harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\dot { m } \bigg ( \frac { r _ { \mathrm { ~ p ~ } } } { r _ { \mathrm { ~ p ~ } } + \theta } + \frac { 4 \mathcal { D } } { \alpha _ { \mathrm { ~ M ~ } } r _ { \mathrm { ~ p ~ } } \bar { c } _ { \mathrm { ~ g ~ } } } \bigg ) = 4 \pi r _ { \mathrm { ~ p ~ } } \mathcal { D } ( C _ { \theta } - C _ { \mathrm { ~ p ~ } } ) + 4 \pi r _ { \mathrm { ~ p ~ } } \mathcal { D } ( C _ { \mathrm { ~ g ~ } } - C _ { \theta } ) \equiv \dot { m } _ { \mathrm { ~ C ~ } } .
\begin{array} { r l } { \delta _ { \omega } ^ { t } } & { < \frac { 2 } { L _ { \omega } } \; , \; \sum _ { t = 1 } ^ { \infty } \delta _ { \omega } ^ { t } = \infty , \quad \sum _ { t = 1 } ^ { \infty } ( \delta _ { \omega } ^ { t } ) ^ { 2 } < \infty , } \\ { \delta _ { z } ^ { t } } & { < \frac { 2 } { L _ { z } } , \; \sum _ { t = 1 } ^ { \infty } \delta _ { z } ^ { t } = \infty , \quad \sum _ { t = 1 } ^ { \infty } ( \delta _ { z } ^ { t } ) ^ { 2 } < \infty . } \end{array}
m _ { G } ^ { 2 } \; = \; - 2 e ^ { 2 } \int _ { { \mathcal R } } \frac { d ^ { 2 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } \, \frac { \partial } { \partial p _ { \mu } } \left[ \frac { \Lambda ^ { 2 } } { p ^ { 2 } ( p ^ { 2 } + \Lambda ^ { 2 } ) } p _ { \mu } \right] \; ,
{ \cal U } _ { w a l l } \left( r \right) = \left\{ \begin{array} { l l l } { \varepsilon _ { w a l l } \left( r - R + a \right) ^ { n } / a ^ { n } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } } & { R - a \leq r < R , } \\ { 0 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } } & { r < R - a , } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } { \Phi ( z ) } & { { } = P ( Z \leq z ) = 1 - { \frac { \alpha } { 2 } } = 0 . 9 7 5 , } \\ { z } & { { } = \Phi ^ { - 1 } ( \Phi ( z ) ) = \Phi ^ { - 1 } ( 0 . 9 7 5 ) = 1 . 9 6 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { h _ { 1 } ( r _ { * } ) } & { { } = P _ { - \frac { 1 } { 2 } } ( \operatorname { t a n h } r _ { * } ) , } \\ { h _ { 2 } ( r _ { * } ) } & { { } = Q _ { - \frac { 1 } { 2 } } ( \operatorname { t a n h } r _ { * } ) . } \end{array}
\int _ { - \infty } ^ { \infty } f ( \eta ) d \eta = \int _ { - \infty } ^ { \infty } K _ { 0 } \cdot e ^ { - \frac { \eta ^ { 2 } } { 4 D } } \left( 1 - \frac { 1 } { 2 D } \eta ^ { 2 } \right) d \eta = 0 .
\left\{ \begin{array} { l l } { f ( x ) = x ^ { 3 } - ( \textbf { k } - \varphi + 1 ) x ^ { 2 } - ( \varphi - 1 ) x + ( \varphi - 1 ) ( \textbf { k } - \varphi ) + 1 } & { \mathrm { ~ i f ~ } \varphi \mathrm { ~ i s ~ e v e n , } } \\ { g ( x ) = x ^ { 4 } - ( \textbf { k } - \varphi + 1 ) x ^ { 3 } - ( \varphi - 1 ) x ^ { 2 } + ( ( \varphi - 1 ) ( \textbf { k } - \varphi ) + 2 ) x - ( \textbf { k } - \varphi ) } & { \mathrm { ~ i f ~ } \varphi \mathrm { ~ i s ~ o d d } . } \end{array} \right.
