harryrobert/nav2tex-decoder-latex-pretrain huggingface dataset:
M _ { \tilde { f _ { i } } } ^ { 2 } = m _ { \tilde { f _ { i } } } ^ { 2 } + m _ { f _ { i } } ^ { 2 } + \frac { 5 } { 6 } g _ { \eta } ^ { 2 } Y _ { 1 } ^ { i } v _ { 3 } ^ { 2 }
\phi _ { 0 } ^ { r } = \left\{ \begin{array} { l l } { \phi _ { 0 } ^ { 1 } = \frac { \pi } { 2 ^ { m } } , } & { \quad \mathrm { w . p . } \, \, \, p _ { \phi } = \frac { 1 } { 2 ^ { m } } } \\ { \phi _ { 0 } ^ { 2 } = \frac { \pi } { 2 ^ { m } } + \frac { \pi } { 2 ^ { m - 1 } } , } & { \quad \mathrm { w . p . } \, \, \, p _ { \phi } = \frac { 1 } { 2 ^ { m } } } \\ { \vdots } \\ { \phi _ { 0 } ^ { 2 ^ { m } } = \frac { \pi } { 2 ^ { m } } + \underbrace { \frac { \pi } { 2 ^ { m - 1 } } + . . . + \frac { \pi } { 2 ^ { m - 1 } } } _ { ( 2 ^ { m } - 1 ) \, \mathrm { { t e r m s } } } , } & { \quad \mathrm { w . p . } \, \, \, p _ { \phi } = \frac { 1 } { 2 ^ { m } } } \end{array} \right. ,
\begin{array} { r } { \dot { \langle O \rangle } = \frac { 1 } { i \hbar } \left\langle [ O , H ] \right\rangle + \sum _ { j } \left\langle \gamma _ { j } \left( A _ { j } ^ { \dagger } O A _ { j } - \frac { 1 } { 2 } \left\{ A _ { j } ^ { \dagger } A _ { j } , O \right\} \right) \right\rangle , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { N \left( \frac { m } { P ^ { D } ( T _ { 1 } , T _ { 2 } ) } - \hat { K } \right) ^ { + } } & { = } & { N \left( \frac { P ^ { F } ( 0 , T _ { 1 } ) } { P ^ { F } ( 0 , T _ { 2 } ) } \exp \left( G ( T _ { 2 } - T _ { 1 } ) x _ { T _ { 1 } } + \frac { 1 } { 2 } G ^ { 2 } ( T _ { 2 } - T _ { 1 } ) y _ { T _ { 1 } } \right) - \hat { K } \right) ^ { + } } \\ & { = : } & { N \left( p _ { F } \exp \left( c _ { x } x _ { T _ { 1 } } + c _ { y } y _ { T _ { 1 } } \right) - \hat { K } \right) ^ { + } , } \end{array}
U ( \phi ) = \frac { 1 } { 2 } \sum _ { a } \frac { \partial W ^ { 1 } } { \partial \phi ^ { a } } \frac { \partial W ^ { 1 } } { \partial \phi ^ { a } } = \frac { 1 } { 2 } \left( 1 - 2 ( \phi _ { 1 } ^ { 2 } + \phi _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { \frac { n - 1 } { 2 } } \cos \left[ ( n - 1 ) \arctan \frac { \phi ^ { 2 } } { \phi ^ { 1 } } \right] + ( \phi _ { 1 } ^ { 2 } + \phi _ { 2 } ^ { 2 } ) ^ { n - 1 } \right)
\begin{array} { r l } { | \psi _ { 0 , 1 } \rangle = } & { { } ~ ( C _ { g g } | g g \rangle + C _ { e g } | e g \rangle + C _ { g e } | g e \rangle + C _ { e e } | e e \rangle ) \otimes | 1 \rangle } \\ { \rightarrow | \psi _ { \mathrm { t a r } } \rangle = } & { { } ~ | g g \rangle \otimes ( C _ { g g } | 1 \rangle + C _ { g e } | 2 \rangle + C _ { e g } | 3 \rangle + C _ { e e } | 4 \rangle ) , } \end{array}
{ \sf T } _ { a } ^ { b \; m i x } = \tau _ { b } \, \left[ { \sf R } ^ { n _ { 0 } } \right] _ { a } ^ { c _ { 1 } } \otimes \left[ { \sf R } ^ { n _ { 1 } } \right] _ { c _ { 1 } } ^ { c _ { 2 } } \, . . . \,
N = \left\{ \begin{array} { l l } { \mathrm { ~ c ~ a ~ r ~ d ~ } \left[ \theta _ { i } > \operatorname* { m a x } \left( T _ { 0 } , \, T _ { 1 } \right) \right] } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \, \, \theta _ { 1 } > \sqrt { 2 } / 2 } \\ { 1 } & { \mathrm { ~ i ~ f ~ } \, \, \theta _ { 1 } \le \sqrt { 2 } / 2 } \end{array} \right. .
