harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\mathrm { R e } \biggl [ \ln { \frac { \Gamma ( Q ^ { 2 } ) } { \Gamma ( - Q ^ { 2 } ) } } \biggr ] = { \frac { G ^ { ( 1 ) } } { 2 b _ { 2 } } } \ln r + { \frac { \pi G ^ { ( 2 ) } } { 2 } } { \frac { \sin \theta } { r } } \alpha ^ { 2 } - { \frac { \gamma _ { K } ^ { ( 1 ) } } { 4 b _ { 2 } ^ { 2 } } } { \frac { 1 } { \alpha } } ( \ln r - \pi b _ { 2 } \theta \alpha ) + { \frac { \gamma _ { K } ^ { ( 2 ) } } { 4 b _ { 2 } ^ { 2 } } } \ln r ,
F _ { 2 } ^ { \gamma } ( x , Q ^ { 2 } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { f } } x e _ { i } ^ { 2 } \left( q _ { i } ^ { \gamma } ( x , Q ^ { 2 } ) + { \overline { { { q } } } } _ { i } ^ { \gamma } ( x , Q ^ { 2 } ) \right)
\begin{array} { r l } { \varepsilon ^ { k \ell n } L _ { n } ^ { \prime } } & { { } = \gamma c \left( \beta ^ { k } N ^ { \ell } - \beta ^ { \ell } N ^ { k } \right) + \varepsilon ^ { k \ell n } L _ { n } + { \frac { \gamma - 1 } { \beta ^ { 2 } } } \left( \beta ^ { \ell } \beta _ { j } \varepsilon ^ { k j n } L _ { n } - \beta ^ { k } \beta _ { i } \varepsilon ^ { \ell i n } L _ { n } \right) } \end{array}
\dot { \ensuremath { \hat { v } } } ( t ) = \ensuremath { \widehat { A } } ( \ensuremath { \hat { \rho } } ( t ) ) \ensuremath { \hat { v } } ( t ) + B u ( t ) , \quad \ensuremath { \hat { y } } ( t ) = C \ensuremath { \hat { v } } ( t ) ,
\begin{array} { r } { L _ { 0 } = \frac { \lambda _ { c } ^ { 2 } G _ { b } G _ { r } } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } d _ { 0 } ^ { \nu _ { 0 } } } , L _ { k , \mathrm { h } } = \frac { \lambda _ { c } ^ { 2 } G _ { b } G _ { i } } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } d _ { k , \mathrm { h } } ^ { \nu _ { h } } } , L _ { k , \mathrm { g } } = \frac { \lambda _ { c } ^ { 2 } G _ { r } G _ { i } } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } d _ { k , \mathrm { g } } ^ { \nu _ { g } } } , } \end{array}
\left\langle { \Phi ( x ) } \right\rangle = \frac { { \int _ { 2 } ^ { \infty } { \Phi ( x ) g ( E , \kappa ) f ( E , \theta ) d E } } } { { \int _ { 2 } ^ { \infty } { g ( E , \kappa ) f ( E , \theta ) d E } } } .
\begin{array} { r l r } { \iota _ { 4 ; 6 , 2 } } & { = } & { b Y _ { \mu _ { 1 } , \beta } \bar { y } Y _ { 4 , 3 } 3 ^ { 2 } 2 3 ^ { 2 } 2 = b \cdot \bar { 2 } \bar { 3 } y 2 \bar { y } 3 2 \bar { 3 } y \cdot \bar { y } \cdot \underline { { 2 3 1 2 1 } } y \underline { { \bar { 1 } \bar { 2 } \bar { 1 } \bar { 3 } \bar { 2 } } } \cdot 3 \underline { { 3 2 3 } } 3 2 } \\ & { \stackrel { \mathrm { B R } } { = } } & { b \bar { 2 } \bar { 3 } y 2 \bar { y } 3 2 \underline { { \bar { 3 } 3 } } 2 3 1 2 y \bar { 2 } \bar { 1 } \underline { { \bar { 3 } \bar { 2 } \bar { 3 } 3 2 3 } } 2 3 2 } \\ & { = } & { b \bar { 2 } \bar { 3 } y 2 \bar { y } 3 2 2 3 1 2 y \underline { { \bar { 2 } \bar { 1 } 2 } } 3 2 } \\ & { \stackrel { \mathrm { B R } } { = } } & { b \bar { 2 } \bar { 3 } y 2 \bar { y } 3 2 2 3 1 2 \underline { { y 