harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { V = A _ { 1 } l o g ( r ) + A _ { 2 } , } \\ { A _ { 1 } = \frac { a \, \alpha \, V _ { b } } { \sqrt { \kappa } + a \, \alpha \, l o g ( b / a ) } , } \\ { A _ { 2 } = \frac { V _ { b } ( \sqrt { \kappa } - a \, \alpha \, l o g ( a ) ) } { \sqrt { \kappa } + a \, \alpha \, l o g ( b / a ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \delta _ { 1 } ( \mathrm { H } ) } & { \sim } & { \left( \underbrace { - \frac { 3 } { 4 } \kappa ^ { 2 } r _ { \mathrm { P a u l i } } ^ { 2 } } _ { \rightarrow \, - 2 . 1 9 } + \underbrace { 1 8 M ^ { 2 } c _ { 1 B } } _ { \rightarrow \, 3 . 5 4 } \right) Q _ { \mathrm { m a x } } ^ { 2 } = 1 . 3 5 ( 9 0 ) , } \\ { \delta _ { 1 } ( \mu \mathrm { H } ) } & { \sim } & { \left[ \underbrace { - \frac { 1 } { 3 } \kappa ^ { 2 } r _ { \mathrm { P a u l i } } ^ { 2 } } _ { \rightarrow \, - 1 . 4 5 } + \underbrace { 8 M ^ { 2 } c _ { 1 } } _ { \rightarrow \, 2 . 1 3 } \underbrace { - \frac { M ^ { 2 } } { 3 \alpha } \gamma _ { 0 } } _ { \rightarrow \, 0 . 1 8 } \right] \int _ { 0 } ^ { Q _ { \mathrm { m a x } } ^ { 2 } } \mathrm { d } Q ^ { 2 } \beta _ { 1 } ( \tau _ { \mu } ) = 0 . 8 6 ( 6 9 ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { Q ( t ) = - \frac { \mathcal { L } } { \beta \eta } \left[ \int _ { - L } ^ { L } \frac { d z } { [ R _ { 0 } + \delta R ( z ) ] ^ { 4 } ( z ) } \right] ^ { - 1 } \int _ { - L } ^ { L } [ R _ { 0 } + \delta R ( z ) ] ^ { - 2 } \partial _ { z } \left\{ [ R _ { 0 } + \delta R ( z ) ] ^ { - 2 } \left( p _ { 0 } ( z , t ) + \sum _ { l > 0 } p _ { l } ( z , t ) \delta R ^ { l } ( z ) \right) \right\} d z , } \\ & { \dot { p } _ { 0 } ( z , t ) + \sum _ { l > 0 } \dot { p } _ { l } ( z , t ) = D \partial _ { z } ^ { 2 } \left( p _ { 0 } ( z , t ) + \sum _ { l > 0 } p _ { l } ( z , t ) \delta R ^ { l } ( z ) \right) - \frac { Q ( t ) } { \pi } \partial _ { z } \left\{ [ R _ { 0 } + \delta R ( z ) ] ^ { - 2 } \left[ p _ { 0 } ( z , t ) + \sum _ { l > 0 } p _ { l } ( z , t ) \delta R ^ { l } ( z ) \right] \right\} + } \\ & { + 2 \pi [ R _ { 0 } + \delta R ( z ) ] \xi _ { S } ( z ) - \chi \left( p _ { 0 } ( z , t ) + \sum _ { l > 0 } p _ { l } ( z , t ) \delta R ^ { l } ( z ) \right) . } \end{array}
C _ { U } ( t ; D _ { 0 } ) = \frac { \kappa ^ { 2 } n } { 1 5 \pi ^ { 2 } \varepsilon } \int _ { 0 } ^ { \infty } A ^ { 2 } ( \zeta ) e ^ { - ( 1 + \tilde { D } \zeta ^ { 2 } ) \tau } \mathcal { F } ( L \zeta \tau ) d \zeta ,
\begin{array} { r l } { \alpha _ { n } = } & { { } \int _ { \Delta _ { n } } \left( 1 - 1 _ { { \textrm { s u p p } } ( \widetilde { q } _ { \theta } ) } ( \phi ) \right) p ( \phi ) \, \mathcal { D } [ \phi ] } \\ { = } & { { } \frac { 1 } { Z } \left( \int _ { \Delta _ { n } } e ^ { - S ( \phi ) } \, \mathcal { D } [ \phi ] - \int _ { { \Delta _ { n } } \cap { { { \textrm { s u p p } } ( \widetilde { q } _ { \theta } ) } } } e ^ { - S ( \phi ) } \, \mathcal { D } [ \phi ] \right) \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \| \mathcal { V } _ { 2 } ( t , \cdot ) \| _ { L ^ { p } } \leq \int _ { 0 } ^ { t } \left( \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathbb { E } [ \mathcal { B } ^ { p \lambda - 1 } ( t , \Phi ( t , \mathcal { A } _ { s , \mu } ) ) ] | d ( s , \mu ) | ^ { p } d \mu \right) ^ { 1 / p } d s . } \end{array}
