harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
- \frac { \left( \xi _ { n } \Omega \right) ^ { 2 } } { \beta _ { n } } \hat { \eta } _ { n } + \mathrm { i } \left( \xi _ { n } \Omega \right) \frac { 2 M } { \rho b } k \operatorname { t a n h } { k h } \hat { \eta } _ { n } + \left( 1 + \Gamma \right) g k \operatorname { t a n h } { k h } \, \hat { \eta } _ { n } = \frac { g k \operatorname { t a n h } { k h } } { 2 } \, f \left( \hat { \eta } _ { n - 1 } + \hat { \eta } _ { n + 1 } \right) ,
R = \frac { m _ { B } } { m _ { b } } \left( \frac { \alpha _ { s } ( M _ { c } ) } { \alpha _ { s } ( m _ { t } ) } \right) ^ { 4 / 7 } \left( \frac { \alpha _ { s } ( m _ { t } ) } { \alpha _ { s } ( m _ { b } ) } \right) ^ { 1 2 / 2 7 }
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \rho _ { l , r } } { \partial t } } & { { } = - \frac { i } { \hbar } J ( \rho _ { l + 1 , r } + \rho _ { l - 1 , r } - \rho _ { l , r + 1 } - \rho _ { l , r - 1 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \gamma _ { t d } = \frac { 1 } { \sigma _ { \Delta I _ { 1 } } ^ { 2 } - \sigma _ { \Delta I _ { 0 } } ^ { 2 } } \bigg ( \sigma _ { \Delta I _ { 1 } } ^ { 2 } \mu _ { \Delta I _ { 0 } } - \sigma _ { \Delta I _ { 0 } } ^ { 2 } \mu _ { \Delta I _ { 1 } } + \sigma _ { \Delta I _ { 1 } } \sigma _ { \Delta I _ { 0 } } } \\ & { \times \sqrt { ( \mu _ { \Delta I _ { 1 } } - \mu _ { \Delta I _ { 0 } } ) ^ { 2 } + 2 ( \sigma _ { \Delta I _ { 1 } } ^ { 2 } - \sigma _ { \Delta I _ { 0 } } ^ { 2 } ) \ln ( \sigma _ { \Delta I _ { 1 } } / \sigma _ { \Delta I _ { 0 } } ) } \bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { S _ { F } ^ { f } ( - \delta _ { i 1 } p _ { 2 } + \delta _ { i 2 } p _ { 1 } ) \approx 3 \epsilon _ { i m k } \Gamma _ { k m } - 3 \epsilon _ { i j k } \Gamma _ { k m } p _ { j } p _ { m } . } \end{array}
M _ { u } \, = \, m _ { t } \left( \begin{array} { l l l } { { x ^ { 2 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { x } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right) ,
\epsilon _ { 1 } ^ { \pm } ( \tau , \chi ) = \exp \left\{ { \frac { i \tau } { 2 } } \right\} ~ \left[ \begin{array} { c } { { \sin ( \chi / 2 + \pi / 4 ) } } \\ { { \mp \cos ( \chi / 2 + \pi / 4 ) } } \end{array} \right] ~ ~ ~ ,
\langle H \psi | z _ { R } ^ { - } \rangle \equiv \langle \psi | H ^ { \times } | z _ { R } ^ { - } \rangle = z _ { R } \langle \psi | z _ { R } ^ { - } \rangle \, \, \, \, \, \textup { f o r a l l } \, \, \, \, \, \psi \in \Phi _ { + } .
\begin{array} { r l } { \Delta _ { 1 } f _ { n } ( x , \theta ) } & { { } = ( N - 1 ) l v d t \int _ { \theta - \pi / 2 } ^ { \theta + \pi / 2 } | \sin ( \theta - \theta _ { 1 } ) | f _ { n } ( x , \theta ) f _ { n } ( x , \theta _ { 1 } + \pi ) \, d \theta _ { 1 } } \end{array}
W _ { q A } ^ { \mu \nu } ( x _ { B } , Q ^ { 2 } ) = \frac { 1 } { 4 \pi } \, \int d x \, d x _ { 1 } \, d x _ { 2 } \, T _ { q A } ( x , x _ { 1 } , x _ { 2 } ) H _ { q A } ^ { \mu \nu } ( x , x _ { 1 } , x _ { 2 } , q ) \, .
