harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathcal { H } _ { \mathrm { e f f } } = \; \frac { 1 } { 2 E } U \left( \begin{array} { c c c } { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \Delta m _ { 2 1 } ^ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \Delta m _ { 3 1 } ^ { 2 } } \end{array} \right) U ^ { \dagger } + } & { \left( \begin{array} { c c c } { a _ { e e } } & { a _ { e \mu } } & { a _ { e \tau } } \\ { a _ { e \mu } ^ { * } } & { a _ { \mu \mu } } & { a _ { \mu \tau } } \\ { a _ { e \tau } ^ { * } } & { a _ { \mu \tau } ^ { * } } & { a _ { \tau \tau } } \end{array} \right) } \\ { - } & { \frac { 4 } { 3 } E \left( \begin{array} { c c c } { c _ { e e } } & { c _ { e \mu } } & { c _ { e \tau } } \\ { c _ { e \mu } ^ { * } } & { c _ { \mu \mu } } & { c _ { \mu \tau } } \\ { c _ { e \tau } ^ { * } } & { c _ { \mu \tau } ^ { * } } & { c _ { \tau \tau } } \end{array} \right) + \sqrt { 2 } G _ { F } N _ { e } \left( \begin{array} { c c c } { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right) . } \end{array}
\left( \frac { d m } { d t } \right) _ { a } = h _ { m } ^ { a } \pi R ^ { 2 } \frac { \mathcal { M } _ { a } } { { \cal R } _ { u } } \left( \frac { p _ { \infty } ^ { a } } { T _ { \infty } } - \frac { p _ { s } ^ { a } } { T _ { s } } \right) .
\begin{array} { r l } { \partial _ { \sigma } \MakeUppercase { \romannumeral 1 } } & { = \partial _ { \sigma } \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } R _ { \mathrm { r e g } } ( b , \sigma ) + \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } \partial _ { \sigma } R _ { \mathrm { r e g } } ( b , \sigma ) , } \\ { \partial _ { \sigma } ^ { 2 } \MakeUppercase { \romannumeral 1 } } & { = \partial _ { \sigma } ^ { 2 } \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } R _ { \mathrm { r e g } } ( b , \sigma ) + 2 \partial _ { \sigma } \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } \partial _ { \sigma } R _ { \mathrm { r e g } } ( b , \sigma ) + \check { L } _ { b } ( \sigma ) ^ { - 1 } \partial _ { \sigma } ^ { 2 } R _ { \mathrm { r e g } } ( b , \sigma ) . } \end{array}
\frac { \beta \alpha ^ { 6 } } { m } H _ { i j } ^ { \dagger } H _ { k l } ^ { \dagger } \psi ^ { i j } \psi ^ { k l } \ , \qquad \frac { \beta \alpha ^ { 6 } } { m } H _ { i k } ^ { \dagger } H _ { j l } ^ { \dagger } \psi ^ { i j } \psi ^ { k l } \ .
\begin{array} { r l } { \frac { 1 } { \lambda } | u ( \tau + \frac { \lambda } { 2 } , z ) - u ( \tau - \frac { \lambda } { 2 } , z ) | } & { = \frac { 1 } { \lambda } | u ^ { + } ( r _ { * } ( \tau , z ) , z ) - u ^ { - } ( r _ { * } ( \tau , z ) , z ) | } \\ & { \quad \quad \quad + \frac { 1 } { \lambda } \left| \left\{ \int _ { r _ { * } ( \tau , z ) - \lambda / 2 } ^ { r _ { * } ( \tau , z ) } + \int _ { r _ { * } ( \tau , z ) } ^ { r _ { * } ( \tau , z ) + \lambda / 2 } \right\} \partial _ { \tau } u ( \sigma , z ) \ d \sigma \right| } \\ & { \leq \frac { 1 } { \lambda } | u ^ { + } ( r _ { * } ( \tau , z ) , z ) - u ^ { - } ( r _ { * } ( \tau , z ) , z ) | + \sum _ { \pm } \textup { a v g } _ { \pm } ( | \partial _ { \tau } u | ) ( \tau , z ) . } \end{array}
\mathbf { L } _ { t - 1 } ^ { \mathrm { ~ c ~ o ~ n ~ d ~ i ~ t ~ i ~ o ~ n ~ a ~ l ~ } } = \mathbb { E } _ { \mathbf { x } _ { 0 } , \epsilon \sim \mathcal { N } ( \mathbf { 0 } , \mathbf { I } ) } \left[ \left\| \epsilon - \epsilon _ { \theta } \left( \sqrt { \bar { \alpha } _ { t } } \mathbf { x } _ { 0 } + \sqrt { 1 - \bar { \alpha } _ { t } } \epsilon , \mathbf { m } , t \right) \right\| ^ { 2 } \right] .
