harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { X _ { 1 } = \sum _ { i , j , k , \ell ( d i s t ) } W _ { i j } W _ { j k } W _ { k \ell } W _ { \ell i } , \qquad X _ { 2 } = \sum _ { i , j , k , \ell ( d i s t ) } \widetilde { \Omega } _ { i j } W _ { j k } W _ { k \ell } W _ { \ell i } , } \\ & { X _ { 3 } = \sum _ { i , j , k , \ell ( d i s t ) } \widetilde { \Omega } _ { i j } \widetilde { \Omega } _ { j k } W _ { k \ell } W _ { \ell i } , \qquad \; X _ { 4 } = \sum _ { i , j , k , \ell ( d i s t ) } \widetilde { \Omega } _ { i j } W _ { j k } \widetilde { \Omega } _ { k \ell } W _ { \ell i } , } \\ & { X _ { 5 } = \sum _ { i , j , k , \ell ( d i s t ) } \widetilde { \Omega } _ { i j } \widetilde { \Omega } _ { j k } \widetilde { \Omega } _ { k \ell } W _ { \ell i } , \qquad \; \, X _ { 6 } = \sum _ { i , j , k , \ell ( d i s t ) } \widetilde { \Omega } _ { i j } \widetilde { \Omega } _ { j k } \widetilde { \Omega } _ { k \ell } \widetilde { \Omega } _ { \ell i } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { U _ { \tau } ^ { ' } } & { = \mathrm { M a t } _ { 0 } ( C _ { \tau } ^ { ' } \times _ { 1 } U _ { \tau _ { 1 } } ^ { ' } \times _ { 2 } U _ { \tau _ { 2 } } ^ { ' } ) ^ { T } } \\ { U _ { \tau } } & { = \mathrm { M a t } _ { 0 } ( C _ { \tau } \times _ { 1 } U _ { \tau _ { 1 } } \times _ { 2 } U _ { \tau _ { 2 } } ) ^ { T } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { { E } _ { \theta } } \left( \Delta \theta \right) } & { = \frac { { k } _ { \theta } } { 2 } { { \left( \Delta \theta \right) } ^ { 2 } } + { { V } _ { M o r s e } } \left( \Delta \theta \right) } \\ & { \approx \frac { { k } _ { \theta } } { 2 } { { \left( \Delta \theta \right) } ^ { 2 } } + \frac { { { C } _ { 4 } } } { 4 } { { \left( \Delta \theta \right) } ^ { 4 } } + \frac { { { C } _ { 6 } } } { 6 } { { \left( \Delta \theta \right) } ^ { 6 } } , } \end{array}
\langle q \rangle = \frac { \mu _ { 1 } } { 2 } \left( s i n ^ { 2 } \theta \frac { \varphi _ { 2 } ^ { 2 } + \varphi _ { 2 } ^ { 2 } } { r ^ { 2 } } + c o s ^ { 2 } \theta ( \varphi _ { 1 } ^ { \prime 2 } + \varphi _ { 2 } ^ { \prime 2 } ) \right)
\begin{array} { r l } { W _ { 2 } } & { = \frac { 1 } { ( \mathtt { N } _ { \alpha } - 2 ) ! } \int _ { 0 } ^ { 1 } \int _ { 0 } ^ { \tau } ( \Psi _ { 3 } ( \tau - t ) \Phi _ { 4 } \Psi _ { 5 } ) ^ { T } O p ^ { W } ( \mathfrak { q } _ { \omega , \mathtt { N } - 2 } \star \mathfrak { a } ) \Psi _ { 3 } ( \tau - t ) \Phi _ { 4 } \Psi _ { 5 } t ^ { \mathtt { N } _ { \alpha } - 2 } d t d \tau } \\ & { \ - \frac { 1 } { \mathtt { N } _ { \alpha } ! } \int _ { 0 } ^ { 1 } ( \Psi _ { 3 } ( 1 - t ) \Phi _ { 4 } \Psi _ { 5 } ) ^ { T } O p ^ { W } ( \mathfrak { q } _ { M _ { 2 } , \mathtt { N } _ { \alpha } } \star \mathfrak { a } ) \Psi _ { 3 } ( 1 - t ) \Phi _ { 4 } \Psi _ { 5 } t ^ { \mathtt { N } _ { \alpha } } d t . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { x _ { 1 } } & { = { \frac { b _ { 1 } } { \ell _ { 1 , 1 } } } , } \\ { x _ { 2 } } & { = { \frac { b _ { 2 } - \ell _ { 2 , 1 } x _ { 1 } } { \ell _ { 2 , 2 } } } , } \\ & { \ \ \vdots } \\ { x _ { m } } & { = { \frac { b _ { m } - \sum _ { i = 1 } ^ { m - 1 } \ell _ { m , i } x _ { i } } { \ell _ { m , m } } } . } \end{array} }
