harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
. L e t n b e a n o d d i n t e g e r w h i c h c o n t a i n s a p r i m e p o w e r d i v i s o r m \neq 3 w i t h m \equiv 3 \bmod 4 . L e t t h e p r i m e p o w e r f a c t o r i s a t i o n o f n b e m \cdot q _ { 2 } \cdots q _ { k } . F o r e a c h q _ { i } w i t h i \in \{ 2 , 3 , \ldots , k \} t h e r e e x i s t s a q u a d r a t i c , i d e m p o t e n t , i n v o l u t o r y L a t i n s q u a r e o f o r d e r q _ { i } . I n p a r t i c u l a r , a n y s q u a r e o f t h e f o r m \mathcal { L } [ a , a ] w i t h a \in \mathbb { F } _ { q } \setminus \{ 0 , 1 \} s a t i s f i e s t h i s p r o p e r t y . A l s o , L e m m a
H _ { j } ( x , \tilde { x } _ { j } ) \equiv \int \! \frac { d ^ { 5 } z _ { j } } { { ( z _ { j } ) _ { 0 } } ^ { 5 } } \, K _ { \delta _ { j } } ( x , z _ { j } ) D _ { j } ( z _ { j } , \tilde { x } _ { j } ) \, .
- \int _ { \mathbf { R } ^ { n } } g ( \mathbf { x } ) \, { \frac { \partial 1 _ { D } ( \mathbf { x } ) } { \partial n } } \; d \mathbf { x } = \int _ { S } \, g ( \mathbf { s } ) \; d \sigma ( \mathbf { s } ) ,
\operatorname * { l i m } _ { y \rightarrow 0 } w _ { i \bar { \imath } } ^ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } \alpha _ { 3 } \alpha _ { 4 } } ( \theta _ { 1 , } \theta _ { 2 } ) = \left( \frac { 2 \pi \cos ^ { 4 } B } { \cos ^ { 4 } B - 2 ( 1 + \sin ^ { 2 } B ) ^ { 2 } } \right) ^ { 2 } \, ,
\frac { { \Delta } m _ { 2 3 } ^ { 2 } } { m _ { 3 } ^ { 2 } } = \frac { 2 f ( r , c , \chi ) } { ( r - 1 ) ^ { 2 } + 2 r ( c ^ { 2 } + 1 ) + f ( r , c , \chi ) } \, \, .
\left( \begin{array} { c } { { L } } \\ { { M - g x g ^ { - 1 } { \bf 1 } _ { B } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { { \tilde { g } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { \rho \cdot g } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { L } } \\ { { M - x { \bf 1 } _ { B } } } \end{array} \right) g ^ { - 1 } \cdot \rho ^ { - 1 }
\begin{array} { r l } { x } & { { } = \sqrt { \frac { \hbar } { m } } \frac { \sqrt { \gamma _ { 0 } \gamma _ { 1 } } \gamma _ { + } } { \gamma _ { + } - i \Omega } \frac { \sqrt { \mathcal { X } ^ { 2 } + \mathcal { H } ^ { 2 } } } { Z } \times } \end{array}
w _ { i j } ^ { n | 2 } = \sum _ { n ^ { \prime } = 1 } ^ { + \infty } b _ { 2 n n ^ { \prime } } ^ { ( 1 ) } T _ { i j } ^ { n ^ { \prime } | 1 } = \gamma _ { 2 } ^ { ( 1 ) , n } \frac { \partial w _ { \langle i } ^ { 1 | 1 } } { \partial x _ { j \rangle } } ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } \left< \widetilde { \vec { B } } ( \boldsymbol { k } ) \right> = } & { \boldsymbol { k } \times \int \mathrm { d } \boldsymbol { p } \left( \frac { \vec { k } + \vec { p } } { 2 } \right) \times \bigg ( \left< \widetilde { \eta } ( \boldsymbol { k } - \boldsymbol { p } ) \right> \left< \widetilde { \vec { B } } ( \boldsymbol { p } ) \right> + \left< \widetilde { \mu } ( \boldsymbol { k } - \boldsymbol { p } ) \, \widetilde { \vec { b } } ( \boldsymbol { p } ) \right> \bigg ) } \end{array}
d = \bar { q } ^ { { \frac { 1 } { 2 } } H } , \ \ \ \ b = ( 1 - q ^ { 2 } ) q ^ { { \frac { 1 } { 2 } } H } F , \ \ \ \c = ( q ^ { 2 } - 1 ) E \bar { q } ^ { { \frac { 1 } { 2 } } H } \ \ .