E _ { \gamma } { \frac { d \sigma _ { e ^ { + } e ^ { - } \rightarrow \gamma X } ^ { i n c l } } { d ^ { 3 } \ell } } = 2 \sum _ { q } \left[ { \frac { 2 } { s } } F _ { q } ^ { P C } ( s ) \right] \alpha _ { e m } ^ { 2 } ( s ) N _ { c } ( 1 + \cos ^ { 2 } \theta _ { \gamma } ) { \frac { 1 } { x _ { \gamma } } } D _ { q \rightarrow \gamma } ( x _ { \gamma } , \mu _ { F } ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } { } & { = \sum _ { j _ { 1 } , \dots , j _ { n } } \sum _ { \gamma \in S _ { m } \times S _ { n } } \left( A _ { x } ^ { \dagger } A _ { x } \right) _ { j _ { \gamma ^ { - 1 } \sigma _ { 1 } \gamma \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } ( 1 ) } } ^ { j _ { 1 } } \dots \left( A _ { x } ^ { \dagger } A _ { x } \right) _ { j _ { \gamma ^ { - 1 } \sigma _ { 1 } \gamma \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } ( m ) } } ^ { j _ { m } } } \\ { } & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times \left( A _ { y } ^ { \dagger } A _ { y } \right) _ { j _ { \gamma ^ { - 1 } \sigma _ { 1 } \gamma \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } ( m + 1 ) } } ^ { j _ { m + 1 } } \dots \left( A _ { y } ^ { \dagger } A _ { y } \right) _ { j _ { \gamma ^ { - 1 } \sigma _ { 1 } \gamma \sigma _ { 2 } ^ { - 1 } ( m + n ) } } ^ { j _ { m + n } } } \end{array}
\frac { 4 } { 3 } { \pi } ( { \rho } _ { w } - { \rho } _ { a } ) R _ { 0 } ^ { 3 } g - \frac { 6 { \pi } { \mu } V _ { 0 } R _ { 0 } ^ { 2 } } { h _ { 0 } } { \sim } 6 { \pi } { \mu } R _ { 0 } V _ { 0 }
\begin{array} { r l } { \tilde { R } _ { 0 } ^ { \eta } ( \Delta ) } & { = \left[ 2 \mathcal Q _ { 1 } ( \Delta ) \right] ^ { - 1 } \int _ { 0 } ^ { \eta } R ( t , \Delta ) ^ { 1 / 2 } \, d t } \\ & { = \left[ 2 \mathcal Q _ { 1 } ( \Delta ) \right] ^ { - 1 } \int _ { 0 } ^ { \eta } \left[ 2 \lambda ( \Delta ) t + t ^ { 2 } \right] ^ { 1 / 2 } \left[ 1 + K ( t , \Delta ) \right] ^ { 1 / 2 } \, d t . } \end{array}
S _ { E } = - { \frac { 1 } { 1 2 \pi G _ { 5 } } } \int d ^ { 5 } x \sqrt { g } \Lambda _ { 5 } - { \frac { 1 } { 3 } } \sum _ { i } \sigma _ { i } a ^ { 4 } ( r _ { i } ) \int d ^ { 4 } x \sqrt { \gamma } .
\begin{array} { r l } { \epsilon ^ { \frac { 1 } { 2 } } \epsilon \left( \dot { \mathcal { E } } ( t ) + \eta \dot { \mathcal { E } } ( t - 1 ) \right) = } & { { } \epsilon ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left[ i \epsilon ^ { 2 } f \chi ( \epsilon \mathcal { D } ) - 1 - i \delta \right] \mathcal { E } ( t ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { R } & { { } = } & { p _ { N } \sum _ { { \bf q } } P ( { \bf q } ) \left[ 1 - \prod _ { m ^ { \prime } = 2 } ^ { M } ( 1 - V _ { m ^ { \prime } } ) ^ { q _ { m ^ { \prime } } } \right] , } \\ { S } & { { } = } & { \sum _ { m } Q ( m ) p _ { H } ^ { [ m ] } p _ { N } ^ { m } \left[ 1 - ( 1 - W _ { m } ) ^ { m } \right] , } \end{array}
R D _ { \mathrm { A } } = { \frac { { \frac { \rho _ { \mathrm { s } } } { \rho _ { \mathrm { w } } } } - { \frac { \rho _ { \mathrm { a } } } { \rho _ { \mathrm { w } } } } } { 1 - { \frac { \rho _ { \mathrm { a } } } { \rho _ { \mathrm { w } } } } } } = { \frac { R D _ { \mathrm { V } } - { \frac { \rho _ { \mathrm { a } } } { \rho _ { \mathrm { w } } } } } { 1 - { \frac { \rho _ { \mathrm { a } } } { \rho _ { \mathrm { w } } } } } } .
