\begin{array} { r l r } & { } & { \frac { d E } { d t } - \mathcal { P } _ { E , \partial \Omega } } \\ & { = } & { \frac { d E _ { l } } { d t } + \frac { d E _ { r } } { d t } + \frac { d E _ { \Gamma } } { d t } - \int _ { \partial \Omega } \phi _ { r e f } \frac { \partial \mathbf { D } \cdot \mathbf { n } } { \partial t } d x } \\ & { = } & { \int _ { \Omega _ { l } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \nabla \tilde { \mu } _ { i } ^ { l } \cdot \boldsymbol { j } _ { i } ^ { l } d x - \int _ { \Gamma } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \tilde { \mu } _ { i } ^ { l } \boldsymbol { j } _ { i } ^ { l } \cdot \boldsymbol { n } ^ { l } d S - \int _ { \Gamma } \phi _ { l } \frac { \partial } { \partial t } ( \boldsymbol { D } ^ { l } \cdot \boldsymbol { n } ^ { l } - F C _ { e } ^ { l } ) d S + \int _ { \Gamma } \tilde { \mu } _ { e } ^ { l } ( - \Delta z ^ { l } \mathcal { R } _ { l } - J _ { e } ) } \\ & { } & { \int _ { \Omega _ { r } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \nabla \tilde { \mu } _ { i } ^ { r } \cdot \boldsymbol { j } _ { i } ^ { r } d x - \int _ { \Gamma } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \tilde { \mu } _ { i } ^ { r } \boldsymbol { j } _ { i } ^ { r } \cdot \boldsymbol { n } ^ { r } d S - \int _ { \Gamma } \phi _ { r } \frac { \partial } { \partial t } ( \boldsymbol { D } ^ { r } \cdot \boldsymbol { n } ^ { r } - F C _ { e } ^ { r } ) d S + \int _ { \Gamma } \tilde { \mu } _ { e } ^ { r } ( - \Delta z ^ { l } \mathcal { R } _ { r } + J _ { e } ) } \\ & { } & { - \int _ { \partial \Omega } ( \phi - \phi _ { r e f } ) \frac { \partial \boldsymbol { D } \cdot \boldsymbol { n } } { \partial t } d S } \\ & { = } & { \int _ { \Omega _ { l } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \nabla \tilde { \mu } _ { i } ^ { l } \cdot \boldsymbol { j } _ { i } ^ { l } d x + \int _ { \Gamma } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \tilde { \mu } _ { i } ^ { l } \gamma _ { i } \mathcal { R } ^ { l } d S - \int _ { \Gamma } \phi _ { l } \frac { \partial } { \partial t } ( \boldsymbol { D } ^ { l } \cdot \boldsymbol { n } ^ { l } - F C _ { e } ^ { l } ) d S + \int _ { \Gamma } \tilde { \mu } _ { e } ^ { l } ( - \Delta z ^ { l } \mathcal { R } _ { l } - J _ { e } ) } \\ & { } & { \int _ { \Omega _ { r } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \nabla \tilde { \mu } _ { i } ^ { r } \cdot \boldsymbol { j } _ { i } ^ { r } d x + \int _ { \Gamma } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \tilde { \mu } _ { i } ^ { r } \gamma _ { i } \mathcal { R } ^ { r } d S - \int _ { \Gamma } \phi _ { r } \frac { \partial } { \partial t } ( \boldsymbol { D } ^ { r } \cdot \boldsymbol { n } ^ { r } - F C _ { e } ^ { r } ) d S + \int _ { \Gamma } \tilde { \mu } _ { e } ^ { r } ( - \Delta z ^ { l } \mathcal { R } _ { r } + J _ { e } ) } \\ & { } & { - \int _ { \partial \Omega } ( \phi - \phi _ { r e f } ) \frac { \partial \boldsymbol { D } \cdot \boldsymbol { n } } { \partial t } d S } \\ & { = } & { \int _ { \Omega _ { l } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \nabla \tilde { \mu } _ { i } ^ { l } \cdot \boldsymbol { j } _ { i } ^ { l } d x - \int _ { \Gamma } ( - \sum _ { i = 1 } ^ { N } \tilde { \mu } _ { i } ^ { l } \gamma _ { i } \mathcal { R } ^ { l } + \tilde { \mu } _ { e } ^ { l } \Delta z ^ { l } ) \mathcal { R } _ { l } d S - \int _ { \Gamma } \phi _ { l } \frac { \partial } { \partial t } ( \boldsymbol { D } ^ { l } \cdot \boldsymbol { n } ^ { l } - F C _ { e } ^ { l } ) d S } \\ & { } & { + \int _ { \Omega _ { r } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \nabla \tilde { \mu } _ { i } ^ { r } \cdot \boldsymbol { j } _ { i } ^ { r } d x - \int _ { \Gamma } \left( - \sum _ { i = 1 } ^ { N } \tilde { \mu } _ { i } ^ { r } \gamma _ { i } + \Delta z ^ { r } \tilde { \mu } _ { e } ^ { r } \right) \mathcal { R } ^ { r } d S - \int _ { \Gamma } \phi _ { r } \frac { \partial } { \partial } ( \boldsymbol { D } ^ { r } \cdot \boldsymbol { n } ^ { r } - F C _ { e } ^ { r } ) d S } \\ & { } & { + \int _ { \Gamma } ( \tilde { \mu } _ { e } ^ { r } - \tilde { \mu } _ { e } ^ { l } ) J _ { e } - \int _ { \partial \Omega } ( \phi - \phi _ { r e f } ) \frac { \partial \boldsymbol { D } \cdot \boldsymbol { n } } { \partial t } d S } \\ & { = } & { - \Delta . } \end{array}