harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { \Phi _ { 5 } ^ { - 1 } \mathcal { L } ^ { 4 } \Phi _ { 5 } = \mathcal { D } _ { \omega } - \mathcal { B } _ { 0 } + \varepsilon \left( \mathcal { D } _ { \overline { { \omega } } } ( A _ { 1 } ) - [ \mathcal { B } _ { 0 } , A _ { 1 } ] - \mathcal { B } _ { 1 } \right) + \varepsilon ( \mathcal { D } _ { \omega } - \mathcal { D } _ { \overline { { \omega } } } ) ( A _ { 1 } ) + Q _ { 1 } + \mathcal { W } , } \end{array}
\rho _ { S } = \frac { 1 } { V _ { S } } \cdot \sum _ { i = 1 } ^ { N _ { S } } V _ { i } \ \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \ \rho = \frac { 1 } { V } \cdot \sum _ { i = 1 } ^ { N } V _ { i } \ ,
\int \left( 1 6 f _ { D 3 } ( \tau ) + 6 4 f _ { 0 3 ^ { - } } ( \tau ) \right) p _ { 1 } = \int f _ { H E T } ( \tau ) p _ { 1 } = \int \frac { 6 } { \pi } R e \left[ \, i \, \ln ( \eta ( \tau ) ) \right] p _ { 1 }
\begin{array} { r l } { ( \partial _ { t } - \mathcal { L } ) h ^ { 1 1 } = } & { \partial _ { t } h ^ { 1 1 } - \psi \dot { F } ^ { i j } \nabla _ { j } \nabla _ { i } h ^ { 1 1 } } \\ { = } & { - ( h ^ { 1 1 } ) ^ { 2 } \partial _ { t } b _ { 1 1 } + \psi ( h ^ { 1 1 } ) ^ { 2 } \dot { F } ^ { i j } \nabla _ { j } \nabla _ { i } b _ { 1 1 } - 2 \psi ( h ^ { 1 1 } ) ^ { 2 } \dot { F } ^ { i j } h ^ { p q } \nabla _ { i } b _ { 1 p } \nabla _ { j } b _ { 1 q } } \\ { = } & { - ( h ^ { 1 1 } ) ^ { 2 } ( \partial _ { t } - \mathcal { L } ) b _ { 1 1 } - 2 \psi ( h ^ { 1 1 } ) ^ { 2 } \dot { F } ^ { i j } h ^ { p q } \nabla _ { i } b _ { 1 p } \nabla _ { j } b _ { 1 q } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \epsilon _ { 2 } ( N _ { 2 } ) \leq } \\ { Q } & { \left( \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } ( N _ { i } - N _ { i - 1 } ) I ( X _ { 2 , i } ; Y _ { 2 , i } ) - \log \frac { M _ { 2 } - 1 } { 2 } - s \log N _ { 2 } } { \sqrt { \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } ( N _ { i } - N _ { i - 1 } ) V ( X _ { 2 , i } ; Y _ { 2 , i } ) } } \right) } \\ & { + \frac { 1 } { ( N _ { 2 } ) ^ { s } } + \frac { B _ { 2 } } { \sqrt { N _ { 2 } } } \leq \epsilon _ { 2 } } \\ { \Rightarrow } & { \log M _ { 2 } \leq \log ( M _ { 2 } - 1 ) + 1 } \\ & { \leq \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } ( N _ { i } - N _ { i - 1 } ) I ( X _ { 2 , i } ; Y _ { 2 , i } ) } \\ & { - \sqrt { \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } ( N _ { i } - N _ { i - 1 } ) V ( X _ { 2 , i } ; Y _ { 2 , i } ) } Q ^ { - 1 } \left( \epsilon _ { 2 } \right) } \\ & { + O ( \log N _ { 2 } ) , } \end{array}
\delta \int _ { t _ { 1 } } ^ { t _ { 2 } } \! \int \operatorname { R e } \big \langle \Upsilon \big | i \hbar \partial _ { t } \Upsilon - \{ i \hbar \widehat { H } , \Upsilon \} + ( p \partial _ { p } \widehat { H } - \widehat { H } ) \Upsilon \big \rangle \, \mathrm { d } ^ { 2 } z \, \mathrm { d } t = 0
\begin{array} { r l } & { \mathbb { P } \left( \left| [ \boldsymbol { \mu } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { j + 1 } - [ \boldsymbol { \beta } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { j + 1 } \right| \frac { \| [ \mathbf { C } _ { v k } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { ( \cdot , j + 1 ) } \| } { \sqrt { N } } \geq \frac { \sqrt { \epsilon } } { 4 k } \right) } \\ & { \qquad = \mathbb { P } \left( \left| [ \boldsymbol { \mu } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { j + 1 } - [ \boldsymbol { \beta } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { j + 1 } \right| \left[ \left| \frac { \| \mathbf { p } _ { j } ^ { \mathrm { i n } } \| } { \sqrt { N } } - ( \boldsymbol { \Sigma } _ { u k } ^ { \mathrm { i n } } ) _ { j j } \right| + ( \boldsymbol { \Sigma } _ { u k } ^ { \mathrm { i n } } ) _ { j j } \right] \geq \frac { \sqrt { \epsilon } } { 4 k } \right) } \\ & { \qquad \stackrel { ( a ) } { \leq } \mathbb { P } \left( \left| \frac { \| \mathbf { p } _ { j } ^ { \mathrm { i n } } \| } { \sqrt { N } } - ( \boldsymbol { \Sigma } _ { u k } ^ { \mathrm { i n } } ) _ { j j } \right| \geq \sqrt { \epsilon } \right) + \mathbb { P } \left( \left| [ \boldsymbol { \mu } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { j + 1 } - [ \boldsymbol { \beta } _ { p k } ^ { \mathrm { i n } } ] _ { j + 1 } \right| \geq \frac { \sqrt { \epsilon } } { 8 k \operatorname* { m a x } \{ 1 , ( \boldsymbol { \Sigma } _ { u k } ^ { \mathrm { i n } } ) _ { j j } \} } \right) . } \end{array}
( K ^ { f } ) _ { i j } = \left[ Y _ { L } ^ { f } ( Y _ { S } ^ { f } ) ^ { - 1 } ( Y _ { R } ^ { f } ) ^ { \dagger } \right] _ { i j } = \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \frac { 1 } { y _ { k S } ^ { f } } ( Y _ { L } ^ { f } ) _ { i k } ( Y _ { R } ^ { f } ) _ { j k } ^ { \ast } \ ,
g _ { \mu \nu } ^ { j } - G _ { \mu \nu } ^ { j + 1 } = h _ { \mu \nu } ^ { j } - h _ { \mu \nu } ^ { j + 1 } + \pi _ { \mu , \nu } ^ { j } + \pi _ { \nu , \mu } ^ { j } + \pi _ { , \mu } ^ { j \alpha } \pi _ { \alpha , \nu } ^ { j } + \cdots
\begin{array} { r l } { Z _ { \mathrm { f } } } & { { } = \left[ \begin{array} { l l l l } { T _ { 1 1 } ^ { ( l ) } ( R ^ { ( N ) } ) } & { T _ { 1 2 } ^ { ( l ) } ( R ^ { ( N ) } ) } & { \tilde { T } _ { 1 1 } ^ { ( l ) } ( R ^ { ( N ) } ) } & { \tilde { T } _ { 1 2 } ^ { ( l ) } ( R ^ { ( N ) } ) } \\ { T _ { 4 1 } ^ { ( l ) } ( R ^ { ( N ) } ) } & { T _ { 4 2 } ^ { ( l ) } ( R ^ { ( N ) } ) } & { \tilde { T } _ { 4 1 } ^ { ( l ) } ( R ^ { ( N ) } ) } & { \tilde { T } _ { 4 2 } ^ { ( l ) } ( R ^ { ( N ) } ) } \\ { U _ { 1 } ^ { ( l ) } ( R ^ { ( N ) } ) } & { U _ { 2 } ^ { ( l ) } ( R ^ { ( N ) } ) } & { \tilde { U } _ { 1 } ^ { ( l ) } ( R ^ { ( N ) } ) } & { \tilde { U } _ { 2 } ^ { ( l ) } ( R ^ { ( N ) } ) } \end{array} \right] , } \\ { Y _ { \mathrm { f } } } & { { } = \left[ \begin{array} { l } { - H _ { n } ^ { ( 1 ) } ( \omega R ^ { ( N ) } / c ) } \\ { 0 } \\ { \frac { 1 } { c \rho \omega } H _ { n } ^ { ( 1 ) \prime } ( \omega R ^ { ( N ) } / c ) } \end{array} \right] } \end{array}
\begin{array} { r } { h ^ { 2 } ( p _ { G } , p _ { G _ { 0 } } ) \leq \operatorname* { i n f } _ { \vec { q } \in Q ( \vec { p _ { 0 } } , \vec { p ^ { \prime } } ) } \sum _ { i , j } q _ { i j } \frac { \| \theta _ { i } - \theta _ { j } ^ { \prime } \| ^ { 2 } } { 8 \lambda _ { m i n } } = \frac { W _ { 2 } ( G , G _ { 0 } ) ^ { 2 } } { 8 \lambda _ { m i n } } , } \end{array}
| \varphi ( p ) | ^ { 2 } = { \sqrt { \frac { 2 x _ { 0 } ^ { 2 } } { \pi \hbar ^ { 2 } } } } \exp { \left( - { \frac { 2 x _ { 0 } ^ { 2 } p ^ { 2 } } { \hbar ^ { 2 } } } \right) }
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { M _ { 4 , 2 , x y } ^ { \sigma , e q } } & { = \sum _ { i } f _ { i } ^ { \sigma , e q } v _ { i x } v _ { i y } ( v _ { i \alpha } ^ { 2 } + \eta _ { i } ^ { \sigma 2 } ) } \\ & { = \rho ^ { \sigma } u _ { x } u _ { y } [ ( D + I ^ { \sigma } + 4 ) R ^ { \sigma } T + u _ { x } ^ { 2 } + u _ { y } ^ { 2 } ] , } \end{array} } \end{array}
\Gamma _ { ( m , \psi _ { m } ) } ^ { + } = { \frac { 1 } { \sqrt { | { \cal S } _ { m } | | { \cal G } | } } } { \frac { { P } _ { 0 m } + \epsilon { P } _ { J m } } { \sqrt { { S } _ { 0 m } } } } \; \; \; \; ,
\frac { d D ^ { i } ( t ) } { d t } = \sum _ { k \in M , J \in P ( M ) } \gamma _ { J \backslash \{ k \} , k } ^ { i } \xi _ { J \backslash \{ k \} , k } ^ { i } R _ { J \backslash \{ k \} } I _ { k } ^ { i } ( t ) .
