harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
\begin{array} { r } { a _ { 1 } ( t ) = 1 - \frac { 1 } { \hbar ^ { 2 } } \sum _ { m = 2 } ^ { N ^ { \prime } } d _ { 1 m } ^ { 2 } \int _ { - \infty } ^ { t } E ( t ^ { \prime } ) d t ^ { \prime } \int _ { - \infty } ^ { t ^ { \prime } } E ( t ^ { \prime \prime } ) d t ^ { \prime \prime } . } \end{array}
\delta \equiv \frac { \omega _ { \mathrm { ~ d ~ } } - \omega _ { 0 } } { \kappa + \gamma } , \quad \xi \equiv \frac { | \tilde { \alpha } _ { i n } | ^ { 2 } K } { \kappa + \gamma } , \quad n \equiv \frac { | \alpha | ^ { 2 } } { | \tilde { \alpha } _ { i n } | ^ { 2 } } ,
h : = h _ { n } = \left\{ \begin{array} { l l } { ( - 1 ) ^ { n - 1 } 2 \exp \left\{ f _ { n } ( a , b ) P _ { 0 } + o ( 1 ) \right\} , } & { \quad a ^ { 3 } \leq M _ { 1 } \left| \frac { b ^ { 2 } } { 4 } - a ^ { 3 } \right| , } \\ { ( - 1 ) ^ { n - 1 } 2 \exp \left\{ g _ { n } ( a , b ) P _ { 0 } + o ( 1 ) \right\} , } & { \quad a ^ { 3 } \geq M _ { 2 } \left| \frac { b ^ { 2 } } { 4 } - a ^ { 3 } \right| } \end{array} \right.
\begin{array} { r l r } { \tilde { \mathrm { { C } } } _ { \mathrm { { s c a } } } ^ { \sigma } } & { { } = } & { \sigma G _ { h _ { l } h _ { l } } \sum _ { m = - l } ^ { m = l } | C _ { l m } ^ { \sigma } | ^ { 2 } \mathrm { ~ R ~ e ~ } \{ a _ { l m } { b _ { l m } } ^ { * } \} , } \end{array}
\delta S = - \frac { i } { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } \int _ { z ^ { 2 } = 0 } d z ^ { 1 } \frac { 1 } { 2 } \partial _ { \nu } F _ { \mu \lambda } \partial _ { 1 } \bar { X } ^ { \mu } \Delta ^ { \nu \lambda } \left( z ^ { 1 } , z ^ { \prime 1 } \right) _ { | z ^ { \prime } \to z } .
\begin{array} { r l } { \frac { \delta P _ { a a } } { \delta t } = } & { n _ { a } * M _ { a a } - n _ { a } * T _ { a a } ( M _ { a a } + M _ { a b } ) } \\ { \frac { \delta P _ { b b } } { \delta t } = } & { n _ { b } * M _ { b b } - n _ { b } * T _ { b b } ( M _ { b a } + M _ { b b } ) } \\ { \frac { \delta P _ { a b } } { \delta t } = } & { n _ { a } * M _ { a b } + n _ { b } * M _ { b a } - n _ { a } * T _ { a b } ( M _ { a a } + M _ { a b } ) - n _ { b } * T _ { b a } * ( M _ { b b } + M _ { b a } ) } \end{array}
S _ { N } [ \Phi ] \ = \ N \, \mathrm { t r } \left( { \frac { \Phi ^ { 2 } } { 2 } } ( 1 - b ) - g { \frac { \Phi ^ { 4 } } { 4 } } \right) \, + \, { \frac { N ^ { 2 } } { 2 } } \, { \frac { b ^ { 2 } } { x } } \, + \, N ^ { 2 } \, \rho
\begin{array} { r l } { \| G ^ { \star } - { G } _ { R } \| _ { L ^ { 2 } ( [ 0 , T ] ) } ^ { 2 } } & { = \int _ { T - R ^ { - 2 } } ^ { T } | G ^ { \star } ( t ) - ( T - t ) R ^ { 2 } G ^ { \star } ( T - R ^ { - 2 } ) | ^ { 2 } d t } \\ & { \le \widetilde C \left( R ^ { - 2 } + R ^ { 4 } \int _ { T - R ^ { - 2 } } ^ { T } ( T - t ) ^ { 2 } d t \right) \le \widetilde C R ^ { - 2 } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { f ( x ) = } \\ & { \frac { 1 } { \sum _ { p \in \mathcal { P } } { \sum _ { q \in \mathcal { Q } } { \cdots } } \sum _ { u \in \mathcal { U } } { \sum _ { v \in \mathcal { V } } { \left( { { d } _ { p , q } ^ { 2 } } + \cdots + { { d } _ { p , v } ^ { 2 } } + \cdots + { { d } _ { u , v } ^ { 2 } } \right) ^ { 1 / 2 } } } } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { U ^ { [ 2 ] } ( \vec { r } ) } & { { } = } & { \frac { G