harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r l r } { \left\langle u _ { n - 1 } ^ { * < } ( \omega ^ { \prime } - \omega ) u _ { n + 1 } ^ { > } ( \omega ^ { \prime } ) \right\rangle } & { { } = } & { 0 , } \\ { \left\langle u _ { n - 2 } ^ { < } ( \omega - \omega ^ { \prime } ) u _ { n - 1 } ^ { < } ( \omega ^ { \prime } ) \right\rangle } & { { } = } & { u _ { n - 2 } ^ { < } ( \omega - \omega ^ { \prime } ) u _ { n - 1 } ^ { < } ( \omega ^ { \prime } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { p G _ { n } } & { { } = - \nu ( n ^ { 2 } + k ^ { 2 } ) G _ { n } + \frac { k } { 2 } \left( \frac { 1 } { ( n - 1 ) ^ { 2 } + k ^ { 2 } } - 1 \right) G _ { n - 1 } - \frac { k } { 2 } \left( \frac { 1 } { ( n + 1 ) ^ { 2 } + k ^ { 2 } } - 1 \right) G _ { n + 1 } } \\ { p H _ { n } } & { { } = - \eta ( n ^ { 2 } + k ^ { 2 } ) H _ { n } - \frac { k } { 2 } \, H _ { n - 1 } + \frac { k } { 2 } \, H _ { n + 1 } } \end{array}
\begin{array} { r l } { K _ { 1 } = } & { 2 d ^ { 2 } s \Re \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } ( \lambda ^ { 2 } \theta | \nabla \psi \cdot \nabla w | ^ { 2 } + \lambda \theta \nabla ^ { 2 } \psi ( \nabla w , \nabla \overline { { w } } ) ) \, d x d t } \\ & { - d ^ { 2 } s \lambda \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Omega } ( \lambda | \nabla \psi | ^ { 2 } + \Delta \psi ) \theta | \nabla w | ^ { 2 } \, d x d t } \\ & { + d ^ { 2 } s \lambda \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Gamma _ { 0 } } \partial _ { \nu } \psi \theta | \partial _ { \nu } w | ^ { 2 } \, d \sigma d t + d ^ { 2 } s \lambda \int _ { 0 } ^ { T } \int _ { \Gamma _ { 1 } } \partial _ { \nu } \psi \theta ( | \partial _ { \nu } w | ^ { 2 } + | \nabla _ { \Gamma } w | ^ { 2 } ) \, d \sigma d t . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { A = r \left( 1 - \frac { 2 x ^ { * } } { K } \right) - \frac { q _ { 1 } y ^ { * } } { ( 1 + a _ { 1 } x ^ { * } ) ^ { 2 } } } & { - } & { \frac { q _ { 2 } z ^ { * } } { ( 1 + a _ { 2 } x ^ { * } ) ^ { 2 } } , } \\ { B _ { 1 } = \frac { q _ { 1 } x ^ { * } } { 1 + a _ { 1 } x ^ { * } } , } & { } & { B _ { 2 } = \frac { q _ { 2 } x ^ { * } } { 1 + a _ { 2 } x ^ { * } } , } \\ { C _ { 1 } = \frac { c _ { 1 } q _ { 1 } y ^ { * } } { ( 1 + a _ { 1 } x ^ { * } ) ^ { 2 } } , } & { } & { C _ { 2 } = \frac { c _ { 2 } q _ { 2 } z ^ { * } } { ( 1 + a _ { 2 } x ^ { * } ) ^ { 2 } } , } \\ { M _ { 1 } = m _ { 1 } y ^ { * } , } & { } & { M _ { 2 } = m _ { 2 } z ^ { * } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { 1 / f = \frac { M _ { N } ^ { * } - M _ { X } ^ { * } } { M _ { R } ^ { * } + M _ { X } ^ { * } - M _ { N } ^ { * } } } & { { } = \frac { M _ { R } ^ { * } } { M _ { R } ^ { * } + M _ { X } ^ { * } - M _ { N } ^ { * } } - 1 . } \end{array}
\dot { H } = \frac { { \dot { \varphi } } ^ { 2 } } { 4 F } - \frac { 1 } { 2 } \left( H ^ { 2 } + \frac { { \rho } _ { \varphi } } { 6 F } \right) - \frac { \ddot { F } } { 2 F } + \frac { p _ { m } } { 4 F } + \frac { \rho _ { m } } { 6 F } \, ,
\Gamma \sim \left\{ \begin{array} { l l } { \xi ^ { 2 } \dot { \gamma } ^ { 2 } } & { ( \mathrm { { f r i c t i o n l e s s } } ) } \\ { \xi ^ { 3 } \dot { \gamma } ^ { 2 } } & { ( \mathrm { { f r i c t i o n a l } } ) } \end{array} \right. ~ .
