harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
g _ { 0 } = { x _ { \mathrm { ~ z ~ p ~ f ~ } , v } } \bigg ( \omega _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ v ~ } } \frac { \partial \alpha } { \partial x _ { v } } \frac { 1 } { \epsilon _ { 0 } V _ { \mathrm { ~ c ~ } } } \bigg )
\begin{array} { r l r } { \hat { H } ( t ) } & { { } = } & { \sum _ { i , j } \frac { \hat { p } _ { i j } ^ { 2 } } { 2 m _ { i j } } + \frac { 1 } { 2 \epsilon _ { 0 } } \sum _ { i , j , i ^ { \prime } , j ^ { \prime } } \frac { q _ { i j } q _ { i ^ { \prime } j } } { \left| \hat { \boldsymbol r } _ { i j } - \hat { \boldsymbol r } _ { i ^ { \prime } j ^ { \prime } } \right| } + \frac { 1 } { 2 \epsilon _ { 0 } } \int d \boldsymbol r ^ { 3 } \left| \hat { \boldsymbol P } ^ { \perp } ( \boldsymbol r ) \right| ^ { 2 } } \end{array}
\vec { F } _ { p h y s i c a l } = \Big [ m \Big ( \sqrt { g _ { r r } } \ddot { r } - \sqrt { g _ { r r } } r \dot { \theta } ^ { 2 } - \sqrt { g _ { r r } } r s i n ^ { 2 } ( \theta ) \dot { \phi } ^ { 2 } \Big ) \Big ] \frac { 1 } { \sqrt { g _ { r r } } } \frac { \partial } { \partial x ^ { r } } \, + \Big [ m \Big ( \sqrt { g _ { \theta \theta } } \ddot { \theta } + \sqrt { g _ { \theta \theta } } 2 \frac { 1 } { r } \dot { r } \dot { \theta } - \sqrt { g _ { \theta \theta } } s i n ( \theta ) \cos ( \theta ) \ddot { \phi } ^ { 2 } \Big ) \Big ] \frac { 1 } { \sqrt { g _ { \theta \theta } } } \frac { \partial } { \partial x ^ { \theta } } \, + \Big [ m \Big ( \sqrt { g _ { \phi \phi } } \ddot { \phi } + \sqrt { g _ { \phi \phi } } 2 \frac { 1 } { r } \dot { r } \dot { \theta } + \sqrt { g _ { \phi \phi } } 2 c o t g ( \theta ) \dot { \phi } \dot { \theta } \Big ) \Big ] \frac { 1 } { \sqrt { g _ { \phi \phi } } } \frac { \partial } { \partial x ^ { \phi } } \implies
{ D _ { g \rightarrow \eta _ { c } } ( z , 2 m _ { c } ) \; = \; { \frac { 1 } { 3 \pi } } \alpha _ { s } ( 2 m _ { c } ) ^ { 2 } { \frac { | R ( 0 ) | ^ { 2 } } { M _ { \eta _ { c } } ^ { 3 } } } \; \Bigg ( 3 z - 2 z ^ { 2 } + 2 ( 1 - z ) \log ( 1 - z ) \Bigg ) \; . }
\begin{array} { r l } & { Q _ { + + } ( F _ { + } , F _ { + } ) ( v ) } \\ & { \quad = \frac { N ^ { 2 } } { Z ^ { 2 } m _ { + } ^ { 2 } V _ { + } ^ { 6 } } \nabla _ { \overline { v } _ { + } } \cdot \int _ { \mathbf R ^ { 3 } } \Phi ( \overline { v } _ { + } - \overline { v } _ { + } ^ { \prime } ) \left\{ \tilde { F } _ { + } ( \overline { v } _ { + } ^ { \prime } ) \nabla _ { \overline { v } _ { + } } \tilde { F } _ { + } ( v _ { + } ) - \tilde { F } _ { + } ( \overline { v } _ { + } ) \nabla _ { \overline { v } _ { + } } \tilde { F } _ { + } ( \overline { v } _ { + } ^ { \prime } ) \right\} d \overline { v } _ { + } ^ { \prime } , } \\ & { Q _ { - + } ( F _ { - } , F _ { + } ) ( v ) } \\ & { \quad = \frac { N ^ { 2 } } { Z m _ { + } ^ { 2 } V _ { + } ^ { 6 } } \nabla _ { \overline { v } _ { + } } \cdot \int _ { \mathbf R ^ { 3 } } \Phi ( \varepsilon \overline { v } _ { + } - \overline { v } _ { - } ^ { \prime } ) \left\{ \varepsilon \tilde { F } _ { - } ( \overline { v } _ { - } ^ { \prime } ) \nabla _ { \overline { v } _ { + } } \tilde { F } _ { + } ( v _ { + } ) - \tilde { F } _ { + } ( \overline { v } _ { + } ) \nabla _ { \overline { v } _ { - } } \tilde { F } _ { - } ( \overline { v } _ { - } ^ { \prime } ) \right\} d \overline { v } _ { - } ^ { \prime } , } \\ & { Q _ { -- } ( F _ { - } , F _ { - } ) ( v ) } \\ & { \quad = \frac { N ^ { 2 } } { m _ { - } ^ { 2 } V _ { - } ^ { 6 } } \nabla _ { \overline { v } _ { - } } \cdot \int _ { \mathbf R ^ { 3 } } \Phi ( \overline { v } _ { -- } \overline { v } _ { - } ^ { \prime } ) \left\{ \tilde { F } _ { - } ( \overline { v } _ { - } ^ { \prime } ) \nabla _ { \overline { v } _ { - } } \tilde { F } _ { - } ( v _ { - } ) - \tilde { F } _ { - } ( \overline { v } _ { - } ) \nabla _ { \overline { v } _ { - } } \tilde { F } _ { - } ( \overline { v } _ { - } ^ { \prime } ) \right\} d \overline { v } _ { - } ^ { \prime } , } \\ & { Q _ { + - } ( F _ { + } , F _ { - } ) ( v ) } \\ & { \quad = \frac { N ^ { 2 } } { Z m _ { - } ^ { 2 } V _ { - } ^ { 6 } } \nabla _ { \overline { v } _ { - } } \cdot \int _ { \mathbf R ^ { 3 } } \Phi ( \overline { v } _ { -- } \varepsilon \overline { v } _ { + } ^ { \prime } ) \left\{ \tilde { F } _ { + } ( \overline { v } _ { + } ^ { \prime } ) \nabla _ { \overline { v } _ { - } } \tilde { F } _ { - } ( \overline { v } _ { - } ) - \varepsilon \tilde { F } _ { - } ( \overline { v } _ { - } ) \nabla _ { \overline { v } _ { + } } \tilde { F } _ { + } ( \overline { v } _ { + } ^ { \prime } ) \right\} d \overline { v } _ { + } ^ { \prime } } \end{array}
H _ { 3 } ^ { \prime \prime } = ( 1 - \frac { 1 } { \theta ^ { a _ { 3 } } } ) \cdot \Big ( ( 1 - \frac { 1 } { \theta } ) \cdot \sum _ { i = a _ { 3 } } ^ { a _ { 2 } - 1 } \frac { 1 } { \theta ^ { i } - 1 } + ( 1 - \frac { 1 } { \theta } ) ^ { 2 } \cdot \delta ( a _ { 2 } , a _ { 1 } ) \cdot \sum _ { i _ { 1 } = a _ { 2 } + 1 } ^ { a _ { 1 } - 1 } \frac { 1 } { \theta ^ { i _ { 1 } } - 1 } \sum _ { i _ { 2 } = a _ { 2 } } ^ { i _ { 1 } - 1 } \frac { 1 } { \theta ^ { i _ { 2 } } - 1 } +
\begin{array} { r } { \int _ { - \infty } ^ { \infty } b ( \phi ) \, \mathrm { ~ e ~ } ^ { i k \cdot x ( \phi ) } \, d \phi = i \int _ { 0 } ^ { \Phi } \, \mathrm { ~ e ~ } ^ { i k \cdot x ( \phi ) } \, \frac { d } { d \phi } \frac { b ( \phi ) } { \frac { d } { d \phi } \left[ k \cdot x ( \phi ) \right] } \, d \phi , } \end{array}
M _ { k } ^ { \mathrm { B o r e l } } = 1 + { \frac { 1 } { \pi \beta _ { 0 } } } \, \int _ { 0 } ^ { \infty } { \frac { \mathrm { d } \tau } { \tau } } \, W _ { k } ( \tau ) \, \arctan [ \pi a ( \tau m _ { \tau } ^ { 2 } ) ] + { \frac { 1 } { \beta _ { 0 } } } \, \mathrm { R e } \, \int _ { - \tau _ { L } } ^ { \tau _ { L } } { \frac { \mathrm { d } \tau } { \tau } } \, W _ { k } ( \tau - i \epsilon ) \, ,
