harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \frac { D \omega } { D t } } = c _ { \omega _ { 1 } } { \frac { \omega } { k } } P _ { k } - c _ { \omega _ { 2 } } \omega ^ { 2 } + { \frac { \partial } { \partial x _ { j } } } \left[ ( \nu + { \frac { \nu _ { t } } { \sigma _ { \omega } } } ) { \frac { \partial \omega } { \partial x _ { j } } } \right]
\Delta \left( \begin{array} { l l } { { a } } & { { b } } \\ { { c } } & { { d } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { { a } } & { { b } } \\ { { c } } & { { d } } \end{array} \right) \otimes \left( \begin{array} { l l } { { a } } & { { b } } \\ { { c } } & { { d } } \end{array} \right) .
\delta m _ { \nu } \, U _ { \nu \nu } ^ { 2 } \: + \: \delta m _ { N } \, U _ { \nu N } ^ { 2 } \: + \: 2 m _ { \nu } \, U _ { \nu \nu } \, \delta U _ { \nu \nu } \: + \: 2 m _ { N } \, U _ { \nu N } \, \delta U _ { \nu N } \ = \ 0 \, .
\boldsymbol { \tau } ^ { * } = 2 \mu _ { 0 } ^ { * } \boldsymbol { \mathrm { E } } ^ { * } + 4 \alpha _ { 2 } ^ { * } ( \boldsymbol { \mathrm { E } } ^ { * } \cdot \boldsymbol { \mathrm { E } } ^ { * } ) ,
\hat { Q } ^ { \nu \mu } = \left( \begin{array} { l l } { \hat { Q } ^ { x x } } & { \hat { Q } ^ { x y } } \\ { \hat { Q } ^ { y x } } & { \hat { Q } ^ { y y } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { \hat { \mathcal { A } } ^ { x } \cdot \hat { \mathcal { A } } ^ { x } } & { 2 \hat { \mathcal { A } } ^ { x } \cdot \hat { \mathcal { A } } ^ { y } } \\ { 2 \hat { \mathcal { A } } ^ { y } \cdot \hat { \mathcal { A } } ^ { x } } & { \hat { \mathcal { A } } ^ { y } \cdot \hat { \mathcal { A } } ^ { y } } \end{array} \right) \mathrm { ~ , ~ }
\begin{array} { r l r } { \frac { \mathrm { d } } { \mathrm { d } t } \ln f _ { \mathrm { { M } } } } & { { } = } & { ( { \bf v } _ { \| } + { \bf \dot { R } } _ { d } + \delta { \bf \dot { R } } ) \cdot \left[ { \vec { \kappa } } _ { n } + \left( \frac { m v _ { \| } ^ { 2 } } { 2 T } + \frac { m \mu B } { T } - \frac { 3 } { 2 } \right) \vec { \kappa } _ { T } - \frac { m \mu B } { T } \vec { \kappa } _ { B } \right] } \end{array}
N u = \left[ N u _ { 0 } ^ { \frac { 1 } { 2 } } + R a ^ { \frac { 1 } { 6 } } \left( { \frac { f _ { 4 } \left( P r \right) } { 3 0 0 } } \right) ^ { \frac { 1 } { 6 } } \right] ^ { 2 }
{ \frac { \omega ^ { \prime } } { T _ { L } ^ { \prime } } } = { \frac { \omega + k _ { 4 } } { T _ { L } } } \ , \quad { \frac { \omega ^ { \prime } } { T _ { R } ^ { \prime } } } = { \frac { \omega - k _ { 4 } } { T _ { R } } } \ , \quad { \frac { \omega ^ { \prime } } { T _ { H } ^ { \prime } } } = { \frac { \omega - \phi k _ { 4 } } { T _ { H } } } \ ,
\left\{ \begin{array} { r c l } { { \hat { \hat { g } } _ { \mu \nu } } } & { { = } } & { { g _ { \mu \nu } + G _ { m n } A ^ { ( m ) } { } _ { \mu } A ^ { ( n ) } { } _ { \nu } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \hat { \hat { g } } _ { \mu m } } } & { { = } } & { { G _ { m n } A ^ { ( n ) } { } _ { \mu } = \hat { \hat { k } } _ { ( m ) \ \mu } \, , } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \hat { \hat { g } } _ { m n } } } & { { = } } & { { G _ { m n } = \hat { \hat { k } } _ { ( m ) } { } ^ { \hat { \hat { \mu } } } \hat { \hat { k } } _ { ( n ) \ \hat { \hat { \mu } } } \, . } } \end{array} \right.