H _ { \theta } = \Bigl ( { \frac { \Omega _ { \rho } } { \Omega ^ { 2 } } } \Bigr ) { \frac { g _ { a b } \pi _ { 0 } ^ { a } \pi _ { b } ^ { 0 } } { 2 } } + { \frac { \pi _ { 0 } ^ { a } } { \Omega } } \int \rho ^ { - 2 } g _ { a b } \tilde { \pi } _ { 0 } ^ { b } + \tilde { H }
\begin{array} { r l } { \big \| y ^ { \ell - \varepsilon } { \nabla \partial _ { y } ^ { \ell } \mathcal { U } } \big \| _ { L ^ { 2 } ( y ^ { \alpha } , \mathbb { R } ^ { d } \times ( 0 , \mathcal { Y } ) ) } } & { \lesssim \ell \big \| { y ^ { \ell - 1 - \varepsilon } \partial _ { y } ^ { \ell } \mathcal { U } } \big \| _ { L ^ { 2 } ( y ^ { \alpha } , \mathbb { R } ^ { d } \times ( 0 , \mathcal { Y } ) ) } + \big \| { y ^ { \ell + 1 - \varepsilon } F _ { \ell } } \big \| _ { L ^ { 2 } ( y ^ { - \alpha } , \mathbb { R } ^ { d } \times ( 0 , \mathcal { Y } ) ) } } \\ & { \lesssim \ell \big \| { y ^ { \ell - 1 - \varepsilon } \nabla \partial _ { y } ^ { \ell - 1 } \mathcal { U } } \big \| _ { L ^ { 2 } ( y ^ { \alpha } , \mathbb { R } ^ { d } \times ( 0 , \mathcal { Y } ) ) } + \ell ! K ^ { \ell } \big \| { f } \big \| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } } \\ & { \lesssim \ell ! K ^ { \ell } \left\| f \right\| _ { L ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } , } \end{array}
\cot \left( { \frac { \pi } { 2 4 } } \right) = \cot \left( 7 . 5 ^ { \circ } \right) = { \sqrt { 6 } } + { \sqrt { 3 } } + { \sqrt { 2 } } + 2 \ = \left( { \sqrt { 2 } } + 1 \right) \left( { \sqrt { 3 } } + { \sqrt { 2 } } \right)
\chi _ { \vec { G } = 0 } ^ { i } ( \mathbf { q } , \omega ) = \frac { \chi _ { \mathrm { K S , \vec { G } = 0 } } ^ { i } ( \mathbf { q } , \omega ) } { 1 - \left[ v ( q ) + K _ { \mathrm { x c } } ^ { i } ( q ) \right] \chi _ { \mathrm { K S , \vec { G } = 0 } } ^ { i } ( \mathbf { q } , \omega ) } \ .
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { a ( t ) } & { = ( 1 - \lambda ) ^ { t H ( t ) } } \\ { \gamma ( t ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { \gamma } & { \mathrm { i f } \quad t = 0 } \\ { 1 - \gamma } & { \mathrm { i f } \quad t > 0 } \end{array} \right. \ . } \\ { \phi ( t ) } & { = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \mathrm { i f } \quad t = 0 \ \mathrm { o r } \ t = T + 1 } \\ { 1 } & { \mathrm { i f } \quad 0 < t < T + 1 } \end{array} \right. \ . } \end{array} } \end{array}
{ H } _ { J C } ^ { m u l t i } = \omega _ { n } { \sigma } ^ { \dagger } { \sigma } + \sum _ { p } \omega _ { p } { b } _ { p } ^ { \dagger } { b } _ { p } + \sum _ { p } g _ { p n } ( { b } _ { p } ^ { \dagger } { \sigma } + { b } _ { p } { \sigma } ^ { \dagger } ) ,
\Lambda ^ { + } = \frac { 1 } { 2 } \left( 1 + \frac { H _ { \mathrm { D } } ^ { \mathrm { F P } } } { | H _ { \mathrm { D } } ^ { \mathrm { F P } } | } \right) = \frac { \vec { \alpha } \cdot \vec { p } + \beta m c } { \sqrt { \vec { p } ^ { 2 } + m ^ { 2 } c ^ { 2 } } }