1 } } \bar { 2 } \bar { 1 } 3 2 } \\ & { = } & { b \bar { 2 } \bar { 3 } y 2 \bar { y } 3 2 \underline { { 2 3 1 2 \bar { 1 } } } y \bar { 2 } \bar { 1 } 3 2 } \\ & { \stackrel { \mathrm { B R } } { = } } & { b \bar { 2 } \bar { 3 } y 2 \underline { { \bar { y } 3 } } 2 \bar { 3 } 2 3 1 2 y \bar { 2 } \bar { 1 } 3 2 } \\ & { \stackrel { \mathrm { D I S } } { = } } & { b \bar { 2 } \bar { 3 } y 2 3 \bar { y } 2 \bar { 3 } 2 3 1 2 y \bar { 2 } \underline { { \bar { 1 } 3 2 } } } \\ & { \stackrel { \mathrm { C O N J } } { \to } } & { \underline { { \bar { 1 } 3 2 b \bar { 2 } \bar { 3 } y } } 2 3 \bar { y } 2 \bar { 3 } 2 3 1 2 y \bar { 2 } } \\ & { \overset { \mathrm { D I S } } { \underset { \mathrm { ( 0 ) } } { = } } } & { b y 1 2 3 \bar { y } 2 \bar { 3 } 2 3 1 2 y \bar { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \lefteqn { \int _ { B } f _ { i } ( \partial _ { i } u ) \Gamma ^ { 1 + \gamma _ { i } } ( | \partial _ { i } u | ) \eta ^ { 2 k } \, \mathrm { d } x } } \\ & { \leq } & { c \Bigg [ 1 + \int _ { B } { f _ { i } ^ { \prime \prime } } ( \partial _ { i } u ) | \partial _ { i } \partial _ { i } u | ^ { 2 } \Gamma ^ { \beta _ { i } } ( | \partial _ { i } u | ) \eta ^ { 2 k } \, \mathrm { d } x + I _ { 2 , i } \Bigg ] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \overline { { \mathbf { g } } } _ { K } = ( \overline { { \mathrm { S I N R } } } _ { 1 } , \overline { { \mathrm { S I N R } } } _ { 2 } , . . . , \overline { { \mathrm { S I N R } } } _ { K } , \overline { { \mathrm { E S N R } } } _ { e x , 1 } , \overline { { \mathrm { E S N R } } } _ { e x , 2 } , } \\ & { . . . , \overline { { \mathrm { E S N R } } } _ { e x , K } , \overline { { \mathrm { E S N R } } } _ { i n , 1 } , \overline { { \mathrm { E S N R } } } _ { i n , 2 } , . . . , \overline { { \mathrm { E S N R } } } _ { i n , K } ) ^ { T } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { 0 . 0 4 5 9 1 1 , \; 0 . 1 1 1 5 2 5 , \; 0 . 1 7 4 8 7 1 , \; 0 . 2 2 8 4 5 0 , \; 0 . 2 7 8 2 6 8 , } \\ & { 0 . 3 2 4 4 5 8 , \; 0 . 3 6 7 9 3 5 , \; 0 . 4 0 9 3 8 6 , \; 0 . 4 4 9 3 9 6 , \; 0 . 4 8 8 4 8 0 , } \\ & { 0 . 5 2 7 1 2 2 , \; 0 . 5 6 5 7 8 9 , \; 0 . 6 0 4 9 5 4 , \; 0 . 6 4 5 1 1 0 , \; 0 . 6 8 6 8 0 4 , } \\ & { 0 . 7 3 0 6 9 9 , \; 0 . 7 7 7 6 2 0 , \; 0 . 8 2 8 5 6 1 , \; 0 . 8 8 4 6 2 1 , \; 0 . 9 4 6 7 4 6 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta ( Q _ { i } ) } & { \geq \frac { n + 2 k - 2 } { 4 } - | S | } \\ & { \geq \frac { n + 2 k - 2 } { 4 } - ( 2 k - 1 ) } \\ & { > ( c _ { k } \sqrt { n } + 3 k ^ { 2 } + 2 k + 1 ) - 2 k + 1 } \\ & { > c _ { k } \sqrt { n } + ( k + 1 ) k - 1 } \\ & { > c _ { k } \sqrt { | V ( Q _ { i } ) | } + ( k + 1 ) | Z _ { i } \cap V ( Q _ { i } ) | - 1 . } \end{array}
( { \sigma } ^ { \mu } ) _ { 0 \le \mu \le 3 } = ( \sigma ^ { 0 } , \mathrm { \boldmath ~ \ s i g m a ~ } ) , \quad ( { \bar { \sigma } } ^ { \mu } ) _ { 0 \le \mu \le 3 } = ( \sigma ^ { 0 } , - \mathrm { \boldmath ~ \ s i g m a ~ } ) .
