harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\boldsymbol { \hat { z } } ( \omega ) = \left[ \boldsymbol { C } ( - i \omega \boldsymbol { M } - \boldsymbol { A } ) ^ { - 1 } \boldsymbol { B } \right] \boldsymbol { \hat { f } } ( \omega ) + \boldsymbol { \hat { n } } ( \omega ) \mathrm { ~ . ~ }
\hat { \Delta } ( \omega ) = \frac { 1 } { 1 + R ( \omega ) \beta ( \omega ) } \Delta _ { \mathrm { ~ b ~ a ~ r ~ e ~ } } ( \omega ) - \frac { \beta ( \omega ) } { 1 + R ( \omega ) \beta ( \omega ) } \hat { N } ( \omega ) \approx \frac { 1 } { R ( \omega ) \beta ( \omega ) } \Delta _ { \mathrm { ~ b ~ a ~ r ~ e ~ } } ( \omega ) - \frac { \hat { N } ( \omega ) } { R ( \omega ) } ,
x = \left[ \begin{array} { c } { x _ { b } - b _ { L O } } \\ { s _ { G } } \\ { s _ { L } } \\ { s _ { B } } \end{array} \right] , \quad A = \left[ \begin{array} { c c c c } { A _ { E } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { A _ { G } } & { - I } & { 0 } & { 0 } \\ { A _ { L } } & { 0 } & { I } & { 0 } \\ { I _ { B } } & { 0 } & { 0 } & { I } \end{array} \right] , \quad b = \left[ \begin{array} { c } { b _ { E } - A _ { E } b _ { L O } } \\ { b _ { G } - A _ { G } b _ { L O } } \\ { b _ { L } - A _ { L } b _ { L O } } \\ { b _ { U P } - b _ { L O } } \end{array} \right] , \quad c = \left[ \begin{array} { c } { c _ { b } } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right]
\hat { \bf { r } } = \{ \hat { \bf { r } } _ { \alpha } \} = ( \hat { \bf { q } } _ { 1 } , \dots , \hat { \bf { q } } _ { N } , \hat { \bf { p } } _ { 1 } , \dots , \hat { \bf { p } } _ { N } ) ^ { \intercal }
\tilde { G } _ { 0 } ( q ) = G _ { 0 } ( q ) ( 1 + \delta _ { a b } ) / 2 , \tilde { G } _ { 1 } ( q ) = \tilde { G } _ { - 1 } ( q ) = G _ { 0 } ( q ) ( 1 - \delta _ { a b } ) / 4
\tilde { \int } _ { A \times A } K ^ { ( 2 ) } ( x , d x ) + \tilde { \int } _ { A \times ( D \setminus A ) } K ^ { ( 2 ) } ( x , d x ) + \tilde { \int } _ { ( D \setminus A ) \times A } K ^ { ( 2 ) } ( x , d x ) + \tilde { \int } _ { ( D \setminus A ) \times ( D \setminus A ) } K ^ { ( 2 ) } ( x , d x ) = \tilde { \int } _ { D \times D } K ^ { ( 2 ) } ( x , d x ) ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \Big ( I _ { 1 } > C _ { 1 } \sqrt { \frac { \log T } { h ^ { p } } } + \frac { C _ { 2 } \sqrt { p } } { \sqrt { h ^ { p } } } \Big ) \le } & { \mathbb { P } \Big ( I _ { 1 , 1 } + I _ { 1 , 2 } + I _ { 1 , 3 } > C _ { 1 } \sqrt { \frac { \log T } { h ^ { p } } } + \frac { C _ { 2 } \sqrt { p } } { \sqrt { h ^ { p } } } \Big ) } \\ { \le } & { \mathbb { P } \Big ( I _ { 1 , 1 } \Big ) \le T ^ { - p - 3 } | A | = T ^ { - p - 2 } ( R \sqrt { T } / \sqrt { h ^ { p } } h ) ^ { p } } \\ { \le } & { T ^ { - p - 3 } ( R \sqrt { T } \sqrt { T } T ^ { \frac { 1 } { p } } ) ^ { p } = R ^ { p } T ^ { - 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { x _ { \mathrm { e r } } = \frac { a _ { 1 } d _ { 1 , 6 } + a _ { 2 } d _ { 2 , 5 } + a _ { 3 } d _ { 3 , 4 } } { 2 a _ { 1 } d _ { 1 , 2 } + 2 a _ { 2 } d _ { 2 , 3 } + 2 a _ { 3 } d _ { 3 , 4 } + b _ { 5 } d _ { 5 , 3 } + b _ { 6 } d _ { 6 , 2 } } , \ \ \ \ d _ { i , j } = q _ { i } - q _ { j } , } \\ { a _ { 1 } \leqslant 0 , \ a _ { 2 } \leqslant 0 , a _ { 3 } < 0 , b _ { 5 } < - 2 a _ { 2 } , b _ { 6 } \leqslant - 2 a _ { 1 } \ . } \end{array}