T X | _ { ( x , y ) } = { \mathrm { S p e c } } \left( { \frac { \mathbb { C } [ x _ { 0 } , y _ { 0 } , x _ { 1 } , y _ { 1 } ] } { ( x _ { 0 } y _ { 0 } , x _ { 0 } y _ { 1 } + x _ { 1 } y _ { 0 } , x _ { 0 } - x , y _ { 0 } - y ) } } \right)
\lbrace { \frac { 1 } { 2 } } , { \frac { 1 } { 2 } } \rbrace \otimes \lbrack \lbrace { \frac { 1 } { 2 } } , 0 \rbrace \oplus \lbrace 0 , { \frac { 1 } { 2 } } \rbrace \rbrack \, \otimes \lbrace \mathrm { ~ \boldmath ~ { \frac { 3 } { ~ 2 } } ~ } \rbrace \, ,
m _ { \rho } ^ { 2 } = \frac { m _ { 0 } ^ { 2 } } { g ^ { 2 } } + \frac { N _ { c } } { \pi ^ { 2 } g ^ { 2 } } m _ { \rho } ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x \cdot x ( 1 - x ) \ln { ( 1 - \frac { x ( 1 - x ) m _ { \rho } ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } ) } .
\overline { { \mathsf { W } } } = \frac { 1 } { 4 } \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { ~ O ~ } } ^ { \dagger } \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { ~ O ~ } } + \frac { 1 } { 4 } \hat { \mathbf { F } } _ { \mathrm { ~ I ~ } } ^ { \dagger } \hat { \mathbf { X } } _ { \mathrm { ~ I ~ } } + \mathrm { ~ c ~ . ~ c ~ . ~ } \, ,
C ^ { 3 } ( \Omega ) \cap C ^ { 2 } \big ( \overline { { \Omega } } \setminus ( \Gamma _ { \mathrm { { s o n i c } } } ^ { 5 } \cup \Gamma _ { \mathrm { { s o n i c } } } ^ { 6 } ) \big ) \cap C ^ { 1 } ( \overline { { \Omega } } )
P ^ { \pm } ( t _ { 1 } = T _ { 1 } < T _ { 2 } | d _ { 1 } = H ^ { + } ) = P ^ { \pm } ( t _ { 1 } = T _ { 1 } < T _ { 2 } | d _ { 1 } = H ^ { + } , T > t _ { 1 } - 2 ) [ P ( T > 2 ) ] ^ { m - 1 } .
e ^ { - 2 \hat { \phi } } = e ^ { - 2 \hat { \phi } _ { 0 } } + \sum _ { 1 } ^ { s } { \frac { 2 \tilde { m } _ { k } } { r _ { k } } } \ , \qquad A _ { u } = ( A _ { u } ) _ { 0 } + \sum _ { 1 } ^ { s } { \frac { 2 \hat { m } _ { k } } { r _ { k } } } \ , \qquad A _ { i } = ( A _ { i } ) _ { 0 } + \sum _ { 1 } ^ { s } { \frac { 2 ( q _ { k } ) _ { i } } { r _ { k } } } \ , \qquad i = 4 , \dots 9 .
\begin{array} { r l } { \mathrm { s o c } ( V \otimes W ) } & { = \bigoplus _ { t = 0 } ^ { \ell + \ell ^ { \prime } } \left( \mathrm { s o c } ( V \otimes W ) \cap \bigoplus _ { i + j = t } V ( a _ { i } ) \otimes V ( b _ { j } ) \right) } \\ & { = \bigoplus _ { t = 0 } ^ { \ell + \ell ^ { \prime } } \left( \bigoplus _ { i + j = t } V ( a _ { i } ) \otimes V ( b _ { j } ) \right) ^ { \mathfrak { h } _ { n } } . } \end{array}
\left( \operatorname * { d e t } \frac { M } { \pi } \right) ^ { 2 6 / 2 } = \frac { k } { \gamma _ { 3 } } [ \sqrt { \operatorname * { d e t } ( 1 - Z ) \operatorname * { d e t } ( 1 + T ) } ] ^ { 2 6 } \; \frac { 1 } { [ \sqrt { \operatorname * { d e t } 1 + S } ] ^ { 2 6 } } \, .
