harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l } & { T _ { + - } \frac { C h _ { - } ^ { ( 1 ) } ( [ 1 - ] - [ 2 - ] ) } { C h _ { - } ^ { ( 1 ) } ( [ 1 + ] - [ 1 - ] ) + h _ { - } ^ { ( 2 ) } ( [ 1 + ] - [ 2 - ] ) } } \\ & { = T _ { + - } C \frac { h _ { - } ^ { ( 1 ) } ( [ 1 - ] - [ 2 - ] ) } { h _ { - } ^ { ( 2 ) } ( [ 1 + ] - [ 2 - ] ) } \frac { 1 } { 1 + \frac { C h _ { - } ^ { ( 1 ) } ( [ 1 + ] - [ 1 - ] ) } { h _ { - } ^ { ( 2 ) } ( [ 1 + ] - [ 2 - ] ) } } } \\ & { = T _ { + - } C T _ { - + } \frac { h _ { - } ^ { ( 1 ) } } { h _ { - } ^ { ( 2 ) } } \frac { 1 } { 1 - C \frac { h _ { - } ^ { ( 1 ) } } { h _ { - } ^ { ( 2 ) } } R _ { -- } } } \\ & { = T _ { + - } C T _ { - + } \frac { h _ { - } ^ { ( 1 ) } } { h _ { - } ^ { ( 2 ) } } \sum _ { p = 0 } ^ { \infty } \left( C \frac { h _ { - } ^ { ( 1 ) } } { h _ { - } ^ { ( 2 ) } } R _ { -- } \right) ^ { p } . } \end{array}
\displaystyle - \frac { 1 } { 5 7 6 0 } ( 1 3 3 7 7 + 1 6 7 7 3 \xi + 1 2 0 9 1 \xi ^ { 2 } + 9 4 6 3 \xi ^ { 3 } ) + \frac { 1 } { 3 0 } ( 1 + \xi ) ^ { 2 } ( - 3 8 + 7 \xi ) \zeta ( 3 )
I = \int _ { R ^ { 2 } } d ^ { 2 } z \frac { ( y _ { 2 } \bar { y } _ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 4 } } } { \bar { y } _ { 2 } } ( y _ { 1 } \bar { y } _ { 1 } ) ^ { - \frac { 1 } { 4 } } e ^ { - | x _ { \perp } | ( \sqrt { y _ { 1 } \bar { y } _ { 1 } } + \sqrt { y _ { 2 } \bar { y } _ { 2 } } ) }
\Theta _ { \rho \sigma } ^ { \mu \nu } ( v ) = \frac { 1 } { 2 } \Theta _ { \rho } ^ { \mu } \Theta _ { \sigma } ^ { \nu } + \frac { 1 } { 2 } \Theta _ { \sigma } ^ { \mu } \Theta _ { \rho } ^ { \nu } - \frac { 1 } { 3 } \Theta ^ { \mu \nu } \Theta _ { \rho \sigma } .
\left( \begin{array} { c c } { \hat { u } _ { s , 1 } } \\ { \hat { u } _ { s . 2 } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { \xi } & { - i \partial _ { 2 } } \\ { - i \partial _ { 2 } } & { - \xi } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c c } { P ( \xi ) \, \mathrm { e x p } ( i x _ { 2 } \gamma _ { p } ) } \\ { S ( \xi ) \, \mathrm { e x p } ( i x _ { 2 } \gamma _ { s } ) } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { \gamma _ { k , 3 } = \frac { \mathrm { t r } \left( \mathbf a _ { k , k , 3 } \mathbf a _ { k , k , 3 } ^ { H } \mathbf S _ { k , 3 } \right) } { \sum _ { i = 1 , i \neq k } ^ { K } \mathrm { t r } \left( \mathbf a _ { i , k , 3 } \mathbf a _ { i , k , 3 } ^ { H } \mathbf S _ { i , 3 } \right) + \sigma _ { k } ^ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { s u p } _ { \mathbb { P } \in \mathcal { F } } \mathbb { E } _ { \mathbb { P } } \left[ \ell \left( \boldsymbol { w } ^ { T } \boldsymbol { X } \right) \right] = } & { \operatorname* { s u p } _ { \mathbb { P } \in \mathcal { F } } \mathbb { E } _ { \mathbb { P } } \left[ ( u _ { 2 } - u _ { 1 } ) \left( \boldsymbol { w } ^ { T } \boldsymbol { X } + \frac { v _ { 2 } - v _ { 1 } } { u _ { 2 } - u _ { 1 } } \right) _ { + } + \left( u _ { 1 } \boldsymbol { w } ^ { T } \boldsymbol { X } + v _ { 1 } \right) \right] } \\ { = \ } & { ( u _ { 2 } - u _ { 1 } ) \operatorname* { s u p } _ { \mathbb { P } \in \mathcal { F } } \mathbb { E } _ { \mathbb { P } } \left[ \left( \boldsymbol { w } ^ { T } \boldsymbol { X } + \frac { v _ { 2 } - v _ { 1 } } { u _ { 2 } - u _ { 1 } } \right) _ { + } \right] + u _ { 1 } \boldsymbol { w } ^ { T } \boldsymbol { \mu } + v _ { 1 } } \\ { = \ } & { ( u _ { 2 } - u _ { 1 } ) \operatorname* { s u p } _ { \mathbb { P } \in \tilde { \mathcal { F } } } \mathbb { E } _ { \mathbb { P } } \left[ \left( \boldsymbol { 1 } ^ { T } \tilde { \boldsymbol { X } } + \frac { v _ { 2 } - v _ { 1 } } { u _ { 2 } - u _ { 1 } } \right) _ { + } \right] + u _ { 1 } \boldsymbol { w } ^ { T } \boldsymbol { \mu } + v _ { 1 } . } \end{array}
\hat { E } = - i ( \partial _ { q } + \partial _ { q ^ { * } } ) , ~ ~ ~ \hat { K } = - i ( q \partial _ { q } + q ^ { * } \partial _ { q ^ { * } } ) , ~ ~ ~ \hat { L } = i c ( q ^ { * } - q ) - i ( q ^ { 2 } \partial _ { q } + q ^ { * 2 } \partial _ { q ^ { * } } ) .
L _ { n } ^ { ( 0 ) } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k } \alpha _ { k } ^ { \mu } \alpha _ { n - k } ^ { \nu } \eta _ { \mu \nu } { , } \quad \bar { L } { } _ { n } ^ { ( 0 ) } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { k } \bar { \alpha } { } _ { k } ^ { \mu } \bar { \alpha } { } _ { n - k } ^ { \nu } \eta _ { \mu \nu }
\begin{array} { r l } { h ^ { ( r ) } ( 2 ) } & { = \mathbb { E } \left[ \prod _ { i = 1 } ^ { r _ { 1 } } \mathbb { E } \left[ 1 - \frac { 2 \eta _ { i } \sigma ^ { 2 } } { b } X + \frac { \eta _ { i } ^ { 2 } \sigma ^ { 4 } } { b ^ { 2 } } ( X ^ { 2 } + X Y ) \right] \right] } \\ & { = \mathbb { E } \left[ \prod _ { i = 1 } ^ { r _ { 1 } } \left( 1 - 2 \eta _ { i } \sigma ^ { 2 } + \frac { \eta _ { i } ^ { 2 } \sigma ^ { 4 } } { b } ( d + b + 1 ) \right) \right] = c ^ { ( r ) } > 1 , } \end{array}
I _ { j , k } ^ { m } ( \boldsymbol { x } ) = \mathcal { F } ^ { - 1 } ( \chi _ { j , k } ( T _ { j , k } ( \boldsymbol { \xi } ) ) e ^ { i \phi ( T _ { j , k } ( \boldsymbol { \xi } ) ) } \mathcal { F } ( I ) ( T _ { j , k } ( \boldsymbol { \xi } ) ) ) ( \boldsymbol { x } ) \, .