B ( r ) ^ { 2 } \rightarrow - \frac { 4 q ^ { 2 } r } { ( r ^ { 2 } + q ^ { 2 } ) ^ { n } } \lbrace \int ^ { r } \frac { ( s ^ { 2 } + q ^ { 2 } ) ^ { n } } { s ^ { 2 } } d s - \int ^ { i q } \frac { ( s ^ { 2 } + q ^ { 2 } ) ^ { n } } { s ^ { 2 } } d s - \bar { \alpha } \rbrace ,
\begin{array} { r l } { \hat { \mathcal { R } } _ { N } ( \mathcal { F } ) } & { = \mathbb { E } \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathcal { X } } \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sigma _ { i } ( \psi ( \theta _ { i } ) ^ { \top } \phi ( x ) + \eta ( \theta _ { i } ) ) } \\ & { \leq \mathbb { E } \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathcal { X } } \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sigma _ { i } \psi ( \theta _ { i } ) ^ { \top } \phi ( x ) + \mathbb { E } \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathcal { X } } \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sigma _ { i } \eta ( \theta _ { i } ) , } \end{array}
{ \mathcal I } _ { 1 } \, m _ { \Lambda } = \epsilon _ { \Lambda , 1 } \, m _ { \Lambda } + \sum _ { \Omega < _ { t } \Lambda } b _ { \Lambda \Omega } \, m _ { \Omega } + \sum _ { \Gamma < _ { h } \Lambda } c _ { \Lambda \Gamma } \, m _ { \Gamma } \, ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial ^ { \beta } h } { \partial x ^ { \beta } } } & { { } = \epsilon ^ { \beta + 1 } \frac { R F } { 1 5 } \frac { \partial ^ { \beta } \phi } { \partial \xi ^ { \beta } } , } \\ { \frac { \partial h } { \partial t } } & { { } = - \frac { \epsilon ^ { 2 } R F ^ { 2 } } { 1 5 } \frac { \partial \phi } { \partial \xi } + \frac { \epsilon ^ { 5 } W R F ^ { 2 } } { 1 8 0 } \frac { \partial \phi } { \partial \tau } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | X ( r u _ { m \ell } ) | \leq } & { \: C r ^ { - 1 - q } \operatorname* { s u p } _ { r ^ { \prime } \geq 2 } | r ^ { 1 + q } \widetilde { X } \check { u } _ { \infty , m \ell } ( r ^ { \prime } ) | + C r ^ { - 1 - q } \operatorname* { s u p } _ { r ^ { \prime } \geq 2 } | r ^ { q } \check { u } _ { \infty , m \ell } ( r ^ { \prime } ) | } \\ { \leq } & { \: C r ^ { - 1 - q } \operatorname* { s u p } _ { r ^ { \prime } \geq 2 } | r ^ { 1 + q } F _ { m \ell } ( r ^ { \prime } ) | . } \end{array}
\oint _ { E } \bar { h ( x ) } \, ( h ( x ) - 2 \, e ^ { - i s x } ) \, d x = \oint _ { E } j ( x ) \, e ^ { i s G ( x ) } \, ( e ^ { - i s G ( x ) } \, k ( x ) - 2 \, e ^ { - i s x } ) \, d x
