harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } { \sum _ { j = 1 } ^ { t + 1 } s _ { j } \binom { \ell + j - 1 } { j - 1 } } & { = \sum _ { j = 1 } ^ { t } s _ { j } \binom { \ell + j - 1 } { j - 1 } + s _ { t + 1 } \binom { \ell + t } { t } \le \beta \binom { \ell + t } { t - 1 } + s _ { t + 1 } \binom { \ell + t } { t } } \\ & { \le \beta \left( \binom { \ell + t } { t - 1 } + \binom { \ell + t } { t } \right) = \beta \binom { \ell + t + 1 } { t } } \end{array}
\left[ \begin{array} { l l l l } { - 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - 2 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } \end{array} \right] = - 3 I + \left[ \begin{array} { l l l l } { 2 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 3 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 4 } \end{array} \right] = - 3 I + D
\begin{array} { r l } & { J _ { c } ( x _ { 0 } ^ { \prime } ) = \mathbb { E \, } \left( \sum _ { k = 0 } ^ { N } \ell _ { k } \left( x _ { k } ^ { \prime \prime } , \kappa \left( x _ { k } ^ { \prime } \right) \right) \right) , } \\ & { = \mathbb { E \, } _ { x _ { 0 } ^ { \prime \prime } } \mathbb { E \, } _ { W ^ { \prime } } \mathbb { E \, } _ { W ^ { \prime \prime } } \left( \sum _ { k = 0 } ^ { N } \ell _ { k } \left( x _ { k } ^ { \prime \prime } , \kappa \left( x _ { k } ^ { \prime } \right) \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \int _ { 0 } ^ { 1 } \mathbb { D } _ { u , k } ( \omega ) ( y ) \mathbb { D } _ { u , k } ^ { 1 } ( g ) ( y ) d y = \int _ { 0 } ^ { 1 } \omega ( y ) g ( y ) d y . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \sum _ { k , l , m } \tilde { W } _ { k l } \tilde { U } _ { l m } \tilde { U } _ { m k } \left( \frac { q _ { k } \log ( q _ { k } / q _ { m } ) } { q _ { k } - q _ { m } } + \frac { q _ { l } \log ( q _ { l } / q _ { m } ) } { q _ { l } - q _ { m } } \right) } \\ & { - \sum _ { k , l , m } \tilde { W } _ { k l } \tilde { U } _ { l m } \tilde { U } _ { m k } \frac { ( q _ { k } ( q _ { l } + q _ { m } ) + q _ { l } ( q _ { k } + q _ { m } ) ) ( q _ { m } \log ( q _ { k } / q _ { l } ) + q _ { l } \log ( q _ { m } / q _ { k } ) + q _ { k } \log ( q _ { l } / q _ { m } ) ) } { ( q _ { k } - q _ { l } ) ( q _ { l } - q _ { m } ) ( q _ { k } - q _ { m } ) } } \\ & { = \sum _ { k , l , m } \tilde { W } _ { k l } \tilde { U } _ { l m } \tilde { U } _ { m k } \frac { q _ { k } + q _ { l } } { q _ { k } - q _ { l } } \left( \frac { ( q _ { k } + q _ { m } ) ( q _ { l } - q _ { m } ) \log ( q _ { k } / q _ { m } ) - ( q _ { l } + q _ { m } ) ( q _ { k } - q _ { m } ) \log ( q _ { l } / q _ { m } ) } { ( q _ { l } - q _ { m } ) ( q _ { k } - q _ { m } ) } \right) } \\ & { = \sum _ { k , l , m } \tilde { W } _ { k l } \tilde { U } _ { l m } \tilde { U } _ { m k } \frac { q _ { k } + q _ { l } } { q _ { k } - q _ { l } } \left( \frac { q _ { k } + q _ { m } } { q _ { k } - q _ { m } } \log ( q _ { k } / q _ { m } ) - \frac { q _ { l } + q _ { m } } { q _ { l } - q _ { m } } \log ( q _ { l } / q _ { m } ) \right) } \\ & { = \sum _ { k , l , m } \tilde { W } _ { k l } \tilde { U } _ { l m } \tilde { U } _ { m k } T ( q _ { k } , q _ { l } , q _ { m } ) , } \end{array}
\begin{array} { r } { R _ { M } = 7 2 0 \frac { \Gamma ( \gamma _ { j _ { 1 } } + \gamma _ { j _ { 2 } } - 2 ) } { \Gamma ( \gamma _ { j _ { 2 } } - \gamma _ { j _ { 1 } } + 3 ) \Gamma ( \gamma _ { j _ { 1 } } + \gamma _ { j _ { 2 } } + 3 ) \Gamma ( \gamma _ { j _ { 1 } } - \gamma _ { j _ { 2 } } + 3 ) } \, , } \end{array}
