harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
{ \begin{array} { r l } { s } & { = { \frac { 1 } { T } } \ln ( z ) } \\ & { = { \frac { 2 } { T } } \left[ { \frac { z - 1 } { z + 1 } } + { \frac { 1 } { 3 } } \left( { \frac { z - 1 } { z + 1 } } \right) ^ { 3 } + { \frac { 1 } { 5 } } \left( { \frac { z - 1 } { z + 1 } } \right) ^ { 5 } + { \frac { 1 } { 7 } } \left( { \frac { z - 1 } { z + 1 } } \right) ^ { 7 } + \cdots \right] } \\ & { \approx { \frac { 2 } { T } } { \frac { z - 1 } { z + 1 } } } \\ & { = { \frac { 2 } { T } } { \frac { 1 - z ^ { - 1 } } { 1 + z ^ { - 1 } } } } \end{array} }
\sigma _ { \mathrm { s t r i n g } } ^ { ( \mathrm { o p e n } ) } ( D ) = A ( D ) \beta _ { H } ^ { - \frac { ( D + 1 ) } { 2 } } \: r _ { S } ^ { D - 2 } \: \left( \frac { c ^ { 2 } \beta _ { S } } { b } \right) ^ { - \frac { ( D - 3 ) } { 2 } } \: \cdot \: \lbrace \frac { \beta _ { H } } { \beta _ { H } - \beta _ { S } } \: e ^ { - ( \beta _ { H } - \beta _ { S } ) c ^ { 2 } m _ { 0 } } \: - \: E _ { i } \left( - ( \beta _ { H } - \beta _ { S } ) c ^ { 2 } m _ { 0 } \right) \rbrace
\left\vert \psi ( t ) \right\rangle = \sqrt { 1 - \gamma ^ { 2 } } e ^ { \gamma \beta ( t ) \hat { \sigma } \hat { b } _ { 1 } ^ { \dagger } } e ^ { \gamma \hat { b } _ { 1 } ^ { \dagger } \hat { b } _ { 2 } ^ { \dagger } } e ^ { \beta ( t ) \hat { \sigma } \hat { b } _ { 2 } } \left\vert 0 _ { R } \right\rangle \left\vert A \right\rangle ,
\alpha : = \frac { \varepsilon _ { S S l } K _ { M } } { K _ { M } + s _ { 0 } } ( 1 - \varepsilon _ { S S l } ) \cdot \log \left( \frac { k _ { 1 } K _ { M } } { \varepsilon _ { S S l } k _ { 2 } } \right) < \varepsilon _ { S S l } \cdot \log \left( \frac { k _ { 1 } K _ { M } } { \varepsilon _ { S S l } k _ { 2 } } \right) .
\rho _ { \pm } ^ { * } = \frac { \Lambda - \tilde { \lambda } _ { 1 } - \lambda _ { 2 } \pm \sqrt { { ( \Lambda - \tilde { \lambda } _ { 1 } - \lambda _ { 2 } ) } ^ { 2 } - 4 ( \Lambda + \tilde { \Lambda } ) ( 1 - \tilde { \lambda } _ { 1 } ) } } { 2 ( \Lambda + \tilde { \Lambda } ) \, , }
\begin{array} { r l } { - \int _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } u _ { \tau } \omega } & { { } = - \int _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } u _ { \tau } \tau \cdot ( \tau \cdot \nabla ^ { \perp } ) u - \int _ { \gamma ^ { - } \cup \gamma ^ { + } } u _ { \tau } n \cdot ( n \cdot \nabla ^ { \perp } ) u } \end{array}
\begin{array} { r l } { \pmb { \Sigma } _ { \mathbf { x } \mathbf { x } } ( t _ { 0 } ) } & { { } = \left[ \begin{array} { l l l } { 1 0 ^ { 2 } \mathbf { I } ( \mathrm { ~ m ~ } ) ^ { 2 } } & { \mathbf { 0 } _ { 3 \times 3 } } & { \mathbf { 0 } _ { 3 \times 3 } } \\ { \mathbf { 0 } _ { 3 \times 3 } } & { 1 0 ^ { 2 } \mathbf { I } ( \mathrm { ~ m ~ m ~ / ~ s ~ } ) ^ { 2 } } & { \mathbf { 0 } _ { 3 \times 3 } } \\ { \mathbf { 0 } _ { 3 \times 3 } } & { \mathbf { 0 } _ { 3 \times 3 } } & { 1 ^ { 2 } \mathbf { I } ( \mu \mathrm { ~ m ~ / ~ s ~ } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \end{array} \right] , } \\ { \pmb { \Sigma } _ { \mathbf { f } \mathbf { f } } } & { { } = \left[ \begin{array} { l l l } { 0 . 