\begin{array} { l r c l } & { ( \mathbb { Z } ^ { n } ) ^ { + } } & { \longrightarrow } & { \mathrm { G L } _ { n } ( k [ \! [ u ] \! ] ) \backslash \mathrm { G L } _ { n } ( k ( \! ( u ) \! ) ) / \mathrm { G L } _ { n } ( k [ \! [ u ] \! ] ) } \\ & { \lambda = ( \lambda _ { 1 } , \dots , \lambda _ { n } ) } & { \longmapsto } & { u ^ { \lambda } = \mathrm { d i a g } ( u ^ { \lambda _ { 1 } } , \dots u ^ { \lambda _ { n } } ) } \end{array}
\nu \sim \left\{ \begin{array} { c c c } { { 0 . 4 6 } } & { { \mathrm { ~ f o r ~ } } } & { { N = 0 , } } \\ { { 0 . 5 0 } } & { { \mathrm { ~ f o r ~ } } } & { { N = 1 , } } \\ { { 0 . 4 5 } } & { { \mathrm { ~ f o r ~ } } } & { { N = 3 , } } \end{array} \right.
\begin{array} { r l } & { \| \chi P u ^ { \prime } \| _ { H ^ { - N - m } ( \mathbb { R } ) } + \| ( P - P _ { 0 } ) \chi u ^ { \prime } \| _ { H ^ { - N - m } ( \mathbb { R } ) } + \| [ P _ { 0 } , \chi ] u ^ { \prime } \| _ { H ^ { - N - m } ( \mathbb { R } ) } } \\ & { \qquad \leq C \Bigl ( \| \chi P u ^ { \prime } \| _ { H ^ { - N - m } ( \mathbb { R } ) } + \| \tilde { \chi } u ^ { \prime } \| _ { H ^ { - N , - \delta } ( \mathbb { R } ) } + \| \tilde { \chi } u ^ { \prime } \| _ { H ^ { - N - 1 , - N } ( \mathbb { R } ) } \Bigr ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } } & { { } = \mathcal { J } ( u , \hat { u } ) - \underbrace { \int _ { \Omega } v _ { i } ( x ) \left( \mathcal { D } u - Y u \right) _ { i } } _ { \equiv \mathrm { ~ I ~ } } - \underbrace { \int _ { \partial \Omega } p _ { i } ( x ) \left( \sigma _ { i j } n _ { j } + \sigma n _ { i } \right) } _ { \equiv \mathrm { ~ I ~ I ~ } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \varphi ( \Delta ) } & { = U ( 0 , 2 0 ) , } \\ { \varphi ( V ) } & { = U ( 0 , 4 ) , } \\ { \varphi ( U _ { f f } ) } & { = U ( 0 , 2 0 ) , } \\ { \varphi ( U _ { f c } ) } & { = U ( 0 , 2 0 ) , } \\ { \varphi ( \Gamma ) } & { = U ( 0 . 0 1 , 1 ) , } \\ { \varphi ( b ) } & { = U ( - 5 . 0 , 5 . 0 ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { s } & { { } = c _ { 1 } e ^ { \theta _ { 1 } ( \xi , \tau ) } + c _ { 2 } e ^ { \theta _ { 2 } ( \xi , \tau ) } + c _ { 3 } e ^ { \theta _ { 1 } ( \xi , \tau ) + \theta _ { 1 } ^ { * } ( \xi , \tau ) + \theta _ { 2 } ( \xi , \tau ) } } \end{array}
\frac { 1 } { 4 } \left[ R _ { m n } - \frac { 1 } { 2 } g _ { m n } R \right] = \frac { 1 } { 1 2 } \left[ F _ { m p q r } F _ { n } ^ { ~ ~ p q r } - \frac { 1 } { 8 } g _ { m n } F _ { p q r s } F ^ { p q r s } \right]