Q _ { i j } = { \frac { 1 } { e } } \int \left( 3 x _ { i } ^ { \prime } x _ { j } ^ { \prime } - \left( r ^ { \prime } \right) ^ { 2 } \delta _ { i j } \right) \rho \left( \mathbf { r } ^ { \prime } \right) \, d ^ { 3 } r ^ { \prime } ,
\overline { { V } } = \frac { 1 } { n - 1 } \sum _ { k = 2 } ^ { n } { v } _ { k } \qquad \overline { { A } } = \frac { 1 } { n - 2 } \sum _ { k = 3 } ^ { n } { a } _ { k } \qquad \overline { { B } } = \frac { 1 } { n - 2 } \sum _ { k = 2 } ^ { n - 1 } { b } _ { k }
\begin{array} { r l r } { r _ { \mathrm { c } } } & { { } = } & { \frac { \gamma } { 2 } \frac { I / I _ { \mathrm { s a t } , 6 } } { 1 + 4 \Delta ^ { 2 } / \gamma ^ { 2 } + I / I _ { \mathrm { s a t } , 6 } } , } \\ { r _ { \mathrm { n c } } } & { { } = } & { \frac { \gamma } { 2 } \sum _ { f = 4 , 5 } \frac { I / I _ { \mathrm { s a t } , f } } { 1 + 4 ( \Delta + \Delta _ { \mathrm { h f } , f } ) ^ { 2 } / \gamma ^ { 2 } ) + I / I _ { \mathrm { s a t } , f } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { \xi ( \Lambda _ { n } ) } \sum _ { x \in \Lambda _ { n } \cap \xi } \sum _ { y \in \Lambda _ { n } \cap \xi } e ^ { - \delta | x - y | } | f _ { \zeta m } ( \tau _ { y } \omega ) | ^ { 2 } = \frac { 1 } { \xi ( \Lambda _ { n } ) } \sum _ { y \in \Lambda _ { n } \cap \xi } \sum _ { x \in \Lambda _ { n } \cap \xi } e ^ { - \delta | x - y | } | f _ { \zeta m } ( \tau _ { y } \omega ) | ^ { 2 } } \\ & { \leq \frac { 1 } { \xi ( \Lambda _ { n } ) } \sum _ { y \in \Lambda _ { n } \cap \xi } \sum _ { x \in \xi } e ^ { - \delta | x - y | } | f _ { \zeta m } ( \tau _ { y } \omega ) | ^ { 2 } = \frac { 1 } { \xi ( \Lambda _ { n } ) } \sum _ { y \in \Lambda _ { n } \cap \xi } h ( \tau _ { y } \omega ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { Q _ { - + } ^ { \varepsilon } ( \mu _ { \beta } e ^ { \beta \phi ^ { 0 } } , F _ { + } ^ { \varepsilon } ) } \\ { \quad } & { = e ^ { \beta \phi ^ { 0 } } \nabla _ { v } \cdot \int _ { \mathbf R ^ { 3 } } \Phi ( \xi - \varepsilon v ) \{ \varepsilon \mu _ { \beta } ( \xi ) \nabla _ { v } F _ { + } ^ { \varepsilon } ( v ) + \beta \xi \mu _ { \beta } ( \xi ) F _ { + } ^ { \varepsilon } ( v ) \} d \xi } \\ { \quad } & { = \varepsilon e ^ { \beta \phi ^ { 0 } } \nabla _ { v } \cdot \{ \Phi * \mu _ { \beta } ( \varepsilon v ) ( \beta v + \nabla _ { v } ) F _ { + } ^ { \varepsilon } ( v ) \} . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \partial _ { t } ^ { 2 } u - \Delta u + \sin u } & { = f } & & { \quad \mathrm { i n } ~ \Omega \times I , } \\ { u } & { = 0 } & & { \quad \mathrm { o n } ~ \partial \Omega \times I , } \\ { u ( \cdot , 0 ) } & { = u _ { 0 } } & & { \quad \mathrm { i n } ~ \Omega , } \\ { \partial _ { t } u ( \cdot , 0 ) } & { = u _ { 1 } } & & { \quad \mathrm { i n } ~ \Omega , } \end{array}