\left\{ l ( S ) , { \frac { l ( S ) } { 8 } } ; l ( S ) , { \frac { l ( S ) } { 8 } } ; l ( S ) , { \frac { l ( S ) } { 8 } } ; l ( S ) , { \frac { l ( S ) } { 8 } } ; l ( S ) , { \frac { l ( S ) } { 8 } } ; l ( S ) , { \frac { l ( S ) } { 8 } } \right\} .
\frac { d ^ { 2 } \gamma ^ { a } } { d \tau ^ { 2 } } + \sum _ { b , c } \tilde { \Gamma } _ { b c } ^ { a } \frac { d \gamma ^ { b } } { d \tau } \frac { d \gamma ^ { c } } { d \tau } = - \frac { 1 } { 2 } \sum _ { b , c , k } \left( \frac { \partial \alpha } { \partial x ^ { b } } h ^ { k a } h _ { c k } + \frac { \partial \alpha } { \partial x ^ { c } } h _ { k b } \right) \frac { d \gamma ^ { b } } { d \tau } \frac { d \gamma ^ { c } } { d \tau } .
\varphi ( z ) = - \frac { 4 } { 3 } \sqrt { \frac { 2 } { 3 } } \left( 1 - i \right) \left( \frac { 1 } { 2 } + i \ \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } - \frac { 1 } { z - e ^ { \frac { 2 \pi i } { 3 } } } \right) ,
\begin{array} { r l } { z ( \omega ) - z _ { k } } & { { } = \frac { 1 } { 2 } \left[ \Phi _ { 2 } ( \omega - \Omega ) ^ { 2 } + \Phi _ { 1 } ( \omega - \Omega ) + \Phi _ { 0 } ) \right] + i \frac { | \log \mathcal { A } | } { 2 } - z _ { k } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \rVert \Delta _ { 1 2 } ^ { k } \partial _ { \varphi } ^ { \vec { \mathtt { b } } } ( \mathcal { A } ) h \rVert _ { s } ^ { 2 } } & { \le C \left( \left( \mathfrak { M } _ { \partial _ { \varphi } ^ { \vec { \mathtt { b } } } ( \mathcal { A } ) } ^ { \gamma } ( 0 , s ) \right) ^ { 2 } \rVert h \rVert _ { s _ { 0 } } ^ { 2 } + \left( \mathfrak { M } _ { \partial _ { \varphi } ^ { \vec { \mathtt { b } } } ( \mathcal { A } ) } ^ { \gamma } ( 0 , s _ { 0 } ) \right) ^ { 2 } \rVert h \rVert _ { s } ^ { 2 } \right) } \\ & { = C \left( \left( \mathfrak { M } _ { \partial _ { \varphi } ^ { \vec { \mathtt { b } } } ( \mathcal { A } ) } ^ { \gamma } ( 0 , s ) \right) ^ { 2 } \langle l ^ { \prime } , j ^ { \prime } \rangle ^ { 2 s _ { 0 } } + \left( \mathfrak { M } _ { \partial _ { \varphi } ^ { \vec { \mathtt { b } } } ( \mathcal { A } ) } ^ { \gamma } ( 0 , s _ { 0 } ) \right) ^ { 2 } \langle l ^ { \prime } , j ^ { \prime } \rangle ^ { 2 s } \right) , } \end{array}
\sum _ { i = 0 } ^ { N } i = { \frac { N ( N + 1 ) } { 2 } } \; \; \mathrm { a n d } \; \; \sum _ { i = 0 } ^ { N } i ^ { 2 } = { \frac { N ( N + 1 ) ( 2 N + 1 ) } { 6 } } ,