\begin{array} { r l } & { \lceil \log _ { 2 } ( \# \mathcal { C } ) \rceil | \pi _ { \mathcal { C } } ( w ) | + \# \mathcal { C } \left( 2 + \operatorname* { m a x } _ { \alpha \in \mathcal { C } } \lfloor \log _ { 2 } ( | w | _ { \alpha } + 1 ) \rfloor \right) } \\ { + } & { \lceil \log _ { 2 } ( \# \mathcal { C } ^ { \prime } ) \rceil | \pi _ { \mathcal { C } ^ { \prime } } ( w ) | + \# \mathcal { C } ^ { \prime } \left( 2 + \operatorname* { m a x } _ { \alpha \in \mathcal { C } ^ { \prime } } \lfloor \log _ { 2 } ( | w | _ { \alpha } + 1 ) \rfloor \right) } \\ & { \le ( \lceil \log _ { 2 } ( \# \mathcal { B } ) \rceil - 1 ) ( | \pi _ { \mathcal { C } } ( w ) | + | \pi _ { \mathcal { C } ^ { \prime } } ( w ) | ) + ( \# \mathcal { C } ^ { \prime } + \# \mathcal { C } ) \left( 2 + \operatorname* { m a x } _ { \alpha \in \mathcal { C } ^ { \prime } \cup \mathcal { C } } \lfloor \log _ { 2 } ( | w | _ { \alpha } + 1 ) \rfloor \right) } \\ & { \le ( \lceil \log _ { 2 } ( \# \mathcal { B } ) \rceil - 1 ) ( | \pi _ { \mathcal { B } } ( w ) | ) + \# \mathcal { B } \left( 2 + \operatorname* { m a x } _ { \alpha \in \mathcal { B } } \lfloor \log _ { 2 } ( | w | _ { \alpha } + 1 ) \rfloor \right) \, . } \end{array}
\gamma _ { n , k , 0 } = ( - 1 ) ^ { k } \frac { ( 2 n ) ! } { 2 ^ { n } ( n ! ) } \frac { \mathrm { d } ^ { 2 k } r _ { n } } { \mathrm { d } x ^ { 2 k } } ( 0 ) = \frac { ( 2 n ) ! ( ( 2 k ) ! ) } { 2 ^ { n } ( n ! ) } s _ { n , k } = \frac { ( 2 n ) ! } { 2 ^ { n } ( n ! ) } \frac { ( 2 k ) ! } { k ! } \frac { \mathrm { d } ^ { k } M _ { n , k } } { \mathrm { d } \theta ^ { k } } ( 0 )
\frac { d \dot { E } _ { l } ^ { \mathrm { e m } } } { d \Omega } = 2 \pi l ^ { 2 } q ^ { 2 } \mu \left( \left| I _ { 2 } ( l ) \right| ^ { 2 } + \left| I _ { 3 } ( l ) \right| ^ { 2 } \right) \left| M ( l ) \right| ^ { 2 }
\ln \left( \frac { R } { T ^ { 3 } } \right) = \ln \left( \frac { 1 } { 2 \pi } \left( \frac { \bar { S } } { 2 \pi } \right) ^ { 3 / 2 } \frac { T } { \sqrt { | \lambda _ { - } | } } \right) + \ln \left( \frac { A } { T ^ { 4 } } \right) - \bar { S } \quad .
( \overrightarrow { \nabla A } ) _ { k } = ( \overline { { \nabla A } } ) _ { k } + \left[ \frac { A _ { j } - A _ { i } } { \left| \vec { r } _ { i j } \right| } - ( \overline { { \nabla A } } ) _ { k } \cdot \frac { \vec { r } _ { i j } } { \left| \vec { r } _ { i j } \right| } \right] \frac { \vec { r } _ { i j } } { \left| \vec { r } _ { i j } \right| } \mathrm { ~ . ~ }
\begin{array} { r } { \hat { a } _ { \mathrm { ~ H ~ } } = \hat { a } _ { \mathrm { ~ H ~ , ~ i ~ n ~ } } \qquad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \qquad \hat { a } _ { \mathrm { ~ V ~ } } = \rho _ { 1 } \hat { a } _ { \mathrm { ~ V ~ , ~ i ~ n ~ } } + i \sqrt { 1 - | \rho _ { 1 } | ^ { 2 } } \hat { a } _ { \mathrm { ~ V ~ , ~ 0 ~ } } , } \end{array}
[ ( \gamma ^ { 2 } + k _ { 0 } ^ { 2 } \varepsilon _ { \mathrm { i n } } ) ( \beta ^ { 2 } - k _ { 0 } ^ { 2 } \varepsilon _ { \mathrm { o u t } } ) - \beta ^ { 2 } \gamma ^ { 2 } ] ( \beta ^ { 2 } - \gamma ^ { 2 } - k _ { 0 } ^ { 2 } \varepsilon _ { \mathrm { o u t } } ) = 0 \ ,
\frac { 1 } { T ^ { \mathrm { o n } } ( E ) } = \frac { ( C _ { 2 } I _ { 3 } - 1 ) ^ { 2 } } { C + C _ { 2 } ^ { 2 } I _ { 5 } + 2 \mu E C _ { 2 } ( 2 - C _ { 2 } I _ { 3 } ) } - I ( E ) .
