harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { H _ { \Delta } } & { = ( \mathbb I + \tilde { A } ) ^ { - 1 } ( \tilde { A } + ( \mathbb I + \tilde { B } ) ^ { - 1 } ( \mathbb I - \tilde { A } ) ) } \\ & { = ( \mathbb I + \tilde { A } ) ^ { - 1 } ( \mathbb I + \tilde { B } ) ^ { - 1 } ( \mathbb I + \tilde { B } \tilde { A } ) } \\ & { = ( \mathbb I + \tilde { A } + \tilde { B } + \tilde { B } \tilde { A } ) ^ { - 1 } ( \mathbb I + \tilde { B } \tilde { A } ) . } \end{array}
\langle ( \hat { \mu } _ { \pm g _ { 1 } } \textbf { . } \hat { \mathcal { E } } _ { d } ) ( \hat { \mu } _ { g _ { 0 } \pm } \textbf { . } \hat { \mathcal { E } } _ { c } ) ( \hat { \mu } _ { g _ { 1 } \pm } \textbf { . } \hat { \mathcal { E } } _ { b } ) ( \hat { \mu } _ { \pm g _ { 0 } } \textbf { . } \hat { \mathcal { E } } _ { a } ) \rangle
\begin{array} { r l } { \omega _ { 0 } ^ { 2 } } & { { } = 2 \omega _ { \perp } ^ { 2 } , } \\ { \omega _ { \pm } ^ { 2 } } & { { } = \frac { 1 } { 3 } \left( 4 \lambda + 5 \pm \sqrt { 1 6 \lambda ^ { 2 } - 3 2 \lambda + 2 5 } \right) \omega _ { \perp } ^ { 2 } , } \end{array}
\delta \left[ \partial _ { j } \left( v ^ { j } B ^ { i } - v ^ { i } B ^ { j } \right) \right] = \delta v ^ { j } \partial _ { j } B ^ { i } + v ^ { j } \partial _ { j } \delta B ^ { i } - B ^ { j } \partial _ { j } \delta v ^ { i } - \delta B ^ { j } \partial _ { j } v ^ { i } \; ,
\begin{array} { r l } { \dim \mathrm H _ { f } ^ { 1 } ( G _ { \mathbb Q } , W ) } & { = \dim \mathrm H ^ { 0 } ( G _ { \mathbb Q } , W ) + \dim \mathrm H _ { f } ^ { 1 } ( G _ { \mathbb Q } , W ^ { \vee } ( 1 ) ) } \\ & { \quad - \dim \mathrm H ^ { 0 } ( G _ { \mathbb Q } , W ^ { \vee } ( 1 ) ) + \dim \mathrm H _ { f } ^ { 1 } ( G _ { p } , W ) - \dim W ^ { \sigma = 1 } , } \end{array}
= \; \left\langle j _ { \mu _ { 1 } } ^ { T } ( x _ { 1 } ) j _ { \mu _ { 2 } } ^ { T } ( x _ { 2 } ) \; \ldots \; j _ { \mu _ { n } } ^ { T } ( x _ { n } ) \right\rangle _ { S _ { \mathrm { d u a l } } [ A _ { \mu } ] } \;
\hat { s } = ( p _ { 1 } + p _ { 2 } ) ^ { 2 } \, , \qquad \hat { s } ^ { \prime } = ( k _ { 1 } + k _ { 2 } ) ^ { 2 } \, , \qquad J _ { \rho } = \bar { v } ( p _ { 2 } ) \gamma _ { \rho } u ( p _ { 1 } ) \; ,
\begin{array} { r } { z ( x ) = \zeta ( x ) + \epsilon _ { \mathrm { ~ m ~ e ~ a ~ s ~ } , x } = \mathbb { E } \left[ \Tilde { \eta } _ { x } ( u ^ { * } ) \vert D _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ a ~ i ~ n ~ } } \right] + \epsilon _ { \mathrm { ~ e ~ m ~ u ~ } , x } ( u ^ { * } ) + \epsilon _ { \mathrm { ~ m ~ e ~ a ~ s ~ } , x } + \epsilon _ { \mathrm { ~ o ~ t ~ h ~ e ~ r ~ } , x } . } \end{array}
M _ { i } = \left( \begin{array} { c c c c } { { 0 } } & { { b _ { i } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { c _ { i } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { e _ { i } } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { f _ { i } } } & { { 0 } } \end{array} \right) ,
H _ { 0 } = \frac { 1 } { 2 } \int d ^ { 3 } x \left( B _ { a } ^ { i j } F _ { i j } ^ { a } - A _ { i } ^ { a } A _ { a } ^ { i } + \left( \partial ^ { i } B _ { 0 i } ^ { a } \right) \left( \partial _ { j } B _ { a } ^ { 0 j } \right) \right) \equiv \int d ^ { 3 } x \, h .
