harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { \rVert \partial _ { y } d _ { i } X _ { P } ( i ) [ \hat { \textbf { \i } } ] \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } } \le \varepsilon ^ { 2 b - 1 } ( \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s + \mu _ { 2 } } ^ { \mathrm { L i p } } + \rVert \mathfrak { I } \rVert _ { s + \mu _ { 2 } } ^ { \mathrm { L i p } } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 2 } } ^ { \mathrm { L i p } } ) } \\ & { \rVert d _ { i } X _ { H _ { \zeta } } ( i ) [ \hat { \textbf { \i } } ] - ( 0 , 0 , ( - \frac { 1 } { 2 } \Lambda ^ { \alpha - 1 } \partial _ { x } + \frac { T _ { \alpha } } { 4 } \partial _ { x } ) \hat { z } ) \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } } \le \varepsilon ( \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s + \mu _ { 2 } } ^ { \mathrm { L i p } } + \rVert \mathfrak { I } \rVert _ { s + \mu _ { 2 } } ^ { \mathrm { L i p } } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 2 } } ^ { \mathrm { L i p } } ) } \\ & { \rVert d _ { i } ^ { 2 } X _ { H _ { \zeta } } ( i ) [ \hat { \textbf { \i } } , \hat { \textbf { \i } } ] \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } } \le \varepsilon ( \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 2 } } ^ { \mathrm { L i p } } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s + \mu _ { 2 } } ^ { \mathrm { L i p } } + \rVert \mathfrak { I } \rVert _ { s + \mu _ { 2 } } ^ { \mathrm { L i p } } \left( \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 2 } } ^ { \mathrm { L i p } } \right) ^ { 2 } ) , } \\ & { \rVert \mathcal { F } _ { \omega } ( i _ { t r i v } ) \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } } \le \varepsilon ^ { 6 - 2 b } , \quad \rVert d _ { i } ^ { 2 } \mathcal { F } _ { \omega } ( i ) [ \hat { \textbf { \i } } , \hat { \textbf { \i } } ] \rVert _ { s } ^ { \mathrm { L i p } } \le \varepsilon ( \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 2 } } ^ { \mathrm { L i p } } \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s + \mu _ { 2 } } ^ { \mathrm { L i p } } + \rVert \mathfrak { I } \rVert _ { s + \mu _ { 2 } } ^ { \mathrm { L i p } } \left( \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { 2 } } ^ { \mathrm { L i p } } \right) ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { x _ { i } ^ { \mathrm { ~ d ~ } } ( t + 1 ) } & { { } = } & { \operatorname* { m i n } \Bigg [ \operatorname* { m i n } _ { k \in \mathcal { I } _ { i } ^ { \mathrm { ~ e ~ s ~ } } } \left( \frac { 1 } { \alpha _ { i k } } \sum _ { j = 1 } ^ { n } W _ { j i } h _ { j } ^ { \mathrm { ~ d ~ } } ( t ) \delta _ { p _ { j } , k } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { 6 \overline { { T } } _ { \mathrm { L N } } = 2 \overline { { T } } _ { \mathrm { L } } + r \partial _ { r } \overline { { T } } _ { \mathrm { L } } , } & { } & { 4 \overline { { T } } _ { \mathrm { N } } = 4 \overline { { T } } _ { \mathrm { L N } } + r \partial _ { r } \overline { { T } } _ { \mathrm { L N } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { p _ { \perp } } & { { } = \sqrt { p _ { 2 } ^ { 2 } ( \sin ^ { 2 } ( \phi ) \cos ^ { 2 } ( \psi ) + \sin ^ { 2 } ( \psi ) ) } } & { \mathrm { ~ F ~ r ~ o ~ m ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ( t ) } & { = \sigma _ { \mathrm { m i n } } \bigg ( \frac { \sigma _ { \mathrm { m a x } } } { \sigma _ { \mathrm { m i n } } } \bigg ) ^ { t } \sqrt { 2 \log { \bigg ( \frac { \sigma _ { \mathrm { m a x } } } { \sigma _ { \mathrm { m i n } } } \bigg ) } } } \\ { \sigma ^ { 2 } ( t ) } & { = \sigma _ { \mathrm { m i n } } ^ { 2 } \bigg [ \bigg ( \frac { \sigma _ { \mathrm { m a x } } } { \sigma _ { \mathrm { m i n } } } \bigg ) ^ { 2 t } - 1 \bigg ] \approx \sigma _ { \mathrm { m i n } } ^ { 2 } \bigg ( \frac { \sigma _ { \mathrm { m a x } } } { \sigma _ { \mathrm { m i n } } } \bigg ) ^ { 2 t } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { 2 \beta I m \int _ { \mathbb { R } } \left[ ( | u ^ { k } | ^ { p - 1 } | v ^ { k } | ^ { p + 1 } - | u ^ { j } | ^ { p - 1 } | v ^ { j } | ^ { p + 1 } ) u ^ { j } \right] ( \overline { { u ^ { k } - u ^ { j } } } ) d x } \\ { \leq \ } & { 2 \beta M _ { 4 } \int _ { \mathbb { R } } | v ^ { k } - v ^ { j } | \ | u ^ { k } - u ^ { j } | d x + 2 \beta M _ { 5 } \int _ { \mathbb { R } } | u ^ { k } - u ^ { j } | ^ { 2 } d x , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { n m } \mathbb { E } \left[ \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { j = 1 } ^ { m } U _ { i } ( X _ { i j } ) \left( \hat { f } ( X _ { i j } ) - f ^ { \circ } ( X _ { i j } ) \right) \right] } \\ { \leq } & { \mathbb { E } \left[ \left| \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( \frac { 1 } { m } \sum _ { j = 1 } ^ { m } \left( \mathcal { T } _ { \beta _ { U } } U _ { i } \right) \left( X _ { i j } \right) \left( \hat { f } \left( X _ { i j } \right) - f ^ { \circ } \left( X _ { i j } \right) \right) - \int _ { \Omega } \left( \mathcal { T } _ { \beta _ { U } } U _ { i } \right) \left( \hat { f } - f ^ { \circ } \right) d \mathcal { P } _ { X } \right) \right| \right] } \\ & { + \mathbb { E } \left[ \left| \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( \frac { 1 } { m } \sum _ { j = 1 } ^ { m } \left( U _ { i } - \mathcal { T } _ { \beta _ { U } } U _ { i } \right) \left( X _ { i j } \right) \left( \hat { f } \left( X _ { i j } \right) - f ^ { \circ } \left( X _ { i j } \right) \right) - \int _ { \Omega } \left( U _ { i } - \mathcal { T } _ { \beta _ { U } } U _ { i } \right) \left( \hat { f } - f ^ { \circ } \right) d \mathcal { P } _ { X } \right) \right| \right] } \\ & { + \mathbb { E } \left[ \left| \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \int _ { \Omega } U _ { i } \left( \hat { f } - f ^ { \circ } \right) d \mathcal { P } _ { X } \right| \right] } \\ { : = } & { \left( \uppercase \expandafter { \romannumeral 1 } \right) + \left( \uppercase \expandafter { \romannumeral 2 } \right) + \left( \uppercase \expandafter { \romannumeral 3 } \right) . } \end{array}