\frac { \partial v } { \partial t } = g ^ { * } + \frac { \alpha } { \rho } \nabla ( \frac { \partial ^ { 2 } \zeta } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } \zeta } { \partial y ^ { 2 } } ) + \frac { \nu } { \rho } \Delta v
\bar { g } ( s ) = \frac { g s ^ { \frac { y } { 2 } } } { 1 - \frac { \pi A ( y ) b ( y ) g } { y } ( s ^ { \frac { y } { 2 } } - 1 ) } = \frac { g _ { I R } ^ { * } | \tilde { g } | s ^ { y / 2 } } { 1 + | \tilde { g } | s ^ { y / 2 } } , \ \ \ \ \ \ \tilde { g } = \frac { g } { g - g _ { I R } ^ { * } } \ \in \ \ ( - \infty , 0 ) .
\delta ( z ) = \sqrt { \frac { \langle \epsilon _ { d } ( z ) \rangle _ { A , t } } { \langle \epsilon _ { s } ( z ) \rangle _ { A , t } } } = 2 \sqrt { \frac { \langle ( \mathbf { \nabla } \cdot \mathbf { u } ) ^ { 2 } \rangle _ { A , t } } { 3 \langle \omega _ { i } ^ { 2 } \rangle _ { A , t } } } .
F _ { j } ^ { k } ( f \otimes f ) ( y , t _ { l } ) = \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } e ^ { i \{ y \cdot \xi - \tilde { \Phi } ( t _ { l } , \xi - \zeta , \delta ) - \tilde { \Phi } ( t _ { l } , \zeta , \delta ) ) } a _ { j , k } ( t _ { l } , \xi - \zeta , \zeta ) \hat { f } ( \xi - \zeta ) \hat { f } ( \zeta ) d \zeta d \xi ,
\left\lvert \frac { x } { y } - \frac { u } { v } \right\rvert \leq \frac { 1 } { v } \left( \frac { x } { y } \lvert v - y \rvert + \lvert x - u \rvert \right) \leq \epsilon _ { T } ^ { - 1 } ( 1 \vee k _ { X } ) ( \lvert v - y \rvert + \lvert x - u \rvert ) .
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ( R _ { 0 } ^ { * } , R _ { 1 } ^ { * } , R _ { 2 } ^ { * } , D _ { 1 } , D _ { 2 } , \varepsilon ) } & { = \Big \{ ( L _ { 0 } , L _ { 1 } , L _ { 2 } ) : L _ { 0 } + L _ { 1 } + L _ { 2 } } \\ { * } & { \qquad \quad \geq \sqrt { \mathrm { V } ( R _ { 1 } ^ { * } , R _ { 2 } ^ { * } , D _ { 1 } , D _ { 2 } | P _ { X Y } ) } \mathrm { Q } ^ { - 1 } ( \varepsilon ) \Big \} , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \beta _ { q _ { \Omega _ { \gamma } } } ( g , g _ { 0 } ^ { - \frac { 1 } { 2 } } ) } & { = \beta _ { \Theta _ { \theta } } ( g , g _ { 0 } ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } = \big ( \frac { \Theta ( g g _ { 0 } ) } { \Theta _ { \theta } ( g ) \Theta _ { \theta } ( g _ { 0 } ) } \big ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } = \big ( \frac { q _ { \Omega _ { \gamma } } ( g ) ^ { 2 } } { \Theta _ { \theta } ( g ) ^ { 2 } \Theta _ { \theta } ( g _ { 0 } ) } \big ) ^ { - \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { = \frac { \Theta _ { \theta } ( g ) \Theta _ { \theta } ( g _ { 0 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } { q _ { \Omega _ { \gamma } } ( g ) } = \frac { \Theta _ { \theta } ( g ) } { q _ { \Omega _ { \gamma } } ( g ) } = \eta ( g ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { g ( \eta , \zeta ) = \bigg ( \zeta \bigg [ 4 l n ( 2 ) \frac { \eta ^ { 2 } } { \tau _ { F W H M } ^ { 2 } } } & { { } + \frac { \pi ^ { 2 } \tau _ { F W H M } ^ { 2 } } { 4 l n ( 2 ) ( 1 + \zeta ^ { 2 } ) } \bigg ] } \end{array}
\textbf { T } _ { i j } ^ { d - d } = - \frac { 1 } { r ^ { 3 } } \left[ \left( \textbf { m } _ { j } \times \textbf { m } _ { i } \right) - \frac { 3 } { r ^ { 2 } } \left( \textbf { m } _ { i } \cdot \textbf { r } \right) \left( \textbf { m } _ { j } \times \textbf { r } \right) \right]
