harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \tilde { R } _ { 0 1 } ^ { 0 1 } = \left( - U ^ { \prime } - \frac { 1 } { r } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \alpha _ { i } \left( 1 - \mathcal { R } _ { i } \right) U - 4 \lambda ^ { 2 } \right) , } \\ & { \tilde { R } _ { 0 1 } ^ { 2 3 } = - \left( V ^ { \prime } + \frac { V } { r } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \alpha _ { i } \left( 1 - \mathcal { R } _ { i } \right) \right) \frac { 1 } { r ^ { 2 } c ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta } , } \\ & { \tilde { R } _ { 0 2 } ^ { 0 2 } = - \frac { U W } { r A C } - 4 \lambda ^ { 2 } , } \\ & { \tilde { R } _ { 0 2 } ^ { 1 3 } = \frac { V W A } { r C \sin \theta } , \quad \tilde { R } _ { 0 3 } ^ { 0 3 } = - \frac { Z V } { r C A } - 4 \lambda ^ { 2 } , \quad \tilde { R } _ { 0 3 } ^ { 1 2 } = - \frac { A V Z \sin \theta } { r C } , } \\ & { \tilde { R } _ { 1 2 } ^ { 1 2 } = \frac { W ^ { \prime } A } { r C } + \frac { W A } { r ^ { 2 } C } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \alpha _ { i } \left( 1 - R _ { i } \right) - 4 \lambda ^ { 2 } , } \\ & { \tilde { R } _ { 1 3 } ^ { 1 3 } = \frac { A Z ^ { \prime } } { r C } + \frac { A Z } { r ^ { 2 } C } \sum _ { i = 1 } ^ { 3 } \alpha _ { i } \left( 1 - R _ { i } \right) - 4 \lambda ^ { 2 } , } \\ & { \tilde { R } _ { 2 3 } ^ { 1 3 } = \left( Z + \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \alpha _ { i } \left( 1 - R _ { i } \right) - W \right) \frac { A \cos \theta } { r C \sin \theta } - \alpha _ { 3 } \left( 1 + R _ { 3 } \right) \frac { A \tan \theta } { r C } , } \\ & { \tilde { R } _ { 2 3 } ^ { 2 3 } = \frac { W Z - 1 + \alpha _ { 3 } \left( 1 + R _ { 3 } \right) } { r ^ { 2 } C ^ { 2 } } - 4 \lambda ^ { 2 } - \frac { 1 } { r ^ { 2 } C ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \alpha _ { i } \left( 1 - R _ { i } \right) \cot ^ { 2 } \theta . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { V } _ { b _ { 1 } , b _ { 2 } , \cdots b _ { L } } ^ { c _ { 1 } , c _ { 2 } , \cdots c _ { L } } ( \phi , \phi ) } & { = \kappa ^ { L } K ( \phi ; c _ { 1 } , b _ { 2 } ) \ldots K ( \phi ; c _ { L } , b _ { 1 } ) \, , } \\ { \mathbf { W } _ { a _ { 1 } , a _ { 2 } , \cdots a _ { L } } ^ { b _ { 1 } , b _ { 2 } , \cdots b _ { L } } ( 0 , \phi ) } & { = \delta _ { b _ { 1 } , a _ { 1 } } \ldots \delta _ { b _ { L } , a _ { L } } K ( \pi - \phi ; a _ { 2 } , a _ { 1 } ) \ldots K ( \pi - \phi ; a _ { 1 } , a _ { L } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathbf { 1 } ( A _ { \ell + 1 } ( \mathbf { m } , \mathbf { a } , \sigma ) \cap D _ { \ell } ^ { 0 } ( \mathbf { m } ) \cap E ) \mathbb { P } _ { \mathcal { F } } ( \mathfrak { L } _ { \ell } ( 0 ) - \mathfrak { L } _ { \ell } ( t ) > a _ { \ell } ) } \\ & { \le \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \mathbf { 1 } ( A _ { \ell + 1 } ( \mathbf { m } , \mathbf { a } , \sigma ) \cap D _ { n } ) \| \mathbb { P } _ { \mathcal { F } } ( \mathfrak { L } _ { \ell } ( 0 ) - \mathfrak { L } _ { \ell } ( t ) > a _ { \ell } ) \mathbf { 1 } ( E \cap D _ { n } ) \| _ { \infty } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { 0 } } & { { } = \alpha \, , } \\ { c _ { 4 } } & { { } = 0 . 3 0 5 8 2 7 \alpha ^ { 3 } \, , } \\ { c _ { 8 } } & { { } = \alpha ^ { 3 } [ 0 . 0 9 3 5 3 0 4 \alpha ^ { 2 } + 0 . 0 1 3 3 6 1 5 ] \, , } \\ { c _ { 1 2 } } & { { } = \alpha ^ { 3 } [ 0 . 