harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { n ^ { - 2 q r } \widetilde \Sigma _ { r } ^ { - 2 } ( q ) \sum _ { l _ { 1 } , l _ { 2 } , l _ { 3 } , l _ { 4 } \in \mathcal { L } } \sum _ { i , j = q r } ^ { n } \sum _ { i _ { t } < i , j _ { t } < j } ^ { ( b ) } \mathbb { E } \left[ H _ { q , l _ { 1 } } ^ { ( r ) } ( X _ { i _ { 1 } } , \ldots , X _ { i _ { q r - 1 } } , X ^ { \prime } ) H _ { q , l _ { 2 } } ^ { ( r ) } ( X _ { i _ { 1 } } , \ldots , X _ { i _ { q r - 1 } } , X ^ { \prime } ) \right. } \\ & { ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ \left. H _ { q , l _ { 3 } } ^ { ( r ) } ( X _ { j _ { 1 } } , \ldots , X _ { j _ { q r - 1 } } , X ^ { \prime \prime } ) H _ { q , l _ { 4 } } ^ { ( r ) } ( X _ { j _ { 1 } } , \ldots , X _ { j _ { q r - 1 } } , X ^ { \prime \prime } ) \right] } \\ { = } & { O ( \frac { 1 } { n } ) \tilde { \Sigma } _ { r } ^ { - 2 } ( q ) \cdot O ( \tilde { \Sigma } _ { r } ^ { 2 } ( q ) ) \rightarrow 0 . . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } _ { 1 } } & { { } = ( 3 \mathbf { z } - \mathbf { r } ) \times ( \boldsymbol { \omega } _ { \mathrm { ~ r ~ } } \times \mathbf { B } _ { 0 } ) = - \omega _ { \mathrm { ~ r ~ } } B _ { 0 } ( 2 \mathbf { z } - \mathbf { x } - \mathbf { y } ) \times ( \mathbf { \hat { z } } \times \mathbf { \hat { x } } ) = \omega _ { \mathrm { ~ r ~ } } B _ { 0 } [ 2 z \mathbf { \hat { x } } + x \mathbf { \hat { z } } ] } \\ { \mathbf { v } \times \mathbf { B } _ { 0 } } & { { } = [ \boldsymbol { \omega } _ { \mathrm { ~ f ~ } } \times \mathbf { r } ] \times \mathbf { B } _ { 0 } = - \boldsymbol { \omega } _ { \mathrm { ~ f ~ } } ( \mathbf { B } _ { 0 } \cdot \mathbf { r } ) + \mathbf { r } ( \mathbf { B } _ { 0 } \mathbf { \cdot } \boldsymbol { \omega } _ { \mathrm { ~ f ~ } } ) = \omega _ { \mathrm { ~ f ~ } } B _ { 0 } x \mathbf { \hat { z } } } \end{array}
N _ { j } ^ { n } ( \vec { \Delta } _ { 1 } , \vec { \Delta } _ { 2 } , . . . , \vec { \Delta } _ { n } ) = \bigl \{ p ( \vec { \Delta } _ { 1 } ) p ( \vec { \Delta } _ { 2 } ) . . . p ( \vec { \Delta } _ { n } ) \bigr \} \;
\begin{array} { r l } { \sigma } & { { } = \sigma _ { 0 } + ( 1 - \beta ) \frac { \lambda \omega _ { 0 } ^ { 2 } } { a \left( 1 + \lambda ^ { 2 } \omega _ { 0 } ^ { 2 } \right) } + \mathcal { O } \bigl ( ( 1 - \beta ) ^ { 2 } \bigr ) , } \\ { \omega } & { { } = \omega _ { 0 } + ( 1 - \beta ) \omega _ { 0 } \left( \frac { \frac { b } { a } \lambda \omega _ { 0 } + \lambda ^ { 2 } \omega _ { 0 } ^ { 2 } } { 1 + \lambda ^ { 2 } \omega _ { 0 } ^ { 2 } } \right) + \mathcal { O } \bigl ( ( 1 - \beta ) ^ { 2 } \bigr ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } [ \mathbb { I } _ { \{ \eta \ge k \} } \lambda ^ { \tau _ { h } ^ { k - 1 } } ] } & { \le } & { \left\{ \begin{array} { l l } { \mathbb { E } [ \mathbb { I } _ { \eta \ge 1 } \lambda ^ { \tau _ { h } } ] , } & { k = 2 } \\ { \gamma ^ { 1 - p } g ( \lambda ^ { 1 / p } ; C _ { 0 } \sqrt { h } , e ^ { m _ { 0 } } ) ^ { p } \mathbb { E } [ \mathbb { I } _ { \{ \eta \ge k - 1 \} } \lambda ^ { \tau _ { h } ^ { k - 2 } } ] , } & { k > 2 . } \end{array} \right. } \end{array}
\displaystyle { E ( t ) - E ( 0 ) = - \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { \Gamma _ { 3 } } c _ { \nu } \frac { \alpha } { 2 } ( \delta _ { \nu } \big ] _ { + } ^ { \alpha - 1 } { \dot { \delta } _ { \nu } } d a \ d s } = - \frac { c _ { \nu } } { 2 } \int _ { \Gamma _ { 3 } } \big ( \big [ \delta _ { \nu } \big ] _ { + } ^ { \alpha } ( t ) - \big [ \delta _ { \nu } \big ] _ { + } ^ { \alpha } ( 0 ) \big ) \, d a