W ^ { \dagger } \, i \bar { n } \cdot D _ { c } \, W = i \bar { n } \cdot \partial \, , \qquad \frac { 1 } { i \bar { n } \cdot D _ { c } + i \epsilon } = W \, \frac { 1 } { i \bar { n } \cdot \partial + i \epsilon } \, W ^ { \dagger } \, ,
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial t } \phi ( \boldsymbol { x } , t ) + } & { \frac { \partial } { \partial x ^ { i } } \left( v ^ { i } ( \boldsymbol { x } ) \phi ( \boldsymbol { x } , t ) \right) = } \\ & { \frac { \partial } { \partial x ^ { k } } \left( a ^ { k j } ( \boldsymbol { x } ) \frac { \partial } { \partial x ^ { j } } \phi ( \boldsymbol { x } , t ) \right) , } \\ { \boldsymbol { x } \in \Gamma \equiv [ 0 , } & { 1 ] ^ { D } , \, \left. \phi ( \boldsymbol { x } , t ) \right| _ { x \in \partial \Gamma } = 0 , \, \phi ( \boldsymbol { x } , 0 ) = f ( \boldsymbol { x } ) . } \end{array}
g _ { \mathrm { ~ I ~ } , 2 } ( \theta , n ) = \left[ \kappa - ( - 1 ) ^ { n } - \frac { n } { 2 } \right] \sin \left( \frac { n } { 2 } \theta \right) + \frac { n } { 2 } \sin \left( \left( \frac { n } { 2 } - 2 \right) \theta \right)
- \frac { \partial ^ { 2 } \rho ^ { \prime } } { \partial t ^ { 2 } } = - \nabla ^ { 2 } p ^ { \prime } - \left( \lambda + 2 \mu \right) \nabla ^ { 2 } \left( \frac { 1 } { \bar { \rho } } \frac { \partial \rho ^ { \prime } } { \partial t } \right)
8 ^ { t _ { 1 } + 1 } = 8 \alpha _ { 1 } + 1 6 \alpha _ { 2 } + 3 2 \alpha _ { 3 } = 2 \alpha _ { 1 } + ( 2 \alpha _ { 1 } + 8 \alpha _ { 2 } ) + ( 4 \alpha _ { 1 } + 8 \alpha _ { 2 } + 3 2 \alpha _ { 3 } ) = 2 \alpha _ { 1 } + ( 2 ^ { t _ { 1 } + 1 } + 8 \alpha _ { 2 } ) + ( 4 ^ { t _ { 1 } + 1 } + 3 2 \alpha _ { 3 } ) = \alpha _ { 1 } ^ { \prime } + 2 \alpha _ { 2 } ^ { \prime } + 4 \alpha _ { 3 } ^ { \prime }
\begin{array} { r l } { { \boldsymbol { \tau } } } & { { } = \sum _ { i = 1 } ^ { n } m _ { i } [ { \boldsymbol { \Delta } } \mathbf { r } _ { i } \times ( { \boldsymbol { \alpha } } \times { \boldsymbol { \Delta } } \mathbf { r } _ { i } ) + { \boldsymbol { \Delta } } \mathbf { r } _ { i } \times ( { \boldsymbol { \omega } } \times ( { \boldsymbol { \omega } } \times { \boldsymbol { \Delta } } \mathbf { r } _ { i } ) ) ] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \breve { S } _ { k } ^ { \top } v _ { k } } & { { } = \breve { S } _ { k } ^ { \top } ( \psi _ { k } + \Phi _ { k } y _ { k } ) \mathrm { ~ , ~ } } \\ { \hat { S } _ { k } ^ { \top } v _ { k } } & { { } = \hat { F } _ { k } ( \hat { S } _ { k } ^ { \top } v _ { k } , \tilde { S } _ { k } ^ { \top } v _ { k } ) \mathrm { ~ , ~ } } \end{array}
v _ { 2 } = - \frac { \alpha \left( \frac { \beta } { 2 } \phi ^ { 2 } - \Lambda \right) + \beta \phi } { 2 u } - \frac { \tilde { u } _ { 0 } ^ { 2 } \left( \frac { \beta } { 2 } \phi ^ { 2 } - \Lambda \right) ^ { 2 } } { 2 u ^ { 3 } } .
C _ { h ^ { 0 } t c } = \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } \left[ \xi _ { t c } P _ { R } + \xi _ { c t } ^ { \dagger } P _ { L } \right] \cos \alpha \equiv \frac { g \sqrt { m _ { t } m _ { c } } } { 2 M _ { W } } ( \chi _ { R } P _ { R } + \chi _ { L } P _ { L } ) \, \, \, \, .