0 2 8 6 0 4 2 \alpha ^ { 4 } + 0 . 4 3 7 2 3 6 \alpha ^ { 2 } + 0 . 0 0 0 1 8 4 6 4 3 ] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { s s ^ { \prime } } ^ { \left( 1 \right) } \left( \omega \right) } & { { } = \frac { 1 } { \hbar \epsilon _ { 0 } } \frac { \omega ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \mathbf { d } _ { s } \cdot \overleftrightarrow { G } \left( \mathbf { r } _ { s } , \mathbf { r } _ { s ^ { \prime } } ; \omega \right) \cdot \mathbf { d } _ { s ^ { \prime } } ^ { * } , } \\ { J _ { s s ^ { \prime } } ^ { \left( 2 \right) } \left( \omega \right) } & { { } = \frac { 1 } { \hbar \epsilon _ { 0 } } \frac { \omega ^ { 2 } } { c ^ { 2 } } \mathbf { d } _ { s } \cdot \overleftrightarrow { G } ^ { * } \left( \mathbf { r } _ { s } , \mathbf { r } _ { s ^ { \prime } } ; \omega \right) \cdot \mathbf { d } _ { s ^ { \prime } } ^ { * } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \nabla ^ { \prime } \tilde { G } ( R ) = - \frac { \tilde { G } ^ { \prime } ( R ) } { R } \mathbf { R } = - 2 \mathbf { R } \sum _ { n = 1 } ^ { n _ { m } } n \tilde { G } _ { n } R ^ { 2 ( n - 1 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { P ( \boldsymbol { Y } | \beta , \alpha ) = \prod _ { j = 0 } ^ { M - 1 } \left\lbrace \gamma _ { t _ { j } } \exp \left[ - \gamma _ { t _ { j } } ( t _ { j + 1 } - t _ { j } ) \right] P ( \boldsymbol { y } _ { t _ { j + 1 } } | \boldsymbol { y } _ { t _ { j } } ; \beta , \alpha ) \right\rbrace \; , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { \leq } & { \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq j \leq N } 1 + \frac { 3 } { 2 } j \Delta t ^ { 2 } \| \tilde { p } \| _ { \infty } ( \overline { { p } } j ^ { 2 } + \overline { { q } } ) ^ { - 1 / 2 } \sum _ { k \in { I } _ { j } } \left| k ( \overline { { p } } k ^ { 2 } + \overline { { q } } ) ^ { 1 / 2 } \right| + } \\ & { } & { \frac { 3 } { 2 } \Delta t ^ { 2 } \| \tilde { q } \| _ { \infty } ( \overline { { p } } j ^ { 2 } + \overline { { q } } ) ^ { - 1 / 2 } \sum _ { k \in { I } _ { j } } \left| ( \overline { { p } } k ^ { 2 } + \overline { { q } } ) ^ { 1 / 2 } \right| + } \\ & { } & { \frac { 3 } { 2 } j \Delta t ^ { 2 } \| \tilde { p } \| _ { \infty } ( \overline { { p } } j ^ { 2 } + \overline { { q } } ) ^ { 1 / 2 } \sum _ { k \in { I } _ { j } } \left| k ( \overline { { p } } k ^ { 2 } + \overline { { q } } ) ^ { - 1 / 2 } \right| + } \\ & { } & { \frac { 3 } { 2 } \Delta t ^ { 2 } \| \tilde { q } \| _ { \infty } ( \overline { { p } } j ^ { 2 } + \overline { { q } } ) ^ { 1 / 2 } \sum _ { k \in { I } _ { j } } \left| ( \overline { { p } } k ^ { 2 } + \overline { { q } } ) ^ { - 1 / 2 } \right| + } \\ & { } & { j \Delta t ^ { 2 } \| \tilde { p } \| _ { \infty } ^ { 2 } ( \overline { { p } } j ^ { 2 } + \overline { { q } } ) ^ { - 1 / 2 } \sum _ { k \in \hat { I } _ { N } } \left| k ( \overline { { p } } k ^ { 2 } + \overline { { q } } ) ^ { - 1 / 2 } \sum _ { \omega \in I _ { j } \cap I _ { k } } \omega ^ { 2 } \right| + } \\ & { } & { \Delta t ^ { 2 } \| \tilde { p } \| _ { \infty } \| \tilde { q } \| _ { \infty } ( \overline { { p } } j ^ { 2 } + \overline { { q } } ) ^ { - 1 / 2 } \sum _ { k \in \hat { I } _ { N } } \left| k ( \overline { { p } } k ^ { 2 } + \overline { { q } } ) ^ { - 1 / 2 } \sum _ { \omega \in I _ { j } \cap I _ { k } } \omega \right| + } \\ & { } & { j \Delta t ^ { 2 } \| \tilde { p } \| _ { \infty } \| \tilde { q } \| _ { \infty } ( \overline { { p } } j ^ { 2 } + \overline { { q } } ) ^ { - 1 / 2 } \sum _ { k \in \hat { I } _ { N } } \left| ( \overline { { p } } k ^ { 2 } + \overline { { q } } ) ^ { - 1 / 2 } \sum _ { \omega \in I _ { j } \cap I _ { k } } \omega \right| + } \\ & { } & { \Delta t ^ { 2 } \| \tilde { q } \| _ { \infty } ^ { 2 } ( \overline { { p } } j ^ { 2 } + \overline { { q } } ) ^ { - 1 / 2 } \sum _ { k \in \hat { I } _ { N } } \left| ( \overline { { p } } k ^ { 2 } + \overline { { q } } ) ^ { - 1 / 2 } \sum _ { \omega \in I _ { j } \cap I _ { k } } 1 \right| . } \end{array}
\dot { X } = \frac { \mathsf { A } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ( t = 0 ) } { M _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } + \int _ { 0 } ^ { t } \frac { F _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ( \tau ) } { M _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } } \, d \tau \, .
\begin{array} { r l } { H ( \Tilde { { X } } | { Y } = x , { A } ^ { 2 } = 0 0 ) = H \Big ( \frac { p _ { X } ( 1 ) p _ { X } ( x ) } { c } , } & { \frac { p _ { X } ( x ) p _ { X } ( 1 ) } { c } , \dots , \frac { 2 ( p _ { X } ( x ) ) ^ { 2 } } { c } , } \\ & { \dots , \frac { p _ { X } ( | \mathfrak { X } | ) p _ { X } ( x ) } { c } , \frac { p _ { X } ( x ) p _ { X } ( | \mathfrak { X } | ) } { c } \Big ) } \end{array}
\sum _ { n = r + 1 } ^ { q ^ { r + 1 } - 1 } \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { n ! } \left| \mathsf { G r } ^ { \mathsf { d c } } ( r + 1 , n ; \mathbb { F } _ { q } ) \right| = \sum _ { k = r + 1 } ^ { q ^ { r } } \left| \mathsf { G r } ^ { \mathsf { d c } } ( r , k - 1 ; \mathbb { F } _ { q } ) \right| \frac { ( - 1 ) ^ { k } } { ( q ^ { r + 1 } - 1 ) ( k - 1 ) ! } .
\sigma = \left( \begin{array} { l l } { \langle \hat { p } _ { \mathrm { \scriptscriptstyle A } } ^ { 2 } \rangle } & { \langle \hat { p } _ { \mathrm { \scriptscriptstyle A } } \hat { p } _ { \mathrm { \scriptscriptstyle B } } \rangle } \\ { \langle \hat { p } _ { \mathrm { \scriptscriptstyle A } } \hat { p } _ { \mathrm { \scriptscriptstyle B } } \rangle } & { \langle \hat { p } _ { \mathrm { \scriptscriptstyle B } } ^ { 2 } \rangle } \end{array} \right) , \, \sigma ^ { \prime } = \left( \begin{array} { l l } { \langle { { \hat { p } } ^ { \prime } } _ { \mathrm { \scriptscriptstyle A } } { } ^ { 2 } \rangle } & { \langle { \hat { p } } _ { \mathrm { \scriptscriptstyle A } } ^ { \prime } { \hat { p } } _ { \mathrm { \scriptscriptstyle B } } ^ { \prime } \rangle } \\ { \langle \hat { p } _ { \mathrm { \scriptscriptstyle A } } ^ { \prime } \hat { p } _ { \mathrm { \scriptscriptstyle B } } ^ { \prime } \rangle } & { \langle { \hat { p } ^ { \prime } } _ { \mathrm { \scriptscriptstyle B } } { } ^ { 2 } \rangle } \end{array} \right) ,
E _ { y } = e ^ { - j k z + j \omega t } \left\{ \begin{array} { c c } { E _ { 1 } e ^ { - \beta ( x - a / 2 - b ) } , } & { x > a / 2 + b } \\ { E _ { 2 } e ^ { - j \alpha _ { \mathrm { ~ N ~ I ~ M ~ } } ( x - a / 2 ) } + E _ { 3 } e ^ { + j \alpha _ { \mathrm { ~ N ~ I ~ M ~ } } ( x - a / 2 ) } , } & { a / 2 + b > x > a / 2 } \\ { E _ { 4 } e ^ { + \beta x } + E _ { 5 } e ^ { - \beta x } , } & { a / 2 > x > - a / 2 } \\ { E _ { 6 } e ^ { - j \alpha _ { \mathrm { ~ P ~ I ~ M ~ } } ( x + a / 2 ) } + E _ { 7 } e ^ { + j \alpha _ { \mathrm { ~ P ~ I ~ M ~ } } ( x + a / 2 ) } , } & { - a / 2 > x > - a / 2 - b } \\ { E _ { 8 } e ^ { + \beta ( x + a / 2 + b ) } , } & { x < - a / 2 - b } \end{array} \right.
