harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } \left( X \! \! \to \! \! Y ^ { n } \right) } & { \leq \mathcal { L } \left( X \! \! \to \! \! Y _ { 1 } \right) + \operatornamewithlimits { e s s - s u p } _ { P _ { Y _ { 1 } } } \mathcal { L } \left( X \! \! \to \! \! Y _ { 2 } ^ { n } | Y _ { 1 } = y _ { 1 } \right) } \\ & { \leq \mathcal { L } \left( X \! \! \to \! \! Y _ { 1 } \right) + \operatornamewithlimits { e s s - s u p } _ { P _ { Y _ { 1 } } } \sum _ { i = 2 } ^ { n } \mathcal { L } \left( X \! \! \to \! \! Y _ { i } | Y ^ { i - 1 } , Y _ { 1 } = y _ { 1 } \right) } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathcal { L } \left( X \! \! \to \! \! Y _ { i } | Y ^ { i - 1 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { L _ { \mathbb { J } } ( \mathbb { G } , \{ \mathbf { x } _ { i } \} ) } & { { } = } & { \frac { h _ { i n v } } { m \varepsilon ^ { 2 } } \sum _ { i } ^ { m } \biggl [ \varphi \bigl ( \mathbf { x } _ { i } + \varepsilon \, \mathbb { G } \, \mathbf { x } _ { i } \bigr ) - \varphi ( \mathbf { x } _ { i } ) \biggr ] ^ { 2 } } \end{array}
\eta _ { d } \sim \left\{ \begin{array} { c c } { 0 } & { \delta \le 0 } \\ { \exp \left[ - \frac { ( 4 - \sqrt { 2 } ) } { 8 } \pi \delta ^ { - 1 / 2 } \right] } & { 0 < \delta \ll 1 } \end{array} \right.
\mathrm { ~ T ~ r ~ } ( { \bf Q } ) = 0 ; \quad \mathrm { ~ T ~ r ~ } ( { \bf Q } ^ { 2 } ) = 2 ( Q _ { 1 1 } ^ { 2 } + Q _ { 1 2 } ^ { 2 } ) = \mathcal { S } ^ { 2 } / 2 ; \quad \mathrm { ~ T ~ r ~ } ( { \bf Q } ^ { 3 } ) = 0 .
t _ { c } = \left\{ \begin{array} { l l } { t _ { c } ^ { m i n } = \frac { d } { 2 v } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } x = \frac { d } { 2 } , } \\ { t _ { c } ^ { m a x } = \frac { d } { v } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } x = d } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r l } { \mu _ { \mathrm { O D E } } ^ { i } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) } & { = \mathbf { x } _ { t _ { i } } } \\ { \mu _ { \mathrm { O D E } } ^ { k } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) } & { = \mu _ { \mathrm { O D E } } ^ { k - 1 } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) + ( t _ { k } - t _ { k - 1 } ) \left[ \mathcal { P } ( \mu _ { \mathrm { O D E } } ^ { k - 1 } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) ) - \frac { 1 } { 2 } g _ { t _ { k } } ^ { 2 } s _ { \theta } ( \mu _ { \mathrm { O D E } } ^ { k - 1 } ( \mathbf { x } _ { t _ { i } } ) , t _ { k - 1 } ) \right] . } \end{array}
\mathbf { G } ^ { ( + ) } ( z ) = \mathbf { W } ^ { ( + ) } ( z ) \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { \frac { \beta h _ { 0 } e ^ { i \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } x ^ { 2 } } | x | ^ { 2 \beta } } { s _ { * } \varphi _ { 2 } ( z ) } } \\ { \frac { s _ { * } | x | ^ { - 2 \beta } } { h _ { 0 } e ^ { i \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } x ^ { 2 } } \varphi _ { 2 } ( z ) } } & { 0 } \end{array} \right) \mathbf { W } ^ { ( + ) } ( z ) ^ { - 1 } .