{ \bf f } ^ { e } = ( 4 , 2 , 1 ) _ { L H } ^ { 1 } \oplus ( 4 , 1 , 2 ) _ { R H } ^ { 2 } \sim ( 4 , 2 , 1 ) _ { L H } ^ { 1 } \oplus ( \bar { 4 } , 1 , 2 ) _ { L H } ^ { 2 }
L ( \Theta ) = \mathbb { E } _ { \hat { u } _ { t , s _ { T } } } | | \hat { \mathcal { S } } \left( E _ { \mathbf { s } } \left( F _ { \Theta } \left( D _ { \mathbf { s } } \left( \hat { u } _ { t , s _ { T } } , \hat { a } \right) \right) \right) , \hat { u } _ { t , s _ { T } } , \hat { a } \right) | | ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \langle \hat { P } _ { C } \rangle } & { = \left. \hat { P } _ { C } P ( t , \vec { z } ) \right| _ { \vec { z } = \vec { 1 } } = \left. ( \hat { P } _ { C } \gamma ) t P ( t , \vec { z } ) \right| _ { \vec { z } = \vec { 1 } } = \left( 2 r k _ { 1 } ( C _ { 0 } - 1 ) + 2 k _ { 2 } s D _ { 0 } \right) \, , } \\ { \langle \hat { P } _ { D } \rangle } & { = \left. \hat { P } _ { D } P ( t , \vec { z } ) \right| _ { \vec { z } = \vec { 1 } } = \left. ( \hat { P } _ { D } \gamma ) t P ( t , \vec { z } ) \right| _ { \vec { z } = \vec { 1 } } = \left( 2 \tau k _ { 2 } C _ { 0 } + 2 p k _ { 4 } ( D _ { 0 } - 1 ) \right) \, . } \end{array}
\phi ( \beta ) = { \frac { 3 } { 4 \beta ^ { 2 } } } \left[ { \frac { 1 } { \beta } } \lg { \frac { 1 - \beta } { 1 + \beta } } + { \frac { 2 } { 1 - \beta ^ { 2 } } } \right] , \; \beta = { \frac { v } { c } }
\begin{array} { r l } { \Delta \left( a _ { x _ { 0 } } ^ { i } \right) } & { = \left( a _ { x _ { 0 } } ^ { i } \otimes \mathsf { 1 } \right) + \left( \mathsf { 1 } \otimes a _ { x _ { 0 } } ^ { i } \right) } \\ { \Delta \left( a _ { x _ { i } } ^ { j } \right) } & { = \left( a _ { x _ { i } } ^ { j } \otimes \mathsf { 1 } \right) + \left( \mathsf { 1 } \otimes a _ { x _ { i } } ^ { j } \right) } \\ { \Delta \left( a _ { x _ { 0 } x _ { 0 } } ^ { i } \right) } & { = \left( a _ { x _ { 0 } x _ { 0 } } ^ { i } \otimes \mathsf { 1 } \right) + 2 \left( a _ { x _ { 0 } } ^ { i } \otimes a _ { x _ { 0 } } ^ { i } \right) + \left( \mathsf { 1 } \otimes a _ { x _ { 0 } x _ { 0 } } ^ { i } \right) } \\ { \Delta \left( a _ { x _ { 0 } x _ { i } } ^ { j } \right) } & { = \left( a _ { x _ { 0 } x _ { i } } ^ { j } \otimes \mathsf { 1 } \right) + \left( a _ { x _ { 0 } } ^ { j } \otimes a _ { x _ { i } } ^ { j } \right) + \left( a _ { x _ { i } } ^ { j } \otimes a _ { x _ { 0 } } ^ { j } \right) + \left( \mathsf { 1 } \otimes a _ { x _ { 0 } x _ { i } } ^ { j } \right) } \\ { \Delta \left( a _ { x _ { i } x _ { 0 } } ^ { j } \right) } & { = \left( a _ { x _ { i } x _ { 0 } } ^ { j } \otimes \mathsf { 1 } \right) + \left( a _ { x _ { i } } ^ { j } \otimes a _ { x _ { 0 } } ^ { i } \right) + \left( a _ { x _ { i } } ^ { j } \otimes a _ { x _ { 0 } } ^ { j } \right) + \left( a _ { x _ { 0 } } ^ { j } \otimes a _ { x _ { i } } ^ { j } \right) + \left( \mathsf { 1 } \otimes a _ { x _ { i } x _ { 0 } } ^ { j } \right) } \\ { \Delta \left( a _ { x _ { i } x _ { j } } ^ { k } \right) } & { = \left( a _ { x _ { i } x _ { j } } ^ { k } \otimes \mathsf { 1 } \right) + \left( a _ { x _ { i } } ^ { k } \otimes a _ { x _ { j } } ^ { i } \right) + \left( a _ { x _ { i } } ^ { k } \otimes a _ { x _ { j } } ^ { k } \right) + \left( a _ { x _ { j } } ^ { k } \otimes a _ { x _ { i } } ^ { k } \right) + \left( \mathsf { 1 } \otimes a _ { x _ { i } x _ { j } } ^ { k } \right) . } \end{array}