A _ { i } = ( 2 \pi R ) ^ { p - 3 } \sqrt { \left( \left( n _ { 1 } ^ { ( i ) } \right) ^ { 2 } + \left( m _ { 1 } ^ { ( i ) } \right) ^ { 2 } \right) \left( \left( n _ { 2 } ^ { ( i ) } \right) ^ { 2 } + \left( m _ { 2 } ^ { ( i ) } \right) ^ { 2 } \right) } .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { P r } ( T ^ { ( n ) } > 0 , \mathcal { C } ( t _ { 0 } ^ { ( n ) } ) \mid \theta = i ) } & { = \operatorname* { P r } ( T ^ { ( n ) } \! > \! 0 \mid \mathcal { C } ( t _ { 0 } ^ { ( n ) } ) , \theta \! = \! i ) \operatorname* { P r } ( \mathcal { C } ( t _ { 0 } ^ { ( n ) } ) \mid \theta \! = \! i ) = \operatorname* { P r } ( \mathcal { C } ( t _ { 0 } ^ { ( n ) } ) \mid \theta = i ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { I } _ { z } ( x , w ) } & { { } = - \frac { 1 } { 4 \pi } \iint _ { \mathcal { S } _ { p } } \frac { ( w - u ) \cos { ( \beta ) } } { \left( \left( x - v \right) ^ { 2 } + \left( w - u \right) ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \mathrm { d } u \mathrm { d } v . } \end{array}
\sigma ( \Delta ^ { n } ) \, = \, \pi ( \Delta ^ { n } ) \, = \, \pi ( { \Delta ^ { n } } ^ { * } ) \, = \, \sigma ( { \Delta ^ { n } } ^ { * } ) \, = \, { \Delta } ^ { n - 1 } \, = \, { { \Delta } ^ { n - 1 } } ^ { * } ,
\begin{array} { r l r } { \| \mu P _ { \delta } ^ { n } - \mu ^ { \prime } P _ { \delta } ^ { n } \| _ { V } } & { \leq } & { \frac { C ^ { \prime } } { \alpha } \kappa ^ { m } \| \mu P _ { \delta } ^ { r } - \mu ^ { \prime } P _ { \delta } ^ { r } \| _ { V } } \\ & { \leq } & { \frac { C ^ { \prime } } { \alpha } \left( 1 + 2 C ^ { \prime } \right) \kappa ^ { m } \| \mu - \mu ^ { \prime } \| _ { V } } \\ & { \leq } & { C ^ { \prime \prime } \tilde { \kappa } ^ { n \delta } \| \mu - \mu ^ { \prime } \| _ { V } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho ^ { ( 2 ) } } & { { } = - \frac { 1 } { \hbar ^ { 2 } } \int _ { - \varepsilon } ^ { \varepsilon } \int _ { - \varepsilon } ^ { t } \left[ \tilde { H } ( t ) , \left[ \tilde { H } ( t ^ { \prime } ) , \rho ^ { ( 1 ) } \right] \right] \, \mathrm { d } t ^ { \prime } \mathrm { d } t } \end{array}
\frac { d \Gamma } { d \xi _ { + } } = \frac { G _ { F } ^ { 2 } | V _ { q b } | ^ { 2 } } { 1 9 2 \pi ^ { 3 } } \frac { M ^ { 6 } } { E } \Bigg [ \xi _ { + } ^ { 5 } f ( \xi _ { + } ) \Phi ( x , z ) + \frac { 1 2 } { M ^ { 5 } } \int _ { M _ { \ell } ^ { 2 } } ^ { ( \xi _ { + } M - m _ { q } ) ^ { 2 } } d q ^ { 2 } \sqrt { \nu ^ { 2 } - q ^ { 2 } } f ( \xi _ { - } ) ( 1 - \frac { M _ { \ell } ^ { 2 } } { q ^ { 2 } } ) \Omega ( \xi _ { + } , q ^ { 2 } ) \Bigg ]
\begin{array} { r l } { H ( v ^ { 2 \ell + 1 } , v ^ { 2 \ell } ) } & { \le K _ { 1 } ( C _ { 1 } , \varepsilon , T ) H ( v ^ { 1 } , v ^ { 0 } ) + K _ { 2 } ( C _ { 1 } , C _ { 2 } , \varepsilon ^ { - 1 } , T ) ( \Delta t ) ^ { 4 } , } \\ { H ( v ^ { 2 \ell + 2 } , v ^ { 2 \ell + 1 } ) } & { \le K _ { 1 } ( C _ { 1 } , \varepsilon , T ) H ( v ^ { 2 } , v ^ { 1 } ) + K _ { 2 } ( C _ { 1 } , C _ { 2 } , \varepsilon ^ { - 1 } , T ) ( \Delta t ) ^ { 4 } . } \end{array}
\overline { { \omega } } _ { w , ( \mathcal { L } , \pi ) } ( \boldsymbol { u } \otimes \boldsymbol { v } ) = \sum _ { ( i , j ) = ( \lambda , \eta _ { l } ) , \atop 1 \leq l \leq r } W _ { i j } ^ { \boldsymbol { u v } } + ( \lambda - 1 ) j _ { r } M _ { w } = \sum _ { ( i , j ) = ( \lambda , \eta _ { l } ) , \atop 1 \leq l \leq r } W _ { i j } ^ { \boldsymbol { u v } } + \left( d _ { ( P , \pi _ { 1 } ) } ( \boldsymbol { u } ) - 1 \right) d _ { ( Q , \pi _ { 2 } ) } ( \boldsymbol { v } ) M _ { w } .