\frac { \partial u } { \partial t } + \ldots + \underbrace { \nabla p } _ { \mathrm { ~ p ~ r ~ e ~ s ~ s ~ u ~ r ~ e ~ g ~ r ~ a ~ d ~ i ~ e ~ n ~ t ~ } } = \underbrace { b \hat { k } } _ { \mathrm { ~ g ~ r ~ a ~ v ~ i ~ t ~ y ~ } } ,
A ^ { s } ( { \bf k } ) \equiv A _ { k } ^ { s } \equiv \frac { k ^ { 2 } k _ { \perp } } { k _ { \parallel } } \left( \hat { \phi } _ { k } ^ { u } - s \frac { k _ { \parallel } } { k } \hat { \phi } _ { k } ^ { b } \right) \, ,
\tilde { E } _ { a , b ; \mathscr { n } } = \mathscr { n } ^ { 2 } + 2 \left( 1 - 2 \nu _ { a , b } \right) \mathscr { n } + 1 - 2 \nu _ { a , b } + V _ { a , b } ^ { ( 0 ) } \quad , \quad \mathscr { n } \in \mathbb { Z } _ { + } \; ,
C _ { 1 } \left[ \frac { \sqrt { 4 \alpha c _ { \epsilon } } } { \epsilon x ^ { \frac { \epsilon } { 2 } } } J _ { { \lambda } - 1 } \left( \frac { \sqrt { 4 \alpha c _ { \epsilon } } } { \epsilon x ^ { \frac { \epsilon } { 2 } } } \right) \right] _ { x = a } = 0 \; \; \; .
\mathcal { W } _ { p l } = \mathop { \sum _ { i = 1 } ^ { n + 1 } } \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { z _ { i } ^ { m i n } } ^ { z _ { i } ^ { m a x } } \frac { \boldsymbol { z } \cdot \boldsymbol { T } _ { i } \times \frac { d \boldsymbol { T } _ { i } } { d z } } { 1 + | \boldsymbol { z } \cdot \boldsymbol { T } _ { i } | } d z ,
\begin{array} { r l r } { \frac { d a _ { a s } } { d t } } & { { } = } & { ( - i \Delta _ { 1 } - \frac { \gamma _ { \mathrm { o } } } { 2 } ) a _ { a s } ( k ) - i g _ { o m } b _ { a c } ( q ) + \sqrt { \gamma _ { \mathrm { o } } } \xi _ { a s } , } \\ { \frac { d b _ { a c } } { d t } } & { { } = } & { ( - i \Delta _ { 2 } - \frac { \Gamma _ { \mathrm { m } } } { 2 } ) b _ { a c } ( q ) - i g _ { o m } a _ { a s } ( k ) + \sqrt { \Gamma _ { \mathrm { m } } } \xi _ { a c } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \exp \Big ( \frac { 1 } { i \lambda } \hat { H } _ { F } T \Big ) \equiv \hat { U } ( T , 0 ) = \mathcal { T } \exp \left[ \frac { 1 } { i \lambda } \int _ { 0 } ^ { T } \hat { H } ( t ) d t \right] . \ \ } \end{array}
\hat { I } _ { t , t + 1 } = 1 \quad 1 \leq t \leq l - 2 , \quad \quad \hat { I } _ { t , t - 1 } = 1 \quad 2 \leq t \leq l - 1 , \quad \quad \hat { I } _ { l , l - 2 } = 1 \, ,
V _ { e x t } ( s ) \approx - E _ { l } s \left[ 1 - \frac { s } { R _ { m } } + \frac { 4 } { 3 } \frac { s ^ { 2 } } { R _ { m } ^ { 2 } } ( 1 - \frac { 1 } { 2 } \frac { \rho _ { 0 } ^ { 2 } } { R _ { a } ^ { 2 } } ) \right] .
