harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
S = \int { \frac { 1 } { 4 } } F ^ { \mu \nu } F _ { \mu \nu } = \int - { \frac { 1 } { 2 } } \left( \partial ^ { \mu } A _ { \nu } \partial _ { \mu } A ^ { \nu } - \partial ^ { \mu } A _ { \mu } \partial _ { \nu } A ^ { \nu } \right) \, .
{ \cal L } _ { \gamma N N ^ { * } } = { \frac { i e \kappa _ { V } ^ { * } } { 2 ( m _ { N ^ { * } } + m _ { N } ) } } \bar { N } ^ { * } \tau _ { 3 } \gamma _ { 5 } \sigma ^ { \mu \nu } N F _ { \mu \nu } + \mathrm { h . c . }
\begin{array} { r l } & { \int _ { A _ { 1 } \times \dots \times A _ { n } } q ( z | x ) \nu ( d z ) = \int _ { A _ { 1 } } \dots \int _ { A _ { n } } \prod _ { i = 1 } ^ { n } q _ { i } ( z _ { i } | x _ { i } , z _ { 1 : i - 1 } ) \nu _ { z _ { 1 : n - 1 } } ( d z _ { n } ) \dots \nu _ { \varnothing } ( d z _ { 1 } ) } \\ & { \quad = \int _ { A _ { 1 } } \dots \int _ { A _ { n } } Q _ { z _ { 1 : n - 1 } } ( d z _ { n } | x _ { n } ) \dots Q _ { \varnothing } ( d z _ { 1 } | x _ { 1 } ) = Q ^ { ( n ) } ( A _ { 1 } \times \dots \times A _ { n } | x ) , } \end{array}
\hbar \iiint _ { \Delta V ^ { \prime \prime } } \frac { \partial \psi _ { R } } { \partial t } d V = - \frac { \hbar ^ { 2 } } { 2 m } \oiint _ { \partial \Delta V ^ { \prime \prime } } \nabla \psi _ { I } \cdot \vec { d S } + \iiint _ { \Delta V ^ { \prime \prime } } U \psi _ { I } \ d V \, ,
\begin{array} { r l } { 1 / t _ { 3 } } & { { } = \frac { \sinh [ \pi w _ { 1 } / ( 4 h ) ] } { \sinh [ \pi ( w _ { 1 } + 2 s _ { \mathrm { E } } ) / ( 4 h ) ] } \sqrt { \frac { \sinh ^ { 2 } [ \pi ( w _ { 1 } + 2 s _ { \mathrm { E } } + 2 w _ { \mathrm { E } } ) / ( 4 h ) ] - \sinh ^ { 2 } [ \pi ( w _ { 1 } + 2 s _ { \mathrm { E } } ) / ( 4 h ) ] } { \sinh ^ { 2 } [ \pi ( w _ { 1 } + 2 s _ { \mathrm { E } } + 2 w _ { \mathrm { E } } ) / ( 4 h ) ] - \sinh ^ { 2 } [ \pi w _ { 1 } / ( 4 h ) ] } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Delta \rho _ { c } ( r ^ { n } ) } & { { } = } & { \rho _ { c } ( r ^ { n } ) - \rho _ { c , e } ( r ^ { n } ) } \\ { \Delta \rho _ { k } ( u ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } ) } & { { } = } & { \rho _ { k } ( u ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } ) - \rho _ { k , e } ( u ^ { n + \frac { 1 } { 2 } } ) \, , } \end{array}
\mathbf { P } = { \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { A } } & { \mathbf { B } } \\ { \mathbf { C } } & { \mathbf { D } } \end{array} \right] } ^ { - 1 } = { \left[ \begin{array} { l l } { \mathbf { A } ^ { - 1 } + \mathbf { A } ^ { - 1 } \mathbf { B } \left( \mathbf { D } - \mathbf { C A } ^ { - 1 } \mathbf { B } \right) ^ { - 1 } \mathbf { C A } ^ { - 1 } } & { - \mathbf { A } ^ { - 1 } \mathbf { B } \left( \mathbf { D } - \mathbf { C A } ^ { - 1 } \mathbf { B } \right) ^ { - 1 } } \\ { - \left( \mathbf { D } - \mathbf { C A } ^ { - 1 } \mathbf { B } \right) ^ { - 1 } \mathbf { C A } ^ { - 1 } } & { \left( \mathbf { D } - \mathbf { C A } ^ { - 1 } \mathbf { B } \right) ^ { - 1 } } \end{array} \right] } ,