\begin{array} { r l } { 0 } & { \in x _ { 1 } + a _ { 2 } x _ { 2 } + a _ { 3 } x _ { 3 } + a _ { 4 } x _ { 4 } } \\ { 0 } & { \in ( 1 - 1 ) x _ { 1 } + ( b _ { 2 } - a _ { 2 } ) x _ { 2 } + ( b _ { 3 } - a _ { 3 } ) x _ { 3 } + ( b _ { 4 } - a _ { 4 } ) x _ { 4 } } \\ { 0 } & { \in ( 1 - 1 ) x _ { 1 } + ( c _ { 2 } - a _ { 2 } ) x _ { 2 } + ( c _ { 3 } - a _ { 3 } ) x _ { 3 } + ( c _ { 4 } - a _ { 4 } ) x _ { 4 } } \end{array}
( 3 , 1 ) : \quad \left( \begin{array} { c } { { u _ { L } ^ { i } } } \\ { { d _ { L } ^ { i } } } \\ { { b _ { L } ^ { i } } } \end{array} \right) , ~ ~ ~ ~ \quad ( 1 , \bar { 3 } ) : \quad \left( \begin{array} { c } { { \hat { u } _ { R } ^ { i } } } \\ { { \hat { d } _ { R } ^ { i } } } \\ { { \hat { b } _ { R } ^ { i } } } \end{array} \right)
\overline { { \mathcal { V } } } _ { M } ( u ) = \left\langle \mathcal { V } _ { M } ( u + \alpha ( t ) ) \right\rangle = \overline { { D } } \left( e ^ { - 2 \tilde { a } ( u - \overline { { u } } _ { 0 } ) } - 2 e ^ { - \tilde { a } ( u - \overline { { u } } _ { 0 } ) } \right) ,
u ( z ) = \left\{ \begin{array} { r l r } { \frac { u _ { \tau , \mathrm { ~ b ~ o ~ t ~ } } } { \kappa } \ln \left( \frac { z } { z _ { 0 , \mathrm { ~ b ~ o ~ t ~ } } } \right) , } & { { } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \ z \leq z _ { \mathrm { ~ l ~ i ~ m ~ } } , } \\ { \frac { u _ { \tau , \mathrm { ~ u ~ p ~ } } } { \kappa } \ln \left( \frac { z } { z _ { 0 , \mathrm { ~ u ~ p ~ } } } \right) , } & { { } } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \ z > z _ { \mathrm { ~ l ~ i ~ m ~ } } . } \end{array} \right.
\frac { \partial ^ { 2 } } { \partial x _ { i } \partial x _ { j } } G _ { 0 } ( \mathbf { x } , \mathbf { y } , \omega ) = \frac { r _ { i } r _ { j } } { 4 \pi | \mathbf { r } | ^ { 5 } } \left( 3 - 3 \mathrm { i } k _ { c } | \mathbf { r } | - k _ { c } ^ { 2 } | \mathbf { r } | ^ { 2 } \right) e ^ { \mathrm { i } k _ { c } | \mathbf { r } | }
\begin{array} { r } { \psi _ { \omega } ^ { ( R ) } ( r _ { * } ) = \psi _ { \omega } ^ { \scriptscriptstyle ( < ) } ( r _ { * } ) \theta ( - r _ { * } ) + \psi _ { \omega } ^ { \scriptscriptstyle ( < ) } ( - r _ { * } ) \theta ( r _ { * } ) , } \end{array}
\sum _ { i \in [ n ] } \sum _ { u \in \mathbb { Z } _ { M } : u _ { i } \neq 0 } \sum _ { v \in \mathbb { Z } _ { M } } \hat { f } ( u ) \overline { { \hat { g } ( v ) } } ( \# u ) ^ { \gamma } \sum _ { a \in \mathbb { Z } _ { m _ { i } } ^ { * } } \omega _ { i } ^ { - a y _ { i } } \omega _ { i } ^ { a x _ { i } } \left( \prod _ { j \in [ n ] } \omega _ { j } ^ { u _ { j } x _ { j } } \left( t \omega _ { j } ^ { - v _ { j } x _ { j } } + ( 1 - t ) \omega _ { j } ^ { - v _ { j } y _ { j } } \right) \right) .
\begin{array} { l l l } { { \xi _ { A } ( r ) = \left( \begin{array} { c } { { a _ { i } ( r ) } } \\ { { \alpha ( r ) } } \end{array} \right) \, \; } } & { { \eta _ { A } ( r ) = \left( \begin{array} { c } { { b _ { i } ( r ) } } \\ { { \beta ( r ) } } \end{array} \right) , } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \xi ^ { A } ( r ) = \left( \begin{array} { c } { { a ^ { i } ( r ) } } \\ { { \alpha ^ { \dag } ( r ) } } \end{array} \right) , \; } } & { { \eta ^ { A } ( r ) = \left( \begin{array} { c } { { b ^ { i } ( r ) } } \\ { { \beta ^ { \dag } ( r ) } } \end{array} \right) , \; } } & { { \left\{ \begin{array} { l } { { r = 1 , \ldots , p , } } \\ { { i , j , \ldots = 1 , \ldots , 4 } } \end{array} \right. } } \end{array} .