\begin{array} { r l } { L _ { 1 } ( q , Q ) } & { = q _ { 3 } Q _ { 4 } - Q _ { 3 } q _ { 4 } - q _ { 1 } Q _ { 2 } + Q _ { 1 } q _ { 2 } \; , } \\ { L _ { 2 } ( q , Q ) } & { = ( q _ { 1 } Q _ { 3 } - Q _ { 1 } q _ { 3 } ) + ( q _ { 2 } Q _ { 4 } - Q _ { 2 } q _ { 4 } ) \; , } \\ { L _ { 3 } ( q , Q ) } & { = ( q _ { 2 } Q _ { 3 } - Q _ { 2 } q _ { 3 } ) - ( q _ { 1 } Q _ { 4 } - Q _ { 1 } q _ { 4 } ) \; , } \\ { K _ { 1 } ( q , Q ) } & { = \frac { 1 } { 2 } ( - ( q _ { 1 } ^ { 2 } + Q _ { 1 } ^ { 2 } ) - ( q _ { 2 } ^ { 2 } + Q _ { 2 } ^ { 2 } ) + ( q _ { 3 } ^ { 2 } + Q _ { 3 } ^ { 2 } ) + ( q _ { 4 } ^ { 2 } + Q _ { 4 } ^ { 2 } ) ) \; , } \\ { K _ { 2 } ( q , Q ) } & { = ( Q _ { 2 } Q _ { 3 } + q _ { 2 } q _ { 3 } ) - ( Q _ { 1 } Q _ { 4 } + q _ { 1 } q _ { 4 } ) \; , } \\ { K _ { 3 } ( q , Q ) } & { = - ( Q _ { 1 } Q _ { 3 } + q _ { 1 } q _ { 3 } ) - ( Q _ { 2 } Q _ { 4 } + q _ { 1 } q _ { 4 } ) \; . } \end{array}
\begin{array} { r } { H _ { p } = { O } \! \left( \frac { R T _ { 0 0 } } { g } \right) \, , \quad U = { O } \! \left( { \varepsilon } ^ { \frac { 2 + \alpha } { 2 } } \sqrt { R T _ { 0 0 } } \right) , \quad W = { O } \! \left( { \varepsilon } ^ { \frac { 2 + \alpha + 2 \beta } { 2 } } \sqrt { R T _ { 0 0 } } \right) \, . } \end{array}
\eta = \frac { 1 } { e _ { m } / a + e _ { a d c } / \left( \frac { k ^ { 2 } C _ { i } C _ { i + 1 } } { C _ { i } + C _ { i + 1 } } \right) + 2 e _ { d a c } / k ^ { 2 } C _ { i + 1 } + e _ { d a c } / n ^ { 2 } } .
= - \mathrm { t r } \left( \Delta \bar { F } _ { \mu \nu } \Delta \bar { F } _ { \mu \nu } \right) - \mathrm { t r } \left( \Delta \partial _ { \mu } \partial _ { \sigma } \Delta \bar { F } _ { \sigma \tau } \Delta \partial _ { \tau } \partial _ { \nu } \Delta 2 \bar { F } _ { \mu \nu } \right) + \textrm { c u b i c }
\begin{array} { r l } { ( x _ { 1 } + y _ { 1 } ) B ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) B ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) } & { = ( x _ { 2 } + y _ { 1 } ) B ( x _ { 2 } ; y _ { 1 } ) B ( x _ { 1 } , y _ { 2 } ) , } \\ { ( x _ { 2 } + y _ { 2 } ) B ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) B ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) } & { = ( x _ { 2 } + y _ { 1 } ) B ( x _ { 1 } ; y _ { 2 } ) B ( x _ { 2 } , y _ { 1 } ) , } \\ { ( x _ { 2 } + y _ { 1 } ) C ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) C ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) } & { = ( x _ { 1 } + y _ { 1 } ) C ( x _ { 2 } ; y _ { 1 } ) C ( x _ { 1 } , y _ { 2 } ) , } \\ { ( x _ { 2 } + y _ { 1 } ) C ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) C ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) } & { = ( x _ { 2 } + y _ { 2 } ) C ( x _ { 1 } ; y _ { 2 } ) C ( x _ { 2 } , y _ { 1 } ) . } \end{array}
{ \frac { 1 } { c ^ { 2 } } } { \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } } \psi - \nabla ^ { 2 } \psi + { \frac { m ^ { 2 } c ^ { 2 } } { \hbar ^ { 2 } } } \psi = 0 .