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ M ~ a ~ } ^ { 2 } [ b , k ] \, = \, \, 2 5 6 \, k ^ { 2 } \, \sinh ^ { 2 } [ k ] \, \times \, \qquad } \\ { \times \, \left( b ^ { 2 } \sinh [ k ] + 2 b \, k \cosh [ k ] + k ^ { 2 } \sinh [ k ] \right) } \\ { \, \big \{ 8 k ^ { 3 } \cosh [ k ] - ( 3 + 1 2 k ^ { 2 } + 4 k ^ { 4 } ) \sinh [ k ] } \\ { + \, \sinh [ 3 k ] \big \} ^ { - 1 } \ . \qquad } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m s u p } _ { \varepsilon \to 0 ^ { + } } \frac { \mathcal { F } ( z _ { \varepsilon } , B _ { ( 1 - \theta ) \varepsilon } ( x _ { 0 } ) ) } { \omega _ { d - 1 } \varepsilon ^ { d - 1 } } } & { \leq \operatorname* { l i m s u p } _ { \varepsilon \to 0 ^ { + } } \frac { \mathcal { F } ( z _ { \varepsilon } , B _ { ( 1 - 3 \theta ) \varepsilon } ( x _ { 0 } ) ) } { \omega _ { d - 1 } \varepsilon ^ { d - 1 } } + \operatorname* { l i m s u p } _ { \varepsilon \to 0 ^ { + } } \frac { \mathcal { F } ( \overline { { u } } _ { x _ { 0 } } ^ { \textnormal { s u r f } } , C _ { \varepsilon , \theta } ( x _ { 0 } ) ) } { \omega _ { d - 1 } \varepsilon ^ { d - 1 } } } \\ & { \leq \operatorname* { l i m s u p } _ { \varepsilon \to 0 ^ { + } } \frac { \mathbf { m } _ { \mathcal { F } } ( \overline { { u } } _ { x _ { 0 } } ^ { \textnormal { s u r f } } , B _ { ( 1 - 3 \theta ) \varepsilon } ( x _ { 0 } ) ) } { \omega _ { d - 1 } \varepsilon ^ { d - 1 } } + \frac { b } { \omega _ { d - 1 } } \mathcal { H } ^ { d - 1 } ( C _ { 1 , \theta } ( x _ { 0 } ) \cap \Pi _ { 0 } ) } \\ & { \leq ( 1 - 3 \theta ) ^ { d - 1 } \operatorname* { l i m s u p } _ { \varepsilon \to 0 ^ { + } } \frac { \mathbf { m } _ { \mathcal { F } } ( \overline { { u } } _ { x _ { 0 } } ^ { \textnormal { s u r f } } , B _ { \varepsilon } ( x _ { 0 } ) ) } { \omega _ { d - 1 } \varepsilon ^ { d - 1 } } + \frac { b } { \omega _ { d - 1 } } ( 1 - ( 1 - 4 \theta ) ^ { d - 1 } ) . } \end{array}
\Omega _ { \mathrm { ~ S ~ } } ( { l } ) = \frac { i \Omega _ { \mathrm { ~ P ~ } } ( 0 ) \Omega _ { \mathrm { ~ I ~ } } ( 0 ) e ^ { - i \Delta \phi } } { 2 \Gamma _ { 2 } } ( e ^ { - \beta \ell } - 1 ) ,
\mathrm { S N R _ { d B } } = 1 0 \log _ { 1 0 } \left[ \left( { \frac { A _ { \mathrm { s i g n a l } } } { A _ { \mathrm { n o i s e } } } } \right) ^ { 2 } \right] = 2 0 \log _ { 1 0 } \left( { \frac { A _ { \mathrm { s i g n a l } } } { A _ { \mathrm { n o i s e } } } } \right) = 2 \left( { A _ { \mathrm { s i g n a l , d B } } - A _ { \mathrm { n o i s e , d B } } } \right) .