1 ^ { 2 } \mathbf { I } ( \mathrm { ~ m ~ } ) ^ { 2 } } & { \mathbf { 0 } _ { 3 \times 3 } } & { \mathbf { 0 } _ { 3 \times 3 } } \\ { \mathbf { 0 } _ { 3 \times 3 } } & { 1 ^ { 2 } \mathbf { I } ( \mathrm { ~ m ~ m ~ / ~ s ~ } ) ^ { 2 } } & { \mathbf { 0 } _ { 3 \times 3 } } \\ { \mathbf { 0 } _ { 3 \times 3 } } & { \mathbf { 0 } _ { 3 \times 3 } } & { 2 ^ { 2 } \mathbf { I } ( \mu \mathrm { ~ m ~ / ~ s ~ } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \end{array} \right] . } \end{array}
\zeta _ { \mu } = \frac { 2 } { \kappa } ( \omega _ { 0 } - \omega _ { \mathrm { p } } + \frac { 1 } { 2 } D _ { 2 } \mu ^ { 2 } ) = \zeta _ { 0 } + \frac { D _ { 2 } } { \kappa } \mu ^ { 2 }
\frac { N ^ { 2 } } { \omega _ { d } ^ { 2 } } , ~ ~ ~ \frac { \nu } { r _ { 0 } ^ { 2 } \omega _ { d } } ~ ~ ~ \textrm { a n d } ~ ~ ~ \frac { \kappa } { r _ { 0 } ^ { 2 } \omega _ { d } } ~ ~ ~ \bigg ( \textrm { o r a l t e r n a t i v e l y } P r = \frac { \nu } { \kappa } \bigg ) ,
\frac { 1 - b \cos ^ { 2 } ( \psi ) } { \sqrt { ( b \cos ^ { 2 } ( \psi ) + a _ { 2 } ) b \cos ^ { 2 } ( \psi ) } } < \frac { 1 - b \cos ^ { 2 } ( \psi ) } { \sqrt { ( b \cos ^ { 2 } ( \psi ) + a _ { 1 } ) b \cos ^ { 2 } ( \psi ) } } .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial } { \partial x } _ { n _ { x } ^ { \prime } , n _ { y } ^ { \prime } , n _ { x } , n _ { y } } ^ { ( \pm ) } } & { { } = \int _ { S } u _ { n _ { x } ^ { \prime } , n _ { y } ^ { \prime } } ^ { \pm * } ( x , y ) \frac { \partial } { \partial x } u _ { n _ { x } , n _ { y } } ^ { \pm } ( x , y ) \, d x d y , } \\ { \frac { \partial } { \partial x } _ { n _ { x } ^ { \prime } , n _ { y } ^ { \prime } , n _ { x } , n _ { y } } ^ { ( \pm ) } } & { { } = \exp \left[ i \Psi _ { G } ( n _ { x } + n _ { y } - n _ { x } ^ { \prime } - n _ { y } ^ { \prime } ) \right] \times } \\ { \int _ { S } \left( \psi _ { n _ { x } ^ { \prime } , n _ { y } ^ { \prime } } ^ { * \mathrm { H O } } ( x , y ) \frac { \partial } { \partial x } \psi _ { n _ { x } , n _ { y } } ^ { \mathrm { H O } } ( x , y ) \right) } & { { } + \left( \psi _ { n _ { x } ^ { \prime } , n _ { y } ^ { \prime } } ^ { * \mathrm { H O } } ( x , y ) \left( \mp i k \frac { x } { R } \right) \psi _ { n _ { x } , n _ { y } } ^ { \mathrm { H O } } ( x , y ) \right) \, d x d y , } \\ { \frac { \partial } { \partial x } ^ { ( \pm ) } } & { { } = ( U _ { G } ^ { ( \pm ) } ) ^ { \dag } \left( \frac { \partial } { \partial x } ^ { \mathrm { H O } } \mp \frac { i k } { R } x ^ { \mathrm { H O } } \right) U _ { G } ^ { ( \pm ) } , } \end{array}
H = - t \sum _ { \langle i , j \rangle } ( \hat { a } _ { i } ^ { \dag } \hat { a } _ { j } + \mathrm { h . c . } ) - \sum _ { i } \mu _ { i } \hat { n } _ { i } + \sum _ { i < j } V _ { i , j } \hat { n } _ { i } \hat { n } _ { j } .
