harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
R _ { \chi } = \frac { 1 } { 2 } \, \hat { q } \, \chi ^ { 2 } \, L ^ { 3 } = \chi ^ { 2 } \, \omega _ { c } \, L \, , \qquad \bar { R } _ { \chi } = \frac { 1 } { 2 } \, \chi ^ { 2 } \, \mu ^ { 2 } \, L ^ { 2 } = \chi ^ { 2 } \, \bar { \omega } _ { c } \, L \, .
\begin{array} { r l } { u _ { i , t h e o } } & { { } = \frac { \dot { \varepsilon } x _ { i } } { 2 } \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } x _ { i } < L _ { 1 } \mathrm { ~ , ~ } v _ { i , t h e o } = w _ { i , t h e o } = 0 } \\ { w _ { j , t h e o } } & { { } = - \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } \left( \dot { \varepsilon } z _ { j } , 2 U \right) \mathrm { ~ , ~ } u _ { j , t h e o } = v _ { j , t h e o } = 0 , } \end{array}
\sum _ { m = 1 } ^ { k } \frac { 1 } { m ! } \sum _ { \substack { L _ { 1 } , \dots , L _ { m } \geq 1 \, L _ { 1 } + \dots + L _ { m } = k } } F _ { L _ { 1 } , \dots , L _ { m } } ^ { ( m ) } ( q ) = \sum _ { m = 1 } ^ { k } \sum _ { \substack { L _ { 1 } , \dots , L _ { m } \geq 1 \, L _ { 1 } + \dots + L _ { m } = k } } \sum _ { 0 \leq n _ { 1 } < \dots < n _ { m } } q ^ { L _ { 1 } n _ { 1 } + \dots + L _ { m } n _ { m } } .
\Delta ^ { \pm } = 1 - \frac { \gamma } { \pi } \pm I _ { \pm } - \frac { 1 } { 2 } = \frac { 1 } { 2 R ^ { 2 } } \pm I _ { \pm } - \frac { 1 } { 2 } = \Delta _ { ( \pm 1 , 0 ) } \pm I _ { \pm } - \frac { 1 } { 2 } \, .
\begin{array} { r } { [ \nabla \ell _ { t } ( z ) ] _ { i _ { t } } = \frac { - y _ { t } } { 1 + \exp ( y _ { t } \, z _ { t } ) } \quad \mathrm { ; } \quad [ \nabla ^ { 2 } \ell ( z ) ] _ { i _ { t } , i _ { t } } , = \frac { 1 } { 1 + \exp ( y _ { t } z _ { t } ) } \, \frac { 1 } { 1 + \exp ( - y _ { t } z _ { t } ) } = ( 1 - p _ { t } ) \, p _ { t } \, , } \end{array}
A _ { P C } ( d \bar { d } ) \simeq - 3 . 7 \times 1 0 ^ { - 9 } \enspace \mathrm { G e V } ^ { - 1 } ~ , \qquad A _ { P V } ( d \bar { d } ) \simeq 9 . 5 \times 1 0 ^ { - 9 } \enspace \mathrm { G e V } ^ { - 1 } ~ .
V _ { D } = \frac { g ^ { 2 } } 2 \mathrm { R e } f _ { A B } ^ { - 1 } D ^ { A } D ^ { B } \; , \qquad D ^ { A } = K ^ { i } ( T ^ { A } ) _ { i } ^ { j } \phi _ { j } + \xi ^ { A } \; ,
\simeq 1 . 5 \times 1 0 ^ { 2 7 } \times \left( \frac { 1 0 0 } { N _ { s p } } \times \frac { 1 \; s e c } { \tau _ { _ { 1 / 2 } } } \right) ^ { 2 / 3 } \; e r g / s .