\begin{array} { c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c } { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { 1 } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { 1 } } & { { } } & { { 1 } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { 1 } } & { { } } & { { 2 } } & { { } } & { { 1 } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { 1 } } & { { } } & { { 3 } } & { { } } & { { 3 } } & { { } } & { { 1 } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { 1 } } & { { } } & { { 4 } } & { { } } & { { 6 } } & { { } } & { { 4 } } & { { } } & { { 1 } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { 1 } } & { { } } & { { 5 } } & { { } } & { { 1 0 } } & { { } } & { { 1 0 } } & { { } } & { { 5 } } & { { } } & { { 1 } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { 1 } } & { { } } & { { { \bf 6 } } } & { { } } & { { 1 5 } } & { { } } & { { 2 0 } } & { { } } & { { 1 5 } } & { { } } & { { 6 } } & { { } } & { { 1 } } & { { } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { } } & { { 1 } } & { { } } & { { 7 } } & { { } } & { { 2 1 } } & { { } } & { { 3 5 } } & { { } } & { { 3 5 } } & { { } } & { { 2 1 } } & { { } } & { { 7 } } & { { } } & { { 1 } } & { { } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { } } & { { 1 } } & { { } } & { { { \bf 8 } } } & { { } } & { { { \bf 2 8 } } } & { { } } & { { 5 6 } } & { { } } & { { 7 0 } } & { { } } & { { 5 6 } } & { { } } & { { 2 8 } } & { { } } & { { 8 } } & { { } } & { { 1 } } & { { } } & { { } } \\ { { } } & { { 1 } } & { { } } & { { 9 } } & { { } } & { { 3 6 } } & { { } } & { { 8 4 } } & { { } } & { { 1 2 6 } } & { { } } & { { 1 2 6 } } & { { } } & { { 8 4 } } & { { } } & { { 3 6 } } & { { } } & { { 9 } } & { { } } & { { 1 } } & { { } } \\ { { 1 } } & { { } } & { { { \bf 1 0 } } } & { { } } & { { { \bf 4 5 } } } & { { } } & { { { \bf 1 2 0 } } } & { { } } & { { 2 1 0 } } & { { } } & { { 2 5 2 } } & { { } } & { { 2 1 0 } } & { { } } & { { 1 2 0 } } & { { } } & { { 4 5 } } & { { } } & { { 1 0 } } & { { } } & { { 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } \ b \ \mathrm { ~ s . t . ~ } } & { \ x _ { i } ^ { 2 } = y _ { i } ^ { 2 } = z _ { i } ^ { 2 } = 1 , \quad [ x _ { i } , y _ { j } ] = [ y _ { i } , z _ { j } ] = [ z _ { i } , x _ { j } ] = 0 \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } i , j , } \\ & { \ \varsigma \big ( w _ { 1 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) w _ { 2 } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) \big ) = \varsigma \big ( w _ { 1 } ( x _ { 1 } , x _ { 2 } ) \big ) \varsigma \big ( w _ { 2 } ( z _ { 1 } , z _ { 2 } ) \big ) \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } w _ { 1 } , w _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \frac 1 D \mathbb E \left[ | \! | \boldsymbol { y } - X \hat { \boldsymbol { \beta } } | \! | _ { 2 } ^ { 2 } \mid \mathcal X \right] } & { \leq } & { \overline { { \sigma } } ^ { 2 } + \operatorname* { m i n } _ { \alpha \in \mathbb R ^ { M L } } \left( \frac 1 D | \! | X ( \boldsymbol { \beta } - \boldsymbol { \alpha } ) | \! | _ { 2 } ^ { 2 } + 2 \lambda \mathcal N ( \boldsymbol { \alpha } ) \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { C ( 0 ) } & { { } = \frac { 1 } { N _ { s } - \tau - 1 } X X ^ { \intercal } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } \\ { C ( \tau ) } & { { } = \frac { 1 } { N _ { s } - \tau - 1 } X Y ^ { \intercal } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { \mathrm { e f f } } = } & { { } \hbar \sum _ { n = 1 } ^ { N } \sum _ { \alpha = \pm } \left( \omega _ { A } - i \frac { \gamma _ { 0 } } { 2 } \right) \left| \alpha _ { n } \right\rangle \left\langle \alpha _ { n } \right| } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { f _ { \pi } ( \tilde { w } \gg 1 ) } & { { } = - \frac { 4 } { 9 \pi \tilde { w } } + O ( \tilde { w } ^ { - 2 } ) , } & { \mathcal { E } ( \tilde { w } \gg 1 ) } & { { } = 1 - \frac { 2 } { 3 \pi \tilde { w } } + O ( \tilde { w } ^ { - 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { c } { 2 } \leqslant \langle ( \nabla \varphi _ { x } ( y ) ) ^ { \top } X ( y ) , N _ { x , p } \rangle \leqslant 2 \quad \forall y \in U _ { x } , \, \, \, p \in \varphi _ { x } ( U _ { x } \cap \partial \varOmega ) = \varphi _ { x } ( U _ { x } ) \cap \partial K _ { x } , } \\ { \mathrm { ~ p ~ i s ~ a ~ s m o o t h ~ p o i n t } . } \end{array}
{ \cal W } _ { M L } ( { \cal A } _ { P } ) = \exp \left( - i \frac { N - 1 } { 2 N } g ^ { 2 } { \cal A } _ { P } \right) ~ \frac { 1 } { N } \oint \frac { d z } { 2 \pi i } ~ \exp \big ( - i g ^ { 2 } { \cal A } _ { P } z \big ) \bigg ( \frac { z + 1 } { z } \bigg ) ^ { N } .
H = \omega _ { 1 } a _ { 1 } ^ { \dagger } a _ { 1 } + \omega _ { 2 } a _ { 2 } ^ { \dagger } a _ { 2 } + g a _ { 1 } ^ { \dagger } a _ { 2 } + g ^ { * } a _ { 2 } ^ { \dagger } a _ { 1 }
| p _ { ( a _ { 1 } , \cdots , a _ { k } ) } | ^ { 2 } - | p _ { ( a _ { 1 } , \cdots , a _ { k } , a _ { k + 1 } ) } | ^ { 2 } - | p _ { ( a _ { 1 } , \cdots , a _ { k } , a _ { k + 2 } ) } | ^ { 2 } + | p _ { ( a _ { 1 } , \cdots , a _ { k } , a _ { k + 1 } , a _ { k + 2 } ) } | ^ { 2 } = 0 .
F _ { A } ( x , Q ^ { 2 } ) = c _ { q , A } \left( x , \frac { Q ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } \right) \otimes f _ { q } \left( x , \frac { \mu ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } \right) + c _ { g , A } \left( x , \frac { Q ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } \right) \otimes f _ { g } \left( x , \frac { \mu ^ { 2 } } { M ^ { 2 } } \right) ~ .
\dot { y } = U _ { s } ^ { ( 2 ) } \sin ( \phi _ { 2 } ) - U _ { s } ^ { ( 1 ) } \sin ( \phi _ { 1 } ) - \frac { 3 y \left( \mathbf { x } \cdot \mathbf { S } ^ { ( 1 ) } \cdot \mathbf { x } + \mathbf { x } \cdot \mathbf { S } ^ { ( 2 ) } \cdot \mathbf { x } \right) } { 8 \pi \mu ( x ^ { 2 } + y ^ { 2 } ) ^ { 5 / 2 } } .
\begin{array} { r l } { ( \overline { { \partial } } \theta ^ { m } , \widehat { \theta ^ { m } } ) + \mu ( \nabla \widehat { \theta ^ { m } } , \nabla \widehat { \theta ^ { m } } ) } & { = \frac { 1 } { \mu } ( \overline { { \partial } } u _ { H } ^ { m } - u _ { t } ( \widetilde { t } ^ { m - \frac { 1 } { 2 } } ) , \widehat { \theta ^ { m } } ) - ( w _ { I } ^ { m } + w _ { I I } ^ { m } + \mu w _ { I I I } ^ { m } , \widehat { \theta ^ { m } } ) , } \\ & { = \frac { 1 } { \mu } ( \overline { { \partial } } u _ { H } ^ { m } - u _ { t } ( \widetilde { t } ^ { m - \frac { 1 } { 2 } } ) , \widehat { \theta ^ { m } } ) - ( w _ { T } ^ { m } , \widehat { \theta ^ { m } } ) , } \end{array}
\epsilon = ( \epsilon _ { \mathrm { C B } } - \epsilon _ { \mathrm { A u } } ) \frac { S _ { \mathrm { s a m p l e } } - S _ { \mathrm { b g } } } { S _ { \mathrm { r e f } } - S _ { \mathrm { b g } } } + \epsilon _ { \mathrm { A u } } .