M } { r ^ { 5 } } \Big ( C _ { 2 0 } { \textstyle \frac { 1 } { 2 } } ( 2 z ^ { 2 } - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) + 3 C _ { 2 1 } x z + 3 S _ { 2 1 } y z + 3 C _ { 2 2 } ( x ^ { 2 } - y ^ { 2 } ) + 6 S _ { 2 2 } x y \Big ) . } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \mathcal { G } _ { 0 } } & { = } & { \frac { a _ { B } ^ { 2 } } { Z ^ { 3 } \alpha } \int _ { 0 } ^ { \infty } g _ { 0 } ( r ) f _ { 0 } ( r ) d r } \\ & { = } & { - \frac { 1 } { \gamma ( 2 \gamma - 1 ) } , } \\ { \mathcal { G } _ { - } ^ { ( a ) } } & { = } & { \frac { a _ { B } ^ { 2 } } { Z ^ { 3 } \alpha } \int _ { 0 } ^ { r _ { a } } g _ { a , - } ( r ) f _ { a , - } ( r ) d r , } \\ { \mathcal { G } _ { a } } & { = } & { \mathcal { G } _ { - } ^ { ( a ) } + \frac { a _ { B } ^ { 2 } } { Z ^ { 3 } \alpha } \int _ { r _ { a } } ^ { \infty } g _ { + } ( r ) f _ { + } ( r ) d r . } \end{array}
\sigma ^ { \prime } \equiv \sigma + { \frac { 1 } { 2 } } C _ { n } \alpha + { \frac { 1 } { 2 } } C _ { p } \alpha + { \frac { 1 } { 2 } } m _ { e } \ , \quad \delta ^ { \prime } \equiv { \frac { 1 } { 2 } } \delta + { \frac { 1 } { 2 } } C _ { n } \alpha - { \frac { 1 } { 2 } } C _ { p } \alpha - { \frac { 1 } { 2 } } m _ { e } \ ,
\begin{array} { r l } { \quad \forall r \in ( 0 , 1 ) , \quad \forall \, n \geqslant 1 , \quad \mathbb { L } _ { n } ^ { \Omega } [ h ] ( r ) : = } & { \frac { h ( r ) } { \mu _ { \Omega } ^ { 0 } ( r ) } - \frac { r } { n } \left( G _ { n } ( r ) A _ { n } [ h ] + \frac { 1 } { 2 r ^ { n + 1 } } H [ h ] ( r ) \right) } \\ { \mathbb { L } _ { 0 } ^ { \Omega } [ h ] ( r ) : = } & { \frac { h ( r ) } { \mu _ { \Omega } ^ { 0 } ( r ) } - \int _ { r } ^ { 1 } \frac { 1 } { \tau } \int _ { 0 } ^ { \tau } s h ( s ) d s d \tau , } \end{array}
\mathcal { C } _ { \star , n } ^ { \mathrm b } : = \left\{ \begin{array} { l l } { \bigoplus _ { \substack { 2 t + c + d = n } } \mathrm { I n d } _ { \mathsf { H } _ { t } \times \mathsf { W } _ { c } \times \mathsf { W } _ { d } } ^ { \mathsf { W } _ { n } } \eta \otimes 1 \otimes 1 , } & { \mathrm { i f ~ \star ~ = B ~ } ; \medskip } \\ { \bigoplus _ { \substack { 2 t + a = n } } \mathrm { I n d } _ { \mathsf { H } _ { t } \times \mathsf { S } _ { a } } ^ { \mathsf { W } _ { n } } \eta \otimes 1 , } & { \mathrm { i f ~ \star ~ = ~ D ~ } ; \medskip } \\ { \mathrm { I n d } _ { \mathsf { H } _ { \frac { n } { 2 } } } ^ { \mathsf { W } _ { n } ^ { \prime } } \eta , } & { \mathrm { i f ~ \star ~ = ~ D ^ * ~ } . } \end{array} \right.
\operatorname * { l i m } _ { \tau ^ { \prime } \rightarrow \infty } \langle { \cal U } _ { \tau ^ { \prime } } ( { \scriptstyle { \cal B } ^ { \dagger } } ) \; { \cal U } _ { \tau } ( { \scriptstyle { \cal B } } ) \rangle _ { 0 } = 1 \; .
c ( \lambda , \beta , \gamma , \dot { \gamma } , \theta ) = \left[ \gamma ^ { * } \dot { \gamma } - \gamma \dot { \gamma } ^ { * } + \frac { b } { 2 | \lambda | ^ { 2 } } ( \lambda ^ { * } \dot { \gamma } e ^ { - 2 \imath \theta } - \lambda \dot { \gamma } ^ { * } e ^ { 2 \imath \theta } ) \right]
M = M _ { 0 } \frac { \displaystyle { \cal I } m \left[ u \left( \frac { a _ { D } ^ { \prime \prime } } { a _ { D } ^ { \prime } } - \frac { a ^ { \prime \prime } } { a ^ { \prime } } \right) \tau \right] } { \displaystyle { \cal I } m \, t a u } \, .
