harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { a _ { 1 } \approx \frac { \tilde { r } _ { b } ^ { 2 } } { 4 } \log \left( \frac { 2 } { \tilde { r } _ { b } } \right) , } \\ { b _ { 1 } \approx \frac { g \tilde { r } _ { b } ^ { 3 } } { 8 } \log \left( \frac { 2 } { \tilde { r } _ { b } } \right) . } \end{array}
\chi _ { \mathrm { e f f } } ( \omega _ { j } ) = \frac { \tilde { \Omega } _ { \mathrm { M } } } { ( \tilde { \Omega } _ { \mathrm { M } } ^ { 2 } - \omega _ { j } ^ { 2 } ) - i \tilde { \Gamma } _ { \mathrm { M } } \omega _ { j } } ,
\begin{array} { r l } { \mathfrak { S } ^ { n } } & { : = \left( \frac { 1 } { \mathfrak { m } ^ { n + 1 } } - \frac { 1 } { \mathfrak { m } ^ { n } } \right) \Big ( \Delta _ { x } + \nabla _ { x } \mathrm { d i v } _ { x } \Big ) u ^ { n } - ( w ^ { n - 1 } \cdot \nabla _ { x } ) u ^ { n } - ( u ^ { n - 1 } \cdot \nabla _ { x } ) w ^ { n - 1 } - \nabla _ { x } \left[ \pi ( \varrho ^ { n - 1 } ) - \pi ( \varrho ^ { n } ) \right] } \\ & { \quad + \frac { 1 } { \mathfrak { m } ^ { n } } ( j _ { f ^ { n } } - \rho _ { f ^ { n } } u ^ { n } ) - \frac { 1 } { \mathfrak { m } ^ { n - 1 } } ( j _ { f ^ { n - 1 } } - \rho _ { f ^ { n - 1 } } u ^ { n - 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { z _ { i } = } & { e ^ { - \beta } \prod _ { k \in \partial i } \left( Q _ { k \rightarrow i } ^ { 0 } + \sum _ { t = 1 } ^ { H } Q _ { k \rightarrow i } ^ { 1 , t } \right) + G _ { 1 } ( K - 1 , \partial i ) } \\ & { + \sum _ { k ^ { \prime } \in \partial i } Q _ { k ^ { \prime } \rightarrow i } ^ { 1 , 1 } G _ { 2 } ( K - 2 , \partial i \backslash k ^ { \prime } ) + \sum _ { t = 2 } ^ { H } G _ { 3 } ^ { t } ( K - 1 , K , \partial i ) } \\ & { + \sum _ { t = 2 } ^ { H } \sum _ { k ^ { \prime } \in \partial i } Q _ { k ^ { \prime } \rightarrow i } ^ { 2 , t } G _ { 4 } ^ { t } ( K - 2 , K - 1 , \partial i \backslash k ^ { \prime } ) . } \end{array}
V _ { 1 } | _ { \phi = 0 } = \frac { \partial V _ { 1 } } { \partial \phi } | _ { \phi = 0 } = \frac { \partial ^ { 2 } V _ { 1 } } { \partial \phi ^ { 2 } } | _ { \phi = 0 } = \frac { \partial ^ { 3 } V _ { 1 } } { \partial \phi ^ { 3 } } | _ { \phi = 0 } = \frac { \partial ^ { 4 } V _ { 1 } } { \partial \phi ^ { 4 } } | _ { \phi = 0 } = 0
\frac { d ^ { 2 } \varphi _ { k } } { d t ^ { 2 } } + 3 \frac { \dot { a } } { a } \frac { d \varphi _ { k } } { d t } + \left[ \frac { \vec { k } ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + V ^ { \prime \prime } ( \phi _ { c l } ( t ) ) \right] \varphi _ { k } = 0
\begin{array} { r l r } & { } & { \left\langle \left( u ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } \right) ^ { 4 } \right\rangle \; = \; ( 1 - X ) ^ { 2 } \frac { 4 \sigma _ { p } ^ { 2 } + ( k _ { B } T ) ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } + 6 \left( \frac { k _ { B } T } { m } \right) ^ { 2 } X ^ { 2 } ( 1 - X ) - \left( \frac { k _ { B } T } { m } \right) ^ { 2 } ( 3 + \Gamma _ { 4 } ) X \left( 1 - \frac { 3 } { 2 } X + X ^ { 2 } \right) \, , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \partial _ { t } \tilde { h } ( x , t ) } & { = } & { \partial _ { t } h ( x - \mu t , t ) - \mu \nabla h ( x - \mu t , t ) = D \nabla ^ { 2 } h ( x - \mu t , t ) + \sigma \xi ( x - \mu t , t ) } \\ & { = } & { D \nabla ^ { 2 } \tilde { h } ( x , t ) + \sigma { \xi } ( x , t ) , \quad \left< \xi ( x , t ) \xi ( x ^ { \prime } , t ^ { \prime } ) \right> = \delta ( x - x ^ { \prime } ) \delta ( t - t ^ { \prime } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { j ( k _ { \pm 1 } ) } & { \le 2 \exp ( - \frac 1 2 d \kappa \xi \eta ) j ( k _ { \pm 1 } , - d ) + \frac 4 { \beta \eta ^ { 2 } } ( \vert u _ { 3 } \vert _ { L _ { s } ^ { \infty } } + \vert u _ { 2 } \vert _ { L _ { s } ^ { \infty } } ) } \\ & { < \frac 4 { \beta \eta ^ { 2 } } ( 7 \pi L ( c \eta ) ^ { \gamma _ { 1 } } M + 2 M _ { 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \Sigma } _ { \beta } } & { = ( \hat { \mathcal { P } } \hat { \mathcal { H } } \hat { \mathcal { P } } ) ^ { \dagger } \bigg ( \frac 1 t { \sum _ { \tau = 1 } ^ { t } } ( x ^ { \gamma } ( { \theta ^ { \tau } } ) \odot v ( { \theta ^ { \tau } } ) - { \bar { \mu } ^ { \gamma } } ) ^ { \otimes 2 } \bigg ) ( \hat { \mathcal { P } } \hat { \mathcal { H } } \hat { \mathcal { P } } ) ^ { \dagger } } \\ & { = ( \hat { \mathcal { P } } \hat { \mathcal { H } } \hat { \mathcal { P } } ) ^ { \dagger } \hat { \Omega } ( \hat { \mathcal { P } } \hat { \mathcal { H } } \hat { \mathcal { P } } ) ^ { \dagger } } \\ & { { \, \overset { { p } } { \to } \, } ( { \mathcal { P } } { \mathcal { H } } { \mathcal { P } } ) ^ { \dagger } \Omega ( { \mathcal { P } } { \mathcal { H } } { \mathcal { P } } ) ^ { \dagger } = \Sigma _ { \beta } } \end{array}
\widetilde { R \Gamma } _ { \mathrm { f } } ( G _ { K , \Sigma _ { K } } , T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } , \Delta _ { \mathrm { B D P } } ) \otimes _ { \mathcal { R } _ { \textup { \bf f } } } \mathcal { R } _ { 2 } \longrightarrow \widetilde { R \Gamma } _ { \mathrm { f } } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T _ { 2 } ^ { \dagger } , \Delta _ { \mathbf { g } } ) \longrightarrow \widetilde { R \Gamma } _ { \mathrm { f } } ( G _ { K , \Sigma _ { K } } , T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } \, \widehat \otimes \, \Psi _ { \mathrm { a d } } , \Delta _ { \mathrm { B D P } } ) \, .
\begin{array} { r l } { 1 - \rho } & { - ( q - p ) ( 3 \rho - 1 ) ( 1 - \rho + 4 p \rho ) } \\ { \ge } & { 1 - \frac { 1 } { 2 } - ( q - p ) \left( \frac { 3 } { 2 } - 1 \right) ( 1 - \rho ( 1 - 4 p ) ) } \\ { = } & { \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 - 2 p } { 2 } ( 1 - \rho ( 1 - 4 p ) ) } \\ { = } & { \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 - 2 p } { 2 } + \frac { 1 - 2 p } { 2 } \rho ( 1 - 4 p ) } \\ { = } & { \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { 2 } + p + \rho \frac { ( 1 - 2 p ) ( 1 - 4 p ) } { 2 } } \\ { = } & { p + \rho \frac { ( 1 - 2 p ) ( 1 - 4 p ) } { 2 } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { V } ^ { - 1 } } & { { } = \left( \bigoplus _ { k = 1 } ^ { L } \left( \begin{array} { l l } { \sqrt { \gamma _ { k } ^ { ( 1 ) } } } & { 0 } \\ { 0 } & { \sqrt { \gamma _ { k } ^ { ( 2 ) } } } \end{array} \right) \eta _ { k } ^ { \dag } \right) } \end{array}
{ \mathcal { L } } = { \frac { 1 } { 2 } } ( \partial _ { \mu } \phi ^ { i } ) ( \partial ^ { \mu } \phi ^ { i } ) + { \frac { 1 } { 2 } } \mu ^ { 2 } \phi ^ { i } \phi ^ { i } - { \frac { \lambda } { 4 } } ( \phi ^ { i } \phi ^ { i } ) ^ { 2 } ,