\begin{array} { r l } { P _ { v o l } \cdot V _ { s t a b } } & { { } = n _ { f e e } \cdot R _ { p o o l } \cdot T _ { l i q } } \\ { \Rightarrow P _ { v o l } \cdot \textsc { s t d ( Z ) } ^ { - 1 } } & { { } = f e e T i e r ^ { - 1 } \cdot R _ { p o o l } \cdot T _ { l i q } , } \end{array}
r _ { c _ { 1 } } = \frac { \left[ ( a _ { 2 } \mathrm { c o s } \, \varphi ) ^ { 2 } + ( a _ { 1 } \mathrm { s i n } \, \varphi ) ^ { 2 } \right] ^ { 3 / 2 } } { a _ { 1 } a _ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { \xi } & { \in H ^ { 0 } \bigg ( Y , - \frac { 5 } { 2 } K _ { Y } + \frac { 1 } { 2 } E \bigg ) , } \\ { v } & { \in H ^ { 0 } \bigg ( Y , - \frac { 7 } { 2 } K _ { Y } + \frac { 1 } { 2 } E \bigg ) , } \\ { w } & { \in H ^ { 0 } \bigg ( Y , - \frac { 9 } { 2 } K _ { Y } + \frac { 1 } { 2 } E \bigg ) , } \\ { y } & { \in H ^ { 0 } ( Y , - K _ { Y } ) , } \\ { z } & { \in H ^ { 0 } \bigg ( Y , - \frac { 3 } { 2 } K _ { Y } - \frac { 1 } { 2 } E \bigg ) , } \\ { x } & { \in H ^ { 0 } ( Y , - K _ { Y } - E ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { x ^ { \prime } } & { { } \! \! \! = } & { \! \! \! a _ { 0 } + a _ { 1 } x + b _ { 1 } y + c _ { 1 } \xi + d _ { 1 } \eta + a _ { 2 } x ^ { 2 } + b _ { 2 } y ^ { 2 } + e _ { 2 } x y + c _ { 2 } \xi ^ { 2 } + d _ { 2 } \eta ^ { 2 } } \end{array}
D _ { 1 3 } ^ { m k } = \epsilon ^ { m r s } [ ( \Delta _ { 1 3 } ^ { r } F _ { V } ^ { ( 1 ) } + q ^ { 0 } \Sigma _ { 1 3 } ^ { r } + \phi _ { 1 3 } ^ { + } q ^ { r } F _ { V } ^ { ( 2 ) } ) \delta ^ { s k } - q ^ { r } ( \Pi _ { 3 } ^ { s } \Pi _ { 1 } ^ { k } + \Pi _ { 1 } ^ { s } \Pi _ { 3 } ^ { k } ) F _ { V } ^ { ( 2 ) } ] ~ ,
\begin{array} { l l } { { c _ { 1 } = { \frac { 5 } { 7 2 } } ( 2 e _ { s } f \phi + e _ { u } ) , } } & { { c _ { 2 } = { \frac { 1 } { 7 2 } } ( 2 0 e _ { s } f + 6 e _ { s } + 6 e _ { u } f + 7 e _ { u } ) , } } \\ { { c _ { 3 } = { \frac { 1 } { 2 8 8 } } ( 2 e _ { s } f \phi + e _ { u } ) ( 2 \kappa - 1 1 \xi ) , } } & { { c _ { 4 } = { \frac { - 1 } { 1 2 } } ( e _ { s } f + e _ { u } f + e _ { s } ) , } } \\ { { c _ { 5 } = { \frac { - 1 1 } { 1 7 2 8 } } ( 2 e _ { s } f \phi + e _ { u } ) , } } & { { c _ { 6 } = { \frac { 1 } { 1 2 } } f ( e _ { s } f \phi + e _ { s } \phi + e _ { u } ) , } } \\ { { c _ { 7 } = { \frac { 5 } { 1 7 2 8 } } ( e _ { s } f + e _ { u } f + e _ { s } ) , } } & { { c _ { 8 } = { \frac { - 1 } { 3 6 } } f ( e _ { s } f + 7 e _ { s } + 3 e _ { u } f + e _ { u } ) \kappa _ { v } , } } \\ { { c _ { 9 } = { \frac { 1 } { 4 3 2 } } f ( e _ { s } f \phi + e _ { s } \phi + e _ { u } ) ( 1 2 \kappa + 7 \xi ) . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widetilde { h } ( \xi _ { i } , \xi _ { j } ) } & { = - \{ \rho _ { n } { g } ( \xi _ { i } ) { g } ( \xi _ { j } ) \log ( { \rho } _ { n } { g } ( \xi _ { i } ) { g } ( \xi _ { j } ) ) ] + [ ( 1 - { \rho } _ { n } { g } ( \xi _ { i } ) { g } ( \xi _ { j } ) ) \log ( 1 - { \rho } _ { n } { g } ( \xi _ { i } ) { g } ( \xi _ { j } ) ) ] \} . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial E _ { \textrm { T } } } { \partial R _ { N , p } ^ { \vec { L } } } = } & { { } \phantom { - } ~ \sum _ { \mu \nu } \sum _ { \vec { L } ^ { \prime } } \frac { \partial T _ { \mu \nu } ^ { \vec { L } ^ { \prime } } } { \partial R _ { N , p } ^ { \vec { L } } } \left[ \Re ( D _ { \nu \mu } ^ { \alpha \alpha , \vec { L } ^ { \prime } } ) + \Re ( D _ { \nu \mu } ^ { \beta \beta , \vec { L } ^ { \prime } } ) \right] } \end{array}
\bar { n } _ { \mathrm { ~ c ~ } } ( \ensuremath { \mathbf { r } } , \ensuremath { \mathbf { r } } ^ { \prime } ) = \bar { n } _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } ( \ensuremath { \mathbf { r } } , \ensuremath { \mathbf { r } } ^ { \prime } ) - n _ { \mathrm { ~ x ~ } } ( \ensuremath { \mathbf { r } } , \ensuremath { \mathbf { r } } ^ { \prime } )
\chi = - 2 m _ { 0 } \mu \bigg ( 1 - \frac { \Lambda ^ { 2 } } { y \mu ^ { 2 } } \mathrm { e } ^ { - \mu ^ { 2 } / \Lambda ^ { 2 } } \bigg ) \quad \longrightarrow \quad \chi = \frac { m _ { 0 } \mu } { G _ { 1 } F _ { 0 } ^ { 2 } } \, ,
\begin{array} { r c l } { { \Delta _ { \Lambda _ { 0 } + \rho , 2 \Lambda _ { 0 } + \rho } ^ { ( 3 1 , 3 2 ) } = } } & { { \! \! \! 0 \! \! \! } } & { { = \Delta _ { 1 , 1 } ^ { ( 3 , 4 ) } } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \Delta _ { \Lambda _ { 0 } + \rho , \Lambda _ { 1 } + \rho } ^ { ( 3 1 , 3 2 ) } = } } & { { \displaystyle \! \! \! \frac { 1 } { 1 6 } \! \! \! } } & { { = \Delta _ { 1 , 2 } ^ { ( 3 , 4 ) } } } \\ { { } } & { { } } & { { } } \\ { { \Delta _ { \Lambda _ { 0 } + \rho , \Lambda _ { 7 } + \rho } ^ { ( 3 1 , 3 2 ) } = } } & { { \displaystyle \! \! \! \frac { 1 } { 2 } \! \! \! } } & { { = \Delta _ { 2 , 1 } ^ { ( 3 , 4 ) } . } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } ( X \cdot X ) } & { { } = \mathrm { d } ( \Delta ^ { I } ( \mathbb { I } - \Delta ^ { I } ) ) , } \\ { X \cdot \mathrm { d } X + \mathrm { d } X \cdot X } & { { } = \mathrm { d } ( \Delta ^ { I } ( \mathbb { I } - \Delta ^ { I } ) ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { m _ { 1 1 } = \frac { 1 } { 4 } \pi \rho a ^ { 2 } \; \; \; \; \; \; \& \; \; \; \; \; \; m _ { 2 2 } = \frac { 1 } { 4 } \pi \rho c ^ { 2 } ( r ) } \end{array}
{ \frac { n } { 2 n - 1 } } = { \frac { 2 } { 3 } } , \, { \frac { 3 } { 5 } } , \, { \frac { 4 } { 7 } } , \, { \frac { 5 } { 9 } } , \, { \frac { 6 } { 1 1 } } , \cdots
\tilde { \varepsilon } ^ { ( 2 ) } = \frac { \lambda } { 8 } \left[ \widetilde { \Delta } _ { F } ( 0 ) \right] ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } \, M ^ { 2 } \, \widetilde { \Delta } _ { F } ( 0 ) ,