\begin{array} { r l } { \mu \left( g \right) } & { = \hat { \mu } _ { + } \left( \mathcal { M } \right) \bar { \mu } _ { + } \left( g \right) - \mu _ { - } \left( \mathcal { M } \right) \hat { \mu } _ { - } \left( g \right) = \mu _ { + } \left( \mathcal { M } \right) \hat { \mu } _ { + } \left( \hat { \mu } _ { + } \left( g | \mathcal { B } _ { \mu _ { + } } ^ { \prime } \right) \right) - \mu _ { - } \left( \mathcal { M } \right) \hat { \mu } _ { - } \left( \hat { \mu } _ { - } \left( g | \mathcal { B } _ { \mu _ { - } } ^ { \prime } \right) \right) } \\ & { = \mu \left( \mathcal { E } _ { \mu } \left( g | \mathcal { B } ^ { \prime } \right) \right) \ , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m } _ { x \rightarrow \infty } \frac { f ( x ) u ( x ) } { \bar { F } ( x ) } = \operatorname* { l i m } _ { x \rightarrow \infty } \frac { x f ( x ) } { \bar { F } ( x ) } \frac { u ( x ) } { x } = 1 , } \\ & { \operatorname* { l i m } _ { x \rightarrow \infty } - \frac { f ^ { \prime } ( x ) u ^ { 2 } ( x ) } { ( \xi + 1 ) \bar { F } ( x ) } = \operatorname* { l i m } _ { x \rightarrow \infty } - \frac { 1 } { \xi + 1 } \frac { x f ^ { \prime } ( x ) } { f ( x ) } \frac { x f ( x ) } { \bar { F } ( x ) } \frac { u ^ { 2 } ( x ) } { x ^ { 2 } } = 1 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { F ( \mathbf { w } ^ { ( n + 1 ) } ) } & { } \\ { \leq } & { \: F ( \mathbf { w } ^ { ( n ) } ) + \frac { 1 } { \xi | \mathcal { K } ^ { ( n ) } | } \sum _ { k \in \mathcal { K } ^ { ( n ) } } \Big [ G _ { k } ( \mathbf { w } ^ { ( n ) } , \mathbf { z } _ { k } ^ { ( n ) } ) F _ { k } ( \mathbf { w } ^ { ( n ) } + \mathbf { z } _ { k } ^ { ( n ) } ) + \nabla F _ { k } ( \mathbf { w } ^ { ( n ) } ) \mathbf { z } _ { k } ^ { ( n ) } \Big ] + \frac { M } { 2 | \mathcal { K } ^ { ( n ) } | ^ { 2 } } \Big \| \sum _ { k \in \mathcal { K } ^ { ( n ) } } \mathbf { z } _ { k } ^ { ( n ) } \Big \| ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { R \left( \left( \begin{array} { r r r } { y } & { y } & { 0 } \\ { n } & { n } & { 0 } \\ { r } & { r } & { 0 } \end{array} \right) \right) } & { = \left( \begin{array} { c c r } { 1 } & { b } & { b } \\ { 0 } & { 1 - b } & { - b } \\ { 0 } & { b - 1 } & { b } \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array} { r r r } { y } & { y } & { 0 } \\ { n } & { n } & { 0 } \\ { r } & { r } & { 0 } \end{array} \right) } \\ & { = \left( \begin{array} { c c c } { y + b n + b r } & { y + b n + b r } & { 0 } \\ { n - b n - b r } & { n - b n - b r } & { 0 } \\ { n b - n + b r } & { n b - n + b r } & { 0 } \end{array} \right) } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { \widehat { \boldsymbol { f } } ( \boldsymbol { k } , t ) } & { { } = ( \epsilon _ { W } / 2 K _ { f } ) \widehat { \boldsymbol { u } } ( \boldsymbol { k } , t ) } & { } & { { } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \ 0 < | \boldsymbol { k } | < k _ { f } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \psi } & { { } \to } & { \Lambda \psi , \qquad \bar { \psi } \to \bar { \psi } \Lambda ^ { \dagger } , } \\ { A _ { \mu } } & { { } \to } & { \Lambda \, A _ { \mu } \, \Lambda ^ { \dagger } + i ( \partial _ { \mu } \Lambda ) \, \Lambda ^ { \dagger } } \end{array}
\frac { \partial E _ { \mathrm { Q e q } } } { \partial Q _ { i } } = 0 , \forall i = 1 , . . , N _ { \mathrm { a t o m s } } \implies \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { \mathrm { a t o m s } } } A _ { i j } Q _ { j } + \chi _ { i } = 0