\operatorname* { m i n } _ { r \in \mathcal { C } } \left\| \frac { 1 } { T } \sum _ { t = 1 } ^ { T } r _ { t } - r \right\| _ { ( T ) } = \operatorname* { m i n } _ { r \in T \mathcal { C } } \frac { 1 } { T } \left\| R _ { T } - r \right\| _ { ( T ) } = \frac { 1 } { T } \operatorname* { m i n } _ { r \in \mathcal { C } } \left\| R _ { T } - r \right\| _ { ( T ) } .
{ \begin{array} { r l } & { \theta \circ { \Big ( } \theta _ { 1 } \circ ( \theta _ { 1 , 1 } , \ldots , \theta _ { 1 , k _ { 1 } } ) , \ldots , \theta _ { n } \circ ( \theta _ { n , 1 } , \ldots , \theta _ { n , k _ { n } } ) { \Big ) } } \\ { = } & { { \Big ( } \theta \circ ( \theta _ { 1 } , \ldots , \theta _ { n } ) { \Big ) } \circ ( \theta _ { 1 , 1 } , \ldots , \theta _ { 1 , k _ { 1 } } , \ldots , \theta _ { n , 1 } , \ldots , \theta _ { n , k _ { n } } ) } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \mathrm { d e t } \left[ \begin{array} { c c } { \beta _ { 4 } ( q R ) } & { \ell ( \ell + 1 ) \beta _ { 1 } ( k R ) } \\ { \beta _ { 1 } ( q R ) } & { \beta _ { 3 } ( k R ) } \end{array} \right] } & { { } = 0 } \\ { q c _ { l } } & { { } = w } \\ { k c _ { t } } & { { } = w , } \end{array}
S = \sum _ { n } { \cal L } ( x , \overline { { { x } } } ) = \sum _ { n } \left( \sum _ { i , j = 1 } ^ { N } \log | x _ { i } - \overline { { { x _ { j } } } } | - \sum _ { i , j = 1 \atop i \ne j } ^ { N } \log | x _ { i } - { x _ { j } } | \right) ,
\begin{array} { r l } { J _ { 4 } } & { = \Delta \hat { e } ^ { T } \hat { Q } _ { \Delta e } \Delta \hat { e } } \\ & { = \left[ S _ { e } ( M \hat { u } + d ) - e _ { p r e v } \right] ^ { T } \hat { Q } _ { \Delta e } \left[ S _ { e } ( M \hat { u } + d ) - e _ { p r e v } \right] } \\ & { = \hat { u } ^ { T } \left[ M ^ { T } S _ { e } ^ { T } \hat { Q } _ { \Delta e } S _ { e } M \right] \hat { u } + 2 \left[ M ^ { T } S _ { e } ^ { T } \hat { Q } _ { \Delta e } ( S _ { e } d - e _ { p r e v } ) \right] \hat { u } } \end{array}
\begin{array} { r } { R _ { N } ( \gamma , \lambda ) = \mathrm { t r } \, { \left( \hat { H } _ { N } ^ { \prime } ( \lambda ) - 8 N \lambda \gamma ^ { 2 } ( ( 4 \lambda ^ { 2 } - 1 ) \gamma ^ { 2 } ) ^ { N - 1 } \right) \left( \hat { H } _ { N } ( \lambda ) - \hat { I } ( ( 4 \lambda ^ { 2 } - 1 ) \gamma ^ { 2 } ) ^ { N } \right) ^ { - 1 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \eta _ { \mathrm { a p p } } ^ { E } ( R , Z ) \, } & { = \, \eta _ { 0 } + \epsilon R \eta _ { 1 } \, + \epsilon ^ { 2 } ( R ^ { 2 } { - } Z ^ { 2 } ) \eta _ { 2 } \, + \epsilon ^ { 2 } \eta _ { 3 } \, , } \\ { \phi _ { \mathrm { a p p } } ^ { E } ( R , Z ) \, } & { = \, \phi _ { 0 } + \epsilon R \phi _ { 1 } + \epsilon ^ { 2 } ( R ^ { 2 } { - } Z ^ { 2 } ) \phi _ { 2 } + \epsilon ^ { 2 } \phi _ { 3 } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \mathcal { E } _ { \ell } \left( \left( \mathbb { E } _ { \ell } ( A _ { \ell } ^ { ( 3 ) } ) \mathbb { E } _ { \ell - 1 } ( A _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { ( 4 ) } + A _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { ( 8 ) } ) - E _ { M _ { \ell , \ell ^ { \prime } } } ^ { \ell } ( A _ { \ell } ^ { ( 3 ) } ) E _ { M _ { \ell , \ell ^ { \prime } } } ^ { \ell - 1 } ( A _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { ( 4 ) } + A _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { ( 8 ) } ) \right) ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } } \\ & { \le C h _ { \ell ^ { \prime } } ^ { \eta _ { \Psi } r } \mathcal { E } _ { \ell } \left( \left( \mathbb { E } _ { \ell } ( A _ { \ell } ^ { ( 3 ) } ) - E _ { M _ { \ell , \ell ^ { \prime } } } ^ { \ell } ( A _ { \ell } ^ { ( 3 ) } ) \right) ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } } \\ & { \quad + C h _ { \ell } ^ { \eta _ { \mathcal { O } } r } \mathcal { E } _ { \ell } \left( \left( \mathbb { E } _ { \ell - 1 } ( A _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { ( 4 ) } + A _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { ( 8 ) } ) - E _ { M _ { \ell , \ell ^ { \prime } } } ^ { \ell - 1 } ( A _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { ( 4 ) } + A _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { ( 8 ) } ) \right) ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } } \\ & { \quad + \sqrt { 2 } \mathcal { E } _ { \ell } \left( \left( E _ { M _ { \ell , \ell ^ { \prime } } } ^ { \ell } ( A _ { \ell } ^ { ( 3 ) } ) - \mathbb { E } _ { \ell } ( A _ { \ell } ^ { ( 3 ) } ) \right) ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } } \\ & { \qquad \qquad \cdot \mathcal { E } _ { \ell } \left( \left( \mathbb { E } _ { \ell - 1 } ( A _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { ( 4 ) } + A _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { ( 8 ) } ) - E _ { M _ { \ell , \ell ^ { \prime } } } ^ { \ell - 1 } ( A _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { ( 4 ) } + A _ { \ell , \ell ^ { \prime } } ^ { ( 8 ) } ) \right) ^ { 2 } \right) ^ { 1 / 2 } . } \end{array}
x = x ^ { \prime } k , \ \ \ y = \frac { y ^ { \prime } } { b } , \ \ \ z = z ^ { \prime } k , \ \ \ u = \frac { u ^ { \prime } } { a \Omega ^ { 2 } } , \ \ \ v = \frac { v ^ { \prime } } { b k a \Omega } , \ \ \ w = \frac { w ^ { \prime } } { a \Omega } , \ \ \ p = \frac { k p ^ { \prime } } { \rho a \Omega ^ { 2 } } .
\begin{array} { r l } { \mathcal { F } _ { J I } ^ { \alpha } ( R ) } & { { } = \langle \Phi _ { J } ( r ; R ) | \nabla _ { \alpha } | \Phi _ { I } ( r ; R ) \rangle ~ , } \\ { \widetilde { \mathcal { F } } _ { J I } ^ { \alpha } ( R ) } & { { } = \langle \Phi _ { J } ( r ; R ) | \nabla _ { \alpha } ^ { 2 } | \Phi _ { I } ( r ; R ) \rangle = \nabla _ { \alpha } \mathcal { F } _ { J I } ^ { \alpha } ( R ) + \sum _ { K } \mathcal { F } _ { J K } ^ { \alpha } ( R ) \, \mathcal { F } _ { K I } ^ { \alpha } ( R ) ~ . } \end{array}
\nu _ { v ^ { 2 } } / \nu _ { \vec { v } } = [ \mathrm { ~ \bf ~ S ~ } _ { B B } ^ { f } ] _ { 1 0 , 1 0 } / [ \mathrm { ~ \bf ~ S ~ } _ { B B } ^ { f } ] _ { 0 1 , 0 1 } = 2 / ( 1 + \alpha )
2 \left( \frac { \alpha } { \pi } \right) k ^ { 2 } I _ { \mu } ( k ) = 2 \left( \frac { \alpha } { \pi } \right) k ^ { 2 } \int _ { 0 } ^ { 1 } d v \frac { v ^ { 2 } ( 1 - v ^ { 2 } / 3 ) } { \mu ^ { - 2 } + k ^ { 2 } ( 1 - v ^ { 2 } ) } ,
\begin{array} { r } { W _ { \rho } ( x , p ) = \frac { 1 } { \pi } \int e ^ { 2 i p x ^ { \prime } } \langle x - x ^ { \prime } | \rho | x + x ^ { \prime } \rangle \, \mathrm { ~ d ~ } x ^ { \prime } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d A } { d Z } } & { { } = - A \zeta _ { 1 } k _ { 0 } \vartheta _ { _ { X } } - A \zeta _ { 1 } k _ { 0 } \vartheta _ { _ { Y } } - A \zeta _ { 2 } \vartheta _ { \tau } - \frac { 7 } { 2 } A b _ { 1 } \zeta _ { 3 } } \end{array}
d s ^ { 2 } = H _ { 1 } ^ { 1 / 4 } H _ { 5 } ^ { 3 / 4 } \left[ { \frac { d u } { H _ { 1 } H _ { 5 } } } ( - d v + K d u + 2 A _ { i } d y ^ { i } + 2 A _ { a } d x ^ { a } ) + { \frac { d y ^ { i } d y _ { i } } { H _ { 5 } } } + d x ^ { a } d x _ { a } \right]
\omega ( y , t ) = \int _ { D } p ( 0 , \xi , t , y ) \omega ( \xi , 0 ) \textrm { d } \xi + \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { D } p ( s , \xi , t , y ) g ( \xi , s ) \textrm { d } \xi \textrm { d } s .
