harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left\{ \begin{array} { l } { \partial _ { t } ^ { 2 } u _ { a } - \Delta _ { a } u _ { a } = \mathcal { N } _ { a } ( \nabla _ { t , x } u _ { 1 } , \nabla _ { t , x } u _ { 2 } ) , \quad a \in \{ 1 , 2 \} , } \\ { \Delta _ { 1 } : = \partial _ { x _ { 1 } } ^ { 2 } + \partial _ { x _ { 2 } } ^ { 2 } + \partial _ { x _ { 3 } } ^ { 2 } , \quad \Delta _ { 2 } : = \partial _ { x _ { 1 } } ^ { 2 } + c _ { 1 } ^ { 2 } \partial _ { x _ { 2 } } ^ { 2 } + c _ { 2 } ^ { 2 } \partial _ { x _ { 3 } } ^ { 2 } , } \\ { u _ { a } = f _ { a } , \quad \partial _ { t } u _ { a } = g _ { a } , \quad a = 1 , 2 , } \end{array} \right.
\hat { F _ { r z } } ^ { U ( 4 ) } = \hat { F _ { r z } } ^ { S U ( 4 ) } + \hat { F _ { r z } } ^ { U ( 1 ) } - i [ \hat { A _ { r } } ^ { U ( 1 ) } , \hat { A _ { z } } ^ { S U ( 4 ) } ] _ { * } ,
I _ { \mathrm { D } } = { \frac { \mu _ { n } C _ { \mathrm { o x } } } { 2 } } { \frac { W } { L } } \left[ V _ { \mathrm { G S } } - V _ { \mathrm { t h } } \right] ^ { 2 } \left[ 1 + \lambda ( V _ { \mathrm { D S } } - V _ { \mathrm { D S s a t } } ) \right] .
\left[ \begin{array} { l } { \dot { x } } \\ { \ddot { x } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l } { 0 } & { 1 } \\ { - \omega ^ { 2 } } & { - \Gamma } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { x } \\ { \dot { x } } \end{array} \right] - \left[ \begin{array} { l } { 0 } \\ { \frac { 1 } { m } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l } { K _ { 0 } } & { K _ { 1 } } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l } { x - x _ { t } } \\ { \dot { x } - \dot { x } _ { t } } \end{array} \right]
\frac { \delta ^ { 2 } \mathcal { A } } { \delta x _ { \mu } ( s ) \delta x _ { \mu } ( s ^ { \prime } ) } \propto \frac { 1 } { | s - s ^ { \prime } | ^ { 4 } } ( 1 - D ) ( 1 - \dot { \phi } ^ { 2 } ) + \frac { 1 } { | s - s ^ { \prime } | ^ { 2 } } \left( \frac { 1 - D } { 1 2 } \dot { \phi } \stackrel { { \, . . . } } { \phi } + \frac { 3 - D } { 4 } \ddot { \phi } ^ { 2 } \right) .
- \eta ^ { \mu \nu } \partial _ { \mu } \, \partial _ { \nu } \psi \equiv \sum _ { \mu = 0 } ^ { \mu = 3 } \sum _ { \nu = 0 } ^ { \nu = 3 } - \eta ^ { \mu \nu } \partial _ { \mu } \, \partial _ { \nu } \psi = { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } \partial _ { 0 } ^ { 2 } \psi - \sum _ { \nu = 1 } ^ { \nu = 3 } \partial _ { \nu } \, \partial _ { \nu } \psi = { \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } } \psi - \mathbf { \nabla } ^ { 2 } \psi .