\begin{array} { r } { \lambda _ { e } = \frac { 1 } { 1 + \gamma _ { e } \frac { \nu _ { e i } } { \nu _ { e H } } } \frac { 1 5 } { 2 \pi } \frac { k _ { B } ^ { 2 } n _ { e } T _ { e } } { m _ { e } \nu _ { e H } } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { \pi } } & { \sim \operatorname { S y m D i r } ( K , \alpha _ { 0 } ) } \\ { \mathbf { \Lambda } _ { i = 1 \dots K } } & { \sim { \mathcal { W } } ( \mathbf { W } _ { 0 } , \nu _ { 0 } ) } \\ { \mathbf { \mu } _ { i = 1 \dots K } } & { \sim { \mathcal { N } } ( \mathbf { \mu } _ { 0 } , ( \beta _ { 0 } \mathbf { \Lambda } _ { i } ) ^ { - 1 } ) } \\ { \mathbf { z } [ i = 1 \dots N ] } & { \sim \operatorname { M u l t } ( 1 , \mathbf { \pi } ) } \\ { \mathbf { x } _ { i = 1 \dots N } } & { \sim { \mathcal { N } } ( \mathbf { \mu } _ { z _ { i } } , { \mathbf { \Lambda } _ { z _ { i } } } ^ { - 1 } ) } \\ { K } & { = { \mathrm { n u m b e r ~ o f ~ m i x i n g ~ c o m p o n e n t s } } } \\ { N } & { = { \mathrm { n u m b e r ~ o f ~ d a t a ~ p o i n t s } } } \end{array} }
B _ { z } = \frac { \mu _ { 0 } I _ { 1 } } { 2 \pi r [ ( R _ { 1 } + r ) ^ { 2 } + z ^ { 2 } ] ^ { 1 / 2 } } \left[ \frac { R _ { 1 } ^ { 2 } - r ^ { 2 } - z ^ { 2 } } { ( R _ { 1 } - r ) ^ { 2 } + z ^ { 2 } } E + K \right] ,
h _ { S } ( w ) = \frac { \sqrt { 5 } } { \sqrt { X ( w ) ^ { 2 } \mathrm { T r } ( { \bf G } _ { 2 0 } ^ { \dagger } ( w ) { \bf S } _ { q q } ^ { - 1 } { \bf G } _ { 2 0 } ( w ) ) } } .
\begin{array} { r } { \mathbf { B } _ { i j } ^ { \left( n \right) } = \frac { 1 - \delta _ { i j } } { n \left( n + 1 \right) } \sum _ { \{ i , j \} _ { n + 1 } \subset V } \prod _ { \omega \in S _ { n + 1 } ^ { \{ i , j \} } } \mathbf { M } _ { \omega } . } \end{array}
Q ( \eta ) = \left( { \frac { 1 + \eta ^ { 2 } } { \eta ^ { 2 } } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 - \gamma } } \left[ c _ { 1 } \sin \left( { \frac { 2 } { 2 - \gamma } } \mathrm { { a r c t a n g } } \eta \right) + c _ { 2 } \cos \left( { \frac { 2 } { 2 - \gamma } } { \mathrm { a r c t a n g } } \eta \right) \right]
f _ { Q _ { f } } ( q _ { f } ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 2 } { \varepsilon } N \left( \frac { q _ { f } } { \varepsilon } | \mu , \sigma \right) \Phi \left[ \frac { \lambda } { \sigma } \Bigl ( q _ { f } - \mu \Bigr ) \right] f _ { E } ( \varepsilon ) d \varepsilon
\begin{array} { r l } & { \idotsint \, \textnormal { d } X _ { \left[ n + 1 , n + \sum _ { \lambda } n _ { \lambda } ^ { * } + \sum _ { \ell } n _ { \ell } \right] } \, \textnormal { d } Y _ { \left[ m + 1 , m + \sum _ { \lambda } m _ { \lambda } ^ { * } + \sum _ { \ell } m _ { \ell } \right] } \Bigg [ \prod _ { \lambda = 1 } ^ { \kappa } \prod _ { e \in T _ { \lambda } ^ { * } } | g _ { e } | \prod _ { \ell = 1 } ^ { k } \prod _ { e \in T _ { \ell } } | g _ { e } | \prod _ { ( \mu , \nu ) \in A } \left\vert \gamma _ { \mu \nu } \right\vert \Bigg ] } \\ & { \quad \leq C _ { \textnormal { T G } } ^ { 2 ( n + m - \kappa ) } \gamma _ { \infty } ^ { \kappa - 1 } I _ { g } ^ { \sum _ { \lambda } ( n _ { \lambda } ^ { * } + m _ { \lambda } ^ { * } ) + \sum _ { \ell } ( n _ { \ell } + m _ { \ell } ) - k } I _ { \gamma } ^ { k } . } \end{array}
{ \cal R } _ { d } ^ { 2 } ( s | t _ { 1 } , t _ { 2 } , \tau , x _ { \tau } , \tilde { T } ) = \int d ^ { 3 } r r ^ { 2 } P _ { c } ( \vec { r } | s , t _ { 1 } , t _ { 2 } ) = 6 D \tilde { s } _ { d } [ s , t _ { 1 } , t _ { 2 } , \tau , x _ { \tau } , \tilde { T } ] .
