harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
g ( A ) = \left| \bigcap _ { i \in { \underline { { m } } } \setminus A } A _ { i } \right| , \quad g ( { \underline { { m } } } ) = \left| \bigcup _ { i \in { \underline { { m } } } } A _ { i } \right| { \mathrm { ~ a n d ~ } } g ( A ) = \mathbb { P } \left( \bigcap _ { i \in { \underline { { m } } } \setminus A } A _ { i } \right) , ~ ~ g ( { \underline { { m } } } ) = \mathbb { P } \left( \bigcup _ { i \in { \underline { { m } } } } A _ { i } \right)
\begin{array} { r l } { A _ { 1 } \Delta _ { j + 1 } + \Delta _ { j + 1 } A _ { 2 } } & { - \left[ ( A _ { 1 } - p _ { j } I ) \widetilde W _ { j } + \eta _ { j + 1 } \right] V ^ { * } r _ { j } ( - A _ { 2 } ) ^ { - 1 } } \\ & { = - \frac { r _ { j + 1 } } { r _ { j } } ( A _ { 1 } ) \left[ ( A _ { 1 } - p _ { j } I ) \widetilde W _ { j } + \eta _ { j + 1 } \right] V ^ { * } r _ { j + 1 } ( - A _ { 2 } ) ^ { - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { l i m } _ { m \rightarrow \infty } \sum _ { M \in \mathcal { P M } _ { k } \left( \widehat { \mathcal { C } } \right) } M = \sum _ { M \in \mathcal { P M } _ { k } \left( \mathcal { C } \right) } M , \; \forall k \in \{ 1 , \ldots , r \} . } \end{array}
\Pi ( k _ { 0 } ) = e ^ { 2 } \, { \frac { \mathrm { s e c h } ^ { 2 } { \frac { \beta m } { 2 } } } { 1 + \operatorname { t a n h } ^ { 2 } { \frac { \beta m } { 2 } } \tan ^ { 2 } { \frac { \beta k _ { 0 } } { 2 } } } } \, { \frac { \tan { \frac { \beta k _ { 0 } } { 2 } } } { k _ { 0 } } }
\partial _ { \lambda _ { k } } \mathrm { ~ K ~ L ~ } ( { \bf C } | | { \bf \Xi } ( { \bf \Lambda } ) ) = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 1 } { \lambda _ { k } } - \frac { 1 } { \lambda _ { k } ^ { 2 } } \mathrm { ~ T ~ r ~ } \left[ { \bf v } _ { k } { \bf v } _ { k } ^ { \prime } { \bf C } \right] \right) = \frac { 1 } { 2 } \left( \frac { 1 } { \lambda _ { k } } - \frac { 1 } { \lambda _ { k } ^ { 2 } } { \bf v } _ { k } ^ { \prime } { \bf C } { \bf v } _ { k } \right) = 0 .
{ \begin{array} { r l r l } { { \frac { d } { d x } } \ln x } & { = \operatorname* { l i m } _ { h \to 0 } { \frac { \ln ( x + h ) - \ln x } { h } } } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { h \to 0 } \left[ { \frac { 1 } { h } } \ln \left( { \frac { x + h } { x } } \right) \right] } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { h \to 0 } \left[ \ln \left( 1 + { \frac { h } { x } } \right) ^ { \frac { 1 } { h } } \right] \quad } & & { { \mathrm { a l l ~ a b o v e ~ f o r ~ l o g a r i t h m i c ~ p r o p e r t i e s } } } \\ & { = \ln \left[ \operatorname* { l i m } _ { h \to 0 } \left( 1 + { \frac { h } { x } } \right) ^ { \frac { 1 } { h } } \right] \quad } & & { { \mathrm { f o r ~ c o n t i n u i t y ~ o f ~ t h e ~ l o g a r i t h m } } } \\ & { = \ln e ^ { 1 / x } \quad } & & { { \mathrm { f o r ~ t h e ~ d e f i n i t i o n ~ o f ~ } } e ^ { x } = \operatorname* { l i m } _ { h \to 0 } ( 1 + h x ) ^ { 1 / h } } \\ & { = { \frac { 1 } { x } } \quad } & & { { \mathrm { f o r ~ t h e ~ d e f i n i t i o n ~ o f ~ t h e ~ l n ~ a s ~ i n v e r s e ~ f u n c t i o n . } } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { \dot { \theta } _ { \mathrm { ~ f ~ l ~ u ~ c ~ t ~ } } } & { { } = \omega _ { \mathrm { ~ f ~ l ~ u ~ c ~ t ~ } } , } \\ { \dot { \omega } _ { \mathrm { ~ f ~ l ~ u ~ c ~ t ~ } } } & { { } = c _ { 1 } ( \omega _ { \mathrm { ~ f ~ l ~ u ~ c ~ t ~ } } ) + c _ { 2 } ( \theta _ { \mathrm { ~ f ~ l ~ u ~ c ~ t ~ } } ) + \epsilon ( \omega _ { \mathrm { ~ f ~ l ~ u ~ c ~ t ~ } } ) \xi } \\ { \omega } & { { } = \omega _ { \mathrm { ~ f ~ l ~ u ~ c ~ t ~ } } + \omega _ { \mathrm { ~ t ~ r ~ e ~ n ~ d ~ } } , } \end{array}
\rho _ { a } ( T _ { R } ) \simeq \left( \frac { \rho _ { a } } { \rho _ { \phi } } \right) \rho _ { \phi } ( T _ { R } ) \simeq 5 . 3 T _ { R } ^ { 4 } M ^ { - 2 } F _ { a } ^ { 2 } \theta ^ { 2 } \xi ( T _ { 1 } ) ^ { - 1 } .
