harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \dot { S } } & { { } = } & { S _ { \mathrm { e x t } } ( \frac { T } { n _ { T } } ) ^ { \alpha } - \phi ( n _ { T } + n _ { X } ) S \frac { X } { n _ { X } } - \mu S , } \\ { \dot { T } } & { { } = } & { \phi n _ { T } v \frac { Y _ { S X } } { n _ { T } + n _ { X } } - \phi n _ { T } n _ { X } \frac { T } { n _ { T } } \frac { X } { n _ { X } } + \phi n _ { T } n _ { X } v \frac { Y _ { X X } } { ( n _ { T } + n _ { X } ) n _ { X } } - \mu T , } \\ { \dot { X } } & { { } = } & { - \phi ( n _ { T } + n _ { X } ) S \frac { X } { n _ { X } } + \phi ( n _ { T } + 2 n _ { X } ) v \frac { Y _ { S X } } { n _ { T } + n _ { X } } - \phi n _ { T } n _ { X } \frac { T } { n _ { T } } \frac { X } { n _ { X } } + 2 \phi n _ { T } n _ { X } v \frac { Y _ { T X } } { n _ { T } n _ { X } } } \\ { \dot { Y } _ { S X } } & { { } = } & { \phi ( n _ { T } + n _ { X } ) S \frac { X } { n _ { X } } - \phi ( n _ { T } + n _ { X } ) v \frac { Y _ { S X } } { n _ { T } + n _ { X } } - \mu Y _ { S X } , } \\ { \dot { Y } _ { T X } } & { { } = } & { \phi n _ { T } n _ { X } \frac { T } { n _ { T } } \frac { X } { n _ { X } } - \phi n _ { T } n _ { X } v \frac { Y _ { T X } } { n _ { T } n _ { X } } - \mu Y _ { T X } , } \\ { \dot { Y } _ { X X } } & { { } = } & { \phi ( n _ { T } + n _ { X } ) n _ { X } \left( \frac { X } { n _ { X } } \right) ^ { 2 } - \phi ( n _ { T } + n _ { X } ) n _ { X } v \frac { Y _ { X X } } { ( n _ { T } + n _ { X } ) n _ { X } } - \mu Y _ { X X } . } \end{array}
\tilde { \Omega } _ { \mathrm { g y r o } } ( s ) = \frac { \tilde { \Omega } _ { 1 2 9 } - R \tilde { \Omega } _ { 1 3 1 } ( s ) } { 1 + R } \equiv \tilde { \Omega } _ { \mathrm { g y r o } } ^ { ( f ) } ( s ) + \tilde { \Omega } _ { \mathrm { g y r o } } ^ { ( \varphi ) } ( s ) ,
( \mathbf { 1 } \otimes { \check { R } } ( u ) ) ( { \check { R } } ( u + v ) \otimes \mathbf { 1 } ) ( \mathbf { 1 } \otimes { \check { R } } ( v ) ) = ( { \check { R } } ( v ) \otimes \mathbf { 1 } ) ( \mathbf { 1 } \otimes { \check { R } } ( u + v ) ) ( { \check { R } } ( u ) \otimes \mathbf { 1 } )
\begin{array} { r } { \sum _ { i = 0 } ^ { K } E \left[ C _ { I - i , i } \sum _ { k = i } ^ { K } \left( \prod _ { j = i } ^ { k - 1 } \widehat { f } _ { j , n } \right) \widehat \sigma _ { k , n } ^ { 2 } \left( \prod _ { h = k + 1 } ^ { K } \left( \widehat { f } _ { h , n } ^ { 2 } + \frac { \widehat \sigma _ { h , n } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { h } } \right) \right) \right] \left( \prod _ { l = K + 1 } ^ { I + n - 1 } \left( f _ { l } ^ { 2 } + \frac { 2 \sigma _ { l } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { l } } \right) \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { t } ^ { \theta _ { 1 } } ( w _ { 1 } \partial _ { t } ^ { \theta } w _ { 2 } ) ( t ) } & { = I _ { t } ^ { \theta _ { 1 } - \theta } ( w _ { 1 } w _ { 2 } ) ( t ) - w _ { 2 } ( 0 ) [ I _ { t } ^ { \theta _ { 1 } - \theta } w _ { 1 } ( t ) - I _ { t } ^ { \theta _ { 1 } } ( w _ { 1 } \omega _ { 1 - \theta } ) ( t ) ] } \\ & { - \theta I _ { t } ^ { 1 + \theta _ { 1 } - \theta } ( \mathcal { W } ( w _ { 1 } ) w _ { 2 } ) ( t ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Gamma ( 0 , z ) } & { { } = \operatorname* { l i m } _ { s \to 0 } \left( \Gamma ( s ) - { \frac { 1 } { s } } - ( \gamma ( s , z ) - { \frac { 1 } { s } } ) \right) } \end{array}
{ \cal L } _ { e f f } = - \frac 1 4 F ^ { a \mu \nu } F _ { \mu \nu } ^ { a } + \frac 1 2 m ^ { 2 } A ^ { a \mu } A _ { \mu } ^ { a } - \frac 1 { 2 \alpha } ( \partial ^ { \mu } A _ { \mu } ^ { a } ) ^ { 2 } + \bar { C } ^ { a } \partial ^ { \mu } (
A _ { 3 } ( t ) = \left( \frac { 1 } { m _ { B } ^ { 2 } - m _ { V } ^ { 2 } - t } \right) \left[ \sqrt { t } H _ { 0 } ( t ) - \frac { m _ { B } ^ { 2 } + 3 m _ { V } ^ { 2 } - t } { 2 m _ { V } ( m _ { B } + m _ { V } ) } \; A _ { 2 } ( t ) \right]
\begin{array} { r l } & { \partial _ { t t } u ( t ) = \partial _ { t } \bigl ( f - K _ { g ( t ) } - \alpha ( t ) \bigr ) } \\ & { = - 2 ( \partial _ { t } u ( t ) ) ^ { 2 } + 2 ( f - \alpha ( t ) ) \partial _ { t } u ( t ) + \Delta _ { g ( t ) } \partial _ { t } u ( t ) + \frac 2 A \int _ { M } f \partial _ { t } u ( t ) d \mu _ { g ( t ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \psi ^ { s t } ( k ; k _ { 0 } ) = \frac { 1 } { k ^ { 2 } } \delta ( k - k _ { 0 } ) \delta ^ { s t } + \frac { 2 } { \pi } \mathbb { P } \frac { K ^ { s t } ( k , k _ { 0 } ) / k _ { 0 } } { k ^ { 2 } - k _ { 0 } ^ { 2 } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { i } ^ { o } } & { { } = \sum _ { m _ { i } = 0 } ^ { N _ { I } - 1 } \binom { N _ { I } - 1 } { m _ { i } } y _ { i } ^ { m _ { i } } ( 1 - y _ { i } ) ^ { N _ { I } - 1 - m _ { i } } } \end{array}
\overline { { \omega } } _ { w , ( \mathcal { L } , \pi ) } ( \boldsymbol { v } ) = \overline { { \omega } } _ { w , ( P , \pi _ { 1 } ) } \left( \boldsymbol { u ^ { \prime } } + \boldsymbol { x ^ { \prime } } \right) + \overline { { \omega } } _ { w , ( Q , \pi _ { 2 } ) } \left( \boldsymbol { u ^ { \prime \prime } } + \boldsymbol { x ^ { \prime \prime } } \right) \geq \overline { { \omega } } _ { w , ( P , \pi _ { 1 } ) } \left( \boldsymbol { u ^ { \prime } } \right) + \overline { { \omega } } _ { w , ( Q , \pi _ { 2 } ) } \left( \boldsymbol { u ^ { \prime \prime } } \right) = \overline { { \omega } } _ { w , ( \mathcal { L } , \pi ) } ( \boldsymbol { u } )
{ \cal I } _ { 5 } - { \cal L } _ { 3 } = - \frac { s } { \pi ^ { 2 + \epsilon } \, \Gamma ( 1 - \epsilon ) } \, I _ { 5 } + \ln \left( \frac { ( - s ) \vec { k } ^ { 2 } } { ( - s _ { 1 } ) ( - s _ { 2 } ) } \right) \, { \cal I } _ { 3 } \; .