J _ { \varepsilon } ( y ) = \left\{ \begin{array} { r l r } & { - \varepsilon y - \frac { 1 } { 2 } \varepsilon ^ { 2 } , } & { \ y \in ( - \infty , - \varepsilon ) } \\ & { \frac { 1 } { 2 } y ^ { 2 } , } & { \ y \in ( - \varepsilon , \varepsilon ) } \\ & { \varepsilon y - \frac { 1 } { 2 } \varepsilon ^ { 2 } , } & { \ y \in ( \varepsilon , \infty ) } \end{array} \right.
d s ^ { 2 } = - d \tau ^ { 2 } + \tau ^ { 2 } ( \frac { d \rho ^ { 2 } } { 1 + \rho ^ { 2 } } + \rho ^ { 2 } d \theta ^ { 2 } + \rho ^ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta d \phi ^ { 2 } ) .
\begin{array} { r l } { ( F _ { \rho } ^ { h , g } ) ^ { \dagger } } & { { } = ( L _ { \tau _ { d u a l } } ^ { h } T _ { \tau _ { d i r } } ^ { g } ) ^ { \dagger } = ( T _ { \tau _ { d i r } } ^ { g } ) ^ { \dagger } ( L _ { \tau _ { d u a l } } ^ { h } ) ^ { \dagger } } \end{array}
\begin{array} { r } { c _ { l } = \sqrt { \pi ( 4 l + 1 ) } ( i \mathrm { P } ) ^ { l } \frac { \Gamma ( l + 1 / 2 ) } { \Gamma ( 2 l + 3 / 2 ) } \mathrm { ~ } _ { 1 } F _ { 1 } ( l + \frac { 1 } { 2 } , 2 l + \frac { 2 } { 3 } , i \mathrm { P } ) \, , } \end{array}
\chi = \frac { \log H ( k _ { n } ) - \log H ( k _ { 0 } ) } { \log k _ { n } - \log k _ { 0 } } = \frac { \log \hat { \sigma } + \log \hat { \tau } } { \log \hat { \sigma } } = 2 + \frac { \log \left[ \tau _ { n } ( \alpha + \theta _ { A } / \theta _ { B } ) \right] } { \log v _ { n } } \approx 2 \qquad ( n \to \infty )
\begin{array} { c } { { U n k n o w n } } \\ { { ( 6 , 2 , 1 ) } } \end{array} \, \, \, d \hat { s } _ { I I B } ^ { 2 } = H \left[ H ^ { - 1 / 2 } \eta _ { i j } d y ^ { i } d y ^ { j } - H ^ { 1 / 2 } d x ^ { 2 } \right] - H ^ { - 1 / 2 } d y ^ { 2 } - H ^ { - 3 / 2 } d z ^ { 2 } \, .
\begin{array} { r l } { J _ { 1 , q _ { 1 } } ^ { \alpha , \delta } ( t , x , \widetilde { \eta } ) } & { = \int _ { 0 } ^ { + \infty } e ^ { - ( \widetilde { \gamma } + i \widetilde { \tau } ) s } s ^ { q _ { 1 } } n \cdot \left( \partial _ { x } ^ { \alpha } \partial _ { t } ^ { \delta } \mathcal { F } _ { v } \nabla _ { v } f \right) ( t , x , \widetilde { k } s ) \, \mathrm { d } s , \ \ n \in \mathbb R ^ { d } , \ \ \vert n \vert = 1 , \ \ q _ { 1 } \in \lbrace 1 , 2 \rbrace , } \\ { J _ { 2 , q _ { 2 } } ^ { \alpha , \delta } ( t , x , \widetilde { \eta } ) } & { = \int _ { 0 } ^ { + \infty } e ^ { - ( \widetilde { \gamma } + i \widetilde { \tau } ) s } s ^ { q _ { 2 } } \widetilde { k } \cdot \left( \partial _ { \xi } \partial _ { x } ^ { \alpha } \partial _ { t } ^ { \delta } \mathcal { F } _ { v } \nabla _ { v } f \right) ( t , x , \widetilde { k } s ) \, \mathrm { d } s , \ \ q _ { 2 } \in \lbrace 2 , 3 \rbrace , } \end{array}
\begin{array} { r } { l = \left\{ \begin{array} { l l } { \varkappa , } & { \varkappa > 0 , } \\ { - \varkappa - 1 , } & { \varkappa < 0 , } \end{array} \right. } \\ { j = | \varkappa | - \frac { 1 } { 2 } . } \end{array}
V ^ { \prime } ( \vec { f } ) = \sum _ { i = 1 } ^ { N } [ \theta C _ { i } + \mathrm { ~ l ~ n ~ } ( P _ { i } f _ { i } ) ] \left[ - P _ { i } f _ { i } + e ^ { - \theta C _ { i } } \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { N } P _ { k } f _ { k } } { \sum _ { k = 1 } ^ { N } e ^ { - \theta C _ { k } } } \right] .