R _ { i j } ^ { \mathrm { { S M P } } } = r _ { i j } ^ { \mathrm { { S M P } } } { \left( \frac { R _ { k j } ^ { \mathrm { { S T D } } } } { r _ { k j } ^ { \mathrm { { S M P } } } } \right) } ^ { \frac { \ln { ( m _ { i } ) } - \ln { ( m _ { j } ) } } { \ln { ( m _ { k } ) } - l n { ( m _ { j } ) } } } ,
V _ { C a F - C a F } ^ { G P } ( \vec { x } ) = F _ { m } \left[ \frac { r _ { 1 3 } + r _ { 2 4 } } { r _ { 1 3 } + r _ { 2 4 } + r _ { 2 3 } + r _ { 1 4 } } ; \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 1 6 } , V _ { 1 } ^ { G P } ( \vec { x } ) , V _ { 2 } ^ { G P } ( \vec { x } ) \right]
\mathbf { q } \equiv \left( \begin{array} { l } { q _ { x } } \\ { q _ { y } } \\ { q _ { z } } \end{array} \right) = \frac { { \bf J _ { \mathrm { k } } } \times \mathbf { \hat { z } } } { | { \bf J _ { \mathrm { k } } } \times \mathbf { \hat { z } } | } ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \| \tilde { \phi } ^ { n + 1 } \| _ { \infty } \leq \frac { C \| \tilde { \phi } ^ { n + 1 } \| _ { H _ { h } ^ { 1 } } } { h ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \le \hat { C } _ { 1 } ( s ^ { \frac { 3 } { 4 } } + h ^ { \frac { 3 } { 4 } } ) \le \frac { \epsilon _ { 0 } ^ { \star } } { 2 } , } \\ & { } & { \| \tilde { \phi } ^ { n + 1 } \| _ { 4 } \leq C \| \tilde { \phi } ^ { n + 1 } \| _ { H _ { h } ^ { 1 } } \leq C ( s ^ { \frac { 5 } { 4 } } + h ^ { \frac { 5 } { 4 } } ) . } \end{array}
\mathbb { E } \left[ \frac { \partial H _ { J } ( \sigma , \alpha ; \lambda ) } { \partial \lambda } H _ { J } ( \sigma ^ { \prime } , \alpha ^ { \prime } ; \lambda ) \right] = \frac { N } { 4 } \bigg [ \big ( \sigma \cdot \sigma ^ { \prime } \big ) ^ { p } + ( p - 1 ) \big ( \alpha \cdot \alpha ^ { \prime } \big ) ^ { p } - p \big ( \alpha \cdot \alpha ^ { \prime } \big ) ^ { p - 1 } \big ( \sigma \cdot \sigma ^ { \prime } \big ) \bigg ] .