\dot { \theta } _ { \kappa , 1 } = \frac { 1 } { \pi \delta _ { 1 } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } [ \dot { T } _ { 1 } ( \theta ) - \dot { T } _ { 0 , 1 } ] \sin ( \theta - \theta _ { 1 } ) d \theta
\begin{array} { r l } { \mathcal { Z } _ { c } ( v _ { | | } - c _ { g } ) N _ { i } ^ { \prime } + n _ { e , 0 } V _ { e } ^ { \prime } } & { = 0 \, , } \\ { ( u _ { | | } - c _ { g } ) N _ { i } ^ { \prime } + n _ { i , 0 } V _ { i } ^ { \prime } } & { = 0 \, , } \\ { ( v _ { | | } - c _ { g } ) V _ { e } ^ { \prime } + Z ( u _ { | | } - c _ { g } ) V _ { i } ^ { \prime } + \mathcal { Z } _ { c } \bigg ( \frac { c _ { s , e } ^ { 2 } } { n _ { e , 0 } } + \frac { c _ { s , i } ^ { 2 } } { n _ { i , 0 } } \bigg ) N _ { i } ^ { \prime } } & { = - \frac { Z \omega _ { p i } ^ { 2 } m _ { e } n _ { e , 0 } + \omega _ { p e } ^ { 2 } m _ { i } n _ { i , 0 } } { \mu m _ { e } m _ { i } n _ { i , 0 } n _ { e , 0 } c ^ { 2 } k ^ { 2 } } ( | B _ { w } | ^ { 2 } ) ^ { \prime } } \end{array}
\rho _ { g } ( k , R ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { 0 , } } & { { 0 \leq k R < 0 . 4 5 8 } } \\ { { \frac { - V _ { H } k ^ { 2 } } { 2 \pi ^ { 2 } } + \frac { 4 R } { 3 \pi } , } } & { { k R \geq 0 . 4 5 8 } } \end{array} \right.
\sum _ { z \ge 0 } \mathsf { p } _ { t } ^ { R } ( x , z ) \mu ^ { z } - \sum _ { z \ge 0 } \mathsf { p } _ { t } ^ { R } ( y , z ) \mu ^ { z } = \frac { 1 } { 2 \ensuremath { \mathbf { i } } \pi } \oint e ^ { \frac { 1 } { 2 } \left( \xi + \xi ^ { - 1 } - 2 \right) t } ( \xi ^ { x } - \xi ^ { y } ) \frac { ( 1 - \mu ^ { 2 } ) ( 1 - \xi ^ { 2 } ) } { ( 1 - \mu / \xi ) ( 1 - \mu \xi ) ^ { 2 } } \frac { d \xi } { \xi } .