\begin{array} { r l } { \mathcal { B } _ { 1 } } & { { } = \sum _ { i \in \Omega _ { 1 } \backslash \{ 1 \} } \frac { 1 } { N } W ( s _ { i } \gets s _ { 1 } ) = \sum _ { i \in \Omega _ { 1 } \backslash \{ 1 \} } \frac { 1 } { N } \frac { \exp ( \pi _ { 1 } / \kappa ) } { \exp ( \tau + \pi _ { i } / \kappa ) + \sum _ { \ell \in \Omega _ { i } \backslash \{ i \} } \exp ( \pi _ { \ell } / \kappa ) } , } \\ { \mathcal { D } _ { 1 } } & { { } = \frac { 1 } { N } \sum _ { j \in \Omega _ { 1 } \backslash \{ 1 \} } W ( s _ { 1 } \gets s _ { j } ) = \frac { 1 } { N } \sum _ { j \in \Omega _ { 1 } \backslash \{ 1 \} } \frac { \exp ( \pi _ { j } / \kappa ) } { \exp ( \tau + \pi _ { 1 } / \kappa ) + \sum _ { \ell \in \Omega _ { 1 } \backslash \{ 1 \} } \exp ( \pi _ { \ell } / \kappa ) } . } \end{array}
\rho ( \boldsymbol { r } ) = \left\{ \begin{array} { l l } { e \left( c _ { \mathrm { + , i n } } - c _ { \mathrm { - , i n } } \right) } & { \textrm { f o r } r < R } \\ { e \left( c _ { \mathrm { + , o u t } } - c _ { \mathrm { - , o u t } } \right) } & { \textrm { f o r } r > R } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r l } { \mathbb E \big [ \| \widehat C _ { \mathbb H } ^ { m , t } - C _ { \mathbb H } ^ { t } \| _ { H S } ^ { 2 } \big ] } & { = \frac 1 m \left[ \mathbb E _ { 0 } ( t ) + 2 \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } \frac { d _ { j , t } q _ { j } } { 1 - q _ { j } } \left( 1 - \frac { 1 } m \cdot \frac { 1 - q _ { j } ^ { m } } { 1 - q _ { j } } \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left[ \left( \mu / T \right) F ^ { \prime \prime } \right] ^ { \prime } + F F ^ { \prime \prime } } & { = 0 , } \\ { \mathrm { P r } ^ { - 1 } \left[ ( \mu / T ) T ^ { \prime } \right] ^ { \prime } + F T ^ { \prime } + ( \gamma - 1 ) \mathrm { M } _ { \infty } ^ { 2 } ( \mu / T ) \left( F ^ { \prime \prime } \right) ^ { 2 } } & { = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } x _ { i } ( t ) } & { { } = \hat { x } ( \phi , h _ { G } , b ) , } \\ { \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } y _ { i } ( t ) } & { { } = \frac { \phi ( h _ { G } + 1 ) \hat { x } ( \phi , h _ { G } , b ) + 1 - \phi } { \phi h _ { G } + 2 - \phi } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \mathcal R } _ { \mathrm { i n } } } & { : = \Lambda _ { k / \rho , \eta } = \Lambda ( 0 , k / \rho ) \times \big [ 1 , w _ { \eta } ( k / \rho ) \big ) , \quad } & { { \mathcal R } _ { \mathrm { o u t } } : = \Lambda ( x _ { \mathrm { o u t } } , k M _ { \mathrm { o u t } } / \rho ) \times \big [ 1 , w _ { \eta } ( k M _ { \mathrm { o u t } } / \rho ) \big ) , } \\ { \Lambda _ { \mathrm { i n } } } & { : = \Lambda ( 0 , k / \rho ) , \qquad \qquad } & { \Lambda _ { \mathrm { o u t } } : = \Lambda ( x _ { \mathrm { o u t } } , ( k M _ { \mathrm { o u t } } / \rho ) ) , } \end{array}
\gamma _ { z z } = h _ { z z } , ~ ~ ~ ~ ~ \gamma _ { z \bar { z } } = { \frac { 1 } { 2 } } e ^ { - 2 t } + h _ { z \bar { z } } , ~ ~ ~ ~ ~ \gamma _ { \bar { z } \bar { z } } = h _ { \bar { z } \bar { z } } .