G _ { i j } ( x , Q ^ { 2 } , x _ { 0 } , k _ { \perp 0 } ^ { 2 } ) = \bar { \omega } _ { i j } ( x , Q ^ { 2 } , x _ { 0 } , k _ { \perp 0 } ^ { 2 } ) G ( Q ^ { 2 } / k _ { \perp 0 } ^ { 2 } , x _ { 0 } / x ) ,
R _ { z } ( \gamma ) = \left[ \begin{array} { l l l l l l l } { \cos 3 \gamma } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \sin 3 \gamma } \\ { 0 } & { \cos 2 \gamma } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \sin 2 \gamma } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { \cos \gamma } & { 0 } & { \sin \gamma } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 0 } & { - \sin \gamma } & { 0 } & { \cos \gamma } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { - \sin 2 \gamma } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cos 2 \gamma } & { 0 } \\ { - \sin 3 \gamma } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 0 } & { \cos 3 \gamma } \end{array} \right]
\left[ \begin{array} { c } { { A _ { j m } ^ { ( 1 ) } } } \\ { { A _ { j m } ^ { ( 2 ) } } } \\ { { A _ { j m } ^ { ( 3 ) } } } \end{array} \right] = R \cdot \left[ \begin{array} { c } { { a _ { j m } ^ { ( 1 ) } } } \\ { { a _ { j m } ^ { ( 2 ) } } } \\ { { a _ { j m } ^ { ( 3 ) } } } \end{array} \right] ,
\begin{array} { r l r l } & { [ m ( k ) ] _ { 2 } = \frac { C _ { 1 } [ m ] _ { 1 } } { k - k _ { 0 } } + O ( 1 ) \; \; \mathrm { a n d } \; \; [ m ( k ) ] _ { 3 } = \frac { C _ { 2 } [ m ] _ { 1 } } { k - k _ { 0 } } + O ( 1 ) } & & { \mathrm { a s } \; k \to k _ { 0 } . } \\ & { [ m ( k ) ] _ { 1 } = \frac { \omega C _ { 1 } [ m ] _ { 3 } } { k - \omega k _ { 0 } } + O ( 1 ) \; \; \mathrm { a n d } \; \; [ m ( k ) ] _ { 2 } = \frac { \omega C _ { 2 } [ m ] _ { 3 } } { k - \omega k _ { 0 } } + O ( 1 ) } & & { \mathrm { a s } \; k \to \omega k _ { 0 } , } \\ & { [ m ( k ) ] _ { 3 } = \frac { \omega ^ { 2 } C _ { 1 } [ m ] _ { 2 } } { k - \omega ^ { 2 } k _ { 0 } } + O ( 1 ) \; \; \mathrm { a n d } \; \; [ m ( k ) ] _ { 1 } = \frac { \omega ^ { 2 } C _ { 2 } [ m ] _ { 2 } } { k - \omega ^ { 2 } k _ { 0 } } + O ( 1 ) } & & { \mathrm { a s } \; k \to \omega ^ { 2 } k _ { 0 } , } \\ & { [ m ( k ) ] _ { 1 } = \frac { \overline { { C _ { 1 } } } [ m ] _ { 2 } } { k - \bar { k } _ { 0 } } + O ( 1 ) \; \; \mathrm { a n d } \; \; [ m ( k ) ] _ { 3 } = \frac { \overline { { C _ { 2 } } } [ m ] _ { 2 } } { k - \bar { k } _ { 0 } } + O ( 1 ) } & & { \mathrm { a s } \; k \to \bar { k } _ { 0 } . } \\ & { [ m ( k ) ] _ { 2 } = \frac { \omega ^ { 2 } \overline { { C _ { 1 } } } [ m ] _ { 3 } } { k - \omega ^ { 2 } \bar { k } _ { 0 } } + O ( 1 ) \; \; \mathrm { a n d } \; \; [ m ( k ) ] _ { 1 } = \frac { \omega ^ { 2 } \overline { { C _ { 2 } } } [ m ] _ { 3 } } { k - \omega ^ { 2 } \bar { k } _ { 0 } } + O ( 1 ) } & & { \mathrm { a s } \; k \to \omega ^ { 2 } \bar { k } _ { 0 } , } \\ & { [ m ( k ) ] _ { 3 } = \frac { \omega \overline { { C _ { 1 } } } [ m ] _ { 1 } } { k - \omega \bar { k } _ { 0 } } + O ( 1 ) \; \; \mathrm { a n d } \; \; [ m ( k ) ] _ { 2 } = \frac { \omega \overline { { C _ { 2 } } } [ m ] _ { 1 } } { k - \omega \bar { k } _ { 0 } } + O ( 1 ) } & & { \mathrm { a s } \; k \to \omega \bar { k } _ { 0 } . } \end{array}