\omega _ { r } ^ { ( 2 ) } = 4 8 \rho ^ { 3 } d t _ { 0 } \int _ { S _ { r } ^ { 2 } } { \frac { \rho d x _ { 0 } ^ { i } + d \rho \, ( x - x _ { 0 } ) ^ { i } } { ( t _ { 0 } ^ { 2 } + \rho ^ { 2 } + ( { \bf x } - { \bf x } _ { 0 } ) ^ { 2 } ) ^ { 4 } } } \varepsilon _ { i j k } d x ^ { j } d x ^ { k } .
\begin{array} { r } { \partial _ { \epsilon _ { 1 } } \partial _ { \epsilon _ { 2 } } \partial _ { \epsilon _ { 3 } } \Lambda _ { b , F } ( f ) { | _ { \epsilon _ { 1 } = \epsilon _ { 2 } = \epsilon _ { 3 } = 0 } } = ( \partial _ { \nu } \mathcal { U } _ { 3 } + \frac { 1 } { 2 } \langle b ( x ) , \nu \rangle ) | _ { ( 0 , T ) \times \partial \Omega } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { n = m } ^ { \infty } { \frac { m ! } { n ! } } C _ { m } ( n ) t ^ { n } } & { = \left( \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } a _ { n } ^ { ( 2 ) } t ^ { n } \right) \left( \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { b _ { n + m } ^ { ( 2 ) } } { b _ { n + m } ^ { ( 1 ) } } } \widehat { a } _ { n } ^ { ( 1 ) } t ^ { n + m } \right) } \\ & { = t ^ { m } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left( \sum _ { k = 0 } ^ { n } a _ { k } ^ { ( 2 ) } { \frac { b _ { n + m - k } ^ { ( 2 ) } } { b _ { n + m - k } ^ { ( 1 ) } } } \widehat { a } _ { n - k } ^ { ( 1 ) } \right) t ^ { n } } \\ & { = \sum _ { n = m } ^ { \infty } \left( \sum _ { k = 0 } ^ { n - m } { \frac { b _ { n - k } ^ { ( 2 ) } } { b _ { n - k } ^ { ( 1 ) } } } a _ { k } ^ { ( 2 ) } \widehat { a } _ { n - m - k } ^ { ( 1 ) } \right) t ^ { n } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { 1 } q _ { \varepsilon , h } ( x ) d x = \frac { \varepsilon h } { 2 } , \quad \mathrm { a n d } \quad \int _ { 0 } ^ { 1 } ( q _ { \varepsilon , h } ^ { \prime } ( x ) ) ^ { 2 } d x = \frac { h ^ { 2 } } { \varepsilon } , \quad \mathrm { a n d } \quad \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - x ) ^ { \alpha } q _ { \varepsilon , h } ^ { 2 } ( x ) d x \leq \varepsilon ^ { \alpha + 1 } h ^ { 2 } . } \end{array}
{ \frac { ( \kappa _ { 2 } + \alpha ) } { a _ { 1 } - \kappa _ { 1 } ) } } { \frac { 1 } { ( \kappa _ { 1 } - \kappa _ { 2 } ) } } l n \biggl [ { \frac { \kappa _ { 2 } - \kappa _ { 1 } \kappa _ { 2 } } { \kappa _ { 1 } - \kappa _ { 1 } \kappa _ { 2 } } } \biggr ] \biggr )
Z _ { \mathrm { e f f } } ^ { \mathrm { c i r c l e } } ( R ) = \frac { 6 4 \pi } { 9 } \Lambda ^ { 2 } L _ { 3 } \left[ R ^ { 2 } \Lambda ^ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } R ^ { 4 } \Lambda ^ { 4 } + { \cal O } \left( R ^ { 6 } \Lambda ^ { 6 } \right) \right] .
