harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left( \begin{array} { l } { { \nu _ { e } } } \\ { { \nu _ { \mu } } } \\ { { \nu _ { \tau } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l l l } { { \cos \theta } } & { { - \sin \theta } } & { { 0 } } \\ { { \sin \theta / \sqrt 2 } } & { { \cos \theta / \sqrt 2 } } & { { - 1 / \sqrt 2 } } \\ { { \sin \theta / \sqrt 2 } } & { { \cos \theta / \sqrt 2 } } & { { 1 / \sqrt 2 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l } { { \nu _ { 1 } } } \\ { { \nu _ { 2 } } } \\ { { \nu _ { 3 } } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r } { V _ { \frac { 1 } { 2 } } ^ { \mathrm { ~ b ~ i ~ f ~ } } = V _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ s ~ t ~ } } + \Delta V \left[ \frac { 1 } { 2 \rho } \left( 1 - \sqrt { 1 - 4 \rho } \right) - \log \left( - 1 + \frac { 1 } { 2 \rho } \left( 1 - \sqrt { 1 - 4 \rho } \right) \right) \right] \approx 8 5 . 5 3 4 2 ~ \mathrm { ~ m ~ V ~ } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { p _ { \mathrm { r e s \to m u t } } } & { = H ^ { \ast } h ^ { \ast } \widetilde { P } ( G , G ) + H ^ { \ast } ( 1 \! - \! h ^ { \ast } ) \widetilde { P } ( B , G ) } \\ & { \quad + ( 1 \! - \! H ^ { \ast } ) h ^ { \ast } \widetilde { P } ( G , B ) + ( 1 \! - \! H ^ { \ast } ) ( 1 - h ^ { \ast } ) \widetilde { P } ( B , B ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { P } ( \mathcal { D } _ { l } ) } & { \leq } & { e ^ { - 2 L ^ { 2 } \beta _ { n } ^ { 2 } ( s _ { 2 } - s _ { 1 } + 1 ) ^ { 2 } ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ^ { 2 } ( s _ { 2 } ^ { \prime } - s _ { 1 } ^ { \prime } + 1 ) } + C L \exp ( - c \beta _ { n } ^ { - 1 } ) } \\ & { } & { + e ^ { - 8 L ^ { 2 } ( s _ { 2 } - s _ { 1 } + 1 ) ( y _ { l } ( \Gamma ) - y _ { l - 1 } ( \Gamma ) ) ^ { 2 } } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \mathcal { L } _ { \infty } ( \omega ) ^ { - 1 } g = \sum _ { l \in \mathbb { Z } ^ { \nu } , \ j \in \mathbb { Z } \backslash \left\{ 0 \right\} } \frac { 1 } { \mathrm { i } \omega \cdot l - d _ { \infty } ( \omega , j ) } \widehat { g } _ { j } ( l ) e ^ { \mathrm { i } ( l \cdot \varphi + j x ) } , \mathrm { ~ f o r ~ g ( \varphi , \cdot ) \in ~ H _ { S ^ \perp } \cap ~ X _ { \mathtt { M } } ~ , } } \end{array}
\frac { 1 } { 2 } v _ { \parallel } ^ { 2 } + \mu B + \frac { Z e } { m } \Phi ( \psi , \theta ) = \frac { 1 } { 2 } v _ { \parallel f } ^ { 2 } + \mu B _ { f } + \frac { Z e } { m } \Phi ( \psi _ { f } , \theta _ { f } )
m _ { \nu } ^ { D } \simeq \left( \begin{array} { c c c } { { \epsilon _ { 1 } ^ { 4 } } } & { { \epsilon _ { 2 } \epsilon _ { 1 } ^ { 2 } } } & { { \epsilon _ { 2 } \epsilon _ { 1 } ^ { 2 } } } \\ { { \epsilon _ { 1 } ^ { 2 } \epsilon _ { 2 } } } & { { \epsilon _ { 2 } ^ { 2 } } } & { { \epsilon _ { 2 } ^ { 2 } } } \\ { { \epsilon _ { 1 } ^ { 2 } \epsilon _ { 2 } } } & { { \epsilon _ { 2 } ^ { 2 } } } & { { \epsilon _ { 2 } ^ { 2 } } } \end{array} \right) v , \; \; m _ { N } \simeq \left( \begin{array} { c c c } { { \epsilon _ { 1 } ^ { 4 } } } & { { \epsilon _ { 2 } \epsilon _ { 1 } ^ { 2 } } } & { { \epsilon _ { 2 } \epsilon _ { 1 } ^ { 2 } } } \\ { { \epsilon _ { 1 } ^ { 2 } \epsilon _ { 2 } } } & { { \epsilon _ { 2 } ^ { 2 } } } & { { \epsilon _ { 2 } ^ { 2 } } } \\ { { \epsilon _ { 1 } ^ { 2 } \epsilon _ { 2 } } } & { { \epsilon _ { 2 } ^ { 2 } } } & { { \epsilon _ { 2 } ^ { 2 } } } \end{array} \right) M _ { R } ,