\Gamma ( \eta ^ { \prime } \rightarrow \eta \pi ^ { + } \pi ^ { - } ) = 2 \Gamma ( \eta ^ { \prime } \rightarrow \eta \pi ^ { 0 } \pi ^ { 0 } ) = { \frac { 1 } { 2 m _ { \eta ^ { \prime } } } } \int | M | ^ { 2 } d \Phi ,
\begin{array} { r l } & { M ^ { \mathrm { A I W } } ( \rho ) \sigma = \psi _ { \sigma } , \quad \forall ~ \sigma \in T _ { \rho } \mathcal { P } , } \\ & { M ^ { \mathrm { A I W } } ( \rho ) ^ { - 1 } \psi = - \nabla _ { \theta } \cdot ( \rho P ( \theta , \rho ) \nabla _ { \theta } \psi ) , \quad \forall ~ \psi \in T _ { \rho } ^ { * } \mathcal { P } . } \end{array}
n _ { \mathrm { ~ S ~ O ~ A ~ P ~ , ~ m ~ a ~ x ~ } } ^ { \mathrm { s h o r t } } = 1 2 , l _ { \mathrm { ~ S ~ O ~ A ~ P ~ , ~ m ~ a ~ x ~ } } ^ { \mathrm { s h o r t } } = 6 , n _ { \mathrm { ~ S ~ O ~ A ~ P ~ , ~ m ~ a ~ x ~ } } ^ { \mathrm { l o n g } } = 6 ,
\begin{array} { r l } { \frac { u f ( \cdot , u ) } { \zeta - 1 } + } & { \frac { 1 } { 2 } \| ( g _ { n } ( \cdot , u ) ) _ { n \geq 1 } \| _ { \ell ^ { 2 } } ^ { 2 } + \varepsilon \operatorname* { s u p } _ { | y | \leq | u | } | \normalfont { \mathrm { d i v } } _ { x } F ( \cdot , x , y ) | ^ { 2 } } \\ & { + \varepsilon \sum _ { k \in \{ 0 , 1 \} } \operatorname* { s u p } _ { | y | \leq | u | } \| ( \nabla _ { x } ^ { k } g _ { n } ( \cdot , x , y ) ) _ { n \geq 1 } \| _ { \ell ^ { 2 } } ^ { 2 } \leq M ( 1 + | u | ^ { 2 } ) , } \end{array}
E _ { P O V } ( r , \theta ) = i ^ { l - 1 } \frac { \omega } { \omega _ { 0 } } e x p ( i l \theta ) e x p ( - \frac { r ^ { 2 } + r _ { r } ^ { 2 } } { \omega _ { 0 } ^ { 2 } } ) I _ { l } ( \frac { 2 r _ { r } r } { \omega _ { 0 } ^ { 2 } } ) ,
{ \cal L } _ { Y } = - \sum _ { i , j = 1 } ^ { G } \left[ \hat { y } _ { i j } ^ { e } \bar { L } _ { L } ^ { i } \phi \, E _ { R } ^ { j } + \hat { y } _ { i j } ^ { d } \bar { Q } _ { L } ^ { i } \phi \, D _ { R } ^ { j } + \hat { y } _ { i j } ^ { u } \bar { Q } _ { L } ^ { i } \tilde { \phi } \, U _ { R } ^ { j } + \mathrm { h . c . } \right] ,
v _ { x } ^ { i } \approx v _ { \uparrow x } ^ { i } + \mu _ { b } ^ { i } ( v _ { \uparrow z } ^ { i } - v _ { z } ^ { i } ) = v _ { \downarrow x } ^ { i } + \mu _ { b } ^ { i } ( v _ { \downarrow z } ^ { i } - v _ { z } ^ { i } )
\left\{ F , G \right\} _ { \parallel } = \sum _ { k , l } { \frac { 1 } { n _ { k } } \left( \frac { \partial F } { \partial p _ { k , l } } \frac { \partial G } { \partial q _ { k , l } } - \frac { \partial F } { \partial q _ { k , l } } \frac { \partial G } { \partial p _ { k , l } } \right) } ,
P _ { 0 , 1 } P _ { 1 , 1 } \cdots P _ { J - 1 , 1 } \rightarrow P _ { 0 , 2 } P _ { 1 , 2 } \cdots P _ { J - 1 , 2 } \rightarrow \cdots \rightarrow P _ { 0 , \infty } P _ { 1 , \infty } \cdots P _ { J - 1 , \infty } .
F _ { k } ( z , \bar { z } ) = \prod _ { j = 0 } ^ { \infty } \left( { \frac { \gamma _ { k } ^ { - j } z - \gamma _ { k } ^ { - j - 1 } \bar { z } } { \gamma _ { k } ^ { - j - 1 } z - \gamma _ { k } ^ { - j } \bar { z } } } \right) ^ { b } .
