harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\left\{ \begin{array} { l l } { ( \boldsymbol { j } _ { i } ^ { s } ) ^ { n + 1 } \cdot \boldsymbol { n } _ { s } = - \gamma _ { i } \zeta ( \mathcal { R } ^ { s } ) ^ { n } , } & { \mathrm { ~ o ~ n ~ ~ ~ } \Gamma , } \\ { - \nabla ( \phi _ { s } ) ^ { n + 1 } \cdot \boldsymbol { n } _ { s } = \lambda _ { s } ( ( \phi ^ { s } ) ^ { n + 1 } - ( \phi _ { p } ^ { s } ) ^ { n + 1 } ) , } & { \mathrm { ~ o ~ n ~ ~ ~ } \Gamma , } \\ { ~ \lambda _ { l } \frac { ( ( \phi ^ { l } ) ^ { n + 1 } - ( \phi _ { p } ^ { l } ) ^ { n + 1 } ) - ( ( \phi ^ { l } ) ^ { n } - ( \phi _ { p } ^ { l } ) ^ { n } ) } { \Delta t } + \frac { \zeta } { \delta ^ { 2 } } \Delta z _ { l } ( \mathcal { R } ) _ { l } ^ { n } = g \left( \ln ( \frac { ( C _ { e } ^ { r } ) ^ { n + 1 } } { ( C _ { e } ^ { l } ) ^ { n + 1 } } ) + ( \phi _ { p } ^ { l } ) ^ { n + 1 } - ( \phi _ { p } ^ { r } ) ^ { n + 1 } \right) , } & { \mathrm { ~ o ~ n ~ ~ ~ } \Gamma , } \\ { \lambda _ { r } \frac { ( ( \phi ^ { r } ) ^ { n + 1 } - ( \phi _ { p } ^ { r } ) ^ { n + 1 } ) - ( ( \phi ^ { r } ) ^ { n } - ( \phi _ { p } ^ { r } ) ^ { n } ) } { \Delta t } + \frac { \zeta } { \delta ^ { 2 } } \Delta z _ { r } ( \mathcal { R } ) _ { r } ^ { n } = - g \left( \ln ( \frac { ( C _ { e } ^ { r } ) ^ { n + 1 } } { ( C _ { e } ^ { l } ) ^ { n + 1 } } ) + ( \phi _ { p } ^ { l } ) ^ { n + 1 } - ( \phi _ { p } ^ { r } ) ^ { n + 1 } \right) , } & { \mathrm { ~ o ~ n ~ ~ ~ } \Gamma , } \\ { ( \boldsymbol { j } ^ { s } ) ^ { n + 1 } \cdot \boldsymbol { n } = 0 , \phi ^ { s } = 0 , } & { \mathrm { ~ o ~ n ~ ~ ~ } \partial \Omega / \Gamma , } \end{array} \right.
H \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( s \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! , t \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! = M \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( s \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) d \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \alpha \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \theta \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( s \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \cdot \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! t \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) A \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \theta \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ( t \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! ) \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \!
{ \begin{array} { r l } { I ( { \textit { J o h n } } : N ) } & { = j : E } \\ { I ( { \textit { M a r y } } : N ) } & { = m : E } \\ { I ( t h e : N \cdot N _ { 0 } ^ { l } ) } & { = \iota ( p ) \cdot [ p ] : E \cdot E _ { 0 } ^ { l } } \\ { I ( d o g : N _ { 0 } ) } & { = d o g : E _ { 0 } } \\ { I ( c a t : N _ { 0 } ) } & { = c a t : E _ { 0 } } \\ { I ( m e t : N ^ { r } \cdot S \cdot N ^ { l } ) } & { = [ x ] \cdot m e t ( x , y ) \cdot [ y ] : E ^ { r } \cdot T \cdot E ^ { l } } \\ { I ( b a r k e d : N ^ { r } \cdot S ) } & { = [ x ] \cdot b a r k e d ( x ) : E ^ { r } \cdot T } \\ { I ( a t : S ^ { r } \cdot N ^ { r r } \cdot N ^ { r } \cdot S \cdot N ^ { l } ) } & { = [ x ] \cdot y \cdot [ y ] \cdot a t ( x , z ) \cdot [ z ] : T ^ { r } \cdot E ^ { r r } \cdot E ^ { r } \cdot T \cdot E ^ { l } } \end{array} }
\begin{array} { r } { \mathbb { E } { \left[ e ^ { 2 \chi ^ { 2 } ( p | | q ) \vert { \cal R } ^ { \left( 1 \right) } \cap { \cal L } ^ { \left( 2 \right) } \vert \cdot \vert { \cal L } ^ { \left( 1 \right) } \cap { \cal R } ^ { \left( 2 \right) } \vert } \right] } \leq \mathbb { E } { \left[ e ^ { 2 \chi ^ { 2 } ( p | | q ) B _ { 3 } \cdot B _ { 4 } } \right] } , } \end{array}
\langle \dot { \hat { N } } \rangle = - \frac { j ( t ) } { \omega } \langle \dot { \hat { q } } \rangle = \frac { j ( t ) } { \omega } \int _ { t _ { 0 } } ^ { t } d t ^ { \prime } \cos [ \omega ( t - t ^ { \prime } ) ] j ( t ^ { \prime } )
c _ { \alpha } | \cdots , n _ { \beta } , n _ { \alpha } , n _ { \gamma } , \cdots \rangle = ( - 1 ) ^ { \sum _ { \beta < \alpha } n _ { \beta } } { \sqrt { n _ { \alpha } } } | \cdots , n _ { \beta } , 1 - n _ { \alpha } , n _ { \gamma } , \cdots \rangle .