\begin{array} { r l } & { \ \int _ { 0 } ^ { \infty } \operatorname* { s u p } _ { \theta \in \Theta } | f _ { T S S } ( y ; \alpha , \delta , \lambda ) | \int _ { - \infty } ^ { \infty } \operatorname* { s u p } _ { \theta \in \Theta } \bigg | \frac { \partial } { \partial \mu } f _ { N } ( z ; \mu + \beta y , y ) \bigg | \mathrm { d } z \mathrm { d } y } \\ { \le } & { \ C \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \sqrt { y } } \operatorname* { s u p } _ { \theta \in \Theta } | f _ { T S S } ( y ; \alpha , \delta , \lambda ) | \mathrm { d } y } \\ { < } & { \ \infty . } \end{array}
\begin{array} { r l } { B _ { h } ( t ) } & { = \sum _ { k \in \mathbb { Z } } 2 ^ { - J h } S _ { J , k } ^ { ( h ) } \left( \Phi _ { \Delta } ^ { ( h + 1 / 2 ) } ( 2 ^ { J } t - k ) - \Phi _ { \Delta } ^ { ( h + 1 / 2 ) } ( - k ) \right) } \\ & { \quad + \sum _ { j = J } ^ { + \infty } \sum _ { k \in \mathbb { Z } } 2 ^ { - j h } g _ { j , k } ^ { \psi } \Big ( \psi _ { h + 1 } ( 2 ^ { j } t - k ) - \psi _ { h + 1 } ( - k ) \Big ) , } \end{array}
\begin{array} { c c c } { { \left\{ \begin{array} { l } { { \displaystyle \dot { Q } ^ { i } = \frac { 1 } { B } \, \varepsilon _ { j } ^ { i } E ^ { j } , } } \\ { { \dot { H } = 0 , } } \end{array} \right. } } \end{array}
S _ { 0 } \left\vert \begin{array} { c } { { N } } \\ { { ( p , q ) } } \end{array} , k \right> = \left( k + \displaystyle \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 2 p - 1 } { 2 m } - \frac { 2 q - 1 } { 2 n } - N \right) \right) \left\vert \begin{array} { c } { { N } } \\ { { ( p , q ) } } \end{array} , k \right> ,
{ \frac { d ^ { 2 } \sigma } { d t d M _ { \rho \pi } } } = { \frac { 3 8 9 . 3 \, \mu \mathrm { b ~ G e V } ^ { 2 } } { 4 m _ { N } ^ { 2 } E _ { \gamma } ^ { 2 } } } | A _ { O P E } ( s , t ) | ^ { 2 } { \frac { M _ { \rho \pi } } { q } } \sum _ { X , J ^ { P } } { \frac { m _ { X } \Gamma _ { X \to \gamma \pi } ( q ( M _ { \rho \pi } ) ) \Gamma _ { X \to \rho ^ { 0 } \pi ^ { + } } ^ { L _ { \rho \pi } } ( k _ { \rho \pi } ( M _ { \rho \pi } ) ) } { ( M _ { \rho \pi } - m _ { X } - \Sigma _ { X , J ^ { P } } ( M _ { \rho \pi } ) ) ^ { 2 } + \left( { \frac { \Gamma _ { X , J ^ { P } } ( M _ { \rho \pi } ) } { 2 } } \right) ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r } { \mathbf { C } _ { \mathbf { u } } = \frac { 1 } { k ^ { 2 } } \left[ \begin{array} { c c c } { i \alpha \mathcal { D } } & { - i \beta } & { 0 } \\ { k ^ { 2 } } & { 0 } & { 0 } \\ { i \beta \mathcal { D } } & { i \alpha } & { 0 } \end{array} \right] ; ~ ~ ~ ~ \mathbf { C } _ { \theta } = \left[ \begin{array} { c c c } { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { G _ { \alpha \beta } } & { { } = g ^ { \gamma \mu } { \bigl [ } g _ { \gamma [ \beta , \mu ] \alpha } + g _ { \alpha [ \mu , \beta ] \gamma } - { \frac { 1 } { 2 } } g _ { \alpha \beta } g ^ { \epsilon \sigma } ( g _ { \epsilon [ \mu , \sigma ] \gamma } + g _ { \gamma [ \sigma , \mu ] \epsilon } ) { \bigr ] } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \left( \hat { \tau } _ { k } \right) } & { { } = \frac { 2 V _ { \mathrm { ~ n ~ o ~ } } N } { m \alpha ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \left( 2 k \pi / N \right) } } \\ { \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } \left( \hat { \tau } _ { k } \right) } & { { } : = \sigma _ { k } ^ { 2 } = \left( \frac { 2 V _ { \mathrm { ~ n ~ o ~ } } N } { m \alpha ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \left( 2 k \pi / N \right) } \right) ^ { 2 } } \end{array}
\{ \Phi , \Psi \} = P ^ { a b } \partial _ { a } \Phi \partial _ { b } \Psi + P ^ { \alpha \beta } \partial _ { \alpha } ^ { R } \Phi \partial _ { \beta } ^ { L } \Psi = P ^ { A B } \partial _ { A } ^ { R } \Phi \partial _ { B } ^ { L } \Psi .