\frac { E _ { \mathrm { t o r o } } ( k _ { h } , k _ { z } ) } { E ( k _ { h } , k _ { z } ) } ~ ~ ~ ~ \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } ~ ~ ~ ~ \tilde { \mathcal { D } } ( k _ { h } , k _ { z } ) = \frac { E _ { \mathrm { p o l o } } ( k _ { h } , k _ { z } ) - E _ { \mathrm { p o t } } ( k _ { h } , k _ { z } ) } { E _ { \mathrm { p o l o } } ( k _ { h } , k _ { z } ) + E _ { \mathrm { p o t } } ( k _ { h } , k _ { z } ) } ,
\begin{array} { r l } { \left| \int _ { M } u _ { 2 } ( \Phi ( t ) ) v _ { * } ^ { \prime } ( \Phi _ { 2 } ( t ) ) \Phi _ { 1 } ( t ) \mathrm { d } x \right| } & { \leq 2 \pi \| v _ { * } ^ { \prime } \| _ { L ^ { \infty } } \| { \psi } - \psi _ { * } \| _ { W ^ { 1 , 1 } } } \\ & { \leq 2 \pi \| v _ { * } ^ { \prime } \| _ { L ^ { \infty } } \| u _ { 2 } ( t ) \| _ { L ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname { v o l } ( L , \varphi , \psi ) : = \displaystyle \operatorname* { l i m s u p } _ { n \to + \infty } \frac { d ! } { n ^ { d + 1 } } \cdot \ln \frac { \| \cdot \| _ { n \psi , \operatorname* { d e t } } } { \| \cdot \| _ { n \varphi , \operatorname* { d e t } } } = \frac { 1 } { d + 1 } \operatorname { v o l } _ { \chi } ( L , \varphi , \psi ) . } \end{array}
\boldsymbol { \Delta } ( \mathbf { H } ) = \left( \left| \mathbf { R } _ { 1 1 } \right| \mathrm { T r } \left( \mathbf { R } _ { 1 1 } ^ { - 1 } \mathbf { H } _ { 1 1 } \right) , \dots , \left| \mathbf { R } _ { k k } \right| \mathrm { T r } \left( \mathbf { R } _ { k k } ^ { - 1 } \mathbf { H } _ { k k } \right) , \left| \mathbf { R } \right| \mathrm { T r } \left( \mathbf { R } ^ { - 1 } \mathbf { H } \right) \right) .
\begin{array} { r l r } & { } & { \Big | L I S ( \sigma | _ { n Q _ { \Gamma , l } ^ { \prime } } ) - 2 \sqrt { n } \Big ( \int _ { Q _ { \Gamma , l } ^ { \prime } } \rho _ { \theta } ( x , y ) d x d y \Big ) ^ { 1 \slash 2 } \Big | } \\ & { \leq } & { C _ { 1 } T ^ { - 1 \slash 2 } n ^ { 1 \slash 2 } ( c _ { l } ( \Gamma ) - a _ { l - 1 } ( \Gamma ) + d _ { l } ( \Gamma ) - b _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) } \\ & { } & { + C _ { 1 } ( T ^ { - 5 } n ^ { 1 \slash 2 } + T ^ { - 2 \slash 3 } n ^ { 1 \slash 3 } ) . } \end{array}
d \bar { s } ^ { 2 } \equiv \mathrm { e } ^ { 2 \phi } d s ^ { 2 } = \Gamma \left[ \frac { ( d t + 2 N \cos \theta \, d \varphi ) ^ { 2 } } { ( r + 2 M ) ^ { 2 } } - \frac { d r ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } - d \Omega ^ { 2 } \right]
R = \sqrt { 1 / n _ { E } \times \sum _ { i , \mathbf { Q } } 1 / \sigma _ { i , q } ^ { 2 } ( \hslash \omega _ { i , \mathbf { Q } } ^ { \mathrm { s i m } } - \hslash \omega _ { i , q } ^ { \mathrm { m e a s } } ) ^ { 2 } }
\left[ h \, , \, z \right] = z ; \quad \left[ h \, , \, x _ { \Sigma } \right] = { \o { 1 } { 2 } } \, x _ { \Sigma } ; \quad \left[ h \, , \, y ^ { \Sigma } \right] = { \o { 1 } { 2 } } \, y ^ { \Sigma }
A _ { L , i i ^ { \prime } } ^ { \mu } = \frac { 1 } { 2 \Gamma \left( 2 + \frac { n } { 2 L } ( e Q ) \right) \Gamma \left( 2 - \frac { n ^ { \prime } } { 2 L } ( e Q ) \right) } \left( \frac { { \cal P } _ { L } ^ { \mu } + { \cal P } _ { L } ^ { \mu } } { 8 \sqrt { n n ^ { \prime } } } U ^ { i } V ^ { i ^ { \prime } } - \delta ^ { \mu i } \sqrt { \frac { n } { n ^ { \prime } } } V ^ { i ^ { \prime } } - \delta ^ { \mu i ^ { \prime } } \sqrt { \frac { n ^ { \prime } } { n } } U ^ { i } \right) \times