t = { \frac { \left| \begin{array} { l l } { x _ { 1 } - x _ { 3 } } & { x _ { 3 } - x _ { 4 } } \\ { y _ { 1 } - y _ { 3 } } & { y _ { 3 } - y _ { 4 } } \end{array} \right| } { \left| \begin{array} { l l } { x _ { 1 } - x _ { 2 } } & { x _ { 3 } - x _ { 4 } } \\ { y _ { 1 } - y _ { 2 } } & { y _ { 3 } - y _ { 4 } } \end{array} \right| } } = { \frac { ( x _ { 1 } - x _ { 3 } ) ( y _ { 3 } - y _ { 4 } ) - ( y _ { 1 } - y _ { 3 } ) ( x _ { 3 } - x _ { 4 } ) } { ( x _ { 1 } - x _ { 2 } ) ( y _ { 3 } - y _ { 4 } ) - ( y _ { 1 } - y _ { 2 } ) ( x _ { 3 } - x _ { 4 } ) } }
B _ { \eta , \eta ^ { \prime } } ( s , s _ { \pi \pi } ) = B _ { \eta , \eta ^ { \prime } } ( 0 , 0 ) [ 1 + { \frac { 3 } { 2 } } { \frac { s _ { \pi \pi } } { m _ { \rho } ^ { 2 } - s _ { \pi \pi } } } ]
\begin{array} { r l r } { { W _ { + } } \left( n \right) } & { { } = } & { \frac { { \beta \left( { N - n } \right) n } } { N } + \frac { { \beta ( { 1 + \delta } ) \left( { N - n } \right) n \left( { n - 1 } \right) } } { { N \left( { N - 1 } \right) } } } \\ { { W _ { - } } \left( n \right) } & { { } = } & { n } \end{array}
\begin{array} { r l } { \hat { c } _ { t , \mathcal { N } _ { t } ^ { * } } ^ { \top } - \hat { c } _ { t , \mathcal { B } _ { t } ^ { * } } ^ { \top } A _ { t , \mathcal { B } _ { t } ^ { * } } ^ { - 1 } A _ { t , \mathcal { N } _ { t } ^ { * } } } & { \ge 0 , } \\ { \hat { c } _ { t , \mathcal { N } _ { t } ^ { * } } ^ { \top } - \hat { c } _ { t , \mathcal { B } _ { t } ^ { * } } ^ { \top } A _ { t , \mathcal { B } _ { t } ^ { * } } ^ { - 1 } A _ { t , \mathcal { N } _ { t } ^ { * } } } & { \ge - s _ { t } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { { \Delta } u \left( x , { t } _ { k } \right) } & { = u \left( x , { t } _ { k + 1 } \right) - u \left( x , { t } _ { k } \right) \, , } \\ { q \left( t \right) } & { = \alpha \left( t \right) + \beta \left( t \right) \int _ { 0 } ^ { \ell } { \left[ \frac { \partial u \left( x , t \right) } { \partial x } \right] } ^ { 2 } \mathrm { d } x \, , } \\ { { R } _ { 1 , k } \left( x , \tau \right) } & { = \frac { { \Delta } ^ { 2 } u \left( x , { t } _ { k - 1 } \right) } { { \tau } ^ { 2 } } - \frac { { \partial } ^ { 2 } u \left( x , { t } _ { k } \right) } { \partial { t } ^ { 2 } } \, , } \\ { { R } _ { 2 , k } \left( x , \tau \right) } & { = - \frac { 1 } { 2 } q \left( { t } _ { k } \right) \frac { \mathrm { d } ^ { 2 } } { \mathrm { d } { x } ^ { 2 } } { \Delta } ^ { 2 } u \left( x , { t } _ { k - 1 } \right) \, . } \end{array}