\begin{array} { r l r } & { } & { 2 3 0 4 t ^ { 1 7 } + 1 7 6 4 t ^ { 1 6 } + 1 2 9 6 t ^ { 1 5 } + 9 0 0 t ^ { 1 4 } + 5 7 6 t ^ { 1 3 } + 3 2 4 t ^ { 1 2 } - 1 0 8 t ^ { 1 1 } + 7 5 6 t ^ { 1 0 } } \\ & { } & { + 1 4 7 6 t ^ { 9 } + 2 0 5 2 t ^ { 8 } + 2 4 8 4 t ^ { 7 } + 2 7 7 2 t ^ { 6 } + 9 0 0 t ^ { 5 } + 5 7 6 t ^ { 4 } + 3 2 4 t ^ { 3 } + 1 4 4 t ^ { 2 } + 3 6 t } \end{array}
{ \mathcal { W _ { F B } } } = \frac { 1 } { N } \sum _ { k , l } \left[ { \bf { \chi } } _ { k } ^ { \dag } ( { \bf { s } } _ { l } \otimes { \bf { p } } _ { l } ^ { \dag } ) \phi _ { k } + \phi _ { k } ^ { \dag } ( { \bf { p } } _ { l } \otimes { \bf { s } } _ { l } ^ { \dag } ) \chi _ { k } \right]
\{ ( H _ { y } ) _ { i ^ { \prime \prime } - 2 , j ^ { \prime \prime } - 2 } , \ldots , ( H _ { y } ) _ { i ^ { \prime \prime } + 2 , j ^ { \prime \prime } + 2 } \} , \{ ( E _ { z } ) _ { i ^ { \prime \prime } - 2 , j ^ { \prime \prime } - 2 } , \ldots , ( E _ { z } ) _ { i ^ { \prime \prime } + 2 , j ^ { \prime \prime } + 2 } \}
\frac { 1 } { n } \mathbb { E } \big [ \mathbb { E } \big [ N _ { n + 1 } ( u ) ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { n } \big ] \big ] = \frac { 1 } { n } \mathbb { E } \big [ \langle N ( u ) \rangle _ { n } \big ] \to \bigg ( \frac { \beta } { \beta - a ( \beta + 1 ) } \bigg ) ^ { 2 } u ^ { T } u \quad \mathrm { a s } \quad n \to \infty \quad \mathbb { P } \mathrm { - a . s . }
S _ { \mathrm { m a s s i v e \ I I A } } ( C ^ { ( 9 ) } ) \sim \int d ^ { 1 0 } x { \sqrt { | g | } } \left\{ e ^ { - 2 \phi } \left[ R - 4 ( \partial \phi ) ^ { 2 } \right] - \frac { 1 } { 2 \times 1 0 ! } ( G ^ { ( 1 0 ) } ) ^ { 2 } + \cdots \right\} \, .
\eta _ { 0 } \ = \ \frac { 1 } { M _ { 1 } ^ { 2 } } \left( \frac { g _ { L } ^ { 2 } } { 8 } \right) \, \cos ^ { 2 } \zeta \ = \, f r a c { 1 } { M _ { 1 } ^ { 2 } } \left( \frac { g _ { L } ^ { 2 } } { 8 } \right) \, \frac { 1 } { 1 + t ^ { 2 } } \ \ \ .
f _ { i j } ^ { ( 2 ) } ( x , y ) = \left( \begin{array} { c c c c c c } { { 0 } } & { { 0 } } & { { - 1 } } & { { 0 } } & { { - \frac { m } { 2 } \partial _ { x } ^ { 2 } } } & { { - \partial _ { x } ^ { 1 } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { - 1 } } & { { \frac { m } { 2 } \partial _ { x } ^ { 1 } } } & { { - \partial _ { x } ^ { 2 } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \partial _ { x } ^ { 1 } } } & { { 0 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \partial _ { x } ^ { 2 } } } & { { 0 } } \\ { { - \frac { m } { 2 } \partial _ { x } ^ { 2 } } } & { { \frac { m } { 2 } \partial _ { x } ^ { 1 } } } & { { \partial _ { x } ^ { 1 } } } & { { \partial ^ { 2 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { - \partial _ { x } ^ { 1 } } } & { { - \partial _ { x } ^ { 2 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) \delta ^ { 2 } ( x - y ) .