\rho _ { \mathrm { l } } = \rho _ { \mathrm { 0 } } \left\{ 1 - \alpha \left( T - T _ { \mathrm { s u r } } \right) + \beta \left( 1 - \xi _ { \mathrm { l } } \right) - \frac { \Delta v _ { \mathrm { l } } } { v _ { \mathrm { 0 } } } \left[ 1 + \beta \left( 1 - \xi _ { \mathrm { l } } \right) \right] \right\} \, ,
Z _ { N } ^ { i n f } ( x _ { 1 } , \cdots , x _ { M } ) = ( x _ { 1 } + \cdots + x _ { M } ) ^ { N } = \sum _ { { n _ { i } } \atop { \Sigma n _ { i } = N } } ~ { \frac { N ! } { n _ { 1 } ! n _ { 2 } ! \cdots n _ { M } ! } } ~ x _ { 1 } ^ { n _ { 1 } } x _ { 2 } ^ { n _ { 2 } } \cdots x _ { M } ^ { n _ { M } } \, \, \, \, .
= \frac { g _ { \phi ^ { 3 } } } { 2 \pi r _ { k } } K _ { 0 } \left( | b ^ { \perp } | r _ { k } ^ { - 1 } \sqrt { m _ { 3 } ^ { 2 } ( 1 - r _ { k } ) + m _ { k } ^ { 2 } r _ { k } - M ^ { 2 } r _ { k } ( 1 - r _ { k } ) } \right) \, ,
\begin{array} { r l } { c _ { 1 } ( \cal { L } , \varphi _ { U } ) } & { \in \mathrm { H } ^ { 0 } \bigg ( \mathrm { f i b } \left( \mathrm { R } \Gamma ( X , \bf { 1 } _ { X } \langle 1 \rangle ) \to \mathrm { R } \Gamma ( U , \bf { 1 } _ { U } \langle 1 \rangle ) \right) \bigg ) } \\ & { \simeq \mathrm { H } _ { Z } ^ { 0 } ( X , \bf { 1 } _ { X } \langle 1 \rangle ) = \mathrm { H o m } _ { D ( X ) } ( i _ { * } \bf { 1 } _ { Z } \to \bf { 1 } _ { X } \langle 1 \rangle ) . } \end{array}
f _ { k } ^ { \mathrm { ~ p ~ o ~ s ~ t ~ } } = f _ { k } ( t , \boldsymbol { x } ) - \frac { 1 } { \tau } \left[ f _ { k } ( t , \boldsymbol { x } ) - f _ { k } ^ { \mathrm { ~ e ~ q ~ } } ( t , \boldsymbol { x } ) \right]
\begin{array} { r l } & { \sqrt { \frac { 2 ( t \bar { \sigma } _ { t } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } + 1 ) } { t ^ { 2 } \eta ^ { 2 } } \mathrm { l o g } \Bigg ( \frac { \sqrt { t \bar { \sigma } _ { t } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } + 1 } } { \alpha } \Bigg ) } } \\ & { = \sqrt { \frac { 2 ( t ( \tilde { \sigma } _ { t } ^ { 2 } + o ( \bar { \sigma } _ { t } ^ { 2 } ) ) \eta ^ { 2 } + 1 ) } { t ^ { 2 } \eta ^ { 2 } } \mathrm { l o g } \Bigg ( \frac { \sqrt { t ( \tilde { \sigma } _ { t } ^ { 2 } + o ( \bar { \sigma } _ { t } ^ { 2 } ) ) \eta ^ { 2 } + 1 } } { \alpha } \Bigg ) } } \\ & { = \sqrt { \frac { t ( \tilde { \sigma } _ { t } ^ { 2 } + o ( \bar { \sigma } _ { t } ^ { 2 } ) ) \eta ^ { 2 } + 1 } { t ^ { 2 } \eta ^ { 2 } } \mathrm { l o g } \Bigg ( \frac { t ( \tilde { \sigma } _ { t } ^ { 2 } + o ( \bar { \sigma } _ { t } ^ { 2 } ) ) \eta ^ { 2 } + 1 } { \alpha ^ { 2 } } \Bigg ) } } \\ & { = \sqrt { \frac { t \tilde { \sigma } _ { t } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } + o ( t \bar { \sigma } _ { t } ^ { 2 } ) + 1 } { t ^ { 2 } \eta ^ { 2 } } \mathrm { l o g } \Bigg ( \frac { t \tilde { \sigma } _ { t } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } + o ( t \bar { \sigma } _ { t } ^ { 2 } ) + 1 } { \alpha ^ { 2 } } \Bigg ) } } \\ & { = \sqrt { \left( \frac { t \tilde { \sigma } _ { t } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } + 1 } { t ^ { 2 } \eta ^ { 2 } } + o ( \bar { \sigma } _ { t } ^ { 2 } / t ) \right) \mathrm { l o g } \Bigg ( \frac { t \tilde { \sigma } _ { t } ^ { 2 } \eta ^ { 2 } + o ( t \bar { \sigma } _ { t } ^ { 2 } ) + 1 } { \alpha ^ { 2 } } \Bigg ) } } \end{array}