\begin{array} { r l } { \Sigma _ { m - 1 } ( s ) } & { = ( 0 , \ 1 ) { \mathcal N } ( s ) \left( \begin{array} { c } { \Sigma _ { 1 } ( s ) } \\ { \Sigma _ { 2 } ( s ) } \end{array} \right) } \\ & { = \lambda _ { - } ( s ) ^ { m - 3 } ( 0 , \ 1 ) \{ { \mathcal M } _ { 0 } ( s ) + \epsilon { \mathcal M } _ { 1 } ( s ) \} \left( \begin{array} { c } { \Sigma _ { 1 } ^ { ( 0 ) } ( s ) + \epsilon \Sigma _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( s ) + O ( \epsilon ^ { 2 } ) } \\ { \Sigma _ { 2 } ^ { ( 0 ) } ( s ) + \epsilon \Sigma _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( s ) + O ( \epsilon ^ { 2 } ) } \end{array} \right) } \\ & { = \lambda _ { + } ( s ) ^ { m - 3 } ( 0 , \ 1 ) \left\{ { \mathcal M } _ { 0 } ( s ) \left( \begin{array} { c } { \Sigma _ { 1 } ^ { ( 1 ) } ( s ) } \\ { \Sigma _ { 2 } ^ { ( 1 ) } ( s ) } \end{array} \right) + { \mathcal M } _ { 1 } ( s ) \left( \begin{array} { c } { \Sigma _ { 1 } ^ { ( 0 ) } ( s ) } \\ { \Sigma _ { 2 } ^ { ( 0 ) } ( s ) } \end{array} \right) + O ( \epsilon ) \right\} . } \end{array}
( 1 - \frac { m ^ { 2 } } { s ^ { 2 } } ) ^ { \frac { d - 3 } { 2 } } = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } ( - 1 ) ^ { k } C _ { \frac { d - 3 } { 2 } } ^ { k } ( \frac { m } { s } ) ^ { 2 k } ,
\begin{array} { r l } { \phi ( n ) } & { { } = \tan ^ { - 1 } \left( \frac { S _ { 2 } ( n ) } { S _ { 1 } ( n ) } \right) - 2 \theta - \frac { \pi } { 2 } , } \\ { l ^ { 2 } ( n ) } & { { } = \frac { 1 - \tilde { S } _ { 3 } ( n ) } { 2 } = 1 - r ^ { 2 } ( n ) , } \end{array}
\begin{array} { r l r } { \kappa _ { j } } & { { } = } & { - \mathrm { ~ T ~ r ~ } \left[ \hat { D } _ { j } ( \xi _ { j } ^ { - } ) \left( \hat { b } _ { j } + \hat { b } _ { j } ^ { \dagger } \right) \hat { D } _ { j } ^ { \dagger } ( \xi _ { j } ^ { + } ) \rho _ { j } ^ { \mathrm { ~ ( ~ t ~ h ~ ) ~ } } \right] } \end{array}
\begin{array} { r l } { \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } \Delta { u ^ { e } } - \frac { 1 } { 2 \mu } ( \vec { \nabla } u ^ { e } ) ^ { 2 } - \gamma u ^ { e } ( x ) - \lambda - V [ m ^ { e } ] } & { { } = 0 , } \\ { \frac { \sigma ^ { 2 } } { 2 } \Delta m ^ { e } + \frac { 1 } { \mu } \nabla \cdot ( m ^ { e } \nabla u ^ { e } ) } & { { } = 0 . } \end{array}
S ^ { j } ( \textbf { x } , t ) = \operatorname* { m i n } _ { \textbf { x } _ { 0 } ^ { j } } \left( S _ { 0 } ^ { j } ( \textbf { x } _ { 0 } ^ { j } ) + S _ { c l } ^ { j } ( \textbf { x } , t ; \textbf { x } _ { 0 } ^ { j } ) \right)
\frac { 1 } { g \Big ( k _ { i } ( { \bf \Phi } ) \Big ) } = \rho \Big ( k _ { i } ( { \bf \Phi } ) \Big ) \left| \frac { \partial { \bf h } ( { \bf r } ) } { \partial { \bf r } } \right| _ { { \bf r } = { \bf h } ^ { - 1 } ( { \bf \Phi } ) } \; .
\mathrm { ~ J ~ I ~ } \left( x , \; y \right) = \frac { \sum _ { k = 1 } ^ { m } \operatorname* { m i n } \left[ x _ { k } , y _ { k } \right] } { \sum _ { k = 1 } ^ { m } \operatorname* { m a x } \left[ x _ { k } , y _ { k } \right] } \quad .