\begin{array} { r l } { H _ { f } = } & { { } \left( \begin{array} { c c } { H _ { \lambda } } & { 0 } \\ { 0 } & { H _ { \mu } } \end{array} \right) , } \\ { H _ { \lambda } = } & { { } \frac { I } { \tau _ { \lambda } } - \sigma _ { \lambda } ( T ^ { \top } T + \nu _ { \lambda } ^ { 2 } D ^ { \top } D ) , } \\ { H _ { \mu } = } & { { } \frac { I } { \tau _ { \mu } } - \sigma _ { \mu } ( P ^ { \top } P + \nu _ { \mu } ^ { 2 } D ^ { \top } D ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { 1 2 \pi \eta \alpha ^ { 2 } } { \lambda ^ { 2 } } \Delta \Tilde { G } ^ { L , \mathrm { c o r r } } ( \omega ) } & { = \frac { 4 \pi } { L ^ { 3 } } \sum _ { \vec { k } , \vec { k } \neq \vec { 0 } } \frac { \mathrm { e } ^ { - ( k ^ { 2 } + \lambda ^ { 2 } ) / ( 4 \epsilon ^ { 2 } ) } } { k ^ { 2 } + \lambda ^ { 2 } } } \\ & { + \sum _ { \vec { n } , \vec { n } \neq 0 } \frac { \mathrm { e } ^ { - \lambda n L } } { 2 n L } \left[ \mathrm { e r f c } \left( n L \epsilon - \frac { \lambda } { 2 \epsilon } \right) \right. } \\ & { \qquad \qquad + \left. \mathrm { e } ^ { 2 \lambda n L } \mathrm { e r f c } \left( n L \epsilon + \frac { \lambda } { 2 \epsilon } \right) \right] } \\ & { - \frac { 2 \epsilon \mathrm { e } ^ { - \lambda ^ { 2 } / ( 4 \epsilon ^ { 2 } ) } } { \sqrt { \pi } } + \lambda \mathrm { e r f c } \left( \frac { \lambda } { 2 \epsilon } \right) } \\ & { - \frac { 4 \pi } { L ^ { 3 } \lambda ^ { 2 } } ( 1 - \mathrm { e } ^ { - \lambda ^ { 2 } / ( 4 \epsilon ^ { 2 } ) } ) \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { a _ { i } = A _ { i 1 } r + A _ { i 2 } r ^ { 2 } + A _ { i 3 } r ^ { 3 } } \\ { b _ { i } = B _ { i 1 } r + B _ { i 2 } r ^ { 2 } + B _ { i 3 } r ^ { 3 } } \end{array}
{ \cal D } _ { \Gamma } ( w ) = \sqrt { \mathrm { B e r } \; \Omega _ { 0 } \vert _ { \Gamma } } \equiv \sqrt { \mathrm { B e r } \frac { \partial _ { r } z ^ { A } } { \partial w ^ { \mu } } \Omega _ { ( 0 ) A B } \frac { \partial _ { l } z ^ { B } } { \partial w ^ { \nu } } } ,
{ \underset { \delta } { \operatorname { a r g \, m i n } } } \operatorname { E } _ { \theta \in \Theta } [ R ( \theta , \delta ) ] = { \underset { \delta } { \operatorname { a r g \, m i n } } } \ \int _ { \theta \in \Theta } R ( \theta , \delta ) \, p ( \theta ) \, d \theta .
\mathscr { L } _ { p } ^ { { \boldsymbol { f } } , \eta _ { f } } ( f , \underline { { { \boldsymbol { g } } { \boldsymbol { h } } } } ) ( S _ { 1 } ) = \pm \mathbf { w } \cdot \Theta _ { p } ^ { \mathrm { B D } } ( f / K , \chi _ { t } ) ( W _ { 1 } ) \cdot \Theta _ { p } ^ { \mathrm { B D } } ( f / K , \beta ^ { 2 } ) ( 0 ) \cdot \frac { \eta _ { f ^ { \circ } } } { \eta _ { f ^ { \circ } , N ^ { - } } } ,
u _ { _ { L S } } ^ { 0 } = \frac { 1 } { 2 } \left( \! \begin{array} { c } { { \varphi _ { s } } } \\ { { - \varphi _ { s } } } \end{array} \! \right) , \quad u _ { _ { R S } } ^ { 0 } = \frac { 1 } { 2 } \left( \! \begin{array} { c } { { \varphi _ { s } } } \\ { { \varphi _ { s } } } \end{array} \! \right) .