\begin{array} { r l } { p ( \{ \tilde { x } _ { n } \} _ { n = 1 } ^ { N _ { \mathrm { s } } } ) } & { { } = \frac { 1 } { \sqrt { ( 2 \pi ) ^ { N _ { \mathrm { s } } } \operatorname* { d e t } I } } \exp \left[ - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { n , m = 1 } ^ { N _ { \mathrm { s } } } \left( \tilde { x } _ { n } - \tilde { x } _ { 0 } e ^ { - t _ { n } / \tau _ { \mathrm { ~ o ~ t ~ } } } \right) [ I ^ { - 1 } ] _ { n m } \left( \tilde { x } _ { m } - \tilde { x _ { 0 } } e ^ { - t _ { m } / \tau _ { \mathrm { ~ o ~ t ~ } } } \right) \right] \, , } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { { \ddot { \hat { \xi } } ^ { t } } } \\ { { \ddot { \hat { \xi } } ^ { r } } } \\ { { \ddot { \hat { \xi } } ^ { \varphi } } } \end{array} \right) - \left( \begin{array} { c } { { \hat { \xi } ^ { t } } } \\ { { \hat { \xi } ^ { r } } } \\ { { \hat { \xi } ^ { \varphi } } } \end{array} \right) + 2 { \cal D } \left( \begin{array} { c } { { \dot { \hat { \xi } } ^ { t } } } \\ { { \dot { \hat { \xi } } ^ { r } } } \\ { { \dot { \hat { \xi } } ^ { \varphi } } } \end{array} \right) + 2 { \cal E } \left( \begin{array} { c } { { \hat { \xi } ^ { t } } } \\ { { \hat { \xi } ^ { r } } } \\ { { \hat { \xi } ^ { \varphi } } } \end{array} \right) + { \cal F } \left( \begin{array} { c } { { { \hat { \xi } } ^ { t } } } \\ { { { \hat { \xi } } ^ { r } } } \\ { { { \hat { \xi } } ^ { \varphi } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { { { \hat { U } } ^ { t } } } \\ { { { \hat { U } } ^ { r } } } \\ { { { \hat { U } } ^ { \varphi } } } \end{array} \right) ,
\langle { \bf { u } } ^ { \prime } \times { \bf { b } } ^ { \prime } \rangle = \alpha \langle { \bf { B } } \rangle - ( \beta + \zeta ) \nabla \times \langle { \bf { B } } \rangle - ( \nabla \zeta ) \times \langle { \bf { B } } \rangle + \gamma \left( \langle { \bf { W } } \rangle + 2 \boldsymbol { \Omega } \right) ,
\begin{array} { r l } { \int _ { t _ { 1 } - \tau } ^ { t _ { 2 } - \tau } f ( h ) \varphi ( h ) \, d h } & { \geq \int _ { h _ { N } } ^ { t _ { 2 } - \tau } f ( h ) \varphi ( h ) \, d h } \\ & { \geq \int _ { h _ { N } - \tau } ^ { t _ { 2 } - \tau } g ( h ) \psi ( h ) \, d h } \\ & { = \int _ { t _ { 1 } - \tau } ^ { t _ { 2 } - \tau } g ( h ) \psi ( h ) \, d h - \int _ { t _ { 1 } - \tau } ^ { h _ { N } - \tau } g ( h ) \psi ( h ) \, d h } \\ & { \geq \int _ { t _ { 1 } - \tau } ^ { t _ { 2 } - \tau } g ( h ) \psi ( h ) \, d h - \tau M , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { a } & { { } = } & { \pi [ ( 1 - p ) q ] = \frac { ( 2 n + 1 ) ! } { ( n ! ) ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { ( 1 - p ) q } x ^ { n } ( 1 - x ) ^ { n } d x \sim ( 1 - p ) ^ { \frac { r + 1 } { 2 } } q ^ { \frac { r + 1 } { 2 } } , } \\ { b } & { { } = } & { \pi [ ( 1 - p ) ( 1 - q ) ] \sim ( 1 - p ) ^ { \frac { r + 1 } { 2 } } ( 1 - q ) ^ { \frac { r + 1 } { 2 } } , } \end{array}
c ( 1 ) = \frac { 4 ( 3 d ^ { 5 } - 4 8 d ^ { 4 } + 2 2 7 d ^ { 3 } - 5 8 d ^ { 2 } - 1 7 2 8 d + 1 8 7 2 ) } { 9 ( d + 2 ) d ( d - 3 ) ( d - 5 ) ( d - 7 ) } ,
i \frac { \partial \phi } { \partial z } + \frac { 1 } { 2 \beta _ { 0 } } \left( \frac { \partial ^ { 2 } \phi } { \partial x ^ { 2 } } + \frac { \partial ^ { 2 } \phi } { \partial y ^ { 2 } } \right) + ( \beta ( \omega ) - \beta _ { 0 } ( \omega ) ) \phi = 0 .