\mathbf { A } [ \circ ] \mathbf { B } = \left[ { \begin{array} { c c c } { \mathbf { A } \circ \mathbf { B } _ { 1 } } & { \mathbf { A } \circ \mathbf { B } _ { 2 } } & { \mathbf { A } \circ \mathbf { B } _ { 3 } } \end{array} } \right]
\begin{array} { r l } { \rho _ { f } \boldsymbol { u } ^ { \star } \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { \mathsf { U } } + \rho _ { f } \boldsymbol { \mathsf { U } } \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { u } ^ { \star } } & { { } = - \boldsymbol { \nabla } \mathsf { P } + \mu _ { f } \nabla ^ { 2 } \boldsymbol { \mathsf { U } } + \rho _ { f } ( \boldsymbol { u } _ { f } ^ { \star } \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { \lambda } ) \boldsymbol { \mathsf { U } } } \\ { \boldsymbol { \nabla } \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { \mathsf { U } } } & { { } = \boldsymbol { \lambda } \boldsymbol { \cdot } \boldsymbol { \mathsf { U } } \, , } \\ { \boldsymbol { \mathsf { U } } ( \boldsymbol { x } ) } & { { } = \boldsymbol { \mathsf { U } } ( \boldsymbol { x } + n _ { 1 } \boldsymbol { l } _ { 1 } ) \, , \qquad \mathsf { P } ( \boldsymbol { x } ) = \mathsf { P } ( \boldsymbol { x } + n _ { 1 } \boldsymbol { l } _ { 1 } ) \, , } \\ { \boldsymbol { \mathsf { U } } ( \boldsymbol { x } ) } & { { } = 0 \qquad \mathrm { ~ f ~ o ~ r ~ } ~ ~ \boldsymbol { x } \in \Gamma _ { 0 } \, . } \end{array}
C _ { k } = \int d ^ { 3 } q _ { 1 } . . . d ^ { 3 } q _ { k } \rho _ { 0 } ( q _ { 1 } , q _ { 2 } ) \rho _ { 0 } ( q _ { 2 } , q _ { 3 } ) . . . \rho _ { 0 } ( q _ { k - 1 } , q _ { k } ) \rho _ { 0 } ( q _ { k } , q _ { 1 } )
\left\{ \begin{array} { l l } { N ^ { - 1 } L _ { m } ( q _ { M } + \mathfrak { g } \eta _ { M } ) = - \nabla \cdot ( \varrho u _ { M } ) } & { \mathrm { i n ~ } \Omega , } \\ { \partial _ { n } ^ { m } ( q _ { M } + \mathfrak { g } \eta _ { M } ) = \cdots = \partial _ { n } ^ { 2 m - 1 } ( q _ { M } + \mathfrak { g } \eta _ { M } ) = 0 } & { \mathrm { o n ~ } \partial \Omega , } \end{array} \right.
\begin{array} { r } { - { \nu } ^ { \alpha } \left( \phi _ { 0 , \alpha } \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( \zeta ^ { \alpha } \aftergroup \egroup \right) + \frac { \delta } { 4 } \phi _ { 1 , \beta } \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( \zeta ^ { \alpha } \aftergroup \egroup \right) b _ { \alpha } ^ { \beta } + \frac { \delta ^ { 2 } } { 1 6 } \phi _ { 2 , \beta } \mathopen { } \mathclose \bgroup \left( \zeta ^ { \alpha } \aftergroup \egroup \right) b _ { \gamma } ^ { \beta } b _ { \alpha } ^ { \gamma } \right) = \bar { e } _ { 0 } ~ , \quad \forall \zeta ^ { \alpha } \in \partial \Omega _ { 0 \mathrm { N } } ~ , } \end{array}
- \frac { D } { D t } \left( 2 \nu _ { t } S _ { i j } \overline { { u _ { i } ^ { \prime } u _ { j } ^ { \prime } } } \right) = 4 \nu _ { t } ^ { 2 } \frac { D } { D t } \left( S _ { k l } S _ { k l } \right) + 8 S _ { k l } S _ { k l } \nu _ { t } \frac { D \nu _ { t } } { D t } .
\gamma = \frac { 2 \mathrm { R e } ( H _ { - 1 / 2 ~ 0 } H _ { 1 / 2 ~ 1 } ^ { * } + H _ { 1 / 2 ~ 0 } H _ { - 1 / 2 - 1 } ^ { * } ) } { | H _ { 1 / 2 ~ 1 } | ^ { 2 } + | H _ { - 1 / 2 - 1 } | ^ { 2 } + | H _ { 1 / 2 ~ 0 } | ^ { 2 } + | H _ { - 1 / 2 ~ 0 } | ^ { 2 } } .
A _ { \mu \nu } = { \cal A } _ { \mu \nu } ^ { \prime } + \frac { i g _ { A } } { 2 } \left( [ \xi _ { \mu } , v _ { \nu } ^ { \prime } ] - [ \xi _ { \nu } , v _ { \mu } ^ { \prime } ] \right) + \frac { 1 } { 2 } ( 1 - g _ { A } ) ( d _ { \mu } \xi _ { \nu } - d _ { \nu } \xi _ { \mu } ) .
