harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r c l } { { \hat { S } } } & { { = } } & { { \frac { 1 } { 2 \chi } { \displaystyle \int } d ^ { \hat { d } } \hat { x } \sqrt { | \hat { g } | } \, \left[ \hat { R } + \frac { ( - 1 ) ^ { \hat { d } - 2 } } { 2 \cdot \hat { d } ! } \hat { F } _ { ( \hat { d } ) } ^ { 2 } \right] } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { + \sum _ { n } \left\{ - \frac { T _ { n } } { 2 } { \displaystyle \int } d ^ { d } \xi _ { n } \sqrt { | \gamma _ { n } | } \, \left[ \gamma _ { n } ^ { i j } \partial _ { i } \hat { X } _ { n } ^ { \hat { \mu } } \partial _ { j } \hat { X } _ { n } ^ { \hat { \nu } } \hat { g } _ { \hat { \mu } \hat { \nu } } ( \hat { X } _ { n } ) - ( \hat { d } - 3 ) \right] \right. } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { \left. + \frac { ( - 1 ) ^ { d } \mu _ { n } } { d ! } { \displaystyle \int } d ^ { d } \xi _ { n } \hat { A } _ { ( d ) \, \hat { \mu } _ { 1 } \cdots \hat { \mu } _ { d } } ( \hat { X } _ { n } ) \partial _ { i _ { 1 } } \hat { X } ^ { \hat { \mu } _ { 1 } } \cdots \partial _ { i _ { d } } \hat { X } ^ { \hat { \mu } _ { d } } \epsilon ^ { i _ { 1 } \cdots i _ { d } } \right\} \, . } } \end{array}
{ \sqrt { n } } ( { \hat { \sigma } } ^ { 2 } - \sigma ^ { 2 } ) \simeq { \sqrt { n } } ( s ^ { 2 } - \sigma ^ { 2 } ) \, { \xrightarrow { d } } \, { \mathcal { N } } ( 0 , 2 \sigma ^ { 4 } ) .
\begin{array} { r l } { I _ { o } } & { { } \propto R ( P ^ { 0 } - P ^ { 1 } ) \propto ( \sum _ { i = 0 } ^ { N - 1 } \hat { x } _ { i } \hat { y } _ { i } \sin - \phi _ { i } ) } \\ { \left( \begin{array} { l } { P ^ { 0 } } \\ { P ^ { 1 } } \end{array} \right) } & { { } \propto \frac { 1 } { 2 } \left( \begin{array} { l } { \sum _ { i = 0 } ^ { N - 1 } ( \hat { x } _ { i } - \sin \phi _ { i } \hat { y } _ { i } ) ^ { 2 } + ( \hat { y } _ { i } \cos \phi _ { i } ) ^ { 2 } } \\ { \sum _ { i = 0 } ^ { N - 1 } ( \hat { y } _ { i } \cos \phi _ { i } ) ^ { 2 } + ( \hat { x } _ { i } + \sin \phi _ { i } \hat { y } ) ^ { 2 } } \end{array} \right) } \end{array}
\psi _ { 1 2 } ( p _ { 3 0 } ) = \, { \frac { \Lambda _ { 1 2 } ^ { + + } } { ( P _ { 0 } - S ) - ( p _ { 3 0 } - h _ { 3 } ) + i \epsilon } } \, \left[ \, V _ { 1 2 } \psi _ { 1 2 } ( p _ { 3 0 } ) + V _ { 2 3 } \psi _ { 2 3 } ( h _ { 1 } ) + V _ { 3 1 } \psi _ { 3 1 } ( h _ { 2 } ) \, \right]
\begin{array} { r l } { \ddot { x } + \frac { g } { l _ { e q } } x } & { { } = 0 , } \\ { \ddot { y } + \frac { g } { l _ { e q } } y } & { { } = 0 , } \\ { \ddot { z } + \frac { 3 k } { m } z } & { { } = 0 , } \\ { \ddot { \phi } + \frac { 3 k R ^ { 2 } } { 2 I _ { x } } \phi } & { { } = 0 . } \end{array}
\frac { d A _ { q } } { d z } = - i \frac { \beta _ { q } } { | \beta _ { q } | } \sum _ { p } \sum _ { m } { \tilde { \kappa } _ { q p } } ^ { ( m ) } A _ { p } e ^ { - i ( \beta _ { q } - \beta _ { p } - m \frac { 2 \pi } { \Lambda } ) z }