\begin{array} { r } { d _ { \mathrm { \operatorname* { m i n } } } ( \mathbf { X } , \mathbf { Y } ) = \operatorname* { m i n } _ { t , R , P , \mathrm { i n v } } R M S D ( \mathbf { X } , \mathbf { Y ^ { \prime } } ) \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( a ^ { \prime } , b ^ { \prime } , c ^ { \prime } , d ^ { \prime } ) _ { T } \triangleright ( a , b , c , d , \alpha , \beta ) _ { C } = } & { \delta _ { d ^ { \prime } , a } \sum _ { x , y } F _ { y a ^ { \prime } c ^ { \prime } } ^ { b ^ { \prime } b x } F _ { y b ^ { \prime } x } ^ { b d c } \overline { { F _ { y b ^ { \prime } c ^ { \prime } } ^ { a b c } } } ( a ^ { \prime } , x , y , d , \alpha , \beta ) _ { C } } \\ { ( a , b , c , d , \alpha , \beta ) _ { C } \triangleleft ( \alpha ^ { \prime } , \beta ^ { \prime } , \gamma ^ { \prime } , \delta ^ { \prime } , a ^ { \prime } ) _ { S } = } & { \delta _ { \gamma ^ { \prime } , \alpha } \delta _ { \delta ^ { \prime } , \beta } \sum _ { x , y , z , e } L _ { \beta ^ { \prime } a ^ { \prime } z } ^ { \beta \alpha ^ { \prime } e } \overline { { L _ { \beta ^ { \prime } d a ^ { \prime } } ^ { \beta \alpha e } } } F _ { y a c } ^ { b a ^ { \prime } x } F _ { y b x } ^ { a ^ { \prime } z e } \overline { { F _ { y b c } ^ { d a ^ { \prime } e } } } ( a , x , y , z , \beta ^ { \prime } , \alpha ^ { \prime } ) _ { C } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { d \mathcal { E } ^ { c } } { d t } \leq - \frac { \kappa _ { 0 } } { 2 N } \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } \phi ( r _ { j i } ) | \mathrm { \boldmath ~ v ~ } _ { j i } | ^ { 2 } \leq - \frac { \kappa _ { 0 } \phi _ { m } } { 2 N } \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } | \mathrm { \boldmath ~ v ~ } _ { j i } | ^ { 2 } \leq - \frac { \kappa _ { 0 } C _ { L } ^ { 2 } \phi _ { m } } { 2 N } \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } | \mathrm { \boldmath ~ w ~ } _ { j i } | ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { B } & { { } = \sqrt { 2 } \zeta _ { 4 } \zeta _ { _ { X = Y } } c _ { _ { X = Y } } ( 2 4 0 a _ { 1 } - 4 9 6 c _ { 0 } - 2 4 9 ) , } \\ { D } & { { } = - 3 2 0 b _ { 1 } \zeta _ { 3 } \zeta _ { _ { X = Y } } c _ { _ { X = Y } } + \zeta _ { 1 } \zeta _ { 4 } ( 1 2 8 a _ { 1 } - 2 5 6 c _ { 0 } ) , } \\ { C } & { { } = - 1 2 8 \sqrt { 2 } b _ { 1 } \zeta _ { 1 } \zeta _ { 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { \Delta t } ( f _ { i } ( \vec { x } + \vec { c } _ { i } \Delta t , t + \Delta t ) - f _ { i } ( \vec { x } , t ) ) = { \Omega _ { i } } ( \vec { f } ( \vec { x } , t ) ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { 0 } } & { { } = V _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ( q _ { t } ) , } \\ { V _ { 1 } } & { { } = V _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ^ { \prime } ( q _ { t } ) = V ^ { \prime } ( q _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } ) + V ^ { \prime \prime } ( q _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } ) \cdot ( q _ { t } - q _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } ) , } \\ { V _ { 2 } } & { { } = V _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ^ { \prime \prime } ( q _ { t } ) = V ^ { \prime \prime } ( q _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ f ~ } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { L _ { E 1 } } & { { } = } & { m \, \left[ { \bf w } \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, \left( \frac { \partial \bf x } { \partial \psi } \, \dot { \psi } + \frac { \partial \bf x } { \partial \theta } \, \dot { \theta } \right) \; - \; { \bf w } \, \mathrm { ~ \boldmath ~ \cdot ~ } \, c \, \Phi ^ { \prime } ( \psi ) \frac { \partial \bf x } { \partial \theta } \right] } \end{array}