{ \begin{array} { r l } { p } & { = { \frac { R \, T } { V _ { \mathrm { m } } - b } } - { \frac { a } { { \sqrt { T } } \, V _ { \mathrm { m } } \left( V _ { \mathrm { m } } + b \right) } } } \\ { a } & { = { \frac { \Omega _ { a } \, R ^ { 2 } T _ { \mathrm { c } } ^ { \frac { 5 } { 2 } } } { p _ { \mathrm { c } } } } \approx 0 . 4 2 7 4 8 { \frac { R ^ { 2 } \, T _ { \mathrm { c } } ^ { \frac { 5 } { 2 } } } { P _ { \mathrm { c } } } } } \\ { b } & { = { \frac { \Omega _ { b } \, R T _ { \mathrm { c } } } { P _ { \mathrm { c } } } } \approx 0 . 0 8 6 6 4 { \frac { R \, T _ { \mathrm { c } } } { p _ { \mathrm { c } } } } } \\ { \Omega _ { a } } & { = \left[ 9 \left( 2 ^ { 1 / 3 } - 1 \right) \right] ^ { - 1 } \approx 0 . 4 2 7 4 8 } \\ { \Omega _ { b } } & { = { \frac { 2 ^ { 1 / 3 } - 1 } { 3 } } \approx 0 . 0 8 6 6 4 } \end{array} }
\begin{array} { c } { r _ { k , l } ( t ) = e ^ { - i p \frac { 2 \pi ^ { 2 } ( k + l ) ( k - l ) } { L ^ { 2 } } t } r _ { k , l } ( 0 ) + \int _ { \tau = 0 } ^ { t } e ^ { - i p \frac { 2 \pi ^ { 2 } ( k + l ) ( k - l ) } { L ^ { 2 } } ( t - \tau ) } i q \left[ P _ { - l } - P _ { k } \right] \sum _ { K \in \mathbb { Z } } r _ { K , k + l - K } ( \tau ) d \tau . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \theta ^ { ( 1 ) } ( q _ { L } , q _ { R } ) \geq 0 , \ \theta ^ { ( 2 ) } ( q _ { L } , q _ { R } ) \leq 0 , \ \theta ^ { ( 3 ) } ( \rho _ { L } , \rho _ { R } ) \leq 0 , \ \theta ^ { ( 4 ) } ( \rho _ { L } , \rho _ { R } ) \leq 0 , } \\ & { \theta ^ { ( 1 ) } ( q _ { L } , q _ { R } ) + \theta ^ { ( 3 ) } ( \rho _ { L } , \rho _ { R } ) + 2 ( \gamma _ { 1 3 } + \gamma _ { 2 3 } ) \geq 0 , \ \theta ^ { ( 2 ) } ( q _ { L } , q _ { R } ) - 2 ( \gamma _ { 2 3 } + \gamma _ { 2 4 } ) \leq 0 , } \\ & { \theta ^ { ( 3 ) } ( \rho _ { L } , \rho _ { R } ) + \theta ^ { ( 4 ) } ( \rho _ { L } , \rho _ { R } ) \leq - \operatorname* { m i n } \{ \rho _ { L } , \rho _ { R } \} . } \end{array}
= \delta _ { \tau } ^ { \mu } ( \delta _ { \gamma } ^ { \alpha } \delta _ { \eta } ^ { \beta } - \delta _ { \eta } ^ { \alpha } \delta _ { \gamma } ^ { \beta } ) - \delta _ { \gamma } ^ { \mu } ( \delta _ { \tau } ^ { \alpha } \delta _ { \eta } ^ { \beta } - \delta _ { \eta } ^ { \alpha } \delta _ { \tau } ^ { \beta } ) + \delta _ { \eta } ^ { \mu } ( \delta _ { \tau } ^ { \alpha } \delta _ { \gamma } ^ { \beta } - \delta _ { \gamma } ^ { \alpha } \delta _ { \tau } ^ { \beta } )
\langle \Lambda ^ { - 2 s } \Pi ^ { g } \pi _ { 0 } ^ { * } f ^ { \prime } , \pi _ { 0 } ^ { * } f ^ { \prime } \rangle _ { \cal { H } ^ { s } ( T ^ { 1 } S _ { g } ) } = \langle \Pi ^ { g } \pi _ { 0 } ^ { * } f ^ { \prime } , \pi _ { 0 } ^ { * } f ^ { \prime } \rangle _ { L ^ { 2 } ( T ^ { 1 } S _ { g } ) } \geq 0 \qquad \mathrm { ~ f o r ~ a l l ~ } f ^ { \prime } \in \mathcal { H } ^ { s } ( S ) ,