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \alpha _ { 3 } \bigl ( \sigma _ { 1 } ( [ 0 3 ] ) \bigr ) + \alpha _ { 3 } \bigl ( \sigma _ { 2 } ( [ 0 3 ] ) \bigr ) } & { < \pi , } & { \qquad \alpha _ { 3 } \bigl ( \sigma _ { 1 } ( [ 3 4 ] ) \bigr ) + \alpha _ { 3 } \bigl ( \sigma _ { 2 } ( [ 3 4 ] ) \bigr ) } & { < \pi , } \\ { \alpha _ { 3 } \bigl ( \sigma _ { 2 } ( [ 0 1 ] ) \bigr ) + \alpha _ { 3 } \bigl ( \sigma _ { 3 } ( [ 0 1 ] ) \bigr ) } & { < \pi , } & { \qquad \alpha _ { 3 } \bigl ( \sigma _ { 2 } ( [ 1 4 ] ) \bigr ) + \alpha _ { 3 } \bigl ( \sigma _ { 3 } ( [ 1 4 ] ) \bigr ) } & { < \pi , } \\ { \alpha _ { 3 } \bigl ( \sigma _ { 1 } ( [ 0 2 ] ) \bigr ) + \alpha _ { 3 } \bigl ( \sigma _ { 3 } ( [ 0 2 ] ) \bigr ) } & { < \pi , } & { \qquad \alpha _ { 3 } \bigl ( \sigma _ { 1 } ( [ 2 4 ] ) \bigr ) + \alpha _ { 3 } \bigl ( \sigma _ { 3 } ( [ 2 4 ] ) \bigr ) } & { < \pi , } \end{array}
\widehat { \mathrm { v o l } } ( \overline { L } ) \leq \operatorname* { l i m s u p } \frac { \widehat \mu _ { \operatorname* { m a x } } ^ { \mathrm { a s y } } ( \pi _ { * } ( n \overline { L } ) ) h ^ { 0 } ( X , n L ) } { n ^ { d + 1 } / ( d + 1 ) ! } \leq ( d + 1 ) \widehat \mu _ { \operatorname* { m a x } } ^ { \mathrm { a s y } } ( \overline { L } ) \mathrm { v o l } ( L ) .
\begin{array} { r } { \overbrace { ( 3 \thinspace 1 9 \thinspace 3 0 \thinspace 2 1 \thinspace 1 4 \thinspace 1 1 \thinspace 9 \thinspace 1 5 \thinspace 2 9 \thinspace 6 \thinspace 8 \thinspace 3 2 ) } ^ { 3 | 1 2 } \overbrace { ( 2 \thinspace 1 0 \thinspace 1 6 \thinspace 1 3 \thinspace 3 4 \thinspace 2 0 ) } ^ { 2 | 6 } \overbrace { ( 2 4 \thinspace 2 6 \thinspace 3 3 \thinspace 2 5 \thinspace 2 8 ) } ^ { 1 | 5 } \overbrace { ( 4 \thinspace 1 8 \thinspace 2 2 \thinspace 2 3 ) } ^ { 4 | 4 } \overbrace { ( 1 \thinspace 5 \thinspace 2 7 ) } ^ { 3 | 3 } \overbrace { ( 7 \thinspace 1 2 \thinspace 3 1 ) } ^ { 1 | 3 } \overbrace { ( 1 7 ) } ^ { 1 | 1 } . } \end{array}
{ \mathcal { L } } _ { \mathrm { Y t b } } = \frac { ( \pi R ) ^ { 2 } } { 3 } \frac { m _ { t } ^ { 2 } } { v ^ { 2 } } \left( \bar { b } _ { L } \, t _ { R } \right) \left( \bar { t } _ { R } \, b _ { L } \right) \, .
\frac { \partial f _ { e } } { \partial t } + \textbf { v } \cdot \frac { \partial f _ { e } } { \partial \textbf { r } } + \frac { q _ { e } } { m _ { e } } ( \textbf { E } + { \textbf { v } \times \textbf { B } } ) \cdot \frac { \partial f _ { e } } { \partial \textbf { v } } = \frac { \partial f _ { e } } { \partial t } | _ { \mathrm { ~ e ~ , ~ e ~ ; ~ e ~ , ~ i ~ } } .