\begin{array} { r l } { ( \sigma _ { n 1 } ) ^ { 2 } } & { = \mathbb { V } \{ j ( s _ { k } ^ { \prime } ) \} + \frac { \mathbb { V } \{ n _ { \mathrm { P I } } ( s _ { k } ^ { \prime } ) \} } { ( \omega A _ { 0 } ) ^ { 2 } } , } \\ { ( \sigma _ { a 1 } ) ^ { 2 } } & { = \frac { \mathbb { V } \{ a _ { \mathrm { j i t t e r } } ( s _ { k } ^ { \prime } ) \} + \mathbb { V } \{ a _ { \mathrm { P I } } ( s _ { k } ^ { \prime } ) \} } { ( \omega A _ { 0 } ) ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \bigg \langle \widetilde { \mathbf { U } _ { i } ( \mathbf { x } , t ) } \widetilde { \mathbf { U } _ { j } ( \mathbf { y } , t ) } \bigg \rangle , ~ ~ ~ \bigg \langle \widetilde { \mathbf { U } _ { i } ( \mathbf { x } , t ) } \widetilde { \mathbf { U } _ { j } ( \mathbf { y } , t ) } \widetilde { \mathbf { U } _ { k } ( \mathbf { z } , t ) } \bigg \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } _ { \mathcal { D } } \left[ f ( \bar { x } _ { T } ) - \operatorname* { i n f } f \right] } & { \leq } & { \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 0 } ^ { T - 1 } \mathbb { E } _ { \mathcal { D } } \left[ f ( x ^ { t } ) - \operatorname* { i n f } f \right] } \\ & { \leq } & { \left( \frac { 3 B ^ { 2 } } { \gamma } + { \gamma G ^ { 2 } } \right) \frac { 1 } { \sqrt { T } } . } \end{array}
P _ { H } \left( x \right) = \omega _ { 0 } \left( \frac { 1 } { \gamma _ { 0 } } P _ { 0 } \left( x \right) - \sum _ { n = 1 } ^ { 2 } \frac { \gamma _ { n } } { \gamma _ { 0 } } P _ { n } \left( x \right) \right) + \sum _ { n = 1 } ^ { 2 } \omega _ { n } P _ { n } \left( x \right) ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } _ { 1 } f ( x , v ) } & { = v ^ { T } \nabla _ { x } f ( x , v ) , } \\ { \mathcal { L } _ { 2 } f ( x , v ) } & { = \left( v ^ { T } \nabla \psi ( x ) \right) _ { + } \left( f ( x , R ( x ) v ) - f ( x , v ) \right) , } \\ { \mathcal { L } _ { 3 } f ( x , v ) } & { = \lambda _ { r } \int _ { \mathbb S ^ { d - 1 } } \left( f ( x , w ) - f ( x , v ) \right) \mathrm { d } w \, . } \end{array}
\left( X _ { \cdot } ^ { h , \tau _ { k } , ( 1 ) } \right) ^ { 2 } - \int _ { 0 } ^ { \cdot \wedge \tau _ { k } } \frac { \lambda ( X _ { s } ^ { h } ) } { m _ { X _ { s } ^ { h } } } \sum _ { X _ { s } ^ { h } + \xi \sim X _ { s } ^ { h } } \omega _ { X _ { s } ^ { h } , \xi } \left( ( \operatorname { R e } ( X _ { s } ^ { h } + \xi ) ) ^ { 2 } - ( \operatorname { R e } X _ { s } ^ { h } ) ^ { 2 } \right) \mathrm { d } s
\begin{array} { r l } { \frac { \phi _ { 1 , \Gamma } } { 2 } + K _ { \Gamma , L } ^ { \Gamma } \left( \phi _ { 1 , \Gamma } \right) - V _ { \Gamma , L } ^ { \Gamma } \left( \frac { \partial } { \partial \mathbf { n } } \phi _ { 1 , \Gamma } \right) } & { { } = \frac { 1 } { \epsilon _ { 1 } } \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { q } } \frac { q _ { k } } { 4 \pi | \mathbf { x } _ { \Gamma } - \mathbf { x } _ { k } | } } \\ { \frac { \phi _ { 1 , \Gamma } } { 2 } - K _ { \Gamma , Y } ^ { \Gamma } ( \phi _ { 1 , \Gamma } ) + \frac { \epsilon _ { 1 } } { \epsilon _ { 2 } } V _ { \Gamma , Y } ^ { \Gamma } \left( \frac { \partial } { \partial \mathbf { n } } \phi _ { 1 , \Gamma } \right) } & { { } = 0 } \end{array}
{ } \begin{array} { r l } { \frac { 1 } { ( \Delta t ) ^ { 4 } } \left( \frac { \partial } { \partial \tilde { \theta } _ { i } ( \tau _ { + } ) } + 1 \right) \frac { \partial } { \partial \theta _ { i } ( \tau ) } \left( \frac { \partial } { \partial \tilde { \theta _ { i } } ( \tau _ { + } ^ { \prime } ) } + 1 \right) \frac { \partial } { \partial \theta _ { i } ( \tau ^ { \prime } ) } \mathcal { Z } \Bigg | _ { \theta , \tilde { \theta } = 0 } } & { { } = \langle n _ { i } ( \tau ) n _ { i } ( \tau ^ { \prime } ) \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } } & { { } \! \operatorname* { m i n } } & { \qquad } & { { } J = \sqrt { \frac { 1 } { m } \sum _ { n = 1 } ^ { m } \frac { ( \sigma _ { s i m } - \sigma _ { c } ) ^ { 2 } } { \sigma _ { s i m } ^ { 2 } } } } \end{array}
\bigl ( L \eta \bigr ) ( R , Z ) \, = \, \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \log \biggl ( \frac { 8 } { \sqrt { ( R { - } R ^ { \prime } ) ^ { 2 } + ( Z { - } Z ^ { \prime } ) ^ { 2 } } } \biggr ) \, \eta ( R ^ { \prime } , Z ^ { \prime } ) \, \mathrm { d } R ^ { \prime } \, \mathrm { d } Z ^ { \prime } \, .