\frac { ( x p _ { x } + y p _ { y } ) \cos \left( \frac { \theta } { 2 k } \right) - L \sin \left( \frac { \theta } { 2 k } \right) - i \sqrt { - 2 E } r \cos \left( \frac { \theta } { 2 k } \right) } { ( x p _ { x } + y p _ { y } ) \sin \left( \frac { \theta } { 2 k } \right) + L \cos \left( \frac { \theta } { 2 k } \right) - i \sqrt { - 2 E } r \sin \left( \frac { \theta } { 2 k } \right) } = - i \frac { \sqrt { 1 - e } } { \sqrt { 1 + e } }
\begin{array} { r l } & { \boldsymbol { \mathcal { F } } _ { \xi } ^ { ( 1 ) } , \boldsymbol { \mathcal { F } } _ { \xi } ^ { ( K ) } \in \mathbb { R } ^ { 1 \times 2 \times 2 } , } \\ & { \boldsymbol { \mathcal { F } } _ { \xi } ^ { ( 2 ) } , \boldsymbol { \mathcal { F } } _ { \xi } ^ { ( K - 1 ) } \in \mathbb { R } ^ { 2 \times 2 \times 4 } , } \\ & { \boldsymbol { \mathcal { F } } _ { \xi } ^ { ( 3 ) } , \boldsymbol { \mathcal { F } } _ { \xi } ^ { ( K - 2 ) } \in \mathbb { R } ^ { 4 \times 2 \times 8 } , } \\ & { \boldsymbol { \mathcal { F } } _ { \xi } ^ { ( 4 ) } , \boldsymbol { \mathcal { F } } _ { \xi } ^ { ( K - 3 ) } \in \mathbb { R } ^ { 8 \times 2 \times 1 0 } , } \\ & { \boldsymbol { \mathcal { F } } _ { \xi } ^ { ( k ) } \in \mathbb { R } ^ { 1 0 \times 2 \times 1 0 } , \quad k = 5 , \ldots , K - 4 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { T } & { = 1 - \frac { ( \gamma - 1 ) \beta ^ { 2 } } { 8 \gamma \pi ^ { 2 } } e ^ { 1 - r ^ { 2 } } } \\ { \rho } & { = T ^ { \frac { 1 } { \gamma - 1 } } } \\ { u } & { = u _ { \infty } - \frac { \beta } { 2 \pi } y e ^ { \frac { 1 - r ^ { 2 } } { 2 } } } \\ { v } & { = v _ { \infty } - \frac { \beta } { 2 \pi } y e ^ { \frac { 1 - r ^ { 2 } } { 2 } } } \\ { p } & { = \rho ^ { \gamma } } \end{array}
| R _ { \ell } | ^ { 2 } \sim { \frac { 1 } { v } } \; { \frac { | \Gamma ( \ell + 1 + i \eta ) | ^ { 2 } } { ( \Gamma ( 2 \ell + 1 ) ) ^ { 2 } } } \; ( 2 k r ) ^ { 2 \ell } e ^ { - \pi \eta } = { \frac { m } { \hbar } } \; { \frac { 2 ^ { 2 \ell } } { ( \Gamma ( 2 \ell + 1 ) ) ^ { 2 } } } \; e ^ { - \pi \eta } k ^ { 2 \ell - 1 } r ^ { 2 \ell } | \Gamma ( \ell + 1 + i \eta ) | ^ { 2 }
\langle \, 0 \, | \, \frac { \beta ( \alpha _ { s } ) } { 4 \alpha _ { s } } \, F _ { \mu \nu } F ^ { \mu \nu } \, | \, 0 \, \rangle \; = \; - \, b \; \chi _ { 0 } ^ { 4 } \; \; \equiv \; G _ { 0 }
\begin{array} { r l } { \Psi _ { K } } & { = \frac { \underline { { \alpha } } \| \bar { e } _ { x } ^ { 0 } \| ^ { 2 } } { K } + \frac { a _ { 1 } } { \underline { { \alpha } } } + \frac { a _ { 2 } } { \underline { { \alpha } } ^ { 2 } } } \\ & { \leq \frac { \underline { { \alpha } } \| \bar { e } _ { x } ^ { 0 } \| ^ { 2 } } { K } + \left( \frac { a _ { 1 } \| \bar { e } _ { x } ^ { 0 } \| ^ { 2 } } { K } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } + a _ { 2 } ^ { \frac { 1 } { 3 } } \left( \frac { \| \bar { e } _ { x } ^ { 0 } \| ^ { 2 } } { K } \right) ^ { \frac { 2 } { 3 } } ; } \end{array}
\Gamma _ { 0 } = \frac { f ^ { 2 } m _ { Z } } { 1 9 6 \pi } = \frac { \sqrt { 2 } G _ { \mu } m _ { Z } ^ { 3 } } { 4 8 \pi } = 8 2 . 9 4 1 ( 1 9 ) ~ \mathrm { M e V } ~ .