P _ { q _ { B } p _ { B } | k } = \frac { e ^ { - \frac { 1 } { 2 } \frac { [ q _ { B } - \sqrt { \tau } \alpha \cos ( 2 k \pi N ^ { - 1 } ) ] ^ { 2 } + [ p _ { B } - \sqrt { \tau } \alpha \sin ( 2 k \pi N ^ { - 1 } ) ] ^ { 2 } } { \Omega } } } { 2 \pi \Omega } ,
\begin{array} { r l r } { A } & { = } & { u + v \frac { \cos k _ { x } } { 2 } \left( \sqrt { \bigg | \frac { u - \gamma / 2 } { u + \gamma / 2 } \bigg | } + \sqrt { \bigg | \frac { u + \gamma / 2 } { u - \gamma / 2 } \bigg | } \right) , ~ B = v \frac { \sin k _ { x } } { 2 } \left( \sqrt { \bigg | \frac { u - \gamma / 2 } { u + \gamma / 2 } \bigg | } - \sqrt { \bigg | \frac { u + \gamma / 2 } { u - \gamma / 2 } \bigg | } \right) , } \\ { C } & { = } & { v \frac { \sin k _ { x } } { 2 } \left( \sqrt { \bigg | \frac { u - \gamma / 2 } { u + \gamma / 2 } \bigg | } + \sqrt { \bigg | \frac { u + \gamma / 2 } { u - \gamma / 2 } \bigg | } \right) , ~ D = - v \frac { \cos k _ { x } } { 2 } \left( \sqrt { \bigg | \frac { u - \gamma / 2 } { u + \gamma / 2 } \bigg | } - \sqrt { \bigg | \frac { u + \gamma / 2 } { u - \gamma / 2 } \bigg | } \right) + \frac { \gamma } { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { q _ { 2 } } { { \varphi } _ { y } } ( x , y ) - { q _ { 1 } } { { \varphi } _ { x } } ( x , y ) - ( { d _ { 4 } } - { d _ { 1 } } ) \varphi ( x , y ) } \\ & { - { d _ { 2 } } \phi ( x , y ) = 0 , } \\ & { { { q _ { 1 } } { { \phi } _ { x } } ( x , y ) { + } { q _ { 1 } } { { \phi } _ { y } } ( x , y ) } { + } { d _ { 3 } } \varphi ( x , y ) = 0 , } \\ & { { q _ { 2 } } { { \Psi } _ { x } } ( x , y ) - { q _ { 1 } } { { \Psi } _ { y } } ( x , y ) + ( { d _ { 4 } } - { d _ { 1 } } ) \Psi ( x , y ) } \\ & { - { d _ { 3 } } \Phi ( x , y ) = 0 , } \\ & { { { q _ { 2 } } { \Phi _ { x } } ( x , y ) + { q _ { 2 } } { \Phi _ { y } } ( x , y ) - { d _ { 2 } } \Psi ( x , y ) } = 0 , } \\ & { { q _ { 1 } } { \gamma } ^ { \prime } ( x ) + { \gamma } ( x ) ( A - { d _ { 1 } } I _ { n } ) + { q _ { 1 } } { C } \phi ( x , 0 ) = 0 , } \\ & { { q _ { 2 } } \lambda ^ { \prime } ( x ) - { \lambda } ( x ) ( A - { d _ { 4 } } I _ { n } ) - { q _ { 1 } } { C } \Psi ( x , 0 ) = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { \partial B } { \partial t } } & { { } = } & { \beta \left( { \frac { \partial ^ { 2 } B } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } B } { \partial z ^ { 2 } } } \right) - \frac { \partial U } { \partial z } \gamma - \frac { \partial U } { \partial x } \gamma - \frac { \partial ^ { 2 } U } { \partial z ^ { 2 } } \frac { \partial \gamma } { \partial z } } \end{array}