\mathrm { \bf G } = \mathrm { \bf A _ { k } ^ { T } } \mathrm { \bf S _ { k } ^ { 2 } } \mathrm { \bf A _ { k } } + \mathrm { \bf A _ { l } ^ { T } } \mathrm { \bf S _ { l } ^ { 2 } } \mathrm { \bf A _ { l } }
\begin{array} { r l r } & { } & { | a ( \boldsymbol { u } - \boldsymbol { u } _ { I } , \boldsymbol { v } ) + k ^ { 2 } ( \varepsilon ( \boldsymbol { u } - \boldsymbol { u } _ { I } ) , \boldsymbol { v } ) _ { \cal M } | \le C \| \boldsymbol { u } - \boldsymbol { u } _ { I } \| _ { { \boldsymbol { X } } _ { p } ( { \cal M } ) } \| \boldsymbol { v } \| _ { { \boldsymbol { X } } _ { p } ( { \cal M } ) } , } \\ & { } & { | c ( \phi - \phi _ { I } , q ) | \le \| \phi - \phi _ { I } \| _ { M _ { p } ( { \cal M } ) } \| q \| _ { M _ { p } ( { \cal M } ) } . } \end{array}
\nabla \left( \frac { \frac { \partial } { \partial x _ { j } } w _ { k } ( \mathbf x ) } { x _ { k } } + w _ { k } ( \mathbf x ) \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left( \frac { 1 } { x _ { k } } \right) \right) = \frac { \partial } { \partial x _ { j } } w _ { k } ( \mathbf x ) \nabla \left( \frac { 1 } { x _ { k } } \right) + \nabla w _ { k } ( \mathbf x ) \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left( \frac { 1 } { x _ { k } } \right) + w _ { k } ( \mathbf x ) \nabla \left( \frac { \partial } { \partial x _ { j } } \left( \frac { 1 } { x _ { k } } \right) \right) .
x ^ { + } = \frac { 1 } { \lambda } e ^ { \lambda y ^ { + } } , ~ ~ ~ x ^ { - } = - \frac { 1 } { \lambda } e ^ { - \lambda y ^ { - } } - \frac { m } { \lambda ^ { 3 } x _ { 0 } ^ { + } } \Theta ( y ^ { + } - y _ { 0 } ^ { + } ) .
{ \begin{array} { r l } { ( { \vec { u } } \cdot { \vec { v } } ) f } & { \equiv ( { \vec { v } } \cdot { \vec { u } } ) f } \\ { ( \nabla \cdot { \vec { v } } ) f } & { = \left( { \frac { \partial v _ { x } } { \partial x } } + { \frac { \partial v _ { y } } { \partial y } } + { \frac { \partial v _ { z } } { \partial z } } \right) f = { \frac { \partial v _ { x } } { \partial x } } f + { \frac { \partial v _ { y } } { \partial y } } f + { \frac { \partial v _ { z } } { \partial z } } f } \\ { ( { \vec { v } } \cdot \nabla ) f } & { = \left( v _ { x } { \frac { \partial } { \partial x } } + v _ { y } { \frac { \partial } { \partial y } } + v _ { z } { \frac { \partial } { \partial z } } \right) f = v _ { x } { \frac { \partial f } { \partial x } } + v _ { y } { \frac { \partial f } { \partial y } } + v _ { z } { \frac { \partial f } { \partial z } } } \\ { \Rightarrow ( \nabla \cdot { \vec { v } } ) f } & { \neq ( { \vec { v } } \cdot \nabla ) f } \end{array} }
v _ { \pm } ( r ) = \pm \sqrt { \frac { 2 } { x } \cdot \frac { 1 } { \sqrt { 1 + 1 2 ( \alpha - 1 ) / x ^ { 2 } } } \cdot \left( 1 - \frac { 4 } { x } \cdot \sqrt { \frac { 1 + 1 2 ( \alpha - 1 ) / x ^ { 2 } } { 1 + 1 6 \alpha / x ^ { 2 } } } \right) + \frac { 1 6 \xi ^ { 2 } } { x ^ { 4 } } } \, - \, \frac { 4 \xi } { x ^ { 2 } } ,
