harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \beta : [ 0 , 2 \pi ) \times [ 0 , 2 \pi ) \ni \left[ \begin{array} { l } { x } \\ { y } \end{array} \right] \mapsto \left[ \begin{array} { l } { \cos \frac { x } { 2 } \cos y - \sin \frac { x } { 2 } \sin ( 2 y ) } \\ { \sin \frac { x } { 2 } \cos y + \cos \frac { x } { 2 } \sin ( 2 y ) } \\ { 8 \cos x ( 1 + \frac { \sin y } { 2 } ) } \\ { 8 \sin x ( 1 + \frac { \sin y } { 2 } ) } \end{array} \right] \in \mathbb { R } ^ { 4 } . } \end{array}
\frac { 2 \beta M ^ { 2 } } { ( d - 2 ) \Lambda } \, \sqrt { \rho _ { 0 } \lambda _ { 1 } } \, \left( \lambda _ { 0 } \, + \, \lambda _ { 1 } \right) \, = \, 1 \, { , } \quad \sqrt { \lambda _ { 0 } \lambda _ { 1 } } \, \left( \rho _ { 0 } ^ { - 1 } \, - \, 1 \right) \, = \, \frac { ( d - 2 ) \pi } { 6 \beta ^ { 2 } M ^ { 2 } } \, \rho _ { 0 } ^ { - 1 } \, { . }
\begin{array} { r l } { \sigma _ { ( 1 ) } ^ { \nu \mu \alpha } ( \omega ) = \frac { e ^ { 2 } } { 2 \hslash \omega } \int [ d \mathbf { k } ] } & { \Bigg \{ \sum _ { a b } f _ { a b } \frac { v _ { a b } ^ { \mu } \dot { Q } _ { b a } ^ { \nu \alpha } + \dot { Q } _ { a b } ^ { \nu \mu } v _ { b a } ^ { \alpha } } { \omega - \epsilon _ { b a } } } \\ & { + \sum _ { a } f _ { a } \left( \dot { Q } _ { a a } ^ { \nu \mu ; \alpha } + \dot { Q } _ { a a } ^ { \nu \alpha ; \mu } \right) \Bigg \} \mathrm { , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bar { r } _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } & { { } = \sqrt { \rho ^ { 2 } + d ^ { 2 } - 2 d \rho ( \frac { d } { 2 \rho } ) } - \rho + d ( \frac { d } { 2 \rho } ) } \end{array}
< \phi _ { \eta } ( x _ { 1 } , \tau _ { 1 } ) \ldots \phi _ { \eta } ( x _ { n } , \tau _ { n } ) > _ { \eta } \equiv \int d \eta ( x , t ) e ^ { - \int \eta ^ { 2 } / \Omega } \phi _ { \eta } ( x _ { 1 } , \tau _ { 1 } ) \ldots \phi _ { \eta } ( x _ { n } , \tau _ { n } ) .
\begin{array} { r l } { A _ { j } } & { : = - 2 \eta _ { i } Z _ { j } \left\langle \partial f ^ { z _ { i , j } } ( \bar { x } + \xi _ { i , j } ) , y _ { j - 1 } - y _ { j - 1 } ^ { \prime } \right\rangle , } \\ { B _ { j } } & { : = \eta _ { i } ^ { 2 } Z _ { j } ^ { 2 } \left\lVert \partial f ^ { z _ { i , j } } ( \bar { x } + \xi _ { i , j } ) \right\rVert ^ { 2 } , ~ ~ \mathrm { a n d } } \\ { Z _ { j } } & { : = \frac { \gamma _ { \rho } ( y _ { j - 1 } - \bar { x } - \xi _ { i , j } ) - \gamma _ { \rho } ( y _ { j - 1 } ^ { \prime } - \bar { x } - \xi _ { i , j } ) } { \gamma _ { \rho } ( \xi _ { i , j } ) } . } \end{array}
\frac { \partial \rho \vec { u } } { \partial t } + \nabla \cdot { \rho \vec { u } \vec { u } } = - \nabla p + \nabla \cdot [ \rho \nu ( \nabla \vec { u } + \nabla \vec { u } ^ { T } ) ] + \vec { F } _ { s u r f } + \vec { F } _ { r e p }