\begin{array} { r l r } { \langle { \bf r } \big | \Psi _ { F , m _ { F } } ^ { ( \nu ) } \big \rangle } & { { } = } & { \sum _ { m _ { J } , m _ { F } } \big \langle \frac { 1 } { 2 } , m _ { J } ; \, I , m _ { I } \big | F , m _ { F } \big \rangle } \end{array}
\dot { \sigma } ^ { y _ { 1 } } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { y _ { 1 } , y _ { 1 } ^ { \prime } , x } J _ { y _ { 1 } ^ { \prime } y _ { 1 } } ^ { x } \mathrm { l n } \frac { W _ { y _ { 1 } ^ { \prime } y _ { 1 } } ^ { x } p \left( y _ { 1 } ^ { \prime } , x \right) } { W _ { y _ { 1 } y _ { 1 } ^ { \prime } } ^ { x } p \left( y _ { 1 } , x \right) } ,
\left( \begin{array} { c } { E _ { x } } \\ { H _ { y } } \\ { E _ { y } } \\ { H _ { x } } \end{array} \right) = \gamma _ { 1 } ^ { + } \vec { v } _ { 1 } ^ { + } + \gamma _ { 1 } ^ { - } \vec { v } _ { 1 } ^ { - } + \gamma _ { 2 } ^ { + } \vec { v } _ { 2 } ^ { + } + \gamma _ { 2 } ^ { - } \vec { v } _ { 2 } ^ { - }
\begin{array} { r l r } { { \hat { H } } _ { e f f } ^ { ( 1 ) } } & { = } & { 2 \, \delta _ { 1 } s _ { 1 } \left( \frac { 2 } { 3 } { \hat { P } } ^ { ( g _ { 1 } ) } - \frac { 1 } { 3 } \sin ( 2 k z + \Delta \phi ) \, \frac { { \hat { F } } } { F _ { g _ { 1 } } } \right) \, , } \\ { { \hat { H } } _ { e f f } ^ { ( 2 ) } } & { = } & { 2 \, \delta _ { 2 } s _ { 2 } \left( \frac { 1 } { 3 } { \hat { P } } ^ { ( g _ { 2 } ) } - \frac { 1 } { 9 } \sin ( 2 k z ) \, \frac { { \hat { F } } } { F _ { g _ { 2 } } } \right) \, . } \end{array}
\sum _ { j } \left( \alpha _ { i j } B _ { \left( n _ { j } + 1 \right) \left( l \right) } + \beta _ { i j } B _ { \left( n \right) \left( l _ { j } - 1 \right) } \right) = 0 , \mathrm { a l l ~ } \left( n \right) , \left( l \right)
t _ { 2 } = R C \ln \left( \frac { C V _ { 0 } \frac { 1 } { R } } { \frac { 1 } { 2 } I ( 0 ) } \right) = R C \ln \left( \frac { 5 \cdot 1 0 ^ { - 6 } \cdot 5 } { \frac { 1 } { 2 } \cdot 5 \cdot 1 0 ^ { 6 } } \right) = R C \ln \left( \frac { 5 } { \frac { 1 } { 2 } } \right) = R C \ln 1 0
\sqrt { \frac { 2 } { L } } \sin k _ { \nu } x \; \; , \; \; \sqrt { \frac { 2 } { L } } \cos k _ { \nu } x \; \; , \; \; k _ { \nu } = \frac { 2 \pi \nu } { L } \; \; , \; \; \omega _ { \nu } = v k _ { \nu } \; \; \; , \; \; \nu = 1 , 2 , . . .
\begin{array} { r l } { { \mathbb { E } } _ { \mu } ( h \circ \phi ^ { j _ { 1 } } \, h \circ \phi ^ { j _ { 2 } } \, \cdots \, h \circ \phi ^ { j _ { k } } ) } & { = { \mathbb { E } } _ { \lambda _ { I } } ( h \circ \xi \circ \psi ^ { j _ { 1 } } \, h \circ \xi \circ \psi ^ { j _ { 2 } } \, \cdots \, h \circ \xi \circ \psi ^ { j _ { k } } ) } \\ & { = { \mathbb { E } } _ { \lambda _ { I } } ( \chi \circ \psi ^ { j _ { 1 } } \, \chi \circ \psi ^ { j _ { 2 } } \, \cdots \, \chi \circ \psi ^ { j _ { k } } ) } \end{array}
\gamma _ { \mathrm { l a d d e r } } ^ { R E S } ( \omega , \alpha _ { s } ) = { \frac { \omega } { 2 } } \left( 1 - \sqrt { 1 - { \frac { 2 \alpha _ { s } { \bf M _ { 0 } } } { \pi \omega ^ { 2 } } } } \right) \; .
