harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
d s _ { 4 + N } ^ { 2 } = \frac { 1 } { ( k \sum _ { i = 1 } ^ { N } \, | z _ { i } | + 1 ) ^ { 2 } } \, \Big ( \eta _ { \mu \nu } d x ^ { \mu } d x ^ { \nu } + \sum _ { j = 1 } ^ { N } \, ( d z ^ { j } ) ^ { 2 } \Big ) \, .
\begin{array} { r l } { N _ { c } } & { { } = 2 \epsilon \frac { ( 1 + \alpha ) M _ { 0 } ^ { 2 } - ( 1 + \gamma ) g ^ { 2 } } { ( 1 + \alpha ) ^ { 2 } + ( 1 + \gamma ) ^ { 2 } g ^ { 2 } } \qquad \mathrm { ~ ( ~ ' ~ i ~ n ~ - ~ o ~ u ~ t ~ ' ~ ) ~ } } \\ { N _ { s } } & { { } = 2 \epsilon \mathrm { g } \frac { ( 1 + \alpha ) + ( 1 + \gamma ) M _ { 0 } ^ { 2 } } { ( 1 + \alpha ) ^ { 2 } + ( 1 + \gamma ) ^ { 2 } g ^ { 2 } } \qquad \mathrm { ~ ( ~ ' ~ u ~ p ~ - ~ d ~ o ~ w ~ n ~ ' ~ ) ~ } } \end{array}
c _ { m } = \frac { 4 8 \zeta _ { m } ^ { 3 } \Big ( - 1 2 \mu _ { m } ^ { \prime } + 6 \zeta _ { m } ^ { 2 } + \kappa _ { m } \Big ) } { \kappa _ { m } ^ { 2 } } e x p \Bigg ( \frac { 1 2 \zeta _ { m } ^ { 2 } } { \kappa _ { m } } \Bigg ) ,
\begin{array} { r l } { a _ { p , i } } & { = _ { 3 } + _ { 1 6 } , } \\ { b _ { p , i } } & { = _ { 4 } + _ { 1 7 } , } \\ { c _ { p , i } } & { = _ { 5 } + _ { 1 1 } , } \\ { d _ { p , i } } & { = _ { 6 } + _ { 2 6 } , } \\ { \tilde { e } _ { p , i } } & { = _ { 7 } + _ { 1 3 } + _ { 1 8 } + _ { 2 1 } + _ { 2 3 } + _ { 2 5 } , } \\ { f _ { p , i } } & { = _ { 8 } + _ { 1 2 } + _ { 1 9 } + _ { 2 2 } , } \\ { g _ { p , i } } & { = _ { 9 } + _ { 1 5 } + _ { 2 7 } , } \\ { h _ { p , i } } & { = _ { 1 0 } + _ { 1 4 } + _ { 2 0 } + _ { 2 4 } , } \\ { k _ { p , i } } & { = _ { 1 } + _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac { v _ { g } } { L } \int _ { 0 } ^ { L } d z \ \partial _ { z } A _ { k } ( z ) = } & { } & { \frac { v _ { g } } { L } ( A _ { k } ( L ) - A _ { k } ( 0 ) ) } \\ { = } & { } & { \frac { v _ { g } } { L } ( A _ { k } ( L ) + A _ { k } ( 0 ) - 2 A _ { k } ( 0 ) ) } \\ { = } & { } & { \frac { 2 v _ { g } } { L } a _ { k } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { P } ( \mathcal { A } _ { j } ( t ) ) } & { = \mathbb { P } ( \mathcal { B } _ { j } ( t ) ) - \mathbb { P } ( \mathcal { B } _ { j + 1 } ( t ) ) } \\ & { = \left( 1 - \sum _ { a = q } ^ { j - 1 } \frac { Y _ { a } ( t ) } { n } \right) ^ { k } - \left( 1 - \sum _ { a = q } ^ { j } \frac { Y _ { a } ( t ) } { n } \right) ^ { k } . } \end{array}
F _ { i } = \intop _ { V _ { i } } \, \varepsilon ( \mathbf { r } ) \, | E _ { 0 } ( \mathbf { r } ) | ^ { 2 } \ d \mathbf { r } ^ { 3 } / \intop \, \varepsilon ( \mathbf { r } ) \, | E _ { 0 } ( \mathbf { r } ) | ^ { 2 } \ d \mathbf { r } ^ { 3 }
M _ { n } ^ { ! } : = \operatorname { C o k e r } \left( \begin{array} { l } { M _ { t + 1 } ^ { * } \otimes _ { R } A _ { 1 } ^ { * \otimes n - t - 1 } } \\ { \oplus } \\ { \bigoplus _ { i = 1 } ^ { n - t - 1 } M _ { t } ^ { * } \otimes _ { R } A _ { 1 } ^ { * \otimes i - 1 } \otimes _ { R } A _ { 2 } ^ { * } \otimes _ { R } A _ { 1 } ^ { * \otimes n - t - i - 1 } } \end{array} \to M _ { t } ^ { * } \otimes _ { R } A _ { 1 } ^ { * \otimes n - t } \right) .