[ B ( { \bf k } ; \kappa ^ { 2 } ) , B ^ { \dagger } ( { \bf \ell } ; \lambda ^ { 2 } ) ] _ { - } = 2 E _ { \kappa } ( { \bf k } ) \delta ( { \bf k } - { \bf \ell } ) \delta ( \kappa ^ { 2 } - \lambda ^ { 2 } ) \sigma ( \kappa ^ { 2 } ) ,
\eta _ { \chi } = \eta \times { \frac { P _ { \chi } } { \chi P } } = \eta \times \left( { 1 + { \frac { k T } { q } } } { \frac { \ln ( \chi ) } { V _ { \mathrm { o c } } } } \right) \times \left( { \frac { F F _ { \chi } } { F F } } \right) ,
\hat { J } \hat { L } _ { v } + \hat { \lambda } \hat { \nabla } \hat { T } \cdot \boldsymbol { \hat { n } _ { l } } - \hat { \lambda } _ { g } \hat { \nabla } \hat { T } _ { g } \cdot \boldsymbol { \hat { n } _ { l } } = 0 ,
\begin{array} { r } { \mathrm { F A } _ { g } ( \mathcal { G } ) = \frac { 1 } { \left| \mathcal { E } \right| } \sum _ { \mathcal { C } \in \mathcal { G } } | \mathcal { C } | \mathrm { F A } ( \mathcal { C } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { I } _ { x } ( x , w ) } & { { } = - \frac { 1 } { 4 \pi } \iint _ { \mathcal { S } _ { p } } \frac { x - v } { \left( \left( x - v \right) ^ { 2 } + \left( w - u \right) ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \mathrm { d } u \mathrm { d } v } \end{array}
g _ { \mu \nu } = \left[ \begin{array} { c c c c } { - ( 1 - \beta ^ { 2 } ) } & { - \beta } & { 0 } & { 0 } \\ { - \beta } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { r ^ { 2 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] .
\Delta _ { k } = \left| \begin{array} { c c c } { { D _ { 1 } ^ { 1 } } } & { { \cdots } } & { { D _ { 1 } ^ { k } } } \\ { { \vdots } } & { { } } & { { \vdots } } \\ { { D _ { k } ^ { 1 } } } & { { \cdots } } & { { D _ { k } ^ { k } } } \end{array} \right| \quad , \qquad k = 1 , \ldots , r
\eta ( t ) \stackrel { t \gg 1 } { = } { \frac { c } { \sqrt { 2 \pi } } } \; t ^ { - 3 n / 2 } \; e ^ { t } \left[ 1 - \frac { 9 n ^ { 2 } - 6 n } { 8 t } + { \cal O } ( { \frac { 1 } { t ^ { 2 } } } ) \right] .
\epsilon _ { S } ^ { ( j ) } ( x ) = 0 , \; \; \; \; \epsilon _ { I } ^ { ( j ) } ( x ) = B \sum _ { k = 1 } ^ { 1 0 } A _ { k } ^ { j } \sin \big ( k \frac { 2 \pi } { 1 0 0 0 } x + \phi _ { k } ^ { j } \big ) ,
\begin{array} { r l } { \mathbf { E } _ { R } } & { { } = e ^ { - j k _ { 1 } z _ { 1 } } + e ^ { - j k _ { 1 } z _ { 2 } } + e ^ { - j k _ { 2 } z _ { 1 } } + e ^ { - j k _ { 2 } z _ { 2 } } } \\ { \mathbf { I } } & { { } = | \mathbf { E } _ { R } | ^ { 2 } = \mathbf { E } _ { R } \mathbf { E } _ { R } ^ { * } } \end{array}
\frac { \partial f } { \partial t } + \frac { \partial \mathcal { H } ^ { \mathrm { e f f } } } { \partial \v { p } } \cdot \frac { \partial f } { \partial \v { r } } - \frac { \partial \mathcal { H } ^ { \mathrm { e f f } } } { \partial \v { r } } \cdot \frac { \partial f } { \partial \v { p } } = 0 .
< s \gamma | O _ { 7 } | b > _ { \mu _ { 0 } } = < s \gamma | O _ { 7 } | b > _ { t r e e } \left( 1 + V _ { 1 } + \frac { 8 \alpha _ { s } } { 4 \pi } \log \frac { m _ { b } } { \mu } + \left( \sqrt { Z _ { 2 } ^ { ( b ) } Z _ { 2 } ^ { ( s ) } } - 1 \right) \right) .
