harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
( 3 n _ { a } ^ { 2 } + 3 n _ { d } ^ { 2 } + 3 n _ { e } ^ { 2 } ) \neq 0 , \; \ Q ^ { l } = n _ { c } ^ { 1 } ( Q _ { a } - 3 Q _ { d } - 3 Q _ { e } ) - \frac { 3 { \tilde { \epsilon } } \beta ^ { 2 } ( n _ { a } ^ { 2 } + n _ { d } ^ { 2 } + n _ { e } ^ { 2 } ) } { 2 \beta ^ { 1 } } Q _ { c }
\begin{array} { r l } { | \mathbb { E } \{ X ( t ) \} ^ { T } \eta \tilde { \eta } ^ { T } z ^ { s } | } & { { } \le \tilde { l } _ { + } ^ { ( s ) } ( \| X ^ { \eta } ( 0 ) \| + | \zeta _ { 1 } | ) \| z ^ { s } \| , } \\ { | \mathbb { E } \{ X ( t ) \} ^ { T } \xi \tilde { \xi } ^ { T } z ^ { s } | } & { { } \le \tilde { l } _ { - } ^ { ( s ) } ( \| X ^ { \xi } ( 0 ) \| + | \zeta _ { 2 } | ) \| z ^ { s } \| , } \\ { \Big | \frac { \mathbb { E } \{ X ( t ) \} ^ { T } \tilde { M } z ^ { s } } { l ^ { ( s ) } } \Big | } & { { } \le \frac { 1 } { 2 } ( \| X ( 0 ) \| ^ { 2 } + 3 \| \tilde { z } ^ { s } \| ^ { 2 } ) . } \end{array}
\left\langle \widetilde { \Lambda } _ { 1 } \hat { H } \right\rangle = \textbf { P } \widetilde { \Lambda } _ { 1 } ( \boldsymbol { \alpha } _ { 0 } \eta + \boldsymbol { \alpha } _ { 1 } \psi _ { 1 } + + \boldsymbol { \alpha } _ { 2 } \psi _ { 2 } ) = \psi _ { 1 }
n _ { \mathrm { ~ x ~ c ~ } } ^ { \lambda } ( \ensuremath { \mathbf { r } } , \ensuremath { \mathbf { r } } ^ { \prime } ) = \frac { n _ { 2 } ^ { \lambda } ( \ensuremath { \mathbf { r } } , \ensuremath { \mathbf { r } } ^ { \prime } ) } { n ( \ensuremath { \mathbf { r } } ) } - n ( \ensuremath { \mathbf { r } } ^ { \prime } ) ,
\begin{array} { r l } & { \frac { \partial J ^ { \pi ^ { \theta } } ( \mu ) } { \partial \theta _ { 2 } ( s , \eta , a , \eta ^ { \prime } ) } } \\ { = } & { \frac { \gamma } { 1 - \gamma } \sum _ { s _ { t } , \eta _ { t } } d _ { \mu ^ { \pi } } ^ { \pi } ( s _ { t } , \eta _ { t } ) \sum _ { a _ { t } , \eta _ { t + 1 } } \pi _ { 2 } ( a _ { t } , \eta _ { t + 1 } | s _ { t } , \eta _ { t } ) \textbf { 1 } ( s _ { t } = s , \eta _ { t } = \eta ) \Big ( \textbf { 1 } ( a _ { t } = a , \eta _ { t + 1 } = \eta ^ { \prime } ) - \pi _ { 2 } ( a , \eta ^ { \prime } | s , \eta ) \Big ) ( - \hat { A } ^ { \pi _ { 2 } } ( s _ { t } , \eta _ { t } , a _ { t } , \eta _ { t + 1 } ) ) } \\ { = } & { \frac { \gamma } { 1 - \gamma } \sum _ { s _ { t } , \eta _ { t } } d _ { \mu ^ { \pi } } ^ { \pi } ( s _ { t } , \eta _ { t } ) \sum _ { a _ { t } , \eta _ { t + 1 } } \pi _ { 2 } ( a _ { t } , \eta _ { t + 1 } | s _ { t } , \eta _ { t } ) \textbf { 1 } ( ( s _ { t } , \eta _ { t } , a _ { t } , \eta _ { t + 1 } ) = ( s , \eta , a , \eta ^ { \prime } ) ) ( - \hat { A } ^ { \pi _ { 2 } } ( s _ { t } , \eta _ { t } , a _ { t } , \eta _ { t + 1 } ) ) } \\ & { - \pi _ { 2 } ( a , \eta ^ { \prime } | s , \eta ) \frac { \gamma } { 1 - \gamma } \sum _ { s _ { t } , \eta _ { t } } d _ { \mu ^ { \pi } } ^ { \pi } ( s _ { t } , \eta _ { t } ) \sum _ { a _ { t } , \eta _ { t + 1 } } \pi _ { 2 } ( a _ { t } , \eta _ { t + 1 } | s _ { t } , \eta _ { t } ) \textbf { 1 } ( ( s _ { t } , \eta _ { t } ) = ( s , \eta ) ) ( - \hat { A } ^ { \pi _ { 2 } } ( s _ { t } , \eta _ { t } , a _ { t } , \eta _ { t + 1 } ) ) } \\ { \overset { ( b ) } { = } } & { \frac { \gamma } { 1 - \gamma } d _ { \mu ^ { \pi } } ^ { \pi } ( s , \eta ) \pi _ { 2 } ( a , \eta ^ { \prime } | s , \eta ) ( - \hat { A } ^ { \pi _ { 2 } } ( s , \eta , a , \eta ^ { \prime } ) ) } \end{array}
\dot { \bar { r } } ( t ) \, = \, \sum _ { m = 0 } ^ { M - 1 } \epsilon ^ { m } \, \dot { \bar { r } } _ { m } ( \beta _ { \epsilon } ) \, , \qquad \dot { \bar { z } } ( t ) \, = \, \sum _ { m = 0 } ^ { M - 1 } \epsilon ^ { m } \, \dot { \bar { z } } _ { m } ( \beta _ { \epsilon } ) \, ,
\begin{array} { r } { \rho _ { 0 , \mathrm { ~ W ~ } } ^ { Z = 1 } \left( q , p , \ensuremath { \mathbf { q } } \cdot \ensuremath { \mathbf { p } } \right) = \int _ { 0 } ^ { 1 } \ensuremath { \mathrm { ~ d ~ } } u \; f ( q , p , \ensuremath { \mathbf { q } } \cdot \ensuremath { \mathbf { p } } , u ) , } \end{array}
\begin{array} { r c l } { \displaystyle \frac { d U _ { N } } { d \tau } } & { = } & { \displaystyle \mathcal { T } _ { m } \frac { d } { d t } \frac { u _ { m + N } } { \mathcal { A } _ { m } } = \frac { 1 } { k _ { m } \mathcal { A } _ { m } ^ { 2 } } \frac { d u _ { m + N } } { d t } - \frac { u _ { m + N } } { 2 k _ { m } \mathcal { A } _ { m } ^ { 4 } } \frac { d \mathcal { A } _ { m } ^ { 2 } } { d t } } \end{array}
\hat { z } \times \mathbf { H } _ { \mathrm { i } } = \mathbf { Y } _ { 0 } \cdot \mathbf { E } _ { \mathrm { i } } , \quad \hat { z } \times \mathbf { H } _ { \mathrm { r } } = - \mathbf { Y } _ { 0 } \cdot \mathbf { E } _ { \mathrm { r } } .
\begin{array} { r l } { a _ { 2 j } = } & { { } A _ { j } \left[ \frac { \xi _ { j } \beta _ { j } } { 2 } \left( \frac { 5 } { 1 6 } \xi _ { j } ^ { - 3 } + \frac { 5 \pi ^ { 2 } } { 1 2 8 } \xi _ { j } ^ { - 5 } + \frac { 2 4 5 \pi ^ { 4 } } { 6 1 4 4 } \xi _ { j } ^ { - 7 } \right) \right. } \end{array}
\cdots \to H _ { p + 1 } \to E _ { p + 1 , 0 } ^ { 2 } { \overset { d } { \to } } E _ { p - 1 , 1 } ^ { 2 } \to H _ { p } \to E _ { p , 0 } ^ { 2 } { \overset { d } { \to } } E _ { p - 2 , 1 } ^ { 2 } \to H _ { p - 1 } \to \dots .
