harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\exp \Bigl \{ \frac { i } { \hbar } \int _ { 0 } ^ { t } \theta _ { n } ( t ^ { \prime } ) d t ^ { \prime } \bigr \} = \exp \Bigl ( - i ( n + \frac { 1 } { 2 } ) \varphi ( t ) \Bigr ) = \Bigl ( \frac { k _ { 1 } + k _ { 2 } - k _ { 3 } \tilde { \varphi } ( t ) + 2 i \sqrt { \kappa } \tilde { \varphi } ( t ) } { k _ { 1 } + k _ { 2 } - k _ { 3 } \tilde { \varphi } ( t ) - 2 i \sqrt { \kappa } \tilde { \varphi } ( t ) } \Bigr ) ^ { - ( n + \frac { 1 } { 2 } ) / 2 } .
v _ { \mathrm { x } } ^ { \mathrm { n o n - l o c a l } } \phi _ { i } ( \mathbf { r } ) = - \sum _ { j } \phi _ { j } ( \mathbf { r } ) \int d \mathbf { r } ^ { \prime } \, \phi _ { j } ^ { * } ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) \phi _ { i } ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) v ( | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | ) .
\begin{array} { r l r } { P ( K 6 , n ) } & { \! \! \! \! \! = \! \! \! \! \! } & { - 3 6 8 n \! \! + \! \! 1 4 7 2 n ^ { 2 } \! \! - \! \! 2 4 8 8 n ^ { 3 } } \\ & { } & { \! \! + \! 2 3 2 8 n ^ { 4 } \! \! - \! \! 1 3 2 7 n ^ { 5 } \! \! + \! \! 4 7 8 n ^ { 6 } } \\ & { } & { \! \! - \! 1 0 9 n ^ { 7 } \! \! + \! \! 1 5 n ^ { 8 } \! \! - \! \! n ^ { 9 } } \end{array}
e ^ { \hat { T } - \hat { T } ^ { \dagger } } = e ^ { \sum _ { i } \theta _ { i } ( \hat { T } _ { i } - \hat { T } _ { i } ^ { \dagger } ) } = \left( \prod _ { i } e ^ { \frac { \theta _ { i } } { p } ( \hat { T } _ { i } - \hat { T } _ { i } ^ { \dagger } ) } \right) ^ { p } + \mathcal { O } \left( \frac { 1 } { p } \right)
\begin{array} { r l } { | \mathtt { B } _ { 2 2 } ^ { N } ( j , k ) | } & { \le _ { \alpha } | k | ( | j | ^ { \alpha - 1 } + | k | ^ { \alpha - 1 } ) , } \\ { | \mathtt { B } _ { 2 2 } ^ { N } ( j _ { 1 } , k ) - \mathtt { B } _ { 2 2 } ^ { N } ( j _ { 2 } , k ) | } & { \le _ { \alpha } | j _ { 1 } - j _ { 2 } | | k | ( | j _ { 1 } | + | j _ { 2 } | ) ^ { \alpha - 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial } { \partial \tau } R _ { L _ { \mathrm { t s } } } ( L , \tau ; \tau _ { 0 } ) = - P ^ { \mathrm { i n } } ( L ) \rho _ { L _ { \mathrm { t s } } } ( \tau | L ) } \\ & { - \frac { \partial } { \partial L } \left( \left[ f ( L ) + D \ \frac { \partial } { \partial L } \log \left( \int _ { L _ { \mathrm { t s } } } ^ { L } d L ^ { \prime } \; e ^ { - \int ^ { L ^ { \prime } } \frac { 2 f ( L ^ { \prime \prime } ) } { D } d L ^ { \prime \prime } } \left( 1 - \int _ { L _ { \mathrm { t s } } } ^ { L ^ { \prime } } P ^ { \mathrm { i n } } ( L ^ { \prime \prime } ) d L ^ { \prime \prime } \right) \right) \right] R _ { L _ { \mathrm { t s } } } ( L , \tau ; \tau _ { 0 } ) \right) } \\ & { + \frac { D } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial L ^ { 2 } } R _ { L _ { \mathrm { t s } } } ( L , \tau ; \tau _ { 0 } ) \ . } \end{array}
\mu _ { \pm } = \lambda _ { \pm } + 1 = - \frac { 1 } { 2 } \pm \frac { 1 } { 2 } \sqrt { 1 + 4 \bigg ( 1 - \frac { \bar { N } ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } \bigg ) l ( l + 1 ) } .
