harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { I _ { m , n , j , k } ^ { \rho , \kappa } } & { : = \int _ { D } \mathcal { Z } _ { m , n } ^ { \kappa , \rho } ( z , \overline { { z } } ) \overline { { \mathcal { Z } _ { j , k } ^ { \kappa , \rho } ( z , \overline { { z } } ) } } | z | ^ { 2 \rho } ( 1 - \vert z \vert ^ { 2 } ) ^ { \kappa } d \Lambda ( z ) } \\ & { = \pi d _ { m , n } ^ { \rho , \kappa } d _ { j , k } ^ { \rho , \kappa } \left( \int _ { 0 } ^ { 1 } t ^ { | m - n - \rho | } ( 1 - t ) ^ { \kappa } P _ { m \wedge ( n + \rho ) } ^ { ( \kappa , | m - n - \rho | ) } ( 2 t - 1 ) P _ { j \wedge ( k + \rho ) } ^ { ( \kappa , | m - n - \rho | ) } ( 2 t - 1 ) d t \right) \delta _ { n - m , k - j } } \\ & { = \frac { \pi d _ { m , n } ^ { \rho , \kappa } d _ { j , k } ^ { \rho , \kappa } } { 2 ^ { | m - n - \rho | + \kappa + 1 } } \left( \int _ { - 1 } ^ { 1 } ( 1 + x ) ^ { | m - n - \rho | } ( 1 - x ) ^ { \kappa } P _ { m \wedge ( n + \rho ) } ^ { ( \kappa , | m - n - \rho | ) } ( x ) P _ { j \wedge ( k + \rho ) } ^ { ( \kappa , | m - n - \rho | ) } ( x ) d x \right) \delta _ { n - m , k - j } . } \end{array}
\vec { { ^ G } v _ { P _ { c } } } = \left[ \begin{array} { l } { \dot { X } } \\ { 0 } \\ { \dot { Z } } \end{array} \right] + \vec { { ^ G } \omega _ { P } } \times { ^ G } R _ { P } \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { - R _ { p } } \\ { 0 } \end{array} \right]
\begin{array} { r l } { { 1 } \qquad \simeq \operatorname* { l i m } _ { \tau \to \infty } \frac { 2 } { \tau } \Bigg | \sum _ { l } - \frac { 1 } { \sqrt { 2 \pi } } \Bigg [ } & { { } \frac { c _ { l } - i s _ { l } } { 2 } \frac { 1 } { i ( \omega _ { 0 } + \omega ) - \frac { \Gamma } { 2 } } } \\ { + } & { { } \frac { c _ { l } + i s _ { l } } { 2 } \frac { 1 } { i ( \omega - \omega _ { 0 } ) - \frac { \Gamma } { 2 } } \Bigg ] \Bigg | ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathrm { r a d } \; \mathcal { G } _ { 0 , 0 , n } = \mathcal { G } _ { 0 , 0 , n } ^ { 1 } \oplus \mathcal { G } _ { 0 , 0 , n } ^ { 2 } \oplus \cdots \oplus \mathcal { G } _ { 0 , 0 , n } ^ { n } , \quad \mathcal { G } _ { 0 , 0 , n } = \mathcal { G } ^ { 0 } \oplus \mathrm { r a d } \; \mathcal { G } _ { 0 , 0 , n } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { { \mathbb T } ^ { d } } | u | ^ { \zeta - 2 } \Big ( a \nabla u \cdot \nabla u + } & { F ( \cdot , u ) \cdot \nabla u - \frac { u f ( \cdot , u ) } { \zeta - 1 } - \frac 1 2 \sum _ { n \geq 1 } \big [ ( b _ { n } \cdot \nabla ) u + g _ { n } ( \cdot , u ) \big ] ^ { 2 } \Big ) \, d x } \\ & { \geq \theta \int _ { { \mathbb T } ^ { d } } | u | ^ { \zeta - 2 } \big ( | \nabla u | ^ { 2 } - M | u | ^ { 2 } \big ) \, d x - C . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { H _ { 2 } ^ { ( 3 ) } ( f ) = \mathcal { H } _ { 2 } ( f ) , } \\ & { H _ { 3 } ^ { ( 3 ) } ( f ) = \mathcal { H } _ { 3 , \ge 2 } = \frac { \alpha } { 1 6 } \int _ { \mathbb { T } } v \left( 2 z \Lambda ^ { \alpha - 1 } z + \Lambda ^ { \alpha - 1 } ( z ^ { 2 } ) - T _ { \alpha } z ^ { 2 } \right) d x + \frac { \alpha } { 1 6 } \int _ { \mathbb { T } } z ^ { 2 } \Lambda ^ { \alpha - 1 } z - \frac { T _ { \alpha } } { 3 } z ^ { 3 } d x . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \# \{ \mathrm { s i m p l e ~ g r a p h s ~ o n ~ N ~ n o d e s ~ a n d ~ M ~ e d g e s ~ t h a t ~ h a v e ~ m i n i m u m ~ d e g r e e ~ } \geq 1 \} } \\ & { = \sum _ { k = 0 } ^ { N } ( - 1 ) ^ { k } \binom { N } { k } \binom { \binom { N - k } { 2 } } { M } } \\ & { = \# \{ \mathrm { s i m p l e ~ g r a p h s ~ o n ~ N ~ n o d e s ~ a n d ~ M ~ e d g e s } \} - | \cup _ { j = 1 } ^ { N } A _ { j } | } \\ & { \leq \# \{ \mathrm { s i m p l e ~ g r a p h s ~ o n ~ N ~ n o d e s ~ a n d ~ M ~ e d g e s } \} - | A _ { 1 } | } \\ & { = \binom { \binom { N } { 2 } } { M } - \binom { \binom { N - 1 } { 2 } } { M } . } \end{array}
K _ { 1 } ^ { \prime } ( \zeta _ { 1 } ) G _ { b } ^ { ( n ) } ( \zeta _ { 1 } ^ { - 1 } , \tilde { \zeta } ) = G _ { b } ^ { ( n ) } ( x ^ { - 2 } \zeta _ { 1 } , \tilde { \zeta } ) .
\begin{array} { r } { \Delta \equiv { \frac { \langle z ( z - 1 ) \rangle ^ { ( v ) } } { \langle z \rangle ^ { ( v ) } } } { \frac { \langle n ( n - 1 ) \rangle ^ { ( e ) } } { \langle n \rangle ^ { ( e ) } } } - 1 \, , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \Psi _ { 1 } = \psi _ { 1 } , } \\ { \Psi _ { 2 } = \frac { d } { d - 1 } \psi _ { 0 } + \frac { 1 } { d - 1 } \psi _ { 2 } - \frac { 2 } { d - 1 } \psi _ { 3 } , } \\ { \Psi _ { 3 } = - \frac { 1 } { d - 1 } \psi _ { 1 } + \frac { d } { d - 1 } \psi _ { 3 } , } \\ { \Psi _ { 4 } = \frac { d } { d - 1 } \psi _ { 0 } - \frac { 1 } { d - 1 } \psi _ { 1 } , } \end{array} \right.
C ( A _ { | | } , A _ { \perp } ) = \sum _ { k } \sum _ { j } ( S _ { \mathrm { ~ s ~ i ~ m ~ } , k } ( \tau _ { j } ) - S _ { \mathrm { ~ e ~ x ~ p ~ } } ( \tau _ { j } ) ) ^ { 2 } ; \quad S _ { \mathrm { ~ s ~ i ~ m ~ } , k } ( \tau _ { j } ) = e ^ { - ( 2 \tau _ { j } / T _ { 2 } ) ^ { n } } \cdot S _ { \mathrm { ~ b ~ a ~ t ~ h ~ } , k } ( \tau _ { j } ) \cdot S ( \tau _ { j } , A _ { | | } , A _ { \perp } ) .
\begin{array} { r } { \delta \overline { { \ell } } _ { \mathtt { G H Y } } ( g ) - \jmath ^ { * } \Theta _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } = \overline { { b } } _ { \mathtt { E H } } ^ { \overline { { \alpha } } \overline { { \beta } } } ( g ) \wedge \delta \overline { { g } } _ { \overline { { \alpha } } \overline { { \beta } } } - \mathrm { d } \overline { { \theta } } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { v _ { 4 k - 2 - 2 i , 2 k - 1 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 1 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 - 2 i , 2 k - 2 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 2 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 - 2 i , 2 k - 3 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 3 } } \\ & { + v _ { 4 k - 2 - 2 i , 2 k - 4 + 6 i } ^ { A , i } \otimes v _ { 1 , 4 } } \end{array}
Q = \eta _ { 1 } ( P ^ { 2 } - m ^ { 2 } ) + \eta _ { 2 } ( \zeta \cdot P - \zeta _ { 5 } m ) + { \cal P } _ { 1 } { \eta _ { 2 } } ^ { 2 } + { \bar { \cal P } } _ { 1 } \pi _ { 1 } + { \bar { \cal P } } _ { 2 } \pi _ { 2 } \, .