2 ( \Gamma _ { \lambda \mu \nu } { \dot { x } } ^ { \mu } { \dot { x } } ^ { \nu } + { \ddot { x } } _ { \lambda } ) = { \frac { { \dot { x } } _ { \lambda } { \frac { d } { d \tau } } ( { \dot { x } } _ { \nu } { \dot { x } } ^ { \nu } ) } { { \dot { x } } _ { \beta } { \dot { x } } ^ { \beta } } } = { \frac { U _ { \lambda } { \frac { d } { d \tau } } ( U _ { \nu } U ^ { \nu } ) } { U _ { \beta } U ^ { \beta } } } = U _ { \lambda } { \frac { d } { d \tau } } \ln | U _ { \nu } U ^ { \nu } | \qquad \qquad ( 8 )
\dot { \rho } = - \frac { \mathrm { i } } { \hbar } [ \mathcal { H } _ { f } + \mathcal { H } _ { g } + \mathcal { H } _ { h } , \rho ] + \mathcal { L } _ { f } ( \rho ) + \mathcal { L } _ { g } ( \rho ) + \mathcal { L } _ { h } ( \rho ) ,
\frac { \partial \rho _ { 0 } } { \partial t } = \nabla \cdot ( \rho _ { 0 } \nabla U _ { 1 } ) \quad \mathrm { f o r } \quad \rho _ { 0 } ( { \boldsymbol { x } } , t ) : = e ^ { - \beta [ U _ { 0 } ( { \boldsymbol { x } } , t ) - F _ { 0 } ( t ) ] } .
\begin{array} { r l } { \boldsymbol { \hat { u } } \in \langle U _ { \beta ^ { 0 } } \rangle } & { \iff W \in C \langle U _ { \beta ^ { 0 } } \rangle + \partial J _ { \boldsymbol { \lambda } } ( \beta ^ { 0 } ) } \\ & { \iff C ^ { - 1 / 2 } W \in C ^ { 1 / 2 } \langle U _ { \beta ^ { 0 } } \rangle + C ^ { - 1 / 2 } \partial J _ { \boldsymbol { \lambda } } ( \beta ^ { 0 } ) } \\ & { \iff \underbrace { - C ^ { - 1 / 2 } \Lambda _ { 0 } + C ^ { - 1 / 2 } W } _ { = : Y } \in C ^ { 1 / 2 } \langle U _ { \beta ^ { 0 } } \rangle + C ^ { - 1 / 2 } ( \partial J _ { \boldsymbol { \lambda } } ( \beta ^ { 0 } ) - \Lambda _ { 0 } ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \partial ( g ( t ) + V f ( t ) ) } { \partial c _ { i } ( t ) } ~ \ge ~ } & { V ( p _ { i } ^ { \mathrm { b } } ( t ) + \beta _ { i } ) } \\ & { + \eta _ { \mathrm { c } } ( \overline { { B } } _ { i } - \eta _ { \mathrm { c } } C _ { i } - \delta _ { i } - \gamma _ { i } V ) } \\ { \ge ~ } & { 0 } \\ { \frac { \partial ( g ( t ) + V f ( t ) ) } { \partial c _ { i } ( t ) } ~ \ge ~ } & { V ( p _ { i } ^ { \mathrm { s } } ( t ) + \beta _ { i } ) } \\ & { + \eta _ { \mathrm { c } } ( \overline { { B } } _ { i } - \eta _ { \mathrm { c } } C _ { i } - \delta _ { i } - \gamma _ { i } V ) } \\ { \ge ~ } & { 0 } \end{array}
\sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \left\Vert \nabla _ { H ^ { 1 } } ^ { \mathcal { R } } E ( u _ { n } ) \right\Vert _ { H _ { 0 } ^ { 1 } ( \Omega ) } ^ { 2 } \leq \frac { 2 } { \alpha _ { \operatorname* { m i n } } } \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } ( E ( u _ { n } ) - E ( u _ { n + 1 } ) ) \leq \frac { 2 E ( u _ { 0 } ) } { \alpha _ { \operatorname* { m i n } } } < \infty ,