\begin{array} { r } { \mathbb { E } _ { t } \Vert \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in [ m ] } \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t - 1 } \Vert ^ { 2 } \leq \frac { 1 } { \gamma } \left( \mathbb { E } _ { t } \Vert \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in [ m ] } \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t - 1 } \Vert ^ { 2 } - \mathbb { E } _ { t } \Vert \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in [ m ] } \hat { \mathbf { g } } _ { i } ^ { t } \Vert ^ { 2 } \right) + \mathbb { E } _ { t } \Vert \frac { 1 } { m } \sum _ { i \in [ m ] } \sum _ { k = 0 } ^ { K - 1 } \frac { \gamma _ { k } } { \gamma } \tilde { \mathbf { g } } _ { i , k } ^ { t } \Vert ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { J } _ { \mathbf { k } , \alpha } = } & { { } - \sqrt { \rho _ { A } } \sqrt { \frac { \hbar \omega _ { \mathbf { k } , \alpha } } { 2 L _ { z } \varepsilon \epsilon _ { 0 } } } e ^ { - i \mathbf { k } . \mathbf { r } } \mathbf { f } _ { \mathbf { k } , \alpha } ( \mathbf { r } , 0 ) } \\ { = } & { { } - \frac { 1 } { a } \sqrt { \frac { \hbar \omega _ { \mathbf { k } , \alpha } } { 2 L _ { z } \varepsilon \epsilon _ { 0 } } } e ^ { - i \mathbf { k } . \mathbf { r } } \mathbf { f } _ { \mathbf { k } , \alpha } ( \mathbf { r } , 0 ) . } \end{array}
\nabla \cdot q = \frac { \int _ { 0 } ^ { \infty } \kappa _ { \eta } 4 \pi I _ { b \eta } d \eta } { \int _ { 0 } ^ { \infty } I _ { b \eta } d \eta } \int _ { 0 } ^ { \infty } I _ { b \eta } d \eta \, = 4 \kappa _ { p } \sigma T ^ { 4 }
H = \left( \frac { 2 M } { \rho } \right) ^ { 2 } \left[ \sqrt { m ^ { 2 } + \frac { \rho ^ { 2 } p _ { \rho } ^ { 2 } + 4 L ^ { 2 } } { 4 M ^ { 2 } } } - q \right] \, ,
\sin ^ { 2 } { \theta _ { o d d } } \simeq { \frac { \left( { \frac { v _ { 3 } } { v _ { d } } } c _ { \beta } ^ { 2 } m _ { \tilde { \nu } _ { \tau } } ^ { 2 ( 0 ) } - \mu \epsilon _ { 3 } \right) ^ { 2 } } { s _ { \beta } ^ { 2 } \left( m _ { A } ^ { 2 ( 0 ) } - m _ { \tilde { \nu } _ { \tau } } ^ { 2 ( 0 ) } \right) ^ { 2 } } } + \frac { v _ { 3 } ^ { 2 } } { v _ { d } ^ { 2 } } c _ { \beta } ^ { 2 } \; ,
C _ { L L } ^ { S M } = \frac { G _ { F } ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } M _ { W } ^ { 2 } \left( V _ { t s } ^ { * } V _ { t b } \right) ^ { 2 } S ( m _ { t } ^ { 2 } / M _ { W } ^ { 2 } ) ,
T _ { H } = { \frac { 3 \bar { \cal E } ^ { 2 } \bar { \cal P } _ { \phi } ^ { 2 } - a ^ { 4 } } { 8 \pi a ^ { 3 } \sqrt { \bar { \cal E } ^ { 2 } \bar { \cal P } _ { \phi } ^ { 2 } - a ^ { 4 } } } } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ( \pmb { \theta } ) } & { = \sum _ { j = 1 } ^ { N _ { o p } } { \left( \frac { 1 } { N _ { R , j } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { R , j } } { \left\| \mathcal { N } _ { j } ( \mathbf { y } ( \mathbf { x } _ { R , j } ^ { i } ) ) \right\| ^ { 2 } } \right) } + \frac { 1 } { N _ { D } } \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { D } } { \left\| \mathbf { y } \left( \mathbf { x } _ { D } ^ { i } \right) - \mathbf { y } ^ { i , * } \right\| ^ { 2 } } } \end{array} ,
