in I _ { 3 , \ell } , \quad \ell \in [ \tau ] , } \end{array}
E _ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } ( t ) + F _ { \mathrm { ~ p ~ } } \mathrm { ~ e ~ } ^ { - \mathrm { ~ i ~ } \Delta _ { \mathrm { ~ p ~ } } t } + F _ { \mathrm { ~ l ~ } } = \sqrt { 2 \kappa _ { 1 } } a _ { 1 } ,
\begin{array} { r } { \bigl ( [ ( L _ { 1 } , \dots , L _ { m } ) , \sigma ] , \ ( f _ { 1 } , \dots , f _ { m } ) , \ t \bigr ) \longmapsto } \\ { ( q \circ e v _ { n } ) \Bigl ( \bigl ( L _ { \sigma ( 1 ) } ^ { \circ } \, \widehat { \cdot } \ ( H ( - , t ) \circ f _ { \sigma ( 1 ) } ) \bigr ) \ \circ \ \dots \ \circ } \\ { b i g l ( L _ { \sigma ( m ) } ^ { \circ } \, \widehat { \cdot } \ ( H ( - , t ) \circ f _ { \sigma ( m ) } ) \bigr ) \Bigr ) } \end{array}
\left| \mathbb { E } \left( \widehat { \Phi } _ { \eta , t } \right) - \widehat { \rho } _ { 1 , \eta } \right| \leq \frac { 1 } { \eta t } \left| \mathbb { E } \left[ \widehat { R } _ { \eta , k } \left( X _ { 0 } ^ { \eta } \right) - \widehat { R } _ { \eta , k } \left( X _ { t } ^ { \eta } \right) \right] \right| + \eta ^ { k } \mathcal { M } _ { k } .
\begin{array} { r l } { \beta _ { n } - \alpha _ { n } ^ { 2 } } & { = \frac { b ^ { 2 } \beta _ { n + 1 } } { 1 + d ^ { 2 } \beta _ { n + 1 } } - \alpha _ { n + 1 } ^ { 2 } \frac { b ^ { 2 } } { ( 1 + d ^ { 2 } \beta _ { n + 1 } ) ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { b ^ { 2 } } { ( 1 + d ^ { 2 } \beta _ { n + 1 } ) ^ { 2 } } \Big ( \beta _ { n + 1 } ( 1 + d ^ { 2 } \beta _ { n + 1 } ) - \alpha _ { n + 1 } ^ { 2 } \Big ) > 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I = } & { { } \frac { 1 } { 1 + e ^ { ( E _ { g } - \hbar \omega ) / \sigma } } + \frac { b } { 2 } \int _ { 0 } ^ { + \infty } d x \frac { 1 } { \sqrt { x ^ { 3 } } } \times } \end{array}
\langle { \cal O } _ { e } { \cal O } _ { e } \cdots { \cal O } _ { e } \rangle = ( c o n s t . ) \frac { 1 } { W _ { 0 } ( z ) ^ { 2 } } \frac { 1 } { 1 - z } ( \frac { d } { d t } \log z ) ^ { N - 2 }
\check { \gamma } _ { 0 } ^ { n , m } : = \frac { 1 } { n m } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { m } \delta _ { ( Z _ { i j } , \tilde { Z } _ { i j } , \omega _ { i j } , \varrho _ { i j } ) } , \quad \check { \sigma } _ { 0 } ^ { n , m } : = \frac { 1 } { n m } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { m } \delta _ { ( \vartheta _ { i j } , \alpha _ { i j } , \beta _ { i j } ) } .