\delta _ { \tilde { \epsilon } } x _ { i } = - i { \tilde { \epsilon } } _ { i } f _ { i j k } x _ { k } \psi _ { j } \ , \quad \delta _ { \tilde { \epsilon } } \psi _ { i } = { \tilde { \epsilon } } { \dot { x } } _ { j } f _ { j i k } x _ { k } - i { \tilde { \epsilon } } f _ { j k i } \psi _ { j } \psi _ { k }
Q \frac { \partial q ^ { \mathrm { N S } } ( x , Q ) } { \partial Q } = \frac { \alpha _ { \mathrm { s } } \left( k _ { \mathrm { R } } Q \right) } { \pi } P _ { \mathrm { q q } } ^ { \mathrm { N S , ( 0 ) } } \otimes q ^ { \mathrm { N S } } + \frac { \alpha _ { \mathrm { s } } ^ { 2 } ( k _ { \mathrm { R } } Q ) } { 2 \pi ^ { 2 } } \left[ P _ { \mathrm { q q } } ^ { \mathrm { N S , ( 1 ) } } \otimes q ^ { \mathrm { N S } } + \ln ( k _ { \mathrm { R } } ) \beta _ { 0 } P _ { \mathrm { q q } } ^ { \mathrm { N S , ( 0 ) } } \otimes q ^ { \mathrm { N S } } \right]
p \left( y ^ { * } \mid x ^ { * } , \boldsymbol { y } , \boldsymbol { x } \right) = \int _ { \boldsymbol { \theta } } p \left( y ^ { * } \mid x ^ { * } , \boldsymbol { \theta } \right) p ( \boldsymbol { \theta } \mid \boldsymbol { y } , \boldsymbol { x } ) \, d \boldsymbol { \theta } .
\rho ( \textbf { q } , t ) = \int \rho ( \textbf { r } , t ) \exp [ - i \textbf { q } \cdot \textbf { r } ] \textrm { d } ^ { 3 } \textbf { r } = \sum _ { i = 1 , N } \exp [ - i \textbf { q } \cdot \textbf { r } _ { i } ( t ) ]
d ( t , \mathbf { x } ) = \frac { 1 } { g } \int _ { - g / 2 } ^ { g / 2 } \mathbf { l } ^ { T } ( \mathbf { x } ( s ) ) \, \boldsymbol { \epsilon } ( t , \mathbf { x } ( s ) ) \, \mathbf { l } ( \mathbf { x } ( s ) ) \, d s ,
C _ { 0 a n } = \frac { 1 } { 2 \pi i } \int _ { s _ { 0 } } ^ { s _ { 1 } } \frac { ( 2 \pi i ) ^ { 2 } } { \sqrt { \lambda ( s , p _ { 2 } ^ { 2 } , p _ { 3 } ^ { 2 } ) } } \, \frac { d s } { s - p _ { 1 } ^ { 2 } } \, ,
P _ { k - \omega } = m i n \left( - \overline { { u _ { i } ^ { ' } u _ { j } ^ { ' } } } \frac { \partial \overline { { u } } _ { i } } { \partial x _ { j } } , 1 0 \beta ^ { * } \overline { { k } } \overline { { \omega } } \right) .
{ \begin{array} { r l r l } { L _ { x } L _ { x } ^ { - 1 } } & { = \mathrm { i d } \qquad } & { { \mathrm { c o r r e s p o n d i n g ~ t o } } \qquad x ( x \backslash y ) } & { = y } \\ { L _ { x } ^ { - 1 } L _ { x } } & { = \mathrm { i d } \qquad } & { { \mathrm { c o r r e s p o n d i n g ~ t o } } \qquad x \backslash ( x y ) } & { = y } \\ { R _ { x } R _ { x } ^ { - 1 } } & { = \mathrm { i d } \qquad } & { { \mathrm { c o r r e s p o n d i n g ~ t o } } \qquad ( y / x ) x } & { = y } \\ { R _ { x } ^ { - 1 } R _ { x } } & { = \mathrm { i d } \qquad } & { { \mathrm { c o r r e s p o n d i n g ~ t o } } \qquad ( y x ) / x } & { = y } \end{array} }
\begin{array} { r l r } { H _ { ( 0 , 0 ) , ( 0 , 0 ) } } & { = } & { ( 1 - x _ { 1 } ) ( 1 - x _ { 2 } ) , } \\ { H _ { ( 0 , 1 ) , ( 0 , 0 ) } } & { = } & { ( 1 - x _ { 1 } ) x _ { 2 } , } \\ { H _ { ( 1 , 0 ) , ( 0 , 0 ) } } & { = } & { x _ { 1 } ( 1 - x _ { 2 } ) , } \\ { H _ { ( 1 , 1 ) , ( 0 , 0 ) } } & { = } & { x _ { 1 } x _ { 2 } . } \end{array}
\delta n _ { L , { \vec { k } } } ( t ) = \delta n _ { L , { \vec { k } } } ( t _ { 0 } ) \left[ 1 - \alpha \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \Gamma _ { L , { \vec { k } } } ( t ^ { \prime } ) \, d t ^ { \prime } \right] ~ .