F ( t + \frac { 1 } { \lambda } \ln { \frac { 1 } { s - 1 } } ) = ( 1 + e ^ { - \lambda t } ( s - 1 ) ) ^ { x _ { 0 } } \exp \Big ( \frac { - \nu } { \lambda } ( 1 + e ^ { - \lambda t } ( s - 1 ) ) - \frac { b _ { n } \mu e ^ { - \lambda t } ( s - 1 ) } { \lambda + \alpha } \Big ) ,
\operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } \frac { x _ { c } ( t ) } { e ^ { ( - \gamma + \alpha ) t } } = \operatorname* { l i m } _ { t \to \infty } \left( x _ { 0 } + \left( v _ { 0 } + \omega _ { 0 } x _ { 0 } \right) t \right) e ^ { - ( \omega _ { 0 } - \gamma + \alpha ) t } = 0 ,
R _ { C } = { \frac { D _ { 1 } ( D _ { 2 } + R _ { B } ) ( R _ { A } - D ) + D _ { 2 } ( D + R _ { B } ) ( R _ { A } - D _ { 1 } ) } { D _ { 1 } ( R _ { A } - D ) + D _ { 2 } ( D + R _ { B } ) } } \, .
\begin{array} { r l } { t ^ { \alpha } ( \dot { x } ( t ) - \dot { y } ( t ) ) } & { = - \int _ { 0 } ^ { t } u ^ { \alpha } \left( \nabla \phi ( x ( u ) ) - \nabla \phi ( y ( u ) ) \right) \, d u - \beta \int _ { 0 } ^ { t } u ^ { \alpha } \left( \nabla ^ { 2 } \phi ( x ( u ) ) \dot { x } ( u ) - \nabla ^ { 2 } \phi ( y ( u ) ) \dot { y } ( u ) \right) \, d u } \\ & { = - \int _ { 0 } ^ { t } u ^ { \alpha } \left( \nabla \phi ( x ( u ) ) - \nabla \phi ( y ( u ) ) \right) \, d u - \beta \int _ { 0 } ^ { t } u ^ { \alpha } \frac { d } { d u } \left( \nabla \phi ( x ( u ) ) - \nabla \phi ( y ( u ) ) \right) \, d u } \\ & { = - \int _ { 0 } ^ { t } u ^ { \alpha } \left( \nabla \phi ( x ( u ) ) - \nabla \phi ( y ( u ) ) \right) \, d u - \beta t ^ { \alpha } \left( \nabla \phi ( x ( t ) ) - \nabla \phi ( y ( t ) ) \right) } \\ & { \quad + \alpha \int _ { 0 } ^ { t } u ^ { \alpha - 1 } \left( \nabla \phi ( x ( u ) ) - \nabla \phi ( y ( u ) ) \right) \, d u . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \left. \frac { d } { d x } g _ { 0 } ( x \pm x _ { \mathrm { i } } , t ) \right| _ { x = 0 } } & { = \frac { 1 - \hat { \psi } _ { \mathrm { t } } } { s } \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d k \, \frac { ( - i k ) \exp ( \mp i k x _ { \mathrm { i } } ) } { 1 - \hat { \psi } _ { \mathrm { t } } \left[ 1 + A ^ { 2 } / ( 2 B ) + ( B / 2 ) k ^ { 2 } \right] } } \\ & { = \frac { 1 - \hat { \psi } _ { \mathrm { t } } } { s } \frac { 1 } { 2 \pi } \int _ { - \infty } ^ { \infty } d k \, \frac { ( \mp i k ) \exp ( - i k x _ { \mathrm { i } } ) } { 1 - \hat { \psi } _ { \mathrm { t } } \left[ 1 + A ^ { 2 } / ( 2 B ) + ( B / 2 ) k ^ { 2 } \right] } , } \end{array}
M _ { 1 } = - \frac { P _ { 2 i } ^ { 2 } + P _ { 2 i } ( \mu ^ { 2 } + M _ { Z } ^ { 2 } + M _ { 2 } S _ { 2 i } - S _ { 2 i } ^ { 2 } ) + \mu M _ { Z } ^ { 2 } M _ { 2 } s _ { w } ^ { 2 } \sin 2 \beta } { P _ { 2 i } ( S _ { 2 i } - M _ { 2 } ) + \mu ( c _ { w } ^ { 2 } M _ { Z } ^ { 2 } \sin 2 \beta - \mu M _ { 2 } ) }