\begin{array} { r l } & { \left| \sum _ { a < n \le b } e ( f ( n ) ) - \sum _ { \alpha < \nu \le \beta } \frac { e ( f ( x _ { \nu } ) - \nu x _ { \nu } - 1 / 8 ) } { | f ^ { \prime \prime } ( x _ { \nu } ) | ^ { 1 / 2 } } \right| \le \frac { 4 0 } { \sqrt { \pi } } \lambda _ { 2 } ^ { - 1 / 2 } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad + A _ { 1 } \log ( \beta - \alpha + 4 ) + A _ { 2 } ( b - a ) \lambda _ { 2 } ^ { 1 / 5 } \lambda _ { 3 } ^ { 1 / 5 } + A _ { 3 } . } \end{array}
c _ { \textbf { p } } ( t ) = \langle { \textbf { p } } | \psi ( t ) \rangle = - i \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } d t ^ { \prime } \langle { \textbf { p } } | e ^ { - i \int _ { t ^ { \prime } } ^ { t } { \hat { H } } ( t ^ { \prime \prime } ) d t ^ { \prime \prime } } { \hat { H } } _ { I } ( t ^ { \prime } ) e ^ { - i \int _ { t _ { 0 } } ^ { t ^ { \prime } } { \hat { H } } _ { 0 } ( t ^ { \prime \prime } ) d t ^ { \prime \prime } } | { \psi ( t _ { 0 } ) } \rangle + \langle { \textbf { p } } | e ^ { - i \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } { \hat { H } } _ { 0 } ( t ^ { \prime \prime } ) d t ^ { \prime \prime } } | \psi ( t _ { 0 } ) \rangle \quad ( 1 . 3 )
\begin{array} { r } { - \frac { \kappa } { 2 | \mathcal { S } | | \mathcal { H } | | \mathcal { A } | | \mathcal { H } | } \le - \epsilon _ { 2 } \le \frac { \partial L _ { \kappa } ( \theta ) } { \partial \theta _ { 2 } ( s _ { t } , \eta _ { t } , a _ { t } , \eta _ { t + 1 } ) } \le - \frac { \kappa } { | \mathcal { S } | | \mathcal { H } | } ( \frac { 1 } { | \mathcal { A } | | \mathcal { H } | } - \pi _ { 2 } ( a _ { t } , \eta _ { t + 1 } | s _ { t } , \eta _ { t } ) ) } \end{array}
\phi ( { \bf r } , t ) = \frac { 1 } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \left( \phi ( { \bf k } ) e ^ { i ( { \bf r } \cdot { \bf k } - \omega ( { \bf k } ) t ) } + \phi ^ { \star } ( { \bf k } ) e ^ { - i ( { \bf r } \cdot { \bf k } - \omega ( { \bf k } ) t ) } \right) d { \bf k }
\alpha _ { k } = \frac { \langle x _ { k } - P _ { \mathrm { \mathcal { N } } } ( \mathit { \hat { x } } ^ { k } ) + P _ { \mathrm { \mathcal { M } } } ( \mathit { \hat { w } } ^ { k } ) , x _ { k } - P _ { \mathrm { \mathcal { N } } } ( \mathit { \hat { w } } ^ { k } ) + P _ { \mathrm { \mathcal { M } } } ( \mathit { \hat { x } } ^ { k } ) \rangle } { \| x _ { k } - P _ { \mathrm { \mathcal { N } } } ( \mathit { \hat { x } } ^ { k } ) + P _ { \mathrm { \mathcal { M } } } ( \mathit { \hat { w } } ^ { k } ) \| ^ { 2 } } .