\begin{array} { r } { \frac { d \tilde { \rho } } { d t } = \frac { i } { \hbar } [ \tilde { \rho } , \hat { H } _ { T } ( t ) ] - \Gamma _ { p } ( t ) ( \tilde { \rho } - \rho _ { i n } ) - \gamma ( \tilde { \rho } - \rho _ { 0 } ) . } \end{array}
T _ { H _ { 1 } H _ { 2 } } = i 2 s [ \kappa \langle g ^ { 2 } F F \rangle ] ^ { 2 } a ^ { 1 0 } \int d ^ { 2 } \vec { b } ~ \exp { ( i \vec { q } \cdot \vec { b } ) } ~ \widehat J _ { H _ { 1 } H _ { 2 } } ( \vec { b } , S _ { 1 } , S _ { 2 } ) ~ ,
\begin{array} { r l r } { k _ { F G R } } & { = } & { k ( \infty ) } \\ & { = } & { \frac { 2 | J | ^ { 2 } } { \hbar ^ { 2 } } \mathrm { R e } \left[ \int _ { 0 } ^ { \infty } d t e ^ { i ( \tilde { E } _ { 1 } - \tilde { E } _ { 2 } ) t / \hbar } \left( e ^ { - { \mathcal C } ( t ) } - e ^ { - { \mathcal C } _ { R , s } } \right) \right] } \\ & { + } & { \frac { 2 \pi | J | ^ { 2 } } { \hbar } e ^ { - { \mathcal C } _ { R , s } } \delta ( \tilde { E } _ { 1 } - \tilde { E } _ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { J ( \Omega , \mu _ { \mathrm { i } } ) = { \frac { 1 } { 2 } } \sum _ { k = 1 } ^ { K } \sum _ { m = 1 } ^ { M } | u _ { \Omega , \mu _ { \mathrm { i } } } ( r _ { k } , 0 , t _ { m } ) - d _ { k } ^ { m } | ^ { 2 } , } \end{array}
\vec { \Omega } = \vec { \widetilde { X } } = 0 , \qquad \vec { M } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( 0 , 1 , 0 ) ^ { T } , \qquad \vec { B } _ { m } = \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } ( 0 , A _ { m } , 0 ) ^ { T } .
\Delta _ { N , 2 } ^ { \mu \nu , \lambda \sigma } = \frac { 1 } { 2 ( p ^ { 2 } - i \epsilon ) } \left( g ^ { \mu \nu } g ^ { \lambda \sigma } + ( g ^ { \mu \nu } n ^ { \lambda } n ^ { \sigma } + n ^ { \mu } n ^ { \nu } g ^ { \lambda \sigma } ) \frac { p ^ { 2 } } { | { \bf p } | ^ { 2 } } + n ^ { \mu } n ^ { \nu } n ^ { \lambda } n ^ { \sigma } \frac { ( p ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { | { \bf p } | ^ { 4 } } \right) .
F = \nu W = \frac { \nu } { \pi } \mathrm { { I m } } \langle \Phi | \tilde { G } + \tilde { G } h \tilde { G } + \cdots | \Phi \rangle = { \cal F } _ { 0 } + \frac { { \cal F } _ { 1 } } { Q ^ { 2 } } + \frac { { \cal F } _ { 2 } } { Q ^ { 4 } } + \cdots
\Delta E _ { 2 \gamma } ^ { h f s } = - \frac { \alpha ^ { 4 } R _ { \infty } } { 2 \pi ^ { 2 } } \left[ 1 + \frac { 3 5 } { 9 } \pi ^ { 2 } + ( \frac { 4 1 } { 4 } + \pi ^ { 2 } ) l o g \, 2 - \frac { 8 5 } { 4 } \zeta ( 3 ) - i \pi ( 5 - \frac { \pi ^ { 2 } } { 4 } ) \right] .