\begin{array} { r l } { \prod _ { i = n } ^ { i = n - k + 1 } \sigma _ { i } ( A ) \sigma _ { i } ( B ) } & { { } \leq \prod _ { i = n } ^ { i = n - k + 1 } \sigma _ { i } ( A B ) } \\ { \prod _ { i = 1 } ^ { k } \sigma _ { i } ( A B ) } & { { } \leq \prod _ { i = 1 } ^ { k } \sigma _ { i } ( A ) \sigma _ { i } ( B ) , } \\ { \sum _ { i = 1 } ^ { k } \sigma _ { i } ^ { p } ( A B ) } & { { } \leq \sum _ { i = 1 } ^ { k } \sigma _ { i } ^ { p } ( A ) \sigma _ { i } ^ { p } ( B ) , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { Q } [ u , \theta , \eta ] } & { { } \geq \left[ \frac { \underline { { \alpha } } b } { 8 \mathrm { { R a } } } - \frac { a _ { 0 } C } { \mathrm { { R a } } ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \left( \left( \frac { 1 } { 1 } { { P r } } \left( \| u _ { 0 } \| _ { W ^ { 1 , r } } + \underline { { \alpha } } ^ { - 1 } \mathrm { { R a } } \right) \right) ^ { 2 } + \| \dot { \alpha } \| _ { \infty } ^ { 2 } + \| \dot { \kappa } \| _ { \infty } ^ { 2 } + 1 \right) \right] \left\langle \| u \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } \right\rangle } \end{array}
U _ { m } ( r ) \simeq 1 - i r \left( H _ { m } + { \bar { A } } ( r ) K _ { m } \right) + ( - i ) ^ { 2 } \frac { r ^ { 2 } } { 2 } \left( H _ { m } + { \bar { A } } ( r ) K _ { m } \right) ^ { 2 } + ( - i ) ^ { 2 } \frac { r ^ { 2 } } { 2 } \left( { \bar { \bar { A } } } ( r ) - { \bar { A } } ( r ) \right) \left[ H _ { m } , K _ { m } \right] ,
\begin{array} { r l } { \hat { j } ^ { x } } & { = \frac { \partial } { \partial A } \left( \hat { \mathcal { U } } _ { k } ^ { \mathrm { s } \to \mathrm { o } \dagger } \hat { \mathcal { H } } _ { k + A } ^ { \mathrm { s } } \hat { \mathcal { U } } _ { k } ^ { \mathrm { s } \to \mathrm { o } } \right) } \\ & { = \frac { \partial } { \partial k } \left( \hat { \mathcal { U } } _ { k } ^ { \mathrm { s } \to \mathrm { o } \dagger } \mathcal { H } _ { k } ^ { \mathrm { s } } \hat { \mathcal { U } } _ { k } ^ { \mathrm { s } \to \mathrm { o } } \right) } \\ & { \, \, \, \, \, \, \, - \frac { \partial } { \partial k } \hat { \mathcal { U } } _ { k } ^ { \mathrm { s } \to \mathrm { o } \dagger } \hat { \mathcal { H } } _ { k } ^ { \mathrm { s } } \hat { \mathcal { U } } _ { k } ^ { \mathrm { s } \to \mathrm { o } } - \hat { \mathcal { U } } _ { k } ^ { \mathrm { s } \to \mathrm { o } \dagger } \hat { \mathcal { H } } _ { k } ^ { \mathrm { s } } \frac { \partial } { \partial k } \hat { \mathcal { U } } _ { k } ^ { \mathrm { s } \to \mathrm { o } } } \\ & { = \frac { \partial \hat { \mathcal { H } } _ { k } ^ { \mathrm { o } } } { \partial k } - \frac { \partial } { \partial k } \hat { \mathcal { U } } _ { k } ^ { \mathrm { s } \to \mathrm { o } \dagger } \hat { \mathcal { U } } _ { k } ^ { \mathrm { s } \to \mathrm { o } } \hat { \mathcal { H } } _ { k } ^ { \mathrm { o } } - \hat { \mathcal { H } } _ { k } ^ { \mathrm { o } } \hat { \mathcal { U } } _ { k } ^ { \mathrm { s } \to \mathrm { o } \dagger } \frac { \partial } { \partial k } \hat { \mathcal { U } } _ { k } ^ { \mathrm { s } \to \mathrm { o } } } \\ & { = \frac { \partial \hat { \mathcal { H } } _ { k } ^ { \mathrm { o } } } { \partial k } + i \left[ \hat { \mathcal { H } } _ { k } ^ { \mathrm { o } } \, \, , \, \, i \, \hat { \mathcal { U } } _ { k } ^ { \mathrm { s } \to \mathrm { o } \dagger } \frac { \partial } { \partial k } \hat { \mathcal { U } } _ { k } ^ { \mathrm { s } \to \mathrm { o } } \right] } \\ & { \equiv \hat { v } _ { \mathrm { i n t e r } } ^ { x } + \hat { v } _ { \mathrm { i n t r a } } ^ { x } \mathrm { . } } \end{array}