\begin{array} { r } { P _ { \mathrm { v } } ^ { + } - P _ { \mathrm { g } } ^ { + } = \rho _ { \mathrm { l } } ^ { + } \left( \frac { 3 } { 2 } + 4 \pi R _ { \mathrm { d } } ^ { + 2 } n ^ { + } R _ { \mathrm { b } } ^ { + } \right) \left( \frac { \mathrm { d } R _ { \mathrm { b } } ^ { + } } { \mathrm { ~ d } t ^ { + } } \right) ^ { 2 } + \frac { 4 } { R _ { \mathrm { b } } ^ { + } } \frac { \mu _ { \mathrm { l } } ^ { + } } { \mathrm { ~ R ~ e ~ } } \frac { \mathrm { d } R _ { \mathrm { b } } ^ { + } } { \mathrm { ~ d } t ^ { + } } + 4 \pi n ^ { + } \rho _ { \mathrm { l } } ^ { + } R _ { \mathrm { d } } ^ { + } R _ { \mathrm { b } } ^ { + 2 } \left( \frac { \mathrm { d } R _ { \mathrm { d } } ^ { + } } { \mathrm { ~ d } t ^ { + } } \right) \left( \frac { \mathrm { d } R _ { \mathrm { b } } ^ { + } } { \mathrm { ~ d } t ^ { + } } \right) + \frac { 2 \sigma ^ { + } } { \mathrm { ~ W ~ e ~ } } \frac { 1 } { R _ { \mathrm { b } } ^ { + } } . } \end{array}
y = \frac { \sum _ { K } \int _ { E _ { m i n } } ^ { E _ { m a x } } d E \Phi _ { K } ( E ) \sigma ( E ) < P _ { e e } > ( E ) } { \sum _ { K } \int _ { E _ { m i n } } ^ { E _ { m a x } } d E \Phi _ { K } ( E ) \sigma ( E ) } ,
\begin{array} { r l } { y _ { 1 } } & { = f \left( \frac { 1 } { \sum _ { j \neq 1 } \beta _ { 1 j } } \sum _ { j \neq 1 } \beta _ { 1 j } y _ { j } \ ; U _ { 1 } \right) } \\ { \vdots } & { } \\ { y _ { N } } & { = f \left( \frac { 1 } { \sum _ { j \neq N } \beta _ { N j } } \sum _ { j \neq N } \beta _ { N j } y _ { j } \ ; U _ { N } \right) . } \end{array}
\delta _ { n } \tilde { \phi } ( k ) = \frac { i } { 2 } h ( k ) ^ { - n } \eta _ { c \bar { c } } \rho _ { 0 } ^ { \bar { c } } k ^ { c } \tilde { \phi } ( k ) \; + \; { \cal O } ( \tilde { \phi } ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } & { \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \mathcal { H } ( \left| \tilde { \psi } \left( t \right) \right\rangle , u ( t ) , \lambda ( t ) , t ) } \\ & { \quad = \left| \lambda \left( { t } \right) \right\rangle ^ { { T } } \tilde { H } \left( u \left( t \right) \right) \left| \tilde { \psi } \left( t \right) \right\rangle + L ( \left| \tilde { \psi } \left( t \right) \right\rangle ) , u ( t ) ) } \end{array}
{ \tilde { V } } _ { m n l p } ^ { e e } = - \int { d z \int { d z { ' } \frac { 2 \pi e ^ { 2 } } { { \varepsilon } _ { 0 } } \left| z - z { ' } \right| { \varphi } _ { m } ^ { * } ( z ) } } { \varphi } _ { n } ( z ) { \varphi } _ { l } ^ { * } ( z { ' } ) { \varphi } _ { p } ( z { ' } )
{ \cal M } _ { e } = \frac { e } { 4 \pi ^ { 2 } } \sum _ { 0 } ^ { n _ { \mu } } a _ { n } \left( \mu _ { e } \sqrt { \mu _ { e } ^ { 2 } - m ^ { 2 } - 2 e B n } - ( m ^ { 2 } + 4 e B n ) \ln \frac { \mu _ { e } + \sqrt { \mu _ { e } ^ { 2 } - m ^ { 2 } - 2 e B n } } { \sqrt { m ^ { 2 } + 2 e B n } } \right) + { \cal M } _ { 0 e } ,
\left( D _ { i } \right) _ { \alpha \beta } v ^ { \beta } ( x ) \rightarrow \frac 1 a \left( { \cal D } _ { i } \right) _ { \alpha \beta } v ^ { \beta } ( x ) = \frac 1 a \left\{ \frac 1 2 \left( v ^ { \alpha } ( x + \widehat { i } ) - v ^ { \alpha } ( x - \widehat { i } ) \right) - f _ { \alpha \gamma \beta } \theta ^ { \gamma } ( x , x + \widehat { i } ) v ^ { \beta } ( x ) \right\}
- \mathrm { R e } \int d ^ { 2 } \theta \frac { d ^ { 4 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } W _ { a } ( - p , \theta ) C ^ { a b } W _ { b } ( p , \theta ) \, \sum _ { \mathrm { \footnotesize ~ d i a g r a m s } } f _ { 1 } ( p , \Lambda ) .