\begin{array} { r l } & { \underset { \left\{ \mathbf { F } \right\} } { \operatorname* { m i n } } \sum _ { k = 1 } ^ { K } { \mu _ { k , ( 1 ) } \mathrm { t r } \left[ \mathbf { W } _ { k , ( 1 ) } \left( \mathbf { I } _ { N } - \mathbf { V } _ { k } ^ { H } \mathbf { \hat { H } } _ { k } \mathbf { F } _ { k , \mathrm { u } , ( 1 ) } \right) \left( \mathbf { I } _ { N } - \mathbf { V } _ { k } ^ { H } \mathbf { \hat { H } } _ { k } \mathbf { F } _ { k , \mathrm { u } , ( 1 ) } \right) ^ { H } \right] } } \\ & { \, \, + \sum _ { k = 1 } ^ { K } { \mu _ { k , ( 1 ) } \mathrm { t r } \left[ \mathbf { W } _ { k , ( 1 ) } \mathbf { V } _ { k } ^ { H } \left( \sum _ { l \ne k } ^ { K } { \mathbf { \hat { H } } _ { l } \mathbf { F } _ { l , \mathrm { u } , ( 1 ) } \mathbf { F } _ { l , \mathrm { u } , ( 1 ) } ^ { H } \mathbf { \hat { H } } _ { l } ^ { H } } \right) \mathbf { V } _ { k } \right] } - \sum _ { k = 1 } ^ { K } { \mu _ { k , ( 1 ) } \log _ { 2 } \left| \mathbf { W } _ { k , ( 1 ) } \right| } } \\ & { \, \, + \sum _ { k = 1 } ^ { K } { \mu _ { k , ( 1 ) } \mathrm { t r } } \left[ \mathbf { W } _ { k , ( 1 ) } \mathbf { V } _ { k } ^ { H } \left( \sum _ { l = 1 } ^ { K } { \mathbb { E } \left\{ \left. \mathbf { \tilde { H } } _ { l } \mathbf { F } _ { l , \mathrm { u } , ( 1 ) } \mathbf { F } _ { l , \mathrm { u } , ( 1 ) } ^ { H } \mathbf { \tilde { H } } _ { l } ^ { H } \right| \mathbf { F } \right\} } + \sigma ^ { 2 } \mathbf { I } _ { M L } \right) \mathbf { V } _ { k } \right] } \\ & { \mathrm { s } . \mathrm { t } . \left\| \mathbf { F } _ { k , \mathrm { u } , ( 1 ) } \right\| ^ { 2 } \leqslant p _ { k } \, \, \forall k = 1 , \dots , K } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \sigma _ { 1 } = m ( | x | - | x _ { b } | ) ^ { 2 } , \quad \sigma _ { 2 } = \sigma _ { 3 } = 0 } & { \mathrm { ~ i ~ n ~ } \Omega _ { x } ^ { \mathrm { P M L } } } \\ { \sigma _ { 2 } = m ( | y | - | y _ { b } | ) ^ { 2 } , \quad \sigma _ { 1 } = \sigma _ { 3 } = 0 } & { \mathrm { ~ i ~ n ~ } \Omega _ { y } ^ { \mathrm { P M L } } } \\ { \sigma _ { 1 } = m ( | x | - | x _ { b } | ) ^ { 2 } , \quad \sigma _ { 2 } = m ( | y | - | y _ { b } | ) ^ { 2 } , \quad \sigma _ { 3 } = 0 } & { \mathrm { ~ i ~ n ~ } \Omega _ { x y } ^ { \mathrm { P M L } } } \end{array} \right.
\boldsymbol { \Omega } ^ { \mathrm { c l } } = \left( \begin{array} { l l } { \boldsymbol { 0 } _ { N \times N } } & { \boldsymbol { 1 } _ { N \times N } } \\ { - \boldsymbol { 1 } _ { N \times N } } & { \boldsymbol { 0 } _ { N \times N } } \end{array} \right) .
s ^ { I } ( z , \vec { x } ) = \frac { \Gamma ( 2 k ) } { A \pi ^ { 3 } \Gamma ( 2 k - 3 ) } \int d \vec { x } ^ { \prime } \, \left( \frac { z } { z ^ { 2 } + | \vec { x } - \vec { x } ^ { \prime } | } \right) ^ { 2 k } s _ { 0 } ^ { I } ( \vec { x } ^ { \prime } ) .