{ \begin{array} { r l } { \Delta \sigma } & { = \operatorname { a r c c o s } \left( \mathbf { n } _ { 1 } \cdot \mathbf { n } _ { 2 } \right) } \\ & { = \arcsin \left| \mathbf { n } _ { 1 } \times \mathbf { n } _ { 2 } \right| } \\ & { = \arctan { \frac { \left| \mathbf { n } _ { 1 } \times \mathbf { n } _ { 2 } \right| } { \mathbf { n } _ { 1 } \cdot \mathbf { n } _ { 2 } } } } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { \frac { d { \sigma } _ { n 0 } ( N ) } { d \Omega } } & { { } = } & { \frac { k _ { f } ( N ) } { k _ { i } } \frac { 1 } { q ^ { 4 } } \left\{ 2 J _ { N } ( X _ { q } ) \; { \cal I } _ { n 0 } ( q ) \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { c } \frac { \partial I ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { \Omega } , \nu , t ) } { \partial t } + \boldsymbol { \Omega \cdot \nabla } I ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { \Omega } , \nu , t ) } & { { } = \begin{array} { r l } { [ t ] } & { { } - ( \sigma _ { a } ( \nu , T ) + \sigma _ { s } ( \nu , T ) ) I ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { \Omega } , \nu , t ) + \sigma _ { a } ( \nu , T ) B ( \nu , T ) } \end{array} } \\ { \frac { \partial e ( T ) } { \partial t } } & { { } = c \int _ { 0 } ^ { \infty } \left[ \sigma _ { a } ( \nu ^ { \prime } , T ) \left( \int _ { 4 \pi } I ( \boldsymbol { r } , \boldsymbol { \Omega } ^ { \prime } , \nu ^ { \prime } , t ) \boldsymbol { d \Omega } ^ { \prime } - 4 \pi B ( \nu ^ { \prime } , T ) \right) d \nu ^ { \prime } \right] , } \end{array}
\mathbf { p } = \frac { ( A _ { 2 , 0 } , \; A _ { 2 , 1 } , \; A _ { 2 , - 1 } , \; A _ { 2 , 2 } , \; A _ { 2 , - 2 } ) } { \left[ ( A _ { 2 , 0 } ) ^ { 2 } + ( A _ { 2 , 1 } ) ^ { 2 } + ( A _ { 2 , - 1 } ) ^ { 2 } + ( A _ { 2 , 2 } ) ^ { 2 } + ( A _ { 2 , - 2 } ) ^ { 2 } \right] ^ { 1 / 2 } } .
{ \cal { R } } _ { i j } = \frac { 2 } { 3 } K \delta _ { i j } - \nu _ { \mathrm { { T } } } { \cal { S } } _ { i j } + \left[ { \Gamma _ { i } \Omega _ { \ast j } + \Gamma _ { j } \Omega _ { \ast i } } \right] _ { \mathrm { { D } } } ,
\bigg ( \langle \langle F _ { \mu \nu } ( z _ { j } ) F _ { \rho \sigma } ( z _ { j } ^ { \prime } ) \rangle \rangle - \langle \langle F _ { \mu \nu } ( z _ { j } ) \rangle \rangle \, \langle \langle F _ { \rho \sigma } ( z _ { j } ^ { \prime } ) \rangle \rangle \bigg ) ^ { \mathrm { S R } } = 0 .
\begin{array} { r } { \tau _ { p } \propto \frac { 1 - \log _ { 8 } { 1 0 } + \frac { 1 } { 2 } \log _ { 8 } { N } } { N } \approx \frac { \log _ { 8 } { N } } { 2 N } \propto \frac { \ln { N } } { N } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { W W ^ { \top } = V \Sigma V ^ { \top } } & { \implies \Sigma ^ { - 1 / 2 } V ^ { \top } W W ^ { \top } V \Sigma ^ { - 1 / 2 } = I _ { r } } \\ & { \implies \Sigma ^ { - 1 / 2 } V ^ { \top } W = R \ \mathrm { f o r ~ s o m e ~ R \in ~ \mathcal { O } _ { r \times ~ k } ~ } } \\ & { \implies V V ^ { \top } W = V \Sigma ^ { 1 / 2 } R \ \mathrm { f o r ~ s o m e ~ R \in ~ \mathcal { O } _ { r \times ~ k } ~ } } \end{array}
( K _ { n } I ( n ) K _ { n } ^ { - 1 } ) _ { i , j } = \sum _ { k = 1 } ^ { N } ( K _ { n } ) _ { i , k } ( I ( n ) K _ { n } ^ { - 1 } ) _ { k , j } \quad \mathrm { a n d } \quad ( I ( n ) K _ { n } ^ { - 1 } ) _ { k , j } = ( I ( n ) ) _ { k , k } ( K _ { n } ^ { - 1 } ) _ { k , j } + ( I ( n ) ) _ { k , k + 1 } ( K _ { n } ^ { - 1 } ) _ { k + 1 , j } .