S _ { \alpha \beta } = { \frac { 1 } { N ( \theta ) } } \sum _ { i \in \theta } ^ { N ( \theta ) } ( r _ { i } ^ { \alpha } - r _ { \mathrm { ~ c ~ m ~ } } ^ { \alpha } ) ( r _ { i } ^ { \beta } - r _ { \mathrm { ~ c ~ m ~ } } ^ { \beta } ) ~ ,
l _ { X } = \int _ { 0 } ^ { 1 } \left| { \cfrac { d \mathbf { X } } { d s } } \right| ~ d s = \int _ { 0 } ^ { 1 } { \sqrt { { \cfrac { d \mathbf { X } } { d s } } \cdot { \cfrac { d \mathbf { X } } { d s } } } } ~ d s = \int _ { 0 } ^ { 1 } { \sqrt { { \cfrac { d \mathbf { X } } { d s } } \cdot { \boldsymbol { I } } \cdot { \cfrac { d \mathbf { X } } { d s } } } } ~ d s
\begin{array} { r l } { B _ { m , n } ^ { \kappa , \rho } ( f ) } & { = \frac { \partial ^ { m } } { \partial { z ^ { m } } } \left( z ^ { \rho } \left[ \sum _ { k = 0 } ^ { n } \binom { n } { k } \frac { \partial ^ { n - k } } { \partial { \overline { { z } } ^ { n - k } } } \left( ( 1 - | z | ^ { 2 } ) ^ { \kappa + m + n } \right) \frac { \partial ^ { k } } { \partial { \overline { { z } } ^ { k } } } ( f ) \right] \right) } \\ & { = ( - 1 ) ^ { m + n } z ^ { \rho } \sum _ { j = 0 } ^ { m } \sum _ { k = 0 } ^ { n } \mathbf { b } _ { m , n , j , k } ^ { \kappa , \rho } ( 1 - | z | ^ { 2 } ) ^ { \kappa + j + k } \mathcal { Z } _ { m - j , n - k } ^ { \kappa + j + k , \rho } ( z , \overline { { z } } ) \frac { \partial ^ { j + k } } { \partial z ^ { j } \partial \overline { { z } } ^ { k } } ( f ) . } \end{array}
M _ { \tilde { b } } ^ { 2 } = \left( \begin{array} { c c } { { M _ { { \tilde { b } } _ { L L } } ^ { 2 } } } & { { M _ { { \tilde { b } } _ { L R } } ^ { 2 \dagger } } } \\ { { M _ { { \tilde { b } } _ { L R } } ^ { 2 } } } & { { M _ { { \tilde { b } } _ { R R } } } } \end{array} \right) ,
\langle ( { \cal O } _ { j _ { 1 } m _ { 1 } } ^ { r _ { 1 } ~ + } { \cal O } _ { j _ { 2 } m _ { 2 } } ^ { r _ { 2 } ~ + } ) { \cal O } _ { j _ { 3 } ~ { - m _ { 3 } } } ^ { r _ { 3 } ~ - } \rangle = \langle { \cal O } _ { j _ { 1 } m _ { 1 } } ^ { r _ { 1 } ~ + } ( { \cal O } _ { j _ { 2 } m _ { 2 } } ^ { r _ { 2 } ~ + } { \cal O } _ { j _ { 3 } ~ { - m _ { 3 } } } ^ { r _ { 3 } ~ - } ) \rangle \nonumber
\begin{array} { r } { \left\| \tilde { x } _ { \tilde { T } _ { \mathrm { s t a b } } + k } \right\| \lesssim \rho ^ { k / 2 } \log ( 1 / \delta ) + \sqrt { \log ( k / \delta ) } , } \\ { \left\| \tilde { u } _ { \tilde { T } _ { \mathrm { s t a b } } + k } ^ { c e } \right\| \lesssim \rho ^ { k / 2 } \log ( 1 / \delta ) + \sqrt { \log ( k / \delta ) } , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { d \left( { \frac { G } { T } } \right) } & { = { \frac { T \, d G - G \, d T } { T ^ { 2 } } } = { \frac { T \, ( - S \, d T + V \, d p ) - G \, d T } { T ^ { 2 } } } } \\ & { = { \frac { - T \, S \, d T - G \, d T + T \, V \, d p } { T ^ { 2 } } } = { \frac { - ( G + T \, S ) \, d T + T \, V \, d p } { T ^ { 2 } } } } \\ & { = { \frac { - H \, d T + T \, V \, d p } { T ^ { 2 } } } } \end{array} } \,
{ \frac { 1 } { 4 } } ( g _ { 2 H } ^ { 2 } + 4 g _ { 1 H } ^ { 2 } ) ( | \phi | ^ { 2 } - | \overline { { { \phi } } } | ^ { 2 } ) \simeq - ( m _ { \phi } ^ { 2 } - m _ { \overline { { { \phi } } } } ^ { 2 } ) + { \cal O } ( M _ { \mathrm { S U S Y } } / V _ { \phi } ) M _ { \mathrm { S U S Y } } ^ { 2 } ~ .