\begin{array} { l } { \frac { \dot { \rho } _ { 1 } } { \rho _ { 1 } } = - 0 . 0 5 6 - 0 . 0 0 6 9 \sin ( \psi - 0 . 2 6 ) \rho _ { 4 } - 0 . 0 0 1 5 \rho _ { 4 } ^ { 2 } - 0 . 0 3 9 \rho _ { 2 } ^ { 2 } + 0 . 0 2 3 \rho _ { 1 } ^ { 2 } } \\ { \dot { \theta } _ { 1 } = 7 . 7 8 + 0 . 0 0 6 9 \cos ( \psi - 0 . 2 6 ) \rho _ { 4 } + 0 . 0 4 0 \rho _ { 4 } ^ { 2 } + 0 . 0 1 6 \rho _ { 2 } ^ { 2 } - 0 . 8 2 \rho _ { 1 } ^ { 2 } } \\ { \frac { \dot { \rho } _ { 2 } } { \rho _ { 2 } } = - 0 . 1 3 + 0 . 1 5 \rho _ { 4 } ^ { 2 } - 0 . 8 9 \rho _ { 2 } ^ { 2 } + 0 . 3 7 \rho _ { 1 } ^ { 2 } } \\ { \dot { \theta } _ { 2 } = 1 1 . 4 + 0 . 5 7 \rho _ { 4 } ^ { 2 } - 0 . 0 0 8 5 \rho _ { 2 } ^ { 2 } - 2 . 2 \rho _ { 1 } ^ { 2 } } \\ { \frac { \dot { \rho } _ { 4 } } { \rho _ { 4 } } = - 0 . 3 0 - 0 . 2 9 \rho _ { 4 } ^ { 2 } + 0 . 6 7 \rho _ { 2 } ^ { 2 } - 0 . 2 7 \sin ( \psi + 1 . 4 ) \rho _ { 1 } ^ { 2 } + 1 . 2 \rho _ { 1 } ^ { 2 } } \\ { \dot { \theta } _ { 4 } = 1 5 . 9 - 0 . 0 8 5 \rho _ { 4 } ^ { 2 } + 1 . 2 \rho _ { 2 } ^ { 2 } + 0 . 2 7 \cos ( \psi + 1 . 4 ) \rho _ { 1 } ^ { 2 } - 2 . 0 \rho _ { 1 } ^ { 2 } } \end{array}
L ( \mathbf { \widehat { A _ { t } } } ( w ) , \mathbf { A _ { t } } ) = \sum _ { t = 1 } ^ { 4 M ^ { 2 } } \left| \mathbf { \widehat { A _ { t } } } ( w ) - \mathbf { A _ { t } } e ^ { i \phi ( \mathrm { T r } ( \mathbf { A _ { t } } ^ { H } \mathbf { \widehat { A _ { t } } } ( w ) ) } \right| + \frac { \alpha } { 2 } { \| w \| } ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { u ^ { i } ( x , t ) } & { = \int _ { D } \left( \int _ { D } K ^ { i } ( x , y ) p ^ { D } ( 0 , \xi , t , y ) \textrm { d } y \right) \omega _ { 0 } ( \xi ) \textrm { d } \xi } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { D } \left( \int _ { D } K ^ { i } ( x , y ) p ^ { D } ( s , \xi , t , y ) \textrm { d } y \right) G ( \xi , s ) \textrm { d } \xi \textrm { d } s } \\ & { + \nu \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( \int _ { D } K ^ { i } ( x , y ) \frac { \partial } { \partial \xi _ { 2 } } p ^ { D } ( s , ( \xi _ { 1 } , 0 + ) , t , y ) \textrm { d } y \right) \theta _ { + } ( \xi _ { 1 } , s ) \textrm { d } \xi _ { 1 } \textrm { d } s } \\ & { - \nu \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { \infty } \left( \int _ { D } K ^ { i } ( x , y ) \frac { \partial } { \partial \xi _ { 2 } } p ^ { D } ( s , ( \xi _ { 1 } , 0 - ) , t , y ) \textrm { d } y \right) \theta _ { - } ( \xi _ { 1 } , s ) \textrm { d } \xi _ { 1 } \textrm { d } s } \end{array}
( \tilde { \eta } \pm \tilde { \omega } ) ^ { 2 } + ( \tilde { \eta ^ { \prime } } \pm \tilde { \omega ^ { \prime } } ) ^ { 2 } = \frac 1 4 [ ( 1 \pm \xi ) ^ { 2 } - ( \tilde { \sigma } \pm \tilde { \zeta } ) ^ { 2 } ]
\begin{array} { r l } { \widehat { \theta } _ { N , T } - \theta _ { 0 } } & { = - \sigma \frac { 1 } { 1 - J _ { 1 } J _ { 2 } } \Bigg ( \frac { 1 } { I _ { 1 } } \sum _ { k = 1 } ^ { N } \lambda _ { k } ^ { 2 + \gamma } \int _ { 0 } ^ { T } u _ { k } ( t ) d w _ { k } ( t ) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad + \frac { J _ { 1 } } { I _ { 2 } } \sum _ { k = 1 } ^ { N } \lambda _ { k } ^ { 1 + \gamma } \int _ { 0 } ^ { T } u _ { k } ( t ) d w _ { k } ( t ) \Bigg ) } \\ & { = : - \sigma \big ( T _ { 1 } + T _ { 2 } \big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textbf { u } } & { { } = \mathrm { ~ R ~ e ~ } [ ( \hat { u } _ { x } ( t ) \cos ( k _ { z } z ) , \hat { u } _ { y } ( t ) \cos ( k _ { z } z ) , \hat { u } _ { z } ( t ) \sin ( k _ { z } z ) ) \, \exp ^ { i \textbf { k } _ { \perp } ( t ) \cdot \textbf { x } } ] , } \\ { p } & { { } = \mathrm { ~ R ~ e ~ } [ \hat { p } ( t ) \cos ( k _ { z } z ) \, \exp ^ { i \textbf { k } _ { \perp } ( t ) \cdot \textbf { x } } ] , } \end{array}