\begin{array} { r } { \vert \underline { H } _ { \mathbf \nu ^ { \prime } } ( 0 , H _ { 0 } , \phi _ { 0 } , x _ { 0 } ) \vert \le \widetilde C _ { \mathbf \nu ^ { \prime } } , \quad \vert \underline { \phi } _ { \mathbf \nu ^ { \prime } } ( 0 , H _ { 0 } , \phi _ { 0 } , x _ { 0 } ) \vert \vert x _ { 0 } \vert ^ { 1 + \nu _ { 1 } + \nu _ { 4 } + \delta _ { i , 1 } + \delta _ { i , 4 } } \le \widetilde C _ { \mathbf \nu ^ { \prime } } , } \end{array}
\theta _ { i } ( r , \psi ) = \arctan \left( \frac { \lambda k _ { i } r \sin ( \psi ) + \rho _ { i } \sin ( \varphi _ { i } ) } { \lambda k _ { i } r \cos ( \psi ) + \rho _ { i } \cos ( \varphi _ { i } ) } \right) .
\Psi _ { k } = e ^ { \pi i v _ { 3 } } \left( \widetilde { \gamma } _ { \sigma , 3 } ^ { \prime } \Psi \widetilde { \gamma } _ { \sigma , 7 } ^ { - 1 } \right) _ { k } , \quad \quad \bar { \Psi } ^ { k } = e ^ { \pi i v _ { 3 } } \left( \widetilde { \gamma } _ { \sigma , 7 } \bar { \Psi } \widetilde { \gamma } _ { \sigma , 3 } ^ { ' - 1 } \right) ^ { k }
\frac { d x _ { i } } { d t } = \frac { 1 } { k _ { i } } \sum _ { j \neq i } w _ { i j } \, \phi \big ( | x _ { i } - x _ { j } | \big ) \, ( x _ { j } - x _ { i } ) , \quad \quad i = 1 , \dots , N \, ,
{ \boldsymbol { E } } ( { \boldsymbol { x } } ) = { \frac { 1 } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } \iiint _ { V } \, { \frac { \rho ( { \boldsymbol { x } } ^ { \prime } ) d V } { ( { \boldsymbol { x } } ^ { \prime } - { \boldsymbol { x } } ) ^ { 2 } } } { \hat { \boldsymbol { r } } } ^ { \prime }
T = { \frac { S _ { \mu } - m \mu } { \sqrt { S _ { \sigma ^ { 2 } } } } } { \sqrt { \frac { m - 1 } { m } } } = { \frac { { \overline { { X } } } - \mu } { \sqrt { S _ { \sigma ^ { 2 } } / ( m ( m - 1 ) ) } } }
\delta _ { v } j ^ { i _ { 1 } \ldots i _ { s } } = [ D - 2 + s ] ( v \cdot x ) j ^ { i _ { 1 } \ldots i _ { s } } + \sum _ { p = 1 } ^ { s } ( v ^ { i _ { p } } x _ { k } - x ^ { i _ { p } } v _ { k } ) j ^ { i _ { 1 } \ldots i _ { p - 1 } k \; i _ { p + 1 } \ldots i _ { s } }
\begin{array} { r } { e ^ { 2 \delta } = \frac { g ^ { 2 } - 2 g t \cos \phi e ^ { - i \gamma } + t ^ { 2 } e ^ { - i 2 \gamma } } { g ^ { 2 } - 2 g t \cos \phi e ^ { i \gamma } + t ^ { 2 } e ^ { i 2 \gamma } } e ^ { - i \gamma 2 ( L - 1 ) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta _ { A _ { 1 } , A _ { 2 } , A _ { 3 } , A _ { 4 } } ( F ) : = } & { - A _ { 1 } h + ( A _ { 1 } - 1 ) \# \{ \textrm { n o - } S _ { + } \textrm { n o n - c l o s e d c o m p o n e n t s o f } F \} } \\ & { + A _ { 2 } \# \{ \textrm { n o - } S _ { - } \textrm { n o n - c l o s e d c o m p o n e n t s o f } F \} } \\ & { + A _ { 3 } \# \{ \textrm { c l o s e d c o m p o n e n t s o f } F \} + ( ( A _ { 1 } - 1 ) / 2 ) \# \{ S _ { + } \textrm { i n t e r v a l s } \} } \\ & { + A _ { 4 } \# \{ S _ { + } \textrm { c i r c l e s } \} . } \end{array}