\partial _ { p ^ { 2 } } M _ { n } ( Q ^ { 2 } ) = \partial _ { p ^ { 2 } } M _ { n } ^ { a s } + \frac { n } { Q ^ { 2 } } \bigg ( M _ { n } ^ { N S } + M ^ { 2 } \partial _ { p ^ { 2 } } M _ { n } ^ { a s } \bigg )
\begin{array} { r l } { B _ { h } ( u _ { h } , v _ { h } ) = } & { \mu \int _ { D } \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \nabla \tilde { u } _ { h _ { j } } \mathcal { J } _ { \mathcal { H } _ { h } ^ { - 1 } } \mathcal { J } _ { \mathcal { H } _ { h } ^ { - 1 } } ^ { \top } \nabla \bar { \tilde { v } } _ { h _ { j } } \operatorname* { d e t } { \mathcal { J } _ { \mathcal { H } _ { h } } } \, \mathrm { d } y } \\ & { + ( \lambda + \mu ) \int _ { D } ( \nabla \tilde { u } _ { h } : \mathcal { J } _ { \mathcal { H } _ { h } ^ { - 1 } } ) ( \nabla \bar { \tilde { v } } _ { h } : \mathcal { J } _ { \mathcal { H } _ { h } ^ { - 1 } } ^ { \top } ) \operatorname* { d e t } { \mathcal { J } _ { \mathcal { H } _ { h } } } \, \mathrm { d } y } \\ & { - \omega ^ { 2 } \int _ { D } \tilde { u } _ { h } \cdot \bar { \tilde { v } } _ { h } \operatorname* { d e t } { \mathcal { J } _ { \mathcal { H } _ { h } } } \, \mathrm { d } y - \int _ { \Gamma } \mathcal { T } \tilde { u } _ { h } \cdot \bar { \tilde { v } } _ { h } \, \mathrm { d } s ( y ) : = B ^ { h } ( \Tilde { u } _ { h } , \Tilde { v } _ { h } ) , } \end{array}
\frac { \partial \vec { H } } { \partial \tau } = \alpha ( \vec { \nabla } \times \vec { H } ) + \frac { 1 } { \sigma } \nabla ^ { 2 } \vec { H } , ~ ~ ~ \alpha = - \frac { \tau _ { 0 } } { 3 } \langle \vec { v } \cdot \vec { \nabla } \times \vec { v } \rangle ,
\begin{array} { r l } { - \mathrm { I m } \, G ( x + i y ) } & { { } = \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \omega \, \frac { \rho ( \omega ) y } { ( x - \omega ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } } \geq 0 , } \end{array}
E ^ { f } = \frac { \partial } { \partial \beta } ( \beta F ^ { f } ) = - V \int \frac { d ^ { 3 } p } { ( 2 \pi ) ^ { 3 } } \, \frac { E _ { p } } { 2 } \operatorname { t a n h } \left( \frac { \beta E _ { p } } { 2 } \right) .
\begin{array} { r l } { \tilde { \mathbb { J } } _ { P } ( \tilde { Q } ) = } & { - r _ { 0 } \tilde { q } _ { 0 } - r _ { 1 } \tilde { q } _ { 1 } - \cdots - r _ { n } \tilde { q } _ { n } } \\ & { - \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { \mathcal { I } } P \left( e ^ { i \theta } \right) \log \frac { P \left( e ^ { i \theta } \right) } { \tilde { Q } \left( e ^ { i \theta } \right) } d \theta . } \end{array}
\begin{array} { r } { \widetilde { \widehat { w } } _ { 0 , 0 } ^ { ( 0 ) } ( g , \theta , \alpha , z ) ( r ) = - z + r + \sum _ { L = 2 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { L + 1 } \sum _ { ( \underline { { p } } , \underline { { q } } ) \in { \mathord { \mathbb N } } _ { 0 } ^ { 2 L } : p _ { l } + q _ { l } = 1 , 2 } V _ { ( \underline { { 0 } } , \underline { { p } } , \underline { { 0 } } , \underline { { q } } ) , \theta , \alpha } [ \widehat { w } ^ { ( I ) } ( g , \theta , \alpha , \zeta ) ] ( r ) \; . } \end{array}