\ln P _ { c } = - \frac { 1 } { E } \, \mathrm { I m } \int _ { x _ { \mathrm { r e s } } } ^ { z _ { 0 } } \! d z \, [ ( A - \Delta m ^ { 2 } \cos 2 \vartheta ) ^ { 2 } + ( \Delta m ^ { 2 } \sin 2 \vartheta ) ^ { 2 } ] ^ { 1 / 2 } \, .
\begin{array} { r } { b _ { j } ^ { ( q ) } = \sqrt { 1 + \frac { d _ { q } } { n } \left( \frac { \sigma _ { 0 } ^ { 2 } } { \sigma _ { \pi ( j ) } ^ { 2 } } + \frac { \sigma _ { 0 } ^ { 4 } } { \sigma _ { \pi ( j ) } ^ { 4 } } \right) } - 1 + O _ { p } \left( \frac { d ^ { 3 / 2 } } { n ^ { 3 / 2 } } \right) + o _ { p } \left( \frac { 1 } { \sqrt { n } } \right) , } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \operatorname* { m a x } _ { \hat { D } , P } D _ { j } - \hat { D } } \\ { s . t . \quad } & { P = P ^ { T } \succeq 0 , } \\ & { \left[ \begin{array} { l } { A _ { j } ^ { T } P + A _ { j } P \quad P B _ { j } - C _ { j } ^ { T } } \\ { B _ { j } ^ { T } P - C _ { j } \quad - 2 \hat { D } } \end{array} \right] \preceq 0 , } \end{array}
\begin{array} { r } { \| h - \hat { h } \| \leq C _ { 1 } \| \nabla \cdot K \cdot \nabla \hat { h } \| _ { \Omega } + C _ { 2 } \| \mathbf { n } \cdot K \cdot \nabla \hat { h } \| _ { \Gamma - \Gamma _ { t } } + C _ { 3 } \| \mathbf { n } \cdot K \cdot \nabla h + \gamma ( \hat { h } - g \phi ( x ) ) \| _ { \Gamma _ { t } } , } \end{array}
\textbf { M } = \textbf { M } _ { \mathrm { ~ s ~ e ~ n ~ s ~ } } \textbf { M } _ { \mathrm { ~ d ~ e ~ t ~ . ~ r ~ e ~ s ~ } } \textbf { M } _ { \mathrm { ~ a ~ t ~ t ~ } } \textbf { M } _ { \mathrm { ~ g ~ e ~ o ~ m ~ } } \textbf { M } _ { \mathrm { ~ i ~ m ~ g ~ . ~ r ~ e ~ s ~ } } ,
\begin{array} { r l r l } { e ( u , z ) } & { { } = 0 , } & { } & { { } \mathrm { ~ ( ~ S ~ t ~ a ~ t ~ e ~ e ~ q ~ u ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ ) ~ } } \\ { e _ { u } ( u , z ) ^ { * } p } & { { } = I _ { u } ( u , z ) , } & { } & { { } \mathrm { ~ ( ~ A ~ d ~ j ~ o ~ i ~ n ~ t ~ e ~ q ~ u ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ ) ~ } } \\ { I _ { z } ( u , z ) - e _ { z } ( u , z ) ^ { * } p } & { { } = 0 . } & { } & { { } \mathrm { ~ ( ~ G ~ r ~ a ~ d ~ i ~ e ~ n ~ t ~ e ~ q ~ u ~ a ~ t ~ i ~ o ~ n ~ ) ~ } } \end{array}
\begin{array} { r l } { r _ { b } ^ { 3 } g \kappa } & { { } \left[ \frac { 4 \kappa ^ { 2 } - 3 } { 4 \kappa \sqrt { \kappa ^ { 2 } - 1 } } \theta ( \kappa - 1 ) - 1 \right] \approx } \end{array}
E _ { 0 } ^ { N } = \frac { 1 } { 2 } \left( \sum _ { i } \varepsilon _ { i } \sum _ { p } C _ { p } ^ { i } { C _ { p } ^ { i } } ^ { * } + \sum _ { i } \sum _ { p q } h _ { p q } C _ { q } ^ { i } { C _ { p } ^ { i } } ^ { * } \right) .
