harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\hat { \sigma } _ { g g \rightarrow g g } = { \frac { 9 \alpha _ { s } ^ { 2 } } { 2 \hat { s } } } [ 3 - { \frac { \hat { u } \hat { t } } { \hat { s } ^ { 2 } } } - { \frac { \hat { u } \hat { s } } { \hat { t } ^ { 2 } } } - { \frac { \hat { s } \hat { t } } { \hat { u } ^ { 2 } } } ] . \nonumber
\operatorname* { l i m } _ { \epsilon \to 0 ^ { + } } \int _ { \partial \{ u > \epsilon \} \cap D ^ { \prime } } \left( | \nabla u ^ { + } | ^ { p } - \lambda _ { + } ^ { p } \right) \eta \cdot \nu + \operatorname* { l i m } _ { \delta \to 0 ^ { + } } \int _ { \partial \{ u < - \delta \} \cap D ^ { \prime } } \left( | \nabla u ^ { - } | ^ { p } - \lambda _ { - } ^ { p } \right) \eta \cdot \nu = 0 ,
\partial _ { t } { \rho } _ { i j } = - \frac { \mathrm { ~ i ~ } } { \hbar } [ { H } _ { i } + { H } _ { j } + { V } _ { i j } , { \rho } _ { i j } ] + \mathcal { L } _ { i } ( { \rho } _ { i j } ) + \mathcal { L } _ { j } ( { \rho } _ { i j } )
\begin{array} { r l } { q _ { 0 , \Phi } ^ { ( r ) } - q _ { 1 , \Phi } ^ { \prime } } & { = ( 1 - \gamma ^ { r } ) [ q _ { 0 } ^ { \prime } ( \Phi ) - q _ { 1 } ^ { \prime } ( \Phi ) ] } \\ & { \ge ( 1 - \gamma ) [ q _ { 0 } ^ { \prime } ( \Phi ) - q _ { 1 } ^ { \prime } ( \Phi ) ] , \: \forall r \in [ n - 1 ] } \\ & { > 0 , \: \forall r \in [ n - 1 ] } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle n ^ { \prime } l ^ { \prime } | | r ^ { - 3 } | | n l \rangle = \delta _ { l ^ { \prime } l } \sqrt { l ( l + 1 ) ( 2 l + 1 ) } } \\ { \times \int _ { 0 } ^ { \infty } d r r ^ { 2 } R _ { n ^ { \prime } l ^ { \prime } } ( r ) \left( \frac { 1 } { r ^ { 3 } } \right) R _ { n l } ( r ) } \end{array}
\hat { U } _ { j } = e ^ { - i \hat { H } _ { I , 1 } ^ { ( 1 ) } ( t _ { j } ) \frac { T } { 2 N } } e ^ { - i \hat { H } _ { I , 1 } ^ { ( 2 ) } ( t _ { j } ) \frac { T } { N } } e ^ { - i \hat { H } _ { I , 1 } ^ { ( 1 ) } ( t _ { j } ) \frac { T } { 2 N } } ,
\begin{array} { r l } { J _ { n } ( j ) } & { \le \frac { ( 2 n ) ! } { ( 2 j + 1 ) ^ { 2 } \cdots ( 2 j + 2 n - 1 ) ^ { 2 } } \cdot \frac { ( 2 j + 1 ) \cdots ( 2 j + 2 n ) } { ( 2 n ) ! } \cdot \frac { 1 } { \left( 1 - e ^ { - \frac { \gamma } { 2 } } \right) ^ { 2 n + 1 } } } \\ & { = \frac { ( 2 j + 2 ) ( 2 j + 4 ) \cdots ( 2 j + 2 n ) } { ( 2 j + 1 ) ( 2 j + 3 ) \cdots ( 2 j + 2 n - 1 ) } \cdot \frac { 1 } { \left( 1 - e ^ { - \frac { \gamma } { 2 } } \right) ^ { 2 n + 1 } } } \\ & { \le \frac { 2 j + 2 n } { 2 j + 1 } \cdot \frac { 1 } { \left( 1 - e ^ { - \frac { \gamma } { 2 } } \right) ^ { 2 n + 1 } } \le \frac { 2 n + 1 } { \left( 1 - e ^ { - \frac { \gamma } { 2 } } \right) ^ { 2 n + 1 } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \langle S _ { x } ( t ) \rangle } & { { } = } & { \frac { \gamma _ { \mathrm { R b } } \langle S _ { z } \rangle J _ { 1 } } { \Gamma _ { \mathrm { R b } } } \left[ - ( J _ { 0 } - J _ { 2 } ) b _ { x } ( t ) \sin ( \omega _ { 0 } t + \theta _ { \mathrm { a c } } ) \right. } \end{array}
\frac { d \mathcal { E } ^ { \ell } } { d t } + \frac { 1 } { \Delta x } \left( F ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } - F ^ { \ell - \frac { 1 } { 2 } } \right) = \frac { 1 } { \Delta x } \mathbf { p } ^ { \ell } \cdot \left( \mathbf { g } ^ { \ell + \frac { 1 } { 2 } } - \mathbf { g } ^ { \ell - \frac { 1 } { 2 } } \right) + \mathbf { p } ^ { \ell } \cdot \mathbf { P } ^ { \ell } ,
\boxed { \mathcal { I } _ { l + 1 } ^ { R } ( A ) = \mathcal { I } _ { l - 1 } ^ { R } ( A ) - \frac { 2 l } { A } J _ { l } ^ { 2 } ( A ) - 2 l \mathcal { I } _ { l } ^ { S } ( A ) . }
\partial _ { t } u = \partial _ { p } \left( \frac { \gamma } { 2 } \partial _ { p } u ^ { 2 } \right) - \gamma \left( \partial _ { p } u \right) ^ { 2 } - \frac { \partial _ { p } \gamma } { 2 } \partial _ { p } u ^ { 2 } + g _ { 0 } u .