\begin{array} { r l r } { C _ { \mathrm { H O M , C r o s s } } \left( \tau , \left[ \tau _ { 1 } , T _ { 2 } , \Delta t , \tau _ { 0 } , \vec { A } , \vec { B } \right] \right) } & { { } = } & { A _ { 3 } \exp ( - | \tau | / \tau _ { 1 } ) + \sum _ { \mathrm { i } = \{ 1 , 2 , 4 , 5 \} } A _ { i } \exp ( - \left| \tau + \Delta t _ { i } \right| / \tau _ { 1 } ) } \end{array}
\langle \epsilon \rangle _ { x } = \frac { 2 } { ( \phi _ { \mathrm { ~ T ~ } } ) ^ { 2 } } \left[ \log ( 1 - \phi _ { \mathrm { ~ T ~ } } ) + \phi _ { \mathrm { ~ T ~ } } \left( 1 - \langle 1 / L \rangle _ { x } \right) \right] .
C _ { i j a b , i j a b } ^ { \mathrm { ~ G ~ F ~ } 2 } = \epsilon _ { a } ^ { \mathrm { ~ G ~ F ~ } 2 } + \epsilon _ { b } ^ { \mathrm { ~ G ~ F ~ } 2 } - \epsilon _ { i } ^ { \mathrm { ~ G ~ F ~ } 2 } - \epsilon _ { j } ^ { \mathrm { ~ G ~ F ~ } 2 }
\mathcal { P } _ { T _ { 0 } } ^ { \rho _ { 0 } , \zeta } : \mathcal { N } _ { K ( T _ { 0 } ) } ^ { \rho _ { 0 } , \zeta } = \frac { \mathcal { M } _ { K ( T _ { 0 } ) } ^ { \rho _ { 0 } , \zeta } } { \mathrm { M o n } ^ { 2 } ( T _ { 0 } , \rho _ { 0 } ) } \to \frac { \Omega _ { T _ { 0 } } ^ { \rho _ { 0 } , \zeta } \setminus \left( \mathcal { H } _ { T _ { 0 } } \cup \mathcal { H } _ { T _ { 0 } } ^ { ' } \right) } { \Gamma _ { T _ { 0 } } ^ { \rho _ { 0 } , \zeta } } .
f ^ { N S } = \int d ^ { 2 } k _ { \perp } d \beta d m ^ { 2 } \Phi \left( \left[ s ( \beta - x ) ( 1 - \beta ) \right] ( 1 - \beta ) ^ { - 1 } \right) \Im \frac { \alpha _ { s } ( m ^ { 2 } ) } { [ \beta m ^ { 2 } + k _ { \perp } ^ { 2 } ] [ m ^ { 2 } ] } ~ ~ .