{ \bf H } _ { \mathrm { ~ K ~ a ~ g ~ o ~ m ~ e ~ G ~ r ~ a ~ p ~ h ~ e ~ n ~ e ~ } } ^ { \mathrm { ~ N ~ N ~ } } = \left( \begin{array} { l l l } { { \bf H } _ { A A } } & { } & { { \bf H } _ { A B } } \\ { { \bf H } _ { B A } } & { } & { { \bf H } _ { B B } } \end{array} \right) ,
E ( \omega , k _ { \perp } , z ) = 2 \pi \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \mathrm { d } t \int _ { 0 } ^ { \infty } r \mathrm { d } r E ( t , r , z ) J _ { 0 } ( k _ { \perp } r ) \mathrm { e } ^ { i \omega t } \, ,
\sigma _ { { t _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ g ~ } } } } = \sqrt { \overline { { t _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ g ~ } } ^ { 2 } } } - \overline { { t _ { \mathrm { ~ c ~ o ~ g ~ } } } } ^ { 2 } } = \sqrt { \frac { 4 } { 1 8 0 } \frac { d ^ { 2 } } { v _ { e } ^ { 2 } } - \frac { 7 } { 1 8 0 } \frac { d ^ { 2 } } { v _ { e } v _ { h } } + \frac { 4 } { 1 8 0 } \frac { d ^ { 2 } } { v _ { h } ^ { 2 } } } ,
u _ { \mathrm { s o l } } ^ { \mathrm { N L S } } ( x , t ) = \eta \ \mathrm { s e c h } \left[ \eta ( x - c t - x _ { 0 } ) \right] \mathrm { e } ^ { \mathrm { i } ( c x - \omega _ { \mathrm { s o l } } t + \phi _ { 0 } ) }
\begin{array} { r l } { \langle \Delta t \rangle _ { s h o r t } } & { { } \approx S _ { 1 } ( t _ { o n } ) ( S _ { 2 } ( t _ { e n d } , m = 0 ) - S _ { 2 } ( t _ { e n d } , m ) ) \tau + S _ { 1 } ( \mu ( t _ { e n d } , m ) S _ { 2 } ( t _ { e n d } , m ) - \mu ( t _ { e n d } , m = 0 ) S _ { 2 } ( t _ { e n d } , m = 0 ) ) ( - \tau ^ { 2 } / 2 ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { a _ { n } } & { { } = { \frac { 2 } { P } } \int _ { P } s ( x ) \cdot \cos \left( 2 \pi x { \frac { n } { P } } \right) \, d x } \\ { b _ { n } } & { { } = { \frac { 2 } { P } } \int _ { P } s ( x ) \cdot \sin \left( 2 \pi x { \frac { n } { P } } \right) \, d x . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { C _ { 1 } ( \xi ) = \frac { a _ { 2 } e ^ { - \frac { 2 a _ { 1 } } { 9 } - \frac { \xi ^ { 2 } } { 4 } } } { \left( 2 e ^ { \frac { 1 } { 5 } \left( a _ { 1 } + \frac { 9 \xi ^ { 2 } } { 8 } \right) } + 2 \right) ^ { 2 / 5 } } , \quad C _ { 2 } ( \xi ) = \frac { a _ { 2 } e ^ { - \frac { 8 a _ { 1 } + 9 \xi ^ { 2 } } { 3 6 0 } } } { \left( 2 e ^ { \frac { 1 } { 5 } \left( a _ { 1 } + \frac { 9 \xi ^ { 2 } } { 8 } \right) } + 2 \right) ^ { 2 / 5 } } . } \end{array}
x q ^ { A } ( x , Q _ { 0 } ^ { 2 } ) = x q ^ { A P E } ( x , Q _ { 0 } ^ { 2 } ) + \Delta x q ^ { R C } ( x , Q _ { 0 } ^ { 2 } ) + \Delta x q _ { s } ^ { G S } ( x , Q _ { 0 } ^ { 2 } )
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } } & { [ P _ { e w } ^ { * , o } ] \! = \! \mathbb { E } _ { k _ { 1 } ^ { o } < k _ { 2 } ^ { o } } [ P _ { e w } ^ { * , o } ] \mathbb { P } ( k _ { 1 } ^ { o } < k _ { 2 } ^ { o } ) \! + \! \mathbb { E } _ { k _ { 1 } ^ { o } \geq k _ { 2 } ^ { o } } [ P _ { e w } ^ { * , o } ] \mathbb { P } ( k _ { 1 } ^ { o } \! \geq \! k _ { 2 } ^ { o } ) } \\ & { \! = \! \! \mathbb { P } ( k _ { 1 } ^ { o } \! \geq \! k _ { 2 } ^ { o } \! ) \! \! \left( \! \! 1 \! \! - \! \! \frac { \ln ( \rho P _ { a } L _ { a w } ^ { o , \mathbb { B } } \mathbb { E } _ { k _ { 1 } ^ { o } \geq k _ { 2 } ^ { o } } \! \! \left[ | { h } _ { a w } ^ { o , \mathbb { B } } | ^ { 2 } \right] \! \! + \! \hat { \sigma } _ { n } ^ { 2 } ) \! - \! \ln ( \hat { \sigma } _ { n } ^ { 2 } ) } { 2 \ln ( \rho ) } \! \right) \! , } \end{array}
p ( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , . . . , x _ { k + 1 } ) = \sum _ { I } b _ { I } \prod _ { i = 1 } ^ { k + 1 } x _ { i } ^ { < { V } _ { i } , { V } _ { I } ^ { \ast } > } = 0 ,
\begin{array} { r l } { \alpha ^ { 2 } } & { = \Big ( \gamma + \big | ( t _ { 2 } - \tau ) - ( t _ { 1 } - \tau ) \big | ^ { 2 } \Big ) \Big ( \gamma + \big | ( t _ { 2 } - \tau ) + ( t _ { 1 } - { \tau } ) \big | ^ { 2 } \Big ) } \\ & { = \gamma ^ { 2 } + \gamma \left[ | ( t _ { 2 } - \tau ) - ( t _ { 1 } - \tau ) | ^ { 2 } + | ( t _ { 2 } - \tau ) + ( t _ { 1 } - { \tau } ) | ^ { 2 } \right] + \beta ^ { 2 } } \\ & { = \gamma ^ { 2 } + 2 \gamma \left[ ( t _ { 2 } - \tau ) ^ { 2 } + ( t _ { 1 } - \tau ) ^ { 2 } \right] + | \beta | ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { \mathrm { M } + 1 } } & { { } = \sum _ { j = 1 } ^ { \infty } Q _ { \mathrm { W } - j } \mu _ { - j , \mathrm { M } } = \underbrace { \sum _ { j = 1 } ^ { j _ { \operatorname* { m a x } } } \hat { Q } _ { \mathrm { W } - j } \mu _ { - j , \mathrm { M } } } _ { = \hat { q } _ { \mathrm { M } + 1 } } + \underbrace { \sum _ { j = 1 } ^ { j _ { \operatorname* { m a x } } } ( Q _ { \mathrm { W } - j } - \hat { Q } _ { \mathrm { W } - j } ) \mu _ { - j , \mathrm { M } } } _ { \le \frac { 1 } { e _ { 2 } ^ { 2 } } ( 1 - e _ { 2 } ) ^ { j _ { \operatorname* { m a x } } } } + \underbrace { \sum _ { j = j _ { \operatorname* { m a x } } + 1 } ^ { \infty } \hat { Q } _ { \mathrm { W } - j } \mu _ { - j , \mathrm { M } } } _ { \le \frac { 1 } { e _ { 2 } ^ { 2 } } ( 1 - e _ { 2 } ) ^ { j _ { \operatorname* { m a x } } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { \alpha / \beta } ^ { A } ( x , y ; a , b ) } & { = \kappa _ { a , b } ( \alpha / \beta ) \widehat { f } _ { \beta / \alpha } ^ { A } ( x ^ { * } , y ^ { * } ; b , a ) , } \\ { f _ { \alpha / \beta } ^ { B } ( x , y ; a , b ) } & { = \kappa _ { a , b } ( \alpha / \beta ) \prod _ { i = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { x _ { i } + y _ { i } } \widehat { f } _ { \beta / \alpha } ^ { C } ( x ^ { * } , y ^ { * } ; b , a ) , } \\ { f _ { \alpha / \beta } ^ { C } ( x , y ; a , b ) } & { = \kappa _ { a , b } ( \alpha / \beta ) \prod _ { i = 1 } ^ { n } ( x _ { i } + y _ { i } ) \widehat { f } _ { \beta / \alpha } ^ { B } ( x ^ { * } , y ^ { * } ; b , a ) , } \\ { f _ { \alpha / \beta } ^ { D } ( x , y ; a , b ) } & { = \kappa _ { a , b } ( \alpha / \beta ) \widehat { f } _ { \beta / \alpha } ^ { D } ( x ^ { * } , y ^ { * } ; b , a ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \dot { z } _ { j } ( t ) \approx - k _ { j } e ^ { - \delta _ { j } ( T - t ) } \frac { { b } _ { j } ^ { S B , M } ( \gamma _ { j } ) ^ { 2 } \eta _ { P } + \frac { q _ { i } } { Q _ { M } } - \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { Q _ { M } \zeta _ { i } ^ { M } ( { b } _ { i } ^ { S B , M } ( \gamma _ { i } ) ) } } { \zeta _ { j } ^ { M } ( { b } _ { j } ^ { S B , M } ( \gamma _ { j } ) ) - \frac { \varepsilon ^ { 2 } } { Q _ { M } ^ { 2 } \zeta _ { i } ^ { M } ( { b } _ { i } ^ { S B , M } ( \gamma _ { i } ) ) } } - k _ { i } e ^ { - \delta _ { i } ( T - t ) } \frac { \varepsilon } { Q _ { M } } \frac { { b } _ { i } ^ { S B , M } ( \gamma _ { i } ) ^ { 2 } \eta _ { A } } { \zeta _ { i } ^ { M } ( { b } _ { i } ^ { S B , M } ( \gamma _ { i } ) ) } \; , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { r E _ { r } } & { { } = } & { \frac { V _ { g } ( \omega ) L A _ { 0 } ( k ) } { r } \sum _ { \nu _ { n } } a _ { \nu _ { n } } ( k ) \widehat { J } _ { \nu _ { n } } ( k r ) M _ { \nu _ { n } } ( \theta ) , } \\ { r E _ { \theta } } & { { } = } & { V _ { g } ( \omega ) k L A _ { 0 } ( k ) \sum _ { \nu _ { n } } \frac { a _ { \nu _ { n } } ( k ) \widehat { J } _ { \nu _ { n } } ^ { \prime } ( k r ) M _ { \nu _ { n } } ^ { \prime } ( \theta ) } { \nu _ { n } ( \nu _ { n } + 1 ) } } \\ { r H _ { \phi } } & { { } = } & { - j \frac { V _ { g } ( \omega ) k L A _ { 0 } ( k ) } { \eta } \sum _ { \nu _ { n } } \frac { a _ { \nu _ { n } } ( k ) \widehat { J } _ { \nu _ { n } } ( k r ) M _ { \nu _ { n } } ^ { \prime } ( \theta ) } { \nu _ { n } ( \nu _ { n } + 1 ) } } \end{array}
\mathrm { a L A V D } _ { t _ { 0 } } ^ { s } ( \mathbf { x } _ { 0 } ) : = \frac { 1 } { s } \int _ { 0 } ^ { s } \left| \mathbf { w } ( \boldsymbol { \mathcal { F } } _ { ( t _ { 0 } , \mathbf { x } _ { 0 } ) } ^ { \tilde { s } } \left( \mathbf { x } _ { 0 } \right) ) - \bar { \mathbf { w } } \right| d \tilde { s } .
\begin{array} { r } { \frac { \delta } { ( 1 - \sqrt { \delta } ) ^ { 2 } } < \frac { \frac { c \hat { \lambda } _ { 1 } } { 2 } - \frac { c \lambda _ { 2 } \gamma ^ { 2 } \beta } { 4 c \beta \lambda _ { 2 } v - 2 \ell ^ { 2 } } - \frac { ( c ^ { 2 } \hat { \lambda } _ { n } ^ { 2 } + \gamma ^ { 2 } ) } { c \beta \lambda _ { 2 } } } { 3 c \lambda _ { n } + 2 c \beta \lambda _ { n } + \frac { c \lambda _ { n } ^ { 2 } } { \beta \lambda _ { 2 } } } } \end{array}
\begin{array} { r } { \frac { 1 } { L ^ { * } } \int _ { 0 } ^ { L ^ { * } } \Bigm \lvert \frac { \varphi _ { \mathrm { s i m } } \left( s \right) - \varphi \left( s \right) } { \varphi \left( s \right) } \Bigm \rvert d s = \epsilon ^ { \prime \prime } } \end{array}
\begin{array} { r l r } { C _ { \Delta \mathbf { R } _ { A } } ( t ; \delta t ) } & { { } \equiv } & { \left\langle \Delta \mathbf { R } _ { A } ( t ; \delta t ) \cdot \Delta \mathbf { R } _ { A } ( 0 ; \delta t ) \right\rangle } \end{array}
[ \mathbf { A B } ] _ { i , j } = a _ { i , 1 } b _ { 1 , j } + a _ { i , 2 } b _ { 2 , j } + \cdots + a _ { i , n } b _ { n , j } = \sum _ { r = 1 } ^ { n } a _ { i , r } b _ { r , j } ,
\begin{array} { r l r } { P [ k _ { i } ( t ) < k ] } & { { } = } & { P \left[ ( \frac { r } { \omega } ) ^ { ( 1 + \omega ) / \omega } \frac { t } { ( k + r \frac { 1 + \omega } { \omega } ) ^ { ( 1 + \omega ) / \omega } } < t _ { i } \right] } \end{array}