\prod _ { a = 1 } ^ { N } \overline { { { \psi } } } _ { \alpha } ^ { ( a ) } ( x ^ { ( \pi ( a ) ) } ) = \mathrm { s i g n } ( \pi ^ { - 1 } ) \prod _ { a = 1 } ^ { N } \overline { { { \psi } } } _ { \alpha } ^ { ( \pi ^ { - 1 } ( a ) ) } ( x ^ { ( a ) } ) \; ,
T _ { \mu \nu } ^ { e f f } = \frac { \zeta + b _ { k } } { \zeta + b _ { g } } \varphi _ { , \mu } \varphi _ { , \nu } - K \tilde { g } _ { \mu \nu } + \frac { b _ { g } M ^ { 4 } } { ( \zeta + b _ { g } ) ^ { 2 } } e ^ { - 2 \alpha \phi / M _ { p } } \tilde { g } _ { \mu \nu } + \frac { \zeta } { \zeta + b _ { g } } T _ { \mu \nu } ^ { ( f , c a n o n i c a l ) } - \frac { m F ( \zeta ) } { \sqrt { \zeta + b _ { g } } } \overline { { { \Psi } } } ^ { \prime } \Psi ^ { \prime } \tilde { g } _ { \mu \nu } ,
\begin{array} { r l } & { \tan \frac { \phi } { 2 } = \frac { 1 - \alpha ^ { 2 } } { 2 \alpha } ; \; \sin \frac { \phi } { 2 } = \frac { 1 - \alpha ^ { 2 } } { 1 + \alpha ^ { 2 } } ; \; \cos \frac { \phi } { 2 } = \frac { 2 \alpha } { 1 + \alpha ^ { 2 } } ; } \\ & { \sin \phi = \frac { 4 \alpha ( 1 - \alpha ^ { 2 } ) } { ( 1 + \alpha ^ { 2 } ) ^ { 2 } } ; \; \cos \phi = \frac { 4 \alpha ^ { 2 } - ( 1 - \alpha ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { ( 1 + \alpha ^ { 2 } ) ^ { 2 } } ; } \\ & { ( 1 + \alpha ^ { 2 } ) ^ { 3 } \eta = ( 1 + 2 \alpha - \alpha ^ { 2 } ) ( - 1 + 6 \alpha ^ { 2 } - \alpha ^ { 4 } ) } \\ & { + ( 1 - 2 \alpha - \alpha ^ { 2 } ) ( 4 \alpha - 4 \alpha ^ { 3 } ) - ( 1 - 2 \alpha - \alpha ^ { 2 } ) ( 1 + 2 \alpha ^ { 2 } + \alpha ^ { 4 } ) } \\ { \eta = } & { \frac { - 2 + 4 \alpha - 3 \alpha ^ { 2 } - 7 \alpha ^ { 3 } + 4 \alpha ^ { 4 } + 8 \alpha ^ { 5 } + \alpha ^ { 6 } } { ( 1 + \alpha ^ { 2 } ) ^ { 3 } } } \end{array}
\Phi ^ { -- + + \lambda } = \int \mathrm { d } ^ { 4 } c \, \varphi ( c ) \, \delta ^ { ( 2 ) } ( \bar { \lambda } _ { 1 } - c _ { 1 3 } \bar { \lambda } _ { 3 } - c _ { 1 4 } \bar { \lambda } _ { 4 } ) \delta ^ { ( 2 ) } ( \bar { \lambda } _ { 2 } - c _ { 2 3 } \bar { \lambda } _ { 3 } - c _ { 2 4 } \bar { \lambda } _ { 4 } ) \delta ^ { ( 2 ) } ( \lambda _ { 3 } + c _ { 1 3 } \lambda _ { 1 } + c _ { 2 3 } \lambda _ { 2 } )
c R ^ { - 2 } \left( \int _ { B _ { 2 R } - B _ { R } } \Gamma _ { 1 } ^ { \alpha + 1 - \frac { \mu _ { 1 } } { 2 } } \, \mathrm { d } x + \int _ { B _ { 2 R } - B _ { R } } \Gamma _ { 2 } ^ { - \frac { \mu _ { 2 } } { 2 } } \Gamma _ { 1 } ^ { \alpha + 1 } \, \mathrm { d } x \right) \leq c R ^ { - 2 } \int _ { B _ { 2 R } - B _ { R } } c \, \mathrm { d } x \leq c < \infty ,
S _ { 0 } [ B _ { \mu \nu } ( x ) , A _ { \mu } ( x ) ] = \int d ^ { 4 } x \; \Bigg \{ \frac { 1 } { 4 } \epsilon ^ { \mu \nu \rho \sigma } B _ { \mu \nu } ( x ) F _ { \rho \sigma } ( x ) + \frac { 1 } { 2 } A _ { \mu } ( x ) A ^ { \mu } ( x ) \Bigg \} ,
\begin{array} { r l } { \epsilon _ { 2 } ^ { \prime } ( \vec { p } _ { i } , \vec { p } _ { j } ) } & { { } + \epsilon _ { 3 } ^ { \prime } ( \vec { p } _ { i } , \vec { p } _ { j } , \vec { p } _ { k } ) + \cdots } \end{array}