\begin{array} { r l } { \Sigma _ { 1 } } & { \ll \frac { N ^ { 3 / 2 } } { L \sqrt { p } } \left( \sum _ { q \in \Phi } \frac { 1 } { q ^ { 2 } } \sum _ { 1 \leq n \ll N _ { 0 } } \frac { 1 } { N _ { 0 } ^ { 1 / 2 } } \Big | \lambda _ { f } ( n ) \Big | ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } } \\ & { \times \left( \sum _ { q \in \Phi } \sum _ { 1 \leq n \ll N _ { 0 } } \Big | \frac { 1 } { M _ { 0 } ^ { 1 / 4 } } \sum _ { r \in \mathbf { Z } } \lambda _ { g } ( r ) \chi ( r ) W \left( \frac { r } { M _ { 0 } } \right) \Big | ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } } \\ & { \ll \frac { N ^ { 3 / 2 } } { L \sqrt { p } } \times \left( \frac { 1 } { Q } \times N _ { 0 } ^ { 1 / 2 } \right) ^ { 1 / 2 } \times \left( \frac { Q N _ { 0 } } { M _ { 0 } ^ { 1 / 2 } } \right) ^ { 1 / 2 } \times \Big | \sum _ { r \in \mathbf { Z } } \lambda _ { g } ( r ) \chi ( r ) W \left( \frac { r } { M _ { 0 } } \right) \Big | } \\ & { \ll \frac { N ^ { 3 / 2 } } { L \sqrt { p } } \times \frac { N _ { 0 } ^ { 3 / 4 } } { M _ { 0 } ^ { 1 / 4 } } \times \Big | \sum _ { r \in \mathbf { Z } } \lambda _ { g } ( r ) \chi ( r ) W \left( \frac { r } { M _ { 0 } } \right) \Big | , } \end{array}
\operatorname* { m a x } _ { i \neq j } p ( \tau ( \Delta _ { i } - \omega ) ) \leq e ^ { - \tau ^ { 2 } ( 0 . 9 \gamma ) ^ { 2 } } \leq 0 . 0 5 \tau ^ { 2 } \varepsilon ^ { 2 } \Gamma _ { j } .
\begin{array} { l r c l } & { \mathrm { G r } _ { \mu } } & { \longrightarrow } & { G / P _ { \mu } } \\ & { g \cdot u ^ { \mu } } & { \longmapsto } & { [ \mathrm { e v } ( g ) ] } \end{array} , \ \ \ \ \begin{array} { l r c l } & { G / P _ { \mu } } & { \longrightarrow } & { \mathrm { G r } _ { \mu } } \\ & { [ g ] } & { \longmapsto } & { g \cdot u ^ { \mu } } \end{array}
\| { \boldsymbol { \theta } } _ { t + \Delta t } ^ { * } - { \boldsymbol { \theta } } _ { t } ^ { * } \| \leq m _ { \mathrm { ~ t ~ h ~ r ~ } } ^ { - 1 } \dot { \mathcal { G } } _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } \Delta t .