C _ { \{ k \} } = { \frac { 1 } { k ! } } \sum _ { a _ { 1 } , \dots , a _ { k } } T r _ { F } \{ t _ { F } ^ { a _ { 1 } } t _ { F } ^ { a _ { 2 } } \cdots t _ { F } ^ { a _ { k } } \} t _ { R } ^ { ( a _ { 1 } } t _ { R } ^ { a _ { 2 } } \cdots t _ { R } ^ { a _ { k } ) }
\frac { d S _ { \alpha } } { d s } = \frac e m \left[ \frac g 2 F _ { \alpha } ^ { \ \beta } S _ { \beta } + \left( \frac g 2 - 1 \right) u _ { \alpha } \left( S _ { \lambda } F ^ { \lambda \nu } u _ { \nu } \right) \right] ,
\begin{array} { r l } { \Gamma _ { 0 } \coloneq \, } & { \Gamma , ( \varphi \vee \psi , \sigma ) , ( \varphi \vee \psi , \sigma ^ { \prime } ) } \\ { \Gamma _ { 1 } \coloneq \, } & { \Gamma , ( \varphi \vee \psi , \sigma ) , ( \varphi \vee \psi , \sigma ^ { \prime } ) , ( \varphi , \sigma ) , ( \psi , \sigma ) , ( \varphi , \sigma ^ { \prime } ) , ( \psi , \sigma ^ { \prime } ) } \\ { \Gamma _ { 2 } \coloneq \, } & { \Gamma , ( \varphi \vee \psi , \sigma ) , ( \varphi , \sigma ^ { \prime } ) , ( \psi , \sigma ^ { \prime } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { | a ( \chi _ { \xi } , \chi _ { \eta } ) | } & { \le \| \textsc { a } _ { 2 } \| _ { \infty } \langle | \nabla \chi _ { \xi } | , | \nabla \chi _ { \eta } | \rangle _ { L _ { 2 } } + \| \textsc { a } _ { 1 } \| _ { \infty } \langle | \nabla \chi _ { \xi } ( x ) | , | \chi _ { \eta } ( x ) | \rangle _ { L _ { 2 } } } \\ & { + \| \textsc { a } _ { 0 } \| _ { \infty } \langle | \chi _ { \xi } | , | \chi _ { \eta } | \rangle _ { L _ { 2 } } . } \end{array}
{ \cal { A } } _ { l o w e n e r g y } ^ { r e l a t i v } \, = \, \int ^ { \infty } d ^ { 3 } k I \left( k ^ { 0 } , \vec { k } , w ( p ) , \vec { p } \right) = \int _ { 0 } ^ { \Lambda } d ^ { 2 } k \int _ { - \infty } ^ { \infty } d k ^ { 0 } I + \int _ { \Lambda } ^ { \infty } d ^ { 2 } k \int _ { - \infty } ^ { \infty } d k ^ { 0 } I
\begin{array} { r } { H _ { 3 } = \epsilon _ { L } \sum _ { \nu = 1 } ^ { N _ { f } } a _ { L \nu } ^ { \dag } a _ { L \nu } + \epsilon _ { f } ^ { 0 } \sum _ { \nu = 1 } ^ { N _ { f } } a _ { f \nu } ^ { \dag } a _ { f \nu } + \epsilon _ { c } a _ { c } ^ { \dag } a _ { c } + \frac { V } { \sqrt { N _ { f } } } \sum _ { \nu = 1 } ^ { N _ { f } } ( a _ { L \nu } ^ { \dag } a _ { f \nu } + a _ { L \nu } a _ { f \nu } ^ { \dag } ) + U _ { f f } \sum _ { \nu > \nu ^ { \prime } } a _ { f \nu } ^ { \dag } a _ { f \nu } a _ { f \nu ^ { \prime } } ^ { \dag } a _ { f \nu ^ { \prime } } - U _ { f c } \sum _ { \nu = 1 } ^ { N _ { f } } a _ { f \nu } ^ { \dag } a _ { f \nu } ( 1 - a _ { c } ^ { \dag } a _ { c } ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \delta _ { l } ( x ) = } & { { } \frac { \mathbf { 1 } ^ { T } D _ { x } \mathbf { 1 } - \mathbf { 1 } ^ { T } D _ { ( - ) , \mathrm { { i n } } } ^ { - 1 } A _ { ( - ) } ^ { T } D _ { x } \mathbf { 1 } } { \mathbf { 1 } ^ { T } \mathbf { 1 } } \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \rho _ { v v } ^ { \textbf { k } } } & { { } = i \textbf { E } ( t ) \cdot \textbf { d } _ { v c } ( \textbf { k } _ { t } ) \rho _ { c v } ^ { \textbf { k } } + \textrm { c . c . } } \\ { \frac { d } { d t } \rho _ { c v } ^ { \textbf { k } } } & { { } = - \left[ i \varepsilon _ { c v } ( \textbf { k } _ { t } ) + \frac { 1 } { \textrm { T } _ { 2 } } \right] \rho _ { c v } ^ { \textbf { k } } + i \textbf { E } ( t ) \cdot \textbf { d } _ { c v } ( \textbf { k } _ { t } ) \left[ \rho _ { v v } ^ { \textbf { k } } - \rho _ { c c } ^ { \textbf { k } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \left\langle \hat { B } _ { i } ( \boldsymbol { k } , t ) \hat { B } _ { h } ^ { \ast } ( \boldsymbol { p } , t ) \right\rangle } & { { } = } & { ( 2 \pi ) ^ { 3 } \delta ^ { 3 } ( \boldsymbol { p } - \boldsymbol { k } ) e ^ { - 2 \eta \tau \boldsymbol { p } ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { H } _ { \nu } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { j } \sum _ { \zeta } \Big [ \hat { p } _ { j , \zeta } ^ { 2 } + \omega _ { j , \zeta } ^ { 2 } \Big ( \hat { x } _ { j , \zeta } - \frac { c _ { j , \zeta } } { \omega _ { j , \zeta } ^ { 2 } } \hat { R } _ { j } \Big ) ^ { 2 } \Big ] , } \end{array}