\begin{array} { r } { R _ { z } ( { \it \Delta \Psi } ) = \left( \begin{array} { c c } { \cos ( { \it \Delta \Psi } ) } & { - \sin ( { \it \Delta \Psi } ) } \\ { \sin ( { \it \Delta \Psi } ) } & { \cos ( { \it \Delta \Psi } ) } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { A _ { t } } ^ { \mathrm { v } } ( p - 1 ) } & { = \sum _ { l = 1 } ^ { k } \sum _ { s = j _ { l - 1 } + 1 } ^ { j _ { l } } U _ { i _ { s } } ^ { \mathrm { v } } ( p - 1 ) } \\ & { \geq \sum _ { l = 1 } ^ { m } \sum _ { s = j _ { l - 1 } + 1 } ^ { j _ { l } } U _ { i _ { s } } ^ { \mathrm { v } } ( p - 1 ) > m \bar { \sigma } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { n } & { { } = n _ { 0 } + \delta n , } \\ { \mathbf { u } } & { { } = \delta \mathbf { u } , } \\ { \mathbf { E } } & { { } = \delta \mathbf { E } } \\ { \mathbf { B } } & { { } = \mathbf { B } _ { 0 } + \delta \mathbf { B } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { V \left( \breve { q } _ { K } , q _ { K } \right) } & { \leq 3 \left[ - 1 + \left\{ 1 + \frac { 4 } { 9 } K L \left( q _ { K } \| \breve { q } _ { K } \right) \right\} ^ { 1 / 2 } \right] ^ { 1 / 2 } } \\ & { = 3 \left[ - 1 + \left\{ 1 + \frac { 4 } { 9 } \left( H \left[ \breve { q } _ { K } \right] - H \left[ q _ { K } \right] \right) \right\} ^ { 1 / 2 } \right] ^ { 1 / 2 } } \end{array}
F _ { z } \equiv \overline { { F } } _ { 0 } + e ^ { - i Q _ { z } } \left( \overline { { \delta F _ { B z } } } \Big | _ { F } + \delta \tilde { F } _ { B z } \right) = \overline { { F } } _ { 0 } + e ^ { - i Q _ { z } } \left( \left. \overline { { e ^ { i Q _ { z } } \delta F _ { z } } } \right| _ { F } + \delta \tilde { F } _ { B z } \right)
\begin{array} { r l r } & { \le } & { \int _ { \delta } ^ { t } \mathbb { P } [ \tau _ { \varepsilon } ^ { ( 1 ) } > { s - \delta } ] \mathbb { P } [ \tau _ { \varepsilon } > t | \tau _ { \varepsilon } ^ { ( 1 ) } = s ] d s + \delta ^ { \prime } } \\ & { \le } & { \int _ { \delta } ^ { t } \mathbb { P } [ \tau _ { \varepsilon } ^ { ( 1 ) } > { s - \delta } ] \mathbb { P } [ \tau _ { \varepsilon } \circ \theta ^ { s } > t - s | \tau _ { \varepsilon } ^ { ( 1 ) } = s ] d s + \delta ^ { \prime } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { d ^ { 2 } \bar { K } } { d \xi ^ { 2 } } + \frac { d \bar { K } } { d \xi } + c _ { H } ( \frac { d \bar { K } } { d \xi } + K ) = 0 , \xi > \bar { \eta } , } \\ & { \frac { d ^ { 2 } \bar { K } } { d \xi ^ { 2 } } + \frac { d \bar { K } } { d \xi } + c _ { L } ( \frac { d \bar { K } } { d \xi } + K ) = 0 , \bar { \kappa } < \xi < \bar { \eta } , } \\ & { \bar { K } ( \bar { \kappa } ) = 1 , \frac { d \bar { K } } { d \xi } ( \bar { \kappa } ) = 0 , } \\ & { \bar { K } ( \bar { \eta } ) = \bar { K } ( \bar { \eta } ^ { * } - ) = \gamma , \frac { d \bar { K } } { d \xi } ( \bar { \eta } + ) = \frac { d \bar { K } } { d \xi } ( \bar { \eta } - ) , } \\ & { \operatorname* { l i m } _ { \xi \rightarrow \infty } e ^ { \xi } \bar { K } ( \xi ) = 1 . } \end{array}
\frac { d r _ { i } } { d t } = \left( \frac { 1 } { \tau _ { \mathrm { r } } } - \frac { 1 } { \tau _ { \mathrm { d } } } \right) \frac { 1 - r _ { i } } { 1 + \exp [ - ( v _ { i } ( t ) + 2 0 ) ] } - \frac { r _ { i } } { \tau _ { \mathrm { d } } } ,