\begin{array} { r l } { G _ { 0 } = \overline { { H _ { 0 } } } = } & { \frac { 2 } { 5 } e ^ { \frac { 2 \pi i } { 3 } } \mathbf { B } \left( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 3 } \right) , } \\ { G _ { 1 } = \overline { { H _ { 1 } } } = } & { \frac { 1 } { 4 } \int _ { e ^ { \frac { 2 \pi i } { 3 } } } ^ { \infty e ^ { \frac { 2 \pi i } { 3 } } } \frac { B ( \xi ) } { \left( s ^ { 3 } - 1 \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( s - A ( \xi ) ) } d s . } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ( i , j , k ) \left( \theta \right) = } & { } \\ { \sum _ { i ^ { * } = i - 1 } ^ { i + 1 } \sum _ { j ^ { * } = j - 1 } ^ { j + 1 } } & { \sum _ { k ^ { * } = k - 1 } ^ { k + 1 } ( f _ { 2 } ( i ^ { * } , j ^ { * } , k ^ { * } ) - f _ { 2 , p } ( i ^ { * } , j ^ { * } , k ^ { * } , \theta ) ) ^ { 2 } \mathrm { , } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \zeta } & { = } & { \frac { 1 } { g ( u ) } \eta - \mu \frac { g ^ { \prime } ( u ) } { g ^ { 2 } ( u ) } \nabla u } \\ & { = } & { \frac { - \nabla \Delta u + q ^ { \prime \prime } ( u ) \nabla u + \nabla ( - \Delta ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } u } { g ( u ) } - \frac { g ^ { \prime } ( u ) } { g ^ { 2 } ( u ) } \left( - \Delta u + q ^ { \prime } ( u ) + ( - \Delta ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } u \right) \nabla u } \end{array}
\Omega _ { \mathrm { a f f } } \to \operatorname* { l i m } _ { \substack { \rightarrow \, H _ { j } } } H ^ { \bullet } ( \mathbf { C } ^ { n } - \cup _ { j } H _ { j } ) ; \quad \frac { 1 } { 2 i \pi } \frac { d \ell } { \ell } \mapsto \left[ \frac { 1 } { 4 i \pi } \left( \frac { d \ell } { \ell } - \overline { { \frac { d \ell } { \ell } } } \right) \right]
E = \left( { \frac { 2 e ^ { 2 } } { L _ { B } } } \right) \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { k \; d k \; } { k ^ { 2 } + k _ { B } ^ { 2 } r _ { { \mathit { l } } { \mathit { l } } ^ { \prime } } ^ { 2 } } } \; { \mathcal { J } } _ { 0 } \left( \cos \theta \; k \right) \; { \mathcal { J } } _ { 0 } \left( \sin \theta \; k \right) \; { \mathcal { J } } _ { 0 } \left( k { \frac { r _ { 1 2 } } { r _ { { \mathit { l } } { \mathit { l } } ^ { \prime } } } } \right)
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { C } \, = \, \frac { 1 } { e ^ { 2 } } \, \frac { \partial \mu } { \partial N } \, = \, \frac { 1 } { C _ { \mathrm { Q } } } + \frac { 1 } { C _ { \mathrm { d l } } } + \frac { 1 } { C _ { \mathrm { x c } } } } \end{array}
\operatorname { C i } ( x ) \sim { \frac { \sin x } { x } } \left( 1 - { \frac { 2 ! } { x ^ { 2 } } } + { \frac { 4 ! } { x ^ { 4 } } } - { \frac { 6 ! } { x ^ { 6 } } } \cdots \right) - { \frac { \cos x } { x } } \left( { \frac { 1 } { x } } - { \frac { 3 ! } { x ^ { 3 } } } + { \frac { 5 ! } { x ^ { 5 } } } - { \frac { 7 ! } { x ^ { 7 } } } \cdots \right) ~ .
\frac { \partial } { \partial \zeta } \left( \varphi _ { n } ^ { ( 0 ) } \frac { \partial c _ { 2 } ^ { ( 1 ) } } { \partial \zeta } + \varphi _ { n } ^ { ( 1 ) } \frac { \partial c _ { 2 } ^ { ( 0 ) } } { \partial \zeta } \right) = l ^ { 2 } Q _ { 2 } ^ { ( 1 ) } ,
q ^ { 2 ( \lambda , \lambda + 2 \rho _ { 0 } ) } = \sum _ { ( \mu , 2 \kappa , - s ) \in D ^ { + } } \sum _ { s = 0 } ^ { \infty } ( m _ { \mu , s } ^ { + } - m _ { \mu , s } ^ { - } ) q ^ { ( \mu , \mu + 2 \rho _ { 0 } ) / 2 - s ( 2 \kappa + g ) } \frac { D _ { q } [ ( \mu , 2 \kappa , - s ) ] } { D _ { q } [ ( \lambda , \kappa , 0 ) ] }
\tilde { d } _ { A } ( \omega ) = i a _ { X } \mu _ { \beta \alpha } ^ { 0 } \int _ { \tau } ^ { \infty } e ^ { - i \theta _ { L } ( t ) } e ^ { i [ \omega - ( \mathcal { E } _ { \beta } ^ { 0 } - \mathcal { E } _ { \alpha } ^ { 0 } ) ] t } W ( t ) d t .
