harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { { \mathrm { d i s t } } ( { \mathrm { s p a n } } \{ V _ { p } \} , { \mathrm { s p a n } } \{ Q _ { 1 } ^ { ( k ) } \} ) \leq \sqrt { 2 } \ { \mathrm { d i s t } } ( { \mathrm { s p a n } } \{ Q _ { p } \} , { \mathrm { s p a n } } \{ \tilde { Q } ^ { ( k ) } \} ) , } \\ & { { \mathrm { d i s t } } ( { \mathrm { s p a n } } \{ U _ { p } \} , { \mathrm { s p a n } } \{ Q _ { 2 } ^ { ( k ) } \} ) \leq \sqrt { 2 } \ { \mathrm { d i s t } } ( { \mathrm { s p a n } } \{ Q _ { p } \} , { \mathrm { s p a n } } \{ \tilde { Q } ^ { ( k ) } \} ) , } \end{array}
S _ { P V } ( \Phi , \Phi ^ { * } , \underline { { \Phi } } _ { i } ) = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } { \underline { { \Phi } } } _ { i } ^ { A } S _ { A B } { \underline { { \Phi } } } _ { i } ^ { B } - \frac { 1 } { 2 } M _ { i } ^ { 2 } { \underline { { \Phi } } } _ { i } ^ { A } T _ { A B } { \underline { { \Phi } } } _ { i } ^ { B } ,
\begin{array} { l l } { { M _ { d } } } & { { = v _ { 1 } \Gamma _ { 1 } + v _ { 2 } \Gamma _ { 2 } e ^ { i \theta } } } \\ { { M _ { u } } } & { { = v _ { 1 } \Gamma _ { 1 } ^ { ' } + v _ { 2 } \Gamma _ { 2 } ^ { ' } e ^ { - i \theta } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { M } _ { P } ^ { ( n ) } ( P , u , \tau _ { m } ) } & { { } = \sum _ { i = 1 } ^ { N - m } \left( \Delta _ { \tau _ { m } } P _ { i } \right) ^ { n } \cdot \frac { K _ { a , b } \left( \frac { P _ { i } - P } { h _ { P } } , \frac { u _ { i } - u } { h _ { u } } \right) } { \sum _ { j = 1 } ^ { N - m } K _ { a , b } \left( \frac { P _ { i } - P } { h _ { P } } , \frac { u _ { j } - u } { h _ { u } } \right) } . } \end{array}
d _ { f } ^ { g } / e = { \frac { \alpha _ { S } } { 3 \pi } } \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } \mathrm { I m } ( S _ { 2 i } S _ { 1 i } ^ { \ast } ) { \frac { Q _ { f } } { m _ { g } } } r _ { i } \int _ { 0 } ^ { 1 } d x { \frac { x ( 1 - x ) } { 1 - x + r _ { i } - x ( 1 - x ) s _ { i } } }
{ \frac { \Gamma _ { L } } { \Gamma _ { T } } } ( { \bar { B ^ { 0 } } \to D ^ { * + } \rho ^ { - } } ) = { \frac { \Gamma _ { L } } { \Gamma _ { T } } } { ( B \to D ^ { * } \ell \nu ) | } _ { q ^ { 2 } = m _ { \rho } ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \delta < } & { { } \delta _ { 1 } ^ { \textrm { t h } } : = \frac { b + \sqrt { - 4 S ( b + S ) } } { a + b } } \\ { \delta > } & { { } \delta _ { 2 } ^ { \textrm { t h } } : = \frac { b - \sqrt { - 4 S ( b + S ) } } { a + b } } \end{array}
\epsilon _ { 3 } = \frac { \tilde { \alpha } _ { G } } { 2 \pi } \sum _ { \gamma } \left[ ( b _ { 3 } ^ { \gamma } - b _ { 2 } ^ { \gamma } ) - \frac { 1 } { 2 } ( b _ { 2 } ^ { \gamma } - b _ { 1 } ^ { \gamma } ) \right] \ln ( \mathrm { d e t ^ { \prime } } ( M _ { \gamma } / M _ { G } ) ) ,
\begin{array} { r l } { \sigma _ { q q } } & { { } \! = \! \frac { \hbar } { 2 } \! \left( \begin{array} { c c } { \frac { \cos ^ { 2 } \beta } { \omega _ { 1 } } + \frac { \sin ^ { 2 } \beta } { \omega _ { 2 } } } & { \left( \frac { 1 } { \omega _ { 2 } } - \frac { 1 } { \omega _ { 1 } } \right) \sin \beta \cos \beta } \\ { \left( \frac { 1 } { \omega _ { 2 } } - \frac { 1 } { \omega _ { 1 } } \right) \sin \beta \cos \beta } & { \frac { \sin ^ { 2 } \beta } { \omega _ { 1 } } + \frac { \cos ^ { 2 } \alpha } { \omega _ { 2 } } } \end{array} \right) , } \\ { \sigma _ { p p } } & { { } \! = \! \frac { \hbar } { 2 } \! \left( \begin{array} { c c } { \omega _ { 1 } \cos ^ { 2 } \alpha + \omega _ { 2 } \sin ^ { 2 } \beta } & { \left( \omega _ { 2 } - \omega _ { 1 } \right) \sin \beta \cos \beta } \\ { \left( \omega _ { 2 } - \omega _ { 1 } \right) \sin \beta \cos \beta } & { \omega _ { 1 } \sin ^ { 2 } \beta + \omega _ { 2 } \cos ^ { 2 } \beta } \end{array} \right) \, , } \\ { \sigma _ { q p } } & { { } \! = \mathbf { 0 } _ { 2 \times 2 } \, . } \end{array}