z _ { i } ( k _ { 0 } + 2 ) = z _ { i } ( k _ { 0 } + 1 ) ^ { b } f ( \frac { s _ { i } ( k _ { 0 } + 1 ) } { d } ) < z _ { i } ( k _ { 0 } ) ^ { b } f ( \frac { s _ { i } ( k _ { 0 } ) } { d } ) = z _ { i } ( k _ { 0 } + 1 )
\begin{array} { r l r } { \hat { S } } & { = } & { \exp \left[ \sum _ { s = \pm } | 1 _ { s } ^ { \prime } \rangle \langle 1 _ { s } ^ { \prime } | \ \sum _ { j } \frac { 1 } { \omega _ { j } } \left( \langle 1 | \hat { V } _ { j } | 1 \rangle - s w _ { j } ^ { z } \right) \left( \hat { b } _ { j } ^ { \dagger } - \hat { b } _ { j } \right) \right] } \\ & { = } & { \sum _ { s = \pm } | 1 _ { s } ^ { \prime } \rangle \langle 1 _ { s } ^ { \prime } | \ \prod _ { j } \hat { D } _ { j } ( \xi _ { j } ^ { s } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { P ( s _ { 0 , i } | \epsilon , \delta , \ldots ) } & { { } \propto } & { \exp [ ( s _ { 0 , i } - a _ { i } - b _ { i } - c _ { i } ) ] / ( 2 \sigma _ { 0 } ^ { 2 } ) } \\ { P ( s _ { B , i } | \epsilon , \delta , \ldots ) } & { { } \propto } & { \exp [ ( s _ { B , i } - ( 1 - \epsilon ) a _ { i } - ( 1 - \delta ) b _ { i } - c _ { i } ) ] / ( 2 \sigma _ { B } ^ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Vert J _ { T } ^ { \mathcal M _ { k } } u - J _ { T } ^ { \mathcal M _ { k } } \tilde { u } \Vert } & { = \Vert ( \mathcal M _ { k } + T ) ^ { - 1 } \mathcal C _ { k } \mathcal C _ { k } ^ { * } u - ( \mathcal M _ { k } + T ) ^ { - 1 } \mathcal C _ { k } \mathcal C _ { k } ^ { * } \tilde { u } \Vert } \\ & { \leq L \Vert \mathcal C _ { k } \Vert \Vert \mathcal C _ { k } ^ { * } ( u - \tilde { u } ) \Vert } \\ & { = L \sqrt { \Vert \mathcal C _ { k } \Vert ^ { 2 } } \langle \mathcal C _ { k } ^ { * } ( u - \tilde { u } ) , \mathcal C _ { k } ^ { * } ( u - \tilde { u } ) \rangle ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { = L \sqrt { \Vert \mathcal C _ { k } \mathcal C _ { k } ^ { * } \Vert } \langle \mathcal M _ { k } ( u - \tilde { u } ) , u - \tilde { u } \rangle ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { = L \sqrt { \Vert \mathcal M _ { k } \Vert } \Vert u - \tilde { u } \Vert _ { \mathcal M _ { k } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { n \; = \; \tilde { O } \left( \frac { \kappa ^ { 1 . 2 5 } \sqrt { d } \sqrt { \log ( \kappa / \delta ) \log ( 1 / \zeta ) } \log ^ { a } ( n / \zeta ) } { \alpha \log ^ { a } ( 1 / \alpha ) \varepsilon ^ { 3 / 2 } } + \frac { d + \log ( 1 / ( \varepsilon \zeta ) ) } { \alpha ^ { 2 } } + \frac { \kappa ^ { 0 . 