G _ { o } ( K ; \vec { x } , \phi ; \vec { x ^ { \prime } } , \phi ^ { \prime } ) = - \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \sum _ { n = - \infty } ^ { n = + \infty } \int d ^ { 3 } p \frac { e ^ { i \vec { p } . ( \vec { x } - \vec { x ^ { \prime } } ) } e ^ { i n ( \phi - \phi ^ { \prime } ) } } { [ p ^ { 2 } + n ^ { 2 } / R ^ { 2 } - K ^ { 2 } - i \epsilon ] } ,
\begin{array} { r } { { \mathrm { c u m } } ( Z _ { l _ { 1 } } , \ldots , Z _ { l _ { 4 } } ) = \mathbb { E } [ Z _ { l _ { 1 } } Z _ { l _ { 2 } } Z _ { l _ { 3 } } Z _ { l _ { 4 } } ] - \mathbb { E } [ Z _ { l _ { 1 } } Z _ { l _ { 2 } } ] \mathbb { E } [ Z _ { l _ { 3 } } Z _ { l _ { 4 } } ] - \mathbb { E } [ Z _ { l _ { 1 } } Z _ { l _ { 3 } } ] \mathbb { E } [ Z _ { l _ { 2 } } Z _ { l _ { 4 } } ] - \mathbb { E } [ Z _ { l _ { 1 } } Z _ { l _ { 4 } } ] \mathbb { E } [ Z _ { l _ { 2 } } Z _ { l _ { 3 } } ] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { J _ { n } ^ { \mu } } & { { } } & { = \frac { 1 } { \sqrt { \operatorname* { d e t } g _ { \mu \nu } } } \sum _ { i } \delta ( \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { i } ) v _ { i } ^ { \mu } \equiv \rho v ^ { \mu } , } \\ { J _ { c } ^ { \mu } } & { { } } & { = \frac { 1 } { \sqrt { \operatorname* { d e t } g _ { \mu \nu } } } \sum _ { i } \delta ( \mathbf { r } - \mathbf { r } _ { i } ) \sigma _ { i } v _ { i } ^ { \mu } \equiv \rho w ^ { \mu } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { G ( t ) } & { = \frac { ( 1 + \langle Z \rangle ) B ^ { 2 } } { \bar { n } \langle m _ { i } \rangle } \left( 2 \left[ 1 - \left( 1 - \frac { \Delta y } { \pi r } \right) ^ { N + 1 } \right] \frac { \pi r } { \Delta y } \frac { t _ { 0 } } { R _ { A } } + \frac { t } { R _ { \mathrm { e f f } } } \right) } \\ & { = 2 \left[ 1 - \left( 1 - \frac { \Delta y } { \pi r } \right) ^ { N + 1 } \right] \frac { \pi r } { \Delta y } \frac { R _ { \mathrm { e f f } } } { R _ { A } } \frac { t _ { 0 } } { t _ { \mathrm { a c c } } } + \frac { t } { t _ { \mathrm { a c c } } } , } \end{array}
( \omega , \phi _ { \partial } , \Sigma ) \in \mathring { V } \Lambda ^ { 2 } ( \Omega ) \times H ^ { \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { 0 } ( \partial \Omega ) \times H ^ { - \frac { 1 } { 2 } } \Lambda ^ { n - 1 } ( \Sigma )
\begin{array} { r l } { v _ { R } ( x ; \rho , \beta ) } & { = - \rho _ { R } \, x _ { R } - \beta _ { R } \, x _ { R } ^ { 2 } } \\ { v _ { C } ( x ; \rho , \beta ) } & { = - \rho _ { C } \, x _ { C } - \beta _ { C } \, x _ { R } \, x _ { C } } \\ { v _ { D } ( x ; \rho , \beta ) } & { = - \rho _ { D } \, x _ { D } - \beta _ { D } \, x _ { R } \, x _ { D } } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle \left\| u \right\| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \leq K \left( \left\| \nabla ^ { \prime } u \right\| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } + \left\| \frac { \partial u } { \partial x _ { 3 } } \chi _ { M } \right\| _ { L ^ { 2 } ( \Omega ) } \right) , } \\ { \forall \, \, u \in L ^ { 2 } ( 0 , L ; H ^ { 1 } ( C ) ) \cap L ^ { 2 } ( C \setminus \overline { D } ; H _ { 0 } ^ { 1 } ( 0 , L ) ) . } \end{array} \right.