V ^ { 2 } - C _ { s } ^ { 2 } = V ^ { 2 } - \frac { 5 } { 3 } \frac { P } { \rho } = \frac { 4 } { 3 } V ^ { 2 } \left( 1 - \frac { 1 } { 4 V ^ { 2 } } \left( V _ { m } ^ { 2 } + \frac { V _ { e s c } ^ { 2 } } { r } \right) \right) ,
\begin{array} { r l } { \frac { d \tilde { \nu } _ { \mathbf { u } ^ { - } , \mathbf { u } ^ { + } } } { d \mathbf { y } d \mu _ { k , t } } ( \mathbf { y } , f ) } & { = \left( \frac { ( x _ { i } ^ { + } + | x _ { i } ^ { - } | ) } { ( x _ { i } ^ { + } - t ) | x _ { i } ^ { - } | } \right) ^ { k / 2 } } \\ & { \times \prod _ { i = 1 } ^ { k } \exp \left( - \frac { ( y _ { i } - u _ { i } ^ { - } ) ^ { 2 } } { 4 | x _ { i } ^ { - } | } - \frac { ( u _ { i } ^ { + } - y _ { i } - f _ { i } ( t ) ) ^ { 2 } } { 4 ( x _ { i } ^ { + } - t ) } + \frac { ( u _ { i } ^ { + } - u _ { i } ^ { - } ) ^ { 2 } } { 4 ( x _ { i } ^ { + } + | x _ { i } ^ { - } | ) } \right) . } \end{array}
{ \frac { 1 } { \sqrt [ [object Object] ] { 2 \cos ( { \frac { 2 \pi } { 7 } } ) } } } + { \frac { 1 } { \sqrt [ [object Object] ] { 2 \cos ( { \frac { 4 \pi } { 7 } } ) } } } + { \frac { 1 } { \sqrt [ [object Object] ] { 2 \cos ( { \frac { 8 \pi } { 7 } } ) } } } = { \sqrt [ [object Object] ] { 4 - 3 { \sqrt [ [object Object] ] { 7 } } } }
\frac { 1 } { m } \sum _ { j = 1 } \hat { \sigma _ { j } } ^ { 2 } + \frac { 1 } { m } \sum _ { j = 1 } \hat { { \mathbf { y _ { j } } } } ^ { 2 } - ( \frac { 1 } { m } \sum _ { j = 1 } \hat { { \mathbf { y _ { j } } } } ) ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { \hat { \mathbf { G } } _ { x x } ^ { s c } ( \mathbf { r } _ { A } ; \mathbf { r } _ { D } ; w ) = } & { { } \frac { i } { 8 { \pi } } ( \frac { w } { c } ) P V \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \kappa } { p } r ^ { s } ( \kappa ) e ^ { 2 i p { \omega } z / c } \left[ J _ { 0 } ( \frac { \kappa \omega { R } } { c } ) + J _ { 2 } ( \frac { \kappa \omega { R } } { c } ) \right] d { \kappa } } \end{array}
\begin{array} { r } { \overline { { \mathcal { L } } } _ { S } ^ { h } = \varphi _ { S } \left( g ^ { \mu \nu } \nabla _ { \mu } \nabla _ { \nu } - \frac { 1 } { 4 } R \right) \varphi _ { S } + \overline { { \mathcal { L } } } _ { S } ^ { Z } + \overline { { \mathcal { L } } } _ { S } ^ { W } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { { P _ { k } } } & { { } = } & { \delta ( { k , { \kappa } } ) + \frac { g } { { \sqrt { 2 \pi } } } \sum _ { j } ^ { } { \frac { { { e ^ { - i k { z _ { j } } } } } } { { \omega - c | k | } } { Q _ { j } } } ; } \\ { { Q _ { j } } } & { { } = } & { \frac { g } { { \sqrt { 2 \pi } } } \int { \frac { { { e ^ { i k { z _ { j } } } } } } { { \omega - { \omega _ { 0 } } } } { P _ { k } } d k } . } \end{array}
F _ { \sigma } = 1 + 0 . 3 5 \left( \frac { G _ { \mathrm { f r e e z e - o u t } } } { 3 0 0 \ \mathrm { M e V } } \right) ^ { 2 } \left( \frac { \xi _ { \mathrm { f r e e z e - o u t } } } { 6 \ \mathrm { f m } } \right) ^ { 2 } \ .