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left[ \| \mathsf { S } _ { t , 0 } - \mathsf { h } ( \widehat { S } _ { t , 0 } ) \| ^ { 2 } \right] } \\ & { = \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \mathbb { E } \left[ \| \sum _ { i = 1 } ^ { n } \{ \delta _ { t , 0 , i } - \mathbb { E } \left[ \delta _ { t , 0 , i } \vert \widehat { S } _ { t , 0 } \right] \} \| ^ { 2 } \right] } \\ & { = \frac { 1 } { n ^ { 2 } } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sigma _ { t , 0 , i } ^ { 2 } \; , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } \left( \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } | u _ { t } | > 2 \epsilon \right) } & { = \mathbb { P } \left( \left\{ \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } | u _ { t } | > 2 \epsilon \right\} \cap \mathcal { E } ( \epsilon ) \right) + \mathbb { P } \left( \left\{ \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } | u _ { t } | > 2 \epsilon \right\} \cap \mathcal { E } ^ { c } ( \epsilon ) \right) } \\ & { \leq \mathbb { P } \left( \frac { t _ { \epsilon } } { T } C + \epsilon > 2 \epsilon \right) + \mathbb { P } \left( \mathcal { E } ^ { c } ( \epsilon ) \right) } \\ & { = \mathbb { P } \left( \frac { t _ { \epsilon } } { T } C > \epsilon \right) + \mathbb { P } \left( \mathcal { E } ^ { c } ( \epsilon ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \ddot { \xi } _ { 1 } \equiv \frac { d ^ { 2 } } { d \tau ^ { 2 } } \xi _ { 1 } } & { { } = } & { - u _ { 1 } ( \tau ) \xi _ { 1 } - u ( \tau ) } \\ { \ddot { \xi } _ { 3 } } & { { } = } & { u ( \tau ) ~ . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { d , w \in \mathbb { Z } _ { + } ^ { m } } } & { \operatorname* { m i n } \{ \mathcal { P } _ { a } ( d ) \mathcal { P } _ { \hat { a } } ( w ) p , \mathcal { P } _ { b } ( d ) \mathcal { P } _ { \hat { b } } ( w ) \hat { p } \} } \\ { \geq } & { \operatorname* { m i n } \{ p , \hat { p } \} \sum _ { d , w \in \mathbb { Z } _ { + } ^ { m } } \operatorname* { m i n } \{ \mathcal { P } _ { a } ( d ) \mathcal { P } _ { \hat { a } } ( w ) , \mathcal { P } _ { b } ( d ) \mathcal { P } _ { \hat { b } } ( w ) \} } \\ { \overset { ( a ) } { \geq } } & { \operatorname* { m i n } \{ p , \hat { p } \} e ^ { - \textup { D i v } ( [ a , \hat { a } ] , [ b , \hat { b } ] ) } } \\ & { \times \prod _ { i } \frac { ( a _ { i } ^ { t ^ { * } } b _ { i } ^ { 1 - t ^ { * } } ) ^ { a _ { i } ^ { t ^ { * } } b _ { i } ^ { 1 - t ^ { * } } } } { a _ { i } ^ { t ^ { * } } b _ { i } ^ { 1 - t ^ { * } } ! } e ^ { - a _ { i } ^ { t ^ { * } } b _ { i } ^ { 1 - t ^ { * } } } } \\ & { \times \prod _ { i } \frac { ( \hat { a } _ { i } ^ { t ^ { * } } \hat { b } _ { i } ^ { 1 - t ^ { * } } ) ^ { \hat { a } _ { i } ^ { t ^ { * } } \hat { b } _ { i } ^ { 1 - t ^ { * } } } } { \hat { a } _ { i } ^ { t ^ { * } } \hat { b } _ { i } ^ { 1 - t ^ { * } } ! } e ^ { - \hat { a } _ { i } ^ { t ^ { * } } \hat { b } _ { i } ^ { 1 - t ^ { * } } } } \\ { \overset { ( b ) } { \geq } } & { \operatorname* { m i n } \{ p , \hat { p } \} e ^ { - \textup { D i v } ( [ a , \hat { a } ] , [ b , \hat { b } ] ) } \prod _ { i } \frac { 1 } { e ^ { 2 } } \big [ ( a _ { i } \hat { a } _ { i } ) ^ { t ^ { * } } ( b _ { i } \hat { b } _ { i } ) ^ { 1 - t ^ { * } } \big ] ^ { - \frac { 1 } { 2 } } , } \end{array}
( R , \sigma ) = \operatorname * { a r g m i n } _ { \sigma \in \{ 0 , 1 \} ^ { N } } \operatorname * { a r g m i n } _ { R \in \mathbb { R } ^ { N } } \left( \frac { 1 } { 2 } \| y - A ( \sigma \circ R ) \| _ { 2 } ^ { 2 } + { \lambda } \| \sigma \| _ { 0 } \right) .