m _ { \nu _ { 3 } ^ { \prime } } ^ { \mathrm { { l o o p } } } = \frac { ( Y _ { b } ^ { 2 } s _ { 3 } ) ^ { 2 } m _ { b } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \frac { m _ { \tilde { b } : L R } ^ { 2 } } { m _ { \tilde { b } 1 } ^ { 2 } - m _ { \tilde { b } 2 } ^ { 2 } } \log { \frac { m _ { \tilde { b } 1 } ^ { 2 } } { m _ { \tilde { b } 2 } ^ { 2 } } }
\operatorname { V a r } _ { 1 } ( W ( a ) ) = \frac { n ^ { 2 } } { w _ { a } ^ { 4 } } \sum _ { b _ { 1 } , c _ { 1 } , b _ { 2 } , c _ { 2 } } \frac { 1 } { w _ { b _ { 1 } } w _ { b _ { 2 } } w _ { c _ { 1 } } w _ { c _ { 2 } } } \Big ( \mathbb { P } \left( \triangle _ { a , b _ { 1 } , c _ { 1 } } , \triangle _ { a , b _ { 2 } , c _ { 2 } } \right) - \mathbb { P } \left( \triangle _ { a , b _ { 1 } , c _ { 1 } } \right) \mathbb { P } \left( \triangle _ { a , b _ { 2 } , c _ { 2 } } \right) \Big )
\begin{array} { r l r } { \sigma ^ { ( 0 ) } ( \omega ) } & { { } = } & { \frac { 4 \pi } { 3 c \omega } \! \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } q \; q ^ { 2 } \left[ \theta ( E ) ( 2 E ) ^ { 3 / 2 } \tilde { \rho } _ { 0 , \mathrm { ~ W ~ } } \left( q , \! \sqrt { 2 E } \right) \right] _ { E = \omega + E _ { 0 } - V ( q ) } \! , } \end{array}
\begin{array} { r } { \nu _ { n } k _ { n } ^ { 2 } = - \frac { a _ { 1 } k _ { n } ^ { 2 } [ a _ { 3 } C _ { n + 1 } ( t ) + a _ { 2 } C _ { n + 2 } ( t ) ] } { \nu _ { n + 1 } k _ { n + 1 } ^ { 2 } + \nu _ { n + 2 } k _ { n + 2 } ^ { 2 } } . } \end{array}
{ \cal H } _ { e f f } = \frac { G _ { F } } { \sqrt { 2 } } \, \left[ V _ { u b } V _ { u q } ^ { * } \left( C _ { 1 } O _ { 1 } ^ { u } + C _ { 2 } O _ { 2 } ^ { u } \right) + V _ { c b } V _ { c q } ^ { * } \left( C _ { 1 } O _ { 1 } ^ { c } + C _ { 2 } O _ { 2 } ^ { c } \right) - V _ { t b } V _ { t q } ^ { * } \, \left( \sum _ { i = 3 } ^ { 1 0 } C _ { i } \, O _ { i } + C _ { g } O _ { g } \right) \right] \quad ,
\begin{array} { r l } { H _ { K } \left( \frac { \beta _ { 1 } } { \beta _ { 2 } } \right) } & { = - \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } \operatorname* { m i n } ( 0 , w _ { i } ( \beta _ { 1 } / \beta _ { 2 } ) ) = - \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } \operatorname* { m i n } ( 0 , w _ { i } ( \beta _ { 1 } ) - w _ { i } ( \beta _ { 2 } ) ) } \\ & { = \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } \operatorname* { m a x } ( 0 , w _ { i } ( \beta _ { 2 } ) - w _ { i } ( \beta _ { 1 } ) ) = \sum _ { i = 1 } ^ { 4 } \operatorname* { m a x } ( 0 , w _ { i + 1 } ( \beta _ { 1 } ) - w _ { i } ( \beta _ { 1 } ) ) . } \end{array}
P _ { \mathrm { i n t e r } } = \frac { \rho _ { \mathrm { l } } } { r } \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \left( R _ { \mathrm { b } } ^ { 2 } \frac { \mathrm d R _ { \mathrm { b } } } { \mathrm d t } \right) + O \left( \frac { 1 } { r ^ { 4 } } \right) .