G = \frac 1 2 \left( \begin{array} { l l l l } { - 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { - 1 } & { 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { - 1 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } & { - 1 } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \mathcal { \hat { H } } _ { \mathrm { d \cdot E } } ( \{ { \bf R } _ { u } \} ) = \mathcal { \hat { H } } _ { e l } + } & { { } \sum _ { { \boldsymbol k } , { \bf \xi } } \Big ( \hat { a } _ { { \boldsymbol k } , { \bf \xi } } ^ { \dagger } + \sum _ { u } e ( { \bf R } _ { u } - { \bf R } _ { u } \sum _ { \alpha } \hat { c } _ { u , \alpha } ^ { \dagger } \hat { c } _ { u , \alpha } ) \mathcal { A } _ { { \boldsymbol k } , { \boldsymbol \xi } } ^ { * } ( { \bf R } _ { u } ) - \sum _ { u , \alpha , \alpha ^ { \prime } } \mathcal { A } _ { { \boldsymbol k } , { \boldsymbol \xi } } ^ { * } ( { \bf R } _ { u } ) { \boldsymbol \mu } _ { \alpha , \alpha ^ { \prime } } \hat { c } _ { u , \alpha } ^ { \dagger } \hat { c } _ { u , \alpha ^ { \prime } } \Big ) } \end{array}
{ \begin{array} { r l r } { P ( x ) \land ( \exists { y } { \in } \mathbf { Y } \, Q ( y ) ) } & { \equiv \ \exists { y } { \in } \mathbf { Y } \, ( P ( x ) \land Q ( y ) ) } \\ { P ( x ) \lor ( \exists { y } { \in } \mathbf { Y } \, Q ( y ) ) } & { \equiv \ \exists { y } { \in } \mathbf { Y } \, ( P ( x ) \lor Q ( y ) ) , } & { { \mathrm { p r o v i d e d ~ t h a t ~ } } \mathbf { Y } \neq \emptyset } \\ { P ( x ) \to ( \exists { y } { \in } \mathbf { Y } \, Q ( y ) ) } & { \equiv \ \exists { y } { \in } \mathbf { Y } \, ( P ( x ) \to Q ( y ) ) , } & { { \mathrm { p r o v i d e d ~ t h a t ~ } } \mathbf { Y } \neq \emptyset } \\ { P ( x ) \nleftarrow ( \exists { y } { \in } \mathbf { Y } \, Q ( y ) ) } & { \equiv \ \exists { y } { \in } \mathbf { Y } \, ( P ( x ) \nleftarrow Q ( y ) ) } \\ { P ( x ) \land ( \forall { y } { \in } \mathbf { Y } \, Q ( y ) ) } & { \equiv \ \forall { y } { \in } \mathbf { Y } \, ( P ( x ) \land Q ( y ) ) , } & { { \mathrm { p r o v i d e d ~ t h a t ~ } } \mathbf { Y } \neq \emptyset } \\ { P ( x ) \lor ( \forall { y } { \in } \mathbf { Y } \, Q ( y ) ) } & { \equiv \ \forall { y } { \in } \mathbf { Y } \, ( P ( x ) \lor Q ( y ) ) } \\ { P ( x ) \to ( \forall { y } { \in } \mathbf { Y } \, Q ( y ) ) } & { \equiv \ \forall { y } { \in } \mathbf { Y } \, ( P ( x ) \to Q ( y ) ) } \\ { P ( x ) \nleftarrow ( \forall { y } { \in } \mathbf { Y } \, Q ( y ) ) } & { \equiv \ \forall { y } { \in } \mathbf { Y } \, ( P ( x ) \nleftarrow Q ( y ) ) , } & { { \mathrm { p r o v i d e d ~ t h a t ~ } } \mathbf { Y } \neq \emptyset } \end{array} }
{ \cal L } _ { Y q } = - \sum _ { i , j = 1 } ^ { G } \left[ y _ { j } ^ { d } \bar { Q } _ { L } ^ { i } \phi \, V _ { i j } D _ { R } ^ { j } + \mathrm { h . c . } \right] - \sum _ { i = 1 } ^ { G } \left[ y _ { i } ^ { u } \bar { Q } _ { L } ^ { i } \tilde { \phi } \, U _ { R } ^ { i } + \mathrm { h . c . } \right] .