\begin{array} { r l r } { c _ { \alpha } ^ { 2 } } & { = } & { { \bf w } _ { \alpha } ^ { \top } B { \bf w } _ { \alpha } } \\ & { = } & { \alpha ^ { 2 } { \bf w } _ { \mathrm { m d r p } } ^ { \top } B { \bf w } _ { \mathrm { m d r p } } + 2 \alpha ( 1 - \alpha ) { \bf w } _ { \mathrm { m v p } } ^ { \top } B { \bf w } _ { \mathrm { m d r p } } + ( 1 - \alpha ) ^ { 2 } { \bf w } _ { \mathrm { m v p } } ^ { \top } B { \bf w } _ { \mathrm { m v p } } } \\ & { = } & { ( 1 - \alpha ) ^ { 2 } { \bf w } _ { \mathrm { m v p } } ^ { \top } B { \bf w } _ { \mathrm { m v p } } = ( 1 - \alpha ) ^ { 2 } c _ { \mathrm { m v p } } ^ { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r } { \Bigg ( \left[ \begin{array} { c c } { I } & { 0 } \\ { \widetilde { T } _ { 0 } } & { - I } \end{array} \right] + \left[ \begin{array} { c c } { L } & { S } \\ { R - H } & { K } \end{array} \right] \Bigg ) \left[ \begin{array} { c } { \psi _ { 1 } } \\ { \psi _ { 2 } } \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c } { \eta _ { 1 } } \\ { \eta _ { 2 } } \end{array} \right] , } \end{array}
\frac { T ^ { \prime } ( \omega ) } { T } = \frac { \hbar \omega } { k _ { B } T } [ \bar { n } _ { \omega } + 1 / 2 ] = \frac { \hbar \omega } { 2 k _ { B } T } \left[ \operatorname { t a n h } { \frac { \hbar \omega } { 2 k _ { B } T } } \right] ^ { - 1 } ,
\begin{array} { r l } & { \mathbb { E } _ { \xi \sim \mathbb { P } } \big ( \| \nabla f _ { \xi } ( { w _ { t + 1 } } ) - \nabla f _ { \xi } ( w _ { t } ) \| ^ { 2 } \big | S _ { 1 : t } \big ) } \\ & { \overset { ( i ) } { \le } \| w _ { t + 1 } - w _ { t } \| ^ { 2 } \big ( \overline { { K } } _ { 0 } + \overline { { K } } _ { 1 } \mathbb { E } _ { \xi } \big ( \| \nabla f _ { \xi } ( w _ { t } ) \| ^ { \alpha } \big | S _ { 1 : t } \big ) + \overline { { K } } _ { 2 } \| w _ { t + 1 } - w _ { t } \| ^ { \frac { \alpha } { 1 - \alpha } } \big ) ^ { 2 } } \\ & { \overset { ( i i ) } { \le } \gamma ^ { 2 } \big ( \overline { { K } } _ { 0 } + \overline { { K } } _ { 1 } \Lambda ^ { \alpha } + \overline { { K } } _ { 1 } ( \Gamma ^ { \alpha } + 1 ) \| \nabla f ( w _ { t } ) \| ^ { \alpha } + \overline { { K } } _ { 2 } \big ) ^ { 2 } } \\ & { \overset { ( i i i ) } { \le } 2 \gamma ^ { 2 } ( \overline { { K } } _ { 0 } + \overline { { K } } _ { 2 } + \overline { { K } } _ { 1 } \Lambda ^ { \alpha } ) ^ { 2 } + 2 \gamma ^ { 2 } \overline { { K } } _ { 1 } ^ { 2 } ( \Gamma ^ { \alpha } + 1 ) ^ { 2 } \cdot \| \nabla f ( w _ { t } ) \| ^ { 2 \alpha } } \\ & { \le 2 \gamma ^ { 2 } ( \overline { { K } } _ { 0 } + \overline { { K } } _ { 2 } + \overline { { K } } _ { 1 } \Lambda ^ { \alpha } ) ^ { 2 } + 2 \gamma ^ { 2 } \overline { { K } } _ { 1 } ^ { 2 } ( \Gamma ^ { \alpha } + 1 ) ^ { 2 } \big ( \| \nabla f ( w _ { t } ) \| ^ { 2 } + 1 \big ) } \\ & { \overset { ( i v ) } { \le } \epsilon ^ { 2 } \big ( 1 + \| \nabla f ( w _ { t } ) \| ^ { 2 } \big ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \frac { 2 \cdot ( 2 k ) ! } { \pi ^ { 2 k } ( 2 ^ { 2 k } - 1 ) } \frac { 3 ^ { 2 k } } { ( 3 ^ { 2 k } - \beta ) } \leq \frac { 2 \cdot ( 2 k ) ! } { ( 2 \pi ) ^ { 2 k } } \frac { 1 } { 1 - 2 ^ { \delta - 2 k } } } \\ & { \Longleftrightarrow \frac { 1 } { ( 2 ^ { 2 k } - 1 ) } \frac { 3 ^ { 2 k } } { ( 3 ^ { 2 k } - \beta ) } \leq \frac { 1 } { ( 2 ^ { 2 k } - 2 ^ { \delta } ) } } \\ & { \Longleftrightarrow \beta \cdot ( 2 ^ { 2 k } - 1 ) \leq ( 2 ^ { \delta } - 1 ) \cdot 3 ^ { 2 k } . } \end{array}
\begin{array} { r c l } { { \hat { Q } } } & { { = } } & { { S _ { + } \hat { C } ^ { + } + S _ { - } \hat { C } ^ { - } + A _ { 1 } ( \hat { S } _ { 3 } ) \hat { C } ^ { 3 } + A _ { 2 } ( \hat { S } _ { 3 } ) \hat { \bar { C } } _ { - } \hat { C } ^ { - } \hat { C } ^ { 3 } + A _ { 3 } ( \hat { S } _ { 3 } ) \hat { \bar { C } } _ { + } \hat { C } ^ { + } \hat { C } ^ { 3 } } } \\ { { } } & { { } } & { { + A _ { 4 } ( \hat { S } _ { 3 } ) \hat { \bar { C } } _ { 3 } \hat { C } ^ { + } \hat { C } ^ { - } + A _ { 5 } ( \hat { S } _ { 3 } ) \hat { \bar { C } } _ { + } \hat { \bar { C } } _ { - } \hat { C } ^ { + } \hat { C } ^ { - } \hat { C } ^ { 3 } { } ~ , } } \end{array}
\operatorname* { d e t } \left( \frac { \widetilde { H } _ { \mathrm { f , I w } } ^ { 1 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T , \Delta _ { \emptyset } ) } { \Lambda _ { \mathcal { O } } ( \Gamma _ { \textup { c y c } } ) \cdot \kappa _ { \textup { c y c } } ( T ) } \right) = \operatorname* { d e t } ( \widetilde { H } _ { \mathrm { f , I w } } ^ { 2 } ( G _ { \mathbb { Q } , \Sigma } , T , \Delta _ { \emptyset } ) ) \, .