\tilde { H } \approx m + A _ { 0 } + \frac { \vec { P } ^ { 2 } } { 2 m } - \frac { \vec { P } ^ { 4 } } { 8 m ^ { 3 } } - \frac { 1 } { 4 m ^ { 2 } } [ \vec { P } ^ { 2 } , A _ { 0 } ] + \frac { 1 } { 1 6 m ^ { 4 } } [ \vec { P } ^ { 2 } , [ \vec { P } ^ { 2 } , A _ { 0 } ] ] + \frac { 1 } { 8 m ^ { 4 } } [ \vec { P } ^ { 4 } , A _ { 0 } ]
\theta _ { t } ( i ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \mathrm { ~ c ~ o ~ u ~ n ~ t ~ r ~ y ~ i ~ i ~ s ~ i ~ n ~ l ~ o ~ c ~ k ~ d ~ o ~ w ~ n ~ } , } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \mathrm { ~ c ~ o ~ u ~ n ~ t ~ r ~ y ~ i ~ i ~ s ~ n ~ o ~ t ~ i ~ n ~ l ~ o ~ c ~ k ~ d ~ o ~ w ~ n ~ } . } \end{array} \right.
\overline { { s } } _ { v } \supseteq \{ 0 \} \cup \{ 1 , \dots , | \delta ^ { + } ( q ) | \} \setminus \{ \overline { { w } } _ { 1 } , \overline { { w } } _ { 2 } , \dots , \overline { { w } } _ { d } \} = \{ 0 \} \cup \{ 1 , \dots , | \delta ^ { + } ( q ) | \} \setminus \{ \dot { w } _ { 1 } , \dot { w } _ { 2 } , \dots , \dot { w } _ { d } \} = \dot { s } _ { u }
\hat { \phi } ( \vec { x } ; \vec { \beta } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \beta _ { i } \sigma ( \vec { w } _ { i } ^ { T } \vec { x } + b _ { i } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { N } \beta _ { i } \sigma _ { i } ( \vec { x } ) \equiv \vec { \beta } ^ { T } \vec { \sigma } ( \vec { x } ) .
\begin{array} { r l } { a _ { 1 , \alpha } } & { { } = \operatorname* { m i n } _ { a } \left\{ \left( \int _ { a _ { 1 } < a } p ( a _ { 1 } | D , K ) \textup { d } a _ { 1 } \right) > \alpha \right\} , } \\ { a _ { 2 , \alpha } } & { { } = \operatorname* { m i n } _ { a } \left\{ \left( \int _ { a _ { 2 } < a } p ( a _ { 2 } | D , K ) \textup { d } a _ { 2 } \right) > \alpha \right\} , } \\ { a _ { 3 , \alpha } } & { { } = \operatorname* { m i n } _ { a } \left\{ \left( \int _ { a _ { 3 } < a } p ( a _ { 3 } | D , K ) \textup { d } a _ { 3 } \right) > \alpha \right\} . } \end{array}
E _ { n } = \hbar \omega \left[ \left( n + \frac { 1 } { 2 } \right) \sqrt { 1 + \frac { \beta ^ { 2 } \mu ^ { 2 } \hbar ^ { 2 } \omega ^ { 2 } } { 4 } } + \left( n ^ { 2 } + n + \frac { 1 } { 2 } \right) \frac { \beta \mu \hbar \omega } { 2 } \right] \; .
2 . \left( { \mathrm { y e a r } } + { \Big \lfloor } { \frac { \mathrm { y e a r } } { 4 } } { \Big \rfloor } + { \Big \lfloor } { \frac { \mathrm { y e a r } } { 4 0 0 } } { \Big \rfloor } - { \Big \lfloor } { \frac { \mathrm { y e a r } } { 1 0 0 } } { \Big \rfloor } - 1 \right) { \bmod { 7 } }
\nu _ { \mathrm { ~ d ~ i ~ s ~ s ~ , ~ } \mathrm { ~ D ~ } _ { 2 } ^ { + } } = n _ { \mathrm { ~ e ~ } } \left\langle v _ { \mathrm { ~ e ~ } } \sigma _ { \mathrm { ~ d ~ i ~ s ~ s ~ , ~ } \mathrm { ~ D ~ } _ { 2 } ^ { + } } ( v _ { \mathrm { ~ e ~ } } ) \right\rangle
\begin{array} { r l } { \bigl | \mathbb E F _ { M } - \mathbb E F _ { M , \varepsilon } ^ { \mathrm { \tiny ~ P V B } } \bigr | } & { \leq \frac { C ^ { \prime } } { M ^ { \frac { 2 - \alpha } { 1 + 3 \alpha } } } \leq \frac { C ^ { \prime \prime } } { ( M + N ) ^ { \frac { 2 - \alpha } { 1 + 3 \alpha } } } , } \\ { \bigl | \mathbb E F _ { N } - \mathbb E F _ { N , \varepsilon } ^ { \mathrm { \tiny ~ P V B } } \bigr | } & { \leq \frac { C ^ { \prime } } { N ^ { \frac { 2 - \alpha } { 1 + 3 \alpha } } } \leq \frac { C ^ { \prime \prime } } { ( M + N ) ^ { \frac { 2 - \alpha } { 1 + 3 \alpha } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { - i \epsilon ^ { \sigma 0 1 2 } \gamma _ { \sigma } \gamma ^ { 5 } } & { { } = - i \epsilon ^ { 3 0 1 2 } \left( - \gamma ^ { 3 } \right) \left( i \gamma ^ { 0 } \gamma ^ { 1 } \gamma ^ { 2 } \gamma ^ { 3 } \right) = - \epsilon ^ { 3 0 1 2 } \gamma ^ { 0 } \gamma ^ { 1 } \gamma ^ { 2 } = \epsilon ^ { 0 1 2 3 } \gamma ^ { 0 } \gamma ^ { 1 } \gamma ^ { 2 } } \\ { - i \epsilon ^ { \sigma 0 1 3 } \gamma _ { \sigma } \gamma ^ { 5 } } & { { } = - i \epsilon ^ { 2 0 1 3 } \left( - \gamma ^ { 2 } \right) \left( i \gamma ^ { 0 } \gamma ^ { 1 } \gamma ^ { 2 } \gamma ^ { 3 } \right) = \epsilon ^ { 2 0 1 3 } \gamma ^ { 0 } \gamma ^ { 1 } \gamma ^ { 3 } = \epsilon ^ { 0 1 2 3 } \gamma ^ { 0 } \gamma ^ { 1 } \gamma ^ { 3 } } \\ { - i \epsilon ^ { \sigma 0 2 3 } \gamma _ { \sigma } \gamma ^ { 5 } } & { { } = - i \epsilon ^ { 1 0 2 3 } \left( - \gamma ^ { 1 } \right) \left( i \gamma ^ { 0 } \gamma ^ { 1 } \gamma ^ { 2 } \gamma ^ { 3 } \right) = - \epsilon ^ { 1 0 2 3 } \gamma ^ { 0 } \gamma ^ { 2 } \gamma ^ { 3 } = \epsilon ^ { 0 1 2 3 } \gamma ^ { 0 } \gamma ^ { 2 } \gamma ^ { 3 } } \\ { - i \epsilon ^ { \sigma 1 2 3 } \gamma _ { \sigma } \gamma ^ { 5 } } & { { } = - i \epsilon ^ { 0 1 2 3 } \left( \gamma ^ { 0 } \right) \left( i \gamma ^ { 0 } \gamma ^ { 1 } \gamma ^ { 2 } \gamma ^ { 3 } \right) = \epsilon ^ { 0 1 2 3 } \gamma ^ { 1 } \gamma ^ { 2 } \gamma ^ { 3 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { k _ { 1 , 1 } ( 3 ) } & { = 2 \lambda _ { 1 } ^ { 3 } \delta _ { 1 , 1 } + 5 \lambda _ { 1 } ^ { 2 } \delta _ { 1 } \delta _ { 1 , 1 } + \lambda _ { 1 } \lambda _ { 2 } \delta _ { 1 , 1 } + 4 \lambda _ { 1 } \delta _ { 1 } ^ { 2 } \delta _ { 1 , 1 } + \lambda _ { 2 } \delta _ { 1 } \delta _ { 1 , 1 } + } \\ & { + \lambda _ { 2 } \delta _ { 1 , 1 , 1 } + \lambda _ { 3 } \delta _ { 1 , 1 } + \delta _ { 1 } ^ { 3 } \delta _ { 1 , 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left( \mathcal { L } h , g \right) } & { = } & { \sum _ { \alpha , \beta = 1 } ^ { s } \sum _ { i , k = 1 } ^ { r _ { \alpha } } \sum _ { j , l = 1 } ^ { r _ { \beta } } \int _ { \left( \mathbb { R } ^ { 3 } \right) ^ { 4 } } \Delta _ { i j , k l } ^ { \alpha \beta } \left( \mathcal { M } ^ { - 1 / 2 } h \right) \frac { g _ { \alpha , i } } { M _ { \alpha , i } ^ { 1 / 2 } } \, d \widetilde { A } _ { i j , k l } ^ { \alpha \beta } } \\ & { = } & { \sum _ { \alpha , \beta = 1 } ^ { s } \sum _ { i , k = 1 } ^ { r _ { \alpha } } \sum _ { j , l = 1 } ^ { r _ { \beta } } \int _ { \left( \mathbb { R } ^ { 3 } \right) ^ { 4 } } \Delta _ { i j , k l } ^ { \alpha \beta } \left( \mathcal { M } ^ { - 1 / 2 } h \right) \frac { g _ { \beta , j \ast } } { M _ { \beta , j \ast } ^ { 1 / 2 } } \, d \widetilde { A } _ { i j , k l } ^ { \alpha \beta } } \\ & { = } & { - \sum _ { \alpha , \beta = 1 } ^ { s } \sum _ { i , k = 1 } ^ { r _ { \alpha } } \sum _ { j , l = 1 } ^ { r _ { \beta } } \int _ { \left( \mathbb { R } ^ { 3 } \right) ^ { 4 } } \Delta _ { i j , k l } ^ { \alpha \beta } \left( \mathcal { M } ^ { - 1 / 2 } h \right) \frac { g _ { \alpha , k } ^ { \prime } } { \left( M _ { \alpha , k } ^ { \prime } \right) ^ { 1 / 2 } } \, d \widetilde { A } _ { i j , k l } ^ { \alpha \beta } } \\ & { = } & { - \sum _ { \alpha , \beta = 1 } ^ { s } \sum _ { i , k = 1 } ^ { r _ { \alpha } } \sum _ { j , l = 1 } ^ { r _ { \beta } } \int _ { \left( \mathbb { R } ^ { 3 } \right) ^ { 4 } } \Delta _ { i j , k l } ^ { \alpha \beta } \left( \mathcal { M } ^ { - 1 / 2 } h \right) \frac { g _ { \beta , l \ast } ^ { \prime } } { \left( M _ { \beta , l \ast } ^ { \prime } \right) ^ { 1 / 2 } } \, d \widetilde { A } _ { i j , k l } ^ { \alpha \beta } \mathrm { , } } \end{array}