A = \frac { \texttt { R m a j o r \_ p } } { \texttt { A m i n o r \_ p } } = \frac { V } { 2 \pi ^ { 2 } \texttt { A m i n o r \_ p } ^ { 3 } } = \frac { V } { 2 \sqrt { \pi } \overline { S } ^ { 3 / 2 } } ,
\frac { \mathrm { N o n l i n e a r ~ t e r m } } { \mathrm { V i s c o u s ~ t e r m } } = \frac { \lvert { \bf u \cdot \nabla u } \rvert } { \lvert \nu \nabla ^ { 2 } { \bf u } \rvert } \sim \mathrm { R e } { \mathrm { R a } ^ { - 0 . 1 4 } } .
\begin{array} { r l } { \mathbf { L } } & { { } = \left( x p _ { y } - y p _ { x } \right) \mathbf { e } _ { x } \wedge \mathbf { e } _ { y } + \left( y p _ { z } - z p _ { y } \right) \mathbf { e } _ { y } \wedge \mathbf { e } _ { z } + \left( z p _ { x } - x p _ { z } \right) \mathbf { e } _ { z } \wedge \mathbf { e } _ { x } } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( i ) } & { ~ ~ \forall T > 0 , ~ ~ \operatorname* { s u p } _ { ( h , u ) \in [ 0 , 1 ] \times { \mathbb R } _ { + } } p _ { V } ( b , b - h u , \tilde { a } ; t , { \mu _ { 0 } } ) \in L ^ { 1 } ( [ 0 , T ] \times { \mathbb R } ^ { d } , d t d b d \tilde { a } ) . } \\ { ( i i ) } & { \mathrm { ~ A l m o s t ~ s u r e l y ~ i n ~ } ( m , \tilde { x } ) \in { \mathbb R } ^ { d } , \forall t > 0 , ~ ~ \operatorname* { l i m } _ { u \rightarrow 0 , u > 0 } p _ { V } ( m , m - u , \tilde { x } ; t , { \mu _ { 0 } } ) = p _ { V } ( m , m , \tilde { x } ; t , { \mu _ { 0 } } ) . } \end{array}
\int _ { - \ell \left( t \right) } ^ { \ell \left( t \right) } \left( \tilde { u } _ { x } + \tilde { u } _ { t } \right) ^ { 2 } \frac { d x } { \varphi ^ { \prime } ( t + x ) } + \int _ { - \ell \left( t \right) } ^ { \ell \left( t \right) } \left( \tilde { u } _ { x } - \tilde { u } _ { t } \right) ^ { 2 } \frac { d x } { \varphi ^ { \prime } ( t - x ) } = 8 \mathcal { S } _ { 0 } .
\ensuremath { \ddot { C } _ { \parallel } } ( k , t ) + \gamma _ { k } \ensuremath { \dot { C } _ { \parallel } } ( k , t ) + k ^ { 2 } \ensuremath { \mathrm { \ t e x t s l { v } } _ { \parallel } } ^ { 2 } \, \ensuremath { C _ { \parallel } } ( k , t ) = 0
\begin{array} { r } { P ( \widehat { L } _ { f } , t _ { f } | \widehat { L } _ { 0 } , t _ { 0 } ) = \int _ { \widehat { L } _ { \mathrm { t s } } } ^ { \infty } d \widehat { L } \ P ( \widehat { L } _ { f } , t _ { f } | \widehat { L } , t ) P ( \widehat { L } , t | \widehat { L } _ { 0 } , t _ { 0 } ) } \end{array}
\mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { A } \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { z } } _ { B } ( \mathrm { y _ { A } ^ { 2 } + \mathrm { x _ { A } ^ { 2 } ) + \mathrm { s _ { A } ^ { 2 } \mathrm { z _ { A } \mathrm { s _ { B } ^ { 2 } \mathrm { \overline { { z } } _ { B } ( \mathrm { x _ { B } ^ { 2 } + \mathrm { y _ { B } ^ { 2 } ) } } } } } } } } } } } }
\frac { d D } { d \mathbf { r } ^ { \prime } } \biggr \rvert _ { \mathbf { r } ^ { \prime } = \hat { \mathbf { r } } } = \sum _ { l = 1 } ^ { n _ { L } } 2 ( \hat { \mathbf { r } } - \mathbf { r } _ { l } ) - 2 [ ( \hat { \mathbf { r } } - \mathbf { r } _ { l } ) \cdot \mathbf { w } _ { l } ] \mathbf { w } _ { l } = \mathbf { 0 } .