A _ { \perp } ( x ) = { \frac { 1 } { \sqrt { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } } } \int d ^ { 2 } k ^ { \perp } d k ^ { + } \, { \frac { \theta ( k ^ { + } ) } { \sqrt { 2 k ^ { + } } } } \, \left[ a _ { \perp } ( k ^ { + } , k ^ { \perp } ) e ^ { - i { k } \cdot { x } } + a _ { \perp } ^ { \dag } ( k ^ { + } , k ^ { \perp } ) e ^ { i { k } \cdot { x } } \right]
\begin{array} { r l } { ( 1 + \epsilon ) ^ { n } - ( 1 - \epsilon ) ^ { - n } } & { { } \approx ( 1 + n \epsilon + { \frac { 1 } { 2 } } n ( n - 1 ) \epsilon ^ { 2 } ) - ( 1 + ( - n ) ( - \epsilon ) + { \frac { 1 } { 2 } } ( - n ) ( - n - 1 ) ( - \epsilon ) ^ { 2 } ) } \end{array}
\mathrm { I r r } _ { \bar { W } t , z _ { 0 } } \mathcal H ( G ^ { \vee } , G _ { J ^ { \vee } } ^ { \vee } , \mathcal C ^ { \vee } , \mathcal E ^ { \vee } ) \leftrightarrow \{ ( s , n , \rho ) \in \mathfrak S ( z _ { 0 } ) \mid s = s _ { c } s _ { h } , \ s _ { h } \in T _ { h } ^ { \vee } , \ \rho \in \widehat { A ( s , n ) } _ { \mathcal E ^ { \vee } } \} .
\begin{array} { r l } { \tilde { \Gamma } _ { i j } ^ { k } \ } & { = \ \frac 1 2 \tilde { g } ^ { k l } ( \partial _ { i } \tilde { g } _ { j l } + \partial _ { j } \tilde { g } _ { i l } - \partial _ { l } \tilde { g } _ { i j } ) } \\ & { = \ \mathring { \Gamma } _ { i j } ^ { k } + \frac 1 2 \tilde { g } ^ { k l } \big ( \mathring { \nabla } _ { i } \psi _ { j l } + \mathring { \nabla } _ { j } \psi _ { i l } - \mathring { \nabla } _ { l } \psi _ { i j } \big ) } \\ & { = \ \mathring { \Gamma } _ { i j } ^ { k } + \frac 1 2 \Upsilon _ { i j l } \tilde { g } ^ { l k } ~ , } \end{array}
i \Delta ( p ) = \frac { i } { p ^ { 2 } - \xi _ { i } M _ { i } ^ { 2 } + i \varepsilon } , \; \; \; \; w h e r e \; \; \; \; M _ { i } , \; ( \xi _ { i } ) = \left\{ \begin{array} { c c l } { { M _ { Z _ { 1 , 2 } } , \; \; \left( \xi _ { Z _ { 1 , 2 } } \right) } } & { { f o r } } & { { { G } _ { 1 , 2 } ^ { 0 } } } \\ { { M _ { W _ { 1 , 2 } } , \; \; \left( \xi _ { W _ { 1 , 2 } } \right) } } & { { f o r } } & { { { G } _ { 1 , 2 } ^ { \pm } } } \end{array} \; \; \; . \right.
{ } ^ { 3 } D _ { q , s , t } ^ { i , j , k } \approx { } ^ { 1 } D _ { q } ^ { i } \wedge { } ^ { 1 } D _ { s } ^ { j } \wedge { } ^ { 1 } D _ { t } ^ { k } + 3 { } ^ { 2 } \Delta _ { q , s } ^ { i , j } \wedge { } ^ { 1 } D _ { t } ^ { k } \, ,
\langle \psi _ { { \bf k } \sigma } ^ { ( \pm \omega ) } , \psi _ { { \bf k } ^ { \prime } \sigma ^ { \prime } } ^ { ( \pm \omega ^ { \prime } ) } \rangle \equiv \int _ { \Sigma } d \Sigma _ { \mu } \bar { \psi } _ { { \bf k } \sigma } ^ { ( \pm \omega ) } \gamma ^ { \mu } \psi _ { { \bf k } ^ { \prime } \sigma ^ { \prime } } ^ { ( \pm \omega ^ { \prime } ) } = \delta ^ { 3 } ( { \bf k } - { \bf k } ^ { \prime } ) \delta _ { \sigma \sigma ^ { \prime } } \delta _ { \pm \omega \; \pm \omega ^ { \prime } } \; \; ,
A = { \left( \begin{array} { l l l l } { 2 } & { 3 } & { 6 } & { 2 } \\ { 5 } & { 6 } & { 1 } & { 6 } \\ { 8 } & { 3 } & { 1 } & { 1 } \end{array} \right) } \qquad H = \left( { \begin{array} { r r r r } { 1 } & { 0 } & { 5 0 } & { - 1 1 } \\ { 0 } & { 3 } & { 2 8 } & { - 2 } \\ { 0 } & { 0 } & { 6 1 } & { - 1 3 } \end{array} } \right) \qquad U = \left( { \begin{array} { r r r } { 9 } & { - 5 } & { 1 } \\ { 5 } & { - 2 } & { 0 } \\ { 1 1 } & { - 6 } & { 1 } \end{array} } \right)
E _ { h } ^ { \prime } = \frac { C _ { 1 1 } ^ { 2 } - C _ { 1 2 } ^ { 2 } } { C _ { 1 1 } } , \qquad E _ { v } ^ { \prime } = 2 \biggl ( \frac { C _ { 3 3 } } { C _ { 1 1 } C _ { 3 3 } - C _ { 1 3 } ^ { 2 } } \Bigl ( \frac { 1 } { C _ { 4 4 } } + \frac { 2 } { C _ { 1 3 } \! + \! \sqrt { C _ { 1 1 } C _ { 3 3 } } } \Bigr ) \biggr ) ^ { - 1 / 2 } .