\begin{array} { r l } { b _ { m } } & { = \int _ { 0 } ^ { \frac { \| l _ { 1 } \| } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \frac { \| l _ { 2 } \| } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \frac { \| l _ { 3 } \| } { 2 } } g ( u , v , w ) \cdot \left[ - \sin { \left( \frac { 2 \pi m _ { 1 } } { \| l _ { 1 } \| } u \right) } \right] \cos { \left( - \frac { 2 \pi m _ { 2 } } { \| l _ { 2 } \| } v \right) } \cos { \left( - \frac { 2 \pi m _ { 3 } } { \| l _ { 3 } \| } w \right) } d u d v d w + } \\ & { \quad \int _ { 0 } ^ { \frac { \| l _ { 1 } \| } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \frac { \| l _ { 2 } \| } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \frac { \| l _ { 3 } \| } { 2 } } g ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) \cdot \sin { \left( \frac { 2 \pi m _ { 1 } } { \| l _ { 1 } \| } x _ { 1 } \right) } \cos { \left( \frac { 2 \pi m _ { 2 } } { \| l _ { 2 } \| } x _ { 2 } \right) } \cos { \left( \frac { 2 \pi m _ { 3 } } { \| l _ { 3 } \| } x _ { 3 } \right) } d x _ { 1 } d x _ { 2 } d x _ { 3 } } \\ & { = - \int _ { 0 } ^ { \frac { \| l _ { 1 } \| } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \frac { \| l _ { 2 } \| } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \frac { \| l _ { 3 } \| } { 2 } } g ( u , v , w ) \cdot \sin { \left( \frac { 2 \pi m _ { 1 } } { \| l _ { 1 } \| } u \right) } \cos { \left( - \frac { 2 \pi m _ { 2 } } { \| l _ { 2 } \| } v \right) } \cos { \left( - \frac { 2 \pi m _ { 3 } } { \| l _ { 3 } \| } w \right) } d u d v d w + } \\ & { \quad \int _ { 0 } ^ { \frac { \| l _ { 1 } \| } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \frac { \| l _ { 2 } \| } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \frac { \| l _ { 3 } \| } { 2 } } g ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } ) \cdot \sin { \left( \frac { 2 \pi m _ { 1 } } { \| l _ { 1 } \| } x _ { 1 } \right) } \cos { \left( \frac { 2 \pi m _ { 2 } } { \| l _ { 2 } \| } x _ { 2 } \right) } \cos { \left( \frac { 2 \pi m _ { 3 } } { \| l _ { 3 } \| } x _ { 3 } \right) } d x _ { 1 } d x _ { 2 } d x _ { 3 } } \\ & { = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb E \left[ x _ { r } ( T ) ^ { \top } \Sigma _ { r } x _ { r } ( T ) \right] } & { \leq \left\| u _ { r } \right\| _ { L _ { T } ^ { 2 } } ^ { 2 } - \left\| y _ { r } \right\| _ { L _ { T } ^ { 2 } } ^ { 2 } + \int _ { 0 } ^ { T } ( \left\| u _ { r } \right\| _ { L _ { s } ^ { 2 } } ^ { 2 } - \left\| y _ { r } \right\| _ { L _ { s } ^ { 2 } } ^ { 2 } ) 2 b _ { r } \operatorname { e } ^ { 2 b _ { r } ( T - s ) } d s } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { T } ( \left\| u _ { r } ( s ) \right\| _ { 2 } ^ { 2 } - \left\| y _ { r } ( s ) \right\| _ { 2 } ^ { 2 } ) \operatorname { e } ^ { 2 b _ { r } ( T - s ) } d s } \end{array}
I _ { 2 } = ( - 1 ) \int \, \delta ^ { 3 } \! \left( { \vec { r } _ { 1 } + \vec { r } _ { 2 } - \vec { r } } \right) \, \delta ( r _ { 1 } + r _ { 2 } - t ) \, \frac { d ^ { 3 } r _ { 1 } } { 4 \pi \, r _ { 1 } } \, \frac { d ^ { 3 } r _ { 2 } } { 4 \pi \, r _ { 2 } \, { \ell _ { 0 } } ^ { 2 } }