\begin{array} { r } { \mathrm { ~ P ~ e ~ } \sum _ { f \sim n b ( P ) } \left( \Bar { \rho } \Bar { c } _ { p } \boldsymbol { \Tilde { V } } \Bar { T } \right) _ { f } \cdot \boldsymbol { \mathcal { S } } _ { f } = \sum _ { f \sim n b ( P ) } \left( \left[ \boldsymbol { \Bar { \Tilde { \kappa } } } \right] ^ { T } \boldsymbol { \nabla } \Bar { T } \right) _ { f } \cdot \boldsymbol { \mathcal { S } } _ { f } + \left( \Bar { \Tilde { Q } } _ { T } \right) _ { P } \cdot \left( \Delta \mathcal { V } \right) _ { P } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sigma _ { \operatorname* { m i n } } ( H _ { g } ( \tau , \eta ) ) \geq } & { \operatorname* { m i n } \{ \sigma _ { \operatorname* { m i n } } ( \Gamma _ { \tau } ) , \sigma _ { \operatorname* { m i n } } ( \Gamma _ { \eta } \} - \sigma _ { 1 } ( H _ { \eta \tau } ) } \\ { \geq } & { \sigma _ { d } ^ { 2 } ( A ) / 4 , \qquad \forall \tau , \eta \in \mathcal { S } _ { \alpha } . } \end{array}
\begin{array} { c c l } { H _ { j , p } ^ { \mathrm { ~ i ~ n ~ t ~ } } } & { = } & { - { \boldsymbol { \upmu } } _ { j } ^ { \mathrm { ~ T ~ D ~ M ~ } } ( { \bf { R } } _ { j } ) \cdot { \bf { u } } _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ v ~ } } \sqrt { \frac { \hslash \omega _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ v ~ } } ( 2 \pi p / L _ { z } ) } { 2 \epsilon _ { 0 } V _ { \mathrm { ~ c ~ a ~ v ~ } } } } \langle \phi _ { 0 } | \hat { \sigma } _ { j } ( \hat { \sigma } _ { j } ^ { + } \hat { a } _ { p } e ^ { i 2 \pi p z _ { j } / L _ { z } } ) \hat { a } _ { p } ^ { \dagger } | \phi _ { 0 } \rangle } \end{array}
\begin{array} { r l } { \bigl \{ \phi _ { 1 } \, , \eta _ { 1 } \bigr \} } & { { } - \frac { r _ { 0 } \dot { \bar { z } } _ { 0 } } { \Gamma } \, \partial _ { Z } \eta _ { 1 } \, = \, \Bigl \{ \phi _ { 1 } - \frac { \beta _ { \epsilon } - 1 } { 4 \pi } \, R \, , \eta _ { 1 } \Bigr \} - \frac { v } { 2 \pi } \, \partial _ { Z } \eta _ { 1 } } \\ { \, } & { { } = \, \Bigl \{ \frac { R } { 2 } \, \phi _ { 0 } - \partial _ { R } \phi _ { 0 } + R \, \phi _ { 1 0 } ( \rho ) + \delta Z \, \phi _ { 1 1 } ( \rho ) \, , R \, \eta _ { 1 0 } ( \rho ) + \delta Z \, \eta _ { 1 1 } ( \rho ) \Bigr \} - \frac { v } { 2 \pi } \, \partial _ { Z } \eta _ { 1 } } \\ { \, } & { { } = \, R Z \, \chi _ { 9 } ( \rho ) + \delta \Bigl ( \chi _ { 1 0 } ( \rho ) + ( R ^ { 2 } - Z ^ { 2 } ) \chi _ { 1 1 } ( \rho ) \Bigr ) + \delta ^ { 2 } R Z \, \chi _ { 1 2 } ( \rho ) \, . } \end{array}
\langle ( \Delta X ) ^ { 2 } \rangle \equiv \langle ( X - \langle X \rangle ) ^ { 2 } \rangle = { \frac { \partial \langle X \rangle } { \partial \beta Y } } = { \frac { \partial ^ { 2 } \ln Z } { \partial ( \beta Y ) ^ { 2 } } } .