\left[ - \frac { 1 } { 2 } \nabla ^ { 2 } + v _ { \mathrm { e x t } } ( \mathbf { r } ) + v _ { \mathrm { H } } ( \mathbf { r } ) + \hat { O } \right] \phi _ { i } ( \mathbf { r } ) = E _ { i } \phi _ { i } ( \mathbf { r } ) ,
\sum _ { P } ( - 1 ) ^ { P } { \cal J } ^ { - 2 } ( \theta ) { \frac { \exp \{ N \beta \sum _ { k } \cos ( \theta _ { k } - \theta _ { P ( k ) } + { \frac { 2 \pi } { L } } ) \} } { \prod _ { i , j } \cos \bigl ( { \frac { \theta _ { i } - \theta _ { P ( i ) } + \theta _ { j } - \theta _ { P ( j ) } } { 2 } } \bigr ) } } ~ ~ ,
\left\| \frac { 1 } { \| l _ { j } ^ { ( M ) } \| _ { \cal { H } } } l _ { j } ^ { ( M ) } - \hat { l } _ { j } ^ { K } \right\| _ { \cal { H } } = \left\| \left( \frac { l _ { j , 1 } } { \| l _ { j } ^ { ( M ) } \| _ { \cal { H } } } , \frac { l _ { j , 2 } } { \| l _ { j } ^ { ( M ) } \| _ { \cal { H } } } , \cdots , \frac { l _ { j , M } } { \| l _ { j } ^ { ( M ) } \| _ { \cal { H } } } \right) - ( l _ { j , 1 } ^ { ( K ) } , l _ { j , 2 } ^ { ( K ) } , \cdots , l _ { j , M } ^ { ( K ) } ) \right\| _ { \mathbb { R } ^ { M } } ,
m _ { 1 , 2 } ^ { 2 } = \frac { b ^ { 2 } + b ^ { 2 } + b ^ { 2 } + b ^ { 2 } } { 2 } \pm \frac { 1 } { 2 } \sqrt { ( b ^ { 2 } + b ^ { 2 } - b ^ { 2 } - b ^ { 2 } ) ^ { 2 } + 4 ( b b ^ { \prime \prime } + b ^ { \prime } b ^ { \prime \prime \prime } ) ^ { 2 } } .
\widehat { h } ( z ) = - \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \psi ( k _ { z _ { i } } + 1 ) + \psi ( N ) + \mathrm { ~ l ~ n ~ } \, c _ { d _ { z } } + \frac { d _ { z } } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \mathrm { ~ l ~ n ~ } \, \epsilon _ { i } ,
f _ { 0 , \mathrm { ~ i ~ s ~ o ~ } } \left( \boldsymbol { p } \right) = \frac { n _ { \mathrm { ~ C ~ R ~ } } } { \left( \pi \kappa p _ { 0 } ^ { 2 } \right) ^ { 1 . 5 } } \frac { \mathcal { G } \left( \kappa + 1 \right) } { \mathcal { G } \left( \kappa - 0 . 5 \right) } \left( 1 + \frac { p ^ { 2 } } { \kappa p _ { 0 } ^ { 2 } } \right) ^ { - \kappa - 1 } ,
( \Phi _ { + } ^ { \prime } ( y _ { h } ^ { n } + \overline { { c _ { 0 } } } ) + \Phi _ { - } ^ { \prime } ( y _ { h } ^ { n - 1 } + \overline { { c _ { 0 } } } ) , \mathring { \phi } _ { h } ) _ { \Omega } + \kappa a _ { \mathcal { D } } ( \boldsymbol { y } _ { h } ^ { n } , \mathring { \boldsymbol { \phi } } _ { h } ) = ( w _ { h } ^ { n } , \mathring { \phi } _ { h } ) _ { \Omega } , \quad \forall \mathring { \boldsymbol { \phi } } _ { h } \in \boldsymbol { M } _ { h } .
\bigg \| \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { z \geqslant 0 } \mathsf { p } _ { t - s } ^ { \varepsilon } ( x , z ) d M _ { s } ( z ) \bigg \| _ { n } ^ { 2 } \leqslant C \varepsilon ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { t } ( t - s ) ^ { - 1 / 2 } \sum _ { z \geqslant 0 } \mathsf { p } _ { t - s + 1 } ^ { \varepsilon } ( x , z ) \| Z _ { s } ( z ) \| _ { n } ^ { 2 } \; d s .
