harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { T ( r ) = \left\{ \begin{array} { l l } { T _ { \mathrm { ~ s ~ a ~ t ~ } } \, , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } r \leq R _ { 0 } , } \\ { T _ { \infty } \, , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } r \geq R _ { \infty } , } \\ { \frac { R - R _ { 0 } } { R _ { \infty } } ( T _ { \infty } - T _ { \mathrm { ~ s ~ a ~ t ~ } } ) + T _ { \mathrm { ~ s ~ a ~ t ~ } } \, , } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ . ~ } } \end{array} \right. } \end{array}
H _ { c } = \int d x \left[ \theta ( 3 { \sigma } ^ { \prime } { \pi } _ { \sigma } + 2 \sigma { \pi } _ { \sigma } ^ { \prime } + { \pi } _ { \phi } { \phi } ^ { \prime } ) + { \sigma } ^ { 2 } { \pi } _ { \sigma } { \pi } _ { \phi } - { \frac 1 2 } { \sigma } ^ { 3 } { \pi } _ { \sigma } ^ { 2 } + { \frac 1 2 } \sigma ( { \phi } ^ { \prime } ) ^ { 2 } - { \sigma } ^ { \prime } { \phi } ^ { \prime } \right]
\begin{array} { r l } { \| \Psi _ { n } ^ { C E } - \Psi _ { m } ^ { C E } \| } & { \leq \| \Psi _ { n } ^ { C E } - \Psi _ { n - 1 } ^ { C E } \| + \| \Psi _ { n - 1 } ^ { C E } - \Psi _ { n - 2 } ^ { C E } \| + \cdots + \| \Psi _ { m + 1 } ^ { C E } - \Psi _ { m } ^ { C E } \| } \\ & { \leq ( \Delta ^ { n - 1 } + \Delta ^ { n - 2 } + \cdots + \Delta ^ { m } ) \| \Psi _ { 1 } ^ { C E } - \Psi _ { 0 } ^ { C E } \| } \\ & { = \frac { \Delta ^ { m } ( 1 - \Delta ^ { n - m } ) } { 1 - \Delta } \| u _ { 1 } \| \leq \frac { \Delta ^ { m } } { 1 - \Delta } \| u _ { 1 } \| , } \end{array}
\Omega _ { \mathrm { O p t } } = \sqrt { \frac { 1 8 P _ { 0 } \chi } { \beta _ { 4 } } \pm \frac { 2 \sqrt { 3 } \sqrt { P _ { 0 } \left( 2 7 P _ { 0 } \chi ^ { 2 } - 2 \alpha \beta _ { 4 } \right) } } { \beta _ { 4 } } }
\begin{array} { r l } & { \left| D _ { f } ( L | | \overline { { M } } ) - \left( D _ { f } ( L | | P _ { 2 } ) + D _ { f } ( P _ { 2 } | | \overline { { M } } ) \right) \right| } \\ & { \leqslant \frac { 1 } { 3 ! } | | f ^ { ( 3 ) } | | _ { \infty } ( L , \overline { { M } } ) ( \overline { { m } } ( L , \overline { { M } } ) - \underline { { m } } ( L , \overline { { M } } ) ) ^ { 3 } + \frac { 1 } { 3 ! } | | f ^ { ( 3 ) } | | _ { \infty } ( L , P _ { 2 } ) ( \overline { { m } } ( L , P _ { 2 } ) - \underline { { m } } ( L , P _ { 2 } ) ) ^ { 3 } } \\ & { \quad + \frac { 1 } { 3 ! } | | f ^ { ( 3 ) } | | _ { \infty } ( P _ { 2 } , \overline { { M } } ) ( \overline { { m } } ( P _ { 2 } , \overline { { M } } ) - \underline { { m } } ( P _ { 2 } , \overline { { M } } ) ) ^ { 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { k _ { 1 } = } & { { } \alpha ( \alpha + 1 ) \mathcal { A } ^ { 3 } \lambda ^ { 3 } , } \\ { k _ { 2 } = } & { { } 3 \alpha ( \alpha + 1 ) \mathcal { A } ^ { 3 } \lambda ^ { 2 } ( \lambda - 1 ) , } \\ { k _ { 3 } = } & { { } 3 \alpha ( \alpha + 1 ) \mathcal { A } ^ { 3 } \lambda ( \lambda - 1 ) ( \lambda - 2 ) , } \\ { k _ { 4 } = } & { { } - \mathcal { A } ^ { 2 } \lambda ^ { 2 } , } \\ { k _ { 5 } = } & { { } - \mathcal { A } ^ { 2 } \lambda ( \lambda - 1 ) , } \end{array}
D _ { \sigma } ( U _ { \mathrm { s h } } ) : = 1 0 ^ { 4 } \operatorname* { m a x } \{ 1 , 1 2 / \sigma \} ^ { 1 5 } ( 1 + \| U _ { \mathrm { s h } } \| _ { L ^ { \infty } } + \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime } \| _ { L ^ { \infty } } + \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime } \| _ { L ^ { \infty } } + \| U _ { \mathrm { s h } } ^ { \prime \prime \prime } \| _ { L ^ { \infty } } ) ^ { 3 } .