= { \frac { 1 } { 2 } } \left( \begin{array} { c c c c } { { \alpha \overline { { { V } } } _ { 1 } + \beta \overline { { { V } } } _ { 4 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \beta \overline { { { V } } } _ { 1 } - \alpha \overline { { { V } } } _ { 4 } } } \\ { { 0 } } & { { \alpha \overline { { { V } } } _ { 2 } + \beta \overline { { { V } } } _ { 3 } } } & { { - \beta \overline { { { V } } } _ { 2 } + \alpha \overline { { { V } } } _ { 3 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { - \alpha \overline { { { V } } } _ { 2 } + \beta \overline { { { V } } } _ { 3 } } } & { { \beta \overline { { { V } } } _ { 2 } + \alpha \overline { { { V } } } _ { 3 } } } & { { 0 } } \\ { { \alpha \overline { { { V } } } _ { 1 } - \beta \overline { { { V } } } _ { 4 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { \beta \overline { { { V } } } _ { 1 } + \alpha \overline { { { V } } } _ { 4 } } } \end{array} \right)
\mathrm { e r f } \left( \frac { \pm \sqrt { \rho \mathrm { l n } ( t ) + 2 C \mathrm { e x p } \left[ \kappa \mathrm { s i n } ( \rho ) \right] \mathrm { s i n } ( \rho ) } } { \sqrt { \rho } } \right) = \frac { \sqrt { \rho } \mathrm { e x p } \left[ \frac { 2 C \mathrm { e x p } [ \kappa \mathrm { s i n } ( \rho ) ] \mathrm { s i n } ( \rho ) } { \rho } - \frac { \kappa \mathrm { s i n } ( \rho ) } { 2 } \right] a ( t ) } { \sqrt { \pi } \sqrt { \mathrm { s i n } ( \rho ) } } + C _ { 1 }
- \tilde { w } _ { N _ { s } } \Big [ \varepsilon + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } \Big ] = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { N _ { \mathrm { d o f } } - N _ { s } + 1 } { \mu _ { k } \Delta q _ { k } ^ { 2 } } .
( X _ { m n n p } + X _ { n n m p } - 2 X _ { n m n p } ) B _ { p } ^ { \dagger } + ( X _ { m n n p q r } + X _ { n n m p q r } - 2 X _ { n m n p q r } ) B _ { r } ^ { \dagger } B _ { q } ^ { \dagger } B _ { p } ^ { \dagger }
z ^ { 0 } \! = \! k _ { \mathrm { } _ { H } } ^ { - 1 } \sqrt { 1 \! - \! 2 m / r \! + \! r ^ { 2 } / R ^ { 2 } } \sinh ( k _ { \mathrm { } _ { H } } t ) \; , \; \; z ^ { 1 } \! = \! k _ { \mathrm { } _ { H } } ^ { - 1 } \sqrt { 1 \! - \! 2 m / r \! + \! r ^ { 2 } / R ^ { 2 } } \cosh ( k _ { \mathrm { } _ { H } } t )
\mathbf { w } ( \mathbf { r } , t ) = ( 2 \pi ) ^ { 3 / 2 } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d ^ { 3 } \mathbf { k } e ^ { i \vec { k } \cdot \vec { r } } \tilde { \vec { w } } ( \mathbf { k } , t ) ,
^ { \mathrm { N } } \alpha _ { \mathrm { a n } } ^ { ( i ) } ( Q ^ { 2 } ) = ~ ^ { \mathrm { N } } \alpha _ { \mathrm { a n } } ^ { ( i ) } ( Q _ { 0 } ^ { 2 } ) \frac { z _ { 0 } } { z } \exp \left[ \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \rho ^ { ( i ) } ( \sigma ) } { \sigma } \ln \left( \frac { \sigma + z } { \sigma + z _ { 0 } } \right) d \sigma \right] ,
\begin{array} { r } { \dot { \mathrm { ~ I ~ } } ^ { ( T ) } \left\langle t _ { \mathrm { ~ A ~ P ~ } } \right\rangle = \left( \frac { 4 } { \nu ^ { 8 } \left( 1 - 4 \rho \right) } \right) ^ { 1 / 3 } \frac { J ( \alpha ) M ( \alpha ) } { ( \Delta T ) ^ { 2 } } , } \end{array}
K _ { v } ^ { \mu } = \int d ^ { 3 } x \bar { \cal N } _ { v } ^ { 0 } i v _ { 0 } \partial ^ { \mu } { \cal N } _ { v } = \sum _ { \alpha = 1 } ^ { 2 } \int \frac { d ^ { 3 } k } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } 2 m v _ { 0 } } k ^ { \mu } b _ { \alpha , v } ^ { \dagger } ( \vec { k } ) b _ { \alpha , v } ( \vec { k } ) .