\operatorname * { l i m } _ { \phi \to \pm \infty } \psi = - \lambda \; | \phi | \; \; , \; \; \; \mathrm { w h e r e } \; \; \lambda \ge \frac { 2 - a } { \sqrt { 1 - a ^ { 2 } } } \ge \sqrt { 3 }
U ( \rho ) \ = \ \left[ \left( 1 9 8 - 4 2 \cdot \frac { 2 \Sigma } { m _ { u } + m _ { d } } \right) \frac \rho { \rho _ { 0 } } + 1 3 3 \left( \frac \rho { \rho _ { 0 } } \right) ^ { 4 / 3 } \right] \mathrm { M e V } ,
\begin{array} { r l } & { = z _ { ( x ^ { - } ) ^ { \prime } - \delta _ { N } } + p _ { y } ( ( x ^ { - } ) ^ { \prime } ) \geq x + z _ { ( x ^ { - } ) ^ { \prime } - \delta _ { N } } + p _ { y } ( ( x ^ { - } ) ^ { \prime } ) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { \delta \downarrow 0 } x + z _ { ( x ^ { - } ) ^ { \prime } - \delta _ { N } } + p _ { y } ( ( x ^ { - } ) ^ { \prime } - \delta ) \overset { \geq } 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname { i n j - S p e c } _ { \mathrm { b } } ( P ) } & { = \{ ( i z , k ) \in \mathbb { C } \times \mathbb { N } _ { 0 } \colon k < \operatorname { o r d } ( P , z ) \} , } \\ { \operatorname { s u r j - S p e c } _ { \mathrm { b } } ( P ) } & { = \{ ( i z , k ) \in \mathbb { C } \times \mathbb { N } _ { 0 } \colon k < \operatorname { o r d } ( P ^ { * } , \bar { z } + i w ) \} . } \end{array}
\dot { \boldsymbol g } _ { t } \approx \dot { \boldsymbol g } _ { t } ^ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ a ~ i ~ r ~ } } + \dot { \boldsymbol g } _ { t } ^ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ b ~ l ~ o ~ o ~ d ~ } } + \dot { \boldsymbol g } _ { t } ^ { \mathrm { ~ \scriptsize ~ m ~ o ~ t ~ i ~ o ~ n ~ } }
\begin{array} { r l } { \displaystyle \frac { 1 } { \nu } \, { \boldsymbol \sigma } ^ { \mathrm { d } } + \frac { 1 } { \nu } \, ( \mathbf { u } \otimes \mathbf { u } ) ^ { \mathrm { d } } } & { = \nabla \mathbf { u } \quad \mathrm { i n } \quad \Omega \, , } \\ { \displaystyle \alpha \, \mathbf { u } + \mathtt { F } \, | \mathbf { u } | ^ { \mathrm { p } - 2 } \mathbf { u } - \mathbf { d i v } ( { \boldsymbol \sigma } ) } & { = \mathbf { f } \quad \, \, \, \, \, \, \mathrm { i n } \quad \Omega \, , } \\ { \mathbf { u } } & { = \mathbf { u } _ { \mathrm { D } } \quad \, \mathrm { o n } \quad \Gamma \, , } \\ { \displaystyle \int _ { \Omega } \mathrm { t r } ( { \boldsymbol \sigma } + \mathbf { u } \otimes \mathbf { u } ) } & { = 0 \, . } \end{array}
\begin{array} { r l } { J _ { \mathrm { { a b } } } ( t | z _ { 0 } ) } & { = j _ { H } ( t | z _ { 0 } ) + \int _ { 0 } ^ { t } d t _ { 1 } j _ { 0 } ( t _ { 1 } | z _ { 0 } ) \int _ { t _ { 1 } } ^ { t } d t _ { 1 } ^ { \prime } \psi ( t _ { 1 } ^ { \prime } - t _ { 1 } ) j _ { H } ( t - t _ { 1 } ^ { \prime } | 0 ) } \\ & { + \int _ { 0 } ^ { t } d t _ { 1 } j _ { 0 } ( t _ { 1 } | z _ { 0 } ) \int _ { t _ { 1 } } ^ { t } d t _ { 1 } ^ { \prime } \psi ( t _ { 1 } ^ { \prime } - t _ { 1 } ) \int _ { t _ { 1 } ^ { \prime } } ^ { t } d t _ { 2 } j _ { 0 } ( t _ { 2 } - t _ { 1 } ^ { \prime } | 0 ) \int _ { t _ { 2 } } ^ { t } d t _ { 2 } ^ { \prime } \psi ( t _ { 2 } ^ { \prime } - t _ { 2 } ) j _ { H } ( t - t _ { 2 } ^ { \prime } | 0 ) + \ldots } \end{array}