\begin{array} { r l } { N _ { f } ( \sigma , T ) } & { \leqslant \int _ { 0 } ^ { T } M _ { f } ( \sigma , t ) d t } \\ & { \leqslant \frac { 1 } { \log ( r _ { 2 } / r _ { 1 } ) } \int _ { 0 } ^ { 1 } \left( \int _ { 0 } ^ { T } \log \vert f ( \sigma _ { 0 } + r _ { 2 } e ^ { 2 \pi i \theta } + i t ) \vert d t \right) d \theta - \int _ { 0 } ^ { T } \log \vert f ( \sigma _ { 0 } + i t ) \vert d t . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \Phi _ { n + 1 } \left( z \right) } & { { } = } & { \phi _ { \beta } \left( z \right) \Phi _ { n } \left( \phi _ { \nu } \left( z \right) \right) \mathrm { ~ , ~ } \Phi _ { 0 } \left( z \right) = 1 } \\ { \Phi _ { n } \left( z \right) } & { { } = } & { \prod _ { m = 0 } ^ { n - 1 } \phi _ { \beta } \left( \phi _ { \nu } ^ { \circ m } \left( z \right) \right) } \end{array}
E _ { 2 } ( r , a ) = \frac { ( \varepsilon - 1 ) ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } a ^ { 4 } } \, \frac { 2 3 } { 6 0 } \, \frac { ( d ^ { 4 } - 1 0 d ^ { 2 } - 1 5 ) } { ( 1 + d ) ^ { 4 } ( 1 - d ) ^ { 4 } } \, , d = \frac { r } { a } \, , r < a .
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \kappa _ { v } \left( G , t \right) = \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \frac { ( a _ { 1 } ) _ { v } ^ { 2 } e ^ { t \alpha _ { 1 } } } { ( b _ { 1 } ) _ { v } ^ { 2 } e ^ { t \beta _ { 1 } } } = \operatorname* { l i m } _ { t \rightarrow \infty } \frac { ( a _ { 1 } ) _ { v } ^ { 2 } } { ( b _ { 1 } ) _ { v } ^ { 2 } } e ^ { t \left( \alpha _ { 1 } - \beta _ { 1 } \right) } = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { c _ { \mathfrak { I } _ { N } , M } ^ { h } ( \rho , x ) = \cos ( \rho x ) + \sum _ { n = 0 } ^ { M } ( - 1 ) ^ { n } g _ { n } ( x ) j _ { 2 n } ( \rho x ) , } \\ { s _ { \mathfrak { I } _ { N } , M } ( \rho , x ) = \frac { \sin ( \rho x ) } { \rho } + \frac { 1 } { \rho } \sum _ { n = 0 } ^ { M } ( - 1 ) ^ { n } s _ { n } ( x ) j _ { 2 n + 1 } ( \rho x ) , } \end{array}
g _ { y y } = \frac { \sqrt { Q } } { 1 6 } 2 ^ { - \frac { 3 } { 4 } } ( 1 - \frac { 1 } { 2 y } ) , g _ { s } = 2 ^ { - \frac { 3 } { 4 } } \sqrt { Q } ( 1 + \frac { 7 } { 2 y } )
\delta ( x - y ) = { \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } \int d ^ { 4 } k \, e ^ { i k . ( x - y ) } , \qquad \delta ( x - z ) = { \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } } \int d ^ { 4 } p \, e ^ { i p . ( x - z ) } ,
f _ { \mathrm { f r e e } } = \frac { Q _ { \mathrm { i n j } } \gamma _ { \mathrm { i n j } } ^ { s _ { \mathrm { f r e e } } - p + 1 } t _ { \mathrm { a c c , 0 } } } { - s _ { \mathrm { f r e e } } + p - 1 } \gamma ^ { - s _ { \mathrm { f r e e } } } \propto \gamma ^ { - s _ { \mathrm { f r e e } } } .