\begin{array} { r l } { \bigl | \mathbb { E } } & { [ R ( s _ { 0 } , a , \boldsymbol { \pi } ^ { * } ) ] - \mathbb { E } [ \tilde { R } ( s _ { 0 } , a , J _ { 1 } ^ { * } ) ] \bigr | } \\ & { = \bigl | r ( x _ { 0 } , y _ { 0 } , a ) + \gamma \, \mathbb { E } [ ( H ^ { T - 1 } U ^ { * } ) ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) ] - \gamma ^ { T } \, \mathbb { E } [ U ^ { * } ( x _ { T } , y _ { T } ) ] - r ( x _ { 0 } , y _ { 0 } , a ) - \gamma \, \mathbb { E } [ ( \tilde { H } ^ { T - 1 } \mathbf { 0 } ) ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) ] \bigr | } \\ & { = \gamma \, \bigl | \mathbb { E } [ ( H ^ { T - 1 } U ^ { * } ) ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) ] - \mathbb { E } [ ( \tilde { H } ^ { T - 1 } 0 ) ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) ] - \gamma ^ { T - 1 } \mathbb { E } [ U ^ { * } ( x _ { T } , y _ { T } ) ] \bigr | } \\ & { \leq \begin{array} { r l } { [ t ] } & { \underbrace { \gamma \, \mathbb { E } \bigl | ( H ^ { T - 1 } U ^ { * } ) ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) - ( \tilde { H } ^ { T - 1 } U ^ { * } ) ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) \bigr | } _ { \mathrm { T e r m ~ A } } } \\ & { + \underbrace { \gamma \, \mathbb { E } \bigl | ( \tilde { H } ^ { T - 1 } U ^ { * } ) ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) - ( \tilde { H } ^ { T - 1 } 0 ) ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) - \gamma ^ { T - 1 } \, U ^ { * } ( x _ { T } , y _ { T } ) \bigr | } _ { \mathrm { T e r m ~ B } } , } \end{array} } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \vert \langle \Delta _ { X } s _ { X } , s _ { Z } \rangle _ { L ^ { 2 } ( \omega _ { \varepsilon } ) } \, \vert } & { \leq } & { C _ { 2 } \, \varepsilon ^ { 3 } \vert \vert \Delta _ { X } \sigma \vert \vert _ { L ^ { 2 } ( \omega ) } \, \vert \vert s _ { Z } \vert \vert _ { L ^ { 2 } ( \omega _ { \varepsilon } ) } , } \\ & { \leq } & { C _ { 3 } \, \varepsilon ^ { 3 } \vert \vert \sigma \vert \vert _ { L ^ { 2 } ( \omega ) } \, \vert \vert s _ { Z } \vert \vert _ { L ^ { 2 } ( \omega _ { \varepsilon } ) } , } \\ & { \leq } & { C _ { 4 } \, \varepsilon ^ { 3 } \vert \vert s _ { X } \vert \vert _ { L ^ { 2 } ( \omega _ { \varepsilon } ) } \, \vert \vert s _ { Z } \vert \vert _ { L ^ { 2 } ( \omega _ { \varepsilon } ) } , } \end{array}
A = 1 + { \frac { \partial \Sigma _ { R } ( M ) } { \partial M ^ { 2 } } } \; , \quad \quad \Gamma = { \frac { g ^ { 2 } \Phi _ { 0 } ^ { 2 } } { 8 \pi M } } \sqrt { 1 - { \frac { 4 M _ { \sigma } ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } } } \; , \quad \quad \alpha = - { \frac { \partial \Sigma _ { I } ( M ) } { \partial M ^ { 2 } } } \; . \nonumber
\begin{array} { r l } { \rho ^ { \xi } ( z ) } & { { } = \frac { 1 } { Z } \int \mathrm { d } \ensuremath { \mathbf { x } } \ e ^ { - \beta U ( \ensuremath { \mathbf { x } } ) } \ \delta [ \xi ( \ensuremath { \mathbf { x } } ) - z ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { G } _ { t , \sigma } ^ { ( A _ { 1 \ell } ) } } & { { } = \exp \left( \sum _ { p > k } [ \log \mathbf { U } _ { t } ^ { ( 1 \ell ) } ] _ { p k } ( \hat { E } _ { p k } ^ { \sigma } - \hat { E } _ { k p } ^ { \sigma } ) \right) , } \\ { \hat { G } _ { t , \tau } ^ { ( B _ { 1 \ell } ) } } & { { } = \exp \left( \sum _ { q > l } [ \log \mathbf { V } _ { t } ^ { ( 1 \ell ) } ] _ { q l } ( \hat { E } _ { q l } ^ { \tau } - \hat { E } _ { l q } ^ { \tau } ) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \left[ \begin{array} { l l l } { \theta _ { * } \nu \cos ^ { 2 } u + \theta _ { * } r \cos ^ { 2 } u \frac { \partial \nu } { \partial r } } & { \theta _ { * } r \cos ^ { 2 } u \frac { \partial \nu } { \partial u } } & { \theta _ { * } r \cos ^ { 2 } u \frac { \partial \nu } { \partial \gamma } } \\ { 0 } & { \gamma ( \frac { 1 } { \cos u } ) ^ { \prime } } & { \frac { 1 } { \cos u } } \\ { - \frac { \theta _ { * } } { 2 } \gamma \cos ^ { 2 } u \frac { \partial \nu } { \partial r } + \theta _ { * } ( r U _ { \theta } ) _ { r } \cos ^ { 4 } u } & { \bigstar } & { \frac { - 2 \sin u } { \cos ^ { 2 } u } } \end{array} \right] } \\ { = } & { \left[ \begin{array} { l l l } { - \theta _ { * } \nu _ { 0 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 0 } & { \theta _ { * } ^ { 2 } r U _ { \theta \theta } } & { \frac { 1 } { 2 } \theta _ { * } \nu _ { 0 } } \end{array} \right] } \end{array}
( D s ) _ { \beta \gamma } = \delta _ { \beta , \gamma } ( D s ) _ { \beta } , \quad ( D s ) _ { \beta } = - i g _ { s } \sum _ { \lambda \in \Delta _ { s } , \ \beta \cdot \lambda = 1 } z ^ { ( 1 / 2 ) } ( \lambda \cdot q ) .
\begin{array} { r l } { r _ { \emph { R m } } ( x , t ) : = } & { \operatorname* { s u p } \left\{ r > 0 \mid | R m | \le r ^ { - 2 } \quad \mathrm { o n } \quad P ( x , t ; r ) \right\} , } \\ { r _ { \emph { R m } } ^ { - } ( x , t ) : = } & { \operatorname* { s u p } \left\{ r > 0 \mid | R m | \le r ^ { - 2 } \quad \mathrm { o n } \quad P ^ { - } ( x , t ; r ) \right\} , } \\ { r _ { \emph { R m } } ^ { s } ( x , t ) : = } & { \operatorname* { s u p } \left\{ r > 0 \mid | R m | \le r ^ { - 2 } \quad \mathrm { o n } \quad B _ { t } ( x , r ) \right\} . } \end{array}
V _ { \pm } ( x ) = \left\{ \begin{array} { c l l } { { { \frac { 1 } { 2 } } ( \omega ^ { 2 } x ^ { 2 } \mp \omega ) } } & { { \mathrm { f o r } } } & { { x > 0 } } \\ { { \infty } } & { { \mathrm { f o r } } } & { { x < 0 } } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \mathbb { E } _ { \tau } [ \| \widehat { \mathbf x } ^ { ( t ) } - { \mathbf x } ^ { ( t ) } \| ^ { 2 } ] \leq \frac { 1 } { \operatorname* { m i n } \{ \hat { \rho } - \rho , \mu / 2 \} } \left( \frac { D M } { \sqrt { T } } + \frac { D M } { \sqrt { T } } \right) \leq \frac { \epsilon ^ { 2 } } { 2 } + \frac { \epsilon ^ { 2 } } { 2 } = \epsilon ^ { 2 } , } \end{array}
B ( 1 / 2 \uparrow ) = \tilde { B } ( { \bf 8 } , 1 / 2 \uparrow ) H _ { 0 } S ( { \bf 1 } ) + \sum _ { N = { \bf 8 _ { D } , 8 _ { F } , 1 0 } } a ( N ) \left[ \tilde { B } ( { \bf 8 } , 1 / 2 \uparrow ) H _ { 0 } \otimes S ( { \bf 8 } ) \right] _ { N }
\begin{array} { r l } { \ { l _ { n } } ( { r , \theta } ) } & { = \sqrt { { R ^ { 2 } } + { r ^ { 2 } } - 2 R r \cos \theta - 2 n { d _ { R } } r \sin \theta + { n ^ { 2 } } { d _ { R } } ^ { 2 } } , } \\ { \ { \tilde { b } _ { n } } ( r , \theta ) } & { = \frac { { \sqrt { { \beta _ { 0 } } } } } { { { l _ { n } } ( r , \theta ) } } { e ^ { - j \frac { { 2 \pi } } { \lambda } { l _ { n } } ( r , \theta ) } } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { \bf E } _ { \mathrm { { t o t } } } ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } } ( { \bf r } ) } & { { } = } & { { \bf E } _ { \mathrm { { s c a } } } ^ { \sigma \sigma ^ { \prime } } ( { \bf r } ) + { \bf E } _ { \mathrm { { i n c } } } ^ { \sigma } ( { \bf r } ) \delta _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } [ \varepsilon _ { k } ] } & { = \sum _ { k = 1 } ^ { K } \frac { \lambda ( 1 - \theta ) } { 2 } \| x ^ { k } - x ^ { k - \tau _ { k } } \| ^ { 2 } + \sum _ { k = 1 } ^ { K } ( \theta + 1 / 2 ) \lambda \mathbb { E } [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k - \tau _ { k } } \| ^ { 2 } ] } \\ & { \leq \lambda [ ( 1 - \theta ) ( \tau ^ { 2 } + 1 ) + ( \theta + 1 / 2 ) \tau ^ { 2 } ] \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \| ^ { 2 } ] } \\ & { = \lambda ( 3 \tau ^ { 2 } / 2 + \beta ) \sum _ { k = 1 } ^ { K } \mathbb { E } [ \| x ^ { k + 1 } - x ^ { k } \| ^ { 2 } ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { q _ { 1 } } & { { } = \alpha = D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 2 ^ { \prime } 2 } + D _ { 2 ^ { \prime } 2 3 3 ^ { \prime } } - D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 } - D _ { 2 ^ { \prime } 2 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 } , } \\ { q _ { 1 ^ { ' } } } & { { } = \beta = D _ { 2 ^ { \prime } 2 3 3 ^ { \prime } 3 3 ^ { \prime } } + D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 } - D _ { 2 ^ { \prime } 2 3 3 ^ { \prime } } - D _ { 3 3 ^ { \prime } 2 ^ { \prime } 2 3 3 ^ { \prime } } , } \end{array}
{ \frac { d D } { d t } } = { \frac { 2 D ^ { 1 / 2 } } { M { \sqrt { G M _ { S } } } } } N _ { S } = { \frac { 9 } { 2 } } k { \frac { { \sqrt { G } } \, M _ { S } ^ { 3 / 2 } \, A ^ { 5 } } { M D ^ { 1 1 / 2 } } } \sin ( 2 \alpha )
S _ { \mathrm { e f f } } = \int d ^ { 3 } x \frac { 1 } { 2 F } \mathrm { t r } \partial \phi \cdot \partial \phi + { N _ { C } } { 4 \pi } \int _ { B _ { 4 } } d ^ { 4 } x \mathrm { t r } \phi ( d \phi ) ^ { 4 }
B = \left( \begin{array} { l l l l l } { b _ { 0 , 0 } } & { b _ { 0 , 1 } } & { b _ { 0 , 2 } } & { b _ { 0 , 3 } } & { b _ { 0 , 4 } } \\ { b _ { 0 , 1 } } & { b _ { 0 , 4 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { b _ { 0 , 2 } } & { 0 } & { b _ { 0 , 3 } } & { 0 } & { 0 } \\ { b _ { 0 , 3 } } & { 0 } & { 0 } & { b _ { 0 , 2 } } & { 0 } \\ { b _ { 0 , 4 } } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { b _ { 0 1 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { \mathcal { P } _ { B , C } [ p ^ { \prime } ( a ) ] \stackrel { B } { \rightarrow } \mathcal { P } _ { B , C } [ p ^ { \prime } ( a ) | b ^ { \prime } ] = \sum _ { c \in C } \delta _ { p ^ { \prime } ( a ) , p ( a | b ^ { \prime } , c ) } \, p ( c | b ^ { \prime } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \check { b } ( x , \xi ) } & { = \frac { | v | } { 2 \pi h } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } e ^ { \frac { i } { h } \left( \frac { 1 } { 2 } q ( y , \xi ) - \frac { 1 } { 2 } q ( y , \eta + \xi ) + x \eta \right) } \tilde { b } ( y , \xi ) d y d \eta } \\ & { = \frac { | v | } { 2 \pi h } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } e ^ { \frac { i } { h } \left( \frac { 1 } { 2 } w \eta ^ { 2 } - w \eta \xi - v y \eta + x \eta \right) } \tilde { b } ( y , \xi ) d y d \eta } \\ & { = \frac { 1 } { 2 \pi h } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } e ^ { \frac { i } { 2 h } w \eta ^ { 2 } } e ^ { \frac { i } { h } ( x - y ) \eta } \tilde { b } ( v ^ { - 1 } ( y - w \xi ) , \xi ) d y d \eta \mathrm { ~ ( \mathrm { c h a n g e ~ o f ~ v a r i a b l e ~ } } v y + w \xi \mapsto y ) } \\ & { = e ^ { \frac { i h } { 2 } w D _ { x } ^ { 2 } } \tilde { b } ( v ^ { - 1 } ( x - w \xi ) , \xi ) } \end{array}
\frac { d } { d t } ( \sum _ { n } P _ { n } z _ { n } ^ { 2 } ) = - 2 c _ { 0 } \sum _ { n } P _ { n } z _ { n } - c _ { 1 } \sum _ { n } P _ { n } z _ { n } ^ { 2 } + \sum _ { n } \frac { \partial \beta _ { n } } { \partial \mu } z _ { n } ^ { 2 } + \sum _ { B } \frac { \partial \beta _ { B } } { \partial \mu } z _ { B } ^ { 2 } .