\begin{array} { r } { P _ { \mathrm { p h o t } } ( t _ { \mathrm { b } } ) = \frac { 1 } { \tau _ { \mathrm { p h o t } } } \exp \left[ - \frac { t _ { \mathrm { b } } - \tau _ { \mathrm { d } } } { \tau _ { \mathrm { p h o t } } } \right] , } \end{array}
\omega _ { 3 } ( A ) \ = \ \epsilon _ { i j k } T r \{ A _ { i } \partial _ { j } A _ { k } + \frac { 2 } { 3 } A _ { i } A _ { j } A _ { k } \} \ = \ \frac { 1 } { 4 } \epsilon _ { i j k } C _ { i } H _ { j k }
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } _ { \gamma } \Big [ p \big ( ( f _ { 1 } \circ \varphi _ { 1 } ) ( X _ { 1 } ) , \dots , ( f _ { d } \circ \varphi _ { d } ) ( X _ { d } ) \big ) \Big ] } & { = \mathbb { E } _ { \bigotimes _ { i = 1 } ^ { d } \gamma \vert _ { \mathcal { X } _ { i } } } \Big [ p \big ( ( f _ { 1 } \circ \varphi _ { 1 } ) ( X _ { 1 } ) , \dots , ( f _ { d } \circ \varphi _ { d } ) ( X _ { d } ) \big ) \Big ] } \end{array}
a _ { \ell } ^ { \prime } = x ( \zeta _ { \ell } + \delta \zeta _ { \ell } ) = a _ { \ell } + \frac { \delta \omega ^ { 2 } } { \omega ^ { 1 } } ( \zeta _ { \ell } ) - a _ { \ell } \, \frac { \delta \omega ^ { 1 } } { \omega ^ { 1 } } ( \zeta _ { \ell } ) .
\begin{array} { r l } { \bigl [ \hat { A } , \, \hat { B } \hat { C } \bigr ] } & { { } = \bigl [ \hat { A } , \, \hat { B } \bigr ] \hat { C } + \hat { B } \bigl [ \hat { A } , \, \hat { C } \bigr ] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { n _ { i } } & { { } = \overline { { n } } ( T _ { i } ) + A _ { i \, \mathrm { ~ - ~ } 1 , i } \, n _ { i \, \mathrm { ~ - ~ } 1 } \, , } \\ { \overline { { n } } ( T ) } & { { } = \frac { 1 } { \exp ( \hbar \omega _ { c } / k _ { \mathrm { B } } T ) - 1 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \textstyle - \big ( ( \alpha + \beta ) \varepsilon ^ { - 3 / 2 } \mathbf { t } + \sigma ^ { 2 } \varepsilon ^ { - 1 } \mathbf { x } _ { i } + \gamma \sigma \varepsilon ^ { - 1 / 2 } ( u _ { i } - u ) \big ) \big ( \varepsilon ^ { 1 / 2 } v / ( \gamma \sigma ) - \frac { \varepsilon ( v / ( \gamma \sigma ) ) ^ { 2 } } { 2 } + \frac { \varepsilon ^ { 3 / 2 } ( v / ( \gamma \sigma ) ) ^ { 3 } } { 3 } \big ) } \\ & { \textstyle \qquad - \big ( \alpha \varepsilon ^ { - 3 / 2 } \mathbf { t } - \sigma ^ { 2 } \varepsilon ^ { - 1 } \mathbf { x } _ { i } \big ) \big ( \varepsilon ^ { 1 / 2 } A v / ( \gamma \sigma ) + \frac { \varepsilon ( A v / ( \gamma \sigma ) ) ^ { 2 } } { 2 } + \frac { \varepsilon ^ { 3 / 2 } ( A v / ( \gamma \sigma ) ) ^ { 3 } } { 3 } \big ) } \\ & { \textstyle \qquad + \big ( ( 1 - \rho \alpha ) \varepsilon ^ { - 3 / 2 } \mathbf { t } + \rho \sigma ^ { 2 } \varepsilon ^ { - 1 } \mathbf { x } _ { i } \big ) \big ( \varepsilon ^ { 1 / 2 } B v / ( \gamma \sigma ) - \frac { \varepsilon ( B v / ( \gamma \sigma ) ) ^ { 2 } } { 2 } + \frac { \varepsilon ^ { 3 / 2 } ( B v / ( \gamma \sigma ) ) ^ { 3 } } { 3 } \big ) + \mathcal { O } ( \varepsilon ^ { 1 / 2 } v ) . } \end{array}
I = \left( \frac { 1 } { b } \right) ^ { n + 1 1 } \int _ { x = b ( \delta _ { 1 } + 1 ) } ^ { + \infty } \left( \frac { 1 } { 1 - \frac { 3 5 \log ^ { 2 } x } { x - b } } \right) x ^ { 1 0 } \exp \left( - \frac { 2 } { 7 } \frac { x - b } { \log ^ { 2 } ( x ) } \right) \, d x .