\begin{array} { r l } { \Delta \bar { \phi } } & { { } = \omega - h ^ { \prime \prime } \frac { 1 } { | \Omega | } \int _ { \Omega } u _ { 1 } \ d y } \\ { \bar { \phi } \vert _ { \gamma ^ { \pm } } } & { { } = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sqrt { { { e } _ { \mathrm { p } } ^ { 2 } } - 1 } } & { = \frac { { { r } _ { \mathrm { M } } } \sin \beta - \sqrt { { r } _ { \mathrm { M } } ^ { 2 } { { \sin } ^ { 2 } } \beta - 4 a _ { \mathrm { p } } { { r } _ { \mathrm { M } } } ( 1 - \cos \beta ) } } { 2 a _ { \mathrm { p } } } } \\ { f } & { = - \operatorname { a r c c o s } \left[ \frac { a _ { \mathrm { p } } ( 1 - { { e } _ { \mathrm { p } } ^ { 2 } } ) - { { r } _ { \mathrm { M } } } } { { { r } _ { \mathrm { M } } } e _ { \mathrm { p } } } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \langle \delta h ^ { 2 } \rangle } & { { } = \frac { l _ { T } ^ { 2 } } { \pi ^ { 2 } } \sum _ { m = 1 } ^ { m < L / \ell _ { c } } \sum _ { n = 1 } ^ { n < L / \ell _ { c } } \frac { 1 } { m ^ { 2 } + n ^ { 2 } } , } \end{array}
\int _ { - \infty } ^ { \infty } d \mu ( k ) \, k _ { 0 } k _ { 0 } \, e ^ { - ( k ^ { 2 } + m _ { i } ^ { 2 } ) t } = \frac 1 { 2 t } \left( 1 + \beta \frac \partial { \partial \beta } \right) K _ { i } ( t )
a _ { 0 } ^ { 0 } = { \frac { 7 m _ { \pi } } { 3 2 \pi F _ { \pi } ^ { 2 } } } \qquad a _ { 0 } ^ { 2 } = - { \frac { m _ { \pi } } { 1 6 \pi F _ { \pi } ^ { 2 } } }
\begin{array} { r l } & { \Theta ( t - t ^ { \prime } ) \frac { d } { d t ^ { \prime } } \langle \Delta x ^ { 2 } ( t ^ { \prime } ) \rangle } \\ & { = \Theta ( t - t ^ { \prime } ) \Big ( 2 D _ { 0 } P _ { u } ( t ^ { \prime } ) + \frac { d } { d t ^ { \prime } } \frac { 4 k _ { B } T } { G _ { 0 } } \Big ) } \\ & { = 2 k _ { B } T \Big ( \Theta ( t - t ^ { \prime } ) \frac { P _ { u } ( t ^ { \prime } ) } { \eta _ { 0 } } + \frac { 2 \delta ( t - t ^ { \prime } ) } { G _ { 0 } } \Big ) , } \end{array}
\bar { \lambda } = { \frac { m ^ { n - 4 } } { ( 4 \pi ) ^ { 2 } } } \left\{ { \frac { 1 } { n - 4 } } - { \frac { 1 } { 2 } } \left[ \ln ( 4 \pi ) + \Gamma ^ { \prime } ( 1 ) + 1 \right] \right\} .