\displaystyle \frac { ( x _ { 1 } { \scriptstyle { [ \mathfrak { A } ^ { - 1 } ] } } x _ { 2 } ) ^ { 2 } } { ( x _ { 1 } { \scriptstyle { [ \mathfrak { A } ^ { - 1 } ] } } x _ { 1 } ) ( x _ { 2 } { \scriptstyle { [ \mathfrak { A } ^ { - 1 } ] } } x _ { 2 } ) } { \, = \, } \frac { ( P _ { 1 } { \scriptstyle { [ \mathfrak { A } ] } } P _ { 2 } ) ^ { 2 } } { ( P _ { 1 } { \scriptstyle { [ \mathfrak { A } ] } } P _ { 1 } ) ( P _ { 2 } { \scriptstyle { [ \mathfrak { A } ] } } P _ { 2 } ) }
\left\{ Q _ { \alpha } ^ { a } , Q _ { \beta } ^ { b } \right\} = \delta ^ { a b } \gamma _ { \alpha \beta } ^ { \mu } \, \, P _ { \mu } + \sum _ { p = 0 , 1 , \cdots } \gamma _ { \alpha \beta } ^ { \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { p } } \, \, \, Z _ { \mu _ { 1 } \cdots \mu _ { p } } ^ { a b } .
\begin{array} { r l } & { \frac { 4 } { \lambda ( G ^ { H } - F _ { g } ) } \times } \\ & { = N \sum _ { \ell } \sum _ { a } \sum _ { \alpha } \Big \{ \frac 1 { N } u _ { a } ( \ell ) ^ { 2 } H _ { a \alpha } R _ { a \alpha } + \frac 1 { M } v _ { \alpha } ( \ell ) ^ { 2 } H _ { a \alpha } R _ { a \alpha } } \\ & { ~ ~ ~ + \left( u _ { a } ( \ell ) ^ { 2 } - \frac 1 { M } \right) v _ { \alpha } ( \ell ) ^ { 2 } H _ { a \alpha } R _ { a \alpha } + u _ { a } ( \ell ) ^ { 2 } \left( v _ { \alpha } ( \ell ) ^ { 2 } - \frac 1 { N } \right) H _ { a \alpha } R _ { a \alpha } \Big \} } \\ & { ~ ~ ~ + 2 N \sum _ { \ell _ { 1 } \neq \ell _ { 2 } } \sum _ { a } \sum _ { \alpha } u _ { a } ( \ell _ { 1 } ) u _ { a } ( \ell _ { 2 } ) v _ { \alpha } ( \ell _ { 1 } ) v _ { \alpha } ( \ell _ { 2 } ) H _ { a \alpha } R _ { a \alpha } + { \mathcal O } ( N \| { \boldsymbol U } \| _ { \infty } ^ { 2 } \| { \boldsymbol V } \| _ { \infty } ^ { 2 } ) } \\ & { = N \sum _ { \ell } \sum _ { a } \sum _ { \alpha } \Big \{ \left( u _ { a } ( \ell ) ^ { 2 } - \frac 1 { M } \right) v _ { \alpha } ( \ell ) ^ { 2 } H _ { a \alpha } R _ { a \alpha } + u _ { a } ( \ell ) ^ { 2 } \left( v _ { \alpha } ( \ell ) ^ { 2 } - \frac 1 { N } \right) H _ { a \alpha } R _ { a \alpha } \Big \} } \\ & { ~ ~ ~ + 2 N \sum _ { \ell _ { 1 } \neq \ell _ { 2 } } \sum _ { a } \sum _ { \alpha } u _ { a } ( \ell _ { 1 } ) u _ { a } ( \ell _ { 2 } ) v _ { \alpha } ( \ell _ { 1 } ) v _ { \alpha } ( \ell _ { 2 } ) H _ { a \alpha } R _ { a \alpha } } \\ & { ~ ~ ~ + 2 k ( z s ( z ) + 1 ) + { \mathcal O } ( N \| { \boldsymbol U } \| _ { \infty } ^ { 2 } \| { \boldsymbol V } \| _ { \infty } ^ { 2 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S _ { 0 } ( N ) } & { = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { k } \exp \left( - \mu \frac { k ^ { 2 } } { N ^ { 2 } } \right) } \\ { = \underbrace { \sum _ { k = 0 } ^ { N / 2 - 1 } ( - 1 ) ^ { k } \exp \left( - \mu \frac { k ^ { 2 } } { N ^ { 2 } } \right) } _ { ( * ) } } & { + \exp ( - \mu / 4 ) - \exp ( - \mu / 4 ) \exp \left( - \mu \frac { 1 } { N ^ { 2 } } - \mu \frac { 1 } { N } \right) } \\ & { + \underbrace { \sum _ { k = N / 2 + 2 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { k } \exp \left( - \mu \frac { k ^ { 2 } } { N ^ { 2 } } \right) } _ { ( * * ) } . } \end{array}
\frac { d \bar { \bf x } } { d t } = \frac { \partial v } { \partial \hat { \bf n } } + \left( v - \frac { \partial v } { \partial \hat { \bf n } } \cdot \hat { \bf n } \right) \hat { \bf n } \, , \quad \frac { d \bar { \bf w } } { d t } = - \frac { 1 } { v } \frac { \partial v } { \partial \bar { \bf x } } \, .
\begin{array} { r l r } { v _ { \theta } } & { { } = } & { b \frac { \partial v _ { \theta } } { \partial \theta } , r = R _ { 1 } } \\ { v _ { \theta } } & { { } = } & { - b \frac { \partial v _ { \theta } } { \partial \theta } , r = R _ { 2 } } \\ { v _ { r } } & { { } = } & { 0 , r = R _ { 1 } , R _ { 2 } } \end{array}
\tilde { I } ( y _ { \mathrm { m i n } } , y _ { \mathrm { m a x } } ) \equiv \int _ { y _ { \mathrm { m i n } } } ^ { y _ { \mathrm { m a x } } } d y \, \frac { y } { y + \tilde { a } } \frac { 1 } { A y ^ { 2 } + B y + C } .
{ \cal L } _ { 0 } \; \equiv \; - \, \frac { \lambda _ { \nu } ^ { \prime } } { 2 } \; J _ { \nu } \cdot J _ { \nu } = - \, \frac { n _ { \nu } \lambda _ { \nu } } { 2 } \; v _ { \nu } \cdot v _ { \nu } ,
\left. - \frac { p _ { f } } { \sigma _ { i j } } \right| _ { \zeta _ { t o t } = 0 } \equiv \frac { 1 } { 3 } B _ { k \ell } = \frac { b _ { k \ell } ^ { ( 1 ) } + b _ { k \ell } ^ { ( 2 ) } } { a _ { 2 2 } + 2 a _ { 2 3 } + a _ { 3 3 } } \, ,
\begin{array} { r } { Y ^ { k } = \left[ \begin{array} { l l l } { s ^ { 1 } } & { } & { a _ { s ^ { 1 } } } \\ { s ^ { 2 } } & { } & { a _ { s ^ { 2 } } } \\ { \vdots } \\ { s ^ { k } } & { } & { a _ { s ^ { k } } } \end{array} \right] } \end{array}
{ \frac { 1 } { 2 } } \partial _ { z } \tilde { w } ( z ) - { \bar { L } } \tilde { w } ( z ) + { \frac { 1 } { 2 } } \tilde { w } ( z ) ^ { 2 } + { \frac { { \bar { L } } - \tilde { w } ( z ) } { z } } = 0 ,
d \Gamma = \frac { \sum _ { s } \mid { \cal M } \mid ^ { 2 } } { 1 6 ( 2 \pi ) ^ { 5 } m _ { n } } \frac { d ^ { 3 } { \bf p } _ { e } d ^ { 3 } { \bf p } _ { \nu } d ^ { 3 } { \bf p } _ { p } } { E _ { e } E _ { \nu } E _ { p } } \delta ( E _ { n } - E _ { e } - E _ { \nu } - E _ { p } ) \delta ^ { 3 } ( { \bf p } _ { n } - { \bf p } _ { e } - { \bf p } _ { \nu } - { \bf p } _ { p } ) ,
f _ { + } ^ { D _ { s } \eta ( \eta ^ { \prime ) } } ( q ^ { 2 } ) = { \frac { f _ { + } ^ { D _ { s } \eta ( \eta ^ { \prime } ) } ( 0 ) } { 1 - q ^ { 2 } / m _ { D _ { s } ^ { * } } ^ { 2 } } } \; .
