harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
a n d f o l l o w i n g t h e p r o c e s s d e t a i l e d i n \S w e c a n o b t a i n t h e c y l i n d r i c a l i n v e r s e s t i f f n e s s m a t r i x o f a h e l i c a l l y t r a n s v e r s e l y i s o t r o p i c m a t e r i a l i n t e r m s o f
\begin{array} { r l r } { \Delta \left( \frac { 6 F _ { 2 } ^ { v } ( 0 ) } { 4 m _ { \mathrm { n u c l e o n } } ^ { 2 } } \right) } & { = } & { - \frac { 3 F _ { 2 } ^ { v } ( 0 ) } { m _ { \mathrm { n u c l e o n } } ^ { 3 } } \frac { \partial m _ { \mathrm { n u c l e o n } } } { \partial m _ { \pi } ^ { 2 } } \Delta m _ { \pi } ^ { 2 } } \\ & { = } & { - \frac { 0 . 7 } { m _ { \mathrm { n u c l e o n } } ^ { 2 } } \frac { \Delta m _ { \pi } ^ { 2 } } { m _ { \pi } ^ { 2 } } \, , } \end{array}
\begin{array} { r l } { V _ { T } } & { ( \bar { t } _ { 0 } , \bar { y } _ { 0 } ) \leq \frac { 1 } { 2 } \int _ { \bar { t } _ { 0 } } ^ { \bar { t } _ { 0 } + T } \left( \| \bar { y } ( t ) \| _ { H _ { \mathbb { P } } } ^ { 2 } \, d t + \lambda \beta \hat { c } ^ { 2 } c _ { P } ^ { 2 } \| \bar { y } ( t ) \| _ { H _ { \mathbb { P } } } ^ { 2 } \right) \, d t } \\ & { \leq \frac { 1 + \lambda \beta \hat { c } ^ { 2 } c _ { P } ^ { 2 } } { 2 \mu } \left( 1 - e ^ { - \mu T } \right) \| \bar { y } _ { 0 } \| _ { H _ { \mathbb { P } } } ^ { 2 } = : \gamma _ { 2 } ( T ) \| \bar { y } _ { 0 } \| _ { H _ { \mathbb { P } } } ^ { 2 } . } \end{array}
f \left( \mathbf { r } + { \frac { \mathbf { p } } { m } } \, \Delta t , \mathbf { p } + \mathbf { F } \, \Delta t , t + \Delta t \right) \, d ^ { 3 } \mathbf { r } \, d ^ { 3 } \mathbf { p } = f ( \mathbf { r } , \mathbf { p } , t ) \, d ^ { 3 } \mathbf { r } \, d ^ { 3 } \mathbf { p }
\mu _ { 1 , k _ { c } } ^ { ( a ) } \, \longrightarrow \, { \frac { \tilde { g } ^ { 2 } T ^ { 2 } } { 2 4 } } - { \frac { \tilde { g } ^ { 2 } k _ { c } T } { 4 \pi } } \qquad \mathrm { f o r ~ \tilde { ~ } m = 0 ~ } \; .
\tilde { F } _ { c } ^ { ( c ) } = - \epsilon _ { \mathrm { i } } ^ { ( c ) } \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { e ^ { \pi - \arctan ( 1 + 2 \tilde { a } ) } } { \sqrt { \frac { 1 } { 2 } + \tilde { a } ( 1 + \tilde { a } ) } } } & { \mathrm { ~ C ~ a ~ s ~ e ~ A ~ } } \\ { - \frac { 1 } { 2 \tilde { c } _ { \mathrm { m i n } } } } & { \mathrm { ~ C ~ a ~ s ~ e ~ B ~ } } \\ { \frac { ( \tilde { L } - \tilde { a } ) ^ { 3 } } { - \tilde { L } ^ { 2 } + 2 \tilde { a } ^ { 2 } - \tilde { L } \tilde { a } } } & { \mathrm { ~ C ~ a ~ s ~ e ~ C ~ . ~ } } \end{array} \right.
K _ { \frac { l + 1 } { 2 } } ^ { u p } ( z > 0 ) = \Big ( \frac { z } { 2 } { \Big ) } ^ { \frac { l + 1 } { 2 } } \frac { \sqrt { \pi } } { \Gamma ( { \scriptstyle \frac { l } { 2 } + 1 } ) } e ^ { - z } \Big \{ \frac { 1 } { z } + \sum _ { k = 1 } ^ { l } \frac { l ( l - 1 ) \cdot \ldots \cdot ( l - k + 1 ) } { z ^ { k + 1 } } \Big \} .