( \nu _ { E } , E ) \sim ( 1 ; 2 , - { \frac { 1 } { 6 } } ; - { \frac { 1 } { 2 } } , { \frac { 1 } { 6 } } ) , ~ ~ ~ ( E ^ { c } , N _ { E } ^ { c } ) \sim ( 1 ; 2 , - { \frac { 1 } { 6 } } ; { \frac { 1 } { 2 } } , { \frac { 1 } { 6 } } ) ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial Q ( c , c ^ { \prime } ) } { \partial c _ { k } ^ { \prime } } } & { = \frac { \partial } { \partial c _ { k } ^ { \prime } } \left[ \sum _ { i } \frac { 1 } { 2 } ( \phi _ { i } - c _ { k } ^ { \prime } ) ^ { 2 } \right] } \\ & { = \sum _ { i } \frac { \partial } { \partial c _ { k } ^ { \prime } } \left[ \frac { 1 } { 2 } ( \phi _ { i } - c _ { k } ^ { \prime } ) ^ { 2 } \right] } \\ & { = \sum _ { i } c _ { k } ^ { \prime } - \phi _ { i } . } \end{array}
\left[ b \, \kappa + \frac { C _ { 0 } ^ { 2 } } { 2 a } V ^ { - 2 } \right] ^ { \prime } = - \frac { c \, C _ { 0 } } { a } \frac { 1 } { V } \left( \frac { V ^ { \prime } } { V } \right) ^ { \prime } + 1 - \frac { U _ { c } } { g ( H ) } - \frac { C _ { 0 } } { a \, V g ( H ) } .
L = \int d ^ { 4 } x ( \int d ^ { 4 } \theta ( \phi _ { i } ^ { * } e ^ { V } \phi _ { i } + \bar { \phi } _ { i } ^ { * } e ^ { - V } \bar { \phi } _ { i } ) + { \frac { 1 } { 4 \pi g ^ { 2 } } } \int d ^ { 2 } \theta W ^ { 2 } )
| \psi _ { + } ( { \bf a } ) \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c } { { \sin \theta e ^ { - i \phi } } } \\ { { - \cos \theta } } \\ { { 0 } } \\ { { - 1 } } \end{array} \right) , ~ ~ ~ | \psi _ { + } ( { \bf a } ) \rangle ^ { \prime } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c } { { - \cos \theta } } \\ { { - \sin \theta e ^ { i \phi } } } \\ { { 1 } } \\ { { 0 } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l r l } & { k _ { i j } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( \| \mathbf { t } \| ^ { - 1 } \frac { \mathrm { d } n _ { i } } { \mathrm { d } \alpha } \right) \left( \| \mathbf { t } \| ^ { - 1 } \frac { \mathrm { d } n _ { j } } { \mathrm { d } \alpha } \right) \| \mathbf { t } \| \, \mathrm { d } \alpha \, , } & & { f _ { i } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \langle \| \mathbf { t } \| ^ { - 1 } \mathbf { t } , \, \nabla _ { x } \widetilde { u } \rangle \left( \| \mathbf { t } \| ^ { - 1 } \frac { \mathrm { d } n _ { i } } { \mathrm { d } \alpha } \right) \| \mathbf { t } \| \, \mathrm { d } \alpha \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { j } ^ { 2 } } & { = \tau \left| { \delta _ { x } ^ { + } } V ( x _ { j } ) \right| \left| \Phi _ { B _ { 2 } } ^ { \tau } ( v _ { j } ^ { \theta } ) - \Phi _ { B _ { 2 } } ^ { \tau } ( w _ { j } ^ { \theta } ) \right| } \\ & { \leq \tau \left| { \delta _ { x } ^ { + } } V ( x _ { j } ) \right| ( 1 + C ( M ) \tau ) ( | e _ { j } | + | e _ { j + 1 } | ) } \\ & { \leq C ( M ) \tau \left| { \delta _ { x } ^ { + } } V ( x _ { j } ) \right| ( | e _ { j } | + | e _ { j + 1 } | ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { 1 } ( \theta ) } & { { } = { \frac { 2 } { \theta } } , } \\ { b _ { 1 } ( \theta ) } & { { } = 1 , } \\ { a _ { n } ( \theta ) } & { { } = \left( 1 - { \frac { 4 } { \theta ^ { 2 } } } \right) \, a _ { n - 1 } ( \theta ) + { \frac { 4 } { \theta } } \, b _ { n - 1 } ( \theta ) , } \\ { b _ { n } ( \theta ) } & { { } = \left( 1 - { \frac { 4 } { \theta ^ { 2 } } } \right) \, b _ { n - 1 } ( \theta ) - { \frac { 4 } { \theta } } \, a _ { n - 1 } ( \theta ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { c } { \frac { \partial Z _ { 1 } ( t , T , X ) } { \partial t } } \\ { \frac { \partial U _ { 3 , 1 } ( t , T , X ) } { \partial t } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { i \omega _ { * } Z _ { 1 } ( t , T , X ) } \\ { - \beta U _ { 3 , 1 } ( t , T , X ) } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \phantom { e e e } \dot { V _ { 2 } } ( y _ { 2 } ) \leq - 2 ( 1 - a ) V _ { 2 } ( y _ { 2 } ) - \Big ( \frac { 2 b } { 3 } - \frac { \omega } { 2 } \Big ) \int _ { 0 } ^ { \pi } { \Big ( y _ { 2 , z } ( z ) \Big ) ^ { 4 } d z } + \frac { 1 } { \omega ^ { \frac { 1 } { 3 } } } \frac { 3 } { 2 } \| u _ { 2 } \| _ { W _ { 0 } ^ { 1 , \frac { 4 } { 3 } } ( 0 , \pi ) } ^ { \frac { 4 } { 3 } } . } \end{array}
T _ { + + } ^ { \prime } = T _ { + + } - \partial _ { + } X ( \delta _ { N } ( \sigma , \pi ) - \delta _ { N } ( \sigma , 0 ) ) \ , T _ { -- } ^ { \prime } = T _ { -- } + \partial _ { - } X ( \delta _ { N } ( \sigma , \pi ) - \delta _ { N } ( \sigma , 0 ) ) \ ,
\begin{array} { r l } & { \Big \| \theta _ { \rho } ( \| \tilde { u } \| _ { s - 2 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } \tilde { v } - \partial _ { z } \tilde { v } _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) v - \theta _ { \rho } ( \| \tilde { u } _ { n _ { k } } \| _ { s - 2 } ) \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } \tilde { v } _ { n _ { k } } - ( \partial _ { z } \tilde { v } _ { n _ { k } } ) _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) v _ { n _ { k } } \Big \| _ { H ^ { s - 1 } } } \\ { \leq } & { \Big | \theta _ { \rho } ( \| \tilde { u } \| _ { s - 2 } ) - \theta _ { \rho } ( \| \tilde { u } _ { n _ { k } } \| _ { s - 2 } ) \Big | \| v \| _ { H ^ { s - 1 } } + \Big | \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } \tilde { v } - \partial _ { z } \tilde { v } _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) - \theta _ { \kappa } ( \| \partial _ { z } \tilde { v } _ { n _ { k } } - ( \partial _ { z } \tilde { v } _ { n _ { k } } ) _ { 0 } \| _ { L ^ { \infty } } ) \Big | \| v \| _ { H ^ { s - 1 } } } \\ & { + \| \tilde { v } - \tilde { v } _ { n _ { k } } \| _ { H ^ { s - 1 } } \to 0 \quad \mathrm { ~ f o r ~ a . a . ~ } ( t , \omega ) \in ( 0 , T ) \times \tilde { \Omega } , } \end{array}
g _ { \mu \nu } ^ { i n d } ( x ) = e ^ { - 2 A ( r _ { 0 } ) - 2 \frac { \gamma } { v } r ( x ) } \eta _ { \mu \nu } \equiv e ^ { - 2 A ( r _ { 0 } ) } \Omega ^ { 2 } ( r ) \eta _ { \mu \nu }
\begin{array} { r l } { R _ { B } } & { \geq \operatorname* { s u p } _ { \rho > 0 } \rho \left( 1 - \exp \left( \mathcal { L } \left( W \! \! \to \! \! X ^ { n } \right) \right) L _ { W } ( \rho ) \right) } \\ & { \geq \operatorname* { s u p } _ { \rho > 0 } \rho \left( 1 - \left( 2 + \sqrt { \frac { \pi n } { 2 } } \right) 2 \rho \right) . } \end{array}
\bigl \langle Q _ { 6 } ^ { } \bigr \rangle _ { 0 } ^ { } \, = \, - 4 \sqrt { \frac { 3 } { 2 } } \, \biggl [ \frac { m _ { K } ^ { 2 } } { m _ { s } ^ { } ( \mu ) + m _ { d } ^ { } ( \mu ) } \biggr ] ^ { 2 } \bigl ( f _ { K } ^ { } - f _ { \pi } ^ { } \bigr ) B _ { 6 } ^ { ( 1 / 2 ) } \, \, ,
[ Q , \bar { C } ^ { a } ] _ { P . B . } \stackrel { d e f . } { = } \tilde { K } _ { a } = K _ { a } + f _ { a b } ^ { c } \bar { C } _ { c } C ^ { b } ~ , ~ ~ ~ ~ [ \tilde { K } _ { a } , \tilde { K } _ { b } ] _ { P . B . } = f _ { a b } ^ { c } \tilde { K } _ { c } ~ .