V ^ { \mathrm { D } } ( x , y ) = \int _ { 0 } ^ { 1 } d z P ( z ) \sum _ { j = 0 } ^ { \infty } \frac { w ( y | \nu ) } { N _ { j } ( \nu ) } C _ { j } ^ { \nu } ( 2 x - 1 ) z ^ { j } C _ { j } ^ { \nu } ( 2 y - 1 ) ,
\begin{array} { r l } { \delta \dot { a } _ { 1 } } & { { } = - \left( i \Delta _ { a } + \kappa _ { 1 } \right) \delta a _ { 1 } - i J \delta a _ { 2 } - i g _ { m a } \delta m } \\ { \delta \dot { m } } & { { } = - ( i \Delta _ { m } ^ { \prime } + \kappa _ { m } ) \delta m - i g _ { m a } \delta a _ { 1 } - i G \delta b - i G \delta b ^ { \dagger } , } \\ { \delta \dot { b } } & { { } = - \left( i \omega _ { b } + \kappa _ { b } \right) \delta b - i G \delta m ^ { \dagger } - i G ^ { * } \delta m , } \\ { \delta \dot { a } _ { 2 } } & { { } = - \left( i \Delta _ { a } - \kappa _ { 2 } \right) \delta a _ { 2 } - i J \delta a _ { 1 } , } \end{array}
V _ { x y } ( t ) = \Delta R _ { A H E } I _ { 0 } \sin { ( \omega t ) } \cdot \sqrt { 1 - \frac { \left( H _ { x } - H _ { \mathrm { d l } } \sin { ( \omega t ) } \right) ^ { 2 } } { H _ { k } ^ { 2 } } } .
\begin{array} { r l r l } { H ^ { n - 1 } \partial _ { x } ^ { 3 } H } & { { } = s ^ { n + 3 } \dot { s } x } & { } & { { } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad x \in ( 0 , 1 ) , } \\ { H } & { { } = 0 } & { } & { { } \mathrm { ~ a ~ t ~ } \quad x = 1 , } \\ { ( \partial _ { x } H ) ^ { 2 } } & { { } = s ^ { 4 - \alpha ( n + 3 ) } ( H ^ { n - 1 } \partial _ { x } ^ { 3 } H ) ^ { \alpha } } & { } & { { } \mathrm { ~ a ~ t ~ } \quad x = 1 , } \\ { \partial _ { x } H } & { { } = 0 } & { } & { { } \mathrm { ~ a ~ t ~ } \quad x = 0 , } \\ { \int _ { 0 } ^ { 1 } H \d x } & { { } = 1 , } & { } & { { } } \end{array}
\begin{array} { r } { u _ { i j } ^ { \prime } = u _ { i j } - \frac { 1 } { N ( N - 1 ) } \sum _ { i \neq j } u _ { i j } } \\ { v _ { i j } ^ { \prime } = v _ { i j } - \frac { 1 } { N ( N - 1 ) } \sum _ { i \neq j } v _ { i j } } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( W ( t ) ^ { \top } W ( t ) ) ^ { - 1 } } & { = I _ { s } - t \left[ \dot { W } _ { 0 } ^ { \top } W _ { 0 } + W _ { 0 } ^ { \top } \dot { W } _ { 0 } \right] + o ( t ^ { 2 } ) } \\ & { \phantom { = \ } + t ^ { 2 } \left[ ( \dot { W } _ { 0 } ^ { \top } W _ { 0 } + W _ { 0 } ^ { \top } \dot { W } _ { 0 } ) ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } ( \ddot { W } _ { 0 } ^ { \top } W _ { 0 } + W _ { 0 } ^ { \top } \ddot { W } _ { 0 } ) - \dot { W } _ { 0 } ^ { \top } \dot { W } _ { 0 } \right] . } \end{array}
\left[ A _ { \boldsymbol { \alpha } } ( \lambda ) \right] _ { 1 , 1 } = \sum _ { i = 0 } ^ { r _ { \infty } - 1 } c _ { \infty , i } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } \lambda ^ { i } + \sum _ { s = 1 } ^ { n } \sum _ { i = 1 } ^ { r _ { s } - 1 } c _ { { X _ { s } } , i } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } ( \lambda - X _ { s } ) ^ { - i } + \sum _ { j = 1 } ^ { g } \frac { \rho _ { j } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } ) } } { \lambda - q _ { j } } .