O _ { k } = \frac { \left| \sum _ { m \in { \cal { M } } } { \cal M } _ { k m } \mathcal { H } ( p _ { m } ) e ^ { \sqrt { - 1 } \theta _ { m } } \right| + \epsilon _ { 2 } } { \sum _ { m \in { \cal { M } } } { \cal M } _ { k m } \mathcal { H } ( p _ { m } ) + \epsilon _ { 2 } } ,
\left( \begin{array} { c c c c c c c } { { 0 } } & { { a } } & { { a } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { . . . } } & { { 0 } } \\ { { - a } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { b } } & { { c } } & { { . . . } } & { { d } } \\ { { a } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { - b } } & { { - c } } & { { . . . } } & { { - d } } \\ { { 0 } } & { { b } } & { { b } } & { { 0 } } & { { e } } & { { . . . } } & { { f } } \\ { { 0 } } & { { c } } & { { c } } & { { - e } } & { { 0 } } & { { . . . } } & { { g } } \\ { { . . . } } & { { . . . } } & { { . . . } } & { { . . . } } & { { . . . } } & { { . . . } } & { { . . . } } \\ { { 0 } } & { { d } } & { { d } } & { { - f } } & { { - g } } & { { . . . } } & { { 0 } } \end{array} \right)
{ \mathcal D } ^ { ( 1 / 2 , 1 / 2 ) } \otimes { \mathcal D } ^ { ( 1 / 2 , 1 / 2 ) } = { \mathcal D } ^ { ( 1 , 1 ) } \oplus { \mathcal D } ^ { ( 1 , 0 ) } \oplus { \mathcal D } ^ { ( 0 , 1 ) } \oplus { \mathcal D } ^ { ( 0 , 0 ) } \, .
\begin{array} { r l } { \tau _ { 0 } \frac { d c _ { 0 } ( t ) } { d t } } & { { } = ( 2 \pi \beta J _ { 0 } - 1 ) c _ { 0 } ( t ) - \sqrt { 2 \pi } \beta T } \\ { \tau _ { 0 } \frac { d c _ { 1 } ( t ) } { d t } } & { { } = ( \pi \beta J _ { 1 } - 1 ) c _ { 1 } ( t ) + \sqrt { \frac { \pi } { 2 } } \beta c ( l - i s ) } \\ { \tau _ { 0 } \frac { d c _ { \mathrm { ~ - ~ } 1 } ( t ) } { d t } } & { { } = ( \pi \beta J _ { 1 } - 1 ) c _ { \mathrm { ~ - ~ } 1 } ( t ) + \sqrt { \frac { \pi } { 2 } } \beta c ( l + i s ) } \\ { \tau _ { 0 } \frac { d c _ { \nu } ( t ) } { d t } } & { { } = - c _ { \nu } ( t ) \ \forall \ \lvert \nu \rvert > 1 } \end{array}
{ \begin{array} { r l } { \int _ { \gamma } \nabla \varphi ( \mathbf { r } ) \cdot \mathrm { d } \mathbf { r } } & { = \int _ { a } ^ { b } \nabla \varphi ( \mathbf { r } ( t ) ) \cdot \mathbf { r } ^ { \prime } ( t ) \mathrm { d } t } \\ & { = \int _ { a } ^ { b } { \frac { d } { d t } } \varphi ( \mathbf { r } ( t ) ) \mathrm { d } t = \varphi ( \mathbf { r } ( b ) ) - \varphi ( \mathbf { r } ( a ) ) = \varphi \left( \mathbf { q } \right) - \varphi \left( \mathbf { p } \right) , } \end{array} }
{ \frac { d x } { d \tau } } = \lambda { \frac { p } { m } } , \; \; \; \; { \frac { d p } { d \tau } } = - \lambda m \omega ^ { 2 } x ; \; \; \; \; \; \; { \frac { d t } { d \tau } } = \lambda , \; \; \; \; { \frac { d p _ { t } } { d \tau } } = 0 ,
\begin{array} { r l } { ( 1 - z ) ^ { m _ { 2 } + 1 } ( 1 - x z ) ^ { m _ { 3 } + 1 } } & { = \sum _ { p = 0 } ^ { \infty } a _ { p } z ^ { p } } \\ { ( z - x ) ^ { m _ { 3 } + 1 } z ^ { m _ { 4 } + 1 } } & { = \sum _ { p = 0 } ^ { \infty } b _ { p } ( z - 1 ) ^ { p } } \\ { ( z - 1 ) ^ { m _ { 2 } + 1 } z ^ { m _ { 4 } + 1 } } & { = \sum _ { p = 0 } ^ { \infty } c _ { p } ( z - x ) ^ { p } } \\ { ( z - 1 ) ^ { m _ { 2 } + 1 } ( z - x ) ^ { m _ { 3 } + 1 } } & { = \sum _ { p = 0 } ^ { \infty } d _ { p } z ^ { p } } \end{array}
\begin{array} { r l } { \operatorname* { m a x } \ } & { b ^ { \top } \alpha + ( B _ { x } x + b _ { 0 } ) ^ { \top } \beta + \sum _ { i \in I , j \in J } ( B _ { h } ) _ { i j } h _ { i } \beta _ { j } } \\ { \mathrm { s . t . } \ } & { A ^ { \top } \alpha + B ^ { \top } \beta = c , } \\ & { \beta + \gamma = \beta ^ { + } , } \\ & { \beta - \delta = \beta ^ { - } , } \\ & { A _ { \Omega } ^ { \top } h + B _ { \Omega } ^ { \top } \eta = b _ { \Omega } , } \\ & { \alpha , \beta , \gamma , \delta , h , \eta \geq 0 , } \end{array}
v _ { k } ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { v _ { + , k } ( x ) : = \frac { u _ { k } ( x ) - \alpha _ { k } x _ { n } ^ { + } } { \epsilon _ { k } \alpha _ { k } } , \qquad } & { x \in \Omega _ { u _ { k } } ^ { + } \cap B _ { 1 } } \\ { v _ { - , k } ( x ) : = \frac { u _ { k } ( x ) + \beta _ { k } x _ { n } ^ { - } } { \epsilon _ { k } \beta _ { k } } , \qquad } & { x \in \Omega _ { u _ { k } } ^ { - } \cap B _ { 1 } } \end{array} \right.