5 } d \log ^ { a } ( n / \zeta ) \sqrt { \log ( \kappa / \delta ) } } { \varepsilon \alpha \log ^ { a } ( 1 / \alpha ) } \right) \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda ^ { - 2 } \alpha ^ { \prime } } & { = \alpha + O ( f ) \beta + O ( f ^ { 2 } ) \rho + O ( f ^ { 3 } ) ( \sigma , \underline { { \beta } } ) + O ( f ^ { 4 } ) \underline { { \alpha } } , } \\ { \lambda ^ { - 1 } \beta ^ { \prime } } & { = \beta + O ( f ) ( \rho , \sigma ) + O ( f ^ { 2 } ) \underline { { \beta } } + O ( f ^ { 3 } ) \underline { { \alpha } } , } \\ { \rho ^ { \prime } } & { = \rho + O ( f ) \underline { { \beta } } + O ( f ^ { 2 } ) \underline { { \alpha } } , } \\ { \sigma ^ { \prime } } & { = \sigma + O ( f ) \underline { { \beta } } + O ( f ^ { 2 } ) \underline { { \alpha } } , } \\ { \lambda \underline { { \beta } } ^ { \prime } } & { = \underline { { \beta } } + O ( f ) \underline { { \alpha } } , } \\ { \lambda ^ { 2 } \underline { { \alpha } } ^ { \prime } } & { = \underline { { \alpha } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Upsilon ( \mathbb { A } ^ { n } ) } & { = \mathbb { L } ^ { n } , } \\ { \Upsilon ( \mathbb { P } ^ { n } ) } & { = \mathbb { L } ^ { n } + \mathbb { L } ^ { n - 1 } + \cdots + 1 , } \\ { \Upsilon ( \mathrm { G L } ( n ) ) } & { = \prod _ { i = 0 } ^ { n - 1 } ( \mathbb { L } ^ { n } - \mathbb { L } ^ { i } ) , } \end{array}
V _ { A B , \mathrm { m e a s } } ( \omega _ { n } ) = \mathcal { D } _ { A B } ( \omega _ { n } ) / \sqrt { G _ { A , \mathrm { d e t } } ( \omega _ { n } + \Omega _ { \mathrm { I F } } ) ) G _ { B , \mathrm { d e t } } ( \omega _ { n } + \Omega _ { \mathrm { I F } } ) ) } ,
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { t \in [ 0 , \hat { T } _ { \varepsilon } ] } \| F _ { + } ^ { \varepsilon } ( t ) - F _ { + } ^ { 0 } ( t ) \| _ { \mathfrak E ^ { \prime } } ^ { 2 } + \int _ { 0 } ^ { \hat { T } _ { \varepsilon } } \| F _ { + } ^ { \varepsilon } ( t ) - F _ { + } ^ { 0 } ( t ) \| _ { \mathfrak D ^ { \prime } } ^ { 2 } d t \lesssim _ { M } \varepsilon ^ { 2 } . } \end{array}
T _ { \mu \nu } = \left[ \begin{array} { c c c c } { \rho + \beta ^ { 2 } p _ { x } } & { - \beta p _ { x } } & { 0 } & { 0 } \\ { - \beta p _ { x } } & { p _ { x } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { p _ { y } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { p _ { z } } \end{array} \right]
u _ { 1 } = { \frac { 1 } { v _ { 1 } } } , \quad u _ { 2 } = { \frac { v _ { 2 } } { v _ { 1 } } } , \quad v _ { 1 } = { \frac { w _ { 1 } } { w _ { 2 } } } , \quad v _ { 2 } = { \frac { 1 } { w _ { 2 } } } , \quad w _ { 1 } = { \frac { 1 } { u _ { 2 } } } , \quad w _ { 2 } = { \frac { u _ { 1 } } { u _ { 2 } } } ,
d _ { 2 , m ( \mathrm { e v e n } ) } = i ^ { m } \; \sum _ { k = 0 } ^ { m } { \frac { ( - 1 ) ^ { k } } { ( k + 1 ) ! \, ( m + 1 - k ) ! } } = { \frac { 2 } { ( m + 2 ) ! } } ~ i ^ { m }
J _ { 3 } = \frac { \partial F \left( \psi _ { 3 } , J , \theta \right) } { \partial \psi _ { 3 } } = J + \frac { \partial F ^ { ( 1 ) } \left( \psi _ { 3 } , J , \theta \right) } { \partial \psi _ { 3 } } + \frac { \partial F ^ { ( 2 ) } \left( \psi _ { 3 } , J , \theta \right) } { \partial \psi _ { 3 } } \ .