\begin{array} { r l r } { F _ { \mathrm { c v } } } & { { } = } & { 4 \pi \bar { \kappa } _ { \mathrm { d } } ( 1 - g _ { \mathrm { v e s } } ) + \int { \mathrm { d } } A \ \Big \{ 2 \kappa _ { \mathrm { d } } H ^ { 2 } ( 1 - \phi ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \mu _ { z } ( X ) = \pm \frac { \phi _ { 0 } W ^ { 2 } } { \mu _ { 0 } \Lambda _ { 0 } \gamma } \ln \frac { 4 } { 4 - \gamma + 4 \gamma ( X / W ) ^ { 2 } } , } \end{array}
\left\{ \frac { \left\lvert d _ { j } \right\rvert } { A _ { \operatorname* { m a x } } } \bigg | \ j \in \mathbb { Z } , 1 \leq j \leq K _ { i } \right\} = \left\{ \frac { 1 } { 2 } \sin \left[ \frac { \pi } { K _ { i } } ( j ^ { ' } - \frac { 1 } { 2 } ) \right] \bigg | \ j ^ { ' } \in \mathbb { Z } , 1 \leq j ^ { ' } \leq K _ { i } \right\}
\pi _ { i } ^ { ( 3 ) a } = - \, \frac { 1 } { 3 m ^ { 2 } } \, \eta ^ { 1 b } \, G _ { 1 i } ^ { ( 2 ) b a } + \frac { g } { 6 m ^ { 2 } } \, \bar { \eta } ^ { b c } \, ( D _ { j } \pi ^ { j } ) ^ { b } \, G _ { 1 i } ^ { ( 2 ) c a } - \frac { 1 } { 3 } \, \eta ^ { 2 b } \, G _ { 2 i } ^ { ( 2 ) b a } \, ,
\begin{array} { r l } { W _ { \mathrm { l o c } , r } ^ { \Sigma _ { 1 } } } & { { } = \left\{ \, v \in \widehat { B } _ { r } ( 0 ) \, \Big \vert \, \operatorname* { l i m s u p } _ { t \to - \infty } \frac { 1 } { | t | } \ln { \Vert \varphi _ { t } ( v ) \Vert _ { V } } \leq \mu , \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ s ~ o ~ m ~ e ~ } \mu \in [ - \mu _ { 1 } , - \mu _ { 2 } ) \, \right\} } \end{array}
V = \left( \begin{array} { l l } { { { \frac { 1 } { \sqrt { 1 - Y \bar { Y } } } } } } & { { { \frac { Y } { \sqrt { 1 - Y \bar { Y } } } } } } \\ { { { \frac { \bar { Y } } { \sqrt { 1 - Y \bar { Y } } } } } } & { { { \frac { 1 } { \sqrt { 1 - Y \bar { Y } } } } } } \end{array} \right) \ .
e ^ { - q _ { \mathrm { A l } } d } = \pm \frac { q _ { \mathrm { T i } } \epsilon _ { \mathrm { A l } } + q _ { \mathrm { A l } } \epsilon _ { \mathrm { T i } } } { q _ { \mathrm { T i } } \epsilon _ { \mathrm { A l } } - q _ { \mathrm { A l } } \epsilon _ { \mathrm { T i } } } .
\frac { \mathrm { d } r _ { \mathrm { ~ f ~ } } } { \mathrm { d } t } = a G _ { \mathrm { ~ o ~ } } ^ { n } \equiv a \bigg ( \frac { \dot { m } _ { \mathrm { ~ o ~ , ~ i ~ n ~ } } } { \pi r _ { \mathrm { ~ f ~ } } ^ { 2 } } \bigg ) ^ { n }
[ \bar { C } _ { \beta } , { \cal T } _ { \alpha } ^ { \dagger } ] = \bar { C } _ { \gamma } ^ { \dagger } \bar { U } _ { \alpha \beta } ^ { \dagger \gamma } ( - 1 ) ^ { \varepsilon _ { \beta } } + \bar { U } _ { \beta \alpha } ^ { \gamma } \bar { C } _ { \gamma } ( - 1 ) ^ { \varepsilon _ { \alpha } } .