\hat { \mathcal { D } } _ { \sigma } = \sum _ { j = 1 } ^ { L } d _ { j } \left| \boldsymbol { \Phi } _ { j , \sigma } \right> \left< \boldsymbol { \Phi } _ { j , \sigma } \right| \, , \quad d _ { j } \geq 0 \, , \quad \sum _ { j = 1 } ^ { L } d _ { j } = 1 \, .
{ \boldsymbol { \mathbf { \mathit { \varepsilon } } } } ^ { p , ( l - 1 ) } = \mathcal { N } ( { \boldsymbol { \mathbf { \mathit { \varepsilon } } } } ^ { ( l - 1 ) } , \bar { \varepsilon } _ { T _ { f } } ^ { p } ) ,
\begin{array} { r l } { \frac { ( n + 1 ) ^ { 2 } } { ( | { \boldsymbol { \alpha } } | + 1 ) ^ { 2 } } \prod _ { j = 1 } ^ { s } \frac { 1 } { ( | { \boldsymbol { \ell } } _ { j } | + 1 ) ^ { 2 | { \boldsymbol { k } } _ { j } | } } } & { { } \leq \frac { ( n + 1 ) ^ { 2 } } { ( | { \boldsymbol { \alpha } } | + 1 ) ^ { 2 } } \frac { 1 } { ( | { \boldsymbol { \ell } } _ { s } | + 1 ) ^ { 2 | { \boldsymbol { k } } _ { s } | } } } \end{array}
\sigma _ { s _ { i } } \sigma _ { \nu _ { j } } \bullet [ \beta ] _ { V _ { K } } = \sigma _ { s _ { i } } \bullet C _ { \nu _ { j } } ( s , \nu ) \cdot [ \beta ] _ { V _ { K } } = C _ { \nu _ { j } } ( s + e _ { i } , \nu ) \cdot ( \sigma _ { s _ { i } } \bullet [ \beta ] _ { V _ { K } } ) = C _ { \nu _ { j } } ( s + e _ { i } , \nu ) \cdot C _ { s _ { i } } ( s , \nu ) \cdot [ \beta ] _ { V _ { K } } .
\Delta \Tilde { G } ^ { \mathrm { s p h } } ( \omega ) = \frac { D ^ { 2 } } { 3 \eta L ^ { 3 } } \left[ 2 f ( \alpha ^ { - 1 } ) + \frac { \lambda ^ { 2 } } { \alpha ^ { 2 } } f ( \lambda ^ { - 1 } ) - \frac { 3 } { D ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } } \right] \, ,
\begin{array} { r l } { w ^ { \pm , \pm } ( \Delta , \Sigma ) } & { { } = \frac { W ^ { \pm , \pm } ( \Delta , \Sigma ) } { \Omega ( \Delta , \Sigma ) } , } \\ { \Omega ( \Delta , \Sigma ) } & { { } = W ^ { + + } ( \Delta , \Sigma ) + W ^ { + - } ( \Delta , \Sigma ) + W ^ { - + } ( \Delta , \Sigma ) + W ^ { -- } ( \Delta , \Sigma ) } \end{array}
{ \frac { \operatorname* { d e t } \left( - { \frac { d ^ { 2 } } { d x ^ { 2 } } } + V _ { 1 } ( x ) - m \right) } { \operatorname* { d e t } \left( - { \frac { d ^ { 2 } } { d x ^ { 2 } } } + V _ { 2 } ( x ) - m \right) } } = { \frac { \psi _ { 1 } ^ { m } ( L ) } { \psi _ { 2 } ^ { m } ( L ) } }
E _ { u s } = \frac { 1 } { 2 } \big \langle u _ { s } ^ { 2 } \big \rangle _ { x , z } \quad , \quad E _ { v s } = \frac { 1 } { 2 } \big \langle v _ { s } ^ { 2 } \big \rangle _ { x , z } \quad , \quad E _ { w s } = \frac { 1 } { 2 } \big \langle w _ { s } ^ { 2 } \big \rangle _ { x , z } ,
\begin{array} { r } { \mathcal { L } _ { \mathrm { s i n g l e , S D E } } ( \theta ) = \mathbb { E } _ { ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } , \mathbf { x } _ { t _ { i + 1 } } ) } \left[ | | \mathbf { x } _ { t _ { i } } - \mu _ { t _ { i } } ^ { \mathrm { S D E } } ( \mathbf { x } _ { t _ { i + 1 } } ) | | _ { 2 } ^ { 2 } \right] , } \end{array}