J _ { p } ( p \sec \beta ) \stackrel { ( p \rightarrow \infty ) } { \sim } \sqrt { \frac { 2 } { \pi p \tan \beta } } \left\{ \cos \left[ p \tan \beta - p \beta - \frac { \pi } { 4 } \right] + O ( p ^ { - 1 } ) \right\} \; ,
\bar { S } _ { \epsilon } ^ { d = 3 } = \int d t \Bigl ( 4 \pi \chi + \int d ^ { 2 } x \sqrt { \operatorname * { d e t } \bar { g } _ { i j } } \Bigl ( - 2 \Lambda - \frac { \epsilon } { 4 } ( \partial _ { 0 } \bar { g } _ { i j } ) ( \bar { g } ^ { i k } \bar { g } ^ { j l } - \frac { 1 } { 2 } \bar { g } ^ { i j } \bar { g } ^ { k l } ) ( \partial _ { 0 } \bar { g } _ { k l } ) \Bigr ) \Bigr ) .
\begin{array} { r l r } { \mathbf { A } ^ { - \top } } & { { } = } & { \frac { 1 } { \operatorname* { d e t } \mathbf { A } } \left[ \begin{array} { c c c } { \mathbf { a } _ { 2 } \times \mathbf { a } _ { 3 } } & { \mathbf { a } _ { 3 } \times \mathbf { a } _ { 1 } } & { \mathbf { a } _ { 1 } \times \mathbf { a } _ { 2 } } \end{array} \right] } \\ { \operatorname* { d e t } \mathbf { A } } & { { } = } & { \mathbf { a } _ { 1 } \cdot ( \mathbf { a } _ { 2 } \times \mathbf { a } _ { 3 } ) } \end{array}
p _ { i j } ^ { + } \equiv \frac { e ^ { - ( \alpha _ { i } + \alpha _ { j } ) } } { e ^ { - ( \alpha _ { i } + \alpha _ { j } ) } + e ^ { - ( \beta _ { i } + \beta _ { j } ) } } \equiv \frac { x _ { i } x _ { j } } { x _ { i } x _ { j } + y _ { i } y _ { j } }
\bar { g } ( \mathbf { r } ; \sigma ) = \frac { 1 } { ( 2 \pi \sigma ^ { 2 } ) ^ { 3 / 2 } } \int d \mathbf { r } \, \sqrt { \frac { | \nabla n ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) | } { n ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) } } \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } \left( - \frac { | \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } | ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } } \right) .
\begin{array} { r } { \left| \left( \mathbf { u } _ { N } ( s ) \cdot \nabla ( \xi _ { N } ( s ) - \xi _ { N } ( t _ { j + 1 } ) ) , \zeta ^ { j + 1 } \right) \right| \leq \frac { \nu } { 8 } | \nabla \zeta ^ { j + 1 } | ^ { 2 } + \frac { c } { \nu } | \xi _ { N } ( s ) | ^ { 2 } | \nabla \xi _ { N } ( s ) - \nabla \xi _ { N } ( t _ { j + 1 } ) ) | ^ { 2 } . } \end{array}
S = \sum _ { \mu \nu } \frac { \beta _ { \mu \nu } } { 2 N } \sum _ { \{ p _ { \sigma } \mu \nu \} } R e T r ( U _ { p _ { \sigma } \mu \nu } + U _ { p _ { \sigma } \mu \nu } ^ { + } ) = \sum _ { \mu \nu } \frac { \beta _ { \mu \nu } } { 2 N } \sum _ { \{ p _ { \sigma } \mu \nu \} } T r ( U _ { p _ { \sigma } \mu \nu } + U _ { p _ { \sigma } \mu \nu } ^ { + } ) ,
\begin{array} { r l } { W _ { f } ( \tilde { w } , n ) } & { = \tilde { w } ^ { 3 } \sqrt { \frac { \Delta x } { \tilde { w } } } { \sum _ { n ^ { \prime } = - N _ { \chi } } ^ { N _ { \chi } - 1 } } { 6 \alpha _ { n ^ { \prime } , 3 } } { \int _ { \chi _ { n ^ { \prime } } } ^ { \chi _ { n ^ { \prime } + 1 } } } F _ { c } ^ { ( 3 ) } \left( n { - } \frac { \tilde { u } } { \tilde { w } } \right) \mathrm { d } \tilde { u } } \\ & { = \tilde { w } ^ { 4 } \sqrt { \frac { \Delta x } { \tilde { w } } } { \sum _ { n ^ { \prime } = - N _ { \chi } } ^ { N _ { \chi } - 1 } } { 6 \alpha _ { n ^ { \prime } , 3 } } \Big ( F _ { c } ^ { ( 4 ) } ( n { - } \frac { \chi _ { n ^ { \prime } } } { \tilde { w } } ) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad - F _ { c } ^ { ( 4 ) } ( n { - } \frac { \chi _ { n ^ { \prime } + 1 } } { \tilde { w } } ) \Big ) } \\ & { = \tilde { w } ^ { 3 } \sqrt { \tilde { w } \Delta x } { \sum _ { n ^ { \prime } = - N _ { \chi } } ^ { N _ { \chi } } } B ( n ^ { \prime } ) F _ { c } ^ { ( 4 ) } ( n { - } \frac { \chi _ { n ^ { \prime } } } { \tilde { w } } ) , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \left( j _ { p } ^ { 2 } \sigma \right) ^ { * } \theta } & { = \theta \circ j _ { p } ^ { 2 } \sigma } \\ & { = a ( x , \sigma ( x ) , \sigma ^ { \prime } ( x ) , \sigma ^ { \prime \prime } ( x ) ) d x + b ( x , \sigma ( x ) , \sigma ^ { \prime } ( x ) , \sigma ^ { \prime \prime } ( x ) ) d ( \sigma ( x ) ) + } \\ & { \qquad \qquad c ( x , \sigma ( x ) , \sigma ^ { \prime } ( x ) , \sigma ^ { \prime \prime } ( x ) ) d ( \sigma ^ { \prime } ( x ) ) + e ( x , \sigma ( x ) , \sigma ^ { \prime } ( x ) , \sigma ^ { \prime \prime } ( x ) ) d ( \sigma ^ { \prime \prime } ( x ) ) } \\ & { = a d x + b \sigma ^ { \prime } ( x ) d x + c \sigma ^ { \prime \prime } ( x ) d x + e \sigma ^ { \prime \prime \prime } ( x ) d x } \\ & { = [ a + b \sigma ^ { \prime } ( x ) + c \sigma ^ { \prime \prime } ( x ) + e \sigma ^ { \prime \prime \prime } ( x ) ] d x } \\ & { = 0 } \end{array} }
f _ { 1 } ( t ) f _ { 2 } ( t ) = \frac { \pi } { N } J _ { 0 } ( \Sigma ^ { 2 } u _ { p } \bar { x } ) J _ { 0 } ( \Sigma ^ { 2 } u _ { q } \bar { x } ) \frac { \bar { x } ^ { 2 } } { { \cal L } _ { 2 } ^ { \prime \prime } ( \bar { x } ) }
\begin{array} { r l } & { \left| \sum _ { a } \sum _ { \alpha } \left( u _ { a } ^ { 2 } - \frac 1 { M } \right) v _ { \alpha } ^ { 2 } \mathbb { E } [ H _ { a \alpha } ^ { 2 } | \Omega _ { \varepsilon } ] \mathbb { E } \left[ R _ { a \alpha } ^ { 2 } { \texttt X } ^ { D - 1 } \overline { { { \texttt X } } } ^ { D } | \Omega _ { \varepsilon } \right] \right| } \\ & { ~ ~ ~ \leq C N ^ { - 1 } \| { \boldsymbol u } \| _ { \infty } ^ { 2 } \left| \sum _ { a } \sum _ { \alpha } v _ { \alpha } ^ { 2 } \mathbb { E } \left[ R _ { a \alpha } ^ { 2 } { \texttt X } ^ { D - 1 } \overline { { { \texttt X } } } ^ { D } | \Omega _ { \varepsilon } \right] \right| } \\ & { ~ ~ ~ \leq C N ^ { - 1 + 2 \varepsilon } \| { \boldsymbol u } \| _ { \infty } ^ { 2 } \mathbb { E } [ | { \texttt X } | ^ { 2 D - 1 } | \Omega _ { \varepsilon } ] \sum _ { \alpha } v _ { \alpha } ^ { 2 } } \\ & { ~ ~ ~ \leq C N ^ { - 1 + 2 \varepsilon } \| { \boldsymbol u } \| _ { \infty } ^ { 2 } \mathbb { E } [ | { \texttt X } | ^ { 2 D - 1 } | \Omega _ { \varepsilon } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { M _ { j } ( t , \mathbf { x } ) } & { { } \approx \beta _ { 0 } ( t , \mathbf { x } ) \sum _ { p = 1 } ^ { P } \phi _ { j } ( \mathbf { u } _ { p } ) \sigma _ { p } ( t , \mathbf { x } ) } \\ { \sigma _ { p } ( t , \mathbf { x } ) } & { { } = w _ { p } \exp ( \beta _ { i } ( t , \mathbf { x } ) \phi _ { i } ( \mathbf { u } _ { p } ) - Z ( \boldsymbol { \beta } ) ) ; \quad i = 1 , \cdots , M . } \end{array}