I _ { 4 } \equiv \operatorname * { d e t } \left[ \left( \begin{array} { c } { { \vec { \tilde { q } } } } \\ { { \vec { \tilde { p } } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { { \vec { \tilde { q } } \ \ \ } } \\ { { v e c { \tilde { p } } } } \end{array} \right) \right] = \left( \vec { \tilde { q } } \cdot \vec { \tilde { q } } \right) ^ { 2 } \left( \vec { \tilde { p } } \cdot \vec { \tilde { p } } \right) ^ { 2 } - \left( \vec { \tilde { q } } \cdot \vec { \tilde { p } } \right) ^ { 2 } \, ,
\begin{array} { r l l } { { P _ { j } \, } } & { { = \, \frac 1 { \phi _ { j } ( b ( j ) ) } \phi _ { j } ( X ) \, - \, \frac { \phi _ { j } ^ { \prime } ( b ( j ) ) } { \phi _ { j } ( b ( j ) ) ^ { 2 } } \bigl ( X - b ( j ) \bigr ) \phi _ { j } ( X ) \qquad } } & { { j = 0 , \ldots , m } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { N _ { j } \, } } & { { = \, \frac 1 { \phi _ { j } ( b ( j ) ) } \, \bigl ( X - b ( j ) \bigr ) \phi _ { j } ( X ) \qquad } } & { { j = 0 , \ldots \, ( m - 1 ) } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { N _ { j } ^ { + } \, } } & { { = \, T _ { j } \, N _ { j } \qquad N _ { j } ^ { - } \, = ( 1 - T _ { j } ) \, N _ { j } } } \end{array}
M _ { 3 \mathrm { b } } ^ { 2 } : = [ M _ { { 3 \mathrm { b } } , \flat } ^ { 2 } ; \tilde { \mathfrak { p } } _ { L } , \tilde { \mathfrak { p } } _ { R } ] = [ ( M _ { 0 } ) _ { \mathrm { b } } ^ { 2 } ; \mathfrak { p } _ { 3 \mathrm { b } } ; \mathfrak { p } _ { L \cap R } ; \mathfrak { p } _ { L } , \mathfrak { p } _ { R } ; \tilde { \mathfrak { p } } _ { L } , \tilde { \mathfrak { p } } _ { R } ] ,
x ^ { i } ( t ) = \sum _ { a = 0 } ^ { \infty } \epsilon ^ { a } x _ { a } ^ { i } ( t ) = x _ { 0 } ^ { i } ( t ) + \epsilon x _ { 1 } ^ { i } ( t ) + \epsilon ^ { 2 } x _ { 2 } ^ { i } ( t ) + \cdots
\left\langle \sum _ { X _ { i } \in ( { \it G } _ { 1 } ) _ { X _ { i ^ { \prime } } ^ { \prime } } } \sum _ { \stackrel { i _ { \alpha _ { 1 } } < j _ { \alpha _ { 1 } } } { \left\{ i _ { \alpha _ { 1 } } , j _ { \alpha _ { 1 } } \right\} \in J _ { X _ { i } } } } t _ { i _ { \alpha _ { 1 } } } t _ { j _ { \alpha _ { 1 } } } { \bf 1 } _ { ( w ( t _ { i _ { \alpha _ { 1 } } } ) = w ( t _ { j _ { \alpha _ { 1 } } } ) ) } \chi \left( \left( i _ { \alpha _ { 1 } } , j _ { \alpha _ { 1 } } \right) \in \left( i _ { \alpha _ { 1 } } ^ { \prime } < j _ { \alpha _ { 1 } } ^ { \prime } < k _ { \alpha _ { 1 } } ^ { \prime } \right) \right) \right\rangle _ { w ^ { \prime } } ^ { l . c . } = 0