H _ { i n } ^ { R } = \hbar \frac { V _ { 1 } } { 2 } \left( \hat { a } _ { 1 + } ^ { \dagger } \hat { a } _ { 1 - } + \hat { a } _ { 1 - } ^ { \dagger } \hat { a } _ { 1 + } \right) + \hbar \frac { V _ { 2 } } { 2 } \left( \hat { a } _ { 2 + } ^ { \dagger } \hat { a } _ { 2 - } + \hat { a } _ { 2 - } ^ { \dagger } \hat { a } _ { 2 + } \right)
- { \frac { \partial ^ { 2 } \ln { \mathcal { L } } ( \alpha , \beta \mid X ) } { N \, \partial \alpha \, \partial \beta } } = \operatorname { c o v } [ \ln X , \ln ( 1 - X ) ] = - \psi _ { 1 } ( \alpha + \beta ) = { \mathcal { I } } _ { \alpha , \beta } = \operatorname { E } \left[ - { \frac { \partial ^ { 2 } \ln { \mathcal { L } } ( \alpha , \beta \mid X ) } { N \, \partial \alpha \, \partial \beta } } \right] = \ln \operatorname { c o v } _ { G { X , ( 1 - X ) } }
\int _ { K } \frac { 1 } { \zeta - z } \, d A ( z ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \bar { \zeta } - \frac { a - b } { a + b } \, \zeta } & { \mathrm { i f ~ } \zeta \in K , \smallskip } \\ { \displaystyle \frac { 2 a b } { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } } \Big ( \zeta - \sqrt { \zeta ^ { 2 } - a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } \Big ) } & { \mathrm { o t h e r w i s e . } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { m _ { t } } & { { } = } & { 4 K _ { L L } + O ( J ) \, \; \; \; \; m _ { \tau } = \frac { 3 } { 2 } K _ { L R } + O ( J ) \, \; \; \; \; m _ { b } = 4 K _ { R R } + O ( J ) } \\ { m _ { c } } & { { } = } & { J _ { L L } \, \; \; \; \; \; \; \; \; m _ { \mu } = \frac { 3 } { 2 } J _ { L R } \, \; \; \; \; \; \; \; \; m _ { s } = J _ { R R } } \end{array}
R _ { \tau } ^ { C I } = 3 \left( 1 + 1 . 3 6 4 \, a _ { s } + 2 . 5 4 \, a _ { s } ^ { 2 } + 9 . 7 1 \, a _ { s } ^ { 3 } + \, a _ { s } ^ { 4 } ( 3 5 \pm 2 0 ) + a _ { s } ^ { 5 } ( 1 3 8 \pm 9 5 ) \right) { } .
\frac { i } { 2 } \int _ { X } F _ { \mu \nu } ^ { D } ( * _ { \Omega } F ) ^ { \mu \nu } = - \frac { 3 i } { 2 } \int _ { X } F _ { \mu \nu } ^ { D + } F ^ { + \mu \nu } + \frac { i } { 2 } \int _ { X } F _ { \mu \nu } ^ { D - } F ^ { - \mu \nu } .
p _ { m a x } = \frac { 1 } { 2 M _ { B } } \sqrt { \left( M _ { B } ^ { 2 } + m _ { s p } ^ { 2 } - ( m _ { \phi } + m _ { s } ) ^ { 2 } \right) ^ { 2 } - 4 M _ { B } ^ { 2 } m _ { s p } ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { E _ { \mathrm { x c } } = } & { \int n ( \boldsymbol { r } ) \epsilon _ { \mathrm { x c } } ( \{ n _ { \sigma } ( \boldsymbol { r } ) \} , \{ \gamma _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } ( \boldsymbol { r } ) \} , } \\ & { \{ \tau _ { \sigma } ( \boldsymbol { r } ) \} , \{ \nabla ^ { 2 } n _ { \sigma } ( \boldsymbol { r } ) \} ) \mathrm { d } ^ { 3 } r } \end{array}