\left( \frac { \Delta R } { R } \right) _ { \mathrm { ~ h ~ e ~ a ~ t ~ i ~ n ~ g ~ } } = \frac { R C _ { \mathrm { ~ h ~ o ~ t ~ } } - R C _ { \mathrm { ~ r ~ o ~ o ~ m ~ t ~ e ~ m ~ p ~ } } } { R C _ { \mathrm { ~ r ~ o ~ o ~ m ~ t ~ e ~ m ~ p ~ } } }
\begin{array} { r l } { A _ { i , j } } & { = _ { 2 } + _ { 1 } + _ { 2 } + _ { 2 } } \\ & { = \delta _ { i , j } \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \sum _ { u = 1 } ^ { i } w _ { i , u } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s } w _ { u , i } ^ { ( 2 ) } t ^ { s + 1 } - \delta _ { i , j } \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \sum _ { u = 1 } ^ { i } w _ { j , u } ^ { ( 2 ) } t ^ { - s + 1 } w _ { u , i } ^ { ( 1 ) } t ^ { s } , } \\ & { \quad + \delta _ { i , j } \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \sum _ { u = i + 1 } ^ { n } w _ { i , u } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s - 1 } w _ { u , i } ^ { ( 2 ) } t ^ { s + 2 } - \delta _ { i , j } \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \sum _ { u = i + 1 } ^ { n } w _ { i , u } ^ { ( 2 ) } t ^ { - s - 1 } w _ { u , i } ^ { ( 1 ) } t ^ { s + 1 } , } \\ { B _ { i , j } } & { = _ { 1 } + _ { 2 } + _ { 1 } + _ { 1 } } \\ & { = - \delta ( j \leq i ) \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } w _ { i , j } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s } w _ { j , i } ^ { ( 2 ) } t ^ { s + 1 } + \delta ( j \leq i ) \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } w _ { i , j } ^ { ( 2 ) } t ^ { - s + 1 } w _ { j , i } ^ { ( 1 ) } t ^ { s } , } \\ & { \quad - \delta ( j > i ) \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } w _ { i , j } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s - 1 } w _ { j , i } ^ { ( 2 ) } t ^ { s + 2 } + \delta ( j > i ) \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } w _ { i , j } ^ { ( 2 ) } t ^ { - s } w _ { j , i } ^ { ( 1 ) } t ^ { s + 1 } , } \\ { C _ { i , j } } & { = _ { 3 } + _ { 3 } } \\ & { = \delta ( j \leq i ) \alpha _ { 1 } \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } s w _ { i , j } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s } w _ { j , i } ^ { ( 1 ) } t ^ { s } + \delta ( j > i ) \alpha _ { 1 } \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } ( s + 1 ) w _ { i , j } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s - 1 } w _ { j , i } ^ { ( 1 ) } t ^ { s + 1 } , } \\ { D _ { i , j } } & { = _ { 4 } + _ { 4 } } \\ & { = \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } s w _ { i , i } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s } w _ { j , j } ^ { ( 1 ) } t ^ { s } - \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } s w _ { j , j } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s } w _ { i , i } ^ { ( 1 ) } t ^ { s } , } \\ { \tilde { E } _ { i , j } } & { = _ { 3 } + _ { 3 } } \\ & { = - \delta _ { i , j } \alpha _ { 1 } \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \sum _ { u = 1 } ^ { i } s w _ { j , u } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s } w _ { u , i } ^ { ( 1 ) } t ^ { s } + \delta _ { i , j } \alpha _ { 1 } \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } ( s + 1 ) w _ { j , u } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s - 1 } w _ { u , i } ^ { ( 1 ) } t ^ { s + 1 } , } \\ { F _ { i , j } } & { = _ { 5 } + _ { 5 } } \\ & { = \delta _ { i , j } \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \sum _ { x \leq m - n } s w _ { i , i } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s } w _ { x , x } ^ { ( 1 ) } t ^ { s } - \delta _ { i , j } \displaystyle \sum _ { s \geq 0 } \sum _ { x \leq m - n } s w _ { x , x } ^ { ( 1 ) } t ^ { - s } w _ { i , i } ^ { ( 1 ) } t ^ { s } . } \end{array}
p ( \mathbf { x } _ { t + N \tau } ^ { 0 } \mid \mathbf { x } _ { t } , N ) \triangleq \int p ( \mathbf { x } _ { t + N \tau } ^ { 0 : T } \mid \mathbf { x } _ { t } , N ) \, \mathrm { d } \mathbf { x } ^ { 1 : T }
m _ { r } = \left\{ \begin{array} { c c } { { r > 0 } } & { { \epsilon + 2 r } } \\ { { r = 0 } } & { { \epsilon - \frac { \pi ^ { 2 } } { 1 2 } \epsilon ^ { 3 } } } \\ { { r < 0 } } & { { \epsilon + 2 r } } \end{array} \right. \qquad \tilde { m } _ { r } = \left\{ \begin{array} { c c } { { r > 0 } } & { { 2 r - 1 + \epsilon } } \\ { { r = 0 } } & { { 0 } } \\ { { r < 0 } } & { { - 2 r - 1 - \epsilon } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \delta _ { e } ^ { n } f ( a _ { 0 } , \dots , a _ { n } ) = - a _ { 0 } e + a _ { 0 } f ( a _ { 1 } , \dots , a _ { n } ) + \sum _ { j = 1 } ^ { n } ( - 1 ) ^ { j } f ( a _ { 0 } , \dots , a _ { j - 1 } a _ { j } , \dots , a _ { n } ) } \\ & { \hphantom { \delta _ { e } ^ { n } f ( a _ { 0 } , \dots , a _ { n } ) = } - f ( a _ { 0 } , \dots , a _ { n - 1 } ) a _ { n } + e a _ { n } , } \\ & { \delta _ { e } ^ { n + 1 } f ( a _ { 0 } , \dots , a _ { n + 1 } ) = - a _ { 0 } e + a _ { 0 } f ( a _ { 1 } , \dots , a _ { n + 1 } ) + \sum _ { i = 1 } ^ { n + 1 } ( - 1 ) ^ { i } f ( a _ { 0 } , \dots , a _ { i - 1 } a _ { i } , \dots , a _ { n + 1 } ) } \\ & { \hphantom { \delta _ { e } ^ { n + 1 } f ( a _ { 0 } , \dots , a _ { n + 1 } ) = } + f ( a _ { 0 } , \dots , a _ { n } ) a _ { n + 1 } - e a _ { n + 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { \boldsymbol { \mathbf { q } _ { k } } } \quad } & { \Bigl | \mathbf { q } _ { k } ^ { H } \boldsymbol { \chi } _ { k } \Bigl | } \\ { \textrm { s . t . } \quad } & { | q _ { s n } [ k ] | = 1 , \: \forall s \in \mathcal { S } , n \in \mathcal { N } _ { s } , k \in \mathcal { K } , } \\ { \quad } & { \arg ( \mathbf { q } _ { k } ^ { H } \boldsymbol { \chi } _ { k } ) = \varphi _ { 0 k } . } \end{array}