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { d h } { d \rho } } & { = - \frac { \gamma } { 2 } \eta , } \\ { h ( \rho ^ { - } ) } & { = h ^ { - } , } \\ { \dot { c } } & { = 0 . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { K } _ { X } } & { { } = } & { \frac { \partial b _ { A } } { \partial X } , } \\ { \mathcal { Q } _ { X } } & { { } = } & { \frac { \partial } { \partial X } \left( \frac { \delta \Gamma _ { \mathrm { R b } } } { \Gamma _ { \mathrm { R b } } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \overline { { T } } \leqslant } & { \int _ { 0 } ^ { \overline { { T } } } d ( 0 , \partial ( \psi \circ \tilde { f } ) ( \bar { x } ( \bar { t } ) ) ) d \bar { t } } \\ { = } & { \int _ { 0 } ^ { \overline { { T } } } \| \bar { x } ^ { \prime } ( \bar { t } ) \| d \bar { t } } \\ { = } & { \int _ { 0 } ^ { T } \| x ^ { \prime } ( t ) \| d t } \\ { \leqslant } & { \sqrt { \overline { { T } } } \sqrt { \int _ { 0 } ^ { \overline { { T } } } \| \bar { x } ^ { \prime } ( \bar { t } ) \| ^ { 2 } d \bar { t } } } \\ { = } & { \sqrt { \overline { { T } } } \sqrt { | ( \psi \circ \tilde { f } \circ \bar { x } ) ( 0 ) - ( \psi \circ \tilde { f } \circ \bar { x } ) ( \overline { { T } } ) | } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { V } ( x , 0 ) ^ { 2 } } & { = ( \chi \mathcal { V } ) ( x , 0 ) ^ { 2 } = \Big ( \int _ { 0 } ^ { y _ { 0 } } \partial _ { y } ( \chi \mathcal { V } ) ( x , y ) \; d y \Big ) ^ { 2 } \leq \frac { y _ { 0 } ^ { 1 - \alpha } } { 1 - \alpha } \int _ { 0 } ^ { y _ { 0 } } y ^ { \alpha } | \partial _ { y } ( \chi \mathcal { V } ) | ^ { 2 } \; d y } \\ & { \lesssim \int _ { 0 } ^ { y _ { 0 } } y ^ { \alpha } \left( | \partial _ { y } \mathcal { V } | ^ { 2 } + | \partial _ { y } \chi | ^ { 2 } \mathcal { V } ^ { 2 } \right) \; d y . } \end{array}
\begin{array} { c c } { { f ( r ) \simeq \textstyle { \frac { 1 } { 2 } } + c \sin ( \sqrt { 2 } \ln ( r / r _ { \mathrm { { o } } } ) ) ~ ~ ~ ~ } } & { { ~ ~ ~ ~ \mathrm { f o r } ~ r > > 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \Gamma } d y \sin \left( \left( y - y _ { 0 } \right) t \right) \frac { \sin \left( y t \right) } { y } g \left( y \right) } & { { } = \int d y \sin \left( \left( y - y _ { 0 } \right) t \right) \frac { d } { d y } \int _ { c } ^ { y } \frac { \sin \left( y ^ { \prime } t \right) } { y ^ { \prime } } d y ^ { \prime } g \left( y \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { n } _ { \mathrm { e x } } ^ { \mathrm { T L O } } } & { \gtrsim \bar { n } _ { \mathrm { e x , b c } } ^ { \mathrm { T L O } } : = \frac { \Theta _ { \mathrm { e l } } } { \tau ^ { \prime \prime } } , } \\ { \bar { n } _ { \mathrm { e x } } ^ { \mathrm { L L O } } } & { \gtrsim \bar { n } _ { \mathrm { e x , b c } } ^ { \mathrm { L L O } } : = \Theta _ { \mathrm { e l } } + \Theta _ { \mathrm { p h } } \tau ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } ) = 1 + \frac { 1 } { n ( \mathbf { r } ) n ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) } \left[ - \frac { 1 } { \pi } \right. } & { { } \int _ { 0 } ^ { \infty } d E \, \chi ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } ; i E ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { t ^ { * } } ^ { * } w ^ { * } \sim \partial _ { Z ^ { * } } p ^ { * } } & { { } > g \alpha \theta ^ { * } \sim \nu \nabla _ { \perp } ^ { * 2 } w ^ { * } , } \\ { D _ { t ^ { * } } ^ { * } \zeta ^ { * } \sim 2 \Omega \partial _ { Z ^ { * } } w ^ { * } } & { { } > \nu \nabla _ { \perp } ^ { * 2 } \zeta ^ { * } . } \end{array}
