harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { c c c } { { h _ { \mathrm { b c } } = G _ { \mathrm { b c } } } } & { { \Rightarrow } } & { { h _ { \mathrm { b c } } = \eta _ { \mu \nu } \partial _ { \mathrm { b } } X ^ { \mu } \partial _ { \mathrm { c } } X ^ { \nu } . } } \end{array}
\eta _ { i } ^ { k } \, \tilde { \sigma } _ { k } ^ { j } = \eta _ { k } ^ { j } \, \sigma _ { i } ^ { k } \, , \ \ \ \ \ \, e t a _ { i } ^ { k } \tilde { \xi } _ { k } ^ { j } = \eta _ { k } ^ { j } \, \xi _ { i } ^ { k } \, .
\begin{array} { r l r } { Q ( x , y , t ) } & { = } & { 2 \left[ \frac { ( k _ { 1 } + k _ { 2 } ) ^ { 2 } B _ { 1 } \cosh ( \eta _ { 1 } + \eta _ { 2 } ) + ( k _ { 1 } - k _ { 2 } ) ^ { 2 } B _ { 2 } \cosh ( \eta _ { 1 } - \eta _ { 2 } ) } { B _ { 1 } \cosh ( \eta _ { 1 } + \eta _ { 2 } ) + B _ { 2 } \cosh ( \eta _ { 1 } - \eta _ { 2 } ) } \right. } \\ & { } & { \qquad \left. - \left( \frac { ( k _ { 1 } + k _ { 2 } ) B _ { 1 } \sinh ( \eta _ { 1 } + \eta _ { 2 } ) + ( k _ { 1 } - k _ { 2 } ) B _ { 2 } \sinh ( \eta _ { 1 } - \eta _ { 2 } ) } { B _ { 1 } \cosh ( \eta _ { 1 } + \eta _ { 2 } ) + B _ { 2 } \cosh ( \eta _ { 1 } - \eta _ { 2 } ) } \right) ^ { 2 } \right] } \\ & { } & { \qquad - A \left( \frac { ( k _ { 1 } + k _ { 2 } ) B _ { 1 } \sinh ( \eta _ { 1 } + \eta _ { 2 } ) + ( k _ { 1 } - k _ { 2 } ) B _ { 2 } \sinh ( \eta _ { 1 } - \eta _ { 2 } ) } { B _ { 1 } \cosh ( \eta _ { 1 } + \eta _ { 2 } ) + B _ { 2 } \cosh ( \eta _ { 1 } - \eta _ { 2 } ) } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \left| \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { Q _ { j } \mathrm { ~ n e i g h b . ~ } Q _ { i } } \int _ { \mathbb R ^ { 3 } } \nabla U _ { i } : \nabla U _ { j } \right| \leqslant N ^ { - 1 / 3 } \left| \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sum _ { j \, | \, Q _ { j } \mathrm { ~ n e i g h b . ~ } Q _ { i } } \| U _ { j } \| _ { L ^ { \infty } ( Q _ { i } ) } \right| \leqslant C N ^ { 2 / 3 } } \end{array}
\forall \alpha , \beta \in \mathbb { N } ^ { q } , \quad \exists C _ { \alpha , \beta } \quad \mathrm { ~ s . ~ t . ~ } \quad \operatorname* { s u p } _ { ( X , \Xi , z , \zeta ) \in \mathbb { R } ^ { 2 d } \times \mathbb { R } ^ { 2 q } } | \partial _ { z } ^ { \alpha } \partial _ { \zeta } ^ { \beta } b ( X , \Xi , z , \zeta ) | \leq C _ { \alpha , \beta } \langle \zeta \rangle ^ { - | \beta | }
\partial _ { t _ { i } } \partial _ { t _ { j } } \lambda _ { S W } = \sum _ { k = 1 } ^ { r } { C _ { i j } } ^ { k } ( t ) \partial _ { t _ { k } } \partial _ { t _ { r } } \lambda _ { S W } + { \frac { 1 } { 2 \pi i } } \mu \partial _ { \mu } \left( { \frac { x ^ { - 2 } Q _ { i j } } { ( \widetilde { W } _ { B } ^ { 2 } - 4 \mu ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } } } \right) d x + \partial _ { x } ( * ) \, d x ,
\begin{array} { r } { \frac { \mathcal { Z } ^ { ( 1 | 1 ) } ( g _ { \mathrm { s } } ) } { \mathcal { Z } ^ { ( 0 | 0 ) } ( g _ { \mathrm { s } } ) } \simeq \frac { 1 } { g _ { \mathrm { s } } } \, \frac { { \mathrm { i } } \, ( - 1 ) ^ { n + 1 } \, n } { 8 \pi ^ { 3 } } + 0 + g _ { \mathrm { s } } \, \frac { { \mathrm { i } } } { 1 2 \pi n ^ { 3 } } \, \Big \{ 4 + 2 \pi ^ { 2 } n ^ { 2 } + ( - 1 ) ^ { n + 1 } \left( n ^ { 2 } \pi ^ { 2 } + 1 0 \right) \Big \} + o ( g _ { \mathrm { s } } ) . } \end{array}