\begin{array} { r } { W ( \theta _ { 1 2 } ) = C \sum _ { i \neq j = 0 } ^ { 1 4 } \frac { N _ { i j } ( \theta _ { 1 2 } ) } { \epsilon _ { i } ( E _ { 1 } ) \epsilon _ { j } ( E _ { 2 } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { \| B ^ { f } \| \vee \| \Sigma ^ { f } \| \vee \| \partial _ { x } B ^ { f } \| \vee \| \partial _ { x } \Sigma ^ { f } \| \le R , ~ ~ \operatorname* { i n f } _ { ( t , x ) } \Sigma ^ { f } ( t , x ) \ge r , } & \\ & { \| ( B ^ { f } - B ^ { f ^ { \prime } } ) ( t , \cdot ) \| + \| ( \Sigma ^ { f } - \Sigma ^ { f ^ { \prime } } ) ( t , \cdot ) \| + \| ( \partial _ { x } \Sigma ^ { f } - \partial _ { x } \Sigma ^ { f ^ { \prime } } ) ( t , \cdot ) \| \le R \, \| f - f ^ { \prime } \| _ { t } , ~ \mathrm { f o r ~ a l l } ~ t \in [ 0 , T ] . ~ ~ ~ } & \end{array}
E _ { \mathrm { c x } } I \frac { \partial ^ { 4 } { X ( y , \omega ) } } { \partial { y ^ { 4 } } } - \sigma \frac { \partial ^ { 2 } { X ( y , \omega ) } } { \partial { y ^ { 2 } } } - \rho S \omega ^ { 2 } X ( y , \omega ) = 0 ~ ,
\mathbf { X } ^ { - 1 } \mathbf { X } = [ ( \mathbf { e } _ { i } \cdot \mathbf { x } ^ { k } ) ( \mathbf { e } ^ { j } \cdot \mathbf { x } _ { k } ) ] = [ \mathbf { e } _ { i } \cdot \mathbf { e } ^ { j } ] = [ \delta _ { i } ^ { j } ] = \mathbf { I } _ { n }
L \{ { { \bf B } ^ { \prime } } , { { \bf E } ^ { \prime } } \} = \frac { \epsilon _ { 0 } } { 2 } \int d ^ { 3 } x \left( c ^ { 2 } { { \bf B } ^ { \prime } } ^ { 2 } - { { \bf E } ^ { \prime } } ^ { 2 } \right) - \rho _ { m } \, \psi - { \bf j } _ { m } \cdot { \bf W }
\begin{array} { r l } { \frac { \Delta U } { k _ { B } } } & { { } = - 2 . 6 4 \, \mu \mathrm { K } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ( k \Delta U = - 2 . 1 5 \times 1 0 ^ { - 2 2 } \, \mathrm { N } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { L _ { S } ^ { \mathrm { v } } ( p - 1 ) } & { = \sum _ { i \in A } \operatorname* { m a x } \{ \hat { \sigma } _ { i } ^ { 2 } ( p - 1 ) - \beta _ { \mathrm { l } } ( T _ { i } ( p - 1 ) ) , 0 \} } \\ & { \leq \sum _ { i \in A } \operatorname* { m a x } \{ \sigma _ { i } ^ { 2 } , 0 \} } \\ & { = \sigma _ { S } ^ { 2 } < \bar { \sigma } ^ { 2 } } \end{array}
\alpha _ { n } = - \frac { q ( \alpha _ { n + 1 } + \alpha _ { n - 1 } ) } { 4 ( n + \frac { \omega _ { 0 } } { \Omega } ) ^ { 2 } - a } \qquad , \; \forall \; \; n \in \mathbb { Z } \; \& \; n \neq 0
{ \bf x } _ { t + 1 } = { \bf x } _ { t } + \Delta t \left[ \alpha ( Q \cdot s i g n ( { \bf x } _ { t } ) + b ^ { T } ) - \beta ( t ) { \bf x } _ { t } + \gamma ( { \bf x } _ { t } - { \bf x } _ { t - 1 } ) \right] .