\begin{array} { r l r } { \Delta \hat { \phi } ^ { ( n ) } } & { { } = } & { \sqrt { \sum _ { j = 0 } ^ { 3 } \left( \frac { \partial \hat { \phi } ^ { ( n ) } } { \partial p _ { j } ^ { ( n ) } } \right) ^ { 2 } \cdot \left( \Delta p _ { j } ^ { ( n ) } \right) ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \dot { q } _ { j } ( t ) } & { { } = \sum _ { j = - \infty } ^ { \infty } M _ { j j \prime } q _ { j \prime } ( t ) , } \\ { M _ { j j \prime } } & { { } = - \left[ D k _ { j } ^ { 2 } + i \frac { Q _ { s } } { \pi R _ { 0 } ^ { 2 } } k _ { j } + \chi \right] \delta _ { j j \prime } - \frac { \mathcal { L } } { \beta \eta } \frac { k _ { j } B _ { j } } { \pi R _ { 0 } ^ { 2 } } ( \Gamma _ { j \prime } + i \Theta _ { j \prime } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { f _ { z } } & { = } & { \Lambda _ { z } ^ { ( 1 ) } \left[ 2 a _ { \ell + 1 , m } ^ { \mathrm { s c a } } a _ { \ell , m } ^ { \mathrm { s c a } \, * } + a _ { \ell + 1 , m } ^ { \mathrm { i n c } } a _ { \ell , m } ^ { \mathrm { s c a } \, * } + a _ { \ell + 1 , m } ^ { \mathrm { s c a } } a _ { \ell , m } ^ { \mathrm { i n c } \, * } \right] } \\ & { + } & { \Lambda _ { z } ^ { ( 1 ) } \left[ 2 b _ { \ell + 1 , m } ^ { \mathrm { s c a } } b _ { \ell , m } ^ { \mathrm { s c a } \, * } + b _ { \ell + 1 , m } ^ { \mathrm { i n c } } b _ { \ell , m } ^ { \mathrm { s c a } \, * } + b _ { \ell + 1 , m } ^ { \mathrm { s c a } } b _ { \ell , m } ^ { \mathrm { i n c } \, * } \right] } \\ & { + } & { \Lambda _ { z } ^ { ( 2 ) } \left[ 2 b _ { \ell , m } ^ { \mathrm { s c a } } a _ { \ell , m } ^ { \mathrm { s c a } \, * } + b _ { \ell , m } ^ { \mathrm { i n c } } a _ { \ell , m } ^ { \mathrm { s c a } \, * } + b _ { \ell , m } ^ { \mathrm { s c a } } a _ { \ell , m } ^ { \mathrm { i n c } \, * } \right] \, . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq k _ { \theta , n } } \left\Vert \widehat { \mathfrak { G } } _ { ( i ) } - \mathcal { \bar { H } } _ { n . ( i ) } ^ { ( 0 ) } \right\Vert } \\ & { } & { \mathrm { ~ \ \ \ } \leq \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq k _ { \theta , n } } \left\Vert \frac { 1 } { n } \sum _ { t = 1 } ^ { n } g _ { ( i ) , t } ^ { ( 0 ) } g _ { ( i ) , t } ^ { ( 0 ) \prime } - \mathcal { \bar { H } } _ { n . ( i ) } ^ { ( 0 ) } \right\Vert } \\ & { } & { \mathrm { ~ \ \ \ \ \ \ \ } + \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq k _ { \theta , n } } \left\Vert \frac { 1 } { n } \sum _ { t = 1 } ^ { n } \left( g _ { ( i ) } ( x _ { t } , \hat { \beta } _ { ( i ) } ^ { ( 0 ) } ) g _ { ( i ) } ( x _ { t } , \beta _ { ( i ) } ^ { \ast ( 0 ) } ) ^ { \prime } - g _ { ( i ) , t } ^ { ( 0 ) } g _ { ( i ) , t } ^ { ( 0 ) \prime } \right) \right\Vert = \mathfrak { A } _ { n } + \mathfrak { B } _ { n } . } \end{array}
\langle l _ { T } ^ { 2 } \rangle ^ { e A } = \left. \int d l _ { T } ^ { 2 } \cdot l _ { T } ^ { 2 } \cdot \frac { d \sigma _ { e A } } { d x _ { B } d Q ^ { 2 } d l _ { T } ^ { 2 } } \, \right/ \frac { d \sigma _ { e A } } { d x _ { B } d Q ^ { 2 } } \ .