A \; = \; i 4 \pi ^ { 2 } M _ { \psi } \: e _ { c } g _ { J } \: \alpha _ { S } \; \int _ { 0 } ^ { \infty } \; \frac { d k _ { T } ^ { 2 } } { 2 \overline { { { Q } } } ^ { 2 } ( \overline { { { Q } } } ^ { 2 } + k _ { T } ^ { 2 } ) } \; \frac { \partial ( x g ( x , k _ { T } ^ { 2 } ) ) } { \partial k _ { T } ^ { 2 } } .
J _ { s } = \sum _ { n \in Z } z ^ { - n - s } f _ { n , 0 } ^ { ( s ) } j _ { m } ^ { ( s ) } ; \ \ \ \ f _ { n , 0 } ^ { ( s ) } = f _ { n } ^ { ( s ) } \neq 0 , \ \ \ f o r \ a l l \ n .
\mathrm { ~ P ~ 2 ~ - ~ ( ~ P ~ 1 ~ + ~ P ~ 0 ~ ) ~ } : \quad \bigl ( \mathbb { U } ^ { m } , ~ \mathbb { P } ^ { m } \bigr ) = \bigl ( [ S _ { 2 } ^ { m } ] ^ { 2 } \cap \mathbb { U } , ~ ( S _ { 1 } ^ { m } + S _ { 0 } ^ { m } ) \cap \mathbb { P } \bigr ) ,
\begin{array} { r l r } { \sum _ { j \in I _ { 1 } , \ k \in I _ { 2 } } m _ { j } m _ { k } ( z _ { j } W _ { k j } - w _ { j } Z _ { k j } ) } & { = } & { - \sum _ { j \in J , \ k \in I _ { 2 } } m _ { j } m _ { k } ( z _ { j } W _ { k j } - w _ { j } Z _ { k j } ) } \\ & { \approx } & { z _ { k _ { 0 } } \sum _ { k \in I _ { 2 } , \ j \in J } m _ { k } m _ { j } W _ { j k } + w _ { k _ { 0 } } \sum _ { k \in I _ { 1 } , \ j \in J } m _ { k } m _ { j } Z _ { j k } } \\ & { \preceq } & { \epsilon ^ { 4 } \prec \epsilon ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { y } _ { n + 1 } } & { = y ( t _ { n } ) + h \sum _ { i = 1 } ^ { s } b _ { i } \hat { k } _ { i } } \\ & { = y _ { n } + h \sum _ { i = 1 } ^ { s } b _ { i } k _ { i } + \mathcal O ( h ^ { p + 2 } ) } \\ & { = y _ { n + 1 } + \mathcal O ( h ^ { p + 2 } ) } \\ & { = y ( t _ { n + 1 } ) + \mathcal O ( h ^ { p + 1 } ) + \mathcal O ( h ^ { p + 2 } ) . } \\ & { = y ( t _ { n + 1 } ) + \mathcal O ( h ^ { p + 1 } ) . } \end{array}
( \delta _ { 1 } X _ { 2 } ) _ { \mathrm { e x t r a } } = \lambda ( M ^ { - 1 } \eta _ { 1 } ^ { \dagger } M X _ { 2 } - X _ { 2 } M _ { 0 } ^ { - 1 } \epsilon _ { 1 } ^ { \dagger } M _ { 0 } )
\langle \zeta , \mu ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \partial _ { t } ( \mu ^ { \frac { 1 } { 2 } } f ) \rangle _ { L _ { \xi } ^ { 2 } } = \partial _ { t } \langle \zeta , f \rangle _ { L _ { \xi } ^ { 2 } } - \frac { \dot { \gamma } } { 2 \gamma } \langle ( \mathcal A _ { j } + \mathcal A _ { j } ^ { * } ) \mathcal A _ { j } \zeta , f \rangle _ { L _ { \xi } ^ { 2 } } .
I _ { q } ( X ; Y ) = \frac { 1 / 2 } { q - 1 } \ln \frac { | \Sigma _ { X | Y } \Sigma _ { X } ^ { - 1 } | ^ { 1 - q } } { \left| I - ( 1 - q ) ^ { 2 } ( I - \Sigma _ { X | Y } \Sigma _ { X } ^ { - 1 } ) \right| } .