{ \boldsymbol { \mathcal { U } } = \{ u _ { i } \ | \ u _ { i } \in \boldsymbol { H } ^ { 1 } \left( \Omega \right) , \ u _ { i } n _ { i } = 0 \ \mathrm { ~ o ~ n ~ } \ \Gamma ^ { \mathrm { { b a s e } } } \} }
\frac { 1 } { c } \frac { \partial \boldsymbol { F } } { \partial t } + c \boldsymbol { \nabla } \cdot ( \langle \boldsymbol { \mathfrak { f } } \rangle _ { E } E ) + \bar { \mathbf { K } } _ { R } \boldsymbol { F } + \bar { \boldsymbol { \eta } } E = 0 \, ,
\begin{array} { r l r } { \hat { S } _ { y } } & { { } = } & { \hat { \mathcal { D } } \left( { \bf \hat { x } } , - \frac { \pi } { 4 } \right) \hat { S } _ { z } \hat { \mathcal { D } } ^ { \dagger } \left( { \bf \hat { x } } , - \frac { \pi } { 4 } \right) } \end{array}
{ \hat { H } } _ { i n t } = \sum _ { \alpha = 1 \dots 5 } { \cal E } _ { e _ { \alpha } } { \hat { P } } ^ { ( e _ { \alpha } ) } + \sum _ { n = 1 , 2 } { \cal E } _ { g _ { n } } { \hat { P } } ^ { ( g _ { n } ) } \, ,
\begin{array} { r l } { \| A ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , t ) \| } & { \leq \frac { 1 } { \sqrt { 2 } \gamma } \operatorname* { m a x } \left( \left| t ^ { 2 } ( \gamma \overline { { M } } + ( \gamma \Delta M ) _ { 2 } ) \right| , \ \left| \sum _ { k = 0 } ^ { t - 1 } \bar { u } _ { k , 1 } \Delta _ { k } + t ^ { 2 } F _ { 1 , 1 } \right| \right) } \\ & { \leq \frac { t ^ { 2 } } { \sqrt { 2 } \gamma } \operatorname* { m a x } \left( ( \gamma M _ { \textrm { m a x } } + F _ { \textrm { m a x } } ) , \, ( \bar { u } _ { m a x } + F _ { \textrm { m a x } } ) \right) } \end{array}
\hat { \mathbb { D } } ( \mathbf { r } ) \vec { \mathbb { F } } ( \mathbf { r } ) = \Omega \left( \hat { \mathbb { P } } ( \mathbf { r } ) + \Delta \hat { \mathbb { P } } ( \mathbf { r } ) \right) \vec { \mathbb { F } } ( \mathbf { r } )
\begin{array} { r l r } & { } & { \sum _ { l = 1 } ^ { 2 T - 1 } \Big ( \int _ { Q _ { \Gamma , l } ^ { \prime } } \rho _ { \theta } ( x , y ) d x d y \Big ) ^ { 1 \slash 2 } } \\ & { \leq } & { \sum _ { l = 1 } ^ { 2 T - 1 } \rho _ { \theta } ( x _ { l - 1 } ( \Gamma ) , y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ^ { 1 \slash 2 } ( c _ { l } ( \Gamma ) - a _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ^ { 1 \slash 2 } ( d _ { l } ( \Gamma ) - b _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ^ { 1 \slash 2 } } \\ & { } & { + C ^ { \prime } \epsilon K _ { 0 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left( \tilde { k } _ { k \pm k _ { p 0 } } ^ { p ^ { \prime } m ^ { \prime } } - \tilde { k } _ { k } ^ { p m } \pm ( k _ { p 0 } / k _ { L } ) \tilde { k } _ { 0 } ^ { 0 0 } \right) / k _ { c } \approx \left[ 2 ( p ^ { \prime } - p ) + ( | m ^ { \prime } | - | m | ) \right] ( 1 - k / k _ { L } ) \mp \left( 2 p ^ { \prime } + | m ^ { \prime } | \right) ( k _ { p 0 } / k _ { L } ) \, . } \end{array}
{ \cal F } = \sum _ { g , I } ( g _ { \mathrm { Y M } } ^ { 2 } ) ^ { 2 g - 2 } \lambda ^ { I } { \cal F } _ { g , I } = \sum _ { g } ( g _ { \mathrm { Y M } } ^ { 2 } ) ^ { 2 g - 2 } { \cal F } _ { g } ( \lambda ) .