\left. \frac { 1 } { \mathrm { S c } } \partial _ { t } v _ { t } \right| _ { t = 0 } = \left. \partial _ { y _ { 3 } } ^ { 2 } v _ { t } \right| _ { t = 0 } + \partial _ { y _ { 3 } } ^ { 2 } v _ { s } = 0
P _ { 6 } \sim \frac { 1 } { M _ { 3 } M ^ { 5 } } \psi _ { i } ^ { c } \phi _ { 2 3 } ^ { i } \phi _ { 2 3 } ^ { j } \psi _ { j } ^ { c } \nu ^ { k } \overline { { { \phi _ { 3 , k } } } } \nu ^ { l } \overline { { { \phi _ { 2 3 , l } } } }
\begin{array} { r l } { - \frac { 1 } { \nu _ { n + 1 } } \langle \delta \varphi , \delta \nu _ { n + 1 } - \delta _ { n + 1 } \nu \rangle = } & { - \langle \delta \varphi , \delta \log a \rangle + \delta _ { n + 1 } \varphi \delta _ { n + 1 } \log a } \\ & { + \nu _ { n + 1 } ^ { 2 } \langle \delta \varphi , \delta \log a \rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { k ^ { 2 } } { r } \| u _ { j } ( t ) \| _ { L ^ { 4 } } ^ { 2 } \| U ( t ) \| _ { L ^ { 4 } } ^ { 2 } \leq \frac { k ^ { 2 } } { r } ( 1 + Q ) ^ { 1 / 2 } \, \| U ( t ) \| _ { L ^ { 4 } } ^ { 2 } } \\ { \leq } & { \, C ^ { * } \| \nabla U ( t ) \| ^ { 3 / 2 } \left[ \frac { k ^ { 2 } } { r } ( 1 + Q ) ^ { 1 / 2 } \, \| U ( t ) \| ^ { 1 / 2 } \right] } \\ { \leq } & { \, \eta \| \nabla U ( t ) \| ^ { ( 3 / 2 ) \times ( 4 / 3 ) } + \frac { 1 } { \eta ^ { 3 } } \left[ \frac { C ^ { * } k ^ { 2 } } { r } ( 1 + Q ) ^ { 1 / 2 } \, \| U ( t ) \| ^ { 1 / 2 } \right] ^ { 4 } } \\ { = } & { \, \eta \| \nabla U ( t ) \| ^ { 2 } + \frac { C ^ { * 4 } \, k ^ { 8 } ( 1 + Q ) ^ { 2 } } { \eta ^ { 3 } \, r ^ { 4 } } \| U ( t ) \| ^ { 2 } , \quad t > T ( g ^ { 0 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Delta x _ { \mathrm { i n } } } & { { } = B d _ { \mathrm { I L } } d \theta _ { \mathrm { i n } } , } \\ { \Delta y _ { \mathrm { i n } } } & { { } = B d _ { \mathrm { I L } } d \phi _ { \mathrm { i n } } , } \\ { \Delta x _ { \mathrm { c } } } & { { } = C d _ { \mathrm { I L } } d \theta _ { \mathrm { b m } } , } \\ { \Delta y _ { \mathrm { c } } } & { { } = C d _ { \mathrm { I L } } d \phi _ { \mathrm { b m } } , } \\ { w _ { 0 } } & { { } = d _ { \mathrm { I L } } \theta _ { 0 } , } \end{array}
U = \left[ \begin{array} { c c c } { { \sqrt { ( 1 - 2 \Lambda ^ { 2 } ) } } } & { { - \sqrt { 2 \Lambda } } } & { { 0 } } \\ { { \Lambda } } & { { \sqrt { ( 1 / 2 ) ( 1 - 2 \Lambda ^ { 2 } ) } } } & { { - 1 / \sqrt { 2 } } } \\ { { \Lambda } } & { { \sqrt { ( 1 / 2 ) ( 1 - 2 \Lambda ^ { 2 } ) } } } & { { - 1 / \sqrt { 2 } } } \end{array} \right]
\int _ { - 1 } ^ { 1 } \frac { \delta ( \zeta - x t - z + x z ) g _ { n l } ^ { \nu } ( z ) d z } { \left[ p _ { 0 } ^ { 2 } ( 1 + \frac { \Delta ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } - 2 \frac { \Delta } { m } z ) + \frac { 1 } { 4 } ( z - \frac { \Delta } { m } ) ^ { 2 } P ^ { 2 } \right] ^ { k - \nu + 1 } } \; ,