\begin{array} { r l } { \| { \mathcal D } _ { b ^ { - } } ^ { \alpha } ( \beta { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } \rho ) \| _ { H _ { b ^ { - } } ^ { 1 - \alpha } ( a , b ) } ^ { 2 } = } & { \| { \mathcal D } _ { b ^ { - } } ^ { \alpha } ( \beta { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } \rho ) \| _ { L ^ { 2 } ( a , b ) } ^ { 2 } + \| { \mathbb D } _ { b ^ { - } } ^ { 1 - \alpha } ( { \mathcal D } _ { b ^ { - } } ^ { \alpha } ( \beta { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } \rho ) ) \| _ { L ^ { 2 } ( a , b ) } ^ { 2 } } \\ { = } & { \| I _ { b ^ { - } } ^ { 1 - \alpha } ( \beta { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } \rho ) ^ { \prime } ) \| _ { L ^ { 2 } ( a , b ) } ^ { 2 } + \| ( \beta { \mathbb D } _ { a ^ { + } } ^ { \alpha } \rho ) ^ { \prime } \| _ { L ^ { 2 } ( a , b ) } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \mathbb { E } } [ \left\| ( 1 - \alpha _ { x } r ) ( \widetilde { { \mathbf { X } } } ^ { k } - { \mathbf { H } } _ { x } ^ { k } ) + \alpha _ { x } r ( \widetilde { { \mathbf { X } } } ^ { k } - { \mathbf { H } } _ { x } ^ { k } - \frac { { \mathbf { Q } } _ { x } ^ { k } } { r } ) \right\| _ { F } ^ { 2 } \vert { \mathcal { F } } ^ { k } ] } \\ { \leq } & { ( 1 - \alpha _ { x } r ) \left\| \widetilde { { \mathbf { X } } } ^ { k } - { \mathbf { H } } _ { x } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } + \alpha _ { x } r { \mathbb { E } } [ \left\| \widetilde { { \mathbf { X } } } ^ { k } - { \mathbf { H } } _ { x } ^ { k } - \frac { { \mathbf { Q } } _ { x } ^ { k } } { r } \right\| _ { F } ^ { 2 } \vert { \mathcal { F } } ^ { k } ] } \\ { \leq } & { ( 1 - \alpha _ { x } r ) \left\| \widetilde { { \mathbf { X } } } ^ { k } - { \mathbf { H } } _ { x } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } + \alpha _ { x } r ( 1 - \delta ) \left\| \widetilde { { \mathbf { X } } } ^ { k } - { \mathbf { H } } _ { x } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } } \\ & { + \alpha _ { x } r s _ { k } ^ { 2 } \sigma _ { r } ^ { 2 } } \\ { = } & { ( 1 - \alpha _ { x } r \delta ) \left\| \widetilde { { \mathbf { X } } } ^ { k } - { \mathbf { H } } _ { x } ^ { k } \right\| _ { F } ^ { 2 } + s _ { k } ^ { 2 } \alpha _ { x } r \sigma _ { r } ^ { 2 } . } \end{array}
\langle \tilde { p } \rangle = \tilde { p } _ { 0 } + \varepsilon ^ { 2 } \tilde { p } _ { 0 } \Sigma \tilde { p } _ { 0 } + \varepsilon ^ { 4 } \tilde { p } _ { 0 } \Sigma \tilde { p } _ { 0 } \Sigma \tilde { p } _ { 0 } + \dots