\begin{array} { l l } { { T _ { 1 1 } ^ { V _ { 2 } } = } } & { { \frac { \displaystyle - i } { \displaystyle 3 2 \pi ^ { 2 } } \, C _ { V _ { 2 } F f } \, D _ { V _ { 1 } F f } \, \Biggl [ 4 \, { { \Lambda } ^ { 2 } } + 1 5 \, { M ^ { 2 } } + 1 5 \, { { M _ { V } } ^ { 2 } } - 1 8 \left( M ^ { 2 } + M _ { V } ^ { 2 } \right) \, \log \frac { \displaystyle \Lambda ^ { 2 } } { \displaystyle M ^ { 2 } } } } \\ { { } } & { { + \frac { \displaystyle 1 8 M _ { V } ^ { 4 } } { \displaystyle M ^ { 2 } - M _ { V } ^ { 2 } } \, \log \frac { \displaystyle M ^ { 2 } } { \displaystyle M _ { V } ^ { 2 } } \Biggr ] } } \\ { { \; \; \; \; \simeq } } & { { \frac { \displaystyle - i M ^ { 2 } } { \displaystyle 3 2 \pi ^ { 2 } } \, C _ { V _ { 2 } F f } \, D _ { V _ { 1 } F f } \, \Biggl [ 4 \frac { \displaystyle \Lambda ^ { 2 } } { \displaystyle M ^ { 2 } } + 1 5 \, + 1 5 R _ { V } - 1 8 ( 1 + R _ { V } ) \log \frac { \displaystyle \Lambda ^ { 2 } } { \displaystyle M ^ { 2 } } \Biggr ] \; , } } \end{array}
\begin{array} { r l } { G } & { { } = 2 D b _ { \varepsilon } \kappa _ { E } \big ( \varepsilon - \hat { \varepsilon } _ { S } \big ) \Bigg [ 1 + \frac { 2 b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } } { \vert \varepsilon + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } \vert \sqrt { 1 + \theta } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { d x ^ { 1 } } { d t } } & { = } & { f ^ { 1 } \left( x ^ { 1 } , x ^ { 2 } , . . . , x ^ { n } \right) , } \\ { \frac { d x ^ { 2 } } { d t } } & { = } & { f ^ { 2 } \left( x ^ { 1 } , x ^ { 2 } , . . . , x ^ { n } \right) , } \\ & { } & { . . . . . . . . . . . . . . . , } \\ { \frac { d x ^ { n - 1 } } { d t } } & { = } & { f ^ { n - 1 } \left( x ^ { 1 } , x ^ { 2 } , . . . , x ^ { n } \right) , } \\ { \frac { d x ^ { n } } { d t } } & { = } & { f ^ { n } \left( x ^ { 1 } , x ^ { 2 } , . . . , x ^ { n } \right) , } \end{array}
( \ln a _ { 1 } ^ { 2 } e ^ { \phi } ) ^ { \prime } ( \ln a _ { 2 } ^ { 2 } e ^ { \phi } ) ^ { \prime } + ( \ln a _ { 2 } ^ { 2 } e ^ { \phi } ) ^ { \prime } ( \ln a _ { 3 } ^ { 2 } e ^ { \phi } ) ^ { \prime } + ( \ln a _ { 3 } ^ { 2 } e ^ { \phi } ) ^ { \prime } ( \ln a _ { 1 } ^ { 2 } e ^ { \phi } ) ^ { \prime } + ( 2 \sum V _ { i } - ( H ^ { \ast } ) ^ { 2 } ) a ^ { 6 } e ^ { 2 \phi } = \phi ^ { \prime 2 } ,
\phi ( { \bf u } ) = \exp \left[ i \, \mu _ { i } u _ { i } - { \frac { 1 } { 2 ! } } \, C _ { i j } \, u _ { i } u _ { j } + \, { \frac { 1 } { 4 ! } } \, D _ { i j k l } \, u _ { i } u _ { j } u _ { k } u _ { l } \right] \, .