\begin{array} { r l } { \langle Q _ { k } ( f _ { 1 } , f _ { 2 } ) , f _ { 3 } \rangle } & { = \sum _ { m _ { 1 } , m _ { 2 } = 1 } ^ { 2 } \Sigma _ { m _ { 1 } , m _ { 2 } } ^ { 1 } + \sum _ { m _ { 2 } = 1 } ^ { 2 } ( \Sigma _ { 3 , m _ { 2 } } ^ { 1 } - \Sigma _ { m _ { 2 } } ^ { 2 } ) } \\ & { + \sum _ { m _ { 1 } = 1 } ^ { 2 } ( \Sigma _ { m _ { 1 } , 3 } ^ { 1 } - \Sigma _ { m _ { 1 } } ^ { 3 } ) + ( \Sigma _ { 3 , 3 } ^ { 1 } - \Sigma _ { 3 } ^ { 2 } - \Sigma _ { 3 } ^ { 3 } + \Sigma ^ { 4 } ) . } \end{array}
\begin{array} { l } { { \dot { q } } _ { 1 } = { \dot { q } } _ { \sigma _ { 1 } } , \; \; \dots \; \; { \dot { q } } _ { \ell } = { \dot { q } } _ { \sigma _ { \ell } } , } \\ { { \dot { q } } _ { \ell + 1 } = \alpha _ { \sigma _ { h + 1 } } ^ { ( \sigma ) } ( { \dot { q } } _ { \sigma _ { 1 } } , \dots , { \dot { q } } _ { \sigma _ { m } } ) , \; \; \dots \; \; { \dot { q } } _ { m } = \alpha _ { \sigma _ { k } } ^ { ( \sigma ) } ( { \dot { q } } _ { \sigma _ { 1 } } , \dots , { \dot { q } } _ { \sigma _ { m } } ) . } \end{array}
E ( k ) = \alpha \frac { u ^ { \prime 2 } } { k _ { \mathrm { e } } } \frac { \left( k / k _ { \mathrm { e } } \right) ^ { 4 } } { \left[ 1 + \left( k / k _ { \mathrm { e } } \right) ^ { 2 } \right] ^ { 1 7 / 6 } } \exp \left[ - 2 \left( \frac { k } { k _ { \eta } } \right) ^ { 2 } \right] ,
\! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \delta \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \in \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! 0 \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \bar { \! } \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \delta \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
\begin{array} { r l } { \left( \int _ { B _ { 1 } } | \varphi _ { k + 1 } v _ { k + 1 } | ^ { p } \, d x \right) ^ { \frac 2 p } } & { \le C \left( \int _ { B _ { 1 } } | \nabla ( \varphi _ { k + 1 } v _ { k + 1 } ) | ^ { 2 } \, d x \right) } \\ & { \le C 2 ^ { 2 k } \int _ { \tilde { B } _ { k } } | v _ { k + 1 } | ^ { 2 } \, d x } \\ & { \le C 2 ^ { 2 k } \int _ { B _ { 1 } } ( \varphi _ { k } v _ { k } ) ^ { 2 } \, d x = C 2 ^ { 2 k } V _ { k } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \mathbf { F } } & { = \alpha \left[ { \frac { 1 } { 2 } } \nabla E ^ { 2 } - \mathbf { E } \times \left( \nabla \times \mathbf { E } \right) + { \frac { d \mathbf { E } } { d t } } \times \mathbf { B } \right] } \\ & { = \alpha \left[ { \frac { 1 } { 2 } } \nabla E ^ { 2 } - \mathbf { E } \times \left( - { \frac { d \mathbf { B } } { d t } } \right) + { \frac { d \mathbf { E } } { d t } } \times \mathbf { B } \right] } \\ & { = \alpha \left[ { \frac { 1 } { 2 } } \nabla E ^ { 2 } + { \frac { d } { d t } } \left( \mathbf { E } \times \mathbf { B } \right) \right] . } \end{array} }
\operatorname * { l i m } _ { \varepsilon \rightarrow 0 } P _ { n } \left[ F _ { 1 } , \dots , F _ { n } \right] \left( \varepsilon \tau _ { i } , \tau _ { j } \right) = P _ { n - m + 1 } \left[ O _ { m } \left[ F _ { 1 } , \dots , F _ { m } \right] \left( \tau _ { i } \right) , F _ { m + 1 } , \dots , F _ { n } \right] \left( 0 , \tau _ { j } \right) .