\begin{array} { r l } { g _ { e } } & { { } = d _ { i } N _ { e } + \sqrt { \frac { 2 \sigma _ { e } } { \beta _ { e } } } d _ { i } v _ { \parallel } U _ { e } - \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } L _ { n } \left( \frac { v _ { \perp } ^ { 2 } } { 2 } \right) \left( G _ { 1 n e } \frac { 1 } { d _ { i } } \frac { 2 Z _ { e } } { \beta _ { e } } \phi + 2 G _ { 2 n e } d _ { i } B _ { \parallel } \right) , } \\ { g _ { i } } & { { } = - \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } L _ { n } \left( \frac { v _ { \perp } ^ { 2 } } { 2 } \right) \left( G _ { 1 n i } \frac { 1 } { d _ { i } } \frac { 2 } { \tau _ { i } \beta _ { e } } \phi + 2 G _ { 2 n i } d _ { i } B _ { \parallel } \right) } \end{array}
\begin{array} { r } { n \geq 0 , \quad l _ { 1 1 } l _ { 2 2 } - ( l _ { 1 2 } + l _ { 2 1 } ) ^ { 2 } / 4 \geq 0 , \quad k _ { 1 1 } k _ { 2 2 } - ( k _ { 1 2 } + k _ { 2 1 } ) ^ { 2 } / 4 \geq 0 . } \end{array}
V = 1 - \frac { 2 A _ { 0 } } { A _ { | i | \geq 2 } } = 1 - 2 \left( R ^ { 2 } + T ^ { 2 } \right) + 4 R T \frac { T _ { \mathrm { ~ d ~ e ~ p ~ } } } { 2 T _ { 1 } + T _ { \mathrm { ~ d ~ e ~ p ~ } } } = 1 - 2 \left( R ^ { 2 } + T ^ { 2 } \right) + 4 R T \frac { T _ { 2 } } { 2 T _ { 1 } } .
\begin{array} { r l } { g _ { k + 1 } + g _ { k } = \ } & { k ( q _ { k + 1 } - q _ { k } ) + ( r - 1 ) ( q _ { k + 1 } - q ^ { * } ) + ( k - 1 ) ( q _ { k } - q _ { k - 1 } ) + ( r - 1 ) ( q _ { k } - q ^ { * } ) } \\ { = \ } & { ( k + r - 1 ) q _ { k + 1 } + ( - k + r - 1 ) q _ { k } + ( k - 1 ) ( q _ { k } - q _ { k - 1 } ) - 2 ( r - 1 ) q ^ { * } } \\ { \overset { \mathrm { ( \texttt { H B } ~ r ~ ) } } { = } } & { ( k + r - 1 ) q _ { k } + ( k - 1 ) ( q _ { k } - q _ { k - 1 } ) - h ^ { 2 } \left( k + \frac { r - 2 } { 2 } \right) \nabla f ( q _ { k } ) } \\ & { + ( - k + r - 1 ) q _ { k } + ( k - 1 ) ( q _ { k } - q _ { k - 1 } ) - 2 ( r - 1 ) q ^ { * } } \\ { = \ } & { 2 ( r - 1 ) ( q _ { k } - q ^ { * } ) + 2 ( k - 1 ) ( q _ { k } - q _ { k - 1 } ) - h ^ { 2 } \left( k + \frac { r - 2 } { 2 } \right) \nabla f ( q _ { k } ) . } \end{array}
G _ { 0 } = \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } x ^ { 2 } } \, \rightarrow \, \frac { \Gamma ( \frac { d } { 2 } ) } { ( d - 2 ) 2 \pi ^ { \frac { d } { 2 } } } \, \biggl ( \frac { 1 } { x ^ { 2 } } \biggr ) ^ { ( \frac { d } { 2 } - 1 ) } = \frac { 1 } { 4 \pi ^ { 2 } } \, \frac { \Gamma ( 1 + \epsilon ) } { \pi ^ { \epsilon } } \, \biggl ( \frac { 1 } { x ^ { 2 } } \biggr ) ^ { ( 1 + \epsilon ) }
\left( \begin{array} { l l } { \mathbf { N } ^ { T } } & { \lambda \mathbf { M } ^ { T } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { \mathbf { N } } \\ { \lambda \mathbf { M } } \end{array} \right) \mathbf { P } = \mathbf { N } ^ { T } \mathbf { Q } , \qquad \mathrm { w h e r e ~ } \mathbf { M } = \left( \begin{array} { l } { \mathbf { M } _ { \delta _ { 1 } } } \\ { \vdots } \\ { \mathbf { M } _ { \delta _ { n } } } \end{array} \right)
S = \frac { 1 } { 2 \kappa ^ { 2 } } \int d x ^ { 1 0 } \sqrt { - g } \left( - \frac { 1 } { 2 } \nabla _ { \mu } \tau \nabla ^ { \mu } \bar { \tau } - \frac { i } { 2 } ( \tau - \bar { \tau } ) \nabla _ { \mu } \tau \nabla ^ { \mu } \bar { \tau } \right) ~ ,