\small \frac { E _ { \mathrm { r e l } } } { N _ { c } k _ { B } T _ { c } ^ { 0 } } = \frac { 3 \zeta ( 4 ) } { 2 \zeta ( 3 ) } t ^ { 4 } + \alpha \frac { 1 } { 7 } \left( ( 1 - t ^ { 3 } ) ^ { 2 / 5 } ( 2 + \frac { 1 7 } { 2 } t ^ { 3 } ) \right)
g _ { i j } = g _ { 1 } ( \delta _ { i } ^ { 1 } \delta _ { j } ^ { 1 } - \delta _ { i } ^ { 0 } \delta _ { j } ^ { 0 } ) + g _ { 2 } ( \delta _ { i } ^ { 2 } \delta _ { j } ^ { 2 } + \delta _ { i } ^ { 3 } \delta _ { j } ^ { 3 } ) ,
L = \int d ^ { 2 } \theta \frac { 1 } { 4 g ^ { 2 } } \left[ 1 + \frac { g ^ { 2 } } { 3 2 \pi ^ { 2 } } N _ { f } l n \left( \frac { \phi } { \Lambda } \right) \right] W ^ { \alpha } W _ { \alpha } + h . c .
A _ { W S _ { 2 } } = \left( \int \vec { j } ^ { * } \vec { E } \, d x \, d y \right) / W _ { i n c } = \left( \int \vec { E } ^ { * } \overleftrightarrow { \alpha } \vec { E } \, d x \, d y \right) / W _ { i n c }
\begin{array} { r l } { \mathrm { ~ M ~ S ~ E ~ } } & { { } = \frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \left( \left| u \left( t ^ { i } , x ^ { i } , y ^ { i } \right) - u ^ { i } \right| ^ { 2 } + \left| v \left( t ^ { i } , x ^ { i } , y ^ { i } \right) - v ^ { i } \right| ^ { 2 } \right) } \end{array}
\Delta T _ { e } ( t ) = \Theta ( t ) \left[ A _ { n } \left( e ^ { - \frac { t } { \tau _ { r i s e } } } - e ^ { - \frac { t } { \tau _ { i n } } } \right) + A _ { t } \left( e ^ { - \frac { t } { \tau _ { t } } } - e ^ { - \frac { t } { \tau _ { r i s e } } } \right) \right]
\begin{array} { r l } & { \mathrm { e } ^ { \pm \frac { 1 } { r - s } k _ { 0 } ^ { ( a ) } } e _ { n } ^ { ( b ) } \mathrm { e } ^ { \mp \frac { 1 } { r - s } k _ { 0 } ^ { ( a ) } } = \mathrm { s g n } ( r , s ) { H } _ { a b } ^ { \pm \frac { 1 } { r - s } } e _ { n \mp 1 } ^ { ( b ) } \quad ( r \neq s ) , } \\ & { \mathrm { e } ^ { \pm \frac { 1 } { r - s } k _ { 0 } ^ { ( a ) } } f _ { n } ^ { ( b ) } \mathrm { e } ^ { \mp \frac { 1 } { r - s } k _ { 0 } ^ { ( a ) } } = \mathrm { s g n } ( r , s ) { H } _ { a b } ^ { \mp \frac { 1 } { r - s } } f _ { n \pm 1 } ^ { ( b ) } \quad ( r \neq s ) , } \\ & { \mathrm { e } ^ { k _ { 0 } ^ { ( a ) } } e _ { n } ^ { ( b ) } \mathrm { e } ^ { - k _ { 0 } ^ { ( a ) } } = \mathrm { s g n } ( r , s ) \mathcal { H } _ { a b } e _ { n } ^ { ( b ) } \quad ( r = s ) , } \\ & { \mathrm { e } ^ { k _ { 0 } ^ { ( a ) } } f _ { n } ^ { ( b ) } \mathrm { e } ^ { - k _ { 0 } ^ { ( a ) } } = \mathrm { s g n } ( r , s ) \mathcal { H } _ { a b } f _ { n } ^ { ( b ) } \quad ( r = s ) , } \end{array}
\left. + \left[ Q _ { R } ^ { \dagger } ( \mathbf { p } ) u _ { + 1 } ^ { + 1 } ( \mathbf { p } ) ^ { \dagger } \gamma _ { 0 } \gamma _ { \mu } u _ { - 1 } ^ { - 1 } ( \mathbf { p } ) + Q _ { L } ^ { \dagger } ( \mathbf { p } ) u _ { - 1 } ^ { - 1 } ( \mathbf { p } ) ^ { \dagger } \gamma _ { 0 } \gamma _ { \mu } u _ { + 1 } ^ { + 1 } ( \mathbf { p } ) \right] e ^ { - i p x } \right\} , \quad \quad ( 1 )
\begin{array} { r } { P ( x , z , t ) = - \rho \frac { \partial \Phi ^ { * } } { \partial t } + \rho ( \mathbf { u _ { r e l } } + \mathbf { U _ { \infty } } ) \cdot \nabla \Phi ^ { * } - \rho \frac { ( \nabla \Phi ^ { * } ) ^ { 2 } } { 2 } , } \end{array}