\mathcal { D } _ { k } = \{ \{ x _ { k } ^ { i } , f _ { k } ^ { i } \} _ { i = 1 } ^ { N _ { k } ^ { f } } , \{ x _ { k } ^ { i } , u _ { k } ^ { i } \} _ { i = 1 } ^ { N _ { k } ^ { u } } \}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { | \rho _ { 1 , n } ( \tau ) | _ { - n \alpha , s _ { 0 } , \eta _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \le \left( 2 C _ { 1 } ( \mathtt { p e } , s _ { 0 } , \eta _ { 0 } ) C _ { 2 } ( \mathtt { p e } , s _ { 0 } , \eta _ { 0 } ) \right) ^ { n } , } \\ { | \rho _ { 1 , n } ( \tau ) | _ { - n , \alpha , s , \eta _ { 0 } } ^ { \mathrm { L i p } ( \gamma , \Omega _ { 1 } ) } \le \left( 4 C _ { 1 } ( \mathtt { p e } , s , \eta _ { 0 } ) C _ { 2 } ( \mathtt { p e } , s , \eta _ { 0 } ) \right) ^ { n } , \mathrm { ~ f o r ~ s \ge ~ s _ 0 ~ . } } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \ \ \ \ \operatorname* { l i m } _ { l \to \infty } \lambda _ { k } ( T _ { l } ) \geq \operatorname* { l i m } _ { l \to \infty } \int _ { \bar { M } } ( d _ { T } u _ { l } , d _ { T } u _ { l } ) + ( d _ { T } ^ { * } u _ { l } , d _ { T } ^ { * } u _ { l } ) \mathrm { d v o l } } \\ & { \geq \operatorname* { l i m } _ { l \to \infty } \int _ { M _ { 1 } \cup M _ { 2 } } ( d u _ { l } , d u _ { l } ) + ( d ^ { * } u _ { l } , d ^ { * } u _ { l } ) \mathrm { d v o l } _ { \bar { M } } } \\ & { = \int _ { M _ { 1 } \cup M _ { 2 } } ( d u _ { \infty } , d u _ { \infty } ) + ( d ^ { * } u _ { \infty } , d ^ { * } u _ { \infty } ) \mathrm { d v o l } _ { \bar { M } } \geq \l _ { k } . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l } { \medskip \frac { B } 2 ( \zeta \gamma _ { x } + ( \zeta \gamma ) _ { x } ) + A \gamma _ { x } + \kappa \gamma _ { x x x } + ( \frac { B } 2 \sigma - \lambda ) \beta _ { x } = 0 } \\ { \frac { B } 2 ( \sigma \gamma ) _ { x } - \lambda \gamma _ { x } + \beta _ { x } = 0 } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { f _ { j } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 1 , \quad } & { x \in \Omega _ { \mathrm { i } ; j } } \\ { 0 , } & { x \in \Omega _ { \mathrm { e } ; j } } \\ { f ( x ) , } & { \mathrm { ~ e ~ l ~ s ~ e ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda _ { c } ( s _ { c } , t ) } & { = k _ { 1 } C _ { 0 } ( C _ { 0 } - 1 ) \left( e ^ { 2 r \, \frac { s _ { c } } { t C _ { 0 } } } - 1 \right) + 2 k _ { 2 } C _ { 0 } D _ { 0 } \left( e ^ { s \, \frac { s _ { c } } { t C _ { 0 } } } - 1 \right) ~ , } \\ { \lambda _ { d } ( s _ { d } , t ) } & { = 2 k _ { 2 } C _ { 0 } D _ { 0 } \left( e ^ { \tau \, \frac { s _ { d } } { t D _ { 0 } } } - 1 \right) + k _ { 4 } D _ { 0 } ( D _ { 0 } - 1 ) \left( e ^ { 2 p \, \frac { s _ { d } } { t D _ { 0 } } } - 1 \right) ~ ~ . } \end{array}
\gamma _ { 1 } : = { \tilde { \mu } } _ { 3 } = \operatorname { E } \left[ \left( { \frac { X - \mu } { \sigma } } \right) ^ { 3 } \right] = { \frac { \mu _ { 3 } } { \sigma ^ { 3 } } } = { \frac { \operatorname { E } \left[ ( X - \mu ) ^ { 3 } \right] } { ( \operatorname { E } \left[ ( X - \mu ) ^ { 2 } \right] ) ^ { 3 / 2 } } } = { \frac { \kappa _ { 3 } } { \kappa _ { 2 } ^ { 3 / 2 } } }
\Phi _ { 1 } ^ { ( 1 ) } = P _ { e } , \; \Phi _ { 2 } ^ { ( 1 ) } = P _ { \chi _ { a } } , \; \Phi _ { 3 } ^ { ( 1 ) } = P _ { \kappa _ { a } } , \; \Phi _ { 4 } ^ { ( 1 ) } = P _ { a n } + i \psi _ { a n } \; .