{ \mathsf { W } } = { \left[ \begin{array} { l l l } { w _ { 1 1 } } & { \cdots } & { w _ { 1 n } } \\ { \vdots } & { \ddots } & { \vdots } \\ { w _ { k 1 } } & { \cdots } & { w _ { k n } } \end{array} \right] } ,
\hat { \zeta } _ { m , l } = \hat { \zeta } _ { m , 0 } ( \cdot - l \tau _ { m } ^ { \prime \prime } ) \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \hat { \xi } _ { m , l } = \hat { \xi } _ { m , 0 } ( \cdot - l \tau _ { m } ^ { \prime \prime } ) \, ,
\begin{array} { r l } & { \imath _ { s } ( q _ { j k } [ n ] , \mathbf { y } _ { j k } ^ { t , { \mathsf { u } } } [ n ] ) } \\ & { \quad = - s \left| { \mathbf { y } _ { j k } ^ { t , { \mathsf { u } } } [ n ] - \! \widehat { g } _ { j k } ^ { j k } q _ { j k } [ n ] } \right| ^ { 2 } \! + \! \frac { s | \mathbf { y } _ { j k } ^ { t , { \mathsf { u } } } [ n ] | ^ { 2 } } { 1 \! + \! s \rho _ { j k } ^ { \mathsf { u } } | \widehat { g } _ { j k } ^ { j k } | ^ { 2 } } } \\ & { \quad \quad + \log ( 1 \! + \! s \rho _ { j k } ^ { \mathsf { u } } | \widehat { g } _ { j k } ^ { j k } | ^ { 2 } ) \ , } \end{array}
\operatorname { c h } _ { \operatorname { a d j } A } ( t ) = \sum _ { k = 0 } ^ { n } \left( { \textstyle \bigwedge } ^ { n } ( \operatorname { a d j } A ) ^ { k } \right) ( - t ) ^ { n - k } = \sum _ { k = 0 } ^ { n } ( \operatorname* { d e t } A ) ^ { k - 1 } \left( { \textstyle \bigwedge } ^ { n } A ^ { n - k } \right) ( - t ) ^ { n - k }
\begin{array} { r l } { \Big \| \prod _ { i = 1 } ^ { 5 } \widetilde { u } _ { i } \Big \| _ { N ^ { 1 } ( I ) } } & { \lesssim \sum _ { \{ i _ { 1 } , . . . i _ { 5 } \} = \{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 \} } \| u _ { i _ { 1 } } \| _ { X ^ { 1 } ( I ) } \cdot \prod _ { i _ { k } \neq i _ { 1 } } \| u _ { i _ { k } } \| _ { Z ^ { \prime } ( I ) } , } \\ { \Big \| \prod _ { i = 1 } ^ { 3 } \widetilde { u } _ { i } \Big \| _ { N ^ { 1 } ( I ) } } & { \lesssim | I | ^ { \frac { 1 } { 2 0 } } \sum _ { \{ i _ { 1 } , i _ { 2 } , i _ { 3 } \} = \{ 1 , 2 , 3 \} } \| u _ { i _ { 1 } } \| _ { X ^ { 1 } ( I ) } \cdot \prod _ { i _ { k } \neq i _ { 1 } } \| u _ { i _ { k } } \| _ { Z ^ { \prime } ( I ) } } \end{array}
\tau _ { D } ^ { 2 } = \frac { b _ { 1 1 2 } ^ { ( 1 ) } } { b _ { 1 1 1 } ^ { ( 1 ) } } \alpha _ { D } - \frac { \gamma _ { 1 } ^ { ( 1 ) , D } } { \gamma _ { 1 } ^ { ( 1 ) , 2 } } , \ \tau _ { D } ^ { D } = \frac { b _ { 1 1 D } ^ { ( 1 ) } } { b _ { 1 1 1 } ^ { ( 1 ) } } \alpha _ { D } + 1 , \ \alpha _ { D } = \frac { b _ { 1 1 D } ^ { ( 1 ) } } { b _ { 1 1 1 } ^ { ( 1 ) } } - \frac { \gamma _ { 1 } ^ { ( 1 ) , D } } { \gamma _ { 1 } ^ { ( 1 ) , 2 } } \frac { b _ { 1 1 2 } ^ { ( 1 ) } } { b _ { 1 1 1 } ^ { ( 1 ) } } \mathrm { ~ ~ ~ w ~ i ~ t ~ h ~ ~ ~ } \bar { c } _ { 1 } ^ { 2 } = 1
\begin{array} { r } { \Gamma _ { 1 , i , \mathrm { P } } ( \mathbf { x } , \mathbf { q } , z ) = \bigg ( \alpha _ { i } \frac { z } { \hbar } + \beta _ { i } \frac { z ^ { 2 } } { \hbar ^ { 2 } } \bigg ) e ^ { - \frac { | z | } { \hbar } | \mathbf { q } | } . } \end{array}
\mathcal { P } _ { \frac { 1 } { 2 } } = i \Gamma _ { 5 } \Gamma _ { 6 } , \qquad \mathcal { P } _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { \prime } = i \Gamma _ { 5 } \Gamma _ { 6 } \Gamma _ { 7 } .