{ \frac { d \alpha } { d \ln Q ^ { 2 } } } = { \frac { \beta _ { 0 } \alpha ^ { 2 } } { 1 - { \frac { \beta _ { 1 } } { \beta _ { 0 } } } \alpha ^ { 2 } } } = \beta _ { 0 } \alpha ^ { 2 } + \beta _ { 1 } \alpha ^ { 4 } + { \frac { \beta _ { 1 } } { \beta _ { 0 } } } \alpha ^ { 6 } + \dots
\begin{array} { r l } { | J _ { 2 } ( G ( \cdot , u _ { \cdot } ^ { G } ) ) - J _ { 2 } ( P _ { h } G ( \cdot , u _ { \cdot } ^ { G , h } ) ) | ^ { 2 } } & { \leq C \, \ensuremath { { \mathbb E } } \left[ \int _ { 0 } ^ { T } \| { G } ( t , u _ { t } ^ { { G } } ) - P _ { h } { G } ( t , u _ { t } ^ { { G } , h } ) \| _ { H } ^ { 2 } d t \right] } \\ & { \leq C \, \ensuremath { { \mathbb E } } \left[ \int _ { 0 } ^ { T } \| P _ { h } ( { G } ( t , u _ { t } ^ { { G } } ) - G ( t , u _ { t } ^ { G , h } ) ) \| _ { H } ^ { 2 } d t \right] } \\ & { \quad + C \, \ensuremath { { \mathbb E } } \left[ \int _ { 0 } ^ { T } \| G ( t , u _ { t } ^ { G } ) - P _ { h } G ( t , u _ { t } ^ { G } ) \| _ { H } ^ { 2 } d t \right] } \\ & { \leq C \, \ensuremath { { \mathbb E } } \left[ \int _ { 0 } ^ { T } \| u _ { t } ^ { G } - u _ { t } ^ { G , h } \| _ { H } ^ { 2 } d t \right] } \\ & { \quad + C \, \ensuremath { { \mathbb E } } \left[ \int _ { 0 } ^ { T } \| G ( t , u _ { t } ^ { G } ) - P _ { h } G ( t , u _ { t } ^ { G } ) \| _ { H } ^ { 2 } d t \right] , } \end{array}
A _ { \mu } ^ { \prime } ( K ) = \Big [ - { \frac { A _ { \mu \nu } } { K ^ { 2 } - \Pi _ { T } } } + K ^ { 2 } { \frac { \tilde { F } _ { \mu } \tilde { F } _ { \nu } } { ( F \cdot H ) ^ { 2 } } } \Big ] J _ { \mathrm { f r e e } } ^ { \nu } ( K )
\begin{array} { r l } { R _ { 0 } ^ { 6 } } & { { } = \frac { 9 0 0 0 \ln 1 0 } { 1 2 8 \pi ^ { 5 } N _ { \mathrm { A } } n ^ { 4 } } \kappa ^ { 2 } Q _ { f , D } \int { I _ { D } \left( \lambda \right) \epsilon _ { A } \left( \lambda \right) \lambda ^ { 4 } d \lambda } , } \end{array}
A = \left[ \begin{array} { l l l } { x _ { 1 } ^ { ( 1 ) } } & { \ldots } & { x _ { d } ^ { ( 1 ) } } \\ { \vdots } & { } & { \vdots } \\ { x _ { 1 } ^ { ( N ) } } & { \ldots } & { x _ { d } ^ { ( N ) } } \end{array} \right] \in \mathbb { R } ^ { N \times d } \qquad \mathrm { a n d } \qquad B = \left[ \begin{array} { l l l } { x _ { 1 } ^ { ( N + 1 ) } } & { \ldots } & { x _ { d } ^ { ( N + 1 ) } } \\ { \vdots } & { } & { \vdots } \\ { x _ { 1 } ^ { ( 2 N ) } } & { \ldots } & { x _ { d } ^ { ( 2 N ) } } \end{array} \right] \in \mathbb { R } ^ { N \times d } ,
\Phi _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( u _ { 1 } , g ) = 2 u ^ { 2 } \Phi _ { 0 } ^ { ( 1 ) } ( u _ { 1 } , g ) \Phi _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( u _ { 1 } , g ) + g u _ { 1 } \partial _ { u _ { 1 } } ^ { 2 } \Phi _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( u _ { 1 } , g ) + u _ { 1 } ^ { 2 } \Phi _ { 0 } ^ { ( 2 ) } ( u _ { 1 } , u _ { 1 } , g ) \ .