\begin{array} { r l } { R H S } & { = \epsilon _ { 2 } ( t ) \psi _ { 1 } + \left( \frac { p ^ { 2 } + \omega _ { c } ^ { 2 } x ^ { 2 } } { 2 } \right) \psi _ { 1 } + \hat { H } _ { 1 } \psi _ { 1 } + \langle \psi _ { 2 } | \hat { V } | \psi _ { 2 } \rangle \psi _ { 1 } } \\ & { = \left( \frac { p ^ { 2 } + \omega _ { c } ^ { 2 } x ^ { 2 } } { 4 } \right) \psi _ { 1 } \psi _ { 1 } + \hat { H } _ { 1 } \psi _ { 1 } + \hat { V } _ { 1 } \psi _ { 1 } } \\ & { + \left[ - i \hbar \langle \psi _ { 2 } | \frac { \partial \psi _ { 2 } } { \partial t } \rangle + \langle \psi _ { 2 } | \hat { H } _ { 2 } | \psi _ { 2 } \rangle + \left( \frac { p ^ { 2 } + \omega _ { c } ^ { 2 } x ^ { 2 } } { 4 } \right) + \langle \psi _ { 2 } | \hat { V } _ { 1 } | \psi _ { 2 } \rangle \right] \psi _ { 1 } } \\ & { = i \hbar \frac { \partial \psi _ { 1 } } { \partial t } } \\ & { = L H S . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { | \delta \varphi | } & { { } = } & { \left| \frac { \pi } { \left( \frac { \lambda } { 2 \sin ( \theta / 2 ) } \right) } x \frac { 1 } { 2 } \rho ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { z _ { 0 } ^ { 2 } - \sin ^ { 2 } ( \theta / 2 ) x ^ { 2 } } - \frac { 1 } { 2 z _ { 0 } ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \sin ^ { 2 } ( \theta / 2 ) x ^ { 2 } } \right) \right| } \end{array}
\hat { H } _ { \mathrm { ~ a ~ t ~ o ~ m ~ } , \sigma } = \int \frac { d ^ { 3 } k } { \left( 2 \pi \right) ^ { 3 } } \left( \frac { \hbar ^ { 2 } k ^ { 2 } } { 2 m } + E _ { \sigma } \right) \hat { a } _ { \sigma , \vec { k } } ^ { \dagger } \hat { a } _ { \sigma , \vec { k } }
\left\{ \begin{array} { l } { { { \psi } ^ { \pm j } ( \sigma , \tau ) = \sqrt { \alpha ^ { \prime } } \sum _ { n \in Z } { d _ { n } } ^ { \pm j } \exp [ - i n ( \tau + \sigma ) ] } } \\ { { { \tilde { \psi } } ^ { \pm j } ( \sigma , \tau ) = \sqrt { \alpha ^ { \prime } } \sum _ { n \in Z } { d _ { n } } ^ { \pm j } \exp [ - i n ( \tau - \sigma ) ] \; , } } \end{array} \right.
{ \cal L } \, = \, { \cal L } _ { k i n } \, + \, { \cal L } _ { P a u l i } \, + \, { \cal L } _ { m a s s m a t r i x } \, + \, { \cal L } _ { p o t e n t i a l } \, + \, { \cal L } _ { 4 f e r m i }
( M ^ { \mu \nu } , M ^ { \rho \sigma } ) _ { D B } = \eta ^ { \mu \rho } M ^ { \nu \sigma } + \eta ^ { \nu \sigma } M ^ { \mu \rho } - \eta ^ { \mu \sigma } M ^ { \nu \rho } - \eta ^ { \nu \rho } M ^ { \mu \sigma } ,
\begin{array} { r l r } { d X _ { t } ^ { ( 1 ) } } & { { } = } & { - \alpha ( \lambda ) ( X _ { t } ^ { ( 1 ) } - \mu ( \lambda ) ) d t + \sigma d B _ { t } , } \\ { d X _ { t } ^ { ( 2 ) } } & { { } = } & { - A ( X _ { t } ^ { ( 2 ) } - \mu ( \lambda ) ) ^ { 2 } d t , } \end{array}
\gamma _ { h a r m } ^ { ( k ) } = \left\{ \begin{array} { l l } { 2 \Omega _ { k } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } 2 \Omega _ { k } \geq \gamma _ { 0 } , } \\ { \gamma _ { 0 } } & { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ w ~ i ~ s ~ e ~ . ~ } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { \rho _ { a } } [ \nabla _ { \theta } g ( \theta ) ] = \nabla _ { m } \mathbb { E } _ { \rho _ { a } } [ g ( \theta ) ] = \mathrm { C o v } [ g ( \theta ) , \theta ] C ^ { - 1 } , } \\ & { \mathbb { E } _ { \rho _ { a } } [ \nabla _ { \theta } \nabla _ { \theta } f ( \theta ) ] = \mathrm { C o v } [ \nabla _ { \theta } f ( \theta ) , \theta ] C ^ { - 1 } = - C ^ { - 1 } \mathbb { E } _ { \rho _ { a } } \Bigl [ \bigl ( C - ( \theta - m ) ( \theta - m ) ^ { T } \bigr ) f \Bigr ] C ^ { - 1 } . } \end{array}
a _ { \kappa _ { \perp } m _ { \mathsf { t a m } } } ( { \bf k } _ { \perp } ) = ( - i ) ^ { m _ { \mathsf { t a m } } } e ^ { i m _ { \mathsf { t a m } } \phi _ { k } } \sqrt { \frac { 2 \pi } { k _ { \perp } } } \delta ( k _ { \perp } - \kappa _ { \perp } ) \, .