\begin{array} { r l } { c _ { 1 } } & { = \frac { 1 } { \mu } a _ { k k } - w _ { \ell } + \sum _ { m = 1 } ^ { n } ( x _ { m \ell } ) ^ { 2 } + \sum _ { m = 1 } ^ { p } ( x _ { k m } ) ^ { 2 } - 2 ( x _ { k \ell } ) ^ { 2 } , } \\ { c _ { 0 } } & { = \frac { 1 } { \mu } \sum _ { m = 1 } ^ { n } a _ { k m } x _ { m \ell } - \frac { a _ { k k } x _ { k \ell } } { \mu } + \sum _ { m = 1 } ^ { n } \sum _ { s = 1 } ^ { p } x _ { k s } x _ { m s } x _ { m \ell } } \\ & { \quad + x _ { k \ell } ^ { 3 } - x _ { k \ell } \Bigl ( \sum _ { s = 1 } ^ { p } ( x _ { k s } ) ^ { 2 } + \sum _ { m = 1 } ^ { n } ( x _ { m \ell } ) ^ { 2 } \Bigr ) . } \end{array}
\psi ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ r ~ } ~ , ~ t ~ } ) = \exp \left[ - i \frac { q } { \hbar } \chi ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ r ~ } ~ , ~ t ~ } ) \right] \psi ^ { \; \prime } ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ r ~ } ~ , ~ t ~ } ) \equiv S ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ r ~ } ~ , ~ t ~ } ) \psi ^ { \; \prime } ( \mathrm { ~ { ~ \bf ~ r ~ } ~ , ~ t ~ } )
\begin{array} { r l r } { \mathscr { I } _ { l a b } ^ { g } ( \tau ) } & { = } & { \frac { g ^ { 2 } \pi ^ { 2 } } { 2 ( 1 - g ^ { 2 } ) ^ { 3 } } + \frac { g ^ { 2 } \pi ^ { 2 } ( 2 + g ^ { 4 } ) } { ( 1 - g ^ { 2 } ) ^ { 4 } \eta } \gamma } \\ & { } & { + \frac { g ^ { 2 } \pi ^ { 2 } E } { 4 ( 1 - g ^ { 2 } ) ^ { 6 } \eta ^ { 2 } } \gamma ^ { 2 } + \mathcal { O } ( \gamma ^ { 3 } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { c } { A } \\ { B } \\ { B } \\ { A } \\ { B } \\ { A } \end{array} \right) \oplus \left( \begin{array} { c } { A } \\ { A } \\ { D } \\ { D } \\ { A } \\ { A } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { A } \\ { B } \\ { C } \\ { D } \\ { B } \\ { A } \end{array} \right) _ { m a p } } \end{array}
\varrho _ { L } - { \cal L } _ { E } = [ 2 \dot { \Phi } ^ { 2 } ] \; K ^ { \prime } ( \dot { \Phi } ^ { 2 } , \Phi ) - K ( \dot { \Phi } ^ { 2 } , \Phi ) + K ( - \dot { \Phi } ^ { 2 } , \Phi ) .
\Delta f _ { \mathrm { C s / L a s } } ^ { \mathrm { L - R } } = \left( \frac { f _ { \mathrm { C s } } ^ { \mathrm { L } } } { f _ { \mathrm { L a s } } ^ { \mathrm { L } } } - \frac { f _ { \mathrm { C s } } ^ { \mathrm { R } } } { f _ { \mathrm { L a s } } ^ { \mathrm { R } } } \right)
\bar { h } _ { v } \Gamma _ { \mu } h _ { v } = \frac { 1 } { 2 } \mathrm { T r } ( \Gamma _ { \mu } P _ { + } ) \ \bar { h } _ { v } h _ { v } - \frac { 1 } { 2 } \mathrm { T r } ( \gamma _ { \mu } \gamma _ { 5 } P _ { + } \Gamma _ { \mu } P _ { + } ) \, \bar { h } _ { v } \gamma ^ { \mu } \gamma _ { 5 } h _ { v } ,
\begin{array} { r } { \partial _ { t } \rho _ { t } + \nabla \cdot \rho _ { t } v _ { t } = \underbrace { \partial _ { t } \gamma _ { t } + \nabla \cdot \gamma _ { t } v _ { t } } _ { 0 } + \underbrace { \partial _ { t } \overline { { \gamma } } _ { t } + \nabla \cdot \overline { { \gamma } } _ { t } v _ { t } } _ { \zeta _ { t } } = \zeta _ { t } } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { \eta , X Y } ^ { \mathrm { ( H E ) } } } & { { } = - \sum _ { l \neq 0 } \frac { 4 v _ { 0 } ^ { 2 } } { l \Omega } \mathcal { B } _ { \bf e } ^ { ( l ) } \mathcal { B } _ { - \bf e } ^ { ( l ) } , } \\ { J _ { \eta , Z } ^ { \mathrm { ( H E ) } } } & { { } = - \sum _ { l \neq 0 } \frac { 4 v _ { 0 } ^ { 2 } } { l \Omega } | \mathcal { B } _ { \bf e } ^ { ( l ) } | ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Big | \Big [ D _ { \mu } \big ( \sum _ { J } c _ { \alpha } f _ { \alpha } \big ) \Big ] ( z ) \Big | } & { = \Big | \sum _ { J } \mu _ { \alpha } c _ { \alpha } e _ { \alpha } ^ { * } ( z ) \Big | = \Big | \sum _ { J } \mu _ { \alpha } c _ { \alpha } z ^ { \alpha } \Big | } \\ & { = \Big | \langle \sum _ { J } c _ { \alpha } f _ { \alpha } , \sum _ { J } \mu _ { \alpha } z ^ { \alpha } e _ { \alpha } ^ { * } \rangle _ { \mathcal { P } _ { J } ( X _ { n } ) ^ { * } , \mathcal { P } _ { J } ( X _ { n } ) } \Big | } \\ & { = \Big | \langle \sum _ { J } c _ { \alpha } f _ { \alpha } , \sum _ { J } \mu _ { \alpha } e _ { \alpha } ^ { * } \circ D _ { z } \rangle _ { \mathcal { P } _ { J } ( X _ { n } ) ^ { * } , \mathcal { P } _ { J } ( X _ { n } ) } \Big | } \\ & { \leq \Big \| \sum _ { J } c _ { \alpha } f _ { \alpha } \Big \| _ { \mathcal { P } _ { m } ( X _ { n } ) ^ { * } } \Big \| \sum _ { J } \mu _ { \alpha } e _ { \alpha } ^ { * } \circ D _ { z } \Big \| _ { \mathcal { P } _ { J } ( X _ { n } ) } } \\ & { \leq \Big \| \sum _ { J } c _ { \alpha } f _ { \alpha } \Big \| _ { \mathcal { P } _ { J } ( X _ { n } ) ^ { * } } \Big \| \sum _ { J } \mu _ { \alpha } e _ { \alpha } ^ { * } \Big \| _ { \mathcal { P } _ { J } ( X _ { n } ) } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { K L } ( p _ { * } \| p _ { T } ^ { * } ) + \frac { 1 } { 2 } \mathrm { K L } ( q _ { * } \| q _ { T } ^ { * } ) \leq } & { \mu ^ { T } [ \mathrm { K L } ( q _ { * } \| q _ { 0 } ^ { * } ) + \mathrm { K L } ( p _ { * } \| p _ { 0 } ^ { * } ) ] } \\ & { + \lambda _ { 2 } ^ { - 1 } \left[ 1 2 \epsilon + ( 1 0 \lambda _ { 1 } + \lambda _ { 2 } + 3 2 ) T ^ { - J } \right] , } \end{array}
\widetilde { P } _ { \pm } = \int _ { 0 } ^ { x \pm } d y ^ { \pm } \, \widetilde { T } _ { \pm \pm } ( y ^ { \pm } ) \qquad \qquad \widetilde { \Delta } _ { \pm } = \int _ { 0 } ^ { x \pm } d y ^ { \pm } \, y ^ { \pm } \, \widetilde { T } _ { \pm \pm } ( y ^ { \pm } ) \ \ .
\frac { \bar { T } } { T _ { \infty } } = \frac { T _ { w } } { T _ { \infty } } + \frac { T _ { r } - T _ { w } } { T _ { \infty } } \frac { \bar { u } } { U _ { \infty } } + \frac { T _ { \infty } - T _ { r } } { T _ { \infty } } \left( \frac { \bar { u } } { U _ { \infty } } \right) ^ { 2 }
h [ V ] ^ { \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { s } } = { \frac { 1 } { { \cal N } ( s , d ) } } \int d ^ { d - 1 } l \; G _ { l } ( v ) _ { I _ { 1 } \ldots I _ { s } } ^ { \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { s } } V ( l ) ^ { I _ { 1 } \ldots I _ { s } }
\hat { \hat { \epsilon } } \hat { \hat { G } } \hat { \hat { G } } \hat { \hat { C } } = 2 \hat { \epsilon } \partial \hat { C } \partial \hat { C } \hat { B } ^ { ( 1 ) } - 4 \hat { \epsilon } \partial \hat { C } \partial \hat { B } ^ { ( 1 ) } \hat { C } \, ,