U ( { \eta } _ { s _ { 1 } } { } ^ { s _ { 2 } } ) \rightarrow { \tilde { U } } ( { \eta } _ { s _ { 1 } } { } ^ { s _ { 2 } } ) = g ( s _ { 1 } ) U ( { \eta } _ { s _ { 1 } } { } ^ { s _ { 2 } } ) g ^ { - 1 } ( s _ { 2 } ) .
\phi ( x ) = 2 ^ { \frac { n } { 2 } } \left( \frac { m ^ { 2 } } { c _ { k + 1 } } \right) ^ { \frac { 1 } { k } } \exp { \left( - \frac { 1 } { \theta } \sum _ { i = 1 } ^ { n } ( x ^ { i } ) ^ { 2 } \right) } .
\begin{array} { r } { T _ { 2 } = \sum _ { \mu _ { 2 } } t _ { \mu _ { 2 } } \tau _ { \mu _ { 2 } } = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { a i b j } t _ { i j } ^ { a b } A _ { a i } A _ { b j } . } \end{array}
\lambda _ { \mathrm { ~ e ~ f ~ f ~ } } ^ { R 3 } = P _ { \mathrm { ~ o ~ n ~ } } \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { \Phi _ { \mathrm { ~ o ~ n ~ } } ( \tau ^ { \prime } ) } { \langle \tau _ { \mathrm { ~ o ~ n ~ } } \rangle } d \tau ^ { \prime } \int _ { 0 } ^ { \infty } \Phi _ { \mathrm { ~ r ~ e ~ c ~ } } ( \tau ^ { \prime \prime } ) \omega _ { \mathrm { ~ i ~ n ~ f ~ } } ( \operatorname* { m i n } ( \tau ^ { \prime } , \tau ^ { \prime \prime } ) ) d \tau ^ { \prime \prime } .
\begin{array} { r l r } { e ^ { - H \tau } } & { { } = } & { e ^ { - \frac { p ^ { 2 } } { m } \tau } - \int _ { 0 } ^ { \tau } d \tau ^ { \prime } \; e ^ { - \frac { p ^ { 2 } } { m } ( \tau - \tau ^ { \prime } ) } \; V \; e ^ { - \frac { p ^ { 2 } } { m } \tau ^ { \prime } } \; . } \end{array}
\begin{array} { r l } { H _ { \mathrm { e f f } } } & { { } = { e ^ { - S } } H _ { \mathrm { t o t } } { e ^ { S } } = H _ { \mathrm { d r i v } } ^ { \mathrm { D C } } + ( H _ { \mathrm { i n t } } + [ H _ { \mathrm { d r i v } } ^ { \mathrm { D C } } , S ] ) } \end{array}
\langle \mathbf { v } _ { D } \cdot \nabla x \rangle = \frac { \int \mathrm { d } \ell \; ( \mathbf { v } _ { D } \cdot \nabla x ) \left( 1 - \lambda \hat { B } - \frac { \Phi } { H } \right) ^ { - 1 / 2 } } { \int \mathrm { d } \ell \left( 1 - \lambda \hat { B } - \frac { \Phi } { H } \right) ^ { - 1 / 2 } } .
d f ( t , X _ { t } ) = \left( { \frac { \partial f } { \partial t } } + \mu _ { t } { \frac { \partial f } { \partial x } } + { \frac { \sigma _ { t } ^ { 2 } } { 2 } } { \frac { \partial ^ { 2 } f } { \partial x ^ { 2 } } } \right) d t + \sigma _ { t } { \frac { \partial f } { \partial x } } \, d B _ { t } .