\begin{array} { r l } & { \Vert I _ { n } ( \tilde { f _ { n } } ( \cdot , t , x ) ) - I _ { n } ( \tilde { f _ { n } } ( \cdot , t , y ) ) \Vert _ { 2 } ^ { 2 } } \\ { = } & { n ! \Vert \tilde { f _ { n } } ( \cdot , t , x ) - \tilde { f _ { n } } ( \cdot , t , y ) \Vert _ { \mathcal { H } ^ { \otimes n } } ^ { 2 } } \\ { \leq } & { ( n ! ) ^ { 2 H _ { 0 } - 1 } J _ { 0 } ^ { 2 } ( T ) C ^ { n } \lambda ^ { 2 n } \bigg ( \int _ { T _ { n } ( t ) } \bigg ( \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } \prod _ { j = 1 } ^ { n } | \mathcal { F } Y ( s _ { j + 1 } - s _ { j } , \cdot ) ( \xi _ { 1 } + \xi _ { 2 } + \dots + \xi _ { j } ) | ^ { 2 } | \xi _ { j } | ^ { 1 - 2 H } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \times | e ^ { - i ( \xi _ { 1 } + \dots + \xi _ { n } ) ( x - y ) } - 1 | ^ { 2 } \ensuremath { \mathrm { d } } \boldsymbol \xi \bigg ) ^ { \frac { 1 } { 2 H _ { 0 } } } \ensuremath { \mathrm { d } } \mathbf { s } \bigg ) ^ { 2 H _ { 0 } } } \\ { \leq } & { ( n ! ) ^ { 2 H _ { 0 } - 1 } J _ { 0 } ^ { 2 } ( T ) C ^ { n } \lambda ^ { 2 n } \bigg ( \int _ { T _ { n } ( t ) } \bigg ( \int _ { \mathbb { R } ^ { n } } \prod _ { j = 1 } ^ { n } | \mathcal { F } Y ( s _ { j + 1 } - s _ { j } , \cdot ) ( \eta _ { j } ) | ^ { 2 } | \eta _ { j } - \eta _ { j - 1 } | ^ { 1 - 2 H } } \\ & { \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \times | e ^ { - i \eta _ { n } ( x - y ) } - 1 | ^ { 2 } \ensuremath { \mathrm { d } } \boldsymbol \eta \bigg ) ^ { \frac { 1 } { 2 H _ { 0 } } } \ensuremath { \mathrm { d } } \mathbf { s } \bigg ) ^ { 2 H _ { 0 } } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { J } } & { { } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { } & { 1 } \\ { - \omega _ { 0 } ^ { 2 } } & { } & { - 1 / { \tau _ { v } } } \end{array} \right) , } \\ { \mathcal { B } } & { { } = \left( \begin{array} { l l l } { 0 } & { } & { 0 } \\ { 0 } & { } & { \sigma _ { v } \sqrt { 2 / \tau _ { v } } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \operatorname* { m a x } _ { E , x } \operatorname* { m i n } _ { v , l } { g _ { i } ( v ) } \le f _ { i } } \\ { s . t . ~ ~ A p + B q + C t ( v , l ) = b ~ ~ ( \alpha _ { i } ) } \\ { D v + E l = d ~ ~ ( \beta _ { i } ) } \\ { v e c ( E ) = e + J x ~ ~ ( \eta _ { i } ) } \\ { | | x | | \le \gamma ~ ~ ( \delta _ { i } ) } \end{array}
\psi _ { n } ( Y ) \sim \left\{ \begin{array} { r l } { \bigg [ Q _ { 0 } ^ { ( \lambda _ { n } ) } ( Y ) \log ^ { 2 } { ( n ) } + Q _ { 1 } ^ { ( \lambda _ { n } ) } ( Y ) \log ( n ) + Q _ { 2 } ^ { ( \lambda _ { n } ) } ( Y ) \bigg ] } & { { } \Gamma \Big ( \frac { n - 1 } { 2 } \Big ) \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ n ~ e ~ v ~ e ~ n ~ , ~ } } \\ { \bigg [ R _ { 1 } ^ { ( \lambda _ { n } ) } ( Y ) \log ( n ) + R _ { 2 } ^ { ( \lambda _ { n } ) } ( Y ) \bigg ] } & { { } \Gamma \Big ( \frac { n } { 2 } \Big ) \quad \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ n ~ o ~ d ~ d ~ . ~ } } \end{array} \right.