M _ { \mathrm { z } } ^ { \mathrm { l a b } } ~ { \approx } ~ 0 . 4 3 6 \, n _ { \mathrm { n } } \, \gamma _ { \mathrm { n } } \, \frac { h ^ { 2 } f _ { \mathrm { y ^ { ' } } } } { 3 \, k _ { \mathrm { B } } \, T _ { \mathrm { s } } } .
\mathcal E _ { i } = \frac { \widetilde E _ { i } } { \operatorname* { m a x } _ { 1 \le j \le M _ { N } } \left\{ \widetilde E _ { j } \right\} - \operatorname* { m i n } _ { 1 \le j \le M _ { N } } \left\{ \widetilde E _ { j } \right\} } ,
\begin{array} { r l } { \rho _ { n } ( \mathbf { r } ) } & { { } = \frac { 1 } { N } \sum _ { \mathbf { k } , \mathbf { k } ^ { \prime } } e ^ { i ( \mathbf { k } ^ { \prime } - \mathbf { k } ) ^ { T } \mathbf { r } } v _ { n , \mathbf { k } } ^ { * } ( \mathbf { r } ) v _ { n , \mathbf { k } ^ { \prime } } ( \mathbf { r } ) \mathrm { d } \mathbf { r } , } \end{array}
\mathcal { L } _ { \mathbf { a } } = \hbar T _ { 2 } \partial _ { T _ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k = 1 } ^ { r _ { \infty } - 1 } T _ { \infty , k } \mathcal { L } _ { \mathbf { v } _ { \infty , k } } - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { s = 1 } ^ { n } \sum _ { k = 1 } ^ { r _ { s } - 1 } k T _ { X _ { s } , k } \mathcal { L } _ { \mathbf { v } _ { X _ { s } , k } }
\Phi _ { \mu , \nu , \lambda , \sigma } ^ { a , b , c , d } ( \beta _ { 1 } , \beta _ { 2 } \mid \beta _ { 1 } ^ { \prime } , \beta _ { 2 } ^ { \prime } ) \, = \, 2 \delta _ { \mu , \nu } \delta _ { \lambda , \sigma } i f ^ { a , c , g } i f ^ { b , g , d } \, \beta _ { 1 } \delta ( \beta _ { 1 } - \beta _ { 2 } ) \, \frac 1 { \beta _ { 1 } ^ { \prime } \beta _ { 2 } ^ { \prime } } .
\begin{array} { r l } { \int } & { { } d \mathbf { r } ^ { \prime } v _ { \mathrm { x c } } ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) \int \frac { d \omega } { 2 \pi } G _ { 0 } ( \mathbf { r } , \mathbf { r } ^ { \prime } ; \omega ) G ( \mathbf { r } ^ { \prime } , \mathbf { r } ; \omega ) = } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { S } } & { { = } } & { { { \displaystyle \int } d ^ { 8 } x \sqrt { | g _ { E } | } \, \left\{ R _ { E } + \frac { 1 } { 4 } \mathrm { T r } \left( \partial { \cal M } { \cal M } ^ { - 1 } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 4 } \mathrm { T r } \left( \partial { \cal W } { \cal W } ^ { - 1 } \right) ^ { 2 } \right. } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { - \frac { 1 } { 4 } F ^ { i \, m } { \cal M } _ { m n } { \cal W } _ { i j } F ^ { j \, n } + \frac { 1 } { 2 \cdot 3 ! } H _ { m } { \cal M } ^ { m n } H _ { n } - \frac { 1 } { 2 \cdot 4 ! } e ^ { - \varphi } G ^ { 2 } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { - \frac { 1 } { 6 ^ { 3 } \cdot 2 ^ { 4 } } { \textstyle \frac { 1 } { \sqrt { | g _ { E } | } } } \, \epsilon \left[ G G a - 8 G H _ { m } A ^ { 2 \, m } + 1 2 G ( F ^ { 2 \, m } + a F ^ { 1 \, m } ) B _ { m } \right. } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { \left. \left. - 8 \epsilon ^ { m n p } H _ { m } H _ { n } B _ { p } - 8 G \partial a C - 1 6 H _ { m } ( F ^ { 2 \, m } + a F ^ { 1 \, m } ) C \right] \right\} \, . } } \end{array}
\left[ \partial _ { u } ( U ^ { 8 - p } \partial _ { u } ) - \lambda k ^ { 2 } U + m _ { \theta _ { i } } ^ { 2 } U ^ { 6 - p } \right] { \cal G } _ { k } ( U , U ^ { \prime } ) = g _ { Y M } ^ { 4 } \delta ( U - U ^ { \prime } ) ~ .