\begin{array} { r l r } { z _ { 1 } } & { = } & { \log ( n ^ { \alpha } ( r ) + 1 0 ^ { - 4 } ) } \\ { z _ { 2 } } & { = } & { \log ( n ^ { \beta } ( r ) + 1 0 ^ { - 4 } ) } \\ { z _ { i _ { \alpha } } } & { = } & { G [ n ^ { \alpha } ] ( r ; \alpha _ { i _ { \alpha } } ) } \\ { z _ { i _ { \beta } } } & { = } & { G [ n ^ { \beta } ] ( r ; \alpha _ { i _ { \beta } } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left. A s \right\vert _ { x } } & { = } & { A _ { x } s _ { x } \in \mathbb { L } } \\ { \left. A \circ _ { s } B \right\vert _ { x } } & { = } & { A _ { x } \circ _ { s _ { x } } B _ { x } \in \mathbb { L } } \\ { \left. A / _ { s } B \right\vert _ { x } } & { = } & { A _ { x } / _ { s _ { x } } B _ { x } \in \mathbb { L } } \\ { \left. \left[ \xi , \eta \right] ^ { \left( s \right) } \right\vert _ { x } } & { = } & { \left[ \xi _ { x } , \eta _ { x } \right] ^ { \left( s _ { x } \right) } \in \mathfrak { l . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \binom N j ( N - 1 ) ^ { N - j } } { N ^ { N } } } & { = \frac { N ! ( N - 1 ) ^ { N - j } } { j ! ( N - j ) ! N ^ { n } } } \\ & { = \frac { N ! } { j ! ( N - j ) ! ( N - 1 ) ^ { j } } \left( \frac { N - 1 } N \right) ^ { N } } \\ & { = \frac 1 { j ! } \frac { N ( N - 1 ) \cdots ( N - j + 1 ) } { ( N - 1 ) ^ { j } } \left( 1 - \frac 1 N \right) ^ { N } } \end{array}
\mathrm { B } ( B \to X _ { s } \gamma ) \big | _ { E _ { \gamma } ^ { \mathrm { l a b } } > 2 . 2 \, \mathrm { G e V } } = ( 2 . 5 7 \pm 0 . 2 6 _ { - 0 . 3 6 } ^ { + 0 . 3 1 } ) \times 1 0 ^ { - 4 } N _ { \mathrm { S L } } \, .
\begin{array} { r l } { U _ { p } ^ { * } } & { { } = \mathcal { A } t ^ { * } \cos \phi ^ { ( 0 ) } - \frac { \epsilon } { 1 2 } \mathcal { A } ^ { 2 } \mathcal { B } \mathcal { C } t ^ { * 5 } \cos \phi ^ { ( 0 ) } \sin ^ { 2 } \phi ^ { ( 0 ) } + \mathcal { O } ( \epsilon ^ { 2 } ) , } \\ { U _ { q } ^ { * } } & { { } = - \mathcal { B } t ^ { * } \sin \phi ^ { ( 0 ) } - \frac { \epsilon } { 1 2 } \mathcal { A } \mathcal { B } ^ { 2 } \mathcal { C } t ^ { * 5 } \cos ^ { 2 } \phi ^ { ( 0 ) } \sin \phi ^ { ( 0 ) } + \mathcal { O } ( \epsilon ^ { 2 } ) , } \\ { \Omega _ { r } ^ { * } } & { { } = \frac { \mathcal { A } \mathcal { B } \mathcal { C } } { 3 } t ^ { * 3 } \cos \phi ^ { ( 0 ) } \sin \phi ^ { ( 0 ) } + \mathcal { O } ( \epsilon ^ { 2 } ) , } \\ { \phi ^ { } } & { { } = \phi ^ { ( 0 ) } + \epsilon \frac { \mathcal { A } \mathcal { B } \mathcal { C } } { 1 2 } t ^ { * 4 } \cos \phi ^ { ( 0 ) } \sin \phi ^ { ( 0 ) } + \mathcal { O } ( \epsilon ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathfrak { X } _ { \mathrm { G r } } ( E ( \alpha ) / K _ { \infty } ^ { + } ) : = \mathfrak { X } _ { \mathrm { r e l , \mathrm { s t r } } } ( E ( \alpha ) / K _ { \infty } ^ { + } ) , \quad \mathfrak { S } _ { \mathrm { o r d , \mathrm { r e l } } } ( E ( \alpha ) / K _ { \infty } ^ { + } ) } & { = \mathrm { H } _ { \mathcal { F } _ { \mathrm { o r d , \mathrm { r e l } } } } ^ { 1 } ( K , T _ { p } E ( \alpha ) \otimes \Lambda _ { K } ^ { + } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { n ^ { ( 1 ) } ( r ) } & { = \frac { | \phi ( r ) | ^ { 2 } } { \Delta } \sum _ { L L ^ { \prime } } Y _ { L } ( r ) V _ { L ^ { \prime } } P _ { L L ^ { \prime } } + \mathrm { C . C . } } \\ { P _ { L L ^ { \prime } } } & { = \sum _ { i \in V B } \sum _ { j \in C B } C _ { L _ { j } L _ { i } L } C _ { L _ { i } L _ { j } L ^ { \prime } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { \pm , \mu \nu } ^ { R R } = } & { \langle \partial _ { \mu } \psi _ { \pm } ^ { R } | \partial _ { \nu } \psi _ { \pm } ^ { R } \rangle - \langle \partial _ { \mu } \psi _ { \pm } ^ { R } | \psi _ { \pm } ^ { R } \rangle \langle \psi _ { \pm } ^ { R } | \partial _ { \nu } \psi _ { \pm } ^ { R } \rangle } \\ { Q _ { \pm , \mu \nu } ^ { N H } = } & { \frac { 1 } { 2 } \Big ( Q _ { \pm , \mu \nu } ^ { L R } + Q _ { \pm , \mu \nu } ^ { R L } \Big ) } \\ { = } & { \frac { 1 } { 2 } \Big ( \langle \partial _ { \mu } \psi _ { n } ^ { L } | \partial _ { \nu } \psi _ { n } ^ { R } \rangle - \langle \partial _ { \mu } \psi _ { n } ^ { L } | \psi _ { n } ^ { R } \rangle \langle \psi _ { n } ^ { L } | \partial _ { \nu } \psi _ { n } ^ { R } \rangle } \\ & { + \langle \partial _ { \mu } \psi _ { n } ^ { R } | \partial _ { \nu } \psi _ { n } ^ { L } \rangle - \langle \partial _ { \mu } \psi _ { n } ^ { R } | \psi _ { n } ^ { L } \rangle \langle \psi _ { n } ^ { R } | \partial _ { \nu } \psi _ { n } ^ { L } \rangle \Big ) } \end{array}
\mathcal { M } _ { 0 } = \mathbb { E } \left[ \mathcal { M } \left( \boldsymbol { X } \right) \right] = \int _ { \mathcal { D } _ { \boldsymbol { X } } } \mathcal { M } \left( \boldsymbol { x } \right) \, \mathrm { d } \boldsymbol { x }
\psi ^ { n } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } n \geq 2 , \qquad \psi _ { i _ { 1 } \cdots i _ { l } } ^ { n } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ a ~ l ~ l ~ } l \geq 3 \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } n \geq 0 .
\begin{array} { r l } { | S _ { a } ( n ; m _ { 1 } , \dots , m _ { r } ) | n } & { = \sum _ { f \in S _ { a } ( n ; m _ { 1 } , \dots , m _ { r } ) } \sum _ { \mathrm { i r r e d . } ~ g \mid f } \deg g } \\ & { = \sum _ { g \in \mathcal { I } _ { \le n } } | \{ f \in S _ { a } ( n ; m _ { 1 } , \dots , m _ { r } ) : g \mid f \} | \deg g . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p } & { { } = { \frac { 8 c - 3 b ^ { 2 } } { 8 } } = { \frac { 8 a _ { 2 } a _ { 4 } - 3 { a _ { 3 } } ^ { 2 } } { 8 { a _ { 4 } } ^ { 2 } } } } \\ { q } & { { } = { \frac { b ^ { 3 } - 4 b c + 8 d } { 8 } } = { \frac { { a _ { 3 } } ^ { 3 } - 4 a _ { 2 } a _ { 3 } a _ { 4 } + 8 a _ { 1 } { a _ { 4 } } ^ { 2 } } { 8 { a _ { 4 } } ^ { 3 } } } } \\ { r } & { { } = { \frac { - 3 b ^ { 4 } + 2 5 6 e - 6 4 b d + 1 6 b ^ { 2 } c } { 2 5 6 } } = { \frac { - 3 { a _ { 3 } } ^ { 4 } + 2 5 6 a _ { 0 } { a _ { 4 } } ^ { 3 } - 6 4 a _ { 1 } a _ { 3 } { a _ { 4 } } ^ { 2 } + 1 6 a _ { 2 } { a _ { 3 } } ^ { 2 } a _ { 4 } } { 2 5 6 { a _ { 4 } } ^ { 4 } } } . } \end{array}
\left( \begin{array} { l } { 1 . 0 0 \pm 0 . 0 2 } \\ { 1 . 9 6 \pm 0 . 0 2 } \\ { 2 . 0 2 \pm 0 . 0 3 } \\ { 1 . 9 2 \pm 0 . 0 2 } \\ { 0 . 9 5 \pm 0 . 0 2 } \end{array} \right)
\hat { H } _ { \mathrm { e f f } } ^ { ( 2 ) } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { m \neq 0 } \frac { [ [ \hat { V } _ { m } , \hat { H } _ { 0 } ] , \hat { V } _ { - m } ] } { m ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 3 } \sum _ { l , m \neq 0 } \frac { [ \hat { V } _ { l } , [ \hat { V } _ { m } , \hat { V } _ { - l - m } ] ] } { l m } .