\left< \xi _ { i } ( \sigma ) { \cal O } \left[ \vec { \xi } { \, } \right] \right> _ { \vec { \xi } } = \int _ { 0 } ^ { 1 } d \sigma ^ { \prime } G \left( \sigma - \sigma ^ { \prime } \right) \left< \frac { \delta { \cal O } \left[ \vec { \xi } { \, } \right] } { \delta \xi _ { i } \left( \sigma ^ { \prime } \right) } \right> _ { \vec { \xi } } ,
A _ { j } = \sqrt { - \Delta _ { j } } \left[ \tan ^ { - 1 } \left( \frac { p ^ { 2 } + m _ { 1 } ^ { 2 } - m _ { 2 } ^ { 2 } } { \sqrt { - \Delta _ { j } } } \right) - \tan ^ { - 1 } \left( \frac { - p ^ { 2 } + m _ { 1 } ^ { 2 } - m _ { 2 } ^ { 2 } } { \sqrt { - \Delta _ { j } } } \right) \right]
\begin{array} { r l } { \Dot { x _ { 1 } } } & { = 1 - x _ { 1 } - x _ { 1 } x _ { 4 } - \frac { x _ { 1 } x _ { 2 } } { 2 } , } \\ { \Dot { x _ { 2 } } } & { = 2 x _ { 1 } - 2 x _ { 2 } - 2 x _ { 1 } x _ { 2 } - x _ { 2 } ^ { 2 } , } \\ { \Dot { y _ { 1 } } } & { = \frac { 1 } { \mu } \left( 1 - x _ { 1 } y _ { 1 } \right) , } \\ { \Dot { x _ { 3 } } } & { = x _ { 2 } - 3 x _ { 3 } - x _ { 3 } x _ { 4 } - \frac { 3 x _ { 2 } x _ { 3 } } { 2 } + 2 x _ { 1 } ^ { 2 } - 2 x _ { 1 } x _ { 3 } , } \\ { \Dot { x _ { 4 } } } & { = \frac { 1 } { \mu } x _ { 2 } + 2 x _ { 1 } y _ { 1 } - 2 x _ { 4 } - \left( 2 + \frac { 1 } { \mu } \right) x _ { 1 } x _ { 4 } - x _ { 2 } x _ { 4 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { a , b } ( \tau ) } & { { } = \frac { 1 - \tau } { 2 } \Bigl ( \cos ( \pi ( a + b ) \tau ) + \cos ( \pi ( a - b ) \tau ) \Bigr ) + \biggr ( \frac { 1 } { a } + \frac { 1 } { b } - \frac { 1 } { ( a + b ) } \biggr ) \frac { \sin ( \pi ( a + b ) \tau ) } { 2 \pi } } \end{array}
P _ { w } \left( T _ { a } ( z ) \right) = T _ { a } ^ { \prime } ( z ) \sum _ { c } \frac { ( z - \alpha _ { c } ) ( z - \beta _ { c } ) } { w _ { c } ( \alpha _ { c } - \beta _ { c } ) } \frac { \delta w _ { c } } { \epsilon } \ ,
\gamma ( \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } a _ { n } \frac { x ^ { n } } { n ! } ) = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \gamma ( a _ { n } ) \frac { ( x + c ) ^ { n } } { n ! } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \gamma ( a _ { n } ) \sum _ { k = 0 } ^ { n } \frac { x ^ { k } } { k ! } \frac { c ^ { n - k } } { ( n - k ) ! } = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left( \sum _ { m = 0 } ^ { \infty } \gamma ( a _ { n + m } ) \frac { c ^ { m } } { m ! } \right) \frac { x ^ { n } } { n ! }
P = \left[ { \begin{array} { c c c } { I } & { 0 } & { 0 } \\ { { { { 0 } } } } & { I } & { 0 } \\ { 0 } & { B \hat { A } _ { 2 2 } ^ { - 1 } } & { I } \end{array} } \right] \left[ { \begin{array} { c c c } { { { \hat { A } _ { 1 1 } } } } & { A _ { 1 2 } } & { 0 } \\ { { { { 0 } } } } & { { { \hat { A } _ { 2 2 } } } } & { { { B ^ { T } } } } \\ { 0 } & { 0 } & { - \mathrm { d i a g } ( M _ { p } ) } \end{array} } \right] .