g _ { T } ^ { D / L } \simeq \frac { c \, C ^ { D / L } \hbar \, \Omega \, \delta } { m _ { e } \omega _ { 0 } ^ { 3 } \Delta _ { 0 } ^ { 2 } } \frac { \bar { n } ^ { 2 } + 2 } { 3 \bar { n } } ,
\mathbf { E } ^ { \hat { \mathbf { K } } \parallel \hat { \mathbf { z } } } ( \mathbf { r } ) = \underset { k _ { x } ^ { 2 } + k _ { y } ^ { 2 } \leq k ^ { 2 } } { \iint } \mathcal { F } ^ { \hat { \mathbf { K } } \parallel \hat { \mathbf { z } } } ( k _ { x } , k _ { y } ) \, e ^ { i \mathbf { k } \cdot \mathbf { r } } \, \mathrm { d } k _ { x } \, \mathrm { d } k _ { y } .
\begin{array} { r l } { \left< X _ { n } ( t ) X _ { m } ( 0 ) \right> } & { { } = \sum _ { m = 1 } ^ { N } \sum _ { p = 1 } ^ { N } S _ { n m } S _ { n p } \left< \mathcal { X } _ { m } ( t ) \mathcal { X } _ { p } ( 0 ) \right> } \end{array}
h _ { \rho } = r = \mathrm { e } ^ { \rho } , \quad h _ { s } = \frac { r } { \sin \theta } = \frac { \mathrm { e } ^ { \rho } } { \sqrt { 1 - s ^ { 2 } } } , \quad h _ { \phi } = r \sin \theta = \mathrm { e } ^ { \rho } \sqrt { 1 - s ^ { 2 } } .
g _ { \pi \gamma \gamma } = G _ { \pi \gamma \gamma } ( m _ { \pi } ^ { 2 } , 0 , 0 ) \simeq m _ { q } { \frac { g _ { \pi } } { 2 \sqrt { 2 } \pi ^ { 2 } } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d u u f ( - u ) { \frac { 1 } { ( m _ { q } ^ { 2 } + u ) ^ { 3 } } } .
\mathsf { P } \, ( \mathcal { H } \, | \, \bar { \mathcal { T } } ) = \frac { \mathsf { P } \, ( \bar { \mathcal { T } } \, | \, \mathcal { H } ) } { \mathsf { P } \, ( \bar { \mathcal { T } } ) } \cdot \mathsf { P } \, ( \mathcal { H } ) , \qquad \mathrm { a n d \; t h e } \; \textit { n e g a t i v e e v i d e n c e }
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } \bigg \| y _ { t } ^ { ( m ) } - y _ { x _ { t } ^ { ( m ) } } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } } & { \leq ( 1 - \frac { \mu \gamma } { 2 } ) \mathbb { E } \bigg \| y _ { t - 1 } ^ { ( m ) } - y _ { x _ { t - 1 } ^ { ( m ) } } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } + \frac { 1 0 \kappa ^ { 2 } \eta ^ { 2 } } { \mu \gamma } \mathbb { E } \bigg \| v _ { t - 1 } ^ { ( m ) } \bigg \| ^ { 2 } + \frac { 1 0 \kappa ^ { 2 } } { \mu \gamma } \mathbb { E } \| x _ { t } ^ { ( m ) } - \bar { x } _ { t } \| ^ { 2 } + \frac { 3 \gamma ^ { 2 } \sigma ^ { 2 } } { b _ { y } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { W ^ { \top } J _ { D } W } & { = ( V ^ { \top } J _ { D } H ^ { \prime } ) ^ { \top } J _ { D } ( V ^ { \top } J _ { D } H ^ { \prime } ) = { H ^ { \prime } } ^ { \top } J _ { D } ( V J _ { D } V ^ { \top } ) J _ { D } H ^ { \prime } \stackrel { \mathrm { ( a ) } } { = } { H ^ { \prime } } ^ { \top } J _ { D } H ^ { \prime } = I _ { K ^ { \prime } } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \tau _ { x x } } & { { } : = } & { \Pi + \sigma _ { x x } = - \frac { 4 \mu } { 3 } \left( 1 + \frac { \delta } { 2 \left( 3 + \delta \right) } Z \right) \left( \frac { d v _ { x } } { d x } + \frac { \alpha _ { 0 } } { p } \left\{ \frac { d q _ { x } } { d x } - \frac { q _ { x } } { 2 p \theta } \frac { d \left( p \theta \right) } { d x } \right\} \right) \mathrm { ~ , ~ } } \\ { q _ { x } } & { { } = } & { - \frac { \mu c _ { p } } { \operatorname* { P r } } \left[ \frac { d \theta } { d x } + \frac { \alpha _ { 0 } } { \rho } \left\{ \frac { d \left( \Pi + \sigma _ { x x } \right) } { d x } - \frac { \Pi + \sigma _ { x x } } { 2 p \theta } \frac { d \left( p \theta \right) } { d x } \right\} \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { b ( a x ) } & { = } & { \left[ P + \frac { P } { \beta } \delta - \alpha \beta \right] ( \beta a + \beta b + \sigma ) + \left[ \frac { 1 } { 2 } ( \alpha - \beta ) P \right] b } \\ & { + } & { \left[ \frac { 1 } { 2 } ( \alpha - \beta ) P - \alpha \beta \right] \left( P a + \frac { P } { \beta } \sigma \right) } \\ & { + } & { \left[ \frac { P } { \beta } ( \alpha - \beta ) - \alpha \right] \left( \beta ( \alpha - \beta ) a + \delta ^ { f } b + ( \alpha - \beta ) \sigma \right) } \\ & { = } & { \left[ \beta P + \delta P - \alpha \beta ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ( \alpha - \beta ) P + \frac { P } { \beta } ( \alpha - \beta ) \delta ^ { f } - \alpha \delta ^ { f } \right] b } \\ & { + } & { [ . . . ] a + [ . . . ] \sigma . } \end{array}
( m _ { n } - m _ { p } ) ^ { ( \mathrm { n o n - e l m ) } } = 4 c _ { 5 } \, B _ { 0 } \, ( m _ { u } - m _ { d } ) + { \cal O } ( M _ { \pi } ^ { 4 } ) = 4 c _ { 5 } M _ { \pi } ^ { 2 } { \frac { m _ { u } - m _ { d } } { m _ { u } + m _ { d } } } + { \cal O } ( M _ { \pi } ^ { 4 } ) \, \, .
\begin{array} { r l } { \frac { d x _ { 1 } } { d t } } & { { } = - x _ { 1 } + \frac { \widetilde { \beta } _ { 2 } } { 2 } ( 1 - x _ { 1 } ) \left[ ( x _ { 1 } + x _ { 2 } ) + \epsilon _ { 2 } ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) \right] } \\ { \frac { d x _ { 2 } } { d t } } & { { } = - x _ { 2 } + \frac { \widetilde { \beta } _ { 2 } } { 2 } ( 1 - x _ { 2 } ) \left[ ( x _ { 1 } + x _ { 2 } ) + \epsilon _ { 2 } ( x _ { 2 } - x _ { 1 } ) \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { | \downarrow ^ { ( k ) } \rangle } & { { } \approx \left| \left( N = 0 , M _ { N } = 0 , M _ { s } = - \frac { 1 } { 2 } , M _ { I } = + \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { ( k ) } \right\rangle , } \\ { | \uparrow ^ { ( k ) } \rangle } & { { } \approx \left| \left( N = 1 , M _ { N } = 0 , M _ { s } = - \frac { 1 } { 2 } , M _ { I } = + \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { ( k ) } \right\rangle . } \end{array}
\begin{array} { r } { d = ( b _ { 1 } + b _ { 2 } ) ^ { 2 } + 4 c } \\ { = ( b _ { 1 } - b _ { 2 } ) ^ { 2 } + 4 ( a _ { 1 } a _ { 2 } - c ) + 4 c = ( b _ { 1 } - b _ { 2 } ) ^ { 2 } + 4 a _ { 1 } a _ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf a } & { = \left[ \begin{array} { l l l } { a _ { 0 } } & { a _ { 1 } } & { a _ { 2 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l l } { 1 } & { - 0 . 5 } & { 0 . 2 5 } \end{array} \right] \ \mathrm { ~ a n d ~ } \ } \\ { \mathbf b } & { = \left[ \begin{array} { l l l } { b _ { 0 } } & { b _ { 1 } } & { b _ { 2 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { l l l } { 0 . 8 8 7 2 } & { 0 . 1 7 7 4 } & { - 0 . 4 2 5 9 } \end{array} \right] . } \end{array}
\psi ( \alpha , \beta , \beta ^ { \prime } , s , s ^ { \prime } ) = \frac { \varphi _ { ( \alpha + \beta + \beta ^ { \prime } , s + s ^ { \prime } ) } \varphi _ { ( \alpha + \beta - \beta ^ { \prime } , s - s ^ { \prime } ) } } { \varphi _ { ( - \alpha + \beta + \beta ^ { \prime } , - s + s ^ { \prime } ) } \varphi _ { ( \alpha - \beta + \beta ^ { \prime } , - s - s ^ { \prime } ) } } .