\begin{array} { r l } { \frac { d } { 2 d t } } & { \| \bar { y } ( t ) \| _ { H } ^ { 2 } + \underline { { \nu } } \| \bar { y } ( t ) \| _ { V } ^ { 2 } \leq c \mathcal { N } ( a , b ) \| \bar { y } ( t ) \| _ { H } \| \bar { y } ( t ) \| _ { V } + \| \sum _ { i = 1 } ^ { N } \bar { u } ( t , \omega ) \mathbf { 1 } _ { O _ { i } } \| _ { H } \| \bar { y } ( t ) \| _ { H } } \\ & { \leq \frac { 1 } { 2 } c _ { 5 } \| \bar { y } ( t ) \| _ { H } ^ { 2 } + \frac { \underline { { \nu } } } { 2 } \| \bar { y } ( t ) \| _ { V } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } | \bar { \mathbf { u } } ( t ) | _ { \ell _ { 2 } } ^ { 2 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \boldsymbol { S } } } & { { } = { \mathsf { s } } \, { \boldsymbol { T } } + { \mathfrak { d } } ^ { t } \, \mathbf { E } \quad \implies \quad S _ { i j } = s _ { i j k l } \, T _ { k l } + d _ { k i j } \, E _ { k } } \\ { \mathbf { D } } & { { } = { \mathfrak { d } } \, { \boldsymbol { T } } + { \boldsymbol { \varepsilon } } \, \mathbf { E } \quad \implies \quad D _ { i } = d _ { i j k } \, T _ { j k } + \varepsilon _ { i j } \, E _ { j } \, . } \end{array}
\begin{array} { r } { \cos \theta _ { 1 } = \frac { k _ { 1 } \cosh \xi - k _ { 2 } } { k _ { 1 } \sinh \xi } , } \\ { \cos \theta _ { 2 } = \frac { k _ { 1 } - k _ { 2 } \cosh \xi } { k _ { 2 } \sinh \xi } . } \end{array}
{ \begin{array} { r l r } { x ( t ) } & { = { \frac { 4 } { \pi } } \sum _ { k = 1 } ^ { \infty } { \frac { \sin \left( 2 \pi ( 2 k - 1 ) f t \right) } { 2 k - 1 } } } \\ & { = { \frac { 4 } { \pi } } \left( \sin ( \omega t ) + { \frac { 1 } { 3 } } \sin ( 3 \omega t ) + { \frac { 1 } { 5 } } \sin ( 5 \omega t ) + \ldots \right) , } & { { \mathrm { w h e r e ~ } } \omega = 2 \pi f . } \end{array} }
\begin{array} { r l r } & { } & { G _ { \Omega } ^ { s } ( x , y ) = \sum _ { j = 0 } ^ { k } ( - 1 ) ^ { j } \sum _ { \mathcal { R } _ { j } } \Gamma _ { s } ( O ^ { - 1 } ( x - P ) , \mathcal { R } _ { j } O ^ { - 1 } ( y - P ) ) } \\ & { } & { \quad - \sum _ { j = 0 } ^ { k } ( - 1 ) ^ { j } \sum _ { \mathcal { R } _ { j } } \Gamma _ { s } \left( \frac { | y - P | } { R } O ^ { - 1 } ( x - P ) , \frac { | y - P | } { R } \mathcal { R } _ { j } \left[ O ^ { - 1 } ( y - P ) \right] ^ { R } \right) , \quad \, \mathrm { i f } \, \, \Omega = \mathcal { C } _ { P , S _ { 2 ^ { - k } } ^ { n - 1 } } ^ { R } . } \end{array}
\sum _ { m _ { 1 } . . . m _ { n - 2 } r < s } a _ { i _ { 1 } m _ { 1 } } . . . a _ { i _ { n - 2 } m _ { n - 2 } } \epsilon _ { m _ { 1 } . . . m _ { n - 2 } r s } \left( a _ { k r } a _ { k s } - q a _ { k s } a _ { k r } \right) = 0
R _ { j } ( \nu _ { \alpha } \rightarrow \nu _ { \beta } ; \delta ) \equiv \int _ { E _ { j - 1 } } ^ { E _ { j } } E _ { \nu } f _ { \nu _ { \alpha } } ( E _ { \nu } ) P ( \nu _ { \alpha } \rightarrow \nu _ { \beta } ; E _ { \nu } , \delta ) \frac { \mathrm { d } E _ { \nu } } { E _ { \mu } } ,
\begin{array} { r l } & { C = \underset { { \int _ { - \frac { 1 } { 2 } } ^ { \frac { 1 } { 2 } } S _ { k } ( \lambda ) d \lambda \leq P _ { i } , ~ S _ { k } ( \lambda ) \geq 0 , ~ \forall \lambda \in [ - \frac { 1 } { 2 } , \frac { 1 } { 2 } ] , k = 1 , 2 } } { \bigcup } \bigg \{ ( R _ { 1 } , R _ { 2 } ) : } \\ & { R _ { 1 } \leq \frac { 1 } { 2 } \int _ { - \frac { 1 } { 2 } } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \log _ { 2 } ( 1 + \sigma _ { 0 } ^ { - 2 } S _ { 1 } ( \lambda ) ) d \lambda } \\ & { R _ { 2 } \leq \frac { 1 } { 2 } \int _ { - \frac { 1 } { 2 } } ^ { \frac { 1 } { 2 } } \log _ { 2 } ( 1 + \sigma _ { 0 } ^ { - 2 } S _ { 2 } ( \lambda ) ) d \lambda } \end{array}
\simeq \frac { - \lambda _ { 1 } ( a ^ { + } \Gamma _ { 1 } \Lambda _ { 3 } ) + i \lambda _ { 2 } ( \Lambda _ { 3 } \Gamma _ { 2 } \Gamma _ { 3 } a ^ { + } ) } { \sqrt { 2 } } u _ { R } ( \lambda _ { 1 } , \lambda _ { 2 } ) \mid 0 \, \rangle \mid \psi ( R , \Lambda _ { 3 } ) \, \rangle .