\mathbb { P } \left( \left| \frac { 1 } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } w _ { i } | \left\langle A _ { i } , X \right\rangle | - \sqrt { \frac { 2 } { \pi } } \frac { 1 } { m } \sum _ { i = 1 } ^ { m } w _ { i } \right| \geq \delta \right) \leq 2 \exp \left( { - \frac { m ^ { 2 } \delta ^ { 2 } } { C \sum _ { i = 1 } ^ { m } w _ { i } ^ { 2 } } } \right) .
\begin{array} { r l } { Y _ { t } : } & { = \int _ { M } \tau R e ^ { s b } \left( ( \Delta \phi ^ { r } + \phi _ { t } ^ { r } ) w + 2 \langle \nabla w , \nabla \phi ^ { r } \rangle + 2 s \langle \nabla b , \nabla \phi ^ { r } \rangle \right) \, d V _ { t } } \\ & { = \int _ { M } \tau R \left( \Delta \phi ^ { r } + \phi _ { t } ^ { r } + ( 2 s - 2 ) \langle \nabla b , \nabla \phi ^ { r } \rangle \right) e ^ { s b } \, d v _ { t } . } \end{array}
\mathcal { J } ^ { m } ( \vec { x } ) : = \mathrm { d e t } ( \nabla \vec { \mathrm { i d } } - \Delta t \nabla \vec { W } ^ { m } ) = 1 - \Delta t \, \nabla \cdot \vec { W } ^ { m } + O ( \Delta t ^ { 2 } ) , \qquad \vec { x } \in \mathscr { R } _ { \pm } ^ { m } .
\mathrm { l n } \mathrm { d e t ^ { \prime } } \Delta = - \operatorname * { l i m } _ { s \to 0 } { \frac { d } { d s } } \int _ { \epsilon } ^ { \infty } { \frac { d t t ^ { s - 1 } } { \Gamma ( s ) } } \int _ { S } d ^ { 2 } z { \sqrt { g } } [ \mathrm { t r ^ { \prime } } e ^ { - t ( \Delta + m ^ { 2 } ) } ] - e ^ { - m ^ { 2 } t } ,
J _ { f } \Big \rvert _ { \mathcal { C } _ { 0 } ^ { \pm } } = \left[ \begin{array} { l l } { - \Delta _ { 1 } \left( \frac { 1 + \rho _ { 1 } ^ { 2 } } { 1 - \rho _ { 1 } ^ { 2 } } \right) + \frac { 1 } { 2 } k _ { 1 } \left( 1 - \rho _ { 1 } ^ { 2 } \right) } & { 0 } \\ { 0 } & { - \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 1 + 3 \rho _ { 1 } ^ { 2 } } { 1 - \rho _ { 1 } ^ { 2 } } \right) \left( 2 \Delta _ { 1 } - k _ { 1 } ( 1 - \rho _ { 1 } ^ { 2 } ) \right) } \end{array} \right] .
N _ { 2 } ^ { ( 2 ) } = \frac { 2 k ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } } { 4 \omega ^ { 2 } - 1 - 4 k ^ { 2 } \alpha \tilde { c _ { s } } ^ { 2 } } \left( a _ { 1 } ^ { ( 1 ) } \right) ^ { 2 } ,
\Delta \mathbf { r } _ { i } ^ { \perp } = \Delta \mathbf { r } _ { i } - \left( \mathbf { \hat { k } } \cdot \Delta \mathbf { r } _ { i } \right) \mathbf { \hat { k } } = \left( \mathbf { E } - \mathbf { \hat { k } } \mathbf { \hat { k } } ^ { \mathsf { T } } \right) \Delta \mathbf { r } _ { i } ,