\begin{array} { r l } { \| \| } & { \le C _ { 2 } \| \Sigma _ { l } ^ { - 1 } ( y ^ { t } ( p ) - y ( p ) + y ( p ) - y ( p ) + y ( p ) - y ^ { m } ) \| } \\ & { \le C _ { 2 } \left( \left\| \Sigma _ { l } ^ { - 1 } \left( y ^ { t } ( p ) - y ( p ) \right) \right\| + \left\| \Sigma _ { l } ^ { - 1 } \left( y ( p ) - y ( p ) \right) \right\| + \left\| \Sigma _ { l } ^ { - 1 } \left( y ( p ) - y ^ { m } \right) \right\| \right) } \\ & { \le C _ { 2 } \| \Sigma _ { l } ^ { - 1 } \| ( \epsilon + R C _ { 1 } ) + \frac { L } { 3 } , } \\ { \| \| } & { \le \| \Sigma _ { l } ^ { - 1 } \| \left( ( \epsilon ^ { \prime } ) ^ { 2 } + 2 \epsilon ^ { \prime } C _ { 1 } \right) , \quad \mathrm { a n d } } \\ { \| \| } & { \le \| \Sigma _ { l } ^ { - 1 } \| ( R ^ { 2 } + 2 R C _ { 1 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { F _ { \varepsilon } ( f _ { 1 } ; x , \mathrm { D } ^ { 2 } \varphi ( x ) ) } & { \leq F _ { \varepsilon } ( f _ { 2 } ; x , \mathrm { D } ^ { 2 } \psi ( x ) ) + F _ { \varepsilon } ( f _ { \Delta } ; x , \mathrm { D } ^ { 2 } w _ { k } ( x ) ) } \\ & { \leq F _ { \varepsilon } ( f _ { 2 } ; x , \mathrm { D } ^ { 2 } \psi ( x ) ) + F _ { \varepsilon } ( f _ { \Delta , k } ; x , \mathrm { D } ^ { 2 } w _ { k } ( x ) ) \leq 0 , } \end{array}
\displaystyle \sigma ( s ) = \int _ { x _ { \mathrm { m i n } } } ^ { x _ { \mathrm { m a x } } } d x _ { 1 } \int _ { x _ { \mathrm { m i n } } x _ { \mathrm { m a x } } / x _ { 1 } } ^ { x _ { \mathrm { m a x } } } d x _ { 2 } F ( x _ { 1 } ) F ( x _ { 2 } ) \hat { \sigma } ( x _ { 1 } x _ { 2 } s ) ,
\begin{array} { r l } { | ( u - J _ { i } u ) \phi _ { i } | _ { H ^ { j } ( \omega _ { i } ) } } & { \lesssim \sum _ { l = 0 } ^ { j } | u - J _ { i } u | _ { H ^ { l } ( \omega _ { i } ) } \| \nabla ^ { j - l } \phi _ { i } \| _ { L ^ { \infty } ( \omega _ { i } ) } } \\ & { \lesssim \alpha ( H , h ) ^ { - 1 } H ^ { 2 - j } \left( 1 + \log \frac { H } { h } \right) ^ { \frac { 1 } { 2 } } | u | _ { H ^ { 2 } ( \omega _ { i } ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \textnormal { R e } ( a ( u _ { L } , \, u _ { L } ) ) } & { = } & { \int _ { \Omega _ { R } ^ { + } } \frac { s _ { 1 } } { | s | ^ { 2 } } | \nabla u _ { L } | ^ { 2 } + s _ { 1 } | u _ { L } | ^ { 2 } \, d x - \textnormal { R e } \langle s ^ { - 1 } \mathscr { G } u _ { L } , \, u _ { L } \rangle _ { \Gamma _ { R } ^ { + } } } \\ & { \geq } & { \int _ { \Omega _ { R } ^ { + } } \frac { s _ { 1 } } { | s | ^ { 2 } } | \nabla u _ { L } | ^ { 2 } + s _ { 1 } | u _ { L } | ^ { 2 } \, d x } \\ & { \geq } & { \frac { s _ { 1 } } { | s | ^ { 2 } } \left( \| \nabla u _ { L } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { R } ^ { + } ) } ^ { 2 } + \| s u _ { L } \| _ { L ^ { 2 } ( \Omega _ { R } ^ { + } ) } ^ { 2 } \right) . } \end{array}
\begin{array} { r } { c _ { n } ( k ) \equiv \left( k ^ { 2 } + n ^ { 2 } \right) ^ { 2 } + \frac { R } { \lambda _ { + } } C _ { + } ( n , k ) - \frac { R } { \lambda _ { - } } C _ { - } ( n , k ) . } \end{array}
\int _ { M _ { \delta } } d p \; p ^ { \alpha } \ \leq \ \frac { 1 } { \delta ^ { 2 } } \int _ { 0 } ^ { \infty } d p \; p ^ { \alpha } \left| \chi \left( p \right) - \phi _ { 0 } \right| ^ { 2 } \ < \ \frac { q _ { 0 } ^ { 2 } \varepsilon \left( q _ { 0 } \right) } { \delta ^ { 2 } } \ .