\begin{array} { r } { \frac { \langle ( \nabla _ { \| } \theta ) ^ { p } \rangle } { \langle ( \nabla _ { \| } \theta ) ^ { 2 } \rangle ^ { p / 2 } } \sim S c ^ { - 1 / 2 + \alpha } \ R _ { \lambda } ^ { ( p - 3 ) / 2 } \ , \ \ \ \ \ \ \ \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \ \ p = 3 , 5 , 7 . . . \ , } \end{array}
d s ^ { 2 } = \frac { d \xi ^ { 0 } d \xi ^ { 0 } } { 1 + \xi ^ { 0 } \xi ^ { 0 } } - ( 1 + \xi ^ { 0 } \xi ^ { 0 } ) \frac { d { \bf x } ( I + { \bf x } ^ { \prime } { \bf x } ) ^ { - 1 } d { \bf x } ^ { \prime } } { 1 + { \bf x } { \bf x } ^ { \prime } } ~ ,
\begin{array} { r l } { D _ { \mathrm { C S } } ( p ; q ) } & { = - \log \left( \frac { \Big | \int p ( \mathbf { y } ) q ( \mathbf { y } ) d \mathbf { y } \Big | ^ { 2 } } { \int \mid p ( \mathbf { y } ) \mid ^ { 2 } d \mathbf { y } \int \mid q ( \mathbf { y } ) \mid ^ { 2 } d \mathbf { y } } \right) } \\ & { = - 2 \log ( \int p ( \mathbf { y } ) q ( \mathbf { y } ) d \mathbf { y } ) + \log ( \int p ( \mathbf { y } ) ^ { 2 } d \mathbf { y } ) } \\ & { + \log ( \int q ( \mathbf { y } ) ^ { 2 } d \mathbf { y } ) . } \end{array}
F _ { 2 } ^ { \mathrm { ^ 3 H e } } ( x _ { \mathrm { ^ 3 H e } } ) = \int d y d \epsilon \left\{ F _ { 2 } ^ { \mathrm { p } } \left( \frac { x _ { \mathrm { ^ 3 H e } } } { y - \frac { \epsilon } { M _ { \mathrm { ^ 3 H e } } } } \right) f ^ { \mathrm { p / { ^ 3 H e } } } ( y , \epsilon ) + F _ { 2 } ^ { \mathrm { D } } \left( \frac { x _ { \mathrm { ^ 3 H e } } } { y - \frac { \epsilon } { M _ { \mathrm { ^ 3 H e } } } } \right) f ^ { \mathrm { D / { ^ 3 H e } } } ( y , \epsilon ) \right\} ~ ,
\beta \delta = - b _ { + } \Phi _ { 1 } ( Z ^ { - 1 } ) , \quad \beta ^ { 2 } = q ^ { - 1 } ( 1 - b _ { 3 } ) \Phi _ { 1 } ( Z ^ { - 1 } ) , \quad \delta ^ { 2 } = b _ { + } ( 1 - b _ { 3 } ) ^ { - 1 } b _ { + } \Phi _ { 1 } ( Z ^ { - 1 } )
\begin{array} { r l } { \xi \operatorname { \lrcorner } \mathsf { w } _ { \sigma } ( \alpha ) } & { = \frac { 1 } { ( k - 1 ) ! } \sigma ^ { k - 1 } \wedge \gamma _ { 0 } + \frac { 1 } { ( k - 1 ) ! } \sigma ^ { k } \wedge \gamma _ { 1 } - \frac { k + 1 } { k ! } \sigma ^ { k } \wedge \gamma _ { 1 } } \\ & { \frac { 1 } { ( k - 1 ) ! } \sigma ^ { k - 1 } \wedge \gamma _ { 0 } - \frac { 1 } { k ! } \sigma ^ { k } \wedge \gamma _ { 1 } = \mathsf { w } _ { \sigma } ( \pi ^ { \ast } \beta \wedge \alpha ) . } \end{array}
\frac { { \cal R } ( D _ { \mathrm { p h y s } } ^ { 0 } \rightarrow f ) ~ - ~ { \cal R } ( \bar { D } _ { \mathrm { p h y s } } ^ { 0 } \rightarrow f ) } { { \cal R } ( D _ { \mathrm { p h y s } } ^ { 0 } \rightarrow f ) ~ + ~ { \cal R } ( \bar { D } _ { \mathrm { p h y s } } ^ { 0 } \rightarrow f ) } \; \approx \; { \cal A } _ { \mathrm { d i r } } ~ + ~ x _ { D } ^ { ~ } { \cal A } _ { \mathrm { i n d } } \; .