{ \mathit { \Sigma } } _ { L { \ } { \ } i , j } ^ { R \left( A \right) } { = } { \mp } i { \eta } ^ { L } \left( \varepsilon { - } { \mu } _ { L } \right) { \delta } _ { i , j } \left( { \delta } _ { j { , 1 } } { + } { \delta } _ { j { , 2 } } \right) { / } { \hbar }
\begin{array} { r l } & { \frac { 1 } { n _ { p } P } \left\| \operatorname* { m i n } \left\{ \frac { C _ { 2 , r } } { \| \nabla \ell ( x _ { r - 1 } , z ) - \nabla \ell ( x _ { r - 2 } , z ) \| } , 1 \right\} ( \nabla \ell ( x _ { r - 1 } , z ) - \nabla \ell ( x _ { r - 2 } , z ) \right. } \\ & { - \left. \operatorname* { m i n } \left\{ \frac { C _ { 2 , r } } { \| \nabla \ell ( x _ { r - 1 } , z ^ { \prime } ) - \nabla \ell ( x _ { r - 2 } , z ^ { \prime } ) \| } , 1 \right\} ( \nabla \ell ( x _ { r - 1 } , z ^ { \prime } ) - \nabla \ell ( x _ { r - 2 } , z ^ { \prime } ) \right\| \leq \frac { 2 C _ { 2 , r } } { n _ { p } P } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { { \mathbb A } _ { - 1 , i } \, y = - y ^ { \prime \prime } - \frac { 1 } { 1 + i } \, [ y ^ { \prime } ( 1 ) - i y ( 1 ) ] \, [ \delta ( x - 1 ) - \delta ^ { \prime } ( x - 1 ) ] , } \\ & { { \mathbb A } _ { - 1 , i } ^ { * } \, y = - y ^ { \prime \prime } - \frac { 1 } { 1 - i } \, [ y ^ { \prime } ( 1 ) + i y ( 1 ) ] \, [ \delta ( x - 1 ) - \delta ^ { \prime } ( x - 1 ) ] . } \end{array}
\mathbf { V } _ { \mathrm { ~ a ~ t ~ t ~ a ~ c ~ k ~ } } = \left( \begin{array} { l l } { \omega _ { A } \mathbf { I } } & { g _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } \mathbf { Z } } \\ { g _ { \mathrm { ~ m ~ a ~ x ~ } } \mathbf { Z } } & { \omega _ { B } \mathbf { I } } \end{array} \right) ,
\begin{array} { r l r l r l r l } { \ddot { e } _ { j } ( u v w ) } & { = u v \ddot { e } _ { j } ( w ) , } & { \ddot { f } _ { j } ( u v w ) } & { = u v \ddot { f } _ { j } ( w ) , } & { \ddot { \varepsilon } _ { j } ( u v w ) } & { = \ddot { \varepsilon } _ { j } ( w ) , } & { \ddot { \varphi } _ { j } ( u v w ) } & { = \ddot { \varphi } _ { j } ( w ) , } \\ { \ddot { e } _ { j } ( u w v ) } & { = u \ddot { f } _ { j } ( w ) v , } & { \ddot { f } _ { j } ( u w v ) } & { = u \ddot { f } _ { j } ( w ) v , } & { \ddot { \varepsilon } _ { j } ( u w v ) } & { = \ddot { \varepsilon } _ { j } ( w ) , } & { \ddot { \varphi } _ { j } ( u w v ) } & { = \ddot { \varphi } _ { j } ( w ) . } \end{array}
\operatorname* { m i n } ( \| \mathbf { Y } _ { i } - \Phi _ { i } \mathcal { A } _ { i } \| _ { 2 } + \alpha \| \mathcal { A } _ { i } \| _ { 1 } + \beta \| \mathcal { A } _ { i } - \mathbf { 1 } _ { H } \| _ { 1 } )
H ( C ) = - \sum _ { k = 1 } ^ { K } P ( k ) \cdot \log ( P ( k ) ) ~ ~ \mathrm { a n d } ~ ~ I ( C , C ^ { \prime } ) = \sum _ { k = 1 } ^ { K } \sum _ { k ^ { \prime } = 1 } ^ { K ^ { \prime } } P ( k , k ^ { \prime } ) \cdot \log \left( \frac { P ( k , k ^ { \prime } ) } { P ( k ) P ( k ^ { \prime } ) } \right) \, .