\epsilon _ { + } ^ { ( j ) } - \epsilon _ { - } ^ { ( j ) } = \alpha \ \frac { \mid - c _ { - } ^ { ( j ) } < \psi _ { R } ^ { ( j ) } \mid \sin ^ { 2 } x \mid \psi _ { L } ^ { ( j ) } > \mid } { \omega ^ { 2 } }
\begin{array} { r l r } { { 2 } \partial _ { t } u + u \cdot \nabla u } & { = - \nabla p , } & { \qquad \mathrm { i n } \quad M , } \\ { \nabla \cdot u } & { = 0 , } & { \qquad \mathrm { i n } \quad M , } \\ { u | _ { t = 0 } } & { = u _ { 0 } , } & { \qquad \mathrm { i n } \quad M , } \\ { u \cdot \hat { n } } & { = 0 , } & { \qquad \mathrm { o n } \ \partial M . } \end{array}
\sigma _ { p } ^ { 2 } \sigma _ { p } ^ { * 2 } { } \, ^ { 3 } ( \sigma _ { s } \sigma _ { s } ^ { * } ) \left( ^ 3 ( \overline { { \pi _ { x } } } \overline { { \pi _ { x } ^ { * } } } ) - { } ^ { 3 } ( \overline { { \pi _ { y } } } \overline { { \pi _ { y } ^ { * } } } ) \right)
\int \arcsin ( a x ) ^ { n } \, d x = { \frac { x \arcsin ( a x ) ^ { n + 2 } } { ( n + 1 ) \, ( n + 2 ) } } \, + \, { \frac { { \sqrt { 1 - a ^ { 2 } x ^ { 2 } } } \arcsin ( a x ) ^ { n + 1 } } { a \, ( n + 1 ) } } \, - \, { \frac { 1 } { ( n + 1 ) \, ( n + 2 ) } } \int \arcsin ( a x ) ^ { n + 2 } \, d x \quad ( n \neq - 1 , - 2 )
m _ { \rho } ( T _ { \chi } ) ^ { 2 } = m _ { a _ { 1 } } ( T _ { \chi } ) ^ { 2 } = \frac { 1 } { 3 } \left( 2 m _ { \rho } ^ { 2 } + m _ { a _ { 1 } } ^ { 2 } \right) = ( 9 6 2 \, M e V ) ^ { 2 } \; .
\begin{array} { r l } { { \triangle } _ { 1 } { \; \simeq \; } { \triangle } _ { 2 } \, } & { \Leftrightarrow \, \pm \{ \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } , \theta _ { 3 } \} = \{ \psi _ { 1 } , \psi _ { 2 } , \psi _ { 3 } \} \, \Leftrightarrow \; \exists \sigma \, : \; ( \psi _ { 1 } , \psi _ { 2 } , \psi _ { 3 } ) = \pm ( \theta _ { \sigma ( 1 ) } , \theta _ { \sigma ( 2 ) } , \theta _ { \sigma ( 3 ) } ) } \\ & { \, \Leftrightarrow \, [ { \triangle } _ { 1 } ] = [ { \triangle } _ { 2 } ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { P } \left[ r _ { T } \left( \pi ^ { \mathrm { H I R } } \right) ( P ) \right] } & { \leq \operatorname* { m a x } _ { a \in [ K ] } \Bigg \{ \sqrt { \log K / \left\lfloor \frac { T } { 2 V ^ { a } ( P ) } \right\rfloor } } \\ & { + ( K - 1 ) \sqrt { \log K / \left\lfloor \frac { T } { 2 V ^ { a } ( P ) } \right\rfloor } \exp \left( - \frac { T \log K / \left\lfloor \frac { T } { 2 V ^ { a } ( P ) } \right\rfloor } { 2 V ^ { a } ( P ) } \right) } \\ & { \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \times \exp \left( \left\{ \frac { \sqrt { T \log K / \lfloor \frac { T } { 2 V ^ { a } ( P ) } } } { \sqrt { V ^ { a } ( P ) } } + \frac { T \log K / \lfloor \frac { T } { 2 V ^ { a } ( P ) } } { 2 V ^ { a } ( P ) } \right\} \varepsilon \right) \Bigg \} . } \end{array}
x _ { j } ( \varepsilon ) - \varepsilon _ { j + 1 } \simeq \lambda _ { j + 1 } - \varepsilon _ { j + 1 } - \frac { \sigma _ { j + 1 } ^ { 2 } } { \sigma _ { j } ^ { 2 } } ( \lambda _ { j } - \varepsilon _ { j } ) \geq 0 \; .