J _ { W } = { \frac { G _ { F } \; \rho } { m _ { p } } } \sim \left( 1 0 ^ { - 3 3 } \; \rho _ { \mathrm { e V } } \right) \; \; \mathrm { e V } ^ { - 1 } , \qquad J _ { G } \sim R ^ { - 1 }
\int _ { \bf p q } { \frac { n ( p ) n ( q ) } { p q } } \, { \frac { r ^ { 4 } } { q ^ { 2 } \Delta ( p , q , r ) } } \; = \; \int _ { \bf p q } { \frac { n ( p ) n ( q ) } { p q } } \left( { \frac { 1 - 2 \epsilon } { 8 \epsilon } } \, { \frac { p ^ { 2 } } { q ^ { 4 } } } + { \frac { 7 - 6 \epsilon } { 8 \epsilon } } \, { \frac { 1 } { q ^ { 2 } } } \right) \, .
{ \boldsymbol { F } } ( { \boldsymbol { r } } ) = { \frac { q } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } q _ { i } { \frac { { \boldsymbol { r } } - { \boldsymbol { r } } _ { i } } { | { \boldsymbol { r } } - { \boldsymbol { r } } _ { i } | ^ { 3 } } } = { \frac { q } { 4 \pi \varepsilon _ { 0 } } } \sum _ { i = 1 } ^ { N } q _ { i } { \frac { \hat { { \boldsymbol { R } } _ { i } } } { | { \boldsymbol { R } } _ { i } | ^ { 2 } } }
\overline { { \Lambda } } _ { j } ( x _ { 0 } , s ) = \frac { \sqrt { s / D _ { j } } \cosh ( \sqrt { s / D _ { j } } [ a _ { j } - x _ { 0 } ] ) + z _ { j } ^ { - } \sinh ( \sqrt { s / D _ { j } } [ a _ { j } - x _ { 0 } ] ) } { \sqrt { s / D _ { j } } \cosh ( \sqrt { s / D _ { j } } L _ { j } ) + z _ { j } ^ { - } \sinh ( \sqrt { s / D _ { j } } L _ { j } } ,
\frac { B r ( J / \psi \rightarrow \gamma + { h a d r o n s } ) } { B r ( J / \psi \rightarrow { h a d r o n s \: o n l y } ) } \approx \frac { B r ( J / \psi \rightarrow \gamma + g g ) } { B r ( J / \psi \rightarrow g g g ) } = \frac { 1 6 } { 5 } \frac { \alpha _ { E } } { \alpha _ { s } } = . 0 7 - . 0 9 ,
\begin{array} { r l } & { h _ { i n } ^ { ( 1 ) } ( x _ { i } ( t ) , d _ { i } ( t ) ) = f _ { i } ( x _ { i } ( t ) , d _ { i } ( t ) , \dot { d } _ { i } ( t ) , u _ { i } ( t ) ) , } \\ & { h _ { i , n - l } ^ { ( l + 1 ) } ( x _ { i 1 } ( t ) , \cdots , x _ { i , n - l } ( t ) , d _ { i } ( t ) ) } \\ & { = g _ { i } ( x _ { i } ( t ) , d _ { i } ( t ) , \dot { d } _ { i } ( t ) , \cdots , d _ { i } ^ { ( l + 1 ) } ( t ) , u _ { i } ( t ) ) } \end{array}
{ \cal V } _ { N ; g } \, = \, { \cal C } _ { g } < \Omega | \int [ { \mathrm { d } } m ] _ { N } ^ { g } \exp \left\{ \frac { 1 } { 2 } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \sqrt { \frac { \alpha ^ { \prime } } { 2 } } p ^ { ( i ) } \cdot \left. \! \left[ \sqrt { \frac { \alpha ^ { \prime } } { 2 } } p ^ { ( i ) } + { \alpha } _ { 1 } ^ { ( i ) } \partial _ { z } + \bar { \alpha } _ { 1 } ^ { ( i ) } \partial _ { \bar { z } } \right] \log | V _ { i } ^ { \prime } ( z ) | ^ { 2 } \right| _ { z = 0 } \right\}
\begin{array} { r l } { \| x ( \tau ) \| _ { \mathcal { Q } _ { 0 } } ^ { 2 } } & { \leq C \int _ { 0 } ^ { \tau } | \mathcal { Q } ^ { + } ( b ) x ( b , t ) | ^ { 2 } \, d t \quad \mathrm { a n d } } \\ { \| x ( \tau ) \| _ { \mathcal { Q } _ { 0 } } ^ { 2 } } & { \leq C \int _ { 0 } ^ { \tau } | \mathcal { Q } ^ { - } ( a ) x ( a , t ) | ^ { 2 } \, d t . } \end{array}
\begin{array} { r } { \tilde { H } \left( \begin{array} { l } { | E \rangle } \\ { 0 } \end{array} \right) = 0 , \quad \Sigma \left( \begin{array} { l } { | E \rangle } \\ { 0 } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { | E \rangle } \\ { 0 } \end{array} \right) , } \end{array}