< \mu | \tilde { \mu } _ { I } > = \frac { ( 1 - \tilde { \mu } ^ { * } \tilde { \mu } ) ^ { j + k / 2 } \; | \mu | ^ { ( 2 j + k - 1 ) / 2 } \; e ^ { \mu ^ { * } \tilde { \mu } } } { \sqrt { \Gamma ( 2 j + k ) I _ { 2 j + k - 1 } ( 2 | \mu | ) } }
\chi _ { + } ^ { \tilde { k } } ( x ) { \Bigl \vert } _ { x ^ { + } = 0 } \, \equiv U ( \tilde { k } ) \psi _ { + } ( x ) { \Bigl \vert } _ { x ^ { + } = 0 } ~ U ^ { \dagger } ( \tilde { k } ) ~ ~ ,
\begin{array} { r l } { s ^ { n } ( \omega ) = \frac { \hbar \omega } { 2 } \langle \left\{ \hat { n } _ { 2 } , \hat { n } _ { 2 } ^ { \dagger } \right\} \rangle } & { { } \ge - \frac { \hbar \omega } { 2 } \langle \left[ \hat { n } _ { 2 } , \hat { n } _ { 2 } ^ { \dagger } \right] \rangle = \frac { \hbar \omega } { 2 } \left( | S _ { 2 1 } | ^ { 2 } - 1 \right) , } \end{array}
\operatorname* { m a x } _ { \boldsymbol { \kappa , \lambda , \mu , \nu } } \operatorname* { m i n } _ { \mathbf { u , v , w , z , x } } \mathcal { L } ( \{ \mathbf { u , v , w , z , x } \} , \{ \boldsymbol { \kappa , \lambda , \mu , \nu } \} ) .
\begin{array} { r l } { \delta \mathcal { P } ( z , t ) } & { { } = \sum _ { j = - \infty } ^ { \infty } q _ { j } ( t ) e ^ { i k _ { j } z } , } \\ { q _ { - j } ( t ) } & { { } = \bar { q } _ { j } ( t ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A _ { 0 t } } & { { } = } & { \frac { \phi _ { 0 t } } { c } = A _ { 0 i } , } \\ { A _ { 0 r } } & { { } = } & { \frac { \phi _ { 0 r } } { c } = 0 , } \\ { \overline { { A } } _ { 0 r } } & { { } = } & { - \overline { { A } } _ { 0 i } . } \end{array}
\phi ( \hat { k } ^ { \prime } , \hat { k } , \hat { p } ) = \left[ \hat { k } ^ { n } - \hat { p } ^ { n } + \sum _ { m = 0 } ^ { n / 2 - 1 } { \frac { \hat { p } ^ { m } } { n - 2 m + 1 } } \hat { V } _ { 0 } ( \hat { p } ) \right] \hat { V } _ { 0 } ( \hat { p } ) ,
\stackrel { \mathrm { B } } { X } _ { \alpha } { } ^ { \! i j } = \frac { 1 } { 2 } \left( \tau _ { \alpha } { } ^ { i j } - \tau ^ { i j } { } _ { \alpha } + \tau ^ { j } { } _ { \alpha } { } ^ { i } \right) \, .
\begin{array} { r } { \xi _ { i } ^ { * } : = - \frac { \partial \mathsf { R } _ { 0 } ( R _ { 1 } , R _ { 2 } , D _ { 1 } , D _ { 2 } | P _ { X Y } ) } { \partial R _ { i } } \bigg | _ { ( R _ { 1 } , R _ { 2 } ) = ( R _ { 1 } ^ { * } , R _ { 2 } ^ { * } ) } , } \\ { \lambda _ { i } ^ { * } : = - \frac { \partial \mathsf { R } _ { 0 } ( R _ { 1 } , R _ { 2 } , D _ { 1 } ^ { \prime } , D _ { 2 } ^ { \prime } | P _ { X Y } ) } { \partial D _ { i } ^ { \prime } } \bigg | _ { ( D _ { 1 } ^ { \prime } , D _ { 2 } ^ { \prime } ) = ( D _ { 1 } , D _ { 2 } ) } , } \end{array}
\delta \Delta _ { c } = \sqrt { \bigg ( \frac { \partial \Delta _ { c } } { \partial g _ { I } } \, \delta g _ { I } \bigg ) ^ { 2 } + \bigg ( \frac { \partial \Delta _ { c } } { \partial r _ { N } } \, \delta r _ { N } \bigg ) ^ { 2 } + \bigg ( \frac { \partial \Delta _ { c } } { \partial a _ { F } } \, \delta a _ { F } \bigg ) ^ { 2 } } \, .