\begin{array} { r l } { { \mathbf { x } } _ { N } ^ { * } = \arg \operatorname* { m i n } \, \, } & { c ^ { T } { \mathbf { x } } } \\ { \mathrm { s u b j e c t ~ t o ~ } } & { { \mathbf { x } } \in \bigcap _ { i = 1 } ^ { N } \mathcal { F } ( q ^ { ( i ) } ) } \\ & { { \mathbf { x } } \in { \mathbb { R } } ^ { d _ { R } } \times { \mathbb { Z } } ^ { d _ { Z } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { i } ^ { \prime } } & { \triangleq \mathbb { 1 } _ { ( \Delta < 0 ) } \frac { 1 - \Delta } { 1 + \Delta } \log _ { 2 } \left( 1 - ( q - p ) \Delta \right) - \frac { p } { q } b _ { i } , } \\ { d _ { i } ^ { \prime } } & { \triangleq \mathbb { 1 } _ { ( d _ { i } < 0 ) } d _ { i } - \mathbb { 1 } _ { ( d _ { i } \ge 0 ) } \frac { p } { q } c _ { i } \, , } \end{array}
f ( x ) = \operatorname { l i } ( x ) - \sum _ { \rho } \operatorname { l i } ( x ^ { \rho } ) - \log ( 2 ) + \int _ { x } ^ { \infty } { \frac { \operatorname { d } t } { ~ t \, ( t ^ { 2 } - 1 ) ~ \log ( t ) ~ } }
\displaystyle \xi _ { \mathbf { \varepsilon } } ( P _ { 1 } , P _ { 2 } ) : = \star _ { \mathbf { \varepsilon } } \big ( 1 - \frac { ( P _ { 1 } ^ { \, \circ } { \scriptstyle { [ \mathfrak { A } _ { \mathbf { \varepsilon } } ] } \, } P _ { 2 } ^ { \, \circ } ) ^ { 2 } } { ( { P _ { 1 } ^ { \, \circ } { \scriptstyle { [ \mathfrak { A } _ { \mathbf { \varepsilon } } ] } \, } P _ { 1 } ^ { \, \circ } ) } { ( P _ { 2 } ^ { \, \circ } { \scriptstyle { [ \mathfrak { A } _ { \mathbf { \varepsilon } } } ] } \, P _ { 2 } ^ { \, \circ } ) } } \big )
\begin{array} { r l r } { \Omega ^ { ( n ) } } & { { } = } & { \left[ E _ { N } ^ { ( n ) } \right] + \frac { ( - \beta ) } { 2 ! } \sum _ { i = 1 } ^ { n - 1 } \left( \left[ E _ { N } ^ { ( i ) } E _ { N } ^ { ( n - i ) } \right] - \Omega ^ { ( i ) } \Omega ^ { ( n - i ) } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ A ~ o ~ A ~ } _ { \mathrm { ~ s ~ e ~ p ~ } } \leq \mathrm { ~ A ~ o ~ A ~ } \leq \mathrm { ~ A ~ o ~ A ~ } _ { \mathrm { ~ b ~ u ~ f ~ f ~ e ~ t ~ } } - 0 . 0 5 ^ { \circ } , \quad \mathrm { ~ P ~ r ~ e ~ - ~ b ~ u ~ f ~ f ~ e ~ t ~ ( ~ 0 ~ ) ~ } } \\ { \mathrm { ~ A ~ o ~ A ~ } \geq \mathrm { ~ A ~ o ~ A ~ } _ { \mathrm { ~ b ~ u ~ f ~ f ~ e ~ t ~ } } + 0 . 0 5 ^ { \circ } , \quad \mathrm { ~ P ~ o ~ s ~ t ~ - ~ b ~ u ~ f ~ f ~ e ~ t ~ ( ~ 1 ~ ) ~ } } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { } } & { { } } & { { T ( z ) = - \frac { 1 } { 4 } \partial \phi ( z ) \partial \phi ( z ) + i \alpha _ { 0 } \partial ^ { 2 } \phi ( z ) ~ , } } \\ { { } } & { { } } & { { \langle \phi ( z ) \phi ( w ) \rangle = - 2 \ln ( z - w ) ~ , } } \\ { { } } & { { } } & { { c = 1 - 2 4 \alpha _ { 0 } ^ { 2 } ~ . } } \end{array}
E _ { c } ( x , t ) = \exp \left\{ \mathrm { i } [ ( k - k _ { p } ) ( x - x _ { \mathrm { ~ f ~ } } ) - \omega _ { g } ( t - t _ { \mathrm { ~ f ~ } } ) + \omega _ { p } t + \theta _ { \mathrm { ~ f ~ } } ] \right\}
< { \cal O } _ { k _ { 1 } } ( 0 ) { \cal O } _ { k _ { 2 } } ( x ) { \cal O } _ { k _ { 3 } } ( y ) > \sim \frac { 1 } { x ^ { \alpha _ { 3 } } } \frac { 1 } { y ^ { \alpha _ { 2 } } } \frac { 1 } { ( x - y ) ^ { \alpha _ { 1 } } }
\operatorname * { l i m } _ { q \to 1 } c _ { D } ^ { ( n ) } = c _ { D } ^ { ( n ) } \big | _ { q = 1 } , \qquad \operatorname * { l i m } _ { q \to 1 } c _ { x } ^ { ( n ) } = c _ { x } ^ { ( n ) } \big | _ { q = 1 } .