\begin{array} { r l r } { F _ { 1 } } & { = } & { - 2 u ^ { 2 } \mathrm { I n t K } _ { \frac { 1 } { 3 } } ( u ^ { \prime } ) \left\{ ( { \bf S } _ { i } \cdot \hat { \bf a } ) { \bf S } _ { f } \cdot \left[ \hat { \bf n } \times \hat { \bf a } \right] + ( { \bf S } _ { f } \cdot \hat { \bf a } ) { \bf S } _ { i } \cdot \left[ \hat { \bf n } \times \hat { \bf a } \right] \right\} + } \\ & { } & { 4 u \left[ ( { \bf S } _ { i } \cdot \hat { \bf a } ) ( 1 + u ) + ( { \bf S } _ { f } \cdot \hat { \bf a } ) \right] \mathrm { K } _ { \frac { 1 } { 3 } } ( u ^ { \prime } ) + } \\ & { } & { 2 u ( 2 + u ) \hat { \bf n } \cdot [ { \bf S } _ { f } \times { \bf S } _ { i } ] \mathrm { K } _ { \frac { 2 } { 3 } } ( u ^ { \prime } ) , } \end{array}
\sum _ { i , j = 1 } ^ { 2 } \hat { A } _ { i j } ^ { ( \theta _ { 1 } ) } ( \psi _ { x } , \psi _ { y } , \psi , x ) \partial _ { i } \partial _ { j } \psi + \sum _ { i , j = 1 } ^ { 2 } \hat { A } _ { i } ^ { ( \theta _ { 1 } ) } \partial _ { i } \psi = 0 \, ,
\frac { \delta } { { \alpha } _ { k _ { i } } } \| { \mathcal { G } } _ { { \alpha } _ { k _ { i } } } ( u _ { k } ) \| _ { H } ^ { 2 } > { \Psi } ( u _ { \ell ( k ) } ) - { \Psi } ( { \mathcal { T } } _ { { \alpha } _ { k _ { i } } } ( u _ { k } ) ) \geq { \Psi } ( u _ { k } ) - { \Psi } ( { \mathcal { T } } _ { { \alpha } _ { k _ { i } } } ( u _ { k } ) ) .
\frac { d B } { d T } = - \frac { \sigma _ { 1 } } { 2 } B - \mathrm { ~ i ~ } \lambda B - \mathrm { ~ i ~ } \frac { \omega _ { 0 } } { 8 \left( 1 + \Gamma \right) ^ { 2 } } f ^ { 2 } \overline { { B } } + \mathrm { ~ i ~ } \frac { \omega _ { 0 } } { 1 2 \left( 1 + \Gamma \right) ^ { 2 } } f ^ { 2 } B .
{ \bf V } _ { C K M } \approx \left( \begin{array} { c c c } { { 1 } } & { { - 0 . 2 } } & { { 0 . 0 0 4 } } \\ { { 0 . 2 } } & { { 1 } } & { { - 0 . 0 3 } } \\ { { 0 . 0 0 2 } } & { { 0 . 0 4 } } & { { 1 } } \end{array} \right)
- ( \lambda + \alpha ) C _ { i - 1 } ^ { j + 1 } + ( 1 + 2 \lambda + \beta ) C _ { i } ^ { j + 1 } - ( \lambda - \alpha ) C _ { i + 1 } ^ { j + 1 } - \beta C _ { M i } ^ { j + 1 } = + ( \lambda + \alpha ) C _ { i - 1 } ^ { j } + ( 1 - 2 \lambda - \beta ) C _ { i } ^ { j } + ( \lambda - \alpha ) C _ { i + 1 } ^ { j } + \beta C _ { M i } ^ { j } .
\hat { c _ { 1 } } = c _ { 1 } / c _ { 1 } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } ~ , ~ ~ ~ \hat { c _ { 2 } } = c _ { 2 } / c _ { 2 } ^ { \mathrm { ~ o ~ u ~ t ~ } } ~ , ~ ~ ~ \hat { \varphi _ { f } } = \varphi _ { f } ~ , ~ ~ ~ \hat { \varphi _ { n } } = \varphi _ { n } .