\begin{array} { r } { \widetilde { \mathscr { P } } _ { f _ { 1 } , \varrho _ { 1 } } ( x , \widetilde { \gamma } , \widetilde { \tau } , \widetilde { k } , \sigma ) = \frac { 1 } { 1 + \sigma ^ { 2 } \vert \widetilde { k } \vert ^ { 2 } } \frac { p ^ { \prime } ( \varrho _ { 1 } ( x ) ) \varrho _ { 1 } ( x ) } { 1 - \rho _ { f _ { 1 } } ( x ) } \int _ { 0 } ^ { + \infty } e ^ { - ( \widetilde { \gamma } + i \widetilde { \tau } ) s } i \widetilde { k } \cdot \left( \mathcal { F } _ { v } \nabla _ { v } f _ { 1 } \right) ( t , x , \widetilde { k } s ) \, \mathrm { d } s , } \end{array}
{ \Sigma } _ { t } = \sum _ { \beta } { { { n } _ { \beta } } \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } { \int _ { { { \theta } _ { p } } } ^ { \pi } { \frac { b _ { 0 } ^ { 2 } } { 4 } \frac { 1 } { { { \sin } ^ { 4 } } ( \theta / 2 ) } \sin \theta d \theta d \varphi } } } ,
A ( Y _ { 1 } - Y _ { 2 } ) = \int _ { 0 } ^ { \infty } \frac { d l ^ { \prime } } { l ^ { \prime } } \eta ( i l ^ { \prime } ) ^ { - 2 4 } \exp \{ - \frac { 1 } { 2 \pi \alpha ^ { \prime } } l ^ { \prime } ( Y _ { 1 } - Y _ { 2 } ) ^ { 2 } \}
\langle F ( { \hat { A } } ) \rangle = \int _ { R } \psi ( \mathbf { r } ) ^ { * } \left[ F ( { \hat { A } } ) \psi ( \mathbf { r } ) \right] \mathrm { d } ^ { 3 } \mathbf { r } = \langle \psi | F ( { \hat { A } } ) | \psi \rangle ,
I _ { 3 } = \frac { \mathrm { ~ a ~ n ~ t ~ i ~ - ~ s ~ y ~ m ~ m ~ e ~ t ~ r ~ i ~ c ~ n ~ o ~ n ~ l ~ i ~ n ~ e ~ a ~ r ~ t ~ e ~ r ~ m ~ \# ~ 1 ~ } } { \mathrm { ~ l ~ i ~ n ~ e ~ a ~ r ~ t ~ r ~ a ~ n ~ s ~ i ~ t ~ t ~ i ~ m ~ e ~ } } \simeq \frac { \omega _ { m ^ { \prime } } } { m \Omega _ { d } } \frac { r A _ { m - m ^ { \prime } } } { B _ { 0 } } \frac { \delta f _ { m ^ { \prime } } } { { \delta f _ { m } } } \simeq 1 ,
p ( \mathbf { T _ { 1 \rho } } , \mathbf { T _ { 2 } } | \mathbf { f ^ { W } ( x ) } ) = p ( \mathbf { T _ { 1 \rho } } | \mathbf { f ^ { W } ( x ) } ) p ( \mathbf { T _ { 2 } } | \mathbf { f ^ { W } ( x ) } )
\begin{array} { r l r } { g ^ { 2 } + g ^ { 4 } Q ^ { - \epsilon } \left( \frac { 2 \beta _ { 0 } } { \epsilon } \right) } & { { } = } & { { \frac { 1 } { { \frac { 1 } { g ^ { 2 } } } - { \frac { 2 \beta _ { 0 } Q ^ { - \epsilon } } { \epsilon } } } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { A _ { t } ^ { - 1 } } & { { } = A _ { 0 } ^ { - 1 } + t m ^ { - 1 } = A _ { 0 } ^ { - 1 } \cdot ( \operatorname { I d } _ { D } + t A _ { 0 } \cdot m ^ { - 1 } ) } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { ( - ) ^ { p } } { \lambda _ { s } \tilde { c } _ { \phi } } G _ { n _ { \perp } \tilde { n } _ { \perp } } ^ { R } } & { = \frac { \omega k } { \big ( i \omega - D _ { n } k ^ { 2 } - \Gamma \big ) \big ( i \omega - \tilde { D } _ { n } k ^ { 2 } - \tilde { \Gamma } \big ) + v _ { \perp } ^ { 2 } k ^ { 2 } } \frac { * k } { | k | } , } \\ { \frac { ( - ) ^ { p } } { \lambda _ { s } \tilde { c } _ { \phi } } G _ { n _ { \perp } \tilde { \jmath } _ { \| } } ^ { R } } & { = - \frac { i \omega \tilde { D } _ { n } k ^ { 2 } + i \omega ( 1 + \tilde { \tau } ) \big ( i \omega - \tilde { D } _ { n } k ^ { 2 } - \tilde { \Gamma } \big ) } { \big ( i \omega - D _ { n } k ^ { 2 } - \Gamma \big ) \big ( i \omega - \tilde { D } _ { n } k ^ { 2 } - \tilde { \Gamma } \big ) + v _ { \perp } ^ { 2 } k ^ { 2 } } \frac { * k } { | k | } , } \\ { \frac { ( - ) ^ { p } } { \lambda _ { s } \tilde { c } _ { \phi } } G _ { j _ { \| } \tilde { \jmath } _ { \| } } ^ { R } } & { = \omega k \frac { ( \tau \tilde { \tau } + 1 / \lambda _ { s } ) v _ { \perp } ^ { 2 } - ( 1 + \tau ) \tilde { D } _ { n } ( i \omega - \Gamma ) - D _ { n } ( 1 + \tilde { \tau } ) ( i \omega - \tilde { \Gamma } ) + D _ { n } \tilde { D } _ { n } k ^ { 2 } / \lambda _ { s } } { \big ( i \omega - D _ { n } k ^ { 2 } - \Gamma \big ) \big ( i \omega - \tilde { D } _ { n } k ^ { 2 } - \tilde { \Gamma } \big ) + v _ { \perp } ^ { 2 } k ^ { 2 } } \frac { * k } { | k | } . } \end{array}
\begin{array} { r l } & { E \left[ E _ { ( s _ { h } ^ { k } , a _ { h } ^ { k } ) \sim w _ { h k } ^ { B } } \left[ \frac { \vert u ( - H + h ) \vert } { \sqrt { \operatorname* { m a x } \{ 1 , N _ { h } ^ { k } ( s _ { h } ^ { k } , a _ { h } ^ { k } ) \} } } \right] \right] } \\ & { = E \left[ E \left[ \Lambda _ { 2 } ^ { k } ( s _ { 2 } ^ { k } ) \cdots \Lambda _ { h } ^ { k } ( s _ { h } ^ { k } ) \frac { \vert u ( - H + h ) \vert } { \sqrt { \operatorname* { m a x } \{ 1 , N _ { h } ^ { k } ( s _ { h } ^ { k } , a _ { h } ^ { k } ) \} } } \Bigg \vert s _ { 1 } ^ { k } , a _ { 1 } ^ { k } \right] \right] } \\ & { = E \left[ \Lambda _ { 2 } ^ { k } ( s _ { 2 } ^ { k } ) \cdots \Lambda _ { h } ^ { k } ( s _ { h } ^ { k } ) \frac { \vert u ( - H + h ) \vert } { \sqrt { \operatorname* { m a x } \{ 1 , N _ { h } ^ { k } ( s _ { h } ^ { k } , a _ { h } ^ { k } ) \} } } \right] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \widehat { \Omega } _ { m } } & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } s f _ { 0 } ( s ) d s - \frac { m + 1 } { m } \int _ { 0 } ^ { 1 } s ^ { 2 m + 1 } f _ { 0 } ( s ) d s } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } s f _ { 0 } ( s ) d s - \frac { 1 } { 2 m } f _ { 0 } ( 1 ) + \frac { m + 1 } { m } \int _ { 0 } ^ { 1 } s ^ { 2 m + 1 } \big [ f _ { 0 } ( 1 ) - f _ { 0 } ( s ) \big ] d s } \\ & { = \int _ { 0 } ^ { 1 } s f _ { 0 } ( s ) d s - \frac { 1 } { 2 m } f _ { 0 } ( 1 ) + O ( m ^ { - 2 } ) . } \end{array}
\mathrm { d i f f ( o b s . , m o d . ) } = \sqrt { \frac { 1 } { n _ { b } } \sum _ { i = 1 } ^ { n _ { b } } \left( P _ { o b s } ( \lambda _ { i } ) - P _ { b m o d } ( \lambda _ { i } ) \right) ^ { 2 } } ,
\begin{array} { r l } { p _ { \Vec { y } } ( \boldsymbol { y } _ { \ell } ) } & { = \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \! p _ { \Vec { y } , \tau } ( \boldsymbol { y } _ { \ell } , \tau ) \, \mathrm { d } \tau = \int _ { 0 } ^ { \infty } \! \! \! p _ { \Vec { y } | \tau } ( \boldsymbol { y } _ { \ell } | \tau ) p _ { \tau } ( \tau ) \, \mathrm { d } \tau } \\ & { = ( \operatorname* { d e t } \boldsymbol { \Sigma } ) ^ { - 1 } g ( \boldsymbol { y } _ { \ell } ^ { \sf H } \boldsymbol { \Sigma } ^ { - 1 } \boldsymbol { y } _ { \ell } ) } \end{array}