\begin{array} { r l } & { \int _ { { \cal { S } } } p _ { x _ { 1 } } ( y ^ { T } , x ^ { 2 : T } , \alpha ) d \mu ( \alpha ) } \\ & { = \int _ { { \cal { S } } } F ( \widetilde { \theta } x _ { T } + \alpha ) ^ { y _ { T } } [ 1 - F ( \widetilde { \theta } x _ { T } + \alpha ) ] ^ { 1 - y _ { T } } \psi _ { x _ { 1 } } ( x ^ { 2 : T } , y ^ { T - 1 } , \alpha ) d \mu ( \alpha ) } \\ & { = Q _ { x _ { 1 } } ( y ^ { T } , x ^ { 2 : T } ; \theta , \pi , G ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { \rho _ { \partial _ { x } ^ { \alpha } f } = \mathrm { K } _ { G } ^ { \mathrm { f r e e } } ( \mathrm { J } _ { \varepsilon } \partial _ { x } ^ { \alpha } \varrho ) + \mathrm { R } ^ { \alpha } [ \rho _ { f } ] , \ \ j _ { \partial _ { x } ^ { \alpha } f } = \mathrm { K } _ { 1 , G } ^ { \mathrm { f r e e } } ( \mathrm { J } _ { \varepsilon } \partial _ { x } ^ { \alpha } \varrho ) + \mathrm { R } ^ { \alpha } [ j _ { f } ] , } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { \frac { \mu ^ { 2 } \bar { P } } { 4 d ^ { 4 } } G \left( R _ { 1 } , \frac 1 2 \right) \leq \gamma \leq \frac { \mu ^ { 2 } \bar { P } } { 4 d ^ { 4 } } G \left( R _ { 2 } , \frac 1 2 \right) , } & { 0 < \rho < 1 } \\ { \gamma = \frac { \mu ^ { 2 } \bar { P } } { \pi ^ { 2 } d ^ { 4 } } \arctan ^ { 2 } \frac { \left( \frac { L _ { y } } { 2 r _ { q } } \right) \left( \frac { L _ { z } } { 2 r _ { q } } \right) } { \sqrt { \left( \frac { L _ { y } } { 2 r _ { q } } \right) ^ { 2 } + \left( \frac { L _ { z } } { 2 r _ { q } } \right) ^ { 2 } + 1 } } , } & { \rho = 1 } \end{array} \right. ,
\mathrm { ~ d ~ e ~ t ~ } ( \textbf { X } ^ { ' T } \textbf { X } ^ { ' } ) = \mathrm { ~ d ~ e ~ t ~ } ( \textbf { X } ^ { T } \textbf { X } ) \cdot \left[ 1 + d ( \textbf { x } ^ { * } ) \right] \: ,
\Delta \theta _ { q } \approx \sqrt \frac { 1 } { \frac { 2 } { 3 } \mathrm { L } _ { \mathrm { { Q } } } } \div \sqrt \frac { 1 } { \frac { 2 } { 5 } \mathrm { L } _ { \mathrm { { Q } } } } .
f ( \mathbf { h } , \mathbf { b } ) = \delta ( \mathbf { h } _ { \mathbf { v } } - g _ { R P M } ( \mathbf { h } _ { - \mathbf { v } } ) ) \delta ( \mathbf { h } _ { - \mathbf { v } } - g _ { B M } ( \mathbf { b } ) ) f ( \mathbf { b } )
m _ { H _ { u } } ^ { 2 } ( M _ { Z } ) = m _ { H _ { d } } ^ { 2 } ( M _ { Z } ) - \frac { 6 h _ { t } ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } m _ { \tilde { t } } ^ { 2 } \log \left( \frac { \Lambda _ { R G } } { M _ { Z } } \right) ^ { 2 } \, .