\begin{array} { r l r } { d X _ { t } ^ { + } } & { = } & { \psi _ { t } ^ { + } \ \mathbb { E } \left[ \frac { \tilde { W } _ { t } } { \sqrt { t } } \ \right| \left. \frac { \tilde { W } _ { t } } { \sqrt { t } } > X _ { t } ^ { + } \right] d t + d W _ { t } . } \\ { d X _ { t } ^ { - } } & { = } & { \psi _ { t } ^ { - } \ \mathbb { E } \left[ \frac { \tilde { W } _ { t } } { \sqrt { t } } \ \right| \left. \frac { \tilde { W } _ { t } } { \sqrt { t } } < X _ { t } ^ { + } \right] d t + d W _ { t } , } \end{array}
B ( \mathbf { v } ) = { \left[ \begin{array} { l l l l } { \gamma } & { - \gamma v _ { x } / c } & { - \gamma v _ { y } / c } & { - \gamma v _ { z } / c } \\ { - \gamma v _ { x } / c } & { 1 + ( \gamma - 1 ) { \frac { v _ { x } ^ { 2 } } { v ^ { 2 } } } } & { ( \gamma - 1 ) { \frac { v _ { x } v _ { y } } { v ^ { 2 } } } } & { ( \gamma - 1 ) { \frac { v _ { x } v _ { z } } { v ^ { 2 } } } } \\ { - \gamma v _ { y } / c } & { ( \gamma - 1 ) { \frac { v _ { y } v _ { x } } { v ^ { 2 } } } } & { 1 + ( \gamma - 1 ) { \frac { v _ { y } ^ { 2 } } { v ^ { 2 } } } } & { ( \gamma - 1 ) { \frac { v _ { y } v _ { z } } { v ^ { 2 } } } } \\ { - \gamma v _ { z } / c } & { ( \gamma - 1 ) { \frac { v _ { z } v _ { x } } { v ^ { 2 } } } } & { ( \gamma - 1 ) { \frac { v _ { z } v _ { y } } { v ^ { 2 } } } } & { 1 + ( \gamma - 1 ) { \frac { v _ { z } ^ { 2 } } { v ^ { 2 } } } } \end{array} \right] } ,
{ \cal W } = { \cal W } _ { \mathrm { h a r m o n i c } } + \frac { 1 } { 2 } \, \mu \, \phi _ { 2 } ^ { 2 } \, , \qquad { \cal W } _ { 2 2 } = - { \cal W } _ { 1 1 } + \mu \, ,
\begin{array} { r l } { \lambda _ { a , a + 1 } ( \pi _ { ! } ( \bar { \varepsilon } ^ { 1 , 2 , \ldots , a } \cdot \ell ^ { * } c ) } & { \cdot \pi _ { ! } ( \bar { \varepsilon } ^ { a + 1 , \ldots , a + b } \cdot \ell ^ { * } c ^ { \prime } ) ) = \pi _ { ! } ( \bar { \varepsilon } ^ { 1 , \ldots , a - 1 , a + 2 , \ldots , a + b } \cdot \ell ^ { * } ( c \cdot c ^ { \prime } ) ) } \\ & { \quad + \frac { 1 } { \chi ^ { 2 } } \kappa _ { e ^ { 2 } } \cdot \pi _ { ! } ( \bar { \varepsilon } ^ { 1 , \ldots , a - 1 } \cdot \ell ^ { * } c ) \cdot \pi _ { ! } ( \bar { \varepsilon } ^ { a + 2 , \ldots , a + b } \cdot \ell ^ { * } c ^ { \prime } ) } \\ & { \quad - \frac { 1 } { \chi } \pi _ { ! } ( \bar { \varepsilon } ^ { 1 , \ldots , a - 1 } \cdot \ell ^ { * } ( e \cdot c ) ) \cdot \pi _ { ! } ( \bar { \varepsilon } ^ { a + 2 , \ldots , a + b } \cdot \ell ^ { * } c ^ { \prime } ) } \\ & { \quad - \frac { 1 } { \chi } \pi _ { ! } ( \bar { \varepsilon } ^ { 1 , \ldots , a - 1 } \cdot \ell ^ { * } c ) \cdot \pi _ { ! } ( \bar { \varepsilon } ^ { a + 2 , \ldots , a + b } \cdot \ell ^ { * } ( e \cdot c ^ { \prime } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 1 } ^ { N } \mathbf { F } _ { k } \cdot \mathbf { r } _ { k } } & { { } = \sum _ { k = 2 } ^ { N } \sum _ { j = 1 } ^ { k - 1 } \mathbf { F } _ { j k } \cdot \left( \mathbf { r } _ { k } - \mathbf { r } _ { j } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { K _ { \textrm { E } } } & { = } & { 4 \pi \sigma _ { 0 } \varepsilon ^ { 2 / 3 } k _ { \textrm { C } } \int _ { s \ge 1 } \! \! d s \ s ^ { - 5 / 3 } = 6 \pi \sigma _ { 0 } \varepsilon ^ { 2 / 3 } k _ { \textrm { C } } ^ { - 2 / 3 } } \\ & { = } & { 3 ( 2 \pi ) ^ { 1 / 3 } \sigma _ { 0 } \varepsilon ^ { 2 / 3 } \ell _ { \textrm { C } } ^ { 2 / 3 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { P ( a , b ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { a ! } { b ! \left( \frac { a - b } { 2 } \right) 2 ^ { \frac { a - b } { 2 } } } , } & { a \geq b , \; a \equiv b \; ( \bmod \; 2 ) } \\ { 0 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. , } \\ { Q ( a , b ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \left( \frac { a + b } { 2 } \right) ! } { b ! } 2 ^ { \frac { b - a } { 2 } } \sum _ { i = 0 } ^ { \frac { a - b } { 2 } } { \binom { a + 1 } { i } } , } & { a \geq b , \; a \equiv b \; ( \bmod \; 2 ) } \\ { 0 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. . } \end{array}
\frac { 1 } { T } \sum _ { i = 1 } ^ { T } \parallel \ensuremath { \mathbf { N } } ( \ensuremath { \mathbf { v } } _ { i } ) \ensuremath { \mathbf { v } } _ { i } - \ensuremath { \mathbf { N } } ( \tilde { \ensuremath { \mathbf { v } } } _ { i } ) \ensuremath { \mathbf { v } } _ { i } \parallel _ { \ensuremath { \mathbf { M } } ^ { - 1 } } / \parallel \ensuremath { \mathbf { N } } ( \ensuremath { \mathbf { v } } _ { i } ) \ensuremath { \mathbf { v } } _ { i } \parallel _ { \ensuremath { \mathbf { M } } ^ { - 1 } } ,
\begin{array} { r l } { X ( U ) } & { \cong { \mathcal { S } \mathrm { e t } } ^ { { \mathcal { E } \mathrm { u c l } } ^ { \mathrm { o p } } } ( Y U , I X ) \cong { \mathcal { S } \mathrm { e t } } ^ { { \mathcal { E } \mathrm { u c l } } ^ { \mathrm { o p } } } ( I y U , I X ) } \\ & { \cong { \mathcal { D } \mathrm { f l g } } ( y U , X ) \, . } \end{array}
( \rho , u , v , p ) = \left\{ \begin{array} { l l } { ( 1 . 4 \mathrm { ~ k g } / \mathrm { m } ^ { 3 } , 0 \mathrm { ~ m } / \mathrm { s } , 0 \mathrm { ~ m } / \mathrm { s } , 1 \mathrm { ~ P a } ) , } & { \mathrm { ~ a ~ f ~ t ~ e ~ r ~ s ~ h ~ o ~ c ~ k ~ } } \\ { ( 8 \mathrm { ~ k g } / \mathrm { m } ^ { 3 } , 7 . 1 4 5 \mathrm { ~ m } / \mathrm { s } , - 4 . 1 2 5 \mathrm { ~ m } / \mathrm { s } , 1 1 6 . 8 3 3 3 \mathrm { ~ P a } ) , } & { \mathrm { ~ e ~ l ~ s ~ e ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \dot { u } _ { n } } & { = - \gamma _ { u } ( k _ { n } ) u _ { n } + i \zeta k _ { n } P _ { n } ^ { 2 } } \\ { \dot { P } _ { n } } & { = \frac { i } { 3 } \Phi _ { n } ^ { ( \varepsilon _ { f } ) } ( u , P ) + \frac { i } { 3 } w \Phi _ { n } ^ { ( \varepsilon _ { f } ) } ( P , P ) - \frac { i } { 3 } \Phi _ { n } ^ { ( \varepsilon _ { b } ) } ( P , u ) } \\ & { - \gamma _ { P } ( k _ { n } ) P _ { n } - \Gamma P _ { n } + \delta _ { n , n _ { B } } | P _ { n } | ^ { - 1 } P _ { n } P _ { B } , } \end{array}
j ( \tau ) = { \frac { 2 5 6 { \bigl ( } 1 - \lambda ( 1 - \lambda ) { \bigr ) } ^ { 3 } } { { \bigl ( } \lambda ( 1 - \lambda ) { \bigr ) } ^ { 2 } } } = { \frac { 2 5 6 \left( 1 - x \right) ^ { 3 } } { x ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l } { \langle c _ { m } ( t ) c _ { n } ( t ) \rangle } & { { } = \langle D ^ { 2 } \lambda _ { m } ^ { 1 / 4 } \lambda _ { n } ^ { 1 / 4 } e ^ { - C ( \lambda _ { m } + \lambda _ { n } ) t } } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \alpha _ { u , \lambda } \equiv \frac { 2 \pi \nu D _ { u } { d _ { 2 } ^ { u } / d _ { 1 } ^ { u } } } { 1 + { \nu D _ { u } / d _ { 1 } ^ { u } } + 2 \pi \nu \kappa _ { u , \lambda } } \, , \qquad \alpha _ { v , \lambda } \equiv \frac { 2 \pi \nu D _ { v } { d _ { 2 } ^ { v } / d _ { 1 } ^ { v } } } { 1 + { \nu D _ { v } / d _ { 1 } ^ { v } } + 2 \pi \nu \kappa _ { v , \lambda } } \, , } \\ & { } & { \alpha _ { u , \lambda j } ^ { \perp } \equiv \frac { 2 \pi \nu D _ { u } { d _ { 2 } ^ { u } / d _ { 1 } ^ { u } } } { 1 + { \nu D _ { u } / d _ { 1 } ^ { u } } + 2 \pi \nu \kappa _ { u , \lambda j } ^ { \perp } } \, , \qquad \alpha _ { v , \lambda j } ^ { \perp } \equiv \frac { 2 \pi \nu D _ { v } { d _ { 2 } ^ { v } / d _ { 1 } ^ { v } } } { 1 + { \nu D _ { v } / d _ { 1 } ^ { v } } + 2 \pi \nu \kappa _ { v , \lambda j } ^ { \perp } } \, , \qquad j \in \lbrace { 2 , \ldots , m \rbrace } \, . } \end{array}
\partial _ { u } ^ { \alpha } \partial _ { v } ^ { \beta } \tilde { \gamma } ( u , v ) = \partial _ { u } ^ { \alpha + l + m } \partial _ { v } ^ { \beta - l - m } \tilde { \gamma } ( u , v ) - 2 \big ( \partial _ { u } ^ { \alpha } \partial _ { v } ^ { \beta - l - m } \tilde { \gamma } _ { l , m } ( u , v ) + \partial _ { u } ^ { \alpha } \partial _ { v } ^ { \beta - l - m } \tilde { \gamma } _ { m , l } ( u , v ) \big ) .
( q _ { h } , \mathrm { d i v } ( { \mathbf { v } } _ { \mathrm { B } , h } ) ) _ { \mathrm { B } } \, = \, 0 \quad \forall \, q _ { h } \in \mathrm { L } _ { h } ( \Omega _ { \mathrm { B } } ) { \quad \mathrm { a n d } \quad } \mathrm { d i v } ( { \mathbf { v } } _ { \mathrm { D } , h } ) \, = \, 0 { \quad \mathrm { i n } \quad } \Omega _ { \mathrm { D } } \, ,
\hat { f } _ { L N } ^ { } = \frac { \chi _ { S } ^ { - 1 } + \Gamma _ { S } ^ { } \sin { ( 2 \phi ) } } { \sqrt { 2 \Gamma _ { S } \gamma _ { S } } \cos { ( \phi ) } } \hat { Q } _ { L , i n } ^ { } ( \phi ) + \sqrt { \frac { 2 \Gamma _ { S } } { \gamma _ { S } } } \cos { ( \phi ) } \hat { Q } _ { L , i n } ^ { } ( \phi _ { \bot } ) .
\begin{array} { r l } & { q c _ { 1 } - c _ { 2 } > \frac { q \sigma _ { 1 } } { 2 } + \frac { q ( \sigma _ { 1 } \mod 2 ) } { 2 } - q c _ { 1 } - q + q - \frac { \sigma _ { 2 } } { 2 } - \frac { 1 ( \sigma _ { 2 } \mod 2 ) } { 2 } + c _ { 2 } + } \\ & { + 1 + \frac { \sigma _ { 2 } \mod 2 } { 2 } - \frac { q ( \sigma _ { 1 } \mod 2 ) } { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta \overline { { V } } ^ { \overline { { \alpha } } } \! - \frac { 1 } { 2 } \overline { { V } } ^ { \overline { { \alpha } } } \delta \overline { { g } } } & { = \! - \delta \jmath _ { \overline { { \beta } } } ^ { \beta } ( \overline { { g } } ^ { \overline { { \alpha } } \overline { { \beta } } } \nu ^ { \gamma } \delta g _ { \beta \gamma } ) \! + \frac { 1 } { 2 } \jmath _ { \overline { { \beta } } } ^ { \beta } ( \overline { { g } } ^ { \overline { { \alpha } } \overline { { \beta } } } \nu ^ { \gamma } \delta g _ { \beta \gamma } ) \wedge \delta \overline { { g } } \! = \frac { 1 } { 2 } \jmath _ { \overline { { \beta } } } ^ { \beta } ( \overline { { g } } ^ { \overline { { \alpha } } \overline { { \beta } } } \nu ^ { \sigma } \delta g _ { \sigma \beta } ) \wedge \delta \overline { { g } } . } \end{array}
\ell ( \boldsymbol { \cal X } , D , \xi , { \cal P } ) = \int \! \big ( D \boldsymbol { \cal A } \cdot \boldsymbol { \cal X } + \big \langle { \cal P } , i \hbar \xi - { \widehat { H } } - i \hbar D ^ { - 1 } \{ { \cal P } , \widehat { H } \} \rangle \big ) \, \mathrm { d } ^ { 2 } z \, .