\begin{array} { r l } { \Phi _ { 5 } ^ { - 1 } \mathcal { D } _ { \omega } \Phi _ { 5 } } & { = \Phi _ { 5 } ^ { - 1 } \left( \mathcal { D } _ { \omega } ( \Phi _ { 5 } ) + \Phi _ { 5 } \mathcal { D } _ { \omega } \right) } \\ & { = \mathcal { D } _ { \omega } + \Phi _ { 5 } ^ { - 1 } \left( \varepsilon \mathcal { D } _ { \omega } ( A _ { 1 } ) + \varepsilon ^ { 2 } \mathcal { D } _ { \omega } ( \mathcal { A } _ { 2 } ) \right) } \\ & { = \mathcal { D } _ { \omega } + \varepsilon \mathcal { D } _ { \omega } ( A _ { 1 } ) + \left( \varepsilon ^ { 2 } \mathcal { D } _ { \omega } ( \mathcal { A } _ { 2 } ) + ( \Phi _ { 5 } ^ { - 1 } - I ) \left( \varepsilon \mathcal { D } _ { \omega } ( A _ { 1 } ) + \varepsilon ^ { 2 } \mathcal { D } _ { \omega } ( \mathcal { A } _ { 2 } ) \right) \right) } \\ & { = \mathcal { D } _ { \omega } + \varepsilon \mathcal { D } _ { \overline { { \omega } } } ( A _ { 1 } ) + \varepsilon ( \mathcal { D } _ { \omega } - \mathcal { D } _ { \overline { { \omega } } } ) ( A _ { 1 } ) + \left( \varepsilon ^ { 2 } \mathcal { D } _ { \omega } ( \mathcal { A } _ { 2 } ) + ( \Phi _ { 5 } ^ { - 1 } - I ) \left( \varepsilon \mathcal { D } _ { \omega } ( A _ { 1 } ) + \varepsilon ^ { 2 } \mathcal { D } _ { \omega } ( \mathcal { A } _ { 2 } ) \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { H } _ { { \mathrm { l i g h t } } } } & { { } = \hbar \sqrt { \kappa _ { 1 } } \left( \alpha _ { d } \hat { a } ^ { \dagger } e ^ { - i \omega _ { d } t } + \alpha _ { d } ^ { * } \hat { a } e ^ { i \omega _ { d } t } \right) + \hbar \omega _ { c } \hat { a } ^ { \dagger } \hat { a } , } \\ { \hat { H } _ { { \mathrm { a t o m } } } } & { { } = \sum _ { \beta = g , e } \int \hat { \psi } _ { \beta } ^ { \dagger } ( Z ) \frac { \hat { p } ^ { 2 } } { 2 m } \hat { \psi } _ { \beta } ( Z ) \, d Z + \hbar \omega _ { a } \int \hat { \psi } _ { e } ^ { \dagger } ( Z ) \hat { \psi } _ { e } ( Z ) \, d Z , } \\ { \hat { H } _ { { \mathrm { i n t } } } } & { { } = \hbar g _ { 0 } \int \cos \left( k Z \right) \left[ \hat { a } \hat { \psi } _ { e } ^ { \dagger } ( Z ) \hat { \psi } _ { g } ( Z ) + \hat { a } ^ { \dagger } \hat { \psi } _ { g } ^ { \dagger } ( Z ) \hat { \psi } _ { e } ( Z ) \right] \, d Z . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \mathbf E } = } & { { } - \frac { 1 } { 4 \pi \epsilon _ { 0 } } \int \frac { \left[ \nabla ^ { \prime } \rho + \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \frac { \partial { \mathbf J } } { \partial t ^ { \prime } } \right] } { r } d V ^ { \prime } } \\ { { \mathbf B } = } & { { } \frac { \mu _ { 0 } } { 4 \pi } \int \frac { [ \nabla ^ { \prime } \times { \mathbf J } ] } { r } d V ^ { \prime } } \end{array}
g _ { U } ^ { 2 } = g _ { a } ^ { 2 } \mathrm { T r } ~ Q _ { a } ^ { 2 } = { \frac { g _ { a } ^ { 2 } g _ { b } ^ { 2 } } { g _ { a b } ^ { 2 } + g _ { a } ^ { 2 } } } \mathrm { T r } ~ Q _ { b } ^ { 2 } ,
\Phi _ { j } ( x , \bar { x } ) = \frac 1 \pi \left( \left| \gamma - x \right| ^ { 2 } e ^ { \frac 1 { \alpha _ { + } } \phi } + e ^ { - \frac 1 { \alpha _ { + } } \phi } \right) ^ { - 2 j - 2 }