\begin{array} { r l r } { n _ { 0 } ^ { \pm } \! } & { { } = } & { \! n _ { 0 } \pm \frac { \tilde { s } } { s } \, , \ u _ { \tilde { n } ^ { \pm } } = \frac { n s \mp \tilde { s } } { n _ { 0 } ^ { \pm } s \mp \tilde { s } } \, , } \\ { \tilde { s } \! } & { { } = } & { \! 2 ( \tilde { k } k ^ { \prime } ) \, , \ \tilde { z } _ { \alpha } = \, \frac { 8 m ^ { 2 } } { \tilde { s } - \sigma s } \, \xi \tilde { \xi } \, u \, , } \\ { \tilde { z } ^ { \pm } \! } & { { } = } & { \! \frac { 8 m ^ { 2 } } { \tilde { s } } \, \tilde { \xi } \sqrt { 1 + \xi ^ { 2 } } \sqrt { u ( u _ { \tilde { n } ^ { \pm } } - u ) } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \mathcal { V } _ { n - 1 } ( W | n ( p ) ^ { \perp } ) } & { = \frac { 1 } { 2 } \int _ { q \in W } | L _ { { q p ^ { - 1 } } _ { * } } n ( p ) \cdot \tilde { n } ( q ) | d \Sigma _ { q } } \\ & { = \frac { 1 } { 2 } \int _ { U } | \cos \theta | \sqrt { \operatorname* { d e t } ( B ^ { T } \cdot B ) } d x _ { 1 } \cdots d x _ { n - 1 } , } \end{array}
\begin{array} { r } { Q ^ { - } = 4 \pi | V _ { \mathbf { p } , \mathbf { p } _ { 2 } } ^ { \mathbf { p _ { 1 } } } | ^ { 2 } \, f _ { 1 p 2 } \, \delta ( \omega - \omega _ { 1 } + \omega _ { 2 } ) \delta ( m - m _ { 1 } + m _ { 2 } ) k _ { 1 } k _ { 2 } , } \end{array}
S \ : \ \ \ \tau \ \rightarrow \ \tilde { \tau } = - \frac { 1 } { \tau } \ \ \ , \ \ \ A _ { \bar { z } } ^ { + + } ( 0 , 0 ) \ \rightarrow \ \tilde { A } _ { \bar { z } } ^ { + + } ( 0 , 0 ) = - \bar { \tau } A _ { \bar { z } } ^ { + + } ( 0 , 0 ) \ \ \ ,
{ \mathscr E } _ { s f } ( U ) = \frac { \mu _ { 0 } } { 2 } \int _ { { \mathbb R } ^ { 3 } } | \nabla U | ^ { 2 } d x = \frac { 1 6 } { 8 1 } \pi { r _ { 0 } } ^ { 3 } .
\begin{array} { r } { \operatorname* { s u p } _ { u \in U } \left| m _ { N } ^ { \Phi } ( u ) \right| = \operatorname* { s u p } _ { u \in U } \left| \langle m _ { N } ^ { \Phi } ( \cdot ) , k ( \cdot , u ) \rangle _ { H _ { k } ( U ) } \right| \leq \| \Phi \| _ { H _ { k } ( U ) } \operatorname* { s u p } _ { u \in U } \sqrt { k ( u , u ) } . } \end{array}
A _ { F B } ( z ) = \frac { \int _ { 0 } ^ { 1 } d w d ^ { 2 } B R / d w d z - \int _ { - 1 } ^ { 0 } d w d ^ { 2 } B R / d w d z } { \int _ { 0 } ^ { 1 } d w d ^ { 2 } B R / d w d z + \int _ { - 1 } ^ { 0 } d w d ^ { 2 } B R / d w d z } \; \; ,
I = \frac { M } { 2 } \int _ { 0 } ^ { s } d \tau \dot { x } _ { i } ^ { 2 } + \frac { M } { 2 } \int _ { 0 } ^ { s ^ { \prime } } d \tau ^ { \prime } \dot { y } _ { j } ^ { 2 } + \frac { M } { 2 } ( s + s ^ { \prime } ) + \frac { K _ { R } } { 2 } \int _ { 0 } ^ { s } d \tau \epsilon _ { i j } x _ { i } \dot { x } _ { j } + \frac { K _ { R } } { 2 } \int _ { 0 } ^ { s ^ { \prime } } d \tau ^ { \prime } \epsilon _ { i j } y _ { i } \dot { y } _ { j } .
\left[ { \begin{array} { c c c c c } { 1 } & { a _ { 0 } } & { a _ { 1 } } & { a _ { 2 } } & { a _ { 3 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 2 } & { a _ { 4 } } & { a _ { 5 } } \\ { 0 } & { 0 } & { 0 } & { 1 } & { a _ { 6 } } \end{array} } \right]
\left\{ \begin{array} { l c l } { { \Sigma } } & { { = } } & { { r ^ { 2 } + a ^ { 2 } \cos ^ { 2 } \theta } } \\ { { \Delta } } & { { = } } & { { r ^ { 2 } + a ^ { 2 } + Q ^ { 2 } - 2 M r \; . } } \end{array} \right.
\langle P \rangle _ { n } ^ { \mathrm { r e p a i r } } = - 3 \Delta r \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } \frac { \langle u \rangle \eta } { h ^ { 2 } } + \langle P \rangle _ { 0 } ^ { \mathrm { r e p a i r } } .