\mathcal { E } _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ r ~ r ~ } } ( \mathrm { X } ) \mathrm { X } ^ { b } - \mathcal { E } _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ r ~ r ~ } } ( \mathrm { X } \! - \! 1 ) ( \mathrm { X } \! - \! 1 ) ^ { b }
\hat { z } _ { i } ( \xi ) \, \simeq \, \frac { 1 } { 2 \left[ M \Delta ( \xi _ { f } ) \right] ^ { 2 } ( \xi _ { f } \! - \! \xi ) } \: \stackrel { \xi \to \xi _ { f } } { - \! \! \! - \! \! \! \longrightarrow } \: \infty .
\begin{array} { r } { \int _ { x _ { j , \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } } ^ { x _ { j , \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } { \frac { \partial ^ { 2 } g _ { 1 , i } } { \partial x _ { j } \partial x _ { j } } r _ { 1 , i } } \mathrm { ~ d ~ } x _ { j } = \left[ \frac { \partial g _ { 1 , i } } { \partial x _ { j } } r _ { 1 , i } - g _ { 1 , i } \frac { \partial r _ { 1 , i } } { \partial x _ { j } } \right] _ { x _ { j } = x _ { j , \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } } ^ { x _ { j , \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } + \int _ { x _ { j , \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } } ^ { x _ { j , \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } } { \frac { \partial ^ { 2 } r _ { 1 , i } } { \partial x _ { j } \partial x _ { j } } g _ { 1 , i } } \mathrm { ~ d ~ } x _ { j } , } \end{array}
\tan \delta = \frac { c } { 2 \pi L \sqrt { \xi _ { r } } f _ { \mathrm { ~ o ~ p ~ t ~ } } } \ln \left( \frac { \eta _ { \mathrm { ~ l ~ o ~ n ~ g ~ } } } { \eta _ { \mathrm { ~ s ~ h ~ o ~ r ~ t ~ } } } \right)
\nabla \Psi \cdot { \boldsymbol { u } } = { \frac { \partial \Psi } { \partial r } } \cdot { \frac { 1 } { r ^ { 2 } \sin \theta } } { \frac { \partial \Psi } { \partial \theta } } + { \frac { 1 } { r } } { \frac { \partial \Psi } { \partial \theta } } \cdot { \Big ( } - { \frac { 1 } { r \sin \theta } } { \frac { \partial \Psi } { \partial r } } { \Big ) } = 0 .
\begin{array} { r l } { \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } \mathbb { E } [ X _ { n } ( t ) ] = } & { \sum _ { j = 1 } ^ { n } \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } \mathbb { E } [ \Delta _ { j } ( t ) ] } \\ { = } & { \sum _ { j = 1 } ^ { n } \frac { \mathbb { E } \left[ \left( Y ^ { ( n - j , n - j + 1 ) } \right) ^ { 2 } \right] } { 2 \mathbb { E } \left[ Y ^ { ( n - j , n - j + 1 ) } \right] } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | H _ { i j } ( \mu _ { \omega } ( p ) ) | } & { = \left| \pi _ { * } g ( Y _ { i } , Y _ { j } ) \right| ( p ) } \\ & { \leq \left| ( \pi _ { * } g - g _ { 0 } ) ( Y _ { i } , Y _ { j } ) \right| + \left| g _ { 0 } ( Y _ { i } , Y _ { j } ) \right| } \\ & { \leq C r ^ { - 2 } | Y _ { i } | _ { g _ { 0 } } | Y _ { j } | _ { g _ { 0 } } + C r ^ { 2 } } \\ & { \leq C ( r ^ { 2 } ( p ) + 1 ) . } \end{array}
\left\langle \sum _ { i \in G } \frac { x _ { i } } { N } \left[ 2 \theta \frac { s } { d } ( \overline { { u } } _ { i } ^ { ( 0 ) } - \overline { { u } } _ { i } ^ { ( 1 ) } ) + ( 1 - \theta ) \frac { s - 1 } { d - 1 } ( \overline { { u } } _ { i } ^ { ( 0 ) } - \overline { { u } } _ { i } ^ { ( 2 ) } ) \right] \right\rangle ^ { \circ } > 0 .