\begin{array} { r l } { | G _ { C } ( \boldsymbol { x } , t ) - f ( \boldsymbol { x } , t ) | } & { = | \sum _ { j = 1 } ^ { \tilde { N } } \frac { 1 } { 2 } \tilde { u } _ { j } ( 2 \tilde { \sigma } ( ( \boldsymbol { \tilde { k } } _ { j } ^ { x } ) ^ { \top } \boldsymbol { x } + \tilde { k } _ { j } ^ { t } t + \tilde { b _ { j } } ) - 1 ) - f ( \boldsymbol { x } , t ) | = | \tilde { G } _ { J } ( \boldsymbol { x } , t ) - f ( x , t ) | < \frac { \epsilon } { 2 } < \epsilon . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { \xi \xi } ^ { i } } & { = g ^ { i \bar { j } } \frac { \partial } { \partial \xi } g _ { \xi \bar { j } } + g ^ { i \bar { \xi } } \frac { \partial } { \partial \xi } g _ { \xi \bar { \xi } } } \\ & { = \frac { 1 } { f } h ^ { i \bar { j } } \frac { \partial } { \partial \xi } \left( g _ { \xi \bar { \xi } } \bar { s _ { j } } \right) + g ^ { i \bar { \xi } } \frac { \partial } { \partial \xi } g _ { \xi \bar { \xi } } } \\ & { = \frac { 1 } { f } h ^ { i \bar { j } } \bar { s _ { j } } \frac { \partial } { \partial \xi } g _ { \xi \bar { \xi } } + \frac { 1 } { f } h ^ { i \bar { j } } \frac { \partial } { \partial \xi } \bar { s _ { j } } g _ { \xi \bar { \xi } } - \frac { 1 } { f } h ^ { i \bar { j } } \bar { s _ { j } } \frac { \partial } { \partial \xi } g _ { \xi \bar { \xi } } } \\ & { = \frac { 1 } { f } h ^ { i \bar { j } } g _ { \xi \bar { \xi } } \frac { \partial } { \partial \xi } \bar { s _ { j } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( S _ { 0 } - S _ { B } ) - \delta S _ { 0 } } & { { } = } & { ( \epsilon - \delta ) A - \delta C + ( 1 - \delta ) \eta _ { 0 } - \eta _ { B } } \\ { ( S _ { 0 } - S _ { B } ) + \epsilon S _ { 0 } } & { { } = } & { - ( \epsilon - \delta ) B - \epsilon C + ( 1 - \epsilon ) \eta _ { 0 } - \eta _ { B } } \end{array}
\begin{array} { r } { \overline { { g } } ( x , \zeta , \nu ) \leq \operatorname* { l i m s u p } _ { \varepsilon \searrow 0 } \frac { \mathbf { m } _ { \mathcal { G } } ( v _ { \varepsilon } , B _ { \varepsilon } ( x ) ) } { \varepsilon ^ { d - 1 } } \leq \operatorname* { l i m s u p } _ { \varepsilon \searrow 0 } \frac { 1 } { \varepsilon ^ { d - 1 } } \int _ { B _ { \varepsilon } ( x ) \cap J _ { v _ { \varepsilon } } } g ( y , [ v _ { \varepsilon } ] ( y ) , \nu _ { v _ { \varepsilon } } ( y ) ) \, d \mathcal { H } ^ { d - 1 } ( y ) . } \end{array}
\mathbf { K } _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ( \omega ) = \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ b ~ } } = \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ O ~ O ~ } } + \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ I ~ O ~ } } ^ { \mathsf { T } } ( \mathbf { A } \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ I ~ I ~ } } \mathbf { A } + 2 \mathbf { A } ) \mathbf { K } _ { \mathrm { ~ I ~ O ~ } } \, .
\delta _ { ( 1 ) } ^ { c } { \cal L } _ { A P E G T } = \int d ^ { 4 } x { \frac { C _ { 2 } \sigma ^ { 2 } g ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } } } * B _ { \mu \nu } ^ { i } ( x ) I ^ { \mu \nu , \alpha \beta } \left[ f _ { 0 } ( \alpha ) - f _ { 1 } ( \alpha ) { \frac { \partial _ { \lambda } \partial ^ { \lambda } } { M _ { A } ^ { 2 } } } + f _ { 2 } ( \alpha ) { \frac { ( \partial _ { \lambda } \partial ^ { \lambda } ) ^ { 2 } } { M _ { A } ^ { 4 } } } \right] * B _ { \alpha \beta } ^ { i } ( x ) .