\begin{array} { r } { H ^ { T } \hat { B } H = \left( \begin{array} { l l } { H _ { 1 } ^ { T } B _ { 1 } H _ { 1 } } & { H _ { 1 } ^ { T } B _ { 1 } H _ { 2 } } \\ { H _ { 2 } ^ { T } B _ { 1 } H _ { 1 } } & { H _ { 2 } ^ { T } B _ { 1 } H _ { 2 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l } { H _ { 1 } ^ { T } B _ { 1 } H _ { 1 } } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \| \Pi _ { C _ { f y } } \big [ \nabla _ { y } f ( x _ { t + 1 } , y _ { t + 1 } ) \big ] - h _ { t + 1 } \| ^ { 2 } } & { \leq ( 1 - \hat { \beta } _ { t + 1 } ) \mathbb { E } \| \Pi _ { C _ { f y } } \big [ \nabla _ { y } f ( x _ { t } , y _ { t } ) \big ] - h _ { t } \| ^ { 2 } + \hat { \beta } _ { t + 1 } ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } \\ & { \quad + 2 L _ { f } ^ { 2 } \eta _ { t } ^ { 2 } / \hat { \beta } _ { t + 1 } \big ( \mathbb { E } \| \tilde { x } _ { t + 1 } - x _ { t } \| ^ { 2 } + \mathbb { E } \| \tilde { y } _ { t + 1 } - y _ { t } \| ^ { 2 } \big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } S } { \mathrm { d } t } } & { = A - \beta S I - \mu _ { 1 } S , } \\ { \frac { \mathrm { d } E } { \mathrm { d } t } } & { = \beta S I - \beta e ^ { - \mu _ { 2 } \tau } ( S ( t - \tau ) I ( t - \tau ) - ( k _ { 1 } + k _ { 3 } + \mu _ { 2 } ) I , } \\ { \frac { \mathrm { d } I } { \mathrm { d } t } } & { = \beta e ^ { - \mu _ { 2 } \tau } ( S ( t - \tau ) I ( t - \tau ) - ( \alpha + \nu + k _ { 2 } + \mu _ { 3 } ) I , } \\ { \frac { \mathrm { d } Q } { \mathrm { d } t } } & { = k _ { 1 } E + k _ { 2 } I - ( \gamma + \mu _ { 4 } ) Q , } \\ { \frac { \mathrm { d } R } { \mathrm { d } t } } & { = \gamma Q + \nu I + k _ { 3 } E - \mu _ { 5 } R , } \end{array}
\begin{array} { r l } { P _ { c d } ^ { ( 2 ) } = } & { { } \frac { 1 } { 2 } \! - \! \frac { 1 } { 4 } \! \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \! \! \frac { d \varphi } { 2 \pi } \! \! \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \! \! \frac { d \varphi ^ { \prime } } { 2 \pi } \! \left\{ e ^ { - i \left[ \Phi _ { A } ( \varphi ) - \Phi _ { B } ( - \varphi ) + \Phi _ { B } ( \varphi ^ { \prime } ) - \Phi _ { A } ( - \varphi ^ { \prime } ) \right] } \right. } \\ { = } & { { } \frac { 1 } { 2 } \left[ 1 - \left( 1 - \frac { m \varphi _ { 0 } } { \pi } \right) ^ { 2 } \right] , } \end{array}
T = i \frac { G ^ { \prime } } { \sqrt { 2 } } < 0 | J _ { \mu } ^ { \prime } | X ( p _ { X } ) > \bar { u } ( p ^ { \prime } ) \Gamma _ { \mu } u ( p ) \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \sqrt { \frac { m m ^ { \prime } } { p _ { o } p _ { o } ^ { \prime } } }
\lambda _ { 0 } = \frac { m _ { t } ^ { 2 } - M _ { W ^ { \pm } } ^ { 2 } } { M _ { H ^ { \pm } } ^ { 2 } - m _ { t } ^ { 2 } } \approx \frac { ( 2 p _ { b } \cdot p _ { \ell } ) _ { \mathrm { m a x } } } { ( 2 p _ { \bar { b } } \cdot p _ { \ell } ) _ { \mathrm { m a x } } } .