\begin{array} { r l } { A _ { j _ { n + 1 } } D _ { i } ( e _ { j _ { n } } \ldots e _ { j _ { 1 } } ) = } & { \sum _ { \pi \in B ( n + 1 ) } ( - 1 ) ^ { \pi ( 0 ) - 1 } q ^ { \textup { c r o s s } ( \pi ) } \delta _ { p ( \pi ) } ^ { B } e _ { j _ { n + 1 } s ( \pi ) } } \\ & { + \sum _ { \pi \in B ( n + 1 ) } \sum _ { k = 1 } ^ { | s ( \pi ) | } ( - 1 ) ^ { \pi ( 0 ) - 1 } q ^ { \textup { c r o s s } ( \pi ) + | s ( \pi ) | - k } \delta _ { p ( \pi ) } ^ { B } B _ { j _ { n + 1 } , j _ { s ( \pi ) _ { k } } } e _ { s ( \pi ) \setminus s ( \pi ) _ { k } } . } \end{array}
H _ { \mathrm { I } } \approx \left[ \frac { p + q } { 2 } - \frac { q - p } { 2 } J _ { 0 } ( \frac { 2 A } { \omega } ) \right] S _ { x } ^ { 2 } + \left[ \frac { p + q } { 2 } + \frac { q - p } { 2 } J _ { 0 } ( \frac { 2 A } { \omega } ) \right] S _ { y } ^ { 2 } .
\frac { \partial H _ { \mu \nu } ( q , k ) } { \partial k ^ { \sigma } } | _ { k = P / z } = H _ { ( 3 a ) \sigma } ^ { \mu \nu } ( q , P / z , P / z ) = H _ { ( 3 b ) \sigma } ^ { \mu \nu } ( q , P / z , P / z ) ,
A = 8 \pi \sqrt { \left( \vec { \tilde { q } } \cdot \vec { \tilde { q } } \right) \left( \vec { \tilde { p } } \cdot \vec { \tilde { p } } \right) - \left( \vec { \tilde { q } } \cdot \vec { \tilde { p } } \right) ^ { 2 } } \, .
u _ { 2 } ^ { ( g v K P ) } = \frac { 1 2 e ^ { x + \sqrt { 3 } y + 4 e ^ { \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ } ( t ) } [ - 1 + \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ } ( t ) ] + \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ ( ~ t ~ ) ~ } } } { ( 1 + e ^ { x + \sqrt { 3 } y + 4 e ^ { \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ } ( t ) } [ - 1 + \mathrm { ~ c ~ o ~ s ~ } ( t ) ] } ) ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { F _ { m } ( r ) = } & { F _ { m , \Omega _ { m } } ( r ) \int _ { 1 } ^ { r } \frac { 1 } { F _ { m , \Omega _ { m } } ^ { 2 } ( s ) s ^ { 2 m + 1 } } \int _ { 0 } ^ { s } F _ { m , \Omega _ { m } } ( \tau ) \tau ^ { 2 m + 1 } \left( \Omega _ { m } - \frac { f _ { 0 } ( \tau ) } { 2 } \right) d \tau d s } \\ & { + c _ { 2 } F _ { m , \Omega _ { m } } ( r ) \int _ { 1 } ^ { r } \frac { d s } { F _ { m , \Omega _ { m } } ^ { 2 } ( s ) s ^ { 2 m + 1 } } \cdot } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathrm { I I } } & { { } = } & { E \left\{ \left( { \frac { 1 } { N + 1 } } \sum _ { i = 0 } ^ { N } \phi _ { i } \right) ^ { 2 } \right\} = { \frac { 1 } { ( N + 1 ) ^ { 2 } } } E \left\{ \sum _ { i , j = 0 } ^ { N } \phi _ { i } \phi _ { j } \right\} = } \end{array}
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \beta } _ { \alpha } ^ { * } = } & { { } ~ \frac { 1 } { 2 } \hat { \gamma } _ { \alpha } ^ { * } \left( \mathbf { v } _ { \alpha } ^ { * } + \mathbf { v } _ { N } ^ { * } \right) , \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \alpha = 1 , \dots , N - 1 . } \end{array}
A _ { g _ { 1 } } = { \{ \sigma _ { \uparrow \uparrow } ^ { \nu N } - \sigma _ { \uparrow \downarrow } ^ { \nu N } \} - \{ \sigma _ { \uparrow \uparrow } ^ { \bar { \nu } N } - \sigma _ { \uparrow \downarrow } ^ { \bar { \nu } N } \} } ,