\begin{array} { r l r l } { ( y - y ) } & { { } = ( 2 x - x ) + 1 0 - 2 2 } & { } & { { } { \mathrm { t h e ~ s e c o n d ~ i n ~ o r d e r ~ t o ~ r e m o v e ~ } } y } \\ { 0 } & { { } = x - 1 2 } & { } & { { } { \mathrm { S i m p l i f y } } } \\ { 1 2 } & { { } = x } & { } & { { } { \mathrm { A d d ~ 1 2 ~ t o ~ b o t h ~ s i d e s } } } \\ { x } & { { } = 1 2 } & { } & { { } { \mathrm { R e a r r a n g e } } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { a } ( s ) } & { = { \frac { d } { d t } } \mathbf { v } ( s ) = { \frac { d } { d t } } \left[ { \frac { d s } { d t } } \left( x ^ { \prime } ( s ) , \ y ^ { \prime } ( s ) \right) \right] } \\ & { = \left( { \frac { d ^ { 2 } s } { d t ^ { 2 } } } \right) \mathbf { u } _ { t } ( s ) + \left( { \frac { d s } { d t } } \right) ^ { 2 } \left( x ^ { \prime \prime } ( s ) , \ y ^ { \prime \prime } ( s ) \right) } \\ & { = \left( { \frac { d ^ { 2 } s } { d t ^ { 2 } } } \right) \mathbf { u } _ { t } ( s ) - \left( { \frac { d s } { d t } } \right) ^ { 2 } { \frac { 1 } { \rho } } \mathbf { u } _ { n } ( s ) \ , } \end{array} }
\begin{array} { r } { P = \sum _ { d = 1 } ^ { \infty } \epsilon ^ { d - 1 } \left( \sum _ { s = 0 } ^ { d } P _ { d , d - s } ^ { i j } { \partial } _ { s } + u ^ { i , 1 } { \partial } _ { x } ^ { - 1 } V _ { d } ^ { j } + V _ { d } ^ { i } { \partial } _ { x } ^ { - 1 } u ^ { j , 1 } \right) , \qquad P _ { d , k } ^ { i j } , V _ { k } ^ { i } \in \mathcal { A } _ { k } . } \end{array}
A ( \mathrm { s i n g } \rightarrow \gamma \gamma ) = - e ^ { 2 } Q ^ { 2 } { \frac { m } { \sqrt { 2 } E } } \epsilon ^ { \nu \rho \mu 0 } k _ { \rho } \left( { \frac { 1 } { E ^ { 2 } - { \bf p } \cdot { \bf k } } } + { \frac { 1 } { E ^ { 2 } + { \bf p } \cdot { \bf k } } } \right) .
M ^ { 2 } + N ^ { 2 } + 2 \bar { A } _ { i } A _ { i } = 2 { \frac { \beta - 2 } { \beta + 1 } } { \cal T } _ { 0 } + { \frac { 6 } { \beta + 1 } } { \cal T } _ { 0 } ^ { * } .
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow 0 ^ { + } } Q \left( x , t \mid x _ { 0 } , t _ { 0 } \right) } & { = } & { \delta \left( x - x _ { 0 } \right) \frac { \Phi ( \alpha _ { t } x ) } { \Phi \left( \alpha _ { 0 } x _ { 0 } \right) } = \delta \left( x - x _ { 0 } \right) } \\ { Q \left( x _ { 2 } , t _ { 2 } \mid x _ { 0 } , t _ { 0 } \right) } & { = } & { \int _ { \mathbb { R } } Q \left( x _ { 2 } , t _ { 2 } \mid x _ { 1 } , t _ { 1 } \right) Q \left( x _ { 1 } , t _ { 1 } \mid x _ { 0 } , t _ { 0 } \right) d x _ { 1 } } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { { \frac { 1 } { 2 } } \int _ { - 1 } ^ { 1 } P _ { l } ^ { u } ( x ) P _ { m } ^ { v } ( x ) P _ { n } ^ { w } ( x ) d x = } & { ( - 1 ) ^ { s - m - w } { \frac { ( m + v ) ! ( n + w ) ! ( 2 s - 2 n ) ! s ! } { ( m - v ) ! ( s - l ) ! ( s - m ) ! ( s - n ) ! ( 2 s + 1 ) ! } } } \\ & { \times \ \sum _ { t = p } ^ { q } ( - 1 ) ^ { t } { \frac { ( l + u + t ) ! ( m + n - u - t ) ! } { t ! ( l - u - t ) ! ( m - n + u + t ) ! ( n - w - t ) ! } } } \end{array} }
( 1 \, n ) ( 2 \, n - 1 ) \cdots , { \mathrm { ~ o r ~ } } \sum _ { k = 1 } ^ { n - 1 } k = { \frac { n ( n - 1 ) } { 2 } } { \mathrm { ~ a d j a c e n t ~ t r a n s p o s i t i o n s : ~ } }
\sum _ { i = k _ { 0 } } ^ { k _ { 1 } } \sum _ { j = l _ { 0 } } ^ { l _ { 1 } } a _ { i , j } = \sum _ { j = l _ { 0 } } ^ { l _ { 1 } } \sum _ { i = k _ { 0 } } ^ { k _ { 1 } } a _ { i , j } \quad