\begin{array} { r l } { \dot { o } _ { i } ( t ) } & { { } = \sum _ { j \in \mathcal { N } _ { i } } a _ { i j } ( o _ { j } ( t ) - o _ { i } ( t ) ) + a _ { i j } ( x _ { j } ( t ) - o _ { i } ( t ) ) , } \\ { \dot { s } _ { i } ( t ) } & { { } = \delta _ { i } v _ { i } ( t ) - s _ { i } ( t ) \sum _ { j \in \mathcal { N } _ { i } } [ \beta _ { i j } x _ { j } ( t ) + \eta _ { i j } ( t ) v _ { j } ( t ) ] + \omega _ { i } r _ { i } ( t ) , } \\ { \dot { x } _ { i } ( t ) } & { { } = s _ { i } ( t ) \sum _ { j \in \mathcal { N } _ { i } } \beta _ { i j } x _ { j } ( t ) - \gamma _ { i } x _ { i } ( t ) , } \\ { \dot { r } _ { i } ( t ) } & { { } = \gamma _ { i } x _ { i } ( t ) - \omega _ { i } r _ { i } ( t ) - r _ { i } ( t ) \sum _ { j \in \mathcal { N } _ { i } } \eta _ { i j } ( t ) v _ { j } ( t ) , } \\ { \dot { v } _ { i } ( t ) } & { { } = ( s _ { i } ( t ) + r _ { i } ( t ) ) \sum _ { j \in \mathcal { N } _ { i } } \eta _ { i j } ( t ) v _ { j } ( t ) - \delta _ { i } v _ { i } ( t ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { P } = \left( \sum _ { A = 1 } ^ { N _ { \mathrm { f r a g } } } \sum _ { p ^ { \prime } \in \mathbb { C } ^ { ( A ) } } \langle a _ { p ^ { \prime } } ^ { ( A ) \dagger } a _ { p ^ { \prime } } ^ { ( A ) } \rangle _ { A } \right) - N _ { e } } \end{array}
\langle \mathcal { A } ^ { \prime } ( t _ { * } ^ { 1 } ) u ^ { 1 } , \Theta _ { \alpha } v ^ { 1 } \rangle = \langle ( \mathcal { A } ^ { \prime } ( t _ { * } ^ { 1 } ) + \alpha I ) u ^ { 1 } , v ^ { 1 } \rangle \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ l ~ l ~ } \quad u ^ { 1 } , v ^ { 1 } \in \mathbb { V } ^ { 1 } .
\begin{array} { r l } & { \mathrm { d } _ { G H \bullet \bullet } ( ( V ( \mathcal { U } _ { L } ) , d _ { L } , \Theta _ { L } ^ { \prime } ( 0 ) , \Theta _ { L } ^ { \prime } ( n _ { L } ) ) , ( \mathbb { U } , D _ { \star } , \Pi _ { \star } ( 0 ) , \Pi _ { \star } ( \xi ) ) ) } \\ & { \qquad \leq \mathrm { d } _ { G H \bullet \bullet } ( ( V ( \mathcal { U } _ { L } ) , d _ { L } , \Theta _ { L } ^ { \prime } ( 0 ) , \Theta _ { L } ^ { \prime } ( n _ { L } ) ) , ( \mathcal { V } _ { L , \delta } , d _ { L } , z _ { L , \delta } , z _ { L , \delta } ^ { \prime } ) ) } \\ & { \qquad + \mathrm { d } _ { G H \bullet \bullet } ( ( \mathcal { V } _ { L , \delta } , d _ { L } , z _ { L , \delta } , z _ { L , \delta } ^ { \prime } ) , ( U _ { ( \delta ) } , d _ { \infty } , z _ { \delta } , z _ { \delta } ^ { \prime } ) ) } \\ & { \qquad + \mathrm { d } _ { G H \bullet \bullet } ( ( U _ { ( \delta ) } , d _ { \infty } , z _ { \delta } , z _ { \delta } ^ { \prime } ) , ( \mathbb { U } , D _ { \star } , \Pi _ { \star } ( 0 ) , \Pi _ { \star } ( \xi ) ) ) , } \end{array}
\bar { \theta } _ { L } ^ { ( 1 ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 \, \, { : } } & { \bar { x } = 0 } \\ { 0 \, \, { : } } & { \bar { x } = 1 } \end{array} \right. \quad \mathrm { a n d } \quad \theta _ { L } ^ { ( 1 ) } ( \bar { x } , \bar { t } = 0 ) = 0