\begin{array} { r } { \widetilde { H } _ { A D } ( t ) = H _ { A D } ( t ) - \dot { \lambda } A _ { \lambda } ( t ) , ~ ~ \mathrm { ~ w ~ h ~ e ~ r ~ e ~ } ~ ~ A _ { \lambda } = i U _ { \lambda } ^ { \dagger } \frac { \partial U _ { \lambda } } { \partial \lambda } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi _ { 2 } ( \mu _ { 1 } , \gamma _ { 1 } ) } & { = e ^ { t \tilde { D } ^ { 2 } } \gamma _ { 0 } + \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { ( t - t ^ { \prime } ) \tilde { D } ^ { 2 } } F ( \mu _ { 1 } , \gamma _ { 1 } ) \ d t ^ { \prime } } \\ { \Phi _ { 2 } ( \mu _ { 2 } , \gamma _ { 2 } ) } & { = e ^ { t \tilde { D } ^ { 2 } } \gamma _ { 0 } + \int _ { 0 } ^ { t } e ^ { ( t - t ^ { \prime } ) \tilde { D } ^ { 2 } } F ( \mu _ { 2 } , \gamma _ { 2 } ) \ d t ^ { \prime } , } \end{array}
s = ( p _ { 1 } + p _ { 2 } ) ^ { 2 } \gg t _ { 1 , 2 } ~ , \qquad t _ { 1 } = q _ { 1 } ^ { 2 } = ( p _ { 1 } ^ { \prime } - p _ { 1 } ) ^ { 2 } ~ , \qquad t _ { 2 } = q _ { 2 } ^ { 2 } = ( p _ { 2 } - p _ { 2 } ^ { \prime } ) ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \mathrm { e } ^ { ( P + \beta - 1 ) \log { ( 1 + x ) } } } & { \sim \mathrm { e } ^ { ( P + \beta - 1 ) \big ( x - \frac { x ^ { 2 } } { 2 } + O ( x ^ { 3 } ) \big ) } , } \\ { \mathrm { e } ^ { - ( n + \alpha + \beta ) \log { \big [ 1 + \frac { x \tilde { \chi } } { ( \chi + \tilde { \chi } ) } \big ] } } } & { \sim \mathrm { e } ^ { - ( n + \alpha + \beta ) \big [ \frac { \tilde { r } x } { r + \tilde { r } } - \frac { \tilde { r } ^ { 2 } x ^ { 2 } } { 2 ( r + \tilde { r } ) ^ { 2 } } + \mathrm { i } \frac { r \tilde { r } x ( \tilde { \vartheta } - \vartheta ) } { ( r + \tilde { r } ) ^ { 2 } } + O ( x ( \tilde { \vartheta } - \vartheta ) ^ { 2 } ; x ^ { 3 } ) \big ] } . } \end{array}
H _ { 0 } \left( \mathbf { p } , \mathbf { x } \right) = \frac { 1 } { 2 } m \mathbf { v } ^ { 2 } + q \Phi = \frac { 1 } { 2 m } \left[ \mathbf { p - } q \mathbf { A } \left( \mathbf { x } \right) \right] ^ { 2 } + q \Phi \left( \mathbf { x } \right) ,
\mathcal R = \sum _ { ( 0 ) } \mathcal I \mathcal C _ { + } ( \textit { \textbf { u } } , \overline { { \textit { \textbf { v } } } } , \textit { \textbf { w } } ) , \quad \mathscr L \textit { \textbf { b } } = \sum _ { ( 1 ) } \mathcal I \mathcal C _ { + } ( \textit { \textbf { u } } , \overline { { \textit { \textbf { v } } } } , \textit { \textbf { w } } ) , \quad \mathscr L _ { 2 } ( \textit { \textbf { b } } , \textit { \textbf { b } } ) = \sum _ { ( 2 ) } \mathcal I \mathcal C _ { + } ( \textit { \textbf { u } } , \overline { { \textit { \textbf { v } } } } , \textit { \textbf { w } } ) ,
\tau _ { j } ^ { T } : = \operatorname* { i n f } \left\lbrace t \geq 0 : \| u ^ { j } ( t ) \| _ { \tilde { s } } \geq 2 + \| u _ { 0 } ^ { j } \| _ { \tilde { s } } \right\rbrace \wedge \operatorname* { i n f } \left\lbrace t \geq 0 : \, \| \partial _ { z z } u ^ { j } ( t ) - \partial _ { z z } u _ { 0 } ^ { j } \| _ { L ^ { \infty } } \geq \frac \kappa 4 \right\rbrace \wedge T ,
\chi _ { u } ^ { h _ { i } } = \frac { 1 } { \sin \beta } [ R _ { i 2 } - i \gamma _ { 5 } \cos \beta R _ { i 3 } ] , \qquad \chi _ { d } ^ { h _ { i } } = \frac { 1 } { \cos \beta } [ R _ { i 1 } - i \gamma _ { 5 } \sin \beta R _ { i 3 } ] ,
Y _ { L } ^ { \alpha } ( { \tilde { x } _ { L } } , { \tilde { \theta } } ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } ( { { \tilde { \theta } } ^ { \alpha } } + i \psi ^ { \alpha } ( { \tilde { x } _ { L } } , { \tilde { \theta } } ) ) .