\frac { 1 } { 2 } \beta _ { i j } ^ { 0 0 } ( t ) \beta _ { k l } ^ { 0 0 } ( t ) \left\langle \boldsymbol { G } _ { 0 } \right\rangle _ { i } \left\langle \boldsymbol { G } _ { 0 } \right\rangle _ { l } \left\langle \Delta \boldsymbol { G } _ { 0 } \Delta \boldsymbol { G } _ { 0 } \right\rangle _ { j k }
\frac { d \sigma _ { \mathrm { e m } } ^ { \prime } ( T ^ { \prime } , E _ { \nu } ) } { d T ^ { \prime } } = \frac { \alpha ^ { 2 } \pi } { m _ { e } ^ { 2 } \mu _ { B } ^ { 2 } } \left( \frac { 1 } { T ^ { \prime } } - \frac { 1 } { E _ { \nu } } \right) \, .
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathbf { x } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! _ { i } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ~ \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! i \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \in \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \{ \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 1 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \ldots \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! n \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \} \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
S _ { | T _ { l = a } | } ^ { W Z } ( \eta ) = \frac { \kappa } { 4 \pi \sqrt { - 1 } } \int _ { V _ { M } } \widehat { h } ^ { \ast } \chi _ { S U ( 2 ) } - \frac { \kappa } { 4 \pi \sqrt { - 1 } } \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { 0 } } \int _ { U _ { \rho ^ { 2 } ( j ) } } \left. \widehat { h } \right| _ { U _ { \rho ^ { 2 } ( j ) } } ^ { \ast } \omega _ { j } ,
{ \frac { d } { d Y } } n ( x _ { 0 1 } , x , Y ) = { \frac { 2 \alpha N _ { c } } { \pi } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d x _ { 1 2 } ^ { \prime } K ( x _ { 0 1 } , x _ { 1 2 } ^ { \prime } ) n ( x _ { 1 2 } ^ { \prime } , x , Y )
\operatorname* { l i m } _ { \stackrel { R \to \infty } { x \to \infty } } V \left( - \frac { \pi } { 2 \alpha } - \frac { \pi } { 2 } \theta , R , x , \alpha , \theta \right) = \operatorname* { l i m } _ { \stackrel { R \to \infty } { x \to \infty } } \frac { R } { \pi x } \exp \left\{ R \sin \left( \frac { \pi } { 2 \alpha } + \frac { \pi } { 2 } \theta \right) \right\}
\begin{array} { r } { \hat { U } _ { \mathrm { p o l } } ^ { \dagger } \hat { c } _ { u , \alpha } \hat { U } _ { \mathrm { p o l } } = \hat { c } _ { u , \alpha } \cdot \exp \Big [ { i e \sum _ { { \boldsymbol k } , { \boldsymbol \xi } } \hat { a } _ { { \boldsymbol k } , { \bf \xi } } \bar { \boldsymbol \chi } ^ { * } ( { \bf R } _ { u } ) + \hat { a } _ { { \boldsymbol k } , { \bf \xi } } ^ { \dagger } \bar { \boldsymbol \chi } ( { \bf R } _ { u } ) } \Big ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathscr { K } = } & { { } ~ \bar { \mathscr { K } } + \displaystyle \sum _ { \alpha } \frac { 1 } { 2 } \tilde { \rho } _ { \alpha } \| \mathbf { w } _ { \alpha } \| ^ { 2 } . } \end{array}
V _ { \hat { a } } = U _ { \hat { a } a } V _ { a } \; , \quad U = U _ { 2 } \times I _ { 3 } \; , \quad U _ { 2 } = { \frac { 1 } { \sqrt 2 } } \left[ \begin{array} { l l } { { 1 } } & { { i } } \\ { { 1 } } & { { - i } } \end{array} \right]
r ( \tau ) = r _ { o } + \frac { 4 ( 6 H ^ { 2 } r _ { o } ^ { 2 } - 1 ) e ^ { - \sqrt { 6 H ^ { 2 } r _ { o } ^ { 2 } - 1 } \; ( \tau - \tau _ { o } ) } } { H ( e ^ { - \sqrt { 6 H ^ { 2 } r _ { o } ^ { 2 } - 1 } \; ( \tau - \tau _ { o } ) } - 4 H ^ { 2 } r _ { o } ^ { 2 } ) ^ { 2 } - 4 H ( 6 H ^ { 2 } r _ { o } ^ { 2 } - 1 ) } .