\begin{array} { r } { \partial _ { t } \mathbf { c } _ { 0 } = \partial _ { x } \left( \left( \mathbf { D } + \frac { \mathrm { P e } ^ { 2 } } { 8 \pi ^ { 2 } } \mathbf { D } ^ { - 1 } \right) \partial _ { x } \mathbf { c } _ { 0 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\langle S _ { u _ { f } | u _ { 0 } } \right\rangle } & { { } = 2 \int _ { u _ { 0 } } ^ { u _ { f } } \mathrm { d } u ^ { \prime \prime } \ \int _ { - \infty } ^ { u ^ { \prime \prime } } \mathrm { d } u ^ { \prime } \ e ^ { - 2 ( V ( u ^ { \prime } ) - V ( u ^ { \prime \prime } ) ) } } \\ { \left\langle S _ { u _ { f } | u _ { 0 } } ^ { 2 } \right\rangle } & { { } = 4 \int _ { u _ { 0 } } ^ { u _ { f } } \mathrm { d } u ^ { \prime \prime } \ \int _ { - \infty } ^ { u ^ { \prime \prime } } \mathrm { d } u ^ { \prime } \ \left\langle S _ { u _ { f } | u ^ { \prime } } \right\rangle e ^ { - 2 ( V ( u ^ { \prime } ) - V ( u ^ { \prime \prime } ) ) } = } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rho \left( a _ { x _ { 0 } ^ { n } } ^ { i } \right) } & { = a _ { x _ { 0 } ^ { n } } ^ { i } \otimes \mathsf { 1 } . } \\ { \Delta \left( a _ { x _ { 0 } ^ { n } } ^ { i } \right) } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { n } \binom { n } { k } a _ { x _ { 0 } ^ { k } } ^ { i } \otimes a _ { x _ { 0 } ^ { n - k } } ^ { i } , } \end{array}
- i \kappa \frac { \sqrt { \vert \hat { \mu } ^ { - 1 } \vert } } { \sqrt { \vert \hat { \varepsilon } ^ { - 1 } \vert } } \left( ( \hat { \varepsilon } ^ { - 1 } ) _ { l q } \hat { \mu } ^ { q 3 } \langle \xi _ { \hat { \epsilon } } , \chi _ { \varepsilon } \rangle _ { e _ { \mu } } + ( \hat { \varepsilon } ^ { - 1 } ) _ { l q } \hat { \mu } ^ { q a } \xi _ { \hat { \epsilon } a } \left( e _ { \mu } ^ { 3 j } + \frac { r _ { \mu } \hat { \mu } ^ { 3 j } } { \sqrt { \vert \hat { \mu } ^ { - 1 } \vert } } \right) \chi _ { \hat { \epsilon } j } \right) .