{ \cal H } _ { \lambda i \alpha k ; \kappa j \beta l } = \sum _ { K = 1 } ^ { 1 6 } ( \Gamma _ { K } ) _ { \lambda i ; \kappa j } \sum _ { a = 1 } ^ { N _ { c } ^ { 2 } } \lambda _ { \alpha \beta } ^ { a } ( A _ { \lambda \kappa } ^ { K a } ) _ { k l }
{ \left[ \begin{array} { l l l } { a _ { 1 , 1 } } & { \ldots } & { a _ { 1 , n } } \\ { \vdots } & { \ldots } & { \vdots } \\ { a _ { m , 1 } } & { \ldots } & { a _ { m , n } } \end{array} \right] } ,
V _ { 1 } ( x ) = { \frac { 1 } { 2 } } D _ { k } ( x ) + O { \bigl ( } x q ^ { - 0 . 0 1 \varepsilon ^ { 2 } } { \bigr ) } , \quad V _ { 2 } ( x ) = { \frac { 1 } { 2 } } D _ { k } ( x ) + O { \bigl ( } x q ^ { - 0 . 0 1 \varepsilon ^ { 2 } } { \bigr ) }
\begin{array} { r l } { \nabla ( \nabla \cdot { \mathbf a } ) = } & { \nabla \left( \frac { \partial a _ { x } } { \partial x } + \frac { \partial a _ { y } } { \partial y } + \frac { \partial a _ { z } } { \partial z } \right) } \\ { = } & { { \mathbf i } \left( \frac { \partial ^ { 2 } a _ { x } } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } a _ { y } } { \partial x \partial y } + \frac { \partial ^ { 2 } a _ { z } } { \partial x \partial z } \right) } \\ & { + { \mathbf j } \left( \frac { \partial ^ { 2 } a _ { x } } { \partial x \partial y } + \frac { \partial ^ { 2 } a _ { y } } { \partial y ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } a _ { z } } { \partial y \partial z } \right) } \\ & { + { \mathbf k } \left( \frac { \partial ^ { 2 } a _ { x } } { \partial x \partial z } + \frac { \partial ^ { 2 } a _ { y } } { \partial y \partial z } + \frac { \partial ^ { 2 } a _ { z } } { \partial z ^ { 2 } } \right) , } \end{array}
( \Theta _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( t ) } } , \overline { { \theta } } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( t ) } } ) = \underline { { \widetilde { \Phi } } } ^ { * } \big ( \Theta _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } , \overline { { \theta } } _ { \mathtt { E H } } ^ { \mathtt { ( m ) } } \big ) + \underline { { \mathrm { d } } } \big ( \star _ { g } \mathcal { U } , 0 \big ) .