\frac { 3 } { 5 } A _ { 5 9 } \times \left[ \big \vert _ { i = n } - \frac { c _ { 1 } ^ { ( 2 ) , 1 } } { c _ { 1 } ^ { ( 1 ) , 1 } } \times \big \vert _ { i = n } \right] - \left( A _ { 5 7 } - \frac { c _ { 1 } ^ { ( 2 ) , 1 } } { c _ { 1 } ^ { ( 1 ) , 1 } } A _ { 4 5 } \right) \times \big \vert _ { i , j , k = n } ,
\begin{array} { r l } { f ( x ) > 0 \quad \forall x \in [ 0 , \pi ] \quad } & { \Longleftrightarrow \quad \frac { 1 } { 2 } \sin { ( 2 x ) } < \frac { U \sqrt { 1 + \alpha ^ { 2 } } } { \alpha ( \gamma _ { 2 } - \gamma _ { 1 } ) } \quad \forall x \in [ 0 , \pi ] } \\ & { \Longleftrightarrow \quad U > \frac { \alpha } { 2 \sqrt { 1 + \alpha ^ { 2 } } } ( \gamma _ { 2 } - \gamma _ { 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left< { \hat { X } _ { + } ^ { 2 } } ( \Delta \omega , \phi ) \right> } & { = \left< { \hat { I } _ { X , + } ^ { 2 } } ( \Delta \omega , \phi ) \right> - \frac { N _ { e , \mathrm { a d d } } + N _ { o , \mathrm { a d d } } } { 2 } , } \\ { \left< { \hat { P } _ { - } ^ { 2 } } ( \Delta \omega , \phi ) \right> } & { = \left< { \hat { I } _ { P , - } ^ { 2 } } ( \Delta \omega , \phi ) \right> - \frac { N _ { e , \mathrm { a d d } } + N _ { o , \mathrm { a d d } } } { 2 } . } \end{array}
\exists C _ { 1 } > 0 , \ \exists C _ { 2 } > 0 , \ \forall \mathbf { x } , \mathbf { y } \in \mathbb { R } ^ { n } : C _ { 1 } d ( \mathbf { x } , \mathbf { y } ) \leq { \sqrt { q ( \mathbf { x } - \mathbf { y } ) } } \leq C _ { 2 } d ( \mathbf { x } , \mathbf { y } ) .
\begin{array} { r } { \mathcal { H } _ { \mathrm { ~ l ~ a ~ t ~ t ~ i ~ c ~ e ~ } } ^ { \mathrm { ~ 2 ~ D ~ } } = \sum _ { ( x , y ) \in [ 1 , L ] ^ { 2 } } \Big [ u _ { x y } ^ { x } c _ { ( x + 1 ) y } ^ { \dagger } + u _ { y x } ^ { y } c _ { x ( y + 1 ) } ^ { \dagger } \Big ] c _ { x y } + \mathrm { ~ h ~ . ~ c ~ . ~ } , } \end{array}
{ F ^ { i } } ^ { \alpha a } = ( 4 , 2 , 1 ) = \left( \begin{array} { c c c c } { { u ^ { R } } } & { { u ^ { B } } } & { { u ^ { G } } } & { { \nu } } \\ { { d ^ { R } } } & { { d ^ { B } } } & { { d ^ { G } } } & { { e ^ { - } } } \end{array} \right) ^ { i }
{ \cal H } _ { 0 } = \eta _ { 0 } ^ { 2 } ( F _ { i j } ^ { \alpha } ) ^ { 2 } + \frac { \tau _ { 1 } ^ { 2 } } { 2 } ( D _ { i } \phi ^ { a } ) ^ { 2 } + \frac { \eta _ { 2 } ^ { 2 } } { 8 } ( D _ { [ i } \phi ^ { a } D _ { j ] } \phi ^ { b } ) ^ { 2 } ,
\mathbf { e } _ { 2 } = { \frac { 1 } { \sqrt { \frac { 4 0 } { 2 5 } } } } { \left( \begin{array} { l } { - 2 / 5 } \\ { 6 / 5 } \end{array} \right) } = { \frac { 1 } { \sqrt { 1 0 } } } { \left( \begin{array} { l } { - 1 } \\ { 3 } \end{array} \right) } .