\Re \equiv \frac { \sum _ { \mathrm { f l a v o u r s } } \Gamma _ { \mathrm { N C } } ( \gamma _ { \mathrm { p l } } \to { \nu _ { L } } { \bar { \nu } } _ { \mathrm { L } } + { \nu _ { \mathrm { R } } } { \bar { \nu } } _ { \mathrm { R } } ) } { \sum _ { \mathrm { f l a v o u r s } } \Gamma _ { \mathrm { S M } } ( \gamma _ { \mathrm { p l } } \to { \nu _ { \mathrm { L } } } { \bar { \nu } } _ { \mathrm { L } } ) } = \frac { 6 \pi ^ { 2 } \alpha ^ { 2 } } { \mathrm { c } _ { \mathrm { v } } ^ { 2 } G _ { \mathrm { F } } ^ { 2 } \Lambda _ { \mathrm { N C } } ^ { 4 } } .
G _ { 1 2 , 3 1 } ^ { \delta } ( p _ { 3 0 } ^ { \prime } , p _ { 2 0 } ) \, = \, { \frac { - 2 i \pi } { ( P _ { 0 } - S ) - ( p _ { 3 0 } ^ { \prime } - E _ { 3 } ) + i \epsilon } } \, \beta _ { 3 } \beta _ { 1 } \, \delta ( p _ { 2 0 } - E _ { 2 } ) .
| | { \bf { x } } _ { i } - { \bf { a } } _ { j } \left( { \bf { a } } _ { j } ^ { T } { \bf { x } } _ { i } \right) | | ^ { 2 } = | | { \bf { x } } _ { i } | | ^ { 2 } - \left( { \bf { a } } _ { j } ^ { T } { \bf { x } } _ { i } \right) ^ { 2 }
\begin{array} { r l } & { \omega ^ { \lambda } ( x ) = u _ { \lambda } ( x ) - u ( x ) } \\ & { \qquad \, \, \, > \int _ { \Omega \cap B _ { \lambda } ( 0 ) } \left( K _ { \Omega } ^ { \frac { n } { 2 } } ( x ^ { \lambda } , y ^ { \lambda } ) - K _ { \Omega } ^ { \frac { n } { 2 } } ( x , y ^ { \lambda } ) \right) \left( f ( y , u _ { \lambda } ( y ) ) - f ( y , u ( y ) ) \right) \mathrm d y . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { r ^ { ( r / l ) } ( \omega ) } { t ( \omega ) } } & { { } = \left[ \frac { r _ { 0 } ^ { ( r / l ) } ( \omega ) } { t _ { 0 } ( \omega ) } \right] \frac { \sin ( \beta ( 2 N + 1 ) \Lambda ) } { \sin ( \beta \Lambda ) } , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \gamma _ { t } ( a _ { t , 2 } ) ^ { T } \gamma _ { l } ( a _ { l , 2 } ^ { * } ) } & { = } & { \left[ \begin{array} { l } { 0 _ { l + 1 } } \\ { \Theta _ { l + 1 , t } } \end{array} \right] ^ { T } L ^ { T } L \left[ \begin{array} { l } { 0 _ { l } } \\ { a _ { l , 2 } ^ { * } + S _ { l + 1 : m } ^ { T } ( b _ { l } \bar { y } _ { 0 } + \bar { y } _ { l } ) } \end{array} \right] } \\ & { = } & { \gamma _ { l , 1 } ^ { T } \left[ \begin{array} { l l l } { 0 _ { l + 1 } } & { \dots } & { 0 _ { l + 1 } } \\ { \Theta _ { l + 1 , t _ { l } } } & { \dots } & { \Theta _ { l + 1 , t _ { c } } } \end{array} \right] ^ { T } L ^ { T } L \left[ \begin{array} { l } { 0 _ { l } } \\ { a _ { l , 2 } ^ { * } + S _ { l + 1 : m } ^ { T } ( b _ { l } \bar { y } _ { 0 } + \bar { y } _ { l } ) } \end{array} \right] } \\ & { = } & { \gamma _ { l , 1 } ^ { T } [ z _ { t _ { 1 } } , \dots , z _ { t _ { c } } ] ^ { T } z _ { l } } \\ & { = } & { \bar { \gamma } _ { l , 1 } ^ { T } [ z _ { t _ { 1 } } , \dots , z _ { t _ { c } } ] ^ { T } z _ { l } = z _ { t } ^ { T } z _ { l } } \end{array}