a _ { 0 } \Gamma ^ { 6 } + a _ { 1 } \Gamma ^ { 5 } + a _ { 2 } \Gamma ^ { 4 } + a _ { 3 } \Gamma ^ { 3 } + a _ { 4 } \Gamma ^ { 2 } + a _ { 5 } \Gamma + a _ { 6 } = 0 \; ,
W _ { \varphi } = a _ { r s } Y _ { r s } \bar { \varphi } _ { r } \varphi _ { s } + \frac { \delta _ { r s } } { 3 } [ b _ { r s } Y _ { r s } ^ { 3 } + c _ { r s } \bar { Y } _ { r s } ^ { 3 } + 3 M \bar { Y } _ { r s } Y _ { r s } ]
\begin{array} { r l } & { B _ { a _ { 1 } a _ { 2 } } [ 1 , 0 ] ( z ) B _ { b _ { 1 } b _ { 2 } } [ r , s ] ( 0 ) } \\ { \sim } & { \frac { 1 } { z } \sum _ { u , v } \binom { r + s } { r } ^ { - 1 } \binom { u + v } { u } \binom { r + s - u - v - 1 } { r - u } \Bigl ( B _ { a _ { 1 } b _ { 2 } } [ u , v ] B _ { b _ { 1 } a _ { 2 } } [ r - u , s - v - 1 ] ( 0 ) } \\ { - } & { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { c } \frac { r + s - u - v } { r + s + 1 } \delta _ { a _ { 2 } b _ { 1 } } B _ { a _ { 1 } c } [ u , v ] B _ { c b _ { 2 } } [ r - u , s - v - 1 ] ( 0 ) } \\ { - } & { \frac { 1 } { 2 } \sum _ { c } \frac { u + v } { r + s + 1 } \delta _ { a _ { 1 } b _ { 2 } } B _ { b _ { 1 } c } [ u , v ] B _ { c a _ { 2 } } [ r - u , s - v - 1 ] ( 0 ) \Bigr ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { L } _ { q } u _ { 0 } ( \rho , x ) } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { k } \rho ^ { 2 k } \mathbf { L } _ { q } \varphi _ { f } ^ { ( 2 k ) } ( x ) } { ( 2 k ) ! } = \sum _ { k = 2 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { k + 1 } \rho ^ { 2 k } \varphi _ { f } ^ { ( 2 k - 2 ) } ( x ) } { ( 2 k - 2 ) ! } } \\ & { = \rho ^ { 2 } \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { k } \rho ^ { 2 k } \varphi _ { f } ^ { ( 2 k ) } ( x ) } { ( 2 k ) ! } = \rho ^ { 2 } u ( \rho , x ) , } \end{array}
S ( F ) : ( s _ { 1 } , s _ { 2 } ) \in I _ { \leq } ^ { * } \mapsto 1 - \Big ( 1 - \frac { s _ { 1 } } { s _ { 2 } } \Big ) ^ { \theta } + \theta \Big ( \frac { s _ { 2 } } { s _ { 1 } } - 1 \Big ) ^ { \theta } \int _ { 1 } ^ { \infty } \Big ( \frac { s _ { 2 } } { s _ { 1 } } + t - 1 \Big ) ^ { - \theta - 1 } F \Big ( \frac { s _ { 2 } - s _ { 1 } } { t } , s _ { 2 } - s _ { 1 } \Big ) \mathrm { d } t .