\begin{array} { r l } { \overline { { \mathrm { P E P } } } \left( m \rightarrow \hat { m } \right) } & { = \frac { 1 } { \sqrt { M } } \sum _ { x ^ { \mathcal { R } } } \mathrm { P E P } \left( m \rightarrow \hat { m } | x ^ { \mathcal { R } } \right) } \\ & { = \frac { 1 } { \sqrt { M } } \sum _ { x ^ { \mathcal { R } } \in \mathcal { M } _ { R } } \frac { 2 } { \sqrt { M } } \sum _ { \delta \in \mathcal { D } _ { x ^ { \mathcal { R } } } } \mathrm { P E P } \left( m \rightarrow \hat { m } | x ^ { \mathcal { R } } , \delta \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { k ^ { - 1 } \omega _ { \mathrm { M S } \pm } = u _ { x } } & { { } \pm \left( \frac { 1 } { 2 \rho _ { 0 } } \right) ^ { 1 / 2 } \Bigg \{ 2 p _ { \perp 0 } + B ^ { 2 } + \hat { b } _ { x } ^ { 2 } ( 2 p _ { \| 0 } - p _ { \perp 0 } ) + T _ { e } \rho _ { 0 } } \end{array}
\begin{array} { r } { U _ { \mathrm { p i x } } ( \mathbf { r } , \boldsymbol { \xi } ) \propto U _ { \mathrm { w f } } ( \boldsymbol { \xi } - \mathbf { r } ) I _ { \mathrm { e x } } ( \mathbf { r } ) , } \end{array}
\mathbf { 0 } = - \mathbf { S } \mathbf { A } - \mathbf { A } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { S } + \mathbf { S } \mathbf { B } \mathbf { R } ^ { - 1 } \mathbf { B } ^ { \mathsf { T } } \mathbf { S } - \mathbf { Q }
\begin{array} { r l } { \frac { | \nabla \tilde { u } | ^ { 2 } } { 2 } - W ( \tilde { u } ) } & { = \frac { | \nabla \tilde { u } _ { 0 } - \nabla \psi | ^ { 2 } } { 2 } - W ( \tilde { u } _ { 0 } - \psi ) } \\ & { \leq \left( \frac { 1 } { 2 } + \beta \right) | \nabla \tilde { u } _ { 0 } | ^ { 2 } + \left( \frac { 1 } { 2 } + \frac { 1 } { \beta } \right) | \nabla \tilde { \psi } | ^ { 2 } - W ( \tilde { u } _ { 0 } ) + C | \psi | , } \end{array}
p _ { 1 y } = - \int _ { 0 } ^ { \Delta l + ( a - y _ { 1 } ) } \rho ( x ) A V ( x ) \, d x + [ m _ { 1 } + \tilde { m } _ { 1 } ] \dot { u } = \mu ( a + u + y _ { 1 } ) + [ m _ { 1 } + \tilde { m } _ { 1 } ] \dot { u } .
{ \cal L } = - \frac 1 4 Z _ { \mu \nu } Z ^ { \mu \nu } + ( D _ { \mu } \Phi _ { d } ) ^ { * } ( D _ { \mu } \Phi _ { d } ) - \lambda \left( \left| \Phi _ { d } \right| ^ { 2 } - \eta ^ { 2 } / 2 \right) ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { g ( z ) = \frac { 1 } { H \left( \frac { 1 } { z } \right) } } & { = \frac { 1 } { \frac { b _ { 1 } } { z } + \frac { b _ { 2 } } { z ^ { 2 } } + \cdots } } \\ & { = \frac { z } { b _ { 1 } } \cdot \frac { 1 } { 1 + \frac { b _ { 2 } } { b _ { 1 } z } + \frac { b _ { 3 } } { b _ { 2 } z } + \cdots } } \\ & { = \frac { z } { b _ { 1 } } \cdot \left[ 1 - \left( \frac { b _ { 2 } } { b _ { 1 } z } + \frac { b _ { 3 } } { b _ { 2 } z } + \cdots \right) + \left( \frac { b _ { 2 } } { b _ { 1 } z } + \frac { b _ { 3 } } { b _ { 2 } z } + \cdots \right) ^ { 2 } - \cdots \right] . } \end{array}
a _ { 1 } ( D ^ { ( * ) } L ) = \bar { C } _ { 1 } ( m _ { b } ) + \frac { \bar { C } _ { 2 } ( m _ { b } ) } { N _ { c } } \left[ 1 + \frac { C _ { F } \alpha _ { s } ( m _ { b } ) } { 4 \pi } \int _ { 0 } ^ { 1 } \! \mathrm { d } u \, F ( u , \pm z ) \, \Phi _ { L } ( u ) \right] \, ,
{ } - \frac { 3 } { 2 } X \varphi _ { z , \mathrm { ~ O ~ U ~ T ~ } } + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } X ^ { 2 } \varphi _ { z , \mathrm { ~ O ~ U ~ T ~ } } ^ { 2 } + 1 - \varphi _ { z , \mathrm { ~ O ~ U ~ T ~ } } ^ { 2 } = 0 .