\begin{array} { r l r } { S _ { a S , e n v } [ \omega ] } & { { } \equiv } & { \frac { \langle A _ { a S } ^ { \dag } ( \omega , L ) A _ { a S } ( \omega ^ { \prime } , L ) \rangle } { 2 \pi \delta ( \omega - \omega ^ { \prime } ) } } \end{array}
\xi = \operatorname* { s u p } \left\{ \begin{array} { c } { \xi _ { H N } ( \dim ( \mathcal { X } ) , g ( B ) , \tau ( \pi , E ) , a _ { r e l } , a , T + ( \dim ( \mathcal { X } ) - 1 ) ( 4 g ( B ) + 3 + \gamma ) , \beta , b ) , } \\ { \frac { 1 } { a } ( ( \dim ( \mathcal { X } ) - 1 ) ( 5 g ( B ) + 3 + \gamma ) + a _ { r e l } \beta + T + a _ { r e l } ( \dim ( \mathcal { X } ) - 1 ) ( g ( B ) - 1 ) ) } \end{array} \right\}
W _ { c } = { \frac { \pi ^ { 2 } s ^ { 2 } } { 1 6 } } - { \frac { \pi s } { 2 } } ( n + \delta ) + { \frac { 1 } { 4 } } n ( n + \delta ) + { \frac { 1 } { 4 } } n ( n + 2 \delta ) \Bigl [ \log \bigl ( { \frac { 4 \pi s } { n } } \bigr ) + { \frac { 1 } { 2 } } \Bigr ]
E = \mathrm { T r } \; \sqrt { \operatorname * { d e t } ( \delta _ { \mu \nu } + 2 \pi \alpha ^ { \prime } F _ { \mu \nu } ) } = 2 \sqrt { ( 1 + 4 \pi ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } F _ { 1 2 } ^ { 2 } ) ( 1 + 4 \pi ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } F _ { 3 4 } ^ { 2 } ) } = 2 ( 1 + 1 6 \pi ^ { 4 } \alpha ^ { 2 } )
\mathbf { H } = \left( \begin{array} { l } { - 4 \pi M N _ { x } m _ { x } } \\ { - 4 \pi M N _ { y } m _ { y } } \\ { H _ { \mathrm { a p p l } } - 4 \pi M N _ { z } m _ { z } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { P _ { \nu _ { M , \rho } } ^ { \omega } \Big ( \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq t \leq T } \frac { 1 } { N ^ { n } } } & { \sum _ { x \in V } \eta _ { t } ^ { N } ( x ) H ( \frac x N ) > A \Big ) } \\ & { \leq ( M + 1 ) P _ { \nu _ { 0 , \rho \vee \log 2 } } ^ { \omega } \Big ( \operatorname* { s u p } _ { 0 \leq t \leq T } \frac { 1 } { N ^ { n } } \sum _ { x \in V } \eta _ { t } ^ { N } ( x ) H ( \frac x N ) > \frac { A } { M + 1 } \Big ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( a _ { x _ { 1 } x _ { 1 } x _ { 1 } } ^ { 1 } \right) \left( c ^ { \star - 1 } \right) } & { = \left[ - a _ { x _ { 1 } x _ { 1 } x _ { 1 } } ^ { 1 } - 4 a _ { x _ { 1 } } ^ { 1 } . S \left( a _ { x _ { 1 } x _ { 1 } } ^ { 1 } \right) - 6 a _ { x _ { 1 } x _ { 1 } } ^ { 1 } . S \left( a _ { x _ { 1 } } ^ { 1 } \right) - 3 a _ { x _ { 1 } } ^ { 1 } . \left( S _ { \star } \left( a _ { x _ { 1 } } ^ { 1 } \right) \right) ^ { 2 } \right] ( c ) } \\ & { = 0 - 4 ( - 1 ) ( 3 ) - 6 ( 0 ) ( - 1 ) - 3 ( - 1 ) ( 1 ) ^ { 2 } = 1 5 . } \end{array}
K = \mathrm { K e r } \Big ( \operatorname { H } _ { b } ^ { 2 } ( \Gamma , \ensuremath { \mathbf { R } } ) \to H ^ { 2 } ( \Gamma , \ensuremath { \mathbf { R } } / \ensuremath { \mathbf { Z } } ) \Big ) = \mathrm { I m a g e } \Big ( \operatorname { H } _ { b } ^ { 2 } ( \Gamma , \ensuremath { \mathbf { Z } } ) \to \operatorname { H } _ { b } ^ { 2 } ( \Gamma , \ensuremath { \mathbf { R } } ) \Big )
\begin{array} { r l } { 2 \| F \| _ { \infty } L i p ( G ) \mathbb { E } [ | L _ { j } - L _ { j } ^ { ( M ) } | ] } & { \leq 2 \| F \| _ { \infty } L i p ( G ) ( \mathbb { E } [ | Y _ { j } - Y _ { j } ^ { ( M ) } | ] + \mathbb { E } [ | h ( X _ { j } ) - h ( X _ { j } ^ { ( M ) } ) | ] ) } \\ & { \leq 2 \| F \| _ { \infty } L i p ( G ) ( L i p ( h ) a ( p , c ) + 1 ) \mathbb { E } [ | Z _ { t _ { 1 } } ( x _ { 1 } ) - Z _ { t _ { 1 } } ^ { ( M ) } ( x _ { 1 } ) | ] } \end{array}