M _ { B 1 2 } ^ { 2 } = \left( \begin{array} { c c c c } { { \beta k ^ { 2 } } } & { { \alpha \upsilon _ { R } ^ { 2 } } } & { { 0 } } & { { \beta k \upsilon _ { R } } } \\ { { \left[ \beta + \rho _ { 3 } - 2 \rho _ { 1 } \right] k ^ { 2 } } } & { { \beta k ^ { 2 } } } & { { 0 } } & { { \left[ \beta + \rho _ { 3 } - 2 \rho _ { 1 } \right] k \upsilon _ { R } } } \\ { { 0 } } & { { \alpha k \upsilon _ { R } } } & { { 0 } } & { { \beta k ^ { 2 } } } \\ { { \beta k \upsilon _ { R } } } & { { \left[ \beta + \rho _ { 3 } - 2 \rho _ { 1 } \right] k \upsilon _ { R } } } & { { \beta k ^ { 2 } } } & { { 0 } } \end{array} \right) ,
\left| \mathrm { L F } _ { \mathbb H } ^ { ( \gamma - \frac { 4 } { \gamma } , 0 ) , ( \alpha , i ) } ( 1 ) \right| \cdot \mathbb E \left[ | \psi _ { \eta } ^ { \prime } ( i ) | ^ { 2 \Delta _ { \alpha } - 2 } \right] = C _ { 2 } \cdot \int _ { 0 } ^ { \infty } | \mathrm { Q D } _ { 1 , 1 } ( \alpha , \gamma ; \ell ) | | \mathcal M _ { 0 , 2 } ^ { \mathrm { d i s k } } ( 2 ; 1 , \ell ) | d \ell .
\begin{array} { r l r } { \frac { 1 } { 2 } ( n _ { T } ) ( n _ { T } ) } & { = } & { \frac { 1 } { 2 } ( \tilde { n } _ { T } ) ( \tilde { n } _ { T } ) + ( n _ { T } ^ { 1 } - \tilde { n } _ { T } ^ { 1 } ) \tilde { n } _ { T } } \\ & { + } & { ( n _ { T } ^ { 1 } - \tilde { n } _ { T } ^ { 1 } ) ( n _ { T } ^ { 1 } - \tilde { n } _ { T } ^ { 1 } ) , } \end{array}
g = c I + v ^ { n } ~ t _ { n } = \left( \begin{array} { c r } { { c - v _ { 2 } } } & { { - v _ { 1 } - v _ { 0 } } } \\ { { - v _ { 1 } + v _ { 0 } } } & { { c + v _ { 2 } } } \end{array} \right) , ~ ~ ~ ~ ~ \mathrm { w i t h } ~ ~ ~ ~ ~ c ^ { 2 } + v ^ { n } v _ { n } = 1 ,
\begin{array} { r } { \mathrm { \bf U ^ { \prime } = \left( \begin{array} { l l } { \mathrm { \bf U } } & { } \end{array} \right) , } } \\ { \mathrm { \bf V ^ { \prime } = \left( \begin{array} { l l } { \mathrm { \bf V } } & { } \end{array} \right) , } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { ( S _ { \mathfrak { n } \mathfrak { n ^ { \prime } } } ^ { - } ) ^ { 2 } + ( S _ { \mathfrak { n } \mathfrak { n ^ { \prime } } } ^ { + } ) ^ { 2 } } & { { } = } & { \frac { 1 } { 2 } \; \big [ \delta _ { \mathfrak { n } \mathfrak { n ^ { \prime } } } - 2 \, S _ { \mathfrak { n } \mathfrak { n ^ { \prime } } } ^ { - } \, S _ { \mathfrak { n } \mathfrak { n ^ { \prime } } } ^ { + } } \end{array}
\frac { d \Gamma } { d E _ { \psi } } ( Z ^ { 0 } \rightarrow \psi ( E _ { \psi } ) + \ell ^ { + } \ell ^ { - } ) = 8 \alpha ^ { 2 } g _ { \psi } ^ { 2 } \frac { \widehat { \Gamma } ( Z ^ { 0 } \rightarrow \ell ^ { + } \ell ^ { - } ) } { M _ { Z } } \left[ \frac { ( y - 1 ) ^ { 2 } + 1 } { y } \log { \frac { y ^ { 2 } M _ { Z } ^ { 2 } } { M _ { \psi } ^ { 2 } } } \; - \; 2 y \right] .