\mathrm { S } _ { i j } = \left( \begin{array} { c c } { { \mathrm { G } _ { 0 0 } } } & { { \mathrm { G } _ { 0 j } } } \\ { { \mathrm { G } _ { i 0 } } } & { { \mathrm { G } _ { i j } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \Omega _ { x } ^ { ( \mathrm { ~ H ~ G ~ } _ { 0 0 } ) } } & { { } \approx \sqrt { \frac { 6 P } { \hbar \omega k ^ { 2 } w _ { 0 } ^ { 2 } \tau } } \, \left| \sin \theta ( 5 \cos ^ { 2 } \theta - 1 ) \right| \, , } \\ { \Omega _ { x } ^ { ( \mathrm { ~ H ~ G ~ } _ { 1 0 } ) } } & { { } \approx 2 . 7 \sqrt { \frac { 3 P } { \hbar \omega k ^ { 4 } w _ { 0 } ^ { 4 } \tau } } \, \left| \cos \theta ( 1 5 \cos ^ { 2 } \theta - 1 1 ) \right| \, , } \\ { \Omega _ { y } ^ { ( \mathrm { ~ H ~ G ~ } _ { 0 1 } ) } } & { { } \approx 2 . 7 \sqrt { \frac { 3 P } { \hbar \omega k ^ { 4 } w _ { 0 } ^ { 4 } \tau } } \, \left| \cos \theta ( 5 \cos ^ { 2 } \theta - 1 ) \right| \, , } \\ { \Omega _ { y } ^ { ( \mathrm { ~ H ~ G ~ } _ { 0 0 } ) } } & { { } = \Omega _ { y } ^ { ( \mathrm { ~ H ~ G ~ } _ { 1 0 } ) } = \Omega _ { x } ^ { ( \mathrm { ~ H ~ G ~ } _ { 0 1 } ) } \approx 0 \, , } \end{array}
\frac { y ( r _ { k } ) } { h _ { 1 } } = - \frac { 1 } { 6 . 0 4 8 4 4 } \left[ J _ { 0 } ( \Lambda ) I _ { 0 } \left( \Lambda \frac { r _ { k } } { a _ { k } } \right) - I _ { 0 } ( \Lambda ) J _ { 0 } \left( \Lambda \frac { r _ { k } } { a _ { k } } \right) \right] ,
\small { Y ^ { u } = \left( \begin{array} { l l l } { { 4 . 1 \times 1 0 ^ { - 4 } } } & { { 6 . 9 \times 1 0 ^ { - 4 } \; \mathrm { i } } } & { { - 1 . 4 \times 1 0 ^ { - 2 } } } \\ { { - 6 . 9 \times 1 0 ^ { - 4 } \; \mathrm { i } } } & { { 3 . 5 \times 1 0 ^ { - 3 } } } & { { - 1 . 4 \times 1 0 ^ { - 5 } \; \mathrm { i } } } \\ { { - 1 . 4 \times 1 0 ^ { - 2 } } } & { { 1 . 4 \times 1 0 ^ { - 5 } \; \mathrm { i } } } & { { 6 . 9 \times 1 0 ^ { - 1 } } } \end{array} \right) \; } ,
\begin{array} { r } { \Pi _ { \mu \nu } ^ { < } ( \boldsymbol { r } _ { i } , \boldsymbol { r } _ { j } , \omega ) = - i \hbar \int _ { - \infty } ^ { \infty } \frac { d E } { 2 \pi \hbar } \operatorname { T r } \left[ M ^ { i \mu } G ^ { < } ( E ) M ^ { j \nu } G ^ { > } ( E - \hbar \omega ) \right] } \end{array}
\Phi \rightarrow \Phi + \epsilon ( \Phi \delta _ { - 1 } ( z - \Phi ) ^ { - 1 } \delta _ { 1 } \Phi \delta _ { - 1 } \Phi \delta _ { 1 } - \delta _ { - 1 } ( z - \Phi ) ^ { - 1 } \delta _ { 1 } \Phi \delta _ { - 1 } \Phi \delta _ { 1 } \Phi )
\begin{array} { r } { { \cal E } ^ { \mathrm { M B } } = - { \frac { \hbar } { e } } \int _ { S } \partial _ { t } { \bf B } ^ { \mathrm { M B } } \cdot d { \bf S } - { \frac { \hbar } { e } } \int _ { S } ( { \bf v } \cdot \nabla ) { \bf B } ^ { \mathrm { M B } } \cdot d { \bf S } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sigma _ { \operatorname* { m i n } } \left( \left[ \begin{array} { l l } { I _ { n } } & { K _ { i + 1 } ^ { \top } } \\ { K _ { i + 1 } } & { I _ { m } + K _ { i + 1 } K _ { i + 1 } ^ { \top } } \end{array} \right] \right) } \\ & { = \left\| \left[ \begin{array} { l l } { I _ { n } } & { K _ { i + 1 } ^ { \top } } \\ { K _ { i + 1 } } & { I _ { m } + K _ { i + 1 } K _ { i + 1 } ^ { \top } } \end{array} \right] ^ { - 1 } \right\| ^ { - 1 } } \\ & { = \left\| \left[ \begin{array} { l l } { I _ { n } } & { - K _ { i + 1 } ^ { \top } } \\ { 0 } & { I _ { m } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { I _ { n } } & { 0 } \\ { - K _ { i + 1 } } & { I _ { m } } \end{array} \right] \right\| ^ { - 1 } } \\ & { \geq \frac { 1 } { 2 + \| K _ { i + 1 } \| ^ { 2 } } \geq \frac { 1 } { 4 ( \log ( k ) + 1 ) ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { u ^ { k + 1 } - u ^ { k } } { \tau } } & { = D \left( - \frac { \partial ^ { 4 } } { \partial x ^ { 4 } } - \frac { \partial ^ { 4 } } { \partial y ^ { 4 } } - 2 k ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x ^ { 2 } } - 2 k ^ { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial y ^ { 2 } } - 2 \frac { \partial ^ { 4 } } { \partial x ^ { 2 } \partial y ^ { 2 } } - k ^ { 4 } \right) \frac { u ^ { k + 1 } + u ^ { k } } { 2 } } \\ & { - \frac { U ( u ^ { n + 1 } ) - U ( u ^ { n } ) } { u ^ { n + 1 } - u ^ { n } } } \end{array}
| \Psi \rangle \to | \Psi ^ { \prime } \rangle = \sum _ { k \ne j } c _ { k } ^ { \prime } \, | \Psi _ { k } \rangle , \ c _ { k } ^ { \prime } = { \frac { c _ { k } } { \sqrt { 1 - P _ { j } } } } , ~ ~ ~ \mathrm { w i t h \ p r o b a b i l i t y } ~ ~ 1 - P _ { j } \, .
g : = \sum _ { \beta \in I } \tau _ { \beta } \cdot { \tilde { g } } _ { \beta } , \qquad { \mathrm { w i t h } } \qquad { \tilde { g } } _ { \beta } : = \varphi _ { \beta } ^ { * } g ^ { \mathrm { c a n } } \, \, { \mathrm { o n } } \, \, U _ { \alpha } ,
A _ { f } ( p ) = ( { \frac { 1 } { 4 \pi f ( p ) } } ) ^ { 1 / 2 } \int _ { x } e ^ { - i p x } [ f ( p ) ( \phi _ { x } - \varphi _ { 0 } ) + { \frac { \delta } { \delta \phi _ { x } } } ]
\begin{array} { r l } { A _ { m } ^ { ( n ) } } & { { } = \exp ( \pm \mathrm { i } q n W ) A _ { m } ^ { \pm } } \\ { B _ { m } ^ { ( n ) } } & { { } = \exp ( \pm \mathrm { i } q n W ) B _ { m } ^ { \pm } , } \end{array}
\begin{array} { r } { H = \left( \begin{array} { l l } { \epsilon ( \mathbf { k } ) } & { \Omega _ { x } ( \mathbf { k } ) - i \Omega _ { y } ( \mathbf { k } ) } \\ { \Omega _ { x } ( \mathbf { k } ) + i \Omega _ { y } ( \mathbf { k } ) } & { \epsilon ( \mathbf { k } ) } \end{array} \right) \textrm { . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \log | \zeta ( \sigma + i ( t + a u ) ) | } & { \le \log X + Y \log ( t + a u ) + \log \log ( t + a u ) } \\ & { \le \log ( X t ^ { Y } \log t ) + \left( Y + \frac { 1 } { \log t } \right) \left( \frac { a u } { t } - \frac { ( a u ) ^ { 2 } } { 2 t ^ { 2 } } + \frac { ( a u ) ^ { 3 } } { 3 t ^ { 3 } } \right) } \end{array}
V _ { \mathrm { ( q u ) } } [ \Sigma ^ { \mathrm { s o l } } , 0 ; \sigma , 0 ; \Lambda ) = \frac { 1 } { 4 } \left[ 2 \Lambda ^ { 2 } \frac { \partial } { \partial \Lambda ^ { 2 } } + \sigma \frac { \partial } { \partial \sigma } \right] V _ { \mathrm { ( q u ) } } [ \Sigma ^ { \mathrm { s o l } } , 0 ; \sigma , 0 ; \Lambda ) ,