\tilde { \bf w } _ { k } = \sqrt { p _ { k } } \frac { \left( { \bf I } + \sum _ { j = 1 } ^ { K } \frac { q _ { j } } { \sigma _ { j } ^ { 2 } } \tilde { \bf h } _ { j } \tilde { \bf h } _ { j } ^ { \dag } \right) ^ { - 1 } \tilde { \bf h } _ { k } } { \| \left( { \bf I } + \sum _ { j = 1 } ^ { K } \frac { q _ { j } } { \sigma _ { j } ^ { 2 } } \tilde { \bf h } _ { j } \tilde { \bf h } _ { j } ^ { \dag } \right) ^ { - 1 } \tilde { \bf h } _ { k } \| } ,
\begin{array} { r } { \mathbb { A } _ { k } \sim \left( \begin{array} { l l } { \gamma q _ { k } ^ { 2 } } & { \kappa - \delta } \\ { \kappa + \delta } & { \beta } \end{array} \right) \, , ~ \mathrm { ~ a ~ s ~ } ~ k \rightarrow \infty \, , } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { V _ { e } / m ^ { 2 } } } & { { = } } & { { \displaystyle + [ D ( k _ { 1 } + p ) D _ { m } ( k _ { 1 } ) + D ( k _ { 1 } ) D _ { m } ( k _ { 1 } + p ) ] } } \\ { { } } & { { } } & { { \displaystyle \times [ D ( k _ { 2 } + p ) D _ { m } ( k _ { 2 } ) + D ( k _ { 2 } ) D _ { m } ( k _ { 2 } + p ) ] K _ { 1 2 } } } \\ { { } } & { { } } & { { \displaystyle + D _ { m } ( k _ { 2 } ) [ D ( k _ { 2 } + p ) - D ( k _ { 2 } - p ) ] D _ { m } ( k _ { 1 } + k _ { 2 } ) D ( k _ { 1 } + k _ { 2 } + p ) K _ { 1 } , } } \end{array}
I _ { G L S } \! \! = \! \! \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { d x } { 2 x } \left[ x F _ { 3 } ^ { \nu p } ( x ) + x F _ { 3 } ^ { \bar { \nu } p } ( x ) \right] \! \! = \! \! N _ { u } + N _ { d } \! = \! 3 .