\begin{array} { r l } & { - \operatorname* { m a x } _ { v ^ { \prime } \in \mathcal { N } ( v ) } ~ ~ \sigma \big ( \langle ~ { \boldsymbol u } _ { { \boldsymbol J } ^ { \prime } } ~ , ~ { \boldsymbol x } _ { v ^ { \prime } } ~ \rangle \big ) } \\ { = } & { - ( - \alpha _ { { \boldsymbol J } ^ { \prime } } ) \cdot \operatorname* { m a x } ~ ~ ~ \sum _ { u ^ { \prime } \in \mathcal { N } ( u ) , u \in D _ { \boldsymbol J } } { \boldsymbol x } _ { u ^ { \prime } } \sum _ { v ^ { \prime } \in \mathcal { N } ( v ) , v \in D _ { \boldsymbol J } } { \boldsymbol x } _ { v ^ { \prime } } } \\ { = } & { \alpha _ { { \boldsymbol J } ^ { \prime } } \cdot \operatorname* { m a x } _ { i } ~ ~ ~ ( J _ { i } { \boldsymbol p } _ { 2 i - 1 } + ( 1 - J _ { i } ) { \boldsymbol p } _ { 2 i } ) \cdot ( J _ { i } ^ { \prime } { \boldsymbol p } _ { 2 i - 1 } + ( 1 - J _ { i } ^ { \prime } ) { \boldsymbol p } _ { 2 i } ) } \\ { = } & { \left\{ \begin{array} { l l } { 0 , \mathrm { ~ ~ i f ~ ~ } { \boldsymbol J } ^ { \prime } = { { \bf 1 } } - { \boldsymbol J } } \\ { \alpha _ { { \boldsymbol J } ^ { \prime } } , \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. . } \end{array}
K \, A = J \rightarrow \left( \begin{array} { c c } { { \frac { 1 } { 2 } ( \eta _ { c \sigma } \delta _ { d a b } ^ { \nu \sigma \mu } - \eta _ { d \sigma } \delta _ { c a b } ^ { \nu \sigma \mu } ) } } & { { \ \ - \delta _ { r a b } ^ { \lambda \gamma \mu } \, \partial _ { \lambda } } } \\ { { } } & { { } } \\ { { \delta _ { a c d } ^ { \mu \lambda \nu } \, \partial _ { \lambda } } } & { { 0 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { \Gamma _ { \nu } ^ { c d } } } \\ { { \tau _ { \gamma } ^ { r } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { { \Sigma _ { a b } ^ { \mu } } } \\ { { T _ { a } ^ { \mu } } } \end{array} \right)
c _ { n m } = \prod _ { j = 0 } ^ { m - 1 } \Big ( e ^ { i k } q ^ { 2 n + 1 / 2 } \frac { \lambda ^ { 1 / 2 } + \tau \kappa \rho ^ { - 1 } q ^ { - j - 1 / 2 } } { \lambda ^ { 1 / 2 } + \kappa \rho q ^ { j + 1 / 2 } } \Big ) ,
\begin{array} { r l } { 0 < } & { { } \mu ( t _ { e n d } , m = 0 ) \int _ { t _ { e n d } } ^ { \infty } S _ { 3 } ( t , m = 0 ) d t < 1 , ~ \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } } \\ { 0 < } & { { } \mu ( t _ { e n d } , m = 0 ) \int _ { t _ { e n d } } ^ { \infty } S _ { 3 } ( t , m = 0 ) d t < \frac { 1 } { 2 } \exp { \bigg ( \frac { \mu ( t _ { e n d } , m = 0 ) } { 2 \beta } \bigg ) } \sqrt { \frac { 2 \pi \mu ( t _ { e n d } , m = 0 ) } { \beta } } . } \end{array}