t r ( G ^ { 3 } \alpha \alpha ^ { T } A ^ { T } + G ^ { 2 } \alpha \alpha ^ { T } G ^ { T } A + G ^ { 3 } B ^ { T } \beta \beta ^ { T } + G ^ { 2 } B G ^ { T } \beta \beta ^ { T } + \mathrm { t r a n s p o s e } ) _ { \mathrm { c y c l e ~ 6 } }
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } \ddot { \alpha } _ { 1 } + \frac { 3 } { 2 } ( k _ { 1 } + k _ { 2 } ) R ^ { 2 } \alpha _ { 1 } - \frac { 3 } { 2 } k _ { 2 } R ^ { 2 } \alpha _ { 2 } } & { { } = 0 , } \\ { I _ { 2 } \ddot { \alpha } _ { 2 } - \frac { 3 } { 2 } k _ { 2 } R ^ { 2 } \alpha _ { 1 } + \frac { 3 } { 2 } k _ { 2 } R ^ { 2 } \alpha _ { 2 } } & { { } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { R ( r ) } & { = \alpha \lambda ^ { \frac { n - 4 } { 4 } } ( \sqrt { \lambda } \cdot r ) ^ { \frac { 4 - n } { 2 } } J _ { \frac { n - 2 } { 2 } } ( \sqrt { \lambda } \cdot r ) } \\ & { = \frac { 2 ^ { \frac { n - 2 } { 2 } } \Gamma ( n / 2 ) n \omega _ { n } } { \lambda ^ { \frac { n - 2 } { 4 } } } \lambda ^ { \frac { n - 4 } { 4 } } ( \sqrt { \lambda } \cdot r ) ^ { \frac { 4 - n } { 2 } } J _ { \frac { n - 2 } { 2 } } ( \sqrt { \lambda } \cdot r ) } \\ & { = 2 ^ { \frac { n - 2 } { 2 } } \Gamma ( n / 2 ) n \omega _ { n } \frac { 1 } { \sqrt { \lambda } } ( \sqrt { \lambda } \cdot r ) ^ { \frac { 4 - n } { 2 } } J _ { \frac { n - 2 } { 2 } } ( \sqrt { \lambda } \cdot r ) } \\ & { = \frac { 1 } { \sqrt { \lambda } } S _ { n } ( \sqrt { \lambda } \cdot r ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \xi _ { N , \delta } ^ { n } = \xi _ { N , \delta } ^ { n - 1 } + \delta [ \nu \Delta \xi _ { N , \delta } ^ { n } - \Pi _ { N } ( \mathbf { u } _ { N , \delta } ^ { n - 1 } \cdot \nabla \xi _ { N , \delta } ^ { n } ) ] + \Pi _ { N } \sigma \eta _ { n } \delta ^ { 1 / 2 } , \quad \mathbf { u } _ { N , \delta } ^ { n - 1 } = \mathcal { K } \ast \xi _ { N , \delta } ^ { n - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \omega ^ { 2 } = \omega _ { s } ^ { 2 } ( x ) : = \frac { k _ { \parallel } ^ { 2 } v _ { s } ^ { 2 } ( x ) } { 1 + \frac { v _ { s } ^ { 2 } ( x ) } { v _ { A } ^ { 2 } ( x ) } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { K ^ { ( n ) } ( x , x ^ { \prime } ) = \textstyle \frac { \theta ^ { x - x ^ { \prime } } } { 2 \pi \mathrm { i } } \oint _ { \Gamma _ { 0 } } \mathrm { d } u \, \frac { ( 1 - u ) ^ { n - 1 } } { ( 1 - \alpha ) ^ { n - 1 } } \frac { \alpha ^ { x ^ { \prime } + n - 1 } } { u ^ { x + n } } e ^ { t ( u - \alpha ) } } \\ & { \textstyle \qquad + \frac { \theta ^ { x - x ^ { \prime } } } { ( 2 \pi \mathrm { i } ) ^ { 2 } } \oint _ { \Gamma _ { 0 } } \mathrm { d } v \oint _ { \Gamma _ { 1 } } \mathrm { d } w \, \frac { ( 1 - v ) ^ { n - 1 } } { ( 1 - w ) ^ { n - 1 } } \frac { w ^ { x ^ { \prime } + n - 1 } } { v ^ { x + n } } \frac { ( 2 w - 1 ) ( v - \alpha ) ( v + \alpha - 1 ) e ^ { t ( v - w ) } } { ( w - \alpha ) ( w + \alpha - 1 ) ( v - w ) ( w + v - 1 ) } . } \end{array}
\overline { { { M } } } ^ { n } : ~ ~ ~ ~ ~ \{ \xi ^ { 0 } \xi ^ { 0 } = \infty , ~ 1 - { \bf x x } ^ { \prime } < 0 \} ~ \bigcup ~ \{ \xi ^ { 0 } \in ( - \infty , ~ \infty ) , ~ 1 - { \bf x x } ^ { \prime } = 0 \} ~ .