\langle \vec { A } ^ { \prime } ( f ) \cdot \vec { A } ^ { \prime * } ( f ^ { \prime } ) \rangle = \rho _ { \mathrm { D M } } \, \mathcal { F } _ { \mathrm { D M } } \left( f \right) \delta \left( f - f ^ { \prime } \right) / \left( 4 \pi ^ { 2 } \bar { f } f \right) ,
\sum _ { \lambda _ { 3 } , \lambda _ { 3 } ^ { \prime } , \lambda _ { 4 } , \lambda _ { 4 } ^ { \prime } } | M | ^ { 2 } = 4 \left[ A \; p _ { 3 5 } \; p _ { 4 7 } - m f ( X _ { 3 } ) \; p _ { 4 7 } - p _ { 3 5 } \: g ( D _ { 3 } ) + m ^ { 2 } g ( D _ { 5 } ) + \; p _ { 3 5 } \; m \; g ( X _ { 4 } ) \right]
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { l m } ^ { \mathrm { M } } ( k _ { 0 } ) } & { = \mathrm { E } _ { 0 } \, r _ { l } ^ { \mathrm { E } } ( k _ { 0 } ) \, \sqrt { \pi ( 2 l + 1 ) } \, i ^ { l } \, \left[ \delta _ { m , 1 } + \delta _ { m , - 1 } \right] } \\ { \mathcal { B } _ { l m } ^ { \mathrm { M } } ( k _ { 0 } ) } & { = \frac { \mathrm { E } _ { 0 } } { c } \, r _ { l } ^ { \mathrm { B } } ( k _ { 0 } ) \, \sqrt { \pi ( 2 l + 1 ) } \, i ^ { l + 1 } \, \left[ \delta _ { m , 1 } - \delta _ { m , - 1 } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathcal { Z } ^ { ( \ell | 0 ) } ( g _ { \mathrm { s } } ) } { \mathcal { Z } ^ { ( 0 | 0 ) } ( g _ { \mathrm { s } } ) } } & { \simeq \frac { G _ { 2 } \left( \ell + 1 \right) } { \left( 2 \pi \right) ^ { \ell / 2 } } \, { \mathrm { e } } ^ { - \frac { \ell } { g _ { \mathrm { s } } } A _ { n } } \left( g _ { \mathrm { s } } \, \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { n ^ { 3 } } \right) ^ { \frac { \ell ^ { 2 } } { 2 } } + \cdots , } \\ { \frac { \mathcal { Z } ^ { ( 0 | \bar { \ell } ) } ( g _ { \mathrm { s } } ) } { \mathcal { Z } ^ { ( 0 | 0 ) } ( g _ { \mathrm { s } } ) } } & { \simeq \frac { G _ { 2 } \left( \bar { \ell } + 1 \right) } { \left( 2 \pi \right) ^ { \bar { \ell } / 2 } } \, { \mathrm { e } } ^ { \frac { \bar { \ell } } { g _ { \mathrm { s } } } A _ { n } } \left( - g _ { \mathrm { s } } \, \frac { ( - 1 ) ^ { n } } { n ^ { 3 } } \right) ^ { \frac { \bar { \ell } ^ { 2 } } { 2 } } + \cdots , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { p = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { p ! } \sum _ { ( \pi , G ^ { 1 2 } ) _ { p } \textnormal { l i n k e d } } \Gamma _ { \pi , G ^ { 1 2 } } ^ { 1 2 } } \\ & { \quad = \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { k ! } \sum _ { n _ { 1 } , \ldots , n _ { k } \geq 2 } \frac { 1 } { \prod _ { \ell = 1 } ^ { k } n _ { \ell } ! } \sum _ { G _ { \ell } \in \mathcal { C } _ { n _ { \ell } } } \idotsint \prod _ { \ell = 1 } ^ { k } \prod _ { e \in G _ { \ell } } g _ { e } \rho _ { \mathrm { t } } ^ { \{ * , * * , 1 , \ldots , k \} } \, \textnormal { d } x _ { 3 } \ldots \, \textnormal { d } x _ { \sum n _ { \ell } + 2 } + \xi , } \end{array}
\frac { \delta \mathcal { F } } { \delta v } = ( - 1 ) ^ { n - 1 } d ( \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \omega } ) + ( - 1 ) ^ { n - 1 } \ast d N _ { \phi } ( \frac { \delta \bar { \mathcal { F } } } { \delta \phi _ { \partial } } ) .