W = A _ { 0 } \textrm { C e } \left( \Lambda + \frac { m _ { 0 } } { 2 } + \lambda ; \frac { m _ { 0 } } { 4 } ; i z \right) + B _ { 0 } \textrm { S e } \left( \Lambda + \frac { m _ { 0 } } { 2 } + \lambda ; \frac { m _ { 0 } } { 4 } ; i z \right)
\begin{array} { r l } { D _ { 1 , 0 } ( \theta , \omega ) } & { { } \approx \omega , } \\ { D _ { 0 , 1 } ( \theta , \omega ) } & { { } = c _ { 1 } ( \omega ) + c _ { 2 } ( \theta ) , } \\ { D _ { 0 , 2 } ( \theta , \omega ) } & { { } = \epsilon ( \omega ) ^ { 2 } / 2 . } \end{array}
C _ { k } : = \delta _ { k } ( X ) + \delta _ { k } ( Y ) = { \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , } & { \neg \, ( X = k \vee Y = k ) } \\ { 1 , } & { \quad X = k \, \veebar \, Y = k } \\ { 2 , } & { \quad X = k \, \wedge \, Y = k } \end{array} \right. }
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { h } \left| ( I _ { h } \varphi _ { h } , f ( 2 ^ { a } ( \cdot - x ) ) ) _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } \right| ^ { 2 } } \\ & { \quad \le \| ( \Theta _ { h } * \tilde { f } ) ( x - \cdot ) \| _ { H _ { h } ^ { - s } ( \tilde { \tilde { \Omega } } _ { h } ) } ^ { 2 } } \\ & { \quad \le \| ( \Theta _ { h } * \tilde { f } ) ( x - \cdot ) \| _ { H _ { h } ^ { - s } ( h \mathbb { Z } ^ { d } ) } ^ { 2 } } \\ & { \quad = \int _ { \left( - \frac { \pi } { h } , \frac { \pi } { h } \right) ^ { d } } ( 1 + M _ { h } ( \xi ) ^ { 2 } ) ^ { - s } \left| \sum _ { \zeta \in \frac { 2 \pi } { h } \mathbb { Z } ^ { d } } \mathcal { F } [ ( \Theta _ { h } ( x - \cdot ) ] ( \xi + \zeta ) \mathcal { F } [ \tilde { f } ( x - \cdot ) ] ( \xi + \zeta ) \right| ^ { 2 } \, \mathrm { d } \xi } \\ & { \quad \le C h ^ { 2 t } \int _ { \mathbb { R } ^ { d } } ( 1 + M _ { h } ( \xi ) ^ { 2 } ) ^ { - s } \left( \frac 1 h + | \xi | \right) ^ { 2 t } | \mathcal { F } [ ( \Theta _ { h } ( x - \cdot ) ] ( \xi ) | ^ { 2 } | \mathcal { F } [ \tilde { f } ( x - \cdot ) ] ( \xi ) | ^ { 2 } \, \mathrm { d } \xi . } \end{array}
M \ { \stackrel { f } { \to } } \ N \ { \stackrel { \omega } { \to } } \ { \textstyle \bigwedge } ^ { k } T ^ { * } N \ { \stackrel { { \bigwedge } ^ { k } ( d f ) ^ { * } } { \longrightarrow } } \ { \textstyle \bigwedge } ^ { k } T ^ { * } M .
\begin{array} { r } { a < - \frac { 4 \, \Gamma ^ { 2 } \left( 3 / 4 \right) } { \Gamma ^ { 2 } \left( 1 / 4 \right) } = - \frac { 2 } { \pi ^ { 2 } } \Gamma ^ { 4 } \left( \frac { 3 } { 4 } \right) , } \end{array}
\begin{array} { l } { { \displaystyle - \frac { m _ { 0 } ^ { 2 } } { \lambda } + 2 = I ( I + 1 ) ~ , } } \\ { { \displaystyle 1 + \frac { k ^ { 2 } } { \lambda } = N ^ { 2 } ~ , \quad | N | \leq { I } ~ . } } \end{array}
u ^ { \mu } ( p _ { 3 } , 0 ) \mid _ { m \rightarrow 0 } = \left( \begin{array} { l } { { p _ { 3 } } } \\ { { 0 } } \\ { { 0 } } \\ { { { \frac { p _ { 3 } ^ { 2 } } { E _ { p } } } } } \end{array} \right) \equiv \left( \begin{array} { l } { { E _ { p } } } \\ { { 0 } } \\ { { 0 } } \\ { { E _ { p } } } \end{array} \right) \quad ,
\begin{array} { r l r } { \operatorname* { l i m } _ { T \to 0 } \left( \Omega ^ { ( 0 ) } + \Omega ^ { ( 1 ) } \right) } & { { } = } & { \operatorname* { l i m } _ { T \to 0 } \left( U ^ { ( 0 ) } + U ^ { ( 1 ) } \right) = E _ { \mathrm { ~ X ~ V ~ S ~ C ~ F ~ } } ( 0 ) , } \end{array}
\sigma ( e ^ { + } e ^ { - } \rightarrow \tilde { \nu } \rightarrow X ) = \frac { 8 \pi s } { m _ { \tilde { \nu } } ^ { 2 } } \frac { \Gamma _ { \tilde { \nu } \rightarrow e ^ { + } e ^ { - } } \Gamma _ { \tilde { \nu } \rightarrow X } } { ( s - m _ { \tilde { \nu } } ^ { 2 } ) ^ { 2 } + m _ { \tilde { \nu } } ^ { 2 } \Gamma _ { \tilde { \nu } } ^ { 2 } } \ .