\begin{array} { r l } & { \zeta ^ { * } ( a ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 2 } & { \mathrm { i f } \, \, a < d _ { 1 } + m _ { 1 } d _ { 2 } \ \ \mathrm { a n d } \ \ a < d _ { 2 } + n _ { 1 } d _ { 2 } , } \\ { 1 } & { \mathrm { i f } \, \, a \geq d _ { 1 } + m _ { 1 } d _ { 2 } \ \ \mathrm { o r } \ \ a \geq d _ { 2 } + n _ { 1 } d _ { 2 } . } \end{array} \right. } \end{array}
0 = \frac { 1 } { 4 } [ \frac { 1 6 \pi ^ { 4 } \theta ^ { 2 } } { g ^ { 2 } \eta ^ { 2 } } z \int \frac { d ^ { 2 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 2 } } [ p ^ { - 2 } G ^ { - 2 } ( p ) - \frac { 4 \theta ^ { 2 } g ^ { 2 } } { \eta ^ { 2 } } ( 1 - K ^ { 2 } ( p ) ( p ^ { 2 } + \lambda \eta ^ { 2 } ) ) ] + ( k ^ { 2 } + \lambda \eta ^ { 2 } ) - K ^ { - 2 } ( k ) ]
\begin{array} { r l } { D _ { ( g , F ) } T ( \dot { g } , \dot { F } ) } & { = - \dot { g } ^ { \alpha \beta } F _ { \mu \alpha } F _ { \nu \beta } - \frac 1 4 \left( \dot { g } _ { \mu \nu } F _ { \alpha \beta } F ^ { \alpha \beta } - g _ { \mu \nu } \dot { g } ^ { \kappa \alpha } g ^ { \lambda \beta } F _ { \alpha \beta } F _ { \kappa \lambda } - g _ { \mu \nu } g ^ { \kappa \alpha } \dot { g } ^ { \lambda \beta } F _ { \alpha \beta } F _ { \kappa \lambda } \right) } \\ & { \quad + \left( g ^ { \alpha \beta } \dot { F } _ { \mu \alpha } F _ { \nu \beta } + g ^ { \alpha \beta } F _ { \mu \alpha } \dot { F } _ { \nu \beta } \right) - \frac 1 4 \left( g _ { \mu \nu } \dot { F } _ { \alpha \beta } F ^ { \alpha \beta } + g _ { \mu \nu } F _ { \alpha \beta } \dot { F } ^ { \alpha \beta } \right) } \\ & { = - \dot { g } ^ { \alpha \beta } F _ { \mu \alpha } F _ { \nu \beta } - \frac 1 4 \left( \dot { g } _ { \mu \nu } F _ { \alpha \beta } F ^ { \alpha \beta } \! \! - \! 2 g _ { \mu \nu } \dot { g } ^ { \kappa \alpha } F _ { \alpha \beta } F _ { \kappa } ^ { ~ \beta } \right) \! \! + \! \! \left( g ^ { \alpha \beta } \dot { F } _ { \mu \alpha } F _ { \nu \beta } + g ^ { \alpha \beta } F _ { \mu \alpha } \dot { F } _ { \nu \beta } \right) \! \! - \! \frac 1 2 g _ { \mu \nu } \dot { F } _ { \alpha \beta } F ^ { \alpha \beta } } \end{array}
\left\langle \frac { 1 } { 2 } \frac { \mathrm { d } | \hat { \boldsymbol { v } } | ^ { 2 } } { \mathrm { d } t } \right\rangle = \mathcal { I } _ { \boldsymbol { k } } + \mathcal { T } _ { \mathrm { k i n , \ b o l d s y m b o l { k } } } - \mathcal { B } _ { \boldsymbol { k } } - \varepsilon _ { \mathrm { k i n , \ b o l d s y m b o l { k } } } , ~ ~ ~ ~ \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } ~ ~ ~ ~ \left\langle \frac { 1 } { 2 N ^ { 2 } } \frac { \mathrm { d } | \hat { b } | ^ { 2 } } { \mathrm { d } t } \right\rangle = \mathcal { T } _ { \mathrm { ~ p ~ o ~ t ~ } , \boldsymbol { k } } + \mathcal { B } _ { \boldsymbol { k } } - \varepsilon _ { \mathrm { ~ p ~ o ~ t ~ } , \boldsymbol { k } } ,
\delta _ { \vec { u } } ( t ) < W ( \gamma ) > = - { \frac { 4 \pi i } { k } } \int _ { 0 } ^ { 1 } d s u ^ { a } ( s ) ( { \eta ^ { \prime } } ^ { b } ( s ) + t { u ^ { \prime } } ^ { b } ( s ) ) \epsilon _ { a b c } \oint _ { \gamma } d y ^ { c } \delta ^ { 3 } ( \eta ( s , t ) - y ) \left< \mathrm { T r } \left( \tau ^ { l } H ( \eta ( t ) _ { x } ^ { o } ) H ( \gamma _ { o } ^ { y } ) \tau ^ { l } H ( \gamma _ { y } ^ { o } ) H ( \eta ( t ) _ { o } ^ { x } ) \right) \right> .