\ln ( \frac { 1 } { \omega } ) = \operatorname* { m i n } \left( \ln ( \frac { 1 } { \varepsilon } ) , \frac { 1 } { 4 } \ln ( \frac { 1 } { \frac { \Lambda - E _ { 1 } } { \Lambda - E _ { 0 } } } ) \right)
\bar { \epsilon } ^ { \mu _ { 1 } \ldots \mu _ { p - 2 k } } \equiv \left( \bar { \epsilon } ^ { i _ { 1 } \cdots i _ { p - 2 k - 1 } } , \bar { \epsilon } ^ { i _ { 1 } \cdots i _ { p - 2 k } } \right) , \; k = 0 , \cdots , b ,
m _ { 1 , 2 } ^ { 2 } = \frac { m ^ { 2 } } { 2 } \left[ 1 - \mu ^ { 2 } \pm \sqrt { ( 1 - \mu ^ { 2 } ) ^ { 2 } + 4 S ( S + D - 1 ) \frac { { \cal A } _ { m } ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } } \, \right] { , }
i \frac { \partial a _ { j } } { \partial z } = \frac { D _ { j } } { 2 } \frac { \partial ^ { 2 } a _ { j } } { \partial t ^ { 2 } } - \frac { i } { v _ { g } ^ { ( j ) } } \frac { \partial a _ { j } } { \partial t } - \left( \beta _ { j } ( \omega _ { 0 } ) - \beta _ { j _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } } ( \omega _ { 0 } ) \right) \, a _ { j } - C ( a _ { j + 1 } + a _ { j - 1 } ) .
Z ^ { 9 0 } ( \ell _ { c } , n , \alpha ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } L _ { n , \alpha } ^ { 9 0 } \geq \ell _ { c } } \\ { 0 , } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } L _ { n , \alpha } ^ { 9 0 } < \ell _ { c } } \end{array} \right. ,
\langle T _ { \nu } ^ { \mu } \rangle = - { \frac { 1 } { 1 6 \pi ^ { 2 } } } \left( A { } ^ { ( 1 ) } H _ { \nu } ^ { \mu } + B { } ^ { ( 3 ) } H _ { \nu } ^ { \mu } \right) + \tilde { T } _ { \nu } ^ { \mu } ,
I _ { H } ^ { B H } = { \frac { \beta } { r _ { + } } } \left[ - r _ { + } ^ { 4 } + r _ { + } ^ { 2 } ( 1 + \sum _ { i < j } ^ { 4 } q _ { i } q _ { j } ) + r _ { + } ( \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } q _ { i } + 2 \sum _ { i < j < k } ^ { 4 } q _ { i } q _ { j } q _ { k } ) + 3 \prod _ { i = 1 } ^ { 4 } q _ { i } \right] \ ,
\begin{array} { r l } & { t _ { 0 } ^ { k } = \int d ^ { 2 } \vec { r } \phi _ { s } ( \vec { r } ) [ \frac { \hbar ^ { 2 } \vec { \nabla } ^ { 2 } } { 2 m } - V ( \vec { r } ) ] \phi _ { s } ( \vec { r } - a \vec { e } _ { k } ) , } \\ & { t _ { s o } ^ { k } = \int d ^ { 2 } \vec { r } \phi _ { s } ( \vec { r } ) M _ { R } ( \vec { r } ) \phi _ { s } ( \vec { r } - a \vec { e } _ { k } ) , \ m _ { z } = \delta , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbf { f } _ { \mathbf { u } _ { 1 } } ( x , y , z , t ) } & { = } & { \pi y \cos ( \pi t y ) \cos ( \pi t z ) - \pi t \sin ( \pi t ( x + y + z ) ) } \\ & { } & { - \pi z \sin ( \pi t y ) \sin ( \pi t z ) + 2 \pi ^ { 2 } t ^ { 2 } \mu \sin ( \pi t y ) \cos ( \pi t z ) } \\ & { } & { - \pi t \cos ( \pi t z ^ { 3 } ) \cos ( \pi t y ) \cos ( \pi t z ) } \\ & { } & { - \pi t \sin ( \pi t y ) \sin ( \pi t z ) \exp ( - 2 \pi t ^ { 2 } x ) , } \\ { \mathbf { f } _ { \mathbf { u } _ { 2 } } ( x , y , z , t ) } & { = } & { \pi z ^ { 3 } \sin ( \pi t z ^ { 3 } ) - \pi t \sin ( \pi t ( x + y + z ) ) - 6 \pi t z \mu \sin ( \pi t z ^ { 3 } ) } \\ & { } & { - 9 \pi ^ { 2 } t ^ { 2 } z ^ { 4 } \mu \cos ( \pi t z ^ { 3 } ) + 3 \pi t z ^ { 2 } \exp ( - 2 \pi t ^ { 2 } x ) \sin ( \pi t z ^ { 3 } ) , } \\ { \mathbf { f } _ { \mathbf { u } _ { 3 } } ( x , y , z , t ) } & { = } & { - \pi t \sin ( \pi t ( x + y + z ) ) - 4 \pi ^ { 2 } t ^ { 4 } \mu \exp ( - 2 \pi t ^ { 2 } x ) } \\ & { } & { - 4 \pi t x \exp ( - 2 \pi t ^ { 2 } x ) } \\ & { } & { - 2 \pi t ^ { 2 } \sin ( \pi t y ) \exp ( - 2 \pi t ^ { 2 } x ) \cos ( \pi t z ) . } \end{array}