\begin{array} { l l } { { \displaystyle { f = } } } & { { \displaystyle { 2 n ( 1 - n ) \tau _ { n n } - n \tau _ { n } - 2 n w ( \chi _ { n } + n \chi _ { n n } ) + \left( \alpha w ^ { 2 } / \, 2 \right) n \tau _ { n n } \, , } } } \\ { { \mathrm { } } } \\ { { \displaystyle { g = } } } & { { \displaystyle { 2 n ( 1 - n ) \chi _ { n n } + ( 2 - 3 n ) \chi _ { n } + \alpha w \left( 2 n \tau _ { n n } + \tau _ { n } \right) + \left( \alpha w ^ { 2 } / \, 2 \right) \left( n \chi _ { n n } + \chi _ { n } \right) \, . } } } \end{array}
\mathbf { r } = \mathbf { x } + \mathbf { e } _ { 5 } = { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \\ { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \\ { 1 } \end{array} \right) } + { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \\ { 1 } \\ { 0 } \\ { 1 } \\ { 1 } \\ { 1 } \end{array} \right) }
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathrm { E } _ { 1 } e ^ { \mathrm { i } t _ { 1 } T _ { N } + \mathrm { i } t _ { 2 } T } \, = \, \mathrm { E } _ { 1 } e ^ { \mathrm { i } t _ { 1 } T _ { N } + \mathrm { i } t _ { 2 } \psi \left( T _ { N } , A \right) } \, = \, \int \int e ^ { \mathrm { i } t _ { 1 } u + \mathrm { i } t _ { 2 } \psi \left( u , x \right) } f _ { 1 } ^ { T _ { N } , A } ( u , x ) d u d x } \\ & { } & { \qquad = \, \int \int e ^ { \mathrm { i } t _ { 1 } u + \mathrm { i } t _ { 2 } \psi \left( u , x \right) } f _ { 1 } ^ { T _ { N } } ( u ) f _ { 1 } ^ { A } ( x ) d u d x \, = \, \int \int e ^ { \mathrm { i } t _ { 1 } u + \mathrm { i } t _ { 2 } \psi \left( u , x \right) } f _ { 1 } ^ { T _ { N } } ( u ) f _ { 0 } ^ { A } ( x ) d u d x } \\ & { } & { \qquad = \, \int \int L ^ { T _ { N } } ( u ) \, e ^ { \mathrm { i } t _ { 1 } u + \mathrm { i } t _ { 2 } \psi \left( u , x \right) } f _ { 0 } ^ { T _ { N } } ( u ) f _ { 0 } ^ { A } ( x ) d u d x \, = \, \mathrm { E } _ { 0 } \left\{ L ^ { T _ { N } } ( T _ { N } ) \, e ^ { \mathrm { i } t _ { 1 } T _ { N } + \mathrm { i } t _ { 2 } \psi \left( T _ { N } , A \right) } \right\} } \\ & { } & { = \mathrm { E } _ { 0 } \left\{ L ^ { T _ { N } } ( T _ { N } ) \, e ^ { \mathrm { i } t _ { 1 } T _ { N } + \mathrm { i } t _ { 2 } T } \right\} , } \end{array}
H _ { D } = \int d ^ { 3 } \sigma \lambda ^ { \mu } ( \tau , \vec { \sigma } ) { \cal H } _ { \mu } ( \tau , \vec { \sigma } ) + \lambda _ { \tau } ( \tau , \vec { \sigma } ) \pi ^ { \tau } ( \tau , \vec { \sigma } ) - A _ { \tau } ( \tau , \vec { \sigma } ) \Gamma ( \tau , \vec { \sigma } ) ] .