\begin{array} { r l } { ( F _ { y } - F _ { x } ) ( \check { \eta } _ { x } ^ { \lambda } ) } & { = \sum _ { k \in \mathbb { Z } } \langle \check { \eta } _ { x } ^ { \lambda } , \varphi _ { k } ^ \rangle ( F _ { y } - F _ { x } ) ( \varphi _ { k } ^ ) } \\ & { \quad + \sum _ { n = 0 } ^ { N _ { \lambda } } \sum _ { k \in 2 ^ { - n } \mathbb { Z } } \sum _ { \psi \in \Psi } 2 ^ { - n d } \langle \check { \eta } _ { x } ^ { \lambda } , \psi _ { k } ^ { 2 ^ { - n } } \rangle ( F _ { y } - F _ { x } ) ( \psi _ { k } ^ { 2 ^ { - n } } ) } \\ & { \quad + \sum _ { n = N _ { \lambda } + 1 } ^ { + \infty } \sum _ { k \in 2 ^ { - n } \mathbb { Z } } \sum _ { \psi \in \Psi } 2 ^ { - n d } \langle \check { \eta } _ { x } ^ { \lambda } , \psi _ { k } ^ { 2 ^ { - n } } \rangle ( F _ { y } - F _ { x } ) ( \psi _ { k } ^ { 2 ^ { - n } } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \boldsymbol { \dot { Q } } _ { i } } & { { } = } & { \v V _ { i } } \\ { \boldsymbol { \dot { V } } _ { i } } & { { } = } & { - \frac { G m _ { 0 } } { Q _ { i } ^ { 3 } } \v Q _ { i } } \end{array}
\operatorname { V a r } _ { \tilde { \pi } ^ { ( k - 1 ) } } ( \widetilde { F } ^ { ( k - 1 ) } ) / \operatorname { V a r } _ { \tilde { \pi } ^ { ( k ) } } ( \widetilde { F } ^ { ( k - 1 ) } W _ { k } ) \to 1
{ \cal R } _ { \vec { k } } ( S U ( N ) ) = { \frac { 1 } { Z _ { 0 } } } \int d \beta \, \mathrm { e } ^ { - \sum _ { j } \beta _ { j } ^ { 2 } / 2 } \prod _ { i < j } ( \beta _ { i } - \beta _ { j } ) ^ { 2 } \sigma _ { \vec { k } } ( \beta ) ,
3 \cdot 4 0 2 8 6 3 7 ^ { 2 } = 3 ^ { 3 } \cdot 1 3 9 ^ { 2 } \cdot 9 6 6 1 ^ { 2 } = 4 8 6 8 9 7 4 8 2 3 3 3 0 7 .
\Phi ( z , \vec { x } , t ) \, = \, \sum _ { p = 1 } ^ { \infty } \, \int { \frac { d \vec { k } } { ( 2 \pi ) ^ { n - 1 } } } \, { \frac { z ^ { n / 2 } \, J _ { \nu } ( u _ { p } z ) } { R w _ { p } ( \vec { k } ) \, J _ { \nu \, + \, 1 } ( u _ { p } R ) } } \lbrace { { \bf a } _ { p } ( \vec { k } ) \ } e ^ { - i w _ { p } ( \vec { k } ) t + i \vec { k } \cdot \vec { x } } \, \, + \, \, c . c . \rbrace \, ,
G ^ { - 1 } ( x - y ) = - \frac { 1 } { \pi ^ { 2 } } \left( \frac { \Theta ( | x - y | - \Lambda ^ { - 1 } ) } { | x - y | ^ { 4 } } - \Lambda ^ { 3 } \delta ( | x - y | - \Lambda ^ { - 1 } ) \right) .
\begin{array} { r } { { \omega _ { R } ^ { \pm } } ^ { 2 } \approx \frac { g _ { 0 } S _ { 0 } ^ { \pm } } { \tau _ { p h } } - \frac { ( \frac { 1 } { \tau _ { r } } + g _ { 0 } S _ { 0 } ^ { \pm } ) ^ { 2 } } { 2 } - \frac { \beta } { \tau _ { r } } ( \Gamma g _ { 0 } n _ { 0 \mp } - \frac { 1 } { \tau _ { p h } } ) , } \end{array}
R ( \theta ) = \frac { \int _ { \theta } N ( \theta _ { 0 } ) d \theta _ { 0 } } { \int _ { \theta } N _ { o p e n s k y } ( \theta _ { 0 } ) d \theta _ { 0 } } = \frac { \int _ { E _ { m i n } ( \rho ) } \phi ( \theta _ { 0 } , E ) d E } { \int _ { E _ { 0 } } \phi ( \theta _ { 0 } , E ) d E }
[ A ^ { \mu } ( { \boldsymbol { x } } , t ) , A ^ { \nu } ( { \boldsymbol { x } } ^ { \prime } , t ) ] = [ \pi ^ { \mu } ( { \boldsymbol { x } } , t ) , \pi ^ { \mu } ( { \boldsymbol { x } } ^ { \prime } , t ) ] = 0 ,
\dot { \hat { d } } ^ { ( 2 ) } = ( \mathcal { I } - \hat { d } ^ { ( 2 ) } \hat { d } ^ { ( 2 ) } ) \cdot ( \Gamma _ { 2 } \mathbf { E } ( \mathbf { x } _ { 2 } ) + \mathbf { W } ( \mathbf { x } _ { 2 } ) ) \cdot \hat { d } ^ { ( 2 ) } ,
T = { \sqrt { p ^ { 2 } c ^ { 2 } + m _ { e } ^ { 2 } c ^ { 4 } } } - m _ { e } c ^ { 2 } = m _ { e } c ^ { 2 } \left[ { \sqrt { 1 + { \frac { p ^ { 2 } } { m _ { e } ^ { 2 } c ^ { 2 } } } } } - 1 \right]
\operatorname* { m a x } ( a , \operatorname* { m i n } ( b , c ) ) = \operatorname* { m i n } ( \operatorname* { m a x } ( a , b ) , \operatorname* { m a x } ( a , c ) ) \quad { \mathrm { ~ a n d ~ } } \quad \operatorname* { m i n } ( a , \operatorname* { m a x } ( b , c ) ) = \operatorname* { m a x } ( \operatorname* { m i n } ( a , b ) , \operatorname* { m i n } ( a , c ) ) .