\begin{array} { r l } { I _ { 1 } } & { = ( n - 1 ) ( - n \widetilde { \Omega } ^ { n - 1 } \wedge \overline { { \partial } } \Omega _ { h } + \overline { { \partial } } e ^ { f } \wedge \Omega ^ { n } ) \wedge \overline { { \partial _ { J } } } u \wedge \overline { { \Omega } } { \mathstrut } ^ { n - 1 } , } \\ { I _ { 2 } } & { = ( n - 1 ) ( n \widetilde { \Omega } ^ { n - 1 } \wedge \overline { { \partial _ { J } } } \Omega _ { h } - \overline { { \partial _ { J } } } e ^ { f } \wedge \Omega ^ { n } ) \wedge \overline { { \partial } } u \wedge \overline { { \Omega } } { \mathstrut } ^ { n - 1 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { f _ { e } ( \mathrm { w } _ { \tau } , \psi , \zeta ) } & { = \frac { \mathrm { w } _ { \tau } ( e ) 2 ^ { k ( \overline { { \zeta _ { \tau } } } ) + k ^ { 1 } ( \overline { { \zeta _ { \tau \tau ^ { \prime } } } } ) } } { 2 ^ { k ( \underline { { \zeta _ { \tau } } } ) + k ^ { 1 } ( \underline { { \zeta _ { \tau \tau ^ { \prime } } } } ) } + \mathrm { w } _ { \tau \tau ^ { \prime } } ( e ) 2 ^ { k ( \underline { { \zeta _ { \tau } } } ) + k ^ { 1 } ( \overline { { \zeta _ { \tau \tau ^ { \prime } } } } ) } + \mathrm { w } _ { \tau } ( e ) 2 ^ { k ( \overline { { \zeta _ { \tau } } } ) + k ^ { 1 } ( \overline { { \zeta _ { \tau \tau ^ { \prime } } } } ) } } } \\ & { = \left( \frac { 2 ^ { k ( \underline { { \zeta _ { \tau } } } ) - k ( \overline { { \zeta _ { \tau } } } ) } ( 2 ^ { k ^ { 1 } ( \underline { { \zeta _ { \tau \tau ^ { \prime } } } } ) - k ^ { 1 } ( \overline { { \zeta _ { \tau \tau ^ { \prime } } } } ) } + \mathrm { w } _ { \tau \tau ^ { \prime } } ( e ) ) } { \mathrm { w } _ { \tau } ( e ) } + 1 \right) ^ { - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { \left[ t \frac { d ^ { 2 } } { d t ^ { 2 } } + ( m + 1 - t ) \frac { d } { d t } + ( n - m ) \right] ( - 1 ) ^ { m } \frac { d ^ { m } } { d t ^ { m } } L _ { n } ( t ) = 0 . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { T ^ { \mu \nu } } & { { } = } & { \mathcal { E } \, u ^ { \mu } u ^ { \nu } + \mathcal { P } _ { l } \, l ^ { \mu } l ^ { \nu } + \mathcal { P } _ { \perp } \, \Xi ^ { \mu \nu } + 2 \, M \, u ^ { \left( \mu \right. } l ^ { \left. \nu \right) } + 2 \, W _ { \perp u } ^ { \left( \mu \right. } u ^ { \left. \nu \right) } } \end{array}
{ \cal S } _ { i n v } = \left\{ \left\{ \begin{array} { l l } { { - \frac { 1 } { 4 } \int _ { M ^ { 4 } } d ^ { 4 } x \, ( F ^ { \mu \nu } F _ { \mu \nu } ) + { \cal S } _ { m a t } \qquad \qquad \mathrm { i n ~ Q E D ; } } } \\ { { - \frac { 1 } { 4 } \int _ { M ^ { 4 } } d ^ { 4 } x \, ( F ^ { a ~ \mu \nu } F _ { \mu \nu } ^ { a } ) + { \cal S } _ { m a t } \qquad \qquad \mathrm { i n ~ Y M ; } } } \\ { { \int _ { M ^ { 4 } } d ^ { 4 } x \, g ^ { \frac { 1 } { 2 } } ( \lambda - \frac { 1 } { 1 6 \pi G } R ) + { \cal S } _ { m a t } \qquad \qquad \mathrm { i n ~ Q G } , } } \end{array} \right. \right.