\begin{array} { r } { r . h . s . = G _ { l ^ { \prime \prime } L l } ^ { m ^ { \prime \prime } M m } [ \epsilon _ { i - r a d i a l } ^ { ( 1 ) } \delta _ { l ^ { \prime \prime } l } \delta _ { m ^ { \prime \prime } m } - V _ { \mu } ^ { ( 1 ) } ( r ) ] u _ { i , l } ( r ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \sigma . ( g X _ { 1 } , \ldots , g X _ { n } ) } & { = } & { ( g X _ { \sigma ^ { - 1 } ( 1 ) } , \ldots , g X _ { \sigma ^ { - 1 } ( n ) } ) } \\ & { = } & { g ( X _ { \sigma ^ { - 1 } ( 1 ) } , \ldots , X _ { \sigma ^ { - 1 } ( n ) } ) } \\ & { = } & { g ( \sigma . ( X _ { 1 } , \ldots , X _ { n } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | R _ { 1 1 } | } & { \leq C \sum _ { i = 1 } ^ { n } \int _ { - 1 } ^ { 1 } \Big ( | t | + \| \xi _ { b , i } \| _ { 1 } + \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \| \bar { D } _ { j n } - \bar { D } _ { j n , i ^ { * } } \| _ { 1 } \Big ) k _ { b , i } ( t ) d t } \\ & { \leq C \left( \sum _ { i = 1 } ^ { n } \| \xi _ { b , i } \| _ { 3 } ^ { 3 } + \sum _ { i = 1 } ^ { n } \| \xi _ { b , i } \| _ { 2 } ^ { 2 } \| \xi _ { b , i } \| _ { 1 } + \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \| \xi _ { b , i } \| _ { 2 } ^ { 2 } \| \bar { D } _ { j n } - \bar { D } _ { j n , i ^ { * } } \| _ { 1 } \right) } \\ & { \leq C \left( \beta _ { 2 } + \beta _ { 3 } + \sum _ { i = 1 } ^ { n } \| \xi _ { b , i } \| _ { 2 } ^ { 2 } \| \xi _ { b , i } \| _ { 2 } + \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \| \xi _ { b , i } \| _ { 2 } ^ { 2 } \| \bar { D } _ { j n } - \bar { D } _ { j n , i ^ { * } } \| _ { q _ { j } } \right) \mathrm { ~ f o r ~ } 0 \leq x < 1 , } \end{array}
\hat { \Psi } ^ { a b } \star \hat { \Phi } ^ { b c } ( \ell _ { a } , r _ { b } ) = \int \prod _ { \sigma } d y ( \sigma ) \hat { \Psi } ^ { a b } ( \ell _ { a } , y _ { b } ) \hat { \Phi } ^ { b c } ( y _ { b } , r _ { c } ) .
\begin{array} { r l } & { \rho _ { \uparrow } \left( \lambda _ { 1 } ( v _ { 1 } + v ) + \sum _ { i = 2 } ^ { d } \lambda _ { i } v _ { i } \right) = \rho _ { \uparrow } \left( \lambda _ { 1 } v _ { 1 } + \left( \lambda _ { 1 } v + \sum _ { i = 2 } ^ { d } \lambda _ { i } v _ { i } \right) \right) = \rho _ { \uparrow } ( \lambda _ { 1 } v _ { 1 } ) } \\ & { = \rho _ { \uparrow } ( v _ { 1 } ) - \nu _ { \uparrow } ( \lambda _ { 1 } ) = \rho _ { \uparrow } ( v _ { 1 } + v ) - \nu _ { \uparrow } ( \lambda _ { 1 } ) } \\ & { = \operatorname* { m a x } \left\{ \rho _ { \uparrow } ( v _ { 1 } + v ) - \nu _ { \uparrow } ( \lambda _ { 1 } ) , \rho _ { \uparrow } ( v _ { 2 } ) - \nu _ { \uparrow } ( \lambda _ { 2 } ) , \ldots , \rho _ { \uparrow } ( v _ { d } ) - \nu _ { \uparrow } ( \lambda _ { d } ) \right\} . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left| \left\langle \partial _ { x } ^ { s - 2 } \left( u \partial _ { x } v ^ { 1 } + w \partial _ { z } v ^ { 1 } + u ^ { 2 } \partial _ { x } v + w ^ { 2 } \partial _ { z } v \right) , \frac { \partial _ { x } ^ { s - 2 } v } { \partial _ { z } v ^ { 1 } } \right\rangle \right| \leq C _ { \rho , \kappa , \nu } \| u \| _ { \widehat { s - 2 } } ^ { 2 } ( 1 + \| u ^ { 1 } \| _ { \tilde { s } } ^ { 2 } + \| u ^ { 2 } \| _ { \tilde { s } } ^ { 2 } ) . } \end{array}
\frac { \partial B } { \partial t } = \frac { \partial ^ { 2 } B } { \partial z ^ { 2 } } - \frac { e ^ { \frac { - z ^ { 2 } } { 1 + 4 t } } \Gamma _ { w } / D _ { s } ( 2 + 3 2 t ^ { 2 } + 4 t ( 4 + \Gamma _ { w } / D _ { s } z ^ { 2 } ) + \Gamma _ { w } / D _ { s } ( z ^ { 2 } - z ^ { 4 } ) ) } { 3 ( 1 + 4 t ) ^ { 9 / 2 } } .