\begin{array} { r l } { U ( z _ { r } ; \mathbf { d } ) } & { { } = \beta \sum _ { l = 1 } ^ { m } p ( h _ { l } ) \left[ \sum _ { q } \sum _ { p } u _ { 1 } \left( \frac { { x _ { p } , y _ { q } , z _ { r } } } { h _ { l } } ; \mathbf { d } \right) \left( \frac { \Delta x } { h _ { l } } \right) \left( \frac { \Delta y } { h _ { l } } \right) \right] \Delta h + U _ { \infty } } \\ { R _ { i j } ( z _ { r } ; \mathbf { d } ) } & { { } = \beta \sum _ { l = 1 } ^ { m } p ( h _ { l } ) \left[ \sum _ { q } \sum _ { p } u _ { i } \left( \frac { { x _ { p } , y _ { q } , z _ { r } } } { h _ { l } } ; \mathbf { d } \right) u _ { j } \left( \frac { { x _ { p } , y _ { q } , z _ { r } } } { h _ { l } } ; \mathbf { d } \right) \left( \frac { \Delta x } { h _ { l } } \right) \left( \frac { \Delta y } { h _ { l } } \right) \right] \Delta h . } \end{array}
\partial _ { t } [ \tilde { \gamma } _ { i j } ] = - 2 \alpha \tilde { A } _ { i j } + \beta ^ { k } \partial _ { k } [ \tilde { \gamma } _ { i j } ] - \frac { 2 } { 3 } \tilde { \gamma } _ { i j } \partial _ { k } [ \beta ^ { k } ] + 2 \tilde { \gamma } _ { k ( i } \partial _ { j ) } [ \beta ^ { k } ] ,
\mathbf { x } = \mathbf { U } _ { r } \tilde { \mathbf { x } } _ { \mathrm { ~ u ~ n ~ s ~ t ~ e ~ a ~ d ~ y ~ } } + \sum _ { i = 1 } ^ { l } \frac { \partial \mathbf { x } } { \partial u _ { i } } u _ { i } .
\mathbf { R } = \left[ \begin{array} { l l l } { \lambda _ { 2 } + \beta _ { 2 } ^ { 2 } \lambda _ { 5 } } & { \beta _ { 2 } \beta _ { 3 } \lambda _ { 5 } } & { \beta _ { 2 } \beta _ { 4 } \lambda _ { 5 } } \\ { \beta _ { 2 } \beta _ { 3 } \lambda _ { 5 } } & { \lambda _ { 3 } + \beta _ { 3 } ^ { 2 } \lambda _ { 5 } } & { \beta _ { 3 } \beta _ { 4 } \lambda _ { 5 } } \\ { \beta _ { 2 } \beta _ { 4 } \lambda _ { 5 } } & { \beta _ { 3 } \beta _ { 4 } \lambda _ { 5 } } & { \lambda _ { 4 } + \beta _ { 4 } ^ { 2 } \lambda _ { 5 } } \end{array} \right] .
R _ { y , q _ { \epsilon _ { m } } ( j ) } \left( \phi _ { q _ { \epsilon _ { m } } ( j ) } ^ { ( m ) } = \pm \pi / 2 \right) | 0 \rangle _ { q _ { \epsilon _ { m } } ( j ) } = | \pm \rangle _ { q _ { \epsilon _ { m } } ( j ) }
\Omega _ { R } = E _ { \mathrm { o d d } , S = 0 } ^ { \mathrm { e x } } - E _ { \mathrm { e v e n } , S = 0 } ^ { g } = U / 2 + [ 4 V _ { \mathrm { e f f } } ^ { 2 } + ( U / 2 ) ^ { 2 } ] ^ { 1 / 2 }
\begin{array} { r } { k _ { n } ^ { \perp } = \textrm { m i n } _ { \phi } k _ { n } ^ { \perp } ( \phi ) ; \quad k _ { n } ^ { \perp } ( \phi ) = \frac { n m \eta ( \phi ) } { \sqrt { 1 + \xi ^ { 2 } ( \phi ) } } , } \end{array}
a _ { \mathcal { D } } ( \boldsymbol { w } _ { h } + ( \overline { { c _ { 0 } } } , \overline { { c _ { 0 } } } ) , \boldsymbol { v } _ { h } ) = a _ { \mathcal { D } } ( \boldsymbol { w } _ { h } , \boldsymbol { v } _ { h } - ( \overline { { v _ { h } } } , \overline { { v _ { h } } } ) ) = a _ { \mathcal { D } } ( c _ { 0 } , \boldsymbol { v } _ { h } - ( \overline { { v _ { h } } } , \overline { { v _ { h } } } ) ) = a _ { \mathcal { D } } ( c _ { 0 } , \boldsymbol { v } _ { h } ) .