\left\langle \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } , . . . , \alpha _ { 2 N } , t \right| U _ { + } \left| \alpha _ { 1 } ^ { \prime } , \alpha _ { 2 } ^ { \prime } , . . . , \alpha _ { 2 N } ^ { \prime } , t \right\rangle = R _ { \alpha _ { 1 } \alpha _ { 2 } } ^ { \alpha _ { 1 } ^ { \prime } \alpha _ { 2 } ^ { \prime } } \: R _ { \alpha _ { 3 } \alpha _ { 4 } } ^ { \alpha _ { 3 } ^ { \prime } \alpha _ { 4 } ^ { \prime } } \: . . . \: R _ { \alpha _ { 2 N - 1 } \alpha _ { 2 N } } ^ { \alpha _ { 2 N - 1 } ^ { \prime } \alpha _ { 2 N } ^ { \prime } }
g ( z ) = \phi ( z ) \tilde { F } ( z ) - { \frac { 1 } { \pi } } \int _ { - 1 } ^ { z _ { + } } \! \mathrm { d } x \, { \frac { \phi ( x ) \, \mathrm { I m } \, \tilde { F } ( x ) } { x - z } } \, ,
\begin{array} { r l r l } & { | \tilde { d } _ { 1 , 0 } ( \zeta , t ) | = 1 , } & & { \zeta \in \mathcal { I } , \ t \geq 2 , } \\ & { | d _ { 1 , 1 } ( \zeta , k ) - 1 | \leq C | k - \omega k _ { 4 } | ( 1 + | \ln | k - \omega k _ { 4 } | | ) , } & & { \zeta \in \mathcal { I } , \ k \in \mathcal { X } _ { 1 } ^ { \epsilon } . } \end{array}
\begin{array} { r l } { D _ { z z } } & { { } = 1 - \frac { k _ { \perp } ^ { 2 } c ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } + 2 \sum _ { s } \frac { \omega _ { p s } ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } } \mu _ { s } ^ { - 1 } \frac { U _ { s } } { \alpha _ { \parallel s } } \left[ \frac { U _ { s } } { \alpha _ { \parallel s } } + 2 \xi _ { s } \right] } \end{array}
\Psi _ { v , \ell } ( q ) = ( - 1 ) ^ { ( v + | \ell | ) / 2 } N _ { v , \ell } q ^ { | \ell | } e ^ { - q ^ { 2 } / 2 } L _ { ( v + | \ell | ) / 2 } ^ { | \ell | } ( q ^ { 2 } )
\begin{array} { r l r } { \tilde { p } _ { n , \mathcal { M } } } & { = } & { P \left( \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq k _ { \theta , n } } \left\vert \sqrt { n } \mathcal { W } _ { n , i } \widehat { \tilde { \theta } } _ { 1 } \right\vert > \operatorname* { m a x } _ { 1 \leq i \leq k _ { \theta , n } } \left\vert \sqrt { n } \mathcal { W } _ { n , i } \left( \hat { \theta } _ { i } - \frac { c _ { i } } { \sqrt { n } } \right) + \mathcal { W } _ { i } c _ { i } \right\vert | \mathfrak { S } _ { n } \right) + o _ { p } ( 1 ) } \\ & { \equiv } & { \mathcal { P } _ { n } \left( \left\{ \mathcal { W } _ { i } c _ { i } \right\} _ { i = 1 } ^ { k _ { \theta , n } } \right) + o _ { p } ( 1 ) . } \end{array}
\{ \hat { x } _ { 0 } \hat { x } _ { 2 } , \ \hat { x } _ { 1 } \hat { x } _ { 3 } , \ \hat { x } _ { 0 } \hat { x } _ { 1 } \hat { x } _ { 2 } , \ \hat { x } _ { 1 } \hat { x } _ { 2 } \hat { x } _ { 3 } , \ \hat { x } _ { 0 } \hat { x } _ { 1 } \hat { x } _ { 2 } \hat { x } _ { 3 } \}
{ \begin{array} { r l } { { \big [ } n ] _ { q } ! } & { = [ 1 ] _ { q } \cdot [ 2 ] _ { q } \cdots [ n - 1 ] _ { q } \cdot [ n ] _ { q } } \\ & { = { \frac { 1 - q } { 1 - q } } \cdot { \frac { 1 - q ^ { 2 } } { 1 - q } } \cdots { \frac { 1 - q ^ { n - 1 } } { 1 - q } } \cdot { \frac { 1 - q ^ { n } } { 1 - q } } } \\ & { = 1 \cdot ( 1 + q ) \cdots ( 1 + q + \cdots + q ^ { n - 2 } ) \cdot ( 1 + q + \cdots + q ^ { n - 1 } ) . } \end{array} }
U _ { e f f } ( \lambda ) = \frac { \tau l _ { c } } { 6 } \mathrm { e } ^ { \varphi } \left[ N _ { w } ( t ) \, \mathrm { e } ^ { \lambda } + N _ { l } ( t ) \, \mathrm { e } ^ { - 3 \gamma \lambda } \right] .