{ \cal S } _ { 0 } = \int _ { \phi _ { t } } ^ { \phi _ { f } } d \phi \sqrt { 2 U ( \phi ) } \approx \int _ { \phi _ { 0 } } ^ { 0 } d \phi \sqrt { 2 \frac { \sigma } { 6 ! } } \phi \left( \phi ^ { 2 } - \phi _ { 0 } ^ { 2 } \right) \; ,
| E _ { k } ^ { + } ( \xi ) \rangle = | E _ { 0 } ^ { N } \rangle - \xi \sum _ { n } \frac { | E _ { n } ^ { N + 1 } \rangle \langle E _ { n } ^ { N + 1 } | a _ { k } ^ { \dagger } | E _ { 0 } ^ { N } \rangle } { E _ { n } ^ { N + 1 } - E _ { 0 } ^ { N } - \mu }
K = \left[ \left( 1 - \frac { ( m _ { c } + m _ { d } ) ^ { 2 } } { m _ { b } ^ { 2 } } \right) \left( 1 - \frac { ( m _ { c } - m _ { d } ) ^ { 2 } } { m _ { b } ^ { 2 } } \right) \right] ^ { 1 / 2 } \; .
{ \cal V } [ \phi _ { 0 } ] = V [ \phi _ { 0 } , \lambda ( \mu ) ] + { \frac { \hbar } { 6 4 \pi ^ { 2 } } } \left\{ { \frac { \lambda ( \mu ) ^ { 2 } \phi _ { 0 } ^ { 4 } ( \mu ) } { 4 } } \right\} \ln { \frac { \phi _ { 0 } ^ { 2 } } { \mu ^ { 2 } } } + \hbar \alpha _ { 3 } ( \lambda ( \mu ) ) \; \phi _ { 0 } ^ { 4 } + O ( \hbar ^ { 2 } ) .
\begin{array} { c l l l r } { { } } & { { A _ { u } = 1 / B _ { 3 } ; } } & { { B _ { u } = - 0 . 5 5 / B _ { 4 } ; } } & { { C _ { u } = 2 / B _ { 5 } ; } } & { { D _ { u } = - 1 . 4 5 / B _ { 6 } ; } } \\ { { } } & { { A _ { s } = 2 / B _ { 3 } ; } } & { { B _ { s } = - 1 . 1 5 / B _ { 4 } ; } } & { { C _ { s } = 2 / B _ { 5 } ; } } & { { D _ { s } = - 1 . 8 5 / B _ { 6 } , } } \end{array}
\begin{array} { r } { \langle x _ { 1 } , x _ { 2 } , K | \Psi \rangle = \frac { \delta ( x _ { 2 } + d - x _ { 1 } ) e ^ { i ( K _ { 0 } - K ) x _ { 1 } } } { 2 \pi } } \\ { \langle k _ { 1 } , k _ { 2 } , K | \Psi \rangle = \frac { \delta ( K _ { 0 } - K - k _ { 1 } - k _ { 2 } ) e ^ { i k _ { 2 } d } } { 2 \pi } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \lvert | R _ { 1 } \rvert | \leq \lvert | ( M _ { f } ^ { r } ( k ) ^ { \top } - M _ { f } ^ { r } ( k - 1 ) ^ { \top } ) ) Q ( k ) M _ { f } ^ { r } ( k ) \rvert | + } \\ & { \lvert | M ^ { \top } ( k - 1 ) Q ( k ) ( M ( k ) - M ( k - 1 ) ) \rvert | } \\ & { \leq \lvert | ( M _ { f } ^ { r } ( k ) ^ { \top } - M _ { f } ^ { r } ( k - 1 ) ^ { \top } ) \rvert | \cdot \lvert | Q ( k ) \rvert | \cdot \lvert | M _ { f } ^ { r } ( k ) \rvert | } \\ & { { + } \lvert | M _ { f } ^ { r } ( k { - } 1 ) ^ { \top } \rvert | \cdot \lvert | Q ( k ) \rvert | \cdot \lvert | M _ { f } ^ { r } ( k ) ^ { \top } { - } M _ { f } ^ { r } ( k { - } 1 ) ^ { \top } ) \rvert | . } \end{array}
Z _ { D ^ { 2 } \to \hat { 1 } } ^ { \mathrm { r e g } } = C _ { F } C _ { A } \, \frac { \alpha _ { s } ^ { 2 } } { 4 \pi ^ { 2 } } \bigg ( \frac { \pi ^ { 2 } } { 3 } - 1 \bigg ) \, \lambda ^ { 2 } \, .