\begin{array} { r l } { \frac { \mathrm { d } \boldsymbol { M } } { \mathrm { d } t } } & { = \gamma \boldsymbol { M } \times \boldsymbol { B } + \frac { \left( M _ { 0 } - M _ { z } \right) \hat { \boldsymbol { z } } } { T _ { 1 } } - \frac { M _ { x } \hat { \boldsymbol { x } } + M _ { y } \hat { \boldsymbol { y } } } { T _ { 2 } } , } \end{array}
\begin{array} { r l } { \Phi _ { \mathrm { ~ i ~ s ~ o ~ } } } & { { } = \frac { q ^ { 2 } } { 4 m c ^ { 2 } } \frac { ( \int _ { 0 } ^ { z } d z ^ { \prime } \tilde { B } ( z ^ { \prime } ) ) ^ { 2 } } { 1 - \Omega ^ { 2 } / \omega ^ { 2 } } = \frac { m } { 4 } \frac { \left( \int _ { 0 } ^ { z } d z ^ { \prime } \tilde { \Omega } ( z ^ { \prime } ) \right) ^ { 2 } } { 1 - \Omega ^ { 2 } / \omega ^ { 2 } } . } \end{array}
\left( - \partial _ { N } - V ^ { \prime } ( \bar { X } ) \partial _ { N } - \frac 1 2 V ^ { \prime \prime } ( \bar { X } ) ( \partial _ { N } \bar { X } ) + \frac 1 2 \hat { w } ^ { \prime \prime } ( \bar { X } ) \right) \xi | _ { \partial { \cal M } } = 0 \; .
\omega _ { \mathrm { p } } ^ { 2 } ( t ) = \omega _ { \mathrm { p 0 } } ^ { 2 } \big ( 1 + f _ { \mathrm { m o d } } \sum _ { n } \sin ( \omega _ { \mathrm { m o d } _ { n } } t + \varphi _ { \mathrm { m o d } _ { n } } ) \big ) ,
\begin{array} { r l } { \frac { d E _ { 1 } } { d t } } & { { } = [ - 1 + i ( \vert E _ { 1 } \vert ^ { 2 } + B \vert E _ { 2 } \vert ^ { 2 } - \Delta ) ] E _ { 1 } + \sqrt { F } , } \\ { \frac { d E _ { 2 } } { d t } } & { { } = [ - 1 + i ( \vert E _ { 2 } \vert ^ { 2 } + B \vert E _ { 1 } \vert ^ { 2 } - \Delta ) ] E _ { 2 } + \sqrt { F } , } \end{array}
e ^ { A - A _ { 0 } } = t ^ { \frac { 2 } { 3 ( 1 + \gamma ) } } \; , \; \; \; \; \chi = 1 - \chi _ { 0 } t ^ { - \frac { 1 - \gamma } { ( 1 + \gamma ) ( 1 - \alpha ) } } \; ,
{ \begin{array} { r l } { x _ { 1 } v _ { 1 } + x _ { 2 } v _ { 2 } } & { = ( y _ { 1 } \cos t - y _ { 2 } \sin t ) v _ { 1 } + ( y _ { 1 } \sin t + y _ { 2 } \cos t ) v _ { 2 } } \\ & { = y _ { 1 } ( \cos ( t ) v _ { 1 } + \sin ( t ) v _ { 2 } ) + y _ { 2 } ( - \sin ( t ) v _ { 1 } + \cos ( t ) v _ { 2 } ) } \\ & { = y _ { 1 } w _ { 1 } + y _ { 2 } w _ { 2 } . } \end{array} }
\Sigma _ { \alpha } = { \frac { 1 } { t ^ { 2 } } } \left( t _ { \alpha } \, S + \eta _ { \alpha \beta } t ^ { \beta } \, S ^ { \star } \right) = { \frac { 1 } { t ^ { 2 } } } \left( t _ { \alpha } \, S + t _ { \alpha } ^ { \star } \, S ^ { \star } \right) .
\begin{array} { r l } { \Sigma _ { p q } ^ { ( n , < ) } } & { = \sum _ { i a , j b , k } \sum _ { t = 0 } ^ { n } \binom { n } { t } ( - 1 ) ^ { t } \epsilon _ { k } ^ { n - t } ( p k | i a ) \eta _ { i a , j b } ^ { ( t ) } ( q k | j b ) } \\ { \Sigma _ { p q } ^ { ( n , > ) } } & { = \sum _ { i a , j b , c } \sum _ { t = 0 } ^ { n } \binom { n } { t } \epsilon _ { c } ^ { n - t } ( p c | i a ) \eta _ { i a , j b } ^ { ( t ) } ( q c | j b ) . } \end{array}
\left( \frac { 1 } { 2 \pi } \sum _ { j = 1 } ^ { M \leq N } k _ { j } \right) _ { t } + \left( \frac { 1 } { 2 \pi } \sum _ { j = 1 } ^ { M \leq N } \omega _ { j } \right) _ { x } = 0 .