h ( x , \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } ) = m ^ { 2 } \frac { ( x s ^ { \prime } ) ^ { 2 } } { ( x t _ { 1 } ^ { c } ) u _ { 1 } ^ { c } } - s _ { 5 } - \frac { ( 1 - x ) } { x ^ { 2 } } s _ { 5 } \beta _ { 5 } ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta _ { 2 } \sin ^ { 2 } \theta _ { 1 } \frac { ( x s ^ { \prime } ) ^ { 2 } } { ( x t _ { 1 } ^ { c } ) u _ { 1 } ^ { c } } \, .
\chi _ { A } ( \mathbf { r } ) = Z _ { A } \operatorname* { l i m } _ { \zeta \rightarrow \infty } \Big ( \frac { \zeta } { 2 \pi } \Big ) ^ { 3 / 2 } e ^ { - \zeta | \mathbf { r } - \mathbf { R } _ { A } | ^ { 2 } }
\begin{array} { r l } { \gamma _ { \mathcal { F } _ { i } } ( \mu , \nu ) } & { = \operatorname* { s u p } _ { f _ { \ell } \in \mathcal { F } _ { \ell } } \left| \int f _ { \ell } d \mu - \int f _ { \ell } d \nu \right| } \\ & { = \operatorname* { s u p } _ { f \in \mathcal { F } } \left| \int \pi _ { \ell } \circ f d \mu - \int \pi _ { \ell } \circ f d \nu \right| } \\ & { \leq \operatorname* { m a x } _ { \ell } \operatorname* { s u p } _ { f \in \mathcal { F } } \left| \int \pi _ { \ell } \circ f d \mu - \int \pi _ { \ell } \circ f d \nu \right| } \\ & { = \gamma _ { \mathcal { F } _ { \pi } } ( \mu , \nu ) = 0 . } \end{array}
\frac { 1 } { c ( \mathbf { x } _ { r } ) } \left[ \mathbf { t } ( \mathbf { x } _ { r } ) \cdot \widehat { \mathbf { \xi } } ( \mathbf { x } ^ { * } ) - \mathbf { t } ( \mathbf { x } _ { r } ) \cdot \widehat { \mathbf { \xi } } ( \mathbf { x } ) \right] = 0
Z _ { 0 } ( t ) = \exp \left\{ - \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { d = 1 } ^ { D } \theta _ { d } ( t ) d W _ { d } ( t ) - { \frac { 1 } { 2 } } \int _ { 0 } ^ { t } \sum _ { d = 1 } ^ { D } | \theta _ { d } ( t ) | ^ { 2 } d t \right\}
\lVert \theta _ { i } ^ { * } - \theta _ { j } ^ { * } \rVert \le \Gamma ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) \triangleq \frac { \kappa ( \bar { A } _ { i } ) H } { 1 - \kappa ( \bar { A } _ { i } ) \frac { A ( \epsilon ) } { \delta _ { 1 } } } \left( \frac { A ( \epsilon ) } { \delta _ { 1 } } + \frac { b ( \epsilon , \epsilon _ { 1 } ) } { \delta _ { 2 } } \right) ,
\int _ { a } ^ { b } f ( x ) \, d x = \sum _ { i = 0 } ^ { N / 2 - 1 } { \frac { h _ { 2 i } + h _ { 2 i + 1 } } { 6 } } \left[ \left( 2 - { \frac { h _ { 2 i + 1 } } { h _ { 2 i } } } \right) f _ { 2 i } + { \frac { ( h _ { 2 i } + h _ { 2 i + 1 } ) ^ { 2 } } { h _ { 2 i } h _ { 2 i + 1 } } } f _ { 2 i + 1 } + \left( 2 - { \frac { h _ { 2 i } } { h _ { 2 i + 1 } } } \right) f _ { 2 i + 2 } \right] ,
\overline { { \mathscr { R } } } = \cup _ { o \in \mathscr { T } ^ { m } } \overline { { o } } \quad \mathrm { ~ w ~ i ~ t ~ h ~ } \quad \mathscr { T } ^ { m } = \{ o _ { j } ^ { m } : j = 1 , \cdots , J _ { \mathscr { R } } \} , \qquad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad Q ^ { m } = \{ \vec { q } _ { k } ^ { m } : k = 1 , \cdots , K \} ,
\xi \simeq \sin { 2 \beta } { \frac { m _ { W _ { 1 } } ^ { 2 } } { m _ { W _ { 2 } } ^ { 2 } } } \equiv \sin { 2 \beta } { \frac { m _ { W } ^ { 2 } } { m _ { W _ { 2 } } ^ { 2 } } } .