\beta ( g ) = \frac { 1 } { g } Q \frac { d g } { d Q } = - \left( \frac { 2 2 } { 3 } - \frac { 4 } { 3 } N _ { F } \right) \, \frac { g ^ { 2 } } { 1 6 \pi ^ { 2 } } \, .
\begin{array} { r l } { m } & { \leq \left\lceil 1 + \left( \binom { n _ { 0 } } { k } - 1 \right) \cdot \frac { ( n _ { 0 } - k ) ! } { n _ { 0 } ! } \cdot \frac { n ! } { ( n - k ) ! } \right\rceil } \\ & { = \left\lceil 1 + \binom { n _ { 0 } } { k } \cdot \frac { ( n _ { 0 } - k ) ! } { n _ { 0 } ! } \cdot \frac { n ! } { ( n - k ) ! } - \frac { ( n _ { 0 } - k ) ! } { n _ { 0 } ! } \cdot \frac { n ! } { ( n - k ) ! } \right\rceil } \\ & { \leq \left\lceil \frac { n _ { 0 } ! } { k ! ( n _ { 0 } - k ) ! } \cdot \frac { ( n _ { 0 } - k ) ! } { n _ { 0 } ! } \cdot \frac { n ! } { ( n - k ) ! } \right\rceil } \\ & { = \binom { n } { k } . } \end{array}
\begin{array} { r } { x _ { \mathrm { m a x } } = | \int _ { t _ { n } ^ { \prime } } ^ { t _ { \mathrm { m a x } } } d t ^ { \prime \prime } \frac { \hbar k ( t ^ { \prime \prime } ) } { \mu } | = \frac { 2 \sqrt { 3 } } { 9 P _ { \mathrm { m a x } } } ( \frac { 8 n ^ { 3 } U _ { \mathrm { p } } } { \hbar \omega } ) ^ { 1 / 4 } , } \end{array}
f _ { a b c } \int d ^ { x } \; \Big ( F ^ { \nu \mu a } A ^ { b \mu } A ^ { c \nu } + 2 A _ { a } ^ { * \mu } A _ { \mu } ^ { b } \omega ^ { c } + \omega _ { a } ^ { * } \omega ^ { b } \omega ^ { c } \Big ) \; .
C _ { L } = \frac { F _ { y } } { \frac { 1 } { 2 } \rho U _ { \infty } ^ { 2 } b c } \quad \mathrm { ~ a ~ n ~ d ~ } \quad \quad C _ { D } = \frac { F _ { x } } { \frac { 1 } { 2 } \rho U _ { \infty } ^ { 2 } b c } \mathrm { ~ , ~ }
Q _ { M } ^ { \operatorname * { m a x } } ( N , \{ \nu _ { M } \} , r ) = Q _ { M - 1 / 2 } ^ { \operatorname * { m a x } } ( N - 2 \mu , \{ \nu _ { M } ^ { \prime } \} , r - 1 ) , \quad \mu = \sum _ { M } \nu _ { M } , \quad \nu _ { M } ^ { \prime } = \nu _ { M + 1 / 2 } .