\begin{array} { r } { { u } _ { 0 , 1 } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } \\ { 1 , } \end{array} \right. \quad { u } _ { 0 , 2 } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , } \\ { 0 , } \end{array} \right. \quad { u } _ { 0 , 3 } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { \qquad x \in [ 0 , 0 . 5 ] , } \\ { 0 , } & { \qquad x \in ( 0 . 5 , 1 ] , } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mu _ { \chi _ { i } } ( l ) = \sum _ { m = 1 } ^ { M } } & { \sum _ { k = 1 } ^ { K } a _ { m } ^ { ( 1 ) } a _ { k } ^ { ( 2 ) } \left( \frac { c _ { 1 } } { c _ { 2 } } \right) ^ { - \frac { b _ { m } ^ { ( 1 ) } - b _ { k } ^ { ( 2 ) } } { 2 } } \left( c _ { 1 } c _ { 2 } \right) ^ { - \frac { b _ { m } ^ { ( 1 ) } + b _ { k } ^ { ( 2 ) } + n } { 2 } } } \\ & { \times \Gamma \left( b _ { m } ^ { ( 1 ) } + \frac { n } { 2 } \right) \Gamma \left( b _ { k } ^ { ( 2 ) } + \frac { n } { 2 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \cos \theta _ { \mathrm { R } } } & { { } = } & { - \frac { \xi } { \sqrt { \xi ^ { 2 } + \Delta ^ { 2 } } } = - \cos \theta _ { \mathrm { L } } } \\ { \sin \theta _ { \mathrm { R } } } & { { } = } & { - \frac { \Delta } { \sqrt { \xi ^ { 2 } + \Delta ^ { 2 } } } = - \sin \theta _ { \mathrm { L } } . } \end{array}
r \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! > \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \bar { r } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! > r \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! > \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { r l } { V ( k _ { 2 } , h , \tilde { m } ) } & { : = \frac { \langle k _ { 2 } \rangle ^ { s } } { | k _ { 2 } | ^ { 2 \alpha - 1 } | h | | \tilde { m } | } ; } \\ { f _ { 1 } ( h ) } & { : = \langle h \rangle ^ { s } | \widehat { \gamma } ( h ) | ; } \\ { f _ { 2 } ( \tilde { m } ) } & { : = \langle \tilde { m } \rangle ^ { s } | \widehat { \gamma } ( \tilde { m } ) | . } \end{array}
\mathrm { I } \equiv \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 1 } \end{array} \right) , \qquad \mathrm { I I } \equiv \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { 1 } & { 5 } \\ { 0 . 0 1 } & { 0 . 8 9 } & { 0 . 1 } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l } { \dot { y } _ { j } } & { { } = \frac { 1 } { m } p _ { j } , } \\ { \dot { p _ { j } } } & { { } = - \frac { m g } { r _ { j } } y _ { j } - \kappa _ { j - 1 , j } \left( y _ { j } - y _ { j - 1 } \right) + \kappa _ { j , j + 1 } \left( y _ { j + 1 } - y _ { j } \right) . } \end{array}