\begin{array} { r } { \mathbb { A } = \left( \begin{array} { l l l l l } { R _ { 0 } } & { } & { } & { } & { } \\ { - \Tilde { Q } _ { 1 } } & { R _ { 1 } } & { } & { } & { } \\ { P _ { 2 } } & { - \Tilde { Q } _ { 2 } } & { R _ { 2 } } & { } \\ { 0 } & { P _ { 3 } } & { - \Tilde { Q } _ { 3 } } & { R _ { 3 } } & { } \\ { \vdots } & { } & { } & { } & { \ddots } \end{array} \right) } \end{array}
| n _ { 1 } , n _ { 2 } \rangle = \frac { 1 } { \sqrt { n _ { 1 } ! n _ { 2 } ! } } ( A _ { 1 } ^ { * } ) ^ { n _ { 1 } } ( A _ { 2 } ^ { * } ) ^ { n _ { 2 } } | 0 \rangle \ ,
\Sigma _ { \rho } ( p ^ { 2 } ) = \Sigma _ { \rho } ^ { A A } ( p ^ { 2 } ) + \Sigma _ { \rho } ^ { \chi \chi } ( p ^ { 2 } ) + \Sigma _ { \rho } ^ { o r d i n a r y } ( p ^ { 2 } ) = { \frac { 5 e ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } } } { \frac { 1 } { \epsilon ^ { \prime } } } p ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \Theta _ { 1 2 } = } & { \frac { n \left( \alpha + \beta + n \right) \left( \alpha + \beta + 2 n + 1 \right) } { \left( \alpha + n \right) \left( \beta + n \right) \left( \alpha + \beta + 2 n - 1 \right) \left( a - b - \alpha - \beta - n \right) \left( a - b + n \right) } \times \frac { 1 } { \left( a + b + \alpha + n \right) \left( a + b - \beta - n \right) } } \end{array}
H _ { B C _ { n } } = t r L _ { B C _ { n } } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { \mu \in \Lambda _ { B C _ { n } } } ( e ^ { \mu \cdot p } b _ { \mu } + e ^ { - \mu \cdot p } b _ { \mu } ^ { ^ { \prime } } ) .
\begin{array} { r l } & { \bar { d } ( \bar { y } _ { ( - \infty , 0 ] } , \bar { u } _ { ( - \infty , - 1 ] } , \tilde { y } _ { ( - \infty , 0 ] } , \tilde { u } _ { ( - \infty , - 1 ] } ) } \\ & { \qquad \qquad \qquad : = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } 2 ^ { - k } \frac { d _ { \mathbb { Y } } ( \bar { y } _ { k } , \tilde { y } _ { k } ) } { 1 + d _ { \mathbb { Y } } ( \bar { y } _ { k } , \tilde { y } _ { k } ) } + \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } 2 ^ { - m } \frac { d _ { \mathbb { U } } ( \bar { u } _ { m } , \tilde { u } _ { m } ) } { 1 + d _ { \mathbb { U } } ( \bar { u } _ { m } , \tilde { u } _ { m } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \pi _ { 1 } } _ { S S } ^ { * } \mathcal { O } _ { G } ( k ) \otimes { { \pi _ { 2 } } _ { S S } } ^ { * } ( \mathcal { O } _ { G } ( k ) ) ^ { \vee } } & { \cong { j _ { G S \rightarrow S S } } _ { * } ( { \pi _ { 1 } } _ { G S } ^ { * } \mathcal { O } _ { G } ( k ) ) \otimes { \pi _ { 2 } } _ { S S } ^ { * } ( \mathcal { O } _ { G } ( k ) ) ^ { \vee } } \\ & { \cong { j _ { G S \rightarrow S S } } _ { * } ( { \pi _ { 1 } } _ { G S } ^ { * } \mathcal { O } _ { G } ( k ) \otimes { \pi _ { 2 } } _ { G S } ^ { * } ( \mathcal { O } _ { G } ( k ) ) ^ { \vee } ) } \\ & { \cong { j _ { G S \rightarrow S S } } _ { * } ( { \pi _ { 1 } } _ { G S } ^ { * } \mathcal { O } _ { G } ( k ) \otimes { j _ { G G \rightarrow G S } } _ { * } { \pi _ { 2 } } _ { G G } ^ { * } ( \mathcal { O } _ { G } ( - k - 2 ) ) ) [ - 1 ] } \\ & { \cong { j _ { G G \rightarrow S S } } _ { * } ( { \pi _ { 1 } } _ { G G } ^ { * } \mathcal { O } _ { G } ( k ) \otimes { \pi _ { 2 } } _ { G G } ^ { * } \mathcal { O } _ { G } ( - k - 2 ) ) [ - 1 ] . } \end{array}