\begin{array} { r l } { \int _ { \partial \Omega _ { s } } \boldsymbol { \nu } \cdot ( \boldsymbol { \sigma ^ { e } } + \boldsymbol { \sigma ^ { o } } ) \cdot \boldsymbol { n _ { s } } d s } & { = \int _ { \partial \Omega _ { s } } \boldsymbol { \nu } \cdot \left( - \frac { \eta _ { e } } { \beta } ( \boldsymbol { u } \cdot \boldsymbol { t _ { s } } ) \boldsymbol { t _ { s } } - \frac { \eta _ { o } } { \beta } \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { - 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) ( \boldsymbol { u } \cdot \boldsymbol { t _ { s } } ) \boldsymbol { t _ { s } } \right) d s } \\ & { = \int _ { \partial \Omega _ { s } } \left[ - \frac { \eta _ { e } } { \beta } ( \boldsymbol { u } \cdot \boldsymbol { t _ { s } } ) ( \boldsymbol { \nu } \cdot \boldsymbol { t _ { s } } ) - \frac { \eta _ { o } } { \beta } ( \boldsymbol { u } \cdot \boldsymbol { t _ { s } } ) \left( \boldsymbol { \nu } \cdot \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { - 1 } \\ { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \boldsymbol { t _ { s } } \right) \right] d s } \end{array}
\lambda _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ^ { R 2 } = P _ { \mathrm { ~ o ~ n ~ } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \Phi _ { \mathrm { ~ \mathrm { ~ r ~ e ~ c ~ } ~ } } ( \tau ) \frac { \varphi _ { \mathrm { ~ \mathrm { ~ i ~ n ~ f ~ } ~ } } ( \tau ) } { \Phi _ { \mathrm { ~ \mathrm { ~ i ~ n ~ f ~ } ~ } } ( \tau ) } d \tau .
\begin{array} { r l } & { \left| \mathbb { E } \left[ \operatorname* { m a x } \left( \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } Y _ { t } d t - S _ { 0 } , 0 \right) \right] - \mathbb { E } \left[ \operatorname* { m a x } \left( \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } \hat { Y } _ { t } d t - S _ { 0 } , 0 \right) \right] \right| } \\ & { \leq \left| \mathbb { E } \left[ \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } Y _ { t } d t - \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } \hat { Y } _ { t } d t \right] \right| } \\ & { \leq \mathbb { E } \left[ \left| \frac { 1 } { T } \left( \int _ { 0 } ^ { T } Y _ { t } d t - \int _ { 0 } ^ { T } \hat { Y } _ { t } d t \right) \right| \right] } \\ & { \leq \mathbb { E } \left[ \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } | Y _ { t } - \hat { Y } _ { t } | d t \right] } \\ & { \leq \mathbb { E } \left[ \operatorname* { m a x } _ { 0 \leq t \leq T } | Y _ { t } - \hat { Y } _ { t } | \frac { 1 } { T } \int _ { 0 } ^ { T } d t \right] = \mathbb { E } \left[ \operatorname* { m a x } _ { 0 \leq t \leq T } | Y _ { t } - \hat { Y } _ { t } | \right] . } \end{array}
{ \frac { 1 } { \alpha } } { \frac { \partial u } { \partial t } } = \left( { \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial x ^ { 2 } } } + { \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial y ^ { 2 } } } + { \frac { \partial ^ { 2 } u } { \partial z ^ { 2 } } } \right) + { \frac { 1 } { k } } q .
\mathbf { M } _ { i } = \left[ \begin{array} { c c c c } { g _ { 1 } ^ { i } } & { | g _ { 2 } ^ { i } | e ^ { i \phi _ { i } } } \\ { | g _ { 2 } ^ { i } | e ^ { - i \phi _ { i } } } & { g _ { 1 } ^ { i } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r c l } { { m _ { 1 } ^ { 2 } } } & { { = } } & { { m _ { H _ { 1 } } ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } , } } \\ { { m _ { 2 } ^ { 2 } } } & { { = } } & { { m _ { H _ { 2 } } ^ { 2 } + \mu ^ { 2 } , } } \\ { { m _ { 1 2 } ^ { 2 } } } & { { = } } & { { B \mu . } } \end{array}
\hat { Z } ( s ) = \pi \frac { \ell _ { p } } { \kappa \pi \varrho _ { p } ^ { 2 } } \frac { \varrho _ { p } ^ { 3 } } { \ell _ { p } \lambda _ { D } ^ { 2 } } \hat { Z } _ { \mathrm { n u m } } .