\begin{array} { r l } { m ^ { * } U \circ ( x \iota _ { 1 } t ^ { 3 } , y \iota _ { 1 } t ^ { 4 } , a ) - U ^ { * } m \circ ( 0 , 0 , a ) } & { = U + x P ^ { 1 } ( \iota _ { 1 } t ^ { 3 } ) - ( a _ { 1 } t ) y \iota _ { 1 } t ^ { 4 } } \\ & { \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, + ( a _ { 1 } ^ { 2 } t ^ { 2 } ) x \iota _ { 1 } t ^ { 3 } - ( a _ { 2 } t ^ { 2 } ) x \iota _ { 1 } t ^ { 3 } - U } \\ & { = - ( y a _ { 1 } - x a _ { 1 } ^ { 2 } + x a _ { 2 } ) \iota _ { 1 } t ^ { 5 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { P } _ { h } ^ { \star } } & { = v \left( \omega ^ { 2 } f ^ { 2 } - \frac { ( \omega - \omega _ { r } ) ^ { 2 } } { v ^ { 2 } } \right) ^ { \prime } , } \\ { \mathcal { P } _ { \ell } ^ { \star } } & { = - i \omega v R ^ { \star } \left( v ^ { - 2 } R ^ { \star } ( v f ) \right) - v \left( \frac { v ^ { \prime } } { v ^ { 2 } } \right) ^ { \prime } W ^ { \star } + v \left( \frac { V _ { 1 } } { v ^ { 2 } } \right) ^ { \prime } , } \\ { \mathcal { P } _ { H } ^ { \star } } & { = v ^ { 2 } W ^ { \star } \left( \frac { H } { v ^ { 2 } } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \nabla \rho ^ { \pi _ { \theta } } = } & { \frac { \gamma R } { ( 1 - \gamma ) ( 1 - \gamma + \gamma R ) } \sum _ { s , a } d _ { \mu } ^ { \pi _ { \theta } } ( s , a ) \nabla { \pi _ { \theta } } ( a | s ) Q _ { \mathcal { U } } ^ { \pi _ { \theta } } ( s , a ) } \\ & { \qquad + \frac { 1 } { 1 - \gamma + \gamma R } \sum _ { s , a } d _ { s _ { \theta } } ^ { \pi _ { \theta } } ( s , a ) \nabla { \pi _ { \theta } } ( a | s ) Q _ { \mathcal { U } } ^ { \pi _ { \theta } } ( s , a ) , } \end{array}
{ \cal L } _ { Y } = U _ { i j } ^ { 1 } { \bar { q } } _ { i , L } { \tilde { \phi } } _ { 1 } u _ { j , R } + D _ { i j } ^ { 1 } { \bar { q } } _ { i , L } { \phi } _ { 1 } d _ { j , R } + U _ { i j } ^ { 2 } { \bar { q } } _ { i , L } { \tilde { \phi } } _ { 2 } u _ { j , R } + D _ { i j } ^ { 2 } { \bar { q } } _ { i , L } { \phi } _ { 2 } d _ { j , R } + \mathrm { h . c . } ~ ,
\begin{array} { r l } { \widetilde { \beta } _ { 2 } ^ { c } } & { { } = \frac { 2 } { 1 + \sqrt { 1 + \frac { 4 b } { a } \epsilon _ { 2 } - \frac { 4 c } { a ^ { 2 } } \epsilon _ { 2 } ^ { 2 } } + ( 1 / a - 1 ) \epsilon _ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { n _ { 1 , d , { \varepsilon } } } & { : = 1 + \log _ { 2 } ( M _ { d , { \varepsilon } / 6 } ) , } \\ { m _ { 1 , d , { \varepsilon } } } & { : = \log _ { 2 } ( C _ { 2 } ^ { 2 } d ^ { 2 } ( { \varepsilon } / 6 ) ^ { - 1 } ) , } \\ { m _ { 2 , d , { \varepsilon } } } & { : = 1 + \log _ { 2 } ( M _ { d , { \varepsilon } / 6 } ) + \log _ { 2 } ( C _ { 2 } d ^ { 2 } ( { \varepsilon } / 6 ) ^ { - 1 } ) . } \end{array}
\delta ( T _ { 2 } ^ { \dagger } , \Delta _ { \mathbf { g } } ) \, { = } \, \mathrm { E x p } _ { F ^ { - } T _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } } ^ { * } ( \delta ( M _ { 2 } ^ { \dagger } , \mathrm { t r } ^ { * } \Delta _ { \mathbf { g } } ) ) \cdot \varpi _ { 2 , 1 } ^ { * } \mathrm { L o g } _ { \omega _ { \textup { \bf f } } } ( \mathrm { B K } _ { \textup { \bf f } } ^ { \dagger } ) .