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } ^ { \prime } ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) = } & { { } \int \frac { d ^ { 3 } \mathbf { k ^ { \prime } } } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \tilde { \mathbf { E } } ^ { \prime } ( \mathbf { k } ^ { \prime } ) \exp \left( i \mathbf { k } ^ { \prime } \cdot \mathbf { r } ^ { \prime } \right) , } \end{array}
H _ { \alpha \beta } ^ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ [ ~ 2 ~ ] ~ } } = \langle \Psi _ { \alpha } ^ { ( 0 ) } | \hat { H } ^ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ [ ~ 2 ~ ] ~ } } | \Psi _ { \beta } ^ { ( 0 ) } \rangle = \langle \Psi _ { \alpha } ^ { ( 0 ) } | \hat { H } | \Psi _ { \beta } ^ { ( 1 ) } \rangle \qquad \alpha \neq \beta
\begin{array} { r l } { 0 = } & { \frac { \partial \mathcal { E } _ { \gamma } ^ { + } ( \mathbf { x } ) } { \partial \mathbf { x } } \mathbf { f } ( \mathbf { x } ) } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } ( 1 - \gamma ^ { - 2 } ) \frac { \partial \mathcal { E } _ { \gamma } ^ { + } ( \mathbf { x } ) } { \partial \mathbf { x } } \mathbf { g } ( \mathbf { x } ) \mathbf { g } ( \mathbf { x } ) ^ { \top } \frac { \partial ^ { \top } \mathcal { E } _ { \gamma } ^ { + } ( \mathbf { x } ) } { \partial \mathbf { x } } } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } \mathbf { h } ( \mathbf { x } ) ^ { \top } \mathbf { h } ( \mathbf { x } ) } \end{array}
F _ { \omega } ( Q _ { T } ) = \; \frac { \hat { F } _ { \omega } ^ { 0 L } ( Q _ { T } ) } { \omega + \overline { { { \omega } } } } \; + \; \frac { \overline { { { \alpha } } } _ { S } } { \omega + \overline { { { \omega } } } } \int \frac { d ^ { 2 } q } { \pi q ^ { 2 } } \Theta ( q ^ { 2 } - \mu ^ { 2 } ) F _ { \omega } ( | \mathrm { \boldmath ~ Q ~ } _ { T } + \mathrm { \boldmath ~ q ~ } | ) ,
I _ { 0 } ( \frac { 2 \sqrt { 2 } i m \omega } { \hbar \sin \omega \tau } ( r _ { a } r _ { b } + \vec { x } _ { a } \vec { x } _ { b } ) ^ { 1 / 2 } ) = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \frac { d \theta } { 2 \pi } e x p \{ \frac { 2 \sqrt { 2 } i m \omega ( r _ { a } r _ { b } + \vec { x } _ { a } \vec { x } _ { b } ) ^ { 1 / 2 } } { \hbar \sin \omega \tau } \cos \theta \}
\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { 3 \textbf { u } ^ { n + 1 } - 3 \tilde { \textbf { u } } ^ { n + 1 } } { 2 \Delta t } + \nabla ( p ^ { n + 1 } - p ^ { n } + \nu \nabla \cdot \tilde { \textbf { u } } ^ { n + 1 } ) = 0 ; } \\ & { } & { \nabla \cdot \textbf { u } ^ { n + 1 } = 0 , \ \ \textbf { u } ^ { n + 1 } \cdot \textbf { n } | _ { \partial \Omega } = 0 ; } \end{array}
\begin{array} { r } { e ^ { - \nu \lambda _ { 1 } ( T - t ) } | \mathbf { u } ( t ) | ^ { 2 } \leq e ^ { - \nu \lambda _ { 1 } T } | \mathbf { u } _ { 0 } | ^ { 2 } + \left( \frac { 2 } { \nu \lambda _ { 1 } } | \mathbf { f } | ^ { 2 } + | \sigma | ^ { 2 } \right) \frac { e ^ { - \nu \lambda _ { 1 } T } ( e ^ { \nu \lambda _ { 1 } t } - 1 ) } { \nu \lambda _ { 1 } } + M _ { t } - \frac { \alpha } { 2 } \langle M \rangle _ { t } . } \end{array}