\mu _ { 1 } \frac { \omega } { c } R = \frac { i \sigma _ { m } \eta _ { 0 } ^ { - 1 } + \mu _ { h } \frac { \omega } { c } R } { \mu _ { h } i \sigma _ { e } \eta _ { 0 } ^ { } \frac { \omega } { c } R - 1 }
\begin{array} { r l } { J _ { 3 } ( t ) } & { \leq \frac { \varepsilon _ { 0 } } { 2 } \int _ { s } ^ { t } \int _ { \mathbb { T } ^ { 3 } } { { \bf 1 } } _ { [ s , \tau _ { k } ] \times \Gamma } ( | \nabla u _ { 2 } | ^ { 2 } + \| ( g _ { n , 2 } ( \cdot , u ) ) _ { n \geq 1 } \| _ { \ell ^ { 2 } } ^ { 2 } ) \, d x d r } \\ & { \qquad + C _ { \varepsilon _ { 0 } } \int _ { s } ^ { t } \int _ { \mathbb { T } ^ { 3 } } { { \bf 1 } } _ { [ s , \tau _ { k } ] \times \Gamma } ( | \nabla u _ { 1 } | ^ { 2 } + \| ( g _ { n , 1 } ( \cdot , u ) ) _ { n \geq 1 } \| _ { \ell ^ { 2 } } ^ { 2 } ) \, d x d r } \\ & { \stackrel { ( i ) } { \leq } \frac { \varepsilon _ { 0 } } { 2 } \int _ { s } ^ { t } \int _ { \mathbb { T } ^ { 3 } } { { \bf 1 } } _ { [ s , \tau _ { k } ] \times \Gamma } ( u _ { 2 } ^ { 2 } + | \nabla u _ { 2 } | ^ { 2 } + u _ { 1 } u _ { 2 } ^ { 3 } ) \, d x d r + C _ { \varepsilon _ { 0 } } \mathsf { H } ( t ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \Theta _ { \alpha \beta } = \frac { 1 } { 2 } \, \sum _ { i } e _ { i } ( 3 r _ { i _ { \alpha } } \, r _ { i _ { \beta } } \, - \, r _ { i } ^ { 2 } \delta _ { \alpha \beta } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { P r } \Big \{ \sum _ { i \in [ n ] } \jmath ( X _ { i } , Y _ { i } | D _ { 1 } , D _ { 2 } , P _ { X Y } ) \geq \log M + n \gamma \Big \} } \\ & { \leq \operatorname* { P r } \Big \{ \sum _ { i \in [ n ] } \jmath ( X _ { i } , Y _ { i } | D _ { 1 } , D _ { 2 } , P _ { X Y } ) \geq \log M + n \gamma \mathrm { ~ a n d ~ } \mathcal { C } ( D _ { 1 } , D _ { 2 } ) \Big \} } \\ & { \quad + \operatorname* { P r } \left\{ \mathcal { E } ( D _ { 1 } , D _ { 2 } ) \right\} , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { I _ { 1 } } & { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { s } b _ { i } \overline { { ( L + \gamma _ { n + c _ { i } } ) u _ { n , i } } } ~ u _ { n } , } \\ { I _ { 2 } } & { = } & { \sum _ { i = 1 } ^ { s } b _ { i } ( L + \gamma _ { n + c _ { i } } ) u _ { n , i } \overline { { u _ { n } } } , } \\ { I _ { 3 } } & { = } & { \sum _ { i , j = 1 } ^ { s } b _ { i } b _ { j } ( L + \gamma _ { n + c _ { i } } ) u _ { n , i } \overline { { ( L + \gamma _ { n + c _ { j } } ) u _ { n , j } } } . } \end{array}