\begin{array} { r l } { | E _ { 2 , 2 } | } & { { } = 6 , } \\ { | E _ { 2 , 3 } | } & { { } = 4 , } \\ { | E _ { 3 , 3 } | } & { { } = 1 , } \\ { | E _ { ( 4 , 4 ) } | } & { { } = 2 , } \\ { | E _ { ( 4 , 5 ) } | } & { { } = 4 , } \\ { | E _ { ( 5 , 7 ) } | } & { { } = 4 , } \\ { | E _ { ( 7 , 7 ) } | } & { { } = 1 , } \\ { | E _ { [ 6 , 6 ] } | } & { { } = 2 , } \\ { | E _ { [ 6 , 7 ] } | } & { { } = 4 , } \\ { | E _ { [ 7 , 1 0 ] } | } & { { } = 4 , } \\ { | E _ { [ 1 0 , 1 0 ] } | } & { { } = 1 . } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \left[ { \frac { \partial T _ { r r } } { \partial r } } + 2 { \frac { T _ { r r } } { r } } + { \frac { 1 } { r } } { \frac { \partial T _ { \theta r } } { \partial \theta } } + { \frac { \cot \theta } { r } } T _ { \theta r } + { \frac { 1 } { r \sin \theta } } { \frac { \partial T _ { \varphi r } } { \partial \varphi } } - { \frac { 1 } { r } } ( T _ { \theta \theta } + T _ { \varphi \varphi } ) \right] } & { { \hat { \mathbf { r } } } } \\ { + \left[ { \frac { \partial T _ { r \theta } } { \partial r } } + 2 { \frac { T _ { r \theta } } { r } } + { \frac { 1 } { r } } { \frac { \partial T _ { \theta \theta } } { \partial \theta } } + { \frac { \cot \theta } { r } } T _ { \theta \theta } + { \frac { 1 } { r \sin \theta } } { \frac { \partial T _ { \varphi \theta } } { \partial \varphi } } + { \frac { T _ { \theta r } } { r } } - { \frac { \cot \theta } { r } } T _ { \varphi \varphi } \right] } & { { \hat { \boldsymbol { \theta } } } } \\ { + \left[ { \frac { \partial T _ { r \varphi } } { \partial r } } + 2 { \frac { T _ { r \varphi } } { r } } + { \frac { 1 } { r } } { \frac { \partial T _ { \theta \varphi } } { \partial \theta } } + { \frac { 1 } { r \sin \theta } } { \frac { \partial T _ { \varphi \varphi } } { \partial \varphi } } + { \frac { T _ { \varphi r } } { r } } + { \frac { \cot \theta } { r } } ( T _ { \theta \varphi } + T _ { \varphi \theta } ) \right] } & { { \hat { \boldsymbol { \varphi } } } } \end{array} }
\alpha = \mu \ , \ f _ { n + 1 } = \frac { ( n + \mu ) ( n + ( 3 \mu - l ) / 2 ) ( n + ( \mu - l - 1 ) / 2 ) } { ( n + 2 \mu + 1 ) ( n + \mu - l - 1 ) } \frac { 4 } { n + 1 } f _ { n } .