{ \frac { R _ { A } R _ { B } } { \lambda ( D - R _ { A } + R _ { B } ) } } \, \mathrm { d } \boldsymbol \Phi = { \frac { R _ { A } R _ { B } } { \lambda ( D - R _ { A } + R _ { B } ) } } \, { \frac { 1 } { B ^ { 2 } } } \, \mathrm { d } \boldsymbol \phi \, .
\left( T _ { 1 / 2 } ^ { 0 \nu } \right) ^ { - 1 } = g _ { \mathrm { ~ A ~ } } ^ { 4 } \mathcal { G } ^ { 0 \nu } ( Q _ { \beta \beta } , Z ) \left\vert \mathcal { M } ^ { 0 \nu } ( A , Z ) \right\vert ^ { 2 } \left\vert \frac { m _ { \beta \beta } } { m _ { e } } \right\vert ^ { 2 }
V ( r ) = - e ^ { 2 } \nu ^ { 2 \epsilon } ( 3 - 2 \epsilon ) \int \frac { d ^ { D } p } { ( 2 \pi ) ^ { D } } \frac { e ^ { i p r } } { p ^ { 2 } } = - \frac { \eta } { r ^ { D - 2 } } \; \; \; ,
\begin{array} { r l r } & { } & { S _ { S } [ \omega ] = \frac { \Gamma _ { 0 } G } { 4 v _ { g } } \frac { \Gamma _ { 0 } n _ { t h } } { \Gamma _ { S } } \frac { \Gamma _ { S } } { \omega ^ { 2 } + \Gamma _ { S } ^ { 2 } / 4 } } \\ & { } & { S _ { a S } [ \omega ] = \frac { \Gamma _ { 0 } G } { 4 v _ { g } } \frac { \Gamma _ { 0 } n _ { t h } } { \Gamma _ { a S } } \frac { \Gamma _ { a S } } { \omega ^ { 2 } + \Gamma _ { a S } ^ { 2 } / 4 } . } \end{array}
{ { f } _ { t } } ^ { \mathrm { ~ B ~ G ~ K ~ } } = { { f } _ { M } } = n { { \left( \frac { 1 } { 2 \pi R T } \right) } ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \exp \left( - \frac { { { C } ^ { 2 } } } { 2 R T } \right) ,
\mathbf { q } = e ^ { { \frac { \theta } { 2 } } { ( u _ { x } \mathbf { i } + u _ { y } \mathbf { j } + u _ { z } \mathbf { k } ) } } = \cos { \frac { \theta } { 2 } } + ( u _ { x } \mathbf { i } + u _ { y } \mathbf { j } + u _ { z } \mathbf { k } ) \sin { \frac { \theta } { 2 } }
\operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow + \infty } { \sqrt { \frac { H ( n ) } { 2 \pi } } } \sum _ { h \in Z } e ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } h ^ { 2 } H ( n ) } ( a _ { 0 } + \cdots + a _ { h } )
\begin{array} { r l } { C _ { \mathrm { T } } ( \tau ) = } & { \frac { c _ { 0 } \tilde { \tau } _ { c } ^ { d / 2 - 1 } } { 4 \tilde { \omega } _ { d } } \left[ \frac { \beta _ { f } \, \mathrm { e } ^ { - \frac { \beta _ { s } \lvert \tau \rvert } { 2 \tilde { \tau } _ { c } } } } { \left( 2 \pi b \beta _ { s } \lvert \tau \rvert + 4 \pi \epsilon \tilde { \tau } _ { c } \right) ^ { d / 2 } } - \frac { \beta _ { s } \, \mathrm { e } ^ { - \frac { \beta _ { f } \lvert \tau \rvert } { 2 \tilde { \tau } _ { c } } } } { \left( 2 \pi b \beta _ { f } \lvert \tau \rvert + 4 \pi \epsilon \tilde { \tau } _ { c } \right) ^ { d / 2 } } \right] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal A _ { 2 } } & { \leq \sum _ { \emptyset \neq T ^ { \prime } \subseteq Q \setminus K } p ^ { | T ^ { \prime } | } ( 1 - p ) ^ { | Q \setminus K | - | T ^ { \prime } | } ( 1 - p ) ^ { | Q \cap K | } \mathcal E ( K ) } \\ & { = \sum _ { T ^ { \prime } \subseteq Q \setminus K } p ^ { | T ^ { \prime } | } ( 1 - p ) ^ { | Q \setminus K | - | T ^ { \prime } | } ( 1 - p ) ^ { | Q \cap K | } \mathcal E \left( K \right) - ( 1 - p ) ^ { | Q \setminus K | } ( 1 - p ) ^ { | Q \cap K | } \mathcal E ( K ) } \\ & { = ( 1 - p ) ^ { | Q \cap K | } \mathcal E ( K ) - ( 1 - p ) ^ { | Q | } \mathcal E ( K ) , } \end{array}
\delta ^ { \prime \prime } , \underline { { x } } \vdash \textnormal { \texttt { c } } ^ { \prime \prime \prime } ( f ( \delta ^ { \prime \prime } ) ) , \; \phi ^ { \prime } ( f ( \delta ^ { \prime \prime } ) , \underline { { x } } ) = f ^ { \prime } ( \textnormal { \texttt { c } } ^ { \prime \prime } ( \delta ^ { \prime \prime } ) ) , \; \phi ( \delta ^ { \prime \prime } , \underline { { x } } ) .