{ \begin{array} { r l } { \prod _ { p } ^ { \infty } \left( 1 - { \frac { 1 } { p ^ { 2 } } } \right) } & { = \left( \prod _ { p } ^ { \infty } { \frac { 1 } { 1 - p ^ { - 2 } } } \right) ^ { - 1 } } \\ & { = { \frac { 1 } { 1 + { \frac { 1 } { 2 ^ { 2 } } } + { \frac { 1 } { 3 ^ { 2 } } } + \cdots } } } \\ & { = { \frac { 1 } { \zeta ( 2 ) } } = { \frac { 6 } { \pi ^ { 2 } } } \approx 6 1 \% . } \end{array} }
P _ { \mathrm { F F , C X } } ( \theta , \varphi , \vec { r } _ { 0 } ) = \frac { 1 } { 2 } \left( P _ { \mathrm { F F } , r } ( \theta , \varphi , \vec { r } _ { 0 } ) + P _ { \mathrm { F F } , \varphi } ( \theta , \varphi , \vec { r } _ { 0 } ) \right) ,
\begin{array} { r l r l r l } { ( \nabla _ { j } \widehat { t } _ { i } ) \cdot \widehat { t } _ { k } \equiv \mathcal { R } _ { i } ^ { j k } } & { { } = - \mathcal { R } _ { k } ^ { j i } , } & { \mathcal { R } _ { 1 } ^ { 1 2 } } & { { } = \omega _ { 1 } , } & { \mathcal { R } _ { 2 } ^ { 2 1 } } & { { } = - \omega _ { 2 } . } \end{array}
\left| n \right> \equiv \left| \mathrm { A } ^ { 2 } \Pi , J _ { \mathrm { A } } , M _ { \mathrm { A } } , \Omega _ { \mathrm { A } } \! = \! 1 , \left\{ \nu _ { \mathrm { A } } \mathrm { \; o r \; } \mathcal { E } _ { \mathrm { A } } \right\} \right>
A _ { \mathrm { ~ D ~ Q ~ } } = \int _ { 2 \omega _ { 0 } - 2 \Delta \omega } ^ { 2 \omega _ { 0 } + 2 \Delta \omega } \int _ { \omega _ { 0 } - \Delta \omega } ^ { \omega _ { 0 } + \Delta \omega } \! \! \! \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } \omega _ { 2 } \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } \omega _ { 3 } \left| S _ { \mathrm { ~ D ~ Q ~ } } ( \omega _ { 2 } , \omega _ { 3 } ) \right| ,
Q ^ { K } ( z ) = \frac { ( D ^ { K } + \tilde { D } ^ { K } ) ( \frac { 2 } { 5 } + \frac { 9 } { 5 } S _ { G } ) - \frac { 1 } { 2 } \tilde { D } ^ { K } ( \frac { 8 } { 5 } - \frac { 9 } { 5 } S _ { G } ) } { D ^ { K } - \tilde { D } ^ { K } } ,
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } \left[ \left| \sqrt { \int _ { 0 } ^ { T } V _ { t } \mathrm { d } t } - \sqrt { \sum _ { i = 0 } ^ { T / h - 1 } V _ { i h } h } \right| ^ { q } \right] } \\ & { = \mathbb { E } \left[ \left| \frac { \int _ { 0 } ^ { T } V _ { t } \mathrm { d } t - \sum _ { i = 0 } ^ { T / h - 1 } V _ { i h } h } { \sqrt { \int _ { 0 } ^ { T } V _ { t } \mathrm { d } t } + \sqrt { \sum _ { i = 0 } ^ { T / h - 1 } V _ { i h } h } } \right| ^ { q } \right] } \\ & { \leq \mathbb { E } \left[ \left| \frac { \int _ { 0 } ^ { T } V _ { t } \mathrm { d } t - \sum _ { i = 0 } ^ { T / h - 1 } V _ { i h } h } { \sqrt { \int _ { 0 } ^ { T } V _ { t } \mathrm { d } t } } \right| ^ { q } \right] } \\ & { \leq \sqrt { \mathbb { E } \left[ \left| \int _ { 0 } ^ { T } V _ { t } \mathrm { d } t - \sum _ { i = 0 } ^ { T / h - 1 } V _ { i h } h \right| ^ { 2 q } \right] } \cdot \sqrt { \mathbb { E } \left[ \left( \frac { 1 } { \int _ { 0 } ^ { T } V _ { t } \mathrm { d } t } \right) ^ { q } \right] } . } \end{array}