\begin{array} { r l } { \tilde { W } _ { B , c } \left[ \begin{array} { l } { ( \mathcal { H } _ { 0 } w ) ( b ) } \\ { ( \mathcal { H } _ { 0 } w ) ( 0 ) } \end{array} \right] = \tilde { W } _ { B , c } \left[ \begin{array} { l } { ( \mathcal { H } _ { 0 } w ) _ { 1 } ( b ) } \\ { ( \mathcal { H } _ { 0 } w ) _ { 2 } ( b ) } \\ { ( \mathcal { H } _ { 0 } w ) _ { 1 } ( 0 ) } \\ { ( \mathcal { H } _ { 0 } w ) _ { 2 } ( 0 ) } \end{array} \right] } & { = \tilde { W } _ { B , c } \left[ \begin{array} { l } { ( \mathcal { Q } ^ { - } x ^ { - } ) ( 0 ^ { - } ) } \\ { ( \mathcal { Q } ^ { + } x ^ { + } ) ( b ) } \\ { ( \mathcal { Q } ^ { - } x ^ { - } ) ( a ) } \\ { ( \mathcal { Q } ^ { + } x ^ { + } ) ( 0 ^ { + } ) } \end{array} \right] } \\ & { = \left[ \begin{array} { l } { U _ { 1 } ( \mathcal { Q } ^ { - } x ^ { - } ) ( 0 ^ { - } ) + U _ { 2 } ( \mathcal { Q } ^ { + } x ^ { + } ) ( 0 ^ { + } ) } \\ { \tilde { W } _ { B } \left[ \begin{array} { l } { ( \mathcal { Q } ^ { + } x ^ { + } ) ( b ) } \\ { ( \mathcal { Q } ^ { - } x ^ { - } ) ( a ) } \end{array} \right] } \end{array} \right] . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \log _ { 1 0 } \left( p \right) = } & { - 7 . 9 0 2 9 8 \left( { \frac { 3 7 3 . 1 6 } { T } } - 1 \right) + 5 . 0 2 8 0 8 \log _ { 1 0 } { \frac { 3 7 3 . 1 6 } { T } } } \\ & { - 1 . 3 8 1 6 \times 1 0 ^ { - 7 } \left( 1 0 ^ { 1 1 . 3 4 4 \left( 1 - { \frac { T } { 3 7 3 . 1 6 } } \right) } - 1 \right) } \\ & { + 8 . 1 3 2 8 \times 1 0 ^ { - 3 } \left( 1 0 ^ { - 3 . 4 9 1 4 9 \left( { \frac { 3 7 3 . 1 6 } { T } } - 1 \right) } - 1 \right) } \\ & { + \log _ { 1 0 } \left( 1 0 1 3 . 2 4 6 \right) } \end{array} }
\begin{array} { r } { \ell _ { i } = \lambda _ { i } = \langle \hat { \ell } _ { i } \rangle = \langle \hat { \lambda } _ { i } \rangle = \langle \theta _ { l } , \phi _ { l } | \hat { \lambda } _ { i } | \theta _ { l } , \phi _ { l } \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { A \subseteq \phi ^ { - 1 } ( \ell ) } { \ensuremath { \mathbb P } } _ { N } ^ { \beta , h } \left( V _ { A } \phi \right) } & { \ge { \ensuremath { \mathbb P } } _ { N } ^ { \beta , h } \left( \phi \right) \sum _ { A \subseteq \phi ^ { - 1 } ( \ell ) } e ^ { - 4 \beta N - 4 \beta \vert \phi ^ { - 1 } ( 0 ) \vert - 4 \beta \ell \vert A \vert } } \\ & { = { \ensuremath { \mathbb P } } _ { N } ^ { \beta , h } \left( \phi \right) e ^ { - 4 \beta N - 4 \beta \vert \phi ^ { - 1 } ( 0 ) \vert } \left( 1 + e ^ { - 4 \beta \ell } \right) ^ { \vert \phi ^ { - 1 } ( \ell ) \vert } } \\ & { \ge { \ensuremath { \mathbb P } } _ { N } ^ { \beta , h } \left( \phi \right) \exp \left( - 4 \beta N - 4 \beta \vert \phi ^ { - 1 } ( 0 ) \vert + \frac { 1 } { 2 } e ^ { - 4 \beta \ell } \vert \phi ^ { - 1 } ( \ell ) \vert \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \chi ^ { 2 } \left( H \right) } & { { } = } & { \Sigma _ { i , j = 