\begin{array} { r } { S _ { 1 4 } ^ { q } = \frac { - 2 e ^ { 2 } } { h } ( 1 - p ) ( 1 + R ) \bigg ( 2 k _ { B } \mathcal { T } + 4 p } \\ { \times \bigg ( e V \coth \left[ \frac { e V } { 2 k _ { B } \mathcal { T } } \right] - 2 k _ { B } \mathcal { T } \bigg ) \bigg ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial u _ { i } } { \partial x _ { i } } } & { { } = 0 , } \\ { \frac { \partial u _ { i } } { \partial t } + \frac { \partial u _ { i } u _ { j } } { \partial x _ { j } } = - } & { { } \frac { \partial p } { \partial x _ { i } } + \nu \frac { \partial ^ { 2 } u _ { i } } { \partial x _ { j } x _ { j } } + \mathcal { F } _ { i } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \Pi } _ { i } ^ { D } } & { = \frac { 1 } { 2 0 } ( \mathbb { I } + \hat { n } _ { i } \cdot \vec { \sigma } ) ~ ~ ~ ~ \mathrm { w i t h } ~ ~ \hat { n } _ { i } \in \left\{ \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } ( \pm 1 , \pm 1 , \pm 1 ) \right\} } \\ & { \mathrm { o r ~ w i t h } ~ ~ \hat { n } _ { i } \in \left\{ \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \phi ^ { 4 } } } ( 0 , \pm 1 , \pm \phi ^ { 2 } ) , \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \phi ^ { 4 } } } ( \pm \phi ^ { 2 } , 0 , \pm 1 ) , \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \phi ^ { 4 } } } ( \pm 1 , \pm \phi ^ { 2 } , 0 ) \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial \partial _ { J } u \wedge A } & { = \partial \partial _ { J } u \wedge ( \frac { n \widetilde { \Omega } ^ { n - 1 } \wedge \Omega } { \Omega ^ { n } } \Omega ^ { n - 1 } - \widetilde { \Omega } ^ { n - 1 } ) } \\ & { = ( S _ { 1 } ( \partial \partial _ { J } u ) \Omega - \partial \partial _ { J } u ) \wedge \widetilde { \Omega } ^ { n - 1 } } \\ & { = ( n - 1 ) ( \widetilde { \Omega } ^ { n } - \Omega _ { h } \wedge \widetilde { \Omega } ^ { n - 1 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \mathcal { H } _ { S , v } | } & { > | \mathcal { H } | - | S | \cdot \left( \frac { 1 } { 8 } + 3 \sqrt { \delta } \right) n ^ { 2 } + | S | \cdot \left( \left( \frac { 1 } { 8 } + \varepsilon \right) n ^ { 2 } - | S | \cdot n \right) } \\ & { \geqslant \left( \frac { 1 } { 2 4 } - \delta \right) n ^ { 3 } + | S | \left( \varepsilon - 4 \sqrt { \delta } \right) n ^ { 2 } \geqslant \left( \frac { 1 } { 2 4 } - \delta \right) n ^ { 3 } + \left( \sqrt { \delta } n - 1 \right) \left( \varepsilon - 4 \sqrt { \delta } \right) n ^ { 2 } } \\ & { \geqslant \left( \frac { 1 } { 2 4 } - \delta + \sqrt { \delta } \left( \varepsilon - 4 \sqrt { \delta } \right) \right) n ^ { 3 } - \varepsilon n ^ { 2 } > \left( \frac { 1 } { 2 4 } + \delta \right) n ^ { 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Dot { x _ { 1 } } = \left( \nu _ { 1 1 } ^ { \prime + } - \nu _ { 1 1 } ^ { \prime - } \right) k _ { 1 } ^ { \prime } x _ { 1 } ^ { \nu _ { 1 1 } ^ { \prime - } } x _ { 2 } ^ { \nu _ { 2 1 } ^ { \prime - } } x _ { 3 } ^ { \nu _ { 3 1 } ^ { \prime - } } , } \\ & { \Dot { x _ { 2 } } = \left( \nu _ { 2 1 } ^ { \prime + } - \nu _ { 2 1 } ^ { \prime - } \right) k _ { 1 } ^ { \prime } x _ { 1 } ^ { \nu _ { 1 1 } ^ { \prime - } } x _ { 2 } ^ { \nu _ { 2 1 } ^ { \prime - } } x _ { 3 } ^ { \nu _ { 