\begin{array} { r } { D ^ { k } Y _ { t } = \sum _ { i = 1 } ^ { d } \int _ { 0 } ^ { t } D ^ { k } \left( V _ { i } ( Y _ { s } ) d \boldsymbol { X } _ { s } ^ { i } \right) = \sum _ { i = 1 } ^ { d } \sum _ { r = 0 } ^ { k \wedge n } \binom { n } { r } \int _ { 0 } ^ { t } D ^ { k - r } V _ { i } ( Y _ { s } ) \hat { \otimes } d \boldsymbol { D ^ { r } X } _ { s } ^ { i } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { Z } } & { { } = \alpha \iiint \mathcal { D } \, \rho \mathcal { D } w \, \mathrm { d } \mathbf { r } ^ { N } \, \exp \left\{ i \int \mathrm { d } \mathbf { r } \, w ( \mathbf { r } ) \big [ \rho ( \mathbf { r } ) - \hat { \rho } ( \mathbf { r } ) \big ] - \frac { \beta } { 2 } \iint \mathrm { d } \mathbf { r } \, \mathrm { d } \mathbf { r } ^ { \prime } \, \rho ( \mathbf { r } ) u ( \vert \mathbf { r } - \mathbf { r } ^ { \prime } \vert ) \rho ( \mathbf { r } ^ { \prime } ) \right\} } \end{array}
\begin{array} { r l r l r l r } { - t ^ { 9 } c _ { 2 } \cdot u } & { } & { t ^ { 9 } c _ { 2 } \cdot u } & { } & { 0 } & { } & { - t ^ { 7 } c _ { 2 } ^ { 2 } \cdot u + t ^ { 7 } c _ { 2 } ^ { 3 } \cdot u } \\ { t ^ { 6 } c _ { 2 } c _ { 3 } \cdot u + t ^ { 4 } c _ { 2 } ^ { 2 } c _ { 3 } \cdot u } & { } & { - t ^ { 3 } c _ { 2 } ^ { 4 } \cdot u } & { } & { t ^ { 3 } c _ { 2 } c _ { 3 } ^ { 2 } \cdot u } & { } & { - t ^ { 4 } c _ { 2 } ^ { 2 } c _ { 3 } \cdot u - t ^ { 2 } c _ { 2 } ^ { 3 } c _ { 3 } \cdot u } \\ { t ^ { 3 } c _ { 2 } ^ { 4 } \cdot u } & { } & { t ^ { 3 } c _ { 2 } c _ { 3 } ^ { 2 } \cdot u - t c _ { 2 } ^ { 2 } c _ { 3 } ^ { 2 } \cdot u } & { } & { 0 } & { } & { - c _ { 2 } c _ { 3 } ^ { 3 } \cdot u } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { a _ { s } = } & { \frac { - \mathrm { i } G _ { a b } b _ { s } } { ( \kappa _ { a } + \mathrm { i } \Delta _ { a } ) } , \ \ b _ { s } = } & { \frac { - \mathrm { i } G _ { a b } a _ { s } + \Omega _ { b } } { ( \gamma _ { b } + \mathrm { i } \Delta _ { b } ^ { \prime } ) } , \ \ c _ { s } = } & { \frac { \Omega _ { c } } { ( \gamma _ { c } + \mathrm { i } \Delta _ { c } ^ { \prime } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { c } { A _ { s } } \\ { A _ { i } } \end{array} \right) = e ^ { - i \Delta k / 2 \cdot Z } \left( \begin{array} { c } { \dots e ^ { K Z } } \\ { \dots e ^ { K ^ { * } Z } } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \vartheta ^ { \prime } } & { { } = } & { ( \omega + p _ { \| } / q ) / \beta , } \\ { \varphi ^ { \prime } } & { { } = } & { ( p _ { \| } - r ^ { 2 } \omega / q ) / ( h \beta ) , } \end{array}
{ \ensuremath { \mathbb P } } _ { p } ( \ensuremath { \mathcal E } ( D _ { 1 } , D _ { 2 } ) ) \le { \ensuremath { \mathbb E } } _ { p } \Big [ \prod _ { u \in \ensuremath { \mathcal S } _ { \alpha } } { \ensuremath { \mathbb P } } _ { p } \left( ( A - x _ { u } ) \in \ensuremath { \mathcal C } ^ { u } ( \bar { m } _ { u } , s _ { u } , ( A \cap X ) - x _ { u } ) | A \cap X \right) \Big ] .