\begin{array} { r l } { - \left( \varepsilon \partial _ { t } \vec { A } _ { h } , \partial _ { t } \vec { v } _ { h } \right) _ { L ^ { 2 } ( Q ) } + \left( \sigma \partial _ { t } \vec { A } _ { h } , \vec { v } _ { h } \right) _ { L ^ { 2 } ( Q ) } + } & { \left( \mu ^ { - 1 } \mathrm { c u r l } _ { x } \vec { A } _ { h } , \mathrm { c u r l } _ { x } \vec { v } _ { h } \right) _ { L ^ { 2 } ( Q ) } } \\ & { = \left( \Pi _ { h } ^ { \mathcal { R T } , 1 } \vec { j } _ { a } , \vec { v } _ { h } \right) _ { L ^ { 2 } ( Q ) } - \left( \varepsilon \vec { \psi } , \vec { v } _ { h } ( 0 , . ) \right) _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } } \end{array}
\Phi _ { m n } ( r , \theta ) = \frac { 1 } { \mathscr { N } _ { m n } } \bigg [ \mathrm { J } _ { m } ( k _ { m n } r ) \cos ( \gamma _ { m n } \pi ) + \mathrm { Y } _ { m } ( k _ { m n } r ) \sin ( \gamma _ { m n } \pi ) \bigg ] \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } m \theta } ,
\begin{array} { r l r } { \frac { 2 U } { c ^ { 2 } } } & { { } = } & { r _ { g } \Big \{ \frac { 1 } { r } + \sum _ { \ell = 2 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { \ell } } { \ell ! } { \cal T } ^ { < a _ { 1 } . . . a _ { \ell } > } \frac { \partial ^ { \ell } } { \partial x ^ { < a _ { 1 } . . . } \partial x ^ { a _ { \ell } > } } \Big ( \frac { 1 } { r } \Big ) \Big \} , } \end{array}
\pi _ { \boldsymbol { \epsilon , } \beta } ( \boldsymbol { y } ; \boldsymbol { \theta } _ { 0 } , \boldsymbol { \delta } ) = \operatorname* { l i m } _ { n \rightarrow \infty } P ( R _ { n , \beta } ( \widetilde { \boldsymbol { \theta } } _ { \beta } ) > \chi _ { r , \alpha } ^ { 2 } | \underline { { F } } _ { \boldsymbol { n , \epsilon } } ( \boldsymbol { y } ; \boldsymbol { \theta } _ { 0 } , \boldsymbol { \delta } ) ) = Q _ { \frac { r } { 2 } } ( \nu _ { \beta } ( \boldsymbol { \theta } _ { 0 } , \boldsymbol { \delta } _ { \beta , \epsilon } ) , \chi _ { r , \alpha } ^ { 2 } ) ,
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } [ } & { \| ( q _ { k + 1 } ^ { y } ( \zeta _ { y } ^ { k + 1 } , \phi _ { y } ^ { k + 1 } ) - q _ { k } ^ { y } ( \zeta _ { y } ^ { k + 1 } , \phi _ { y } ^ { k + 1 } ) ) + ( q _ { k } ^ { y } - q _ { k + 1 } ^ { y } ) \| ^ { 2 } ] } \\ & { = \mathbb { E } [ \| ( \nabla _ { y } f ( x _ { k + 1 } , y _ { k + 1 } ; \zeta _ { y } ^ { k + 1 } ) - \nabla _ { y } f ( x _ { k } , y _ { k } ; \zeta _ { y } ^ { k + 1 } ) + \nabla _ { y } f ( x _ { k } , y _ { k } ) - \nabla _ { y } f ( x _ { k + 1 } , y _ { k + 1 } ) ) } \\ & { \quad + \lambda _ { k } ( \nabla _ { y } g ( x _ { k + 1 } , y _ { k + 1 } ; \phi _ { y } ^ { k + 1 } ) - \nabla _ { y } g ( x _ { k } , y _ { k } ; \phi _ { y } ^ { k + 1 } ) + \nabla _ { y } g ( x _ { k } , y _ { k } ) - \nabla _ { y } g ( x _ { k + 1 } , y _ { k + 1 } ) ) } \\ & { \quad + \delta _ { k } ( \nabla _ { y } g ( x _ { k + 1 } , y _ { k + 1 } ; \phi _ { y } ^ { k + 1 } ) - \nabla _ { y } g ( x _ { k + 1 } , y _ { k + 1 } ) + \nabla _ { y } g ( x _ { k } , y _ { k } ) - \nabla _ { y } g ( x _ { k } , y _ { k } ; \phi _ { y } ^ { k + 1 } ) ) \| ^ { 2 } ] } \\ & { \le 1 2 ( l _ { f , 1 } ^ { 2 } + l _ { g , 1 } ^ { 2 } \lambda _ { k } ^ { 2 } ) ( \| x _ { k + 1 } - x _ { k } \| ^ { 2 } + \| y _ { k + 1 } - y _ { k } \| ^ { 2 } ) + 1 2 \delta _ { k } ^ { 2 } \sigma _ { g } ^ { 2 } } \\ & { \le 2 4 ( l _ { f , 1 } ^ { 2 } \alpha _ { k } ^ { 2 } + l _ { g , 1 } ^ { 2 } \beta _ { k } ^ { 2 } ) ( \xi ^ { 2 } \| q _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } + \xi ^ { 2 } \| \tilde { e } _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } + \| q _ { k } ^ { y } \| ^ { 2 } + \| \tilde { e } _ { k } ^ { y } \| ^ { 2 } ) + 1 2 \delta _ { k } ^ { 2 } \sigma _ { g } ^ { 2 } . } \end{array}
E _ { \mathrm { k i n } } = \frac { 1 } { 2 } ( \Delta x ) ^ { 3 } \rho _ { m } \sum _ { m = 1 } ^ { 3 } \sum _ { \mathrm { c e l l } = 1 } ^ { N _ { \mathrm { c e l l s } } } f _ { m , \mathrm { c e l l } } ( | \mathbf { u } | ^ { 2 } ) _ { \mathrm { c e l l } }
\begin{array} { r l } { q ( u , v ) ( x ) } & { = \int _ { \Omega } \int _ { \Omega } \Lambda ( x , y , y ^ { \prime } ) u ( y ) v ( y ^ { \prime } ) \mathop { \mathrm { d } y } \mathop { \mathrm { d } y ^ { \prime } } } \\ & { \mathrel { \mathop : } = \biggl ( \int _ { \Omega } \int _ { \Omega } \sum _ { j , k \in \{ 1 , 2 , 3 \} } \Lambda _ { i j k } ( x , y , y ^ { \prime } ) u _ { j } ( y ) v _ { k } ( y ^ { \prime } ) \mathop { \mathrm { d } y } \mathop { \mathrm { d } y ^ { \prime } } \biggr ) _ { i = 1 , 2 , 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \| ( u _ { 0 , h i } , u _ { 1 , h i } ) \| _ { H ^ { \nu } \times H ^ { \nu - 1 } } \lesssim s _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { 2 } ( s - \nu ) } \| ( u _ { 0 } , u _ { 1 } ) \| _ { H ^ { s } \times H ^ { s - 1 } } } \\ & { \| ( u _ { 0 , l o } , u _ { 1 , l o } ) \| _ { H ^ { 1 } \times L ^ { 2 } } \lesssim s _ { 0 } ^ { - \frac { 1 } { 2 } ( 1 - s ) } \| ( u _ { 0 } , u _ { 1 } ) \| _ { H ^ { s } \times H ^ { s - 1 } } } \end{array}
\begin{array} { l l } { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ i ~ m ~ i ~ z ~ e ~ } } & { f ( x ) : = \sum _ { s = 1 } ^ { N } f _ { s } ( x ) } \\ { \mathrm { ~ s ~ u ~ b ~ j ~ e ~ c ~ t ~ t ~ o ~ } } & { x \geq 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { { R _ { E } } ( u ) = } & { { } \frac { { 2 \left( { - 3 3 + 4 5 \cos \left[ u \right] - 3 3 \cos \left[ { 2 u } \right] - 1 5 \cos \left[ { 3 u } \right] } \right) \sin { { \left[ { \frac { u } { 2 } } \right] } ^ { 4 } } } } { { 3 { u ^ { 2 } } } } } \\ { + } & { { } \frac { { 2 \sin { { \left[ { \frac { u } { 2 } } \right] } ^ { 4 } } \left( { - 8 1 \sin \left[ u \right] + 2 7 \sin \left[ { 2 u } \right] - 3 \sin \left[ { 3 u } \right] } \right) } } { { 3 u } } + \frac { { 2 \sin { { \left[ { \frac { u } { 2 } } \right] } ^ { 4 } } \left( { - 7 5 \sin \left[ u \right] + 3 3 \sin \left[ { 2 u } \right] + 1 5 \sin \left[ { 3 u } \right] } \right) } } { { 3 { u ^ { 3 } } } } } \\ { + } & { { } \frac { 2 } { 3 } \sin { \left[ { \frac { u } { 2 } } \right] ^ { 4 } } \left[ \begin{array} { l } { 2 0 + 4 \cos \left[ u \right] + 