\tilde { \omega } _ { k } ^ { 2 } ( t = 0 ) = \left[ \omega _ { P } ^ { 2 } + ( c k ) ^ { 2 } + { \int _ { \vec { k } } } \Sigma \left( \sqrt { \omega _ { P } ^ { 2 } + ( c k ) ^ { 2 } } \right) \right] .
\begin{array} { r l } & { \| \varepsilon \partial _ { t } d + \frac { 3 \sqrt { 3 } } { 5 } ( \gamma ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \nabla _ { x } + \gamma ^ { \frac { 1 } { 2 } } E ) c \| _ { H _ { x } ^ { - 1 } } } \\ & { \quad \lesssim \varepsilon | \dot { \gamma } | ( \| b \| _ { H _ { x } ^ { - 1 } } + \| d \| _ { H _ { x } ^ { - 1 } } ) } \\ & { \quad \quad + \operatorname* { s u p } _ { j , k \in \{ 1 , 2 , 3 \} } \{ \| ( \gamma ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \partial _ { x _ { k } } + \gamma ^ { \frac { 1 } { 2 } } E _ { k } ) \langle \mathfrak h _ { j k } , \mathcal P _ { \gamma } ^ { \perp } f \rangle _ { L _ { \xi } ^ { 2 } } \| _ { H _ { x } ^ { - 1 } } } \\ & { \quad \quad \quad + \| \partial _ { x _ { k } } \langle \mathfrak h _ { j k l l } , f \rangle _ { L _ { \xi } ^ { 2 } } \| _ { H _ { x } ^ { - 1 } } } \\ & { \quad \quad \quad + \| \langle \mathcal L _ { \gamma } \mathfrak h _ { j l l } , f \rangle _ { L _ { \xi } ^ { 2 } } \| _ { H _ { x } ^ { - 1 } } } \\ & { \quad \quad \quad + \| \langle \mathfrak h _ { j l l } , \mathcal M _ { \gamma , F _ { + } } f \rangle _ { L _ { \xi } ^ { 2 } } \| _ { H _ { x } ^ { - 1 } } } \\ & { \quad \quad \quad + \| \langle \mathfrak h _ { j l l } , e ^ { \gamma \psi } \mathcal M _ { \gamma , F _ { + } } \mathfrak h \rangle \| _ { H _ { x } ^ { - 1 } } } \\ & { \quad \quad \quad + \| \langle \mathfrak h _ { j l l } , \Gamma _ { \gamma } ( f , f ) \rangle \| _ { H _ { x } ^ { - 1 } } \} } \end{array}
G ^ { \mu \nu } = { \frac { i } { g } } [ D ^ { \mu } , D ^ { \nu } ] = \partial ^ { \mu } A _ { a } ^ { \nu } T _ { a } - \partial ^ { \nu } A _ { a } ^ { \mu } T _ { a } + g f _ { a b c } T _ { a } A _ { b } ^ { \mu } A _ { c } ^ { \nu }
\Pi _ { i } \left( r , K \right) = 8 ( T _ { i } ^ { \mu \nu , \, \alpha \beta } T _ { _ j \, \mu \nu , \, \alpha \beta } ) ^ { - 1 } \bar { P } _ { j } \left( r , K \right) \equiv 8 \left( T _ { i j } \right) ^ { - 1 } \bar { P } _ { j } \left( r , K \right) ,
\begin{array} { r l } { q _ { i \rightarrow j } ( A _ { i } , A _ { j } ) = } & { { } \frac { 1 } { z _ { i \rightarrow j } } \sum _ { \underline { { A } } _ { \partial i \backslash j } } e ^ { - \beta \delta _ { A _ { i } } ^ { 0 } } C _ { i } ( A _ { i } , \underline { { A } } _ { \partial i } ) \prod _ { k \in \partial i \backslash j } q _ { k \rightarrow i } ( A _ { k } , A _ { i } ) } \end{array}
\mathcal { C } = \{ ( \alpha , \alpha ) \ | \ \alpha \in \mathbb { S } ^ { 1 } \} \cup \{ ( \alpha , \pi / 2 ) \ | \ \alpha \in \mathbb { S } ^ { 1 } \} \cup \{ ( - \pi / 2 , \alpha ) \ | \ \alpha \in \mathbb { S } ^ { 1 } \}