T _ { n + 1 } ^ { \mu } \left( x _ { 1 } , \ldots , x _ { n - 1 } , x \right) = { \cal T } \left( T _ { 1 } ^ { \mu } ( x ) T _ { 1 } ( x _ { 1 } ) \ldots T _ { 1 } ( x _ { n } ) \right) ,
\begin{array} { r l } { \widehat { K _ { \mathbf { h } , J } ^ { ( d ) } } ( t , \xi ) } & { = ( 2 \pi ) ^ { - d / 2 } \, 2 ^ { - J ( h _ { 1 } + \cdots + h _ { d } - d / 2 ) } \widehat { \alpha } ^ { ( \mathbf { h } ) } ( 2 ^ { - J } \mathbf { \xi } ) \prod _ { \ell = 1 } ^ { d } \widehat { \phi } ( 2 ^ { - J } \xi _ { \ell } ) } \\ & { = 2 ^ { - J ( h _ { 1 } + \cdots + h _ { d } - d / 2 ) } \widehat { \beta } ^ { ( \mathbf { h } ) } ( 2 ^ { - J } \mathbf { \xi } ) \widehat { \Gamma } ^ { ( \mathbf { h } ) } ( 2 ^ { - J } \mathbf { \xi } ) \prod _ { \ell = 1 } ^ { d } \widehat { \phi } ( 2 ^ { - J } \xi _ { \ell } ) } \\ & { = 2 ^ { - J ( h _ { 1 } + \cdots + h _ { d } - d / 2 ) } \widehat { \beta } ^ { ( \mathbf { h } ) } ( 2 ^ { - J } \mathbf { \xi } ) \prod _ { \ell = 1 } ^ { d } \widehat { \Phi } ^ { ( 1 / 2 - h _ { \ell } ) } ( 2 ^ { - J } \xi _ { \ell } ) } \\ & { = 2 ^ { - J ( h _ { 1 } + \cdots + h _ { d } - d ) } \widehat { \mathcal { V } } ^ { ( \mathbf { h } ) } ( \mathbf { \xi } ) . } \end{array}
\Phi _ { 1 } = \left( \begin{array} { c } { { \phi _ { 1 } ^ { 0 } } } \\ { { \phi _ { 1 } ^ { - } } } \end{array} \right) , \ \Phi _ { 2 } = \left( \begin{array} { c } { { \phi _ { 2 } ^ { + } } } \\ { { \phi _ { 2 } ^ { 0 } } } \end{array} \right) \ ,
V _ { 2 k - 1 } \otimes V = V _ { 2 k } \oplus \underbrace { W _ { 1 2 } \oplus \cdots \oplus W _ { 1 2 } } _ { k \mathrm { \normalfont \ c o p i e s } } \oplus \underbrace { F \oplus \cdots \oplus F } _ { 3 k - 3 \mathrm { \normalfont \ c o p i e s } } \oplus \underbrace { W _ { 2 8 } \oplus \cdots \oplus W _ { 2 8 } } _ { k - 1 \mathrm { \normalfont \ c o p i e s } } ,
E _ { c h r o m o } = \int \mathrm { d } ^ { 3 } x \, \mathrm { d } ^ { 3 } y \, \, \langle { \cal G } ^ { a } ( { \bf x } ) { \cal G } ^ { b } ( { \bf y } ) \rangle _ { c } \, \langle a , { \bf x } | \frac { 1 } { 2 { \cal I } } | b , { \bf y } \rangle \, .
\hat { H } _ { \mathrm { I } } ( t ) = \int _ { V } d ^ { 3 } r ~ \chi ^ { ( 2 ) } ~ \hat { E } _ { \mathrm { p } } ^ { ( + ) } ( r , t ) ~ \hat { E } _ { \mathrm { o } } ^ { ( - ) } ~ \hat { E } _ { \mathrm { e } } ^ { ( - ) } + c . c .