\begin{array} { r } { \| \rho _ { 1 } ( s ) \otimes \rho _ { 2 } ( s ) \otimes \cdots \otimes \rho _ { N } ( s ) \| _ { F } = \| \rho _ { 1 } ( s ) \| _ { F } \cdot \| \rho _ { 2 } ( s ) \| _ { F } \cdots \| \rho _ { N } ( s ) \| _ { F } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left( \frac { d \boldsymbol { P } _ { h } } { d t } \right) _ { i } = \frac { d } { d t } \left< \boldsymbol { e } _ { i } , \boldsymbol { u } _ { h } \right> _ { \Omega _ { h } } } & { { } = - \left< \boldsymbol { e } _ { i } , \widetilde { C } _ { h } ( \boldsymbol { u } _ { h } ) \boldsymbol { u } _ { h } \right> - \left< \boldsymbol { e } _ { i } , G _ { h } \boldsymbol { p } _ { h } \right> + \nu \left< \boldsymbol { e } _ { i } , D _ { h } \boldsymbol { u } _ { h } \right> } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { i _ { 2 } = 0 } ^ { K } \sum _ { i _ { 1 } = 0 } ^ { i _ { 2 } } \mu _ { i _ { 1 } } \mu _ { i _ { 2 } } \sum _ { j _ { 3 } = K + 1 } ^ { \infty } \frac { \sigma _ { j _ { 3 } } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { j _ { 3 } } } } & { \leq \left( \frac { 1 } { K + 1 } \sum _ { i _ { 2 } = 0 } ^ { K } \mu _ { i _ { 2 } } \right) \left( \frac { 1 } { i _ { 2 } + 1 } \sum _ { i _ { 1 } = 0 } ^ { i _ { 2 } } \mu _ { i _ { 1 } } \right) \sum _ { j _ { 3 } = K + 1 } ^ { \infty } ( j _ { 3 } + 1 ) ^ { 2 } \frac { \sigma _ { j _ { 3 } } ^ { 2 } } { \epsilon ^ { j _ { 3 } } } \rightarrow 0 } \end{array}
\begin{array} { r l r l } { { 2 } \Phi } & { { } = { \Phi } _ { 0 } ( z ) + \epsilon { \Phi } _ { 1 } ( z ) + \epsilon ^ { 2 } { \Phi } _ { 2 } ( z ) + O ( \epsilon ^ { 3 } ) \quad } & { } & { { } ( z < 0 , z > 0 ) , } \\ { \Phi } & { { } = \hat { \phi } _ { 0 } ( \eta ) + \epsilon \hat { \phi } _ { 1 } ( \eta ) + \epsilon ^ { 2 } \hat { \phi } _ { 2 } ( \eta ) + O ( \epsilon ^ { 3 } ) \quad } & { } & { { } ( - \infty < \eta < 0 ) , } \\ { \Phi } & { { } = \check { \phi } _ { 0 } ( \xi ) + \epsilon \check { \phi } _ { 1 } ( \xi ) + \epsilon ^ { 2 } \check { \phi } _ { 2 } ( \xi ) + O ( \epsilon ^ { 3 } ) \quad } & { } & { { } ( 0 < \xi < + \infty ) . } \end{array}
{ \frac { 1 } { 2 } } \sigma ( r ) ^ { 2 } { \frac { \partial ^ { 2 } P } { \partial r ^ { 2 } } } + [ a ( r ) + \sigma ( r ) + \varphi ( r , t ) ] { \frac { \partial P } { \partial r } } + { \frac { \partial P } { \partial t } } = r P
\sigma _ { X } ^ { 2 } = \operatorname { \mathbb { E } } [ \, \left( X - \operatorname { \mathbb { E } } [ X ] \right) ^ { 2 } \, ] = \operatorname { \mathbb { E } } [ \, X ^ { 2 } \, ] - \left( \operatorname { \mathbb { E } } [ \, X \, ] \right) ^ { 2 }
\begin{array} { r l } { A ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) A ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) } & { = A ( x _ { 2 } , y _ { 1 } ) A ( x _ { 1 } , y _ { 2 } ) , } \\ { A ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) A ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) } & { = A ( x _ { 1 } ; y _ { 2 } ) A ( x _ { 2 } , y _ { 1 } ) , } \\ { D ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) D ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) } & { = D ( x _ { 2 } , y _ { 1 } ) D ( x _ { 1 } , y _ { 2 } ) , } \\ { D ( x _ { 1 } , y _ { 1 } ) D ( x _ { 2 } , y _ { 2 } ) } & { = D ( x _ { 1 } ; y _ { 2 } ) D ( x _ { 2 } , y _ { 1 } ) , } \end{array}