{ \left\| \tilde { \mathcal { B } } _ { k } ^ { - 1 } \left( \tilde { \mathcal { B } } _ { k } - \mathcal { B } _ { k } \right) \mathcal { B } _ { k } ^ { - 1 } { \boldsymbol { \varphi } } _ { k } \right\| } _ { 2 } \leq \frac { \left| { \tilde { q } } _ { k } - { q } _ { k } \right| } { { q } _ { k } } \left( 1 + \frac { { \tilde { q } } _ { k } } { { q } _ { k } } \right) \left( 2 { \left\| { \boldsymbol { u } } _ { k } ^ { 1 } \right\| } _ { 2 } + { \tau } ^ { 2 } \operatorname* { m a x } _ { 0 \leq j \leq 2 } { { \left\| { \boldsymbol { f } } _ { k } ^ { j } \right\| } _ { 2 } } \right) \, .
+ \frac { \xi _ { 2 } m _ { 2 } [ ( p \cdot p ^ { \prime } ) ^ { 2 } - M ^ { 2 } M ^ { 2 } ] } { 4 \sqrt { 2 } M ^ { 2 } M ^ { 2 } \omega _ { 1 0 } \omega _ { 2 0 } } \left[ \frac { ( \omega _ { 1 0 } + m _ { 1 } + \omega _ { 2 0 } + m _ { 2 } ) } { \omega _ { 2 0 } } + \frac { ( m _ { 1 } \omega _ { 2 0 } + m _ { 2 } \omega _ { 2 0 } + \omega _ { 2 0 } ^ { 2 } - \omega _ { 1 0 } ^ { 2 } ) } { \omega _ { 1 0 } ^ { 2 } } \right] \; , \, [ 2 m m ]
\left( \begin{array} { c } { { d _ { 1 } } } \\ { { d _ { 3 } } } \\ { { d _ { 5 + 7 } } } \\ { { d _ { 5 - 7 } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c c c c } { { b _ { 1 1 } } } & { { b _ { 1 2 } } } & { { b _ { 1 3 } } } & { { b _ { 1 4 } } } \\ { { b _ { 2 1 } } } & { { b _ { 2 2 } } } & { { b _ { 2 3 } } } & { { b _ { 2 4 } } } \\ { { b _ { 3 1 } } } & { { b _ { 3 2 } } } & { { b _ { 3 3 } } } & { { b _ { 3 4 } } } \\ { { b _ { 4 1 } } } & { { b _ { 4 2 } } } & { { b _ { 4 3 } } } & { { b _ { 4 4 } } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { g _ { 1 } } } \\ { { g _ { 3 } } } \\ { { g _ { 5 + 7 } } } \\ { { g _ { 5 - 7 } } } \end{array} \right) \ ,
- 1 . 6 2 ( \zeta ^ { \mathrm { ~ P ~ 2 ~ } } ) ^ { 2 } + \cos { \left( \Omega ^ { \mathrm { ~ P ~ 2 ~ } } \right) } + \cos { \left( \Omega ^ { \mathrm { ~ P ~ 2 ~ } } - 5 . 2 6 6 \right) } + 3 . 3 5 4
N _ { f } ^ { \mathrm { c r i t } } = N _ { c } \left( \frac { 1 0 0 N _ { c } ^ { 2 } - 6 6 } { 2 5 N _ { c } ^ { 2 } - 1 5 } \right) \simeq 1 2 \frac { N _ { c } } { 3 } \ .