3 1 } ^ { \prime - } } , } \\ & { \Dot { x _ { 3 } } = \left( \nu _ { 3 1 } ^ { \prime + } - \nu _ { 3 1 } ^ { \prime - } \right) k _ { 1 } ^ { \prime } x _ { 1 } ^ { \nu _ { 1 1 } ^ { \prime - } } x _ { 2 } ^ { \nu _ { 2 1 } ^ { \prime - } } x _ { 3 } ^ { \nu _ { 3 1 } ^ { \prime - } } , } \\ & { \Dot { x _ { \ell } } = \nu _ { \ell 1 } ^ { \prime + } k _ { 1 } ^ { \prime } x _ { 1 } ^ { \nu _ { 1 1 } ^ { \prime - } } x _ { 2 } ^ { \nu _ { 2 1 } ^ { \prime - } } x _ { 3 } ^ { \nu _ { 3 1 } ^ { \prime - } } , \quad \ell \in I . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { s u p } _ { \vec { b } \in \mathbb { N } _ { 0 } ^ { \nu } , \ | \vec { b } | = \mathtt { b } _ { 0 } } \mathfrak { M } _ { \partial _ { \varphi } ^ { \vec { b } } ( d _ { i } \Psi _ { n } ( i _ { 0 } ) [ \hat { \textbf { \i } } ] ) } ^ { \sharp } ( 0 , s _ { 0 } ) } \\ & { \quad \le _ { \mathtt { p e } } \left( \varepsilon ^ { 3 } \gamma ^ { - 3 } N _ { n } ^ { 2 \tau + 1 } \operatorname* { s u p } _ { \vec { b } \in \mathbb { N } _ { 0 } ^ { \nu } , \ | \vec { b } | = \mathtt { b } _ { 0 } } \mathfrak { M } _ { \partial _ { \varphi } ^ { \vec { b } } ( \mathcal { R } _ { n } ) } ^ { \sharp } ( 0 , s _ { 0 } ) \rVert \hat { \textbf { \i } } \rVert _ { s _ { 0 } + \mu _ { \mathtt { p } } } + \gamma ^ { - 1 } N _ { n } ^ { \tau } \operatorname* { s u p } _ { \vec { b } \in \mathbb { N } _ { 0 } ^ { \nu } , \ | \vec { b } | = \mathtt { b } _ { 0 } } \mathfrak { M } _ { \partial _ { \varphi } ^ { \vec { b } } ( d _ { i } \mathcal { R } _ { n } ( i _ { 0 } ) [ i \hat { ] } ) } ^ { \sharp } ( 0 , s _ { 0 } ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \dot { \hat { a } } \ } & { = } & { - \left( \mathrm { i } \Delta + \frac { \kappa } { 2 } \right) \hat { a } - \sum _ { i } ^ { N } \mathrm { i } G _ { i } \hat { q } _ { i } + \sqrt { \kappa } \hat { a } ^ { \mathrm { i n } } , } \\ { \dot { \hat { q } } _ { i } } & { = } & { \ \Omega _ { i } \hat { p } _ { i } , } \\ { \dot { \hat { p } } _ { i } } & { = } & { - \Omega _ { i } \hat { q } _ { i } - \gamma _ { i } \hat { p } _ { i } - G _ { i } \left( \hat { a } + \hat { a } ^ { \dagger } \right) - f _ { i } + \hat { \xi } _ { i } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathfrak { M } _ { \partial _ { \varphi } ^ { \vec { b } } ( \mathcal { A } \mathcal { B } ) } ^ { \sharp , \gamma } ( 0 , s ) } & { \le C ( \vec { b } ) \left( \mathfrak { M } _ { \partial _ { \varphi } ^ { \vec { b } } ( \mathcal { A } ) } ^ { \sharp , \gamma } ( 0 , s ) \mathfrak { M } _ { \mathcal { B } } ^ { \sharp , \gamma } ( 0 , s _ { 0 } ) + \mathfrak { M } _ { \partial _ { \varphi } ^ { \vec { b } } ( \mathcal { A } ) } ^ { \sharp , \gamma } ( 0 , s _ { 0 } ) \mathfrak { M } _ { \mathcal { B } } ^ { \sharp , \gamma } ( 0 , s ) \right. } \\ & { \left. \ + \mathfrak { M } _ { \mathcal { A } } ^ { \sharp , \gamma } ( 0 , s ) \mathfrak { M } _ { \partial _ { \varphi } ^ { \vec { b } } ( \mathcal { B } ) } ^ { \sharp , \gamma } ( 0 , s _ { 0 } ) + \mathfrak { M } _ { \mathcal { A } } ^ { \sharp , \gamma } ( 0 , s _ { 0 } ) \mathfrak { M } _ { \partial _ { \varphi } ^ { \vec { b } } ( \mathcal { B } ) } ^ { \sharp , \gamma } ( 0 , s ) \right) } \end{array}