\hat { \mathrm { T } } _ { b } \equiv \hat { \pi } _ { [ \frac { e _ { + } b \mathrm { L } } { 2 { \pi } { \hbar } } ] } - \frac { 2 \pi } { 2 \pi } { L } \int _ { - \mathrm { L } / 2 } ^ { \mathrm { L } / 2 } d x x \cdot ( \hat { j } _ { + } ( x ) + \mathrm { N } \hat { j } _ { - } ( x ) ) \equiv - i \hbar \frac { d } { d [ \frac { e _ { + } b \mathrm { L } } { 2 { \pi } { \hbar } } ] } + i { \hbar } \sum _ { \stackrel { n \in \cal Z } { n \neq 0 } } \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { n } \rho _ { \mathrm { N } } ( n )
\begin{array} { r } { \mathfrak { a } _ { \mathcal { H } } \, : \, \mathrm { D } _ { 2 } ( \mathfrak { a } _ { \mathcal { H } } , \Lambda ^ { k } ) ^ { 2 } \ni ( u , v ) \longmapsto \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { n } } \langle \mathrm { d } u , \overline { { \mathrm { d } v } } \rangle + \int _ { \mathbb { R } _ { + } ^ { n } } \langle \delta u , \overline { { \delta v } } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { \mu - \frac { 1 } { 2 } , \mu } ( z ) } & { = 2 \mu \, \mathrm { e } ^ { \frac { 1 } { 2 } z } \, z ^ { \frac { 1 } { 2 } - \mu } \, \gamma ( 2 \mu , z ) \ , } \\ { M _ { - \frac { 1 } { 4 } , \frac { 1 } { 4 } } ( z ^ { 2 } ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \, \mathrm { e } ^ { \frac { 1 } { 2 } z ^ { 2 } } \, \sqrt { \pi z } \, \mathrm { e r f } ( z ) \ , } \\ { M _ { 0 , \nu } ( 2 z ) } & { = 2 ^ { 2 \nu + \frac { 1 } { 2 } } \, \Gamma ( 1 + \nu ) \, \sqrt { z } \, I _ { \nu } ( z ) \ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { b } ( k , n ) : = \sum _ { i = 1 } ^ { k } b _ { n + i } } & { = \sum _ { i = 1 } ^ { k + n } b _ { i } - \sum _ { i = 1 } ^ { n } b _ { i } } \\ & { = \frac { 1 } { 4 } \left( b _ { k + n + 1 } - b _ { k + n } - 2 ( k + n ) \right) - \frac { 1 } { 4 } \left( b _ { n + 1 } - b _ { n } - 2 n \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 4 } \left( 2 B _ { k + n } - 2 k - 2 n \right) - \frac { 1 } { 4 } \left( 2 B _ { n } - 2 n \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 4 } \left( 2 B _ { k + n } - 2 B _ { n } - 2 k \right) } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \left( B _ { k + n } - B _ { n } - k \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla _ { X } \cdot \left[ \rho _ { 0 } ( \vec { x } , z , \omega ) R ( \vec { x } , z , \omega ) \right] } & { { } = - \frac { 1 } { 2 k _ { 0 } ^ { 2 } } \rho _ { 0 } ( \vec { x } , z , \omega ) \nabla _ { X } \left( \frac { \nabla _ { X } ^ { 2 } \rho _ { 0 } ^ { 1 / 2 } ( \vec { x } , z , \omega ) } { \rho _ { 0 } ^ { 1 / 2 } ( \vec { x } , z , \omega ) } \right) . } \end{array}
\bar { \omega } _ { p } \approx \left[ 1 + \frac { \alpha } { 4 5 \pi } \, \left( \frac { B _ { 0 } } { B _ { c } } \right) ^ { 2 } \, \left( 1 - \frac { 7 } { 2 } \cos ^ { 2 } \theta \right) \right] \omega _ { p } \, .
\operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , T ] } \mathbb { E } W _ { 1 } ( \overline { { \mu } } _ { t } ^ { N } , \mu _ { t } ) \leq C \left\{ \begin{array} { l l } { N ^ { \frac { 1 } { \beta } - 1 } , \, } & { \mathrm { i f } \quad d = 1 , 2 \quad \mathrm { o r } \quad d \geq 3 \, \, \mathrm { a n d } \, \, \beta < \frac { d } { d - 1 } , } \\ { N ^ { - \frac 1 d } , \, } & { \mathrm { i f } \quad d \geq 3 \, \, \mathrm { a n d } \, \, \beta > \frac { d } { d - 1 } . } \end{array} \right.
M _ { \nu _ { R } } = \frac { 1 } { M _ { G } } \left( \begin{array} { c c c } { { \epsilon _ { 1 } ^ { 2 } \bar { s _ { 2 } } ^ { 2 } } } & { { \epsilon _ { 0 } \epsilon _ { 1 } \bar { s _ { 2 } } ^ { 2 } } } & { { \epsilon _ { 0 } \epsilon _ { 1 } \bar { s _ { 1 } } \bar { s _ { 2 } } } } \\ { { \epsilon _ { 0 } \epsilon _ { 1 } \bar { s _ { 2 } } ^ { 2 } } } & { { \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } \bar { s _ { 2 } } ^ { 2 } } } & { { \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } \bar { s _ { 1 } } \bar { s _ { 2 } } } } \\ { { \epsilon _ { 0 } \epsilon _ { 1 } \bar { s _ { 1 } } \bar { s _ { 2 } } } } & { { \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } \bar { s _ { 1 } } \bar { s _ { 2 } } } } & { { \epsilon _ { 0 } ^ { 2 } \bar { s _ { 1 } } ^ { 2 } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { { p _ { I I } } ( x _ { s } , y _ { s } , z _ { s } ) - { p _ { I } } ( x _ { s } , y _ { s } , z _ { s } ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \rho { v _ { I } } _ { t } ^ { 2 } ( x _ { s } , y _ { s } , z _ { s } ) \left( 1 - E ^ { 2 } ( \psi _ { I } , \chi _ { I } ) \right) } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \rho { v _ { I } } _ { n } ^ { 2 } ( x _ { s } , y _ { s } , z _ { s } ) \theta ( s ) f ( R e _ { n } , \beta ) . } \end{array}
\delta ^ { ( d _ { 1 } , d _ { 2 } ) } ( \tau ) = \frac { c ^ { ( d _ { 1 } , d _ { 2 } ) } ( \tau ) - c ^ { ( d _ { 2 } , d _ { 1 } ) } ( \tau ) } { 2 \sqrt { \sigma ^ { ( d _ { 1 } ) } \sigma ^ { ( d _ { 2 } ) } } } .
\begin{array} { r l } { \langle a ( - 1 ) ^ { F } a _ { 0 } , b ( - 1 ) ^ { F } \rangle } & { = ( - 1 ) ^ { | a _ { 0 } | } a a _ { 0 } b ^ { * } = ( - 1 ) ^ { | a _ { 0 } | + | b | | a _ { 0 } | } a ( b a _ { 0 } ^ { * } ) ^ { * } = ( - 1 ) ^ { | a _ { 0 } | + | b | | a _ { 0 } | } \langle a ( - 1 ) ^ { F } , b a _ { 0 } ^ { * } ( - 1 ) ^ { F } \rangle } \\ & { = ( - 1 ) ^ { | b | | a _ { 0 } | } \langle a ( - 1 ) ^ { F } , b ( - 1 ) ^ { F } a _ { 0 } ^ { * } \rangle . } \end{array}
\sum _ { n _ { 1 } = - \infty } ^ { \infty } . . . \sum _ { n _ { M } = - \infty } ^ { \infty } x _ { 1 } ( n _ { 1 } , . . . , n _ { M } ) x _ { 2 } ^ { * } ( n _ { 1 } , . . . , n _ { M } ) { = } { \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { M } } } \int _ { - \pi } ^ { \pi } . . . \int _ { - \pi } ^ { \pi } X _ { 1 } ( \omega _ { 1 } , . . . , \omega _ { M } ) X _ { 2 } ^ { * } ( \omega _ { 1 } , . . . , \omega _ { M } ) d \omega _ { 1 } . . . d \omega _ { M }