M _ { \mathrm { B S M , c h a r g e d } } ^ { \mathrm { m a x , X } } \approx \left\{ \begin{array} { l } { ( 1 0 0 ~ { \textrm { T e V } } ) \ N _ { \mathrm { B S M } } ^ { 1 / 2 } } \\ { \mathrm { f o r \; } X = \mathrm { ~ ( ~ u ~ n ~ i ~ t ~ a ~ r ~ i ~ t ~ y ~ * ~ ) ~ } } \\ { ( 2 0 ~ { \textrm { T e V } } ) \ N _ { \mathrm { B S M } } ^ { 1 / 2 } } \\ { \mathrm { f o r \; } X = \mathrm { ~ ( ~ u ~ n ~ i ~ t ~ a ~ r ~ i ~ t ~ y ~ + ~ M ~ F ~ V ~ ) ~ } } \\ { ( 2 0 ~ { \textrm { T e V } } ) \ N _ { \mathrm { B S M } } ^ { 1 / 6 } } \\ { \mathrm { f o r \; } X = \mathrm { ~ ( ~ u ~ n ~ i ~ t ~ . ~ + ~ n ~ a ~ t ~ u ~ r ~ a ~ l ~ n ~ e ~ s ~ s ~ * ~ ) ~ } } \\ { ( 9 ~ { \textrm { T e V } } ) \ N _ { \mathrm { B S M } } ^ { 1 / 6 } } \\ { \mathrm { f o r \; } X = \mathrm { ~ ( ~ u ~ n ~ i ~ t ~ . ~ + ~ n ~ a ~ t ~ . ~ + ~ M ~ F ~ V ~ ) ~ } } \end{array} \right.
( \Phi _ { o u t } | \; \{ \psi _ { _ { L } } ( x ) , \bar { \psi } _ { _ { L } } ( y ) \} \; | \Phi _ { i n } ) \; = \; 0 \; \; \; \; \mathrm { f o r } \; ( x - y ) ^ { 2 } \; \mathrm { s p a c e l i k e }
\pi { \mathrm { ~ p c } } = 1 8 0 \times 6 0 \times 6 0 { \mathrm { ~ a u } } = 1 8 0 \times 6 0 \times 6 0 \times 1 4 9 \, 5 9 7 \, 8 7 0 \, 7 0 0 = 9 6 \, 9 3 9 \, 4 2 0 \, 2 1 3 \, 6 0 0 \, 0 0 0 { \mathrm { ~ m } }
= \nu _ { 2 3 } { \Gamma ( - \nu _ { 3 1 } + 1 ) \Gamma ( - \nu _ { 2 3 } ) \Gamma ( \nu _ { 3 1 } + \nu _ { 2 3 } ) \o { \Gamma ( \nu _ { 3 1 } ) \Gamma ( \nu _ { 2 3 } + 1 ) \Gamma ( - \nu _ { 2 3 } - \nu _ { 3 1 } + 1 ) } } = 0
( u , x , \mathbb { E } \left[ \Tilde { \eta } _ { x } ( u ) \vert D _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ a ~ i ~ n ~ } } \right] , \mathrm { ~ V ~ a ~ r ~ } [ \Tilde { \eta } _ { x } ( u ) \, \vert \, D _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ a ~ i ~ n ~ } } ] )