\begin{array} { r } { \hat { H } = \hbar \left( \begin{array} { l l l l } { \Omega _ { L } } & { \frac { \Omega _ { \mathrm { ~ R ~ F ~ } } \cos \omega _ { \mathrm { ~ R ~ F ~ } } t } { \sqrt { 2 } } } & { 0 } & { 0 } \\ { \frac { \Omega _ { \mathrm { ~ R ~ F ~ } } \cos \omega _ { \mathrm { ~ R ~ F ~ } } t } { \sqrt { 2 } } } & { 0 } & { \frac { \Omega _ { \mathrm { ~ R ~ F ~ } } \cos \omega _ { \mathrm { ~ R ~ F ~ } } t } { \sqrt { 2 } } } & { - \frac { \Omega _ { R } \cos \omega t } { \sqrt { 3 } } } \\ { 0 } & { \frac { \Omega _ { \mathrm { ~ R ~ F ~ } } \cos \omega _ { \mathrm { ~ R ~ F ~ } } t } { \sqrt { 2 } } } & { - \Omega _ { L } } & { 0 } \\ { 0 } & { - \frac { \Omega _ { R } \cos \omega t } { \sqrt { 3 } } } & { 0 } & { \omega _ { 0 } } \end{array} \right) . } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { t , x } ( Z , u ) } & { = E \left[ \int _ { t } ^ { T } f ( s , Z _ { s } , u _ { s } ) d s + g ( Z _ { T } ) \right] } \\ { d Z _ { s } } & { = \alpha ( s , Z _ { s } , u _ { s } ) d s + \sigma ( s , Z _ { s } , u _ { s } ) d W _ { s } , \quad Z _ { t } = x \mathrm { ~ a n d ~ } 0 \leq t \leq s \leq T , } \end{array}
{ 1 \leq } f ( \frac { s _ { i } ( t ) } { d } ) = \frac { h _ { G } y _ { i } ( t ) + 1 - y _ { i } ( t ) } { y _ { i } ( t ) + h _ { G } - h _ { G } y _ { i } ( t ) } { \leq \frac { h _ { G } x _ { i } ( t ) + 1 - x _ { i } ( t ) } { x _ { i } ( t ) + h _ { G } - h _ { G } x _ { i } ( t ) } }
\begin{array} { r l } { \textstyle \frac { \partial g _ { t , a } ( \zeta ^ { * } , \overline { { \theta } } ) } { \partial \overline { { \theta } } _ { t , a } } } & { = \textstyle \mathbb E [ \phi _ { t , a } \phi _ { t , a } ^ { \top } ] } \\ { \textstyle \frac { \partial g _ { t , a } ( \zeta ^ { * } , \overline { { \theta } } ) } { \partial \overline { { \theta } } _ { t + 1 , a ^ { \prime } } } } & { \textstyle = \mathbb E \left[ \alpha _ { t , a } ( \phi _ { t + 1 , a ^ { \prime } } \phi _ { t , a } ^ { \top } ) + ( { 1 - { \alpha } _ { t , a } } ) ( Z _ { a ^ { \prime } , t , a } ^ { \phi } \phi _ { t , a } ^ { \top } ) \right] } \\ & { \mathrm { ~ w h e r e ~ } Z _ { a _ { t + 1 } } ^ { \phi } ( S _ { t } , a ) = \mathbb E [ \phi ( S _ { t + 1 } , a _ { t + 1 } ) \mid Y _ { t + 1 } \leq \zeta _ { t , a } ^ { \top } \phi _ { t , a } , S _ { t } , A _ { t } = a ] . } \end{array}
\begin{array} { r l } { Y _ { i j } ^ { a } + Y _ { i j } ^ { a b } } & { = \frac { y _ { i } y _ { j } } { \sum _ { k } ^ { m } y _ { k } + x } + \frac { y _ { i } y _ { j } x } { ( \sum _ { k } ^ { m } y _ { k } ) ( \sum _ { k } ^ { m } y _ { k } + x ) } = \frac { y _ { i } y _ { j } ( \sum _ { k } ^ { m } y _ { k } ) + y _ { i } y _ { j } x } { ( \sum _ { k } ^ { m } y _ { k } ) ( \sum _ { k } ^ { m } y _ { k } + x ) } } \\ & { = \frac { y _ { i } y _ { j } ( \sum _ { k } ^ { m } y _ { k } + x ) } { ( \sum _ { k } ^ { m } y _ { k } ) ( \sum _ { k } ^ { m } y _ { k } + x ) } = \frac { y _ { i } y _ { j } } { ( \sum _ { k } ^ { m } y _ { k } ) } = Y _ { i j } ^ { b a } } \end{array}