\begin{array} { r l } { \mathbb { E } ^ { Q } [ E ] } & { = \mathbb { E } ^ { Q } \left[ \frac { ( X - \mu ^ { U } ) _ { + } ^ { 2 } + ( X - \mu ^ { L } ) _ { - } ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } \right] } \\ & { \leqslant \mathbb { E } ^ { Q } \left[ \frac { ( X - \mathbb { E } ^ { Q } [ X ] ) _ { + } ^ { 2 } + ( X - \mathbb { E } ^ { Q } [ X ] ) _ { - } ^ { 2 } } { \sigma ^ { 2 } } \right] = \frac { \mathrm { v a r } ^ { Q } ( X ) } { \sigma ^ { 2 } } \leqslant 1 . } \end{array}
\left\{ \begin{array} { l l } { d \textbf { Y } ( t ) = \boldsymbol { \mu } d t + Q d \textbf { W } ( t ) , } \\ { \textbf { Y } ( t ) = \boldsymbol { \varphi } ( t ) \quad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } \quad t \in [ - \tau , 0 ] , } \end{array} \right.
\mathbf { T } = 8 \pi \mu a ^ { 3 } \left[ { \frac { 1 } { 2 } } \left( { \boldsymbol { \nabla } } \times \mathbf { u } ^ { \prime } \right) - ( \mathbf { \Omega } - \mathbf { \Omega } ^ { \infty } ) \right] ,
\begin{array} { r l } { M _ { t } ( m ) } & { = \prod _ { i = 1 } ^ { t } \frac { \exp \{ \phi ( \lambda _ { i } ( X _ { i } - m ) ) \} } { 1 + \lambda _ { i } ( \mu ( P ) - m ) + \frac { \lambda _ { i } ^ { 2 } } { 2 } \left( \sigma ^ { 2 } + ( \mu ( P ) - m ) ^ { 2 } \right) + 1 . 5 \varepsilon } } \\ & { = \frac { \prod _ { i = 1 } ^ { t } \exp \{ \phi ( \lambda ( X _ { i } - m ) ) \} } { \left( 1 + \lambda ( \mu ( P ) - m ) + \frac { \lambda ^ { 2 } } { 2 } \left( \sigma ^ { 2 } + ( \mu ( P ) - m ) ^ { 2 } \right) + 1 . 5 \varepsilon \right) ^ { t } } . } \end{array}
\lbrack \gamma ^ { \mu } , \gamma ^ { \nu } ] _ { + } = 2 \eta ^ { \mu \nu } , \; \; \eta ^ { \mu \nu } = \mathrm { d i a g } ( \underbrace { 1 , - 1 , - 1 , \ldots } _ { d } ) , \; \; d = D + 1 ,
\begin{array} { r } { \mathfrak { A } _ { 1 } = \Pi _ { S ^ { \perp } } O p ( \mathfrak { t } _ { 1 } ) , \quad \mathfrak { t } _ { 1 } ( x , \xi ) : = \frac { 6 } { \pi } \sum _ { j _ { k } \in S } \frac { ( j _ { k } + \xi ) H _ { 3 , j _ { k } , \xi , - ( \xi + j _ { k } ) } } { \lambda _ { \alpha } ( \xi + j _ { k } ) - \lambda _ { \alpha } ( \xi ) - \lambda _ { \alpha } ( j _ { k } ) } \sqrt { j _ { k } \zeta _ { k } } e ^ { \mathrm { i } \mathtt { l } ( j _ { k } ) \cdot \varphi + \mathrm { i } j _ { k } x } . } \end{array}
{ \mathcal { C } } E ( { \mathcal { O } } ) = \{ E _ { r } ^ { p , q } , { \mathrm { d } } _ { r } ^ { p , q } \} \qquad { \mathrm { w h e r e } } \qquad E _ { 0 } ^ { p , q } : = { \frac { { \mathcal { C } } ^ { p } \Omega ^ { p + q } ( { \mathcal { O } } ) } { { \mathcal { C } } ^ { p + 1 } \Omega ^ { p + q } ( { \mathcal { O } } ) } } , \qquad { \mathrm { a n d } } \qquad E _ { r + 1 } ^ { p , q } : = H ( E _ { r } ^ { p , q } , d _ { r } ^ { p , q } )
\begin{array} { r l } { \| e ^ { - i \tau \widehat { \mathcal { A } } _ { \varepsilon } } - e ^ { - i \tau \widehat { \mathcal { A } } ^ { \mathrm { h o m } } } \| _ { H ^ { 3 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) \to L _ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } } & { \le C ( 1 + | \tau | ) \varepsilon , } \\ { \| \cos ( \tau \widehat { \mathcal { A } } _ { \varepsilon } ^ { 1 / 2 } ) - \cos ( \tau ( \widehat { \mathcal { A } } ^ { \mathrm { h o m } } ) ^ { 1 / 2 } ) \| _ { H ^ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) \to L _ { 2 } ( \mathbb { R } ^ { d } ) } } & { \le C ( 1 + | \tau | ) \varepsilon . } \end{array}