\int _ { - \infty } ^ { + \infty } \cdots \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \exp \left( { \frac { i } { \hbar } } \int _ { t _ { a } } ^ { t _ { b } } L { \big ( } x ( t ) , v ( t ) { \big ) } \, d t \right) \, d x _ { 0 } \, \cdots \, d x _ { n } ,
\begin{array} { r l } { 0 \le } & { D ^ { 2 } \mathcal { A } ^ { h } ( \psi , \psi ) } \\ { \le } & { \int _ { W } | \nabla \psi | ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } ( | A | ^ { 2 } - S c ( W ) + \mu ^ { 2 } + 2 N ( \mu ) + S c ( V ) ) \psi ^ { 2 } d \sigma } \\ { \le } & { \int _ { W } | \nabla \psi | ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } S c ( W ) \psi ^ { 2 } d \sigma } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( Q _ { n } - Q _ { 0 , n } ) ( x ) } & { = } & { \sum _ { j \in { \cal R } _ { 0 , n } } ( P _ { n } - P _ { 0 } ) \phi _ { j } ^ { * } / \sigma _ { n } ^ { 2 } ( Y - { Q _ { n } } ) \phi _ { j } ^ { * } ( x ) - \tilde { r } _ { n } ( x ) + R _ { n , 1 } ( x ) } \\ & { } & { + O _ { P } ( C ( M _ { n } ) r ( d , J _ { 0 , n } ) ^ { k + 1 } ) . } \end{array}
f _ { \mathcal E } ^ { N } ( \boldsymbol { p } _ { 1 } , \dots , \boldsymbol { p } _ { N } ; n _ { 1 } , \dots n _ { N } ) \propto \delta \Bigl ( { \mathcal E } - { \mathcal E } ( \boldsymbol { p } _ { 1 } , \dots \boldsymbol { p } _ { N } ; n _ { 1 } , \dots n _ { N } ) \Bigr ) \, .
\begin{array} { r l r } { \mathbf { E } _ { \pm , r \omega } ^ { z } = } & { { } } & { - \frac { \mathrm { ~ i ~ } \mathcal { E } _ { r \omega } } { \sqrt { 2 } k _ { r \omega } } e ^ { - \frac { \rho ^ { 2 } } { W _ { 0 } ^ { 2 } } } \left( \frac { \sqrt { 2 } } { W _ { 0 } } \right) ^ { | \ell _ { r \omega } | } \rho ^ { | \ell _ { r \omega } | - 1 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \| v ^ { ( 4 ) } - v ^ { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } \| _ { L ^ { 1 } ( \mathcal { X } _ { 2 } ^ { \epsilon } ) } \leq C t ^ { - 1 } \ln t , } \\ { \| v ^ { ( 4 ) } - v ^ { \omega ^ { 2 } k _ { 2 } } \| _ { L ^ { \infty } ( \mathcal { X } _ { 2 } ^ { \epsilon } ) } \leq C t ^ { - 1 / 2 } \ln t , } \end{array} \right. \qquad \zeta \in \mathcal { I } , \ t \geq 2 . } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { u _ { k + 1 } } & { = { \mathcal { T } } _ { \alpha _ { k } } ( u _ { k } ) , } & & { \mathrm { f o r ~ } k \in { \mathbb { N } } _ { 0 } , } \\ { u _ { k + 1 } } & { = u _ { k } - \frac { 1 } { \alpha _ { k } } { \mathcal { G } } _ { \alpha _ { k } } ( u _ { k } ) , } & & { \mathrm { f o r ~ } k \in { \mathbb { N } } _ { 0 } . } \end{array}
\phi _ { 1 2 } = a _ { 1 } a _ { 2 } / ( D _ { p + 1 - 2 + 1 - 2 } D _ { s + 1 - 2 - 2 } / \beta _ { + 1 - 2 + 1 - 2 } - a _ { 1 } ^ { 2 } - a _ { 2 } ^ { 2 } D _ { s + 1 - 2 - 2 } / D _ { s + 1 - 2 + 1 - 2 - 2 } )
d ( \varphi ( x ) ) = \bigg ( \frac { \partial \varphi } { \partial t } + f ( x ) \frac { \partial \varphi } { \partial x } + \frac { 1 } { 2 } g ^ { 2 } ( x ) \frac { \partial ^ { 2 } \varphi } { \partial x ^ { 2 } } \bigg ) d t + g ( x ) \frac { \partial \varphi } { \partial x } \; d W
{ \cal H } _ { I } ( x ) = \frac { G _ { F } } { \sqrt { 2 } } 2 \overline { { { \nu } } } _ { { e } L } \gamma ^ { \alpha } \nu _ { { e } L } \overline { { { e } } } \gamma _ { \alpha } ( 1 - \gamma _ { 5 } ) e + h . c .