\mathbf { a } ^ { - 1 } \mathbf { w } \bar { M } _ { \mathbf { Q } } \ll _ { \eta } ^ { a v } \left( \begin{array} { l l l l l } { 1 } & { \Vert \mathbf { Q } \Vert ^ { - n } } & { \Vert \mathbf { Q } \Vert ^ { - ( n - 1 ) } } & { \dots } & { \Vert \mathbf { Q } \Vert ^ { - 1 } } \\ { \Vert \mathbf { Q } \Vert ^ { - 1 } } & { 1 } & { \Vert \mathbf { Q } \Vert ^ { - d } } & { \dots } & { \Vert \mathbf { Q } \Vert ^ { - 2 } } \\ { \vdots } & { \dots } & { \ddots } & { \dots } & { \vdots } \\ { \Vert \mathbf { Q } \Vert ^ { - n } } & { \Vert \mathbf { Q } \Vert ^ { - ( n - 1 ) } } & { \dots } & { \dots } & { 1 } \end{array} \right)
F ( T ) = - \frac { \xi _ { 0 } ^ { 2 } x _ { 0 } ^ { 4 } t } { 8 \pi a } \sum _ { l = 1 } ^ { \infty } \left[ \frac 1 { \nu ( x _ { 0 } ^ { 2 } + l ^ { 2 } ) ^ { 2 } } + \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } \frac { 2 \nu ^ { 5 } } { ( x _ { 0 } ^ { 2 } + l ^ { 2 } + n ^ { 2 } t ^ { 2 } ) ^ { 2 } ( \nu ^ { 2 } + n ^ { 2 } t ^ { 2 } ) ^ { 3 } } \right] ,
\begin{array} { r } { \underset { \b { \hat { f } } \in \mathbb C ^ { | \mathcal I _ { \b { M } } | } } { \mathrm { M i n i m i z e ~ } } \, \, \sum _ { j = 1 } ^ { N } w _ { j } \, \Bigg | \sum _ { \boldsymbol k \in \mathcal I _ { \boldsymbol M } } \hat { f } _ { \boldsymbol k } \, \mathrm e ^ { 2 \pi \mathrm i \boldsymbol k \boldsymbol x _ { j } } – f ( \boldsymbol x _ { j } ) \Bigg | ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ P ~ f ~ } \left( \mathcal { V } _ { C } ^ { \dagger } \Gamma r \mathcal { V } _ { C } \right) ^ { 2 } } & { { } = \operatorname* { d e t } ( \mathcal { V } _ { C } ^ { \dagger } \Gamma r \mathcal { V } _ { C } ) = 1 } \\ { \Rightarrow \mathrm { ~ P ~ f ~ } \left( \mathcal { V } _ { C } ^ { \dagger } \Gamma r \mathcal { V } _ { C } \right) } & { { } = \pm 1 . } \end{array}
\biggl \langle \mathrm { T r _ { c } } \ln \Bigl [ 1 + \frac { 1 } { 2 \cosh ( N _ { \tau } E ) } ( L + L ^ { \dagger } ) \Bigr ] \biggr \rangle _ { \mathrm { m f } } \simeq - N _ { \mathrm { c } } \ln 2 + \sqrt { d - 1 } N _ { \mathrm { c } } N _ { \tau } | \bar { \lambda } | - \frac { ( d - 1 ) N _ { \mathrm { c } } N _ { \tau } ^ { 2 } } { 4 } \bar { \lambda } ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { q ( x ; \alpha , \kappa ) = } & { - \frac { 2 } { 3 } x + 3 ^ { - \frac { 1 } { 4 } } \pi ^ { - \frac { 1 } { 2 } } e ^ { \frac { \pi i { \beta } } { 2 } } { \beta } | s _ { * } | \Big [ \Gamma ( - { \beta } ) e ^ { \frac { \sqrt { 3 } x ^ { 2 } i } { 3 } - \frac { 2 \pi i \alpha } { 3 } - \frac { \pi i } { 4 } - i \arg s _ { * } + { \beta } \ln \left( 2 \sqrt { 3 } x ^ { 2 } \right) } } \\ & { - \Gamma ( { \beta } ) e ^ { - \frac { \sqrt { 3 } x ^ { 2 } i } { 3 } + \frac { 2 \pi i \alpha } { 3 } + \frac { \pi i } { 4 } + i \arg s _ { * } - { \beta } \ln \left( 2 \sqrt { 3 } x ^ { 2 } \right) } \Big ] + O ( | x | ^ { - 1 } ) , \quad \mathrm { a s } \quad x \rightarrow - \infty , } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( { \texttt A } { \mathcal G } { \texttt B } ) _ { i j } } & { = \frac { 1 } { z } \sum _ { \alpha , \beta } H _ { i \alpha } R _ { \alpha \beta } { \texttt A } _ { j \beta } = \frac { 1 } { z } \sum _ { \alpha , \beta } H _ { i \alpha } R _ { \alpha \beta } ^ { ( i ) } { \texttt A } _ { j \beta } + \frac { 1 } { z } \sum _ { \alpha , \beta } H _ { i \alpha } \frac { R _ { \alpha i } R _ { i \beta } } { R _ { i i } } { \texttt A } _ { j \beta } } \\ & { = \frac { 1 } { z } \sum _ { \alpha , \beta } H _ { i \alpha } R _ { \alpha \beta } ^ { ( i j ) } { \texttt A } _ { j \beta } + \frac { 1 } { z } \sum _ { \alpha , \beta } H _ { i \alpha } \frac { R _ { \alpha j } ^ { ( i ) } R _ { j \beta } ^ { ( i ) } } { R _ { j j } ^ { ( i ) } } { \texttt A } _ { j \beta } + \frac { 1 } { z } \sum _ { \alpha , \beta } H _ { i \alpha } \frac { R _ { \alpha i } ^ { ( j ) } R _ { i \beta } ^ { ( j ) } } { R _ { j j } ^ { ( i ) } } { \texttt A } _ { j \beta } + { \mathcal O } _ { \prec } ( N ^ { - 1 / 2 } ) } \end{array}
Q ^ { e m } = { \frac { 1 } { 2 } } ( L _ { 3 } - { ( A ^ { \dagger } \lambda _ { 3 } A ) } _ { 8 } { \frac { N _ { c } B ( U _ { c } ) } { \sqrt { 3 } } } ) + { \frac { 1 } { 2 \sqrt { 3 } } } ( L _ { 8 } - { ( A ^ { \dagger } \lambda _ { 8 } A ) } _ { 8 } { \frac { N _ { c } B ( U _ { c } ) } { \sqrt { 3 } } } )
G ^ { ( \psi ) } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) = \frac { 1 } { 1 6 } \left[ \begin{array} { l l } { { \bar { D } _ { 1 } ^ { 2 } \bar { D } _ { 2 } ^ { 2 } G _ { + + } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) } } & { { \bar { D } _ { 1 } ^ { 2 } D _ { 2 } ^ { 2 } G _ { + - } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) } } \\ { { D _ { 1 } ^ { 2 } \bar { D } _ { 2 } ^ { 2 } G _ { - + } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) } } & { { D _ { 1 } ^ { 2 } D _ { 2 } ^ { 2 } G _ { -- } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) } } \end{array} \right]
M _ { 4 } = e _ { q } e g ^ { 2 } \bar { U } ( q ^ { \prime } ) \gamma _ { \mu } T ^ { a } \frac { \hat { k } - \hat { p } + m } { ( p - k ) ^ { 2 } - m ^ { 2 } } \hat { \varepsilon } _ { \gamma } \hat { P } \frac { \delta ^ { a b } g _ { \mu \nu } } { ( p - q ) ^ { 2 } } \gamma _ { \nu } U ( q ) .
\mathbf { H } = \sum _ { { k _ { 1 } } = 1 } ^ { L } \beta _ { k _ { 1 } } \boldsymbol { a } _ { r } ( \theta _ { k _ { 1 } } ^ { r } ) \boldsymbol { a } _ { t } ^ { H } ( \theta _ { k _ { 1 } } ^ { t } ) + \sum _ { { k _ { 2 } } = 1 } ^ { L } \beta _ { k _ { 2 } } \boldsymbol { a } _ { r } ( \theta _ { k _ { 2 } } ^ { r } ) \boldsymbol { a } _ { t } ^ { H } ( \theta _ { k _ { 2 } } ^ { t } ) ,
R ( x ) e ^ { 2 k r _ { 0 } } \left( 1 + { \cal O } ( l ^ { 2 } ) \right) \mathrm { T r } T _ { \mu \nu } = \frac { r ( x ) } { \sqrt { 6 } M _ { P l } e ^ { - k r _ { 0 } } } \mathrm { T r } T _ { \mu \nu } \left( 1 + { \cal O } ( l ^ { 2 } ) \right) ,
\begin{array} { r l r l } & { 0 , } & { \textrm { i f } } & { v \textrm { h a s d e g r e e } 2 , } \\ { - } & { \zeta _ { \mathfrak n ( v ) } \Omega _ { \mathfrak n ( v ) } , } & { \textrm { i f } } & { v \textrm { h a s d e g r e e } 4 , } \\ { - } & { \zeta _ { \mathfrak n ( v ) } \Omega _ { \mathfrak n ( v ) } + | k | ^ { 2 } , } & { \textrm { i f } } & { v \textrm { h a s o u t - d e g r e e } 2 \textrm { a n d i n - d e g r e e } 1 , } \\ { - } & { \zeta _ { \mathfrak n ( v ) } \Omega _ { \mathfrak n ( v ) } - | k | ^ { 2 } , } & { \textrm { i f } } & { v \textrm { h a s o u t - d e g r e e } 1 \textrm { a n d i n - d e g r e e } 2 . } \end{array}