[ \frac { \partial ^ { 2 } } { \partial \phi ^ { 2 } } ( V _ { 1 } ^ { \beta } - V _ { 1 } ) ] _ { \phi = 0 } = \frac { \zeta ( 3 ) } { 4 \pi ^ { 2 } \beta ^ { 3 } } \frac { \lambda } { \sigma ^ { 1 / 2 } } , ~ ~ ( T \to \infty , \beta \to 0 )
\begin{array} { r l r } { P _ { x } ^ { \mathrm { N L } } } & { = } & { 2 \varepsilon _ { 0 } [ d _ { 3 1 } ( E _ { 1 x } E _ { 2 z } + E _ { 1 z } E _ { 2 x } ) - d _ { 2 2 } ( E _ { 1 y } E _ { 2 x } + E _ { 1 x } E _ { 2 y } ) ] , } \\ { P _ { y } ^ { \mathrm { N L } } } & { = } & { 2 \varepsilon _ { 0 } [ d _ { 3 1 } ( E _ { 1 y } E _ { 2 z } + E _ { 1 z } E _ { 2 y } ) + d _ { 2 2 } ( E _ { 1 y } E _ { 2 y } - E _ { 1 x } E _ { 2 x } ) ] , } \\ { P _ { z } ^ { \mathrm { N L } } } & { = } & { 2 \varepsilon _ { 0 } [ d _ { 3 3 } E _ { 1 z } E _ { 2 z } + d _ { 3 1 } ( E _ { 1 y } E _ { 2 y } + E _ { 1 x } E _ { 2 x } ) ] , } \end{array}
\delta \Phi = - \frac { i } { 4 8 } { \bar { D } } ^ { 4 } D ^ { { \mathbf i } { \mathbf j } } ( L _ { { \mathbf i } { \mathbf j } } \Phi ) + \frac { i } { 4 8 } { \bar { D } } ^ { 4 } ( L _ { { \mathbf i } { \mathbf j } } D ^ { { \mathbf i } { \mathbf j } } \Phi ) \ .
I _ { E } = { \frac { 1 } { 1 6 \pi G _ { D } } } \int d ^ { D } x \ \omega _ { d - 1 } e ^ { \varphi } \left\{ 2 \varphi ^ { \prime \prime } + { \varphi ^ { \prime } } ^ { 2 } + 2 ( \ln F ) ^ { \prime \prime } + { ( \ln B ) ^ { \prime } } ^ { 2 } + \sum _ { i } { ( \ln C _ { i } ) ^ { \prime } } ^ { 2 } - { ( \ln F ) ^ { \prime } } ^ { 2 } \right.
\mathbf { x } ^ { ( t + 1 ) } = \bar { \mu } \, \big ( 1 + \sigma _ { \lambda } ( \mathbf { x } ^ { ( 0 ) } ) \big ) \cdot \mathbf { 1 } + \mathbf { r } ^ { ( t ) } + \mathcal { R } _ { \lambda } ^ { ( t ) } ( \mathbf { x } ^ { ( 1 ) } ) ,
r ( x ) \approx \frac { \sum _ { i = 1 } ^ { m + 1 } a _ { i } x ^ { i - 1 } } { \sum _ { j = 1 } ^ { m + 1 } b _ { j } x ^ { j - 1 } } = \frac { a _ { m + 1 } \prod _ { i = 1 } ^ { m } ( x - c _ { i } ) } { b _ { m + 1 } \prod _ { j = 1 } ^ { m } ( x - d _ { j } ) } \, .
\begin{array} { r l } { u } & { \in C ( [ 0 , \infty ) ; L ^ { 2 } ( \mathbb { T } ^ { d } ; { \mathbb R } ^ { 2 } ) ) } \\ { u } & { \in H _ { \mathrm { l o c } } ^ { \theta , r } ( 0 , \infty ; H ^ { 1 - 2 \theta , \zeta } ( \mathbb { T } ^ { d } ; { \mathbb R } ^ { 2 } ) ) \ \mathrm { f o r ~ a l l ~ } \theta \in [ 0 , 1 / 2 ) , \ r , \zeta \in ( 2 , \infty ) , } \\ { u } & { \in C _ { \mathrm { l o c } } ^ { \theta _ { 1 } , \theta _ { 2 } } ( ( 0 , \infty ) \times \mathbb { T } ^ { d } ; { \mathbb R } ^ { 2 } ) \ \mathrm { f o r ~ a l l ~ } \theta _ { 1 } \in [ 0 , 1 / 2 ) , \ \theta _ { 2 } \in ( 0 , 1 ) . } \end{array}
{ \frac { \partial f } { \partial \mathbf { S } } } : \mathbf { T } = \left( { \frac { \partial f _ { 1 } } { \partial \mathbf { S } } } : \mathbf { T } \right) ~ f _ { 2 } ( \mathbf { S } ) + f _ { 1 } ( \mathbf { S } ) ~ \left( { \frac { \partial f _ { 2 } } { \partial \mathbf { S } } } : \mathbf { T } \right) .