\begin{array} { r l } { ( s _ { 2 } ^ { \flat } \mathbin { \diamondsuit } s _ { 1 } ^ { \flat } ) ( ( e , f ) , a \mathbin { : : } a s ) } & { = s _ { 2 } ^ { \flat } ( f , s _ { 1 } ^ { \flat } ( e , a \mathbin { : : } a s ) ) } \\ & { = s _ { 2 } ^ { \flat } \big ( f , s _ { 1 } ( e , a ) \mathbin { : : } s _ { 1 } ^ { \flat } ( d _ { 1 } ( e , a ) , a s ) \big ) } \\ & { = s _ { 2 } ( f , s _ { 1 } ( e , a ) ) \mathbin { : : } s _ { 2 } ^ { \flat } ( d _ { 2 } ( f , s _ { 1 } ( e , a ) ) , s _ { 1 } ^ { \flat } ( d _ { 1 } ( e , a ) , a s ) ) } \\ & { = ( s _ { 2 } \mathbin { \diamondsuit } s _ { 1 } ) ( ( e , f ) , a ) \mathbin { : : } ( s _ { 2 } \mathbin { \diamondsuit } s _ { 1 } ) ^ { \flat } ( ( d _ { 2 } \mathbin { \diamondsuit } d _ { 1 } ) ( ( e , f ) , a ) , a s ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { E ( \epsilon ; s _ { 0 } , r ) = } & { { } \operatorname* { m i n } _ { \theta } E ( \epsilon , \theta ; s _ { 0 } , r ) } \\ { \approx } & { { } \operatorname* { m i n } _ { \theta } E _ { 0 } + \frac { \alpha } { 2 } ( \epsilon , s _ { 0 } , r ) \theta ^ { 2 } + \frac { \beta ( \epsilon , s _ { 0 } , r ) } { 4 } \theta ^ { 4 } + \mathcal { O } ( \theta ^ { 6 } ) } \\ { = } & { { } E _ { 0 } + \frac 1 2 \left( \frac { \partial ^ { 2 } E ( \theta _ { \mathrm { ~ m ~ i ~ n ~ } } ) } { \partial \epsilon ^ { 2 } } \right) \epsilon ^ { 2 } + \mathcal { O } ( \epsilon ^ { 3 } ) } \end{array}
\Omega \leqslant C _ { 1 2 D } \sum _ { k } \mathbb E \left[ | h _ { c k } | ^ { 1 2 D + 2 } \right] \mathbb E \left[ \left| \partial _ { c k } ^ { 1 2 D + 1 } ( G _ { t } ^ { ( k ) } A \overline { G } _ { t } ^ { ( k ) } G _ { t } ^ { ( k ) } ) _ { k d } ( G _ { t } ^ { ( k ) } A \overline { G } _ { t } ^ { ( k ) } G _ { t } ^ { ( k ) } ) _ { c d } ^ { D - 1 } ( \overline { G } _ { t } ^ { ( k ) } A G _ { t } ^ { ( k ) } \overline { G } _ { t } ^ { ( k ) } ) _ { c d } ^ { D } \right| \right] ,
c _ { k + 1 , k + 1 - j } = \frac { ( 1 - q ^ { 2 } ) ( 1 - q ^ { 2 j } ) } { 1 - q ^ { 2 ( j + 1 ) } } c _ { k , k + 1 - j } + q ^ { 2 j } ( 1 - q ^ { 2 } ) c _ { k , k - j } .