\int _ { D } d \boldsymbol { r } G ^ { t } \Delta ( \mathcal { L } u ) - ( \mathcal { L } u ) \Delta G ^ { t } = \int _ { \partial D } d s G ^ { t } \frac { \partial \mathcal { L } u } { \partial n } - \mathcal { L } u \frac { \partial G ^ { t } } { \partial n }
\begin{array} { r l } { \left| \widetilde { G } ( x ) - \nabla \Bar { U } _ { r } ( x ) \right| ^ { 2 } } & { \le 2 \delta _ { \mathbf { b } , r , 2 } \left| x \right| ^ { 2 } + 2 \delta _ { \mathbf { b } , r , 0 } , } \\ { \mathbf { E } \left[ \left| { G } \left( x , a _ { 0 } \right) - \widetilde { G } ( x ) \right| ^ { 2 } \right] } & { \le 2 \delta _ { \mathbf { v } , 2 } \left| x \right| ^ { 2 } + 2 \delta _ { \mathbf { v } , 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { \mathbf { k } } } & { { } = \left( \cos \phi \sin \theta , \sin \phi \sin \theta , \cos \theta \right) , } \\ { \hat { \mathbf { e } } _ { \parallel } } & { { } = \left( - \sin \phi , \cos \phi , 0 \right) , } \\ { \hat { \mathbf { e } } _ { \perp } } & { { } = \hat { \mathbf { e } } _ { \parallel } \times \hat { \mathbf { k } } = \left( \cos \phi \cos \theta , \sin \phi \cos \theta , - \sin \theta \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { t _ { \beta } t _ { \varepsilon } ^ { - 1 } t _ { \delta } ^ { - 1 } \underset { \rightarrow } { \underline { { t _ { \gamma } ^ { - 1 } } } } t _ { \alpha } t _ { \varepsilon } t _ { \beta } ^ { - 1 } = t _ { \gamma } ^ { - 1 } t _ { \delta } ^ { - 1 } t _ { \alpha } } \\ & { \stackrel { \mathrm { C O M M } } { \Longleftrightarrow } } & { t _ { \beta } t _ { \varepsilon } ^ { - 1 } t _ { \delta } ^ { - 1 } t _ { \alpha } \underline { { t _ { \varepsilon } t _ { \gamma } ^ { - 1 } t _ { \beta } ^ { - 1 } } } = \underline { { t _ { \gamma } ^ { - 1 } } } t _ { \delta } ^ { - 1 } t _ { \alpha } } \\ & { \stackrel { \mathrm { C O N J } } { \Longleftrightarrow } } & { t _ { \gamma } t _ { \beta } \underset { \leftarrow } { \underline { { t _ { \varepsilon } ^ { - 1 } } } } \ \underset { \rightarrow } { \underline { { t _ { \delta } ^ { - 1 } } } } t _ { \alpha } = t _ { \delta } ^ { - 1 } t _ { \alpha } t _ { \beta } t _ { \gamma } t _ { \varepsilon } ^ { - 1 } } \\ & { \stackrel { \mathrm { C O M M } } { \Longleftrightarrow } } & { t _ { \varepsilon } ^ { - 1 } t _ { \gamma } t _ { \beta } t _ { \alpha } t _ { \delta } ^ { - 1 } = t _ { \delta } ^ { - 1 } t _ { \alpha } t _ { \beta } t _ { \gamma } t _ { \varepsilon } ^ { - 1 } , } \end{array}