\sum _ { p , q } \int \epsilon _ { a b } \mathbf { B } _ { a } ^ { \prime } [ p , q ] \hat { d } \mathbf { A } _ { b } ^ { \prime } [ p , q ] + \frac { ( - 1 ) ^ { q } N ^ { p + q + 1 } } { ( p + q + 1 ) ! } \frac { p ! q ! } { ( p + q ) ! } \int \epsilon _ { a b } \mathbf { A } _ { a } ^ { \prime } [ p , q ] \partial _ { z } ^ { p + q + 1 } \mathbf { A } _ { b } ^ { \prime } [ q , p ] .
\begin{array} { r l } { \overline { { \mathbf { f } } } } & { { } \approx k [ \alpha _ { y x } ( f _ { \omega } ) + \alpha _ { y x , z } ( f _ { \omega } ) \mathcal { E } _ { z } ] \mathcal { E } _ { y } \mathcal { E } _ { x } \cos ( 2 k Z _ { 0 } ) \hat { \mathbf { z } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { ( k / k _ { \mathrm { J } } ) ^ { 2 } = } & { { } 1 + w Z ( w ) , } \\ { w = } & { { } \frac { \pm i \gamma } { \sqrt { 8 \pi G \rho } \, ( k / k _ { \mathrm { J } } ) } , } \\ { Z ( w ) = } & { { } \frac { 1 } { \sqrt { \pi } } \int _ { - \infty } ^ { \infty } \mathrm { d } s \frac { e ^ { - s ^ { 2 } } } { s - w } . } \end{array}
A _ { [ \alpha \beta \gamma ] \delta \cdots } = { \frac { 1 } { 3 ! } } \left( A _ { \alpha \beta \gamma \delta \cdots } + A _ { \gamma \alpha \beta \delta \cdots } + A _ { \beta \gamma \alpha \delta \cdots } - A _ { \alpha \gamma \beta \delta \cdots } - A _ { \gamma \beta \alpha \delta \cdots } - A _ { \beta \alpha \gamma \delta \cdots } \right)
\small \begin{array} { r l } & { \operatorname* { m i n } _ { 1 \le t \le T } \mathbb { E } \left\| \nabla f ( \overline { { \mathbf { x } ^ { t } } } ) \right\| ^ { 2 } \leq \frac { 2 [ f ( \overline { { { \bf x } ^ { 1 } } } ) - f ^ { * } ] } { T ( \eta K - 3 2 \eta ^ { 3 } K ^ { 2 } L ^ { 2 } - 6 \eta ^ { 2 } K L ) } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \quad + \alpha ( K , \rho , \eta ) + { \bf \Phi } ( \lambda , m , Q ) \beta ( K , \rho , \eta ) , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \displaystyle { \emph { ( i . a ) } : \quad T _ { 0 } \ge 2 ^ { ( 1 - \rho ) J } \sqrt { \mathfrak { C _ { \mathrm { b i a s } } ^ { ( 1 ) } } } \varepsilon ^ { - 1 } } } & { \displaystyle { \emph { ( i . b ) } : 2 ^ { J } \ge \mathfrak { C _ { \mathrm { b i a s } } ^ { ( 2 , 1 ) } } \gamma _ { 0 } \varepsilon ^ { - 2 } \quad \textnormal { o r } \quad \displaystyle { ( i . b ) ^ { \prime } } : \quad 2 ^ { J } \ge \sqrt { \mathfrak { C _ { \mathrm { b i a s } } ^ { ( 2 , 2 ) } } } \gamma _ { 0 } \varepsilon ^ { - 1 } , } } \\ { \displaystyle { \emph { ( i i . a ) } : \quad { T _ { 0 } } \ge \mathfrak { C _ { \mathrm { v a r } } ^ { ( 2 ) } } \varepsilon ^ { - 2 } , } } & { \displaystyle { \emph { ( i i . b ) } : \quad T _ { 0 } \ge \mathfrak { C _ { \mathrm { v a r } } ^ { ( 1 ) } } ( \kappa , \delta ) { \gamma _ { 0 } ^ { 1 - \frac { 1 } { \kappa ( 1 - \delta ) } } \sum _ { j = 1 } ^ { J } 2 ^ { ( - \rho + \frac { 1 } { \kappa ( 1 - \delta ) } ) j } \varepsilon ^ { - 2 } . } } } \end{array} \right.