\begin{array} { r l } { \Xi _ { I } } & { : = \{ ( \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } ) \in { \mathbb Z } _ { > 0 } ^ { 2 } \mid \lambda _ { 1 } > \lambda _ { 2 } \} , } \\ { \Xi _ { I I } } & { : = \{ ( \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } ) \in { \mathbb Z } _ { > 0 } \times { \mathbb Z } _ { < 0 } \mid \lambda _ { 1 } > - \lambda _ { 2 } \} , } \\ { \Xi _ { I I I } } & { : = \{ ( \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } ) \in { \mathbb Z } _ { > 0 } \times { \mathbb Z } _ { < 0 } \mid \lambda _ { 1 } < - \lambda _ { 2 } \} , } \\ { \Xi _ { I V } } & { : = \{ ( \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } ) \in { \mathbb Z } _ { < 0 } ^ { 2 } \mid \lambda _ { 1 } > \lambda _ { 2 } \} . } \end{array}
\mathbf { E } _ { \ell } = \sum _ { \nu = - \infty } ^ { \infty } \frac { i ^ { \nu } } { k _ { \ell } } \left[ c _ { \ell \nu } \mathbf { N } _ { e \nu k _ { \ell } } ^ { ( \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ w ~ a ~ r ~ d ~ } ) } + d _ { \ell \nu } \mathbf { N } _ { e \nu k _ { \ell } } ^ { ( \mathrm { ~ i ~ n ~ w ~ a ~ r ~ d ~ } ) } \right]
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { 1 } } & { \int _ { \Sigma _ { \tau } \cap \{ r \leq R _ { + } \} } ( r - 1 ) ^ { - 1 } ( ( r - 1 ) ^ { 2 } | X \uppsi _ { m } ^ { \mathrm { c o n v } } | + | m | ( r - 1 ) | \uppsi _ { m } ^ { \mathrm { c o n v } } | ) | F _ { \xi } | \, d \sigma d r d \tau } \\ { \leq } & { \: \eta \int _ { 0 } ^ { 2 } \int _ { \Sigma _ { \tau } \cap \{ r \leq R _ { + } \} } ( r - 1 ) ^ { - 1 + \epsilon } m ^ { 2 } | \psi _ { m } | ^ { 2 } + ( r - 1 ) ^ { 1 + \epsilon } | X \psi _ { m } | ^ { 2 } \, d \sigma d r d \tau } \\ { + } & { \: \eta \int _ { 0 } ^ { \infty } \int _ { \Sigma _ { \tau } \cap \{ r \leq R _ { + } \} } ( r - 1 ) ^ { 1 + \epsilon } m ^ { 4 } | \psi _ { m } | ^ { 2 } + ( r - 1 ) ^ { 3 + \epsilon } | X \psi _ { m } | ^ { 2 } \, d \sigma d r d \tau } \\ { + } & { \: \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { \Sigma _ { \tau } \cap \{ r \leq R _ { + } \} } C \eta ^ { - 1 } ( r - 1 ) ^ { 1 - \epsilon } | F _ { \xi } | ^ { 2 } \, d \sigma d r d \tau . } \end{array}
\tilde { c } _ { p _ { 1 } } = \tilde { c } - i \tilde { \beta } _ { 1 } / k , \quad \tilde { c } _ { p _ { 2 } } = - \tilde { c } - i \tilde { \beta } _ { 1 } / k \quad \tilde { c } _ { p _ { 3 } } = - i \tilde { \beta } _ { 2 } / k ,
\epsilon _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ } } = \epsilon _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ 0 ~ } } + \epsilon _ { \mathrm { ~ M ~ E ~ } } + \mathcal { O } \bigg ( ( r _ { 2 } \mu _ { 0 } \omega _ { 0 } \alpha _ { 0 } ) ^ { 4 } + \Big ( \frac { r _ { 2 } \omega _ { 0 } } { c _ { 3 } } \Big ) ^ { 4 } \bigg ) ,
\begin{array} { r l } { \lambda _ { h } } & { { } = \frac { 1 } { 1 + \gamma _ { h } \frac { { \nu } _ { e i } } { { \nu } _ { e H } } } \frac { 1 5 } { 2 \pi } \frac { n _ { h } k _ { B } ^ { 2 } T _ { h } } { \sum _ { g } m _ { h g } { \nu } _ { h g } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } [ V _ { d } ( \hat { x } ^ { k ^ { \ast } } , x ^ { k ^ { \ast } } ) ] \leq \frac { 1 } { \rho ( \rho - 2 \lambda - \kappa ) } \Big [ \frac { \eta ( \rho + 4 \lambda ) D } { K } + \frac { \sqrt { \eta } D } { \sqrt { K } \alpha } + \frac { 2 \sqrt { \eta } \rho L _ { f } \alpha } { \sqrt { K } } + \frac { 6 \eta ^ { 2 } \rho \lambda ( L _ { f } + L _ { \omega } ) ^ { 2 } m ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } } { K ^ { 1 / \beta } } \Big ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { E \left[ X ( T ) Y ( T ) - X ( t ) Y ( t ) | \mathcal { F } _ { t } \right] } \\ & { = E \biggl [ \int _ { t } ^ { T } \biggl \{ \bar { b } ( s - \delta , \alpha ( s - \delta ) ) Y ( s ) X ( s ) - \bar { b } ( s , \alpha ( s ) ) E [ Y ( s + \delta ) | \mathcal { F } _ { s } ] X ( s ) } \\ & { \quad + \bar { \sigma } ( s - \delta , \alpha ( s - \delta ) ) Z ( s ) X ( s - \delta ) - \bar { \sigma } ( s , \alpha ( s ) ) E [ Z ( s + \delta ) | \mathcal { F } _ { s } ] X ( s ) } \\ & { \quad - l ( s , \alpha ( s ) ) X ( s ) - \int _ { \mathbb { R } _ { 0 } } \bar { \eta } ( s , \alpha ( s - ) , z ) E [ Q ( s + \delta , z ) | \mathcal { F } _ { s } ] X ( s - ) \nu ( d z ) } \\ & { \quad - \sum _ { j = 1 } ^ { D } \bar { \gamma } ^ { j } ( s , \alpha ( s - ) ) E [ V ^ { j } ( s + \delta ) | \mathcal { F } _ { s } ] X ( s - ) \lambda _ { j } ( s ) } \\ & { \quad + \int _ { \mathbb { R } _ { 0 } } \bar { \eta } ( s - \delta , \alpha ( ( s - \delta ) - ) , z ) ) Q ( s , z ) X ( ( s - \delta ) - ) \nu ( d z ) } \\ & { \quad + \sum _ { j = 1 } ^ { D } \bar { \gamma } ^ { j } ( s - \delta , \alpha ( ( s - \delta ) - ) ) V ^ { j } ( s ) X ( ( s - \delta ) - ) \biggr \} d s | \mathcal { F } _ { t } \biggr ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \alpha _ { R / J _ { 1 } ^ { ( m i + 1 ) } ; y _ { 2 } ^ { \ell } , y _ { 3 } ^ { \ell } , y _ { 4 } , \ldots , y _ { d } ; p ^ { e } ; s p ^ { e } } } & { ( \zeta ) } \\ & { = c r ^ { p ^ { e } } ( y _ { 2 } y _ { 3 } ) ^ { ( \ell - 1 ) p ^ { e } } ( y _ { 2 } ^ { \ell } y _ { 3 } ^ { \ell } y _ { 4 } \cdots y _ { d } ) ^ { ( s - 1 ) p ^ { e } } + ( y _ { 2 } ^ { \ell s p ^ { e } } , y _ { 3 } ^ { \ell s p ^ { e } } , y _ { 4 } ^ { s p ^ { e } } , \cdots , y _ { d } ^ { s p ^ { e } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \rho + \vec { \nabla } \cdot ( \rho \vec { V } ) = } & { { } \, \, 0 , } \\ { \rho \left( \partial _ { t } \vec { V } + ( \vec { V } \cdot \vec { \nabla } ) \vec { V } \right) = } & { { } - \vec { \nabla } P + \eta \nabla ^ { 2 } \vec { V } + \frac { \eta } { 3 } \vec { \nabla } ( \vec { \nabla } \cdot \vec { V } ) . } \end{array}
d j = \left( { \frac { \partial F _ { 1 } } { \partial x } } + { \frac { \partial F _ { 2 } } { \partial y } } + { \frac { \partial F _ { 3 } } { \partial z } } \right) d x \wedge d y \wedge d z = ( \nabla \cdot { \mathbf { F } } ) \rho
C [ { \cal J } _ { a } ^ { 0 } ] ( x , { \bf v } ) = 4 \pi \, g \int d ^ { 3 } x ^ { \prime } \, { d \Omega _ { { \bf v } ^ { \prime } } } \, d p \, d p ^ { \prime } \, d Q \, d Q ^ { \prime } \, p ^ { 2 } p ^ { 2 } \, Q _ { a } \, { K } ( { \bf x } , { \bf p } , Q ; { \bf x } ^ { \prime } , { \bf p ^ { \prime } } , Q ^ { \prime } ) \, \Delta f ( t , { \bf x } ^ { \prime } , { \bf p } ^ { \prime } , Q ^ { \prime } )
\begin{array} { r l r } { R } & { \geq } & { \frac { 1 } { 2 } L ^ { 2 } \beta _ { n } ^ { - 1 } e ^ { - | y _ { l - 1 } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) | L } ( x _ { l } ( \Gamma ) - x _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) } \\ & { } & { \times e ^ { - 6 L ^ { - 1 } } ( 1 - C _ { 4 } K _ { 0 } ^ { 3 } T ^ { 3 } r _ { s } ^ { - 1 \slash 1 0 } - 2 0 0 0 L e ^ { 2 L } T ^ { - 1 } ) _ { + } . } \end{array}
\kappa a \sin ^ { 2 } f ( f ^ { \prime } ) ^ { 2 } \ll \frac { 1 } { 4 } a \sin ^ { 2 } f , \; \; \; \kappa \frac { a ^ { 3 } \sin ^ { 4 } f } { r ^ { 2 } } \ll \frac { 1 } { 4 } a \sin ^ { 2 } f \ .