\frac { \partial u _ { i } } { \partial t } = - \frac { 1 } { 3 } \frac { ( u _ { i + 1 } + u _ { i - 1 } + u _ { i } ) ( u _ { i + 1 } - u _ { i - 1 } ) } { 2 \Delta x } + \frac { 1 } { \mathrm { ~ R ~ e ~ } } \frac { u _ { i + 1 } - 2 u _ { i } + u _ { i - 1 } } { \Delta x ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r } { Q _ { F } \, d ^ { 2 } x : = d \left( \rho \mathbf { u } \cdot d \mathbf { x } \right) = \textrm { d i v } ( \rho \nabla \Psi ) \, , \quad Q _ { W } \, d ^ { 2 } x : = d \left( \mathbf { J } ( a , b ) \cdot d \mathbf { x } \right) = 2 \hbar J ( a , b ) d ^ { 2 } x \, , } \end{array}
V _ { \mathrm { s u f } ( \theta ) } ^ { ( p _ { i } , p _ { j } ) } = \frac { 2 \sqrt { I _ { ( \theta ) } ^ { ( p _ { i } ) } I _ { ( \theta ) } ^ { ( p _ { j } ) } } } { \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } I _ { ( \theta ) } ^ { ( p _ { k } ) } } \approx 1
\begin{array} { r l } { \lvert \rho _ { g } ( M ) \rvert } & { = \lvert \frac { 1 } { N _ { n , G , M } } \operatorname { s i g n } _ { G } ( g , \Tilde { W } ) \rvert } \\ & { \leq \frac { 1 } { N _ { n , G , M } } \operatorname { r a n k } { H _ { 2 k } ( \Tilde { W } ) } } \\ & { \leq \frac { 1 } { N _ { n , G , M } } \frac { \binom { 2 k + 1 } { k + 1 } } { k + 1 } \cdot \lvert G \rvert \cdot C _ { 2 k - 1 } \cdot N _ { n , G , M } \cdot \Delta ( M ) } \\ & { = \frac { \binom { 2 k } { k } } { k + 1 } \cdot \lvert G \rvert \cdot C _ { 2 k - 1 } \cdot \Delta ( M ) } \end{array}
\operatorname* { s u p } _ { \xi \in \left( - \frac { \pi } { h } , \frac { \pi } { h } \right) ^ { d } } \sum _ { \zeta \in \frac { 2 \pi } { h } \mathbb { Z } ^ { d } } \frac { 1 } { \left( \frac 1 h + | \xi + \zeta | \right) ^ { 2 t } } \le C \sum _ { \zeta \in \frac { 2 \pi } { h } \mathbb { Z } ^ { d } } \frac { h ^ { 2 t } } { \left( 1 + h | \zeta | \right) ^ { 2 t } } \le C h ^ { 2 t }
\hat { G } _ { p _ { i + 1 } } ^ { ( i ) } = { \frac { 1 } { ( p + 1 ) ! } } \ G _ { \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { p + 1 } } ^ { ( i ) } ( x ) \ d x ^ { \mu _ { 1 } } { \wedge \cdots \wedge } d x ^ { \mu _ { p + 1 } }
{ \begin{array} { r l } { \operatorname* { d e t } ( A ) } & { = { \frac { 1 } { 3 ! } } B _ { 3 } ( s _ { 1 } , - 1 ! s _ { 2 } , 2 ! s _ { 3 } ) = { \frac { 1 } { 6 } } ( s _ { 1 } ^ { 3 } + 3 s _ { 1 } ( - s _ { 2 } ) + 2 s _ { 3 } ) } \\ & { = { \frac { 1 } { 6 } } \left[ ( \operatorname { t r } A ) ^ { 3 } - 3 \operatorname { t r } ( A ^ { 2 } ) ( \operatorname { t r } A ) + 2 \operatorname { t r } ( A ^ { 3 } ) \right] . } \end{array} }
\mathrm { ~ C ~ R ~ X ~ } = \left( \begin{array} { l l l l } { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \cos ( \frac { \theta } { 2 } ) } & { 0 } & { - i \sin ( \frac { \theta } { 2 } ) } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { - i \sin ( \frac { \theta } { 2 } ) } & { 0 } & { \cos ( \frac { \theta } { 2 } ) } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { n _ { p } P } \left\| \operatorname* { m i n } \left\{ \frac { C _ { 1 } } { \| \nabla \ell ( x _ { r - 1 } , z ) \| } , 1 \right\} \nabla \ell ( x _ { r - 1 } , z ) - \operatorname* { m i n } \left\{ \frac { C _ { 1 } } { \| \nabla \ell ( x _ { r - 1 } , z ^ { \prime } ) \| } , 1 \right\} \nabla \ell ( x _ { r - 1 } , z ^ { \prime } ) \right\| \leq \frac { 2 C _ { 1 } } { n _ { p } P } } \end{array}