r U _ { \theta } = n ^ { 2 } \frac { r ^ { 2 } A _ { 1 } \sin \theta } { \sin ^ { 2 } ( r A _ { 1 } \cos \theta ) } + m n \left( - \frac { r ^ { 2 } A _ { 2 } \cos ( \theta + \theta _ { * } ) } { \sin ^ { 2 } [ r A _ { 2 } \sin ( \theta + \theta _ { * } ) ] } + \frac { r ^ { 2 } A _ { 2 } \cos ( \theta _ { * } - \theta ) } { \sin ^ { 2 } [ r A _ { 2 } \sin ( \theta _ { * } - \theta ) ] } \right) .
\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } { \frac { f ( n ) } { 1 / n } } = 0 \quad { \mathrm { a n d } } \quad \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } { \frac { f ( n ) } { 1 / n ^ { 1 + \varepsilon } } } = \infty
\begin{array} { r } { \left( \begin{array} { l } { \langle I \rangle _ { \mathrm { s c a } } } \\ { \langle V \rangle _ { \mathrm { s c a } } } \end{array} \right) = \frac { 1 6 \pi ( k r ) ^ { 2 } } { 3 \sin ^ { 4 } \theta } \left( \begin{array} { l l } { 1 + \cos ^ { 2 } \theta } & { - 2 p \cos \theta } \\ { - 2 p \cos \theta } & { 1 + \cos ^ { 2 } \theta } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { I _ { \mathrm { f a r } } ( r , \theta ) } \\ { V _ { \mathrm { f a r } } ( r , \theta ) } \end{array} \right) . } \end{array}
I _ { \mathrm { ~ t ~ o ~ t ~ } } = I _ { \mathrm { ~ a ~ t ~ o ~ m ~ } } + \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j \neq i } ^ { N } f _ { i } ^ { * } ( s ) f _ { j } ( s ) \frac { \sin { r _ { i j } s } } { r _ { i j } s } = I _ { \mathrm { ~ a ~ t ~ o ~ m ~ } } + I _ { \mathrm { ~ m ~ o ~ l ~ } } ,
\begin{array} { r l r } & { } & { \left[ \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } + \nu \frac { \partial } { \partial t } \right] E _ { \mathrm { l o c } } ( t ) = \kappa \rho ( t ) E _ { \mathrm { l o c } } ( t ) + } \\ & { } & { \frac { 3 \epsilon _ { h } } { 2 \epsilon _ { h } + \epsilon _ { i } } \left[ \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial t ^ { 2 } } + \nu \frac { \partial } { \partial t } \right] E _ { \mathrm { a v } } ( t ) , } \\ & { } & { \frac { \partial \rho ( t ) } { \partial t } = \Gamma ( E _ { \mathrm { l o c } } ( t ) ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { q ( 1 - \gamma ) - 1 + \frac { \beta } { 2 } - \frac { q \beta } { q + 1 } - 3 \delta } & { { } = ( q - 1 ) + \beta \biggl ( \frac 1 2 - \frac { q ^ { 2 } } { q + 1 } \biggr ) - \frac { 3 ( q - 1 ) ^ { 2 } } { 4 ( q + 1 ) ( 4 q - 1 ) } = \frac { ( 4 - 3 \beta ) ^ { 2 } } { 8 0 \beta - 6 4 } \geq 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathfrak l _ { k } ( v _ { 1 } , \ldots , v _ { k - 1 } , a v _ { k } ) } \\ & { = \mathfrak m _ { k } ( v _ { 1 } , \ldots , v _ { k - 1 } | a ) v _ { k } + ( - ) ^ { | a | \left( | v _ { 1 } | + \cdots + | v _ { k - 1 } | + 1 \right) } a \mathfrak l _ { k } ( v _ { 1 } , \ldots , v _ { k - 1 } , v _ { k } ) , } \end{array}
\hat { \hat { T } \, } _ { \hat { \hat { \mu } } \hat { \hat { \nu } } } { } ^ { \hat { \hat { \rho } } } = - \left( i _ { \hat { \hat { k } } _ { ( n ) } } \hat { \hat { C } \, } \right) _ { \hat { \hat { \mu } } \hat { \hat { \nu } } } Q ^ { n m } \hat { \hat { k } } _ { ( m ) } { } ^ { \hat { \hat { \rho } } } \, .