\delta \mathbf { d } ^ { * } ( \mathbf { m } ) = \mathbf { d } ^ { * } - \mathbf { P } \mathbf { u } ^ { r } ( \mathbf { m } ) = \mathbf { d } ^ { * } - \mathbf { S } ( \mathbf { m } ) \mathbf { b } ^ { * }
\begin{array} { r l } { c _ { 1 } } & { = ( \| \phi P - \phi \| _ { 2 } ) ^ { 2 } ; } \\ { c _ { 2 } } & { = \| \pi - 1 \| ^ { 2 } \mathbb { I } \{ \pi > 1 \} + \| \pi \| ^ { 2 } \mathbb { I } \{ \pi < 0 \} ; } \\ { c _ { 3 } } & { = ( \| \phi \| _ { 1 } - 1 ) ^ { 2 } ; } \\ { c _ { 4 } } & { = ( \| \phi - \Hat { 1 } \| ) ^ { 2 } \mathbb { I } \{ \phi > 1 \} + \| \phi \| ^ { 2 } \mathbb { I } \{ \phi < 0 \} , } \end{array}
z _ { 2 m i n } ^ { - } \; \; = \; \; ( ( M _ { 2 } ^ { m i n } ) ^ { 2 } \; \; + \; \; ( P _ { \perp } ) ^ { 2 } ) \; \; / \; \; ( M ^ { 2 } ( 1 - z _ { 1 } ^ { + } ) ) \; \; ,
\begin{array} { r l r } { { \hat { H } } _ { e f f } ^ { ( 1 ) } } & { { } = } & { 2 \, \delta _ { 1 } s _ { 1 } \left( \frac { 2 } { 3 } { \hat { P } } ^ { ( g _ { 1 } ) } - \frac { 1 } { 3 } \sin ( 2 k z + \Delta \phi ) \, \frac { { \hat { F } } } { F _ { g _ { 1 } } } \right) \, , } \\ { { \hat { H } } _ { e f f } ^ { ( 2 ) } } & { { } = } & { 2 \, \delta _ { 2 } s _ { 2 } \left( \frac { 1 } { 3 } { \hat { P } } ^ { ( g _ { 2 } ) } - \frac { 1 } { 9 } \sin ( 2 k z ) \, \frac { { \hat { F } } } { F _ { g _ { 2 } } } \right) \, . } \end{array}
T _ { \frac { 1 } { 2 } } ( \lambda ) | { \mit \Omega } \rangle \equiv \left( \begin{array} { c c } { { A ( \lambda ) } } & { { B ( \lambda ) } } \\ { { C ( \lambda ) } } & { { D ( \lambda ) } } \end{array} \right) | { \mit \Omega } \rangle = \left( \begin{array} { c c } { { \left( \lambda + \frac { \nu + 1 } { 2 } \right) ^ { 3 } } } & { { 0 } } \\ { { \star } } & { { \left( \lambda - \frac { \nu + 1 } { 2 } \right) ^ { 3 } } } \end{array} \right) | { \mit \Omega } \rangle ,
\frac { \mathrm { D } \mathbf { u } _ { i } } { \mathrm { D } t } = - \sum _ { j \in \mathbb { P } _ { i } } \left[ m _ { j } \left( \frac { P _ { i } + P _ { j } } { \rho _ { i } \rho _ { j } } + \Pi _ { i j } \right) \nabla _ { i } W _ { i j } \right] + \mathbf { f } _ { i } \, ,