\mathcal { D } _ { E } = \mathrm { I d } + O \left[ \begin{array} { c c c c } { \epsilon } & { \epsilon ^ { 2 } } & { \beta ^ { 3 } } & { \frac { 1 } { \beta \chi } } \\ { \chi } & { \epsilon ^ { 2 } \chi } & { \beta ^ { 3 } \chi } & { \frac { 1 } { \beta } } \\ { \frac { 1 } { \beta ^ { 2 } \chi } } & { \frac { \epsilon ^ { 2 } } { \beta ^ { 2 } \chi } } & { \frac { 1 } { \beta \chi } } & { \frac { 1 } { \beta ^ { 3 } \chi ^ { 2 } } } \\ { \beta ^ { 3 } \chi } & { \beta ^ { 3 } \epsilon ^ { 2 } \chi } & { \beta ^ { 4 } \chi } & { \beta ^ { 2 } } \end{array} \right] .
\begin{array} { r l r } & { } & { \big ( a _ { i - 1 } - { ( K _ { n } ^ { - 1 } K _ { n + 1 } ) } _ { i , i - 1 } \big ) \xi ( n + 1 , i - 1 , n + i ) } \\ & { } & { - ( \nu + n + i + 1 ) \Big ( a _ { i - 1 } \xi ( n + 1 , i - 1 , n + i ) + \frac { ( G ( n + 1 ) ) _ { i , i } } { n + 1 + \nu + i } \xi ( n , i , n + i ) \Big ) } \\ & { } & { = ( n + 1 + \nu + i ) \xi ( n , i , n + i ) } \\ & { } & { + { I ( n ) } _ { i , i + 1 } ( n + 1 + \nu + i ) \Big ( a _ { i } \xi ( n , i , n + i ) + \frac { ( G ( n ) ) _ { i + 1 , i + 1 } } { n + \nu + i + 1 } \xi ( n - 1 , i + 1 , n + i ) \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { E _ { 1 } : } & { { } { \mathrm { ~ } } y ^ { 2 } = x ^ { 3 } - 2 5 x } \\ { E _ { 2 } : } & { { } { \mathrm { ~ } } y ^ { 2 } = x ^ { 3 } - 4 x } \end{array}
\begin{array} { r l r } & { } & { \Theta _ { j } \left[ \begin{array} { c } { \underline { { \mathrm { v e c } } } ( P _ { j } ^ { 0 } ) } \\ { \vdots } \\ { \underline { { \mathrm { v e c } } } ( P _ { j } ^ { d } ) } \\ { \mathrm { v e c } ( B ^ { \prime } P _ { j } ^ { d } A ) } \\ { \underline { { \mathrm { v e c } } } ( B ^ { \prime } P _ { j } ^ { d } B + \bar { B } ^ { \prime } P _ { j } ^ { 0 } \bar { B } ) } \end{array} \right] = \Gamma _ { j } , } \\ & { } & { \Theta _ { j } = \left[ \begin{array} { l l l l } { z _ { d , j } ^ { \prime } } & { z _ { d + 1 , j } ^ { \prime } } & { \cdots } & { z _ { d + l , j } ^ { \prime } } \end{array} \right] ^ { \prime } , } \\ & { } & { \Gamma _ { j } = \left[ \begin{array} { l l l l } { r _ { d , j } } & { r _ { d + 1 , j } } & { \cdots } & { r _ { d + l , j } } \end{array} \right] ^ { \prime } } \end{array}
\psi ^ { ( + ) } \stackrel { r \sim 0 } { \rightarrow } \left[ c _ { 1 } \; r ^ { \left( { \frac { 7 } { 4 } } \right) } \left( 1 + { \cal O } ( r ) \right) \, \, + \, c _ { 2 } \; r ^ { \left( - { \frac { 3 } { 4 } } \right) } \left( 1 + { \cal O } ( r ) \right) \, \right] .