\begin{array} { r l } & { \langle X , n \rangle = X _ { n } = 0 \quad \mathrm { f o r ~ a l l } \ x \in \Gamma _ { r } , } \\ & { | X - ( x - x _ { 0 } ) | \leq C | x - x _ { 0 } | ^ { 2 } \quad \mathrm { f o r ~ a l l } \ x \in \omega _ { r } , } \\ & { | \partial _ { x _ { i } } X ^ { j } - \delta _ { i j } | \leq C | x - x _ { 0 } | \quad \mathrm { f o r ~ a l l } \ x \in \omega _ { r } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { M } = } & { - i I _ { M } \otimes ( H ^ { \prime } ) ^ { T } + i H ^ { \prime } \otimes I _ { M } + \sum _ { \alpha _ { M } , { \tilde { \alpha } } _ { M } = 1 } ^ { d _ { M } ^ { 2 } - 1 } \widetilde { \Lambda } _ { \alpha _ { M } , { \tilde { \alpha } } _ { M } } } \\ & { \Big ( g _ { \alpha _ { M } } ^ { \dagger } \otimes g _ { { \tilde { \alpha } } _ { M } } ^ { T } - \frac { 1 } { 2 } I _ { M } \otimes ( g _ { \alpha _ { M } } ^ { \dagger } g _ { { \tilde { \alpha } } _ { M } } ) ^ { T } } \\ & { - \frac { 1 } { 2 } ( g _ { \alpha _ { M } } ^ { \dagger } g _ { { \tilde { \alpha } } _ { M } } ) \otimes I _ { M } \Big ) = 0 . } \end{array}
\lbrack ( \bar { P } + \bar { K } ) _ { \bar { l } } , \chi ^ { i \alpha } \rbrack = \lbrack ( \bar { P } + \bar { K } ) _ { \bar { l } } , \bar { \chi } _ { i } ^ { \alpha } \rbrack = 0 \qquad \qquad \{ \chi ^ { i \alpha } , \bar { \chi } _ { k \beta } \} = \delta _ { k } ^ { i } \delta _ { \beta } ^ { \alpha }
\begin{array} { r l } { Q _ { 1 } = { } } & { { } I - { \frac { 2 } { { \sqrt { 1 4 } } { \sqrt { 1 4 } } } } { \left( \begin{array} { l } { - 1 } \\ { 3 } \\ { - 2 } \end{array} \right) } { \left( \begin{array} { l l l } { - 1 } & { 3 } & { - 2 } \end{array} \right) } } \\ { = { } } & { { } I - { \frac { 1 } { 7 } } { \left( \begin{array} { l l l } { 1 } & { - 3 } & { 2 } \\ { - 3 } & { 9 } & { - 6 } \\ { 2 } & { - 6 } & { 4 } \end{array} \right) } } \\ { = { } } & { { } { \left( \begin{array} { l l l } { 6 / 7 } & { 3 / 7 } & { - 2 / 7 } \\ { 3 / 7 } & { - 2 / 7 } & { 6 / 7 } \\ { - 2 / 7 } & { 6 / 7 } & { 3 / 7 } \end{array} \right) } . } \end{array}
Z ( J _ { 1 } , J _ { 2 } ) = \int { \mathcal D } A ^ { ( 1 ) } { \mathcal D } A ^ { ( 2 ) } \, e x p i [ S ( A ^ { ( 1 ) } , A ^ { ( 2 ) } ) + J _ { 2 } A ^ { ( 1 ) } + J _ { 1 } A ^ { ( 2 ) } ] \ \ ( g . f . )
\begin{array} { r } { \Vert \varrho ( t ) \Vert _ { \mathrm { H } ^ { \ell } } \leq e ^ { C _ { T } ( u , f ) T / 2 } \Vert \varrho ^ { \mathrm { i n } } \Vert _ { \mathrm { H } ^ { \ell } } \exp \left[ T e ^ { C _ { T } ( u , f ) T / 2 } \left( \Vert u \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , T , \mathrm { H } ^ { \ell } ) } + \Vert B ^ { u , f } \Vert _ { \mathrm { L } ^ { \infty } ( 0 , T , \mathrm { H } ^ { \ell } ) } \right) \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \partial _ { t } \psi _ { 1 } / \rho _ { \mathrm { l i q } } } & { = \nabla \cdot \left[ \frac { \psi _ { 3 } ^ { 3 } } { 3 \eta \, \rho _ { \mathrm { l i q } } ^ { 2 } } \nabla \mu _ { \mathrm { f i l m } } \right] - J _ { \mathrm { e v } } - J _ { \mathrm { i m } } , } \\ { \partial _ { t } \psi _ { 2 } / \rho _ { \mathrm { l i q } } } & { = \nabla \cdot \left[ \frac { D _ { \mathrm { b r u s h } } } { \rho _ { \mathrm { l i q } } k _ { B } T } \, \psi _ { 2 } \, \nabla \mu _ { \mathrm { b r u s h } } \right] - J _ { \mathrm { e v } } ^ { \prime } + J _ { \mathrm { i m } } , } \\ { \partial _ { t } \psi _ { 3 } / \rho _ { \mathrm { l i q } } } & { = \nabla \cdot \left[ D _ { \mathrm { v a p } } ( d - h - \zeta ) \nabla \rho _ { \mathrm { v a p } } \right] / \rho _ { \mathrm { l i q } } + J _ { \mathrm { e v } } + J _ { \mathrm { e v } } ^ { \prime } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathrm { d } { \star J } } & { = c _ { \phi } \, \tilde { F } + ( - ) ^ { q + 1 } \ell \, { \star L } , } \\ { \mathrm { d } { \star \tilde { J } } } & { = \tilde { c } _ { \phi } \, F + ( - ) ^ { p + 1 } \tilde { \ell } \, { \star \tilde { L } } , } \\ { \mathrm { d } { \star L } } & { = 0 , } \\ { \mathrm { d } { \star \tilde { L } } } & { = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { d } { d t } \| w ( t ) \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } + \nu \| A w ( t ) \| _ { L ^ { 2 } } ^ { 2 } } & { \leq \left( - \mu + \frac { c M _ { 1 } M _ { 2 } } { \nu \lambda _ { 1 } ^ { 1 / 2 } } + \frac { c M _ { 0 } ^ { 2 } M _ { 1 } ^ { 2 } } { \nu ^ { 3 } } + \frac { \mu } { 4 } \right) \| w ( t ) \| _ { H ^ { 1 } } ^ { 2 } \chi _ { n , \tau } } \\ & { \quad + \frac { c \mu ^ { 2 } \tau } { \nu } \left( \int _ { t _ { n } } ^ { t } \psi ( s ) \, d s \right) \chi _ { n , \tau } , } \end{array}
M _ { R R } = \left( \begin{array} { c c c } { { ( 1 + 2 \delta _ { 1 } + 2 \delta _ { 2 } ) \lambda ^ { 1 2 } } } & { { \delta _ { 1 } \lambda ^ { 8 } } } & { { \delta _ { 1 } \lambda ^ { 6 } } } \\ { { \delta _ { 1 } \lambda ^ { 8 } } } & { { \delta _ { 2 } \lambda ^ { 4 } } } & { { ( 1 + \delta _ { 2 } ) \lambda ^ { 2 } } } \\ { { \delta _ { 1 } \lambda ^ { 6 } } } & { { ( 1 + \delta _ { 2 } ) \lambda ^ { 2 } } } & { { \delta _ { 2 } } } \end{array} \right) v _ { R }
S _ { J , q , \mathbf { n } } ^ { ( \mathbf { h } ) } = \left\{ \begin{array} { c l } { \sum _ { p = 1 } ^ { q } \sigma _ { J , ( p , \mathbf { n } + p ) } ^ { ( \mathbf { h } ) } } & { \mathrm { i f ~ } q > 0 } \\ { 0 } & { \mathrm { i f ~ } q = 0 } \\ { - \sum _ { p = q + 1 } ^ { 0 } \sigma _ { J , ( p , \mathbf { n } + p ) } ^ { ( \mathbf { h } ) } } & { \mathrm { i f ~ } q < 0 , } \end{array} \right.
\mathbf { W } = \int _ { \Gamma _ { i n t } } 2 \pi r \mathbf { N } ^ { T } \; \mathrm { d } \Gamma _ { i n t } ( r , z ) = \sum _ { i p } 2 \pi w _ { i p } r _ { i p } \mathbf { N } ^ { T } ( \mathbf { x } _ { i p } )
{ W } _ { k } ^ { * } = ( \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( \hat { u } _ { t } ^ { i , k } ) ^ { \tau } \hat { u } _ { t } ^ { i , k } ) ^ { - 1 } ( { \sum _ { i = 1 } ^ { N } ( \hat { u } _ { t } ^ { i , k } ) ^ { \tau } { y } _ { i , k } } )
\begin{array} { c } { { \lbrack e _ { i } , f _ { j } \rbrack = \delta _ { i j } \frac { k _ { i } - k _ { i } ^ { - 1 } } { Q _ { i } - Q _ { i } ^ { - 1 } } } } \\ { { k _ { i } e _ { j } k _ { i } ^ { - 1 } = Q _ { i } ^ { a _ { i j } } e _ { j } , ~ ~ k _ { i } f _ { j } k _ { i } ^ { - 1 } = Q _ { i } ^ { - a _ { i j } } f _ { j } } } \\ { { k _ { i } k _ { i } ^ { - 1 } = k _ { i } ^ { - 1 } k _ { i } = 1 , ~ ~ k _ { i } k _ { j } = k _ { j } k _ { i } } } \\ { { \lbrack e _ { i } , e _ { i } \rbrack = \lbrack f _ { i } , f _ { i } \rbrack = 0 , \mathrm { i f } ~ ~ ~ a _ { i i } = 0 } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \psi _ { z } ^ { + } } & { { } = } & { \left( \psi _ { z } ^ { - } \right) ^ { \dagger } } \\ { \psi _ { z } ^ { - } } & { { } = } & { \left( \psi _ { z } ^ { + } \right) ^ { \dagger } . } \end{array}
V ( r ) = E \left[ 1 - \frac { r ^ { 4 } \triangle h \tilde { h } } { 2 r _ { * } ^ { 4 } } \left( 1 - \frac { h } { ( 1 + r _ { * } ^ { 4 } / r ^ { 4 } \triangle ) ^ { 2 } } \right) \right] .