1 6 8 \left( { 1 + \cos \left[ u \right] } \right) \mathrm { { C i } } \left[ u \right] - 2 4 0 \left( { 1 + \cos \left[ u \right] } \right) \mathrm { { C i } } \left[ { 2 u } \right] + } \\ { 2 4 \left( { 3 \left( { 1 + \cos \left[ u \right] } \right) \mathrm { { C i } } \left[ { 3 u } \right] + \left( { 1 + \cos \left[ u \right] } \right) \log \left[ { \frac { { 1 0 2 4 } } { { 2 7 } } } \right] + 3 \sin \left[ u \right] \left( { \mathrm { { S i } } \left[ u \right] - 2 \mathrm { { S i } } \left[ { 2 u } \right] + \mathrm { { S i } } \left[ { 3 u } \right] } \right) } \right) } \end{array} \right] . } \end{array}
T < \left[ \frac { \mathfrak c } { \overline { \alpha } _ { H } \sigma ^ { 2 } } \left[ \frac { \theta _ { \operatorname* { m i n } } ^ { H } } { \sqrt { 2 \pi \sigma ^ { 2 } H \Gamma ( 2 H ) } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } x ^ { 2 } \exp \left( - \theta _ { \operatorname* { m a x } } ^ { 2 H } \frac { x ^ { 2 } } { 2 \sigma ^ { 2 } H \Gamma ( 2 H ) } \right) d x \right] \right] ^ { \frac { 1 } { 2 H } } .
\begin{array} { r l } & { \langle A , p | \hat { H } | B , q \rangle = } \\ & { = \delta _ { A B } ( S _ { p q } E _ { A } + h _ { p q } ) + } \\ & { + W _ { p r } ^ { B A } h _ { r q } + h _ { p s } W _ { s q } ^ { B A } + h _ { r s } P _ { p s , q r } ^ { B A } + } \\ & { + [ p q | r s ] Q _ { s r } ^ { B A } + [ p s | r q ] W _ { s r } ^ { B A } + } \\ & { + [ p t | r s ] P _ { t s , q r } ^ { B A } + [ q t | r s ] P _ { p s , t r } ^ { B A } + } \\ & { + [ t u | r s ] C _ { p s u , t r q } ^ { B A } . } \end{array}
R M S E = \sqrt { \frac { \sum ^ { n } ( W _ { f } - W _ { o } ) ^ { 2 } } { n } } , S M A P E = \frac { 1 } { n } \sum ^ { n } \frac { \left| W _ { f } - W _ { o } \right| } { \left| W _ { f } \right| + \left| W _ { o } \right| } ,
\begin{array} { r l r } { i \left( \partial _ { t } + M \mathbf { g \cdot } \partial _ { \mathbf { p } } - \frac { p ^ { 2 } } { 2 M \hbar } \right) a \left( e , \mathbf { p } , t \right) } & { { } = } & { \frac { \Omega } { 2 } f ^ { 2 } \left( t \right) \exp \left[ - i \delta t - i \phi \left( t \right) \right] a \left( g , \mathbf { p } - \hbar \mathbf { k } , t \right) , } \\ { i \left( \partial _ { t } + M \mathbf { g \cdot } \partial _ { \mathbf { p } } - \frac { p ^ { 2 } } { 2 M \hbar } \right) a \left( g , \mathbf { p } , t \right) } & { { } = } & { \frac { \Omega ^ { \ast } } { 2 } f ^ { 2 } \left( t \right) \exp \left( i \delta t + i \phi \left( t \right) \right) a \left( e , \mathbf { p } + \hbar \mathbf { k } , t \right) , } \end{array}
\Sigma _ { i \in I } \left| e _ { i } \right\rangle \left\langle e _ { i } \right| = \Sigma _ { i , \, j , \, k \in I } \left( U ^ { \dagger } \right) _ { k i } U _ { i j } \left| f _ { j } \right\rangle \left\langle f _ { k } \right| = \Sigma _ { j , \, k \in I } \delta _ { k j } \left| f _ { j } \right\rangle \left\langle f _ { k } \right| = \Sigma _ { j \in I } \left| f _ { j } \right\rangle \left\langle f _ { j } \right| ,