\rho = \sqrt [ \xi ] { \frac { b } { 2 a } \left( 1 \pm \sqrt { 1 - \frac { 4 a c } { b ^ { 2 } } } \right) } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \varphi = \frac { \left( 2 k + 1 \right) \pi } { \xi } .
\begin{array} { r } { \int _ { \bf \Pi _ { 0 } } ^ { \bf \Pi _ { 1 } } \left( \mathrm { ~ T ~ r ~ } ( \mathcal { A } _ { i } ) - \mathrm { ~ T ~ r ~ } ( \mathcal { A } _ { j } ) \right) = \int _ { \bf \Pi _ { 0 } } ^ { \bf \Pi _ { 1 } } \mathrm { ~ T ~ r ~ } ( g _ { i j } ^ { \dagger } ) d g _ { i j } = \left. \ln \operatorname* { d e t } g _ { i j } \right| _ { \bf \Pi _ { 0 } } ^ { \bf \Pi _ { 1 } } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left( \lambda _ { 4 } \right) ^ { 2 } + \left( \lambda _ { 5 } \right) ^ { 2 } + \left( \lambda _ { 6 } \right) ^ { 2 } + \left( \lambda _ { 7 } \right) ^ { 2 } = \sin ^ { 2 } \left( \theta _ { y } \right) } \end{array}
S ( | g _ { 0 } ^ { ( 1 ) } ; e _ { 0 } ^ { ( 2 ) } \rangle ) = 1 / \sqrt 2 ( | g _ { 0 } ^ { ( 1 ) } ; e _ { 0 } ^ { ( 2 ) } \rangle + | e _ { 0 } ^ { ( 1 ) } ; g _ { 0 } ^ { ( 2 ) } \rangle )
R _ { t } ^ { \mathrm { ( T M M ) } } ( \lambda , T ) = \left| \frac { \left( 1 - \frac { n _ { \mathrm { p l a t e } } ( \lambda , T ) } { n _ { 0 } } \right) \left( 1 + \frac { n _ { \mathrm { s } } } { n _ { \mathrm { p l a t e } } ( \lambda , T ) } \right) e ^ { - i k _ { z } t } + \left( 1 + \frac { n _ { \mathrm { p l a t e } } ( \lambda , T ) } { n _ { 0 } } \right) \left( 1 - \frac { n _ { \mathrm { s } } } { n _ { \mathrm { p l a t e } } ( \lambda , T ) } \right) e ^ { i k _ { z } t } } { \left( 1 + \frac { n _ { \mathrm { p l a t e } } ( \lambda , T ) } { n _ { 0 } } \right) \left( 1 + \frac { n _ { \mathrm { s } } } { n _ { \mathrm { p l a t e } } ( \lambda , T ) } \right) e ^ { - i k _ { z } t } + \left( 1 - \frac { n _ { \mathrm { p l a t e } } ( \lambda , T ) } { n _ { 0 } } \right) \left( 1 - \frac { n _ { \mathrm { s } } } { n _ { \mathrm { p l a t e } } ( \lambda , T ) } \right) e ^ { i k _ { z } t } } \right| ^ { 2 } ,
( b _ { 0 } , a _ { 0 } , b _ { 1 } , a _ { 1 } , \ldots , b _ { r } , a _ { r } , \overline { { b } } _ { r } , \ldots , a _ { 1 } , \overline { { b } } _ { 1 } , a _ { 0 } , \overline { { b } } _ { 0 } ) .
\sigma _ { \mathrm { ~ c ~ h ~ e ~ m ~ } } = 6 . 9 \times 1 0 ^ { - 5 } \, \frac { \alpha ^ { 3 5 / 8 } \, \beta ^ { 3 1 / 2 4 } } { \lambda ^ { 7 9 / 9 6 } \, \gamma ^ { 5 3 / 4 8 } }
\kappa _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } = \frac { \kappa } { Z } \int _ { 0 } ^ { Z } e ^ { i a k _ { 0 } R _ { x } \omega \sin ( \omega z ) } \mathrm { ~ d ~ } z = \kappa J _ { 0 } ( a k _ { 0 } R _ { x } \omega ) ,
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } & { \frac { \partial \mathcal L _ { 2 } ( \boldsymbol f , \boldsymbol g , \boldsymbol \lambda _ { 2 } , \lambda _ { 3 } ) } { \partial f _ { k } } } \\ { = } & { 2 \kappa y _ { 1 k } ( \mathcal D _ { k } , \mathcal S _ { k } ) g _ { k } - \frac { \lambda _ { 2 k } y _ { 1 k } ( \mathcal D _ { k } , \mathcal S _ { k } ) } { g _ { k } ^ { 2 } } + \lambda _ { 3 } } \end{array} } \end{array}