\psi _ { 1 } = \left( \begin{array} { c } { { | 0 \rangle \! \rangle \langle \! \langle 0 | } } \\ { { | 0 \rangle \! \rangle \langle \! \langle 1 | } } \\ { { \vdots } } \\ { { | 0 \rangle \! \rangle \langle \! \langle k - 1 | } } \end{array} \right) \, , \quad \psi _ { 2 } = \left( \begin{array} { c } { { 0 } } \\ { { 0 } } \\ { { \vdots } } \\ { { 0 } } \end{array} \right) \, , \quad \xi = S _ { k } \, ,
\begin{array} { r l r } { \tau _ { \varepsilon } > T } & { \Leftrightarrow } & { X _ { n } \in ( 1 - \varepsilon ) \mathbb { D } , \quad n \in [ 0 , N ^ { 4 } ] } \\ & { \Rightarrow } & { B _ { n N } \in ( 1 - \varepsilon ) \mathbb { D } , \quad n \in [ 0 , N ^ { 4 } ] } \\ & { \Rightarrow } & { B _ { k } \in \mathbb { D } , \quad k \in [ 0 , N ^ { 5 } ] } \\ & { \Rightarrow } & { \tilde { \tau } ^ { 1 } > T \mathrm { ~ a n d ~ } \tilde { \tau } ^ { 2 } > T , } \end{array}
\begin{array} { r l } { d _ { b } ^ { * } ( x ) } & { = ( - 1 ) ^ { \tilde { x } } * _ { b } d * _ { b } ( x ) = ( - 1 ) ^ { \tilde { x } } * _ { b } ( d * ( x \wedge \theta \wedge \theta ^ { c } ) ) } \\ & { = ( - 1 ) ^ { \tilde { x } } * \bigg ( d ( * ( x \wedge \theta \wedge \theta ^ { c } ) ) \wedge \theta \wedge \theta ^ { c } \bigg ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { - \partial _ { t } w ^ { 2 } - \Delta w ^ { 2 } + \frac { 1 } { n } D _ { x x } H ^ { i } ( x , n w ^ { 1 } ) + D _ { p } H ^ { i } ( x , n w ^ { 1 } ) D w ^ { 2 } } \\ { \qquad + 2 D _ { x p } H ^ { i } ( x , n D v ^ { i } ) w ^ { 2 } + n D _ { p p } H ^ { i } ( x , n w ^ { 1 } ) | w ^ { 2 } | ^ { 2 } = D ^ { 2 } F ^ { i } ( t , x ) , \quad ( t , x ) \in [ 0 , T ) \times { \mathbb R } ^ { d } , } \\ { w ^ { 2 } ( T , x ) = D ^ { 2 } G ^ { i } ( x ) , \quad x \in { \mathbb R } ^ { d } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r } { \ensuremath { \mathbf { g } } _ { w } ^ { \mathrm { \tiny { C S } } } ( \boldsymbol \theta ) = \sum _ { k \in { \cal K } _ { w } } \boldsymbol \phi _ { k } g _ { k , w } ^ { \mathrm { \tiny { K } } } ( \boldsymbol \theta ) = \boldsymbol \Phi \ensuremath { \mathbf { g } } _ { w } ^ { \mathrm { \tiny { K } } } ( \boldsymbol \theta ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \dot { v } ( t ) = \left( \ensuremath { \widetilde { A } } _ { 0 } + \sum _ { k = 1 } ^ { m } \rho _ { k } ( t ) \ensuremath { \widetilde { A } } _ { k } \right) v ( t ) + B u ( t ) , \quad y ( t ) = C v ( t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sum _ { s \in \mathcal { S } _ { 2 } } \mathbb { E } [ L I S ( \sigma | _ { \mathcal { R } _ { s } } ) ] } & { \leq } & { C L \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } | \mathcal { S } _ { 2 } | + C L ^ { 2 } \exp ( - c \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } ) | \mathcal { S } _ { 2 } | } \\ & { \leq } & { C L \gamma _ { n } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } + C L ^ { 2 } \gamma _ { n } \exp ( - c \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } ) } \\ & { \leq } & { C L \gamma _ { n } \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } + C L ^ { 2 } n \beta _ { n } ^ { 1 \slash 2 } \exp ( - c \beta _ { n } ^ { - 1 \slash 4 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { f _ { \mathrm { e l a s } } \approx 4 A \sum _ { n = 1 } ^ { N } \Gamma _ { n } | \mathcal { B } _ { n } | ^ { 2 } \phi _ { n } ^ { 2 } k _ { i } ^ { n } k _ { j } ^ { n } k _ { l } ^ { n } k _ { m } ^ { n } U _ { i j } U _ { l m } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \mathsf { P } \, ( n _ { S } | x _ { S } ) = { \binom { E _ { S } } { n _ { S } } } \cdot x _ { S } ^ { n _ { S } } \cdot ( 1 - x _ { S } ) ^ { E _ { S } - n _ { S } } , \quad 0 \leq n _ { S } \leq E _ { S } , } \\ & { } & { \mathsf { P } \, ( n _ { B } | x _ { B } ) = { \binom { E _ { S } } { n _ { B } } } \cdot x _ { B } ^ { n _ { B } } \cdot ( 1 - x _ { B } ) ^ { E _ { S } - n _ { B } } , \quad 0 \leq n _ { B } \leq E _ { S } . } \end{array}
S _ { [ 1 ] } ^ { c } = \gamma _ { M R } ^ { 5 } { \cal K } = i \gamma _ { W R } ^ { 5 } \gamma _ { W R } ^ { 0 } { \cal K } = \left( \begin{array} { l l } { { 0 } } & { { i } } \\ { { - i } } & { { 0 } } \end{array} \right) { \cal K } \, \, .
V _ { z \ll b , \, x \ll \sqrt { Q _ { p } b } } \to E - { \frac { m _ { f } } { 2 Q _ { p } Q _ { F } } } z ( x ^ { 2 } + 4 Q _ { p } z ) ^ { \frac { n } { 2 } } + { \frac { m _ { f } J _ { \perp } ^ { 2 } } { 2 E ^ { 2 } Q _ { p } ^ { 2 } Q _ { F } ^ { 2 } } } ( x ^ { 2 } + 4 Q _ { p } z ) ^ { n } ,
\begin{array} { r l r } { \left< { \mathcal X } _ { i } \right> } & { { } \rightarrow } & { \Omega _ { p } \int _ { 0 } ^ { t _ { \mathrm { ~ m ~ } } } d t \int _ { 0 } ^ { t } d t ^ { \prime } ( - i ) \left[ C ( t , t ^ { \prime } ) - C ( t ^ { \prime } , t ) \right] \left[ e ^ { i \left( \omega _ { p } t ^ { \prime } - \omega _ { p } t + \varphi \right) } + e ^ { - i \left( \omega _ { p } t ^ { \prime } - \omega _ { p } t + \varphi \right) } \right] } \end{array}
G [ Z ] = \sum _ { q = 0 } ^ { \infty } \frac { 1 } { q ! } \prod _ { j = 1 } ^ { q } \int d p _ { j } \rho _ { q } ( p _ { 1 } , \ldots , p _ { q } ) Z ( p _ { 1 } ) \ldots Z ( p _ { q } ) ,
\frac { E _ { c } ( t ) } { E _ { u d } ( t ) } = \frac { \dot { x } _ { c } ( t ) ^ { 2 } + \omega _ { 0 } ^ { 2 } x _ { c } ( t ) ^ { 2 } } { \dot { x } _ { u d } ( t ) ^ { 2 } + \omega _ { 0 } ^ { 2 } x _ { u d } ( t ) ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { E _ { \xi , \phi } { I ( \phi _ { k } , \xi _ { k } \in Q , k \le n ) ( 1 + \| \xi _ { n + 1 } \| ^ { q } ) } } & { { } \le E _ { \xi , \phi } { I ( \phi _ { n } , \xi _ { n } \in Q ) ( 1 + \| \xi _ { n + 1 } \| ^ { q } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r l } & { Q ( \mathbf { x } , t ) = Q _ { 0 } ( z ) + \epsilon Q _ { 1 } ( \mathbf { x } , t ) , } & & { R = R _ { 0 } ( z ) + \epsilon R _ { 1 } ( \mathbf { x } , t ) , } \\ & { \mathbf { u } ( \mathbf { x } , t ) = \epsilon \mathbf { u } _ { 1 } ( \mathbf { x } , t ) , } & & { p ( \mathbf { x } , t ) = p _ { 0 } ( z ) + \epsilon p _ { 1 } ( \mathbf { x } , t ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat { \mathfrak { i } } _ { B ( k ) } : } & { \: \, \mathrm { g r } _ { \mathcal { F } _ { r } } \bigl ( \mathcal { L } _ { 0 , 1 } , \overline { { \, \cdot \, } } \, \bigr ) = \mathrm { g r } _ { \mathcal { F } _ { r } } ( \mathcal { L } _ { 0 , 1 } ) \to \mathrm { g r } _ { \mathcal { G } _ { 2 } } \bigl ( \mathrm { g r } _ { \mathcal { G } _ { 1 } } ( \mathcal { L } _ { g , n } ) \bigr ) , } \\ { \widehat { \mathfrak { i } } _ { A ( k ) } , \: \widehat { \mathfrak { i } } _ { M ( s ) } : } & { \: \, \mathrm { g r } _ { \mathcal { F } _ { \ell } } \bigl ( \mathcal { L } _ { 0 , 1 } , \overline { { \, \cdot \, } } \, \bigr ) = \mathrm { g r } _ { \mathcal { F } _ { \ell } } ( \mathcal { L } _ { 0 , 1 } ) \to \mathrm { g r } _ { \mathcal { G } _ { 2 } } \bigl ( \mathrm { g r } _ { \mathcal { G } _ { 1 } } ( \mathcal { L } _ { g , n } ) \bigr ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { = } & { { } \operatorname* { m i n } ( 3 - 0 , 4 - 0 , 1 - 0 , 6 - 2 , 9 - 2 ) } \\ { = } & { { } \operatorname* { m i n } ( 3 , 4 , 1 , 4 , 7 ) = 1 } \end{array}
\begin{array} { r } { Y _ { k } - h ( X _ { k , \cdot } ^ { \intercal } \widehat { \beta } ) = h ( X _ { k , \cdot } ^ { \intercal } \beta ) - h ( X _ { k , \cdot } ^ { \intercal } \widehat { \beta } ) + \epsilon _ { k } = h ^ { \prime } ( X _ { k , \cdot } ^ { \intercal } \widehat { \beta } ) X _ { k , \cdot } ^ { \intercal } ( \beta - \widehat { \beta } ) + R _ { k } + \epsilon _ { k } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \textbf { x } \left( t + T \right) } & { { } = } & { \textbf { x } ( t ) + \int _ { t } ^ { t + T } \textbf { f } \left( \textbf { x } ( t ^ { \prime } ) \right) d t ^ { \prime } + \int _ { t } ^ { t + T } { \chi } ( t ^ { \prime } ) K \textsf { C } \cdot \mathbf { g } ( \textbf { x } ( t ^ { \prime } ) ) d t ^ { \prime } . } \end{array}
Z _ { \mu \nu } \equiv - ( k ^ { 2 } + i \epsilon ) \biggl [ g _ { \mu \rho } + \biggl ( { \frac { 1 } { \lambda } } ( 1 - \kappa ) ^ { 2 } - 1 \biggr ) { \frac { k _ { \mu } k _ { \rho } } { k ^ { 2 } + i \epsilon } } - i { \frac { \kappa ( 1 - \kappa ) } { \lambda } } { \frac { k _ { [ \mu } \eta _ { \rho ] } } { k ^ { 2 } + i \epsilon } } + { \frac { \kappa ^ { 2 } } { \lambda } } { \frac { \eta _ { \mu } \eta _ { \rho } } { k ^ { 2 } + i \epsilon } } \biggr ] ,
a _ { 1 1 } = \pm \sqrt { \frac { a _ { 1 1 } } { b _ { 1 1 } } a _ { 1 1 } b _ { 1 1 } } ; \quad b _ { 1 1 } = a _ { 1 1 } \frac { b _ { 1 1 } } { a _ { 1 1 } } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { E } _ { 1 } } & { { } = \langle \hat { \mathcal { P } } \hat { H } _ { \Omega } \hat { \mathcal { { D } } } \hat { A } - \hat { A } \hat { \mathcal { P } } \hat { H } _ { \Omega } \hat { \mathcal { { D } } } - \hat { \mathcal { D } } \hat { H } _ { \Omega } \hat { \mathcal { P } } \hat { A } + \hat { A } \hat { \mathcal { D } } \hat { H } _ { \Omega } \hat { \mathcal { P } } \rangle _ { 0 } } \end{array}