\begin{array} { r l } { u ^ { 2 } x ^ { 2 } + v ^ { 2 } y ^ { 2 } + w ^ { 2 } z ^ { 2 } - 2 v w y z + 2 w u z x + 2 u v x y } & { { } = 0 } \\ { \pm { \sqrt { - x } } \cos \left( { \frac { A } { 2 } } \right) \pm { \sqrt { y } } \cos \left( { \frac { B } { 2 } } \right) \pm { \sqrt { z } } \cos \left( { \frac { C } { 2 } } \right) } & { { } = 0 } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( P ( \neg D ) ) ^ { n _ { t } } } & { \underset { \scriptscriptstyle { n _ { t } \to + \infty } } { \sim } \exp { ( n _ { t } \ln { ( 1 - \frac { A } { M ! } { n _ { t } } ^ { M } ( 1 - p ) ^ { n _ { t } } } ) ) } } \\ & { \underset { \scriptscriptstyle { n _ { t } \to + \infty } } { \sim } \exp { ( \frac { A } { M ! } { n _ { t } } ^ { M + 1 } ( 1 - p ) ^ { n _ { t } } ) } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \ensuremath { \mathbf { n } } _ { 2 } ^ { } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) } & { { } = } & { \ensuremath { \mathbf { n } } _ { 1 } ^ { } ( x _ { 1 } , x _ { 1 } ) \otimes \ensuremath { \mathbf { n } } _ { 1 } ^ { } ( x _ { 2 } , x _ { 2 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { { { \cal L } = } } & { { \bar { \Phi } _ { i } e ^ { 2 q Q _ { i } { \cal V } } \Phi _ { i } + \bar { \Sigma } _ { I } e ^ { 2 e E _ { I } { \cal A } } \Sigma _ { I } + \alpha _ { 1 } \left( X ^ { \alpha } X _ { \alpha } + \bar { X } ^ { \dot { \alpha } } \bar { X } _ { \dot { \alpha } } \right) } } \\ { { } } & { { + \alpha _ { 2 } \left( Y ^ { \alpha } Y _ { \alpha } + \bar { Y } ^ { \dot { \alpha } } \bar { Y } _ { \dot { \alpha } } \right) + \alpha _ { 3 } \left( X ^ { \alpha } Y _ { \alpha } + \bar { X } ^ { \dot { \alpha } } \bar { Y } _ { \dot { \alpha } } \right) } } \\ { { } } & { { + W ( \Phi , \Sigma ) + \bar { W } ( \Phi , \Sigma ) + k D + \tilde { k } \tilde { D } , } } \end{array}
H _ { g } ^ { n } ( I ^ { n } , T ^ { n } ) = \varkappa _ { g } ( T ^ { n } ) B _ { g } ( T ^ { n } ) - \boldsymbol { \Omega } \cdot \boldsymbol { \nabla } I _ { g } ^ { n } - \varkappa _ { g } ( T ^ { n } ) I _ { g } ^ { n } .
\begin{array} { r l } { \tilde { \psi } _ { i + 1 } ^ { ( k ) } ( x _ { i + 1 } ^ { ( k ) } ) - \tilde { \psi } _ { i + 1 } ( \tilde { x } _ { i + 1 } ) } & { = - \langle \bar { z } _ { i + 1 } , x _ { i + 1 } ^ { ( k ) } - \tilde { x } _ { i + 1 } \rangle + \frac { 1 } { 2 \lambda } ( x _ { i + 1 } ^ { ( k ) } - \tilde { x } _ { i + 1 } ) ^ { T } H ( x _ { i + 1 } ^ { ( k ) } + \tilde { x } _ { i + 1 } - 2 \tilde { x } _ { 0 } ) } \end{array}
- \frac { 1 } { 2 } \omega ^ { \theta } \equiv - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { n = 1 } ^ { \infty } ( n - \theta ) = - \frac { 1 } { 4 8 } - \frac { 1 } { 1 6 } ( 2 \theta - 1 ) ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } { \tilde { \psi } _ { i } ( t ) } & { : = \frac { \tilde { \omega } _ { i } ( t ) } { \Big | \left( \begin{array} { l } { g _ { 1 } ( t ) } \\ { 0 } \end{array} \right) \wedge \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { h _ { 1 } ( t ) } \end{array} \right) \wedge \dots \wedge \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { h _ { n - 1 } ( t ) } \end{array} \right) \Big | } } \\ & { = \frac { \tilde { \omega } _ { i } ( t ) } { | g _ { 1 } ( t ) | | h _ { 1 } ( t ) \wedge \dots \wedge h _ { n - 1 } ( t ) | } , \quad i = 1 , 2 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 2 \rho _ { { \left| - \frac 1 2 \right\rangle } _ { \theta , L } } ( \mu ) = ( 2 N + 1 ) } & { a _ { \frac 1 2 } ( \mu ) - a _ { \frac { 1 } { 2 } + \xi + i \chi } ( \mu ) - a _ { \frac { 1 } { 2 } + \xi - i \chi } ( \mu ) - a _ { \frac { 1 } { 2 } - \xi - i \chi } ( \mu ) - a _ { \frac { 3 } { 2 } + \xi + i \chi } ( \mu ) } \\ & { - 2 \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } \mu ~ a _ { 1 } ( \mu - \mu ^ { \prime } ) \rho _ { { \left| - \frac 1 2 \right\rangle } _ { \theta , L } } ( \mu ^ { \prime } ) - \delta ( \mu ) - \delta ( \mu - \theta ) - \delta ( \mu + \theta ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { F _ { 0 } ( x , y ) : = - g ( x - y ) - \int _ { 0 } ^ { y } f ( x - y + \xi , \xi ) d \xi } \\ & { F ( g , f , \kappa ) ( x , y ) : = \int _ { 0 } ^ { x - y } g ( \xi ) \kappa ( x - y , \xi ) d \xi } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { y } \int _ { 0 } ^ { x - y } f ( \xi + \eta , \eta ) \kappa ( x - y + \eta , \xi + \eta ) d \xi d \eta . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \omega _ { \mathcal { M } } } & { = \mathrm { d } p \, \mathrm { d } x + \mathrm { d } q \, \mathrm { d } y - \mathrm { d } \psi \, \mathrm { d } \chi - \mathrm { d } \xi \, \mathrm { d } \phi - \frac { 1 } { 2 } \mathrm { d } \zeta \, \mathrm { d } \zeta } \\ { \Theta _ { \mathcal { M } } } & { = - \psi p - \xi q + \frac { 1 } { 7 ! } ( H _ { 7 } + A \wedge F _ { 6 } ) \psi ^ { 7 } + \frac { 1 } { 6 ! } F _ { 6 } \psi ^ { 6 } \xi + \frac { 1 } { 4 ! } ( F _ { 4 } - A \wedge H _ { 3 } ) \psi ^ { 4 } \zeta + \frac { 1 } { 3 ! } H _ { 3 } \psi ^ { 3 } \xi \zeta } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \operatorname { i } ^ { n } \! \operatorname { e r f c } z } & { = \int _ { z } ^ { \infty } \operatorname { i } ^ { n - 1 } \! \operatorname { e r f c } \zeta \, \mathrm { d } \zeta } \\ { \operatorname { i } ^ { 0 } \! \operatorname { e r f c } z } & { = \operatorname { e r f c } z } \\ { \operatorname { i } ^ { 1 } \! \operatorname { e r f c } z } & { = \operatorname { i e r f c } z = { \frac { 1 } { \sqrt { \pi } } } e ^ { - z ^ { 2 } } - z \operatorname { e r f c } z } \\ { \operatorname { i } ^ { 2 } \! \operatorname { e r f c } z } & { = { \frac { 1 } { 4 } } \left( \operatorname { e r f c } z - 2 z \operatorname { i e r f c } z \right) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { 0 = \int _ { \mathbb R ^ { N } } \biggl \{ \mathcal { F } ( x , u , D u ) } & { \mathrm { d i v } h + h _ { i } \mathcal { F } _ { x _ { i } } ( x , u , D u ) - \biggl [ \frac { \partial u } { \partial x _ { j } } \frac { \partial h _ { j } } { \partial x _ { i } } + u \frac { \partial a } { \partial x _ { i } } \biggr ] \mathcal { F } _ { p _ { i } } ( x , u , D u ) } \\ & { - a \biggl [ \frac { \partial u } { \partial x _ { i } } \mathcal { F } _ { p _ { i } } ( x , u , D u ) + u \mathcal { F } _ { u } ( x , u , D u ) \biggr ] \biggr \} d x , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \int _ { \Omega } H ( \nabla v ) ^ { p - 1 } H _ { \xi } ( \nabla v ) \nabla \left( \frac { u ^ { p } } { ( v + \varepsilon ) ^ { p - 1 } } \right) } & { + \mathtt k \int _ { \partial \Omega } \frac { u ^ { p } v ^ { p - 1 } } { ( v + \varepsilon ) ^ { p - 1 } } = \lambda \int m \frac { u ^ { p } v ^ { p - 1 } } { ( v + \varepsilon ) ^ { p - 1 } } } \\ { = } & { \lambda \int m \frac { u ^ { p } v ^ { p - 1 } } { ( v + \varepsilon ) ^ { p - 1 } } - \lambda ^ { + } ( m ) \int _ { \Omega } m u ^ { p } } \\ & { + \int _ { \Omega } H ^ { p } ( \nabla u ) + \mathtt k \int _ { \partial \Omega } u ^ { p } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ \hat { y } , \hat { u } _ { \pm } \right] = \frac { 2 } { 3 } \left[ \hat { u } _ { 3 } + \hat { v } _ { 3 } , \hat { u } _ { \pm } \right] = \pm \hat { u } _ { \pm } , } \end{array}