\left. \begin{array} { l l l l l l l l l l } { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { - 1 + q ^ { - 2 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 - { q ^ { - 2 } } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 - q ^ { 2 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { { q ^ { 2 } } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { { q ^ { - 4 } } - { q ^ { - 2 } } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 - { q ^ { - 2 } } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { { q ^ { - 2 } } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 1 - q ^ { - 2 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { - 1 + { q ^ { - 2 } } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } { \sum _ { \overset { i + j = n + 2 } { i , j \geq 1 } } \left[ \mathrm { d } , \left[ \ell _ { i } , \ell _ { j } \right] _ { \mathrm { \tiny { R N } } } \right] _ { \mathrm { \tiny { R N } } } } & { = - 2 \sum _ { \overset { i + j = n + 2 } { i , j \geq 1 } } \left[ \ell _ { i } , \left[ \mathrm { d } , \ell _ { j } \right] _ { \mathrm { \tiny { R N } } } \right] _ { \mathrm { \tiny { R N } } } \quad \mathrm { ( b y ~ g r a d e d ~ J a c o b i ~ i d e n t i t y ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { 1 } } & { = [ 1 : - 1 : - 1 : - 1 ] , } \\ { p _ { 2 } } & { = [ - 1 : 1 : - 1 : - 1 ] , } \\ { p _ { 3 } } & { = [ - 1 : - 1 : 1 : - 1 ] , } \\ { p _ { 4 } } & { = [ - 1 : - 1 : - 1 : 1 ] , } \end{array} \quad \begin{array} { r l } { q _ { 1 } } & { = [ 1 : - 1 : - 1 : 1 ] , } \\ { q _ { 2 } } & { = [ - 1 : 1 : - 1 : 1 ] , } \\ { q _ { 3 } } & { = [ 1 : 1 : - 1 : - 1 ] , } \\ { q _ { 4 } } & { = [ 1 : 1 : 1 : 1 ] . } \end{array}
\begin{array} { r } { ( L ^ { \vec { p } _ { \theta _ { 0 } } } , L ^ { \vec { p } _ { \theta _ { 1 } } } ) _ { \vartheta , q } \supset ( ( L ^ { \vec { p } _ { 0 } , \vec { \infty } } , L ^ { \vec { p } _ { 1 } , \vec { \infty } } ) _ { \theta _ { 0 } , 1 } , ( L ^ { \vec { p } _ { 0 } , \vec { \infty } } , L ^ { \vec { p } _ { 1 } , \vec { \infty } } ) _ { \theta _ { 1 } , 1 } ) _ { \vartheta , q } = ( L ^ { \vec { p } _ { 0 } , \vec { \infty } } , L ^ { \vec { p } _ { 1 } , \vec { \infty } } ) _ { ( 1 - \vartheta ) \theta _ { 0 } + \vartheta \theta _ { 1 } , q } } \end{array}
^ { ( C ) } E _ { m } = \frac \varepsilon 3 \left( ^ { ( 1 ) } \! S ^ { i j k l } g _ { i j } u _ { k l } + ^ { ( 2 ) } \! S ^ { i j k l } g _ { i j } u _ { k l } + ^ { ( 3 ) } \! S ^ { i j k l } g _ { i j } u _ { k l } \right)