\begin{array} { r } { P ( k ) = \left( \begin{array} { l l l } { \frac { 1 } { 3 } + \frac { e ^ { - i k } } { 6 } + \frac { e ^ { i k } } { 6 } } & { - \frac { e ^ { - i k } } { 6 \sqrt { 2 } } + \frac { e ^ { - 2 i k } } { 6 \sqrt { 2 } } - \frac { 1 } { 3 \sqrt { 2 } } } & { \frac { e ^ { - i k } } { 2 \sqrt { 6 } } + \frac { e ^ { - 2 i k } } { 2 \sqrt { 6 } } } \\ { - \frac { e ^ { i k } } { 6 \sqrt { 2 } } + \frac { e ^ { 2 i k } } { 6 \sqrt { 2 } } - \frac { 1 } { 3 \sqrt { 2 } } } & { \frac { 5 } { 1 2 } - \frac { e ^ { - i k } } { 6 } - \frac { e ^ { i k } } { 6 } } & { \frac { 1 } { 4 \sqrt { 3 } } - \frac { e ^ { - i k } } { 2 \sqrt { 3 } } } \\ { \frac { e ^ { i k } } { 2 \sqrt { 6 } } + \frac { e ^ { 2 i k } } { 2 \sqrt { 6 } } } & { \frac { 1 } { 4 \sqrt { 3 } } - \frac { e ^ { i k } } { 2 \sqrt { 3 } } } & { \frac { 1 } { 4 } } \end{array} \right) } \end{array}
\rho + \tau = \frac { 4 m } { { \hat { r } } ^ { 3 } } \frac { ( 1 - \frac { 2 m } { \hat { r } } ) \sinh ^ { 2 } \alpha } { 1 + \frac { 2 m } { \hat { r } } \sinh ^ { 2 } \alpha } \ge 0
\begin{array} { l } { i \partial _ { t } u + \displaystyle \frac { 1 } { 2 } \Delta _ { x } u + i k \cdot \nabla _ { x } u = \gamma \Phi , } \\ { \Big ( \displaystyle \frac 1 { c ^ { 2 } } \partial _ { t t } ^ { 2 } \psi - \Delta _ { z } \psi \Big ) ( t , x , z ) = - \gamma \sigma _ { 2 } ( z ) \sigma _ { 1 } \star \rho ( t , x ) , } \\ { \rho ( t , x ) = 2 \mathrm { R e } \big ( u ( t , x ) \big ) , } \\ { \Phi ( t , x ) = \displaystyle \iint _ { \mathbb T ^ { d } \times \mathbb R ^ { n } } \sigma _ { 1 } ( x - y ) \sigma _ { 2 } ( z ) \psi ( t , y , z ) \, { \mathrm { d } } z \, { \mathrm { d } } y . } \end{array}
\langle \bar { \Psi } \Psi ( x ) \bar { \Psi } \Psi ( y ) \rangle = \int d T \oint _ { x , y } { \cal D } x ^ { \mu } ( - 1 ) ^ { \omega _ { x y } } e ^ { - i m T } \langle W _ { x y } ( A ) \rangle ,
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { x } \in \mathcal { X } } } & { { } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { \omega _ { \operatorname* { m i n } } } ^ { \omega _ { \operatorname* { m a x } } } \mathrm { ~ S ~ P ~ L ~ } ( \mathbf { x } , \omega , \theta ) d \omega d \theta , } \end{array}
\frac { 1 } { \tilde { f } \left( \tilde { k } _ { 0 } \right) } = \frac { 4 \pi \left( \tilde { E } _ { \mathrm { ~ m ~ o ~ l ~ } } - \tilde { k } _ { 0 } ^ { 2 } \right) } { \tilde { \Lambda } ^ { 2 } } - \frac { 2 } { \pi } \left[ 1 - \frac { i \pi } { 2 } \tilde { k } _ { 0 } \right]
f \star g = \sum _ { s = 0 } ^ { \infty } \frac { \kappa ^ { s } } { s ! } \sum _ { t = 0 } ^ { s } ( - 1 ) ^ { t } \left( \begin{array} { l } { { s } } \\ { { t } } \end{array} \right) [ \partial _ { x } ^ { s - t } \partial _ { p } ^ { t } f ] [ \partial _ { x } ^ { t } \partial _ { p } ^ { s - t } g ] \, .
\begin{array} { r l } & { \Tilde { a } _ { + } = \frac { A } { 2 } \frac { \rho _ { + } + \rho _ { - } } { \sqrt { \rho _ { - } } ( \sqrt { \rho _ { + } } + \sqrt { \rho _ { - } } ) } t ^ { 2 } = \frac { A t ^ { 2 } } { 1 - A + \sqrt { 1 - A ^ { 2 } } } , } \\ & { \Tilde { a } _ { - } = - \frac { A } { 2 } \frac { \rho _ { + } + \rho _ { - } } { \sqrt { \rho _ { + } } ( \sqrt { \rho _ { + } } + \sqrt { \rho _ { - } } ) } t ^ { 2 } = - \frac { A t ^ { 2 } } { 1 + A + \sqrt { 1 - A ^ { 2 } } } . } \end{array}