[ [ v _ { i } ^ { \mu } , p _ { j } ] , p _ { \alpha } ] = - \hbar ^ { 2 } \partial _ { \nu } v _ { i } ^ { \mu } \partial _ { \alpha } v _ { j } ^ { \nu } + i \hbar \hat { D } _ { j } [ v _ { i } ^ { \mu } , p _ { \alpha } ] \, .
\begin{array} { r l } { \mathcal { M } _ { 4 } ^ { ( n ) } } & { { } \sim \frac { g _ { W } ^ { 2 } } { 4 ^ { n } ( 2 \pi ) ^ { D } M _ { W } ^ { 2 } } \int d ^ { D } k \frac { ( k \cdot p - k ^ { 2 } ) ^ { 2 } } { k ^ { 4 n } ( p - k ) ^ { 4 n } ( k ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) ( ( p - k ) ^ { 2 } - M _ { W } ^ { 2 } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { { \dot { \rho } } _ { \mathbf { n } } ( t ) } = { { L } _ { S } } { { \rho } _ { \mathbf { n } } } } \\ & { + i \sum _ { k = 1 } ^ { K } { \left( { { n } _ { k } } { { \gamma } _ { k } } { { \rho } _ { \mathbf { n } } } - \Phi { { \rho } _ { \mathbf { n } _ { k } ^ { + } } } - { { n } _ { k } } { { \Theta } _ { k } } { { \rho } _ { \mathbf { n } _ { k } ^ { - } } } \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { k } _ { 5 } } & { { } = \left( 1 , 2 \right) , } \\ { \mathbf { k } _ { 7 } } & { { } = \left( 2 , - 1 \right) , } \end{array} \quad \begin{array} { r l } { \mathbf { k } _ { 6 } } & { { } = \left( 2 , 1 \right) , } \\ { \mathbf { k } _ { 8 } } & { { } = \left( - 1 , 2 \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \hat { H } } & { { } = \sum _ { i = 1 } ^ { \mathcal { N } } \hat { H } _ { l o c } ^ { i } [ c _ { i \alpha } ^ { \dagger } , c _ { i \alpha } ^ { \phantom { \dagger } } ] + \sum _ { i \neq j } \hat { T } _ { i j } \dag \hat { T } _ { i j } } & { = \sum _ { \alpha = 1 } ^ { \nu _ { i } } \sum _ { \beta = 1 } ^ { \nu _ { j } } [ t _ { i j } ] _ { \alpha \beta } \dag , c _ { i \alpha } ^ { \dagger } c _ { j \beta } ^ { \phantom { \dagger } } \dag , , } \end{array}
\mathbb { S } _ { ( M ^ { 1 } , A ^ { 1 } , N ^ { 1 } ) , \dots , ( M ^ { n } , A ^ { n } , N ^ { n } ) } ^ { \alpha } \cong \bigoplus _ { \substack { ( \alpha ^ { 1 } , \dots , \alpha ^ { n } ) \in C ( d ) ^ { \times n } \, \alpha ^ { 1 } \wedge \cdots \wedge \alpha ^ { n } = \alpha } } \mathbb { S } _ { ( M ^ { 1 } , A ^ { 1 } , N ^ { 1 } ) } ^ { \alpha ^ { 1 } } \otimes _ { R } \cdots \otimes _ { R } \mathbb { S } _ { ( M ^ { n } , A ^ { n } , N ^ { n } ) } ^ { \alpha ^ { n } } .
\alpha _ { 1 } = \left( \begin{array} { c } { { e ^ { i n \theta } } } \\ { { 0 } } \\ { { 0 } } \\ { { d _ { + } \, e ^ { i ( n + 1 ) \theta } } } \end{array} \right) , \alpha _ { 3 } = \left( \begin{array} { c } { { 0 } } \\ { { d _ { + } \, e ^ { i ( n + 1 ) \theta } } } \\ { { e ^ { i n \theta } } } \\ { { 0 } } \end{array} \right) ,
\frac { \delta g ^ { \alpha \beta } ( x ) } { \delta g ^ { \rho \gamma } ( y ) } = \frac { 1 } { 2 } ( \delta _ { \rho } ^ { \alpha } \delta _ { \gamma } ^ { \beta } + \delta _ { \gamma } ^ { \alpha } \delta _ { \rho } ^ { \beta } ) \delta ( x - y ) \ ,
\Delta = \Omega + C ^ { A } V _ { A } ^ { B } \bar { \cal P } _ { B } ( - 1 ) ^ { \varepsilon _ { B } } + \frac { 1 } { 4 } C ^ { B } C ^ { A } V _ { A B } ^ { C D } \bar { \cal P } _ { D } \bar { \cal P } _ { C } ( - 1 ) ^ { \varepsilon _ { B } + \varepsilon _ { D } } + \ldots .