\begin{array} { r l } { \frac { \partial L _ { \mathrm { s } } } { \partial l } } & { { } \approx \frac { \mu _ { 0 } } { 2 \pi } \left[ \ln \left( \frac { 2 l } { w } \right) + \frac { 3 } { 2 } \right] , } \\ { \frac { \partial L _ { \mathrm { s } } } { \partial w } } & { { } \approx - \frac { \mu _ { 0 } } { 2 \pi } \frac { l } { w } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left\Vert P _ { t - s } ^ { \mathrm { D i r } } ( u , \cdot ) \ast \mathcal Z _ { s } ( \cdot ) - d P _ { t } ^ { \mathrm { D i r } } ( u , 0 ) \right\Vert _ { 2 } } & { \leqslant \left\Vert \int _ { \mathbb R _ { + } } d v P _ { t - s } ^ { \mathrm { D i r } } ( u , v ) \left( \mathcal Z _ { s } ( v ) - d P _ { s } ^ { \mathrm { D i r } } ( v , 0 ) \right) \right\Vert _ { 2 } } \\ & { \leqslant \int _ { \mathbb R _ { + } } d v P _ { t - s } ^ { \mathrm { D i r } } ( u , v ) \left\Vert \mathcal Z _ { s } ( v ) - d P _ { s } ^ { \mathrm { D i r } } ( v , 0 ) \right\Vert _ { 2 } } \\ & { \leqslant \int _ { \mathbb R _ { + } } d v P _ { t - s } ^ { \mathrm { D i r } } ( u , v ) s ^ { 1 / 4 } d P _ { s } ^ { \mathrm { D i r } } ( v , 0 ) } \\ & { \leqslant s ^ { 1 / 4 } d P _ { t } ^ { \mathrm { D i r } } ( v , 0 ) } \end{array}
\alpha ( l ) = \underset { t \in \mathbb { Z } } { \operatorname* { s u p } } \, \alpha \left( \mathcal { F } _ { t } , \mathcal { G } _ { t + l } \right) , \quad \alpha \left( \mathcal { A } _ { 1 } , \mathcal { A } _ { 2 } \right) = \underset { A _ { 1 } \in \mathcal { A } _ { 1 } , A _ { 2 } \in \mathcal { A } _ { 2 } } { \operatorname* { s u p } } \left| \mathbb { P } ( A _ { 1 } \cap A _ { 2 } ) - \mathbb { P } ( A _ { 1 } ) \mathbb { P } ( A _ { 2 } ) \right| ,
\begin{array} { r } { \Delta \alpha _ { n } ^ { \mathrm { Q E D } } = \frac { 8 } { 3 \pi \, c } \Big ( \frac { 1 9 } { 3 0 } + 2 \ln c - \ln k _ { 0 } \Big ) \Delta \alpha _ { n } ^ { \mathrm { D 1 } } , } \end{array}
c _ { D } \left( \mu \right) = z ^ { - 2 C _ { A } } + \left( \frac { 2 0 } { 1 3 } + \frac { 3 2 } { 1 3 } \frac { C _ { F } } { C _ { A } } \right) \left[ 1 - z ^ { - 1 3 C _ { A } / 6 } \right] ,
\begin{array} { r l } { T = } & { \frac { 1 } { 2 } m _ { 1 } ( \dot { x } ^ { 1 } ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } ( m _ { 2 } + m _ { 3 } ) ( \dot { x } ^ { 2 } ) ^ { 2 } } \\ & { + \frac { 1 } { 2 } ( J _ { 3 } + m _ { 3 } l _ { 3 } ^ { 2 } ) ( \dot { x } ^ { 3 } ) ^ { 2 } + m _ { 3 } l _ { 3 } \cos x ^ { 3 } \dot { x } ^ { 2 } \dot { x } ^ { 3 } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { A } & { : = \frac { y _ { i } y _ { j } x ^ { 2 } } { \sum _ { k } ^ { m } y _ { k } + x } = \frac { y _ { i } y _ { j } x ^ { 2 } } { ( \sum _ { k } ^ { m } y _ { k } + 1 ) x } = \frac { y _ { i } y _ { j } x } { \sigma ^ { \prime } } ~ ~ \mathrm { ~ w h e r e ~ } ~ ~ \sigma ^ { \prime } : = \sum _ { k } ^ { m } y _ { k } + 1 } \\ { B } & { : = \frac { y _ { i } x ^ { 2 } } { \sigma ^ { \prime } x } = \frac { y _ { i } x } { \sigma ^ { \prime } } } \\ { C } & { : = \frac { y _ { j } x ^ { 2 } } { \sigma ^ { \prime } x } = \frac { y _ { j } x } { \sigma ^ { \prime } } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \int _ { - \infty } ^ { + \infty } \ldots \int _ { - \infty } ^ { + \infty } ( 1 - \varphi ) \sum _ { - i } [ v _ { j } - ( \hat { x } _ { 0 j } - \mu _ { j } ) ] ^ { 2 } } \\ & { \cdot \frac { 1 } { \sqrt { ( 2 \pi ) ^ { m } | { \Sigma } | } } \exp \bigg ( - \sum _ { j = 1 } ^ { m } \frac { v _ { j } ^ { 2 } } { 2 \sigma _ { j } ^ { 2 } } \bigg ) \left[ - \frac { v _ { i } } { \sigma _ { i } ^ { 2 } } \right] \mathrm { d } { v } = 0 , } \end{array}
\mathcal { A } _ { \alpha } f ( \varepsilon ^ { - 1 } ( \mathbf { x } - \mathbf { x } _ { 0 } ) ) = \frac { 4 ^ { \alpha } \Gamma ( 1 + \alpha ) } { \pi | \Gamma ( - \alpha ) | } \int _ { [ 0 , 1 ] \times [ 0 , 1 ] } \! \sum _ { \mathbf { m } \in \mathbb { Z } ^ { 2 } } \frac { f ( \varepsilon ^ { - 1 } ( \mathbf { y } - \mathbf { x } _ { 0 } ) ) - f ( \varepsilon ^ { - 1 } ( \mathbf { x } - \mathbf { x } _ { 0 } ) ) } { | \mathbf { x } - ( \mathbf { y } + \mathbf { m } ) | ^ { 2 + 2 \alpha } } \, d \mathbf { y } \, .