\delta < \operatorname* { m i n } \left\{ { \frac { \varepsilon } { 2 r ( m - 1 ) } } , \left( y _ { 1 } - y _ { 0 } \right) , \left( y _ { 2 } - y _ { 1 } \right) , \cdots , \left( y _ { m } - y _ { m - 1 } \right) \right\}
\begin{array} { r l } { { \mathrm { c o v } } ( U _ { n , q _ { 1 } } , U _ { n , q _ { 2 } } ) = } & { ( P _ { q _ { 1 } } ^ { n } ) ^ { - 1 } ( P _ { q _ { 2 } } ^ { n } ) ^ { - 1 } \sum _ { l _ { 1 } , l _ { 2 } \in \mathcal { L } } \sum _ { 1 \le i _ { 1 } , \ldots , i _ { q _ { 1 } } \le n } ^ { * } \sum _ { 1 \le j _ { 1 } , \ldots , j _ { q _ { 2 } } \le n } ^ { * } \prod _ { c _ { 1 } = 1 } ^ { q _ { 1 } } \prod _ { c _ { 2 } = 1 } ^ { q _ { 2 } } \mathbb { E } [ y _ { i _ { c _ { 1 } } , l _ { 1 } } y _ { j _ { c _ { 2 } } , l _ { 2 } } ] = 0 , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \| \tilde { u } \| _ { C ^ { 0 , \frac { 2 \delta _ { 0 } } { ( n + 1 ) + \delta _ { 0 } } } ( B _ { 1 } ) } } & { \leq \| \tilde { u } \| _ { W ^ { 2 , \frac { n + 1 } { 2 } + \delta _ { 0 } } ( B _ { 1 } ) } } \\ & { \leq \tilde { C } \left( \| W ^ { \prime } ( \tilde { u } ) \| _ { L ^ { \frac { n + 1 } { 2 } + \delta _ { 0 } } ( B _ { 1 } ) } + \| \tilde { f } \| _ { L ^ { \frac { n + 1 } { 2 } + \delta _ { 0 } } ( B _ { 1 } ) } + \| \tilde { u } \| _ { L ^ { \frac { n + 1 } { 2 } + \delta _ { 0 } } ( B _ { 1 } ) } \right) } \\ & { \leq C . } \end{array}
\frac { s ^ { 2 } V \mu ^ { \prime } } { E ^ { \prime } w ^ { 3 } } = g _ { \delta } \left( \frac { K _ { \mathrm { e f f } } ^ { \prime } ( s ) s ^ { 1 / 2 } } { E ^ { \prime } w } , \frac { 2 s ^ { 1 / 2 } C ^ { \prime } } { w V ^ { 1 / 2 } } \right) .
\eta _ { p } = \frac { \left\lVert { \mathcal { A } } ( X ) - b \right\rVert } { 1 + \left\lVert b \right\rVert } , \ \eta _ { d } = \frac { | \lambda _ { \operatorname* { m i n } } ( S ) | } { 1 + | \lambda _ { \operatorname* { m a x } } ( S ) | } , \ \eta _ { g } = \frac { | \left\langle C , X \right\rangle - b ^ { \intercal } y | } { 1 + | \left\langle C , X \right\rangle | + | b ^ { \intercal } y | } .
X ^ { \mu } = x _ { 0 } ^ { \mu } + ( p _ { 0 } ^ { \mu } \tau - p _ { 0 } ^ { \nu } F _ { \nu } ^ { \mu } \sigma ) + \sum _ { n \neq 0 } { \frac { e ^ { - i n \tau } } { n } } ( i a _ { n } ^ { \mu } \cos n \sigma - a _ { n } ^ { \nu } F _ { \nu } ^ { \mu } \sin n \sigma ) .
\begin{array} { r } { \left\{ \begin{array} { l l } { \left( \partial ^ { \beta } + \frac { \nu } { 2 } ( - \Delta ) ^ { \alpha / 2 } \right) u ( t , x ) = I _ { 0 + } ^ { \gamma } \left[ f ( t , x ) \right] , } & { \qquad t > 0 , \: x \in \mathbb { R } ^ { d } , } \\ { \left. \frac { \partial ^ { k } } { \partial t ^ { k } } u ( t , x ) \right| _ { t = 0 } = \mu _ { k } ( x ) , } & { \qquad 0 \le k \le \left\lceil \beta \right\rceil - 1 , \: \: x \in \mathbb { R } ^ { d } . } \end{array} \right. } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } \delta _ { 1 / d ( x _ { 0 } , y _ { k } ) } ( \big ( D f ( x _ { 0 } ) ( \varphi ( x _ { 0 } ) ^ { - 1 } \varphi ( y _ { k } ) ) \big ) ^ { - 1 } f ( x _ { 0 } ) ^ { - 1 } f ( y _ { k } ) ) } \\ & { = \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } \delta _ { 1 / d ( x _ { 0 } , y _ { k } ) } ( D f ( x _ { 0 } ) ( \varphi ( \gamma _ { k } ( M ) ) ^ { - 1 } \varphi ( y _ { k } ) ) ) ^ { - 1 } } \\ & { \qquad \qquad \cdot \delta _ { 1 / d ( x _ { 0 } , y _ { k } ) } ( \big ( D f ( x _ { 0 } ) ( \varphi ( x _ { 0 } ) ^ { - 1 } \varphi ( \gamma _ { k } ( M ) ) ) \big ) ^ { - 1 } f ( x _ { 0 } ) ^ { - 1 } f ( \gamma _ { k } ( M ) ) ) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \cdot \delta _ { 1 / d ( x _ { 0 } , y _ { k } ) } ( f ( \gamma _ { k } ( M ) ) ^ { - 1 } f ( y _ { k } ) ) } \\ & { \leq \lVert D f ( x _ { 0 } ) \rVert \mathrm { L i p } ( \varphi ) \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } d ( y _ { k } , \gamma _ { k } ( M ) ) / d ( x _ { 0 } , y _ { k } ) } \\ & { \qquad \qquad \cdot \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } \delta _ { 1 / d ( x _ { 0 } , y _ { k } ) } ( \big ( D f ( x _ { 0 } ) ( \varphi ( x _ { 0 } ) ^ { - 1 } \varphi ( \gamma _ { k } ( M ) ) ) \big ) ^ { - 1 } f ( x _ { 0 } ) ^ { - 1 } f ( \gamma _ { k } ( M ) ) ) } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \cdot \mathrm { L i p } ( f ) \operatorname* { l i m } _ { k \to \infty } d ( y _ { k } , \gamma _ { k } ( M ) ) / d ( x _ { 0 } , y _ { k } ) = 0 , } \end{array}
Z ^ { 0 i } = \frac { i } { 4 \pi } { \bar { \cal A } } \left\{ \sigma _ { \alpha \beta } ^ { 0 i } D ^ { \alpha \beta } { \cal A } _ { D } - { \bar { \sigma } } _ { \dot { \alpha } \dot { \beta } } ^ { 0 i } { \bar { D } } ^ { \dot { \alpha } \dot { \beta } } { \bar { \cal A } } _ { D } \right\} | - \frac { i } { 4 \pi } { \bar { \cal A } } _ { D } \left\{ \sigma _ { \alpha \beta } ^ { 0 i } D ^ { \alpha \beta } { \cal A } - { \bar { \sigma } } _ { \dot { \alpha } \dot { \beta } } ^ { 0 i } { \bar { D } } ^ { \dot { \alpha } \dot { \beta } } { \bar { \cal A } } \right\} | .
\begin{array} { r } { \partial _ { t } U _ { i } ^ { + } + \partial _ { j } ^ { + } ( U _ { j } ^ { + } U _ { i } ^ { + } ) = - \frac { 1 } { \rho } \partial _ { i } ^ { + } P ^ { + } + \partial _ { j } ^ { + } ( \nu ^ { + } \tau _ { i j } ^ { + } ) } \end{array}
\begin{array} { r } { \left\vert \left\{ \mathbf { a } ^ { \mathbf { k } } : \mathrm { ~ } \mathbf { a \in A } \mathrm { , ~ } \mathbf { k \in } \left[ \mathbf { 0 , } \nu \left( \mathbf { a } \right) - \mathbf { 1 } \right] \right\} \right\vert = \sum _ { \mathbf { a \in A } } \sum _ { \mathbf { k \in } \left[ \mathbf { 0 , } \nu \left( \mathbf { a } \right) - \mathbf { 1 } \right] } 1 = \sum _ { \mathbf { a \in A } } \prod _ { i = 1 } ^ { n } \nu _ { i } \left( a _ { i } \right) = \prod _ { i = 1 } ^ { n } \sum _ { a \in A _ { i } } \nu _ { i } \left( a \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { n o i s e ~ t e r m s } } & { = - \frac { \mathbb { E } [ \| \tilde { e } _ { k } ^ { x } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] } { c _ { \eta } l _ { g , 1 } ^ { 2 } } \left( \frac { \eta _ { k + 1 } } { 2 \gamma _ { k } \lambda _ { k } } - O \left( l _ { g , 1 } ^ { 2 } \xi ^ { 2 } \alpha _ { k } \right) - ( c _ { \eta } \xi \alpha _ { k } l _ { g , 1 } ^ { 2 } ) \right) } \\ & { \quad - \frac { \mathbb { E } [ \| \tilde { e } _ { k } ^ { y } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] } { l _ { g , 1 } ^ { 2 } c _ { \eta } } \left( \frac { \eta _ { k + 1 } } { 2 \gamma _ { k } \lambda _ { k } } - O ( l _ { g , 1 } ^ { 2 } ) \alpha _ { k } - O ( c _ { \eta } l _ { g , 1 } ^ { 3 } / \mu _ { g } ) \alpha _ { k } \right) } \\ & { \quad - \frac { \lambda _ { k } \mathbb { E } [ \| \tilde { e } _ { k } ^ { z } \| ^ { 2 } | \mathcal { F } _ { k } ] } { l _ { g , 1 } ^ { 2 } c _ { \eta } } \left( \frac { \eta _ { k + 1 } } { 2 \gamma _ { k } } - O ( l _ { g , 1 } ^ { 2 } ) \gamma _ { k } - O ( c _ { \eta } l _ { g , 1 } ^ { 3 } / \mu _ { g } ) \gamma _ { k } \right) } \\ & { \quad + \frac { 1 } { c _ { \eta } l _ { g , 1 } ^ { 2 } } \left( O ( \sigma _ { f } ^ { 2 } ) \cdot \frac { \eta _ { k + 1 } ^ { 2 } } { \lambda _ { k } \gamma _ { k } } + O ( \sigma _ { g } ^ { 2 } ) \cdot \left( \frac { \eta _ { k + 1 } ^ { 2 } \lambda _ { k } } { \gamma _ { k } } + \frac { \delta _ { k } ^ { 2 } } { \gamma _ { k } \lambda _ { k } } \right) \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { C _ { U , K } ( x ) } & { \le U ^ { - r } ( x ) \left( 1 - t \frac { | \nabla U ( x ) | } { U ^ { 1 / 2 } ( x ) } \sqrt { \frac { \bar { c } } { 2 ( 1 - r ) } } - U ^ { - 1 / 2 } ( x ) \sqrt { \frac { t K \sigma ^ { 2 } \bar { c } } { 2 ( 1 - r ) } } \right) ^ { - 2 r } , } \\ & { \le U ^ { - r } ( x ) \left( 1 - \frac { t \bar { c } } { ( 1 - r ) } - U ^ { - 1 / 2 } ( x ) \sqrt { \frac { \gamma K \sigma ^ { 2 } \bar { c } } { 2 ( 1 - r ) } } \right) ^ { - 2 r } , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { B ( u _ { h } ^ { k , 1 } ; E _ { k + 1 } , v _ { h } ) \lesssim ( \| E _ { k } \| _ { 1 , \infty } + \| e _ { H } ^ { k } \| _ { 1 , \infty } ) ( \| E _ { k } \| _ { 1 } + \| e _ { H } ^ { k } \| _ { 1 } ) \| v _ { h } \| _ { 1 } , } \\ & { B ( u _ { h } ^ { k , 1 } ; E _ { k + 1 } , v _ { h } ) \lesssim ( \| E _ { k } \| _ { 1 , \infty } ^ { 2 } + \| e _ { H } ^ { k } \| _ { 1 , \infty } ^ { 2 } ) \| v _ { h } \| _ { 1 , 1 } . } \end{array}
\mathcal { L } \eta \, = \, \Delta \eta + \frac { 1 } { 2 } \, X \cdot \nabla \eta + \eta \, , \qquad \eta \in D ( \mathcal { L } ) \, = \, \Bigl \{ \eta \in \mathcal { Y } \, \Big | \, \Delta \eta \in \mathcal { Y } \, , ~ X \cdot \nabla \eta \in \mathcal { Y } \Bigr \} \, ,
\begin{array} { r } { \Xi _ { 1 } ( t ) = e ^ { \frac { i } { 2 } \omega t } \left[ \cos \left( \frac { 1 } { 2 } t \sqrt { \omega ^ { 2 } + 4 \gamma ^ { 2 } } \right) - \frac { i \omega } { \sqrt { \omega ^ { 2 } + 4 \gamma ^ { 2 } } } \sin \left( \frac { 1 } { 2 } t \sqrt { \omega ^ { 2 } + 4 \gamma ^ { 2 } } \right) \right] , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { L , N } I ( L , N ) } & { \lesssim \sum _ { N _ { 0 } , N _ { 1 } } \left( \frac { N _ { 0 } } { N _ { 1 } } \right) ^ { s } \left( \sum _ { L , N _ { 2 } , N _ { 3 } } \frac { 1 } { ( N _ { 2 } N _ { 3 } ) ^ { 2 \mu _ { 2 } } ( L _ { 0 } L _ { 1 } L _ { 2 } L _ { 3 } ) ^ { 2 \mu _ { 1 } } } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { \qquad \left( \sum _ { L _ { 0 } } c _ { 0 } ^ { 2 } ( L _ { 0 } , N _ { 0 } ) \sum _ { L _ { 1 } } c _ { 1 } ^ { 2 } ( L _ { 1 } , N _ { 1 } ) \sum _ { L _ { 2 } , N _ { 2 } } c _ { 2 } ^ { 2 } ( L _ { 2 } , N _ { 2 } ) \sum _ { L _ { 3 } , N _ { 3 } } c _ { 3 } ^ { 2 } ( L _ { 3 } , N _ { 3 } ) \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } } \\ & { \lesssim \Vert u _ { 2 , n } \Vert _ { X _ { \tau } ^ { s , b } } \Vert u _ { 3 , n } \Vert _ { X _ { \tau } ^ { s , b } } \sum _ { N _ { 0 } , N _ { 1 } } \left( \frac { N _ { 0 } } { N _ { 1 } } \right) ^ { s } \left( \sum _ { L _ { 0 } } c _ { 0 } ^ { 2 } ( L _ { 0 } , N _ { 0 } ) \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } \left( \sum _ { L _ { 1 } } c _ { 1 } ^ { 2 } ( L _ { 1 } , N _ { 1 } ) \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } . } \end{array}
U _ { 9 } = \left( \begin{array} { l l l l l } { { 0 } } & { { 1 } } & { { 0 } } & { { \cdots } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 1 } } & { { } } & { { 0 } } \\ { { \vdots } } & { { } } & { { \ddots } } & { { \ddots } } & { { \vdots } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { } } & { { 0 } } & { { 1 } } \\ { { 1 } } & { { 0 } } & { { \cdots } } & { { 0 } } & { { 0 } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r } { \omega _ { s q } = \sqrt { \omega _ { m } ^ { 2 } + \frac { \gamma _ { + } \gamma _ { - } \gamma _ { 0 } ^ { 2 } P Q } { \gamma _ { - } ^ { 2 } + \omega _ { m } ^ { 2 } } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \Xi _ { \overline { { X } } _ { i } } ( \phi _ { i } ^ { ( n ) } , \psi _ { i } ^ { ( n ) } ) \leq \mathrm { e } ( n + 1 ) ^ { | { \cal X } _ { i } | } } \\ & { \times \{ 1 + ( n + 1 ) ^ { | { \cal X } _ { 1 } | } + ( n + 1 ) ^ { | { \cal X } _ { 2 } | } \} \Pi _ { \overline { { X } } _ { i } } ( R _ { i } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { ( \textbf { h } _ { i } ) _ { j + 1 / 2 } = ( \textbf { h } _ { i } ^ { + } ) _ { L } + ( \textbf { h } _ { i } ^ { - } ) _ { R } = ( \Lambda ^ { + } \textbf { f } _ { i } ^ { C E } ) _ { L } + ( \Lambda ^ { - } \textbf { f } _ { i } ^ { C E } ) _ { R } } \end{array}
\begin{array} { r l } { | I _ { f , 5 } ^ { L , H L } | } & { { } \leq C \| \mathrm { A } ^ { \mathrm { R } } \widetilde { \varphi _ { 1 } } \| _ { L ^ { 2 } } \| P _ { | k | \geq k _ { M } } \mathring { \mathcal { T } } _ { 1 , D } ^ { - 1 } ( \Omega ) \| _ { \mathcal { G } ^ { s , \lambda , 4 } } \| \mathrm { A } P _ { | k | \geq k _ { M } } \Omega \| _ { L ^ { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial \rho } { \partial t } + \nabla \cdot ( \rho \boldsymbol { U } ) } & { { } = 0 } \\ { \frac { \partial \boldsymbol { U } } { \partial t } + \boldsymbol { U } \cdot \nabla \boldsymbol { U } } & { { } = \boldsymbol { f } + \frac { 1 } { \rho } \nabla \cdot ( \boldsymbol { T } _ { i j } \boldsymbol { e } _ { i } \boldsymbol { e } _ { j } ) } \\ { \frac { \partial ( e + \frac { 1 } { 2 } \boldsymbol { U } ^ { 2 } ) } { \partial t } + \boldsymbol { U } \cdot \nabla ( e + \frac { 1 } { 2 } \boldsymbol { U } ^ { 2 } ) } & { { } = \boldsymbol { f } \cdot \boldsymbol { U } + \frac { 1 } { \rho } \nabla \cdot ( \boldsymbol { U } \cdot \boldsymbol { T } _ { i j } \boldsymbol { e } _ { i } \boldsymbol { e } _ { j } ) + \frac { \lambda } { \rho } \Delta T , } \end{array}