\begin{array} { r l } { \widetilde { \rho } _ { 1 } ( a _ { 1 } ^ { - } , s ) } & { = \widetilde { p } _ { 1 } ( a _ { 1 } , s | x _ { 0 } ) + \kappa _ { 1 } \widetilde { p } _ { 1 } ( a _ { 1 } , s | a _ { 1 } ) \Sigma _ { 1 } ( s ) , } \\ { \widetilde { \rho } _ { 2 } ( a _ { 1 } ^ { + } , s ) } & { = \kappa _ { 1 } \widetilde { p } _ { 2 } ( a _ { 1 } , s | a _ { 1 } ) \Sigma _ { 1 } ( s ) + \kappa _ { 2 } \widetilde { p } _ { 2 } ( a _ { 1 } , s | a _ { 2 } ) \Sigma _ { 2 } ( s ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { k } _ { 4 } } & { { } = \mathbf { k } _ { 3 } - \mathbf { k } _ { 2 } , } \\ { \mathbf { k } _ { 7 } } & { { } = 2 \mathbf { k } _ { 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta \tilde { \mathcal { E } } _ { z } ( \omega ) } & { { } = \frac { 2 q } { m } \omega \; \mathrm { I m } [ \tilde { p } _ { z } ^ { V } ( \omega ) \tilde { A } ^ { V * } ( \omega ) ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \ { \mathcal { C } } [ \widehat { Q } _ { 0 , \infty } ^ { \mathrm { C L M C } } ] } & { \ \leq \frac { c _ { 6 } } { \varepsilon ^ { 2 } ( r - \gamma _ { C } ) } \bigg ( \frac { 4 c _ { 5 } } { ( \beta _ { C } - r ) \beta _ { C } } + \frac { c _ { 4 } ^ { 2 } r } { ( 2 \alpha _ { C } - r ) \alpha _ { C } ^ { 2 } } \bigg ) } \\ & { \ = : \widehat { { \mathcal { C } } } ^ { \mathrm { C L M C } } ( \varepsilon , c _ { 4 } , c _ { 5 } , c _ { 6 } , \alpha _ { C } , \beta _ { C } , \gamma _ { C } , r ) . } \end{array}
g _ { Z \Phi _ { 3 } \Phi _ { i } } Z \Phi _ { 3 } \partial _ { \mu } \Phi _ { i } = g _ { Z \Phi _ { 3 } \Phi _ { i } } O _ { k 3 } ^ { \prime } O _ { j i } ^ { \prime } Z h _ { k } \partial _ { \mu } h _ { j } ,
\begin{array} { r l } & { \mathbb E \left( \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , \tau _ { j , k } ^ { T } ] } \left| \int _ { 0 } ^ { t } \Big ( \| u ^ { k } \| _ { \widetilde { s + 1 } } ^ { 2 } ( I _ { 3 } ^ { \prime } + I _ { 6 } ^ { \prime } ) + \| U \| _ { s - 1 , j } ^ { 2 } ( J _ { 3 } + J _ { 6 } ) \Big ) d W \right| \right) } \\ { \leq } & { \frac 1 2 \mathbb E \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , \tau _ { j , k } ^ { T } ] } ( \| u ^ { k } \| _ { \widetilde { s + 1 } } ^ { 2 } \| U \| _ { s - 1 , j } ^ { 2 } ) + C _ { \rho , \kappa } \mathbb E \int _ { 0 } ^ { \tau _ { j , k } ^ { T } } \| U \| _ { s - 1 , j } ^ { 2 } ( 1 + \| u ^ { k } \| _ { \widetilde { s + 1 } } ^ { 2 } ) d t . } \end{array}
\widehat f ( \omega ) = \int _ { \mathbb { R } } d t \, f ( t ) e ^ { i \omega t } = \frac { 1 } { 2 } \left[ \widehat \varphi \left( \frac { \omega - \omega _ { o } } { B } \right) + \widehat \varphi \left( \frac { \omega + \omega _ { o } } { B } \right) \right] ,
k _ { \mathrm { B } } ^ { - 1 } \mathrm { E P R } _ { \mathrm { t h } } = ( \Omega / 2 ) a ^ { 2 } ( \sqrt { 2 } - 1 ) \ln 2 \simeq 0 . 1 4 3 5 6 \, a ^ { 2 } \Omega
f ^ { - p } ( x ) = { \frac { d ^ { - p } f } { d x ^ { - p } } } = \operatorname* { l i m } _ { h \rightarrow 0 } { h ^ { p } } \sum _ { r = 0 } ^ { N } { \left[ \begin{array} { l } { ~ p } \\ { ~ r } \end{array} \right] } f ( x - r h )