\hat { \varepsilon } _ { S } + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } = \frac { \varepsilon + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } } { 2 } - \sqrt { 1 + \theta } \left\vert \frac { \varepsilon + b _ { \varepsilon } \gamma ^ { 2 } } { 2 } \right\vert ,
\begin{array} { r l } { \mathcal { L } ^ { - 1 } } & { { } \left[ s ^ { - \rho } H _ { p , q } ^ { m , n } \left[ a s ^ { \sigma } \left| \begin{array} { c } { ( a _ { p } , A _ { p } ) } \\ { ( b _ { q } , B _ { q } ) } \end{array} \right. \right] ; t \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \textbf { p } _ { m n } ^ { \textbf { k } _ { 0 } + \textbf { A } ( t ) } } & { { } = - i \left\langle \varphi _ { m , \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) \left| \left[ \hat { \textbf { r } } \hat { H } _ { V G } ( t ) - \hat { H } _ { V G } ( t ) \hat { \textbf { r } } \right] \right| \varphi _ { n , \textbf { k } _ { 0 } } ( t ) \right\rangle } \end{array}
+ \frac { x ^ { 1 } y ^ { 1 } z ^ { 5 } } { 1 ^ { a } 1 ^ { b } 5 ^ { c } } + \frac { x ^ { 1 } y ^ { 2 } z ^ { 5 } } { 1 ^ { a } 2 ^ { b } 5 ^ { c } } + \frac { x ^ { 1 } y ^ { 3 } z ^ { 5 } } { 1 ^ { a } 3 ^ { b } 5 ^ { c } } + \frac { x ^ { 1 } y ^ { 4 } z ^ { 5 } } { 1 ^ { a } 4 ^ { b } 5 ^ { c } } + \frac { x ^ { 1 } y ^ { 5 } z ^ { 5 } } { 1 ^ { a } 5 ^ { b } 5 ^ { c } }
\psi _ { 0 } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { u ( x ) , \; \; } & { \textrm { f o r } \; x \in [ - L / 2 , L / 2 ] , } \\ { 0 , \; \; } & { \textrm { o t h e r w i s e } , } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { \left( y _ { 1 } \frac { d } { d y _ { 1 } } + \sqrt { - 1 } \left( 2 \pi c _ { 0 } \sqrt { - 1 } \right) y _ { 1 } + \left( i - \frac { d _ { \Lambda } } { 2 } \right) \right) W _ { i - \frac { d _ { \Lambda } } { 2 } , \frac { \Lambda _ { 1 } + \Lambda _ { 2 } + 1 } { 2 } } ( 4 \pi | c _ { 0 } | y _ { 1 } ) = - W _ { i + 1 - \frac { d _ { \Lambda } } { 2 } , \frac { \Lambda _ { 1 } + \Lambda _ { 2 } + 1 } { 2 } } ( 4 \pi | c _ { 0 } | y _ { 1 } ) , } \end{array}
\left\langle w , \frac { \partial v } { \partial t } \right\rangle + \left\langle w , q u ^ { \perp } \right\rangle - \frac { 1 } { 2 } \left\langle \nabla \cdot w , u \cdot v \right\rangle + G ^ { \prime } ( v ; w ) , \quad \forall w \in \mathbb { V } _ { h } ^ { 1 } .
U \; = \; \int \frac { d ^ { 4 } p _ { 1 } } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \cdots \int \frac { d ^ { 4 } p _ { r } } { ( 2 \pi ) ^ { 4 } } \; \delta ( a _ { 1 } - p _ { 1 } ^ { 2 } ) \: \cdots \: \delta ( a _ { r } - p _ { r } ^ { 2 } ) \; f ^ { \{ \alpha \} } ( p _ { 1 } , \ldots , p _ { k } ) \; \; \; \; .
\begin{array} { r l } { k _ { t } } & { = - \partial _ { B } \mathcal { H } } \\ { B _ { t } } & { = \partial _ { k } \mathcal { H } } \\ { X _ { t } } & { = \nabla _ { \beta } \mathcal { H } } \\ { \beta _ { t } } & { = - \nabla _ { X } \mathcal { H } } \\ { A _ { t } } & { = \frac { A B } { 2 } ( d - 2 ) e ^ { - 4 k } } \\ { \gamma _ { t } } & { = | \beta | ^ { 2 } - | X | ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { 0 } ^ { \infty } e ^ { - t } \int _ { T _ { n } ( t ) } \prod _ { j = 1 } ^ { n } ( s _ { j + 1 } - s _ { j } ) ^ { \beta + \gamma - 1 } E _ { \beta , \beta + \gamma } \left( - 2 ^ { - 1 } \nu ( s _ { j + 1 } - s _ { j } ) ^ { \beta } | \eta _ { j } | ^ { \alpha } \right) \ensuremath { \mathrm { d } } \mathbf { s } \ensuremath { \mathrm { d } } t } \\ & { = \int _ { R _ { + } ^ { n + 1 } } e ^ { - ( r _ { 0 } + \cdots + r _ { n } ) } \prod _ { j = 1 } ^ { n } r _ { j } ^ { \beta + \gamma - 1 } E _ { \beta , \beta + \gamma } \left( - 2 ^ { - 1 } \nu r _ { j } ^ { \beta } | \eta _ { j } | ^ { \alpha } \right) \ensuremath { \mathrm { d } } \mathbf { r } } \\ & { = \prod _ { j = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { 1 + 2 ^ { - 1 } \nu | \eta _ { j } | ^ { \alpha } } , } \end{array}