f _ { { \bf { k } } , { \bf { q } } } ( { \bf { x } } ) = e ^ { i { \bf { q . x } } } ( \frac { 1 } { 2 \mathrm { ~ } N \mathrm { ~ } \epsilon _ { { \bf { q } } } } ) \Lambda _ { { \bf { k } } } ( - { \bf { q } } ) \omega _ { { \bf { k } } } ( { \bf { q } } ) + i \mathrm { ~ } U _ { - { \bf { q } } } ( { \bf { x } } ) \Lambda _ { { \bf { k } } } ( - { \bf { q } } )
\sum ( - 1 ) ^ { \vert I \vert + \vert K \vert + \vert L \vert + \vert N \vert } { \binom { M } { I - K - L } } { \binom { N } { M } } \int _ { \Omega } D _ { I + J } \Biggl ( I _ { A B } D _ { M + K + L - I } I _ { C D }
\begin{array} { r l } { \lVert S ( u ) - S ( v ) \rVert _ { - \nu , 2 } } & { \lesssim \sum _ { j = 0 } ^ { 3 } \lVert \partial _ { t } ^ { j } P _ { \mathrm { n l } } ( u ) - \partial _ { t } ^ { j } P _ { \mathrm { n l } } ( v ) \rVert _ { - \nu , 2 } } \\ & { \lesssim \bigl ( \lVert u \rVert _ { - \nu , 2 } + \lVert v \rVert _ { - \nu , 2 } \bigr ) ^ { \alpha } \lVert u - v \rVert _ { - \nu , 2 } . } \end{array}
S \cdot { \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 0 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } \end{array} \right] } \equiv { \left[ \begin{array} { l l l l } { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \end{array} \right] } { \pmod { 2 } }
\begin{array} { r l } { \Big \{ \mathrm { c r i t } _ { K } ( m _ { r } ) < \mathrm { c r i t } _ { K } ( m _ { \ell } ) \Big \} } & { = \Big \{ | | Y - X \Hat { \beta } _ { m _ { r } } | | _ { 2 } ^ { 2 } + K \sigma ^ { 2 } r < | | Y - X \Hat { \beta } _ { m _ { \ell } } | | _ { 2 } ^ { 2 } + K \sigma ^ { 2 } \ell \Big \} } \\ & { = \Big \{ | | Y - X \Hat { \beta } _ { m _ { r } } | | _ { 2 } ^ { 2 } - | | Y - X \Hat { \beta } _ { m _ { \ell } } | | _ { 2 } ^ { 2 } < K \sigma ^ { 2 } ( \ell - r ) \Big \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \nabla f ( w _ { \theta } ) \| } & { \le \| \nabla f ( w ) \| + \| \nabla f ( w _ { \theta } ) - \nabla f ( w ) \| } \\ & { \le \| \nabla f ( w ) \| + \| w ^ { \prime } - w \| H ( \theta ) } \\ & { \le \| \nabla f ( w ) \| + \frac { 1 } { L _ { 1 } } \Big ( \big ( L _ { 0 } + L _ { 1 } \| \nabla f ( w ) \| \big ) \exp \big ( L _ { 1 } \| w ^ { \prime } - w \| \big ) - L _ { 0 } - L _ { 1 } \| \nabla f ( w ) \| \Big ) } \\ & { = \Big ( \frac { L _ { 0 } } { L _ { 1 } } + \| \nabla f ( w ) \| \Big ) \exp \big ( L _ { 1 } \| w ^ { \prime } - w \| \big ) - \frac { L _ { 0 } } { L _ { 1 } } } \end{array}
f = - \sqrt { 2 \pi } \left[ f _ { 0 } ( r ) \delta ( \omega ) \tilde { w _ { 1 } } ( k ) + \frac { 1 } { 2 } f _ { + } ( r ) \delta ( \omega - 2 \omega _ { 0 } ) \tilde { w _ { 2 } } ( k ) + \frac { 1 } { 2 } f _ { - } ( r ) \delta ( \omega + 2 \omega _ { 0 } ) \tilde { w _ { 2 } } ( k ) \right] .
L _ { 2 } ( P ) = \frac { g ^ { 2 } } { 2 } \int \frac { d ^ { 3 } k } { \left( 2 \pi \right) ^ { 3 } } \frac 1 { 2 E _ { 1 } 2 E _ { 2 } } \; D _ { 2 } ( P ^ { 0 } , E _ { 1 } , E _ { 2 } ) ,