{ \cal S } _ { 1 } = \frac { 1 } { 4 \pi R ^ { 2 } } \left( \sum _ { i } \, ^ { \prime } \ln \left| E _ { \mathrm { w a l l } } ^ { 2 } ( i ) \right| - \sum _ { j } \ln E _ { f } ^ { 2 } ( j ) \right) \; ,
\begin{array} { r l } { 0 } & { { } = { \frac { \partial } { \partial \sigma } } \log { \Big ( } { \mathcal { L } } ( \mu , \sigma ) { \Big ) } = - { \frac { \, n \, } { \sigma } } + { \frac { 1 } { \sigma ^ { 3 } } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( \, x _ { i } - \mu \, ) ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { 3 , 1 } ( t _ { n } ) } & { = \Pi _ { \tau } \int _ { 0 } ^ { \tau } \big ( | \Pi _ { \tau } u ^ { \tau } ( t _ { n } + \vartheta ) | ^ { 2 } - | \Pi _ { \tau } u ^ { \tau } ( t _ { n } ) | ^ { 2 } \big ) \Pi _ { \tau } u ^ { \tau } ( t _ { n } ) d \vartheta } \\ & { = \Pi _ { \tau } \int _ { 0 } ^ { \tau } \big ( \Pi _ { \tau } ( u ^ { \tau } ( t _ { n } + \vartheta ) - u ^ { \tau } ( t _ { n } ) ) \big ) \cdot \big ( \Pi _ { \tau } u ^ { \tau } ( t _ { n } + \vartheta ) + \Pi _ { \tau } u ^ { \tau } ( t _ { n } ) \big ) \Pi _ { \tau } u ^ { \tau } ( t _ { n } ) d \vartheta , } \\ { \mathcal { E } _ { 3 , 2 } ( t _ { n } ) } & { = \tau \Pi _ { \tau } \Bigg ( \frac { e ^ { - i \tau | \Pi _ { \tau } u ^ { \tau } ( t _ { n } ) | ^ { 2 } } - 1 + i \tau | \Pi _ { \tau } u ^ { \tau } ( t _ { n } ) | ^ { 2 } } { i \tau } \Pi _ { \tau } u ^ { \tau } ( t _ { n } ) \Bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { l } { \displaystyle { \frac { 1 } { V } \! \int \! \delta c ( { \bf r } ; T , n , \overline { { c } } ) \, d { \bf r } = 0 , \qquad \overline { { c } } = \frac { 1 } { V } \! \int \! c ( { \bf r } ; T , n , \overline { { c } } ) \, d { \bf r } . } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { \big ( \frac { 4 } { 3 } \pi R ^ { 3 } \big ) ^ { 2 } } [ ( F _ { t } \otimes F _ { t ^ { \prime } } ) * k _ { x _ { 0 } } ^ { \mathrm { R } } ] \xrightarrow [ R \rightarrow 0 ] { \mathcal { C } _ { c } ( \mathbb { R } ^ { 3 } \times \mathbb { R } ^ { 3 } ) ^ { \prime } } k ( x _ { 0 } , x _ { 0 } ) \times ( \tau _ { x _ { 0 } } F _ { t } ) \otimes ( \tau _ { x _ { 0 } } F _ { t ^ { \prime } } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathbf { Z } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { R } \scriptscriptstyle \mathrm { E } } = \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { Z } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { R } \scriptscriptstyle \mathrm { O } } } & { \mathbf { Z } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { R } \scriptscriptstyle \mathrm { S } } } \end{array} \right] , \quad \mathbf { Z } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { E } \scriptscriptstyle \mathrm { T } } = \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { Z } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { O } \scriptscriptstyle \mathrm { T } } ^ { \mathrm { T } } } & { \mathbf { Z } _ { \scriptscriptstyle \mathrm { S } \scriptscriptstyle \mathrm { T } } ^ { \mathrm { T } } } \end{array} \right] ^ { \mathrm { T } } . } \end{array}