\begin{array} { r } { \epsilon ^ { 2 } < \mathbb { E } _ { \tau } [ \| \widehat { \mathbf x } ^ { ( \tau ) } - { \mathbf x } ^ { ( \tau ) } \| ^ { 2 } ] = \frac { \sum _ { t = S } ^ { T - 1 } \eta _ { t } \mathbb { I } ( g ( { \mathbf x } ^ { ( t ) } ) \leq \epsilon _ { t } ) \| \widehat { \mathbf x } ^ { ( t ) } - { \mathbf x } ^ { ( t ) } \| ^ { 2 } } { \sum _ { t = S } ^ { T - 1 } \eta _ { t } \mathbb { I } ( g ( { \mathbf x } ^ { ( t ) } ) \leq \epsilon _ { t } ) } . } \end{array}
\begin{array} { r } { \vec { R } _ { \Phi } ^ { \mathrm { ~ b ~ u ~ l ~ k ~ } } ( \vec { \Phi } _ { \mathrm { ~ b ~ u ~ l ~ k ~ } } ^ { n + 1 } ) = \vec { 0 } , } \\ { \vec { R } _ { c } ^ { \mathrm { ~ S ~ C ~ L ~ } } ( \vec { c } _ { \mathrm { ~ S ~ C ~ L ~ } } ^ { n + 1 } , \vec { \Phi } _ { \mathrm { ~ S ~ C ~ L ~ } } ^ { n + 1 } ) = \vec { 0 } , } \\ { \vec { R } _ { \Phi } ^ { \mathrm { ~ S ~ C ~ L ~ } } ( \vec { c } _ { \mathrm { ~ S ~ C ~ L ~ } } ^ { n + 1 } , \vec { \Phi } _ { \mathrm { ~ S ~ C ~ L ~ } } ^ { n + 1 } ) = \vec { 0 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { | \nabla _ { x } \psi _ { R _ { 1 } } ^ { R _ { 2 } } | \leq \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { C } { R _ { 1 } } , \mathrm { ~ i f ~ } | x | \leq 2 R _ { 1 } } \\ { \frac { D } { R _ { 2 } } \mathrm { ~ i f ~ } | x | > 2 R _ { 1 } } \end{array} \right. , \quad | \nabla _ { x } ^ { 2 } \psi _ { R _ { 1 } } ^ { R _ { 2 } } | \leq \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { C } { R _ { 1 } ^ { 2 } } , \mathrm { ~ i f ~ } | x | \leq 2 R _ { 1 } } \\ { \frac { D } { R _ { 2 } ^ { 2 } } \mathrm { ~ i f ~ } | x | > 2 R _ { 1 } } \end{array} \right. . } \end{array}
f _ { E M } ^ { \beta } = \partial _ { \alpha } \Upsilon ^ { \alpha \beta } = J ^ { \gamma } \mathbb { F } _ { \, \, \, \gamma } ^ { \beta } - \frac { 1 } { \mu _ { o } } \mathbb { F } ^ { \alpha \gamma } \partial _ { \alpha } \mathbb { F } _ { \, \, \, \gamma } ^ { \beta }
\mathscr { E } _ { s } ^ { l } ( \rho ^ { l } , \mathrm { d e v } ( \mathbf { H } _ { e } ^ { l } ) ) = \frac { G ^ { l } ( \rho ^ { l } ) } { \rho ^ { l } } \mathcal { J } ^ { 2 } ( \mathrm { d e v } ( \mathbf { H } _ { e } ^ { l } ) )
\begin{array} { r l } { \Lambda v _ { n , i } ^ { \lambda } = } & { { } ( i + 1 ) v _ { n , i + 1 } ^ { \lambda } - i v _ { n , i } ^ { \lambda } + \lambda ( i - 1 ) ( n - i + 1 ) v _ { n , i - 1 } ^ { \lambda } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \phi _ { x _ { 1 } } ( 1 , 1 , 1 ) F ( \theta + \alpha ) - \phi _ { x _ { 1 } } ( 1 , 1 , 0 ) F ( \alpha ) + \phi _ { x _ { 1 } } ( 1 , 0 , 1 ) [ 1 - F ( \theta + \alpha ) ] - \phi _ { x _ { 1 } } ( 1 , 0 , 0 ) [ 1 - F ( \alpha ) ] = 0 , } \\ & { \phi _ { x _ { 1 } } ( 0 , 1 , 1 ) F ( \theta + \alpha ) - \phi _ { x _ { 1 } } ( 0 , 1 , 0 ) F ( \alpha ) + \phi _ { x _ { 1 } } ( 