\mathrm { d } _ { t } \boldsymbol { u } + \Big ( f _ { 0 } \boldsymbol { u } ^ { \perp } + g \boldsymbol { \nabla } \eta - \mathrm { ~ \scriptsize ~ \frac ~ { ~ 1 ~ } ~ { ~ 2 ~ } ~ } \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { \cdot } ( \boldsymbol { a } \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { u } ) \Big ) \, \mathrm { d } t + \boldsymbol { \sigma } _ { t } \mathrm { d } \boldsymbol { B } _ { t } \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { u } = 0 ,
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 _ { r } ^ { \prime } } ^ { ( 2 ) } = v _ { 4 _ { r } ^ { \prime } } ^ { ( 1 ) } = v _ { 9 _ { R } } ^ { ( 1 ) } v _ { 4 ^ { \prime } } ( v _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ) ^ { - 1 } = \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { - \hat { r } _ { 1 , a } ( k ) e ^ { - t \Phi _ { 2 1 } } } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } \\ { - \big ( r _ { 1 , a } ( \omega ^ { 2 } k ) + r _ { 2 , a } ( \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } k } ) \big ) e ^ { t \Phi _ { 3 1 } } } & { ( v _ { 4 _ { r } ^ { \prime } } ^ { ( 2 ) } ) _ { 3 2 } } & { 1 } \end{array} \right) , } \\ & { ( v _ { 4 _ { r } ^ { \prime } } ^ { ( 2 ) } ) _ { 3 2 } : = \big ( r _ { 1 , a } ( \frac { 1 } { \omega k } ) + r _ { 2 , a } ( \omega k ) + r _ { 1 , a } ( \omega ^ { 2 } k ) ( \hat { r } _ { 1 , a } ( k ) + r _ { 2 , a } ( \frac { 1 } { k } ) ) + \hat { r } _ { 1 , a } ( k ) r _ { 2 , a } ( \frac { 1 } { \omega ^ { 2 } k } ) \big ) e ^ { t \Phi _ { 3 2 } } . } \end{array}
n ( p _ { 0 } ) - n ( s _ { 0 } ) \approx T ( { \frac { 1 } { p _ { 0 } } } - { \frac { 1 } { s _ { 0 } } } ) = { \frac { T q _ { 0 } } { ( k _ { 0 } - q _ { 0 } / 2 ) ( k _ { 0 } + q _ { 0 } / 2 ) } }
\tilde { d } _ { n } = \frac { 1 } { n c _ { 0 } } \sum _ { j = 1 } ^ { n - 1 } ( 3 j - \alpha j - n ) c _ { j } d _ { n - j } ~ ~ , ~ ~ \tilde { e } _ { n } = \sum _ { j = 1 } ^ { n } A _ { j } d _ { n - j } ,
\frac { \Gamma ( 1 / 4 ) } { 2 } \frac { f \gamma } { \tau _ { 0 } ^ { 1 / 4 } } \frac { d ^ { 3 / 4 } X } { d t ^ { 3 / 4 } } = \psi _ { \mathrm { t h } } ( t ) + \psi _ { \mathrm { a c } } ( t )
\begin{array} { r l r } { \bar { I } _ { \mathrm { e x t } } ( t ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { N } \sum _ { i } ^ { N } I _ { i , \mathrm { e x t } } ( t ) , } \\ { \bar { I } _ { \mathrm { c o u p } } ( t ) } & { { } = } & { \frac { 1 } { N } \sum _ { i } ^ { N } I _ { i , \mathrm { c o u p } } ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { u _ { i + 1 } ^ { \mathrm { ~ L ~ A ~ T ~ } } } & { { } = u _ { i } ^ { \mathrm { ~ L ~ A ~ T ~ } } + \bigg ( \frac { L _ { i + 1 } } { L _ { i } } - 1 \bigg ) w _ { i } + \sigma _ { w } R _ { i + 1 } - \bigg ( \frac { L _ { i + 1 } } { L _ { i } } - 1 \bigg ) n _ { i } L _ { i } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \kappa _ { \mathrm { e f f } } ( \infty ) } & { { } = 1 + \frac { \mathrm { P e } _ { p } ^ { 2 } \cot ^ { 2 } ( \theta ) } { 2 \gamma \mathrm { P e } _ { 2 } ^ { 2 } ( \sin ( \gamma ) + \sinh ( \gamma ) ) ^ { 2 } } \left( \frac { 5 } { 2 } \sin ( 2 \gamma ) + 6 \gamma \sin ( \gamma ) \sinh ( \gamma ) + \right. } \end{array}