{ \cal M } _ { l } = \left[ \begin{array} { c c c } { { h _ { 1 } v _ { 1 } } } & { { h _ { 2 } v _ { 1 } } } & { { h _ { 3 } v _ { 1 } } } \\ { { h _ { 1 } v _ { 2 } } } & { { h _ { 2 } \omega v _ { 2 } } } & { { h _ { 3 } \omega ^ { 2 } v _ { 2 } } } \\ { { h _ { 1 } v _ { 3 } } } & { { h _ { 2 } \omega ^ { 2 } v _ { 3 } } } & { { h _ { 3 } \omega v _ { 3 } } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l } { \rho _ { \mathrm { N H _ { 3 } } } } & { { } = \left( \mathbf { 1 } _ { 1 } \otimes \left( \begin{array} { l l } { 1 } & { 0 } \end{array} \right) \otimes \mathbf { 1 } _ { 3 } \right) \rho _ { \mathrm { N H _ { 4 } } } \left( \mathbf { 1 } _ { 1 } \otimes \left( \begin{array} { l } { 1 } \\ { 0 } \end{array} \right) \otimes \mathbf { 1 } _ { 3 } \right) } \end{array}
\begin{array} { r l } { Q _ { s } \ = \ } & { { } \left( \ \frac { w } { \alpha } + ( 1 - w ) Q _ { g } \ \right) ^ { 2 } } \\ { \ = \ } & { { } \frac { w ^ { 2 } } { \alpha ^ { 2 } } + 2 \frac { w ( 1 - w ) } { \alpha } Q _ { g } + ( 1 - w ) ^ { 2 } Q _ { g } ^ { 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { S [ U ] } & { = - \! \int \! d ^ { 2 } r \! \Big [ \frac { \sigma } { 8 \pi s } \mathrm { t r } ( U ^ { - 1 } \nabla U ) ^ { 2 } + \frac { \kappa } { 8 \pi s } ( \mathrm { t r } U ^ { - 1 } \nabla U ) ^ { 2 } } \\ & { \quad + i \frac { \pi \rho _ { 0 } } { 2 s } \, \varepsilon \, \mathrm { t r } ( U + U ^ { - 1 } ) \Big ] , } \end{array}
h _ { \lambda } ( z ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { ( 1 - t ) ^ { 2 } h _ { 2 } \left( \frac { c _ { 0 , 1 } t } { c _ { 0 , 2 } \lambda } \right) f _ { Z } \left( \frac { c _ { 0 , 1 } t } { c _ { 0 , 2 } \lambda } \right) } { \int _ { 0 } ^ { 1 } ( 1 - s ) ^ { 2 } h _ { 2 } \left( \frac { c _ { 0 , 1 } s } { c _ { 0 , 2 } \lambda } \right) f _ { Z } \left( \frac { c _ { 0 , 1 } s } { c _ { 0 , 2 } \lambda } \right) \, d s } , } & { \mathrm { i f } \; \; 0 < t < 1 } \\ { 0 , } & { \mathrm { o t h e r w i s e } } \end{array} \right. , \; \; \lambda \geq 1 .
E = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } d \phi \, r \left\{ \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \frac { \partial f ^ { * } } { \partial \phi } \frac { \partial f } { \partial \phi } - \mu ^ { 2 } f ^ { * } f + \lambda ( f ^ { * } f ) ^ { 2 } \right\} = 2 \pi r \left\{ \frac { 1 } { r ^ { 2 } } \alpha ^ { 2 } v ^ { 2 } - \mu ^ { 2 } v ^ { 2 } + \lambda v ^ { 4 } \right\} .
\begin{array} { r l } & { \lambda _ { 2 , 5 } ( \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 1 , 2 , 5 , 6 } } - \frac { 1 } { \chi - 2 } ( \lambda _ { u , v } ( \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { u , v , 1 , 2 } } ) \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 5 , 6 } } + \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 1 , 2 } } \lambda _ { u , v } ( \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { u , v , 5 , 6 } } ) ) + \frac { 1 } { \chi ( \chi - 2 ) } ( \kappa _ { e ^ { 2 } } \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 1 , 2 } } \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 5 , 6 } } ) ) } \\ & { = \lambda _ { 2 , 5 } ( \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 1 , 2 , 5 , 6 } } ) - \frac { 2 } { \chi - 2 } \lambda _ { u , v } ( \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { u , v , 1 , 6 } } ) + \frac { 1 } { \chi ( \chi - 2 ) } \kappa _ { e ^ { 2 } } \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 1 , 6 } } } \\ & { = \frac { \chi - 4 } { \chi - 2 } \lambda _ { 2 , 5 } ( \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 1 , 2 , 5 , 6 } } ) + \frac { 1 } { \chi ( \chi - 2 ) } \kappa _ { e ^ { 2 } } \kappa _ { \bar { \epsilon } ^ { 1 , 6 } } } \end{array}
= \frac { \left\langle \Psi \left| H ^ { S c h w . } - H ^ { F l a t } \right| \Psi \right\rangle } { \left\langle \Psi | \Psi \right\rangle } + \frac { \left\langle \Psi \left| H _ { q u a s i l o c a l } \right| \Psi \right\rangle } { \left\langle \Psi | \Psi \right\rangle } .