1 } ^ { N } \left( n ^ { i } - \mu _ { H } ^ { i } \right) E _ { i , j } ^ { - 1 } \left( H \right) \left( n ^ { j } - \mu _ { H } ^ { j } \right) } \\ { E _ { i , j } } & { { } = } & { E _ { i , j } ^ { \textrm { s t a t C N P } } + E _ { i , j } ^ { \textrm { s y s t } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho _ { 4 } } & { { } = i \left( \vert { T _ { 0 } } \rangle \langle { S _ { 0 } } \vert - \vert { S _ { 0 } } \rangle \langle { T _ { 0 } } \vert \right) = 2 I _ { 1 y } I _ { 2 x } - 2 I _ { 1 x } I _ { 2 y } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { 0 1 } } & { { } = \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \, , } \\ { \sigma _ { 1 0 } } & { { } = \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { 0 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \, , } \\ { \sigma _ { 0 0 } } & { { } = \left( \begin{array} { c c } { 1 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \, , } \\ { \sigma _ { 1 1 } } & { { } = \left( \begin{array} { c c } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } \end{array} \right) \, . } \end{array}
\tilde { \kappa } ^ { \pm } = \kappa ^ { \pm } \left( 1 - \frac { z + \vec { q } _ { 1 } ^ { \: 2 } ( 1 - x ) } { q ^ { 2 } x } \right) + \vec { q } _ { 1 } ^ { \: \prime \: 2 } \frac { z + \vec { q } _ { 1 } ^ { \: 2 } ( 1 - x ) } { q ^ { 2 } x } ~ .
\begin{array} { r l } { \overline { { R } } _ { \nu \mu \lambda } ^ { \gamma } } & { \rightarrow \overline { { R } } _ { \nu \mu \lambda } ^ { \gamma } + 2 c _ { 2 } \delta _ { \lambda } ^ { \gamma } \partial _ { [ \nu } P _ { \mu ] } + 2 c _ { 1 } \delta _ { [ \mu } ^ { \gamma } \partial _ { \nu ] } P _ { \lambda } + 2 c _ { 1 } \overline { { \Gamma } } _ { [ \nu \mu ] } ^ { \gamma } P _ { \lambda } + 2 c _ { 1 } \overline { { \Gamma } } _ { [ \mu | \lambda } ^ { \rho } \delta _ { \nu ] } ^ { \gamma } P _ { \rho } + 2 c _ { 1 } ^ { 2 } \delta _ { [ \nu } ^ { \gamma } P _ { \mu ] } P _ { \lambda } } \\ & { = \overline { { R } } _ { \nu \mu \lambda } ^ { \gamma } + 2 c _ { 2 } \delta _ { \lambda } ^ { \gamma } \partial _ { [ \nu } P _ { \mu ] } + 2 c _ { 1 } \overline { { \Gamma } } _ { [ \nu \mu ] } ^ { \gamma } P _ { \lambda } + 2 c _ { 1 } \delta _ { [ \mu } ^ { \gamma } \nabla _ { \nu ] } P _ { \lambda } + 2 c _ { 1 } ^ { 2 } \delta _ { [ \nu } ^ { \gamma } P _ { \mu ] } P _ { \lambda } \, , } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { { t _ { L , R } } } \\ { { t _ { L , R } ^ { \prime } } } \end{array} \right) = V _ { U ( L , R ) } \left( \begin{array} { c } { { U _ { 1 L , 1 R } } } \\ { { U _ { 2 L , 2 R } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l } & { ~ \| ( A ^ { \top } A ) ^ { - 1 / 2 } - ( B ^ { \top } B ) ^ { - 1 / 2 } \| } \\ { \leq } & { ~ 2 \operatorname* { m a x } \{ \| ( A ^ { \top } A ) ^ { - 1 / 2 } \| ^ { 2 } , \| ( B ^ { \top } B ) ^ { - 1 / 2 } \| ^ { 2 } \} \cdot \| ( A ^ { \top } A ) ^ { 1 / 2 } - ( B ^ { \top } B ) ^ { 1 / 2 } \| } \\ { \leq } & { ~ 2 \cdot \| ( B ^ { \top } B ) ^ { - 1 / 2 } \| ^ { 2 } \cdot \| ( A ^ { \top } A ) ^ { 1 / 2 } - ( B ^ { \top } B ) ^ { 1 / 2 } \| } \\ { \leq } & { ~ 2 \cdot ( 2 / \sigma _ { \operatorname* { m i n } } ( A ) ) ^ { 2 } \cdot \| ( A ^ { \top } A ) ^ { 1 / 2 } - ( B ^ { \top } B ) ^ { 1 / 2 } \| } \\ { \leq } & { ~ 2 \cdot ( 2 / \sigma _ { \operatorname* { m i n } } ( A ) ) ^ { 2 } \cdot \epsilon _ { 0 } } \\ { = } & { ~ 8 \sigma _ { \operatorname* { m i n } } ^ { - 2 } ( A ) \epsilon _ { 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \sigma _ { s } = \mathbf q \cdot \left( - \rho m _ { 1 } \partial _ { t } \mathbf q + \nabla \frac { 1 } { T } \mathbf I + \nabla \cdot \mathbf B \right) - \rho m _ { 2 } \mathbf Q : \partial _ { t } \mathbf Q + \mathbf B : \nabla \mathbf q , } \end{array}
F _ { - } ( E , L _ { z } ^ { 2 } ) = \left\{ \left\{ \begin{array} { l l } { { 0 , } } & { { v _ { \phi } > 0 ; } } \\ { { F ( E , L _ { z } ^ { 2 } ) , } } & { { v _ { \phi } < 0 , } } \end{array} \right. \right.
\begin{array} { r } { \forall \varphi _ { 1 } \in \mathscr { D } ( \mathcal { D } _ { 1 } ) , \forall \varphi _ { 2 } \in \mathscr { D } ( \mathcal { D } _ { 2 } ) , \ \langle T _ { 1 } \otimes T _ { 2 } , \varphi _ { 1 } \otimes \varphi _ { 2 } \rangle = \langle T _ { 1 } , \varphi _ { 1 } \rangle \times \langle T _ { 2 } , \varphi _ { 2 } \rangle . } \end{array}
\begin{array} { r l } { b \left( \zeta _ { 1 , k } ^ { ( 0 ) } , u _ { k } \right) } & { { } - \alpha _ { k } c \left( \zeta _ { 1 , k } ^ { ( 0 ) } , u _ { k } \right) + \textrm { W o } ^ { 2 } c \left( \xi _ { 1 , k } ^ { ( 0 ) } , u _ { k } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { G } _ { \boldsymbol { \theta } , \boldsymbol { \sigma } ^ { 2 } , \epsilon } ( x ) \triangleq \sum _ { k = 1 } ^ { K } \frac { \sigma _ { k } ^ { 2 } } { 2 \theta _ { k } } \left( 1 - { \mathbb { E } } \left[ e ^ { - 2 \theta _ { k } Y } \right] \frac { ( 1 - \epsilon ) ^ { 2 } e ^ { - 2 \theta _ { k } x } } { \left( 1 - \epsilon L _ { k } ( x ) \right) ^ { 2 } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \tilde { \rho } ^ { ( m ) } } & { \leq \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \log \mathbb { E } \left[ 1 - \frac { 2 \eta _ { i } \sigma ^ { 2 } } { b } X + \frac { \eta _ { i } ^ { 2 } \sigma ^ { 4 } } { b ^ { 2 } } ( X ^ { 2 } + X Y ) \right] } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { m } \log \left( 1 - 2 \eta _ { i } \sigma ^ { 2 } + \frac { \eta _ { i } ^ { 2 } \sigma ^ { 4 } } { b } ( d + b + 1 ) \right) = 0 . } \end{array}
\zeta _ { A } ^ { \prime } ( 0 ) = \sum _ { n } \left\{ - \beta ( E _ { n } + \mu ) - \beta ( E _ { n } - \mu ) - 2 \ln \left( 1 - e ^ { - \beta ( E _ { n } + \mu ) } \right) - 2 \ln \left( 1 - e ^ { - \beta ( E _ { n } - \mu ) } \right) \right\}