\mathcal { F } _ { i } ( \boldsymbol { I } , \boldsymbol { \theta } , t ) = \widetilde { \mathbb { H } } _ { 2 n } ^ { \vec { k } ^ { i } \! , \vec { \ell } ^ { i } } \! ( \boldsymbol { I } ) \, \mathrm { E } ^ { j \left( \vec { k } ^ { i } \cdot \vec { \theta } + \vec { \ell } ^ { i } \cdot \vec { \phi } ( t ) \right) } + \mathrm { c . c . } ,
\begin{array} { r l } { J _ { \mu } ^ { \mathrm { W B R M } } ( \omega ) } & { { } = \sum _ { j , j ^ { \prime } } \sum _ { \mathbf { k } } \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \mathrm { d } t \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } \mathrm { d } s f _ { j , j ^ { \prime } } ( \textbf { k } , t , s ) e ^ { - i \Phi _ { j , j ^ { \prime } } ( \textbf { k } , t , s ) + i \omega t } , } \\ { f _ { j , j ^ { \prime } } ( \textbf { k } , t , s ) } & { { } = \omega \left| \tilde { w } _ { v } \right| ^ { 2 } \left| a _ { j } ( t ) \right| \left[ \textbf { d } _ { \mu } ^ { k } \right] ^ { * } \left| a _ { j ^ { \prime } } ( s ) \right| \textbf { F } ( s ) \cdot \textbf { d } ^ { \kappa ( \textbf { k } , t , s ) } , } \\ { \Phi _ { j , j ^ { \prime } } ( \textbf { k } , t , s ) } & { { } = \int _ { s } ^ { t } E _ { c } \textbf { ( } \kappa ( \textbf { k } , t , t ^ { \prime } ) \textbf { ) } \mathrm { d } t ^ { \prime } + \varphi _ { a _ { j } } ( t ) - \textbf { k } \cdot \textbf { x } _ { j } - \varphi _ { a _ { j ^ { \prime } } } ( s ) + \kappa ( \textbf { k } , t , s ) \cdot \textbf { x } _ { j ^ { \prime } } } \end{array}
U _ { r } ( \vec { k } ) = \frac { 1 } { \sqrt 2 } \left( \begin{array} { c } { { 1 } } \\ { { \vec { \sigma } \cdot \hat { k } } } \end{array} \right) u _ { I r } ; \quad V _ { s } ( - \vec { k } ) = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left( \begin{array} { c } { { - \vec { \sigma } . \hat { k } } } \\ { { 1 } } \end{array} \right) v _ { I s }
H _ { o p } = \frac { \epsilon _ { 0 } } { 2 } \int d ^ { 3 } r \left[ \mathrm { ~ \bf ~ E ~ } _ { o p } ^ { 2 } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) + c ^ { 2 } ( \nabla \times \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } _ { o p } ( \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } ) ) ^ { 2 } \right] + \sum _ { a = 1 } ^ { N } \frac { 1 } { 2 m _ { a } } \left[ - i \hbar \nabla _ { a } - q _ { a } \mathrm { ~ \bf ~ A ~ } _ { o p } ( \hat { \mathrm { ~ \bf ~ r ~ } } _ { a } ) \right] ^ { 2 } \; .
\begin{array} { r l } { \ell _ { N } ( \mu ) } & { = - \mathbb { E } _ { X \sim \nu } \left[ \log \left( ( \mu * \phi ) ( X ) \right) \right] = - \mathbb { E } _ { X \sim \nu } \left[ \log \left( \mathbb { E } _ { Y \sim \mu } \left[ \phi ( X - Y ) \right] \right) \right] } \\ & { = - \mathbb { E } _ { X \sim \nu } \left[ \log \left( \mathbb { E } _ { Y \sim \rho } \left[ \frac { \mathrm { d } \mu } { \mathrm { d } \rho } ( Y ) \cdot \phi ( X - Y ) \right] \right) \right] } \\ & { = - \mathbb { E } _ { X \sim \nu } \left[ \log \left( \mathbb { E } _ { Y \sim \rho } \left[ \frac { \mathrm { d } \mu } { \mathrm { d } \rho } ( Y ) \cdot ( \rho * \phi ) ( X ) \cdot \frac { \phi ( X - Y ) } { ( \rho * \phi ) ( X ) } \right] \right) \right] . } \end{array}