D _ { \mu \nu } ^ { W } ( x , x ^ { ^ { \prime } } ) = \frac { 1 } { ( 2 ( 2 \pi ) ^ { 2 } \beta ) } \int d p _ { 2 } d p _ { 3 } [ \frac { R ^ { - } + R ^ { + } } { 2 } \Psi _ { \mu \nu } ^ { 1 } + R ^ { 0 } \Psi _ { \mu \nu } ^ { 2 } + i \frac { ( R ^ { - } - R ^ { + } ) } { 2 } \Psi _ { \mu \nu } ^ { 3 } ) ]
\begin{array} { r l } { R _ { \mathrm { s e c } } ^ { \prime } = \frac { \partial R _ { \mathrm { s e c } } } { \partial \xi } = } & { \frac { A _ { 1 } A _ { 3 } } { \ln 2 ( A _ { 3 } + A _ { 2 } \xi ) [ A _ { 3 } + ( A _ { 1 } + A _ { 2 } ) \xi ] } } \\ & { - \frac { B _ { 1 } } { \ln 2 ( \xi - 1 ) [ 1 + ( B _ { 1 } - 1 ) \xi ] } , } \end{array}
d s _ { n + 3 + d } ^ { 2 } = e ^ { - 2 L n \rho } d x ^ { 2 } + e ^ { 4 L \rho } ( 2 d x d t + d y ^ { i } d y ^ { i } ) + d \rho ^ { 2 } + d \psi ^ { 2 } + ( L n ) ^ { - 2 } \sin ^ { 2 } \! ( L n \psi ) d \Omega _ { d - 1 } ^ { 2 }
\left\{ \begin{array} { c } { \frac { \partial } { \partial \mathcal { T } } } \\ { \frac { \partial } { \partial \xi } } \\ { \frac { \partial } { \partial \eta } } \\ { \frac { \partial } { \partial \zeta } } \end{array} \right\} = \left[ \begin{array} { c c c c } { 1 } & { x _ { \mathcal { T } } } & { y _ { \mathcal { T } } } & { z _ { \mathcal { T } } } \\ { 0 } & { x _ { \xi } } & { y _ { \xi } } & { z _ { \xi } } \\ { 0 } & { x _ { \eta } } & { y _ { \eta } } & { z _ { \eta } } \\ { 0 } & { x _ { \zeta } } & { y _ { \zeta } } & { z _ { \zeta } } \end{array} \right] \left\{ \begin{array} { c } { \frac { \partial } { \partial t } } \\ { \frac { \partial } { \partial x } } \\ { \frac { \partial } { \partial y } } \\ { \frac { \partial } { \partial z } } \end{array} \right\} \, \mathrm { ~ . ~ }
i D _ { 2 } ( k ) = { \frac { i } { k ^ { 2 } - m _ { \varphi _ { 2 } } ^ { 2 } + i \epsilon } } , \quad ( m _ { \varphi _ { 2 } } ^ { 2 } = \xi m _ { b } ^ { 2 } = \xi g _ { m } ^ { 2 } v ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } { x ^ { r } ( k + 1 ) = } & { x ^ { r } ( k ) + h \big ( ( ( I - \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } X ^ { \ell } ) B ^ { r } - D ^ { r } ) x ^ { r } ( k ) ) } \\ & { ~ ~ ~ ~ ( I - \textstyle \sum _ { \ell = 1 } ^ { m } X ^ { \ell } ) B _ { w } ^ { r } w ^ { r } ( k ) \big ) } \\ { w ^ { r } ( k { + } 1 ) { = } } & { w ^ { r } ( k ) { + } h ( { - } D _ { w } ^ { r } w ^ { r } ( k ) { + } A _ { w } ^ { r } w ^ { r } ( k ) { + } C _ { w } ^ { r } ( k ) x ^ { r } ( k ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { m _ { ( X , X ^ { \prime } ) } \colon \pi _ { 1 } ( X , \overline { { x } } _ { X } ) \times \pi _ { 1 } ( X ^ { \prime } , \overline { { x } } _ { X ^ { \prime } } ^ { \prime } ) } & { \to \pi _ { 1 } ( X \times X ^ { \prime } , \overline { { x } } _ { X } \times \overline { { x } } _ { X ^ { \prime } } ^ { \prime } ) , } \\ { m _ { ( Y , Y ^ { \prime } ) } \colon \pi _ { 1 } ( Y , \overline { { y } } _ { Y } ) \times \pi _ { 1 } ( Y ^ { \prime } , \overline { { y } } _ { Y ^ { \prime } } ^ { \prime } ) } & { \to \pi _ { 1 } ( Y \times Y ^ { \prime } , \overline { { y } } _ { Y } \times \overline { { y } } _ { Y ^ { \prime } } ^ { \prime } ) . } \end{array}