\begin{array} { r l r } { \frac { P _ { \pm } ^ { ( t ) } } { P _ { + } ^ { ( i ) } } } & { = } & { \frac { n _ { 1 } } { n _ { 2 } } \frac { \xi _ { 2 } } { \xi _ { 1 } } | T _ { \pm + } \left( k _ { 0 \perp } , k _ { 0 z } \right) | ^ { 2 } , } \\ { \frac { P _ { \pm } ^ { ( r ) } } { P _ { + } ^ { ( i ) } } } & { = } & { - \frac { n _ { 1 } } { n _ { 2 } } \frac { \xi _ { 2 } } { \xi _ { 1 } } | R _ { \pm + } \left( k _ { 0 \perp } , k _ { 0 z } \right) | ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { F ( r _ { s } ; P ) : = } & { { } - 2 A ( 1 + \alpha r _ { s } ) \log \bigg [ 1 + \frac { 1 } { 2 A \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } \beta _ { i } r _ { s } ^ { i / 2 } } \bigg ] } \end{array}
0 = \hat { \mathbf { \nabla } } \cdot \left( \frac { \partial \hat { p } } { \partial \hat { y } } , - \frac { \partial \hat { p } } { \partial \hat { x } } \right) = \hat { \mathbf { \nabla } } \cdot \left( \hat { S } ( | \hat { \nabla } \hat { \psi } | ) \frac { \hat { \nabla } \hat { \psi } } { | \hat { \nabla } \hat { \psi } | } \right) .
\begin{array} { r l r } { \left< \hat { \mathcal X } _ { i } \hat { \mathcal X } _ { i } \right> } & { = } & { \int _ { 0 } ^ { t _ { \mathrm { m } } } d t \int _ { 0 } ^ { t _ { \mathrm { m } } } d t ^ { \prime } \left< \hat { \mathcal X } _ { 1 , 2 } ( t ) \hat { \mathcal X } _ { b , a } ( t ^ { \prime } ) \right> _ { \Omega _ { p } = 0 } \cos \left( \omega _ { p } t ^ { \prime } + \varphi \right) \cos \left( \omega _ { p } t + \varphi \right) } \\ & { \rightarrow } & { \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t _ { \mathrm { m } } } d t \int _ { 0 } ^ { t _ { \mathrm { m } } } d t ^ { \prime } C ( t , t ^ { \prime } ) e ^ { i \left( \omega _ { p } t ^ { \prime } - \omega _ { p } t \right) } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t _ { \mathrm { m } } } d t \int _ { 0 } ^ { t _ { \mathrm { m } } } d t ^ { \prime } C ( t - t ^ { \prime } ) e ^ { i \left( \omega _ { p } t ^ { \prime } - \omega _ { p } t \right) } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t _ { \mathrm { m } } } d t \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } C ( t - t ^ { \prime } ) e ^ { - i \left( \omega _ { p } t ^ { \prime } - \omega _ { p } t \right) } + \int _ { 0 } ^ { t _ { \mathrm { m } } } d t \int _ { t } ^ { t _ { \mathrm { m } } } d t ^ { \prime } C ( t ^ { \prime } - t ) ^ { * } e ^ { - i \left( \Omega _ { p } t ^ { \prime } - \omega _ { p } t \right) } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t _ { \mathrm { m } } } d t \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } C ( t ^ { \prime } ) e ^ { i \omega _ { p } t ^ { \prime } } + \int _ { 0 } ^ { t _ { \mathrm { m } } } d t \left[ \int _ { 0 } ^ { t _ { \mathrm { m } } - t } d t ^ { \prime } C ( t ^ { \prime } ) e ^ { i \omega _ { p } t ^ { \prime } } \right] ^ { * } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 2 } \int _ { 0 } ^ { t _ { \mathrm { m } } } d t \int _ { 0 } ^ { \infty } d t ^ { \prime } C ( t ^ { \prime } ) e ^ { i \omega _ { p } t ^ { \prime } } + \int _ { 0 } ^ { t _ { \mathrm { m } } } d t \left[ \int _ { 0 } ^ { \infty } d t ^ { \prime } C ( t ^ { \prime } ) e ^ { i \omega _ { p } t ^ { \prime } } \right] ^ { * } } \\ & { = } & { \frac { 1 } { 2 } t _ { \mathrm { m } } \left[ C ( \omega _ { p } ) + C ( \omega _ { p } ) ^ { * } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \lambda ( \varphi _ { s } ( z ) ) = \lambda ( z ) + s D _ { \Phi } \lambda ( z ) + s ^ { 2 } R ( z , \tilde { s } ; \lambda ) , } \\ & { f _ { k } ( \varphi _ { s } ( z ) , \delta ) = f _ { k } ( z , \delta ) + s D _ { \Phi } f _ { k } ( z , \delta ) + s ^ { 2 } R ( z , \tilde { s } ; f _ { k } ) , } \\ & { R ( z , \tilde { s } ; g ) = D _ { \Phi } ^ { 2 } g ( \varphi _ { \tilde { s } } ( z ) ) / 2 , } \\ & { f _ { k } ( z , s ) = f _ { k } ( z , 0 ) - s \mathcal { L } f _ { k } ( z , 0 ) + s ^ { 2 } \mathcal { L } ^ { 2 } f _ { k } ( z , \tilde { s } ) / 2 , } \end{array}
J _ { \mathrm { e f f } } ( \omega ) = \sum _ { \mathbf { k } } \frac { \lambda _ { \mathrm { c } } ^ { 2 } \omega _ { \mathbf { k } } ^ { 2 } \tau _ { \mathrm { c } } ^ { - 1 } \omega } { \left( \omega _ { \mathbf { k } } ^ { 2 } - \omega ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + \tau _ { \mathrm { c } } ^ { - 2 } \omega ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { F _ { g } ( \tau ) = } & { \sum _ { a , b \in \mathbb Z / N _ { g } \mathbb Z } \sum _ { \gamma \in ( \Lambda ^ { g } ) ^ { \prime } / \Lambda ^ { g } } c _ { ( a , b ) , \gamma } ( \tau ) \mathfrak { e } _ { ( a , b ) } \otimes \mathfrak { e } _ { \gamma } } \\ { = } & { \sum _ { a , b \in \mathbb Z / N _ { g } \mathbb Z } \sum _ { \gamma \in ( \Lambda ^ { g } ) ^ { \prime } / \Lambda ^ { g } } f _ { ( a , b ) , \gamma } ( \tau ) \mathfrak { f } _ { ( a , b ) } \otimes \mathfrak { e } _ { \gamma } . } \end{array}
\Big ( M ^ { 2 } - \sum _ { i = 1 } ^ { n } { \frac { \kappa _ { i \bot } ^ { 2 } + m _ { i } ^ { 2 } } { x _ { i } } } \Big ) \left[ \begin{array} { c } { { \Phi _ { q q q } ^ { S } } } \\ { { \Phi _ { q q q g } ^ { S } } } \\ { { \vdots } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c c c } { { \langle q q q | H _ { i n t } | q q q \rangle } } & { { \langle q q q | H _ { i n t } | q q q g \rangle } } & { { \cdots } } \\ { { \langle q q q g | H _ { i n t } | q q q \rangle } } & { { \cdots } } & { { ~ ~ } } \\ { { \vdots } } & { { \ddots } } & { { ~ ~ } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { c } { { \Phi _ { q q q } ^ { S } } } \\ { { \Phi _ { q q q g } ^ { S } } } \\ { { \vdots } } \end{array} \right] .
\frac 1 R \sum _ { j = 1 } ^ { R } \mathfrak { n } _ { \mathfrak { o } _ { j } } R = \frac 1 R \sum _ { k = 1 } ^ { R } \mathfrak { n } _ { k } R ~ \mathfrak { n } _ { k } R = R \sum _ { k = 1 } ^ { R } \mathfrak { n } _ { k } ^ { 2 } \equiv \rho _ { t } \, ,