{ \cal L } _ { \mathrm { c o n s t r } } = { \frac { D } { 2 } } \left( \phi ^ { \dagger } \phi - \chi ^ { \dagger } \chi - c \right) + \left( F _ { \Sigma } \left( \chi ^ { T } \phi - b \right) + \mathrm { c . c . } \right) ,
F _ { L } ( x , Q ^ { 2 } ) = { \frac { \alpha _ { s } ( Q ^ { 2 } ) } { \pi } } \int _ { x } ^ { 1 } { \frac { d y } { y } } \left( { \frac { x } { y } } \right) ^ { 2 } \left( 1 - { \frac { x } { y } } \right) y g ( y , Q ^ { 2 } )
| \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 1 } \sigma _ { 1 } , \dots , \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { N } \sigma _ { N } \rangle = c o n s t _ { N } \, \hat { \psi } _ { \sigma _ { 1 } } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { 1 } ) \dots \hat { \psi } _ { \sigma _ { N } } ^ { + } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } _ { N } ) | 0 \rangle
\mathbf { E } = ( \mathbf { e _ { y } } + i \mathbf { e _ { z } } ) E _ { 0 } \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } ( - r ^ { 2 } / w _ { 0 } ^ { 2 } ) \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } ( - t ^ { 2 } / \tau _ { 0 } ^ { 2 } ) \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } ( i k _ { 0 } x - i \omega _ { 0 } t )
K = K ( \tau _ { * } ) = - \frac { 1 } { \tau _ { * } } \exp \left[ - \frac { ( \alpha + 1 ) ^ { 2 } } { 2 \alpha \mu \tau _ { * } ^ { 2 } \Psi ( \tau _ { * } ) } \right] \ln \left[ 1 - \frac { \alpha \mu \tau _ { * } ^ { 2 } \Psi ( \tau _ { * } ) } { ( \alpha + 1 ) ^ { 2 } } \right] > \frac { \alpha \mu \tau _ { * } \Psi ( \tau _ { * } ) } { ( \alpha + 1 ) ^ { 2 } } \exp \left[ - \frac { ( \alpha + 1 ) ^ { 2 } } { 2 \alpha \mu \tau _ { * } ^ { 2 } \Psi ( \tau _ { * } ) } \right] ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } _ { | | u | | _ { 2 } = 1 } \left| \frac { d ^ { 2 } \tilde { J } ( \alpha ) } { ( d \alpha ) ^ { 2 } } | _ { \alpha = 0 } \right| } & { { \le } C _ { 2 } ( \frac { \lambda } { \alpha } + \lambda + \frac { 1 } { 1 - \gamma } | | \bar { c } | | _ { \infty } ) + \frac { 2 \gamma C _ { 1 } ^ { 2 } } { ( 1 - \gamma ) ^ { 2 } } | | \bar { c } | | _ { \infty } + \frac { 2 \gamma ^ { 2 } C _ { 1 } ^ { 2 } } { ( 1 - \gamma ) ^ { 3 } } | | \bar { c } | | _ { \infty } + \frac { \gamma C _ { 2 } } { ( 1 - \gamma ) ^ { 2 } } | | \bar { c } | | _ { \infty } } \\ & { \le C _ { 2 } ( \frac { \lambda } { \alpha } + \lambda + \frac { | | \bar { c } | | _ { \infty } } { ( 1 - \gamma ) ^ { 2 } } ) + \frac { 2 \gamma C _ { 1 } ^ { 2 } } { ( 1 - \gamma ) ^ { 3 } } | | \bar { c } | | _ { \infty } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } H ( x ( \cdot , t ) ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \frac { d } { d t } \langle x ( \cdot , t ) , \mathcal { Q } _ { 0 } x ( \cdot , t ) \rangle _ { L ^ { 2 } } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \langle \mathcal { J } _ { 0 } ( \mathcal { Q } _ { 0 } x ( \cdot , t ) ) , \mathcal { Q } _ { 0 } x ( \cdot , t ) \rangle _ { L ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } \langle \mathcal { Q } _ { 0 } x ( \cdot , t ) , \mathcal { J } _ { 0 } ( \mathcal { Q } _ { 0 } x ( \cdot , t ) ) \rangle _ { L ^ { 2 } } } \\ & { = \langle e _ { \partial } ( t ) , f _ { \partial } ( t ) \rangle _ { 2 } - e _ { I } ( t ) f _ { I } ( t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { G _ { 2 } } & { { } = } & { - d \left[ d ^ { 2 } + m ^ { 2 } ( m ^ { 2 } + 2 i k \nu ) \right] \left[ ( \alpha _ { + } - \alpha _ { - } ) ( R _ { + } r _ { + } - R _ { - } r _ { - } ) - ( \alpha _ { + } + \alpha _ { - } ) ( R _ { + } r _ { - } - R _ { - } r _ { + } ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l r } { M _ { \mathrm { z } } ^ { \mathrm { l a b } } ( { t _ { 0 } , \alpha } ) } & { { } ~ { = } ~ n _ { \mathrm { n } } \, \gamma _ { \mathrm { n } } \, \frac { h ^ { 2 } f _ { \mathrm { y ^ { ' } } } } { 3 \, k _ { \mathrm { B } } \, T _ { \mathrm { s } } } \sin { ( 2 \pi f _ { \mathrm { y ^ { ' } } } t _ { 0 } ) } \times } \\ { \int _ { 0 } ^ { \pi } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } } & { { } \frac { 1 } { 4 \pi } \biggl [ \sin { ( \alpha \sin { \theta } \sin { \varphi } ) } \sin { \theta } \sin { \varphi } \biggr ] \sin { \theta } \, d \theta \, d \varphi \ { = } ~ } & { n _ { \mathrm { n } } \, \gamma _ { \mathrm { n } } \, \frac { h ^ { 2 } f _ { \mathrm { y ^ { ' } } } } { 3 \, k _ { \mathrm { B } } \, T _ { \mathrm { s } } } \sin { ( 2 \pi f _ { \mathrm { y ^ { ' } } } t _ { 0 } ) } \sqrt { \frac { \pi } { 2 \alpha } } \, J _ { 3 / 2 } ( \alpha ) , } \end{array}
{ \mathrm { M i n i m i z e } } = { \left\{ \begin{array} { l l } { f _ { 1 } \left( { \boldsymbol { x } } \right) = x _ { 1 } } \\ { f _ { 2 } \left( { \boldsymbol { x } } \right) = g \left( { \boldsymbol { x } } \right) h \left( f _ { 1 } \left( { \boldsymbol { x } } \right) , g \left( { \boldsymbol { x } } \right) \right) } \\ { g \left( { \boldsymbol { x } } \right) = 9 1 + \sum _ { i = 2 } ^ { 1 0 } \left( x _ { i } ^ { 2 } - 1 0 \cos \left( 4 \pi x _ { i } \right) \right) } \\ { h \left( f _ { 1 } \left( { \boldsymbol { x } } \right) , g \left( { \boldsymbol { x } } \right) \right) = 1 - { \sqrt { \frac { f _ { 1 } \left( { \boldsymbol { x } } \right) } { g \left( { \boldsymbol { x } } \right) } } } } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l r l r l r l } { a _ { 0 } } & { = m + k , } & { a _ { 1 } } & { = m + l , } & { a _ { 2 } } & { = m - k - 1 , } & { a _ { 3 } } & { = m - l , } \\ { a _ { 4 } } & { = m - k , } & { a _ { 5 } } & { = m - l , } & { a _ { 6 } } & { = m + k + 1 , } & { a _ { 7 } } & { = m + l , } \\ { a _ { 8 } } & { = m + k , } & { a _ { 9 } } & { = m + l - 1 , } & { a _ { 1 0 } } & { = m - k - 1 , } & { a _ { 1 1 } } & { = m - l - 1 , } \\ { a _ { 1 2 } } & { = m - k , } & { a _ { 1 3 } } & { = m - l - 1 , } & { a _ { 1 4 } } & { = m + k , } & { a _ { 1 5 } } & { = m + l . } \end{array}
\tilde { \rho } _ { \mathrm { s } } ( t _ { m + 2 } ) = f _ { \mathrm { ~ M ~ L ~ } } \left( \tilde { \rho } _ { \mathrm { s } } ( t _ { 1 } ) , \tilde { \rho } _ { \mathrm { s } } ( t _ { 2 } ) , \dots , \tilde { \rho } _ { \mathrm { s } } ( t _ { m + 1 } ) \right)
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \left( \overline { n } ( X ( t , y ) ) e ^ { - \int _ { 0 } ^ { t } { \tilde { r } ( X ( s , y ) ) - \overline { \rho } \; d s } } \right) } & { = \bigg ( f ( X ( t , y ) ) . \nabla \overline { n } ( X ( t , y ) ) - \left( \tilde { r } ( X ( t , y ) - \overline { \rho } \right) \overline { n } ( X ( t , y ) ) \bigg ) e ^ { - \int _ { 0 } ^ { t } { \tilde { r } ( X ( s , y ) ) - \overline { \rho } \; d s } } } \\ { = - \bigg ( - \nabla \cdot } & { \left( f ( X ( t , y ) ) \overline { n } ( X ( t , y ) ) \right) + ( r ( X ( t , y ) ) - \overline { \rho } ) \overline { n } ( X ( t , y ) ) \bigg ) e ^ { - \int _ { 0 } ^ { t } { \tilde { r } ( X ( s , y ) ) - \overline { \rho } \; d s } } = 0 . } \end{array}
d = m k , \quad \alpha _ { \pm } = k \pm m \ge 0 , \quad \sigma = \frac { k } { m } \ge 1 , \quad \delta = 1 , \quad \frac { k ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } = \sigma ^ { 2 } \ge 1 , \quad \frac { \nu ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } = 0 ,