4 \left[ { \bf V } _ { \mathrm { ~ N ~ M ~ O ~ } } \right] ^ { - 2 } = \tau _ { 0 } \left. \frac { \partial ^ { 2 } \tau } { \partial { \bf x } _ { h } \partial { \bf x } _ { h } ^ { T } } \right| _ { ( { \bf 0 } , { \bf x } _ { 0 } ) } \, ,
\xi ^ { 2 } = \left( \frac { \varepsilon _ { 1 } - \varepsilon _ { 2 } } { \varepsilon _ { 1 } + \varepsilon _ { 2 } } \right) ^ { 2 } = \left( \frac { \mu _ { 1 } - \mu _ { 2 } } { \mu _ { 1 } + \mu _ { 2 } } \right) ^ { 2 } ,
\begin{array} { r l } { ( B _ { y } ) _ { i } ^ { n + \ensuremath { { \frac { 1 } { 2 } } } } } & { = ( B _ { y } ) _ { i } ^ { n - \ensuremath { { \frac { 1 } { 2 } } } } + \frac { \Delta t } { \Delta x } \left( ( E _ { z } ) _ { i + \ensuremath { { \frac { 1 } { 2 } } } } ^ { n } - ( E _ { z } ) _ { i - \ensuremath { { \frac { 1 } { 2 } } } } ^ { n } \right) , } \\ { ( B _ { z } ) _ { i } ^ { n + \ensuremath { { \frac { 1 } { 2 } } } } } & { = ( B _ { z } ) _ { i } ^ { n - \ensuremath { { \frac { 1 } { 2 } } } } - \frac { \Delta t } { \Delta x } \left( ( E _ { z } ) _ { i + \ensuremath { { \frac { 1 } { 2 } } } } ^ { n } - ( E _ { y } ) _ { i - \ensuremath { { \frac { 1 } { 2 } } } } ^ { n } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathbb { E } \| ( { \Psi } y ) ( t ) - ( \Psi y ^ { * } ) ( t ) \| ^ { 2 } } & { \leq } & { 3 \mathbb { E } \| { \cal T } _ { q } ( t - s _ { i } ) ( { \cal K } _ { i } ( s _ { i } , g _ { s _ { i } } + \bar { y } _ { s _ { i } } ) - { \cal K } _ { i } ( s _ { i } , g _ { s _ { i } } + \bar { y } _ { s _ { i } } ^ { * } ) ) \| ^ { 2 } \qquad \qquad \qquad } \\ & { } & { + 3 \mathbb { E } \left\| \int _ { s _ { i } } ^ { t } { \cal S } _ { q } ( t - e ) ( { \cal F } ( e , g _ { e } + \bar { y } _ { e } ) - { \cal F } ( e , g _ { e } + \bar { y } _ { e } ^ { * } ) ) d e \right\| ^ { 2 } } \\ & { } & { + 3 \mathbb { E } \left\| \int _ { s _ { i } } ^ { t } { \cal S } _ { q } ( t - e ) ( { \cal G } ( e , g _ { e } + \bar { y } _ { e } ) - { \cal G } ( e , g _ { e } + \bar { y } _ { e } ^ { * } ) ) d \hat { \cal W } ( e ) \right\| ^ { 2 } } \\ & { \leq } & { 3 { \cal M } _ { 1 } ^ { 2 } L _ { { \cal K } _ { i } } \varpi ^ { 2 } \| y - y ^ { * } \| _ { { \cal D } _ { T } ^ { 0 } } ^ { 2 } } \\ & { } & { + \frac { 3 { \cal M } _ { 2 } ^ { 2 } t _ { i + 1 } ^ { q } } { q } \int _ { s _ { i } } ^ { t } ( t - e ) ^ { q - 1 } N _ { \cal F } \| \bar { y } _ { e } - \bar { y } _ { e } ^ { * } \| _ { { \cal D } _ { h } } ^ { 2 } d e } \\ & { } & { + 3 { \cal M } _ { 2 } ^ { 2 } \int _ { s _ { i } } ^ { t } ( t - e ) ^ { 2 q - 2 } N _ { \cal G } \| \bar { y } _ { e } - \bar { y } _ { e } ^ { * } \| _ { { \cal D } _ { h } } ^ { 2 } d e } \\ & { \leq } & { 3 { \cal M } _ { 1 } ^ { 2 } L _ { { \cal K } _ { i } } \varpi ^ { 2 } \| y - y ^ { * } \| _ { { \cal D } _ { T } ^ { 0 } } ^ { 2 } } \\ & { } & { + \frac { 3 { \cal M } _ { 2 } ^ { 2 } t _ { i + 1 } ^ { q } } { q } \int _ { s _ { i } } ^ { t } ( t - e ) ^ { q - 1 } N _ { \cal F } \varpi ^ { 2 } \operatorname* { s u p } _ { e \in { \cal J } } \mathbb { E } \| y ( e ) - y ^ { * } ( e ) \| ^ { 2 } d e } \\ & { } & { + 3 { \cal M } _ { 2 } ^ { 2 } \int _ { s _ { i } } ^ { t } ( t - e ) ^ { 2 ( q - 1 ) } N _ { \cal G } \varpi ^ { 2 } \operatorname* { s u p } _ { e \in { \cal J } } \mathbb { E } \| y ( e ) - y ^ { * } ( e ) \| ^ { 2 } d e } \\ & { \leq } & { \left( 3 { \cal M } _ { 1 } ^ { 2 } L _ { { \cal K } _ { i } } \varpi ^ { 2 } + 3 { \cal M } _ { 2 } ^ { 2 } \varpi ^ { 2 } \left\{ \frac { N _ { \cal F } t _ { i + 1 } ^ { 2 q } } { q ^ { 2 } } + \frac { N _ { \cal G } t _ { i + 1 } ^ { 2 q - 1 } } { 2 q - 1 } \right\} \right) \| y - y ^ { * } \| _ { { \cal D } _ { T } ^ { 0 } } ^ { 2 } . } \end{array}
H _ { k } = \langle k | S _ { z } \sum _ { i } J _ { I } ^ { ( i ) } S _ { z } ^ { i } | k \rangle = S _ { z } \sum _ { i } J _ { I } ^ { ( i ) } \frac { ( - 1 ) ^ { k _ { i } } } { 2 } = \omega _ { k } S _ { z } ; \quad \omega _ { k } = \sum _ { i } \frac { ( - 1 ) ^ { k _ { i } } J _ { I } ^ { ( i ) } } { 2 } .
+ i \hbar ( V _ { A } ^ { D } U _ { D B } ^ { C } ( - 1 ) ^ { \varepsilon _ { B } } - ( A \leftrightarrow B ) ( - 1 ) ^ { \varepsilon _ { A } \varepsilon _ { B } } ) + [ U _ { A B } ^ { C } , \Omega ] ( - 1 ) ^ { \varepsilon _ { C } } = 0 ,
\begin{array} { r l } { \nabla _ { H } \left( \frac { X _ { 0 } f } { \left\| \nabla _ { H } f \right\| } \right) } & { = \nabla _ { H } \left( \frac { X _ { 0 } \delta + \delta X _ { 0 } h } { \left\| \nabla _ { H } \delta + \delta \nabla _ { H } h \right\| } \right) } \\ & { = \frac { \nabla _ { H } ( X _ { 0 } \delta ) + ( X _ { 0 } h ) \nabla _ { H } \delta } { \left\| \nabla _ { H } \delta + \delta \nabla _ { H } h \right\| } + ( X _ { 0 } \delta ) \nabla _ { H } \left( \frac { 1 } { \left\| \nabla _ { H } \delta + \delta \nabla _ { H } h \right\| } \right) . } \end{array}
\sum _ { a , b \in \{ i , j \} } q _ { s } ^ { a } q _ { s } ^ { b } = \sum _ { a ^ { \prime } , b ^ { \prime } \in \{ i ^ { \prime } , j ^ { \prime } \} } q _ { s } ^ { a ^ { \prime } } q _ { s } ^ { b ^ { \prime } }
\eta _ { L L } ^ { \nu u } = \eta _ { L L } ^ { e d } \; , \eta _ { L L } ^ { \nu d } = \eta _ { L L } ^ { e u } \; , \eta _ { L R } ^ { \nu u } = \eta _ { L R } ^ { e u } \; , \eta _ { L R } ^ { \nu d } = \eta _ { L R } ^ { e d } \; .