\mathrm { ~ t ~ y ~ p ~ e ~ - ~ I ~ I ~ : ~ } \left\{ \begin{array} { l l } { \tilde { \Lambda } _ { 1 } + \tilde { \Lambda } _ { 2 } + \tilde { \Lambda } _ { 3 } > 0 , } \\ { \tilde { \Lambda } _ { 1 } \tilde { \Lambda } _ { 2 } + \tilde { \Lambda } _ { 2 } \tilde { \Lambda } _ { 3 } + \tilde { \Lambda } _ { 1 } \tilde { \Lambda } _ { 3 } < 0 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \mathsf Z _ { 1 , d } ( t ) } & { = \overline { \zeta } _ { 1 } ^ { ( d ) } ( { \mathbb { L } } , { \mathbb { L } } ^ { d / 2 } t ) } \\ & { = 1 + { \mathbb { L } } ^ { d / 2 } t \prod _ { i = 0 } ^ { d - 1 } \overline { \zeta } _ { 1 } ^ { ( d ) } ( { \mathbb { L } } , { \mathbb { L } } ^ { i + d / 2 } t ) } \\ & { = 1 + { \mathbb { L } } ^ { d / 2 } t \prod _ { i = 0 } ^ { d - 1 } \mathsf Z _ { 1 , d } ( { \mathbb { L } } ^ { i } t ) . } \end{array}
\alpha ^ { n } \tilde { \Pi } ^ { ( 2 n ) } = \frac { 3 } { 4 } \left( \frac { \alpha } { \pi } \right) ^ { n } \frac { 1 } { ( n - 1 ) } \left[ \frac { 2 } { 3 } \ln \left( \frac { Q } { m } \right) \right] ^ { n - 1 }
T _ { n , 3 } = n \operatorname* { m a x } _ { b \in \mathcal { S } ^ { d - 1 } } \left( \frac 1 n \sum _ { j = 1 } ^ { n } ( b ^ { \top } U _ { j } ) ^ { 3 } \right) ^ { 2 } \quad \mathrm { a n d } \quad T _ { n , 4 } = n \operatorname* { m a x } _ { b \in \mathcal { S } ^ { d - 1 } } \left( \frac 1 n \sum _ { j = 1 } ^ { n } ( b ^ { \top } U _ { j } ) ^ { 4 } - \frac 3 { d ( d + 2 ) } \right) ^ { 2 } ,
\begin{array} { r } { \chi _ { \mathrm { ~ o ~ p ~ t ~ } } ^ { - 1 } [ \omega ] = - 2 \sum _ { c } \left( \tilde { g } _ { c } m ^ { * } C _ { q } ^ { c } [ \omega ] + \tilde { g } _ { c } m C _ { q } ^ { c } [ - \omega ] ^ { * } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r } { Y ( \tau ) = \left[ Y _ { 0 } + \frac { X _ { 0 } } { 1 - P } \right] \left[ \frac { X ( \tau ) } { X _ { 0 } } \right] ^ { \frac { 1 } { P - M ( 1 - P ) } } - \frac { X _ { 0 } } { 1 - P } \left[ \frac { X ( \tau ) } { X _ { 0 } } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Vert w , j \Vert _ { X } ( t ) } & { \le \frac 1 { 1 - 4 c } \sqrt { \sum _ { k } \lambda _ { k } \sum _ { l } ( 2 c ) ^ { \vert k - l \vert } \hat { w } ^ { 2 } ( l , 2 \xi ) } } \\ & { \le \frac 1 { 1 - 4 c } \sqrt { \sum _ { l } \lambda _ { l } \hat { w } ^ { 2 } ( l , 2 \xi ) \sum _ { k } ( 2 c \hat { \lambda } ) ^ { \vert k - l \vert } } } \\ & { \le \frac 1 { 1 - 4 c } \frac 1 { 1 - 2 c \hat { \lambda } } \Vert w , j \Vert _ { X } ( 2 \xi ) } \end{array}
\delta T \propto \int d ^ { 3 } k \frac { e ^ { - ( k _ { x } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } ) ( R _ { s } ^ { 2 } + R _ { p } ^ { 2 } ) } } { ( 1 + k _ { z } ^ { 2 } z _ { s } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \frac { 1 } { i \omega - ( { D _ { x } } { k _ { x } ^ { 2 } } + { D _ { y } } { k _ { y } ^ { 2 } } + { D _ { z } } { k _ { z } ^ { 2 } } ) } ,