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } s = } & { { } ( \mathrm { d } x ^ { 2 } + \mathrm { d } y ^ { 2 } ) = \mathrm { d } x \sqrt { 1 + y ^ { 2 } } } \\ { \cos \varphi = } & { { } \frac { 1 } { \sqrt { 1 + \tan ^ { 2 } \varphi } } = \frac { 1 } { \sqrt { 1 + y ^ { 2 } } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \| \mathrm { ~ a ~ d ~ j ~ } ( \mathcal { D } \boldsymbol { F } ( \boldsymbol { x } _ { t } ) ) \| _ { F } \le Q ^ { \frac { Q - 2 } { 2 } } \| \mathcal { D } \boldsymbol { F } ( \boldsymbol { x } _ { t } ) \| _ { F } \le Q ^ { \frac { Q - 2 } { 2 } } Q \operatorname* { m a x } _ { k , m } | b _ { k m } | = Q ^ { \frac { Q } { 2 } } \operatorname* { m a x } _ { k , m } | b _ { k m } | . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { M } \mathbf { W } } & { { } = - \mathbf { H } \mathbf { \Lambda } } \\ { \left( \mathbf { H } ^ { \dagger } \mathbf { M } ^ { - 1 } \right) \mathbf { M } \mathbf { W } } & { { } = - \left( \mathbf { H } ^ { \dagger } \mathbf { M } ^ { - 1 } \right) \mathbf { H } \mathbf { \Lambda } } \\ { \mathbf { H } ^ { \dagger } \mathbf { W } } & { { } = - \left( \mathbf { H } ^ { \dagger } \mathbf { M } ^ { - 1 } \mathbf { H } \right) \mathbf { \Lambda } . } \end{array}
\sigma _ { \mathrm { c o r r } } = { \sqrt { { \frac { n _ { 1 } n _ { 2 } } { 1 2 } } \left( ( n + 1 ) - \sum _ { i = 1 } ^ { k } { \frac { { t _ { i } } ^ { 3 } - t _ { i } } { n ( n - 1 ) } } \right) } }
\begin{array} { r l } & { \Delta \xi _ { G } - \frac { 2 ( W ^ { \prime } + G ^ { \prime } ) } { | \nabla \tilde { u } _ { 0 } | ^ { 2 } } \langle \nabla \tilde { u } _ { 0 } , \nabla \xi _ { G } \rangle + 2 G ^ { \prime } \xi _ { G } } \\ & { \geq ( W ^ { \prime } + G ^ { \prime } ) ^ { 2 } - W ^ { \prime } ( W ^ { \prime } + G ^ { \prime } ) - 2 G ^ { \prime } ( W + G ) + \frac { 2 ( W ^ { \prime } + G ^ { \prime } ) } { | \nabla \tilde { u } _ { 0 } | ^ { 2 } } \langle \nabla \tilde { u } _ { 0 } , \nabla \varphi \rangle } \\ & { - 2 G ^ { \prime } \varphi - \Delta \varphi - \langle \nabla \tilde { u } _ { 0 } , \nabla \tilde { f } _ { 0 } \rangle + ( W ^ { \prime } + G ^ { \prime } ) \tilde { f } _ { 0 } } \\ & { = ( G ^ { \prime } ) ^ { 2 } + \left( G ^ { \prime } W ^ { \prime } - 2 G ^ { \prime } ( W + G ) \right) + \frac { 2 ( W ^ { \prime } + G ^ { \prime } ) } { | \nabla \tilde { u } _ { 0 } | ^ { 2 } } \langle \nabla \tilde { u } _ { 0 } , \nabla \varphi \rangle - 2 G ^ { \prime } \varphi - \Delta \varphi } \\ & { - \langle \nabla \tilde { u } _ { 0 } , \nabla \tilde { f } _ { 0 } \rangle + ( W ^ { \prime } + G ^ { \prime } ) \tilde { f } _ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { \mathrm { p } } ( F ) } & { { } = \frac { \gamma _ { \mathrm { r p } } ( F ) } { \gamma _ { \mathrm { r t } } ( F ) } = \frac { \exp \left[ q F b / ( 2 k _ { \mathrm { B } } T ) \right] } { 2 \cosh \left[ q F b / ( 2 k _ { \mathrm { B } } T ) \right] } } \end{array}
\alpha _ { \mathrm { s } } \left( Q _ { 0 } ^ { ( n ) } \right) = \left[ \frac { Q _ { 2 } ^ { 2 } \alpha _ { \mathrm { s } } ^ { n } ( Q _ { 2 } ^ { 2 } ) - Q _ { 1 } ^ { 2 } \alpha _ { \mathrm { s } } ^ { n } ( Q _ { 1 } ^ { 2 } ) } { Q _ { 2 } ^ { 2 } - Q _ { 1 } ^ { 2 } } \right] ^ { 1 / n } .