\begin{array} { r l } { U ( x ) } & { { } = U ( 0 ) - \frac { x ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \left( \frac { x _ { 0 } ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } - 1 \right) + O ( x ^ { 4 } x _ { 0 } ^ { 4 } / \sigma ^ { 8 } ) = } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbf { T } ( 0 , \phi , \phi ) = \mathbf { V } ( \phi , \phi ) \mathbf { W } ( 0 , \phi ) , } \\ & { \mathbf { V } ( \phi , \phi ) = \mathbf { G } ^ { - 1 } \mathbf { U } _ { 1 } ( \phi ) = \mathbf { U } _ { 1 } ( \phi ) \mathbf { G } ^ { - 1 } = \mathbf { G } ^ { - 1 } \prod _ { m = 1 } ^ { L } \mathbf { v } _ { m } } \\ & { \mathbf { W } ( 0 , \phi ) = \mathbf { U } _ { 2 } ( \phi ) = \prod _ { m = 1 } ^ { L } \mathbf { w } _ { m , m + 1 } , } \end{array}
L _ { k i n } = g _ { T \bar { T } } | \frac { \partial T } { \partial \tau } | ^ { 2 } = 3 | \frac { \partial T } { \partial \tau } | ^ { 2 } e ^ { - ( T + \bar { T } ) } ( 1 + | \Phi | ^ { 2 } ) + . . . \, ,
\sum _ { \alpha = 1 } ^ { 3 - r } { P } _ { i } ^ { ( \alpha ) } { L } _ { j } ^ { ( \alpha ) } + \sum _ { \beta = 1 } ^ { r } { \tilde { P } } _ { i } ^ { ( \beta ) } { \tilde { L } } _ { j } ^ { ( \beta ) } = \delta _ { i j } \, , \qquad i , j = 1 , 2 , 3
\begin{array} { r } { \mathrm { f i } ( \widetilde { x } \, \widetilde { y } ) = \widetilde { x } \, \widetilde { y } + \sigma , \qquad \mathrm { w h e r e } ~ \left\{ \begin{array} { l l } { \vert \sigma \vert < u } & { \mathrm { f o r ~ \mathrm { S R } ~ , ~ \mathrm { S R } _ \varepsilon ~ a n d ~ s i g n e d - ~ \mathrm { S R } _ \varepsilon ~ } , } \\ { \vert \sigma \vert \le \frac { 1 } { 2 } u } & { \mathrm { f o r ~ \mathrm { R N } ~ } , } \end{array} \right. } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { F _ { r } ( \mathbf { r } , \alpha , \beta ) } & { = - { \frac { 3 \mu _ { 0 } } { 4 \pi } } { \frac { m _ { 2 } m _ { 1 } } { r ^ { 4 } } } \left[ 2 \cos ( \phi - \alpha ) \cos ( \phi - \beta ) - \sin ( \phi - \alpha ) \sin ( \phi - \beta ) \right] } \\ { F _ { \phi } ( \mathbf { r } , \alpha , \beta ) } & { = - { \frac { 3 \mu _ { 0 } } { 4 \pi } } { \frac { m _ { 2 } m _ { 1 } } { r ^ { 4 } } } \sin ( 2 \phi - \alpha - \beta ) } \end{array} }
\left\{ \begin{array} { l l } { - \widehat { s } _ { k } ^ { \prime \prime } ( \rho , x ) + q ( x + x _ { k } ) \widehat { s } _ { k } ( \rho , x ) = \rho ^ { 2 } \widehat { s } _ { k } ( \rho , x ) \quad \mathrm { ~ f o r ~ } 0 < x < b - x _ { k } , } \\ { \widehat { s } _ { k } ( \rho , 0 ) = 0 , \; \widehat { s } _ { k } ^ { \prime } ( \rho , 0 ) = 1 . } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \texttt { \small e n e r g y - f l u x - d i f f } } & { { } = 1 - R ^ { 2 } \left( E _ { f l u x } ^ { D } ( k ) , E _ { f l u x } ^ { \theta } ( k ) \right) , } \\ { \texttt { \small e n s t r o p h y - f l u x - d i f f } } & { { } = 1 - R ^ { 2 } \left( Z _ { f l u x } ^ { D } ( k ) , E _ { f l u x } ^ { \theta } ( k ) \right) , } \end{array}