\begin{array} { r } { \hat { u } _ { z } = \hat { u } _ { z } ^ { H } + \hat { u } _ { z } ^ { P } = \sum _ { m = 1 } ^ { 5 } C _ { m } \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } \lambda _ { m } ^ { H } t } + \sum _ { m = 1 } ^ { 5 } N _ { m } e ^ { \mathrm { i } \lambda _ { m } ^ { P } t } } \end{array}
\left( \begin{array} { c } { { \eta _ { 1 } ^ { + } } } \\ { { \rho ^ { + } } } \end{array} \right) = \frac { 1 } { ( v ^ { 2 } + u ^ { 2 } ) ^ { 1 / 2 } } \left( \begin{array} { c c } { { - v } } & { { u } } \\ { { u } } & { { v } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { c } { { G _ { 4 } ^ { + } } } \\ { { H _ { 5 } ^ { + } } } \end{array} \right) ,
U \ = \ \left( \begin{array} { r r l } { { 0 . 6 4 } } & { { 0 . 4 8 } } & { { 0 . 6 } } \\ { { - 0 . 7 6 } } & { { 0 . 3 2 } } & { { 0 . 5 6 } } \\ { { 0 . 0 8 } } & { { - 0 . 8 1 } } & { { 0 . 5 7 } } \end{array} \right)
\frac { 1 } { c ^ { 2 } } \frac { \partial ^ { 2 } \gamma } { \partial t ^ { 2 } } = \frac { \partial ^ { 2 } \gamma } { \partial z ^ { 2 } } + \frac 2 3 \beta \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial z ^ { 2 } } \gamma ^ { 3 } + \tau \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial z ^ { 2 } } \left[ \left( 1 + \delta \gamma ^ { 2 } \right) \frac { \partial \gamma } { \partial t } \right]
| { \cal M } | ^ { 2 } = | { \cal M } _ { W } ^ { \mathrm { t r e e } } | ^ { 2 } + | { \cal M } _ { Z } ^ { \mathrm { t r e e } } | ^ { 2 } + 2 \, \Re \left[ { \cal M } _ { Z } ^ { \mathrm { t r e e } } ( { \cal M } _ { W } ^ { \mathrm { t r e e } } ) ^ { \dagger } + \Delta { \cal M } _ { W } \left( ( { \cal M } _ { W } ^ { \mathrm { t r e e } } ) ^ { \dagger } + ( { \cal M } _ { Z } ^ { \mathrm { t r e e } } ) ^ { \dagger } \right) \right] \, .
\left( \int d ^ { 2 } z d ^ { 2 } w \, { \frac { 1 } { z - w } } \, \psi ^ { \dagger } ( z ) U ^ { q } ( z ) \psi ^ { \dagger } ( w ) U ^ { q } ( w ) \mathrm { e } ^ { - { \frac { 1 } { 4 } } ( | z | ^ { 2 } + | w | ^ { 2 } ) } \right) ^ { N / 2 } | 0 \rangle .
S _ { \mathrm { b o u n d } } = { \frac { 3 M _ { \mathrm { P } } ^ { 2 } } { 8 \pi } } \int d \Omega \int _ { 0 } ^ { \infty } d r { \frac { \partial } { \partial r } } \Bigl [ R ^ { 2 } ( r ) ( 1 - R ^ { \prime } ( r ) ) \Bigr ] \ .
\frac { P _ { S } ( \boldsymbol { r } , \omega _ { 0 } , \epsilon ) } { P _ { 0 } } \propto I _ { \mathrm { ~ g ~ a ~ p ~ } } ( \boldsymbol { r } , \omega _ { 0 } , \epsilon ) R _ { z z } ^ { 2 } F _ { \mathrm { ~ r ~ a ~ d ~ } } ( \omega _ { S } )
\begin{array} { r l } { \sum _ { e \in E \left( \mathbb { T } _ { L } \right) } \rho ^ { p - 2 } ( e ) \mathbf { a } ( t , e ) P _ { \mathbf { a } } ( t , e ) ^ { 2 } } & { \leq \left( \sum _ { e \in E \left( \mathbb { T } _ { L } \right) } \rho ^ { p - 1 } ( e ) \mathbf { a } ( t , e ) ^ { \frac { p - 1 } { p - 2 } } P _ { \mathbf { a } } ( t , e ) ^ { 2 } \right) ^ { \frac { p - 2 } { p - 1 } } } \\ & { \leq C \mathcal { M } _ { 2 } ( t ) \left( \sum _ { e \in E \left( \mathbb { T } _ { L } \right) } \rho ^ { p } ( e ) P _ { \mathbf { a } } ( t , e ) ^ { 2 } \right) ^ { \frac { p - 2 } { p - 1 } } } \\ & { \leq C \mathcal { M } _ { 2 } ( t ) \mathcal { N } _ { t } ^ { \frac { p - 2 } { p - 1 } } . } \end{array}