\begin{array} { r l } { \lambda _ { c } ( s _ { c } , t ) } & { { } = k _ { 1 } C _ { 0 } ( C _ { 0 } - 1 ) \left( e ^ { 2 r \, \frac { s _ { c } } { t C _ { 0 } } } - 1 \right) + 2 k _ { 2 } C _ { 0 } D _ { 0 } \left( e ^ { s \, \frac { s _ { c } } { t C _ { 0 } } } - 1 \right) ~ , } \\ { \lambda _ { d } ( s _ { d } , t ) } & { { } = 2 k _ { 2 } C _ { 0 } D _ { 0 } \left( e ^ { \tau \, \frac { s _ { d } } { t D _ { 0 } } } - 1 \right) + k _ { 4 } D _ { 0 } ( D _ { 0 } - 1 ) \left( e ^ { 2 p \, \frac { s _ { d } } { t D _ { 0 } } } - 1 \right) ~ ~ . } \end{array}
\langle \psi _ { L } ^ { f \alpha i } ( p ) \psi _ { L } ^ { g \beta j } ( - p ) \rangle = \langle \psi _ { R } ^ { f \alpha i } ( p ) \psi _ { R } ^ { g \beta j } ( - p ) \rangle = \epsilon ^ { f g } \epsilon ^ { \alpha \beta 3 } \epsilon ^ { i j } F ( p ) \, .
F _ { \mathrm { C S , p u r e } } [ \rho , \mathbf { j } ^ { \mathrm { p } } ] = \langle \psi _ { 0 } | H _ { 0 } | \psi _ { 0 } \rangle , \quad \psi _ { 0 } \mapsto ( \rho , \mathbf { j } ^ { \mathrm { p } } ) .
r = r _ { + } \frac { 1 + y ^ { 2 } } { 1 - y ^ { 2 } } , \ \ \ y ^ { 2 } = - y _ { 0 } ^ { 2 } + y _ { 1 } ^ { 2 } + y _ { 2 } ^ { 2 } + y _ { 3 } ^ { 2 } .
\begin{array} { r l r } { n \oplus m } & { { } = } & { N \operatorname { t a n h } \left( \operatorname { t a n h } ^ { - 1 } \frac { n } { N } + \operatorname { t a n h } ^ { - 1 } \frac { m } { N } \right) } \end{array}
{ \cal N } _ { n } = \eta _ { n } B _ { n } ^ { 2 } ( 1 - \kappa _ { n } ) ( 2 { \cal E } _ { n } + 1 ) + \kappa _ { n } A _ { n } ^ { 2 } ( 1 - \eta _ { n } ) ( 2 { \cal E } _ { n } + 1 )
\begin{array} { r l } & { \left( \begin{array} { l l } { \mathbf { 1 } _ { i } } & { \widetilde { q } _ { i } \frac { Z ^ { i } } { Y } } \\ { - q _ { i } \frac { Y } { Z ^ { i + 1 } } } & { \mathbf { 1 } _ { i + 1 } - \frac { q _ { i } \widetilde { q } _ { i } } { Z } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { e _ { i } \left( \mathbf { 1 } _ { i } - \frac { \widetilde { q } _ { i } q _ { i } } { Z } \right) } & { 0 } \\ { 0 } & { e _ { i + 1 } \cdot \mathbf { 1 } _ { i + 1 } } \end{array} \right) \left( \begin{array} { l l } { \mathbf { 1 } _ { i } } & { - \widetilde { q } _ { i } \frac { Z ^ { i } e _ { i + 1 } } { Y e _ { i } } } \\ { q _ { i } \frac { Y e _ { i } } { Z ^ { i + 1 } e _ { i + 1 } } } & { \mathbf { 1 } _ { i + 1 } - \frac { q _ { i } \widetilde { q } _ { i } } { Z } } \end{array} \right) } \\ & { = \left( \begin{array} { l l } { e _ { i } \cdot \mathbf { 1 } _ { i } } & { 0 } \\ { 0 } & { e _ { i + 1 } \left( \mathbf { 1 } _ { i + 1 } - \frac { q _ { i } \widetilde { q } _ { i } } { Z } \right) } \end{array} \right) \, . } \end{array}
S = - C _ { p } \int d ^ { p + 1 } \sigma \sqrt { - \operatorname * { d e t } ( \mathcal { G } _ { \mu \nu } + 2 \pi \alpha ^ { \prime } \mathcal { F } _ { \mu \nu } ) } F ( T , \partial T , \theta _ { L } , \theta _ { R } , \mathcal { G } , . . ) ,