d _ { \mathrm { H e l l } } ( \mathbb { Q } _ { 1 } , \mathbb { Q } _ { 2 } ) : = \left( \frac { 1 } { 2 } \int _ { \Omega } \left( \sqrt { \frac { d \mathbb { Q } _ { 1 } } { d \mathbb { Q } _ { 0 } } ( \omega ) } - \sqrt { \frac { d \mathbb { Q } _ { 2 } } { d \mathbb { Q } _ { 0 } } ( \omega ) } \right) ^ { 2 } d \mathbb { Q } _ { 0 } ( \omega ) \right) ^ { 1 / 2 } .
\begin{array} { r l } { n _ { t } } & { { } = D _ { n } \, \nabla ^ { 2 } n - \nabla \cdot \left( n f \right) - k ^ { + } n + k ^ { - } l , } \\ { l _ { t } } & { { } = D _ { l } \, \nabla ^ { 2 } l + k ^ { + } n - k ^ { - } l , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| ( u - \Pi _ { \Lambda } ^ { r } u ) ^ { \prime \prime } \| _ { L ^ { 2 } ( \Lambda ) } ^ { 2 } = } & { \displaystyle \int _ { - 1 } ^ { 1 } \Big ( \displaystyle \sum _ { i = r + 1 } ^ { \infty } b _ { i } \partial _ { x } ^ { 2 } J _ { i } ^ { - 2 , - 2 } ( x ) \Big ) ^ { 2 } d x = \displaystyle \int _ { - 1 } ^ { 1 } \Big ( \displaystyle \sum _ { i = r + 1 } ^ { \infty } a _ { i - 2 } L _ { i - 2 } ( x ) \Big ) ^ { 2 } d x } \\ { = } & { \displaystyle \sum _ { i = r - 1 } ^ { \infty } \displaystyle \frac { 2 } { 2 i + 1 } a _ { i } ^ { 2 } = \displaystyle \sum _ { i = r - 1 } ^ { \infty } \left( \displaystyle \frac { 2 } { 2 i + 1 } \displaystyle \frac { ( i + s - 1 ) ! } { ( i - s + 1 ) ! } a _ { i } ^ { 2 } \right) \displaystyle \frac { ( i - s + 1 ) ! } { ( i + s - 1 ) ! } } \\ { \le } & { \displaystyle \displaystyle \frac { ( r - s ) ! } { ( r + s - 2 ) ! } \| u ^ { ( s + 1 ) } \| _ { L ^ { 2 } ( \Lambda ) } ^ { 2 } } \end{array}
\mathcal { C } _ { c o m p } ( \{ H _ { l } \} _ { 1 \leq l \leq N } ) = \widetilde { O } \Big ( ( C ^ { \prime } ) ^ { d } ( \frac { 1 } { h } ) ^ { \frac { d } { N } } \sum _ { l = 0 } ^ { N - 1 } ( \frac { 1 } { h } ) ^ { \frac { l } { N } ( 1 - \nu ) d } \Big ) = \widetilde { O } \Big ( N ( C ^ { \prime } ) ^ { d } ( \frac { 1 } { h } ) ^ { \frac { d } { N } } ( \frac { 1 } { h } ) ^ { ( 1 - \nu ) d } \Big ) \ .
\begin{array} { r } { V _ { M } ^ { \star } - V _ { M } ( \pi ) \geq \frac { \varepsilon } { 4 } \mathbb { P } _ { M } ^ { \pi } { \left( o _ { H } = s _ { 0 } \right) } \ \ \forall M \neq 0 , \qquad \mathrm { a n d } \qquad V _ { 0 } ^ { \star } - V _ { 0 } ( \pi ) \geq \frac { \varepsilon } { 4 } \mathbb { P } _ { 0 } ^ { \pi } { \left( o _ { H } \neq s _ { 0 } \right) } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } \big \langle { \eta _ { \alpha } ^ { t } } , { \mu _ { } ^ { { r _ { I } } , N } } [ \alpha , t ] \big \rangle } & { = \bigg \langle \partial _ { t } { \eta _ { \alpha } ^ { t } } + \sigma _ { \alpha } \Delta { \eta _ { \alpha } ^ { t } } - \nabla { \eta _ { \alpha } ^ { t } } \cdot \bigg ( \sum _ { \beta = 1 } ^ { n _ { S } } \nabla { V _ { \alpha \beta } ^ { r _ { I } } } \ast { \mu _ { } ^ { { r _ { I } } , N } } [ \beta , t ] \bigg ) , { \mu _ { } ^ { { r _ { I } } , N } } [ \alpha , t ] \bigg \rangle \, \mathrm { d } t } \\ & { \quad + \frac { \sqrt { 2 \sigma _ { \alpha } } } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \nabla { \eta _ { \alpha } ^ { t } } ( X _ { \alpha , i } ^ { { r _ { I } } , N } ( t ) ) \, \mathrm { d } B _ { \alpha , i } ( t ) . } \end{array}