u = \frac { A } { i \, \omega } \left[ 1 - \frac { \cosh \left( \alpha _ { W } \sqrt { i } \, y / R \right) } { \cosh \left( \alpha _ { W } \sqrt { i } \right) } \right] \, e ^ { i \omega t } , \qquad \frac { \partial p } { \partial x } = \frac { p ( x _ { R } ) - p ( x _ { L } ) } { L } = A \, e ^ { i \omega t } .
G _ { c } = \Bigg [ \frac { 2 ( 2 - \nu _ { i } ) ( 1 + \nu _ { i } ) } { E _ { i } } + \frac { 2 ( 2 - \nu _ { j } ) ( 1 + \nu _ { j } ) } { E _ { j } } \Bigg ] ^ { - 1 }
{ \left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { - 1 } \\ { 4 } & { - 2 } \end{array} \right] } \qquad { \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 2 } & { - 2 } \\ { 5 } & { 1 } & { - 3 } \\ { 1 } & { 5 } & { - 3 } \end{array} \right] } \qquad { \left[ \begin{array} { l l l l } { 2 } & { 2 } & { 2 } & { - 3 } \\ { 6 } & { 1 } & { 1 } & { - 4 } \\ { 1 } & { 6 } & { 1 } & { - 4 } \\ { 1 } & { 1 } & { 6 } & { - 4 } \end{array} \right] } \qquad { \left[ \begin{array} { l l l l l } { 2 } & { 2 } & { 2 } & { 2 } & { - 4 } \\ { 7 } & { 1 } & { 1 } & { 1 } & { - 5 } \\ { 1 } & { 7 } & { 1 } & { 1 } & { - 5 } \\ { 1 } & { 1 } & { 7 } & { 1 } & { - 5 } \\ { 1 } & { 1 } & { 1 } & { 7 } & { - 5 } \end{array} \right] } \qquad \ldots
\mathrm { d e t } _ { q } T = T _ { 1 } ^ { 1 } T _ { 2 } ^ { 2 } - \bar { q } T _ { 2 } ^ { 1 } T _ { 1 } ^ { 2 } = T _ { 2 } ^ { 2 } T _ { 1 } ^ { 1 } - q T _ { 2 } ^ { 1 } T _ { 1 } ^ { 2 } \ ;
{ \mathcal { H } } = { \mathcal { H } } _ { \mathrm { { C o u l o m b } } } + { \mathcal { H } } _ { \mathrm { k i n e t i c } } + { \mathcal { H } } _ { \mathrm { S O } } + H _ { \mathrm { D a r w i n } } ,
\begin{array} { r } { C \sum _ { \beta \in \{ { \bf B } ^ { \tilde { \tau } } , { \bf B } ^ { r } , { \bf B } ^ { \theta } , { \bf B } ^ { \tilde { \phi } } , { \bf B } ^ { 0 } \} } | \beta | \left( \| \widehat { \chi _ { \mathcal { T } } } \| _ { \ell _ { m } ^ { 1 } L _ { \omega } ^ { 1 } } + \| \omega \widehat { \chi _ { \mathcal { T } } } \| _ { \ell _ { m } ^ { 1 } L _ { \omega } ^ { 1 } } \right) + | W _ { 0 } ( \beta ) | \| \widehat { \chi _ { \mathcal { T } } } \| _ { \ell _ { m } ^ { 1 } L _ { \omega } ^ { 1 } } \, . } \end{array}