\begin{array} { r l } { \xi _ { 1 } ( - \tau _ { 1 } ) + \mathrm { i } \dot { \xi } _ { 1 } ( - \tau _ { 1 } ) } & { { } = \exp [ - \mathrm { i } \tau _ { 1 } ] \{ \mathrm { i } \lambda + 1 \} - 1 } \\ { \xi _ { 1 } ( - \tau _ { 2 } ) + \mathrm { i } ^ { - 1 } \dot { \xi } _ { 1 } ( - \tau _ { 2 } ) } & { { } = } \end{array}
\Delta \phi = \frac { 2 } { | l _ { 1 } - l _ { 2 } | } \operatorname { a r c c o s } ( - \frac { \frac { 1 } { b } + b \frac { l _ { 2 } } { l _ { 1 } } } { 1 + \frac { l _ { 2 } } { l _ { 1 } } } )
\lVert \boldsymbol { u } ^ { n } \rVert _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { S } ^ { 2 } ) } ^ { 2 } = ( \nabla ^ { \perp } \psi ^ { n } , \nabla ^ { \perp } \psi ^ { n } ) _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } = ( \omega ^ { n } , \psi ^ { n } ) _ { \mathbb { S } ^ { 2 } } = \sum _ { \ell = 1 } ^ { L } \sum _ { m = - \ell } ^ { \ell } \frac { | \hat { \omega } _ { \ell , m } ^ { n } | ^ { 2 } } { \ell ( \ell + 1 ) } \, .
\begin{array} { r l } { \partial \partial _ { J } u } & { = \sum \partial ( J ^ { - 1 } \bar { \partial } u ) = \sum \partial ( u _ { \bar { j } } J ^ { - 1 } d \Bar { z } ^ { j } ) } \\ & { = \sum u _ { \bar { j } i } d z ^ { i } \wedge J ^ { - 1 } d \Bar { z } ^ { j } + \sum u _ { \bar { j } } \partial ( J ^ { - 1 } d \Bar { z } ^ { j } ) = \sum u _ { \bar { j } i } d z ^ { i } \wedge J ^ { - 1 } d \Bar { z } ^ { j } . } \end{array}
\left[ \begin{array} { c c } { { u } } & { { \nu } } \\ { { d } } & { { l } } \end{array} \right] _ { L } \sim ( 4 , 2 , 0 ) , ~ ~ [ u ~ \nu ] _ { R } \sim ( 4 , 1 , 1 / 2 ) , ~ ~ [ d ~ l ] _ { R } \sim ( 4 , 1 , - 1 / 2 ) ,
\begin{array} { r l } { P _ { \mathrm { o b s } } ( s _ { t + 1 } | s _ { t } , a _ { t } ) } & { = \int _ { \mathcal { U } } P _ { t } ( s _ { t + 1 } | s _ { t } , a _ { t } , u _ { t } ) P _ { \mathrm { o b s } } ( u _ { t } | s _ { t } , a _ { t } ) d u _ { t } } \\ & { = \int _ { \mathcal { U } } P _ { t } ( s _ { t + 1 } | s _ { t } , a _ { t } , u _ { t } ) \frac { \pi _ { t } ^ { b } ( a _ { t } | s _ { t } , u _ { t } ) } { \pi _ { t } ^ { b } ( a _ { t } | s _ { t } ) } P _ { t } ( u _ { t } | s _ { t } ) d u _ { t } , } \end{array}
\langle H _ { c i ^ { \prime } } ( v ^ { \prime } ) | H _ { c i } ( v ) \rangle = 2 ( 2 \pi ) ^ { 3 } v ^ { e } \delta ^ { 3 } ( \overline { { { \Lambda } } } v - \overline { { { \Lambda } } } v ^ { \prime } ) \delta _ { i i ^ { \prime } } \, ,
\exp ( - E ( J ) ) = \int [ d \overline { { { \psi } } } d \psi d \sigma ] \exp - \int d ^ { 2 - \varepsilon } x \left[ { \cal L } ( \sigma , \overline { { { \psi } } } , \psi ) - \mu ^ { \frac { - \varepsilon } { 2 } } \frac { \sigma } { g } J \right]
\delta T ( s ) + \delta T ( t ) + \delta T ( u ) + \frac { 1 } { 3 } [ 2 \delta U ( s ) - \delta U ( t ) - \delta U ( u ) ] + \frac { 1 } { 3 } [ ( s - t ) \delta V ( u ) + ( s - u ) \delta V ( t ) ] = 0 .