\varepsilon _ { \alpha + 1 } = \operatorname* { s u p } \{ \varepsilon _ { \alpha } + 1 , \omega ^ { \varepsilon _ { \alpha } + 1 } , \omega ^ { \omega ^ { \varepsilon _ { \alpha } + 1 } } , \dots \} = \operatorname* { s u p } \{ 0 , 1 , \varepsilon _ { \alpha } , \varepsilon _ { \alpha } ^ { \varepsilon _ { \alpha } } , \varepsilon _ { \alpha } ^ { \varepsilon _ { \alpha } ^ { \varepsilon _ { \alpha } } } , \dots \}
\begin{array} { r } { \gamma ^ { 1 } = \nabla _ { b } \tilde { \phi } _ { 1 } ( \tilde { b } _ { 1 } ) = \left( \begin{array} { l l } { \tilde { \phi } _ { 1 } ^ { \prime } ( \tilde { b } _ { 1 } ) } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } \end{array} \right) \; , \quad \quad \mathrm { ~ a n d ~ } \quad \quad \gamma ^ { 2 } = \nabla _ { b } \tilde { \phi } _ { 2 } ( \tilde { b } _ { 2 } ) = \left( \begin{array} { l l } { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { \tilde { \phi } _ { 2 } ^ { \prime } ( \tilde { b } _ { 2 } ) } \end{array} \right) \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathbf { E _ { \mathrm { t o t a l } } } ( \mathbf { r } ) } & { = E _ { 0 } \sum _ { \tau , n , m } \mathcal { S } _ { \tau n m } \bigg [ \frac { 1 } { 2 \pi } \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \bigg ( \frac { 1 } { k _ { z } k } e ^ { \mathrm { i } m \alpha } B _ { \tau n m j } ( \pm k _ { z } / k ) \Phi _ { j } ^ { \pm } ( \kappa , \alpha | \mathrm { r } ) \bigg ) \mathrm { d } ^ { 2 } \mathbf { k } _ { | | } \bigg ] } \\ & { = E _ { 0 } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \bigg ( \sum _ { \tau , n , m } \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 \pi k _ { z } k } e ^ { \mathrm { i } m \alpha } \mathcal { S } _ { \tau n m } B _ { \tau n m j } ( \pm k _ { z } / k ) \Phi _ { j } ^ { \pm } ( \kappa , \alpha | \mathrm { r } ) \bigg ) \mathrm { d } ^ { 2 } \mathbf { k } _ { | | } } \\ & { = E _ { 0 } \int _ { \mathbb { R } ^ { 2 } } \bigg ( \sum _ { j = 1 } ^ { 2 } \mathcal { P } _ { j } ^ { \pm } ( \kappa , \alpha ) \Phi _ { j } ^ { \pm } ( \kappa , \alpha | \mathrm { r } ) \bigg ) \mathrm { d } ^ { 2 } \mathbf { k } _ { | | } , } \end{array}
\Phi _ { A A ^ { \prime } } ^ { c c ^ { \prime } \{ Q \} } ( \vec { q } _ { 1 } , \vec { q } ; s _ { 0 } ) = \left( \frac { s _ { 0 } } { \vec { q } _ { 1 } ^ { \: 2 } } \right) ^ { \omega ( - \vec { q } _ { 1 } ^ { ~ 2 } ) / 2 } \left( \frac { s _ { 0 } } { \vec { q } _ { 1 } ^ { \: \prime \: 2 } } \right) ^ { \omega ( - \vec { q } _ { 1 } ^ { \: \prime \: 2 } ) / 2 } \sum _ { \lambda _ { Q } } \Gamma _ { Q A } ^ { c } \left( \Gamma _ { Q A ^ { \prime } } ^ { c ^ { \prime } } \right) ^ { * } \; ,