\begin{array} { r } { T _ { i j } : = \left( \widehat { { \Theta } } _ { d } ^ { [ 1 ] } - \widehat { { \Theta } } _ { d } ^ { [ 2 ] } \right) _ { i j } = \left[ 2 \widehat { \Theta } ^ { [ 1 ] } - \widehat { \Theta } ^ { [ 1 ] } \widehat { \Sigma } ^ { [ 1 ] } \widehat { \Theta } ^ { [ 1 ] } - ( 2 \widehat { \Theta } ^ { [ 2 ] } - \widehat { \Theta } ^ { [ 2 ] } \widehat { \Sigma } ^ { [ 2 ] } \widehat { \Theta } ^ { [ 2 ] } ) \right] _ { i j } } \end{array}
\frac { \partial \delta } { \partial t } \cos \phi + \frac { \partial } { \partial s } \Bigg \{ \frac { 1 } { \mu G ( \phi ) } \Bigg [ \frac { \zeta } { 2 } ( \zeta + 2 l _ { s } ) \frac { \partial \sigma } { \partial s } + \frac { \zeta ^ { 2 } } { 3 } ( \zeta + 3 l _ { s } ) \frac { \partial \Delta p } { \partial s } \Bigg ] - U _ { c l } \zeta \frac { F ( \phi ) } { G ( \phi ) } \Bigg \} = - \frac { J } { \rho _ { l } } ,
\begin{array} { r l } { e ^ { \alpha | x | ^ { 2 } } \mathcal { M } ^ { + } ( D ^ { 2 } \psi ) } & { \leq 2 \alpha \mathcal { M } ^ { + } ( \mathrm { I d } ) - 4 \alpha ^ { 2 } \mathcal { M } ^ { - } ( x x ^ { T } ) = 2 \alpha n \Lambda - 4 \alpha ^ { 2 } \lambda | x | ^ { 2 } } \\ & { \leq 2 \alpha ( n \Lambda - 2 \alpha \lambda \rho ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { E 1 _ { P V } = \langle \Phi _ { f } | H _ { W } \Omega ^ { i , + } | \Phi _ { i } \rangle + \langle \Phi _ { f } | \Omega ^ { f , - \dagger } H _ { W } | \Phi _ { i } \rangle , } \end{array}
{ \mathbf { v } } _ { \mathrm { p r e } } ^ { \mathrm { \, f f } } ( \mathrm { R S } ) = v _ { 0 } { \mathrm { ~ \boldmath ~ \hat { ~ } { ~ r ~ } ~ \unboldmath ~ } } \; \; \; \mathrm { a n d } \; \; \; { \mathbf { v } } _ { \mathrm { p r e } } ^ { \mathrm { \, f f } } ( \mathrm { F S } ) = 0 \ .
\begin{array} { r l } { \tilde { \omega } } & { { } = \frac { \omega \delta ^ { * } } { U _ { e } } } \\ { A _ { 1 } } & { { } = 3 . 7 + 1 . 5 \beta _ { C } } \\ { A _ { 2 } } & { { } = \operatorname* { m i n } \left( 3 , \frac { 1 9 } { \sqrt { R _ { T } } } \right) + 7 } \\ { F _ { 1 } } & { { } = 4 . 7 6 \left( \left( \frac { 1 . 4 } { \Delta } \right) ^ { 0 . 7 5 } \left[ 0 . 3 7 5 A _ { 1 } - 1 \right] \right) } \\ { \beta _ { C } } & { { } = \frac { \theta } { \tau _ { w } } \frac { d p } { d x } } \\ { R _ { T } } & { { } = \frac { \delta U _ { e } } { \nu u _ { \tau } ^ { 2 } } } \\ { \Pi } & { { } = 0 . 8 ( \beta _ { C } + 0 . 5 ) ^ { \frac { 3 } { 4 } } } \\ { \Delta } & { { } = \frac { \delta } { \delta ^ { * } } } \end{array}
{ \cal { S } } ^ { [ p _ { 1 } , . . . , p _ { N } ] } \; \; = \; \; - \left( \prod _ { i = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { p _ { i } ! } \right) \int d ^ { D } x \; A ^ { { \mu } _ { 1 } ^ { 1 } . . . { \mu } _ { p _ { 1 } } ^ { 1 } . . . { \mu } _ { 1 } ^ { i } . . . { \mu } _ { p _ { i } } ^ { i } . . . { \mu } _ { p _ { N } } ^ { N } } E _ { { \mu } _ { 1 } ^ { 1 } . . . { \mu } _ { p _ { 1 } } ^ { 1 } . . . { \mu } _ { 1 } ^ { i } . . . { \mu } _ { p _ { i } } ^ { i } . . . { \mu } _ { p _ { N } } ^ { N } }