\begin{array} { r l } { \mathbf { L } } & { { } = { \left( \begin{array} { l l l } { L ^ { 1 1 } } & { L ^ { 1 2 } } & { L ^ { 1 3 } } \\ { L ^ { 2 1 } } & { L ^ { 2 2 } } & { L ^ { 2 3 } } \\ { L ^ { 3 1 } } & { L ^ { 3 2 } } & { L ^ { 3 3 } } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { L _ { x y } } & { L _ { x z } } \\ { L _ { y x } } & { 0 } & { L _ { y z } } \\ { L _ { z x } } & { L _ { z y } } & { 0 } \end{array} \right) } = { \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { L _ { x y } } & { - L _ { z x } } \\ { - L _ { x y } } & { 0 } & { L _ { y z } } \\ { L _ { z x } } & { - L _ { y z } } & { 0 } \end{array} \right) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \mathcal { Z } } _ { i j } } & { { } = \sum _ { \boldsymbol { x } _ { i } } p ( x _ { i } ^ { 0 } ) \prod _ { t = 0 } ^ { T - 1 } M _ { x _ { i } ^ { t } x _ { i } ^ { t + 1 } } ^ { i \setminus j } p \left( O _ { i } ^ { T } \mid x _ { i } ^ { T } \right) } \end{array}
\{ \hat { a } _ { i \sigma } ^ { \dag } , \hat { a } _ { j \tau } \} = \delta _ { i j } \delta _ { \sigma \tau } , \quad \{ \hat { a } _ { i \sigma } , \hat { a } _ { j \tau } \} = 0 , \quad \{ \hat { a } _ { i \sigma } ^ { \dag } , \hat { a } _ { j \tau } ^ { \dag } \} = 0 .
\begin{array} { r l } { \varphi _ { \ell } ( k ) } & { = \binom { 2 \ell } { k + \ell } 4 ^ { - \ell } = \binom { 2 \ell } { \ell } 4 ^ { - \ell } \cdot \prod _ { j = 1 } ^ { k } \Big ( 1 - \frac { 2 j - 1 } { \ell + j } \Big ) } \\ & { = \frac { 1 } { \sqrt { \pi \ell + O ( 1 ) } } \cdot \exp \left( \sum _ { j = 1 } ^ { k } \log \Big ( 1 - \frac { 2 j - 1 } { \ell + j } \Big ) \right) } \\ & { = \frac { 1 } { \sqrt { \pi \ell } } e ^ { O ( 1 / \ell ) } \cdot \exp \left( - \sum _ { j = 1 } ^ { k } \Big ( \frac { 2 j - 1 } { \ell } + O ( j ^ { 2 } / \ell ^ { 2 } ) \Big ) \right) } \\ & { = \frac { 1 } { \sqrt { \pi \ell } } e ^ { - k ^ { 2 } / \ell + O ( k ^ { 3 } / \ell ^ { 2 } ) + O ( 1 / \ell ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \mathrm { d } ( P | a ) _ { T } } { \mathrm { d } ( Q | a ) _ { T } } \left( X ^ { Q } \right) } \\ & { = \exp \left( \frac { \beta } { 2 } \int _ { 0 } ^ { T } \left\langle \left( b ^ { P } - b ^ { Q } \right) \left( t , a , X ^ { Q } \right) , \mathrm { d } B _ { t } \right\rangle - \frac { \beta ^ { 2 } } { 4 } \int _ { 0 } ^ { T } \left| \left( b ^ { P } - b ^ { Q } \right) \left( t , a , X ^ { Q } \right) \right| ^ { 2 } \mathrm { d } t \right) . } \end{array}
A = \left[ \begin{array} { l l l } { \alpha \frac { U _ { 2 } } { \sqrt { U _ { 1 } } } } & { ( 1 - 3 \alpha ) \sqrt { U _ { 1 } } } & { 0 } \\ { 2 \alpha \sqrt { U _ { 1 } } } & { \frac { 1 } { 2 } \frac { U _ { 2 } } { \sqrt { U _ { 1 } } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \frac { 1 } { 2 } \frac { U _ { 2 } } { \sqrt { U _ { 1 } } } } \end{array} \right] , B = \left[ \begin{array} { l l l } { \beta \frac { U _ { 3 } } { \sqrt { U _ { 1 } } } } & { 0 } & { ( 1 - 3 \beta ) \sqrt { U _ { 1 } } } \\ { 0 } & { \frac { 1 } { 2 } \frac { U _ { 3 } } { \sqrt { U _ { 1 } } } } & { 0 } \\ { 2 \beta \sqrt { U _ { 1 } } } & { 0 } & { \frac { 1 } { 2 } \frac { U _ { 3 } } { \sqrt { U _ { 1 } } } } \end{array} \right] , C = \left[ \begin{array} { l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - f } \\ { 0 } & { + f } & { 0 } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { \left\langle e ^ { \lambda d } \right\rangle = e ^ { \lambda ( K - 1 ) } \sum _ { l = 0 } ^ { K - 1 } } & { { } \biggl [ \left( \beta ( 1 - \beta ) ^ { l } + ( 1 - \beta ) \right) ^ { N } } \end{array}