p ( b _ { 1 } , \ldots , b _ { n } | y _ { 1 } , \ldots , y _ { n } ) = \sum _ { \sigma _ { 0 } , \sigma _ { 1 } , \ldots , \sigma _ { n } } p ( \sigma _ { 0 } ) P ( \sigma _ { 1 } , b _ { 1 } | \sigma _ { 0 } , y _ { 1 } ) P ( \sigma _ { 2 } , b _ { 2 } | \sigma _ { 1 } , y _ { 2 } ) \ldots P ( \sigma _ { n } , b _ { n } | \sigma _ { n - 1 } , y _ { n } )
\tilde { L _ { 0 } } = \sum _ { a = 1 } ^ { N } i \bar { \psi } _ { a } \gamma _ { \mu } \partial ^ { \mu } \psi _ { a } + \lambda _ { 0 } \left( \sum _ { a = 1 } ^ { N } \bar { \psi } _ { a } \gamma _ { \mu } \tau ^ { i } \psi _ { a } \right) ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } h } & { { } = \nabla \cdot \left[ \frac { h ^ { 3 } } { 3 \eta } \, \nabla \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta h } \right] \ \, - \ M \left[ \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta h } - \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta \zeta } \right] \ + \ U \partial _ { x } h } \\ { \partial _ { t } \zeta } & { { } = \nabla \cdot \left[ D \zeta \, \nabla \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta \zeta } \right] \ - \ M \left[ \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta \zeta } - \frac { \delta \mathcal { F } } { \delta h } \right] \ + \ U \partial _ { x } \zeta . } \end{array}
\begin{array} { l c l } { { x _ { a } \star x _ { b } } } & { { = } } & { { \sum _ { \alpha = 0 } ^ { \infty } ( x _ { a } \star x _ { b } ) _ { \alpha } } } \\ { { } } & { { = } } & { { x _ { a } x _ { b } + \sum _ { { \alpha } = 1 } ^ { \infty } \frac { 1 } { \alpha ! } ( \frac { i } { 2 } ) ^ { \alpha } \prod _ { i = 1 } ^ { \alpha } \theta ^ { \mu _ { i } \nu _ { i } } ( \prod _ { j = 1 } ^ { \alpha } \partial _ { \mu _ { j } } x _ { a } ) ( \prod _ { k = 1 } ^ { \alpha } \partial _ { \nu _ { k } } x _ { b } ) } } \end{array}
\Psi _ { 2 } ( \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } ) = B _ { 1 } ( \lambda _ { 1 } ) B _ { 1 } ( \lambda _ { 2 } ) \left| 0 \right\rangle - \frac { 1 } { y ( \lambda _ { 1 } - \lambda _ { 2 } ) }
\begin{array} { r l } { \sigma ( X _ { 0 } ) : = } & { \operatorname* { s u p } _ { x \in \mathcal { A } ( \mathbb { R } _ { + } , \mathbb { R } ^ { n } ) } ~ ~ \int _ { 0 } ^ { \infty } \| x ^ { \prime } ( t ) \| d t } \\ & { ~ ~ \mathrm { s u b j e c t ~ t o } ~ ~ ~ \left\{ \begin{array} { l } { x ^ { \prime } ( t ) \in - \partial f ( x ( t ) ) , ~ \mathrm { f o r ~ a . e . } ~ t > 0 , } \\ { x ( 0 ) \in X _ { 0 } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } { 1 - \frac { 1 } { r ^ { I + 2 \ell } } } & { \leq t _ { \ell } \leq 1 ; } \\ { 2 C _ { r , p } ( t _ { \ell + 1 } - t _ { \ell } ) } & { \leq \left( \frac { 1 } { r ^ { p + \delta _ { \ell + 1 } } } \right) ^ { \ell + 1 } - \left( \frac { 1 } { r ^ { p + \delta _ { \ell } } } \right) ^ { \ell + 1 } ; } \\ { t _ { 1 } } & { \geq \operatorname* { m a x } \left( \frac { 9 } { 1 0 } , T _ { 0 } , T _ { 0 } ^ { \prime } \right) . } \end{array}
\psi _ { J = 3 / 2 } = 0 . 7 8 6 9 \phi ( 6 d _ { 3 / 2 } ^ { 3 } ) - 0 . 5 0 8 3 \phi ( 6 d _ { 3 / 2 } ^ { 2 } d _ { 5 / 2 } ^ { 1 } ) -
\mathbf { l } _ { 1 } = \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \\ { 0 } \\ { \vdots } \end{array} \right) \quad \mathrm { { a n d } \quad \mathbf { l } _ { 2 } = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 1 } \\ { 0 } \\ { \vdots } \end{array} \right) . }
x _ { 1 } ^ { 4 } = \phi \pm \sqrt { \phi ^ { 2 } - [ 1 + ( x _ { 3 } ^ { 2 } - \phi ) ^ { 2 } + ( x _ { 4 } ^ { 2 } - \phi ) ^ { 2 } + ( x _ { 5 } ^ { 2 } - \phi ) ^ { 2 } ] } \; ,