\begin{array} { r l } & { \epsilon _ { k } ( N _ { k } ) \leq } \\ { Q } & { \left( \frac { \sum _ { j = 1 } ^ { k } ( N _ { j } - N _ { j - 1 } ) I ( X _ { k , j } ; Y _ { k , j } ) - \log \frac { M _ { k } - 1 } { 2 } - s \log N _ { k } } { \sqrt { \sum _ { j = 1 } ^ { k } ( N _ { j } - N _ { j - 1 } ) V ( X _ { k , j } ; Y _ { k , j } ) } } \right) } \\ & { + \frac { 1 } { ( N _ { k } ) ^ { s } } + \frac { B _ { k } } { \sqrt { N _ { k } } } \leq \epsilon _ { k } } \\ { \Rightarrow } & { \log M _ { k } \leq \log ( M _ { k } - 1 ) + 1 } \\ & { \leq \sum _ { j = 1 } ^ { k } ( N _ { j } - N _ { j - 1 } ) I ( X _ { k , j } ; Y _ { k , j } ) } \\ & { - \sqrt { \sum _ { j = 1 } ^ { k } ( N _ { j } - N _ { j - 1 } ) V ( X _ { k , j } ; Y _ { k , j } ) } Q ^ { - 1 } \left( \epsilon _ { k } \right) } \\ & { + O ( \log N _ { k } ) , } \end{array}
{ \cal M } _ { a b } ^ { o g } = \left( \begin{array} { c c c c } { { 0 } } & { { \zeta _ { W } ^ { o } M _ { W } ^ { o 2 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { \zeta _ { W } ^ { o } M _ { W } ^ { o 2 } } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { \zeta _ { Z } ^ { o } M _ { Z } ^ { o 2 } } } & { { 0 } } \\ { { 0 } } & { { 0 } } & { { 0 } } & { { M _ { g A } ^ { o 2 } } } \end{array} \right)
\begin{array} { r l r } { \mathrm { H a m } ^ { ( \boldsymbol { \alpha } _ { { \infty , 1 } } ) } } & { = } & { - Q _ { 1 } Q _ { 2 } P _ { 2 } - P _ { 1 } Q _ { 1 } ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } P _ { 2 } ^ { 2 } Q _ { 1 } + P _ { 1 } P _ { 2 } + P _ { 1 } Q _ { 2 } - \frac { 1 } { 4 } \tau _ { \infty , 2 } P _ { 2 } Q _ { 1 } - \frac { 1 } { 4 } \tau _ { \infty , 2 } P _ { 1 } } \\ & { } & { - \frac { 1 } { 2 } \tau _ { \infty , 1 } P _ { 2 } + ( t _ { \infty ^ { ( 1 ) } , 0 } - \hbar ) Q _ { 1 } } \end{array}
\beta ^ { L R } = \left( \begin{array} { c } { { \beta _ { 1 } ^ { L R } } } \\ { { \beta _ { 2 } ^ { L R } } } \\ { { \beta _ { 3 } ^ { L R } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c } { { \frac 3 5 \beta _ { R } + \frac 2 5 \beta _ { V } } } \\ { { \beta _ { L } } } \\ { { \beta _ { C } } } \end{array} \right) .
\begin{array} { r l } { \int _ { 0 } ^ { 1 } f ( x ) \, d x } & { { } = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } U _ { f , P _ { n } } = \operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } L _ { f , P _ { n } } = { \frac { 1 } { 2 } } } \end{array}
\begin{array} { r l } { I _ { x , c i r c l e } } & { { } = \iint _ { R } y ^ { 2 } \, d A = \iint _ { R } ( r \sin { \theta ) } ^ { 2 } \, \mathrm { d } A = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { r } ( r \sin { \theta } ) ^ { 2 } \left( r \, \mathrm { d } r \, \mathrm { d } \theta \right) } \\ { J _ { z , c i r c l e } } & { { } = \iint _ { R } r ^ { 2 } \, \mathrm { d } A = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { r } r ^ { 2 } \left( r \, \mathrm { d } r \, \mathrm { d } \theta \right) = \int _ { 0 } ^ { 2 \pi } \int _ { 0 } ^ { r } r ^ { 3 } \, \mathrm { d } r \, \mathrm { d } \theta } \end{array}
\begin{array} { r l } { \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { s ^ { n } } { n ! } \int _ { - \infty } ^ { \infty } | x | ^ { n } d \mu } & { \leq \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { s ^ { n } } { n ! } \left( \int _ { - \infty } ^ { \infty } x ^ { 2 n } d \mu \right) ^ { 1 / 2 } \left( \int _ { - \infty } ^ { \infty } d \mu \right) ^ { 1 / 2 } } \\ & { = \| \psi \| \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } \frac { s ^ { n } } { n ! } \| A ^ { n } \psi \| < \infty . } \end{array}