0 , 0 , 1 ) [ 1 - F ( \theta + \alpha ) ] - \phi _ { x _ { 1 } } ( 0 , 0 , 0 ) [ 1 - F ( \alpha ) ] = 0 , } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { m \mathbf { \ddot { x } } } & { = \mathbf { \dot { p } } - { \frac { e } { c } } \mathbf { \dot { A } } } \\ & { = - { \frac { e } { c } } \left[ \mathbf { \dot { A } } - \left( \mathbf { \dot { x } } \cdot \nabla \right) \mathbf { A } \right] + { \frac { e } { c } } \mathbf { \dot { x } } \times \mathbf { B } - m \omega _ { 0 } ^ { 2 } \mathbf { x } } \\ & { = e \mathbf { E } + { \frac { e } { c } } \mathbf { \dot { x } } \times \mathbf { B } - m \omega _ { 0 } ^ { 2 } \mathbf { x } } \end{array} }
\begin{array} { r l } { y ( t _ { n } + h ) } & { = e ^ { - h L } y ( t _ { n } ) + e ^ { - h L } \int _ { 0 } ^ { h } e ^ { \tau L } F ( t _ { n } , y ( t _ { n } ) ) \, d \tau } \\ & { = e ^ { - h L } y _ { n } + \frac { e ^ { - h L } - 1 } { - L } F ( t _ { n } , y _ { n } ) } \\ & { = \varphi _ { 0 } ( - h L ) y _ { n } + h \varphi _ { 1 } ( - h L ) F ( t _ { n } , y _ { n } ) . } \end{array}
\begin{array} { r } { \bar { \alpha } _ { t } : = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { m _ { t } } { L _ { t } ^ { 2 } } } & { \mathrm { i f ~ } f _ { t } ^ { ( i ) } \mathrm { \, i s \, \, \, } L _ { t } \mathrm { - s m o o t h } } \\ { \frac { 1 } { L _ { t } } } & { \mathrm { i f ~ } f _ { t } ^ { ( i ) } \mathrm { \, i s \, \, \, } L _ { t } \mathrm { - s m o o t h ~ a n d ~ c o n v e x } } \\ { \frac { 1 } { L _ { t } + m _ { t } } } & { \mathrm { i f ~ } f _ { t } ^ { ( i ) } \mathrm { \, i s \, \, \, } L _ { t } \mathrm { - s m o o t h ~ a n d ~ m _ t ~ - s t r o n g l y ~ c o n v e x } } \end{array} \right. . } \end{array}
\begin{array} { r } { \begin{array} { r l } { \epsilon ( \omega ) = \epsilon _ { \infty } + } & { { } i \frac { G _ { 0 } } { \omega } - \sum _ { \ell = 1 } ^ { 3 } \frac { \omega _ { i , \ell } ^ { 2 } } { \omega ^ { 2 } + i \Gamma _ { i , \ell } \omega } } \end{array} } \end{array}
\hat { Z } _ { 8 8 } ^ { 1 0 } = \hat { Z } _ { 8 8 } ^ { \overline { { { 1 0 } } } } = \frac { ( d e t \ I m \Omega ) ^ { 2 } } { 4 } \biggl \vert \Theta \left[ \begin{array} { l l } { { 1 / 2 } } & { { 1 / 2 } } \\ { { 1 / 2 } } & { { 1 / 2 } } \end{array} \right] ( 0 \vert \Omega ) \biggr \vert ^ { 8 }
\begin{array} { r l } { R _ { 0 0 } } & { { } = R _ { 0 \rightarrow 0 } ^ { - 3 / 2 } + R _ { 0 \rightarrow 0 } ^ { - 1 / 2 } + R _ { 0 \rightarrow 0 } ^ { + 1 / 2 } } \\ { R _ { 0 1 } } & { { } = R _ { 0 \rightarrow 1 } ^ { - 1 / 2 } + R _ { 0 \rightarrow 1 } ^ { + 1 / 2 } } \\ { R _ { 1 0 } } & { { } = R _ { 1 \rightarrow 0 } ^ { - 1 / 2 } + R _ { 1 \rightarrow 0 } ^ { + 1 / 2 } } \\ { R _ { 1 1 } } & { { } = R _ { 1 \rightarrow 1 } ^ { - 1 / 2 } + R _ { 1 \rightarrow 1 } ^ { + 1 / 2 } + R _ { 1 \rightarrow 1 } ^ { + 3 / 2 } . } \end{array}