\left\lVert \boldsymbol { u } - \mathcal { P } \boldsymbol { u } \right\rVert _ { H } ^ { 2 } = \sum _ { \left\{ \lambda _ { j } > 8 c _ { 3 } C _ { 1 } ^ { 2 } \right\} } a _ { j k } ^ { 2 } \lambda _ { j } \frac { 1 } { \lambda _ { j } } , \ \mathrm { ~ o r ~ } \left\lVert \boldsymbol { u } - \mathcal { P } \boldsymbol { u } \right\rVert _ { H } ^ { 2 } = \sum _ { \left\{ \mu _ { k } > 8 c _ { 4 } \lambda _ { j } ^ { b } C _ { 2 } ^ { 2 } \right\} } a _ { j k } ^ { 2 } \lambda _ { j } ^ { - b } \mu _ { k } \frac { \lambda _ { j } ^ { b } } { \mu _ { k } } ,
u ( x , t ) = { \frac { 1 } { \gamma _ { n } } } \left[ \partial _ { t } \left( { \frac { 1 } { t } } \partial _ { t } \right) ^ { \frac { n - 2 } { 2 } } \left( t ^ { n } { \frac { 1 } { | B _ { t } ( x ) | } } \int _ { B _ { t } ( x ) } { \frac { g } { ( t ^ { 2 } - | y - x | ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } } \mathrm { d } y \right) + \left( { \frac { 1 } { t } } \partial _ { t } \right) ^ { \frac { n - 2 } { 2 } } \left( t ^ { n } { \frac { 1 } { | B _ { t } ( x ) | } } \int _ { B _ { t } ( x ) } { \frac { h } { ( t ^ { 2 } - | y - x | ^ { 2 } ) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } } \mathrm { d } y \right) \right]
\frac { d } { d t } \rho _ { 1 } = \kappa _ { 4 1 } \rho _ { 4 } + \kappa _ { 7 1 } \rho _ { 7 } - \frac { \Omega _ { l } } { 2 } i ( \rho _ { 1 4 } - \rho _ { 4 1 } ) - \frac { \Omega _ { m } } { 2 } i ( \rho _ { 1 2 } - \rho _ { 2 1 } ) - \frac { \Omega _ { m } } { 2 } i ( \rho _ { 1 3 } - \rho _ { 3 1 } )
\rho _ { X \to Y } = \left\{ \sum _ { j = 0 } ^ { N - 1 } \exp \left[ \sigma _ { \mathrm { i n } } j \frac { ( 2 N - j - 3 ) \pi _ { X X } + ( j + 1 ) \pi _ { X Y } - ( 2 N - j - 1 ) \pi _ { Y X } - ( j - 1 ) \pi _ { Y Y } } { 2 ( N - 1 ) } \right] \right\} ^ { - 1 } .
\int _ { \ensuremath { { \mathbb R } } ^ { 3 } } ( h _ { \ell } ^ { + } ) ^ { p + 1 - i } \le \frac { C } { ( \ell - k ) ^ { i + \gamma } } \left[ \left( \left\| \langle \cdot \rangle ^ { - \frac { 3 } { 2 } } \nabla ( h _ { k } ^ { + } ) ^ { \frac { p } { 2 } } \right\| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } + \left\| h _ { k } ^ { + } \right\| _ { L ^ { p } } ^ { p } \right) \left\| h _ { k } ^ { + } \right\| _ { L ^ { p } } ^ { p \left( \frac { 2 } { 3 } - \frac { 3 } { m } \right) } \left\| h _ { k } ^ { + } \right\| _ { L _ { m } ^ { 1 } } ^ { { { \frac { 3 } { m } } } } \right] ,
\begin{array} { r l } { \Tilde { f } } & { { } = \frac { n } { \sqrt { \operatorname* { d e t } 2 \pi \boldsymbol { \Sigma } } } \exp \left[ - \frac { 1 } { 2 } ( \mathbf { u } - \mathbf { v } ) ^ { T } \boldsymbol { \Sigma } ^ { - 1 } ( \mathbf { u } - \mathbf { v } ) \right] } \\ { \boldsymbol { \Sigma } } & { { } = \{ \Sigma _ { \alpha \beta } \} = \frac { 1 } { \operatorname* { P r } } \frac { k _ { B } T } { m } \delta _ { \alpha \beta } + ( 1 - \frac { 1 } { \operatorname* { P r } } ) \frac { P _ { \alpha \beta } } { n m } ; \quad \operatorname* { P r } > \frac { 1 } { 2 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { j ( k _ { 0 } ) } & { = \frac { 1 + s ^ { 2 } } { 1 + s _ { 0 } ^ { 2 } } \exp ( - \kappa _ { k _ { 0 } } ( s - s _ { 0 } + \frac 1 3 ( s ^ { 3 } - s _ { 0 } ^ { 3 } ) ) ) j ( k _ { 0 } , \tilde { s } _ { 0 } ) } \\ & { + \frac { \kappa _ { k } } \beta \int _ { s _ { 0 } } ^ { s } \ d \tau _ { 2 } \ \frac { 1 + s ^ { 2 } } { 1 + \tau _ { 2 } ^ { 2 } } \exp ( - \kappa _ { k _ { 0 } } ( s - \tau _ { 2 } + \frac 1 3 ( s ^ { 3 } - \tau _ { 2 } ^ { 3 } ) ) ) u _ { 1 } ( \tau _ { 2 } ) } \\ & { = j _ { 1 } + j _ { 2 } . } \end{array}