S = - \int _ { M } d ^ { d + 1 } x \, \int _ { M ^ { \prime } } d ^ { d + 1 } x ^ { \prime } \, \sqrt { g ( x ) } \, J _ { 1 } ( x ) \, G ( x , x ^ { \prime } ) \, \sqrt { g ( x ^ { \prime } ) } \, J _ { 2 } ( x ^ { \prime } ) .
\boldsymbol { v } = \Delta \boldsymbol { \Omega } \times \boldsymbol { r } - \boldsymbol { \mathsf { E } } ^ { \infty } \cdot \boldsymbol { r } \quad \mathrm { ~ a ~ t ~ \ } \boldsymbol { r } \in S \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \boldsymbol { v } \to \boldsymbol { 0 } \quad \mathrm { ~ a ~ s ~ \ } \; \boldsymbol { r } \to \infty ,
\begin{array} { r l } { c _ { \lambda ( M ^ { K } ) } ^ { \nu } ( q , t ) } & { = \prod _ { ( j , k , m ) \mathrm { ~ a d } } \left( \frac { \frac { 1 - q ^ { \lambda _ { j } - \lambda _ { k } - m } t ^ { k - j + 1 } } { 1 - q ^ { \lambda _ { j } - \lambda _ { k } - m + 1 } t ^ { k - j } } } { \frac { 1 - q ^ { \lambda _ { j } - \lambda _ { k } - m } t ^ { k - j } } { 1 - q ^ { \lambda _ { j } - \lambda _ { k } - m + 1 } t ^ { k - j - 1 } } } \right) . } \end{array}
F _ { \infty } ( \beta ) = \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } \kappa \rho ( x ) \log \Big ( \frac { \rho ( x ) } { \rho _ { \infty } } \Big ) \, d x - \int _ { \mathbb { R } ^ { d } \backslash \Omega } \kappa \rho ( x ) \log \Big ( \frac { \rho ( x ) } { \rho _ { \infty } } \Big ) \, d x ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { t \in \bigl ( ( k + \frac 3 4 ) \tau _ { m } , \infty \bigr ) } \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( \mathopen { } \mathclose \bgroup \left\| { \boldsymbol { \chi } } _ { m , k } ^ { \kappa } ( t , \cdot ) \aftergroup \egroup \right\| _ { L ^ { \infty } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } ) } + \varepsilon _ { m } \mathopen { } \mathclose \bgroup \left\| \nabla { \boldsymbol { \chi } } _ { m , k } ^ { \kappa } ( t , \cdot ) \aftergroup \egroup \right\| _ { L ^ { \infty } ( \ensuremath { \mathbb { T } } ^ { 2 } ) } \aftergroup \egroup \right) } & { { } \leq \frac { C a _ { m } \varepsilon _ { m } ^ { 3 } } { \kappa } \exp \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( - \frac { \pi ^ { 2 } \kappa \tau _ { m } } { 3 \varepsilon _ { m } ^ { 2 } } \aftergroup \egroup \right) } \end{array}
( m _ { + } ) _ { y } = m _ { + } ( \sum _ { s = 1 } ^ { r } X _ { s } ^ { + } \exp ( k \bar { \phi } ( y ) ) _ { s } , \quad ( m _ { - } ) _ { x } = m _ { - } ( \sum _ { s = 1 } ^ { r } X _ { s } ^ { - } \exp ( k \phi ( x ) ) _ { s }