\begin{array} { r } { E _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } \ensuremath { [ n ] } = \frac { 1 } { 2 } \iint \mathrm { ~ d ~ } \ensuremath { \mathbf { r } } \mathrm { ~ d ~ } \ensuremath { \mathbf { r } } ^ { \prime } \, \frac { n ( \ensuremath { \mathbf { r } } ) \bar { n } _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } ( \ensuremath { \mathbf { r } } , \ensuremath { \mathbf { r } } ^ { \prime } ) } { | \ensuremath { \mathbf { r } } - \ensuremath { \mathbf { r } } ^ { \prime } | } } \end{array}
\Delta \rho ^ { 0 } = { \frac { G _ { F } } { 8 \pi ^ { 2 } \sqrt 2 } } \left[ \sin ^ { 2 } ( \alpha - \beta ) F ( M _ { H ^ { \pm } } ^ { 2 } , \, M _ { A } ^ { 2 } , \, M _ { H } ^ { 2 } ) + \cos ^ { 2 } ( \alpha - \beta ) F ( M _ { H ^ { \pm } } ^ { 2 } , \, M _ { A } ^ { 2 } , \, M _ { h } ^ { 2 } ) \right] \, ,
\begin{array} { r } { \bigg [ \frac { | U | ^ { 2 } - 3 T + 3 } { 3 \rho } \frac { U _ { 2 } } { \rho ^ { 3 } } - \frac { 2 } { 3 } \frac { U } { \rho } \cdot \frac { v - U } { T } \left( - \frac { U _ { 2 } } { \rho ^ { 2 } } + \frac { v _ { 2 } - U _ { 2 } } { \rho T } \right) - \frac { 2 } { 3 } \frac { U _ { 2 } } { \rho } \left( - \left( \frac { 1 } { \rho ^ { 2 } } + \frac { 1 } { \rho T } \right) \right) } \\ { + \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } \frac { 1 } { \rho } \left( - \frac { v _ { 2 } - U _ { 2 } } { \rho T ^ { 2 } } + \left( - \frac { U _ { 2 } } { \rho ^ { 2 } } + \frac { v _ { 2 } - U _ { 2 } } { \rho T } \right) \left( - \frac { 3 } { 2 } \frac { 1 } { T } + \frac { | v - U | ^ { 2 } } { 2 T ^ { 2 } } \right) \right) \bigg ] \mathcal { M } ( F ) . } \end{array}
= \varepsilon _ { \delta } ^ { 2 } \int \int d ^ { 3 } x \nabla _ { \perp } \boldsymbol { \cdot } \frac { n _ { e } u _ { e \parallel } m _ { e } c ^ { 2 } } { 2 c B ^ { 2 } ( \textbf { x } ) } \nabla _ { \perp } \phi _ { 1 } \hat { \chi } ( \textbf { x } ) d t ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { F } _ { i + 1 / 2 , j } } & { { } = \mathbf { F } _ { i + 1 / 2 , j } \left( \mathbf { U } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { L , 0 } , \mathbf { U } _ { i + 1 / 2 , j } ^ { R , 0 } \right) } \end{array}
\phi = - i \omega D _ { n } z _ { s h } ( \phi ) = - i \omega \hat { n } \cdot \left( \frac { \vec { \nabla } \times \vec { H } } { - i \omega } \right) z _ { s h } = \hat { n } \cdot ( \vec { \nabla } \times \vec { H } ) z _ { s h }
\begin{array} { r l } { \| u - P \| _ { L ^ { \infty } ( B _ { \rho _ { \circ } ^ { k } } ) } } & { \leq \| u - P _ { k } \| _ { L ^ { \infty } ( B _ { \rho _ { \circ } ^ { k } } ) } + | a _ { k } - a | + \rho _ { \circ } ^ { k } | b _ { k } - b | + \rho _ { \circ } ^ { 2 k } | M _ { k } - M | } \\ & { \leq C C _ { \circ } \rho _ { \circ } ^ { k ( 2 + \alpha ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { d ( x , x H \cap x ^ { \prime } N ) } & { \leq d ( x , x ^ { \prime } ) + d ( x ^ { \prime } , x H \cap x ^ { \prime } N ) } \\ & { \leq ( K + 1 ) d ( 1 , \pi _ { N } ( ( x ^ { \prime } ) ^ { - 1 } x ) ) + d ( x ^ { \prime } , x H \cap x ^ { \prime } N ) } \\ & { \leq C ( K + 1 ) d ( 1 , ( x ^ { \prime } ) ^ { - 1 } x H ) + d ( x ^ { \prime } , x H \cap x ^ { \prime } N ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { d i p o l e } } & { { } = \frac { \Gamma _ { a v g } } { 2 \pi \xi _ { A B } } , \; \; \; \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ , ~ } } \\ { \Gamma _ { a v g } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } ( | \Gamma _ { A } | + | \Gamma _ { B } | ) , \; \; \; \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ , ~ } } \\ { \xi _ { A B } } & { { } = \sqrt { ( x _ { B } - x _ { A } ) ^ { 2 } + ( y _ { B } - y _ { A } ) ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } - \Delta z ( \vec { x } ) } & { { } = \chi ( \vec { x } ) \quad } & { } & { { } \mathrm { ~ i ~ n ~ } \Omega \, , } \\ { z ( \vec { x } ) } & { { } = 0 \quad } & { } & { { } \mathrm { ~ o ~ n ~ } \partial \Omega \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { H } _ { 0 } } & { = \hat { \mathbf { H } } _ { 0 } + ( \varepsilon _ { 0 } - \varepsilon _ { s } ) \varepsilon _ { s } ^ { - 1 } \sum _ { l ^ { \prime } = 1 } ^ { l _ { 0 } } \nabla \mathcal { S } _ { B _ { l ^ { \prime } } } ^ { 0 } [ \nu _ { l ^ { \prime } } \cdot \hat { \mathbf { H } } _ { 0 } ] + \mathcal { O } ( \omega ) \ \ \mathrm { i n } \ \ ( \mathbb { R } ^ { 3 } \setminus \overline { \Omega } ) \bigcup \tilde { B } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sec x } & { { } { } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { U _ { 2 n } x ^ { 2 n } } { ( 2 n ) ! } } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } { \frac { ( - 1 ) ^ { n } E _ { 2 n } x ^ { 2 n } } { ( 2 n ) ! } } } \end{array}
\frac { - v \Delta t } { 2 \Delta x } = \mathrm { n } ( v ) + \alpha ( v ) : = \lfloor - v \Delta t / ( 2 \Delta x ) \rfloor + \left( - v \Delta t / ( 2 \Delta x ) - \lfloor - v \Delta t / ( 2 \Delta x ) \rfloor \right) \, ,
\begin{array} { r l } { \tilde { f } _ { 3 } ^ { 2 } ( z , y ) } & { : = \int | x - z | ^ { 2 } \lambda _ { z } ( d x ) , \quad \tilde { f } _ { 4 } ^ { 2 } ( x , w ) : = \int | w - y | ^ { 2 } \mu _ { w } ( d y ) , } \\ { \tilde { f } _ { 5 } ^ { 2 } ( z , w ) } & { : = \tilde { f } _ { 3 } ^ { 2 } ( z , y ) + \tilde { f } _ { 4 } ^ { 2 } ( x , w ) . } \end{array}
\gamma _ { \alpha } = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } \left( \sum _ { k = 1 } ^ { n } { \frac { 1 } { k ^ { \alpha } } } - \int _ { 1 } ^ { n } { \frac { 1 } { x ^ { \alpha } } } \, d x \right) ,
\begin{array} { r l } { \textrm { P r } ( \mathcal { Q } _ { 1 } \cdots \mathcal { Q } _ { s } ) } & { = \textrm { T r } [ M _ { \mathcal { Q } _ { 1 } \cdots \mathcal { Q } _ { s } } \Phi _ { 1 } ] } \\ & { = \frac { 1 + ( - 1 ) ^ { \sum _ { i = 1 } ^ { s } \mathcal { Q } _ { i } } \textrm { R e } [ \textrm { T r } ( S ^ { ( m ) } \rho ^ { ( n , m ) } ) ] } { 2 ^ { s } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\lVert \nu \omega ^ { \nu } \right\rVert _ { L ^ { \frac 4 3 } ( ( 0 , T ) \times \partial \Omega ) } ^ { \frac 4 3 } } & { { } \le C ( \Omega ) \Biggl [ F _ { \nu } + E _ { \nu } ^ { \frac 1 3 } \left( \nu ^ { - 1 } D _ { \nu } + \nu ^ { \frac 1 3 } H _ { \nu } ^ { \frac 1 3 } \right) \Biggr ] . } \end{array}
\operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to \infty } N _ { p } = \operatorname* { l i m } _ { \varepsilon \to \infty } \rho _ { i } | C _ { i } | ( 1 - P _ { s } ^ { \lceil \frac { \Delta t } { \tau _ { s } } \rceil } ) / w _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } = \rho _ { i } | C _ { i } | / w _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } ,
\begin{array} { r } { \beta \mu ^ { \mathrm { { e x } } } = \underbrace { - \ln p _ { 0 } [ \phi ] } _ { \mathrm { ~ P ~ a ~ c ~ k ~ i ~ n ~ g ~ } } + \underbrace { \beta \mu _ { \mathrm { { L R } } } ^ { \mathrm { { e x } } } [ P ( \varepsilon \; | \; \phi ) ] } _ { \mathrm { ~ L ~ o ~ n ~ g ~ - ~ r ~ a ~ n ~ g ~ e ~ } } + \underbrace { \ln x _ { 0 } [ \phi ] } _ { \mathrm { ~ C ~ h ~ e ~ m ~ i ~ s ~ t ~ r ~ y ~ } } } \end{array}
\epsilon ^ { \prime } = \frac { 1 } { 2 \pi } \frac { \mathrm { I m } ( h _ { \alpha 1 } h _ { \alpha j } h _ { \beta 1 } ^ { * } h _ { \beta j } ^ { * } ) } { h _ { \alpha 1 } h _ { \alpha 1 } ^ { * } } \frac { M _ { 1 } } { M _ { j } } .
\left\{ \begin{array} { l l } { - \left( ( H ( u ^ { \prime } ) ) ^ { p - 1 } H ^ { \prime } ( u ^ { \prime } ) \right) ^ { \prime } = \lambda m ( x ) | u | ^ { p - 2 } u } & { \mathrm { ~ i n ~ } ( 0 , 1 ) } \\ { H ^ { p - 1 } ( u ^ { \prime } ( 1 ) ) H ^ { \prime } ( u ^ { \prime } ( 1 ) ) + \mathtt k | u ( 1 ) | ^ { p - 2 } u ( 1 ) = 0 } & \\ { - H ^ { p - 1 } ( u ^ { \prime } ( 0 ) ) H ^ { \prime } ( u ^ { \prime } ( 0 ) ) + \mathtt k | u ( 0 ) | ^ { p - 2 } u ( 0 ) = 0 } & \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { k A ^ { 2 } - B > 0 \quad } & { \Longleftrightarrow \quad A \Big ( ( x _ { 2 } ^ { 0 } - x _ { 1 } ^ { 0 } ) A - C \Big ) > 0 } \\ & { \Longleftrightarrow \quad A \Big ( \kappa _ { 0 } \phi _ { m } ( x _ { 2 } ^ { 0 } - x _ { 1 } ^ { 0 } ) - ( v _ { 2 } ^ { 0 } - v _ { 1 } ^ { 0 } ) - \kappa _ { 0 } \Phi ( x _ { 2 } ^ { 0 } - x _ { 1 } ^ { 0 } ) \Big ) > 0 } \\ & { \Longleftrightarrow \quad \kappa _ { 0 } \Phi ( x _ { 2 } ^ { 0 } - x _ { 1 } ^ { 0 } ) - \kappa _ { 0 } \phi _ { m } ( x _ { 2 } ^ { 0 } - x _ { 1 } ^ { 0 } ) < v _ { 1 } ^ { 0 } - v _ { 2 } ^ { 0 } , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { \left| \boldsymbol { h } \right| } \left( R _ { 1 } , \ldots , R _ { N } \right) } & { \approx \stackrel [ s _ { 1 } = 0 ] { s _ { 0 } } { \sum } \sum _ { s _ { 2 } = 0 } ^ { s _ { 1 } } \ldots \sum _ { s _ { T } = 0 } ^ { s _ { T - 1 } } \frac { g \left( \boldsymbol { s } ^ { * } \right) } { \pi ^ { N } \mathrm { \mathrm { ~ { d e t } } \ensuremath { \left( \boldsymbol { J } \right) } } } \prod _ { t = 1 } ^ { T } \frac { \left( - K _ { m , n } \right) ^ { s _ { t } ^ { * } } } { s _ { t } ^ { * } ! \mathrm { \mathrm { ~ { d e t } } \ensuremath { \left( \boldsymbol { J } \right) } } ^ { s _ { t } ^ { * } } } \times } \\ & { \stackrel [ n = 1 ] { N } { \prod } \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { \mathrm { \ensuremath { K _ { n , n } } } } { \mathrm { \mathrm { ~ { d e t } } \ensuremath { \left( \boldsymbol { J } \right) } } } \right) ^ { - \frac { \bar { s } _ { n } } { 2 } - \frac { 1 } { 2 } } \left[ \Gamma \left( \frac { 1 + \bar { s } _ { n } } { 2 } \right) - \Gamma \left( \frac { 1 + \bar { s } _ { n } } { 2 } , \frac { \mathrm { \ensuremath { K _ { n , n } } } R _ { n } ^ { 2 } } { \mathrm { \mathrm { ~ { d e t } } \ensuremath { \left( \boldsymbol { J } \right) } } } \right) \right] . } \end{array}
F _ { 2 } \left( \alpha , \beta , \beta ^ { \prime } ; \; \gamma , \gamma ^ { \prime } | \; u , v \right) \equiv \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \sum _ { l = 0 } ^ { \infty } \frac { u ^ { j } \; v ^ { l } } { j ! \; l ! } \; \frac { ( \alpha ) _ { j + l } \; ( \beta ) _ { j } \; ( \beta ^ { \prime } ) _ { l } } { ( \gamma ) _ { j } \; ( \gamma ^ { \prime } ) _ { l } } ,
T _ { j , k } ( \boldsymbol { \xi } ) : = ( \xi _ { 1 } + j J , \xi _ { 2 } + k K ) \, , \qquad \forall \, \boldsymbol { \xi } \in \mathbb { R } ^ { 2 } \, , \quad \forall \, j , k \in \mathbb { Z } \, .
\hat { M } _ { u } \cong \left[ \begin{array} { c c c } { { \ 0 } } & { { \ 0 } } & { { \ - B \lambda ^ { 4 } e ^ { - i \phi } } } \\ { { \ 0 } } & { { \ C \lambda ^ { 4 } } } & { { \ 0 } } \\ { { \ - B \lambda ^ { 4 } e ^ { i \phi } } } & { { \ 0 } } & { { \ 1 } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } & { \mathbf { W } _ { i j } ^ { * } = \mathbf { W } _ { i j } ^ { n } - \frac { 1 } { \Delta x } \left[ { { \mathbb { F } } _ { i + 1 / 2 , j } } \left( { { \mathbf { W } } ^ { n } } , \Delta t / 2 \right) - { { \mathbb { F } } _ { i - 1 / 2 , j } } \left( { { \mathbf { W } } ^ { n } } , \Delta t / 2 \right) \right] } \\ & { - \frac { 1 } { \Delta y } \left[ { { \mathbb { G } } _ { i , j + 1 / 2 } } \left( { { \mathbf { W } } ^ { n } } , \Delta t / 2 \right) - { { \mathbb { G } } _ { i , j - 1 / 2 } } \left( { { \mathbf { W } } ^ { n } } , \Delta t / 2 \right) \right] . } \end{array}
e ^ { \pi { \sqrt { 1 6 3 } } } = 2 6 2 \, 5 3 7 \, 4 1 2 \, 6 4 0 \, 7 6 8 \, 7 4 3 . 9 9 9 \, 9 9 9 \, 9 9 9 \, 9 9 9 \, 2 5 \ldots ,
\begin{array} { r l } & { ( z + m _ { \mathrm { s c } } ) \left| \mathbb E \left[ | ( G A \overline { G } G ) _ { c d } | ^ { 2 D } \right] \right| } \\ { \prec } & { \, C ( D ) N ^ { 2 D \varepsilon } N ^ { 3 D } \Psi ^ { 9 D / 2 } + C ( D ) N ^ { - \frac { 2 D \epsilon } { 2 D - 1 } } \mathbb { E } \left[ \left| ( G A \overline { { G } } G ) _ { c d } \right| ^ { 2 D } \right] + \Psi \cdot \mathbb E \left[ | ( G A \overline { G } G ) _ { c d } | ^ { 2 D } \right] } \end{array}
\mathcal { L } _ { \phi } \hat { \rho } = ( - \mathrm { i } / 2 ) \sum _ { \mathbf { a } } ( \hat { S } _ { \mathbf { a } } ^ { \dagger } e ^ { - \mathrm { i } \phi } + \hat { S } _ { \mathbf { a } } e ^ { \mathrm { i } \phi } ) \hat { \rho } + \mathrm { H . c . }